数理解析研究所講究録
第 1811 巻 2012 年 13-22

13

拡大グライス代数と松尾-ノートンの跡公式

On extended Griess algebras and Matsuo-Norton trace
formulae
山内博*
東京女子大学現代教養学部

1

序文
本稿では頂点作用素代数と位数 2 の自己同型を考え、 これが次数分解に関するある仮定を満たすとき、 通常のグライス代数の$\mathbb{Z}_{2}$-拡大として拡大グライス代数を導入します。

ここでいう拡大グライス代数は超可換ではなく、 通常の意味の可換な代数になります。 そして、 共形デザイン構造にもとついて松尾- ノートンの跡公式を拡大グライス代数の奇部分へと拡張します。 この話は 2009 年 1 月に数理研で行われた研究集会での講演の続きといいますか、 その時やりかけだった話を完成させたものになります。 今回の講演では得られた公式の応用についても紹介しましたが、 本稿では紙面の都合上、 応用部分は省略します。 この応用部分はすでに 2009 年の段階でも講演していますので、 興味をお持ち頂けた場合はその時の報告集 Y09 をご覧いただければと思います註 1。また、 結果の詳細は論
$[$

文

$[$

$]$

Y12 にまとめました。 こちらも合わせてご覧いただければと思います。

謝辞

$]$

松尾厚氏とは跡公式に関する議論を行い、 氏の結果について多くを学ばせてもらいました。 また、 マセマティカのプログラムも送って頂きました。 宮本雅彦氏には超代数構

造だけではなく、 任意の位数 2 の自己同型でも拡大グライス代数が定義できると指摘され、 実際そのように一般化することができました。 お二人に感謝いたします。

2

頂点作用素超代数の拡大グライス代数
本稿では次の条件を満足する頂点作用素超代数 $V$ を考えます。
$*$

本研究は科研費若手 (スタートアップ) 19840025 および若手 (B) 21740011 の助成を受けたものである。

註 1 ただ、 [Y09] には (著者の勘違いによる) いくっかの誤りがあります。 誤りの部分は本稿でもう一度とりあげ、 修正しています。

14
条件 1. $V=V^{0}\oplus V^{1}$ を頂点作用素超代数、 $g\in$ Aut(V) を位数 2 の自己同型とし、$V^{\pm}:=\{a\in V|ga=\pm a\}$とおくとき、 次が成り立つ。

(1) $V$ は自己双対的である。

(2)

$V$

(3)

$V^{\pm}$

は $V^{0}=\oplus_{n\geq 0}V_{n},$ $V^{1}=\oplus_{n\geq 0}V_{n+k/2}$ なる $L(0)$ -分解を持つ。 ( $V^{1}=0$ もあり得る。 )は $V^{+}=V0\oplus V_{2}\oplus(\oplus_{n>2}V_{n}),$ $V^{-}=V_{h}\oplus(\oplus_{n>h}V_{h})$ なる分解を持つ。 ここで砺 $\neq 0$

は $V^{-}$ のトップレベルであり、$h \in\frac{1}{2}\mathbb{Z}$

以下、 $V^{0,+}=V^{0}\cap V^{+}$ とします。
イト

$h$

を

$V^{-}$

はそのトップウェイトである。

$V_{h}\subset V^{-}$

は $V^{-}$ のトップレベルと呼ばれ、 そのウェのトップウエイトといいます。 条件から

$V_{h}\subset V^{0}$ならば$h\in \mathbb{Z},$$V_{h}\subset V^{1}$

ならば $h\in \mathbb{Z}+1/2$ であり、 巧は $V^{0,+}$ のグライス代数になります。

2.1

頂点作用素超代数上の不変内積

準備として不変内積の概念を頂点作用素超代数まで拡張します。頂点作用素超代数 $V=$
$V^{0}\oplus V^{1}$

上の内積$(\cdot|\cdot)_{\pm}$が任意の $a,$ $u,$ $v\in V$ に対して以下の条件を満たすとき、 不変

内積と呼ばれます。
$(Y(a, z)u|v)_{\pm}=(u|Y_{\pm}^{*}(a, z)v)_{\pm},$$Y_{\pm}^{*}(a, z) :=Y(e^{zL(1)}z^{-2L(0)}(-1)^{L(0)\pm 2L(0)^{2}}a, z^{-1})$頂点作用素超代数の場合、 その$(\cdot|\cdot)_{+}$と$(\cdot|\cdot)_{-}$

は互いの$\mathbb{Z}_{2}$$\mathbb{Z}_{2}$-次数性により奇部分の内積は$\pm 1$.

