数理解析研究所講究録1122 巻 2000 年 134-139

134

On Characteristic Classes of$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{O}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{t}\gamma o\mathrm{t}_{0},$$\mathrm{D}\mathrm{e}_{1^{)_{\dot{C}}\backslash }},\mathrm{r}1\mathrm{l}.\mathrm{n}\mathrm{c}11\iota$

orof Mappings

鹿児島大学理学部

亨

大本$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}/\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}$$\mathrm{h}1\dot{c}\mathrm{t}(11$.

$\mathrm{a}s\mathrm{J}\mathrm{d}(^{\gamma},\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{p}11\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{I}^{\cdot}$

Sci. , ],$\iota\dagger \mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\backslash " \mathrm{e}’ 1_{1}\mathrm{S}\mathrm{i}\iota_{\mathrm{y}}$$\backslash ^{r}\mathrm{r}\gamma \mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{s}\}_{\mathrm{l}}\mathrm{i}\mathrm{m}_{C}\gamma,$\S 0 はじめにこの講演では, 複素解析的写像の特異ファイバー (または像集合) のホモロジー特性類について話します. 特に, 写像として, コンパクト複素解析特異多様体」 の変形 $(:.l’arrow S$ ,$\mathrm{t}’$は非特異複を考えることにします. ここで, ( は固有の原点周りの山 SC でよい) であるとします. (写像の像集合を考える場合は,素曲線 (のは非特異かつコンパクトで,および解析的写像 $h:Narrow P$ ($\lrcorner\backslash =.f^{-\mathrm{J}}(l^{J}),$$(p\in S)$$‘ g$$(_{1^{\supset 1\mathit{0}_{\mathrm{P}^{\mathrm{G}\mathrm{r}}}}}\cdot),$$.$$\mathrm{C}$$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\rceil \mathrm{l}\mathrm{l}N<(.\mathrm{I}\mathrm{i}\iota 11P)$$P$$\wedge T$

像集合を $\lambda’(:=l_{1}.(N))$ とおき, さらに $f$ を安定変形族 ] : $\Lambda’\cross Sarrow P\cross S$
は通常特異点 (安定特異点) のみ有するもの), さらに各を第 2 成分への射
とおき, [ :が与えられているものとします. $f’:=$ ]$(l^{l^{1(\cdot l}}\backslash " l’)=$$\prec\urcorner$$\Gamma_{q}^{4}(q\neq\oint J\in S)$$(l\mathrm{t}(i\mathrm{t}\cdot), \iota\gamma).,\cdot \mathrm{J}:\in \mathit{1}\backslash t$$\mathcal{X}arrow S$$\mathrm{l}1\gamma_{\dot{\zeta}}\mathrm{t},\mathrm{g}\mathrm{G}(F)$‘$.$

影とすることで, 始めの状況に移すことができます.)
標記 は, しかるべき集合族に対して, 有限加法性
一般に, 良く知られた$1^{\prec^{1}}.$$n|_{(}.\mathrm{Y}.1^{\cdot}$」$.\cdot\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash ’\cdot$$\lambda\cdot(\Lambda\cup B)=.\backslash \cdot(\Lambda)+/\backslash \cdot(^{]}\mathit{3})-.\mathrm{b}\cdot(\Lambda\cap B)$

