応力テンソルによるクォーク間相互作用の微視的伝達機構の探索

柳原 良亮 (阪大理)Special thanks to入谷 匠、北沢 正清、浅川 正之、初田 哲男
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

電磁気学とQCD
QED

QCD

𝑄

 電場は空間全体に広がる Coulomb potentialの形成

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

𝑄ത Flux tube, squeezed one-dimensionally Confinement potential1電磁気学とQCD
QCD

QED

𝑄𝑄ത

 Flux tube, squeezed one-dimensionally Confinement potential

 電場は空間全体に広がる Coulomb potentialの形成

近接作用描像

Maxwell 応力
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

1

エネルギー運動量テンソル (EMT)
Momentum density

Energy density

𝑇𝜇𝜈 =𝑇00
𝑇10
𝑇20
𝑇30

𝑇01
𝑇11
𝑇21
𝑇31

𝑇02
𝑇12
𝑇22
𝑇32

𝑇03
𝑇13
𝑇23
𝑇33

PressureStress tensor
 Stress is force per unit area𝑓𝑖 = 𝜎𝑖𝑗 𝑛𝑗 ; 𝜎𝑖𝑗 = −𝑇𝑖𝑗Landau and Lifshitz

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

2

エネルギー運動量テンソル (EMT)
Momentum density

Energy density

𝑇𝜇𝜈 =𝑇00
𝑇10
𝑇20
𝑇30

𝑇01
𝑇11
𝑇21
𝑇31

𝑇02
𝑇12
𝑇22
𝑇32

𝑇03
𝑇13
𝑇23
𝑇33

PressureStress tensor
 Stress is force per unit area𝑓𝑖 = 𝜎𝑖𝑗 𝑛𝑗 ; 𝜎𝑖𝑗 = −𝑇𝑖𝑗Landau and Lifshitz

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

rubber2

Maxwell 応力
𝑇𝑖𝑗 = 𝜖0

𝛿𝑖𝑗 2
𝛿𝑖𝑗 21𝐸𝑖 𝐸𝑗 −𝐸 +𝐵𝐵 −𝐵
2𝜇0 𝑖 𝑗2𝐸𝑓Ԧ
𝑓Ԧ

 Perpendicular plane: 𝜆𝑘 < 0 Parallel plane: 𝜆𝑘 > 0 応力テンソル
(𝑘)

(𝑘)

𝑇𝑖𝑗 𝑛𝑗 = 𝜆𝑘 𝑛𝑖(𝑖, 𝑗 = 1,2,3 ; 𝑘 = 1,2,3)
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

矢印の長さ=𝜆𝑘3

電磁気学とQCDQCDQED𝑄𝑄ത

 Flux tube, squeezed one-dimensionally Confinement potential

 電場は空間全体に広がる Coulomb potentialの形成

近接作用描像

Maxwell 応力
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)？
1’目的と手段goalത
近接作用描像に基づく𝑄𝑄系の応力分布探索

Gradient Flow

Dual
Abelian-Higgs
model

Lattice study

Model Analysis

RY+ (FlowQCD collab.),arXiv:1803.05656

RY, Takumi Iritani
and Masakiyo Kitazawa
in progress

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)4勾配流法を用いた格子数値解析によるクォーク・反クォーク系の応力分布の解析
RY+ (FlowQCD collab.), arXiv:1803.05656

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

𝑒𝑟

先行研究
𝑒𝜃

𝑥𝑒𝑧

𝑦𝑧

mid𝑅𝑦𝑧Color electric field

Action density

Cea et al., PRD88 (2012) 054504.

Cardoso et al., PRD86 (2013) 054501.

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

5𝑒𝑟

先行研究𝑒𝜃𝑥𝑒𝑧

𝑦𝑧

mid𝑅𝑦𝑧Color electric field
Cea et al., PRD88 (2012) 054504.

Action density
Cardoso et al., PRD86 (2013) 054501.

