第1講

図形の性質⑴三 角形 の性 質

学 習 の ポ イ ン ト
1

三角形の重心A

右図の △ABC で， 3 本の中線 AL，BM， ❶中線は 1 点Gで交わり，この点Gを三角形の ❷といMNう。

三角形の 1 つの頂点とそれに向かい合う辺の中G

この点Gは，中線 AL を ❸点とを結ぶ線分。

CL

B：1 に内分する。

A

すなわちAG：GL＝ ❸：1

また，同様に，中線 BM， ❶を❸B：1 に内分する。

elpmaSの交点を
このように，三角形の 3 本の中線は 1 点で交わり，この交点は各中線を2：1 に内分する。

2三角形の外心AOであるから，点Oであるかであるから，点C

点Qが線分 AB の延長上にあって，AQ：QB＝m：nAが成り立つとき，点Qは線分 AB を m：n に外分する点Oして，して， 3 頂点 A，B，CA
C を通るを通
よって，点Oを中心として，Oを ❼といい，その中心Oをいという。

Oがでの 3 頂点を通る円を，三角形頂点る円を円をかくことができる。このBC垂直二等分線という。

1 つの線分の中点を通形 3 辺の垂直二等分線は辺の垂このように，三角形の1 点で交わり，この交点が三り，これに垂直な直線。

である。

三角形の ❼線分 AB 上にあっ点Pが線分いいう。

等距離にある。
は 3 頂点 A，B，C から等距離にある。

角形の ❼m，n を正を正の実数とする。

き 点Pは 線 分り 立 つ と き，B

同様に，OC＝OA，OA＝，OA＝ ❺OAの❻内分と外分分とB を m：nmABに内分すると点Oは辺 BC の垂直二等分線上にあるから垂直二にあるかららOB＝ ❹P

は，三角形の形状によって次のような位置にある。

鋭角三角形

Cて，
＝て，AP：PB＝m：nが成

右図の △ABC で， 3 辺 BC，CA，AB，CAの垂直二等分垂直二等分線は， 1 点Oで交わる。

L

直角三角形

A

鈍角三角形

B
¬

垂直二等分線¬上の点
OOO

Ｐについて内部斜辺の中点外部が成り立つ。

PA＝PB

解答 ❶ CN4

❷

重心❸

2

❹

OC

❺

OB

❻

外接円

❼

外心3三角形の内心

右図の △ABC で， 3 つの内角∠A，∠B，∠C の二等分A線は 1 点Iで交わる。
点Ｉから 3 辺 BC，CA，AB に垂線 ID，IE，IF を下ろ
すと，△CID≡△ ❶Iより，ID＝ ❷同様に，ID＝IF であり，ID＝ ❷C

BA＝IF

よって，点Ｉを中心として， 3 点Ｄ，E，F を通る円をFかくことができる。この円は，△ABC の 3 辺に点Ｄ，Ｅ，Ｆで接している。この円を，三角形の ❸r Irといい，
B

その中心Ｉを ❹rEDCという。

がこのように，三角形の 3 つの内角の二等分線は 1 点で交わり，この交点が三角形の ❹4である。

elpmaSS

接線の長さと内接円円Oの外部にある点Pから，円Oに接線 PS，，OPT をひくと，△POS≡△POT より，
PS＝ ❺となる。この PS， ❺P

Tの長さをさをPからの接線の長さという。
う。

F5⑴，CE＝CE＝ ❼OS＝OTOT（＝半径）A∠PSO＝∠PTO＝90°E円が △ABC△接するとき
とき，右図のように，円がに内接するとき，
BD＝ ❻AF＝AE，BD＝△POS と △POT で

PO は共通Iであである。

BDC

ゆえに，△POS≡△POT

A

角の二等分線と比角の線と比△ABC において，∠Aに∠A の二等分線との二等の二等分線と辺 BC との交点をDとすると，BD：DC＝AB：ACが成り立つ。
する
DC＝AB
DCが成り
AB＝2，BC＝4，CA＝3の △ABCBC
ABC で，∠A のB二等分線と辺 BC との交点をDとするとをDと
BD：DC＝2： ❽⑵

