数理解析研究所講究録1083 巻 1999 年 199-206

199

微分・差分方程式の解の解析接続
千葉大理学部石村隆–

千葉大理学部岡田靖則(Ryuichi Ishimura)(Yasunori Okada)

Introduction

1

この小論では、 $f(x)$ を次のような線型の微分差分方程式の解析的な解とするとき、 $f(x)$の定義域がどこまで拡張できるか、 ということを考察します :$\sum_{j=1}^{l}pj(D_{x})f(x-\lambda_{j})=0$(1.1),$(1 \leq j\leq l)$ はの点、 $p_{j}(D_{x})$ は定数係数の線型微分作用素 $p_{j}(D_{x})=$
但しここで各を表すとします。 このような方程式は畳込み方程式として捉えることができるの$\mathbb{R}^{n}$$\lambda_{j}$$\sum_{\alpha\alpha x}a^{j}D^{\alpha}$

で、 以下もう少し–般的に畳み込み方程式を複素領域で考察します。

2

畳込み方程式の特性集合と解の接続

この小論では開集合ことにする。 空間$D\subset \mathrm{C}^{n}$

に対し $D$ 上で定義された正則関数の空間を$\mathcal{O}(D)$で表すには通常のように $D$ 上の広義一様収束位相を入れる。 こうして得られた位相線型空間は Fr\’echet 空間になるが、 Distributions の場合と同じように、 その位相の任意の元 $S$ を、 解析的汎関数という。
を考えることができる。 特に的双対との双対性を表す内積は $<S,$ $f>$ と書くこと
解析的弓関数 $S$ と” テスト関数”の双対写像:にする : すなわち $<S,$ $f>:=Sf$ . さて $S$ は、 制限写像$\mathcal{O}(D)$$\mathcal{O}’(\mathbb{C}^{n})$$\mathcal{O}’(D)$$f\in \mathcal{O}’(\mathbb{C}^{n})$$r_{D}$:$\mathcal{O}(\mathbb{C}^{n})arrow O(D)$の像に入っているとき、 $D$ で支えられるという。 また、 $S$ がコンパで支えられるとは、 $K$ を含む任意の開集合 $D$ で支えられることとする。
クト集合
これは、 定数 $C>0$ が存在し、 次の評価式が成り立つことと同値である${}^{t}r_{D}$$\mathcal{O}’(D)arrow O’(\mathbb{C}^{n})$$K\subset \mathbb{C}^{n}$:.

$|<S,$ $f>|\leq c_{\sup_{z\in D}}||f(Z)|$$(f\in \mathcal{O}(\mathbb{C}^{n}))$.

”解析的汎関数に対しては、 このような集合 $K$ が Distributions の場合の、 台” の役割をするのであるが、 一般に解析的汎関数に対しては台そのものは定義できない。 さらに、 任意の解析的汎関数はあるコンパクト集合で支えられる。 ついでまでに、 (佐藤幹雄の) 超関数とは、実コンパクト集合$K\subset \mathbb{R}^{n}$で支えられる解析的汎関数 (の局所有限和) のことに他ならな200い。 さて、 解析的汎関数 $S$ に対し、 その Fourier-Borel 変換を次で定義する$\hat{S}(\zeta)$$S$:$:=<S,$ $\exp_{Z\cdot\zeta}>$ .

(2.1)

が $K$ で支えられるということは 8 の増大条件と関連する :Theorem 2.1. (P\’olya-Ehrenpreis-Martineau)

がコンパクト凸集合 $K$ で支えられるためが全体で定義された正則関数で、 任意の $\in>0$ に対しの必要十分条件は、 が存在して、 次の評価式が成り立つことである :$\hat{S}$$S$$C_{\epsilon}>0$$\mathbb{C}^{n}$$|\hat{S}(\zeta)|\leq\exp(HK(\zeta)+\epsilon$ED$(\zeta\in \mathbb{C}^{n})$

(2.2)

,

但しここで、 $H_{K}( \zeta):=\sup_{z\in K}{\rm Re}(z\cdot\zeta)$ であり、 $K$ の支持関数といわれる。

一般に、 整関数 (i.e.
$|\sigma(\zeta)|\leq A\exp(B|\zeta|)$$\mathbb{C}^{n}$全体で定義された正則関数)$(\zeta\in \mathbb{C}^{n})$$\sigma(\zeta)$

は、 $A,$ $B>0$ があって、となるとき、 指数型の整関数と呼ばれる。 定理から$\hat{S}(\zeta)$

は指数型の整関数であることがわかる。 関数$h_{\sigma}( \zeta):=\lim_{rarrow}\sup_{\infty}\frac{\log|\sigma(r\zeta)|}{r}$を$\sigma(\zeta)$の growth indicator,$h_{\sigma}^{*}(.

