規則性 - ままこ立てステップ１

言葉のお勉強「〜乗」

１ 数学では、同じ数を２回かけることを「２ 乗 する」といいます。例えじょう

ば３を２乗すると、３×３＝９となります。このとき、３×３を「３２」
じょうと表し、「３の２ 乗 」と読みます。同様にして、

３の３乗→

３３＝３×３×３＝27３の４乗→

３４＝３×３×３×３＝81となります。

下の表は、２を何乗かした数についてまとめたものです。表の空らんをうめなさい。

２１２２２４２６２７２３２４２５２８２９２101規則性 - ままこ立て

ステップ２

枚数が２の〜乗２ １から８までの数が書かれた８（＝２ ）枚のカードを、時計回りに数３の小さい順に円形に並べ、１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていきます。


⑴

１周目は、（）、（）、（）、（））、（）のカードを取るので、（）、（の、合計（）、（）枚のカードが残ります。

2

規則性 - ままこ立て⑵

２周目は、（）、（）のカードを取るので、（⑶）、（）の、合計（）枚のカードが残ります。

３周目は、（）のカードを取るので、最後に（）のカードが残ります。

3

規則性 - ままこ立て

３ １から 16 までの数が書かれた 16（＝２ ）枚のカードを、時計回りに４数の小さい順に円形に並べ、１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていきます。

 





⑴

  

１周目は、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（））、（）、（）、（）、（）、（）のカードを取るので、（）、（の、合計（）、（）枚のカードが残ります。

4

規則性 - ままこ立て⑵

２周目は、（）、（）、（）、（））、（）のカードを取るので、（）、（の、合計（⑶）、（）枚のカードが残ります。

３周目は、（）、（）のカードを取るので、（⑷）、（）の、合計（）枚のカードが残ります。

４周目は、（）のカードを取るので、最後に（）のカードが残ります。

5

規則性 - ままこ立て

４ １から 32 までの数が書かれた 32（＝２ ）枚のカードを、時計回りに５数の小さい順に円形に並べ、１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていきます。




⑴

１周目は、（）、（）、（）、（）、（）、・・・、（））、（）、（）、・・・、（）のカードを取るので、（）、（の、合計（）、（）のカードが残ります。
6

規則性 - ままこ立て

⑵

２周目は、
（）、（）、（）、（）、（）、（）、（）、（））、（）、（）、（）、（）、（）のカードを取るので、（）、（の、合計（⑶）、（）のカードが残ります。

３周目は、（）、（）、（）、（））、（）のカードを取るので、（）、（の、合計（⑷）、（）のカードが残ります。

４周目は、（）、（）のカードを取るので、（⑸）、（）の、合計（）のカードが残ります。

５周目は、（）のカードを取るので、最後に（）のカードが残ります。
7

規則性 - ままこ立て

５ １から 64 までの数が書かれた 64（＝２ ）枚のカードを、時計回りに６数の小さい順に円形に並べます。１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていくとき、最後に残るカードに書かれた数を求めなさい。１、２、３の結果から予想して答えなさい。



8

規則性 - ままこ立て

６ １〜５の結果についてまとめます。１から２ （２の N 乗）までの数がＮＮ書かれた２ 枚のカードを、時計回りに数の小さい順に円形に並べ、１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていきます。

⑴

このとき、最後に残るカードは（⑵⑴の理由について考えます。
①

１周目にカードを取ると、（）の倍数のカードが２N−1 枚残ります。

②

２周目にカードを取ると、（）の倍数のカード２N−2 枚残ります。

③

３周目にカードを取ると、（）の倍数のカード２N−3 枚残ります。

④

４周目にカードを取ると、（）の倍数のカード２N−4 枚残ります。

⑤

同様に続けていくと、最後の（⑶）になります。

）周目に、（）の倍数のカードが１枚残ります。

⑴の結果をカードの位置関係から言うと、最後に残るカードは、はじめに取るカードの（）枚【手前・あと】のカードになります。

最小の数

9

規則性 - ままこ立て

ステップ３

１以外から始める

７ １から８までの数が書かれた８枚のカードを、時計回りに数の小さい順に円形に並べ、カードを１つおきに取りのぞいていきます。

!
("'#%&$⑴

１のカードから取りのぞくとき、最後に残るカードは（）です。

⑵

２のカードから取りのぞくとき、最後に残るカードは（）です。

⑶⑴⑵の結果から考えて、はじめに取るカードと最後に残るカードの関係をまとめると、次のようになります。

はじめに取るカード

１２３

最後に残るカード

10４５６７８

規則性 - ままこ立て

８ １から８までの数が書かれた８枚のカードを、時計回りに数の小さい順に円形に並べます。Ｘのカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていくと、最後に残るカードに書かれた数は６になります。Ｘにあてはまる数を求めなさい。

!
("'#%

&$

11

規則性 - ままこ立て

９ １から 16 までの数が書かれた 16 枚のカードを、時計回りに数の小さい順に円形に並べ、カードを１つおきに取りのぞいていきます。

*0 ! "
*/

#*.

