第2講

１ 次 不 等 式 ・ 絶対値
基 本 事 項

1 ２つの数の大小関係
2 つの数 A，B の大小関係については，次のどれか 1 つだけが成り立つ。
A＞B，A＝B，A＜B
2 不等式の性質
数量の間の大小関係を不等号で表した式を不等式という。
⑴

a＞b のとき，a＋c＞b＋c，a−c＞b−c（両辺に同じ数を加えたり両辺から同じ数を引いたりしても，不等号の向きは変わらない）
a ba＞b で c＞0 のとき，ac＞bc， ＞cc⑵

a ba＞b で c＜0 のとき，ac＜bc， ＜ccelpたりし不等号の向きの向きない（両辺に正の数をかけたり両辺を同じ数で割ったりしても，不等号の向きは変わらないが，負の数を等号の向る）
かけたり負の数で割ったりすると，不等号の向きが変わる）≦b」
で同様の性質が成り立つ。
性質が成り立つ
なお，「a＞b」が「a≧b」，「a＜b」が「a≦b」であっても同様の性質が成り立つ。

ma3 １次不等式の解法
式を整理すると左辺がxの1 次式になる不等式を
辺がになる不等式を不等式を 1 次不等式といい，これを満たすxの範囲を求めるこ
次不等式とい ，こ次不等式といい満たすとを 1 次不等式を解くという。
1 次不等式は式を解
不等式は 1 次方程式と同様に，次の手順で解くことができる。
次方程式と同様に順で解S

小数があれば，両辺に10，100，……をかけ，分数があれば，両辺に分母の最小公倍数をかけて，小があれ
辺にに1010，，10000，，……をかけ……をかけ，分数があれ分数両辺に⑴数や分数をなくす。
数⑵

かっこがあれば，分配法則を使ってかっこをはずす。
こが分配法則を使ってか分配法則を使ってかっこを。

⑶

移項して，左辺にxの項，右辺に定数項をまとめる。て，の項，右辺に定数項
右辺とめる

両辺をxの係数で割ってxの範囲を求める。ただし，xの係数が負の数のときは， 2 の不等式の性の係ってxの範囲ってめる。

⑷

質⑵より，両辺をxの係数で割った後に不等号の向きが変わる。
辺数で後に不例

3x−7＜5x＋9x＋
3x−5x＜9＋77−2x＜16x＞−8

負の数で両辺を割ると，不等号の向きが変わる。

4 不等式の解と数直線
数直線上では不等式の解を次のように表す。
⑴

x＜ax はaより小さい（xはa未満）⑵x≦ax はa以下⑶

x＞a （a＜x と表すこともある）
x はaより大きい⑷

x≧a （a≦x と表すこともある）
x はa以上10aaaaxxxx5 連立不等式
A＜Bのように， 2 つ以上の不等式が組になっている不等式を連立不等式という。連立不等式を解く
C＜Dには，それぞれの不等式を解き，それらの共通範囲を求めればよい。また，数直線を使うと，共通範囲を求めるのに悩まず正確に解きやすい。
A＜B＜C の形の連立不等式は，A＜B
B＜Cの形に直して解けばよい。

6 絶対値
数直線上で，原点と点 P（a）との間の距離をaの絶対値といい， a のように表す。
a≧0 のとき， a ＝a（絶対値記号をそのままはずせる）

a＜0 のとき， a ＝−a（絶対値記号をはずしたら符号が変わる）

絶対値は，次のような性質がある。
a ≧0， a ＝ −a ， a ≧a， a ≧−aa 2＝ a2 ＝a2， ab ＝ a belp7 絶対値記号をふくむ方程式，不等式
絶対値記号をふくむ方程式や不等式は，絶対値記号をはずせば，その後はこれまで学習した方程式や不値記号をば，その後はこ後はこ習し等式の解き方の手順で解くことができる。絶対値記号は次のようにはずす。ただし，a＞0とする。
絶対値のようにはずす。ただにはずす。ただと⑴

x ＝ax＝±a⑵x ＞ax＜−a，a＜xx⑶x ＜a−a＜x＜aa＜Sma-a0a-a0axx

記号
次式の場合も同様に次式の場合も同様に考える
辺に変絶対値記号の中が1 次式の場合も同様に考える。右辺に変数を含むときは，6 のように場合分けする。
例12x2x＋1 ＝52x＋1＝±5＝

