計測自動制御学会東北支部第163回研究集会（19p6・10・1T〜18）

資料番号16ユー19

距離型ファジィ推論法の諸性質について

AStudy on Propertiesin theDistance−type Fuzzy Reasoning
王 碩玉

土谷 武士

Sho岬uWang

TakeshTsuchya
北海道大学工学部

山形大学工学部

FacultyofEngineerirlg，YamagataUniversityFacu）tyofEr岨ineering，HokkaidoUniversity

キMワード：距離型ファジィ推論法（distancertypefuqreaBOningmethod），凸なファジィ集合（∞m闇：血旧計引出），分離規則（mdusponens）・
連絡先：〒9氾 米沢市城甫4−3−16 山形大学工学部電子情報工学科 王 碩玉TEL：（0238）26−3312，FAX：（0238）24−2752，E・mail‥Wang＠eie・y2：・yamagata・u・aCjp

1．はじめに凡（月）∈印刷⊂印刷という関係がある．

本報告では，まず著者らの提案している距♯型ファジィ推論法

定義1＝叩）の任意の二つのファジィ兼が・β⊂印りに実数【1】の概要を紳介する．それから最近分かってきた本推論法の諸d（A．β）が対応し，次の三つの条件を満足するとき，dを閂尺）上性質について論じる．の距♯関数という．

ファジィ理論中のファジィ推論【2】【3】は応用面において多大な劃，月）≧0；d伍，耳）＝0⇔A＝β

実績をあげられ，社会に貢献している．現在ファジィ軌御キュキ（1）ス′トトシステムなどの分野では最もよく使われている直接法の（ギA．β）＝d（β．A）

拉）ファジィ推論としては肋打出a山の推論法【41関数型推論法【5】及軋β）≦d牲q＋d（C・A）I∀C⊂叩）

び簡略化型推論饉【6】がある．しかし この三つの推論億とも・（3）

ルールの前件部と与えられた事実からなる共通集合のメンバーシ

定義1はファジィ集合間の距麒把ついての公理であるので，実ップ関数の最大値を，前件部と事実がどの程度一致しているか際の間魔においては，いろいろな具体的な計算法を定義することを示す適合度としているので様々な開館点がある・これらの間崩ができるが，この公理を満たさなければならない．以下では一つ点を解決するために．文机1丁ではファジィ集合聞の距離に基づいて拒♯型ファジィ推論法を提案している．蕃推論法は多重1段の具件的な計算法を定義する．
定義2＝任意のファジィ集合4−β⊂円刷に対して（4）式で定の直接法に属するものである．本推論饉は次の主な特徴がある・（1）捷件蔀が凸なファジィ集合であれば，結論も凸なファジィ集義される実数関数dい．即を印刷上の距離関数という．

合になる．（ヱ）け血u占卯月en5を厳軒こ新たしている・（3）フγジ
ィルールベースが蹟な場合でも適切な結論が推論される・

酬＝＝比1l叫狛岬串加古山の推論法を含めて通常のファジィ推論法は顔なルール］坤

べ一スの場合には連用できない．この剛那こ対して，文献【9】で吐線形補間型推論饉を提案しているが，推論された結論は必ずしも凸なファジィ兼舎にはならないことが指摘されている【10】・＋距肋一叩叫血 r

また，推論ルールと事実が互いに厳しすぎる制約条件にあるために【11】，文机9】の提案した推論法を実際のシステムに応用することが困難であると思われる．

伽一叶（計仲］

2．ファジィ集合間の距離坤（。，

本章ではファジィ集合間の拒♯を定義する．実数全体の集合を尺で表わす．尺を全体集合とし，月＝こおけるファジィ集合の全体

1叩≦00，卜lは絶対値を表わすマークである．旬まAのメンバーシップ関数の最大値仙で正規化されたファジィ集合を表を叩）とする．有界凸なファジィ集合の全体を増刷で表わす・
また，凡（椚で呵尺）における正規なファジィ集合の全件を表わす．

