日本ロボット学会誌 Vol. 27

900

No. 8, pp.900〜909, 2009

学術・技術論文

数式処理によるロボット機構の自由度解析—基本アルゴリズムと適用例—
有 川 敬 輔∗Mobility Analysis of Robotic Mechanisms Using Computer Algebra—Basic Algorithm and Application Examples—
Keisuke Arikawa∗
Kuzbach criterion is very useful to evaluate the mobility of robotic mechanisms. However, it cannot correctly evaluate mobility of some mechanisms (e.g. overconstrained mechanisms, mechanisms with Passive DOF etc.). The links
and joints form constraints in the mechanisms, and we can express the constrains as algebraic equations. Therefore
the mobility evaluation of robotic mechanisms has close connection with analyzing simultaneous algebraic equations(SAE). Based of this idea, we propose a new method to automatically evaluate the mobility of robotic mechanisms
by using computer algebra. First, we explain Groebner Bases which disclose the fundamental structures of SAE, andshow the basic idea of mobility analysis using Groebner Bases. Then, we show that the dual quaternion formulations
are eﬀective to express the constraint equations as SAE, and show the method to systematically form constraint
equations of the spatial mechanisms containing various types of joins. Next, we show the method to evaluate themobility by analyzing the Groebner Bases of the constraint equations. Finally, we show three examples of evaluating
mobility using the proposed method, and show that it can correctly evaluate the mobility even of the mechanisms
for which Kuzbach criterion is not applicable.
Key Words: Mobility Analysis of Robotic Mechanisms, Computer Algebra, Groebner Bases, Dual Quaternion Form
Constraint Equation

1. は じ め に
自由度はロボット機構において最も基本的かつ重要な特性で

あるが，その判定には次式のクッツバッハの式が広く用いられている．

F = λ(n − j − 1) +

fi

（1）

ここで，F は自由度，n はリンク数，j は関節数，fi は関節 iの自由度を表し，λ は空間機構の場合には通常 6 を，平面機構

Fig. 1 Kuzbach-exceptional mechanismsの場合には通常 3 をとる．なお，本稿で言うロボット機構の自由度 F は，二つの参照リンク（マニピュレータでは土台と手に相当するリンク）間の相対的な運動の自由度を指すもとのとする．クッツバッハの式では，リンクと関節の数を数え，関節の自由度を合計するという単純で機械的な操作しか要求されないため，容易に適用することが可能である．この意味においてクッツ
バッハの式は非常に有用な自由度判定法である．しかし，一方だけでは自由度を正しく判定することのできない機構も数多く「クッツバッハの式
存在することを認識しておく必要がある [1]．
だけに頼ると，自由度という最も基本的な特性を誤って判定する恐れがある」，このことは，既存のロボット機構の枠に入らない
新たな機構を設計しようとする際，特に深刻な問題となる [2]．
これまで，より汎用性の高い自由度判定法を目指し，数々ので，Fig. 1 に示した機構のように，この式を機械的に適用した有用な手法が提案されている（例えば文献 [3]〜[10]）．Gogu [6]
原稿受付 2008 年 12 月 19 日∗
神奈川工科大学∗
Kanagawa Institute of Technology
 本論文は学術性で評価されました．

JRSJ Vol. 27 No. 8

は，過去約 150 年間に提案されてきた 35 種類の自由度判定法について適用限界を指摘するとともに，それらの手法が，リンク数，関節数，ループ数等のカウントによる方法と，機構に含—76—Oct., 2009

数式処理によるロボット機構の自由度解析

901

まれる拘束条件式のヤコビ行列のランク計算に基づく方法に大別されることを指摘している．カウントによる方法は，容易に適用できるという利点がある反面，多くは関節軸どうしの平行，直交といった特殊な幾何学的関係を考慮しないため，クッツバッ
ハの式と同様の適用限界を生じる．また，関節軸どうしの特殊な幾何学的関係や，Passive DOF（手先と土台の間の相対運動
Fig. 2 Mechanisms and algebraic equationsに影響を与えない運動の自由度）の存在を考慮し，クッツバッハの式に補正を加えた自由度評価式も提案されているが [3]，適用の過程で発見的手続きを必要とするため，これらによって機械

つも，発見的手続きを必要とせず機械的に適用可能な自由度判

的に自由度を判定することは困難である．一方，ヤコビ行列の定法を明らかにすることを目的とする．

ランク計算に基づく方法は，カウントによる方法に比べて，汎Fig. 2 に示した平面 4 節リンク機構を例に本稿の概略を説

用性，機械的適用可能性は高い [7]〜[9]．しかし，Rico [10] が明する．関節の座標 (x1 , y1 ) と (x2 , y2 ) が定まると機構の状指摘するように，ヤコビ行列のランク計算を基に算出される自態も定まるが，これらの座標変数の値は自由に設定できるわ

由度は，機構のある状態における瞬間的な運動の自由度であり，けではない．リンクの長さが不変という拘束条件を満足する範必ずしも有限の運動の自由度を保証するものではない．また，ヤ囲の値しかとることができない．この拘束条件は，連立代数方

コビ行列のランク計算においては，数値が零であるか否かの判定が要求されるが，その際，数値計算誤差の影響が問題になり

程式 { x1 2 + y1 2 − 1 = 0, (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − 1 =0, (x2 − 1)2 + y2 2 − 1 = 0 } により表現できるが，このなやすい．これら以外にも，群論の知見を活用した自由度判定法

かに，機構の自由度に関する情報が含まれているはずである．

が提案されている [4] [5]．プラットフォーム型機構について，各部分群を求め，それらの集合演算から自由度を算出するものでFig. 2 の機構の自由度は 1 であるが，このことは，4 個の変数
x1 , y1 , x2 , y2 が，3 個の方程式によって拘束されていることに対応していると考えられる（4 − 3 ＝ 1 自由度）．しかし，このあるが，適用可能な機構が限定されており，機械的な判定が困ような単純な自由度判定がいつも通用するわけではない．そこ

