数理解析研究所講究録
第 1992 巻 2016 年 100-113

100

Young Books and -Selberg Integrals

$*$

$q$

名古屋大学多元数理科学研究科
岡田聡一 (Soichi OKADA)

はじめに

1

正整数

$n$

の分割

$\lambda$の Young 図形 (英国風に，単位正方形を上，左に詰めて並べる) のの数字を 1 つずつ書き込んで，2 つの条件
各箱に 1, 2,
各数字はちょうど 1 回ずつ現れる．
各行の成分は左から右に，各列の成分は上から下に単調増加である．
をみたすようにしたものを， を枠とする標準盤という． を枠とする標準盤全体のなす集合を STab ( ) と表すとき，その元の個数は$n$$\bullet$$\bullet$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$\#STab(\lambda)=\frac{n!}{\prod_{x\in\lambda}h_{x}}$(1)と，Young 図形の箱における鉤の長さ妬を用いた簡単な積公式 (Fbame-RobinsonThrall [3] の鉤長公式) で与えられる．また，標準盤 $T\in STab(A)$ に対して major 指数と呼ばれる非負整数 maj (T) が定まり，これに関する母関数も$x\in\lambda$$\sum_{T\in STab(\lambda)}q^{maj(T)}=q^{n(\lambda)}\frac{[n]_{q}!}{\prod_{x\in\lambda}[h_{x}]_{q}} \langle 2 )$ここで， $n( \lambda)=\sum_{i>1}(i-1)\lambda_{i}$ であり， $[r]_{q}=\langle 1-q^{r})/(1-q)$ , $[n]_{q}!= \prod_{r=1}^{n}[r|_{q}$ である と積公式で表される．(例えば [17, 7.21.5 Corollary] を見よ．) さらに，同様の公式が，
$($

$)$

ストリクトな分割に対する変形標準盤に対しも成り立つことが知られている．
Peterson-Proctor (例えば [14] を見よ) は，Young 図形や変形 Young 図形の一般化として#complete な半順序集合の概念を定式化し，その半順序集合としての linear extension に対して (1), (2) と同様の鉤長公式を与えている．一方，Adin King Roichman [1], Panova[i2] は，長方形の Young 図形や階段状の変形 Young 図形の一部を切り取った図形上の標準盤の個数も積の形に表されることを示している．しかし，この場合の積公式は鉤長公式(1) のように単純ではなく，(2) のような一般化 ( 類似) も見出されていない．
Kim-Oh [7] は，標準盤の新たな一般化として Young book という概念を導入した．これは特別な場合として長方形の Young 図形や階段状の変形 Young 図形上の標準盤を含ん$q$

本稿は，Jang Soo Kim の共同研究 [8] に基づくものである．

101
でいる．そして，彼らは Young book の個数が Selberg 積分を爾いて次のように表されることを証明している :$\#YB(n, m_{\dot{Z}}r, \epsilon)$$=N!1 I\frac{F(rk)F(s_{k})}{F(n+r_{k}+s_{k})}k=Im$$\cross\frac{1}{n!}I_{0}^{1}\cdots\prime_{0^{1}}\prod_{k=1}^{m}(\prod^{n}x_{\dot{2}}^{r_{k}}(1-x_{i})^{s_{k}}II|x_{j}-x_{i}|)dx_{1}\cdots dx_{n}$.

(3)ここで． $F(t)=\Omega_{i=1}^{t-x_{i!}}$ である．(Young book の定義は \S 2 を参照されたい．) この公式と Selberg 積分の積公式 pS] を合わせることによって，Young book の個数に関する
積公式 (系 2.4) が導かれる．
本稿の主結果は，Kim-Oh の公式 (3) の一般化 ( 類似) である．つまり，Young bookの major 指数 (定義 3.1 を見よ) に関する母関数は，Jackson 積分 ( 積分) を用いて次$(3\rangle$

$q$

$q$

のように表される :$\sum_{\epsilon\epsilon YB(n,m^{\backslash /}r,\epsilon)},q^{maj(B\rangle}$$=q^{\sim(r+1)(\begin{array}{l}72\end{array})-m(_{3}^{n}\rangle} \downarrow N]_{q}!\prod_{k=1}^{m}\frac{F_{q}(r_{k})F_{q}(s_{k})}{F_{q}(n+r_{k}+s_{k})}$$\cross\frac{1}{n!}\prime_{o0_{k=1}^{1^{m}}}^{1,..\int I7}(\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r_{k}}s\prod_{j=1}^{k}(1-q^{j}x_{i}\rangle_{1\leq i<j}1I_{\leq n}|x_{j}-x_{i}|)d_{q}x_{1}\cdots d_{e^{X_{ns}}}$(4)である．この公式 (4) において $qarrow 1$ の極限をとると，Kim-Ohの公式 (3) が得られる．しかし，に現れる Jackson 積分は，よく知られた -Selberg
積分 (Askey [2] によって予想され，Habsieger [4], Kadell [6] によって独立に証明された)とは異なるものであり，一般には積公式をもたない。
本稿の構成は以下の通りである．\S 2 では，[7] で導入された Young book などの定義を
ここで，$F_{q}(l)= \prod_{\dot{z}=1}^{l-1}[i]_{q}!$$(4\rangle$$q$

