人を並べる⑴ - 両端

ステップ１

復習：１列に並べる

１ 次の問いに答えなさい。
⑴

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人を１列に並べるとき、並べ方は何通りありますか。

⑵

子供４人を１列に並べるとき、並べ方は何通りありますか。
※場合の数の問題では、人は必ず区別あるものと考えます。

⑶

男子２人、女子２人を１列に並べるとき、並べ方は何通りありますか。

⑷

小学生３人と先生２人を１列に並べるとき、並べ方は何通りありますか。

1人を並べる⑴ - 両端

ステップ２

左端・右端

２ 男子２人、女子２人の合計４人を、左端が女子になるように１列に並べます。このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。





   

左端ⅰ➡ⅱ➡ⅲ➡ⅳの順に考えます。
⑴

左端の決め方は、女子の中から１人を選べばいいから（ア）通り。

⑵

ⅱの決め方は、⑴以外の人の中から１人を選べばいいから、（イ）通り。（ここから男子と女子は関係ありません。）⑶

ⅲの決め方は、⑴⑵以外の人の中から１人を選べばいいから、（ウ）通り。
⑷

ⅳの決め方は、⑴〜⑶以外の人の中から１人を選べばいいから、（エ⑸）通り。

⑴〜⑷より、左端が女子になるような並び方は、(ア)×(イ)×(ウ)×(エとなります。

2)＝(オ)通り

人を並べる⑴ - 両端

３ 男子３人、女子２人を、右端が男子になるように１列に並べます。このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。

  
右端ⅴ➡ⅰ➡ⅱ➡ⅲ➡ⅳの順に考えます。
⑴

右端の決め方は、男子の中から１人を選べばいいから（ア⑵ⅰの決め方は、⑴以外の人の中から１人を選べばいいから、（イ）通り。
）通り。
⑶

ⅱの決め方は、⑴⑵以外の人の中から１人を選べばいいから、（ウ）通り。
⑷

ⅲの決め方は、⑴〜⑶以外の人の中から１人を選べばいいから、（エ⑸ⅳの決め方は、⑴〜⑷以外の人の中から１人を選べばいいから、（オ⑹）通り。

）通り。

⑴〜⑸より、右端が男子になるような並び方は、(ア)×(イ)×(ウ)×(エとなります。

3)×(オ)＝(カ)通り

人を並べる⑴ - 両端

４ 男子２人、女子３人の合計５人を１列に並べます。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴

並べ方は全部で何通りですか。

⑵

左端が男子になるような並び方は何通りですか。

⑶

右端が女子になるような並び方は何通りですか。

4人を並べる⑴ - 両端

ステップ３

両端①５ 男子２人、女子２人の合計４人を、両端が女子になるように１列に並べます。このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。

   

左端ⅰ➡右端ⅳ➡ⅱ➡ⅲの順に考えます。
⑴

左端の決め方は、女子の中から１人を選べばいいから（ア⑵右端の決め方は、⑴以外の女子の中から１人を選べばいいから、（イ⑶）通り。

）通り。

ⅱの決め方は、⑴⑵以外の人の中から１人を選べばいいから、（ウ）通り。
⑷

ⅲの決め方は、⑴〜⑶以外の人の中から１人を選べばいいから、（エ⑸）通り。

⑴〜⑷より、両端が女子になるような並び方は、(ア)×(イ)×(ウ)×(エとなります。

5)＝(オ)通り人を並べる⑴ - 両端

６ 男子３人、女子２人の合計５人を１列に並べます。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴

並べ方は全部で何通りですか。

⑵

両端が女子となる並べ方は何通りですか。

⑶

両端が男子となる並べ方は何通りですか。

6

人を並べる⑴ - 両端

７ 父母と４人の子供の合計６人を１列に並べます。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴

並べ方は全部で何通りですか。

⑵

父母が両端にくる並べ方は何通りですか。

⑶

子供が両端にくる並べ方は何通りですか。

7

人を並べる⑴ - 両端

ステップ４

両端②

８ 男子３人、女子２人を、左端が男子、右端が女子になるように１列に並べます。このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。

