数理解析研究所講究録
第 1877 巻 2014 年 20-28

20

可解 Lie 群の複素解析的誘導表現について
鳥取大学大学教育支援機構教育センター 井上順子 (Junko INOUE)
Education Center, Organization for Supporting University Education,
Tottori University

1

序

複素解析的誘導表現は，複素 polarization とそれに付随するユニタリ指標から群のユニタリ表現を構成する手法であり，Auslander Kostant [1] による，型可解 Lie 群の既約ユ$I$-

ニタリ表現の構成において中心的な役割を果たした．本講究録では，指数型可解 Lie 群において，この誘導の手法から一般に得られる表現を取り扱う．即ち，weak polarization 等，
一般の複素部分 Lie 環から誘導して構成される表現について，その表現が零表現でないための条件や，表現の既約分解を求める問題について，例を交えながら紹介する．

2 複素解析的誘導表現
指数型可解垣 群 $G=\exp \mathfrak{g}$ において，その Lie 環
$e$

り， を
$f$

$\mathfrak{g}$$B_{f}(X, Y)$の複素化の実線型形式$\mathfrak{g}$$f\in \mathfrak{g}^{*}$

上に複素線型に拡張しておく． 上の反対称双線型形式$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$$:=f([X, Y])$$(X, Y\in \mathfrak{g}_{\mathbb{C}})$で定める． の部分 Lie 環$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$$\mathfrak{h}$がをと$B_{f}$$f([\mathfrak{h}, \mathfrak{h}])=\{0\}$

を

を満

, お
たすとき， はに関して等方的であるという．このとき， の部分 Lie 環を定める．
よび， の (必ずしも部分 Lie 環とは限らない) 部分空間$\mathfrak{h}$$\mathfrak{d}:=\mathfrak{g}\cap \mathfrak{h}$$B_{f}$$\mathfrak{g}$$\mathcal{E}:=\mathfrak{g}\cap(\mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}})$$\mathfrak{g}$

1.

定義 1

$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$の部分 Lie 環$\mathfrak{h}$が$B_{f}$

に関して極大等方的，即ち，$f([\mathfrak{h}, X])=\{0\}, X\in \mathfrak{g}_{\mathbb{C}}\Leftrightarrow X\in \mathfrak{h}$が成り立つとき， は$\mathfrak{h}$

2.

$f$

$f$

における weak polarization であるという．

における weak polarization$\mathfrak{h}$$\mathfrak{h}$

3.

$f$

$f$

が，条件
は

$\mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}}$を満たすとき， は(1)$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$の部分正 ie 環である

(2)における polarization であるという．

における weak polarization$\mathfrak{h}$が条件

if $([X, X])\geq 0,$$\forall X\in \mathfrak{h}$

(3)

21
を満たすとき，即ち，$S_{f}(X, Y):=iB_{f}(X, \overline{Y})$き起こすとき， は$\mathfrak{h}$一般に， を$\mathfrak{h}$

$f$

がり/

$\mathfrak{d}\mathbb{C}$上の正値エルミット形式を引における positive weak polarization であるという．

に関して等方的な部分 Lie 環とする．部分 Lie 環$B_{f}$$\mathfrak{d}$に対応する $G$ の部

分群を $D:=\exp \mathfrak{d}$ とし， を $D$ 上のユニタリ指標で $d\chi_{f}=if$ となるものとする．また，$\chi_{f}$部分線型空間$\mathcal{E}$上の実線型形式$\delta\in \mathcal{E}^{*}$$\delta|_{\mathfrak{d}}=\frac{1}{2}$

で

Tr ad

を満たすものを 1 つとる．ただし， は$n$$\mathfrak{g}$(4)$\delta|_{\mathcal{E}\cap \mathfrak{n}}=0$$\mathfrak{g}/\mathfrak{d},$の nilradicalとする．また， も$\delta$$\mathcal{E}_{\mathbb{C}}$上に線型に拡張しておく．
組

から出発して，次のように の表現
味での) 複素解析的誘導表現と呼ぶことにしょう．
$c\infty$$G$$(\mathfrak{h}, f, \delta)$