難であるのが現状である．Müller [11] は，これらの主要な自由で，数式処理を用い，この連立代数方程式の構造を分析するこ度判定法について，機構の状態を表現する変数によって構成さとにより，自由度の情報を抽出することを考える．また，Fig. 2れる多様体の構造の視点から厳密な解釈を与え，さらに，クッの機構では，拘束条件を容易に連立代数方程式として表現でき

ツバッハの式では自由度を判定できない過拘束機構は，関節軸たが，直動関節，円筒関節，球関節等の多様な関節によって構

どうしの幾何学的関係の変動に対して本質的に不安定であるこ成された空間機構に含まれる拘束条件を，機械的かつ効率的にとを証明している．このことは，誤差の影響が避けられない数

連立代数方程式として表現することは自明な問題ではない．本

値計算による自由度判定には限界があることを示唆している．

稿では，これらの事項について論じ，機械的に適用可能な数式

これらの手法とは別に，最近，Tuomela [12] は，「数式処理」

処理による一つの自由度判定法を提案する．そして，提案するによって自由度を判定する方法を示した．数式処理とは，数式自由度判定法によればクッツバッハ例外とされる機構の自由度の展開，簡略化，因数分解，方程式の求解等を，シンボリック

も機械的に判定できることを，いくつかの例とともに示す．

な操作によって系統的に行う手法であり，計算機技術の向上を

2. 数式処理による自由度判定原理

リムが手先に与える運動が属する三次元ユークリッド運動群の背景にその有用性が注目されている [13]〜[16]．ロボット工学に

2. 1 変数の数と拘束式の数
Fig. 3 に示すように，二つの球面の共有部分を運動する点

おいては，一般 6 自由度シリアルマニピュレータの逆運動学問
題の厳密解の導出，過拘束機構の運動学解析等，特に運動学の分野でその有効性が示されている [3] [17]〜[21]．Tuomela の手

A の自由度について考える．これらの球面の共有部分は，式法は，機構の自由度を，機構の状態を表現する変数によって構（2）に示す多項式 F1 , F2 により定義される連立代数方程式

成される多様体（連立代数方程式の零点として定義される）の{F1 = 0, F2 = 0} の解として表現される．

次元と定義し，その次元を数式処理により求めるというものである．この方法で求まる自由度は，ヤコビ行列のランク計算から求まる自由度のような局所的なものではなく全体的なもので

F1 = x2 + y 2 + z 2 − 1（2）
F2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 − 1

この手法では，拘束条件式を構成する過程，拘束条件式を数式

点 A の座標を表す三つ変数 x, y, z が，二つの方程式 F1 = 0,
F2 = 0 により拘束されていることから，点 A の自由度は
3 − 2 = 1 であると推測できる．この結果は，これらの球面の共有部分は円であり，その円上を動く点 A の自由度は 1 であ処理して自由度を判定する過程において発見的な手続きが要求るという事実と確かに一致している．このことを一般化するとされるため，種々の機構に機械的に適用して自由度を判定する

次式のような自由度判定式が考えられる．

あり，しかも，手法自体がシンボリックな計算のみで構成されているため，数値計算誤差の影響をまったく受けない．この意
味で，従来手法の欠点を補う極めて有効な手法である．しかし，ことは困難である．そのほか，Passive DOF を分離できない，

F = Nv − Nc

リンクの状態を個々に表現するため多くの変数を要する等の問
題点を含む．そこで，本研究では，数式処理の利点を生かしつ日本ロボット学会誌 27 巻 8 号（3）

ここで，F は自由度，Nv は変数の数，Nc は拘束式の数を表—77—2009 年 10 月

有 川 敬 輔

902

主要な役割を果たす．そこで，本節では式（4）を例として，グレブナ基底について説明する．ここでは，提案する自由度判定
法に深くかかわる事項についてのみ説明するが，グレブナ基底の詳細については，文献 [13]〜[16] 等を参照されたい．
変数 x, y, z によって構成された多項式全体を X[x, y, z]，
Pi を Pi ∈ X[x, y, z] なる任意の多項式とする．このとき，
P1 F1 + P2 F2 + P3 F3 で表される多項式全体を「基底 F1 , F2 , F3で生成されるイデアル」と呼び，これを F1 , F2 , F3  と表す．つまり，このイデアルを  とすると，Fig. 3 Particle on intersection of two spheres = F1 , F2 , F3 
= {P1 F1 + P2 F2 + P3 F3 | P1 , P2 , P3 ∈ X[x, y, z]}
（5）
3

4

3

4

2 4

2 4

例えば，多項式 −y + 2xy + 2y z − 2z + x z + y z + z 6
は z 4 F1 + y 3 F2 + 0F3 と表されるため  の元であるが，多項式 x + y + z は  の元ではない．

F1 = 0, F2 = 0, F3 = 0 を式（5）に代入すればイデアル  に含まれるすべての多項式が零になることから，連立代数方程式{F1 = 0, F2 = 0, F3 = 0} （以後， ＝ 0 と書く）の解は，に含まれるすべての多項式を零に等値した無数の方程式からなる連立代数方程式（以後， ＝ 0 と書く）の解でもある．また，

ループモビリティー判定式 [3] [6] 等の数々の自由度判定式の本

F1 , F2 , F3 ∈ I であることから， ＝ 0 の解は  = 0 の解でもある．つまり，連立代数方程式  = 0 と  ＝ 0 の解は一致する．
このことから， が別の基底 {G1 , G2 , · · · , Gn } によって生成されたとすると，つまり， = F1 , F2 , F3  = G1 , G2 , · · · , Gn とすると， = 0 と  ＝ 0 の解が一致し， = 0 と  ＝ 0の解が一致するため， = 0 と  = 0 の解が一致することになる．つまり，連立代数方程式  = 0 を解く代わりに， = 0

