土木学会論文集B1(水工学) Vol.**, No.**I_**-I_**, 2014.

近似リーマン解法を用いた
非構造平面2次元河床変動モデルの構築
TWO-DIMENSIONAL NUMERICAL MODEL BASED ON UNSTRUCTUREDFINITE VOLUME METHOD USING APPROXIMATE RIEMAN SOLVER FOR
SEDIMENT TRANSPORT
重枝未玲1・秋山壽一郎2・坂本 洋3・新谷恭平4
Mirei SHIGE-EDA, Juichiro AKIYAMA, Hiroshi SAKAMOTO and Kyouhei SHINTANI
1正会員

博士(工)

九州工業大学大学院准教授 工学研究院建設社会工学研究系（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）

2フェロー会員 Ph.D. 九州工業大学大学院教授 工学研究院建設社会工学研究系（同上）3正会員（株）建設技術研究所 九州支社河川部 (〒810-0041 福岡市中央区大名2-4-12 CTI福岡ビル)
九州工業大学大学院 工学研究科建設社会工学専攻博士後期課程
4学生会員 九州工業大学大学院 工学府建設社会工学専攻博士前期課程（〒804-8550 北九州市戸畑区仙水町1-1）

Numerical models for 2D free-surface flows and sediment transport are developed. The models are
based on finite volume method using HLL (Harten, Lax and van Leer(1983)) numerical flux, which are
based on approximate Riemann solver. These models deal with the system equation formed by the 2D
shallow water equations and the Exner equation as a coupled or decoupled system. These models areverified against two experimental data of unsteady dam-break flow over erodible bed. It shows that themodels can reproduce the complex behavior of the flows and sediment transport with reasonable accuracy.
Key Words : numerical model, sediment transport, the 2D shallow water equations and the Exnerequation, a coupled or decoupled system, approximate Riemann solver
常・射流が混在する条件下での河床変動を予測することが不可欠となる．
常・射流混在下での河床変動予測には，流れと河床変
近年，河川の維持管理は本格的な計画管理へと移行し動の相互作用を考慮した数値モデル2),3)が必要となる．相1)
互作用を考慮した代表的な数値モデルには，流束差分離ている ．適切な維持管理を行うためには，必要な安全法(FDS法) 4)を用いたモデル2),3)がある．FDS法では，流れ度を保つための掘削や洗掘対策などを，どの区間で，どと河床変動の基礎方程式が双曲型の偏微分方程式であるのタイミングで，どの程度行うかを明らかにすることがことを踏まえ，基礎方程式から特性速度を求め，その特不可欠である．そのためには，(1)流域からの生産土砂の性速度の方向に応じて風上化を行い，自動的に流れと河量と質(粒度分布)，(2)河道での土砂流送による河道縦横
断形と質の変化の予測を数～数十年間の時間規模で行い， 床変動の伝播方向を考慮した解析を行う優れた手法である．しかし，その計算には，固有ベクトルが必要となる
平均河床高・最深河床高・最深河床位置から，砂州の肥ため，複雑な計算が必要となる．さらに，個々の流砂量
大化や澪筋の深掘れなど，河道のどの区間が堆積あるい式に応じた固有値や固有ベクトルの計算式も必要となる．
は洗掘傾向にあるのかなどのシナリオをあらかじめ想定
一方，流れと河床変動の相互作用を無視した数値モデすることが不可欠である．
ル5),6)も存在する．これは，流れと河床変動の相互作用は，
このようなシナリオ想定には，流域での土砂生産による供給土砂量に加え，河道上流から下流で生じる河床変
フルード数Fr=1周辺に限定されること，また，流れと河動，河床材料の質の変化，さらには出水規模，河床材料
床変動の時間スケールは異なるため，流れと河床変動のに応じた安定河床・河道の形成などの非常に複雑な一連相互作用を無視しても良いという考え方に基づいている．
のプロセスを予測する必要がある．この予測は河川の上
このようなモデルは，相互作用を考慮したモデルとは異流から下流を対象にすることから，急流河川や狭窄部やなり，同じモデルフレームで様々な流砂量式を適用でき
河床勾配の急変部などの区間で常・射流が混在する流れ
るため，汎用性は高く，離散化も簡単となる．
が生じる場合があり，その予測を行う数値モデルには，
本研究は以上のような背景を踏まえ，流束差分離法の１．はじめに