関数$\phi$$\rho=\rho(\mathfrak{h}, f, \delta)$を定義し，これを (広い意$C^{\infty}(\mathfrak{h}, f, \delta)$

を次の条件 1,2,3 を満たすの空間とする．

1.
$\phi(gy)=\chi_{f}(y)^{-1}(\frac{\triangle_{D}(y)}{\Delta_{G}(y)})^{1/2}\phi(g), \forall g\in G, \forall y\in D$

ここで$\triangle_{G},$$\triangle_{D}$,(5)はそれぞれ $G,$ $D$ のモジュラー関数を表す．

2.
$\Vert\phi\Vert^{2}:=\oint_{G/D}|\phi(g)|^{2}d\mu_{G/D}(g)<\infty$

.

(6)

3.
$\mathcal{R}(X)\phi=(-if(X)+\delta(X))\phi, \forall X\in \mathfrak{h}$ただし， は左不変ベクトル場としての$\mathcal{R}$$\mathfrak{g}$

.

(7)

の作用

$\mathcal{R}(X)\phi(g):=\frac{d}{dt}\phi(g\exp(tX))|_{t=0}, X\in \mathfrak{g}$をりに線型に拡張したものである．
このとき，内積$\langle\phi_{1}, \phi_{2}\rangle;=\oint_{G/D}\phi_{1}(g)\overline{\phi_{2}(g)}d\mu_{G/D}, \phi_{1}, \phi_{2}\in C^{\infty}(\mathfrak{h}, f, \delta)$に関して$C^{\infty}(\mathfrak{h}, f, \delta)$を完備化して得られる Hilbert 空間を表現空間とする $G$ の表現$\rho=\rho(\mathfrak{h}, f, \delta)$$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)$

で表し，$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)$

をを$\rho(g)\phi(x):=\phi(g^{-1}x) , \phi\in \mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta), g, x\in G$で定める． は部分群$\rho$$D$表現である．ただし，の 1 次元表現$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)=\{0\}$$\chi_{f}$からの通常の Mackey 誘導表現となる場合もあり得る．

$ind_{D}^{G}\chi_{f}$

の部分

22
今，

$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)\neq\{0\}$$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)^{-\infty}$とし， -ベクトルの空間を$C\infty$

で表す．

$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)^{\infty}$の反線型形式$a_{\rho}$, その反双対空間を$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)^{\infty}$

を$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)^{\infty}\ni\phi\mapsto(a_{\rho}, \phi\rangle:=\overline{\phi(e)}$で定めると， は$a_{\rho}$り$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)^{-\infty}$$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)^{\infty}$

上連続であり， の微分表現 (同じ$\rho$$\rho$で表す) を双対性によに拡張すると，$\rho(\overline{X})a_{\rho}=(if(\overline{X})+\delta(\overline{X}))a_{\rho}, \forall X\in \mathfrak{h}$が成り立つ．Penney [8] により， は，の既約分解に沿って分解し，分解に現れる表現
$f,$
はそれぞれ
における成分に対し同様の半不変性をもつ．そこに関する半不変な超関数ベクトル全体の空で， の各既約表現
において，$a_{\rho}$$(\pi, \mathcal{H}_{\pi})$$\rho$$\delta$$a_{\pi}\in \mathcal{H}_{\pi}^{-\infty}$$G$$\pi,$$\mathfrak{h},$$(\mathfrak{h}, f, \delta)$$(\pi, \mathcal{H}_{\pi})$

間を$(\mathcal{H}_{\pi}^{-\infty})^{\mathfrak{h},f,\delta}:=\{a\in \mathcal{H}_{\pi}^{-\infty};\pi(\overline{X})a=(if(\overline{X})+\delta(\overline{X}))a, \forall X\in \mathfrak{h}\}$

(8)

で表すと，
$\dim(\mathcal{H}_{\pi}^{-\infty})^{\mathfrak{h},f^{\delta}},\geq m(\pi)$,$m(\pi)$は$\rho$の既約分解における

$\pi$

の重複度

(9)

である．これらを踏まえて，我々の問題は次のようにまとめられる．
問題

1.
2.