質は式（3）にある．

を解いても同じ解が得られることになる．

Fig. 4 Particle on intersection of three curved surfaces

す．クッツバッハの式（式（1）），および，そこから派生する

ところが，拘束条件式の独立性を考慮せず単純に変数の数とグレブナ基底とは，与えられたイデアルの基底から計算され拘束式の数を数えただけでは，自由度を正しく判定できるとは限る，特別な性質を持った基底のことをいう． グレブナ基底を計らない．例えば，式（4）に示す三つの方程式 F1 = 0, F2 = 0,
F3 = 0 により定義される三つの代数曲面の共有点を運動する
点 A の自由度を考えよう（Fig. 4 参照）．

算するには，記号としての大小関係を定める「変数順序」と，多





F1 = x2 + y 2 + z 2 − 2
F2 = 2xy + 2z − 1
F3 = x3 + 2x2 y + xy 2 + 4xy+ xz 2 + 2xz − 3x + 4z − 2

項式を構成する単項式の大小関係を定める「項順序」を指定する必要がある．特に，「辞書式順序」と呼ばれる項順序で計算したグレブナ基底は，後に説明するように，変数を逐次的に消去
した形の多項式で構成されるため，方程式の構造を調べるのに非常に都合がよい．

（4）

変数順序 x  y  z の下での辞書式順序とは，アルファベッ
ト順 a  b · · ·  z の代わりに x  y  z を用いて，文字どお三つの変数 x, y, z に対して，三つの拘束式が存在するため，り辞書の索引と類似の方法によって単項式の大小関係を規定す

Nv = 3，Nc = 3 を式（3）に代入すると自由度 F = 0 と求
まる．しかし，Fig. 4 から分かるように，実際の自由度は 1 でるものである（より上位の変数から順に次数を比べていき，単ある．

2. 2 グレブナ基底提案するロボット機構の自由度判定法においては，連立代数

項式の大小関係を定める）．例えば，単項式 xyz 2 (= x1 y 1 z 2 ) とxy 2 (= x1 y 2 z 0 ) を比べた場合，最上位変数 x の次数はいずれも同じであるが，次に上位の変数 y の次数は xy 2 のほうが大きいため，xyz 2 ≺ xy 2 となる．
変数順序と項順序を定めることにより，単項式の大小関係が方程式を数式処理することにより得られる「グレブナ基底」が定まるが，ある多項式を構成する単項式のなかで最大のものを†式（4）において，イデアル I の元である 4y 2 F1 + (−2xy + 2z −1)F2 + 0F3 = 4y 4 + 4y 2 z 2 − 8y 2 + 4z 2 − 4z + 1 の頭項 y 4 は，
F1∼3 のいずれの頭項 x2 , xy, x3 によっても割り切れない．このため，
式（4）はグレブナ基底ではない．なお，任意のイデアルに対し，グレ
ブナ基底が存在することが知られている．

JRSJ Vol. 27 No. 8「頭項」と呼ぶ．先に述べた，グレブナ基底の特別な性質とは，「イデアルに属するすべての多項式の頭項が，基底を構成する
いずれかの多項式の頭項によって割り切れる」というものであ
る† ．

—78—

Oct., 2009

数式処理によるロボット機構の自由度解析

903

Table 1 Mobility analysis table(Var.: Variable, NewVar.: New Variable, NFV: Number of Free Variables, Gi : Groebner Bases, HV: Hidden Variables )
G1
G2
G3
G4
HV

Var.

New Var. NFVy, zx, y, zx, y, zx, y, z
–

y, z
x
–
–
–

1
0
0
0
0
DOF = 1

おいては，z の値を自由に設定できることを意味している．
次に，変数 z に次いで低位の変数 y を加え，イデアル  のなかに，変数 y, z のみで構成される多項式が存在すると仮定しFig. 5 Curved surfaces and their intersection deﬁned by Groebner Bases

式（4）のグレブナ基底を，変数順序を x  y  z ，項順序





を辞書式順序として計算すると次式のようになる．
4

2 2

2

て同様の考察を行うと，この仮定の下では，グレブナ基底のな
かに変数 y, z のみで構成された多項式が含まれることが分かる．
そして，この式を零に等値した方程式が，変数 y, z を拘束する式となる．式（6）のグレブナ基底においては，多項式 G1 がこれに相当するが，前段の考察，x, y の値が決まっていない段階
においては z の値を自由に設定できることを併せて考えると，

2

G1 = 4y + 4y z − 8y + 4z − 4z + 1
G2 = 2xz − x − 2y 3 − 2yz 2 + 4y
（6）
G3 = 2xy + 2z − 1
G4 = x2 + y 2 + z 2 − 2

変数 y, z のいずれか一方の値を自由に設定できることになる．

ここで， = F1 , F2 , F3  = G1 , G2 , G3 , G4  であり，上述ののグレブナ基底には，変数 x, y, z すべてを含む三つの多項式

x の値が決まっていない段階で方程式 G1 = 0 を評価すると，今，z（または y ）の値を決めたとすると，方程式 G1 = 0 にように，連立代数方程式  = 0 と  = 0 の解は一致することに注意されたい．なお，式（6）の各多項式は，例えば G2 において xz  x  y 3  yz 2  y のように，大きな単項式から順より y （または z ）の値が自動的に決まることになる．式（6）G2 , G3 , G4 が含まれているが，変数 y, z の値はすでに決まっているため，方程式 G2 = 0, G3 = 0, G4 = 0 により変数 x の値は自動的に決まることになる．これで，すべての変数の値がに表示しており，G1∼4 の頭項は，それぞれ，y 4 , xz, xy, x2

定まったが，この過程で自由に設定することのできた変数は 1

である．また，G1∼4 = 0 により定義される四つの代数曲面，お個（y または z ）であった．つまり，自由度は 1 であると判定

よび，それらの共有点の集合を Fig. 5 に示す．Fig. 4 と Fig. 5

できる．

を比較することにより， = 0 と  = 0 の解が等しいことを，視覚的にも確認することができる．

Table 1 は，この自由度判定の過程を表にまとめたものである．グレブナ基底を構成する多項式 G1 には，変数（Var.）y,

2. 3 自由度判定
イデアル  のなかに，最低位の変数 z のみで構成される多項（NFV=1）．G2 には変数 x, y, z が含まれるが，G1 = 0 を式が含まれていたと仮定する．このとき，イデアルに属するす評価した段階で y, z の値が決まっているため，ここで新たにz が含まれる．そのうち自由に設定できる変数の数は 1 である