Û

ように固有ベクトルが必要なく，固有値のみを使用する
より簡易的な近似リーマン解法であるHLL(Harten-Laxvan Leer)法7)を用い，流れと河床変動の相互作用を考慮した新たな河床変動モデルを構築するとともに，流れと河床変動の相互作用を無視した数値モデルとの予測精度の比較を行った．

Û nj

Û in

y

Ai

xn

nk

i

Cell jCell i２．平面2次元河床変動モデルの概要

xn

xn=0

kth cell face

L

R

x

図-1 検査体積

本研究では，流れの基礎方程式を2次元浅水流方程式，
河床変動の基礎方程式を流砂の連続の式とし，①これらをシステム方程式として取り扱い，流れと河床変動の相互作用を考慮した特性速度を用いたmodel-A，②流れと河床変動を別々に取り扱ってはいるが，流れの計算を行う場合にのみ，相互作用を考慮した特性速度を用いたmodel-B，③流れと河床変動を別々に取り扱ったmodel-Cの3つのモデルを構築した．いずれのモデルについても
浅水流方程式の離散化には，HLL法7)を用いた．

係数K0は同一で式(6)のように，K1はそれぞれ式(7)，式(8)のようになる．これまで，流れと河床変動を一体とした場合，特性波は流砂量式に応じて求める必要があったが，式(5)を用いることで，統一的な記述を行うことが可能となる．なお，固有値を求める際にはAgは一定として
取り扱う．
(6)
K0  1  g  s  3 (1) 基礎方程式a)流れの基礎方程式
流れの基礎方程式は，式(1)の2次元浅水流方程式である．
U E F
(1)S S 0

ここに，*=無次元掃流力，u*=摩擦速度(=(ghSf)0.5)，
Sf=(Sfx2+Sfy2)0.5，*c=無次元限界掃流力である．
c) 流れと河床変動のシステム方程式
式(1)と式(4)をベクトル表示とすると，式(9)の流れと河床変動のシステム方程式が得られる．
U E F
(9)
S S 0

t

x

y

1

2

U  h, uh, vh  ； E  uh, u 2 h  1 / 2 gh 2 , uvh  ；TT

・M.P.M式： K1  8.0 1   *c  * 3/2

(7)

・芦田・道上式： K1  17.0 1   *c  * 1  u*c u* 

(8)

t



1

y

2

T
F  vh, uvh, v 2 h  1 / 2 gh 2 ；U   h, uh, vh, zb  ；TE  uh, u 2 h  1 2 gh 2 , uvh, qbx 1  b  ；T

S1  0, gh zb x , gh zb y  ； S 2  0, ghS fx , ghS fy T

ここに，U=保存量ベクトル，E，F=x，y方向の流束ベク
トル，S1=河床勾配ベクトル，S2=摩擦勾配ベクトル，h= 水深，u，v = x，y方向の流速，g＝重力加速度，zb =河床高，Sfx，Sfy = x，y方向の摩擦勾配である．摩擦勾配は
流速係数を用いて次式で計算される．



x







S fx  1 gh   2  u u 2  v 2 ; S fy  1 gh   2  v u 2  v 2 (2)流速係数は，式(3)のマニング・ストリックラー型の式を用い，係数Tには平坦床の岸・黒木の抵抗則8)と整合するようにT＝6.9とした．
1/6(3)
  T  h ks 





T





T

F  vh, uvh, v 2 h  1 2 gh 2 , qby 1   b  ；S1   0, gh zb x , gh zb y , 0  ； S2   0, ghS fx , ghS fy , 0 TT

