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数理解析研究所講究録
第2065巻 2018年 87-93

一般化された堅非拡大写像の総和不可能誤差を含む不動点近似(APPROXIMATION OF A FIXED POINT OF GENERALIZED FLRMLYNONEXPANSIVE MAPPING WITH NONSUMMABLE ERRORS)

茨木貴徳 (TAKANORI IBARAKI)
横浜国立大学 教育人間科学部(COLLEGE OF EDUCATION AND HUMAN SCIENCNS, YOKOHAMA NATIONAL UNIVERSITY)

梶葉駿介 (SHUNSUKE KAJIBA)
横浜国立大学 教育学研究科(GRADUATE SCHOOL OF EDUCATION, YOKOHAMA NATIONAL UNIVERSITY)

1. はじめにE を実バナッハ空間とし, C_{J} を E の空でない閉凸部分集合とする.このとき, C から E への写像 T が堅非拡大写像 (firmly nonexpansive mapping) であるとは,任意の C の元 x, y と非負の実数 t に対して\Vert t(x-y)+(1-t)(Tx-Ty \geq||Tx-Ty\Vertが成り立つことである ([4] を参照).ここで, E が実ヒルベルト空間の場合, T が堅非拡大写像となる必要十分条件は,任意の C の元 x, y に対し\{(x-Tx)-(y-Ty),Tx-Ty\rangle\geq 0が成り立つことである.実ヒルベルト空間 H において,この写像の重要な例として単調作用素(monotone operator) から生成されるリゾルベント (resolvent) や距離射影 (metric projection)があげられる ([19, 20] を参照).
ヒルベルト空間での,リゾルベントの概念をバナッハ空間上へ拡張した場合,異なる複数のリゾルベントに拡張される.これらは,ヒルベルト空間のリゾルベントと同様に堅非拡大性を持ち,それらは (P) 型写像,(Q) 型写像,(R)型写像と呼ばれる (第2節を参照).
一方,非拡大型写像に関する不動点近似法は多くの研究者によって議論されている.特に,高橋‐竹内‐窪田 [21] は,非拡大写像の不動点を求める手法として収縮射影法 (shrinking projection
method) と呼ばれる近似法を提案した.

定理1.1 ([21]). H を実ヒルベルト空問とし, C を H の空でない閉凸部分集合とし, T を \mathrm{F}(\mathrm{T})が空でないような C から C への非拡大写像とする.また, \{$\alpha$_{n}\} を [0,a[ の実数列とする.ただし 0<a< 1 である. x_{0} を H の任意の元とし点列 \{x_{n}\} を次のように構成する : C_{1}=C,x\mathrm{i}=P_{C_{1}}x_{0} とし, n\in \mathrm{N} に対して\left\{ begin{ar y}{l y_{n}=$\alpha$_{n}x_{n}+(1-$\alpha$_{n})Tx_{n},&\ C_{n}=\{z inC:\Vertz-y_{n}\Vert\leq|z-x_{n}&\capC_{n-1}\ x_{n+1}=P_{C n}x_{0}& \end{ar y}\right.

とする.このとき,点列 \{x_{n}\} は P_{F(\mathrm{T})}x_{0} に強収束する.ただし, P_{K} は H から H の空でない閉凸部分集合 K への距離射影とする.

2010 Mathematics Suỷject Classification. 47\mathrm{H}05, 47\mathrm{H}09, 47\mathrm{J}25.

Key words and phrases. 距離射影,(P) 型写像,(Q)型写像,(R) 型写像.

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なお,高橋‐竹内‐窪田 [21] は論文の中で,定理1.1より一般的な非拡大写像族の共通不動点への収束定理を得ている.定理1.1が示されてから,この手法は多くの研究者によってバナッハ

空問上で研究が活発に行われてきた ( [13, 14] など参照). 収縮射影法は,点列を構成する際に距離射影の正確な値を求める必要があるが,一般的に距離射影の値を求めるのは容易ではない.

