数理解析研究所講究録977 巻 1997 年 69-75

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FREE SHIFTON THE REDUCED FREE PRODUCT OF

大阪教育大学上の変換$\alpha$: $narrow n+1$ から引き起こされる-ALGEBRAS長田まりゑ (Marie Choda)

C*環又は、 von Neumann 環 $A$ が、 整数全体$\mathbb{Z}$$C^{*}$$A$$\mathbb{Z}$を用いて構成されている時に、の変換を、 シラト (shift) と呼ぶ。

その代表例は、 エルゴード理論で現れるベルヌーイ変換である。 その非可換版として、$\mathrm{n}$次正方複素行列環の無限テンソル積で与えられる C*環及び von Neumann環上の、 いわゆる非可換ベルヌーイ変換があり、 より -般化された非可換ベルヌーイ変換が、 Subfactor theory 及び Sector$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{y}\text{、}$そしてエントロピー問題の興味から、 取り扱われている。 より -層きつい非可換性を有するシフトとして、 ($\mathbb{Z}$個の生成元を持つ自由群の群環に代表される) 自由積環上の変換が在る。 それを、 自由変換 (Free shift) と呼ぶ。
ここでは、 次の様に定義された$C^{*}$-環の制限自由積野上の自由変換について、 エントロピーに関する結果の報告をする。

A。を unital $c*$ -algebra とし$\phi_{i}=\phi 0$$\phi_{i}$$\emptyset 0$

を$A_{0}$の stateとする。

とおく。 制限自由積 (reduced free product)

により 空間上へ標準的に作用させ,$H_{i}$$\xi_{i}$$i\in \mathbb{Z}$に対して、 $A_{i}=A_{0}$ ,$(A, \phi)=(*_{\mathit{1}}*, *\phi_{i})_{i}\in \mathbb{Z}$は$([\mathrm{V}])$ををその canonical ベクトルとした時、free product Hilbert space $(H, \xi)=(*H_{i}, *\xi i)i\in^{z}$ 上の $c*$ -環として、 Arvitourと Voiculescu$A_{i}$

により独立に定義された。 $A$ の state$\phi$$([\mathrm{A}])$は\mbox{\boldmath $\phi$} $()=<\xi,$ $\xi>$ により定義されている。
$A_{i}^{\mathrm{e}}=$$\{a \in A_{i} :\phi_{i}(a)=0\}$とし、

red$(A)=\{a_{i_{1}}\cdots a_{i_{n}} :a_{i_{j}}\in A_{i_{j},\mathrm{l}}^{\mathrm{o}} i\neq\cdots\neq i_{n}\}$Typeset by$A\mathrm{A}\beta \mathfrak{k}\mathbb{E}^{\mathrm{c}}$70と置くと、 red
は $A$ 上の$(A)\subset A^{\mathrm{o}}$$\phi\cdot\alpha=\phi$且つ$\mathbb{C}1+\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}$span red $(A)$ はを充たす自己同型写像 (free shift)

この free shift は、 非常に強いエルゴード性をもち、$\alpha$$A$で稠密となり、 変換$\alpha$を引き起こす。

C*環のテンソル積や制限自由積との関連で, 他に影響を与える。
以下、 $A$ は、 制限自由積環 $(A, \phi)=(*A_{i}, *\phi_{i})i\in \mathbb{Z}$ とし、 単位元を持つ二つの環 $B$ と $C$ に対して、$\mu\cdot\beta=\mu$$\beta$を充たす $B$ のを $B$ の自己同型写像、$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}_{\text{、}}$$p$$\gamma$を $C$ の自己同型写像とし、$C^{*}-$$\mu$をを $p\cdot\gamma=\rho$ を充たす $C$ の state とする。 制限自由積環 $(A*C, \phi*\rho)$ と $C$ とのテンソル積 $(A*C)\otimes B$ を考える。
補題 1$([\mathrm{C}\mathrm{N}])$

勝手なの outer

補題 2$E_{\phi}$$\beta$$\mathrm{a}c$と.

