数理解析研究所講究録1097 巻 1999 年 161-165

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数論幾何における STIEFEL-WHITNEY 類

斎藤毅 (東大数理)

トポロジーにおいて、ベクトル束の特性類は重要な役割を果たしているが、数論幾何でも、同じように p 進層の特性類を考えることができる。 ここでは Stiefel-Whitney類とよばれる特性類について考える。
$0$. 特性類とは.

位相空間 S 上の複素ベクトル束に対し、 その Chern 類定義される。 同様に、実ベクトル束に対し、 その Stiefel-Whitney 類$c_{i}(\mathcal{E})\in H^{2i}(S, \mathbb{Z})$$\mathcal{E}$$\mathcal{E}$が$sw_{i}(\mathcal{E})\in$が定義される。実ベクトル束とは、複素ベクトル束に実構造が与えられたものと考え、 さらに実構造とは非退化対称双–次形式のことと解釈すると、非退化対称双–次形式をもつベクトル束に対し、 その Stiefel-Whitney 類が定義さ$H^{i}(S, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$(\mathcal{E}, q)$れる。

0.1 直交 Galois 表現の Stiefel-Whitney 類.
位相空間をスキームで、ベクトル束を smoothp 進層で、 コホモロジーをエタール.
コホモロジーで置き換えると、次のようになる。 F をスキーム S 上の smooth\ell 進層で、 非退化対称双–次形式をもつものとすると、 その Stiefel-Whitney 類$sw_{i}(F)\in H^{i}(S, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$が定義される。ただし S 上 2 と素数 p は可逆と仮定する。
以下簡単のため S は体のスペクトルIf とする。 GK を K の絶対K 上の smoothp 進層で非退化
Galois 群とする。 このとき対称双–次形式をもつものとは、連続乏進直交表現 $G_{K}arrow O(V, b)$ のことである.
ここでは有限次元 p 進線型空間 V 上の非退化対称双–次形式で $O(V, b)=\{g\in$$GL(V)|b(gx,gy)=b(x, y)\}$ はその直交群である。エタール. コホモロジーは Galois
コホモロジーである.
p 進直交表現\rho : $G_{K}arrow O(V, b)$ に対し、 Stiefel-Whitney 類$(i=1,2)$ は次のように定義される。
$K \ni\frac{1}{2l}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}$$G_{K}=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{A}}^{r}/K)$$\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{c}}}$$b$$H^{i}(I\backslash \nearrow, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})=H^{i}(G_{K}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$sw_{i}(V)\in H^{i}(I\zeta, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$

定義 1.

$G_{K}$の指標 $\det\rho$ : $G_{K}arrow\{\pm 1\}\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が定める $Hom(Gx, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})=$の元を $V$ の第 lStiefel-Whitney 類とよび,$H^{1}(G_{K}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$sw_{1}(V)\in H^{1}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$と書く。

第$2\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}$-Whitney 類は, Cliford 環からえられる代数群の中心拡大$1arrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}arrow\tilde{O}(V, b)arrow O(V, b)arrow 1$を使って次のように定義される. 必要なら V の係数体を有限次拡大することにより$\text{の像は}\tilde{O}(V, b)$$\rho$の有理点の像に含まれると仮定してよい。するとこの中心拡大を\rho でひきもどすことによって GK の$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$による中心拡大がえられる。
Typeset by$A_{\mathcal{M}}s_{-}\mathrm{I}\mathrm{P}^{\mathfrak{c}}$162

定義 2. この中心拡大の類が定める$H^{2}(G_{K}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$の元を V の第$\mathit{2}Sti\mathrm{e}f\mathrm{e}l$-Whitn$\mathrm{e}y$類とよび,$sw_{2}(V)\in H^{2}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$と書く。