  
左端ⅰ➡右端ⅴ➡ⅱ➡ⅲ➡ⅳの順に考えます。
⑴

左端の決め方は、男子の中から１人を選べばいいから（ア）通り。

⑵

右端の決め方は、女子の中から１人を選べばいいから（イ）通り。

⑶

ⅱの決め方は、⑴⑵以外の人の中から１人を選べばいいから、（ウ）通り。
⑷

ⅲの決め方は、⑴〜⑶以外の人の中から１人を選べばいいから、（エ⑸ⅳの決め方は、⑴〜⑷以外の人の中から１人を選べばいいから、（オ⑹）通り。

）通り。

⑴〜⑸より、左端が男子、右端が女子になるような並び方は、(ア)×(イ)×(ウ)×(エとなります。

8)×(オ)＝(カ)通り

人を並べる⑴ - 両端

９ 男子４人、女子２人を、左端が男子、右端が女子になるように１列に並べます。並べ方は全部で何通りありますか。

9人を並べる⑴ - 両端

ステップ５

片方の端

10 男子３人、女子２人を、片方の端が男子になるように１列に並べます。
このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。

⑴



左端が男子になるような並べ方は（）通りです。

※右端が男子になってはいけないことに注意しなさい。

⑵

右端が男子になるような並べ方は（）通りです。

※左端が男子になってはいけないことに注意しなさい。

⑶⑴⑵より、片方の端が男子になるような並べ方は（10）通りです。

人を並べる⑴ - 両端

11 男子２人、女子４人を、片方の端が女子になるように並べるとき、並べ方は何通りありますか。

11

人を並べる⑴ - 両端

ステップ６

少なくとも一方

12 男子３人、女子２人を１列に並べます。このとき、（）にあてはまる数を求めなさい。





⑴

左端が男子になる並び方は（）通りです。

⑵

右端が男子になる並び方は（）通りです。

⑶

両端が男子になる並び方は（）通りです。

⑷⑴〜⑶より、両端の少なくとも一方が男子になる並び方（下の図の色のついたの部分）は（）通りです。



12

人を並べる⑴ - 両端

13 12 の⑷を違う解き方で解きます。男子３人、女子２人を１列に並べます。このとき、（）にあてはまる数や言葉を答えなさい。









⑴

片端が男子になる並び方は（）通りです。

⑵

両端が男子になる並び方は（）通りです。

⑶⑴⑵より、両端の少なくとも一方が男子になる並び方は（りです。

13）通人を並べる⑴ - 両端

14 12 の⑷をさらに違う解き方で解きます。男子３人、女子２人を１列に並べます。このとき、（）にあてはまる数や言葉を答えなさい。





⑴

並べ方は全部で（⑵図１の色のついた部分は、両端が（が（）通りです。

）になる場合を表していて、（）でない場合、つまり両端）通りあります。



⑶

⑴⑵より、両端の少なくとも一方が男子になる並び方（図２の色のついたの部分）は（）通りです。




14

人を並べる⑴ - 両端

よじしょう

余事象を考える








じしょう

図１のようなある事象（ことがら）に対して、それ以外の事よじしょう

象を「余事象」と呼びます。

「少なくとも一方」と問題文にあるときは、余事象を考えた方が楽な場合が多いです。

15

人を並べる⑴ - 両端

15 男子２人、女子３人を１列に並べます。このとき、両端の少なくとも一方が男子になる並び方は何通りですか。

16

人を並べる⑴ - 両端

ステップ７

まとめ

16 男子２人、女子２人の合計４人を１列に並べます。このとき、次の（にあてはまる数を求めなさい。
⑴

並べ方は全部で（）通りです。

⑵

両端が男子となる並び方は（）通りです。

⑶

片端が男子となる並び方は（）通りです。

⑷