$\gamma$に対して、 $(A*C)\otimes B$ の automorphism$(\alpha*\gamma)\otimes\beta$

は、 常に$\mathbb{Z}$tion を与える。

$([\mathrm{C}\mathrm{h}])$.

を $E_{\phi}(a)=\phi(a)1,$ $(a\in A)$ により定義された $A$ からexpectation とすると、$E_{\phi}$$\mathbb{C}1$へのconditionalと $B$ 上の identity map $id_{B}$ との制限自由積 $(E\phi*idc)$が定義できて、 $F=(E_{\phi}*idc)\otimes id_{B}$ は $(A*C)\otimes B$ から $C\otimes B$ への conditional
expectation となる。
定理 3 ([Ch]).
$\psi$

を $(A*C)\otimes B$ の state とするとき、$\phi\cdot(\alpha*\gamma)\otimes\beta=\phi$である為の必要十分条件は、 $C\otimes B$ 上の$\psi=\omega\cdot F$という形式をしていることである。

-不変な state$\gamma\otimes\beta$$\omega$が存在して71上の定理は、 特に、 $C=\mathbb{C}1$ とした時には、 [Connes-Narnhofer-Thirring

は、$([\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}|)$$\mathrm{A}$:4.1 Proposition] にあたる。の\rho に関するエントロヒ$\circ$$\gamma$von Neumann 環の トレース保存 automorphism に対する–$h_{\rho}(\gamma)$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{S}- \mathrm{s}\mathrm{t}\phi \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$をエント

ロピ一 $H(\cdot)$ の拡張として、定義した。 Sauvageot-Thouvenot は、 Connes-Nmnhofer-Thirring エントロピーの類似エントロピー$H_{\rho}(\gamma)$

は C*-環 $C$ が、 nuclear な時に、 一致する

Sauvageot-Thouvenot エントロピー$B$$H_{\rho}(\gamma)$が可換で、 $C\otimes B$ 上の state$\psi$$H_{\rho}(\gamma)$を定義した。 二つの値

$h_{\rho}(\gamma)$と$([\mathrm{S}\mathrm{T}])$。

は、 次の様に定義される。

が$\psi(c\otimes 1)=p(C)$,$(c\in C)$を充たす時、 対 $(\psi, B)$ を $(C, p)$ の coupling と呼ぶ。 $(C, \rho)$ の coupling $(\psi, B)$ に対して、$\mu(b)=\psi(b\otimes 1)$と置くことにより、 $B$ の state

automorphism とする。 勿論、$\{p_{i}\in B:1\leq i\leq n, \sum_{i}p_{i}=1\}$$\mu$$\beta$を得る。

,$\beta$$(b\in B)$

を $B$ の $\psi\cdot\gamma\otimes\beta=\psi$ を満足する

は $\mu\cdot\beta=\mu$ を充たす。 orthogonal projectionsから成る $B$ の有限分割 $P$ に対して、$H_{\mu}(P)= \sum-\mu(pi)\log\mu(p_{i})$
$i=1$

かっ

$h^{j}( \psi, \mathrm{p})=\varliminf\frac{1}{k}karrow\infty H_{\mu}(\beta-i(\mathrm{p}))-H_{\mu}(\mathrm{p})+ki=0-1S(\emptyset\otimes(\mu|_{p}), \psi|_{A\otimes P})$と置く。 ただし、$S(\cdot, \cdot)$は states の双対エントロピー

Sauvageot-Thouvenot エントロピーは、$H_{\phi}( \alpha)=\sup h^{J}(\psi, \mathrm{p})$,$([\mathrm{P}\mathrm{w}], [\mathrm{K}])$である。 その時、

72として定義される。 ただし、 $\sup$ は、 全ての couplings $(\psi, B)$ とすべての分割 $P$ とすべての上の様な automorphisms$\beta$を動かして、 取られる。

定理 3 を使って、 次の定理 4 が得られる。
定理 4 ([Ch]).

