第 66 回 代数学シンポジウム報告集
Zoom によるオンライン開催
2021 年 8 月 31 日〜9 月 3 日

2021 年 12 月 31 日発行

2021 年度 第 66 回 代数学シンポジウム 報告集

本書は令和 3 年 8 月 31 日から 9 月３日に Zoom によるオンライン開催された第 66 回代数学シン
ポジウムの報告集です．
記

日程：2021 年 8 月 31 日（火）〜 9 月 3 日（金）開催方法：Zoom によるオンライン開催1(https://mathsoc.jp/section/algebra/algsympo.html)
会場責任者：永井 保成
プログラム責任者：[代数幾何] 金沢 篤・尾高 悠志 [環論] 有木 進・下元 数馬[群論・表現論] 宗政 昭弘・直井 克之 [数論] 安田 正大・水野 義紀
シンポジウム責任者：森脇 淳（連絡責任評議員）

8 月 31 日（火）プログラム

9:45–10:45 渡邉 究（中央大学・理工学部）
接束の正値性11:00–12:00 馬 昭平（東京工業大学・理学院）
カスプと有理同値

13:30–14:30 伊藤 敦（岡山大学・自然科学学域）

Linear systems on abelian varieties via M-regularity of Q-twisted sheaves

14:45–15:45 淺井 聡太（大阪大学・情報科学研究科）
傾理論と Grothendieck 群の部屋構造・標準分解

16:00–17:00 中村 力（東京大学・数理科学研究科）
Toward large Cohen-Macaulay representation theory via purity
9 月 1 日（水）*9:45–10:45 細野 忍（学習院大学・理学部）

周期積分の満たす微分方程式と K3 ラムダ関数*11:00–12:00 入谷 寛（京都大学・理学研究科）
ガンマ予想とトロピカル幾何*13:30–14:30 宮崎 誓（熊本大学・先端科学研究部）

Castelnuovo-Mumford 正則量とシジジーに関連する話題について*14:45–15:45 井上 玲（千葉大学・理学研究院）
クラスター代数とその広がり

16:00–17:00 埴原 紀宏（名古屋大学・多元数理科学研究科）
1

形式的 dg 代数のクラスター圏とその森田型定理

感染症の感染拡大防止のため、予定していた早稲田大学理工学部における開催は見送ることになりました．

9 月 2 日（木）*9:45–10:45 坂内 健一（慶應義塾大学・理工学部／理化学研究所・革新知能統合研究センター）
総実代数体の新谷生成類と同変ポリログ類*11:00–12:00 関 真一朗（青山学院大学・理工学部）
数体の素元星座定理*13:30–14:30 加藤 周（京都大学・理学研究科）
アフィン旗多様体の幾何学とその広がり*14:45–15:45 三枝崎 剛（早稲田大学・基幹理工学部）

符号，格子と頂点作用素代数におけるレーマー型問題

16:00–17:00 宮本 雅彦（台湾中央研究院・数学研究所／筑波大学名誉教授）
Associativity of fusion products of C1 -cofinite N -gradable modules of vertex operator algebra
9 月 3 日（金）9:45–10:45 小寺 諒介（千葉大学大学院・理学研究院）
Affine Yangians and rectangular W-algebras

11:00–12:00 櫻井 太朗（千葉大学大学院・理学研究院）
有限群の指標とシロー部分群

13:30–14:30 広瀬 稔（名古屋大学・高等研究院）
Iterated integrals, motivic Galois groups, and cyclotomic associators

14:45–15:45 松坂 俊輝（名古屋大学・高等研究院）

Triangle modular knots and Rademacher symbols

16:00–17:00 阿部 知行（東京大学・カブリ数物連携宇宙研究機構）
コホモロジー理論の無限化とその応用「*」の付いた講演は，専門分野以外の方も対象とした，サーベイなどを含む講演です。

目次

渡邉 究
接束の正値性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
馬 昭平
カスプと有理同値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
伊藤 敦
Linear systems on abelian varieties via M-regularity of Q-twisted sheaves . . . . . . . . . . . . . 42
淺井 聡太
傾理論と Grothendieck 群の部屋構造・標準分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
中村 力
Toward large Cohen-Macaulay representation theory via purity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
細野 忍
周期積分の満たす微分方程式と K3 ラムダ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
入谷 寛
Gamma conjecture and tropical geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
宮崎 誓Castelnuovo-Mumford 正則量とシジジーに関連する話題について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
井上 玲
クラスター代数とその広がり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
埴原 紀宏
形式的 dg 代数のクラスター圏とその森田型定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
坂内 健一
総実代数体の新谷生成類と同変ポリログ類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
関 真一朗
数体の素元星座定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
加藤 周
アフィン旗多様体の幾何学とその広がり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
三枝崎 剛
符号，格子と頂点作用素代数におけるレーマー型問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
宮本 雅彦
VOA の C1 -余有限 N-gradable 加群の fusion 積の結合律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
小寺 諒介
Affine Yangians and rectangular W-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
櫻井 太朗
有限群の指標とシロー部分群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
広瀬 稔
Iterated integrals, motivic Galois groups, and cyclotomic associators . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
松坂 俊輝
三角群に関する Rademacher 記号とモジュラー結び目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
阿部 知行
コホモロジー理論の無限化とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

接束の正値性
中央大学・理工学部

渡邉

究

Contents

1. はじめに
2. 準備
2.1. 用語と記号
2.2. 有理曲線族
3. 接束による等質多様体の特徴付け
4. 接束の半正値性
5. ネフ接束をもつ Fano 多様体に関する CP 予想
5.1. Picard 数が 2 以上の場合
5.2. Picard 数が 1 の場合
6. 一般的な問題設定
7. 接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体
8. 正標数におけるネフ接束をもつ非特異射影多様体
参考文献

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1. はじめにX を種数 g のコンパクト Riemann 面，K を X のガウス曲率とする．このとき，至るところ曲率 K が正になる X はどのようなものだろうか．この問いに対する解答を得るために，次の Gauss-Bonnet の定理を思い出そう：!
1
KdA = 2 − 2g
2π X
曲率 K が至るところ正であれば，上の式の左辺が正の値をとるので，不等式
2 − 2g > 0 を得る．g は非負整数値であるから，g = 0 となる．すなわち，X
は Riemann 球面 P1 と双正則となる．この考察の一般化として，次の Frankel予想が提唱された：
予想 1.1 (Frankel 予想 [13]). X を n 次元コンパクト Kähler 多様体とする．X
の正則双断面曲率 R が正であれば，X は Pn と双正則である．
この予想の代数幾何学版が次の Hartshorne 予想である：

代数学シンポジウムにおける講演の機会を下さったプログラム責任者の金沢篤さん，尾高悠志さん，会場責任者の永井保成さん，シンポジウム責任者の森脇淳先生に感謝いたします．
また，鈴木拓さんには，原稿に目を通していただき，タイプミスなどを指摘していただきました。この場を借りて御礼申し上げます。本研究は科学研究費「基盤研究（C）（研究課題番号!21K03170）」，「住友財団基礎科学研究助成」，「稲盛財団助成」のサポートを受けています.
1

予想 1.2 (Hartshorne 予想 [17, Chapter 3, Problem 2.3]). X を代数閉体上定義された m 次元非特異射影多様体とする．接束 TX が豊富であれば，X は Pmと同型である．

Frankel 予想は Hartshorne 予想から従うことが知られている（例えば，[28,V. Corollary 3.4] 参照）．Hartshorne 予想は森により解決された [41]．また，同時期に森とは独立に，Siu-Yau により Frankel 予想の解析的な証明が与えられた [54]．Frankel 予想や Hartshorne 予想のように接束や曲率の正値性の観点か
ら代数多様体の構造を考察した結果は多々ある．本稿では特に接束がネフである代数多様体や接束がネフに近い条件を満たす代数多様体の構造に関する種々の結果を紹介する．
2. 準備

2.1. 用語と記号. 以下，基礎体は標数 p ≥ 0 の代数閉体 k とする．また，本稿を通して，[18, 28, 29, 30, 31] の記号や表記を用いる．m 次元射影空間と m 次
元非特異 2 次超曲面をそれぞれ Pm , Qm と記す．
定義 2.1. X を k 上定義された射影多様体とし，E をその上のベクトル束とする．

(i) OP(E) (1) が P(E) 上の豊富な直線束となるとき，E は豊富であるという．
(ii) OP(E) (1) が P(E) 上のネフ直線束となるとき，E はネフであるという．
(iii) [12, Definition 1.17] E とその双対 E ∨ がネフのとき（この条件は E と(det E)∨ がネフであることと同値である），E は数値的に平坦であるという．

注意 2.2. [12] ではコンパクト複素多様体 X 上のベクトル束に対して「ネフ」を定義している．その定義は X が射影多様体であれば定義 2.1 (ii) のネフと一致する．

定義 2.3 ([28, IV Definition 3.2]). X を k 上定義された非特異射影多様体とする．
また，C を X 上の有理曲線とし，その正規化によって得られる射を f : P1 → Xとする．

(i) f ∗ TX がネフのとき，有理曲線 C を free という．
(ii) f ∗ TX が豊富なとき，有理曲線 C を very free という．
(iii) 反標準因子 −KX が豊富なとき，X を Fano 多様体という．
(iv) X の一般の点を通る有理曲線が存在するとき，X を単線織（uniruled）という．
(v) X の一般の 2 点を通る有理曲線が存在するとき，X を有理連結（rationally connected（RC））という．
(vi) X の一般の 2 点を通る free 有理曲線が存在するとき，X を自由有理連結（freely rationally connected（FRC））という．
(vii) X の一般の 2 点を通る有理曲線の連結鎖が存在するとき，X を有理鎖連結（rationally chain connected（RCC））という．

(viii) X 上に very free 有理曲線が存在するとき，X を分離的有理連結（sep1arably rationally connected（SRC））という．

注意 2.4. X を非特異射影多様体とする．

(i) 標数が 0 ならば，X が uniruled であることと X 上に free 有理曲線が存在することは同値である（[28, IV. Theorem 1.9] 参照）．
(ii) Fano ⇒ RCC が成立する（[28, V. Theorem 2.13] 参照）．
(iii) SRC ⇒ FRC ⇒RC ⇒ RCC が成立する．
(iv) TX がネフならば，smoothing に関する議論により，RCC ⇒ FRC が成立する（例えば，[28, Chapter II. 7.6] を参照）．
(v) 標数が 0 ならば，SRC，RC，RCC は全て同値である（[28, IV. Theorem 3.7, Theorem 3.10.3] 参照）．
(vi) 有理曲線 C ⊂ X に対しその正規化を f : P1 → C ⊂ X とする．
Grothendieck の定理（例えば [49, Chap. 1, Theorem 2.1.1] 参照）により，ある整数 a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ am が存在して，
f ∗ TX = OP1 (a1 ) ⊕ OP1 (a2 ) ⊕ . . . ⊕ OP1 (am )とかける．このとき，C が free（resp. very free）であることと全てのi に対し ai ≥ 0（resp. ai > 0）が成り立つことは同値である．

代数多様体間の非特異射 f : X → Y に対し，任意の（閉点上の）ファイバーが Pn と同型なとき，f を Pn 束という（必ずしもベクトル束の射影化として記述できるわけではない）．

2.2. 有理曲線族. この小節では，命題 2.6 と定理 2.7 を除き，X を free 有理曲線をもつ（すなわち，分離的単線織）非特異射影多様体とする．X 上の有理曲線のパラメータ空間の正規化を RatCurvesn (X) とかき（[28, DefinitionProposition II.2.11] 参照），その既約成分 M を有理曲線族（family of rational
curves）という．有理曲線族 M を一つ固定する．族 M によりパラメータ付けられる有理曲線を M 曲線（M-curve）という．M 曲線はすべて数値的に同値なので，族 M に対する反標準次数 deg(−KX ) M が定まる：deg(−KX ) M =−KX · C ([C] ∈ M)．構成法から，M は普遍族 p : U → M と評価写像
q : U → X をもつ（[28, Theorem II.2.15] 参照）
：
U

q

"X

p

!

M

定義 2.5. 上記記号のもと，以下のように用語や記号を定める．

(i) M と任意の x ∈ X に対し p(q −1 (x)) の正規化を Mx と記す．
(ii) 族 Mx によりパラメータ付けられる有理曲線を Mx 曲線（Mx -curve）という．

1本来の定義は異なるが，X の非特異性から very free 有理曲線の存在と同値になる（[28,IV. Theorem 3.7]）．

"(iii) 全ての M 曲線の和集合を Locus(M) := [C]∈M C ，全ての Mx 曲線"の和集合を Locus(Mx ) := [C]∈Mx C と記す．
(iv) q : U → X が支配的となるとき，M を支配的（dominant）という．
(v) q : U → X が全射となるとき，M を被覆族 （covering family）という．
(vi) 一般の点 x ∈ Locus(M) に対し Mx がスキームとして k 上固有的なとき，M を局所非分裂（locally unsplit）という．
(vii) M がスキームとして k 上固有的なとき，M を非分裂（unsplit）という．
(viii) 支配的な既約成分のうち反標準次数が最小のものを極小有理成分（minimal rational component）という．bend-and-break により，deg(−KX ) M ≤ dim X + 1となる．
(ix) M を非分裂被覆族とする．2 点 x1 , x2 ∈ X を結ぶ M 曲線の連結鎖が存在するとき，x1 , x2 ∈ X は M 同値（M-equivalent）であるという．

命題 2.6 ([28, IV Corollary 2.6] 参照). X を非特異射影多様体とし，M を X
上の局所非分裂有理曲線族とする．このとき一般の点 x ∈ Locus(M) に対し，
以下が成立する；

dim Locus(Mx ) ≥ deg(−KX ) M + codimX Locus(M) − 1.

定理 2.7 ([28, IV Theorem 4.16] 参照). X を非特異射影多様体とし，M を X
上の非分裂有理曲線族とする．このとき，X の空でない開集合 X 0 とファイ
バーが M 同値類となる射影射 ϕ : X 0 → Z 0 が存在する．ϕ を M に関する
rationally chain connected fibration（RCC-fibration）という．

3. 接束による等質多様体の特徴付け

本稿では等質多様体がしばしば現れる．ここでは等質多様体とその周辺の内容についてまとめる．
k を標数 p ≥ 0 の代数閉体，X を k 上定義された射影多様体とする．X が代数群の推移的作用をもつとき，X を等質多様体という．本稿では等質多様体とは射影的なものを指す．等質多様体の構造について次が知られている：
定理 3.1. 等質多様体 X に対し，Abel 多様体 A，非特異連結線形代数群 G と放物的部分群 P が存在して，X ∼= A × G/P が成立する.

標数 0 のとき，この定理は Borel-Remmert によって示された [3]．このとき，定理に現れる G/P は有理等質多様体（有理的である等質多様体）に他ならない．従って，G は半単純線形代数群としてよく，G/P は印付きディンキン図形を用いて完全に分類される（例えば，[44, 2.2] を参照せよ）．正標数の場合は C. Sancho de Salas により示された [51]．標数 0 のときと異なり，この場合
P が被約とは限らない．そのことが原因で特殊な現象が起こり得る（例 3.5 をみよ）．
射影多様体 X に対し，自己同型群 Aut(X) は自己同型関手を表現するスキームとして定義される [36, Theorem 3.7]．標数 0 かつ X が非特異ならば，Aut(X)のリー環 Lie(Aut(X)) は次のようにみなせる：
Lie(Aut(X)) ∼= H 0 (X, TX ).

これを用いて，等質多様体を接束の観点から特徴付けることができる：

命題 3.2. 標数 0 のとき，射影多様体 X に対し，X が等質多様体であることと接束 TX が大域切断により生成されることは同値である．特に，等質多様体の接束はネフである．

証明. G を Aut(X) の単位元を含む既約成分とする．任意の点 x ∈ X に対し，
軌道写像を考える：µx : G → X; g +→ gx.
単位元 e ∈ G における µx の微分 dµx : Te G → Tx X は X の代数的ベクトル場の x における評価写像に他ならない：
よって，主張が従う．

evx : H 0 (X, TX ) → Tx X; v → vx .

さらに，Abel 多様体と有理等質多様体は接束の観点から区別することができる．

命題 3.3. 標数 0 のとき，非特異射影多様体 X に対し以下が成立する．
(i) X が Abel 多様体であることと接束 TX が自明であることは同値である．
(ii) X が有理等質多様体ならば，その反標準因子に付随する層 O(−KX ) は豊富かつ大域切断により生成される．特に，X は Fano 多様体である．
証明. (i) Abel 多様体の接束が自明であることはよく知られている．例えば，[43, p.42 (iii)] を参照のこと．逆は，例えば [10, Corollary 3.19] から従う．
(ii) 代数群の知識を使わない簡単な証明として，森による証明が知られている． 例えば，[28, V. Theorem 1.4] を参照のこと．
系 3.4. 有理等質多様体 G/P はネフ接束をもつ Fano 多様体である．
標数 0 のときとは異なり，正標数では様々な現象が起こる．

例 3.5 (非被約な安定化部分群をもつ等質多様体). 基礎体を標数 p > 0 の代数閉体とする．p のべき q := pe (e ∈ Z 0 ) に対し，次の多様体 Xq を考える：#%
n$
Xq := ((x0 : · · · : xn ), (y0 : · · · : yn )) ∈ Pn1 × Pn2 |xqi yi = 0 .
i=0

ここで，Pn1 と Pn2 は共に n 次元射影空間である．二つを区別するために Pn1と Pn2 と記す．F e を e 次絶対 Frobenius 射 F e : Pn1 → Pn1 とすると，Xq ∼=P(F e ∗ (TPn1 (−1))) となることに注意する．この Xq は以下を満たす（[61, Exam-ple 2.3] を参照せよ）：(i) Xq は非被約な安定化部分群をもつ等質多様体である．
(ii) Xq が Fano 多様体であることと q ≤ n となることは同値である．
(iii) 接束 TXq はネフでない．
従って，q ≤ n のとき Xq は接束がネフでない有理等質 Fano 多様体であり，
q > n のとき Xq は Fano でない有理等質多様体である．

例 3.6 (井草の例 [21]). 基礎体を標数 2 の代数閉体とする．A1 , A2 を Abel 多様体とし，A1 が 2 ねじれ点 a ∈ A1 をもつとする．Y := A1 × A2 とおき，Y 上の
対合 i(x, y) := (x + a, −y) を考える．基礎体の標数が 2 なので，i は固定点をもたず，商多様体 X := Y /,i- は以下を満たす（[61, Example 2.4] を参照せよ）：(i) X は非特異射影多様体である．
(ii) 接束 TX は自明である．
従って，X は接束が自明だが等質多様体でない．
例 3.5 と例 3.6 により，命題 3.2 と命題 3.3 は正標数では一般には成り立たな
いことが分かる．

4. 接束の半正値性

この節において，基礎体 k の標数は 0 とする．Frankel 予想の一般化として，
正則双断面曲率が非負であるコンパクト Kähler 多様体を考えることは自然である．正則双断面曲率が非負であるコンパクト Kähler 多様体の構造定理として，一般化 Frankel 予想が提唱され，最終的に Mok により解決された：定理 4.1 (一般化 Frankel 予想 [39]). 正則双断面曲率が非負であるコンパクトKähler 多様体の普遍被覆は Ck と射影空間と階数が 2 以上のエルミート対称空間の積である．

Frankel 予想における曲率の正値性を半正値性に置き換えたのが一般化 Frankel
予想である．同様に，Hartshone 予想における接束の正値性を半正値性で置き換えた問題として，ネフ接束をもつ射影多様体の構造を考える．次の問題はCampana-Peternell により提唱された：
問 4.2 ([4]). 非特異射影多様体 X がネフ接束をもつとする．このとき，X の構造を調べよ．

Campana-Peternell は [4] において，3 次元以下のネフ接束をもつ多様体を分類した．

例 4.3. 命題 3.2 により，等質多様体の接束は大域切断により生成されるので，
特にネフである．また，等質多様体の有限エタール被覆/ 商もネフ接束をもつ．
また，例えば P(TPn ) は等質多様体なのでネフ接束をもつが，定理 4.1 により正則双断面曲率が非負となる Kähler 計量をもたない．一方，正則双断面曲率が非負な射影多様体の接束は Griffith 半正なのでネフである（例えば，[31,6.1.D] 参照）．従って，非特異射影多様体に対して，一般化 Frankel 予想より
問 4.2 の方が一般的な問題である．
例 4.4. E を楕円曲線 C 上の階数２の半安定ベクトル束とする．このとき，P(E)の接束はネフであるが P(E) は等質多様体ではない（[4, Theorem 3.1]）．

例 4.3 により，問 4.2 に現れるネフ接束をもつ射影多様体の例として等質多様体が挙げられる．一方，例 4.4 により，等質多様体の有限エタール被覆/ 商
ではないがネフ接束をもつ射影多様体が存在することが分かる．問 4.2 に関する最も重要な結果として，Demailly-Peternell-Schneider による次の結果が知られている：

定理 4.5 ([12, Main Theorem]). X をネフ接束をもつ非特異射影多様体とする．
このとき，以下の条件を満たす X の有限エタール被覆 X̃ → X が存在する：(i) Albanese 写像 α : X̃ → Alb(X̃) は非特異射である．
(ii) α のファイバーはネフ接束をもつ Fano 多様体である

注意 4.6. [12] では定理 4.5 を（より一般的な）コンパクト Kähler 多様体に対して証明している．

定理 4.5 により，ネフ接束をもつ多様体の構成要素はネフ接束をもつ Fano多様体と Abel 多様体であることが分かる．あとは，ネフ接束をもつ Fano 多様体の構造が分かれば，問 4.2 の解答が得られる．ネフ接束をもつ Fano 多様体
に関する事柄は次の章において紹介する．ここでは，ネフ接束をもつ射影多様体の収縮射や Kleiman-Mori 錐について知られていることをまとめる：

定理 4.7. X をネフ接束をもつ非特異射影多様体，ϕ : X → Y を KX 負な端射
面の収縮射とする．このとき，以下が成立する：(i) 収縮射 ϕ : X → Y はネフ接束をもつ非特異射影多様体 Y への非特異射である．
(ii) 収縮射 ϕ : X → Y の任意のファイバー F はネフ接束をもつ Fano 多様体であり，ρF = ρX − ρY を満たす．
(iii) Kleiman-Mori 錐 NE(X) は simplicial である．

証明. (i) は最初に Demailly-Peternell-Schneider [12, Theorem 5.2] においてア
ナウンスされたが，証明にギャップがあり，Solà Conde-Wiśniewski [55, Theorem 4.4] において示された．(ii) については，例えば [44, Proposition 3.7] をみよ．(iii) は Muñoz-Occhetta-Solá Conde-Watanabe [42, Proposition 4. 4] による（[44, Corollary 3.2] にも証明が載っている）．

5. ネフ接束をもつ Fano 多様体に関する CP 予想

この節において，基礎体の標数は 0 とする．この節ではネフ接束をもつ Fano多様体に関して知られていることをまとめる：
定義 5.1. ネフ接束をもつ非特異 Fano 多様体を CP 多様体という．

予想 5.2 (Campana-Peternell 予想（CP 予想）, [4]). CP 多様体は（有理）等質多様体である．
この予想に関して以下の事柄が知られている：

定理 5.3. 以下の非特異射影多様体 X に対し CP 予想は成立する：(i) dim X = 3 のとき [[4] Campana-Peternell ’91].
(ii) dim X = 4 かつ ρ(X) > 1 のとき [[6] Campana-Peternell ’93].
(iii) dim X = 4 かつ ρ(X) = 1 のとき [[40] Mok ’02, [20] Hwang ’06].
(iv) dim X = 5 かつ ρ(X) > 1 のとき [[58] Watanabe ’14].
(v) dim X = 5 かつ ρ(X) = 1 のとき [[24] Kanemitsu ’17].
(vi) ρ(X) > dim X − 4 のとき [[60] Watanabe ’15].
(vii) ρ(X) > dim X − 5 のとき [[23] Kanemitsu ’16].

(viii) Fano 余指数が 3 以下のとき [[56] Suzuki-Watanabe ’20, [62] Watanabe’21](ix) TX が big かつ 1-ample のとき [[55] Solá Conde-Wiśniewski, ’04].
(x) X がトーリック多様体のとき [例えば，[15, Proposition 5.3] FujinoSato, ’09 から従う].
(xi) X ⊂ PN が完全交叉のとき [[50] Pandharipande, ’13].
(xii) X が horospherical 多様体のとき [[34] Q. Li, ’17].

詳細は割愛するが金光による論文 [25] も非常に重要である．直接 CP 予想には関係ないが，Li の論文 [33] に spherical 多様体のサイクルに関する結果が載っており，spherical 多様体に対して CP 予想を考える際に利用できる．以下，定理 5.3 に挙げられた先行結果はどのように得られたか，基本的な研究方策について説明する．詳細は [44] を参照されたい．

5.1. Picard 数が 2 以上の場合. 以下の仮定 (∗) のもとで，Picard 数が 2 以上の n 次元 CP 多様体をどのように考察するか説明する．
(∗) 次元が n − 1 以下の多様体に対して CP 予想が成り立つとする．
X を Picard 数が 2 以上の n 次元 CP 多様体とする．このとき，X は少なくとも 2 つ端射線の収縮射をもつ．その収縮射を ϕi : X → Yi (i = 1, 2) とかき，ϕi (i = 1, 2) のファイバーを Fi とかく．
!!
!!
!
!
!
#!

ϕ1

Y1

X"

""
""ϕ2
""
"$

Y2

定理 4.7 により，次が成り立つ：(i) Yi , Fi (i = 1, 2) は CP 多様体である;(ii) dim Yi , dim Fi < dim X (i = 1, 2);(iii) ρYi = ρX − 1 かつ ρFi = 1.
仮定 (∗) により，Yi , Fi (i = 1, 2) は有理等質多様体となる．定理 5.3 の (ii), (iv),(vi), (vii) の証明の方針は同じで，この性質を用いて結果を導いている．ここでは，簡単のため，dim X = 3 のときにどのように等質性を示すか説明する．
まず，1 次元の Fano 多様体は P1 のみである．また，2 次元の Fano 多様体はdel Pezzo 曲面なので，2 次元 CP 多様体は P1 × P1 または P2 である（定理 4.7(i) により P2 の blow up はネフ接束をもたないことに注意する）．従って，上記記号のもと，Fi は P1 または P2 であり，Yi は P1 , P2 または P1 × P1 となる．
これらから，ϕi は P1 束か P2 束となることも分かる．あとは，それぞれのケー
スごとに解析を行うことで，X は P1 × P1 × P1 , P1 × P2 もしくは P(TP2 ) のい
ずれかと同型であることが従う．

5.2. Picard 数が 1 の場合. X をピーカル数 1 の CP 多様体とする．dim X ≤2 なら X は P1 か P2 と同型なので，m := dim X ≥ 3 と仮定する．M ⊂RatCurvesn (X) を極小有理成分とし，小節 2.2 と同様に普遍族と評価写像をそれぞれ p : U → M と q : U → X とかく．また，族 M に対する反標準次数を d とする．

定理 5.4 ([44, Proposition 2.10] 参照). 上記記号のもと，以下が成立する．
(i) M は (m + d − 3) 次元非特異射影多様体である．
(ii) p : U → M は P1 束である．
(iii) q : U → X は非特異射である．
(iv) 一般の点 x ∈ X に対し，Mx と q −1 (x) は同型である．
定理 5.5. 上記記号のもと，以下が成立する．
(i) d ≤ m + 1;(ii) d = m + 1 ⇐⇒ X ∼= Pm ;(iii) d = m ⇐⇒ X ∼= Qm ;(iv) d ≥ 3.

証明. (i) は bend and break から従う．(ii) は [8]（または [27]）から，(iii) は[11] から従う．(iv) を示そう．定理 5.4 により，q : U → X は相対次元 d − 2 の非特異射である．よって，d ≥ 2 となる．さらに，d = 2 とすると，q : U → X は相対次元 0 の非特異射なので，エタール射となる．X は Fano なので，単連結である．従って，q は同型射となる．一方，X と同型な U は P1 束構造 p : U → Mをもつ．仮定より ρX = 1 かつ dim X 0= 1 なので，これは矛盾．

もう一歩話を進めるために，Muñoz-Occhetta-Solá Conde-Watanabe-Wiśniewski
による次の結果を紹介する：
定理 5.6. Z を Picard 数が n の非特異射影多様体とする．このとき以下は同値である：(i) 相異なる端射線 R1 , · · · , Rn ⊂ N1 (Z) が存在し，対応する収縮射がそれぞれ P1 束となる．
(ii) 半単純代数群 G とそのボレル部分群 B が存在し，Z ∼= G/B となる．
証明. この結果は [59, 42, 47, 48] において段階的に示された．Z が Fano の場
合に [47] で証明を与え，[48] において上記の形に一般化された（[48, TheoremA.1]）．

これを用いて，Mok [40] と Hwang [20] により示された次の定理を証明しよう：
定理 5.7. d = 3 ならば，X は等質多様体である．

証明. d = 3 とすると，q : U → X は相対次元 1 の非特異射である．このとき，曲線のモジュライ空間の hyperbolicity により，q は P1 束となる（[40,Lemma 1.2.2]）．いま，ρU = ρX + 1 = 2 であり，U は相異なる P1 束構造を２
つもつ．従って，定理 5.7 により U は有理等質多様体となる．有理等質多様体の収縮射による像は再び有理等質多様体である．従って，X の等質性が従う．
定理 5.5 と定理 5.7 により次が従う：

系 5.8. 4 次元以下の多様体に対し，CP 予想は成立する．

5 次元の場合の CP 予想を証明するには (m, d) = (5, 4) の場合を扱えばよい．
金光は [24] において，非特異射 q の構造を決定し，定理 5.6 を用いることにより

証明を与えた．このように，Picard 数が 1 の CP 多様体は，普遍族 p : U → Mと評価写像 q : U → X を用いて研究するのが一般的である．X 上の有理曲線の幾何学を用いて，定理 5.6 の (i) を満たす多様体 Z → X を構成することにより，X の等質性を示すという方法が，いまのところ最も有効である．関連した問題が [45, 46] でも扱われていることに注意をしておく．

6. 一般的な問題設定

Demailly-Peternell-Schneider の結果 [12] を元に，接束や曲率の正値性の観点から，どのような問題が考えられるだろうか．定理 4.5 はネフ接束をもつ多様体を「有理曲線がたくさんのっている部分」（Fano 多様体）と「有理曲線が（少ししか）のっていない部分」（Abel 多様体）に分けることができることを意味している．定理 4.5 において，「有理曲線がたくさんのっている部分」が Fano 多様体であることを証明するのは簡単ではない．また，「有理曲線がたくさんのっている部分」を調べる際には定理 4.7 のように，収縮射の構造や Kleiman-Mori
錐の様子を調べる必要がある．このような考察から，以下の問題が自然に生じる：

問 6.1. X を標数 p ≥ 0 の代数閉体 k 上定義された非特異射影多様体（もしくは，コンパクト Kähler 多様体やマイルドな特異点をもつ射影多様体）とする．
さらに，X の接束（または曲率）がある種の正値性を満たすとする．このとき，以下の問題を考えよ：(i) X を「有理曲線がたくさんのっている部分」と「有理曲線が（少ししか）のっていない部分」に分解できるか？
(ii) 「有理曲線がたくさんのっている部分」は有理連結多様体となるか？
さらに Fano 多様体となるか？
(iii) X の収縮射や Kleiman-Mori 錐を（ある程度）決定できるか？

Hartshorne 予想，一般化 Frankel 予想，ネフ接束をもつ多様体以外にも，問6.1 に関連する様々な研究がある．ここでは，定理 4.5 の一般化として，以下の Cao-Höring と細野-岩井-松村の結果を紹介する：

定理 6.2 ([7, Theorem 1.3]). X をネフ反標準因子をもつ非特異射影多様体とする．このとき，以下の条件を満たす（解析的に）局所自明な非特異射 π : X → B
が存在する：• π のファイバーは有理連結であり，KB ≡ 0 となる．
さらに，以下を満たす有限エタール被覆 X % → X が存在する：(i) X % ∼= Y × Z;(ii) KY ∼= OY ;(iii) Albanese 写像 Z → Alb(Z) は F をファイバーとしてもつ（解析的に）局所自明な非特異射である．
注意 6.3. 射影的 klt 対 (X, ∆) に対し，定理 6.2 の一般化が成り立つことが知られている（[14, 57]）．

定理 6.4 ([19, Theorem 1.1]). X を非特異射影多様体とし，その接束 TX が擬有効とする．このとき，以下の条件を満たす非特異射 π : X → Y が存在する：

(i) Y は Abel 多様体のエタール商である．
(ii) π の一般ファイバーは有理連結である．
(iii) π の一般ファイバーの接束は擬有効である．

注意 6.5. ベクトル束の擬有効の定義は文献によって異なることに注意する．
例えば，[19] と [35] における擬有効の定義は異なる．
解析的な結果は色々とあるが，筆者が不勉強なため文献を網羅することができない．例えば，[37] やその参考文献を参照されたい．以下の章では，問 6.1に関連する結果として，接束の２階外積がネフな非特異射影多様体に関する結果 [63] と正標数の場合の Demailly-Peternell-Schneider 型の定理 [26] について紹介する．

7. 接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体

この章では接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体に関して問 6.1 を考える．多様体の次元は常に 3 以上とし，基礎体 k の標数を 0 とする．まず，関連する先行結果を網羅する．
Campana-Peternell は [4] において，3 次元以下のネフ接束をもつ多様体を分類した．その次のステップとして，2 階外積がネフな 3 次元非特異射影多様体を分類した [5]：定理 7.1. X を 3 次元非特異射影多様体とする．接束 TX はネフではないが 2
階外積 ∧2 TX がネフであるとき，X は以下のいずれかと同型である：(i) X は P3 の 1 点ブローアップである；(ii) X は Picard 数 1 かつ Fano 指数が 2 の Fano 多様体である．ただし，次数 1 のものは除く．

また，佐藤-趙 [9] は森の結果 [41] の一般化として，接束の 2 階外積が豊富な非特異射影多様体を分類した：

定理 7.2. X を非特異射影多様体とする．接束の 2 階外積 ∧2 TX が豊富ならば，X は Pm または Qm と同型である．
他にも以下のような場合にそれぞれ分類結果が知られている（以下の (i)-(iv)
すべてのケースにおいて，接束の 2 階外積 ∧2 TX はネフと仮定する）：(i) Picard 数が 2 以上である 4 次元 Fano 多様体 [[64] Yasutake ’12].
(ii) 双有理収縮射をもつ Fano 多様体 [[65] Yasutake ’14].
(iii) トーリック多様体 [[52] Schmitz ’18].
(iv) 接束の 2 階外積 ∧2 TX が強ネフな射影多様体 [[32] Li-Ou-Yang ’19].
これらを踏まえ，[63] において，接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体に関して問 6.1 を考えた．まず，[63] の主結果を 3 つ紹介する：

定理 7.3. X を接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体とする．このとき，
以下が成立する：(i) KX 負な端射線の双有理収縮射を X がもつならば，X は Blpt (Pn ) と同型である；
(ii) (i) の場合を除いて，KX 負な端射線の収縮射は非特異射である．

定理 7.4. X を接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体とする．もし X が有理連結多様体ならば，X は Fano 多様体である．さらに，Kleiman-Mori 錐NE(X) は simplicial である．
定理 7.5. X を接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体とする．TX がネフでないならば，X は Fano 多様体である．

これらの定理が接束の 2 階外積がネフな非特異射影多様体に関する問 6.1 への解答を与える．また，接束がネフならその 2 階外積もネフなので，[12] の一連の結果の一般化とみなすことができる．この結果により，一つの例外 Blpt (Pn )を除き，（特に Picard 数が 2 以上のとき）TX がネフである多様体と ∧2 TX がネフである多様体の性質は非常に似ていると予想される．実際，次元が低いときはその予想は正しい（以下の系 7.9 をみよ）．定理 7.3, 7.4, 7.5 の証明の詳細は論文 [63] をみてもらうことにして，ここではなぜ ∧2 TX がネフであることからTX がネフである多様体と同じような性質が導かれるか説明する．簡単だが次の補題が鍵となる：

補題 7.6. X を接束の 2 階外積がネフな m 次元非特異射影多様体とする．このとき，もし有理曲線 C ⊂ X が free でないならば，−KX · C ≥ m − 1 となる．
証明. free でない有理曲線 C ⊂ X に対し，その正規化により定まる射を f :P1 → C ⊂ X とする．このとき，以下を満たす整数 a1 , . . . , am が存在する：
m&∗∼f TX =OP1 (ai ) (a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ am ).
i=1

C が free でないことと微分 df : TP1 %→ f ∗ TX を考えることにより，am < 0 と
a1 ≥ 2 を得る．一方，
2'&
f ∗ TX ∼OP1 (ai + aj )=i>jとなる． f TX がネフであることから，am−1 + am ≥ 0 を得る．従って，
am−1 ≥ −am > 0 となる．以上から，(2∗−KX · C = a1 + (a2 + . . . + am−2 ) + (am−1 + am ) ≥ 2 + (m − 3) + 0 = m − 1.

となり主張が従う．

(
X を接束の 2 階外積がネフな m 次元非特異射影多様体とする．det( 2 TX ) =1−m
ωXより，−KX はネフである．従って，定理 6.2 により，有理連結多様体をファイバーとしてもつ局所自明な非特異射 π : X → Y が存在し，−KY ≡ 0 となる．このことから，−KX が数値的に自明となるか，X が単線織となるかい
ずれかである．−KX が数値的に自明ならば，X は Abel 多様体のエタール商となる（[63, Lemma 3.5] 参照）．従って，X が極小有理成分 M をもつ場合を考えればよい．ここで鍵となるのが次の結果である：
定理 7.7 ([26, Proposition 4.4] 参照). X を非特異射影多様体とする．M ⊂RatCurvesn (X) を非分裂被覆族とし，任意の M 曲線が free だとする．そのとき，M に関する RCC-fibration ϕ : X → Y が存在し，ϕ はファイバーが既約な非特異射となる．

この定理は定理 4.7 の一般化とみなすことができる．この結果により，TXがネフでなくても，非分裂被覆族 M に対しその任意の M 曲線が free であれ
ば，M 曲線を潰す収縮射の非特異性が従う．
再び X を接束の 2 階外積がネフな m 次元非特異射影多様体とし，X が極小
有理成分 M をもつとする．このとき，M が非分裂でないか非分裂であっても free でない M 曲線が存在したとすると，補題 7.6 と bend-and-break により，m − 1 ≤ deg(−KX ) M ≤ m + 1 となる．このような場合は例外的で，命題 2.6
や定理 5.5 (ii), (iii) を用いることにより，X の構造が決定される．従って，極小有理成分 M が非分裂であり，任意の M 曲線が free である場合を考えればよい．このときは接束がネフである場合に近い性質を持つので色々と調べることができる，というのが論文 [63] の大雑把なアイデアである．
この節の最後に，定理 7.3, 7.4, 7.5 の系を二つ述べる：
系 7.8. X を接束の 2 階外積がネフな m 次元非特異射影多様体とする．もし Xが toroidal spherical ならば，X は有理等質多様体か Blpt (Pm ) のいずれかと同型である．

系 7.9. X を接束の 2 階外積がネフな m 次元非特異射影多様体とする．また，
4 ≤ m ≤ 6 とする．もし，TX がネフでないならば，X は以下のいずれかと同型である：(i) Blpt (Pm )，または(ii) Fano 擬指数が m − 1 かつ ρX = 1 を満たす Fano 多様体.

8. 正標数におけるネフ接束をもつ非特異射影多様体

この章では基礎体 k の標数を p > 0 とする．このとき，ネフ接束をもつ非特異射影多様体に対して問 6.1 を考える．多様体の次元は常に 3 以上とする．

注意 8.1. 標数 0 の世界と異なり，正標数の世界特有の現象が知られている．
この章で扱う内容に大きく関係するのは以下の三つである：(i) コホモロジーに関する現象：小平消滅定理や Hodge 対称性は一般に成立しない．
(ii) 有理連結性に関する現象：SRC，RC，RCC は一般に同値ではない．さらに，非特異 Fano 多様体は RCC となることが知られているが，非特異 Fano 多様体が RC かどうかは未だに分かっていない．
(iii) 射の非特異性に関する現象：generic smoothness が一般に成立しない．
また，コホモロジーの消滅定理が一般には成り立たないため，正標数では端射線に付随する収縮射が存在するか一般には分かっていない．

[26] において本質的に重要かつ証明にオリジナリティがあるのは次の結果である：
定理 8.2 (RCC ⇒ SRC). k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の
接束 TX がネフとする．このとき，X が RCC ならば SRC である．従って，Xに対し，RCC，FRC，RC，SRC が同値となる．

詳細は割愛するが，この定理を示すために，Shen の定理 [53] を用いる．ここで，k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の接束 TX がネフとす

る．このとき，X は RCC とする．背理法を用いるため，X が SRC でないとする．すると，Shen の定理により（正標数における）ある foliationD（つまり，連接部分層 D ⊂ TX は saturated で，involutive かつ p-closed である）が存在す
る．このとき，foliation D による商 X/D が存在する：X → X [1] := X/D．この商 X [1] は再びネフ接束をもつ RCC 非特異射影多様体となる．この foliation
をとる操作を繰り返すことにより，SRC 非特異射影多様体 Y への純非分離射
X → Y を構成することができる．さらにこの射の構造を考察することにより，
Y 上にある群の作用を構成し矛盾が導かれる．これが大まかなアイデアである．また，この定理の系として次を得る：
系 8.3. k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の接束 TX がネフとする．このとき，X が RCC ならば以下が成立する：(i) X は代数的単連結である；(ii) H 1 (X, OX ) = 0；(iii) 数値的に平坦な X 上のベクトル束は自明である．

注意 8.1 (i) で述べたように，正標数においてコホモロジーの消滅定理は一般に成り立たないが，いくつかの議論は系 8.3 により，置き換えることができる．ここで，k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の接束 TX がネフとする．このとき，KX 負な端射線 R ⊂ NE(X) に対し，R に含まれる反標
準次数が最小の有理曲線を C とする．また，[C] を含む極小有理成分を M とおく．このとき，仮定から M は非分裂被覆族となる．そこで，M に関する
RCC-fibration を考え，定理 8.2 と系 8.3 を用いることにより，次の結果を得ることができる：

定理 8.4. k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の接束 TX がネフとする．このとき，KX 負な端射線 R ⊂ NE(X) に対し，R の収縮射 f : X → Y
が存在し，以下が成立する：(i) f は非特異射である；(ii) f の任意のファイバーはネフ接束をもつ非特異 SRC Fano 多様体である；(iii) Y はネフ接束をもつ非特異射影多様体である．
さらに，X が Fano 多様体ならば，Kleimann-Mori 錐 NE(X) は simplicial である．

この定理を用いて，KX 負な端射線を潰していくことにより，正標数の閉体上定義されたネフ接束をもつ非特異射影多様体に対して問 6.1 の解答を得る：

定理 8.5. k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の接束 TX がネフとする．このとき，以下を満たす非特異収縮射 ϕ : X → M が存在する：(i) ϕ は MRCC fibration2である；(ii) ϕ の任意のファイバーはネフ接束をもつ非特異 SRC Fano 多様体である；(iii) TM は数値的に平坦である．
（特に，M は有理曲線を含まない．
）
この結果，正標数におけるネフ接束をもつ非特異射影多様体の構造研究は次の問題に帰着される：
2[28, IV. Definition 5.1.2] 参照

問 8.6. k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の接束 TX がネフとする．

(i) X が Fano ならば，X は半単純線形代数群 G とその放物的部分群 P の商 G/P となるか？
(ii) TX が数値的に平坦ならば，X は Abel 多様体のエタール商となるか？

注意 8.7. 問 8.6 (i) は dim X = 3 もしくは完全交叉多様体 X ⊂ PN ならば成立する [61, 16]．しかし，4 次元以上では未解決である．また，問 8.6 (ii) は標数 0 では Beauville-Bogomolov 分解から従うが，正標数では未解決である．接束が自明な場合でさえも一般には解決されていない（[38, 22] 参照）．
最後に定理 8.5 の応用を述べる．

定義 8.8. X を k 上定義された射影多様体，W2 (k) を長さ 2 の Witt 環とする．
(i) X̃ ×W (k) k ∼= X を満たす W2 (k) 上の平坦スキーム X̃ を（p2 を法とした）X の持ち上げ（lifting of X (modulo p2 )）という．
(ii) (i) の記号のもと，X̃ の Frobenius 射 FX̃ の X への制限が X の Frobenius 射 FX と一致するとする．そのような X̃ が存在するとき，X を
F-liftable という．
2

F-liftable 多様体については，例えば [2, 1] を参照されたい．[2, Proposition 6.3.2] において，次が示された：

命題 8.9. X をネフ接束をもつピカール数 1 の非特異射影多様体とする．もし
X が F-liftable ならば，X は射影空間 Pm と同型である．
この結果と定理 8.4, 8.5 を合わせることにより，次の系を得る：

系 8.10. k 上定義された非特異射影多様体 X に対し，X の接束 TX がネフとする．もし X が F-liftable ならば，以下を満たす KX 負な非特異収縮射 ϕ : X → M
が存在する：(i) M は ordinary Abel 多様体のエタール商である；(ii) ϕ の任意のファイバーは射影空間の積と同型である．

この章の内容は元の論文 [26] 以外に [66] により詳しく紹介されている．
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University. 1-13-27 Kasuga, Bunkyo-ku, Tokyo 112-8551, Japan
Email address: watanabe@math.chuo-u.ac.jpLinear systems on abelian varieties
via M-regularity of Q-twisted sheavesҏ౻ɹರ ∗

֓ཁΞʔϕϧଟ༷ମ্ͷ๛෋ͳ௚ઢଋ L ʹର͠ɼ|L⊗2 | ͸‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ɼ|L⊗3 | ͸ࣹӨਖ਼‫Ͳͳن‬ͷྑ͍ੑ࣭͕੒Γཱͭ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽPareschi-Popa ͸Ξʔϕϧଟ༷ମ্ͷ࿈઀૚ͷ M-ਖ਼ଇੑͱ͍͏֓೦Λಋೖ͠ɼ্‫ه‬ͷ݁ՌͷҰൠԽͱͯ͠ |L⊗p+3 | ͸ (Np ) ͱ͍͏ੑ࣭Λຬͨ͢͜ͱͳͲΛࣔͨ͠ɽPareschi-Popa ͷ݁Ռ͸ |L| ࣗ਎ͷ‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ੑɼࣹӨਖ਼‫ن‬ੑɼ(Np ) ʹ͍ͭͯ͸ద༻Ͱ͖ͳ͔͕ͬͨɼ࠷ۙ Jiang-Pareschi ͕ M-ਖ਼ଇੑΛ Q ೧Ε࿈઀૚ʹ֦ுͨ͜͠ͱͰ |L| ࣗ਎ͷੑ࣭Λ M-ਖ਼ଇੑΛ༻͍ͯௐ΂Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔΑ͏ʹͳͬͨɽຊߘͰ͸͜ͷ࿩୊ʹؔ͢Δ࠷ۙͷਐలΛ঺հ͢Δɽ

1 ಋೖຊߘͰ͸அΒͳ͍‫ݶ‬Γଟ༷ମͳͲ͸୅਺ดମ K = K ্ఆٛ͞Ε͍ͯΔ΋ͷͱ͢Δɽภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ X ্ͷ๛෋ͳ௚ઢଋ A ʹର͠ɼ(a) A⊗2 ͸‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ɼ(b) A⊗3 ͸ඇৗʹ๛෋ʢLefschetzʣɼͱ͍͏͜ͱ͸Α͘஌ΒΕ͍ͯΔɽଞʹ΋ 1990 ೥୅લ൒·ͰʹҎԼͷ݁Ռ͕஌ΒΕ͍ͯͨɽ*1(b)’ A ͕‫ݻ‬ఆҼࢠʢfixed divisorʣΛ࣋ͨͳ͚Ε͹ A⊗2 ͸ඇৗʹ๛෋ʢେᔹ [Ohb87]ʣɼ
(c) A⊗3 ͸ࣹӨਖ਼‫ن‬ʢখઘ [Koi76]ʣɼ
(d) A⊗3 ͕ఆΊΔຒΊࠐΈ X !→ PN ʹର͠ɼX ͷ੪࣍ΠσΞϧ IX ͸ 2 ࣍ࣜͱ 3 ࣍ࣜͰੜ੒
͞ΕΔʢMumford [Mum66], Kempf [Kem89]ʣɼ

(d)’ A ͕‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ͳΒ͹ɼA⊗2 ͕ఆΊΔຒΊࠐΈ X !→ PN ʹର͠ɼX ͷ੪࣍ΠσΞϧ IX ͸
2 ࣍ࣜͱ 3 ࣍ࣜͰੜ੒͞ΕΔʢKhaled [Kha92]ʣɼ
(e) m ≥ 4 ͳΒ͹ A⊗m ͕ఆΊΔຒΊࠐΈ X !→ PN ʹର͠ɼX ͷ੪࣍ΠσΞϧ IX ͸ 2 ࣍ࣜͰੜ੒͞ΕΔʢMumford [Mum66], Kempf [Kem89]ʣɽ

∗ ԬࢁେֶࣗવՊֶ‫ڀݚ‬Պɹ ito-atsushi@okayama-u.ac.jp*1 ͜ΕΒͷ݁Ռͷ͍͔ͭ͘ʹ͸ඪ਺ʹؔ͢Δద౰ͳԾఆ͕͍͍͕ͭͯͨɼຊߘͰղઆ͢Δ݁ՌΛ༻͍Δͱ೚ҙඪ਺Ͱ੒Γཱͭ͜ͱ͕Θ͔Δɽ

(c) ͱ (e) ͷҰൠԽͱͯ͠ɼLazarsfeld ͸ҎԼͷ༧૝Λཱͯͨɽ༧૝ 1.1 (Lazarsfeld ༧૝). ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, A) ͱ੔਺ p ≥ 0 ʹର͠ɼA⊗p+3 ͸ੑ࣭ (Np )
*2
Λຬͨ͢ɽ

ͨͩ͠ੑ࣭ {(Np )}p≥0 ͸ɼࣹӨ୅਺ଟ༷ମ Y ্ͷ๛෋ͳ௚ઢଋ H ʹରͯ͠ఆٛ͞ΕΔਖ਼஋ੑ

*3 ྫ͑͹
ͷ৚݅ྻͰ͋Γɼp ͕େ͖͍΄Ͳ৚͕݅‫ͳ͘ڧ‬Δɽ

• (N0 ) ⇔ H ͕ࣹӨਖ਼‫ن‬ɼ• (N1 ) ⇔ (N0 ) ͔ͭ |H| Ͱ Y ΛࣹӨۭؒʹຒΊࠐΜͩͱ͖ͷ੪࣍ΠσΞϧ͕ 2 ࣍ࣜͰੜ੒
͞ΕΔɼ
def

Ͱ͋Δɽ·ͨ (N−1 ) ⇔ H ͕‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ɼͱఆٛ͢Δͱ౎߹͕ྑ͍ͷͰɼҎ߱ (Np ) ͸ p ≥ −1ʹରͯ͠ߟ͑Δɽ͢ΔͱɼLazarsfeld ༧૝ͷ p = −1, 0, 1 ͷ৔߹͸ͦΕͧΕ (a), (c), (e) ʹଞͳΒͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δɽ

Pareschi [Par00] ͸ɼภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, A) ͱ X ্ͷϕΫτϧଋ F ʹର͠ɼࣗવͳࣸ૾
H 0 (X, A⊗k ) ⊗ H 0 (X, F) → H 0 (A⊗k ⊗ F)
͕શࣹʹͳΔͨΊͷ൑ఆ๏ʢద౰ͳίϗϞϩδʔ͕ফ͑Δͱ͍͏৚݅ʣΛ༩͑ɼͦΕΛ༻͍ͯ

Lazarsfeld ༧૝Λඪ਺ 0 ্Ͱߠఆతʹղܾͨ͠ɽͦͷ‫ ޙ‬Pareschi-Popa [PP03] ͸Ξʔϕϧଟ༷ମ্ͷ࿈઀૚ʹର͠ M-ਖ਼ଇੑͱ͍͏֓೦Λಋೖͯ͠ Pareschi ͷ൑ఆ๏Λվྑ͠ɼ(a)ʙ(e)ɼ

Lazarsfeld ༧૝ͳͲͷ‫ط‬஌ͷ݁ՌͷҰൠԽΛ༩͑ͨɽ
࠷ۙɼJiang-Pareschi [JP20] ͕ M-ਖ਼ଇੑΛภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, A) ্ͷ Q ೧Ε࿈઀૚

F&tA' := F ⊗ tAʢ‫ࣜܗ‬తͳςϯιϧੵʣʹର֦ͯ͠ுͨ͜͠ͱͰɼΞʔϕϧଟ༷ମ্ͷ௚ઢଋͷઢ‫ܥܗ‬ΛΑΓৄ͘͠ௐ΂Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔΑ͏ʹͳͬͨɽຊߘͰ͸͜ͷ࿩୊ʹؔ͢Δ࠷ۙͷਐలΛղઆ͢Δɽ

*2 Ξʔϕϧଟ༷ମͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ C ্ͷ‫׈‬Β͔ͳภ‫ۃ‬୅਺ଟ༷ମ (Y, H) ʹରͯ͠͸ɼʮm ≥ p + dim X + 2 ͳΒ͹

KY + mL ͸ (Np ) Λຬ͔ͨ͢ʁʯͱ͍͏޲ҪʹΑΔ໰͍͕͋Δɽp = 0 ͷ৔߹ɼ͜ͷ໰͍͸ʮm ≥ dim X + 2 ͳΒ͹ KY + mL ͸ࣹӨਖ਼‫͔ن‬ʁʯͱͳΓɼ౻ా༧૝ͷ very ampleness ͷ෦෼ʮm ≥ dim X + 2 ͳΒ͹ KY + mL
͸ very ampleʯΑΓ΋‫͍ڧ‬ओுͰ͋Δɽ޲Ҫͷ໰͍͸ dim Y = 1 ͷ৔߹͸ [Gre84] ΑΓै͏͕ɼචऀͷ஌Δ‫ݶ‬Γ
dim Y = 2, p = 0 ͷ৔߹Ͱ΋ະղܾͰ͋Δɽ!
m
0*3 ๛෋ͳ௚ઢଋ H ͕ੑ࣭ (Np ) Λຬͨ͢ͱ͸ɼ࣍਺෇͖ SH =m≥0 Sym H (H) Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬ͷ੾அ‫ ؀‬RH =!
0⊗m) ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղΛm≥0 H (H
· · · → Ep → · · · → E1 → E0 → RH → 0,

Ei $ ⊕j SH (−aij ).

ͱ͢Δͱ͖ɼ೚ҙͷ 1 ≤ i ≤ p ͱ j ʹର͠ E0 = SH ͔ͭ aij = i + 1 ͕੒Γཱͭ͜ͱͱఆٛ͞ΕΔɽ͜ͷࣗ༝෼ղ͕‫ۃ‬খͰ͋Δ͜ͱ͔Β aij ≥ i + 1 ͸ৗʹ੒ΓཱͭͷͰɼ(Np ) ͱ͍͏৚݅͸ RH ͷ p ࣍·Ͱͷγδδʔ͕Ͱ͖Δ
͚ͩ؆୯ͳঢ়‫͍ͯͬͳʹگ‬Δɼͱ͍͏͜ͱΛҙຯ͍ͯ͠Δɽँࣙ
ୈ 66 ճ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝʹ͓͚Δߨԋͷ‫ػ‬ձΛͩͬͨ͘͞ੈ࿩ਓͷօ༷ʹ‫ँײ‬ਃ্͛͠·͢ɽຊߘͰղઆͨ͠චऀͷ‫ڀݚ‬͸Պ‫ݚ‬අʢ17K14162ʣͷॿ੒Λड͚͍ͯ·͢ɽ

2 M-ਖ਼ଇੑ
M-ਖ਼ଇੑͱ͸ɼPareschi-Popa [PP03] ʹΑΓಋೖ͞ΕͨΞʔϕϧଟ༷ମ্ͷ࿈઀૚ʹର͢Δ֓
೦Ͱ͋ΓɼࣹӨ্ۭؒͷ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇੑͷྨࣅͱΈͳͤΔɽCastelnuovo-Mumfordਖ਼ଇੑ͸ద౰ͳߴ࣍ͷίϗϞϩδʔ͕ফ͑Δ͜ͱͰఆٛ͞ΕΔ͕ɼM-ਖ਼ଇੑ΋ҎԼͷΑ͏ʹద౰ͳߴ࣍ͷίϗϞϩδʔΛ༻͍ͯఆٛ͞ΕΔɽ
ఆٛ 2.1. Ξʔϕϧଟ༷ମ X ্ͷ࿈઀૚ F ͱ i ≥ 0 ʹର͠ɼ

! := Pic0 (X) | hi (F ⊗ α) )= 0}
V i (F) = {α ∈ Xͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖• F ͕ GVdef⇔ ೚ҙͷ i > 0 ʹର͠ codimX! V i (F) ≥ iʢ[PP11a]ʣ,def• F ͕ M-ਖ਼ଇ ⇔ ೚ҙͷ i > 0 ʹର͠ codimX! V i (F) > iʢ[PP03]ʣ,• F ͕ IT(0)def⇔ ೚ҙͷ i > 0 ʹର͠ V i (F) = ∅ʢ[Muk81]ʣ

ͱఆΊΔɽ*4 ఆٛΑΓ GV ͕࠷΋ऑ͘ɼIT(0) ͕࠷΋‫͍ڧ‬৚݅Ͱ͋Δɽ
ྫ 2.2. X ΛΞʔϕϧଟ༷ମɼL Λ X ্ͷ௚ઢଋɼIo ⊂ OX Λ‫ ఺ݪ‬o ∈ X ʹରԠ͢Δ‫ۃ‬େΠσΞϧͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖

(1)

L ͕ GV ⇔ L ͕ωϑɼL ͕ M ਖ਼ଇ ⇔ L ͕ IT(0) ⇔ L ͕๛෋ɽ(2) L ͕๛෋ͳΒ Io ⊗ L ͸ GVɽ͞Βʹ

Io ⊗ L ͕ M-ਖ਼ଇ ⇔ |L| ͕‫ݻ‬ఆҼࢠΛ࣋ͨͳ͍ɼ
Io ⊗ L ͕ IT(0) ⇔ L ͕‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ɽ

ఆཧ 2.3 (M-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏*5 ). ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, A) ͱ X ্ͷ࿈઀૚ F ʹର͠ɼ(1) F ⊗ A−1 ͕ M-ਖ਼ଇ ⇒ F ͸େҬੜ੒ɼ(2) F ⊗ A−2 ͕ M-ਖ਼ଇ ⇒ k ≥ 2 ʹର͠ H 0 (F) ⊗ H 0 (A⊗k ) → H 0 (F ⊗ A⊗k ) ͸શࣹɽ*6*4 GV, M-ਖ਼ଇ, IT(0) ͸ͦΕͧΕ generic vanishingɼ޲Ҫਖ਼ଇɼIndex Theorem with index 0 ͷུɽ
*5 [PP03, PP11b] Ͱ͸ςʔλ-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏ͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔɽ[PP03] ͷຊདྷͷ M-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏͸ɼ͋Δ෦෼ଟ༷ମ

Y ⊂ X ্ͷ௚ઢଋ A ͱ࿈઀૚ F ͰɼX ্ͷ࿈઀૚ͱͯ͠ A, F ⊗ A−1 ͕ͲͪΒ΋ M-ਖ਼ଇͳΒ͹ F ͸େҬੜ੒ɼͱ͍͏΋ͷͰ͋Δɽ

*6 k = 1 ͷ৔߹͸Ұൠʹ͸੒Γཱͨͳ͍ɽA ͕ओภ‫ۃ‬ͷ৔߹ h0 (A) = 1 ͳͷͰɼྫ͑͹ h0 (F ) < h0 (F ⊗ A) ͳΒ͹શࣹʹ͸ͳΓ͑ͳ͍ɽ஫ 2.4 (Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇੑ). ࣹӨۭؒ Pn ্ͷ࿈઀૚ G ͕ 0-ਖ਼ଇͱ͸ɼ೚ҙͷ i > 0ʹର͠ hi (G(−i)) = 0 ͕੒Γཱͭ͜ͱͰ͋ͬͨɽఆཧ 2.3 ͸ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇੑʹؔ͢ΔҎԼͷ݁ՌͷྨࣅͱΈͳͤΔɿPn ্ͷ࿈઀૚ G ͕ 0-ਖ਼ଇͳΒ͹ɼ(1) G ͸େҬੜ੒ɼ(2) k ≥ 0 ʹର͠ H 0 (G) ⊗ H 0 (O(k)) → H 0 (G(k)) ͸શࣹɽྫ 2.5. (X, A) Λภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମɼL = A⊗m ͱ͢Δɽ(1) m ≥ 2 ͳΒ͹ L ⊗ A−1 = A⊗m−1 ͸๛෋ͳͷͰ M-ਖ਼ଇͰ͋Δɽ͕ͨͬͯ͠ఆཧ 2.3 (1) ΑΓ
L = A⊗m ͸ m ≥ 2 ͳΒ͹େҬੜ੒ɼͭ·Γ‫ج‬ఈ఺ࣗ༝Ͱ͋Δͱ͍͏ୈ 1 અͷ (a) ͕ಘΒΕΔɽ(2) m ≥ 3 ͳΒ͹ L ⊗ A−2 = A⊗m−2 ͸๛෋ͳͷͰ M-ਖ਼ଇͰ͋Δɽ͕ͨͬͯ͠ఆཧ 2.3 (2) ΑΓk ≥ 2 ʹର͠ H 0 (A⊗m ) ⊗ H 0 (A⊗k ) → H 0 (A⊗m+k ) ͸શࣹͰ͋Δɽಛʹ k = mk $ (k $ ≥ 1) ͷ৔߹Λߟ͑Δͱɼm ≥ 3 ͳΒ͹ L = A⊗m ͸ࣹӨਖ਼‫͋Ͱن‬Δͱ͍͏ୈ 1 અͷ (c) ͕ಘΒΕΔɽ

Pareschi ͸ M-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏ͷ‫ͨͬͳʹݩ‬൑ఆ๏*7 Λ༻͍ͯ Lazarsfeld ༧૝ʢA⊗p+3 ͸ (Np ) ΛΈͨ͢ʣΛඪ਺ 0 ্Ͱߠఆతʹղܾͨ͠ɽM-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏Λ༻͍ΔͱɼLazarsfeld ༧૝͚ͩͰ͸ͳ࣍͘ͷఆཧ΋ࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ*8
ఆཧ 2.6 ([PP04]). ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, A) ʹର͠ɼ*9 A ͕‫ݻ‬ఆҼࢠΛ࣋ͨͳ͍ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖(1) p ≥ 1 ʹର͠ɼchar(K) ͕ p + 1 ͱ p + 2 ΛׂΓ੾Βͳ͚Ε͹ɼA⊗p+2 ͸ੑ࣭ (Np ) Λຬͨ͢ɽ(2) char(K) )= 2, 3 ͳΒ͹ɼA⊗3 ʹΑΔຒΊࠐΈ X !→ PN ͷ੪࣍ΠσΞϧ͸ 2 ࣍ࣜͰੜ੒͞
ΕΔɽ·ͨୈ 1 અͷ (b)’ ΑΓ A⊗2 ͸ඇৗʹ๛෋Ͱ͋Δ͕ɼ΋͠ A⊗2 ͕ࣹӨਖ਼‫ͳن‬Β͹*10A⊗2 ʹΑΔຒΊࠐΈ X !→ PN ͷ੪࣍ΠσΞϧ͸ 2 ࣍ࣜͱ 3 ࣍ࣜͰੜ੒͞ΕΔɽ
ୈ 1 અͷ (a)ʙ(e) ʹ͍ͭͯ΋ɼʢඪ਺ʹଟগԾఆ͸ͭ͘΋ͷͷʣM-ਖ਼ଇੑΛ༻͍ͯূ໌͢Δ͜ͱ
͕Ͱ͖Δ [PP04].

*7 େ·͔ʹ‫ͱ͏ݴ‬ɼఆཧ 2.3 (2) ͷ F ⊗ A−2 ͕ M-ਖ਼ଇͱ͍͏ԾఆΛ IT(0) ʹ‫ڧ‬Ίͨ΋ͷɽ

*8 ୈ 1 અͷ (b)’, (d)’ ͸ A ʹద౰ͳ৚݅ΛԾఆ͢Δͱ (b), (d) ͷ A⊗m ͷ m Λ m − 1 ʹ‫ݮ‬Β͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɼͱ͍

͏ओுͰ͋ͬͨɽఆཧ 2.6 ͸ɼA ͕‫ݻ‬ఆҼࢠΛ࣋ͨͳ͍ͱԾఆ͢Δͱ Lazarsfeld ༧૝ͱ (e) ʹ͓͍ͯ A ͷࢦ਺ΛҰͭ‫ݮ‬Β͢͜ͱ͕Ͱ͖Δͱ͍͏͜ͱΛओு͍ͯ͠Δɽ*9 චऀ͕֬ೝͨ͠‫ݶ‬Γ [PP04] ʹ͸໌‫͞ه‬Ε͍ͯͳ͍Α͏͕ͩɼp ≥ 1 ͷԾఆ͸ඞཁͰ͋Δɽ࣮ࡍ p = 0 ͷ৔߹͸ɼ‫ݻ‬ఆҼࢠΛ࣋ͨͳ͍ A Ͱ A⊗2 ͕ (N0 ) = ࣹӨਖ਼‫͍ͳͰن‬Α͏ͳྫ͕ଘࡏ͢Δɽ
*10 [PP04, p170, Corollary] ʹ͸ॻ͍͍ͯͳ͍͕ɼA⊗2 ͕ࣹӨਖ਼‫͏͍ͱن‬Ծఆ͸ඞཁͰ͋Δɽ࣮ࡍɼ‫ݻ‬ఆҼࢠΛ࣋ͨͳ͍ A Ͱ A⊗2 ʹΑΔຒΊࠐΈ X !→ PN ͷ੪࣍ΠσΞϧ͕ 2 ࣍ࣜͱ 4 ࣍ࣜͰੜ੒͞ΕΔΑ͏ͳྫ͕ଘࡏ͢Δɽ

3 Q ೧Ε࿈઀૚ͷ M-ਖ਼ଇੑ࠷ۙ Jiang-Pareschi [JP20] ͸ɼGV, M-ਖ਼ଇ, IT(0) ͱ͍͏֓೦Λ Q ೧Ε࿈઀૚ʹର֦ͯ͠ு
ͨ͠ɿ
ఆٛ 3.1. ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L) ্ͷ Q ೧Ε࿈઀૚*11 F&tL' := F ⊗ tLʢ‫ࣜܗ‬తͳςϯιdefϧੵʣʹର͠ɼF&tL' ͕ GV, M-ਖ਼ଇ, IT(0) ⇔ µ∗b F ⊗ L⊗ab ͕ GV, M-ਖ਼ଇ, IT(0)ɽ
ͨͩ͠ t = ab ͸ t ͷ෼਺ද‫͋Ͱه‬Γɼµb : X → X ͸ b ഒࣸ૾Ͱ͋Δɽ
2

஫ 3.2. µ∗b L ≡ L⊗b ͳͷͰɼ µ∗b F ⊗ L⊗ab ͸ F&tL' = F ⊗ ab L ͷ µb ʹΑΔҾ͖໭͠ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ·ͨ M-ਖ਼ଇͳͲͷੑ࣭͸ಉछʹΑΔҾ͖໭͠ͰෆมͳͷͰɼ্ͷఆٛ͸ t = ab ͷද‫ʹه‬ΑΒͳ͍ɽఆٛ 3.3 ([JP20]). ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L) ʹର͠ɼβ(L) = β(X, L) := inf{t ∈ Q | Io &tL' ͸ IT(0)}*12 *13 *14
Λ (X, L) ͷ‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ੑᮢ஋ (basepoint-freeness threshold) ͱΑͿɽX ্ͷ࿈઀૚ F ʹର͠ɼ
• F&t0 L' ͕ GV

⇔ ೚ҙͷ t > t0 ʹର͠ F&tL' ͸ IT(0),• F&t0 L' ͕ IT(0) ⇔ े෼খ͍͞ ε > 0 ʹର͠ F&(t0 − ε)L' ͕ IT(0)͕੒Γཱͭ [JP20]ɽ͜Εͱྫ 2.2 ͔Βɼβ(X, L) ʹؔ͢ΔҎԼͷੑ࣭͕ಘΒΕΔɿ
໋୊ 3.4 ([JP20]). ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L) ʹର͠ҎԼ͕੒Γཱͭɽ(1) 0 < β(X, L) ≤ 1ɽ͞Βʹ β(X, L) < 1 ⇔ L ͕‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ɼ*15(2) Io &tL' ͕ GV ⇔ β(X, L) ≤ t,(3) Io &tL' ͕ IT(0) ⇔ β(X, L) < t.

*11 [JP20] Ͱ͸ΑΓҰൠʹ F ͕ D b (X) ͷ‫͋Ͱݩ‬Δ৔߹ʹఆٛ͞Ε͍ͯΔɽ

*12 ఆٛΑΓ β(X, L) ͸࣮਺Ͱ͋Δɽຊߘࣥච࣌఺Ͱ β(X, L) ͕‫͍͖ͯͰࢉܭ‬ΔྫͰ͸͢΂ͯ༗ཧ਺Ͱ͋Δ͕ɼҰൠʹແཧ਺ʹͳΓ͏Δ͔Ͳ͏͔͸஌ΒΕ͍ͯͳ͍ɽ

" Λςϯιϧͯ͠΋มΘΒͳ͍ɽ͕ͨͬͯ͠ β(X, L ⊗ α) = β(X, L) ͕੒Γཱͭɼ͢ͳ
*13 IT(0) ͳͲͷੑ࣭͸ α ∈ X
Θͪ β(L) ͸ L ͷ਺஋తಉ஋ྨʹରͯ͠ఆ·Δɽ

*14 IT(0) ͱ͸ద౰ͳߴ࣍ͷίϗϞϩδʔ͕ফ͑Δ͜ͱͰ͋Δ͔Βɼʮβ(X, L) ͕খ͍͞ ↔ খ͍͞ t Ͱ Io ,tL- ͷߴ࣍ίϗϞϩδʔ͕ফ͑Δ ↔ L ͷਖ਼஋ੑ͕େ͖͍ʯͱͳΓɼβ(X, L) ͸ L ͷਖ਼஋ੑΛଌΔෆมྔͱΈͳͤΔɽ࣮ࡍɼ௚
ઢଋͷਖ਼஋ੑΛଌΔෆมྔͰ͋ΔηγϟυϦఆ਺ ε(X, L) ͱͷؒʹద౰ͳෆ౳ࣜ΍ྨࣅͷؔ܎͕͋Δ [Ito20a].
*15 ‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ੑᮢ஋ͱ͍͏໊લ͸͜ͷੑ࣭ʹ༝དྷ͢Δɽͳ͓͜ͷ໊લ͸ Caucci [Cau20] ʹΑΔɽఆٛΑΓɼ੔਺ m ≥ 1 ʹର͠ β(L⊗m ) = m−1 β(L) ͕ै͏ɽΑͬͯ๛෋ͳ Q ҼࢠͷΫϥε l ∈ N 1 (X)Q ʹର͠ β(l) := mβ(m l)ʢͨͩ͠ ml ∈ N 1 (X)ʣͱఆٛͰ͖Δɽ͢Δͱ༗ཧ਺ t > 0 ʹର͠ β(L) < t ⇔ β(tL) < 1
͕੒ΓཱͭͷͰɼβ(L) < t ͸ “Q ௚ઢଋ tL ͕‫ج‬ఈ఺ࣗ༝” ͱ͍͏৚݅ͩͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

β(L) ͕খ͚͞Ε͹ L ͸ (Np ) Λຬͨ͢ɼͱ͍͏ҎԼͷఆཧ͸ඪ਺ 0 ͔ͭ p = −1, 0 ͷ৔߹͸

[JP20]ɼҰൠͷ৔߹͸ [Cau20] Ͱূ໌͞Εͨɿ

ఆཧ 3.5 ([JP20], [Cau20]). (X, L) Λภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମɼp ≥ −1 ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ β(X, L) <1
1
p+2 ʢ͢ͳΘͪ Io & p+2 L' ͕ IT(0)ʣͳΒ͹ L ͸ੑ࣭ (Np ) Λຬͨ͢ɽఆཧ 3.5 ͷূ໌ͷεέον. p = −1 ͷ৔߹͸໋୊ 3.4 (1) ΑΓै͏ɽΑͬͯ‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ͳ L ʹରͯ͠ p ≥ 0 ͷ৔߹Λࣔͤ͹Α͍ɽ͜ͷͱ͖ࣗવͳશࣹ H 0 (X, L) ⊗ OX → L ͕ଘࡏ͢Δ͕ɼͦͷ֩ ML Λ༻͍ͯ͜ͷఆཧ͸ҎԼͷΑ͏ʹূ໌͞ΕΔɿ
(i)

L ͸ (Np ) ΛΈͨ͢ ⇐ ೚ҙͷ i, l > 0 ʹର͠ H i (ML⊗p+1 ⊗ L⊗l ) = 0(ii)⇐ ML⊗p+1 ⊗ L ͕ IT(0)

(iii)

1
⇐ ML & p+1
L' ͕ IT(0)(iv)

1⇔ Io & p+2
L' ͕ IT(0).

ͳ͓ (i)ʙ(iv) ʹ͍ͭͯ͸(i) ඪ਺ 0 Ͱ͸Α͘஌ΒΕ͍͕ͯͨɼCaucci ͕೚ҙඪ਺Ͱ΋੒Γཱͭ͜ͱΛࣔͨ͠ɽ(ii) IT(0) ͷఆٛͱʮIT(0) ⊗ GV =IT(0)ʯ*16 [PP11b] ΑΓै͏ɽ1(iii) ML⊗p+1 ⊗ L = (ML & p+1
L')⊗p+1 ͱʮIT(0) ⊗ GV =IT(0)ʯΑΓै͏ɽ(iv) Fourier–޲Ҫม‫׵‬Λ༻͍ͯࣔ͞ΕΔɽ

1
1
ͳ͓ ML & p+1
L' ͱ Io & p+2
L' Ͱ෼฼͕ҟͳ͍ͬͯΔ͕͜Ε͸‫ޡ‬২Ͱ͸ͳ͘ɼҰൠͷ 0 < t < 1 ʹtର͠ɼIo &tL' ͕ GV, M-ਖ਼ଇ, IT(0) ⇔ ML & 1−t
L' ͕ GV, M-ਖ਼ଇ, IT(0)ɼ͕੒Γཱͭ͜ͱʹΑ

Δ [JP20]ɽ

ఆཧ 3.5 ͸ Lazarsfeld ༧૝ͷਫ਼ີԽͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ࣮ࡍภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, A) ʹ
ର͠ɼ
1
1
1
β(A⊗p+3 ) = p+3β(A) ≤ p+3< p+2

ΑΓఆཧ 3.5 ͔Β A⊗p+3 ͕ (Np ) ΛΈͨ͢͜ͱ͕Θ͔Δɽͱ͘ʹ Lazarsfeld ༧૝͸೚ҙඪ਺Ͱ੒Γཱͭɽ·ͨಉ༷ͷূ໌Ͱ੪࣍ΠσΞϧͷఆٛࣜʢΑΓҰൠʹߴ࣍ͷγδδʔʣͷ࣍਺ΛධՁ͢Δ͜ͱ͕
Ͱ͖ɼྫ͑͹ β(X, L) < 12 ͳΒ͹ L ʹΑΔຒΊࠐΈ X !→ PN ͷ੪࣍ΠσΞϧ͸ 2 ࣍ࣜͱ 3 ࣍ࣜͰੜ੒͞ΕΔ͜ͱ͕Θ͔Δɽ
લઅͰड़΂ͨΑ͏ʹɼPareschi ʹΑΔ Lazarsfeld ༧૝ͷূ໌͸ M-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏Λ༻͍ͯҰൠԽɼਫ਼ີԽ͞Εͨʢఆཧ 2.3, 2.6ʣɽ͕ͨͬͯ͠ Q ೧Ε࿈઀૚ʹؔ͢Δ M-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏Λߟ͑Δ͜
ͱͰఆཧ 3.5 ΛҰൠԽɼਫ਼ີԽͰ͖ͳ͍͔ʁͱ͍͏໰͍͕ߟ͑ΒΕΔɽ࣮ࡍ͜Ε͸ҎԼͷఆཧ 3.6,

3.7 ʹΑΓՄೳͰ͋Δɽ
*16 ਖ਼֬ʹ͸ɼ‫ࣗॴہ‬༝૚ E ͕ IT(0)ɼ࿈઀૚ F ͕ GV ͳΒ͹ E ⊗ F ͸ IT(0)ɼͱ͍͏ओுͰ͋ΔɽE,sL- ⊗ F ,tL- :=(E ⊗ F ),(s + t)L- ͱఆٛ͢Ε͹ɼಉ༷ͷओு͕ Q ೧Ε࿈઀૚ʹରͯ͠΋੒Γཱͭɽఆཧ 3.6 (Q ೧Ε࿈઀૚Λ༻͍ͨ M-ਖ਼ଇੑ൑ఆ๏ [Ito21b]). ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L) ʹର͠ɼt ≥ β(X, L) ͱͳΔ t ∈ Q ΛͱΔɽ*17 ͜ͷͱ͖ X ্ͷ࿈઀૚ F ʹର͠ҎԼ͕੒Γཱͭɽ(1) F&−tL' ͕ M-ਖ਼ଇ ⇒ F ͸େҬੜ੒ɼt(2) t < 1 ͔ͭ F&− 1−t
L' ͕ M-ਖ਼ଇ ⇒ H 0 (F) ⊗ H 0 (L) → H 0 (F ⊗ L) ͸શࣹɽఆཧ 3.6 (1) Ͱ L = A, t = 1 ͱ͢Δͱఆཧ 2.3 (1) ͕ಘΒΕΔɽ·ͨఆཧ 3.6 (2) Ͱ L =A⊗k, t = 12 ͱ͢Ε͹ఆཧ 2.3 (2) ͕ಘΒΕΔɽ͕ͨͬͯ͠ఆཧ 3.6 ͸ t ≥ β(X, L) ͱͳΔ t ∈ Q Λ

ߟ͑Δ͜ͱͰఆཧ 2.3 Λਫ਼ີԽͨ͠΋ͷʹͳ͍ͬͯΔɽখ͍͞ t ͕औΕΕ͹ɼ͢ͳΘͪ β(X, L) ͕খ͚͞Ε͹ (1), (2) ͷ৚݅͸ऑ͘ͳΔ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɽ
1
ఆཧ 3.6 Λ༻͍Δͱɼp ≥ 1 ͷͱ͖͸ఆཧ 3.5 ͷ Io & p+2
L' ͕ IT(0) ͱ͍͏ԾఆΛ M-ਖ਼ଇʹऑΊ

Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɼͱ͍͏ҎԼͷఆཧ͕ࣔͤΔɽ͜Ε͸ఆཧ 2.6 ͷҰൠԽʹ΋ͳ͍ͬͯΔɽ

1
ఆཧ 3.7. (X, L) Λภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମɼp ≥ 1 ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ Io & p+2
L' ͕ M-ਖ਼ଇͳΒ͹ L

͸ੑ࣭ (Np ) Λຬͨ͢ɽఆཧ 3.7 ͷূ໌ͷεέον. ূ໌͸‫ج‬ຊతʹఆཧ 3.5 ͷͦΕͱಉ͡Ͱ͋Δɽ࣮ࡍఆཧ 3.5 ͷূ໌11(i), (ii) ͸ಉ͡Ͱɼ(iv) ͸ʮIo & p+2
L' ͕ M-ਖ਼ଇ ⇔ ML & p+1
L' ͕ M-ਖ਼ଇʯʹஔ͖‫͑׵‬Ε͹Α⊗p+11͍ɽ͕ͨͬͯ͠ʮ(iii) ML & p+1
L' ͕ IT(0) ⇒ ML

⊗ L ͕ IT(0)ʯΛ1(iii)’ ɹ p ≥ 1 ͔ͭ ML & p+1
L' ͕ M-ਖ਼ଇ ⇒ ML⊗p+1 ⊗ L ͕ IT(0) *18

ʹஔ͖‫͑׵‬Ε͹ఆཧ 3.7 ͕ै͏ɽ(iii)’ ͸ఆཧ 3.6 Λ༻͍ͯࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

Io ⊗ A ͕ M-ਖ਼ଇ ⇔ A ͕‫ݻ‬ఆҼࢠΛ࣋ͨͳ͍ɼͰ͋ͬͨ͜ͱΛࢥ͍ग़͢ͱɼఆཧ 3.7 ͔Βఆཧ 2.6 ͕ै͏ɽఆཧ 3.5 ͱಉ༷ʹఆཧ 3.7 ΋೚ҙඪ਺Ͱ੒ΓཱͭͷͰɼLazarsfeld ͷ༧૝ͱಉ༷ʹఆཧ 2.6 ͷඪ਺ʹؔ͢ΔԾఆ΋͸ͣͤΔ͜ͱ͕Θ͔Δɽ

4 Io &tL' ͸͍ͭ GV, M-ਖ਼ଇ, IT(0) ͔ʁఆཧ 3.5, 3.6, 3.7 Λద༻͢Δʹ͸ɼIo &tL' ͕͍ͭ GV, M-ਖ਼ଇ, IT(0) ʹͳΔ͔Λ஌Δඞཁ͕͋Δɽ͜ͷઅͰ͸͜ͷ໰୊ʹ͍ͭͯ஌ΒΕ͍ͯΔ͜ͱΛղઆ͢Δɽ͜ͷઅͰ͸அΒͳ͍‫ݶ‬Γ K ͷඪ਺͸ 0 ΛԾఆ͢Δɽ

*17 ͭ·Γ Io ,tL- ͕ GV ͱͳΔ t ∈ Q ΛͱΔɽβ(X, L) ͕༗ཧ਺ͳΒ͹ t = β(X, L) ͱ͢Ε͹Α͍ɽ*18 ҰൠʹʮM-ਖ਼ଇ ⊗M-ਖ਼ଇ = M-ਖ਼ଇʯ͸ [PP11b] ʹΑΓࣔ͞Ε͍ͯΔ͕ɼ͜͜Ͱ͸ ML , 1 L- Λ p + 1 ≥ 2 ճ
p+1⊗p+1
ςϯιϧͨ͠ ML⊗ L ͕ IT(0) ʹͳΔ͜ͱΛࣔ͢ඞཁ͕͋Δɽ(iii)’ ͸ p = 0 ͷ৔߹͸੒Γཱͨͳ͍ͷͰɼ͜͜Ͱ p ≥ 1 ͱ͍͏ԾఆΛ࢖͍ͬͯΔɽ

4.1 β(X, L) ͱ෦෼Ξʔϕϧଟ༷ମͱͷަ఺਺౻ాͷ‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ੑ༧૝͸ɼ‫׈‬Β͔ͳࣹӨ୅਺ଟ༷ମ Y ্ͷ๛෋ͳ௚ઢଋ H ʹର͠ɼm ≥dim Y + 1 ͳΒ͹ KY + mL ͸‫ج‬ఈ఺ࣗ༝Ͱ͋Δɼͱ͍͏΋ͷͰ͋Δɽ͜ͷҰൠԽͱͯ͠ KollárʹΑΔҎԼͷ༧૝͕͋Δɿ
༧૝ 4.1 ([Kol93]). ‫׈‬Β͔ͳ n ࣍‫ࣹݩ‬Ө୅਺ଟ༷ମ Y ্ͷ๛෋ͳ௚ઢଋ H ͱ y ∈ Y ʹର͠ɼ(H n ) > nn͔ͭɹ೚ҙͷ෦෼୅਺ଟ༷ମ y ∈ Z ⊂ Y ʹର͠ (H dim Z .Z) ≥ ndim ZͳΒ͹ KY + H ͸ y Ͱ‫ج‬ఈ఺ࣗ༝Ͱ͋Δɽ౻ా‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ੑ༧૝͸ dim Y ≤ 5 ͷ৔߹ʹɼ༧૝ 4.1 ͸ dim X ≤ 3 ͷ৔߹ʹ੒Γཱͭ͜ͱ͕

Θ͔͍ͬͯΔ [Rei88, EL93, Hel99, Kaw97, YZ20]ɽ

ҰํͰɼภ‫ۃ‬Ξʔϕϧ‫ۂ‬໘ͷ৔߹͸ҎԼ͕੒Γཱͭɽ
ఆཧ 4.2 ([KL19, Ito18]). (X, L) Λภ‫ۃ‬Ξʔϕϧ‫ۂ‬໘ɼp ≥ −1 ͱ͢Δɽ*19 (L2 ) > 4(p + 2)2 ͳΒ͹ҎԼ͸ಉ஋Ͱ͋Δɿ

(1) L ͸ (Np ) ΛΈͨ͢ɽ(2) ೚ҙͷପԁ‫ۂ‬ઢ C ⊂ X ʹର͠ (L.C) > p + 2.
༧૝ 4.1 ͱఆཧ 4.2 ͔Βɼචऀ͸ҎԼͷ໰͍*20 Λͨͯͨɿ1
໰ 4.3 ([Ito18]). (X, L) Λภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମɼp ≥ 0 ʹର͠ɼB = p+2
L ͱ͓͘ɽ͜ͷͱ͖೚ҙͷ෦෼Ξʔϕϧଟ༷ମ {o} )= Z ⊂ X ʹର͠ (B dim Z .Z) > (dim Z)dim Z ͳΒ͹ L ͸ (Np ) ΛΈ͔ͨ͢ʁ͜ͷ໰͍ͱఆཧ 3.5 ͔ΒɼCaucci ͸ҎԼͷ໰͍Λͨͯͨɿ໰ 4.4 ([Cau20]). (X, L) Λภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମɼt > 0 ʹର͠ɼBt = tL ͱ͓͘ɽ೚ҙͷ෦෼Ξʔϕϧଟ༷ମ {o} )= Z ⊂ X ʹର͠ (Btdim Z .Z) > (dim Z)dim Z ͳΒ͹ β(X, L) < t ͕੒Γཱͭ
͔ʢͭ·Γ Io &tL' ͸ IT(0) ͔ʣʁ1
ఆཧ 3.5 ΑΓɼt = p+2
ͷ৔߹Λߟ͑Δͱ໰ 4.4 ͷ౴͕͑ߠఆతͳΒ͹໰ 4.3 ͷ౴͑΋ͦ͏Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δɽ·ͨఆཧ 4.2 ͷূ໌͔Βɼdim X ≤ 2 ͳΒ͹໰ 4.4 ͷ౴͑͸ߠఆతͰ͋Δ͜ͱ͕
ै͏ɽ໰ 4.4 ʹؔͯ͠͸ҎԼͷ͜ͱ͕Θ͔͍ͬͯΔɽ

*19 [KL19, Ito18] Ͱ͸ p ≥ 0 ͷ৔߹ʹࣔ͞Ε͍ͯΔ͕ɼp = −1 ͷ৔߹΋ಉ༷ͷূ໌Ͱ੒Γཱͭ͜ͱ͕Θ͔Δɽ΋͘͠͸ [Rei88] ͔Β΋ै͏ɽ*20 ༧૝ 4.3 Λ༧૝ 4.1 ͱൺֱ͢Δͱɼ(i) ༧૝ 4.1 ͷ ≥ ndim Z ͕ > (dim Z)dim Z ʹͳ͍ͬͯΔɼ(ii) Z ͱͯ͠෦෼

Ξʔϕϧଟ༷ମͷΈΛߟ͍͑ͯΔɼͱ͍͏ҧ͍͕͋Δɽఆཧ 4.5.

(1) dim X = 3 ͳΒ͹໰ 4.4 ͸ਖ਼͍͠ [Ito20a].

(2) (Btdim Z .Z) > (dim Z)dim Z Λ (Btdim Z .Z) > (2 dim Z)dim Z ʹஔ͖‫͑׵‬Ε͹໰ 4.4 ͸ਖ਼͍͠ [Jia21]ɽ
ఆཧ 4.5 (1) Ͱ p = −1 ͱ͢ΔͱɼҎԼͷ‫͕ܥ‬ಘΒΕΔɽ
‫ ܥ‬4.6. (X, L) Λ 3 ࣍‫ݩ‬ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମͰ dim H 0 (X, L) ≥ 5 Ͱ͋Δͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ L͕‫ج‬ఈ఺ࣗ༝Ͱ͋Δ͜ͱͱɼ೚ҙͷΞʔϕϧ‫ۂ‬໘ S ⊂ X ͱ೚ҙͷପԁ‫ۂ‬ઢ C ⊂ X ʹର͠

(L2 .S) ≥ 6, (L.C) ≥ 2 ΛΈͨ͢͜ͱ͸ಉ஋Ͱ͋Δɽ*21

4.2 Ұൠͷʢgeneral ͳʣภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L)g ࣍‫ݩ‬ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L) ʹର͠ɼ(X, L) ͷ‫ݺͱܕ‬͹ΕΔ d1 |d2 | · · · |dg ΛΈͨࣗ͢વ਺ͷྻ (d1 , . . . , dg ) ͕ఆ·Δɽ‫( ܕ‬d1 , . . . , dg ) ΛҰͭ‫ݻ‬ఆ͢Δͱɼʢద౰ͳҙຯͰʣͦͷ‫ܕ‬ͷ g ࣍‫ݩ‬ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L) ΛύϥϝτϥΠζ͢Δ‫ط‬໿ͳϞδϡϥΠ͕ଘࡏ͢Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼ

(d1 , . . . , dg ) ‫ܕ‬ͷҰൠͷʢgeneral ͳʣ(X, L)ɼΛߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ
β(X, L) ͸্൒࿈ଓੑΛ࣋ͭɼ͢ͳΘͪภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମͷ଒ {(Xt , Lt )} ʹର͠ t 0→ β(X, L)͸ Zariski Ґ૬ʹ্ؔͯ͠൒࿈ଓͰ͋ΔͷͰ [Ito20b]ɼҰൠͷ (X, L) ʹରͯ͠͸ β(X, L) ͷྑ্͍ք͕‫ظ‬଴Ͱ͖Δɽ࣮ࡍҎԼͷ݁Ռ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ
ఆཧ 4.7 ([Jia21]). (X, L) Λ (d1 , . . . , dg ) ‫ܕ‬ͷ g ࣍‫ݩ‬ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମɼp ≥ −1 ͱ͢Δɽ͜ͷ
1ͱ͖ҎԼͷ 3 ৚݅Λຬͨ͢ͳΒ͹ β(X, L) < p+2͕੒Γཱͭɽಛʹ L ͸ (Np ) Λຬͨ͢ɿg(1) d1 · · · dg > gg! (p + 2)g ,g(2) 1 ≤ i ≤ g − 1 ʹର͠ di ≤ g−i(p + 2),(3) 1 ≤ i ≤ g ʹର͠ɼdimQ H i,i (X, Q) = 1. ͨͩ͠ H i,i (X, Q) := H i,i (X) ∩ H 2i (X, Q) ͸༨࣍‫ ݩ‬i ͷ Hodge ྨશମͷͳ͢ϕΫτϧۭؒͰ͋Δɽ*22

ఆཧ 4.8 ([Ito20b]). (1, . . . , 1, d) ‫ܕ‬ͷҰൠͷ g ࣍‫ݩ‬ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମͱ੔਺ m ≥ 1 ʹର͠ҎԼ͕੒Γཱͭɽ

1
1(1) d ≥ mg ⇔ β(X, L) ≤ m
ɼͭ·Γ Io & m
L' ͕ GV.

11(2) d ≥ mg + · · · + m + 1 ⇒ β(X, L) < m
ɼͭ·Γ Io & m
L' ͕ IT(0)ɽ*23 *24 *25*21 L ͕‫ج‬ఈ఺ࣗ༝ͳΒ͹ (L2 .S) ≥ 6, (L.C) ≥ 2 ͕ͳΓͨͭ͜ͱ͸؆୯ʹΘ͔Δɽ
*22 ඇৗʹҰൠͷ (X, L) ͸͜ͷԾఆΛຬͨ͢ɽ*23 (2) ʹ͍ͭͯ͸ [Ito21a] Ͱղઆ͍ͯ͠Δɽ

< 13 Ͱ͋Δɽ1·ͨ g = 2, d = 12 ͳΒ͹ β(L) = 3 ͳͷͰ [Ito20b]ɼ(1) ͷΑ͏ͳʮd ≥ f (m, g)ʢ͋Δ m ͱ g ͷؔ਺ʣ ⇔1β(L) < mʯͷ‫ܗ‬ͷओு͸੒Γཱͨͳ͍͜ͱ͕Θ͔Δɽ

*24 ⇐ ͸੒Γཱͨͳ͍ɽ࣮ࡍ g = 2 ͷ৔߹ɼd = 11 < 32 + 3 + 1 ͷͱ͖࣍ͷఆཧ 4.9 ʹΑΓ β(L)*25 ಛʹ p = 0 ͷ৔߹Λߟ͑ΔͱɼFuentes Garcı́a [FG05] ͷ༧૝ʮ(1, . . . , 1, d) ‫ܕ‬ͷҰൠͷ g ࣍‫ݩ‬ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମ (X, L) ʹର͠ɼL ͕ࣹӨਖ਼‫ ⇔ ن‬d ≥ 2g+1 − 1ʯ͕੒Γཱͭ͜ͱ͕͍͑Δɽචऀ͸ఆཧ 4.8 ͱ͍͔ͭ͘ͷ‫ط‬ଘͷ݁Ռ͔Βɼ(1, . . . , 1, d) ‫ܕ‬ͷҰൠͷ g ࣍‫ݩ‬ภ‫ۃ‬Ξʔϕϧଟ༷ମʹର͠
1d > mg ⇔ Io & m
L' ͕ M-ਖ਼ଇ*26͕੒Γཱ͔ͭʁͱ͍͏໰͍Λཱ͕ͯͨ [Ito21b]ɼ2 ࣍‫ݩ‬ͷ৔߹͸࠷ۙ Rojas ʹΑΓߠఆతʹղܾ͞Εͨɽͳ͓͜ͷ Rojas ʹΑΔ݁Ռ͸೚ҙඪ਺Ͱ੒Γཱͭɿ
ఆཧ 4.9 ([Roj21]). (X, L) Λ (1, d) ‫ܕ‬ͷภ‫ۃ‬Ξʔϕϧ‫ۂ‬໘ͱ͠ɼX ্ͷ೚ҙͷҼࢠ D ʹର͠

2d | (L.D) Ͱ͋Δͱ͢Δʢྫ͑͹ X ͷϐΧʔϧ਺͕ 1 ͳΒ͹Α͍ʣɽ͜ͷͱ͖ҎԼ͕੒Γཱͭɽ(1) d ͕ฏํ਺ͳΒ͹ Io & √1d L' ͸ GV ͕ͩ M-ਖ਼ଇͰ͸ͳ͍ɽ0(2) d ͕ฏํ਺Ͱͳ͍ͳΒ͹ɼIo & x2y
L' ͸ M-ਖ਼ଇͰ͋Δɽͨͩ͠ (x0 , y0 ) ͸ϖϧํఔࣜ0 −1x2 − 4dy 2 = 1 ͷ࠷খ੔਺ղͰ͋Δɽ

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L' ͸ M-ਖ਼ଇɼ͕੒Γཱͭɽࢀߟจ‫ݙ‬[Cau20] Federico Caucci, The basepoint-freeness threshold and syzygies of abelian varieties,
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܏ཧ࿦ͱ Grothendieck ‫܈‬ͷ෦԰ߏ଄ɾඪ४෼ղ
ᕆҪɹ૱ଠɹʢେࡕେֶ৘ใՊֶ‫ڀݚ‬Պʣຊߘ͸ɺ
ʮୈ 66 ճ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝʯʹ͓͍ͯɺ2021 ೥ 8 ݄ 31 ೔ʹࢲ͕ߨԋͨ͠಺༰ͷใࠂͰ͋Δɻେ෦෼͸ࢲͷ࿦จ [As] ʹ‫͞ه‬Εͨ݁Ռʹؔ͢Δ΋ͷͰ͋ΓɺҰ෦͸ҏࢁमࢯʢ౦‫ژ‬େֶʣͱͷ‫ࡏݱ‬ਐߦதͷ‫ڞ‬ಉ‫ͮ͘جʹڀݚ‬ɻ

1 ಋೖࢲͷओͳ‫ڀݚ‬෼໺͸ɺ༗‫ݩ࣍ݶ‬ଟ‫؀ݩ‬ͷද‫ݱ‬࿦Ͱ͋Γɺ͜Ε͸ɺମ K ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ଟ‫؀ݩ‬A ʹ͍ͭͯɺ༗‫ݩ࣍ݶ‬Ճ‫ ݍ܈‬mod A ΍ͦͷ༗քಋདྷ‫ ݍ‬Db (mod A) ͳͲͷ‫ݍ‬Λ༻͍ͯɺଟ‫ݩ‬‫ ؀‬A ͷੑ࣭Λௐ΂Δ෼໺Ͱ͋ΔɻͦͷͨΊɺ༗‫ݩ࣍ݶ‬ଟ‫؀ݩ‬ͷද‫ݱ‬࿦ʹ͓͍ͯɺඇಉ‫ͳܕ‬ଟ‫͕؀ݩ‬ԿΒ͔ͷ‫ݍ‬࿦తੑ࣭Λ‫ڞ‬༗͢ΔͨΊͷ৚݅Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͸ɺ‫ج‬ຊతͳ໰͍ͷҰͭͰ͋Δɻ
ҎԼɺA, B Λମ K ্ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ଟ‫͢ͱ؀ݩ‬Δɻ
·ͣɺ༗‫ݩ࣍ݶ‬Ճ‫ ݍ܈‬mod A, mod B ͕‫ͯ͠ͱݍ‬ಉ஋Ͱ͋Δͱ͖ɺA ͱ B ͸৿ాಉ஋(Morita equivalent) Ͱ͋Δͱ͍͏ɻA ͱ B ͕৿ాಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱ͸ɺ༗‫ࣹݩ࣍ݶ‬ӨՃ‫ݍ܈‬
proj A, proj B ͷؒʹ‫ݍ‬ಉ஋͕ଘࡏ͢Δͱ͍͏৚݅Ͱಛ௃෇͚ΒΕΔɻ৿ాಉ஋Λ੍‫͢ޚ‬Δ
΋ͷͱͯ͠ɺ৿ాࣹӨੜ੒Ճ‫( ܈‬Morita progenerator) ͕͋Γɺ͜Ε͸ࣹӨՃ‫ ܈‬P ∈ proj AͰ೚ҙͷ௚‫ط‬໿ࣹӨՃ‫ ͕܈‬P ͷ௚࿨ҼࢠͰ͋ΔΑ͏ͳ΋ͷΛࢦ͢ɻ‫ݍ‬ಉ஋ F : proj A → proj B ͕ଘࡏ͢Δͱ͖ɺF (P ) ∼= B ͱͳΔࣹӨՃ‫ ܈‬P ∈ proj A ΛͱΕ͹ɺ͜Ε͸৿ాࣹӨੜ੒Ճ‫͋Ͱ܈‬Γɺࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ؀ܕ‬EndA (P ) ͸ B ͱଟ‫ͯ͠ͱ؀ݩ‬ಉ‫ܕ‬Ͱ͋Δɻ‫ʹٯ‬ɺ৿ాࣹӨੜ੒Ճ‫ ܈‬P ∈ proj A ʹ͍ͭͯɺB := EndA (P ) ͱ͢Ε͹ɺ‫ݍ‬ಉ஋

HomA (P, ?) : proj A → proj B ͕ಘΒΕΔɻ

ྫ͑͹ɺn ࣍ਖ਼ํߦྻશମ͕ͳ͢‫ ؀‬Matn (K) (n ≥ 1) ͸ɺମ K ࣗ਎ͱ৿ాಉ஋Ͱ͋Δɻ

Matn (K) ͕୯७‫͋Ͱ؀‬Δ͜ͱ͸ɺWedderburn–Artin ͷఆཧ͔ΒಘΒΕΔɺΑ͘஌ΒΕͨࣄ࣮Ͱ͋Δ͕ɺͦͷূ໌Λද‫ݱ‬࿦ͷ‫͔఺؍‬ΒҰൠԽͨ͠΋ͷ͕৿ాಉ஋Ͱ͋Δͱ΋͍͑Δɻ
ͨͩɺA, B ͕৿ాಉ஋ʹͳΔ৔߹͸͘͝‫ݶ‬ΒΕ͓ͯΓɺ͜Ε͚ͩͰ͸ෆศͰ͋Δɻͦ͜
ͰɺRickard [Ri] ͸ɺA ͱ B ͕ಋདྷಉ஋ (derived equivalent) Ͱ͋Δͱ͍͏৚݅Λɺ༗քಋདྷ‫ ݍ‬Db (mod A) ͱ Db (mod B) ͕‫ݍ‬ಉ஋Ͱ͋Δͱ͍͏͜ͱͱͯ͠ಋೖͨ͠ɻRickard ͸ɺ༗քϗϞτϐʔ‫ ݍ‬Kb (proj A) ʹଐ͢ෳମ T ∈ Kb (proj A) Ͱɺಛఆͷ৚݅Λຬͨ͢΋ͷΛ܏ෳମ (tilting complex) ͱ‫ͼݺ‬ɺA ͱ B ͕ಋདྷಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱ͸ɺ܏ෳମ T ∈ Kb (proj A) Ͱ

EndKb (proj A) (T ) ͕ B ͱಉ‫ͳͱܕ‬ΔΑ͏ͳ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱͱಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱΛূ໌͠

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1͞Βʹɺ܏ෳମΑΓ΋؇͍֓೦ͱͯ͠ɺKeller–Vossieck [KV] ʹΑΔ४܏ෳମ (silting

complex) T ∈ Kb (proj A) ͕͋Δɻ͜ͷ৔߹ɺA ͱ B := EndKb (proj A) (T ) ͕ಋདྷಉ஋ʹͳΔͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍*1 ͕ɺ४܏ෳମʹ෇ਵ͢Δ Db (mod A) ͷ t ߏ଄*2 ͷ৺͕ mod B ͱ‫ݍ‬ಉ஋ʹͳ
Δ [IY] ͳͲͷؔ࿈ੑ͸࢒͍ͬͯΔɻ
४܏ෳମΛߟ͑Δར఺ͱͯ͠͸ɺมҟͱ͍͏ૢ࡞͕४܏ෳମͷൣғͰࣗ༝ʹߦ͑Δͱ͍͏
͜ͱ͕ɺ‫͛ڍ‬ΒΕΔɻΑΓਖ਼֬ʹ͸ɺ४܏ෳମ T, T ! ∈ Kb (proj A) ͕ɺͨͩҰͭͷ௚‫ط‬໿ҼࢠΛআ͍ͯಉ‫͋Ͱܕ‬Δͱ͖ɺT ! ͸ T ͷมҟ (mutation) Ͱ͋Δͱ͍͍ɺ४܏ෳମ T ͷ೚ҙͷ௚‫ط‬໿Ҽࢠʹ͍ͭͯɺͦͷ௚‫ط‬໿ҼࢠΛࣦ͏Α͏ͳมҟ T ! ∈ Kb (proj A) ͕ଘࡏ͢Δɻ͜ͷࣄ࣮͸ɺAihara–Iyama [AI] ʹΑͬͯূ໌͞Εͨɻ͞Βʹɺ2 ߲४܏ෳମͷൣғͰ͸ɺ֤௚‫ط‬໿Ҽࢠʹؔ͢Δมҟ͸ҰҙతͰ͋Δ͜ͱ͕ɺAdachi–Iyama–Reiten [AIR] ͰಘΒΕ͍ͯΔɻͯ͞ɺ্‫͍ͣه‬Εͷ৔߹Ͱ΋ɺ༗‫ࣹݩ࣍ݶ‬ӨՃ‫ݍ܈‬ͷ Grothendieck ‫܈‬ͷಉ‫ ܕ‬K0 (proj A) ∼=K0 (proj B) ͕༠ಋ͞ΕΔɻGrothendieck ‫ ܈‬K0 (proj A) ͸ɺඇಉ‫ͳܕ‬௚‫ط‬໿ࣹӨՃ‫ͪͨ܈‬શମ P1 , P2 , . . . , Pn ͕ఆΊΔ‫[ ݩ‬P1 ], [P2 ], . . . , [Pn ] Λɺඪ४తͳ‫ج‬ఈͱͯ࣋ͭࣗ͠༝Ξʔϕϧ‫͋Ͱ܈‬Δ [H]ɻҰํɺT ∈ 2-silt A ͷඇಉ‫ͳܕ‬௚‫ط‬໿Ҽࢠͨͪશମ T1 , T2 , . . . , Tm ͕ఆΊΔ‫ݩ‬[T1 ], [T2 ], . . . , [Tm ] ∈ K0 (proj A) ΋·ͨɺK0 (proj A) ͷ‫ج‬ఈͰ͋Δ͜ͱ͕ɺAihara–Iyama[AI] ʹΑͬͯࣔ͞Ε͍ͯΔɻಛʹɺࣗ༝Ξʔϕϧ‫܈‬ͷ֊਺ͷҰҙੑ͔Βɺm = n Ͱͳͯ͘͸ͳΒͣɺ४܏ෳମͷඇಉ‫ͳܕ‬௚‫ط‬໿Ҽࢠͷ‫਺ݸ‬͸ҰఆͰ͋Δɻ
ͦ͜Ͱɺ࣮ Grothendieck ‫ ܈‬K0 (proj A)R := K0 (proj A) ⊗Z R ∼= Rn ʹ͓͍ͯɺ‫ج‬ຊత 2߲४܏ෳମ T =!n

i=1 Ti ∈ 2-silt Aʢ֤ Ti ͸௚‫ط‬໿ʣʹ෇ਵ͢Δਲ਼ C+

C (T ) :=n"

R>0 [Ti ],

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C(T ) :=

n
"
i=1

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·ͨɺ2 ߲४܏ෳମͷਲ਼͸ King [Ki] ʹΑΔՃ‫ ܈‬M ∈ mod A ͷ҆ఆੑ৚݅ (stability

condition) ͱ΋ؔ࿈͢Δɻ͜ͷ҆ఆੑ৚݅͸ɺM ͷ঎Ճ‫܈‬ͷ࣍‫ݩ‬ϕΫτϧʹؔ͢Δɺθ ʹґଘͨ͠ઢ‫ܕ‬ෆ౳ࣜͰ͋Γɺ[Ki] Ͱᝪද‫ݱ‬ͷϞδϡϥΠۭؒͷߏ੒ʹ༻͍ΒΕͨɻ͞Βʹɺb*1 ඍ෼࣍਺෇͖ଟ‫؀ݩ‬ʢDG ଟ‫؀ݩ‬ʣE := End b
K (proj A) (T ) Λߟ͑ΔͱɺE ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ಋདྷ‫ ͕ݍ‬D (mod A)ͱ‫ݍ‬ಉ஋ʹͳΔ [Ke, KY]ɻT ͕܏ෳମͰ͋Ε͹ DG ଟ‫ ͯ͠ͱ؀ݩ‬E ͱ B ͸ٖಉ‫͋Ͱܕ‬Δɻ

*2 t ߏ଄ͦͷ΋ͷ͸ Beı̆linson–Bernstein–Deligne [BBD] ʹΑΓఆٛ͞Εͨɻ४܏ෳମʹ෇ਵ͢Δ t ߏ଄͸Koenig–Yang [KY] ͕ಋೖͨ͠ɻ

2

Baumann–Kamnitzer–Tingley [BKT] ͸ɺલࣹӨతଟ‫؀ݩ‬ͷ৔߹ʹਲ਼ͱ҆ఆੑ৚݅ͷؔ܎Λߟ͑Δ͜ͱͰɺྔࢠ‫܈‬ͷ݁থ‫ج‬ఈͷ‫ڀݚ‬Λߦͬͨɻਲ਼ͷྫΛ؆୯ͳଟ‫؀ݩ‬ͷ৔߹ʹ‫ͯݟ‬ΈΑ͏ɻ
ྫ 1.1 A := K(1 → 2) ͱ͢Δͱ͖ɺ

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Grothendieck ‫ ܈‬K0 (proj A)R =
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͜ͷྫ͔Βɺ‫ج‬ຊత 2 ߲४܏ෳମʹ෇ਵ͢Δਲ਼ C(T ) Λ༻͍ͯɺ࣮ Grothendieck ‫܈‬K0 (proj A)R ͷ෦԰ߏ଄ΛఆΊΔͱ͍͏ൃ૝͸ɺࣗવͳ΋ͷͰ͋Δɻͨͩ͠ɺਲ਼ C(T ) ͨͪ͸࣮ Grothendieck ‫ ܈‬K0 (proj A)R શମΛ෴͏ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ͨΊɺ͜ͷ··Ͱ͸ෆ‫׬‬શͰ͋

Δɻͦ͜Ͱɺਲ਼ͷ୅ΘΓʹɺՃ‫܈‬ͷ҆ఆੑ৚݅Λ༻͍ͯɺ࣮ Grothendieck ‫ ܈‬K0 (proj A)R ͷ
෦԰ߏ଄Λಋೖ͢Δɻ͜ͷ෦԰ߏ଄͸ɺਲ਼͕ఆΊΔ෦԰ߏ଄ͷนΛ૿΍ͨ͠΋ͷͰ͋Γɺਲ਼ͷ಺෦ C + (T ) ͸ͲͪΒͷ෦԰ߏ଄ʹ͓͍ͯ΋ɺ෦԰Ͱ͋Δ͜ͱ͕ɺBrüstle–Smith–Treffinger[BST] ʹΑͬͯࣔ͞Ε͍ͯΔɻҎ߱ɺຊߘͰ͸ɺ҆ఆੑ৚݅ʹΑΔ෦԰ߏ଄ͷΈΛߟ͑Δɻ
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3

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ΕΛ࣮ Grothendieck ‫͏͍ͱ܈‬ɻproj A Λ༗‫ࣹݩ࣍ݶ‬Ө A Ճ‫܈‬શମͷ‫͠ͱݍ‬ɺKb (proj A) Λ

proj A ্ͷ༗քෳମͷϗϞτϐʔ‫͢ͱݍ‬Δɻ͜ͷͱ͖ɺK0 (proj A) ͱ K0 (Kb (proj A)) ͸ࣗવʹಉҰࢹ͞Εɺ௚‫ط‬໿ࣹӨՃ‫܈‬ͷಉ‫ྨܕ‬શମ P1 , P2 , . . . , Pn ͕ఆΊΔ‫ݩ‬ΛΞʔϕϧ‫܈‬ͷ‫ج‬ఈͱͯ࣋ͭ͠ɻಉ༷ʹɺmod A Λ༗‫ ݩ࣍ݶ‬A Ճ‫܈‬શମͷ‫͠ͱݍ‬ɺDb (mod A) Λ mod A ্ͷ༗քෳମͷಋདྷ‫͢ͱݍ‬ΔͱɺK0 (mod A) ∼= K0 (Db (mod A)) ͸ɺ୯७Ճ‫܈‬ͷಉ‫ྨܕ‬શମS1 , S2 , . . . , Sn ͕ఆΊΔ‫ݩ‬ΛΞʔϕϧ‫܈‬ͷ‫ج‬ఈͱͯ࣋ͭ͠ɻ‫ޙ‬ͷ౎߹্ɺ೚ҙͷ i ʹ͍ͭͯશࣹ Pi → Si ͕ଘࡏ͢ΔΑ͏ʹɺఴ͑ࣈΛ෇͚ସ͓͑ͯ͘ɻ

4

2 ४උ
·ͣɺEuler ‫ࣜܗ‬ͷఆٛΛ෮श͢Δɻ
ఆٛ 2.1 Euler ‫( ࣜܗ‬Euler form) ͱ͸ɺZ ૒ઢ‫ࣜܗܕ‬*!, ?+ : K0 (proj A) × K0 (mod A) → ZͰɺ೚ҙͷ T ∈ Kb (proj A) ͱ X ∈ Db (mod A) ʹ͍ͭͯɺ*T, X+ ="(−1)k dimK HomDb (mod A) (T, X[k])k∈Zͱ͍͏ࣜΛຬͨ͢ͱ͍͏৚݅Ͱఆ·Δ΋ͷͷ͜ͱͱ͢Δɻ
౰વͳ͕ΒɺEuler ‫ࣜܗ‬͸࣮ Grothendieck ‫֦΁܈‬ுͰ͖Δɻ্ͷఆٛͦͷ΋ͷΑΓ΋ɺ࣍ͷࣄ࣮͕ॏཁͰ͋Δɻ
໋୊ 2.2K0 (proj A) ͷ‫ج‬ఈ (Pi )ni=1 ͱ K0 (mod A) ͷ‫ج‬ఈ (Si )ni=1 ͸ɺEuler ‫ͯؔ͠ʹࣜܗ‬ਖ਼ͷεΧϥʔഒΛআ͘૒ର‫ج‬ఈͰ͋ΔɻΑΓਖ਼֬ʹ͸ɺ೚ҙͷ i, j ∈ {1, 2, . . . , n} ʹର͠ɺ#dimK EndA (Sj ) (i = j)
*Pi , Sj + =
.
0
(i =
& j)

͕ͨͬͯ͠ɺK0 (proj A)R ͸ K0 (mod A)R ͷ૒ର R ઢ‫ͱۭؒܕ‬Έͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ֤θ ∈ K0 (proj A)R ͕༠ಋ͢Δ R ઢ‫* ࣜܗܕ‬θ, ?+ : K0 (mod A)R → R Λߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɺ͜Ε΋ θ ͱ͍͏‫Ͱ߸ه‬ද͢ɻ

3 ෦԰ߏ଄
͜ͷষͰ͸҆ఆੑ৚݅ʹΑΔ෦԰ߏ଄ʹ͍ͭͯௐ΂Δɻ·ͣɺ෦԰ߏ଄ͷఆٛΛड़΂ΔͨΊʹɺKing [Ki] ʹΑΔ҆ఆੑ৚݅Λ‫͢ه‬ɻ
ఆٛ 3.1 [Ki, Definition 1.1] θ ∈ K0 (proj A)R , M ∈ mod A ͱ͢Δɻ(1) M ͕ θ ൒҆ఆ (θ-semistable) Ͱ͋Δͱ͸ɺθ(M ) = 0 ͔ͭ M ͷ೚ҙͷ঎Ճ‫ ܈‬N ʹର͠ θ(N ) ≥ 0 Ͱ͋Δ͜ͱͱ͢Δɻ

(2) M ͕ θ ҆ఆ (θ-stable) Ͱ͋Δͱ͸ɺθ(M ) = 0 ͔ͭ M ͷ೚ҙͷ঎Ճ‫ ܈‬N &= 0, M ʹର͠ θ(N ) > 0 Ͱ͋Δ͜ͱͱ͢Δɻ(3) ෦෼‫ ݍ‬Wθ ⊂ mod A Λ θ ൒҆ఆͳՃ‫܈‬શମͱఆΊɺ͜ΕΛ θ ൒҆ఆ෦෼‫( ݍ‬θsemistable subcategory) ͱ‫Ϳݺ‬ɻ5൒҆ఆ෦෼‫ݍ‬ͷ‫ج‬ຊతͳੑ࣭Λ͍͔ͭ͘‫͛ڍ‬Δɻ஫ҙ 3.2

θ ∈ K0 (proj A)R ͱ͢Δɻ(1) Wθ ͸ mod A ͷ޿େ෦෼‫͋Ͱݍ‬Δɻͭ·ΓɺWθ ͸֩ɺ༨֩ɺ֦େΛͱΔૢ࡞Ͱด͡
͍ͯΔɻ(2) [Ru, HR] Wθ ͸௕͞༗‫ݶ‬ͷΞʔϕϧ‫͋Ͱݍ‬ΓɺJordan–Hölder ͷੑ࣭͕੒ཱ͢Δɻ

(3) M ͕ Wθ ͷ୯७ର৅Ͱ͋Δͱ͍͏͜ͱ͸ɺM ͕ θ ҆ఆͳՃ‫͋Ͱ܈‬Δ͜ͱͱಉ஋Ͱ

͋Δɻ͜ͷͱ͖ɺM ͸࿃‫( נ‬brick)ɺ͢ͳΘͪ EndA (M ) ͕ࣼମͰ͋ΔΑ͏ͳՃ‫ͱ܈‬
ͳΔɻ҆ఆੑ৚݅Λ༻͍ͨนͷఆٛ͸ҎԼͷ௨ΓͰ͋Δɻఆٛ 3.3M ∈ mod A Λ 0 Ͱͳ͍Ճ‫͢ͱ܈‬Δɻ͜ͷͱ͖น (wall) ΘM ⊂ K0 (proj A)R ΛɺΘM := {θ ∈ K0 (proj A)R | M ∈ Wθ } ⊂ Ker*!, M +ͰఆΊΔɻΘM ⊂ K0 (proj A)R ͸ɺM ͷ঎Ճ‫܈‬ͷ૊੒Ҽࢠʹґଘ͢Δɺ༗‫ݸݶ‬ͷઢ‫ܕ‬ෆ౳ࣜͰܾఆ

͞ΕΔ෦෼ू߹Ͱ͋Δ͔ΒɺEuclid ۭؒ K0 (proj A)R ಺ͷ༗ཧଟ໘ਲ਼Ͱ͋Δɻಛʹɺน ΘMͷ࣍‫ ݩ‬dim ΘM Λఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻఆ্ٛ͸ɺ0 Ͱͳ͍͢΂ͯͷՃ‫͍ͯͭʹ܈‬นΛߟ͍͑ͯΔ͕ɺ෦԰ߏ଄Λߟ͑Δʹ͋ͨͬͯ͸ແବ͕ଟ͍ɻྫ͑͹ɺΘM ⊕N = ΘM ∩ ΘN ͱͳΔ͜ͱ͔Βɺ௚‫ط‬໿ͳՃ‫܈‬ͷΈΛߟ͑Ε͹ɺ෦԰ߏ଄͸ܾ·ΔɻΑΓ‫͘ڧ‬ɺ࣍ͷੑ࣭͕੒Γཱͭɻ
ิ୊ 3.4[As, Proposition 2.8] M ∈ mod A Λ 0 Ͱͳ͍Ճ‫͢ͱ܈‬Δɻ͜ͷͱ͖ɺ࿃‫ נ‬S Ͱ

dim ΘS = n − 1 ͔ͭ ΘS ⊃ ΘM ͷ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɻͭ·Γɺ࿃‫נ‬ͷಉ‫ྨܕ‬શମ͕ͳ͢ू߹Λ brick A ͱॻ͚͹ɺ࿃‫ʹנ‬ର͢Δน ΘS (S ∈brick A) ͷΈͰɺ෦԰ߏ଄Λ஌Δʹ͸े෼Ͱ͋Δɻ͜ͷํ਑Ͱɺ؆୯ͳྫΛ‫ݟ‬Α͏ɻ
ఆٛ 3.5(1) A Λಓଟ‫ ؀ݩ‬K(1 → 2) ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖࿃‫נ‬͸ S2 , P1 , S1 ͷ 3 ͭͰ͋Γɺͦͷ֤ʑʹର͢Δน͸ҎԼͷΑ͏ʹͳΔɻ

[P2 ]

ΘS1
−[P1 ]

ΘS2

!!
[P1 ]
!!
!!
!!
!!Θ
!!P1

−[P2 ]

6[P1 ]−[P2 ](2) A = K( 1! 2 ) ͱ͢Δɻ͜ͷ৔߹ɺ‫ۃ‬େͳน͸ɺ!

• R[P1 ], R[P2 ];• R≥0 ((i + 1)[P1 ] − i[P2 ]), R≥0 (i[P1 ] − (i + 1)[P2 ]) (i ∈ Z≥1 );• R≥0 ([P1 ] − [P2 ])Ͱ༩͑ΒΕɺ෦԰ߏ଄͸ҎԼͷΑ͏ʹͳΔɻ
ܲଶ

െ ܲଵ

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െ ܲଶ

ಛʹແ‫ݸݶ‬ͷ෦԰͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ(3) A = K( 1! 2 ) ͱ͢Δɻ਺ྻ (si )∞i=0 Λɺs0 := 0, s1 := 1, si := 3si−1 − si−2!!

