数理解析研究所講究録
第 1667 巻 2009 年 45-56

45Kannan の不動点定理の一般化
中西壮人 (Masato Nakanishi)& 鈴木智成 (Tomonari Suzuki)
九州工業大学 (Kyushu Institute of Technology)

1. 序
完備距離空間における不動点定理の中で最も有用でかつ最も有名な定理は
Banach の縮小原理である.
定理 1 (Banach [1]). (X, d) を完備距離空間とし, $T$ を $X$ 上の縮小写像する.
すなわち, $r\in[0,1)$ が存在して, 全ての $x,$ $y\in X$ について$d(Tx, Ty)\leq rd(x,$ $y)$を満たすとする. このとき, $T$ は不動点を唯一つ持つ.

Kannan は 1969 年に次の定理を証明している.
定理 2 (Kannan [4]). $(X, d)$ を完備距離空間とし, $T$ を $X$ 上の Kannan 写像とする. すなわち $\alpha\in[0,1/2)$ が存在して, 任意の $x,$ $y\in X$ に対して$d(Tx,$ $Ty)\leq\alpha d(x,$ $Tx)+\alpha d(y,$ $Ty)$を満たすとする. このとき, $T$ は不動点を唯一つ持つ.

Subrahmanyam [8] は定理 2 が空間の距離完備性を特徴付けることを示した.
すなわち, 距離空間 $X$ が完備であることと, $X$ 上のどんな Kannan 写像も不動点を持つことは同値である. 一方で, 定理 1 は距離完備性を特徴付けないことが知られている (Connell [2]). つまり, 定理 1 と定理 2 は非常によく似た重要な定理であるが, 定理 1 が応川上重要なのに対して, 定理 2 は理論上重要な定理である.
本稿では, 最近の論文 [3] の解説と論文 [7] の紹介を行う. これらの論文では,
Kannan 写像の特徴を調べるために, 定理 2 に関する 「定数付き不動点定理」
を証明している. 定数付き不動点定理に関しては [5, 9-13] 等も参照のこと.
MSC (2000). $54H25$
キーワード. Kannan 写像, 不動点

46
2. 不動点定理$\mathbb{N}$を自然数全体の集合,$\mathbb{R}$を実数全体の集合とする.

で集合 $A$ の濃度を$\# A$

表す.

この節では不動点定理を証明する.

を完備距離空間とし, $T$ を $X$ 上の写像とする.
このとき$x,$ $y\in X,$ $r\in[0,1)$ そして $d(Tx, T^{2}x)\leq rd(x, Tx)$ を仮定する.
補助定理 3 ([6, 9]).

$(X, d)$$(1+r)^{-1}d(x, Tx)\leq d(x, y)$ ,または$(1+r)^{-1}d(Tx, T^{2}x)\leq d(Tx, y)$が成り立つ.

証明. もし結論が成り立たないとすると, すなわち$(1+r)^{-1}d(x, Tx)>d(x, y)$$k^{a}\supset$$(1+r)^{-1}d(Tx, T^{2}x)>d(Tx, y)$を仮定すると$d(x,$ $Tx)\leq d(x,$ $y)+d(y, Tx)<(1+r)^{-1}(d(x,$ $Tx)+d(Tx,$ $T^{2}x))$$\leq(1+r)^{-1}(d(x, Tx)+rd(x,$ $Tx))=d(x,$ $Tx)$となり, 矛盾する.
$\triangle$と$\triangle_{j}(j=1, \cdots 4)$

口を以下のように定める.

$\triangle=\{(\alpha, \beta):\alpha\geq 0, \beta\geq 0, \alpha+\beta<1\}$,$\triangle_{1}=\{(\alpha,\beta)\in\triangle:\alpha\leq\beta, \alpha+\beta+\alpha^{2}<1\}$,$\Delta_{2}=\{(\alpha,\beta)\in\triangle:\alpha\geq\beta, \alpha+\beta+\beta^{2}<1\}$,$\triangle_{3}=\{(\alpha,\beta)\in\Delta:\alpha\geq\beta, \alpha+\beta+\beta^{2}\geq 1\}$,$\triangle_{4}=\{(\alpha,\beta)\in\triangle:\alpha\leq\beta, \alpha+\beta+\alpha^{2}\geq 1\}$.

$\alpha=0$$\alpha=1$

47
定理 4([3]).