勝手な $C,$$\gamma,$$p$に対して、 Sauvageot-Thouvenout エントロピーは次の関係式を充たす。
$H_{\phi*\rho}(\alpha*\gamma)=H_{\rho}(\gamma)=H_{\phi}\otimes\rho(\alpha\otimes\gamma)$$A,$ $C$.

が nuclear ならば、 $A\otimes C$ は、 nuclear であるから、 次を得る。

系5$A,$ $C$

が nuclear ならば、

$h_{\phi\otimes p}(\alpha\otimes\gamma)=h(\rho\gamma)$

nuclear 制限自由積環$A$の代表例は、 Cuntz 環

又定理 4 に於いて、 特に、系6 ($[\mathrm{S}3_{\text{、}}$$C=\mathbb{C}1$.

$\mathcal{O}_{\infty}$である。とすると、 次の結果がでる。

Ch]).

$H_{\phi}(\alpha)=0$.

エントロピーは、 エルゴ一 } 的な automorphism に対して、 意味を持つ不変量で$\backslash \backslash ^{\backslash }$ある。 automorphism$\gamma$は、 制限 $c*$ -接合期の automorphism Ad $u(\gamma)$$c_{\lambda_{\gamma}\mathbb{Z}}$の unitary $u(\gamma)$

を引き起こす。 一般に、

entropy of Ad$u(\gamma)\geq$

entropy of$\gamma$を生じ$c_{\lambda_{\gamma}\mathbb{Z}}$73である。 この等号が成立するか否かという質問が、 [S] により提示されている。特に、$\gamma$が測度空間 $X$ 上の測度保存エルゴード変換からくる $L^{\infty}(X)$ の automorphismの場合には、 等号が成立することが、 Voiculescu [V] により示された。
ここでは、 自由シフト関係で、 Ad$u$$\alpha$に対して、 この等号が成立すること、 及び、 定理 4 との問題を扱う。

そのために、 定理 3 の Ad

$E$を$u$版の為に、 次の定理 7 を得る。

$((A*C)\otimes B)\rangle\triangleleft(\alpha*\gamma)\otimes\beta \mathbb{Z}$から $(A*C)\otimes B$ の上への conditional expectationとし、$(\phi\overline{*p)\otimes}\mu=(\emptyset*\rho)\otimes\mu\cdot E$と置く。
定理 7 ([CN]).
$((A*C)\otimes B)\lambda(\alpha*\gamma)\otimes\beta \mathbb{Z}$expectation(1)$\epsilon$

から $C^{*}(C\otimes B, u((\alpha*\gamma)\otimes\beta))$ の上への conditional

で、 つぎの条件を充たすものが存在する :$(\phi\overline{*p)\otimes}\mu\cdot\epsilon=(\phi\overline{*p)\otimes}\mu$(2) $\epsilon(xu)=F(x)u$ ,$(x\in(A*C)\otimes B)$(3) 任意の $x\in((A*C)\otimes B)\lambda \mathbb{Z}$ と数$n_{1},$ $\cdots,$ $n_{p}$$\epsilon>0$に対して湿る 自然数$P$と$P$個の自然が存在して、$|| \epsilon(x)-\frac{1}{p}\sum^{p}\hat{\alpha}^{n}i=1i(_{X})||<\in$を充たす。 ただし、$\hat{\alpha}(xu((\alpha*\gamma)\otimes\beta))=((\alpha*id_{C})\otimes id_{B})(x)u((\alpha*\gamma)\otimes\beta),$$x\in(A*C)\otimes B$

この結果は、 定理 3 のの接合凹版として接合積上の state を決定する。
定理 4 の接合積版として、 次を得る。

.

74

定理 8

$([\mathrm{C}\mathrm{N}])$.

