数理解析研究所講究録
第 1678 巻 2010 年 47-54

47

DUNKL-WILLIAMS 不等式の作用素への拡張とその応用
Kichi-Suke Saito (斎藤吉助)
Niigata university(新潟大学)
saito@math.sc.niigata-u.ac.jp

Masaru Tominaga (富永雅)Hiroshima Institute of Technology(広島工業大学)
m.tominaga.3n@it-hiroshima.ac.jp

1. はじめに1964 年, [1] において C.F. Dunkl と K.S. Williams は次の不等式を表した : ノルム空上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して
間$\mathcal{X}$(1.1)$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\frac{4\Vert x-y||}{||x||+\Vert y||}$.

また最近, J. Pe\v{c}ari\v{c} と R. Raji\v{c} は, Dunkl-Williams 不等式 (1.1) の精密化を与えた :ノルム空間上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して$\mathcal{X}$

$($

1.2

$|| \frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}||\leq\frac{\sqrt{2\Vert x-y\Vert^{2}+2(||x||-\Vert y\Vert)^{2}}}{nlax\{||x||,||y||\}}$$)$.

の元 $A$ の絶対値を圃とした
更に, ヒルベルト空間上の有界線形作用素の環
とき, 不等式 (1.2) は彼ら自身により作用素へと一般化され, その等号条件についても吟味された [9, Theorem 2.1] :$B(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

Theorem A. 作用素 $A,$ $B\in B(\mathcal{H})$ は, それらの絶対値 $|A|,$ $|B|$ に逆元が存在し, 実数$p,$$q>1$ は

(1.3)$+ \frac{1}{q}=1$を満たすものとする.

$|A|A|^{-1}-B|B|^{-1}|^{2}\leq$

このとき$|A|^{-1}(p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2})|A|^{-1}$ .

不等式 (1.3) の等号が成り立つための必要十分条件は(14)$p(A-B)|A|^{-1}=qB(|A|^{-1}-|B|^{-1})$ .

本稿では, \S 2 において Dunkl-Williams 不等式とそれに纏わる結果を紹介する. また,への直交射影 $P_{[|A|H]}$ に対して $U^{*}U=P_{[|A|H]}$ を満たす極分の閉包\S 3 では,
解 $A=U$ 凶を用いて, 不等式 (1.3) を一般化する. 結果として Theorem A は $|A|$ と $|B|$の逆元の存在を仮定することなく拡張される. 更に, \S 4 では, 等号条件 (1.4) について調べ, 前と同様, 逆元の存在を仮定することなく等号条件について考察する. 得られた結果は [9] の一般化となる. なお, \S 3, \S 4 は [10] の概要の紹介となっている.
$|A|\mathcal{H}$$[|A|\mathcal{H}]$2000 Mathematics Subject Classifi,cation. $26D15,47A63$ .
Key uords and phrases. Dunkl-Williams inequality, Bohr inequality, operator inequality.

48

2. DUNKL-WILLIAMS INEQUALITIES とその関連事項
本節では, はじめに 1964 年に C.F. Dunkl と K.S. Williams により導かれた次の興味深い不等式と, その証明について紹介する :Theorem B. ノルム空間(1.1)$\mathcal{X}$上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\frac{4\Vert x-y||}{||x||+\Vert y||}$.

$P\uparrow oof$.

次のノルムの計算を行う :$\Vert x\Vert\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\Vert x\Vert\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert x\Vert}||+\Vert x\Vert||\frac{y}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert$$= \Vert x-y\Vert+\frac{\Vert(\Vert y\Vert-||x\Vert)y\Vert}{||y||}$$\leq\Vert x-y\Vert+|\Vert y\Vert-\Vert x\Vert|\leq 2\Vert x-y\Vert$.

同様にして次を得る :$\Vert y\Vert\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq 2\Vert x-y\Vert$.

よって, 不等式 (1.1) が得られる.
特に,$\mathcal{X}$口が内積空間の場合, より精密な不等式が得られる :Theorem C. 内積空間
(2.1)$\mathcal{X}$上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\frac{2||x-y||}{||x||+||y||}$.

Proof. 次のノルム内積の計算を行う :$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert^{2}=\langle\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}$.

