物体の運動⑶ - エネルギーの保存

力学的エネルギー保存の法則

振り子の最も高い点にあるおもりは、最も位置エネルギーを持っています。しかし、おもりはこの瞬間、速さが０になるので、運動エネルギーは０と言えます。
逆に、振り子の最も低い点にあるおもりは、速さが最も速くなるので、運動エネルギーが最高で、そのかわり位置エネルギーが０になります。
つまり、最も高い点のときにあった位置エネルギーが、運動エネルギーに変わったと考えられます。
空気抵抗や摩擦力がないとき、物体の位置エネルギーと運動エネルギーの和は一定になります。これを「力学的エネルギー保存の法則」といいます。

1

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

ステップ１

位置エネルギーと運動エネルギー

１ 図のように、なめらかな曲面と水平面がつながっています。いま、水平面から 0.45ｍの高さの曲面上のＡ点に、重さ１㎏の小球をおき、静かにすべらせたところ、小球は水平面上のＢ点を通過しました。このとき、小球がＢ点を通過する速さを求めようと思います。以下の公式と数値を使って、次の（）にあてはまる数を求めなさい。
2・位置エネルギー(J)＝物体の重さ(㎏)×重力加速度(m/s )×高さ(ｍ)・重力加速度＝10m/s

2・Ａ点での位置エネルギー(J)＝Ｂ点での運動エネルギー(J)1・運動エネルギー(J)＝2×物体の重さ(㎏)×速さ(m/s)×速さ(m/s)




ジュール⑴

Ａ点にあるときの小球のもつ位置エネルギーは（） Ｊ です。

ジュール

⑵

Ｂ点にあるときの小球のもつ運動エネルギーは（⑶

Ｂ点の小球の速さは（）m/s です。

2） Ｊ です。

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

２ 図のように、なめらかな曲面と水平面がつながっています。曲面上のＡ点に小球をおき、静かにすべらせると、小球は水平面上のＢ点を通過します。Ａ点の高さをいろいろ変えてＢ点での小球の速さを調べ、表にまとめました。このとき、次の問いに答えなさい。



⑴

次の式を参考にして、表の空らんをうめなさい。
・位置エネルギー(J)＝重さ(㎏)×重力加速度(m/s2)×高さ(ｍ)1・運動エネルギー(J)＝ ×重さ(㎏)×速さ(m/s)×速さ(m/s)
2
・Ａ点での位置エネルギー(J)＝Ｂ点での運動エネルギー(J)

重さ(kg)１１

１

１１

重力加速度(m/s2)

1010

1010

10

Ａ点の高さ(m)

0.05

0.20

0.45

0.80

1.25

速さ(m/s)3

物体の運動⑶ - エネルギーの保存⑵⑴の表について、（）にあてはまる数を求めなさい。

小球の重さが一定のとき、Ａ点の高さ（小球をはなす高さ）が４倍、⑶９倍、16 倍、・・・になると、Ａ点での小球の位置エネルギーが（）倍、（）倍、（）倍、・・・になるので、Ｂ点での速さは（）倍、（）倍、（）倍、・・・になることが分かります。

⑵を参考にして、（）にあてはまる数を求めなさい。ただし、２回かけて２になる数を√２（≒1.41）、２回かけて３になる数を√３（≒1.73）と表します。√
４＝２になります。

小球の重さが一定のとき、Ａ点の高さ（小球をはなす高さ）が２倍、３倍、４倍、・・・になると、Ａ点での小球の位置エネルギーが（）倍、（）倍、（）倍、・・・になるので、Ｂ点での速さは（）倍、（）倍、（）倍、・・・になることが分かります。

4

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

３ 図のように、なめらかな曲面と水平面がつながっています。曲面上のＡ点に小球をおき、静かにすべらせると、小球は水平面上のＢ点を通過します。Ａ点の高さをいろいろ変えてＢ点での小球の速さを調べ、表にまとめました。表の空らんをうめなさい。




