ベリー曲率と異常輸送現象
早田智也

References: TH-Hidaka, PRB 95 125137 (2017); PTEP 073I01 (2017),
Ishizuka-TH-Ueda-Nagaosa, PRL 117 216601 (2016); PRB 95, 245211 (2017),
TH-Kikuchi-Tanizaki, PRB 96, 085112 (2017)

トポロジーと輸送現象

 絶縁体の低エネルギー有効理論
Qi-Hughes-Zhang , PRB 78, 195424 (2008)• フェルミ準位近傍に自由度無し
 生成汎関数は位相的場の理論を用いて現せる

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

量子ホール効果
e2Jx =
C1 ✏xy Ey2⇡~Z
1
C1 =dpx dpy fpx py 2 Z2⇡Thouless-Kohmoto-Nightingale-Nijs, PRL 49, 405 (1982)ベリー曲率

ap = u† irp u
f px py = @ px a py

@ py a px• （磁気的）ブリュアンゾーンのトポロジー
Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

量子ホール効果
e2Jx =
C1 ✏xy Ey2⇡~Z
1
C1 =dpx dpy fpx py 2 Z
2⇡Thouless-Kohmoto-Nightingale-Nijs, PRL 49, 405 (1982)

 チャーン-サイモンズ理論
2e C1SCS =2⇡~ 2ZdtdxdyAµ ✏µ⌫⌧ @⌫ A⌧

2@SeCSJµ ==C1 ✏µ⌫⌧ @⌫ A⌧@Aµ2⇡~
Zhang-Hansson-Kivelson, PRL 62, 82 (1989)
Lopez-Fradkin, PRB 44, 5246 (1991)
Tomoya Hayata熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

サウレス（断熱）ポンピング

Thouless, PRB 27, 6083 (1983)

周期駆動されたハミルトニアン
XH=(t + ( )i )a†i+1 ai + ( )i a†i ai + (h.c.)iNakajima et.al., Nat. Phys. 12, 296 (2016)
Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

サウレス（断熱）ポンピング
1ē =(2⇡)
ベリー曲率ZT ⇥BZ

Thouless, PRB 27, 6083 (1983)

dpx dt ex 2 Z

At = u† i@t u
ei = @pi At@ t a pi

Nakajima et.al., Nat. Phys. 12, 296 (2016)
Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

サウレス（断熱）ポンピング
1ē =(2⇡)
ベリー曲率ZT ⇥BZ

Thouless, PRB 27, 6083 (1983)

dpx dt ex 2 Z

At = u† i@t u
ei = @pi At@ t a pi

冷却原子系を用いた実験的観測
Lohse et.al., Nat. Phys. 12, 350 (2016)

xG

Nakajima et.al., Nat. Phys. 12, 296 (2016)

t/T
Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

サウレス（断熱）ポンピング
1ē =(2⇡)
ベリー曲率Z

T ⇥BZ

Thouless, PRB 27, 6083 (1983)

dpx dt ex 2 Z

At = u† i@t u
ei = @pi At チャーン-サイモンズ理論

1SCS =4⇡

Z@ t a piAµ = (At , Ax , apx )dtdxdpx Aµ ✏µ⌫⌧ @⌫ A⌧@SCS1 xJ ==e@Ax2⇡x

Tomoya Hayata

Qi-Hughes-Zhang , PRB 78, 195424 (2008)
TH-Hidaka, PRB 95 125137 (2017)

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017è 

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

ワイルハミルトニアン
 エネルギー固有値

H=†p p·p±p · u±=±|p|upp ベリー曲率±†±a±=u(p)iru(p)
ppb± (p) ⌘ rp ⇥ a± (p) = ⌥p/2p3
運動量空間上の“磁気” モノポール

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

異常ホール効果
 磁場に依存しないホール効果

Sundaram- Niu, PRB 59, 14915 (1999)
Jungwirth-Niu-MacDonald, PRL 88, 207208 (2002)

e2Jx =C̃1 ✏xy Ey2⇡~Z
1dpx dpy fpx py nF.D. 2/ZC̃1 =2⇡

 時間反転対称性の破れた物質
強磁性金属、強磁性半導体、トポロジカル絶縁体の薄膜…

⇢xy = R0 H + ⇢sxy
Lee et.al., Science 303, 1647 (2004)
Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

カイラル磁気効果
 磁場に比例する電流

Nielsen-Ninomiya, PLB130, 389 (1983)
Fukushima-Kharzeev-Warringa, PRD 78, 074033 (2008)j = e2 µ5 B/2⇡ 2 c
カイラル化学ポテンシャル 2µ5 = µR

 モノポール電荷Z1
=2⇡ZF.S.

