数理解析研究所講究録1082 巻 1999 年 16-33

16Commuting difference operators arising fromthe elliptic-face model$C_{2}^{(1)}$長谷川浩司 (東北大理), 池田岳 (岡山理科大理), 菊地哲也 (東北大理)

HASEGAWA Koji (Tohoku Univ.),
IKEDA Takeshi (Okayama Univ. of Science )and KIKUCHI Tetsuya (Tohoku Univ.)

1

Introduction
対称直交多項式系の 2 パラメータ族であるいわゆる Macdonald 多項式は Macdonaldによる可換差分作用素系の同時固有対称多項式として特徴づけられるが [M], この可換差分系を表現論的に再構成する方法が 2 つ知られている。ひとつは Etingof-Kirillov による方法 [EK] で, 量子展開環の適当な表現の intertwiner から得られる関数のみたす可換作用素系が Macdonald の作用素系と -致するというもので, 可換作用素系の起源
はの中心としてとらえられる. もう一つは Cherednik [Ch] によるもので, double
affine Hecke 環の 差分作用素による表現を考えると, その中心に対応する作用素として
Macdonald 系が実現される.
方筆者の $-$ 人は [H1] において, Belavin による Yang-Baxter 方程式の楕円函数解 (楕円行列) [Be] に対する作用素を型のウェイト空間上の差分作用素の行列として
この与えた.
作用素のトレースは可換な差分作用素の族をなすが, それは Ruijsenaars
により与えられた差分作用素 [R] と本質的に–致することが示された [H3]. Ruijsenaarsの差分系は (且型の) Macdonald 多項式が満たす差分系を楕円函数的に拡張したものと見ることができ, また Olshanetsky-Perelomov [OP1 による楕円函数的 Calogero-Moser 系$U_{q}(\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n})$$U_{q}(\mathfrak{g}\mathrm{t}_{n})$

$q$

$R$

$L$

$A$

$L$

の差分拡張ともいえる.

共形場理論の立場からは, Etingof らの方法は, 楕円曲線上の相関函数をアフィン・リー
環の表現の適当な intertwining operator であらわし, それが満たす方程式を導出する方法 (の三角極限) の 類似といえる [EFK]. 楕円曲線上の–点相関関数$G$およびこの上のは,主束 (ゲージ群) の moduli parameter のみに依り, $G=SL_{n}(\mathbb{C})$とすればこの moduli parameter は上のファイバーと上のそれとをはりあわせる行列の固有値として良い. すると 点函数の微分はアフィンり $-$ 環の可積分指標が満たすような熱方程式型の ,について–階の項, 各について二階の項, およびポテンシャルと解釈できる項からなる, いわゆる Bernard 方
程式を満たす [Fel]. 臨界レベルとよばれる理論においてはこのうち微分の項がなくな$\mathbb{C}’/\mathrm{p}^{\mathbb{Z}}(|\mathrm{p}|<1)$$q$$\mathrm{P}$$z\in \mathbb{C}^{\cross}$$\mathrm{p}z$$\lambda_{1},$$\cdots,$ $\lambda_{n}(\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}=1)$–$\mathrm{P}$$\tau=\underline{1}02A_{\frac{\mathrm{p}}{i}}\pi$$\lambda_{i}$$\tau$

17
り, Olshanetsky-Perelomov の作用素が現れる. 多点の場合も同様にして得られる臨界レベルにおける方程式系は Gaudin 模型と呼ばれるが, それは古典力学的極限では Hitchinの可積分系と –致し, Higgs 場とよばれる行列の罧のトレースで定まる可換作用素をもつ[ER][GN][Ne][重点]. つまり, Etingof らの方法は Hitchin 可積分系の特別な場合の量子化+差分化を扱うものであり, Hitchin 可積分系は Lax 形式で記述される. Hitchin 可積分系の Lax 行列 (Higgs 場) は [H3] の差分 作用素から適当な古典極限で得られることが計算で確かめられるので, 結局差分 作用素を用いる方法は Etingof-Kirillov の方法の楕.
.
円函数版と考えられる.
差分 作用素を考えるときに出発点とした Yang-Baxter 方程式の楕円函数解については Belavin-Drinfeld の分類があり, (classical) Yang-Baxter 方程式には型以外の楕円函数解は存在しないことが知られている. しかし Yang-Baxter 方程式をいわゆる面型 (face type) のものに拡張して考えると, この場合には少くとも全ての古典型 Lie 環のベクトル表現に付随した楕円関数解が知られている.
型の場合, Belavin の $R$ 行列に対する
作用素はいわゆる intertwining vectors を用いた similarity 変換によって面型の解にうつり, トレースとして得られる作用素系はこの 作用素の変換で変わらな
い. 先に述べた Hitchin 系の Lax 行列との対応も作用素をこのようにして面型のものに変換することで得られるので, 一般にも面型の Yang-Baxter 方程式の解に対する差分作用素を考えると, それが定める系は面形場理論の差分的拡張における –例になると考えられる (cf. [E] [JKOS]).
.
型の face 模型から出発して, fusion procedure を利用して作った
本稿では, 我々はYang-Baxter 方程式の解をもとに, 差分 作用素のトレースとしての可換な差分作用素
系を構成する (定理 1). 具体的には次の作用素の組である.
とし, 2 変数の函数 に対して shift operators を
$L$

$L$

$\backslash$

$L$

$A$

$[\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{D}\mathrm{r}]$

$A$

$L$

$L$

$[\mathrm{F}\mathrm{e}2][\mathrm{F}\mathrm{V}]$

$L$

$L$

$C_{2}$$L$$\{\overline{M_{1}},\overline{M}_{2}\}$$\lambda_{1},$$\lambda_{2}$$\hslash\in \mathbb{C}$$f$$T_{\pm 1}f(\lambda_{1}, \lambda 2)=f(\lambda_{1}\pm\hslash, \lambda_{2})$で定義し, $I=\{\pm 1, \pm 2\}$ とおき,,$\lambda_{-i}=-\lambda_{i}$$T_{\pm 2}f(\lambda_{1}, \lambda_{2})=f(\lambda_{1}, \lambda_{2}\pm\hslash)$と解釈するとき$\overline{M}_{1}=\sum_{j}\prod_{i}i\in Ij\in\neq\pm I\frac{[\lambda_{i}+\lambda_{j}-\hslash]}{[\lambda_{i}+\lambda_{j}]}\tau_{i}..$’$\overline{M}_{2}=$$\sum_{1,j=\pm i=\pm 2}(\frac{[\lambda_{i}+\lambda_{j}-\hslash]}{[\lambda_{i}+\lambda_{j}+\hslash]}TiT_{j}+\frac{[2\hslash]}{[6\hslash]}\frac{[2\lambda_{i}+2\hslash]}{[2\lambda_{i}]}\frac{[2\lambda_{j}+2\hslash]}{[2\lambda_{j}]}\frac{[\lambda_{i}+\lambda_{j}-5\hslash]}{[\lambda_{i}+\lambda_{j}+\hslash]}\frac{[\lambda_{i}+\lambda_{j}+2\hslash]}{[\lambda_{i}+\lambda_{j}]})$

ここで係数として現われる函数 $[u]$ は, Jacobi の$\overline{\tau}-F$.

