Hayata, Hidaka, MH, Noumi , to be published in PRD [ arXiv: 1503.04535 ]異常輸送現象を含む非散逸性流体力学の幾何学的定式化
本郷優

東京大学理学系研究科 物理学専攻
共同研究者：日高 義将

2015 9/2

京都大学

熱場の量子論とその応用

Outline
Motivation:
異常輸送現象と非散逸流体？

Approach:
場の量子論 for 局所ギブス分布（熱的多脚場・対称性の活用）

Result:
異常輸送現象の導出

流体力学による時間発展の記述•

系の詳細によらない，ユニバーサルな記述を行う•

マクロなダイナミクスを記述する有効理論•

保存量のみに注目 〜 系の対称性のみに注目

クォーク・グルーオン プラズマ10 12 cm

T1210

流体力学 { (x), v(x)}'K

http://www.bnl.gov/rhic/news2/news.asp?a=1403&t=pr

中性子星 ( マグネター )

10 km

'

1210kg/cc

http://newsoﬃce.mjitugenn.edu/2012/model-bursting-star-0302

対称性の破れと流体力学

・自発的な対称性の破れ
ミクロな現れ：真空の選択

マクロな現れ：超流動

https://en.wikipedia.org/wiki/Superfluidity#/
media/File:Liquid̲helium̲Rollin̲film.jpg

・量子異常による対称性の破れ
ミクロな現れ：π0崩壊
0

マクロな現れ：カイラル異常輸送SµR 6= µLj
( Adller 1969, Bell-Jackiw 1969 )NB( Erdmenger et al. 2008, Son-Surowka 2009 )異常輸送現象：パリティを破る応答◆ カイラル磁気効果 (CME)

eµ5j=
B22
◆ カイラル渦効果 (CVE)µµ5j=22( Fukushima et al.2008, Vilenkin 1980 )SµR 6= µLjNB( Erdmenger et al. 2008, Son-Surowka 2009 )jµR 6= µL

非散逸流体力学 = 局所熱平衡系

その時刻の局所温度・局所速度場…のみによって定まる分布！

Outline
Motivation:
異常輸送現象と非散逸流体？

Approach:
場の量子論 for 局所ギブス分布（熱的多脚場・対称性の活用）

Result:
異常輸送現象の導出?

µ5 = 0S

jB

N

局所熱平衡系の記述法
熱力学 ( 大局熱平衡 )T = const.

ギブス分布:

ˆG = eĤ[ ],[ ]log Tre

ĤLocalize

局所熱力学 ( 局所熱平衡 )Thigh

局所ギブス分布(LG):T = T (x)Tlow

ˆLG = eK̂K̂ =3d x[µµ(x), (x)]0(x)T̂ µ (x) +0ˆ
(x)J (x)超曲面上の熱力学ポテンシャルtµgµ̄¯ =N020(x) で特徴付けられる分布īj̄t̄t̄(x) = const.

x
Massieu-Planck functional[t̄; ]

log Tr exp= log Tr exp

dt̄

d3 x̄

µ(x)T̂ µ (x) + (x)Jˆ (x)gµ̄(x̄)T̂ 0̄µ̄ (x̄) + (x̄)Jˆ0̄ (x̄)
9

フェルミオン系のEMテンソル問題
L=⇣1¯µ̄ ⌫ !
e⌫
D µ̄
2D µ̄

⌫µ̄e⌫

⌘m¯

正準エネルギー・運動量テンソルµ̄⇥ ⌫¯ =µ̄⌫¯L

1 ¯ µ̄ !
( D ⌫¯2D ⌫¯µ̄D ⌫¯µ̄)対称エネルギー・運動量テンソルµ̄T ⌫¯ =µ̄⌫¯L1 ¯ µ̄ !
( D ⌫¯ +4!µ̄⌫¯DDµ̄⌫¯)

局所ギブス分布で採用するのはどちらにするべきか？

対称エネルギー・運動量テンソル？
対称エネルギー・運動量テンソルµ̄T ⌫¯ =µ̄⌫¯L

1 ¯ µ̄ !
( D ⌫¯ +4!µ̄⌫¯DD ⌫¯µ̄Dµ̄⌫¯)

採用したい理由① 局所ギブス分布 ＝ 独立な保存量のみを肩に乗せよう！
( 対称じゃない場合は，角運動量が独立でなくなる… )② 流体力学に現れるマクロなEMテンソルは対称なはず！
採用したくない理由
経路積分したときに，Actionに戻らなさそう…

EMテンソルの分解と虚時間スピン接続µ̄
注目点：正準エネルギー・運動量テンソル ⇥ ⌫¯ は戻りそう！

( 虚時間の微分はただの偏微分になりそう…？ )Actionに戻る部分と戻らない部分に分けてみる
戻る部分

1 µ̄µ̄µ̄⌫¯T ⌫¯ = (⇥ ⌫¯ + ⇥ µ̄ ) = ⇥ ⌫¯2iµ̄⇢¯µ̄¯= ⇥ ⌫¯ + D⇢¯( { , ⌃⌫¯ }4

戻らない部分1 µ̄(⇥ ⌫¯2⌫¯⇥ µ̄ ))虚時間方向のスピン接続になり，正しくEuclidean Actionに！

熱的多脚場による熱力学関数の記述
経路積分の結果[t̄; ]

log Tr exp

= log

Zdµt̄

(x)T̂ µ (x) + (x)Jˆ (x)D ¯D exp S[ , ¯, ẽ]µ
熱的多脚場： ẽ0̄ = eµµu , ẽī = eī

結果が意味するところ
ds2µ ⌫µ̄⌫¯= ẽµ̄ ẽ⌫¯ gµ⌫ dx dx =(aīeuī ,īj̄µ(e ⌘ (x)/ 0 )2ī 2e (dt̃ + aī dx ) +0īj̄īj̄ dx dxīj̄ + uī uj̄ ,dt̃ =id )という「曲がった時空」上の場の理論として記述

