数理解析研究所講究録1082 巻 1999 年 1-15

1直交 Lie 環における行列式と Pfaffian の関係式

伊藤稔 (MINORU ITOH)

京大理Introduction. 交代行列全体で実現される直交 Lie 環$0_{2m}$の普遍包絡環 $U(0_{2m})$ に対して, それぞれ行列式と Pfaffian で表される二つの中心元が知られている$([\mathrm{H}\mathrm{U}], [\mathrm{M}\mathrm{N}])$. 可換な要素からなる交代行列では Pfaffian の自乗は行列式に等しいが, 本稿ではそれに相当する

関係式をこの二つの中心元に対して与える.
以下固定された標数$0$の体$\mathrm{K}$の上で議論を行う. Lie 環

Lie 環として実現する. その生成系$A_{ij}\in 0_{n}$と定め, これらを要素とする交代行列を行列単位$\mathit{0}_{n}$$E_{ij}\in \mathfrak{g}\mathrm{t}_{n}$$([\mathrm{H}\mathrm{U}])$. (これは普遍包絡環をしていることに注意.)を用いて $A_{ij}=E_{ij}-E_{ji}$を考える. パラメー

$A=(A_{ij})_{i}^{n},j=0\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n, U(\mathit{0}_{n}))$タ $u$ に対し, 行列式 $\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)$ はが知られているを $n$ 次の交代行列全体のなす$U(\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n})$$U(\mathit{0}_{n})$の中心の元であることにおける Capelli element とよく似た形

また $n=2m$ めとき, Pfaffian$\mathrm{P}\mathrm{f}(A)$がやはり$U(\mathit{0}_{n})$の中心に属する. ただし非可換な要素の行列の Pfaffian と行列式は後述の (1), (3) で定義する. 本稿の主結果はこれら二つの中心元の関係を述べた次の等式である.

Theorem. 普遍包絡環 $U(0_{2m})$ において次の関係式が成立する:$\mathrm{P}\mathrm{f}(A)^{2}=\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(m, m-1, \ldots, -m+1))$$=\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(m-1, m-2, \ldots, -m))$.

この関係式は [O] において $m=2$ のとき確認されていたが, 一般の場合は未解決であった.
本稿の議論では外積代数の元を変数とする母函数を用いて行列式と Pfaffian を表示する
ことがひとつの鍵となる.

されるほか, 普遍包絡環

この表示を用いることにより上記の Theorem が見通しよく証明$U(\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}),$$U(0_{n})$の中心元に関する幾つかの性質を自然に導くことができる.

本稿の内容は梅田亨氏 (京大理) との共同研究 [IU] によるものである,

1. Exterior calculus for Pfaffians and determinants. まず行列式および Pfaffianの外積代数を用いた表示を説明する.

この表示は非可換な要素からなる行列に対しても有効であり, これから行列式と Pfaffian の基本的な性質が自然に導かれる.
Typeset by-TEX$A_{\lambda 4}S$2
一般に非可換な結合的代数 $A$ に対し, その元を要素とする $n\cross n$ 行列 $\Phi=$ (\Phi \Phi \Phi の碍 $=1$ について考察しよう.
代数とする.

$e_{1},$

この$\ldots,$$\Lambda_{2n}$$e_{n},$ $e_{1}’,$$\ldots,$にはそれぞれを反可換な変数,$e_{n}’$$\{e_{i}\}$と$\{e_{i}’\}$

1.1. $2m$ 次の交代行列$\Lambda_{2n}$をこれらから生成される外積から生成される外積代数

代数として自然に埋め込まれている. 以下, 外積代数

で計算を行う. ただし積は部分代数$\Lambda_{2n}$$\Lambda_{2n}$と$\Lambda_{n}$$\Lambda_{n}’$と代数 $A$ のテンソル積環が部分$\Lambda_{2n}\otimes A$と $A$ が江別に可換になるように入れる.

$\Phi=(\Phi_{ij})_{i,j=1}2m$に対し, Pfaffian$\mathrm{P}\mathrm{f}(\Phi)$を次のように定義する:.

(1)$\mathrm{P}\mathrm{f}(\Phi)=\frac{1}{2^{m}m!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{2m}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)\Phi_{\sigma}1)(\sigma(2)\Phi_{\sigma(3})\sigma(4)\ldots\Phi\sigma(2m-1)\sigma(2m)$

これは$\Lambda_{n}\otimes A$の元 $\Theta_{\Phi}=\sum_{i,j=1}^{n}e_{i}ej\Phi_{ij}$ を用いて, 次のように表すことができる:(2)$\Theta_{\Phi}^{m}=2^{m}m!e_{1}\cdots e_{n}\mathrm{p}\mathrm{f}(\Phi)$

1.2.

$n$

.

次の正方行列 $\Phi=(\Phi_{ij})_{i}^{n},j=1$ に対し, その行列式 $\det(\Phi)$ を “column-determinant”と呼ばれる次の交代和で定義する:(3)$\det(\Phi)=$column-det$( \Phi)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)\Phi(1)1\Phi(\sigma 2)2\ldots\Phi\sigma\sigma(n)n$.

これは次を定義とする “row-determinant” に対置されるものである:

...

(4)

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{w}-\det(\Phi)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_{n}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)\Phi_{1})\sigma(1\Phi 2\sigma(2)$これらの間には$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{w}-\det(\Phi)=$determinant は$\eta_{j}=\sum_{i=}^{n}1ei\Phi_{ij}$(5)$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{n}-\det(\Phi)$$\Phi_{n\sigma(n)}$.

という関係式が成立する.

この column-という元を用いて$\eta_{1}\eta_{2}\cdots\eta_{n}=e1\ldots$

en$\det(\Phi)$と表すことができる.

column-determinant, row-determinant とは別に, Pfaffian の定義を参考にして次のような “対称化された行列式” とでも呼ぶべきものを導入する:(6)$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi)=\frac{1}{n!}(\sigma,\sigma’)\in \mathfrak{S}_{n}\cross\sum_{\mathfrak{S}_{n}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)’\Phi_{\sigma(}1)\sigma(\prime 1)\Phi 2)\sigma’(2)\ldots\Phi\sigma(\sigma(n)\sigma’(n)$さらに次のようにパラメータ(7)$u_{1},$ $u_{2},$$\ldots,$$u_{n}$を持つものを考える:$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi;u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n})$$=\underline{1}$$\sum$$n!$sign$(\sigma,\sigma’)\in \mathfrak{S}_{n}\cross \mathfrak{S}n$$(\sigma)\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)’\Phi_{\sigma()}1\sigma(\prime 1)(u_{1})\cdots\Phi\sigma(n)\sigma’(n)$

(un).