図-1に示すセル境界線の法線方向xnについて，河床勾
配ベクトルを含め，ヤコビアンを求めると式(10)が得ら
れる．
Jn 

  En  S1 
U
0





2
 gh  u nx  uvn y2 gh  v n y  uvnx

A








nx

ny

2unx  vn y

un y

vnx

unx  2vny

B

C

0 


ghnx 
 
ghn
y

0 

(10)

b) 河床変動の基礎方程式
ここに，En=Enx+Fny， h＝ hL  hR  / 2 である．
河床変動の基礎方程式は式(4)の流砂の連続の式である．
式(10)のヤコビアンから，固有値を求めると，流れと
q
zb
q
(4)
 1 1  b  bx  1 1  b  by  0
河床変動との相互作用を考慮した特性波を求めること
txyが可能となる．式(10)の特性方程式は式(11)となる．
ここに，b=河床材料の空隙率，qbx，qby=x，y方向の流砂
9)(11)   un   3  a1 2  a2  a3   0
量である．流砂量の算定には，式(5)のGrass が提案した
流砂量式を用いた．
a1  2un ； a2   gh  Bnx  Cn y   gh  un2 ；(5)
qbx  Ag u  u 2  v 2  ， qby  Ag v  u 2  v 2 a   gh A  u Bn  Cn
3

ここに，Ag=K0K1で表される係数であり，流砂量式に応じて，例えば，M.P.M式10)および芦田・道上式11)では，



t



A

y

x



Ag  u  v   unx  vn y 
qbn
 3
h
1  b
h
2

2

5

λ1/c
λ2/c

4

λ3/c
λ4/c

から下流→上流へと変化することがわかり，従来の理論と同様な結果となる．以下では，この特性速度を用いて，式(9)の離散化を行う．

(u+c)/c(u-c)/c3

λ1～4/c2(2) 数値解法a) 有限体積法
計算領域を分割した微小領域セルiの検査体積とし，式(9)を有限体積法に基づき離散化すると式(13)が得られる．なお，時間積分にはEulerの陽解法を用いた．
t N
tU it 1  U it    En*  dLk    S1  dV  tS2i (13)k
Ai k 1
Ai V

1
0

-1
-2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

e

Fr

図-2 特性速度とフルード数との関係
A  3u  v  nx   2uv  n y
qbn
 g
uh 1  b
h
2

B

2

Ag  2uv  nx   u  3v  n yqbn
vh 1  bh2C

ここに，Ui = セル i でのUの平均値，V=微小領域セルの面積，Ai=セル i の面積，t = 時間に対する添字，k =セル i を構成する境界線(セル境界線)に対する添字，
Ne=セル境界線の総数，t = 時間の刻み幅，Lk = k番目の*
セル境界線の長さ， En k = k番目のセル境界線を流入出qbn Ag  u 2  v 2 
1  b2

 un  vn xy

ここに，un=xn方向の流速(=unx+vny)，ut=xnに垂直な方向の流速(=-uny+vnx))である．
式(11)をCardanoの解法12)を用いて解を求めると，式(12)に示す特性速度が得られる．ただし，特性速度は実数であるため，QRを満たす必要がある．
  a1  2 Q cos    1 , 2  un ,
3
3

(12)

 