$\rho$であるための条件を求める．
が零表現でない，即ちのとき， の既約分解を求める．特に，分解に現れる各既約表現$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)\neq\{0\}$$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)\neq\{0\}$の重複度は$\rho$,$(\mathcal{H}_{\pi}^{-\infty})^{\mathfrak{h},f^{\delta}}$$\pi$の次元と一致するか？

3 既知の結果
3.1

Kirillov-Bernat 対応

よく知られているように，指数型可解 Lie 群 $G$ のユニタリ双対は，Kirillov の軌道の方法により， の余随伴軌道の空間と同一視できる．この対応について，簡単にの affine 部分空間に対してにおける実 polarization
復習しておこう．
に対してとする．指数型可解 Lie 環の場合，一般に$G$$\mathfrak{g}^{*}/G$$\mathfrak{h}(=\mathfrak{d})$$f\in \mathfrak{g}^{*}$$\mathfrak{g}^{*}$$f\in \mathfrak{g}^{*}$$\mathfrak{h}^{\perp}+f:=\{l\in \mathfrak{g}^{*};l|_{\mathfrak{h}}=f|_{\mathfrak{h}}\}$“Pukanszky 条件”$\mathfrak{h}^{\perp}+f=Ad^{*}(H)f, H:=\exp(\mathfrak{h})$を満たすものが存在し，誘導表現$\pi_{f}=ind_{H}^{G}\chi_{f}$$f,$polarization の取り方に依らない．また，$l\in \mathfrak{g}^{*}$

は既約で，Pukanszky 条件のもとでに対して$\pi_{f}$と$\pi_{l}$が同値であるための必23
要十分条件は $f$ と$l$が同じ $G$ 軌道に属することであり，さらに $G$ の既約ユニタリ表現は全てこの方法で実現でき，全単射

3.2(Kirillov-Bernat 対応) が得られる．

$\mathfrak{g}^{*}/Garrow\hat{G}$

一般の実 polarization の場合

一方，Pukanszky 条件を満たさない一般の実 polarization の場合，affine 部分空間
は $H$ 軌道の和に分解するが，誘導表現の既約分解は，Vergne [12] の結果により次のよう$\mathfrak{h}^{\perp}+f$$\pi_{f}$に記述される． は余随伴軌道のうち，affine 部分空間$\Omega$$\pi_{f}$がり$\perp+$f における空でない開集合となる軌道

る． の重複度は交わり$\pi_{\Omega}$$(\mathfrak{h}^{\perp}+f)\cap\Omega$$\Omega$$\mathfrak{h}^{\perp}+f$との交わりに対応する既約表現$\pi_{\Omega}$$(\mathfrak{h}^{\perp}+f)\cap\Omega$の直和に分解すに含まれる $H$ 軌道の個数 (この場合は連結成分の個数に等しい) に等しく，有限である．

3.3 複素 polarization の場合
実 polarization からの誘導表現の拡張として，複素 polarization から構成される表現については，以下のような基本的事実が知られてぃる．まず， が複素 polarization の場合，が部分 Lie 環であることから，零でない表現か否かに関しては，段階誘導にょりが$\mathfrak{h}$$\mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}}$$\mathfrak{h}$totally complex, 即ち

1.

$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}}$$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{h}+\overline{\mathfrak{h}}$の場合を調べれば良いことに注意する．

とする．(このとき義による複素解析的誘導表現$\mathfrak{d}$は $f$ の固定群の Lie 環である．)$\rho(\mathfrak{h}, f, 0)$において，このとき，通常の定$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, 0)\neq\{0\}$であるならば，$\mathfrak{h}$は $f$ における positive polarization であることが知られている．(注 : このことはより一般の Lie 群を対象とする設定でも成り立つ．詳しくは [10] 参照．) 一方，positive

polarization であることは$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, 0)\neq\{0\}$であるための十分条件ではない．必要十分条件は Rossi-Vergne [11], Fujiwara [3], $z_{a\dot{1}cev}[13]$ により求められた．

2. 一般に， が (totally complex とは限らない) positive polarization とすると，$\mathfrak{h}$$[\mathfrak{d}, \mathcal{E}]\subset \mathfrak{d}$が成り立ち ([1], [2]),の複素解析的誘導表現

