熱場の量子論＠京都大学基礎物理学研究所、2017年8月29日

場の量子論のカオス とブラックホール
橋本幸士（大阪大学）

21974年 米谷、ScherkとSchwarz が、弦理論が重力を含むことを発見。重力の量子論へ。
Yoneya, Prog.Theor.Phys. 51 (1974) 1907.
Scherk, Schwarz, Nucl.Phys. B81 (1974) 118.

1976年 Hawking、ブラックホールの情報喪失問題。

Hawking, Phys.Rev.D14(1976)2460.

1997年 Maldacena が AdS/CFT 対応を発見。
ある量子重力理論が定義される
Maldacena, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998) 231.

2008年 ブラックホール＝fastest scrambler 予想。
Sekino, Susskind, JHEP 0810 (2008) 065.

2015年 カオス上限予想。

Maldacena, Shenker, Stanford, JHEP 1608 (2016) 106.

2014年 Kitaev が最大カオス量子力学を発見。
31

カオス と 量子カオス

6ページ

2

場の量子論の カオス の例

4ページ

3

ブラックホール による カオス

4ページ

4

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ

1カオス と 量子カオス

6ページ

カオス：非予測性
ポアンカレ断面がカオスを知る
リャプノフ指数がカオスを測る
量子系にはリャプノフがない？
素粒子標準模型のカオス？
量子リャプノフ指数に向けて

2

場の量子論の カオス の例

4ページ

3

ブラックホール による カオス

4ページ

4

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ

1-1

カオス：非予測性

非線形決定力学系における非周期的な古典カオス ＝有界軌道が初期条件に鋭敏であること
歴史は長い- 三体問題 [Poincare, 1892]- バタフライ効果、気象 [Lorenz, 1963]- ビリヤード [Bunimovich, 1974]- Yang-Mills理論 [Savvidy 1981, Muller et al. 1992]
広汎な応用： 情報理論、化学反応、脳、経済、社会学、交通予測、暗号、…
61-2

ポアンカレ断面がカオスを知る
低エネ
ルギー

ポアンカレ断面位相空間の中の軌道

ẋ(t)
x(t)

高エネ
ルギー
7

1-3

リャプノフ指数がカオス度を測る
d(t)

d(0)

Ld(t)

d(0) exp[Lt]リャプノフ指数1d(t)L = lim lim
log
td(0)
d(0) 0 t

0.38 (l1 /l2 = 1)L

0.30 (l1 /l2 = 2)8

1-4

量子系にはリャプノフ指数がない？

理由１）シュレーディンガー方程式は線形
理由２）不確定性関係で、微小なズレが存在しない
量子カオスではリャプノフ以外で特徴づけされてきたハドロンの質量スペクトル
電場中のリチウム原子のスペクトル[Pando-Zayas, 00][Courtney, Spellmeyer, Jiao, Kleppner, 95]91-5

素粒子標準模型のカオス？

問題 : 量子??
問題 : フェルミオン ??
素粒子標準模型= ゲージ場、ヒッグス場、物質場
ボソニック なので古典解析可[Maanyan, Savvidy, Savvidy `81]
- 古典Yang-Mills カオス[Savvidy `84] [Muller, Trayanov `92]
- 古典Yang-Mills-Higgs カオス [Biro, Maanyan, Muller `94]

à QGPへの応用など [Kunihiro, Muller, Ohnishi, Schafer,Takahashi, Yamamoto ‘10] [Iida, Kunihiro,Muller, Ohnishi, Schafer, Takahashi ’13], ..
10

1-6

量子リャプノフ指数に向けて

解：ラージN極限でAdS側へ[Murata, Yoshida, KH `16]

E
一般的な場の量子論

0高エネルギー極限N
ラージ N 極限

古典極限

解：Out-of-Time-Ordered correlators （OTO相関）
Q(t)P (0)Q(t)P (0)f0

f1 eLt

Q(t)
Q(0)