.

3
ただし $\Phi_{ij}(u)=^{t}.\Phi_{ij}+\delta_{ij}u$ とする. これらは $—_{\Phi}= \sum_{i}^{n},j=1je_{i}e’\Phi_{ij},$ $\tau=\sum_{i1}^{n}=e_{i}e_{i}’$ という元を用いて次のように表される :

.

(8)

. ‘.

$—\Phi n=n!e_{1}e^{;}1\ldots e_{nn}e;\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi)$.

$\cdot$$(_{-\Phi}^{-}-+u_{1}\tau)(^{-}--_{\Phi}+u_{2}\tau)\cdots(_{-\Phi}^{-}-+u_{n}\tau)=n!e_{1}e’1\ldots$

特にと $(_{-\Phi}^{-}-+u_{j}\tau)$ は可換だから$(_{-\Phi}^{-}-+u_{i}\tau)$

よらない.

$— \Phi=\sum_{j=1}^{n}\eta je’j$に注意すると,

.

,

ene n
’

$\mathrm{D}$$\mathrm{e}$$\mathrm{t}(\Phi;u1, u_{2}, \ldots, u_{n})$はパラメータの順序に$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi;u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n})$$\eta_{j}$が互いに反可換であれば $\det(\Phi)$ と一致することが分かる. 特に代数 $A$ が可換のとき$\det(\Phi)=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi)$.

$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi)$

.
.

であ、る.

.

.

は

$\cdot$1.3. 上記の外積代数を用いた表示から, Pfaffian および行列式の基本的な性質が自然に導かれる. その際に よりどころとなるのは以下のような外積代数の不変性である.

反可換な変数たち $\{e_{i}, e_{i}’|1\leq i\leq n\}$ で張られるベクトル空間$GL_{2n}(\mathrm{K})$$\alpha_{*}$

が作用している.

この$\alpha$の作用は自然に外積代数$\Lambda_{2n}$に拡張される. また $\{e_{i}|1\leq i\leq n\}$ で張られる部分空間

作用している.

外積代数

この $g$ の作用はやはり自然に$\Lambda_{2n},$$\Lambda_{n}$$\Lambda_{n}$やには自然な次数付き環の構造$\Lambda_{n}.\otimes A$$\mathrm{K}^{n}$$\mathrm{K}^{2n}$には $\alpha\in GL_{2n}=$の, さらに$\Lambda_{2n}\otimes A$の同型に $g\in GL_{\eta}=GL_{\dot{n}}(\mathrm{K})$ がの同型に拡張される.

$g_{*}$$\Lambda_{2n}=\oplus_{k=0}2n\Lambda_{2}..(kn),$$\Lambda_{n}=,\oplus kn.\Lambda(k)=0n$が入る. 次の lemma は外積代数の基本的な性質である:

Lemma 1.1.

$\Lambda_{2n}\otimes A,$(1)$\varphi\in\Lambda_{2n}^{(2n)}\otimes A,$(2)$\varphi\in\Lambda_{n}^{(n)}\otimes A,$$\Lambda_{n}\otimes A$の最高次の元に対する作用について次の関係が成立する:$\alpha\in GL_{2n}$$g\in GL_{n}$に対し,$\alpha_{*}(\varphi)=\det(\alpha)\varphi$となる.

に対し, $g_{*}(\varphi)=\det(g)\varphi$ となる.

本稿では $GL_{2n}$ の元として以下の 2 種類のものを扱う. まず, 第– に $g,$ $g’\in GL_{n}$ に対し$\alpha_{g,g’}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(g, g’)=\in GL_{2n}$$arrow\int$と表されるものを考える.
別な場合として$\det(\alpha_{g})=1$

この,$\alpha_{g}=\alpha_{g^{\iota_{g}-1}}$$\alpha_{g,g’}$の作用は部分代数と置く . この作用$\Lambda_{n},$を木曾にする. またこれの特$\Lambda_{n}’$$\alpha_{g*}l\mathrm{h}_{\mathcal{T}}-=\sum_{i=1}^{n}e_{i}e’i$$:-$を不変に保つ.

またである.

第二に $h\in GL_{2}$ に対し,

$h\otimes 1_{n}=\in GL_{2n}$と表されるものを考える. これは$\tau$

に対し $(h\otimes 1_{n})_{*}\tau=\det(h)\mathcal{T}$ と作用する.

の典型的な例として, $\iota(e_{i})=e^{J}i’\iota(e_{i}’)=ei$ で定義される invoiution$\iota$の $\varphi\in\Lambda_{2n}\otimes A$ への作用を簡単に $\iota_{*}(\varphi)=\varphi’$と作用する.

と書く.

この$\iota$は$\tau$$\iota$

この $h\otimes 1_{n}$がある. しばしばこのに対し$\iota_{*}\tau=\tau’=-\mathcal{T}$4Remark.

$\Lambda_{2n}\otimes A$の元$\tau=\sum_{i=1}^{n\prime}e_{i}e_{i}$は次のような$\mathrm{K}^{2n}$上の反対称 2 次形式 $B$ を表していると考えることができる:$B(e_{i}, e_{j}’).=\delta ij$,$B(e_{i}, e_{j})=0$,$B(e_{i}’’, e_{j})=0$.

実際 $\alpha\in GL_{2n}$ が symplectic 群 $Sp_{2n}=S_{P}(\mathrm{K}^{2}n, B)$ に属する必要十分条件は $\alpha_{*}(\tau)=\tau$が成立することである.