ler 標数を (整数値をとる) 測度とみなした積分論が展開でき$[7])$ . 本稿の話題は, $X$ の各点に対して定義される適当な不変量を $X$ 上
ます $([1 C)]$ ,の “可測関数” (後ほど構成的関数と呼ぶ) と見なして積分することです (もっとも単純の積分は $X$ の Euler 標数に他ならない). このな例として, $X$ 上の定数関数の整係数ホモロジー群 ] ( ; Z)
時数測度による積分の–般化として,が成立することから,$\Gamma^{\mathrm{t}},n$$[^{(}.\mathrm{J}],$$1^{\mathrm{t}_{\lrcorner}}\urcorner 1\iota 1\mathrm{c}!1^{\cdot}$$1_{X}$$]_{*}$$1^{\Gamma}$$(=‘ \mathrm{J}^{)]}\prime Ti.(_{-}l-;\mathrm{Z})$$\lrcorner 1^{j}$」に値をとるチャーン. マクファーソン変換があり (ドリーニュ, グロタンディエクが予を通して,}想した特異多様体に対するリーマン・ロッホ型定理の– つ), この$)$$1I1\mathrm{a}\mathrm{c}$$\downarrow \mathrm{i}\mathrm{T}|\dot{r}1\cdot\iota\cdot)^{:^{\gamma}}$の鞍点における の “ ミルナ一窟
は $X$ 上の “ 可測関数’ となり, それにチャーン. マクファーソン変換を施して得るホモロ) で表します. これに関するジー類を, $X$ の変形 のミルナー特性類と呼び, $.u(.$ (いくつかの性質について後述します (與倉氏 (鹿児島大理) との共著 [10] の–部).

局所不変量からホモロジーの元を得る筋立てです.

$\iota’’$$f$

注として, ($.f$$f$$\iota’$

」

$,$

」

に対してではなく) より -般に局所完全交互特異多様体 $X$ に対してミル

ナー特性類 $M(X)$ が定義されます (諏訪立雄氏, 與倉昭治氏, A.
.
.]. P. Bra,ssclct,. Seade, P. \Lambda lu 伍の仕事 ;[1],$\mathrm{P}\mathrm{a}x\iota \mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{S}$$[1^{\underline{y}}‘],$$\mathrm{J}$] ,$\backslash \mathrm{i}$P. Pra」,$‘ \mathrm{g}’\zeta\backslash \subset.’/$$[\mathrm{J}7](^{\backslash \}_{- \mathrm{t}’}}.\cdot.\cdot)$\S 1 ミルナ一ファイブレーションに関する良く知られている J. Milnor のファイブレー
孤立特異点の芽 $f$ :によって次の形に–般化されている.
ション定理は,$\mathrm{C}^{?n},$$\mathrm{I}_{\lrcorner(^{1},}’$$\mathrm{O}arrow \mathrm{C}_{:}0$

135

定理 1.1 :(L\^e [6], Theorern (1.1))$(\mathcal{X}, x_{0})$を$\mathrm{C}^{m}$に埋め込まれた analytic varicty の芽,

function の芽とする.

$f$の代表も同様に $f$ :の開近傍). このとき, あるファイブレ $-$ ションになる$\epsilon>0$:$f$$t\mathrm{t}\mathrm{n}IIarrow \mathrm{C}$$\mathcal{X},$$x_{0}arrow \mathrm{C}.,$ $0$$\eta$

は$B_{\epsilon}$と $\eta>0$ が存在して,

$.f$

:

を中心とする半径$x_{0}$$\epsilon$$\mathcal{X}$で表すことにする (

上の
$U$

は

$\Re$

」

$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}$$x_{0}\in \mathrm{C}^{m}$が誘導する次の写像が位相的.

$J^{\backslash -1}(D-\eta\{\mathrm{O}\})\cap \mathcal{X}\cap B_{\epsilon}arrow \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}D_{\eta}-\{0\}$ただし, ここでをの closed ball,$D_{\eta}$

は$\mathrm{C}$の原点中心の半径の開円板とする.
や $f$ は孤立特異点でなくとも構わないことに注意する. 証明は,$\mathcal{X}$るような Thom の$a_{f}- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{C}\rceil \mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}$を満たす $f$ の Whitney stratification. $f^{-1}(0)$ を細分す
(いわゆる good

str ぬ丘 catioii) が存在すること (targei, が 1 次元ならば常に存在することが広中 [5] により知られている), 及び Thom-Mather の角 sf\tilde isotopy lemma による.