(i ≥ 2) ͰఆΊΔ*3 ͱɺ‫ۃ‬େͳน͸ɺ• R[P1 ], R[P2 ];• R≥0 (si+1 [P1 ] − si [P2 ]), R≥0 (si [P1 ] − si+1 [P2 ]) (i ∈ Z≥1 ),√√• R≥0 ([P1 ] − q[P2 ]) (q ∈ Q ∩ ((3 − 5)/2, (3 + 5)/2))Ͱ͋Γɺ෦԰ߏ଄͸ҎԼͷ௨ΓͰ͋Δɻ
ܲଶ

െ ܲଵ

ܲଵ

െ ܲଶ

͔ͳΓ‫ͮݟ‬Β͍͕ɺ͜ͷ৔߹Ͱ΋ɺແ‫ݸݶ‬ͷ෦԰͕ଘࡏ͢ΔɻҰํɺ໢ֻ͚෦෼ʹ͸น͕᜚ີʹଘࡏ͢ΔͨΊɺ͜͜ʹ͸෦԰͸ͳ͍ɻ*3 ϑΟϘφον਺ྻͷ߲Λ 1 ‫ݸ‬ඈ͹͠ʹͨ͠਺ྻʹͳΔɻԼʹ‫ݱ‬ΕΔ (3 ±਺Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͞Ε͍ͨɻ

7√5)/2 ͸ɺԫۚൺͷ 2 ৐ͱͦͷ‫ٯ‬͜͜·Ͱ෦԰ͱ͍͏‫ݴ‬༿Λਤ͔Β൑அ͖͕ͯͨ͠ɺͦͷਖ਼֬ͳఆٛ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻ
ఆٛ 3.6[BST, Definition 3.3] ҎԼͷΑ͏ʹఆٛ͢Δɻ(1) ෦෼ू߹ Wall ⊂ K0 (proj A)R Λɺ͢΂ͯͷ ΘM ͷ࿨ू߹$Δɻ͜Ε͸ S∈brick A ΘS ʹ΋Ұக͢Δɻ

$M ∈mod A\{0} ΘM ͱఆΊ(2) C ⊂ K0 (proj A)R Λ෦෼ू߹ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺC ͕ K0 (proj A)R ͷ෦԰ (chamber)Ͱ͋Δͱ͸ɺC ͕։ू߹ K0 (proj A)R \ Wall ͷ࿈݁੒෼Ͱ͋Δ͜ͱͱఆΊΔɻ·ͨɺ

Chamber(A) Ͱશͯͷ෦԰͔ΒͳΔू߹Λද͢ɻఆ͔ٛΒɺ͢΂ͯͷ෦԰ͷ࿨ू߹

$C∈Chamber(A) C ͸ɺดแ Wall ͷิू߹Ͱ͋ΔɻΏ͑ʹɺθ ∈ K0 (proj A)R ʹ͍ͭͯɺθ ͕ଐ͢෦԰͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ͸ɺθ ͷ։ۙ๣ͰนͱҰ੾ަΘΒͳ͍΋ͷ͕ͱΕΔ͜ͱ͕ඞཁे෼Ͱ͋Δɻ

4 ਺஋తͶ͡ΕରલষͰఆٛͨ͠෦԰ߏ଄ʹ͍ͭͯɺΑΓৄ͘͠ௐ΂ΔͨΊɺBaumann–Kamnitzer–TingleyʹΑΔ਺஋తͶ͡ΕରΛ༻͍Δɻ
ఆٛ 4.1[BKT, Subsection 3.1] ೚ҙͷ θ ∈ K0 (proj A)R ʹର͠ɺ਺஋తͶ͡Εର (numer-

ical torsion pair) (T θ , Fθ ), (Tθ , F θ ) ΛɺT θ := {M ∈ mod A | ೚ҙͷ঎Ճ‫ ܈‬N ʹର͠ θ(N ) ≥ 0},Fθ := {M ∈ mod A | ೚ҙͷ෦෼Ճ‫ ܈‬L &= 0 ʹର͠ θ(L) < 0},Tθ := {M ∈ mod A | ೚ҙͷ঎Ճ‫ ܈‬N &= 0 ʹର͠ θ(N ) > 0},F θ := {M ∈ mod A | ೚ҙͷ෦෼Ճ‫ ܈‬L ʹର͠ θ(L) ≤ 0}
Ͱఆٛ͢Δɻ
ఆ͔ٛΒ໌Β͔ʹ Wθ = T θ ∩ F θ Ͱ͋Δɻ্‫ه‬ͷ 2 छྨͷ਺஋తͶ͡ΕରΛ༻͍ͯɺK0 (proj A)R ʹ࣍ͷಉ஋ؔ܎ΛೖΕΔɻ
ఆٛ 4.2θ, θ! ∈ K0 (proj A)R ͕ TF ಉ ஋ (TF equivalent) Ͱ ͋ Δ ͱ ͸ ɺ(T θ , Fθ ) =(T θ! , Fθ! ) ͔ͭ (Tθ , F θ ) = (Tθ! , F θ! ) Ͱ͋Δ͜ͱͱఆΊΔɻ౰વͳ͕ΒɺͶ͡Εରͷఆ͔ٛΒɺT θ = T θ! ͔ͭ F θ = F θ! Ͱ͋Ε͹ɺθ ͱ θ ! ͸ TF ಉ஋ͱͳΔɻ؆୯ͳྫͰ TF ಉ஋ྨΛܾఆͯ͠ΈΔɻ
ྫ 4.3 A = K(1 → 2) ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖௚‫ط‬໿Ճ‫܈‬ͷಉ‫ྨܕ‬͸ɺ

8

P1
S2

S1

ͷ 3 ͭͰ͋

Δ*4 ɻT θ , F θ ͱ΋ʹɺ௚࿨ҼࢠΛͱΔૢ࡞ʹ͍ͭͯด͍ͯ͡Δ͜ͱ͔Βɺ֤௚‫ط‬໿Ճ‫͕܈‬͓ͷ͓ͷͷ෦෼‫ʹݍ‬ଐ͍ͯ͠Δ͔൱͔Λɺଐ͢Ճ‫܈‬͸ • Ͱɺͦ͏Ͱͳ͍Ճ‫܈‬͸ ◦ Ͱஔ͖‫͑׵‬ͯදࣔ͢Δ͜ͱͰɺT θ , F θ Λද͢ɻ͜ͷදࣔ๏ͷ΋ͱͰɺT θ ͱ F θ ͷ෼෍͸ͦΕͧΕҎԼͷΑ͏ʹͳΔɻ

ܲଶ

െ ܲଵ

ܲଶ

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െ ܲଵ

ܲଵ

െ ܲଶ

െ ܲଶ

྆ऀ͸ɺ͓͓ΉͶࣅͨΑ͏ͳ෼ׂͷ‫͍ͯͬͳʹܗ‬Δ͕ɺ‫ڥ‬ք෦෼ʹ͍ͭͯ͸ɺ͔ͳΓҟͳ͓ͬͯΓɺ݁Ռͱͯ͠ɺTF ಉ஋ྨ͸Լͷਤͷ 11 ‫͋Ͱݸ‬Δɻ
ܲଶ

െ ܲଵ

ܲଵ

െ ܲଶ

্ͷྫͰಘͨ TF ಉ஋ྨ͸ɺ෦԰ߏ଄ͱΑ͘ࣅͨਤͩͱࢥ͏ಡऀ΋͍ΔͰ͋Ζ͏ɻ͜Ε͸Ұൠతʹ੒Γཱͭࣄ࣮Ͱ͋ΓɺఆࣜԽ͢ΔͱҎԼͷΑ͏ʹͳΔɻͳ͓ɺ[θ, θ ! ] ͸ θ ͱ θ ! Λ݁Ϳઢ෼ͷ͜ͱͰ͋Δɻ
ఆཧ 4.4[As, Theorem 2.17] ҟͳΔ‫ ݩ‬θ, θ! ∈ K0 (proj A)R ʹରͯ͠ɺ࣍͸ಉ஋Ͱ͋Δɻ(a) θ ͱ θ! ͸ TF ಉ஋Ͱ͋Δɻ(b) ઢ෼ [θ, θ! ] ্ͷ֤఺ θ!! ʹର͠ɺWθ!! ͸ҰఆͰ͋Δɻ(c) ࿃‫ נ‬S ∈ brick A Ͱ [θ, θ! ] ͕ ΘS ͱͨͩҰ఺ͰަΘΔ΋ͷ͸ଘࡏ͠ͳ͍ɻ
·ͨɺ෦԰ߏ଄ʹ͓͚Δ෦԰ʹ͍ͭͯ΋ɺTF ಉ஋ྨΛ༻͍ͯಛ௃෇͚͕ՄೳͰ͋Δɻ

TFn (A) Ͱ಺෦͕ۭͰͳ͍Α͏ͳ TF ಉ஋ྨશମͷू߹ͱ͢Δɻ*4 ͜ͷΑ͏ͳ‫ʹܗ‬ฒ΂͍ͯΔͷ͸ɺAuslander–Reiten ᝪ͕͜ͷ‫͔ͩܗ‬ΒͰ͋Δɻ

9‫ ܥ‬4.5 [As, Corollary 2.21] શ୯ࣹ Chamber(A) → TFn (A) ͕ɺ෦԰ C Λ C Λ‫ؚ‬Ή།Ұ
ͷ TF ಉ஋ྨʹࣸ͢ͱ͍͏ରԠͰఆ·Δɻ࣍ͷষͰ࣮͸͜Ε͕߃౳ࣸ૾Ͱ͋Δ͜ͱΛ 2 ߲४܏ෳମΛ༻͍ͯࣔ͢ɻ

5 2 ߲४܏ෳମͷਲ਼͜ͷষͰ͸ɺ಺෦͕ۭͰͳ͍ TF ಉ஋ྨΛಘΔํ๏ͱͯ͠ɺKb (proj A) ͷ 2 ߲४܏ෳମΛ༻͍Δɻ

U ∈ Kb (proj A) ͱ͢Δͱ͖ɺU ͕ 2 ߲ (2-term) Ͱ͋Δͱ͸ɺU ͕ −1 ൪໨ͱ 0 ൪໨ͷ߲Ҏ֎͸ 0 Ͱ͋ΔΑ͏ͳෳମ P −1 → P 0 ʹ Kb (proj A) Ͱಉ‫͋Ͱܕ‬Δ͜ͱΛࢦ͢ɻ·ͨɺU͕‫ج‬ຊత (basic) Ͱ͋Δͱ͸ɺU ͷ௚‫ط‬໿Ҽࢠ͕ͨͪ‫ʹ͍ޓ‬ඇಉ‫͋Ͱܕ‬Δ͜ͱΛ͍͍ɺ͜ͷ
ͱ͖ɺ|U | Ͱ U ͷ௚‫ط‬໿Ҽࢠͷ‫਺ݸ‬Λද͢ɻ
ఆٛ 5.1[KV] U Λ 2 ߲ෳମͱ͢Δɻ

(1) U ͕ 2 ߲લ४܏ෳମ (2-term presilting complex) Ͱ͋Δͱ͸ɺHomKb (proj A) (U, U [k]) =0 Ͱ͋Δ*5 ͜ͱͱఆΊΔɻ2-presilt A Ͱ‫ج‬ຊత 2 ߲લ४܏ෳମͷಉ‫͢ͳ͕ͯ΂͢ྨܕ‬ू߹Λද͢ɻ

(2) U ͕ 2 ߲४܏ෳମ (2-term silting complex) Ͱ͋Δͱ͸ɺU ͕ 2 ߲લ४܏ෳମͰɺ͔
ͭɺU ͸௚࿨Ҽࢠͱࡾ֯‫ܗ‬ΛͱΔૢ࡞Ͱ Kb (proj A) શମΛੜ੒͢Δ͜ͱͱఆΊΔɻ

2-presilt A Ͱ‫ج‬ຊత 2 ߲४܏ෳମͷಉ‫߹ू͢ͳ͕ͯ΂͢ྨܕ‬Λද͢ɻ
2 ߲લ४܏ෳମͱ 2 ߲४܏ෳମͷؒʹ͸ɺҎԼͷΑ͏ͳॏཁͳؔ܎͕͋Δɻ
໋୊ 5.2U ∈ 2-presilt A ͱ͢Δɻ(1) [Ai, Proposition 2.16] U ͸͋Δ T ∈ 2-silt A ͷ௚࿨ҼࢠͰ͋Δɻ(2) [AIR, Proposition 3.3] U ∈ 2-silt A ͸ |U | = n ͱಉ஋Ͱ͋Δɻ
Grothendieck ‫ ͱ܈‬2 ߲લ४܏ෳମͷؒʹ΋ɺ‫͕͋܎͍ؔڧ‬Δɻ
໋୊ 5.3[AI, Theorem 2.27] U =!m

i=1 Ui∈ 2-presilt A ͕‫ج‬ຊత 2 ߲લ४܏ෳମͷ௚‫ط‬໿෼ղͰ͋Δͱ͖ɺ[U1 ], [U2 ], . . . , [Um ] ∈ K0 (proj A) ͸ R ઢ‫ܕ‬ಠཱͰ͋Δɻ͞Βʹ

U ∈ 2-silt A Ͱ͋Ε͹ɺ͜ΕΒ͸ K0 (proj A) ͷ Z ‫ج‬ఈͰ͋Δɻ

ͦ͜Ͱɺ2 ߲લ४܏ෳମʹ෇ਵ͢Δਲ਼Λ࣍ͷΑ͏ʹఆٛ͢Δɻ

*5 ࣮ࡍʹ͸ k = 1 ͷΈ͔֬ΊΕ͹Α͍ɻ10

ఆٛ 5.4!m

i=1 Ui ∈ 2-presilt A ͕‫ج‬ຊత 2 ߲લ४܏ෳମͷ௚‫ط‬໿෼ղͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺU ʹର͢Δਲ਼ C + (U ), C(U ) ⊂ K0 (proj A)R ΛɺU =+C (U ) :=m"

R>0 [Ui ],C(U ) :=

i=1

m
"
i=1

R≥0 [Ui ]Ͱ͋ΔɻͲͪΒͷਲ਼΋ K0 (proj A)R ʹ͓͍ͯ m ࣍‫ݩ‬ͷਲ਼Ͱ͋Δɻ

2 ߲લ४܏ෳମͷਲ਼ಉ࢜ͷ‫ڞ‬௨෦෼͸ɺͦͷ 2 ߲લ४܏ෳମͷ‫ڞ‬௨௚࿨ҼࢠΛද͢ɻ
໋୊ 5.5[DIJ, Theorem 6.5, Corollary 6.7] U, U ! ∈ 2-presilt A ͷ࠷େͷ‫ڞ‬௨௚࿨Ҽࢠ͕

U !! Ͱ͋Ε͹ɺC(U ) ∩ C(U ! ) = C(U !! ) Ͱ͋ΔɻಛʹɺT, T ! ∈ 2-silt A ͕ඇಉ‫͋Ͱܕ‬Ε͹ɺC + (T ) ∩ C(T ! ) = ∅ ͱͳΔɻ
ྫ 5.6 ྫ 1.1 ͷঢ়‫Ͱگ‬ɺU ͱ T ͷ࠷େͷ‫ڞ‬௨௚࿨Ҽࢠ͸ɺP2 → P1 Ͱ͋Γɺ͜Ε͸

Grothendieck ‫܈‬ͷ [P1 ] − [P2 ] ∈ K0 (proj A) ͱ͍͏‫ݩ‬Λ༩͑ΔɻҰํɺC(T ) ∩ C(U ) =R≥0 ([P1 ] − [P2 ]) = C(P2 → P1 ) Ͱ͋ΔɻҎ߱ɺ2 ߲લ४܏ෳମͷਲ਼͕ TF ಉ஋ྨͰ͋Δ͜ͱΛࣔ͢ɻͦͷͨΊʹɺ2 ߲લ४܏ෳମ
͕ Grothendieck ‫ͱ܈‬͸ແؔ܎ʹఆΊΔͶ͡ΕରΛ༻ҙ͢Δɻ
ఆٛ 5.7[AS, Theorem 5.10] U ∈ 2-presilt A ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺmod A ͷؔखత༗‫ͳݶ‬Ͷ͡Εର (T U , FU ), (TU , F U ) ΛɺT U := {M ∈ mod A | HomA (M, H −1 (νU )) = 0},

FU := {M ∈ mod A | ୯ࣹ M → H −1 (νU )⊕s ͕ଘࡏ },TU := {M ∈ mod A | શࣹ H 0 (U )⊕s → M ͕ଘࡏ },F U := {M ∈ mod A | HomA (H 0 (U ), M ) = 0}ͰఆٛͰ͖Δɻ·ͨɺTU ⊂ T U ͔ͭ FU ⊂ F U ͱͳΔɻؔखత༗‫ͳݶ‬Ͷ͡Εରͷఆٛ͸͜͜Ͱ͸ड़΂ͳ͍͕ɺ্ͷํ๏Ͱ͢΂ͯͷؔखత༗‫ͳݶ‬Ͷ͡ΕରΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ
ఆཧ 5.8[AIR, Theorems 2.7, 3.2] શ୯ࣹ
2-silt A → { ؔखత༗‫ݶ‬Ͷ͡Εྨ },2-silt A → { ؔखత༗‫ݶ‬Ͷ͡Εࣗ༝ྨ },͕ଘࡏ͢Δɻ

11

T 3→ T T = TT ,T 3→ F T = FTҎ্ͷલఏͷ΋ͱͰɺ࣍ͷ݁Ռ͕੒Γཱͭɻ
໋୊ 5.9[Y, Proposition 3.3][BST, Proposition 3.27] U ∈ 2-presilt A ͔ͭ θ ∈ C + (U ) ͱ͢Δͱɺ(T θ , Fθ ) = (T U , FU ) ͔ͭ (Tθ , F θ ) = (TU , F U ) ͱͳΔɻ͕ͨͬͯ͠ɺ2 ߲લ४܏ෳମͷਲ਼͸͋Δ TF ಉ஋ྨʹ‫·ؚ‬ΕΔ͜ͱ͕Θ͔Δɻ൴Βͷূ໌Λ‫ݟ‬௚͢͜ͱͰɺ࣮ࡍʹ͜ͷਲ਼͕ TF ಉ஋ྨͰ͋Δ͜ͱΛɺࢲ͸ಘͨɻ
໋୊ 5.10[As, Proposition 3.11] U ∈ 2-presilt A ͱ͢ΔͱɺC + (U ) ͸ TF ಉ஋ྨͰ͋Γɺθ ∈ C + (U ) ͸ɺ(T θ , Fθ ) = (T U , FU ) ͔ͭ (Tθ , F θ ) = (TU , F U ) ͱಉ஋Ͱ͋Δɻ

ಛʹɺT ∈ 2-silt A ͷਲ਼ C + (T ) ͸಺෦͕ۭͰͳ͍ TF ಉ஋ྨͰ͋Γɺ·ͨ։ू߹Ͱ͋Δɻ

Ώ͑ʹɺC + (T ) ͸෦԰Ͱ͋Δɻͦͯ͠ɺ‫ʹٯ‬෦԰͸ඞͣ͜ͷํ๏ͰಘΒΕΔͱ͍͏ͷ͕ɺຊߘͰͷࢲͷओ݁ՌͰ͋Δɻ
ఆཧ 5.11[As, Theorem 3.17] K0 (proj A)R ͷ෦෼ू߹ͱͯ͠ɺ
%C + (T ) = K0 (proj A)R \ Wall
T ∈2-silt AͰ͋Γɺࠨล͸࿈݁੒෼΁ͷ෼ղͰ͋Δɻ͞Βʹɺશ୯ࣹ 2-silt A → Chamber(A) ͕ɺ

T 3→ C + (T ) Ͱ༩͑ΒΕΔɻ͜ΕΑΓɺ෦԰͸ඞͣ C + (T ) (T ∈ 2-silt A) ͷ‫ͳܗ‬ͷͰ TF ಉ஋ྨͰ͋ΔɻΏ͑ʹશ୯ࣹ Chamber(A) → TFn (A) ͸࣮͸୯ͳΔ߃౳ࣸ૾Ͱ͋Γɺ{C + (T ) | T ∈ 2-silt A} =Chamber(A) = TFn (A) ͱͳΔɻ͜ͷΑ͏ʹ෦԰ʹ͍ͭͯ͸ 2 ߲४܏ෳମͷਲ਼Ͱ‫׬‬શʹಛ௃෇͚ΒΕΔɻҰํͰɺ2 ߲લ४܏ෳମͷਲ਼·Ͱ‫ؚ‬Ίͯߟ͑ͯ΋ɺ͢΂ͯͷ TF ಉ஋ྨ͕ಘΒΕΔͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ɻ
ఆཧ 5.12[ZZ] ࣍͸ಉ஋Ͱ͋Δɻ(a) K0 (proj A)R =$U ∈2-presilt A C+(U ) Ͱ͋Δɻ(b) 2-presilt A ͸༗‫͋Ͱ߹ूݶ‬Δɻ্ͷ৚݅Λຬͨ͢Α͏ͳଟ‫ ؀ݩ‬A ͸ τ ܏༗‫( ݶ‬τ -tilting finite) Ͱ͋Δͱ͍ΘΕΔɻͦ͏Ͱͳ͍ଟ‫؀ݩ‬͸ଟ͋͘ΓɺͦͷΑ͏ͳ৔߹ʹਲ਼Ҏ֎ͷ TF ಉ஋ྨΛಘΔ͜ͱ͕ɺ࣍ͷ໨ඪͰ͋Δɻ

6 ඪ४෼ղͱ TF ಉ஋ྨ͜ͷষͷ಺༰͸ɺҏࢁमࢯʢ౦‫ژ‬େֶʣͱͷਐߦதͷ‫ڞ‬ಉ‫ͮ͘جʹڀݚ‬ɻ୅਺ଟ༷ମΛ༻͍ͨٞ࿦Λߦ͏ͨΊɺ͔͜͜Β͸ K ͸୅਺ดମͱԾఆ͢Δɻ

12

ఆٛ 6.1[DF, Definition 1.1] θ ∈ K0 (proj A) ͱ͢Δɻ(1) ࣹӨՃ‫ ܈‬P0θ , P1θ ∈ proj A Λɺθ = [P0θ ] − [P1θ ] Ͱ͋Γɺ͔ͭɺP0θ , P1θ ∈ proj A ͕‫ڞ‬௨ͳ௚‫ط‬໿ҼࢠΛ࣋ͨͳ͍Α͏ʹఆΊΔʢಉ‫ܕ‬Λআ͍ͯҰҙతͰ͋Δʣɻ

(2) Hom(θ) := HomA (P1θ , P0θ ) ͱ͓͖ɺ͜ΕΛ θ ͷදۭࣔؒ (presentation space) ͱ‫ݺ‬
ͿɻHom(θ) Λ୅਺ଟ༷ମͱΈͳ͠ɺZariski Ґ૬Λߟ͑Δɻ(3) ֤ f ∈ Hom(θ) ʹର͠ɺ2 ߲ෳମ Pf ∈ Kb (proj A) ΛɺPf := (P1θ −→ P0θ ) ͰఆΊΔɻf

Hom(θ) ͸‫ط‬໿ͳ୅਺ଟ༷ମͰ͋ΓɺͦͷۭͰͳ͍։ू߹্ͷ͢΂ͯͷ‫͍ͯͭʹݩ‬੒Γཱͭੑ࣭ͷ͜ͱΛɺҰൠͷ‫͍ͯͭʹݩ‬੒Γཱͭੑ࣭ͱ‫Ϳݺ‬ɻҎԼ͸ͦͷҰྫͰ͋Δɻ஫ҙ 6.2[P, Lemma 2.16] U ͕‫ج‬ຊతͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ 2 ߲લ४܏ෳମͳΒ͹ɺҰൠͷf ∈ Hom([U ]) ʹର͠ɺPf ∼= U ͱͳΔɻҰൠͷ f ∈ Hom(θ) ʹରͯ͠ɺ2 ߲ෳମ Pf ∈ Kb (proj A) ͕Ͳ͏௚࿨෼ղ͞ΕΔ͔Λ΋ͱʹɺDerksen–Fei ͸ɺGrothendieck ‫܈‬ͷ‫ݩ‬ͷ௚࿨Λಋೖͨ͠ɻ
ఆٛ 6.3(1)[DF, Definition 4.3] θ, θ1 , θ2 , . . . , θm ∈ K0 (proj A) ͱ͢Δɻ!m&m
i=1 θi ͱ͍͏‫߸ه‬ΛɺҰൠͷ֤‫ ݩ‬f ∈ Hom(i=1 θi ) ʹର͠ɺfi ∈ Hom(θi )!
m(i ∈ {1, 2, . . . , m}) ͰɺPf ∼= i=1 Pfi ͱͳΔΑ͏ͳ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱͱఆΊΔɻ&m!m
͜ͷͱ͖ɺ i=1 θi =i=1 θi ͱ΋ॻ͘ɻ(2) θ ͕௚ ‫ ط‬໿ (indecomposable) Ͱ ͋ Δ ͱ ͸ ɺҰ ൠ ͷ f ∈ Hom(θ) ʹ ର ͠ ɺPf ∈Kb (proj A) ͕௚‫ط‬໿Ͱ͋Δ͜ͱΛ͍͏ɻ

Grothendieck ‫܈‬ͷ‫ݩ‬ͷ௚࿨Մೳੑ͸ɺҎԼͷΑ͏ʹಛ௃෇͚ΒΕΔɻ
໋୊ 6.4[DF, Corollary 4.2, Theorem 4.4] θ1 , θ2 , . . . , θm ∈ K0 (proj A) ͱ͢Δɻ͜ͷ!mͱ͖ɺ௚࿨
i=1 θi ͕੒ཱ͢Δ͜ͱ͸ɺ೚ҙͷҟͳΔ i, j ∈ {1, 2, . . . , m} ʹର͠ɺ૊(f, f ! ) ∈ Hom(θi ) × Hom(θj ) Ͱɺ

HomKb (proj A) (Pf , Pf ! [1]) = 0,

HomKb (proj A) (Pf ! , Pf [1]) = 0

ͱͳΔ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δ͜ͱͱಉ஋Ͱ͋Δɻ
Ώ͑ʹɺ

!m

i=1 θi ͸ɺ೚ҙͷҟͳΔ i, j ∈ {1, 2, . . . , m} ʹ͍ͭͯ θi ⊕ θj Ͱ͋Δ͜ͱͱɺ

ಉ஋Ͱ͋Δɻͭ·ΓɺK0 (proj A) ʹ͓͍ͯɺ3 ͭҎ্ͷ‫ݩ‬ͷ௚࿨Մೳੑ͸ɺͦͷதͷͲͷ 2ͭͷ‫ݩ‬΋௚࿨ՄೳͰ͋Δ͜ͱͱ‫͑׵͍ݴ‬ΒΕΔɻҎ্Λ‫ʹݩ‬ɺK0 (proj A) ͷ೚ҙͷ‫ݩ‬ͷඪ४෼ղΛఆٛ͢Δɻ
ఆٛ 6.5 [DF, Definition 4.3] θ1 , θ2 , . . . , θm ∈ K0 (proj A) ͔ͭ θ =13!mi=1 θi Ͱ͋Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺθ =!mi=1 θi ͕ θ ͷඪ४෼ղ (canonical decomposition) Ͱ͋Δͱ͸ɺ֤ i ʹ͍ͭͯ θi ͕௚‫ط‬໿Ͱ͋Δ͜ͱΛࢦ͢ɻҎԼ͸ඪ४෼ղͷ‫ج‬ຊఆཧͰ͋Δɻ
ఆཧ 6.6[DF, Theorem 4.4][P, Theorem 2.7] ೚ҙͷ θ ∈ K0 (proj A) ͸ඞͣඪ४෼ղΛ΋ͪɺͦΕ͸ฒͼସ͑Λআ͍ͯҰҙతͰ͋Δɻ

Grothendieck ‫܈‬ͷ‫ݩ‬ͷ௚࿨ͱ਺஋తͶ͡Εରʹ͸ɺҎԼͷؔ܎͕͋Δɻ͜ͷ݁Ռ͸ɺࢲͱҏࢁࢯ͕ Laurent Demonet ࢯͱ໊‫ݹ‬԰େֶͰձ࿩ͨ͠ࡍʹಘͨɻ
໋୊ 6.7η∈&m

K0 (proj A) ʹ͓͍ͯ௚࿨ θ =i=1 R>0 θi ⊂ K0 (proj A)R ͳΒ͹ɺ

Tη =

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'

i=1

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i=1 θi ͕੒ཱ͍ͯ͠ΔͱԾఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺFη =T θi ,

m
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!mi=1 θi ͕ඪ४෼ղͰ͋Ε͹ɺ&m

i=1 R>0 θi ͸͋ΔҰͭͷ TF ಉ஋ྨʹ‫·ؚ‬ΕΔ͜ͱ͸֬ఆ͢Δɻ໰୊͸͜Ε͕ຊ౰ʹ TF ಉ஋ྨʹҰக͢Δ͔Ͳ͏͔Ͱ͋Δɻ

ࠓͷͱ͜Ζզʑ͸ɺҎԼͷঢ়‫Ͱگ‬ɺඪ४෼ղ͔Β TF ಉ஋ྨΛߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱΛಘ͍ͯΔɻ
ఆཧ 6.8A ͕ҎԼͷ৚݅ͷগͳ͘ͱ΋͍ͣΕ͔Λຬͨ͢ͱԾఆ͢Δɻ(a) ೚ҙͷ θ ∈ K0 (proj A) ͕ θ ⊕ θ Λຬͨ͢ɻ(b) A ͕ඇྠঢ়ͳᝪ Q ͷଟ‫͋Ͱ؀ݩ‬Δɻ
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ँࣙࠓճɺ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝʹ͓͚Δ‫و‬ॏͳߨԋ‫ػ‬ձΛࢲʹͩͬͨ͘͞ɺϓϩάϥϜ੹೚ऀͷ༗໦ਐઌੜͱԼ‫਺ݩ‬അઌੜɺ·ͨγϯϙδ΢Ϝ੹೚ऀͷ৿࿬३ઌੜʹɺ৺ΑΓ‫͍ͨ͠ँײ‬·͢ɻ·ͨɺ୅਺ֶγϯϙδ΢ϜͷӡӦʹ‫ܞ‬Θͬͨ͢΂ͯͷํʑʹ΋ɺ‫ँײ‬ͷҙΛද͠·͢ɻࠓճͷߨԋͷ΋ͱʹͳͬͨ‫ؔ͠ʹڀݚ‬ɺࢲ͸ JSPS Պ‫ݚ‬අ JP16J02249, JP19K14500,

JP20J00088 ͷॿ੒Λड͚͓ͯΓ·͢ɻ͜ΕΒʹՃ͑ͯɺҏࢁमࢯͱͷ‫ڞ‬ಉ‫͍ͯͭʹڀݚ‬͸ɺ
14ҏࢁࢯ͕ JSPS Պ‫ݚ‬අ JP15H05738, JP16H03923, JP18K03209 ͷॿ੒Λड͚͓ͯΓ·͢ɻࢀߟจ‫ݙ‬[AIR]

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16

Toward large Cohen–Macaulay representation theory via
purity中村 力 ∗(東京大学大学院数理科学研究科)
概 要

最初に純移入加群や Ziegler スペクトラム，定義可能部分圏について，背景も含めて簡単な解説を行う．これらの理論の簡単な応用として，balanced big Cohen–Macaulay 加群に関する
興味深い結果を紹介する．後半では Puninski による無限生成 Cohen–Macaulay 表現の試みを
非可換の文脈へと拡張しつつ，理論的な裏付けを与えるための定式化および結果を紹介する．

1

導入

本稿を通して，環は結合的かつ単位元を持つものとする．環 A 上の右加群の単射 L → M が純

(pure) であるとは，任意の左加群 N に対して，誘導される射 L ⊗A N → M ⊗A N が単射であることで定義される．右加群 P が純移入的 (pure-injective) であるとは，全ての右加群の純単射
L → M に対して，誘導される射 HomA (M, P ) → HomA (L, P ) が全射であることをいう．定義により任意の移入加群は純移入加群である．もともとはアーベル群の文脈において，純移入群よりも先に代数的コンパクト性と呼ばれる概念が考えられていた．環 A 上の右加群 M が代数的コンパク
ト (algebraically compact) であるとは，任意の添字集合 I と J ，M の任意の元の族 (mj )j∈J ，そして A の任意の元の族 (aij )i∈I,j∈J であって各 i について有限個の j を除いて aij = 0 を満たすものから定まる連立一次方程式!
j∈J

ai,j Xj = mi (i ∈ I)

に対して，解となる M の元の族 (xi )j∈J が存在するという条件で定められる．この定義は A 加群

M だけに依存するにも関わらず，圏論的に次のように特徴付けられる：
M が純移入的 ⇔ M が代数的コンパクト．

この一般の環上の加群に対する事実は Warfield [War69] で示されている．アーベル群の場合を含めた歴史的なことについては Warfield の論文の他に Huisgen-Zimmermann [HZ00] が詳しい．

加群論的な観点の一つとして純移入加群は，完全余ねじれ対 (perfect cotorsion pair) を余生成

(cogenerate) してくれるという意味で有り難いと言える ([GT12, Corollary 6.22])．また，Beligiannis[Bel00] と Krause [Kra00] の（独立した）仕事によって，コンパクト生成三角圏の対象について純移入性を論じることができる．このことは，(非コンパクトな対象も扱う) 準傾理論の発展に大きく寄与している (例えば [MV18], [AH19], [LV20], [Lak20] を参照)．三角圏における純性について詳
しくは述べないが，本稿の結果の一つでも，この概念を介して紹介する結果がある．
∗ ntsutomu@ms.u-tokyo.ac.jp

代数的コンパクト性に基づいた仕事として最も強調されるべきなのは，Ziegler [Zie84] による加群に対するモデル理論的研究であろう．特に彼は，直既約な代数的コンパクト加群の同型類が（小さい）集合をなし，さらには自然な位相が入ることを証明した．この位相空間は Ziegler スペクトラムと呼ばれる（第 2 節参照）．

一般に無限生成加群を含める場合には，直既約加群の同型類は有限次元代数上であっても集合を為すとは限らない ([Sim05, Theorem 3.1])．この意味で Ziegler スペクトラムは無限生成表現を考える上で理にかなった範囲を提供してくれる．実際，あるクラスの有限次元多元環に対しては直既
約な純移入加群の同型類が分類されている ([PP16])．この分類の中で有限生成加群に付け足す必要があるのが，Prüfer 加群，adic 加群，generic 加群と呼ばれるものである．最後の generic 加群と呼ばれるものは，非有限生成な直既約加群であって，その End 環上で長さ有限であるものを指し，Crawley-Boevey [CB91] によって導入された．彼は代数閉体上の有限次元代数の tame 表現型
を generic 加群を用いて特徴付けている．

可換環論へ視点を変えてみると，環の純拡大（純単射な環準同型）を考えることは基本的かつ重要なことである (例えば [HR74], [Hoc77], [FW89], [HH90] を参照)．特に近年 André [And18] に
よって肯定的に解決された直和因子予想は，正則局所環 R からの可換環の拡大 R ⊆ S であって Sが R 加群として有限生成なものが与えられたとき，これが純拡大であることを示すことと同値であり，André の仕事でもこの観点を念頭に置いていた．その André の論文では任意の可換ネーター
局所環 R 上の big Cohen–Macaulay 加群の存在性も示されている（R が体を含む場合は Hochster[Hoc75] による）．純単射が意識される状況下であれば，純移入加群というクラスに着目した研究が big Cohen–Macaulay (big CM) 加群の理論の周辺に，ある程度存在してもよさそうなものである．しかし実際には（純移入性が暗に機能している場面はあっても），big CM 加群の研究周辺において純移入性を強調した比較的古い文献として挙げることができるのは，Griffith[Gri98] による

small CM 加群の存在性に関する論文ぐらいでなかろうか．

筆者の研究の動機になっているのは，Puninski [Pun18] による Ziegler spectrum を用いた無限生成 CM 表現の試みである．一次元の超曲面の可算 CM 表現型の分類に基づき，A∞ 型と D∞ 型の場合に，“直既約な純移入 CM 加群で非有限生成なもの” を，（おそらく学生であった）Los との共著論文 [LP19] と合わせて分類している．これらの研究は，特別な場合としては上手く行ったのであるが，理論として発展させようとすると，非有限生成な直既約純移入加群の CM 加群を扱う

理由とも言える結果が不足している．本稿では，Artin 代数の場合を参考にしながら，この点を補う結果を紹介させて頂きたい．

残念ながら，筆者がこれらの論文に気づいた時には，Puninski は既に 55 歳の若さで他界されていた (2017 年)．彼の残した研究を，少しでも前に進めることができれば幸いである．

2

Ziegler スペクトラムと定義可能部分圏

A を任意の環とし，Mod A で全ての右 A 加群のなす圏を， mod A で全ての有限表示な右 A 加

群のなす圏を表す．また，A の Ziegler スペクトラムを ZgA で表す．定義により，これは集合としては直既約な純移入右 A 加群の同型類で構成される．本稿では，ZgA の位相は関手圏を使うものを採用する ( [Pre09, Corollary 10.2.45] 参照)．mod A からアーベル群の圏 Ab への加法的関手のなすアーベル圏を (mod A, Ab) で表す．関手 F ∈ (mod A, Ab) が有限表示であるとは，mod A における射 f : L → M と (mod A, Ab) における完全列
HomA (f,−)

HomA (M, −) −−−−−−−→ HomA (L, −) → F → 0

が存在することをいう．fp(mod A, Ab) で有限表示関手のなす (mod A, Ab) の部分圏を表す．これも自然にアーベル圏になる ([Pre09, Proposition 10.2.4])．有限表示関手 F ∈ fp(mod A, Ab) が与−→えられたとき，それを直極限と可換になるように関手 F : Mod A → Ab へと（同型を除いて）一

意的に拡張することができる．実際には，有限表示 HomA (M, −) → HomA (L, −) → F → 0 が与−→えられたとき，N ∈ Mod A に対して F (N ) を射 HomA (M, N ) → HomA (L, N ) の余核で与えればよい．各 F ∈ fp(mod A, Ab) に対して−→(F ) := {N ∈ ZgA | F (N ) '= 0}と定めると，Ziegler スペクトラム ZgA の開基底は {(F ) | F ∈ fp(mod A, Ab)} で与えられる．
−→
F (N ) は N ∈ ZgA の代表元を代入していると解釈せよ．以下でも同様の記法はしばしば用いられ"る (例えば定理 1 の N ∈C N は C の各点の代表元を選んで Mod A の中で直和を取ったもと解釈
されたい)．

Ziegler スペクトラムの位相の意味を理解する上で重要な事実の一つに，加群圏 Mod A の部分圏との対応がある．部分圏 X ⊆ Mod A が定義可能 (definable) であるとは，X が Mod A における無限直積，直極限，そして純部分群 (pure submodule) について閉じていることをいう．最後の条件
は，M ∈ X であって Mod A における純単射 L !→ M が存在したとき，L ∈ X が成り立つことを意味する．ここで採用したものは定義可能部分圏の特徴付けであり，もともとはモデル理論の言葉で定義される ([Pre09, Theorem 3.4.7] 参照)．さて，加群 M ∈ Mod A が与えられたとき，(M ) で Mを含む最小の定義可能部分圏を表すことにする．実は任意の定義可能部分圏はこの形で表すことができる ([Pre09, Corollary 5.1.4])．次の定理は本質的に Ziegler [Zie84] によって示された ([Pre09,

Corollary 5.1.6] 参照)．

定理 1 ZgA の閉集合 C に対して Mod A の定義可能部分圏 (写像"

N ∈C N ) を定める対応は，順序同型∼{ZgA の閉集合 } −→ {Mod A の定義可能部分圏 }を引き起こす．逆写像は X +→ ZgA (X ) := {N ∈ ZgA | N ∈ X } で与えられる．

定義可能部分圏の典型的な例は，左ネーター環上の移入左加群全体や平坦右加群全体である([Pre09, Theorems 3.4.24 and 3.4.28] 参照)．

3

Balanced big Cohen–Macaulay 加群

R を d 次元の可換ネーター局所環，m をその極大イデアルとする．また，M を R 加群とする．

R のパラメータ系であって M 正則列になるものが存在するとき，M は big Cohen–Macaulayであるという．用語の復習をすると，R のパラメータ系 (system of parameters) とは，m の元の列

x = x1 . . . , xd であって，剰余加群 R/(x1 . . . , xd ) の長さが有限になるものをいう．また，x が M

正則列 (M -regular sequence) であるとは，全ての i (1 ≤ i ≤ d) に対して xi が M/(x1 , . . . , xi−1 )Mの非零因子であり (i = 1 のときは (x1 , . . . , xi−1 )M = 0 と見なす)，さらに M/(x1 , . . . , xd )M '= 0が成り立つことである．最後の零にならないという条件を除いた場合は，x は弱 M 正則列と呼ばれる．

以降，Cohen–Macaulay を CM と略記する．もし R 加群 M が有限生成かつ big CM であれば，small CM と呼ばれる．第 1 節で述べたように，任意の可換ネーター局所環 R は big CM 加群を持つことが知られているが，small CM 加群の存在性は未解決である ([Hoc17] 参照)．もし R 加群M に対して R の任意のパラメータ系が M 正則列になっていれば，M は balanced big CM であると呼ばれる．Big CM 加群の m 進完備化は balanced big CM 加群である ([BH98, Corollary

8.5.3])．したがって，任意の可換ネーター局所環 R は balanced big CM 加群を持つ．また，任意のsmall CM 加群が balanced big CM であることは基本的である ([Eis95, Proposition 21.9])．Small

CM 加群は maximal CM とも呼ばれ，これも伝統的な用語であるが，表現論の文脈では便宜上，
maximal CM 加群に零加群を含めることがしばしばある．本稿ではこの慣習に従い，maximal CM
加群は small CM 加群または零加群を意味するものとする．

Holm [Hol17] に倣って，R の任意のパラメータ系が弱 M 正則列になっている R 加群 M のことを weak balanced big CM と呼ぶ．また，wbbCM R で全ての weak balanced big CM 加群のなす Mod R の部分圏を表す．R が CM 局所環 (すなわち R 加群として small CM) であって，双対化複体とみなせる R 加群（標準加群）を持つという仮定のもとで，[Hol17, Theorem D] の証明
は，wbbCM R が直積と直極限と純部分加群で閉じていることを述べている．つまり wbbCM R は

Mod R の定義可能部分圏である．

しかし，定義可能部分圏かどうかということだけに限れば，特別な仮定が無くても証明できる．

命題 2 R を可換ネーター局所環とする．wbbCM R は Mod R の定義可能部分圏である．

この事実と定理 1，そして Hochster と André による (balanced) big CM 加群の存在性を組み合わせると，次を導くことができる．

定理 3 任意の可換ネーター局所環は直既約かつ純移入的な balanced big CM 加群を持つ．

この定理は本稿の後半では用いないが，直既約性に絞っても知られていなかった事実であると思われ，Ziegler スペクトラムの理論の応用として注目に値するので述べさせて頂いた．

さて，本稿の後半の目的を具体的にしていこう．CM 局所環上の maximal CM 加群の表現論 (例えば [Yos90], [LW12] を参照) の無限生成版を思い描いている訳であるが，Puninski のやり方では何かが足りないのであった．一つの課題は [Pun18, Question 10.2] に表れている．彼の無限生成

CM 加群の定義 (第 4 節参照) では，冪級数環 k[[x, y]] のような，これ以上ない綺麗な環であっても，非自明な CM 加群の存在を否定しきれなかったのである．もしそうなってしまうと，特異点の表現論的研究という観点から離れてしまう．これを避けるために，全ての maximal CM 加群を含む “適切” な無限生成加群のクラス X を考え，次の状況を実現したい：(A) R が正則 ⇔ X の全ての直既約な純移入加群が “自然なもの” しか存在しない．

しかし (A) だけでは正則性を測るに留まり，無限生成を取り出す必要がない．実際，CM 局所環が正則であることは，全ての maximal CM 加群が射影的であることと同値であることがよく知られている．もう少し，表現論的に期待できる無限生成の理論を考えるには，何をすべきだろうか？
これを説明するには，古典的な場合を振り返る必要がある．Artin 代数 A とは（非可換）環 A であって，その中心 C が環として artinian かつ A が C 加群として有限生成であることをいうのであった．また，A が有限表現型であるとは，直既約な有限生成右 A 加群が同型を除いて高々有限個だけ存在することを意味する．

定理 4 A を Artin 代数とするとき，次の条件は同値である．

(1) A は有限表現型．

(2) 任意の右 A 加群は有限生成 A 加群の直和で表される.

(3) 全ての直既約かつ純移入的な右 A 加群は有限生成である.

この定理の証明は Prest の本の [Pre09, §5.3.4] に書かれており，Ziegler スペクトラムの位相的情報が有用に機能している．もし “かつ純移入的” を (3) から除けば，上の定理は Ringel と太刀川

[RT74] そして Auslander [Aus76] による結果である．第 1 節でも述べたが，一般の直既約右 A 加群の同型類は集合をなすとは限らないが，直既約かつ純移入的な A 加群の同型類は集合をなす．そのため，(3) はかなり範囲を絞ることが出来ていると言える．この事実は大切さは次の系からわかる．

系 5 A を Artin 代数とするとき，次の条件は同値である．

(i) A は無限表現型．

(ii) 直既約かつ純移入的な右 A 加群で非有限生成なものが存在する．

この結果は，無限表現型を持つ Artin 代数の研究において，純移入加群というクラスに関心を持たせる動機を与えるものである．

さて，Puninski の試みに残るもう一つの課題は，上の系に相当する結果が CM 表現には存在しなかったことである．本稿ではこの課題を解決する結果を報告することを目標とする：(B) 系 5 の CM 表現版を与えよ．

次の節では整環上の CM 表現を視野に入れるために，まず非可換環を扱う状況へと移行し，そして (A) について取り組む．(B) についてはその次の節で論じる．

4

平坦余ねじれ加群の分類と Govorov–Lazard 型定理

R を可換ネーター環とする．環 A に対して環準同型 R → A が備わっており，その像が A の中心に含まれ，かつ A が R 加群として有限生成であるとき，A は Noether R 代数であるという．

R を CM 環（つまり，R の全ての極大イデアル m に対して局所化 Rm が CM 局所環），A を

Nother R 代数とする．R の全ての極大イデアル m に対して局所化 Am = A ⊗R Rm が Rm 加群

として maximal CM であるとき，A を R 整環 (R-order) と呼ぶ ([Aus78, Aus86, CR81, IW14] 参照)．A が R 整環であるとき，有限生成 A 加群 M が maximal CM であるとは，R の全ての極大イデアル m に対して，Mm が Rm 加群として maximal CM であることで定義する．また，全てのmaximal CMA 加群のなす Mod A の部分圏を CM A で表す．R が局所環であって A 加群 M が R
加群として small CM であるときは，M を small CM A 加群と呼ぶ．

可換ネーター局所環 (R, m) 上の加群 M に対して M の深さ (depth) は次で定義される．

depthR M := inf{i | ExtiR (R/m, M ) '= 0}.

ただし，{i | ExtiR (R/m, M ) '= 0} = ∅ の場合は depthR M = ∞ と解釈する．有限生成加群に対する正則列と深さのよく知られた関係 ([Mat89, Theorem 16.7]) によって次の等式が成り立つ：

CM A = {M ∈ mod A | depthRm Mm ≥ dim Rm ∀m ∈ Max R}.

ここで dim Rm は Rm の Krull 次元を，Max R で R の全ての極大イデアルの集合を表す．
我々の目的のために次の用語を導入しよう．

定義 6 R を CM 環，A を R 整環とする．A の右 A 加群 M が depthRp Mp ≥ dim Rp を R の全ての素イデアルに対して満たすとき，M を large CM A 加群と呼ぶ．全ての large CM A 加群のな
す Mod A の部分圏を LCM A で表す．

有限生成加群に対する深さの基本的事実 ([BH98, Proposition 2.1.3(b)]) から，次の等式が従う：

CM A = mod A ∩ LCM A.

さらに，一般の加群に対する深さの性質を丁寧に考察すると，次を示すことができる．
命題 7 R を CM 環，A を R 整環とする．LCM A は Mod A の定義可能部分圏である．

上の命題については，R が CM 環であることや A が R 整環という仮定は本質的ではない．特に，任意の可換ネーター環 R に対して LCM R := {M ∈ Mod R | depthRp Mp ≥ dim Rp ∀p ∈Spec R} と定めると，LCM R は Mod R の定義可能部分圏になる．また，R が局所環である場合に，wbbCM R ⊆ LCM R が成り立つ．等号が成り立つ特徴づけも与えられるが，ここでは割愛する．例

えば R が CM 局所環であれば十分である．また，R が一次元であっても等号が成立する．実は，Puninski が CM 加群とみなした定義可能部分圏は C := {M ∈ Mod R | depthR M ≥ dim R} であり，Krull 次元が 1 以下ではこのクラスも wbbCM R も LCM R も全て一致することが可換環論の基本的な議論で確認ができる．2 次元以上になると，例えば高さ 1 の素イデアル p に対して移入包絡 ER (R/p) が C に入ってきてしまうので，C は大きすぎる印象がある．Puninski と Holm の仕事に動機付けられ，wbbCM R と比較しながら，C について調べている論文もある ([Bir20])．

話をもとに戻そう．命題 7 は定理 1 によって A の Ziegler スペクトラム ZgA の閉集合 {M ∈ZgA | M ∈ LCM A} を与える．この閉集合を ZgA (LCM) で表そう．R 整環 A に対して包含関係

Flat A ⊆ LCM A を確認することは難しくない．また，Flat A も Mod A の定義可能部分圏なので，定理 1 によって閉集合 ZgA (Flat) := {M ∈ ZgA | M ∈ LCM A} が与えられる．さらにこの定理 1の主張から，包含関係

ZgA (Flat) ⊆ ZgA (LCM)を得る．この左辺が完全に分類できることを説明しよう．

環 A 上の加群 M が余ねじれ (cotorsion) であるとは，全ての平坦 A 加群 F に対して Ext1A (F, M ) =0 が成り立つことで定義される．Enochs [Eno84] は平坦余ねじれ加群 (flat cotorsion module) の構
造定理を任意の可換ネーター環上で与えている．筆者と神田遼氏との共同研究 [KN21] では，この構造定理を任意のネーター代数へと拡張した．この帰結として，直既約な平坦余ねじれ加群の分類が得られる．また，ネーター代数上では加群が平坦かつ余ねじれであることと平坦かつ純移入的であることは同値であることに留意されたい ([EJ00, Lemma 5.3.23], [Xu96, Lemma 3.2.3])．したがって，A が R 整環であるときに ZgA (Flat) は直既約な平坦余ねじれ加群の同型類のなす集合である．

神田氏との分類結果を正確に述べるための準備をしよう．R を可換ネーター環，A を Noether R

代数とし，その構造を与える写像を ϕ : R → A で表す．A の真の (両側) イデアル P が，任意の元

a, b ∈ A に対して条件 aAb ⊆ P が a ∈ P または b ∈ P を導くとき，P は素イデアルであると呼ばれる．Spec A で A の素イデアル全体の集合を表す．このとき，次の全単射の存在が知られている：∼
Spec A −→ { 直既約右移入 A 加群 }/∼=この対応は P ∈ Spec A に対して，A/P の移入包絡 EA (A/P ) の直既約因子 IA (P ) を対応させることで与えられる．さて，P ∈ Spec A に対してTA (P ) := HomR (IAop (P ), ER (R/p))と定める．ただし，Aop は A の反転環 (opposite ring) を表し，p := ϕ−1 (P ) である．p は R の素イデアルになっていることが確認できる．

定理 8 ([KN21, Corollary 6.2]) R を可換ネーター環，A を Noether R 代数とする．対応 P +→TA (P ) は次の全単射を引き起こす：∼Spec A −→ { 直既約平坦余ねじれ右 A 加群 }/∼=例 9 ([KN21, Example 6.3]) A を可換ネーター環 R 上の 2 × 2 下三角行列環とする．つまり
#
$
R 0
A=
.
R R
各 p ∈ Spec R に対して

P1 (p) :=

#

p

0

R

R

$

and

P2 (p) :=

#

R

0

R

p

$

と定める．このとき

Spec A = {P1 (p) | p ∈ Spec R} 3 {P2 (p) | p ∈ Spec R}が成り立つ．さらに，%&p
TA (P1 (p)) = R

0

'

and

%
&p
TA (P2 (p)) = R&p := limと表すことができる．ただし R
R /pn Rp ．
←−n≥1 p&p
R'

系 10 R を CM 環，A を R 整環とする．自然な全単射が存在する．

ZgA (Flat) ∼= {TA (P ) | P ∈ Spec A}

この系によって，閉集合の包含関係 ZgA (Flat) ⊆ ZgA (LCM) の左辺は理解できたことになる．この等号が成り立つときを特徴づけよう．R 整環が非特異 (non-singular) であるとは R の全ての極大イデアル m に対して，Am の大域次元が dim Rm と一致することで定義される．

定理 11 ([Nak21b]) R を Krull 次元有限な CM 環で標準加群を持つとし，A を R 整環とする．

(1) M を A 加群とするとき，次が成り立つ：

M が large CMA 加群 ⇔ M は maximal CMA 加群の直極限.

(2) A が非特異 ⇔ Flat A = LCM A．

R = A で R が標準加群を持つ CM 局所環の場合には，(1) は Holm [Hol17, Theorem B] が証明している．我々の設定でも証明の大きな方針はそれほど変わらず，ωR を R の標準加群としたとき，

A の ωA := HomR (A, ωR ) による自明拡大環と Gorenstein 平坦加群の概念を介することが鍵である．しかし，実際には同じように進まない部分が幾つかあり，神田氏との共同研究 [KN21] で整理された平坦余ねじれ加群に対する事実などを丁寧に組み合わせる必要がある．また，R が CM 局
所環の場合には wbbCM R = LCM R が成り立つため，R = A で R が標準加群を持つ CM 局所環の場合には，(2) も本質的に Holm [Hol17, Proposition 4.9] が示している．

(1) の事実を記号的に表せば，lim CM A = LCM A と書ける．これは Govorov–Lazard 型の定理−→
が成り立っていると言える．Govorov–Lazard の定理は，lim proj A = Flat A を主張するものであ−→り，他の同様の事実としては lim mod A = Mod A が挙げられる．
−→(2) は (1) を用いながら次のように導かれる．まず A が非特異である場合は，proj A = CM A が成り立つ ([IW14, Proposition 2.17])．従って (1) と Govorov–Lazard の定理により Flat A = LCM Aを得る．逆に Flat A = LCM A であれば，mod A ∩ Flat A = proj A かつ mod A ∩ LCM A = CM A
から proj A = CM A を得るので，A は非特異である ([IW14, Proposition 2.17])．

系 12 R を Krull 次元有限な CM 環で標準加群を持つとし，A を R 整環とする．このとき次が成り立つ：

A が非特異 ⇔ ZgA (Flat) = ZgA (LCM).

もし R = A であれば，A が非特異であることは R が正則であることを意味する．したがって，

第 3 節で (A) として述べた課題は，系 10 と系 12 によって X = LCM A とすることで自然に解決されることが分かる．

5

無限 CM 表現型と直既約純移入 balanced big CM 加群

この節では (R, m) を完備な Gorenstein 局所環とする（つまり m 進完備な可換ネーター局所環

R であって R 加群としての移入次元が有限になるもの）．Gorenstein 局所環は CM 局所環である([Mat89, Theorem 18.1])．R 整環 A が Gorenstein であるとは，HomR (A, R) が右 A 加群として射影的であることで定義される．この条件は A が Iwanaga–Gorenstein であることを導くが ([IW14,

Lemma 2.1] 参照)，逆は一般には成り立たない．R を完備にしておく理由は Krull-Schmidt 性を含めて幾つかあり，特に Matlis 双対によって全ての有限生成 A 加群が純移入的になることは，我々の観点としては重要である．

Gorenstein R 整環 A 上の右 A 加群 M が Gorenstein 射影加群であるとは，ExtiA (M, P ) = 0 が全ての射影 A 加群 P と i ≥ 1 に対して成り立つことで特徴付けられる ([EJ11, Corollary 11.5.3]).

Gorenstein 射影加群のなす Mod A の部分圏を GProj A で表す．GProj A は Frobenius 圏であって，射影的かつ移入的対象は射影 A 加群で与えられる（例えば [Pér16, Corollary 11.2.6] または [Che11,

Proposition 3.1 and p. 207] を参照）．したがって，差を取って射影 A 加群を経由する任意の 2つの射を同一視することで安定圏 GProj A が得られ，これは三角圏の構造を自然に持つ ([Hap88,§2])．GProj A の対象は GProj A と同じものである．また，GProj A はコンパクト生成三角圏になっており，そのコンパクト対象は有限生成な Gorenstein 射影 A 加群で与えられる (例えば [Che11,

Theorem 4.1] 参照)．Beligiannis [Bel00] と Krause [Kra00] の仕事によって，コンパクト生成三角圏に対しても（直既約な純移入対象によって構成される）Ziegler スペクトラムを定義することができる．これも小さい集合をなし，関手圏を通して自然な位相が入る．

これらの事実および Rosanna Laking 氏（[Nak21a] の appendix を執筆）の結果を用いながら，以下の定理を証明した．Gorenstein R 整環 A に対して，直既約な small CM A 加群が同型を除いて高々有限個存在するとき，A は有限 CM 表現型を持つという．

定理 13 ([Nak21a]) A を Gorenstein R 整環とする．次が同値である．

(1) A は有限 CM 表現型を持つ．

(2) 全ての Gorenstein 射影 A 加群は有限生成 Gorenstein 射影加群の直極限として表せる．
(3) 安定圏 GProj A の全ての直既約な純移入的対象はコンパクトである．

(1) と (2) の同値性は R = A の場合を扱っている Beligiannis [Bel11, Theorem 4.20] の部分的な一般化である．また，(1) と (2) の同値性は Psaroudakis と Rump の最近の結果 [PR22, Corollary5.14] からも導くことができる．彼らの結果はかなり一般的な視点から展開した理論の帰結であり，Rump のもう一つの仕事 [Rum21] に本質的に依存していることに言及しておく．

もう少し既存の結果に言及しておこう．Chen は [Che08, Main theorem] Iwanaga–Gorenstein

Artin 代数に対して，直既約な有限生成 Gorenstein 射影加群が同型を除いて高々有限個であることと，条件 (2) が同値であることを示している．我々の R を artinian にした場合，Gorenstein R

整環は準 Frobenius R 代数 (ネーターかつ自己移入的) になる．この場合の定理 13 は，定理 4 とKrause [Kra00, Proposition 1.16] から導くことが出来る．R が artinian でない場合は, 定理 13 の

(3) は新しい特徴づけであり，これが一番重要な点である．実際，我々は次の同値性を得る（無限CM 表現型は有限 CM 表現型の否定を意味する）：

A は無限 CM 表現型を持つ ⇔ GProj A に直既約な純移入的対象で非コンパクトなものが存在．

系 5 の CM 版を与えるためには，あと何が足りないのであろうか．実はこの足りない部分は割と大きい．問題の本質は，無限生成射影 A 加群が，一般には加群としては純移入的にならないことである．これが原因で安定圏 GProj A から加群圏 Mod A に直接戻ってくることがほぼ絶望的になる．しかし直接戻ってこれないとはいえ，GProj A を平坦余ねじれ加群に対応する別の安定圏に圏同値で移すことが可能である ([CET21] 参照)．これで状況は良くなるが，そこから最後まで議論を詰めるのは（筆者の認識では）かなり大変である．これ以上は技術的になってしまうので，本稿では説明を省略し，以下の結果に辿りつくことが可能であることを報告するに留める．A 上の加
群 M が R 加群として balanced big CM であるとき，M を balanced big CM A 加群と呼ぶ．
定理 14 ([Nak21c]) A を Gorenstein R 整環とする．このとき次が同値である．

1. A は有限 CM 表現型を持つ.

2. 全ての直既約な純移入 balanced big CM A 加群が有限生成である.

定理 13 はこの結果に至るために必要であったことに言及しておく．定理 14 から直ちに次が従う：

A は無限 CM 表現型を持つ ⇔ 直既約な純移入 balanced big CM 加群で非有限生成なものが存在．
これで第 3 節で (B) として述べた課題に対する一つの回答を与えたといえる．

Gorenstein 整環は自己移入的なアルティン代数の拡張であったが，読者によっては遺伝的（大域次元が 1）なアルティン代数の拡張はどうなのかと思うかもしれない．実際には，環の大域次元が有限の場合は Gorenstein 射影加群が射影加群のみになるため，安定圏は自明になってしまうという事情がある．したがって，別の角度からの取り組みが必要になる．A を R 整環するとき，A が非孤立特異点を持つとは，R の極大イデアル m 以外の素イデアル p ∈ Spec R が存在して，Ap の大域次元が dim Rp より真に大きくなることで定義される．

定理 15 A を大域次元有限の R 整環とする．もし A が非孤立特異点を持てば，直既約な純移入

balanced big Cohen–Macaulay A 加群で非有限生成なものが存在する．

この定理に関しては具体例を見てみよう．A が非孤立特異点を持つときは，A は無限 CM 表現型になることに注意されたい ([Aus86, §10, Theorem], [Yos90, Theorem 4.22] 参照)．

例 16 k を体とし，R を一変数の冪級数環 k[[x]] とする．Q で R の商体を表し，R 整環
#
$
R 0
A :=
.
R R
を考える．dim Q = 0 であるが A(0) = A ⊗R Q の大域次元は 1 なので，A は非孤立特異点を持つ．
非射影的な直既約 small CM 右 A 加群のリストは，同型を除いて
%
'
%
'
R R
'
R (xn ) , %R 0

で与えられる%' (n ≥ 1)．直既約な純移入的 balanced big CMA 加群で非有限生成なものは，例えば
Q (xn ) (n ≥ 1) で与えられ，これらは全て平坦 (余ねじれ) ではない. つまり，ZgA (LCM) \ZgA (Flat) の点になっている．

上のリストで ZgA (LCM) \ ZgA (Flat) の balanced big CM の点が全て尽くされているかは，まだわかっていない．それでも上の例は，Puninski の研究を非可換化したことで自然に見つかるものとして意義がある．今後は定理 14 の対偶に関する具体例の構成が優先的な課題となる．

定理 14 によって一応は，Puninski の残した研究に対する理論的裏付けを部分的に与えることができた．彼と共著者のさらなる考察は，Ringel [Rin00, Rin11] が特定の有限次元代数に対して導入した “Auslander–Reiten quilt” と呼ばれる概念へと向けられている ([Pun18], [LP19])．Auslander–

Reiten quilt は，直既約かつ純移入的な非有限生成加群を加えながら Auslander–Reiten quiver の
連結成分同士の関係を理解しやすいように編み込むものであり，無限生成表現論の興味深い方向性と言える．Puninski 達は Auslander–Reiten quilt の無限生成 CM 表現における類似物を具体的な状況で構成しており，これを Ringel の場合と統一した理論として解釈できるようにすることは，筆者にとって今後の課題の一つである．

謝辞

第 66 回代数学シンポジウムでの講演の機会を与えてくださった責任者の先生方に，心より感謝

申し上げます．本研究の一部は JSPS 特別研究員奨励費 JP20J01865 の助成を受けています．

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प‫ੵظ‬෼ͷຬͨ͢ඍ෼ํఔࣜͱ K3 ϥϜμؔ਺ࡉ໺ɹ೜ ʢֶशӃେֶʣ

1 ͸͡Ίʹ
ପԁ‫ۂ‬ઢͷΞʔϕϧඍ෼Λ 1 αΠΫϧͰੵ෼ͨ͠΋ͷ͕ (ପԁ‫ۂ‬ઢͷ) प‫ੵظ‬෼Ͱ͋Δ͕ɼପԁ‫ۂ‬ઢͷ଒Λߟ͑Δͱɼप‫ੵظ‬෼͸଒ͷύϥϝʔλʔ্ۭؒͷଟՁؔ਺ͱͳΔɽ̎ͭͷಠཱͳ੔αΠΫϧʹؔ͢Δप‫ੵظ‬෼͸प‫ྻߦظ‬ΛఆΊͯɼ·ͨͦΕΒͷൺ͸্൒ฏ໘ʹ஋ΛऔΔप‫૾ࣸظ‬ΛఆΊΔɽैͬͯप‫૾ࣸظ‬͸ύϥϝʔλʔ্ۭؒͷଟՁؔ਺ͱͳΔ͕ɼͦͷଟՁੑ͸্൒ฏ໘ͷ෼ׂͱͯ͠” ៉ྷʹ” ද‫͞ݱ‬ΕΔɽϧδϟϯυϧ଒ͱ‫ݺ‬͹ΕΔಛผͳ (͍҃͸ࣗવͳ) ଒͔ΒಘΒΕΔ্൒ฏ໘ͷ෼ׂ͸ɼ্൒ฏ໘ͷϞδϡϥʕؔ਺Ͱ͋ΔϥϜμؔ਺ΛఆΊΔ͕ɼ͜Εʹ͍ͭͯ͸ςʔλؔ਺Λ༻͍ͨඇৗʹ۩ମతͳද͕ࣔ‫͔͘ݹ‬Β஌ΒΕ͍ͯΔɽҰൠʹɼଟՁؔ਺ͷ࣋ͭଟՁੑΛ (ద౰ͳྖҬΛ‫͚ͦͯͭݟ‬ͷ) ྖҬͷ෼ׂʹΑ࣮ͬͯ‫͢ݱ‬Δ͜ͱ͸ɼʮҰҙԽ໰୊ʯͳͲͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔɽଟՁؔ਺ΛଟՁࣸ૾ʹஔ͖‫͑ߟͯ͑׵‬Δ͜ͱ͸ࣗવͳ֦ுͱߟ͑ΒΕΔ͕ɼ٢
ాਖ਼ষࢯͷஶॻ [16] Ͱ͸ɼϧδϟϯυϧ଒ͷ֦ுͰ͋Δ K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ʹ͍ͭͯɼͦͷप‫૾ࣸظ‬ͷଟՁੑͱͦͷҰҙԽ໰୊ʹؔ͢Δ٢ాਖ਼ষࢯͱ‫ڞ‬ಉ‫ऀڀݚ‬ΒʹΑΔҰ࿈ͷඒ͍͠੒Ռ͕·ͱΊΒΕ͍ͯΔɽ͜ͷΑ͏ͳઃఆͰ͸ɼ‫ݹ‬యతͳପԁϥϜμؔ਺͸ɼK3 ‫ۂ‬໘ͷप‫ྖظ‬Ҭ্ʹఆٛ͞ΕΔอ‫֦ʹ਺ؔܕ‬ு͞ΕΔ͕͜ΕΛඪ୊Ͱ͸ʮK3 ϥϜμؔ਺ʯͱ‫ݺ‬Μͩɽ͔͠͠ͳ͕Βɼจ‫[ ݙ‬16] ͱͦͷࢀߟจ‫͍͓ͯʹݙ‬͸ɼK3 ϥϜμؔ਺ͷఆٛͱଘࡏ (͋Δ͍͸ಛ௃෇͚) ͸ࣔ͞Ε͍ͯΔͷͰ͋Δ͕ɼͦͷ۩ମతͳදࣔ͸༩͑ΒΕ͍ͯͳ͔ͬͨɽ
ߨԋͰ͸ɼ1990 ೥୅ʹචऀΒ͕ [7, 8] ʹ͓͍ͯผͷಈ‫͔ػ‬Β੔උͨ͠प‫ੵظ‬෼͕ຬͨ͢ඍ෼ํఔࣜͱղͷߏ੒๏Λ͜ͷ໰୊ʹ౰ͯ͸ΊΔ͜ͱʹΑͬͯɼʮK3 ϥϜμؔ਺ͷ۩ମతͳදࣔʯΛ༩͑Δ͜ͱ͕ग़དྷͨͷͰɼͦͷ݁ՌΛใࠂͨ͠ɽৄࡉͳ‫ࢉܭ‬͸ɼ‫ൃʹط‬දࡁΈͷ࿦จ [9, 10] ʹҕͶΔ͜ͱʹͯ͠ɼҎԼͰ͸ͦͷ݁ՌΛத৺ʹུͯ֓͠Λ·ͱΊΔ͜ͱʹ͢Δɽ

2 ϧδϟϯυϧ଒ͱପԁϥϜμؔ਺
2.1 ϧδϟϯυϧ଒ࣹӨ௚ઢ P1 ͷ̐఺Ͱ෼‫͢ذ‬Δ 2 ॏඃ෴͸ପԁ‫ۂ‬ઢΛఆΊΔɽ̐఺ͷΞϑΟϯ࠲ඪΛ a1 , a2 , a3 , a4 Λද͢ͱ͖ɼ2 ॏඃ෴͸y 2 = (z − a1 )(z − a2 )(z − a3 )(z − a4 )ʹΑͬͯද͞ΕΔɽ͜͜Ͱ̐఺͕ P1 ্Λಈ͘ͱ͢Δͱɼ4 ఺ͷ഑ஔۭؒ M4 ্ʹପԁ‫ۂ‬ઢͷ଒͕ಘΒΕɼ͜ΕΛϧδϟϯυϧ଒ͱ‫ݺ‬ΜͰ͍Δɽ̐఺഑ஔͷۭؒ M4 ͸ɼඇௐ࿨ൺ

!
!1(a2 − a3 )(a1 − a4 )[a2 a3 ][a1 a4 ]x==, ([ai aj ] := !!
ai(a1 − a3 )(a2 − a4 )[a1 a3 ][a2 a4 ]
1

!
1 !!
)
aj !

(2.1)

ΛΞϑΟϯ࠲ඪͱ͢ΔࣹӨ௚ઢ P1 ʹࣗવʹίϯύΫτԽ͞ΕΔͷͰɼϧδϟϯυϧ଒͸ P1 ্ͷ଒Ͱ͋Δɽ଒ͷ x ∈ P1 \ {0, 1, ∞} ্ͷϑΝΠόʔΛ Ex ͱද͠ɼ͞Βʹ‫ ఺ى‬xo ∈ P1 ΛఆΊΔͱ͖ɼ͜ͷ଒ͷप‫ੵظ‬෼͸

dx
=
γ y

ˆ

dx
"
(γ ∈ H1 (Exo , Z))(z − a1 )(z − a2 )(z − a3 )(z − a4 )γˆͱද͞ΕɼP1 ্ͷଟՁؔ਺ wγ (x) ΛఆΊΔɽϧδϟϯυϧ଒͸ɼ‫͔͘ݹ‬Β͜ͷप‫ੵظ‬෼ͷຬͨ͢ඍ෼ํఔࣜ
ͱ‫ʹڞ‬ௐ΂ΒΕͯଟ͘ͷ‫ݹ‬యతͳ݁Ռ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽྫ͑͹ɼप‫ੵظ‬෼͸ඍ෼ํఔࣜ

# 2
1 $
d
θx − x(θx + )2 w(x) = 0 , (θx := x )
2
dx

(2.2)
w (x)

ͷ੔ղ (Ϟϊυϩϛʔ͕੔ͱͳΔΑ͏ͳղ) ͱͯ͠ಛ௃͚ͮΒΕɼͦΕΒͷൺͱͯ͠प‫ ૾ࣸظ‬τ = w10 (x) ͕ఆΊΒΕΔɽप‫૾ࣸظ‬͸प‫ྖظ‬Ҭͱͯ͠ͷ্൒ฏ໘ H+ ΁ͷࣸ૾P : M4 → H+ , x %→ [w0 (x), w1 (x)] = [1, τ (x)](2.3)ΛఆΊΔɽ͞Βʹɼप‫૾ࣸظ‬ͷଟՁੑ͸্൒ฏ໘΁ͷओ߹ಉ෦෼‫ ܈‬Γ(2) ⊂ Γ := PSL(2, Z) ͷ࡞༻ͱͯ͠දw (x)‫͞ݱ‬ΕͯɼଟՁੑ͕ H+ ͷ෼ׂʹΑͬͯද‫͞ݱ‬ΕΔ͜ͱʹͳΔɽ͜ͷ͜ͱ͔Βɼؔ܎ࣜ τ = w10 (x) ͷ‫܎ؔٯ‬x = λ(τ ) ͸ H+ ্ͷ Γ(2) ʹؔ͢ΔϞδϡϥʕؔ਺ΛఆΊΔ͜ͱʹͳΔɽ

2.2 ପԁϥϜμؔ਺ͱͦͷੑ্࣭൒ฏ໘ H+ ্ͷਖ਼ଇؔ਺ͱͯ͠ςʔλؔ਺͕ଘࡏ͢Δɿθ2 (τ ) =%1 2

q (m+ 2 ) , θ3 (τ ) =

n∈Z

%

2

q n , θ4 (τ ) =

n∈Z

%

2

(−1)n q n (q = eπiτ ).

n∈Z͜ΕΒͷؔ਺ͷ΂͖ θ2 (τ )4 , θ3 (τ )4 , θ4 (τ )4 ͸ Γ(2) ʹؔͯ͠΢ΤΠτ͕̎ͷϞδϡϥʕ‫ͳͱࣜܗ‬ΓɼΓ(2) ʹؔ͢ΔϞδϡϥʕ‫ࣜܗ‬ͷ੒͢‫ ؀‬MΓ(2) Λੜ੒͢ΔɽMΓ(2) ͸ؔ܎ࣜ θ2 (τ )4 − θ3 (τ )4 + θ4 (τ )4 = 0 ͷԼͰ࣍਺෇
͖‫͍ͯͯͬͳͱ؀‬ɼ͜ΕʹରԠ͢ΔࣹӨଟ༷ମ͕ M4 ͷίϯύΫτԽ P1 ʹҰக͍ͯ͠ΔɽପԁϥϜμؔ਺ʹ͍ͭͯ࣍ͷੑ࣭͕‫ݹ‬యతʹ஌ΒΕ͍ͯΔʀ

1. λ(τ ) ͸ςʔλؔ਺Ͱද͞Εͯ τ = i∞ ʹ͓͍ͯ࣍ͷ q ల։Λ࣋ͭ
λ(t) =

θ2 (τ )4
= 16q − 128q 2 + 704q 3 − 3072q 4 + · · ·θ3 (τ )4

(2.4)

+b
2. 3 ࣍ͷରশ‫΁܈‬ͷಉ‫ ܕ‬Γ/Γ(2) ' S3 ͕੒Γཱͪɼg ∈ Γ ͷ࡞༻ τ %→ g · τ = aτcτ +d ͷ΋ͱͰ

e
λ

(1 2)

(2 3)

1
λ

λ
λ−1

(2 3)(1 2)
1 − λ1(1 2)(2 3)
1
1−λ

(1 3)
1−λ

(2.5)

ͷΑ͏ʹม‫͢׵‬Δɽ͜͜Ͱ (i j) ͸‫׵ޓ‬Λද͠ɼΓ/Γ(2) ' S3 ͷ΋ͱͰରԠ͢Δ S3 ͷ‫ݩ‬Λද͢ɽ

3. ඍ෼ํఔࣜ (2.2) ͷਖ਼ଇղͰ͋Δ௒‫ز‬Կ‫ ਺ڃ‬w0 (x) ʹ x = λ(τ ) Λ୅ೖ͢Δͱ͖w0 (λ(τ ))2 = θ3 (τ )4 ,&w0 (x) =͕੒Γཱͭɽ

2%

1 Γ(n + 12 )2 nx
Γ( 12 )2 Γ(n + 1)
n≥0

'

(2.6)

஫ҙ 2.1. (1) ੑ࣭ 2 Ͱ͸ɼରশ‫ ܈‬S3 ͕ Γ/Γ(2) ΁ͷಉ‫ܕ‬Λ௨ͯ͠‫ݱ‬Ε͍ͯΔɽҰํͰɼඇௐ࿨ൺ x =(a2 −a3 )(a1 −a4 )(a1 −a3 )(a2 −a4 ) ΁ 4 ఺ͷஔ‫ ͯ͠ͱ׵‬S4 ͕࡞༻͢Δ͕ɼ‫ݻ‬ఆԽ‫ '( ܈‬Z2 × Z2 ) ʹΑΔ৒༨ͱͯ͠ S3 ͕‫ݱ‬Εͯɼx = λ(τ ) ͷؔ܎ͷԼͰ (2.5) ͱಉ͡࡞༻͕ಘΒΕΔɽ(2) ੑ࣭ 3 ͸ɼप‫ੵظ‬෼ w0 (x) ͕ϗοδ௚ઢଋͷ੾அΛද͍ͯ͠Δ͜ͱʹ༝དྷ͍ͯ͠Δɽ
ϧδϟϯυϧ଒Λ K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ʹ֦ுͯ͠ɼ্ͷ̏ͭͷੑ࣭̍ʙ̏ʹ͍ͭͯରԠ͢Δ۩ମతͳදࣜΛॻ͖ग़͢͜ͱ͕ 90 ೥୅ʹ٢ాਖ਼ষࢯΛ࢝Ίͱ͢Δ‫ڞ‬ಉ‫ʹͪͨऀڀݚ‬ΑͬͯࢼΈΒΕͨɽৄࡉͳ‫͞ͳ͕ڀݚ‬Εͨ (จ‫ݙ‬[16] ࢀর) ͕ɼ໌ࣔతͳදࣔʹ·Ͱ͸ࢸ͍ͬͯͳ͔ͬͨɽඍ෼ํఔࣜͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͱͦͷಛҟ఺ղফ͓Αͼ‫ॴہ‬ղͷߏ੒ʹؔ͢Δ෦෼͕ෆ଍͍ͯͨͨ͠ΊͰ͋ΔΑ͏ʹࢥΘΕΔɽҰํͰɼಉ͘͡ 90 ೥୅ʹϛϥʔରশੑͷ‫͔ڀݚ‬Βɼඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͱͦͷಛҟ఺ղফͱ‫ॴہ‬ղͷߏ੒ʹؔ͢Δ‫ਂ͕ڀݚ‬ΊΒΕͨ (จ‫[ ݙ‬7, 8] ࢀর)ɽ౰͔࣌Β 20 ೥Ҏ্͕‫ܦ‬աͯ͠͠·͕ͬͨɼจ‫[ ݙ‬9, 10] ʹ͓͍ͯɼ͜ΕΒͷ̎ͭΛ߹ΘͤΔ͜ͱʹΑͬͯ̏ͭͷੑ࣭̍ʙ̏ʹରԠ͢Δඇৗʹ۩ମతͳ݁Ռ͕ಘΒΕͨɽ

3 K3 ‫ۂ‬໘΁ͷ֦ு
3.1 6 ௚ઢͰ෼‫͢ذ‬Δ 2 ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ࣹӨ௚ઢͷҰൠͷҐஔʹ͋Δ̐఺Ͱ෼‫͢ذ‬Δ 2 ॏඃ෴͸ɼପԁ‫ۂ‬ઢΛఆΊͨɽ͜ΕΛ֦ுࣹͯ͠Өฏ໘ P2
ͰҰൠͷ഑ஔʹ͋Δ 6 ຊͷ௚ઢͰ෼‫͢ذ‬Δ‫ۂ‬໘Λߟ͑Δͱɼ‫ۂ‬໘͸௚ઢͷަ఺ʹରԠ͢Δ 15 ఺Ͱ A1 ‫ܕ‬ͷಛҟ఺Λ࣋ͭɽ͜ΕΒͷಛҟ఺Λ blow up ͯ͠ಘΒΕΔ‫ۂ‬໘͸ඇಛҟͳ K3 ‫ۂ‬໘ΛఆΊΔɽ͜͏ͯ͠ɼ6 ຊͷ௚ઢͷ഑ஔۭؒΛύϥϝʔλͱ͢Δ K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒͕ಘΒΕΔ͕ɼ͜ͷ଒͸ϧδϟϯυϧ଒ͷ 2 ࣍‫΁ݩ‬ͷ֦ுͱߟ͑ΒΕɼͦͷΑ͏ͳࢹ఺͔Β 90 ೥୅ʹਂ͘ௐ΂ΒΕͨͷͰ͋ͬͨ [12]ɽࣹӨฏ໘ P2 ͷ௚ઢ͸૒ରͳ఺Ͱද
‫͖Ͱݱ‬ΔͷͰɼಉҰࢹ P2 ≡ (P2 )∗ ͷԼͰɼ6 ຊͷ௚ઢͷ഑ஔۭؒΛ 6 ఺഑ஔۭؒͱͯ͠ M6 ͱද͢͜ͱʹ͢Δɽ্ʹఆΊΔ K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒͸ M6 ্ͷ଒Ͱ͋Δ͕ɼ͜ΕΛ M6 ্̎ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ͱ‫ ͼݺ‬X → M6ͱද͢͜ͱʹ͢Δɽ

M6 ্̎ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ͷੑ࣭ʹ͍ͭͯ͸ɼඇৗʹଟ͘ͷ͜ͱ͕ௐ΂ΒΕ͍ͯΔ͕ɼҎԼͰ͸ͦͷ͍͔ͭ͘ͷ݁ՌͷΈΛ·ͱΊΔɽ໋୊ 3.1. Ұൠͷ఺ x ∈ M6 ʹର͢Δɼ଒ X → M6 ͷϑΝΠόʔ Xx Λ X ද͢ͱɼX ͷ௒ӽ֨ࢠ(transcendental lattice) TX ⊂ H 2 (X, Z) ʹ͍ͭͯ࣍ͷಉ‫͕ܕ‬੒Γཱͭɿ
TX ' U (2)⊕2 ⊕ A⊕2
1

͜͜ͰɼU (2) =

&
'
( )
(
)
Z2 , 02 20 , A1 = Z, (−2) ͸ॱʹ֊਺ 2,1 ͷ֨ࢠΛද͢ɽ্ͷ໋୊ͷ K3 ‫ۂ‬໘ X ʹ͍ͭͯɼͦͷϐΧʔϧ֨ࢠ PX Λ PX := (TX )⊥ (in H 2 (X, Z)) ͱఆΊΔɽ͜ͷͱ͖ɼTX ͷఆΊΔप‫ྖظ‬Ҭ+

D(TX ) := {[w] ∈ P(TX ⊗ C) | w.w = 0, w.w̄ > 0}

͸ PX ⊂ PY Λຬͨ͢ X ͷม‫ܗ‬଒ {Y } ͷύϥϝʔλۭؒͰ͋Δ. ͜͜Ͱɼ৚݅ w.w = 0, w.w̄ > 0 Λຬͨ͢ྖҬ͸ 2 ͭͷ࿈݁੒෼Λ࣋ͭ͜ͱ͕෼͔ΔͷͰɼͦͷ͏ͪͷ̍ͭΛͱͬͯ D(TX ) ͱ͍ͯ͠Δɽ໋୊ͷ TX ͷ

3৔߹ɼप‫ྖظ‬Ҭʹ͍ͭͯෳૉ 4 ࣍‫ྖݩ‬Ҭ H2 ΁ͷಉ‫ ܕ‬D(TX ) ' H2 ,#$H2 := W ∈ M at(2, C) | ( t W − W )/2i > 0 ,͕஌ΒΕ͍ͯΔ [11]. ྖҬ H2 ͷ‫ ݩ‬W ͕ෳૉରশߦྻͰ͋Δͱ͖ʹ͸ɼH2 ͸Siegel ্൒ۭؒ h2 ʹҰக͢ΔͷͰɼࣗવʹ H2 ⊃ h2 ͕੒Γཱ͍ͬͯΔɽH2 ͕ϧδϟϯυϧ଒ʹର͢Δ H+ ͷ֦ுʹͳ͍ͬͯΔͱ༧૝͞ΕΔ
͕ɼͦͷ༷ࢠ͸प‫ੵظ‬෼ͱप‫૾ࣸظ‬Λఆٛ͢Δͱ‫ͯ͑ݟ‬དྷΔɽ

P2 ͷ̒఺഑ஔΛ۩ମతʹa11
A = a21
a31

a12
a22
a32

a13
a23
a33

a14
a24
a34

a15
a25
a35


a16
a26  = (aij )a36

ͱද͢ɽ·ͨɼ଒ X → M6 ʹ‫ ఺ى‬xo ∈ M6 ΛఆΊͯϑΝΠόʔ Xo := Xxo ্ͷ̎࣍ͷ (௒ӽ) αΠΫϧC ∈ H2 (Xo , Z) ΛఆΊΔɽ͜ͷͱ͖ɼ

ఆٛ 3.2. 6 ఺഑ஔ A ʹରԠ͢Δ K3 ‫ۂ‬໘ XA ͷ (ਖ਼ଇ 2 ‫ؔ͢ʹࣜܗ‬Δ) प‫ੵظ‬෼ΛҎԼͷΑ͏ʹද͢ɿw̄C (A) =

ˆ

(
)
dµ
"
, %i (x, y, z) = ai1 x + ai2 y + ai3 z%1 (x, y, z)%2 (x, y, z) · · · %6 (x, y, z))
C

(3.1)

͜͜Ͱɼx, y, z ͸ P2 ͷ੪࣍࠲ඪɼ·ͨ dµ := xdy ∧ z − ydx ∧ z + zdx ∧ y ͱఆΊΔɽ2
TXo ' U (2)⊕2 ⊕ A⊕2
1 ⊂ H (Xo , Z) ʹ‫ج‬ఈΛ b0 , · · · , b5 ఆΊͯɼ௒ӽαΠΫϧ C ͕͜ΕΒʹ૒ରʹͳΔΑ

͏ʹ C0 , · · · , C6 ΛఆΊΔɽ͜ͷͱ͖ɼप‫ ૾ࣸظ‬P : M6 → D(TX ) ͸

P(A) = [w̄0 (A)b0 + · · · + w̄C5 (A)b5 ](3.2)

ʹΑͬͯఆΊΒΕΔ͕ɼ͜Ε͸ϧδϟϯυϧ଒ͷप‫( ૾ࣸظ‬2.3) ͷҰൠԽΛ༩͑Δɽ·ͨɼप‫૾ࣸظ‬͸ଟՁؔ
਺Ͱ͋Δ͕ɼͦͷଟՁੑΛද͢Ϟϊυϩϛʔ‫܈‬͸ࣗવʹप‫ྖظ‬Ҭͷରশੑ

G = {g ∈ O(TX , Z) | H(g) > 0}ͷ෦෼‫ͳͱ܈‬Δɽ͜͜ͰɼH(g) = (g11 +g12 )(g33 +g34 )−(g13 +g14 )(g31 +g32 ) ͱ͢Δ [11]ɽಉ‫ ܕ‬D(TX ) ' H2ͷԼͰɼप‫ྖظ‬Ҭͷରশੑ G ͸཭ࢄ‫܈‬

ͷ H2 ΁ͷ࡞༻ W %→

#
$ (
)
0 E2
Γ := g ∈ P GL(4, Z[i]) | t ḡJg = J
J := ( −E
)
2 0

(A B)
C D

· W = (CW + D)−1 (AW + B) Ͱද͞ΕΔɽ໋୊ 3.3. (1) प‫૾ࣸظ‬ͷϞϊυϩϛʔ͕ఆΊΔ‫܈‬͸࣍Ͱ༩͑ΒΕΔɿ

G(2) = {g ∈ G | g = E6 mod 2}(2) ಉ‫ ܕ‬D(TX ) ' H2 ͷԼͰ G(2) ͷ࡞༻͸ɼH2 ΁ͷ෦෼‫ ܈‬ΓM (1 + i) ⊂ Γ ࡞༻Ͱද͞ΕΔɽ
͜͜Ͱ෦෼‫ ܈‬ΓM (1 + i) ͷৄࡉ͸จ‫[ ݙ‬11, 12] ʹҕͶΔ͜ͱͱ͢Δ͕ɼ͜ͷ‫܈‬ͷ H2 ΁ͷ࡞༻͕ɼϧδϟϯυϧ଒ͷ৔߹ͷ Γ(2) ͷ্൒ฏ໘ H+ ʹରԠ͍ͯ͠Δɽ

4

3.2 प‫ੵظ‬෼ͷຬͨ͢ඍ෼ํఔࣜ
प‫ੵظ‬෼͕ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷղͱͯ͠ද͞ΕΔͷ͸ϧδϟϯυϧ଒ͷ৔߹ͱಉ༷Ͱ͋Δɽ
໋୊ 3.4. प‫ੵظ‬෼ w̄(a) := w̄(A)(3.1) ͸࣍ͷ G(3,6) ‫ܕ‬ͷ Aomoto-Gel’fand ‫ܥ‬Λຬͨ͢ɿ

(i)

2
%

aij

i=0

∂

2

∂
1
ω̄(a) = − ω̄(a) (1 ≤ j ≤ 6) ,
∂aij
2

(ii)

6
%
j=1

2

aij

∂
ω̄(a) = −δik ω̄(a) (1 ≤ i ≤ 3),
∂akj

(3.3)

∂
(iii)
ω̄(a) =
ω̄(a) (1 ≤ i, k ≤ 3, 1 ≤ j, l ≤ 6).
∂aij ∂akl∂ail ∂akj໋୊ͷಋग़͸ɼ௚઀ͷ‫͔ࢉܭ‬Βಋ͔ΕΔɽಛʹ (i),(ii) ͷ 1 ֊ͷඍ෼ԋࢉࢠ͸प‫ੵظ‬෼ w̄(A) ͷରশੑw̄(A) = w̄(g.A.t) (g ∈ GL(3, C), t ∈ (C∗ )6 )Λແ‫ݶ‬খ࡞༻ͱͯ͠ද‫͢ݱ‬Δ͜ͱ͔Βಋ͔ΕΔɽ(iii) ͸ɼ߃౳ࣜ √% 1···% %i1%l (xj xl − xl xj ) = 0 Λඍ෼ද‫͠ݱ‬16

ͨ΋ͷʹଞͳΒͳ͍ɽҎԼͰ͸ɼจ‫[ ݙ‬16] ʹैͬͯɼ্ͷඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬Λ E(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫ʹͱ͜Ϳݺͱܥ‬͢Δɽ্‫ه‬ͷඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬͸ 70 ೥୅ʹ Aomoto,Gel’fand [1, 2, 4, 5] ʹΑͬͯߟ࡯͞Εͨ΋ͷͰɼม਺ͱͯ͠

(n, m) ߦྻ A = (aij ) Λ༻͍Δ͜ͱ͔ΒάϥεϚϯ G(n, m) ‫ܕ‬ͷ Aomoto-Gel’fand ‫ݺͱܥ‬͹Ε͍ͯΔɽ͠
͔͠ͳ͕Βɼ(i),(ii) ͷ 1 ࣍ͷඍ෼ԋࢉࢠʹද‫͞ݱ‬ΕΔඇՄ‫༻࡞܈ͳ׵‬ͷͨΊʹɼѻ͍͕ͦΕఔ༰қͰ͸ͳ͍ɽಛʹɼม਺ۭؒͷίϯύΫτԽʹؔͯ͠ະͩʹҰൠ࿦͸ग़དྷ্͕͍ͬͯͳ͍Α͏ʹࢥΘΕΔɽ80 ೥୅ʹೖΔ
ͱɼ(i),(ii) ͷඇՄ‫׵‬ੑΛ୅਺తτʔϥεʹͯ͠͠·ͬͨඍ෼ํఔࣜ‫ ͕ܥ‬Gel’fand, Zelvenski ʹΑͬͯߟ࡯͞
Εͨɽ͜ͷ৔߹ɼGel’fand, Kapranov, Zelevinski ʹΑͬͯඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͷҰൠ࿦͕ల։Ͱ͖Δ͜ͱ͕ࣔ͞ΕͯɼGel’fand-Kapranov-Zelevinski (GKZ) ํఔࣜ‫[ ܥ‬6] ͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔɽ90 ೥୅ʹͳΔͱɼΧϥϏɾϠ΢ଟ༷ମͷϛϥʔରশੑ͕ൃ‫͞ݟ‬ΕͯɼGKZ ํఔࣜ‫ܥ‬ͷ (Ϟϊυϩϛʔੑ࣭Ͱಛ௃͚ͮ
ΒΕΔಛผͳ‫ڥ‬ք఺Ͱͷ) ‫ॴہ‬ղͷߏ੒๏ʹ͍ͭͯҰൠతख๏͕੔උ͞Εͨ [7, 8]ɽ
‫هʹޙ‬ड़͢ΔΑ͏ʹɼAomoto-Gel’fand ํఔࣜ‫ ͱܥ‬GKZ ํఔࣜ‫ܥ‬ͷ‫ॴہ‬తͳؔ܎͸౰ॳ͔Βٞ࿦͞Εͯ஌ΒΕ͍͕ͯͨɼ࿦จ [9] Ͱ͸ɼ͜ΕΛେ‫ہ‬తͳࢹ఺͔Βߟ࡯ͯ͠ 90 ೥୅ͷൃలͱ߹ΘͤΔ͜ͱΛߦͬͨɽٞ
࿦ͷଟ͘͸ 2 ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ৔߹ʹ‫ݱ‬ΕΔ E(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫ݶʹܥ‬ΒΕΔ͕ɼ͜͏ͨ͠େ‫ہ‬తͳߟ࡯͔
Β K3 ϥϜμؔ਺ͷ۩ମతͳද͕ࣔಘΒΕΔ͜ͱʹͳΔɽ

4 ม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͱϞδϡϥΠۭؒͷίϯύΫτԽ
2 ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ X → M6 ͷप‫ੵظ‬෼͸ E(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫( ܥ‬3.3) ʹΑͬͯಛ௃͚ͮΒΕΔɽ͜ͷͱ͖ɼପԁϥϜμؔ਺ͷΧεϓ఺ (τ = i∞) ʹ͓͚Δ q-ల։ͷߏ੒Λख͕͔Γʹ͢ΔͱɼରԠ͢Δ K3 ϥϜμؔ਺ͷߏ੒ʹ͸ɼඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷద౰ͳίϯύΫτԽΛ‫͚ͯͭݟ‬ɼͦ͜Ͱ໨తʹ‫ڥͨͬ׎‬ք఺Λ‫ه‬ड़͢Δඞཁ͕͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ଒ͷύϥϝʔλʔۭؒͷίϯύΫτԽʹ͸৭ʑͳ΋ͷ͕஌ΒΕ͍ͯΔ͕ɼͦΕΒ͕ඞཁͱ͢Δม਺ۭؒͷίϯύΫτԽʹҰக͢Δͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ɽ

5

4.1 ఺഑ஔۭؒͷ GIT ίϯύΫτԽ‫ʹط‬ड़΂ͨΑ͏ʹɼຊߘͰ͸ P2 ͱ (P2 )∗ ΛಉҰࢹ͢Δ͜ͱʹ͢Δɽ͜ͷಉҰࢹͷԼɼ2 ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ X → M6 ͷύϥϝʔλʔۭؒ M6 ͸ P2 ͷ̒఺഑ஔͷۭؒͱͳΔɽP2 = P(C3 ) ͱදͯ͠ɼ̒఺Λ C3 ͷྻϕΫτϧͰදࣔͯ͠a11
A = a21
a31

a12
a22
a32

a13
a23
a33

a14
a24
a34

a15
a25
a35


a16
a26 
a36

ͱද͢ɽ͜ͷͱ͖ɼP2 ͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫ܕ‬Λද͢ GL(3, C) ͕ࠨ͔Β࡞༻͠ɼ·ͨɼࣹӨԽ P(C3 ) Λද͢ (C∗ )6 ͕ର֯ߦྻͱͯ͠ӈ͔Β࡞༻͢Δɽ͜͏ͯ̒͠఺഑ஔͷۭؒͱͯ͠঎ C3×6 /GL(3, C) × (C∗ )6 Λߟ͑Δ͜ͱʹͳΔɽ͜ͷ঎Λ GIT(Geometric Invariant Theory) ঎ͱͯ͠ఆٛ͢Δ͜ͱ͕จ‫[ ݙ‬3] ʹৄ͘͠‫ه‬ड़͞Ε͍ͯΔɽ

GIT ঎Ͱ͸ɼ‫ؔ͢ʹ༻࡞܈‬Δ൒ෆมࣜΛ༻͍ͯ঎Λఆٛ͢Δɽࠓͷ৔߹ɼ
Y0 = Y0 (A) = [1 2 3][4 5 6], Y3 = Y3 (A) = [1 3 4][2 5 6],
Y1 = Y1 (A) = [1 2 4][3 5 6], Y4 = Y4 (A) = [1 3 5][2 4 6],
Y2 = Y2 (A) = [1 2 5][3 4 6], Y5 = Y5 (A) = [1 2 3][1 4 5][2 4 6][3 5 6] − [1 2 4][1 3 5][2 3 6][4 5 6]͓Αͼ

Y6 = [1 2 6][3 4 5],
Y7 = [1 3 6][2 4 5],

Y8 = [1 4 6][2 3 5], Y10 = [1 4 5][2 3 6],
Y9 = [1 5 6][2 3 4]ʹΑͬͯ༩͑ΒΕΔɽ͜͜Ͱɼ[i j k] := det(ai aj ak ) ͱఆΊΔɽY5 ͸࣍਺̎ͱ਺͑ͯɼͦͷଞ͸࣍਺̍ͱ࣍
਺Λ෇༩͢Δͱ͖ɼશͯͷ࣍਺ͷ൒ෆม͕ࣜ͜ΕΒͰੜ੒͞ΕΔ͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔ [3]ɽ͜ͷΑ͏ͳ࣍਺෇͖‫؀‬C[Y0 , · · · , Y10 ] ͷ Proj ͕ GIT ঎ͷఆٛͰ͋ͬͨɽࠓͷ৔߹ɼ൒ෆมࣜͷؒʹ (G(3, 6) ͷ Plücker ؔ܎ࣜΛද͢) ؔ܎ࣜ

Y0 − Y1 + Y2 − Y6 = 0, Y0 − Y6 + Y7 − Y10 = 0,
Y2 − Y3 − Y7 + Y8 = 0, Y2 − Y3 − Y6 + Y9 = 0,
Y3 − Y4 + Y6 + Y10 = 0(4.1)

͕͋ΔͨΊʹɼY6 , · · · , Y10 ͸ফ‫͞ڈ‬Εͯ#$
Proj C[Y0 , · · · , Y10 ] = Y52 = F4 (Y0 , ..., Y4 ) ⊂ P(15 , 2)

(4.2)

ͱͳΔɽ͜͜ͰɼF4 = (Y0 Ys + Y2 Y3 − Y1 Y4 )2 + 4Y0 Y1 Y4 Ys Ͱ͋Γɼ·ͨɼY0 , · · · , Y4 ,Y5 Λ੪࣍࠲ඪͱ͢Δ

ॏΈ෇͖ࣹӨۭؒΛ P(15 , 2) ͱදͨ͠ɽ(4.2) ͸ɼ̐࣍ࣜ F4 = 0 Ͱ෼‫͢ذ‬Δ P4 ͷ 2 ॏඃ෴Ͱ͋Δ͕ɼϑΝϊଟ༷ମͷ‫ Ͱڀݚ‬Coble 4 ༷ମͱͯ͠஌ΒΕ͍ͯΔ΋ͷʹҰக͍ͯ͠ΔɽGIT ঎ʹΑΔίϯύΫτԽ͸ 6 ఺഑ஔͷۭؒ M6 ͷ̍ͭͷࣗવͳίϯύΫτԽͰ͋Δɽ

4.2 Baily-Borel-Satake ίϯύΫτԽप‫ ૾ࣸظ‬P : M6 → H2 ͸ଟՁࣸ૾Ͱ͋Δ͕ɼͦͷଟՁੑΛද͢Ϟϊυϩϛʔ͸ H2 ʹ࡞༻͢Δ཭ࢄ‫܈‬ΓM (1 + i)[12] Ͱද͞Ε͍ͯΔɽ͜ͷ཭ࢄ‫܈‬͸ϧδϟϯυϧ଒ͷ৔߹ʹ‫ݱ‬Εͨओ߹ಉ෦෼‫ ܈‬Γ(2) ʹରԠ͢Δ
΋ͷͰɼH2 ্ͷϞδϡϥʕ‫ࣜܗ‬ΛఆΊΔɽ͜ͷϞδϡϥʕ‫ࣜܗ‬ͷ੒͢ (࣍਺෇͖) ‫ͯؔ͠ʹ؀‬MΓM (1+i) = Q[Θ1 (W )2 , · · · , Θ10 (W )2 , Θ(W )]

6

(4.3)

ͱ͍͏͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ [11]ɽ͜͜ͰɼΘk (W ) (1 ≤ k ≤ 10) ͸ H2 ্ͷςʔλؔ਺

. /
0 (
%
)1
a
Θ
(W ) :=
exp πi t (n + a)W (n + a) + 2Re( t b n)
b
2

(4.4)

n∈Z[i]A B ) ∈ Γ (1 + i) ͷԼͰͰྵͰͳ͍΋ͷΛॱʹ൪߸෇͚ͨ͠΋ͷͰɼͦΕΒͷ 2 ৐͸Ϟδϡϥʕ‫ ܈‬g = ( CMDΘk (gσ · W )2 = |CW + D|2 Θk (W )2ͷΑ͏ʹ΢ΤΠτ 2 Ͱม‫͢׵‬Δ [11, §3.1]ɽ͜Εʹର͠ɼΘ(W ) ͸΢ΤΠτ 4 ͷϞδϡϥʕ‫Ͱࣜܕ‬

Θ(W )2 =

5

2 

3·5
26 

10
%

Θi (W )4

i=1

62

−4

10
%
i=1

Θi (W )8ͷؔ܎Λຬͨ͢ɽ͜ͷ࣍਺෇͖‫( ؀‬4.3) ͷ Proj ͸ɼ঎ ΓM (1 + i)!H2 ͷίϯύΫτԽ ΓM (1 + i) \ H2

(4.5)
BBS

Λ

ఆΊΔ΋ͷͰɼBaily-Borel-Satake(BBS) ίϯύΫτԽʹଞͳΒͳ͍ɽ MΓM (1+i) ʹ͓͍ͯɼ΢ΤΠτ 2 ͷςʔλؔ਺ʹ͸ (4.1) ʹରԠ͢Δઢ‫͕܎ؔܗ‬ଘࡏ͢Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δͱɼ(4.2) ʹ‫ݱ‬Εͨ੪࣍ 4 ࣍ࣜ F4 Λ༻͍ͯ#$Proj C[Θ1 (W )2 , · · · .Θ10 (W )2 , Θ(W )] = Θ2 = F4 (Θ21 , · · · , Θ25 ) ⊂ P(15 , 2)ͷΑ͏ʹද‫͞ݱ‬Εɼ͜͜ʹ (4.2) ͱಉ͡ Coble 4 ༷ମ͕‫ݱ‬ΕΔɽ·ͨɼBaily-Borel-Satake ίϯύΫτԽʹ‫ݱ‬ΕΔ‫ڥ‬ք఺ͷू߹͸ɼ֨ࢠཧ࿦ʹ‫͍ͨͮج‬Ұൠతͳ‫ه‬ड़͕ଘࡏ͢Δ͕ɼҎԼͷ໋୊ͷੑ࣭ (1),(2) ͸ɼྫ͑͹จ‫[ ݙ‬15] ʹৄ͘͠‫ه‬ड़͞Ε͍ͯΔɽ
໋୊ 4.1. 2 ͭͷίϯύΫτԽ MGITͱ ΓM (1 + i) \ H2
6BBS͸ಉ‫Ͱܕ‬ɼಛҟ఺ू߹ʹ͍͕ͭͯ࣍੒Γཱͭʀ

1. MGITͷಛҟ఺ू߹͸ 15 ຊͷࣹӨ௚ઢͱͦΕΒͷަ఺ (15 ఺) ͔Β੒ΓɼࣹӨ௚ઢʹͦͬͯ A1 ‫ܕ‬ͷ6ಛҟ఺Λ࣋ͭɽ

2. ্ͷ 15 ຊͷࣹӨ௚ઢͱ 15 ‫ݸ‬ͷަ఺͸ɼBBS ίϯύΫτԽͰՃ͑Δ‫ڥ‬ք఺ͷू߹ʹҰக͢Δɽ

4.3 Aomoto-Gel’fand ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽ্ͷ̎ͭͷখઅͰɼM6 ͷ̎ͭͷࣗવͳίϯύΫτԽ͕ಉ‫͋Ͱܕ‬Δ͜ͱΛ·ͱΊͨɽ͜Ε͸ϧδϟϯυϧ

଒ M4 ͷ৔߹Ͱ΋੒Γཱͭ͜ͱͰɼͦͷΑ͏ͳഎ‫ ͕ͯͬ͋ܠ‬2 ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ X → M6 ͕ 90 ೥୅ʹਂ͘‫͞ڀݚ‬ΕͨͷͰ͋ͬͨɽҰํͰɼ͜ΕΒͷίϯύΫτԽ͕ K3 ϥϜμؔ਺ͷఆٛʹదͨ͠΋ͷͰ͋Δ͔͸໌Β͔Ͱ͸ͳ͍ɽ݁࿦͔Βड़΂ΔͱɼK3 ϥϜμؔ਺ͷఆٛʹదͨ͠ίϯύΫτԽ͸ɼप‫ੵظ‬෼͕ຬͨ͢
ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽ͔Β‫ݱ‬ΕΔɽͦͯ͠ɼ2 ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ X → M6 ͷ৔߹͸ɼ

MGIT' ΓM (1 + i) \ H2
6

BBSͷ” ྑ͍ಛҟ఺ղফ” ʹҰக͢Δ͜ͱ͕൑໌͢Δɽ

4.4 ม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͱϞδϡϥΠۭؒͷίϯύΫτԽ (1)Aomoto-Gel’fand ‫ܥ‬ͷม਺Ͱ͋Δ 3 × 6 ߦྻ A ͷ࠷ॳͷ̏ྻ͕ 1 ࣍ಠཱͰ͋Δ৔߹Λߟ͑Δͱɼద౰ͳ

GL(3, C) ͷม‫׵‬ͷԼͰɼ

1 0
A0 = 0 1
0 0

0 a2
0 a0
1 a1
7

b1
b2
b0


c0
c1 
c2

ͷΑ͏ͳ‫ʹܗ‬ग़དྷͯɼม਺͸ 9 ‫ݸ‬ͷΞϑΟϯม਺ʹ੍‫͞ݶ‬ΕΔɽ͞Βʹɼ͜ͷΑ͏ͳ A0 ͷ‫ܗ‬Λอͭ৚݅Լ
Ͱɼࠨ͔Β (C∗ )3 ⊂ GL(3, C), ӈ͔Β (C∗ )6 ͕࡞༻͢Δɽ

#$T = (g, t) ⊂ (C∗ )3 × (C∗ )6 | g.A0 .t = A0

͕ 9 ‫ݸ‬ͷΞϑΟϯม਺ʹ࡞༻͢Δ‫ͳͱ܈‬ΔɽT ' (C∗ )5 Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Γɼैͬͯ͜ͷΑ͏ͳ A0 Ͱද͞ΕΔม਺ۭؒ (ͷ։ू߹) ͸঎ C9 /T Ͱද͞ΕΔɽ

ߦྻ A ʹ͓͍ͯ 1 ࣍ಠཱͰ͋Δ̏ͭͷྻϕΫτϧͷҐஔΛऔΓସ͑Ε͹ɼม਺ۭؒ͢΂ͯΛ෴͏͜ͱ͕ग़དྷ
Δ͜ͱ͸໌Β͔Ͱ͋Δ͕ɼషΓ͋Θ͔ͤΒେ‫ہ‬తͳ༷ࢠΛ෮‫͢ݩ‬Δͷ͸ͦΕఔࣗ໌Ͱ͸ͳ͍ɽ͔͠͠ɼE(3, 6)ͷ৔߹͸ɼલड़ͷ̎ͭͷϞδϡϥΠۭؒͱؔ܎Λ෇͚Δ͜ͱʹΑͬͯେ‫ہ‬తͳ༷ࢠ͕ු͔ͼ্͕ͬͯ͘Δɽ঎ C9 /T Λ GIT ঎ͱͯ͠ఆΊΔͱτʔϦοΫଟ༷ମ͕‫ݱ‬ΕΔҰํͰɼAomoto-Gel’fand ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬͸ରԠ͢Δ఺഑ஔ A ͕ఆΊΔ GKZ ඍ෼ํఔࣜ‫( ܥ‬A ௒‫ز‬Կඍ෼ํఔࣜ‫ʹ )ܥ‬ಛघԽ͢Δ [2, 14]ɽద౰ͳ‫ج‬ఈΛఆΊΔͱ͖ɼ఺഑ஔ͸A :=:5 1 6 5 0 6 5 0 6 5 1 6 5 1 6 5 0 6 5 0 6 5 0 6 5 0 6;
0
0
0
0

,

1
0
0
0

0
1
0
0

,

,

0
0
−1
1

0
0
−1
0

,

,

1
0
0
−1

,

1
0
1
−1

,

0
1
1
0

,

0
1
0
1

ͷΑ͏ʹܾΊΒΕΔ [9, §2.4.b]ɽGKZ ํఔࣜ‫ܥ‬͸ɼ͜ͷΑ͏ͳτʔϥεͷ‫༻࡞܈‬Λද͢఺഑ஔ A ʹରͯ͠ఆΊΒΕΔඍ෼ํఔࣜ‫Ͱܥ‬ɼࠓͷ৔߹ (3.3) ͷ (i),(ii) Ͱද͞Εͨ GL(3, C) ͷແ‫ݶ‬খ࡞༻Λ (ม਺ A = (aij ) Λ্ͷ A0 ʹಛघԽ͢Δ͜ͱʹΑͬͯ) ෦෼‫ ܈‬T ⊂ GL(3, C) ΁ॖখͨ͠΋ͷʹҰக͢Δɽ͞Βʹɼม਺ۭؒͷίϯύΫτԽ͕ A ͔Βܾ·ΔࣹӨతτʔϦοΫଟ༷ମ PSecA Ͱ៉ྷʹ༩͑ΒΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ [6]. ͜͜Ͱɼ SecA ͸ೋ࣍ઔ (secondary fan) ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ (ࣹӨతͳ) ઔΛද͢ɽೋ࣍ઔͷৄࡉ͸লུ͢Δ͕ɼPSecA
͸ద౰ͳࢦඪ χ : T → C∗ ͷԼͰͷ GIT ঎ C9 //χ T ʹҰக͢Δ΋ͷͰ͋Δɽ
໋୊ 4.2. ఺ू߹ A Λ্ͷ௨Γͱ͢Δͱ͖͕࣍੒Γཱͭɿ

1. ม਺ A = (aij ) Λ A0 ʹಛघԽ͢Δͱ͖ɼE(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬͸ A ௒‫ز‬Կඍ෼ํఔࣜ‫ʹܥ‬ಛघԽ͢Δɽ
2. A ௒‫ز‬Կඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽ PSecA ͷಛҟ఺͸̒఺͔Β੒Γɼಛҟ఺ͷλΠϓ͸
͢΂ͯ‫ॴہ‬తʹ

#$x12 x13(xij ) ∈ A2×3 | rank ( xx11)≤1
21 x22 x23

ͷ‫ ఺ݪ‬ō ʹ‫ݱ‬ΕΔಛҟ఺Ͱද͞ΕΔɽ

3. ಛҟ఺ ō ʹؔͯ͠ਤ̍ͷΑ͏ͳখಛҟ఺ղফ (small resolution) ͕ଘࡏ͢Δɽ
<SecA → PSecA ͕ଘࡏ͢Δɽ
4. ্ͷ̒఺ͷಛҟ఺Λղফ͢ΔτʔϦοΫ͔ͭখಛҟ఺ղফ Pਤ̍ɽ ō ∈ PSecA ͷখಛҟ఺ղফͱͦͷ flip

8

(4.6)

P2 ͷ̏఺഑ஔΛ A = (a1 a2 a3 a4 a5 a6 ) ʹରͯ͠ɼ3 ੒෼ϕΫτϧͷ֎ੵ × Λ༻͍ͯA∗ = (a2 × a3 a3 × a1 a1 × a2 a4 a5 a6 )ͱఆΊΔͱ A∗ ͷ֤ྻϕΫτϧ΁ͷ GL(3, C) ͷද‫ ͕ݱ‬3∗ ද‫ ͱݱ‬3 ද‫͢ࡏ͕ࠞݱ‬Δ͜ͱʹͳΔɽ‫ز‬Կֶతʹ
͸ɼA∗ ͸ P2 ্ͷ 3 ௚ઢͱ 3 ఺ͷ഑ஔΛఆΊΔͱղऍͰ͖ΔͷͰɼ͜ΕΒͷ഑ஔΛද͢ϞδϡϥΠۭؒΛ

M3,3 ͱද͢ɽC3×6 ͷ GIT ঎ͱͯ͠ௐ΂Δͱɼ5MGIT
3,3 = {X0 X1 X2 − X3 X4 X5 = 0} ⊂ PͷΑ͏ͳτʔϦοΫଟ༷ମ͕ಘΒΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ [3]ɽ࣍ͷ໋୊ʹ·ͱΊΔΑ͏ʹɼม਺ۭؒͷίϯ∗ύΫτԽ PSecA Λ̎࣍ઔΛ༻͍ͯௐ΂Δͱ MGIT
3,3 ͱͷؔ܎͕‫ݱ‬ΕΔ [9, Lemma 4.5]ɽ͞ΒʹɼରԠ A %→ A͔Β MGIT͸ MGIT
63,3 ʹ૒༗ཧͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ

໋୊ 4.3. ม਺ۭؒ PSecA ͷಛҟ఺ʹ͍͕ͭͯ࣍੒Γཱͭɿ

1. M3,3 Λ্ͷτʔϦοΫଟ༷ମͱ͢Δͱ͖ɼτʔϦοΫ blow down PSecA → M3,3 ͕ଘࡏ͢Δɽ∼

2. ૒༗ཧࣸ૾ M3,3 !!" MGIT
͕ଘࡏ͢Δɽ
6ඍ෼ํఔࣜ‫ ܥ‬E(3, 6) ͷύϥϝʔλ A = (aij ) ͕ A0 ͷΑ͏ͳ‫ܗ‬ΛऔΔͱ͖ɼGKZ ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷί<SecA Λ A0 ͷ‫ܗ‬ͷσʔλΛॻ͖ఴ͑ͯ P123 ɼP<123 ͳͲͱද͢
ϯύΫτԽ PSecA ͱɼͦͷখಛҟ఺ղফ P
SecA
SecA

<
͜ͱʹ͢ΔɽάϥεϚϯଟ༷ମͷΞϑΟϯ࠲ඪͱಉ͡Α͏ʹɼE(3, 6) ͷύϥϝʔλۭؒ͸͜ΕΒ P
SecA શͯ
ijk<Ͱ෴͍ਚ͘͞ΕΔɽ·ͨɼGKZ ํఔࣜ‫ܥ‬ͷੑ࣭͔Β֤ P
SecA ͷτʔϦοΫҼࢠͷަ఺ͱͯ͠ද͞ΕΔ͢΂ͯ
ijk<ͷ‫ڥ‬ք఺ʹ͍ͭͯɼͦΕΒΛ‫͢ʹ఺ݪ‬Δ‫ॴہ‬ղ͕ߏ੒ग़དྷΔͷͰɼP
SecA ͷ࿨ۭ͕ؒɼඍ෼ํఔࣜ‫ ܥ‬E(3, 6)
ijkͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͱͯ͠‫ظ‬଴͞ΕΔ΋ͷͱ‫͑ݴ‬Δɽ͞Βʹ໋୊ 4.3 ͔Βɼ6 ఺഑ஔͷϞδϡϥΠۭؒ

MGITͱͷؔ܎Λ‫ݟ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷΔɽ
6
໋୊ 4.4. ͕࣍੒Γཱͭɿ

MGIT
=
6

=

1≤i<j<k≤6>?
Zariski open set of Pijk
SecA .

