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数理解析研究所講究録
第2072巻 2018年 152-166

ー数学教師養成のための数学専門科目一重視すべき6つの視点に基づく標準モデルの修正-

代数学分野確率統計分野一

滋賀大学名誉教授

丹羽雅彦(Masahiko NIWA)

Shiga University

1. 重視すべき6つの視点とは数学教師としての資質能力注の育成を図るために,数学専門科目の内容項目の選択と授業の構成において,以下の6つの視点 \mathrm{a}\sim \mathrm{f} を重視すること。
\mathrm{a}数学の体系的理解
数学という学問は,数学的事実の単なる寄せ集めではなく,全体が大きな体系をなしていること,すなわち,この体系の中で諸概念が相互に深くつながっていることや,数学概念をさらに抽象化することにより様々な対象が同じ構造をもつものと して統一的に理解できること.

\mathrm{b}

学校数学との繋がり
小学校算数や中学 高校数学との繋がり (発展的内容というだけでなく,高い立場から見るという視点も重要) があること.

\mathrm{c}

現実世界との繋がり我々を取りまく世界の至る所に数学が現れ , 数学によって世界の一面を理解できること.

\mathrm{d}数学の実用性\mathrm{e}

数学の文化的価値\mathrm{f}

探究的活動

数学が実生活や社会で応用されている (役立っている) こと.

数学の歴史および美的価値 (面白さ,美しさ).

自らの数学的発想力を伸ばすとともに,子どもたちに算数数学の面白さ奥深さを伝え,興味学習意欲を喚起し,授業が活発な創造の場となるよう工夫できる能力を育てること.

注

数学教師として育成すべき資質能力とは [3] で提起した次のものである。

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数学専門科目によって育成すべき資質能力とは、(1) 算数数学を学校教育において教えることの意義を理解し、数学の本質を正しく認識して自信をもって数学を指導できる能力。

(2) 抽象的思考に慣れ、論理的に正しい思考を展開し表現できる能力。
であり、そのために具体的には、次のような能力の育成をめざすことが求められる。

①

学校教育における算数数学科の内容の背景にある数学の理論の本質を理解し、教科内容において重点をおくポイントおよび必要性の低さを的確に見抜く能力。

②

学校数学の内容における重要なポイントに対して独自の工夫を加え、内容を明確で分かりやすく説明できる能力。

③

子どもの発言やつぶやき、またつまずきに含まれる発想の芽や本質的な点を見逃さず拾い④

知的好奇心を呼び起こす教材や数学的活動を創意工夫して作りだし、子どもの興味関心⑤

数学の面白さや美しさを伝えて、子どもの興味関心を育てる能力。

⑥

子供が数学を創造するような知的探求の場とする授業を実践できる能力。

⑦

教科内容がどのように変更されようと、主体的な教材研究を行い的確な対応ができる能力。

上げ発展させる授業が展開できる能力。
をひき出す授業を展開できる能力。

これらの目的を達成できる教員を育成するためには、養成段階である大学教育において充実した数学専門科目の教育が絶対に必要である。

2.標準モデルとは標準モデルとは、数理解析研究所講究録1711号 「数学教師に必要な数学能力に関する研究」 [3]に掲載されている丹羽松岡川崎大竹伊藤著 「中学校高等学校の数学教師の養成における数学専門科目の標準的なモデルの構想」 の標準的モデルを指す。

標準的モデルは、全国国立大学法人の教員養成系大学学部の数学専門科目担当者の多数が必要だと考えていることが(私たちの調査により)明確になった内容項目に基づいて、私たちのグループが構成したものである。

3.修正のために留意する全体的な観点(1) 内容項目の選択は,重視すべき6つの視点 \mathrm{a}\sim \mathrm{f}\mathrm{a} 数学の体系的理解\mathrm{b} 学校数学との繋がり\mathrm{d} 数学の実用性\mathrm{e}

数学の文化的価値\mathrm{C}

現実世界との繋がり\mathrm{f} 探究的活動に基づき構成(修正) しようというのが私たちの提案である。特に,授業では要素 \mathrm{a} に偏らず, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}, \mathrm{f} 5 要素も必ず入るように意識することが重要である。また \mathrm{a} における学問的な内容についても,専門性の高いものではなく,包括的であって数学の体系性に配慮した内容が望ましい。

