４体フェルミ相互作用模型の正則化と有限温度密度相構造
稲垣 知宏
木村 大自幸山 浩章

広島大学
宇部高専
台湾大学

H.  Kohyama,  D.  Kimura,  and  T.  I.,  Nucl.  Phys.  B896  (2015)  682.	
基研研究会「熱場の量子論とその応用」2015/9/1

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関連した仕事• ３次元カットオフと次元正則化の比較
o 中性子星の質量と半径：T. Fujihara, D. Kimura, T. I., andA.Kvinikhidze, Phys. Rev. D79 (2009) 096008.
o メソン９重項：T. I., D. Kimura, H. Kohyama, and A. Kvinikhidze,Phys. Rev. D83 (2011) 034005.

• 正則化に依らない解析
o 処方の導入：T. I., D. Kimura, H. Kohyama, and A. Kvinikhidze,
Int. J. Mod. Phys. A28 (2013) 1350164-1-1350164-16.
o Next to leading order：T. I., D. Kimura, and H. Kohyama, Int. J.
Mod. Phys. A29 (2014) 1450048-1-1450048-9.

• いろいろな正則化での解析
o 理論の相構造：H. Kohyama, D. Kimura, and T. I., Nucl. Phys.
B896 (2015) 682.

目次
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4体フェルミ相互作用模型
いろいろな正則化
有限温度・密度効果
まとめ

関連レビュー：U.  Vogl,  W.  Weise,  Prog.  Part.  Nucl.  Phys.  27  (1991)  195.	
S.P.  Klevansky,  Rev.  Mod.  Phys.  64  (1992)  649.	
T.  Hatsuda,  T.  Kunihiro,  Phys.  Rep.  247  (1994)  221.	
M.  Buballa,  Phys.  Rep.  407  (2005)  205.	
M.  Huang,  Int.  J.  Mod.  Phys.  E  14  (2005)  675.

QCDの低エネルギー有効理論

4体フェルミ相互作用模型
44体フェルミ相互作用模型• Nambu-Jona-Lasinio model (1960, 1961)NfL =¯i (i µ µmi )

i

i=1
Nf+G2

¯ii

Nf2 1+2¯i i 5 aij

a=1

i=1

Nfi,j=1• Dynamical symmetry breaking for m = 0

SUL (Nf )SUR (Nf )UA (1)UB (1)SUL+R (Nf )UB (1)

j4体フェルミ相互作用模型• Similar symmetry property with QCD• A simple model of the chiral symmetry breaking• 1/N expansion is useful to evaluate nonperturbative phenomena.

くりこみ可能性
Mass dimension• Fermion ﬁeld: (D-1)/2• Four-fermion interaction: 2(D-1)• Four-fermion coupling: dim(G)=D-2(D-1)=2-D
D=2: dim(G)=0, Renormalizable.
D>2: dim(G)<0, Non-renormalizable.
D=3: Renormalizable in the sense of1/N expansion.
T.  Eguchi,  P.R.  D17  (1978)  611,    K.  Shizuya,  P.R.  D21  (1980)  2327.	

正則化依存Four  Fermion  interaction  →  dim.  2(D-­‐‑1)  operator  	Non-­‐‑renormalizable  in  four  dimensions

The  model  depends  on  regularization  methods.

カットオフ、Pauli-Villars, Proper-time, 次元正則化

いろいろな正則化
9カットオフ正則化• 発散する積分の上限を切断
o 4D cut0d4 k(2 )41(2)4dkd40

o 3D cut0d4 k(2 )40dk0(2 )4dkd30

並進不変性を壊すが、カイラル対称性とは矛盾しない
温度、密度がΛに近づくと、切断の寄与が大きくなる？

Pauli-Villars正則化• 仮想的な重い質量粒子の伝搬関数を引き去る

1k2

1m2k2aim2ik2iaiは発散が相殺するように選ぶ
カウンター項がカイラル対称性を破る
温度、密度がΛiに近づくと、切断の寄与が大きくなる？

Proper-time正則化• Proper-time積分を利用して収束因子を導入

1m2 )n(k 21(n1)1/2PT

dn 1e(k2 m2 )例えば、n=1のとき、

1k2m2

1/=2PTd e1k2m2e(k2 m2 )(k2 m2 )/2PT

温度、密度がΛiに近づくと、切断の寄与が大きくなる？

次元正則化• 発散する積分の次元を4からDに解析接続

0d4 k(2 )4M

4 D
0dD k(2 )D

ループ積分の次元のみ変更して、ガンマ行列の計算等は４次元のまま行う。
ほとんどの対称性を保持

正則化依存性
有限温度、密度系• エネルギースケール、温度、密度等が大きくなるとカットオフの寄与が鮮明に相構造の解析• 意図しない対称性の破れを導入してしまう可能性

模型のパラメーター
カットオフ
正則化

G,mi,
Λ

PauliVillars正則化

G,mi,ΛjPropertime正則化

次元正則化

G,mi,
ΛPT

G,mi,D,M

パラメータの決定
パイオン
質量

クォーク
質量:仮定

パイオン
崩壊定数

結合定数、正則化パ
ラメータ

π→2γ(次元正則化)

