力学続論・試験問題（科目コード 4333006）(150 点満点)
問題１（猫の宙返りの力学）[40 点] 宇宙空間などの外力が無い状態で、体の向きを変えることは意外に難しい。これは角運動量が保存するためである。その点、猫は巧妙な力学的運動により宙返り（＝逆さまの状態から 180 度回転し着地すること）を行っている。
〔京大工の岩井・谷村研を参照〕
猫は宙返りする際に、まずは前脚を縮め、 後脚を伸ばした状態で、体をひねる。次いで前脚を伸ばし、後脚を縮めた状態で、 逆向きに体をひねる。大まかには、この２段階のプロセスにより、角運動量を保存しつつ体の向きを変えている。以下に、猫の宙返りのダイナミクスを単純化したモデルを考える。
物体は、図の様に２つの部分ＡとＢからなり、無重力下で固定軸まわりに滑らかに回転する。
部分Ａは、質量 m の質点が角度  A (t ) の方向に固定軸からの距離 rA (t ) だけ突き出た構造をしている。
部分Ｂは、質量 m の質点が角度  B (t ) の方向に固定軸からの距離 rB (t ) だけ突き出た構造をしている。
(これらの質点以外の質量、及び、回転の際の固定軸との摩擦や空気抵抗は無視できるものとする。)
なお、質点までの脚は固定軸からみて動径方向に長さが変えられ、  A (t ) ，  B (t ) は向きも含めた上方とのなす角とする。（固定軸の左方向を正として、右ねじを正の向きとする。）
２つの部分ＡとＢは、力学的に連結しており、互いにトルクを及ぼしあう。（これは体のひねりに相当。）
部分Ｂから部分Ａに及ぼす（固定軸まわりの）トルクを N (t ) で表す。
（固定軸の左方向を正とする。）
1) 部分Ａから部分Ｂへの固定軸まわりのトルクはどう表されるか？[2 点] N t 2) 部分Ａ（質点と脚も含む）の固定軸まわりの慣性モーメント I A (t ) はどう表されるか？[2 点]I A t   mrA2 t 3) 部分Ｂ（質点と脚も含む）の固定軸まわりの慣性モーメント I B (t ) はどう表されるか？[2 点]I B t   mrB2 t 4) 部分Ａに対する回転の運動方程式を書き下せ。[3 点]dI A t A t   N t dt5) 部分Ｂに対する回転の運動方程式を書き下せ。[3 点]dI B t B t    N t dtt  0 の初期状態を  A (0)   B (0)  0 ，A (0)  B (0)  0（ＡとＢの脚は共に上向きで静止）とする。
I. まずは、 0  t  T では、 rA (t )  r ， rB (t )  R （r と R は r  R を満たす定数）の状態で、時間に依存するトルク N (t )  Ncos( t / T ) （N は正の定数）を与える。
6) 部分Ａに対する回転の運動方程式を解いて A (t ) ， A (t ) ， A (T ) を求めよ。導出過程も書け。[4 点]mr 2d  t 
 A t   Ncos  より
dt
T 



A t  

NTNT 2 
2 NT 2
 t   t sin


T
t

1cos




AA

 2 mr 2
 2 mr 2  mr 2
 T 
T 7) 部分Ｂに対する回転の運動方程式を解いて B (t ) ， B (t ) ， B (T ) を求めよ。導出過程も書け。[4 点]mR 22d NT t  t NT 2   t    T    2 NT
 B t    Ncos  より B t   sint
1cos BBdt
 2 mR 2
 mR 2 2 mR 2 T T  T 



II. t  T で部分Ａの脚の長さ r から R に、部分Ｂの脚の長さ R から r に、瞬間的に変える。
8) このとき、部分Ａと部分Ｂの慣性モーメントは、それぞれどう変化するか？[2 点]
部分Ａの慣性モーメントは (R / r)2 倍になる。部分Ｂの慣性モーメントは (r / R)2 倍になる。
9) このとき、部分Ａと部分Ｂの角速度は、それぞれどうなるか？[2 点]A (T )  B (T )  0 であり、0 のまま変化しない。（角運動量はともに 0 のまま。）
III. 次いで、 T  t  2T では、 rA (t )  R ， rB (t )  r の状態で、時間に依存するトルク N (t )  Ncos( t / T ) を与える。
（これは、実は I の場合とは逆向きのトルク。）
10) 部分Ａに対する回転の運動方程式を解いて A (t ) ，  A (t ) を求めよ。簡単な導出過程も書け。[4 点]mR 2d  t  A t   Ncos  よりdt
T A t  NT t sin
2 mRT  A t  2 NT 2NT 2   t 
1  cos 2 222  mr
 mR  T 11) 部分Ｂに対する回転の運動方程式を解いて B (t ) ，  B (t ) を求めよ。簡単な導出過程も書け。[4 点]d 
 t 
 B t    Ncos  より
dt
T 



