数理解析研究所講究録986 巻 1997 年 41-48

41

Bifurcations for skew tent maps I(Stair type)
お茶の水女子大学 理学研究科 市村圭子 (Keiko Ichimura)
城西大 理学部 西沢清子 (Kiyoko Nishizawa)

1. 序
近年、力学系の研究が盛んになった。そのうちのひとつとして、パラメータを含む関数族の力学系の分岐が挙げられる。分岐とは、 パラメータを変化させたときに起こる力学系の変化を意味する。 よく知られたものとして、ロジスティツク方程式 $g_{\mu}(x)=\mu_{X}(1-x),$ $\mu>0$
やがて $3<\mu<4$ 内の分岐が挙げられる。 この関数族は、倍周期分岐をくりかえしつつ、.にカオス領域と呼ばれる領域を生むこともよく知られている。
ところが、次に挙げる R 上の区分的に滑らかな skew tent m 卯の族では、 これとは様子が異なった分岐過程を見せる$|^{1}$:$F_{\mu}(x)=\{$,$-bx+\mu$ ,$ax+\mu$

for $x<0$$-$
ただし、0 $<a<1,$ $b>1$ .
for $x\geq 0$

まず、パラメ一 $p(a, b)$ を固定し、乃を についての関数族とみる。 \mu の値を負から正にで、 力学系変化させていくと、 $\mu=0,$ $x=0$ において、 は分岐を生じる$\mu$$[\mathrm{N}\mathrm{Y}95]_{0}\mu>0$$F_{\mu}$がどのように変化するのかは $(a, b)$ に依存しており、 $(a, b)$ をいくつか変えた分岐ダイアグ
ラムを Fig.1 から Fig.4 に示した。 \S 3 でこの分岐ダイアグラムについて述べる。

\S 2 では、 いくつかの言葉の定義と既に知られている結果を、 \S 4 には得られた結果を述べる。

, symbolic and, Wolfram Research, Inc. とalgebraic computation system, Version 940420, FUJITSU LABORATORIES LIMITED.
グラフィックスは、$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{a}2.2$$\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}/\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}$$\iotaarrow\sim$よる。

2. 準備
以下、 $f$ を$\mathrm{R}$上の連続写像とし、 写像$f$の反復合成、$\sim f\mathrm{o}\cdots\circ f$$n$times

を$f^{n}$で表す。

42. ,.,$\nearrow$$\cdot$.

.

’$\prime\prime’$..

$.\mathrm{c}’.\cdot.\cdot-2^{\cdot}..\cdot.\cdot-..--\cdots.-\prime\prime$.

$=:^{:^{=}}....$

.:.

$.=$

$.=$

$.i$

.

.’.

.

.

.: . . .
:$=$$.:^{J}:$,.

$.:^{l^{:}}.$

.

:
$:$

$.:^{\prime^{:}}=$

Fig. 1.

Fig. 3.
$\bullet$$a= \frac{1}{2},$.

$b=3.2$$a=0.5,$ $b=4.42$

Fig. 2.

$a=0.5,$ $b=4.14$

Fig. 4.

$a=0.5,$ $b=5.5$

数列 $\{f^{n}(x)\}_{n\geq 0}.=\{x, f(x), f^{2}(x.), \cdots\}$ をによる軌道といい、 $O(x)$ や $O_{f}(x)$ で表す。
を $f$ の周期 (素周期) の周$f^{k}(x)=X$ かつ、0 $\leq i\leq k-1$ に対し $f^{i}(x)\neq x$ ならば、期点 (k-periodic point) という。特に $k=1$ のとき を固定点という (fixed point)。また、 が $f$ の k-周期点のとき、 $O(x)=\{x, f(X), \cdots, f^{k}(x)\}$ を -周期軌道または、 $k-$サイクルという。
$x\text{の}.f$$a$$\bullet$

$k$

$x$

$x$

$k$

$x$

次に、他の点の軌道を引きつけるような集合であるアトラクターの定義をに従って行なう。

Definition 1集合$A$$\mathrm{J}.\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}[\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}85]$が以下の 4 条件をみたすとき $A$ はアトラクターであるという。

1. は閉集合.
2. $f(A)=A$ .の近傍
で、任意の $x\in U$ に対し $\lim_{arrow\infty},fn(X)\in A$ となる.
3. 適当な
4. の元 で、 $O(x)$ が で稠密であるものが存在する.
$A$