0.2 エタールコホモロジーの Stiefel-Whitney 類.の直交表現が生じる。 X を K 上定義
代数幾何から次のようにして、 Galois 群
された proper smooth な偶数 次元の scheme とする。 このとき cup 積は中間次元のコホモロジーに非退化対称双–次形式$G_{K}$$n$$\cup:H^{n}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}l)\cross H^{n}(X_{\overline{R}}’, \mathbb{Q}l)arrow \mathbb{Q}_{I}(-n)$の-n 乗が定める 1 次元表現を表わを定める。 ここでは等分指標上の非退化対称双–次形式をひきおこす。 これはす。 これはの作用と両立するから $G_{K}arrow O(V)$ が定まる。
Galois 群の Stiefel-Whitney 類$\mathbb{Q}_{l}(-n)$$G_{K}arrow \mathbb{Z}_{l}^{\cross}$$V=H^{n}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_{l})(\frac{n}{2})$$G_{K}$$V=H^{n}(X_{I\overline{c}}, \mathbb{Q}_{\mathit{1}})(\frac{n}{2})$$sw_{1}(H_{l}n(X/K))$,$sw_{2}(H_{\ell}n(x/K))$

を調べよというのが基本的な問題である。
であり, $sw_{1}(H_{l}^{n}(X/K))$ は Frobenius
K が有限体のときは$Fr_{K}$ のへの作用の固有値-1 の重複度の偶奇で定まる。 したがっての代数的サイクルのうち、 K の 2 次拡大上定義
Tate 予想を仮定すれば、 これはされるが K 上定義されない部分の階数の偶奇と–致する。
であり。このとき第 2StiefelK が でない局所体のときは関数の関数等式の定数項の積公式に現$Sw_{2}(H_{l(X}n/K))$
はWhitney 類
Hasse-WeilL
れる局所\epsilon 因子の符号と関係している。
$H^{1}(G_{K}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$H^{n}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_{l})(\frac{n}{2})$$X_{\overline{K}}$$H^{2}(G_{K}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$\mathbb{C}$$[\mathrm{D}],[\mathrm{S}4]$0.3 de Rham コホモロジーと Hasse-Witt 類.
Stiefel-Whitney 類を調べるには de Rham コホモロジーの対応する特性類と比較するのがよいと考えられる。
一般に $(D, b)$ を (記数が 2 でない) 体 K 上の有限次元線型空間 D 上の非退化対称双が次のように定義される。
次形式 とすると、その不変量が定義される。 この同型によるKummer 理論により同型で表わす。 また cup 積を $\{a\}\cup\{b\}=\{a, b\}$ での像を表わす。 $D$ の直交基底 $\{x_{1)}\cdots, x_{n}\}$ をとり、 $a_{i}=b(x_{i}, xi)\in K^{\cross}$ とおく。すると $d=$は直交基底のとり方によらず $D$ の不変量を定める。これを $D$) とかく。 また\Sigma , $<j\{a_{i}, a_{j}\}\in H^{2}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$の判別式とよび $hw_{1}(D)\in H^{1}$ (If,も直交基底のとり方によらず $D$ の不変量を定める。 これを D の Hasse-Witt 不変量とよび $hw_{2}(D)\in H^{2}$ (If,) とかく。 その不変量 $hw_{i}(D)\in H^{i}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ が次のように定義される。
$X$ を K 上定義された proper smooth な偶数
次元の scheme とする。 このとき cup$hw_{i}(D)\in H^{i}(I\zeta, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$b$$K^{\cross}/K^{\mathrm{x}2}arrow H^{1}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$a\in K^{\cross}$$\{a\}\in H^{1}(I\zeta, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$\sum_{i}\{a_{i}\}\in H^{1}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$n$積は中間次元のコホモロジーに非退化対称双–次形式$\cup:H_{dR(X}^{n}/K)\cross H_{dR}^{n}(x/K)arrow K$を定める。 したがってその不変量 $hw_{i}(H_{dR(X}^{n}/K),$$\cup)\in H^{i}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$が定義される。

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1. 第 lStiefel-Whitney 類と判別式.
1.1 定理. 第 lStiefel-Whitney 類は次のように決定される。
定理 1. [定理 2] $X$ を標数が 2 でない体 K 上の射影的な smmooth 偶数
scheme とする. $b_{q}=\dim KH_{dR(x}q/K$ ),$S\mathit{3}$$-b_{0}+b_{2}-b_{4}+\cdots+b_{n-2}$$n\equiv 0$$-b_{0}+b_{2}-b_{4}+\cdots+b_{n}$$n\equiv 2$$r_{0}=\{$