(4.7)

GIT
<
͜͜Ͱɼ֤ʑͷ PSecA ͷಛҟ఺ղফ Pͷಛҟ఺ͷղফ͕ಘΒΕͯɼ·ͨɼ2 ࣍ઔʹ
SecA Λߟ͑Ε͹ M6
ijk

ijk

‫ߏͮ͘ج‬੒͔ΒͦΕ͸ඍ෼ํఔࣜͷղͷߏ੒ͱ͍͏ࢹ఺͔Β๬·͍͠ੑ࣭Λ࣋ͭ΋ͷͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔ΔɽҎ<্ͷߟ࡯͔Β͸ɼP
SecA (ͷ Zariski ։ू߹) ͕Ͳ͏ͷΑ͏ʹషΓ߹͍ͬͯΔͷ͔ɼͦͷେ‫ہ‬తͳ༷ࢠ͸ྑ͘෼ijk͔Βͳ͍͕ɼ໋୊ 4.1 ʹ·ͱΊͨ MGITͷಛҟ఺ͷ഑ஔͱ߹ΘͤΔ͜ͱʹΑͬͯେ‫ہ‬తͳ‫ه‬ड़͕ಘΒΕΔ͜
6ͱʹͳΔ [9]ɽ

4.5 ม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͱϞδϡϥΠۭؒͷίϯύΫτԽ (2)̒఺഑ஔۭؒͷίϯύΫτԽ MGITͷಛҟ఺ʹ͍ͭͯ͸໋୊ 4.1 ʹ·ͱΊͨɽҰํͰɼ૒༗ཧࣸ૾
6∼

M3,3 !!" MGITΛख͕͔Γʹɼಛҟ఺͕‫ॴہ‬తʹτʔϦοΫଟ༷ମͱͯ͠ද͞ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ
6
໋୊ 4.5. MGIT͸఺ಛҟ఺Λ‫͢ͱ఺ݪ‬ΔΞϑΟϯ࠲ඪ‫ॴہͰܥ‬తʹ௒ฏ໘
6

M0 = {xyz = uv} ⊂ C5
9Ͱද͞ΕΔɽ͜͜ͰɼM0 ͸ x, y, z ֤࠲ඪ࣠Λ‫ؚ‬Έ͔֤ͭ࠲ඪ࣠ʹͦͬͯ A1 ‫ܕ‬ͷಛҟ఺Λ࣋ͭɽ

M0 ͷ̏࣠ʹͦͬͨ A1 ಛҟ఺໋͕୊ 4.1 ͷࣹӨ௚ઢʹͦͬͨಛҟ఺Ͱɼަ఺Ͱ͋Δ‫ ͕఺ݪ‬15 ‫ݸ‬ͷަ఺
∼<SecA → PSecA → M3,3 (!!"
ͷ̍ͭΛද͢ɽ࣍ͷ໋୊ [9, Prop.5.2] ͸ɼτϦοΫಛҟ఺ղফ P
MGIT ) Λ
6

M0 = {xyz = uv} ͷ‫ ఺ݪ‬O ͷۙ͘ͰɼࣹӨ‫ز‬Կֶతʹ࠶‫ͨ͠ݱ‬΋ͷͰ͋Δɽ
໋୊ 4.6. ࣍ͷΑ͏ʹͯ͠ MGITͷಛҟ఺ղফ͕ಘΒΕΔɿ
6

1. A1 ‫ܕ‬ಛҟ఺Λ࣋ͬͨ 15 ຊͷࣹӨ௚ઢ Li ͦΕͧΕʹԊͬͯ blow up Λߦ͏ɽ͜ͷͱ͖ɼྫ֎Ҽࢠ͸ Li
্ͷ P1 × P1 ଋͰ (M0 ͷ‫ ఺ݪ‬O ʹରԠ͢Δ) ަ఺ Li ∩ Lj ∩ Lk ʹ͓͍ͯಛҟϑΝΠόʔ P2 0% P2 (ਤ2 ࢀর) Λ࣋ͭɽ

2. ্ͷಛҟϑΝΠόʔ P2 0% P2 ಺ͷࣹӨ௚ઢ % ্ͷ̎఺ (p1 = o, p2 = ∞) ʹಛҟ఺͕͋ΓɼͦΕͧΕΛத৺ʹ blow up ͢Δͱ MGITͷಛҟ఺ղফ͕ಘΒΕΔɽ·ͨɼ͜ͷͱ͖ͷྫ֎Ҽࢠʹ͍ͭͯ6

Dpi ' P1 × P1 × P1 (i = 1, 2) ͕੒Γཱͭɽ

ਤ̎ɽM0 = {xyz = uv} ͷಛҟ఺ղফɽԼਤͰ͸ࣹӨ௚ઢ % ͷۙ๣Λ֦େ͍ͯ͠Δɽ
ਤ 2 ͸ɼ্ͷಛҟ఺ղফΛ M0 = {xyz = uv} Λඳ͍ͯ‫ॴہ‬తʹਤࣔͨ͠΋ͷͰ͋Δɽx, y, z ʹԊͬͨ blowup ͷྫ֎ू߹Λ Ex , Ey , Ez ͱද͠ɼͦΕΒ͕‫ ఺ݪ‬O ͷϑΝΠόʔͰަΘΔ༷ࢠΛඳ͍͍ͯΔɽEx , Ey , Ez
<x , E<y , E<z , %< ͱද͢ɽ%< ͱ 2 ͭͷҼࢠ Dp , Dp ͕࡞Δ഑ͱͦΕΒͷަΘΓʹ‫ݱ‬ΕΔࣹӨ௚ઢ % ͷ‫ݻ‬༗ม‫׵‬Λ E
1

2

ஔ͕ɼਤ 1 ͷࠨʹ‫ݱ‬ΕΔ small resolution ʹಉఆ͞ΕΔ΋ͷͰ͋Δ (%< Λਤ̍ͷ P1 ʹҰகͤ͞Δ)ɽਤ 1 ͸

PSecA ʹ‫ݱ‬ΕΔಛҟ఺ͷղফΛද͠ɼ֤Ҽࢠͷަ఺ʹ͓͍ͯඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷղ͕ߏ੒͞Ε͍ͯΔͷͰɼ͜͏͠
<x , E<y , E<z , Dp , Dp ͷަ఺ʹ‫ݱ‬ΕΔ͜ͱʹͳΔ [9, 10]ɽ͜
ͯɼK3 ϥϜμؔ਺͕ఆٛ͞ΕΔಛผͳ‫ڥ‬ք఺͕ E
12

ͷΑ͏ͳಛผͳ‫ڥ‬ք఺͸ɼ֤ҼࢠपΓͷϞϊυϩϛʔੑ࣭ʹΑͬͯಛ௃෇͚ΒΕɼϛϥʔରশੑͷ‫͍͓ʹڀݚ‬ͯਂ͘ௐ΂ΒΕͨ [7, 8] large complex structure limit (LCSL) ʹҰக͍ͯ͠Δɽ

10

ఆཧ 4.7. MGITͷಛҟ఺ղফΛ‫ॴہ‬తʹදͨ͠ਤ 2 ʹ͓͍ͯɼҼࢠͷަ఺
6
(1)

oi

<x ∩ E<y ∩ E<z ∩ Dp (i = 1, 2)
=E
i
(2)

͸্ड़ͷ LCSL Ͱ͋Δɽ·ͨɼflip ͰಘΒΕΔ ok (k = 1, 2, 3) ΋͢΂ͯ LCSL Ͱ͋Δɽ‫ڥ‬ք఺ LCSL ͷৄࡉ͸লུ͢Δ͕ɼͦͷ఺Ͱͷ‫ॴہ‬ղΛߏ੒͢Δͱ̍ͭͷਖ਼ଇղ͕͋Γͦͷଞͷղ͸͢΂ͯ‫ڥ‬քҼࢠ Dk = {xk = 0} ʹͦͬͯର਺తͳಛҟ఺Λ‫ؚ‬Ήɼͱ‫͏ݴ‬ੑ࣭Ͱಛ௃෇͚ΒΕΔ‫ڥ‬ք఺Ͱ͋Δɽ্ͷఆཧͰ MGITͷಛҟ఺ͷղফ͕ಘΒΕ͍ͯΔ͕ɼਤ 1 Ͱ‫ॴہ‬తʹද͞Ε͍ͯΔΑ͏ʹ 15 ఺Ͱ flip ͷ
6ࣗ༝౓͚ܾͩ·͍ͬͯͳ͍ɽ͜Εʹؔͯ͠ɼ࣍ͷఆཧ͕ࣔ͞ΕΔ [9]ɽఆཧ 4.8. MGITͷ୅਺తͳಛҟ఺ղফ͸ɼࣹӨ௚ઢͷަ఺ͱͯ͠‫ݱ‬ΕΔ 15 ఺ͷ্Ͱ6(1)(i) ͢΂ͯ oi(2)‫ܕ‬ͷಛҟ఺ղফͰ͋Δɼ͋Δ͍͸ (ii) ͢΂ͯ ok ‫ܕ‬ͷಛҟ఺ղফͰ͋Δɼ@6 ͱද͠ɼ‫ऀޙ‬Λ M@+ ͱද͢ɽ
ͷԿΕ͔Ͱ͋Δɽલऀͷಛҟ఺ղফΛ M
6

5 K3 ϥϜμؔ਺E(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷେ‫ہ‬తͳ༷ࢠ͕෼͔ͬͨͷͰɼLCSL ͱ‫ݺ‬Μͩಛผͳ‫ڥ‬ք఺Ͱղͷߏ੒Λߦ͏͜ͱ͕ग़དྷΔɽϧδϟϯυϧ଒ͷ৔߹ɼLCSL ͸ M4 ্ͷ̏఺ x = 0, 1, ∞ ʹ‫ݱ‬Ε͍ͯΔ͕ɼ͜ΕΒͷ఺͸ରশੑ (2.5) ͷԼͰؔ܎͢ΔͷͰɼ3 ఺ͷ಺ͷ̍఺ΛબΜͰඍ෼ํఔࣜͷ‫ॴہ‬ղΛߏ੒ͯ͠प‫૾ࣸظ‬τ (x) (2.3) Λද͠ɼͦͷ‫ͯ͠ͱ܎ؔٯ‬ϥϜμؔ਺ λ(τ ) ΛఆΊΕ͹ྑ͔ͬͨɽࠓͷ৔߹ flip ͕ଘࡏ͢Δ෼͚ͩ‫ز‬෼ෳࡶʹͳ͍ͬͯΔ͕ɼK3 ϥϜμؔ਺ͷ‫ه‬ड़΋ಉ༷ʹ࣮ߦͰ͖Δɽ

5.1 λK3 ؔ਺@6 Λ࠾༻͢Δ৔߹ɼఆཧ 4.7 ʹ‫ه‬ड़͢Δ‫ڥ‬ք఺ͷ͏E(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷಛҟ఺ղফͱͯ͠ M
(1)

(1)

ͪͷ 1 ͭ o1 ΛબͿ͜ͱʹ͢Δɽo1Λத৺ͱ͢Δෳૉ࠲ඪۙ๣Λ C4z1 ,z2 ,z3 ,z4 ͱද͠

z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0, z4 = 0<x , E<y , E<z , Dp Λද͢Α͏ʹऔΔɽ໋୊ 4.3 ͷ૒༗ཧࣸ૾ͷԼͰɼೋ࣍ઔ SecA ͱͷؔ܎Λ͕ॱʹ‫ڥ‬քҼࢠ E
1෇͚ͯɼม਺ z1 , z2 , z3 , z4 ͕

z1 = −

a1 c1
a1 b1
b1 c1
a2 b2 c2
, z2 = −, z3 = −, z4 =
a0 c2
a2 b0
b2 c0
a1 b1 c1(1)ͷΑ͏ʹύϥϝʔλ A = (aij ) ͷಛघԽ A0 ͱؔ܎͢ΔΑ͏ͳ o1

໋୊ 5.1. C4z1 ,z2 ,z3 ,z4 ‫ʹ఺ݪ‬ԙ͍ͯɼE(3, 6) ͷ‫ॴہ‬ղ͸

A
w0 (z) = 1 + (power series in z) ,w(2) (z) = w0 (z) Mjk (log zj )(log zk ) + · · ·wk (z) = w0 (z) log zckk + (power series in z) (k = 1, .., 4; (c1 , c2 , c3 , c4 ) = (4, 4, 4, 1))ͷΑ͏ʹͳ‫ٻͰܗ‬ΊΒΕΔɽ͜͜ͰɼMjk ͸ఆ਺Ͱͦͷ۩ମ‫ܗ‬͸ [10, Lemma4.7] ࢀরɽ

11

(1)

ΛऔΔ͜ͱ͕ग़͖Δ [10]ɽ͜ͷͱ͖ o1

͕, ඍ෼ํఔࣜ‫ ܥ‬E(3, 6) ͷಛผͳ‫ڥ‬ք఺ (LCSL) Ͱ͋Δ͜ͱ͕ҎԼͷΑ͏ʹ͔֬ΊΒΕΔɽ

:

(5.1)

͜ΕΒͷ‫ॴہ‬ղͷৄࡉͳ‫ه‬ड़͸จ‫[ ݙ‬10, §4] ʹҕͶΔ͕ɼϞϊυϩϛʔੑ࣭ͱ 2 ࣍ͷؔ܎ࣜ (period

relation) Λख͕͔Γʹղͷ੔‫ج‬ఈΛܾఆ͠ɼ͔ͦ͜Β Tx ͷ੔‫ج‬ఈ>b̃0 , · · · , b̃5?

Λಉఆ͢Δͱप‫૾ࣸظ‬@6 → D(TX ) ͕
P:M
.
/
2
2
1
(2)
2
P(z) = w0 b̃0 +w1 (z)b̃1 + · · · +w4 (z)b̃4 +
(w
(z)
+
π
w
(z))
b̃
0
5
2πi
2πi
(2πi)2(5.2)

ͷΑ͏ʹ۩ମతʹද‫͞ݱ‬ΕΔ (͜ͷͱ͖ɼMij = (b̃i , b̃j ) ͕੒Γཱ͍ͬͯΔ)ɽϧδϟϯυϧ଒ͷप‫( ૾ࣸظ‬2.3)
ʹͳΒͬͯɼ

2 wk (x)zk= log+ (power series in z)
2πi w0 (x)ck>?
ͱఆΊΔͱ (t1 , ..., t4 ) ͕प‫ྖظ‬Ҭ H2 ' D(TX ) ͷ੔‫ج‬ఈ b̃0 , · · · , b̃5 ʹର͢Δਖ਼ଇ࠲ඪΛఆΊΔɽ্ͷؔ܎
tk =

ࣜΛ

Qk = eπitk =)1 (zk 1 + (power series in z)
ck

z1 , ..., z4 ʹ͍ͭͯղ͖ฦͨ͠ zk = zk (Q1 , · · · , Q4 ) ͸จ‫[ ݙ‬7, 8] Ͱϛϥʔࣸ૾ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ΋ͷʹҰக͠ɼࠓͷ৔߹͜Ε͕ K3 ϥϜμؔ਺ͷఆٛΛ༩͑Δɽ

໋୊ 5.2. (1) ্ड़ͷ K3 ϥϜμؔ਺Λ zk (Q1 , · · · , Q4 ) =: λk (Q) ͱද͢ͱ͖ɼ࣍ͷΑ͏ͳਖ਼΂͖ͷ Q-ల։͕ಘΒΕΔɿ
λ1 = 4Q1 + 8Q21 + (12Q31 − 8Q1 Q2 Q4 − 8Q1 Q3 Q4 ) + 16(Q41 − 2Q21 Q2 Q4 − 2Q21 Q3 Q4 + Q1 Q2 Q3 Q4 ) + · · ·λ2 = 4Q2 + 8Q22 + (12Q32 − 8Q1 Q2 Q4 − 8Q2 Q3 Q4 ) + 16(Q42 − 2Q1 Q22 Q4 − 2Q22 Q3 Q4 + Q1 Q2 Q3 Q4 ) + · · ·λ3 = 4Q3 + 8Q23 + (12Q33 − 8Q1 Q3 Q4 − 8Q2 Q3 Q4 ) + 16(Q43 − 2Q1 Q23 Q4 − 2Q2 Q23 Q4 + Q1 Q2 Q3 Q4 ) + · · ·λ4 = Q4 − 2(Q1 + Q2 + Q3 )Q4 + {(Q21 +..+Q23 )Q4 + 2(Q1 +..+Q3 )Q24 + 4(Q1 Q2 + Q2 Q3 + Q3 Q1 )Q4 } + · · ·(2) ·ͨɼਖ਼ଇղ w0 (z) ʹ K3 ϥϜμؔ਺ zk = λk (Q) Λ୅ೖͯ࣍͠ͷ Q-ల։͕ಘΒΕΔɿw0 (λ)2 = 1 + 8(Q1 Q2 + Q1 Q3 + Q2 Q3 )Q4 − 32Q1 Q2 Q3 Q4 + 8(Q1 + Q2 + Q3 − 4Q4 )Q1 Q2 Q3 Q4 + · · ·प‫( ૾ࣸظ‬3.2) ͸ TXo ' U (2)⊕2 ⊕ A⊕2
1 ʹఆΊΔ‫ج‬ఈ {b0 , · · · , b5 } ʹରԠ͢Δ΋ͷͰɼ͜Ε͕ఆΊΔप‫ظ‬ྖҬ H2 ' D(TX ) ͷਖ਼ଇ࠲ඪ (t1 , t2 , t3 , t4 ) ͸ qk = eiπtk ʹΑ্ͬͯͷ Qk ͱ͸ผͷ q-ల։ͷύϥϝʔλΛఆΊΔɽ͜ͷ q-ల։͸ςʔλؔ਺ͷఆٛͱ

&'
w11 w12
q1 = e, q2 = e, q3 q4 = e∈ H2
w21 w22>?
ͷؔ܎ʹ͋Δ [11]. ͜ͷ੔‫ج‬ఈͱ ඍ෼ํఔࣜͷ‫ॴہ‬ղ͔ΒಡΈऔͬͨ TX ͷ੔‫ج‬ఈ b̃0 , · · · , b̃5 Λؔ܎෇͚
πiw11

πiw22

πi(w12 +w21 )q3,= e−π(w12 −w12 ) ; W =q4Δ͜ͱ͔Β [10, §5]ɼ2 ͭͷల։ύϥϝʔλ͸

q1 = Q1 Q2 Q3 Q4 , q2 = Q2 Q3 Q4 , q3 = Q3 Q4 , q4 = −Q4(5.3)

ͷؔ܎ʹ͋Δ͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔɽ࣍ͷ݁Ռ͸࿦จ [10] ͷओ݁ՌͰ͋Δɿ

< = 4 Θ(q) ΛɼͦΕͧΕςʔλؔ਺ (4.4)ɼ(4.5) ͷύϥϝʔλ qk ʹఆཧ 5.3. Θi (q) (i = 1, .., 10) ͓Αͼ Θ
15
ΑΔදࣔͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼؔ܎ࣜ (5.3) ͷԼͰ

121. K3 ϥϜμؔ਺͸
Θ3 (q)2 + Θ9 (q)2 − ω0 (λ)2,ω0 (λ)2 − Θ7 (q)2
(ω0 (λ)2 − Θ7 (q)2 )(ω0 (λ)2 − Θ9 (q)2 )λ3 (Q) =,ω0 (λ)2 (Θ4 (q)2 + Θ9 (q)2 − ω0 (λ)2 )Θ3 (q)2 + Θ9 (q)2 − ω0 (λ)2,ω0 (λ)2 − Θ9 (q)2
Θ4 (q)2 + Θ9 (q)2 − ω0 (λ)2λ4 (Q)=
Θ3 (q)2 + Θ9 (q)2 − ω0 (λ)2λ1 (Q) =λ2 (Q)=ͱද͞ΕΔɽ͜͜Ͱɼω0 (λ)2 ͸ҎԼͷ 2 ͰఆΊΔϞδϡϥʕ‫ࣜܗ‬Λද͢ɽ(1)

2. ‫ ఺ݪ‬o1 Ͱ‫ݱ‬ΕΔਖ਼ଇղ͸௒‫ز‬Կ‫਺ڃ‬
ω0 (z1 , z2 , z3 , z4 ) =%c(n1 , n2 , n3 , n4 )z1n1 z2n2 z3n3 z4n4

n1 ,n2 ,n3 ,n4 ≥0c(n1 , .., n4 ) :=Γ(n1 + 12 )Γ(n2 + 12 )Γ(n3 + 12 )1
1 3 Π3 Γ(n − n + 1) · ΠΓ( 2 ) i=1
4i1≤j<k≤3 Γ(nj + nk − n4 + 1)Ͱද͞Εͯɼ͞Βʹ࣍ͷؔ܎ࣜΛຬͨ͢

ω0 (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 )2 =

>
?
1
2
2
2
2
2
2
<
Θ
(q)
Θ
(q)
−
Θ
(q)
Θ
(q)
+
Θ
(q)
Θ
(q)
−
Θ(q)
.
7
8
10
5
6
9
2Θ8 (q)2͜ͷఆཧͷ݁Ռ 1,2 ͸ͦΕͧΕɼପԁϥϜμؔ਺ͷੑ࣭ (2.4),(2.6) ʹରԠ͢Δ΋ͷͰ͋Δɽੑ࣭ (2.5) ʹରԠͯ͠ɼΓT /ΓM (1 + i) ' S6 × Z2 ͱ͍͏ؔ܎͕੒Γཱͪ [11, §1.2]ɼ·ͨɼZ2 ͸ 10 ‫ݸ‬ͷςʔλؔ਺ʹࣗ໌ʹ࡞༻͢Δ͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔ [11, Lemmda 2.1.2],[10, Appendix A] ͷͰɼΓT /ΓM (1 + i) ʹ༝དྷ͢Δ S6 ͕ςʔλؔ਺Λ௨ͯ͡ λ-ؔ਺ʹ࡞༻͢ΔɽҰํͰɼ6 ఺഑ஔΛද͢ 3 × 6 ߦྻ A ʹӈ͔Βࣗવʹ S6 ͕࡞༻͢Δɽप‫ ૾ࣸظ‬P : M6 → H6 ͸͜ΕΒ̎ͭͷ‫ʹ༻࡞܈‬ରͯ͠ಉมͰ͋Δ͜ͱ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔ [11]ɽ͜ΕΒͷ͜ͱ͔ΒɼϥϜμؔ਺ xk = λk Λߦྻ A0 ͷߦྻ੒෼Ͱදؔ͢܎ࣜ (5.1) ͱ A0 ΁ͷ S6 ͷ࡞༻Λख͕͔ΓʹɼK3 ϥϜμؔ਺ λk ΁ͷ ΓT /ΓM (1 + i) ͷ࡞༻͕ܾΊΒΕΔɽA0 ΁ྻͷஔ‫ ͯ͠ͱ׵‬σ ∈ S6 Λ࡞༻ͤ͞Δͱ͖ A0 ͷ‫ܗ‬͸อͨΕͳ͍͕ɼಉ࣌ʹ hσ ∈ GL(3, C) ʹΑΔࠨ͔Βͷ࡞༻Λߟ͑ͯ࣍ͷΑ͏ͳม‫׵‬Λ࣮‫͢ݱ‬Δɿ

1 0
A0 %→ Aσ0 := hσ .A0 .σ = 0 1
0 0

0
0
1

aσ2
aσ0
aσ1

bσ1
bσ2
bσ0


cσ0
cσ1 
cσ2

σ σ
σ
͜ͷม‫ʹ׵‬Αͬͯɼ(5.1) ࣜ zk (A0 ) ͸ରԠ͢Δ aσ
i , bi , ci ͷ༗ཧࣜ zk (Ao ) ʹม‫͢׵‬Δɽ͜ͷखଓ͖Ͱɼ్த

ͷ hσ ͸Ұҙʹ͸ܾ·Βͳ͍͕༗ཧࣜ zk (Aσo ) ͸ T -ෆมੑͰ͋ΔͷͰɼσ ʹରͯ͠Ұҙʹܾ·͍ͬͯΔ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɽzk (Aσo ) ʹ͍ͭͯҎԼͷੑ࣭͕͔֬ΊΒΕΔɽ໋୊ 5.4. zk (Aσ0 ) ͸ zk (A0 ) ͷ༗ཧࣜͰද͞ΕΔɽҎԼʹ۩ମతͳ σ ∈ S6 ʹରͯ͠‫ྫ͔ͭز‬Λ͓ࣔͯ͘͠ɽ

σ = ( 11 22 33 46 55 64 )

z1σ =

1
1
z1
, z2σ = −z2 z3 z4 , z3σ =, z4σ =
z1
z1 z4
z3

σ = ( 12 23 34 45 56 61 )z1σ = −z2
1 − z1 z3 z4
1 − z1 z3 z4, z2σ = −, z3σ = −1 + z2
1 + z1 z4
1 + z3 z4
13, z4σ = −(1 + z1 z4 )(z + z3 z4 )1 − z1 z3 z4

σ = ( 16 25 34 43 52 61 )(1 + z1 )z2 (1 + z3 )z4z1 (1 + z2 )(1 + z3 )z4, z2σ = −,(1 + z2 z4 )(1 − z1 z3 z4 )(1 + z1 z4 )(1 − z2 z3 z4 )(1 + z1 )(1 + z2 )z3 z4(1 + z1 z4 )(1 + z2 z4 )(1 + z3 z4 )z3σ = −
, z4σ =.
(1 − z1 z2 z4 )(1 + z3 z4 )(1 + z1 )(1 + z2 )(1 + z3 )z4
z1σ = −

্ͷ໋୊͸ɼପԁϥϜμؔ਺ͷੑ࣭ (2.5) Λ K3 ϥϜμؔ਺ zk = λk ΁ҰൠԽ͢Δ΋ͷͰ͋Δɽ

5.2 λ+
K3 ؔ਺(1)@6 ͷ ఺ oલ খ અ Ͱ ͸ ɼM1

Λ ‫ ͢ ͱ ఺ ݪ‬Δ ෳ ૉ ࠲ ඪ ۙ ๣ Λ C4z1 ,z2 ,z3 ,z4 ͔ Β K3 ϥ Ϝ μ ؔ ਺ λK3 =@6 ͷ flip M@+ Ͱ͸ɼo(1) (i = 1, 2) ʹରͯ͠ 3 ఺ o(2) (k = 1, 2, 3) ͷ‫ڥ‬ք఺͕ଘ(λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) ΛఆΊͨɽM
6
i
k
(2)

ࡏ͢Δɽ3 ఺ͷதͰਤ̍ʹද͢ o1 Λબ୒ͯ͠ɼͦΕΛத৺ͱ͢Δෳૉ࠲ඪۙ๣Λ C4z̃1 ,z̃2 ,z̃3 ,z̃4 ͱද͢ͱ͖

z̃1 = z1 , z̃2 = z1 z4 , z̃3 = z2 /z1 , z̃4 = z3 /z1(2)ͷؔ܎͕͋Δ [10, Appendix F]. લઅͱಉ༷ʹɼ͜ͷ఺ o1

Λ Q-ల։ͷ‫͢ͱ఺ݪ‬Δ K3 ϥϜμؔ਺ λ+
K3 =

+
+
+
+
(λ+
1 , λ2 , λ3 , λ4 ) ͕ఆٛ͞ΕΔ [10]. K3 ϥϜμؔ਺ λK3 ͱಉ༷ʹςʔλؔ਺ʹΑͬͯද͞ΕΔ͕ɼλK3 ͸E(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒͷҟͳΔಛҟ఺ղফ͔Βఆٛ͞Ε͓ͯΓ λK3 ͱ͸ผͷఆٛΛ༩͍͑ͯΔͱ‫ݟ‬ͳ͞ΕΔ΂͖Ͱ͋Ζ͏ɽৄࡉ͸จ‫[ ݙ‬10] Λࢀর͞Ε͍ͨɽ

6 ·ͱΊҎ্ɼ࿦จ [9, 10] ͰಘΒΕͨ K3 ϥϜμؔ਺ͷഎ‫ུ֓ͱܠ‬Λɼप‫ੵظ‬෼ͷຬͨ͢ඍ෼ํఔࣜͱͦͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽɼͱ͍͏ࢹ఺͔Β·ͱΊͨɽ͜ͷΑ͏ͳࢹ఺ʹཱͭͱҰൠͷ G(n, m) ‫ܕ‬ͷ Aomoto-Gel’fandඍ෼ํఔࣜ‫͍ͯͭʹܥ‬ɼͦͷม਺ۭؒͷίϯύΫτԽͱେ‫ہ‬తͳ‫ه‬ड़ͱ͍͏໰୊͕‫ͯ͑ݟ‬དྷΔΑ͏ʹࢥΘΕΔɽE(3, 6) ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷ৔߹ɼ(1) 2 ॏඃ෴‫ ܕ‬K3 ‫ۂ‬໘ͷ଒ X → M6 ͷύϥϝʔλۭؒͷίϯύΫτԽ

MGIT' ΓM (1 + i) \ H2
6BBSͷ‫ه‬ड़͕؆໌ʹग़དྷΔɼ(2) MGIT͕ GKZ ํఔࣜ‫ͮ͘جʹܥ‬ίϯύΫτԽ
6

Pijk
SecA ͷඃ෴Ͱද͞ΕΔ ((4.7) ࣜ), Ҏ্̎ͭͷࣄ࣮͕͋ͬͯม਺ۭؒͷେ‫ہ‬తͳ‫ه‬ड़͕ՄೳͱͳͬͨɽҰൠͷ G(n, m) ‫ܕ‬ͷ Aomoto-Gel’fand ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷ৔߹ʹ͸ɼʮඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭ͕ؒ GKZ ํఔࣜ‫جʹܥ‬1 i2 ...inͮ͘ίϯύΫτԽ PiSecA
ͷ (Zariski ։ू߹ͷ) ඃ෴Ͱද͞ΕΔʯͱ͍͏͜ͱҎ֎ʹେ‫ہ‬తͳ‫ه‬ड़΁ͷख͕͔Γ͸ͳ͍Α͏ʹࢥΘΕΔɽࠓͷॴ͋·ΓΑ͍ΞΠσΞ͸ͳ͍͕ɼ໰୊ͱͯ͠ҎԼʹ‫ه‬࿥ͯ͠ஔ͖͍ͨͱࢥ͏ɽ
1 i2 ...in໰୊. G(n, m) ‫ܕ‬ͷ Aomoto-Gel’fand ඍ෼ํఔࣜ‫ܥ‬ͷม਺ۭؒΛඃ෴͢Δ PiSecA(ͷ Zariski ։ू߹) ʹ͍ͭͯɼͦΕΒͷషΓ߹Θͤͷ༷ࢠΛ‫ه‬ड़ͯ͠ม਺ۭؒͷେ‫ہ‬తͳఆٛΛ༩͑Αɽँࣙɽຊߘͷ݁Ռ͸ߴ໦‫׮‬௨ࢯ (ֶशӃେֶ), Bong Lian ࢯ (Brandeis େ), S.-T. Yau ࢯ (Harvard େ) ͱͷ‫ڞ‬ಉ‫͍͍ͯͮجʹڀݚ‬Δɽ‫ڞ‬ಉ‫ڀݚ‬ͷ࣮ࢪʹؔ͠ɼ͜͜ʹ‫ँײ‬ͷҙΛද͠·͢ɽ14ࢀߟจ‫ݙ‬[1] K. Aomoto,On the structure of integrals of power products of linear functions, Sci. Papers, Coll.
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15

GAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY
HIROSHI IRITANI

Abstract. Hodge-theoretic mirror symmetry for a Calabi-Yau mirror pair says that thevariation of Hodge structure arising from quantum cohomology of a Calabi-Yau manifold
and that arising from deformation of complex structures on the dual Calabi-Yau manifold!
!
can be identified with each other, and it has been conjectured ( Γ-conjecture)that the Γintegral structure [10] in quantum cohomology corresponds to a natural integral structure!
on the mirror side. Here the Γ-integral
structure is defined via the topological K-group and!
the Γ-class, a characteristic class with transcendental coefficients containing the Riemann ζ!
values. In this article, we explain an approach to the Γ-conjectureusing tropical geometry andobserve that the Riemann ζ-values arise as error terms of tropicalization in the computationof mirror periods. This is based on joint work [1] with Abouzaid, Ganatra and Sheridan.

1. Mirror symmetry
Mirror symmetry is a conjectural duality between symplectic and complex geometry. Itroughly speaking predicts that symplectic topology on a symplectic manifold Y “corresponds”(or equivalent) to complex geometry on another complex manifold Z. Then Z is called amirror of Y and vice versa. In this article, we consider two kinds of mirror correspondences:
Calabi-Yau mirror pairs and Fano/LG mirror pairs.
Calabi-Yau mirror pairs:(Y, (− log t)ω)←→(Zt , Ωt )t∈∆∗In the left-hand side, we consider a Calabi-Yau manifold Y equipped with a Kähler
form ω whose cohomology class is integral: they give a family (Y, (− log t)ω) of symplectic manifolds parametrized by small t > 0. On the right-hand side we consider afamily of Calabi-Yau manifolds Zt of the same dimension equipped with a holomorphic volume form Ωt . The family {Zt } maximally degenerates at t = 0 in a suitablen (Z ) is maximally unipotent (i.e. (M − id)n $=sense: the monodromy M on Hprimt
0, (M − id)n+1 = 0 for n = dim Zt ) and the limiting mixed Hodge structure is ofHodge-Tate type (see [2]). The limit point t = 0 is called the large complex structure
limit.
Fano/LG mirror pairs:F←→

W : (C× )n → C

In the left-hand side we consider a Fano manifold F (or a monotone symplectic manifold), i.e. c1 (F ) is represented by a positive (1, 1)-form, which gives a symplectic form.
In the right-hand side we consider a Landau-Ginzburg model, a Laurent polynomial
function W on the algebraic torus (C× )n with n = dim F .
Date: 19 December 2021.
1

2

HIROSHI IRITANIOn the complex geometry side, we consider (exponential) periods, namely, integrals of thefollowing form!
Ωt
for an n-cycle Ct (for Calabi-Yau mirrors)
Ct ⊂Zt
!
dx1
dxn
e−tW
···
for a not necessarily compact n-cycle Γ (for Fano mirrors)x1xnΓUnder mirror symmetry, they should yield solutions to the quantum differential equation on
the symplectic side, which is defined by counting rational curves (the genus-zero GromovWitten invariants). In the Calabi-Yau case, the mirror correspondence can be formulated as
an isomorphism of variation of Hodge structure (VHS) as given in Table 1.
Table 1. Mirror correspondence on the level of VHS (see e.g. [11]). Here {φi }"1,1is a basis of Halg
(X) and τ = ri=1 τ i φi .
bundleconnection
filtration
polarization
Z-structure#$

symplectic side
%
p,p
1,1
1,1
H
(Y
)
× Halg(Y ) → Halg
(Y )
p alg

complex side&n∗t Hprim (Zt ) → ∆r'quantum connection ∇ = d +(φi $τ )dτ i
Gauss-Manin connection ∇GM
i=1(( n−k,k
k,k
Fp =
Halg
(Y )
Fp =
Hprim (Zt )
k≤n−p
k≥p
!
!
n(n−1)ndeg /2
2
(2πi)
((−1)
α) ∪ β
(−1)
α∪β
Y
X
$
k,k
0 (X) →)
Γ-integral
structure Kalg
H n (Zt , Z)
k Halg (X),
) X (2πi)deg /2 ch(V )V (→ Γ

Remark 1.1. In Table 1, we restrict our attention to the algebraic part of cohomology in thesymplectic side, and the primitive part of the middle cohomology in the complex side. The)
Γ-integral
structure is also restricted to the K-group of algebraic vector bundles. We do notknow much about Hodge-theoretic mirror symmetry beyond these parts. On the symplectic)
side, we can naturally define the Γ-integral
structure corresponding to the topolgoical K-group[10], so it might be possible to consider an integral structure on the complex side corresponding∗ (Y ) ∼ K ∗ (Z) has been
to the topological K-group as well. A conjectural isomorphism Ktop
= top
discussed in the literature [21].
)2. The Γ-class

Let X be an almost complex manifold. We write the total Chern class of the tangent bundle
T X asc(T X) = (1 + δ1 )(1 + δ2 ) · · · (1 + δn )where δ1 , . . . , δn are virtual cohomology classes called the Chern roots. Each δi may not exist
as a cohomology class, but any symmetric functions in δ1 , . . . , δn can be written as polynomials)in c1 (T X), . . . , cn (T X) and make sense as cohomology classes. The Γ-classof X is defined tobe) X = Γ(1 + δ1 ) · · · Γ(1 + δn ) ∈ H ∗ (X, R)ΓGAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY

3*∞)
where Γ(1 + x) = 0 e−t tx dt/t is the Euler Γ-function. By the Taylor expansion of the Γfunction, we can think of the right-hand side as a symmetric power series of δ1 , . . . , δn : then)the right-hand side makes sense as a cohomology class of X. The Γ-function
Γ(1 + x) has
simple poles at x = −1, −2, −3, . . . and it has the following infinite product expansion:Γ(1 + x) = +

e−γx
−x/n
n≥0 (1 + x/n)e

where γ = limn→∞ (1 + 12 + · · · + n1 − log n). This can be calculated asΓ(1 + x) = e−γx
=e

−γx

∞
,

n=1
∞
,

x

exp

n=1

-

= exp −γx +where ζ(k) =written as"∞1n=1 nkx

e− log(1+ n )+ n-∞.
' (−1)k xk
k=2
∞
'
k=2

k

nk

ζ(k) k
(−1)k
x
k

.

)
is the value of the Riemann ζ-function. Hence the Γ-classcan be-) X = exp −γc1 (X) +
Γ

∞
'
k=2

ζ(k)
(−1)
chk (T X)(k − 1)!
k.

)
Remark 2.1. The Γ-class
has the following geometric interpretation. We consider a free loop
space LX equipped with the S 1 -action rotating loops. We also consider the set X of constant)loops in LX. Then the Γ-classcan be interpreted as a regularization of the S 1 -equivariant
Euler class of the positive normal bundle N+ of X in LX [15, 4]; here positive means the
positive weight part as an S 1 -representation. We havedeg

) X ∼ eS 1 (N+ ) = + +(2π)n/2 z n− 2 z c1 (X) Γi1.
k≥0 (δi + kz))
3. Mirror symmetric Γ-conjecture))
The mirror symmetric Γ-conjectureroughly speaking says that the Γ-integral
structure [10]on the symplectic side should correspond to a natural integral structure on the complex side.
In this article, we do not discuss Hodge-theoretic mirror symmetry with integral structure)
anymore (we do not even give the definition of quantum cohomology or the Γ-integral
structure
on it): we refer the reader to e.g. [12, 3, 11]. Instead, we discuss a more concrete conjecture,)“mirror symmetric Γ-conjecture”
stated in terms of (exponential) periods. This problem ismore of a topological nature, and does not involve counting rational curves.
)
The mirror symmetric Γ-conjecture
originates from Hosono’s conjecture [9], which saysthat mirror periods equal the pairing of certain explicit hypergeometric series with the Chernclasses of vector bundles, for Batyrev mirror pairs of Calabi-Yau hypersurfaces. By taking
the asymptotics of Hosono’s conjecture at the large complex structure limit, we arrive at thefollowing conjecture.

4

HIROSHI IRITANI

Calabi-Yau case: Let (Y, (− log t)ω) and (Zt , Ωt ) be a Calabi-Yau mirror pair as above.
For a certain family of n-cycles Ct ⊂ Zt , we have a K-theory class V on Y such that!
!
) Y (2πi)deg /2 ch(V ) + O(t$ )
(1)
Ωt =
t−ω Γ
Ct ⊂ZtY

as t → +0, where + > 0 is a positive real number.
Fano/LG case: Let F and W : (C× )n → C be a Fano/LG mirror pair as above. For acertain (possibly noncompact) n-cycle Γ ⊂ (C× )n , we have a K-theory class V on F
such that!
!
dx1 · · · dxn) F (2πi)deg /2 ch(V ) + O(t$ )
(2)
e−tW
=
t−c1 (F ) Γ
x
·
·
·
x
1
n
Γ
F

as t → +0, where + > 0 is a positive real number.
This conjecture has been verified for (weak) Fano toric orbifolds and certain complete
intersections in them, for some choices of V and cycles Ct (or Γ), see [10, 11]. The paper [1]gives another proof for Batyrev mirror pairs based on the SYZ picture and tropical geometry.
Remark 3.1. (A) This conjecture is closely related to homological mirror symmetry (withsymplectic side and complex side interchanged). Homological mirror symmetry predicts thatthe derived category of coherent sheaf on one side should be equivalent to the Fukaya (orFukaya-Seidel) category of the other side:
Db Coh(Y ) ∼= Db Fuk(Zt )Db Coh(F ) ∼= Db FS(W )for Calabi-Yau mirror pairs
for Fano/LG mirror pairs

We expect that the K-classes V and the cycles Ct (or Γ) in the above conjecture should
correspond to each other under homological mirror symmetry. Namely, when V comes froma coherent sheaf V ∈ Db Coh(Y ) or Db Coh(F ), the cycle Ct (or Γ) should be the Lagrangiansubmanifold L mirror to V.
(B) The categorical equivalence in homological mirror symmetry is given only up to autoequivalences, and hence the correspondence in (A) is ambiguous. In this conjecture, more
precisely, we should consider the equivalence induced from Strominger-Yau-Zaslow (SYZ)
dual torus fibrations (see [19, 6, 7]). The SYZ conjecture says that (in the Calabi-Yau case)
we have special Lagrangian torus fibrations1 p1 : Y → B, p2 : Zt → B with singularities
Y!

!!
!!p1
!!
!!

p2 """

B

Zt

""
"""

that are dual to each other, where B is a real n-dimensional manifold homeomorphic to asphere. Here Y and Zt are equipped with Ricci-flat Kähler metrics. It is expected that Zt
converges2, as t → 0, to the base B in the sense of Gromov-Hausdorff topology (where wenormalize the metric so that the diameter is constant). The SYZ fibrations should induce
1For tropical computation of periods, we do not need Ricci-flat metrics or special Lagrangian fibrations: weonly need a weaker version as in the Gross-Siebert program [8].
2Likewise, we can consider a maximal degeneration of complex strcutures on Y , which corresponds under
mirror symmetry to the large-radius limit for the Kähler (symplectic) structure on Zt , and the complex degeneration induces the collapse Y → B. When we take into account both the symplectic and complex structures,
we should consider a mirror pair (Ys , (− log t)ωY ) ↔ (Zt , (− log s)ωZ ) of maximally degenerating families.

GAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY

5

categorical equivalences as above3, and it is expected that a Lagrangian section of p2 : Zt → B
corresponds to a line bundle on Y . In particular, if we take a Lagrangian section C0,t (or Γ0 )corresponding to the structure sheaf, we have!
!
) Y + O(t$ )
Ωt =
t−ω Γ
(in the Calabi-Yau case)!

(3)

C0,t ⊂Zte−tW

Γ0dx1 · · · dxn=
x1 · · · xn

!

Y

F

) F + O(t$ )t−c1 (F ) Γ(in the Fano case)as t → +0. In examples such as Batyrev mirrors, C0,t arises as a “positive real locus”. In theFano case, we expect that Γ0 = (R>0 )n .
When V is the class of the structure sheaf of a point, the corresponding cycle should be afibre p−1
2 (b) of the SYZ fibration p2 : Zt → B in the Calabi-Yau case, and the compact torus(S 1 )n ⊂ (C× )n in the Fano case. Since ch(V ) = [pt] in this case, we do not see nontrivial)
components of the Γ-classin the asymptotics of *the corresponding (exponential) periods.
1 nn
Tonkonog [20] showed that the exponential period (S 1 )n e−tW dxx11 ···dx···xn of (S ) is a generating
series of gravitational descendants of F (the pairing of the J-function and [pt]), when one
chooses a monotone Lagrangian submanifold L in F and defines W by counting holomorphic
discs with boundaries in L. See also (C) below.
)(C) The above conjectures (1), (2), (3) say that the Γ-classappears in the asymptotics of(exponential) periods of the mirror in the large complex structure limit t → 0. The leading
asymptotics are polynomials in log t. The information of curve counting is contained in thehigher order terms in t, which are exponentially small compared to the asymptotic part. If
we include all the higher-order terms, the right-hand side in the conjecture should become!
) Y (2πi)deg /2 ch(V )JY (ω log t, −1) ∪ Γ(in the Calabi-Yau case)Y!
) F (2πi)deg /2 ch(V )JF (c1 (F ) log t, −1) ∪ Γ(in the Fano case)F

where JX (τ, z) is the small J-function

JX (τ, z) = eτ /z 1 +'i'd∈H2 (X,Z)

1φiz(z − ψ)2

e*τ,d+ φi 

defined in terms of gravitational Gromov-Witten invariants (see [4, 3, 12] for the notation). In
the Calabi-Yau case, we need to normalize the volume form Ωt by a Hodge-theoretic condition,
as discussed in [2]; we also need to assume that the parameter t of the mirror family {Zt } isnormalized so that the mirror map is trivial τ = ω log t.
Example 3.2. Let Y be a Calabi-Yau 3-fold. The asymptotic part of the first equation of(3) takes the form:
!
!
!
!
ω3
) = (− log t)3t−ω Γ−(− log t)ζ(2)ω ∪ c2 (Y ) − ζ(3)c3 (Y )
Y
Y 3!
Y
Y
5 67 85 67 8volume of Y

Euler number

Note that the leading term is the symplectic volume of (Y, (− log t)ω).

3More precisely, the categorical equivalence would be given up to the twist by a line bundle, and theambiguity would be fixed by choosing a Lagrangian section that corresponds to the structure sheaf.

6

HIROSHI IRITANIExample 3.3. Let F be the projective space Pn and let Y be a degree n + 1 Calabi-Yau
hypersurface in F = Pn . The mirror of F is given by the Laurent polynomial
W = x1 + · · · + xn +1
x1 · · · xn

and the mirror of Y is given by a Calabi-Yau compactification Zt of the fibre W −1 (1/t)
equipped with the holomorphic volume form
9
dx1
dxn 9
x1 ∧ · · · ∧ xn 9
Ωt =
.
9
9 −1
t · dWW(1/t))
The mirror symmetric Γ-conjecture
for these mirror pairs holds when V is the structure sheaf
and the cycle is the positive real locus [10, 11]. We have!
!
) Y + O(t$ )Ωt =t−c1 (F ) ΓnZt ∩(R>0 )
Y
!
!
dx
·
·
·
dx
1
n
) F + O(t$ )e−tW=
t−c1 (F ) Γ
x
·
·
·
dx
n
1
n
(R>0 )
F
for any + with 0 < + < n + 1. The higher order term can be also given explicitly as hypergeometric series. We remark that the exponential period in the second line can be written as
a Fourier transform of the period in the first line. (The first identity was obtained from thesecond one by inverse Fourier transformation in [11].))
Remark 3.4. The Γ-conjecture
for Fano manifolds [4] proposed by Galkin, Golyshev andthe author does not rely on mirror symmetry (although it sometimes follows from the mirror)
symmetric Γ-conjecture).
It is formulated purely in terms of quantum cohomology of a Fano)
manifold. The Γ-conjecture
in [4] is related to the Stokes structure of the quantum connection.
4. Periods via tropical geometry

We explain how to compute the asymptotics (3) of periods using tropical geometry. Firstly
we see that the term!
ωn(− log t)n
Y n!
*should appear as the leading term of the period C0,t Ωt using the SYZ picture. Away fromthe descriminant locus (the singular locus of the fibration), the base B is equipped with aZ-affine structure (i.e. an atlas as a topological manifold such that every coordinate change
is Z-affine linear, that is, belongs to GL(n; Z) ! Rn ) and the SYZ dual fibrations are locallymodelled on
T ∗ B/Λ∗

##
##p1
##
##
##

T B/Λ
p2 $$$

B

$$
$$
$$$

where Λ ⊂ T B is the lattice defined by the Z-affine structure. Let x1 , . . . , xn be Z-affine
local
on B. Then the symplectic form on T ∗ B/Λ∗ is given by (− log t)ω ="n coordinates∗
j=1 dxj ∧ dyj and the holomorphic volume form on T B/Λ is given by Ω = dz1 ∧ · · · ∧ dzn

GAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY

7

with zj = xj + iyj , where yj∗ are fibre coordinates on T ∗ B dual to dxj and yj are fibre
coordinates on T B dual to ∂/∂xj . Hence we have:;((− log t)ω)np1∗= affine volume form dx1 ∧ · · · ∧ dxn on B = s∗ Ωn!
where s is a section of p2 . From this we expect the leading asymptotics:!
!
ωnΩt ∼ (− log t)n
as t → +0.
C0,t
Y n!
The error term of this approximation arises from the discriminant locus of the SYZ fibration.
We explain that tropicalization gives an approximate SYZ(-like) fibration and how we cancompute periods tropically by means of example.
3

2

0

1

-3

-2

-1

1

2

3

x

-1

x0

x1

y

-2



-3

b

Figure 1. Amoeba

Figure 2. Tropical amoeba

Figure 3. Pair of pants (P1 minus three points, on the left) and stretching
the neck (on the right)
Example 4.1. We start with a simple example of tropicalization. Consider the variety
P = {(X, Y ) ∈ (C× )2 : X + Y + 1 = 0}.

This is P1 minus three points, and is called a ‘pair of pants’. We consider the family of maps
for t > 0:
Logt : P → R2 , (X, Y ) (→ (x, y) = (logt |x|, logt |y|).
The image of the map is called amoeba. In this example, the image is determined by thetriangle inequality ||X| − 1| ≤ |Y | = |X + 1| ≤ |X| + 1 ⇔ |tx − 1| ≤ ty ≤ |tx + 1| ⇔logt (1 + tx ) ≤ y ≤ logt |1 − tx |. See Figure 1. If we take the limit t → 0, this approaches to thetropical amoeba (tropical variety) in Figure 2. It is given by the singular locus of the piecewise
linear function min(x, y, 0). We can think of Logt as an approximate torus fibration of P over

8

HIROSHI IRITANI

the tropical amoeba. For example, the fibre at (x0 , 0) (with x0 > 0) is approximately thecircle |X| = tx0 , Y = −1. Most of the points on P go very close to the origin, and three ‘neck’
neighbourhoods of the missing points X = 0, X = −1, X = ∞ are stretched to semi-infinite
cylinders (see Figure 3). The integral of a holomorphic 1-form
9
9
dX
dY
∧
9
X
Y
Ω=
9
d(X + Y + 1) 9
X+Y +1=0

on a section over the interval [x0 , x1 ] in the x-axis is approximately the length of the interval
multiplied by (− log t).
9
!
!
dX 99
∗
s Ω≈
= (− log t)(x1 − x0 ).
XY 9x[x0 ,x1 ][x0 ,x1 ]X=t ,Y =−1

Example 4.2. Next we consider a tropicalization of an elliptic curve. Let Et be the affine
elliptic curve:
1
Et = {(X, Y ) ∈ (C× )2 : t(X + Y +) = 1}
XY
This is a compact elliptic curve minus 3 points. The limit of Log t (Et ) as t → 0 (tropicalamoeba) and the approximate torus fibration are depicted in Figure 4. The tropical amoeba
is the singular locus of min(0, x + 1, y + 1, 1 − x − y). We see from this picture that E is
composed of three ‘pairs of pants’ in the previous example. This is an instance of pairs-ofpants decomposition by Mikhalkin [16]. The approximate fibration given by Logt is “singular”
at three vertices, but we can make it a smooth fibration by adding three missing points (atinfinity) to Et and contracting the unbounded edges by a linear projection around each vertex.
For example, around the vertex (−1, −1) of the tropical amoeba, we can use the projection
x − y = logt |X| − logt |Y | along the ray R≥0 (−1, −1) to define the fibration. Then we get asmooth S 1 -fibration over the boundary ∂∆2 ∼= S 1 of the 2-simplex (shown in blue colour).

Figure 4. Tropical elliptic curve
The integral of the holomorphic 1-form

99d log X ∧ d log Y9Ωt =d(t(X + Y + 1/(XY ))) 9Et

over the compact cycle C0,t (shown in Figure 4) is asymptotically the same as the affine length(= 9 = 3 × 3) of the cycle in the tropical base (shown in blue colour) multiplied by (− log t).
This elliptic curve Et is mirror to a cubic curve Y in P2 . A precise choice of the cubic curve
Y does not matter, but Y can be for example:
Ys = {[z0 , z1 , z2 ] ∈ P2 : s(z03 + z13 + z23 ) + z0 z1 z2 = 0}.

GAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY

9

The dual SYZ fibration for Ys is approximately given by the restriction of the moment mappingµ : P2 → R2 (with respect to the anticanonical class −KP2 on P2 ) to Ys .
:;3|z1 |2
3|z2 |2µ([z0 , z1 , z2 ]) =,|z0 |2 + |z1 |2 + |z2 |2 |z0 |2 + |z1 |2 + |z2 |2

Note that the image of µ is the 2-simplex {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x+y ≤ 3} and µ(Ys ) approaches
its
as s → 0. The affine length of the tropical cycle equals the symplectic volume* boundary2 ) = 9.
c
(P
1
Ys
Example 4.3. Now we consider the case where the SYZ fibration has singularities. In
dimension two, the following local model of singularities appears in the Gross-Siebert program(see [5, 14]).
Z = {(X1 , X2 , Y ) ∈ C2 × C× : X1 X2 = 1 + Y } = C2x \ {X1 X2 = 1} = P2 \ (line ∪ conic)
d log X1 ∧ d log X2 ∧ d log YdX1 dX2dX1 dYdX2 dY
#
%
Ω=
=
=
∧
=
∧
1 − X1 X2
X1
Y
X2
Y
d 1+Y
X1 X2

i
(dX1 ∧ dX1 + dX2 ∧ dX2 )2This is a log CY variety, in the sense that Ω has log poles along the boundary divisor P2 \ Z =line ∪ conic. The Lagrangian4 torus fibration on Z is given as follows. We first consider the
sympletic reduction by the S 1 -action (X1 , X2 , Y ) (→ (eiθ X1 , e−iθ X2 , Y ) at the level λ. The
symplectic reduction is identified with the Y -plane C× .
{(X1 , X2 , Y ) ∈ Z : |X1 |2 − |X2 |2 = λ}/S 1 ∼= {Y ∈ C× }ω=

By pulling back the standard Lagrangian torus fibration {(|Y | = r)}r>0 on C× , we see that
Z is foliated by the family of Lagrangian tori
Tλ,r = {(X1 , X2 , Y ) ∈ Z : |X1 |2 − |X2 |2 = λ, |Y | = r}parametrized by λ ∈ R and r > 0. This gives a torus fibration on Z. Here T0,1 is a unique
singular fibre (pinched torus) with singularity at (0, 0, −1) ∈ T0,1 .
We compare this fibration with the tropicalization map
Logt : Z → R3 ,(X1 , X2 , Y ) (→ (logt |X1 |, logt |X2 |, logt |Y |)for 0 < t 2 1. The last coordinate logt |Y | is constant on Tλ,r , but the first two logt |X1 |,logt |X2 | are not. We see however that the map Logt approximates the torus fibration awayfrom the singularity X1 = X2 = 0, i.e. away from the region where both |X1 | and |X2 | aresmall. When we set x1 = logt |X1 |, x2 = logt |X2 |, y = logt |Y |, for positive + > 0,
#
%
√
2
2
|y| > + =⇒ xi ≈ 12 logt ±λ+ 2λ +4r on Tλ,rx1 < x 2 − +x2 < x 1 − +=⇒=⇒|X1 | 4 |X2 ||X2 | 4 |X1 |=⇒=⇒x1 ≈ 12 logt |λ| on Tλ,rx2 ≈ 12 logt |λ| on Tλ,r .

The image Logt (Z) is approximated by the tropical amoeba, which is the singular locus ofmin(0, x1 + x2 , y), as in Figure 5. From this picture we can see that the above three regions
4This is not special Lagrangian since Ω ∧ Ω is not a constant multiple of ω 2 . But we have ω|Tr,λ = 0 andIm Ω|Tr,λ = 0. Therefore the base of the torus fibration has a Z-affine structure (complex affine structure)defined by fluxes of Im Ω.

10

HIROSHI IRITANI(|y| > +), (x1 < x2 − +), (x2 < x1 − +) cover the region away from the singularity or the origin(x1 , x2 , y) = (0, 0, 0). Therefore
the map (x1 , y) approximates the torus fibration in the region (|y| > +) ∪ (x1 < x2 − +);the map (x2 , y) approximates the torus fibration in the region (|y| > +) ∪ (x2 < x1 − +).

Moreover these maps define (approximately) affine-linear coordinates in the respective regions.
The map (xi , y) contracts the face (x1 + x2 ≥ 0 = y) to the line y = 0 and send the union(x1 + x2 = min(0, y)) of the other two faces isomorphically to R2 . These coordinates (x1 , y),(x2 , y) are glued together as in Figure# 6:% the base of the Lagrangian fibration has the focusfocus singularity with monodromy



1
0

1
1

(see [14, 22]).

Figure 5. Tropical amoeba of Z
y

y

"

"

! x1

x2 #

Figure 6. Two approximately affine-linear charts (x1 , y) and (x2 , y). Each
chart (xi , y) is affine-linear away from the positive xi -axis. The coordinatechange between the charts is given by x1 + x2 = min(0, y). The green line
shows the polytope corresponding to R.
Let C ⊂ Z be the positive-real cycle given by X1 > 0, X2 > 0, Y > 0. The cycle C is
homeomorphic to the image Logt (C) ⊂ R3 under the map Logt :Logt (C) = {(x1 , x2 , y) ∈ R3 : x1 + x2 = logt (1 + ty )}GAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY

11

The image Logt (C) is very close to the union (x1 + x2 = min(0, y)) of two faces of the tropicalamoeba. We now compute the period of C with respect to the holomorphic volume formΩ. The volume form Ω restricted to C can be identified with the affine area form in thecoordinates (xi , y):Ω|C = (− log t)2 dx1 ∧ dy = (− log t)2 dx2 ∧ dy.
To make the computation finite, we consider the integral over the finite region R delimitedby the affine-linear equations (with a1 , a2 , b positive constant):
R = {(X1 , X2 , Y ) ∈ C : x1 ≤ −a1 , x2 ≤ −a2 , −b ≤ y ≤ b}
The corresponding polytope in the affine chart is shown in green colour in Figure 6. The affine
area of this polytope is 2(a1 + a2 )b − b2 /2. On the other hand, the actual shape of R in thecoordinate (x1 , y) slightly differs from this polytope because of the error in tropicalization,
see Figure 7. We have!
!
Ω = x +x =log (1+ty ) (− log t)2 dx1 dy
R⊂C

1

2

t

xi ≥−ai ,|y|≤b! b
2= (− log t)−b= (− log t)

2(a2 + logt (1 + ty ) − (−a1 ))dy

:! b

−b

(a1 + a2 + min(0, y))dy −

! b

−b

y

(− logt (1 + t ) + min(0, y))dy= (− log t)2 (area of the polytope) − ζ(2) + O(tb ).
where ζ(2) arises from the ‘error in tropicalization’ integral (area of the blue region):
! ∞
2
(4)
ζ(2) = (− log t)(− logt (1 + ty ) + min(0, y))dy.
−∞

This means that the singularity contributes −ζ(2) to the period integral.
y
2

1

-4

-2

2

4

x1

-1

-2

Figure 7. The region R in coordinates (x1 , y). It is given by −a1 ≤ x1 ≤a2 + logt (1 + ty ), |y| ≤ b. This differs from the green polytope in Figure 6 by
the blue region.

;

12

HIROSHI IRITANIExample 4.4. Let (Zt , Ωt ) be the family of affine K3 surfaces
Zt = {(W1 , W2 , W3 ) ∈ (C× )3 : t(W1 + W2 + W3 +Ωt =1
) = 1}W1 W2 W3d log W1 ∧ d log W2 ∧ d log W3d(t(W1 + W2 + W3 + W1 W12 W3 ))This can be compactified to a K3 surface Zt so that Ωt extends to a nowhere vanishing
holomorphic 2-form. This family is mirror to a quartic K3 surface Y ⊂ P3 equipped with asymplectic form in the class (− log t)c1 (P3 ). The tropical amoeba of Zt is given by the singularlocus of min(w1 + 1, w2 + 1, w3 + 1, 1 − w1 − w2 − w3 , 0) as in Figure 8. Observe that thecompact chamber∆ = {(w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 : w1 ≥ −1, w2 ≥ −1, w3 ≥ −1, w1 + w2 + w3 ≤ 1}bounded by the tropical amoeba is the same as the moment polytope of P3 with respect to
c1 (P3 ). By collapsing5 all the unbounded faces of the tropical amoeba (not contained in ∆),we should get a torus fibration on Zt over the sphere ∂∆ ∼= S 2 . This fibration has singularities,
since there is no uniform direction to collapse the unbounded faces, unlike the case of Example
4.2. (In fact, we have many ways to collapse, yielding different fibration structures on Zt .)Figure 8. Tropical K3 surface. This is composed of the boundary of the 3simplex ∆ and 6 unbounded faces. The green regions are the Log t -images ofneighbourhoods of singularities (as in Figure 5) and the red crosses represent
singular points of the affine structure on ∂∆.
As before, we consider the period of the positive real cycle Ct = {(W1 , W2 , W3 ) ∈ Zt : W1 >0, W2 > 0, W3 > 0}. It is homeomorphic to its image under Logt :Logt (Ct ) = {(w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 : tw1 +1 + tw2 +1 + tw3 +1 + t1−w1 −w2 −w3 = 1}.
As t → +0, Logt (Ct ) rapidly approaches ∂∆. We compute the period integral locally over
the tropical base ∂∆, reducing the computation to the local model from Example 4.3. Since
5See [22] for collapsing tropical hypersurfaces.

GAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY

13

the fibration has 24 singular points (see below), we expect to have the following asymptotics!
(5)Ωt = (− log t)2 (affine area of ∂∆) − 24ζ(2) + O(t$ ).
Ct

*
*
)
) Y = −ζ(2) c2 (Y ).
The number −24ζ(2) also arises from the Γ-classof a quartic Y : Y ΓYWe shall explain the details below. We introduce a Z-affine structure (with singularities) on∂∆ as follows (see [8]).
• on the interior of 2-dimensional faces of ∂∆, we consider the subspace affine structure;• on a neighbourhood of a lattice point v on edges (1-dimensional face) of ∂∆, weconsider the affine structure induced from the projection R3 → R3 /5v6 and;• we need to have a singularity (shown in red cross) somewhere between adjacent lattice
points v1 , v2 on an edge because the affine structures induced by the projections R3 →R3 /5vi 6, i = 1, 2 are not compatible with each other; we have 4 singularities on eachedge, and thus 24 = 4 × 6 singularities in total.
The reason for this affine structure is as follows. Near the interior of the 2-dimensional facegiven by (w1 = −1) for example, the cycle Ct ∼= Logt (Ct ) is approximated by the affine-linear
subspace
tw1 +1 ≈ 1since the other terms tw2 +1 , tw3 +1 , t1−w1 −w2 −w3 are much smaller than tw1 +1 , and the volume
form Ωt |Ct is approximated by the affine volume form (mulitplied by (− log t)2 ):d log tw1 +1 ∧ d log tw2 +1 ∧ d log tw3 +1
d(tw1 +1 + tw2 +1 + tw3 +1 + t1−w1 −w2 −w3 )(− log t)3 dw1 ∧ dw2 ∧ dw3≈(near the face (w1 = −1) ∩ ∆)d(tw1 +1 )

Ωt | Ct == (− log t)2 dw2 ∧ dw3 .

Next, around the interior of the edge given by (w1 = w2 = −1) for example, the cycle Ct isapproximated by
tw1 +1 + tw2 +1 ≈ 1(6)since the other terms tw3 +1 , t1−w1 −w2 −w3 are exponentially small. The volume form Ωt |Ct issimilarly approximated by the affine volume form on R2 /5v6 for a lattice point v on the edge.
Ω t | Ct ≈(− log t)3 dw1 ∧ dw2 ∧ dw3= (− log t)2 (affine volume form on R3 /5v6).
d(tw1 +1 + tw2 +1 )In fact, if we complete v to a Z-basis v = v1 , v2 , v3 of Z3 and write (a1 , a2 , a3 ) for the linear∂w2
1
coordinates on R3 dual to (v1 , v2 , v3 ), we have wi (a1 v) = −a1 ; thus ∂w∂a1 = ∂a1 = −1 and(− log t)3 dw1 ∧ dw2 ∧ dw3(− log t)3 da1 ∧ da2 ∧ da3=
d(tw1 +1 + tw2 +1 )d(tw1 +1 + tw2 +1 )(− log t)3 da2 ∧ da3== (− log t)2 da2 ∧ da3 .
∂(tw1 +1 + tw2 +1 )/∂a1

Note that the affine structure depends on the choice of v, but the volume form does not.
Finally, around the vertex v = (−1, −1, −1) of ∂∆, Ct is approximated by
tw1 +1 + tw2 +1 + tw3 +1 ≈ 1

and Ωt |Ct is also approximated by the affine volume form on R3 /5v6.

14

HIROSHI IRITANIWe next examine the cycle Ct near the singularity. Let v1 , v2 be adjacent lattice points on
the edge w1 = w2 = −1. Choose an integral vector v3 such that (v1 , v2 , v3 ) is a Z-basis of Z3
and let (a1 , a2 , a3 ) be the linear coordinates on R3 dual to (v1 , v2 , v3 ). We may assume thatv3 is parallel to the face w1 = −1 (i.e. w1 (v3 ) = 0) by adding a linear combination of v1 andv2 if necessary. The coordinates w1 , w2 , w3 can then be written as a Z-linear combination of
a1 , a2 , a3 ; examining the values at v1 , v2 , v3 we find that the coordinate change is of the form:
w1 = −a1 − a2
w2 = −a1 − a2 + ma3
w3 = ja1 + ka2 + la3
for some j, k, l, m ∈ Z. Moreover, since w1 − w2 is a non-zero primitive covector, we havem = ±1. By flipping the sign of a3 (or equivalently v3 ), we may assume that m = 1. Recall
from (6) that Ct is given by tw1 +1 + tw2 +1 ≈ 1 around the edge. This can be rewritten as:
1

1

1 + ta3 ≈ ta1 +a2 −1 = ta1 − 2 · ta2 − 2 .

1

1

Setting X1 = ta1 − 2 , X2 = ta2 − 2 , Y = ta3 , this equation can be identified with the local modelfrom Example 4.3. The holomorphic volume form (− log t)2 da1 ∧ da2 = d log X1 ∧ d log Y
is also the same as in Example 4.3. If we introduce a Lagrangian fibration near {v1 , v2 } bylocally identifying Zt with the local model in Example 4.3 by this identification (i.e. W1 =(tX1 X2 )−1 , W2 = Y (tX1 X2 )−1 , W3 = X1j X2k Y l t(j+k)/2 ), we see that the singularity appearsat (a1 , a2 , a3 ) = ( 12 , 12 , 0) on the base, which corresponds to the mid-point of v1 and v2 . At
each singular point, we have the error term −ζ(2) as we saw in Example 4.3 and arrive at theasymptotics (5).
We note that the choice of an (approximate) torus fibration, in particular, the choiceof positions of singularities on ∂∆ has certain arbitrariness in the above discussion. We
introduced singularities on ∂∆ for the purpose of computing periods (and we had to since wecannot cover ∂∆ by compatible affine charts) and the error terms in tropical approximation
occurred from those singularities.
Example 4.5. We have seen that ζ(2) arises from 2-dimensional singularities through the‘error in tropicalization’ integral (4). In dimension three, ζ(3) arises from the following ‘error
in tropicalization’ integrals (see [1, Eqn (22), Proposition 4.5]):
! ∞#
%
1
3
ζ(3) = (− log t)(logt (1 + ty ))2 − (min(0, y))2 dy
2
−∞
and

(− log t)

3!

U(− logt (1 + ty1 + ty2 ) + min(0, y1 , y2 ))dy1 dy2= (− log t)/ζ(2) + χU (0)ζ(3) + O(1/(− log t))

where U is a bounded domain in R2 such that ∂U intersects every stratum of the tropicalcurve L = Sing(min(0, y1 , y2 )) transversally, / is the total affine length of U ∩ L and<
1 if 0 ∈ U ,χU (0) =0 otherwise.
Remark 4.6. In dimension one, the relationship between periods and affine-length of tropicalcurves was studied in [17, 13]. For toric Calabi-Yau hypersurfaces, the relationship between
periods and the radiance obstruction was studied in [22]. Ruddat and Siebert [18] computed

GAMMA CONJECTURE AND TROPICAL GEOMETRY

15

periods of cycles fibering over 1-dimensional curves on the SYZ base, in the framework ofGross-Siebert program.
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Email address: iritani@math.kyoto-u.ac.jp
Department of Mathematics, Graduate School of Science, Kyoto University, KitashirakawaOiwake-cho, Sakyo-ku, Kyoto, 606-8502, JAPANCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͱγδδʔʹؔ࿈͢Δ
࿩୊ʹ͍ͭͯ
‫࡚ٶ‬ɹ੤ (Chikashi Miyazaki)‫۽‬ຊେֶେֶӃઌ୺Պֶ‫ڀݚ‬෦ʢཧֶ‫ܥ‬ʣcmiyazak@educ.kumamoto-u.ac.jp

1

Introductionຊ࿦จ͸ଟ߲ࣜΠσΞϧͷγδδʔʹؔ͢Δ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔʹ͍ͭͯɺͦ
ͷ্‫ݶ‬Λ‫ه‬ड़͢Δ໰୊ʹ͍ͭͯͷ֓આͰ͋ΔɻCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͷ‫͔ૅج‬Β࢝ΊɺEisenbud-Goto ༧૝ΛΊ͙Δ࿩Λղઆ͠ɺਖ਼ଇྔ্‫ݶ‬Λத৺ͱࣹͨ͠Өଟ༷ମͷ෼ྨʹ΋৮ΕΔɻਖ਼ଇྔͷख๏ΛϕΫτϧଋͷ෼྾໰୊ʹԠ༻͢Δ͜ͱ΋ड़΂ΔɻࣹӨଟ༷ମͷఆٛํఔࣜʢఆٛΠσΞϧʣͷෳࡶ͞͸ʮγδδʔʯʹΑͬͯද͞Εɺ
Hilbert ͷγδδʔఆཧʹΑΓɺ༗‫ۃͳݶ‬খࣗ༝෼ղ͕֬ఆ͢ΔɻCastelnuovo-Mumfordਖ਼ଇྔ͸γδδʔʹؔ͢ΔෆมྔͰ͋ΓɺMumford[46] ͕ Castelnuovo ͷΞΠσΟΞʹ‫ج‬͍ͮͯఆٛͨ͠ɻ1980 ೥୅ʹ͓͍ͯɺEisenbud-Goto ༧૝ ([15, 20]) ͕ఏএ͞Εͨɻຊ࿦จ͸ɺ1980 ೥୅Ҏ߱ͷྺ࢙ʹԊͬͯɺCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͷ֓આΛߦ͏ɻ

1980 ೥୅ʹ͓͍ͯɺGruson-Lazarsfeld-Peskine ͷ‫ه‬೦ൾతͳ࿦จ [19] ͕͋ΔɻࣹӨ‫ۂ‬ઢͷඒ͍݁͠Ռ͸ͦΕҎ߱ͷ‫ڀݚ‬ͷϞσϧʹ΋ͳ͍ͬͯΔɻBayer-Mumford ͷ֓આ [7] ͸ͦͷ‫ޙ‬ͷൃలʹࢦ਑Λ༩͑ͨɻ‫ۂ‬໘ʹ͓͚Δ Pinkham, Lazarsfeld[27] ͷख๏͸ɺ1990 ೥୅Ҏ߱ʹ͸ɺMather ཧ࿦ [33] Λ༻͍Δ Kwak[25], Chiarli-Chiantini-Greco[13] ʹΑΔ 14
࣍‫ݩ‬ҎԼͷඇಛҟࣹӨଟ༷ମʹରͯ͠ Eisenbud-Goto ༧૝͕ऑ͍ҙຯͰղܾͨ͜͠ͱʹ΋ͭͳ͕Δɻ
ͯ͞ɺEisenbud-Goto ͷ࿦จ [15] ʹ͓͍ͯ͸ Cohen-Macaulay ଟ༷ମʢ࠲ඪ‫ ͕؀‬CM)ͷ৔߹ͷ༧૝ͷ੒ཱʹ΋৮Ε͍ͯΔɻ͜ͷ࿦จʹ৮ൃ͞ΕͯɺStückrad-Voge[57] ͸ɺGriffiths-Harris ͷ Uniform Position Lemma(cf. [2]) Λ༻͍ͯɺ0 ࣍‫ݩ‬ͷ໰୊ʹ࣋ͪࠐΈɺ
1980 ೥୅·ͰʹՄ‫؀׵‬࿦ʹ͓͍ͯൃలͨ͠ Buchsbaum ‫؀‬ͷཧ࿦Λ Eisenbud-Goto ༧૝ͷ‫ʹڀݚ‬Ԡ༻͠ɺྑ͍ੑ࣭ͷ‫͍ͯͭʹ؀‬ͷਖ਼ଇྔ্‫ݶ‬Λಘͨɻ͜ͷख๏͸ɺHoa-Miyazaki[21],Nagel-Schenzel[49] ͷ 1990 ೥୅ͷ݁Ռʹड͚‫͕ܧ‬ΕΔɻ͜ΕΒͷ૯આΛ͠ͳ͕Βɺ2010೥લ‫Ͱޙ‬ͷߨԋऀʹΑΔ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͱ Buchsbaum ଟ༷ମͷ෼ྨͷ‫ڀݚ‬[40, 41] ʹ৮ΕΔɻ
τʔϦοΫଟ༷ମͷ৔߹ɺcodim X = 2 ͷͱ͖, Peeva-Sturmfels[54] ͕ reg X ≤ deg X−
1 ͕੒Γཱͭ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠ΔɻBayer-Peeva-Sturmfels[8] ʹ࢝·Δ Scarf ෳମɺCellular1ෳମͷ‫͍ͯͭʹڀݚ‬͸ɺSturmfels ͷߨٛ࿥ [38] Λ֓આॻͱͯ͠‫͍ͨ͛ڍ‬ɻ

Eisenbud-Goto ༧૝ͷࠜຊతղܾ͸ɺ‫ࡏݱ‬ͷ‫ݟ‬஍͔Β͸ɺ2010 ೥ࠒ·Ͱఀ଺͖ͯͨ͠
ͱ΋‫͔͑ݴ‬Ͷͳ͍ɻ2010 ೥Ҏ߱ͷ໨֮·͍͠ൃల͸ɺNoma[52], Kwak-Park[26] ʹΑΔඇಛҟࣹӨଟ༷ମͰͷ OX -regularity ʹ͍ͭͯͷ Eisenbud-Goto ༧૝ͷղܾ͕·ͣ಄ʹු͔ͿɻGeneric Projection ΍ Double Point Divisor ͷख๏ʹ‫ͮ͘ج‬΋ͷͰ͋Δɻ
࠷΋িܸతͩͬͨͷ͸ McCullough-Peeva ʹΑΔ༧૝ͷ൱ఆతղܾ [36] Ͱ͋Δɻূ໌ͷख๏ʹ͓͍ͯ΋‫ۃ‬Ίͯ‫ڵ‬ຯਂ͍ɻRees-like Algebra Λ༻͍ͯΠσΞϧΛม‫͢ܗ‬Δ͜ͱɺ͓ΑͼɺॏΈ෇͖ಉ࣍ଟ߲ࣜΛ௨ৗͷಉ࣍ଟ߲ࣜʹม‫͢ܗ‬Δ͜ͱΛ༻͍ͯɺ൓ྫΛߏ੒͢
Δͱ͍͏ํ๏Λ༻͍͍ͯΔɻ͜ΕΒͷ࠷ۙͷ݁Ռ (cf. [37]) Λ၆ᛌ͠ɺূ໌ͷϙΠϯτͳͲʹ΋৮ΕΔɻ࠷‫ʹޙ‬ɺCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͷख๏ͷࣹӨۭؒͷϕΫτϧଋͷ෼྾໰୊΁ͷԠ༻Λड़΂Δɻ༗໊ͳࣹӨ্ۭؒͷϕΫτϧଋͷ Horrocks ൑ఆ๏ʹ͍ͭͯͷ̐ͭͷূ໌Λड़΂ɺϕΫτϧଋͷ୅਺త‫͍ͯͭʹڀݚ‬γδδʔ࿦తख๏Λߟ͍͑ͨɻ
୅਺ֶγϯϙδ΢ϜͰͷαʔϕΠߨԋͷ‫ػ‬ձΛ༩͍͍͑ͯͨͩͨ৿࿬३ઌੜɺԼ‫਺ݩ‬അઌੜʹਂ͘‫͢·͠ँײ‬ɻղઆॻΛ‫ؚ‬Ίͨจ‫ݙ‬ΛͰ͖Δ͚ͩҾ༻͠ɺਂֶ͘ͼ͍ͨಡऀͷࢀߟʹͳΔΑ͏ʹ৺͕͚·ͨ͠ɻ2

Castelnuovo-Mumford Regularity Basics͜ͷষͰ͸ɺCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͷ‫ج‬ຊతͳࣄ߲Λड़΂Δɻৄ͍͠ղઆ͸ɺBayerMumford[7], Eisenbud[16], Lazarsfeld[28] Λࢀߟʹ͞Ε͍ͨɻ͜ͷ࿦จΛ௨ͯ͠ɺ࣍ͷ‫߸ه‬Λ༻͍Δɻk Λ୅਺ดମͱ͠ɺS = k[x0 , · · · , xn ] Λଟ߲ࣜ‫͠ͱ؀‬ɺm = S+ = (x0 , · · · , xn ) ͱॻ͘ɻࣹӨۭؒΛ Pn = Proj S ͱ͓͘ɻఆٛɾ໋୊ 2.1 (Mumford[46]). Pn ্ͷ࿈઀૚ F ɺ੔਺ m ∈ Z ʹରͯ͠ɺF ͕ ‘m-regular’Ͱ͋Δͱ͸ɺ೚ҙͷ i ≥ 1 ʹରͯ͠ɺHi (Pn , F(m − i)) = 0
͕੒Γཱͭͱ͖ʹ͍͏ɻ͜Ε͸ɺHi (Pn , F(j)) = 0, i ≥ 1, i + j ≥ m ͱಉ஋Ͱ͋ΓɺF ͕‘m-regular’ Ͱ͋Ε͹ɺF(m) ͕େҬੜ੒Ͱ͋Δ͜ͱ͸Α͘஌ΒΕ͍ͯΔɻ
࿈઀૚ F ͷ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔΛ reg F := min{m ∈ Z | F is m-regular } ͱఆٛ͢Δɻ·ͨɺࣹӨεΩʔϜ X ⊆ Pn ͷ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔΛ reg X := reg IX
ͱఆٛ͢Δɻ

໋୊ 2.1 ͷূ໌ͷུ֓. ࿈઀૚ F ͕ m-regular Ͱ͋Ε͹ɺ (m + 1)-regular Ͱ͋Δ͜ͱɺ͓ΑͼɺΓ(F(m)) ⊗ Γ(OPn (1)) → Γ(F(m + 1)) ͕શࣹͱͳΔ͜ͱ͕ɺn ʹ͍ͭͯͷ‫ؼ‬ೲ๏Ͱࣔ͞ΕΔɻ
ͦ͜Ͱɺ! ( 0 ͷͱ͖ɺΓ(F(!))⊗OPn → F(!) ͕શࣹͱͳΔ͜ͱΛ༻͍ͯɺΓ(F(m))⊗
OPn → F(m) ͕શࣹɺͭ·ΓɺF(m) ͕େҬੜ੒Ͱ͋Δ͜ͱΛಘΔɻ!

2

஫ҙ 2.2. Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͷఆٛ͸͍͔ͭ͘ͷํ޲ʹ֦ு͞Ε͍ͯΔɻྫ͑
͹ɺଟॏࣹӨۭؒɺॏΈ෇͖ࣹӨۭؒɺάϥεϚϯଟ༷ମɺେҬੜ੒ͷ๛෋ͳ௚ઢଋͳ
ͲͰ͋Δɻͦͷ৔߹ɺ্‫ه‬ͷੑ࣭͕อͨΕ͍ͯΔ͔͸ɺPn ্Ͱͷূ໌Λ‫ݟ‬௚͢ͱΘ͔Δɻ
(cf. [29])ͯ͞ɺ‫ͱ؀‬Ճ‫܈‬Λ༻͍ͯఆٛΛ͢Δɻ
ఆٛ 2.3. ଟ߲ࣜ‫ ؀‬S ্ͷ༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺Ճ‫ ܈‬M ΛͱΔɻ͜ͷͱ͖ɺi = 0, · · · , n + 1 ʹରͯ͠ɺai (M ) = max{! ∈ Z|[Him (M )]! )= 0} ͱఆٛ͢Δɻ͞Βʹɺreg M = max{ai + i|i =0, · · · , n + 1} Λ M ͷ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͱఆٛ͠ɺmaxdeg(M ) Λ M ͷ࠷খͷੜ੒‫ݩ‬ͷ࠷େ࣍਺ͱఆٛ͢Δɻ஫ҙ 2.4. ࣹӨεΩʔϜ X ⊆ Pn ͷఆٛΠσΞϧΛ I := Γ∗ IX = ⊕!∈Z Γ(Pn , IX (!)) ͱ͠ɺ࠲ඪ‫؀‬Λ R := S/I ͱ͢Δͱɺmaxdeg(I) ≤ reg I ͕੒Γཱͪɺreg X = reg IX =reg R + 1 = reg I ͱͳΔɻͯ͞ɺ I ͷ࣍਺ S Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬ͷ࠷খࣗ༝෼ղΛߟ͑ΔɻγδδʔఆཧʹΑΓɺ༗‫ݶ‬ੑ͕‫͑ݴ‬ɺதࢁͷิ୊ʹΑΓɺ

0 → Fs → · · · → F1 → F0 → I → 0͕ಉ‫ܕ‬ͷআ͍ͯҰҙతʹఆ·Δɻ͜͜ͰɺFi = ⊕j S(−αi,j ) ͸࣍਺ࣗ༝ S Ճ‫͋Ͱ܈‬Γɺࣸ૾ Fi+1 → Fi ͸੪࣍ଟ߲ࣜͷߦྻͰද͞ΕΔɻ
ఆཧ 2.5 (cf. [7, 15]). reg X = maxi,j {αi,j − i}͜ͷఆཧ͸ʮCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔ͸ɺఆٛํఔࣜͷෳࡶ͞ΛྔΔʯͱ͍͏͜
ͱΛද͍ͯ͠Δɻ͜ͷ‫ํ͍ݴ‬͸ʮΑ͋͘Δܾ·Δจ۟ʯͰ΋͋Γɺʮ‫׬‬શަࠥʯ͕ʮ࠷΋ෳࡶʯͰɺʮ࠷খ࣍਺ͷଟ༷ମʯ͕ʮ࠷΋ෳࡶͰͳ͍ʯ͜ͱʹ΋ͳΔͷͰɺ஫ҙ͢΂͖Ͱ͋Δɻ࣍ͷ‫͑׵͍ݴ‬͸ඇৗʹ໘ന͍ɻ໋୊ 2.6 (cf. [15]). ࣍਺ S Ճ‫ ܈‬M ͕ m-regular Ͱ͋Δ͜ͱͷඞཁे෼৚݅͸ M≥m :=⊕!≥m M! ͕ m ઢ‫ࣗͳܗ‬༝෼ղΛ࣋ͭɺͭ·Γɺ M≥m ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ͕

0 → Fs → · · · → F1 → F0 → M≥m → 0,

ͱͳΔ͜ͱͰ͋Δɻͨͩ͠ɺ Fi = ⊕S(−m − i), i = 0, · · · , s ͸࣍਺ࣗ༝ S Ճ‫͋Ͱ܈‬Δɻ
ূ໌ͷུ֓. ୹‫׬‬શྻ 0 → M≥m → M → M/M≥m → 0 ΑΓɺ‫׬‬શྻ

0 → H0m (M≥m ) → H0m (M ) → M/M≥m → H1m (M≥m ) → H1m (M ) → 0

͓Αͼ Him (M≥m ) ∼= Him (M ), i ≥ 2 ΛಘΔɻ͜ΕΑΓɺM≥m ͕ m-regular Ͱ͋Δ͜ͱ͸༰қʹΘ͔Δɻ!
஫ҙ 2.7. Lazarsfeld[28] ʹ΋ղઆ͞Ε͍ͯΔɻ F(m) ͷେҬੜ੒Λ༻͍ͯɺ‫׬‬શྻ

0 → F1 → Γ(F(m)) ⊗ OPn (−m) → F(m) → 0,
Λͭ͘Δͱɺ F1 ͸ (m + 1)-regular ʹͳΔɻ͜ΕΛ‫܁‬Γฦ͢ͱɺʢ༗‫ͱݶ‬͸‫ݶ‬Βͳ͍ʣઢ‫ࣗͳܗ‬༝෼ղ

· · · → · · · → ⊕OPn (−m − 2) → ⊕OPn (−m − 1) → ⊕OPn (−m) → F → 0.
͕ಘΒΕΔɻ͜ͷ৔߹͸ɺେҬ੾அΛऔͬͯ΋ɺ‫׬‬શੑ͸อͨΕΔɻ

3

ఆٛ 2.8. ༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺ S Ճ‫ ܈‬M ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղΛ F• ͱॻ͖ɺFi = ⊕j S(−j)βij ͱ͢Δ
ͱɺβij = dimk [TorSi (M, k)]j ͱͳΔɻ͜ͷ βi,j Λ Betti ਺ͱ‫Ϳݺ‬ɻ Betti table ͱ͸ βi,i+jΛ (i, j) ͷ৔ॴʹॻ͍ͨ΋ͷͰ͋ΔɻBetti table ͷྫ͸ (2.10), (2.11) Λ‫ݟ‬Αɻ஫ҙ 2.9. ༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺ S Ճ‫ ܈‬M ͷࣹӨ࣍‫ݩ‬ɺCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔ͸ Betti ਺Λ༻͍ͯɺproj.dimS M = max{i|βij )= 0}, reg M ="max{j|βi,i+j )= 0} ͱॻ͚Δɻ·ͨɺ!
(−1)i βij tj
M ͷ Poincaré ‫ ਺ڃ‬M ͸ P(M, t) =hM (i)ti = iͱද͞ΕΔɻ
n+1
(1
−
t)
i
ྫ 2.10. X ⊆ Pn Λ (d1 , · · · , dr ) ͷ‫׬‬શަࠥͱ͢Δͱɺ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ͸

0 → S(−d1 − · · · − dr ) → · · · → ⊕j=1,··· ,r S(−dj ) → S → S/I → 0
I = (f1 , · · · , fr ) ͷఆٛํఔ͔ࣜΒͳΔ Koszul ෳମͰ͋Δɻ͕ͨͬͯ͠ɺreg X = d1 +· · · + dr − r + 1 ͱͳΔɻಛʹɺr = 2, deg f1 = 2, deg f2 = 3 ͷͱ͖ɺBetti table ͸
0
1
2
3
4

0
1
-

1 2
- - 1 1 - 1ͱͳΓɺreg X = 4 ͕Θ͔Δɻ
ྫ 2.11. C Λ P1 , (s : t) −→ (s3 : s2 t : st2 : t3 ) ∈ P3 Ͱఆٛ͞ΕΔ# 3 ࣍ͷ༗ཧਖ਼‫ۂن‬ઢͱ$x y z
͢Δɻ‫ۂ‬ઢ C ͷఆٛΠσΞϧ I(⊂ S = k[x, y, z, w]) ͸ߦྻ A =
ͷ2×2খ
y z w
ߦྻࣜͰఆٛ͞ΕΔɻ
͜͜Ͱɺf = yw − z 2 , g = yz − xw, h = xz − y 2 ͱ͓͘ɻ͢ΔͱɺI = (f, g, h) ͷ‫ۃ‬খ
ࣗ༝෼ղ͸
tA

[f g h]0 → S(−3) ⊕ S(−3) → S(−2) ⊕ S(−2) ⊕ S(−2) → S → S/I → 0ͱͳΓɺreg C = 2 ͕‫͑ݴ‬Δɻ
·ͨɺBetti table ͸
0 1 2
0 1 - 1 - - 2 - 3 2
ͱͳΔɻࣹӨεΩʔϜ X(⊂ Pn ) ͸ɺreg X ≥ 1 Λຬ͕ͨ͢ɺඇୀԽɺͭ·ΓɺX ͕Ͳͷ௒ฏ໘ʹ΋‫·ؚ‬Ε͍ͯͳ͍ͱ͖͸ɺreg X ≥ 2 Ͱ͋Δɻ
༧૝ 2.12 (Eisenbud-Goto Conjecture). ඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X(⊂ Pn ) ʹରͯ͠ɺreg X ≤deg X − codim X + 1 ͕੒ཱ͢Δɻ஫ҙ 2.13. Eisenbud-Goto ༧૝ͷӈล΋ 2 Ҏ্Ͱ͋Γɺdeg X = codim X + 1 ͷͱ͖͸ɺ࠷খ࣍਺ͷଟ༷ମͱ‫ݺ‬͹Εɺ2 ࣍௒‫ۂ‬໘ɺVeronese ‫ۂ‬໘ɺ༗ཧਖ਼‫ن‬εΫϩʔϧɺ΋͘͠͸ɺ͜ΕΒͷਲ਼ʹͳΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ·ͨɺӈล͸ɺ∆(X, OX (1)) + 2 ͱ΋ॻ͚ɺ༧૝
ΛେҬੜ੒ͷ๛෋ͳ௚ઢଋʹ֦ுͰ͖Δɻ

4

ྫ 2.14. X ͕ʮ‫ط‬໿ʯ͓Αͼʮඃ໿ʯͷ৚݅͸ඞཁͰ͋Γɺ࣍ͷΑ͏ͳྫ͕͋Δɻ

1. P3 ͷᎇΕͷҐஔʹ͋Δ௚ઢΛ I = (x, y) ∩ (z, w) = (xz, xw, yz, yw) ⊂ k[x, y, z, w] ͱ͢Δɻ
2. P3 ͷ̎ॏ௚ઢΛ I = (xw − yz, x2 , xy, y 2 ) ⊂ k[x, y, z, w] ͱ͢Δɻ͍ͣΕ΋ reg I = deg S/I = ht I = 2 ͱͳΔɻ3

Gruson-Lazarsfeld-Peskine ͷ࿦จ͜ͷষͰ͸ɺ༗໊ͳ Gruson-Lazarsfeld-Peskine ͷ࿦จͷ‫͖ॻے‬Λड़΂Δɻ͜͜Ͱ͸৮Εͳ͍͕ɺ‫ݪ‬࿦จͰ͸ਖ਼ଇྔ্‫ݶ‬ͷࣹӨ‫ۂ‬ઢͱׂઢͷؔ܎ʹϖʔδΛׂ͍͍ͯΔɻ͜Ε͸ɺͦͷ‫ޙ‬ͷ Noma[50, 51] ͷ݁Ռʹൃల͢Δɻ
ఆཧ 3.1 ([19]). reg C ≤ d + 2 − n ͕੒Γཱͭɻ౳߸͕੒ཱ͢Δͷ͸ɺ࣍ͷ͍ͣΕ͔ͷ৔߹Ͱ͋Δɻ

1. d = nɺͭ·ΓɺC ͸༗ཧਖ਼‫ۂن‬ઢ
2. d = n + 1
3. d > n + 1, Ͱ͔ͭ C ͕ (d + 2 − n)-secant line Λ࣋ͭɻఆཧ 3.2 ([19]). ඇୀԽࣹӨ‫ۂ‬ઢ C ⊆ Pn , deg C = d ͕ɺ༗ཧ‫ۂ‬ઢͰ΋ପԁਖ਼‫ۂن‬ઢͰ΋ͳ͍ͱ͖ɺreg C ≤ d + 1 − n ͕੒Γཱͭɻ% → C ⊆ Pn ͱ͠ɺM = p∗ ΩPn (1) ͱ͓͘ɻC ্ͷ௚ઢ
ิ୊ 3.3. ‫ۂ‬ઢ C ͷਖ਼‫ن‬ԽΛ p : C% ∧2 M ⊗ A) = 0 Ͱ͋Ε͹ɺreg C ≤ h0 (A) ͕੒ཱ͢Δɻଋ A ʹରͯ͠ɺH 1 (C,ิ୊ 3.4. d = deg p∗ OPn (1) ͱ͓͘ɻh0 (A) = d + 2 − n ͓Αͼ h1 (∧2 M ⊗ A) = 0. Λຬͨ͢๛෋ͳ௚ઢଋ A ∈ Pic C ͕ଘࡏ͢Δɻ

% → C ⊆ Pn ͷάϥϑΛ Γ ⊂ C% ×Pn ͱ͢ΔɻࣹӨΛͦΕͧΕ π : C% ×Pn →
ূ໌ͷུ֓. p : C%f :C% × Pn → Pn ͱॻ͖ɺO ! (1) = p∗ OPn (1), V = H0 (OPn (1)) ⊆ H0 (O ! (1)) ͱ͓͘ɻCCC࣍ͷ‫׬‬શྻ͸ Euler ྻͷͦΕͧΕͷҾ͖໭͠Ͱ͋Δɻ∗→ V ⊗ OC×P
! n → π OC
! (1) → 0
1∗
0 → f ∗ ΩPn (1) → V ⊗ OC×P
! n → f OC
! (1) → 0,

0 →

π∗M

% × Pn ) ͸ π ∗ M → f ∗ OC (1) Ͱఆٛ͞Εɺ‫׬‬શྻ͢Δͱɺp ͷάϥϑ Γ(⊆ C
π ∗ M ⊗ f ∗ OPn (−1) → OC×P
! n → OΓ → 0.

ΛಘΔɻ͜͜Ͱɺ · ⊗ π ∗ A ΛऔΓɺKoszul ෼ղΛߟ͑Δͱɺπ ∗ (∧2 M ⊗ A) ⊗ f ∗ OPn (−2) → π ∗ (M ⊗ A) ⊗ f ∗ OPn (−1) → π ∗ A → OΓ ⊗ π ∗ A → 0.
5ͱͳΓɺ͜ΕΑΓ‫׬‬શྻ
u

H0 (M ⊗ A) ⊗ OPn (−1) → H0 (A) ⊗ OPn → p∗ A → 0.
͕ಘΒΕΔɻ͜͜ͰɺJ (⊆ OPn ) Λ p∗ A ͷ Fitting ΠσΞϧɺଈͪɺ J = Im (∧n0 u),
n0 = h0 (A) ͱ͢Δɻ΋ͪΖΜɺSupp p∗ A = C Ͱ͋Δɻ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ɺu ͷ Eagon-Northcott ෳମε· · · → OPn (−n0 − 2)⊕ → OPn (−n0 − 1)⊕ → OPn (−n0 )⊕ → J → 0͕ಘΒΕΔɻ͜͜Ͱ ε ͸શࣹͰ͋Γɺ͜ͷෳମ͸ C ͷ֎Ͱ͸‫׬‬શͰ͋ΔͷͰɺJ ͕ n0 regularɺଈͪɺIX ͕ n0 -regular Ͱ͋Δ͜ͱ͕‫͑ݴ‬Δɻ!
GLP ࿦จͷղઆ͸ɺEisenbud[16] ʹ΋ॻ͔Ε͍ͯΔɻ͞ΒʹɺEin ͷߨٛΛ·ͱΊͨ[14], Lecture 24 ͷূ໌๏͸ɺ2 ࣍‫ݩ‬Ҏ্Ͱͷ Lazarsfeld ͷํ๏ΛࣹӨ‫ۂ‬ઢʹ΋ద༻ͨ͠ํ
๏ͰΘ͔Γ΍͍͢ɻEagon-Northcott ෳମʹ͍ͭͯ͸ɺBruns-Vetter[10] ͕෼͔Γ΍͍͢ɻͨͩ͠ɺ୅਺‫ز‬Կͷख๏͕Θ͔Γɺ؆୯ʹࡁ·͍ͤͨͷͰ͋Ε͹ɺEin ͕؆໌ͳղઆΛड़΂͍ͯΔɻ
໋୊ 3.5 ([14], Lecture 24). εΩʔϜ X ্ͷϕΫτϧଋ E, F, (rank E = e,rank F = f )ͷࣸ૾ u : E → F ʹରͯ͠ɺ࣍ͷෳମ

0 → ∧e E ⊗ S e−f (F ∗ ) → · · · → ∧f +1 E ⊗ S 1 (F ∗ ) → ∧f E → ∧f F → 0,͕ಘΒΕɺ͜ΕΛ Eagon-Northcott ෳମͱ͍͏ɻu : E → F ͕શࣹͷͱ͖ɺEagonNorthcott ෳମ͸‫׬‬શྻͰ͋Δɻ

4

Lazarsfeld ͷߏ੒๏ͱ Generic Projection Method

Eisenbud-Goto ༧૝΁ͷࢼΈ͸ɺGLP ࿦จ [19] Ҏ߱͸ɺLazarsfeld ͷߏ੒๏ [27] Ͱͳ͞Ε
͖ͯͨɻKwak[25] ͕ Mather ཧ࿦ΛऔΓೖΕɺ3 ࣍‫͍ͯͭʹݩ‬΋ऑ͍ҙຯͰ੒ཱ͢Δ͜ͱΛࣔ͢·Ͱʹ͸ɺ௕͍೥݄͕͔͔ͬͨɻ͜ͷํ๏͸࠷ऴతʹ Chiantini-Chiarli-Greco[13]ʹΑͬͯ࣍ͷ‫ܗ‬ͷఆཧʹͳͬͨɻ͜ͷষͰ͸ɺͦͷ‫͖ॻے‬Λड़΂Δɻ
ఆཧ 4.1. ඇୀԽͰඇಛҟͳࣹӨଟ༷ମ X(⊂ PNC ) ʹରͯ͠ɺn = dim X ≤ 14 Ͱ͋Ε͹ɺ
reg X ≤ deg X − codim X + 1 + (n − 2)(n − 1)/2 ͕੒ཱ͢Δɻn+1
ূ໌ͷུ֓Λड़΂Α͏ɻҰൠࣹӨ (generic projection) Λ p : X(⊆ PN
ͱ͠ɺC ) → PC࠲ඪม‫ʹ׵‬ΑΓɺ p((x0 : · · · : xn+1 : xn+2 : · · · , xN )) = (x0 : · · · : xn+1 ) ͱॻ͘ɻp ͸‘generic’ ͳͷͰɺ֤ϑΝΠόʔ͸༗‫͋Ͱݶ‬Δɻ͜͜Ͱඪ४తͳࣸ૾Λ࣍ͷΑ͏ʹఆΊΔɻ• ψ0 : OPn → p∗ OX : a canonical map!
xj• ψ1 =
φxj : OPn (−1)⊕ → p∗ OX , where φxj : OPn (−1) → p∗ OX
n+2≤j≤N• ψ2 =!

0≤i≤j≤Nxi xj

φxi xj : OPn (−2)⊕ → p∗ OX , where φxi xj : OPn (−2) → p∗ OX

6͜ΕΒͷࣸ૾ͷ࿨Λ w = ψ0 + ψ1 + ψ2 : G = OPn ⊕ OPn (−1)⊕ ⊕ OPn (−2)⊕ → p∗ OX ͱ͢
Δͱɺ࣍ͷิ୊͕ಘΒΕΔɻ
ิ୊ 4.2. F = G ⊕ OPn+1 (−3) ⊕ · · · ⊕ OPn+1 (−n) ͱ͓͘ɻશࣹ v : F → p∗ OX ͕ଘࡏ͠ɺCC
v|G = w Λຬͨ͢ͱ͢Δɻͦͷͱ͖ɺreg X ≤ d − N + n + 1 + (n − 1)(n − 2)/2 ͕ಘΒ
ΕΔɻ
n+1
ิ୊ 4.3. If p : X(⊆ PN
͕ ‘good’ Ͱ͋Ε͹ɺશࣹ F → p∗ OX ͕ଘࡏ͢Δɻ
C ) → PCn+1
−1
ఆٛ 4.4. ࣹӨ p : X(⊆ PN
ʹରͯ͠ɺ‫ॴہ‬ดू߹ Sj = {z ∈ Pn+1
C ) → PC
C | deg p (z) =j} ͱ͓͘ɻࣹӨ p ͕ ‘good’ Ͱ͋Δͱ͸ dim Sj ≤ max{−1, n − j + 1} for all j ͷͱ͖ʹ‫͏ݴ‬ɻ

ఆཧ 4.5 (Mather ཧ࿦ [33]). n = dim X ≤ 14 Ͱ͋Ε͹ɺ p ͸ ‘good’ Ͱ͋Δɻ஫ҙ 4.6. Behesti-Eisenbud[9] ʹΑΔͱɺLazarsfeld ʹΑΔʮҰൠࣹӨ p : X(⊆ PN
C) →
n+1
−1
PC ͷϑΝΠόʔͷ࣍਺ deg p (z), n = dim X ͕ࢦ਺ؔ਺తʹେ͖͘ͳΓ͏Δʯͱ͍͏͜ͱͷূ໌͕ॻ͔Ε͍ͯΔɻ͜ͷ͜ͱ͸ɺʮҰൠࣹӨΛ༻͍Δ Eisenbud-Goto ༧૝΁ͷΞϓϩʔνʯ͸ߴ࣍‫Ͱݩ‬͸ͳ͔ͳ͔͏·͘͸͍͔ͳ͍͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠Δɻ

5

Noma, Kwak-Park ʹΑΔ OX -regularity ༧૝ͷղܾ

Eisenbud-Goto ༧૝ʹ͓͍ͯɺඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X ⊂ PN ʹରͯ͠ɺreg X = reg IX ≤deg X − codim X + 1 ͕͍ࣔͨ͜͠ͱͰ͋Δɻ͜Ε͸ɺm = deg X − codim X + 1 ͱ͓͘ͱ͖ɺ(1) H1 (IX (m − 1)) = 0 ͓Αͼ (2) Hi (IX (m − i)) = 0, i ≥ 2 ͷ̎ͭΛࣔ͢͜ͱͱಉ͡Ͱ͋Δɻͭ·Γɺ࣍ͱಉ஋Ͱ͋Δɻ
(1) X ⊂ PN ͕ (m − 1)-normal Ͱ͋Δ͜ͱɺͭ·Γɺ Γ(OPN (m − 1)) → Γ(OX (m − 1))͕શࣹͰ͋Δ͜ͱ(2) reg OX ≤ m − 1.
Noma, Kwak-Park ͸্‫ه‬ͷ (2) ʹ͍ͭͯͷ݁ՌΛಘͨɻ͜͜Ͱ͸ུ͚֓ͩड़΂Δ͕ɺূ໌Λཧղ͢ΔͨΊʹ͸ɺ‫ݪ‬࿦จͷࢀߟจ‫͔ݙ‬Βಡ·ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɻ
ఆཧ 5.1 ([52, 26]). ඪ਺ 0 ͷ୅਺ดମ k ্ͷඇୀԽͰඇಛҟͳࣹӨଟ༷ମ X ⊂ PN ʹରͯ͠ɺ OX ͸ (deg X − codim X)-regular Ͱ͋Δɻূ໌ͷུ֓. n = dim X, d = deg X, c = codim X = N − n ͱ͓͘ɻX ͷҰൠతͳҐஔʹ
͋Δ N − n − 1 ‫ݸ‬ͷ఺͔Βͷ಺఺ࣹӨ (inner projection) p : X(⊂ PN ) · · · −→ X̄(⊂ Pn+1 )ΛͱΔɻ͜ͷͱ͖ɺdeg X̄ = d − c + 1 Ͱ͋Δɻ͜ͷ಺఺ࣹӨͷ Double Point Divisor Λ (cf. [7, Appendix Section 3,4])

Dinn = −KX + (d − n − c − 1)H.
ͱ͢Δͱɺ Dinn ͸ semiample Ͱ͋Γɺখฏফ໓ఆཧΛ༻͍Δͱɺreg OX ≤ d − c ΛಘΔɻ
!

7

6

Buchsbaum ‫؀‬ͷख๏͔ΒͷΞϓϩʔνͱࣹӨଟ༷ମͷ෼ྨຊষ͸ɺBuchsbaum ‫؀‬ͷ‫ڀݚ‬ͷख๏͕ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͷ্‫ݶ‬ͷ໰୊ʹԠ༻͞ΕͨτϐοΫεͰ͋Γɺஶऀ΋ख͕͚͖ͯͨ෼໺Ͱ͋Δɻਖ਼ଇྔΛ Castelnuovo ‫ܕ‬ͷෆ౳ࣜʹ‫ݱ‬ΕΔ 2(deg X − 1)/codim X3 ͷࣜΛ༻্͍ͯ‫ݶ‬Λ‫ٻ‬Ίɺͦͷ্‫ݶ‬Λຬࣹͨ͢Өଟ༷ମΛ෼ྨ͢Δ͜ͱΛߦ͏ɻ
ఆٛ 6.1. ࣹӨεΩʔϜ X ⊂ Pn = Proj S ɺͨͩ͠ S ͸ଟ߲ࣜ‫ Ͱ؀‬m = S+ ͱ͢Δɻ

1. X ͕ ACM Ͱ͋Δͱ͸ɺ Hi (IX (!)) = 0 1 ≤ i ≤ dim X, ! ∈ Z ͷͱ͖ʹ͍͏ɻ
2. X ͕ Buchsbaum Ͱ͋Δͱ͸ɺdim X ∩ L = dim X − codim L Λຬͨ͢͢΂ͯͷ rฏ໘ L ʹରͯ͠ɺmHi∗ (IX∩L ) = 0, 1 ≤ i ≤ dim X ∩ L ͕੒Γཱͭͱ͖Λ͍͏ɻ࣍ͷఆཧ͕ॳ‫ظ‬ͷ݁ՌͰ͋Δɻ
ఆཧ 6.2 (Eisenbud-Goto[15]). ඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X ͕ ACM Ͱ͋Δͱ͖ɺreg X ≤deg X − codim X + 1 ͕੒Γཱͭɻ
ఆཧ 6.3 (Stückrad-Vogel[57]). ඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X ͕ Buchsbaum Ͱ͋Δͱ͖ɺreg X ≤2(deg X − 1)/codim X3 + 1 ͕੒Γཱͭɻ
ఆཧ 6.4 (Trung-Valla[59], Nagel[47]; Yanagawa[62], Nagel[48]; Miyazaki[41]). .

(1) ඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X ͕ ACM Ͱ͋Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺdeg X ( 0 Ͱ͔ͭ reg X =2(deg X − 1)/codim X3 + 1 Ͱ͋Ε͹ɺX ͸࠷খ࣍਺ͷଟ༷ମͷҼࢠͰ͋Δɻ(2) ඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X ͕ Buchsbaum Ͱ͋Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺdeg X ( 0 Ͱ͔ͭ
reg X = 2(deg X − 1)/codim X3 + 1 Ͱ͋Ε͹ɺX ͸࠷খ࣍਺ͷଟ༷ମͷҼࢠͰ͋Δɻ(3) ඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X ͕ Buchsbaum Ͱ͋Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺdeg X ( 0 Ͱ͔ͭ reg X = 2(deg X − 1)/codim X3 Ͱ͋Ε͹ɺX ͸࠷খ࣍਺ͷଟ༷ମ΋͘͠͸ Del
Pezzo ଟ༷ମͷҼࢠͰ͋Δɻ؆୯ͷͨΊʹɺdeg X ( 0 ͱॻ͍͕ͨɺ۩ମతʹ΋දͤΔɻ
஫ҙ 6.5. ඇୀԽࣹӨଟ༷ମ X ⊂ Pn ͸ɺdeg X ≥ codim X + 1 ͕੒Γཱͪɺ౳߸͕੒ཱ͢
Δͱ͖ʹɺ࠷খ࣍਺ͷଟ༷ମͱ͍͏ɻ͜ͷͱ͖ɺX ͸ (a) ̎࣍௒‫ۂ‬໘ (b) P5 ಺ͷ Veronese‫ۂ‬໘ (c) ༗ཧਖ਼‫ن‬ઢ৫໘ ΋͘͠͸ (d) ͜ΕΒͷਲ਼Ͱ͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ·ͨɺDel
Pezzo ଟ༷ମͷఆٛ͸ [17, Chapter I (6.3)] ʹΑΔɻඇୀԽͳ Buchsbaum ଟ༷ମ V ⊆ Pn+dim V ʹରͯ͠ɺҰൠ௒ฏ໘੾அΛ‫܁‬Γฦͯ͠ɺࣹӨ‫ۂ‬ઢ C = V ∩ H1 ∩ · · · ∩ Hdim V −1 ΛͱΔɻ͞ΒʹɺҰൠ௒ฏ໘੾அʹΑΓɺ0 ࣍‫ݩ‬εΩʔϜ X = C ∩ H ⊆ H(∼= Pn ) ΛͱΔɻ͜ͷͱ͖ɺBuchsbaum ‫؀‬ͷੑ࣭ΑΓɺ
reg V = reg C = reg X ͕‫͑ݴ‬ɺX ͕ 0 ࣍‫ݩ‬εΩʔϜͰ͋Δ͜ͱ͔Βɺ

reg X = min{m | H1 (IX (m − 1)) = 0} = min{t | Γ(OPN (t)) " Γ(OX (t))} + 1

ͱͳΔɻͭ·Γɺ0 ࣍‫ݩ‬εΩʔϜͷ఺ͷ഑ஔͷ໰୊ʹ‫ؼ‬ண͞ΕΔɻchar k = 0 ͷͱ͖ɺX͸ ‘uniform position’ Ͱ͋Γɺchar k > 0 ͷͱ͖ɺ͸ ‘uniform position’ ʹͳΔͱ͸‫ݶ‬Βͳ8

͍ [55]ɻ͔͠͠ͳ͕Βɺਖ਼ඪ਺ͷ৔߹΋ʢBallico ʹΑΔ)‘linear semi-uniform position’ ͱͳΓɺ୅਺తͳٞ࿦ͷΈͰਐΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ࣍ͷෆ౳ࣜ͸ॏཁͰ͋Δɻ
໋୊ 6.6. ࣹӨ‫ۂ‬ઢͷҰൠ௒ฏ໘੾அ X(⊂ Pn ), deg X = d ʹରͯ͠ɺ͕࣍੒Γཱͭɻ

reg X ≤ 2(d − 1)/n3 + 1
ඪ਺ 0 ͷ৔߹ͷূ໌. ͍ΘΏΔɺ‘Castelnuovo’s method’ Λ༻͍Δɻ! = 2(d − 1)/n3 ͱ͓͘ɻ೚ҙͷ P ∈ X ʹରͯ͠ɺX\{P } Λ ! ‫ݸ‬ͷάϧʔϓʹ෼͚Δɻଈͪɺ

X\{P } = {P1 , · · · , Pn |Pn+1 , · · · , P2n | · · · |P(!−1)n+1 , · · · , Pd−1 }ͱ͢ΔɻX ͸ ‘uniform position’ Ͱ͋Δ͔Βɺ! ‫ݸ‬ͷ௒ฏ໘ Hi = 4Pn(i−1)+1 , · · · , Pni 5 ), P ,1 ≤ i ≤ ! ΛऔΓɺͦͷ࿨ू߹Λ F = H1 ∪ · · · ∪ H! ͱ͢Δɻ͢ΔͱɺF ∩ X = X\{P } ͱͳΔͷͰ Γ(OPn (!)) → Γ(OX (!)) ͕શࣹͱͳΔɻ!
ඪ਺ਖ਼ͷ৔߹ͷূ໌.
0 ࣍‫ݩ‬εΩʔϜ X ͷ࠲ඪ‫؀‬Λ R ͱ͠ɺh-vector Λ h = (h0 , · · · , hs ) ͱ͢Δɻ͜͜Ͱɺ
h-vector ͱ͸ɺhi = dimk [R]i − dimk [R]i−1 Ͱ͋Γɺs ͸ hs )= 0 Λຬͨ͢࠷େͷ੔਺Ͱ͋Δɻ͢Δͱɺh0 = 1, h1 = (n + 1) − 1 = n, deg X = h0 + · · · + hs = d, s = reg X − 1 ͸؆୯ʹΘ͔Δɻ
஫ҙ 6.7. Uniform Position Lemma ͸ X ͷ Hilbert ଟ߲ࣜΛ੍‫͠ޚ‬ɺh-vector ͷ‫ݴ‬༿Ͱ͸ɺhi ≥ h1 , i = 1, · · · , s − 1 Ͱ͋Δ͜ͱΛ͍ࣔͯ͠Δɻ͜Εʹରͯ͠ɺBallico ͷ ‘Linear
semi-uniform position’ ͷఆཧ [4] ͸ɺh1 + · · · + hi ≥ ih1 , i = 1, · · · , s − 1 Λ͍ࣔͯ͠Δɻ
ͦ͜Ͱɺඪ਺೚ҙͷ৔߹ͷ໋୊ 6.6 ͷূ໌Λଓ͚Δɻ࣍ͷ໋୊ͷ (a) ͸ (b) ʹ‫·ؚ‬Ε͍ͯΔɻྺ࢙తʹ͸ɺ[15] ʹ (a) ͕ड़΂ΒΕ͓ͯΓɺͦͷ‫[ ޙ‬57] Ͱ (b) ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔɻ‫ݱ‬ࡏͷ‫͔఺؍‬Βɺ‫ݪ‬࿦จʹ‫͍ͨͮج‬୅਺తূ໌Λ༩͑Δɻ
ิ୊ 6.8. (a) reg X ≤ deg X − codim X + 1 (b) reg X ≤ 2(deg X − 1)/codim X3 + 1
ิ୊ͷূ໌. (a) hi ≥ 1 for 0 ≤ i ≤ s and h1 = n Ͱ͋Δ͔Βɺ͕࣍੒Γཱͭɻ

reg X = s + 1 ≤ h0 + h1 + · · · + hs − n + 1 = d − n + 1(b) h0 + · · · + hs = d, h1 + · · · + hs−1 ≥ (s − 1)h1 Ͱ͋Δ͔Βɺ
reg X − 2 + hs /h1 = (s − 1) + hs /h1 ≤ (h1 + · · · + hs−1 )/h1 + hs /h1 = (d − 1)/n.
͕੒Γཱͭɻ͕ͨͬͯ͠ɺreg X − 1 ≤ 2(d − 1)/n3 ͕ಘΒΕΔɻ!
ଓ͘ิ୊͸ɺCastelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔ্‫ݶ‬Λຬͨ͢ Buchsbaum ଟ༷ମͷ෼ྨͰ༻͍ΒΕΔɻ
ิ୊ 6.9 (Castelnuovo, Eisenbud-Harris[20]). ࣹӨ‫ۂ‬ઢͷҰൠ௒ฏ໘੾அ X ⊂ Pn ʹର͕ͯ࣍͠੒ཱ͢Δɻ

9

1. deg X ≥ 2n + 1 ͔ͭ h2 = h1 Ͱ͋Ε͹ɺX ͸༗ཧਖ਼‫ۂن‬ઢʹ‫·ؚ‬ΕΔɻ
2. deg X ≥ 2n + 3 ͔ͭ h2 = h1 + 1 Ͱ͋Ε͹ɺX ͸ପԁਖ਼‫ۂن‬ઢʹ‫·ؚ‬ΕΔɻ
ิ୊ 6.10 ([40, 41]).

1. deg X ≥ n2 + 2n + 2 ͔ͭ reg X = 2(deg X − 1)/n3 + 1 Ͱ͋Ε͹ɺX ͸༗ཧਖ਼‫ۂن‬ઢʹ‫·ؚ‬ΕΔɻ
2. deg X ≥ n2 + 4n + 2 ͔ͭ reg X = 2(deg X − 1)/n3 Ͱ͋Ε͹ɺX ͸ପԁਖ਼‫ۂن‬ઢʹ
‫·ؚ‬ΕΔɻิ୊ 6.9 Λ֦ுͨ࣍͠ͷ Harris ༧૝͕͋Γɺ͜Ε͕੒ཱ͢Ε͹ิ୊ 6.10 ͷ֦ு΋ಘΒΕΔɻ
༧૝ 6.11 (Harris). 1 ≤ m ≤ n − 1 ͱ͢Δɻdeg X ≥ 2n + 2m − 1 ͔ͭ h2 = h1 + m − 1Ͱ͋Ε͹ɺX ͸ɺ࣍਺͕ߴʑn + m − 1 ͷࣹӨ‫ۂ‬ઢʹ‫·ؚ‬ΕΔɻ
஫ҙ 6.12. ਖ਼ඪ਺ͷ৔߹͸ X ͕ ‘uniform position’ ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ɻ͔͠͠ͳ͕ΒɺX ͕‘uniform position’ Ͱͳ͍৔߹ɺdeg X ( 0 ͷͱ͖ reg X 7 2(d − 1)/N 3 + 1 ͱͳΔ͜ͱ͸
[6] ͷূ໌͔Βࣔࠦ͞ΕΔɻ
ఆཧ 6.4 ͷূ໌ͷུ֓.