1.4. \S 1.3 の考察を \S 1.1, 1.2 で与えた Pfaffian, 行列式の表示に適用することにより, これらの以下のような不変性を導くことができる. 代数 $A$ の元を要素とする $n\cross n$ 行列 $\Phi=$(\Phi 碍 に対し, 次のような線型変換を考える:
$=1$

(9)

$\Phi-*g\Phi g=J(_{1\leq p,q}\sum_{\leq n}gip\Phi_{p}qg_{q}j)\prime in,j=1^{\cdot}$

ただし $g=(g_{ij}),$ $g’=(\mathit{9}_{ij}’)$ は $GL_{n}$ の元とする.

この線型変換の作用は行列式の表示に用いた $— \Phi=\sum_{i,j=1}^{n}eie_{jij}’\Phi\in\Lambda_{2n}\otimes A$ に対しては次のように書き換えられる :$—g\Phi g’=(\alpha_{g^{\iota_{\mathit{9}’}}},)*(_{-}^{-_{\Phi}}-)$

また $g’={}^{t}g$ のとき, Pfaffian の表示に用いた.

$\Theta_{\Phi}..\cdot=\sum_{i}^{n},j=1\Phi_{ij}e_{i}e_{j}\in\Lambda_{n}\otimes A$

に対する作用は次のように書き換えることができる:$\Theta_{g\Phi^{\iota_{g}=}}g_{*}(\Theta_{\Phi})$

これらの書き換えは$–\Phi-$または$\ominus_{\Phi}$.

の多項式に拡張できる: 多項式 $p(x)\in \mathrm{K}[x]$ に対し$p(_{-g\Phi g}^{-}-’)=(\alpha_{g^{l}g},’)_{*}(p(--_{\Phi}-))$,$p(\Theta_{g\Phi^{\mathrm{t}}g})--g_{*}(p(\ominus_{\Phi}))$.

特に $p(x)=x^{n},$ $p(x)=x^{m}$ とすると, Lemma 1.1 と (2), (8) から対称化された行列式および Pfaffian に関する次のような不変性が分かる :Proposition 1.2. 次の等式が成立する:$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(g\Phi g)’=\det(g)$この関係は行列$\Phi$

det(g’)$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi),$.

$\mathrm{P}\mathrm{f}(g\Phi^{t}g)=\det(g)^{\mathrm{p}}\mathrm{f}(\Phi)$.

の要素が非可換でも成立することに注意する.

また $g’=g^{-1}$ のときは,$\alpha_{g,{}^{t}g^{-1}}=\alpha_{g}$の作用が$\tau$

を不変にすることから,$\mathrm{K}[\tau]-$係数の多項式 $p(x)\in \mathrm{K}[\tau][x]$ に対して次が成立する:$p(_{-g\Phi}^{-}-g-1)=\alpha_{g*}(p(--_{\Phi}-))$

さらに Lemma 1.1 から$p(_{-}^{-_{\Phi}}-)\in\Lambda_{2n}^{(2n})\otimes A$.

のときはこの作用で不変であることが分かる.

特に $p(_{-}^{-_{\Phi}}-)=(_{-\Phi}^{-}-+u_{1}\tau)(--_{\Phi}-+u_{2}\tau)\cdots(_{-\Phi}^{-}-+u_{n}\tau)$ にこれを適用すると, (8) から対称化された行列式についての次の不変性が分かる :5
Proposition 1.3. 次の等式が成立する:$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(g\Phi g^{-};u1, u21, \ldots, u_{n})=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi;u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n})$また involution$\iota_{*}=$’が$—\Phi$に $—’\Phi=$ —-やと作用することから.

同様の考察で対称化された行列式が転置という操作で不変であることが分かる:(10)$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi;u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n})=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(^{t}\Phi;u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n})$以上の考察の特別な例として, 線型変換 (9) が代数 $A$ の同型$\gamma$.

によって引き起こされる場

合を考える. 行列式および Pfaffian の上記の不変性から次が分かる:

Proposition 1.4. 代数 $A$ の元を要素とする $n\cross n$ 行列$\Phi=(\Phi_{ij})_{i,j=}^{n}1$

が, $A$ の同型$\gamma$の作用で $\gamma(\Phi)=g\Phi g^{-1}$ と変換されたとする. ただし $g\in GL_{n}$ とする. このとき次が成立す
る:(1) 対称化された行列式(2) 行列$\Phi$$\mathrm{P}\mathrm{f}(\Phi)$$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi;u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n})$が次数 $n=2m$ の交代行列で,は$\gamma$の作用で1.5. 最後に, 交代行列$\Phi$$g$は$\gamma$の作用で不変である.

が直交行列 (i.e.

$\gamma(\mathrm{P}\mathrm{f}(\Phi))=\det(g)^{\mathrm{p}}\mathrm{f}(\Phi)$$g^{-1}={}^{t}g$) とする. するとと変換される.

の要素が可換のときに成立する$\mathrm{P}\mathrm{f}(\Phi)^{2}=\det(\Phi)$という関係式が, 我々の外積代数を用いた表示を利用してどのように証明されるかを見てみる. \S 4 で行う

主定理の証明はこれから着想を得ている.
可換な代数 $A$ の元を要素とする $n=2m$ 次の交代行列 $\Phi=(\Phi_{ij})_{i}^{n},j=1$ に対し,の元$\Theta=\sum_{j1\leq i,\leq n}e_{i}ej\Phi_{ij}$,$\Theta’=\sum_{1\leq i,j\leq n}e_{ij}\prime\prime e\Phi_{i}j$,$—= \sum_{1\leq i,j\leq n}eie’j\Phi ij$を考える. $GL_{2}$ の元

$h=$
に対し,

$h\otimes 1_{n}$は $—$ に次のように作用することが直接的な計算により分かる.

.

$(h \otimes 1_{n})_{*}(_{-}^{-}-)=1\leq i,\sum_{\leq jn}.(e_{i}+e^{;}i)(-e_{j}+e’j)\Phi_{i}j=-\Theta+\Theta’$

よって二項定理を用いて(11)$(h\otimes 1_{n})_{*}(_{-}^{-n}-)$の次のような展開が得られる :$(h\otimes 1_{n})*(---n)=(-\Theta+\Theta’)n=(-1)^{m}\Theta^{m}\Theta^{\prime m}$.