函数$[u]:=i\mathrm{p}^{1/8}\sin\pi um=1\square (1-2_{\mathrm{P}}m\cos 2Tu+\mathrm{P})(1\infty 2m - \mathrm{p}^{m})$である. 我々は更にこの作用素たちが動1 の指標が張る空間を保つことを示した (定理 2). これは Sklyanin [S] による, いわゆる Sklyanin 代数の差分作用素を用$(4, \mathbb{C})$

のレベル

18
いた実現において知られていた有限次元表現空間の型類似と考えられ, その意味づけ.
.:
は今後の課題である.
Macdonald 多項式の理論は任意のルート系に付随して展開できるが, その楕円函数版があるかどうかという問いに対する答えとして van Diejen による結果があった. 彼
は可約なルート系に付随して, 楕円函数を係数に持つ可換な差分作用素の組を構成した. それは Koornwinder [K] により導入された多変数 Askey-Wilson 多項式の理論の, 2変数の場合の楕円函数版と考えられる. その後, 樋上, 小森
は Cherednik の方法の楕円函数的拡張といえる手法を用い, Ruijsenaars 系 (且型のとき), および van Diejenの作用素を含む 個の可換な差分系 (型のとき) を構成した. これら van Diejen あ$C$$\mathrm{T}$$[\mathrm{v}\mathrm{D}]$$BC_{2}$$[\mathrm{K}\mathrm{H}1][\mathrm{K}\mathrm{H}2]$$BC_{n}$$n$

るいは樋上-小森の作用素たちと我々の結果との関係についても, まだ明らかではない.
本稿の内容は, [HIK] に基づく. 最後に注意であるが, face 模型については, 神保- 三輪
尾角 [JMO] らによって解が求められたが, これは型以外の場合はタ函数の平方根を含むものであった. これは物理的にはボルツマン・ウエイトのユニタリティという条件から自然ではあるが, 数学的には平方根を除いた解があって後にユニタリティの条件が課$A$$\overline{\tau}-$

されるべきだろう. これまで且型の場合を除き, 平方根を除いた表示は知られていないようであり, それを見つけることはやってみると結構根気のいる作業である. そこでここでは型の場合に, 平方根をもたない解についてやや詳しく述べた (同筆. なおで型や $D$ 型の場合についても平方根をもたない同様の表示がも全く同じ式で解となる).
得られるが, それらについては別の機会に譲る.
$C_{2}^{(1)}$$C_{n}^{(1)}$$B$

2$C_{2}^{(1)}-\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{e}$模型

ここでは神保- 三輪-尾角 [JMO] による face 型の Yang-Baxter 方程式の楕円函数解で,型の Lie 環に対するものについて, すでに述べたように平方根のない表示を与える.

$C_{2}$

2.1

ボルツマンウエイトを単純 Lie 環のルート系 $R$ を

Cartan 部分環とし,の双対空間とする.
で表わす.
上の双線形形式 $(, )$を-21 娠で与える. 基本ウェイトをとし, 基本表現$V(\varpi_{d})(d=1,2)$ のウェイトがなす集合をとおく. すると,$\mathrm{g}:=\mathcal{B}\mathfrak{p}(4, \mathbb{C})$$\mathfrak{h}$の$R:=\{\pm(\mathit{6}1^{\pm}\in \mathrm{i}_{2}),$$\pm 2\epsilon_{1},$$\mathfrak{y}*$を$(\mathrm{g}, \mathfrak{h})$$\mathfrak{h}$$\pm 2_{\mathit{6}\}}2\subset \mathfrak{y}*$$(\mathit{6}_{j}, \in k)=$$\mathfrak{y}*$$\varpi_{1}=\epsilon_{1},$ $\varpi_{2}=\in \mathrm{i}_{1}+\epsilon_{2}$$P_{d}$$P_{1}=\{\pm\in_{1}, \pm_{\mathcal{E}_{2}}\}$,$P_{2}=\{\pm(\epsilon_{1}\pm \mathcal{E}2), 0\}$であり, このとき各ウェイトの重複度は 1 である.
複素数 を任意に固定する. 神保- 三面-尾角による$\hslash$

イト [JMO] をパラメータ$\mathfrak{h}^{*}$の 4 つの元の組$u\in \mathbb{C}$の函数であり,$(\lambda, \mu, \nu, \kappa)$$C_{2}^{(1)}$に対して型 face 模型のボルツマン・ウェ$W(\kappa\lambda$$\mu I\ovalbox{\tt\small REJECT}|u)$$\mu-\lambda,$ $\nu-\kappa,$ $\kappa-\lambda,$ $\nu-\mu\in 2\hslash P_{1}$で表ゎす. これはでないときは

$0$

であ

19
ると定める. このとき Yang-Baxter 方程式とは次の函数方程式系を意味する.

$\sum_{\eta\in \mathfrak{h}^{*}}W$($\eta\kappa|u-v$$\sigma\rho$$= \sum_{\eta\in \mathfrak{h}}W*$($\sigma\eta|v$$\rho\lambda$))$\eta\mu|u)W(\eta\mu$$W(\rho\lambda$$\kappa\nu|u)W(\eta\lambda$$W(\sigma\eta$$\kappa\nu|v)$(1)$\mu\nu|u-v)$ .

