場合の数 - 図形の種類を数える

斜め線の長さ間かくが整数㎝の格子点を斜めに結ぶと、特別な場合を除いて(※)、その長さは整数になりません。
中学で習う、ルートを使った数になります。

１
１13５２10※斜め線が、３：４：５や５：12：13の直角三角形の斜辺になるとき、その長さは整数になります。

1

場合の数 - 図形の種類を数える

１

右図のように、16個の点が１㎝間かくで並んでいます。この中から２点を選んで２点を結びます。このようにしてできた直線について、次の問いに答えなさい。ただし、２点を結んだとき、その直線上に他の点があってもよいものとします。
⑴

長さが整数の直線は何種類できますか。

⑵

長さが整数でない直線は何種類できますか。

⑶

長さが異なる直線は全部で何種類できますか。

2

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直角を作るには・・・
２１
直角になる！

２
１
赤い線と直角な線を正確に引くには、合同な直角三角形を、向きをかえてもうひとつ作ります。

3

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２

次の図１，図２は、25個の点を１㎝間かくで並べたものです。図１，図２において、赤い線を１辺とする正方形をつくりなさい。

図１

図２

4

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３

右図のように、16個の点が１㎝間かくで並んでいます。この中から４点を選んで正方形を作ります。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴

１辺の長さが整数の正方形は何種類できますか。

⑵

１辺の長さが整数でない正方形は何種類できますか。
また、それらの正方形を下の図に全てかきなさい。

⑶

正方形は全部で何種類できますか。

解答欄は全て使うとかぎりません。以下の問題も同様。

5

場合の数 - 図形の種類を数える

４

右図のように、25個の点が１㎝間かくで並んでいます。
この中から４点を選んで正方形を作るとき、正方形は全部で何種類できますか。また、１辺の長さが整数でない正方形を下の図に全てかきなさい。

6

場合の数 - 図形の種類を数える

５

右図のように、16個の点が１㎝間かくで並んでいます。この中から４点を選んで長方形を作ります。このとき次の問いに答えなさい。ただし、長方形の中に正方形も含むものとします。
⑴

２辺の長さが整数の長方形は何種類できますか。

⑵

２辺の長さが整数でない長方形は何種類できますか。
また、それらの長方形を下の図に全てかきなさい。

⑶

長方形は全部で何種類できますか。

7

場合の数 - 図形の種類を数える

６

右図のように、25個の点が１㎝間かくで並んでいます。
この中から４点を選んで長方形を作るとき、長方形は全部で何種類できますか。また、たて・横の長さが整数でない長方形を下の図に全てかきなさい。ただし、長方形の中に正方形も含むものとします。

8

場合の数 - 図形の種類を数える

７

右図のように、16個の点が１㎝間かくで並んでいます。この中から３点を選んで直角二等辺三角形を作ります。このとき次の問いに答えなさい。
⑴

直角をはさむ２辺の長さが整数の直角二等辺三角形は何種類できますか。

⑵

直角をはさむ２辺の長さが整数でない直角二等辺三角形は何種類できますか。また、それらの三角形を下の図に全てかきなさい。

⑶

直角二等辺三角形は全部で何種類できますか。

9

場合の数 - 図形の種類を数える

８

右図のように、25個の点が１㎝間かくで並んでいます。この中から３点を選んで直角二等辺三角形を作るとき、直角二等辺三角形は全部で何種類できますか。また、直角をはさむ２辺の長さが整数でない直角二等辺三角形を下の図に全てかきなさい。

10

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９

右図のように、９個の点が１㎝間かくで並んでいます。この中から３点を選んで三角形を作ります。このとき次の問いに答えなさい。ただし、ひっくり返して重なるものは同じ三角形とします。
⑴ 底辺が１㎝の三角形は何種類できますか。またそれらをすべてかきなさい。
⑵ 底辺が２㎝の三角形のうち、⑴と異なる三角形は何種類できますか。
またそれらをすべてかきなさい。
⑶ ３辺の長さが整数でない三角形は何種類できますか。
またそれらをすべてかきなさい。
⑷ 三角形は全部で何種類できますか。

⑴

⑵

⑶

11

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正三角形を作るには・・・
１３３
１３
赤い線を１辺とする正三角形を作るには、１合同な三角形を３つ、向きを変えてつくります。

12

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10

次の図１，図２は、21個の点を等しい間かくで並べたものです。図１，図２において、赤い線を１辺とする正方形をつくりなさい。

図１

図２

13

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11

右図のように、全体が正三角形になるように、15個の点を１㎝間かくでならべました。
この中から３点を選んで正三角形を作ります。このとき次の問いに答えなさい。
⑴

１辺の長さが整数の正三角形は何種類できますか。

⑵

１辺の長さが整数でない正三角形は何種類できますか。
また、それらの三角形を下の図に全てかきなさい。

⑶

正三角形は全部で何種類できますか。

14

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12

右図のように、全体が正三角形になるように、21個の点を１㎝間かくでならべました。
この中から３点を選んで正三角形を作ります。正三角形は全部で何種類できますか。また、１辺の長さが整数でない正三角形を下の図に全てかきなさい。

15

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13

右図のように、円周を６等分する点があります。この６つの点から３点を選んで三角形を作るとき、三角形は何種類できますか。
また、それらの三角形を全てかきなさい。ただし、回したりひっくり返して重なるものは同じ三角形とします。

16

場合の数 - 図形の種類を数える

14

右図のように、円周を８等分する点があります。この８つの点から３点を選んで三角形を作るとき、三角形は何種類できますか。
また、それらの三角形を全てかきなさい。ただし、回したりひっくり返して重なるものは同じ三角形とします。

17

場合の数 - 図形の種類を数える

15

右図のように、円周を９等分する点があります。この９つの点から３点を選んで三角形を作るとき、三角形は何種類できますか。ただし、回したりひっくり返して重なるものは同じ三角形とします。

18

場合の数 - 図形の種類を数える

16

右の図の三角形はすべて正三角形です。この図形の中に平行四辺形は何種類ありますか。ただし平行四辺形の中にひし形も含めるものとします。

19

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（解答）
１⑴

３種類

⑵

６種類

⑶

９種類

５⑴

６種類

⑵

６10＋６＝16(種類)７⑴８４＋４＝８(種類)

３種類

⑶

９種類

２種類

⑶

５種類

☆ 左下の点からはじめて、規則正しく調べます。

図１２３⑴

３種類

図２⑵

⑶

1321⑵

1８種類

1３種類

５種類

☆ 斜め線についても、(1.1)、(1.2)と、規則正しく調べます。

21４

２種類

12
1220

場合の数 - 図形の種類を数える

９⑴

４種類

⑵

３種類

13３種類

(1.1.4)
⑶

１種類

⑷

図１

図２

15⑴

４種類

12９種類

←和が６になる組み合わせを書き出すことと同じ。

５種類(1.1.6)11(2.2.2)８種類
1410(1.2.3)

⑵

２種類

⑶

７種類
(1.1.7)(1.2.6)(1.3.5)(1.4.4)(2.2.5)(2.3.4)(3.3.3)

６種類

1621

４種類

(1.2.5)(1.3.4)(2.2.4)(2.3.3)