べての多項式の頭項が，基底を構成するいずれかの多項式の頭現れた変数（New Var.）x の値は自由に選ぶことはできない

項によって割り切れるというグレブナ基底の性質から，グレブ（NFV=0）．G3 , G4 には，新たな変数は現れないため自由に値

ナ基底のなかに，頭項が z のみで表される多項式が存在するは．さらに，グレブナ基底を選べる変数は存在しない（NFV=0）ずである．さらに，辞書式順序においては，最低位の変数 z 以に現れない変数（HV）を確認しておく必要がある．グレブナ

外の変数を含むすべての単項式は，z のみを含む単項式よりも基底に現れない変数はなんらの拘束も受けないため，その変数大きくなるため，その多項式の頭項以外の項も z のみで表されの数だけ自由に値を選べる変数の数 NFV が増えることになる

る．つまり，この仮定の下では，グレブナ基底のなかに変数 z（グレブナ基底が「1」となる場合を除く† ）．最後に，NFV を合のみで構成された多項式が含まれることになり，その式を零に計することにより，自由度が 1 と判定できる．以降，この表の等値する方程式により，z の値は拘束されることになる．式（6）ことを「自由度判定表」と呼ぶことにする．

のグレブナ基底には，変数 z のみで構成される多項式が含まれ以上のように，辞書式順序により計算したグレブナ基底を，よていない．このことは，イデアル  のなかに変数 z のみで構

り低位の変数で構成された多項式から順に変数の現れ方を見て成される多項式は含まれず，x, y の値が決まっていない段階にいくことにより，自由度を機械的に判定することができる．

†「1」というグレブナ基底で生成されるイデアルは，指定した変数で構成された多項式をすべて含む（式（5）参照）．例えば，連立方程式{x − 1 = 0, x − 2 = 0} に解がないことから分かるように，このイデアルに共通解は存在しない．つまり，自由度は 0 である．

日本ロボット学会誌 27 巻 8 号—79—

2009 年 10 月

有 川 敬 輔

904

さらに，2 個のクォータニオンの組 ( ,  0 )，つまり，8 個

3. ロボット機構の自由度判定の数の組 (Z1 , Z2 , · · · , Z8 ) によって次式のように定義される数ˆ をデュアルクォータニオンと呼ぶ．


3. 1 基本方針
前章までの議論によって，ロボット機構に含まれる拘束条件
を連立代数方程式として表現できれば，そのグレブナ基底を求ˆ =  +  0= (Z1  + Z2  + Z3  + Z4 ) +  (Z5  + Z6  + Z7  + Z8 )めることにより機械的に自由度を判定できると期待できる．

ˆ (Z1 , Z2 , Z3 , Z4 , Z5 , Z6 , Z7 , Z8 )=

拘束条件を連立代数方程式として表現するには，様々な方法が考えられる．例えば，Fig. 2 のような回転関節のみで構成された平面機構であるならば，関節位置の座標を変数とし，関節ここで， は 2 = 0 なる演算則を満たす．特に，二つの条件，間の距離が一定という条件を表現すればよい．しかし，機構のタイプに応じて，変数設定や拘束条件の表現方法に発見的手続きを要求したとすれば，自由度を判定できたとしても，それは，「機械的」自由度判定とは言えない．つまり，拘束条件を連立代数方程式として表現する段階においても，機械的であることが要求される．加えて，グレブナ基底の計算コストを考えると，連立代数方程式に現れる変数の数は少ないほうが有利である．
本章では，これらのことを基本方針とし，ロボット機構に含まれる拘束条件を連立代数方程式として表現する方法を示し，さ（9）Z1 2 + Z2 2 + Z3 2 + Z4 2 − 1 = 0（10）

Z1 Z5 + Z2 Z6 + Z3 Z7 + Z4 Z8 = 0（11）を満たすデュアルクォータニオンによって三次元空間内の剛体の状態を表現できることが知られている [23] [24]．例えば，単位ˆR ，おクォータニオン R =  (r1 , r2 , r3 , r4 ) なる純粋回転 
ˆT は，それぞれ，次よび，ベクトル (tx , ty , tz ) なる純粋並進 式のように表現される．

ˆ (r1 , r2 , r3 , r4 , 0, 0, 0, 0)
ˆR = ˆ (0, 0, 0, 1, tx /2, ty /2, tz /2, 0)
ˆT = 


らに，それをもとに自由度を判定する方法を示す．

3. 2 デュアルクォータニオンによる剛体の状態表現

（12）
（13）

ロボット工学の分野では，剛体の状態の表現方法として，三次元ベクトルによる並進表現とオイラー角による姿勢表現を組ˆT 
ˆRさらに，三次元空間内の剛体の一般の状態は，これらの積 

み合わせた 6 個の変数による表現が広く用いられている．さらによって表すことが可能である [24]．なお，デュアルクォータに，オイラー角 αi を pi = tan αi /2 によって変数 pi に変換す

ニオンの積は，行列を通して計算することができるが，これに

2

2

2

ると，sin αi = 2pi /(1 + pi )，cos αi = (1 − pi )/(1 + pi ) な

ついては文献 [23] を参照されたい．

る関係が成り立つため，各成分を有理多項式として表現するこ

デュアルクォータニオン形式の状態表現（8 変数）は，三次とが可能となる [13]．しかし，ジンバルロックとして知られる元ベクトルとオイラー角を組み合わせた状態表現（6 変数）に

状態表現上の特異点が存在する [22]，αi = π における pi が定比べて多くの変数を必要とするものの，その構造自体が三次元義されない等の問題点のため，例外的な処理が必要となり，こユークリッド運動群の構造に適合しており状態表現上の特異点の方法をもとに拘束条件を記述しては，機械的適用可能性を確が存在しない [23]，各成分を単純に等値することで拘束条件を保することが難しい．ところで，McCarthy は，文献 [23] にお代数方程式として容易に表現できる等の利点を有する．これら