More direct physical quantity : Stress tensor !!
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)5格子上での測定すべきこと

ത①格子上に𝑄𝑄を用意

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

ത②𝑄𝑄の周辺でEMTを測定

6格子上での測定すべきこと

ത①格子上に𝑄𝑄を用意
Wilson Loopത
②𝑄𝑄の周辺でEMTを測定
Confinement potential⟨𝑊 𝑅, 𝑇 ⟩= 𝐶0 exp −𝑉 𝑅 𝑇 + 𝐶1 exp −𝑉1 𝑅 𝑇 + ⋯1𝑉 𝑅 = − lim log⟨𝑊 𝑅, 𝑇 ⟩𝑇→∞ 𝑇
Ground state potential
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

 quenched SU(3) Yang-Mills 𝛽 = 6.600 (𝑎 = 0.038 fm)

6格子上での測定すべきこと

ത①格子上に𝑄𝑄を用意

ത②𝑄𝑄の周辺でEMTを測定

Gradient flow
Flow eq.

FlowQCD (2016)

Luscherሷ(2010)

𝜕𝐵𝜇 𝑡, 𝑥𝛿𝑆[𝐵]= −𝑔02𝜕𝑡
𝛿𝐵𝜇 (𝑡, 𝑥)Gradient flow

𝐵𝜇 : smeared field

EMT defined via gradient flow
𝑇𝜇𝜈 𝑡, 𝑥 =1
𝛼𝑈 𝑡

𝑈𝜇𝜈 𝑡, 𝑥 +Suzuki (2013)

𝛿𝜇𝜈𝐸 𝑡, 𝑥 − 𝐸 𝑡, 𝑥
4𝛼𝐸 (𝑡)熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)+ 𝑂(𝑡)

Integral method
Entropy density vs. temperature6格子上での測定すべきこと

ത①格子上に𝑄𝑄を用意

ത②𝑄𝑄の周辺でEMTを測定

Gradient flow
Flow eq.

FlowQCD (2016)

Visit poster presentations by WHOT-QCD collab. !!
Luscherሷ(2010)

𝜕𝐵𝜇 𝑡, 𝑥𝛿𝑆[𝐵]= −𝑔02𝜕𝑡
𝛿𝐵𝜇 (𝑡, 𝑥)Gradient flow

𝐵𝜇 : smeared field

EMT defined via gradient flow
𝑇𝜇𝜈 𝑡, 𝑥 =1𝛼𝑈 𝑡

𝑈𝜇𝜈 𝑡, 𝑥 +Suzuki (2013)

𝛿𝜇𝜈
𝐸 𝑡, 𝑥 − 𝐸 𝑡, 𝑥4𝛼𝐸 (𝑡)熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)+ 𝑂(𝑡)

Integral method
Entropy density vs. temperature

6

セットアップ Quenched SU(3) Yang-Mills gauge theory
 Wilson gauge action
 Clover operator

0.92 fm
0.69 fm
0.46 fm Continuum limit
 APE smearing for spatial links
 Multihit improvement in temporal links
 Simulation using BlueGene/Q @ KEK𝜷Lattice spacing

Lattice size

# of statistics

6.304

0.057 fm

484

140

6.465

0.046 fm

484

440

6.513

0.043 fm

484

600

6.600

0.038 fm

484

1500

6.819

0.029 fm

6441000

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)7応力分布 ― Maxwell 理論 ― (再)𝑇𝑖𝑗 = 𝜖0

𝛿𝑖𝑗 2
𝛿𝑖𝑗 21𝐸𝑖 𝐸𝑗 −𝐸 +𝐵𝐵 −𝐵
2𝜇0 𝑖 𝑗2𝐸𝑓Ԧ𝑓Ԧ Perpendicular plane: 𝜆𝑘 < 0 Parallel plane: 𝜆𝑘 > 0 応力テンソル(𝑘)(𝑘)𝑇𝑖𝑗 𝑛𝑗 = 𝜆𝑘 𝑛𝑖(𝑖, 𝑗 = 1,2,3 ; 𝑘 = 1,2,3)
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

矢印の長さ=𝜆𝑘3’

応力分布 ― SU(3) YM 理論 ―𝑥𝑦𝑧

mid𝑅𝑦𝑧 𝑎 = 0.029 fm (no continuum limit)
 𝑡/𝑎2 = 2.0 (no 𝑡 → 0 limit)
 𝑅 = 0.69 fm
 矢印の長さ = 𝜆𝑘
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)8応力分布 ― SU(3) YM 理論 vs. Maxwell 理論―

