通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

ステップ１

問題文を公式通りにまとめる

１ 長さがそれぞれ 210m、180m、140m であるＡ、Ｂ、Ｃ３つの列車があります。Ｃに追いついてから追いぬくまでに、Ａは 14 秒、Ｂは 16 秒かかります。このとき、ＡがＢに追いついてから追いぬくまでには何秒かかりますか。

1通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

２ 秒速 20m の貨物列車と、秒速 40m の急行列車があります。ある橋をわたりはじめてからわたり終わるまでに貨物列車は 25 秒、急行列車は 10秒かかります。また、貨物列車と急行列車がすれちがうには５秒かかります。貨物列車の長さは何 m ですか。

2

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

ステップ２

逆比の利用

３ 長さ 360m の列車が、鉄橋をわたりはじめからわたりおわるまでに 45秒かかります。列車の秒速を５m 速くすると、かかる時間は９秒短くなります。鉄橋の長さは何 m ですか。

3

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

４ 同じ長さの電車Ａ、Ｂがあり、これらがすれ違うには 10 秒、ＡがＢを追いこすには 110 秒かかります。このとき、電車Ｂが電柱の前を通り過ぎるのに何秒かかりますか。

4通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

５ 同じ長さの電車Ａ、Ｂがあり、これらがすれ違うには 10 秒、ＡがＢを追いこすには 50 秒かかります。このとき、電車Ｂがふみ切りの前を通り過ぎるのに何秒かかりますか。

5通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

ステップ３

逆比の利用＋比合わせ

６ ２つの列車Ａ、Ｂがあります。ＡがＢを追いこすには 70 秒かかり、も1
しもＡが速さを4だけ増すとＢを追いこすのにかかる時間は 35 秒になります。ＡがＢとすれ違うには何秒かかりますか。

6

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

７ ２つの列車Ａ、Ｂがあります。ＡがＢを追いこすには 60 秒かかり、も1
しもＡが速さを5だけ増すとＢを追いこすのにかかる時間は 40 秒になります。また、Ａは電柱の前を通過するのに９秒かかります。このとき、Ｂは電柱の前を通過するのに何秒かかりますか。

7

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

８ 同じ長さの電車Ａ、Ｂがあり、これらがすれ違うには 10 秒、ＡがＢを追いこすには 90 秒かかります。また、Ａが速さを秒速 20m 増すと、電柱の前を通り過ぎるのにかかる時間が４秒短くなるといいます。
⑴

電車Ａがはじめの速さで電柱の前を通り過ぎるのに何秒かかりますか。

⑵

電車の長さと、Ａ、Ｂの速さを求めなさい。

8

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

９ 同じ長さの電車Ａ、Ｂがあり、これらがすれ違うには 15 秒、ＡがＢを追いこすには 60 秒かかります。また、Ａは速さを秒速４m 増すと、電柱の前を通り過ぎるのにかかる時間が２秒短くなるといいます。このとき、電車の長さと、Ａ、Ｂの速さを求めなさい。

9

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

ステップ４

逆比が使えない問題 - ①解法

10 ある列車が長さ 840m のトンネルに入りはじめてから完全に出終わるまでにかかる時間は 40 秒です、この列車が速さを 1.5 倍にしたとき、長さ 215m の鉄橋をわたるのに 10 秒かかりました。この列車の長さは何 m ですか。

10

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

11 長さ 180ｍの列車Ａが、鉄橋をわたり始めてからわたり終えるまでに50 秒かかります。長さ 260ｍの列車Ｂは、速さが列車Ａの半分で同じ鉄橋をわたり始めてからわたり終えるまでに 110 秒かかります。鉄橋の長さは何ｍですか。

11

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

12 ある列車Ａが長さ 1000m のトンネルに完全にかくれている時間は 51秒でした。また、この列車Ａが、Ａの２倍の速さ、２倍の長さの列車Ｂとすれ違うのに９秒かかりました。このとき、列車Ａの長さを求めなさい。

12

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

13 列車Ａと、それよりも 20ｍ長い列車Ｂが、それぞれ 200ｍの鉄橋を渡ります。列車Ａは鉄橋をわたりはじめてからわたり終えるまで 20 秒かかりました。列車Ｂは列車Ａよりも速さを秒速５ｍ上げて走ったので、わたり終えるのに 16 秒かかりました。列車Ｂの長さと秒速を求めなさい。