いて，このような問題点を含まないデュアルクォータニオンには，機械的適用可能性の確保の観点において特に好都合である．

よる状態表現を用いた運動学解析の有効性について論じている．

McCarthy [23] は，デュアルクォータニオンを用いた運動学解

4 個の数の組 (Z1 , Z2 , Z3 , Z4 ) によって次式のように定義される数  をクォータニオンと呼ぶ．

析例として，回転関節と円筒関節によって構成されたいくつか

 = Z1  + Z2  + Z3  + Z4 =  (Z1 , Z2 , Z3 , Z4 )の記述も行っているが，三角関数を消去する過程に発見的手続きが要求されるなど，機械的適用についてはあまり考慮されて（7）
ここで，,  ,  は，2 =  2 = 2 = −1， = − = ， = − = ， = − =  なる演算則を満たす．特に，
Z1 2 + Z2 2 + Z3 2 + Z4 2 = 1 を満たすものを単位クォータニオ
ンと呼び，これによって，三次元空間内の剛体の回転を表現できることが知られている [23] [24]．ここで，単位回転軸ベクト
ルを (sx , sy , sz )，回転軸回りの回転角度を φ とすると，クォー
タニオンの各成分は次式のように対応する．

Z1 = sx sin(φ/2)， Z2 = sy sin(φ/2)，
Z3 = sz sin(φ/2)， Z4 = cos(φ/2)（8）

このクォータニオンによる姿勢表現は，数式処理を含む代数的手法を用いた機構解析において広く用いられている [12] [17] [21]．

JRSJ Vol. 27 No. 8の単ループ機構の Constraint Manifold （手先変数によって構成される多様体）の導出を行っている．その過程で，拘束条件いない．そこで，デュアルクォータニオンを用い，拘束条件を機械的に連立代数方程式として表現する方法について以下に論じる．

3. 3 リンク—関節直鎖の状態表現
物体 A に固定された座標系 ΣA から見た，物体 B に固定さ
ˆA−B
れた座標系 ΣB の状態を表すデュアルクォータニオンを と書くことにする．Fig. 6 は，回転関節，直動関節，円筒関
節，球関節それぞれによって互いに結合された二つの物体 A，B
ˆA−B を表したものである（式（8）（12）（13）参について，照）．例えば，z 軸を関節軸とする円筒関節（z 軸まわりに 2θ 回
ˆ (0, 0, 0, 1, 0, 0, t, 0)
ˆA−B = 転，z 軸方向に 2t 並進）では，
ˆ (0, 0, s, c, 0, 0, ct, −st) のように，3ˆ (0, 0, s, c, 0, 0, 0, 0) = 

個の関節変数 s, c, t による多項式と，一つの代数方程式—80—

Oct., 2009

数式処理によるロボット機構の自由度解析

905

Fig. 7 Algebraic representation of serial chain constraint(Joint variables: q1 , q2 , q3 , q4 , t, s, c)

Fig. 6 Algebraic representation of joint constraint

s2 + c2 − 1 = 0 によって表される．ただし，s = sin θ, c = cos θである．
また，Fig. 7 のように，二つの剛体が，関節とリンクの直鎖によって結合されている場合，隣接するリンク間の状態を表す
デュアルクォータニオンを順次掛けていくとにより，状態を記述することができる．Fig. 7 の場合，物体 A, D が，
「球関節—Fig. 8 Generation of constraint equations (Four bar linkage)

リンク B—直動関節—リンク C—回転関節」からなる直鎖で結ˆA−D は次式のようになる．
合されているが，

ˆA−D の各成分が式（10）けてもこの性質は保存されるため，ˆ (q1 , q2 , q3 , q4 , 0, 0, 0, 0)
ˆ (0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0)
ˆA−B = ˆ (q1 , q2 , q3 , q4 , −q3 , q4 , q1 , −q2 )（14）=（11）を満たすという条件は陽に加える必要はない．

ˆ (0, 0, 0, 1, 0, t, 0, 0)
ˆ (0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0)
ˆB−C = ˆ (0, 0, 0, 1, 0, t + 1, 0, 0)（15）=

連立代数方程式として表現し，そのグレブナ基底から自由度をˆ (s, 0, 0, c, 0, 0, 0, 0)
ˆC−D = ˆA−B 
ˆA−D = ˆB−C 
ˆC−D

3. 4 拘束条件の記述と自由度判定
Fig. 8 に示した平面 4 節リンク機構を例にとり，拘束条件を判定する過程を説明する† ．

Fig. 8 において，Σb および Σh を，それぞれ，土台と手先に（16）固定された座標系とする．まず，これらのリンクを起点として，（17）

機構に含まれるリンク—関節直鎖を抽出すると，Fig. 8 右に示ˆ (cq1 + sq4 , cq2 + sq3 , cq3 − sq2 , cq4 − sq1 ,=すように，2 本の直鎖（それぞれ 2 個の回転関節を含む）が得− 2cq3 − 2sq2 − ctq3 − stq2 ,られる．そして，3. 3 節に示した要領で，直鎖の両端の相対的

2cq4 + 2sq1 + ctq4 + stq1 ,な状態を表すデュアルクォータニオンを求める．例えば，直鎖

ˆb1−h1 は次式のように表される．
1 に関して，

2cq1 − 2sq4 + ctq1 − stq4 ,ˆ (0, 0, s1 , c1 , 0, 0, 0, 0)ˆb1−h1 = ˆ (0, 0, s2 , c2 , 0, 0, 0, 0)ˆ (0, 0, 0, 1, d2 , 0, 0, 0) 

− 2cq2 + 2sq3 − ctq2 + stq3 )ˆA−D の各成分が，関節変数 q1 , q2 , q3 , q4 , t, s, c に（18）

関する多項式として表されたが，これと，二つの代数方程式

q1 2 + q2 2 + q3 2 + q4 2 − 1 = 0，s2 + c2 − 1 = 0 を併せたものが，（11）を物体 D の A に対する状態表現となる．なお，式（10）満たすという性質を有するデュアルクォータニオンどうしを掛

