微分方程式の完全 WKB 解析について— 複素解析と漸近解析の一つの接点 —竹井義次（同志社大学 理工学部）

The 19th Oka Symposium（奈良女子大学岡数学研究所 / Zoom ミーティング）

2021 年 12 月 18 日（土）Overview
WKB解

Fourier-Laplace解析(Borel-Laplaceの方法)(Wentzel-KramersBrillouin)

完全WKB解析(Exact WKB analysis)

複素領域の微分方程式＝‘‘Borel-Laplace の方法に基づく WKB 解析

Brief History
1980 年前後• Voros : Borel 総和法を用いて Schrödinger 方程式の WKB 解やスペクトル函数を研究• Ecalle : “resurgent function” の理論を創始
1980 年代後半 〜 1990 年代• Pham, Delabere, . . . :Ecalle 理論を用いた完全 WKB 解析の基礎付け• 河合, 青木, 竹井, . . . :複素領域の微分方程式への応用，高階方程式，Painlevé 方程式等への拡張

1990 年代 〜 2000 年代前半
• k-summability, multisummability の理論の進展(Ramis, Braaksma, Balser, Costin, . . . )2000 年代後半 〜• Schäfke, 小池, 神本, Sauzin, . . . :WKB 解の Borel 総和可能性，resurgence 性• Gaiotto-Moore-Neitzke :ゲージ理論における壁越え公式の導出

Part 1. Schrödinger 方程式の完全 WKB 解析
()
22 d
ℏ
− Q(x) ψ = 02dx

(or)d2−ηQ(x) ψ = 02dx2(ℏ : Planck 定数, η = ℏ−1 > 0 : large parameter)∫ x√∞)∑
ψ± = exp ±η
Q(x) dx
η −(n+1/2) ψ±,n (x)(n=0: WKB (= Wentzel-Kramers-Brillouin) 解WKB 解の構成∫ x
ψ = exp
S(x) dx を代入=⇒dSdx+ S 2 = η 2 Q(x)S(x) = ηS−1 (x) + S0 (x) + η −1 S1 (x) + · · · と展開√
S−1 (x) = ± Q(x)





1  ∑dSn =⇒Sn+1 (x) = −Sj Sk +
2S−1 j+k=ndx

j,k≥0

＜注＞

S± (x) = ± Sodd (x) + Seven (x) と分解=⇒ Seven (x) = −=⇒ ψ± = √1Sodd

1 dlog Sodd (x)
2 dx)
( ∫ x
Sodd dx
exp ±ほとんどの場合に WKB 解は発散．Borel 総和法で意味付けする．

Borel-Laplace の方法

f = es0 z∞∑

fn z −(n+α) に対して

n=0

fB (ζ) =∞
∑
n=0
∫ ∞

fn
Γ(n + α)F (z) =−s0

(ζ + s0 )n+α−1 : f の Borel 変換e−zζ fB (ζ) dζζ＜注＞ζκ−1Laplace 変換

7−→: f の Borel 和−s0

∫ ∞- ∞e−zζ ζ κ−1 dζ = Γ(κ)z −κ0

従って，Borel 変換は（形式的）逆 Laplace 変換．
Γ 函数のお蔭で，f は収束しなくても fB が収束する場合がある．

Example （Airy 方程式）
(2ddx
ψ± = √(ここで∂2∂x2−x∂)

2−ηx ψ=021Sodd( ∫ x)
exp ±Sodd dx02 )∂y 2

ψ±,B (x, y) = 0 に注意すれば，)
1 5 1−1/2sF, , ;sψ+,B (x, y) =4πx6 6 2()( 3 )1/2 1
1 5 1−1/2
ψ−,B (x, y) =(1 − s)F, , ; 1−s4πx6 6 2( 3 )1/2 1

ただし s =3 y4 x3/2+12(, F (α, β, γ; z) は Gauss の超幾何函数．

鍵を握っているのは Borel 変換 ψ±,B (x, y)．次が成立．

▶ ψ+,B (x, y) は y = ±s(x) = ±∫ x√

Q(x) dx に特異点を持つ，a

ここで a は Q(x) の零点．

▶ Borel 変換の特異点は Stokes 現象を引き起こす．
ℑs(x) = 0s(x)yx
6−s(x)-= Ψ+ + CΨ−-= Ψ+aΨ+y−s(x)s(x)Stokes 幾何turning point
Stokes 曲線⇐⇒ Q(x) の零点∫ x√⇐⇒ ImQ(x) dx = 0ae.g.,Q(x) = x (Airy)0Q(x) =−2Q(x) = x2 −E (Weber)−√E√Ex(x−1)(Gauss HG)((x+1)(x+2)(x−3))20−1