２フレーバーで解析してみる

有限温度・密度効果
17虚時間形式• 置き換えルール

有限温度・密度効果
有限温度・密度による寄与は発散しないので、ゼロ温度、密度で正則化できていれば十分。
松原モードの和を途中できると、温度に比例した質量を持つ粒子の伝搬関数の和になってしまう。

有限温度・密度の寄与には正則化を適用しない？

臨界温度、化学ポテンシャル• 有限温度効果を正則化しない場合• T=µ=0でm*=311MeVとなるパラメータで比較
µ=0

T=0

T-µ相構造• 有限温度効果を正則化しない場合• T=µ=0でm*=311MeVとなるパラメータで比較
Critical  end  point  の位置
正則化

µcp

Tcp

3D  cutoﬀ

330MeV

25.0MeV

4D  cutoﬀ

333

46.8

Pro.  time

330

26.0

Dim.  reg.

289

74.7

臨界温度、化学ポテンシャル• 有限温度効果も正則化適用• T=µ=0でm*=311MeVとなるパラメータで比較
µ=0

T=0

T-µ相構造• 有限温度効果も正則化適用• T=µ=0でm*=311MeVとなるパラメータで比較

Critical  end  point  の位置
正則化

µcp

Tcp

3D  cutoﬀ

330MeV

25.0MeV

Pro.  time

332

23.2

T-µ相構造
正則化により、有限• 有限温度効果も正則化適用
温度効果が緩和する。
• T=µ=0でm*=311MeVとなるパラメータで比較
特に、次元正則化の場合、大きな変化

Critical  end  point  の位置
正則化

µcp

Tcp

3D  cutoﬀ

330MeV

25.0MeV

Pro.  time

332

23.2

T-µ相構造• 有限温度効果を正則化しない場合• µ=0でTc=175MeVとなるパラメータで比較

T-µ相構造• 有限温度効果も正則化適用• µ=0でTc=175MeVとなるパラメータで比較

まとめ
27

まとめ
カットオフの寄与がより鮮明になると考えられる、高温、高化学ポテンシャルでの２フレーバー４体フェルミ相互作用模型について、いろいろな正則化で相構造を解析。
• インプット：パイオン質量、崩壊定数、π→2γ (次元正則化)• パラメータ：クォーク質量以外を、上記で決定• 有限温度効果は松原形式で導入し、正則化を適用しない場合とした場合で解析
H.  Kohyama,  D.  Kimura,  and  T.  I.,  Nucl.  Phys.  B896  (2015)  682.	

今後の課題有限温度・密度の現象をよく表すのは？
３フレーバーの導入
３体力（バリオン）の導入
カラー超伝導の導入
重イオン衝突での観測可能性検討
天体現象等での観測可能性検討

正則化パラメータの決定

模型のパラメータ30

クォーク質量• Current quark massmu  ,  md  ,…	• Constituent quark mass
Gap equation at the large N limit (2 ﬂavor case)u	d	mu*  =                                          ,  md*  =                                          ,  …	
u	G	 u	d	G	 d	動的対称性の破れ• クォーク、反クォーク対の凝縮
At the large N limitu	d	¯ =                                                            ,                                                                    	hddi
hūui =mu*                                                        md*      パイオンの質量と崩壊定数• パイオン伝搬関数
2gqq2(p ) = 2pm2

• 崩壊定数1µp f =2u,  d	······

mu*,  md*    d4 kµtr
[5 g qq S(k) 5 S(k4i(2 )p)]

４次元カットオフ正則化
m⇤

hūui

1.80

198

-­‐‑300

1027

3.64

242

-­‐‑253768

8.88369-­‐‑216mu⇤

G · 103.01397

5.0
8.0

61/3(MeV)

３次元カットオフ正則化
m⇤

hūui

2.00

220

-­‐‑300

781

3.09

255

-­‐‑272

5.0

665

4.71

311

-­‐‑253

5.5

609

6.26

375

-­‐‑245mu⇤

G · 103.09424.0

61/3(MeV)

Pauli-Villars正則化
m⇤

hūui

1.77

195

-­‐‑300

1071

3.45

229

-­‐‑253

8.0

853

6.78

283

-­‐‑216

10.07789.64

312-­‐‑198mu⇤

G · 103.014205.0

61/3(MeV)

Proper-time正則化m⇤hūui

1.61

178-­‐‑300

1097

3.07

204

-­‐‑253

8.0

849

5.85

245

-­‐‑216

10.0

755

8.13

265

-­‐‑198mu⇤

G · 10

3.0

1464

5.0

61/3(MeV)

次元正則化D

GM04 D · 10 4

m⇤

hūui

3.0

2.37

-­‐‑113.4-­‐‑570-­‐‑299

4.0

2.47-­‐‑87.9-­‐‑543-­‐‑272

5.0

2.56-­‐‑58.7-­‐‑519-­‐‑253

8.0

2.78-­‐‑24.1-­‐‑459-­‐‑217mu

1/3(MeV)