(2) 必修単位が少なく時間的な制約によって数学の学問としての分野である代数学

幾何学解析学確率論統計学などの導入部分程度しか講義できないという現実があるが,それでは目的を達成できないと考える。数学教師になる学生が高校までに学んだ内容より進154

んだ数学専門の内容を学ぶべきであるということは大半の方々が認めることだが,表面的な知識だけを学ぶのでは (例えば,群の定義と簡単な例だけ学んでも,意味や役割一どのように応用するか一ということまで理解できていないと)教師の力量として役立てることはできないであろう。学んだ内容を様々な分野に応用する力を育てる授業内容を目指して工夫すべきである。

(3) 教員養成系の授業では、(理学部数学科などの)数学研究者の養成を目的とする学科の授業とは違い、ある定理について長く厳密な証明を行う授業や、定理命題と証明が次々に連なる形式の授業は避けるべきである。数学教師を目指す学生の大多数が自らの数学の専門能力を伸ばしたいという強い意欲をもっていることは事実であるが,抽象的な話題や推論ばかり続く授業ではほとんどの学生が挫折して思考停止に陥るであろう。証明の扱いにおいては過度に厳密性に拘ることは避け,内容が直観的に納得できることや仕組みや発想が分かることを重視したい。また,証明は省略しても、様々な観点から 「何故そのようなことが成りたっているのか」という理由を説明できるようにすることは求められる。「なぜ」 は数学の本質であり、「なぜ」 なく しては理解と応用に繋がらないからである。

(4) 授業で扱う話題には 必ず動機または意味づけを扱いたい。また,現代数学を創造する研究を目標とする数学科等とは異なり,教員養成系では古代からの数学の発展の全体像について触れることが求められる。つまり歴史的視点(時系列発展) と文化的視点(さまざまな文化を理解) が必要である。
(5) 応用分野を (例題程度のものから新しい話題まで種々あり うるが) 必ず扱うべきである。

実例や応用は,学ぶ動機を与え,学ぶ内容を深めるのに役立つので授業のあらゆる場面で積極的にとり入れたい。

(6) 教員養成系では教科専門に割く時間が限られているので授業の密度を上げる必要がある。従って,各回の授業では,その時間内に内容が理解できかつ計算や証明ができるような話題があり,受講者にとって目標が明確に見えるような授業を組み立てることが望まれる。さらに,小テストまたは宿題を毎回課すなどの工夫が必要である。なお,上で包括的体系的な視点が必要であると述べたが,それは数学について浅く広く講義するという意味ではなく,各回はポイ潔トが絞られた授業をするが積み上げてみると包括性系統性が担保されているという意味である。

(7) 教員養成系では (要素 \mathrm{b}, \mathrm{f} に関連して) 学校数学への橋渡しと数学化プロセスのための 「事例演習」 を,数学専門科目のほかに例えば教科教育科目として,設けることが望まれる。これらを実施することで,学生がすべての授業で自主的かつ積極的に取り組むようになることが期待される。

(8) 全般的には,内容項目は減らし,理論的側面より応用指向重視で進める。

[I. 代数学分野 ]4. 代数学分野における修正(1) 6つの視点から代数学分野の授業内容を検討

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代数学分野の内容は、線型代数学、集合と論理の基礎、初等整数論、群・環・体など代数構造の基礎からなる。

[\mathrm{a} 体系的理解] と[\mathrm{b} 学校数学との関連] の観点からは、①学校数学における四則演算を統一的な視点から見直すこと、②代数的構造を問題解決の道具とすること、という2つの面が最も重要である。「集合と論理の基礎」 においては、数学的理論 (または数学という学問 ) の特徴である 「述語論理」 とは何かを理解させたい。さらに,代数学の授業で、易しい場合には自分で証明を行うことができることを目標にして,証明の訓練を少しだけすることが望ましい (典型的な証明をまるごと記憶するなど) 。

[\mathrm{c} 現実世界との繋がり], [\mathrm{d} 数学の実用性], [\mathrm{e} 数学の文化的価値] の観点からは,①歴史的視点から考えること,②数学以外の学問科学技術社会との繋がりを考えることが重要である。