わす．叫叫仙と叫仇肋はそれぞれファジィ集合A〟のα−レベル集合A他の上限と下限を表わす．β〟についても同様である．

明らかに−／−

定義2はファジィ集合間の距♯の公理を滴たしていることが容d〜血の中には二つ以上0になるものは存在しない．

易に証明できる．

St￠p之：次のように，推論結果βのα−レベル集合を求める．

3．距離型ファジィ推論法

月q＝【fJ抑d，∫岬岬d】（6）

本章では肋Jの推論法の問題点む解決するために，2草に

丑

f岬d＝＝

．句

ァジィ推論法を睨明する．

ヱ︸白

定義したファジィ集合間の鮭♯に基づいて提案している距書型フ
本論丈では，図1に示すようなm入力1出力のファジィ推論を（乃検討対生とする，n爪l

Jld11．Jldl王，…．エ川虫l血⇒ブ＝β1n爪∫甲田dJldll，エ1dユ王，…，∬血d加⇒ツ＝β王

：．

月n〃侍）

Jl舗fl，J王d托，…．∬爪d ⇒ヅ＝βll爪⁚．

月【：〃 真北ヰただし．もし，捷件部の中が上甲克（恥）拝＝1．2．・■・，叫が存
Jld【1，∫ユ出け1，・・・，∬川東仰⇒プ＝β和在する場合，∀α司叩抽吋）・1】に対する姑ま空の集合となる．

才l⇒ll，Jユdユ，…，J爪d椚

この場合においても推論を可能にするために，次の約廉により推論を行う．つまりⅤα∈（∫叩仲吋）・1】に対して，γ＝月

β三＝【瑚ぬ叩由】：＝匝励），叩囲㊥刀（9）国1〝】入力〟レールのファジィ推論とする．

ただし，i＝1．ユ．■・・，乱，ノ＝1．2，…．肌．Alノ，机Aノ，月St8p3：合成定理〔分解定理とも呼ばれる）により，（10）式で推論結果月を戒める．

はそれぞれ前件部，捷件瓢 与えられた事実および推論結果を表ゎし，Aけ・AJ⊂叩〟），月l⊂叩β）とする．また，次の二つの仮β＝∪（王・βロ定のもとで推論を行う，（10）（a）ルール尺l一月【において，互いに矛盾しているルールが存在以上，距離型ファジィ推論法について述べた．通常のファジィしない．矛盾しているルールとは，ヨ別・中∈（1・ヱ・・・・・叶

推論法では，前件部はフ丁ジイ集合でなけれぼ推論はできない．

m∑d（拙珂＝0
J＝1

これに対して本推論饉は距離という概念に基づいているので，前かつd（叶叩』であれぼ，ルールが】と件蔀がシングルトンである場合においても適切な推論結果を得ることができる．この場合前件部のファジィ集合をシングルトンに月†当ま矛盾していると言うことである．

簡略化した意味で，前件部を簡略化した距離型ファジィ推論法と掴捷件部について，少なくとも一つのた∈‡1・2・・・・・巾が存在呼ぶことにするtして，β上〔克（柑踊たす．この仮定は推論結果庭正規性を持た4．距離遡ファジィ推論法の特徴せるためである．つまり．β⊂瑚和）を満たすためである．もし本章では3章で塩素した距離型ファジィ推論法の特徴について推論結果がこの性質を必要としない場合．この仮定を外しても閑述べる．ただし，これらの特徴についての証明は省略する．

静まない．

以下では混乱を起こさない限り集合んの上脚叫んをA。に，Adの下限れ軋凄ん祀肯くことがある．

本推論法は次の三つのステップから構成する．

stepl：まず，前件部Aけと事実Aノとの矧鮮虹小一AJ）を計

定理1：距離型ファジィ推論億による推論結果βが有界である．具拝的に比Vαに対して，軋鵬．＝＝椚叫βエ．βま…．β訂，算し，次に（5）式により碗〜晶を計算する．

乱別品＝丑麒成記川，両とすれば，（11）式が成立する．
J帽 di＝岳仰㌦巾

（5）β￠⊆【β馴れ月耽】

このように計算されたd〜晶も距離の公理を満足することがわかる．また，矛盾しているルールはないと仮定しているので，定理2：もし，ヨ声（1・2・・・・・可∴町∈（1】ヱ・・＝・叫こ対し−ユー（11）

てAJ＝A由であれば，推論結果についてβ＝即が成立する．すな

略型推論備について述べる．
まず，国2に示すような関数型推論を説明する．

わち本推論法は分＃規則を満たしている．

定理3：βl⊂凡岬）を満た仰の集合をPと書き，次のように

尺1：れdll，キ戸Aは．…巨砧dl爪⇒γ＝ムれ・・■揮爪）定義する．

尺2＝ れd刀，エ戸A辺，…．エ川虫2ふ⇒γ＝カh，…ん）
P：＝（拙βヒ克（糊（12）尺 ニ れd且，Jユdほ．…，J仇出血⇒γ＝カ￠1，…ん）
もし∀f∈（1・2・・‥・巾−Pに対して，4■0であれば推論結果