mr 2

B t   NT
 t sin

2
 mr
T 

 B t   

2 NT 2NT 2   t 
1  cos 2222 
 mR
 mr  T 12) ２つの関数  A (t ) と  B (t ) の 0  t  2T での概形を１つにグラフで表せ。座標等も書き込め。[4 点]省略13) 終状態 t  2T での  A (2T ) ,  B (2T ) , A (2T ) , B (2T ) を求め、脚の長さを元に戻せば終状態が、始状態と比べて物体全体の形状も回転状態（角運動量）も変化せず（脚の）向きのみが変化した事を示せ[4 点]
2 NT 2  11   0 A 2T   B 2T   0 より、
 2m  r 2 R2 
終状態の部分Ａの脚と部分Ｂの脚は同じ方向を向いており、従って、（脚の長さを元に戻せば）物体全体の形状は始状態と同じ。
また、終状態の部分Ａと部分Ｂの角速度（角運動量）はどちらもゼロであり、回転状態も始状態と同じ。
但し、脚の向きは始状態から変化しているので、始状態と比べて向きのみが変化している。
問題２ 質量 m の質点の運動に関して 以下の問いに答えよ。[25 点]
Ａ．角運動量の問題：

 A 2T    B 2T   

原点 O のまわりの 質点の角運動量 L は、位置 r と運動量 p の外積 L  r  p で定義される。

  1) 内積 L  r と L  p は、それぞれどのような値になるか？[2 点]
L・r =0 L・p =0

2) 質点に対する運動方程式から出発して、角運動量 L の時間微分が、

質点の位置 r と質点に作用する力 F との外積で表せることを示せ。[3 点] ＝ r ×p + r× p = m r × r + r×F = r×FL≡r×p , p = m r , p = F より L3) 中心力場の場合、質点に作用する中心力 F は r に比例し、 F  k (r )r と表すことができる。

中心力場の場合、角運動量 L が保存量になることを示せ。[3 点]L ＝r×F = r×k r = k r×r = 0 より、L は 保存量である。
4) 原点 O を力の中心とする中心力場の場合には、質点の運動が平面内の運動になることを示せ。[4 点]
中心力場の場合、L は 保存し、L の方向も保存される。この事と、L が r と直交することから、r(t) で表される質点の運動は、角運動量 L に垂直な(原点 O を含む)平面内の運動になる
Ｂ．Flyby の問題：

質量 m の探査機が、始状態の速度 v I で惑星に近づき、終状態の速度 v F で惑星から遠ざかる場合を考える。

惑星は大質量であり、探査機が近づく領域では 惑星の速度 w は一定であるとして、以下の問いに答えよ。
5) 惑星から見た場合、探査機は一般に双曲線の軌道を描く。惑星から見た場合の、

探査機の近づくとき（始状態）の相対速度 u I と、遠ざかるとき（終状態）の相対速度 u F を、

それぞれ v I , v F , w を用いて表せ。[3 点]

 

u I ＝ v I  w , u F ＝ v F  w 6) u I と u F が満たすべき関係式を簡単な理由と共に示せ。[3 点]| u I |＝| u F |（理由）惑星から見た場合、始状態と終状態の探査機は、ポテンシャル・エネルギーが等しく、従って、運動エネルギーが等しくなるから。
7) 始状態と終状態の探査機の運動エネルギーの変化 E 

m, v F  v I , w を用いて表せ。[4 点]1 2 1 2mv F  mv I を適当な形に変形し、
22
 2 1  21 mu F  w   mu I  w   mu F - u I   w ＝ mv F - v I   w
228) 7)で得た答えより、どの様な軌道を選べば、終状態の探査機の速さ v F を増加させることができるか
ΔE ＝

簡潔に論じよ。[3 点]







始状態の速度 v I を w と逆（反対）方向に選び、終状態の速度 v F が w と同じ方向になるような



軌道を選べば、ΔE 、従って、 v F を増加させることができる。

問題３（慣性モーメント・角運動量・角速度・回転エネルギー）[15 点]
以下の様な、理想化（単純化）された回転系の記述について、それぞれ解答せよ。
1) スケート選手が、両方の手にそれぞれ質量 m のおもりを持ち、左右対称な姿勢で、氷の上を角速度ωで回転している場合を考える。但し、スケート選手の体重と 氷上での摩擦は無視できるものとする。
a) 腕を伸ばし、回転軸とそれぞれのおもりとの距離を R としたとき、回転軸まわりの慣性モーメント I , 角運動量 L , 回転エネルギーE を、m , R ,ωを用いて表せ。[3 点]
I＝2 m R 2 , L＝2 m R 2ω, E＝m R 2ω2b) 次に R (t) = f (t) R のように両腕を縮めていく。（ f (t) はある関数で縮める前は f (t) = 1 とする。）
この場合、回転の運動方程式を書き変形することで、角速度ω(t) を導け。[導出過程も書く] [4 点]
最初は L＝2 m R 2ωであり、回転の運動方程式は

dddL2mR 2 t    t   2mR 2f 2 t    t   0 なので、  t   2f t dtdtdt

c)