[\mathrm{f} 探究的活動] については、講義形式の授業の他にいくつかの演習(セミナー) を設け、その中で探究的活動を行うことが望ましい。さらに、講義形式の授業であっても、課題 (または問題) を軸とした授業構成が効果的である。学生は授業中に常に頭を働かせ考え、発表したり議論をしたりする。こう した形式では各回の授業で理解すべき内容が明確になり学生の資質能力の向上が図れることが知られている。
(2) 個々の単元からの考察「線型代数学」
2コマの授業ならば、講義の内容項目については標準モデル案く らいの量でちょうどよいと考えられるが、教員養成系では理論的側面を縮小して線型代数の応用的内容をもっと増やしたい。特に、量と数の理論など学校数学との関連にも注目したいし、点とベク トル (アフィン空間とベク トル空間) 、座標空間における直線・平面のベク トル方程式と方程式の違いと相互関係 (外延的定義と内包的定義) などの線型代数の幾何学的応用を大幅にとりいれたい。

「集合と論理の基礎」

半コマ程度で最低限の内容を行うことが可能であると考える。長時間にわたり深い内容を行うのは逆効果でコンパク トさも重要である。いずれかの授業の中で必ず扱う必要があるが、やはり代数学で行うのが適切か。
「初等整数論」

応用に繋がる項目が多く、教員養成系では是非とも採り挙げたい内容である。
「代数構造一群環体一の基礎」
ガロア理論まで扱うことは不必要であると考える。(理由 :種々の授業構成が考えられるが、どのように展開しても複雑かつ長すぎる証明が必要になり、教員養成系では授業効果を挙げることが難しい。) しかし、体の基礎に入っている内容は、BHC 符号や \mathrm{Q}\mathrm{R} コード等の面白い応用もあるので扱うべきだろう。群の基礎、可換環の基礎の部分は、上に述べた論理的訓練に適した内容や学校数学との関連を重視して内容を絞り込みたい。
上記の視点により修正した新標準モデルは以下の通りである。

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[授業コマ数の想定]

線型代数 : 2コマ、集合と論理の基礎 + 代数学 : 3 コマ

[修正案による項目の減少]
[注意]

旧48項目

\rightarrow

新42項目

各項目の内容は数学科のように証明を積み上げる形式ではなく、各回の授業ではテーマをしぼりこんで、学生が主体的に取り組めるような講義を構成することを想定しているので各項目における内容はコンパク トなものにできる。

5.新しいモデルによる代数学分野のシラバスの例
新モデルの線型代数分野は,2コマの授業を構成することにして,線形代数 I, II と名付ける。代数学分野については,「集合と論理の基礎 + 初等整数論」 「群の基礎 + 可換環の基礎 1\sim 3 」 「可換環の基礎 4\sim 5+ 体の基礎」 に分けて,3 コマの授業を構成することにして,代数学 I, II , \mathrm{m} と名付ける。以下に,5科目 「線型代数 I,$\Pi$ 」「代数学 I, $\Pi$,\mathrm{m} 」 の各々のシラバスの一例を挙げる。

[注意] 下記の表において,符号 \mathrm{a}\sim \mathrm{f} は,\mathrm{b} 学校数学との繋がり\mathrm{c} 現実世界との繋がり
数学の体系的理解\mathrm{d} 数学の実用性\mathrm{e} 数学の文化的価値\mathrm{f} 探究的活動である。
\mathrm{a}

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6. 「量と数の理論」 の解説.
7. 一般の連立一次方程式の理論 (まとめ).部分空間の外延的定義と内包的定義の関係.空間平面のベク トル方程式と方程式の関係.逆行列の種々の計算法(まとめ)8. 中間まとめ.中間試験

9. 固有値

固有ベク トルの意味.固有値,固有ベク トル,固有空間,固有多項式,固有方程式の定義.固有値

固有ベク トルの計算.

10. 行列の対角化可能条件.行列の三角化(ジョルダン標準形入門と例).

11. 内積 (計量) 空間.ベク トルのノルム,ベク トルのなす角度の定義.
シュミッ トの直交化直交直和分解.

12. 実対称行列 (エルミッ ト行列) の直交行列 (ユニタリ行列) による対角化の理論と計算.