(1)$\triangle$から(1/2, 1] への非増加関数$\psi$を$\psi(\alpha, \beta)=\{\begin{array}{ll}1 if (\alpha, \beta)\in\triangle_{1}1 if (\alpha, \beta)\in\triangle_{2}1-\beta if (\alpha, \beta)\in\triangle_{3}(1-\beta)/(1-\beta+\alpha) if (\alpha, \beta)\in\triangle_{4}\end{array}$で定める. (X, d) を完備距離空間とし, $T$ を $X$ 上の写像とする. 以下を満たすが存在すると仮定する: 全ての $x,$ $y\in X$ に対して$(\alpha, \beta)\in\triangle$$\psi(\alpha,$$\beta)d(x,$ $Tx)\leq

d(x,$ $y)$ならば$d(Tx, Ty)\leq\alpha d(x, Tx)+\beta d(y, Ty)$が成り立つ. このとき, $T$ は唯一の不動点
全ての $x\in X$ に対して成り立つ.

$z$を持つ. さらに, $\lim_{n}T^{n}x=z$ が注意. $T$ に関する仮定を論理式を用いて表すと以下になる:$\exists(\alpha, \beta)\in\triangle,$$\forall x,$$y\in X,$ $(\psi(\alpha, \beta)d(x, Tx)\leq d(x, y)$$\Rightarrow d(Tx, Ty)\leq\alpha d(x, Tx)+\beta d(y, Ty))$

また,$\psi$

は次のように書くことができる:$\psi(\alpha, \beta)=\{\begin{array}{ll}1 if \alpha+\beta+\min\{\alpha, \beta\}^{2}<1(1-\beta)/(1-\beta+\min\{\alpha, \beta\}) if \alpha+\beta+\min\{\alpha, \beta\}^{2}\geq 1\end{array}$

証明.

$q,$

$r$

を以下のようにおく:(2)$q:= \frac{\beta}{1-\alpha}\in[0,1)$$\psi(\alpha, \beta)\leq 1$,$r:= \frac{\alpha}{1-\beta}\in[0,1)$.

なので, $\psi(\alpha, \beta)d(x, Tx)\leq d(x, Tx)$ である. 仮定より,$d(Tx, T^{2}x)\leq\alpha d(x, Tx)+\beta d(Tx, T^{2}x)$が成り立つ. したがって(3)$d(Tx, T^{2}x)\leq rd(x, Tx)$

が全ての $x\in X$ に対して成り立つ. また$\psi(\alpha,$$\beta)d(Tx,$ $T^{2}x)\leq d(Tx,$ $T^{2}x)\leq rd(x,$ $Tx)\leq d(Tx,$ $x)$と仮定より,$d(T^{2}x, Tx)\leq\alpha d(Tx, T^{2}x)+\beta d(x, Tx)$

48
すなわち

(4)

$d(Tx, T^{2}x)\leq qd(x, Tx)$

が全ての $x\in X$ に対して成り立っ.
$u\in X$

を任意にとり, $u_{n}=T^{n}u$ と定める. (3) より$\sum_{n=1}^{\infty}d(u_{n}, u_{n+1})\leq\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}d(u, Tu)<\infty$を得る. この式から,はコーシー列であることが分かる.
はある点 $z\in X$ に収束する.
で,$\{u_{n}\}$

$X$

は完備なの

$\{u_{n}\}$

次に,

(5)

$d(z, Tx)\leq\beta d(x, Tx)$$\forall x\in X\backslash \{z\}$に収束するので, $\nu_{1}\in N$ が存在して, $n\geq\nu_{1}$ のとき$d(u_{n}, z)\leq(1/3)d(x, z)$ を満たす.
のとき,
を示す.