13

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

14 ある列車が長さ 420m のトンネルに完全に入り終わってから先頭がではじめるまでにかかる時間は 12 秒で、この列車が速さを 1.5 倍より秒速５m はやくしたとき、長さ 660m の鉄橋をわたるのに 24 秒かかりました。このとき、この列車の長さは何 m ですか。

14

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題☆

15 長さ 100ｍの電車Ａは、トンネルＰに入ってからぬけるのに 50 秒かかります。長さ 80ｍの電車Ｂは、トンネルＱに入ってからぬけるのに74 秒かかります。トンネルＱの長さはトンネルＰの長さの２倍で、電車Ａの速さは電車Ｂの速さの 0.5 倍より毎秒６ｍ速いです。
⑴

電車Ａの速さは時速何 km ですか。

⑵

トンネルＰの長さは何ｍですか。

15通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

■

解答

■

１ 78 秒
２ 200ｍ
３ 540ｍ
４ 11 秒
５ 12.5 秒
６ 10 秒
７ 25 秒
８ ⑴
⑵

９秒
225ｍ
Ａ：秒速 25ｍ

９ 240ｍ

Ｂ：秒速 20ｍ

Ａ：秒速 20ｍ

Ｂ：秒速 12ｍ

10 160ｍ
11 620ｍ
12 150ｍ
13 120ｍ

秒速 20ｍ14 180ｍ
15 ⑴時速 57.6km ⑵

700ｍ

16

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

■

解説

■

１ Ａ、Ｂ、Ｃの秒速をＡm/秒、Ｂm/秒、Ｃm/秒とすると、問題文より、(210＋140)÷(Ａ−Ｃ)＝14(秒)(180＋140)÷(Ｂ−Ｃ)＝16(秒)↓Ａ−Ｃ＝(210＋140)÷14＝25(m/秒)
Ｂ−Ｃ＝(180＋140)÷16＝20(m/秒)↓

Ａ−Ｂ＝25−20＝５(m/秒)
よって、ＡがＢを追い抜くのは、(210＋180)÷５＝78(秒)２ 貨物列車、急行列車、鉄橋の長さをそれぞれ貨、急、□とすると、問題文より、(貨＋□)÷20＝25(秒)(急＋□)÷40＝10(秒)(貨＋急)÷(20＋40)＝５(秒)↓貨＋□＝25×20＝500(ｍ)急＋□＝10×40＝400(ｍ)貨＋急＝５×(20＋40)＝300(ｍ)↓貨−急＝500−400＝100(ｍ)貨＝(300＋100)÷２＝200(ｍ)17通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

３ 鉄橋の長さを□ｍ、列車の速さを△m/秒とすると、問題文より、(360＋□)÷△＝45(秒)④(360＋□)÷(△＋５)＝36(秒)⑤

45：36＝５：４より、波線部分が４：５になる。

↓

△＝④
△＋５＝⑤
↓

①＝５m/秒④＝20m/秒
よって、１本目の式より、
360＋□＝45×20＝900(ｍ)□＝900−360＝540(ｍ)４ 電車Ａ、Ｂの長さを□ｍ、秒速をＡm/秒、Ｂm/秒とすると、問題文より、(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)⑪(□＋□)÷(Ａ−Ｂ)＝110(秒)①

10：110＝１：11 より、波線部分が 11：１になる。

↓⑥ ⑤(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)⑪

和差算
Ａ＝(⑪＋①)÷２＝⑥
Ｂ＝⑥−①＝⑤↓55 55⑥ ⑤(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)110⑪⑪×10＝ 110110 ÷２＝ 55

よって、電車Ｂが電柱の前を通り過ぎるのは、□÷Ｂ＝ 55 ÷⑤＝11(秒)18通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

５ 電車Ａ、Ｂの長さを□ｍ、秒速をＡm/秒、Ｂm/秒とすると、問題文より、(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)⑤(□＋□)÷(Ａ−Ｂ)＝50(秒)①

10：50＝１：５より、波線部分が５：１になる。

↓③ ②(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)⑤和差算
Ａ＝(⑤＋①)÷２＝③
Ｂ＝③−①＝②↓25 25⑥ ⑤(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)50⑤⑤×10＝ 5050 ÷２＝ 25