(2.1)

倍する自由度があり、-共役になります。 条件 1 より $L(O)$ -斉次な $a\in V$ について $(-1)^{L(0)\pm 2L(0)^{2}}a=\pm a$ となることに注意します。 特に $Y_{\pm}^{**}(a, z)=Y_{\pm}(a, z)$ が成り立ちます。 頂点作用素代数の場合と同様に、 次が成り立ちます。
命題 2.1. ([FHL93, Li94]) 頂点作用素超代数 $V$ 上の不変内積のなす空間は線形空間として $Hom_{\mathbb{C}}(V_{0}/L(1)V_{1}, \mathbb{C})$と$\mathbb{Z}$と同型である。 特に条件 1 のもとでは $V$ 上の不変内積は定数倍

2-共役を除いて一意的に定まる。

注釈 2.2. [Li94] では頂点作用素代数の場合のみ扱われていますが、 全く同じ議論で頂点作用素超代数の場合もカバーできます。 なお、 この結果から特に単純な頂点作用素超代数$V=V^{0}\oplus V^{1}$

上の不変内積の空間はその偶部分も分かります。 すなわち、偶部分$V^{0}$$V^{0}$

上の不変内積の空間と一致することが不変内積を持てば、 それは $V$ へと (士の選択を除いて) 一意に拡張することができます。

15
2.2

拡大グライス代数$V=V^{0}\oplus V^{1}=V^{+}\oplus V^{-}$

を条件 1 を満たす頂点作用素超代数とします。

$V_{h}\subset V^{1}$のとき、 随伴作用素を以下のように選んで不変内積の符号を決めます註 2。

$Y^{*}(a, z)=\{\begin{array}{l}Y(e^{zL(1)}z^{-2L(0)}(-1)^{L(0)-2L(0)^{2}}a, z^{-1}) (h\equiv 1/2 mod 2 のとき )Y(e^{zL(1)}z^{-2L(0)}(-1)^{L(0)+2L(0)^{2}}a, z^{-1}) (h\equiv 3/2 mod 2 のとき )\end{array}$

これは$Y^{*}(a, z)= \sum_{n\in \mathbb{Z}}a_{(n)}^{*}z^{-n-1}$と展開したとき次を満たします。

$a_{(n)}^{*}= \epsilon_{h}(-1)^{wt(a)-h}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}(L(1)^{i}a)_{(2wt(a)-n-2-i)}$

ここで符号$\epsilon_{h}\in\{\pm 1\}$

(2.2)

,

(2.3)

は次で定めます。

(2.4)$\epsilon_{h}=\{\begin{array}{ll}(-1)^{h} (h\in \mathbb{Z} のとき )1 (h\in \mathbb{Z}+1/2 のとき )\end{array}$

特に、 $u,$ $v\in$ 琉ならば $(u|v)1=\epsilon_{h}u_{(2h-1)^{V}}$ が成り立ちます。
$a,$ $b\in V_{2},$ $u,$ $v$

欧琉として部分空間巧$\oplus$

琉に積及び内積を以下のように定義します註 3。

$ab:=a_{(1)}b, au:=a_{(1)}u, ua:=u_{(1)}a, uv:=u_{(2h-3)}v,$$(a|b)I=a_{(3)}b, (u|v)I=u_{(2h-1)}v, (a|u)=(u|a)=0.$
命題 2.3. 上記の (2.5) で定めた積及び内積は$V_{2}\oplus V_{h}$(2.5)

