Kardar-Parisi-Zhang

界面成長のKPZ普遍クラス－ 実験と可積分模型の邂逅 －竹内一将（東京工業大学）

共同研究者
佐野雅己（東大）
笹本智弘（東工大）、Herbert Spohn（ミュンヘン工科大）
Jacopo De Nardis, Pierre Le Doussal （パリENS）

キーワード：「ゆらぎを伴う界面成長」
例1: 粒子堆積（身近な例：コーヒーリング効果）

ポリスチレンビーズによる再現実験 [Yunker et al. Nature 2011, PRL 2013]

キーワード：「ゆらぎを伴う界面成長」
例2: 単純な格子模型例）Edenモデル
既存粒子（赤）に隣接する空サイト（黄色）をランダムに選び、粒子を追加していく。
[movie taken from web]

キーワード：「ゆらぎを伴う界面成長」
ランダム界面成長（短距離相互作用）の様々な例
増殖する癌細胞集団

紙の燃焼[Maunuksela et al. 1997-]（森林火災と関連？）[Huergo et al. PRE 2012]

共通点：ランダム界面成長の結果、凸凹の界面が現れる！
スケール不変普遍的なスケーリング則連続体記述 線形理論: Edwards-Wilkinson 方程式

 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程式※変換により、

スケール不変性：変換(1+1)次元では指数が計算可能として良い。

で統計的性質が不変

特に、

様々な界面成長モデルがKPZ指数を示す

KPZ 普遍クラス

ブレークスルー（2000年～）
 KPZ方程式は解けないと思われていた。[Barabási & Stanley, textbook 1995]
 2000: いくつかの1次元離散模型に厳密解。「確率的可積分性」[Johansson CMP 2000, Prähofer & Spohn PRL 2000]

ゆらぎ の分布関数に解析的表現（同時刻多点分布にも厳密解） ランダム行列理論、組合せ論などとの関係も判明
 非平衡スケーリング則に厳密解。「普遍サブクラス」など新たな性質。
 2010: 1次元KPZ方程式にも厳密解 [Sasamoto & Spohn 2010, Amir et al. 2011]
Bethe仮説を用いた別解 [Calabrese et al. EPL 2010, Dotsenko EPL 2010]

KPZ方程式 ＆ Bethe仮説
1D KPZ、ノイズを平滑化（長さκで相関, 後で）withCole-Hopf 変換
確率熱方程式（形式的に…）

Stratonovich積伊藤積

KPZ方程式の「解」と定義（別の方法：Hairer のラフパス法）

Feynman-Kac 公式

N体レプリカ

初期条件

withLieb-Linigerモデル（引力版）
可積分！
Bethe仮説により解けるブレークスルー（2000年～）
 KPZ方程式は解けないと思われていた。[Barabási & Stanley, textbook 1995]
 2000: いくつかの1次元離散模型に厳密解。「確率的可積分性」[Johansson CMP 2000, Prähofer & Spohn PRL 2000]

ゆらぎ の分布関数に解析的表現（同時刻多点分布にも厳密解） ランダム行列理論、組合せ論などとの関係も判明
 非平衡スケーリング則に厳密解。「普遍サブクラス」など新たな性質。
 2010: 1次元KPZ方程式にも厳密解 [Sasamoto & Spohn 2010, Amir et al. 2011]
Bethe仮説を用いた別解 [Calabrese et al. EPL 2010, Dotsenko EPL 2010]

 可積分性は特殊な性質。

厳密解の結果は普遍性をもつのか？ 実験してみよう！
実験は、統計法則の普遍性を検証する、挑戦的かつ正当な方法
 実は、スケーリング指数ですら実験で確認された例は少ない。
 液晶の乱流の界面成長に注目し、実験する。
液晶乱流実験
 ネマチック液晶 = 棒状分子の向きが揃った、液体的状態
 異方的な物性

電場をかけて対流を駆動できる
 高い電圧下で2種類の乱流状態

DSM1 = 位相欠陥のない乱流 : 準安定
DSM2 = 位相欠陥だらけの乱流 : 安定x局所半径h(x,t)

液晶配向場における線状の位相欠陥凸凹の界面が出現！

DSM2

UVレーザー照射

DSM1
Speed x2,スケーリング指数
ゆらぎ振幅

∆x
局所半径h(x,t)

を使う
vs 時刻と一致 (1d KPZ)

δh

DSM2
DSM1
: 定数
: 確率変数: 長さの領域内の振幅= その領域内で、の標準偏差を測定

この実験系はKPZクラスに属する！と一致 (1d KPZ)

ゆらぎ分布の測定へ
kurtosis > 0

Key quantity: n次キュムラント

歪度 skewness =尖度 kurtosis =（Gauss分布では両方ゼロ）

skewness & kurtosis

破線：
ランダム行列理論におけるGUE Tracy-Widom 分布
skewnesskurtosis < 0

GUE Tracy-Widom分布
kurtosis
Gauss分布の場合

確率変数 はGUE Tracy-Widom 分布に従う？

[Tracy & Widom,Commun. Math. Phys. 159, 151 (1994)]