$H_{\overline{\phi*p}}(\mathrm{A}\mathrm{d}u(\alpha*\gamma))=H_{p}\wedge(\mathrm{A}\mathrm{d}u(\gamma))=H_{\overline{\phi\otimes p}}(\mathrm{A}\mathrm{d}u(\alpha\otimes\gamma))$

特に、 $C$ を trivial algebra$\mathbb{C}1$とすると、 自由シフトに対して、.

$\mathrm{s}_{\mathrm{t}\phi \mathrm{r}\mathrm{m}}\mathrm{e}\mathrm{r}$の問題の等号が得られる : 即ち

$H_{\phi}(\alpha)=0=H_{\phi}\wedge(\mathrm{A}\mathrm{d}u(\alpha))$更に、$\beta$.

を $n$ 点集合の積空間上の Bernoulli shift とし、 $A$ が nuclear だとすると、 Connes-Narnhofer-Th 並 ring エントロピー$([\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{T}])$に対して、$h_{\overline{\phi\otimes\mu}}(\mathrm{A}\mathrm{d}u(\alpha\otimes\beta))=h_{\hat{\mu}}(Adu(\beta))=\log n=h_{\mu}(\beta)=h_{\phi\otimes\mu}(\alpha\otimes\beta)$.

REFERENCES[A] D. Avitzour: Free products of$C^{*}$-algebras, Ians. Amer. Math. Soc., 271(1982), 423-435.

[B] E. B\‘e$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}$: On the uniqueness of the traces on some simple$C^{*}$-algebras,.

$J$

Operaior Theory 30 (1993), 149-160.
[Ch] M. Choda : Reduced free products of completely positive maps and entropy
for free products of automorphismo, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 32 (1996),

179-190.
[CN] M. Choda and T. Natume : Reduced$C^{*}$-crossed products by free shifts,

Preprint, (1996).
[CS] A. Connes and E.

$\mathrm{S}\mathrm{t}\phi \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$: Entropy of$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}$von Neumann algebras, Acta Math.,

134 (1975), 289-306.
[CNT] A. Connes, H. Narnhofer and W. Thirring: Dynamical entropy of$C^{*}$

algebrasand von Neumann algebras, Commun. Math. Phys., 112 (1987), 691-719.

75[C] J. Cuntz: Simple$C^{*}$-algebras generated by isometries, Commun.

Math.

Phys., 57 (1977), 173-185.
[K] H. Kosaki : Relative entropy of states: a variational expression, J. Operator

Theory 16 (1986), 335-348.
[P] R. Powers : Simplicity of the$C^{*}$-algebra associated with the free group on

two generators, Duke Math. J. 42 (1975), 151-156.
[PW] W. Pusz and S. Woronowicz : Form convex functions and the WYDL andother inequalities, Letter Math. Phys. 2 (1978), 505-512.
[S1] E.

[S2] E.

$\mathrm{S}\mathrm{t}\phi \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{S}\mathrm{t}\phi \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$: Entropy in operator algebras, Preprint, 1992.

: Entropy of some automorphisms of the$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}$factor of the freegroup in infinite number of generators, Invent. Math. 110 (1992), 63-73.
[S3] E.

$\mathrm{S}\mathrm{t}\phi \mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}$: States and shifts on infinite free products of$C^{*}$-algebras, Pre-print, University of Oslo, 1995
[ST] J-L. Sauvageot and J-P Thouvenot: Une nouvelle d\’efinition de l’entropie dy-namique des syst\‘emes non commutatifs, Commun. Math. Phys. 145 (1992),411-423.
[V1] D. Voiculescu: Symmetries of some reduced free product$C^{*}$-algebras, Opera-

tor Algebras and Their Connection with Topology and Ergodic Theory (LectureNotes in Math. 1132). Springer Verlag, 1985, 556-588.
[V2] D. Voiculescu: Dynamical approximation entropies and topological entropy

in operator algebras, Commun. Math. Phys. 170 (1995), 249-281.

[VDN] Voiculescu, D. Dykema, K. and Nica, A. : Free random

Monograph vol. 1). $AMS$, 1992

$va\dot{n}ab\iota es,$$(CRM$