数理解析研究所講究録
第 1694 巻 2010 年 151-159

151

ある Hartogs 領域のベルグマン核の明示公式について
名古屋大学・多元数理科学研究科

山盛厚伺*(Atsushi Yamamori)
Graduate School of Mathematics,
Nagoya University

1

序
一般に複素領域に対するベルグマン核の明示公式を得ることは困難な問題であり,このことがベルグマン核の研究を難しくしているーつの要因ともいえる. 実際, 現在具体的な表示が得られているような領域は, 自己同型群が領域へ良い作用をしている場合や, 正規直交基底が具体的に計算できる場合が殆んどである. さらにそれらの方法は (単位円板などの簡単な場合を除き) かなりの計算量が必要とされる. 従って, 明示公式が得られる
ような領域を (少ない計算量で) 新しく見出すことは意味のある問題であるといえる.
この論説では, 従来とは違う方法を用いて具体的にベルグマン核が書き下せるような領域を新しく提供する. ここでは $D_{n,m}:=\{(z, \zeta)\in \mathbb{C}^{n}\cross \mathbb{C}^{m};||\zeta||^{2}<e^{-\mu||z||^{2}}\}$ を考察する (ここで,は正の実数定数).
\S 2 で述べるがこの領域のベルグマン核と Fock-Bargmann 核 (例 2.2) は Ligocka の定理(定理 2.1) によって非常に密接に関係している. この論説で $D_{n,m}$ という領域を考察するのはこのような事情があるからである.
今回この論説で領域のベルグマン核の明示公式を得るために, 自己同型群の作用を用いるものでも, 正規直交基底を具体的に書き下す方法でもなく, Ligocka の定理という Hartogs 領域のベルグマン核とその底空間の重み付きベルグマン核との間に成り立っ公式を用いる. 論文 [23] においては解析的な手法によって $D_{n,m}$ のベルグマン核の具体的公式を得たのであるが, この論説では別証明をあたえることにしよう. この方法は [7]で使われているものの類似であり, 後で述べる Lu Qi-Keng 問題を考察する際にも重要に$\mu$$D_{n_{\dagger}m}$なる.

本稿の構成は以下の通りである.

まず \S 2 において証明に必要な定義, 結果を導入すの Lu\S 3 において主定理の証明を行う. \S 4 では我々の明示公式を用いて領域
Qi-Keng 問題を考察する. \S 5 では関連する問題について述べる.
Lu Qi-Keng 問題とは領域 $D$ のベルグマン核が $(D\cross D$ 上で zero-free かどうか判定せよという問題である. この問題は十年ほど前から多数の人がいろいろな領域に対し研究を行っている. 例えば [3, 4, 16, 20, 25, 26] を参照. この問題の動機は Bergman が導入した
代表座標の定義可能性を問うものである (詳しくは [4] を参照). 代表座標は多くの著者によりさまざまな研究がされており (例えば [2, 15, 21] を参照), 様々な応用がある. 従って,その定義可能性を問う Lu Qi-Keng 問題も重要であるといえる.

る.

$D_{n,m}$

$)$

$*e$

-mail:d08006u@math.nagoya-u.ac.jp

152

2

準備

2.1

ベルグマン核と重み付きベルグマン核

複素領域間を表す ($L_{a}^{2}(\Omega)$$\{\phi_{k}(z)\}_{k=1}^{\infty}$上の正則関数で二乗可積分な関数全体のなす空の完全正規直交基底
はベルグマン空間と呼ばれる). このとき,$\Omega\subset \mathbb{C}^{n}$に対し$L_{a}^{2}(\Omega)$

で$\Omega$$L_{a}^{2}(\Omega)$に対し,$K_{\Omega}(z, w)= \sum_{k=1}^{\infty}\phi_{k}(z)\overline{\phi_{k}(w)}$をベルグマン核という. ベルグマン核は再生性からも定義される.
と定義する. 関数
に内積を
すなわち,
$K_{\Omega}$$L_{a}^{2}(\Omega)$$\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}f(z)\overline{g(z)}dz$,$f,g\in L_{a}^{2}(\Omega)$,により定義する. このときベルグマン核 $K_{w}(z)=K(z, w)$ は任意の$(z\in\Omega)$$f(z)=\langle f,$ $K_{z} \}=\int_{\Omega}f(w)K(z, w)dw$となるような関数としても定義される.
重み付きベルグマン核も必要なので導入する.
二乗可積分な関数全体がなす空間に$\langle f,$$g \}=\int_{\Omega}f(z)\overline{g(z)}\rho(z)dz$$\rho(z)$,を$\Omega$$f\in L_{a}^{2}(\Omega)$に対し,上の正値関数とする.