𝑥𝑦𝑧

mid
𝑅𝑦𝑧

SU(3) YM theory

Maxwell theory

 ゲージ不変 近接作用描像
 力の伝搬：squeezed vs. spreading
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)9応力分布 ― SU(3) YM 理論 vs. Maxwell 理論―

𝑥𝑦𝑧

mid
𝑅𝑦𝑧

SU(3) YM theory

NEXTMaxwell theory

Mid平面におけるより定量的解析：二重外挿

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

9𝑥

二重外挿 @ mid point

𝑦𝑧

mid
𝑅

FlowQCD (2016)

𝑦𝑧

二重外挿

𝑡

Strongdiscretization effect𝑎2𝑂lat = 𝑂cont + 𝐴0 𝑡 + 𝐴1 (𝑡)𝑎2 + ⋯①②
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

10𝑥

二重外挿 @ mid point

𝑦𝑧

mid
𝑅

FlowQCD (2016)

𝑦𝑧

二重外挿

𝑡

Strongdiscretization effect𝑎2𝑎 → 0 limit
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

𝑂lat = 𝑂cont + 𝐴0 𝑡 + 𝐴1 (𝑡)𝑎2 + ⋯
①②10

𝑥

二重外挿 @ mid point

𝑦𝑧

mid
𝑅

FlowQCD (2016)

𝑦𝑧

二重外挿

𝑡

continuum

Strongdiscretization effect𝑎2
𝑂lat = 𝑂cont + 𝐴0 𝑡 + 𝐴1 (𝑡)𝑎2 + ⋯①②
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

10𝑥

二重外挿 @ mid point

𝑦𝑧

mid𝑅

FlowQCD (2016)

𝑦𝑧

二重外挿

𝑡
Range1Range2

Range3

Strongdiscretization effect𝑎2𝑂lat = 𝑂cont + 𝐴0 𝑡 + 𝐴1 (𝑡)𝑎2 + ⋯①②
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

10円筒座標系
𝑒𝑟𝑒𝑧𝑒𝜃

𝑇44𝑇𝜇𝜈 =𝑂𝑇𝑧𝑧𝑂𝑇𝑟𝑟𝑇𝜃𝜃

EMTの対角化(円筒対称性 + パリティ対称性)
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

成分の縮退 (Maxwell 理論)−𝑇44 = −𝑇𝑧𝑧 = 𝑇𝑟𝑟 =𝑇𝜃𝜃
11

𝑥𝑦𝑧

mid

EMT分布 in mid plane𝑒𝑟

𝑅𝑦𝑧𝑒𝑧𝑒𝜃0.92 fm
0.69 fm
0.46 fm

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12

𝑥𝑦𝑧

mid

EMT分布 in mid plane𝑒𝑟𝑅𝑒𝑧𝑦𝑧𝑒𝜃

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12𝑥EMT分布 in mid plane
Properties in non-Abelian theory
 𝑇44 ≈ 𝑇𝑧𝑧 , 𝑇𝑟𝑟 ≈ 𝑇𝜃𝜃 (縮退)𝑦𝑧

mid𝑒𝑟𝑅𝑒𝑧𝑦𝑧𝑒𝜃 𝑇44 ≠ 𝑇𝑟𝑟 (分離) σ𝜇 𝑇𝜇𝜇 ≠ 0 (トレースアノマリー≠ 0)

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12近接作用 vs. 遠隔作用
EMT (近接作用)𝜌 ≔ −𝐹stress ≔ න𝑇𝑧𝑧 𝑄𝑄ത 𝑑 2 𝑥mid
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confinement potential (遠隔作用)

𝑉 𝑅 = 𝑎 + 𝑏𝑅 + 𝑐 Τ𝑅
ここに数式を入力します。
𝑑𝑉(𝑅)𝐹pot ≔ −𝑑𝑅

13

近接作用 vs. 遠隔作用
confinement potential (遠隔作用)

EMT (近接作用)

Good agreement !!
𝜌 ≔ −𝐹stress ≔ න𝑇𝑧𝑧 𝑄𝑄ത 𝑑 2 𝑥
mid
熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

