数理解析研究所講究録
第 1625 巻 2009 年 95-107

95

特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (III) -2–

20 世紀後半の主題 (1) : 前半から引き継ぐもの (初期概念の系列)

代表例 : 多次元留数理論 特異点の解消と二つの応用–

多変数解析関数の解析接続

阿部剛久 (Takehisa Abe)
芝浦工業大学 (Shibaura Institute of Technology)

この研究は標題に示されたように、 ‘特異性の概念’ が近代数学に遺した、また遺しつつある成果と影 響を現代史的な立場から考$|$察し、 ‘特異性に関わる数学’ が近代数学の形成と数理科学に果たしてきた固有の役割と意義について理解し、それが数学史に占める位置を確かめようとするものである。本題 $(\Pi I)-1$ ([1]) で予め述べられた代表的主題の順序に沿いながら、今回は、 20

世紀後半の初期概念につながる主題の確認とその中から選んだ代衰例の主要な数学的意義を説明し、 これらの小史に触れる。 このシリーズ (m) $-2$ は、以後何回脳こわたって述べられるが、今回 (20 世紀後半の主題 (1))

はその第一回目である。

今回のための復習と準備 ([1] (それ以前は $[2]$ $[3]$ を参照)) 特異性概念の初期のもの : Riemannによる複素関数論的特異性、 Cayley による代数幾何学的特異性、 Hankl による測度論的特異性、Wb 蹴繍 kによる複素関数論的特異性を、まとめて 「am の系列」 と呼び、そのうちの Hankel によるものは 20 世紀の前半にその特異性が $Iaeu_{goe}$ 測度の概念に吸収されることによってその初期の面影を失ったことにより、、$\epsilon \mathfrak{B}$20 世紀後半においては、 この特異性を除いた残る三種類のものについてその後の発展が今回の話題となる。

ここでは、これら三穏類の特異性からなる初期概念の系列を簡単に系列 A と先に略称した。系列 A が 20 世
紀の前半までに築いた数学 ([3]) の、後半に引き継がれて発展したものの中から主要なものを再び要約するとともに、先の本題 [1] への補足説明を行い、今回の議論の準備を完結する。 (ここでも、 当初の議輪 [2]にしたがって、複棄関数論を方法的に異なる二つの特徴に基づいて、それぞれを 系:
mm の系列、 $W$$R$系:$w_{6\dot{\mathfrak{B}}oem\epsilon}$$Ba\dot{e}$の系列として、 区別する)。

一前半から引き継ぐ主題

一1. 複棄闘敷論 系 の場合
1880 年代から 1940 年代にかけて、一変数の複素関数論または複素解析の発展における特異性の問題
$(R$

$)$

に関わる主要なものだけでも、「値分布諭の]b、「有理形関数の逆関数問題」 をはじめ、「集積値集合の理論の建設」、「留数理論の開発的発展」が行われ彪 このうち、特に 「集積億集合の理論の建設」 と「留数理論の開発的発展」は、 20 世紀後半に引き継がれている。前者は、特異点近傍の解析関数の値分布論から発生したものであるが、 EIvereen と WGross(1920) 以来、 1940 年代にかけて多数の人々の貢献によって著しい成果を得たが、 20 世紀後半に入ってからまた新たな問題を提起しつつ研究が続けられている (たとえば [4] 。また後者は、比較的長い歴史をもつが、 20 世紀前半まで基礎の拡充と結果の多方面への応用を生$)$み、今日もなお新しい実用的応用の開発がなされている (たとえば [5])。他方で、多変数の複索関数論または多変数解析関数論とよく呼ばれるこの分野は、 Riemm や Weierstarase の頃から研究が始まったようであるが、本格的な研究は、 EHarto 伊のアーベル関数の定義に必屡な補助定理としての除去可能な特異点に関する仕事 (1906) を発端に、彼の重要な一連の研究によって出発するようになった。彼の業績のうち、多変数解析関数の解析接続に関する仕事は $W$ 系に属した問題であるから、後ほど取り上げることになる。それ以来、この分野は種々の変遷を経て途中、 1936-50 年代前半の岡 潔による決定的な貢献を含んで)、 2
世紀後半は、その理論の解析的多様体から解析空間 (特異点をもつ解析的多様体) へのー般化をはじめ、それに伴う理論の再構成 またそれまでの理論と方法の多方面への応用的研究とその開発は特に顕著である (たとえば [6] $-$ [9] 。特異性の問題に限れば、一変数の場合に対置するものは、特に多変数の留数理論とその応用である。簡単に「多次元留数理 」 と呼ぷことにする。 この理論は 20 世紀前半が始まるとともに本格
$0$

$)$

96
化し、 この世紀の後半に近代化された理論として一新された。後にその歴史とともにやや詳しく述べられる。

2. 代数幾阿学の場合

Cayley 以来の特異性は、代数曲線の重複点とその点における接線、その他の特異性 (m) $-1)$ だけでな
く、 これらは代数曲面をはじめ高次元の代数多様体へ一般化され、特に特異点は、多様体の生成イデアルの多項式による Jaoobi 行列の階数が多様体の次元より小さい点として新たに定義され、このような特異点をめぐって、平面代数曲線に対する MNoether (1871) 以来の、多様体の次元数 と標数 $p$ の違いによる「特異$n$点の解消・還元問題」 の解決は、主にイタリアの代数幾何学派の貢献の後に 20 世紀前半までは O.Zariski- による が 3 以下、 $p$ が の特別な場合に対する成果に限られていたが、後半に入って、 まず S.S.Abhyankar
$0$

$n$

と広中平祐によって一般の に対して、それぞれ $p\neq 2,3,6$ (1956); $p=0$ (1964) の場合を解決し
特に解析学的な問題の解決への貢献はたことによって多くの問題が本質的に解決をみた たとえば
注目すべきであろう (たとえば [11])。次にやや遅れて研究が開始したのは 「特異点 (近傍) の位相幾何学
的性質・分類」による特異点の特徴づけは、代数曲面に関しては、 E. Picard と S. I4&ktz の寄与は大きく、最終的には Zariski(1948) によって解決を得た。曲線の場合は、いくぶん遅れて KBrauner(1929)に始まって、曲面の場合より早く Zariski (1931) によって解決を得ている $([10]$ $[12]$ $[13])$$n$$[10])_{\text{。}}$

$($

、

、

.