ABより，BD＝D

CA
32❾

D4B

AC である △ABC の頂点Aにおける外BD＝C2・BC2＋3A

角の二等分線と辺 BC の延長との交点をEとす
ると，BE：EC＝AB：AC が成り立つ。
AB＝6，BC＝4，CA＝3 の △ABC で，頂B

C点Aの外角の二等分線と辺 BC の延長との交A6点をEとするとBE：EC＝ ❿解答 ❶ CIE❾

85：1 より，EC＝ ⓫IE❷
❿

2❸⓫

内接円B❹

内心EC4❺

3PT

BC：CE＝1：1E❻

BF

❼CD

❽ 345

6⑴

チェバの定理・メネラウスの定理

Aチェバの定理△ABC と そ の 辺 上 に な い 点Oに お い て， 直 線

R

AO，BO，CO が，辺 BC，CA，AB と，それぞれ点 P，Q，R で交わるとき

B

BP CQ AR・ ・＝❶PC QA RB
このチェバの定理は，右図のように，点Ｏが⑵PA△ABC とその頂点を通らない直線¬において，¬ように左から書いていくと公式ができあがる。

RQCP

チェバの定理の公式とチelpmaS形は式の形は同じである。

三角形の辺と角の大小

∠C＞∠B
B

△ABC において，AB＞ACすなわち⑴AR，RB と し り と り す るA

B

BP CQ AR・ ・＝❷PC QA RB

7CQ

直 線¬が △ABC の 3 辺 BC，CA，AB ま た は そ の延長と，それぞれ点 P，Q，R で交わるときチェバの定理の公式
BP，PC，CQ，QA，OR

メネラウスの定理

CP

B△ABC の外部にある場合にも成り立つ。

QOA

大

小

大きい辺に対する角は，小さい辺に対する角よりさい辺角よりも ❸。

B

小大C対する辺い角に対する辺より対する辺よ大きい角に対する辺は，小さい角に対する辺より⑵も ❹。

Aで6°，，∠C＝42° のときのと
右図で，∠B＝56°，∠C＝42°
AB ❺AC が成り立つ。
り立つり立つ。

B856°

42°cb∠B＞∠Cより，ACとAB の大小関係を考える。

C

三角形の成立条件
形の条件

正の数 a，b，cc を 3 辺の長さとする三角形が存在すする三るための条件は①の 3 つの式を 1 つのa＜b＋cb＜c＋a式にまとめると

a……①

a−b ＜c＜a＋bc＜a＋b

また，a，b，c の中でaである。すなわち，三角形の 2 辺の長さの和は，残りの 1 辺の長さより❻が最大であれば，三角形が。

存在するための条件は，長さ x，4，7 の 3 つの線分を 3 辺とする三角形が存在するxの範囲は❼＜4＋7， ❽より， ❾解答 ❶ 1❿611＜x＜ ❿❷1❸a＜b＋c である。
4＜7 と x＞0 より＜4＋x4＜x＋7である。

大きい❹は成り立つので除いた。

大きい❺＜❻

大きい❼x❽7❾3ターゲット１ ［三角形の重心］ ➡ 1A

右図で，点Gは △ABC の重心である。GL＝2，BG＝6 のとき，次の長さを求めよ。

6⑴

AG⑴

点Gは △ABC の重心であるから，AG：GL＝ 1⑵AG：2＝ 1BMBMGL

2

C： 2

より： 2

よって，AG＝ 3
また，BG：BM＝2： 4⑵BG：GM＝2：1

よりターゲット１の答

6：BM＝2： 4
よって，BM＝ 51221435934elpmaS

トレーニング
1

次の点を下の図に図示せよ。

□⑴

線分 AB を 5：3 に内分する点 P□⑵

Q
線分 BA を 3：1に3：1に 内分する点内分内分す□⑶線分 AB を 9：1 に外分する点る点 R□⑷に外分する点 S
線分線 AB を 11：5 に外分す