$\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\}$$= \frac{1}{\Vert x\Vert\Vert y\Vert}\{2\Vert x\Vert\Vert y\Vert-2{\rm Re}\{x_{:}y\rangle\}$$= \frac{1}{\Vert x\Vert\Vert y\Vert}\{2 |$剛團 $| -(\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}-\Vert x-y\Vert^{2})\}$$= \frac{\Vert x-y\Vert^{2}-(\Vert x||-\Vert y\Vert)^{2}}{\Vert x\Vert||y||}$.

このことより$\Vert x-y\Vert^{2}-(\frac{\Vert x\Vert+\Vert y\Vert}{2})^{2}\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert^{2}$$= \frac{(\Vert x||-||y\Vert)^{2}}{4||x\Vert||y||}\{(\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^{2}-\Vert x-y\Vert^{2}\}\geq 0$

よって, 不等式 (2.1) が得られる.

.
口

49

続いて同じ

$\langle$

1964 年に W. Kirk と M. Smiley は, 内積空間への特徴付けを行った [5] :Theorem $D$ : ノルム空間$\mathcal{X}$(2.2)

上の任意の元 x, $y(\neq 0)$ に対して$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\frac{2\Vert x-y||}{||x||+\Vert y||}$となる必要十分条件は$\mathcal{X}$が内積空間になることである.

を満たす $x,$が内積空間である必要十分条件は,$\Vert\alphax+\alpha^{-1}y\Vert\geq\Vert
x+y\Vert$
で成り立つことであると示した.
が任意の正数に対して不等式「に着」にそれぞれ現れるある種の評価値「4」,
更に, [3] では, 不等式 (1.1) や (2.1)
目し, 次の the Dunkl-Williams constant を導入した :また, ER. Lorch は,$y\in \mathcal{X}$$\Vert x\Vert=\Vert y\Vert$$\mathcal{X}$$\alpha$$2$

DW $( \mathcal{X}):=\sup\{dw(x, y):x, y\in \mathcal{X}, x\neq 0, y\neq 0, x\neq y\}$ ,where dw$(x, y)= \frac{\Vert x\Vert+\Vert y\Vert}{\Vert x-y\Vert}\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert$. この Dunkl-Williams constant DW$(\mathcal{X})$には次のよ

うな興味深い性質がある :$2\leq DW(\mathcal{X})\leq 4$ .

DW

: 内関空間.
嫁$(\mathcal{X})=2\Leftrightarrow \mathcal{X}$$DW(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{1})=DW(\mathbb{R}^{2}, |$DW
that for any pair $x,$$(\mathcal{X})<4\Leftrightarrow \mathcal{X}$$|\infty\infty)=4$.

は uniformly nonsquare である$y\in B_{\mathcal{X}}(=\{x\in \mathcal{X} :\Vert x\Vert\leq 1\})$:If there exists $\delta>0$ such,$\min\{\Vert x+y\Vert, \Vert x-y\Vert\}\leq\delta$.

次に (1.1) の精密化を考える. 最近, 三角不等式に関わる次の研究を行った [4] (cf. [6]) :Theorem E. バナッハ空間$\mathcal{X}$上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して$\Vert x+y\Vert+(2-\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}+\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert)\min\{\Vert x\Vert, \Vert y\Vert\}$$\leq\Vert x\Vert+\Vert y\Vert$$\leq\Vert x+y\Vert+(2-\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}+\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert)\max\{\Vert x\Vert, \Vert y\Vert\}$.

Theorem の第 2 不等式において を一 で置き換えることにより, 不等式 (1.1) をよりよく評価した次の定理を得ることが出来る :
$E$

$y$

Theorem F. ノルム空間(2.3)$\mathcal{X}$$y$上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\frac{\Vert x-y||+|||x||-\Vert y\Vert|}{\max\{\Vert x||,||y\Vert\}}$更に, (1.1) の逆不等式を与える :.

50Theorem G. ノルム空間(2.4)$\mathcal{X}$上の任意の元 $x.y(\neq 0)$ に対して.

$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\geq\frac{\Vert x-y\Vert-|||x||-\Vert y\Vert|}{n1in\{\Vert x||.||y\Vert\}}$

次に, 不等式 (2.3) から導かれる結果を紹介する. bIassera-Schaffer 不等式が $\Vert x-y\Vert+$から得られる [7] :$|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert|\leq 2\Vert x-y\Vert$

Theorem H. ノルム空間$\mathcal{X}$(2.5)

上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\frac{2\Vert x-y||}{nuax\{||x\Vert,\Vert y\Vert\}}$また, 任意の $x,$$y\in \mathcal{X}$

.