2

[Larkin, Ovchinnikov `69]
[Kitaev `14] [Maldacena,Shenker, Stanford `15]11

1

カオス と 量子カオス

5ページ

カオス：非予測性
ポアンカレ断面がカオスを知る
リャプノフ指数がカオスを測る
量子系にはリャプノフがない？
量子リャプノフ指数に向けて

2

場の量子論の カオス の例

4ページ

3

ブラックホール による カオス

4ページ

4

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ

1

カオス と 量子カオス

5ページ

2

場の量子論の カオス の例

4ページ例１）線形シグマ模型
カイラル凝縮のカオス
例２）AdS/CFTでの古典メソン解析
Ncが大きくなるほどカオスは減る

3
4

ブラックホール による カオス

4ページ

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ

2-1

例１）線形シグマ模型

2-ﬂavor QCDの中性パイオンセクタ
SU(2)のσ3の回転の破れ- カイラル凝縮によって自発的に- クォーク質量によって陽にポテンシャルの底14

2-2カイラル凝縮のカオス[Murata, Yoshida, KH `16]

空間一様な場の時間変化にカオス
ポアンカレ切断：
E=100[MeV]
E=130[MeV]

リャプノフ指数403530252015105E=150[MeV]

E=200[MeV]

0130

140

150

160

170

[MeV]

180

カオス・非カオス転移

152-3

例２）AdS/CFTでの古典メソン解析

Large N メソン作用 = AdS中のSU(2) D7ブレーン作用[Kruczenski, Mateos, Myers, Winters `03]

メソン：
N=2 超対称 QCD :- N=4 超対称Yang-Mills ＋ N=2 quark hypermulaplets- 理論のパラメタ:- 2-ﬂavor, quark mass
- SU( ) gauge group with large- Large ‘t Hoon coupling
16

2-4

Ncが大きくなるほどカオスは減る[Murata, Yoshida, KH `16]

ポアンカレ切断
E=0.05

E=0.3

E=0.6

E=1

リャプノフ指数L

カオス・非カオス転移

17

1

カオス と 量子カオス

6ページ

2

場の量子論の カオス の例

4ページ例１）線形シグマ模型
カイラル凝縮のカオス
例２）AdS/CFTでの古典メソン解析
Ncが大きくなるほどカオスは減る

34

ブラックホール による カオス

4ページ

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ

1

カオス と 量子カオス

6ページ

2

場の量子論の カオス の例

4ページ

3

ブラックホール による カオス

4ページ

ブラックホールの地平面はカオス
カオス上限予想
地平面近傍の粒子の運動のカオス
ユニバーサルなカオス

4

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ

3-1

ブラックホールの地平面はカオス

ブラックホール = Fast scrambler?

[Sekino, Susskind `08]

衝撃波の遅延効果（赤方偏移） [Shenker, Stanford `13,`14]
地平面

t2

1+1次元dilaton重力理論での計算[Almheiri, Polchinski `14]
[Engelsoy, Martens, Verlinde `16] ..

Et1

E 2 T (t2 t1 )et2 =8 TM

リャプノフ指数 ＝ ホーキング温度
20

3-2

カオス上限予想

予想： 熱的OTO相関のリャプノフ指数は温度で上限
L2 T[Maldacena, Shenker, Stanford `15]

（AdS/CFT対応とブラックホールから）
SYK (Sachdev-Ye-Kitaev) 模型 [Kitaev `15][Sachdev,Ye `95]
(1+0 次元、 N個のマヨラナフェルミオン、disorder)
1
H=4!