Tracy-Widom分布とは？

Gauss型ランダム行列の最大固有値が従う分布
例：Gaussian Unitary Ensemble (GUE) の場合
対角成分

Gauss分布
平均0 分散平均0 分散Hermite行列

非対角成分

全固有値の確率分布(Wignerの半円則)

GUE Tracy-Widom分布

対応関係？

Remark:Tracy-Widom分布はFredholm 行列式で記述される？
-2N-N0N

実験で得た
界面高さ

2N

:

への射影
:Airyカーネル

Tracy-Widom分布の直接検証
リスケールした高さ変数

ヒストグラムGUE Tracy-Widomからのずれ

GUE
確率密度

実験

1次
2次-4次

リスケールした高さ

界面ゆらぎは漸近的に GUE Tracy-Widom 分布を示す！
（4次キュムラントまで確認）
これは可積分模型に対する結果と一致 1次元KPZの普遍的性質！

Tracy-Widom を示す可積分模型
PNG（多核成長）モデルの場合 [Prähofer & Spohn, PRL 2000]
時間発展則(1) 確率的・局所的な核生成(2) 一定速度の横成長（成長速度1）円形界面の作り方
核生成が起こる範囲をに制限[または (x,t) = (0,0) で生じたプラトー上に制限]

directed polymer= (0,0)から(0,t)に到達するのに跨ぐ黒線の本数= (0,0)と(0,t)を結ぶ directed polymer (DP) が通る
黒点の最大個数 （点-対-点の問題）= 長さがPoisson分布するランダム順列の単調増加部分列の最大長さ= …（Young盤、Robinson-Schensted 対応など）…
= 漸近的に GUE Tracy-Widom 分布が出現

8765432112345678

核生成
ステップ

r: 1 2 3 4 5 6 7 8
ランダム順列 s: 4 7 5 2 8 1 3 6

界面形状依存性
線状レーザーを打ち込むことにより平面界面成長も実現
円形界面

平面界面h
しかしh

ゆらぎ分布を測ると…

Speed x5,
円形界面と同じスケーリング指数が現れる

指数は同じだが、ゆらぎ分布は異なる！

円形：平面：注）GUE : 複素 Hermite 行列
GOE : 実対称行列

[Prähofer & Spohn, PRL 84, 4882 (2000)]

なぜ形状依存？

circular

PNG 円形界面核生成が領域に制限

点 (0,0) & (0,t) で定まる正方形の時空間= 点-対-点 DP

GUE

PNG 平面界面核生成に制限なし
直線 t = 0 と点 (0,t) で定まる三角形の時空間= 線-対-点 DP
鏡像
点 (0,t) & (0,-t) で定まる正方形の時空間
GOE＋ 時間反転対称性

flat鏡像形状（または初期条件）が違う
時空間の対称性が違う。
KPZクラスは、異なる「普遍サブクラス」に分離する！

[Calabrese et al. 2010, Dotsenko 2010,
Calabrese & Le Doussal, PRL 2011]

なぜ形状依存？

KPZ 方程式の場合：背後にある対称性は同じに対する Feynman-Kac公式: ブラウン運動終条件: 「分配関数」: について平均

円形

平面
点-対-点 DP
ランダムポテンシャルの下での DP (directed polymer)
DP自由エネルギーに対し、GUE/GOE Tracy-Widom 分布が実際導出されている。
円形: Sasamoto & Spohn 2010, Amir et al. 2011,
Calabrese et al. 2010, Dotsenko 2010.
平面: Calabrese & Le Doussal, PRL 2011

線-対-点 DP[Calabrese et al.,EPL 90, 20002 (2010);
Dotsenko, ibid 20003]

Bethe仮説による導出（円形界面）
KPZ eq

引力的 Lieb-Liniger モデル
初期条件を計算したい。（: 固有状態）: 置換: （擬）運動量

Bethe仮説 :引力的 Lieb-Linigerの場合:
束縛粒子の “string” ができる (j番stringにMj粒子)e.g.) N=9 particles, J=3 strings

Tracy-Widom分布の Airy カーネル

空間相関関数
可積分模型の厳密解
 KPZ 空間相関は、Airy過程という確率過程の時間相関と等価 平面界面・円形界面は異なるAiry過程で記述

平面 : Airy1 過程
円形 : Airy2 過程[Sasamoto, JPA 2005][Prähofer & Spohn, JSP 2002]

 Airy2 過程= GUEランダム行列のブラウン運動（Dysonブラウン運動）として書ける。

 Airy1 と GOE の間にこの関係はない。

Airy2 = AGUE の最大固有値の運動（を適切にリスケールしたもの）

空間相関関数

Airy2 過程、すなわちDysonブラウン運動が見えている！

可積分模型の厳密解

 KPZ 空間相関は、Airy過程という確率過程の時間相関と等価 平面界面・円形界面は異なるAiry過程で記述

平面 : Airy1 過程
円形 : Airy2 過程[Sasamoto, JPA 2005][Prähofer & Spohn, JSP 2002]