例2x＋2 ＝2x＋3x＋2≧0，すなわち x≧−2 のとき，2x＋1＝5 ののとき，x＝22x＋2＝2x＋3−3
2x＋1＝−5 ののとき，x＝−3x＝−1
これは x≧−2 を満たす。

よって，x＝2，−33x＋2＜0，すなわち x＜−2 のとき，−x−2＝2x＋3x＝−53

これは x＜−2 を満たさない。
よって，x＝−1
例32x＋3 ＞7
2x＋3＜−7，7＜2x＋3

例4

4x−8 ＜12−12＜4x−8＜12

2x＋3＜−7 のとき，x＜−5−12＜4x−8 より，−1＜x7＜2x＋3 のとき，2＜x4x−8＜12 より，x＜5

よって，x＜−5，2＜x

よって，−1＜x＜511例題 1
次の不等式を解け。
不⑴−3x＋14≧4x−21⑵x＋4＋2x＜−3x3解答⑴

移項して−3x−4x≧−21−14⑵−7x≧−35

両辺に 3 倍をかけて x＋4＋6x＜−9xx＋6x＋9x＜−4移項して両辺を−7 で割って x≦516x＜−4x＜−両辺を16で割って14

類題１ 次の不等式を解け。
⑴

5x＋9＜2x＋3⑵3x−5≦10x＋16⑶x−1≧2x−52⑷3x＋2＜x＋34

例題 2
不次の不等式を解け。
8x＋5≧5x−1 ……①⑴x＋8＜3x＋2

解答⑴①の不等式について，移項してついて8x−5x≧−1−5≧−1
3x≧−63
両辺をを 3 で割っててx≧−2xS……③…③②の不等式について，移項して等式移項してx−3x＜2−8＜2−2x＜−66⑵不等式を−5x＋3＜3x−5−5x＋−5 ……①
3x−5＜x＋7＜x＋7……④…④……②の形に直して考えればよい。
直して①の不等式について，移項して①の不−5x−3x＜−5−3−8x＜−8両辺を−8 で割ってx＞1両辺を−2 で割って割っ
x＞3elpma3x−55＜x＋77⑵ −5x＋3＜3−5x＋3＜3x−5＜x＋7……②……③②の不等式について，移項して3x−x＜7＋5③，④の共通範囲を求めてx＞32x＜12両辺を 2 で割って④x＜6③-2

3x……④③，④の共通範囲を求めて1＜x＜6※なお，3x−5＜x＋7 の代わりに−5x＋3＜x＋7 を使って解くと，−2＜x となり誤った解になる。
3類題２ 次の不等式を解け。
⑴

12

3x＋2≧2x−1
5x＋7＜7x−1⑵ 4x−7＜2x−1＜5x＋2例題 3
次の方程式を解け。
方⑴x＋5 ＝2⑶x−1 ＝−2x＋5⑵2x＋4 ＝−x＋4⑶x−1≧0，すなわち x≧1 のとき，