に対して

$\Vert x-y\Vert+|\Vert x\Vert-\Vert y\Vert|\leq\sqrt{2}\sqrt{\Vert x-y\Vert^{2}+(\Vert x\Vert-\Vert y\Vert)^{2}}\leq 2\Vert x-y\Vert$となるので [9] において考えられている次の結果を得ることが出来る

Theorem I. ノルム空間(2.6)$\mathcal{X}$:上の任意の元 $x,$ $y(\neq 0)$ に対して$\Vert\frac{x}{\Vert x\Vert}-\frac{y}{\Vert y\Vert}\Vert\leq\frac{\sqrt{2}\sqrt{\Vert x-y\Vert^{2}+(||x||-\Vert y\Vert)^{2}}}{\max\{||x\Vert,||y||\}}$.

3. DUNKL-WILLIAMS OPERATOR INEQUALITY (1.3) の一般化
次の定理は, 不等式 (1.3) の一般化である :Theorem 3.1. 作用素 $A,$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$(3.1)$B\in B(\mathcal{H})$を満たすとする.

の極分解を $A=U|A|,$ $B=V|B|$ とし, 実数 $p,$ $q>1$

このとき$|(U-V)|A||^{2}\leq p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2}$ .

不等式 (3.1) の等号が成り立つための必要十分条件は$p(A-B)=qV(|B|-|A|)$

(3.2)

and

$U^{*}U=V^{*}V$.

上記の Theorem 3.1 を証明するために, 次の 2 つの補題を用意する :Lemma 3.2. ([2, Corollary 1]) 作用素 $A,$
る.

(3.3)

$B$

と,

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$を満たす実数 $p,$ $q>1$ をと

このとき$|A-B|^{2}\leq p|A|^{2}+q|B|^{2}$ .

不等式 (3.3) の等号が成り立つための必要十分条件は $pA=-qB$ .
不等式 (3.3) は, Bohr inequality [8, p.312] の作用素への拡張である.

51

Lemma 3.3. 作用素 A.
は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$の極分解を $A=U|A|,$ $B=V|B|$ とし, 実数 $p,$を満たすとする. また, $p(A-B)=qV(|B|-|A|)$ と仮定する. このとき
$B\in B(\mathcal{H})$$q\in \mathbb{R}$$p|A-B|^{2}\leq q(|A|^{2}-|B|^{2})$ .

$p>1$ ならば,

特に,$|A|\geq|B|,$$p|A-B|^{2}=q(|A|^{2}-|B|^{2})$$U^{*}U\geq V^{*}V$である. 更に, $U^{*}U=V^{*}V$ ならばである.

Proof. 等号 $p(A-B)=qV(|B|-|A|)$ より$|p(A-qB)|^{2}=|-qV|A||^{2}=q^{2}|A|V^{*}V|A|\leq q^{2}|A|^{2}$ .

一方,$|p(A-qB)|^{2}=p^{2}\{(1-q)|A|^{2}+(q^{2}-q)|B|^{2}+q(|A-B|^{2}\}$ .

なので $p|A-B|^{2}\leq q(|A|^{2}-|B|^{2})$ を得る.

次に,

これら 2 つの補題を用いて Theorem 3.1 の証明を行う

口:

Proof of Theorem 3.1. 等式 $|(U-V)|A||^{2}=|A-B-V(|A|-|B|)|^{2}$ が成り立つから,
Lemma3.2 を作用素 $A-B$ と $V(|A|-|B|)$ とに適用することより,
$($

3.4

$|(U-V)|A||^{2}\leq p|A-B|^{2}+q|V(|A|-|B|)|^{2}$

$)$

(3.5)

$\leq p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2}$ .

Lemma 3.2 より, 不等式 (3.4) の等式が成立する必要十分条件は $p(A-B)=qV(|B|-|A|)$ .
また, 不等式 (3.5) の等号が成り立つための必要十分条件は $V^{*}V|A|=|A|$ . よって $U^{*}U\leq$. 一方, 条件 $p(A-B)=qV(|B|-|A|)$ より, $U^{*}U\geq V^{*}V$ であることが Lemma3.3を用いて得られる.
逆に, 条件 $U^{*}U=V^{*}V$ より $V^{*}V(|A|-|B|)=|A|-|B|$ が得られるので, 不等式 (3.4)$V^{*}V$と (3.5) の等号が成り立つ.