Tr adを用いることが出来，通常が定義される．Rossi-Vergne, Fujiwara,$\delta=\frac{1}{2}$$\mathfrak{g}/\mathcal{E}$$f$において Pukanszky 条件 $\mathcal{E}^{\perp}+f=Ad^{*}(D)f$ を満$\rho(\mathfrak{h}, f, \frac{1}{2}rR ad\mathfrak{g}/\mathcal{E})$は Kirillov-Bernat 対応で $Ad^{*}(G)f$ に対応する既約$\mathfrak{h}$たすとするととして$\rho(\mathfrak{h}, f, \frac{1}{2}Tr ad\mathfrak{g}/\mathcal{E})$

らの結果により， が$z_{a\dot{1}cev}$$\delta$表現と同値である．

3. 次に， が Pukanszky 条件を満たすとは限らない一般の positive polarization とす$\mathfrak{h}$る．この表現が零でないとき，Fujiwara [3] により，実 polarization に対する Vergneの結果の一般化として， の既約分解が軌道の方法に基づき次のように記述された :$\rho$$\rho(\mathfrak{h}, f, \frac{1}{2}Rad_{\mathfrak{g}/\mathcal{E}})$は affine 部分空間の空でない開集合となる余随伴軌道$\mathcal{E}^{\perp}+f$$\Omega$との共通部分に対応する既約表現$\Omega\cap(\mathcal{E}^{\perp}+f)$$\pi_{\Omega}$が$\mathcal{E}^{\perp}+f$の直和に分解し，重複

24
度はそれぞれ$\Omega\cap(\mathcal{E}^{\perp}+f)$に含まれる $D$ 軌道の個数 $m(\Omega)(<\infty)$ に等しい :$\rho(\mathfrak{h}, f, \frac{1}{2}Tr ad\mathfrak{g}/\mathcal{E})=\sum_{\Omega\in\Xi}^{\oplus}m(\Omega)\pi_{\Omega}$

ここで三は affine 部分空間

い開集合となる余随伴軌道

4. 引き続き， は$\mathfrak{h}$$f$$\mathcal{E}^{\perp}+f$$\Omega$との共通部分$\delta$として$\Omega\cap(\mathcal{E}^{\perp}+f)$が$\mathcal{E}^{\perp}+f$の空でな全体を表す．

における positive polarization で，Pukanszky 条件を満たすとする．このとき，前項 2 より線型形式 Tr ad
は

(10)

.

$\delta=\frac{1}{2}Rad_{\mathfrak{g}/\mathfrak{d}}$$\mathfrak{g}/\mathfrak{d}$は$\mathcal{E}$全体で定義されるが，Penney[9]を用いた複素解析的誘導表現$\rho(\mathfrak{h}, f, \frac{1}{2}Tr ad\mathfrak{g}/\mathfrak{d})$に注目し，この表現が常に零でなく，Kirillov-Bernat 対応で $Ad^{*}(G)f$ に対応する既約表現$\pi_{f}$と同値であることを示した．

3.4 幕零 Lie 群の場合
幕零 Lie 群において，条件 (2) を必ずしも満たすとは限らない複素部分 Lie 環からの誘導を最初に取り扱った研究は Magneron[6], [7] である．Magneron は，連結かつ単連結な幕
零 Lie 群 $G=\exp \mathfrak{g}$ }こおいて， がが零表現の対合の固定点集合であるとき，が重複度自由の既約表現の直積でないための条件を軌道の方法に基づいて求め，$\rho(\mathfrak{h}, 0,0)$$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$$\rho(\mathfrak{h}, 0,0)$分に分解することを示し，半不変ベクトルの空間を記述した．

完全可解 Lie 群における例

44. 1$\mathfrak{g}:=\mathbb{R}\ltimes \mathfrak{n}_{3}$を基底 $\{T, X, Y, Z\},$$(\mathfrak{n}_{3}=\mathbb{R}-span\{X, Y, Z\})$に対し自明でない括弧積が$[X, Y]=Z, [T, X]=X, [T, Y]=Y, [T, Z]=2Z$$\{T^{*}, X^{*}, Y^{*}, Z^{*}\}$となる Lie 環とする．

