カイラル輸送現象
山本 直希
慶應義塾大学 理工学部 物理学科
「熱場の量子論とその応用」
2015年9月2日

内容• 日常的な輸送現象• カイラルな輸送現象• カイラルな輸送理論• カイラルな集団励起（波と不安定性）• 物性・宇宙物理への応用の例
自然単位系： ~ = c = 1

輸送現象

輸送現象
• 古典的で身近な例:• Ohmの法則: je = E• Fourierの法則: j = ( rT )Q

熱伝導

色々な輸送現象• 19世紀に既に分かったもの
電流

1826
Ohm

1879
Hall

1886
Nernst1821
Seebeck

je = E + RE ⇥ B + ↵( rT ) + N ( rT ) ⇥ B

jQ = E + N E ⇥ B + ( rT ) + L( rT ) ⇥ B

熱流Peltier1834

Ettingshausen
1886• E ! rµ もOK.
• これで全て？

Fourier
1807

Leduc-Righi
1887

BjE

問題
• 局所的な温度・密度勾配と輸送
j ⇠ rTj ⇠ rµ• 電磁場のない単純な2次輸送？

j ⇠ rT ⇥ rµrµjrT

パリティ• この関係式を仮定： j = rT ⇥ rµ
• パリティ変換のもとで j = ( rT ) ⇥ ( rµ)• パリティに矛盾するので普通は (空気や水では) 起きない。

カイラリティ• 相対論的に運動するフェルミオン：カイラリティ
スピン

スピン

パリティ
運動量

運動量

左巻き右巻き• j = ̃(µR µL )rT ⇥ rµ ：パリティと無矛盾• 輸送係数は計算できるか？ Ishii-Chen-Pu-NY, work in progressChiral Magnetic Effect (CME)• je ⇠ B ？
• Ohmの法則: je = E• je ⇠ (µR µL )B はパリティを保つ• 磁場は仕事をしない：非散逸の電流
Vilenkin (1980); Nielsen, Ninomiya (1983); Kharzeev, Warringa, Fukushima (2008)

Chiral Magnetic/Separation Effects
Bs p
右巻きjR = µR B

左巻きjL =µL B• 左右の差 → 磁場方向の電流 (CME)： je ⇠ µ5 B
• 左右の和 → 磁場方向の軸性流 (CSE)： j5 ⇠ µB
• 場の理論における量子異常と密接に関係 Son-Zhitnitsky (2004)

カイラル物質Electromagnetic Response of Weyl Semimetals
M.M. Vazifeh and M. Franz•
It has been suggested recently, based on subtle field-theoretical considerations, that the electmagnetic
response of Weyl semimetals and the closelyKharzeev-Warringa-Fukushima
related Weyl insulators can be(2008),
characteri…
RHIC/LHCにおけるQGP•
by an axion term ✓E · B with space and time dependent axion angle ✓(r, t). Here we construcminimal lattice model of the Weyl medium and study its electromagnetic response by a combi
Ohnishi-NY(2014),… anomalous Hall e↵tion•of 超新星爆発時の電磁プラズマ
analytical and numerical techniques. We confirm
the existenceof theexpected on the basis of the field theory treatment. We find, contrary to the latter, that chiral mnetic e↵ect (that is, ground-state charge current induced by the applied magnetic field) is absentgraphene”)
Nielsen-Ninomiya(1983),…
bothsemimetal and(“3Dthe insulatorphase. We elucidate
the reasons forthis discrepancy.
• theWeyl半金属

Department of Physics and Astronomy, University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada V
Joyce-Shaposhnikov(1997), …
初期宇宙における電弱プラズマ(Dated: March 26,2013)

カイラリティのゆらぎ

When a three-dimensional topological insulator (TI)
3] undergoes a phase transition into an ordinary bandulator, its low-energy electronic spectrum at the critpoint consists of an odd number of 3D masslessac points. Such 3D Dirac points have been experintally observed in TlBi(S1 x Sex )2 crystals [4] and in
1 x Inx )2 Se2 films [5]. In the presence of the time resal (T ) and inversion(P) symmetries the Dirac points
http://www0.bnl.gov/rhic/news2/