$\{u_{n}\}$は$z$$n\geq\nu_{1}$$\psi(\alpha,$$\beta)d(u_{n},$ $Tu_{n})\leq d(u_{n},$ $u_{n+1})\leq d(u_{n},$$z)+d(u_{n+1},$ $z)$$\leq(2/3)d(x,$ $z)=d(x,$ $z)-(1/3)d(x,$ $z)$$\leq d(x,$ $z)-d(u_{n},$ $z)\leq d(u_{n},$ $x)$である. 仮定より,$d(z, Tx \cdot)=\lim_{narrow\infty}d(u_{n+1}, Tx)=\lim_{n-arrow\infty}d(Tu_{n}, Tx)$$\leq\lim_{narrow\infty}(\alpha d(u_{n}, 7^{\urcorner}u_{n})+\beta d(x, Tx))=\beta d(x, Tx)$を得る. つまり (5) が示された. また, (5) より,$d(x,$ $Tx)\leq d(x, z)+d(z, Tx)\leq d(x,$ $z)+\beta d(x,$ $Tx)$

がいえるので,(6)$(1-\beta)d(x, Tx)\leq d(x,$ $z)$$\forall x\in X\backslash \{z\}$も成り立つ.
が $T$ の不動点であることを証明する.
次にの場合, 背理法を用いて証明する. $Tz\neq z$ と仮定すると, $u_{2}\in N$ が存在して, $n\geq\nu_{2}$ のとき$d(u_{n}, z)\leq(1-r)d(z, Tz)$ を満たす. (3) より, $n\geq u_{2}$ のとき$z$$\psi(\alpha,$$(\alpha, \beta)\in\triangle_{1}$$\beta)d(Tz, T^{2}z)=d(Tz,$ $T^{2}z)\leq rd(z, Tz)$$=d(z,$ $Tz)-(1-r)d(z_{\dot{J}}Tz)$$\leq d(z,$ $Tz)-d(u_{n},z)\leq d(Tz,$ $u_{n})$49である. 仮定より,$d(T^{2}z, z)= \lim_{narrow\infty}d(T^{2}z, Tu_{n})$$\leq\lim_{narrow\infty}(\alpha d(Tz, T^{2}z)+\beta d(u_{n}, Tu_{n}))=\alpha d(Tz,T^{2}z)$を得る. この式と (3), $\alpha+\beta+\alpha^{2}<1$ より$d(z, Tz)\leq d(z,T^{2}z)+d(Tz, T^{2}z)\leq(1+\alpha)d(Tz, T^{2}z)$$\leq(1+\alpha)rd(z, Tz)=\frac{\alpha+\alpha^{2}}{1-\beta}d(z, Tz)$$<d(z, Tz)$となり, 矛盾する. よって, $Tz=z$ である.の場合も背理法を用いて証明する.
(5), $\alpha+\beta+\beta^{2}<1$ より$(\alpha,\beta)\in\Delta_{2}$$Tz\neq z$と仮定すると, (4),$d(z,$ $Tz)\leq d(z,$ $T^{2}z)+d(Tz,$ $T^{2}z)\leq(1+\beta)d(Tz,$ $T^{2}z)$$\leq(1+\beta)qd(z,$ $Tz)= \frac{\beta+\beta^{2}}{1-\alpha}d(z,$ $Tz)$$<d(z,$ $Tz)$となり, 矛盾する. よって, $Tz=z$ である.

の場合, さらに次の 2 つの場合に分ける.

$(\alpha, \beta)\in\triangle_{3}$$\bullet\#\{n\in N:u_{n}=z\}\geq 2$の場合$\bullet\#\{n\in \mathbb{N}:u_{n}=z\}<2$の場合

前者の場合,
全てのが存在して $u_{\kappa}=u_{\kappa+\lambda}=z$ を満たす.
に対して$\kappa,$$i\in \mathbb{N}$$\lambda\in N$$u_{\kappa+j\lambda}=z$かつである. もし $Tz\neq z$ を仮定すると,$\{u_{n}\}$$\{u_{n}\}$の定義より,$u_{\kappa+j\lambda+1}=Tz$

はコーシー列ではない. これは矛盾するので, $Tz=z$ がいえる. 後者の場合, $\nu_{3}\in N$ が存在して, $n\geq\nu_{3}$ のとき$u_{n}\neq z$ を満たす.
(6) より, $n\geq u_{3}$ のとき, $\psi(\alpha, \beta)d(u_{n}, Tu_{n})\leq d(u_{n}, z)$ である. 仮定より$d(z, Tz)=narrow\infty 1irnd(Tu_{n}, Tz)$$\leq\lim_{narrow\infty}(\alpha d(u_{n}, Tu_{n})+\beta d(z, Tz))=\beta d(z, Tz)$がいえる. $\beta<1$ より $Tz=z$ である.