(3) ͷূ໌ͷུ֓Λड़΂ΔɻC Λ Pn+1 = Proj S ͷඇୀԽࣹӨ‫ۂ‬ઢͱ͠ɺS =k[x0 , · · · , xn+1 ], m = (x0 , · · · , xn+1 ) ͱ͢Δɻ ิ୊ 6.10 Λ༻͍ΔͱɺఆཧͷԾఆΑΓɺҰൠ௒ฏ໘੾அ X = C ∩ H ʹରͯ͠ɺX ͸༗ཧਖ਼‫ۂن‬ઢ্΋͘͠͸ପԁਖ਼‫ۂن‬ઢ্ʹ͋
Δɻ͜͜Ͱ͸ɺପԁਖ਼‫ۂن‬ઢ Z(⊂ H ∼= Pn ), n ≥ 3 ্ʹ͋Δ৔߹Λड़΂ΔɻZ ͷఆ͕ٛࣜ
2 ࣍ੜ੒Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɻ͜͜ͰɺY ∩ H = Z Λຬͨ͢ Del Pezzo ‫ۂ‬໘ Y Λߏ੒͍ͨ͠ɻ
X = C ∩ H ⊂ Z ⊂ H(∼= Pn )
C

⊂ Y

⊂

Pn+1

͕ͨͬͯ͠ɺC Λ‫ؚ‬Ή Pn+1 ͷ 2 ࣍ࣜͰ Y Λߏ੒͢ΔͨΊʹɺ࣍ͷ͜ͱΛࣔ͢ɻ(a) Γ(IZ/H (2)) ∼= Γ(IX/H (2)).
(b) Γ(IC/Pn+1 (2)) → Γ(IX/H (2)) ͕શࣹͰ͋Δɻ
࣮ࡍɺX ⊆ Q ͱ Z )⊆ Q Λຬͨ̎࣍͢௒‫ۂ‬໘ Q ͕ଘࡏ͢Ε͹ɺX ⊆ Z ∩ Q ͱͳΔͷͰɺϕζʔͷఆཧΑΓɺd ≤ 2(n + 1) ͱͳΔɻ͜Ε͸ d ( 0 ʹໃ६͠ɺ(a) ͸ࣔ͞ΕΔɻ
࣍ʹɺΓ(IC/Pn+1 (2)) → Γ(IX/H (2)) ͕શࣹͰ͋Δ͜ͱΛࣔͨ͢Ίʹɺ‫׬‬શྻΓ∗ (IC/Pn+1 ) → Γ∗ (IX/H )ϕ1→ H∗ (IC/Pn+1 )(−1) → H1∗ (IC/Pn+1 ) → H1∗ (IX/H ),·hΛߟ͑Δɻ͜͜Ͱɺϕ : H1∗ (IC/Pn+1 )(−1) → H1∗ (IC/Pn+1 ) ͱ͓͘ɻh ∈ [S]1 ͸௒ฏ໘ H ͷఆٛࣜͰ͋Δɻ[Ker ϕ]2 = 0 ͱͳΔ͜ͱɺࣔͤ͹Α͍ɻ

10

Huneke-Ulrich ʹΑΔιʔΫϧิ୊ (໋୊ 6.13) Λ༻͍Δͱɺ̍࣍ࣜ h ∈ [S]1 Λద౰ʹʢਖ਼֬ʹ͸ “generic” ʹʣͱΔͱɺa− (Ker ϕ) > a− (Coker ϕ) ͕ಘΒΕΔɻ͕ͨͬͯ͠ɺ
a− (Ker ϕ) > a− (Soc(H1∗ (IX/H ))) ͱͳΔɻ͜͜Ͱɺ a− (Soc(H1∗ (IX/H ))) Λ‫͢ࢉܭ‬Δɻ
Z ͕ ACM Ͱ͋ΔͷͰɺ୹‫׬‬શྻ 0 → IZ/H → IX/H → IX/Z → 0 ͔Βɺ୹‫׬‬શྻ
0 → H1∗ (IX/H ) → H1∗ (IX/Z ) → H2∗ (IZ/H ) → 0
ΛಘΔɻ͜͜Ͱɺ H2∗ (IZ/H ) ∼= H1∗ (OZ ) ∼= k Ͱ͋Δ͔ΒɺH1∗ (IX/H ) ͸ɺ0 ࣍੒෼Λ
আ͍ͯɺH1∗ (IX/Z ) ͷՃ‫܈‬ͷߏ଄ʹҰக͍ͯ͠ΔɻSerre ͷ૒ରੑʹΑͬͯɺH1∗ (IX/Z )͸ Γ∗ (OZ (X)) ͷ ૒ରͳ࣍਺෇͖ S Ճ‫ͱ܈‬ಉ‫͋Ͱܕ‬Δɻͭ·ΓɺSoc(H1∗ (IX/Z )) ͸ɺΓ∗ (OZ (X))/mΓ∗ (OZ (X)) ͷ૒ରͱಉ‫͋Ͱܕ‬Δɻͦ͜Ͱɺ F = OZ (X) ͱ͓͘ͱɺ Z
͸ඇಛҟପԁ‫ۂ‬ઢͰ͋Δ͔Βɺ −d − (m − 1)(n + 1) < 0 ͷͱ͖ɺH1 (F ⊗ OZ (m − 1)) = 0
ͱͳΔɻΑͬͯɺm ≥ (n − d + 2)/(n + 1) ʹରͯ͠ɺ F ͸ m-regular Ͱ͋Δɻ͕ͨͬ͠
ͯɺm = 2(n − d + 2)/(n + 1)3 ͱ͓͘ͱɺ

Γ(F ⊗ OZ (!)) ⊗ Γ(OZ (1)) → Γ(F(! + 1))
͸ ! ≥ m ͷͱ͖ɺશࣹͱͳΔͷͰɺa− (Soc(H1∗ IX/Z )) ≥ −m ͕੒ཱ͢Δɻଈͪɺ d ( 0ͷͱ͖ɺa− (Soc(H1∗ (IX/H ))) ≥ 2 ͕੒ཱ͠ɺ[Ker ϕ]2 = 0 ͕ࣔ͞Εͨɻ͜ͷૢ࡞Λ‫܁‬Γฦ͢͜ͱʹΑΓɺఆཧ͕ূ໌͞ΕΔɻঘɺSocle ิ୊͸ɺඪ਺ 0 ͷ৔߹ͷΈʹద༻͞ΕΔ͕ɺ
ਖ਼ඪ਺ͷ৔߹͸ผͷٞ࿦Ͱӌճͯ͠ఆཧ͸ূ໌Ͱ͖Δɻ!
ఆཧ 6.13 (Socle Lemma[23]). ඪ਺ 0 ͷମ k ্ͷଟ߲ࣜ‫؀‬Λ S = k[x0 , · · · , xn ] ͱ͠ɺ༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺ S Ճ‫܈‬Λ M ͱ͢Δɻे෼Ұൠͷ 1 ࣍ࣜ (a generic element) h ∈ [S]1 ʹରͯ͠ɺϕ

0 → Ker ϕ → M (−1) → M → Coker ϕ → 0
ͱ͢Δɻ͜͜Ͱɺϕ = ·h. ͱ͓͘ɻ͜ͷͱ͖ɺKer ϕ )= 0 Ͱ͋Ε͹ɺa− (Ker ϕ) >a− (Soc(Coker ϕ)) ͕੒Γཱͭɻ͜͜Ͱɺ༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺ S Ճ‫ ܈‬N ʹରͯ͠ɺ Soc(N ) = [0 : m]N ɺa− (N ) = min{i|[N ]i )= 0}ͱ͢ΔɻࣹӨ‫ۂ‬ઢͷ৔߹΋ྨࣅͷ݁Ռ͕ಘΒΕΔɻ
ఆٛ 6.14. ࣹӨ‫ۂ‬ઢ C ⊂ Pn ʹର͠ɺHartshorne-Rao Ճ‫܈‬Λ M (C) = H1 ∗ IC =⊕!∈Z H1 (IC (!)) ͱఆٛ͢Δɻ͜Ε͸࣍਺ S Ճ‫͋Ͱ܈‬Γɺk(C) = min{v ≥ 0 | mv M (C) = 0}ͱ͓͘ɻ໋୊ 6.15. ඇୀԽͳࣹӨ‫ۂ‬ઢ C ⊂ Pn ʹରͯ͠ɺreg C ≤ 2(deg C − 1)/codim C3 + k(C).
͕੒Γཱͭɻdeg C ≥ 2n2 + n + 2 Ͱ্͔ͭ‫ه‬ͷ౳߸͕੒ཱ͢Ε͹ɺC ͸࠷খ࣍਺ͷ‫ۂ‬໘ͷҼࢠͱͳΔɻ஫ҙ 6.16. ࣍਺͕े෼ʹେ͖͍ͱ͍͏৚݅͸ඞཁͰ͋Δɻछ਺ g ≥ 5 ͷ௒ପԁͰͳ͍ࣹӨ‫ۂ‬ઢ C Λඪ४ຒΊࠐΈͰಘΒΕͨ‫ۂ‬ઢ C ⊆ Pg−1
Λߟ͑ΔͱɺCastelnuovo-Mumfordkਖ਼ଇྔͷ্‫ݶ‬Λຬ͕ͨ͢ɺ࠷খ࣍਺ͷࣹӨ‫ۂ‬໘ͷҼࢠʹ͸ͳΓ͑ͳ͍ɻ஫ҙ 6.17. Buchsbaum ଟ༷ମΛ‫ ॴہ‬Cohen-Macaulay ଟ༷ମʹ֦ுͨ݁͠Ռ͕๬·ΕΔɻ͜Εʹ͍ͭͯ͸ [44] ʹड़΂͍ͯΔΑ͏ʹɺதؒ࣍‫ݩ‬ͷίϗϞϩδʔΛ੍‫͢ޚ‬ΔෆมྔΛ͏·͘ઃఆͯ͠ਖ਼ଇྔ্‫ ͕ݶ‬Castelnuovo ‫ܕ‬ͷෆ౳ࣜͰ‫ه‬ड़͢Δ͜ͱΛ໨ࢦ͍ͯ͠Δɻ

11

7

McCullough-Peeva ʹΑΔ Eisenbud-Goto ༧૝ͷ൱ఆతղܾͱ Rees-like Algebra

ఆཧ 7.1 (McCullough-Peeva[36]). ମ k ্ͷଟ߲ࣜ‫؀‬ͷඇୀԽͳ੪࣍ૉΠσΞϧͷ
Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔ͸ͦͷૉΠσΞϧͷ࣍਺ͷͲΜͳଟ߲ࣜؔ਺Ͱ΋্‫ݶ‬Λ੍‫ޚ‬͢Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ɻ
‫ ܥ‬7.2. Eisenbud-Goto ༧૝͸ɺҰൠʹ͸੒Γཱͨͳ͍ɻ
൓ྫΛͭ͘Δखॱ

1. ଟ߲ࣜ‫ ؀‬S ͷʢඞͣ͠΋ૉͰͳ͍ʣ੪࣍ΠσΞϧ I Ͱ reg I ( deg S/I ͱͳΔΠσΞϧΛऔΔɻ
2. Rees-lile ୅਺ʢ΋͘͠͸ Rees ୅਺ʣΛ༻͍ͯɺ(ෆఆ‫ݩ‬ͷ࣍਺͕̍ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍) ଟ߲ࣜ‫ ؀‬T ͱ੪࣍ૉΠσΞϧ P Λͭ͘Δɻ͜ͷͱ͖ɺreg P ͱ deg T /P ͸ reg I ͱ
deg S/I ͔Β‫ࢉܭ‬ՄೳʹऔΔɻ
3. ‘Step-by-step homogenization’ ΋͘͠͸ ‘Prime standardization’ Λ༻͍ͯɺ্‫ه‬ͷT Λʢඪ४ʣଟ߲ࣜ‫ ؀‬T ) ʹ͢Δɻ͜͜ͰɺP ) = P T ) Λͭ͘Δͱɺreg P ) = reg P͓Αͼ deg T ) /P ) = deg T /P ͕੒ཱ͢ΔɻҰൠͷΠσΞϧʹ͍ͭͯ͸ɺਖ਼ଇྔͷ্‫͕࣍ݶ‬ͷΑ͏ʹ༩͑ΒΕɺ໋୊ 7.3 ͸ n ʹ͍ͭͯͷ‫ؼ‬ೲ๏ʹΑΓɺ୅਺తʹূ໌͞ΕΔɻ
໋୊ 7.3 ([7]). ଟ߲ࣜ‫ ؀‬k[x0 , · · · , xn ] ͷ੪࣍ΠσΞϧ I ʹରͯ͠ɺchar k = 0 ͷ৔߹ɺn−1
reg I ≤ (2maxdeg(I))2͕੒ΓཱͭɻҰൠͷ৔߹ɺreg I ≤ (2maxdeg(I))n! ͕੒Γཱͭɻ্‫ه‬ͷ্‫ݶ‬͸ɺEisenbud-Goto ༧૝͔Β΄Ͳԕ͍͕ɺ࣍ͷྫ͔Β΄΅ ‘best possible’ ͳ্‫͋Ͱݶ‬Δͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔɻ࣮ࡍɺMcCullough-Peeva ͷ൓ྫͰ͸ɺ࣍ͷྫΛ‫ߏʹج‬੒͍ͯ͠Δɻnྫ 7.4 (Mayr-Meyer[35]). k[x0 , · · · , xn ] ͷΠσΞϧ I Ͱ maxdeg(I) = 4, reg I ≥ 22 − 1Λຬͨ͢΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɻ
ྫ 7.5 (Koh[24]). k[x1 , · · · , x22r−1 ], r ∈ N ͷ 23 ‫ݸ‬ͷ 2 ࣍ࣜɺ1 ‫ݸ‬ͷ 1 ࣍ࣜͰੜ੒͞Εͨ
r−1ΠσΞϧ Ir Ͱ maxdeg(Syz1 (Ir )) ≥ 22Λຬͨ͢΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɻʢ‫ݪ‬࿦จ௨Γʹॻ͍͕ͨɺม਺Λ 22r − 2 ‫ͯ͠ʹݸ‬ɺ1 ࣍ࣜͳ͠Ͱ΋Α͍ɻʣఆٛ 7.6. ଟ߲ࣜ‫ ؀‬S = k[x1 , · · · , xn ] ͷΠσΞϧ I = (f1 , · · · , fr ) ͷ Rees ‫؀‬͸ R(I) =S[It](= ⊕d≥0 I d ) ⊂ S[t] ͱͯ͠ɺఆٛ͞ΕΔɻProj R(I) ͸ An ͷ I ͰͷϒϩʔΞοϓͰ͋Δɻ ͜͜Ͱɺϕ : S[y1 , · · · , yr ] → S[It], ϕ(yi ) = fi t ͱ͓͘ͱ͖ɺఆٛΠσΞϧ P = Ker ϕ͸‫͢ࢉܭ‬Δͷ͸ɺҰൠʹ͸ࠔ೉Ͱ͋Δɻ
ྫ 7.7 ([36]). I = (u6 , v 6 , u2 w4 + v 2 x4 + uvwy 3 + uvxz 3 ) Λଟ߲ࣜ‫ ؀‬S = k[u, v, w, x, y, z]ͷΠσΞϧͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ Rees ‫ ؀‬S[It] ͷఆٛΠσΞϧΛ P ⊂ (T = S[w1 , w2 , w3 ])ͱ͢ΔɻMacaulay2 ʹΑΔ‫ ͱࢉܭ‬Bertini ͷఆཧΛ༻͍ͯɺ3 ࣍‫ࣹݩ‬Өଟ༷ମ X in P5 Ͱ
deg X = 31, reg X ≥ 38 Λຬͨ͢΋ͷΛಘΔɻ

12

ఆٛ 7.8. ଟ߲ࣜ‫ ؀‬S = k[x1 , · · · , xn ] ͷΠσΞϧ I = (f1 , · · · , fr ) ͷ Rees-like ‫؀‬͸ RL(I) = S[It, t2 ] ⊂ S[t] ͱͯ͠ɺఆٛ͞ΕΔɻ͜͜ͰɺॏΈ෇͖ଟ߲ࣜ‫ ؀‬T =S[y1 , · · · , yr , z] Λ deg yi = deg fi + 1, deg t = 2 ͱͯ͠ఆٛ͢Δɻͦ͜Ͱɺψ : T =S[y1 , · · · , yr , z] → S[It, t2 ], ψ(yi ) = fi t ͱ͓͘ͱɺఆٛΠσΞϧ͸ Q = Ker ψ(⊂ T ) Ͱ͋Δɻྫ 7.9. k[x] ͷΠσΞϧ I = (x) ͷ Rees-like ‫ ؀‬RL(I) = k[x, xt, t2 ] ͷఆٛΠσΞϧ͸
P = (y 2 − x2 z)(⊂ k[x, y, z]) Ͱ͋Δɻ
ఆཧ 7.10. ଟ߲ࣜ‫ ؀‬S = k[x1 , · · · , xn ] ͷΠσΞϧ I = (f1 , · · · , fr ) ͷ Rees-like"r ‫؀‬ͷఆٛΠσΞϧ Q(⊂
T
=
S[y
,
·
·
·
,
y
,
z])
ʹରͯ͠ɺ
reg
T
/Q
=
reg
S/I
+
2
+
1
r
i=1 deg fi ,&rdeg T /Q = 2 i=1 (deg fi + 1), ht Q = r ͱͳΔɻ
ఆཧ 7.10 ͷূ໌ͷུ֓. ·ͣɺఆٛΠσΞϧ Q ⊂ T = k[x1 , · · "· , xn , y1 ", · · · , yr , z] ͷ‫ۃ‬খͷੜ੒‫ݩ‬Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱɺ{yα yβ − zfα fβ |1 ≤ α, β ≤ r} ͓Αͼ { cij yi | cij fi = 0} ͱͳΔ͜ͱ͕Θ͔Δɻ͜͜ͰɺI ͷ S Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղΛ(cij )(fi )F1 −→ F0 −→ P → 0ͱॻ͍ͨɻQ ͸ૉΠσΞϧͰɺz ͸ T /Q ඇྵҼࢠͰ͋Δɻ͜͜Ͱ T̄ = T /(z), Q̄ = QT̄ ͱ
͓͘ͱɺT /Q ͱ T̄ /Q̄ ͷ Betti ਺͸Ұக͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ

"ͯ͞ɺT̄ = k[x1 , · · · , xn , y1 , · · · , yr ]. ͷૉΠσΞϧ Q̄ ͷੜ੒‫ݩ‬͸ M = ({ i cij yi }) ͓Αͼ N = ({yi yj }) = (y1 , · · · , yr )2 Ͱ͋Δɻ͢ΔͱɺT̄ /Q̄ ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ͸ (M + N )/N →T̄ /N ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղͷࣸ૾ਲ਼ʹΑΓ‫ه‬ड़Ͱ͖Δɻ࣮ࡍɺT̄ Ճ‫ ܈‬M + N/N (∼= M/M ∩ N )Sͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ͸ S Ճ‫ ܈‬Syz1 I ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ͔Βॻ͚Δɺ·ͨɺT̄ /Q̄ ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ͸ Eagon-Northcott ෳମͰ͋ΔͷͰɺ͜ΕΒʹΑΓࣸ૾ਲ਼Λ‫ه‬ड़͠ɺreg T /Q, deg T /Q͕‫͖Ͱࢉܭ‬Δɻ!
ఆٛɾ໋୊ 7.11 (Step-by-step homogenization). ଟ߲ࣜ‫ ؀‬T = k[y1 , · · · , yp ] ͷॏΈ͚ͮΛ deg yi > 1, i ≤ q ͓Αͼ deg yi = 1, i > q. ͱ͢Δɻͦ͜Ͱɺඪ४ଟ߲ࣜ‫ ؀‬T ) =k[y1 , · · · , yp , v1 , · · · , vq ] Λߟ͑ɺ࣍਺४ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ν : T → T ) Λ ν(yi ) = yi videg yi −1 , i ≤ q͓Αͼ ν(yi ) = yi , i > q ͱఆٛ͢Δɻ͜ΕΛ ‘Step-by-step homogenization’ ͱ‫Ϳݺ‬ɻT ͷૉΠσΞϧ P ʹରͯ͠ɺP ) = P T ) ͸ T ) ͷૉΠσΞϧͱͳΓɺT /P ͱ T ) /P ) ͷ Betti ਺͸Ұக͢Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ
஫ҙ 7.12 ([11, 32]). Betti ਺Λอଘ͢Δಉ࣍Խͷํ๏ͱͯ͠͸ɺ‘Step-by-step homogenization’ ͷଞʹ ‘Prime Standization’ ΋‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔɻ͜ͷํ๏͸ Ananyan-Hochster[1]ͷ ‘homogeneous prime sequence’ Λ༻͍ɺಛҟ఺Λ੍‫͢ޚ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ
ྫ 7.13. ϕ : S → k[t], ϕ(x) = t, ϕ(y) = t2 , ϕ(z) = t3 Ͱఆٛ͞Εͨ Affine monomial curveͷΠσΞϧ͸ଟ߲ࣜ‫ ؀‬S = k[x, y, z] ʹ͓͍ͯ P = (x2 − y, xy − z) in S = k[x, y, z] ͱॻ͚Δɻಉ࣍ࣜͱߟ͑ΔͨΊʹɺॏΈΛ deg x = 1, deg y = 2, deg z = 3 ͱ͢Δͱɺ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ͸
0 → S(−5) → S(−2) ⊕ S(−3) → S → S/P → 0.
ͱͳΔͷͰɺreg P = 4 ͕‫͑ݴ‬Δɻ
௨ৗͷಉ࣍ԽͰ͸ɺଟ߲ࣜ‫ ؀‬S ) = k[x, y, z, w] ͷΠσΞϧ P ) = (x2 − yw, xy − zw, xz − y 2 )͕ಘΒΕ (twited cubic curve)ɺ reg P ) = 2 ͱͳΔɻҰํɺStep-by-step homogenization Ͱ͸ɺଟ߲ࣜ‫ ؀‬T = k[x, y, z, u, w] ͷΠσΞϧ Q =(x2 − yu, wyu − zu2 ) ͕ಘΒΕɺ͜Ε͸‫׬‬શަࠥͰ͋Γɺreg Q = 4 ͱͳΔɻ13

ఆཧ 7.1 ͷূ໌ͷུ֓. Koh ͷྫ (7.5) ʹରͯ͠ɺRees-lile ‫؀‬ɺStep-by-step homogenization Λ༻͍ͯɺඪ४ଟ߲ࣜ‫ ؀‬Rr ͷૉΠσΞϧ Pr ΛऔΔͱɺ

• deg Rr /Pr ≤ 4 · 322r−3 < 250r
• reg Pr ≥ maxdeg(Pr ) ≥ 22

r−1

+ 1 > 22r−1,ͱͳΓɺ͜Ε͸ Eisenbud-Goto ༧૝ͷ൓ྫΛ༩͑Δɻ!

8

Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͱ Horrocks ͷ൑ఆ๏͜ͷষͰ͸ɺϕΫτϧଋͷ Horrocks ൑ఆ๏Λ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔͷ‫͔఺؍‬Βଊ͑Δ͜ͱ͔Β࢝ΊɺϕΫτϧଋͷ෼ྨʹ͍ͭͯͷγδδʔཧ࿦ͳ‫͔఺؍‬Βͷ֓આΛߦ͏ɻ
ʮP1 ্ͷϕΫτϧଋ͸௚ઢଋͷ௚࿨ʹಉ‫͋Ͱܕ‬Δʯͱ͍͏ Grothendieck ͷఆཧͷ֦ு͕࣍ͷఆཧͰ͋Δɻ
ఆཧ 8.1 (Horrocks[22]). Pn ্ͷϕΫτϧଋ E ͕ ACMɺଈͪɺ೚ҙͷ 1 ≤ i ≤ n − 1 ʹରͯ͠ Hi∗ (E) = ⊕!∈Z Hi (Pn , E(!)) = 0 Ͱ͋Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺE ͸௚ઢଋͷ௚࿨ʹಉ‫Ͱܕ‬
͋Δɻ͜͜Ͱɺఆཧ 8.1 ͷ̐ͭͷূ໌ͷུ֓Λड़΂Δɻୈ̍ͷূ໌ͷུ֓ (Okonek-Schneider-Sprindler[53]).
ࣹӨۭؒ Pn ͷ࣍‫ ݩ‬n ʹ͍ͭͯͷ‫ؼ‬ೲ๏Ͱ͋Δɻn = 1 ͸ Grothendieck ͷఆཧͳͷͰɺn ≥ 2
ͱ͢Δɻ‫ؼ‬ೲ๏ͷԾఆ͔Β ψ : E|H ∼= ⊕ri=1 OH (ai ) ͕ಘΒΕΔͷͰɺF = ⊕ri=1 OPn (ai ) ͱ͓͘ͱɺ‫׬‬શྻ 0 → HomPn (F, E)(−1) → HomPn (F, E) → HomH (F|H , E|H ) → 0 ͱ ACM
ͷԾఆ͔Βɺ‫׬‬શྻ HomPn (F, E) → HomH (F|H , E|H ) → H1 (Pn , ⊕E(−ai − 1)) = 0 ΛಘΔɻ͢Δͱɺψ ͷԆ௕ ϕ : E → ⊕ri=1 OPn (ai ) ͕ಘΒΕɺ͜Ε͸ಉ‫͋Ͱܕ‬Δ͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔɻ!
ୈ 2 ͷূ໌ͷུ֓ (Auslander-Buchsbaum[3], Matsumura[34]).
Auslander-Buchsbaum ͷఆཧͷଟ߲ࣜ൛Λࣔͤ͹Α͍ɻଈͪɺଟ߲ࣜ‫ ؀‬S = k[x1 , · · · , xn ]্ͷ༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺ S Ճ‫ʹ܈‬ରͯ͠ɺdepth S M + proj.dimS M = n ͱͳΔ͜ͱΛࣔ͢ɻ
proj.dimS M ʹ͍ͭͯͷ਺ֶత‫ؼ‬ೲ๏Λ༻͍Δ (cf. [34])ɻM ͕ࣗ༝ͷͱ͖͸໌Β͔ͳͷ
Ͱɺproj.dimS M ≥ 1 ͱ͢Δɻ͜͜Ͱɺ‫׬‬શྻ 0 → N → F → M → 0 (ͨͩ͠ɺF ͸࣍਺ࣗ༝Ճ‫ )܈‬ΛऔΓɺ‫ॴہ‬ίϗϞϩδʔΛ༻͍Δͱɺ‫ؼ‬ೲ๏ͷԾఆΑΓূ໌͞ΕΔɻ!
ୈ 3 ͷূ໌ͷུ֓.(Ballico-Malaspina[5], Malaspina-Miyazaki[30])Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔΛ༻͍ͨূ໌Λߦ͏ɻPn ্ͷϕΫτϧଋ E ʹରͯ͠ɺreg E =m ͱ͓͘ͱɺE(m) ͸େҬੜ੒Ͱ͋Δ͔Βɺશࣹ ψ : OPn → E ͕औΕΔɻE ͸ (m − 1)regular Ͱͳ͘ɺ͔ͭɺACM ଋͰ͋Δ͔ΒɺHn (Pn , E(m − n − 1)) )= 0 Ͱ͋ΔɻSerre ͷ૒ରੑΑΓ Γ(Pn , E ∨ (m)) )= 0 ͱͳΓɺθϩͰͳ͍ࣸ૾ ϕ : E(m) → OPn ͕ଘࡏ͢Δɻϕ ◦ ψ͸θϩͰͳ͍ࣸ૾Ͱ͋Δ͔ΒɺOPn (−m) ͕ E ͷ௚࿨ҼࢠΛ༩͑Δࣸ૾ʹͳΔɻ͜ΕΛ‫܁‬Γฦ͢ɻ!
ୈ 4 ͷূ໌ͷུ֓ (Horrocks[22], Walter[60], Malaspina-Rao[31])Horrocks ͷΦϦδφϧͳΞΠσΟΞͰ͋Δ͕ɺ͜͜Ͱ͸ [60] ʹґΔূ໌ͷུ֓Λड़΂Δɻ
ACM ଟ༷ମ্ͷϕΫτϧଋΛ‫ؚ‬Ήཧ࿦͸ [31] ʹॻ͔Ε͍ͯΔɻPn = Proj S ্ͷϕΫτϧଋ E ʹରͯ͠ E = Γ∗ E ͱ͓͘ɻͦ͜Ͱɺ࣍਺ S ∨ Ճ‫ ܈‬E ∨ (negatively graded!) ͷ‫ۃ‬খࣗ

14༝෼ղ 0 → P n−1∨ → · · · → P 0∨ → E ∨ → 0 ΛऔΓ·͢ɻʢdepth E ∨ ≥ 2 Λ༻͍Δɻʣ͞Βʹɺ͜ͷ૒ରΛऔΔͱɺ࣍਺ S Ճ‫܈‬ͷෳମ 0 → E → P 0 → · · · → P n−1 → 0 ͕ಘΒΕɺ͜ͷෳମͷ૚Խ͸‫׬‬શྻʹͳΔ͜ͱ͕Θ͔Γ·͢ɻ͜͜Ͱɺ࣍਺ S Ճ‫ ܈‬E ͷ‫ۃ‬খࣗ༝෼ղ 0 → P −n → · · · → P −1 → E → 0 Λͭͳ͛ͯɺෳମ

P • : 0 → P −n → · · · → P 0 → · · · → P n−1 → 0,
Λߟ͑ΔͱɺHi (P • ) ∼= Hi∗ (E) ͸ S Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬௕͞༗‫͋Ͱݶ‬ΓɺಛʹɺHi (P • ) = 0,i )∈ {1, · · · , n − 1} ͱͳΔɻෳମͷߏ੒Λߟ͑Δͱɺ࣍਺ S Ճ‫܈‬ͷ༗քͳෳମͷಋདྷ‫ݍ‬
D& (S−Mod) ͷதͰɺτ>0 τ<n RΓ∗ (E) ͱ͍͏͜ͱ͕‫͑ݴ‬Δɻ
ͯ͞ɺPn ্ͷϕΫτϧଋͷ҆ఆಉ஋ͳΧςΰϦʔΛ VB ͱ͓͘ɻ͜͜ͰɺPn ্ͷϕΫτϧଋ E, F ʹରͯ͠ɺ͋Δ௚ઢଋͷ௚࿨ L, M ͕͋ΓɺE ⊕ L ∼= F ⊕ M Λຬͨ͢ͱ•&i•͖ɺ҆ఆಉ஋ͱ͍͏ɻ͜͜ͰɺC ∈ Ob(D (S−Mod)) ͕ H (C ) ͕ S ্༗‫ݶ‬Ճ‫͋Ͱ܈‬ΓɺHi (C • ) = 0, 0 < i < n ͱͳΔॆຬ෦෼‫ݍ‬Λ FinL ͱॻ͘ͱɺHorrocks ͷఆཧ͸࣍ͷ௨ΓʹͳΔɻ
ఆཧ 8.2. ಉ‫ؔܕ‬ख τ>0 τ<n RΓ∗ : VB → FinL ͸ΧςΰϦʔͷಉ஋Λ༩͑ΔɻPn ্ͷ ACM ଋ͸ τ>0 τ<n RΓ∗ (E) = 0 Λຬͨ͢ͷͰɺHorrocks ରԠ (8.2) ΑΓɺE ͸௚ઢଋͷ௚࿨ʹಉ‫ͳʹܕ‬Δɻ!
ఆٛ 8.3. Pn ্ͷϕΫτϧଋ E ͕ Buchsbaum ଋͰ͋Δͱ͸ɺ೚ҙͷ r ฏ໘ L(⊆ Pn ),r = 1, · · · , n ʹରͯ͠ɺ(x0 , . . . , xn )Hi∗ (Pn , E|L ) = 0, 1 ≤ i ≤ r − 1 ͕੒Γཱͭͱ͖Λ͍͏ɻఆٛɾ໋୊ 8.4 (Stückrad-Vogel[58], Schenzel[56]). S = k[x0 , · · · , xn ] Λମ k ্ͷଟ߲ࣜ‫͠ͱ؀‬ɺm = (x0 , · · · , xn ) ͱ͓͘ɻ࣍਺ S Ճ‫ ܈‬M , dim M = d ͕ Buchsbaum Ճ‫͋Ͱ܈‬Δ
ͱ͸ɺ࣍ͷಉ஋৚͕݅੒Γཱͭͱ͖ʹ͍͏ɻ(i) !(M/qM )−e(q; M ) ͕ಉ࣍ύϥϝʔλΠσΞϧ q = (y1 , · · · , yd ) ʹґΒͣҰఆͰ͋Δɻ(ii) ೚ҙͷύϥϝʔλ‫ ܥ‬y1 , · · · , yd , 0 ≤ i ≤ d ʹରͯ͠ɺmHjm (M/(y1 , · · · , yi )M ) =0, 0 ≤ j ≤ d − i − 1 ͕੒Γཱͭɻ(iii) τ<d RΓm (M ) ͸ D& (S−Mod) ʹ͓͍ͯ ik ઢ‫ۭؒܗ‬ͷෳମʹಉ‫͋Ͱܕ‬Δɻ
ఆཧ 8.5 ([12, 18]). Pn ্ͷ Buchsbaum ଋ E ͸ E ∼= ⊕ΩkPin (!i ) ͷ௚࿨ʹಉ‫͋Ͱܕ‬Δɻ
͜Ε͸ɺGoto[18] ͱ Chang[12] ͕ಠཱʹূ໌ͨ͠ɻͦͷ‫ޙ‬ɺYoshino[62] ʹΑΔ HorrocksରԠΛ༻͍ͨূ໌͕͋ΔɻஶऀʹΑΔγδδʔ࿦తͳূ໌ [45] ΋͋ΓɺͦΕͧΕఆཧ 8.1
ͷ̐ͭͷূ໌ʹ΄΅ରԠ͍ͯ͠Δɻ஫ҙ 8.6. Horrocks ରԠ΍γδδʔ࿦తํ๏͸ɺϕΫτϧଋͷ Beilinson ʹ΋ରԠ͍ͯ͠
ΔɻP3 ্ͷϕΫτϧଋͰɺHi∗ (E) ∼= k, i = 1, 2 Ͱ͋ΓɺBuchbaum Ͱͳ͚Ε͹ɺNullCorrelation ଋͱ͍͏͜ͱ΋Θ͔ΔɻP4 ্ͷ Horrocks-Mumford ଋΛ࢝ΊɺHorrocks ରԠʹؔ͢Δ৚݅Ͱ۩ମతʢ‫؀‬࿦తʹʣද͢ͷ͸ࠓ‫ޙ‬ͷ໰୊ͱ‫͑ݴ‬Δɻ
ྫ 8.7. ࣍ͷ݁Ռ͸ྑ͘஌ΒΕ͍ͯΔ͔΋͠Εͳ͍ɻ͔͠͠ͳ͕Βɺଟॏ CastelnuovoMumford ਖ਼ଇྔΛ༻͍Δͱɺূ໌͕Θ͔Γ΍͍͢ɻଟॏ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔ͸[5, 42] ͷఆٛʹै͍ɺଟॏࣹӨ্ۭؒͰͷ Horrocks ൑ఆ๏ʹԠ༻͞Ε͍ͯΔɻ

15

ྫ͑͹ɺ࣍ͷ໰୊Λߟ͑ΔɻʮX = Pm × Pn ্ͷϕΫτϧଋ E ͰɺHi (E(!1 , !2 )) = 0,
!1 , !2 ∈ Z, 1 ≤ i ≤ m + n − 1 Λຬͨ͢΋ͷ͸ଘࡏ͠ͳ͍ɻʯ
࣮ࡍɺଟॏ Castelnuovo-Mumford ਖ਼ଇྔΛʮ͏·͘ʯఆٛ͢ΔͱɺHorrocks ൑ఆ๏ͷୈ̏ূ໌ͱಉ͡ํ๏ͰɺE ∼= OPm (t) # OPn (u) ͱͳΓɺ͜Ε͸தؒ࣍‫ݩ‬ͷίϗϞϩδʔΛ͔࣋ͭΒໃ६͢Δɻ࣍͸ɺγδδʔ࿦తํ๏ʹΑΔখ݁Ռ [30] Ͱ͋Δɻ
ྫ 8.8. P2 × P2 ্ͷ‫ط‬໿ͳϕΫτϧଋ E ʹରͯ͠ɺ࣍͸ಉ஋Ͱ͋Δɻ(a) E ∼= Ω P2 # Ω P2 .
(b) H2 (E) )= 0 ͔ͭ H1 (E(1, 1)) = H2 (E(0, 1)) = H2 (E(1, 0)) = H2 (E(−1, 0)) =H2 (E(0, −1)) = H3 (E(−1, −1)) = 0 ͕੒Γཱͭɻ͍ͭͰʹɺ࣍ͷྫ [43] ͸ɺBuchsbaum ੑͷෳࡶ͞Λද͍ͯ͠Δɻ
ྫ 8.9.
1. P1 × P1 × P1 ্ͷϕΫτϧଋ E = OP1 # OP1 (2) # OP1 (4) ͸ mHi∗ (E) = 0,i = 1, 2 Ͱ͋Δ͕ɺBuchsbaum ଋͰͳ͍ɻ

2. P2 × P2 ্ͷϕΫτϧଋ E = ΩP2 # ΩP2 (3) ͸ H1 (E) )= 0, H3 (E(−3)) )= 0. Ͱ͋Δ͕Buchsbaum ଋͰ͋Δɻ

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Ϋϥελʔ୅਺ͱͦͷ޿͕ΓҪ্ɹྰ (ઍ༿େཧ)Fomin ͱ Zelevinsky ʹΑͬͯಋೖ͞ΕͨΫϥελʔ୅਺͸ɼmutationʢมҟʣͱ‫ݺ‬͹ΕΔ୅਺తૢ࡞͕ಛ௃తͳՄ‫͋Ͱ؀׵‬Δɽ͜ͷ‫Ͱߘݪ‬͸ɼ·ͣΫϥελʔ୅਺ͷఆٛͱ‫ج‬ຊੑ࣭Λ؆୯ʹઆ໌͢
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༷ࢠ͸ɼ͍ͨ΁Μ‫ڵ‬ຯਂ͍ɽຊߘͷߏ੒͸࣍ͷͱ͓ΓͰ͋Δɽ2 ষͰ͸Ϋϥελʔ୅਺ͷఆٛ౳Λ؆୯ʹઆ໌͠ɼ3 ষͰΫϥελʔ୅਺஀ੜͷഎ‫͍ͯͬͳʹܠ‬Δʮશਖ਼஋ੑʯʹ͍ͭͯɼ4 ষͰΫϥελʔ୅਺ͷॏཁͳԠ༻Ͱ͋Δʮ఺෇͖‫ۂ‬໘ͷ‫ز‬Կֶʯʹ͍ͭͯ঺հ͢Δɽͦͯ͠ 5 ষͰ͸ 3ɼ4 ষͷ಺༰Λ߹ΘͤͯಘΒΕΔྔࢠ‫܈‬ͷ࣮‫ݱ‬Λ঺հ͢ΔɽຊߘͰ͸ɼઐ໳༻‫ޠ‬Λ࠷΋࢖ΘΕ͍ͯΔͱ
ࢥΘΕΔ‫ݴ‬༿‫ͨ͠ʹͱ͘͜ॻͰ͍ݣ‬ɽ೔ຊ‫ͱޠ‬ӳ‫ޠ‬ͷද‫ͯ͠ࡏ͕ࠞه‬ଟগ‫͍ۤ͠ݟ‬Օॴ͕͋ΔͷΛ͝༰͍ࣻͩ͘͞ɽ

2. Ϋϥελʔ୅਺ͷఆٛͱ‫ج‬ຊੑ࣭
Fomin ͱ Zelevinsky [FZ-I, FZ-IV] ʹैͬͯΫϥελʔ୅਺Λಋೖ͢Δɽ༗‫ ߹ूݶ‬I :={1, 2, . . . , N } = [1, N ] ʹର͠ɼʮseedʢछʣʯͱΑ͹ΕΔ࣍ͷΑ͏ͳࡾͭ૊Έ Σ = (B, x, y) Λఆٛ͢ΔɽB = (bij )i,j∈I ∈ MatN (Z) ͸ N ࣍൓ରশԽՄೳ੔਺ߦྻɼͭ·Γର֯ߦྻ D =(di )i∈I ; di ∈ Z>0 ͕ଘࡏͯ͠ DB ͕൓ରশߦྻʹͳΔΑ͏ͳ΋ͷɼͦͯ͠ x = (x1 , . . . , xN )ɼ
y = (y1 , . . . , yN ) ͸ Q ্୅਺తʹಠཱͳ N ม਺ͷ૊Ͱ͋Δɽdi ͨͪ͸‫ʹ͍ޓ‬ૉͱ͢ΔɽBΛʮexchange matrixʢަ‫ྻߦ׵‬ʣʯͱΑͿɽx ΛʮΫϥελʔʯɼxi ΛʮΫϥελʔม਺ʯ1)·ͨ͸ʮx ม਺ʯͱΑͼɼy Λʮ܎਺ͷ૊ʯɼyi Λʮ܎਺ʯ·ͨ͸ʮy ม਺ʯͱΑͿɽ͜ͷΑ͏ͳ seed (B, x, y) ͱ k ∈ I ʹର͠ɼʮmutationʢมҟʣ ʯͱ͍͏୅਺తૢ࡞
"""µk (B, x, y) = (B , x , y ) ΛҎԼͷΑ͏ʹఆٛ͢Δɽ
1)[FZ-IV] Ͱ͸ y ม਺͸೚ҙͷ semifieldʢ൒ମʣͷ‫ͯ͠ͱݩ‬ఆٛ͞Εɼx ม਺ͷ mutation Ͱ͸·͞ʹ܎਺ͱͯ͠‫ݱ‬ΕΔ͕ɼຊߘͰ͸‫ز‬Կֶ΁ͷԠ༻Λ೦಄ʹ͓͍ͯ x ม਺ͱ y ม਺Λผʑʹѻ͏ɽ

3b"ij =

x"i =

yi" =


−bij

i = k or j = k|bik |bkj + bik |bkj |bij +o.w.
2
 % [bjk ]+ % [−bjk ]+

xj
+
xj


j∈I





&

j∈I

i=k

xk

i #= k

xi

yk−1

i=k

[b ]
yi yk ki + (1 + yk )−bki

i #= kͨͩ͠ [a]+ = max(a, 0) ͱ͢ΔɽಘΒΕͨࡾͭ૊Έ (B " , x" , y " ) ͕࠶ͼ seed ʹͳΔ͜ͱɼͦ͠
ͯ B " ͕ಉ͡ର֯ߦྻ D Ͱ൓ରশԽ͞ΕΔ͜ͱ͸؆୯ʹ͔֬ΊΒΕΔɽ͜ͷΑ͏ͳ mutationʹ͸µk ◦ µk = id.ʢର߹ੑʣ,bkj = 0 ͳΒ͹ µk ◦ µj = µj ◦ µkʢՄ‫׵‬ੑʣͱ͍͏ੑ࣭͕͋Δɽmutation ʹΑΔ seed Ͳ͏͠ͷؔ܎͸ N ෼໦Λ༻͍ͯදͤΔʢਤ 2ʣɽµk
௖఺ t ʹ seed Σt ΛରԠͤ͞ɼ௖఺ t, t" ͷؒʹ྆ଆ໼ҹ ←→ ͕͋Δͱ͖͸ µk (Σt ) = Σt!ʢ͔
ͭ µk (Σt! ) = Σt ʣΛҙຯ͍ͯ͠Δɽ

t
µ1 µ2

t1
µ2

t12

t2
µN

µN

···

tN
µ1 µN −1

· · · t1N

···

···

tN N −1···ਤ 2. seed ͷੜ੒ަ‫ ྻߦ׵‬B ʹ༗‫ݶ‬ճͷ mutation Λࢪͯ͠ߦྻ B "" ͕ಘΒΕͨͱ͖ɼB ͱ B "" ͸ʮmutationಉ஋ʯͰ͋Δͱ͍͏ɽ·ͨɼx ม਺·ͨ͸ y ม਺ͷͲͪΒ͔ͷΈʹண໨ͨ͠৔߹ɼ(B, x) Λ xseedɼ(B, y) Λ y-seed ͱΑͿ͜ͱ΋͋Δɽߦྻ B = (bij )i,j∈I ͕൓ରশߦྻɼͭ·Γ D = INͷͱ͖ɼB ͸ N ‫ݸ‬ͷ௖఺Λ΋ͭ quiverʢᝪʣͱbij = (௖఺ i ͔Β j ʹ޲͔͏໼ҹͷຊ਺) − (௖఺ j ͔Β i ʹ޲͔͏໼ҹͷຊ਺)ͷΑ͏ʹରԠ͢Δɽ͜ΕʹΑΓɼ൓ରশߦྻͷू߹ͱɼ1 ϧʔϓͱ 2 αΠΫϧΛ࣋ͨͳ͍
quiver ͷू߹ͱͷؒʹҰରҰରԠ͕ಘΒΕΔɽD #= IN ͷ৔߹ʹ͸ B ͸ʮ௖఺ʹॏΈΛ͚ͭ
ͨ quiverʯͱͯ͠දͤΔͷ͕ͩɼຊߘͰ͸΄ͱΜͲग़ͯ͜ͳ͍ͷͰઆ໌Λলུ͢Δʢྫ͑͹[IIO21] Λࢀরʣɽަ‫ ྻߦ׵‬B ͷ mutation ͸ quiver Ͱ‫ݟ‬Δͱ෼͔Γ΍͍͢ʢਤ 3) ɽΫϥελʔ୅਺ CA(B, x) ͱ͸ɼॳ‫ ظ‬x-seed (B, x) ͔Βఆ·ΔՄ‫Ͱ؀׵‬ɼ(B, x) ʹ mutation Λࢪͯ͠ಘΒΕΔશͯͷ seed ͨͪ (B "" , x"" ) ʹ‫·ؚ‬ΕΔΫϥελʔม਺ x""k ͨͪͰੜ੒͞ΕΔ Q(x1 , · · · , xn ) ͷ Z ෦෼୅਺Ͱ͋ΔɽΫϥελʔ୅਺ͷ‫ج‬ຊੑ࣭Λ঺հ͠Α͏ɽ

Theorem 2.1. [FZ-I, FZ-II](i)ʢLaurent ੑʣॳ‫ ظ‬seed Σt = (B, x) ͔Β mutation ͰಘΒΕΔ x ม਺͸ɼॳ‫ ظ‬x ม਺

4

1

!

2

$
#
4

"
3

1
µ1
←→

#

"
#
4

2
%
"
3

1
µ2
←→

!

2
$

&
4

3

ਤ 3. quiver ͷ mutationxi (i ∈ I) ͷ Laurent ଟ߲ࣜͰදͤΔɽ(ii)ʢ༗‫ݶ‬ੑʣΫϥελʔ୅਺͕༗‫ݶ‬ʢҟͳΔ x ม਺ͷ૯਺͕༗‫ݸݶ‬ʣͰ͋ΔͨΊͷඞཁे෼৚݅͸ɼB ͕༗‫ܕݶ‬ͷ൓ରশԽՄೳߦྻ A ͱ mutation ಉ஋ͱͳΔ͜ͱͰ͋ΔɽಛʹɼA
ʹରԠ͢Δϧʔτ‫ܥ‬ͷ෦෼ू߹Ͱ͋Δʮෛͷ୯७ϧʔτʯͱʮਖ਼ϧʔτʯͷू߹ͱ x ม਺ͱͷؒʹҰରҰରԠ͕͋Δɽ
͜͜Ͱɼ൓ରশԽՄೳߦྻ A = (aij ) ͕༗‫ͱܕݶ‬͸ɼA ͕͋Δ༗‫ݩ࣍ݶ‬୯७ Lie ‫؀‬ͷ Cartan
ߦྻ C = (cij ) ʹ͍ͭͯ&−cij i #= j|aij | =0i=jΛຬͨ͢͜ͱΛ͍͏΋ͷͱ͢Δɽఆ͔ٛΒ mutation ͸༗ཧม‫͋Ͱ׵‬Γɼ্ͷ (i) Ͱ͸ɼ༗ཧࣜͷ෼฼ʹ‫ݱ‬ΕΔଟ߲ࣜ͸ඞͣ໿෼Ͱ͖Δ͜ͱΛओு͍ͯ͠Δɽͦͯ͠ (ii) ͸Ϋϥελʔ୅਺͕ϧʔτ‫͍ͯ͠܎ؔʹ઀ີͱܥ‬Δ͜ͱͷ‫ݱ‬ΕͰ͋Δɽ
'
(
1
2
0 1
Example 2.2. ަ‫ ͕ྻߦ׵‬B =ɼͭ·Γ A2 ‫ܕ‬ͷ quiver ◦−→◦ ͷ৔߹Λ‫ͯݟ‬ΈΑ−1 0͏ɽ͜Ε͸༗‫ͳݶ‬Ϋϥελʔ୅਺ͷྫͰ͋Δɽ2 ͭͷ mutation µ1 , µ2 Λަ‫ͤ͞༻࡞ʹޓ‬Δ˙ ΅‫ݩ‬ͷ˙
ͱɼ5 ճ໨ͷ mutation Ͱ΄seed ʹ໭Δ͜ͱ͕‫͞࡯؍‬ΕΔɽ
ʢ͞Βʹ 5 ճͷ mutationΛࢪ͢ͱ‫ʹݩ‬໭Δɽ
ʣ
'
' (
' ((
'
' 1+x2 ( ' −1 ((
y
µ1
x1
y1
x1
B, x =,y =←→ −B,, y11y2
x2
y2
x2
1+y1
) '
)
**
)
)
**
(
'
y
1+y1 +y1 y2
2
1+x2
x1 +1 (
µ2
µ
1
1+y
+y
y
y
x1
x2
1
1 2
2
←→ B, x1 +1+x,←→ −B, x1 +1+x
,
1+y1
1
2
2
x1 x2

µ2

←→

'

y1 y2

x1 x2

y1 (1+y2 )((' x1 +1 ( ''' ( ' ((
µ1
x
y
y2−1
x
2
B,
,
←→ −B, 2 , 2
x
y1
y
(1
+
y
)
x1
1
1
2

3 ճ໨ͷ mutation µ1 µ2 µ1 Ͱඇࣗ໌ͳ໿෼͕‫͜ى‬ΓɼLaurent ੑ͕͔֬ΊΒΕΔɽ੺৭Ͱࣔ͠
2 1+x1 x1 +1+x2
ͨͷ͸ҟͳΔ 5 ͭͷ x ม਺ͰɼΫϥελʔ୅਺͸ CA(B, x) = Z[x1 , x2 , 1+xx1 , x2 , x1 x2 ]ͱͳΔɽx ม਺ͱ A2 ‫ܕ‬ͷϧʔτ‫ͱܥ‬ͷରԠ͸
'(1 + x2 1 + x1 x1 + 1 + x2
x1 , x 2 ,,,←→ (−α1 , −α2 , α1 , α2 , α1 + α2 )
x1
x2
x1 x2
ͱͳ͍ͬͯΔʢΫϥελʔม਺ͷ෼̇฼̇ͷ୯߲ࣜΛՃ๏తʹ‫ݟ‬ΔͱͦΕͧΕͷϧʔτʹରԠ͍ͯ͠Δʣɽx ม਺ͱ y ม਺ͷ mutation ͸༷ࢠ͕͍ͩͿҧͬͯ‫͑ݟ‬Δ͕ɼ྆ऀ͸͍Ζ͍ΖͳҙຯͰ૒ରతͳؔ܎ʹ͋Γɼ࣍ͷੑ࣭͔ΒͦͷҰ୺͕֞ؒ‫͑ݟ‬Δɽ

5

Proposition 2.3. [FZ-IV, Proposition 3.9] x-seed (B, x) ʹର͠ɼŷ1 , . . . , ŷN Λ
% bji
ŷi =
xj

(2.1)

j∈I

ͱఆٛ͢Δͱɼmutation µk (B, x) = (B " , x" ) ͸ ŷi ͷม‫׵‬Λ༠ಋ͠ɼŷi ͸ yi ͱಉ༷ͳม‫׵‬ੑ+!
Λ΋ͭɽͭ·Γɼม‫ޙ׵‬ͷม਺ ŷi" = j∈I (x"k )bji ͸ม‫׵‬લͷ ŷj ͷࣜͰ࣍ͷΑ͏ʹॻ͚Δɿ
&
ŷk−1
i=k
"
ŷi =
[bki ]+ŷi ŷk(1 + ŷk )−bki i #= k.
͜ͷষͷ࠷‫ʹޙ‬ɼ͜͜·Ͱͷ‫ج‬ຊࣄ߲ʹՃ͑ͯɼຊߘͰѻ͏֓೦Λ؆୯ʹઆ໌͢Δɽ
ΫϥελʔϞδϡϥʔ‫܈‬ɽ I ্ͷஔ‫ ܈׵‬SI ͷ‫ ݩ‬σ ͸ seed (B, x, y) ʹ࣍ͷΑ͏ʹ࡞༻͢Δɽbij '→ bσ−1 (i),σ−1 (j) , xi '→ xσ−1 (i) , yi '→ yσ−1 (i)mutation ͱ SI ͷ‫͔ݩ‬Β੒ΔྻΛ mutation ྻͱΑͿɽަ‫ ྻߦ׵‬B ʹର͠ɼB Λෆมʹอͭ
mutation ྻͷू·ΓͰɼseed Σ = (B, x, y) Λෆมʹอͭ mutation ྻͨͪΛಉҰࢹͨ͠΋ͷ͸‫܈‬Λ੒͢ɽ͜ͷ‫܈‬Λ ΓB ͱද͠ɼʮΫϥελʔϞδϡϥʔ‫܈‬ʯͱΑͿɽ
ΓB := {γ | γ : mutation ྻ, γ(B) = B}/{γ | γ(Σ) = Σ}ΫϥελʔϞδϡϥʔ‫ ܈‬ΓB ͷ‫ݩ‬͸ɼ༗ཧؔ਺ମ C(x) ্͓Αͼ C(y) ্ͷ༗ཧม‫׵‬Λ༠ಋ
͢Δɽ

Example 2.4. ઌͷ Example 2.2 Ͱ͸ɼ(1, 2) ∈ SI Λ 1 ͱ 2 ͷஔ‫͢ͱ׵‬Δͱ (1, 2) ◦ µ1 ΍
µ2 µ1 ͸ ΓB ͷ‫͋Ͱݩ‬Δɽ·ͨ (1, 2) ◦ µ1 µ2 µ1 µ2 µ1 ͸ ΓB ͷ߃౳‫͋Ͱݩ‬Δɽ
ྔࢠԽɽFock ͱ Goncharov ͸ y ม਺ͷྔࢠԽʢඇՄ‫׵‬ԽʣΛ࣍ͷΑ͏ʹఆٛͨ͠ [FG06]ɽ
θϩͰͳ͍ෳૉ਺Λ q ͱ͠ɼD = (di )i∈I Ͱ൓ରশԽ͞ΕΔަ‫ ྻߦ׵‬B = (bij )i,j∈I ͱྔࢠ yม਺ͷ૊ Y = (Y1 , . . . , YN ) ʹରͯؔ͠܎ࣜYi Yj = q 2dj bji Yj YiqͰੜ੒͞ΕΔඇՄ‫׵‬ମΛ Cq (Y ) ͱ͢Δɽྔࢠ y-seed (B, Y) ͷ mutation µk (B, Y) = (B " , Y " )
Λ

−1

i=k

 Yk
|b
|
ki
%
Yi" =
sgn(−bki ) sgn(−bki )Y(1 + q di (2r−1) Yk)
i #= ki

r=1qͱఆΊΔɽµk ͸ඇՄ‫׵‬ମͷ४ಉ‫ ܕ‬Cq (Y " ) → Cq (Y) Λ༠ಋ͢Δɽৄ͘͠͸ड़΂ͳ͍͕ɼྔ
qࢠμΠϩάؔ਺ͷ‫ڞ‬໾࡞༻ͱྔࢠ Y ม਺ͷ Laurent ୯߲ࣜม‫ͱ׵‬ͷ߹੒Ͱ µk ΛදͤΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ

3. શਖ਼஋ߦྻ
3.1. શਖ਼஋ߦྻ. ߦྻ A ∈ GLn+1 (R) ͷશͯͷখߦྻ͕ࣜਖ਼஋Ͱ͋Δͱ͖ɼA ͕ʮશਖ਼஋ʯͰ͋Δͱ͍͏ɽશਖ਼஋ߦྻ͸άϥϑཧ࿦΍਺ཧ෺ཧֶͳͲͰࣗવʹ‫ݱ‬Εɼ1950 ೥Ҏ߱ͷ LoewnerɼWhitneyɼCryer ͨͪͷ‫ʹڀݚ‬ΑΓ࣍ͷ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ

6

Theorem 3.1. (i) A ∈ GLn+1 (R) ͕શਖ਼஋Ͱ͋ΔͨΊͷඞཁे෼৚݅͸ɼΨ΢ε෼ղA = x− hx+ ∈ N − HN + ʹ͓͍ͯͲͷߦྻ΋શਖ਼஋ͳ͜ͱͰ͋Δɽͨͩ͠ N + ɼN − ɼH ͸ͦΕͧΕର֯੒෼͕ 1 ͷ্ࡾ֯ߦྻɼର֯੒෼͕ 1 ͷԼࡾ֯ߦྻɼର֯ߦྻͷू߹Ͱ͋Δɽ(ii) X ∈ N + ͸ ei (t) := In+1 + t Ei,i+1 (i ∈ [1, n]) ͷੵͰදͤΔɽ͜͜Ͱ t ͸࣮਺ɼEi,i+1+
͸ (i, i + 1) ੒෼͕ 1 Ͱଞ͸θϩͷߦྻͰ͋ΔɽN>0⊂ N + Λਖ਼஋ͳ෦෼ू߹ͱ͢Δͱɼ
n(n+1)/2
+
N>0
+ R>0
Ͱ͋Δɽ
n(n+1)/2+
ࣸ૾ ψ : R>0→ N>0͕қ͍͠ͷʹൺ΂ͯ ψ −1 ͸ෳࡶͰ͋Δɽ࿦จ [BFZ96] ʹै͍ɼψ −1 ͷ૊߹ͤత‫ه‬ड़͔Β mutation ͕‫ݱ‬ΕΔ༷ࢠΛɼn = 2 ͷ৔߹ʹ‫ͯݟ‬ΈΑ͏ɽ+n = 2 ͷͱ͖ɼψ : R3>0 → N>0; (t1 , t2 , t3 ) '→ X ͸
1 x12 x13
1 t 1 + t 3 t1 t 2
1 x23  = e1 (t1 )e2 (t2 )e1 (t3 ) = 
1
t2 
X=
(3.1)
1
1

ͱදͤΔɽ͜ΕΛ‫ʹٯ‬ղ͘ͱ ψ −1 : X '→ (t1 , t2 , t3 ) = (x13 /x23 , x23 , (x12 x23 − x13 )/x23 ) Ͱ͋Δ͕ɼ‫࣍ͯ͑׶‬ͷΑ͏ʹද͢ɽX ∈ N + ʹରͯ͠ Y ∈ N + Λ
1 x12 xx2323−x13 x113
x12 
Y := 
1
x13

1

ͱఆٛ͠ɼJ ⊂ [1, 3] ʹରͯ͠ Y ͷখߦྻࣜΛ ∆J (Y ) := det(yij )i∈[1,|J|], j∈J ͱ͢Δɽ͢Δͱ
'
(
∆23
∆2
∆12
(t1 , t2 , t3 ) =
(Y ),
(Y ),
(Y )
(3.2)
∆2 ∆3
∆12 ∆23∆1 ∆2͕ಘΒΕΔɽ

3.2. ഑ઢਤͱ quiverʢn = 2 ͷ৔߹ʣ. ʮ഑ઢਤʢwiring diagramʣʯΛ༻͍Δͱɼ(3.2) ͸࣍ͷΑ͏ʹ‫ه‬ड़Ͱ͖Δɽ഑ઢਤͰ͸ 3 ຊͷඥ͕ࠨ͔Βӈ΁ਐΈɼߦྻ ei (t) ʹରԠͯ͠ 3 − iຊ໨ͱ 4 − i ຊ໨ͷඥΛೖΕସ͑ͯަ఺ʹ t Λ഑ஔ͢Δɽ͜͏͢Δͱฏ໘͕‫͔ͭز‬ͷྖҬʹ෼͚ΒΕΔ͕ɼ࠷΋Լʹۭू߹ ∅ Λ഑ஔͯ͠Լ͔Β্ʹਐΈɼk ൪໨ͷඥΛ௒͑ͨΒ k ΛՃ͑Δ͜ͱͰྖҬʹ໊લΛ͚ͭΔɽઌͷ (3.1) ʹରԠ͢Δ഑ઢਤ͸࣍ͷࠨਤͷͱ͓ΓͰ͋Δɽ
[123]

!

1

[A]
[23]

t2

[12]

2
[3]

t1

[2]

3

t3

!

[D]

t

[1]

!

[C]

%
[B]

'

[∅]

֤ަ఺͸ඞͣ 4 ͭͷྖҬʹғ·Ε͍ͯΔɽ࣮਺ t ͕഑ஔ͞Εͨަ఺্͕ͷӈਤͷΑ͏ʹ [A]ʙ[D] ʹғ·Ε͍ͯΔͱ͖ɼ∆A ∆Ct=∆B ∆ Dͱ͓͘ɽ∆∅ = 1 ͱ͢Δͱɼ্ͷࠨਤ͔Β (3.2) ΛಘΔ͜ͱ͕͔֬ΊΒΕΔͩΖ͏ɽ͞Βʹߟ࡯ΛਐΊΔɽψ ͷఆٛʹ͸΋͏ͻͱ௨Γɼe2 (t1 )e1 (t2 )e2 (t3 ) ͕༗ΓಘΔɽ͋Δ X
Λද͢ೋ௨ΓͷදࣔΛ഑ઢਤͰද͢ͱ࣍ͷΑ͏ʹͳΓɼ7e1 (t1 )e2 (t2 )e1 (t3 )
[123]

[23]

t2

[12]

[2]

t3

[23] t!1

←→

[1]

!

3

!

1

!

2
[3] t1

[123]

!

1

e2 (t"1 )e1 (t"2 )e2 (t"3 )

=

[13]

t!3

[12]

!

2
[3]

t!2

[1]

3

[∅]

!

[∅]

2 ͭͷද͕ࣔҰக͢ΔͨΊͷ৚݅͸(t"1 , t"2 , t"3 ) =

'

t2 t3
t 1 t2, t 1 + t3 ,t1 + t3
t1 + t3

Ͱ͋Δɽ͜Ε͸ྖҬ্ͷม਺ ∆J ͷؔ܎ࣜ(∆2 ∆13 = ∆1 ∆23 + ∆12 ∆3(3.3)

ͱಉ஋ͳ͜ͱ͕ࣔͤΔɽࣜ (3.3) ͸ Pluc̈ker ؔ܎ࣜͦͷ΋ͷͰ͋Δɽ
͜ͷΑ͏ͳ഑ઢਤͷม‫( ࣜ܎ؔͱ׵‬3.3) ʹɼmutation ΛରԠͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ[∅] ͱ[123] Ҏ֎ͷྖҬʹᝪͷ௖఺Λ഑ஔ͠ɼ͋Δ‫ن‬ଇʹैͬͯ௖఺ؒʹ໼Λඳ͘͜ͱʹΑͬͯ഑ઢਤʹ૒ରͳᝪΛఆΊΔͱɼ࣍ͷਤͷࠨ୺ͱӈ୺ͷᝪʢͦΕͧΕ Q121 , Q212 ͱ͢Δʣ͕ಘ
2)
ΒΕΔɽ
[23]

[12]

[23]

[12]

[2]

[1]

[12]

=

µ[2]
[3]

[2] ∼ [13]

[23]

[3]

[2]

[1]

[3]

[1]

͜ΕΒ 2 ͭͷᝪ͸௖఺ [2] ʹ͓͚Δ mutation µ[2] ͰҠΓ߹͏ʢQ121 Λ mutation ͢Δͱதԝͷᝪ͕ಘΒΕɼ௖఺ [2] Λ্ʹҠಈ͢Δͱ Q212 ʹҰக͢Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ͋ͱ͸ Q212 ͷ௖఺ [13] Λ [2] ͱಉҰࢹ͢Ε͹Α͍ʣɽx-seed ͷ mutation µ[2] (Q121 , x) = (Q212 , x" ) Λߟ͑Δ
ͱɼx ม਺ͷมԽ͸
x1 x23 + x12 x3
x"2 =
x2
"
ͷΈͰ͋Δɽx13 = x2 ͱ͢Δͱɼ͜ͷࣜ͸ (3.3) ͱಉ͡‫͋Ͱܗ‬Δɽͭ·Γʮ∆J ͸ x ม਺ xJ
ʹରԠ͢Δʯ͜ͱ͕‫͞࡯؍‬ΕΔɽ

3.3. Ұൠͷ n ͷ৔߹. Ұൠͷ n Ͱ΋ҎԼͷखॱͰ഑ઢਤͱᝪ͕ߏ੒Ͱ͖Δɽ·ͣɼAn ‫ܕ‬ͷϫΠϧ‫ ܈‬W (An ) ʹ͓͚Δ࠷௕‫ ݩ‬w0 ͷ࠷୹දࣔ w0 = si1 si2 · · · sim ΛҰͭબͼɼI ͷ‫ݩ‬ͷྻ i := (i1 , i2 , . . . , im ) Λʮw0 ͷ࠷୹දࣔྻʯͱΑ΅͏ɽ͜Εʹର͠ɼࣸ૾ ψ = ψi :
(t1 , . . . , tm ) '→ ei1 (t1 )ei2 (t2 ) · · · eim (tm ) ∈ N + ͕ఆ·Δɽ࣍ʹɼn + 1 ຊͷඥ͔Β੒Δ഑ઢ
ਤΛඳ͖ɼͦΕʹ૒ରͳᝪΛಘΔɽw0 ͷ࠷୹දࣔͲ͏͠͸ઌ΄Ͳͷؔ܎ࣜΛҰൠԽͨ͠'(t2 t 3
t1 t 2"""" " "ei (t1 )ei+1 (t2 )ei (t3 ) = ei+1 (t1 )ei (t2 )ei+1 (t3 ); (t1 , t2 , t3 ) =, t1 + t3 ,t1 + t3
t1 + t3ͰҠΓ߹͍ɼͦΕʹରԠͯ͠ᝪ͸ mutation ͰҠΓ߹͏ɽn = 2 ͷͱ͖ʹ (3.2) ͷΑ͏ʹද͞Εͨ ψ −1 ͷҰൠԽ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ2)఺ઢͷ໼͸ຊߘͰఆ͍ٛͯ͠ͳ͍͕ɼॏΈ͕൒෼ͷ໼Ͱ͋ͬͯ 2 ຊಉ͡޲͖ͰॏͳΔͱ௨ৗͷ໼ 1 ຊͱ‫ݟ‬ͳ͞ΕΔɽ఺ઢͷ໼͕ग़ೖΓ͢Δ௖఺Ͱ͸ mutation Ͱ͖ͳ͍ɽৄ͘͠͸ [FG06b] Λࢀরɽ

8

Theorem 3.2. [BFZ96] w0 ͷ࠷୹දࣔྻ i = (i1 , i2 , . . . , im ) ʹର͠ɼ+
ψ : Rm>0 → N>0 ; (t1 , · · · , tm ) '→ X = ei1 (t1 )ei2 (t2 ) · · · eim (tm )ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ ψ −1 ͸ҎԼͷΑ͏ʹఆ·Δɽ

tk =∆L ∆L∪{i,j}(Y )∆L∪{i} ∆L∪{j}

(3.4)

+
−1 ʹΑΔ X ͷ૾Ͱɼ
͜͜ͰɼY ͸ʮ‫ٯ‬πΠετࣸ૾ʯͱΑ͹ΕΔ N>0ͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫ ૾ࣸܕ‬ηw
0
0−1 T
Y = w−1
w0 :=Ei,n+2−i0 [Xw 0 ]+ w 0 ;i∈[1,n+1]

Ͱ͋Δɽͦͯ͠ɼ഑ઢਤͰ௖఺ tk ΛғΉྖҬ͸͋Δ L ⊂ [1, n + 1] ͱ i, j ∈ [1, n + 1] \ L ʹ͍ͭͯ࣍ͷਤͷΑ͏ʹͳ͍ͬͯΔͱ͢Δɽ[L ∪ {ij}]%[L ∪ {i}][L ∪ {j}]

tk
[L]

'

ࣜ (3.4) ͸ʮChamber Ansatz ެࣜʯͱΑ͹Ε͍ͯΔɽ‫ޙ‬ͷষͰ࢖͏ͨΊɼಛʹ w0 =s1 s2 s1 · · · sn sn−1 · · · s1 ͔Βఆ·Δ quiver Λ J(n) ͱ͠Α͏ɽn = 4 ͷͱ͖͸ਤ 4 ͷΑ͏ʹͳΔɽ

ਤ 4. quiver J(4)3.4. ൒୯७ Lie ‫ ܈‬G ΁ͷ֦ு. Ұൠͷ൒୯७ Lie ‫ ܈‬G ʹର͢Δਖ਼஋ੑͷ֓೦͸ Lusztig ʹΑͬͯಋೖ͞Εͨ [Lus94]ɽͦΕʹ‫ ͍ͯͮج‬Theorem 3.2 ͸ G ͷ৔߹ʹ֦ு͞ΕɼG ʹର͢
Δ twist ࣸ૾ɼChamber Ansatz ެ͕ࣜߏ੒͞Εͨ [BZ97]ɽG ͷ Lie ‫ ؀‬g ͷϫΠϧ‫ ܈‬W (g)ͷ࠷௕‫ͱݩ‬͸‫ݶ‬Βͳ͍Ұൠͷ‫ ݩ‬w ʹରͯ͠΋ɼಉ༷ͳ͜ͱ͕੒Γཱͭɽͭ·Γ G ͷ Bruhat
"(w)
+,w
+
෼ղ G = ∪w∈W (g) B− wB− ʹର͠ɼN>0 := N≥0∩ B− wB− ͱ R>0 ͱͷؒͷશ୯ࣹ͕ಉ
༷ͳํ๏Ͱߏ੒Ͱ͖Δ [BZ97]ɽ͜͜Ͱ B− := HN− ɼͦͯ͠ &(w) ͸ w ͷ࠷୹දࣔͷ௕͞Ͱ͋Δɽ·ͨɼ΍͸ΓҰൠͷ G ʹରͯ͠πΠετࣸ૾ɼChamber Ansatz ެࣜͷྔࢠ‫܈‬൛΋ߏ੒͞Ε͍ͯΔ [KO18, O19]ɽ
Lusztig ͕ਖ਼஋ੑΛ‫ͨ͠ڀݚ‬ಈ‫ػ‬͸ɼG ͷਖ਼஋ੑͱɼG ͷ‫ۃ‬େႈ୯෦෼‫෇ʹ܈‬ਵ͢Δྔࢠ‫܈‬ͷඪ४‫ج‬ఈͱͷؒʹ‫ڞ‬௨͢Δ૊߹ͤతͳߏ଄ʹ‫͍ͱͨͬͩͱ͍ͨͮ͜ؾ‬ΘΕ͍ͯΔɽචऀͷ஌ࣝΛେ෯ʹ௒͑ͯ͠·͏ͷͰ͜ΕҎ্͸ड़΂ͳ͍͕ɼྔࢠ‫܈‬ͷඪ४‫ج‬ఈ΍૒ରඪ४‫ج‬ఈʹ͸Ϋϥελʔ୅਺ͱؔ࿈ͨ͠ଟ͘ͷ‫͕͋ڀݚ‬Δɽ9

4. ఺෇͖‫ۂ‬໘ͷ‫ز‬Կֶ
4.1. ఺෇͖‫ۂ‬໘ͱ quiver. Ϋϥελʔ୅਺ͱ఺෇͖‫ۂ‬໘ͱͷؔ܎͸ɼΫϥελʔ୅਺͕ొ
৔ͨ͠౰ॳ͔Β‫͞ڀݚ‬Ε͖ͯͨ [FST08]ɽछ਺ g Ͱ s ‫ݸ‬ͷ఺͕͋Δ޲͖෇͖‫ۂ‬໘ Σ := Σg,sΛߟ͑Δɽg ͱ s ͸ 2g − 2 + s > 0 Λຬͨ͢ͱ͠ɼ؆୯ͷͨΊ Σ ʹ‫ڥ‬ք͸ແ͍΋ͷͱ͢Δɽ
͜ͷΑ͏ͳ఺෇͖‫ۂ‬໘ Σ ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T Λߟ͑Δͱɼͦͷลͷ૯਺ e(T ) ͸ 6g − 6 + 3s Ͱ
͋ΔɽT ʹ૒ରͳ quiver QT Λ࣍ͷखॱͰఆΊΔɽ(i) T ͷลͱ QT ͷ௖఺ΛରԠͤ͞Δɽ(ii) ࡾ֯‫ܗ‬ͷ 2 ͭͷล i ͱ j ͕௖఺ a Λ‫ڞ‬༗͠ɼล j ͔Β i ͕ a Λத৺ͱͨ࣌͠‫ܭ‬ճΓͷ޲͖ͷͱ͖ɼQT Ͱ௖఺ j ͔Β i ͷ޲͖ʹ໼ҹΛඳ͘ɽ
j
a

<

←→

!

j

i

i

Example 4.1. 4 ఺෇͖‫ٿ‬໘ Σ0,4 ͷ৔߹ʢਤ 5ʣɽࠨʹࣔͯ͋͠Δࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ʹର͠ɼӈͷਤ͕ quiver QT Ͱ͋ΔɽதԝͷਤͰ͸खલ෦෼ͷ quiver Λ੨৭Ͱඳ͍͍ͯΔɽ‫ޙ‬Ζ෦෼ͷ quiver ͸ӈͷਤͰ྘৭Ͱඳ͔Ε͍ͯΔɽ

ਤ 5. 4 ఺෇͖‫ٿ‬໘ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂͱ૒ରͳ quiverࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ಺ͷ࢛ล‫ʹܗ‬ରͯͦ͠ͷର֯ઢΛऔΓ‫͑׵‬Δૢ࡞Λ flip ͱΑͿɽΣ ͷ೚ҙͷ
2 ͭͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ͱ T " ͸༗‫ݶ‬ճͷ flip ͰҠΓ͋͏͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ͜ͷ͜ͱ͔Βɼe(T ) ͸ࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ʹΑΒͳ͍͜ͱ͕Θ͔ΔͷͰɼҎԼͰ͸ Σ ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂͷลͷ૯਺Λ
e(Σ) ͱॻ͘͜ͱʹ͠Α͏ɽT ͷ flip Λ૒ରͳ quiver QT ͰΈΔͱ·͞ʹ mutation ʹͳ͍ͬͯΔɽͭ·Γɼਤ 6 ͷΑ͏ͳ࢛ล‫͍͓ͯʹܗ‬ର֯ઢʢ൪߸ 3 ͷ͍ͭͨลʣͷ flip ͸ mutationµ3 ͱ੔߹తʹͳΔɽ͜ͷࣄ࣮͸ɼૉ๿ͳ͕ΒΫϥελʔ୅਺ͱ఺෇͖‫ۂ‬໘Λͭͳ͙ୈҰา
Ͱ͋ΔɽͦΕͰ͸ x ม਺ͱ y ม਺ͷ‫ز‬Կతҙຯ͸ԿͰ͋Ζ͏͔ɽຊߘͰ͸ɼPenner ͕࿦จ[Pe87] Ͱಋೖͨ͠ʮλ ࠲ඪʢϥϜμ࠲ඪʣʯͱ x ม਺ͱ͕ରԠ͢Δ༷ࢠΛ‫ͯݟ‬ΈΑ͏ɽ

4.2. ϗϩαΠΫϧͱϥϜμ௕͞. ೋ࣍‫ݩ‬૒‫زۂ‬Կʹ͍ͭͯ؆୯ʹ෮श͠Α͏ɽ্൒ฏ໘ H2 =22{(x, y) ∈ R2 ; y > 0} ʹ‫ ྔܭ‬ds2 = dx y+dyΛೖΕͨ΋ͷΛ্൒ฏ໘ϞσϧͱΑͿɽH2 ͷ‫ڥ‬2
ք͸ ∂H2 := R ∪ {∞} Ͱ͋Δɽ͜ͷੈքͷʮ௚ઢʢଌ஍ઢʣʯͱ͸ɼ‫ڥ‬ք ∂H2 ʹத৺Λ΋ͭ൒ԁͷԁप·ͨ͸ͦͷҰ෦Ͱ͋Δɽͦͯ͠ཧ૝ࡾ֯‫ͱܗ‬͸ɼશͯͷ௖఺͕‫ڥ‬քʹ‫·ؚ‬Εɼ͔

10
2

2

$
1

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& ! #

5

%

3

ล 3 ͷ flip
←→ 1
µ3

"
3$

#

"

! 5

'

4

4

ਤ 6. flip ͱ mutationͭશͯͷล͕௚ઢ͔ΒͳΔࡾ֯‫ܗ‬ͷ͜ͱͰ͋Δɽ∂H2 ʹۙͮ͘ͱ௕͕͞ൃࢄ͢ΔͨΊɼશͯͷཧ૝ࡾ֯‫ܗ‬͸߹ಉʢ3 ลͷ௕͕͞ແ‫ݶ‬େʣͰ͋Δɽ
ਤ 7 ͷΑ͏ʹɼ‫ڥ‬ք্ͷ 2 ఺ P1 , P2 ͦΕͧΕʹ઀͢Δԁ h1 , h2 ΛϗϩαΠΫϧͱΑͿɽ௚ઢP1 P2 ͷ͏ͪ 2 ͭͷϗϩαΠΫϧ h1 , h2 Ͱ੾ΓऔΒΕͨ෦෼ͷ௕͞Λ &(h1 , h2 ) ͱ͓͘ɽ2 ͭͷϗϩαΠΫϧ͕ަΘΔͱ͖͸ɼϗϩαΠΫϧʹ੾ΓऔΒΕΔ෦෼ͷ௕͕͞ −&(h1 , h2 ) ͱͳΔΑ͏ʹʢͭ·Γ &(h1 , h2 ) < 0 ͱͳΔΑ͏ʹʣఆٛ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼλ(P1 , P2 ) := exp( 12 &(h1 , h2 ))Ͱఆ·Δਖ਼ͷ࣮਺Λʮh1 , h2 ͔Βఆ·Δ P1 P2 ͷ λ ௕͞ʯͱΑͿɽ&(h1 , h2 )

>
<

h2

h1
x
P1

P2
ਤ 7. λ ௕͞λ ௕͞ʹ͍ͭͯɼҎԼͷΑ͏ͳʮ૒‫ۂ‬൛ Ptolemy ͷఆཧʯ͕੒Γཱͭɽਤ 8 ͷΑ͏ͳཧ૝࢛֯‫ ܗ‬P1 P2 P3 P4 ͷ௖఺ʹϗϩαΠΫϧ h1 , h2 , h3 , h4 Λ഑ஔ͢Δɽ͜ͷͱ͖λ(P1 , P3 )λ(P2 , P4 ) = λ(P1 , P2 )λ(P3 , P4 ) + λ(P2 , P3 )λ(P1 , P4 )(4.1)

͕੒Γཱͭɽ

1
h2

3

5

h3

4

h1

h4

2

x
P1

P2

P3

ਤ 8. ૒‫ۂ‬൛ Ptolemy ͷఆཧ

P4

11

ઌ΄Ͳͷ flip ͱ mutation ͷରԠΛ͋ͯ͸ΊͯΈΑ͏ɽล P1 P2 , P2 P3 , P3 P4 , P4 P1 ͱର֯ઢ P1 P3 ʹͦΕͧΕ quiver ͷ௖఺ 4, 5, 2, 1, 3 Λ഑ஔ͢Δͱɼਤ 6 ͷࠨଆͷ quiver ͕ఆ·Δɽର֯ઢΛ P1 P3 ͔Β P2 P4 ʹ flip ͢ΔͱɼରԠ͢Δ x ม਺ͷม‫׵‬͸

x3 x"3 = x4 x2 + x5 x1
ͱͳΓɼλ ௕͞ͷม‫( ׵‬4.1) ͱಉ͡‫ܗ‬Λ͍ͯ͠Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜͏ͯ͠ɼ఺͖ͭ‫ۂ‬໘ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ͱͦͷ λ ࠲ඪ͕ɼͧΕͧΕ quiver QT ͱΫϥελʔ x ʹରԠ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜͜Ͱ͸ৄ͘͠ड़΂ͳ͍͕ɼThurston ͕ಋೖͨ͠ʮshear ࠲ඪʯ͕ QT ͷ y ม਺ʹରԠ͢Δɽ·ͱΊΔͱɼࡾ֯‫ܗ‬෼ׂՄೳͳ఺͖ͭ‫ۂ‬໘ͷΫϥελʔߏ଄͸

(T, λ ࠲ඪ, shear ࠲ඪ) ←→ (QT , x, y)ͱͳ͍ͬͯΔɽshear ࠲ඪͱ λ ࠲ඪ͸ Proposition 2.3 ͱಉ༷ͷม‫͍ͯ͠܎ؔͰ׵‬Δɽ

4.3. ০Γ෇͖ Teichmüller ۭؒ. ఺෇͖‫ۂ‬໘ Σ ͷ Teichmüller ۭؒ Tg,s ͸ɼΣ ͷ‫ج‬ຊ‫܈‬
π1 (Σ) ͷ P SL2 (R) ද‫ݱ‬Λ༻͍ͯ12஧࣮Tg,s + ρ : π1 (Σ) → P SL2 (R) ʢ; ৚݅ʣ /P SL2 (R)ͱఆٛ͞ΕΔɽ͜͜Ͱ৚݅ͱ͸ɼ(i) γ ∈ π1 (Σ) ʹରͯ͠ |Trρ(γ)| ≥ 2ɼ(ii) γ ͕಺఺ͷ 1 ͭΛճΔ‫ܦ‬࿏ʹϗϞτϐʔಉ஋ͳΒ͹ |Trρ(γ)| = 2ɼͰ͋ΔɽTg,s ͷ࣮࣍‫ݩ‬͸ 6g − 6 + 2s Ͱ
͋ΔɽPenner ͕ಋೖͨ͠ʮ০Γ෇͖ Teichmüller ۭؒʯ͸ɼTg,s ʹ֤఺ͷϗϩαΠΫϧͷ൒‫ܘ‬ΛՃۭ͑ͨؒ
T3g,s := Tg,s × Rs>0ͱͯ͠ఆٛ͞Εɽͦͷ࣮࣍‫ݩ‬͸ 6g − 6 + 3s Ͱ e(Σ) ʹ౳͍͠ɽΣ ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ʹରͯ͠e(Σ)ఆ·Δ λ ࠲ඪ x ͕Ґ૬ಉ‫ ܕ‬T3g,s → R>0 Λ༩͑Δɼͱ͍͏ͷ͕ [Pe87] ͷओுͰ͋Δɽ͞Βʹɼshear ࠲ඪ y Λ༻͍Δͱ ρ : π1 (Σ) → P SL2 (R) ͕૊߹ͤతʹߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱΛ؆୯ʹઆ໌͠Α͏ [F97]ɽ఺෇͖‫ۂ‬໘ Σ ্ͷʮ఺Λ௨Βͣɼ‫ޙ‬໭Γ͠ͳ͍޲͖෇͖ด࿏ʯΛγ ͱ͢Δɽࡾ֯‫ܗ‬෼ׂΛ 1 ͭબͿͱɼγ ͸ଟ͘ͷࡾ֯‫ܗ‬Λ௨ա͠ͳ͕ΒਐΈɼ͋Δࡾ֯‫ʹܗ‬ҰͭͷลΛ௨ͬͯೖΓӈํ޲ͱࠨํ޲ͷͲͪΒ͔ʹਐΜͰผͷล͔Βग़Δɼͱ͍͏͜ͱΛ‫܁‬Γฦ͢ɽਤ 9 ͸ γ ͷҰ෦Λࣔͨ͠ྫͰ͋Δɽࠨͷࡾ֯‫ʹܗ‬ล 1 ͔Βೖͬͯӈํ޲ͷล 3 ͔Βग़ͯ࣍ͷࡾ֯‫ʹܗ‬ೖΓɼࠨํ޲ͷล 5 ͔Βग़ͯ࣍ͷࡾ֯‫ʹܗ‬ೖΓɼӈํ޲ͷล 7 ͔Βग़͍ͯΔɽ͜ΕʹରԠͯ͠ɼࡾछྨͷߦྻ X(y), R, L ∈ P SL2 (R) Λ४උ͠ɼy ม਺ yi ͕഑ஔ͞
Ε͍ͯΔลΛ௨աͨ͠ͱ͖͸ X(yi )ɼӈํ޲ʹਐΜͩ࣌͸ Rɼࠨํ޲ʹਐΜͩ࣌͸ L Λॱʹֻ͚͍ͯ͘͜ͱʹΑΓ π1 (Σ) ͷද‫ ݱ‬ρ(y) ΛఆΊΔɽઌͷྫͰ͸ρ(y) : γ '→ · · · X(y1 ) · R · X(y3 ) · L · X(y5 ) · R · X(y7 ) · · ·
ͱͳΔɽ
2

···

1

3

5

6

γ
4

7

ਤ 9. ด࿏ γ!

124.4. ߴ࣍ Teichmüller ཧ࿦. Fock ͱ Goncharov ͕ఏএͨ͠ߴ࣍ Teichmüller ཧ࿦͸ɼ΋ͱ΋ͱͷ P SL2 (R) ͷཧ࿦ΛҰൠͷ‫֦ʹ܈‬ுͨ͠΋ͷͰ͋Δ [FG06]ɽG = Gn ΛϥϯΫ n ͷ൒୯७ෳૉ Lie ‫͠ͱ܈‬ɼͦͷ Lie ‫؀‬Λ g ͱ͢ΔɽඇৗʹߥͬΆ͍͘͏ͱɼG ʹରͯ͠ఆ·Δʮ‫ض‬ʢ·ͨ͸૷০෇͖‫ض‬ʣͷ 3 ͭ૊ͷ഑ஔۭؒʯͷ‫ݩ‬Λ Σ ͷ֤఺ʹ഑ஔ͢Δ͜ͱʹΑͬͯߴ࣍ Teichmüller ۭ͕ؒఆٛ͞ΕΔɽͦͯͦ͠ͷΫϥελʔߏ଄͸ɼΣ ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ΛͱͬͯͦΕͧΕͷࡾ֯‫ʹ಺ܗ‬ద੾ͳ quiver Λ഑ஔ͢Δ͜ͱʹΑͬͯಘΒΕΔɽ͜ͷͱ͖ʹ࢖ΘΕΔ quiver ͕ 3 ষͷ࿩ͱ݁ͼͭ͘ɽ
§3.3 ͱಉ༷ʹ g ͷ Weyl ‫ ܈‬W (g) ͷ࠷௕‫ ݩ‬w0 ͷ࠷୹දࣔྻ i ΛҰͭબͼɼ[FG06b] ͷํ˙ ʹՃ͑˙๏ʹैͬͯରԠ͢Δ quiver Jg,i Λ࡞Δɽ͜ͷ Jg,i ʹ n ‫ݸ‬ͷ௖఺ͱ‫͔ͭز‬ͷ໼Λద̇੾
ͨ quiver J˜g,i ͕ɼ‫ض‬ͷ 3 ͭ૊ͷΫϥελʔߏ଄Λ༩͑Δɽ͜ͷΑ͏ͳ J˜g,i ͷߏ੒͸ɼg ͕An ‫ܕ‬ͷ৔߹͸ Fock ͱ Goncharov ʹΑͬͯɼͦͯͦ͠ͷଞͷ g ͷ৔߹͸ LeɼGoncharov ͱ
Shen ʹΑͬͯͳ͞Εͨ [Le19a, Le19b, GS19]ɽ࠷௕‫ ݩ‬w0 ͷҟͳΔ࠷୹දࣔ iɼi" ʹର͢Δ
quiver J˜g,i ɼJ˜g,i! ͸ mutation ྻͰҠΓ߹͏͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽਤ 10 ʹ J˜g,i ͷྫΛࣔ͢ɽ
ਤ 10 Ͱ͸ɼ࠷୹දࣔྻ i ͔Βఆ·Δ quiver Jg,i ʹՃ͑ΒΕΔ n ‫ݸ‬ͷ௖఺͸ͦΕͧΕͷࡾ֯‫ܗ‬ͷఈล্ʹ഑ஔ͞Ε͍ͯΔɽg = An ͷͱ͖͸ quiver ʹ 3 ճରশੑ͕͋Γɼg = C2 ͷͱ͖͸ Cartan ߦྻ͕ରশͰͳ͍ͨΊॏΈ 2 ͷ௖఺͕ొ৔͢Δɽ˜
J˜A1 ,1 = J(1)˜
J˜A2 ,121 = J(2)J˜C2 ,2121

2

2

2
2

ਤ 10. J˜g,i ͷྫ͜͜·Ͱͷ࿩͸ɼͦͷ··‫ڥ‬ք͖ͭͷ‫ۂ‬໘ʹ֦ு͞ΕΔɽվΊͯ Σ := Σg,s,b,m Λछ਺ g ɼ
಺఺ s ‫ݸ‬ɼ‫ڥ‬ք੒෼ b ‫ݸ‬ɼ‫ڥ‬ք্ʹ m ఺Λ΋ͭ޲͖෇͖‫ۂ‬໘ͱ͢Δɽ֤ͨͩ͠‫ڥ‬ք੒෼ʹ͸গͳ͘ͱ΋ 1 ͭ఺͕͋Δ΋ͷͱ͢ΔɽΣ ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ͷ֤ࡾ֯‫্ʹܗ‬ͷ quiver J˜g,i ΛுΓ෇͚ɼಉ͡ล্ͷ௖఺ͱ఺ઢ໼ҹΛషΓ߹ͤͨ΋ͷΛ QT,g,i ͱॻ͘͜ͱʹ͠Α͏ʢΑΓҰൠʹɼi ͸ࡾ֯‫ܗ‬ຖʹҟͳͬͯ΋Α͍ʣɽߴ࣍ Teichmüller ཧ࿦ʹ͓͍ͯɼ΋ͱͷ Teichmüller ۭؒʹରԠ͢Δ΋ͷ͸LG,Σ + {π1 (Σ) → G}/Gͱఆٛ͞ΕΔʮΣ ্ͷ G ‫ܥॴہ‬ͷ moduli ۭؒʯͰ͋Δɽ͜͜ʹ͸Ϋϥελʔߏ଄͸ೖΒͳ͍ͷ͕ͩɼ
ʮX -spaceʯͱΑ͹Ε͍ͯΔۭؒ

XG,Σ = LG,Σ + ಺఺पΓͷฏୱߏ଄13ʹ͸Ϋϥελʔߏ଄͕ೖΔ [FG06]ɽΣ ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ T ʹର͠ɼQT,g,i ͷ y ม਺Ͱ‫ڥ‬ք্ͷ௖఺ʹରԠ͢Δ΋ͷΛআ͍ͨ΋ͷ͕ XG,Σ ͷ࠲ඪΛ༩͑Δɽ͞Βʹ‫ڥ‬քͷߏ଄ΛՃ͑ͨʮP-spaceʯ

PG,Σ = XG,Σ + ‫ڥ‬քͷ఺पΓͷฏୱߏ଄ͷΫϥελʔߏ଄͕ (QT,g,i , y) Ͱ༩͑ΒΕΔ [GS19]ɽ০Γ෇͖ Teichmüller ۭؒͷ֦ுʹ૬౰͢Δۭؒ͸ʮA-spaceʯͱΑ͹ΕɼAG,Σ ͱॻ͔ΕΔɽͦͷΫϥελʔߏ଄͸ (QT,g,i , x) Ͱ༩͑ΒΕΔɽ

Remark 4.2. ۭؒ XG,Σ , PG,Σ , AG,Σ ʹ͸༷ʑͳ‫ز‬Կֶతͳ࡞༻͕͋Γ [FG06]ɼͦΕΒͷ࡞༻͕ΫϥελʔϞδϡϥʔ‫܈‬ͷ‫Ͱݩ‬දͤΔ͔ͱ͍͏໰୊Λ [GS18, GS19]ɼ[IIO21] Ͱߟ࡯͍ͯ͠Δʢ6 ষΛࢀরʣɽ
5. ྔࢠ‫ ܈‬Uq (g) ͷ࣮‫ݱ‬3 ষͱ 4 ষͷ୅਺తɼ‫ز‬Կతͳଆ໘Λ߹ΘͤΔ͜ͱʹΑͬͯಘΒΕΔྔࢠ‫܈‬ͷΫϥελʔ࣮‫ݱ‬Λ঺հ͠Α͏ɽ
5.1. ఺෇͖ԁ൫্ͷ quiver. ࡾ֯‫ܗ‬Λ 2 ͭషΓ߹ͤͯಘΒΕΔ 1 ఺͖ͭԁ൫Ͱ‫ڥ‬քʹ 2 ఺Λ΋ͭ΋ͷ Σ0,1,1,2 Λߟ͑Δɽ͜ΕΛ؆୯ʹʮ1 ఺͖ͭԁ൫ʯͱΑͿ͜ͱʹ͠Α͏ɽ͜Εʹ 4.4 અ" Λ 2 ͭͷࡾ֯‫ʹܗ‬഑ஔͯ͠Ͱಋೖͨ͠ quiver J˜g,i ͱɼͦͷ‫ڸ‬өͰ໼ҹͷ޲͖Λม͑ͨ΋ͷ J˜g,iషΓ߹ͤɼ1 ఺͖ͭԁ൫্ͷ quiver D1 (g, i) Λ࡞Δɽ͞Βʹ D1 (g, i) Λ p ‫ݸ‬షΓ߹ͤͯ p ఺ͭ"͖ԁ൫ʢͰ‫ڥ‬քʹ 2 ఺΋ͭ΋ͷʣ্ͷ quiver Dp (g, i) ΛಘΔɽAn ‫ܕ‬ͷ৔߹ɼJ˜A
͸ J˜An ,i ʹn ,iҰக͢Δɽਤ 11 ʹɼࡾ֯‫ܗ‬΍ԁ൫͕షΓ߹Θ͞ΕΔ༷ࢠͱɼquiver D1 (A2 ) := D1 (A2 , 121)
Λࣔ͢ɽ
˜ ×2
J(2)

D1 (A2 )షΓ߹ͤ!

p ‫ݸ‬షΓ߹ͤ

!

···

···

ਤ 11. ఺෇͖ԁ൫ͷషΓ߹ͤͱ D1 (A2 ).

14

5.2. ྔࢠ‫܈‬ͷຒΊࠐΈ. ϥϯΫ n ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬൒୯७ Lie ‫ ؀‬g ʹର͠ɼྔࢠ‫܈‬Λ Uq (g) ͱ͢ΔɽUq (g) ͷςϯιϧੵ Uq (g)⊗p ͷ (a, a + 1) ੒෼ʹ࡞༻͢Δීว R ߦྻΛ Ra ͱॻ͘ͱɼRa ͸
༗໊ͳ Yang-Baxter ؔ܎ࣜɿRa Ra+1 Ra = Ra+1 Ra Ra+1 (a = 1, . . . , p − 1)

(5.1)

Λຬͨ͢ɽྔࢠ‫ ܈‬Uq (g) ͕ quiver D1 (g, i) ͷྔࢠ Y ม਺Ͱ࣮‫͖Ͱݱ‬ɼͦͯ͠ྔࢠ‫܈‬ͷςϯιϧੵͱ఺෇͖ԁ൫ͷுΓ߹Θ͕ͤ੔߹తʹͳ͍ͬͯΔɼͱ͍͏ͷ͕࣍ͷఆཧͷ಺༰Ͱ͋Δɽ

Theorem 5.1. (g = An ͷ৔߹Λ [SS19]ɼҰൠͷ g ͷ৔߹͸ [Ip18])
p = 1, 2, · · · ʹର͠ɼDp (g, i) ͷྔࢠ Y ม਺͕ੜ੒͢ΔඇՄ‫؀׵‬Λ Cq [Dp (g, i)] ͱ͢Δɽ(i) Uq (g) ͔Β Cq [D1 (g, i)]/ ∼ ΁ͷຒΊࠐΈ͕͋Δɽ͞ΒʹɼUq (g) ͷ༨ੵͱ੔߹తͳɼUq (g)⊗p͔Β Cq [Dp (g, i)]/ ∼ ΁ͷຒΊࠐΈ͕͋Δɽ
ʢಉ஋ؔ܎ ∼ ʹ͍ͭͯ͸‫ޙ‬ͷྫͰઆ໌͢Δɽʣ(ii) a ∈ [1, p − 1] ʹର͠ɼRa ͷ࡞༻͸ɼp ఺͖ͭԁ൫Ͱ (a, a + 1) ൪໨ͷ಺఺Λʮhalf-DehnπΠετʯ͢Δ mutation ྻ ba ∈ ΓDp (g,i) ʹରԠ͢Δɽ͜ͷఆཧͰग़͖ͯͨʮhalf-Dehn πΠετʯͱ͸ɼp ఺෇͖ԁ൫ͷࣸ૾ྨ‫܈‬ͷ‫ݩ‬ͷҰͭͰɼ࣍ͷਤͷΑ͏ʹྡ߹͏ೋͭͷ಺఺Λ‫͍ޓ‬ͷपΓΛ൒प൓࣌‫ܭ‬ճΓ͢ΔΑ͏ʹಈ͔͢Α͏ʹ࡞
༻͢Δɽ

−→

ैͬͯɼba ͨͪ͸ϒϨΠυ‫ ܈‬Bp (g) ⊂ (p ఺෇͖ԁ൫ͷࣸ૾ྨ‫ ⊂ )܈‬ΓDp (g,i) Λ੒͢.
Theorem 5.1(i) ͷৄࡉΛྫΛ࢖ͬͯઆ໌͠Α͏ɽඇՄ‫׵‬୅਺ Dq (g) Λɼੜ੒‫ ݩ‬Ei , Fi , Ki , Ki" (i ∈[1, n]) ͱؔ܎ࣜcKi Ej = qi ij Ej Ki ,−cij

K i Fj = q i

Fj K i ,c
ij
Ki" Fj = qi Fj Ki" ,Ki Kj = Kj Ki , Ki" Kj" = Kj" Ki" , Ki Kj" = Kj" Ki ,Ki − Ki"
Ei Fj − Fj Ei = δij
qi − qi−1−cKi" Ej = qi ij Ej Ki" ,͓Αͼ Ei , Fi ʹର͢Δ q-Serre ؔ܎ࣜͰఆٛ͢Δɽͨͩ͠ C = (cij )i,j∈[1,n] ͸ g ͷΧϧλϯߦྻɼͦͯ͠୯७ϧʔτ αi ͷ಺ੵͷ 12 ഒͰ͋Δ di Λ༻͍ͯ qi := q di ͱ͓͘ɽDq (g) ʹ͸ Hopf୅਺ͷߏ଄͕ೖΓɼUq (g) ͸ Dq (g)/(Ki Ki" = 1; i ∈ [1, n]) ʹಉ‫͋Ͱܕ‬ΔɽTheorem 5.1(i) ͸ɼຒΊࠐΈ β : Dq (g) -→ Cq [D1 (g, i)] ͔ΒಘΒΕΔɽ

Example 5.2. g = A2 ͷ৔߹ɽਤ 12 ͷΑ͏ʹ௖఺ͷ൪߸Λ͚ͭͨ quiver D1 (A2 ) ʹ͍ͭͯɼҎԼͷΑ͏ʹຒΊࠐΈ β Λఆٛ͢Δɽ
√√
E1 '→ −1Y1 (1 + qY2 ), E2 '→ −1Y4 (1 + qY5 (1 + qY6 (1 + qY7 ))),√√
F1 '→ −1Y3 (1 + qY7 (1 + qY10 (1 + qY5 ))), F2 '→ −1Y8 (1 + qY9 ))),
K1 '→ q 2 Y1 Y2 Y3 , K2 '→ q 2 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 ,K1" '→ q 2 Y3 Y7 Y10 Y5 Y1 , K2" '→ q 2 Y8 Y9 Y4

15

quiver ͷ໼ͷ޲͖ʹԊͬͯ Y ม਺Λద౰ͳ‫ن‬ଇͰֻ͚͍ͯ͘ͱɼͦΕͧΕͷੜ੒‫ݩ‬ͷ૾͕ಘΒΕΔ͜ͱ͕෼͔ΔͩΖ͏ɽ͜ΕʹΑΓ
Uq (A2 ) + Dq (A2 )/(Ki Ki" = 1; i ∈ [1, 2]) -→ Cq [D1 (A2 )]/{β(Ki Ki" ) = 1; i ∈ [1, 2]}͕ಘΒΕΔɽ
9

4

10
5

1

8
7

6

3

2

ਤ 12. D1 (A2 )Remark 5.3. (i) ͜ͷΑ͏ͳྔࢠ‫ ܈‬Uq (g) ͷΫϥελʔ࣮‫ݱ‬͸ɼྔࢠ‫܈‬ͷʮpositive ද‫ݱ‬ʯͱີ઀ʹؔ܎͍ͯ͠Δ [Ip18]ɽ͜ͷද‫ݱ‬͸ྔࢠ‫܈‬ͷ Hilbert ্ۭؒͷࣗ‫ڞݾ‬໾࡞༻ૉʹΑΔ
ද‫Ͱݱ‬ɼFrenkel ͱ Ip ʹΑͬͯಋೖ͞Εͨ [FI14]ɽTheorem 5.1 ͸ positive ද‫ݱ‬ͷ‫ز‬Կతͳ‫ํݟ‬Λ༩͑ɼͦͷԠ༻ͱͯ͠ [SS17] Ͱ͸ positive ද‫ݱ‬ͷςϯιϧੵ෼ղͷ‫ز‬Կతߏ଄͕໌
Β͔ʹ͞Εͨɽ
(ii) ఺෇͖ԁ൫ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ɼΑΓҰൠతͳ఺෇͖‫ۂ‬໘্ͷ quiver ΁ͷ Uq (g) ΍ྔࢠ Borel෦෼୅਺ Uq (b) ͷຒΊࠐΈ΋ [GS19] Ͱٞ࿦͞Ε͍ͯΔɽ
Theorem 5.1(ii) ʹ͍ͭͯɼhalf-Dehn πΠετ ba ͷ۩ମ‫زͱܗ‬Կతͳ༷ࢠΛΈͯΈΑ͏ɽ͜Ε·Ͱߟ͖͑ͯͨ 2 ఺͖ͭԁ൫ͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ — ਤ 13 ͷࠨ্ — ͔Β࢝Ίͯɼล 4, 2, 6,
4 ͷॱʹ flip ͠, ॳΊͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂͱಉ͡ʹͳΔΑ͏ʹลͷ൪߸Λ෇͚ସ͑Δͱ 2 ͭͷ಺఺͕‫͍ޓ‬ͷपΓΛ൓࣌‫ܭ‬पΓʹ൒पͨ͠Α͏ʹ‫͑ݟ‬Δࡾ֯‫ܗ‬෼ׂ͕ಘΒΕΔɽg = A1 ͷ৔߹ʹ͸ɼॳΊʢͱ࠷‫ޙ‬ʣͷࡾ֯‫ܗ‬෼ׂʹ૒ରͳ quiver D2 (A1 ) := D2 (A1 , 1) ͸ਤ 13 ͷࠨԼͷΑ͏ʹͳΔɽϒϨΠυ‫ ܈‬B2 (A1 ) ͸ b1 Ͱੜ੒͞Εɼͦͷ۩ମ‫ܗ‬͸ flip ͷॱংͱลͷ൪߸ͷ෇͚ସ͑ʹैͬͯ
b1 = (3, 5) ◦ (2, 5) ◦ (3, 6) ◦ µ4 ◦ µ6 ◦ µ2 ◦ µ4
3)
ͱͳΔʢਤͰ͸ s := (3, 5) ◦ (2, 5) ◦ (3, 6) Ͱ͋Δʣɽ

6. ͓ΘΓʹ
ຊߘͰ͸ɼΫϥελʔ୅਺ͷ୅਺తͳଆ໘ɼ‫ز‬Կతͳଆ໘ʹ͍ͭͯΫϥελʔ୅਺஀ੜͷഎ‫ͱͱܠ‬΋ʹ঺հͨ͠ɽৄࡉΛड़΂ͣʹྫ΍͓࿩Ͱࡁ·ͤͨͱ͜Ζ͕ଟ͍ͷͰɼ‫ڵ‬ຯͷ͋Δํ͸จ‫ݙ‬Λࢀর͍͖͍ͯͨͩͨ͠ɽ࠷‫ʹޙ‬ɼຊจͰ͸৮Εͳ͔ͬͨؔ࿈͢Δ࿩୊Λ͘͝؆୯ʹ঺հ͢Δɽ3)͜ͷΑ͏ͳϒϨΠυ‫ ܈‬B (A ) ͷΫϥελʔ࣮‫ݱ‬͸ɼ݁ͼ໨ิۭؒͷෳૉମੵͷ‫Ͱڀݚ‬ಋೖ͞Εͨ [HI14,p1

HI15]ɽͦͷͱ͖͸͜Ε΄Ͳૉੑ͕ྑ͍΋ͷͱ͸஌Βͣɼ͍Ζ͍Ζͳ͜ͱ͕͏·͍͘͘ͷʹ‫ײ‬৺͍ͯͨ͠ɽ

16

3
1

6

2

3

µ4

7 ←→

4

6

5

2

µ2 µ6

3

←→

4
5

6
4

2

5

4 µ4

D2 (A1 )

3

6

(
4 &
7
%
%
'
'

1 &

(

2

6
1

5

3

s

3

7 ←→

4
2

6
4

2

5

5

ਤ 13. Half-Dehn πΠετϫΠϧ‫܈‬ͷΫϥελʔ࣮‫ݱ‬ɽm Λ 2 Ҏ্ͷ੔਺ͱ͢ΔɽKac-Moody Lie ‫ ؀‬g ͷ Dynkin ਤ‫෇ʹܗ‬ਵ͢Δɼm प‫ظ‬తͳ͋Δ quiver Qm (g) Λఆٛ͢ΔͱɼϫΠϧ‫ ܈‬W (g) ͕ Qm (g) ͷΫϥελʔϞδϡϥʔ‫ ܈‬ΓQm (g) ͷ෦෼‫͖Ͱݱ࣮ͯ͠ͱ܈‬Δɽg = An ͷ৔߹͸ [ILP19]ɼͦͷҰൠԽ͸ [IIO21] Ͱಋೖ͞Εͨɽ͜ͷϫΠϧ‫ʹ༻࡞܈‬͸͍Ζ͍ΖͳԠ༻͕͋Δɽ
(1)• [ILP19] Ͱ͸ɼΞϑΟϯྔࢠ‫ ܈‬Uq" (Am ) ͷରশੵද‫ʹݱ‬ରԠ͢Δ‫ز‬ԿΫϦελϧͷ‫ز‬Կ R ߦྻ͕ɼQm (An ) Ͱ࣮‫͞ݱ‬ΕΔϫΠϧ‫ ܈‬W (An ) ʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕ࣔ͞Εͨɽ• ߴ࣍ Teichmüller ཧ࿦Ͱ͸‫ۂ‬໘ͷ಺఺पΓ΁ͷϫΠϧ‫͕͋༻࡞܈‬Γ [FG06]ɼۭؒ
PG,Σ , AG,Σ ΁ͷ࡞༻͸ quiver Qhk (g) Ͱ࣮‫͞ݱ‬ΕΔ΋ͷͱҰக͢Δ [GS18, GS19,
IIO21]ɽͨͩ͠ h ͸ g ͷίΫηλʔ਺ɼk ͸ਖ਼੔਺Ͱ͋Δɽ(1)(1)• g = An ͷͱ͖ɼQ2 (An ) ͕࣮‫͢ݱ‬ΔϫΠϧ‫܈‬͸཭ࢄ Painlevé ํఔࣜͱͦͷ֦ுʹ૬౰͢Δࠩ෼ํఔࣜͷରশੑΛ‫ه‬ड़͢Δ [OS20]ʢ[BGM18] ΋ࢀরʣɽΞϑΟϯྔࢠ‫܈‬ͷ q ࢦඪͷΫϥελʔߏ଄ɽg Λ༗‫ݩ࣍ݶ‬൒୯७ Lie ‫؀‬ɼĝ Λ g ͷʢnon-twistedͳʣΞϑΟϯ Lie ‫͢ͱ؀‬Δɽg ͷ Dynkin ਤ‫෇ʹܗ‬ਵ͢Δ m प‫ظ‬తͳ quiver Q"m (g) Λఆٛ͢Δɽg ͷ Dynkin ਤ‫ ͕ܗ‬simply-laced ͳͱ͖ Q"m (g) ͸্ͷ Qm (g) ʹҰக͢Δ͕ɼͦ͏Ͱ
ͳ͍ͱ͖͸ҟͳ͍ͬͯΔɽ

• [HL16a] Ͱ͸ɼྔࢠ‫ ܈‬Uq (ĝ) ͷ Kirillov-Reshetikhin Ճ‫܈‬ͷ q ࢦඪͱΫϥελʔ୅਺ͱͷؔ܎Λௐ΂Δࡍʹ quiver Q"∞ (g) Λಋೖ͠ɼͦͷ൒ແ‫ͳݶ‬෦෼ᝪΛ༻͍ͨɽͦ͠
ͯ [HL16b] Ͱ͸ɼUq (ĝ) ͷ Borel ෦෼୅਺ͷද‫ݱ‬ͷ‫ݍ‬Λ‫͢ڀݚ‬ΔͨΊʹ Q"∞ (g) શମΛ༻͍ͨɽ• Q"m (g) ʹର͠ɼ[IIO21] ͱྨࣅͷํ๏ͰϫΠϧ‫ ܈‬W (g) ⊂ ΓQ!m (g) Λ࣮‫[ ͨ͠ݱ‬I20]ɽ
͞Βʹ q ͕ 1 ͷႈࠜͷͱ͖ɼUq (ĝ) ͷ q ࢦඪ͕͜ͷϫΠϧ‫Ͱ༻࡞܈‬ෆมͰ͋Δ͜ͱΛࣔͨ͠ɽँࣙɽୈ 66 ճ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝʹͯߨԋͷ‫ػ‬ձΛԼͬͨ͞ɼ༗໦ਐࢯΛ͸͡Ίୈ 66 ճ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝ੹೚ऀͷํʑʹ͓ྱਃ্͛͠·͢ɽຊ‫ڀݚ‬͸ JSPS Պ‫ݚ‬අ 19K03440 ͷॿ੒Λड͚ͨ΋ͷͰ͢ɽ

17

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‫ࣜܗ‬త dg ୅਺ͷΫϥελʔ‫ͦͱݍ‬ͷ৿ా‫ܕ‬ఆཧ৥‫ݪ‬ɹ‫޺ل‬ʢ͸ʹ͸ΒɹͷΓͻΖʣ∗1 ಋೖΫϥελʔ‫ݍ‬ʢஂ‫ݍ‬ʣ͸ Fomin-Zelevinsky ͷΫϥελʔ୅਺ʢஂ୅਺ʣ[10] Λಈ‫ ʹػ‬Buan-Marsh-Reineke-

Reiten-Todorov [7] ʹΑͬͯੜΈग़͞Εͨࡾ֯‫͋Ͱݍ‬ΔɻΫϥελʔ‫ݍ‬͸Ϋϥελʔ୅਺ʹ͓͚ΔมҟͳͲͷ૊Έ߹Θͤ࿦తߏ଄ͷද‫ݱ‬࿦తͳղऍΛ༩͑Δ͕ɺ͜ͷΑ͏ͳΫϥελʔ୅਺ͷද‫ݱ‬࿦తɾ‫ݍ‬࿦తϞσϧΛ༩͑Δ͜ͱΛɺΫϥελʔ୅਺ͷ‫ݍ‬Խ (categorification) ͱ͍͏*1 ɻࠓ೔Ͱ͸ଟ༷ͳΫϥελʔ୅਺ʹରͯͦ͠ΕΛ‫ݍ‬Խ͢ΔΫϥελʔ‫ߏ͕ݍ‬੒͞Ε͍ͯΔ΄͔ɺʮΫϥελʔ܏ཧ࿦ʯͱͯ͠ߴ࣍‫ ݩ‬Auslander-Reiten ཧ࿦ɺՄ‫؀׵‬ͷ Cohen-Macaulay ද‫ݱ‬࿦ɺLie ୅਺ͷද‫ݱ‬࿦ɺʢඇʣՄ‫׵‬୅਺‫ز‬Կɺಛҟ఺࿦ͳͲଟ͘ͷର৅ͱີ઀ʹؔΘΓ޿͕ΓΛ‫͍ͯͤݟ‬Δɻ
ຊߘͰ͸ओʹ‫؀‬ͷද‫ݱ‬࿦ͷཱ৔͔ΒΫϥελʔ‫ݍ‬Λ࿦͡Δɻ‫؀‬ͷද‫ݱ‬࿦ͷେ͖ͳ໨ඪ͸ɺ༩͑ΒΕͨ‫؀‬΍ྨࣅͷ୅਺ߏ଄ʢdg ‫Ͳͳݍ‬ʣʹ෇ਵ͢Δछʑͷ‫ݍ‬ʢՃ‫ݍ܈‬ɺಋདྷ‫ݍ‬ɺಛҟ‫ݍ‬ɺΫϥελʔ‫Ͳͳݍ‬ʣΛཧղ͢Δ͜ͱͰ͋ΓɺΫϥελʔ‫ࣗݍ‬਎΋‫ڵ‬ຯਂ͍ද‫ݱ‬࿦తର৅Ͱ͋ΔɻΫϥελʔ‫͕ݍ‬Ϋϥελʔ୅਺ͷ‫ݍ‬Խͱͯ͠ಇͨ͘Ίʹॏཁͳੑ࣭͕ɺʮΫϥελʔ܏ର৅Λ࣋ͭ Calabi-Yau ࡾ֯‫ݍ‬ʯͨΔ͜ͱͰ͋Δ͕ɺAmiot ͸ͦͷΑ͏ͳࡾ֯‫ݍ‬Λ dg ୅਺ʹ෇ਵ͢ΔΫϥελʔ‫ͯ͠ͱݍ‬ମ‫ܥ‬తʹߏ੒ͨ͠ɻຊจͰ͸͜ͷ Amiot Ϋϥελʔ‫ʹݍ‬য఺Λ౰ͯͯɺͦͷߏ଄ͷཧղΛ༩͑ΔࢼΈͱͯ͠ [14, 15] ͷ݁ՌΛ঺հ͍ͨ͠ɻ
ຊߘ͸ୈ 66 ճ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝͷߨԋʹ‫͢·͖ͮج‬ɻ

2 എ‫ܠ‬
ҎԼʢ؆୯ͷͨΊʣk Λ‫׬‬શମɺD = Homk (−, k) Λ k ૒ରΛͱΔؔखͱ͢Δɻ·ͣ‫ج‬ຊతͳ‫ݴ‬༿ͷఆٛΛৼΓฦΔɻ
ఆٛ 2.1. T Λ k ઢ‫͢ͱݍ֯ࡾܗ‬Δɻ

1. T ্ͷ Serre ؔखͱ͸ T ্ͷࣗ‫ݾ‬ಉ஋ ν Ͱ֤͋ͬͯ X, Y ∈ T ʹରͯࣗ͠વͳಉ‫ܕ‬
D HomT (X, Y ) # HomT (Y, νX)͕੒Γཱͭ΋ͷΛ͍͏ɻ

2. ੔਺ d ʹରͯ͠ࡾ֯‫ݍ‬ͷ d γϑτؔख [d] ͕ Serre ؔखΛ༩͑Δͱ͖ɺ͢ͳΘͪ࣍ͷࣗવͳಉ‫͕ܕ‬ଘࡏ͢
Δͱ͖ T ͸ d-Calabi-Yau (CY) Ͱ͋Δͱ͍͏ɻD HomT (X, Y ) # HomT (Y, X[d])Ҏ‫ ޙ‬Serre ؔख ν ͱ੔਺ d ʹରͯ͠ νd Ͱ߹੒ ν ◦ [−d] Λද͢ɻSerre ؔख΍ Calabi-Yau ࡾ֯‫ݍ‬ͷྫΛ‫͛ڍ‬͓ͯ͘ɻ∗ ໊‫ݹ‬԰େֶଟ‫਺ݩ‬ཧՊֶ‫ڀݚ‬Պ, m17034e@math.nagoya-u.ac.jp*1 ͜͜Ͱѻ͏ͷ͸Ճ๏త‫ݍ‬Խ (additive categorification) Ͱ͋Δɻଞʹ͸Ϋϥελʔ୅਺ΛϞϊΠμϧΞʔϕϧ‫ݍ‬ͷ Grothendieck‫͢ݱ࣮ͯ͠ͱ؀‬ΔϞϊΠμϧ‫ݍ‬Խ͕͋Δɻ

1ྫ 2.2.

1. X Λ d ࣍‫ݩ‬ඇಛҟࣹӨଟ༷ମɺω Λͦͷ૒ରԽ૚ͱ͢Δͱ − ⊗X ω[d] ͸ X ͷಋདྷ‫ ݍ‬Db (coh X)

ͷ Serre ؔखͰ͋Δɻैͬͯ X ͕ Calabi-Yauʢω ͕ࣗ໌ʣͷͱ͖ D b (coh X) ͸ d-CY Ͱ͋Δɻ

2. A Λ༗‫ ݩ࣍ݶ‬k ୅਺ͰେҬ࣍‫͕ݩ‬༗‫ݶ‬ͷ΋ͷͱ͢Δͱ − ⊗LA DA ͸ A ͷ༗քಋདྷ‫ ݍ‬Db (mod A) ͷ SerreؔखͰ͋Δɻ

3. R Λ d ࣍‫ݩ‬Մ‫ ׵‬Gorenstein ‫ཱݽ‬ಛҟ఺ͱ͢Δͱɺͦͷ Cohen-Macaulay ҆ఆ‫ݍ‬ʢ͋Δ͍͸ಛҟ‫ݍ‬ʣ
CM R = Dsg (R) ͸ (d − 1)-CY Ͱ͋ΔɻΫϥελʔ܏ཧ࿦ʹ͓͍ͯେ੾ͳ֓೦͕࣍Ͱ༩͑ΒΕΔɻ
ఆٛ 2.3 ([18, 7, 23]). d Λਖ਼ͷ੔਺ͱ͢Δɻࡾ֯‫ ݍ‬T ͷର৅ X ͕

add X = {Y ∈ T | 0 < i < d ʹରͯ͠ HomT (X, Y [i]) = 0}
= {Y ∈ T | 0 < i < d ʹରͯ͠ HomT (Y, X[i]) = 0}Λຬͨ͢ͱ͖ d Ϋϥελʔ܏ର৅ (d-cluster tilting object) Ͱ͋Δͱ͍͏ɻಛʹ 2 Ϋϥελʔ܏ର৅͕Ϋϥελʔ୅਺ʹ͓͚ΔΫϥελʔʢஂʣͷରԠ෺Ͱ͋ΓɺΫϥελʔ୅਺ͷ‫ݍ‬Խͷ‫͔఺؍‬Β͸ຊ࣭తͰ͋Δɻಉ࣌ʹ d Ϋϥελʔ܏ର৅ʢ͋Δ͍͸ d Ϋϥελʔ܏෦෼‫ݍ‬ʣ͸ߴ࣍‫ݩ‬

Auslander-Reiten ཧ࿦ [18, 19] ͷ෣୆ͱͯ͠༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺΍Մ‫؀׵‬ͷද‫ݱ‬࿦ [23] Ͱॏཁͳ΄͔ɺ͞ΒʹඇՄ‫׵‬ಛҟ఺ղফ [35] ͷྨࣅͱͯ͠૒༗ཧ‫ز‬ԿֶͰ΋‫ݱ‬ΕΔɻ
Ϋϥελʔ܏ର৅Λ΋ͭ CY ࡾ֯‫ݍ‬ͷओཁͳΫϥε͕ɺҎԼʹड़΂ΔΫϥελʔ‫͋Ͱݍ‬Δɻ

2.1 Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov Ϋϥελʔ‫ݍ‬ઌड़ͷΑ͏ʹΫϥελʔ‫ݍ‬͸Ϋϥελʔ୅਺ͷ‫ݍ‬Խͷจ຺Ͱ Buan-Marsh-Reineke-Reiten-Todorov [7] ʹΑͬͯಋೖ͞Εͨࡾ֯‫͋Ͱݍ‬Δɻ࠷΋‫ج‬ຊతͳΫϥελʔ୅਺͕ʢ༗‫Ͱݶ‬ඇྠঢ়ͳʣᝪʹରͯ͠ఆٛ͞ΕΔΑ͏ʹɺʮ‫૆ݩ‬ʯΫϥελʔ‫ݍ‬͸༗‫ݶ‬ඇྠঢ়ᝪ Q ʹରͯͦ͠ͷಓଟ‫ ؀ݩ‬kQ ͷಋདྷ‫ݍ‬ͷ‫ي‬ಓ‫*ݍ‬2 ͱͯ͠

CQ := Db (mod kQ)/ − ⊗LkQ D(kQ)[−2] = Db (mod kQ)/τ −1 [1]ʹΑͬͯఆٛ͞ΕΔɻ͜͜Ͱ‫ي‬ಓ‫ݍ‬ΛͱΔͷʹ࢖ͬͨؔख − ⊗LkQ D(kQ)[−2] ͸ Serre ؔखͱ [−2] ͷ߹੒ ν2 Ͱ͋Γɺ·ͨ Auslander-Reiten Ҡಈ τ Λ༻͍ͯ τ −1 [1] ͱ΋ॻ͚Δɻ͕࣍ᝪͷΫϥελʔ‫ؔ͢ʹݍ‬Δ࠷΋‫ج‬ຊతͳ݁ՌͰ͋Δɻఆཧ 2.4. Q Λ༗‫ݶ‬ඇྠঢ়ᝪͱ͢Δɻ(1) [26] CQ ͸ࣗવͳࡾ֯‫ݍ‬ͷߏ଄Λ࣋ͪɺ2-CY Ͱ͋Δɻ(2) [7] kQ ∈ Db (mod kQ) ͷ CQ ʹ͓͚Δ૾͸ 2 Ϋϥελʔ܏ର৅Ͱ͋Δɻ஫ҙ 2.5. ࡾ֯‫ݍ‬ͷ‫ي‬ಓ‫ݍ‬͸ɺҰൠʹ͸ࡾ֯‫ݍ‬ͷߏ଄Λ࣋ͨͳ͍ɻ্ͷఆཧ (1)ʢͷલ൒ʣ͸ D b (mod kQ) ͕ಓଟ‫؀ݩ‬ͷಋདྷ‫͋Ͱݍ‬Δ͜ͱʹ‫͘ڧ‬ґଘͨ݁͠ՌͰ͋ΔɻҰൠʹ͸ࡾ֯‫ݍ‬ͷ‫ي‬ಓ‫ݍ‬ͷ୅ΘΓʹɺͦͷแབྷࡾ֯‫ݍ‬(triangulated hull)*3 Λߟ͑ΔɻͦͷͨΊʹ͸ࡾ֯‫ݍ‬ͷ dg ૿‫( ڧ‬enhancement) ͕ඞཁͱͳΔɻ͜Εʹ͍ͭͯ͸࣍અͰ৮ΕΔɻᝪͷಓଟ‫ ؀ݩ‬kQ ͸Ҩ఻తʢ=େҬ࣍‫ ͕ݩ‬1 ҎԼʣͰ͋ΔͨΊͦͷಋདྷ‫ݍ‬ͷߏ଄͸؆໌Ͱ͋ΓɺΏ͑ʹΫϥελʔ‫ݍ‬ͷߏ଄΋໌ࣔ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷΫϥελʔ‫͕ݍ‬Ϋϥελʔ୅਺Λʮ‫ݍ‬Խʯ͍ͯ͠Δ͜ͱΛඇࣗ໌ͳ*2 Ճ๏‫ ݍ‬A ͱͦͷ্ͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫ؔܕ‬ख F ʹରͯ͠ɺA ͷ F ʹΑΔ‫ي‬ಓ‫ ݍ‬A/F ͸ɺA ͱಉ͡ର৅͔ΒͳΓࣹۭؒΛ Hom!

i∈Z HomA (Fi X, Y ) ͱ͢Δ‫ͯ͠ͱݍ‬ఆٛ͞ΕΔɻ

*3 ຊߘͰ͸‫ي‬ಓ‫ ݍ‬T /F ͷแབྷࡾ֯‫ͱݍ‬͸ɺࡾ֯ؔख TຯͰ࢖͏͜ͱʹ͢Δɻ

A/F (X, Y ) :=→ U Ͱ஧࣮ॆຬؔख T /F !→ U Λ༠ಋ͠૾͕ U Λੜ੒͢Δ΋ͷɺఔ౓ͷҙ

2࠷΋؆୯ͳྫʢA2 ‫ܕ‬ʣΛ༻͍ͯ‫ͯ͠࡯؍‬ΈΔɻ
ྫ 2.6. Q Λ A2 ‫ܕ‬ᝪ 1! 2 ͱ͢Δɻ

A2 ‫ܕ‬ͷΫϥελʔ୅਺ AQ ͸ 5 ͭͷΫϥελʔม਺ x1 , x2 , (1 + x1 )/x2 , (1 + x2 )/x1 , (1 + x1 + x2 )/x1 x2 Ͱੜ੒͞Εɺ͜ΕΒ͕ 5 ͭͷΫϥελʔʹ૊Έ෼͚͞ΕɺҎԼͷࠨͷަ‫׵‬άϥϑΛ࣋ͭɻ1{ 1+xx2 , x 1 }
$$$

""""
""""

{x1 , x2 } !
!!!!
!!!