Weyl半金属

S. -Y. Xu et al., Science (2015)
http://physics.princeton.edu/zahidhasangroup/index̲WS.html

カイラル輸送理論
・Kinetic theory
・Hydrodynamics（本郷氏のtalk参照）

7

Kinetic theory• Kinetic theory（Boltzmann方程式）は、系の平衡・非平衡状態における統計的な発展を記述@np@np@np+v·+ (E + v ⇥ B) ·= c[np ]Vlasov equation@t@xVlasov equation@pCERN■ At the time t0 :Schwinger-Keldysh formalis■ At the time t :From fields to kinetic theory

FCollisionless kinetic equations● Free transport● Vlasov equation
Boltzmann equation
Transport coefficients

ある時間経つと…

Lecture III / III – 2nd Rio-Saclay meeting, CBPF, Rio de Janeiro,
September2007 - p. 33/53
FrançoisGelis – 2007

Lecture III / III – 2nd Rio-Saclay meeting, CBPF, Rio de Janeiro, September 2007 - p. 35/53

Ludwig Boltzmann

Boltzmann方程式• 分布関数 np (t, x) を使って定式化• 衝突を無視すると、Liouvilleの定理により
@np
@np
@np
dnp
=+ ẋ ·+ ṗ ·=0
dt
@t@x
@p

Boltzmann方程式• 分布関数 np (t, x) を使って定式化• 衝突を無視すると、Liouvilleの定理により
@np
@np
@np
dnp
=+v·+ (E + v ⇥ B) ·=0
dt
@t
@x
@p
Lorentz force

Boltzmann方程式• 分布関数 np (t, x) を使って定式化• 衝突を入れると@np@np@np+v·+ (E + v ⇥ B) ·= c[np ]@t@x@p• Ohmの法則：
jnoneq =Zdp v np = E• カイラル磁気効果？ 量子異常？

カイラリティとトポロジー
右巻きフェルミオンp運動量空間s

スピン空間

S2 (運動量空間) から S2 (スピン空間) へのmapping: 巻き数 +1

カイラリティとトポロジー
左巻きフェルミオン

ps
運動量空間

スピン空間

S2 (運動量空間) から S2 (スピン空間) へのmapping: 巻き数 −1

カイラル粒子の運動方程式• 巻き数 ~ Berry曲率の面積分p⌦p = r p ⇥ A p = ±2|p|3p-spacemonopole
Fermi surface

カイラル粒子の運動方程式• 巻き数 ~ Berry曲率の面積分• 運動方程式：

p⌦p = r p ⇥ A p = ±2|p|3p-spaceẋ = p̂ + ṗ ⇥ ⌦p = ! 1 [p̂ + E ⇥ ⌦p + (p̂ · ⌦p )B]ṗ = E + ẋ ⇥ B = ! 1 [E + p̂ ⇥ B + (E · B)⌦p ]! = 1 + B · ⌦px-空間でのLorentz力

monopoleFermi surface

カイラル粒子の運動方程式• 巻き数 ~ Berry曲率の面積分• 運動方程式：

p⌦p = r p ⇥ A p = ±2|p|3p-空間での“Lorentz力”

p-spaceẋ = p̂ + ṗ ⇥ ⌦p = ! 1 [p̂ + E ⇥ ⌦p + (p̂ · ⌦p )B]
Sundaram-Niu (1999)ṗ = E + ẋ ⇥ B = ! 1 [E + p̂ ⇥ B + (E · B)⌦p ]! = 1 + B · ⌦px-空間でのLorentz力

monopole
Fermi surface

カイラル粒子の運動方程式• 巻き数 ~ Berry曲率の面積分• 運動方程式：

p⌦p = r p ⇥ A p = ±2|p|3p-spaceẋ = p̂ + ṗ ⇥ ⌦p = ! 1 [p̂ + E ⇥ ⌦p + (p̂ · ⌦p )B]ṗ = E + ẋ ⇥ B = ! 1 [E + p̂ ⇥ B + (E · B)⌦p ]! = 1 + B · ⌦pmonopole
Fermi surface

Boltzmann方程式• 分布関数 np (t, x) を使って定式化• 衝突を無視すると、Liouvilleの定理により
@np
@np
@np
dnp=+ ẋ ·+ ṗ ·=0dt
@t
@x
@p