上に単位元を持つ不変内積付き可換

代数構造を定める。 ここで内積の不変性は $u\in V_{h}$ のとき $(xu|y)=\epsilon_{h}(x|uy)$ と修正する。
$V$

の偶部分

$V^{+}$

代数になり、 通常$\mathbb{Z}$を考えた場合、 その次数 2 の空間$V^{+}$$V_{2}$

は命題 2.3 で定まる代数の部分のグライス代数と呼ばれます。 命題 2.3 はグライス代数の定義を

2-次数付き頂点作用素超代数へ一般化したものと考えられます。

$V_{2}^{+}\oplus V_{h}^{-}$

は通常のグライス代数玲の拡大をなしているので、 これを頂点作用素超代数 $V$ の拡大グライス代数と呼ぶことにします。

2.3

巾等元の平方根拡大グライス代数における巾等元とその平方根を考えます。 まず、 通常のグライス代数の場合には次の結果が知られています。
註 2 すなわち $h\equiv 1/2$ mod2 のとき註 3 この内積は上記の規格化のもとで$(\cdot|\cdot)_{-}$$V$を、 $h\equiv 3/2$ mod2 のとき上の不変内積を$V_{2}^{+}\oplus V_{h}^{-}$

を使います。
に制限したものです。
$(\cdot|\cdot)_{+}$

16
補題 2.4. ([Mi96, La99]) 頂点作用素代数 $V$ において $e\in V_{2}$ が中心電荷$c$のヴイラソロ

元であることは $e_{(1)}e=e,$ $2e_{(3)}e=c$ ] を満たすことと同値である。
$\lfloor$

この命題より 巧 $=0$ なる頂点作用素代数 $V$ において $e\in V_{2}$ がヴイラソロ元である
ことと $e/2$ がグライス代数$V_{2}$

において巾等元であることは同値になります。 そのためグライス代数において巾等元を調べることは重要になります。 拡大グライス代数では奇部分において巾等元の平方根を考えることができます。 $V=V^{0}\oplus V^{1}$ を頂点作用素超代数、$\theta=(-1)^{2L(0)}$す。

$V_{2}\oplus$

をその$\mathbb{Z}_{2}$-共役写像とし、 以下では $V$ と$\theta$が条件 1 を満たすものとしま琉をその拡大グライス代数、 $a\in V_{2}$ を巾等元とし、 $x\in$ 琉が拡大グライス代数において $xx=a$ を満たしたとします。 このとき

$x$の生成する $V$ における部分代数の構造は $h<3$ のときは [Y09, Y12] において議論されており、 いくつかの仮定のもとでほぼ決定できることが分かっています。 ここでは結果だけをまとめておきます。
命題 2.5. 頂点作用素超代数 $V=V^{0}\oplus V^{1}$ および $\theta=(-1)^{2L(0)}$ は条件 1 を満たすものとする。
$a\in V_{2}$$h$を$V^{1}$のトップウェイトとし、 拡大グライス代数$V_{2}\oplus V_{h}\subset V^{0}\oplus V^{1}$

においては巾等元、 $x\in V_{h}$ はその平方根、 すなわち $xx=a$ を満たしたとする。 このとき次が成り立つ。

(1) $h=1/2$ のとき$\langle x\rangle\simeq L(^{1}/2,0)\oplus L(^{1}/2^{1}/2)$(2) $h=3/2$ のときヴイラソロ元 $2a$ が$\langle x\rangle$となる。

の共形ベクトノレであるならば、$\langle x\rangle$

は $N=1$$c=8(a|a)$ ヴイラソロ頂点作用素超代数と同型になる。

(3) $([Za85])h=5/2$ のときヴイラソロ元 $2a$ がに対し$x_{(n)^{X}}\in\langle a\rangle$が成り立つならば$(ここで L(c, h)$ は中心電荷3$c$$\langle x\rangle$の共形ベクトルであり、 さらに $n\geq 0$

ま $L(-13/14,0)\oplus L(-13/14^{5}/2)$$\langle x\rangle\}$, 最高ウェイト

$h$を単純商に持つ。

の既約最高ウェイトヴイラソロ加群を表す。)

拡大グライス代数上の跡公式$V$を頂点作用素超代数、$\omega\in V_{2}$をその共形ベクトルとします。 以下では次の条件を満たす頂点作用素超代数を考察します。

条件 2. 頂点作用素超代数 $V$ は設定 1 を満たしており、 さらに以下を満たす。

(1)

$V$

上の不変内積は非退化である。

(2)

$V$

上の不変内積を

(3)

$V$

は

$n \in\frac{1}{2}\mathbb{Z}$$\langle\omega$ $\rangle$$\langle\omega\rangle$に制限したものも非退化である。

-カ 群として最高ウェイト加群の直和である。
$I$に対し $V$ の最高ウェイト $m$ の最高ウェイト

すれば、 上記の設定の下で $V$ は Vir$(\omega)$$\langle\omega\rangle$-部分加群全体の和を $V[n]$ と-加群として次のように分解します。

$V= \bigoplus_{n\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}}V[n]$

(3.1)

17
ここで設定 1 よりであり、$V[0]=\langle\omega\rangle$$\langle\omega\rangle$-加群として次の完全列がとれます。

$0 arrow\bigoplus_{n>0}V(n)arrow Varrow^{\pi}V[0]=\langle\omega\ranglearrow 0$

3.1

.