𝑉 𝑅 = 𝑎 + 𝑏𝑅 + 𝑐 Τ𝑅
ここに数式を入力します。
𝑑𝑉(𝑅)𝐹pot ≔ −𝑑𝑅13目的と手段goalത
近接作用描像に基づく𝑄𝑄系の応力分布探索

Gradient Flow

Dual
Abelian-Higgs
modelLattice study

Model Analysis

RY+ (FlowQCD collab.),arXiv:1803.05656

RY, Takumi Iritani
and Masakiyo Kitazawa
in progress

熱場の量子論とその応用 @ 理研 (2018/08/28)

4’

Dual Abelian-Higgsモデルを用いたクォーク・反クォーク系における応力分布の解析
RY, Takumi Iritani and Masakiyo Kitazawa
in progress

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Dual Abelian-Higgs (DAH) Model
122ℒ𝐷𝐴𝐻 = − 𝜕𝜇 𝐵𝜈 − 𝜕𝜈 𝐵𝜇 + 𝜕𝜇 + 𝑖𝑔𝐵𝜇 𝜙 − 𝜆 𝜙 2 − 𝑣 2 24
 Flux tubeを記述する解を持つ

Nielsen and Olesen, Nucl. Phys. B61, 45 (1973).

 遠方での真空の破れと中心付近での対称性の回復

 “トレースアノマリー” (σ𝜇 𝑇𝜇𝜇 ≠ 0 ) QCD真空の現象論的モデル (Dual Ginzburg-Landau model)

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14

Dual Abelian-Higgs (DAH) Model
122ℒ𝐷𝐴𝐻 = − 𝜕𝜇 𝐵𝜈 − 𝜕𝜈 𝐵𝜇 + 𝜕𝜇 + 𝑖𝑔𝐵𝜇 𝜙 − 𝜆 𝜙 2 − 𝑣 2 24
 Flux tubeを記述する解を持つ

Nielsen and Olesen, Nucl. Phys. B61, 45 (1973).

 遠方での真空の破れと中心付近での対称性の回復

 “トレースアノマリー” (σ𝜇 𝑇𝜇𝜇 ≠ 0 ) QCD真空の現象論的モデル (Dual Ginzburg-Landau model)すること 無限に長い(並進対称)近似の下で解き、EMTを構成
 DAH模型は、格子数値解析の結果を説明しうるか??
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14並進対称系のEMT分布

GLパラメータ 𝜅 = 𝜆ൗ𝑔 : 𝜅 < 1Τ 2 (Ⅰ), 𝜅 > 1Τ 2 (Ⅱ)
𝜅 = 1Τ 2

 𝑇44 𝑟 = 𝑇𝑧𝑧 𝑟 (𝜅によらず必ず縮退) Flux tube に横方向の力がはたらかない (Bogomol’nyi bound)de Vega et al., PRD14, 1100 (1976).
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15並進対称系のEMT分布

𝜅 = 0.20 (typeⅠ)𝜅 = 2.0 (typeⅡ) 𝑇𝑟𝑟 (𝑟)の符号 : 常に正(typeⅠ), 常に負(typeⅡ)𝜕 保存則
𝑟𝑇𝑟𝑟 = 𝑇𝜃𝜃 : 𝑇𝜃𝜃 の符号変化𝜕𝑟 𝑇𝑟𝑟 , 𝑇𝜃𝜃 に明確な分離 (保存則)
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16格子数値解析 vs. DAHモデル解析
格子数値解析

DAHモデル解析 (typeⅠ)

並進対称なflux tubeが形成されていない?? ⇒ 有限長さの解析
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17

有限長さ系におけるEMT分布
𝜅 = 0.60(typeⅠ)

Preliminary

 𝑅 = 0.91 fm, 𝜉𝐵 = 0.22 fm, 𝜉𝜙 = 0.26 fm
 有限長さ系解析の必要性!!
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18

まとめと展望まとめ  格子数値計算により𝑄 𝑄系の応力分布を初めて解析!!
തത DAHモデル解析による𝑄𝑄系の応力分布の解析
Preliminaryത
𝑄𝑄系の応力分布

展望

Mid平面のEMT分布

DAHモデル解析

 DAHモデルの定性的・定量的な妥当性・適用限界ത 応用：有限温度𝑄𝑄系の応力分布、fullQCD数値解析…

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19

Back up

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Ground state saturation

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