\zeta):=\lim_{arrow\zeta’}\sup_{\zeta}h\sigma(\zeta^{J})$を、 regularized growth indicator という。

Definition 2.2.

$\sigma(\zeta)$

が条件 (S) を満たす、 とは次の条件が成り立つことである :$\forall\zeta_{0\in \mathbb{C}^{n},\forall}\epsilon>0,$

$\{$

st.

$\exists N>0$

任意の $r>N$ に対し$|\zeta-\zeta_{0}|<\epsilon$$\frac{\log|\sigma(r\zeta)|}{r}\geq h_{\sigma}^{*}(\zeta_{0})-\in$なる$\zeta\in \mathrm{C}^{n}$が取れてとできる.

Remark 1. この条件は、 河合 [Ka] によって初めて導入されたもので、 [I-Oi] によって、 整関数論で古典的な、 正則増大性の概念 (定義については [LV] 及び [L1-G] を見て下さい) と同値であることが示されている。
次に、 解析的汎関数 $S$ でコンパクト凸集合 $M$ に支えられるもの、$f(z)\in \mathcal{O}(\omega-M),$とすると、 畳込み方程式$\omega$

を$\mathbb{C}^{n}$の開集合、$g(z)\in \mathcal{O}(\omega)$(23)$S*f=g$に” 方向別の無が定義される、 但し、 $A-B:=\{a-b|a\in A, b\in B\}$ とする。 さて、”口を付け加えることでコンパクト化した位相空間を限遠点の集合と書くことにする。 即ち、に対し、 -方向の無限遠点をとおく。 任意のをの任意の集合 $A$ に対しのにおける閉包)\cap S\infty 2n-1. 同様に、($\mathbb{C}^{n}$$\mathrm{D}^{2n}:=\mathbb{C}^{n}$$S_{\infty}^{2n-1}$$\zeta\in \mathbb{C}^{n}\backslash \{0\}$$\zeta\infty:=$$\mathrm{D}^{2n}$$S_{\infty}^{2n-1}$$\zeta\infty$$\zeta$$\mathbb{C}^{n}$$\mathbb{R}_{+}\cdot\zeta$定義する。 そこで次のように作用素 $S*$ の特性集合を定義する :$A\infty$

201

Definition 23.
$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(s*):=\{\rho\infty\in s_{\infty}^{2n}-1$$|$$\exists(\zeta_{\nu})\subset \mathbb{C}^{n}s.t$.

$\zeta_{\nu}arrow\infty,\hat{S}(\zeta_{\nu})=0,$$S*$の特性集合を用いて、 開集合$\omega$$\frac{\zeta_{\nu}}{|\zeta_{\nu}|}arrow\frac{\rho}{|\rho|}(\nuarrow\infty)\}$.

に対し、 集合$-\zeta\infty\in \text{口}\{Z\in \mathbb{C}^{n}|Rez\cdot\zeta\leq H_{\omega}(\zeta)\}\mathrm{r}_{\infty}(s*)$の内部集合をと書くことにしよう。 これはる。 証明については [I-O-Oj] を見て下さい。
$\Omega$

Theorem 2.4. 条件 (S) の下、 更に、$\omega$を含む開凸集合である。 次の定理を引用すが成り立っているとする。 このとき、$\omega-M$ で定義された正則関数 $f(z)$ で$S*f=0$ を満たすものは全て、 開集合 $\Omega-M$ まで解析接続される。
$h_{\hat{S}}^{*}(\zeta)\equiv H_{M}(\zeta)$

Remark 2. 斉次畳込み方程式の解の接続問題に対して、 非斉次畳込み方程式 (2.3) の可解性、 すなわち任意の右辺に対する解 $f\in O(\omega-M)$ の存在については、 正則増大性 (Remark 1) つまり条件 (S) が” ほぼ同値 な条件であることが証明される ([Ko], [Kr],[L1-G], [I-O1] 。定理とあわせると、 線型の畳込み方程式については、 条件 (S) は最も基本..
的な条件であるということができる。
$g\in \mathcal{O}(\omega)$