募える．\S 3 では major 指数を導入し主定理を述べるとともに，その証明の概要を説明する．そして，\S 4 では，Schur 関数に関する Cauchy の公式などを利用することによって，特別な場合に ) に現れる -Selberg 型積分が積の形に表されることを示す．さらに，同様のアイデアで得られる -Selberg 型積分の積公式も紹介する．
$\ovalbox{\tt\small REJECT} 4$

$q$

$q$

2

Young book とその個数
Youag book を定義するために，その土禽となる Young 図形の概念の一般化を導入する．

定義 2.1(1) 正整数 , 非負整数 $r,$
$n$

$s$

に対して，

$P(n;r, s)=\{(i,j)\epsilon \mathbb{Z}x\mathbb{Z}:-r+1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n+s, i\leq j\}$とおき， $(n;r,$$s\rangle$-staircase と呼ぶ．

102(2) 正整数 $n,$ $m$ と長さ $m$ の非負整数列 $r=(r_{1},r_{2}, \cdots,r_{m})$ ,与えられたとき，$s=(s_{1}, s_{2_{\rangle}}\ldots, s_{m})$が$\tilde{P}(n, m;r, s)=\{(k,i,j)\in \mathbb{Z}^{3}:1\leq k\leq m, (i,j)\in P(n;r_{k_{\rangle}}s_{k})\}$とおき，その上の同値関係〜

を$(k,i,j)\sim(k’,i’,j’)\Leftrightarrow i=j=i’=j’$

によって定める．このとき， $\tilde{P}(n, m;r, s)$ のし， $(n, m;r, s)$ -staircase と呼ぶ．

〜

による商集合を $P(n, m;r, s)$ と表

Young 図形の場合と同様に格子点の代わりに単位正方形を置いて， $(n;r, s)$ -staircase
は縦 $r+n$ , 横 $s+n$ の長方形から左下隅の三角形部分を取り除いたものである．例えば，次の図は (4; 3, 2)-staircase を表している :$P(n;r, s)$ を表す． $P(n;r,$$s\rangle$

特に， $r=0$ のとき， $P(n;0, s)$ はストリクトな分割 $(s+n, s+n-1, \cdots, s+1)$ に対応$(n, n)$ } を，する変形 Young 図形である．また， $P(n;r, s)$ の部分集合 $\{(1,1\rangle, (2,2)$ ,$P(n;r, s)$ の対角線と呼ぶ．上の図で影を付けた箱が $P(4;3,2)$ の対角線である．
定義 2.1 (2) では形式的な定義を与えたが， $P(n, m;r, s)$ は $m$ 枚の staircase P $(n;r_{1}, s_{1})$ ,, $P(n;r_{m}, s_{m})$ を対角線を同一視して貼り合わせたものである．そこで， $P(n, m;r, s)$を構成する $P(n;r_{k}, s_{k})$ (対角線も含む) を
ページ自と呼ぶ．また，$m;r$ , s) の$P(n;r_{m}, s_{m})$ を並べて図示する．例えば，$P(n, m;r, s)$ は， $P(n;r_{1}, s_{1})$ ,$\cdots,$$k$$P\langle n,$$\cdots,$

は， 3, 3; $(1, 2, 1)$ , $(0,1,1))$ -staircase を表している．この図で影を付けた箱 (各ページの対角線) はそれぞれの staircase にあるが，実際には同一視されている．
$($

正整数 $n,$ $m$ と長さ $m$ の非負整数列 $r,$$s$に対して， $r= \sum_{k=1}^{m}r_{k},$ $s= \sum_{k=1}^{m}s_{k}$ とお

くとき，$\# P(n, m;r, s)=\sum_{k=1}^{m}((n+rk)(n+s_{k})-\frac{1}{2}n(n-1))-(m-1)n$$=m (\begin{array}{l}n2\end{array})+(r+s+1)n+\sum_{k=1}^{m}$

rksk

103
である．

次に，本稿の主役である Young book を定義する．

定義 2.2.