$\wedge-(\forall\lambda, \mu, U, \kappa, \sigma, \rho\in \mathfrak{h}^{*}.)$$\urcorner$,$p,$ $q,$ $r,$ $S\in p_{1}$$2\hslash_{S,\nu-\kappa}=2\hslash r$

が $p+q=r+s$ という関係を満たし, $\mu^{-\lambda}--2\hslash.p,$ $U-\mu=2\hslash q,$ $\kappa-\lambda=$のとき, ボルツマンウェイトを

(

$W$

$|u$

$\kappa\lambda$$\mu\nu$

)

$=$

$p$

$\mu$

$\lambda$

$=s$

$u$

$\kappa$

$\nu$

$u$

$q$

$r$

のように略記すると, Yang-Baxter 方程式は次のように表わされる.

$= \sum_{\eta}$$\sum_{\eta}$

以上の設定に見合う, この方程式の解は次のように与えられる. 記号は,とし, $p\in P_{1}$ に対してと定める.

$\lambda\in \mathfrak{h}^{*},$$p,$ $q\in P_{1}$$\lambda_{P}:=(\lambda,p)$

$p$
$p$

,

$p$

(2)

$p$

$p$

$p$
$p$
$p$

$(p\neq\pm q)$

,

(3)

$q$

$q$

$(p\neq\pm q)$

,

(4)

$q$

$q$

$(p\neq q)$

,

(5)

$-p$
$p$

. (6)

20
は交叉パラメータと呼ばれ,型のボルツマンウェイトの場合 $c=-3\hslash$ である. また, これらの解は次の性質をみたす.
Initial condition:
ここで$C_{2}$

$c$

$W$

(

$\kappa\lambda$$\mu\nu|0$)$=\delta_{\mu\kappa}$.

Inversion relation:$\sum_{\eta}W$

(

$|u$

$\kappa\lambda$$\eta\nu$)$W(\eta\lambda$$\mu\nu|-u)=\delta_{\mu\kappa}\frac{[c+u][c-u][\hslash+u][\hslash-u]}{[c]^{2}[\hslash]2}$.

(7)

Crossing symmetry:$W$($\kappa\lambda$$\mu\nu$$|u$)$= \frac{g(\lambda,\kappa)}{g(\mu,\nu)}W(\nu\kappa$$\mu\lambda|c-u)$,

ここで $g( \lambda, \mu):=[2\mu_{p}]\prod_{q\in P_{1} ,q\neq\pm p}[\mu_{p}+\mu_{q}](\mu=\lambda+2\hslash p, p\in \mathcal{P}_{1})$ とおいた.

Reflection symmetry:$W$($\kappa\lambda$$\mu\nu$$|u$)$= \frac{g(\lambda,\kappa)g(\kappa,\nu)}{g(\lambda,\mu)g(\mu,\nu)}W(\mu\lambda$.

$\kappa\nu|u)$ボルツマンウェイト (2) $-(6)$ が Yang-Baxter 方程式をみたすことは, これらの性質を用いることにより証明できる. 詳しくは [HIK] にランクー般の場合での証明があるので,そちらを参照されたい.

2.2

$p$
$p$

神保-三輪-尾角による解との関係

ここに与えた Yang-Baxter 方程式の解のうち, (4), (5) の二つは神保- 三輪-尾角による原論文 [JMO] の表示とは違うものになっている. 実際, 原論文ではこの二つは$(p\neq\pm q)$

,

$q$

$q$

$(p\neq q)$

.

$-p$

となっている. ここで$G_{\lambda p}:=- \frac{[2\lambda_{p}+2\hslash]}{[2\lambda_{p}]}\prod_{\prime\ulcorner}\varpi\frac{[\lambda_{p}+\lambda_{r}+\hslash]}{[\lambda_{p}+\lambda_{r}]}$協$(p\in P_{1})$

.

(8)

21
この表示のボルツマンウェイトを WJMO とあらわすと, 我々のボルツマンウェイトをこの解から Yang-Baxter 方程式を保ちながら得るには次のようにすればよい. 今, 集合
. .
を
の線形順序

$P_{1}$$\prec$$\epsilon_{1}\prec\epsilon_{2}\prec-\mathit{6}2\prec-\mathcal{E}_{1}$

で定めて,$\lambda,$が\mu$\mu\in \mathfrak{h}^{*}$

を満たすとき, 函数$q\in P_{1}$$-\lambda=2\hslash q,$$s(\lambda, \mu)$を.
$s(\lambda, \mu)$$:=p\text{脅}[\lambda_{p}-\lambda_{q}][\mu p-\mu q]$と定義する. このとき,$W$($\kappa\lambda$$\mu\nu|u)=W_{JMO}(\kappa\lambda$$\mu\nu|u)\{\frac{s(\lambda,\kappa)_{S}(\kappa,U)}{s(\lambda,\mu)S(\mu,\nu)}\}^{1/2}$という関係になっている.

Fusion procedure3

この section では, ベクトル表現に対するボルツマンウェイトからより高次の表現に対するボルツマンウェイトを構或する方法, fusion procedur を用いて, 可換な作用素系
に対する拡張されたボルツマンウェイトをを構成するために必要な, 基本表現
与える.
$V(\varpi_{2})$3.1$\lambda,$

道の空間と face 作用素$\mu\in \mathfrak{y}*$と$u\in \mathbb{C}$に対して, 記号$e(u)_{\lambda}^{\mu}$を用い, ベクトル空間$\mathbb{C}e(u)_{\lambda}^{\mu}$$\hat{P}(\varpi_{1}^{u})_{\lambda}^{\mu}:=\{$$\mathfrak{h}^{*}$の元の列$(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \cdots.

’\lambda_{N})$,: otherwise.

$0$

を考える.

$:\mu-\lambda\in 2\hslash P_{1}$が長さ $N$ の道 (Path) であるとは$\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\in 2\hslash P_{1}$$(1\leq i\leq N)$

を終点とよぶ. 上に定義したベクトル空間
を始点,なることをいい,り, を始点, を終点とする道に対してベクトル空間$\lambda_{0}$$\lambda_{N}$$\hat{P}(\varpi_{1}^{u})_{\lambda}^{\mu}$によ$\lambda$$\mu$$\hat{\mathrm{p}}(\varpi_{1}^{u_{1}}\otimes\cdots\otimes\varpi_{1}^{u})_{\lambda}^{\mu}k$$:=$$\oplus$$\hat{P}.(.\varpi_{1}^{u_{1}}.)_{\lambda}^{\lambda}1\otimes\hat{\mathrm{p}_{l}.}.(\varpi_{1}^{u_{2}})\lambda 1\ldots\otimes 2_{\otimes}\hat{\mathrm{p}}\lambda(\varpi^{u_{k}})1\mu\lambda_{k-1}$$1\leq i\leq\lambda_{i}\in k^{*}-\mathfrak{h}\backslash 1$