$n$

次元の

mod 4 のとき,
mod 4 のときとおく. \ell を $K$ の内数とは異なる素数とすると$sw_{1}(H_{\ell}^{n}(X/K))=hw_{1}(H_{d}nR(X/K))+r_{0}\{-1\}$がなりたつ。

証明の方針は次のとおりである。特殊化と Chebotarev 密度定理により K が有限体の場合に帰着する。 Lefschetz ペンシルをとって\epsilon 因子の積公式と vanishing cycleの Picard-Lefschetz 公式を適用することにより、 2 次超曲面の場合に帰着させて証明する。
この定理の応用として, Ogus による cristalline 判別式についての予想 ([Ogus] 予を含まないという仮定のもとで証明できる.
想 3.11) が基礎体 K が$\mathrm{F}_{p^{2}}$1.2 偶数次元の Bloch の導手公式 mod2.
定理 1 には Bloch の導手公式への次のような応用がある。 Bloch の導手公式について簡単に復習する。 K を局所体とし、 X を K 上の proper smooth な 次元の多様を整数環 OK 上の正則なモデルとする。 このとき Artin 導手を次の式体とする.
$n$$x_{o}$で定義する

Art$(x_{o}/O_{K})=\chi(X_{\overline{K}})-x(x_{\overline{F}})+\mathrm{S}\mathrm{w}H^{*}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}\ell)$.

はそれぞれ生成ファイバーと閉ファイバーの p 進 Euler 数であの Swan 導手の交代和である。 この p 進表現はり、F のとりかたによらないことは alteration を使って落合君にの交代和が素数
よって示されている [Ochi]の局所化された chern 類を使って標準類. Bloch は微分の層\Omega 1$(-1)^{n+1}Cn+1(\Omega^{1})x_{\circ/K}o$ を閉ファイバーに台を持つ サイクルとして定義した。
そして次の予想を定式化した。

ここで\mbox{\boldmath $\chi$}(XK-),$\chi(X_{\overline{F}})$$SwH*(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_{l})$$G_{K}$$H^{q}(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_{l})$$\ell\neq \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}$。

$(\triangle x_{o}, \Delta x\circ)=$$\circ/\mathit{0}_{K}$$X_{F}$

予想 (Bloch の導手公式).

$0$

$[B]$

$A\mathrm{r}i(Xo/O_{K})=-deg(\triangle x_{o}, \triangle xo)$.

これは X が $K$ の有限次拡大のときは古典的な導手と共役差積の公式である。 Blochは $X$ が代数曲線のときにこれを証明した [B]. $X$ が楕円曲線のときはこれは Tate-Oggの導手と判別式の関係式を導$X$$\langle$$[\mathrm{O}\mathrm{g}\mathrm{g}],[\mathrm{s}\mathrm{l}]$。

.

が–般次元のときは導手公式は証明されていないが、偶数次元のときには定理1 を使うと次が示せる。

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定理 2. [$S\mathit{6}l$

X を標数が 2 でない局所体 K 上の射影的で smooth な偶数 次元の多の被約化が正規交叉因子をもつをその正則モデルで, 閉ファイバー$n$様体とし,ものとする. このとき

$X_{F}$$x_{o}$

Art

mod 2$(xo/O_{K})\equiv-d\mathrm{e}g(\triangle x_{o’ O}\triangle \mathrm{x})$がなりたつ.

証明の方針は次のとおりである。直交表現の Artin 砲手についての Serre の定理[Sel] と, vanishing cycle の計算により, 左辺 Art $(Xo/O_{K})$ は行列式指標の Artin 導と mod2 で等しい。 –方右辺は [S2] の結果により de Rham コ
手 Art
ホモロジー $H_{dR}^{n}(X/K)$ の判別式の付値と mod2 で等しい。定理 1 により行列式指標と de Rham コホモロジ– $H_{dR}^{n}(X/K)$ の判別式の関係がわかっているのでこれから定理 2 が従う。
$(H^{n}(\backslash \backslash \backslash X\overline{K}, \mathbb{Q}l))$$H^{n}(X\overline{\mathrm{A}}^{-,\mathbb{Q})}\prime l$

2. 第-Whitney 類と Hasse-Witt 不変量.

