目次
第1章

緒言

2第2章

解析

3

2.1

モデルの概要

3

2.2

対象と方法

4第3章

結果と考察

5

3.1

靭帯張力と靭帯バランス

5

3.2

屈曲動作

6

結言

7第4章

1

第1章 緒 言
現在，我が国の 65 歳以上の高齢者人口は総人口の約 3 割を占め，50 年後には総人口の約 4 割が 65 歳以上の高齢者が占めると推定されている[1]．今後の超高齢社会において，加齢に伴う変形性関節症や変性半月板損傷などの患者の増加が予想される．膝関節の病気や怪我などにより歩行や日常動作に支障をきたす場合，それらを改善する方法として人工膝関節全置換術(TKA)が選択される．人工膝関節全置換術(TKA)は，変形性関節症や変性半月板損傷などにより傷んで変形した膝関節の表面を取り除き，人工関節と入れ替える事により患部の痛みを取り除く術式である．
人工膝関節置換術では，人工関節の確実なる固定性と安定性を得ることが重要である．
そのために，屈曲角 0°と屈曲角 90°における靭帯バランスを得る必要がある．靭帯バランスとは，一般に膝の屈曲角 0°と屈曲角 90°の状態において内側・外側側副靭帯が同じ長さで同じ緊張度を持つことで，それがバランスのとれた状態といわれている．実際の手術では，多くの手術が脛骨近位部を脛骨機能軸に 90°に骨切りし膝伸展位で軟部組織の解離を行う．ついで屈曲角 90°における適正な靭帯緊張下でバランスのとれた軟部組織の状態を作る．その後，大腿骨後カ部の骨切りを近位脛骨切除面に平行に行うことにより長方形のギャップを作る手技で行われている[2]．この手術手技を用いることにより，膝の伸展位，屈曲位に置ける後十字靭帯，内側・外側側副靭帯の靭帯バランスを得ることが出来る．
しかし，このような手術手技を用いても人工膝関節の機能を最大限に発揮させ，長期的に安定させるには至っていない．そのため，手術手技の改良や人工膝関節のデザイン改良が求められている．
人工膝関節の設計において必要なものは，屈曲時における関節の運動や接触力の情報である．しかし，人工膝関節置換後の測定実験では定量的なデータを集める事が困難である．
これは患者により個体差が大きく，深屈曲動作での測定は患者の負担が大きいことが原因である．一方，モデル解析では，実際の実験では困難である屈曲時における膝関節の動きや深屈曲での力の把握が容易である．また，条件を変更することも容易で，屈曲時における人工関節の動態や接触力など様々なデータを得る事ができる．
モデル解析を用いた先行研究では，深屈曲時において解が出ていない．それは人工膝関節置換術での獲得が求められる靭帯バランスについて考慮していなかったからではないかと仮説を立てた．
そこで本研究では，前述した仮説を検証するために，膝関節運動における靭帯バランスの影響の検討を行った．そのために屈曲角 0°と 90°で内側側副靭帯と外側側副靭帯の各8 本ずつの張力の総和が等しくなるように調整を行い，モデル解析を行った．

