場合の数 - グループ分け⑴ステップ１

人数の違う２つグループに分ける

１ 子供４人を１人と３人のグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。（）にあてはまる数を求めなさい。



人は必ず区別があるものと考えます。

・一方のグループが決まれば、もう一方のグループは自動的に決まるので、考えなくても構いません。
・人数の少ないグループを考える方が楽です。
・よって、１人のグループについて考えます。
・1 人のグループの作り方は、４人の中から１人を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

・よって、４人を１人と３人のグループに分ける分け方は、（となります。

※3 人のグループの方から考える場合、()

Ｃ( )＝( )Ｃ( )＝（）通り、となります。

1）通り

場合の数 - グループ分け⑴２ 子供５人を２人と３人のグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。（）にあてはまる数を求めなさい。



・一方のグループが決まれば、もう一方のグループは自動的に決まるので、考えなくても構いません。
・人数の少ないグループを考える方が楽です。
・よって、２人のグループについて考えます。
・２人のグループの作り方は、５人の中から２人を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

・よって、５人を２人と３人のグループに分ける分け方は（となります。

※3 人のグループの方から考える場合、()

Ｃ( )＝( )Ｃ( )＝（）通り、となります。

2）通り

場合の数 - グループ分け⑴３ ある人数の子供を２つのグループに分けます。次の⑴〜⑻の場合について、グループの分け方は何通りあるか求めなさい。
⑴

３人を１人と２人に分ける⑵

５人を１人と４人に分ける⑶

５人を２人と３人に分ける⑷

６人を１人と５人に分ける

3場合の数 - グループ分け⑴⑸

６人を２人と４人に分ける⑹

７人を１人と６人に分ける⑺

７人を２人と５人に分ける⑻

７人を３人と４人に分ける4

場合の数 - グループ分け⑴ステップ２

人数の違う３つグループに分ける

４ 子供６人を１人、２人、３人の３つのグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。
（）にあてはまる数を求めなさい。






・１つ目のグループと２つ目のグループが決まれば３つ目のグループは自動的に決まるので、３つ目のグループは考えなくても構いません。
・人数の少ないグループから考えた方が楽です。
・よって、1 人のグループ→２人のグループの順で考えます。
・１人のグループの作り方は、６人の中から１人を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

・２人のグループの作り方は、残りの５人の中から２人を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り。

ポイント！

・よって、６人を１人、２人、３人の３つのグループに分ける分け方は、（）×（）＝（）通り、となります。

これを１本式で表すと、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）通り、となります。

5

場合の数 - グループ分け⑴５ ４を、違う解き方で解いてみましょう。子供６人を１人、２人、３人の３つのグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。
（⑴

1 人のグループ→２人のグループの順で考える場合（これは４の解き方です）、(⑵）＝（）通り)

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）×（）＝（）通り)

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）×（）＝（）通り)

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）×（）＝（）通り

３人のグループ→１人のグループの順で考える場合、(⑹）×（２人のグループ→３人のグループの順で考える場合、(⑸

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（２人のグループ→１人のグループの順で考える場合、(⑷)

1 人のグループ→３人のグループの順で考える場合、(⑶）にあてはまる数を求めなさい。

)

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）×（）＝（）通り

３人のグループ→２人のグループの順で考える場合、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）×（6）＝（）通り

場合の数 - グループ分け⑴

６ ある人数の子供を２つのグループに分けます。次の⑴〜⑸の場合について、グループの分け方は何通りあるか求めなさい。
⑴

７人を１人と２人と４人に分ける⑵

８人を１人と２人と５人に分ける⑶

８人を１人と３人と４人に分ける7

場合の数 - グループ分け⑴⑷

９人を１人と２人と６人に分ける⑸

９人を２人と３人と４人に分ける⑹

10 人を２人と３人と５人に分ける8

場合の数 - グループ分け⑴ステップ３

人数が同じ２つのグループに分ける

７ 子供４人を２人と２人の２つのグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。（）にあてはまる数を求めなさい。






・1 つ目のグループが決まれば 2 つ目のグループは自動的に決まるので、考えなくても構いません。
・1 つ目のグループの作り方は、４人の中から２人を選べばいいので、()Ｃ( )＝（）通り・・・★