$2\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}$2.1 記号. 予想を述べるために記号をいくつも導入する. $X$ を標数が 2 でない体 K 上の smooth な偶数次元の射影的 scheme とする. 1 と同様に $b_{q}=\dim KHdqR(X/K)$ ,$n$$-b_{0}+b_{2}-b_{4}+\cdots+b_{n-2}$$n\equiv 0$$-b_{0}+b_{2}-b_{4}+\cdots+b_{n}$$n\equiv 2$$r_{0}=\{$

とおく. 各偶数 に対し類とし$e_{q}=sw_{1}(H_{\ell}q(x/K))\in H^{1}(I\acute{\mathrm{t}}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$q$$d=hw_{1}(H_{dR(X}^{n}/K))$$e_{0}+e_{2}+e_{4}+\cdots+e_{n-2}$$e_{0}+e_{2}+e_{4}+\cdots+e_{n-2}+e_{n}$とおく.
$K$の工数が でとし,$0$

$H^{2}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$\ell\neq 2$

ならを第 lStiefel-Whitney,$e=\{$$\in H^{1}(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$mod 4 のとき,
mod 4 のときの元

$Cp$

if
if

$n\equiv 0$$n\equiv 2$

mod 4
mod 4.

を $K$ の虚数が正または $\ell=2$ ならの 2 と \ell だけで分岐するた$0$$H^{2}(\mathbb{Q}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})=_{2}\mathrm{B}\mathrm{r}(\mathbb{Q})$だ 1 つの元の像として定義する. 最後に$h=$$\sum$$q<$量,$q \not\equiv\frac{n}{2}$$\dim KH^{q}(X, \Omega_{x}^{n-})/^{q}K$

mod2

とおく.

2.2 予想. このとき次が予想される.
予想. $X$ を掛算が 2 でない体 K 上の射影的で smooth な偶数る. l を If の標数と異なる素数とすると$n$次元の scheme とす$Sw_{2}(H_{l(X}n/K))-hw_{2}(HdR(nX/K))$$0$$r\equiv 0$$\{-d, -1\}$$r\equiv 1$$\{-1, -1\}$$r\equiv 2$$\{d, -1\}$$r.\equiv 3$$=?\{2, d\}+h\cdot c_{l}+\{e, -1\}+\{$がなりたつだろう.
$n=0$ のときは, これは

mod 4 のとき
mod 4 のとき
mod 4 のとき
mod 4 のとき

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定理 [Se2] Theorem 1.

$L$

を K の有限次拡大とすると,$sw_{2}(Ind_{GL}^{G}K\mathbb{Q})=hw2(L, TrL/K^{X^{2}})+\{2, d\}$.

そのものである.

2.3 予想が示せる場合. 予想が示される場合を挙げておく [S5].

$K\supset\overline{\mathbb{Q}}$ならばの場合に帰着し,超越的な議論によって示せる.の場合も Hodge 構造の野州を使って示される.
Kがの有限次拡大体で X が整数論 OK 上 good reduction をもつとする. $P\neq 2,$なら, $sw_{2}(H_{\ell^{n}}(x/K))=hw_{2}(HdR(nX/K))=0$ で正しい. したがって X が K の奇数
旗下大上 good reduction をもつときもそうである。 $\ell=p\neq 2$ のときも. $p-1>n$
で が K の素元なら $sw_{2}(H_{l}n(x/K))=hw_{2}(H^{n}.(dR\grave{\mathrm{x}}/K))+h\cdot c_{\mathit{1}}$ で正しいことが進 Hodge 理論を使って示せる [S4].
K が代数体のときは Hasse 原理より局所体の場合に帰着される.
X が smooth 超曲面のときには、上の結果から大域的な議論によって、予想の式の両辺の差が, $\{2, d\}$ かまたは であることが示される.
$sw_{2}(H_{l}^{n}(X/K))=hw_{2}(HdR(nX/K))$ で恒に正しい。 これは$K\supset \mathbb{C}$$IC=\mathbb{R}$$l$$\mathbb{Q}_{p}$

$P$

$P$

$0$

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$L$

$L$

$\mathrm{S}5]$$l$