$\Lambda_{2n}\otimes A$6
ここで$k>m=n/2$ に対して$\Theta^{k}=0=\Theta^{\prime k}$となる事実を利用している. また Lemma 1.1

より次が得られる :(12)$(h\otimes 1_{n})_{*}(_{-}^{-n}-)=\det(h\otimes 1_{n})_{-^{n}}^{-}-=\det(h)^{n}---n=2^{n-n}--$.

.

\S 1.1, 1.2 で与えた行列式および Pfaffian の表示式
$rightarrow n$$–$$=e_{1}\cdots e_{n}e_{1}’\cdots e_{n}’(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n!\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi)$$\ominus^{m}=e_{1}\cdots e_{n}2^{m}m!\mathrm{P}\mathrm{f}(\Phi)$に注意すると, (11), (12) から

2. Application to
基本的な
遍包絡環

$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$,$\mathrm{P}\mathrm{f}(\Phi)^{2}=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\Phi)$$U(\mathfrak{g}\mathrm{t}_{n})$,$\Theta^{;m}=e_{1}’\cdots e’n2^{m}m!\mathrm{p}\mathrm{f}(\Phi)$を得る.

. 本稿の主結果の舞台である直交 Lie 環 04 を扱う前に, よりについて考察する. 主に議論の対象となるのは, Capelli element と呼ばれる普$U(\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n})$これは以下で述べるように行列式を用いて定義されるが,の中心元である.

前節の議論を適用することによりその基本的な性質が自然に導かれる.

Lie 環$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$の標準的な基底の元として, 行列単位に相当するものをらを要素とする行列$E_{ij}$と置く. さらにこれを考える. 以下, この行列の column-$E=(E_{ij})_{i,j=}^{n}1\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n, U(9\mathrm{t}_{n}))$determinant, row-determinant, そして対称化された行列式の間の関係を見ていく.
次のような$\Lambda_{n}\otimes U(\mathfrak{g}\downarrow_{n})$の元を考える:$\eta_{j}=\sum_{i=1}^{n}eiEij$${}^{t}\eta_{j}= \sum_{i=1}^{n}eiE_{j}i$;,$\eta_{j}(u)=\eta_{j}+ue_{j}=\sum_{i=1}^{n}eiEij(u)$,${}^{t}\eta_{j}(u)={}^{t}\eta_{j}+ue_{j}..= \sum_{i=1}^{n}e_{iji}..E,(..u)$.

これらは反可換ではないが, 簡単な計算からそれに相当する次のような交換関係が分かる.

Lemma 2.1.

$1\leq i,$ $j\leq n$

に対し, 次が成立する:$\eta_{i}(u+1)\eta_{j}(u)+\eta_{j}(u+1)\eta_{i}(u)=0$,${}^{t}\eta_{i}(u)t\eta j(u+1)+{}^{t}\eta j(u)t(\eta_{i}u+1)=0$.

特に$\eta_{i}(u+1)\eta_{i}(u)=0$

さらに次のような$\Lambda_{2n}\otimes U(\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n})$$—=_{-}-_{B}-=.

,${}^{t}\eta_{i}(u)t(\eta iu+1)=0$.

の元を考える:\sum_{\leq 1\leq i,jn}e_{i}ejE_{ij}’=\sum_{j=1}^{n},$ $\eta_{j}.e_{j}’$.

$= \sum_{i=1}^{n}ei{}^{t}\eta’:$

$i$

.

’

$—(u)=—_{E}(u)=---E+u \mathcal{T}=j=1\sum\eta j(un)e’j--\sum_{i=1}^{n}ei\eta_{i}’(u)t$

.

7
ただし
nし

アし

$\tau=\sum_{i=1}e_{i}e_{i}’$,れ${}^{t}\eta_{i}’= \sum_{1j=}eE_{ij};j$’${}^{t}\eta_{i}( \prime u)=j=\sum e’E1jij(u)$とする. すると Lemma 2.1 を使って $—(n)(n-1+u)=_{-}--(n-1+u)_{-}^{-(n-2}-+u)\cdots---(u)$の次のような展開が得られる :$—(n)(n-1+u)=\eta_{1}(n-1+u)e_{1}’\eta_{2}(n-2+u)e_{2}’\cdots\eta n(u)e_{n}’$$=e_{1}{}^{t}\eta_{1}’(u)e2^{t\prime}\eta 2(1+u)\cdots e_{n}{}^{t}\eta’n(n-1+u)$.

この等式と前節における行列式の表示式 (5), (8) から, column-, row-determinant, そして対称化された行列式の関係を表す次の等式を得る:

Proposition 2.2. 次の等式が成立する:$\det(E+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)$$=\det(^{t}E+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(0,1, \ldots, n-1)+u)$$=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}\langle E+u;n-1,$$n-2,$. . , ).
,

$0$

これらの行列式が普遍包絡環の中心元であることを見ておこう.

まず次の lemma に注意する:Lemma 2.3. $g\in GL_{n}$ の行列 $E$ への adjoint 作用は (Ad ) $E={}^{t}gE{}^{t}g^{-1}$ と表される.
$g$

Proof. 次の計算から示される. ただし行列
(Ad )
$g$

$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}$Proposition 2.4. 行列式$\mathit{9}^{ij}$$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(E)u_{1},$と表す.

$U(\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n})$次 Capelli element$C_{k}$$u_{2},$.

$\square$. . ;,$u_{n}$)が特に Proposition 22 から次を得る :$\det(E+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)$

で不変である. 特に普遍包絡環$k$の成分をそれぞれ $gij,$の不変性を適用すると,の adjoint 作用で不変であることが分かる.

Remark.

$g^{-1}$$E=(gE_{ij}g^{-}1)_{i,j}n=1=(_{1\leq\alpha,\beta\leq} \sum_{n}g\alpha iE\alpha\beta g^{j\beta})^{n}i,j=1={}^{t}gE{}^{t}g^{-1}$

これに Proposition 13 で述べた
$GL_{n}$$g,$

は $GL_{n}$ の adjoint 作用の中心に属する.
は $\det(E+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)$ の次の展開で定義される :.