ここで，2θi は関節角度を，si は sin θi を，ci は cos θi を表す．
次いで，これらを基にして拘束条件を記述していく．土台かˆb−h1 と，土台から手先を経由
ら直鎖 1 を経由して計算した ˆb−h1 は一致しなくてはならないため，次の拘して計算した †

平面機構の場合にはプラナークォータニオン [23] と呼ばれる数を用いれば，より少ない変数で拘束条件を記述できるが，ここでは，空間機構にも適用可能であることを重視している．

日本ロボット学会誌 27 巻 8 号

束条件が成り立つ必要がある．

—81—

ˆb−h 
ˆb−b1 ˆb1−h1 − ˆh−h1 = 0（19）2009 年 10 月

有 川 敬 輔

906が現れるため，その一つ前の G8 = 0 までに，手先変数に関す

ただし，

ˆb−b1 = ˆ (0, 0, 0, 1, −d1 , 0, 0, 0)ˆ (0, 0, 0, 1, −d3 , 0, 0, 0)ˆh−h1 = る拘束が現れているはずである．G1 から G8 までに現れない（20）

手先変数 HV（hand）は存在しないため，結局，Z5 または Z6
いずれか一つの値を設定すれば，手先変数 Z1 ∼ Z8 がすべて（21）定まることになる．この時点で，この機構の自由度は 1 と判定

直鎖 2 についても同様に考えて，できる（本稿では，自由度を手先と土台の間の相対運動の自由

ˆb−h 
ˆb2−h2 − ˆh−h2 = 0
ˆb−b2 度と定義している）．引き続いて，G9 = 0 から G28 = 0 へ順

（22）に評価を進めると，関節変数が連鎖的にすべて定まることが確
さらに，回転関節に付随する拘束条件（Fig. 6 参照）として，
22

si + ci − 1 = 0 (i = 1 ∼ 4)

認できる（G9 から G28 までに現れない関節変数 HV（joint）
も存在しない）．

（23）

グレブナ基底を計算する際，変数順序を { 関節変数 }{ 手デュアルクォータニオンは 8 成分を持つので，式（19）（22）に

先変数 } と設定した点に注意されたい．より低位の変数から順よる拘束条件にそれぞれ 8 個ずつ，式（23）による拘束条件にに値が決まっていくため，この例で見たように，手先変数から4 個，計 20 個の方程式が得られたが，そのすべてが関節変数
s1 , c1 , · · · , s4 , c4 と手先変数 Z1 , Z2 , · · · , Z8 ，計 16 個の変数に関する代数方程式となっている．なお，リンク—関節直鎖順に値が決まることになる．手先変数の値がすべて決まってもを単位とせずとも，各リンクの状態を個別に表現しても拘束条ることを意味する．このような動きに起因する自由度 Passive
DOF [3] は，変数順序を { 関節変数 }{ 手先変数 } とすることによって，その判別が可能となる（4. 1 節参照）．

件を記述することができるが [12]，その場合，多くの変数を要するためグレブナ基底の計算負荷が増大することになる．

なお自由に設定できる関節変数があったとすると，その関節の動きは，手先の動きに影響を与えない機構の内部的な動きであ（22）（23）による連立代数方程式のグレブナ基底を，式（19）なお，この自由度判定の過程は計算機プログラムとして容易

変数順序を s1  c1  · · ·  s4  c4  Z1  · · ·  Z8 （{ 関に実装することができる．次章で示す適用例のなかには，グレ

節変数 }{ 手先変数 }），項順序を辞書式順序として求めるとブナ基底に 200 個以上の多項式を含むものもあるが，このよう

次式のような 28 個の多項式が得られる．

な機構の自由度も計算機によって容易に判定することができる．

G1 = Z8 , G2 = Z7 , G3 = Z5 2 Z6 + Z6 3 − Z6 ,4. 適

G4 = 4Z4 2 − Z5 2 − Z6 2 − 3, G5 = Z3 Z6 ,G28 = s1 + 2c2 Z3 − s2 Z5 − c2 Z6
ここで，d1 = d2 = · · · = d6 = 1 とした．
これをもとに自由度判定表を作成すると Table 2 のようになる．Table 1 と同じ要領で，G1 = 0 から順に評価していくと，G3 = 0 において Z5 または Z6 の値を自由に設定できることが分かる（NFV=1）．G9 = 0 において初めて関節変数（c4 ）

Var.

G9
G10 ∼ G28
HV(joint)

Fig. 9 は，平面 4 節リンク機構の 4 個の回転関節のうちの 2個を球関節に置換えた機構である．クッツバッハの式（式（1）参照）に，λ = 6，n = 4，j = 4， fi = 2 · 3 + 2 · 1 = 8 （3自由度関節と 1 自由度関節が 2 個ずつ）を代入すると，F = 2となる．しかし，このうちの 1 自由度は，Passive DOF である（Fig. 9 右参照）．この機構の自由度を提案する手法で判定して

G9 = 4c4 2 − 2Z4 Z5 + Z5 2 + Z6 2 − 3, · · · · · · ,

G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
G8
HV(hand)みよう．
まず，3. 4 節と同様の手順で拘束条件を構成する．式（19）ˆb1−h1 を次式のように置き換えるこ（22）による拘束条件は，とで，本機構に対してもそのまま適用できる．

New Var. NFV

Z8Z7
Z5 , Z6
Z4 , Z5 , Z6
Z3 , Z6
Z3 , Z5 , Z6
Z2
Z1
–

Z8
0
Z7
0
Z5 , Z6
1
Z4
0
Z3
0
–
0
Z2
0
Z1
0
–
0
DOF = 1
c 4 , Z4 , Z5 , Z6 c 4
0
···
···
0
–
–
0
Passive DOF = 0