   2  a1
   4  a1
  , 4  2 Q cos 

3
3


 3  3

3  2 Q cos  3a  a  , R   9a a  27a  2a  ,  cos 
Q
2
1

2

9

1 2

3

54

3
1

1



 Q 3 R

図-2は，Ag= 0.0005とした場合に，式(12)より得られる特性速度（＞＞＞）とフルード数Frとの関係を示したものである．Ag= 0.0005は，水中比重s=1.65，流速係数10，*→∞とした値であり，流れと河床変動との相互作用が大きくなるように値を設定している．実際は，流れと河床変動の相互作用はこの図よりも小さくなる．図中には，流れの方程式から得られる特性速度un-c，un，un+cもあわせて示している．なお，＝unは，流れのみの特性速度と流れと河床変動の相互作用を考慮し特性速度のいずれにも含まれる．
ここに，c=波速(=(gh)0.5)である．これより，(1)特性速度は，河床変動の特性速度の影響を受けるために，流れの特性速度un+cとの間に若干の差が生じるが，その差は非常に小さいこと．(2) とと流れの特性速度
un-cとを比較すると，Fr<1ではとの差が大きく，Fr＞
1ではとの差が大きくなる．また， Fr=1近傍では，
とと流れの特性速度un-cとの間には明らかな差が生じている．以上から，(4) 河床変動の特性速度は，
Fr<1では，Fr>1ではであり，Fr=1近傍ではとのいずれもが河床変動の影響を受けた特性速度であることが確認できる．が正で，が負であることを踏まえると，Fr=1を境に河床変動の伝播方向が上流→下流

する数値流束， S2i=セル i でのS2の平均値である．b) HLL法に基づく数値流束
HLL 法に基づく数値流束 En* 7) は，式(14)に示す通りである．
**①SL≧0 の場合: En  EnL ，②SR≦0 の場合: En  EnR③SL<0<SR の場合:

S  Eˆ  S L  Eˆ R  S R S L Uˆ R  Uˆ L
Eˆ *  R L
SR  SL

発生項の離散化は式(15)のように行う．
tt N
  T 1  Sˆ1 dV    Tk1  Sˆ1*L k dLk
Ai V
Ai k 1









(14)

(15)

ここに， Sˆ1*L , R =それぞれ，L，R 側の発生項ベクトルに対応する数値流束である．発生項ベクトルに対応する数
値流束は，式(16)で表される．
① SL≧0 の場合： Sˆ *  0 ， Sˆ *  Sˆ
1L

1R

1

② SR≦0 の場合： Sˆ1*L  Sˆ1 ， Sˆ1*R  0③ SL<0<SR の場合：
Sˆ1*L  

(16)

S L  Sˆ1  S R  Gˆ 
S  Sˆ  S L  Gˆ  ， Sˆ *  R  1

1R
SR  SLSR  SLc) 特性速度
HLL法に基づく数値流束の計算には特性速度の最小値
SLと最大値SRが必要となる．この特性速度SLとSRの選択により，流れと河床の相互作用を考慮するかどうかを決めることができる．
model-Aでは流れと河床の相互作用を考慮した特性速度を用いて，SLとSRを式(17)のように評価した．
S R  1R ， S L  4 L(17)

ここに，～は式(18)の Roe の平均を用いて求めた諸量である．
u nR hR  u nL hL
utR hR  utL hL~ h  hLh R
(18)
，u~n 
，u~t 
2hR  hL
hR  hL

なお，流れと河床変動の相互作用を考慮した場合，図-2

Dam

Z (m)

Dam

Z (m)
0.25m

0.25m

X (m)

0.1m

X (m)

0.1m

A' B'

図-3 1次元ダム破壊流れの移動床実験の概要
0.4(a) t=0.5(s)P1h+zb(m)0.2

0.3

図-5 2次元ダム破壊流れの移動床実験の概要

0.1

拡大図②

0.05
0.4

h+zb(m)

0.2

0.6

0.8

1

z bit 1  z bit 

拡大図①

0.1
h+zb(m)

水位 河床高Exp.
model-Amodel-Bmodel-C

1 t N e * qB  n k dLk
1   b Ai k 1





(20)

流砂の連続の式を離散化には，式(21)の風上型の数値流束を用いた．

0.1

-0.1
0.4

P6

P4

A B

0.15

拡大図②

0

P5

P2 P3

0.25

0.05

0

0

(b) t=1.0(s)q  qBL
qB*  n  0.5  qBL  qBR   BR
 zbR  zbL 

z
z

bR
bL


拡大図①
0.2

(21)

