群数列 - 個数が三角数

ステップ１１⑴【復習】等差数列の和の公式

１１１ にあてはまる数を求めなさい。

１＋２＋３＋・・・＋10＝( １１１ ＋ １１１ )× １１１ ÷ １１１＝ １１１⑵

１＋２＋３＋・・・＋15＝( １１１ ＋ １１１ )× １１１ ÷ １１１＝ １１１⑶

１＋２＋３＋・・・＋20＝( １１１ ＋ １１１ )× １１１ ÷ １１１＝ １１１1

群数列 - 個数が三角数

ステップ２等差数列の和で表す

２ ⑴〜⑸のように、整数を等差数列の和で表しました。（まる数を求めなさい。

⑴

28＝１＋２＋３＋・・・＋（）⑵

45＝１＋２＋３＋・・・＋（）⑶

66＝１＋２＋３＋・・・＋（）⑷

91＝１＋２＋３＋・・・＋（）⑸

120＝１＋２＋３＋・・・＋（）

2）にあては

群数列 - 個数が三角数

ステップ３「等差数列の和＋余り」で表す

３ ⑴〜⑷のように、整数を「等差数列の和＋余り」の形で表しました。
下線部分は等差数列です。（）にあてはまる数を求めなさい。ただし、等差数列は、できるだけ長い等差数列とします。

⑴

30＝１＋２＋３＋・・・＋（）＋（）

等差数列

⑵

50＝１＋２＋３＋・・・＋（）＋（）⑶

70＝１＋２＋３＋・・・＋（）＋（）⑷

100＝１＋２＋３＋・・・＋（）＋（）⑸

200＝１＋２＋３＋・・・＋（）＋（）

3群数列 - 個数が三角数

ステップ４整数の数列①：〜番目の数を求める

４ 次のような数列があります。
１、１、２、１、２、３、１、２、３、４、・・・この数列にたて線｜を入れて下のようにグループに分けました。
第１グループ

第２グループ

第３グループ

第４グループ１、｜１、２、｜１、２、３、｜１、２、３、４、｜・・・

ふく⑴

この数列は、第１グループに含まれる数が（プが（（⑵）個、第３グループが（）個、第２グルー）個、第４グループが）個、・・・となっています。

28 番目の数を求めようと思います。

①

28＝１＋２＋３＋・・・＋（）です。

ただし下線部は等差数列です。

②①より、28 番目の数は第（）グループの（です。

③②より、28 番目の数は（）です。

4）番目の数群数列 - 個数が三角数⑶

50 番目の数を求めようと思います。

①

50＝１＋２＋３＋・・・＋（）＋（）です。

ただし下線部は最長の等差数列です。

②①より、50 番目の数は第（）グループの（です。

③②より、50 番目の数は（）です。

5）番目の数群数列 - 個数が三角数

５ 次の数列の 100 番目の数はいくつですか。
１、１、２、１、２、３、１、２、３、４、・・・

6

群数列 - 個数が三角数

６ 次の数列の 50 番目の数はいくつですか。
１、２、１、３、２、１、４、３、２、１、・・・

7

群数列 - 個数が三角数

ステップ５整数の数列②：何番目かを求める

７ 次のような数列があります。
第１グループ

第２グループ

第３グループ

第４グループ１、｜１、２、｜１、２、３、｜１、２、３、４、｜・・・⑴①

はじめて５が現れるのは、第（）グループの（）番目です。

②①までに整数が全部で何個あるかを考えると、１＋２＋・・・＋（③）＝（）個となります。

②より、はじめて５が現れるのは、はじめから数えて（番目です。

8）

群数列 - 個数が三角数⑵①

２回目に５が現れるのは、第（）グループの（）番目です。

②①までに整数が全部で何個あるかを考えると、１＋２＋・・・＋（）＋（）＝（）個よく考えて！となります。ただし下線部は最長の等差数列です。

③②より、２回目に５が現れるのは、はじめから数えて（）番目です。

⑶①

３回目に５が現れるのは、第（）グループの（）番目です。

②①までに整数が全部で何個あるかを考えると、
１＋２＋・・・＋（）＋（）＝（）個となります。ただし下線部は最長の等差数列です。

③②より、３回目に５が現れるのは、はじめから数えて（番目です。

9）

群数列 - 個数が三角数

８ 次のような数列があります。
第１グループ

第２グループ

第３グループ

第４グループ１、｜１、２、｜１、２、３、｜１、２、３、４、｜・・・⑴①

はじめて 10 が現れるのは、第（）グループの（）番目です。
②①より、はじめて 10 が現れるのは、１＋２＋・・・＋（⑵①）＝（２回目に 10 が現れるのは、第（）番目となります。

）グループの（）番目です。
②①より、２回目に 10 が現れるのは、１＋２＋・・・＋（）＋（）＝（）番目となります。ただし下線部は最長の等差数列です。

⑶①

３回目に 10 が現れるのは、第（）グループの（）番目です。
②①より、３回目に 10 が現れるのは、１＋２＋・・・＋（）＋（）＝（となります。ただし下線部は最長の等差数列です。