そこで,木村 [10, 11] はこの問題を解決するために,点列に誤差を含んだ収縮射影法を提案した.
本論文では木村 [10, 11] の手法を用いて,一様凸バナッハ空間において,(P) 型写像,(Q)型写像,(R) 型写像に関する誤差を含んだ収縮射影法を議論する.
2. 準備
E を実バナッハ空間とし, S_{E}:=\{x\in E: ||x\Vert=1\} とする.このとき, S_{E} の元 x, y(x\neq y)に対して, \Vert x+y||<2 が常に成り立つとき E は狭義凸 (strictly convex) であるという.同様に,\{x_{n}\}, \{y_{n}\} を \mathrm{h}\mathrm{m}\Vert x_{n}+y_{n}\Vert=2 となる S_{B} の点列としたとき, 1\dot{\mathrm{u}}\Re\Vert x_{n}-y_{n}\Vert=0 が常に成り立つとき, E は一様凸 (uniformly convex) であるという.次に, S_{E} の元 x, y に対して

\displaystyle \lim_{t\rightar ow 0}\frac{\Vert x+ty\Vert-\Vert x|}{t}(2.1)という極限を考える.このとき,任意の S_{B} の元 x, y に対し,常に (2.1) が存在するとき, E のノ
ルムがガトー微分可能 (Gateaux diffexentiable) であるといい,空間 E は滑らか (smooth) であるともいう.任意の S_{E} の元 y に対して,(2.1) が S_{E} の元 x に関して一様に収束するとき, E の
ノルムが一様ガトー微分可能(unifo$\Gam a$\mathrm{m}\mathrm{l}\mathrm{y} Gâteaux differentiable)であるという.また,任意のS_{E} の元 x に対して, (2.1\rangle が S_{E} の元 y に関して一様に収束することを E のノルムがフレッシェ

微分可能 (Fr?chat. differentiable) であるという.(2.1) が任意の S_{E} の元 x, y に関して一様に収束するとき, E のノルムが一様フレッシェ微分可能 (uniformly Fréchat differentiable) であるといい,空間 E が一様に滑らか (uniformly smooth) であるともいう. E^{*} を E の共役空間 (dualspace) とする. E の元 x に対し, E^{*} の部分集合

Jx :=\{x^{*}\in E^{*} : \Vert x||^{2}=\langle x, x^{*})=\Vert x^{*}\Vert^{2}\}を対応させる写像 J を双対写像 (duality mapping) と呼ぶ.バナッハ空間 E での双対写像 J に関しては以下の性質が知られている ([18, 19] などを参照)(1) E の元 x に対して,面は空でない有界な閉凸集合となる;(2) E の元 x,y, Jx の元 x^{*} , Jy の元 y^{*} に対して, \langle x-y,x^{*}-y^{*}\rangle\geq 0 が成り立つ;(3) E が回帰的であるための必要十分条件は, J が全射になることである;(4) E が滑らかであるための必要十分条件は, J が一価になることである;(5) E が狭義凸であるための必要十分条件は, J が単射になることである;(6) E が回帰的で滑らかな狭義凸なとき, E^{*} の双対写像ゐは J の逆像となる.すなわち,
J_{*}=J^{-1} となる(7) E が一様に滑らかであるための必要十分条件は, E^{*} が一様凸となることである.
C を回帰的な狭義凸バナッハ空間 E の空でない閉凸部分集合とする.このとき,任意の E の

元 x に対し\Vert x-x_{0}\Vert=\mathrm{m}\dot{\mathrm{m} \Vert x-y\Vert y\in Cとなる C の元 x_{0} が一意に存在する.そこで, E の元 x に対し,このような C の元 x_{0} を対応させる写像を, E から C の上への距離射影 (metric projection) と呼び, P_{C} で表す ([18, 19] を参照).

C を滑らかなバナッハ空間 E の空でない閉凸部分集合とする.このとき, C から E への写像

T が(P) 型写像 (mapping of type (P)) であるとは, C の任意の元 x, y に対して,\langle Tx ‐Ty, J(x-Tx)-J(y-Ty))\geq 089が成り立つことである ([2] を参照).距離射影 P_{C} は(P) 型写像であることが知られている ([2]を参照). 同様に, C から E への写像 T が(Q) 型写像 (mapping of type (Q)) であるとは, C の

任意の元 x, y に対して,\langleTx—Ty, (Jx-JTx)-(Jy-JTy)\rangle\geq 0が成り立つことである ([2, 15] を参照). C から E への写像 T が(R) 型写像(mapping of type(\mathrm{R}) であるとは, C の任意の元 x, y に対して,\langle JTx-JTy, (x-Tx)-(y-Ty)\rangle\geq 0が成り立つことである ([2, 8] を参照). T の不動点集合を F(T)=\{p\in C:p=Tp\} とする.
T を C から E への (P)型写像とし, \mathrm{F}(T) が空でないとすると, C の元 x と \mathrm{F}(\mathrm{T}) の元 p に対して,[Tx‐p, J(x-Tx))\geq 0,となることは明らかである.また, T を C から E への (Q)型写像とし, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないとすると, C の元 x と \mathrm{F}(T) の元 p に対して,\langle Tx‐p, Jx— JTx\rangle\geq 0となる.