µL

d2 S · b 2 Z

d3 pe
B"b · rp nF.D.
j=3c(2⇡)e2=  2 µR,L B
Stephanov- Yin, PRL 109, 162001 (2012)
4⇡ c
2Son- Yamamoto, PRL 109, 181602 (2012)
Chen-Pu-Wang-Wang, PRL 110, 262301 (2013)
TH-Kikuchi-Tanizaki, PRB 96, 085112 (2017)

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

カイラル磁気効果
 磁場に比例する電流

Nielsen-Ninomiya, PLB130, 389 (1983)
Fukushima-Kharzeev-Warringa, PRD 78, 074033 (2008)j = e2 µ5 B/2⇡ 2 c
カイラル化学ポテンシャル
2µ5 = µRLETTERSµ5 ⇠ E · B• ディラック半金属
Li, et.al., Nat. Phys. 12, 550 (2016)• ワイル半金属
Huang, et. al., PRX 5, 031023 (2015)

Tomoya Hayata

2.5150 K
100 K

2.0

⇢ (m⌦cm)
ρ (mΩ cm)

 負性磁気抵抗効果

aµL

70 K
1.560 K

1.0

40 K

0.5

20 K
0.0

5K−9−6−30369B (T)B (T)Figure 2 | Magnetoresistancein magnetic fields parallel
熱場の量子論とその応用@YITP, to28 theAug,current
2017 (B k a) inカイラル磁気効果
荷電粒子の方位角相関“Constraints on the chiral magnetic eﬀect using charge-dependent azimuthal correlations
in p-Pb and Pb-Pb collisions at the LHC,” CMS Collaboration, arXiv:1708.01602v1 [nucl-ex]

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

サウレス（断熱）ポンピングē =Z T0dt

Z

Ishizuka-TH-Ueda-Nagaosa, PRL 117 216601 (2016);
PRB 95, 245211 (2017)

d3 p
enF.D.
3(2⇡)

 運動量空間における電磁誘導rp ⇥ e =@t bpz

4⇡jmpy 光電流px駆動されたワイルノード

4v02
2ēzR,L = ±⇡(gD)! cos( )2215v vz
Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

可換è 非可換

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

ディラックハミルトニアンH=↵·p+ m↵=

✓00◆

=

✓1001"(p) = ±◆pp 2 + m2p• 二重縮退 SU(2) ベリー曲率f=Tomoya Hayatam2"(p)3amn = u†m irp unf = rp ⇥ a ia ⇥ a✓p·+ 2pm + m"(p)◆熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

ディラックハミルトニアンH=↵·p+ m↵=

✓00◆

=

✓1001◆"(p) = ±pp 2 + m2p• 二重縮退 SU(2) ベリー曲率

p ! R(p, x, t) m ! m(p, x, t)

f ! fpt , fpx fxy
Tomoya Hayata

スピン電磁場

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

異常ホール効果
eJ=2Z

id3 p h â
â
E
⇥
bn(p)
3(2⇡)

• スピン電場によるホール効果

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

異常ホール効果
eJ=2Z

カイラル磁気効果
eJ=2Z

id3 p h â
â
E
⇥
bn(p)
3(2⇡)

idtd3 p h â âââB(b·r")+eB(e·b) n(p)p3(2⇡)• スピン磁場によるカイラル磁気効果• 磁場で向き制御された断熱ポンピング

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

スペクトラルフロー

Son-Spivak, PRB 88, 104412 (2013)