(3.2)

共形デザインと一般カシミール元$V$を条件 2 を満たす頂点作用素超代数、て、 共形デザインと$V$:$Varrow V[O]=\langle\omega\rangle$

を (3.1) にある射影とし級の概念を導入します。

$S^{n}$

定義 3.1. (1) ([H08])$\pi$-加群 $M$ の $L(O)$ -斉次部分空間 $X$ が $V$ 上の共形かデザインをなすとは、 任意の $a\in V$ について trxo $(a)=tr_{X}o(\pi(a))$ が成り立っことと定める。

(2) $([MaO1])V$ がならば$V_{m}^{G}$

欧$\langle\omega\rangle$$\mathcal{S}^{n}$級であるとは、 $G=$ Aut(V) として $G$-不動点部分代数$V^{G}$

が $m\leq n$を満たすことと定める。

共形デザインの定義条件は $[MaO1]$ において跡公式を導出するための条件として考察されています。 共形デザインと$S^{n}$

補題 3.2. $([MaO1, H08])$ $V$ は級の間には次の関係が成り立ちます。

$\mathcal{S}^{n}$級、 $G=$ Aut(V) として $V$ -加群 $M$ が $G$-安定であり、かつ $M$ 上に $G$ の射影表現が存在するならば、 $M$ のすべての $L(O)$ -斉次空間は $V$ 上の共形 n-デザインをなす。

補題 3.3. $m>0$ に対し (3.1) に現れる部分空間 $V[m]$ と$V[O]=\langle\omega\rangle$は不変内積に関して直交する。
拡大グライス代数 $V_{2}\oplus V_{h}\subset V^{+}\oplus V^{-}$ を考えます。
$\{u^{i}|1\leq i\leq\dim V_{h}\}$$V^{-}$のトップレベル$V_{h}$の基底を一つとり、 その双対基底を $\{u_{i}|1\leq i\leq\dim V_{h}\}$ とします。 このとき次で定まるベクトル(3.3)$\kappa_{m}:=\epsilon_{h}\sum_{i=1}^{\dim V_{h}}u_{(2h-1-m)}^{i}u_{i}\in V_{m}$は基底の選び方に依りません。 ここで符号て、$\kappa_{m}$$\epsilon_{h}$は (2.4) で定めたものです。 $[MaO1]$ に従っを ( $m$ 次の) 一般カシミール元と呼ぶことにします。

補題 3.4. $L(O)$ -斉次な $a\in V$ について $tr_{V_{h}}o(a)=(-1)^{wt(a)}(a|\kappa_{wt(a)})$ が成り立っ。

【証明】

跡を考えているので $a\in V^{+}$ , wt

$tr_{V_{h}}o(a)$$(a)\in \mathbb{Z}$としてよい。 以下 $d=\dim V_{h}$ とおく。

$= \sum_{i=1}^{d}(o(a)u^{i}|u_{i})=\sum_{i=1}^{d}(a_{(wt(a)-1)}u^{i}|u_{i})$$= \sum_{i=1}^{d}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^{wt(a)+j}}{j!}(L(-1)^{j}u_{(wt(a)-1+j)}^{i}a|u_{i})$(by skew-symmetry)18$= \sum_{i=1}^{d}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^{wt(a)+j}}{j!}\epsilon_{h}(a|u_{(2h-wt(a)-1+j)}^{i}L(1)^{j}u_{i})$(by invariance)$= \sum_{i=1}^{d}(-1)^{wt(a)}\epsilon_{h}(a|u_{(2h-wt(a)-1)}^{i}u_{i}) (as L(1)V_{h}=0)$$=(-1)^{wt(a)}(a|\kappa_{wt(a)})$.
1