T を C から E への (R)型写像とし, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないとすると, C の元 x と \mathrm{F}(\mathrm{T}) の元

p に対して,\langle JTx—Jp, x-Tx\rangle\geq 0となる.これらの写像に関して次のような補助定理が知られている.

補助定理2.1 ([3]). E を滑らかなバナッハ空間とし, C を E の空でない閉凸部分集合とし, T
を C から E への (P) 型写像とする.このとき, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないならば, \mathrm{F}(T) は閉凸集合である.

補助定理2.2 ([15, 16 E を滑らかな狭義凸バナッハ空間とし, C を E の空でない閉凸集合とし, T を C から E への (Q)型写像とする.このとき, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないならば, \mathrm{F}(\mathrm{T}) は閉凸集合である.

補助定理2.3 ([22]). E を回帰的で滑らかな狭義凸バナッハ空間とし, C を E の空でない閉部分集合で, JC は閉凸集合とし, T を C から E への (R) 型写像とする.このとき, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないならば, \mathrm{F}(\mathrm{T}) は閉集合であり, J\mathrm{F}(\mathrm{T}) は閉凸集合となる.

E を回帰的で滑らかな狭義凸バナッハ空間とし, C を E の空でない部分集合とする. T を Cから E への写像とし, JC の元 x^{*} に対し写像 $\tau$* をT^{*}x^{*}:=JTJ^{-1}x^{*}(2.2)と定義する.このとき, JF(T)=F(T^{*}) となる.(Q)型写像と (R) 型写像に関して以下の結果が知られている.

補助定理2.4 ([2]). E を回帰的で滑らかな狭義凸バナッハ空間とし, C を E の空でない部分集合とし, T を C から E への (R) 型写像とする.このとき, JC から E^{*} への写像を (2.2) のように定義すると, $\tau$* は E^{*} 上で (Q)型写像となる.
E を回帰的なバナッハ空間とし,\{C_{n}\} を E の空でない閉凸部分集合列とする.このとき,\{C_{n}\} の強下極限集合 s‐Li C_{n} と弱上極限集合 \mathrm{w}-\mathrm{L}\mathrm{s}C_{n} はそれぞれ
シLi C_{n}w‐Ls C_{n}=\{x\in E:\exists\{x_{n}\}\subset Es.t. x_{n}\rightarrow x,x_{n}\in C_{n}(\forall n\in \mathrm{N})\}=\{x\in E:\exists\{x_{\mathrm{b}}\}\subset Es.t. x_{\mathrm{b}}\rightarrow x,x_{\mathrm{b}}\in C_{n_{i}}(\forall i\in \mathrm{N})\}90と定義する.ただし, \rightarrow,\rightarrow

はそれぞれ点列の強収束,弱収束を表している.また, C_{0} がs‐Lni C_{n}=C_{0}= w‐Ls C_{\mathfrak{n}を満たすとき, \{C_{n}\} が C_{0} にモスコ収束 (Mosoo convergence) するといい,
C_{0}= M‐\displaystyle \lim C_{n}と表す ([17] を参照). また, E がカデック

クリー条件 (Kadec‐Klee property) を満たすとはE の点列 \{x_{n}\} が x に弱収束し, \{||x_{n}\Vert\} が \Vert x\Vert へ収束するときには,常に \{x 訂が x に強収束することをいう.

1984年に塚田 [23] はバナッハ空間の距離射影に関して次の定理を証明した.

定理2.5 ( [23]). E を回帰的な狭義凸バナツハ空間とし, \{C_{n}\} を E の空でない閉凸部分集合列とする. \{C_{n}\} が C_{0} にモスコ収束し, C_{0} が空でないとき, E の任意の元 x に対し, \{P_{C_{\mathfrak{n} }x\} は
P_{C\mathrm{o}^{X} に弱収束する.さらに, E がカデッククリー条件を満たせば, \{P_{C_{n}}x\} は P_{C_{0}}x に強収束
する.