を正整数， $r,$
$P(n, m;7” S)$ の各箱に，1, 2,
$n,,$

$rn$

$s$

を長さ $m$ の非貧整数列とする． $(n, m;r, s)$ -staircase$(ただし，N=\# P(n;r, s)$ である の数字を 1 つ$N$$\cdots,$$)$

ずつ書き込んで，2 つの条件・各整数はちょうど 1 園ずつ現れる．

各ページで，各行の成分は注から右に，各列の成分は上から下に単調増加である．
をみたすようにしたものを， $(n, m;r, s\rangle-$ Young book $と呼ぶ．また，(n, m;r, s)$ -Youngbook 全体のなす集合を $YB(n,m;r, s)$ と表す．
$\bullet$

例えば，3, 3; $(1, 2)$ , $(0,1))$ -Young book である．影を付けた箱は属一視されているので，同じ数字が書き込まれていることに注慧する．
は，Stanley による Selberg 積分の組合せ論的解釈 [17, Exercise.10 (b) ]Kim-Ohと，Potnikov による変形標準盤の重みつき母蘭数の公式 [13, Theorem 15.1] とを用いて，
は

$($

$[7|$

次の定理を誕明している．

を長さ $m$ の非負整数列とするとき，$YB(n, m;r, s)$ の元の個数について次の等式が成り立つ :定理 2.3.

(Kim-Oh [7]) $n,$ $m$ を正整数， $r,$$s$$\frac{1}{n!}\prime_{0^{1}}\cdots\int_{0}^{1}\prod_{k=1}^{\nu n}(\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r_{k}}(\lambda-x_{i})^{s_{k}}\prod_{\downarrow\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|)dx_{1}\cdots dx_{n}$$= \frac{1}{N!}\prod_{k=1}^{m}\frac{F(n+rk+sk)}{F(r_{k})F(sk)}$. #YB $(n, m;r, s).$ (5)

ここで， $N=\# P(n, m_{\rangle}\cdot r, \epsilon)*,$ $F(l)= \prod_{i\simeq 1}^{l-1}i!$ である．

この定理の (5) の左辺の積分は， $r= \sum_{k=1}^{m}r_{k},$ $s= \sum_{k=1}^{m}s_{k}$ とおくとき，$\frac{1}{n!}\int_{(1}^{1}\cdots\int_{0}^{1}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(1-x_{i})^{s}\prod_{x\leq s’<j\leq n}|Xj-x_{i}|^{m}dx_{1}\cdots dx_{n}$と書き直すことができ，これは Selberg 積分 [15] に他ならない．よって，Selberg 積分の積公式を用いることにより，Young book の偲数を積の形で表すことができる．
系 2.4.

$(Kim-Oh[7])$$\#YB(n,m;r, s)$$=N!_{k} f_{=}^{m}I_{1}\frac{F(r_{k})F(sk)}{F(n+r_{k}+s_{k})}\cdot\frac{2^{n}}{n!}\prod_{j=1}^{n}\frac{(jm)!!(2r+(j-1)m)!!(2s+(J’-1)m)!!}{m!!(2r+2_{8}+2+(n+j-2\rangle m)!!}.$

104
ここで， $N=\# P(n;r, s)$ , $r= \sum_{k=1}^{m}r_{k},$ $s= \sum_{k=1}^{m}s_{k}$ であり， $l!!=l\cdot(l-2)\cdot(l-4)$である．

3$\cdots$

Young book の母関数
Young book の母関数を考えるために，major 指数を導入する．

定義 3.1. $B$ を $(n,m;r, s)$ -Young book とする． $B$ の成分 は，次の (a), (b) いずれかの条件をみたすとき， $B$ の descent であるという :(a) $i+1$ は より上の行 (ページは問わない) に現れる．
(b) $i+1$ はどちらも対角線上にはなく， $i+1$ は より前のページの同じ行に現れる．
の descent 全体のなす集合を Des (B) とおく．そして，
$i$

$i$

$i,$

$i$

$B$

maj $(B)=$$\sum$$i$$i\in Des(B)$とおき， $B$ の major 指数と呼ぶ．

例えば， 3, 2; $(1, 2)$ , $(0,1))$ -Young book$($を考えると，(a) のタイプの descent は 1, 5, 8, 13, 17, 21 の 6 つあり，(b) のタイプのdescent は 10 のみである．よって， $maj(B)=1+5+8+13+17+21+10=75$ となる．
以下， $0<q<1$ をみたす実数 を固定する．このとき，関数 $f(x_{1}, \cdots, x_{n})$ の Jackson
積分 ( 積分) は，
$q$

$q$

ヱ
$\int_{[0,1]^{n}}f(x)d_{q}x=\int_{0}^{1}\cdots\int_{0}$$f(x_{1)}\ldots, x_{n})d_{q^{X}1}\cdots d_{q}x_{n}$鳶 $1+\cdots+k_{n}$$=(1-q)^{n} \sum_{k_{1},\ldots,k_{n}\geq 0}f(q^{k_{1}}, \ldots,q^{k_{n}})q$

によって定義される． $qarrow 1$ とすると，Jackson 積分は通常の Riemann 積分となる．また，次の記号を用いる :$[r]_{q}= \frac{1-q^{r}}{1-q}, [n]_{q}!=\prod_{r=1}^{n}[r]_{q}, (a;q)_{n}=\prod_{i=\mathfrak{o}}^{n-1}(1-aq^{i})$以上の準備のもとで，本稿の主結果を述べることができる．

.