2

第2章
2.1

解析
モデルの概要本研究では，香田らの人工膝関節の三次元力学モデル式[3]について，大腿脛骨関節，大腿膝蓋関節を参考に用いた．モデルの概要を第 2.1-1 図に示す．本モデルは，大腿骨・脛骨・膝蓋骨で構成される．また，軟組織として大腿四頭筋，ハムストリングス，靭帯・腱に内側側副靭帯，外側側副靭帯，後十字靭帯および膝蓋腱を含んでいる．大腿骨は固定座標系，脛骨・膝蓋骨は移動座標系である．また条件として「関節面は剛体で常に 2 点で接触すること」「膝蓋骨が力学的平衡条件にあること」の 2 つを設定した．このうち関節面の点接触については，式(1)および式(2)で表す．式(1)は大腿・脛骨および大腿・膝蓋骨関節が内・外側の 2 点で接触する場合の接触点の位置ベクトルが大腿骨・脛骨および大腿骨・膝蓋骨それぞれの座標系で一致することを表している．式(2)は，接触点における大腿骨関節面上の法線ベクトル n が脛骨および膝蓋骨関節面上のベクトル τ と直行すること，すなわち曲面同士が交差しないことを表している．
𝑐1,2 = 𝑎 + 𝑇𝛿1,2(1)(𝒏,𝑻𝜏𝑟 ) = 0, (𝒏,𝑻𝜏𝑠 ) = 0(2)ここで，c は大腿骨曲面上の接触点の位置ベクトル，δ は脛骨および膝蓋骨曲面上の接触点の位置ベクトルである．a は大腿骨座標系の原点と脛骨座標系の原点および大腿骨座標系の原点と膝蓋骨座標系の原点を結ぶベクトルであり，大腿骨に対する脛骨および膝蓋骨の位置，姿勢を示す位置ベクトルであり式(3)で表される．T は座標の回転を表す回転行列であり，脛骨座標系および膝蓋骨座標系が大腿骨座標系(O-X, Y, Z)の X 軸まわりにφ，回転後の Y’軸まわりにω，回転後の Z”軸まわりに θ 回転した場合の行列式は式(4)で表される
𝒂 =(𝑎𝑋 , 𝑎𝑌 , 𝑎𝑍 )𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜔
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜔𝑠𝑖𝑛𝜑− 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑻= [𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜔𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑

(3)
−𝑠𝑖𝑛𝜔
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑠𝑖𝑛𝜑 ]𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐𝑜𝑠𝜑(4)

大腿・脛骨の靭帯付着部位置ベクトルを r，ρとすると靭帯・腱の作用線方向ベクトル νは式(5)で表される．
𝒗 = (𝒓 − 𝒂 − 𝑻𝝆) / √(𝐫 − 𝐚 − 𝐓𝛒)23(5)力学的平衡条件は，式(5)を用いて式(6)で表される．
2MMmFe + ∑ Pi ni + ∑ fi vi + ∑ 𝐹𝑚𝑘 𝑣𝑘 = 0i=1

j=1

k=1

(6)
ここで，Fe は外力，M および Mm はそれぞれ靭帯・腱，大腿四頭筋の本数である．本
研究では，靭帯・腱を 8 本，大腿四頭筋を 13 本（内側・中間・外側の広筋が各 3 本，大腿直筋が 4 本），ハムストリングス筋を 16 本（半膜様筋，半腱様筋が各 4 本，大腿二頭筋長頭・短頭が各 4 本）の非線形並列ばねでモデル化した．靭帯・腱については，非線形ばねでモデル化しているため，自然長からの伸びに応じて式(7)で表される．
8f={∑ 𝑘𝑖 (𝑙𝑖 − 𝑙0𝑖 )2 , 𝑙𝑖 > 𝑙0𝑖𝑖=10,}𝑙𝑖 ≤ 𝑙0𝑖(7)ここで，kはばね定数，lは靭帯・腱の長さ，𝑙0 は靭帯・腱の自然長である．モーメントの平衡条件は，式(8)で表される．
2𝑀𝑚𝑀

𝑀𝑒 + 𝑀𝑟 𝜆 + ∑ 𝑝𝑖 (𝑇𝛿𝑖 ) × 𝑛𝑖 + ∑ 𝑓𝑗 (𝑇𝜌𝑗 ) × 𝑣𝑗 + ∑ 𝐹𝑚𝑘 (𝑇𝜌𝑘 ) × 𝑣𝑘 = 0𝑖=1

𝑗=1

𝑘=1(8)
Mr は脛骨および膝蓋骨座標系の X 軸まわりに与えるモーメントであり，Mr による膝屈曲角生成ベクトルλは式(9)で表される．
𝝀 =(𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜔, 𝑠𝑖𝑛𝜑, −𝑠𝑖𝑛𝜔)𝑇(9)