13. 実二次形式 (エルミッ ト形式) の標準形の理論.正定値,負定値,不定値二次形式.標準形式への計算.

14. 二次曲線二次曲面の標準形と分類理論および標準形への計算.
15. 全体まとめ補足
16. 期末試験

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[ \mathrm{I}\mathrm{V} . 確率統計分野 ]6. 学校教育で近年に重要視されはじめた統計教育を踏まえて,確率統計分野ではどんな話題に注目するべきか164(1) 西内啓 「統計学が最強の学問である」 ダイヤモンド社がベス トセラーになったように,この十数年間に発展したビッグデータを活用する新しい統計学に対する世間一般の関心が高まっている。

(2) 新しい統計手法を身につけ,理論的にもきちんと理解し今後の進展にも対応できるような (情報処理のプロを超えた) 統計学的データ解析の専門家育成への要求が種々の分野の企業および公的機関で高まっている。従って,大学での養成も求められている。
(3) 従来の頻度主義統計学 (フィッシャーネイマン

ピアソン理論または標本理論と呼ばれる) だ

けでなく,ベイズ統計学の学習にも比重を移す必要がある。

(4) 巨大な情報空間から統計的モデリングによって,情報抽出,知識発見,予測,シミュレーション,管理,制御などの統計的推論を実現する方法については概要だけでも知っておきたい。
(5) 複雑になった統計的手法により ‘統計にダマされない”眼をもつことがますます困難になっているが,どのような視点が必要だろうか? (統計学のカラクリを知るなど)

7.標準モデルー確率統計分野
現時点では,旧モデル案を修正しなくてもよいのではと考える。

8.新しいモデル案によるシラバスの例 (確率統計分野)
教員養成系の大学学部のほとんどで,確率論/統計学の分野で必修とされている単位は1 コマ 2単位である。数学教師を目指す学生が大学で是非とも学ぶべきだと考えられる内容は,確率論と統計学のどちらにも含まれている。そこで,ここでは数学教師を目指す者に求められる確率論と統計学の内容を合わせた内容の1コマの授業を構想してみることにする。

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規分布の母平均,母分散の推定等)
13. 仮説検定 (母平均の検定,等分散の検定等) と適合度検定 : (カイ 2乗分布 ) 入門

14. ベイズ統計学と非ベイズ統計学( 古典的記述統計学) の違い.ベイズ統計=学の基本公式.
15. ベイズ推定の考えと例.
16. 期末試験[文献】[1] 丹羽雅彦、松岡隆 「教員養成学部の 「数学」 教科専門科目カリキュラムの現状把握と理想的モデル案に向けた調査検討の構想」 , 数理解析研究所講究録1657 (2009年7月)
pp.74‐82[2] 丹羽雅彦、松岡隆、川崎謙一郎、伊藤仁一 「「教員養成大学学部の数学専門科目の講義内容についての調査」 の結果とその考察」 , 数理解析研究所講究録 1711 (2010年9月 ) pp.89‐105[3] 丹羽雅彦、松岡隆、川暗謙一郎、大竹博巳、伊藤仁一 「中学校高等学校の数学教師の養成における数学専門科目の標準的なモデルの構想」 , 数理解析研究所講究録 1711

(2010年9月)pp.106‐129[4] 丹羽雅彦、松岡隆、川暗謙一郎、大竹博巳、伊藤仁一「小学校算数科教科専門科目の講義内容に関する現況調査の結果と標準モデルの提案」 , 数理解析研究所講究録 , 数

理解析研究所講究録 1828 (2013年3月)pp.50‐60[5] 松岡隆 「教員養成系における幾何学内容の構成について」 , 数学リテラシー概念に基づく教員養成系 数学カリキュラムの開発 (研究代表者 : 浪川幸彦) 南九州大学都城キャンパス研究集会(2012年2月)報告集[6] 丹羽雅彦 「数学教師養成のための数学専門科目\mathrm{p}\mathrm{p}.52\cdot 59

松岡提案に基づく標準モデル案の修正(代数学分野) 」数学リテラシー概念に基づく教員養成系 数学カリキュラムの開発 (研究代表者:浪川幸彦) 南九州大学都城キャンパス研究集会(2013年2月)報告集

pp.40‐45