105を長さ $m$ の非負整数列とするとき，を正整数， $r,$
$YB(n, m;r, s)$ の major 指数に関する母関数について次の等式が成り立つ :定理 3.2.

(Kim-岡圏 [8])

$n,$

$m$

$s$

$\frac{1}{n!}I_{0}^{1}\cdots\prime_{0^{1}}\prod_{k=1}^{m}(\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r_{k}}\theta\prod_{j=1}^{k}\langle 1-q\dot{i}x_{i})_{1\leq i<j}II_{\leq n}|x_{j}-x_{i}|)d_{q}x_{I}\cdots d_{a}x_{n}$$=q^{(r+1\rangle\langle_{2}^{n})+m(\begin{array}{l}n3\end{array})} \frac{1}{[N]_{q}!}\prod_{k=1}^{m}\frac{F_{q}(n+r_{k}+s_{k})}{F_{q}(r_{k})F_{q}(sk)}$.
$\sum_{B\in YB\langle nir,\epsilon)}q^{maj(B\rangle}$

ここで，$F_{q}(t \rangle=\prod_{i=1}^{l-1}[i]_{q}!$注意．定理 3.2 の$(6\rangle$

.

(6)

である．

の左辺の Jackson 積分は，$\prime_{[0,1]^{n}}\prod_{\grave{f}=1}^{n}(x_{i}^{r}\prod_{k=1}^{m}(qx_{i};q)_{s_{k}})_{1}$$\prod_{i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{rn}d_{q}x$

くと書き直すことができるが， $m=2,$ $s=(s, 0)$ $(あるいは (0, s)$ ) の場合を除いてよく知られた -Selberg 積分 ([2], [5] を見よ)$q$$\prime_{0}\prime_{0}\prod_{i=1,n}^{n}x_{i}^{\alpha-1}(qx_{i};q)_{\beta-1}\prod_{1\leq i<j\leq n}x_{i}^{2k}(q^{1-k}\frac{x_{j}}{x_{i}};q)_{2k}d_{q}x_{1}\cdots d_{q}x_{n},$$\int_{[0,1]^{n}}\prod_{i=1}(x_{\dot{z}}^{r}(qx_{i};q)_{S})\prod_{1\leq i<j\leqn}((x$とは異なる．

この節の残りで，定理 3.2 の証明の概略を説明する．証明は次の 3 つのステツプに分けることができる．

(1) Young book の母関数を $P(n, m;r,s)$ 分割の母関数を駕いて表す．
(2) $P(n,m;r, s)$ 分割の母関数を Schur 関数の 特殊値を用いて表す．
(3) (2) で得られた表示を Jackson 積分を爾いて書き趨す．
第 1 ステップのために， $P$ 分割の定義と基本定理を思い出しておく．(詳細は [16,3.15]$q$を参照されたい．)

定義 3.3. $P$ を $N$ 元からなる半順序集合とする．
(1) 写像 $\sigma:Parrow N$ (ここで， は葬負整数全体のなす集合である) は，順序を逆転させるとき，つまり，$N$$P$において $x\leq y=*\mathbb{N}$ において $\sigma(x)\geq\sigma(y)$とが成り立つとき， $P$ 分割であるという． $P$ 分割 に対して，
おく，また， $P$ 分割全体のなす集合を $A(P)$ と表す．
(2) 順序を保つ全単射 : $Parrow[N]$ $(ここで，[N]=\{1,2, \cdots, N\} である)$ を， $P$ のと表す．
linear extension と呼ぷ． $P$ の linear extensiQn 全体のなす集合を$\sigma$$| \sigma|=\sum_{x\epsilon P}\sigma(x)$$\mathcal{L}(P)$106
命題 3.4. $P$ を $N$ 元からなる半順序集合とする． $P$ の linear extension$\omega_{0}$

を固定する

とき，
$\sum_{\sigma\in A(P)}q^{|\sigma|}=\frac{\sum_{\omega\in \mathcal{L}(P\rangle}q^{maj(\omega \mathfrak{o}\omega^{-1})}}{\prod_{i=1}^{N}(1-q^{i})}.$

ここで，$\omega \mathfrak{o}\omega^{-1}$は $[N]$ の置換であり，置換$\pi$

Des $(\pi)=\{i:\pi(i)>\pi(i+1$について$maj(\pi)=$$\sum$$i$$i\in Des(\pi)$である．
この $P$ 分割の理論を適用するために， $(n, m;r, s)$ -staircase $P(n, m;r, s)$ に半順序集合の構造を入れる．まず， $m=1$ のとき， $(n;r, s)-stairca_{-}seP(n;r, s)$ は，$(i,j)\leq(i’,j’)\approx i\leq i’, j\leq j’.$と定義することにより，半順序集合となる．一般に，の代表元 $(k, i,j)$ とものが取れる

$c$

$c’$

$C,$

$d\in P(n, m;r, s)$ に対して，の代表元 $(k’, i’,j’)$ で， $k=k’,$ $i\leq i’,$ $i\leq i’$ となる