噺概念の系殉 の特異点 (理) 論にも深く関に対して、系列
を gtm
高次連していて、現在この新分野は 20 世紀後半の大きな課題に成長して極めて活発に研究されている (たとえば$B$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\hslash$$\pi$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$-[14] 。代激曲線またはリーマン面の理論において一変数の代数関数体の微分形式とその周期 (積分) や留
数はよく知られているが、代数曲面上の微分形式の積分 (ここでは簡単に ‘代数積分’ と以前から呼んでいる)$)$

ffiard 等によって端緒を得て、特に Picard と IAsbetz にに関しては 19 世紀末に近い頃から}L
よるこの方面への古典的な寄与は著しい $([10]$ $[12]$ $[13])$ 。これらの結果はその後、 G.de Rham 等の努力によって引き継がれ、 20 世紀後半以降は彼らの結果を踏襲しながら WV D. Hbdge $-MF$ Atiyah$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

、

、

、

の近代的手法に基づく結果は高次元代数多様体上の代数積分、すなわち「多変数代数積分」の理論に新しい道を開いた。その含む問題は、高次元代数多様体、 もっと一般に解析的多様体上に特異点をもっ有理微分形式の周期や留数に関する定理や公式の確立にあるが、応用問題に関連して、 この種の積分の消失は曲面上の積分のサイクルについての位相的性質に関連することから、上記の特異点 (理) 論の分野にも属するが、同時に「多次元留数理論」の問題にも関係する。代数幾何学における特異点問題は、その基礎とともに応用面も重視して、「特異点の解消・還元問題とその応用」、また新しい分野にも関係する位相的研究を重視すると同([15])

時に、その応用的見地に立っとき、 Picard-k&UU の (近代化された) 理論にもおよぶことから、「特異点(\‘iEmの位相幾何学的性質・分類とその応用」は 20 世紀後半の代数幾何学における特異性概念の主要テー

マとみなされる。

3. 複素 斂論 $(W$ 系 の場合$)$

微分可能性に基づく $R$ 系複素関数論に対して、 $W$ 系複素関数論は寡級数に基づいて議論されることはよく知られている。 ここでは後者の場合における特異性問題を考える。 ここにも一変数の場合から多変数のそれにかけて 20 世紀の後半におよぶ問題が存在する。詳しくは [3] を参照して戴く。 一変数の場合の解析接続について要約すれば、一定の領域で正則な解析関数がその領域の境界点をすべて特異点として領域の外へ解析接続できないとき、この領域の境界を自然境界と呼んだ r $W$ 系の特異性に関する中心的テーマは解析接続に伴うと E.I. Fredholm による羅級数の収束円が自然境界とな問題であっ払 その最初のものとして、るための条件の研究 (1890) をはじめ、収束円周を自然境界として、その境界内の収束領域内で霧級数で与えられた解析関数の特異性、すなわち寡級数の解析的分枝の有理形半径 (これを越えた範囲では極以外の特による 「自然境界に対する空隙理論」 の開始 (189と J. Rmln
異点が現れる) に関する
2 から、その結果の拡張や G. P6 妙 a による再結果 (1942) に至るまでの多くの数学者たちによる貢献が$We\dot{\mathfrak{B}}rsffs\infty$$We\dot{w}\infty\triangleright aae$$)$

続いた。次に起った新しい概念は、二つの$1\alpha ii\infty nt$

級数の対によって定められる広義の関数要素の直接接続全体を広義の解析近傍として関数要素全体の位相空間から出発する広義の解析接続の概念に基づいて、狭義の場
合に at の拡張された接続に対する特異点の分類をはじめ、上記の位相空間の連結成分として定義される広義の解析関数の通常および真性特異点を定めることができる。 これらの研究を総称したものが 「広義解析接続に

97
伴う特異性」である (たとえば [161)。これはそれ以前の上記の一連の研究成果を踏まえて、 これらの拡張を目指して行われてきたもので、 20 世紀の後半の主題の一つであったとみなされる。他方、解析接続に伴う特異現象は多変数の場合は一変数の場合と異なることに注目しなければならない、 これに関する研究は、 1 の系において触れた Har D 齢の仕事に始まる。 その要点は、 $Weie\infty hass$ による ‘任意の領域に対して、その境界を自然境界とする解析関数の存在予想’ は、 Hmoe によって多変数の場合は否定され払すなわち、多変数正則関数に対して、‘任意の領域の境界は必ずしも自然境界ではない’ ということから、ある領域で正則で、その境界を自然境界とする領域 (正測領城) の研究が進み、 BCartan と PThullen による正則凸性の概念の$R$導入による正測領域の特徴づけ (1932) は大きな成果をもたらし鶴正則領域でない単葉な領域で正則な関数はすべてその領城より真に大きい領域へ解析接続されるという、接続可能な拡大領域 (解析的拡大) の存
在が見出され、解析的拡大のうちの最大なものは、 当初の領域を含む最小の正則領域である。 この領域をThullen は正測抱と称し鶴 このより厳密な定義に基づいて、一変数の場合を含めて解析接続の再論が可能であるが、 より重要であることは、 これらを契機に (大雑把に述べれば、) ‘擬凸領域は正則領域か’ (原初的なの解決へ向けて、 20 世紀前半 40 年代から後半 50 年代前期にかけて岡をはじめ何人かの人々
Levi の問$\otimes$の努力による成功を得て、以後今日までー般化されたこの問題は種々研究され成果を収めてきた。 これは、本来–数の場合における自然境界、 したがって境界上の点を、そこから幕級数は接続不能の意味で特異点と呼の R?
んだが、多変数の場合は、 この g}Xl または正唄#包に限られるという、 このような解析接続の生み出す特性は、 20 世紀後半の比較的初期において自然科学や数理工学への応用を見出していたことは注目されよう。 ここではこの特性とその応用を解析接続の広い意味の特異性問題と捉えること$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$*\ovalbox{\tt\small REJECT}\Re$x$\grave\acute$$\not\equiv$$\otimes$$\mathbb{B}|\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\Re$によって 「多変数解析関数の解析接続」を $W$ 系の多変数の場合の主題のーつとする。
一

主題の代表例

一

最後に、以上に述べられた 20 世紀前半から後半に引き継がれた初期概念の系列において、主要テーマ七題をここですべて詳述することは不可能である。 よって、純粋のみならず、応用的意義も重視して、興咲深いがわが国では極めてその方面の記述が少ないものに限って選択すれば、下記の主題が代劇列となろうと考える :1. 多次元留数理論
2. 特異点の解消と二つの応用
3. 多変数解析関数の解析接続
例 1 は解析学的留数概念の代数的定式化とその周辺、2 は広中の定理の特殊だが興咲深い二つの解析学的、代数学的問題への応用、 3 は一変数の場合と異なる解析接続とその物理学への応用を、それぞれ中心とした概略的説明である。 これらの問題を通して、特異点の存在やその解消が考察対象に如何に影響し、数学的成果へとつながってきたかを理解し得るであろう。

代表例の農開 言葉や概念の定義から始まって基本的な諸結果、およびこれらの応用等に関する体系的叙述はここでは不可能であるから、問題の核心に関わる事柄を中心的かつ優先的に述べることにして、他の重要事項

は「補足」で、全体的な概要や発端から現状までの史的展望は「主題の歩み」で触れられる。
1. 多次元留数理論(1) 留数 (写像》の代数的式定化口最初に一変数の場合の留数に関する基本事項をふり返っておこう。 $X$ を

複素平面または一般のリーマン面、 有理関数 $f(4*)$ による $\omega=f(z)dz$ を $X$ 上の 1 次有理微分形式、$S=ta_{l}\}_{l\epsilon l}$を$\omega$の極向きにとられた円を$a_{l}$の集合、 oes$\gamma_{l^{\text{、}}}$