Corollary 3.4. Theorem.

$P\uparrow^{\backslash }oof$

$3$

$A$

口

は,

Theorem 3.1 から導かれる.

つの関係式 $U=A|A|^{-1},$ $V=B|B|^{-1},$ $U^{*}U=V^{*}V=I$ から$|A|A|^{-1}-B|B|^{-1}|^{2}=|A|^{-1}|(U-V)|A||^{2}|A|^{-1}$$\leq$$|A|^{-1}(p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2})|A|^{-1}$(by (3.1)).

不等式 (1.3) の等号が成り立つための必要十分条件は$p(A-B)|A|^{-1}=qV(|B|-|A|)|A|^{-1}=qB(|A|^{-1}-|B|^{-1})$ .
ゆえに,

Theorem A が導かれる.

口52

4. THEOREM 3.1 の等号条件について
本節では, Theorem 3. 1 における等号成立 (3.2) について精査する. はじめに, Theorem

3.1 の等号条件に関わる次の結果について述べる :Proposition 4.1. 作用素 A. $B\in B(\mathcal{H})$ の極分解を $A=U|A|$ . $B=V|B|$ とし, 実数を満たすとする. また $U^{*}U=V^{*}V$ とする. このとき, 次は同値
$p.q>1$ はである :$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$(i)$p(A-B)=qV(|B|-|A|)$ .

(ii)$|A|=|B|+ \frac{p}{q}|A-B|$ .

$A-B=-V|A-B|$ .

. $(i)\Rightarrow(ii)$ のみを証明する. $p^{2}|A-B|^{2}=q^{2}(|B|-|A|)^{2}$ なので $q(|A|-|B|)=p|A-B|$となる. 更に, $A-B=9pV(|B|-|A|)=-V|A-B|$ が得られる.

$P\}oof$$\square$

Theorem 3.1 と Proposition 4.1 の等号条件により, 次の系が導かれる :Corollary 4.2. 作用素 A. $B\in B(\mathcal{H})$ の極分解を $A=U|A|,$ $B=V|B|$ とし, 実数を満たすとする. このとき
$p,$ $q>1$ は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$|(U-V)|A||^{2}=p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2}$ならば$|A|=|B|+ \frac{p}{q}|A-B|$.

$A-B=-V|A-B|$ .

次に, 不等式 (3.1) における等号の特徴付けを行う. その準備として次の 2 つの補題を用意し, その証明を与える :Lemma 4.3. ([9, Lemma 2.9]) 正作用素 S.
$tS^{2}$$T\in B(\mathcal{H})$が, ある$t\in \mathbb{R}$に対して $ST+TS=$を満足するとき, 次は同値である :( )$t<0\Rightarrow S=0$ .

(ii)$t \geq 0\Rightarrow ST=TS=\frac{1}{2}tS^{2}$$i$.

と $T$ は可換なので,. 作用素 $S^{2}T(=S(tS^{2}-TS)$ は自己共役である. だから,
$S$ と $T$ は可換である.
$t<0$ のとき $2ST=tS^{2}\leq 0$ なので, $S=0$ となる. 一方, $t\geq 0$
口のとき $2ST=tS^{2}$ が導かれる.
$S^{2}$$P_{7}oof$

Lemma 4.4. 作用素 A.
は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$(4.1)$B\in B(\mathcal{H})$を満たすとする.

の極分解を $A=U|A|$ . $B=V|B|$ とし, 実数 $p,$ $q>1$

このとき$|(U-V)|A||^{2}=p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2}$ .

ならば

(4.2)

$|B||A-B|+|A-B||B|=(2-p)|A-B|^{2}$ .

. Corollary 4.2 により等式 (4.1) から $C(:=A-B)=-V|C|$ が導かれるので $B^{*}C=$$-|B|V^{*}V|C|=-|B||C|$ が得られる. ゆえに$P\uparrow oof$$|C+B|^{2}=|C|^{2}-|C||B|-|B||C|+|B|^{2}$ .