よって、 主張が成り立っ。

命題 3.5. トップレベル琉が $V^{0,+}$ 上の共形かデザインであることはて$\kappa_{m}\in\langle\omega\rangle$

【証明】
$\pi$

以下の $m$ についであることと同値である。

補題 3.4 より $tr_{V_{h}}o(a)=tr_{V_{h}}o(\pi(a))\Leftrightarrow(a|\kappa_{wt(a)})=(\pi(a)|\kappa_{wt(a)})$ である。

は射影だったので$V_{m}$

口 $ker\pi=\{a-\pi(a)|a$ 欧 $V_{m}\}$ が成り立つので、 $(a-\pi(a)|\kappa_{wt(a)})=$$0\Leftrightarrow\kappa_{wt(a)}\in\pi(V)=V[0]=\langle\omega\rangle$

3.2

$n$

1

である。 以上から主張が従う。

跡公式の導出

跡公式の導出にあたり、 次を仮定します。
条件 3. $1\leq t\leq 5$ として琉が $V^{0,+}$ 上の共形 2 かデザインであるとき、 $V$ の中心電荷は次の多項式の零点ではない。
$D_{2}(c)=c, D_{4}(c)=c(5c+22) , D_{6}(c)=(2c-1)(7c+68)D_{4}(c)$ ,$D_{8}(c)=(3c+46)(5c+3)D_{6}(c) , D_{10}(c)=(11c+232)D_{8}(c)$ .

(3.4)

この仮定はヴイラソロ代数上のヴアーマ加群の特異ベクトルの非存在性と関係しています。
補題 3.6. $V$ の中心電荷が (3.4) にある多項式 $D_{n}(c)$ の零点でないとき、 $m\leq n$ ならば$\langle\omega\rangle$の次数 $m$ の部分空間はヴアーマ加群の商 $M(c, 0)/M(c, 1)$ のそれと線形同型である。

補題 3.6 より次を得ます。

補題 3.7. $V$ の中心電荷は $D_{n}(c)$ の零点ではないとする。 $m\leq n$ についてり立つとする。 このとき多項式$A^{(m)}\in \mathbb{Q}[c,$ $d,$ $h|$が一意的に存在して$\kappa_{m}$$\kappa_{m}\in\langle\omega\rangle$

が成は次のように表せる。
$\kappa_{m}=\frac{1}{D_{2\lfloor m/2\rfloor}(c)}\sum_{n_{1}>\cdots>n_{k}>1}A_{[n_{1},\ldots,n_{k}]}^{(m)}L(-n_{1})\cdots L(-n_{k})1,$$n_{1}\overline{+}\cdots\overline{+}n_{k}=m$

ここで

砿は
ます。

$\lfloor m/2\rfloor$$V^{-}$

は $m/2$ を超えない最大の整数を表す。

のトップレベルでしたので、 ゼロモードはズー代数の作用により記述でき19
補題 3.8. $([Zh96])a\in V_{2},$ $b\in V,$ $v\in V_{h}$ のとき次が成り立っ。
$o(a)o(b)v=o(a*b)v, a*b= \sum_{i=0}^{2}(\begin{array}{l}2i\end{array})a_{(i-1)}b$以上の準備のもとで、 跡公式が導出できます。 以下の導出方法は $[MaO1]$ のものです。
補題 3.8 より(3.5)$tr_{V_{h}}o(a^{1})\cdots o(a^{t})=tr_{V_{h}}o(a^{1}*\cdots*a^{t})$が成り立ちます。 補題 3.4 より $L(O)$ -斉次な $a\in V$ についてが成り立ち、 補題 3.7 から$(a|L(-n_{1})\cdots L(-n_{k})I)$$\kappa_{m}$(-1) 頭はヴイラソロ元を用いて書き下せるので、 結局種々の$tr_{V_{h}}o(a)$$a)(a|\kappa_{m})$$=$を書き直せば跡 (3.5) が求まります。 それを実行した結果が次の定理です。
定理 3.9. $V$ と $g\in$ Aut(V) は条件 2, 3 を満たすものとし、 $d=\dim V_{h}$ とおく。

(1) 砿が立つ$V^{0,+}$

上の共形 2-デザインをなすとき、任意の$a^{0}\in V_{2}$について次の等式が成り$\circ$$tr_{V_{h}}o(a^{0})=\frac{2hd}{c}(a^{0}|\omega)$(2) 砿が$V^{0,+}$