$A$

$A$

$x$

$U$$A$

43
特にアトラクターが 個の点から成る点集合のとき、 その要素である点を周期 の吸引的周期点 (attracting k-periodic point) とよぶ。
が の k-周期点で、 $O(x)$ の近傍で $f$ が微分可能であるとする。 もし、 $|(f^{k})’(X)|<1$..
ならば、 は吸引的である。
$k$$k$$f$$x$$\cdot$$x$

次の、力学系がカオス的であることの定義はDefinition 2関数満たすときである。

$f$$\mathrm{R}.\mathrm{L}.\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{y}[\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}89]$に従う。の力学系が $X$ 上カオス的 (chaotic) であるとは、 が次の 3 条件を$f$が、初期値に対する敏感な依存性を持つ; ある正数\mbox{\boldmath $\delta$}が に対し決まり、 を $X$ の任意の点とすると、 その任意の近傍仏内に、 $|f’(X)-fn(y)|>\delta$ となるような点 と自然数 が存在する.
に対してある自然数 が存在し、$f^{n}U\cap V\neq$
2. は、位相推移的である; 任意の開集合

1.

$f$

$f$

$x$

$y$

$n$

$U,$ $V$$f$$\phi$

3.

$f$$n$となる.の周期点の集合は、 $V$ 上稠密である.

力学系に対する位相不変量である位相共役 (topologically conjugate) という同値関係の定義を述べる。
ふたつの力学系 : $Varrow V,$ $g:Uarrow U$ に対して同相写像 $h:Varrow U$ が存が成り立つとき、 と は位相共役であるといい、 $f\sim,$ $g.\text{ }$ ま.
を共役関数 (topological conjugacy) と呼ぶ

Definition 3
在して、た、 写像$f.\sim g$$f$$h\mathrm{o}f=g\mathrm{o}h$$h$$f$と書く$g$。

であることと、 下の図式が可換であることは同値である。
$V$$arrow f$$V$$U\downarrow h$$h\downarrow U$$rightarrow g$$f$がカオス的であるならば、 $f$ と共役な任意の関数$g$はカオス的である。

3. 分岐現象次で定義される skew tent map の族の力学系について考える。
は固定し、 をパラメータとする族とみると、 Fig.1 から Fig 4 の分岐ダイアグラ
まずムを得る。 どれも $\mu=0$ でダイアグラムに変化が見られるが、実際この関数族は\mu $=0$ で分岐を生じる [NY95]。
$a,$

$b$

$\mu$

Fig.1 では、吸引的固定点から周期 3 の吸引点への分岐が生じている。 Fig 2 から Fig 4 では、吸引的固定点から力学系がカオス的になるような区間がいくつか現われている。
Fig.1 から Fig 4 で示されているように、 この関数族に起こる分岐にはいくつかのタイプがどんな値の値に依存している。 -方、があり、 どんなタイプの分岐がおこるかはであってもひとつに固定して考えているかぎり $\mu>0$ では新たな分岐は起こらない。 なぜ$a,$なら、 このとき乃$\sim F_{1}$だからである。

$b$$a,$$b$44,$-bx+\mu$ ,for $x\leq 0$
for $x\geq 0$ ,$ax+\mu$$F_{\mu}(_{X)=}\{$$0<a<1,$ $b>1$ .

Fig. 5.

従って、以後\mu $=1$ とし、一般性を失うことなく系の解析を行なうことができる:

$a,$

$b$

$a= \frac{1}{2},$$b=6,$ $\mu=1,$ $\mu=-2$をパラメータとする関数族の力学$D=\{(a, b);a>0, b>1, a+b\geq ab\}$ .
$f_{a.b}(X)=\{$

for $x\leq 0$, $(a, b)\in D$ .
for $x\geq 0$$ax+1$ ,$-bx+1$ ,扱う関数族は範囲を広げ、 は正数全体とする。 $a+b<ab$ のときは、 ほとんどすべての点の軌道は-\infty に発散する。
を $I_{a,b}=[f_{a,b}^{2}(0), f_{a,b}(0)]$ とおくと、 $a+b\geq ab$ のもとでは、 ,b 上での解析
又、 区間にだけすればよいことが分かる。 というのは、 区間 .b 以外での力学系は軌道がいずれに発散するかまたは固定点であるかのどれかであるからである。 以下、収束するか、の力学系的特徴によって領域 $D$ を分割していく。 一般に、領域とは連結
区間 ,b での$a$

$I_{a}$$I_{a_{:}b}$$I_{a,b}$$I_{a}$$.-\infty$$I_{a}$$f_{a_{:}b}$

開集合のことであるが、以下境界を含んでいるような集合でも領域と呼ぶことにする。

4. 結果
まず、
く。

$f_{a,b}$$f_{a_{:}b}^{j}(X),$において記号力学系の概念を導入する。 $I_{0}=[f_{a,b}^{2}(0), 0), I_{1}=(0, fa,b(0)]$ とお$(x\in I_{a,b}, j\geq 0)$