53Corollary 4.2 より

一方,$|C+B|^{2}=(|B|+ \frac{p}{q}|C|)^{2}$ .

上記 2 つの等式により$( \frac{p^{2}}{q^{2}}-1)|C|^{2}+(\frac{p}{q}+1)|B||C|+(\frac{p}{q}+1)|C||B|=0$が導かれる.

口

上記 2 つの補題を用いて, 不等式 (3.1) の等号条件についてその特徴付けを与える. こで条件分けし, Theorem 4.5 では $p\geq 2$ , Theorem
こでは, Lemma 4.3 に従い, 実数
46 では $1<p<2$ の場合について述べる.
$P$の極分解を $A=U|A|,$ $B=V|B|$ とし, 実数 $p,$ $q>1$を満たすとする. また $p\geq 2$ とする. このとき, 次は同値である :Theorem 4.5. 作用素 $A,$は$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$B\in B(\mathcal{H})$(i)$|(U-V)|A||^{2}=p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2}$ .

(ii)$A=B$ .

のみを証明する. $p>2$ のとき, Lemma 4.4 と Lenima 4.3 より $C(:=$は明らか. $p=2$ のとき Lemma4.3 より $|C||B|=0$ なので $|C|V^{*}V=0$ .
$A-B)=0$Corollary 4.2 から $C=-V|C|$ なので $|C|^{2}=|C|V^{*}V|C|=0$ を得る.

Proof.

$(i)\Rightarrow(ii)$$\square$

Theorem 4.6. 作用素 $A,$ $B\in B(\mathcal{H})$ の極分解を $A=U|A|,$ $B=V|B|$ とし, 実数 $p,$ $q>1$
はを満たすとする. また, $1<p<2$ とする. このとき, 次は同値である :$+ \frac{1}{q}=1$$|(U-V)|A||^{2}=p|A-B|^{2}+q(|A|-|B|)^{2}$ .

(i)

(ii)

$\{A=B(I-\frac{2}{2-p,+}W)|A|=|B|(I\frac{W^{*}2p}{(2-p)q}W^{*}W)$

ただし, $A-B$ の極分解を $A-B=W|A-B|$ とする.

.

$P\uparrow oof$$(i)\Rightarrow$(ii) $C=A-B$ とおく. 条件 (i) より$C=-V|C|$ ,$|B||C|+|C||B|=(2-p)|C|^{2}$ .

このとき, Lemma 4.3 より$|B||C|=|C||B|= \frac{1}{2}(2-p)|C|^{2}$ .

だから,$A|C|=\overline{p}-\overline{2}1B|C|$が得られる. ここで,$W^{*}W\mathcal{H}=[|C|\mathcal{H}]$より$AW^{*}W= \frac{p}{p-2}BW^{*}W$.

一方,$(I-W^{*}W)\mathcal{H}=KerC$ ,から, $A(I-W^{*}W)=B(I-M^{\gamma*}W)$ が導かれる. よって$A=AW^{*}W+A(I-W^{*}W)=B(I- \frac{2}{2-p}W^{*}W)$ .
更に,

(4.3)

$-V|C|=A-B=- \frac{2}{2-p}V|B|W^{*}W$.

54

Theorem 3.1 より条件 (i) は $U^{*}U=V^{*}V$ を与えるので,ゆえに, 等式 (4.3) よりとなる. よって Corollary 4.2 より
ここで,$V^{*}V\geq lV^{*}\mathfrak{h}V$となる.

$|C|= \frac{2}{2-p}|B|\ovalbox{\tt\small REJECT} V^{*}\mathcal{W}^{7}$$|A|=|B|+ \frac{p}{q}|C|=|B|(I+\frac{2p}{(2-p)q}W^{r*}/lV)$ .
$(ii)\Rightarrow(i)$等式$qV(|B|-|A|)=- \frac{2p}{(2-p)}V|B|M^{\gamma*}W=p(A-B)$が導かれる. 更に, 作用素 $I+ \frac{2p}{(2-p)q}W^{*}M/^{7}$ は可逆なので $[|A|\mathcal{H}]=[|B|\mathcal{H}]$ となる. ゆえに $U^{*}U=V^{*}V$ . だから, Theorenm3.1 より条件 (i) が導かれる.
口

REFERENCES
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