回転体⑴ - 体積

回転体の描き方

回転の軸の反対側に、線対称に図形を描く。

もとの図形の頂点のうち、回転の軸に含まれない頂点の動

いたあとを「だ円」で結ぶ。

外から見える線を実線で、外から見えない線を点線で描く。不要な線を消して完成。

1回転体⑴ - 体積

ステップ１

円柱の組み合わせ１ 図のように、１辺の長さが１㎝の正方形を５個組み合わせた図形があります。この図形を、直線Ｌのまわりに１回転させてできる立体の体積は、何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。※答えは「５×π」のように「〜×π」の形で答え、3.14の計算はしなくてもかまいません。

2

回転体⑴ - 体積

２ 図のように、１辺の長さが１㎝の正方形を４個組み合わせた図形があります。この図形を、直線Ｌのまわりに１回転させてできる立体の体積は、何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。

3

回転体⑴ - 体積

３ 図のように、１辺の長さが１㎝の正方形を４個組み合わせた図形があります。この図形を、直線Ｌのまわりに１回転させてできる立体の体積は、何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。

4

回転体⑴ - 体積

４ 図のように、１辺の長さが１㎝の正方形を４個組み合わせた図形があります。この図形を、直線Ｌのまわりに１回転させてできる立体の体積は、何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。

5回転体⑴ - 体積

５ 図のように、１辺の長さが１㎝の正方形を６個組み合わせた図形があります。この図形を、直線Ｌのまわりに１回転させてできる立体の体積は、何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。

6

回転体⑴ - 体積

ステップ２

円すいの組み合わせ

６ 図のような三角形ＡＢＣを、辺ＡＣのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は1円周率を表しています。「すいの体積＝底面積×高さ×3」です。



7回転体⑴ - 体積

７ 図のような三角形ＡＢＣを、辺ＡＣのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。








8

回転体⑴ - 体積

ステップ３

円柱と円すいの組み合わせ

８ 図のような台形ＡＢＣＤを、辺ＣＤのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。













9

回転体⑴ - 体積

９ 図のような台形ＡＢＣＤを、辺ＣＤのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。



10回転体⑴ - 体積ステップ４

円すい台

10 図のような台形ＡＢＣＤを、辺ＣＤのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。


11回転体⑴ - 体積

11 図のような台形ＡＢＣＤを、辺ＣＤのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。

 




12

回転体⑴ - 体積

12 図のような台形ＡＢＣＤＥを、辺ＤＥのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。




13回転体⑴ - 体積

ステップ５

軸の左右がちがう問題

13 図のような図形を直線Ｌのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。










14

回転体⑴ - 体積

14 図のような平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｌのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。











15

回転体⑴ - 体積

ステップ６

円すい台の複合図形

15 図のような三角形ＡＢＣを直線Ｌのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。












16

回転体⑴ - 体積

16 図のような三角形ＡＢＣを直線Ｌのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。













17

回転体⑴ - 体積

17☆ 図のような三角形ＡＢＣを直線Ｌのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。











18

回転体⑴ - 体積

18☆☆ 図のような三角形ＡＢＣを直線Ｌのまわりに１回転させて、立体をつくります。この立体の体積は何×π㎤ですか。ただし、π(パイ)は円周率を表しています。












 19

回転体⑴ - 体積■

解答■

１ 13×π(㎤)２ 14×π(㎤)３ 12×π(㎤)４ ８×π(㎤)
５ 18×π(㎤)６ 24×π(㎤)７ 24×π(㎤)８ 64×π(㎤)９ 42×π(㎤)
10 84×π(㎤)11 312×π(㎤)12 168×π(㎤)13 138×π(㎤)14 168×π(㎤)15 72×π(㎤)
16 48×π(㎤)17 60×π(㎤)18 144×π(㎤)20回転体⑴ - 体積