関節曲面の数式表示には，式(10)のパラメトリック多項式を用いた．
𝑁𝑝𝑢 𝑁𝑝𝑣

𝑆𝑘 (𝑢, 𝑣) = ∑ ∑ 𝑝𝑖𝑗𝑘 𝑢𝑖 𝑣 𝑗𝑖=0 𝑗=0(10)4ここで，k(=1, 2, 3)は直行座標系の x, y, z 座標に対応する．𝑁𝑝𝑢 , 𝑁𝑝𝑣 は多項式の次数であり，(u, v)はパラメータ座標で 0 から 1 の値をとる．𝑃𝑖𝑗𝑘 は多項式の係数である．以上，内・外側の 2 点での点接触で 10 式，力とモーメントの平衡条件で 6 式， 計 16 本の非線形方程式を Newton-Raphson 法で解き，大腿膝蓋関節および大腿脛骨関節の相対位置・姿勢（未知数 6 個），大腿骨側および膝蓋骨・脛骨側の内・外側の接触点位置（未知数 8 個），接触力（未知数 2 個）を求めた．この計算を大腿・膝蓋関節側で解を収束させ，大腿・脛骨関節側で解を収束させ，もう一度大腿・膝蓋関節側の計算へと戻る繰り返し計算を行った．
2.2

対象と方法

対象とした人工膝関節は，Striker 社製 Scorpio NRG の PS 型を用いた．膝蓋骨コンポーネントには，Striker 社のカタログを参考に作成したドーム形状の膝蓋骨を用いた（第2.2- 1 図）．本実験では人工関節の post-cam の接触をモデル化せずに，CR 型として計算を行った．また，CR 型にしたことで後十字靭帯を追加した．後十字靭帯のばね定数は8 × 106 N/𝑚2 で一定とした．
これら大腿骨，脛骨および膝蓋骨コンポーネントの関節曲面を式(10)のパラメトリック多項式で近似して計算に使用した．関節曲面の次数は，大腿骨側は 4 次とし，膝蓋骨コンポーネントについてはドーム形状では 3 次とした．
大腿四頭筋力は，26N で一定とした．ハムストリングス筋は，0.32N で一定とした．
内側，外側側副靭帯の自然長を第 2.2-2 表，靭帯長さを第 2.2-3 表に示す．また，ばね定数8 × 106 N/𝑚2 で一定とした．
また，外力を加えて膝を屈曲させる受動的屈曲とした．
以上の条件で，靭帯バランスをとるために，内側側副靭帯 8 本と外側側副靭帯 8 本それぞれの張力について式(11)を用いて計算した．その後，内側側副靭帯 8 本の張力の総和と外側側副靭帯 8 本の張力の総和が等しくなるように，脛骨を内外反させた．この操作を屈曲角 0°と 90°に対して行った．これは人工膝関節置換術時に行われる大腿骨遠位部と大腿骨後カ部の骨切りをモデル解析上で再現するためである．
対象とした動作は，屈曲角 0°からの膝屈曲動作である．

5

第3章
3.1

結果と考察
靭帯張力と靭帯バランス

屈曲角 0°と 90°のときの内側側副靭帯と外側側副靭帯それぞれ 16 本の靭帯張力を第3.1-1 表，第 3.1-2 表に示す．また，屈曲角 0°と 90°で脛骨を内外反させ，内側側副靭帯と外側側副靭帯の張力の総和がつりあった時の 16 本の靭帯張力を第 3.1-3 表，第 3.1-4 表に示す．
内反 0°のときの靭帯張力について，内側側副靭帯側では，靭帯の自然長に差が大きいことから，各靭帯にかかる靭帯張力に大きな差が見られる結果となった．一方，外側側副靭帯側では，靭帯の自然長に差が小さく，各靭帯にかかる靭帯張力の差が小さかった．
屈曲角 0°では 35.3°内反，屈曲角 90°では 10.5°内反させると靭帯張力がつりあう結果となった．
内反角度が 35.3°，10.5°と大きくなったのは，内側・外側側副靭帯の 16 本それぞれにかかる張力にばらつきがあり，靭帯バランスをとるために必要な内外反角度が大きくなったためだと考えられる．
3.2

屈曲動作

屈曲角 0°と 90°から計算を進めたが，いずれも解が出なかった．
実際の手術では術前計画時に，下肢機能軸（股関節中心と足関節中心を結んだ線）は人工関節の関節面に垂直となり，かつ，人工関節のほぼ中心を通るように骨切り位置を決定する[4]．しかし今回の実験では，屈曲角 0°時と屈曲角 90°時の内反角度が大きく，下肢機能軸と人工関節の関節面が垂直な状態から大きく外れていたことが原因ではないかと考える．また，後十字靭帯は人工膝関節置換術時に切除される前十字靭帯に比べ，約 2 倍の強度を持ち，膝関節の後方制動性の約 95%を発揮するとされていて[5]，CR 型人工膝関節
では，後十字靭帯の状態が膝の屈曲動作に大きく影響してくる．今回の実験では，後十字靭帯の物性値を変更せずに行った．そのため，今回用いた後十字靭帯の物性値を変えて実験を行うと異なる結果が得られると考えられる．