0.25

h+zb(m)

0.2

0.3

0.15

３．モデルの検証

0.1

拡大図②

0.05
1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

h+zb(m)0.2
拡大図②

移動床での1次元13)および2次元ダム破壊流れ14)の実験
結果に基づき，modelA~Cの検証と比較を行った．ダム
破壊流れは，特性速度の取り扱いが予測精度に及ぼす影響が顕著となる流れであるため，上記の実験結果は，本モデルの特性速度の取り扱いを検証する上で適している．
いずれの解析においても，流砂量式にはM.P.M式を用いおり，二次流や横断方向の河床勾配による流砂量の補正は行っていない．水深がhv=0.001mよりも小さい場合にドライベッド状態とした．また，クーラン数は0.1とした．なお， HLL法7)を用いた流れの数値モデルのダム破壊流れへの適用性については，参考文献15)を参照され
たい．

0.1
拡大図①

0.1
h+zb(m)

水位 河床高Exp.
0model-Amodel-Bmodel-C
-0.1
0.4

0.05

0

拡大図①
0

(c) t=1.5(s)

0.2

0.25

h+zb(m)

0.2

0.3

0.15
0.1

h+zb(m)

拡大図②

0.05
1.8

0.2

2

2.2

2.4

2.6

2.8

拡大図②

0.1
拡大図①

0.1
h+zb(m)

水位 河床高Exp.
0model-Amodel-Bmodel-C
-0.1
-1

0.05

0

拡大図①
0

0

1

0.2

2

0.4

3

X(m)

図-4 水面と河床形状との比較から明らかなように，必ず SL<0，SR>0 となるため，数値流束は③の場合を使用することとなる．
model-Bでは流れの数値流束についてのみ， SLとSRを式(17)のように評価し，河床変動については，「d) 相互作用を無視した場合の河床変動の離散化」で示す数値流束を用いた．
model-Cでは流れの数値流束についてのみ， SLとSRを式(19)のように評価し，河床変動については，model-Bと同様な数値流束を用いた．
S R  R ， S L  L

ここに， L  unL (19)ghL ， R  unR  ghR である．

d) 相互作用を無視した場合の河床変動の離散化
流れと河床変動の相互作用を無視する場合には，
浅水方程式と流砂の連続の式とを別々に離散化する．
有限体積法に基づき流砂の連続の式を離散化すると，
式(20)が得られる．