両腕を縮めて、回転軸とそれぞれのおもりとの距離を 1/10 にしたとき、回転軸まわりの慣性モーメント、角運動量、角速度、回転エネルギーはそれぞれ何倍になるか？[4 点]
慣性モーメントは 1/100 倍、角運動量は 1 倍、角速度は 100 倍、回転エネルギーは 100 倍2) 半径 10 万 km の一様な球体の星が、ある角速度で回転している。この星が、質量は変化せずに、半径が 10 km の一様な球体の星に、外力無しで重力崩壊したとすると、崩壊後の星の回転軸まわりの慣性モーメント、角運動量、角速度、回転エネルギーは、それぞれ何倍になると予想されるか？[4 点]
慣性モーメントは 10-8 倍、角運動量は 1 倍、角速度は 108 倍、回転エネルギーは 108 倍問題４（回転系・遠心力・コリオリ力・ローレンツ力）[30 点]

原点 O を中心に一定の角速度  で回転する系を考える。以下の問いに答えよ。
1) この回転系においては、慣性力として、（回転系での）質点の位置のみに依存する遠心力と、

（回転系での）質点の速度に依存するコリオリ力が現れる。質量 m の質点に、静止系での力 F が作用している場合、回転系での質点の位置 r に対して、回転系における運動方程式を書け。[5 点]  d rd 2 r m 2  F  m    r   2m dtdt2) 静止物体を回転する人が見た場合、その物体は円運動を行っているように見える。回転する人の位置を原点 O とし、回転している人の角速度を  = (0, 0, ω)とする。回転系から見た質量 m の静止物体の
軌道は、初期条件を r (t = 0)＝(r, 0, 0)とすると、 r = ( r cosωt , r sinωt , 0 ) と表される。
 a)   r を計算せよ。[4 点]   r ＝(ωr sinωt , ωr cosωt , 0 )b) この場合、回転系での遠心力を計算し、ベクトルで表せ。[4 点]  m    r  ＝(mω2r cosωt ,  mω2r sinωt , 0 ) ＝ mω2 rc) この場合、回転系でのコリオリ力を計算し、ベクトルで表せ。[4 点]d r＝( 2 mω2r cosωt , 2 mω2r sinωt , 0 ) ＝2 mω2 r
 2m dtd) この場合、回転系での見かけ上の円運動を引き起こす「求心力」について簡単に説明せよ。[4 点]
コリオリ力が、遠心力の２倍の大きさの内向きの求心力を与え、円運動をもたらすように見える。
3) コリオリ力とローレンツ力の類似性：角速度  で自転する地球上に固定された座標系で、質量mの質点をおもりとするフーコー振子を考える。フーコー振子のおもりに電荷 q を与え、一定の静磁場 B 中に置く。この場合、ローレンツ力は F  qv  B と表される。

a) 適当な一定磁場 B をかけると、ローレンツ力とコリオリ力が相殺し得ることを示せ。[5点]



ローレンツ力とコリオリ力の合力は、  2m  v  qv  B  v  2m  qB

 なので 2m  qB  0 であれば、合力はゼロとなり、これらは相殺し得る。
b) ローレンツ力とコリオリ力が相殺するときの磁場 B を m ， q ，  で表せ。[4点]2m Bq

問題５（地球の歳差運動）[20 点]【赤字は１点，青字は２点で甘く採点】
地球をわずかに扁平な回転楕円体の剛体とみなし、その回転運動を 剛体系を用いて考える。自転の角速度ベクトルを  で表す。対称軸（北極星の方）を 3 軸にとると、この場合の各直交軸は慣性主軸になる。
剛体慣性主軸系においては、慣性モーメント・テンソル I  の非対角成分は 0, 対角成分は 時間に依らない定数である。この場合、I11 = I22 < I33（大小関係）を満たす。地軸は 近似的に 3 軸に平行なので
角速度ベクトル  =( 1 ,  2 ,  3 )は、 1 |, |  2 | ≪  3 （程度までわかる大小関係）を満たす。
1) まず、外力を無視した場合の、自由回転による地軸の歳差運動について考察する。この場合、地球に対するオイラーの運動方程式は、  の成分  とその時間微分   , および、I11 (= I22) , I33 を用いて表す