A2Bで△AB の重心である。次の長さABCの重心である。次を求めよ
次の図で，点Gは△ABCx，y を求めよ。
A□⑴

6NGxBA⑵□⑵

12NyLxC

B

G9y 10MC□3 右図で，点Gは △ABC の重心である。面積比 △ABC：△AGM を求めよ。

AMGB

LC

□4 △ABC において， 2 辺 AB，AC の中点をそれぞれ D，E，BE と CD の交点をGとする。また，G を通り辺 BC に平行な直線と 2 辺 AB，AC との交点をそれぞれ F，H とするとき，DE：FH を求めよ。

7ターゲット２ ［三角形の外心］ ➡ 2A

右図で，点Oは △ABC の外心である。∠OAB＝30°，30°∠OCB＝20°のとき，次の角の大きさを求めよ。
⑴

∠ABC

⑵

∠OAC

20°

O
B

点Oは △ABC の外心であるから，OA＝OB＝ 1⑴C外心Oは，辺 AB，BC，△OBC は二等辺三角形である。

CA の垂直二等分線の交点△OAB において， 2 つの底角は等しいからであるから， 3 頂点 A，B，°∠OBA=∠OAB＝ 2外心の性質

より，△OAB，C から等距離にある。

△OBC において，同様に°∠OBC＝∠OCB＝ 3°

よって，∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝ 4⑵elpmaらOA＝OC より，△OCA は二等辺三角形であるから∠OCA＝∠ 5△ABC の内角の和は 180° であるからから°×2＋2∠OAC＝180°2∠OA

30°×2＋ 6

よって，∠OAC＝ 7°

S

トレーニングトレニング
5ターゲット２の答
ゲッ

1OC3205OAC

7404302504206

次の図で，点Oはで△ABC△ABC の外心である。次の角の大きさを求めよ。の外心である。次の外心である。次の角のを求め□⑴ ∠BACC□⑵⑵ ∠OBA
∠OB

A19°
BO26°

□⑶ ∠BOC

AA

42°

39°

O
B

C21°

OC31°

ターゲット３ ［三角形の内心］ ➡ 3

BCA

右図で，点Iは △ABC の内心である。
I∠BIC＝126°のとき，∠BAC の大きさを求めよ。

126°

B

三角形の内角の和はC

180°∠ABC＋∠ACB°＝ 2△BIC で，∠IBC＋∠ICB＝180°− 1（△ABC で，∠BAC＝180°−2 ∠IBC＋∠ 3＝180°−2×82°＝ 4°°＝2∠IBC＋2∠ICB）

ターゲット３の答1126

2543ICB472

トレーニング6

次の図で，点Iは △ABC の内心である。次の角の大きさを求めよ。

□⑴ ∠ICA□⑵ ∠BICA□⑶ ∠BAC
AA

31°

66°

I22°

I27°

I

B

C122°
BCC

B

ターゲット４ ［接線の長さと内接円］ ➡ 4
AB＝5，AC＝4 の △ABC に内接する円が 3 辺AF

BC，CA，AB と接する点を D，E，F とする。

E

AF＝x とおくとき，次の問いに答えよ。
⑴

線分 BD，CD の長さをxで表せ。

⑵

BC＝6 のとき，線分 AF の長さを求めよ。

⑴

接線の性質より，BD＝ 1
AE＝AF より，同様に，CD＝様に，C＝AB− 2＝A4⑴より，BC＝BD＋DC＝9−
C＝BD− 7⑵て＝
よって，AF＝x＝8S

トレーニングトレニング
7elpmaB

D

C＝5− 3＝AC−＝AC
C−＝4−＝4−−

56＝66＝

BF

3x

5AE（AF でも可）

6x2

AF
CE

42x

7

832

次の図で，△ABC△Aに内接する円が接する円が 3 辺 BC
BC，CA，AB と接する点をそれぞれ D，E，F とする。次の長さxを求めよ。
A□⑴
8A□⑵
9E 10FxF
7B