(1) 1次元ダム破壊流れの移動床実験結果13)に基づく検証a) 実験の概要
実験装置の概要は，図-3に示す水路(幅0.25m，長さ6m)であり，水路中央にダムが設けられている．ダムの上下流には，水中比重s=1.68，平均粒径1.82mmの砂が空隙率b=0.47で敷き詰められており，ゲート上流の河床は下流よりも0.1m高く設定されている．ダム上流の貯水槽には0.25m，下流には0.1mの水が溜められており，瞬間的にダムを取り除くことでダム破壊流れを発生させている．下流端は閉境界となっている．
b) 解析条件
解析対象領域を13,200個のメッシュで分割した．初期
条件には貯水部の水深には0.25m，氾濫部の水深には0.1mを与えた．全ての境界に閉境界条件を与えた．
c) 結果と考察
図-4は，model-A~Cの水面と河床形状の経時変化について，解析結果と実験値との比較を行ったものである．
なお，図中にはダム周辺の解析結果の拡大図を併せて示図-6 各モデルの河床コンターの経時変化している．また，いずれの計算についても安定していた．
図-6は，各モデルより得られた河床形状の経時変化を
これらより，いずれのモデルについても，①ダム近傍
コンター図で示したものである．これらから，ダム破壊
で跳水と段波が生じており，短い区間で流れの状態が，流れにより，河床形状は①水路急拡部で流れが加速する
常流，射流，常流と変化すること，この流れにより，②
ため，初期河床0.1mよりも河床が低く洗掘される様子，
ダム上流の土砂が下流へと流送され，③跳水発生位置で②急拡部下流の左岸側で土砂が堆積する様子などが確認流送された土砂が堆積するなどの実験結果を再現していできる．また，いずれのモデルも同様な傾向にあること
ること，などが確認できる．また，解析結果と実験値とも確認できる．
を比較すると，いずれの時間についても，解析結果は，
図-7は，図-5中のP1，P3，P6での水位の解析結果と実験値の傾向を再現しているが，河床が不連続に変化す
実験値の比較を，図-8は，図-5中のA-A’，B-B’断面につるなど，実験値とは異なる区間も存在する．これは，本いて，ダム破壊12秒後の河床形状の解析結果と実験値とモデルでは，土砂崩落モデルを導入していないためであの比較を行ったものである．これより，いずれのモデル
り，今後，導入していく必要がある．
についても水位の経時変化を十分な精度で再現している
各モデルの流れおよび河床のフロント位置を比較する
ことが確認できる．一方で， 河床形状については，と，大きな差は認められないが，予測精度は，①流れとmodel-B，Cは実験値を概ね再現しているが，model-Aに河床変動の相互作用を考慮したmodel-A，②流れと河床
ついては再現できておらず，河床の最大値と最小値の平変動の相互作用を無視したmodel-C，③流れの計算にの均的な位置を通り，実験結果よりも拡散した形状である
み相互作用を考慮した model-Bの順で高い．model-Aのことが確認できる．これは，HLL法の数値流束は，主流予測精度が高いのは相互作用を考慮したためである．一方向の最大と最少の特性波のみを考慮しており，横断方
方，model-Cの予測精度が低いのは，相互作用を流れの向に流れや河床の伝播があった場合，中間波λ2,3をまたぐ物理量の変化を考慮せず一定と取り扱うため，中間波みに考慮したため，流れと河床変動解析との間の整合性の方向に洪水や河床変動が伝播する2次元の解析の場合がないためと考えられる．
では数値拡散が大きくなる特徴を持っているためである．
14)
特に，流れに比べ河床変動計算ではその特徴が顕著に表(2) 2次元ダム破壊流れの移動床実験結果 に基づく検れたと考えられる．今後は，中間波を考慮したHLLC法
証等を導入する必要がある．
a) 実験の概要
実験は，図-5に示す水路で行われており，x=3.0mの位
置にダムが設けられている．ダムの上下流には，水中比
４．おわりに
重s=1.68，平均粒径1.82mmの砂が空隙率b=0.47で敷き詰められている．ダム上流の貯水槽には0.25mの水が溜
本研究では，流束差分離法に比べてより簡単な近似
められており，瞬間的にダムを取り除くことでダム破壊
リーマン解法であるHLL法を用いた新たな河床変動モデ
流れを発生させている．下流端は段落ちとなっている．
ルを構築するとともに，流れと河床変動の相互作用を無b) 解析条件視したモデルとの予測精度の比較を行った．その結果，
解析対象領域を20,973個のメッシュで分割した．初期
1次元ダム破壊流れの実験結果については，(1) model-A
条件には貯水部の水深には0.25m，氾濫部のドライ状態～Cは同様な予測精度を有していること，(2) model-Aがのセルには水深hvを与えた．境界条件としては，下流端に限界水深を，その他の境界には閉境界条件を与えた．
流れと河床変動の相互作用を考慮している分若干予測精c) 結果と考察度が高いこと，2次元ダム破壊流れの実験結果について

0.22

水位 Exp
水位 model-A
水位 model-B
水位 model-C

P1

0.2

水位(m)

0.18
0.16
0.14

号：25820225，研究代表者：重枝未玲)の助成を受け実施したものである．本研究を遂行するに当り，本学学部4年生の平松裕樹君，田尻富岳君には，データ整理等で協力を得た．ここに記して感謝の意を表します．

0.12

参考文献

0.1
0.08
0.22

水位 Exp
水位 model-A
水位 model-B
水位 model-C

P3

0.2

1)

http://www.mlit.go.jp/river/shishin_guideline/gijutsu/gijutsukijun
n/ijikanri/kasen/pdf/gijutsukijun.pdf，2011．

水位(m)

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2)

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た開水路の河床変動計算，水工学論文集，第42巻，pp.685-

0.12

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3)

0.08
0.22

113，2001.