E を滑らかなバナッハ空間とし, E\times E から \mathbb{R} への関数 V を E の元 x, y に対してV(x,y)=\Vert x\Vert^{2}-2\langle x, Jy)+\Vert y||^{2}と定義する.この関数 V は以下の性質を満たす ([1, 9] を参照).
(1) E の元 x, y に対して, (\Vert x\Vert-\Vert y\Vert)^{2}\leq V(x, y)\leq(\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^{2} である;
(2) E の元 x, y に対して, V(x, y)+V(y,x)=2\langle x-y, Jx-Jy) である;
(3) E の元 x, y, z に対して, V(x, y)=V(x, z)+V(z, y)+2\langle x-z, Jz-Jy) である;
(4) E が狭義凸のとき, E の元 x, y に対して, V(x,y)=0 となる必要十分条件は x=y となることである.

本論文では以下に示す関数9, \overline{g}_{r}, g^{*} 及び \rightar owg_{r} が重要な役割を果たす.これらの関数の存在性

は,バナッハ空間とその共役空間の凸性から導き出すことができる.
定理2.6 ( [24])\bulletE をバナッハ空間とし, r を正の実数とする.

とき以下が成立する.

B_{r}

=

\{Z \in E : \Vert z\Vert \leq r\} とした(i) E が一様凸ならば,Br の任意の元 X, y と, [0, 1] の任意の実数 $\alpha$ に対して,\Vert $\alpha$ x+ (1 - $\alpha$)y\Vert^{2} \leq $\alpha$\Vert x\Vert^{2}+ (1 - $\alpha$)\Vert y\Vert^{2} - $\alpha$(1- $\alpha$)\underline{g}_{r}(\Vert x-yを満たし, \underline{g}_{;}(0) 0 となる [0, 2r] から [0, \infty[ への連続で狭義単調増加な凸関数 \underline{g}_{r} が
=

存在する.

(ii) E が一様に滑らかならば, B_{r} の任意の元 X, y と, [0, 1] の任意の実数 $\alpha$ に対して,| $\alpha$ x+ (1 - $\alpha$)y||^{2} \geq $\alpha$\Vert x\Vert^{2}+ (1 - $\alpha$)\Vert y\Vert^{2}- $\alpha$(1 - $\alpha$)\overline{g}_{r}(\Vert x-yを満たし, \overline{g}_{r}(0)

存在する.

=

0

となる [0, 2r] から [0, \infty[ への連続で狭義単調増加な凸関数蔦が定理2.7 ( [12]) E をバナッハ空間とし, r を正の実数とする.このとき,以下が成立する.
(i) E が一様凸ならば,定理2.6(i) の関数 \underline{g}_{r} は,任意の瓦の元 X, y に対し\bullet\underline{g}_{f}(\Vert x-y \leq V(x, y)を満たす.

(ii) E が一様に滑らかならば,定理2.6(i) の関数祷は,任意の Br の元 X, y に対し\overline{g}_{r}(\Vert x-y \geq V(x, y)
を満たす.

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定理2.8 ([5]). E を回帰的で滑らかな狭義凸バナッハ空間とし, r を正の実数とする.このとき,以下が成立する.

(i) E が一様に滑らかならば, B_{r} の任意の元, x, y に対して,\underline{g}_{r}^{*}(\Vert Jx-Jy \leq V(x, y)を満たし, \rightarrow g^{*}(0)=0 となる [0, 2r] から [0, \infty[ への連続で狭義単調増加な凸関数 \underline{g}_{r} が存在する.

(ii) E が一様凸ならば, B_{f} の任意の元, x, y に対して,\rightarrow g_{r}(\Vert Jx-Jy \geq V(x, y)を満たし, \rightarrow 9_{r}(0)=0 となる [0, 2r] から [0, \infty[ への連続で狭義単調増加な凸関数扉が存在する.

3. 一般化された堅非拡大写像に関する近似定理

本節では (P) 型写像,(Q) 型写像,(R) 型写像に関する誤差を含んだ収縮射影法について議論する.木村 [10, 11] の手法と定理2.5川いて,(P) 型写像と (Q)型写像に関する次の近似定理を得る.