・ただし、ここで注意が必要です。２つのグループは人数が同じなので、例えば（ＡＢ、ＣＤ）と分けるのと、（ＣＤ、ＡＢ）と分けるのとでは、同じ分け方と考えなければいけません（つまり、１通りと数えなければいけません）。

9

場合の数 - グループ分け⑴・★で求めた１つ目のグループをすべて書き上げると、
となります。これに残りの２つ目のグループを書き加えると、 となり、同じ分け方が２通りずつあることになります。これは、2 つのグループの人数が同じため、入れかえても同じ分け方になるからです。

・よって、４人を２人と２人に分ける分け方は、（）÷（）＝（10）通り、となります。

場合の数 - グループ分け⑴８ ある人数の子供を２つのグループに分けます。次の⑴〜⑸の場合について、グループの分け方は何通りあるか求めなさい。
⑴

４人を２人と２人に分ける⑵

６人を３人と３人に分ける⑶

８人を４人と４人に分ける⑷

10 人を５人と５人に分ける11

場合の数 - グループ分け⑴ステップ４

３つのグループのうち２つのグループの人数が同じ

９ 子供４人を１人、１人、2 人の３つのグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。
（）にあてはまる数を求めなさい。

・１つ目のグループと２つ目のグループが決まれば３つ目のグループは自動的に決まるので、３つ目のグループは考えなくても構いません。
・人数の少ないグループから考えた方が楽です。
・よって、1 人のグループ→１人のグループの順で考えると、１つ目のグループと２つ目のグループの作り方は、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）通り・・・★

・ただし、ここで注意が必要です。１つ目のグループと２つ目のグループは人数が同じなので、例えば（Ａ、B）と分けるのと、（B、Ａ）と分けるのとでは、同じ分け方と考えなければいけません（つまり、１通りと数えなければいけません）。

12

場合の数 - グループ分け⑴・★で求めた１つ目のグループと２つ目のグループをすべて書き上げると、
となり、同じ分け方が赤い部分が重複しています。

２通りずつあることになります。これは、2 つのグループの人数が同じため、入れかえても同じ分け方になるからです。
・残りの３つ目のグループも書くと、次のようになります。


赤い部分が重複しています。

・よって、４人を１人、１人、2 人の３つのグループに分ける分け方は、（）÷（）＝（13）通り、となります。

場合の数 - グループ分け⑴10 ９を、違う解き方で解きます。子供４人を１人、１人、2 人の３つのグループに分けるとき、９では、1 人のグループ→１人のグループの順で考えました。ここでは、２人のグループから考えてみましょう。
（）にあてはまる数を求めなさい。



・２人のグループの作り方は、()Ｃ( )＝（）通りです。

・残った２人は、１人と１人に分ければ自動的に２つのグループになります。つまり、２人のグループが決まった時点で、残りの２つのグループは自動的に決まるので、残った２人について考えなくも構いません。
・よって、４人を１人、１人、2 人の３つのグループに分ける分け方は、（）通りとなります。

14

場合の数 - グループ分け⑴11 子供５人を１人、２人、2 人の３つのグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。
（）にあてはまる数を求めなさい。

・１つ目のグループと２つ目のグループが決まれば３つ目のグループは自動的に決まるので、３つ目のグループは考えなくても構いません。
・人数の少ないグループから考えた方が楽です。
・よって、1 人のグループ→２人のグループの順で考えると、１つ目のグループと２つ目のグループの作り方は、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）通り・・・★

・ただし、ここで注意が必要です。２つ目のグループと３つ目のグループは人数が同じなので、２つ目のグループと３つ目のグループが、例えば（ＡＢ、ＣＤ）となるのと、（ＣＤ、ＡＢ）となるのとでは、同じ分け方と考えなければいけません（つまり、１通りと数えなければいけません）。

15

場合の数 - グループ分け⑴・★で求めた１つ目のグループと２つ目のグループをすべて書き上げると、




となります。

・３つ目のグループも書くと下のようになり、同じ分け方が２通りずつあることになります。これは、２つ目と３つ目のグループの人数が同じため、入れかえても同じ分け方になるからです。


























赤い部分が重複しています。

・よって、子供５人を１人、２人、2 人の３つのグループに分ける分け方は、（）÷（）＝（16）通り、となります。

場合の数 - グループ分け⑴12 11 を、違う解き方で解きます。子供５人を１人、２人、2 人の３つのグループに分けるとき、11 では、1 人のグループ→２人のグループの順で考えました。ここでは、２人のグループ→２人のグループの順で考えてみましょう。（）にあてはまる数を求めなさい。