%

*-

$*,&**'*+ ) (⑴１のカードから取りのぞくとき、最後に残るカードは（⑵⑴の結果から考えて、）です。

①

はじめに取るカードが７のとき、最後に残るカードは（）です。

①

はじめに取るカードが 10 のとき、最後に残るカードは（）です。

①

はじめに取るカードが 14 のとき、最後に残るカードは（）です。

12

規則性 - ままこ立て

ステップ４【復習】〜番目の奇数を求める

10 次のように偶数と奇数が並んでいます。

⑴番目

１２３４５・・・

偶数

２４６８10・・・

奇数

１３５７９・・・

10 番目の偶数は、（）×（）＝（）、）−（）＝（）＝（）、）−（）＝（

10 番目の奇数は、（⑵）×（）です。

27 番目の偶数は、（）×（

27 番目の奇数は、（）×（13）です。

規則性 - ままこ立て

ステップ３

枚数が２の N 乗でない

11 １から 10 までの数が書かれた 10 枚のカードを、時計回りに数の小さい順に円形に並べます。１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていくとき、最後に残るカードに書かれた数を求めようと思います。





⑴

２を何乗かした数のうち、10 を超えない最大の数は（⑵カードを（⑶

いま、カードの枚数が⑴の数になりました。次に取るカードは（）枚取ると、カードの枚数が⑴の数になります。

です。
⑷

）です。

⑶より、最後に残るカードは（14）です。

）

規則性 - ままこ立て

12 １から 40 までの数が書かれた 40 枚のカードを、時計回りに数の小さい順に円形に並べます。１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていくとき、最後に残るカードに書かれた数を求めなさい。

15

規則性 - ままこ立て

13 １から 100 までの数が書かれた 100 枚のカードを、時計回りに数の小さい順に円形に並べます。１のカードから時計回りに１つおきにカードを取りのぞいていくとき、最後に残るカードに書かれた数を求めなさい。

16

規則性 - ままこ立て

ステップ４【発展】よく似た問題

14 次のように１から 100 の整数が横１列に並んでいます。このように並んだ整数を、先頭から順に１つおきに消していくという作業を数字が１つになるまでくり返します。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 11 ・・・ 100
例えば、１回目の作業で消えるのは、１、３、５、７、･･･、99
２回目の作業で消えるのは、２、６、10、14、･･･、98です。次の（⑴3 回目の作業を終えて消えずに残っている整数の中で、一番小さいものは（⑵）です。

４回目の作業を終えて消えずに残っている整数すべての和は（⑶）に適当な数を入れなさい。

）です。

１番最後に残る整数は（）です。

17規則性 - ままこ立て

■
１

解答

■
５ 64

２１ ２２ ２３ ２４ ２５２４８16６ ⑴32⑵２６ ２７64２ ⑴

⑵

⑶
３ ⑴

⑵

⑶

⑷
４ ⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

２８２９２10⑶128 256 512 1024

① ２ ② ４ ③ ８④ 16 ⑤ Ｎ、２Ｎ
１、手前

７ ⑴

８⑵
⑶

１

１、３、５、７、
２、４、６、８、
４
２、６、
４、８、
２
４、８２Ｎ

はじめ 1 2 3 4 5 6 7 8
最後

8 1 2 3 4 5 6 7

８ ７
９ ⑴

16⑵

①10 ⑴

１、３、５、７、９、11、13、15、
２、４、６、８、10、12、14、16、
８
２、６、10、14、
11
４、８、12、16、
12
４
13
４、12、
14
８、16、
２
８、16
１、３、５、７、９、・・・、31、
２、４、６、８、10、・・・、32、
16
２、６、10、14、18、22、26、30、
４、８、12、16、20、24、28、32、
８
４、12、20、28、
８、16、24、32、
４
８、24、16、32、
２16、32

18

６②

９③

13⑷

10、２、20、⑵10、２、１、19
27、２、54、
27、２、１、53

⑴

８⑵

２⑶

５８⑵

336 ⑶

64

1672⑴

４

規則性 - ままこ立て

■

解説

■

８ Ｘの１つ手前が６だから、Ｘ＝７
12

14

１、３、５、７、･･･、99
１回目に残るのは、
２、４、６、８、･･･、100→２の倍数
・２回目に消えるのは、
２、６、10、14、･･･、98
２回目に残るのは、
４、８、12、16、･･･、100→４の倍数
・３回目に消えるのは、
４、12、20、28、･･･、100
３回目に残るのは、
８、16、24、32、･･･、96→８の倍数
・４回目に消えるのは、
８、24、40、56、72、88
４回目に残るのは、
16、32、48、64、80、96→16 の倍数
・５回目に消えるのは、
16、48、80・２を何乗かした数のうち、40 を超えない最大の数は、
２５＝32・残り 32 枚になるのは、40−32＝８(枚)取ったとき。
・残り 32 枚になった時点で、最初に取るカードは、１から数えて、８＋１＝９(番目)の奇数・１から数えて９番目の奇数は、９×２−１＝17・残り 32 枚に時点で、最初に取るカードは 17 だから、最後に残るのは、17−１＝16

13 ・２を何乗かした数のうち、100 を超えない最大の数は、２6＝64・残り 64 枚になるのは、100−64＝36(枚)取ったとき。
・残り 64 枚になった時点で、最初に取るカードは、１から数えて、36＋１＝37(番目)の奇数・１から数えて 37 番目の奇数は、37×２−１＝73・残り 64 枚に時点で、最初に取るカー
ドは 73 だから、最後に残るのは、
73−１＝72

５回目に残るのは、
32、64、96→32 の倍数・６回目に消えるのは、
32、96６回目に残るのは、
64
⑴
⑵
⑶

19・１回目に消えるのは、

上より、８(16＋96)×６÷２＝336
上より、64