\S 2 構成的関数とマクファーソン自然変換
を compact complex analytic variety とする. 以降,$X$

ifold に埋め込まれたもののみ扱う.

variety $X$ はある complex man-

subvarieties から, 補集合を取る操作を有限回施して得られる $X$ の部分集合を, $X$ の構成的部分集合 (constructible subset) と
呼ぶ.
は,

$X$

$X$

上の整数値関数$c\iota^{f}$

:

の

$X$

$Xarrow \mathrm{Z}$が構成的関数 (corlstructible function) であるとの有限個の構成的部分集合への分割の値をとるときにいう ($\cap$$\cup,$が存在して, 各努上で.

$\{V_{i}\}_{1\leq 1\leq S}.$のとる値は有限で, 各$\alpha$が–定, が構成的部分集合になるもの, と言ってよい). $X$ の構成的部分集合 $W$ の特性関数 (上で値 1 をとり,$\alpha$$\alpha^{-\mathrm{l}}(??.),$$?l\in \mathrm{Z}$$77^{f}$の補集合上で値($W$$\alpha=\Sigma_{i=1}^{s}77?_{i}1_{1^{\mathit{7}}},i$$0$$V_{i}$

をとる関数) を$1_{1\mathrm{f}^{7}}$で表すことにすると, 任意の構成的関数$\alpha$は,) で表される. $X$ 上の構成的関数全体を $F(X)$は構成的,(は analytic subvariety) で生成されるアーベル群である. また,$m_{i}\in \mathrm{Z}$で表す. これは$1_{W}$

analytic map: $Xarrow Y$ に対して, 構成的関数全体がなすアーベル群の問の準同型写像$f_{*}:$$f$$F(X)arrow \mathcal{F}(1^{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{-}})$$\mathrm{T}/|/^{r}$を次で定める:$f_{*}(1_{W})(y):=x(f^{-}1(y)\mathrm{n}W)\backslash$.

.

$y\in Y$はコンパクトな台を持つコホモロジー群の Euler 標数とする (stratfficationとなる性質が大事).
$X=$ 垣は compact analytic varicty
に対して,.
の圏からアーベル群の圏への covariant functor になることに注意する.
$W$ を $X$ の closed subvariety, $\alpha\in F(X)$ とし,(は構成的, ,
tn.lvi
ここで右辺の$\mathrm{t}^{\gamma_{i}}$$\chi$$\chi(X)=\Sigma.\cdot,\backslash \cdot(\iota\gamma_{i})$$\mathcal{F}^{\cdot}$$\alpha=\Sigma_{i}^{s}=1$$)$と表されているものとする. 構成的関数

Euler 標数) を次で定義する :$\int_{W}\alpha$$\alpha$の$1/V$上での積分 (または$(= \int_{\mathrm{I}fl/^{r}}\mathfrak{c}\backslash ’ d\chi):=\sum_{i=1}^{s}m\dot{\theta}x(V_{i}\cap \mathrm{I}/V)$$n_{i}\in \mathrm{Z}$$|/^{\gamma}i$.

$\alpha$の $W$ 上での

136
(Fubini 型公式) :補題 2.1ana.lytic map $f:Xarrow Y$ と $X$ の構成的関数$\alpha$に対して, 次が成り立つ.

$\int_{x^{\mathrm{Q}}1’}=I^{f}.\cdot*\mathit{0}\cdot$

各点 $y\in l^{f}$ に対して

$f_{*}^{\backslash } \alpha(y)=\int_{f^{-}}1(y)O$:であるから, 右辺は$\int_{Y}.[_{f^{-1}()^{O}}y$のように 2 重の自然性 (射人 と積分のような形で表される. この補題は積分をとる操作の可換性) を示していると言える. この意味で f を–般化したものとして, 構成的関数のアーベル群がらホモロジー群へのマクファ $-$ ソン自然変換がある.
$\int:\mathcal{F}^{\cdot}arrow \mathrm{Z}$(R.