に対し、記号 $s^{j}(x)$ を次のように定める。
’$0$$s^{j}(x)=$for $f_{a,b}^{j}(X)<0$
for $f_{a_{:}b}^{j}(X)=0$
for $f_{a,b}^{j}(X)>0$$C$$\backslash 1$

Definition 4,,,

. の旅程 (Hinerary) とは $s_{a.b}(x)=\{s^{j}(X)\}_{j}\geq 0$ で定義される無限列のこ$x\in I_{a_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}b}$とである。の分割を吸引的周期軌道を持つようなめに次のような領域を用意する。
$D$

$a,$

$b$の領域を決定することから始める。 このた$D_{k}= \{(a, b)\in D;1+\frac{1}{a}+\cdots+\frac{1}{a^{k-2}}<b\leq 1+\frac{1}{a}+\cdots+\frac{1}{a^{k-1}}\}$$D_{k}^{A}=\{(a, b)\in D_{k}$; $a^{k-1}b\leq 1\},$ $k\geq 2$ .

,

45

Proposition 1の境界は次の代数曲線$D_{k}^{A}$$a^{k-1}b=1$,で決定される。 この 2 曲線はただ 1 点$b=1+ \frac{1}{a}+\cdots+\frac{1}{a^{k-2}}$$P_{k}$

で交わり、$1 \mathrm{i}\mathrm{n}1_{k}arrow\infty Pk=(\frac{1}{2},$$\infty)$である。

証明 2 曲線の交点の の値は $a^{k-1}+\cdots+a=1$ の解である。 この方程式の解は、 $a>0$に発散に収束する。 このとき はでは唯ひとつ存在し、 それは $karrow\infty$ のもとで$a$$b$$a= \frac{1}{2}$$\infty$する。

$\square$Fig. 6.

Remark$(a, b)$ が$D_{k}^{A}$.

$D$の分割図の内部に属するとき、以下のことが [ITN79] によって得られている:$-a^{k-2}b^{2}+b^{2}-b+ab+1-a$$\bullet C_{0}=[f_{a.b}^{2}(0), x]\mathrm{x},$$x_{\star}= \frac{1-a-b+a^{k-}b1}{(1-a)(1+a-bk1)},$$x^{\star}=\overline{(1-a)(1-a..b^{2}k-2)}$のほとんどである。 さらに, x\star は .b の -周期点でありに収束する。
すべての点は几.b の何回目かの反復で区間をの力学系を解析するために新たに関数はによって不変である。

とおくと、$x_{*}$$f_{a}$$f_{a.b}^{2}(0)<x_{\star}<x^{\star}$$k$$I_{a.b}$$C_{0}$$\bullet$$C_{0}$$f_{a_{:}b}^{k}$$g\alpha.\beta(X)=\{$$f_{a.b}^{k}|_{C_{0}}$,$- \beta x+\frac{\alpha+\beta\alpha x}{\alpha},$

for
for

$g_{\alpha_{:}\beta}$$0 \leq x\leq\frac{1}{\alpha},$$\frac{1}{\alpha}\leq x\leq 1$$\alpha>1,$$\beta>0,$$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\geq 1$

46と定義する。g\alpha .\beta は「\beta $<1$ ならば、 $[0,1]$ のほとんどすべての点の軌道は、固定点に収束する」 という性質をもち、は\beta <1 であるようなと位相共役である。の吸引的固定点に対応するのは である。従って
内の点の腔 b による軌道は x, に収束する。
$x= \frac{\alpha+\beta}{\alpha(\beta+1)}$$f_{a.b}^{k}.|_{C0}$$g_{\alpha.\beta}$$x_{*}$

Definition 5$[C_{0}, C_{1}],$$\cdot$:$\cdot,$を区間 $I=[c_{0}, c_{l}]$ 上の連続写像とする。

$f$が有限個の部分区間 $I_{1}=$に分割され、各部分区間への の制の turning point とよぶ。
$I$

$I_{l}=[cl-1, cl],$ $(c_{0}<c_{1}<\cdots<c_{l-1}<c_{l})$限が単調であるとする。 このとき点$c_{0},$を $f$$\cdots c_{l}$skew tent map .b の turning point は $x=0$ である
実を注意しておく。

$f$$f_{a}$

Lemma 1
Proof.