とき， $c\leq(j と定義することにより，P(n,m;r, s)$ に半順序集合の構造を与える．つまり，各ページ $P(nr, s_{k})$ 上の半順序を張り合わせることで， $P(n, m;r, s)$ に半順序を定義する．異なるページ上の箱 (ただし，対角線上にないとする) は比較不可能であることに注意する．例えば， 3, 2; $(1, 2)$ , $(0,1))$ -staircase は半順序集合としては，歪 Young 図形$($$(5, 5, 5, 5, 5)/(2)$と同型である :このとき， $(n, m, r, s)\sim$ Young book は自然に半順序集合 $P(n, m;r, s)$ の linear extensionと見なすことができる．
次に， $P(n, m;r, s)$ の linear extension
を，1, 2,, $N$ $(ただし，N=\# P(n, m;r, s)$である) の数字を次の条件をみたすように書き込んでできる Young bookに対応するものとして定義する :同じ行では，対角線上の箱に書き込まれている数字が最も小さい．
・同じ行では，ページ数の若い方の部分にある数字の方が小さい．
例えば， $P(3,2;(1,2), (0,1))$ の場合は，$\omega \mathfrak{o}$$B\mathfrak{o}$$\bullet$107
である．このとき，Young book $B\in YB\langle n,$$m^{\wedge},r$, s) に対応する linear extension を$\omega$とすると，

Des $(B)=Des(\omega_{0}\omega^{-1})$ ,$maj(B)=maj(\omega 0\omega^{-1})$となる．よって， $P$ 分割の基本定理 (命題 3.4) を適用することにより，
命題 3.5.
$\sigma\in A(P(n,m;r\epsilon))\sum_{)}q^{|\sigma|}=\frac{\sum_{B\epsilon YB(n,m;r,s)}q^{maj(B)}}{\prod_{i=1}^{N}(1-q^{i})}.$

を細分する．
第 2 ステップのために， $P(n, m;r, s)$ 分割の集合$A(P(n, m;r, s))$ に対して，その対角線上の箱に書き込まれた数字を大きい順に読んでできる分割を， の profile と呼ぷ．例えば， $P(3,2;(1,2), (O, 1))$ 分罰$\mathcal{A}(P(n, m|r, s\rangle)$$\sigma\in$$\sigma$の profile は 2, 2, ) である．長さ 以下の分割$P(n,m;r, s)$ 分割全体のなす集合を$0$$\langle$$n$$\lambda$

に対して，profile が であるようなと表す．このとき，$\lambda$$\mathcal{A}_{\lambda}(P(n, m;r, s))$$\sigma\in A(P(n,m;r,\epsilon))\lambda\in\sigma k\in \mathcal{A}_{\lambda}(P(n;r_{k},s)\rangle\sum q^{|\sigma|}=\sum_{Par_{n}}q^{|\lambda|}\prod_{k=1}^{m}\sum_{k}q^{|\sigma_{k}|-|\lambda|}.$以下の分割全体のなす集合である．よって， $m=1$ のときのの母関数がわかればよい．
に対応する Schur 関数をと表す :ここで，Par$\bullet$

は長さ

$n$

$\mathcal{A}_{\lambda}(P(n;r_{k}, s_{k}))$分割$\lambda$$s_{\lambda}$$s \lambda(x_{1}, \cdots, x_{N})=\frac{\det(x_{i}^{\lambda_{j}+N-j})_{1\leq i,i\leq N}}{\det(x_{i}^{N-j})_{1\leq i,j\leq N}}.$

このとき，[$11_{J}$

Theorem 2.1] と同様の議論から，$A_{\lambda}(P(n;r_{k}, s_{k}))$の母関数は，$\sigma\epsilon \mathcal{A}_{\lambda}(P(n;r,s)\rangle\sigma\epsilon A_{(\lambda_{1},\ldots,\lambda n^{(j,\ldots\zeta))}},(P(n+s;r,0)\rangle\sum q^{|\sigma|}=\sum_{\rangle}q^{|\sigma|}$$= \frac{\Gamma i_{h=1}^{r-1}(q;q)_{h}}{\prod_{h=n+s}^{n+r+s-1}(q;q)_{h}}\cdot s\lambda(q^{r+1}, q^{r+2}, \ldots, q^{r+n+s})$と，$\lambda$に対応する Schur 関数$\mathcal{S}_{\lambda}$の$q$

特殊値を用いて表されることがわかる．従って，

命題 3,6.

$\sum_{\sigma\in A(P(n_{\rangle}^{2}r,s))}.q^{|\sigma|}=\prod_{k=1}^{m}\frac{\prod_{h=1}^{r_{k}-1}(q;q)_{h}}{\tau\iota_{h=n+s_{k}}^{n+r_{k}+s_{k}-1}(q;q)_{h}}\sum_{\lambda\epsilon Par_{n}}q^{|\lambda|}\prod_{k=1}^{m}q^{7_{k}|\lambda|}s_{\lambda}(1, q, \ldots, q^{n+s_{k}-1})$.