RESULT
1 DOF Mechanism without Passive DOF

JRSJ Vol. 27 No. 8

例

4. 1 SS-RR リンク機構

G6 = 4Z3 2 + Z5 2 + Z6 2 − 1, G7 = Z2 , G8 = Z1 , （24）

Table 2 Mobility analysis table (Four bar linkage)

用

Fig. 9 SS-RR linkage (1 DOF + 1 Passive DOF)

—82—

Oct., 2009

数式処理によるロボット機構の自由度解析

907

Table 3 Mobility analysis table (SS-RR linkage)
Var.
G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
G8
HV(hand)G9
G10 ∼ G17
G18
G19 ∼ G36
HV(joint)

New Var. NFV

Z8Z7
Z5 , Z6
Z4 , Z5 , Z6
Z3 , Z6
Z3 , Z5 , Z6
Z2
Z1
–

Z8
0
Z7
0
Z5 , Z6
1
Z4
0
Z3
0
0
Z2
0
Z1
0
–
0
DOF = 1
c 4 , Z4 , Z5 , Z6
c4
0
···
···
0
q13 , q14 , Z4 , Z5 , Z6 q13 , q14
1
···
···
0
–
–
0
Passive DOF = 1

Fig. 10 2-RC linkage (1 DOF)

由度関節が 2 個ずつ）を代入すると F = 0 となるが，実際には 1 自由度を有する機構である．

RESULT
1 DOF Mechanism with 1 Passive DOF

以下のように各デュアルクォータニオンを設定し，式（19）（22）による拘束条件，および，回転関節と円筒関節に付随する拘束条件 si 2 + ci 2 − 1 = 0 (i = 1, 3, 4, 6) により，拘束条件を

ˆb1−h1 = ˆ (q11 , q12 , q13 , q14 , 0, 0, 0, 0)ˆ (0, 0, 0, 1, d2 , 0, 0, 0)ˆ (q21 , q22 , q23 , q24 , 0, 0, 0, 0)

表す連立代数方程式を構成することができる．

ˆ (0, 0, 0, 1, 0, −d1 , 0, 0)ˆb−b1 = 
ˆ (0, 0, 0, 1, 0, −d3 , 0, 0)ˆh−h1 = （25）

ここで，q11∼14 および q21∼24 は，各球関節の回転状態を表す
関節に付随する拘束条件（Fig. 6 参照）として次式を加える．

si 2 + ci 2 − 1 = 0(i = 3, 4)（29）

ˆ (s1 , 0, 0, c1 , 0, 0, 0, 0)
ˆ (0, 0, 0, 1, 0, d2 , 0, 0)ˆb1−h1 = 

単位クォータニオンの成分である．さらに，球関節および回転

qi1 2 + qi2 2 + qi3 2 + qi4 2 − 1 = 0（28）(i = 1, 2) （26）（27）

ˆ (0, 0, 0, 1, t2 , 0, 0, 0)ˆ (s3 , 0, 0, c3 , 0, 0, 0, 0)ˆ (0, 0, 0, 1, d4 , 0, 0, 0)ˆb−b2 = （30）

ˆ (0, 0, 0, 1, d6 , 0, 0, 0)ˆh−h2 = 


（32）

（31）

ˆ (0, s4 , 0, c4 , 0, 0, 0, 0)
ˆ (0, 0, 0, 1, 0, 0, d5 , 0)ˆb2−h2 = 

d1 = d2 = · · · = d6 = 1，変数順序を q21  · · ·  q24 
q11  · · ·  q14  s3  c3  s4  c4  Z1  · · ·  Z8 （{ 関節変数 }{ 手先変数 }）とし，項順序を辞書式順序としてグレブナ基底を求めると，36 個の多項式が得られる．
その自由度判定表を Table 3 に示す．3. 4 節と同様の手順によって，G1 = 0 から順に G8 = 0 まで評価し，HV（hand）が存在しないことを確認すると，手先変数 Z5 または Z6 の値を

d1 = d4 = 2，d2 = d5 = 3，d3 = d6 = 1，変数順序を
s1  c1  t2  · · ·  t5  s6  c6  Z1  · · ·  Z8 （{ 関節変数 }{ 手先変数 }）とし，項順序を辞書式順序としてグレブ
ナ基底を求めると，33 個の多項式が得られる．そして，自由度
判定表 Table 4 から，Passive DOF を含まない 1 自由度機構

設定すれば，すべての手先変数が定まることが分かる．つまり，であるとの判定結果が得られる．

この時点で，この機構の自由度が 1 であると判定される．さらの状態は定まっているので，ここで現れた 1 自由度は Passive
DOF である．そして，G36 = 0 まで評価し，HV（joint）が存在しないことを確認して，この機構は 1 自由度の Passive DOFを有する 1 自由度機構であるとの判定結果が得られる．
このように，提案した自由度判定法によれば，Passive DOF

4. 3 3-PRRR プラットフォーム
Fig. 11 は，一つの直動関節と三つの回転関節からなる直鎖を 3 本組み合わせたプラットフォーム型パラレルマニピュレー
タである [25]．クッツバッハの式（式（1）参照）に，λ = 6，n = 11，j = 12， fi = 12 を代入すると F = 0 となるが，実際には，手先は 3 自由度並進運動を行うことができ（Fig. 11
下参照），自由度 3 を有する機構である．なお，この機構は Gogu
が文献 [6] において，様々な自由度判定式を評価する際のベンチを含む機構についても，機械的に自由度を判定することが可能

マークとして用いた機構である．

に，評価を進めていくと G18 = 0 の時点で，関節変数 q13 または q14 を自由に設定できることが判明する．すでに手先リンクˆ (0, 0, 0, 1, 0, −t5 , 0, 0)ˆ (0, s6 , 0, c6 , 0, 0, 0, 0)

（33）



3 本の直鎖について，これまでと同じ要領で拘束条件を記述

である．

4. 2 2-RC リンク機構
Fig. 10 は，文献 [5] において Paradoxical Chain として分類されている機構で，2 個の回転関節と 2 個の円筒関節によって構成されている．クッツバッハの式（式（1）参照）に，λ = 6，
n = 4，j = 4， fi = 2 · 2 + 2 · 1 = 6 （2 自由度関節と 1 自

日本ロボット学会誌 27 巻 8 号

すると，21 個の関節変数 s1 , c1 , · · · , s9 , c9 , t1 , t2 , t3 ，8 個の手先変数 Z1 , · · · , Z8 ，計 29 個の変数を持ち，33 個の方程式（うち 9 個が回転関節に付随する拘束条件）からなる，連立代数方程式が得られる．そして，そのグレブナ基底を，変数順序を s1  c1  · · ·  s9  c9  t1  t2  t3  Z1  · · ·  Z8

—83—

2009 年 10 月

有 川 敬 輔

908

Table 4 Mobility analysis table (2-RC linkage)Var.