の場合, $\psi(\alpha, \beta)=(1+r)^{-1}$ に注意する. 補助定理 3 より, どんに対しても$(\alpha, \beta)\in\triangle_{4}$な$n\in \mathbb{N}$$\psi(\alpha, \beta)d(u_{n}, Tu_{n})\leq d(u_{n}, z)$もしくは$\psi(\alpha, \beta)d(Tu_{n}, T^{2}u_{n})\leq d(Tu_{n}, z)$50が成り立つ. すなわち,$\psi(\alpha, \beta)d(u_{n_{j}}, Tu_{n_{j}})\leq d(u_{n_{j}}, z)$を満たす $\{n\}$ の部分列$\{n_{j}\}$をとることができる. 仮定より

$d(z, Tz)= \lim_{jarrow\infty}d(Tu_{n_{j}}, Tz)$$\leq\lim_{jarrow\infty}(\alpha d(u_{n_{j}}, Tu_{n_{j}})+\beta d(z, Tz))=\beta d(z,Tz)$を得る. $\beta<1$ より $Tz=z$ である. 全ての場合において $Tz=z$ が成り立つ
ことが証明された.
もしと別の不動点 が存在すると仮定すると, (5) より
$z$

$v$

$0<d(z, v)=d(z, Tv)\leq\beta d(v, Tv)=\beta d(v, v)=0$となり矛盾する. よっては唯一の不動点である. $u\in X$ は任意であるから,全ての $x\in X$ に対して $\lim_{n}T^{n}x=z$ が成り立つ.
口$z$

3. 最良定数が全ての
この節では,
において最良定数になっていることを示す. その証明では, 次の補助定理が幾度か用いられる.
$\psi(\alpha,$ $\beta)$

補助定理 5. $a,$ $A,$$a$$(\alpha,$$b,$ $B\in \mathbb{R}$$\beta)\in\triangle$

は $a\leq A,$ $b\leq B$ を満たしているとする. このとき

$B+Ab\leq ab+AB$ が成り立っ.

証明. $(ab+AB)-(aB+Ab)=(A-a)(B-b)\geq 0$ .

口を (1) で定める. 任意の定理 6([3]). 関数
に対して, 完備距離$T$$X$
空間 (X, d) と-h の不動点を持たない写像 が存在して, 以下を満たす: 全ての $x,$ $y\in X$ に対して,$(\alpha, \beta)\in\Delta$$\psi$$\psi(\alpha, \beta)d(x, Tx)<d(x, y)$ならば$d(Tx,$ $Ty)\leq\alpha d(x,$ $Tx)+\beta d(y,$ $Ty)$

が成り立っ.
と
証明.
まず
$q$

$r$

を (2) で定める.

の場合, $X=\{-1,1\}$ とする. ただし, 距離は通常の距離である. 写像 $T$ を $Tx=-x$ で定める. 明らかに $T$ は不動点を持たない.
また, 全ての $x,$ $y\in X$ に対して$(\alpha, \beta)\in\triangle_{1}\cup\triangle_{2}$$\psi(\alpha, \beta)d(x, Tx)=2\geq d(x, y)$が成り立つ.

51$(\alpha, \beta)\in\triangle_{3}$の場合,$p:= \frac{\beta}{1-\beta}\in(0,1)$とすると, $\psi(\alpha, \beta)(1+p)=1$ である. 数列$X=\{0,1\}\cup\{x_{n}$