Ａ点の高さ(㎝)10203040141200245282580120600

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

４ 図のように、なめらかな曲面と水平面がつながっています。いま、水平面から 0.45ｍの高さの曲面上のＡ点に、重さ２㎏の小球をおき、静かにすべらせたところ、小球は水平面上のＢ点を通過しました。このとき、小球がＢ点を通過する速さを求めようと思います。以下の公式と数値を使って、次の（）にあてはまる数を求めなさい。
2・位置エネルギー(J)＝重さ(㎏)×重力加速度(m/s )×高さ(ｍ)・重力加速度＝10m/s2
・Ａ点での位置エネルギー(J)＝Ｂ点での運動エネルギー(J)1・運動エネルギー(J)＝2×重さ(㎏)×速さ(m/s)×速さ(m/s)




ジュール⑴

Ａ点にあるときの小球のもつ位置エネルギーは（） Ｊ です。

⑵

Ｂ点にあるときの小球のもつ運動エネルギーは（） Ｊ です。

⑶

Ｂ点の小球の速さは（ジュール）m/s です。１ ⑶の答えと比べましょう。

6

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

５ 図のように、なめらかな曲面と水平面がつながっています。曲面上のＡ点に小球をおき、静かにすべらせると、小球は水平面上のＢ点を通過します。小球の重さをいろいろ変えてＢ点での小球の速さを調べ、表にまとめました。このとき、次の問いに答えなさい。


⑴

次の式を参考にして、表の空らんをうめなさい。
・位置エネルギー(J)＝重さ(㎏)×重力加速度(m/s2)×高さ(ｍ)1
・運動エネルギー(J)＝ ×重さ(㎏)×速さ(m/s)×速さ(m/s)
2
・Ａ点での位置エネルギー(J)＝Ｂ点での運動エネルギー(J)

重さ(kg)

１２

３４５

重力加速度(m/s2)

1010101010

Ａ点の高さ(m)

0.05

0.05

0.05

0.05

0.05

速さ(m/s)7

物体の運動⑶ - エネルギーの保存⑵

次のア〜エのうち、正しいものを選びなさい。
ア

小球をはなす高さが一定のとき、小球の重さが２倍、３倍、４倍、・・・になると、Ｂ点での速さは２倍、３倍、４倍、・・・になる。

イ

小球をはなす高さが一定のとき、小球の重さが２倍、３倍、４倍、・・・になると、Ｂ点での速さは４倍、９倍、16 倍、・・・になる。

ウ

小球をはなす高さが一定のとき、小球の重さが４倍、９倍、16 倍、・・・になると、Ｂ点での速さは２倍、３倍、４倍、・・・になる。

エ

小球をはなす高さが一定のとき、小球の重さにかかわらず、Ｂ点での速さは一定である。

8

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

６ ５の⑵の理由を次のように考えました。（）にあてはまる言葉や数や記号を書きなさい。

位置エネルギー＝重さ×Ｇ(重力加速度)×高さ・・・①

1
運動エネルギー＝ ×重さ×速さ×速さ・・・②2
Ａ点での位置エネルギー＝Ｂ点での運動エネルギー・・・③①、②、③より、1重さ×Ｇ×高さ＝2×重さ×速さ×速さ
よって、速さ×速さ＝（）×（）×（）・・・④となります。
④のうち、Ｇ（重力加速度）の値は一定なので、結局、Ｂ点での速さは、Ａ点の（）だけで決まり、物体の（ことが分かります。

9）は関係ない物体の運動⑶ - エネルギーの保存

７ 図のように、なめらかな曲面と水平面がつながっています。曲面上のＡ点に小球をおき、静かにすべらせると、小球は水平面上のＢ点を通過します。小球の重さをいろいろ変えてＢ点での小球の速さを調べ、表にまとめました。表の空らんをうめなさい。



小球の重さ(ｇ)102014110304050

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

ステップ 3位置エネルギーと運動エネルギーと水平投射

８ 図のように、なめらかな曲面と水平な台がつながっています。曲面上のＡ点に小球をおき、静かにすべらせると、小球は台を水平に飛び出します。Ａ点の高さをいろいろ変えて、Ｂ点での小球の速さ、Ｂ点を飛び出てから地面に衝突するまでの時間、小球が水平方向に飛んだ距離を調べ、表にまとめました。表の空らんをうめなさい。

   