定理3.1 ([5]). E を滑らかな一様凸バナッハ空問とし, C を E の空でない (j 界な閉凸部分集合とする.また, r は B_{r} が C を含むような正の実数とし, T は C から E への (P) 型写像で, F(T)が空でないとする. \{$\delta$_{n}\} は非負の実数列であり, $\delta$_{0}=\displaystyle \lim\sup_{n} $\delta$,.とする. u を E の任意の元として,点列 \{x_{n}\} を次のように構成する : x_{1}=x\in C, C_{1}=C とし, n\in \mathrm{N} に対して
C_{n+1}=\{z\in C:\langle Tx_{n}-z, J(x_{n}-Tx_{n}))\geq 0\}\cap C_{n},x_{n+1}\in\{z\in C:\Vert u-z\Vert^{2}\leq d(u, C_{n+1})^{2}+$\delta$_{n+1}\}\cap C_{n+1},とする.このとき ,\displaystyle \lim\sup\Vert x_{n}-Tx_{n}\Vert\leq\underline{g}_{\'{y} ^{-1}($\delta$_{0})n\rightarrow\inftyとなる,さらに, $\delta$_{0}=0 のとき点列 \{x_{n}\} は P_{F(T)}u に強収束する.

定理3.2 ([5]). E を一様に滑らかな一様凸バナッハ空間とし, C を E の空でない有界な閉凸部分集合とする、また, r は B_{r} が C を含むような正の実数とし, T は C から E への (Q) 型写像
で, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないとする. \{\dot{ $\delta$}_{n}\} は非負の実数列であり, $\delta$_{0}= limsupn $\delta$_{n} とする. u を E の任意の元として,点列 \{x_{n}\} を次のように構成する : x_{1}=x\in C, c_{\mathrm{i}=C} とし, n\in \mathrm{N} に対して
C_{n+1}=\{z\in C : \langle Txn—z, Jx_{n}-JTx_{n}\rangle\geq 0\}\cap C_{n},x_{n+1}\in\{z\in C:\Vert u-z||^{2}\leq d(u, C_{n+1})^{2}+\tilde{ $\delta$}_{n+1}\}\cap C_{n+1},とする.このとき ,\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\sup_{\infty}\Vert x_{n}-Tx_{n}\Vert\leq\underline{9}_{r}^{-1}(\overline{g}_{r}(\underline{g}_{r}^{-1}( $\delta$ i) )となる.さらに, $\delta$_{0}=0 のとき点列 \{x_{n}\} は P_{F(T)}u に強収束する.

さらに,定理2.4及び定理3.2より,(R) 型写像に関する次の近似定理も得る.

定理3.3 ([5]). E を一様に滑らかな一様凸バナッハ空間とし, C を E の空でない閉部分集合
で, JC は閉凸集合とする.また, r は B_{r} が C を含むような正の実数とし, T は C から E への(R) 型写像で, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないとする. \{$\delta$_{n}\} は非負の実数列であり, $\delta$_{0}= limsupn $\delta$_{n} とする.

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uを E の任意の元として,点列 \{x_{n}\} を次のように構成する : x\mathrm{i}=x\in C, c_{\mathrm{i}=C} とし, n\in \mathrm{N}に対して

C_{n+1}=\{z\in C :(JTxn—Jz, x_{n}-Tx_{n}\rangle\geq 0 } \cap C_{n},x_{n+1}\in\{z\in C:\Vert u-z\Vert^{2}\leq d(u, C_{n+1})^{2}+$\delta$_{n+1}\}\cap C_{n+1},とする.このとき,\displaystyle \lim_{n\rightar ow}\sup_{\infty}\Vert x_{n}-Tx_{n}\Vert\leq\underline{g}_{r}^{-1}(g_{r}\rightar ow(\underline{g}_{r}^{*-1}(g_{r}\rightar ow(\underline{g}_{f}^{*-1}(\dot{ $\delta$}_{0}) )となる.さらに, $\delta$_{0}=0 のとき点列 \{x_{n}\} は J^{-1}P_{JF(T)\mathrm{I} ^{*}Ju に強収束する.ただし, P_{J\mathrm{F}(\mathrm{T}) ^{*} は E^{*}から \mathrm{J}\mathrm{F}(\mathrm{T}) への距離射影とする.