とする.
$T$

$X$

$\{x$

訂を $x_{n}=(1-q)(-p)^{n}$ で定め,

: $n\in \mathbb{N}\cup\{0\}\}$

上の写像 $T$ を $TO=1,$ $T1=x_{0},$ $Tx_{n}=x_{n+i}$ で定める. 明らかに

は不動点を持たない. このとき,$d(T1,$ TO$)$$=q=\alpha d(1,$ $T1)+\beta d(O,$

TO

$)$

$\leq\alpha d(O,$$TO)+\beta d(1,$ $T1)$

が成り立つ. $n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ に対して$\psi(\alpha, \beta)d(O, TO)>\psi(\alpha, \beta)d(x_{n}, Tx_{n})=(1-q)p^{n}=d(0, x_{n})$が成り立つ. $n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ に対して$d(Tx_{n},$ $T1)-(\alpha d(x_{n},$ $Tx_{n})+\beta d(1,$ $T1))$$=(1-q)(1-(-p)^{n-+1}- \frac{\alpha}{\beta}p^{n+1}-\frac{\beta^{2}}{1-\alpha-\beta})$$\leq(1-q)(1-\frac{\beta^{2}}{1-\alpha-\beta})+(1-q)p^{n+1}(1-\frac{\alpha}{\beta})\leq 0$なので$d(Tx_{n}, T1)\leq\alpha d(x_{n},$ $Tx_{n})+\beta d(1,$ $T1)\leq\alpha d(1,$ $T1)+\beta d(x_{n},$ $Tx_{n})$が成り立つ. $m,$ $n\in \mathbb{N}\cup\{0\},$ $m<n$ のとき,
$d(Tx_{n}, Tx_{m})-(\alpha d(x_{n}, Tx_{n})+\beta d(x_{m}, Tx_{m}))$$=(1-q)(|(-p)^{n+1}-(-p)^{m+1}|- \frac{\alpha}{\beta}p^{n+1}-p^{m+1})$$\leq(1-q)(p^{n+1}+p^{m+1}-\frac{\alpha}{\beta}p^{n+1}-p^{m+1})\leq 0$なので$d(Tx_{n},$ $Tx_{m})\leq\alpha d(x_{n},$ $Tx_{n})+\beta d(x_{m},$ $Tx_{m})\leq\alpha d(x_{m}, Tx_{m})+\beta d(x_{n},$ $Tx_{n})$が成り立っ.
$(\alpha, \beta)\in\triangle_{4}$の場合, $\psi(\alpha, \beta)(1+r)=1$ である.

$0\leq\alpha+\beta+\alpha^{2}-1+(\beta-\alpha)(1-\alpha-\beta)=2\alpha^{2}-(1-\beta)^{2}$より, 2 $r^{2}\geq 1$ である. よって, $r\geq 2^{-1/2}>1/2$ が成り立つ.
の閉部分集合 $X$ を常の基底とし,$\ell_{\infty}$$X=\{0, e_{1}\}\cup\{x_{n}$: $n\in N\cup\{0\}\}$$\{e_{n}\}$を$\ell_{\infty}$の通52で定める. ただし,
$x_{n}=(1-r)r^{n}e_{n+1}-(1-r)r^{n}e_{n+2}$とする. $m<n$ を満たす $m,$ $n\in N\cup\{0\}$ に対して
$d(x_{m}, x_{n})=\{\begin{array}{ll}(1-r^{2})r^{m} if m+1=n(1-r)r^{m} if m+1<n\end{array}$である. $X$ 上の写像 $T$ を $T0=e_{1},$ $Te1=x_{0},$ $Tx_{n}=x_{n+}i$ で定める. 明らかに$T$

は不動点を持たない. また$d(TO,$ $Te_{1})=r=\alpha d(O,$ $TO)+\beta d(e_{1},$ $Te_{1})\leq\alpha d(e_{1},$ $Te_{1})+\beta d(O,$

TO

$)$

が成り立つ. $n\in N\cup\{0\}$ に対して$\psi(\alpha,$$\beta)d(O,$

TO

$)$

$>\psi(\alpha,$ $\beta)d(x_{n},$$Tx_{n})=(1-r)r^{n}=d(O,$$x_{n})$

が成り立つ.
$d(Te_{1}, Tx_{0})-(\alpha d(e_{1}, Te_{1})+\beta d(x_{0},$ $Tx_{0}))=(1-\beta)(1-2r^{2})\leq

0$なので$d(Te_{1},$ $Tx_{0})\leq\alpha d(e_{1},$ $Te_{1})+\beta d(x_{0},$ $Tx_{0})\leq\alpha d(x_{0}, Tx_{0})+\beta d(e_{1}, Te_{1})$が成り立つ. $\alpha+\beta+\alpha^{2}\geq 1$ なので,