含む $X$ 上の単純閉曲線をに普寡化$\mathfrak{d}$:$(\omega;a_{f})$を$a_{l}$

におけるこれを境界とする閉円板は$\gamma$、領域 :$\gamma\cup$$a$$\omega$の留数とする。 このとき、, を除いて$S$

その内部一 $S$ で正則な

$a_{l}$

を中心とする正ののどの点とも交わらないとし、 $S$ を内部に$\omega$に対して、 $C\epsilon irhy$ の積分定理から、容易$\int_{\gamma}\omega=\sum_{j\cdot J}2\dot{m}\infty(w;a_{j})(2\pi\infty s(\omega,a_{-})=\int_{r_{J}}\omega=2\dot{m}c_{-1},c_{-1}:f(z)$のローラン展開の主要部

98(1) を得る。 ここで、の第 lff数)$\grave$

なわち$\gamma_{jd}$$t\gamma_{j\not\in J}\}$と$\gamma$$I$の部分集合を $J(\subseteq I),$$\gamma_{J\epsilon J}\sim\gamma$(:$\gamma_{/sJ}$は$\gamma$にホモログ、すは 1 次元ホモロジー群 $H_{1}(X\backslash S)$ の同じ 1 次元ホモロジー類を代表するサイクル) かつがこの群の同じホモロジー類の基底であれば、って、定理 (1) は、$\int_{\sum_{j\cdot J}a_{J’}},$$\gamma\sim\sum_{j}\alpha_{J}\gamma_{j^{\text{、}}}\alpha_{/}:\gamma$$\omega=\sum_{J\not\in J}2\dot{n}\alpha_{j}res(\omega,a_{j})$の係数 Z,R または C 。よ$\in$(1’) と表される。 また、 $X$ がリーマン球面または一般にコンパクトで連結なりーマン面、 $f(z)$ がせいぜい有限個の特異点を除いて正則であれま、次の公式が成り立つ : $\sum_{J^{\epsilon J}}res(\omega.a_{J})=0$(2)

これまでの話を多変数の場合へ拡張しよう。 $X$ を $\dim_{C}X=n$ の複素解析的多様体、$\varpi=f(z_{1},\ldots,z_{\hslash})$

理微分形式
ー群を

を

$\{\gamma_{J}\}$

合は積分
しての)

$\int$$\omega$r$\wedge$$X\backslash S$$H_{p}^{c}(X\backslash S)$

となる

ー群

$\gamma$&1$\ldots$$\wedge\ _{n}$( $f$ : 有理関数) は解析的集合 $S(\subset X)$ 上に特異点をもつ $X$ 上の

$n$

次有

内のコンパクトな $p$ 次元サイクル、そのホモロジ一類のなすコンパクト特異ホモロジ

で潰れ このとき、多次元積分$\int$ $\omega$rに関しては、$\gamma$にホモログなサイクルで同-#の基底によって–ae 数の場合と同様に、ストークスの公式によって定理 (1’) が成り立っ。一変数の場の計算は定理 (1) から直接的に可能、かつ容易であるが、多変数の場合は定理 (または公式と(1’) によることがにおける基底$H_{p}^{c}(X\backslash S)\ovalbox{\tt\small REJECT}$的に正しいから、 この定理の示すことは、積分の計算は、必然的にホモロジ$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\{r_{J} \}$を見出し、サイクル$\gamma$の係数$\{\alpha$, を決定する問題に帰着することがわかる。
$\}$

これらの問題をはじめ、留数の一般的理論と積分の計算は多様体の次元 が大きくなるにつれて困難となり、特異点集合が複雑な構造をもつほどに上述の問題は複雑化することは避けられない。 しかしながら、 これらのNorguet問題を含む留数理論とその応用のために具体的な研究の最初のパイオニアは、 J. kray $[17]$[18] であった。まず彼らの方法に基づいた留数の基本概念の定式化に注目する :
$n$

$F$

、

任意の有限次元の複素解析的多様体を X 、その余次元 1 の部分多様体を $S$の閉微分形式を$\omega$、

このとき$\omega$

U $=a/s^{k},\alpha:U$ 上の数 が定義されているとする。 (X 上の有理形式$\omega$$C^{\Phi}$

形式

の外で

$k\in N$$C^{\infty}$

級の $X$ 上の $p$ 次

であるように複素局所座標関で、先の $U$ 上の制限におけることによって $S$ 上の特異性を一般化できる。 (このとき $\omega=\alpha/f,f$ :
と呼蕊)

$S$

は、 すべての点 $x\in S$ は $X$ 内に近傍 $U$ があって、 その上で特異性が$S\cap U=\{\kappa\in U;s(x)=0\}$ かつ $\omega|$$s$、$\mathbb{I}$$S^{k}$

を正則関数で置き換える

側関数、 このような$\omega$

次に留数の定式化に当って一般的な位相幾何学的状況を設定する。 $X$ を位相空間、分集合とすれば、下記のコンパクトな台をもつ複素係数コホモロジ の完全$*|$l を得る。

...

を半有理形式$S$$arrow H_{c}^{p}(X)arrow H_{\epsilon}^{p}(S)\frac{r\backslash }{}H_{\iota}^{p+1}(X\backslash S)arrow H_{\epsilon}^{p+1}(X)arrow\cdots(3)$を $X$ の閉部

99
いま $S,X\backslash S$ がそれぞれ次元 $m,n$ の向きづけ可能な位相多様体であれば、ボアンカレの双対 (同型) 写像は、完全系列 (3) の$\delta\circ$から次の準同型$\delta$:を定める。 よって普遍係数定理から、$H_{n- p}^{c}(S)arrow H_{2n-prightarrow 1}^{\epsilon}(X\backslash S)$

下記の結果を得る :準同型と${}^{t}\delta:H^{1nrightarrow p-1}(X\backslash S)arrow\cdot H^{m-p}(S)$公式

ここで、 $heH_{m-p}^{r}(S),c\in H^{2l\succ p-1}$ (X S) 。式 (4) の写像$\backslash$

記の留数公式を一変数 o 場合 l ” 適用す謝菰$\breve$

写像$\delta.;H_{0}^{\epsilon}(S)\cdotarrow.H_{1}^{\epsilon}(X..\backslash S)$

ロジー類の写像$\sum_{j_{gJ}}\alpha_{J}\gamma_{J}$を留数準同型、公式を留数公式と呼ぶ o 上のホモロジー類は、 $S$ のホモロジ 類. による像である。また、$\iota\delta:H^{1}(X\backslash S)arrow H^{Q}(S)$${}^{t}\delta$(4)

く $\ ,c)=\langle h’\ \rangle$ .