1 +x2 1+x1
{ 1+x
x1 x2 , x2 }1 ⊕ 2 !!
!!!!
"""
"
"
!!!!
"
""
!!
""""

2
{x2 , 1+xx1 }###5 ⊕ 1$$$$
4⊕5

2 1+x1 +x2
{ 1+x
x1 ,
x1 x2 }

2⊕3
#
#
##
3⊕4

Ұํ A2 ‫ܕ‬ͷΫϥελʔ‫ ݍ‬CQ ͷ Auslander-Reiten ᝪ͸ҎԼͷΑ͏ʹͳΓɺʢ5 ͭͷΫϥελʔม਺ʹରԠ͠

ͯʣ5 ͭͷ௚‫ط‬໿ର৅͔ΒͳΔɻCQ ͷ 2 Ϋϥελʔ܏ର৅͸ʢ5 ͭͷΫϥελʔʹରԠͯ͠ʣ1 ⊕ 2, 2 ⊕ 3, 3 ⊕4, 4 ⊕ 5, 5 ⊕ 1 ͷ 5 ͭͰɺ͜ΕΒ͸΍͸Γӈ্ͷΑ͏ͳަ‫׵‬άϥϑΛ΋ͭɻ· · ·$
#5$
#2$
#4$
#1$
$$
## $$$## $$$## $$$## $$$
$$
#
#
#
#
$$ ##
$$ ##
$$ ##
$$
$" ###
" #
" #
" #
"
4
1
3
5
···
Ϋϥελʔ୅਺ɺΫϥελʔ‫ݍ‬ͷ྆ऀ͔ΒಘΒΕΔ‫ܗ֯ޒ‬ͷަ‫׵‬άϥϑ͕ಉ‫͋Ͱܕ‬Δ͜ͱ͸ɺCQ ͕ AQ Λ‫ݍ‬Խ͍ͯ͠Δ༷ࢠ͕‫ͯݟ‬औΕΔͩΖ͏ɻΑΓҰൠʹɺଟ༷ͳΫϥελʔ୅਺ʹରͯͦ͠ΕΛ‫ݍ‬Խ͢Δࡾ֯‫ߏ͕ݍ‬੒͞Ε͓ͯΓɺͦΕͧΕ͕ʮΫϥελʔ‫ݍ‬ʯͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔɻ௨ৗ͸ cluster character ͷଘࡏΛҎͬͯʮ‫ݍ‬Խʯͱ‫͏ݴ‬Α͏Ͱ͋ΔɻΫϥελʔ୅਺ͷ‫ݍ‬Խͱͯ͠ͷΫϥελʔ‫͍ͯͭʹݍ‬ɺΑΓৄ͍͠ղઆ͸ [28] Λࢀর͍͖͍ͯͨͩͨ͠ɻ

2.2 Amiot Ϋϥελʔ‫ݍ‬લઅͰ͸ɺΫϥελʔ୅਺ͷཱ৔͔Β͸ඇྠঢ়ᝪʹର͢ΔΫϥελʔ୅਺ͷ‫ݍ‬Խɺ‫؀‬࿦తʹ͸Ҩ఻తଟ‫ʹ؀ݩ‬ର͢ΔΫϥελʔ‫ݍ‬ͷఆٛΛઆ໌ͦ͠ͷྫΛ‫ͨݟ‬ɻͰ͸࣍ʹඇྠঢ়Ͱͳ͍ᝪͰ͸Ͳ͏͔ɺ͋Δ͍͸େҬ࣍‫ ͕ݩ‬1
Λ௒͑Δ‫ʹ؀‬ର͢ΔΫϥελʔ‫ݍ‬͸ఆٛͰ͖Δͷ͔ɺͱ͍͏ͷ͸ࣗવͳ໰͍Ͱ͋Δɻ͜ͷ໰୊ʹ͸ඍ෼࣍਺෇͖୅਺ (differential graded algebra, dg ୅਺) Λ༻͍Δ͜ͱʹΑͬͯಉ࣌ʹ౴͑Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷઅͰ͸ dg ୅਺Λ༻͍ͨΫϥελʔ‫ݍ‬ͷߏ੒Λղઆ͢Δɻѻ͏಺༰͸ Keller [26, 29], Amiot [1], Guo[13] ʹ‫ͮ͘ج‬ɻ·ͨ Amiot-Guo-Keller ʹΑΔΫϥελʔ‫ݍ‬ͷߏ੒ΛҰൠԽͨ͠࿮૊Έ͕ [22] Ͱ༩͑ΒΕ͍ͯΔɻ·ͣ dg ୅਺ͱͦͷಋདྷ‫ݍ‬ͷఆٛΛ؆୯ʹड़΂͓ͯ͘ɻdg ୅਺ʢ΍ dg ‫ݍ‬ʣͷಋདྷ‫ؔ͢ʹݍ‬Δ‫ج‬ຊతͳࣄ߲
͸ [25] Λࢀর͞Ε͍ͨɻ
ఆٛ 2.7. ඍ෼࣍਺෇͖୅਺ʢdg ୅਺ʣͱ͸࣍਺෇͖ k ୅਺ A =
p

p

!

i∈Z A

i

Ͱ͋ͬͯ࣍਺ +1 ͷඍ෼ d Λ࣋ͪɺ֤ a ∈ A , b ∈ A ʹରͯ͠ Leibniz ଇ d(ab) = da · b + (−1) a · db Λຬͨ͢΋ͷΛ͍͏ɻ‫ݍ‬࿦ͷ‫ݴ‬༿Λ༻͍Ε͹ɺdg ୅਺͸ k ϕΫτϧۭؒͷෳମͷͳ͢ରশϞϊΠμϧ‫ Ͱݍ‬enrich ͞Εͨ‫͋Ͱ؀‬Δɻ

dg ୅਺ͷ؆୯ͳྫΛ‫͓ͯ͛͘ڍ‬ɻ• ௨ৗͷ k ୅਺͸࣍਺ 0 ʹूதͨ͠ dg ୅਺ͱ‫͖Ͱ͕ͱ͜͢ͳݟ‬Δɻ

• ࣍਺෇͖‫͕؀‬༩͑ΒΕΔͱɺͦΕΛඍ෼͕ 0 ͷ dg ୅਺ͱ‫͖Ͱ͕ͱ͜͢ͳݟ‬Δɻ༩͑ΒΕͨ dg ୅਺ A ʹରͯ͠ dg A Ճ‫܈‬ͷ‫ݍ‬ʢͷϗϞτϐʔ‫ݍ‬ʣΛٖಉ‫ॴہͰܕ‬Խ͢Δ͜ͱͰ A ͷಋདྷ‫ݍ‬

D(A) ͕ಘΒΕΔɻ͜Ε͸࣍਺ͣΒ͠ʢ=ෳମͷγϑτʣ[1] Λ‫ݒ‬ਨؔखͱͯ࣋ͭ͠ࡾ֯‫͋Ͱݍ‬Δɻྫ͑͹ A
3͕௨ৗͷ‫؀‬ͷͱ͖ɺdg A Ճ‫ͱ܈‬͸ A Ճ‫܈‬ͷෳମͰ͋Γɺdg ୅਺ A ͷಋདྷ‫ ݍ‬D(A) ͸ A Ճ‫܈‬ͷ‫ݍ‬ͷಋདྷ‫ݍ‬

D(Mod A) Ͱ͋Δɻಋདྷ‫ ݍ‬D(A) ͷ෦෼‫ݍ‬Λ 2 ͭ༻ҙ͠Α͏ɻ• per A := thickD(A) A Λ A Ͱੜ੒͞ΕΔ thick ෦෼‫ݍ‬ʢ௚࿨ҼࢠͰด͡Δॆຬࡾ֯෦෼‫ݍ‬ʣͱ͢Δɻ͜ΕΛ A ͷ‫׬‬શಋདྷ‫( ݍ‬perfect derived category) ͱ͍͏ɻ• Db (A) := {M ∈ D(A) | dim"!

ii∈Z H Mࡾ֯෦෼‫ݍ‬Λ D b (A) ͱ͢Δɻ#< ∞}ɺ͢ͳΘͪίϗϞϩδʔ͕༗‫ݩ࣍ݶ‬ͷ dg Ճ‫܈‬ͷͳ͢ྫ͑͹ A ͕௨ৗͷ‫؀‬ͷͱ͖͸ per A ͸༗‫ݶ‬ੜ੒ࣹӨՃ‫܈‬ͷ༗քϗϞτϐʔ‫ ݍ‬Kb (proj A) Ͱ͋Δɻ

dg ୅਺ͷಋདྷ‫ݍ‬ͷวࡏ͢Δ͜ͱ͸࣍ͷ Keller ͷఆཧ [25] ͔Β෼͔Δɻ

ఆཧ 2.8. ୅਺తࡾ֯‫ Ͱݍ‬1 ͭͷର৅Ͱੜ੒͞ΕΔ*4 ΋ͷ͸ɺ͋Δ dg ୅਺ͷ‫׬‬શಋདྷ‫֯ࡾͱݍ‬ಉ஋Ͱ͋Δɻ
Ϋϥελʔ‫ݍ‬ͷߏ੒ʹॏཁͳͷ͸ɺ࣍ͷ Ginzburg [12] ͷҙຯͷ Calabi-Yau dg ୅਺Ͱ͋Δɻdg ୅਺ A ʹରͯͦ͠ͷแབྷଟ‫ ؀ݩ‬Aop ⊗k A Λ Ae Ͱද͢ɻఆٛ 2.9. A Λ dg ୅਺ͱ͢Δɻ

1. A ͕ (homologically) smooth Ͱ͋Δͱ͸ɺA ͕྆ଆՃ‫׬ͯ͠ͱ܈‬શɺ͢ͳΘͪ A ∈ per Ae Λຬͨ͢͜ͱΛ͍͏ɻ

2. A ͕ n-Calabi-Yau Ͱ͋Δͱ͸ɺA ͕ smooth Ͱ͋ΓɺD(Ae ) ʹ͓͍ͯ࣍ͷಉ‫͕ܕ‬੒Γཱͭͱ͖Λ͍͏ɻ
RHomAe (A, Ae )[n] # A
CY dg ୅਺ͷఆٛʹ͍͍͔ͭͯͭ͘ίϝϯτΛ͓ͯ͘͠ɻ
஫ҙ 2.10.

1. dg ୅਺ A ͷ smooth ੑ͸‫؀‬ͷେҬ࣍‫ݩ‬ͷ༗‫ݶ‬ੑͷྨࣅͰ͋Δɻ࣮ࡍɺ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ A ʹରͯ͠ɺA ͕ʢdg ୅਺ͱͯ͠ʣsmooth Ͱ͋Δ͜ͱ͸ A ͷେҬ࣍‫ݩ‬ͷ༗‫ݶ‬ੑͱಉ஋Ͱ͋Δ*5 ɻ

2. A Λ smooth ͳ dg ୅਺ͱ͢ΔͱɺX ∈ Db (A), Y ∈ D(A) ʹରͯࣗ͠વͳಉ‫ܕ‬
D RHomA (X, Y ) # RHomA (Y ⊗LA RHomAe (A, Ae ), X)e͕ଘࡏ͢Δʢ[27, Lemma 4.1]ʣɻैͬͯؔख − ⊗L
A RHomAe (A, A ) ͸ʢՄ‫ͳٯ‬Β͹ʣSerre ؔखͷ‫ٯ‬Λ༩͑ΔͷͰɺRHomAe (A, Ae ) ͸‫ٯ‬૒ରԽෳମ (inverse dualizing complex) ͱ‫ݺ‬͹ΕΔɻ

3. ্ͷಉ‫͔ܕ‬Β A ͕ n-CY Ͱ͋Δͱ͖ɺͦͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬ಋདྷ‫ ݍ‬Db (A) ͸ n-CY Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ
CY dg ୅਺ͷྫΛ༩͑Δͷ͸ʢఆ͕ٛ೉͔͠͞Βਪ࡯͞ΕΔΑ͏ʹʣඇࣗ໌ͳ͜ͱͰ͋Δ͕ɺCalabi-Yau ‫׬‬උԽ΍ͦͷม‫( ܗ‬deformation) ͱͯ͠ମ‫ܥ‬తͳߏ੒͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ
ఆٛ 2.11.

$ Λ Ginzburg
1. [12] (Q, W ) Λϙςϯγϟϧ෇͖ᝪ*6 ͱ͢Δɻ࣍ͷΑ͏ʹಘΒΕΔ dg ୅਺ k Q

dg ୅਺ͱ͍͍ Γ3 (Q, W ) Ͱද͢ɻ• ֤ a ∈ Q1 ʢ໼ͷू߹ʣʹରͯ࣍͠਺ −1 ͷ‫͖޲ٯ‬ͷ໼ a∗ Λ෇͚Ճ͑Δɻ• ֤ i ∈ Q0 ʢ௖఺ͷू߹ʣʹରͯ࣍͠਺ −2 ͷϧʔϓ ti Λ෇͚Ճ͑Δɻ$ ͱ͓͘ɻ
͜ͷΑ͏ʹͯ͠ಘΒΕΔᝪΛ Q∗∗$ ্ʹඍ෼Λ da∗ = ∂a W , dti = ei (%• Q
a∈Q1 (aa − a a))ei ͰఆΊΔɻͨͩ͠ ∂a ͸໼ a ʹ͓͚Δ
cyclic derivative, ei ͸ i ʹ͓͚Δ΂͖౳‫ݩ‬ɻ

*4 ʮੜ੒ʯͱ͸ʢ͜͜Ͱ͸ʣͦͷର৅Λ‫ؚ‬Ή࠷খͷ thick ෦෼‫͕ݍ‬શମͰ͋Δ͜ͱɻ*5 ‫ૅج‬ମ k ͷ‫׬‬શੑΛ࢖͍ͬͯΔɻ
*6 [9] ͷҙຯɻ͢ͳΘͪ Q ͸ᝪͰ W ͸ͦͷαΠΫϧͷઢ‫߹݁ܗ‬Λ up to cyclic permutation Ͱ‫ͨݟ‬΋ͷͰ͋Δɻ

4

2. [29] A Λ smooth ͳ dg ୅਺ɺd ∈ Z, θd → RHomAe (A, Ae )[d] Λ Ae Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬ͷ cofibrant resolution*7
ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ςϯιϧ୅਺Πd+1 (A) := A ⊕ θd ⊕ (θd ⊗A θd ) ⊕ · · ·Λ A ͷ (d + 1)-Calabi-Yau ‫׬‬උԽ (Calabi-Yau completion) ͱ͍͏ɻఆཧ 2.12 (Keller [29]).

1. ϙςϯγϟϧ෇͖ᝪ (Q, W ) ͷ Ginzburg dg ୅਺ Γ3 (Q, W ) ͸ 3-CY Ͱ͋Δɻ

2. smooth ͳ dg ୅਺ A ͷ (d + 1)-Calabi-Yau ‫׬‬උԽ Πd+1 (A) ͸ (d + 1)-CY Ͱ͋Δɻ
Amiot Ϋϥελʔ‫ݍ‬͸͜ͷΑ͏ͳ CY dg ୅਺ʢͰଟগͷίϗϞϩδʔͷ৚݅Λຬͨ͢΋ͷʣʹରͯ͠ఆٛ͞
ΕΔɻΠ ͕ smooth ͳΒ͹ಋདྷ‫ݍ‬ͷแ‫ ؚ‬D b (Π) ⊂ per Π ͕͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɻ
ఆཧ-ఆٛ 2.13 (Amiot [1]). d ≥ 2 Λ੔਺ɺΠ Λ (d + 1)-CY dg ୅਺Ͱ H >0 Π = 0, H 0 Π ͕༗‫͋Ͱݩ࣍ݶ‬Δ
΋ͷͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖

C(Π) := per Π/Db (Π)͸ d-CY ࡾ֯‫ Ͱݍ‬Π ∈ per Π ͷ૾͸ C(Π) ͷ d Ϋϥελʔ܏ର৅Λ༩͑Δɻ͜ͷ C(Π) Λ Π ͷΫϥελʔ‫ͱݍ‬͍͏ɻ͜͏ͯ͠ᝪͷΫϥελʔ‫ ݍ‬CQ ͷҰൠԽͱͯ͠ɺJacobi ༗‫*ݶ‬8 ͳϙςϯγϟϧ෇͖ᝪʹରͯ͠ɺͦͷΫϥελʔ‫ ݍ‬C(Q,W ) ͕ Ginzburg dg ୅਺ͷΫϥελʔ‫ ݍ‬C(Γ3 (Q, W )) ͱͯ͠ఆٛ͞ΕΔɻQ ͕ඇྠঢ়ʢ͜ͷͱ͖ඞવతʹ W = 0ʣͷ৔߹͸ C(Q,0) = CQ Ͱ͋Δɻ·ͨʢҨ఻తͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ʣ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ A ͷΫϥελʔ‫ݍ‬͸ɺ্ͷఆཧΛ A ͷ CY ‫׬‬උԽʹରͯ͠ద༻͢

Δ͜ͱͰఆٛ͞ΕΔɻ͜ͷߏ੒͕ CQ ͷҰൠԽΛ༩͍͑ͯΔ͜ͱΛগ͠ৄ͘͠આ໌͢Δɻd ≥ 2 Λ੔਺ɺA Λνd ༗‫*ݶ‬9 ͳ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ɺΠ = Πd+1 (A) Λ A ͷ (d + 1)-CY ‫׬‬උԽͱ͢ΔɻCY ‫׬‬උԽͷఆ͔ٛΒࣗવͳࣹA → Π ͕͋Δɻb
ఆཧ-ఆٛ 2.14 (Amiot [1]). dg ୅਺ͷࣹ A → Π ͔ΒಘΒΕΔ − ⊗LA Π : D (A) → per Π ͸஧࣮ॆຬؔख

− ⊗LA Π : Db (mod A)/νd !

"! C(Π)

Λ༠ಋ͠ D b (mod A) ͷแབྷࡾ֯‫ݍ‬Λ༩͑Δɻ͜ͷ C(Π) Λ A ͷ d Ϋϥελʔ‫ ͍͍ͱݍ‬Cd (A) Ͱද͢ɻಛʹຒΊࠐΈ D b (mod A)/νd &→ Cd (A) ͕ଘࡏ͠ɺCd (A) ͸ d-CY ࡾ֯‫ Ͱݍ‬A ∈ D b (mod A) ͷ૾͸Ϋϥελʔ܏ର৅Λ༩͑Δɻ͜͏ͯ͠ఆཧ 2.14 ͸ఆཧ 2.4 ͷҰൠԽͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔ΔɻʢCQ = C2 (kQ) Ͱ͋Δɻʣ

Amiot ͷΫϥελʔ‫ݍ‬ͷߏ੒ 2.13 ͸ʢந৅తͰ͋Δ͕ɺͦͷ෼ʣΫϥελʔ܏ର৅Λ࣋ͭ CY ࡾ֯‫ݍ‬ͷʮඪ४‫ܕ‬ʯͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔɻྫ͑͹Ϋϥελʔ܏ཧ࿦Ͱ‫ݱ‬ΕΔଟ͘ͷ CY ࡾ֯‫͕ݍ‬ఆཧ 2.13, 2.14 ͷ‫ݱͰܗ‬ΕΔ
͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ [1, 3, 21, 2, 34] ΄͔ɺΫϥελʔ܏ର৅ʢͷྨࣅʣΛ΋ͭ CY ࡾ֯‫ݍ‬Λ͋Δ dg ୅਺ Π Λ༻͍ͯఆٛ 2.13 ͷ‫هʹܗ‬ड़Ͱ͖Δ͜ͱ͕෼͔͍ͬͯΔ [24, 15]ɻ

*7 ௨ৗͷ‫্؀‬ͷ projective resolution ͷྨࣅɻྫ͑͹ಋདྷςϯιϧੵ M ⊗L N ͸ cofibrant resolution PA→ M ΛͱΔ͜ͱͰ
P ⊗A N ͱͯ͠‫͞ࢉܭ‬ΕΔɻ
*8 Γ3 (Q, W ) ʹର͢ΔίϗϞϩδʔͷ৚݅ͷ‫͑׵͍ݴ‬ɻH 0 Γ3 (Q, W ) ͕ Jacobi ୅਺ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ͜ͱʹΑΔɻ
*9 Πd+1 (A) ʹର͢ΔίϗϞϩδʔͷ৚݅ͷ‫͑׵͍ݴ‬ɻྫ͑͹ʮେҬ࣍‫ ͕ݩ‬d ະຬ ⇒νd ༗‫ ⇒ ݶ‬େҬ࣍‫ ͕ݩ‬d ҎԼʯ͕੒Γཱͭɻ

5

3 ओఆཧ
3.1 ‫ࣜܗ‬త dg ୅਺ͷΫϥελʔ‫ݍ‬զʑͷ໨త͸ Amiot ͷΫϥελʔ‫ ݍ‬2.13 Λཧղ͢Δ͜ͱͰ͋Δɻྫ͑͹ఆཧ 2.14 ͷΑ͏ʹɺCY dg ୅਺ Π͕༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ A ͷ CY ‫׬‬උԽͰ͋Δ৔߹͸ Π ͷΫϥελʔ‫ݍ‬͸ A ͷಋདྷ‫ݍ‬ͷ‫ي‬ಓ‫ݍ‬ͷแབྷࡾ֯‫ͯ͠ͱݍ‬දࣔ͞Εͨɻ͜ͷΑ͏ʹ Amiot Ϋϥελʔ‫ݍ‬ͷཧղͱͯ͠ɺಋདྷ‫ݍ‬ͷ‫ي‬ಓ‫ݍ‬΍ͦͷଞͷࡾ֯‫ͱݍ‬ͷ‫ݍ‬ಉ஋Λ༩͑
Δ͜ͱ͕໨ඪͰ͋Δɻ
ຊߘͰ͸ Amiot Ϋϥελʔ‫ݍ‬Λߟ͑Δ CY dg ୅਺ͱͯ͠‫ࣜܗ‬త (formal) ͳ΋ͷΛѻ͏ɻ͜͜Ͱඍ෼͕ 0 ͷ

dg ୅਺ʢͱٖಉ‫ܕ‬ʣͳ΋ͷΛ‫ࣜܗ‬త dg ୅਺ͱ͍͏ɻͦ͜Ͱʢdg Ͱͳ͍ʣ௨ৗͷ࣍਺෇͖‫͔؀‬Βٞ࿦Λ͸͡ΊΔɻ·ͣʢdg Ͱͳ͍௨ৗͷʣCY ୅਺ͷఆٛΛड़΂Δɻ
ఆٛ 3.1. R =!

*10 ͱ͸ɺR ͕ smoothi∈Z Ri Λ࣍਺෇͖‫͢ͱ؀‬ΔɻR ͕ n-Calabi-Yau Ͱ a ෆมྔ a Λ΋ͭZ eͰ͋Γ࣍਺෇͖྆ଆՃ‫܈‬ͷಋདྷ‫ ݍ‬D(Mod R ) ʹ͓͍ͯಉ‫ܕ‬

RHomRe (R, Re )(a)[n] # R
͕ଘࡏ͢Δ͜ͱΛ͍͏ɻsmooth Ͱ൒୯७Ͱͳ͍ෛ࣍਺෇͖୅਺ͷ a ෆมྔ͸ͭͶʹਖ਼Ͱ͋Δɻ௨ৗͷ CY ୅਺͸ʢCY dg ୅਺ͱൺ΂ͯʣྫ͕Α͘஌ΒΕ͍ͯΔɻ
ྫ 3.2.

1. R = k[x1 , . . . , xn ] Λ n ม਺ଟ߲ࣜ‫؀‬ɺdeg xi = ai ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ R ͸ n-CY Ͱ a ෆมྔ͸%n
− i=1 ai Ͱ͋Δɻ

2. k Λඪ਺ 0 ͷ୅਺ดମɺG Λ SLn (k) ͷ༗‫ݶ‬෦෼‫͢ͱ܈‬Δɻ͜ͷͱ͖Ͷ͡Ε‫ ؀܈‬R = k[x1 , . . . , xn ] ∗ G
͸ n-CY Ͱ͋Δɻ

3. Q Λ࿈݁ͳ non-Dynkin ᝪɺR ΛͦͷલࣹӨଟ‫( ؀ݩ‬preprojective algebra) ͱ͢Δɻ͢ͳΘͪԼͷΑ͏ʹ R ͸ Q ʹ‫͖޲ٯ‬ͷ໼Λ෇͚Ճ͑ͨᝪ Q ͱؔ܎ࣜͰදࣔ͞ΕΔ୅਺Ͱ͋Δɻ

Q = ··· $

!◦$

α
α∗

!◦$

! ··· ,

R = kQ/(%α∈Q1 (αα∗− α∗ α))੔਺ a Λ޷͖ʹͱΓɺ֤໼ α ʹରͯ͠ deg α + deg α∗ = −a Λຬͨ͢Α͏ʹ࣍਺Λ༩͑Δɻʢྫ͑͹deg α = 0, deg α∗ = 1.ʣ͢Δͱ R ͸ 2-CY Ͱ a ෆมྔ a Λ΋ͭɻ

4. ΑΓҰൠʹ A Λ n ແ‫ݶ‬ද‫ܕݱ‬ͷ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ͷ (n + 1) લࣹӨଟ‫؀ݩ‬͸ (n + 1)-CY Ͱ͋Δɻଞʹ΋ඪ४ଋͷશۭؒͳͲͷ‫ز‬Կతͳঢ়‫[ گ‬5, 8] ΍μΠϚʔ໛‫[ ܕ‬6] ͔Β‫ݱ‬ΕΔྫͳͲ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ

1 ͭ໨ͷ݁Ռ͸ɺCY dg ୅਺Λ͜ͷΑ͏ʹൺֱతΑ͘஌ΒΕͨ࣍਺෇͖ CY ୅਺͔Βૉ๿ʹߏ੒Ͱ͖Δ͜ͱ
Λओு͢Δɻ
ఆཧ 3.3. R Λ࣍਺෇͖ n-CY ୅਺Ͱ a ෆมྔ a Λ࣋ͭͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ Rdg ͸ූ߸ͷͶ͡ΕΛআ͍ͯʢdg ୅਺ͱͯ͠ʣ(n + a)-CY Ͱ͋Δɻैͬͯྫ 3.2 ʹ‫ͨ͛ڍ‬΋ͷ͸ dg ୅਺ͱͯ͠΋ʢූ߸Λআ͍ͯʣCY Ͱ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻଟ߲ࣜ‫؀‬ͷ৔߹͚ͩվΊͯड़΂͓ͯ͜͏ɻ
ྫ 3.4. R = k[x0 , x1 , . . . , xd ] Λ (d + 1) ม਺ଟ߲ࣜ‫؀‬ɺdeg xi = −ai ͱ͢Δɻ
*10 ʮGorenstein parameter ͕ −a Ͱ͋Δʯͱ΋‫ݴ‬ΘΕΔɻ

6

• R ͸࣍਺෇͖‫( ͯ͠ͱ؀‬d + 1)-CY Ͱ a ෆมྔ͸ a =%d

i=0 ai Ͱ͋Δɻ

• R Λඍ෼͕ 0 ͷ dg ୅਺ͱ‫ ͱ͢ͳݟ‬up to sign Ͱ (d + a + 1)-CY Ͱ͋Δɻ͜͏ͯ͠ CY dg ୅਺ͷߏ੒͕Ͱ͖ͨͷͰɺ࣍ͷ໨ඪ͸ C(Rdg ) ͷදࣔΛ༩͑Δ͜ͱͰ͋ΔɻఆཧΛड़΂ΔͨΊʹ͍͔ͭ͘‫ݴ‬༿Λ४උ͢Δɻ࣍਺෇͖ CY ୅਺ R ʹରͯͦ͠ͷ࣍਺෇͖Ճ‫܈‬ͷಋདྷ‫ ݍ‬D(ModZ R) ͷࡾ֯෦෼‫ݍ‬Λ࣍ͷΑ͏ʹఆΊΔɻ• perZ R := thick{R(i) | i ∈ Z}, ͢ͳΘͪࣗ༝Ճ‫Ͱ܈‬ੜ੒͞ΕΔ thick ෦෼‫ݍ‬ɻ͜Ε͸༗‫ݶ‬ੜ੒ࣹӨՃ‫܈‬ͷϗϞτϐʔ‫ʹݍ‬ଞͳΒͳ͍ɿperZ R # Kb (projZ R). ͞Βʹ R ͕ωʔλʔ‫؀‬ͷͱ͖ʢେҬ࣍‫ݩ‬ͷ༗‫ݶ‬ੑ͔Βʣ͜Ε͸༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺෇͖Ճ‫܈‬ͷಋདྷ‫ ݍ‬D b (modZ R) ʹ౳͍͠ɻ• Db (flZ R) Λ௕͞༗‫ ݶ‬R Ճ‫܈‬ͷಋདྷ‫͢ͱݍ‬Δɻͨͩࣗ͠વͳࣹ Db (flZ R) → D(ModZ R) ͸஧࣮ॆຬͰ͋
Δ͜ͱΛ༻͍ͯ D(ModZ R) ͷ෦෼‫͍ͯ͠ͳݟͱݍ‬Δɻ

R ͷ smooth ੑ͔Β্ͷ 2 ͭͷ෦෼‫ݍ‬͸แ‫ ܎ؚؔ‬Db (flZ R) ⊂ perZ R Λ΋ͭɻͦ͜Ͱ
qperZ R := perZ R/Db (flZ R)ͱఆΊΔɻR ͕ωʔλʔ‫؀‬ͷͱ͖͸ qperZ R = D b (modZ R)/D b (flZ R) Ͱ͋Γɺ͜Ε͸த਎ͷΞʔϕϧ‫ݍ‬ͷ

Serre ঎ qmodZ R := modZ R/ flZ R ͷಋདྷ‫ͱݍ‬ಉ஋Ͱ͋Δɻ͜ͷΞʔϕϧ‫ݍ‬͸ Artin-Zhang ͷඇՄ‫ࣹ׵‬ӨεΩʔϜ [4] Ͱ͋Γɺैͬͯࡾ֯‫ ݍ‬qperZ R ͸ͦͷಋདྷ‫ݍ‬ͷྨࣅͰ͋Δɻ
ͯ͞ɺ࣍਺෇͖‫؀‬ͷಋདྷ‫ ݍ‬D(ModZ R) ͱ dg ୅਺ Rdg ͷಋདྷ‫ ݍ‬D(Rdg ) Λ௚઀ൺֱ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ࣍਺෇͖Ճ‫܈‬ͷෳମ X = (· · · → X i−1 → X i → X i+1 → · · · ) ʹରͯ͠ɺ࣍਺෇͖ R Ճ‫ ܈‬Tot X :=!

i
i∈Z X (−i)ʹෳମ X ͷඍ෼͔Βඍ෼Λ༩͑ͨશෳମ (total complex)*11 ͱͯ͠ɺdg Rdg Ճ‫͕܈‬ఆ·Δɻ͜ͷରԠ͸ࡾ֯ؔख Tot : D(ModZ R) → D(Rdg ) Λ༩͑Δɻ࣍ͷ 2 ͭ໨ͷఆཧ͸ɺ͜Ε͕Ϋϥελʔ‫ݍ‬ͷϨϕϧʹྑ͍‫ؔͰܗ‬खΛ༠ಋ͢Δ͜ͱΛҙຯ͢Δɻఆཧ 3.5. R =!

i≤0 Ri Λෛ࣍਺෇͖ CY ୅਺Ͱ a ෆมྔ a Λ΋ͪɺR0 ͸༗‫͋Ͱݩ࣍ݶ‬Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖Tot ͸஧࣮ॆຬؔख
qperZ R/(−1)[1]!"! C(Rdg )Λ༠ಋ͠ɺͦͷ૾͸ C(Rdg ) Λੜ੒͢Δɻ͢ͳΘͪ C(Rdg ) ͸‫ي‬ಓ‫ݍ‬ͷแབྷࡾ֯‫͋Ͱݍ‬Δɻ্ͷఆཧʹΑͬͯʮΫϥελʔ‫ݍ‬Λ‫ي‬ಓ‫ͯ͠ͱݍ‬දࣔ͢Δʯ͜ͱ͸Ͱ͖͕ͨɺࠨลΛ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ͷ‫ݴ‬༿Λ࢖ͬͯॻ͖௚͢͜ͱͰ C(Rdg ) ͷҙຯΛΑΓྑ͘ཧղ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻͦͷաఔͰຊ࣭తʹॏཁͳͷ͕࣍ͷMinamoto-Mori ͷఆཧͰ͋Δɻ
ఆཧ 3.6 ([33]). R =ͷͱ͖ T =!

i≤0 Ri Λෛ࣍਺෇͖ CY ୅਺Ͱ a ෆมྔ a Λ΋ͪɺR0 ͕༗‫͋Ͱݩ࣍ݶ‬Δͱ͢Δɻ͜Z*12 Ͱ͋Δɻैͬͯ A = End
qperZ R (T ) ʹରͯ͠ࡾ֯ಉ஋
i=0 R(−i) ͸ qper R ͷ܏ର৅!a−1qperZ R # Db (mod A)

͕ଘࡏ͢Δɻ

1. R ͕ଟ߲ࣜ‫ ؀‬k[x0 , x1 , . . . , xd ] Ͱ deg xi = −1 ͷͱ͖ qperZ R = Db (coh Pn ) Ͱ͋ΓɺT ͸!dBeilinson ͷ܏ϕΫτϧଋ T = i=0 O(i) ʹଞͳΒͳ͍ɻ͜ͷҙຯͰఆཧ 3.6 ͸ Beilinson ͷఆཧͷඇ஫ҙ 3.7.

*11 ͭ·Γ Tot X ͸ X Λʮλςʯͷඍ෼͕ 0 ͷೋॏෳମͱ‫͖ͱͨ͠ͳݟ‬ͷೋॏෳମͷ total Ͱ͋Δɻ
*12 ࡾ֯‫ ݍ‬Tͷੜ੒‫ ݩ‬T Ͱ HomT (T, T [&= 0]) = 0 Λຬͨ͢΋ͷΛ܏ର৅ (tilting object) ͱ͍͏ɻ‫ޙ‬ड़ͷఆཧ 3.14(3) ͷΑ͏ʹ܏ର৅͸ࡾ֯ಉ஋Λಋ͘ɻ͜Ε͸ Keller ͷఆཧ 2.8 ͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δɻ

7Մ‫׵‬൛Ͱ͋ΔɻT ͷࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ ؀ܕ‬A ͸ Beilinson ୅਺ͱ‫ݺ‬͹ΕɺҎԼͷᝪͱؔ܎ࣜͰදࣔ͞ΕΔɻ

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···

x0

A: 0

xd

!

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x i xj = xj xi

2. R ͕ (d + 1)-CY ͷͱ͖ఆཧ 3.6 ʹ‫ݱ‬Εͨ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ A ͸ d ແ‫ݶ‬ද‫͋Ͱܕݱ‬Δɻ͜Ε͸ߴ࣍‫ݩ‬
Auslander-Reiten ཧ࿦ͷ‫͔఺؍‬Βɺඇ Dynkin ᝪͷಓଟ‫؀ݩ‬ʢ=1 ແ‫ݶ‬ද‫ܕݱ‬ʣͷߴ࣍‫ݩ‬൛ͱͯ͠ [17]Ͱಋೖ͞ΕͨେҬ࣍‫ ͕ݩ‬d ͷ‫؀‬ͷΫϥεͰ͋Δɻ্‫ه‬ͷ Beilinson ୅਺͕య‫ܕ‬తͳྫͰ͋Γɺ͜ͷΑ͏ͳʢՄ‫׵‬ɾඇՄ‫׵‬ʣ୅਺‫ز‬Կతͳঢ়‫࢟Ͱگ‬Λ‫͕ͱ͜͢ݱ‬ଟ͍ [32, 33, 17, 8]ɻ
ఆཧ 3.6 ͷࡾ֯ಉ஋ʹ͓͍ͯ Serre ؔखΛൺֱ͢Δ͜ͱͰ࣍ͷՄ‫׵‬ਤࣜΛಘΔɻ

qperZ R%Db (mod A)
ν=−⊗L
A DA

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qperZ R%%Db (mod A)Z͕ͨͬͯ͠ D b (mod A) ͷ d-Auslander-Reiten Ҡಈ νd = − ⊗L
A DA[−d] ʹ͸ɺqper R ্ͷ (a) ͕ରԠ͠ɺैͬ

ͯ (1) ʹରԠ͢Δ D b (mod A) ͷࣗ‫ݾ‬ಉ஋ͱͯ͠ νd ͷ a ৐ࠜΛఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɿ‫ ܥ‬3.8. D b (mod A) ͷ d-Auslander-Reiten Ҡಈ νd ͸ a ৐ࠜΛ࣋ͭɻ1/a͜ͷ νd ͷ a ৐ࠜ νdͱ Minamoto-Mori ͷఆཧ 3.6 Λ༻͍ͯఆཧ 3.5 ͷࠨลΛॻ͖௚͢ͱҎԼΛಘΔɻ

‫ ܥ‬3.9. ຒΊࠐΈ
−1/aDb (mod A)/νd

[1]

!"

! C(Rdg )−1/a͕ଘࡏͯͦ͠ͷ૾͸ C(Rdg ) Λੜ੒͢Δɻैͬͯ C(Rdg ) ͸ D b (mod A)/νd[1] ͷแབྷࡾ֯‫͋Ͱݍ‬Δɻ

͜͏ͯ͠ BMRRT Ϋϥελʔ‫ࣅྨͱݍ‬ͷ C(Rdg ) ͷදࣔΛಘΔ͜ͱ͕Ͱ͖ͨɻಉ࣌ʹ A ͷ νd ͷʮa ৐ࠜΛ൐͏ʯΫϥελʔ‫ݍ‬ɺਖ਼֬ʹ͸

−1/a

νd

−1/a

[1] = (νd ◦ [−a])−1/a = νd+aͱ‫ࣜܗ‬తʹม‫͢ܗ‬Δ͜ͱͰɺ௨ৗͷ (d + a) Ϋϥελʔ‫ ݍ‬Cd+a (A) ͷʮa ࣍८ճ‫ʹ܈‬ΑΔ঎ʯͰ͋Δͱཧղ͢Δ
͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷఆཧΛ༻͍ͯ C(Rdg ) Λ۩ମతʹ‫ه‬ड़Ͱ͖ΔྫΛ‫ݟ‬Δɻ
ྫ 3.10. R = k[x, y] Λ 2 ม਺ଟ߲ࣜ‫ ਺࣍Ͱ؀‬deg x = deg y = −1 Λ΋ͭ΋ͷͱ͢Δɻ͜Ε͸ʢ࣍਺෇͖‫ͱ؀‬

ͯ͠ʣ2-CY Ͱ a ෆมྔ͸ 2 ͳͷͰɺఆཧ 3.3 ΑΓ Rdg ͸ʢdg ୅਺ͱͯ͠ʣූ߸ʹΑΔͶ͡ΕΛআ͍ͯ 4-CYͰ͋Γɺʢup to sign Ͱʣ3-CY ͳࡾ֯‫ ݍ‬C(Rdg ) ͕ಘΒΕΔɻ

Z
ඇՄ‫ࣹ׵‬ӨεΩʔϜ qmod
R ͸ʢՄ‫ͳ׵‬ʣࣹӨۭؒ
P1 ্ͷ࿈઀૚ͷ‫ ݍ‬coh P1 Ͱ͋Γɺఆཧ 3.6 ༩͑Β&'ΕΔ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ A =

R0

0

R−1

R0

͸ Kronecker ᝪ Q : ◦& ◦ ͷಓଟ‫͋Ͱ؀ݩ‬Δɻ‫ ܥ‬3.8 ΑΓ kQ ͷ

Auslaner-Reiten Ҡಈ͸ฏํࠜ τ 1/2 Λ΋ͪɺҎԼͷΑ͏ʹ Db (coh P1 ) # Db (mod kQ) ͷ Auslander-Reiten ᝪ্Ͱʮࠨʹ 1 ͭͣΕΔʯؔखͰ͋Δɻ

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I0 [−1]
P0◦···

ఆཧ 3.5 ͱ‫ ܥ‬3.9 ΑΓҎԼͷࡾ֯ಉ஋ΛಘΔɻ

Db (coh P1 )/(1)[1] # Db (mod kQ)/τ −1/2 [1] # C(Rdg )8ྫ͑͹ӈͷࡾ֯ಉ஋͔Β C(Rdg ) ͷ௚‫ط‬໿ର৅͸ kQ Ճ‫ ͱ܈‬P0 [1] ͔ΒͳΔ͜ͱ͕෼͔Γɺ͜Ε͸ͪΐ͏Ͳ

C3 (kQ) ͷ൒෼Ͱ͋Δɻ্ͷྫ͔Β࣍਺Λগ͠ม͑Δ͚ͩͰ΋ɺ༷ࢠͷҟͳΔྫ͕ಘΒΕΔɻ
ྫ 3.11. R = k[x, y] Λ 2 ม਺ଟ߲ࣜ‫ ਺࣍Ͱ؀‬deg x = −1, deg y = −2 Λ΋ͭ΋ͷͱ͢Δɻ͜Ε͸ʢ࣍਺෇͖
‫ͯ͠ͱ؀‬ʣ2-CY Ͱ a ෆมྔ͸ 3 ͳͷͰɺఆཧ 3.3 ΑΓ Rdg ͸ʢdg ୅਺ͱͯ͠ʣ5-CY Ͱ͋Γɺ4-CY ࡾ֯‫ݍ‬C(Rdg ) ͕ಘΒΕΔɻ



R0

0

ఆཧ 3.6 Ͱ༩͑ΒΕΔ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺ A = 
R−1

R0

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R−2

Q:

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0

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
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0
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Db (mod kQ) ͷ τ −1/3 ͸ɺDb (qmodZ R) ͷ (−1) ʹରԠ͢Δࣗ‫ݾ‬ಉ‫ͳܕ‬ͷͰɺpreprojective component ্Ͱ͸ʮԁபʹԊͬͨ 1/3 ճసʯͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ͜ͷ 3 ৐ࠜΛ༻͍ͯɺC(Rdg ) ͸Լͷࡾ֯ಉ஋ʹΑͬͯ‫ه‬ड़͞ΕΔɻ

Db (mod kQ)/τ −1/3 [1] # C(Rdg )ैͬͯ C(Rdg ) ͷର৅͸ kQ Ճ‫ͱ܈‬΋͏Ұͭ P0 [1] ͔ΒͳΓɺ͜Ε͸ͪΐ͏Ͳ kQ ͷ 4 Ϋϥελʔ‫ ݍ‬C4 (kQ) ͷ

3 ෼ͷ 1 Ͱ͋Δɻᝪͷಓଟ‫ʹ؀ݩ‬ରͯ͠͸ͦͷ (1-)Auslander-Reiten Ҡಈ τ ͕΂͖ࠜΛ΋ͭඞཁ৚݅ΛɺҠಈᝪ (translation

quiver) ZQ [16] ͕ τ ͷ΂͖ࠜΛ΋ͭඞཁे෼৚݅ͱͯ͠༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻᝪ Q ͱ Q' ʹରͯ͠ ZQ ͱ ZQ'
͕Ҡಈᝪͱͯ͠ಉ‫͋Ͱܕ‬Δͱ͖ɺQ ͱ Q' ͸ಋདྷಉ஋Ͱ͋Δͱ͍͏͜ͱʹ͢Δɻʢಓଟ‫ ؀ݩ‬kQ ͱ kQ' ͕ಋདྷಉ஋Ͱ͋Δ͜ͱɺͱ‫ͯͬݴ‬΋Α͍ɻʣఆཧ 3.12. Q Λ༗‫ݶ‬ඇྠঢ়ᝪɺa Λਖ਼ͷ੔਺ͱ͢ΔɻZQ ͕ τ ͷ a ৐ࠜΛ࣋ͭͷ͸ɺQ ͕ҎԼͷ (a), (b), (c)Λຬͨ͢ᝪ Q' ͱಋདྷಉ஋Ͱ͋Δͱ͖ɺ·ͨͦͷͱ͖ʹ‫ݶ‬Δɻ(a) Q' ͸ͦͷॆຬ෦෼ᝪͱͯ͠ɺ͋Δᝪ T ͷ a ‫ݸ‬ͷίϐʔ T (0) , T (1) , . . . , T (a−1) Λ΋ͭɻ(b) x ∈ T (i) , y ∈ T (j) ʹରͯ͠ɺQ' ʹ໼͕͋Δͷ͸ i ≤ j ͷͱ͖ʹ‫ݶ‬Δɻ(c) T (i) Λ T (i+1) ʢͨͩ͠ T (a) := T (0) ʣʹૹΔ Q' ͷ௖఺ͷஔ‫׵‬͸ɺQ' ͷԼ෦άϥϑͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫ʹܕ‬Ԇ௕Ͱ͖Δɻ࠷‫ʹޙ‬ɺAuslander-Reiten Ҡಈͷ΂͖ࠜʹؔͯ͠ͻͱͭͷఆٛΛఏࣔͯ͠ΈΑ͏ɻ

9

ఆٛ 3.13. A Λ༗‫ݩ࣍ݶ‬୅਺Ͱ a Λਖ਼ͷ੔਺ɺn Λ੔਺ɺU Λ྆ଆ A Ճ‫܈‬ͷෳମͰ D(Ae ) ʹ͓͍ͯU ⊗LA · · · ⊗LA U # DA[−n] Λຬͨ͢΋ͷͱ͢Δʢࠨล͸ a ‫ݸ‬ͷςϯιϧੵʣɻ͜ͷͱ͖ A ͷ n Ϋϥελʔ‫ݍ‬Cn (A) ͷ a ࣍८ճ঎Λ Db (mod A)/ − ⊗LA U ͷแབྷࡾ֯‫ͯ͠ͱݍ‬ఆΊΔ*13 ɻ͜ͷΑ͏ͳΫϥελʔ‫ݍ‬ͷ८ճ঎͸ྫ͑͹Մ‫؀׵‬ͷද‫ݱ‬࿦ʹࣗવʹ࢟Λ‫͢ݱ‬ɻ࣮ࡍʹɺ͋ΔΫϥεͷՄ‫׵‬

Gorenstein ‫؀‬ͷ Cohen-Macaulay ҆ఆ‫ͱݍ‬ɺΫϥελʔ‫ݍ‬ͷ८ճ঎ͷࡾ֯ಉ஋Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

3.2 ৿ా‫ܕ‬ఆཧલઅͰ͸ CY ୅਺͔Βग़ൃͯͦ͠ͷΫϥελʔ‫ͯ͠ͱݍ‬ɺd-Auslander-Reiten Ҡಈͷ΂͖ࠜΛ൐͏ʮ༗‫࣍ݶ‬‫ݩ‬୅਺ A ͷ (d + a) Ϋϥελʔ‫ݍ‬ͷ a ࣍ͷ८ճ‫ʹ܈‬ΑΔ঎ʯ͕ಘΒΕΔ͜ͱΛ‫ͨ͠࡯؍‬ɻ͜ͷઅͷ໨త͸ɺΫϥελʔ܏ର৅Λ࣋ͭ CY ࡾ֯‫ݍ‬ΛɺͦͷΑ͏ͳ C(Rdg ) ͷ‫ܗ‬ͷࡾ֯‫ͯ͠ͱݍ‬෼ྨ͢Δɺ৿ా‫ܕ‬ఆཧΛ༩͑Δ͜
ͱͰ͋Δɻʮ৿ా‫ܕ‬ʯͱ͍͏ͷ͸ɺந৅తͳΞʔϕϧ‫ݍ‬΍ࡾ֯‫ݍ‬ͷத͔ΒɺͦΕΒͷయ‫͋Ͱྫܕ‬ΔՃ‫ݍ܈‬ɺ࿈઀૚ͷ‫ݍ‬΍ಋདྷ‫ݍ‬Λɺ͋Δର৅ͷଘࡏʹΑͬͯಛ௃͚ͮΔ࣍ͷ‫ݹ‬యతͳ݁ՌΛࢦ͍ͯ͠Δɻ
ఆཧ 3.14.

1. [11] A ΛΞʔϕϧ‫ࣹͰݍ‬Өੜ੒‫( ݩ‬progenerator) P ∈ A Λ΋ͭͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ҎԼͷ‫ݍ‬ಉ஋͕ଘࡏ͢Δɻ

A # mod EndA (P )2. [4] A ΛΞʔϕϧ‫ Ͱݍ‬O ∈ A ͱࣗ‫ݾ‬ಉ‫ ܕ‬s : A → A ͕๛෋ (ample) ͳର (O, s) Λͳ͢ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ҎԼͷ‫ݍ‬ಉ஋͕ଘࡏ͢Δɻ

A # qmodZ (!

ii≥0 HomA (O, s O))

3. [25] T Λ୅਺తࡾ֯‫܏Ͱݍ‬ର৅ (tilting object) T ∈ T Λ΋ͭͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ҎԼͷࡾ֯ಉ஋͕ଘࡏ͢Δɻ

T # Kb (proj EndT (T ))Ϋϥελʔ‫ݍ‬ͷจ຺ʹ͓͍ͯ͸ɺCQ ͳͲͷΫϥελʔ‫ݍ‬ΛΫϥελʔ܏ର৅ͷଘࡏʹΑͬͯಛ௃͚ͮΔͷ͕ʮ৿ా‫ܕ‬ఆཧʯͱ‫͑ݴ‬Α͏ɻ͜ͷํ޲Ͱ஌ΒΕ͍ͯΔ݁Ռ͸ຊ࣭తʹҎԼ͕શͯͰ͋Δɻ
ఆཧ 3.15. T Λ୅਺త d-CY ࡾ֯‫ Ͱݍ‬d Ϋϥελʔ܏ର৅ T Λ΋ͭͱ͢Δɻ

1. (Keller-Reiten [31]) d = 2 Ͱɺ͋Δඇྠঢ়ᝪ Q ʹରͯ͠ EndT (T ) = kQ Ͱ͋Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ҎԼͷࡾ֯ಉ஋͕ଘࡏ͢Δɻ

T # CQ = Db (mod kQ)/τ −1 [1]2. (Keller-Murfet-Van den Bergh [30]) d = 3 Ͱ EndT (T ) = k, dimk HomT (T, T [−1]) = m > 0 ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ҎԼͷࡾ֯ಉ஋͕ଘࡏ͢Δɻ

T # Db (mod kQm )/τ −1/2 [1]͜͜Ͱ Qm : ◦)++ ◦ ͸໼͕ m ຊ͋ΔҰൠ Kronecker ᝪɺτ 1/2 ͸ Auslander-Reiten Ҡಈ τ ͷࣗવʹఆٛ͞ΕΔฏํࠜͰ͋Δ*14 ɻ஫ҙ 3.16. Ϋϥελʔ୅਺ͷ‫͔఺؍‬Β͸ Keller-Reiten ͷఆཧ͸ʮΫϥελʔ‫ݍ‬ͷҰҙੑʯΛओு͍ͯ͠Δɻ͢ͳΘͪɺᝪ Q ͷΫϥελʔ୅਺ AQ ͷ‫ݍ‬Խ͕࣋ͭ΂͖ੑ࣭ʢ=ఆཧ 3.15(1) ͷԾఆʣΛຬͨ͢ࡾ֯‫ݍ‬͸ CQ ͔͠ͳ͍ɺͱ‫͍ͯͬݴ‬Δɻಛʹ AQ ͷ࣋ͭมҟͷ૊Έ߹Θͤతߏ଄͸ࡾ֯‫ ݍ‬CQ ʹΑܾͬͯఆ͞ΕΔɻ

*13 ਖ਼֬ʹ͸ Ψ → U Λ Ae Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬ͷࣹӨ෼ղɺS = TA Ψ Λςϯιϧ୅਺ͱͯ͠ɺper S/D b (S) ʹΑͬͯఆٛ͢Δɻ
*14 ྫ͑͹ τ −1/2 ͸ preprojective component Ͱ͸ྫ 3.10 ͷΑ͏ʹʮͻͱͭӈʹʯͣΕΔɻ

10զʑͷओఆཧ͸্ͷ 2 ͭʢͷେ෦෼ʣΛ‫ڞ‬௨ʹҰൠԽ͢ΔɺҨ఻తଟ‫͔؀ݩ‬Βੜ͡Δ CY ࡾ֯‫ʹݍ‬ର͢Δ৿ా‫ܕ‬ఆཧͰ͋Δɻ
ఆཧ 3.17. d ≥ 2 Λ੔਺ɺT Λ d Ϋϥελʔ܏ର৅ T Λ΋ͭ୅਺త d-CY ࡾ֯‫͢ͱݍ‬Δɻ͜͜Ͱ H =EndT (T ⊕ T [−1] ⊕ · · · ⊕ T [−(d − 2)]) ͕Ҩ఻తͰແ‫ݶ‬ද‫͋Ͱܕݱ‬ΔͱԾఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖ H ͷ AuslanderReiten Ҡಈ τ ͸ࣗવͳ (d − 1) ৐ࠜΛ΋ͪɺࡾ֯ಉ஋

T # Db (mod H)/τ −1/(d−1) [1]͕ଘࡏ͢Δɻྫ͑͹ d = 2 ͳΒ͹ఆཧ 3.15(1) ͷ Keller-Reiten ͷఆཧʢͷඇ Dynkin ͷ৔߹ʣΛ༩͑ɺd = 3 Ͱ EndT (T ) =k ͳΒ͹ఆཧ 3.15(2) ͷ Keller-Murfet-Van den Bergh ͷఆཧʢͷ m ≥ 2 ͷ৔߹ʣΛ༩͑Δɻ

·ͨԾఆʹ‫ݱ‬Εͨ H = EndT (T ⊕ T [−1] ⊕ · · · ⊕ T [−(d − 2)]) ͷҨ఻ੑ͸‫͍ڧ‬৚݅ʹ‫͑ݟ‬Δ͕ɺ͕࣍੒Γཱͭɻ

ఆཧ 3.18. d ≥ 3 Λ੔਺ɺT Λ d Ϋϥελʔ܏ର৅ T Λ΋ͭ d-CY ࡾ֯‫͢ͱݍ‬Δɻ΋͠ EndT (T ⊕ · · · ⊕T [−(d − 3)]) ͕Ҩ఻తͳΒ͹ H = EndT (T ⊕ · · · ⊕ T [−(d − 3)] ⊕ T [−(d − 2)]) ΋Ҩ఻తͰ͋ΔɻҎ্Λ૊Έ߹ΘͤΔͱ࣍ͷ‫͕݁ؼ‬ಘΒΕΔɻͨͩ͠ (2) ͸ EndT (T ⊕ T [−1] ⊕ T [−2]) ΛܾఆͰ͖Δ͜ͱ΋ओு͍ͯ͠Δɻ

‫ ܥ‬3.19. T Λ୅਺త d-CY ࡾ֯‫ Ͱݍ‬d Ϋϥελʔ܏ର৅ T Λ΋ͭͱ͢Δɻ

1. d = 3 Ͱ EndT (T ) ͕Ҩ఻తͰ͋Δͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ H = EndT (T ⊕ T [−1]) ΋Ҩ఻తͰ͋ΓɺH ͕ແ‫ݶ‬ද‫ͳܕݱ‬Β͹ҎԼͷࡾ֯ಉ஋͕ଘࡏ͢Δɻ

T # Db (mod H)/τ −1/2 [1]2. d = 4 Ͱ EndT (T ) = k, dimk HomT (T, T [−1]) = m > 0 ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ҎԼͷࡾ֯ಉ஋͕ଘࡏ͢Δɻ
T # Db (mod kQm )/τ −1/3 [1].2 ‫ܕ‬ᝪɺτ 1/3 ͸ Auslander-Reiten Ҡಈ τ ͷࣗવʹఆٛ͞ΕΔ 3 ৐͜͜Ͱ Qm ͸໼͕ m ຊ͋ΔҰൠ A
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ँࣙୈ 66 ճ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝʹ͓͍ͯߨԋͷ‫ػ‬ձΛ༩͍͑ͯͩ͘͞·ͨ͠ੈ࿩ਓͷઌੜํʹ‫ँײ‬ਃ্͛͠·͢ɻຊ‫ڀݚ‬͸ JSPS Պ‫ݚ‬අ JP19J21165 ͷॿ੒Λड͚ͨ΋ͷͰ͢ɻࢀߟจ‫ݙ‬[1] C. Amiot, Cluster categories for algebras of global dimension 2 and quivers with potentional, Ann.
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13૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨࡔ಺݈Ұ ∗"

Abstract. ຊߘͰ͸ɺ૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱɺରԠ͢ΔಉมϙϦϩάྨʹ·ͭΘΔචऀͷେԼୡ໵ࢯɺ‫࣍ށ‬๠ਓࢯɺࢁాҰ‫ࢯل‬ɺࢁຊम࢘ࢯɺഡ‫ͱࢯܒݪ‬ͷ‫ڞ‬ಉ‫͍ͯͭʹڀݚ‬ղઆ͢Δɻ

Contents
1.

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1

2.

৽୩ੜ੒ྨ

3

2.1.

༗ཧ਺ମͷ৔߹

3

2.2.

૯࣮୅਺ମͷ Lerch θʔλؔ਺

4

2.3.

৽୩θʔλؔ਺ͱͦͷ฼ؔ਺

6

2.4.

৽୩ੜ੒ྨ

9

3.

11

ϙϦϩά

3.1.

৐๏‫܈‬ͷϙϦϩάͷߏ੒

11

3.2.

ϗοδ࣮‫ ͱݱ‬Beilinson ༧૝

13

3.3.

૯࣮୅਺ମͷಉมϙϦϩά

15

3.4.

ϓϨΫςΟοΫߏ଄ͱ༧૝

16

References19

1. ͸͡Ίʹ
චऀ͸ࠓ·ͰɺʮϙϦϩάʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ਺࿦‫ز‬Կతର৅ʹ‫ڵ‬ຯΛ࣋ͬͯ‫ڀݚ‬ΛਐΊͯདྷͨɻ
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∫ ∞
ds
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Date: December 28, 2021.

1

2

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΍ Bloch-Beilinson Ճ౻༧૝ [16] ͷূ໌ͷഎ‫ʹܠ‬΋‫ݱ‬ΕΔɻ

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ͷߏ੒ʹ͍ͭͯղઆ͢Δɻৄࡉ͸ [5, 6] ʹॻ͔Ε͍ͯΔɻ

2.1. ༗ཧ਺ମͷ৔߹. ͜͜Ͱ͸༗ཧ਺ମͷ৔߹ʹɺීวత฼ؔ਺ʹ͍ͭͯղઆ͢Δɻ༗ཧ਺ମ
ͷ৔߹ͷ Hecke L ؔ਺Ͱ͋Δ Dirichlet L ؔ਺͸ɺLerch θʔλؔ਺ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ͋Δछͷθʔλؔ਺ͷઢ‫ܕ‬࿨Ͱද͞ΕΔɻ·ͣ͸ Lerch θʔλؔ਺ͷఆ͔ٛΒ࢝ΊΔɻ͍·ɺ1 ͷ N ৐ࠜ ξ ∈ C× Λߟ͑Δɻ೚ҙͷ n ∈ N ʹରͯ͠ ξ(n) ! ξ n ͱ͓͘͜ͱΑΓɺႈࠜ ξ ͸ɺࢦඪ ξ : Z → R Λ༩͑Δɻࠓ‫ޙ‬ɺ1 ͷႈࠜ ξ ͱରԠ͢Δࢦඪ ξ : Z → R ͸ಉҰࢹ͢Δɻ
ఆٛ 2.1. ξ ∈ C× Λ 1 ͷ N ৐ࠜͱͯ͠ɺξ : Z → R ΛରԠ͢Δࢦඪͱ͢Δɻξ ͷ Lerch θʔλؔ਺ΛL(ξ, s) !

∞"ξ(n)n−sn=1

ͱఆٛ͢Δɻ͜ͷ‫਺ڃ‬͸ Re(s) > 1 ͷ࣌ʹઈରऩଋ͠ɺશෳૉฏ໘ʹ s ͷ༗ཧ‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ղੳ઀ଓ͞ΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻႈ‫਺ڃ‬ද͔ࣔΒ೚ҙͷ ξ " 1 ͱ੔਺ k > 0 ʹରͯ͠L(ξ, k) = Lik (ξ)

4

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͕੒ΓཱͭɻैͬͯɺLerch θʔλؔ਺ L(ξ, s) ͷਖ਼ͷ੔਺஋͸ɺϙϦϩάؔ਺ Lik (t) ͷႈࠜξ " 1 Ͱͷ஋Ͱ΋͋ΔɻDirichlet ࢦඪ χ : (Z/NZ)× → C× Λߟ͑Δɻ1 ͷ N ৐ࠜ ξ ∈ µ N ʹରͯ͠

1 "cχ (ξ) !
χ(m)ξ(−m)
N m=1Nͱ͓͘ͱɺ༗‫ࢦݶ‬ඪͷ Fourier ల։ΑΓɺ೚ҙͷ n ∈ Z ʹରͯ͠"
χ(n) =cχ (ξ)ξ(n)ξ ∈µ N͕੒Γཱͭɻ͜ͷࣄ࣮͔Βɺ(2)

L( χ, s) =

∞
"
n=1

χ(n)n−s ="ξ ∈µ Ncχ (ξ)∞"n=1cχ (ξ)ξ(n)n−s ="ξ ∈µ Ncχ (ξ)L(ξ, s)ͱͳΓɺDirichlet L ؔ਺͸ Lerch θʔλؔ਺ͷઢ‫ܕ‬࿨Ͱॻ͚Δ͜ͱ͕ै͏ɻ্‫͔ه‬ΒɺDirichlet

L ؔ਺ͷಛघ஋͸ɺLerch θʔλؔ਺ͷಛघ஋Λ௨ͯ͠ௐ΂ΒΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɻ༗ཧؔ਺
G(t) ͕ʮීวత฼ؔ਺ʯͰ͋Δ͜ͱͷҙຯ͸ɺG(t) Λ༷ʑͳ t = ξ Ͱͷႈ‫਺ڃ‬ల։͕ɺL(ξ, s)ͷෛͷ੔਺఺Ͱͷ஋ͷ฼ؔ਺ͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱͰ͋Δɻdఆཧ 2.2. G(t) = t/(1 − t) ͱͯ͠ɺ∂ = t dt
ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ೚ҙͷ 1 ͷႈࠜ ξ ∈ C×, ξ " 1 ͱ੔਺ k ≥ 0 ʹରͯ͠ɺ͕੒Γཱͭɻ

#∂ k G(t)#t=ξ = L(ξ, −k)dඍ෼࡞༻ૉ ∂ = t dt͸ɺ೚ҙͷ n ∈ N ʹରͯ͠ ∂(t n ) = nt n Λຬͨ͢࡞༻ૉͱͯ͠ಛ௃ͮ

͚ΒΕΔɻఆཧ 2.2 ΑΓɺG(t) ͸શͯͷࣗ໌Ͱͳ͍༗‫ࢦݶ‬ඪ ξ ͱඇਖ਼ͳ੔਺ −k Ͱͷ Lerchθʔλؔ਺ L(ξ, −k) ͷ஋Λ஌͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɻ̍ͭͷؔ਺ʹଟ͘ͷ৘ใ͕಺ࡏ͞Εͯ

͍Δ͜ͱ͔Β‫ۃ‬Ίͯීวతͳ΋ͷͰ͋Γɺචऀ͕ʮීวత฼ؔ਺ʯͱ‫ॴͿݺ‬ҎͰ͋Δɻ฼ؔ਺

G(t) = t/(1 − t) ͸ɺ৐๏‫ ܈‬Gm ! Spec Q[t, t −1 ] ্ͷ༗ཧؔ਺Ͱ͋Γɺಛʹ U Z ! Gm \ {1} ͱ͓͘ͱɺ

G(t) ∈ H 0 (U Z, OGm )ͱͳΔɻ

2.2. ૯࣮୅਺ମͷ Lerch θʔλؔ਺. ͜͜Ͱ͸ɺ૯࣮୅਺ମͷ Lerch θʔλؔ਺ͷఆٛΛड़΂ΔɻҎԼɺF Λ૯࣮୅਺୅਺ମͱͯ͠ɺOF Λ੔਺‫͢ͱ؀‬ΔɻF+ Λ F ͷ૯ਖ਼‫ݩ‬શମͱͯ͠ɺ
৐๏ʹΑΔԋࢉΛߟ͑Δ৔߹ʹɺ F+ Λ F+× ͱॻ͘͜ͱͱ͢ΔɻΑΓҰൠʹ A ⊂ F ʹରͯ͠A+ ⊂ A Λ A ͷ૯ਖ਼‫ݩ‬શମͱ͢Δɻ͍·ɺf ⊂ OF Λ 0 Ͱͳ͍ F ͷ੔ΠσΞϧͱͯ͠ɺIf Λ f ͱ‫ʹ͍ޓ‬ૉͳ F ͷ෼਺ΠσΞϧશମͷ੒͢‫܈‬ɺPf+ ! {(x) | x ∈ F+×, x ≡ 1 mod× f} ͱ͓͘ɻ͜ͷ

ͱ͖ɺF ͷಋख f ͷ‫ڱ‬ٛΠσΞϧྨ‫ ܈‬Cl+F (f) ͸ɺCl+F (f) ! If /Pf+ ʹΑͬͯ༩͑ΒΕΔɻ४ಉ‫ܕ‬χ : Cl+F (f) → C×૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨ5Λɺ F ͷಋख f ͷ༗‫ ݶ‬Hecke ࢦඪͱ‫Ϳݺ‬ɻ͜ͷ Hecke ࢦඪʹରԠ͢Δ Hecke L ؔ਺͸ɺ‫਺ڃ‬"L( χ, s) !
χ(a)N(a)−sa ⊂ OFͰ༩͑ΒΕΔɻ͜͜Ͱɺa ͸ OF ͷ੔ΠσΞϧશମΛಈ͘ͱͯ͠ɺ(a, f) " 1 ͷͱ͖ɺ χ(a) ! 0
ͱఆٛ͢Δɻ্‫਺ڃه‬͸ Re(s) > 1 ͷͱ͖ʹઈରऩଋ͠ɺHecke L ؔ਺͸શෳૉฏ໘ʹ s ͷ༗ཧ‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ղੳ઀ଓ͞ΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ૯࣮୅਺ମͷ Lerch θʔλؔ਺͸ɺ(2)ͷ༷ʹͦͷઢ‫ܕ‬࿨͕ L( χ, s) Λ༩͑Δ༷ͳ΋ͷͱͯ͠ఆٛ͢Δඞཁ͕͋Δɻ͍·ɺ೚ҙͷ F ͷ෼਺ΠσΞϧ a " {0} ʹରͯ͠ɺ(a/fa)× ⊂ a/fa Λɺa/fa ͷ OF /f Ճ‫ͱ܈‬× Λ F ͷ૯ਖ਼୯਺શମͱ͢Δͱɺ‫ڱ‬ٛΠσΞϧྨ‫܈‬ͯ͠ͷੜ੒‫ݩ‬શମͱ͢ΔɻҎԼɺ∆ ! OF+

Cl+F (1) ͷ୅ද C Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺα ∈ a+ Λ a −1 α ∈ Cl+F (f) ʹૹΔࣸ૾͸ɺશ୯ࣹ$#∆\(a/fa)× −→ Cl+F (f)a ∈CΛಋ͘ɻHecke ࢦඪ χ : Cl+F (f) → C× ʹରͯ͠χa (α) ! χ(a −1 α),α ∈ a+

ͱ͓͘ͱɺؔ਺ χa : ∆\(a/fa)× → C× ͕ఆٛ͞ΕΔɻҎ্ͷࣄ࣮ΑΓɺHecke L ؔ਺͸"" "L( χ, s) =χ(a)N(a)−s =χa (α)N(a −1 α)−sa ∈C α∈a+ /∆a ⊂ OFͱද͞ΕΔɻ
࣍ʹɺTa [f] ! HomZ (a/fa, C× ) Λࣸ૾ ξ : a/fa → C× Ͱɺ೚ҙͷ α, α + ∈ a ʹରͯ͠ ξ(α + α +) =ξ(α)ξ(α +) ͱͳΔ΋ͷશମͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺξ ∈ Ta [f] ʹରͯ͠1 "χa (α)ξ(−α)
cχ (ξ) !
N(f)α∈a/faͱ͓͘ͱɺ೚ҙͷ β ∈ a ʹରͯ͠χa (β) ="ξ ∈Ta [f]cχ (ξ)ξ(β)͕੒Γཱͭ͜ͱ͕ূ໌͞ΕΔɻ͜ͷࣄ࣮͔Βࢦඪ ξ ∈ Ta [f] ʹରͯ͠ɺ૯࣮୅਺ମͷ Lerch θʔλؔ਺Λ

L(ξ, s) “ ! ”"

ξ(α)N(a −1 α)−sα∈a+ /∆

ͱఆٛ͢Δ͜ͱ͸ࣗવʹࢥΘΕΔ͔΋͠Εͳ͍ɻ͔͠͠ͳ͕Βɺࢦඪ ξ ͸ a+ /∆ ্ͷؔ਺ͱͯ͠ well-defined ʹ͸ͳΒͳ͍͜ͱ͔Βɺ͜ͷఆٛΛ͜ͷ··࠾༻͢Δ͜ͱ͸‫׎‬Θͳ͍ɻ্‫ه‬ͷ໰୊Λճආ͢ΔͨΊʹɺචऀΒ͸ ξ ͷ ∆ ‫ي‬ಓʹΑΔ࿨ΛऔΔͱ͍͏ΞΠσΟΞΛಋೖͨ͠ɻ͍·ɺξ ∈ Ta [f] ͱ ε ∈ ∆ ʹରͯ͠ɺξ ε ∈ Ta [f] Λɺξ ε (α) = ξ(εα) Ͱ༩͑ΒΕΔࢦඪͱ͢Δɻ͜ͷରԠ͸ɺ∆ ͷ Ta [f] ΁ͷ࡞༻Λ༩͍͑ͯΔɻ∆ξ ! {ε ∈ ∆ | ξ ε = ξ} ͱ͓͘ͱɺ
"
ξ∆ !
ξε
ε ∈∆/∆ ξ6ࡔ಺݈Ұ͸ ξ ͷ ∆ ‫ي‬ಓʹΑΔ࿨Λ༩͍͑ͯΔɻߏ੒ΑΓɺξ∆ ͸ a+ /∆ ্ well-defined ͳؔ਺Λ༩͑ΔɻҎ্Λ౿·͑ͯɺ૯࣮୅਺ମͷ Lerch θʔλؔ਺Λ࣍ͷ༷ʹఆٛ͢Δɻ
ఆٛ 2.3. ೚ҙͷ ξ ∈ Ta [f] ʹରͯ͠ɺξ∆ ͷ Lerch θʔλؔ਺ΛL(ξ∆, s) !

"ξ∆(α)N(a −1 α)−sα∈a+ /∆

ͱఆٛ͢Δɻ͜ͷ‫਺ڃ‬͸ Re(s) > 1 Ͱઈରऩଋ͠ɺશෳૉฏ໘ʹ༗ཧ‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ղੳ઀ଓ͞
ΕΔ͕ূ໌Ͱ͖Δɻ೚ҙͷ ε ∈ ∆ ʹରͯ͠ cχ (ξ) = cχ (ξ ε ) ͱͳΔ͜ͱ͔Βɺ೚ҙͷ β ∈ a ʹରͯ͠χa (β) ="ξ ∈Ta [f]/∆ͱͳΓɺ(2) ͷࣗવͳҰൠԽͱͯ͠

L( χ, s) =" "a ∈C α∈a+ /∆"χa (α)N(a −1 α)−s ="cχ (ξ)ξ∆(β)""

a ∈C ξ ∈Ta [f]/∆=a ∈C ξ ∈Ta [f]/∆cχ (ξ)"

ξ∆(α)N(a −1 α)−sα∈a+ /∆cχ (ξ)L(ξ∆, s)ΛಘΔɻ͢ͳΘͪɺHecke L ؔ਺͸ Lerch θʔλؔ਺ͷ༗‫ݶ‬ઢ‫ܕ‬࿨Ͱ༩͑ΒΕΔɻ

2.3. ৽୩θʔλؔ਺ͱͦͷ฼ؔ਺. ৽୩͸ɺHecke L ؔ਺Λ‫͢ڀݚ‬Δ্Ͱɺਲ਼ cone ʹର͢Δ৽୩θʔλؔ਺Λಋೖͨ͠ɻ͜ͷষͰ͸ɺLerch ‫ܕ‬ͷ৽୩θʔλؔ਺ʹ͍ͭͯ෮़͢Δɻ͍·ɺ

I ! Hom(F, R) ΛମͷຒΊࠐΈࣸ૾શମͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺF ⊗ R # RI !

%ͱͳΔɻR+ ! {x ∈ R | x > 0} ͱͯ͠ɺR+I !
ͷ෼਺ΠσΞϧ a " {0} Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɻ

α -→ (τ(α))τ ∈I

R,

τ ∈I

&

τ ∈I R+ ͱ͢ΔɻҎԼɺg ! [F : Q] ͱͯ͠ɺ F

ఆٛ 2.4. R ্̍࣍ಠཱͳ α1, . . . , αg ∈ a+ ʹରͯ͠ɺσ ! {x1 α1 + · · · + xg αg | xi ∈ R+, i = 1, . . . , g}ͱ͍͏‫Ͱܗ‬༩͑ΒΕΔू߹ΛɺR+I ͷ୯ମతͳ༗ཧ։ਲ਼ open rational simplicial cone ͱ‫Ϳݺ‬ɻ'ΛI ͷ‫ʹݩ‬൪߸Λৼͬͯ I = {τ1, . . . , τg } ͱ͢Δɻ͍·ɺ A ⊂ R+I ʹରͯ͠ A ͷ্ดแ A' ! {u = (uτi ) ∈ R+I | ∃δ > 0, 0 < ∀δ + < δ, (uτ1 , . . . , uτg−1 , uτg − δ +) ∈ A}
A

ͱఆٛ͢Δɻ

7૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨ͍·ɺf " {0} Λ F ͷ੔ΠσΞϧͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ৽୩θʔλؔ਺Λ࣍ͷ༷ʹఆٛ͢Δɻ
ఆٛ 2.5. σ ⊂ R+I Λ୯ମతͳ༗ཧ։ਲ਼ͱ͢Δɻ·ͨɺξ ∈ Ta [f] ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺLerch ‫ܕ‬ͷ৽୩θʔλؔ਺Λζσ (ξ, s) !
ͱఆٛ͢Δɻͨͩ͠ɺ s = (sτ ) ∈ C I !

&"ξ(α)α−s

α∈'
σ ∩a+

−s !
τ ∈I C ͱͯ͠ɺα&τ ∈I τ(α)−sτ ͱ͢Δɻ͜ͷؔ਺͸ Re(sτ ) > 1 ͷͱ͖ʹઈରऩଋͯ͠ɺ s ∈ C I ʹ༗ར‫ͯ͠ͱ਺ؔܕ‬ղੳ઀ଓ͞ΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻҎ্͸ɺ৽୩θʔλؔ਺ͷͱͯ΋ಛघͳ৔߹ͱͳ͍ͬͯΔɻ৽୩ʹΑΓɺ৽୩θʔλؔ਺ͷෛͷ੔਺఺ͷ஋Λ༩͑Δ฼ؔ਺͸ߏ੒͞Ε͍ͯΔɻ͜ͷ฼ؔ਺Λߟ͑Δࣗવͳ࿮૊Έͱͯ͠ɺ૯࣮୅਺ମʹ෇ਵ͢Δ͋Δछͷ୅਺τʔϥεΛಋೖ͢ΔɻF ͷ 0 Ͱͳ͍෼਺ΠσΞϧ a ʹରͯ͠ɺKatz [25] ʹैͬͯɺZ ্ͷ୅਺τʔϥε Ta Λ

Ta ! HomZ (a, Gm )ͱఆٛ͢Δɻ͜ͷ୅਺τʔϥε͸ɺ೚ҙͷ Z ୅਺ R ʹରͯ͠ Ta (R) = HomZ (a, R× ) ΛΈͨ͢୅਺‫ͯ͠ͱ܈‬ಛ௃͚ͮΒΕΔɻεΩʔϜͱͯ͠͸ɺTa = Spec Z[t α | α ∈ a]Ͱ͋Δɻ͜͜Ͱ Z[t α | α ∈ a] ͸ɺt 0 = 1 ͱɺ೚ҙͷ α, α + ∈ a ʹରͯ͠ t α t α = t α+α ͱ͍͏ؔ܎
++ࣜΛΈͨ͢༗‫ݶ‬ੜ੒ Z ୅਺Ͱ͋Δɻ೚ҙͷ θ ∈ Hom(Z[t α | α ∈ a], R) ʹରͯ͠ɺξ(α) ! θ(t α )ͱ͓͘͜ͱͰɺξ ∈ Ta (R) = HomZ (a, R× ) ͕ఆٛ͞ΕΔɻಛʹ α1, . . . , αg Λ a ͷ Z Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬ͷੜ੒‫͢ͱݩ‬Δͱɺ

Z[t α | α ∈ a] = Z[t ±α1 , . . . , t ±αg ]ͱͳΔɻैͬͯඇඪ४తͰ͸͋Δ͕ɺTa # Gm × · · · × Gm ͱͳΔ͜ͱ͕ಋ͔ΕΔɻ͍·ɺα = (α1, . . . , αg ) Ͱੜ੒͞ΕΔ୯ମతͳ༗ཧ։ਲ਼ σ ʹରͯ͠ɺPα ! {x1 α1 +· · ·+ xg αg |0 < xi < 1, i = 1, . . . , g} ͱ͓͘ɻ͜͜Ͱɺ
Gσa (t) !

(α'α ∩a tα∈ P
(1 − t α1 ) · · · (1 − t αg )a (t) ͸ Ta ্ͷ༗ཧؔ਺Ͱ͋Γɺ೚ҙͷ α ∈ a ʹରͯ͠ U a ! Ta \ {t α = 1} ͱͱఆٛ͢ΔͱɺGσαa (t) ͸ U a ! U a ∩ · · · ∩ U a ্ͷਖ਼ଇؔ਺ͱͳΔɻ͢ͳΘͪɺ
͓͘ͱɺGσαα1αg

Gσa (t) ∈ Γ(Uαa , OTa )

8

ࡔ಺݈Ұ

͕੒Γཱͭɻ
ҎԼɺτ ∈ I ʹରͯ͠ Ta ͷඍ෼࡞༻ૉ ∂τ Λɺ೚ҙͷ α ∈ a ʹରͯ͠ ∂τ (t α ) = τ(α)t α ΛΈͨ&͢ͱ͍͏ੑ࣭Ͱಛ௃͚ͮΒΕΔ΋ͷͱ͢Δɻ∂ ! τ ∈I ∂τ ͱ͓͘ͱɺ∂ ͸ ∂(t α ) = N(α)t α Ͱಛ&௃͚ͮΒΕΔɻ·ͨɺ೚ҙͷ k = (kτ ) ∈ N I ʹରͯ͠ɺ∂ k ! τ ∈I ∂τkτ ͱఆٛ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺҎԼ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ

ఆཧ 2.6. ೚ҙͷ ξ ∈ Uαa (C) ͱ k = (kτ ) ∈ N I ʹରͯ͠ɺ#∂ k Gσa (t)#t=ξ = ζσ (ξ, −k)͕੒Γཱͭɻಛʹɺ೚ҙͷ ξ ∈ Uαa (C) ͱ੔਺ k ≥ 0 ʹରͯ͠ɺ#∂ k Gσa (t)#t=ξ = ζσ (ξ, (−k, . . . , −k))͕੒Γཱͭɻ

'α = (0, 1] ͱͳΔɻ·ͨɺಛʹ F = Qɺa = Zɺα = 1 ͷͱ͖ɺσ = '
σ = R+ ɺPα = (0, 1)ɺP
'α ∩ a = {1} ͱͳΓɺ'σ ∩ a = N+ = {1, 2, . . . , }ɺPζσ (ξ, s) =

∞
"
n=1

ξ(n)n−s = L(ξ, s),Gσa (t) =t
1−t

͕ಋ͔ΕΔɻैͬͯɺఆཧ 2.6 ͸ఆཧ 2.2 ͷࣗવͳҰൠԽͰ͋Δɻ৽୩θʔλؔ਺ͱ Lerch θʔλؔ਺Λؔ܎෇͚ΔͨΊͷैདྷͷํ๏͸ɺ৽୩෼ղΛར༻͢
Δํ๏Ͱ͋Δɻ࣍ͷ༷ͳ୯ମతͳ༗ཧ։ਲ਼ͷू߹͕ଘࡏ͢Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ
ఆཧ 2.7 ([36, Theorem 4.1]). ҎԼͷੑ࣭ΛΈͨ͢ɺ୯ମతͳ༗ཧ։ਲ਼ͷू߹ Φ ͕ଘࡏ͢Δɻ
)(1) R+I = σ ∈Φ 'σ.

(2) Φ ͸ ∆ ͷ࡞༻Ͱด͍ͯͯ͡ɺΦ/∆ ͸༗‫͋Ͱ߹ूݶ‬Δɻ)্‫ه‬ͷ༷ͳ Φ Λʮ৽୩෼ղʯͱ‫Ϳݺ‬ɻ৽୩෼ղ Φ/∆ ͷ୅ද‫ ܥ‬C Λ̍ͭ‫ݻ‬ఆ͢Δͱɺ σ ∈C 'σ

͸ R+I ͷ ∆ ʹΑΔ࡞༻ͷ‫ج‬ຊྖҬΛ༩͑Δɻ͜ͷ୅ද‫ܥ‬Λར༻͢Δͱɺξ ∈ Ta [f] ʹରͯ͠"" "L(ξ∆, s) =ξ∆(α)N(a −1 α)−s =ξ∆(α)N(a −1 α)−s" "α∈a+ /∆="σ ∈C ε ∈∆/∆ ξ α∈'σ ∩aσ ∈C α∈'σ ∩a

ξ (α)N(a −1 α)−s = N(a)sε" "σ ∈C ε ∈∆/∆ ξζσ (ξ ε, (s, . . . , s))ͱͳΓɺLerch θʔλؔ਺͕৽୩θʔλؔ਺Ͱද͞ΕΔɻैͬͯɺࢦඪ ξ ΍৽୩෼ղ Φ ‫ͼٴ‬ͦͷ୅ද‫ ܥ‬C Λ‫ݻ‬ఆ͢Δͱɺఆཧ 2.6 ΑΓɺL(ξ∆, s) ͷඇਖ਼ͳ੔਺఺Ͱͷ஋ͷ฼ؔ਺͕ɺؔ਺

Gσa (t) ͷઢ‫ܕ‬࿨Ͱॻ͚Δ͜ͱ͕ಋ͔ΕΔɻ͜ͷ༷ʹɺ༷ʑͳ৘ใͷ୅ද‫ܥ‬Λద੾ʹબͼɺ‫ݻ‬ఆ͢Ε͹ɺͦΕΒͷબ୒ʹର͢Δ฼ؔ਺Λ࡞Δ͜ͱ͸ՄೳͰ͋Δɻ͔͠͠ͳ͕Βɺߏ੒͕ࢦඪ ξͷऔΓํʹґଘ͍ͯ͠Δͱ͍͏ࣄ࣮ͳͲ͔Β΋ɺ͜ͷ༷ͳ฼ؔ਺͕ීวతͰ͋Δͱ͸‫͍ݴ‬೉͍ɻL(ξ∆, s) ͷඇਖ਼ͳ੔਺఺Ͱͷ஋ͷඪ४తͳීวతͳ฼ؔ਺ΛίϗϞϩδʔྨͱͯ͠༩͑Δ
ͷ͕ɺզʑͷ৽୩ੜ੒ྨͰ͋Δɻ

9૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨ

2.4. ৽୩ੜ੒ྨ. ͜͜Ͱ͸৽୩ੜ੒ྨͷཧ࿦ͱੑ࣭Λղઆ͢Δɻ৽୩ੜ੒ྨ͸ɺLerch θʔλؔ਺ͷ͋Δछͷ฼ؔ਺ͷ໾ׂΛՌͨ͢ɺಉมίϗϞϩδʔྨͰ͋Δɻ·ͣ͸৽୩ੜ੒ྨͷॅॲ
ͱͳΔ‫ز‬Կֶతͳର৅Λ঺հ͢ΔɻI Λ F ͷ 0 Ͱͳ͍෼਺ΠσΞϧશମͷू߹ͱͯ͠ɺ
$
T!
Ta
a ∈I

ͱ͓͘ɻa ∈ I ͱ͢Δɻ x ∈ F+× ʹରͯ͠ɺ xa ∈ I ͱͳΓɺࣗવͳಉ‫ ܕ‬a # xa ͸ɺ୅਺τʔϥεͷಉ‫ܕ‬/x0 : Txa # TaΛ༠ಋ͢Δɻ͜ͷಉ‫ܕ‬͸ɺࢦඪ ξ : xa → C× Λࢦඪ ξ x : a → C× , ξ x (α) ! ξ(xα) ʹҠ͢ɻT ͸

I ͷ͢΂ͯʹ౉Δ࿨Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺಉ‫ܕ‬/x0 : T # T͕ಋ͔ΕΔɻҎ্͸ɺT ʹ F+× ͷ࡞༻Λ༩͑Δɻѻ͏‫ز‬Կֶతର৅͸ɺ‫ ͯ͠ͱͪ࣋ؾ‬T ͷ F+× ͷ࡞༻ʹΑΔ঎ελοΫ T/F+× Ͱ͋Δ͕ɺ͜ͷର৅ͷίϗϞϩδʔΛ࣮‫͢ݱ‬Δखஈͱͯ͠ɺT ͷ

F+× ͷ࡞༻ʹΑΔಉมίϗϞϩδʔΛߟ͑Δɻ x ∈ ∆ ͷͱ͖ɺ xa = a Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ∆ ⊂ F+×͸֤ Ta ͷ࡞༻Λ༩͑ΔɻT ͸‫ڊ‬େͳର৅ʹࢥ͑Δ͕ɺT ͷ F+× ͷ࡞༻ʹΑΔ঎ελοΫ͸ɺ

Cl+F (1) ͷ୅ද C Λ̍ͭ‫ݻ‬ఆ͢Δͱ
T/F+× #

$
a ∈C

Ta /∆

ͱͳΓɺT ͷ F+× ͷ࡞༻ʹΑΔಉมίϗϞϩδʔ͸ɺ༗‫ݸݶ‬ͷ Ta ͷ ∆ ͷ࡞༻ʹΑΔಉมίϗϞϩδʔͷ࿨ͱҰக͢Δɻ

)

a
×
×
a ∈I U ͱ͓͘ͱɺ F+ ͸ U ʹ΋࡞༻͢ΔɻU ͷ F+ͷ࡞༻ʹΑΔಉมίϗϞϩδʔ H m (U/F+×, −) ͸ɺU ্ͷ F+× ͷಉม࡞༻Λ΋ͭ૚ʹରͯ͠ɺ×
Γ(U/F+×, −) ! Γ(U, −)F+ ͷӈಋདྷؔखͱͯ͠ఆٛ͞ΕΔɻ࣮ࡍͷ U ͷಉมίϗϞϩδʔͷҎԼɺU a ! Ta \ {1} ͱͯ͠ɺU !

‫ʹࢉܭ‬͸ɺಉม Čech ෳମΛ༻͍Δɻ͍·ɺa ∈ I ʹରͯ͠ Aa Λɺa+ ͷ‫࢝ݪ‬తͳ‫ݩ‬શମͱ

͢Δɻ͢ͳΘͪɺα ∈ a+ Ͱɺ೚ҙͷ੔਺ N > 1 ʹରͯ͠ɺα/N $ a+ ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺα ∈ Aa ʹରͯ͠ Uαa ! Ta \ {t α = 1} ͱ͓͘ͱɺ{Uαa }α∈Aa ͸ U a ͷΞϑΟϯඃ෴ͱͳΓɺ

U ! {Uαa }a ∈I,α∈Aa ͸ U ͷΞϑΟϯඃ෴ͱͳΔɻ੔਺ q ≥ 0 ͱ೚ҙͷ α = (α0, . . . , αq ) ∈ Aa

q+1

ʹରͯ͠ɺUαa ! Uαa 1 ∩ · · · ∩ Uαa q ͱ͓͘ɻF+× ͷ U ΁ͷ࡞༻͕ࣗ༝ͳ͜ͱ͔Βɺ͕࣍ಋ͔ΕΔɻ
໋୊ 2.8 ([6, Proposition 2.13]). ੔਺ q ≥ 0 ʹରͯ͠
*% %
+ F+×
alt
q
a
C (U, OT ) !
Γ(Uα, OT )a ∈I α ∈A q+1aͱͯ͠ɺඍ෼ d q : C q (U, OT ) → C q+1 (U, OT ) Λɺ֤ a ੒෼ʹ͓͍ͯඪ४తͳ Čech ෳମͷඍ෼(q(d q u)α0,...,αq+1 = j=0 (−1) j uα0,..., α̌ j ,...,αq+1 Ͱ༩͑ΒΕΔ΋ͷͱ͢Δɻ͜ͷ༷ʹಘΒΕͨෳମΛC • (U, OT ) ͱ͓͘ͱɺ

H m (U/F+×, OT ) # H m (C • (U, OT ))

10

ࡔ಺݈Ұ

͕੒Γཱͭɻ
͍·ɺ α = (α1, . . . , αg ) ∈ Aa ʹରͯ͠ɺsgn(α) Λߦྻ (τj (αi )) ∈ Mg (R) ͷߦྻࣜͷූ߸ͱg

͢Δɻ·ͨɺα1, . . . , αg ͕ R ্̍࣍ಠཱͳͱ͖ʹɺα = (α1, . . . , αg ) ͕ੜ੒͢Δ୯ମత༗ཧ։ਲ਼
a ͱఆٛ͢Δɻα , . . . , α ͕ R ্̍࣍ैଐͳ৔߹ʹ͸ɺG a ! 0Λ σα ͱ͓͖ɺGαa ! sgn(α)Gσ1gααͱఆٛ͢Δɻ৽୩ੜ੒ྨ͸ɺ࣍ͷ༷ʹఆٛ͞ΕΔɻ

໋୊ 2.9 ([6, Proposition 2.17]). a ∈ I ͱ α ∈ Aa ʹରͯ͠ɺGαa (t) ∈ Γ(Uαa , OT ) ͸g

G(t) ! (Gαa (t))a ∈I,α ∈Aag ∈ C g−1 (U, OT )ΛΈͨ͠ɺྟք৚݅ d g−1 (G(t)) = 0 ΋ຬͨ͢͜ͱ͔ΒɺಉมίϗϞϩδʔྨG(t) ∈ H g−1 (U/F+×, OT )Λఆٛ͢Δɻ͜ͷ G(t) Λɺ৽୩ੜ੒ྨͱ‫Ϳݺ‬ɻ৽୩ੜ੒ྨ͸̍ͭͷඪ४తͳίϗϞϩδʔྨͰ͋ΓɺԿΒ͔෇Ճతͳ৘ใͷબ୒ʹґଘ͍ͯ͠ͳ͍͜ͱ͕ɺͱͯ΋ॏཁͳϙΠϯτͰ͋Δɻ৽୩ੜ੒ྨ͕ɺීวతͳ฼ؔ਺ͷ໾ׂΛՌͨ͢͜ͱΛࣔ͢ҝʹɺ఺΁ͷҾ͖໭͠Λߟ࡯͢Δɻ͍·ɺ੔ΠσΞϧ f " {0} ʹରͯ͠ɺa ! ,aU a [f] ! Ta [f] \ {1} ͱ͓͘ɻ·ͨɺUtor
f ⊂ O F U [f] ͱͯ͠ɺ$aUtor !
Utora ∈Iͱ͓͘ɻ͢ͳΘͪɺ೚ҙͷ ξ ∈ Utor ʹରͯ͠ɺ͋Δ a ∈ I ͱ f ⊂ OF ͕ଘࡏͯ͠ɺξ ∈ U a [f] ͕੒Γཱͭɻξ ͸εΩʔϜͷࣸ૾ ξ : Spec Q(ξ) ,→ U Λ༠ಋ͢Δɻξ∆ Λ ξ ͷ ∆ ‫ي‬ಓͱ͢Δͱɺξ∆)ε͸εΩʔϜͷࣸ૾ ξ∆ :ε ∈∆/∆ ξ Spec Q(ξ ) ,→ U Λ༠ಋ͢ΔɻҎԼ؆୯ͷͨΊɺSpec Q(ξ) Λ)ξ ɺ ε ∈∆/∆ ξ Spec Q(ξ ε ) Λ ξ∆ Ͱද͢ɻξ∆ ʹ͸ ∆ ͕࡞༻͠ɺຒΊࠐΈ ξ∆ → U ͸͜ΕΒͷ࡞༻ͰಉมͱͳΔɻैͬͯɺҾ͖໭͠(ξ∆)∗ : H g−1 (U/F+×, OT ) → H g−1 (ξ∆/∆, Oξ∆ )͕༠ಋ͞ΕΔɻDirichlet ͷ୯਺ఆཧΑΓɺ∆ξ # Zg−1 Ͱ͋ΔɻShapiro ͷิ୊ͱ‫܈‬ίϗϞϩδʔͷ‫͔ࢉܭ‬Βɺඪ४తͳಉ‫ܕ‬(3)

H g−1 (ξ∆/∆, Oξ∆ ) # H g−1 (ξ/∆ξ , Oξ ) # H g−1 (∆ξ , H 0 (ξ, Oξ )) # Q(ξ)ΛಘΔɻT ͷඍ෼࡞༻ૉ ∂ ͸ɺಉมίϗϞϩδʔ΁ͷ࡞༻∂ : H g−1 (U/F+×, OT ) → H g−1 (U/F+×, OT )Λ༠ಋ͢Δɻ৽୩ੜ੒ྨ͸ɺԼ‫ه‬ͷੑ࣭ΛΈͨ͢ɻఆཧ 2.10 ([5, Theorem 5.1]). ೚ҙͷ ξ ∈ Utor ͱ੔਺ k ≥ 0 ʹରͯ͠ɺ(3) ͷಉ‫ܕ‬Λ௨ͯ͠(ξ∆)∗ ∂ k G(t) Λ Q(ξ) ͷ‫ͱݩ‬Έͳͨ͠΋ͷΛɺ∂ k G(ξ∆) ͱ‫͢ه‬ɻ͜ͷͱ͖ɺ∂ k G(ξ∆) = L(ξ∆, −k)͕੒Γཱͭɻ

૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨ11શͯͷࣗ໌Ͱͳ͍༗‫ࢦݶ‬ඪ ξ ∈ Utor ͱ੔਺ k ≥ 0 ʹ͍ͭͯɺLerch θʔλؔ਺ͷ஋ L(ξ∆, −k)Λ෮‫͖Ͱݩ‬Δ͜ͱ͔Βɺ৽୩ੜ੒ྨ͸ීวతͳ฼ؔ਺ͷ໾ׂΛՌ͍ͨͯ͠Δɻಛʹ F = Q ͷͱ͖ g = 1 Ͱ͋ΓɺU/F+× # U Z = Gm \ {1} ͱͳΓɺG(t) ∈ H g−1 (U/F+×, OT ) # H 0 (U Z, OGm )͸ G(t) = t/(1 − t) ͱҰக͢Δɻैͬͯ৽୩ੜ੒ྨ͸ G(t) = t/(1 − t) ͷҰൠԽͰ͋Γɺఆཧ 2.10
͸ɺఆཧ 2.2 ͷࣗવͳҰൠԽͱͳ͍ͬͯΔɻ

3. ϙϦϩά
͜ͷষͰ͸ɺ૯࣮୅਺ମʹ෇ਵ͢Δ୅਺τʔϥεͷಉมϙϦϩάʹ͍ͭͯɺղઆ͢Δɻ࠷ॳ͸༗ཧ਺ମͷ৔߹ʹରԠ͢Δɺ৐๏‫܈‬ͷϙϦϩάʹ͍ͭͯղઆ͢Δɻͦͷ‫ޙ‬ɺϗοδ࣮‫ݱ‬ͱ Beilinson ༧૝ͱͷؔ܎Λड़΂ɺ࠷‫ʹޙ‬૯࣮୅਺ମͷ৔߹Λѻ͏ɻ

3.1. ৐๏‫܈‬ͷϙϦϩάͷߏ੒. ͜͜Ͱ͸ɺ৐๏‫܈‬ͷϙϦϩάͷߏ੒Λઆ໌͢ΔɻϙϦϩάͷ
ߏ੒ʹ͸ɺ͋Δछͷྑ͍ੑ࣭Λຬͨࠞ͢߹૚ͷཧ࿦͕Ծఆ͞ΕΔɻ‫ʹٯ‬ɺྑ͍ࠞ߹૚ͷཧ࿦͑͋͞Ε͹ɺந৅తʹߏ੒Ͱ͖ͯ͠·͏ͱ͜Ζ͕ɺϙϦϩάͷັྗͰ͋ΔɻS Λ௿ۭؒͱ͠
ͯɺπ : X → S Λ S ্ͷεΩʔϜ౳ɺ‫ز‬Կֶతର৅ͱ͢Δɻ X ɺS ্ʹͦΕͧΕମ K ʹର͢Δ
͋Δछͷ୶தᅲͱͯࠞ͠߹૚ͷᅲ M(X), M(S) ͕ଘࡏͯ͠ɺπ Λհͯ͠ Grothendieck ͷؔखπ ∗, π ! : M(S) → M(X) ΍ɺπ∗, π! : M(X) → M(S) ͕ఆٛ͞ΕΔঢ়‫گ‬Λߟ͑Δɻ੔਺ k ∈ Z ʹ

ରͯ͠ Tate ର৅ K(k) ͕ M(S) ͷର৅ͱͯ͠ఆٛ͞Εɺπ ∗ K(k) ∈ M(X) Λ࠶ͼ K(k) ͱ‫͢ه‬ɻF ∈ M(X) ʹରͯ͠ɺ X ͷ F ܎਺ͷઈରίϗϞϩδʔ HAm (X, F ) Λ
HAm (X, F ) ! Extm
M(X) (K(0), F )ͱఆٛ͠ɺX ͷ F ܎਺ͷ૬ରίϗϞϩδʔ H m (X, F ) ∈ M(S) Λɺπ∗ ͷӈಋདྷؔख H m (X, F ) !

Rm π∗ F ∈ M(S) ͱͯ͠ఆٛ͢Δɻ྆ऀͷؒʹ͸εϖΫτϧ‫ྻܥ‬

(4)

p,q

E2

= Ext M(S) (K(0), H q (X, F )) ⇒ HA (X, F )pp+q͕ଘࡏ͢Δɻ
࣮ࡍʹѻ͏ࠞ߹૚͸ɺԼ‫ه‬ͷ௨ΓͰ͋Δɻ(1)(2) ͸‫׬‬શʹྑ͍ࠞ߹૚ͷཧ࿦͕੔උ͞Ε͍ͯ
ΔᅲͰ͋Δɻ(3)(4) ʹ͍ͭͯ͸ඞͣ͠΋ྑ͍ࠞ߹૚ͷཧ࿦͕‫׬‬੒͞Ε͍ͯΔ༁Ͱ͸ແ͍͕ɺϙϦϩάͷߏ੒Λਖ਼౰ԽͰ͖Δ͚ͩͷཧ࿦͸੔උ͞Ε͍ͯΔɻ(1) Hodge ࣮‫ݱ‬ͷ৔߹ɿS = Spec CɺK = R ͱ͢ΔɻM(X) ͸ X ্ͷϗοδՃ‫܈‬ͷᅲɺM(S)͸ࠞ߹࣮ϗοδߏ଄ͷᅲͱͳΔɻ͜ͷ৔߹ͷઈରίϗϞϩδʔ͸ Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔͰ༩͑ΒΕɺ૬ରίϗϞϩδʔ͸ɺ X ͷ F ܎਺ͷίϗϞϩδʔʹࠞ߹࣮ϗοδߏ଄ΛೖΕͨ΋ͷͰ͋Δɻ(2) Etale ࣮‫ݱ‬ͷ৔߹ɿ Sɿ୅਺ମͷεϖΫτϥϜɺK = Ql ͱ͢ΔɻM(X) ͸ X ্ͷ perversel ਐ૚ͷᅲɺM(S) ͸୅਺ମͷΨϩΞ‫܈‬ͷ Ql ද‫ݱ‬ͷᅲͱͳΔɻ͜ͷ৔߹ͷઈରίϗϞϩδʔ͸ X ͷ F ܎਺ͷ étale ίϗϞϩδʔͰ༩͑ΒΕɺ૬ରίϗϞϩδʔ͸ɺ X Λ୅਺ମͷ୅਺ดମ·Ͱ֦େ͔ͯ͠Β F ܎਺ͷ étale ίϗϞϩδʔΛߟ͑ͨ΋ͷͱͳΔɻ

12

ࡔ಺݈Ұ

(3) Motivic ͳ৔߹ɿSɿ୅਺ମͷεϖΫτϥϜɺK = Q ͱ͢ΔɻM(X) ͸ X ্ͷϞνϏο
Ϋͳࠞ߹૚ͷᅲɺM(S) ͸୅਺ମ্ͷϞνʔϑͷᅲͱ͢Δɻ͜ͷ৔߹ͷઈରίϗϞϩδʔ͸ X ͷ F ܎਺ͷϞνϏοΫίϗϞϩδʔͰ༩͑ΒΕɺ૬ରίϗϞϩδʔ͸ɺX ͷ

F ܎਺ͷϞνʔϑͱͳΔɻ(4) p ਐ࣮‫ݱ‬ͷ৔߹ɿ Sɿp ਐମͷεϖΫτϥϜɺK = Q p ͱ͢Δɻ͜ͷ৔߹ʹ΋ p ਐࠞ߹૚ͷཧ࿦͕͋ͬͯવΔ΂͖Ͱ͋ΔɻM(S) ͸ɺ͋Δछͷ filtered Frobenius Ճ‫܈‬ͷᅲͱͯ͠औΓ͍ͨɻ͜ͷ৔߹ͷઈରίϗϞϩδʔ͸ X ͷ F ܎਺ͷαϯτϛοΫίϗϞϩδʔͰ༩͑ΒΕɺ૬ରίϗϞϩδʔ͸ɺ X ͷ F ܎਺ͷίϗϞϩδʔͱͳΔɻ

Motivic ͳ৔߹ͷࠞ߹૚͸࠷΋্Ґʹ͋Γɺଞͷࠞ߹૚΁ʮ࣮‫ݱ‬ʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔؔख͕ଘࡏͯ͠ɺ
ͦΕ͕ઈରίϗϞϩδʔʹ͸ϨΪϡϨʔλʔͱ‫ݺ‬͹ΕΔ४ಉ‫ܕ‬Λ༠ಋ͢ΔɻҎԼɺ X = Gm ͱͯ͠ɺ(1)(2)(3)(4) ͷ͍ͣΕ͔ͷࠞ߹૚ͷཧ࿦Λߟ͍͑ͯΔͱ͢Δɻ·ͣɺ

H ! H 1 (X, K(0))∨ ΛɺX ͷ K(0) ܎਺ͷ૬ରίϗϞϩδʔͷ૒ରɺ͢ͳΘͪ X ͷ Tate Ճ‫ͱ܈‬
͢Δɻ৐๏‫܈‬ͷίϗϞϩδʔ͸ H 0 (X, K(0)) # K(0)ɺH 1 (X, K(0)) # K(−1) ͱͳΓɺ

H # K(1)ͱͳΔɻ͍·ɺH m (X, π ∗ H ) = H m (X, K(0)) ⊗ H ͱͳΔɻ͜ͷͱ͖ɺεϖΫτϧ‫( ྻܥ‬4) ͔Βɺ(5)

1
0 → Ext1M(S) (K(0), H ) → HA
(X, π ∗ H ) → Hom M(S) (K(0), H ∨ ⊗ H ) → 0

ΛಘΔɻ X = Gm ͷ୯Ґ‫ݩ‬͸ i : S → X Λ༩͑ɺ͜ͷࣸ૾ʹΑΔҾ͖໭͠ʹΑͬͯɺ্‫ه‬ͷ‫׬‬શ‫ྻܥ‬͸෼ղ͢ΔɻL og(1) Λ M(X) ಺ͷ K(0) ͱ π ∗ H ͷ֦େ

0 → π ∗ H → L og(1) → K(0) → 0
Ͱɺ֦େྨ͕1
HA(X, π ∗ H ) = Ext1M(X) (K(0), π ∗ H )ͷ‫ͯ͠ͱݩ‬ɺi ∗ ʹΑΔҾ͖໭͕͠ Ext1M(S) (K(0), H ) ͷதͰ 0ɺશࣹʹΑΔ

Hom M(S) (K(0), H ∨ ⊗ H ) ⊂ H ∨ ⊗ H = Hom(H , H )΁ͷ૾͕ id ∈ Hom(H , H ) ʹରԠ͢Δ΋ͷͱ͢Δɻ੔਺ N > 0 ʹରͯ͠ L og N ! Sym N L og(1)ͱ͢ΔͱɺࣹӨ

L og N +1 → L og N ⊗L og(1) → L og N͕ఆٛ͞ΕΔɻ͜ͷࣹӨ‫ܥ‬Λର਺૚ L og = (L og N ) ͱ‫Ϳݺ‬ɻର਺૚͸ߏ੒ΑΓɺ֤ႈࠜ ξ ∈ Gm
ͰҾ͖໭͢ͱɺ

ξ ∗ L og #∞%Symk H #k=0

ͱ෼ղ͢Δɻ͍·ɺU Z ! Gm \ {1} ͱ͢Δɻ

∞
%
k=0

ఆཧ 3.1. U Z ͷ 1 Ͱͷཹ਺͸ɺඪ४తͳಉ‫ܕ‬(6)1
res : HA(U Z, L og) # K

K(k)

13

૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨΛ༠ಋ͢Δɻ͜ͷࣄ࣮Λ༻͍ͯɺϙϦϩά1
pol ∈ HA(U Z, L og)Λɺ(6) ͷಉ‫ܕ‬Λ௨ͯ͠ 1 ∈ K ʹߦ͘‫ͯ͠ͱݩ‬ఆٛ͢Δɻ
ϙϦϩάͷߏ੒͸ඇৗʹந৅తͰɺ֤ࠞ߹૚ʹΑͬͯฒߦʹఆٛ͞ΕΔ͜ͱʹ஫ҙ͞Ε͍ͨɻ

3.2. ϗοδ࣮‫ ͱݱ‬Beilinson ༧૝. ϙϦϩάͷϗοδ࣮‫͍ͯͭʹݱ‬ɺҎԼͷ݁Ռ͸ BeilinsonZ ʹରͯ͠ɺSpec Q(ξ)
Deligne ʹΑΔɻৄࡉ͸ɺ[4,23] ͳͲʹ΋ॻ͔Ε͍ͯΔɻ೚ҙͷႈࠜ ξ ∈ UtorΛ ξ Ͱ‫͢ه‬ɻ͜ͷͱ͖ɺ k > 0 Ͱ͋Ε͹1
HD1 (ξ, R(k)) # ExtMHS(R(0), R(k)) # C/(2πi)k R
R

ͱͳΔ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɻ
1 (U Z , L og) Λߟ͑Δɻ೚ҙͷႈ
ఆཧ 3.2 ([4, Corollary 5.10]). ϙϦϩάͷϗοδ࣮‫ ݱ‬pol ∈ HD
Z ʹରͯ͠ɺࠜ ξ ∈ Utorξ ∗ pol ∈ HD1 (ξ, ξ ∗ L og) #ͱͨ͠ͱ͖ɺ%k ≥0

HD1 (ξ, R(k)) #%C/(2πi)k R

k>0

ξ ∗ pol = ((−1)k−1 Lik (ξ))k>0͕੒Γཱͭɻ
͜ͷ݁Ռ͸ɺDirichlet Ϟνʔϑͷ Beilinson ༧૝ͷূ໌Ͱॏཁ͋໾ׂΛՌͨ͢ɻඇৗʹେࡶ
೺Ͱ͋Δ͕ɺBeilinson ༧૝͸ɺ L ؔ਺ͷಛघ஋͕ɺ࣮‫ؔݱ‬ख͔Β༠ಋ͞ΕΔϞνϏοΫίϗ
Ϟϩδʔ͔Β Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔ΁ͷϨΪϡϨʔλʔࣸ૾
1
rD : Hmot(ξ, Q(k)) → HD1 (ξ, Q(k))
1 (ξ, Q(k))ʹΑͬͯ‫ه‬ड़͞ΕΔͱ༧૝͍ͯ͠Δɻ͜ͷ༧૝Λূ໌͢Δ࠷΋ॏཁͳεςοϓ͸ɺHmotʹ‫ݩ‬Λߏ੒ͯ͠ɺ͜ͷ‫ݩ‬ͷ rD ʹΑΔ૾Λ۩ମతʹ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱʹ͋ΔɻҰൠతʹ͸ɺϞνϏοΫͳίϗϞϩδʔ಺ʹ۩ମతʹ‫ݩ‬Λߏ੒͢Δ͜ͱ͸೉͍͠ͱ͞Ε͍ͯΔɻ͍·ɺϙϦϩάͷ
ߏ੒ΑΓɺϞνϏοΫͳ৔߹ʹ΋ɺϙϦϩά1
pol ∈ Hmot
(U Z, L og)
Z ʹରͯ͠ɺϙϦϩάͷ ξ ʹΑΔҾ͖໭͠͸ɺ͕ߏ੒͞Ε͍ͯΔɻ೚ҙͷ ξ ∈ Utor%
11
ξ ∗ pol ∈ Hmot(ξ, ξ ∗ L og) #Hmot(ξ, Q(k))
k>0

1 (ξ, Q(k)) Λ༩͑Δɻ͜Ε͸‫ݹ‬యతʹ͸ɺBeilinsonΛ༩͑ɺξ ∗ pol ͷ k ൪໨ͷ੒෼͸ ck (ξ) ∈ Hmot

ͷ cyclotomic element ͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯͨϞνϏοΫͳ‫͋Ͱݩ‬Δɻ͢ͳΘͪɺ̍ͭඪ४తͳϞνϏοZ ͱ੔਺ k > 0 ʹରͯ͠ແ਺ͷϞΫͳ‫ ݩ‬pol Λߏ੒ͨ͜͠ͱʹΑΓɺ݁Ռͱͯ͠೚ҙͷ ξ ∈ UtorνϏοΫͳ‫ ݩ‬ck (ξ) ͕ߏ੒͞Εͨ͜ͱʹͳΔɻ·ͨɺϙϦϩάͷߏ੒͸ඇৗʹ‫ࣜܗ‬తͰ͋Δ͜ͱ͔Βࠞ߹૚ͷཧ࿦ʹґଘͤͣɺߏ੒ʹ‫ݱ‬ΕΔ֤छࣸ૾͸ϨΪϡϨʔλʔ rD ͳͲͷࣗવͳࣸ૾ͱՄ‫ͳͱ׵‬Δɻఆཧ 3.2 ͸ɺҎԼͷ‫ܥ‬Λಋ͘ɻ

14

ࡔ಺݈Ұ

Z ͱ੔਺ k > 0 ʹରͯ͠ c (ξ) Λ Beilinson ͷ cyclotomic element ͱͨ͠ͱ͖ɺ
‫ ܥ‬3.3. ξ ∈ UtorkrD (ck (ξ)) = (−1)k−1 Lik (ξ)͕੒Γཱͭɻ

Proof. ਤ‫ܗ‬
ξ∗

1 (U Z, ξ ∗ L og)
Hmot
rD

"

ξ∗

HD1 (U Z, ξ ∗ L og)! &1
k ≥0 Hmot (ξ, Q(k))

! &

rD

"

1
k ≥0 HD (ξ, R(k))

#

! &

k
k>0 C/(2πi) R

1 (U Z, L og) Λ pol ∈ H 1 (U Z, L og) ʹࣸ͢͜ͱ͸Մ‫ͳͱ׵‬ΔɻϨΪϡϨʔλʔ rD ͸ pol ∈ HmotD͔Βɺ‫ܥ‬ͷओு͸ఆཧ 3.2 ΑΓै͏ɻ!