$f,g\in L_{a}^{2}(\Omega)$$\Omega$

上の,によって内積を導入する. この空間を重み関数 に関する重み付きベルグマン空間といい, この空間の再生核を重み付きベルグマン核という. ベルグマン核, 重み付きベルグマ
ン核ともに具体的表示が知られているのは限られた領域だけである.
$\rho$

ベルグマン核を具体的に書き下せるような領域で最も簡単なものは単位円盤である:
例 2.1 (単位円盤). 単位円盤 $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C};|z|<1\}$ 上のベルグマン空間$L_{a}^{2}(\mathbb{D})$の正規直交基底として具体的に $\{\pi^{-1/2}(n+1)^{1\prime 2}z^{n}\}$ がとれるので, ベルグマン核は$K(z, w)= \frac{1}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(z\overline{w})^{n}=\frac{1}{\pi}\frac{d}{dt}\sum_{n=0}^{\infty}t^{n+1}|_{t=z\overline{w}}=\frac{1}{\pi}\frac{1}{(1-z\overline{w})^{2}}$

,

となる.

次に重み付きベルグマン核で具体的表示が得られているものとして Fock-Bargmann 核を例として挙げる. またこの例は我々の証明の中でも重要になってくる.
例 2.2 (Fock-Bargmann 空間). Fock-Bargmann 空間とは
で

$\mu$

$L_{a}^{2}(\mathbb{C}^{n}, e^{-\mu||z||^{2}})$なる空間 (ここは正の実数) であり, この空間の再生核を Fock-Bargmann 核とよぶ ([1, 11] を参照).

153
単項式

$f_{\alpha}=z^{\alpha}(=z_{1}^{\alpha 1}\cdots z_{n}^{\alpha_{n}})$に対し$||f_{\alpha}||^{2}= \int_{\mathbb{C}^{n}}|z^{\alpha}|^{2}e^{-\mu||z||^{2}}dV(z)=\frac{\pi^{n}\alpha!}{\mu^{|\alpha|+n}}$

,

となるので
$\{g_{\alpha}\}_{\alpha\in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n}}=\{(\frac{\pi^{n}\alpha!}{\mu^{|\alpha|+n}})^{-1/2}z^{\alpha}\}_{\alpha\in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n}}\subset L_{a}^{2}(\mathbb{C}^{n}, e^{-\mu||z||^{2}})$,はの正規直交基底になる.
とすると,従って Fock-Bargmann 核 $K_{n,\mu}(z, w)$ ほ$\{g_{\alpha}\}$$L_{a}^{2}(\mathbb{C}^{n}, e^{-\mu||z||^{2}})$

嘉$K_{n,\mu}(z, w)= \sum_{\alpha\in Z_{\geq 0}^{n}}g_{\alpha}(z)\overline{g_{\alpha}(w)}=\sum_{\alpha\in Z_{\geq 0}^{n}}(\frac{\pi^{n}\alpha!}{\mu^{|\alpha|+n}})^{-1}z^{\alpha}\overline{w}^{\alpha}=\frac{\mu^{n}}{\pi^{n}}\prod_{k=1}^{n}$$= \frac{\mu^{n}}{\pi^{n}}e^{\mu(zw\rangle})$$\text{欝_{}k^{k}}^{\alpha}\overline{w_{k^{\alpha_{k}}}}$,となる. ベルグマン核の具体的表示が知られている領域としてはこの他に$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$

古典領域 [14],Cartan-Hartogs 領域 [24],Cartan-Hartogs 領域を一般化したもの [22],minimal ball [18],complex ellipsoids [10, 19],などがある. [22, 24] では Cartan-Hartogs 領域 (およびその一般化) のベルグマン核を具体的に書き下すために正規直交基底による方法と自己同型群の作用を用いる方法を上手
く組み合わせているが証明に長い計算を要している. この論説や [23] のアイデアを用いると彼らのものと比べ少ない計算量で見通しのよい簡明な証明が得られる.

2.2
領域
おこう.