が 1 対 1 に対応する. この空間を用いて,の元を動かして得られる空間を$\lambda$を始点とする長さ$k$の道の終点となるような$\mathfrak{h}^{*}$$\hat{P}(\varpi_{1}^{u_{1}}\otimes\cdots\otimes\varpi^{u_{k}}1)_{\lambda}:=$$\bigoplus_{*,\mu\in^{\mathfrak{y}}}\hat{P}(\varpi_{1}^{u_{1}u}\otimes\cdots\otimes\varpi_{1})_{\lambda}^{\mu}k$,22さらに, 始点も$\mathfrak{y}*$内を動かした道の空間 (path space) を$\hat{P}(\varpi_{1}^{u_{1_{\otimes}}}\cdots\otimes\varpi_{1}^{u_{k}}):=\bigoplus_{*\lambda\in \mathfrak{h}}\hat{\mathrm{p}}(\varpi\otimes 1\ldots\otimes\varpi)_{\lambda}u1u1k$で定義する. ボルツマンウェイトを用いて, 長さ 2 の道の空間
用素
, を,
:

$\hat{P}(\varpi^{u}\otimes\varpi^{v})$上の線形作$\hat{P}(\varpi_{1}^{u}\otimes\varpi_{1}^{v})arrow\hat{P}(\varpi_{1}^{v}\otimes\varpi_{1}^{u})$$W(\varpi_{1}^{u}, \varpi_{1}^{v})$$W( \varpi_{1}^{uv}, \varpi_{1})e(u)_{\lambda}^{\mu}\otimes e(v)_{\mu}^{\nu}:=\sum_{\kappa\in^{\mathfrak{y}*}}e(v)^{\kappa}\lambda\otimes e(u)_{\kappa}^{\nu_{W}}(\lambda\kappa$$\mu\nu|u-v)$ .

によって定義する. この線型作用素を face 作用素と呼ぶ. この様子をにより表わす. ここでは上の矢印を道の空間と見て, $W(u-v)$ が下から作用していると思う. すると, Yang-Baxter 方程式は次のように書き直される.
$\hat{P}(\varpi^{u})_{\lambda}^{\mu}\otimes\hat{P}(\varpi^{v})^{\nu}\mu$$(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W(\varpi_{1’ 1}^{u}\varpi^{v}))(W(\varpi_{1’ 1}uw\varpi)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W(\varpi_{1’ 1}^{v}\varpi^{w}))$$=(W(\varpi_{1’ 1}vw\varpi)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W(\varpi_{1’ 1}^{uw}\varpi))$:

3.2$\hat{P}(\varpi_{1}^{u}\otimes\varpi_{1}^{v}\otimes\varpi_{1}^{w})arrow\hat{\mathrm{p}}(\varpi_{1}^{w}\otimes\varpi_{1}v_{\otimes\varpi^{u}1})$

Fusion procedure (基本表現

作用素$(W(\varpi_{1’ 1}uv\varpi)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})$$W(\varpi_{1’ 1}^{uv}\varpi)$$V(\varpi_{2})$

(9)

.

の場合)

において, パラメータ $u-v=-\hslash$ としたもの$:=W(\varpi_{1’ 1}^{u-\hslash}\varpi^{u})$$\pi_{\varpi_{2}^{u}}$:$\hat{P}(\varpi_{1}^{u-\hslash}\otimes\varpi_{1}^{u})arrow\hat{P}(\varpi_{1}^{u}\otimes\varpi^{u-})1\hslash$を fusion projector と呼ぶ. 且型の場合には, これは縦 2 個の Young 図形に対する Young対称子の変形にあたるものであり, 一般の Young 対称子にあたるものも同様に構成できることが知られている (たとえば [JKMOI). ここでは $C$ 型の場合に, スペクトルパラに対応す
メータの特殊値 $u-v=-$ 旧こおける face 作用素の像として, 基本表現
る道の空間を定める.
道の空間の始点を任意に固定したとき, この作用素による像$\mathrm{P}$$V(\varpi_{2})$$\lambda\in \mathfrak{h}^{*}$$\hat{P}(\varpi_{2}^{u})_{\lambda}$$:=\pi_{\varpi_{2}^{u}}(\hat{P}(\varpi^{u-\hslash}1\otimes\varpi)_{\lambda}1u)\subset\hat{P}(\varpi_{1}^{u}\otimes\varpi_{1^{-}}^{u})_{\lambda}\hslash$について次の命題が成り立つ. 記号は, $p\in P_{d}(d=1,2)$ に対し$\hat{p}:=2\hslash p$

なる略記を用いる.

23
命題 1 空間$\hat{P}(\varpi_{2}^{u})_{\lambda}$

は 5 次元で, 基底$\{f(u)_{\lambda^{+\hat{r}}}^{\lambda}\}_{r\in}P_{2}$は次で与えられる.

$f(u)^{\lambda+\hat{p}}\lambda+\hat{q}=[\lambda\lambda+\mathrm{P}^{-}q\hslash]e(u)_{\lambda}\lambda+\hat{p}\otimes e(u-\hslash)\lambda+\hat{p}+\hat{q}\lambda+\hat{p}$,$\mathrm{c}$$+[\lambda_{q}-\lambda_{p}+\hslash]e(u)_{\lambda^{+\hat{q}}}\lambda\otimes e(u-\hslash)_{\lambda}^{\lambda}+\hat{p}+\hat{q}+\hat{q}$

ここで $p=\pm\epsilon_{1},$ $q=\pm\epsilon_{2}$ ,$f(u)_{\lambda}^{\lambda}:=p \in\sum[2P_{1}^{\cdot}+\lambda_{p}2\hslash]e(u)_{\lambda}\lambda+\hat{p}\otimes e(u-\hslash)_{\lambda+}\lambda\hat{p}$.

証明は, face 作用素の定義に従って, ボルツマン・ウェイト (2) $-(6)$ により作用を書き下を代入した値を調べることによりなされる. (6) の $u=-\hslash$ での値
し, パラメータに函数の加法定理を計算するとき$-\hslash$$\overline{\tau}-F$$[u+x][u-x][v+y][v-y]-[u+y][u-y][v+x][v-X]$(10)$=[_{X+}y][X-y][u+v][u-v]$$(u, v, x, y\in \mathbb{C})$

を用いる.

.