13cf. Gaiotto-Moore-Neitzke :“spectral network”

WKB 解の Borel 和の基本性質
２つの turning point を結ぶ Stokes 曲線が存在しないと仮定するとき，次が成り立つ．

▶ WKB 解は Stokes 曲線を除いて Borel 総和可能 (Koike-Schäfke)．
▶ 各 Stokes 曲線上では，次の 接続公式 で記述される Stokes 現象が起こる (Voros)．
x6a{Ψ+
ただし，ψ± = √れた WKB 解．

1
Sodd

Ψ+

⇝ Ψ+ + iΨ−Ψ−⇝ Ψ−( ∫ x)
exp ±Sodd dx は x = a で正規化さaSchrödinger 方程式の大域解析への応用
Stokes 曲線の形状に従って接続公式を繰り返し用いることにより，

Schrödinger 方程式の解の大域挙動，例えば接続行列，モノドロミー群，Stokes 係数，量子化条件，. . .
は次で記述される．

√Q(x) の Riemann 面上での Sodd の周回積分
(Cf. 河合-竹井, 特異摂動の代数解析学，岩波 (2008))

Example−2Q(x) =x(x−1)((x+1)(x+2)(x−3))20

1−1(ψ+ , ψ− )3

⇝ (ψ+ , ψ− )Aγ

along γ+ν−2]
Aγ =  [ +−− 2i ν−2 (1 + C + ) + ν−2(ν−1) (1 + C − )ただし，νa± = exp ±Iaround
x=aSodd dx, C ± = exp ±0−ν−2

Iaroundthe cutSodd dx.

Several remarks▶ ２つの turning point を結ぶ Stokes 曲線が存在するとき，パラメー
タに関する Stokes 現象が起きる．
e.g., Q(x) = c − x2 /4 (c > 0)

−√

√

cc

Ψ+ ⇝ (1 + e−2πcη )−1/2 Ψ+

Ψ+

＜注＞

ψ±,B (x, y) が無限個の周期的な特異点を持つことと関連．

（cf. Sauzin, 神本，. . . : “resurgence 性” の解析）▶ 高階方程式に対しては，new Stokes curve が現れる．
()
3dd−3−1Example （BNR 方程式） η+ 3η+ 2ix ψ = 03dxdx“new Stokes curve”

x−11

new Stokes curve は virtualturning point を 始 点 と す る
Stokes 曲線と考えられる．
(cf. 本多-河合-竹井, Virtual Turning Points, Springer (2015))

高階方程式の場合に WKB 解の Borel 変換の特異点構造を調べることは，今後の重要な課題の一つ．

Part 2. Painlevé 方程式の完全 WKB 解析(P I)(P II)(P J )

ηηη

2dλ−2dt2=6λ+t22dλ−2dt

3=2λ+ tλ + c22dλ−2dt−2′=F(λ,t)+ηG(λ,λ, t)JJ2

(J = I, . . . , VI)

Painlevé 性（i.e., 解は有理型），Weyl 群対称性，. . .
さらに，線型方程式のモノドロミー保存変形を記述()
2−2 dη
− Q(x, t, λ, µ, η) ψ = 02dx(SLJ )(P J ) の形式解1◦ ) 形式巾級数解（or “0-parameter 解”）(0)
λJ (t, η) = λ0 (t) + η −2 λ2 (t) + · · · ,FJ (λ0 (t), t) = 02◦ ) transseries 解λJ (t, η; α) = λ(0) + η −1/2 αλ(1) + (η −1/2 α)2 λ(2) + · · ·
ただし (∆P J )d2

λ2dt(1)=η2∂FJ∂λ(λ0 , t)λ(1) + (lower order)

3◦ ) インスタントン解[]λJ (t, η; α, β) = λ0 (t) + η −1/2 µJ (t) αeηΦJ (t) + βe−ηΦJ (t) + · · ·∫ t√
ここで ΦJ (t) =∂FJ∂λ(λ0 (t), t) dt + η −1 αβ log(η 2 θJ (t))