$r\iota\in \mathbb{N}$に対して$d(Te_{1}, Tx_{n})=1-r\leq\alpha r=\alpha d(e_{1}, Te_{1})$$<\alpha d(e_{1},$$Te_{1})+\beta d(x_{n},$ $Tx_{n})\leq\alpha d(x_{n},$ $Tx_{n})+\beta d(e_{1},$ $Te_{1})$が成り立つ. また, $n\in N\cup\{0\}$ に対して$d(Tx_{n}, Tx_{n+1})=(1-r^{2})r^{n+1}=\alpha d(x_{n}, Tx_{n})+\beta d(x_{n+1}, Tx_{n+1})$$\leq\alpha d(x_{n+1}, Tx_{n+1})+\beta d(x_{n}, Tx_{n})$が成り立つ. $m+1<n$ を満たす $m,$ $n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ に対して$\psi(\alpha, \beta)d(x_{m}, Tx_{m})=(1-r)r^{m}=d(x_{m}, x_{n})$と$d(Tx_{n},$ $Tx_{7n})-(\alpha d(x_{n},$ $Tx_{n})+\beta d(x_{m},$ $Tx_{m}))$$<d(Tx_{n}, Tx_{m})-\beta d(x_{m},$ $Tx_{m})=r^{rn+1}(1-r)-\beta r^{m}(1-r^{2})$$=r^{m}(1-r)(\alpha-\beta)\leq 0$が成り立つ.

ロ

53
次に,を最良定数と呼ぶ理由を述べる.
$C(s, \leq),$ $C(s, <)$ を以下で定義する.
$\psi(\alpha, \beta)$$C(s, \leq):=\lceil\forall x,$ $y\in X,$$s\in[0, \infty)$

に対して, 条件$(sd(x, Tx)\leq d(x, y)\Rightarrow$$d(Tx, Ty)\leq\alpha d(x, Tx)+\beta d(y, Ty))\rfloor$$C(s, <):=\lceil\forall x,$ $y\in X,$$(sd(x, Tx)<d(x, y)\Rightarrow$$d(Tx, Ty)\leq\alpha d(x, Tx)+\beta d(y, Ty))\rfloor$(弱い条件) 」 という風に表す. ただし, ここで条件の強弱を 「 (強い条件)の強弱は同値な場合を含むとする.
$\geq$

命題 7 以下が成り立つ.

(i) $C(s_{1}, \leq)\geq C(s_{2}, \leq)$ if(ii) $C(s_{1}, <)\geq C(s_{2}, <)$ if(iii) $C(s_{1}, <)\geq C(s_{2}, \leq)$ if $s_{1}<s_{2}$(iv) $C(s, \leq)\geq C(s, <)$$s_{1}\leq s_{2}$$s_{1}\leq s_{2}$証明. (i) の場合のみ示す. 他の場合も全く同様に示せる.
る. $s_{2}d(x, Tx)\leq d(x, y)$ のとき,

$C(s_{1}, \leq)$を仮定す$s_{1}d(x,$ $Tx)\leq s_{2}d(x,$ $Tx)\leq d(x,$ $y)$が成り立つ. よって $C(s_{1}, \leq)$ より, $d(Tx, Ty)\leq\alpha d(x, Tx)+\beta d(y, Ty)$ が成り立つ. すなわち, $C(s_{2}, \leq)$ が証明された. この証明の構造を簡潔に述べると,$C(s_{1}, \leq)$

い.

と $C(s_{2}, \leq)$ の結論部分は同じであり, 仮定の部分は $C(s_{1}, \leq)$ のが弱したがって, $C(s_{1},$$\leq)$のが強い.

口を固定する. 定理 4 より, 条件 $C(\psi(\alpha, \beta), \leq)$ を満たせば不動点の存在が保証される. 一方, 定理 6 より, 条件 $C(\psi(\alpha, \beta), <)$ を満たしても不動$(\alpha, \beta)\in\triangle$

点の存在は保証されない. 命題 7 より, 条件の集合$\{C(s, \leq)\}\cup\{C(s, <)\}$の中で $C(\psi(\alpha, \beta), \leq)$ の次に弱い条件は $C(\psi(\alpha, \beta), <)$ である. すなわち, 不動であることが分かる. 仮
点を持つことを保証する最弱な条件がを最良定数と呼んでいる.
定の弱い定理は良い定理であるので, 我々はが小さい程, 条件 「 $d(Tx, Ty)\leq\alpha d(x, Tx)+\beta d(y)$ Ty)」は強い条件になる. しかし, 強さの程度は分からない.
はこの条件の強さの程度を示
す 1 つの指標になる.
$C(\psi(\alpha, \beta), \leq)$$\psi(\alpha, \beta)$$\alpha,$$\beta$$\psi(\alpha, \beta)$