2点 空間相関関数 ＠実験

Airy1 / Airy2 空間相関が実験でも現れた！
KPZの普遍的性質！

平面 = Airy1
円形 = Airy2※質的に異なる減衰円形:
rescaled length（べき減衰）

平面: 指数関数より速く減衰KPZ普遍サブクラス[レビュー：I. Corwin,Rand. Mat. Theor. Appl. 1, 1130001 (2012)]

指数は同じ、しかし分布関数・相関関数が異なる。
円形界面• 初期条件：点または（無限に細い）楔形

例えば• ゆらぎ分布 ：GUE Tracy-Widom分布• 空間相関 ：Airy2過程と等価平面界面• 初期条件 ：直線• ゆらぎ分布 ：GOE Tracy-Widom分布• 空間相関 ：Airy1過程と等価定常界面• 初期条件 ：定常状態界面• ゆらぎ分布 ：Baik-Rains分布
注1）他のサブクラスもある。

（ブラウン運動と等価）

注2）時間相関はよくわかっていない。

[KaT & Sano, J. Stat. Phys. 147, 853 (2012)]

時間相関関数
平面界面• スケーリング仮説

円形界面

同じスケーリング仮説。ただし（その後、理論でも確認• 長時間挙動[Ferrari & Spohn, SIGMA 2016]）(!)
無限に持続する時間相関時間相関の持続性
経過時間を無次元化：(flat),

実験(circular)
数値計算（Edenモデル）
円形円形

平面
異なる色・記号= 異なる t1

円形界面では時間相関が持続！ ある種のエルゴード性の破れ。理解できるか？

[De Nardis, Le Doussal, KaT, PRL 118, 125701 (2017);
De Nardis & Le Doussal, J. Stat. Mech. 2017, 053212]

理論
KPZ eq = 引力的 Lieb-Liniger モデル
 1点分布：string単位で足し合わせる 2点（2時刻）分布：

粒子
N2個
粒子
N1+N2個母関数

2点分布の確率密度解を閉じた形で書けていない[De Nardis, Le Doussal, KaT, PRL 118, 125701 (2017);
De Nardis & Le Doussal, J. Stat. Mech. 2017, 053212]

1-String 近似

1つめの和の主要項：（N1+N2 個の全粒子が束縛） 閉じた形の解が求まる！

粒子
N2個
粒子
N1+N2個が大きめでさえあれば非常に良い近似になっている。



高さと、高さの増加量

同時確率密度母関数がほしい。（本来の母関数 1-string 近似の母関数

全粒子束縛をリスケール：を固定、）

[De Nardis, Le Doussal, KaT, PRL 118, 125701 (2017);
De Nardis & Le Doussal, J. Stat. Mech. 2017, 053212]

近似解の表式
母関数の1-string近似解：

ここで:への射影: GUE Tracy-Widom 分布

新たに現れたカーネル

時間差に対する同時確率密度値を数値的に評価し、実験・シミュレーションと比較の近似解：

検証：条件つきキュムラント
条件つきキュムラント

液晶乱流実験

1-string近似解と一致！

（[De Nardis, Le Doussal, KaT,PRL 118, 125701 (2017)]を満たす時系列に対して平均）

Edenモデル シミュレーション※ 有限時間効果の軽減のため、を満たすで平均をとった。

[De Nardis, Le Doussal, KaT,PRL 118, 125701 (2017)]検証：条件付き相関関数（を満たす時系列に対して計算）

液晶実験

Edenモデル シミュレーション

1-string近似解と一致！

[De Nardis, Le Doussal, KaT, PRL 118, 125701 (2017);
De Nardis & Le Doussal, J. Stat. Mech. 2017, 053212]

相関関数の持続性

本来の（条件なし）相関関数
Eden シミュレーションの1-string近似解相関が残るメカニズム

近似が有効

consistent
相関関数の残留値

Directed polymer の重なり相関関数の持続性• 相関関数の残留値を半定量的に再現できた。
• 相関が残るメカニズムも明らかにできた。

[see also Ferrari & Spohn, SIGMA 12, 074 (2016)]

まとめ
1次元KPZ: 可積分性と普遍性が両立
可積分模型の諸性質が（非可積分な）実験も記述する！
KPZ統計法則の実験検証[KaT & Sano, PRL 110, 210604; J. Stat. Phys. 147, 853]

 可積分模型で示された諸性質を実験的に発見（KPZ指数、GUE/GOE Tracy-Widom 分布、Airy 過程など）
 KPZ クラスは複数の「普遍サブクラス」に分離する（円形・平面・定常…）

理論の未解決問題へ：時間相関[De Nardis, Le Doussal, KaT,PRL 118, 125701 (2017)]

 円形界面実験：時間相関関数の持続性を発見

 KPZ方程式 ＋ Bethe仮説 ＋ 1-string近似により2時刻分布の解析的な近似解が初めて計算できた。
実験・数値計算データを精度よく再現

 相関が残るメカニズムも明らかにできた。

実験と厳密解が定量的に比較でき、相補的に発展！
[非専門家向けのKPZ講義ノート：KaT, arXiv:1708.06060]