軌道$\mathfrak{g}^{*}/G$$\bullet$を双対基底とする．このとき，$G=\exp \mathfrak{g}$

は

開軌道 :

$\epsilon Z^{*},$$\epsilon=\pm 1,$$\Omega_{+};=Ad^{*}(G)(Z^{*})=\{l\in \mathfrak{g}^{*};l(Z)>0\}$$\Omega_{-}:=Ad^{*}(G)(-Z^{*})=\{l\in \mathfrak{g}^{*};l(Z)<0\}$$\bullet$2 次元の軌道 :$l_{\theta};=\cos\theta X^{*}+\sin\theta Y^{*},$$0\leq\theta<2\pi,$$Ad^{*}(G)(\cos\theta X^{*}+\sin\theta Y^{*})=\{sT^{*}+e^{t}l_{\theta};s, t\in \mathbb{R}\}$$\bullet$

1 点から成る軌道 :$\alpha T^{*},$$\alpha\in \mathbb{R}$

の余随伴

25
である． $:=z*$ とし，polarization であり，
$f$$\mathfrak{h}:=\mathbb{C}T+\mathbb{C}(X+iY)$$\mathfrak{d}=\mathbb{R}T,$

条件 (4) を満たす
表現

2 つの開軌道$\Omega_{+},$

は，$\delta\in \mathcal{E}^{*}$$\rho=\rho(\mathfrak{h}, f, \delta)$$\mathcal{E}=\mathbb{R}-$$\delta=\frac{1}{2}$とすると， は$\mathfrak{h}$span $\{T, X, Y\}.$Tr ad$\mathcal{E}$$f$における positive weakは部分 Lie 環ではない．この場合，$\mathfrak{g}/\mathfrak{d}(T)T^{*}=2T^{*}$

ただ 1 つである．

とを調べてみよう．まず，affine 部分空間
, との交わりがで稠密であるから，指数型可解 Lie 群の単項表$\mathfrak{d}^{\perp}+f=\mathbb{R}X^{*}+\mathbb{R}Y^{*}+\mathbb{R}Z^{*}$$\Omega_{-}$$\mathfrak{d}^{\perp}+f$

現の既約分解に関する一般論 ([4]) により，は，

現$\pi_{1},$$ind_{D}^{G}\chi_{f}$$\Omega_{+},$$\Omega_{-}$にそれぞれ対応する既約表

に関する半の重複度無限の直和に分解する．そこで
において，不変超関数ベクトルの空間を求める．
における，実 Pukanszky polarization$\pi_{1},$$\pi_{-1}$$(\mathfrak{h}, f, \delta)$$\pi_{-1}$$\epsilon Z^{*}(\epsilon=\pm 1)$のユニタリ指標。からの誘導表現をとり，としてを実現する．対応 $\mathbb{R}^{2}\ni(t, x)\mapsto\exp(tT)\exp(xX)mod B\in G/B$ にょりと $G/B$ を同一視して表現空間に実現すると，その微分表現は次のように表示さ$\mathfrak{b}:=\mathbb{R}Y+\mathbb{R}Z$$B=\exp \mathfrak{b}$$\pi_{\epsilon}:=ind_{B}^{G}\chi_{\epsilon}z*$$\chi\epsilon Z$$\pi\pm 1$$\mathbb{R}^{2}$$L^{2}(\mathbb{R}^{2})$れる :$\pi_{\epsilon}(T)\psi(t, x)=-\frac{\partial\psi}{\partial t},$$-t\partial\psi$$\pi_{\epsilon}(X)\psi(t, x)=-e$$\partial x$

(11)

’

$\pi_{\epsilon}(Y)\psi(t, x)=-i\epsilon xe^{-t}\psi(t, x)$,$\pi_{\epsilon}(Z)\psi(t, x)=i\epsilon e^{-2t}\psi(t, x) , \psi\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$$a_{\epsilon}\in(\mathcal{H}_{\pi_{\epsilon}}^{-\infty})^{\mathfrak{h},f,\delta}$とすると，条件$\pi_{\epsilon}(T)a_{\epsilon}=(if(T)+\delta(T))a_{\epsilon}=2a_{\epsilon}$$(if(X-iY)+\delta(X-iY))a_{\epsilon}=0$.