(0)例えば，(P I) の解 λI (t, η) に Borel 総和法を適用すれば，

∫ t√
(0)
▶ λI,B (t, y) は y = m
12λ0 dt (m ∈ Z \ {0}) に特異点を持つ0（cf. Delabaere, Springer LNM, vol. 2155 (2016))

∫ t√
(0)
▶ ℑ
12λ0 dt = 0 上で λI (t, η) に Stokes 現象が起きる．
0t0(0)λI (t, η)/λI (t, η; c1 )iwith c1 = √2 π

Stokes 幾何(P J ) の turning point & Stokes 曲線⇐⇒(∆P J ) の turning point & Stokes 曲線∂FI= 12λ0 + · · ·∂λwith 6λ20 + t = 0e.g., (P I)

λ0∂FII= (6λ20 + t) + · · ·∂λwith 2λ30 + tλ0 + c = 0(P II)λ0(ただし c > 0)

本質的な困難(0)２本目の Stokes 曲線を越えて λI (t, η) の更なる解析接続を考えると，自然にインスタントン解が現れる．

t0(0)λI (t, η)/λI (t, η; c1 , c2 )i λ (t, η; c )
I

＜注＞

1

ΦJ (t) は (SLJ ) のトンネル効果（“インスタントン”）と関連．ところが，Painlevé 方程式の非線型性により，インスタントン解には無限個の exp(mηΦJ (t)) (m ∈ Z) が現れる．

=⇒ 指数函数的に大きな項と小さな項を同時に含むため，インスタントン解に解析的な意味を賦与することは困難．

(cf. Garoufalidis-Its-Kapaev-Marino, Int. Math. Res. Not.,IMRN (2012))
さらに，楕円函数を用いた Painlevé 函数の漸近挙動に関する過去の研究（cf. Its, Kapaev, Kitaev . . . ）との関係が不明．

Question
インスタントン解をどのように意味づけるか？

2-1. Riccati 方程式の場合
η−1 dTdx(= Q(x) − T 2)
)
−2 d
⇐⇒
− Q(x) ψ = 0 (R)η∫2ηTdxdx
ψ=e(2• T (0) = T0 + η −1 T1 + · · · : 形式巾級数解()√T0 = ± Q(x)∫ x) (1)((0)−1/2T0 dx T+ ···+η
α exp −2η• T (x, η; α) = T: インスタントン解（or transseries 解）√▶ T0 = ± Q(x) により，どちらか一方のインスタントン解は指数函数的に大きな項を含む −→ ∃ 発散の困難

インスタントン解の構成と意味づけ — 線型化（linearization）

T = T (0) + η −1/2 w : T = T (0) のまわりでの局所化.
(R) ⇐⇒ η−1 dw

dx= −2T (0) w − η −1/2 w2(1)

Theorem 1 （“modified linearization”）∑−1/2∃w = w(W, η)=η −j/2 wj/2 (W )jsuch that(1) ⇐⇒ η−1 dWdx

= −2Todd W(2))(∫xTodd dx を w = w(W, η −1/2 ) に代入▶ (2) の解 W = α exp −2η
すれば，Riccati 方程式のインスタントン解が得られる．
（ただし，W が指数函数的に大きいときは解析的には意味がない．）

そこで，次の図式を考える：

η−1dTdx= Q(x) − T2⇐⇒η

−1dWdxT =T (W )⇕η−1dT̃dx̃

= 1 − T̃2⇐⇒

η

−1dW̃dx̃

T̃ =T̃ (W̃ )= −2Todd Wdx̃= Todddx= −2W̃=⇒ T = (T ◦ T̃ −1 )(T˜0 (x̃)),x̃=x̃(t,η)

ここで T˜0 (x̃) は η −1 T̃ ′ = 1 − T̃ 2 の解．特に，次のように選ぶ．

T˜0 (x̃) =e2ηx̃ − ce2ηx̃ + corc − e−2ηx̃
c + e−2ηx̃さらに，Riccati 方程式の場合，次が成り立つ．

Theorem 2 Riccati 方程式を (2) にうつす modified linearizationの変換級数 T = T (W, η) = T+ + η −1/2 w(W, η) は，次式で与えられる．
(0)