8ターゲット４の答ット

14DxC

B

E9DCA

AB＝7，AC＝5 の △ABC に内接する円が 3 辺 BC，CA，AB と接する点をそれぞれ D，E，F とする。AE＝x とおくとき，次の問いに答えよ。

□⑴FE

線分 CD，BD の長さをxで表せ。

□⑵ BC＝8 のとき，線分 AE の長さを求めよ。
BDC9□9 右図のように，AB＝4，BC＝5，CA＝3 の直角三角形 ABC に内接するA
F円が 3 辺 BC，CA，AB と接する点を D，E，F とする。このとき，△ABC の内接円の半径を求めよ。ただし，内心をIとする。

IB

ターゲット５ ［角の二等分線と比］ ➡ 54

∠A の二等分線と辺 BC との交点をDとするとき，線

よって，CD＝＝BC3＋35× 2

トレーニング
トレニング

SCD＝ 2elpma

線分 AD は∠A の二等分線であるから，BD：DC＝ 34＝C3B

三平方の定理により，BC＝ 42＋ 1

DA

AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90° の △ABC において，分 CD の長さを求めよ。

E：3

内角の二等分線の性質
内角より

6：D
BD：DC＝AB：AC
ターゲット５の答
ッ1322534435376157の △ABC において
において，∠Aおい ，∠∠A の二等分線と辺の二等分線BC との交点をDとする。次の長さxを求めよ。
交点を10 次の図のA□⑴x4□⑵
⑵

5B
B2D

3xA

24DCC

□11 右図の △ABC において，∠A の二等分線と辺 BC との交点を D，△ABC のA

内心をIとするとき，線分 BD の長さと，AI：ID を求めよ。

86IB

10D7C

12 次の図の △ABC において，頂点Aの外角の二等分線と辺 BC の延長との交点をDとする。次の長さxを求めよ。
□⑴

□⑵
AAxB

73C

4D6B

5xC3D

ターゲット６ ［チェバの定理・メネラウスの定理］ ➡ 6
次の図で，AQ：QC を求めよ。
A

⑴

①①Q

R

R

⑴

2P

BP CQ AR・ ・＝1A R
PC QA
RBCQ 31より＝ より，AQ：QC＝QA 2

メネラウスの定理より，
スの定てよって，

elpma
B

C

3

チェバの定理より，
よって，

⑵

Q

①①B

A

⑵

BP
P CQ AR・ ・＝＝11PC QA RBSCQ 2より，AQ：QCより
QC＝ 3＝ より，AQ：QC＝QA 5

トレーニングトレニング
ング

C3P22 CQ 1
1・ ・ ＝＝13 QA 1ラウスの定理の公式に，与の定理：2えられた値を代入する。
えられた3＋22 C
CQ
Q 1・ ・ ＝1QA 12： 4

P：を求めよ。
めよ
13 次の図で，BP：PC
A□⑴

ターゲット６の答

12422

335A

□⑵

②R

チ ェ バ の 定 理， メ ネ

3③Q

⑤5R
5Q

④2B

CP

7⑪B
⑤R

PPC

□⑷ RA

□⑶

B

⑤AC④ 15B

Q

1CPQ

1114 次の図で，CQ：QA を求めよ。
A□⑴

Q□⑵

③A

R

R ③⑤Q

B

⑤C 14PBQ□⑶4PC

9A□⑷
④BAR

⑤①①B2 P

5RCmaC

32PQelpて，辺 AB を 8：99 に内分する点をする点 R，辺R，辺 AC を
15 右図の △ABC において，辺A4：3 に内分する点をQとする。線分をQと線分 BQ と線分 CR の交点を交点を X，直線X，直線 AX
Aと辺 BC の交点をPとするとき，次の比を求めよ。
点をPき，次の比を求めよ。の比を求め

S□⑴ BP：PC
PC□⑵ PX：XA
X

⑧4RQX

⑨3PB

C

［三角形の辺と角の大小］
辺と角の➡7ターゲット７ ［△ABC において，∠A＝85°，∠B＝40°∠A＝85のとき， 3 辺 BC，CA，AB の大小関係を不等号を用いて表せ。