Chiral kinetic theory@np@np+ [v + E ⇥ ⌦ + (v · ⌦)B] ·(1 + B · ⌦)@t@x@np+[E + v ⇥ B + (E · B)⌦] ·= c[np ]@pSon-NY (2012); Stephanov-Yin (2012); Chen et al. (2013).
See also cond-mat refs: Duval et al. (2006)

p
⌦=±
2|p|3

Chiral kinetic theory@np@np+ [v + E ⇥ ⌦ + (v · ⌦)B] ·(1 + B · ⌦)@t@x@np+[E + v ⇥ B + (E · B)⌦] ·= c[np ]@pSon-NY (2012); Stephanov-Yin (2012); Chen et al. (2013).
See also cond-mat refs: Duval et al. (2006)

ZZµj⌘! ẋnp = [p̂ + E ⇥ ⌦ + (p̂ · ⌦)B]np = ± 2 B4⇡pp

Chiral kinetic theory@np@np+ [v + E ⇥ ⌦ + (v · ⌦)B] ·(1 + B · ⌦)@t@x@np+[E + v ⇥ B + (E · B)⌦] ·= c[np ]@pSon-NY (2012); Stephanov-Yin (2012); Chen et al. (2013).
See also cond-mat refs: Duval et al. (2006)

ZZµj⌘! ẋnp = [p̂ + E ⇥ ⌦ + (p̂ · ⌦)B]np = ± 2 B
4⇡ppFull chiral kinetic theoryi @n@np hp+ ṽ + Ẽ ⇥ ⌦ + (ṽ · ⌦)B ·(1 + B · ⌦)@t@x
hi @np+ Ẽ + ṽ ⇥ B + (Ẽ · B)⌦ ·= c[np ]@p✏p = |p|(1B · ⌦),@✏p,ṽ ⌘@pẼ ⌘ E

磁気モーメントによる補正
Son-NY (2013); Manuel, Torres-Rincon (2014)@✏p@xRelativistic hydrodynamics
エネルギー・運動量保存則: @µ T µ⌫ = F ⌫ j
粒子数保存則:T µ⌫ = (✏ + P )uµ u⌫µ@µ j = 0
P g µ⌫ + (di↵usion)(dissipation)j µ = nuµ + (di↵usion)(dissipation)
see Landau-Lifshitz “Fluid Mechanics” (volume 6)（本郷氏のtalk参照）

Chiral hydrodynamics
エネルギー・運動量保存則: @µ T µ⌫ = F ⌫ j
量子異常:T µ⌫ = (✏ + P )uµ u⌫µµ@µ j = CE BµP g µ⌫ + (di↵usion)(dissipation)j µ = nuµ +⇠B B µ + ⇠! µ + (dissipation)(di↵usion)chiral magnetic effectchiral vortical effectSon-Surowka (2009) （本郷氏のtalk参照）

Chiral vortical effect! =r⇥vvs p
右巻き22jR = (CµR + DT )!

左巻き

jL =(Cµ2L + DT 2 )!

Vilenkin (1979); Son-Surowka (2009); K. Landsteiner et al. (2011); K. Jensen et al. (2012)

カイラルな波・Chiral Magnetic Wave
・Chiral Alfven Wave

Chiral Magnetic Wave (CMW)
Newman (2006); Kharzeev-Yee (2011)

有限密度・磁場中のカイラルフェルミオン
粒子数保存則: @t n + r · j = 0µ
CME: jz = ± 2 Bz
4⇡
感受率:@n⌘@µChiral Magnetic Wave (CMW)
Newman (2006); Kharzeev-Yee (2011)

有限密度・磁場中のカイラルフェルミオン
粒子数保存則: @t n + r · j = 0µ
CME: jz = ± 2 Bz
4⇡
感受率:@n⌘@µ@ t n ± VL @ z n = 0Bz
VL = 2 （縦波）
4⇡

Chiral Alfven Wave (CAW)
NY (2015)

有限温度・磁場中のカイラルフェルミオン
（一様・静的な n, ✏, P ）
粒子数保存則:r·v =0運動量保存則: (✏ + P )@t v = j ⇥ B
CVE:

T2j =± r⇥v
24

Chiral Alfven Wave (CAW)
NY (2015)

有限温度・磁場中のカイラルフェルミオン
（一様・静的な n, ✏, P ）
粒子数保存則:r·v =0運動量保存則: (✏ + P )@t v = j ⇥ B
CVE:

2Tj =± r⇥v
24v?B@ t v ± VT @ z v = 0VT =1 T2Bz24 ✏ + P（横波）定性的な議論zBvyω
!x = @ y v zx@z vy > 0