多重対数関数$D_{n_{I}m}$のベルグマン核の表示には多重対数関数が必要になるのでここで導入して定義 2.1. 多重対数関数 (polylogarithm function) は $Li_{s}(z)= \sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}z^{k}$ によって定義なる条件の下で収束する. 特に が負整数ならば $(s=-n$される関数で $|z|<1,$$s\in \mathbb{C}$

$s$

とおく),
$Li_{-n}(z)= \sum_{j=0}^{n}A(n,j)z^{j}(1-z)^{-n-1}$,

154という表示を持っ. ここで $A(?l,$$’\prime l)$は$A(n, m)= \sum_{\ell=0}^{7n}(-1)^{\ell}(\begin{array}{ll}n +1 \ell\end{array})(m- \ell)^{\gamma\gamma}$,で定義される.

多重対数関数は通常の対数関数の自然な一般化になっている. 実際, $s=1$ のときは多重対数関数は一 $\log(1-z)$ に一致する. また $s=2$ の場合は dilogarithm と呼ばれておりゼータ関数との関わりが深い. なお我々の目的に必要なのは が負整数の場合のみである. dilogarithm がゼータ関数と関わりが深いと述べたが,が負整数の場合もゼータ関数と関わりがある. が負整数の場合を考察したのはオイラーが最初であるようだが, そ
$s$

$s$

$s$

の動機はゼータ関数の負整数での特殊値を求めるためであった [13].
負整数の場合の最初の幾っかを挙げてみると次のようになる:

例 2.3.
$Li_{-1}(z)= \frac{z}{(1-z)^{2}}$,$Li_{-2}(z)= \frac{z^{2}+z}{(1-z)^{3}}$$Li_{-4}(z)= \frac{z^{4}+11z^{3}+11z^{2}+z}{(1-z)^{5}}$,,$Li_{-3}(z)= \frac{z^{3}+4z^{2}+z}{(1-z)^{4}}$,$Li_{-5}(z)= \frac{z^{5}+26z^{4}+66z^{3}+26z^{2}+z}{(1-z)^{6}}$.

後の証明で必要になる多重対数関数の性質をここでまとめておこう.
命題 2.1.

(1)$\frac{d}{dt}Li_{s}(t)=Li_{s-1}(t)/t$(2)$\sum_{j}^{n}=o(-1)^{n+j}j!S(n, j)(1-t)^{-1-j}=Li_{-n}(t)/t$

ここで $S(n, m)$ は第([6, 式 (2.1)] を参照),([6, 式 $(2.10b)]$ を参照),

2 種スターリング数とよばれるもので次で定義される:$S(n, m)= \frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}(\begin{array}{l}mi\end{array})(m-i)^{n}$2.3.

Ligocka の定理

このセクションでは我々の証明で重要な役割を果たすことになる結果を紹介する.

$\Omega$内の領域 (有界である必要はない) とし) $p(z)$ を 上の正値, 連続な関数とする. こを $\Omega_{m}:=\{(z, \zeta)\in\Omega\cross \mathbb{C}^{m};||\zeta||^{2}<p(z)\}$ によって定義する. このときのとき, 領域
Ligocka はのベルグマン核が領域 上の重み付きベルグマン核を使って表されることを証明した.
を$\mathbb{C}^{n}$$\Omega$$\Omega_{m}$$\Omega_{m}$$\Omega$定理 2.1 ([17]). 関数 $K_{m}$ を$\Omega_{m}$のベルグマン核,み付きベルグマン核とする. このときされる.

$K_{m}$$K_{\Omega,p^{k}}$を$\Omega$上の重み関数$p^{k}$に関する重は重み付きベルグマン核を用いて次の様に表$K_{m}((z, \zeta), (z’, \zeta’))=\frac{m!}{\pi^{m}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(m+1)_{k}}{k!}K_{\Omega,p^{k+m}}(z, z’)\langle\zeta,$$\zeta’\rangle^{k}$.

ここで, $(a)_{k}$ は Pochhammer symbol $(a)_{k}=a(a+1)\cdots(a+k-1)$ を表す.

155
この定理に関連する話題については Ligocka の原論文の他に [5, 8, 9] を参照.
注意 2.1. Ligocka の原論文では領域に有界という条件が課されているがそれは本質的でなく, 有界でなくても定理は成り立っ.
また Ligocka の定理はのベルグマン核に対する定理であるが f さらに$\Omega$$\Omega_{nz}$$\Omega_{m}=\{(z, \zeta_{1}, \cdots, \zeta_{N})\in\Omega\cross \mathbb{C}^{m_{1}}\cdots\cross \mathbb{C}^{m_{N}};\sum_{i=1}^{N}\frac{||\zeta_{i}||^{2}}{\phi_{i}(z)}<1\}$,という領域まで一般化することができる ( $N=l$ の場合がオリジナルの Ligocka の定理).
ここで,$\Omega\subset \mathbb{C}^{n},$$m=(m_{1}, \cdots, m_{N})\in \mathbb{N}^{N},$$\phi_{i}$は$\Omega$

上の正値, 連続関数. しかし, 今回の論説の目的には必要ないのでのこれ以上述べない.

