冷却原子系によるU(1)gauge-Higgsモデルの量子シミュレーション

2015/8/31
熱場の量子論とその応用共同研究者
近畿大 笠松健一、 近畿大 坂根真矢
京都大 高橋義朗、 名工大 一瀬郁夫
近畿大 松居哲生

名工大 久野義人

1. 光格子上の拡張Bose-Hubbard modelからU(1) lattice gauge-Higgsモデルの対応と構築法

2.

GP方程式を用いた
U(1) lattice gauge-Higgsモデルのダイナミクス(特に閉じ込め相の電束の振る舞い)

最近取り組んでいること

3.

光格子(3+1)次元モデルへの拡張
GP方程式によるチャージ間張力の計算

はじめに• 格子ゲージ理論の量子シミュレーションとは?
光格子上の原子系の制御性を上手く利用して原子系のモデルを格子ゲージ理論のモデルに見立てこれまでの理論を検証し、さらに新しい知見を得ること.

理論が貢献できそうなこと

光格子上原子系での構築法を提案したい

実際に原子系の上でゲージ理論の物理量はどのように観測され実験で観測できるかを予言したい・系の時間発展解析の手法(GP方程式)を用いて、格子ゲージ理論のダイナミクスを解析できるのではないか？

さらに、格子ゲージ理論のみ範囲内でもゲージ理論におけるダイナミクスの探求は未だに未開ではないだろうか？

1. 光格子上の2D Bose-Hubbard modelとU(1) lattice gauge-Higgsモデルの対応[2]K. Kasamatsu, I. Ichinose, and T. Matsui, Phys. Rev. Lett. 111,115303 (2013).

拡張Bose-Hubbard modelOn-site斥力
NN– NNNの密度-密度相互作用
dipole-dipole interaction, など

光格子と格子ゲージ理論格子の対応

これを上手くチューニングしてGauss則を満たすような相互作用項に変形したい

格子ゲージ理論格子
2次元正方光格子
格子ゲージ理論格子のリンクの上にBEC状態の原子を置くことに対応
BECの位相⇒ ベクトルポテンシャル

この対応をもとにU(1)gauge-Higgsモデルを構築する各リンクにのっている原子場を分割して、低エネルギー有効理論を考えてみる,平均粒子密度密度揺らぎ

原子系でのカノニカル共役関係をU(1)ゲージ理論と対応させると電場＝原子の密度ゆらぎ

BECの位相有効作用は拡張Bose Hubbardモデルから⇒ ベクトルポテンシャルまで展開してこの有効理論はU(1)gauge-Higgs モデルと解釈できる
Gauss則電場の項
磁場プラケット項は考えない

Hopping項からの寄与
ここで、長距離相互作用をチューニングして出てくるGauss則項はGauss則のゆらぎをコントロール
hopping項は何を意味するのか?

Hopping項はL字型に結合するHiggsカップリング項である
Higgs場 (London limit)

これがhopping項の中に存在しているとするとHiggsBEC位相ユニタリーゲージを考えればよい
Higgs場は仮想的な場としてとらえるが、このhopping項はGauss則を破れを記述する （この破れは原子系の上でコントロール可能である）

Gauss則項の実験的構築法の提案を一つ

Dipolar原子を上手く使う
Cr三層構造の光格子

Rb層で異なる格子形状

Er

層間の間隔の調整

U(1)gauge-Higgsモデル

原子密度層間のdipole-dipole相互作用を考える
2次摂動で真ん中の層の有効相互作用を解析的に導く⇒Gauss側を満たす相互作用を作る[3]Y. K, K. Kasamatsu, Y. Takahashi, I. Ichinose, and T. Matsui,
New J. Phys. 17, 063005 (2015).

2.

GP方程式を用いた
U(1) lattice gauge-Higgsモデルのダイナミクス(特に閉じ込め相の電束の振る舞い)[3]Y. K, K. Kasamatsu, Y. Takahashi, I. Ichinose, and T. Matsui,
New J. Phys. 17, 063005 (2015).

Monte-Carlo法から予想される平衡状態での相構造ホッピング

Staticチャージ間での原子の密度ゆらぎの分布（予想）

相の対応
Higgs相 ⇒ 超流動相閉じ込め相 ⇒ 位相のコヒーレンスが弱い
Gauss則Full Gross-Pitaevskii equations (GPE)
Gauss則を満たす相互作用をもつ拡張Bose Hubbardモデル.

Gross-Pitaevskii equation
London limit

Higgsカップリング項の振幅が揺らいでいるモデル
Higgs相と閉じ込め相の境界ははっきりする.

[6]S. Wenzel, et.al,
Phys. Rev. Lett. 95, 051601 (2005).

Let’s see our result

GP方程式の初期状態の設定
サイト上に二つのstaticチャージペアがあると考える

その間に電場の励起として一本のFluxを置く

原子系では密度の励起に対応している

原子の密度揺らぎ = 電場の大きさ

GP時間発展で電束が減衰したら→ Higgs相を観測している.

電束が安定的に存在する→ 閉じ込め相が安定である.

閉じ込め相

閉じ込め相 → fluxは振動しながら安定に存在する.

Higgs相time ～100 msec

・Higgs相では、閉じ込めfluxの形態は消え、staticチャージ間から湧き出す原子密度波が等方的に拡がる.