$g_{\alpha.\beta}$$C_{0}$$f_{a_{:}b}\text{の}$$f_{a_{:}b}=f$$0$

この turning point に関する次の事

turning point が周期的なとき、 それは吸引的ではない。と略記する。 区間$I_{0},$を $I_{0}=[f^{2}(0), 0],$ $I_{1}=[0, f(0)]$ とおく。 $Do=$$I_{1}$$\{(a, b)\in D;\frac{a+b-ab}{b}\geq\frac{b}{b+1}\},$ $D_{1}= \{(a, b)\in D;\frac{b}{b+1}>\frac{a+b-ab}{b}\geq 1 -\frac{1}{b}\}_{\text{、}}$$D_{k}$

に対し $D_{k}^{B}=\{(a, b)\in D_{k}; a^{k-1}b>1, a+b\geq a^{k-1}b^{2}\},$とする。 もし、 ある に対しの固定点であるならば $x=0$ の軌道は周期 をもっことに注意する。
$(a, b)\in D_{0}$ のとき、 $L_{0}=[f^{2}(0), f^{4}(0)],$ $L_{1}=[f^{3}(0), f(0)]$ とおくと、$D^{\star}= \{(a, b)\in D;a>1, \frac{a+b-ab}{b}<\frac{b}{b+1}\}$$f^{j}$$\bullet$

上で定義したとし、$D^{\mathrm{x}}k=D_{k}\backslash (D_{k}^{AB}\cup D_{k})$$f^{j}\text{の}$$j$turning point が$j$$L_{0}\cap L_{1}=\emptyset,$$L_{1},$$fL_{1}=L_{0}$て、$fL_{0}=$が成り立ち、かつ区間またはの点の軌道はに収束する。従っにの吸引的周期点は存在しない。 よって、存在するとしたら$I_{a.b} \backslash \{1-\frac{1}{b}\}$$(f^{4}(0), f^{3}(\mathrm{o}))$$L_{0}$$L_{1}$$f$$L_{0}\cup L_{1}$は $f$ によって互いにうつり合うからその周期点は偶数周期を持つ。 い内であるが、ま、 $x=0$ が周期 $2j$ をもっと仮定する。微分可能な上の点 における微分係数は、$(a, b)\in D_{0}$ より、であるから、 $|(f^{2j})’(x)|\geq(ab)^{j}>1$ である。従って、 $x=0$ が周$L_{0},$ $L_{1}$$L_{0}\cup L_{1}$$x$$fL_{0}\subset I_{1}$期点ならば、吸引的ではない。 その近傍でののグラフは、 Fig 7 か Fig 8 のようになる。のとき、 は奇数周期をもつかもしれないが、$b>1$ が成り立っている$f^{2j}$$\bullet(a, b)\in D_{1}$$f$$fI_{0}\subset I_{1},$ため、任意の $j\geq 2$ に対して微分可能な点での微分係数は $|(f^{j})’(x)|>1$ をみたす。従って、 $x=0$ は吸引的ではない。 その近傍でののグラフは、 Fig 7 か Fig 8 のようになる。
$(a, b)\in D_{k}^{B}$ のとき、の周期点..
$x$$f^{j}$$f$$\bullet$$k$$x^{\star}= \frac{-a^{k-2}b^{2}+b^{2}-b+ab+1-a}{(1-a)(1-a-2b^{2}k)}$が存在する。 $c_{\mathit{0}}=[f^{2}(0), x]*$ とおく。 はによって不変なので C。にある周期点の周期は の倍数である。 もし、 $x=0$ が吸引的な周期点になっているならば、 その軌道はを通る。従って、 その周期はある があってとかける。 内のが微分可能である点での微分係数は、 による$(a,b)\in
D_{k}^{B}$のうつりかたとより、 $|f^{jk}(x)|\geq(a^{j-1}b)^{k}>1$である。従って $x=0$ は吸引的ではない。 その近傍でののグラフは、 Fig 7 か Fig 8 のようになる。
$(a, b)\in D_{k}^{*}$ のとき $x=0$の軌道が周期的であるならば、も周期的になる。 x’ が i周期点であるとする。
より、 $f^{k-1}(X^{;})\geq 0$ かつ、 $i\leq k-2$ に対しては $f^{i}(x’)<0$である。 $f^{k-1}(X’)=0$ のときは $j=k$ であるが、 区間 Io 上の点が に留まれる の反復の$C_{0}$$f^{k}$$k$$C_{0}$$j\mathrm{x}k$

$x$

$f$

$f^{jk}$$C_{0}$$C_{0}$$f^{jk}$$\bullet$$x’=f^{2}(\mathrm{o})$$(a, b)\in D_{k}^{\star}$$I_{0}$$f$47
回数は高々 $k-2$ である。 x’ の近傍の微分可能な点 においては $|(f^{j})’(X)|>1$ が成り立つ。
$f^{k-1}(x’)<0$ のときは、任意の $x<0$ の軌道が区間上に留まるのは高々 $k-2$ 回の の反復だけである。従って、 $x=0$ の軌道が周期 をもっとすると $i>k$ であり、 x’ の近傍のが微分可能な点 においては $|(f^{j})’(X)|>1$ となる。従って、 $x=0$ は吸引的ではなく、$x$$I_{0}$$f$$i$$f^{j}$$x$.