2.4

Inflation の原理

Hartogs 領域のベルグマン核を具体的に書き下す場合に非常に有用で度々用いられている Inflation の原理について触れておく. 記号はセクション 2.3 のものを引き続き使う.
領域
は変換によって不変である. 従って,のベルグマン核に対し, ある関数$K_{1}((z,\zeta),(z’,\zeta’))=L(z,z’,\zeta\zeta’)$が存在し,と書ける. [3] で Boas
達はが関数とその微分を使って表されることを示した.
$(z, \zeta)\mapsto(z, e^{i\theta}\zeta)$$\Omega_{1}$$L(\cdot,$$\Omega_{1}$$K_{1}$$\cdot)$$\cdot,$$L$$K_{m}$

定理 2.2. 領域$\Omega_{m}$のベルグマン核$K_{?n}$は関数 $L$ を用いて次の様に表される :$K_{m}((z, \zeta), (z’, \zeta’))=\frac{1}{\pi^{m-1}}\frac{\partial^{m-1}}{\partial t^{m-1}}L(z, z’, t)|_{t=\langle\zeta,\zeta’\rangle}$.

注意 2.2. 前節で述べた Ligocka の定理を用いると原論文 [3] とは違う方法で Inflation の原理を証明することができる.

ベルグマン核の具体形を得る際 Inflation の原理を用いている論文として [22, 24] をあ
げておく.

3

主定理の証明主定理の証明に入る前に一つ補題を用意する.

補題 3.1. $P$ を多項式とする. このときる. このとき,$c_{j}$を$P(x)= \sum_{j}^{degP}=0c_{j^{\frac{(x)_{j}}{j!}}}$

なる式によって定義す$\sum_{k=0}^{\infty}P(k+1)\xi^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{degP}c_{j}\frac{(k+1)_{j}}{j!}\xi^{k}=\sum_{j=0}^{degP}c_{j}(1-\xi)^{-j-1}$となる. 特に $P(x)=x^{n}$ とすると $c_{j}^{n}=(-1)^{n+j}j!S(n,j)$ となる.

,

156
Proof. 前半部分は単純計算であるので省略し,Pochhammer symbol$(a)_{k}$$c_{j}^{n}$に関するところのみ証明する.

と falling factorial $(a)^{\underline{k}}=a(a-1)\cdots(a-(k-1))$ との間にの第二種スターリング数と falling factorial によ成り立つ関係式 $(a)_{k}=(-1)^{k}(a)^{\underline{k}}$ とる表示 $x^{n}= \sum_{j}^{n}=0S(n\}j)(x)^{\underline{j}}$ を用いると $x^{n}= \sum_{J}^{\prime\iota}=0(-1)^{n+j}S(n_{i}j)(x)_{j}$ , となることが$x^{n}$

わかる. 以上で $c_{j}^{n}=(-1)^{n+j}j!S(n, j)$ となることが示せた.

口

主結果は次の定理である.
定理 3.1. 領域 $D_{n,m}$ のベルグマン核$K_{D_{n_{1}m}}$は次で表される :$K_{D_{n,m}}((z, \zeta), (z’, \zeta’))=\frac{\mu^{n}}{\pi^{n+m}}e^{m\mu\langle z,z’)}\frac{d^{m}}{dt^{m}}Li_{-n}(t)|_{t=e^{\mu(z,z’\rangle}\langle\zeta,\zeta’\rangle}$

(1)

.

(2)

$= \frac{\mu^{n}}{\pi^{n+m}}\frac{d^{m-1}}{dt^{m1}\neg}\frac{Li_{-(n+1)}(e^{\mu\langle z,z’)}t)}{t}|_{t=\langle\zeta_{2}\zeta’\rangle}$