 カイラル化学ポテンシャルのダイナミクス
散乱µ2µ5bE·Be2@ t n + rx · j =E·B
24⇡ c
Tomoya Hayatan⌧

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

実空間上のスペクトラルフロー
磁場で向き制御された断熱ポンピングµ2µ5xBeâ · bâTomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

スピンホール効果
Jsâ =Zid3 p hâeE⇥bn(p)3(2⇡)

 ラッティンジャー模型

H = "(p) +è非散逸的なスピン輸送

5X{ a,b } = 2 abda (p) ai=1

Murakami-Nagaosa-Zhang, Science 301 1348 (2003)
Murakami-Nagaosa-Zhang, PRL 93 156804 (2004)

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

スピンホール効果
Jsâ =Zid3 p hâ
eE
⇥
bn(p)
3(2⇡)

スピンカイラル磁気効果
Z3 hdtdpâ
âeB(b· rp ")Js =3(2⇡)⌘i3 ⇣ â b̂ b̂
+B (e · b ) + (bab) + (bba) n(p)10• 磁場によるスピンカレントのカイラル磁気効果• スピン磁場で向き制御された断熱スピンポンピング

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

スピンホール効果
Jsâ =Zid3 p hâ
eE⇥
bn(p)
3(2⇡)

スピンカイラル磁気効果
Jsâ =Z

dtd3 p hâ
eB(b· rp ")3(2⇡)⌘i3 ⇣ â b̂ b̂
+B (e · b ) + (bab) + (bba) n(p)10断熱スピンポンピング
Jsâ =Tomoya Hayata

Z

dtd3 p h â ie n(p)3(2⇡)
熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

まとめ異常ホール効果
j = e2Z

Sundaram- Niu, PRB 59, 14915 (1999)
Jungwirth-Niu-MacDonald, PRL 88, 207208 (2002)

d3 p(b ⇥ E) n3(2⇡)

カイラル磁気効果

Nielsen-Ninomiya, PLB130, 389 (1983)

e2 B

j=Z

Fukushima-Kharzeev-Warringa, PRD 78, 074033 (2008)

d3 p"b · rp n3(2⇡)

e2=  2 µR,L B4⇡

断熱ポンピングē =Tomoya Hayata

Thouless, PRB 27, 6083 (1983)

Z T0dtZ

d3 pen3(2⇡)

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

創発的対称性とトポロジー

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

トポロジーとボルツマン方程式

Sundaram- Niu, PRB 59, 14915 (1999)

 ボルツマン方程式• 分布関数

Xiao-Chang-Niu, RMP 82, 1959 (2010)@t n + ẋ · rx n + ṗ · rp n = I(n)n(t, x, p)

 運動方程式ẋ = vṗ =v = rp "ṗ ⇥ beEeẋ ⇥ Bc

• 運動量空間上のローレンツ力

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

トポロジーとボルツマン方程式

Sundaram- Niu, PRB 59, 14915 (1999)

 ボルツマン方程式• 分布関数

Xiao-Chang-Niu, RMP 82, 1959 (2010)@t n + ẋ · rx n + ṗ · rp n = I(n)n(t, x, p)

 運動方程式

v = rp "pe! ẋ = v + eE ⇥ b + (v · b) Bc⇣
pee ⌘! ṗ = eE v ⇥ BeE · B bcc• 不変測度pe! =1+ B·bc
Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017

位相空間上の位相的場の理論
 電流密度ja = Pf(!)⇠˙a n(t, ⇠)/(2⇡)d✏aba1 ···a2d 2=!a1 a2 · · · !a2d 1 a2d 2 !bt n(t, ⇠)dd1(2⇡) 2 (d 1)!
Pf(!) = ✏a1 ···a2d !a1 a2 · · · !a2d 1 a2d /2d d!
 生成汎関数SCS =Zn(t, ⇠) = 1dtd2d ⇠✏µ0 ...µ2d Aµ0 @µ1 Aµ2 · · · @µ2d 1 Aµ2dd(2⇡) (d + 1)!
Bulmash-Hosur-Zhang-Qi, PRX 5, 021018 (2015)
TH-Hidaka, PRB 95 125137 (2017)

Tomoya Hayata

熱場の量子論とその応用@ YITP, 28 Aug, 2017