・１つ目のグループと２つ目のグループが決まれば３つ目のグループは自動的に決まるので、３つ目のグループは考えなくても構いません。
・２人のグループ→２人のグループの順で考えると、１つ目のグループと２つ目のグループの作り方は、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）通り・・・★

・ただし、ここで注意が必要です。１つ目のグループと２つ目のグループは人数が同じなので、１つ目のグループと２つ目のグループが、例えば（ＡＢ、ＣＤ）となるのと、（ＣＤ、ＡＢ）となるのとでは、同じ分け方と考えなければいけません（つまり、１通りと数えなければいけません）。

17

場合の数 - グループ分け⑴・★で求めた１つ目のグループと２つ目のグループをすべて書き上げると、
となり，同じ分け方が


赤い部分が重複しています。

２通りずつあることになります。これは、１つ目と２つ目のグループの人数が同じため、入れかえても同じ分け方になるからです。
・よって、子供５人を１人、２人、2 人の３つのグループに分ける分け方は、（）÷（）＝（18）通り、となります。

場合の数 - グループ分け⑴13 ある人数の子供を３つのグループに分けます。次の⑴〜⑸の場合について、グループの分け方は何通りあるか求めなさい。
⑴

４人を１人、１人、2 人に分ける⑵

５人を１人、１人、３人に分ける⑶

５人を１人、２人、２人に分ける

19

場合の数 - グループ分け⑴⑷

６人を１人、１人、４人に分ける⑸

７人を２人、２人、３人に分ける⑹

８人を２人、３人、３人に分ける20

場合の数 - グループ分け⑴ステップ５

人数が同じ３つのグループに分ける

14 ６人を２人、２人、２人の３つのグループに分ける分け方が何通りあるか、次のように考えました。（）にあてはまる数を求めなさい。








・１つ目のグループと２つ目のグループが決まれば３つ目のグループは自動的に決まるので、３つ目のグループは考えなくても構いません。
・１つ目のグループと２つ目のグループの作り方は、()

Ｃ( )×( )Ｃ( )＝（）通り・・・★

・ただし、ここで注意が必要です。１つ目のグループと２つ目のグループと３つ目のグループは人数が同じなので、例えば、（ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ）と分けるのと、（ＡＢ、ＥＦ、ＣＤ）と分けるのと、（ＣＤ、ＡＢ、ＥＦ）と分けるのと、（ＣＤ、ＥＦ、ＡＢ）と分けるのと、（ＥＦ、ＡＢ、ＣＤ）と分けるのと、

21

場合の数 - グループ分け⑴（ＥＦ、ＣＤ、ＡＢ）と分けるのとでは、同じ分け方（１通り）と考えなければいけません。

・つまり、★の分け方の中には、同じ分け方が６通りずつあることになります。この「６」は、３つのグループの入れかえ方と同じなので、（）×（）×（）＝ ６通り、と求められます。