Proof. 例 2.2 で述べた Fock-Bargmann 核の具体的表示と Ligocka の定理より$D_{n,1}$のベルグマン核は$K_{D_{n,1}}((z, \zeta), (z’, \zeta’))=\frac{1}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\frac{(k+1)^{n}\mu^{n}}{\pi^{n}}e^{\mu(k+1)\langle z,z’\rangle}(\zeta\overline{\zeta}’)^{k}$$= \frac{\mu^{n}}{\pi^{n+1}}e^{\mu\langle z,z’\rangle}\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^{n+1}(e^{\mu(z,z’\rangle}\zeta\overline{\zeta}’)^{k}$,となる. ここで補題 3.1 よりこの式は$\frac{\mu^{n}e^{\mu\langle z,z’)}}{\pi^{n+1}}\sum_{j=0}^{n+1}c_{j}^{n+1}(1-e^{\mu\langle z,z’)}\zeta\overline{\zeta}’)^{-1-j}$に等しい. ここで命題 2.1.(2) を用いるとこの式は次と等しくなる:$\frac{\mu^{n}e^{\mu\langle z,z’\rangle}}{\pi^{n+1}}\frac{Li_{-(n+1)}(e^{\mu\langle z,z’\rangle}t)}{t}|_{t=\zeta\overline{\zeta’}}$.

以上で $m=1$ の場合のベルグマン核の式が得られた. 一般の $m$ についてはこの $m=1$の場合と Inflation の原理を用いればよい.
にあたるものはいまの場合, 関数$L(\cdot,$$\cdot)$$\cdot,$$L(z, z’, t)= \frac{\mu^{n}e^{\mu\langle z.z’)}}{\pi^{n+1}}\frac{Li_{-(n+1)}(e^{\mu(z_{1}z’\rangle}t)}{t}$,であるから, Inflation の原理を適用すれば目的の式 (2) が得られる. 式 (2) から式 (1) を導くには命題 2.1.(1) を用いれば良い. 以上によって証明が完了した.

$\square$注意 3.1. なお$\frac{d^{m}}{dt^{m}}Li_{-n}(t)$は第二種スターリング数$S(\cdot,$$\cdot)$を用いて$\frac{d^{m}Li_{-n}(t)}{dt^{m}}=\frac{m!\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n+j}(m+1)_{j}S(1+n,1+j)(1-t)^{n-j}}{(1-t)^{n+m+1}}$のように表される.
る [27].

,

また第一種スターリング数とレルビの超越関数を用いた表示もあ157

Lu Qi-Keng 問題への応用

4\S 1 にも述べた通り, この節では領域$D_{n,m}$に対する Lu Qi-Keng 問題にっいて述べる. [23]では以下の補題を用いて $D_{n,m}$ に対する Lu Qi-Keng 問題をある条件の下で解いた.

補題 4.1. 関数 $Li_{-n}(z)/z$ は任意の $n\geq 3$ に対し $|z_{0}|<1$ なる零点のときは $|z_{0}|<1$ なる零点は持たない (例 2.3 参照).

$z_{0}$をもつ. なお $n=1,2$

補題 42. $Li_{-2}(t)’ t$ の $m-1$ 階微分は$\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}\frac{Li_{-2}(t)}{t}=\frac{(m+1)!(t+m)}{(1-t)^{m+2}}$,と表される.
補題 43. $|\alpha|<1$ なる任意のが存在する.

$\alpha\in \mathbb{C}$に対し,$\alpha=e^{\mu\langle z,z’)}\langle\zeta,$$\zeta’\}$となる $(z, \zeta),$ $(z’, \zeta’)\in D_{nm1}$

それぞれの補題の証明は 23 で行われているので省略する.
これらの補題からっぎの結果が得られる.
$[$

定理 4.1 ([23]). 領域$D_{n_{I}m}$$]$は $n=1,$ $m\geq 1$ のとき

zero-free であり, $m=1,$ $n\geq 2$ のとき零点を持つ.

5

関連する問題最後に関連する問題, 話題について述べる. このうちのいくつかは RIMS 研究集会の際に提案されたものでありこの場を借りて感謝します.
問題 1. 一般の場合の$D_{n_{1}m}$の $Lu$ Qi-Ken9 問題はどのようになっているか ?

問題 2. Ligocka は 17 においてセゲー核に対しても類似の公式を得ている. それに対し
$[$

$]$

この論説と類似の方法を適用するとなにがでてくるか?
問題 3. 領域 $D_{n,m}$ 自体は非有界であるが $D_{n,m}$ と双正則同値であるような有界な領域$D_{n,m}$ はあるか ?
問題 4. Kashiwara の holonomy 系との関連は ?

Kashiwara の holonomy 系については [12] を参照.
謝辞:

筆者に講演の機会および本講究録の執筆の機会を与えて下さった大沢健夫先生,

また本原稿について多くの有益なコメントを頂いた伊師英之先生に深く感謝します.

158
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