$\cdot$で自然にパラメトライズさは基本ウエイトの集合をれることがわかった. そこで, この基底を用いて, ベクトル空間
この命題より$\pi_{\varpi_{2}^{u}}$の像$P_{2}$$\hat{P}(\varpi_{2}^{u})_{\lambda}$$\hat{\mathcal{P}}(\varpi_{2})_{\lambda}^{\mu}$$\hat{P}(\varpi_{1}^{u}\otimes\varpi_{1}^{u-\hslash}\mathrm{I}^{\mu}\lambda$の部分空間として実現する.
$\mathbb{C}f(u)_{\lambda}^{\mu}$$\hat{P}(\varpi_{2}^{u})_{\lambda}^{\mu}:=\{$$0$

この空間と先の空間$1,2$ に対して$\hat{P}(\varpi_{1}^{u})_{\lambda}^{\mu}$,:otherwise.

$\cdots d_{k}=$に対してまで拡張して,のような空間も考える. face 作用素をこれらの空間に自をあわせて, 道の空間も$\hat{P}(\varpi_{d_{1}}^{u}\otimes\cdots\otimes\varpi_{dk}^{u_{k}}.)1$

然に働くように拡張する .

$:\mu^{-\lambda\in}2\hslash P_{2}$$d_{1},$$\varpi_{2}$.

$W_{21}(u-v):=(W(\varpi_{1’ 1}uv\varpi)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W(\varpi_{1’ 1}^{u-\hslash}\varpi^{v}))$:$\hat{P}(\varpi_{1}^{u}\otimes\varpi^{u}-\hslash\otimes 1\varpi^{v}1)arrow\hat{P}(\varpi_{1}^{v}\otimes\varpi^{u}\otimes 1)\varpi_{1^{-\hslash}}^{u}$,$W_{12}(u-v):=(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W(\varpi_{1}^{u}, \varpi_{1}^{v-\hslash}))(W(\varpi, \varpi_{1}u1v)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})$:$\hat{P}(\varpi_{1}^{u_{\otimes\otimes)}}\varpi^{v}\varpi 11^{-\hslash}varrow\hat{P}(\varpi_{1}^{v}\otimes\varpi_{1}^{v}-\hslash\otimes\varpi_{1})u$,

さらに$W_{22}(u-v)$ $:–(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W_{21}(u-v+\hslash))(W_{21}(u-v)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})$$=(W_{12}(u-v)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W_{12}(u-v-\hslash))$:$\hat{P}(\varpi_{1}^{u_{\otimes\otimes\varpi^{v}}}\varpi_{1}^{u}-\hslash\varpi-\hslash)1^{\otimes}1varrow\hat{\mathrm{p}}(\varpi_{1^{\otimes\varpi_{1^{-}}}}^{v}v\hslash\otimes\varpi\otimes 1u\varpi_{1^{-\hslash}}^{u})$24と定義する. 合成の様子を図であらわすと次のようになる.

$W_{21}(u)=$$W_{12}(u)=$命題 2$W_{dd’}(u-v)(\hat{P}(\varpi_{d^{\otimes\varpi_{d},)_{\lambda})}}^{u}v\mu\subset\hat{P}(\varpi_{d}^{v}, \otimes\varpi^{u})_{\lambda}^{\mu}d\cdot$

証明は, fusion projector の高義と, Yang-Baxter 方程式 (9) を繰り返し用いることによりなされる.

この命題により, 拡張された face 作用素に対しても Yang-Baxter 方程式は次の形で成り立つ$(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W_{dd’}(u-v))(W_{dd’’}(u-w)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W_{d’d’}’(v-w))$(11)$=(W_{d’d’}’(v-w)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes W_{dd’’}(u-w))(W_{dd’}(u-v)\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})$:$\hat{P}(\varpi_{dd}^{u_{\otimes\otimes}}\varpi^{v},\varpi^{w},\prime d)arrow\hat{P}(\varpi_{d’d}^{w},\otimes\varpi, \otimes v\varpi_{d}u)$.

これも, ベクトル表現に対するボルツマンウェイトが満たす Yang-Baxter 方程式を繰り返し用いて示せる. 作用素 $W_{dd’}(u-v)$ を (, に制限したとき) 基底を用いてこの作用素を行列表示し, その係数を fused Boltzmann weight と呼ぶ.
$\hat{P}$$\varpi_{dd}^{u_{\otimes)}}\varpi^{v}$$\{e(u)_{\lambda}\mu\},$$W_{dd’}(u-v)g(u)_{\lambda} \mu\otimes g’(v)_{\mu}^{\mathcal{U}}=\sum_{\kappa\in \mathfrak{y}}g^{;}(v)_{\lambda}\kappa\otimes g(u)_{\kappa}^{\nu}W*dd’(\kappa\lambda$$\{f(u)_{\lambda}^{\mu}\}$$\mu\nu|u-v)$

は, $d=1$ (resp. $d’=1$ ) のとき
で, $d=2$ (resp. $d’=2$ )である. この係数について拡張された Yang-Baxter 方程式 (11) を書き直ここで$g(u)_{\lambda}^{\mu}(\Gamma \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{P}\cdot g(u)_{\lambda}^{\prime\mu})$のとき$f(u)_{\lambda}^{\mu}$$e(u)_{\lambda}^{\mu}$

すと,$\sum_{\eta}W_{dd’}$$= \sum_{\eta}W_{d^{l}d}\prime\prime$

となる.

(
(

$\sigma\rho$$\rho\lambda$$\eta\kappa|u-v$)$\sigma\eta|v-w$$W_{dd’’}(\rho\lambda$)$W_{dd’’}(\sigma\eta$$\eta\mu|u-w)W_{d’d’’}(\eta\mu$$\kappa\nu|v-w)$$\kappa\nu|u-w)W_{dd’}(\eta\lambda$$\mu\nu|u-v)$

.

(12)

25
Fused Boltzmann weight の例

3.3

Fused Boltzmann weight の値は定義より基底
題 1 の基底を使用したときのものを例として与える.
まず, ボルツマンウェイト$f(u)_{\lambda}^{\mu}$$W_{21}$($\kappa\lambda$$\mu\nu|u$)の選び方に依存するわけだが, 命$\lambda$$\mu$$\kappa$

$\nu$

$=$

の例を与える. この場合, 可能な道は全部で以下の 6 つのパターンがある. これらの解はのみに依存する函数
すべて$u$$\frac{[u-\hslash][u+\hslash][u+3\hslash]}{[-3\hslash]^{2}[\hslash]}$関数の加法定理 (10) を利用すればこれらの表示が得られる. ここで, $p,$ $q\in P_{1},$ $p\neq\pm q$ である.