$\det(E+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, 0)+u)\backslash =\sum_{=k0}u(u+1)\cdots(u+k-1)C_{n}-k$

8
この Capelli

element は Capelli 恒等式を通じて古典的な不変式論で重要な役割を果たしてきた. 今節の議論は Capelli element の幾通りかの表示と, 普遍包絡環の中心元であることの証明を与えている.

3. Application to$U(\mathit{0}_{n})$. 前節の$\mathfrak{g}\mathrm{t}_{n}$に関する考察に倣って, 今節では直交 Lie 環$\mathit{0}_{n}$の普遍包絡環の中心元で行列式および Pfaffian で表されるものについて調べる.
直交 Lie 環$0_{n}$

を $n$ 次の交代行列全体で実現する:$\mathit{0}_{n}=\{x\in\emptyset(_{n}|X+Xt=0\}$

この$\mathit{0}_{n}$.

,の元 $A_{ij}=E_{ij}-E_{i}$ に対し, これらを要素に持つ行列 $A=(A_{ij})_{i}^{n},j=1$ を考える. 前節の行列式の類似物として $\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, 0)+u)$ なる行列式を考えると,

これがやはり普遍包絡環の中心元であることが知られている [HU]. また Pfaffian$\mathrm{P}\mathrm{f}(A)$

もや

はり中心に属する. これらの事実は前節と同様にこの行列式や Pfaffian を外積代数で表示することで, 以下のように自然に導くことができる.
$\Lambda_{n}\otimes U(\mathit{0}_{n})$と置く. このの元 $\psi_{j}=\sum_{i=1j}^{n}e_{i}A_{i}$ を考える. またパラメータ$\psi_{j}(u)$$u$に対し, $\psi_{j}(u)=\psi_{j}+ue_{j}$の間には次のような交換関係が成立する:

Lemma 3.1. $1\leq i,j\leq n$ に対し, 次の等式が成立する:$\psi_{i}(u+1)\psi_{j}(u)+\psi_{j}(u+1)\psi i(u)=-\delta ij\Theta$

ここで$\Theta$.

は次のように定める:$\ominus=\sum_{1\leq p,q\leq n}eeA_{p}=-pqq\sum_{=p1}e_{p}\psi_{p}$前節と同様に$\Lambda_{2n}\otimes U(0_{n})$.

の元 $—=_{-A}--,$ $—(u)=—A(u)$ を次のように定める:$—A= \sum_{1\leq i,j\leq n}eie’j=\sum A_{ij}\psi_{j}ej=1n\prime j$’$—A(u)=–_{A}-+u \tau=j\sum_{=1}^{n}\psi_{j}(u)e_{j}’$.

ただし $\tau=\sum_{i=1i}^{n}eie’$ とする. すると Lemma 3.1 の交換関係を利用して $—(n)(n-1+u)=$$—(n-1+u)_{-}^{-}-(n-2+u)\cdots---(u)$ の次の展開が得られる :$—(n)(n-1+u)=\psi_{1}(n-1+u)e_{1}\psi;(2n-2+u)e2\ldots\psi\prime n(u)e\prime n$

この等式と行列式の表示式 (5), (8) から次が導かれる :.

9Proposition3.2. 次の等式が成立する:$\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(A+u;n-1, n-2, \ldots, 0)$.

特に $A$ が交代行列であることと, 対称化された行列式の転置による不変性 (10) から次が分かる :Corollary 3.3. 次の等式が成立する:$\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)=(-)^{n}\det(A-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\mathrm{o}, 1, \ldots, n-1)-u)$.

特に $n=2m+1$ のとき$\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(m, m-1, \ldots, -m))=0$

最後に, この行列式やときと同様に直交群$O_{n}$$\mathrm{P}\mathrm{f}(A)$が普遍包絡環の中心に属することを見ておく. Lie 環$g$

これに Proposition 13 で述べた
$O_{n}$$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$のの adjoint 作用に関して次の lemma が成り立つ:

Lemma 3.4. $g\in O_{n}$ の行列 $A$ への adjoint 作用は (Ad )直交群.

$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}$$A={}^{t}gA{}^{t}g^{-1}$の不変性を適用するとの adjoint 作用で不変であることが分かる.

$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(A;u_{1}, u_{\mathit{2}}, \ldots, u_{n})$が特に Proposition 33 から $\det(A+$もこの作用で不変である. また$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)$と表される.

$\mathrm{P}\mathrm{f}(A)$が $SO_{n}$ の adjoint 作

用で不変であることも Pfaffian の不変性 (Proposition 12) から分かる.

まとめると次のよ

うになる:

Proposition 3.5. 行列式$\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(n-1, n-2, \ldots, \mathrm{O})+u)$

ぞれ $O_{n},$ $SO_{n}$ の adjoint 作用で不変である. 特に普遍包絡環$U(\mathit{0}_{n})$, Pfaffian$\mathrm{P}\mathrm{f}(A)$はそれの中心に属する.

4. The relation between Pfaffian and determinant. この節では本稿の主結果である次の定理の証明を行う :Theorem 4.

$U(0_{\mathit{2}m})$において次の等式が成立する:$\mathrm{P}\mathrm{f}(..A)^{\mathit{2}}=\det(A+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(m-1, m-1, \ldots, -m))$$=\det(A+.\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(m, m-1, \ldots, -m+1))$.

第二の等号は Corollary 33 から分かる. よってここで本質的なのは第–の等号である.

\S 1 で与えた外積代数による表示で Theorem 4 を書き換えておこう. $n=2m$ として, 前節と同様に次のような$\Lambda_{\mathit{2}n}\otimes U(0_{n})$$\ominus=\sum_{j1\leq i,\leq n}e_{i}e_{jj}A_{i}$,の元を用意する:$\Theta’=\sum_{1\leq i,j\leq n}e_{ij}^{r}e’jAi$,$—= \sum_{n1\leq i,j\leq}e_{i}e^{;_{A}}jij$.

Pfafffian および対称化された行列式の表示式 (2), (8) と Proposition 32 から, Theorem 4は次の関係式に帰着できる:10
Theorem$4^{*}$. 次の等式が成立する:$(-)^{m} \frac{1}{2^{2m}(m!)^{2}}\ominus^{m}\Theta^{\prime m}=\frac{1}{n!}(_{-}^{-}-+(m-1)\tau)(--+(-m-2)_{\mathcal{T})}\cdots(_{--m\mathcal{T}}^{-}-)$

この Theorem 4’ は

る.