6

第4章

結言

本研究では，人工膝関節における靭帯バランスの影響について調べるために，モデル解析を行った．特に，靭帯バランスをとるために内側側副靭帯と外側側副靭帯に注目した．
そして，膝伸展時と膝屈曲時で内側・外側側副靭帯の張力の総和がつりあうように脛骨を内外反させることで，大腿骨遠位部と大腿骨後カ部での骨切りを再現し，靭帯バランスをとった状態でのモデル解析を行った．
内側・外側側副靭帯の張力バランスをとろうとした結果，屈曲角 0°では 35.3°内反，屈曲角 90°では 10.5°内反させると靭帯バランスがとれた．しかし，屈曲角 0°時と屈曲角90°時での内反角度が大きくなったため，Newton-Raphson 法での解の収束が出来なかった．
今後の人工膝関節における靭帯バランスの影響についての解析では，内外反角度を小さくした状態での靭帯バランスの確保，後十字靭帯の物性値の変更を考慮して進めると先行研究では得られなかった膝の深屈曲時の解が得られるのではないかと考える．

7

参考文献
[1] 内閣府 “平成 29 年版高齢社会白書 第 1 章 1 節 1 高齢化の現状と将来像”[2] 松野誠夫 “人工膝関節置換術－基礎と臨床－” p.198[3] 香田健史, 勝原忠則, 廣川俊二, 大月綾香, “人工膝関節運動の三次元モデル 解析（第 1報, 人工関節置換膝の三次元力学モデル）” , 日本機械学会論文集 （C 編）, Vol. 72, No.713
号（2006-1）, pp.153-160.
[4] 松野誠夫 “人工膝関節置換術－基礎と臨床－” p.189[5] Clarke HD et al : Surgery of the knee. 3rd ed, WB Saunders Inc, Philadelphia, 2001,585-588

8

第 2.1-1 図

自然長三次元モデル概要

内側[mm]

外側[mm]

16431

185.18803

85.18803

264

32

2

85.09994

85.09994

38434

385.56869

85.56869

43636486.23804

86.23804

530

31585.18803

85.18803

63132

685.09994

85.09994

73334785.56869

85.56869

83636886.23804

86.23804

第 2.2-2 表

靭帯長さ 内側[mm]

第 2.2-3 表靭帯の自然長9外側[mm]靭帯の靭帯長さ靭帯張力 内側[N]

合計

外側[N]

靭帯張力 内側[N]

外側[N]

1 0.033925 0.475412

1 0.069846 1.341571

20.03358 0.423027

2 0.102092 1.295357

3 0.088326 0.351894

3 0.003418 1.203292

4 3.287698 0.273157

4 2.674308 1.110441

5 4.006461 0.683541

5 3.560187 1.274178

6 3.877851 0.621434

6 3.685132 1.247441

7 7.066774 0.534008

7 5.147291 1.190452

8 6.564931

80.43666

24.95955 3.799133

合計

5.01745 1.109449
20.25972

9.77218

第 3.1-1 表
屈曲 0°，内反 0°の靭帯張力

第 3.1-2 表
屈曲 90°，内反 0°の靭帯張力

靭帯張力 内側[N]靭帯張力 内側[N]外側[N]

1 0.255044 1.670662

10 1.856883

2 0.252813 1.582407

2 0.001499 1.786422

3 0.002056 1.450009

34 2.090336 1.295996

4 1.659806 1.548898

5 2.551901 2.046639

5 2.374294 1.761006

6 2.453607 1.950083

6 2.481276 1.717039

7

7 3.550412 1.640771

3.05594外側[N]1.80268 2.768234 1.631534
合計

0 1.667663

8 3.449159

13.42993 13.42993

合計

第 3.1-3 表
屈曲 0°，内反 35.3°の靭帯張力

1.53777

13.51645 13.51645

第 3.1-4 表
屈曲 90°，内反 10.5°の靭帯張力10