T (W, η) = Todd

1 + η −1/2 W/2

1 − η −1/2 W/2+ TevenCorollary
T = T ◦ T̃ −1 = Todd · T˜0 (x̃)
x̃=∫x+ Teven
Todd dx(3)Riccati 方程式 (R) の場合の結論▶ (3) の右辺には指数函数的に大きな項の無限級数は現れない．従って，変換級数の Borel 総和可能性が示されれば，(3) によって (R) のインスタントン解に解析的な意味を与えることが可能となる．

▶ (3) の右辺は，(R) の形式巾級数解である Todd と Teven のみによって表されている．従って，Koike-Schäfke の結果により，Stokes 曲線を除いて変換級数は Borel 総和可能となる．
▶ (3) はまた，T の特異点に関する情報が T̃0 (x̃) の特異点の情報から得られることも意味している．

2-2. Painlevé 方程式のインスタントン解
以下，(P I) η −2 λ′′ = 6λ2 + t，あるいはそれと同値な次式を考える．

∂H−1′ η λ =µ=∂µ η −1 µ′ = 6λ2 + t = − ∂H∂λ(0)λ = λI+ η −1/2 u, µ = µI(0)(µ2H =2)− (2λ + tλ) (HI)3+ η −1/2 v
(0)

(0)

: 形式巾級数解 (λI , µI ) のまわりでの局所化

∂K

−1 ′
 η u =∂v(HI) ⇐⇒∂K−1′ η v =−∂u(∃ K = K(u, v, η−1))

Theorem 3 （Birkhoﬀ 標準形） 次の形の変換級数∞∑
−n/2u=U(ũ,ṽ)=ηUn+1 (ũ, ṽ), v = V (ũ, ṽ) =n=0∞∑η −n/2 Vn+1 (ũ, ṽ),n=0（ただし Un , Vn は (ũ, ṽ) の n 次多項式）が存在して，(HI) は次の Birkhoﬀ 標準形に変換される．

∂ K̃


−1′ η ũ =∂ ṽ∂ K̃ η −1 ṽ ′ = −,∂ ũ

ここで√K̃ = K̃(θ)θ=ũṽ

= 2 3ũṽ + η −1 c2 (ũṽ)2 + · · · .

インスタントン解の構成†

K̃ =ddθとおくと，Birkhoﬀ 標準形は次のように解ける．

K̃(θ)θ=ũṽ

η −1 ũ′ = K̃ † (ũṽ) ũ,η −1 ṽ ′ = −K̃ † (ũṽ) ṽ

=⇒ (ũṽ)′ = ũ′ ṽ + ũṽ ′ = 0,i.e.,ũṽ = C=⇒ ũ = α exp(η K̃ † (C)t), ṽ = β exp(−η K̃ † (C)t),
ここで α, β は積分定数（自由パラメータ）であり，さらに C = αβが成り立つ．この Birkhoﬀ 標準形の解を変換級数に代入すれば，(P I)（あるいは (HI)）のインスタントン解が得られる．
＜注＞

Theorem 3 は次の方程式に対しても同様に成立．
η −2 λ′′ = 6(λ2 − 1)(E)そこで，再び次の図式を考える：

dλ
−1
=µηdtdµ−1η
= 6λ2 +tdt

du
−1
= K † (αβ, t)uηdt⇐⇒(λ,µ)=Φ(u,v) dv
−1η= −K † (αβ, t)v
dtdt̃
K † (αβ, t)⇕=dtK̃ † (α̃β̃)dũdλ̃−1−1= K̃ † (α̃β̃)ũ= µ̃ηηdt̃dt̃⇐⇒ −1 dṽ η −1 dµ̃ = 6(λ̃2 −1) (λ̃,µ̃)=Φ̃(ũ,ṽ) η= −K̃ † (α̃β̃)ṽ
dt̃dt̃=⇒ (λ, µ) = (Φ ◦ Φ̃−1 )(λ̃, µ̃).
t̃=t̃(t,η)

従って，(P I) のインスタントン解は (E) のインスタントン解によって表される．

さらに，(E) の解として Weierstrass の P 函数を用いれば，次が得られる．


インスタントン解の解析的意味づけ(λ, µ) = (Φ ◦ Φ̃−1 )(P, P ′ ),t̃=t̃(t,η)

ただし，P = P(ηt; 12, g3 ) は Weierstrass の P 函数．

Riccati 方程式の場合と同様に，上式の右辺に指数函数的に大きな項は現れないので，Birkhoﬀ 標準形への変換級数の Borel 総和可能性が確かめられれば，上式によって Painlevé 方程式のインスタントン解に解析的な意味が与えられると期待される．