および $\pi_{\epsilon}(X-iY)a_{\epsilon}=$は次のようになる．

$(- \frac{\partial}{\partial t})a_{\epsilon}=2\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(-e^{-t} \frac{\partial}{\partial x}-\epsilon xe^{-t})a_{\epsilon}=0$

これを満たす$\mathbb{R}^{2}$$\exp(-2t-\frac{\epsilon x^{2}}{2})$上の超関数は，定数倍を除いて，$\mathbb{R}^{2}$$a_{\epsilon}$

上の関数$\beta_{\epsilon}(t, x)$

$:=$

を用いて

$\langle a_{\epsilon}, \psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^{2}}\beta_{\epsilon}(t, x)\overline{\psi(t,x)}dtdx, \psi\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$で定義されるものに限ることが分かる．さらに， の微分表現の表示 (11) から$\pi_{\epsilon}$

ベクトルの空間上連続な反線型形式であるが， は連続反線型形式ではないことも容易にわかる．よって，$C^{\infty}$$a_{-1}$$\pi_{-1}$$(\mathcal{H}_{\pi_{1}}^{-\infty})^{\mathfrak{h},f,\delta}=\mathbb{C}a_{1}$$\rho$

は零表現でなければ， と同値であることになる．
$\pi_{1}$は$\pi_{1}$のの $c\infty$ ベクトルの空間上の$(\mathcal{H}_{\pi-1}^{-\infty})^{\mathfrak{h},f,\delta}=\{0\}$であり，表現$a_{1}$

26
表現

が零表現でないことと$\rho$と同値であることを具体的に示す方法については，$\pi_{1}$Penney [9] の totally complex polarization からの複素解析的誘導表現における導出方法を少し拡張して用いることができる． 上のコンパクト台を持つ$\mathbb{R}^{2}$の関数$C^{\infty}$関数$\psi$

に対して， 上$G$を$\sigma_{\psi}$$\sigma_{\psi}(g);=\langle\psi, \pi_{1}(g)a_{1}\rangle(:=\overline{\langle\pi_{1}(g)a,\psi\rangle}) g\in G$

で定めると， が条件 (5) および (7) を満たすことは，定義から容易に分かる．Penney [9]$\sigma_{\psi}$で扱われている場合では，半不変な超関数ベクトル ([9] では Frobenius ベクトル) が実際はベクトルであるが，我々の例では は (即ち関数 は)に属さない．しかし，対$C^{\infty}$$\beta_{1}$$a_{1}$$\mathcal{H}_{\pi_{1}}$

応 $\mathbb{R}^{3}\ni(x, y, z)\mapsto\exp(xX)\exp(yY)\exp(zZ)mod D\in G/D$ により一視して$\rho$

を$L^{2}(\mathbb{R}^{3})$分であり，写像に実現し直接$\psi\mapsto\sigma\psi\in \mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)$$\Vert\sigma\psi\Vert$

が$\mathbb{R}^{3}$と $G/D$ を同を評価することにより，

は $G/D$ 上二乗可積からへの intertwining$\sigma\psi$$(\pi_{1}, L^{2}(\mathbb{R}^{2}))$$(\rho, \mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta))$作用素を引き起こすことを示すことが出来る．

従って，$\rho(\mathfrak{h}, f, \delta)=\pi_{Z^{*}}$$\mathbb{R}Z^{*}$である．また，余随伴軌道との関係について，この例で$\mathcal{E}^{\perp}+f=$であるが，$(\mathcal{E}^{\perp}+f)_{+}:=\{l\in \mathcal{E}^{\perp}+f;il([V, \overline{V}])>0, \forall V\in \mathfrak{h}\}$とおくと，$(\mathcal{E}^{\perp}+f)\cap\Omega_{\dagger}=\{\zeta Z^{*};\zeta>0\}=Ad^{*}(D)Z^{*}=(\mathcal{E}^{\perp}+f)_{+}$となっている．

