場合の数 - さいころ⑵ステップ１

さいころの区別

１ 大、中、小の３つのサイコロを同時に投げたとき、目の出方は全部で何通りありますか。
サイコロに区別があるので、大、中、小の順に（１、２、３）と目が出るのと、（２、１、３）と目が出るのとでは、目の出方は違うもの考えます。


1



場合の数 - さいころ⑵２ サイコロを３回投げるとき、出た目の数が３回とも異なるような目の出方は何通りありますか。
サイコロ自体には区別はありませんが、１回目、２回目、３回目と、回数に区別があるので、１回目、２回目、３回目の順に（１、２、３）と目が出るのと、（２、１、３）と目が出るのとでは、目の出方は違うもの考えます。




2



場合の数 - さいころ⑵ステップ２

同じ数が出る

３ さいころを３回ふるとき、１回目と２回目が同じ数になり、３回目が異なる数になるような目の出方は何通りありますか。

3

場合の数 - さいころ⑵４ さいころを３回ふるとき、出た目の３つの数のうち、ちょうど２つが同じ数になるような目の出方は何通りありますか。

4

場合の数 - さいころ⑵５ 大中小の３個のサイコロを投げるとき、２個以上同じ目が出るような目の出方は何通りありますか。

5

場合の数 - さいころ⑵

ステップ３

奇数と偶数

６ 大、中、小の３つのサイコロを同時に投げるとき、目の数がすべて奇数になるような目の出方は何通りありますか。

6

場合の数 - さいころ⑵７ さいころを３回ふるとき、１回目と２回目に偶数、３回目に奇数の目が目が出るような目の出方は何通りですか。

7

場合の数 - さいころ⑵８ さいころを３回ふるとき、次の問に答えなさい。
⑴

目の出方は全部で何通りですか。

⑵

出た目の積が奇数になるような目の出方は何通りですか。

⑶

出た目の積が偶数になるような目の出方は何通りですか。
⑴と⑵を利用して考えなさい。

8

場合の数 - さいころ⑵

９ ８の⑶を、違う解き方で解きます。さいころを３回ふるとき、出た目の積が偶数になるような目の出方が何通りあるか、次のように考えました。
（）にあてはまる数を求めなさい。

⑴

３回とも偶数の目が出る場合は（）通り。

⑵

２回だけ偶数の目が出る場合は（）通り。

⑶

１回だけ偶数の目が出る場合は（）通り。

⑷⑴〜⑶より、出た目の積が偶数になるような目の出方は、全部で（）通り、となります。

9

場合の数 - さいころ⑵10 さいころを３回ふるとき、目の和が奇数になるような目の出方が何通りあるか、次のように考えました。（）にあてはまる数を求めなさい。
⑴

目の和が奇数になるのは、３回のうち奇数が（ア（イ）回出る場合と、）回出る場合の２通りです。ア＞イとして答えなさい。

⑵

アの場合、目の出方は（）通りです。

⑶

イの場合、目の出方は（）通りです。

⑷⑵⑶より、目の和が奇数になるような目の出方は（10）通りです。

場合の数 - さいころ⑵11 10 の結果について考えます。10 で、さいころを３回ふるとき、目の和が奇数になるような目の出方は 108 通りでした。この結果を利用して、さいころをふるとき、目の和が奇数になる確率を分数で求めなさい。ただし、目の和が奇数になる確率は、（目の和が奇数になるような目の出方）÷（全ての目の出方）で求められます。

11

場合の数 - さいころ⑵ステップ４

書き出しの練習12 １、２、３、４、５、６のカードがたくさんあります。この中から３枚のカードを選ぶとき、３枚の和が、次の⑴〜⑶になるような組み合わせを全て書きなさい。ただし、４、５、６と選ぶ場合は（４、５、６）と、（⑴５⑵６⑶７）を使ってできるだけ小さい数から書きなさい。

12場合の数 - さいころ⑵13 １、２、３、４、５、６のカードがたくさんあります。この中から３枚のカードを選ぶとき、３枚の和が、次の⑴〜⑶になるような組み合わせを全て書きなさい。ただし、３、２、１と選ぶ場合は（３、２、１）と、（⑴13⑵12⑶11）を使ってできるだけ大きい数から書きなさい。