上の共形 4-デザインをなすとき、任意の$a^{0},$$a^{1}\in V_{2}$について次の等式が成り立つ。

tr 玲 $o(a^{0})o(a^{1})=\frac{4hd(5h+1)}{c(5c+22)}(a^{0}|\omega)(a^{1}|\omega)+\frac{2hd(22h-c)}{c(5c+22)}(a^{0}|a^{1})$(3)$V_{h}$

が $V^{0,+}$ 上の共形 6-デザインをなすとき、 任意の$a^{0},$$a^{1},$$a^{2}\in V_{2}$について次の等式が成り立つ。
$tr_{V_{h}}o(a^{0})o(a^{1})o(a^{2})$$=D_{6}(c)^{-1}(F_{0}^{(3)}(a^{0}|\omega)(a^{1}|\omega)(a^{2}|\omega)+F_{1}^{(3)}Sym(a^{0}|\omega)(a^{1}|a^{2})+F_{2}^{(3)}(a^{0}|a^{1}|a^{2}))$

ここで $(a^{0}|a^{1}|a^{2})=(a^{0}a^{1}|a^{2})$であり、 Symのすべての和を表し、 $F_{j}^{(3)}(0\leq j\leq 2)$ は(4) 砿が$V^{0,+}$$(a^{0}|\omega)(a^{1}|a^{2})$$\mathbb{Q}[c, d, h]$は互いに異なる$(a^{i_{0}}|\omega)(a^{i_{1}}|a^{i_{2}})$の元である。

上の共形 8-デザインをなすとき、 任意の$a^{0},$$a^{1},$$a^{2},$$a^{3}\in V_{2}$について次の等式が成り立っ。
$tr_{V_{h}}o(a^{0})o(a^{1})o(a^{2})o(a^{3})$$=D_{8}(c)^{-1}(F_{0}^{(4)}(a^{0}|\omega)(a^{1}|\omega)(a^{2}|\omega)(a^{3}|\omega)+F_{1}^{(4)}Sym(a^{0}|\omega)(a^{1}|\omega)(a^{2}|a^{3})$$+F_{2}^{(4)}Sym(a^{0}|\omega)(a^{1}|a^{2}|a^{3})+F_{3}^{(4)}Sym(a^{0}|a^{1})(a^{2}|a^{3})+F_{4}^{(4)}(a^{0}a^{1}|a^{2}a^{3})$$+F_{5}^{(4)}(a^{0}a^{2}|a^{1}a^{3})+F_{6}^{(4)}(a^{0}a^{3}|a^{1}a^{2}))$

20
ここで Sym は $(0,1,2,3)$ の置換で互いに異なる項が得られるものすべての和を表し、$(0\leq i\leq 6)\ovalbox{\tt\small REJECT}$(5)$V_{h}$$F_{j}^{(4)}$ま $\mathbb{Q}[c, d, h]$ の元である。

が $V^{0,+}$ 上の共形 10-デザインをなすとき、 任意の$a^{0},$ $a^{1},$ $a^{2},$$a^{3},$$a^{4}\in$

巧について

次の等式が成り立つ。
$tr_{V_{h}}o(a^{0})o(a^{1})o(a^{2})o(a^{3})o(a^{4})$$=D_{10}(c)^{-1}(F_{0}^{(5)}(a^{0}|\omega)(a^{1}|\omega)(a^{2}|\omega)(a^{3}|\omega)(a^{4}|\omega)+F_{1}^{(5)}$$+F_{2}^{(5)}$Sym$(a^{0}|\omega)(a^{1}|\omega)(a^{2}|a^{3}|a^{4})+F_{3}^{(5)}$