$h- arrow\sum_{J^{gj}}\alpha_{J^{Oj}}$の. $|X\backslash S$ の 1 次コホモ$a_{J}arrow 2\dot{\varpi}.r\S a(\omega;a_{J}).Fl\omega$によるコホモロジー類の像である。よって、公式 (1) は公式 (4)の特殊な場合であることがわかる。他方、 $X$ が連結でコンパクト、 $n=1$ に対して、コホモロジーの完全系列
から公式 (2) を得ることも示されるが省略する。また、$H^{1}(X \backslash S)\frac{r\llcorner}{\prime}H^{0}(S)-\anglearrow H^{2}(X)(r=^{l}\delta)$

これを一般化したコホモロジーの完全系列...

$H^{2m- p}(X)arrow\cdots$$arrow H^{2n- p-1}(X\backslash S)\underline{\prime\backslash }\prime H^{2np- 2}(S)$において、 $j$ の核 $=$ r の像から、 $c\in H^{2n-p-2}(S)$ が$c\epsilon r$の像 9$ic=0_{\text{。}}$

こ糾ま明ら魁こ公式 (2)のコホモロジー的定式化による一般化であり、公式 (2) が成立する場合の逆は、複素解析的多様体 $X$ とその余次元 1 の部分多様体 において、のコホモロジー類はすべて、 を重複度 1 の極集合とする半有理閉形
$()$
式の
(
定
への制限を含む
の特殊な場合である。
(2) 櫨兄 上の初等的な基本概念の 般化をはじめ、応用関係に少し触れておく。余次元 1 の特異点集合をもっ 変数の娼合$S$$X\backslash S$$S$$X\backslash S$$n$のボアンカレ留数 (写像、 -#に $r$ ) は 1 変数の場合の留数 (導像) の拡張と考えられる。 $S$ の余次元 $>1$ の場合の留数定理もLemy の結果の拡張として Norguet によって得られた IBmL の留歓理論の動機は双曲型偏微分方程式の解の構成のためであった$\sim$([19])。その他 lb として、 $\{0\}\in C$ ” を $n$ 個の正測関数 $f_{l}(i=1,\ldots,$ $n)$ の共通零点として、 これらの積を分母 他に$0$の近傍で正則な関数を分子にもつ $n$ 次有理形式$=(1/ 2\dot{m})^{n}\int_{\Gamma}\omega,\Gamma=\{(z)$;$|f_{i}|=\delta,\delta$$\omega$とするとき、$0$ における$\omega$の点留数 (&留数 [201) $m(\omega;0)$$Gm_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}u_{I}rae$: 十分ノ J’ さい正蜀は、一般に局所的留数と呼ばれ、 P Aやロシア学派等による]b と対数豹廠数への応用をはじめ、代数学、 {$\infty$ frl$*$Bの$\hslash$$\mathfrak{W}$への r,$\grave\hslash$$\iota$$G\dot{n}ffitlr\cdot J$$$\mathfrak{B}*$る。 またパラメーター依存の Feynmn 積分等の解析的特異性 積分の分岐問題における特異点のホモロジジの問題の考察が行われてきた。 (これらの一部は今後に触れられる予定である。) 一変数の場含の変数の場合への-$*$化は多くの積分公式として得られている$($

たとえば [2$\propto w_{W}$. Harris [21]ft#$*$t

$\Re$

られてい

論的研究等、実用上の積分表示式に類似の多$2])_{\text{。}}$

餌数理論とその応用は 今日もなお研究が続行中であるが、 これらの拡張は空簡的土台として複素解析的多様体よりもさらに一
般的な空聞 (たとえば m$\Phi$

を出発点にとって、任意の特異性をもつ極集合を伴った半有理形微分形式への一般化にしたがう

留数写像の定義 I{b これらに基づく &ry 理論のさらなる-#化とその解析的応用は確立の途上にある。これらに供される$\grave$

基本的方法鳳解析的集合の緒性質、 (コ) ホモロジー的手法 解析空間に対する広中の特異点除去定理等であり、近竿の多彩な成果による。最後にコホモロジーの完全系列が (3) をはじめ、その他に 2, 3 現れたが、やや唐突な感があるから、その成り立ちに触れておく。

般に種々の多様体に対して、その上のコホモロジーの完全系列は、 これら多様体上の微分形式の層の完全系列ま100
たは G.de Rham 複体から湧導される。 ここで留数写像を含むコホモロジ一鮮の完全系列の存在をやや厳密に再諭すれば、たとえば $X$ 上の $n$ 次正則、 $s$ 上に 1 位の極だけしかもたない $n$ 次有理形式$\Omega_{X}^{n}(S)$$\Omega_{s}^{n-1}$、とする de$\mathfrak{U}$[分解$\Omega^{*}$$s$

上の $n-1$ 次正則形式のそれぞれの芽の層を: $0arrow\Omega_{X}^{n}arrow\Omega_{X}^{n}(S)arrow\Omega_{s}^{n-1}arrow 0$

が完全系列であれば、下記系列$0arrow H^{0}(X,\Omega_{X}^{n})arrow H^{0}(X,\Omega_{X}^{n}(S))-\underline{\prime}H^{0}(S,\Omega_{s}^{n-1})-\perp*H^{1}(X,\Omega_{X}^{n}.)arrow\cdots$

したがう. : ボアンカレ留数写 [o また$(p_{I}$$H^{l}(S,\Omega_{s}^{n-1})\cong H^{l}(S,$ $C)$$\Omega_{X^{\text{、}}}^{n}$; 完全であることがも $H^{l}(X,\Omega’)\cong H^{t}(X,$ $C)$ )(他のコホモロジ

は、先に現れたコホモロジーの係数を複素数としたことを裏づけている。
(3)

主遇の歩み口今日まで膨大化したこの研究の歴史を概鏡するだけでも決して容易ではないが、筆者が目を通すことができた文献、資料を基に少し触れてておきたい (一変数の場合 :[3] 参照)。 D 一前半から引き(2) 代数幾何学の場合において、大筋をすでに述べたが、 この方面の端緒については、最初継いだ主題に現れたのは 1887 年、 Poioeare による 2 複素変数 ,$\xi$$\eta$の多項式の比で与えられた有理形関数の 2 重積分の留数の研究であった ([23])。2 次元複素空間でこれらの積分の値を、まず一変数の場合の拡張としての (局所的) 留数をやや複雑な (古典的) 手法で定義して、その値を最初の積分領域の境界上でもう一度積分して求める手法を導い彪 またこの種の積分をアーベル関数やアーベル積分の周期の問題に応用している。多変数留数関係ではそれ以後の顕著な結果は見られず (、周期を含む代数曲面上の積分の一般論は、 Picard によって 1
885 年から議論されてきたが)、 20 世紀に入って乃 card の 1901 年 ([24]) に始まる留数関係の 連の研究は Le&chetz らによる特異点近傍と積分のサイクルの位相幾何学的研究を触発して、それまでの多くの古典的成果を単純化して、新しい成果を注いだ (文献 : 先に記勅。その後は &mm による 1932 年 ([2よる 1947 年 ([27]) と de Bham の 1955 年 ([25 $])$ 1936 年 ([26]) に続いて、.