Several remarks▶ 20 世紀初頭に Boutroux は，方程式の特異点の近傍での Painlevé
函数の漸近挙動が楕円函数によって近似的に記述されることを示した．
上式は，この Boutroux 近似を（η −1 に関して任意次数で成り立つ）exact な式に拡張したものと見なせる．

▶ (ũ, ṽ) ( = η 1/2 (λ̃ − λ̃(0) , µ̃ − µ̃(0) )) に関する Φ ◦ Φ̃−1 の線型部分（１次式の部分）は次式で与えられる．

1/412 0 (η −1 Sodd )1/2
 ũ

 ,
 1/4 −1−11/2
 12 (η Seven ) (η Sodd ) ṽ
(η −1 Sodd )1/2
121/4
ただし，Sodd , Seven は (∆P J ) の WKB 解の odd part と even partである．この式は，(∆P J ) の Stokes 曲線が (P J ) のインスタントン解の意味づけにも関係することを意味する．

まとめ & 今後の課題▶ 完全 WKB 解析は Schrödinger 方程式の解の大域解析に有効．
▶ インスタントン解の意味づけができれば，Painlevé 方程式の大域解析にも有効．

▶ インスタントン解の意味づけは，Birkhoﬀ 標準形を用いた楕円函数への変換により可能と期待できる．変換級数の Borel 総和可能性の証明が今後の課題．

▶ このインスタントン解の意味づけと，• Painlevé 方程式の初期値空間，• モノドロミー保存変形の理論，• Painlevé 方程式の “周期”，等との関係は？

▶ 高階 Painlevé 方程式への拡張.

Appendix. 異なるインスタントン解の間の関係(P I) η −2 λ′′ = 6λ2 + t に対して，√t[]− +η µ± (t) αeηΦ± (t) +βe−ηΦ± (t) +· · ·6√
： λ0 = ± −t/6 を初項とするインスタントン解．

λ± (t, η; α, β) = ±−12

同様に，(E) η −2 λ′′ = 6(λ2 − 1) に対しても，λ± (t, η; α, β) = ±1 + η−12[]αeηΦ± (t) +βe−ηΦ± (t) + · · ·： λ0 = ±1 を初項とするインスタントン解．
こうした同じ方程式の２つのインスタントン解の間の関係は？

(E) の場合(E) ⇒ (η −1 λ′ )2 = 4λ3 − 12λ − g3
⇒ 一般解は λ(t) = P(s + ŝ; 12, g3 ) (s = ηt)
特に， λ0 = 1 が (E) の解⇒

g3 = −8⇒(η −1 λ′ )2 = 4(λ − 1)2 (λ + 2)

λ0 = −1 が (E) の解 ⇒⇒g3 = 8(η −1 λ′ )2 = 4(λ + 1)2 (λ − 2)

一方，青木の observation （数理研講究録, vol. 1014 (1997)）(E) のインスタントン解は楕円函数の Fourier 級数展開に対応．
従って，楕円函数の周期 ϖ を選ぶごとにインスタントン解が定まる．

P 函数の周期P(s) の周期は，次の楕円積分で与えられる：∫√

ϖ(γ) =γ∫dλ4λ3 −12λ−g3=dλ√4(λ−e1 )(λ−e2 )(λ−e3 )γ

特に −8 ≤ g3 ≤ 8 のとき，{ej } の位置関係は次の通り：

g3 = −8:−2γ−1

−8 < g3 < 8:e1

g3 = 8:−1γ+

e2e32

閉曲線 γ± を上のように定めれば，g3 = ∓8 で生き残るのは γ± のみ．

(E) のインスタントン解 λ± (t, η; α± , β± ) の間の相互関係
ŝ6−8?
λ+ (t, η; α+ , β+ )≃⇒ϖ(γ+ ) に関する Pの Fourier 級数展開
(α+ , β+ ) と (ŝ, g3 )の間の関係式

8- g3?
λ− (t, η; α− , β− )≃⇒ϖ(γ− ) に関する Pの Fourier 級数展開
(α− , β− ) と (ŝ, g3 )の間の関係式

こうして得られる２つの関係式から (ŝ, g3 ) を消去すれば，(α+ , β+ ) と(α− , β− ) の間の関係式が得られる．