よって、電車Ｂが電柱の前を通り過ぎるのは、□÷Ｂ＝ 25 ÷②＝12.5(秒)

６ はじめのＡの速さを④m/秒とすると、(Ａ長＋Ｂ長)÷(④−Ｂ速)＝70(秒)□1(Ａ長＋Ｂ長)÷(⑤−Ｂ速)＝35(秒)□2

70：35＝２：１より、波線部分が１：２になる。

↓(Ａ長＋Ｂ長)÷(④−Ｂ速)＝70(秒)□1 ①(Ａ長＋Ｂ長)÷(⑤−Ｂ速)＝35(秒)□2 ②④−Ｂ速＝□
1⑤−Ｂ速＝□
2①＝□
1↓③(Ａ長＋Ｂ長)÷(④−Ｂ速)＝70(秒)
70
□
1 ①

④−①＝③･･･Ｂ速①×70＝ 70 ･･･Ａ長＋Ｂ長

よって、ＡとＢがすれ違うのは、
70 ÷(④＋③)＝10(秒)19通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

７ はじめのＡの速さを⑤m/秒とすると、(Ａ長＋Ｂ長)÷(⑤−Ｂ速)＝60(秒)□2(Ａ長＋Ｂ長)÷(⑥−Ｂ速)＝40(秒)□3Ａ長÷⑤＝９(秒)↓60：40＝３：２より、波線部分が２：３になる。

(Ａ長＋Ｂ長)÷(⑤−Ｂ速)＝60(秒)□
2 ②(Ａ長＋Ｂ長)÷(⑥−Ｂ速)＝40(秒)□3 ③Ａ長÷⑤＝９(秒)⑤−Ｂ速＝□
2⑥−Ｂ速＝□
3
①＝□
1

↓

75
45
③(Ａ長＋Ｂ長)÷(⑤−Ｂ速)＝60(秒)120□
2 ②Ａ長÷⑤＝９(秒)45⑤−②＝③･･･Ｂ速②×60＝ 120 ･･･Ａ長＋Ｂ長⑤×９＝ 45 ･･･Ａ長120 − 45 ＝ 75 ･･･Ｂ長

よって、Ｂが電柱の前を通過するのにかかる時間は、
75 ÷③＝25(秒)20

通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

８ ⑴Ａ、Ｂの長さを□ｍ、Ａ、Ｂの速さをＡm/秒、Ｂm/秒とすると、すれ違いに 10 秒、追い越しに 90 秒かかるから、(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)⑨(□＋□)÷(Ａ−Ｂ)＝90(秒)①↓

10：90＝１：９より、波線部分が９：１になる。

45 45⑤ ④(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝10(秒)90⑨(□＋□)÷(Ａ−Ｂ)＝90(秒)①

和差算
Ａ＝(⑨＋①)÷２＝⑤
Ｂ＝⑤−①＝④⑨×10＝ 90□＝ 90 ÷２＝ 45

よって、Ａが電柱の前を通過するのにかかる時間は、
45 ÷⑤＝９(秒)⑵

Ａが速さを秒速 20m 増すと、電柱の前を通り過ぎるのにかかる時間が４秒短くなるから、9−４＝５(秒)より、
45 ÷(⑤＋20)＝５(秒)↓④
45 ÷(⑤＋20)＝５(秒)⑨45 ÷５＝⑨
⑨−⑤＝④

よって、
④＝20
①＝５
45 ＝225ｍ･･･ＡとＢの電車の長さ⑤＝25m/秒･･･Ａの速さ④＝20m/秒･･･Ｂの速さ

21通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

９・Ａ、Ｂの長さを□ｍ、Ａ、Ｂの速さをＡm/秒、Ｂm/秒とすると、すれ違いに 15 秒、追い越しに 60 秒かかるから、15：60＝１：４より、波線部分が４：１になる。

(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝15(秒)④(□＋□)÷(Ａ−Ｂ)＝60(秒)①↓30 30 2.5 1.5(□＋□)÷(Ａ＋Ｂ)＝15(秒)60④(□＋□)÷(Ａ−Ｂ)＝60(秒)①Ａ＝(④＋①)÷２＝ 2.5
Ｂ＝ 2.5 −①＝ 1.5④×15＝ 60□＝ 60 ÷２＝ 30