と、I11  1 + (I33 I11)  2  3 = 0，I11  2 + (I11 I33)  3 1 = 0，I33  3 = 0 従って  の成分のうち、ω3 は時間に依らない定数である事がわかる。 P ＝ I 33  I 11 3 ( >0)とおくと  1 +  P  2 = 0,  2   P 1 = 0
I 11

1 =  ∴ 

1 であり、初期条件として、 1 (t=0) = a,  1 (t=0) = 0 とすると、 1 = a cos(ωPt) また、  1 +  P  2 = 0 より、  2 =   1 /  P = a sin(ωPt)即ち、剛体系では、回転軸（地軸）の方向である
 が、3 軸（対称軸）のまわりを、小さな角度だけ傾きつつ、角速度  P で回転して見える。この場合の、2P

自由回転による地軸の歳差運動の角速度は  P であり、周期 T は、 3 , I11 , I33 を用いて T＝ 2  I 11 2
 P I 33  I11 3と表せる。例えば、I33＝1.002 I11 の場合、この自由回転による歳差運動の周期は500 日となる。
2) これとは別に、外力に起因して、約 26000 年の周期で、地軸の向きが大きく変化し、これも歳差運動と呼ばれる。これは、主として太陽からの引力が、（扁平な回転楕円体である）地球上の各地点で わずかに異なり、地球に小さなトルクが与えられることに起因している。このトルクは、地軸を立たせようとするが、地球の自転のために、外力とは垂直な方向に回転軸である地軸が移動し、その結果地軸の向きはゆっくりと回転する。これは、ジャイロスコープ現象の一種であり、1)とは異なり、地軸の向きは大きく変化する。
問題６（ジェット）[20点]ロケットやジェットは、高速のガスを後方に噴出することにより推進力を得て進む。以下では、ジェット機の進行方向を正にとり、１次元的なジェット機の運動について考察する。ジェット機の質量を m(t), 位置を x(t), 速度を v(t) として、ジェット機から見て相対速度 u(t) (u>0)のガスを噴射して進む場合を考える。(x(t) 等の(t)は適宜省略する。) このジェット機は、密度ρの空気を面積 S の吸引口から吸い込み、燃料と共に後方に相対速度 u で排出する。ρ，S は時間に依らず一定とし、風は無いものとする。
1) 時刻 t から t + dt までの微小時間に吸入された空気、噴射されたガス、および ジェット機に対する運動を考える。時刻 t でのジェット機の質量を m, 速度を v とし、時刻 t + dt でのジェット機の質量を m + dm, 速度を v + dv とする。
a) 時刻 t から t + dt までに噴射されたガス（空気＋燃料）の運動量 PG を求めよ。[5 点]PG＝ρS vdtdm  v ub) 時刻t でのジェット機の運動量 P = mv と, 時刻 t + dt でのジェット機とガスの全運動量 P’ との差 dP≡P’P を微小量の１次までの表式で表せ。簡単な導出過程（途中の式）も書くこと。[5点]dP＝(m + dm)(v + dv)ρS vdtdm  v u mv＝m dv +u dmρS v v u dt2) 単位時間当たりの燃料の消費量が一定で m(t )=α(T t )（αとT は正の定数）と書き表せ、かつ、噴出するガスの相対的な速さ u(t ) が、u(t )= v(t ) + w（w は正の定数）と書き表せる場合を考える。
なお、この仮想的なジェット機は 燃料が大部分であり t =T まで考えられるものとする。空気抵抗などの外力が無視できる理想系の場合、初期条件を v(0)=0, x(0)=0 として、速度 v(t ) と位置 x(t ) を求めよ。なお、    S w /  を用いると計算は幾分簡単化する。γを用いた簡単化した表式で表せ。
導出過程も書くこと。また、x (t ) (0 < t < T )のグラフの概形を書け。[10点=2+4+1+1+2]
全運動量の保存 dP = 0 より、m dv +u dmρS v v u dt =0m(t)= α(T t )より dm= μdt，これらと u(t) = v(t) + w より、α(T t ) dv α(v + w) dtρS w v dt =0 ∴α(T t ) dv = ρS w +α)vαwdt
γ=ρS w/αを用いると (T t ) dv = γ+1)vwdt ∴ dv /γ+1)vw= dt/(T t （変数分離形）)
両辺を積分し∴11(  1)v  w
T tln{(  1)v  w}   ln(T  t ) + C , v(0)=0 よりln{}   ln()
 1 1w
T(  1)v  w  T w
T t  1

従って v(t )  1 w  T  T w  T xt1∴  1  t   1    T  t   1  T  t  