両端の少なくとも一方が男子となる並び方は（17）通りです。

）

人を並べる⑴ - 両端

17 男子３人、女子２人の計５人を１列に並べます。このとき、次の（にあてはまる数を求めなさい。
⑴

並び方は全部で（）通りです。

⑵

両端が女子となる並び方は（）通りです。

⑶

両端が男子となる並び方は（）通りです。

⑷

片端が男子となる並び方は（）通りです。

⑸

両端の少なくとも一方が男子となる並び方は（18）通りです。

）

人を並べる⑴ - 両端

18 男子４人、女子２人の計６人を１列に並べます。このとき、次の（にあてはまる数を求めなさい。
⑴

並び方は全部で（）通りです。

⑵

両端が女子となる並び方は（）通りです。

⑶

両端が男子となる並び方は（）通りです。

⑷

片端が男子となる並び方は（）通りです。

⑸

両端の少なくとも一方が男子となる並び方は（19）通りです。

）

人を並べる⑴ - 両端

■

解答

■

１ ⑴

24 通り

⑵

24 通り

⑶

24 通り

⑷

120 通り

２３⑶

２ ⑴
⑸

⑵

２⑷

１⑷

２

２×３×２×１＝12

３ ⑴

３⑵

４⑸

１⑹

３×４×３×２×１＝72

４ ⑴120 通り

⑶

72 通り

５ ⑴
⑸

２⑵

120 通り

⑶

36 通り

⑶

⑵
１３

48 通り
⑶

２⑷

１

２×１×２×１＝４

６ ⑴
７ ⑴

⑶

⑵

12 通り

720 通り ⑵48 通り

288 通り８ ⑴ ３ ⑵ ２ ⑶ ３ ⑷ ２ ⑸ １⑹３×２×３×２×１＝36

９ 192 通り
10 ⑴

36 ⑵

36 ⑶

72

11 384 通り
12 ⑴

72 ⑵

72 ⑶

36 ⑷

108

13 ⑴

72 ⑵

36 ⑶

108

14 ⑴

120 ⑵

男子、女子、12 ⑶ 108

15 84 通り
16 ⑴

24 ⑵

４⑶

17 ⑴

120 ⑵

12 ⑶

16 ⑷

20

36 ⑷ 72⑸ 108
18 ⑴ 720 ⑵ 48 ⑶ 288⑷

384 ⑸ 672

20

人を並べる⑴ - 両端

■

解説

１ ⑴

■
４×３×２×１＝24(通り)８ ⑴ ３ ⑵ ２ ⑶ ３ ⑷ ２ ⑸ １⑵

人は必ず区別あるものと考えます。
４×３×２×１＝24(通り)⑶ 男女の区別の前に、人としての区別 ９があります。
４×３×２×１＝24(通り)⑷ 小学生と先生の区別の前に、人とし 10ての区別があります。
５×４×３×２×１＝120(通り)
２ ⑴
⑸

２⑵

３⑶

２⑷

３⑵

４⑸

１⑹

３×４×３×２×１＝72

⑵
⑶

５ ⑴
⑸

⑷

左→右→□→□→□→□の順に、４×２×４×３×２×１＝192(通り)⑴

左→右→□→□→□の順に、⑵⑶

３×２×３×２×１＝36(通り)⑴と同じ 36 通り
36×２＝72(通り)

11 ・左端が女子の場合は（右端は男子）、

３ ⑴

４ ⑴

３

３×２×３×２×１＝36(通り)１

２×３×２×１＝12(通り)⑶⑹

左→右→□→□→□の順に、４×２×４×３×２×１＝192(通り)・右端が女子の場合も 192 通り。
・よって、192×２＝384(通り)２

５×４×３×２×１＝120(通り)左→□→□→□→□の順に、
２×４×３×２×１＝48(通り)
右→□→□→□→□の順に、３×４×３×２×１＝72(通り)
２⑵

１⑶

２⑷

12 ⑴

左→□→□→□→□の順に、３×４×３×２×１＝72(通り)

⑵
⑶

１⑷

⑴と同じ 72 通り
左→右→□→□→□の順に、３×２×３×２×１＝36(通り)72×２−36＝108(通り)