定理 22:$\mathrm{M}\mathrm{a},\mathrm{C}\mathrm{p}\}\mathrm{l}e\rceil$

[7])

soll

compact complex analytic va,riety の圏からアーベ) 群の圏への 2 つの covariant(:Z) で, 非特異多様体 $X$ に対しておよび(:Z) の間の自然変換の totalはを満たすものが唯–存在する. ここで$\mathrm{f}^{\backslash }1111\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}$$(^{*}.)C_{J}^{\mathrm{f}}*:\mathcal{F}arrow IJ_{*}$$H_{*}$$\mathcal{F}$を意味する.

$\mathrm{c}1\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{S}$$(^{*})$

C. :

ムa は
$\epsilon\pi$$(^{-.(}.[\gamma \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{J}\mathrm{J}$$r_{f^{\mathrm{I}}X}$$c\cdot(X)$$(,..-t(*1.\cdot\backslash ’)=c\cdot(x)\cap[X]$

a

$l:$

$\mathcal{F}(X)arrow]]_{*}$$C_{*}(\alpha)$

射に対する可換性を満たすこと.

( $X$ : Z) が準同型であって,の $0$ 次の部分の和となっている.

実際,

$X$

から–点への写像$7\mathrm{i}^{-}:$

X\rightarrow {測,$\pi_{*}C_{*}’.(c\mathrm{v})=^{c_{*}}(7\ulcorner_{*}\alpha)=\pi_{*}\mathit{0}=\int_{\mathrm{A}’}c.\iota$

定義 23

と置き,

$C_{*}’(X):=C_{*}(1_{X})$

これを$-\mathrm{t}’-$の.

$\mathrm{c}\}_{\rfloor \mathrm{G}}\mathrm{r}\mathfrak{n}- \mathrm{s}_{\mathrm{c}1_{1}\mathrm{t}\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{P}\mathrm{h}}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z}-\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\urcorner$

class

と呼ぶ.

.

を扱う場合でも, 射として proper nmap を考え,).
More homology ( closed supported liomology ) を用いればよい (cf.
注意 2.4 non-compact$\mathrm{s}$意$\iota^{\gamma}.\mathrm{a}1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{t}\backslash ^{7}\backslash \cdot$’

Borel-$[\prime 1]$\S 3 特殊化 (specialization)とChern 特性類

complex analytic varietv, $Sk$ non-singular complex curve,. と置く.
を analytic map とする. $s\in S$ に対して,$‘ \mathrm{Y}k$$\mathrm{O}\in S,$$f$: $if’arrow S$$X_{s}:=_{\mathrm{L}}f^{-1}(^{\mathfrak{q})}$

構成的関数の特殊化 :
:
準同型写像
に対して
き, 特性関数$F(\mathcal{X})arrow F(X_{o\mathrm{I}}$$\sigma_{\mathcal{F}}$,$1_{\mathrm{J}’}$$\sigma_{\mathcal{F}}1_{Y}$:を ‘ ’ の closed subvariety とするとを次で定義する
での値をの$B_{\epsilon}(x)$は$f$$x\in-\lambda_{0}^{-}$$\sigma_{F}1_{Y}(X)$とする. ここで, 右辺の

$Y$

$x$

$:=1\mathrm{i}_{\mathrm{I}11}sarrow 0^{\mathrm{Y}(B}\epsilon(x)\mathrm{n}Y_{s})$を中心とする十分小さい半径$\epsilon>0$の閉球,$Y_{s}=1’\nu_{\cap\lambda_{s}}A\Gamma$: $Yarrow S$ の における芽にファイブレーション定理を適用することにのを満たすようなより, 右辺は意味を持つことが保証される. また,とする. 写像$f|\mathrm{l}’’$$-\gamma j$$0_{f^{- \mathrm{C}\mathrm{O}1}}.\iota \mathrm{d}\mathrm{i}\{|\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}$$f|_{Y}$

137

Whitney stratffication が存在することにより,る. 特に\mbox{\boldmath $\sigma$}FlX(x)に注意する.