しかし

\S 1.5 で与えた古典的な場合と同様の方針で証明することが期待されの非可換性のため, この素朴な計画はそう単純には成功しない. 以下のよう$\ominus’$$\Theta,$.

に幾つかの工夫を重ねる必要がある.
まず$\ominus,$$\ominus’,$$—$の交換関係を見てみる:

Lemma 4.1. 次の交換関係が成立する:$[\Theta, \ominus’]=4_{\mathcal{T}^{-}}--$,

Remark. この交換関係は本質的に$\Theta$と $—$ , また$\ominus’$$[\ominus, ---]=2\tau\Theta$$\mathrm{B}\downarrow 2$,$[\ominus;, ---]=-2T\Theta^{;}$.

-triplet のそれである.

と $—$ の交換関係はパラメータを入れることで簡潔に書き直される. 実際$—(u)=—+u\tau$ ,$—;(u)=—(u)^{;}=----u\tau=---(-u)$

について次の交換関係が成立する:

Corollary 42. 次の等式が成立する:$—(u+2)\Theta=\ominus---(u)$また$\Theta$と$\ominus’$,$—;(u+2)\Theta’=\Theta^{J-\prime}--(u)$の交換関係も$\theta(u)=\Theta+---(u)=\Theta+---+u\tau$,というように$—$.

$\theta’(u)=\Theta’+---;(u)=\Theta’+----u\tau$を組み入れることにより, やはり次のように簡潔に表される. これはこの証

明のひとつの鍵である.

Lemma 4.3. 次の等式が成立する:$\theta(u)\theta;(u+2)=\theta’(u)\theta(u+2)$

Corollary 4.2 を適用すると$\theta(u),$$\theta’(u)$.

の積の展開に関する次の等式が導かれる :11Lemma 4.4. 次の等式が成立する:$\theta(u)\theta(u-2)\cdots\theta(u-2i+2)=\sum_{p=1}^{i}---(u)---(u-2)\cdots---(u-2p+2)\Theta^{i-p}$,$\theta’(u)\theta^{;}(u-2)\cdots\theta’(u-2j+2)=\sum_{1q=}^{j}---’(u)_{-}^{-\prime}-(u-2)\cdots---’(u-2q+2)\Theta’j-q$.

この関係は $F^{(k)}(u;t)= \prod l=0(k-1up-t\iota)$ という記号を用いると次のように書き直される :$\theta^{(i)}(u;2)=\sum_{p=.1}i---(p)(u;2)\Theta^{i-P}$,$\theta^{\prime(j)}(u;2)=\sum q=1j---;(q)(u;..2)\Theta\prime j-q$.

これらの基本的な公式をもとた, 以下本質的な計算を行う. \S 1.5 と同様に $GL_{2}$ の元$h=$に対し, $(h\otimes 1_{n})_{*}(\ominus)=\Theta+.2_{-}^{-}-+\Theta’$ なる変換を考える. これの幕は次のように展開される :Lemma 4.5. $k=0,1,2,$$\ldots$

に対し, 次が成立する:$(h \otimes 1_{n})*(\Theta k)=(\Theta+2_{-}--+\ominus’)k=\sum_{p+q+r=k}\frac{k}{p!qr!}!.2^{r_{-}}--(r)(p-q)\Theta p\Theta^{\prime q}$$= \sum_{p+q+r=k}\frac{k}{p!qr!}!.2^{r}\ominus p\Theta\prime q---(r)(q-p)$.

ただし $—(r)(u)=—(u)—(u-1)\cdots---(u-r+1)$ としている.

Proof. 簡単のためするから$\overline{\Theta}^{k}$$\ominus=\ominus-+2_{-}^{-}-+\Theta’$と置く. 任意の$u$に対し $\tilde{\Theta}=\theta(u)+\theta’(u)$ が成立

は次のように書ける:$\tilde{\Theta}^{k}=\square (\theta(u-2\iota)+\theta’(u-2l))k-1$$l=0$$=(\theta(u-2k+2)+\theta’(u-2k+2))\cdots(\theta(u-2)+\theta’(u-2))(\theta(u)+\theta’(u))$

ここでまず Lemma 43 を用いて右辺を展開する. さらに Lemma 44 を用いて$\Theta,$$\Theta’$

.

の通常

12
の幕と $—$ の階乗函数的な幕に展開する:$\tilde{\Theta}^{k}=\sum_{j=1}^{k}\theta(u-2k+2)\cdots\theta(u-2j-2)\theta(u-2j)\theta’(u-2j+2)\cdots\theta’(u-2)\theta’(u)$$= \sum_{i+j=k}\theta^{(i)}(u-2j;2)\theta’(j)(u;2)$$= \sum_{j1\leq p\leq i,1\leq q\leq}i+j--k---(i-p)(u-2j;2)\Theta^{p_{-}}--’(j-q)(u;2)\Theta^{\prime q}$$= \sum_{\leq^{k}1\leq p\leq i,1q\leq j}i+j_{-}^{-}---(i-p)(u-2j;2)^{-\prime}--(j-q)(u-2p;2)\Theta p\Theta^{\prime q}$$= \sum_{\mathrm{I}p\dagger q+\mu+\text{ノ}=k}\frac{k!}{p!q!\mu!\nu!}---’(\mu)(-u+2k-2p-2;2)_{-}--’(\nu)(u-2p;2)\Theta^{p}\Theta^{\prime q}$$= \sum_{p+q+r=k}\frac{k}{p!qr!}!.(_{\mu+\nu=r}\sum---’(\mu)(-u+2k-2p-2;2)_{-(u-2}--’(\nu)2)p;\mathrm{I}^{\Theta}p\Theta’q$

ここで階乗函数に関する二項展開$(x+y)(r)= \sum_{\mu=0}^{r}x^{(\mu)}y(r-\mu)$を適用する. すると括弧内の和は$r \prod_{l=0}^{-}(2^{-}---(2k-4p-2-2l)\mathcal{T})1=2^{r}\prod_{l=0}^{r-}(^{-}---(k-12p-l-1)\tau)$$=2^{r_{-}\prime(r}--)(k-2p-r)=2r---(r)(p-q)$と書ける. これで Lemma 45 は示された.