Sym

Sym

$(a^{0}|\omega)(a^{1}|\omega)(a^{2}|\omega)(a^{3}|a^{4})$$(a^{0}|\omega)(a^{1}|a^{2})(a^{3}|a^{4})$$+F_{4}^{(5)}((a^{0}|\omega)(a^{1}a^{2}|a^{3}a^{4})+(a^{1}|\omega)(a^{0}a^{2}|a^{3}a^{4})+(a^{2}|\omega)(a^{0}a^{1}|a^{3}a^{4})$$+(a^{3}|\omega)(a^{0}a^{1}|a^{2}a^{4})+(a^{4}|\omega)(a^{0}a^{1}|a^{2}a^{3}))$$+F_{5}^{(5)}((a^{0}|\omega)(a^{1}a^{3}|a^{2}a^{4})+(a^{1}|\omega)(a^{0}a^{3}|a^{2}a^{4})+(a^{2}|\omega)(a^{0}a^{3}|a^{1}a^{4})$$+(a^{3}|\omega)(a^{0}a^{2}|a^{1}a^{4})+(a^{4}|\omega)(a^{0}a^{2}|a^{1}a^{3}))$$+F_{6}^{(5)}((a^{0}|\omega)(a^{1}a^{4}|a^{2}a^{3})+(a^{1}|\omega)(a^{0}a^{4}|a^{2}a^{3})+(a^{2}|\omega)(a^{0}a^{4}|a^{1}a^{3})$$+(a^{3}|\omega)(a^{0}a^{4}|a^{1}a^{2})+(a^{4}|\omega)(a^{0}a^{3}|a^{1}a^{2}))$$+F_{7}^{(5)}$Sym$(a^{0}|a^{1})(a^{2}|a^{3}|a^{4})+F_{8}^{(5)}(a^{0}a^{1}a^{2}a^{3}a^{4})+ \sum^{*}F_{i_{0}i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(5)}(a^{i_{0}}a^{i_{1}}|a^{i_{2}}|a^{i_{3}}a^{i_{4}}))$

ここで Sym は $(0,1,2,3,4)$の置換で互いに異なる項が得られるものすべての和であり、$(a^{0}a^{1}a^{2}a^{3}a^{4})1=a_{(3)}^{0}a_{(2)}^{1}a_{(1)}^{2}a_{(0)}^{3}a^{4}$であって$(a^{i_{0}}a^{i_{1}}|a^{i_{2}}|a^{i_{3}}a^{i_{4}})$である。最後の和$\sum^{*}$

は (1,2,3,4,5) の置換が互いに異なるものすべての和である。

$F^{(5)}$は$(i_{0}, i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4})$$\mathbb{Q}[c,$$d,$ $h|$

の元

である。

上の定理に出てくる係数多項式$F^{(t)}$のデータは大きすぎるので、 ここでは省略します。

詳細は [Y12] を参照してください。応用上重要となるのはヴイラソロ元の作用に関する跡公式です。

系 3.10. $V$ と $g\in Aut(V)$ は条件 2, 3 を満たすものとする。 $e\in V_{2}$ を中心電荷 $c_{e}=2(e|e)$のヴイラソロ元とする。 $t\leq 5$ として琉が $V^{0,+}$ 上の共形 2t-デザインをなすとき、は次のように表される。
$tr_{V^{h}}o(e)=\frac{2hd}{c}(e|e) (t=1)$$tr_{V^{h}}o(e)^{2}=\frac{4hd(5h+1)}{c(5c+22)}(e|e)^{2}+\frac{2hd(22h-c)}{c(5c+22)}(e|e) (t=2)$$tr_{V^{h}}o(e)^{t}=D_{2t}(c)^{-1}\sum_{j=1}^{t}E_{j}^{(t)}(e|e)^{j} (t=3,4,5)$

ここで $d=\dim V_{h}$ であり、$E^{(t)}$は付録で与えられる$\mathbb{Q}[c, d, h]$の元である。

$tr_{V^{h}}o(e)^{t}$21
講演ではこの公式のベビーモンスター頂点作用素超代数への応用についても紹介しました。 この部分はすでに [Y09] でも論じていますので、 紙面の都合もあり本稿では省略します。 詳細は [Y09, Y12] を見てください。
注釈 3.11. 定理 3.9 にある公式において、$a^{i}$のひとつを$\omega/h$

とおけば、

$n$

次の跡公式から $n-1$ 次の跡公式が得られます。 $[MaO1]$ において $V_{1}=0,$ $\dim V_{2}>1$ を満たす頂点作用

素代数が$S^{8}$

級ならば、 その中心電荷は 24 であり、 また $\dim V_{2}=196884$ となることが示されています。 これはムーンシャイン頂点作用素代数
ス代数の次元であり、 事実$V^{\natural}$$V^{\natural}$[FLM88] の中心電荷とグライはこの条件を満たす例になっています。 一意性予想の類似として、 この条件を満たす頂点作用素代数は砂 しかないように安直には考えられます。