(P) 型写像,(Q) 型写像,(R) 型写像はヒルベルト空間では全て同じ堅非拡大写像になる.さらに, E がヒルベルト空間の場合は関数 \underline{g}_{r}, \overline{g}_{r}, \underline{g}_{r}^{*} 及び \rightar ow 9_{r} は,任意の正の実数 r に対して

\underline{g}_{\'{y} =\overline{g}_{r}=\underline{g}_{f}^{*}=\overline{g}_{f}^{*}=|\cdot|^{2}を満たす.よって,定理3.1, 3.2及び3.2より以下の結果を得る.
系3. 4 ([5]) . H をヒルベルト空間として C を H の空でない有界な閉凸部分集合とする. T は C から H への | :誕非拡大写像で, \mathrm{F}(\mathrm{T}) が空でないとする. \{$\delta$_{n}\} は非負の実数列であり, $\delta$_{0}=\displaystyle \lim\sup_{n}\dot{ $\delta$}_{n}とする. u を H の任意の元として,点列 \{x_{n}\} を次のように構成する : x\mathrm{i}=x\in C, c_{\mathrm{i}=C} とし, n\in \mathrm{N} に対して

C_{n+1}=\{z\in C : \langle Txn—z, x_{n}-Tx_{n}\rangle\geq 0\}\cap C_{n},x_{n+1}\in\{z\in C:\Vert u-z\Vert^{2}\leq d(u, C_{n+1})^{2}+$\delta$_{n+1}\}\cap C_{n+1},とする.そのとき,\displaystyle \lim\sup\Vert x_{n}-Tx_{n}| \leq\sqrt{$\delta$_{0}\mathfrak{n}\rightarrow\inftyとなる.さらに, $\delta$_{0}=0 のとき点列 \{x_{n}\} は P_{F(T)}u に強収束する.
4. 考察

収縮射影法は集合列を生成し,その集合列に対し距離射影を用いて点列を構成する手法である.木村‐高橋 [14] は収縮射影法が集合列を生成するという点に着目し,塚田 [23] の距離射影とモスコ収束に関する定理 (定理2.5) を用いて,高橋‐竹内‐窪田 [21] と違う証明方法を示した.この手法をバナッハ空間で用いる場合,高橋‐竹内‐窪田 [21] の手法を用いるより,空間の条件や係数条件を弱めることができるメリットがある.主定理である定理3.1, 3.2及び3.3の証明は,木村‐高橋 [14] と同じ手法を用いている (証明の詳細は [5] を参照).
一方,距離射影の概念をヒルベルト空間からバナッハ空間に拡張した場合,複数の射影に拡張される.その一つに準距離射影(generalized projection)がある. E を |||| 帰的で滑らかな狭義
凸バナッハ空間とし, C を E の閉凸部分集合としたとき,任意の E の元 x に対しV(x, x_{0})=\dot{\mathrm{m} \mathrm{n}V(x,y)y\in Cとなる C の元 x_{0} が一意に存在する.そこで, E の元 x に対し,このような C の元 x_{0} を対応させる写像を, E から C の上への準距離射影と呼び, $\Pi$_{C} で表す ([1] を参照).また,準距離射影
は(Q)型写像であることが知られている ([2] を参照).さらに,準距離射影に関しては定理2.5と類似の以下の結果が知られている.

定理4.1 ([6]). E を滑らかなバナッハ空間とし,共役空間 E^{*} のノルムがフレッシェ微分可能であるとし, \{C_{n}\} を E の空でない閉凸部分集合列とする. \{C_{n}\} が砧にモスコ収束し, C_{0} が空でないとき,E の任意の元 x に対し, \{ $\Gamma$ l_{C_{n} x\} は I _{c_{\mathrm{o}^{X} } に強収束する.

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定理3.1, 3.2及び3.3の収縮射影法において距離射影の代わりに準距離射影を用いて点列を構成し,さらに証明においては定理2.5の代わりに定理4.1を利用すれば本論文の主定理と同様の結果が得られることが期待できる.

参考文献[1] Y. I. Alber, Me\hslash \mathrm{r}c and generalized prjection orperators in Banach space: properties and applications,
Theory and Applications of Nonlinear Operators of Acretive and Monotone Type, Lecture Notes in Pureand Applied Mathmatics, vol. 178, Dakker, New york, 1996, pp.15‐50.