グラフは Fig 7 か Fig 8 のようになる。
$\bullet$$(a, b)\in D^{\star}$のとき $a>1,$ $b>1$ より、周期的な turning point $x=0$ の近傍では、 グラフはFig .7 か Fig 8 のいずれかのようになるので、Fig. 7.
$\bullet$$x$は吸引的ではない。

Fig. 8.

. のときで $a^{k-1}b\neq 1$ のとき、$(a, b)\in D_{k}^{A}$$x_{0}= \frac{-1+a^{k-2}}{a^{k-2}(1-a)}$

とおく。 xo は $k-2$ 回の $f$ の反復で $x=0$ にうつされる点である。 $a^{k-1}b\neq 1$ のときはRemark により、 の による軌道は、 前述の に収束する。従って、 turning point は吸引的にならない。次に $a^{k-1}b=1$ のときは $x=0$ の軌道は周期 $2k$ を持つが、 その近傍で$x_{0}$$f^{k}$$x_{*}$

はグラフは Fig 9 か Fig.10 のようになっていて吸引的ではない。

Fig. 9.

Fig. 10.

吸引的周期軌道を特徴づけるために次の定義をする。

口48

Definition 6 階段型 (stair type) 軌道とは次の条件を満たすときである。
$O(x)=\mathrm{t}x,$ $f(x),$ $\cdots,$ $f^{k-1}(_{X})\}$,$f^{k}(x)=x<f(x)<\cdots<f^{k-2}(x)\leq 0<f^{k-1}(x)$ .

skew tent map

Lemma 2

メータ $(a, b)$ が$D_{k}^{A}$$f_{a}$.b が吸引的 k-周期軌道を持つための必要十分条件は、パラの内部に属することである。

をの内部に属するならば、 Remark により几.b は吸引的 -周期点持つ。特に、 その軌道は階段型である。逆に、 fa:b が吸引的 -周期点を持つのは $(a, b)$ がの内部に属するときに限ることを示す。 Lemma 1 より turning point は吸引的にはならないことから、 その近傍の内部に、記号力学系から見て同じ旅程を持つような開区間がならば旅程との対応は 1 対 1 になにより、取れる。 -方、Ito etる。故に、 .b が吸引的周期軌道をもつとしたら、 ある が– 意に決まって、 $(a, b)\in D_{k}^{A}$の意味での吸引的周期点は存在しないとなる。 しかし、の境界ではProof.

$(a, b)$ が$k$

$D_{k}^{A}$$x_{\star}$$k$$D_{k}^{A}$$al[\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{N}79]$$(a, b) \not\in\bigcup_{k=2k}^{\infty}D^{A}$$k$$f_{a}$$D_{k}^{A}$$($$\mathrm{J}.\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}[\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}85]$

Fig 9, Fig.10 を参照)。
又、$f_{a}$

口.b がもつ吸引的周期軌道の個数について次の結果が得られる。

Lemma 3$f_{a.b}$は吸引的周期軌道を高々ひとつ持つ。

.b が吸引的 -周期軌道をもつとする。それは Lemma 2 により、前述の に他ならない。 このことと Remark により、は吸引的周期軌道を高々ひとつしか持たない。

Proof.

$k$$f_{a}$$x_{\star}$$f_{a.b}$口Theorem 1Proof$f_{a}$.b の吸引的周期点は階段型である。

証明は Lemma$2_{\text{、}}$

Lemma 3 から得られる

$0$

口

参考文献
[Dev89] R. L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley, 1989.
[ITN79] S. Ito, S. Tanaka, and H. Nakada. On unimodal linear transformations and chaos II.
TOKYO J. MATH., 2(2) $:241-259$ , 1979.

[Mi185] J. Milnor. On the concept of attractor. Commun. Math. Phis., 99:177-195, 1985.
[NY95] H. E. Nusse and J. A. Yorke. Border-collision bifurcations for piecewise smooth onedimensional maps. International Journal of Bifurcation and Chaos, 5(1) $:189^{-}207$ , 1995.