口

Lemma 4.5 は以下のように–般化できる.

$GL_{\mathit{2}}$

の元

$h=$
に対して
$(h\otimes 1_{n})*(\Theta)=a\ominus+2aC---+C\Theta 2’\Delta)$ ’

を考える.

ここで

$\theta(u)=a^{2}\Theta+ac_{-}^{-}-(u)$,$\theta^{*}(u)=c^{2}\ominus+ac_{-}^{-\prime}-(u)$.

13と置くと, これらは Lemma 43 と同様の$\theta(u)\theta*(u+2)=\theta^{*}(u)\theta(u.

+2)$という交換関係と等式 $(h\otimes 1_{n})_{*}(\Theta)=\theta(u)+\theta^{*}(u)$ を満たす. そこで Lemma 45 と並行した計算を行うことにより,Lemma 4.6. $k=0,1,2,$$(h\otimes 1_{n})_{*}(\Theta)$$\ldots$の幕の展開が得られる :に対し, 次の等式が成立する:$(h\otimes l_{n})_{*}(\dot{\Theta}k)=(a^{\mathit{2}2}\Theta+2ac_{-}^{-}-+C\Theta’)^{k}$$= \sum_{p+q+r=k}\frac{k^{\wedge}!}{p!q!r!}a^{\mathit{2}+}prc2^{r_{-(r}}2q+r---()qp-)\Theta^{p}\Theta^{\prime q}$.

$= \sum_{p+q+r=k}\frac{k!}{p!q!r!}a\mathit{2}p+r2q+r2r\Theta p\Theta Jq---(cr)(q-p)$

さて, いよいよ証明の最終段階に入る.

まず $k\geq m+1$ のとき $\ominus^{k}=0$ であることに注意すると, Lemma 4.6 の等式は $k=m+1,$$a^{k}c^{k}$(13)$\ldots,$

$2m$

に対して

$0$

であることが分かる. 特にの係数に注目すると次の等式を得る:$\sum_{0\leq p\leq k/\mathit{2}}\frac{1}{p!p!(k^{\wedge-}2p)!}\Theta^{p}\Theta^{\prime p}2^{-2p_{-}}--(k-2p)(0)=0$,

for $k^{\wedge}=m+1,$ . .
$,$

$,$

$2m$

.

そこでこれを–般化した茨のようなものを考える:(14)$Q_{k}(_{S)}= \sum_{\leq 0\leq pk/\mathit{2}}\frac{1}{p!p!(k-2p)!}.\Theta^{p}\Theta^{\prime p}2s-\mathit{2}p(p-1)^{(}S)--(-k-2p)(S)$.

この $Q_{k}(s)$ たちの間には次の関係が成り立つ :Lemma 4.7. $s=0,1,2,$ $\ldots m-1$ に対し, 次の関係式が成立する:$Q_{k}(s+1)=(k-2s-2)Qk(_{S})-Qk-1(\mathit{8})\cdot(---+(-k+3S+3)\mathcal{T})$.

上の (13) から $k^{n}=m+1,$ $\ldots,$ $2m$ に対して $Q_{k}(0)=0$ である.

Lemma 4.7 を用いるとこれらから $k=m+2,$ $\cdots,$ $2m$ に対し $Q_{k}(1)=0$ が導かれる. この操作を繰り返すと最終的に $Q_{\mathit{2}m}(m-1)=0$ を得る.

実はこの等式 $Q_{\mathit{2}m}(m-1)=0$ は Theorem 4’ に同値である.

実際, $(p-1)^{(_{S})}=(p-1)(P-2)\cdots(p-s)$ の影響で (14) 右辺の各項は $p=0$ と $p=m$ のときを除いて(15)$0$になってしまうため, 次が成立する:$\frac{1}{(m-1)!}Q_{\mathit{2}m}(m-1)=\frac{1}{(2m)!}2^{\mathit{2}m}(-1)^{m}-1--\mathit{2}m)(-(m-1)+\frac{1}{m!m!}\Theta^{m}\Theta^{;m}$以上で Theorem 4 の証明が終結する.

.

14
5. Relation to other realization of the orthogonal Lie algebra. ここまで交代行列全体のなす Lie 環を考えて, その標準的な基底を成分とする行列 $A$ についてその$\mathit{0}_{n}$Pfaffian と行列式の関係を見てきた. 向様の定式化は直交 Lie 環の他の実現から出発することも可能であり, 以下に見るよ-うな結果が成立する.
を非退化な $n\cross n$ 対称行列とし, $S$ で定まる直交 Lie 環$S\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{n}(\mathrm{K})$$\mathrm{o}(S)=\{X\in \mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}|{}^{t}XS+SX=0\}$

Lie 環$\mathrm{o}(S),$$0_{n}$のの部分代数と見なす.

$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$の involution

に対し $X-i_{S}(X)\in \mathrm{o}(S)$ となる.
$F_{ij}$で張られている.

$E=(E_{ij})_{i,j=}^{n}1$.

への自然な埋め込みを通じて, 普遍包絡環$\mathfrak{g}\mathrm{t}_{n}$$i_{S}$

を考える:$\mathrm{o}(S)$$U(\mathrm{o}(.

$U(\mathit{0}_{n})$S)),$: $Xrightarrow s^{-1}{}^{t}Xs$ を考えると, 任意の

そこで $F_{ij}=E_{ij}-is(Eij)$ と置

この生成系砺を要素とする行列$F=(F_{ij})_{i,j1}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}=$.

$\langle$

を$U(\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n})$$X\in 9^{(_{n}}$$\mathrm{o}(S)$はこれらを考える. 行列 $F$ はを用いて次のように表される :$F=E-\mathrm{A}\mathrm{d}(S)^{t}E=E-StES-1$

ここで Lemma 23 を使っている.

Theorem 4 はこの$\mathrm{o}(S)$.