・以上より、６人を２人、２人、2 人の３つのグループに分ける分け方は、（）÷（）＝（22）通り、となります。

場合の数 - グループ分け⑴15 ある人数の子供を３つのグループに分けます。次の⑴〜⑶の場合について、グループの分け方は何通りあるか求めなさい。
⑴

６人を２人、２人、2 人に分ける⑵

９人を３人、３人、３人に分ける⑶

12 人を４人、４人、４人に分ける23

場合の数 - グループ分け⑴16☆
８人の小学生を２人ずつ４つのグループに分けようと思います。グループの分け方は全部で何通りありますか。

24

場合の数 - グループ分け⑴

■ 解答

■

１ 4C1＝４、13 ⑴４、4C3＝4C1＝４⑶⑸

２ 5C2＝10、1410、
5C3＝5C2＝10
３ ⑴
⑶
⑸
⑺

３通り

５通り

15 ⑴

10 通り ⑷15 通り ⑹
21 通り ⑻

６通り
７通り
35 通り

⑶
16

5C2＝10、６×10＝60、
6C1×5C2＝60
５ ⑴6C1×5C2＝６×10＝60

⑵
⑶
⑷
⑸
⑹

6C1×5C3＝６×10＝60
6C2×4C1＝15×４＝60
6C2×4C3＝15×４＝60
6C3×3C1＝20×３＝60
6C3×3C2＝20×３＝60⑶⑸
７

168 通り280 通り ⑷ 252 通り
1260 通り ⑹ 2520 通り

4C2＝６、
６÷２＝３８ ⑴⑶９３通り⑵

35 通り ⑷10 通り
126 通り4C1×3C1＝12、
12÷２＝６10

10 通り

15 通り ⑷ 15 通り
105 通り ⑹ 280 通り

6C2×4C2＝90、⑵

105 通り ⑵⑵

３×２×１、
90÷６＝15

４ 6C1＝６、

６ ⑴６通り

4C2＝６、
６

11 5C1×4C2＝30、30÷２＝15
12 5C2×3C2＝30、30÷２＝1525

15 通り⑵5775 通り

105 通り280 通り場合の数 - グループ分け⑴

■ 解説

■
⑸

１ 4C1＝４、４、4C3＝4C1＝４⑹

２人→３人の順で、
9C2×7C3＝36×35＝1260(通り)２人→３人の順で、
10C2×8C3＝45×56＝2520(通り)２ 5C2＝10、10、5C3＝5C2＝10
３ 人数が少ない方から考えます。
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻

3C1＝３(通り)5C1＝５(通り)
5C2＝10(通り)6C1＝６(通り)
6C2＝15(通り)7C1＝７(通り)
7C2＝21(通り)
7C3＝35(通り)

４ 6C1＝６、5C2＝10、６×10＝60、
6C1×5C2＝60

７

4C2＝６、
６÷２＝３

８ 人数が同じグループが２つあるから、最後に÷２をします。
⑴ 4C2÷２＝３(通り)⑵ 6C3÷２＝10(通り)⑶ 8C4÷２＝35(通り)⑷ 10C5÷２＝126(通り)９

4C1×3C1＝12、
12÷２＝６10

4C2＝６、
６

11 5C1×4C2＝30、30÷２＝15５ ⑴6C1×5C2＝６×10＝60

⑵
⑶
⑷
⑸
⑹

6C1×5C3＝６×10＝60
6C2×4C1＝15×４＝60
6C2×4C3＝15×４＝60
6C3×3C1＝20×３＝60
6C3×3C2＝20×３＝60

12 5C2×3C2＝30、30÷２＝15
13 ⑴
⑵

６ ⑴
⑵
⑶
⑷

１人→２人の順で、
7C1×6C2＝７×15＝105(通り)１人→２人の順で、
8C1×7C2＝８×21＝168(通り)１人→３人の順で、
8C1×7C3＝８×35＝280(通り)１人→２人の順で、
9C1×8C2＝９×28＝252(通り)

⑶
⑷
⑸
⑹

26

１人→１人の順で、
4C1×3C1÷２＝６(通り)１人→１人の順で、
5C1×4C1÷２＝10(通り)１人→２人の順で、
5C1×4C2÷２＝15(通り)１人→１人の順で、
6C1×5C1÷２＝15(通り)２人→２人の順で、
7C2×5C2÷２＝105(通り)２人→３人の順で、
8C2×6C3÷２＝280(通り)場合の数 - グループ分け⑴14

6C2×4C2＝90、３×２×１、
90÷６＝1515 人数が同じグループが３つあるので、最後に÷６をします。
⑴ 6C2×4C2÷６＝15(通り)⑵ 9C3×6C3÷６＝280(通り)⑶ 12C4×8C4÷６＝5775(通り)
16 ・３つのグループが決まれば、４つ目のグループは自動的に決まるので考えなくてもよい
・８人のグループから、２人、２人、２人の順に選ぶと、8C2×6C2×4C2 通り・・・★
・ただし、４つのグループの人数が同じなので注意が必要。
・８人の名前を ABCDEFGH とし、★の分け方のうちの１つ、(AB)(CD)(EF)(GH)について考えると、順番を入れ替えた、(AB)(CD)(EF)(GH)(AB)(CD)(GH)(EF)(AB)(EF)(CD)(GH):(GH)(EF)(CD)(AB)の、４×３×２×１＝24(通り)が同じ分け方になる。
・よって、
8C2×6C2×4C2÷24＝105(通り)27