108
最後に，第 3 ステップのために，次の一般的な補題に注意する．
補題 3.7. ([18, Lemma 3.1] の特別な場合)たしているとする :$x_{1},$

はに関して対称である．
,...,
(a)
(b) $x_{1}=x_{j}(i\neq i)$ ならば $f(x_{1},$$f$$x_{1}$$\cdots$,$x_{n}$の関数 $f$ が次の 2 つの条件をみ$x_{n}$$\ldots,$$x_{n}\rangle=0$

である．

このとき，

$\int_{[0,1]^{n}}2.$
また，Vandermonde の行列式を用いることにより，Schur 関数のに表されることがわかる．
補題 3.8. 正整数 , 非負整数 $r,$
$n$

$s$

と長さ

$n$

以下の分割

$\lambda$$q$

特殊値は次のように対して，$q^{r|\lambda|}s_{\lambda}(1,q, \ldots, q^{n+s-1})=\frac{q^{-r(\begin{array}{l}n2\end{array})-(\begin{array}{l}n3\end{array})}}{\prod_{h=s}^{n+s-1}(q;q)_{h}}f_{n,r,s}(q^{\lambda_{1}+n-1}, q^{\lambda_{2}+n-2}, \ldots, q^{\lambda}$

ここで，$f_{n,r,s}(x_{1}, \ldots, x_{n})=\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(qx_{i};q)_{s}\prod_{1\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|$である．

補題 3.7, 3.8 を用いると，命題 3.6 の左辺に現れた Schur 関数のJackson 積分として書き直すことができる．

$q$

特殊値の積の和を，命題 3.9.

$\frac{1}{n/}\int_{[0,1]^{n}}\prod_{k=1}^{m}(kd_{q}x$$=(1-q)^{n}3kh=n+s-1q^{r_{k}囚}s_{\lambda}(1, q, \ldots, q^{n+\epsilon-1})$ .

以上の命題 3.5, 3.6, 3.9 を組み合わせると，定理 3.2 の証明が完成する．

4$q$-Selberg 型積分

命題 3.9 は，q-Selberg 型積分を Schur 関数のできる．すると，Cauchy の公式$\sum_{\lambda\in Par_{n}}s_{\lambda}(x_{1}, \ldots, x_{n})s_{\lambda}(y_{1}, ..

$q$.

特殊値を用いて表す式とみなすことが, y_{n})=\frac{1}{\prod_{l,j=1}^{n}(1-x_{1}y_{j})}$

(7)

109
や Schur Littlewood の公式(8)$\sum_{\lambda\epsilon Par_{n}}s\lambda(x_{1}, \ldots, x_{n})=\frac{1}{fI_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-x_{i}x_{j})}$などの Schur 関数の公式 (例えば [9, Chapter 1], [17, Chapter 7] を見よ) を用いることが特別な値をとる場合には，命題 3.9 の -Selberg 型積分に対する積公式を導くことができる．
まず，Cauchy の公式 (7) を用いると， $m=2,$ $s=(s, 0\rangle (あるいは (O, s)$ ) の場合が計算できる．この場合は，よく知られている -Selberg 積分の積公式に別証明を与えること
によって， $m,$ $r,$

$s$

$q$

$q$

になる．

定理 4.1. 正整数

$n$

と非負整数

$r{}_{\rangle}S$に対して，$\int_{[0,1]^{t}},\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(qx_{i};q)_{8}\prod_{1\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{2}d_{q}x$(9)$=n!q^{(r+1)(_{2}^{n})+2(_{3}^{n})} \frac{[1]_{q}![2]_{q}!\cdots[n-1]_{q}![s+1]_{q}![s+2]_{q^{l}}^{1}\cdots[s+n-1]_{q}!}{\prod_{i=1}^{n+s}\prod_{j=1}^{n}[r+i,+j-1J_{q}}.$証明．命題 3.9 において $m=2,$ $s=(s,0)$ とすると，$\prime_{[0,1]^{n}}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(qx_{i};q\rangle_{s}\prod_{\iota\leqi<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{2}d_{q}x$$=n!(1-q)^{n}q^{(r+1)(_{2}^{n})+2(\begin{array}{l}n\theta\end{array})} \prod_{h=s}^{n+s-X}(q;q)_{h}\prod_{h\overline{\sim}1}^{n-1}(q;q)_{h}$$\cross\sum_{\lambda\epsilon Par_{n}}s_{\lambda}(\lambda, q, \ldots, q^{n+8-1})s_{\lambda}(q^{r+1}, q^{r+2}, \ldots, q^{r+n})$

よって，Cauchy の公式 (7) を$x_{i}=q^{i\sim 1},$$y_{i}=q^{r+i}(1\leq i\leq n)$.