解答
x＋5 ＝2⑴x＋5＝±2x＋5＝2 のとき，

x−1＝−2x＋5x＝−3x＝2x＋5＝−2 のとき，x＝−7

これは x≧1 を満たす。
x−1＜0，すなわち x＜1 のとき，

よって，x＝−3，−7⑵2x＋4≧0，すなわち x≧−2 のとき，

−x＋1＝−2x＋5

2x＋4＝−x＋4x＝4x＝0

これは x＜1 を満たさなを満たさない。

これは x≧−2 を満たす。

よって，x＝2x＝22x＋4＜0，すなわち x＜−2 のとき，−2x−4＝−x＋4
x＝−8
これは x＜−2 を満たす。
よって，x＝0，−8

類題３ 次の方程式を解け。
⑴

x−1 ＝7⑶x＋3 ＝3x＋33

例題 4
次の不等式を解け。
等式
x−4 ＞＞2⑴

解答⑴S

絶対値記号をはずすとをは

elpma⑵2x＋1＝x＋1
2xx＋1 ＝x＋1⑵3x−6 ≦x＋2⑵3x−6≧0，すなわち x≧2x−4＜−2，2＜x−42＜

3x−6≦x＋2x−4＜−2 のとき，x＜2
き x＜2

2x≦8

2＜x−4 のとき，x＞6……① のとき，x≦4

よって，x＜2，6＜x

これと①より，2≦x≦4
3x−6＜0，すなわち x＜2……② のとき，−3x＋6≦x＋2−4x≦4x≧1
これと②より，1≦x＜2よって，1≦x≦4

類題４ 次の不等式を解け。
⑴

x＋3 ＞5⑵4x−5 ≦2x＋313

演習

問題A

1 次の不等式を解け。
⑴

2x＋5＜−x＋8⑵⑶

3x＋2≦−x−12⑷ 2（x＋1）≧3（x−4）⑸

1.4x＋0.7＞x−4.1⑹2 次の不等式を解け。
⑴⑶

5x−8＜x⑵2x＋9≧35x−20＜8x＋7＜4x＋19

程式
3 次の方程式を解け。
⑴

x ＝3⑶

x＋
3x＋1 ＝x＋3S−2x＋1＞2x−7

2x＋5 3x−13 13−≦346

6x＋7≧2x＋3＋7≧2elp5 x−5）＜2x−7（7⑷ 2（44x−3）x−33）＜6xx≦3（33x＋1）x＋＋1）＜6x≦3ma⑵3 ＝2x＋3＝7⑷x−1 ＝3x。
4 次の不等式を解け。
⑴

x ＜9⑵

x＋4 ≧3⑶2x−5 ≧x＋4⑷x−6 ≦4x5 定価100円の商品がある。A 店では，購入する個数に関わらず，8 ％の割引を行って商品を販売している。
一方，B 店は，10個目までは定価のままだが，11個目からは定価の15％の割引を行って販売している。A
店よりもB店で購入した方が安いのは，商品を何個以上購入するときか求めよ。

14演

習

問題

B

1 次の値を求めよ。
⑴

1−2㲋 3⑵∏∏−1.5 ＋−2222 次のものを求めよ。
⑴

不等式 6x−5＜4x＋3 を満たすすべての自然数 x⑵

不等式−2x＋9＜16 を満たす最も小さい整数 x3 次の連立不等式を解け。
6x−（x＋1）≧18⑴⑶

4⑴3（x＋2）＜5x＋（x＋2elpmaS

1−4x 2−3x8−＞−
34
33x＋8＞2x＋7x ≦4x−32

等式 x−6 ＜32 つの不等式⑵⑷……①…①， x−k ＜5……①，x−2 x−4≧52

22x−5x−5 ＜123x＋8＞2
3x＋＋8 ＞……② がある。ただし，定数kは実数とする。

等式①の不等式を解け。
等式②の不等式を解け。

⑵

満たす①，②をともに満たす実数xが存在するようなkの値の範囲を求めよ。

5 a は実数の定数とする。
⑴

x−a ＜2 を満たす実数xの値の範囲を求めよ。

⑵

x−a ＜2 を満たす正の実数xが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

⑶

x−a ＜x＋1 を満たす実数xが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

⑷

a の値が⑶の範囲にあるとき， x−a ＜x＋1 を満たす実数xの値の範囲を求めよ。

15