$AWefi|^{\underline{\prime}}$の多様体上の微分形式の近代論において、 (2) の終わりに触れたトラム複体 (各種層の分解) の確立は留数理論にも決定的な要素の つとなっ払後半に入ってから Hodge-Atiyah ([15]) の意義についてはすでに述べたが、その数学的な主張は代数的な留数の定義で、 2 変数有理形式 $R$ の 2 重積分 $J$ が既約な有限個の

8

$])$

代数曲線を特異因子
ル

(

$0$

$D_{l}$

として、 $J$ が (これまで何度か言葉に出た) 周期とはにホモログでない)$\Gamma$上の積分の値で、もし$\Gamma\sim$0$\Rightarrow$どの

J : 留数とするが、$D_{t}$$(\Gamma$

がとも交わらないサイク$D_{l}$と交わっても、$D_{l}$

上の積分 $J$ は収束する。) その留数の値が であるような有理形式の積分を第 2 種といい、 この第 2 種 (2 重) 積分の留数を次元 $m$ の非特異な代数多様体 $V$ とその非特異な次元 $n-1$の閉部分多様体 $W$ (いずれも複素解析的多様体の特殊な場合である) に対して、留数の概念を一般化する際に、が $R$ の 1 位の特異因子であれば、$0$$\Gamma$

第 2 種の代数的有理形式の層のト・ラム複体...

$\Omega$V’$\Omega$

W に対して、 コホモロジーの完全系列$arrow H^{l}(V.\Omega_{l’}^{\cdot})arrow H^{1}(V\backslash W,\Omega_{V})\frac{r\backslash }{\prime}H^{l- 1}(W,\Omega_{\nu})arrow H^{l+1}(V,\Omega_{r})arrow\cdots$

によって留数を代数的微分写像 によって定義する。特に $V-W$ が$r$$V-W$ 上の正則な 次閉形式
$i$$0\Leftrightarrow\omega$: ョ$\omega’\in H^{l}(V,\Omega_{\nu}.)$$\Rightarrow$$\omega$$C$に関してアフィン的、有理形式の留数 $\in H^{t-1}(W.\cdot\Omega_{W})\cong H^{l-1}(W, C)$。ここで、$\omega$$\omega$

がの留数 $=$の像であるが、 このホモロジー的説明は (応用に関連して) 興味深い問題である。留数の定義の他に、留数の層 $R^{p}(W)$ は彼らの論文で主要な役割を演じている。そしてこれらの複素解析的なー般化が先に述べた Iaeray $-NQrguet$ の理論となって具体化する。 1950 年代後半から複素解析的多様101
体のコホモロジー研究から出発した PDolbeault ([29]) は、 60 年代末から 80 年代にかけてそれまでの留数理論を整理・統一するとともに簡明にして、 &Rham によって最初に導入された超関数係数の微分形式としてのカレント $(cu\infty nt)([28])$ の M. Herrera 等による複素解析空間への拡張を通して、 その主値
(principalvalue) 、主値を介した留数カレント等の理論 $([30]$ $[31])$ への一連の寄与は顕著である (たとえば 3 $2]$ $[3$ 3 $])$ 。また LA A 並 enlerg、 A $K?bikh$ APYu
等によるロシア学派の、 これ
、

$[$

、

$\mathbb{A}akov$、

まで触れた基礎理論から多方面にわたる応用への貢献とこれらの厳密な構成は注属にすべきであろう ( 3 $3]$
$[$

$[3$

4

$])$

、

。なお、以上の話題に関連した諸公式等の議論 (たとえば [35]) は興味深い。今世紀に入ってからは研究が留数理論の多方面の具体的な問題への応用や積分の計算技術の開発へ向かう傾向が現れ始めているかのようである。今後、たとえば MathematicalReviews 等に注目するのも一興かもしれない。
2. 特異点の解消と二つの応用
代数幾何学の重要な基礎の一っ、広中の特異点解消 (または還元) 定理 ([36]) を超関数の割り算問題へ応用した 1970 年の Aflyah の仕事 ([11])、および At 拍市一 Hoee と Grothendiedc の非特異代数多様体上のコホモロジー群に関する定理 ([15] [37]) の Atiyah $-(R)$ Bott $-(L)$ G 蝕蜘 による 197
0-73 年にかけての線形双曲型偏微分方程式のラキュナ ((または空隙領域) の理論への応用 ([3$])$
8 をとりあげる。前者は極めて特殊な問題であるが、偏微分方程式等の解に関連して提起された問題で、最$\tau$$I_{4Cun}\omega$

終的に超関数の構成や存在を問題とする、特異点の解消定理の初の解析学的応用となる画期的な成果であるが、今後は種々の解析学的方面等 の応用がもっと現れてもよいのではなかろう$l\backslash _{\text{。}}$

後者は、双曲型作用素に関する多項式の生む代数学と幾何学、その基本解の構成という解析学、複素代数多様体上の有理形式のコホモロジ
ーとホモロジー (積分領域の位相幾何学) 等、古典的な概念から発してその近代的な再構成のなす数学が三位一体となって総合的に形作られる様は壮観であり、いわゆる代激解析学の一典型とみなされる。両者に共通するものは、その根底に特異点の解消があり、前者はその実解析的多様体の場合のヴァージョンの直接的応用、後者は射影的代数多様体上の有理形式に関する Atiyah-Hdge の結果を広中の定理を用いてアフィン空間へ拡張した Grothendieck の定理の適用がここでの主題の基本をなす。 Atiyah $-Hod\epsilon e$ の研究 [15] は、代数的留数理論のみならず、 ラキュナの理論へも本質的に寄与したと言えよう。また Ahyah 自身はほとんど同時期にここにとりあげた二つの主題に対する新しい観点からの開拓者となった。
A 特艮点の解消と超閣数の割り算: 定 1数係数線形偏微分方程式の基本解 謁副幻の存在問題$\alpha$$\tau$(1) 奥廓析的多様体の場合と割り算間題$\emptyset$

by 直 h の結 v

特異点の解消とは、主要な条件の つ、複素 (実) 解析空閻 に対して、 $B$ が複素 (実) 解析的多様体 (非特異解析空間) であるような写像: $Barrow A$ の存在することをいう。 (他に に関する二つの条件があるが、$A$$\varphi$$\varphi$省略。) また超関数の割り算問題は特殊ではあるが、従来の議論では深遠で難しい問題の印象が強かった。ここでは二番目の話題に紙数を譲るために詳細を避けて結果を中心に述べておく。
実解析関数の幕に関する定理 (Atiyah の定理 ([11] の主定 ) の要約) : 実解析的多様体上の非負実解析$\mathfrak{B}$関数 $f$ の幕$f^{s}\Gamma$($\Gamma$はこの多様体上の有限偲の非負実解析関数の定める集合上の特性関 v は、 の実部 $>0$$s$から全複素平面へ の有理関数として実解析的多様体上の超関数へ解析接続できる。 このときの$s$$f^{s}\Gamma$の極は、$-n/N$( $n;1,2,3,$ $\cdots,$ $N$ : ョ正の整数 ( $f$ の次数、他に依存)) の点にある。