が$\sigma_{f}1_{Y}$上の構成的関数となるが分か$x_{\mathit{0}}$$=,\backslash \cdot(B_{\epsilon}(x)\cap x’)\mathit{8}$:ホモロジー群の特殊化

準同型写像

:

$\sigma_{H}$ると $f^{-1}(D)$ は$X_{0}$

を次で定義する:の十分小さい開近傍 $D$ を取にホモトピー同値にできることから, 包含写像 :のと同型写像 $H_{*}(.f^{-}1(D))\simeq H_{*}(x_{0})$ の合成写像を$I- J_{*}(X_{s})arrow Il_{*}(x_{0})$$\mathrm{O}\in S$$i_{s}$$\lambda_{s}^{\Gamma}arrow f^{-1}(D)$」

誘導雷同型蟻:とおく.

$\sigma_{H}$特殊化いる$\sigma_{\mathcal{F}}$と$\sigma_{H}$.

は次の意味でマクファーソン変換$C_{*}$と可換になることが知られて$\cdot$定理 3.1て$H_{*}(x_{\mathit{3}})arrow H_{*}(f^{-1}(D))$:(Verdier$\sigma_{H}C^{l},*(\alpha|_{X_{\epsilon}}\vee)=C_{*}(\sigma\tau C\mathrm{v})$

構成的関数

)

$[1\prime 5]$$\mathfrak{c}\mathrm{v}\in \mathcal{F}^{\cdot}(‘.1’)$とする. このときが成り立つ.

の.’\mbox{\boldmath $\chi$}. $\in X$ での値は$\sigma_{-}.\tau 1_{\mathrm{t}}.\cdot-1X$に十分近い $s\in S$ に対し$0$であり, )$\nwarrow\cdot(B_{\epsilon}(.\cdot\tau)\mathrm{n}x_{s}^{r})-\mathrm{J}$$.(B_{\mathrm{c}}(x)\mathrm{n}\lrcorner\iota’-)=-$$.$

注意すれば, この構或的関数は (適当な符号を付ければ) 芽.f :Euler characteristics” を表している. 特に, ’ が非特異でである.
は.t‘ の Mibior
Euler$‘ \mathrm{Y}:$

$f$

:

$.f$

:

$\mathcal{X}arrow S,$$0$$\mathrm{c}]_{\urcorner\urcorner\Gamma\partial}\mathrm{f},.\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{e}Y\mathrm{i}‘ \mathrm{s}.\uparrow\cdot \mathrm{i}\mathrm{C}_{\vee}\mathrm{s}^{\}$$i‘ 1^{\gamma}\mathrm{a}\mathrm{l}\urcorner \mathrm{i}_{\mathrm{S}}1\urcorner \mathrm{i}\mathfrak{n}\mathrm{g}$定義 3.2 (cf. [10], $[3]$ )の “vanishingが孤立特異点ならば, これの “積分” として次を$\ell \mathrm{t}’.xarrow S,$’$\rceil\urcorner \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{b}e,\mathrm{r}$

定義する

[ に

$X:=X_{0}(=f^{-1}(0))$ ,に対して,$\mathcal{M}(f_{7}.X):=(-1)^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{l}.\lambda J-1C*(\sigma\tau 1\chi-1_{X})$

とおき,

$X$

の変形

$f^{\backslash }$の’class と呼ぶ.

$Mil_{\overline{l}O\Gamma}.$

定義からすぐに分かるように, $\prime M(.f;X)$ は, $X$ の近くにある generic fiber
Sc.
class の特殊化と special fiber $X$ のclass との差を意味する :$X_{s}$の Chern-$\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}1^{\backslash }\mathrm{t}\mathrm{Z}- \mathrm{M}_{\partial},\mathrm{C}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}1^{\backslash }\mathrm{n}-\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{h}_{\mathrm{W}}\mathrm{a}.\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{Z}^{- \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{P}\mathrm{h}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathcal{M}(f;X\mathrm{I}=(-1)^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathcal{X}}\mathrm{m}-1(c^{\mathrm{v}},*(\sigma_{\mathcal{F}}1_{Y}.)-C_{*}(1_{X}))=(-1)^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}}1.\mathrm{t}\cdot-\perp(\sigma H\zeta_{*}.’(p\mathrm{x}_{S}\Gamma)-c’(*X))$

命題 3.3 (cf. [14])$\mathcal{X}$, および各 general fiber$A\mathrm{t}_{S}^{r}$は非特異とするとき,$/4l(f;^{x})=(-1)^{\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{l}}}\mathrm{n}X(C(T\mathcal{X}-Ts)\mathrm{n}[x]-\zeta_{\Delta}’(*X))$

特に $X$ が孤立特異点$\{p_{1}, \cdots ,p_{l_{-}}\sim\}$.