として用いればよい．口次に，Schur Littlewood の公式 (8) を馬いると， $m=1,$ $s=(O)$ の場合と， $m=1,$$s=(1\}$ の場合が計算できる．

定理 4.2. 正整数

$n$

と非負整数

$r$

に対して，

$I_{\{0,1]^{n_{i}}} I_{=}^{n}I_{1}x_{i}^{r}\prod_{\iota\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|d_{q}x=n!q^{(r+1)(_{2}^{n})+(\begin{array}{l}n3\end{array})}\frac{[1]_{q}![2]_{q}!\cdot\cdot.\cdot[n-1\}_{q}!}{\prod_{i=\lambda}^{n}[r+i]_{q}\prod_{x\leq{\}<j\leq n}[2r+i+j]_{q}},$$(10\rangle$$\prime_{[0,1]^{n}}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(1-qx_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|d_{q}x$$=n!q^{(r+1)(_{2}^{n})+(_{3}^{n})} \frac{[1]_{q}![2J_{q}!\cdots[n]_{q}![(n+1)r+(^{n+\lambda}2\rangle]_{q}}{\prod_{i=1}^{n+1}[r+i]_{q}\prod_{x\leq i<i\leq n+1}[2r+i+j]_{q}}$. (11)

110
同様のアイデアで，古典群の既約指標に対する Cauchy 型公式 (例えば [10] を見よ) を用いることによって，次のような -Selberg 型積分の積公式が得られる．
$q$

定理 4.3. 正整数$n$と非負整数 $r,$

$s$

に対して，

$\int_{[0,1I^{n}}x$$=n!q^{(r+1)(\begin{array}{l}n2\end{array})+2(\begin{array}{l}n3\end{array})} \prod_{k=1}^{n-1}[k]_{q}!\prod_{k=1}^{n}[s+2k-2]_{q}!\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}[2n+2r+s+i+j-2]_{q}}{\prod_{i=1}^{2n+s-1}\prod_{j=1}^{n}[r+i+j-1]_{q}}$, (12)$\int_{[0,1]^{n}}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(qx_{i};q)_{s}(1+q^{(s+1)/2}x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-q^{s+1}x_{i}x_{j})\prod_{1\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{2}d_{q}x$$=n!q^{(r+1)(_{2}^{n})+2(\begin{array}{l}ns\end{array})} \prod_{karrow-1}^{n-1}[k]_{q}!\prod_{k=1}^{n}[s+2k-2]_{q}!\prod_{k=1}^{n}(1+q^{s/2+k-1/2})$$\cross\frac{\prod_{i=1}^{n}[n+r+s/2+i-1/2]_{q}\prod_{1\leq i<j\leq n}[2n+2r+s+i+j-1]_{q}}{\prod_{i=1}^{2n+s}\prod_{j=1}^{n}[r+i+j-1]_{q}}$, (13)$\int_{[0,1]^{n}}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(qx;;q)_{s}(1-q^{(s+1)/2}x_{i})\prod_{1\leq l^{\backslash }<j\leq n}(1-q^{\epsilon+1}x_{i}x_{j})\prod_{1\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{2}d_{q}x$$=n!q^{(r+1\rangle(\begin{array}{l}n2\end{array})+2(_{3}^{\mathfrak{n}}\rangle} \prod_{k=1}^{n-1}[k]_{q}!\prod_{k=1}^{n}[s+2k-2]!\prod_{k=1}^{n}[s/2+k-1/2]_{q}$$\cross\frac{\prod_{i=1}^{n}(1+q^{n+r+s/2+i-1/2})\prod_{1\leq i<j\leq n}[2n+2r+s+i+j-1]_{q}}{\prod_{i=1}^{2n+s}\prod_{j=1}^{n}[r+i+j-1]_{q}}, (14\rangle$$\int_{|0,1]^{\iota}},\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{r}(qx_{i};q)_{s}(1-q^{s+1}x_{i}^{2})\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-q^{s+1}x_{i}x_{j})\prod_{1\leq j<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{2}d_{q}x$$=n!q^{(r+1)(\begin{array}{l}n2\end{array})+2(\begin{array}{l}n3\end{array})} \prod_{k=1}^{n-1}[k]_{q}!\prod_{k\simeq 1}^{n}[s+2k-1]_{q}!\frac{\prod_{\iota\leq i\leq j\leq n}[2n+2r+s+i+j]_{q}}{\prod_{i=1}^{2n+s+1}\prod_{j=1}^{n}[r+i+j-1]_{q}}$. (15)

証明． $s=2l+1$ が奇数である場合に (12) を示す．(他も同様である．) $N=n+l$ と置き，
斜交群 $Sp_{2N}$ の既約指標を用いる．長さ $N$ 以下の分割 に対応する $Sp_{2N}$ の既約指標$\lambda$(斜交 Schur 関数) は$s_{(\lambda\rangle}^{C}(x_{1}, \ldots, x_{N}\rangle=\frac{\det(x_{i}^{\lambda_{j}+N-j+1}-x_{i}^{-(\lambda_{j}+N-j+1)})_{1\leq i,j\leq N}}{\det(x_{i}^{N-j+1}-x_{i}^{-(N-j+1)})_{1\leq i,j\leq N}}$