10）番目

群数列 - 個数が三角数

９ 次のような数列があります。３回目に 12 が現れるのは、はじめから数えて何番目ですか。

１、１、２、１、２、３、１、２、３、４、・・・

11

群数列 - 個数が三角数10 次のような数列があります。３回目に 15 が現れるのは、はじめから数えて何番目ですか。

１、１、２、１、２、３、１、２、３、４、・・・

12群数列 - 個数が三角数

ステップ５分数の数列

11 次のような数列があります。
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1
1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、・・・
この数列にたて線｜を入れて下のようにグループに分けました。
第１グループ

第２グループ

第３グループ

第４グループ11 2
1 2 3
1 2 3 4
1、｜、、｜、、、｜、、、、｜
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5、・・・⑴

65 番目の分数を求めようと思います。

①65＝１＋２＋３＋・・・＋（）＋（）です。

ただし下線部は最長の等差数列です。

②①より、65 番目の分数は第（）グループの（数です。

③②より、65 番目の分数は（）です。

13）番目の群数列 - 個数が三角数

510がはじめから数えて何番目の分数かを求めようと思います。

⑵①

510は第（②5②より、10ははじめから数えて、）グループの（１＋２＋・・・＋（）＋（）番目の分数です。

）＝（数となります。ただし下線部は最長の等差数列です。

14）番目の分群数列 - 個数が三角数

12 次の数列の 55 番目の分数はいくつですか。
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1
2、3、3、4、4、4、5、5、5、5、6、・・・

15

群数列 - 個数が三角数

13 次の数列について、次の問いに答えなさい。
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 51、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、・・・⑴

67は左から何番目の分数ですか。

⑵

左から 60 番目の分数はいくつですか。

16群数列 - 個数が三角数

■

解答

１ ⑴
⑵
⑶
２ ⑴

■
１、10、10、２、55
１、15、15、２120
１、20、20、２
210⑷

13 ⑸

15

３ ⑴

７、２⑵

９、５

11、４ ⑷
19、10

13、９⑵

⑶

⑶

⑶

９

４ ⑴

７⑵

⑵

⑶
⑸

８ ⑴

11

①５、５

②
③
①②
③
①②
③

５、15
15
６、５５、５、2020
７、５６、５、26
26⑵⑶①10、10②11、10101110、５９、５、50

①②10
12 11

13 ⑴

６ ６⑵

10、5511、1010、10、6512、1011、10、76

③

５ ９
７ ⑴

②
①②
①②

151 番目

11 ⑴

１、２、３、４
７７、７７９、５10、５５10、10

９ 103 番目
10①②③①②③①1723 番目⑵

711

群数列 - 個数が三角数

■
５解説

■

第１ｸﾞﾙｰﾌﾟ 第２ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第３ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第4ｸﾞﾙｰﾌﾟ

10

第１ｸﾞﾙｰﾌﾟ 第２ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第4ｸﾞﾙｰﾌﾟ

1,｜1,2,｜1,2,3,｜1,2,3,4,｜･･･

1,｜1,2,｜1,2,3,｜1,2,3,4,｜･･･

100＝１＋２＋３＋･･･＋13＋９

１回目→15 グループの 15 番目
２回目→16 グループの 15 番目
３回目→17 グループの 15 番目
よって、
１＋２＋３＋･･･＋16＋15

91
より、100 番目の数は、第 14 グループの９番目の数。よって９６

第３ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第１ｸﾞﾙｰﾌﾟ 第２ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第３ｸﾞﾙｰﾌﾟ

16 ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第4ｸﾞﾙｰﾌﾟ

1,｜2,1,｜3,2,1,｜4,3,2,1,｜･･･＝(１＋16)×16÷２＋15＝151(番目)50＝１＋２＋３＋･･･＋９＋５
45
12
より、50 番目の数は、第 10 グループの５番目の数。
第 10 グループを書き出すと、
10,9,8,7,6,･･･ よって６９

第１ｸﾞﾙｰﾌﾟ 第２ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第３ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第３ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第4ｸﾞﾙｰﾌﾟ

1 12 123 1234
2,｜3,3,｜4,4,4,｜5,5,5,5,｜･･･

55＝１＋２＋３＋･･･＋10
より、55 番目の数は、第 10 グループ
10の 10 番目の数。よって11

第4ｸﾞﾙｰﾌﾟ

1,｜1,2,｜1,2,3,｜1,2,3,4,｜･･･
１回目→12 グループの 12 番目
２回目→13 グループの 12 番目
３回目→14 グループの 12 番目
よって、
１＋２＋３＋･･･＋13＋12

第１ｸﾞﾙｰﾌﾟ 第２ｸﾞﾙｰﾌﾟ

13

第１ｸﾞﾙｰﾌﾟ 第２ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第３ｸﾞﾙｰﾌﾟ

第4ｸﾞﾙｰﾌﾟ

1 21 321 4321
1,｜2,2,｜3,3,3,｜4,4,4,4,｜･･･⑴

13 ｸﾞﾙｰﾌﾟ

6
7は第７グループの２番目の分数。
１＋２＋３＋･･･＋６＋２

６ｸﾞﾙｰﾌﾟ＝(１＋13)×13÷２＋12＝103(番目)＝(１＋６)×６÷２＋２＝23(番目)⑵

60＝１＋２＋３＋･･･＋10＋５55より、60 番目の数は、第 11 グループの５番目の数。
第 11 グループを書き出すと、
11 10 9 8 7
11,11,11,11,11,･･･
7
よって、1118