でくくれるので省略する.

$\overline{\tau}-p$

$q$
$q$
$q$
$q$ $q$
$q$

$p-q$

$p+q$

$p+q$

,

,

$p-q$

$p+q$

$0$

$\prod_{P,r\neq\pm^{1}qr\in}\frac{[\lambda_{q}+\lambda_{r}+2\hslash]}{[\lambda_{q}+\lambda_{r}+\hslash]}$

,

’

$q-p$

$0$

,

.

$p-q$

$0$

次に,

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}(\kappa\lambda$$\mu\nu|u)$の例を与える. 今度は函数$\frac{[u][u+2\hslash][u+4\hslash]}{[-3\hslash]^{2}[\hslash]}$..

がくくり出せる. ここでも計算は関数等式 (10) のみを用いてなされる. これらの fusedで結ばれているものを, 差分作用
Boltzmann weight のうち縦方向の道が両方とも$\mathrm{O}\in P_{2}$素を構成するのに使用する. $p,$ $q\in P_{1},$ $p\neq\pm q$ とする.

26

$p+q$

$q-p$

$p$

$p$

,

$p$

$0$

,

$p+q$

$p$

$p-q$
$0$
$p$

$p$

$\prod_{1,r\neq r\in P\pm p}\frac{[\lambda_{p}+\lambda_{r}-\hslash]}{[\lambda_{p}+\lambda_{r}]}$

,

$p$

,

$p$

,

$q$

$q$

最後に

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}$の例を与える.

($\lambda\kappa$$\mu\nu|u$

型 Lie 環の基本表現)$\lambda$$\mu$$\kappa$

$\nu$

$=$

型 Lie 環のベクトル表現と同型なのは,$B$型のもの [JMO] を適当に読みかえることにより対応がつで, ボルツマン・ウェイトもく. ここでは差分作用素を構成するのに必要な例のみ与える. この場合は函数$C_{2}$$V(\varpi_{2})$$B_{2}$

,

(13)

$0$
$G(u):= \frac{[u-\hslash][u]^{2}[u+\hslash][u+2\hslash][u+3\hslash]^{2}[u+4\hslash]}{[-3\hslash]^{4}[\hslash]4}$

でくくれる. $p,$ $q\in P_{1}$ である.

$0$
$p+q$

,

$p+q$

4

可換差分作用素系の構成

型の face 模型から fusion procedure を利用してつくった
ここまでに論じてきた,
Yang-Baxter 方程式の解をもとに, 可換な差分作用素の組を構成する. またの極限で現われる微分作用素も計算する.
$C_{2}$$\hslasharrow 0$.

27
定理 1: 差分作用素の構成

4.1
定理 1

$\mathfrak{h}^{*}$

上の関数

$f$

に働く作用素 $M_{d}(u)(u\in \mathbb{C}, d=1,2)$ を$(M_{d}(u))f( \lambda):=\sum_{p\in Pd}Wd2(\lambda\lambda$$\ovalbox{\tt\small REJECT} f(\lambda)$$\lambda+p\lambda+p\wedge\wedge|u)\tau_{p}\wedge f(\lambda)$,$:=f(\lambda+2\hslash p)$と定めると$[Md(u), Md^{\prime(v)}]=0$が成り立つ. 作用素の具体的な形は, Introduction の作用素$(\lambda, \epsilon_{i})$で変数と読めば, $M_{1}(u)=F(u)\overline{M}_{1},$ $M_{2}(u)=G(u)(\overline{M}2-H(u))$ である. ここで$\overline{M}_{1},\overline{M}_{2}$を$\lambda_{i}$$u$$\lambda_{i}=$のみに依存する関数 $G(u)$ は’3) で, $F(u),$ $H(u)$ は$F(u):= \frac{[u][u+2\hslash]^{2}[u+4\hslash]}{[-3\hslash]^{2}[\hslash]2}$,$H(u):= \frac{[u+6\hslash][u-3\hslash][2\hslash]}{[u][u+3\hslash][6\hslash]}$により与えられる.
注意 以下の可換性の証明をみると, 差分作用素の係数としてのボルツマンウェイト (よ,の空間を持つ任意の有限次元表現に対する fusion によるの代わりに, ウェイト拡張を用いても可換な差分作用素系が構成できることがわかる. ただし, その場合差分作$0$$V(\varpi_{2}^{u})$の空間に値をとるようなベクトル値の用素が働く函数空間としては, 一般にはウェイト函数の空間を考えることになる (これは Etingof らの場合と同じである). 本稿ではウェイに着目した.
の空間がちょうど 1 次元になる表現として
ト$0$$V(\varpi_{2}^{u})$

$0$

4.2

可換性の証明作用素の合成, $M_{d}(u)M_{d}’(v),$ $M_{d’}(v)Md(u)$ は$\mathfrak{h}^{*}$

の元

$t$

で, $t=r+s,$ $r\in P_{d},$ $s\in P_{d’}$ をみたすものを用いて次のように表せる.
$M_{d}(u)M_{d’}(v)= \sum_{+t\in P_{d}\mathrm{p}_{d}\prime}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{e}At(\lambda|u, v)T_{\iota}\wedge$,$u\mathrm{I}\tau_{\wedge}i$$M_{d’}(v)M_{d}(u)= \sum_{+t\in P_{d}P_{d}\prime}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{e}Bt(\lambda|v,$

ここで, 行列且 t(\mbox{\boldmath $\lambda$}lu, ),$v$$B_{t}(\lambda|v, u)$.

は $\{(p, q)\in P_{d}\cross P_{d’}|p+q=t\}$ をインデックスとして, 次のように定義される.
$A_{t}(\lambda|u, v)_{(r}^{(,)}p,S)q:=W_{d2}(\lambda\lambda$$\lambda+p\lambda+r\wedge\wedge|u)W_{d’2}(\lambda+p\lambda+r\wedge\wedge\lambda+t\lambda+t\wedge\wedge|v)$,

28$B_{t}(\lambda|v, u)^{(,)}(rp,S)q:=W_{d’2}(\lambda\lambda$$\lambda+s\lambda+q\wedge\wedge|v)W_{d2}(\lambda+s\lambda+q\wedge\wedge\lambda+t\lambda+t\wedge\wedge|u)$.