この定理は極めて一般的であり、そこから帰結できる結果は超関数の割り算問題の解 (超関数) の存在、定数係数線形傭微分方程式の基本解としての緩増加超関数の存在をはじめ、既知の事実等が連なる。すなわち従来の長い議論を要した割り算問題等の既存の結果は新しい (証明に基づく) 結果によって直ちに得られることになった ([11] の系 1-3)。この定理の細明には、実解析的な場合に対応する下託の結果が援用される。

特異点に関する定理 (広中の定理 ([36] の定理$n_{2}^{N}$) の局所的改変) : $0\in R^{1}$’ の近傍で定義された実解102
析関数を $F\Rightarrow\varphi:Y-Varrow X-U$ が同型写像で $(U\simeq F^{-1}(0),$ $V=\varphi^{-1}(U)=(Fo\varphi)^{-1}(0)$ として
つ $Y$$)\grave$

かの各点を中心とする局所解析的座標 $(y_{1}, \cdots,y_{n})$ があって、 $F o\varphi=6\cdot ITy\int(\epsilon$ : 可逆な解析関数、 $k_{l}\geq 0)$ であるような$R^{n}$の開集合 X 、実解析多様体 Y 、解析的写像$\varphi$: $Yarrow X$ が存在する。

この定理によって Atiyah の上記の定理を直ちに証明することは決して容易ではないが、その定理が確立されて後、超関数の割り算問題に関瞳する諸結果が一般的な見地から正当化されることになった。
(2) 補兄証明の大略を述べる。そのためには多様体上の超関数について 2, 3 の注意、特に双有理変換によって起きがちな多様体の向きづけ不可能性を考慮すること。 $X$ の標準的向きづけ $a$ に対応する $Y-V$ の向きづけを対して、$f^{\iota}\tilde{\Gamma}\tilde{\alpha}(\in\Omega(Y-V):\sim$$(\tilde{r}=r_{0}\varphi$の実部 $>0$ に

コンパクトな台をもつ $Y-V$ 上の $C^{\Phi}n$ 次形式) は $Y$ 上の局所可積分形式へ拡張される: 有限個の非負実解析関数で定められる集合上の特 t tl&。次にその順像準同型は双対的に準同型$\overline{\alpha}\Rightarrow S$$\varphi$.:$\Omega’(Y)arrow\Omega’(X)$を誘導し、$\varphi$:$\Omega(Y)arrow\Omega(X)$$\varphi.(f^{s}\tilde{\Gamma}\tilde{\alpha})\sim$は同型写像: $\Omega’(X)\cong D’(X)$を$\varphi$による誘導写橡

は $s$ の有理関数として定理にあるような極(: $X$ 上の超関数)を誘導するから、をもつ $X$ 上の超関数。 また $X$ 上の向き$\alpha$$\varphi_{r}(f^{s}\tilde{\Gamma}\tilde{a})=T(s)\alpha,T(s)\in D’(X)_{\text{。}}\sim$

よって、 $s$ の正の実部に対して、 $T(s)=f^{s}\Gamma$ であることを確かめ、最終的にの同型性 $(Y-V\cong X-U)$ から、$\varphi.(f^{s}\tilde{\Gamma}\tilde{\alpha})=f’\Gamma\alpha\sim$$\Rightarrow$$\varphi$であることを得る。

(8) 主■の歩み 超関数の割り算問題は、 1950 年の LSchwart の著書 ([39]) の第 7 章 (最終章),
10 節の末尾の例として提起されて以来、 58 年の LH6man&r $([40])$ $59$ 年の S. Lojasiewiez ([4、1 $])$ による研究がなされて、 64 年の L $M$ oet&ld らの著書 ([42]) に至る。その歴史は比較的浅く、文献類も極めて少ないが、上記の結果によってこの問題は一応の決着を見鶴今後は他の解析学上の閥題へも特異点解消の定理の応用が期待され、その意味でも Atiyah の仕事は優れたモデルとして提供し得ると思われる。
・ラムのコホモロジ とうキュナの理論 : 代数積分の消失問題(1) 双曲型作用康の茜本解とラキュナ $(A\Phi ah-Rtt-$ Ga $rd1_{W}$ の七 0

$B$$\sim$

波動作用素 $a(D)=D_{1}^{2}- \sum_{i*2}^{n}D_{t}^{2},D=(D_{1},\cdots,D_{n}),D_{l}=\partial/\partial\kappa_{t},(x_{1},\cdots,x_{n})\in R\cross R^{narrow 1}=R^{n}$ (時空間)に対する波動方程式 $a(D)E=\delta(x)$ ($\delta$関数: 原点での単位衝撃) の Cauchy 問題の基本解 $E$ は超関数であり、$s\iota\infty(E)\subset\{x;x_{1}^{2}-\sum_{l\cdot 2}^{n}x_{t}^{2}\geq 0\}(\aleph\infty_{6}$錐内での波動の拡散の有無は次元数 の値によることはよく知$n$られ、初期値の微小変化に対する錐の頂点での解の値に変化がないときの錐の内部領域をラキュナという。次に波動作用素を一般化したものが双曲型作用素であり、中でも定数係数同次双曲型作用素に対する基本解のラキュナの理論が基本的である。上記の$\xiarrow\xi+t\theta=\eta$$D_{l}$

を$\xi_{l}$で置き換えた次数 $m$ の多項式 $a(\xi)=a(\sigma_{1},\cdots,\xi_{n})$ において、とした に関する方程式 $a(\eta)=0$ の実ペクトル$t$$\theta$に関する $m$ 個の実数解のありようによって $a(\xi)$ を双曲的、または強双曲的 (簡単にいえば、前者は $m$ 個の実数解をもち、後者はそれらがすべて異なる$)$に分けて、それぞれに対応して $a(D)$ が ( $m$ 階の同次定数係数) 双曲型、または強双曲型作用素とする (こ103
れらと以下に現れる言葉や概念の詳細については、たとえば 4 $3]$ $[44]$ を参照)。複素超曲面 $\{\xi;a(\xi)=0\}$$[$、$=A$ 、 $\Re A=R^{n}\cap A$ として、双曲型作用素 $a(D)$ は初期値問題の一意的な基本解をもち、 $supp(E_{a})\subset K$

ラスとなる最大の開集合 (:$\subset$$\theta$

に関する波動の伝播錐であること、および singRn) の余集$\omega$$E_{a}(a(D)E_{a}(x)=\delta(x))$$s\iota\iota w(E_{a})$: $W$ (実超平面 $\{\xi;x\cdot\xi=0,x,\xi\in R^{n}\}$ で Be$(E_{a}(x)$ が$A$$C^{\infty}$クの接平面となるものの全体) に含まれる (、すなわち基本解の特異性は $W$ によって起る) ことが知られている。 (後者は、$E_{a}(x)$が $W$ の余集合で解析的であることから)。そこで、基本解が $R^{n}-W$ の各成分で解析的であることから、基本

解

0 か、 そうでないかである。 $R^{n}-W$ のある成分で基本解0

この領域 : 強ラキュナと定める (後向$\Rightarrow$

き斜線錐の底面領域 ( $t=0$ の超平面) 内のある成分上での初期値の微小変化に対して錐の頂点での基本解が変化しない領域のこと)。 これに対して、 $R^{n}-W$ のある成分で基本解 : 多項式$\Rightarrow$