111
で与えられる． の長さがの行列式) を屠いると，$\lambda$$n$$s_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\lambda\rangle}^{C}$$s_{\langle\lambda\rangle}^{C_{J}^{\gamma}}\langle q^{N-1/2},q^{N-3/2}$,..,,

以下であるとき，Weyl の分母公式 (あるいは Vandermondeの特殊化が次のように因数分解されることがわかる :$q$$q^{3/2},$ $q^{1/2}\rangle$$=q^{-(N-1/2)|\lambda\vdash(\begin{array}{l}n3\end{array})} \frac{1}{\prod_{k=1}^{n}(q;q)_{s+2k-2}}\cdot G(q^{\lambda_{1}+n-1}, \ldots, q^{\lambda_{n}})$,

ただし，$G(x_{1}, \ldots, x_{n})=\prod_{i=1}^{n}(qx_{i_{\rangle}}\cdot q)_{s}\prod_{1\leq i<i\leq n}(1-q^{s+1}x_{i}x_{j}\rangle_{1\leq i<j\leq n}f1(x_{j}-x_{i})$である．よって，補題 3.7 を用いると，$\prime_{[0,1]^{n}}\prod_{i=1}^{n}x_{\hat{l}}^{r}(qx_{i};q)_{s}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-q^{s+\lambda}x_{i}x_{j})\prod_{1\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{2}d_{q}x$$=n!(1-q\rangle^{n}3$$\cross$$\sum s_{\langle\lambda)}^{C}$$(q^{N-1/2}, q^{N-3/2}, \cdots, q^{3/2}, q^{1/2})\cdot q^{(r+N+1/2)|\lambda|}s_{\lambda}(1,$ $q$,...,$q^{n\sim 1}\rangle.$$\lambda\in Par_{n}$ここで， $Sp_{2N}$ の既約指標に対する Cauchy 型公式$\sum_{\lambda\in Pax_{n}}s_{\langle\lambda\rangle}^{C}\langle x_{\lambda}$, . . .,

$x_{N})_{S} \lambda(u_{1}, .

.

.

, u_{n})=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-u_{i}u_{j})}{\prod_{i=1}^{N}\prod_{j=1}^{n}(1-x_{{\}}u_{f}\rangle(1-x_{i}^{-1}u_{i})}$を $x_{i}=q^{N-i+1/2}(1\leq i\leq N)$ , $u_{j}=q^{r+N+j-1/2}(1\leq i\leq n)$ として用いると，誕明が完成する．口岡様にして，一般線型群 $GL_{N}$ の既約禽理表現の指標を用いると，次のような -Selberg型積分が得られる．
$q$

定理 4.4. 非負整数 $n,$ $m,$ $r,$ $s,$

$l$

に対して，

$K_{n,m}^{r,s,l}(x_{1}, \cdots,x_{n}, y_{1_{\rangle}}\cdots, y_{m})$$= \prod_{i=1}^{n}x_{\dot{\mathfrak{g}}}^{r}(qx_{i};q)_{l}\prod_{j=1}^{m}y_{j}^{s}(qy_{j}\grave{.}q)\iota\prod_{i=1j}^{n}\prod_{=1}^{m}(1-q^{p}x_{i}y_{j})\prod_{1\leq i<j\leq n}|x_{j}-x_{i}|^{2}\prod_{\lambda\leq i<j\leq m}|y_{j}-y_{i}|^{2}$

とおく． $N=n+m+l$ が正であるとき，$\int_{[0,1]^{n+m}}K_{n,m}^{r,s,l}(x_{1)}x_{n}, y_{1}, \cdot\cdot, , y_{m})d_{q}xd_{q}y$$=n^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}m!q^{(r+1)(\begin{array}{l}n2\end{array})+(s+1)(\begin{array}{l}m2\end{array})+2(\begin{array}{l}ns\end{array})+2(\begin{array}{l}m3\end{array})} \frac{YI_{k=1}^{N-1}[k]_{q}!\prod_{k=1}^{n-1}[k]_{q}!\prod_{k=1}^{m-1}[k]_{q}!}{\prod_{k=1}^{l\sim 1}[k]_{q\prime}^{1}}$$\cross\frac{fI_{i=1}^{n}\Gamma i_{j=1[N+7+s+i+j-1]}^{m}}{\prod_{i=1}^{n}\prod_{k=1}^{N}[r+i+k-1]_{q}\prod_{i=1}^{m}I7_{k=1}^{N}[s+j+k-1]_{q}}$なお，定理 4.1 は，定理 4.4 において $n,$ $m$ の一方が$0$である場合にあたる．

.

(16)

112
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