最近取り組んでいること

3. 光格子(3+1)次元モデルへの拡張
GP方程式によるチャージ間張力の計算

３次元モデルへの拡張の試み

3次元 体心立方光格子の提案
光格子ポテンシャルミニマム
格子ゲージ理論格子[8]Y. Boretz and L. E. Reichl, Phys. Rev. E 91,042901 (2015).

この格子の上でBose Hubbardモデルを考え、U(1)gauge-Higgsモデルを考える

3次元下でのGP方程式による閉じ込めflux張力の算出
閉じ込め相
3次元空間内メソン間の1本のflux
GP方程式を解く

Time averaged string tension（O(100msec)）
0.03

系全体のflux周辺のエネルギーの変動とエネルギーの時間発展を計測し、チャージ間の張力を算出

0.025
0.02

張力 Fluxの長さ
0.015

各fluxの長さによる張力の算出

0.010.005

長さが大きくなると、線型ポテンシャルに近づく

00510152025

Summary
・極低温原子系においてGP方程式を用いて閉じ込めfluxの観測:
Higgs相 → 閉じ込めfluxは次第に消失、原子密度波が生成・伝播
閉じ込め相 → 閉じ込めfluxは振動しながら安定的に存在する.
これらは冷却原子系の原子密度ゆらぎを観測すれば実験的に確認できる

・冷却原子系の解析でよく利用されるGross-Pitaevskii方程式は格子ゲージ理論の物理的なダイナミクス計測においても有効である.
・ Gross-Pitaevskii方程式を用いて様々なゲージモデルのfluxのダイナミクスや、磁場、モノポール等の計測が可能である(原理上)冷却原子系上での量子シミュレーションとして、様々なゲージモデルの構築方法が未だに不足している状況であり理論的提案が望まれている.

REFERENCES
Optical lattice:•I.Bloch, J. Dalibard, and W. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 80, 885 .

•M. Greiner, et al, Nature 415, 39–44 (2002).

•

D. Jaksch, and P. Zoller, Ann. Phys. (N.Y.) 315, 52 (2005).

•T. Lahaye et al, Rep. Prog. Phys. 72 126401 (2009).

Quantum Simulation of Lattice gauge theory (review article):• U.-J. Wiese, arXiv:1305.1602v1 (2013).
• E. Zohar, J. I. Cirac, B. Reznik, arXiv:1503.02312v1 (2015).
• J. I. Cirac and P. Zoller, Nat.Phys 8, 264–266 (2012).
••

K. Kasamatsu, I. Ichinose, and T. Matsui, Phys. Rev. Lett. 111, 115303 (2013).
Y.K, K. Kasamatsu, Y. Takahashi, I. Ichinose, T. Matsui, arXiv:1412.7605.

補足

Equation of motion: Gauge-Higgs equation (GHE)
The time-dependent equations can be derived from the real-time path integral formulation
under saddle-point approximation.
The operators of the original Hamiltonian are replaced by the c-number fields.

Gauss’s law strength
on-site repulsion
Hopping strengthi: oddi: even
We can simulate the real-time dynamics!

First, we will show a numerical result in confinement regime
Confinement phasetime ～ 100 msec

Flux string is conserved with oscillating, and the frequency and amplitude depend on
the strength of Gauss’s law, on-site interaction and hopping strength.

Next, we will show a numerical result in Higgs regime

Higgs phase phasetime ～１００ msec

We found a intermittent density-wave emission.
Since our GHE corresponds to the London limit, in which the amplitude fluctuation of theHiggs field is absent, the phase boundary becomes less clear because the two phases connect
with each other through crossover.

1. We create triple layer system.

CrRbEr

LGT plane

The unit cell of the projective mapping of theall layers.

Upper Cr = B boson
Middle Rb = A-boson
Lower Er = C-boson
In the middle layer, the U(1)GHM system
can be realized.

2. Each species of bosons is assumed to have adipole, perpendicular to the plane of the layer.
By treating the DDI between A-boson and Bboson as a perturbation, the second-order
perturbation theory generates an effective intersite interaction between the A-bosons.
3. Also, the DDI between A- and C-bosons
generates another inter-site interactions
between the A-bosons.

We show the two types inter-site interaction

In Cross section 2, the inter-site DDI becomes

In Cross section 3, the inter-site DDI becomes

Gauss law tuning
By using the inter-site interactions, we want to change only A-boson long-range interaction(DDI).
See the below table.

1.NN and NNN interactions
are same amplitude.
A-boson long-range interaction

2.We want to vanish(1,5), (4,6) link interactions

From now,
we will derive effective interactions
from path integral formulation.
・The B- and C-bosons are trapped
in deep optical lattices
with negligible hopping.

・second-order perturbation theory.

Calculation in Path-integral formulation(A-boson and C-boson)
We start to define the Inter-layer dipole-dipole interaction,

Next, C-boson system can be defined as follows,Integrate out C-boson system (Second perturbation theory)

A-boson density-density interaction!
This effective interaction depends on the following factor,

This factor is controllable in an optical lattice system!
Also, we can same calculation for B-boson sector.
In this situation, when only bare long-range interaction of A-boson is

The above A-boson interactions can be modified by effective interactions from B- and C-bosons.
In such a mechanism, we obtain tuning relations for realizing Gauss’s law.
Fine tuning relation