特に $FS,$ $S^{-1}F$ が交代行列であることが分かる.

における $F$ の関係式として次のように書き換えることができる:

Theorem 5. 次の等式が成立する:.
$\mathrm{P}\mathrm{f}(FS)^{\mathit{2}}\det(S)-1=\mathrm{P}\mathrm{f}(S^{-1}F)^{2}\det(S)=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(F;m, m-1, \ldots,-m+1)$

Proof.

$S=t_{\mathit{8}S}$を満たす行列$s\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}_{n}(\mathrm{K})$を–つ固定する (このようなを拡大することで取ることができる). すると自然な Lie 環の同型$\mathit{0}_{n}\simarrow \mathit{0}(S)$

$s$

.

は基礎体

かj

$\mathrm{K}$の自己$[_{n}$

同型 $\mathrm{A}\mathrm{d}(S^{-1}):X\vdash+s^{-1}Xs$ の制限として得られる. Lemma 23 からこの同型で $A$ の像が$\mathrm{A}\mathrm{d}(s^{-1})A=t_{S}-1Ft_{\mathit{8}}$となる.

これに注意すると Proposition 12, 13 における Pf,$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}$の不変性から次が分かる :$\mathrm{P}\mathrm{f}(\mathrm{A}\mathrm{d}(S^{-1})A)=\det(S)^{-1}\mathrm{p}\mathrm{f}(FS)=\det(S)\mathrm{p}\mathrm{f}(s-1F)$,$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathrm{A}\mathrm{d}(S^{-})1A;m, m-1, \ldots, -m+1)=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}(F;m, m-1, \ldots, -m+1)$

これから Theorem 5 はすぐに導かれる.

.

口

前節で見たように $S=1_{n}$ の場合は Theorem 5 の右辺を column-determinant を用いて表すことができる.

しかし–般の実現ではこのような $n!$ 個の項の交代和による表示に簡約することは難しそうである. 直交 Lie 環の split した実現 (すなわち $S=(\delta_{i,n+1}-j)_{i}n,j=1$ の場合) においては$\mathrm{P}\mathrm{f}(S^{-1}F)$の自乗が Twisted Yangian の Sklyanin determinant と呼ばれる元を用いて記述されている [M]. この議論から直交 Lie 環の split した実現において Theo-rem 5 の右辺の対称化された行列式がある簡約された表示を持つことが分かる.

15
REFERENCES
[Ca]

[Ge]
[H]

A. Capelli, Sur les op\’erations dans lath\’eorie des formes alg\’ebriques, Math. Ann. 37 (1890),

1-37.
IM. Gelfand, Center of the infinitesimal groups, Mat. Sb. Nov. Ser. 26 (68) (1950), 103-112;
English transl. in “Collected Papers” Vol. II, pp.22-30.
R. Howe, Remarks on classical invariant theory, Trans. Amer. Math. Soc. 313 (1989), 539-570;
Erratum, Trans. Amer. Math. Soc. 318 (1990), 823.

commutant theorem, and multipli-[HU]

R. Howe and T. Umeda, The Capelli identity, thecity-free actions, Math. Ann. 290 (1991), 565-619.

[I]

M. Itoh, Explicit Newton’s formulas for[IU]

M. Itoh and T. Umeda, On central elements in the universal enveloping algebras of the or-$\mathfrak{g}\square _{n}$$\dot{d}ouble$, J. Alg. 208 (1998), 687-697.

thogonal Lie algebras, preprint (1998).
[M]
[MN]

A. Molev, Sklyanin determinant, Laplace operators, and characteristic identities for classicalLie algebras, J. Math. Phys. 36 (1995), 923-943.
A. Molev and M. Nazarov, Capelli identities for classical Lie algebras, preprint (1997).

[MNO] A. Molev, M. Nazarov and G. Olshanskii, Yangians and classical Lie algebras, Russian Math.

Surveys 51 (1996), 205-282.
[N1]

M. Nazarov, Quantum Berezinian and the classical Capelli identity, Lett. Math. Phys. 21(1991), 123-131.

[N2]

–,

Yangians and Capelli identities, Kirillov’s Seminar on Representation Theory (ed.

$\mathrm{G}.\mathrm{I}$.

Olshanski), AMS Translations, Series 2, vol. 181, 1997, pp. 139-163.
[NUW] M. Noumi, T. Umeda and M. Wakayama, A quantum analogue of the Capelli identity and an

on $GL_{q}(n)$ , Duke Math. J. 76 (1994), 567-594.
.
ast
G. Ochiai, A Capelli type identity associated with the dual pairelementary differential

[O]

[T1]

[T2]
[U1]

’

$\mathrm{M}$$\mathrm{s}$$(\mathfrak{s}\mathfrak{p}_{2m_{\mathrm{c}}}, \mathit{0}_{n}),$Kyoto University[Ok]$ca\iota_{C}^{-}uluS$$(1996^{\cdot}\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{b}.)$$\mathrm{e}.\mathrm{r}$.

the.sis at

A. Okounkov, Quantum immanants and higher Capelli identities, Transformation Groups 1(1996), 99-126.
. Turnbull, The Theory of Determinants, Matrices, and Invariants, Dover, 1960.
–, Symmetric determinants and the Cayley and Capelli operators, Proc. Edinburgh Math.
$\mathrm{H}.\mathrm{W}$Soc. Ser 28 (1947), 76-86.
T. Umeda, The Capelli identities, a century after, Sugaku 46 (1994), 206-227; (in Japanese);
English transl. in “Selected Papers on Harmonic Analysis, Groups, and Invariants”, AMS
Translations, Series 2, vol. 183 (1998), pp. 51-78, ed. by K. Nomizu

[U2]

–,

[U3]

–,

[Wy]

Newton’s formula for$\mathfrak{g}\mathfrak{l}_{n}$, Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), 3169-3175.

On the proof of the Capelli identities, preprint (1997).
H. Weyl, The Classical Groups, their Invariants and Representations, Princeton Univ. Press,
1946.

[Z]

$\mathrm{D}.\mathrm{P}$. \v{z}elobenko, Compact Lie Groups and their Representations, Transl. Math. Monographs

40 (Amer. Math. Soc.), 1973.