定性的な議論zB
Chiral vortical effectj~ωxvy定性的な議論
zLorentz力

j×B

Bv
yj~ωx

Lorentz力が復元力 → vの振動:
chiral Alfven wave

Chiral Plasma Instability(CPI)
電弱理論 Redlich-Wijewardhana (1985); Rubakov (1986)
初期宇宙 Joyce-Shaposhnikov (1997)
QGP Akamatsu-NY (2013, 2014) 中性子星 Ohnishi-NY (2014)

Polarization tensor with µ5
T, µ, µ5µ⌫

⇧ (k) =• ⇧ (k) のテンソル分解 ( A0 = 0 )ijk̂ i k̂ j ,2µ✓e µ5 ijk
ijk⇧ (k) =i✏1i✏24⇡
ijijk̂ i k̂ j , i✏ijk k̂ k
2!
|k|2

◆✓1

◆!
! + |k|kln
k2|k| ! |k|

T=0 [Son-NY (2013)] T≠0 [Manuel, Torres-Rincon (2014)]

集団モード•• 線形応答理論:

Maxwell方程式:@⌫ F ⌫µ = j µµµ⌫j (k) = ⇧ (k)A⌫ (k)[k 2 ijk i k j + ⇧ij (k)]Aj = 0

集団モード•• 線形応答理論:

Maxwell方程式:@⌫ F ⌫µ = j µµµ⌫j (k) = ⇧ (k)A⌫ (k)[k 2 ijk i k j + ⇧ij (k)]Aj = 0(Transverse part, ω≪k)4ik 3i!t;e⇠e2⇡mD•μ5=0 では ! =•✓ 24ik
e |µ5 |μ5≠0 では ! =⇡m2D4⇡ 22Akamatsu-NY (2013)

k◆

(k)t

Landau減衰; e i!t ⇠ e (k)t for small k
プラズマ不安定性

カイラルプラズマ不安定性 (CPI)δB

最初に一様な µ5 があると仮定

カイラルプラズマ不安定性 (CPI)

カイラル磁気効果

δj ~ µ5δBカイラルプラズマ不安定性 (CPI)

Ampereの法則

δj
δBind

r⇥B =jカイラルプラズマ不安定性 (CPI)δjδjind ~ µ5δBind
カイラル磁気効果

カイラルプラズマ不安定性 (CPI)δB + δB’indδjind

正のフィードバック：不安定性

Ampereの法則

r⇥B =jカイラルプラズマ不安定性 (CPI)

Faradayの法則

δB + δB’ind
δEindr⇥E =δBind@t B

量子異常

Q5 = #E · B < 0

自然は左右を等しくしようとする

物性・宇宙物理への応用の例

負の磁気抵抗 (Weyl半金属)
ZrTe5@n5= CE · B@tn5⌧

定常状態： n5 = ⌧ CE · B

jCME = Cµ5 B =⌧(CB)2 ECME

⇢ = ( Ohm +1)
CME

Son-Spivak (2013)
Q. Li et al. [arXiv:1412.6543 (cond-mat.str-el)];J. Xiong et al. [arXiv:1503.08179 (cond-mat.str-el)]

量子異常とCMEの帰結

マグネター• マグネター：「宇宙最強の磁石」• 表面磁場は最大 10 G 程度
• このような強くて安定な磁場はどのように作られるのか？
15

磁気ヘリシティZ• 磁気ヘリシティ: H = d x A · B• Gaussの絡み目数に比例：トポロジカルな安定性• 電磁流体力学(MHD)の初期条件として仮定. その起源は？
H=0

H=32

12poloidal/toroidal磁場

CPIによるマグネター磁場•• 右巻き電子の方が多く残る → この状態はCPIにより不安定• ヘリシティの保存：電子のヘリシティ → 磁気ヘリシティ• 磁気ヘリシティをもった強磁場の生成
L
超新星爆発におけるニュートリノ放出: p + eL ! n + ⌫eOhnishi-NY (2014);
Grabowska-Kaplan-Reddy (2015);
NY, in preparation
supernovae

CPI+ ヘリカル磁場eReLeR

eLeReLConclusion• カイラリティによる新奇な輸送現象• 量子異常 ⇆ 輸送理論 + Berry曲率• カイラル輸送理論の宇宙・原子核・物性への応用• 初期宇宙や超新星爆発（特にニュートリノ物理）• カイラルトロニクスの可能性