のみ有するならば, 各孤立特異点乃の MMMilnor number

を $\mu(X_{Pi},)$ と書くことにすると, 次が成り立つ:$\mathcal{M}(f;^{x_{)}=}(-1)^{\mathrm{d}\mathrm{i}}\mathrm{n}1.\{.-1\sum_{=i1}.ltk‘(X,\mathrm{P}.i)$

命題 3.4.

.

を多様体で $\dim P=\dim N+1$ とする.
: $Narrow P$ を A-有限確定
特異点のみ有する aatalytic map とし,の安定でない $A$ -有限確定特異点を
, ..,
$N,$

$P$

$g$

$g$

$\{p_{1}$$\cdot$$p_{k}\}$

138

とする.

の 1-parameter unfolding $G$ :$g$$X:=_{\mathit{9}(\mathrm{I}}N$

とおき,$N^{n}\cross Sarrow P^{n+1}\cross S$$\int:_{l}\mathrm{t}’=G(N^{n}\cross S)arrow S$

を第 2 成分への射影とする. このとき,.

$’/[(f \backslash \cdot, X)=(^{-}1)\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n})N\sum_{i=1}^{k}l^{\prime,(.)}c/,p_{i}$は写像芽

ここで $\mu(g, p_{i})$: $(N_{\}p_{i}.)arrow(P,g(p_{i}))$ の MMMilnor$g$が与えられているとする.

(David Mond [8] に$\mathrm{l}\urcorner \mathrm{l}\mathrm{J}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}$よる) を表す.

変形
つ.

$f$

$.f^{\backslash }:$の Milnor class$i1_{1}’arrow D_{\eta 1},$

$g$

:

に対して,

$(0\in D_{7},\mathfrak{i}\subset \mathrm{C})$$‘ \mathrm{Y}_{\mathit{2}}arrow D_{\eta_{2}}$$(f+g)(x_{:}^{\prime y}\mathrm{I}:=.f(x)+yc(|J),$$]’:=g^{-1}(\mathrm{o}),$に対して次にような自然な product formula. かゝ成り立$/\vee l(f_{\backslash }.x_{)}$$X\in \mathcal{X}_{1},$$y\in c\mathrm{Y}_{\mathit{2}},$$X\perp\}^{r}.:=(.f^{\backslash }+_{J}()^{-}1(0)$$\eta>\eta_{1}+\uparrow l2$$.f+g:\mathcal{X}_{1}\cross \mathcal{X}_{2}arrow D_{\eta}$, により定義する.

とおく. 一般化されたを$X:=f^{-1}(0)$ ,$\mathrm{T}\mathrm{h}_{0111^{-}}\mathrm{s}_{\mathrm{C}}\mathrm{b}\mathrm{a},\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}$-ni 公式を用いて次が示される.
命題 35 ($\mathrm{t}$d/\check [げここで,formula for he MMMilnor$\mathrm{T}\}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}- \mathrm{s}e.\mathrm{b}_{\mathrm{R}}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{a},1\iota \mathrm{i}\mathrm{t}_{-}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e}$$(\rceil_{\partial,\mathrm{S}\mathrm{s}},,$$([$$+.(/;X\perp 1^{\tau})=l_{*}(/\mathrm{u}_{(}.\mathrm{f};x)\cross/\mathrm{W}(g\cdot, 1^{-}))$. は包含写像, 右辺の$i:X\cross 1^{r}.arrow X\perp 1^{J}$$\cross$. $[[()])$.

はホモロジークロス積を意味する.

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