筆者は定理 3.9(4), (5) の仮定を満たす頂点作用素超代数は存在しそうにないと考えていますが、 上記の方法で 5 次の公式からから 4 次へ、 また 4 次の公式から 3 次の公式を導出しても特に矛盾は生じないため、 あるいはこれまで知られていない、 面白い頂点作用素

超代数が存在するのかも知れません。 (条件 1, 2, 3 を満たす非自明な$S^{6}$

級の頂点作用素超代数の例としてはベビーモンスター頂点作用素超代数 [DLM96, H95] があります。 )4

付録: 跡公式のデータ$E_{3}^{(3)}=8hd((70h^{2}+42h+8)c+29h^{2}-57h-2),$ $E_{2}^{(3)}=-12hd((14h+4)c^{2}+(-308h^{2}-$$93h-1)c+170h^{2}+34h),$ $E_{1}^{(3)}=2hd(4c^{3}+(-222h-1)c^{2}+(3008h^{2}+102h)c-1496h^{2})$ ,$E_{4}^{(4)}=16hd((1050h^{3}+1260h^{2}+606h+108)c^{2}+(3305h^{3}-498h^{2}-701h+7S)c-251h^{3}+$$918h^{2}-829h-6),$ $E_{3}^{(4)}=-48hd((210h^{2}+162h+36)c^{3}+(-4620h^{3}-3227h^{2}-S61h+26)c^{2}+$$(-5614h^{3}+2915h^{2}-485h-2)c-1334h^{3}+2622h^{2}+92h),$ $E_{2}^{(4)}=4hd((366h+108)c^{4}+$$(-18864h^{2}-5929h-409)c^{3}+(241464h^{3}+77748h^{2}+11462h-2342)c^{2}+(37996h^{3}-69196h^{2}+$$44240h-2232)c-77140h^{3}-61872h^{2}+19756h-696),$ $E_{1}^{(4)}=2hd((1464h+487)c^{4}+$$(-61176h^{2}-13543h+2336)c^{3}+(660096h^{3}+S492Sh^{2}-436SSh+2232)c^{2}+(64320h^{3}+$$61872h^{2}-19756h+696)c-206448h^{3}),$ $E_{5}^{(5)}=32hd((11550h^{4}+23100h^{3}+20130h^{2}+8580h+$$1440)c^{2}+(76675h^{4}+30590h^{3}-25615h^{2}-10898h+160S)c+3767h^{4}-1S410h^{3}+29929h^{2}-$$16342h-24),$ $E_{4}^{(5)}=-160hd((2310h^{3}+3366h^{2}+1848h+360)c^{3}+(-50S20h^{4}-64063h^{3}-$$39624h^{2}-9203h+402)c^{2}+(-19005Sh^{4}+21757h^{3}+50420h^{2}-S593h-6)c+1455Sh^{4}-$$53244h^{3}+48082h^{2}+348h),$ $E_{3}^{(5)}=8hd((13530h^{2}+11220h+2680)c^{4}+(-671220h^{3}-$$553445h^{2}-181091h-9774)c^{3}+(8317320h^{4}+6205020h^{3}+31S636Sh^{2}+33372h-S1960)c^{2}+$$(13545380h^{4}-12577080h^{3}+2346592h^{2}+1321316h-12272S)c+2750596h^{4}-4039320h^{3}-$$3472036h^{2}+1105848h-18528),$ $E_{2}^{(5)}=-4hd((1320h+420)c^{5}+(-182820h^{2}-101429h-$$18681)c^{4}+(5969040h^{3}+3213887h^{2}+527763h-122SS0)c^{3}+(-5S143360h^{4}-27737760h^{3}-$22$6853602h^{2}+3391274h-184092)c^{2}+(-19549216h^{4}+50103960h^{3}-30930304h^{2}+2972472h-$$27792)c+17527600h^{4}+30443040h^{3}-11458480h^{2}+403680h),$ $E_{1}^{(5)}=-2hd(100c^{6}+$$(1470h+6495)c^{5}+(-501790h^{2}-424803h+40956)c^{4}+(15693120h^{3}+8719374h^{2}-$$2073438h+61364)c^{3}+(-141373440h^{4}-54143280h^{3}+27458268h^{2}-1866624h+9264)c^{2}+$$(-12282432h^{4}-30443040h^{3}+11458480h^{2}-403680h)c+47895936h^{4})$ .

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