New Var. NFV

G1
G2
G3
G4
G5
G6
G7
G8
G9
G10
G11
G12
HV(hand)Z8
Z6 , Z7
Z5 , Z6 , Z7
Z5 , Z6 , Z7
Z5 , Z6 , Z7
Z4 , Z6 , Z7
Z4 , Z6 , Z7
Z4 , Z5 , Z7
Z4
Z3
Z2
Z1
–

G13
G14 ∼ G33
HV(joint)

c 6 , Z4 , Z7
···
–

Z8
0
Z6 , Z7
1
Z5
0
–
0
–
0
Z4
0
–
0
–
0
–
0
Z3
0
Z2
0
Z1
0
–
0
DOF = 1
c6
0
···
0
–
0
Passive DOF = 0

Table 5 Mobility analysis table (3-PRRR platform)
Var.

New Var.

G1
G2
G3
G4
G5
HV(hand)

Z8
Z4
Z3
Z2
Z1
Z5 , Z6 , Z7

G6
G7
G8
G9
G10 ∼ G220
HV(joint)

t3 , Z7
t2 , Z5
t1 , Z6
c9
···
–

Z8
0
Z4
0
Z3
0
Z2
0
Z1
0
Z5 , Z6 , Z7
3
DOF = 3
t3
0
t2
0
t1
0
c9
0
···
0
–
0
Passive DOF = 0

NFV

RESULT
3 DOF Mechanism without Passive DOF

RESULT
1 DOF Mechanism without Passive DOF

5. お わ り に
本稿では，数式処理を用いてロボット機構の自由度を機械的に判定する手法を提案し，その有効性を示した．

• 複数の代数曲面の共有部分を動く点の自由度を求めるという問題を例に，グレブナ基底を用いた自由度判定の基本原理について論じた．

• デュアルクォータニオンによる剛体の状態表現，リンク—
関節直鎖を単位とした拘束条件の記述により，多様な関節を含む空間機構の拘束条件を，連立代数方程式として機械的に表現できることを示した．

• 拘束条件を表す連立代数方程式のグレブナ基底を，変数順
序を { 関節変数 }  { 手先変数 }，項順序を辞書式順序として計算すると，グレブナ基底を構成する多項式における変数の現れ方から自由度を機械的に判定できることを示した．

• Passive DOF を含む機構をはじめ，クッツバッハ例外とされる 3 種類の機構に対して本手法を適用し，これらの機構の自由度を機械的に正しく判定できることを示した．
本手法では，グレブナ基底計算，デュアルクォータニオン形
Fig. 11 3-PRRR platform (3 DOF)

式による拘束条件の表現といった手続きが要求され，従来手法に比べて計算コストが高い．しかし，本手法は，発見的手続き（{ 関節変数 }{ 手先変数 }）とし，項順序を辞書式順序としが要求されないため機械的に適用することが可能，さらに，数て求めると 220 個の多項式が得られる．

式処理によるシンボリックな計算だけで構成されているため数

その自由度判定表を Table 5 に示す．これまでと同じ要領
で，G1 = 0 から順に評価していくと G6 = 0 で初めて，関節変値誤差の影響が皆無であり判定結果の信頼性が高いという大きな利点を有する．

数（t3 ）が現れることが分かる．したがって，一つ前の G5 = 0

今後，グレブナ基底計算における変数順序の生成法の検討，を評価する段階で，自由度を判定できるはずである．手先変数

機構の位相構造情報 [2] の活用などにより計算コストの低減を

Z5 , Z6 , Z7 は G1 ∼ G5 に現れないため HV（hand）に該当

図り，さらに実用性の高い自由度判定法を目指していく予定でするが，前述したように，このような変数は拘束を受けないたある．

め，自由に値を設定することができる．つまり，自由度 3 であると判定される．引き続き，G6 = 0 から順に G220 = 0 まで評
価し，この機構には Passive DOF は含まれないことが判明する．なお，Z5 , Z6 , Z7 を自由に設定できることから手先が 3 自由度並進運動可能であるということも分かる（式（13）参照）．

JRSJ Vol. 27 No. 8

—84—

参 考

文 献

[ 1 ] J. Phillips: Freedom in Machinery: Volume 1 (1984) and Volume 2 (1990) Combined. Cambridge University Press, 2006.
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Oct., 2009

数式処理によるロボット機構の自由度解析
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[14] 野呂，横山：グレブナー基底の計算 基礎篇 計算代数入門．東京大学出版会，2003.
[15] 齋藤，竹島，平野：グレブナー基底の計算 実戦篇 Risa/Asir で解く．東京大学出版会，2003.
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有川敬輔（Keisuke Arikawa）
2000 年東京工業大学大学院理工学研究科機械物理
工学専攻博士後期課程修了．博士（工学）．2000〜
2002 年日本学術振興会特別研究員（東京工業大学）．
2002 年神奈川工科大学工学部機械工学科講師．2004
年同助教授．2007 年同准教授．多自由度機械の設計，脚型ロボットの機構と制御の研究に従事．“2008
ASME 32nd Mechanisms and Robotics Conference” にて Best Paper Award 受賞．日本機械学会，ASME の会員．
（日本ロボット学会正会員）—85—2009 年 10 月