よって、Ａが電柱の前を通過するのにかかる時間は、
30 ÷ 2.5 ＝12(秒)・Ａが速さを秒速４m 増すと、電柱の前を通り過ぎるのにかかる時間が２秒短くなる
から、12−2＝10(秒)より、
30 ÷( 2.5 ＋４)＝10(秒)↓0.530 ÷( 2.5 ＋４)＝10(秒)③30 ÷10＝③③− 2.5 ＝ 0.5

よって、
0.5 ＝４①＝８30 ＝240ｍ･･･ＡとＢの電車の長さ
2.5 ＝20m/秒･･･Ａの速さ
1.5 ＝12m/秒･･･Ｂの速さ

22通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

10

列車の長さを□ｍ、速さを②m/秒とす

12 長さと速さを次のようにまとめる

ると、問題文より、

長さ
速さ
Ａ
□ｍ
①m/秒
Ｂ □×２ｍ ②m/秒(□＋840)÷②＝40(秒)(□＋215)÷③＝10(秒)問題文より、↓□＋840＝ 80□＋215＝ 30
625＝ 50
12.5＝①

注!

(1000−□)÷①＝51(秒)(□＋□×２)÷(①＋②)＝９(秒)↓

よって、
80 ＝1000(ｍ)□＝1000−840＝160(ｍ)1000−□＝ 51□＋□×２＝ 27↓□×３＝ 27□＝⑨↓
1000−⑨＝ 51
60 ＝100050①＝ 350⑨＝ 3 ×９＝150(ｍ)11 長さと速さを次のようにまとめる
長さ
速さ
Ａ 180ｍ ②m/秒
Ｂ 260ｍ ①m/秒
問題文より、(□＋180)÷②＝50(秒)(□＋260)÷①＝110(秒)↓□＋180＝100□＋260＝110
80＝⑩８＝①
よって、
100＝800(ｍ)□＝800−180＝620(ｍ)23通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

13 長さと速さを次のようにまとめる
長さ
□ｍ
□＋20ｍ
問題文より、
ＡＢ

14 長さと速さを次のようにまとめる

速さ①m/秒①＋５m/秒

はじめ
あと

長さ
□ｍ
□ｍｍ

速さ②m/秒③＋５m/秒問題文より、
注!

(□＋200)÷①＝20(秒)(□＋20＋200)÷(①＋５)＝16(秒)(420−□)÷②＝12(秒)(660＋□)÷(③＋５)＝24(秒)

１本目の式より、１本目の式より□＋200＝⑳

420−□＝ 24

２本目の式より、２本目の式より□＋20＋200＝(①＋５)×16□＋220＝⑯＋80□＋140＝⑯

660＋□＝(③＋５)×24
660＋□＝ 72 ＋120
540＋□＝ 72

よって、

よって、

□＋200＝⑳□＋140＝⑯60＝④
15＝①420−□＝ 24
540＋□＝ 72
960
＝ 96
10＝①

よって、

和

よって、

15＋５＝20(m/秒)･･･Ｂの秒速⑳＝300(ｍ)□＝300−200＝100(ｍ)100＋20＝120(ｍ)･･･Ｂの長さ

24 ＝240(ｍ)□＝420−240＝180(ｍ)24通過算⑶ - 異なる速さで比較する問題

15 長さと速さを次のようにまとめる
長さ速さＡ100ｍ①＋６m/秒Ｂ80ｍ②m/秒トンネルＰ□ｍ
トンネルＱ □×２ｍ

問題文より、（□＋100)÷(①＋６)＝50(秒)(□×２＋80)÷②＝74(秒)
１本目の式より、□＋100＝(①＋６)×50□＋100＝ 50 ＋300□＝ 50 ＋200
２本目の式より、□×２＋80＝ 148□×２＝ 148 −80□＝ 74 −40
よって、□＝ 50 ＋200□＝ 74 −40
24 ＝ 240①＝10⑴Ａの速さは、
10＋６＝16(m/秒)･･･秒速
16×3.6＝57.6(㎞/時)⑵

50 ＝500(ｍ)□＝500＋200＝700(ｍ)25