Ａ点の高さ(㎝)10203040141200245

282

0.228.2

1180120600

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

９ 図のように、なめらかな曲面と水平な台がつながっています。曲面上のＡ点に小球をおき、静かにすべらせると、小球は台を水平に飛び出します。小球の重さをいろいろ変えて、Ｂ点での小球の速さ、Ｂ点を飛び出てから地面に衝突するまでの時間、小球が水平方向に飛んだ距離を調べ、表にまとめました。表の空らんをうめなさい。

   

小球の重さ(ｇ)10201410.228.212304050物体の運動⑶ - エネルギーの保存

ステップ３

弾性エネルギーと位置エネルギー

10 図のように、水平面と斜面がなめらかにつながっています。この水平面にばねを取りつけて、ばねを縮めて小球を打ち出すと、小球は斜面をある高さまで上がって止まり、転がり落ちます。このとき、最高点の高さを求めようと思います。以下の公式と数値を使って、次の（）にあてはまる数を求めなさい。

12・弾性エネルギー(J)＝2×ばね定数(㎏/s )×縮み(m)×縮み(m)・ばねによる弾性エネルギー(J)＝最高点での位置エネルギー(J)・位置エネルギー(J)＝重さ(㎏)×重力加速度(m/s2)×高さ(ｍ)・重力加速度＝10m/s

2⑴ばね定数が 100 ㎏/s2 のばねを 0.1ｍ縮めたとき、ばねによる弾性エネル
ジュール

ギーは（） Ｊ です。

ジュール

⑵

最高点にあるときの小球の位置エネルギーは（⑶

小球の重さが１㎏のとき、最高点の高さは（13） Ｊ です。

）ｍです。

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

11 図のように、水平面と斜面がなめらかにつながっています。この水平面にばねを取りつけて、ばねを縮めて小球を打ち出すと、小球は斜面をある高さまで上がって止まり、転がり落ちます。ばねを縮める長さをいろいろ変えて、最高点の高さを調べ、表にまとめました。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴以下の公式を使って、表の空らんをうめなさい。

1・弾性エネルギー(J)＝2×ばね定数(㎏/s2)×縮み(m)×縮み(m)・ばねによる弾性エネルギー(J)＝最高点での位置エネルギー(J)・位置エネルギー(J)＝重さ(㎏)×重力加速度(m/s2)×高さ(ｍ)
ばね定数(㎏/s2)

200200200200200

縮み(m)0.10.20.30.40.5

重さ(㎏)

１１１１１

重力加速度(m/s2)

1010101010

高さ(ｍ)

14

物体の運動⑶ - エネルギーの保存⑵⑴の表について、（）にあてはまる数を求めなさい。

ばねの強さ（ばね定数）が一定のとき、ばねを縮める長さが２倍、３倍、４倍、・・・になると、弾性エネルギーが（（倍、（）倍、（）倍、・・・になるので、最高点での位置エネルギーも（）倍、（）倍、））倍、・・・になります。このとき、小球の重さが一定ならば、最高点の高さは（になります。

15）倍、（）倍、（）倍、・・・

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

12 図のように、水平面と斜面がなめらかにつながっています。この水平面にばねを取りつけて、ばねを縮めて小球を打ち出すと、小球は斜面をある高さまで上がって止まり、転がり落ちます。ばねの強さ（ばね定数）をいろいろ変えて、最高点の高さを調べ、表にまとめました。このとき、次の問いに答えなさい。



⑴

以下の公式を使って、表の空らんをうめなさい。

1・弾性エネルギー(J)＝ ×ばね定数(㎏/s2)×縮み(m)×縮み(m)2・ばねによる弾性エネルギー(J)＝最高点での位置エネルギー(J)2・位置エネルギー(J)＝重さ(㎏)×重力加速度(m/s )×高さ(ｍ)
ばね定数(㎏/s2)

100

200

300

400

500

縮み(m)

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

重さ(㎏)

１

１

１

１１

重力加速度(m/s2)

1010

101010高さ(ｍ)16物体の運動⑶ - エネルギーの保存⑵⑴の表について、（）にあてはまる数を求めなさい。

ばねを縮める長さが一定のとき、ばねの強さ（ばね定数）が２倍、３倍、４倍、・・・になると、弾性エネルギーが（（倍、（）倍、（）倍、）倍、・・・になるので、最高点での位置エネルギーも（）倍、（））倍、・・・になります。このとき、小球の重さが一定ならば、最高点の高さは（になります。