Dirichlet L ؔ਺ͷಛघ஋͕ɺϙϦϩάͷಛघ஋ Lik (ξ) ͷઢ‫ܕ‬࿨Ͱද͞ΕΔɻ‫ ܥ‬3.3 ΑΓ Lik (ξ)͸ϞνϏοΫͳ‫ݩ‬ͷϨΪϡϨʔλʔʹΑΔ૾ͱͯ͠ॻ͖දͤΔ͜ͱ͕෼͔ΔͷͰɺ͜ͷදࣔΛ༻͍ͯɺDirichlet L ؔ਺ͷ৔߹ͷ Beilinson ༧૝͕ূ໌͞ΕΔɻ
ઈରίϗϞϩδʔͰ͋Δ Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔͱɺී௨ͷίϗϞϩδʔͰ͋Δ૬
ରίϗϞϩδʔͷؒʹ͸ɺεϖΫτϧ‫ྻܥ‬p,qE2= ExtMHSR (R(0), H q (U Z, L og)) ⇒ HD (X, L og)pp+q͕༩͑ΒΕ͍ͯΔɻH 0 (U Z, L og) # {0} ͱͳΔ͜ͱ͔Βɺ͜ͷεϖΫτϧ‫ྻܥ‬ΑΓɺຒΊࠐΈ

(7)

#

1
H 1 (U Z, L og) −→ HomMHSR (R(0), H 1 (U Z, L og)) ,→ HdR(U Z, Log)

1 (U Z, Log) ͸ɺL og ͷఈʹ͋Δ઀ଓ෇͖ O
ΛಘΔɻ͜͜Ͱ HdR
G m Ճ‫ ܈‬Log ͷυϥϜίϗϞϩδʔͰ͋ΔɻLog ͸઀ଓ෇͖Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬%Log =OGm ek ,k ≥0∇(ek ) = ek+1 ⊗dtt

1 (U Z, Log) ΁ͷ૾ΛϙϦϩάͷυϥϜ࣮‫ͱݱ‬ʹΑͬͯ༩͑ΒΕΔɻpol ∈ H 1 (U Z, L og) ͷ HdR‫Ϳݺ‬ɻu ∈ Γ(U Z, OGm ) ʹରͯ͠

θ(u) ! ue1 ⊗dt∈ Γ(U Z, Log ⊗Ω1T )tͱ͓͘ͱɺ͜ͷରԠؔ܎͸४ಉ‫ܕ‬1
θ : H 0 (U Z, OGm ) → HdR(U Z, Log)

Λ༠ಋ͢Δɻఆཧ 3.2 Λূ໌͢Δ࠷ॳͷେࣄͳεςοϓͱͯ͠ɺ࣍ͷ໋୊͕͋Δɻূ໌͸ɺྫ͑͹ [4, Proposition 3.10] ΛࢀরͤΑɻ
໋୊ 3.4. G(t) = t/(1 − t) ∈ H 0 (U Z, OGm ) ͱ͢ΔɻϙϦϩάͷυϥϜ࣮‫ݱ‬͸ɺ
.
1−θ G(t) ∈ HdR(U Z, Log)
ͱҰக͢Δɻ

૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨ

15.
−θ G(t) ͕ϙϦϩάΛද͢ཧ༝͸ɺඍ෼‫ࣜܗ‬.
dtdt−θ G(t) = −G(t)e ⊗
=e⊗
t
t−1

ͷ Gm ͷ‫ ఺ݪ‬t = 1 Ͱͷཹ਺͕ɺͪΐ͏Ͳ 1 ʹͳΔ͔ΒͰ͋Δɻ͜ͷ݁Ռ͸ɺ൓෮ੵ෼ (1) ͷ࠷ॳʹ G(t) ͕ग़ͯདྷΔ͜ͱʹରԠ͍ͯ͠ΔɻຊߘͰ͸ɺ૯࣮୅਺ମʹ෇ਵ͢Δ୅਺τʔϥεͷ৔߹ʹɺ্‫ه‬Λ֦ு͢Δ݁ՌΛ঺հ͢Δɻ

3.3. ૯࣮୅਺ମͷಉมϙϦϩά. ͜͜Ͱ͸ɺ૯࣮୅਺ମʹ෇ਵ͢Δ୅਺τʔϥε T ʹରͯ͠ɺF+× ͷ࡞༻ʹΑΔಉมϙϦϩάͷߏ੒Λߦ͏ɻϙϦϩάͷߏ੒͸ Huber-Kings [24] ʹΑΓɺҰ)ൠͷ୅਺‫܈‬ͷ৔߹΁ͱ֦ு͞ΕͨɻຊߘͰ͸͜ͷߏ੒Λɺ୅਺‫ ܈‬Ta ΍ T = a ∈I Ta ͷ৔߹ʹద༻ͯ͠ɺ͞Βʹ F+× ͷ࡞༻ʹΑΔಉมੑΛߟྀͯ͠ߏ੒Λ֦ு͢Δɻ‫ࡏݱ‬ɺಉมੑࠐΈͷࠞ߹૚ͷҰൠ࿦ɺಛʹઈରίϗϞϩδʔͷཧ࿦͸੔උ͞Ε͍ͯͳ͍ɻචऀΒ͸‫ࡏݱ‬ɺϗοδ࣮‫ݱ‬ͷ৔߹ʹɺಉมϙϦϩάΛߏ੒͢Δҝʹ࠷௿‫ݶ‬ͷಉม Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔͷཧ࿦Λ੔උதͰ͋Δ [7]ɻຊߘͰ͸ɺಉม Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔͷଘࡏΛԾఆͯ͠ɺಉ
มϙϦϩάʹ͍ͭͯղઆ͢Δɻ
૯࣮୅਺ମͷ৔߹ͷର਺૚͸ɺ৐๏‫܈‬ͷ৔߹ͱ‫ج‬ຊతʹಉ༷ʹߏ੒͞ΕΔɻಛʹϗοδ࣮‫ݱ‬ͷ৔߹ɺTa ʹରͯ͠

Ha ! H 1 (Ta, R(0))∨ =

/

R(1)

τ ∈I

ͱͳΔɻTa ্ͷର਺૚ L oga ͸ࠞ߹࣮ϗοδߏ଄ͷม‫ͯ͠ͱܗ‬ಉ༷ʹఆٛ͞Εɺξ ∈ Tator ʹ੍‫͢ݶ‬Δͱɺ

ξ ∗ L oga #%Symk Ha #

k ≥0

%

R(k)

k ∈N I(
ͱ෼ղ͢Δɻ࠷‫ޙ‬ͷ߲͸ɺ k = (kτ ) ∈ N I ʹରͯ͠ɺR(k) = R( τ ∈I kτ ) ͱͯ͠༩͑Β͑Δ Tate

ର৅Ͱ͋Δɻ֤ Ta ্ʹ L oga Λ৐ͤΔ͜ͱͰɺT ্ L og ͕ఆٛ͞ΕΔɻL og ͷߏ੒͸ؔख
తͰ͋Δ͜ͱ͔ΒɺL og ͸ F+× ͷ࡞༻ʹΑΓಉมߏ଄Λ͍࣋ͬͯΔɻैͬͯɺಉม Deligne-

Beilinson ίϗϞϩδʔΛߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻಉม Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔ͸ɺεϖΫτϧ‫ ྻܥ‬E2= H p (F+×, H q (U, L og)) ⇒ H p+q (U/F+×, L og) ͱ

(8)

E2

p,q

p,q

= ExtMHSR (R(0), H q (U/F+×, L og)) ⇒ HD (U/F+×, L og)pp+qʹΑͬͯ‫͖Ͱࢉܭ‬Δɻର਺૚ͷίϗϞϩδʔͷ‫ࢉܭ‬ΑΓɺ͕࣍ূ໌͞ΕΔɻఆཧ 3.5 ([7]). U ͷ 1 Ͱͷཹ਺͸ɺඪ४తͳಉ‫ܕ‬

(9)

2g−1

res : HD

(U/F+×, L og) #/Cl+F (1)Λ༠ಋ͢Δɻ͜ͷࣄ࣮Λ༻͍ͯɺT ͷಉมϙϦϩά
2g−1

pol ∈ HD

(U/F+×, L og)Λɺ(6) ͷಉ‫ܕ‬Λ௨ͯ͠ (1, . . . , 1) ʹߦ͘‫ͯ͠ͱݩ‬ఆٛ͢Δɻ

R

16

ࡔ಺݈Ұ

εϖΫτϧ‫( ྻܥ‬8) ΑΓɺ(7) ͱಉ༷ʹɺຒΊࠐΈ
2g−1

HD

2g−1

#

(U/F+×, L og) −→ HomMHSR (R(0), H 2g−1 (U/F+×, L og)) ,→ HdR (U/F+×, Log)
2g−1

ΛಘΔɻ͜͜Ͱ HdR (U/F+×, Log) ͸ɺL og ͷఈʹ͋Δ઀ଓ෇͖ OT Ճ‫ ܈‬Log ͷಉมυϥϜίϗϞϩδʔͰ͋ΔɻLog ͸઀ଓ෇͖Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬
%
"
dtτ
Log =
OT ek ,∇(ek ) =ek+1τ ⊗
tτ
I
τ ∈I
k ∈N

ʹΑͬͯ༩͑ΒΕΔɻͨͩ͠ɺ1τ ∈ N I ͸ɺτ ੒෼͕ 1 Ͱଞͷ੒෼͕ 0 ͱͳΔ༷ͳ‫Ͱݩ‬ɺ{ dttττ }τ ∈I

1 (U/F ×, Log)͸ {∂τ }τ ∈I ͷ૒ର‫ج‬ఈͱͳΔ Ω1T ͷඍ෼‫͋Ͱࣜܗ‬Δɻpol ∈ H 1 (U/F+×, L og) ͷ HdR+΁ͷ૾ΛɺϙϦϩάͷυϥϜ࣮‫Ϳݺͱݱ‬ɻ2g−1

ಉมυϥϜίϗϞϩδʔ HdR (U/F+×, Log) ͸ɺ໋୊ 2.8 ͷ༷ͳ Čech ෳମͰ۩ମతʹ‫͖Ͱࢉܭ‬• (U/F ×, Log) ͸ɺC • (U, Log ⊗Ω• )Δɻ͢ͳΘͪɺΞϑΟϯඃ෴ U = {Uαa }a ∈I,α∈Aa Λߟ͑ΔͱɺHdR+
TͰ༩͑Β͑Δ 2 ॏෳମʹΑͬͯ‫͞ࢉܭ‬ΕΔɻྟք‫ݩ‬au = (uα) ∈ C g−1 (U, OT )gʹରͯ͠ɺa ∈ I ͱ α = (α1, . . . , αg ) ∈ Aa ͷͱ͖ɺaa
θ(uα
) ! sgn(α)uαe(1,...,1)
dt α1
dt αg
g
⊗ α ∧ · · · ∧ αg ∈ Γ(Uαa , Log ⊗ΩT )1tt'α ∩ a||Pga )) ∈ C g−1 (U, Log ⊗Ω ) ͕ఆٛ͞ΕΔɻ͜ͷରԠؔ܎͸४ಉ‫ܕ‬ͱ͓͘ͱɺྟք‫ ݩ‬θ(u) ! (θ(uαT2g−1θ : H g−1 (U/F+×, OT ) → HdR (U/F+×, Log)
Λ༠ಋ͢Δɻ

ఆཧ 3.6. G(t) ∈ H g−1 (U/F+×, OT ) Λ৽୩ੜ੒ྨͱ͢ΔɻϙϦϩάͷυϥϜ࣮‫ݱ‬͸ɺ
2g−1(−1)g θ(G(t)) ∈ HdR (U/F+×, Log)
ͱҰக͢Δɻ

(−1)g θ(G(t)) ͕ϙϦϩάΛද͢ཧ༝͸ɺඍ෼‫ࣜܗ‬(α.
'α ∩a t e(1,...,1)
dt α1
dt αg
α∈ P
g - a
(−1) θ Gα (t) = α
⊗
∧
·
·
·
∧
t 1 · · · t αg | P
t αg − 1'α ∩ a| t α1 − 1

ͷ Ta ͷ‫ ఺ݪ‬t α1 = · · · = t αg = 1 Ͱͷཹ਺͕ɺͪΐ͏Ͳ 1 ʹͳΔ͔ΒͰ͋Δɻ

3.4. ϓϨΫςΟοΫߏ଄ͱ༧૝. ૯࣮୅਺ମͷ৔߹ʹ΋ɺϙϦϩάΛ Beilinson ༧૝ʹԠ༻͢Δ͜ͱ͸‫ظ‬଴͍ͨ͠ͱ͜ΖͰ͋Δɻ༗ཧ਺ମͷ৔߹Λ౿ऻ͢Δͱɺ఺ ξ ∈ Utor ʹରͯ͠ɺҾ͖
໭ࣸ͠૾

(10)

2g−1

(ξ∆)∗ : HD

2g−1

(U/F+×, L og) → HD(ξ∆/∆, (ξ∆)∗ L og) #

%

2g−1

HD

k ∈N I(ξ∆/∆, R(k))Λߟ͑Δɻξ∆ ͸ 0 ࣍‫Ͱݩ‬ɺ∆ # Zg−1 Ͱ‫܈‬ίϗϞϩδʔ͸ g − 1 ࣍·Ͱ͔͠࢒Βͳ͍͔ΒɺεϖΫτϧ‫ྻܥ‬p,q

E2= H p (∆, H q (ξ∆, R(k))) ⇒ H p+q (ξ∆/∆, R(k))

17૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨΑΓɺಉมίϗϞϩδʔ H m (ξ∆/∆, R(k)) ͕ m > g − 1 Ͱফ͑Δ͜ͱ͕ಋ͔ΕΔɻैͬͯಉม

Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔ͸ɺεϖΫτϧ‫ྻܥ‬
(11)

p,q

E2

= ExtMHSR (R(0), H q (ξ∆/∆, R(k))) ⇒ HD (ξ∆/∆, R(k))
p

ΑΓ
2g−1

HD

p+q

.
g
(ξ∆/∆, R(k)) # ExtMHSR R(0), H g−1 (ξ∆/∆, R(k))ͱͳΔɻ͔͠͠ͳ͕Βࠞ߹࣮ϗοδߏ଄ͷᅲ MHSR Ͱ͸ɺExtm ͸ m > 1 Ͱফ͑Δ͜ͱ͕஌Β2g−1

Ε͍ͯΔɻ͜ͷ͜ͱ͔Βɺ݁Ռͱͯ͠ g > 1 ͷͱ͖ HD(ξ∆/∆, R(k)) = {0} ͱͳͬͯ͠·͏ɻ͢ͳΘͪɺҾ͖໭ࣸ͠૾ (10) ͸ 0 ࣸ૾ʹ͔͠ͳΓ͑ͳ͍ɻ͜ͷࣄ࣮͕ͦ͜ɺ૯࣮୅਺ମͷ৔߹ͳͲɺߴ࣍‫ݩ‬ͷ୅਺‫܈‬ͷ৔߹ʹϙϦϩάͷ‫ڀݚ‬Λ࠷΋્֐͖ͯͨ͠ཁҼͰ͋Δɻ͜ͷো֐Λղফ͢ΔҝʹචऀΒ͕େ͖ͳ‫ظ‬଴Λ‫͍ͯͤد‬Δͷ͕ɺNekovar ͱ Scholl [28] ʹΑͬͯఏএ͞
ΕͨʮϓϨΫςΟοΫߏ଄ʯͷ֓೦Ͱ͋Δɻ
ϓϨΫςΟοΫߏ଄ͷ఩ֶͰ͸ɺ૯࣮୅਺ମͱؔ࿈͢Δ༷ͳ‫ز‬Կֶతର৅ʹରͯ͠͸ɺࠞ߹૚ͷཧ࿦ʹɺ૯࣮୅਺ମ͔ΒདྷΔʮϓϨΫςΟοΫߏ଄ʯͱ‫ݺ‬͹ΕΔ෇Ճతߏ଄͕ೖΔ͜ͱΛ‫ظ‬଴͍ͯ͠Δɻϗοδ࣮‫͍ͯͭʹݱ‬͸ɺࠞ߹࣮ϗοδߏ଄ͷᅲ MHSR ͷϓϨΫςΟοΫ൛ͱ
ͯ͠ɺMHSR ͷ g ࣍ Deligne ςϯιϧੵ

MHSRI ! MHSR " · · · " MHSR
͕ɺࠞ߹ϓϨΫςΟοΫ࣮ϗοδߏ଄ͷᅲͱͯ͠ఏএ͞Ε͍ͯΔɻචऀΒ͸ MHSRI ͷର৅ͷ۩ମతදࣔ΍ Ext ‫܈‬ͷ‫͍ͯͭʹࢉܭ‬ɺ࿦จ [3] Ͱௐ΂ͨɻ࣮ࡍɺ M1, . . . , Mg ∈ MHSR ʹରͯ͠ɺ

MHSRI ͷର৅

M1 " · · · " Mg͕ߏ੒͞ΕɺMHSRI ͷ೚ҙͷର৅͸ɺ M1 " · · · " Mg ͱ͍͏‫ܗ‬ͷର৅ͷ sub-quotient ͱͳ͍ͬͯΔɻ্‫ه‬ͷ Tate ର৅ R(k) ΋ɺR(k) = R(kτ1 ) " · · · " R(kτg )ͱͯࣗ͠વʹ MHSRI ͷର৅ͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻMHSRI ͷᅲͰͷ Ext ͷ‫ࢉܭ‬͸ҎԼͷ௨ΓͰ͋Δɻ‫ࢉܭ‬ͷৄࡉ͸ [3, Example 5.28] ΍ [7, Lemma 5.4] ΛࢀরͤΑɻ
ิ୊ 3.7. ੔਺ k ∈ Z ʹରͯ͠ɺR(k I ) Λ R(k) " · · · " R(k) Ͱ༩͑ΒΕΔ MHSRI ಺ͷ Tate ର৅ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺ

HomMHS I (R(0I ), R(k I )) =



R


k = 0,



C/(2πi)g
Ext(R(0I ), R(k I )) =
I
MHSR



 {0} k " 0,
 {0}


m
͕੒Γཱͪɺ͜ΕҎ֎ͷ৔߹ʹ͸ ExtMHSR (R(0 I ), R(k I )) = {0} ͱͳΔɻR

g(k−1)+1 R

k > 0,
k≤0‫Ͱ఺࣌ݱ‬͸ɺϓϨΫςΟοΫಉม Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔΛఆٛ͢Δ͚ͩʹϓϨΫςΟοΫͷཧ࿦͸·ͩे෼ʹਐԽ͍ͯ͠ͳ͍ɻ͔͠͠ͳ͕ΒɺԾʹྑ͍ϓϨΫςΟοΫಉม

Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔͷཧ࿦͕͋Δͱ͢Ε͹ɺεϖΫτϧ‫ྻܥ‬
(12)

p,q

E2

= Ext

p
p+q
(R(0I ), H q (U/F+×, L og)) ⇒ HD I (U/F+×, L og)
MHSRI

18

ࡔ಺݈Ұ

ʹΑͬͯ‫͖Ͱࢉܭ‬Δ͸ͣͰ͋Δɻ࣮ࡍɺ͜ͷεϖΫτϧ‫ྻܥ‬ͷଘࡏΛԾఆͯ͠ɺϓϨΫςΟο
Ϋಉม Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔΛ‫͢ࢉܭ‬Δͱɺ
2g−1

2g−1

HD I (U/F+×, L og) # HD

(U/F+×, L og)
2g−1

ͱͳΔ͜ͱ͕ূ໌Ͱ͖Δɻ͜ͷ͜ͱ͔ΒɺಉมϙϦϩά pol ∈ HD

2g−1

(U/F+×, L og) ͸ɺϓϨΫςΟοΫಉม Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔͷதʹ΋ pol ∈ HD I (U/F+×, L og) ͕ఆ·Δ͜ͱ

͕෼͔ΔɻϓϨΫςΟοΫ൛Λߟ͑Δ͜ͱͷར఺͸ɺ఺΁ͷҾ͖໭͕͠ఆٛ͞ΕΔ͜ͱʹ͋Δɻ
p,q͍·ɺεϖΫτϧ‫ ྻܥ‬E2
ϗϞϩδʔͷ‫ࢉܭ‬ΑΓɺHg−1(ξ∆/∆, R(k)) # H= H p (∆, H q (ξ∆, R(k))) ⇒ H p+q (ξ∆/∆, R(k)) ͱ ∆ # Zg−1 ͷ‫܈‬ίg−10(∆, H (ξ∆, R(k))) # H

g−1(∆, R(k)) #͕ಋ͔ΕΔɻ͍·ɺ(11) ͱಉ༷ͷεϖΫτϧ‫͔ྻܥ‬Βɺ
2g−1

HD I (ξ∆/∆, R(k)) # ExtͱͳΓɺิ୊ 3.7 ͷ‫ࢉܭ‬ΑΓɺ R(k I )


 {0}


k = kI
otherwise.
gR(0), H g−1 (ξ∆/∆, R(k))
MHSRI






C/(2πi)2g−1
HD I (ξ∆/∆, R(k)) #k = k I , k > 0,g(k−1)+1 R

 {0}


otherwiseͱͳΔɻ্‫ه‬ͷ‫ࢉܭ‬Λ౿·͑ͯɺҎԼΛ༧૝͢Δɻ
༧૝ 3.8. ϓϨΫςΟοΫߏ଄ɺ‫ͼٴ‬ಉมϓϨΫςΟοΫ Deligne-Beilinson ίϗϞϩδʔͷҰൠ࿦͕͋ΔͱԾఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺξ ∈ Utor ʹରͯ͠Ҿ͖໭͠2g−1(ξ∆)∗ : HD͕ఆٛ͞ΕΔɻ·ͨɺಉ‫ܕ‬
2g−1

2g−1

(U/F+×, L og) → HD I (ξ∆/∆, (ξ∆)∗ L og)

HD I (ξ∆/∆, (ξ∆)∗ L og) #%k ∈N I

2g−1

HD I (ξ∆/∆, R(k)) #Λ௨ͯ͠ɺ(ξ∆)∗ pol = ((−1)k dF1/2 L(ξ∆, k))k>0 ∈ͱͳΔɻ͜͜Ͱ dF ͸ F ͷࠩੵͰ͋Δɻ

%%C/(2πi)g(k−1)+1 R

k>0C/(2πi)g(k−1)+1 R

k>0

F = Q ͷͱ͖ɺLerch θʔλؔ਺ͷಛघ஋ L(ξ, k) ͸ɺϙϦϩάؔ਺ͷಛघ஋ Lik (ξ) ͱҰக͢Δɻ·ͨɺU Z # U/Q×+ Ͱ͋Δɻैͬͯɺ༧૝ 3.8 ͸ఆཧ 3.2 ͷࣗવͳ֦ுͱͳ͍ͬͯΔɻ্‫ه‬༧૝͸ɺߴ࣍‫ݩ‬ͷ৔߹ͷϙϦϩά͔Β਺࿦తྔΛऔΓग़͢۩ମతͳಓ‫ے‬Λ͍ࣔͯ͠ΔɻLerchθʔλؔ਺͸ Hecke L ؔ਺ͱؔ܎͢Δ͜ͱ͔ΒɺಉมϙϦϩά͕ϞνϏοΫͳϙϦϩάͷϨ
ΪϡϨʔλʔ rD ͷ૾ͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱΛԾఆ͢Δͱɺ༧૝ 3.8 ͔Β૯࣮୅਺ମͷ Hecke L ؔ਺ͷ Beilinson ༧૝Λূ໌͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ͜ͱ͕‫ظ‬଴͞ΕΔɻৄࡉ͸ [7] Λࢀর͞Ε͍ͨɻ૯࣮୅਺ମͷ৽୩ੜ੒ྨͱಉมϙϦϩάྨ

19

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Email address: bannai@math.keio.ac.jp∗ Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Keio University, 3-14-1 Hiyoshi, Kouhoku-

ku, Yokohama 223-8522, Japan" Mathematical Science Team, RIKEN Center for Advanced Intelligence Project (AIP),1-4-1 Nihonbashi,

Chuo-ku, Tokyo 103-0027, Japan数体の素元星座定理

関 真一朗 （青山学院大学）
概要

本稿は第 66 回代数学シンポジウムにおける筆者の講演に基づいて, 甲斐亘, 見村
万佐人, 宗政昭弘, 吉野聖人の各氏との共著論文 [KMMSY] の成果について報告するものである.

1

はじめに素数全体の集合を表す記号として P を採用する. 正整数 N に対して, [N ] := {1, 2, . . . , N }.
1904 年に提起された素数に関する次の予想がある.

予想 1.1 (Dickson の予想). k ∈ Z>0 , a1 , . . . , ak ∈ Z>0 , b1 , . . . , bk ∈ Z について,∀p ∈ P, ∃n ∈ Z s.t. p !

!

i∈[k] (ai n + bi )が満たされるならば a1 n + b1 , . . . , ak n + bk が全て素数となるような整数 n が無限に存在する.

k = 1 の場合が Dirichlet の算術級数定理であり, その他様々な有名予想が Dickson の予想に含まれている. k は任意, a1 = 1, a2 = 2, . . . , ak = k, b1 = · · · = bk = 1 のときを考えると,(p + 1)(2p + 1) · · · (kp + 1) ≡ 1 (mod p) なので, Dickson の予想は n + 1, 2n + 1, . . . , kn + 1
が全て素数となるような整数 n が無限個存在することも予想している. 特に, 任意の長さの素数等差数列が存在することは遅くとも 1904 年の時点では信じられていたとみることはできるだろう. ここで, 素数のみで構成されるような等差数列を素数等差数列とよび, 等
差数列の項数を長さとよぶ (長さが 2 以上というときは公差として 0 は許さない).
進展としては解析的整数論の手法を用いた van der Corput および Heath-Brown の結果があった.
定理 1.2 (van der Corput [VdC]). 長さ 3 の素数等差数列は無限に存在する.

定理 1.3 (Heath-Brown [HB1]). 3 つの素数および 1 つの「素数または 2 つの素数の積であるような数」から構成される長さ 4 の等差数列は無限に存在する.
その後, Green が [Gr] において van der Corput の定理を Roth の定理 (定理 2.3) の形に拡張するブレイクスルーを与え (定理 6.1 の k = 3 の場合), Tao との共同研究により次の金字塔に到達した.

1

定理 1.4 (Green–Tao [GT]). 任意の長さの素数等差数列が存在する.

本稿の主たる興味は Green–Tao の定理の多次元化である. その際, 等差数列に対応する概念として星座を考える.
定義 1.5. Z を Z 加群とし, S を Z の有限部分集合とする. このとき, Z の部分集合 S が S星座であるとは, 或る a ∈ Z および或る l ∈ Z>0 が存在して S = a + l · S = {a + ls : s ∈ S}と表されることをいう.

Z の (無限) 部分集合 A について, 「任意の有限部分集合 S ⊂ Z に対して或る S 星座
S ⊂ A が存在する」ことを「A は Z に対する任意の形状の星座を含む」などと表現する.
補題 1.6. A ⊂ Z について, 「A は任意の長さの等差数列を含む」ということと「A は Zに対する任意の形状の星座を含む」ということは同値である.

証明. 長さ k の等差数列 (の作る集合) は [k] 星座 に他ならない. どんな Z の有限部分集合
S をとってきても, 或る a, k ∈ Z≥0 が存在して a + S ⊂ [k] が成り立ち, このとき [k] 星座
は S 星座を含んでいる. 以上の観察により証明は尽きている.
この補題から Green–Tao の定理は次のように言い換えることができる.

定理 1.7 (Green–Tao, 再掲). 素数全体の集合 P は Z に対する任意の形状の星座を含む.

これの 2 次元類似といえる定理を Tao は証明した. それは Green–Tao の定理における整数を Gauss 整数に置き換え, 素数を Gauss 素数に置き換えたものといえる.
√
定理 1.8 (Gauss 素数星座定理 [T2]). Gauss 素数全体の集合 PQ(√−1) は Z[ −1] に対する
任意の形状の星座を含む.

Green–Tao の論文の §11 で Gauss 数体版や他の数体でやってみることを提案していたが, Gauss 数体については Tao 自身が直後にやってしまったわけである (arXiv の v3 で提案し, v6 で Tao の論文が引用されている. また, 出版年は前後してしまっている). Tao の論文の §12 においては依然として他の数体の場合にも拡張できるだろうと予想している一方で, 少なくとも「整数環が UFD で単数を有限個しか持たない場合」には同じ方法が使えるだろうというような表現もしている. 有理数体を除くと単数が有限個しかないような数体は Dirichilet の単数定理から虚 2 次体に限定され, その場合に類数が 1 であるようなものは Baker–Heegner–Stark の定理から 9 つしか存在しないことがわかる. しかしながら,東北大学のメンバーで構成された研究チーム1 は Tao のいうような数体への制限を課さず
とも Green–Tao の論法は拡張できることを確認し, 以下の定理を証明した.
定理 1.9 (数体の素元星座定理 [KMMSY]). K を数体とし, OK を K の整数環とする. このとき, OK の素元全体の集合 PK は OK に対する任意の形状の星座を含む. 更に, 各星座は同伴なペアを含まないようにとることができる.
1

著者は昨年度まで東北大学に所属していた.

2

×α, β ∈ OK が互いに同伴であるとは, 或る µ ∈ OKが存在して α = µβ が成り立つときにいう. Tao の制限を課さないことの主張に対する影響については, 類数が一般の場合は既約元ではなく素元を考えていること, 単数群が一般の場合は同伴なペアに関する追加的主張が成立していることに現れている. 次数 d の数体の整数環は Z 加群としては Zd と同型であるため, 上記定理は Green–Tao の定理の多次元化 (の 1 つ) と捉えることができる.

2

Szemerédi の定理

Green–Tao の定理は円周法や Vinogradov の手法などの解析的整数論的なアプローチだ
けで証明されたのではなく, Szemerédi の定理を 1 つの landmark とする Ramsey 型の一般論の発展と解析的整数論の合わせ技によって証明された. そこで, この節では Szemerédiの定理周辺の話題を簡単にまとめたい.
1920 年頃に以下のような Ramsey 理論の先駆けとなる予想がなされた.
予想 2.1 (Baudet, Schur). 整数の集合をどのように 2 分割しようとも, どちらか一方は任意の長さの等差数列を含む.
この予想は van der Waerden によって次のような形で解決された.

定理 2.2 (van der Waerden [VdW]). 任意の k, m ∈ Z>0 に対して或る N0 (k, m) ∈ Z>0 が存在して, 以下が成立する: 整数 N ≥ N0 (k, m) と任意の分割 [N ] = C1 ) · · · ) Cm について, 或る i ∈ [m] が存在して Ci は長さ k の等差数列を含む.

これは Ramsey 理論における典型的な定理であり (ちなみに van der Waerden の定理が1927 年なのに対して Ramsey の定理は 1930 年), 分割が与えられたときに等差数列が存在する集合 Ci を具体的に知ることはできないという弱点がある. Erdős–Turán は [ET] での研究を皮切りに密な部分集合は常に等差数列を含むだろうと予想し, この予想は長さ 3 の場合に Roth によって解決された.
定理 2.3 (Roth [R]). 任意の δ > 0 に対して或る N0 (δ) ∈ Z>0 が存在して, 以下が成立す
る: 整数 N ≥ N0 (δ) と集合 A ⊂ [N ] について, #A ≥ δN であれば A は長さ 3 の等差数列を含む.

その後, 長さ 4 の場合を Szemerédi [Sz1] が解決した後に, 更に一般の長さの場合を解決するに至った.

定理 2.4 (Szemerédi [Sz2]). 任意の k ∈ Z>0 , δ > 0 に対して或る N0 (k, δ) ∈ Z>0 が存在して, 以下が成立する: 整数 N ≥ N0 (k, δ) と集合 A ⊂ [N ] について, #A ≥ δN であれば A
は長さ k の等差数列を含む.

Roth の証明は Fourier 解析的な証明であったのに対し, Szemerédi の証明は正則化補題のプロトタイプを用いた組合せ論的証明であった. その後, Szemerédi の定理は様々なアプ
ローチによって別証明が考えられ, そのことが数学を進展させることにつながった. 特に重要な別証明が Furstenberg によるエルゴード理論的証明 [F] および Gowers による Fourier3解析的証明 [Go1] である. Gowers による証明は Szemeédi の定理における N0 (k, δ) の上からの定量的評価

N0 (k, δ) ≤ 2

2δ

−22

k+9

を導き, これは一般の k については現在でも最良の評価である (k = 3, 4 に限定すると著しい進展がある). この評価の改良が続けば Green–Tao の定理がいつか得られるが, そのような証明は現状実現していないのであって, Green–Tao は代わりに Szemerédi の定理の相対化を考えた (次節).
エルゴード理論的証明は即座に Furstenberg と Katznelson による Szemerédi の定理の多次元化を導いた.
定理 2.5 (多次元 Szemerédi 定理 [FK]). 任意の d ∈ Z>0 , Zd の有限部分集合 S, δ > 0 に対して或る N0 (d, S, δ) ∈ Z>0 が存在して, 以下が成立する: 整数 N ≥ N0 (d, S, δ) と集合A ⊂ [N ]d について, #A ≥ δN d であれば A は S 星座を含む.

その後, Gowers [Go2] および Rodl–Schacht–Tengan–Tokushige [RSTT] がハイパーグラ
フ除去補題を用いる組合せ論的別証明を与えた. この組合せ論的なアプローチは今回の我々の研究でも採用した手法である (§4).

3

Szemerédi の定理の相対化

Green と Tao は Szemerédi の定理における N0 (k, δ) の定量評価を改良するのではなく,Szemerédi の定理の相対化を考えることによって新しい道を切り拓いた. ∅ += A ⊂ X,"
1
#X < ∞, f : X → R に対して, E(f | A) := #Ax∈A f (x) という記号を用いる. このとき, Szemerédi の定理における条件 #A ≥ δN は E(1A | [N ]) ≥ δ と書き直すことができる. ここで, 1• は指示関数を表す. 相対 Szemerédi 定理とはこの条件を重み付け関数
λ : Z → R≥0 に対する重み付き密度条件 E(λ · 1A | [N ]) ≥ δ に置き換えても, λ が十分良い
条件を満たしている場合には Szemerédi の定理と同等の結果を導くことができることを主張する ([GT, Theorem 3.5]). ここにいう「十分良い条件」とは λ が殆ど 1 のように振舞うというものである (線形形式条件などの擬ランダム性).
また, 多次元 Szemerédi 定理の相対化も同様に知られており, [T2, Theorem 2.18] や[CFZ, Theorem 3.1] がそれである. ここでは我々の共同研究で与えた version の相対多次
元 Szemerédi 定理を紹介する.
定義 3.1. d を正整数とし, S を 0 を含むような Zd の有限部分集合とする. r := #S − 1 ≥ 1#とし, S = {s1 , . . . , sr } ∪ {0} と元に名前を付けておく. Dr+1 := i∈[r+1] {0, 1}[r+1]\{i} とおく. 各 ω ∈ Dr+1 に対して, Z 線形写像 ψS : Z2r+2 → Zd を次のように定める: i ∈ [r] でω = (ωj )j∈[r+1]\{i} ∈ {0, 1}[r+1]\{i} のときは
(ω)

(ω)

(0)

(0)

(1)

(1)

ψS (a1 , . . . , ar+1 , a1 , . . . , ar+1 ) :=

4

$

%

j∈[r]\{i}(ω )(sj − si )aj j

&

(ω

r+1
+ si ar+1)

と定義し, ω = (ωi )i∈[r] のときは
(ω)

(0)

(0)

(1)

(1)

ψS (a1 , . . . , ar+1 , a1 , . . . , ar+1 ) :=

%

(ω )

s j aj jj∈[r]と定義する. ρ を 0 < ρ < 1 を満たす実数, N を正整数とする. このとき, 写像 λ : Zd → R≥0が (ρ, N, S)-擬ランダム測度であるとは, 元の個数が N 以上であるような整数の区間の直積として表される任意の L ⊂ Zr+1 および任意の Ω ⊂ Dr+1 に対して
' $
'
'
&
'
'
'
(
'
'
(ω) '
λ ◦ ψS ' L × L − 1' ≤ ρ'E'''が成り立つときにいう.

ω∈Ω

定義 3.2. d を正整数, S を Zd の有限部分集合とする. 0 ∈ S および S = −S が成り立って
おり, 更に S が Zd を Z 加群として生成するとき, S を標準形状とよぶ.

Zd の任意の有限部分集合に対してそれを含むような標準形状が存在するため, 任意の形状の星座の存在を証明するには標準形状のみを扱えば十分である. 次が多次元 Szemerédi定理の相対化である.

定理 3.3 (相対多次元 Szemerédi 定理 [KMMSY, Theorem 5.4]). d を正整数とし, S ⊂ Zd
を標準形状とし, r := #S − 1 ≥ d とおく. このとき, 任意の正の実数 δ > 0 に対して正の実
数 ρ = ρ0 (S, δ) および γ = γ0 (S, δ) が存在して以下が成立する. N を正整数, λ : Zd → R≥0を (ρ, N, S)-擬ランダム測度とする. 集合 A ⊂ [−N, N ]d は次の 2 条件を満たすと仮定する:

1. (重み付き密度条件) E(λ · 1A | [−N, N ]d ) ≥ δ,

2. (Smallness 条件) E(λr+1 · 1A | [−N, N ]d ) ≤ γN .

このとき, A は S 星座を含む.

自明な擬ランダム測度 λ = 1Zd に対してこの定理を適用することにより定理 2.5 が系として得られる.

4

ハイパーグラフ除去補題

この節では Gowers や Rodl–Schacht–Tengan–Tokushige が多次元 Szemerédi 定理を導出する際に使用したハイパーグラフ除去補題および Conlon–Fox–Zhao によるその相対化について簡単に紹介する (相対ハイパーグラフ除去補題から同様の方法で相対多次元
Szemerédi の定理を導出することができる). この導出アプローチは Solymosi [So] が起源であり, Szemerédi の定理の導出と多次元 Szemerédi 定理の導出で本質的な差が発生しな
い, つまり元々の次元があまり問題にならないという利点がある. なお, 相対 Szemerédi 定
理の Green–Tao によるオリジナルは幾分エルゴード理論的なアプローチによって証明された.
) * ) *
r を正整数とする. 有限集合 V に対して, Vr を Vr := {e ∈ P(V ) : #e = r} で定義す) *) *る (P で冪集合を表す). このとき, V と Vr の部分集合 E ⊂ Vr の組 (V, E) のことを r ハ
イパーグラフとよぶ. 次がハイパーグラフ除去補題である.

5

定理 4.1 (ハイパーグラフ除去補題). 正整数 k と正の実数 ε > 0 に対して δ = δ0 (k, ε) > 0
が存在して以下が成立する. H を頂点数 k の r ハイパーグラフとし (r ∈ [k]), r ハイパー
グラフ G を任意に考えて, その頂点数を n とおく. もし G が高々δnk 個しか H と同型な部分ハイパーグラフを含まなければ, 高々εnr 個の辺を除去することによって H と同型な部分ハイパーグラフを含まないような G の部分ハイパーグラフを得ることができる.

この定理に至るまでには歴史があるがここではその紹介は割愛する2 . 最終的にハイパー
グラフ除去補題を証明したのは Gowers [Go2] および Nagle–Rödl–Schacht–Skokan [RoSk1,
RoSk2, NRS, RoSc1, RoSc2] である.
Tao [T1] は以下の形でハイパーグラフ除去補題の証明を短くまとめており, この後に述べる相対化はこの version を元に行われる. (J, E) が r ハイパーグラフで各 j ∈ J に対して
Vj が空でない有限集合であるとき, V = ((J, E); (Vj )j∈J ) を r ハイパーグラフ系とよぶ. J!
の部分集合 e に対して Ve := j∈e Vj と略記する.
定理 4.2. 正整数 k と正の実数 ε > 0 に対して δ = δ0 (k, ε) > 0 が存在して以下が成立する.
((J, E); (Vj )j∈J ) を #J = k であるような r ハイパーグラフ系 (r ∈ [k]) として, 各 e ∈ E 毎に Ee ⊂ Ve を考える. もし
' &
$
'
(
'
E
1Ee ×VJ\e ' VJ ≤ δ
'
e∈E
!
+
が満たされるならば, ある (Ee& )e∈E ∈ e∈E P(Ve ) が存在して, e∈E (Ee& × VJ\e ) = ∅ かつ
' *)∀e ∈ E, E 1Ee \Ee" ' Ve ≤ ε が成り立つ.

自明というわけではないが, 実は定理 4.2 から定理 4.1 を導出することができる. この定理の相対化を述べるために, 重み付きハイパーグラフの概念を導入する.
定義 4.3. V = ((J, E); (Vj )j∈J ) を r ハイパーグラフ系とする. g が V 上の重み付きハイパーグラフであるとは, g が関数 ge : Ve → R≥0 の組 g = (ge )e∈E であるときにいう.
g, g & を V 上の重み付きハイパーグラフとする. 任意の e ∈ E に対して各点で ge ≤ ge& が成り立つとき, g ≤ g & と表す.
有限集合 e に対して, ω ∈ {0, 1}e が ω = (ωj )j∈e と成分表示され, 各 j ∈ e に対して
(ω )
(0)
(1)
(ω)
xj および xj が定まっているとき, 記号 xe で (xj j )j∈e を略記しているものと約束する. また, (0)j∈e , (1)j∈e ∈ {0, 1}e をそれぞれ 0, 1 と表すこととし, 例えば xe(0)xe = (xj )j∈e と理解する.
(1)

(0)

= (xj )j∈e ,(1)

定義 4.4. ρ > 0 を正の実数, V = ((J, E); (Vj )j∈J ) を r ハイパーグラフ系 (r ∈ Z>0 ),#ν = (νe )e∈E を V 上の重み付きハイパーグラフとする. また, D(E) := e∈E {0, 1}e とおく.
このとき, ν が ρ 擬ランダムであるとは, 任意の (nω )ω∈D(E) ∈ {0, 1}D(E) に対して
' 
'
'

'
'
'
(
(
'
' (0) (1)'(ω) nω ''E νe (xe ) ' (xJ , xJ ) ∈ VJ × VJ − 1'' ≤ ρ''''e∈E ω∈{0,1}eが成り立つときにいう.
2

第 37 回代数的組合せ論シンポジウムの報告集の原稿には少し記述した.

6

定義 3.1 は上記の擬ランダム性に由来する.
定理 4.2 は次のように一般化される (証明にはハイパーグラフ除去補題を道具として利用する必要がある). πe : VJ → Ve を自然な全射とするとき, x ∈ VJ に対して xe = πe (x) と略記する.

定理 4.5 (相対ハイパーグラフ除去補題 [CFZ], [T2]3 ). 正整数 k および正の実数 ε > 0に対して δ = δ0 (k, ε) > 0 および ρ = ρ0 (k, ε) > 0 が存在して以下が成立する. V =((J, E); (Vj )j∈J ) を #J = k であるような r ハイパーグラフ系 (r ∈ [k]) とする. ν を ρ 擬ラ
ンダムな V 上の重み付きハイパーグラフとし, g を g ≤ ν を満たすような V 上の重み付き
ハイパーグラフとする. もし
'
$
&
'
(
'
E
ge (xe ) ' x ∈ VJ ≤ δ
'
e∈E

!
+
が満たされるならば, ある (Ee& )e∈E ∈ e∈E P(Ve ) が存在して, e∈E (Ee& × VJ\e ) = ∅ かつ)*∀e ∈ E, E ge · 1Ve \Ee" | Ve ≤ ε が成り立つ.

擬ランダム測度の構成と密度計算

5

適切な擬ランダム測度を構成し, 相対多次元 Szemerédi 定理を適用することによって定理 1.9 が示される. K を [K : Q] = d であるような数体とする. また, 整基底 ω を任意にとって同型 OK 1 Zd を固定する. S ⊂ OK を標準形状とする. 利用される擬ランダム測
度はϕK (W ) κ · ΛR,χ (W α + b)2
λ(α) =·
Wdcχ · log Rという形の関数である (α ∈ OK ). ここで, 2 つのメインパラメーター w > 0, M ∈ Z>0 が!
あり, W は W = p∈P≤w p と定義される. R は M と S に依存して定義される実数で, χ はsupport が [−1, 1] に含まれるような C ∞ 級の非負値関数であって, χ(0) = 1 および χ ≤ 10∞を満たすものとする. cχ := 0 χ& (x)2 dx. ϕK は K に対する Euler totient 関数. b は W と互いに素な OK の元. κ は Dedekind ゼータ関数 ζK (s) の s = 1 における留数. OK のイデ
アル a に対して, ΛR,χ (a) は
1
2%
log N (b)ΛR,χ (a) := log RµK (b)χ
log Rb|aと定義される. µK は K に対する Möbius 関数で N (b) はイデアル b のノルム. そして,
ΛR,χ (α) := ΛR,χ (αOK ) である.
ρ > 0 を任意にとる. ρ と S に依存して w を十分大きくとり, その後 M を w, ρ, χ, S に依存して十分大きくとれば λ は (ρ, 2M/W 3, S)-擬ランダム測度であることが証明される.
その証明は W -trick に基づいた Goldston–Yıldırım 型漸近公式を解析的整数論の技法で示すという形でなされる.
3

Tao の示した定理はより多くの条件が課されていたが, Conlon–Fox–Zhao によって条件が緩められた.

7

さて, ノルムが与えられた数以下となるような単項素イデアルの個数の漸近挙動は代
数的整数論の分野における古典として知られているが, 数の幾何学を用いることによってOK 1 Zd において原点から一定距離以内にある互いに非同伴な素元たちのカウンティング
×が適切に実行可能な OK-基本領域を見出すことができる (我々はこれを “NL-compatible”
な基本領域とよんでいる [KMMSY, Proposition 4.11]). このカウンティングに上手く鳩の巣原理を用いた議論を組み合わせることによって, 或る b に対して相対多次元 Szemerédi定理で要請される重み付き密度条件をパスすることができる.

6

Szemerédi 性Green–Tao の定理およびその多次元化である星座定理は若干の一般化が可能であり,
Szemerédi 型の定理に拡張することができる. この拡張は一部の先行研究においては簡単のために証明が記述されないことがあったが, 我々の論文では元の星座定理とその Szemerédi型で議論の複雑さがあまり変わらないように種々の議論を洗練し, 以下の定理 6.5 の証明も省略することなく詳述した.

定理 6.1 (素数 Szemerédi 定理). 任意の k ∈ Z>0 , δ > 0 に対して或る N0 (k, δ) ∈ Z>0 が存在
して, 以下が成立する: 整数 N ≥ N0 (k, δ) と集合 A ⊂ P ∩[N ] について, #A ≥ δ·#(P ∩[N ])であれば A は長さ k の等差数列を含む.
この定理から de la Vallée Poussin による算術級数の素数定理と組み合わせることにより以下の系を得ることができる.

系 6.2. a, b を互いに素な正整数とする. このとき, 公差が a で初項が b であるような無限等差数列に含まれるような素数のみで構成される任意の長さの等差数列が存在する.
√
定理 6.3 (Gauss 素数 Szemerédi 定理). 任意の Z[ −1] の有限部分集合 S と δ > 0 に対して或る N0 (S, δ) ∈ Z>0 が存在して, 以下が成立する: 整数 N ≥ N0 (S, δ) と集合 A ⊂√√PQ(√−1) ∩ Z[ −1](N ) について, #A ≥ δ · #(PQ(√−1) ∩ Z[ −1](N )) であれば A は S 星座√√√を含む. ここで, Z[ −1](N ) := {a + b −1 ∈ Z[ −1] : |a|, |b| ≤ N }.
実は Tao は [T2] において数体の素元星座定理だけではなく, Green–Tao の定理の次の形の多次元化の成立も予想していた. 現在では 3 チームによって独立に解決されている. また, P d が任意の形状の星座を含むことは Green–Tao の定理から即座に従うため, Szemerédi型の主張を考えて初めて非自明な拡張となることに注意.
定理 6.4 (素数多次元 Szemerédi 定理 [TZ, FZ, CMT]). 任意の d ∈ Z>0 , Zd の有限部分集合
S, δ > 0 に対して或る N0 (d, S, δ) ∈ Z>0 が存在して, 以下が成立する: 整数 N ≥ N0 (d, S, δ)と集合 A ⊂ (P ∩ [N ])d について, #A ≥ δ · #(P ∩ [N ])d であれば A は S 星座を含む.
次が数体の素元星座定理の Szemerédi 化である.

定理 6.5 (数体の素元 Szemerédi 定理 [KMMSY]). K を数体とし, OK をその整数環, PK
を OK の素元全体の集合とする. 任意の OK の有限部分集合 S と δ > 0 に対して或る

8

N0 (K, S, δ) ∈ Z>0 が存在して, 以下が成立する: 整数 N ≥ N0 (K, S, δ) と集合 A ⊂ PK ∩OK (N ) について, #A ≥ δ · #(PK ∩ OK (N )) であれば A は同伴なペアを含まないような S 星座を含む. ここで, K の整基底 ω を任意にとって固定し, 同型 OK 1 Zd を通して([−N, N ] ∩ Z)d ⊂ Zd に対応する集合を OK (N ) と表している4 . ここで, d = [K : Q].
更に, S が標準形状であれば, そのような S 星座の個数 N はを満たす.

N 5ω,S,δ

N d+1(log N )#S

この定理の証明においては, PK に対して相対的に密な集合 A に対して NL-compatible
×
な OK-基本領域 D であって A ∩ D が PK ∩ D において相対的に密となるようなものが存在することを証明することが 1 つの鍵となる.

ニ次形式による素数表現と星座定理

7p = x2 + y 2 の形の奇素数は p ≡ 1 (mod 4) を満たすものなので, 算術級数定理によってそのような素数は無限に存在する. より一般の 2 元 2 次形式についてはこのような単純な合同条件が常にあるわけではないが, Weber は次の定理を証明している.

定理 7.1 (Weber [W]). F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 を原始的 2 次形式とする. また, 判別式
DF = b2 − 4ac は完全平方数ではないと仮定し, F は負定値ではないとする. このとき,が成り立つ.

#{p ∈ P : ∃(x, y) ∈ Z2 s.t. F (x, y) = p} = ∞F (x, y) = p なる p の分布ではなく, (x, y) の分布に興味を移して, 数体の素元星座定理の枠組みを応用することにより, 我々は次の結果を得た. これは純粋に有理素数に関する
新定理と考えることができる.

定理 7.2 (2 次形式の素数表現に関する Szemerédei 定理 [KMMSY]). F (x, y) = ax2 +bxy +cy 2 を原始的 2 次形式とする. また, 判別式 DF = b2 − 4ac は完全平方数ではないと仮定し,F は負定値ではないとする. このとき, F −1 (P) の相対的に密な部分集合 A は Z2 に対する
任意の形状の星座を含む. 更に, 各星座上に F を制限すると単射であるようにできる.

2 次体の整環などに関する追加の議論は必要であるが, 数体の議論には基づいているた
め, より一般の形式に拡張するのは現状難しい (3 次以上であってもノルム形式についてはできている). 例えば, 次の疑問は肯定的に成り立つであろうか?

疑問 7.3. 集合 {(x, y, z) ∈ Z3 : x3 + y 3 + z 3 ∈ P} は Z3 に対する任意の形状の星座を含むだろうか.
なお, Heath-Brown [HB2] が p = x3 + 2y 3 の形の素数の無限性を証明している.
4なので, 厳密には N0 (K, S, δ) は ω の取り方に依存する.

9

謝辞

講演の機会を与えて下さったシンポジウム責任者の森脇淳先生 (京都大学), 数論のプログラム責任者である安田正大先生 (北海道大学), 水野義紀先生 (徳島大学) に心より感謝申し上げます.

参考文献[CFZ] D. Conlon, J. Fox, Y. Zhao, A relative Szemerédi theorem, Geom. Funct. Anal. 25(2015), 733–762.
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11ΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମͷ‫ز‬Կֶͱͦͷ޿͕Γ ∗Ճ౻ɹप †

2021 ೥ 10 ݄ 31 ೔֓ཁΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମͷ‫ز‬Կֶͱ൒ແ‫ضݶ‬ଟ༷ମͷ‫ز‬Կֶɺͦͯͦ͠ΕΒͷ‫ض‬ଟ༷ମͷྔࢠ K ‫ͱ܈‬ͷͭͳ͕Γʹ͍ͭͯͷ࠷ۙͷզʑͷ݁Ռ ([15]) ʹ͍ͭͯ֓આ͢Δɻ

Introductionෳૉ਺ମ্ͷ൒୯७Ϧʔ୅਺΍൒୯७୅਺‫܈‬ͷཧ࿦ʹ͓͍ͯମΛ 1 ࣍‫ݩ‬ͷର৅ɺͭ·Γ 1 ม਺ͷଟ߲ࣜ‫؀‬΍(‫׬‬උ) ‫ॴہ‬ମʹऔΓ‫͑׵‬Δ͜ͱ͸ 1960 ೥୅Ҏ߱੝Μʹߟ͑ΒΕͯདྷͨɻ·ͨɺෳૉ਺ମ্ͷ൒୯७୅਺‫܈‬ͷ‫ۃ‬େͳࣹӨత౳࣭ۭؒͰ͋Δ‫ض‬ଟ༷ମͷ‫ز‬Կֶ͸ͦΕ୯ମͱͯ͠΋ද‫ݱ‬࿦Λ‫ه‬ड़͢Δ‫ݴ‬༿ͱͯ͠΋༗༻Ͱ͋ͬ
ͨͨΊͦͪΒʹ͍ͭͯ΋ମΛෳૉ਺ମ͔Β 1 ࣍‫ݩ‬తͳର৅΁ͱ֦େͯ͠ߟ͑Δ͜ͱ͕ࣗવͰ͋Δɻ͜Ε͸ɺ൒୯७୅਺‫ ܈‬G ͱͦͷ Borel ෦෼‫֯ࡾ্( ܈‬෦෼‫)܈‬B ʹରͯ͠ɺK = C((z)), Qp ͳͲͱ͓͍ͯ֓Ͷ

B(K) := G(K)/B(K)ͷΑ͏ͳର৅Λߟ͑Δ͜ͱʹରԠ͢Δɻ͜ͷΑ͏ͳू߹ B(K) ΛΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମͱ‫ݺ‬ΜͰྑ͍ͱ‫ݸ‬ਓతʹ͸ࢥ͏͕ɺ࣮ࡍʹ 1980 ೥୅͔Β੝Μʹ‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔ͍ΘΏΔΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମ͸͜͏͍ͬͨ΋ͷͰ͸ͳ͍ɻ༗‫ݩ࣍ݶ‬෼ͷҧ͍Λআ͍͍ͯΘΏΔΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମ͸ O = C[[z]], Zp Λ K ͷ੔਺‫ͯ͠ͱ؀‬GrG := G(K)/G(O)ͷΑ͏ʹදͤΔू߹ʹଟ༷ମɺ΋͘͠͸ͦΕʹྨࣅͨ͠ߏ଄ΛೖΕͨ΋ͷʹͳ͍ͬͯΔ (࣮ࡍʹ͸͜ͷू߹্ͷ༗‫ضݩ࣍ݶ‬ଟ༷ମʹΑΔϑΝΠόʔଋʹͳ͍ͬͯΔ)ɻ؆୯ͷͨΊ K = C((z)) Ͱߟ͑Δͱแ‫ؚ‬ਤࣜ"" B(K) ! !" !!
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ͳ 1 ม਺Խ (+ த৺֦େ) Ͱ͋ΔΞϑΟϯɾϦʔ୅਺ΛΧοπɾϜοσΟʔϦʔ୅਺ͱΈͳͨ͠ͱ͖ͷ্ࡾ֯∗ MSC2010: 14N15,20G44† ‫౎ژ‬େֶେֶӃཧֶ‫ڀݚ‬Պɾ˟606-8502 ‫۠ژࠨࢢ౎ژ‬๺ന઒௥෼ொ E-mail:syuchan@math.kyoto-u.ac.jp1෦෼୅਺͕ɺ൒୯७Ϧʔ୅਺ͷ্ࡾ֯෦෼ͷ 1 ม਺Խ͔Β‫ݟ‬ΔͱͣΕ͍ͯΔͨΊͦΕΛ΋ͱʹఆٛͨ͠ΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମ͸্ͷΑ͏ͳ΋ͷͱ͸શ͘ҧ͏ࣗવͳ΋ͷΛ༩͑Δ͜ͱɺ΋͏ͻͱͭʹ͸ͦͷΑ͏ʹఆٛ͞Εͨ‫ض‬ଟ༷ମ͸ p-ਐ୅਺‫( ܈‬୅਺‫܈‬ͷ p-ਐ਺ମ஋఺ͷͳ͢‫ )܈‬ͷεϜʔεද‫ݱ‬ͷ‫ͱڀݚ‬૬ੑ͕ྑ͍Α͏ʹ‫ݟ‬ड͚ΒΕ
Δ͜ͱɺͦͯ͠࠷‫্ʹޙ‬ͷී௨Ͱͳ͍ҙຯͰͷΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମΛू߹Ҏ֎ͷԿ͕͔͠ͷ࣮ମͱͯ͠ଊ͑Δํ
๏͕े෼ʹ੔උ͞Ε͍ͯͳ͔ͬͨ͜ͱ͕‫͛ڍ‬ΒΕΔɻ
ͯ͞ɺ৽୩ [30]ɺCasselmann-Shalika [4] ΒʹΑΔ൒୯७ p-ਐ୅਺‫͚͓ʹ܈‬Δ‫ ͱ਺ؔٿ‬Whittaker ؔ਺ͷରԠ͸্ͷ 2 छྨͷΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମ GrG ͱ B(K) ͷ্ͷߏ଄෺Λͭͳ͙΋ͷͱ‫ݟ‬၏ͤͨɻ͜ͷ͜ͱ͸ෳ਺ͷछྨͷΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମͷ্ͷߏ଄෺ʹ͸‫͕͖͋ͭͼ͍݁ڧ‬Δ͜ͱΛࣔࠦ͢Δɻ࣮ࡍɺGrG ͱ B(K) ͷ‫ز‬Կֶͷؒͷؔ܎͸ؒҧ͍ͳ͘ਂ͍͜ͱ͸෼͔͍ͬͯͨ ([6]) ͕ɺB(K) ΛͳΜͩͱࢥ͏ͷ͕ྑ͍ͷ͔͕े෼ཧ

ղ͞Ε͍ͯͳ͔ͬͨͨΊʹͦͷΑ͏ͳ݁ͼ͖ͭΛ·ͱΊ͋͛ΔΑ͏ͳ݁ՌΛग़͢͜ͱ͕೉͔ͬͨ͠ɻ͜͏͍ͬ
ͨࣄ৘͔Βू߹ B(K) Λద੾ͳҙຯͰଟ༷ମͱΈͳͯͦ͠ͷ্ͷ‫ز‬ԿֶΛల։͠ɺ͜Ε·Ͱʹ༗‫ࣅۙݩ࣍ݶ‬΍

GrG ͷ‫ز‬ԿֶʹΑͬͯಘΒΕ͍ͯͨ݁ՌΛࣗવʹऔΓࠐΉ͜ͱɺͦͯͦ͠ΕʹΑΓ༗‫ݩ࣍ݶ‬ͷ‫ز‬Կֶతද‫ݱ‬࿦ͷ݁Ռͷਖ਼͍͠ϧʔϓԽΛߦ͏͜ͱ͸ͻͱͭͷ‫ج‬ຊతͳ໰୊ͱ‫͞ͳݟ‬Ε͖ͯͨɻ͜ͷ໰୊ʹରͯ͜͜͠਺೥
ΞϓϩʔνΛߦͬͨ݁Ռɺগͳ͘ͱ΋ B(K) ͕ (ద੾ͳҙຯͰ) ͖ͪΜͱଘࡏͯؔ͠࿈͢Δ͍͔ͭ͘ͷ༧૝Λղܾͨ͠Γ‫ط‬ଘͷߏ੒Λઆ໌͢Δ͚ͩͷྗΛ͍࣋ͬͯΔ͜ͱ͸ࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ͨɻ

͜͜Ͱ͸ɺ্‫ه‬ͷΑ͏ͳঢ়‫گ‬ͷதͰ [15] ͷओఆཧ·ͰΛ؆ܿʹవΊ͓ͯ͘ɻߨԋͰ͸ଞͷ࿩ΛऔΓࠐΈͭͭ࿩ͦ͏ͱ͕ͨ͠ɺ͍Ζ͍Ζͱࣦഊͨ͠‫͕͢ؾ‬ΔͷͰɺͦ͜͸ׂѪ͢Δɻ࣮͸͜ͷ࿩͸ࣅͨΑ͏ͳจষΛଞʹ΋ॻ͍ͨ ([19]) ͷ͕ͩɺͦΕͱ͸ॻ͖ํΛͪΐͬͱม͑ͯΈͨɻ

1 ‫ض‬ଟ༷ମͱͦͷಉม K ‫܈‬͜ͷઅʹॻ͔Ε͍ͯΔ͜ͱʹ͍͖ͭͯͪΜͱ஌Γ͍ͨ޲͖͸ɺChriss-Ginzburg [5] Λ‫ݟ‬Δͷ͕ྑ͍ͱࢥ͏ɻ

G Λ୯࿈͔݁ͭ࿈݁ͳෳૉ਺ମ্ͷ୯७୅਺‫͠ͱ܈‬ɺB Λͦͷ Borel ෦෼‫܈‬ɺT Λ‫ۃ‬େτʔϥεͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺX := G/Bͱ͓͖ G ͷ‫ض‬ଟ༷ମͱ‫ݺ‬ΜͩɻW := NG (T )/T Λ G ͷϫΠϧ‫͠ͱ܈‬ɺw ∈ W ʹରͯ͠ ẇ ∈ NG (T ) ͱ͍͏ϦϑτΛద੾ʹܾΊΔͱ Bruhat ෼ղ

G=

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Schubert ଟ༷ମ͕ܾ·ΔɻW ͷ Bruhat ॱংΛw ≤ v ⇔ Xw ⊂ Xv(⇔ X v ⊂ X w )(1.1)

ͱ͍͏ Schubert ଟ༷ମͷؒͷแ‫ʹ܎ؚؔ‬ΑͬͯఆΊΔɻX w ͨͪͱ Xv ͨͪ͸ԣஅతʹަΘΓɺͦͷ݁Ռަࠥͱͯ͠ఆ·Δ Richardson ଟ༷ମ

Xwv := Xw ∩ X v(ͨͩ͠ v ≤ w Ͱͳ͚Ε͹͜Ε͸ۭू߹)2ͷಛҟ఺ͷ‫ॴہ‬తͳߏ଄͸ Schubert ଟ༷ମͷಛҟ఺ͷ‫ॴہ‬తͳߏ଄ͱಉఆͰ͖Δɻ

X∗ Λ T ͷ (୅਺త) ࢦඪ‫܈‬ɺX∗ Λͦͷ Z-૒ର (T ͷ༨ࢦඪ‫͢ͱ )܈‬Δɻ͜ͷͱ͖ɺλ ∈ X∗ Λࣗવʹ B ͷ 1࣍‫ݩ‬ද‫্ͯ͛ͪ࣋ʹݱ‬OX (λ) := G ×B (−λ) −→ G/B = XΛରԠ͢Δ௚ઢଋͱ͢Δɻ౳࣭ੑ͔Β OX (λ) ͸ࣗવʹਖ਼ଇ௚ઢଋͱ‫ݟ‬၏ͤɺҎԼ͕੒ཱ:Theorem 1.1 (Borel-Weil). r = dim T ͷ ͱ ͖ X∗+ ="r

i=1 Z≥0 "iͱ ͳ Δ Α ͏ ͳ Z-ઢ ‫ ܕ‬ಠ ཱ ͳ"1 , . . . , "r ∈ X∗ (G ͷ‫ج‬ຊ΢ΣΠτͱ͍͏ ) ͕औΕɺλ ∈ X∗ ʹରͯ͠#L(λ) (λ ∈ X∗+ )∗ ∼Γ(X, OX (λ)) ={0}(else)

͕੒ཱ͢Δɻͨͩ͠ɺL(λ) ͸༗‫طݩ࣍ݶ‬໿ G-Ճ‫ ͯͬ͋Ͱ܈‬B-‫ݻ‬༗ϕΫτϧͰ T ͕ λ Λ௨ͯ͡࡞༻͢ΔΑ͏ͳ΋ͷΛ࣋ͭ΋ͷ ( ͜ͷΑ͏ͳ L(λ) ͸ಉ‫ܕ‬Λআ͍ͯ།Ұʹఆ·Δ )ɻ
ͯ͞ɺ͜ͷঢ়‫گ‬ԼͰ

X #→

r
$

P(L("i )∗ )

(1.2)

i=1

ͱ͍͏ࣗવͳຒΊࠐΈ͕ଘࡏͯ͠ɺOX ("i ) ͱ͸ (1.2) ʹ͓͍ͯ i ൪໨ͷ௚ੵҼࢠͷ O(1) ΛҾ͖໭ͨ͠΋ͷͱಉҰࢹͰ͖Δɻ

E ⊂ G Λด෦෼‫ͯ͠ͱ܈‬ɺX ͷ E-ಉม K ‫ ܈‬KE (X) Λ%

F :E-࡞༻෇͖୅਺తϕΫτϧଋZ[F]{[F] − [F0 ] − [F1 ] | E-࡞༻෇͖୯‫׬‬શ‫ ྻܥ‬0 → F0 → F → F1 → 0}

(1.3)

ͱఆΊΔɻ͜ͷͱ͖ɺE ͷ೚ҙͷද‫ݱ‬͸ 1 ఺্ͷ E-ಉมϕΫτϧଋͰ͋ΔͷͰɺ(֎෦) ςϯιϧੵʹΑΓ(1.3) ͷ྆ํͷ߲ɺ݁Ռͱͯ͠ KE (X) ΁ͱ࡞༻͢Δɻಛʹ E ͷද‫ ؀ݱ‬R(E) := KE (pt) ͕ KE (X) ΁ͱ࡞༻
͢Δɻߏ੒ΑΓ E-ಉมϕΫτϧଋͷςϯιϧੵ͸ KE (X) ʹ [OX ] Λ୯Ґ‫͢ͱݩ‬Δ‫ߏ؀‬଄Λಋ͘ɻ·ͨɺX͕ smooth ͳࣹӨత୅਺ଟ༷ମͰ͋ΔͷͰ೚ҙͷ X ্ͷ E-ಉม࿈઀૚͸௕͞༗‫ݶ‬ͷϕΫτϧଋʹΑΔ෼ղΛ࣋ͪɺैͬͯ KE (X) ͸ X ্ͷ E-ಉม࿈઀૚ͷྨΛશͯ‫ؚ‬ΉɻX ্ͷ G-ಉมϕΫτϧଋ͸ X ͕౳࣭ۭؒͰ͋ͬͨ͜ͱ͔Β B/B ∈ X ͰͷϑΝΠόʔ (B ͷද‫ )ݱ‬ͷσʔλͷΈͰܾ·Δɻಛʹ KG (X) ∼= R(T )ɻैͬͯ G-࡞༻ΛҰ෦෼๨Εͯ T -࡞༻ʹ͢Δࣸ૾
KG (X) −→ KT (X)͕ఆ·Δɻ͜Εͱɺઌʹड़΂ͨ T ͷද‫ ؀ݱ‬R(T ) = Z[X∗ ] ͷςϯιϧੵ࡞༻Λ૊Έ߹Θͤͯ

R(T ) ⊗ KG (X) −→ KT (X)ͱ͍͏ࣸ૾͕ߏ੒Ͱ͖Δ͕ɺ͜Ε͸શࣹ४ಉ‫ͳʹܕ‬Δɻ۩ମతʹ͸

Theorem 1.2 (Atiyah-Hirzebruch, Pittie-Steinberg, Demazure, Joseph). ࣍ͷಉ‫͕ܕ‬ଘࡏ͠ɺಛʹ KT (X)͸ R(T ) Ճ‫ࣗͯ͠ͱ܈‬༝ʹͳΔ:%w∈W

R(T )[OXw ] ∼= KT (X) ∼= R(T ) ⊗R(G) KG (X) ∼= R(T ) ⊗R(T )W R(T )ͨͩ͠ɺ࠷‫ޙ‬ͷಉ‫ܕ‬͸ R(G) = R(T )W ʹΑΔɻ3

B ͷ‫ط‬໿༗ཧද‫ ͱݱ‬T ͷ‫ط‬໿༗ཧද‫ݱ‬͸Ұக͠ɺఆཧ 1.2 ΛؑΈΔͱ KT (X) ∼= KB (X) ͕੒ཱ͢Δɻ͞

ͯɺ֤ 1 ≤ i ≤ r ʹରͯ͠ "i ʹରԠ͢Δ୯७ϧʔτ αi ∈ X∗ ‫ͼٴ‬ରԠ͢Δ‫ڸ‬ө si ∈ W ͕ܾ·Γɺ{si }ri=1

͕ W ͷ Coxeter ‫ͯ͠ͱ܈‬ͷߏ଄Λ༩͑ͨɻ·ͨɺB ⊂ Pi ⊂ G ͱ͍͏෦෼‫Ͱ܈‬ɺPi /B ∼= P1 ͱͳΔΑ͏ͳ΋ͷ͕ Pi /B ⊂ X ͕ Xsi ͱ͍͏ Schubert ଟ༷ମΛఆΊΔΑ͏ʹऔΕΔ (୯७ϧʔτ αi ʹରԠ͢Δ‫ۃ‬খ์෺‫ܕ‬෦෼‫)܈‬ɻ͜ΕΛ༻͍ͯπi : Pi ×B X −→ Xͱ͍͏ࣗવͳϑΝΠόʔଋΛߏ੒͠ɺ[E] ∈ KB (X) ʹରͯ͠ infli E Λ X ্ͷ B-ಉม࿈઀૚ E ͷ Pi -࡞༻ʹ
ΑΔ Pi ×B X ΁ͷ্࣋ͪ͛ͱ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺπi ͸ Pi -ಉม͔ࣹͭӨతͳͷͰ[E] ,→&j≥0(−1)j [Rj (πi )∗ infli E]

͸ KT (X) ͷࣗ‫ݾ‬४ಉ‫ܕ‬ΛఆΊΔɻ͜ΕΛ Demazure ࡞༻ૉͱ͍͍ɺDi Ͱද͢ɻCorollary 1.3 (Demazure ࢦඪެࣜͷ‫)ܥ‬.
KG (X) = {ξ ∈ KT (X) | Di (ξ) = ξ,

1 ≤ ∀i ≤ r}.

2 ΞϑΟϯɾάϥεϚϯଟ༷ମͱΞϑΟϯɾ‫ض‬ଟ༷ମ‫ͦͼٴ‬ͷಉม K ‫܈‬͜ͷઅʹॻ͔Ε͍ͯΔ͜ͱʹ͍͖ͭͯͪΜͱ஌Γ͍ͨ޲͖͸ɺKumar [22] Λ‫ݟ‬Δͷ͕ྑ͍ͱࢥ͏ɻͦ͜ʹॻ͔Ε͍ͯͳ͍͜ͱʹؔͯ͠͸ദ‫ݪ‬-Shimozono [13]ɺLam-Schilling-Shimozono [24] ͋ͨΓΛ‫ݟ‬Δ͜ͱΛ͓નΊ͢Δɻͯ͞ɺಉ༷ͷ͜ͱͷ (௨ৗͷҙຯͰͷ) ΞϑΟϯ൛Λߟ͑ΔɻͦͷͨΊʹ

G((z)) := G(C((z))),G[[z]] := G(C[[z]]),G[z] := G(C[z]),G[z −1 ] := G(C[z −1 ])ͳͲͱ͓͘ɻ·ͨɺ

ev∞ : G[z −1 ] −→ G

ev0 : G(C[[z]]) −→ G,ͱ͍͏ evaluation map Λ༻͍ͯI := ev−10 (B),−
I− := ev−1
∞ (B )

ͱ͍͏෦෼‫ؠ( ܈‬ງ෦෼‫ )܈‬Λߟ͑Δɻ͜ΕΒΛ༻͍ͯ

FlG := G((z))/I−

FlG := G((z))/I,ͱఆΊɺ֤ʑthin/thick ΞϑΟϯ‫ض‬ଟ༷ମͱ‫Ϳݺ‬ɻ࣮͸ɺG((z)) ʹ͸ Kac-Moody ‫܈‬ͷߏ੒ʹ฿͏‫ Ͱܗ‬1 ࣍‫ݩ‬ͷ C× ʹΑΔத৺֦େ‫ ͼٴ‬z ΛεΧϥʔഒ͢Δ C× ͷ֎෦࡞༻͕ఆ·Δ͕ɺͦ͜΋ I ΍ I− ΁ͱ‫ٵ‬ऩͤ͞Δ‫ܗ‬Ͱ

C× ! G((z)) ! C×

(2.1)

ͱ͍͏͍ΘΏΔ (‫ۃ‬େ) ΧοπɾϜοσΟʔ‫ ͕܈‬FlG ͓Αͼ FlG ʹࣗવʹ࡞༻͢Δɻ͜ͷঢ়‫گ‬ͷ΋ͱͰ

T := C× × T × C× ͸ΧοπɾϜοσΟʔ‫܈‬ͷ‫ۃ‬େτʔϥεΛ༩͑ɺͦͷࢦඪ‫ ܈‬Z × X∗ × Z ͷ෦෼ϞϊΠυ
Zδ ×

r
&
i=0

Z≥0 Λi ⊂ Z × X∗ × Z
4ͷ‫ ݩ‬Λ ͱΧοπɾϜοσΟʔ‫܈‬ͷ I-༗‫طݶ‬໿Մੵ෼ද‫ ݱ‬L(Λ) ͕ 1 ର 1 ʹରԠ͢Δ*1 ɻ͜ͷͱ͖ɺ

FlG := G((z))/I #→r$

P(L(Λ)∨ )i=0ͱ͍͏ดຒΊࠐΈ͕͋Δɺͱ͍͏ͷ͕༗‫ݩ࣍ݶ‬ͷ৔߹ͱಉ༷ʹ੒ΓཱͭɻͨͩɺΛ .∈ Zδ Ͱ͋Ε͹ඞͣdim L(Λ) = ∞ ͱͳͬͯ͠·͏ͷͰ L(Λ)∨ ͱ͍͏࣍਺੒෼͝ͱͷ૒ରΛͱΔ੍‫ݶ‬૒ରͱ୯७ʹઢ‫͠ͱۭؒܗ‬ͯͷ૒ର L(Λ)∗ ͸ҟͳΔɻ·ͨɺL(Λ) ͷ T-ࢦඪ͕ద੾ͳҙຯͰ্ʹ༗քͰ͋Δ͜ͱ͔Β͜ͷ૒ର͸ L(Λ)∨ͷ࣍਺੒෼ʹؔ͢Δ‫׬‬උԽͱಉҰࢹ͞ΕΔɻ͜ͷΑ͏ʹ͢Δͱ

FlG := G((z))/I #→r$

P(L(Λ)∨ ) #→

i=0

r
$

P(L(Λ)∗ )i=0ͷΑ͏ʹ߹੒ຒΊࠐΈ͕Ͱ͖Δ͕ɺ࠷ӈลͷҰൠ‫ʹݩ‬͸ I ΍ G[[z]] ͷ࡞༻͸ (ͦͷ··ߟ͑Δͱແ‫ݶ‬࿨͕ग़‫ݱ‬
͢ΔͨΊʹ) ఆٛͰ͖ͣɺG(C[z]) ͷ࡞༻·Ͱ͔͠ఆٛͰ͖ͳ͍ɻͨͩ͠ɺ൓ରʹ G(C[z]) ͷ࡞༻ΛԆ௕͢Δ‫ Ͱܗ‬G(C((z −1 ))) ͸࡞༻Ͱ͖ͯ͠·͏ɻ͜͏͍ͬͨཧ༝͔Βɺz ,→ z −1 ͱ͍͏ twist Λߦ͏ͱ

FlG #→ FlG #→r$

P(L(Λi )∗ )

(2.2)

i=0

ͱ͍͏ຒΊࠐΈ͕ଘࡏ͢Δɻ͜ͷͱ͖ɺγ ∈ X∗ ʹରͯ͠γ : C× = Spec C[z ±1 ] → T ⊂ GʹΑͬͯ γ ∈ G(C[z ±1 ]) ⊂ G((z)) ͱ‫ͱ͢ͳݟ‬ɺG((z)) ͷ Bruhat ෼ղ͸G((z)) =!

IẇγI,

G((z)) =w∈W,γ∈X∗!

IẇγI−

w∈W,γ∈X∗

ͱͳΔ (‫ऀޙ‬͸ Birkhoff ෼ղͱ‫͔͖΂Ϳݺ‬΋͠Εͳ͍)ɻ

NG (T )X∗ = NG((z)) (T ) −→ NG((z)) (T )/T =: WafͱͳΓɺ࠷ӈลΛ G ͷΞϑΟϯɾ ϫΠϧ‫Ϳݺͱ܈‬ɻҎԼɺβ ∈ X∗ ͷ‫ݩ‬Λ Waf ͷ‫ͱݩ‬Έͳ͢ࡍʹࣝผ͠΍͢
͘͢ΔͨΊ tβ ͱ‫͕͋ͱ͜͢ه‬Δɻ

͜ͷͱ͖ɺw ∈ Waf ͷϦϑτΛ NG((z)) (T ) ͔Βద౰ʹͱΓ ẇ ͱͯ͠

Flw := IẇI/I,

Flw := I− ẇI/I ⊂ FlG

ͱ͓͖ɺΞϑΟϯɾ‫ض‬ଟ༷ମͷ Schubert ଟ༷ମͱ‫Ϳݺ‬ɻFlw ͸༗‫ݩ࣍ݶ‬ΞϑΟϯۭؒͷดแͱ͍͏ߏ଄Λ࣋
͕ͭɺFlw ʹ͸ඇಛҟͳۭؒͷดแͱ͍͏ղऍΛ༩͑Δ͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ɻ

Theorem 2.1 (‫ي‬ಓͷแ‫)܎ؚؔ‬. Waf ͸ W ͷ୯७‫ڸ‬ө‫ ܥ‬s1 , . . . , sr ʹ Λ0 ʹରԠ͢Δ୯७ϧʔτʹΑΔ‫ڸ‬ө s0 ΛՃ͑ͨ΋ͷΛ Coxeter ੜ੒‫͢ͱܥ‬Δ Coxeter ‫Ͱ܈‬ɺಛʹ‫ݩ‬ͷ (Coxeter ੜ੒‫ʹܥ‬ΑΔ ) ࠷୹දࣔͷ௕͞ * : Waf → Z≥0 ɺ‫ͼٴ‬ҎԼͰఆٛ͞ΕΔ Bruhat ॱং < Λ࣋ͭ:
*1 ͜͜ͰɺT ⊂ T ʹରԠ͢ΔҾ͖໭͠Ͱ Λi "→ !i (i $= 0), 0 (i = 0) ͱͳΔΑ͏ʹఴࣈΛௐ੔͢Δͷ͕఻౷ɻͳ͓ɺ࣍਺γϑτ δʹؔͯ͠͸ผʹͲΜͳ஋ʹͱͬͯ΋Ϧʔ୅਺ͱͯ͠Մੵ෼ੑʹ͸Ө‫͕͍ͳ͠ڹ‬ɺՄੵ෼ͱ͸‫܈‬ͷද‫্͕ͪ࣋ʹݱ‬Δ͜ͱΛࢦ͢ͷͰ‫ ܈‬C× ͷ࡞༻ʹ͸্͕࣋ͪΔͱ͍͏͜ͱͰ੔਺஋ʹ͍ͯ͠Δɻ5

• w ∈ Waf ͕ *(w) = * Λຬͨ͠ɺw = si1 si2 · · · si! (i1 , . . . , i# ∈ {0, 1, . . . , r}) ͱ͍͏࠷୹දࣔΛ࣋ͭͱ
͖ɺ1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ * ͱ͍͏ {1, 2, . . . , *} ͷ೚ҙͷ෦෼ྻʹରͯ͠

sij1 sij2 · · · sijk < w.
͜ͷͱ͖ɺw, v ∈ Waf ʹରͯ͠ w < v ͸ҎԼͷ͍ͣΕ͔ͱಉ஋:Flv ⊂ Flw .

Flw ⊂ Flv ,͞Βʹɺw, v ∈ W ͷ৔߹ʹ͸લઅ (1.1) ͷఆٛͱҰக͢ΔɻຒΊࠐΈ (2.2) ͷ࠷ӈลʹ͸ I− ⊂ G[z −1 ] ⊂ G[[z −1 ]] ͕࡞༻͢ΔͷͰɺI− ͷ G[[z −1 ]] Ͱͷ Zariski ดแ IopΛߟ͑Δͱ

Flw := Iop · Flw ⊂r$

P(L(Λi )∗ )i=0͸ແ‫ݩ࣍ݶ‬ΞϑΟϯۭؒͷดแͱ͍͏ߏ଄Λࣗવʹ΋ͭɻ͜ΕΒͷ΋ͷΛ

π0 :

r
$

i=0

P(L(Λi )∗ ) −→ P(L(Λ0 )∗ )ͱ͍͏ࣹӨͰૹͬͨ΋ͷ͸ࣗવʹ

Grw := IẇI/G[[z]],Grw := I− ẇI/G[[z]] ⊂ GrGͱಉҰࢹͰ͖Δɻ

Remark 2.2. ͜ͷಉҰࢹ

π0 (FlG ) ∼= GrG ∼= G((z))/G[[z]]Ͱ͋Δ͕ɺX∗ ͸ G ͕ (ಉ͡Ϧʔ୅਺Λ༩͑Δ୅਺‫ )ͯ͠ͱ܈‬খ͚͞Ε͹খ͍͞΄Ͳେ͖͘ͳΔͨΊ G ͕୯࿈݁Ͱͳ͚Ε͹੒ཱ͠ͳ͍͜ͱ͕༰қʹΘ͔Δɻ୯࿈݁Ͱͳ͍ G ʹରͯͦ͠ͷ༨ࢦඪ‫܈‬Λ୯࿈݁ͷ࣌ͱࣝผ͢

ΔͨΊ X∗ ⊂ Y ͱॻ͘ͱɺఆٛΑΓ π1 (G) ∼= Y/X∗ ͕ͩɺ͞Βʹ π1 (G) ͸ {si }ri=0 ͷؔ܎ࣜΛอͭ Waf ͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫্͕ͪ࣋ʹܕ‬Γ

W !Y∼= π1 (G) ! Wafͱ͍͏ಉ‫ܕ‬Λ༩͑Δɻಛʹɺπ1 (G) ͸ I ⊂ G((z)) ͱ͍͏ϖΞͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫ܕ‬Λ༩͑Δ͕ɺG[[z]] ͸͜ͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫Ͱܕ‬อͨΕͳ͍ɻͦͯ͠୯࿈݁Ͱͳ͍ G ʹରͯ͠͸ G((z))/G[[z]] ͸ (ू߹ͱͯ͠)GrG ͷ π1 (G) ʹΑΔ೧Γͨͪͷ߹ซͱͯ͠༩͑ΒΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɻ−͜ͷঢ়‫گ‬ͷ΋ͱͰɺWafΛ coset Waf /W ͷ୅ද‫( ܥ‬།Ұͷ௕͞࠷୹ͷ΋ͷͰऔΔͷ͕௨ৗ) ͱͯ͠KT (FlG ) :=%R(T )[OFlw ],KT (GrG ) :=%R(T )[OGrw ]

−
w∈Waf

w∈Waf

ͱఆΊΔɻ͜ͷΑ͏ʹఆΊۭ͕ͨؒ K-‫΂ݺͱ܈‬Δ͜ͱ͸ FlG ΍ GrG ্ͷ T -ಉมͳ࿈઀૚Ͱ͋Γɺ͔ͭద੾
ͳ w ∈ Waf ʹରͯ͠࿈઀ OFlG -Ճ‫( ܈‬΋͘͠͸࿈઀ OGrw -Ճ‫ͱ )܈‬ΈͳͤΔ΋ͷͷྨΛશͯ‫ؚ‬Ήͱ͍͏‫ࣔͰܗ‬͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ*2 ɻ֤ Λ ∈ Z × X∗ × Z ʹରͯ͠ɺFlG Λ (2.1) ͷ౳࣭ۭؒͱࢥ͏͜ͱʹΑΓ X ͱಉ༷ʹ௚ઢ

*2 FlG ΍ Flw ͸ (w ͕ͦΕͳΓʹେ͖͚Ε͹) ܾ͍ͯ͠ΘΏΔ C ∞ -ଟ༷ମͱ͸‫͕ͱ͍͜ͳͤͳݟ‬஌ΒΕ͍ͯΔ ([9])ɻ͜ͷลͷఆ͕ٛ ad hoc ʹ‫͑ݟ‬Δͷ͸ͦͷลʹ΋ཧ༝͕͋Γɺผʹචऀ͕ඈͼൈ͚ͯଵຫͰ͋Δͱ͍͏͜ͱ͚͕ͩཧ༝Ͱ͸ͳ͍ɻ6

ଋ OFlG (Λ) ͕ܾ·Δɻͨͩ͠ɺ͜ͷఆٛͷ΋ͱͰ͸ [OFlG (Λ)] .∈ KT (FlG ) Ͱ͋ΔͷͰɺͦͷςϯιϧੵ࡞༻Λ KT (FlG ) ͷ‫ߏ؀‬଄ͷҰ෦ͱΈͳ͢͜ͱ͸Ͱ͖ͳ͍ (ͦ΋ͦ΋ɺKT (FlG ) ʹ௚ઢଋͷςϯιϧੵͱ͍͏‫ܗ‬ͷੵߏ଄͸ೖΒͳ͍)ɻ
ͯ͞ɺ
q

p

m

GrG × GrG ←− G((z)) × GrG −→ G((z)) ×G[[z]] GrG −→ GrGͱ͍͏ਤࣜΛߟ͑Δɻࣸ૾ q ͸ G((z)) × GrG ͷୈҰҼࢠʹؔ͢Δ঎ࣸ૾Ͱɺp ͸ G((z)) × GrG ͷୈҰҼࢠʹg ɺୈೋҼࢠʹ g −1 (g ∈ G[[z]]) ͱͯ͠࡞༻ͤͨ͞঎Λߟ͑Δࣸ૾ɺ࠷‫ޙ‬ͷ m ͸ G((z)) ͷੵ͕༠ಋ͢Δࣸ૾ͱ͢Δɻ

−͜ͷͱ͖ɺG[[z]]-ಉมͳ GrG ্༗‫ͳݩ࣍ݶ‬୆Λ࣋ͭ (ద੾ͳ w ∈ Waf
ʹରͯ͠࿈઀ OGrw -Ճ‫ͱ܈‬ΈͳͤΔ)

Α͏ͳ૚ E, F ʹରͯ͠'q∗ (E ! F) ∼= p∗ (E ×F)' ͕ଘࡏ͢ΔͷͰɺ͜ΕΛ༻ͱͳΔΑ͏ͳ G[[z]]-ಉมͳ G((z)) ×G[[z]] GrG ্༗‫ͳݩ࣍ݶ‬୆Λ࣋ͭΑ͏ͳ૚ E ×F͍ͯ

E 1 F :=

ͱఆΊΔ͜ͱͰɺ

&i≥0'(−1)i [Ri m∗ (E ×F)]
∈ KT (GrG )KG (GrG ) := {ξ ∈ KT (GrG ) | Di (ξ) = ξ,

1 ≤ ∀i ≤ r}.

ͷ্ͷ࡞༻ΛఆΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻͨͩ͠ɺDi ͸લઅͷ Demazure ࡞༻ૉͰɺ֤ Grw ͕ B-࡞༻Λ࣋ͭ͜ͱ͔Β KT (GrG ) ʹ΋ X ͷ৔߹ͱಉ༷ʹఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ఆΊͨ KG (GrG ) ͕ G-ಉมͳ࿈઀૚ͷΫϥεͷઢ‫͋Ͱ߹݁ܗ‬Δ͜ͱ΋ࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

Proposition 2.3 (Bezrukavnikov-Finkelberg-Mirković [2]). ‫ ؀‬KG (GrG ) ͸Մ‫ͳ׵‬੔ด੔ҬͰ͋Δɻ
ಉ༷ͷ࡞༻Λ KT (FlG ) ʹରͯ͠΋ఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɺ‫͖Ͱ͕؀‬Δͷ͕ͩͦͷΑ͏ʹ࡞ͬͨ‫؀‬͸Մ‫ͳͰ׵‬͍͠ɺྵҼࢠ΋࣋ͬͯ͠·͏ɻ͜͜Ͱ KT (GrG ) ∼= R(T ) ⊗R(G) KG (GrG ) ͸܎਺‫؀‬ͷ֦େͰɺ΍͸Γ੔ҬʹͳΔɻ͜ͷঢ়‫Ͱگ‬X−∗ := {β ∈ X∗ | 2αi , β3 < 0, 1 ≤ ∀i ≤ r}
ͱ͓͖ɺWaf ͷ෦෼‫ ܈‬X∗ ͷ෦෼ϞϊΠυͱΈͳ͢ͱ Grβ (β ∈ X−∗ ) ͸ G-҆ఆͱͳΓ[OGrβ ] 1 [OGrβ# ] = [OGrβ+β# ]β, β ( ∈ X−∗

Λຬͨ͢ɻ͜ΕʹΑΓ

KG (GrG )loc := KG (GrG )[[OGrβ ]−1 | β ∈ X−∗]
ͱ͓͘ͱɺKG (GrG )loc ΋΍͸ΓՄ‫ͳͱ؀׵‬Δɻ

3 ൒ແ‫ضݶ‬ଟ༷ମͱͦͷಉม K ‫܈‬ͯ͞ɺ൒ແ‫ضݶ‬ଟ༷ମΛ Introduction ͱಉ༷ʹG((z))/B((z)),G((z))/T [[z]] · N ((z))
7ͱ͍͏఺ू߹ʹରͯ͠ద੾ʹ scheme(΋͘͠͸ ind-scheme) ͷߏ଄ΛೖΕͨ΋ͷͱͯ͠ఆ͍ٛͨ͠ͷ͕ͩɺલऀ͸୯ͳΔ‫ض‬ଟ༷ମͷ arc scheme Ͱಛʹ I-‫ي‬ಓͷߏ଄͕୯७Ͱ͋·Γߟ͑Δ༨஍ͷͳ͍΋ͷͱͳΓɺ‫ऀޙ‬͸

Hausdorff ͳۭؒʹͰ͖ͳ͍͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻͦ͏͍ͬͨࣄ৘͔Β൒ແ‫ضݶ‬ଟ༷ମͱͯ͠ҙຯͷ͋Δ‫ڀݚ‬Λ͢Δʹ͸

G((z))/ (T · N ((z)))ͱ͍͏ू߹Λߟ͑ͯͦΕʹద੾ͳҐ૬΍‫ۭ͖ؒ෇؀‬ͷߏ଄ΛೖΕΔͷ͕ྑ͍͜ͱ͸ੲ͔Β஌ΒΕ͍ͯͨɻͨͩ
͠ɺarc scheme Ͱ͜ͷۭؒΛଊ͑Α͏ͱ͢Δͱ G/N ͷࣗવͳ෦෼ίϯύΫτԽͰ͋Δ‫ج‬ຊΞϑΟϯۭؒͷarc scheme Λߟ͑Δඞཁ͕͋Γɺͦͷߏ଄૚ʹ͸ႈྵ‫͕ࣗݩ‬વʹग़ͯ͘Δ ([28]) ͜ͱ͔Β͜ͷଊ͑ํ͸ͦͷ
··Ͱ͸ਖ਼͘͠ͳ͍͜ͱ΋෼͔͍ͬͯͨɻલઅͰ঺հͨ͠ΞϑΟϯɾάϥεϚϯଟ༷ମͷॻ͖ํ͸ද‫ݱ‬࿦ͷཱ৔͔Βͷॻ͖ํͰ͋Γɺ୅਺‫ز‬Կతʹ

CAlgop
C 4 R ,→ G(R((z)))/G(R[[z]]) ∈ SetsͷΑ͏ͳಛఆͷମ্ͷՄ‫؀׵‬ͷ‫͔ݍ‬ΒରԠ͢Δ఺ͷू߹Λ࣮‫͢ݱ‬ΔΑ͏ͳؔख (ద੾ͳҐ૬ͷ΋ͱͰͷ૚) Λind-scheme ͱͯ͠࠷ྑۙࣅ (coarsely represent) ͢Δ΋ͷͱҰக͢Δ͜ͱ͸ (੒Γཱ͕ͭ) ‫׬‬શʹ໌Β͔Ͱ͸ͳ͍ ([1, 7])ɻ(1.2)ɺ͋Δ͍͸ (2.2) ͷࣗવͳྨࣅͰ͋Δ෦෼ू߹G((z))/ (T · N ((z))) #→

r
$

i=1

P(L("i )∗ ⊗ C((z)))(3.1)͔Βఆ·Δด෦෼ ind-schemeQrat
G Λߏ੒͢ΔͱɺͦΕ͕

CAlgop
C 4 R ,→ G(R((z)))/ (T (R) · N (R((z)))) ∈ Setsͱ͍͏ؔख (+ z ʹؔ͢Δ pole order filtration) ͔ΒࣹΛड͚ΔΑ͏ͳ ind-scheme ͱͯ͠ͷ࠷ྑۙࣅͰ͋Δ
͜ͱ͕ (ద੾ͳҙຯͰɺ΄΅ඪ਺ʹґΒͣʹ) ࣔͤΔ ([18])ɻ͜͜Ͱ ind-scheme ʹͳ͍ͬͯΔͷ͸ͦ΋ͦ΋(3.1) ͷӈลͷΑ͏ͳλΠϓͷۭؒ͸ z ʹؔ͢Δ pole order ʹ੍͍ͭͯ‫ݶ‬Λ͚ͭͳ͍ͱ scheme ͱ‫͍ͳͤͳݟ‬͜ͱ͔Βདྷ͍ͯΔɻಛʹɺ(3.1) ͷӈลͷ z ʹؔ͢Δ pole order Λ௚ੵ੒෼͝ͱʹ੍‫ͯ͠ݶ‬ಘΒΕΔ Qrat
G ͷ෦෼ू߹͸ scheme ʹͳΔɻຒΊࠐΈ (3.1) ͷଘࡏʹΑΓɺӈลͷ i-൪໨ͷ௚ੵ੒෼ͷ O(1) ΛҾ͖໭͢͜ͱͰ Qrat
G ΍ͦͷด෦෼

schemeY ্ʹ௚ઢଋ OQrat("i ) ΍ OY ("i ) ͕ఆ·Δɻλ =GOQrat(λ) :=G
ͳͲͱ͓͘ɻ

r
(
i=1

"r

i=1 mi "i ʹରͯ͠OQrat("i )⊗miG‫ؠ‬ᖒ෼ղɺBruhat ෼ղɺ‫ ͼٴ‬X∗ ∼= T ((z))/T [[z]] ΑΓG((z)) = G[[z]]B((z)) =!

w∈W

IẇB((z)) =!

IẇT [[z]]N ((z)) =w∈Waf

ͱͳΔɻैͬͯ Qrat
G ͷ I-‫ي‬ಓ͸ Waf Ͱఴࣈ͚ͮΒΕɺ

Q(w) := IẇT N ((z))/T N ((z)) ⊂ Qrat
G ⊂!

IẇT N ((z))

w∈Waf

r
$

i=1

P(L("i )∗ ⊗ C((z)))͕ͦͷ Schubert ଟ༷ମͱͳΔɻ͜ΕΒ͸ Qrat
G ͷด෦෼ scheme ͱΈͳͤΔɻҎԼɺ؆୯ͷͨΊ Q := Q(w0 )ͱ͓͘ɻ

8Theorem 3.1 (Braverman-Finkelberg [3], [14, 18], K-Naito-Sagaki [20]). ೚ҙͷ λ ∈ X∗ ͱ w ∈ Waf ʹରͯ͠ɺ͕࣍੒ཱ͢Δ*3 :# )*∈ Z((q −1 )) ⊗ R(T )gch H (Q(w), OQ(w) (λ)) ∈0i(i = 0, λ ∈ X∗+ ).
(else)

Theorem 3.2 (Drinfeld, Lusztig [26], Finkelberg-Mirković [8]). ҎԼ͕੒ཱ͢Δ:
1. ֤ w ∈ Waf ʹରͯ͠ɺQ(w) ͸ແ‫͋Ͱݩ࣍ݶ‬Γɺ·ͨ Qrat
G ͷதͰͷ༨࣍‫ݩ‬΋ແ‫͋Ͱݶ‬Δɻ
2. X∗ ⊂ T ((z)) ͷ‫ݩ‬͸ू߹

G((z))/(T · N ((z)))ʹӈ͔Β࡞༻͠ɺQrat
G ʹ΋ӈ͔Β࡞༻͢Δɻ͜͜Ͱ γ ∈ X∗ ͸ Q(w) Λ Q(wtγ ) ΁ͱૹΔɻ

3. w, v ∈ Waf ʹରͯ͠ Q(ww0 ) ⊂ Q(vw0 ) Ͱ͋Δ͜ͱͱɺҎԼͷ֤৚݅*4 ͸ಉ஋:ʢaʣશͯͷ β ∈ X∗ Ͱ 1 ≤ i ≤ r ʹରͯ͠ β(αi ) 5 0 ͱͳΔ΋ͷʹରͯ͠ wtβ < vtβ ɻʢbʣશͯͷ β ∈ X∗ Ͱ 1 ≤ i ≤ r ʹରͯ͠ β(αi ) 6 0 ͱͳΔ΋ͷʹରͯ͠ ww0 tβ < vw0 tβ ɻͨͩ͠ɺ< ͸ఆཧ 2.1 Ͱఆ·Δ Waf ͷ Bruhat ॱংɻ͜ͷͱ͖ w ≤ ∞v ͱॻ͘͜ͱʹ͢Δɻ
2

X+
∗ :=

"r

∨
i=1 Z≥0 αi⊂ X∗ ͱఆΊΔɻͨͩ͠ɺα1∨ , . . . , αr∨ ͸୯७ϧʔτʹରԠ͢Δ༨ϧʔτɺͭ·Γαi∨ ("j ) = δij Λຬͨ͢Α͏ͳ X∗ ͷ‫ݩ‬ͷ͜ͱͰ͋Δɻ͜ͷͱ͖ɺX∗ ͷॱং ≤ Λβ ≤ γ ⇔ γ − β ∈ X+∗ͰఆΊΔ*5 ɻ͜ͷঢ়‫گ‬Լʹ͓͍ͯɺR(T )-Ճ‫܈‬KT (QratG ) := {&w∈Wafaw [OQ(w) ] | aw ∈ R(T ), ∃β0 ∈ X∗ s.t. autβ = 0, ∀u ∈ W, β .< β0 }ͱఆΊΔɻͨͩ͠ɺ͜ͷఆٛͷதͰͷ૯࿨͸‫ࣜܗ‬త࿨ͱ͢Δɻ·ͨɺKH (Q) := {

&

w∈Waf

aw [OQ(w) ] | aw ∈ R(T ) s.t. autβ = 0, ∀u ∈ W, β .≤ 0}

Λ KT (QratG ) ͷ෦෼ R(T )-Ճ‫ͯ͠ͱ܈‬ఆΊΔɻ͜ͷͱ͖ɺఆཧ 3.2 ͔ΒདྷΔӈ X∗ -ҠಈΛ KT (Q) ʹద༻͢Δ
ͱ KT (QratG ) ʹઢ‫ܗ‬Ґ૬ۭؒͱͯ͠ͷ 0 ͷ։‫ج‬ΛఆΊΔɻ

Remark 3.3. ͜ͷΑ͏ʹఆΊͨ K ‫ ܈‬KT (QratG ) ͕Ͳͷఔ౓ਖ਼͍͠ର৅Ͱ͋Δ͔ͱ͍͏෦෼ʹ͸ٞ࿦ͷ༨஍͕͋Δ (ͱ͘ʹɺ͜ͷ‫ؔ͢ʹ܈‬Δ਺஋త݁ՌͷΈΛ࣋ͬͯ൒ແ‫ضݶ‬ଟ༷ମͷ K ‫ؔ͢ʹ܈‬ΔԿ๭͔ͷ͜ͱΛͨ͠ͱओு͢Δͷʹ͸఍߅Λ‫͡ײ‬Δ)ɻ͔͠͠ɺҎԼͷΑ͏ͳҙຯͰ਺஋తʹਖ਼͍͠ର৅Ͱ͋Δ (΋͘͠͸ͦͷҰ෦Λͳ͢) ͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔ: ҰൠʹࣹӨଟ༷ମ X = Proj+n≥0 Rn ͕༩͑ΒΕͨͱ͖ɺR-gmod Λͦͷ༗‫ݶ‬ੜ੒࣍਺෇͖ R-Ճ‫܈‬ͷͳ͢‫ݍ‬ɺR-gmodnilp Λ R-gmod ͷॆຬ෦෼‫ेͰݍ‬෼ߴ͍࣍਺෦෼͸ফ͑ΔΑ͏ͳ΋ͷͱ
͢Δͱ͖ɺX ͷ࿈઀૚ͷ‫ ݍ‬Coh X ͸

Coh X =

R-gmodR-gmodnilp*3 ͲͷΑ͏ͳࢦඪʹͳΔ͔΋෼͔͍ͬͯͯɺMacdonald ଟ߲ࣜͷಛघԽ͕ग़ͯ͘ΔͳͲͦΕࣗମͷߏ଄΋͋Δ͕ɺলུ͢Δɻ
*4 ;ͨͭͷ৚͕݅‫ʹ͍ޓ‬ಉ஋ͳ͜ͱ͸ w 2 = 1 ͱ utβ = tuβ u (u ∈ W, β ∈ X∗ ) ΑΓ༰қɻ
0*5 ͜ͷॱংͱ X∗ ⊂ Waf Ͱ༠ಋͨ͠ Bruhat ॱং͸Ұൠʹ͸Ұக͠ͳ͍ɻͨͩ͠ɺ−X− (ͳ͓ɺ͜Ε͸ X+ ͱ͸ҟͳΔू߹Ͱ͋Δ)∗∗ʹ੍‫͢ݶ‬ΔͱҰக͢Δɻ·ͨɺ࣮͸ X∗ ⊂ Waf Ͱ༠ಋͨ͠ generic Bruhat ॱং ≤ ∞ ͱ͸ w0 Ͱͷ೧ΓΛ๏ͱͯ͠Ұக͢Δɻ
2

9

+

ͱॻ͚Δɻಛʹɺ͜ΕΛ K-‫ʹ܈‬Ҡ২͢Δͱ M =a∈Z Ma ∈ R-gmod ʹରͯ͠ψM : Z 4 a ,→ dim Ma ∈ Z, Λ༻͍Δͱͱ͍͏ࣸ૾ͱ M ͷ૚ԽͰಘΒΕΔ X ͷ࿈઀૚ M,] ,→ ψM ∈K(X) 4 [M{f : Z → Z}
{f : Z → Z | f (a) = 0, ∀a 5 0}ͱ͍͏Ξʔϕϧ‫܈‬ͷ४ಉ‫͕ܕ‬ఆٛͰ͖Δɻͦͷ૾Λ Knum (X) Ͱද͢ͱ͜Ε͸ K(X) ͷ঎ͱΈͳͤΔɻಛʹɺ, ͷΈʹґଘ͢ΔͷͰɺψ ! ͱ΋ॻ͘͜ͱʹ͢ΔɻψM ͷ૾͸ MMզʑͷঢ়‫Ͱگ‬͸KT (QratG ) −→)*{f : X∗ → Z((q −1 )) ⊗ R(T )}{f : f : X∗ → (Z((q −1 ))) ⊗ R(T ) | f (λ) = 0, ∀λ 5 0}ͱ͍͏ࣸ૾͕֤ OQ(w) Λ Gm ! I-ಉม૚ͱࢥ͍ λ ∈ X∗ ʹԠͯ͡ O(λ) Ͱ೧͔ͬͯΒ Euler-Poincaré ඪ਺ΛऔΔ͜ͱʹΑΓಋ͔ΕΔɻ͜ͷͱ͖ɺψOQ(w) ͨͪͷ૾ͷ R(C× × T )-ઢ‫߹݁ܗ‬

&

w∈Waf

aw (q)ψOQ(w)aw (q) ∈ R(C× × T ), ∃β0 ∈ X∗ s.t. autβ = 0, ∀u ∈ W, β .< β0ͷू߹ (͜Ε͸ KT (QratG ) ͷ૾Λ‫ؚ‬Ή͜ͱʹ஫ҙ) ʹରͯؔ͠܎ࣜΛ

&

w∈Waf

aw (q)ψOQ(w) (λ) ≡ 0

λ50

ͱͳΔΑ͏ͳ aw (q) ∈ R(C× × T ) (⇒ aw (1) ∈ R(T )) ʹΑͬͯ

&

w∈Waf

aw (1)[OQ(w) ] ≡ 0ͱఆΊΔͱ KT (QratG ) ͕ຒΊࠐΊΔͱ͍͏֨޷ʹͳ͍ͬͯΔɻ

Theorem 3.4 ([15] Theorem 1.17). ֤ λ ∈ X∗ ʹରͯ͠ɺOQrat(λ) ʹΑΔςϯιϧੵ͸ KT (Q) ‫ͼٴ‬G
KT (QratG ) Λอͭɻ͜ͷ࡞༻ΛҎԼ Ξ(λ) Ͱද͢ɻCorollary 3.5 ([15] Lemma 1.18). ֤ 1 ≤ i ≤ r ʹରͯ͠ɺҎԼ͕੒ཱ͢Δ:[OQ(si w0 ) ] = [OQ ] − e$i [OQ (−"i )] ∈ KT (Q).
‫ ܥ‬3.5 ‫ ͼٴ‬Q(si w0 ) ⊂ Q = Q(w0 ) ͕௒ฏ໘Ͱ͋ͬͨͱ͍͏ࣄ࣮ʹؑΈͯHi := id − e$i Ξ(−"i ) ∈ End (KT (QratG ))ΛԾ૝తͳҙຯͰͷ௒ฏ໘੾அʹରԠ͢ΔΑ͏ͳࣗ‫ݾ‬ಉ‫͢ͱܕ‬Δɻ

Theorem 3.6 ([15] Theorem 2.12). R(T )-ઢ‫ͳܗ‬ຒΊࠐΈΦ : KT (GrG )loc −→ KT (QratG )Ͱ͋ͬͯҎԼͷੑ࣭Λຬͨ͢΋ͷ͕ଘࡏ͢Δ:10

1. w ∈ W, β ∈ X−
∗ ʹରͯ͠

Φ([OGrwtβ ]) = [OQ(wtβ w0 ) ];2. ֤ ξ ∈ KT (GrG )loc ͱ β ∈ X−
∗ ʹରͯ͠
Φ(ξ 1 [OGrβ ]±1 ) = Φ(ξ) ◦ tw0 β
ratͨͩ͠ɺtw0 β ͸ KT (QG) ͷӈ X∗ -ฏߦҠಈ࡞༻ɻ

3. ֤ 1 ≤ i ≤ r, β ∈ X−
∗ ͱ ξ ∈ KT (GrG )loc ʹରͯ͠Φ([OGrsi β ] 1 ξ) = Hi (Φ(ξ)) ◦ tw0 β .

4 ‫ض‬ଟ༷ମͷྔࢠ K ‫܈‬ྔࢠ K ‫܈‬͸ྔࢠίϗϞϩδʔͷ K ‫܈‬൛Ͱ͋ΓɺGivental ͱ Lee ʹΑΔҰ࿈ͷ࿦จ [11, 10, 25] Ͱఆ͕ٛ‫ݻ‬·ͬͨ΋ͷͰ͋ΔɻྔࢠίϗϞϩδʔͷ৔߹ͱಉ༷ʹͦͷ‫ࢉܭ‬͸Ұൠʹ͸҆ఆࣸ૾ͷۭؒͷ্ͰԾ૝‫ج‬ຊྨΛ༻͍ͯॏΈΛ͚ͭͨ਺্͑͛Λߦ͏ͷͰ͋Δ͕ɺ‫ض‬ଟ༷ମͷΑ͏ʹ convexɺͭ·Γ༗ཧ࿈݁Ͱ͋Γ೚ҙͷࣸ
૾ f : P1 → X ʹରͯ͠઀ଋͷҾ͖໭͕࣍͠਺ ≥ −1 ͷ௚ઢଋͷ௚࿨ʹ෼྾͢ΔΑ͏ͳঢ়‫Ͱگ‬͸Ծ૝‫ج‬ຊྨ͸ཁΒͳ͘ͳΔ ([21])ɻϕΫτϧۭؒͱͯ͠͸ɺ‫ض‬ଟ༷ମͷ৔߹qKT (X)∧ := KT (X)[[Qβ | β ∈ X+
∗ ]]Ͱ༩͑ΒΕɺͦͷੵ͕ Novikov ม਺*6 ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ Qβ ͷํ޲ʹม‫͞ܗ‬Εͨ΋ͷͱͳΔ*7 ɻ͢ͳΘͪɺ, Λ

qKT (X)∧ ͱ͢Δͱɺ

(qKT (X)∧ , ,) −→ (KT (X), ⊗)͸શࣹ‫؀‬४ಉ‫ͳʹܕ‬Δɻ࣮͸ , ͸ qKT (X)∧ ͷఆٛʹ͓͍ͯ Novikov ม਺ํ޲ʹ‫׬‬උԽΛऔΒͳͯ͘΋ఆٛͰ͖Δ (ͭ·Γɺग़‫͕߲ݱ‬༗‫ͳʹݶ‬Δ) ͜ͱ͕༧૝͞Εɺྔࢠ K ‫܈‬ͷ༗‫ݶ‬ੑ໰୊ͱ‫ݺ‬͹Ε͖ͯͨɻ[11] ΛಡΉͱ෼͔ΔΑ͏ʹྔࢠίϗϞϩδʔͷ‫ ࢠྔͱࢉܭ‬K ‫܈‬ͷ‫ࢉܭ‬Λൺֱͨ͠ͱ͖‫ऀޙ‬͸ΞϓϦΦϦ
ʹ͸༨࣍‫ݩ‬ͷߴ͍෦෼ଟ༷ମͷ‫د‬༩·Ͱ͖ͪΜͱ‫͚ͳݟ‬Ε͹͍͚ͳ͍ͷͰ෼͔Γ΍͍ۭ͔ؒ͢Β͖ͬͪΓͱtransversal ͳ௒ฏ໘੾அͷ‫܁‬Γฦ͠ͰಘΒΕΔΑ͏ͳۭؒɺ΋͘͠͸ผͷཧ༝ʹΑΓৄࡉʹߏ଄͕෼͔ͬͯ
͍ΔΑ͏ͳۭؒͰͳ͚Ε͹‫͕ࢉܭ‬༰қͰ͸ͳ͍*8 ɻ͜Ε͕ Maulik-Okounkov ཧ࿦ [27, 29] Λ΋ͱͱͯ͠Ұൠͷᝪଟ༷ମʹରͯ͠ྔࢠ K ‫*܈‬9 Λ࿦͡Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔҰํͰ‫ض‬ଟ༷ମͷྔࢠ K ‫܈‬ͷ‫ه‬ड़ʹؔͯ͠͸ (ᝪଟ༷ମͷ෦෼ଟ༷ମͱͯ͠‫ݱ‬ΕΔ)A ‫ܕ‬Ҏ֎ͷ৔߹ʹ͸ࠓ·Ͱ͋·Γਂ͍͜ͱ͕෼͔Βͳ͔ͬͨཧ༝ͱ‫͑ݴ‬Δɻ
൒ແ‫ضݶ‬ଟ༷ମ Qrat
G ʹؔͯ͠‫͑ݴ‬͹ɺຒΊࠐΈ (3.1) Λ͞Βʹ֦ுͨ͠ຒΊࠐΈ

Qrat
G #→

r
$

i=1

P(L("i )∗ ⊗ C((z))) #→

r
$

i=1

P(L("i )∗ ⊗ C[[z, z −1 ]])*6 ͜Ε͸ɺX ಺ͷ (‫ط‬໿ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍) ୅਺‫ۂ‬ઢ͕ (Ծ૝తʹͰ͸ͳ࣮͘ࡍʹ) ͳ͢ྨ (⊂ H2 (X, Z)) ʹؔ͢ΔॏΈ͚ͮΛ༩͑Δม

∼਺Ͱɺࠓ H2 (X, Z) = X∗ ͩͬͨ͜ͱͳͲ͔Β্ͷΑ͏ͳ‫ه‬ड़ʹͳΔɻ
*7 ͜Ε͸͍ΘΏΔখྔࢠ K ‫ݺͱ܈‬͹ΕΔ΋ͷɻখྔࢠ K ‫͔܈‬Βେྔࢠ K ‫܈‬Λ෮‫͢ݩ‬ΔΞϧΰϦζϜ΋஌ΒΕ͍ͯΔ ([12])ɻ
*8 ‫ض‬ଟ༷ମ͕ͦ͜෼͔Γ΍͍ۭؒͩ͢ͱ΋ࢥ͑ΔͷͰɺͦ͏͍͏ҙຯͰ΋ͦͷྔࢠ K ‫܈‬͸෼͔͓͖͍ͬͯͨͱ͍͏ߟ͑ํ΋͋Δɻ
*9 ൴Βͷྔࢠ K ‫ ͱ܈‬Givental-Lee ͷ΋ͷͱ͸‫ʹີݫ‬͸ͣΕ͕͋Δɻ

11

Λߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖ɺ͜͏͢Δͱ࠷ӈล͸ z ,→ z −1 ͱ͍͏ର߹Ͱ҆ఆΏ͑ Qrat
G Λ೧ͬͯຒΊࠐΊΔɻ͜ΕΛ༻͍ΔͱɺI-‫ي‬ಓͱ I− ͷ G[[z −1 ]] ʹ͓͚Δ Zariski ดแ I% ͷ‫ي‬ಓͷ Qrat
G ಺ͷަࠥͱͯ͠

Q(w, v) = Ipw ∩ I% pv = Ipw ∩ I% pv

w, v ∈ Waf

Λఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ ([18])ɻͨͩ͠ɺpw ͸ Q(w) (w ∈ Waf ) ͷ᜚ີ I-‫ي‬ಓͷ།Ұͷ (C× × T )-‫ݻ‬ఆ఺ͱ
͢Δɻ

Theorem 4.1 ([15, 18]). w, v ∈ Waf ʹରͯ͠ɺQ(w, v) .= ∅ Ͱ͋Δඞཁे෼৚݅͸ w ≤ ∞v Ͱ͋Δɻ·ͨ2͜ͷͱ͖ Q(w, v) ͸‫ط‬໿ͳࣹӨతਖ਼‫ن‬୅਺ଟ༷ମͰ͋Γ༗ཧಛҟ఺ͷΈΛ࣋ͭɻ·ͨͦͷ࣍‫ݩ‬͸ w, v ͷ < ∞2ʹ͓͚Δ‫Ͱ཭ڑ‬༩͑ΒΕΔɻ
ఆཧͱ 4.1ɺ௚ઢଋͷγϑτ࡞༻ૉͷ‫ه‬ड़Λ༻͍ΔͱɺqKT (X) Λ‫͢ࢉܭ‬Δͷʹ༻͍ͨ૬ؔؔ਺ͷ‫͕ࢉܭ‬Q(w, v) ͷ্ͷ௚ઢଋͷ Euler-Poincaré ඪ਺ͷ‫ه‬ड़ʹ‫ؼ‬ண͞ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɻ͜ͷ͜ͱͱ
Theorem 4.2 ([18]). ೚ҙͷ w ∈ Waf ʹରͯ͠
-

v∈Waf

Q(w, v) ⊂ Q(w)ͱ͍͏ຒΊࠐΈ͸᜚ີͰ͋Γɺ͞Βʹ೚ҙͷ λ ∈ X∗+ ʹରͯ͠lim χC× ×T (Q(w, v), OQ(w,v) (λ)) = χC× ×T (Q(w), OQ(w,v) (λ))

v→−∞͕੒ཱ͢Δɻͨͩ͠ɺχC× ×T ͸ C((q −1 ))[T ] ஋ΛͱΔಉม Euler-Poincaré ඪ਺ɻΛ߹ΘͤΔͱɺ(઴ۙ‫ڍ‬ಈͷղੳ͔Β) ҎԼΛࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δ:

Theorem 4.3 ([15] Theorem B). R(T )-ઢ‫ͳܗ‬ಉ‫૾ࣸܕ‬Ψ : qKT (X)∧ −→ KT (QratG )Ͱ͋ͬͯҎԼͷੑ࣭Λຬͨ͢΋ͷ͕ଘࡏ͢Δ:

1. w ∈ W, β ∈ X∗ ʹରͯ͠

Ψ([OXw ]Qβ ) = [OQ(wtw0 β ) ];2. ֤ 1 ≤ i ≤ r, β ∈ X∗ ͱ ξ ∈ qKT (X)∧ ʹରͯ͠
Ψ(OX (−"i ) , ξ) = Ξ(−"i )(Ψ(ξ)).
Ҏ্Λ૊Έ߹ΘͤΔ͜ͱͰɺҎԼΛಘΔ:

Corollary 4.4 ([15], conjectured by Lam-Li-Mihalcea-Shimozono [23]). R(T )-ઢ‫؀ͳܗ‬४ಉ‫ܕ‬
Ψ−1 ◦ Φ : KT (GrG )loc −→ qKT (X)∧ͰҎԼ w ∈ W, β ∈ X−
∗ ʹରͯ͠

Ψ−1 ◦ Φ([OGrwβ ]) = [OXww0 ]QβͱͳΔ΋ͷ͕ଘࡏ͢Δɻ

12

KT (GrG )loc ͷੵ 1 ͕༗‫ݶ‬ੑΛຬͨ͢͜ͱ͸ੲ͔Β஌ΒΕ͍ͯͨͷͰɺ͜ͷ͜ͱ͔Β qKT (X) ͷ༗‫ݶ‬ੑ΋ै͏ɻ͜ͷΑ͏ͳߟ͑ํ͸ྔࢠ K ‫܈‬ͷؔखੑ ([16, 17]) ͳͲʹ΋Ԡ༻Λ΋ͪɺಛʹάϥεϚϯଟ༷ମͳͲ์
෺‫ضܕ‬ଟ༷ମͷྔࢠ K ‫܈‬ͷཧղʹ͓͍ͯ΋໾ʹཱͭɻँࣙ: ߨԋͷ‫ػ‬ձΛ༩͍͑ͯͩ͘͞·ͨ͠௚Ҫࠀ೭ઌੜʹ͓ྱਃ্͛͠·͢ɻຊདྷͰ͋Ε͹খࣉྒհઌੜ͕࣭͝໰͞ΕͨΑ͏ʹ͖ͪΜͱͦͷઌͷ‫ڀݚ‬ΛऔΓࠐΜͰ࿩͢͜ͱΛ‫ظ‬଴͞Εͨํ͕͓ΒΕΔ͜ͱ͸෼͔͍ͬͯ·͕͢ɺͦ͜ʹؔͯ͠͸΋͏গ࣌ؒ͠Λ௖͖͍ͨͰ͢ (ਓੜͱ͸ԟʑʹͯ͠··ͳΒͳ͍΋ͷͳͷͰ͢)ɻͳ͓ɺ͜ͷ‫ڀݚ‬͸ҎԼͷ‫ڀݚ‬අͷิॿΛड͚͍ͯ·͢: JSPS KAKENHI Grant Number JP26287004 and JP19H01782.

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13

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14符号，格子と頂点作用素代数におけるレーマー型問題
三枝崎剛 ∗

はじめに

1

X を球面 S n−1 上の有限集合，t を自然数とする．X が球面 t-デザインとは，任意の t 次以下の多項式関数 f (x) = f (x1 , . . . , xn ) に対して
!
1
1 "
f
(x)dσ(x)=f (x)|S n−1 | S n−1|X|x∈Xが成立することである．球面 t-デザインならば球面 (t − 1)-デザインであることに注意すると，t の値の大きい有限集合 X の構成が基本的な問題となる．
球面デザインの構成法は数多く知られているが，ここでは格子を用いたものを紹介しよう．L を格子，原点からノルム m の点集合

(L)m := {x ∈ L | (x, x) = m}

を格子 L のノルム m のシェルと呼ぶ．すると (L)m はノルムを調整すること
によって球面 S n−1 上の有限集合と考えられる．格子を用いた球面デザインの構成とは，対称性の高い格子を用いて t の値の大きい球面 t-デザインを構成
しようというものである．
例えば E8 -格子を例に取ろう．任意の自然数 m に対して (E8 )2m は球面 7デザインの構造を与える．球面 t-デザインならば球面 (t − 1)-デザインであり，高い t の球面 t-デザインの構成が重要であったことを思い出そう．するとある
シェルで (E8 )2m が球面 8-デザインとなることがあるか，このような問題が自然に生じる．実は (E8 )2m が球面 8-デザインであることと τ (m) = 0 が同値である．ここで τ (m) は以下で定義されるラマヌジャンの τ 関数である：

∆=q

∞
#

n=1

n 24

(1 − q )

=

∞
"

n=1

τ (n)q n = q − 24q 2 + 252q 3 + · · · .

これに関して次の Lehmer 予想がある．
∗

早稲田大学基幹理工学部1

予想 1.1 ([15]). 任意の自然数 m に対して τ (m) #= 0．

このように Lehmer 予想は E8 -格子のデザイン理論の性質と同値であることが分かった．このような現象は全ての整数格子で観察でき，整数格子におけるモジュラー形式のフーリエ係数の零性とデザインの関係を Lehmer 型問題と呼ぶ．詳しい定式化はセクション 2 で行う．
また格子と符号，頂点作用素代数 (VOA) の類似はよく知られており，符号や VOA においても Lehmer 型問題を考えることができる．格子や符号，VOAの Lehmer 型問題について現在までの状況を概説することが本稿の目的である．
セクション 2 で格子と球面デザインに関する Lehmer 型問題の定式化，セクション 3 で符号と組合せデザインに関する Lehmer 型問題，セクション 4 で
VOA と共形デザインに関する Lehmer 型問題の定式化，セクション 5 で現在までの進展状況，および Lehmer 型問題の応用として，符号と格子の幾何に関する話題を紹介する．

格子と球面デザイン

2セクション 1 で格子から球面デザインが得られることを説明し，Lehmer 予想との関係を紹介した．本セクションでは球面デザイン理論の立場から，なぜLehmer 予想が重要か，これに関して extremal Type II 格子を取り上げて説明する．その後一般の格子に対して Lehmer 型問題を定式化しよう．

2.1

Extremal Type II 格子と球面デザイン

L(⊂ Rn ) をランク n の格子とする．格子 L が Type II とは自己双対かつ偶な格子と定義する．ここで自己双対は
偶は

L = L∗ = {y ∈ Rn | (y, x) ∈ Z, ∀x ∈ L},
任意の x ∈ L に対して (x, x) ∈ 2Z

で定義される．このような格子は n ≡ 0 (mod 8) のみ存在することが知られている．L の最小ノルムを min(L) := min{(x, x) | 0 #= x ∈ L} とする．Type
II 格子の最小ノルムは$n%min(L) ≤ 2+ 2.
24
で評価され，等号を達成するとき extremal と呼ぶ．
例 2.1. 次は extremal Type II 格子の例である．

1. 8 次元球充填問題の解を与える E8 -格子 ([28]).
2

2. 24 次元球充填問題の解を与える Leech 格子 ([9]).

このように extremal Type II 格子は対称性の高い構造を持ち，実際高い tの球面 t-デザインを与えることが知られている．
定理 2.1 ([27]). L をランク n の extremal Type II 格子とする. このとき任意の m ∈ N に対して，(L)2m は次の値の t-デザインとなる．


11 if n ≡ 0 (mod 24),
t = 7 if n ≡ 8 (mod 24),

3 if n ≡ 16 (mod 24).

この事実から直ちに次が得られる．

例 2.2.

1. L を E8 -格子とすると，(L)2m は球面 7-デザイン．

2. L を Leech 格子とすると，(L)2m は球面 11-デザイン．

実は格子から得られる球面 t-デザインは t ≤ 11 が予想されている．

予想 2.1. 格子 L と m ∈ N に対して，(L)m が球面 t-デザインとする．このとき t ≤ 11．

したがってランクが 24 の倍数の extremal Type II 格子は，格子の中では最も高い t の球面 t-デザインを与えると予想される．また次のように L を E8 格子とすると，(L)2m は球面 8-デザインかどうかは，Lehmer 予想と関係したのだった．
予想 2.2 ([15]). 任意の m ∈ N に対して τ (m) #= 0．
以下では L を E8 -格子として，

1. (L)2m は球面 7-デザイン,

2. (L)2m は球面 8-デザインであることと τ (m) #= 0 は同値,

この 2 つの証明の概略を紹介しよう．

証明. (L)2m が球面 7-デザインであることと，全ての斉次調和多項式 P (x) =P (x1 , x2 , . . . , x8 ) ∈ Harmk (k ∈ {1, . . . , 7}) に対して"

P (x) = 0x∈(E8 )2m3

(1)

が同値であることが良く知られている．次の重さ付きテータ級数を考える．モ
ジュラー形式の一般論から，これは重さ 5, . . . , 11 の SL2 (Z) に関するカスプ形式となるが，それは存在しない．すなわち次の式が得られ

θE8 ,P ="P (x)q (x,x)/2 =

∞
"

(

"

P (x))q m = 0

m=1 x∈(E8 )2mx∈E8(1) を導く．
また k = 8 とすると重さ 12 に関するカスプ形式となり，適当な定数 c(P )を用いてθE8 ,P ="P (x)q (x,x)/2 =

x∈E8

∞
"

(

"

P (x))q m = c(P )∆m=1 x∈(E8 )2mが得られる．以上より (L)2m は球面 8-デザインであることと τ (m) #= 0 は同値であることが (もう少しの議論で) わかる．

Type II 格子 L に対し，モジュラー形式* 証明の概略を見ると一般に任意のa(n)q n が存在して (L)m が 球面 t-デザイン であることと a(m) = 0 は同値であることががわかるであろう．したがって Lehmer 型問題は任意の格子で考えることができる．
また格子 L に対して (L)m が球面 t-デザインであることが任意の m で成立するか，あるいは特別な m でのみ成立するか，このような現象の違いを正確に理解するため，我々は次の 2 つの関数を導入した．
• δ(L) := max{t ∈ N | ∀m, Lm は球面 t-デザイン },• s(L) := max{t ∈ N | ∃m s.t. Lm は球面 t-デザイン }.

一般に δ(L) ≤ s(L) が成立する．この関数を用いて上記 2 つの予想は次のよ
うに言い換えられる．
予想 2.3.

1. s(L) ≤ 11.

2. δ(E8 ) = s(E8 ).

以上の考察より，任意の格子に対して次の 2 つの問題を格子版 Lehmer 型問題と呼ぶ．
問題 2.1 (Lehmer 型問題).

1. s(L) を上から評価せよ．

2. δ(L) = s(L) や δ(L) < s(L) となる例を見つけよ．
4これは Lehmer 予想の一般化と考えられ，任意の格子でこの問題を考える
ことは興味深いと思われる．現在までの知られている結果について最終セク
ションでまとめよう．
以上が格子に対する Lehmer 型問題の定式化である．以降のセクションで，
符号と VOA 版の Lehmer 型問題を定式化しよう．

3

符号と組合せデザイン

符号と格子の類似性はよく知られている．本セクションでは符号において
Lehmer 型を定式化しよう．以下の表は符号と格子のそれぞれの対応物の表である．セクション 2 の格子の議論において，以下の表をもとに符号の言葉
符号(C)w
組合せ t-デザイン
離散調和多項式
群の不変式
n $+4min(C) ≤ 4# 24
Extremal Type II 符号
拡大ハミング符号 H8
Golay 符号 G24

格子(L)m
球面 t-デザイン
調和多項式
モジュラー形式
n $+2min(L) ≤ 2# 24
Extremal Type II 格子
E8 -格子Leech 格子に置き換えると，本セクションの議論になる．(例えばモジュラー形式は群の不変式などに．) より正確に見ていこう．
組合せ t-デザインを導入する．
定義 3.1 (組合せ t-デザイン). X を v 点からなる有限集合，+ ,X
B ⊂ Xk :== X の k 点部分集合全体kとする．(X, B) が組合せ t-デザイン (t-(v, k, λ)) とは，次の条件を満たすこと
である．
+ ,
X
任意の T ∈
に対して，次の値は一定値をとる：λ = &{B ∈ B | T ⊂ B}.
t
例 3.1. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}．
B = {{1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 7}, {5, 6, 1}, {6, 7, 2}, {7, 1, 3}} とおくと (X, B): 組合せ 2-デザイン (2-(7, 3, 1)).

格子を用いて球面デザインが得られたように，符号を用いて組合せデザインが得られる．ここで長さ n の符号 C とは Fn2 の部分空間である．Type II 符
号とは自己双対かつ重偶と定義しよう．C が自己双対とはC = C ⊥ = {y ∈ Fn2 | (y, x) = 0, ∀x ∈ C}.
5

重偶とは，任意の x ∈ C に対して (x, x) ≡ 0 (mod 4) が成立することである．
Type II 符号は n ≡ 0 (mod 8) のみ存在することが知られている．符号 C の最小距離を次で定義しよう:

min(C) := min{(x, x) | 0 #= x ∈ C}.

Type II 符号 C の最小距離は次で評価される：$n%min(C) ≤ 4+ 4.
24

Type II 符号 C が extremal とは等号を達成するときである．いくつか例を紹介しよう．
例 3.2.

1. 長さ 8 の拡大ハミング符号 H8 ,2. 長さ 24 の Golay 符号 G24 .

H8 は以下で定義をするが，Golay 符号については適切な符号理論の教科
書を参照されたい．
(C)w = {x ∈ C | wt(x) = w} を重さ w のシェルと呼ぼう．ただし x =(x1 , . . . , xn ) に対し
wt(x) = &{i | ci #= 0}.
たとえばハミング符号 H8 の元を全て列挙すると次のようになる．

(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)(0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)(0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1)(0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1)(1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1)(0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1)(1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1)(1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1)(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)(1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0)(1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0)(0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0)(1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0)(0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0)(0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0)(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)(H8 )4 は成分に 1 が 4 つ存在する 14 個のベクトルの集合である．符号 C ⊂ Fn2に対して，
X := {1, 2, . . . , n},
B := {supp(x) | x ∈ (C)w },と定義する．supp(x) は x = (x1 , . . . , xn ) に対しsupp(x) = {i | xi #= 0}6で定義される．(X, B) が組合せ t-デザインのとき，(C)w は組合せ t-デザインと定義しよう．例えば (H8 )4 は組合せ 3-デザインになることが上の元を見ると確認できる．つまり任意の 3 つの座標を取ると，その成分に 1 がある (H8 )4の元はただ 1 つ存在するはずである．以上が符号を用いた組合せデザインの構成法である．
格子の場合，Type II 格子から良い球面デザインが得られた．符号における類似は次の定理である．
定理 3.1 ([1]). C(⊂ Fn2 ) を extremal Type II 符号とする. このとき任意のm ∈ N に対して，(C)4m は次の値の組合せ t-デザイン
5 if n ≡ 0 (mod 24),
t = 3 if n ≡ 8 (mod 24),

1 if n ≡ 16 (mod 24).

この定理を用いると次が得られる．

例 3.3.