曲がった”時空”の対称性
ds2 =(aī ⌘ee2 (dt̃ + aī dx̄ī )2 +uī ,0īj̄ ⌘ī
j̄
dx̄
dx̄
īj̄

īj̄ + uī uj̄ ,dt̃ ⌘dµ µẽµ̄ ( )

(x)

id⌧ )

x

“時空”の持つ対称性( 1 ) 空間座標の貼り換え：

空間座標を勝手に貼り換えても物理は変わらない！

( 2 ) 虚時間並進 & Kaluza-Klein：(温度などの)パラメータ

は虚時間に依存しない！
分配関数法
Banerjee et al.(2012), Jensen et al.(2012)[µ, ]=D e

S[ ,g̃]はこれらの対称性をrespectする！

“時空”の対称性: Kaluza-Klein対称性
22ds =ī 2e (dt̃ + aī dx̄ ) +µµẽµ̄ ( )[µ] = log(fīj̄Zx
S[ , ¯,ẽ]¯D D eī aj̄

dx̄
dx̄
īj̄

パラメータj̄は虚時間に依存しない！

“Kaluza-Klein” gauge tr.

(x)

dī

j̄ aī )t̄t̄ + (x̄)
x̄x̄aī (x̄)aī (x̄)

ī

(x̄)

īj̄

f fīj̄ , · · ·īaī , aī a , · · ·15

OutlineMotivation:?

µ5 = 0

異常輸送現象と非散逸流体？

SjNBApproach:g̃µ = g̃µ ( , v)

場の量子論 for 局所ギブス分布（熱的多脚場・対称性の活用）
曲がった”時空”中のQFT :
2ds =

2

[µ] = logīZe (dt̃ + aī )dx +Result:
異常輸送現象の導出d(x)D ¯D eS[ , ¯,ẽ]0īj̄īj̄ dx dxx非散逸流体の有効理論のレシピ[µ] = log

Z

D ¯D eS[ , ¯,ẽ]=(0)[µ]+(1)[µ, @]- Building blocks: {e , aī , µ, Aī }- 対称性：Spatial diffeo，Kaluza-Klein，ゲージ対称性- Power Counting：外場(O(p0 ) :1O(p ) :)は弱く，微分は高次とする

異常輸送係数の導出① Wess-Zuminoの無矛盾性条件を使う
Jensen et al.(2012)

4次元のアノマリーの係数 ← 6次元のアノマリー② 外場中の熱力学関数を評価する

Fukushima et al.(2008)
Landsteiner et al.(2011)

4次元のアノマリーの係数 ← 6次元のアノマリー

(1)ψ の計算：Weyl fermion† µ

L=µ(p) =Vilenkin (1978,1980)
Fukushima, Kharzeev, Warringa (2008)

Dµ3dd xe0

ip·xµT J ( , x)J (0, 0) =˜ktr(id k3= ( 1)Tniµ0(2 )3i ˜p)i µ ( i ˜k)i(k̃ + p)2 k̃ 2µLp8 2(1)EM =µL ijkAAijk
28Chiral Magnetic Eﬀect(1)EM =µL ijk
AAijk
28µL ijkµL
J ==A=
Bjk
i
22Ai
44i

µ5 = 0
SNj

BまとめMotivation:?

µ5 = 0

異常輸送現象と非散逸流体？

Sj

N

B

Approach:g̃µ = g̃µ ( , v)

場の量子論 for 局所ギブス分布（熱的多脚場・対称性の活用）
曲がった”時空”中のQFT :2ds =2[µ] = logīZe (dt̃ + aī )dx +d(x)D ¯D eS[ , ¯,ẽ]0ī
j̄īj̄ dx dx

Result:
異常輸送現象の導出(1)

eµ5
j = 2B2xBackup流体力学と曲がった”時空”の幾何学
熱力学

有限温度の場の量子論 = 松原形式

0( Matsubara, 1955 )半径

T = const.

d

経路積分

0 の

平らな”時空”上0の場の理論

x
局所熱平衡系の場の量子論

流体力学 { (x), v(x)}[ Hayata-Hidaka-MH-Noumi ’15 ]計量 g̃µ = g̃µ ( , v)
経路積分dで記述される(x)曲がった”時空”上xの場の理論

異常輸送現象が生じうる物理系
クォーク・グルーオン プラズママグネター ( 強磁場中性子星 )スケール Tで
yx

衝突
非関与部z

強磁場

強磁場
強磁場B

B

QGP

低温のQCDプラズマ?

http://www.bnl.gov/rhic/news2/news.asp?a=1403&t=pr

http://newsoﬃce.mjitugenn.edu/2012/model-bursting-star-0302

衝突
非関与部

e|B|

14

10

QEDプラズマ

8T

強い磁場とカイラリティの不釣り合い
異常輸送現象の生じる絶好の系！

141010Tµ5 = 0S

NjB

しかし，理論的に大きな課題が残されており，未解決！