54
4. もう一つの不動点定理と最良定数
この節では, 論文 [7] において証明されている 2 つの定理について紹介する.
なお, これらの定理の証明は省く.
と $\triangle_{j}(i=1, \cdots, 6)$ を以下のように定める.
$\triangle$$\triangle=[0,1)^{2}$,$\triangle_{1}=\{(\alpha,\beta)\in\Delta:\alpha+\alpha^{2}<1 or \beta+\beta^{2}<1\}$,$\Delta_{2}=\{(\alpha,\beta)\in\Delta:\alpha\geq\beta, (\sqrt{5}-1)/2\leq\beta\leq 1/\sqrt{2}\}$$\Delta_{3}=\{(\alpha,\beta)\in\Delta:\alpha\geq\beta, 1/\sqrt{2}\leq\beta<1\}$,,$\Delta_{4}=\{(\alpha,\beta)\in\Delta:\alpha\leq\beta, (\sqrt{5}-1)/2\leq\alpha\leq 1/\sqrt{2}, \beta\leq\alpha^{2}-\alpha+1\}$,,$\triangle_{5}=\{(\alpha,\beta)\in\triangle:(\sqrt{5}-1)/2\leq\alpha\leq 1/\sqrt{2}$$\alpha^{2}-\alpha+1\leq\beta\leq 1-(\alpha^{3}/(1+\alpha))\}$,$\triangle_{6}=\{(\alpha,\beta)\in\Delta:\alpha\leq\beta, (V5-1)/2\leq\alpha\leq 1/\sqrt{2},1-(\alpha^{3}/(1+\alpha))\leq\beta\}$$\cup\{(\alpha,\beta)\in\triangle:\alpha\leq\beta, 1/\sqrt{2}\leq\alpha<1\}$

定理 8([7]).

(7)$\triangle$

から (1/2, 1] への非増加関数.

$\varphi$

を$\varphi(\alpha,\beta)=\{\begin{array}{ll}1 if (\alpha, \beta)\in\triangle_{1}(1-\beta)/\beta^{2} if (\alpha, \beta)\in\Delta_{2}1/(1+\beta) if (\alpha, \beta)\in\triangle_{3}(1-\alpha)/\alpha^{2} if (\alpha, \beta)\in\triangle_{4}(1-\beta)/\alpha^{3} if (\alpha, \beta)\in\triangle_{5}1/(1+\alpha) if (\alpha, \beta)\in\Delta_{6}\end{array}$

55で定める. (X, d) を完備距離空間とし, $T$ を $X$ 上の写像とする. 以下を満たすが存在すると仮定する: 全ての $x,$ $y\in X$ に対して$(\alpha, \beta)\in\triangle$$\varphi(\alpha, \beta)d(x, Tx)\leq d(x, y)$ならば$d(Tx, Ty) \leq\max\{\alpha d(x, Tx), \beta d(y, Ty)\}$が成り立つ. このとき, $T$ は唯一の不動点
全ての $x\in X$ に対して成り立つ.

また, 任意の次の定理は示している.

$(\alpha, \beta)\in\triangle$

に対して

$z$

$\varphi(\alpha, \beta)$を持つ. さらに, $\lim_{n}T^{n}x=z$ がが最良定数になっていることを,を (7) で定める. 任意のに対して, 完備距離定理 9([7]). 関数
空間 (X, d) と $X$ 上の不動点を持たない写像 $T$ が存在して, 以下を満たす: 全ての $x,$ $y\in X$ に対して,$(\alpha, \beta)\in\triangle$$\varphi$$\varphi(\alpha, \beta)d(x, Tx)<d(x, y)$ならば$d(Tx, Ty) \leq\max\{\alpha d(x, Tx), \beta d(y, Ty)\}$が成り立つ.

参考文献[1] S. Banach, Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux
equations integrales, Fund. Math., 3 (1922), 133-181.

[2] E. H. Connell, Properties of fixed point spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 10 (1959),
974-979. MR0110093[3] Y. Enjouji, M. Nakanishi and T. Suzuki, A generalization of Kannan’s fixed point theorem, Fixed Point Theory Appl., 2009 (2009), Article ID 192872, 1-10.

[4] R. Kannan, Some results on fixed points-II, Amer. Math. Monthly, 76 (1969), 405-408.
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