1. (H8 )4 は組合せ 3-デザイン．

2. (G24 )8 , (G24 )12 , (G24 )16 は組合せ 5-デザイン．

格子から得られる球面 t-デザインは t ≤ 11 であった．この符号における類似は次の予想である．
予想 3.1. (C)m が組合せ t-デザインとする．このとき t ≤ 5 である．

以上のように，格子と球面デザインの関係と符号と組合せデザインの関係は類似している．格子から得られる球面デザインの判定は，モジュラー形式のフーリエ係数と関係することをセクション 1 で見た．この類似を次のセクションで紹介しよう．

3.1

組合せデザインと不変式

格子 L に対して，(L)m が球面 t-デザインかどうかは，モジュラー形式のフーリエ係数で判定できた．符号の場合はある群 G の一般不変式の係数で判定できる．この理論を概説しよう．
+
,
+
,
1 1 1
1 0
T1 = √, T2 =,0 i
2 1 −1G = *T1 , T2 + とおく．これは位数 192 の有限群である．χ! を次で定義されるG の指標とする．
χ! (T1 ) = (−1)! , χ! (T2 ) = i−! .
7一般不変式の集合を次で定義しよう．
IG = IG,χ0 = C[x, y]G = {f ∈ C[x, y] | σf = f, ∀σ ∈ G},

IG,χ! = {f ∈ C[x, y] | σf = χ! (σ)f, ∀σ ∈ G}.

このとき次が知られている．

定理 3.2 ([3]).

*P8 , P24 + (( ≡ 0 (mod 4)),
P I (( ≡ 2 (mod 4)),12 G
IG,χ! =

P18 IG (( ≡ 3 (mod 4)),
P I (( ≡ 1 (mod 4)),30 G

ここで P8 = x8 + 14x4 y 4 + y 8 , P24 = x4 y 4 (x4 − y 4 )4 ，P12 = x2 y 2 (x4 − y 4 )，P18 = xy(x8 − y 8 )(x8 − 34x4 y 4 + y 8 )，P30 = P12 P18 ．

γ を以下で定義しよう．

γ : RXk → RXk−1 ; γ(z) ="y.

y∈Xk−1 ,y⊂z*Harmk = ker γ ，f ∈ Harmk に対して f. ∈ R2X , f.(u) = z∈Xk ,z⊂u f (z) と定義し f. を離散調和多項式と呼ぶ．球面デザインは調和多項式で特徴づけられた．組合せデザインは以下のように離散調和多項式で特徴づけられる．

定理 3.3 ([10]). Cw が組合せ t-デザインであることと任意の f ∈ Harm! (1 ≤*( ≤ t) に対して x∈Cw f.(c) = 0 は同値である．
符号 C ⊂ Fn2 , f ∈ Harmk , 調和重さ多項式を以下で定義する：

wC,f (x, y) ="c∈Cf.(c)xn−wt(c) y wt(c) .

Bachoc はこの調和重さ多項式が一般不変式となることを見出した．

定理 3.4 ([3]). C(⊂ Fn2 ) を Type II 符号, f ∈ Harmk とする．このとき

wC,f (x, y) = (xy)k ZC,f (x, y), ZC,f (x, y) ∈ IG,χ! , deg(ZC,f ) = n − 2k.

これを用いて，C を拡大ハミング符号 H8 とすると，(H8 )4 は 3-デザインとなることを証明しよう．

8

証明. (H8 ) が組合せ 3-デザインを示す．定理 3.3 からそれは任意の f ∈ Harmk (1 ≤k ≤ 3) に対して"
f.(x) = 0c∈(H8 )mを示せばよい．定理 3.4 からこれは次数 8 − 2k の G に関する不変式であり，それは存在しない．したがって

wH8 ,f ="c∈H8が得られた．

f.(c)x8−wt(c) y wt(c) =

8
"

(

"

m=1 c∈(H8 )mf.(c))x8−m y m = 0.

以上の考察を，H8 以外の Type II 符号 C に対して行うことにより，一*般不変式
a(m)xn−m y m が存在して Cm が 組合せ t-デザイン であることとa(m) = 0 が同値であることがわかる．
以上から符号から得られる組合せデザインは一般不変式の係数の零性が関係することが分かった．格子の球面デザインはモジュラー形式のフーリエ係数の零性が関係したことの符号における類似である．
格子のときと同じく次の 2 つの関数を導入する．

• δ(C) := max{t ∈ N | ∀w, Cw は組合せ t-デザイン },• s(C) := max{t ∈ N | ∃w s.t. Cw は組合せ t-デザイン }.

一般に δ(C) ≤ s(C) が成立する.
先に述べたように，Cm が組合せ t-デザインならば t ≤ 5 であった．これは s(C) ≤ 5 と言い換えられる．以上から符号の Lehmer 型問題を次のように定式化しよう．
問題 3.1 (Lehmer 型問題).

1. s(C) を上から評価せよ．

2. δ(C) = s(C) や δ(C) < s(C) となる例を見つけよ．

4

VOA と共形デザイン

本セクションでは，VOA や共形デザインの定義は省略し，VOA においてLehmer 型がどのように定式化されるか結果のみ述べる．以下の表は符号と格子のそれぞれの対応物の表である．
VOA においても “extremal Type II”が定義されそれは高い t の共形 t-デ
ザインとなることが知られている．

9

符号
組合せ t-デザイン
離散調和多項式
群の不変式
n $+4min(C) ≤ 4# 24
Extremal Type II 符号
拡大ハミング符号 H8 (t = 3)
Golay 符号 G24 (t = 5)格子
球面 t-デザイン
調和多項式
モジュラー形式
n $+2min(L) ≤ 2# 24
Extremal Type II 格子
E8 -格子 (t = 7)
Leech 格子 (t = 11)

頂点作用素代数
共形 t-デザイン
Virasoro 最高ウェイト元
モジュラー関数
n $+1min(L) ≤ # 24
Extremal Type II VOA
E8 -格子 VOA(t = 7)
ムーンシャイン VOA(t = 11)

定理 4.1 ([12]). V を中心電化 n の extremal Type II VOA とする. このとき
任意の m ∈ N に対して，(V )m は次の値の共形 t-デザイン
11 if n ≡ 0 (mod 24),
t = 7 if n ≡ 8 (mod 24),

3 if n ≡ 16 (mod 24).

符号や格子のときと同じく次のことが知られている．すなわち Type II*
VOA V に対しモジュラー関数 a(m)q m 存在して (V )m が共形 t-デザイン
であることと a(m) = 0 が同値となるのである．
また次の 2 つの関数を導入しよう．

• δ(V ) := max{t ∈ N | ∀w, (V )w は共形 t-デザイン },• s(V ) := max{t ∈ N | ∃w s.t. (V )w は共形 t-デザイン }.

格子のときと同じく s(V ) ≤ 11 と予想されている．VOA の Lehmer 型問題を次のように定式化しよう．
問題 4.1 (Lehmer 型問題).

1. s(V ) を上から評価せよ．

2. δ(V ) = s(V ) や δ(V ) < s(V ) となる例を見つけよ．

以上が符号と格子，VOA の Lehmer 型問題の定式化である．次のセクションで現在までの進展状況を紹介する．
注意 4.1. V をムーンシャイン VOA とする．このとき (V )m は共形 11-デザインとなる [16, 12]．さらに (V )m+1 が共形 12-デザインであることと τ (m) = 0
は同値である [17]．つまり Lehmer 予想は VOA の共形デザインを用いた特徴づけも可能である．

5

Lehmer 型問題の進展

本セクションでは符号と格子，VOA における Lehmer 型問題の進展状況について概説する．

105.1

格子と VOA の場合

格子 L に対して δ(L), s(L) が決定されている例はほとんどなく，筆者の知る限り次の 2 つの定理のみである．
定理 5.1 ([4, 5]). L を Z2 -格子とする．このとき Lm は球面 3-デザインとな
る．a(n) を以下のフーリエ係数として定義する．
∞"
1 2
θ3 (θ2 θ4 )4 =a(n)q n .
16
n=1

1. (L)m が 球面 4-デザイン であることと a(m) = 0 は同値である．
2. 任意の m ∈ N に対して a(m) #= 0.

つまり δ(L) = s(L) = 3 が得られた．
もっと一般に次がわかっている．

定理 5.2 ([4, 5]). L ⊂ R2 : 類群が初等可換 2 群となる 2 次元整数格子とする．
このとき

2

δ(L) = s(L) = 3 (L = Z )δ(L) = s(L) = 5 (L = A2 )δ(L) = s(L) = 1 (o.w.)

次に VOA V に対して δ(V ), s(V ) が決定，あるいは評価されている例を紹介する．

定理 5.3 ([18]).
1. L をランク 24 の Type II 格子とする．このとき格子VOA VL に対し δ(VL ) = s(VL ) = 3．

2. L をランク 16 の Type II 格子とする．このとき格子 VOA VL に対し
3 = δ(VL ) < 7 ≤ s(VL )．

注意 5.1. 論文 [18] 出版直前に，島倉裕樹先生 (東北大学) より次のことを教えていただいた．

(1) δ(VZ2 ) = s(VZ2 ) = 3．

(2) δ(VA2 ) = s(VA2 ) = 5．

格子の場合と類似した現象が観察され興味深い．

以上が格子と VOA において δ(L), s(L),δ(V ), s(V ) が決定・評価されている例である．これ以外の例は (以下で 1 例を紹介するが) ほとんど知られていないと思われ，今後の追及は重要な問題である．

11

5.2

符号の場合

符号 C に対して δ(C), s(C) が決定，あるいは評価されている例を紹介する．
一つ目は extremal Type II 符号に関する結果である．
定理 5.4 ([20]). C を長さ n の extremal Type II 符号とする．

(1) If n = 24m, then δ(C) = s(C) = 5 or δ(C) = s(C) = 7.
(2) If n = 24m + 8, then δ(C) = s(C) = 3 or 5 ≤ δ(C) ≤ s(C) ≤ 7.
(3) If n = 24m + 16, then δ(C) = s(C) = 1 or 3 ≤ δ(C) ≤ s(C) ≤ 5.

注意 5.2. 下線の例は見つかっておらず，存在しないと予想される．
二つ目は立方重偶 2 元符号に関する結果である．

定理 5.5 ([21]). C が立方重偶 2 元符号とは，任意の C の元 x に対して wt(x) ≡0 (mod 8) が成立するものである．長さ 8 ≤ n ≤ 48 のとき分類されている[7]. 詳細は省略するが，この中に 1 = δ(C) < s(C) = 2 となるものを発見した．以下がその例である．詳細 (記号など) は [6, 21] をご覧いただきたい．
Dim.
7
8
9
10
11
12
13

[Code Id]
Weight distribution (i, Ai ) for Ai %= 0[144] Miyamoto’s Moonshine code
(0, 1), (16, 3), (24, 120), (32, 3), (48, 1)[129,130,131,132,133](0, 1), (16, 15), (24, 224), (32, 15), (48, 1)[59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,1109,1712,1714,1716,1960](0, 1), (16, 39), (24, 432), (32, 39), (48, 1)[16,17,18,19,20,21,22,549,550,554,1001,1245,1246,1247](0, 1), (16, 87), (24, 848), (32, 87), (48, 1)[6,7,154,520](0, 1), (16, 183), (24, 1680), (32, 183), (48, 1)[3](0, 1), (16, 375), (24, 3344), (32, 375), (48, 1)[1] Extended doubling of G24(0, 1), (16, 759), (24, 6672), (32, 759), (48, 1)

2-(v, k, λ)# of designs
2-(48, 6, 2520)
1
2-(48, 6, 1240)
5
2-(48, 6, 600)16
2-(48, 6, 280)14
2-(48, 6, 120)4
2-(48, 6, 40)
10

注意 5.3. 下線のよく知られた符号が，表の最上段と最下段の極端な場合に現れた．これの組合せ論的な説明を与えることは興味深い問題と思われる．
三つ目は δ(C) < s(C) が起こる可能性のあるパラメータを列挙した結果である．

定理 5.6 ([22]). d を C の最小距離，d⊥ を C ⊥ の最小距離とする．(d⊥ , t) =(4, 1), &{u | (C)u #= ∅, 0 < u ≤ n − t} = 3 を仮定する．次の C が次のパラメーターを持つとき δ(C ⊥ ) < s(C ⊥ ) となる．(一部の値のみ紹介している．詳
しくは元論文を参照いただきたい．)

12

5.3

n
d
w

16
4
6, 10

22
6
6

22
8
18

38
16
24

40
16
16, 24

48
16
6, 42

54
22
50

72
26
6, 66

72
33
48, 5880
36
34, 46

n
d
w

86
32
6

86
40
58

102
44
98

118
46
6

118
56
94

136
64
60, 76136
65
94, 108

166
74
162

198
96
156

208
100
94, 114

n
d
w

246
104
6

246
112
242

272
116
6, 266296
120
8, 288296
144136, 160

328
142
6, 322328
161
234, 256

342
158
338

358
156
6

358
176
256

Near extremal に関する結果

最後に near extremal に関する結果を紹介する．Near extremal とは以下の表のように最小距離の条件を extremal より少し弱めたものである．
符号
組合せ t-デザイン
n $min(C) = 4# 24
near extremal Type II 符号格子
球面 t-デザインn $min(L) = 2# 24
near extremal Type II 格子

頂点作用素代数
共形 t-デザインn $min(L) = # 24
near extremal Type II VOA

定理 5.7 ([19, 18]).
1. Type II 符号 C と Type II 格子 L，Type II VOA
V が near extremal とする．このとき 1 ≤ δ(C), 3 ≤ δ(L), 3 ≤ δ(V )．

2. C を長さ 96 の near extremal Type II 符号とする．このとき，1 = δ(C) <s(C) = 2 ((C)20 が組合せ 2-デザイン)．
3. L をランク 240 の near extremal Type II 格子とする．このとき 3 =δ(C) < s(L) = 5 ((L)22 が球面 5-デザイン)．

以上が進展状況である．まだまだ例が少なく今後の更なる研究が望まれる．

5.4

符号と格子の幾何への応用

最後に Lehmer 型問題の一つの応用を紹介しよう．次の問題を考えよう．
問題 5.1. C を符号とする．

(C)!1 ,...,!s := {x ∈ L | (x, x) = (1 or . . . or (x, x) = (s }.

C は (C)!1 ,...,!s で生成されるか (C = *(C)!1 ,...,!s +)．格子 L においても同様の記号と問題を定義する．
現在まで次が知られている．

1. C を extremal Type II 符号で，長さが n ∈ {32, 48, 56, 72, 96} とする．
このとき C = *(C)min(L) + ([11]),13

2. L: extremal Type II 格子, ランクを n ∈ {32, 48, 56, 72, 96} とする．このとき L = *(L)min(L) + ([24, 25], [13]),

3. L: extremal Type II 格子, ランクを n ∈ {40, 80, 120} とする．このとき L = *(L)min(L),min(L)+2 + ([26], [14]).

以上は Type II の結果である．Type II 格子は (-modular 格子という概念に一般化されている．これに関して次の結果がある．

定理 5.8 ([23]).
1. L をランク 32, 48 の extremal 2-modular 格子とする．
L は (L)min(L) で生成される.

2. L をランク 24, 36 の extremal 2-modular 格子とする．L は (L)min(L),min(L)+2で生成される.

詳しい証明は省略するが，2-modular 格子 L に対して δ(L) や s(L) を評価し，その結果を用いる．( #= 2 に対する (-modular 格子についても同様の結果を紹介した論文を準備中である．このように Lehmer 型問題は符号や格子の幾何への応用がある．

5.5

関連する未解決問題・研究問題

最後に関連する未解決問題・研究問題などを挙げ，本稿を閉じることにしたい．
問題 5.2.
1. 格子から得られる球面デザインとモジュラー形式は関係することを見てきた．モジュラー形式は多変数化されている．この多変数モ
ジュラー形式と関係する球面デザイン理論は存在するか．その符号やVOA における類似は存在するか．

2. 筆者は一般化 Jacobi 多項式を定義して，それを用いて generalized t-デザインや mixed t-デザインと符号との関係を示した [8]．これらの格子や VOA における類似は存在するか．
3. セクション 5.4 で議論した「符号や格子の生成元を決定する問題」の
VOA 類似は存在するか．

4. 群作用付き組合せ t-デザイン, 重さ多項式，テータ級数 [29, 30, 2] が定義されている．球面デザインや VOA の共形デザインにおける類似は存在するか．
5. 論文 [22] において Golay 符号の次のような特徴づけを得た．

定理 5.9 ([22]). 符号 C が d⊥ = 8, t = 5, &{u | Cu #= ∅, 0 < u ≤ n − t} =3 を満たすならば C は Golay 符号 G24 である．

この定理の Leech 格子, ムーンシャイン VOA における類似は存在するか．

14

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17

VOA ͷ C1-༨༗‫ ݶ‬N-gradable Ճ‫܈‬ͷ fusion ੵͷ݁߹཯‫ٶ‬ຊխ඙ ஜ೾େ໊༪‫ڭ‬त/தԝ‫ڀݚ‬Ӄ਺ֶ‫ॴڀݚ‬

2021/9/2 from Taiwan§0 ংจ ༻‫ޠ‬ͷઆ໌͸‫ͯ͠ʹޙ‬ɺ·ͣ͸໨తͷओఆཧΛड़΂Δɻओఆཧ V Λ௖఺࡞༻ૉ୅਺ɺA, B, C Λ C1 -cofinite N-gradable V -Ճ‫͢ͱ܈‬Δɻ Y AB ∈!
" BC!
" A(BC)!
" (AB)C
!
"
I A!B
,Y
∈ I B!C,Y∈ I A!(B!C),Y∈ I (A!B)!CΛશࣹͳަབྷ࡞༻ૉͱAB
BC
A (B!C)
A!B C
͠ɺ4 ఺૬ؔؔ਺ "θ, Y A(BC) (v, x)Y BC (u, y)w# ͱ "θ! , Y (AB)C (Y AB (v, x − y)u, y)w# Λߟ͑Δɻ͜͜Ͱɺv ∈ A, u ∈ B, w ∈ C, θ ∈ (A!(B !C))∨ , θ! ∈ ((A!B)!C)∨ Ͱ͋Δɻ͞ΒʹɺྖҬ D2 = {(x, y) ∈ C2 | 0 < |x − y| < |y| < |x|, x, y, x − y %∈ R≤0 } ʹ͓͍ͯɺ্‫ه‬ͷ෼‫ذ‬F̃ ("θ, Y A(BC) (v, x)Y BC (u, y)w#) ͱ F̃ ("θ! , Y (AB)C (Y AB (v, x−y)u, y)w#) ΛऔΔɻ͜ͷ࣌ɺಉ‫ ܕ‬φ : (A!B)!C → A!(B !C) ͕ଘࡏͯ͠ɺD2 ্ͰɺF̃ ("θ, Y A(BC) (v, x)Y BC (u, y)w#) =F̃ ("φ∗ (θ), Y (AB)C (Y AB (v, x − y)u, y)w#) ͕੒Γཱͭɻ§1 ΧΠϥϧ୅਺৔ͷཧ࿦ͱ͸ɺ࣍Λຬͨ͢΋ͷ͔Β੒Γཱ͍ͬͯΔɻ(1) ਅۭ 1 ͱ‫ݺ‬͹ΕΔঢ়ଶͱɺ(2) ۭ࣌ؒ z ∈ U ্Ͱఆٛ͞ΕΔ࡞༻ૉୡ {Y(v j , z) : v j ∈ Γ} ɹ (v j ͸ঢ়ଶɺY(v j , z) ͸৔ͱ‫ݺ‬͹ΕΔʣͱ(3) ਅۭ 1 ͱͷൺֱʢ಺ੵ)ɺଈͪɺn ఺૬ؔؔ਺
"1, Y(v n , zn ) · · · Y(v 1 , z1 )1# (U ্ͷؔ਺Ͱਅۭ‫ظ‬଴஋ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ)d·ͨɺY(∃ L(−1)v j , z) = dz
Y(v j , z)ɺଈͪඍ෼Λ༩͑Δ࡞༻ L(−1) Λ࣋ͭɻਅۭ‫ظ‬଴஋ͷதͰɺ1 Ͱ‫·ڬ‬Εͨ෦෼͸࡞༻ૉͷੵͳͷͰɺͦΕΒ͸Ұछͷ୅਺Λͳͯ͠
͍Δɻ͜ͷதͰ Virasoro ୅਺ͷද‫ݱ‬Λద੾ͳઃఆͷԼͰ‫ؚ‬Ή΋ͷ͕‫ܗڞ‬৔ཧ࿦Ͱ͋Δɻਅۭ‫ظ‬଴஋ͷࠨ୺ͷ Y(v n , zn ) Λਵ൐࡞༻ͰࠨʹҠಈͤ͞ɺY(v, z)1 ͸ limz→0 Y(v, z)1 =v ͕෼͔Ε͹൑அͰ͖ΔͷͰɺ௨ৗ͸"v n , Y(v n−1 , zn−1 ) · · · Y(v 2 , z2 )v 1 #Λߟ͑Δɻ͜ͷதͰɺ̐఺૬ؔؔ਺ "θ, Y(v, x)Y(u, y)w# ͕ࠓճͷ‫ڀݚ‬ର৅Ͱ͋Δɻ

Borcherds ͸ɺMoonshine ༧૝ʢϞϯελʔ୯७‫܈‬ͷද‫ͱ਺࣍ݱ‬ପԁϞδϡϥʔؔ਺ͷ܎਺ͱͷਆൿతͳҰகͷཧ༝Λ‫ٻ‬ΊͨʣΛղܾ͢ΔͨΊʹɺ৔ͷཧ࿦ͷ࣍਺෦෼Λॏཁࢹͨ͠৽͍֓͠೦ʮ௖఺୅਺ (VA)ʯΛಋೖͨ͠ɻগ͠ৄ͘͠આ໌͢ΔͱɺVirasoro ୅਺ͷඪ४తͳද‫ͱݱ‬ಉ͡Α͏ʹɺ੔਺࣍਺Λத৺ʹਾ͑ͯɺ1α(z) = Y(α, z) =#αn z −n−1n∈Z2ͱϩʔϥϯల։Ͱ͖Δ΋ͷͰɺ։ۭؒ {(x, y) ∈ C | x %= y} ্Ͱ‫ʹ͍ޓ‬Մ‫׵‬ʢ‫ॴہ‬Մ‫)׵‬͔ͭ୅਺ͱͯ݁͠߹ੑ

(x − y)N [Y(α, x), Y(β, y)] = 0 N >> 0

"θ, Y(α, x)Y(β, y)w# = "θ, Y(Y(α, x − y)β, y)w#

Λຬͨ͢΋ͷ͔ΒͳΔू߹ V = {Y(α, z) | α ∈ Γ} ͕௖఺୅਺ͱͳΔɻ࣍਺ʹؔͯ͠͸ɺwt(αn v) = wt(α) + wt(v) − n − 1Λຬͨ͢Α͏ʹఆٛ͢Δɻ‫ॴہ‬Մ‫߹݁ͱ׵‬ੑΛ੒෼දࣔ͢Δͱɺ៉ྷͳදࣔΛ࣋ͭɻ$ ∞ !n"[αn , β(z)] =(αj β)(z)z n−j
j
!
"
$j=0
∞
m
j
j
m
m−j
(αm β)(z) =}j=0 j (−1) {αm−j z β(z) − (−1) β(z)αj z!
Truncation propertyͨͩɺ্‫ه‬ͷؔ܎͕ࣜఆٛՄೳʢӈ͕༗‫ݶ‬࿨ʣͰ͋ΔͨΊʹɺ“j >> 0 ͳΒ αj β = 0͕੒Γཱͭ”͜ͱΛ৚݅ͱͯ͠Ճ͑Δɻ

#"$௖఺୅਺ͷதͰɺVirasoro ‫ݩ‬Λ‫ؚ‬Έɺ੪ۭ͕࣍ؒ༗‫ͳͱݩ࣍ݶ‬ΔͳͲͷ৚݅Λຬͨ͢΋ͷΛ௖఺࡞༻ૉ୅਺ͱ‫ݺ‬ΜͰ͍Δɻ࣍ʹɺV Λ௖఺࡞༻ૉ୅਺ͱ͠ɺV -Ճ‫ ܈‬A, B ͷ‫ݩ‬ୡͷੵΛߟ͑ΔɻಛʹɺV -Ճ‫ ܈‬C ʹରͯ͠ɺੵͷ C ΁ͷ૾Λௐ΂Δɻ‫͑׵͍ݴ‬Δͱɺv ∈ A,u ∈ B, w ∈ C ∨ (dual) ʹର͢Δ̏఺૬ؔؔ਺ "w, Y(v, x)u# Λߟ͑ΔΘ͚Ͱ͋Δʢ͜͜Ͱɺ
Y(v, x) ͸͋Δަབྷ࡞༻ૉͰ͋Δɻʣɹ͜ͷஈ֊Ͱ͸ɺY(v, x) ͷ‫ܗ‬͸ෆ໌Ͱ͋Γɺ‫ॴہ‬Մ‫׵‬ੑͱՃ‫͏͍ͱ܈‬৚݅Ҏ֎͸෼͔Βͳ͍ɻ͜ͷ‫ܗ‬Λগ͠ߟ࡯͠Α͏ɻఆٛྖҬ U ্ͷ‫ަॴہ‬བྷ࡞༻ૉY : A ⊗ B → C ⊗ O(U )ͱ͸ɺʢv ∈ A, u ∈ B, θ ∈ C ∨ , z ∈ U ʹର͢Δ஋Λ "θ, Y(v, z)u# Ͱදࣔ) ɹ α ∈ V, m ∈ Zʹରͯ͠ɺ$ !m "
m−j(I1) "θ, [αm , Y(v, z)]u# = ∞,j=0 j "θ, Y(αj v, z)u#z!
"$∞ m(I2) "θ, Y(αm v, z)u# = j=0 j (−1)j "θ, {αm−j z j Y(v, z)u − (−1)m Y(v, z)αj z m−j u}#,d(I3) "θ, Y(L(−1)v, z)u# = dz
"θ, Y(v, z)u#Λຬͨ͢΋ͷͰ͋Δɻ͜͜Ͱɺ"θ, αm Y(v, z)u# ͸ "(αm )∗ θ, Y(v, z)u# ͷ͜ͱͰ͋Δɻ͜͜Ͱ (αm )∗ ͸ αm ͷਵ൐࡞༻ͰɺO(U ) ͸ U ্ͷਖ਼ଇؔ਺ͷू߹Λද͢ɻ͜Ε͕ຊདྷߟ͑Δ΂͖ަབྷ࡞༻ૉ͕ͩɺྺ࢙తʹ͸࠷ॳʹ Y(v, z) ͱͯ͠ɺC-ႈ‫ܕ਺ڃ‬ͷ΋ͷ

Y(v, z) =

#

m∈C

2

vm z −m−1ʢՃ‫׬͕܈‬શՄ໿ͳΒ͜ΕͰे෼ʣͷΈΛѻ͍ɺࡢࠓ͸ɺlogarithm ؔ਺ log(z) ͷ༗‫ݶ‬ႈΛ‫ؚ‬Ή logarithmic ަབྷ࡞༻ૉ

Y(v, z) =K ##vm,k z −m−1 logk (z)k=0 m∈C(V ͕ C2 -cofinite ͳΒे෼ʣͷ‫ͱ΁ڀݚ‬ਐΜͰ͖ͨɻͨͩɺ‫ࣔ͢Ͱޙ‬Α͏ʹɺࠓճ΋͜Ε! "Ͱे෼Ͱ͋Δɻ͜͜Ͱ͸ɺ͜ͷू߹Λ I ACB Ͱද͢ɻ§2 ࠓճͷ݁Ռ

Huang ͱ Lepowsky[1995] ͕ fusion ੵͷ֓೦ !p(x) Λಋೖ͍ͯ͠Δɻ!
"ʓ V -Ճ‫ ܈‬A, B ͷ fusion ੵ (A ! B, Y AB ) ͱ͸ A ! B ͕ V -Ճ‫͋Ͱ܈‬ΓɺY AB ∈ I A!BAB! "Ͱ͋ͬͯɺ೚ҙͷަབྷ࡞༻ૉ Y ∈ I ACB ʹରͯ͠ɺࣸ૾ φ : A ! B → C ͕͋ͬͯɺ
φ ◦ Y AB = Y Λຬͨ͢΋ͷͰ͋Δɻʓ ҰൠʹɺVOA Ճ‫܈‬ͷ fusion ੵ͕ଘࡏ͢Δͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍͕ɺࠓճͷઃఆ “C1 -cofinite

N-gradable Ճ‫ࣹ(”܈‬͸ V -homo) ͷΧςΰϦʔͷൣғͰ͸ɺfusion ੵ A ! B ͕ଘࡏ͢Δ!
"[M2014]ɻ͜ͷ࣌ɺfusion ੵͱશࣹަབྷ࡞༻ૉ Y AB ∈ I A!Bͱͷର (A ! B, Y AB ) ͰѻAB͏΄͏͕ѻ͍қ͍ɻ༻‫ޠ‬ɿV -Ճ‫ ܈‬W ͕ ”C1 -cofinite ”ͱ͸ɺ

C1 (W ) := spanC {α−1 w ∈ W | w ∈ W, α ∈ V, wt(α) ≥ 1}͕༨༗‫ݩ࣍ݶ‬ʢdim V /C1 (W ) < ∞ʣΛ࣋ͭ͜ͱͰ͋Δɻ·ͨɺ

(2) N-gradable ͱ͸ɺα ∈ V ͱ k ∈ Z ʹରͯ͠ɺαk W(m) ⊆ W(m+wt(α)−k−1) Λຬͨ͢෼ղ W = ⊕m∈N W(m) Λ࣋ͭ͜ͱͰ͋Δɻ͜Ε͸͔ͳΓ޿͍ൣғͷՃ‫܈‬ΛΧόʔ͢Δɻʓ ෺ཧʹ͓͍ͯɺʮenergy level ͸Լ‫ݶ‬Λ࣋ͭʯͱߟ͑Δ͜ͱ͕ଟ͍ͷͰɺରԠ͢ΔՃ‫܈‬͸ N-gradable ͱͳΔɻ
ʓ ‫ط‬஌ͷ༗‫ ܕݶ‬VOA ͸ C2 -cofinite ͳͷͰɺ௚‫ط‬໿Ճ‫܈‬͸ C1 -cofinite N-gradable ɻʓ ༗‫ݶ‬Ϧʔ୅਺͔Βߏ੒͞ΕͨΞϑΟϯ VOA Ͱ͸ɺτοϓՃ‫͕܈‬༗‫͋Ͱݩ࣍ݶ‬Δ௚‫ط‬໿

N-Ճ‫܈‬͸͢΂ͯ C1 -cofinite Ͱ͋Δɻʓ ֨ࢠ VOA Λ࡞Δ࣌ͷ‫ج‬ຊͰ͋Δ Heisenberg ୅਺ VOA ΋্ͱಉ༷Ͱ͋Δɻ
ҎԼɺN C1 Ͱ C1 -cofinite N-gradable Ճ‫܈‬ͷू߹Λද͢ɻ§2.1

Huang[2005] ͷ݁Ռʓ Huang ͸ C1 -cofinite N-gradable Ճ‫ʹ܈‬ର͢Δ̐఺૬ؔؔ਺͕֬ఆಛҟ఺Λ࣋ͭඍ෼ํ
ఔࣜΛຬͨ͢͜ͱΛূ໌ɻͦͷԠ༻ͱͯ͠ɺC2 -cofinite ͱ͍͏‫͍ڧ‬৚݅ͷԼͰɺfusion ੵ

3ͷ݁߹཯Λࣔͨ͠ɻ‫͍ڧ‬৚݅Λ՝ͨ͠ཧ༝͸ɺ֤ y0 ∈ C, ξ% = (θ, v, u, w) ຖʹɺඍ෼ํఔࣜͷղͱͯ͠ల։

"θ, Y(v, x)Y(u, y0 )w# =

$K $
k=0

%

m∈C rm,k (ξ; y0 )(x − y0 )−m−1

logk (x − y0 )

ΛಘΔ͜ͱ͕ग़དྷΔͷͰɺ‫ࣜܗ‬త࡞༻ૉΛ Y 3 , Y 4 Λ࢖ͬͯ"θ, Y(v, x)Y(u, y0 )w# = "θ, Y 3 (Y 4 (v, x − y0 )u, y0 )w#
ͱ͍͏ల։͸ಘΒΕΔɻͨͩͦͷ‫ޙ‬ɺY 3 , Y 4 ͕ަབྷ࡞༻ૉͰ͋Δ͜ͱΛ͍͕ࣔͨ͠ɺ

(1) Y 4 ͷ truncation property ͕ෆ໌ʁ(2) Y 3 ͷ‫͕ܗ‬ෆ໌ʁͱ͍͏໰୊͕࢒ΔɻHuang ͸͜ΕΒΛղܾ͢ΔͨΊʹ‫͍ڧ‬৚݅Λ࢖ͬͨɻࠓճ͸ɺղͷ͕࢟෼͔Γқ͍ϕΫτϧ‫ܕ‬ඍ෼ํఔࣜ Fuchsian system Λ࢖ͬͯɺ͜ͷ໰୊Λղܾͨ͠ɻ

§3 ϕΫτϧ‫ܕ‬ඍ෼ํఔࣜ [Heu2019]ఆٛ 1 A ∈ Mr×r (O(U )) Λ͋ΔྖҬ z0 ∈ U ⊆ C ʢopenʣ্Ͱਖ਼ଇؔ਺Ͱ͋ΔΑ͏ͳ੒$∞෼Λ࣋ͭਖ਼ํߦྻ஋ؔ਺ͱ͢ΔɻಛʹɺAn ∈ Mr×r (C) ͕͋ͬͯ A = n=0 An (z − z0 )n ͱදࣔͰ͖Δɻ͜ͷ࣌ɺ

d
A
Y =
Y
dz
z − z0ͱͳΔඍ෼ํఔࣜΛ ʢϕΫτϧ‫ܕ‬ʣFuchsian system ͱ‫Ϳݺ‬ɻಛʹɺA ∈ Mr×r (C) ͷ࣌ʢଈͪɺA = A0 ʣʹ͸ɺEuler system ͱ‫Ϳݺ‬ɻ

§3.1 ΦΠϥʔ‫ܥ‬ͷղ

A = A0 ͷ৔߹ʹ͸ɺ∃ G ∈ GLr (C) ͕ଘࡏͯ͠ɺGAG−1 ͸ Jordan ඪ४‫ͳͱܗ‬Γɺ͔͠΋
d
d
GAG−1
(GY ) = G Y =
(GY )
dz
dz
z − z0ͳͷͰɺղΛ‫ٻ‬ΊΔʹ͸ɺA = A0 ͕ Jordan ࡉ๔ Jr (a) ͷ৔߹Λௐ΂Ε͹ྑ͍ɻ͜ͷ࣌ɺd
Y = t (f1 , . . . , fr ) ͸ (z − z0 ) dz
fi = afi + fi+1 Λຬͨ͢ͷͰɺϕΫτϧղͷ੒෼ fj ͸{(z − z0 )a logs (z − z0 ) | 0 ≤ s < r} ͷઢ‫ܗ‬࿨ͱͳΔ͜ͱ͕෼͔Δɻ
ఆٛ 2 (Def 3.6 in Heu2019)

d
Y
dz

A
= z−z
Y ͕ Levelt normal form Ͱ͋Δͱ͸ɺ
0ad(bs )(Ak ) = kAk Λຬͨ͢΋ͷͰ͋Δɻ͜͜ͰɺA0 = bs + bn ͸ Dunford ෼ղͰ͋Δɻ
§3.2 ϕΫτϧ‫ ܕ‬Fuchisian system ͷղ [Heu2019]

Levelt normal form Λ‫ܦ‬༝ͯ࣍͠ͷΑ͏ͳؔ܎͕͋Δɻ

4

d
Y
dz
d
Y
dz

d
Y
dz

$∞

= z1 AYA=.

ਖ਼ଇήʔδม‫ ׵‬GLr (C[[z]]) ʹΑͬͯҠΔ

n=0 A0 zn∈ Mr,r (C)[[z]]= z1 A! Y

A! Levelt normal form↓ղੳήʔδม‫ ׵‬diag(z "j )GLr (C[[z]]) ʹΑͬͯҠΔ= z1 A! (0)Y͜͜Ͱ 'j ∈ Z, 0 ≤ 0(dj ) − 'j < 1, A(0), A! (0) ͷ‫ݻ‬༗஋∃ dj .

Euler systemͦΕΏ͑ɺ࣍ͷ݁ՌΛಘΔɻ
!
Fuchsian system ͷղఆཧ 3 {d1 , · · · , dr } Λ A0 ͷ‫ݻ‬༗஋ͷू߹ͱ͠ɺ'i ∈ Z Λ 0 ≤ 0(di ) − 'i < 1 Λຬͨ"d͢Α͏ʹબͿɻ͜͜Ͱ 0(di ) ͸ di ͷ࣮਺෦෼ɻ͜ͷ࣌ɺ dz
Y = Az Y ͷղͷ੒෼͸
r #
r ##
K
#
j
ri,m,tz dj −"i +m logt (z)j=1 i=1 m∈N t=0jͱॻ͚Δɻ ʢri,m,t∈ C Ͱ͋Γɺ K ͸ A0 ͷதͷ Jordan ࡉ๔ͷαΠζͷ࠷େ஋ɻʣಛ

ʹɺz ͷႈͷ࣮਺෦෼ͷ࠷খ஋΍ log(z) ͷႈ͸ A0 ͷ‫ݻ‬༗஋΍ Jordan ࡉ๔ͷαΠζͰܾ·Δɻ#

ఆཧ 4 (H2019 Th1.6) ߦྻႈ‫ ਺ڃ‬A =d‫ܘ‬Λ R > 0 ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺ dz
Y

$∞

$
k

ʢAk ∈ Mr×r (C)ʣͷऩଋ൒$Ak= z−z0 Y Λຬͨ͢‫ࣜܗ‬తႈ‫ ਺ڃ‬Y = ∞k=0 Yk (z − z0 )k=0 Ak (z − z0 )

ʢYk ∈ Mr×r (C)ʣͷऩଋ൒‫ܘ‬͸ R Ҏ্Ͱ͋Δ§4

C1 -cofinite N-gradable Ճ‫܈‬ͷੑ࣭

W = ⊕m∈N W(m) ∈ NC1 ͕௚‫ط‬໿ͳΒɺ(1) dim W(m) < ∞ɻ(2) L(0) ͷ‫ݻ‬༗஋ s ͷҰൠ‫ݻ‬༗ۭؒ Ws ΋༗‫ݩ࣍ݶ‬ɺ(3) d = ∃ d(W ) ∈ C ͕ଘࡏͯ͠ɺW = ⊕m∈N Wd+m Ͱ͋ΔɻͦΕΏ͑ɺW ∨ = ⊕m∈N Hom(W(m) , C) ∼= ⊕d∈C Hom(Wd , C) Ͱ͋Γɺ੍‫ݶ‬૒ର͸࣍਺ͷऔΓํʹґଘͤͣɺҰҙతʹܾ·Δɻ༻‫ޠ‬

֤ s ʹରͯ͠ɺWs ͷ‫ ݩ‬w Λ੪࣍‫ͼݺͱݩ‬ɺwt(w) = s Ͱද͢ɻW ͸௚‫ط‬໿Ճ‫܈‬

ͳͷͰɺW(m) Λ Wd+m ͱఆٛ͢Δ͜ͱͰ N-࣍਺෼ղ W = ⊕∞m=0 W(m) ΛಘΔɻҎԼɺw ∈ W(m) Λ gr(w) = m ͱॻ͖ɺw ͷ࣍਺ͱ‫Ϳݺ‬ɻ! "A, B, C ∈ N C1 ͱɺ v ∈ A, u ∈ B, θ ∈ C ∨ ͱ‫ަॴہ‬བྷ࡞༻ૉ Y(v, z) ∈ I ACB ʹରͯ͠ɺ‫͢໌ূͰޙ‬Δํ๏Ͱʢద੾ͳ༗‫ ߹ूݶ‬Γ = {(θi , v i , ui ) : i ∈ Z} ΛऔͬͯʣɺϕΫτϧ‫਺ؔܕ‬ɹ

Y = ("θi , Y(v i , z)ui #)i∈Z5

͸ Euler system Λຬͨ͢ɻ ͦΕΏ͑ɺ࣍ΛಘΔɻ
!
logarithm ަབྷ࡞༻ૉ

"΁ͷ੍‫ݶ‬ʣͰ͋Δɻ$

ఆཧ 5 A, B, C ∈ N C1 ͱ͢Δͱɺ‫ަॴہ‬བྷ࡞༻ૉ͸ɺlogarithmic ަབྷ࡞༻ૉʢͷ U#͜ͷ݁Ռ͸݁߹཯ͷূ໌ͷ࠷ऴஈ֊Ͱར༻͢Δɻ§5

4 ఺૬ؔؔ਺

௚‫ط‬໿ A, B, C ∈ NC1 ʹରͯ͠ɺΩ = (A ! (B ! C))∨ × A × B × C ͱஔ͖ɺξ%A(BC) %A(BC)
Ͱ 4 ૊ͷ 1 ͭ (θ, v, u, w) ∈ Ω Λද͢ɻྫ͑͹ɺF(ξ; x, y) = F(θ, v, u, w; x, y)
‫߸ه‬

h,k
h,k
[i]
Ͱ͋Δɻ·ͨɺα ∈ V ʹରͯ͠ɺαn ͰɺΩ ͷ i ൪໨࠲ඪ΁ͷ࡞༻ αn Λද͢ɻྫ͑͹ɺ[2]
αn ξ% = (θ, αn v, u, w) Ͱ͋Δɻ((A ! B) ! C, Y (AB)C ) ͱ (A ! (B ! C), Y A(BC) ) ͷ logarithmic ަབྷ࡞༻ૉΛ (v ∈ A, u ∈B, δ ∈ A ! B ʹରͯ͠)Y A(BC) (v, x)

$K1

A(BC)
(v, x) logh (x),h=0 Yh$ 2 BCk= K
k=0 Yk (u, y) log (y),=Y BC (u, y)

$K3

k
AB
h=0 Yk (v, x − y) log (x − y),$ 4 (AB)C= K(δ, y) logh (y),k=0 Yh∨Y AB (v, x − y) =Y (AB)C (δ, y)ͱॻ͖ɺθ ∈ (A ! (B ! C))∨ , θ! ∈ ((A ! B) ! C) ʹର͠ɺ4 ఺૬ؔؔ਺Λ% x, y) = F A(BC) (θ, v, u, w; x, y)
F 12 (ξ;:= "θ, Y A(BC) (v, x)Y BC (u, y)w#,

F 34 (ξ%! ; x, y) = F (AB)C (θ! , v, u, w; x − y, y):= "θ! , Y (AB)C (Y AB (v, x − y)u, y)w#,

12 %
Fh,k
(ξ; x, y) = Fh,k

A(BC)

:=
34 %!
Fh,k
(ξ ; x, y) =:=%!

(θ, v, u, w; x, y)A(BC)"θ, Yh(v, x)YkBC (u, y)w#,(AB)C
Fh,k (θ! , v, u, w; x − y, y)(AB)C"θ! , Yh
(YkAB (v, x − y)u, y)w#!
∨

Ͱද͢ɻ͜͜Ͱɺξ = (θ , v, u, w) ͔ͭ θ ∈ ((A ! B) ! C) Ͱ͋Δɻ!

ิ୊ 6 (Borcherds ߃౳ࣜ) α ∈ V , n ∈ Z ʹର͠ɺ࣍ͷ౳ࣜΛಘΔɻ͜͜Ͱɺӈลͷࣜͷ܎਺͸ɺ(1A) ∼ (4A) Ͱ͸ ιx,y (|x| > |y| > 0) Ͱͷల։ɺ(1B) ∼ (4B) Ͱ͸ ιy,x−y(|y| > |x − y| > 0) Ͱͷల։Λߟ͍͑ͯΔɿ! "% x, y) = $∞ n F 12 (α[2] ξ;% x, y)xn−j(1A) F 12 ((αn )∗ [1] ξ;j
j=0 j$∞ !n" 12 [3] %[4] %+ j=0 j F (αj ξ; x, y)y n−j + F 12 (αn ξ;x, y).
!
"
$
[2]
[1]
∞
(1B) F 34 ((αn )∗ ξ%! ; x, y) = j=0 nj F 34 (αj ξ%! ; x, y)ιy,x−y {xn−j }$ !n" 34 [3] %!
[4]
n−j
+ ∞
+ F 34 (αn ξ%! ; x, y).
j=0 j F (αj ξ ; x, y)y6$ !n" 12[2] %∗ [1] %
(2A) F 12 (αn ξ;x, y) = ∞ξ; x, y)(−x)j
j=0 j F ((αn−j )$∞ !n" 12 [3] %$ !n" 12 [4] %n−j− j=0 i F (αi ξ; x, y)ιx,y {(−x + y)n−j } − ∞.
j=0 j F (αj ξ; x, y)(−x)
!
"
$
[2]
n
(2B) F 34 (αn ξ%! ; x, y) = ∞F 34 ((αn−j )∗ [1] ξ%! ; x, y)ιy,x−y {(−x)j }$∞ !n" 34 [3] %! j=0 j$ !n" 34 [4] %!
n−j− j=0 j F (αj ξ ; x, y)(−x+y)n−j − ∞}.
j=0 j F (αj ξ ; x, y)ιy,x−y {(−x)
!
"
$
[3] %
n
j 12
∗ [1] %
(3A) F 12 (αn ξ;x, y) = ∞ξ; x, y)y j
j=0 j (−1) F ((αn−j )!n"$∞ !n" 12 [2] %$[4] %j+n 12− j=0 j F (αj ξ; x, y)ιx,y {(x − y)n−j } − ∞F (αi ξ;x, y)y n−j .
j=0 j (−1)
$ !n "[3](3B) F 34 (αn ξ%! ; x, y) = ∞(−1)j F 34 ((αn−j )∗ [1] ξ%! ; x, y)y j
j$∞ !n" 34 [2] %j=0
$ !n "[4]
j+n 34− j=0 j F (αj ξ ! ; x, y)(x − y)n−j − ∞F (αj ξ%! ; x, y)y n−j .
j=0 j (−1)
! "
[4] %
% x, y) − $∞ n F 12 (α[2] ξ;% x, y)xn−j(4A) F 12 (αn ξ;x, y) = F 12 ((αn )∗ [1] ξ;j
j=0 j$∞ !n" 12 [3] %− j=0 j F (αj ξ; x, y)y n−j .
$ !n" 34 [2] %!
[4]n−j(4B) F 34 (αn ξ%! ; x, y) = F 34 ((αn )∗ [1] ξ%! ; x, y) − ∞}j=0 j F (αj ξ ; x, y)ιy,x−y {x!
"$∞ n 34 [3] %!
−F (α ξ ; x, y)y n−j .
j=0

j

j

∗

͜͜Ͱɺ(αm ) ͸ αm ͷਵ൐࡞༻Ͱ͋Γɺల։͸ɺ$ !s" s−jιx,y {(x − y)s } := ∞(−y)j ,
j=0 j x
$ !s" s−jιy,x−y {xs } := ιy,x−y {(y + (x−y))s } = ∞(x−y)j Ͱ༩͑ΒΕ͍ͯΔɻ
j=0 j y‫ ࡯؍‬1 ʓɹӈลͷ܎਺͸͢΂ͯ C[x±1 , y ±1 , τx,y {(x − y)±1 }, τy,x−y {x±1 }] ͷ‫ݩ‬ɻ
[m] %
["] %
ʓɹ֤ m = 1, ..., 4 ʹରͯ͠ɺ(mA) ʹ͓͚Δ F 12 (αn ξ;x, y) ͷ RHS ͷ F 12 (α ξ;x, y)ͷ܎਺ͱ (mB) ʹ͓͚Δ F

34

j
[m] %
["] %
34
(αn ξ; x, y) ͷ RHS ͷ F (αj ξ; x, y) ͷ܎਺͸ల։ʢιx,y͔

ιx−y,y ʣΛআ͍ͯҰக͢ΔɻಛʹྖҬ {(x, y) ∈ C | 0 < |x − y| < |y| < |x|} Ͱߟ͑Δͱɺ
2(mA) ͱ (mB) ͷӈล΁ͷల։͸Ұக͍ͯ͠Δɻ
!
Borcherds ߃౳ࣜͷՁ஋(i) ‫ަॴہ‬བྷ࡞༻ૉͷੑ࣭ (I 1),(I 2) ͸ɺtruncation property ͕෼͔Ε͹ɺ͜Ε͔Β‫ٯ‬"ʹಋ͖ग़ͤΔɻ(ii) F 12 ͷࣜΛ ιx−y,y Ͱల։ͯ͠΋ɺBorcherds ߃౳ࣜ (mA) ͸੒Γཱ͍ͬͯΔɻ͔͠΋ɺ্ͷߟ࡯ΑΓɺ(mA) = (mB) ͳͷͰɺͦΕ͸ F 34 ‫ܕ‬ͷ Borcherds ߃౳ࣜͰ͋Δɻ΋͠‫ࣜܗ‬తͳ࡞༻ૉͷੵͳΒɺ(i) ΑΓɺ‫ަॴہ‬བྷ࡞༻ૉͷੵͱͳΔ͜ͱ͕෼͔Δɹ#߃౳ࣜͷূ໌͸ɺ‫ॴہ‬Մ‫߹݁ͱ׵‬๏ଇͰల։͠ɺ࣍ͷ߃౳ࣜͷ܎਺Ͱ·ͱΊΔ͚ͩɻ$∞ $∞ !n"!j " n−j j−" " $∞ !n"x y Z = "=0 i ιx,y {(x + y)n−" }Z "
"=0
j=0 j
"
!
"!
"
$
$ ∞ !n "n−j ni+jj i i+j
"
"
"
(−1)
(x
−
y)
y
Z
=
i,j∈N
"=0 " (−1) ιy,x−y {x }Zij§6 ओఆཧͷূ໌ͷྲྀΕ

·ͣ͸ɺยํͷม਺Λ‫ݻ‬ఆ͠ɺҰม਺ؔ਺ͱߟ͑Δɻ

7$

§6.1. ̎ͭͷ Fuchsian sytem ͷ࡞੒ඍ෼ํఔࣜΛಘΔҝʹɺ༗‫߹ूݶ‬Λ࢖͏ɻV -Ճ‫ ܈‬W ʹରͯ͠ɺ࣍ͷ‫߸ه‬Λ४උ͢Δɻઃఆ◦ PW Λ W = PW + C1 (W ) Λຬͨ͢੪࣍‫Ͱݩ‬ுΒΕͨิۭؒͱ͠ɺ

◦ PW ⊆ P̃W Ͱ dim P̃W < ∞ Λຬͨ͠ɺ ͔ͭ੪ۭ࣍ؒͷ௚࿨ͱͳΔ΋ͷΛͱΓɺ◦ N ∈ N Λ 1 ͭ‫ݻ‬ఆ͠ɺ

∨N◦ W(≤N) = ⊕m=0 Hom(W(m) , C) Λఆٛ͠ɺ◦ ΩN = {(θ, v, u, w) ∈ (A ! (B ! C))∨(≤N ) × A × B × C} ͱஔ͖ɺ◦ P̃A , P̃B , P̃C , (A ! (B ! C))∨(≤N ) ୡͷ੪࣍‫͔ݩ‬ΒͳΔ‫ج‬ఈ JP̃A , JP̃B , JP̃C , JN Λ‫ݻ‬ఆ͓ͯ͘͠ɻ͞Βʹɺ4 ૊ɹ JN = JN × JP̃A × JP̃B × JP̃C ͱ JN0 = JN × JPA × JPB × JPC Λఆ͓ٛͯ͘͠ɻ͜ΕΒ͸༗‫͋Ͱ߹ूݶ‬Δɻ
% = gr(v) + gr(u) + gr(w) ͱஔ͘ɻ◦ ξ% = (θ, v, u, w) ∈ JN ʹରͯ͠ɺgr234 (ξ)ʓɹઌʹɺθ, v, u, w ͕༩͑ΒΕͨ৔߹ɺۭؒ < JN > ͸ N, P̃A , ., P̃C Λେ͖͘ͱΔͱɺ

(A ! (B ! C))∨(≤N ) , P̃A , P̃B , P̃C ͸ɺθ, v, u, w ୡΛ‫ؚ‬ΉΑ͏ʹग़དྷΔͷͰɺͦ͜ͰͦΕΒΛ‫ݻ‬ఆ͠ɺٞ࿦Λ࢝ΊΔɻ
·ͣ͸ɺn = −1 ͷ࣌ͷ Borcherds ߃౳ࣜΛ࠶౓ৄࡉʹ‫ͯݟ‬ΈΔɻද 1: n = −1 ͷ৔߹ͷ Borcherds ߃౳ࣜ
D:ɹ܎਺q
D × (x − y)q ͱ D × y q

Borcherds ߃౳ࣜ[2] %(2A) F (α−1 ξ)×1$∞%= j=0 F (((α−1−j )∗ )[1] ξ)×
xj
$∞
[3] %
+ j=0 F (αj ξ)×ιx,y {(x − y)−j−1 }
$
[4] %
+ ∞
x−j−1 .
j=0 F (αj ξ)×[3] %(3A) F (α−1 ξ)×1$∞∗ [1] %
= j=0 F (((α−1−j ) ) ξ)× y j
$
[2] %
j
−j−1
− ∞
}
j=0 (−1) F (αj ξ)× ιx,y {(x − y)
$∞
[4] %
−j−1
+ j=0 F (αj ξ)×
y
.
[4] %
(4A) F (α ξ)×1−1∗ [1] %= F (((α−1 ) ) ξ)×
$
[3] %
j
− ∞
j=0 (−1) F (αj ξ)×$[2] %− ∞ (−1)j F (α ξ)×

0

1

wt(α)

ෛႈ͸ແ͍

j+1

1 ͱ (x − y)−j−1 y j+1((x−y)/x)j+1 ͱ (y/x)j+1

j+1
0

1

wt(α)

ෛႈ͸ແ͍

j+1

1 ͱ (x − y)−j−1 y j+1

y −j−1 (x − y)j+1 ͱ 1

j+1
0

1

1

wt(α)

ෛႈ͸ແ͍

y −j−1j+1

x−j−1 .

j+1

(x − y)j+1 y −j−1 ͱ 1((x − y)/x)j+1 ͱ (y/x)j+1% ͸ F A(BC) (ξ;% x, y) Λද͢ɻ࠷ॳͷྻ͸ n = −1 ʹର͢Δ Borcherds ߃౳ࣜͰɺF (ξ)
h,k
[i]
[m] %
[i] %
q ͸ (mA) ͷ̐ͭ૊ α ξ% ʹର͢Δ gr234 (α ξ)− gr234 (α ξ)
Λද͢ɻ
j

j=0

j

−1

j

‫ ࡯؍‬2 gr((α−1−j )∗ θ) < gr(θ) ͳͷͰɺα ∈ V≥1 ɺj ∈ N ʹରͯ͠ɺ(α−1−j )∗ θ ∈ (A ! (B !

C))∨(<N ) ΛಘΔɻj ∈ N ʹରͯ͠͸ɺgr(αj w) = gr(α−1 w) − j − 1 ͳͷͰɺRHS ͷ֤߲ͷ8̐੒෼ͷ߹‫਺࣍ܭ‬͸ LHS ͷ߹‫਺࣍ܭ‬ΑΓখ͍͞ɻͦΕΏ͑ɺα ∈ V Λ࢖ͬͯ α−1 δ ‫ܕ‬ͷ‫ݩ‬ʢC1 (A), C1 (B) ·ͨ͸ C1 (C) ͷ‫ݩ‬ʣ͕ग़ͯ͘Δ‫ݶ‬Γӈล΁ͷల։Λ‫܁‬Γฦ͢ͱɺ࠷ऴ
తʹ࣍ΛಘΔɻ‫̎࡯؍‬ͷ݁࿦A(BC) %A(BC)F
(ξ; x, y) ͸ {F(%µ; x, y) : %µ ∈ J 0 } ୡͷઢ‫ܗ‬࿨ͰදࣔͰ͖ɺ܎਺͸
h,k

N

h,k

C[x, x , y, y , ιx,y {(x − y) }] ͔ΒऔΕΔɻ
−1

−1

−1

‫ ࡯؍‬3 D × (x − y)q ͷ৔߹ɺෛႈ͸ x ·ͨ͸ y ͷႈͷΈͰ͋Δɻɹ

D × y q ͷ৔߹͸ɺෛႈ͸ (x − y) ·ͨ͸ x ͷႈͷΈͰ͋Δɻ
ͦΕΏ͑ɺ࣍਺Λಈ͔ͯ͠ɺ

#% x0 , y) = F A(BC) (ξ;% x0 , y)y gr234 (ξ)
(ξ;
,
h,k
234 #
A(BC):x−y %A(BC) %
G
(ξ; x, y0 ) = F(ξ; x, y0 )(x − y0 )gr (ξ)A(BC):y

Gh,k
h,k

h,k

Λߟ͑ΔͱɺGA(BC) ʹର͢Δ࣍ͷ؆໿ఆཧΛಘΔɻ
ఆཧ 7 ∀ ξ% = (θ, v, u, w) ∈ ΩN , α ∈ V ͱ x0 %= 0 %= y0 ʹରͯ͠ɺ࣍ΛಘΔɻ
A(BC):y %A(BC):y(1) G(ξ; x0 , y) ͸ {G(%µ; x0 , y) | %µ ∈ J 0 } ͷઢ‫ܗ‬࿨Ͱɺ܎਺͸
h,k

N

h,k

C[ιx0 ,y {(x0 − y)−1 }][y] ⊆ C[[y]] ͔ΒऔΕΔɻ
A(BC):x−y %A(BC):x−y(2) G(ξ; x, y0 ) ͸ {G(%µ; x, y0 ) | %µ ∈ J 0 } ͷઢ‫ܗ‬࿨Ͱɺ܎਺͸
h,k

N

h,k

C[x, ιy0 ,x−y0 {x−1 }][x − y0 ] ⊆ C[[x − y0 ]] ͔ΒऔΕΔɻ
͔͠΋ɺ܎਺Λ๏ C[[x − y0 ]](x − y0 ) Ͱߟ͑Δͱɺ

$[2] %A(BC):x−y[3] %(α−1 ξ;x, y0 ) ≡ ∞(αj ξ;
x, y0 )
j=0 Gh,k$A(BC):x−y[3] %A(BC):x−y[2] %∞G(α ξ; x, y0 ) ≡(−1)j+1 G(α ξ;x, y0 )
A(BC):x−y

Gh,k

−1
h,k
j=0
A(BC):x−y
[4] %
Gh,k
(α−1 ξ; x, y0 ) ≡ 0h,kjΛಘΔɻ͜ΕΒ͕ Fuchsian system A ͷఆ਺ߦྻ A0 ʹରԠ͍ͯ͠Δɻଈͪɺ͜ͷల։͸ఆ਺܎਺ͱ [2] → [3], [3] → [2] ͷҠಈͷΈͰɺଞ͸ 0 ͱͳ͍ͬͯΔɻ

L(−1)-ඍ෼Λ࢖͏͜ͱͰɺ
% x, y) = ∂ F A(BC) (ξ;% x, y),F A(BC) (L(−1)[3] ξ;∂y% x, y) = ∂ F A(BC) (ξ;% x, y)F A(BC) (L(−1)[2] ξ;

∂x
#
ξ,h,k
−1
͕੒Γཱ͍ͬͯΔɻ্‫ʹه‬ΑΓɺλ34,µ# ,p,q (x0 , y) ∈ C[ιx0 ,y {(x0 − y) }][y] ͱ
#
ξ,h,k
−1
λ23,
µ
# ,p,q (x, y0 ) ∈ C[x, ιy0 ,x−y0 {x }][x − y0 ] ͕ଘࡏͯ͠ɺ ‫ࣜܗ‬త C-ႈ‫ͯ͠ͱ਺ڃ‬ɺ

$$#A(BC):y %A(BC):yξ,h,k∂G(ξ; x0 , y) = y1 µ# ∈J 0 (p,q)∈K 2 λ34,(%µ; x0 , y),µ# ,p,q (x0 , y)Gp,q∂y h,kN$$#
A(BC):x−y
A(BC):x−y
23,
ξ,h,k
∂
% x, y0 ) = 1G(ξ;(%µ; x, y0 )
0
µ
# ∈JN
(p,q)∈K 2 λµ
# ,p,q (x, y0 )Gp,q∂x h,kx−y09ͱͳΔɻr = |JN ||K 2 | ͱஔ͖ɺߦྻ஋ؔ਺
% #
&
ξ,h,k
Λ23 (x, y0 ) = λ23,(x,y)
∈ Mr×r (O(D|y0 | (y0 )))0µ# ,p,q#µ,p,q)∈JN ×K 2
% #&(ξ,h,k),(#ξ,h,kΛ34 (x0 , y) = λ34,
∈ Mr×r (O(D|x0 | (0)))µ# ,p,q (x0 , y)#(ξ,h,k),(#µ,p,q)∈JN ×K 2

Λఆٛ͢Δɻ͜͜ͰɺDR (z0 ) = {z ∈ C | |z −z0 | < R} Ͱ͋ΓɺO(U ) ͸ U ͷਖ਼ଇؔ਺શ
#

#

ξ,h,k
ξ,h,k
ମΛද͢ɻ·ͨɺ%µ %∈ JN0 ͳΒɺ λ23,
= 0 = λ34,
Ͱ͋Δɻ͜ͷ࣌ɺL(−1)-ඍ෼Λ࢖µ# ,p,qµ# ,p,q͏͜ͱͰɺ% x, y) = ∂ F A(BC) (ξ;% x, y),F A(BC) (L(−1)[3] ξ;∂y% x, y) = ∂ F A(BC) (ξ;% x, y)F A(BC) (L(−1)[2] ξ;
∂x

ΛಘΔɻ
!
ϕΫτϧ‫ܕ‬ඍ෼ํఔࣜ

"ఆཧ 8 x0 %= 0 ͱ N ∈ N Λ‫ݻ‬ఆ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺϕΫτϧ஋ؔ਺%&A(BC):y %yG (x0 , y) := Gh,k(ξ; x0 , y)

# N ,(h,k)∈K 2
ξ∈J͸ D|x0 | (0) ্Ͱɺ‫{ ۃ‬0} Λ࣋ͭ Fuchsian systemd yΛ34 (x0 , y) y
G (x0 , y) =G (x0 , y)a
dy
y

(D1)

Λຬ͢ɻಉ༷ʹɺ0 %= y0 ͱ N ∈ N Λ‫ݻ‬ఆ͢ΔͱɺϕΫτϧ஋ؔ਺%&A(BC):x−y %Gx−y (x, y0 ) := Gh,k(ξ; x, y0 )# N ,(h,k)∈K 2
ξ∈J͸ D|y0 | (y0 ) ্Ͱɺ‫{ ۃ‬y0 } Λ࣋ͭ Fuchsian systemd x−yΛ23 (x, y0 ) x−yG (x, y0 ) =G (x, y0 )dx
x − y0(D2)Λຬ͢ɻ͔͠΋ɺD1 ͱ D2 ͷఆ਺ߦྻ Λ34 (x0 , 0) ͱ Λ23 (y0 , y0 ) ͷθϩͰͳ͍‫ݻ‬༗஋ʢॏෳ͸ແࢹʣͷू߹͸ C1 (A), C1 (B) ͷิۭؒ PA ͱ PB ͷ‫ج‬ఈ JPA ͱ JPB ͷબ୒͚ͩͰܾ·Δɻ

#GA(BC) ͷ (D1) ͱ G(AB)C ͷ (D2) ͷ‫࣍ͯ͠ͱܥ‬ΛಘΔɻ
A(BC) %‫ ܥ‬9 Fh,k(AB)C(ξ; x, y) ͱ Fh,k$

% x − y, y) ͸ {(x, y) ∈ C2 | 0 < |y| < |x|} ͱ {(x, y) ∈(ξ;C2 | 0 < |x − y| < |y|} ্ͰͦΕͧΕઈରऩଋ͢Δɻɹ
§6.2

̍Ձؔ਺ͱ τy,x−y Ͱͷల։

4 ఺૬ؔؔ਺ͱඍ෼ํఔࣜͷղ͸‫ܗ‬ͷҧ͏ଟՁؔ਺ͳͷͰɺͦͷ··Ͱ͸ൺֱͰ͖ͳ͍ɻ
ͦ͜ͰɺྖҬΛখͯ͘͞͠ɺͦͷ্Ͱ‫ن‬ଇΛܾΊͯ branch ΛऔΓɺ྆ํΛҰՁؔ਺ͱΈ͔ͯΒ౳ࣜͰ݁Ϳ͜ͱͰɺ4 ఺૬ؔؔ਺ͷ৽͍͠ల։ΛಘΔɻଈͪɺ·ͣɺ

D2 = {(x, y) ∈ C2 | 0 < |x−y| < |y| < |x|, x, y, x−y %∈ R≤0 }10Λߟ͑ɺ−π < 4(log(x)), 4(log(y)), 4(log(x−y)) < π ͱ͠ɺ(x−y)d = e2πid log(x−y) ͳͲͰA(BC):x−y %xd , y d , (x − y)d ͷ branches ΛܾΊ͓ͯ͘ɻ ࣍ʹɺy0 %∈ R≤0 Λ‫ݻ‬ఆ͠ɺG(ξ; x, y0 )h,k2
% x, y0 ) Λ'A(BC):x−y (ξ;ʹରͯ͠ɺྖҬ D(x,y= {x ∈ C | (x, y0 ) ∈ D2 } ্Ͱͷ ओ branch G
h,k
0)
d
A
औΔɻ͢Δͱɺ dx
Y = x−yY ͷ A(0) ͷ‫ݻ‬༗஋͸ PA , PB , PC ͷΈͰܾ·ΔͷͰɺN ͷ
0औΓํʹΑΒͳ͍༗‫{ = !∆ ∃ ߹ूݶ‬d1 , ..., dp } ⊆ C ͕ଘࡏͯ͠ɺ(D2) ͷղͷ੒෼͸ ͋Δ∃

rd+m,t ∈ C ͕͋ͬͯɺ

K# ##d∈∆! m∈N t=0

rd+m,t (x − y0 )d+m logt (x − y0 )

ͱ D|y0 | (y0 ) ্Ͱॻ͚Δɻ͜Ε͕͢΂ͯͷ y = y0 %∈ R≤0 ͱ ξ% ʹରͯ͠੒ΓཱͭͷͰɺ% y) ∈ C ͱ K(ξ)% ∈ N ͕ଘࡏͯ͠ɺ
rh,k (ξ,
d+m,t

$K(ξ)
# h,k
d+m
% x, y) = $ ! $%'A(BC):x−y (ξ;Glogt (x − y)
h,k
d∈∆
m∈N
t=0 rd+m,t (ξ, y)(x − y)% x, y) ͷ D2 ্΁ͷ branch Λͱ͍͏ల։ࣜΛಘΔɻಉ͡‫ن‬ଇͰܾ·Δ F A(BC) (ξ;% x, y) = F'("θ, Y A(BC) (v, x)Y BC (u, y)w#)
F'A(BC) (ξ;A(BC):x−yͱද͢ɻdim PC < ∞ ͳͷͰɺ∆ = ∆! − max{gr(w) | w ∈ PC } ͱஔ͘ɻG̃h,k

F̃

A(BC)

͔Β

234 #
A(BC):x−yʹ໭͢ҝʹɺG̃h,kͷ֤ h, k ຖʹɺ (x − y)−gr (ξ) logh (x) logk (y) Λֻ͚͔ͯΒ h, k ͷ૯࿨ΛͱΓɺ‫ ͭ׌‬log(x) Λ∞#(−1)j x − y j+1() + log(y)
j
+
1
y
j=0

Ͱஔ͖‫͑׵‬Δ͜ͱͰɺF̃ A(BC) ͷ τy,x−y Ͱͷల։ΛಘΔɻ
!
log ‫΁ܕ‬ͷల։"ͱදࣔͰ͖Δɻ$

ξ% = (θ, v, u, w) ∈ Ω Ͱ w ∈ PC ͳΔ΋ͷʹରͯ͠ɺD2 ্Ͱɺ# $−s−1% x, y) = $K(ξ)%
F'A(BC) (ξ;logt (x − y)t=0−s−1∈∆+N−gr(v)−gr(u) gs,t (ξ; y)(x − y)#ʢॏཁ఺ 1) ্‫ه‬ͷ ∆ ͸ N ΍ JN ʹґଘͯ͠ఆٛ͞Ε͍ͯΔ͕ɺ֤ Fuchsian system ͷఆ਺ߦྻͷδϣϧμϯࡉ๔͸ҰఆͳͷͰɺಉ͡ ∆ Λ࢖ͬͯදࣔͰ͖ɺ log(x − y) ͷ࠷େႈ΋ҰఆͳͷͰɺN ʹ΋ JN ͷऔΓํʹ΋ґଘ͠ͳ͍Ͱ ∆ ͕ఆٛͰ͖Δ͜ͱ͕෼͔Δɻ% y) ͸ ξ% ∈ (A(BC))∨ × A × B × C ্Ͱଟॏઢ‫ͳܗ‬ͷͰɺࣸ૾
gs,t (ξ;A × B → Hom(C, A(BC)) ⊗ O(C\R≤0 )ͱ‫ݟ‬Δ͜ͱ͕ग़དྷΔɻଈͪ log ‫༻࡞ܕ‬ૉ Y 4 ͱ஧࣮ͳ‫༻࡞ࣜܗ‬ૉ Y 3 Λ࢖ͬͯɺ11!
‫༻࡞ࣜܗ‬ૉʹΑΔදࣔ
#% x, y) = "θ, Y 3 (Y 4 (v, x − y)u, y)w#
F'A(BC) (ξ;2ͱ D ্ͰදࣔͰ͖Δɻʢ౰વɺӈล΋ؔ਺ͱͯ͠ branch Λऔͬͨ΋ͷͰߟ͑Δɻʣ

"$(ॏཁ఺̎) ∆ ͸༗‫͋Ͱ߹ूݶ‬Γɺ(x − y) ͷႈ͸ d + n (d ∈ ∆, n ∈ N) ͱॻ͚ΔͷͰɺ
$
Y 4 (v, x − y)u =vn,k u(x − y)−n−1 logk (x − y) ͷ truncation ੑ࣭͕ग़ͯ͘Δɻ
(ॏཁ఺ 3) Borcherds ߃౳ࣜ (B1) ∼ (B4) ͔Β Y 3 , Y 4 ͕ (‫ަ )ॴہ‬བྷ࡞༻ૉͰ͋Δ͜ͱ
͕ग़ͯ͘Δɻ

Ώ͑ʹ fusion ੵͷීวੑΑΓɺશࣹφ : (A ! B) ! C → A ! (B ! C)͕͋ͬͯɺF̃ ("θ, Y A(BC) (v, x)Y BC (u, y)w#) = F̃ ("φ∗ (θ), Y (AB)C (Y AB (v, x − y)u, y)w#
͕੒Γཱͭɻ͜͜Ͱɺφ∗ : (A ! (B ! C))∨ → ((A ! B) ! C)∨ ͸ φ ͷ૒ରɻ͜ΕʹΑΓɺ࠷ऴ໨తͷಉ‫ܕ‬ͷยํͷࣸ૾͕ఆٛͰ͖ͨ͜ͱʹͳΔɻग़ൃ఺Λ‫ͯ͠ʹٯ‬ɺಉ༷ͳํ๏Ͱ
ࣸ૾ φ! : A ! (B ! C) → (A ! B) ! C Λߏ੒͢Δͱɺߏ੒๏ΑΓɺφ! ͸ɺখ͞ͳྖҬ্Ͱ্‫ه‬ͷ φ ͷ‫ͱ૾ࣸٯ‬Ұக͍ͯ͠Δ͜ͱ͕Θ͔Δɻ͜ΕʹΑΓɺφ ͸ಉ‫ͳͱܕ‬Γɺओఆཧͷূ໌͕‫׬‬੒ͨ͜͠ͱʹͳΔɻ
̑఺૬ؔؔ਺ "θ, Y(v, x)Y(u, y)Y(w, z)d# ͳͲʹର͢ΔϖϯλΰϯμΠΞάϥϜʹؔͯ͠΋ɺΑΓখ͞ͳྖҬΛߟ͑Δ͜ͱͰɺ্ͷಉ‫͕ͦܕ‬ͷྖҬʹஔ͚Δ஋ʹΑܾͬͯ·Δ͜ͱ͔ΒਤͷՄ‫׵‬ੑग़ͯ͘Δɻࢀߟจ‫ݙ‬[M2021] Associativity of fusion products of C1 -cofinite N-gradable modules of vertex operator algebra, arXiv:2105.01851 ver.3[Huang2005] Y.-Z. Huang, Differential equations and intertwining operators, Commun.
Contemp. Math. 7 (2005), 375-400.
[M2014] C1 -cofiniteness and fusion products for vertex operator algebras, Conformal field
theories and tensor categories, 271-279, Math. Lect. Peking Univ., Springer, Heidelberg,
2014.
[Heu2019] V. Heu, Linear complex differential equations, mini-courses at Foliations andalgebraic geometry, Summer School in Mathematics 2019.

12

Affine Yangians and rectangular W -algebras
小寺 諒介

1 イントロダクション

プレプリント [KU]（上田衛さんとの共同研究）の内容について解説をする．タイトルにあるアファインヤンギアンと長方形 W 代数は，どちらもアファイン Lie 代数を拡張した代数で，出自の異なる 2 つの代数の間の代数射を構成するのが主結果（定理 5.2）である．

2 つの代数を簡単に紹介する．まずアファインヤンギアンだが，その前にアファイン

でない，普通のヤンギアンについて述べる．ヤンギアンは Drinfeld が導入した量子群
で，可解格子模型の Yang-Baxter 方程式・R 行列に起源を持つ．ヤンギアンの表現論で最も重要なことの 1 つは表現のテンソル積の構造を決定することで，R 行列の解析と直接的に結びついている．テンソル積表現の研究は 80 年代から現在に至るまで精力的に続いており多くの結果があるが，既約表現のテンソル積の既約性など，基本的だが未解決な問題も数多く残されている．アファインヤンギアンは，ヤンギアンが有限型

Cartan 行列のデータから定義されるところをアファイン型のデータに変えることで定義される．元々のヤンギアンはそれ自体がアファイン的な対象なので，アファインヤン

ギアンはダブルアファイン的なものである．もう 1 つのダブルアファイン型の量子群である量子トロイダル代数と並んで，その表現論の研究の進展が期待されている．余積の構成（Guay [G2], Guay-中島-Wendlandt [GNW]），A 型の場合の evaluation 写像の構成（Guay [G2], 小寺 [K]），箙多様体やアファイン Laumon 空間を使った表現の構成（Varagnolo [V], Feigin-Finkelberg-Negut-Rybnikov [FFNR]）などの研究で，その性質が徐々に明らかになってきた．

一方，W 代数は 2 次元共形場理論の対称性として導入された頂点代数である．最も一般的な定義は Kac-Roan-脇本 [KRW] によるもので，有限次元の複素簡約 Lie 代数と冪零元のペアおよび複素数 k のデータから BRST コホモロジーを使って定義される．
千葉大学 大学院理学研究院 数学・情報数理学研究部門

1

ここで扱うものは，一般線型 Lie 代数と長方形型の冪零元に付随する特別な場合である．W 代数は Drinfeld-Sokolov 階層の量子化という側面を持つ他，AGT 対応を通じて 4 次元ゲージ理論にも現れることが近年の研究で指摘されている（Alday-Gaiotto-立川 [AGT], Maulik-Okounkov [MO], Schiffmann-Vasserot [SV], Braverman-Finkelberg中島 [BFN]）．

W 代数は有限 W 代数と呼ばれる代数のアファイン版である．A 型の長方形型冪零元に付随する有限 W 代数とヤンギアンの関係は Ragoucy-Sorba [RS] によって発見された．

Brundan-Kleshchev [BK] はシフトヤンギアンというヤンギアンの部分代数を導入し，一般の A 型有限 W 代数をその商として記述した．我々の結果は [RS] のアファイン版である．また，[BK, Section 12] を参考にして代数射を構成した．
代数射の構成の要点は次の 3 つである．

1. 長方形 W 代数（正確にはそのカレント代数）は Miura 写像と呼ばれる代数射によってアファイン Lie 代数の普遍包絡代数のテンソル積の完備化 U (ĝln )⊗lcomp の部分代数とみα

なせる．

2. 荒川-Molev の結果によって長方形 W 代数（のカレント代数）の生成元{Wi,j (m) | i, j = 1, . . . , n および r = 1, . . . , l および m ∈ Z}(r)が知られている．

ˆ n ) の余積と evaluation 写像を組み合わせて代数射
3. アファインヤンギアン Y (slαˆ n ) → U (ĝl )⊗lΦl : Y (sln compを定義し，Φl の像が長方形 W 代数の Miura 写像による像に含まれることを示す．それには Φl の像を荒川-Molev の生成元で表示すればよい．

この後 2, 3 節でアファイン Lie 代数と長方形 W 代数について準備をし，4 節でアファ

インヤンギアンの余積と evaluation 写像を導入する．主結果である代数射 Φl の構成は 5節で行う．Φl の構成に余積を使うことから，この結果はアファインヤンギアンのテンソ
ル積表現と関係が深く，今後の研究に役立つことを期待している．W 代数の方にもテン

ソル積表現に対応するものがあり，放物誘導と呼ばれる．余積と放物誘導の正確な関係について，最後の 6 節で触れる．

なお [U] では，アファインヤンギアンの生成元に対して長方形 W 代数の元を定め，それが関係式を満たすことを直接チェックして定理 5.2 と同じ結果を証明している．

2

2 アファイン Lie 代数

gln = EndC (Cn ) を C 上の一般線型 Lie 代数とする．(i, j) 成分が 1 で他の成分が 0 の!n
行列を ei,j とし，In = i=1 ei,i とする．
sln = {X ∈ gln | tr X = 0},とすれば，zn = CIn

gln = sln ⊕ znと分解する．それぞれのアファイン Lie 代数を

ˆ n = sln [t, t−1 ] ⊕ Cc,
slẑn = zn [t, t−1 ] ⊕ Cc#とする．Lie ブラケットは trace フォームを使って!

!

[Xtm , Y tm ] = [X, Y ]tm+m + mδm+m! ,0 tr(XY )c,!

[In tm , In tm ] = mδm+m! ,0 nc#(X, Y ∈ sln )で与える．c, c# は中心元である．

α ∈ C に対してとし，

ˆ α ) = U (slˆ n )/(c − α),
U (slnU (ẑα+n) = U (ẑn )/(c# − (α + n))nααˆ ) ⊗ U (ẑα+n )U (ĝln ) = U (slnnとする．以下では Xtm のことを X(m) と表す．
一般に A ="d∈Z Ad を次数付き代数としたとき

Acomp =#$

lim Ad /

←
d∈Z m

%

r>m

Ad−r Ar&と定義する（[A, A.2] を参照．A の standard degree-wise completion と呼ばれる）．以
降で使う次数に関する完備化は，すべてこのようにして定義する．U (ĝln ) の次数付けをαdeg X(m) = m で定め，完備化を U (ĝln )comp と表す．同様に，テンソル積 U (ĝln )⊗l のαα⊗l次数に関する完備化を U (ĝln )⊗lcomp と表す．次節でこの U (ĝln )comp の中に部分代数 Wlααを定義する．

3

3 長方形 W 代数

長方形 W 代数 Wl を定義する．これから述べる定義は普通のものとは違っていて，両者が一致するのは荒川-Molev の結果（定理 3.3）である．この節の後半で本来の定義との関係を説明する．

レベルと呼ばれるパラメータ k ∈ C を固定する．N = ln とし，α ∈ C を α = k +N −nとする．各 s = 1, . . . , l に対して

α[s]ei,j (m) = 1⊗(s−1) ⊗ ei,j (m) ⊗ 1⊗(l−s) ∈ U (ĝln )⊗l

とし，

%

m∈Z

α

[s]

ei,j (m)z −m−1 ∈ U (ĝln )⊗l [[z, z −1 ]]という元を (i, j) 成分とする n × n 行列を A[s] (z) と表す．τ を[A[s] (z), τ ] = α∂z A[s] (z)(3.1)

を満たす形式的な元として
[1]

[2]

[l]

l

(τ + A (z))(τ + A (z)) · · · (τ + A (z)) = τ +l%

τ l−r W (r) (z)

(3.2)

r=1

−1
によって W (r) (z) を定義する．W (r) (z) は U (ĝln )⊗l]] の元を成分とする行列
comp [[z, zαである．W (r) (z) の (i, j) 成分を Wi,j (z) とし，Wi,j (z) の z −m−r の係数を Wi,j (m)(r)(m ∈ Z) とする．まとめると

W (r) (z) =である．
定義 3.1

$

%

(r)

(r)

Wi,j (m)z −m−r

m∈Z

(r)

&

i,j=1,...,nWi,j (m) (i, j = 1, . . . , n および r = 1, . . . , l および m ∈ Z) によって位相的(r)に生成される U (ĝln )⊗lcomp の部分代数を Wl とする．
αWl は，l 以外に n と α にも依存するが，記号にはそれを含めないことにする．

4

例 3.2l = 2 のときを考える．τ の定義 (3.1) の意味は，(3.2) の左辺を展開して A[s] (z)τが出てきたら τ A[s] (z) + α∂z A[s] (z) に置き換えよ，ということである．

(τ + A[1] (z))(τ + A[2] (z)) = τ 2 + A[1] (z)τ + τ A[2] (z) + A[1] (z)A[2] (z)= τ 2 + τ (A[1] (z) + A[2] (z)) + A[1] (z)A[2] (z) + α∂z A[1] (z)より

W (1) (z) = A[1] (z) + A[2] (z),W (2) (z) = A[1] (z)A[2] (z) + α∂z A[1] (z)となる．これより
(1)

[1]

[2]

Wi,j (m) = ei,j (m) + ei,j (m) = ei,j (m) ⊗ 1 + 1 ⊗ ei,j (m),(2)

Wi,j (m) =

=

%

n
%
[1]
[2]
[1]
ei,a (m1 )ea,j (m2 ) − (m + 1)αei,j (m)m1 ,m2 ∈Z a=1
m1 +m2 =mn%%m1 ,m2 ∈Z a=1
m1 +m2 =mei,a (m1 ) ⊗ ea,j (m2 ) − (m + 1)αei,j (m) ⊗ 1となり，W2 はこれらの元で生成される．

Wl と本来の長方形 W 代数との関係を述べる．まず，本来の長方形 W 代数は頂点代数である．N = ln とする．

g = glN ,



O
 In

f =


O

O
O
In

...
O
In

O





∈g



のペアおよび複素数 k から BRST 複体をつくり，その 0 次コホモロジーをとることで頂点代数 W k (g, f ) が定義される（[FF, KRW]）．正確には，g = glN の中心 zN = CIN が定める Heisenberg 代数の部分のレベルを指定する必要があり，ここではW k (g, f ) = W k (slN , f ) ⊗ V k+N (zN )となるようにする．V k+N (zN ) はレベル k + N の Heisenberg 頂点代数である．

ここでは頂点代数の定義はしないが，頂点代数 V に対してそのカレント代数 U(V ) という位相的に完備な結合代数を定義できることに注意する（[A, Section 3.11]）．頂点代数の表現（加群）とはそのカレント代数の表現（加群）と同じことである．

5

W k (g, f ) の 話 に も ど る ．V α (sln ) を レ ベ ル α の 普 遍 ア フ ァ イ ン 頂 点 代 数 と し ，V α+n (zn ) をレベル α + n の Heisenberg 頂点代数とすると，-kαν : W (g, f ) → V (sln ) ⊗ V

α+n

(zn )

.⊗l

という頂点代数の単射代数射が存在する．ν を Miura 写像と呼ぶ．そのカレント代数版$

ν : U(W k (g, f )) → U
も同じ記号 ν で表す．

-

V α (sln ) ⊗ V α+n (zn )

.⊗l

&

α
∼
= U (ĝln )⊗lcomp

定 理 3.3（ 荒 川-Molev [AM] Corollary 3.2） Miura 写 像 ν : U(W k (g, f )) →U (ĝln )⊗lcomp の像は Wl と一致する．
α定理 3.3 によって Wl を U(W k (g, f )) と同一視し，（やや不正確だが）以下では長方形W 代数と呼ぶ．この代数とアファインヤンギアンを関連付けることが目標である．

一般には，有限次元の複素簡約 Lie 代数と冪零元のペアおよび複素数 k から W 代数が定義される．ここでとった冪零元 f は，その Jordan 標準形のタイプを表す Young 図形
が n × l の長方形の場合で，これが「長方形 W 代数」という名前の由来である．一般のW 代数については，生成元の構成法は知られていない．

n = 1 のとき，W k (g, f ) をプリンシパル W 代数と呼ぶ（このとき N = l である）．

Miura 写像の行先はランク N の Heisenberg 代数 U (ẑk+N)⊗Ncomp で，定理 3.3 の記述は1

Fateev-Lukyanov による W 代数の定義を再現する．但し，今回の話では n ≥ 3 とするので，n = 1 の場合は扱わない．

4 アファインヤンギアン

これ以降，n ≥ 3 を仮定する．aij (i, j = 1, . . . , n) を
2
aij = −10i = j のとき
i = j ± 1 mod n のとき
その他で定める．(aij )i,j=1,...,n は An−1 型 Cartan 行列である．
(1)

定義 4.1

ˆ n ) は 2 つのパラメータ !, ε ∈ C を持ち，次の生成
アファインヤンギアン Y (sl

元と関係式で定義される C 上の結合代数である．

6

生成元：Ei , Fi , Hi
(r)

(r)

(i = 1, . . . , n および r ∈ Z≥1 )(r)

定義関係式：すべての i, j について
(r)

(s)

(r)

(s)

(r+s−1)

(1)

(s)

(s)

[Hi , Hj ] = 0,
[Ei , Fj ] = δij Hi(1)i )= j, j ± 1 mod n について
(r)

(s)

(r)

(s)

[Hi , Fj ] = 0,

(s)

(s)

[Hi , Fj ] = −aij Fj ;[Hi , Ej ] = aij Ej ,[Hi , Ej ] = 0,

(4.1)

,

(r)

(s)

(r)

[Ei , Ej ] = 0,(s)

[Fi , Fj ] = 0;

(4.2)

i = j ± 1 mod n について
(r )

(r )

(s)

(r )

(r )

(s)

(r )

(r )

(s)

(r )

(r )

(s)

[Ei 1 , [Ei 2 , Ej ]] + [Ei 2 , [Ei 1 , Ej ]] = 0,
[Fi 1 , [Fi 2 , Fj ]] + [Fi 2 , [Fi 1 , Fj ]] = 0;

(4.3)

すべての i について.
(r) (s)(s) (r)] = ! H i Ei + Ei H i
,
.
(r+1)
(s)
(r)
(s+1)
(r) (s)(s) (r)[Hi, Fi ] − [Hi , Fi
] = −! Hi Fi + Fi Hi
,
.
(r+1)
(s)
(r)
(s+1)
(r) (s)(s) (r)[Ei, Ei ] − [Ei , Ei
] = ! E i E i + E i Ei
,
.
(r+1)
(s)
(r)
(s+1)
(r) (s)(s) (r)[Fi, Fi ] − [Fi , Fi
] = −! Fi Fi + Fi Fi
;
(r+1)

[Hi

(s)

(r)

(s+1)

, Ei ] − [Hi , Ei

(4.4)

i )= n について

(r+1)

[Hi

(s)

(r)

(s+1)

(r+1)

[Hi

(s)

(s)

(r)

(s+1)

(s)

(r+1)

(s)

(r)

(s+1)

(s)

(r)

(s+1)

] = −!Ei Hi+1 ,

(r+1)

(s)

(r)

(s+1)

(s)

(r)

(s+1)

[Hi+1 , Fi ] − [Hi+1 , Fi
(r+1)

(r)

, Fi+1 ] − [Hi , Fi+1 ] = !Fi+1 Hi ,[Hi+1 , Ei ] − [Hi+1 , Ei
[Ei

(r)

, Ei+1 ] − [Hi , Ei+1 ] = −!Hi Ei+1 ,
(s)

(r)

(r)

(s)

] = !Hi+1 Fi ,
(r)

(s)

, Ei+1 ] − [Ei , Ei+1 ] = −!Ei Ei+1 ,(r+1)[Fi+1 , Fi ] − [Fi+1 , Fi

7

(r)

(s)

] = !Fi+1 Fi ;

(4.5)

(s)

(s+1)

(s)

(s+1)

[Hn(r+1) , E1 ] − [Hn(r) , E1
[Hn(r+1) , F1 ] − [Hn(r) , F1
(r+1)

[H1

(r+1)

[H1

(r)

(s)

(s)

(s)

] = !F1 Hn(r) − (n! + ε)[F1 , Hn(r) ],
(r)

(r)

, En(s) ] − [H1 , En(s+1) ] = −!En(s) H1 + (n! + ε)[En(s) , H1 ],
(r)

(r)

(r)

, Fn(s) ] − [H1 , Fn(s+1) ] = !H1 Fn(s) − (n! + ε)[H1 , Fn(s) ],
(s)

(s+1)

[En(r+1) , E1 ] − [En(r) , E1
(r+1)

[F1

(s)

] = −!Hn(r) E1 + (n! + ε)[Hn(r) , E1 ],

(r)

(s)

(4.6)

(s)

] = −!En(r) E1 + (n! + ε)[En(r) , E1 ],
(r)

(r)

, Fn(s) ] − [F1 , Fn(s+1) ] = !F1 Fn(s) − (n! + ε)[F1 , Fn(s) ]少し説明をする．まず，r = 1 に対する生成元 Ei , Fi
(1)

(1)

(1)

, Hi

(i = 1, . . . , n) の満たす

ˆ n の定義関係式と同じである（関係式 (4.1), (4.2), (4.3)
関係式は，アファイン Lie 代数 slˆ n ) から Y (slˆ n ) に代数射ができるが，これで r = s = r1 = r2 = 1 とする）．従って U (slは単射である（[G2, Theorem 6.1], [GRW, Theorem 6.9]）．以下では，ei,j (m) = ei,j tm

ˆ n の元と，対応する Y (slˆ n ) の元を同じ記号で表す．
などの sl
次に，i )= n に対する生成元 Ei , Fi , Hi
(r)

(r)

(r)

(i = 1, . . . , n − 1 および r ∈ Z≥1 ) の満たす関係式は，ヤンギアン Y! (sln ) の定義関係式と同じである（関係式 (4.1), (4.2), (4.3),

ˆ n ) への代数射も単射である(4.4), (4.5) で添字に n が現れないもの）．Y! (sln ) から Y (sl（[G2, Corollary 6.1], [GRW, Theorem 6.9]）．

ˆ n ) は部分代数として U (slˆ n ) と Y! (sln ) を含み，それら 2 つの部分代数
以上から，Y (slで生成される．生成元の数は減らすことができて，r = 1, 2 に対するものが全体を生成する．

関係式 (4.6) は複雑だが，n! + ε = 0 とおくと (4.5) と同じ形になる．n! + ε = 0 の場合の定義関係式は，ヤンギアン Y! (sln ) の定義関係式をそのままアファイン A 型に拡張したものである．Dynkin 図形にサイクルがあるというアファイン A 型の性質によって，さらに 1 パラメータを関係式に加えて変形することができる．この変形は Guay が[G1, Definition 3.3] で導入した（量子トロイダル代数が A 型の場合に 2 パラメータを持
つことはそれ以前から知られていた）．n! + ε を改めて 1 つのパラメータと扱って関係式(4.6) を書いてもよいのだが，他の文献との関係もあって今回はこのように書くことにした．アファインヤンギアンから長方形 W 代数に代数射をつくる際には，2 つのパラメータの比と W 代数のレベルとの間に関係を課すので，独立なパラメータが 2 つあることが今回の話の重要なポイントの 1 つである．

定義 4.1 では，生成元の取り方を [KU, Definition 6.1] とは少し変えたため，定義関係

式が一見異なっている（Guay の [G1, Definition 3.3], [G2, Definition 2.3] とも違う）．
+−[KU] でのアファインヤンギアンの生成元の記号は Xi,r, Xi,r, Hi,r (i = 0, 1, . . . , n − 18および r ∈ Z≥0 ) である．次のように生成元の母函数を定義する．

Ei (z) = !

%(r)

Ei z −r ,Fi (z) = !

r≥1

Xi+ (z) = !

%

%

(r)

Fi z −r ,Hi (z) = 1 + !

r≥1

Xi− (z) = !

+ −r−1
Xi,r
z
,

r≥0

%

%

(r)

Hi z −r ,r≥1− −r−1Xi,rz,

Hi# (z) = 1 + !

r≥0%Hi,r z −r−1r≥0[KU] の生成元との関係は次で与えられる．i = 1, . . . , n − 1 について
3
4
3
4
3
4
i
i
i
+
−
#
Ei (z) = Xi z − ! , Fi (z) = Xi z − ! , Hi (z) = Hi z − ! ;2
2
2

En (z) = X0+ (z − (n! + ε)) , Fn (z) = X0− (z − (n! + ε)) , Hn (z) = H0# (z − (n! + ε))ˆ n ) の完備化も必要になる．Y (slˆ n ) の次数付けを以降では Y (sldeg En(r) = 1,

他の生成元は次数 0deg Fn(r) = −1,

ˆ n )comp と表す．同様に，テンソル積 Y (slˆ n )⊗l の次数に関する完備で定め，完備化を Y (slˆ n )⊗l と表す．
化を Y (slcomp

ここで余積と evaluation 写像を導入する．次節ではこれらを組み合わせて代数射を構成する．まず余積である．!(X) = X ⊗ 1 + 1 ⊗ X という記号を使う．

定理 4.2（Guay [G2] Section 6, pp. 462, Guay-中島-Wendlandt [GNW] Defi-

nition 4.6, Theorem 4.9, Proposition 5.18, Section 7, Proposition 4.24） 次
ˆ n ) → Y (slˆ n )⊗2 が存在する．
を満たす代数射 ∆ : Y (slcomp

すべての i について
(1)

(1)

∆(Ei ) = !(Ei ),i = 1, . . . , n − 1 について
$
(2)
(2)
∆(Ei ) = !(Ei ) + !

+

i
%

a=1

(2)
(2)
∆(Fi ) = !(Fi ) + !

n %%

+

i
%

a=1

(1)

ea,i+1 ⊗ ei,a −m≥1 a=1$(1)∆(Fi ) = !(Fi ),m≥1 a=1

a=i+1

(1)

ei,a ⊗ ea,i+1

ea,i+1 (m) ⊗ ei,a (−m) − ei,a (m) ⊗ ea,i+1 (−m)

ea,i ⊗ ei+1,a −

n %%

n
%

(1)

∆(Hi ) = !(Hi );

n
%

a=i+1

&

,

&

,

ei+1,a ⊗ ea,i

ea,i (m) ⊗ ei+1,a (−m) − ei+1,a (m) ⊗ ea,i (−m)
9

.

.

(2)

(2)

∆(Hi ) = !(Hi ) + !
+

i %

a=1

$

− ei,i ⊗ ei+1,i+1 − ei+1,i+1 ⊗ ei,i.

ea,i ⊗ ei,a − ea,i+1 ⊗ ei+1,a −+n %%m≥1 a=1

n
%

a=i+1

ei,a ⊗ ea,i − ei+1,a ⊗ ea,i+1

ea,i (m) ⊗ ei,a (−m) − ea,i+1 (m) ⊗ ei+1,a (−m)− ei,a (m) ⊗ ea,i (−m) + ei+1,a (m) ⊗ ea,i+1 (−m)∆(En(2) ) = !(En(2) ) + !
+

$

.

.

&

;

en,1 (1) ⊗ cn %%m≥0 a=1

ea,1 (m + 1) ⊗ en,a (−m) − en,a (m + 1) ⊗ ea,1 (−m)$.

∆(Fn(2) ) = !(Fn(2) ) + ! c ⊗ e1,n (−1)+

n %%m≥0 a=1

ea,n (m) ⊗ e1,a (−m − 1) − e1,a (m) ⊗ ea,n (−m − 1)

.

&

,

&

,

∆(Hn(2) ) = !(Hn(2) )$+!

− en,n ⊗ e1,1 − e1,1 ⊗ en,n + en,n ⊗ c + c ⊗ en,n − e1,1 ⊗ c − c ⊗ e1,1 + c ⊗ c+n %%m≥0 a=1

ea,n (m) ⊗ en,a (−m) − ea,1 (m + 1) ⊗ e1,a (−m − 1)
− en,a (m + 1) ⊗ ea,n (−m − 1) + e1,a (m) ⊗ ea,1 (−m)

さらに ∆ は余結合律 (∆ ⊗ id) ◦ ∆ = (id ⊗∆) ◦ ∆ を満たす．

.

&

次に evaluation 写像を導入する．

定理 4.3（Guay [G2] Section 6, pp. 462–463, 小寺 [K] Theorem 3.8） パラメーˆ n ) → U (ĝl )comp が存在
タの条件 α + n = −ε/! の下で，次を満たす代数射 ev : Y (sl
n
α

する．

10

i = 1, . . . , n − 1 について
(1)ev(Fi ) = ei+1,i ,ev(En(1) ) = en,1 (1),ev(Fn(1) ) = e1,n (−1),

ev(Ei ) = ei,i+1 ,

(1)

(1)

ev(Hi ) = ei,i − ei+1,i+1 ;ev(Hn(1) ) = en,n − e1,1 + α;i = 1, . . . , n − 1 について
$ i
&
n
%
%%
(2)
ev(Ei ) = !
ei,a ea,i+1 +
ei,a (−m)ea,i+1 (m) ,(2)ev(Fi ) = !
(2)ev(Hi ) = !

$
$

a=1

m≥1 a=1

i
%

n
%%

a=1

m≥1 a=1&− ei,i ei+1,i+1 +

i %

.

+

ei+1,a ea,i +n %%m≥1 a=1

ev(En(2) ) = !
ev(Fn(2) ) = !

n%%m≥0 a=1n%%m≥0 a=1

ev(Hn(2) ) = !

$a=1

ei+1,a (−m)ea,i (m) ,ei,a ea,i − ei+1,a ea,i+1

ei,a (−m)ea,i (m) − ei+1,a (−m)ea,i+1 (m)

.

&

;

en,a (−m)ea,1 (m + 1),
e1,a (−m − 1)ea,n (m),− en,n (e1,1 − α) +n %%m≥0 a=1

en,a (−m)ea,n (m) − e1,a (−m − 1)ea,1 (m + 1)

5 主結果：代数射の構成

W 代数のレベル k とパラメータ α との関係は α = k + N − n だった．さらに，アファインヤンギアンの evaluation 写像を定義するための関係式 α + n = −ε/! を課す．
従って

である．

k + N = α + n = −ε/!

β ∈ C に対して U (ĝln ) の代数自己同型射 ηβ を
αei,j (m) +→ ei,j (m) + δm,0 δi,j β
11

.

&

(l)
で定義する．さらに U (ĝln )⊗lをcomp の代数自己同型射 ηαη (l) = η(l−1)α ⊗ η(l−2)α ⊗ · · · ⊗ ηα ⊗ idˆ n )comp → Y (slˆ n )⊗l をで定義する．∆l−1 : Y (slcomp∆0 = id,∆l−1 = (∆ ⊗ id⊗l−2 ) ◦ ∆l−2

∆1 = ∆,

で定義する．
定義 5.1Φl = η (l) ◦ ev⊗l ◦∆l−1ˆ n )comp から U (ĝl )⊗l への代数射である．
と定義する．Φl は Y (sln compα

次が主定理である．

定理 5.2（小寺-上田 [KU] Theorem 9.2） Φl の像は Wl に含まれる．つまり，Φl はˆ n )comp から Wl への代数射を定める．さらに α = k + N − n )= 0 ならば Φl は全射
Y (sl
である．

ˆ n ) の表現とみなすことができる．さらこの定理により Wl の表現は Φl を通じて Y (slに α )= 0 ならば表現の既約性が保たれる．

ˆ n ) の生成元 E , F
定理 5.2 を証明するには，Y (sl
i
i
(r)

(r)

の Φl での行先を r = 1, 2 について調べ，Wl の生成元で具体的に記述すればよい．例えば Ei

i = 1, . . . , n − 1 について

(2)の行先は次のようになる．

(2)

Φl (Ei ) = (−!)×
$
$ i
&&
n
% (1)
%%
(2)
(1)
(1)
(1)
Wi,i+1 (0) −Wi,a (0)Wa,i+1 (0) +Wi,a (−m)Wa,i+1 (m);a=1m≥1 a=1$(2)

Φl (En(2) ) = (−!) Wn,1 (1) −n%%m≥0 a=1

6 余積と放物誘導

(1)

(1)
Wn,a
(−m)Wa,1 (m + 1)&

最後にアファインヤンギアンの余積と長方形 W 代数の放物誘導との関係について述

べる．

12

l1 , l2 を l = l1 + l2 を満たす 1 以上の整数とする．それぞれに対して長方形 W 代数

⊗l21
Wl1 , Wl2 が定義される．Wl1 , Wl2 はそれぞれ U (ĝln )⊗lcomp , U (ĝln )comp の部分代数なααので，Wl1 ⊗comp Wl2 は U (ĝln )⊗lcomp の部分代数となる．3 節で述べた長方形 W 代数
αの生成元の記述から，Wl は Wl1 ⊗comp Wl2 に含まれることがわかる．この包含写像を∆l1 ,l2 : Wl → Wl1 ⊗comp Wl2 と表す．Wl1 の表現 M1 と Wl2 の表現 M2 が与えられれ
ば，∆l1 ,l2 を通じて M1 ⊗ M2 は Wl の表現となる．この操作を長方形 W 代数の表現の放物誘導と呼ぶ．

この操作は，余積 ∆ によってアファインヤンギアンのテンソル積表現を構成する操作とよく似ている．実際，前節での Φl の構成のしかたから，∆l1 ,l2 と ∆ がほぼ対応することがすぐにわかる．∆ との対応を正確に述べるためには，次のように ∆l1 ,l2 を少しだけ修正する必要がある．前節の自己同型射 ηβ (β ∈ C) を使って

5 l ,l = (η ⊗l1 ⊗ id⊗l2 ) ◦ ∆l ,l
∆
1 2
1 2
−l2 α

5 l ,l は ∆l ,l と同様に Wl から Wl ⊗comp Wl への単射と定義する．簡単な計算で，∆
1 2
1 2
1
2
代数射を定めることがわかる．

ˆ n )comp → Wl は次の図
定理 6.1（小寺-上田 [KU] Corollary 10.2） 代数射 Φl : Y (sl
式を可換にする．

ˆ n )comp
Y (sl

Φl

" Wl
˜ l ,l
∆
1 2

∆

!
!
Φl1 ⊗Φl2
ˆ"Y (sln )⊗2
W
⊗
W l2
l
comp
comp
1

以上より，アファインヤンギアンのテンソル積表現と長方形 W 代数の表現の放物誘導

5 l ,l を通じて定義する）とが，代数射 Φl を通じて対応することがわかった．
（但し ∆
1 2

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15༗‫܈ݶ‬ͷࢦඪͱγϩʔ෦෼‫܈‬ᓎҪଠ࿕ ∗ʢઍ༿େֶʣ

໨࣍
1

എ‫ܠ‬

2

1.1

༗‫ݶ‬ੑఆཧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

ϒϩοΫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3‫ॴہ‬େҬରԠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

ఆཧ

6

2
2.1

୯७‫΁܈‬ͷ‫ؼ‬ண

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

ূ໌ͷུ֓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

࠷ۙͷਐల . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8Brandt ͷఆཧ

9

෇࿥ A
஫

10

ࢀߟจ‫ݙ‬

11༗‫܈ݶ‬ͷද‫ݱ‬࿦ʹ͓͚Δ‫ط‬໿ࢦඪͷ‫ ͱ਺ݸ‬Sylow ෦෼‫܈‬ͷҐ਺ͱͷؒʹ͋Δؔ܎ʹ͍ͭͯ୅਺ֶγϯϙδ΢ϜͰΦϯϥΠϯߨԋΛߦ͏‫ػ‬ձΛ͍͍ͨͩͨɽߨԋͰ͸ӽ୩ॏ෉ࢯ
ͱͷ‫ڞ‬ಉ‫[ ڀݚ‬9] ʹ‫݁ͮ͘ج‬Ռʢఆཧ 2.2ʣΛத৺ʹਾ͑ఆཧͷഎ‫ܠ‬΍ূ໌ͷུ֓ͳͲʹ͍ͭͯൃදΛͨ͠ɽຊߘ͸ͦΕΒͱ࠷ۙͷਐలʹ͍ͭͯవΊͨ΋ͷͰ͋Δɽ
∗ https://orcid.org/0000-0003-0608-18521

1 എ‫ܠ‬ຊߘΛ௨ͯ͠ಛʹஅΓͷͳ͍‫ݶ‬Γ p ͸ૉ਺ɼG ͸༗‫܈ݶ‬ɼP ͸ G ͷ Sylow p ෦෼‫ͱ܈‬͢Δɽ·ͨ G ͷ‫ڞ‬໾ྨશମΛ Cl Gɼ‫ط‬໿ࢦඪશମΛ Irr G ͱද͢ɽ1.1 ༗‫ݶ‬ੑఆཧࠓճͷ‫ڀݚ‬ͷ‫ͳͱܕݪ‬Δ݁Ռ͕༗‫܈ݶ‬࿦ʹ͋Δɽ͔ͦ͜Β࿩Λ࢝ΊΑ͏ɽ࣍ͷఆཧ͸ྨ౳ࣜͷखࠒͳԠ༻ྫͷͻͱͭͰ͋Δ [7, Theorem 12.2]ɽ
ఆཧ 1.1 (Landau). ༩͑ΒΕͨࣗવ਺ k ʹରͯ͠| Cl G| = k =⇒ |G| ≤ nͱͳΔࣗવ਺ n ͕ଘࡏ͢Δɽ͢ͳΘͪ༩͑ΒΕͨ਺ͷ‫ڞ‬໾ྨΛ΋ͭ༗‫܈ݶ‬͸ಉ‫ܕ‬Λআ͍ͯ༗‫͔͠ݸݶ‬ଘࡏ͠ͳ͍ɽ͢
Δͱ࣍͸༗‫܈ݶ‬Λ۩ମతʹܾఆͯ͠ΈΑ͏ͱ͍͏໰୊ʹͳΔɽ࣮ࡍʹ‫ڞ‬໾ྨͷ਺ʹԠͯ͡༗‫܈ݶ‬Λ෼ྨ͢Δͱද 1 ͷΑ͏ʹͳΔɽ ͜͜Ͱදʹ‫ݱ‬Ε͍ͯΔ‫܈‬͸Ґ਺ n ͷ८ճ‫܈‬‫ڞ‬໾ྨͷ਺༗‫܈ݶ‬ͷಉ‫ྨܕ‬

1

1

2

C2

3

C3 , S 3

4

C4 , V4 , D10 , A4
ද 1 খ͞ͳ༗‫܈ݶ‬ɽCn ɾ࣍਺ n ͷରশ‫ ܈‬Sn ɾKlein ͷ࢛‫ ܈ݩ‬V4 ɾҐ਺ n ͷೋ໘ମ‫ ܈‬Dn ɾ࣍਺ n ͷަ୅‫܈‬An Ͱ͋Δɽ͜ͷΑ͏ͳ‫ڀݚ‬͸ Burnside ʹΑΔʰ༗‫܈ݶ‬࿦ʱͷϊʔτ A ʹ‫ݟ‬Δ͜ͱ΋Ͱ͖Δ‫ݹ‬యతͳ໰୊Ͱ͋Γ [4]ɼ‫ࡏݱ‬͸ k = 14 ·Ͱͷ෼ྨ͕ͳ͞Ε͍ͯΔ [17]ɽࢀߟ·ͰʹϞϯελʔ‫ ܈‬M Ͱ΋‫ڞ‬໾ྨ͸ 194 ‫͍ͳ͔͠ݸ‬ɽࢦඪཧ࿦ͷ‫ج‬ຊతͳ݁ՌʹΑΕ͹༗‫܈ݶ‬ͷ‫ط‬໿ࢦඪͷ਺ͱ‫ڞ‬໾ྨͷ਺͸౳͍͠ͷͰ

Landau ͷ༗‫ݶ‬ੑఆཧ͸࣍ͷΑ͏ʹ‫͑׵͍ݴ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ 1 ɽ2ఆཧ 1.2. ༩͑ΒΕͨࣗવ਺ k ʹରͯ͠

| Irr G| = k =⇒ |G| ≤ nͱͳΔࣗવ਺ n ͕ଘࡏ͢Δɽ͢ͳΘͪ༩͑ΒΕͨ਺ͷ‫ط‬໿ࢦඪΛ΋ͭ༗‫܈ݶ‬͸ಉ‫ܕ‬Λআ͍ͯ༗‫͔͠ݸݶ‬ଘࡏ͠ͳ͍ɽ
͜͏ͨ͠‫ط‬໿ࢦඪͷ਺ʹΑΔ༗‫܈ݶ‬ͷ౷੍ΛΑΓࡉ͔͘‫͍͖͍ͨͯݟ‬ɽ

1.2 ϒϩοΫ
ද‫ݱ‬࿦Λߟ͑Δ্Ͱଟ͘ͷ໰୊͸ϒϩοΫ͝ͱʹߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜͜Ͱ͸༗‫܈ݶ‬ͷϞδϡϥʔද‫ݱ‬࿦ʹ༝དྷ͢ΔϒϩοΫͷ֓೦Λࢦඪ࿦తʹఆࣜԽ͢Δɽ
ఆٛ 1.3 (ϒϩοΫ). Ґ਺͕ p ͱૉͳ G ͷ‫͔ݩ‬ΒͳΔू߹Λ

Gp! = { g ∈ G : p ! |g| }ͱ͓͘ 2 ɽ‫ط‬໿ࢦඪશମ Irr G ্ͷೋ߲ؔ܎ ∼ Λχ ∼ ψ ⇐⇒!

g∈Gp!

χ(g)ψ(g) &= 0ͰఆΊΔɽ͜ΕʹΑΓ Irr G Λ୆ू߹ͱ͢Δάϥϑ͕ఆ·Γɼͦͷ࿈݁੒෼ΛϒϩοΫʢblockʣͱ͍͏ [15, p. 155]ɽಛʹࣗ໌ͳ‫ط‬໿ࢦඪ 1G Λ‫ؚ‬Ή࿈݁੒෼ΛओϒϩοΫʢprincipal blockʣͱ͍͍‫ ߸ه‬Irr B0 (G) Ͱද͢ɽ۩ମతʹ͸ओϒϩοΫ͕

Irr B0 (G) ="χ ∈ Irr G :

!

g∈Gp!

χ(g) &= 0#

ͱͳΔ͜ͱ΋஌ΒΕ͍ͯΔ [15, p. 118]ɽLandau ͷ༗‫ݶ‬ੑఆཧʹ૬౰͢Δओு͕ϒϩοΫ͝ͱʹ΋੒Γཱ͔ͭͲ͏͔Λ໰͏ͨͷ͕ Brauer ͷୈ 21 ໰୊ʢBrauer’s Problem 21ʣ
Ͱ͋Δ [2]ɽ؆୯ͷͨΊʹओϒϩοΫʹ‫ͯͬݶ‬༧૝Λड़΂Δͱ࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ༧૝ 1.4 (Brauer ͷୈ 21 ໰୊). ༩͑ΒΕͨࣗવ਺ k ʹରͯ͠

| Irr B0 (G)| = k =⇒ |P | ≤ nͱͳΔࣗવ਺ n ͕ଘࡏ͢Δ͔ʁ

3(XXI0 )

͢ͳΘͪ༩͑ΒΕͨ਺ͷओϒϩοΫʹଐ͢Δ‫ط‬໿ࢦඪΛ΋ͭ༗‫܈ݶ‬ͷ Sylow p ෦෼‫܈‬͸ಉ‫ܕ‬Λআ͍ͯ༗‫͔͠ݸݶ‬ଘࡏ͠ͳ͍ͷͰ͸ͳ͍͔ʁఆཧ 1.2 ͷԾఆͱ͸ҟͳΓ‫ط‬໿ࢦඪશମͰ͸ͳ͘ओϒϩοΫʹ͍͔ͭͯ͠৚݅Λ՝͍ͯ͠ͳ͍ͷͰɼͦΕʹԠͯ݁͡࿦΋‫܈‬શମͰ͸ͳ͘ Sylow p ෦෼‫͔͍ͯͭ͠ʹ܈‬৮Ε͍ͯͳ͍ɽ࣮ࡍɼҐ਺͕ p ͱૉͰ͋Δ G ͷਖ਼‫ن‬෦෼‫ ܈‬N ΛͱΔͱ| Irr B0 (G)| = | Irr B0 (G/N )|(†)͕੒ΓཱͭͷͰɼओϒϩοΫʹଐ͢Δ‫ط‬໿ࢦඪͷ਺ʹؔ͢Δ੍໿͔Β๬Έ͏Δ‫݁ؼ‬͸͓Αͦ Sylow p ෦෼‫ؔ͢ʹ܈‬Δ৘ใʹ‫ݶ‬ΒΕΔɽBrauer ͷୈ 21 ໰୊͸ओϒϩοΫͷ৔߹(XXI0 ) ʹ‫ͯͬݶ‬΋Ұൠʹ͸ະղܾͰ͋Δɽͨͩ͠ Alperin-McKay ༧૝ΛೝΊΕ͹ʢͦͯ͠ Zelmanov ʹΑ੍ͬͯ‫ ݶ‬Burnside ໰୊͕ߠఆతʹղܾ͞Ε͍ͯΔ͜ͱͳͲΛ࢖͏ͱʣߠఆతʹղܾͰ͖Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔ [12]ɽAlperin-McKay ༧૝ʹ͍ͭͯ͸࣍અͰվΊͯड़΂Δɽ

1.3 ‫ॴہ‬େҬରԠ༗‫ؔ͢ʹ܈ݶ‬Δ͋Δछͷੑ࣭͸ͦͷ‫ॴہ‬෦෼‫ؔ͢ʹ܈‬Δੑ࣭΁ؐ‫͞ݩ‬ΕΔͱ͍͏ࢦಋ‫ݪ‬ཧ͕͋Γɼ͜ΕΛ༗‫܈ݶ‬࿦ʹ͓͚Δ‫ॴہ‬େҬ‫ݪ‬ཧʢlocal-global principleʣͱ͍͏ɽయ‫ܕ‬తͳྫͱͯ͠͸ Burnside ͷ༥߹ఆཧʢBurnside’s fusion theoremʣ͕͋Δɽ
ఆཧ 1.5 (Burnside ͷ༥߹ఆཧ). Sylow p ෦෼‫ ܈‬P ͷ G ʹ͓͚Δਖ਼‫ن‬Խ‫܈‬Λ H =NG (P ) ͱ͢Δɽ΋͠ P ͕Մ‫ͳ׵‬Β͹‫ ݩ‬x, y ∈ P ʹରͯ࣍͠ͷ৚݅͸ಉ஋Ͱ͋Δɽ• ‫ ݩ‬x, y ͸ G ʹ͓͍ͯ‫ڞ‬໾Ͱ͋Δɽ• ‫ ݩ‬x, y ͸ H ʹ͓͍ͯ‫ڞ‬໾Ͱ͋Δɽ͜ͷओு͸ਖ਼‫ن‬Խ‫ ܈‬H ͕ P ʹ͓͚Δ༥߹Λ౷੍͢ΔʢH controls fusion in P ʣͱද‫͞ݱ‬ΕΔ͜ͱ΋͋ΔɽҰൠʹ‫ॴہ‬෦෼‫܈‬͸࣍ͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɽ
ఆٛ 1.6 (‫ॴہ‬෦෼‫)܈‬. ༗‫ ܈ݶ‬G ͷඇࣗ໌ͳ p ෦෼‫ ܈‬Q ͷ G ʹ͓͚Δਖ਼‫ن‬Խ‫ ܈‬NG (Q)ͷ͜ͱΛ‫ॴہ‬෦෼‫܈‬ʢlocal subgroupʣͱ͍͏ [15, p. 128]ɽ
༗‫܈ݶ‬ͷද‫ݱ‬࿦ʹ͓͚Δ‫ॴہ‬େҬ‫ݪ‬ཧʹؔͯ͠த৺తͳ໰୊͸ McKay ༧૝Ͱ͋Δ[15]ɽ৽ͨʹ‫߸ه‬

Irrp! G = { χ ∈ Irr G : p ! χ(1) }Λಋೖ͢Δͱ༧૝͸࣍ͷΑ͏ʹड़΂ΒΕΔɽ4

༧૝ 1.7 (McKay ༧૝). Sylow p ෦෼‫ ܈‬P ͷ G ʹ͓͚Δਖ਼‫ن‬Խ‫܈‬Λ H = NG (P ) ͱ͢
Δͱ͖ɼશ୯ࣹ

Irrp! G → Irrp! H(MC)͕ଘࡏ͢Δ͔ʁ

McKay ༧૝͸‫਺ح‬Ґ਺ͷ‫ʹ܈‬ରͯ͠͸ਖ਼͍͜͠ͱ͕༗‫ݶ‬୯७‫܈‬ͷ෼ྨΛ༻͍ͯ [13] Ͱࣔ͞Ε͕ͨҰൠͷ৔߹͸ະղܾͷ··Ͱ͋Δɽ

McKay ༧૝ΛϒϩοΫ͝ͱʹߟ͑ͨͷ͕ Alperin-McKay ༧૝Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱ͸؆୯ͷͨΊʹओϒϩοΫͷ৔߹ͷΈΛѻ͏ɽಉ༷ͷ‫߸ه‬

Irrp! B0 (G) = { χ ∈ Irr B0 (G) : p ! χ(1) }Λಋೖ͢Δͱ༧૝͸࣍ͷΑ͏ʹड़΂ΒΕΔɽ༧૝ 1.8 (Alperin-McKay ༧૝). Sylow p ෦෼‫ ܈‬P ͷ G ʹ͓͚Δਖ਼‫ن‬Խ‫܈‬Λ H =NG (P ) ͱ͢Δͱ͖ɼશ୯ࣹ
Irrp! B0 (G) → Irrp! B0 (H)(AMC0 )

͕ଘࡏ͢Δ͔ʁ
લઅͰड़΂ͨΑ͏ʹ Alperin-McKay ༧૝ΛೝΊΕ͹ Brauer ͷୈ 21 ໰୊͸ߠఆతʹղܾͰ͖Δɽ͜ͷΑ͏ͳ‫ͳʹํ͍ݴ‬Δ͜ͱ͔Β΋Θ͔Δ௨Γ Alperin-McKay ༧૝΋Ұൠͷ৔߹͸ະղܾͷ··Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱগ͠‫د‬ΓಓΛ͢Δɽ༗‫܈ݶ‬ͷࢦඪཧ࿦ʹ͓͍ͯ‫ط‬໿ࢦඪͱ‫ڞ‬໾ྨͷؒʹ͋Δछͷ૒ରੑ͕͋Δ͜ͱ͕‫ݧܦ‬ଇͱͯ͠஌ΒΕ͍ͯΔɽͨͱ͑͹࣍਺͕ 1 ͷ‫ط‬໿ࢦඪͷ਺͸ަ‫ࢠ׵‬෦෼‫܈‬ͷࢦ਺ |G : G" | ͱҰக͢Δͷʹରͯ͠ɼҐ਺͕ 1 ͷ‫ڞ‬໾ྨͷ਺͸த৺ͷҐ਺

| Z(G)| ͱҰக͢Δɽ͜͜Ͱ͸ Irrp! G ͷ૒ରͱͯ͠‫߸ه‬

Clp! G = { K ∈ Cl G : p ! |K| }Λಋೖ͢ΔɽMcKay ༧૝ͷ૒ର͸ਖ਼͍͠ [15, p. 157]ɽ
໋୊ 1.9 (McKay ༧૝ͷ૒ର). Sylow p ෦෼‫ ܈‬P ͷ G ʹ͓͚Δਖ਼‫ن‬Խ‫܈‬Λ H = NG (P )ɼ
த৺Խ‫܈‬Λ C = CG (P ) ͱ͢Δͱ͖ɼࣸ૾

Clp! G → Clp! H,͸શ୯ࣹͰ͋Δɽ

5

K (→ K ∩ C(MC∗ )

͜Ε͸ Burnside ͷ༥߹ఆཧʢఆཧ 1.5ʣΛ Sylow p ෦෼‫͕܈‬ඇՄ‫ͳͱ׵‬Δ৔߹΋‫ؚ‬ΉΑ͏ʹ֦ுͨ͠΋ͷͱࢥ͏͜ͱ΋Ͱ͖Δɽূ໌΋΄ͱΜͲಉ͡Ͱ Sylow ͷఆཧͷखࠒͳԠ༻ྫͷͻͱͭͰ͋Δɽ͜ͷ‫ॴہ‬େҬରԠ͸ Brauer ͷୈҰओఆཧʢBrauer’s first main

theoremʣΛূ໌͢Δ४උͷதͰड़΂ΒΕΔ͜ͱ͕ଟ͘ɼ͖ͬ͢Γͱͨ݁͠ՌͰ͋Δʹ΋ؔΘΒͣઐ໳ՈҎ֎ʹ͸͋·Γ஌ΒΕ͍ͯͳ͍Α͏ʹࢥ͏ɽ͜ͷ‫ػ‬ձʹΑΓ޿͘஌ΒΕΔ
͜ͱΛ‫Ͱͯͬ͜͜ئ‬औΓ্͛ͨɽ2 ఆཧഎ‫ͯ͠ͱܠ‬༗‫܈ݶ‬࿦ʹ͓͍ͯ Landau ͷ༗‫ݶ‬ੑఆཧʢఆཧ 1.1ʣ͕஌ΒΕ͓ͯΓখ͞ͳ༗‫܈ݶ‬ͷ෼ྨʢද 1ʣ͕੒͞Ε͍ͯΔ͜ͱɼ·ͨओϒϩοΫͰ΋ Brauer ͷୈ 21 ໰୊
ʢ༧૝ 1.4ʣ͕ߟ͑ΒΕ͓ͯΓ Alperin-McKay ༧૝ΛೝΊ͑͢͞Ε͹ Sylow p ෦෼‫ʹ܈‬ؔͯ͠ྨࣅͷ༗‫ݶ‬ੑ͕੒Γཱͭ͜ͱΛड़΂ͨɽ͢Δͱ࣍͸ Sylow p ෦෼‫܈‬Λ۩ମతʹܾఆͯ͠ΈΑ͏ͱ͍͏໰୊ʹͳΔɽओϒϩοΫʹଐ͢Δ‫ط‬໿ࢦඪͷ਺͕খ͍͞৔߹͔Βॱʹ

Brauer-Nesbitt [3], Brandt [1], Belonogov [19] ʹΑͬͯ࣍ͷ݁Ռ͕ಘΒΕ͍ͯΔ 3 ɽ
ఆཧ 2.1 (Brauer-Nesbitt, Brandt, Belonogov).

| Irr B0 (G)| = 1 ⇐⇒ P ∼= 1.
| Irr B0 (G)| = 2 ⇐⇒ P ∼= C2 .
| Irr B0 (G)| = 3 ⇐⇒ P ∼= C3 .
ఆཧʹ͓͍ͯओϒϩοΫʹଐ͢Δ‫ط‬໿ࢦඪͷ਺΍ Sylow p ෦෼‫܈‬ͷҐ਺͕খ͍͞ͷͰ࣮ࡍΑΓқ͘͠‫͑ݟ‬Δ͔΋͠Εͳ͍ɽ༗‫ ܈ݶ‬G ͱͯ͠͸ p = 3 ͷͱ͖ Janko ‫ ܈‬J1 ͷΑ͏ͳࢄࡏ‫ܕ‬୯७‫܈‬ͷ৔߹΋ | Irr B0 (J1 )| = 3 ͱͯ͠‫ؚ‬ΜͰ͍Δ͜ͱʹ஫ҙ͓ͯ͘͠ɽ͜ΕΒͷ݁ՌΛ౿·͑ͯ [9] Ͱ͸࣍ͷ৔߹Λࣔͨ͠ɽఆཧ 2.2 (Koshitani-S).

| Irr B0 (G)| = 4 =⇒ P ∼= C 4 , V4 , C 5 .
࣮ࡍʹ͢΂ͯͷ৔߹͕‫ݱ‬ΕΔ͕ 4 ‫ٯ‬͸੒ཱ͠ͳ͍ 5 ɽূ໌͸༗‫ݶ‬୯७‫܈‬ͷ෼ྨʹґ͍ͬͯΔɽಉ༷ͷํ਑Ͱ Belonogov ͷఆཧʹର͢Δผূ໌΋༩͑ͨɽҎԼͰ͸؆୯ͷͨΊʹBelonogov ͷఆཧͷผূ໌Λྫʹূ໌ͰͲͷΑ͏ͳಓ۩Λ࢖ͬͨͷ͔Λ঺հ͢Δɽ

6

2.1 ୯७‫΁܈‬ͷ‫ؼ‬ண·ͣ͸୯७‫Ͳ͕܈‬ͷΑ͏ʹͯٞ͠࿦ͷதʹ‫ݱ‬ΕΔ͔Λ঺հ͢Δɽ४උͱͯ͠ඪ४తͳ‫ه‬߸ͷಋೖΛ͢Δɽ
ఆٛ 2.3.