（∠C＝180°− 85°＋ 1
よって，∠ 3512＜ 6＜∠ 4＜BC° ＝ 2）°

ターゲット７の答

A85°＜∠A よりB40°

C1402554C5CA6AB3B

トレーニング
16 次のような △ABC において， 3 辺 BC，CA，AB の大小関係を不等号を用いて表せ。
□⑴ ∠A＝55°，∠B＝50° のとき□⑵ ∠B＝105°，∠C＝30° のとき

17 次のような △ABC において， 3 つの内角の大小関係を不等号を用いて表せ。

□⑴ AB＝9，BC＝5，CA＝7 のとき□⑵ AB＝5，BC＝3㲋 3 ，CA＝4 のとき

ターゲット８ ［三角形の成立条件］ ➡ 8elpmaS

長さ x，x＋1，5 の 3 つの線分を 3 辺とする三角形が存在するxの範囲が存在範囲を求めよ。

三角形の成立条件の残形のり 2 つの不等式
等式

辺の長さは正であるから，x＞0，x＋1＞0＞0より，x＞0り，x＞0である。
三角形の成立条件より
件より
1＜x＋2

よって，求めるxの範囲は，x＞，の範囲は範囲 ，x＞

x5x＋1）＋5x＜（x＋1）
x＋1
x＋1＜x＋5はは，つねに成り立つ。

x+13ターゲット８の答

152x＋132

トレーニング
レー ングのような三角形は存
18 3 辺の長さが次のような三角形は存在するかどうか調べよ。

□⑴ 3，4，5□⑵ 2，3，6□⑶ 3，5，7□⑷ 3，8，10□⑸ 4，5，10□⑹ 5，10，20

19 3 つの線分の長さが次のようなとき，これらを 3 辺とする三角形が存在するxの範囲を求めよ。

□⑴ x，4，8□⑵ x，x＋3，7□⑶ x＋3，2x，9□⑷ x＋2，2x＋1，1213まとめの問題
A

1 右図の △ABC で， 2 辺 BC，CA の中点をそれぞれ D，E，AD と BE の交点をGとするとき，次の問いに答えよ。
⑴

BG，AD の長さを求めよ。

⑵

面積比 △ABC：△GDE を求めよ。

8EG 2BDC

2 次の図で，点Oは △ABC の外心である。次の角の大きさを求めよ。
⑴∠OCB⑵ ∠OBC

AA23°

45°

OelpmaO44°

76°
BCS

B

C△ABCでABC の内心である。次の角の大きさを求めよ。の内心である。次の角のの内心である。次の角の大きさよ。
3 次の図で，点Iは⑴∠IACACA42°

A96°

IBIB

⑵ ∠BIC
BIC

C38°C

A

4 AB＝8，AC＝6 の △ABC に内接する円が 3 辺 BC，CA，AB と接する点をそれぞれ D，E，F とする。AE＝xとおくとき，次の問いに答えよ。

⑴

線分 CD，BD の長さをxで表せ。

⑵

BC＝10 のとき，AE の長さを求めよ。

F

B

14E

DC

5 右図の △ABC で，∠A の二等分線と辺 BC との交点を D，頂点Aの外角の二等分線と辺 BC の延長との交点をEとするとき，次の問いAに答えよ。
⑴

DC の長さを求めよ。

⑵

EC の長さを求めよ。

9DB

6 次の図で，BP：PC を求めよ。
A

⑴

3RQ

A
44A

B

9Cえよ
8 次の問いに答えよ。

5aS
PCPQ

⑵

Q⑦elpmB

7 次の図で，CQ：QA を求めよ。
③R

3Q

⑦CP⑴

E

⑤⑤BCR⑵③56A①P2①B5CR⑴△ABC において，∠A＝46°，∠B＝85°のとき，3 辺 BC，CA，AB の大小関係を不等号を用いて表せ。
いて6 ，∠⑵㲋 2 ，CA＝6 のとき， 3 つの内角の大小関係を不等号を用いて表せ。
△ABC において，AB＝5，BC＝4て AB＝59 長さ 2x，x＋9，15 の 3 つの線分を 3 辺とする三角形が存在するxの範囲を求めよ。

15