且が正規である．ただし．（1．2，…，巾一戸は集合（1・2・…・巾尺〟＝ ∫ld山，∫戸A〟ヱ，＝・，∫川虫価⇒ツ＝J拒1．…ん）

からPの要素を除いた集合を表わす．

れ仁山l，∫ユ錮ユ，…，Jm舗爪

定理4：距離型ファジィ推論法による推論結果βが凸なファジィ集合である．

γ＝γ0

定理5＝推論結属尤ついて，］姫（1・2，…・叶β＝即であ固2 m入力〃レールの関数型推論

る場合，もし∀α∈【0・1】旺対して次の二つの等式を同時に満たす

ただし．f＝1，ユ，・・・．乃，／＝1．2．■・・．m．Aリ，Ji，AJ，γ0

定数dl．dい‥．d中一】．d中h…・右が存在しなければ，事実につはそれぞれ前件部．捷件部及び与えられた事実および推論結果をいてAた＝A中量でなければならない．ただし，た＝1・2・・・・・椚

表わし，AU・Aノ⊂即〟），γ0・ノ血…−∬脚とする．また，3章に述べたl巨♯型ファジィ推論法では二つの仮定があったが，こ真。［βJ乃。可こでは，矛盾しているルールがないという条件だけを仮定する．
推論過程は具体的に次の二つのステップからなる．
Stepl：まず3辛の推論放と同じようI山草とAノとの距離（13）

拍が．AJ）を打算し，（5）式によりd．〜軋を計算する．

st印2：次に推論結果刑ま（15）式で求める．ぜはAJの重心座．￠一百刷博である．
dT・戸（14）

yo＝

抽Ⅷ■・・瑚．一句
JI

定理6：βは距離がdl．dユ．・・・・dq・…・d几である時の推論結果を，β′は捌田舟・dユー…・d■ヰ・・・・・d咋ある時の推論結果を表わす．

もしd甘くd■qであれば， d（且βり＜d（β∫・即）が成立する．ただし，βqはd曾＝0のときの推論結果である．

月 差皿tヰ
（15）

つづいて．固3に示すように，前件辞と事実はファジィ集合ではなく，実数である場合を考える．
lユ尺1‥ ∫1岩Ill，Jユ苛．…．Jm詔1牛⇒リ＝力れ…，ん）

尺ユ‥Jl苛ユ1，Jユ苛三三，…，J正苛ユ爪⇒ツ＝丘れ…，J椚）

定理7＝］拒什ヱ†…・叫頼A曾た．Al）→瓜とすれぼ，
律件部β曾は推論結果別こは影響を与えない．つまりq番目のルー

尺i＝Jl三rtl，∫1詔は，・・・，J摘記血⇒ブ＝仲．，・・・，J椚）ルは推計こは参加しない．ただし，9＝1．ヱ・…・几

定理8＝∀忙（1・21＝・・叫こ対して，接伴部β ⊂F月胸）が三角型ファジィ集合であれば，推論籍果β⊂FJ和）も三角型ファジ

月乃：封詔乃1．Jユ詔再三，…，J椚詔〃m→ブ＝ふ匝，…，∬巾）∬l識1●Jユ識1■・・・I∬所詔m

ィ集合となる．
ツ＝yO

5．距離型ファジィ推論に基づく

国3 実数前件部の関数型推論

開放型推論法と簡略型推論法
ただし，＃Jj∈尺

ズノ∈尺とする．

本章では〕茸で提案した距＃型ファジィ推論法の特例として，捷件部を関数とする関♯型推論億と旗件部を実掛こ簡略化した肺事実が∈尺が与えられるとき，まず次のようにユークリッド距3−離を計算しておく．

輔（㌦→げ］lほ（16）

そして，（15）式により推論結果刈が求められる．
0 1 王 1 1I l T l ，l（l tl】】1ユ111j 川
向I（再 伸什打と中共

また，国王と囲3における棲件部は／直】．…．エ仇）ではなく具体的な実数Ciである場合，距離についてはもし前件部がファジィ集合であれば（5）式により計算する．もし前件部が実数であれば（16）で計井する．モして推論結果yOは（17）で与えられる．（17）式を距離型簡略化推論億と呼ぶことにする．