また, 行列 $W_{t}(\lambda|u-v)$ も同じインデックスで$W_{t}(\lambda|u-v)_{(S)}(pqr,’):=W_{dd’}(\lambda+s\lambda\wedge\lambda+t\lambda+p\wedge\wedge|u-v)$.

により定義する. すると Yang-Baxter 方程式よりこれらの行列のあいだに次の関係式$W_{\iota}(\lambda|u-v)At(\lambda|u, v)=B_{t}(\lambda|v, u)W_{t}(\lambda|u-v)$

.

(14)

が成り立つ. 両辺の $(p, q),$ $(r, s)$ 成分を図で表わすと次のようになる.

$W_{t}( \lambda|u-v)A_{t}(\lambda|u, v)_{(r}^{(,)}p,S)q=\sum_{\eta}$$B_{t}( \lambda|v, u)W_{t}(\lambda|u-v)(r,S)(p,q)=\sum_{\eta}$

Inversion relation (7) により, 行列 $W_{t}(\lambda|u-v)$ は –般のに対して可逆であることがわかる. よって, 関係 (14) によりすべてのに対して traceとなることがわかり, $M_{d}(u)M_{d’}(v)=M_{d’}(v)M_{d}(u)$ が従う.
$u,$

$u,$

$v\in \mathbb{C}$$v\in \mathbb{C}$$\text{且_{}t}(\lambda|u, v)=$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}B_{t}(\lambda|v, u)$4.3$\hslasharrow 0$

により得られる微分作用素

定理 1 で得られた差分作用素のんによる展開を計算して, Olshanetsky-Perelomov系 (楕円面数的 Calogero-Moser 系) との関係について考察する. なお, この subsection ではタ函数を $[u]$ でなく
で表わす.
を
まず,
で展開すると,$\overline{M}_{1},\overline{M}_{2}$$\overline{\tau}-$$\theta(u)$$\overline{M}_{1}$$\hslash$$\overline{M}_{1}=1+\hat{M}_{1}\hslash^{2}+O(\hslash^{3})$ここで,$\hat{M}_{1}=\partial_{1}^{2}+\partial_{2}2-2(\frac{\theta’(\lambda_{1}+\lambda 2)}{\theta(\lambda_{1}+\lambda 2)}+\frac{\theta’(\lambda_{1^{-}}\lambda_{2})}{\theta(\lambda_{1^{-}}\lambda_{2})}\mathrm{I}^{\partial-2}1(\frac{\theta’(\lambda_{1}+\lambda 2)}{\theta(\lambda_{1}+\lambda 2)}-\frac{\theta’(\lambda_{1^{-}}\lambda_{2})}{\theta(\lambda_{1^{-}}\lambda_{2})})\ovalbox{\tt\small REJECT}$$+2( \frac{\theta’’(\lambda_{1}+\lambda 2)}{\theta(\lambda_{1}+\lambda 2)}+\frac{\theta’’(\lambda_{1^{-}}\lambda_{2})}{\theta(\lambda_{1^{-}}\lambda_{2})})$

29である. いま,$\triangle=\theta(\lambda_{1}+\lambda_{2})\theta(\lambda_{1}-\lambda 2)$

とおくと,$\triangle^{-12}.\hat{M}_{1}\cdot\Delta=\partial_{1}+\partial_{2}^{2}+4(\log\theta)\prime\prime(\lambda_{1^{-}}\lambda 2)+4(\log\theta)’’(\lambda 1^{-}\lambda_{2})$

となる.

;

は, Weierstrass の函数を用いて. と書けるので, この作用素は Olshanetski-Perelomov, Inozemtsev-Meshcheryakov [IM] [I] によるハ
ミルトニアン$(\log\theta)’$$(\log\theta)\prime\prime(u)=\wp(u)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{t}$$\wp$$H= \frac{1}{2}(\partial_{1}^{22}+\partial_{2})+g^{2}(\wp(\lambda_{1}+\lambda 2)+\wp(\lambda 1-\bigwedge_{2}))$$+ \sum_{1j=,2}(g^{2}\mathrm{o}\wp(\lambda j)+g^{2}1\wp(\omega 1+\lambda j)+g22\wp(\omega_{2}+\lambda.j)+...g3,\wp(2..\omega_{1}+\omega 2+\lambda_{j}))$で, パラメータを $g=\sqrt{2},$ $g_{i}=0(i=0,1,2,3)$ としたものと定数を除いて等しい. ただはし,函数の半周期 $\omega_{1}=1/2,$ $\omega_{2}=\tau/2$ とした. パラメータが全てという点では $BC$ 型の作用素というよりはむしろ $D$ 型の作用素といえる.
$\omega_{1},$$\omega_{2}$

さらに

$\wp$

$\overline{M_{2}.}$を$g_{i}$$\hslash$$0$で展開すると,$\overline{M}_{2}=\frac{16}{3}+(2\hat{M}_{1}-\frac{16}{9}\frac{\theta^{\prime\prime;}(\mathrm{o})}{\theta’(0)})\hslash^{2}+\hat{M}_{4}\hslash 4\mathit{0}+(\hslash^{5})$となり, 先程の函数$\triangle$を用い,$\triangle^{-1}\cdot\hat{M}_{2}\cdot\triangle=\frac{1}{6}(\partial^{44}1+\partial_{2})+\partial_{1}^{2}\partial_{2}^{2}$$+2\{(\log\theta)^{;\prime}(\lambda_{1}+\lambda 2)+(\log\theta)’’(\lambda 1-\lambda_{2})\}(\partial_{1}2+\partial_{2}^{2})$$+4\{(\log\theta);’(\lambda_{1}+\lambda 2)-(\log\theta)\prime\prime(\lambda 1-\lambda_{2})\}\partial_{1}\partial_{2}$$+2\{(\log\theta)’’’(\lambda_{1}+\lambda_{2})+(\log\theta)’’’(\lambda_{1}-\lambda_{2})\}\partial_{1}$$+2\{(\log\theta)^{;}\prime\prime(\lambda_{1}+\lambda 2)-(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}.

$+$( 階の項)$0$と表わせる. このようにして可換な微分作用素系

5\theta)’\prime\prime(\lambda_{1}-\lambda_{2})\}\partial_{2}$$\{\hat{M}_{2},\hat{M}_{4}\}$が得られる.

Weyl 群不変な函数空間
最後に, 定理 1 で得られた作用素がレベル 1 の指標の空間を保つことを示す.