この領域 : 弱ラキュナと定める。次に作用素が強双曲型でない一般の双曲型の場合、これまでの実超平面を基に定めた $W$ に代って、多項
式 $a(\eta)$ に対して各実ベクトルの伝播錐$K_{\xi}$

$\xi$

を固定して

$\theta$に関して同次双曲型となる多項式を定め、 それによって$\theta$方向を定めることによって、 $W= \bigcup_{\xi}K_{\xi}(\xi\neq 0)$ : 波曲面へ一般化される。空間に関しては、 $C^{n}=Z$として、$n-1$ 次元複素射影空間 $P^{n-1}(\dot{C})=\dot{Z}/\dot{C}=Z$ とする (. は原点を除いていることを示す)。また $A^{*}=$$\{\xi\in Z^{*};a(\xi)\overline{\sim}0\}$$\{\xi\in Z^{\cdot};x\cdot\xi\vec{-}0\}$(すなわち、$Z$ の部分集合 $A$ (複素超曲面) に対して、とする。これらの集合はすぐ後の$Z^{*}$$\dot{A}$の $Z$

における像 1 同様に $X=$

での基本解の構成や積分路のホモロジー類の議論に必要である。詳細は彼らの論文 [38] に譲る。双曲型作用素 $a(D)E_{a}=\delta(x)$ の基本解 $E_{a}=E_{a}(x)$ は、$x\not\in W$に対して$\alpha=a(A,X,\theta)\in H_{n-1}(Z-A,X^{*})$,

およびその境界を: $X^{8}-X^{*}\cap larrow Z$ -AUX’ による像$\partial\alpha\in H_{n- 2}(X-X^{\cdot}\cap A^{\cdot})$とする、 チューブ演算’$t_{x}\partial a\epsilon H_{n-1}(Z^{\cdot}-A\cup X)$の上の $n-1$ 次有理形式の積分として次の公式で与えられる :,$D^{\nu_{E_{a}(x)=(2\dot{\varpi})^{1- n}\int_{a}.(x\cdot\xi)^{n- n-|\gamma|\xi^{\nu}a(\xi)^{-1}aX\xi)}}}$,$D^{v}E_{a}(x)=(2 \dot{m})^{-l}\int_{t_{l}\partial a}.(x\cdot\xi)^{m\sim n-|\nu|}\xi^{\nu}a(\xi)^{-1}w(\xi)$$m-n-|\nu|\geq 0$(1)$m-n-|\nu|<0$(2)

ただし、 $\omega(\xi)=\sum_{k*1}^{n}(-1)^{k}\xi_{k}d\xi_{1}\wedge\cdots\wedge d\xi_{k-1}\wedge d\xi_{k+1}\wedge\cdots\wedge$ d 7。公式 (1) と (2) から、 $m-n\geq 0$$\xi$$\Rightarrow$$0$

基本解は同次多項式で与えられるから、 $*$ に領域成分は弱ラキュナ、 $m-n<0\Rightarrow$ 基本解 (多項式)より、弱ラキュナである領域成分は強ラキュナとなる (両ラキュナの一致-$\equiv$$\sim$

最後にここの主題目標であるラキュナの存在、安定牲に関する条件をみる。そのための基本となるものは次104の 1966 年に G$\mathfrak{w}$

定理

$V$

then

$\alpha$永によって得られた Atl 拍止-Hodge-Grothen 山叙永の定理である ([37]) :を非特異アフィン代数多様体とするとき、複素コホモロジー群 $H(V, C)$ は$V$

上の有理微分形式の代数的ト・ラム複体のコホモロジー群と同一視できる。
この定理をここの場合に適用すれば、射影空間において $H^{n-1}(Z^{*}-A\cup X)$ は $A\cup X$ 上に極をもつ$n-1$ 次有理形式全体によって張られることを示す。 よって、以下の主要な結果がしたがう :

結果 1

$X$

が $a(D)$ のすべての幕 $a(D)^{k}(k=1.2,\cdots)$ の弱ラキュナに属する$\Leftrightarrow t_{x}\partial\alpha=0$.。

右が十分条件であることは見やすいが、問題は必要の場合である。 $a(D\sim$ を基本解の公式 (2) に適用した
ときに現れる微分形瑚ま、$A^{\cdot}\cup X$に注意すれば、公式 (2) の右辺

上に極をもつ $Z$ における $n-1$ 次有理形式全体の一つの基底であること$=0\Rightarrow t_{X}\partial\alpha$-O 。他に $a(D)$ が強双曲型の場合に が安定な (多項式が $a(\xi)$$X$$arrow$と同次数で、同次双曲型作用素 $a(D)$ の微小な摂動的変化による同次双曲型作用素 $b(D)$ に対しても保たれる)
弱ラキュナに属する

結県 2$m\geq 2$

結果 1 より、$\Leftrightarrow t_{r}\partial\alpha=0$のとき、$\partial\alpha=0$$x$:Petrov8 紗の結果の再現

公式 (1) に関しては、 $m\geq n$ に注意して、が $a(D)$ のすべての幕 $a(D)^{k}$ の強ラキュナに属する $\Leftrightarrow\alpha=0$。よって、 $\alpha\in H_{n-1}(Z^{*}-A)$の議輸をすればよい。 また $m\geq n$ のとき、すべての幕。

。

$V=Z-A$ として定理を適用し、結果 1 と同様$a(D)^{\iota}$の強ラキュナはツリヴィアルラキュナ (伝播

錐の外部領$()$ のみであること等も示される。 これらの結果はまた、代数積分の消失例でもある。
(2) 櫨足((1)

言及すべきことは多いが、 ここでは館細は不可能であるから、項目的に示そう :1) 双曲型作用素の基本解の公式& (2)) の原形である表示式 (その逆作用素のフーリエーラプラス変換) 2) 複素射影空間上の積分のチェインやサイクルの位相幾何学

3) 従来の、特に Pbtrm$sk$ の解公式と公式 (1)&(2) の関係 (留数の観点から) 4) 同次項だけでな$A\vdash$

般の双曲型作用素の基本解とラキュナの理論、および変数係数の場合等。 これらはもちろん、原論文 ([38]) に詳しい。

ここでの公式は、 $(G.)He\ovalbox{\tt\small REJECT})k-0.G)h\mathfrak{w}v\S\Phi-(JJkmy\ovalbox{\tt\small REJECT} t F)$Attyyah-(R)Bottを除く Leray 以前は、 1926–1928 年の$(L)Garding$ の公式と呼ばれるが、 AhyahB $kl$
ち([47])、そして留数理論でも知られ、その応用とされ続いて 1945 年の P-etxov 曲 y
Hergb 他(
偶然であろうが、各人の仕事は
17 年目に更新されている ) 。ここ([19])がある
た 1962 年の Iaeray(3) 主題の歩み$m$$([46])_{\backslash }$$!$は本来物理学者で多分野で活躍した。
に現れた 6 人はいずれも巨匠たちで知る人々も多いであろう。
$*$の(量子場で著名、 Petm $w$ ば基本解
Gffling は 1950 $*$の–m な
ffl
ffiaを構成したとき、ラキュナの理論を創始したが、当時は多様体のトポロジーとして $1\epsilon\ lrk$ たちの古典的結果を用いている。 Bo# は位相幾何学、関数解析で傑出した数学者である。その後のラキュナ理論の進歩は 199の書 ([49]) に詳しく、 またその位相幾何学的基礎に関しては特異点理論からの最近の説
5 年の$He\mathfrak{B}^{bk}$$\mathfrak{h}$$\not\in\Re$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\not\in$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\grave$$Va\infty 4\dot aev$