水位(m)

0.18

4)

0.16

西本直史，森明巨，板倉忠興，田原達人：FDS法による1次元河床変動解析，土木学会論文集No.677/II-55，pp.103-

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水位 model-A
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0.2

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0.14

pp.357-372, 1981.

0.12

5)

0.1

0

2

4

6

8

10

12

時間t(s)

6)図-7 水位の解析結果と実験値の比較
0.15

重枝未玲，秋山壽一郎，坂本 洋：混合砂礫河床変動モデ
ルの構築と粗粒化・細粒化を伴う河床変動への適用，土木

河床高 Exp
河床高 model-A
河床高 model-B
河床高 model-C

A-A’

0.14

岡部健士，芦田和男：流れの遷移を伴う一次元河床変動の数値解析，土木学会論文集，No.434/II-16，pp.37-45，1991．

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大川秀典，清水康行，藤田睦博，橋本識秀：FDS法を用い

0.14

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2012．

0.12

7)

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Hatern, A., Lax, P.D. and van Leer, B.: On upstream differencing
and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws,

0.1
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0.08

8)

0.07
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河床高 Exp
河床高 model-A
河床高 model-B
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B-B’

0.14

0.12

岸力, 黒木幹男：移動床における河床形状と流体抵抗(I)，北海道大学工学部研究報告，No. 67，pp. 1-23，1973．

9)

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London, report fl-29edition, 1981.

0.1110) Meyer-Peter, E. and Muller, R.: Formulas for bed-load transport,

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0.09
0.08

11) 芦田和男，道上正規：移動床流れの抵抗と掃流砂量に関する

0.07
0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Y(m)

図-8 ダム破壊12秒後の河床形状の解析結果と実験値との比較基礎的研究，土木学会論文報告集，第206号，pp.59-69，1972．

12) Willam H. Press et al.：NUMERICAL RECIPES in C [日本語版]，技術評論社，1996．

13) Spinewine, B., Zech, Y.: Small –scale laboratory dam-breakは，(3) 流れについては，model-A～Cもいずれも同程度
waves on movable beds, Journal of hydraulic Research, Vol.45,の精度であるが，河床形状については，相互作用を考慮
pp.267-276, 2007.
したmodel-Aの精度が劣る結果となった．これは，HLL~法が中間波を考慮していないためであり，今後はHLLC
14) Palumbo, A., Soares-Frazao, S. Goutiere, L. Pianese, D. Zech,
Y.:Dam-break flow on mobile bed in a channel with a sudden法を導入するなどの必要性が確認された．このように，
enlargement, Proceedings River Flow 2008 International
本結果から，河床変動の相互作用を無視したモデルでもConference on Fluvial hydraulics, Cesme, Vol.1, pp.645-654,
予測精度が十分であることが確認されたが，HLL法では，
2008.
その予測精度が十分ではないことから，今後は，HLLC
15) 重枝未玲，秋山壽一郎，坂本 洋，野村心平：HLLとHLLC法を導入したモデルとの比較により，河床変動の相互作法を用いた平面２次元自由表面流モデルの構築と複雑な地用を考慮したモデルと無視したモデルの予測精度の比較
形起伏を有する場での流れへの適用，土木学会論文集を行いたいと考えている．
B1(水工学)，Vol.69，No.4，I_637-I_642 ，2013．

謝辞：本研究は，科学研究費補助金若手研究B(課題番（2013.9.30受付）