[2] K. Aoyama, F. Kohsaka and W. Takahashi, Three generalizations offirmly noneapansive mappings: Theirrelations and continuity properties, J. Nonlinear Convex Anal. 10 (2009), 131‐147.
[3] K. Aoyama, $\Gamma$ . Kohsaka and W. Takahashi, Strong convergence theorems for a family of mappings of type(P) and applications, Proceedings of Asian Conference on Nonlinear Analysis and optimization, Yokohama

Publishers, 2009, 1‐17.

[4] R. E. Bruck, Nonexpansive projections on subsets of Banach spaces, Pacific J. Math. 47 (1973), 341‐355.
[5] T. Ibaraki and Y. Kimura, Approximation of a fimed point of generalized firmly nonespansive mappings
with nonsummable emrors, Linear and Nonlinear Analysis, to appear.

[6] T. Ibaraki, Y. Kimura and W. Takahashi, Convergence theorems for generalized projections and manmalmonotone operater in Banach space, Abstra. appl. Anal. 2003 (2003), 621‐629.
[7] T. Ibaraki and W. Takahashi, A new projection and convergence theorems for the projections in Banach
spaces, J. Approx. Theory 149 (2007), 1‐14.
[8] T. Ibaraki and W. Takahashi, Fixed point theorems for nonlinear mappings of noneepansive type in Banach
spaces, J. Nonlinear Convex Anal. 10 (2009), 21‐32.
[9] S. Kamimura and W. Takahashi, Strong convergence of a proximal‐type algorithm in a Banach space,
SIAM J. Optim. 13 (2002), 938‐945.
[10] Y. Ktmura, Apprommation of afixed point of nonempansive mapping with nonsummable errvrs in a geodesic
space, Proceedings of the 10th International Conference on Fixed Point Theory and Its Applications, 2012,

pp. 157-1u.

[11] Y. Kimura, Approximation of a fixed point of nonlinear mappings with nonsummable errors in a Banach
space, Proceedings of the International Symposium on Banach and Function Spaces IV (Kitakyushu,
Japan), (L. Maligranda, M. Kato, and T. Suzuki eds 2014, pp. 303−311.
[12] Y. Kimura, Approximation of a common fired point of a finite family of nonexpansive mappings with
nonsummable errors in a Hilbert space, J. Nonlinear Convex Anal. 15 (2014), 42$436.
[13] Y. Kimura, K. Nakajo, and W. Takahashi, Strongly convergent iterative schemes for a sequence of nonlinear
mappings, J. Nonlinear Convex Anal. 9 (2008), 407‐416.
[14] Y. Kimura and W. Takahashi, On a hybrid method for a family of relatively noneapansive mappings in a
Banach space, J. Math. Anal. Appl. 357 (2009), 356‐363.
[15] $\Gamma$ . Kohsaka and W. Talahashi, EmEstence and approximation offxed points of firmly nonw $\mu$ nsive typemappings in Banach spaces, SIAM J. Optim. 19 (2008), 824‐835.
[16] $\Gamma$ . Kohsaka and W. Tuahashi, Fixed point theorems for a dass of nonlinear mappings related to maximal
monotone operators in Banach spaces, Arch. Math. (Basel) 91 (2008), 166‐177.

[17] U. Mosco, Convergence of convex sets and of solutions of variational inequalities, Adv. in Math. 3 (1969),
510−585.

[18] W. Takahashi, Nonlinear Functional Analysis‐ Fired Point Theory and Its Apphcations, Yokohama Pub‐lishers, 2000.

[19] 高橋渉,凸解析と不動点近似,横浜図書,2000.
[20] 高橋渉,非線形凸解析学入門,横浜図書,2005.
[21] W. Takahashi, Y Takeuchi and R. Kubota, Strong convergence theorems by hybrid methods for families ofnone $\eta$ansive mappings in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl, 341 (2008), 276‐286.
[22] W. Takahashi and J.‐C. Yao, Nonlinear operators of monotone type and convergence theorems with equi‐k{v}f
露厩um pf\mathfraめlemsnBanach spoces, Taiwanese J Math. 15 (2011), 787‐818.

[23] M. Tsukada, Convergence of best approx;mations in a smooth Banach space, J. Approx. Theory 40 (1984),
301‐309.

[24] H. K. Xu, Inequahties in Banach spaces with appkcations, Nonlinear Anal. 16 (1991), 1127‐1138.