NN

j[ijkl]i,j,k,l=1ijkjijkl jijkl = 6J 2lj,k,l=1- ラージNと強結合 Jで可解- 4点熱的OTO相関のリャプノフはカオス上限に一致[Kitaev `15] [Maldacena, Stanford `16] [Polchinski, Rosenhaus ‘16]
21

3-3

地平面近傍の粒子の運動のカオス
Kerr ブラックホールを回る
スピン粒子の運動はカオス[Suzuki, Maeda ‘96]

ただし運動は地平面から遠い注） Schwarzschild、Kerrまわりのgeodesic moaonは可積分

22

3-4

ユニバーサルなカオス[Tanahashi, KH `16]r

Potential V(r)Gravityr0「リャプノフ指数 ＝ ホーキング温度」
が地平面近傍でユニバーサル
セパラトリクスPot.

1
C ṙ +(r2(2 T )2r0rr0 )223

1

カオス と 量子カオス

6ページ

2

場の量子論の カオス の例

4ページ

3

ブラックホール による カオス

4ページ

ブラックホールの地平面はカオス
カオス上限予想
地平面近傍の粒子の運動のカオス
ユニバーサルなカオス

4

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ

1

カオス と 量子カオス

6ページ

2

場の量子論の カオス の例

4ページ

3

ブラックホール による カオス

4ページ

4

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ
ブラックホールをつらぬく曲面
Susskind 「双対はComplexity」
Complexity = 再構成ゲート数
量子回路の単位場の量子論のComplexity?

4-1

ブラックホールをつらぬく曲面

Eternal black hole

空間的極小曲面

双対

双対

有限温度 CFT[Hartman, Maldacena `13]

Complexity [Susskind ‘14]

[Susskind ‘14] [Stanford, Susskind ‘14][Brown, Roberts, Susskind, Swingle, Zhao ‘15]
and [Lehner, Myers, Poisson, Sorkin ‘16] [Couch, Fishler, Nguyen ‘16]
[Ben-Ami, Carmi ‘16] [Carmi, Myers, Rath ‘16] [Yang, Niu, Kim ‘17], … 26

4-2

Susskind 「双対はComplexity」

C : complexity[Susskind “Entanglement is not enough” ‘14]

Se

プラトー
線形な増加
時間

- エンタングルメントエントロピーはSまで(笠-高柳 面は地平面の内側へは行かない)- Complexity は exp[S] まで成長する
27

4-3

Complexity = 再構成ゲート数

定義 Complexity C(U ) :任意のユニタリー演算子 U に対し、C(U )は次を満たす最小のゲート Ui の数||U

U1 U2 · · · UC || <- ゲート Ui ユニバーサルゲート集合- Trace ノルム :-(1) : 正則化パラメタ
28

4-4

量子回路の単位

定義 ユニバーサルゲート集合:
どんなユニタリー演算子でもその積から再構築できるユニタリー演算子の集合例) n-qubit 系 (2n x 2n ユニタリー行列)|1· · · |0 , · · ·状態の基底: |0
ユニバーサルゲート集合: {Ui , Ui,j }Ui : single qubit ゲート ( i番目のqubitに作用)

Ui,j : i番目とj番目をエンタングルするゲート
29

4-5

場の量子論のComplexity？

提案（1+2次元 U(1)ゲージ理論）：
空間を格子化、ZN に離散化 [Iizuka, Sugishita, KH ‘17]
U(1) à ZN à Z2
L2-qubit
1+2次元U(1)系
ゲージ理論
2d空間 à L x L 格子
結果：非局所性が最大の系のみ C = exp[S]
提案（自由スカラー場理論）：
ヒルベルト空間をtruncateする[Jeﬀerson, Myers ‘17] (Myers @ Strings2017)

運動量空間でcMERAのアナロジーを用いる[Chapman, Heller, Morrochio, Pastawski ‘17]301カオス と 量子カオス

6ページ

2

場の量子論の カオス の例

4ページ

3

ブラックホール による カオス

4ページ

4

ブラックホールの内側 と 量子情報 5ページ
ブラックホールをつらぬく曲面
Susskind 「双対はComplexity」
Complexity = 再構成ゲート数
量子回路の単位場の量子論のComplexity?