注意 :既に述べたように， の 2 次元の余随伴軌道$ind_{D}^{G}\chi_{f}$の既約分解に寄与しないため，これまでの議論で直接必要ではないが，半不変超関$G$$Ad^{*}(G)l_{\theta}$に対応する表現は数ベクトルの空間を調べてみると， であることが分かる．実際， における Pukanszky
polarization
をとり，対応 $\mathbb{R}\ni t\mapsto\exp(tT)mod N\in G/N$ によ$\{0\}$$l_{\theta}$$\mathfrak{n}:=\mathbb{R}X+\mathbb{R}Y+\mathbb{R}Z$り，Kirillov-Bernat 写像で対応する既約表現の微分表現は$\psi\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$$\pi_{\theta}:=ind_{N}^{G_{x\downarrow\theta}}$をに実現すると，$L^{2}(\mathbb{R})$$\pi_{\theta}$に対して$\pi_{\theta}(T)\psi(t)=-\frac{d\psi}{dt}, \pi_{\theta}(X)\psi(t)=ie^{-t}\cos\theta\cdot\psi(t)$,$\pi_{\theta}(Y)\psi(t)=ie^{-t}\sin\theta\cdot\psi(t) , \pi_{\theta}(Z)=0,$$(\mathfrak{h}, f, \delta)$

に関する半不変性は超関数$a_{\theta}$に対して$- \frac{d}{dt}a_{\theta}=2a_{\theta}, e^{-t}(i\cos\theta+\sin\theta)a_{\theta}=0,$となり，これを満たす超関数$a_{\theta}=0$が導かれ，$(\mathcal{H}_{\pi}^{-\infty}\theta)^{\mathfrak{h},f,\delta}=\{0\}$

である．

27

4.2
上記の例を一般化して，筆者は [5] で正規$j$

代数を Lie 環にもつ完全可解 Lie 群のクラス

で次の結果を得た．
は正規代数，
ち，開軌道の和集合は$\mathfrak{g}$定理 1 [5]$j$$\mathfrak{g}$とする．このとき，よく知られてぃるようににおいて稠密である．開軌道全体を で表す．

$G=\exp \mathfrak{g}$

を正規

$j$

$\mathfrak{g}^{*}$$G$

は開軌道をも$\mathscr{O}$

代数，$G=\exp \mathfrak{g},$$f\in \mathfrak{g}^{*}$

を開余随伴軌道に属する線型形式とし，$\mathfrak{h}$を $f$ における positive weak polarization とする．
$(\mathcal{E}^{\perp}+f)_{+}:=\{l\in \mathcal{E}^{\perp}+f;il([Z, \overline{Z}])>0, \forall Z\in \mathfrak{h}\}$$G$ の開軌道とおき，$\Omega$に対し，$m(\Omega)$とし，$\pi_{\Omega}$$:=\#[\Omega\cap(\mathcal{E}^{\perp}+f)_{+}/D]$を Kirillov-Bernat 写像によりを適切に選べば，次が成り立つ :$\Omega$( $D$ 軌道の個数)に対応する既約表現とする．このとき，$\mathcal{H}(\mathfrak{h}, f, \delta)\neq\{0\}$$\delta\in \mathcal{E}^{*}$

であり， は$\rho$$(\mathcal{E}^{\perp}+f)_{+}$と交ゎる開軌道に対応する既約表現の直和に分解する:$\rho(\mathfrak{h}, f, \delta)=\sum_{\Omega\in \mathscr{O}}^{\oplus}m(\Omega)\pi_{\Omega},$

さらに，各既約成分において，半不変な超関数ベクトルの空間の次元は重複度に等しい．
$m(\Omega)=\dim((\mathcal{H}_{\pi}^{-\infty}\Omega)^{\mathfrak{h},f^{\delta}},)$.

この結果は，positive polarization に対して知られている既約分解の記述 (10) においをその部分集合て，affine 空間に置き換えて得られる形であり，weak$\mathcal{E}^{\perp}+f$$(\mathcal{E}^{\perp}+f)_{+}$

polarization への自然な一般化とみることができる．

さらに一般のクラスの指数型可解 Lie 群における，weak polarization からの誘導については今後の課題である．

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