13場合の数 - さいころ⑵ステップ５組み合わせ→並べ方

14 大、中、小の３個のさいころを同時に投げるとき、出た目の数の和が５になる場合が何通りあるか、次のように考えました。（）にあてはまる数を求めなさい。

和が５になる組み合わせ⑵の答え（ア、、）（⑶の答えイ（⑴、、）（）通り ⑷の答え（）通り）通り

和が５になるような３つの目の組み合わせは、ア（、、）、イ（、、）の２通りです。

⑵

アの場合、３個のさいころの目の出方は（）通りです。

⑶

イの場合、３個のさいころの目の出方は（）通りです。

⑷⑵、⑶より、出た目の数の和が５になるような目の出方は、全部で（）通り、となります。

14

場合の数 - さいころ⑵15 大、中、小の３個のさいころを同時に投げるとき、出た目の数の和が６になるような目の出方は何通りありますか。

和が６になる組み合わせ

（、、）

（）通り

（、、）

（）通り

（、、）

（）通り

15（）通り場合の数 - さいころ⑵16 さいころを３回ふるとき、出た目の数の和が７になるような目の出方は何通りありますか。

16

場合の数 - さいころ⑵17 さいころを３回ふるとき、出た目の数の和が 12 になるような目の出方は何通りありますか。

17

場合の数 - さいころ⑵18 大、中、小の３つのサイコロを同時に投げたとき、３個のさいころの目の和が 10 になる場合は何通りありますか。

18

場合の数 - さいころ⑵ステップ６練習問題

19 大、中、小の３個のさいころを同時に投げるとき、出た目の数の和が16 以上になる場合は何通りありますか。

19

場合の数 - さいころ⑵20 さいころは向かい合った面の数の和が７になるようにつくってあります。３個のさいころを投げたら、出た目の積が 24 になりました。裏の面の数の積はいくつですか。考えられるすべての場合を答えなさい。

20

場合の数 - さいころ⑵21 さいころを何回か振って目の和が６になる場合について考えます。このとき、次の問に答えなさい。
(1)

３回振る場合、目の出方は何通りですか。

(2)

何回振ってもいい場合、目の出方は全部で何通りですか。

21

場合の数 - さいころ⑵

■

解答■
⑵

１ 216 通り
２ 120 通り
３ 30 通り
４ 90 通り
５ 96 通り
６ 27 通り⑶

７ 27 通り
８ ⑴216 通り⑵⑶

27 通り
189 通り

９ ⑴

27 通り

⑵
⑶
⑷

81 通り
81 通り
189 通り

10 ⑴

３、１

⑵
⑶
⑷
1
11 2

27
81
108

12 ⑴
⑵

⑶

13 ⑴

（６、５、１）（６、４、２）（６、３、３）（５、５、２）（５、４、３）（４、４、４）（６、４、１）（６、３、２）（５、５、１）（５、４、２）（５、３、３）（４、４、３）14 ⑴ア：（１、１、３）⑵⑶⑷

イ：（１、２、２）
３３
６

15

10 通り

16

15 通り

17

25 通り

（１、１、３）18

27 通り（１、２、２）（１、１、４）（１、２、３）（２、２、２）（１、１、５）（１、２、４）（１、３、３）（２、２、３）

19

10 通り

20

18、25、60

21

⑴

10 通り

⑵

32 通り

（６、６、１）（６、５、２）（６、４、３）（５、５、３）（５、４、４）22

場合の数 - さいころ⑵■ 解説 ■
１ ・大は１〜６の６通り

６ ・１回目は１、３、５の３通り

・中も１〜６の６通り
・小も１〜６の６通り
・よって、６×６×６＝216(通り)
２ ・１回目は１〜６の６通り

・２回目も１、３、５の３通り
・３回目も１、３、５の３通り
・よって、３×３×３＝27(通り)７ ・１回目は２、４、６の３通り

・２回目は１回目以外の５通り
・３回目は１、２回目以外の４通り
・よって、６×５×４＝120(通り)
３ ・１回目は１〜６の６通り

・２回目も２、４、６の３通り
・３回目は１、３、５の３通り
・よって、３×３×３＝27(通り)８ ⑴・２回目は１回目と同じ１通り
・３回目は１、２回目以外の５通り
・よって、６×１×５＝30(通り)

６×６×６＝216(通り)⑵

１回でも偶数が出たら、積は偶数になります。３回とも奇数でないといけないので、３×３×３＝27(通り)⑶

216−27＝189(通り)４ ・１、２回目が同じ□□△→６×１×５＝30(通り)・１、３回目が同じ□△□→６×５×１＝30(通り)・２、３回目が同じ△□□→６×５×１＝30(通り)・よって、30×３＝90(通り)