”$)$

3

微分・差分方程式の解の接続は前節の定理を用いて微分差分方程式の解の接続を考察する。指数型整関数 p(\mbox{\boldmath $\zeta$})となるとき infra-exponential tyPe という。 このような整関数に対しては、 Taylor 展開
において変数 に ‘,, 微分”を代入して得られる無限階の微分作用素
は、任意の開集合 に対し、 $P=p(D_{z})$ :$\in O(\mathbb{C}^{n})$$\sup_{\zeta\in \mathbb{C}^{n}}h_{p}^{*}(\zeta)=0$$p( \zeta)=\sum_{\alpha}a_{\alpha}\zeta^{\alpha}$$D_{z}$$\zeta$$P:=p(D_{z})= \sum_{\alpha}a_{\alpha}D^{\alpha}$$O(\omega)arrow \mathcal{O}(\omega)$$\omega$”となることが示せる。 つまり、は局所作用素である、 あるいは 点を動かさない作用素” である。 これに対し簡単のために $n=1$ としては明らかに infra-eponential ではなく、は:無限階微分作用素を定めこれは、 定義域を 1 だけずらす :(実際 $\sum_{j=0^{D}Z}^{\infty}jf(Z)/j!=f(z+1)$ であるから。) さて、 ここでは微分作用素として局所作用素のみをあつかい、のような作用素は差分作用素としてとらえる。 以上の準
$1\leq j\leq l$
を infra-exponential.
備の下、 線型微分差分方程式の–般型は、$p(\zeta)$$\mathrm{e}^{\zeta}$$\mathrm{e}^{D_{z}}:=\sum_{j=0}^{\infty}Dj/zj!$$\mathcal{O}(\omega)arrow \mathcal{O}(\omega+1)$$\mathrm{e}^{D_{z}}$$p_{j}(\zeta)$$\lambda_{j}\in \mathbb{C}^{n}$として、$\sum_{j=1}^{l}pj(Dz)f(Z-.となる。 これは、 デルタ関数$\delta(z)$\lambda_{j})=0$(3.1)

を用いれば、 解析的弓関数$S:= \sum_{j=1}^{\iota}p_{j}(D)z(Z\delta-\lambda_{j})$(3.2)

202に対する畳込み方程式 $S*f(z)=0$ と言ってもよい。 また、$S$の Fourier-Borel 変換(3.3)$\sigma(\zeta):=\sum_{j=1}^{l}p_{j}(-\zeta)\mathrm{e}^{\lambda\cdot\zeta}j$

を、 $S$ の symbol と呼ぶことにする。

$\Lambda:=\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{l}\}$

とおいて、 その凸包をとって得られる閉多面体を $M$ とおく。すると、 $S$ は閉凸集合 $M$ で支えられる。 $M$ の頂点の成す集合を$k(i<j)$ に(順序を並べ替えておいて)としてよい。 そこで、 $j=1,2,$とし、 $L_{ij}^{*}:=\{\zeta\in \mathbb{C}^{n}|H_{M}(\zeta)=Re(Z\cdot\zeta)(\forall z\in L_{ij})\}$とを結ぶ辺
対し頂点の各連結成分はある $\lambda_{j}(1\leq j\leq k)$ を頂点とする開凸錐およびとおく。
$i,$$\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}\}$$\lambda_{i}$$L_{ij}:=[\lambda_{i}, \lambda_{j}]$$\lambda_{j}$$\mathbb{C}^{n}\backslash L^{*}$$L^{*}:=\cup L_{ij}^{*}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$であるから、$\cdots,$$\mathbb{C}^{n}\backslash L^{*}=\mathrm{u}_{j=1}^{k}\gamma j$

Theorem 3.1. (3.2) の$S$と分解される。 そこでつぎの定理が証明される ([I-O3]) :に対する微分差分方程式について特性集合は次のように表せる :$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(s*)$$=L^{*}\infty$...

$\mathrm{u}$$(\gamma_{1}\infty\cap \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(p_{1}(D_{z})))\mathrm{u}(\gamma_{2}\infty\cap \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(p_{2}(D_{z})))\mathrm{u}$$\mathrm{u}$$(\gamma_{k}\infty\cap \mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(p_{k}(D_{z})))$.