5.1

定理 2

双線型形式 $(, )$ によりウェイト格子は$\mathfrak{h}$と$\mathfrak{h}^{*}$

を適宜同–視する. このとき双対ルート格子および双対$Q^{\vee}= \bigoplus_{j=1,2}\mathbb{Z}2\epsilon_{j}$,$P^{\vee}=Q^{\vee}\oplus \mathbb{Z}(\in 1+\mathit{6}2)$30で与えられる. 全てのと全ての$\beta\in \mathfrak{h}^{*}$$\mathfrak{h}^{*}$$(S_{\beta}f)(\lambda):=f(\lambda+\beta)$

上の函数

$f$

に対して

,

$(S_{\tau\beta}f)(\lambda):=\exp[2\pi i((\lambda, \beta)+\tau(\beta, \beta)/2)]f(\lambda+\tau\beta)$

とおき, Weyl 群不変な (レベル 1 の)$Th^{W}:=\{f$ は$\mathfrak{h}^{*}$$\overline{\tau}-$タ函数の空間を次で定める.

上正則な函数$=f(\lambda f=f)$$|_{f(w\lambda}^{s_{\mathcal{T}}}\alpha f=s_{\alpha}$)$(\forall\alpha\in Q(\forall w\in W))\}$.

この空間は 3 次元である [KP].

命題 3 次が成り立つ

1.
2. $Th^{W}$ は$S_{\beta},$$S_{7}-\beta(\beta\in P^{\vee})$$S_{\beta},$

は $\overline{M}_{d}(d=1,2)$ と可換である.

で不変である.

$S_{\tau\beta}(\beta\in P^{\vee})$の係数の1. の証明は, 作用素る. その際,
タ函数の変換性$M_{d}$$\lambdaarrow\lambda+\beta,$$\lambdaarrow\lambda+\tau\beta$による変換性を調べればわか$\overline{\tau}-$$[u+m]=(-1)^{m}[u]$ ,を用いる. また, 2. については$S_{\beta}S_{\gamma}=S_{\gamma}S_{\beta}$$(\gamma, \beta, \in \mathfrak{h}^{*})$,$[u+m\tau]=(-1)^{m}e^{-\pi i}-2\pi imu[m\mathcal{T}u]2$$\mathfrak{h}^{*}$$(m\in \mathbb{Z})$の双線形形式 $(, )$ の Weyl 群不変性と,$s_{\tau\beta}S_{\tau\gamma}=S_{\tau\gamma}S_{\mathcal{T}\beta}$,$S_{\beta},$$S_{\tau\beta}$の関係式$S_{\gamma}S_{\tau\beta}=e^{2\pi i(\gamma}’ s_{\mathcal{T}\beta}\beta)s_{\gamma}$を利用する. 詳しくは [HIK] を参照されたい.

定理 2 差分作用素 $\overline{M}_{d}(d=1,2)$ は $Th^{W}$ を保つ.
$A$

型 Lie 環の場合, これに対応する結果は [H2], [H3] にある.

定理 2 の証明

5.2

上の有理型関数 が $S_{\tau\alpha}f=S_{\alpha}f=f(\forall\alpha\in Q^{\vee})$ を満たすならば, 命題 (1) よりが Weyl 群不変ならば M$df$ が $W$ 不変であることはも同じ性質を満たす. また,が正則であることを示せばの形より明白である. 従って $f\in Th^{W}$ と仮定して$f$$\mathfrak{h}^{*}$$\overline{M}_{d}f$$\overline{M}_{d}$$f$$\overline{M}_{d}f$

よい.

一般に

$\mu\in \mathfrak{h}^{*},$$c\in \mathbb{C}$に対し$D_{\mu}^{c}:=\{\lambda\in \mathfrak{h}^{*}|(\lambda, \mu)+c=0\}$

とおき,$D:= \bigcup_{\in pR+}D_{p}^{0}\cup\bigcup_{0q\in P2-\{\}}D^{\hslash}q$は任意に選んだ正のルートの集合である. 差分作用素の係と定める. ただし, ここに
数は $D+P^{\vee}+\tau P^{\vee}$ の各既約成分に沿って高々–位の極を持ち, それ以外では正則である
ことがわかる.
$R_{+}$

31$f$の正則性と $W$ 不変性から $D_{p}^{0}(p\in R_{+})$ においてにして従う.
であるので

とおくと,

$D:=[\lambda_{1}-\lambda_{2}][\lambda_{1}+\lambda_{2}][2\lambda_{1}][2\lambda 2]$$D_{p}^{0}$において零点を持つ.
における正則性を示すには$D_{q}^{\hslash}(q\in P_{2^{-}}\{0\})$$\overline{M}_{d}f$が正則であることが次のようは $W$ 反不変な正則函数$D\overline{M}_{d}f$$W\text{対称性より}D’:=D_{\mathcal{E}_{1+2}}^{\hslash}\epsilon=\{\lambda_{1}+\lambda 2+\hslash:=$との階の項での正則性をみれば十分である. 係数が $D’$ に極を持つのはであることにである. ここで–般に $f$ を $W$ 不変な函数とするとき,$D’$
におけるそれぞれの留数の和
階の項の
の係数と
注意する. したがってあとは,が消えることを示せばよい. この留数は簡単な計算で消えていることがわかる.
の定義と命題 (1) より,
次にとする.
$\overline{M}_{2}$$0\}$$T_{\mathcal{E}_{1}+\text{あ}}\wedge$$0$$(T_{\epsilon_{1}+}\wedge Af\mathcal{E}_{2}-f)|_{D’}=0$$0$$T_{1}T_{2}$$\beta,$$\gamma\in P^{}$$S_{\tau\beta,\gamma}S$$\overline{M}_{d}f(\lambda+\beta \mathcal{T}+\gamma)=e^{-2\pi i((\lambda}’\beta)+(\beta,\beta)\tau/2)s_{\tau}\beta S_{\gamma}\overline{M}df(\lambda)$$=e^{-2\pi i((\lambda}’\overline{M}\beta)+(\beta,\beta)\tau/2)S_{\Gamma\beta\gamma}d,sf(\lambda)$が成り立つ. 命題 (2)であるから, 上に示したことから
は $D$ において正則. 従って $M_{d}f$ は $D+\beta\tau+\gamma$ において正則であることがわかる.

$\overline{M}_{d}s_{\tau\beta}s_{\gamma}f$$\text{により}\underline{S}_{\tau\beta}S_{\gamma}f\in Th^{W}$

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