９ ⑴
⑵

⑶

５ ・３個同じになる場合
６×１×１＝６(通り)・２個同じになる場合□□△→６×１×５＝30(通り)□△□→６×５×１＝30(通り)△□□→６×５×１＝30(通り)30×３＝90(通り)・以上より、６＋90＝96(通り)【別解】余事象で考えます。
・目の出方は全部で６×６×６＝216(通り)・目が全て異なるのは
６×５×４＝120(通り)・よって、216−120＝96(通り)

⑷
10 ⑴
⑵
⑶

⑷

23

３×３×３＝27(通り)
偶・偶・奇→３×３×３＝27(通り)
偶・奇・遇→３×３×３＝27(通り)
奇・偶・遇→３×３×３＝27(通り)
よって、27×３＝81(通り)
偶・奇・奇→３×３×３＝27(通り)
奇・偶・奇→３×３×３＝27(通り)
奇・奇・偶→３×３×３＝27(通り)
よって、27×３＝81(通り)27＋81＋81＝189(通り)
奇＋奇＋奇の３回の場合と、奇＋遇＋遇の１回の場合。
奇＋奇＋奇→３×３×３＝27(通り)
偶・偶・奇→３×３×３＝27(通り)
偶・奇・遇→３×３×３＝27(通り)
奇・偶・遇→３×３×３＝27(通り)
よって、27×３＝81(通り)27＋81＝108(通り)場合の数 - さいころ⑵11 ・さいころを３回振るときの全ての目の 14 ⑴
出方は、６×６×６＝216(通り)・さいころを３回振るときの目の和が奇数になる目の出方は 108 通り
1・よって、108÷216＝2

１＋１＋３と、１＋２＋２の２通り⑵（１、１、３）の順番を変えると、
１１３、１３１、３１１の３通り⑶ （１、２、２）の順番を変えると、
１２２、２１２、２２１の３通り⑷ ３＋３＝６(通り)12 和が小さいので、小さい数から書き出し

15 （１、１、４）→３通りた方が楽です。同じ数を何度も使えるこ（１、２、３）→６通り
10 通りとに注意します。
（２、２、２）→１通り⑴ （１、１、３）（１、２、２）※１２３が６通りになるのは、⑵ （１、１、４）
１、２、３の並べ方なので、（１、２、３）
３×２×１＝６と求められます。
（２、２、２）⑶ （１、１、５）
16 （１、１、５）→３通り（１、２、４）（１、２、４）→６通り
15 通り（１、３、３）（１、３、３）→３通り（２、２、３）（２、２、３）→３通り

13 和が大きいので、大きい数から書き出し

17た方が楽です。同じ数を何度も使えることに注意します。
⑴ （６、６、１）（６、５、２）（６、４、３）（５、５、３）（５、４、４）18⑵ （６、５、１）（６、４、２）（６、３、３）（５、５、２）（５、４、３）（４、４、４）⑶ （６、４、１）
19（６、３、２）（５、５、１）（５、４、２）（５、３、３）（４、４、３）24（６、５、１）→６通り（６、４、２）→６通り（６、３、３）→３通り（５、５、２）→３通り（５、４、３）→６通り（４、４、４）→１通り

25 通り（６、３、１）→６通り（６、２、２）→３通り（５、４、１）→６通り（５、３、２）→６通り（４、４、２）→３通り（４、３、３）→３通り

27 通り（６、６、６）→１通り（６、６、５）→３通り（６、６、４）→３通り（６、５、５）→３通り

10 通り

場合の数 - さいころ⑵

20

表

裏

（６、４、１）→１×３×６＝18（６、２、２）→１×５×５＝25（４、３、２）→３×４×５＝60
21 ⑴ (１、１、４)→３通り(１、２、３)→６通り(２、２、２)→１通り⑵・１回の場合(６)→１通り
・２回の場合(１、５)→２通り(２、４)→２通り(３、３)→１通り・３回の場合⑴より 10 通り

10 通り

５通り

・４回の場合(１、１、１、３)→４通り
10 通り(１、１、２、２)→６通り※・５回の場合(１、１、１、１、２)→５通り・６回の場合(１、１、１、１、１、１)→１通り・以上より、
１＋５＋10＋10＋５＋１＝32(通り)※１１２２の６通りは、下のように、書き出しで求めます。
１１２２
１２１２
１２２１
２１１２２１２１
２２１１
または、同じものを含む順列の考え方を使って、4C2＝６と求めます。

25