は定理 24 の条件を満足するので、 上の定理を用いれば、 微分・差分方程式の解の解析接続については、 $M$ の形と各
さて[R] Theorems 6.1.1, 6.13 および [I-03] によると$\sigma(\zeta)$に特性的な方向をが対応するの特性集合から完全にわかる。 例えば、 各持たなければ、 その解析接続の様子は次のような図で表される。 すなわち、 $n=1$ としては図 1 の第 2 図のように $-M$ の周辺の外向きを図 1 のようにとると、$-M,$
法線方向 (の無限遠方向の集合) になるが、 $\omega-M$ で定義された任意の一一関数解 $f(z)$ は$p_{j}(D_{z})$$p_{j}(D_{z})$$\gamma_{j}$$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(S*)$$\omega$

4 隅まで含めた 4 角形 $\Omega-M$ まで解として解析接続される。

図 1:$-M$ ,Char $(s*)^{a}$and$\omega$203

図 2: $\omega+(-M)$ and $\Omega+(-M)$

4

Examplesに対し、 $U$ 上の実解析的関数の全体の空間を $A(U)$ と表すこ
この節では開集合とにする。 $A(U)$ は $U$ の複素領域における近傍で定義された正則関数の全体と –致すること$U\subset \mathbb{R}^{n}$に注意する。

をとり、 まと書くことにする。 開区間 $I:=$ ]$(1\leq j\leq l)$ をの多項式とし、 区間 上で微Example. $n=1$ とし、 独立変数を$t$た $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{l}$ であるとする。

$p_{j}(\tau)$$a,$$b[\subset \mathbb{R}$$I$$\tau$分差分方程式(4.1)$p_{1}(D_{t})X(t-\lambda 1)+p2(D_{t})_{X}(t-\lambda 2)+\cdots+p\iota(D_{t})x(t-\lambda_{l})=0$を考える。 この方程式の核 $S$ は $S= \sum_{j=1}^{l}p_{j(}D_{t}$ )$\{\pm\sqrt{-1}\infty\}$となる。 従って、 定理 24 によると、 区間$\delta(t-\lambda_{j})$$I$であるから、$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(s*)=$の幅 $(b-a)$ に対し、 条件$\lambda_{l}-\lambda_{1}<b-a$が成り立てば、解 $x(t)\in A(I)$ はを満たすことがわかる。

Example. $n\geq 1$ とし、各$\mathbb{R}$全体に実解析関数として延長され、$\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{\mathrm{t}}$$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\infty}(p_{j(D_{x}))}\cap\gamma j\infty=\emptyset$$\in \mathbb{R}^{n},$$p_{j}(\zeta)$

を$\zeta$$\mathbb{R}$

全体で方程式 (4.1)の多項式 $(1 \leq j\leq l)$ で、を満たすとする。 そこで、$\mu(x):=\sum_{1j=}^{l}pj(Dx)\delta(x-\lambda_{j})$に持つ超関数であり、 このとき$\omega-M$ 上で微分差分方$M$ を A の凸包をとってえられるコンパクト集合として、 開集合とおくと、 これは台をコンパクト集合$\Lambda:=\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{l}\}$

204

程式
$p_{1}(D_{x})f(X-\lambda_{1})+p_{2}(D_{x})f(x-\lambda_{2})+,$. . $+p\iota(D_{x})f(X-\lambda_{l})=0$(4.2)

を考える。 定理 3.1 と定理 24 によると、 $f(x)\in A(\omega-M)$ は $S=\mu$ に対しを定義 23 のようにとって、 (4.2) の解として $\Omega-M$ まで延長されることがわかる。 例えば、 $n=2,$ $l=3$ ,$\Omega$$\lambda_{1}=(0,0),$ $\lambda_{2}=(1,0),$ $\lambda_{3}=(0,1),$$a\in \mathbb{R},$$\epsilon>0$として、 区間$\{(x, y)|a<x<a+1+\epsilon, y>0\}$で定義された実解析解 $f(x, y)$ は上半平面 $\{(x, y)|y>0\}$ まで延長される。

205

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Ryuichi ISHIMURA
Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,
Chiba University, Yayoicho, Chiba, 263-8522 Japanishimura@math.s.chiba-u.ac.jp

Yasunori OKADA
Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,
Chiba University, Yayoicho, Chiba, 263-8522 Japanokada@math .chiba-u jp$.\mathrm{s}$$\mathrm{a}\mathrm{c}$