■

解説■



１ 円柱＋円柱

２×２×π×１＋３×３×π×１＝４×π＋９×π
＝13×π






２ 円柱−円柱
３×３×π×２−２×２×π×１＝18×π−４×π
＝14×π





３ 円柱−円柱＋円柱
２×２×π×１−１×１×π×１＋３×３×π×１＝４×π−１×π＋９×π＝12×π

４

図１のようになるので、図２のように変形しても体積は変わりません。
２×２×π×２＝８×π

21回転体⑴ - 体積

５

図１のようになるので、図２のように変形しても体積は変わりません。
３×３×π×２＝18×π

６

円すい×２



1
３×３×π×４×3×２＝24×π

７

上下の円すいの高さをそれぞれ○㎝、□㎝とすると、
1
1
３×３×π×○×3＋３×３×π×△×3



1＝３×３×π×(○＋△)×3
1＝３×３×π×８×3



＝24×π８

円すい＋円柱1
４×４×π×３×3＋４×４×π×３＝16×π＋48×π＝64×π22

回転体⑴ - 体積

９

円柱−円すい1
３×３×π×６−３×３×π×４×3＝54×π−12×π＝42×π

10


延長してピラミッド相似をつくる。
相似比３：６＝１：２②−①＝①＝４㎝
②＝８㎝

３㎝

４㎝
８㎝

円すい台＝大きい円すい−小さい円すい
1
1
６×６×π×８×3−３×３×π×４×3＝96×π−12×π＝84×π６㎝

11




延長してピラミッド相似をつくる。
相似比３：９＝１：３③−①＝②＝８㎝
①＝４㎝
③＝12㎝






円すい台＝大きい円すい−小さい円すい
1
1
９×９×π×12×3−３×３×π×４×3＝324×π−12×π＝312×π23回転体⑴ - 体積12





円すい台×２1
1(６×６×π×８×3−３×３×π×４×3)×２＝(96×π−12×π)×２＝84×π×２＝168×π

13










図２のように軸の両側に図形を描くと、図３のような図形になることが分かる。


円柱−円柱＋円柱
４×４×π×２−１×１×π×２＋６×６×π×３＝32×π−２×π＋108×π＝138×π24

回転体⑴ - 体積

14  

図２のように軸の両側に図形を描くと、図３のような図形になることが分かる。
円すい台×２（※12と同じ）
1
1(６×６×π×８×3−３×３×π×４×3)×２＝(96×π−12×π)×２＝84×π×２＝168×π25

回転体⑴ - 体積

15

延長してピラミッド相似をつくる。
相似比３：６＝１：２②−①＝①＝４㎝
②＝８㎝






大きい円すい−小さい円すい×２
1
1
６×６×π×８×3−３×３×π×４×3×２＝96×π−24×π＝72×π



16

延長してピラミッド相似をつくる。
相似比３：６＝１：２②−①＝①＝４㎝②＝８㎝





大きい円すい−小さい円すい−円柱1
1
６×６×π×８×3−３×３×π×４×3−３×３×π×４＝96×π−12×π−36×π＝48×π

26

回転体⑴ - 体積17






延長してピラミッド相似をつくる。
相似比３：６＝１：２②−①＝①＝４㎝
②＝８㎝











求める立体は、円柱−円すい台
円すい台の体積は、
1
1
６×６×π×８×3−３×３×π×４×3＝96×π−12×π＝84×π
よって、求める立体は、６×６×π×４−84×π＝144×π−84×π＝60×π

27回転体⑴ - 体積18図のような図形になる。
大きい円すい台−小さい円すい台

延長してピラミッド相似をつくる。
相似比６：９＝２：３③−②＝①＝４㎝
②＝８㎝
③＝12㎝



下向きに延長してピラミッド相似をつくる。
相似比３：６＝１：２



２−１＝１＝４㎝



２＝８㎝




大きい円すい台の体積は、
11９×９×π×12×3−６×６×π×８×3＝324×π−96×π＝228×π
小さい円すい台の体積は、
11６×６×π×８×3−３×３×π×４×3＝96×π−12×π＝84×π
よって、求める立体は、228×π−84×π＝144×π28