17）倍、（）倍、（）倍、・・・

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

13 図のように、水平面と斜面がなめらかにつながっています。この水平面にばねを取りつけて、ばねを縮めて小球を打ち出すと、小球は斜面をある高さまで上がって止まり、転がり落ちます。おもりの重さをいろいろ変えて、最高点の高さを調べ、表にまとめました。このとき、次の問いに答えなさい。

⑴以下の公式を使って、表の空らんをうめなさい。

1・弾性エネルギー(J)＝ ×ばね定数(㎏/s2)×縮み(m)×縮み(m)2・ばねによる弾性エネルギー(J)＝最高点での位置エネルギー(J)2・位置エネルギー(J)＝重さ(㎏)×重力加速度(m/s )×高さ(ｍ)
ばね定数(㎏/s2)

600

600

600

600

600

縮み(m)

0.10.1

0.1

0.10.1

重さ(㎏)

１２３

４５

重力加速度(m/s2)

1010101010

高さ(ｍ)
18

物体の運動⑶ - エネルギーの保存⑵⑴の表について、（）にあてはまる数を求めなさい。

ばねの強さとばねを縮める長さが一定のとき、小球の重さにかかわらず、ばねによる弾性エネルギーは一定になるので、最高点での小球の位置エネルギーも一定になります。このとき、小球の重さが２倍、３倍、４倍、・・・になると、最高点の高さは（倍、・・・になります。

19）倍、（）倍、（）

物体の運動⑶ - エネルギーの保存■ 解答 ■
１ ⑴ 4.5 ⑵
２ ⑴

4.5 ⑶

３

重さ(kg)
重力加速度(m/s2)
Ａ点の高さ(m)１100.05
0.50.5１
１

速さ(m/s)⑵ ４、９、16、２、３、４
３

Ａ点の高さ(㎝)

４ ⑴ ９⑵

９

10
141⑶

⑶

20200

１
100.20２
２４２

１100.454.5
4.5
９３

１100.80
８８
16
４

１10
1.25
12.5
12.5
25
５

２、３、４、√
２、√
３、２
30
245

40
282

80
400

120490

180
600

３５ ⑴
重さ(kg)
重力加速度(m/s2)
Ａ点の高さ(m)１
100.050.5
0.5
１１

速さ(m/s)２100.05１１
1
1

３100.05
1.5
1.5
1
1

４
100.05２２
1
1５100.052.5
2.5
11⑵ エ６ Ｇ、高さ、２（以上３つの順番はかわっても構いません）、高さ、重さ
７
小球の重さ(ｇ)８９Ａ点の高さ(㎝)

小球の重さ(ｇ)

10141

20141

30
141

40141

50
141

10141

20
200

30
245

40
282

80
400

120
490

180
600

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

28.2

40

4956.4

80

98

120

10141

20
141

30
141

40141

50
141

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

28.2

28.2

28.2

28.2

28.2

20

物体の運動⑶ - エネルギーの保存

10 ⑴ 0.5 ⑵

0.5 ⑶

0.05

11 ⑴
ばね定数(㎏/s2)
縮み(m)

重さ(㎏)
重力加速度(m/s2)
高さ(ｍ)

200
0.1
１１１100.1

2000.2４４
１100.4

2000.3９９
１100.92000.41616
１101.6

2000.52525
１102.5

300
0.1
1.5
1.5
１100.15

4000.1
２２
１100.2

500
0.1
2.5
2.5
１
100.25⑵ ４、９、16、４、９、16、４、９、1612 ⑴
ばね定数(㎏/s2)
縮み(m)

重さ(㎏)
重力加速度(m/s2)
高さ(ｍ)

100
0.1
0.5
0.5
１
100.05

2000.1１１
１
100.1⑵ ２、３、４、２、３、４、２、３、４13 ⑴
ばね定数(㎏/s2)
縮み(m)

重さ(㎏)
重力加速度(m/s2)
高さ(ｍ)
11600
0.1３３１
100.3

600
0.1
３３２
100.151⑵ 2、3、4

21600
0.1
３３
３
100.1

600
0.1
３３
４
100.075

600
0.1
３３５
100.06