明がある$([50])_{\text{。}}$

3. 多変敷解析騰敷の解析樹鹿
この間題に関する理論面は今日まで極めて高度にかつ一般的に議論されてきたから、今後はその応用面の開発が期待される。多変数複素関数論の端緒ともなった Hmgs による数学固有の初等的例 (: 完全でないラインハルト領域では、 そこで正則な関数はそれより真に大きい完全ラインハルト領域にまで接続されて、最初のラインハルト領域の境界を自然境界とする正則関数は存在しない) はよく知られた事実であろう。今日では複105
素解析空間上でグローバルな意味で正則関数の一意接続性定理が議論され、その代表例のーつが

釦 mae の接続定理であろうが、 ここではこれらの理論的成果の説明とは異なり、解析接続の応用面を重視して物理学にお$H$ける場の量子論または素粒子論から次の例をとり挙げる。
(1) ローレンツ共変関数の解析接続 相対論的な物理法則を得るために、 ローレンツ群で生成されるスピノ$-J$ ’ やテンソルで衷される物理量の間の共変的関係 (つの座標系で表された物理法則の関係式 $F$ が任意の座標変換に関しても同様の形 $F’$ で成立するとき、これらの関係式は共変的 (関係) であるという) を表す関数、
すなわちローレンツ共変関数の一意的な解析接続に関する結果を示す。そのために必要な 2, 3 の言葉を簡潔に述べておこう。
$i$

前方 (後方) 管状領域 : ローレンツ共変関数の変数城 $T^{+(-)}=\{z_{J}\}$ : 複素四元ベクトルここで、複素四元ベクトルとは、複素時空間成分からなるベクトルツ群) を前方 (後方)の空間を指す,$z_{j}\Leftrightarrow x_{/}(\in R_{4})+iy_{J}(y_{j}eV^{+t-)})$

実時空間変域、 $V^{+tarrow)}=R^{+}(R^{-})$ : 正 (負) の実数全体 $(j=1,\ldots,n)\ddot{n}$の複素四元ベクトルとするテンソル関数血$z_{J}$$R_{4}$,

ローレンツ共変閣数 : 変数を複数個

拡大管状傾域 : 複素ローレンツ変換 A

管状領域に作用して得られる領域全体の和集合,$T_{n} \overline{-}\bigcup_{\Lambda eL_{+}}$$(\in L_{+}$; 複素ローレン

A $T^{+t-)}(T^{+}$ と$T^{-}$

は反転に関して等しいことによって、それぞれの場合の右辺は等しいから つにまとめたものである。) このとき、次の結果が知られている ([50])。
定環 $m\cdot Hall$.Wightman の結果) 前方 (後方) 管状領城で解析的なローレンツ共変関数は拡大管状領域に一意的に解析接続され素四元ベクトル$z_{j}$

これらの管状領域はどれも正則領域である。ただし、共変関数$f_{a}$

は $n$ 個の複のテンソル関数で、複素ローレンツ変換による変数の変換で次の形で表されるものとする :$f_{a}(z_{\iota’ 2^{R(\Lambda)_{\phi}f_{\beta}(z_{I},\cdots,z_{n}),R(\Lambda)}}$: 複素ローレンツ群$L_{+}$の郁艮次元表現$(*)$

証朋の手順は、拡大管状領城ぺの解析接続の一意性、続いて複素ローレンツ群の単位元近傍における局所的性質から共変関数の解析性を示してから、任意のローレンツ変換に対して関係式 $(*)$ の成立を示すことによって行われる。 (証明の詳細は(2) 補足 上記の定理は$Ha\mathbb{I}\cdot Wigh\mathfrak{w}an$の上記の論文を参照のこと。)

現在ではさらに一般的な解析的 m に拡張されている。また、管状領域で解析的でローレンツ変換に対して不変な関数 $(: f(\Lambda z_{1},\cdots,\Lambda z_{t})=f(Z_{1},\cdots,Z_{n}))$ の一般形は、スカラ 積 $z_{l}z_{/}=\sim\ell/$ のみの関数で、かっ各ペク$\sim$

トルが前方 (後方) 管状領城を動くにしたがい、 スカラー積の変化がなす多様体 $M$ 上で解析的であることが知られ、$M(T^{+(-)})=M(T_{n})$ 。さらに、 2 次元以上の対称管状領誠は非正卿 1 領域、その正則包が-#次元れたという情報を筆者は知らない。正則包を$*$ b 6の$\ovalbox{\tt\small REJECT}$の$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$4\backslash *\theta \mathfrak{B}$$(\geq 5$

次元 に対して得ら$)$まれよう。その他 素粒子論の問題として、

運動鑑移行のある場合の素粒 の分散式の解析接続とその正則包の決定や ( 5 $1]\sim$ 三体のワイトマン $(W$逗$[$接統とその正則包の決定などがある(3) 主■の歩み$h$論$\Phi$

関数の解析$([52])_{\text{。}}$

多変数複素関数の解析接続の応用は、それまでの理論が解析的多様体の枠をこえて広がりを見せる頃の前世紀の後半以降の、 1950 年代半ばから 60 年代にかけて理論物理学分野で実用化され始めた。特にその開拓者たちには当時ソ連邦出身の物理学者たちが多い。 ここに要約された結果はほとんど彼らの見出した成果に基づいている。 当時のこの方面に関する主要な進歩と文献に関しては書 [53] が詳し
以後、 1960 年代後半からは 行列理論の解析的問題からファインマン積分の特異性問題、また近年以降
は宇宙論におけるブラックホールの特異性問題など、解析接続を離れた新しい主題の展開時代を迎える。
$A\searrow$

$S$

106
参脅文献
特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (m) $-1-20$ 世紀後半から現代に至る主題の展望、および未[1] 阿部剛 A

知の課題をめぐって–,

[2] 阿

pp.

$\mathfrak{W}|$,$\mathfrak{B}-49$[3]h特異性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (I)

京都大学数理解析研究所$(\mathfrak{M}8)$

D 期の概念とその背 l,- $\mathfrak{M}$

数理解析研究所講究録

m 久 特具性の概念は近代数学へ如何に寄与したか (n) 一特異性問題に関する近代数学の発展形成:
1392

1317,

.

$|$

$\rho\}$

数理解析研究所講究録$\neg$

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