畑 山 袖 脚 叩100】】01E11二氾IlO】501 01TO t虹l柑0］郎ー皿﹁ユ︸衰∴■封削Iu州欄り川■出処

国5 拒七重フTジィ稚■披虹上る椎■結集
本推鵠億を用いれば，連切な推論結果を舟られる．最後に具体的（17）な例鶴により4章に述べた本推論法の特徴を示した．
本論丈では，直嶺億の枠内で議論しているので，本推論法は命以上距離型関数推論法と簡略化推論備について述べた．この二題の真理傭を取り扱っていない．したがって，厳密に吾えば，本つの推論法は従来の開放型推論法及び簡略化推論億とは異なり，推論掛まユ値論理における推論を特殊な場合とする推論法とはな前件部が実数である場合においても適切な謄論結果が得られる．っていない．文献【21ではこの鯛癌を扱い，2値論理申におけるまたこの二つの推論法は3章に述べた距♯型推論饉の特例になっ推論を特殊な場合として含めれるように命躍の真理値を考慮したているので，3章に述べた定理1〜7による特徴を持っているこ

粗♯型ファジィ推論法を提案している．また距離型多重多段ファとを容易に証明することができる．

ジィ推論謹も提案している【3ト6．例超参 考 文 献

本章では具件的な例題を用いて3章の推論法による推論結果をIll王，土谷：距離型ファジィ推論法Partl−−−距離型ファジィ推論示す．次の1入力ユルールの場合を考える．

法の線素− ，12（hFuzzySystcmSymt文治ium講演論ま集，
pp，9−12（1996，6）【21王，土谷：距♯型ファジィ推論法Part2・−一束理値を考慮した距離型フ丁ジイ推論法の提案−−−，12thFtlZZySysterr）Symposium
講演論文集，pP，13−16（1996．6）
凹王，土谷：距離型ファジィ推論法P且rtユー−一距離型多丘各段ファジィ推論法の提案−・−，12th Fu琵ySysternSymrxxiunl講演論文集，pP，17一三ロ（1996．6）

尺l＝ げ∫＝Al血〝 γ＝月1
月ユ＝ げJ＝Aユ 血〝γ＝βユ

ズ＝A．A・，A〝，Al，A王
y＝？

固4 1入力ヱルールのファジィ推論

前件部（Al，A2）と捷件部（βl，βユ）を囲5（且），仲）に示す三角型ファジィ兼合とする．与えられた事実はそれぞれんA■，

ColltrOlofSimpleDynamicPlant，Pro仁IEE，
Vol．121，No．1ヱ】Pp．1585−1588（1974）

A〝，Al．Aユであるとしで．各事業に対応する推論結果はβ，β一，伊・βl・βユ′で表わし，囲5（b）に示す．囲5に示した推論結果 I▼により，本推論法は3章に述べた走嘩1−8による特徴を持って川水本：ファジィ推論（1），日本ファジィ学会畝Vo】．ヰ，No．ヱ，pp■鮎6一班4，フγジイ推論（ユ）日本ファジィ学会誌，Vo廿No．3，pp．433一中川（1992）【5】塚本：ファジィ推論（3），日本ファジィ学会軌VDl．4，No．4，pp．676−（娼4（1992）【6］E．H．ManTlanE二Applications ofFuEy Algorithrns br【7）T．TakaBiand M．Sugeno：FuzzyIden（if血（ion ofSystem8
and【ts Application且（O Modcling andCon（rol．IEEE
Transaction on SMC，Vol．15，No．l，pP．116−132（19B5）
囲市楠，蹟辺：簡略フ丁ジイ推論を用いたファジィモデルによる学習型制御，日本ファジィ学会掟，Vol．2，No．3，pp，429−

いることが分かる．

7．まとめ
本論文は，ファジィ集合聞の距離に基づいて提案している距♯
型ファジィ推論法及びその特徴を説明した．また，本推論法の特殊な場合として距♯型間数推論法及び簡略化推論法についても述べた．本推論法は．ファジィ集合の共通兼合の高さを利用した
仙m虫山型の推論法とは根本的には異なり，ファジィ集合聞の拒43T（199ロ）【9］LT，K昭y and KHirota：Appr亡Ⅸirn且tC ReaBOnir岨by Linear
Rule［nterpolationandGモneralApproxirm（ion，In（Crnationat
JouralofApproxirmte ReBLSOning，Vol．9，No3，pP．197−
225（1！柑3）【10］Y．ShiandM，MiLulmtO：SomeConsid∈rationson K呵【sFuzu Tntcrpola（jveR巳aSOnjngMeth亡d，Proo旺dingsofFourth【EEEInterTlationalConftrenαOnFuzzySystem，PP，2117−
21ヱ2（1995）♯を用いて推論を行っているので，財a爪由元型の推論法の諸問題点を解決することができた．また，従来のファジィ推論億では前件部が実数の場合推論することができない．そのような場合でも【11】石岩．水本：ファジィルールペースが疎なである場合の備牒
補間型推論法の遺用兵件，111hFu刀Ⅳ和島【emSymIX過ium祷演
論文集．pp．59−6ヱ（1995）

ー4−