２×１×２×１＝４(通り)13 ⑴・左端が男子の場合は（右端は女子）、

６ ⑴

５×４×３×２×１＝120(通り)⑵

左→右→□→□→□の順に、２×１×３×２×１＝12(通り)左→右→□→□→□の順に、３×２×３×２×１＝36(通り)⑶

左→右→□→□→□の順に、３×２×３×２×１＝36(通り)・右端が男子になる場合も 36 通り
・よって、36×２＝72(通り)⑵ 左→右→□→□→□の順に、３×２×３×２×１＝36(通り)⑶ 72＋36＝108(通り)７ ⑴ ６×５×４×３×２×１＝720(通り)⑵ 左→右→□→□→□→□の順に、２×１×４×３×２×１＝48(通り)⑶ 左→右→□→□→□→□の順に、４×３×４×３×２×１＝288(通り)21人を並べる⑴ - 両端

14 ⑴５×４×３×２×１＝120(通り)【別解２】13 の解き方

⑵・色つきの部分は、「左端が男子でなく右端が男子でない場合」、つまり、「両端が男子でない場合」＝「両端が女子の場合」を表しています。
・両端が女子の場合は、左→右→□→□→□の順に、２×１×３×２×１＝12(通り)⑶ 120−12＝108(通り)15

・左端が男子、右端が女子になる場合は、左→□→□→□→□の順に、２×３×３×２×１＝36(通り)・右端が男子、左端が女子になる場合も 36 通り
・よって、片端が男子になる場合は、
36×２＝72(通り)・両端が男子になる場合は、
左→右→□→□→□の順に、２×１×３×２×１＝12(通り)・以上より、72＋12＝84(通り)





16 ⑴

４×３×２×１＝24(通り)⑵

左→右→□→□の順に、２×１×２×１＝４(通り)⑶・左端が男子の場合（右端は女子）、左→右→□→□の順に、２×２×２×１＝８(通り)・右端が男子の場合も８通り
・よって、８×２＝16(通り)⑷ ⑵⑶より、４＋16＝20(通り)または⑴⑵より、24−４＝20(通り)・上の図の色つきの部分を求めます。
・「少なくとも一方」とあるので、余事象を考えた方が楽です。
・並び方は全部で、
５×４×３×２×１＝120(通り)17 ⑴ ５×４×３×２×１＝120(通り)・両端が女子になる場合は、⑵ 左→右→□→□→□の順に、左→右→□→□→□の順に、
２×１×３×２×１＝12(通り)
３×２×３×２×１＝36(通り)⑶ 左→右→□→□→□の順に、・よって、両端の少なくとも一方が男子に３×２×３×２×１＝36(通り)なる場合は、120−36＝84(通り)⑷・左端が男子の場合（右端は女子）、左→右→□→□→□の順に、３×２×３×２×１＝36(通り)・右端が男子の場合も 36 通り
・よって、36×２＝72(通り)【別解】⑴⑵⑶より、120−12−36＝72(通り)⑸ ⑶⑷より、36＋72＝108(通り)【別解１】12 の解き方
・左端が男子になる場合は、左→□→□→□→□の順に、２×４×３×２×１＝48(通り)・右端が男子になる場合も 48 通り・両端が男子になる場合は、左→右→□→□→□の順に、２×１×３×２×１＝12(通り)・よって、48×２−12＝84(通り)または⑴⑵より、120−12＝108(通り)22人を並べる⑴ - 両端

18 ⑴ ６×５×４×３×２×１＝720(通り)⑵ 左→右→□→□→□→□の順に、２×１×４×３×２×１＝48(通り)⑶

左→右→□→□→□→□の順に、４×３×４×３×２×１＝288(通り)⑷・左端が男子の場合（右端は女子）、左→右→□→□→□→□の順に、４×２×４×３×２×１＝192(通り)・右端が男子の場合も 192 通り
・よって、192×２＝384(通り)【別解】⑴⑵⑶より、720−48−288＝384(通り)⑸ ⑶⑷より、288＋384＝672(通り)または⑴⑵より、720−48＝672(通り)23