• Ґ਺ |N | ͕ p ͱૉͱͳΔ G ͷਖ਼‫ن‬෦෼‫ ܈‬N ͷ͏ͪ࠷େͷ΋ͷΛ Op! (G) ͱఆΊΔɽ!

• ࢦ਺ |G : N | ͕ p ͱૉͱͳΔ G ͷਖ਼‫ن‬෦෼‫ ܈‬N ͷ͏ͪ࠷খͷ΋ͷΛ Op (G) ͱఆΊΔɽ

Sylow p ෦෼‫͕܈‬Մ‫׵‬ͷͱ͖࣍ͷߏ଄ఆཧ͕‫ج‬ຊతͰ͋Δ [8, Theorem 2.1]ɽ
ఆཧ 2.4 (Kimmerle-Sandling). Sylow p ෦෼‫ ܈‬P ͕Մ‫͢ͱ׵‬Δɽ͜ͷͱ͖ p ‫ ܈‬Q ͱඇ
ࣗ໌ͳ Sylow p ෦෼‫܈‬Λ΋ͭඇՄ‫׵‬୯७‫ ܈‬H1 , . . . , Hn ͕ଘࡏ͕ͯ࣍͠੒Γཱͭɽ!
Op (G/Op! (G)) ∼= Q × H1 × · · · × Hn .

ྫ 2.5. ૉ਺ p ≥ 5 ͱҰൠઢ‫ ܈ܕ‬G = GL2 (Fp ) Λߟ͑Δɽ͜ͷͱ͖ Op! (G) ͸த৺ Z(G)!

ͱҰக͠৒༨‫܈‬͸ࣹӨҰൠઢ‫ ܈ܕ‬PGL2 (Fp ) ͱͳΔɽ͢Δͱ O p (PGL2 (Fp )) ͸ࣹӨಛघઢ‫ ܈ܕ‬PSL2 (Fp ) ͳͷͰ!
Op (G/Op! (G)) ∼= PSL2 (Fp )ΛಘΔɽߏ଄Λ໛ࣜతʹॻ͚͹ͱͳ͍ͬͯΔɽC2GL2 (Fp ) ∼ PSL2 (Fp )
Cp−1্ͷྫͷΑ͏ʹ Sylow p ෦෼‫͕܈‬Մ‫׵‬ͷ৔߹ʹ͸Ґ਺͕ p ͱૉͳ্Լʹ͋ΔҼࢠΛ࡟͙ͱʢ΄ͱΜͲʣ୯७‫ͳͱ܈‬Δ͜ͱΛ Kimmerle-Sandling ͷఆཧ͸ड़΂͍ͯΔɽ͢Δͱ໰୊ͷͻͱͭ͸ Sylow p ෦෼‫܈‬ͷՄ‫׵‬ੑΛ͔֬ΊΔ͜ͱͰ͋Δɽ͜Εʹؔͯ͠͸࣍ͷఆཧ͕͋Δ [10, 11]ɽఆཧ 2.6 (Külshammer, Külshammer-Navarro-Sambale-Tiep). ΋͠ | Irr B0 (G)| = 3
ͳΒ͹ Sylow p ෦෼‫ ܈‬P ͸Մ‫͋Ͱ׵‬Δɽ

7͜͜Ͱ [11, Theorem 3.6] Ͱ͸༗‫ݶ‬୯७‫܈‬ͷ෼ྨ͕༻͍ΒΕ͍ͯΔ͜ͱʹ஫ҙ͓ͯ͘͠ɽ͞Βʹ࣍ͷఆཧʹΑΓ໰୊Λ G ͔Βे෼େ͖ͳਖ਼‫ن‬෦෼‫ ܈‬N ΁‫ؼ‬ண͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖
Δ [5]ɽ
ఆཧ 2.7 (Alperin-Dade). ༗‫ ܈ݶ‬G ͷਖ਼‫ن‬෦෼‫ ܈‬N ͕ Sylow p ෦෼‫ ܈‬P Λ‫ؚ‬Έ

G = CG (P )N Λຬͨ͢ͳΒ͹੍‫૾ࣸݶ‬
Irr B0 (G) → Irr B0 (N ),χ (→ χN͸શ୯ࣹͰ͋Δɽ͜ΕΒͷ૊߹ͤʹΑΓ Belonogov ͷఆཧʹର͢Δผূ໌Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

2.2 ূ໌ͷུ֓͜͜Ͱ͸ | Irr B0 (G)| = 3 =⇒ P ∼= C3 Λഎཧ๏Ͱࣔ͢ɽ൓ྫͱͳΔ૊ (G, P ) Λߟ͑Δɽ͞ΒʹҐ਺ |G| ͸࠷খͰ͋ΔͱԾఆͯ͠Α͍ɽ·ͣҐ਺ͷ࠷খੑͱ (†) ͔Β
!
Op! (G) ∼= 1 ͕Θ͔Δɽ·ͨҐ਺ͷ࠷খੑ͔Β G = CG (P )Op (G) ΋ࣔͤΔɽ͢Δͱ
!

Alperin-Dade ͷఆཧ͔Β | Irr B0 (G)| = | Irr B0 (Op (G))| ͕੒ΓཱͭͷͰҐ਺ͷ࠷খ!

ੑ͔Β G = O p (G) ΋Θ͔Δɽఆཧ 2.6 ΑΓ Sylow p ෦෼‫܈‬͸Մ‫ͳ׵‬ͷͰ Kimmerle-

Sandling ͷఆཧ͔ΒG∼= Q × H1 × · · · × Hn

ͱͳΔ p ‫ ܈‬Q ͱඇࣗ໌ͳ Sylow p ෦෼‫܈‬Λ΋ͭඇՄ‫׵‬୯७‫ ܈‬H1 , . . . , Hn ͕ଘࡏ͢Δɽ͕ͨͬͯ͠

3 = | Irr B0 (G)| = | Irr B0 (Q)| × | Irr B0 (H1 )| × · · · × | Irr B0 (Hn )|ΑΓ Q ∼= 1 ͔ͭ n = 1 ͕Θ͔ΔɽҎ্͔ΒҐ਺࠷খͷ൓ྫ G ͸ඇՄ‫׵‬୯७‫͋Ͱ܈‬Δɽͱ
͜Ζ͕ඇՄ‫׵‬୯७‫܈‬ͷதʹ͸ओுͷ൓ྫ͕ͳ͍͜ͱ͕෼ྨ͔Β͔֬ΊΒΕΔɽ͜Ε͸ໃ६ɽ

2.3 ࠷ۙͷਐల
ఆཧ 2.2 ʹؔ͢Δ࿦จ [9] ͷϓϨϓϦϯτΛ arXiv ʹΞοϓϩʔυͨ͠͸ 2020 ೥ͷ 2݄Ͱ͋ͬͨɽͦͷ‫ ޙ‬2020 ೥ͷ 10 ݄ʹ͸࣍ͷఆཧ͕ൃද͞Εͨ [16]ɽ
ఆཧ 2.8 (Rizo-Schaeffer Fry-Vallejo).

| Irr B0 (G)| = 5 =⇒ P ∼= C5 , C7 , D 8 , Q 8 .
8͜ΕΒͷఆཧͷԾఆΛ͞Βʹ | Irrp! B0 (G)| ΁ऑΊͨҰൠԽ͕ Hung-Schaeffer Fry-

Vallejo [6] ʹΑͬͯ 2021 ೥ͷ 6 ݄ʹ͸ൃද͞Ε͍ͯΔɽओϒϩοΫͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ҰൠͷϒϩοΫʹؔͯ͠΋ 2021 ೥ͷ 9 ݄ʹ͸࣍ͷఆཧ͕ൃද͞Εͨ [14]ɽ

ఆཧ 2.9 (Martı́nez-Rizo-Sanus). ૉ਺ p ͱ༗‫ ܈ݶ‬G ͱෆ଍‫ ܈‬P Λ΋ͭϒϩοΫ B ΛͱΔɽAlperin-McKay ༧૝͕ B ʹ͍ͭͯ੒ΓཱͭͳΒ͹| Irr B| = 4 =⇒ P ∼= C 4 , V4 , C 5 .
͜ͷΑ͏ʹ‫ͭز‬΋ͷ࿦จʢϓϨϓϦϯτʣ͕ൃද͞Εɼͦͷ‫ޙ‬΋‫͕ڀݚʹൃ׆‬ਐΜͰ
͍Δɽ

෇࿥ A

Brandt ͷఆཧ͜͜Ͱ͸ओϒϩοΫʹର͢Δ Brandt ͷఆཧ | Irr B0 (G)| = 2 =⇒ P ∼= C2 ͷࢦඪ࿦తͳূ໌Λ༩͑Δɽํ਑͸͓Αͦ Belonogov ͷํ๏ʹԊ͍ͬͯΔɽ࣮ࡍʹ͸΋͏গ͠‫ڧ‬͍ओு| Irr B0 (G)| = 2 =⇒ |Gp! |/|G| = 1/2Λࣔ͢ɽূ໌ͷུ֓. ओϒϩοΫʹଐ͢Δඇࣗ໌ͳ‫ط‬໿ࢦඪΛ α ͱ͓͘ɽGalois ‫ ܈‬Gal(Q|G| /Q)ͷ‫ط‬໿ࢦඪ΁ͷࣗવͳ࡞༻Λߟ͑ΔɽओϒϩοΫ͸ෆมͳͷͰ‫ط‬໿ࢦඪ α ͸༗ཧ਺ʹ஋ΛͱΔɽҰൠ࿦͔Βࢦඪͷ஋͸୅਺త੔਺ͳͷͰ‫ط‬໿ࢦඪ α ͕੔਺ʹ஋ΛͱΔ͜ͱ͕Θ͔ΔɽԾఆΑΓ | Irr B0 (G)| &= 1 ͳͷͰࠩू߹ G − Gp! ͸ۭͰͳ͍ɽ೚ҙͷ‫ ݩ‬u ∈ G − Gp! ΛͱΔͱϒϩοΫͷ௚ަؔ܎!

χ(1)χ(u) = 0

χ∈Irr B0 (G)͔Β 1 + α(1)α(u) = 0 Ͱ͋Δɽ‫ط‬໿ࢦඪ α ͸੔਺ʹ஋Λͱ͍ͬͯͨͷͰ α(1) = 1 ͱα(u) = −1 ΛಘΔɽࠩू߹ G − Gp! ͷࢦࣔؔ਺Λ‫ط‬໿ࢦඪ΁ల։͢Δ͜ͱͰ

|G| =

!

!

g∈G−Gp! χ∈Irr B0 (G)χ(u)χ(g) = 2|G − Gp! |ͱͳΔ͜ͱ͕ࣔͤΔͷͰ |Gp! |/|G| = 1/2 ΛಘΔɽҰൠʹ p ! |Gp! | Ώ͑ |P | = 2 ΛಘΔɽ

9݁࿦ͱͯ͠ P ∼= C2 Λ͚ࣔͩ͢ͳΒ‫ޙ‬൒෦෼ͷ୅ΘΓʹࢦඪ θ = 1G + α ͷ Sylow p ෦෼‫ ܈‬P ΁ͷ੍‫ݶ‬Λߟ͑Δͱ

-θP , 1P . =1 !
2
θ(u) =
|P |
|P |
u∈P

ΑΓ |P | = 2 ΛಘΔ͜ͱ΋Ͱ͖Δ͜ͱʹ஫ҙ͓ͯ͘͠ɽ

ँࣙ୅਺ֶγϯϙδ΢Ϝʹ͓͚Δߨԋͷ‫ػ‬ձΛԼͬͨ͞ํʑʹ‫ँײ‬ͷҙΛද͠·͢ɽ஫
1. ͜ͷΑ͏ʹද‫ݱ‬࿦తͳఆࣜԽΛ͢Ε͹ΞιγΤʔγϣϯɾεΩʔϜʢassociation schemeʣͷΑ͏ͳ‫ڞ‬໾ྨʹ૬౰͢Δ֓೦͕ͳ͍৔߹ʹ΋ྨࣅΛߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ࣮ࡍ D. G. Higman ʹΑΓ 2 ͭͷ‫ط‬໿ࢦඪΛ΋ͭ৔߹ͷ݁Ռ [18, Theorem 4.5.1] ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ·ͨ༗‫܈ݶ‬ͷ৔߹Ͱ΋͜ͷఆࣜԽʹΑΓϒϩοΫ͝ͱʹྨࣅΛߟ͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

2. ‫ ߸ه‬p! ͸ p ͱૉͰ͋Δʢprime to pʣͰ͋Δҹͱͯ͠Α͘࢖ΘΕΔɽᔬམͷҰछֶ͕ͩੜͷࠒʹग़ձ͔ͬͯΒ਺೥ؒ͸ͦΕʹ‫͔ͨͬͳ͔͕ͭؾ‬ͷͰແਮ͸ঝ஌Ͱ໌จԽ͓ͯ͘͠ɽ

3. Brauer-Nesbitt ͷఆཧͱ Brandt ͷఆཧ͸ҰൠͷϒϩοΫͱෆ଍‫ʹ܈‬ରͯ͠΋੒ΓཱͭɽBelonogov ͷఆཧ͸ओϒϩοΫͷ৔߹͔͠ະͩʹ஌ΒΕ͍ͯͳ͍ɽ

4. ͨ ͱ ͑ ͹ (G, P ) = (C4 , C4 ), (V4 , V4 ), (D10 , C5 ) ͷ ͱ ͖ | Irr B0 (G)| = 4ɽ‫( ͱ ͩ ྫ ͳ ୺ ۃ‬G, P ) =(J3 , C5 ) ͷͱ͖΋ | Irr B0 (J3 )| = 4ɽ
5. ͨͱ͑͹ (G, P ) = (C5 , C5 ) ͷͱ͖ | Irr B0 (G)| = 5ɽࢀߟจ‫ݙ‬[1] J. Brandt, A lower bound for the number of irreducible characters in a block, J.
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11ITERATED INTEGRALS, MOTIVIC GALOIS GROUPS, ANDCYCLOTOMIC ASSOCIATORS޿੉ɹູʢ໊‫ݹ‬԰େֶʣ

1. Introduction1ަ୅తଟॏθʔλ஋ ͱ͸!
! m1 · · · ! md
1

d

kd
k1
0<m1 <···<md m1 · · · md

(ki ∈ Z≥1 , !i ∈ {±1}, (kd , !d ) "= (1, 1))(1.1)ͱ͍͏‫ܗ‬ͷແ‫Ͱ਺ڃݶ‬ఆٛ͞ΕΔ࣮਺Ͱ͋Δɽަ୅తଟॏθʔλ஋͸ϞνϰΟοΫަ୅తଟॏθʔλ஋ͱ‫ݺ‬͹ΕΔର৅ʹ্͕࣋ͪΓɼ͞ΒʹϞνϰΟοΫަ୅తଟॏθʔλ஋ͷ Q-ઢ‫ࣜ܎ؔܗ‬ͷߏ଄͸ Z[1/2] ্ͷࠞ߹ςΠτϞνʔϑͷϞνϰΟοΫ Galois‫܈‬ͷߏ଄ͱ௚઀తʹؔ܎͢Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽDrinfeld [4] ͸ [9] Ͱల։͞Εͨ
Grothendieck ͷΞΠσΞʹؔ࿈ͯ͠ Grothendieck-Teichmüller ‫ݺͱ܈‬͹ΕΔ୅਺‫܈‬Λಋೖ͠ɼ͞Βʹ Enriquez [5] ͸͜ΕΛҰൠԽͯ͠ԁ෼త Grothendieck-Teichmüller
‫܈‬Λಋೖͨ͠ɽຊߘͰ͸࣍ͷೋͭͷ݁Ռʹ͍ͭͯղઆ͢Δɽ• ϞνϰΟοΫަ୅తଟॏθʔλ஋ͷશઢ‫ͱࣜ܎ؔྲྀ߹͕ࣜ܎ؔܕ‬Α͹ΕΔ۩ମతͳؔ܎ࣜʹΑͬͯશͯ༩͑ΒΕΔ͜ͱɽ[12]• Z[1/2] ্ͷࠞ߹ςΠτϞνʔϑͷϞνϰΟοΫ Galois ‫͕܈‬Ϩϕϧ 2 ͷԁ෼తGrothendieck-Teichmüller ‫ͱ܈‬Ұக͢Δ͜ͱɽ[10]2. ଟॏ L ஋ʹ͍ͭͯଟॏθʔλ஋ͱ͸ਖ਼ͷ੔਺ k1 , . . . , kd Ͱ͋ͬͯ kd > 1 ͱͳΔ΋ͷʹରͯ͠ແ‫ݶ‬
‫਺ڃ‬
!
1
(2.1)
k1
m
·
· · mkdd
1
0<m1 <···<mdͰఆٛ͞ΕΔ࣮਺Ͱ ζ(k1 , . . . , kd ) ͱද‫͞ه‬ΕΔɽkd > 1 ͸ऩଋੑͷͨΊʹඞཁͱͳΔ৚݅Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱ k1 + · · · + kd ͸ॏ͞ͱ‫ݺ‬͹Ε d ͸ਂ͞ͱΑ͹ΕΔɽ·ͨଟॏL ஋͸ଟॏθʔλ஋ͷҰൠԽͰ͋Γɼਖ਼ͷ੔਺ N ʹର͠Ϩϕϧ N ͷଟॏ L ஋ͱ͸ɼਖ਼ͷ੔਺ k1 , . . . , kd ͱ 1 ͷ N ৐ࠜ !1 , . . . , !d Ͱ͋ͬͯɼ(kd , !d ) "= (1, 1) ͱͳΔ΋ͷʹରͯ͠ɼແ‫਺ڃݶ‬
md
1
!
!m
1 · · · !d
(2.2)
kd
k1
0<m1 <···<md m1 · · · mdͰఆٛ͞ΕΔ࣮਺Ͱ͋Δɽ·ͨɼϨϕϧ 2 ͷଟॏθʔλ஋͸ަ୅తଟॏθʔλ஋ͱ΋‫ݺ‬͹ΕΔɽଟॏ L ஋ͷද‫ํه‬๏͸จ‫ʹݙ‬ΑΓ༷ʑͰ͋Δ͕ɼຊߘͰ͸ (2.2) Λ"#!1 , . . . , ! dζ(2.3)
k 1 , . . . , kd

1ӳ‫ Ͱޠ‬alternating multiple zeta valueɽผ໊ͱͯ͠ɼEuler ࿨ (Euler sum)ɼϨϕϧ 2 ͷ৭෇͖ଟॏθʔλ஋ (colored multiple zeta value)ɼϨϕϧ 2 ͷଟॏ L ஋ (multiple L-value) ͳͲ͕͋Δɽͱද‫͢ه‬Δɽ͜ͷ৔߹΋ಉ༷ʹ k1 + · · · + kd ͸ॏ͞ɼd ͸ਂ͞ͱ‫ݺ‬͹ΕΔɽN ≥ 1 ʹ
ର͠ 1 ͷ N ৐ࠜશମΛ µN ͱ͢Δɽଟॏ L ஋͸൓෮ੵ෼‫߸ه‬I(0; a1 , . . . , ak ; 1) :=
Λ༻͍ͯ
"
!1 ,
ζ
k1 ,

...,
...,

!d
kd

#

$

k
%

dtj
0<t1 <···<tk <1 j=1 tj − aj

(2.4)

−1

= (−1)d I(0; (!1 · · · !d )−1 , {0}k1 −1 , . . . , !d , {0}kd −1 ; 0) (2.5)ͱද͞ΕΔ2ɽΑͬͯϨϕϧ N ͷଟॏ L ஋Λߟ͑Δ͜ͱ͸ɼ൓෮ੵ෼

I(0; a1 , . . . , ak ; 1)

(a1 , . . . , ak ∈ {0, µN }, a1 "= 0, ak "= 1)(2.6)

Λߟ͑Δ͜ͱͱຊ࣭తʹಉ͡Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱ൓෮ੵ෼͢Δඍ෼‫ࣜܗ‬dtt − aj(aj ∈ {0, µN })(2.7)

͸ P1 \ {0, µN , ∞} ্Ͱਖ਼ଇͳͷͰɼ͜ͷΑ͏ͳ൓෮ੵ෼͸ P1 \ {0, µN , ∞} ্ͷ൓෮ੵ෼ͱ΋‫ݺ‬͹ΕΔ3ɽ͜ͷ൓෮ੵ෼ද͔ࣔΒଟॏ L ஋͕ Kontsevich-Zagier[13] ͷҙຯͰͷप‫ظ‬ɼ͋Δ͍͸ΑΓ‫ ͘ڧ‬Z[µN , N −1 ] ্ͷࠞ߹ςΠτϞνʔϑͷप‫ͳͱظ‬Δ͜ͱ
͕෼͔Γɼଟॏ L ஋͕ॏཁͰ͋Δཧ༝ͷҰͭͱͳ͍ͬͯΔɽ·ͨ࣍ͷ༧૝͸ূ໌ࠔ
೉͕ͩ·ͣؒҧ͍ͳ͘ਖ਼͍͠Ͱ͋Ζ͏ͱ޿͘৴͡ΒΕ͍ͯΔɽ
༧૝ 1. ॏ͞ͷҟͳΔଟॏ L ஋ͷؒʹ͸ʢඇࣗ໌ͳʣQ-ઢ‫͕ࣜ܎ؔܗ‬ଘࡏ͠ͳ͍ɽ
͜͜Ͱɼଟॏ L ஋ͷ୅਺తऔΓѻ͍Λಋೖ͓ͯ͜͠͏ɽµN Λ 1 ͷ N ৐ࠜͷશମͱ͢Δɽ·ͣ

HN := Q&ez | z ∈ {0} ∪ µN ((2.8)

Λ N + 1 ‫ݸ‬ͷෆఆ‫Ͱݩ‬ੜ੒͞ΕΔඇՄ‫׵‬ଟ߲ࣜ‫͠ͱ؀‬ɼߋʹ෦෼ۭؒ H0N ⊂ HN Λ

H0N := Q ⊕∞&&k=1 a1 ,...,ak ∈{0}∪µN
a1 &=0,ak &=1

e a1 · · · e akͰఆΊΔɽ·ͨઢ‫ ૾ࣸܗ‬ZN : H0N → C Λ

ZN (ea1 · · · eak ) = I(0; a1 , . . . , ak ; 1)

(2.9)

ͰఆΊΔɽଟॏ L ஋ʹؔ͢Δ࠷΋‫ج‬ຊతͳ໰୊͸ଟॏ L ஋͕ͲͷΑ͏ͳ Q-ઢ‫܎ؔܗ‬ࣜΛຬ͔ͨ͢Ͱ͋Δɽ͜Ε͸ ker ZN Λܾఆ͢Δͱ͍͏໰୊ʹରԠ͢Δɽ͜ͷ໰୊ʹؔ࿈ͯ͠ ZN ͷ༷ʑͳ۩ମతͳ‫ߏ͕ݩ‬੒͞Ε͍ͯΔɽҰํ ker ZN Λ্͔Β཈͑Δͷ͸ແཧ਺࿦ʹؔΘΔ໰୊Ͱ͋Γ‫ۃ‬Ίͯࠔ೉Ͱ͋ΔɽͦͷͨΊɼΑΓ‫ے‬ͷྑ͍໰୊ఆࣜ
ԽͷͨΊʹ͸ଟॏ L ஋ͷ୅ΘΓʹୈ 4 અͰઆ໌͢ΔΑ͏ͳϞνϰΟοΫଟॏ L ஋Λ࢖༻͢Δͷ͕ద੾Ͱ͋ΔͱࢥΘΕΔɽ
2!

͖Δ

0<t1 <···<tk <t"kdtj
j=1 tj −ajͷ t ʹؔ͢Δႈ‫਺ڃ‬ల։Λ‫͠ࢉܭ‬ɼ࠷‫ ʹޙ‬t ʹ 1 Λ୅ೖ͢Ε͹ূ໌Ͱdt
3P1 \ {0, µ , ∞} ্ͷਖ਼ଇͳඍ෼‫ࣜܗ‬͸ଞʹ౳΋͋Δ͕ɼͦͷΑ͏ͳΑΓҰൠͷඍ෼‫ࣜܗ‬ͷ
N(t−a )2j൓෮ੵ෼஋΋΍͸Γଟॏ L ஋ͷઢ‫ܗ‬࿨Ͱද͞ΕΔɽ3. ߹ྲྀؔ܎ࣜ
3.1. ൓෮ੵ෼ͱඍ෼ެࣜ. ൓෮ੵ෼‫߸ه‬ΛΑΓҰൠతʹಋೖ͓ͯ͜͠͏ɽk ≥ 0 ͱ͠
ͯɼa0 , . . . , ak+1 Λ k + 2 ‫ݸ‬ͷෳૉ਺ͱ͢Δɽ·ͨ γ : (0, 1) → C \ {a1 , . . . , ak } Λ a0
͔Β ak+1 ΁ͷύεͱ͠ߋʹ a0 "= a1 , ak "= ak+1 ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖൓෮ੵ෼
$k%dγ(tj )Iγ (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) :=(3.1)
0<t1 <···<tk <1 j=1 γ(tj ) − aj͸ऩଋ͠ɼ͞Βʹ γ ͷ࿈ଓม‫ʹܗ‬ΑͬͯෆมͰ͋Δ͜ͱ͕෼͔ΔɽຊߘͰ͸ γ Λলུͨ͠৔߹͸ γ ͸௚ઢύεΛද͢΋ͷͱ͢ΔɽIγ (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) Λ a0 , . . . , ak+1
ͷؔ਺ͱΈͳͨ͠ͱ͖ɼIγ (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) ͷશඍ෼ʹ͍ͭͯ࣍ͷެ͕ࣜ஌ΒΕ͍ͯΔ [7, Theorem 2.1]ɽ
"#k!
aj − aj+1
dIγ (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) =Iγ (a0 ; a1 , . . . , a'j , . . . , ak ; ak+1 )d log.
aj − aj−1
j=1

(3.2)
·ͨԠ༻্͸ a0 , . . . , ak+1 ͕ผͷม਺ z1 , . . . , zn ͷ༗ཧࣜͰɼߋʹ
a
=
"
a
͕ඞͣ
j+1
(
)j
͠΋੒ཱ͠ͳ͍Α͏ͳ৔߹΋͋Δɽ͜ͷΑ͏ͳ৔߹ d log

aj −aj+1
aj −aj−1ͱ͸‫ݶ‬Βͳ͍ɽͦͷΑ͏ͳҰൠͷ৔߹ʹ͍ͭͯ͸શඍ෼͸*k! !
d log (aj − aj+r )rIγ (a0 ; a1 , . . . , a'j , . . . , ak ; ak+1 )0
j=1
r∈{±1}

͕ well-definedaj "= aj+r
aj = aj+r(3.3)

Ͱ༩͑ΒΕΔ [14, Lemma 3.3.30]ɽಛʹ p0 , . . . , pk+1 ͕ z ͷ༗ཧࣜͷͱ͖ɼk! ! r !
dIγ (p0 ; p1 , . . . , pk ; pk+1 ) =dzz − c j=1

(3.4)

r∈{±1} c∈CIγ (p0 ; p1 , . . . , p'j , . . . , pk ; pk+1 )ordz−c (pj − pj+r )ͱͳΔɽͨͩ͠ɼordz=c (0) = 0 ͱஔ͘ɽ͜͜Ͱ c ͷಈ͘ൣғ͸ෳૉ਺શମͱͳͬͯ
͍Δ͕ɼ࣮ࡍʹ͸ c ͕ aj − aj+r ͷྵ఺΋͘͠͸‫ͳͱۃ‬Δ৔߹ͷΈ࿨ʹ‫د‬༩͢ΔͷͰ(3.4) ͸࣮࣭తʹ༗‫ݶ‬࿨Ͱ͋Δɽ

3.2. ਖ਼‫ن‬Խ‫ͱݶۃ‬ਖ਼‫ن‬Խ͞Εͨ൓෮ੵ෼.
ఆٛ 2. a ∈ C ͱ͢Δɽؔ਺ f (z) ͷ z = a ͷपΓͰͷ‫ڍ‬ಈ͕f (a ± !) = c0 + c1 log(!) + · · · + cM logM (z) + O(! logM !)(3.5)

Reg f (z) := c0(3.6)

ͱͳΔͱ͖ɼਖ਼‫ن‬Խ‫ݶۃ‬Λ

z→a±0

Ͱఆٛ͢Δɽ
‫ݶۃ‬஋͕ଘࡏ͢Δͱ͖ɼͦΕ͸ਖ਼‫ن‬Խ‫ʹݶۃ‬Ұக͢Δɽ·ͨਖ਼‫ن‬Խ‫ݶۃ‬஋Λ༻͍
Δ͜ͱͰ a0 "= a1 ͱͳΔ৔߹΍ ak "= ak+1 ͱͳΔ৔߹ʹ΋൓෮ੵ෼ͷఆٛΛ֦ுͰ͖Δɽ
ఆٛ 3. a0 < ak+1 Λ࣮਺ɼa1 , . . . , ak Λ։۠ؒ (a0 , ak+1 ) ʹ‫·ؚ‬Εͳ͍ෳૉ਺ͱ͢
Δɽਖ਼‫ن‬Խ͞Εͨ൓෮ੵ෼ΛI reg (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) := Reg I(a0 + !; a1 , . . . , ak ; ak+1 − !)
"→+0

(3.7)

Ͱఆٛ͢ΔɽҎԼͰ͸ɼI reg (· · · ) Λ୯ʹ I(· · · ) ͱॻ͘ɽ3.3. Ұൠతͳ߹ྲྀؔ܎ࣜ. ඍ෼ํఔࣜ (3.4) Λ‫܁‬Γฦ͠࢖͏͜ͱͰɼ੒෼Λ z ͷ༗ཧؔ਺ͱ͢Δ൓෮ੵ෼͸ɼ੒෼Λఆ਺ͱ͢Δ 0 ͔Β z ·Ͱͷ൓෮ੵ෼ͷ C-ઢ‫ܗ‬࿨ʹల։Ͱ͖ΔɽΑΓਖ਼֬ʹ͸͕࣍੒ཱ͢Δɽ
໋୊ 4. a Λਖ਼ͷ࣮਺ɼp0 , . . . , pk+1 Λ z ͷ༗ཧࣜͱ͢Δɽp0 (z) "= p1 (z), pk (z) "=pk+1 (z) ͱԾఆ͢Δɽ·ͨ 0 < z < a ͷͱ͖ p0 (z) "= pk+1 (z) Ͱ͋Γɼ͞Βʹ 1 ≤ j ≤ kʹରͯ͠ pj (z) ͸ p0 (z) ͱ pk+1 (z) Λ݁Ϳดઢ෼্ʹଘࡏ͠ͳ͍ͱԾఆ͢Δɽ·ͨߋʹ 0 ≤ j1 < j2 ≤ k + 1 ͷͱ͖ pj1 − pj2 ͸ 0 Ͱ͋Δ͔΋͘͠͸ྵ఺ͱ‫͕ۃ‬։۠ؒ (0, a)(n)(n)ʹ‫·ؚ‬Εͳ͍ͱԾఆ͢Δɽ͜ͷͱ͖ v (n) ∈ C, l(n) ≥ 0, c1 , . . . , cl(n) ∈ C \ (0, a) ͕ଘ
ࡏͯ͠
!
(n)
(n)
I(p0 ; p1 , . . . , pk ; pk+1 ) =v (n) I(0; c1 , . . . , cl(n) ; z)(3.8)
n͕੒ཱ͢Δɽ

Proof. k ʹؔ͢Δ‫ؼ‬ೲ๏Ͱূ໌͢Δɽf (z) := I(p0 (z); p1 (z), . . . , pk (z); pk+1 (z)) ͱஔ͘ɽඍ෼ެࣜ (3.4) ΑΓk! !!
drordz−c (pj − pj+r )f (z) =
I(p0 ; p1 , . . . , p'j , . . . , pk ; pk+1 )
dz
z−c
j=1

(3.9)

r∈{±1} c∈CͱͳΔ͕ɼ‫ؼ‬ೲ๏ͷԾఆΑΓ֤ j = 1, . . . , r ʹରͯ͠
!
(j,n)
(j,n)
I(p0 ; p1 , . . . , p'j , . . . , pk ; pk+1 ) =v (j,n) I(0; c1 , . . . , cl(j,n) ; z)

(3.10)n(j,n)

ͱͳΔ v (j,n) ∈ C, l(j,n) ≥ 0, c1

g(z) =k! !!

r∈{±1} c∈C j=1(j,n), . . . , cl(j,n) ∈ C \ (0, a) ͕ଘࡏ͢Δɽ͜ͷͱ͖(j,n)

rordz−c (pj − pj+r )v (j,n) I(0; c1(j,n), . . . , cl(j,n) , c; z)(3.11)

ͱஔ͘ͱ

ΑΓ

d
1
(j,n)
(j,n)
(j,n)
(j,n)
I(0; c1 , . . . , cl(j,n) , c; z) =I(0; c1 , . . . , cl(j,n) ; z)
dz
z−c

d
d
f (z) =g(z)dzdz͕੒ཱ͢ΔɽΑͬͯ Regz→+0 g(z) = 0 ΑΓ"#f (z) = g(z) + Reg f (z) I(0; ; z)z→+0ͱͳΓࣔ͞Εͨɽ(3.12)(3.13)(3.14)!

ࣜ (3.8) Ͱ z = a Λ୅ೖ͢Δʢ΋͘͠͸ z = a Ͱൃࢄ͍ͯ͠Δ৔߹͸ਖ਼‫ن‬Խ‫ݶۃ‬Regz→a−0 Λߟ͑Δʣ͜ͱͰ൓෮ੵ෼ͷઢ‫͕ࣜ܎ؔܕ‬ಘΒΕΔɽ͜Ε͕Ұൠతͳ߹ྲྀ
ؔ܎ࣜͷΞΠσΞͰ͋Δɽ

3.4. ߹ྲྀؔ܎ࣜͷಛผͳ৔߹. લઅͰड़΂ͨҰൠతͳ߹ྲྀؔ܎ࣜͷಛผͳ৔߹ͱ͠
ͯ࣍ͷೋ͕ͭ͋Δɽ
• a = 1, p0 = 0, pk+1 = z, p1 , . . . , pk ∈ {0, 1, z} ͷͱ͖߹ྲྀؔ܎ࣜ͸ଟॏθʔλ஋ͷؔ܎ࣜΛ༩͑Δɽ[11]• a = 1, p0 = 0, pk+1 = z, p1 , . . . , pk ∈ {0, −1, z, −z 2 } ͷͱ͖߹ྲྀؔ܎ࣜ͸ަ୅తଟॏθʔλ஋ͷؔ܎ࣜΛ༩͑Δɽ[12]ຊߘͰ͸̍ͭΊͷؔ܎ࣜΛϨϕϧ 1 ͷ߹ྲྀؔ܎ࣜɼ̎ͭΊͷؔ܎ࣜΛϨϕϧ̎ͷ߹ྲྀؔ܎ࣜͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δɽ͜ΕΒͷؔ܎ࣜΛ (ަ୅త) ଟॏθʔλ஋ͷؔ܎ࣜͱͯ͠
‫׬‬શʹఆࣜԽ͢Δʹ͸ɼਖ਼‫ن‬Խ‫ݶۃ‬ΛͲͷΑ͏ʹ (ަ୅త) ଟॏθʔλ஋ͱΈͳ͔͢
ࢦఆ͢Δඞཁ͕͋Δ͕ɼຊߘͰ͸ͦͷৄࡉ͸লུ͢ΔɽϨϕϧ 1 ͷ߹ྲྀؔ܎͓ࣜΑͼϨϕϧ 2 ͷ߹ྲྀؔ܎ࣜ͸ͦΕͧΕଟॏθʔλ஋ͱަ୅తଟॏθʔλ஋ͷશͯͷ Q-ઢ
‫ࣜ܎ؔܕ‬Λਚ͘͢͜ͱ͕‫ظ‬଴͞ΕΔɽ·ͨɼϨϕϧ 1 ͷ߹ྲྀؔ܎ࣜ͸ΞιγΤʔλؔ܎ࣜͱಉ஋ʹͳΔ͜ͱ͕‫ݹ‬ঙ [6] ʹΑͬͯࣔ͞Ε͍ͯΔɽϨϕϧ 2 ͷ߹ྲྀؔ܎ࣜશମ
͔Βੜ੒͞ΕΔ H02 ͷ෦෼ۭؒΛ ICF ⊂ H02 Ͱද͢͜ͱʹ͢Δɽ

4. ϞνϰΟοΫଟॏ L ஋ʹ͍ͭͯ
4.1. ࠞ߹ςΠτϞνʔϑͷ‫͍ͯͭʹݍ‬. ମ F ʹରͯ͠ VectF Λ F -ϕΫτϧۭؒͷ‫ݍ‬ͱ͢ΔɽҎԼͰ͸୅਺ମ͸શͯ C ͷ෦෼ମͱΈͳ͢ɽ࣍ͷࣄ࣮͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ
• ୅਺ମ K ʹର͠ɼQ-ઢ‫୶ܕ‬த‫ ݍ‬MT(K) ͕ఆ·Δɽ• ೋछྨͷϑΝΠʔόʔؔख ω, ωB : MT(K) → VectQ ͕͋Δɽ• ෦෼ Q-ϕΫτϧۭؒ Γ ⊂ K × ⊗Z Q ʹର͠ɼ෦෼୶த‫ ݍ‬MTΓ ⊂ MT(K) ͕
ఆ·Δɽ
MT(K) ͸ K ্ͷࠞ߹ςΠτϞνʔϑͷ‫ݺͱݍ‬͹ΕΔɽ·ͨ ω ͸ඪ४ϑΝΠόʔؔखɼ
ωB ͸ Betti ࣮‫ؔݱ‬खͱ‫ݺ‬͹ΕΔɽ͞Βʹ K ͷ੔਺‫ ؀‬OK Λ‫ؚ‬ΉΑ͏ͳ K ͷ෦෼‫ ؀‬Rʹରͯ͠ MTR× ⊗Z Q Λ R ্ͷࠞ߹ςΠτϞνʔϑͷ‫ͼݺͱݍ‬ɼMT(R) ͱද‫͢ه‬Δɽ⊗୶த‫ݍ‬ͷҰൠ࿦ΑΓɼQ-୅਺ѥ‫ ܈‬Isom⊗
MT(R) (ω, ωB ) ͕ఆ·ΔɽIsomMT(R) (ω, ωB ) ͷؔ਺‫؀‬Λ HR Ͱද͢ɽHR ͸ MT(R) ͷޮՌతϞνϰΟοΫप‫ݺͱ؀ظ‬͹ΕΔɽHR+∞
͸࣍਺෇͖‫؀‬ͷߏ଄Λ࣋ͭɼͭ·Γ HR = k=0 HR,k ͱ෼ղ͢Δɽ·ͨप‫ͱ૾ࣸظ‬‫ݺ‬͹ΕΔ‫؀‬४ಉ‫ ܕ‬ρ : HR → C ͕͋Γɼρ ͸୯ࣹͰ͋Δͱ༧૝͞Ε͍ͯΔɽ͞ΒʹϞνϰΟοΫ 2πi ͱ‫ݺ‬͹ΕΔಛघͳ‫ ݩ‬µ ∈ HR,1 ͕ଘࡏ͠ɼ͞Βʹ ρ(µ) = 2πi ͕੒Γཱ
ͭɽ·ͨ৒༨‫ ؀‬HR /µHR ͸ Hopf ୅਺ͷߏ଄Λ΋ͪɼ͞Βʹ HR ͸ HR /µHR ༨Ճ‫܈‬ͷߏ଄Λ࣋ͭɽͭ·Γ༨ੵ∆ : HR → HR /µHR ⊗ HR

(4.1)

σ m : HR → H R(4.2)

ͷߏ଄Λ࣋ͭɽ·ͨ σ : C → C Λෳૉ‫ڞ‬໾ࣸ૾ͱ͢Δͱ͖ɼಉ‫૾ࣸܕ‬m͕ଘࡏ͠ɼσ ◦ σ

m

m

m

= id, σ (µ) = −µ, ρ ◦ σ = σ ◦ ρ ͕੒Γཱͭɽ

4.2. ϞνϰΟοΫଟॏ L ஋ͱओఆཧ. K Λ୅਺ମɼa0 , . . . , ak+1 ∈ K ͱ͠ɼγ Λ a0
͔Β ak+1 ΁ͷ C \ {a1 , . . . , ak } ্ͷύεͱ͢Δɽ͞Βʹ a0 "= a1 , ak "= ak+1 ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ϞνϰΟοΫ൓෮ੵ෼Iγm (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) ∈ HK,k(4.3)

ρ(Iγm (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 )) = Iγ (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 )(4.4)

͕ఆٛ͞Εɼ͞Βʹ͕੒ཱ͢Δɽ·ͨ γ ͷෳૉ‫ڞ‬໾Λ γ̄ ͱ͢Δͱ͖ɹσ m (Iγm (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 )) = Iγ̄m (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 )(4.5)

ͱͳΔɽ·ͨ OK ⊂ R ⊂ K Ͱ೚ҙͷ 0 ≤ i, j ≤ k + 1 ʹରͯ͠ ai − aj ∈ {0} ∪ R×͕੒Γཱͭͱ͖
Iγm (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) ∈ HR,k
(4.6),∞
ͱͳΔɽҎԼɼHZ[µN ,N −1 ] Λ୯ʹ HN = k=0 HN,k ͱॻ͘͜ͱʹ͢Δɽ(4.6) ͷಛผͳ৔߹ͱͯ͠ɼa0 , . . . , ak+1 ∈ {0, µN } ͷͱ͖Iγm (a0 ; a1 , . . . , ak ; ak+1 ) ∈ HN,kͱͳΔɽϨϕϧ N ͷϞνϰΟοΫଟॏ L ஋͸"#
!1 , . . . , ! dmζ=k1 , . . . , k d

(4.7)

−1

(−1)d I m (0; (!1 · · · !d )−1 , {0}k1 −1 , . . . , !d , {0}kd −1 ; 1) ∈ HN,k1 +···+kdmͰఆٛ͞ΕΔɽ͞Βʹઢ‫ ૾ࣸܗ‬ZN: H0N → HN Λ

ZN (ea1 · · · eak ) := I m (0; ea1 · · · eak ; 1)

(4.8)

m
ͰఆΊΔɽ͜ͷͱ͖ ZN = ρ ◦ ZN
͕੒ཱ͢Δɽ࣍͸ຊߘͷҰͭ໨ͷओఆཧͰ͋Δɽ

ఆཧ 5 ([12]). ϞνϰΟοΫަ୅తଟॏθʔλ஋ͷઢ‫ࣜ܎ؔܕ‬͸Ϩϕϧ 2 ͷ߹ྲྀؔ܎ࣜͰਚ͘͞ΕΔɽͭ·Γ
ker Z2m = ICF .
(4.9)
ূ໌ͷେ·͔ͳํ਑ʹ͍ͭͯड़΂͓ͯ͜͏ɽICF ⊂ ker Z2m ͕੒Γཱͭ͜ͱ͸ɼΑΓҰൠʹ߹ྲྀؔ܎͕ࣜϞνϰΟοΫ൓෮ੵ෼ʹ͍ͭͯ΋੒Γཱͭ͜ͱ͔Β෼͔ΔɽH02
ͷ࣍਺ k ෦෼Λ H02,k Ͱද͢͜ͱʹ͢ΔɽICF ͓Αͼ ker Z2m ͸֤࣍਺͝ͱʹ෼ղ͢
Δɼͭ·Γ

ICF =

∞
&
k=0

ker Z2m =∞&k=0ͱͳΔͷͰɼ

(ICF ∩ H02,k )(ker Z2m ∩ H02,k )ICF ∩ H02,k = ker Z2m ∩ H02,k(4.10)

dimQ (ICF ∩ H02,k ) ≥ dimQ (ker Z2m ∩ H02,k )(4.11)

Λࣔͤ͹Α͍ɽ͞Βʹ ICF ⊂ ker Z2m ͕‫ʹط‬෼͔͍ͬͯΔͷͰrealΛࣔͤ͹Α͍ɽ·ͨ H2,k ͷ σ m ෆมͳ෦෼Λ H2,k
⊂ H2,k Ͱද͢͜ͱʹ͢Δͱɼ
Deligne ʹΑΓreal
Z2m : H02,k → H2,k(4.12)realͷશࣹੑ͕ࣔ͞Ε͓ͯΓɼ͞ΒʹϞνϰΟοΫप‫؀ظ‬ͷߏ଄ఆཧΑΓ dimQ H2,k͸
k + 1 ൪໨ͷ Fibonacci ਺ Fk+1 ͱҰக͢Δ (F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, . . . )ɽΑͬͯ
(4.11) ͸dimQ H02,k /(ICF ∩ H02,k ) ≤ Fk+1
(4.13)

ͱಉ஋Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱ k ≥ 1 ʹର͠I(k) := {(k1 , . . . , kd ) ∈ (Z \ {0})d | d ≥ 0,!
i

|ki | = k, kd "= 1}

ID (k) := {(k1 , . . . , kd ) ∈ I(k) | k1 , . . . , kd−1 > 0, kd < 0, k2 ≡ · · · ≡ kd ≡ 1 (mod 2)}ͱஔ͖ɼߋʹ w : I(k) → H02,k Λ|k |−1w(k1 , . . . , kd ) := (−2)d e"1 e0 1

|k |−1|k |−1e "2 e 0 2· · · e "d e 0 d

H02,k =&

ͰఆΊΔɽ͜ͷͱ͖(!d+1 = 1, !i = !i+1 ·sgn(ki ))(4.14)(4.15)w(k)k∈I(k)

Ͱ͋Γߋʹ #ID (k) = Fk+1 Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱ֤ k ∈ I(k) \ ID (k) ʹରͯ͠ɼ͋Δ۩ମ
తͳ߹ྲྀؔ܎ࣜ f (k) ∈ ICF ∩ H02,k Λ͏·͘બΜͰ‫͢ࢉܭ‬Δͱ
!
f (k) =
ck,k# w(k* )(4.16)
k# ∈ID (k)ͱஔ͍ͨͱ͖ͷ܎਺ ck,k# ͔Β࡞ΒΕΔߦྻ C = (ck,k# )k,k# ∈I(k)\ID (k) ͕୯ࡾ֯ߦྻ4ʹ
2 Λ๏ͱͯ͠߹ಉͱͳΔɽf (k) ∈ ICF ΑΓɹ C * = (ck,k# )k∈I(k)\ID (k),k# ∈ID (k) ͱஔ͘ͱ** +C · (w(k))+
k∈I(k)\ID (k) + C · (w(k ))k# ∈ID (k) ≡ 0 (mod ICF )(4.17)

ͱͳΔɽ͞Βʹ C ͸Մ‫ͳͱྻߦٯ‬ΔͷͰ݁‫ہ‬−1 *(w(k))+C · (w(k* ))+k∈I(k)\ID (k) = −C
k# ∈ID (k)ͱͳΓɼ೚ҙͷ k ∈ I(k) \ I (k) ʹର͠ɼ(mod ICF )(4.18)

Dw(k) ∈ ICF +&Qw(k* )

(4.19)

k# ∈ID (k)ͱͳΔ͜ͱ͕෼͔ΔɽΑͬͯdimQ H02,k /(ICF ∩ H02,k ) ≤ #ID (k) = Fk+1

(4.20)

ͱͳΓෆ౳ࣜ (4.13)ɼͭ·Γఆཧ 5 ͕ࣔ͞Εͨɽ·্ͨͷٞ࿦Λਫ਼ີԽ͢Δ͜ͱͰ࣍ͷ݁ՌΛಘΔ͜ͱ΋ग़དྷΔɽ
ఆཧ 6 ([12]). ೚ҙͷ k ∈ I(k) ʹର͠ɼZ2m (w(k)) ͸ {Z2m (w(k* )) | k* ∈ ID (k)} ͷZ(2) = {p/q ∈ Q | q ≡ 1 (mod 2)} ܎਺ઢ‫ܕ‬࿨ͱͳΔɽ্ͷఆཧͰॏཁͳͷ͸ Z(2) -܎਺ઢ‫ܗ‬࿨ͱͳΔ఺ʹ͋ΓɼQ-܎਺ઢ‫ܗ‬࿨ͱͳΔ͜ͱ͸ [2][3] ͱಉ༷ͷٞ࿦Ͱ΋ূ໌ՄೳͰ͋Δɽఆཧ 6 ͷϨϕϧ 1 ྨࣅͱͯ࣍͠ͷ༧૝Λड़΂͓͖͍ͯͨɽ
༧૝ 7. શͯͷϞνϰΟοΫଟॏθʔλ஋ ζ m (k) ͸ Hoffman ‫ج‬ఈ {ζ m (k1 , . . . , kd ) |k1 , . . . , kd ∈ {2, 3}} ͷ Z(2) -܎਺ઢ‫ܗ‬࿨ͱͳΔɽ͜Ε͸ Brown ʹΑΔ࣍ͷఆཧͷਫ਼ີԽͰ͋Δɽ

ఆཧ 8 (Brown [2]). શͯͷϞνϰΟοΫଟॏθʔλ஋ ζ m (k) ͸ Hoffman ‫ج‬ఈ {ζ m (k1 , . . . , kd ) |k1 , . . . , kd ∈ {2, 3}} ͷ Q-܎਺ઢ‫ܗ‬࿨ͱͳΔɽ
4ର֯੒෼͕શͯ 1 ͱͳΔࡾ֯ߦྻͷ͜ͱɽͨͩ͠ɼ͜͜Ͱ͸ I(k) \ ID (k) ʹԿ͔͠Β౎߹ͷྑ͍ॱংΛೖΕͨͱ͖ʹࡾ֯ߦྻͱͳΔ΋ͷͱ͢Δɽ5. ϞνϰΟοΫ Galois ‫܈‬ͷ‫ج‬ຊ‫΁܈‬ͷ࡞༻ͱͷؔ܎ϞνϰΟοΫଟॏ L ஋ͷؔ܎ࣜ ker ZN ͸ Galois ‫܈‬ͷ‫ج‬ຊ‫΁܈‬ͷ࡞༻Λௐ΂Δ
Grothendieck-Teichmüller ཧ࿦ͱਂؔ͘܎͢ΔɽGrothendieck-Teichmüller ཧ࿦ʹ͸
ઈର Galois ‫܈‬൛ͱϞνϰΟοΫ Galois ‫܈‬൛͕ߟ͑ΒΕΔɽker ZN ͱ௚઀ؔ܎͢Δ
ͷ͸‫͋Ͱऀޙ‬Δ͕ɼલऀʹؔͯ͠஌ΒΕ͍ͯΔ݁Ռʹ͍ͭͯ΋৮Ε͓ͯ͜͏ɽ·ͣQ ͷઈର Galois ‫ ܈‬Gal(Q̄/Q) ͸Τλʔϧ‫ج‬ຊ‫܈‬ͷҰൠ࿦ΑΓ P1 (Q̄) \ {0, 1, ∞} ͷΤλʔϧ‫ج‬ຊ‫͢༻࡞ʹ܈‬Δɽ·ͨൺֱఆཧΑΓ P1 (Q̄) \ {0, 1, ∞} ͷΤλʔϧ‫ج‬ຊ‫܈‬͸ P1 (C̄) \ {0, 1, ∞} ͷҐ૬త‫ج‬ຊ‫܈‬ͷ෭༗‫׬ݶ‬උԽɼͭ·ΓϥϯΫ 2 ͷࣗ༝‫܈‬ͷ෭༗‫׬ݶ‬උԽͱಉҰࢹͰ͖Δɽ͜ͷઈର Galois ‫܈‬ͷ࡞༻͸஧࣮Ͱ͋Δ͜ͱ͕ Belyi[1]ʹΑͬͯࣔ͞Ε͍ͯΔɽΑͬͯ Gal(Q̄/Q) ͸ϥϯΫ 2 ͷࣗ༝‫܈‬ͷ෭༗‫׬ݶ‬උԽͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫͏͍ͱ܈ܕ‬૊Έ߹Θͤ࿦తͳର৅ʹຒΊࠐ·ΕΔ͜ͱʹͳΔɽຒΊࠐΈͷ૾Λۙࣅ͢Δ΋ͷͱͯ͠ GT ͱ‫ݺ‬͹ΕΔ‫͕͋܈‬ΓɼGal(Q̄/Q) ⊂ GT ͕஌ΒΕ͍ͯΔ͕ɼ
Gal(Q̄/Q) = GT ͔Ͳ͏͔͸ະղܾͰ͋Δɽ
Ұํɼઈର Galois ‫܈‬ͷྨࣅ෺ͱͯ͠୶த‫ݍ‬ͷҰൠ࿦ʹΑΓఆٛ͞ΕΔ Q-୅਺‫܈‬G(R) := Aut⊗
MT(R) (ω) ͕͋ΔɽG(R) ͸ R ্ͷࠞ߹ςΠτϞνʔϑͷϞνϰΟοΫ
Galois ‫ݺͱ܈‬͹ΕΔɽG(R) ͸൒௚ੵ U (R) ! Gm ͱͳ͍ͬͯΔɽQ ͷઈର Galos ‫܈‬͕ P1 \ {0, ∞, 1} ͷ‫ج‬ຊ‫͢༻࡞ʹ܈‬Δͷͱಉ༷ʹɼU (Z) ͸ P1 \ {0, ∞, 1} ͷϞνϰΟο
Ϋ‫ج‬ຊ‫ ܈‬Spec((H1 , )) ʹ࡞༻͢Δɽ͜ΕΛϨϕϧ N ʹҰൠԽ͢Δ͜ͱ΋ՄೳͰ͋Δɽͭ·ΓɼN ≥ 1 ʹରͯ͠ɼU (Z[µN , N −1 ]) ͸ P1 \ {0, ∞, µN } ͷϞνϰΟοΫ‫ج‬ຊ‫ ܈‬Spec((HN , )) ʹ࡞༻͢Δɽ

U (Z[µN , N −1 ]) " Spec((HN ,

)).

(5.1)

ͯ͞ɼ࣍਺ 1 Ҏ্ͷ෦෼Λશͯ 0 ʹૹΔΑ͏ͳ (HN , ) ͔Β Q ΁ͷ‫؀‬४ಉ‫͕͋ܕ‬Δ͕ɼ͜ΕʹରԠ͢Δ Spec((HN , )) ͷ Q-༗ཧ఺Λ 1 Ͱද͢ɽG(Z[µN , N −1 ]) ͷSpec((HN , )) ΁ͷ࡞༻͸ 1 ͷߦ͖ઌͰ‫׬‬શʹܾఆ͞ΕΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽΑͬͯ Galois ࡞༻ (5.1) ͸ Q-ΞϑΟϯεΩʔϜͷࣹ

U (Z[µN , N −1 ]) → Spec((HN ,)) ; g 1→ g · 1ʹΑͬͯ‫׬‬શʹܾఆ͞ΕΔɽ·ͨ AN := O(U (Z[µN , Nͯඪ४తʹಉ‫͋Ͱܕ‬Γɼߋʹࣹ (5.2) ͷ૒ର

−1])) ͸ HN /µHN ͱ‫͠ͱ؀‬

HN → A N

͸߹੒ࣸ૾

Z m,

mod µ

HN −−N−→ HN −−−−→ ANm,Ͱ༩͑ΒΕΔɽͨͩ͠ɼZN
͸
m,
ZN
(ek0

el1

(5.2)

m
u) = δk,0 δl,0 ZN(u) (k, l ∈ Z≥0 , u ∈ H0N )

(5.3)
(5.4)
(5.5)

Ͱಛ௃෇͚ΒΕΔ Q-ઢ‫͋Ͱ૾ࣸܗ‬ΔɽΑͬͯɼϞνϰΟοΫ Galois ‫܈‬ͷ࡞༻ (5.1)
m,Λௐ΂Δ͜ͱ͸ɼ߹੒ࣸ૾ (mod µ) ◦ ZN
Λௐ΂Δ͜ͱͱಉ஋Ͱ͋Δͱ‫ͯͬݴ‬΋ա‫Ͱݴ‬͸ͳ͍ɽྫ͑͹࡞༻ (5.1) ͕஧࣮Ͱ͋Δ͜ͱΛ‫؀‬४ಉ‫( ܕ‬5.3) ͷશࣹੑͱͯ͠ఆ
ٛ͢Δͷ͸ࣗવͰ͋Ζ͏ɽ͜Εʹ͍ͭͯ N = 1 ͷ৔߹͸ Brown [2] ʹΑͬͯɼ·ͨN = 2, 3, 4, 8 ͷ৔߹͸ Deligne [3] ʹΑͬͯ (5.3) ͷશࣹੑ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔɽ͜Ε͸લड़ͷ Belyi ͷ݁ՌͷྨࣅͰ͋ΔɽҰํɼN ͕ 5 Ҏ্ͷૉ਺ͷ৔߹͸ (5.3) ͸શࣹͰͳ͍͜ͱ͕ Goncharov[8] ʹΑͬͯࣔ͞Ε͍ͯΔɽ·ͨɼ(5.3) ͕શࣹͱͳΔͱ͖ɼ
U (Z) ͸ Spec((H1 , )) ʹด෦෼εΩʔϜͱͯ͠ຒΊࠐ·ΕΔ͕ɼͦͷఆٛΠσΞϧ͸ ker(HN → AN )ɼͭ·ΓϞνϰΟοΫଟॏ L ஋ modulo µ ͷઢ‫ࣜ܎ؔܗ‬શମͱͳΔɽΑͬͯϞνϰΟοΫ Galois ‫܈‬ͷ Grothendieck-Teichmüller ཧ࿦ʹͱͬͯɼϞνϰΟοΫଟॏ L ஋ͷ Q-ઢ‫ࣜ܎ؔܕ‬͸ຊ࣭తͰ͋Δɽͦͯ͠ɼSpec((HN , )) ͷด෦෼εΩʔϜͱͯ͠ͷ U (Z) Λۙࣅ͢Δ΋ͷͷҰ͕ͭ࣍અͰ঺հ͢Δԁ෼త GrothendieckTeichmüller ‫͋Ͱ܈‬Δɽ

6. ԁ෼త Grothendieck-Teichmüller ‫܈‬
6.1. Grothendieck-Teichmüller ‫܈‬. ts Λ tij (1 ≤ i, j ≤ s, i "= j) Λੜ੒‫͠ͱݩ‬ɼؔ܎ࣜ
tij = tji , [tij , tik + tjk ] = 0, [tij , tkl ] = 0(6.1)(ͨͩ͠ɼi, j, k, l ͸૬ҟͳΔ 1 Ҏ্ s ҎԼͷ੔਺) ͰׂͬͯಘΒΕΔ࣍਺෇͖ Lie ‫؀‬ɼt's Λͦͷ‫׬‬උԽͱ͢Δɽ·ͨ U ts Λීวแབྷ‫؀‬ɼUts Λͦͷ‫׬‬උԽͱ͢Δɽ͞Βʹႈ‫ ਺ڃ‬g(X0 , X1 ) ͓Αͼ {1, 2, 3, 4} ͷ‫ަʹ͍ޓ‬ΘΒͳ͍෦෼ू߹ S1 , S2 , S3 ʹରͯ͠
!
!
tij ,
(6.2)
g S1 ,S2 ,S3 = g(tjk ) ∈ ts
i∈S1 ,j∈S2

j∈S2 ,k∈S3ͱஔ͘ɽఆٛ 9 (Grothendieck-Teichmüller ‫܈‬, [4]). Q-εΩʔϜ GRT1 ΛɼՄ‫ ׵‬Q-୅਺ R ʹ
ରͯ͠ R-༗ཧ఺ͷू߹ GRT1 (R) ΛҎԼͷ৚݅Λຬͨ͢ g(X0 , X1 ) ∈ R&&X0 , X1 ((ͷू߹ͱ͢Δ͜ͱͰఆΊΔɽ• g ͸‫܈‬త (⇔g ∈ exp(t's )⇔∆(g) = g ⊗ g⇔g ͷ܎਺͸γϟοϑϧؔ܎ࣜΛຬͨ͢)ɽ
• g 1,2,34 g 12,3,4 = g 2,3,4 g 1,23,4 g 1,2,3• g ͷ X0 X1 ͷ܎਺͸ 0͜ͷͱ͖ U (Z) ͸ GRT1 ͷด෦෼εΩʔϜͱͳΔɽ਺஋‫ࢉܭ‬ͷ݁Ռ౳͔Β΋ U (Z) =GRT1 Ͱ͋Ζ͏ͱ༧૝͞ΕΔ͕ະղܾͰ͋Δɽ

6.2. ԁ෼త Grothendieck-Teichmüller ‫ͱ܈‬ओఆཧ. ts,N Λ
t1i (2 ≤ i ≤ s), t(a)ij (i "= j, 2 ≤ i, j ≤ s, a ∈ Z/N Z)(6.3)

Λੜ੒‫͠ͱݩ‬ɼؔ܎ࣜt(a)ij = t(−a)ji , [t(a)ij , t(a + b)ik + t(b)jk ] = 0, [t1i , t(a)jk ] = 0, [t(a)ij , t(b)kl ] = 0




!
!
t1i , t1j +t(c)ij  = 0, t(a)ij , t1i + t1j +t(c)ij  = 0c∈Z/N Zc∈Z/N Zʢͨͩ͠ a, b ∈ Z/N Z Ͱ i, j, k, l ͸૬ҟͳΔ 2 Ҏ্ s ҎԼͷ੔਺ʣͰׂͬͯಘΒΕΔ࣍
#਺෇͖ Lie ‫؀‬ɼts,N Λͦͷ‫׬‬උԽͱ͢Δɽ·ͨ U ts,N Λීวแབྷ‫؀‬ɼU ts,N Λͦͷ‫׬‬උԽͱ͢Δɽ͞Βʹႈ‫ ਺ڃ‬h(X0 , Xζ 0 , . . . , Xζ N −1 ) ∈ Q&&X0 , Xζ 0 , . . . , Xζ N −1 (( ͓Αͼ {1, 2, 3, 4} ͷ‫ަʹ͍ޓ‬ΘΒͳ͍෦෼ू߹ S1 , S2 , S3 Ͱ 1 ∈ S1 ͱͳΔ΋ͷʹରͯ͠

 ! 1jhS1 ,S2 ,S3 = h 
t +

j∈S2

!

i∈S2 ,j∈S3!

!

i∈S1 \{1},j∈S2 a∈Z/N Z

t(0)ij , . . . ,!

i∈S2 ,j∈S3t(a)ij +!

!

i,j∈S2 a∈Z/N Z
j<j #



t(N − 1)ij  ∈ ts,Nt(a)ij ,ͱஔ͘ɽ·ͨႈ‫ ਺ڃ‬g(X0 , X1 ) ͓Αͼ {2, 3, 4} ͷ‫ަʹ͍ޓ‬ΘΒͳ͍෦෼ू߹ S1 , S2 , S3
ʹରͯ͠!
!
g S1 ,S2 ,S3 = g(t(0)ij ,t(0)ij ) ∈ ts,N
(6.4)
i∈S1 ,j∈S2

i∈S2 ,j∈S3

ͱஔ͘ɽ·ͨ

δ : Q&&X0 , Xζ 0 , . . . , Xζ N −1 (( → Q&&X0 , X1 (((6.5)
Λ h(X0 , Xζ 0 , . . . , Xζ N −1 ) 1→ h(X0 , X1 , 0, . . . , 0) ͰఆΊΔɽ·ͨ R&&X0 , Xζ 0 , . . . , Xζ N −1 ((ͷࣗ‫ݾ‬ಉ‫ ܕ‬σ ͓Αͼ τs (s ∈ µN ) Λ*+−X0 − c∈µN Xc if a = 0
τs (Xa ) = Xsa , σ(Xa ) =
(6.6)
Xa−1
if a ∈ µNͰఆΊΔɽఆٛ 10 (ԁ෼త Grothendieck-Teichmüller ‫܈‬, [5]). Q-εΩʔϜ GRTM1 (N ) ΛɼՄ‫ ׵‬Q-୅਺ R ʹରͯ͠ R-༗ཧ఺ͷू߹ GRTM1 (N, R) ΛҎԼͷ৚݅Λຬͨ͢h(X0 , Xζ 0 , . . . , Xζ N −1 ) ∈ R&&X0 , Xζ 0 , . . . , Xζ N −1 (( ͷू߹ͱ͢Δ͜ͱͰఆΊΔɽ• h ͸‫܈‬తɽ• g := δ(h) ∈ GRT1 (R).
• h1,2,34 h12,3,4 = g 2,3,4 h1,23,4 h1,2,3 .
−1• τζ (h)−1
h = 1.
+τζ (σ(h))σ(h)+−1• X0 + c∈µN τc (h) Xc τc (h) + h−1 σ(h)(−X0 − c∈µN Xc )σ(h)−1 h = 0.

GRTM1 (1) = GRT1 Ͱ͋Δɽ·ͨ GRTM1 (N ) ͸ࣗવͳํ๏Ͱ Spec((HN , ))ͷด෦෼εΩʔϜͱΈͳ͢͜ͱ͕ग़དྷΔɽલड़ͨ͠௨ΓɼN = 1, 2, 3, 4, 8 ʹରͯ͠ϞνϰΟοΫ Galois ‫ ܈‬U (Z[µN , N −1 ]) ͸ Spec((HN , )) ͷด෦෼εΩʔϜͱͳΔɽ࣍͸ຊߘͷೋͭ໨ͷओఆཧͰ͋Δɽ
ఆཧ 11 ([10]). Spec((H2 ,)) ͷด෦෼εΩʔϜͱͯ͠ɼU (Z[1/2]) = GRTM1 (2)ɽূ໌͸ఆཧ 5 ʹ͘Θ͑ɼԁ෼త Grothendieck-Teichmüller ‫܈‬ͷؔ܎͔ࣜΒϨϕϧ
2 ͷ߹ྲྀؔ܎ࣜΛಋग़͢Δ͜ͱͰࣔ͞ΕΔɽ

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preparation.

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[14] E. Panzer, Feynman integrals and hyperlogarithms, PhD thesis, Humboldt-Universität zu
Berlin, 2014; arXiv:1506.07243 [math-ph].

三角群に関する Rademacher 記号とモジュラー結び目
松坂俊輝（名古屋大学高等研究院）

目次

1 Rademacher 記号
1.1 小史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 群論的な特徴付け . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 三角群の場合への拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3
6

2 三角群に関する保型形式
72.1 モックモジュラー形式を用いた ∆p,q (z) の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 サイクル積分を用いた Rademacher 記号 ψp,q (γ) の表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 モジュラー結び目の絡み数
12
3.1 Ghys の結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 (p, q)-トーラス結び目への拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

序文

主題となるのは，Rademacher 記号と呼ばれる関数 ψ : SL2 (Z) → Z である．これは Dedekind の研究に由来する古典的な対象であるが，今なお古びることなく活発な研究が続けられている．本記事では，三角群 Γp,q に関する Rademacher 記号 ψp,q : Γp,q → Z を導入し，次に記すように，5 種類の異なる特徴付
けができることを説明する．

1. Eq.(1.5)：2-コサイクルによる特徴付け，2pqW (γ1 , γ2 ) = ψp,q (γ1 γ2 ) − ψp,q (γ1 ) − ψp,q (γ2 ).
! p,q → Z による表示，ψp,q (γ) = χp,q (!
2. Theorem 1.10：準同型写像 χp,q : Γγ ).

3. Eq.(2.6)：カスプ形式による特徴付け，log ∆p,q (γz) − log ∆p,q (z) = 2pq log j(γ, z) + 2πiψp,q (γ).
"(p,q),∗
4. Theorem 2.11：調和 Maass 形式のサイクル積分による表示，
E2(z)dz = ψp,q (γ)/rSγ

5. Theorem 3.6：モジュラー結び目の絡み数による表示，lk(Cγ , K p,q ) = ψp,q (γ)/r.

本稿は 2021 年 9 月 3 日代数学シンポジウムにて行われた講演 “Triangle modular knots and Rademacher
symbols” および東京電機大学の植木潤氏との共同研究 [30] に基づくものである．またこの共同研究は
JSPS 科研費 JP20K14292 および JP19K14538 の助成を受けたものである．

1

記号について# $本稿を通して用いる記号を以下にまとめておく．群 SL2 (R) は一次分数変換 ac db · z = az+b
によって上# acz+d$b
半平面 H = {z ∈ C | Im(z) > 0} に作用する．また保型因子 j : SL2 (R) × H → C を j( c d , z) = cz + d
によって定める．また z ∈ H と実数 λ > 0 に対し，q = e2πiz ，qλ = e2πiz/λ とおく．Section 1.3 以降，
2 ≤ p < q を満たす互いに素な整数の組 (p, q) を一つ固定し，r = pq − p − q とおいている．

1
1.1

Rademacher 記号
小史

Rademacher 記号の原型を最初に考えたのは Dedekind で，1892 年の論文 [13] がある．ここでは Rademacher
によるモノグラフ [38] を参考にして，いくつかの仕事を紹介したい．上半平面 H 上の正則関数
log ∆(z) = 2πiz − 24

(1.1)

∞ %
%

d−1 q nn=1 d|nについて，SL2 (Z) 作用に関する変換則 log ∆(γz) − log ∆(z) を記述することを考える．まず elog ∆(z) =&∞∆(z) = q n=1 (1 − q n )24 が重さ 12 のカスプ形式である，つまり，任意の γ ∈ SL2 (Z) に対して ∆(γz) =j(γ, z)12 ∆(z) が成り立つことから，ある関数 Φ : SL2 (Z) → Z が存在して，6 log(−j(γ, z)2 ) + 2πiΦ(γ) if c &= 0,log ∆(γz) − log ∆(z) =2πiΦ(γ)
if c = 0が成り立つ．ここで右辺の対数関数の枝を Im log z ∈ [−π, π) と選んでいる．この関数 Φ が今日 Dedekind
和と呼ばれている（gcd(a, c) = 1, c > 0 なる整数 a, c に対して定義される）関数s(a, c) =++c−1 ** ++ **
%
k
ka

k=1

c

c

c−1

=

1 %
πk
πka
cot
cot
4c
c
c
k=1

を用いて表示できる，というのが Dedekind の結果である．ただし，((x)) = x − 'x( − 1/2 (x &∈ Z)，0(x ∈ Z) とおいている．
# $Theorem 1.1 (Dedekind [13]). 任意の γ = ac db ∈ SL2 (Z) に対し，
 a + d − 12 sgn c · s(a, |c|) if c &= 0,Φ(γ) = b cif c = 0.
d1956 年 Rademacher [37] は Dedekind の仕事に注目し，Dedekind 和のより詳細な研究を行っている．
その中で，Dedekind の関数 Φ を僅かに修正した整数値関数
Ψ(γ) = Φ(γ) − 3 sgn(c(a + d))を導入し，これがいくつかの点で Φ よりも優れていることを指摘する．例えば，この Ψ は類不変である．つまり，任意の γ, g ∈ SL2 (Z) に対し，Ψ(g −1 γg) = Ψ(γ) が成り立つ．他にも，Ψ(γ) = Ψ(−γ) = −Ψ(γ −1 )や，tr γ > 0 を満たす任意の γ ∈ SL2 (Z) に対し，

log ∆(γz) − log ∆(z) = 12 log j(γ, z) + 2πiΨ(γ)
2が成り立つ．これらの関数 Φ, Ψ は共に Dedekind や Rademacher の名を冠して呼ばれることがあるが，ここでは Duke–Imamoḡlu–Tóth [18] にならって，Φ を Dedekind 記号，Ψ を Rademacher 記号と呼び分けることにする．
次の式で定義される関数 ψ : SL2 (Z) → Z も非常に重要である．

(1.2)

R(γ, z) := log ∆(γz) − log ∆(z) = 12 log j(γ, z) + 2πiψ(γ).

やはり僅かな差ではあるが，tr γ > 0 のときに ψ(γ) = Ψ(γ) であることから，この関数 ψ のこともRademacher 記号と呼ぶことにする．この ψ は残念ながら類不変ではないが，次節で説明するようにΦ や Ψ よりも自然な対象に思えるのである．

1.2

群論的な特徴付け-2 (R) を用いることで，より素朴に1970 年，浅井 [2, 3] は保型形式を用いることなく，普遍被覆群 SL
Rademacher 記号 ψ(γ) を定義している．多少天下り的ではあるが，Petersson [35] によって与えられた次の関数 W を考える．
Definition 1.2. 関数 W : SL2 (R) × SL2 (R) → Z を*+1
W (γ1 , γ2 ) =log j(γ1 , γ2 z) + log j(γ2 , z) − log j(γ1 γ2 , z)2πiで定める．ここで，対数関数の枝を Im log j(γ, z) ∈ [−π, π) と選んでいる．

定義について補足する．まずこれは保型因子の関係式 j(γ1 γ2 , z) = j(γ1 , γ2 z)j(γ2 , z) の偏角から得られるものである．よって e2πiW (γ1 ,γ2 ) = 1 であるので，W (γ1 , γ2 ) ∈ Z が分かる．さらに W の定義式はz ∈ H について連続であるから，z の取り方に依存しない．
直接計算により，W (γ1 γ2 , γ3 ) + W (γ1 , γ2 ) = W (γ1 , γ2 γ3 ) + W (γ2 , γ3 )を確認できる．つまり W は 2-コサイクルである．また偏角の規約により，−3π < 2πW (γ1 , γ2 ) < 3π であることから，W (γ1 , γ2 ) ∈ {−1, 0, 1}，つまり，W が有界コサイクルであることが分かる．
より明示的に W の値を記述することもできる．浅井によると，対数関数の枝として [−π, π) を採用することがちょっとしたポイントで，これにより W の値を “wonderfully simple”に与えることができる．
# $まず，符号関数 sgn : SL2 (R) → {−1, 1} を次で定める1 ：任意の γ = ac db ∈ SL2 (R) に対し，sgn c

if c &= 0,sgn a = sgn d if c = 01
if 0 ≤ arg j(γ, z) < π,=
−1 if − π ≤ arg j(γ, z) < 0.

sgn(γ) =この符号関数を用いることで，W 関数の値は次の単純な表にまとめられる．
1 通常の符号関数 sgn : R → {−1, 0, 1} と同一の記号を用いるが，誤解の恐れはないと思われる．念のため，sgn(γ)，sgn c のように括弧の有無で区別することにする．

3

sgn(γ1 )sgn(γ2 )sgn(γ1 γ2 )W (γ1 , γ2 )

1
−1

1
−1
otherwise

−1
1

1
−1
0

次は W 関数の重要な性質である．

Proposition 1.3 (Asai [2]). 次を満たす関数 V : SL2 (R) → R は存在しない：任意の γ1 , γ2 ∈ SL2 (R)に対して W (γ1 , γ2 ) = V (γ1 γ2 ) − V (γ1 ) − V (γ2 ) が成り立つ．
証明. W (γ1 , γ2 ) = V (γ1 γ2 ) − V (γ1 ) − V (γ2 ) なる関数 V : SL2 (R) → R が存在したと仮定すると，
..
/ .
//
..
//
..
//
..
//
2 0
1 1/3
2 2/3
2
0
1 1/3
0=W
,
=V
−V
−V
,
0 1/2
0 1
0 1/2
0 1/2
0
1
..
/ .
//
..
//
..
//
..
//
1 4/3
2 0
2 2/3
1 4/3
2
0
0=W
,
=V
−V
−V
0 1
0 1/2
0 1/2
0
1
0 1/2

#
$
# 1 4/3 $であることから，V ( 10 1/3)=
V() が成り立つ．また，
1
0 1
..
/ .
//
..
//
..
1 1/3
1 1
1 4/3
1
0=W
,
=V
−V
0 1
0 1
0
1
0

//
..
//
1/3
1 1
−V
1
0 1

# $
であることから，V ( 10 11 ) = 0 を得る．
#$
# 1 −1 $一方で，S = 01 −1を考えると，S 4 = I, U 6 = I および V (I) = 0 であることから，
0 ,U = 1 0# $−1
V (−I) = 1/2, V (S) = −1/4, V (S ) = 1/4, V (U ) = −1/6 などが成り立つ．よって 10 11 = U S −1 から，
..
//
1 1
−1
0 = W (U, S ) = V− V (U ) − V (S −1 ),0 1# $すなわち，V ( 10 11 ) = 1/12 となり，これは矛盾する．

よって特に [W ] ∈ H 2 (SL2 (R); Z) は 0 でないコホモロジー類を定める．このとき，この 2-コサイク
ル W が定める SL2 (R) の Z での中心拡大を考えよう（2-コサイクルと中心拡大の関係については，例えば Brown [11, Chapter IV] を見ると良い）．つまり，集合としての SL2 (R) × Z に対し，演算(γ1 , n1 ) · (γ2 , n2 ) = (γ1 γ2 , n1 + n2 + W (γ1 , γ2 ))を定めることでこれは群を成し，特に SL2 (R) の Z での中心拡大となる．さらに位相構造も合わせて考えることで，これを SL2 (R) の普遍被覆群と見ることもできるので（Asai [2, 3]），以後この演算を備え-2 (R) と書くことにする．
た群を SL
この文脈において，Rademacher 記号 ψ : SL2 (Z) → Z を定義する．まずコホモロジー群に関する事
実として次が知られている．

Lemma 1.4. H 1 (SL2 (Z); Z) = H 1 (SL2 (Z); C) = {0}，H 2 (SL2 (Z); Z) ∼= Z/12Z.
# 0 −1 $#$証明. 1 次コホモロジー群については，SL2 (Z) の生成元 S = 1 0 , U = 11 −1
が有限位数を持つこと
0∼から，2 次コホモロジー群については，融合積表示 SL2 (Z) = Z/4Z ∗Z/2Z Z/6Z から従う（融合積については，Brown [11, Chapter II] や Serre [42] を参照）．
4つまり W 関数の定義域を SL2 (Z) に制限すると，Proposition 1.3 から一変して，ある関数 V :SL2 (Z) → Z が（唯一つ）存在して，任意の γ1 , γ2 ∈ SL2 (Z) に対して12W (γ1 , γ2 ) = V (γ1 γ2 ) − V (γ1 ) − V (γ2 )が成り立つ．この関数 V がまさに Rademacher 記号であるというのが，浅井の主張である．

Theorem 1.5 (Asai [2]). (1.2) で定義した Rademacher 記号 ψ : SL2 (Z) → Z はを満たす唯一の関数である．

12W (γ1 , γ2 ) = ψ(γ1 γ2 ) − ψ(γ1 ) − ψ(γ2 )証明. 定義 (1.2) より，主張の右辺は*+1
R(γ1 γ2 , z) − 12 log j(γ1 γ2 , z) − R(γ1 , γ2 z) + 12 log j(γ1 , γ2 z) − R(γ2 , z) + 12 log j(γ2 , z)2πiとなるが，これは 12W (γ1 , γ2 ) と等しい．

-2 (R) → SL2 (R); (γ, n) +→ γ に対して，
これは次のように言い換えることもできる．射影 P : SL
−1
SL2 (Z) := P (SL2 (Z)) を定義する．つまり，-2 (Z) = {(γ, n) ∈ SL
-2 (R) | γ ∈ SL2 (Z), n ∈ Z}
SL

-2 (R) で定める．
である．また各元 γ ∈ SL2 (R) に対して，標準的な持ち上げを γ! = (γ, 0) ∈ SL
-2 (Z) は S,
! U
! によって生成される．
Lemma 1.6. SL-2 (Z) は S,
! U
! , (I, 1) によって生成される．直接計算
証明. まず SL2 (Z) が S, U で生成されることから，SL! 3 および (−I, 1)2 = (I, 1) が確認できるため，主張が得られる．
により，S!2 = (−I, 1) = U-2 (Z) → Z を考える．生成元の行き先を χ(S)! = s，χ(U! ) = u とおくと，関係式準同型写像 χ : SL
2
3!
!
(−I, 1) = S = U から，χ((−I, 1)) = 2s = 3u が成り立つ．よって，ある整数 m ∈ Z が存在して，
s = 3m，u = 2m と表示できる．すなわち，χ は m ∈ Z のみで決まる．これを χm と書くことにする．
このとき，Vm (γ) = χm (!
γ ) で定まる関数 Vm : SL2 (Z) → Z をみる．まず定義から分かることだが，
χm ((γ, n)) = χm (!
γ · (I, 1)n ) = Vm (γ) + 12mn が成り立つ．よって積 γ!1 · γ!2 = (γ1 γ2 , W (γ1 , γ2 )) から，Vm (γ1 γ2 ) = Vm (γ1 ) + Vm (γ2 ) − 12mW (γ1 , γ2 )が成り立つ．つまり Theorem 1.5 から，V−1 が ψ に他ならないことが分かるのである．

-2 (Z) → Z を χ(S)! = −3，χ(U! ) = −2 によって定めるとき，任意のTheorem 1.7. 準同型写像 χ : SLn ∈ Z に対し，
ψ(γ) = χ((γ, n)) + 12nが成り立つ．

Theorem 1.5 や Theorem 1.7 は，Rademacher 記号の保型形式を用いない素朴な定義になっている．
この 2-コサイクルを用いる特徴付けは，Atiyah のオムニバス定理 [4, Theorem 5.60] や Barge–Ghys [5]が示すように，一見ただの特殊関数に思える Rademacher 記号のもつ遍在性を捉える意味で非常に重要な観点である．
5

1.3

三角群の場合への拡張

ここまでの議論によって，我々は 3 種類の Rademacher 記号の定義，(1.2)，Theorem 1.5, Theorem 1.7 を持っている．このうち 2 つ目の定義を用いることで，三角群 Γp,q に関する Rademacher 記号 ψp,q : Γp,q → Zを導入する．
三角群の定義を行う．まず 2 ≤ p < q ，gcd(p, q) = 1 を満たす整数の組 (p, q) を一つ固定し，
.
/
.
/
.
/
0
−1
2 cos(π/q) −1
1 λSp =, Uq =, Tp,q = −Uq Sp =1 2 cos(π/p)
100 1
とおく．ここで λ = 2(cos(π/p) + cos(π/q)) である．また，r = pq − p − q とおく．

Definition 1.8. 三角群 Γp,q = Γ(p, q, ∞) とは，Sp , Uq で生成される SL2 (R) の部分群である．

定義より Γ2,3 = SL2 (Z) となる．三角群は一般に合同部分群ではないものの，SL2 (Z) と多くの性質を共有する．例えば生成元は Spp = Uqq = −I を満たし，次の融合積との同型(1.3)

Γp,q ∼= -Sp . ∗$−I% -Uq . ∼= Z/2pZ ∗Z/2Z Z/2qZが成り立つ．また作用 Γp,q ! H に関する基本領域も単純である．H 内の三角形 ∆ = ∆(p, q, ∞) を∆(p, q, ∞) = {z ∈ H | − cos(π/p) ≤ Re(z) ≤ cos(π/q), |z| ≥ 1}

によって定める．この三角形の内角は π/p, π/q, 0 となっている．また ∆& を測地線 {eiθ | 0 < θ < π} に関する ∆ の鏡像とする．このとき，Dp,q = ∆ ∪ ∆& が Γp,q の基本領域となる．モジュラー群 SL2 (Z) の場合によく知られた基本領域は，S2−1 ∆& ∪ ∆ = {z ∈ H | −1/2 ≤ Re(z) ≤ 1/2, |z| ≥ 1} で与えられる．

Sp−1 ∆&

∆
i

b−λ

∆&

a

b

O
三角形 ∆ の頂点 a = eπi(1−1/p) , b = eπi/q , i∞ はそれぞれ Sp , Uq , Tp,q の固定点である．このとき，a, b
を楕円点，i∞ をカスプと呼ぶ．基本領域 Dp,q において各楕円点を挟む 2 辺は Γp,q の作用で移りあい，
Γp,q \H は種数 0 となる．Gauss–Bonnet の定理より，
"
dxdy
2πr
(1.4)
vol(Γp,q \H) =
=
2
y
pq
Dp,q
であるから，三角群 Γp,q は第 1 種 Fuchs 群となる．
Rademacher 記号 ψp,q : Γp,q → Z を定義していく．まず (1.3) から Lemma 1.4 の拡張が得られる．

6

Lemma 1.9. H 1 (Γp,q ; Z) = H 1 (Γp,q ; C) = {0}，H 2 (Γp,q ; Z) ∼= Z/2pqZ.

したがって，Definition 1.2 で定義した W 関数の定義域を Γp,q に制限すると，ある関数 ψp,q : Γp,q → Zが唯一つ存在して，任意の γ1 , γ2 ∈ Γp,q に対して，

2pqW (γ1 , γ2 ) = ψp,q (γ1 γ2 ) − ψp,q (γ1 ) − ψp,q (γ2 )(1.5)

が成り立つ．この関数 ψp,q を三角群 Γp,q に関する Rademacher 記号と呼ぶ．同様の議論から Theorem 1.7の拡張も得られる．

! p,q = P −1 (Γp,q ) は S!p , U!q で生成される．準同型写像 χp,q : Γ! p,q → Z を χp,q (S!p ) =Theorem 1.10. 群 Γ!q ) = −p で定めるとき，任意の n ∈ Z に対し，
−q ，χp,q (Uψp,q (γ) = χp,q ((γ, n)) + 2pqnが成り立つ．

2

三角群に関する保型形式

前節では 2-コサイクル W を用いることで，三角群に関する Rademacher 記号 ψp,q : Γp,q → Z を自然に導入した．では (1.2) のように，保型形式を用いて ψp,q を特徴づけることはできるだろうか．以下では重さ 2pq のカスプ形式 ∆p,q (z) の構成法を一つ紹介し，期待される関係式

log ∆p,q (γz) − log ∆p,q (z) = 2pq log j(γ, z) + 2πiψp,q (γ)

が成り立つことを示す．その後，Rademacher 記号がサイクル積分として表示できることも示し，モジュラー結び目との関係を記述するための準備を行う．

2.1

モックモジュラー形式を用いた ∆p,q (z) の構成

発想の起点となるのは，(1.1) から直ちに従う次の等式である．

(2.1)

∞ %
%
1 d
log ∆(z) = 1 − 24
dq n .
2πi dzn=1d|n

この右辺はよく E2 (z) と書かれる関数で，モジュラー群 SL2 (Z) に関する重さ 2 のモックモジュラー形式
である．それならば，三角群に関する重さ 2 のモックモジュラー形式からカスプ形式 ∆p,q (z) を構成できるのではないか，というのがここでの発想である．
モックテータ関数という名が世界に初めて姿を現したのは，1920 年に Ramanujan が Hardy へと綴った最後の手紙である．長い歴史の中で，Watson [45] や Selberg [41]，Hickerson [23, 24], そして Andrews
による LostNotebook の発見から始まる一連の研究 [1] によって，「q-級数」としてのモックテータ関数の理論はゆっくりと発展してきた．しかしながら，その「モジュラー的な」性格については長らく謎に包まれていたのである．
2002 年の Zwegers の博士論文 [49] の登場は，モックテータ関数の研究を劇的に変えることとなった．
まず彼は 3 通り (！) の方法でモックテータ関数の保型形式的な性質の記述に成功した．そして Bringmann–
Ono [10] が指摘するには，Zwegers の考察した保型形式は，同時期に Bruinier–Funke [12] が（異なる文脈で）導入した調和 Maass 形式になっているというのである．こうした 2000 年初頭の急速な進展を受けて，モックモジュラー形式という概念が Zagier [48] によって導入された，という時代背景である．

7

Definition 2.1. 実解析的な2 関数 f : H → C が次の条件を満たすとき，f は三角群 Γp,q に関する重さk ∈ Z の調和 Maass 形式であるという．
1. 任意の γ ∈ Γp,q に対し，f (γz) = j(γ, z)k f (z) が成り立つ．
2. 双曲 Laplacian ∆k を

∆k = −y 2

*

∂2
∂2
+ 2
2
∂x
∂y

で定めるとき，∆k f (z) = 0 が成り立つ．

+

+ iky

*

∂
∂
+i
∂x
∂y

+

3. ある定数 α > 0 が存在して，x ∈ R について一様に f (x + iy) = O(y α ) as y → ∞ が成り立つ3 ．

三角群 Γp,q に関する重さ k の調和 Maass 形式の空間を Hk (Γp,q ) とおく．

周期性 f (z + λ) = f (z) および，条件 ∆k f (z) = 0 から，調和 Maass 形式 f ∈ Hk (Γp,q ) は次の形のFourier 級数展開を持つ．

(2.2)

f (x + iy) =%c+ (n)qλn + c− (0)y 1−k +

%

n<0

n≥0

c− (n)y −k/2 W− k , k−1 (4π|n|y/λ)e2πinx/λ .
22

ここで，係数 c± (n) ∈ C は複素定数であり，qλ = e2πiz/λ とおいている．また Wµ,ν (y) は W -Whittaker関数である（Whittaker 関数については [29, Chapter VII] などを参照）．

Definition 2.2. 調和 Maass 形式 f ∈ Hk (Γp,q ) に対し，Fourier 展開 (2.2) の正則部分%
f + (z) =c+ (n)qλnn≥0を Γp,q に関する重さ k のモックモジュラー形式という．

残る非正則部分 f (z) − f + (z) については，次の事実が基本的である．

Proposition 2.3 (Bruinier–Funke [12]). 重さ k ∈ Z の ξ-微分作用素を
ξk f = 2iy k∂f∂zで定義する．このとき任意の f ∈ Hk (Γp,q ) に対し，ξk f ∈ M2−k (Γp,q ) が成り立つ．ここで，M2−k (Γp,q )は Γp,q に関する重さ 2 − k の正則モジュラー形式の空間である．

Remark 2.4. 双曲 Laplacian ∆k は ξ-微分作用素を用いて，∆k = −ξ2−k ◦ ξk と表すこともできる．このとき，f : H → C が正則モジュラー形式であることは，Definition 2.1 の条件 2 を
2’. ξk f (z) = 0に取り替えることで定義できる．特に，Mk (Γp,q ) ⊂ Hk (Γp,q ) となる．また，f ∈ Mk (Γp,q ) が lim f (z) = 0を満たすとき，f はカスプ形式であるという．

z→i∞

2 ここで f (z) が実解析的とは，f (x + iy) を x と y に関する二変数関数とみたときに実解析的，という意味である

3 カスプ条件は論文によってさまざまである．例えば調和 Maass 形式に関する標準的なテキスト [9] の Definition 4.2 では，異なる条件が採用されている．

8

調和 Maass 形式 f ∈ Hk (Γp,q ) が (2.2) の形の Fourier 展開を持つとき，

ξk f (z) = (1 − k)c− (0) −

%

n>0

2−k

c− (−n) (4πn/λ) 2 qλn ∈ M2−k (Γp,q )が成り立つ．この ξk f (z) をモックモジュラー形式 f + (z) のシャドーという．

Example 2.5. 重さ 2 の Eisenstein 級数

E2∗ (z) = E2 (z) −

∞ %
%
3
3
= 1 − 24
dq n −
πy
πy
n=1
d|n

は SL2 (Z) に関する重さ 2 の調和 Maass 形式である．よって正則部分 E2 (z) はモックモジュラー形式，そのシャドーは 3/π ∈ M0 (SL2 (Z)) = C となる．
では，∆p,q (z) の構成を始める．起点となるのは，次の事実である．

Proposition 2.6. dimC H2 (Γp,q ) = 1.

証明. まず dimC H2 (Γp,q ) ≤ 1 を示す．もし 0 でない f, g ∈ H2 (Γp,q ) が存在したとすると，ξ2 f, ξ2 g ∈M0 (Γp,q ) = C である．もし ξ2 f = 0 であったと仮定すると，f ∈ M2 (Γp,q ) となるが，M2 (Γp,q ) = {0}であることから矛盾する．これは有理型モジュラー形式 f ∈ Mmerk (Γp,q ) に対する valence formula(2.3)

v∞ (f ) +1
1
va (f ) + vb (f ) +pq%vP (f ) =P ∈Γp,q \H
P *=a,brk2pqから従う4（ここで，vP (f ) は f (z) の z = P における位数である）．よって ξ2 f, ξ2 g は共に 0 ではない複素定数なので，ある c ∈ C が存在して，ξ2 (f − cg) = 0 が成り立つ．したがって，f − cg ∈ M2 (Γp,q ) = {0}となり，f = cg と書ける．
次に dimC H2 (Γp,q ) ≥ 1 については，Eisenstein 級数を用いて調和 Maass 形式を具体的に構成する．
ここでは Goldstein [21] による極限公式を用いることにする．重さ 0 の実解析的 Eisenstein 級数を
(p,q)

E0

(z, s) =1λs%

Im(γz)s ,γ∈(Γp,q )∞ \Γp,q(z ∈ H, Re(s) > 1)

で定義する．このとき，次の形の極限公式が成り立つ．
*
+
1
1
(p,q)
Lp,q (z) = lim E0 (z, s) −s→1
vol(Γp,q \H) s − 1
∞
∞
%
log y
y %
= Cp,q −+ +cp,q (n)qλn +cp,q (n)qλ nvol(Γp,q \H) λ
n=1

n=1

ここで，Cp,q , cp,q (n) ∈ C はある複素定数である．このとき，関数 E2(p,q),∗(2.4)(p,q),∗

E2(z) := ξ0 Lp,q (z) = −

(z) を

∞
1
1
1 %
+ +
dp,q (n)qλnvol(Γp,q \H) y λ n=1(ただし，dp,q (n) = (−4πn/λ)cp,q (n)) で定義すると，これは 0 でない H2 (Γp,q ) の元となる．
4 証明は SL (Z) の場合の [28, Proposition 3.8] と同様である．
2

9

こうして，H2 (Γp,q ) の生成元 E2(z) を構成できた．この正則部分を E2
1/vol(Γp,q \H)y とおくと，次が直ちに従う．
# $Lemma 2.7. 任意の γ = ac db ∈ Γp,q に対し，
(p,q),∗(p,q)(cz + d)−2 E2

(p,q)

(p,q)

(γz) − E2

(z) =

(p,q)

Fp,q (z) =

(z) +

pq
c
.
r πi(cz + d)

関係式 (2.1) を参考に，こうして定義したモックモジュラー形式 E2(2.5)(p,q),∗(z) = E2(z) の原始関数

∞
∞
%
%
2πirz
dp,q (n) n
2πirz
+ rλ
qλ =
− 4πr
cp,q (n)qλn ,
λ
n
λ
n=1
n=1

&
を考える．つまり，Fp,q(z) = 2πirE2 (z) が成り立っている．このとき，∆p,q (z) = exp Fp,q (z) が Γp,qに関する重さ 2pq のカスプ形式になることを以下で示す．
関数 Fp,q (z) を log ∆p,q (z) と見立てて，(1.2) と同様の関数(p,q)

Rp,q (γ, z) = Fp,q (γz) − Fp,q (z)を定義する．このとき各 γ ∈ Γp,q に対し Fp,q (z) の定義，および Lemma 2.7 より，

2pq log j(γ, z)) = 0 が成り立つ．よって，ある関数 Vp,q : Γp,q → C が存在して，

d(Rp,q (γ, z) −dz

Rp,q (γ, z) − 2pq log j(γ, z) = 2πiVp,q (γ)

が成り立つ．ここで，Im log j(γ, z) ∈ [−π, π) と枝を選択している．

Theorem 2.8. Rademacher 記号 ψp,q を (1.5) で定義したものとすると，Vp,q = ψp,q が成り立つ．
証明. 定義より Rp,q (γ1 γ2 , z) = Rp,q (γ1 , γ2 z) + Rp,q (γ2 , z) が成り立つので，*+*+
2πi Vp,q (γ1 γ2 ) − Vp,q (γ1 ) − Vp,q (γ2 ) = 2pq − log j(γ1 γ2 , z) + log j(γ1 , γ2 z) + log j(γ2 , z) ,すなわち，Vp,q (γ1 γ2 ) − Vp,q (γ1 ) − Vp,q (γ2 ) = 2pqW (γ1 , γ2 ) が成り立つ．

Proposition 2.9. 関数 ∆p,q (z) = exp Fp,q (z) は Γp,q に関する重さ 2pq のカスプ形式である．特に，H上に零点を持たず，カスプ i∞ に位数 r = pq − p − q の零点を持つ（定数倍を除いて）唯一の関数である．
証明. まず Theorem 2.8 より，ψp,q (γ) ∈ Z であることから，∆p,q (γz) = ∆p,q (z) exp(2pq log j(γ, z) + 2πiψp,q (γ)) = j(γ, z)2pq ∆p,q (z)が成り立つ．次に Fp,q の定義 (2.5) より，∆p,q (z) = qλr + O(qλr+1 ) の形の Fourier 展開を持つので，カスプ i∞ において位数 r の零点を持つカスプ形式となる．上半平面上に零点を持たないことや唯一性は，
Γp,q に関する valence formula (2.3) から分かる．
こうして，log ∆p,q (z) = Fp,q (z) と枝を定めることで，最初に期待していた等式(2.6)

Rp,q (γ, z) = log ∆p,q (γz) − log ∆p,q (z) = 2pq log j(γ, z) + 2πiψp,q (γ)

を得ることができた．

10

Eisenstein 級数を用いない ∆p,q (z) の構成として，Hauptmodul を用いる方法もある．Hauptmodul（およびその微分）の有理関数を考えることで，重さや零点・極の位置を調整し，Proposition 2.9 の性質を満たすカスプ形式を作る，という考え方である．少々力技ではあるものの，Doran ら [16, Theorem 1]が示すように，三角群 Γp,q に関する Hauptmodul は 3 階の微分方程式で特徴付けられており，Fourier
係数を明示的に計算することが可能である．さて三角群の保型形式の Fourier 係数に関する Wolfart [46]の研究によると，一般に Fourier 係数は超越数となる．しかしこの超越数部分は Doran らの Theorem 1
が記すように，具体的に抜き出すことができる．となると古典的な SL2 (Z) に関するモジュラー形式やモックモジュラー形式の研究から類推して，その Fourier 係数の数論的な性質が関心を惹くところであるが，果たしてどうなっているのであろうか．

2.2

サイクル積分を用いた Rademacher 記号 ψp,q (γ) の表示

最初に簡単にサイクル積分について紹介する．実二次無理数 w（もしくは双曲元）に対するモジュラー形式 f のサイクル積分とは，"

f (z)Qw (z, 1)k−1 dzSwの形で定義される閉測地線 S w 上の積分である．Hecke [22] 由来の古典的な対象であるにもかかわらず，
サイクル積分の豊かな性質が明らかになってきたのは，比較的最近のことである．その契機となったのは，金子 [26] および Duke–Imamoḡlu–Tóth [17] によって独立に指摘された，楕円モジュラー j 関数の「サイクル積分」と「特異モジュライ」との間の興味深い類似性であった．
Duke ら [17] が指摘した類似性は，ある重さ 1/2 の調和 Maass 形式が存在し，その正則部分（モックモ
ジュラー形式部分）の Fourier 係数に「j 関数のサイクル積分のトレース」が，一方でシャドーの Fourier
係数に「j 関数の虚二次点での値（特異モジュライ）のトレース」が現れるというものである．一方で金子 [26] の指摘する類似性は，放物型/楕円型/双曲型の Fourier 級数展開（Imamoḡlu–O’Sullivan [25] 参照）を用いたもので，楕円型/双曲型の Fourier 展開の定数項に，それぞれ虚二次点での値，サイクル積分が現れるというものである．金子 [26, 27] は数値計算によって，サイクル積分が満たす様々な現象を観察しており，そのいくつかは，近年 Bengoechea–Imamoḡlu [6, 7] および村上 [34] によって証明が与えられている．
(p,q),∗
今回考えるのは，前節で定義した調和 Maass 形式 E2(z) のサイクル積分である．楕円モジュラーj 関数の場合と異なり，そのサイクル積分値が有理数になることは特筆すべき点である．
ではサイクル積分を定義する．双曲元 γ ∈ Γp,q （すなわち | tr γ| > 2 を満たす γ ）を一つ固定すると
き，方程式 γz = z は相異なる実数 wγ > wγ& を解に持つ（γ の固定点）．特に Γp,q = SL2 (Z) のとき，固## $定点は実二次無理数となる．このとき，双曲元 γ は行列 Mγ = √ 1 # wγ wγ ∈ SL2 (R) を用いて
wγ −wγ(2.7)

Mγ−1 γMγ =.

j(γ, wγ )00j(γ, wγ& )

/

=

.

ξγ
0

1

0
ξγ−1

1

/

# $
のように対角化される．ここで技術的な仮定ではあるが，γ = ac db の成分について a + d > 2, c > 0 が成り立つと仮定すると，ξγ > 1 と取ることができる（そうでなければ，γ を ±γ ±1 のいずれかに取り替えれば良い）．2 つの固定点 wγ , wγ& をつなぐ上半平面 H 上の測地線を Sγ とおくと，γ は Sγ 上に作用する．このとき，Sγ の Γp,q \H における像 S γ を考えると，これは閉測地線となる．さらに γ が原始的である，つまり他の元の冪の形で書けない，と仮定すると，この閉測地線 S γ と Sγ 上の任意の点 z0 と γz0とをつなぐ測地線分が一対一に対応する．
11

# $Definition 2.10. 原始的な双曲元 γ = ac db ∈ Γp,q であって，a + d > 2, c > 0 を満たすものをとる．
また二次形式を Qγ (X, Y ) = cX 2 + (d − a)XY − bY 2 と定義する5 ． このとき，f ∈ H2k (Γp,q ) のサイ
クル積分は次で定義される．
"
" γz0
k−1
f (z)Qγ (z, 1)dz =f (z)Qγ (z, 1)k−1 dz.
Sγz0

次の定理をモジュラー群の場合に示したのは，本質的には Meyer [31] であると Zagier [47] は指摘している．つまり Theorem 2.11 は Meyer の結果の三角群への拡張を与える．

Theorem 2.11. 双曲元 γ ∈ Γp,q を Definition 2.10 と同様にとる．Rademacher 記号 ψp,q を (1.5) で定義したものとすると，"
1(p,q),∗
E2(z)dz = ψp,q (γ).
rSγが成り立つ．ここで，r = pq − p − q である．

証明. アイデアだけ述べる．まず Sγ 上の点として z0 = Mγ i を取り，E2(z) = E2 (z)−1/vol(Γp,q \H)yのように正則部分と非正則部分に分けてそれぞれの積分を考える．正則部分については，関数 Fp,q (z) が(p,q)
2πirE2 (z) の原始関数であることから，
0
1γz0
" γz0
1
1
(p,q)
E2 (z)dz =Fp,q (z)=Rp,q (γ, z0 )
2πir
2πir
z0
z0
(p,q),∗(p,q)となる．一方で非正則部分については，変数変換 z = Mγ iy によって，
" γz0
" ξγ2
1
dz
pq
1
idy
1
−
=−
= ··· = −· 2pq log j(γ, z0 )2vol(Γp,q \H) z0 Im(z)2πr 1 Im(Mγ iy) j(Mγ , iy)2πirが得られる．よって (2.6) から主張が従う．

モジュラー結び目の絡み数

3

古くから知られるように，3 次元多様体 SL2 (Z)\ SL2 (R) は 3 次元球面 S 3 における三葉結び目（trefoil）
K2,3 の補空間 S 3 − K2,3 と同相になる（Milnor [32, 84 ページ] 参照）．この事実が数論で用いられた事例は皆無であったが，Ghys は 2006 年の ICM 講演 “Knots and dynamics” [19] において，測地流の閉軌
道としてこの S 3 − K2,3 内に構成できる結び目（これをモジュラー結び目と呼ぶ）と，三葉結び目 K2,3との絡み数が，Rademacher 記号 ψ(γ) で書けることを示した．ここに現れる三葉結び目 K2,3 を一般の(p, q)-トーラス結び目 Kp,q に拡張する，というのが，これから紹介する我々の結果である．

3.1

Ghys の結果# t 0 $
空間 S 3 − K2,3 ∼，t ∈ R によって定めるとき，そ= SL2 (Z)\ SL2 (R) 上の測地流を ϕt : M +→ M e0 e−tの閉軌道のことをモジュラー結び目と呼ぶ，というのは Ghys [19] による定義である．点 M ∈ SL2 (R)# t 0 $
を初期値に持つような軌道 M e0 e−tを考えたとき，これが SL2 (Z)\ SL2 (R) における閉軌道であるとは，つまり，ある t > 0 と γ ∈ SL2 (Z) が存在して，
.
/
et
0
M
= γM
0 e−t
5 固定点 w!
γ , wγ は Qγ (z, 1) = 0 の解となる．

12

が成り立つことである．これを γ の立場から見ると，γ は M ∈ SL2 (R) によって対角化され，その固有値が実数になっている状況である．そのような状況が成り立つのは，γ ∈ SL2 (Z) が双曲元，つまり | tr γ| > 2 の# ξγ 0 $場合，またその場合に限る．したがってモジュラー結び目は，双曲元 γ ∈ SL2 (Z) と Mγ−1 γMγ = 0 ξ−1γ
なる Mγ ∈ SL2 (R) を用いて，.
/
et0Cγ (t) = Mγ
, (0 ≤ t ≤ log ξγ )0 e−tと特徴付けられる．さらに，SL2 (Z)\ SL2 (R) 4 Cγ (t) +→ Cγ (t) · i ∈ SL2 (Z)\H と射影したとき，その像は閉測地線 S γ と一致する．
モジュラー結び目の描像については，[20] で見ることができる．そこでも説明されているように，
Ghys [19] の主張は大きく 2 種類に分けられる．一つ目は Lorenz 結び目との関係である．カオス現象の有名な例に Lorenz 方程式による R3 内のフローがある．Birman–Williams [8] はテンプレート理論を用いることで，フロー内の閉軌道（これを Lorenz 結び目と呼ぶ）を研究しているが，Ghys はモジュラー結び目に対しても然るべきテンプレートを構成することで，「Lorenz 結び目とモジュラー結び目は（isotopy
類が）同じもの」であるという驚くべき事実を示している．
二つ目は今回の主題でもある Rademacher 記号との関係である．双曲元 γ ∈ SL2 (Z) を一つ固定したとき，S 3 内にはモジュラー結び目 Cγ と（除かれている）三葉結び目 K2,3 からなる絡み目が存在している．これらに然るべき向きが備わっているとき，絡み数という最も基本的な位相不変量が Rademacher
記号と一致している，つまり，lk(Cγ , K2,3 ) = ψ(γ)
が成り立つというのである．さらに Ghys はこの一つの等式に対し，log ∆(z) の変換則を用いた保型形式的な証明，Rademacher 記号と Euler 類との関係を用いたトポロジー的な証明，テンプレート理論を用いた力学系的な証明の 3 つを与えている．次の節では，Ghys の第一証明を整理・拡張することで，一般のトーラス結び目 Kp,q に対しても「絡み数=Rademacher 記号」という形の等式を与える．

3.2(p, q)-トーラス結び目への拡張舞台となるのは，(p, q)-トーラス結び目の補空間 S 3 −Kp,q および，そのレンズ空間への像 L(r, p−1)−K p,qである．これらの空間に対しても，前節に登場した同相 S 3 − K2,3 ∼= SL2 (Z)\ SL2 (R) と類似した同相が知られている．まずはこれを紹介する．
-2 (R) と離散部分群 Γ! p,q を定義する．群 Γ! p,q が S!p , U!q で生成されSection 1 と同様に，普遍被覆群 SLrr! p,q を S!p , U!q で生成される指数 r の部分群と定義する．こることを思い出し（Theorem 1.10），Gr < Γのとき，次が成り立つ．

-2 (R) は S 3 − Kp,q と同相である．
• Raymond–Vasquez [39]，Gr \SL! p,q \SL-2 (R) は L(r, p − 1) − K p,q と同相である．
• Tsanov [43]，Γp,q \ SL2 (R) ∼=Γ

同相写像の具体的な表示については，Tsanov [43] を見ると良い．本稿の残りは，L(r, p − 1) − K p,q の場合に話を限定し，Ghys の結果の拡張の主張および証明を述べることにする．S 3 − Kp,q の場合については，レンズ空間における結果と，被覆 h : S 3 − Kp,q ! L(r, p − 1) − K p,q の様子を詳細に調べること
で従う．

13

# $
Definition 3.1. 原始的な双曲元 γ = ac db ∈ Γp,q であって，a + d > 2, c > 0 を満たすものをとる．
Mγ ∈ SL2 (R) および ξγ > 1 を (2.7) と同様に定めるとき，Γp,q \ SL2 (R) 内の有向単純閉曲線 Cγ (t) を.
/et
0Cγ (t) = Mγ
, (0 ≤ t ≤ log ξγ )0 e−tで定める．このとき，Γp,q \ SL2 (R) ∼= L(r, p − 1) − K p,q によるレンズ空間内の有向結び目を Cγ と書き，モジュラー結び目と呼ぶ．
次に絡み数を定義する．レンズ空間のホモロジー群は H1 (L(r, p − 1); Z) ∼= Z/rZ で与えれるため，絡み数は 1r Z に値を取ることに注意しておく．まず任意の y > 0 に対し，曲線
.
/.
/
1 t
y 1/2
0
cy (t) =, (0 ≤ t ≤ λ)0 1
0y −1/2は Γp,q \ SL2 (R) 内の有向閉曲線をなす．この L(r, p − 1) − K p,q における像は K p,q のメリディアン µ を定める．

Definition 3.2. 空間 L(r, p − 1) − K p,q 内の有向結び目 K に対し，絡み数 lk(K, K p,q ) ∈ 1r Z を，同型∼=

H1 (L(r, p − 1) − K p,q ; Z) −
→

1
Z
r

によるホモロジー類 [K] の像として定義する．ただしメリディアン µ に対し，[µ] +→ 1 となるように符号を定める．
この定義のもとで lk(Cγ , K p,q ) を計算するために，複素解析における回転数の概念の復習する．

Definition 3.3. 空間 C× 内の有向閉曲線 C に対し，回転数 ind(C, 0) ∈ Z を，同型∼=

H1 (C× ; Z) −→Z

によるホモロジー類 [C] の像として定義する．ただし反時計回りに向き付けられた単位円周 T = {|z| =1} ⊂ C に対し，[T] +→ 1 となるように符号を定める．

Cauchy の積分定理より(3.1)

ind(C, 0) =

1
2πi

"

dz
C z

とよく知られた積分の形で表示することもできる．回転数が持つこの 2 種類の定義をそれぞれ絡み数，サ
イクル積分と直接関係付けることで，「絡み数＝ Rademacher 記号」という形の等式を得る，というのが大まかな戦略となる．
まず回転数とサイクル積分の関係について述べる．Proposition 2.9 で構成したカスプ形式 ∆p,q (z) に! p,q : Γp,q \ SL2 (R) → C× を対し，リフト ∆! p,q (g) = j(g, i)−2pq ∆p,q (gi)∆! p,q (g) の定義式のそれぞれの因子が 0 に値を取らないによって定める．定義について補足する．まず ∆ため，このリフトは C× に値を取る関数となる．また，保型因子の関係式 j(γ1 γ2 , z) = j(γ1 , γ2 z)j(γ2 , z)
! p,q (γg) = ∆! p,q (g) が成り立っている．
から，任意の γ ∈ Γp,q に対し ∆14

Proposition 3.4. モジュラー結び目 Cγ に対し，次が成り立つ．
証明. 回転数の積分表示 (3.1) より! p,q (Cγ ), 0) = ψp,q (γ).
ind(∆

! p,q (Cγ ), 0) =
ind(∆

1
2πi

"

dz
1
=
z
2πi
!
∆p,q (Cγ )dが成り立つ．あとは dz
log ∆p,q (z) = 2πirE21
2πi" log ξγ0(p,q)" log ξγ0

! p,q (Cγ (t))
d∆
! p,q (Cγ (t))∆(z) であることに注意すると! p,q (Cγ (t))
d∆=r
! p,q (Cγ (t))
∆

" γz0
z0

(p,q),∗

E2(z)dzと変形される．したがって Theorem 2.11 より主張が得られる．
次に，絡み数と回転数の関係について述べる．

∼=! p,q はホモロジー群の同型 H1 (Γp,q \ SL2 (R); Z) −Proposition 3.5. 関数 ∆→ H1 (C× ; Z) を誘導する．

証明. 大まかな証明のアイデアを述べる．考えているホモロジー群はともに Z と同型なので，誘導される準! p,q )∗ : H1 (Γp,q \ SL2 (R); Z) → H1 (C× ; Z) が全射であることを示せば十分である．Proposition 3.4
同型 (∆から ψp,q (γ) = 1 を満たす双曲元 γ ∈ Γp,q の存在に問題が帰着するのだが，W 関数を用いた Rademacher
記号の特徴付け (1.5) を用いることで，具体的にそのような γ を構成できる．
この同型により，空間 L(r, p − 1) − K p,q 内の有向結び目 K に対し，lk(K, K p,q ) =1! p,q (K), 0)ind(∆rが成り立つ．こうして次の定理が得られるのである．

Theorem 3.6. 双曲元 γ ∈ Γp,q を Definition 3.1 と同様にとる．このとき，lk(Cγ , K p,q ) =が成り立つ．

1
ψp,q (γ)
r

論文 [30] では，S 3 版および，Ghys の第 2 証明に関する考察も行っている．テンプレート理論を用いる第 3 証明に関しては，Dehornoy–Pinsky による一連の研究 [36, 14, 15] が密接に関わっているはずである．また関連して SL2 (Z) の場合には，絡み数の分布 (Sarnak–Mozzochi [40, 33])，Chebotarev 則(植木 [44])，2 つのモジュラー結び目の絡み数 (Duke–Imamoḡlu–Tóth [18]) など様々に派生した研究が行われている．

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名古屋大学 高等研究院（多元数理科学研究科）
464-8601 愛知県名古屋市千種区不老町
Email：matsusaka.toshiki@math.nagoya-u.ac.jp18

コホモロジー理論の無限化とその応用
阿部 知行

1. 序説

コホモロジー理論は様々な数学において有用な普遍量を提供する有用な枠組みである．コホモロジー
は一般に局所的な性質と大域的な性質のズレをあらわす量とも考えられるので，コホモロジーの元を局所的に構成するのは不可能である．例えば円周 S 1 を考えよう．H1 (S 1 , Z) ∼= Hom(π1 (S 1 ), Z) ∼=Z
11である．S は 2 枚の開区間 I1 , I2 で覆うことができ，S = I1 ∪I2 である．Ik は可縮なので H1 (Ik ) = 0となっており，H1 (S 1 , Z) の非自明な元は H1 (Ik ) の元の貼り合わせで書くことはできない．一方で Meyer-Vietoris 完全列

H0 (I1 ∩ I2 , Z) → H1 (S 1 , Z) → H1 (I1 , Z) ⊕ H1 (I2 , Z)を考える．この完全列によると H1 (S 1 , Z) の非自明な元は H0 (I1 ∩ I2 , Z) から「来ている」ことが分かる．感覚的な説明としては H1 (S 1 , Z) の元は H1 (I1 , Z) の元と H1 (I2 , Z) の元の組で I1 ∩ I2 に制限すると一致するものと考えるのではなく，I1 ∩ I2 に制限するとホモトピックになるものと考えるのである．H1 (Ik , Z) には 0 という元しか存在していないが，I1 ∩ I2 でのホモトピーの取り方の自由度は H0 (I1 ∩ I2 , Z) に現れてくるのである．この感覚的な説明を厳密に数学にしようとすると現代的には無限圏の概念が最も適切である．本論説では無限圏の立場からコホモロジーの貼り合わせがどうみられるかを中心に説明し，その技術の数論幾何学への応用を述べたいと思う．無限圏に関しては教科書 [L] が有名で，実際とてもよく書かれていると思う．ただかなり長いのでアイディアだけざっと知りたいという方には [G] がおすすめである．

2. 無限圏とは

無限圏は圏論と状況が異なり，「絶対的な定義」は存在していない．もう少し正確に書くと様々な定義が存在しており，どの定義もある意味で同等（同値ではない！）な理論を提供するのである．
このあたりの事情は少し分かりにくいので，今回は無視して，以下の定義を採用する：
定義. — 無限圏とは位相空間で豊饒化（enrich）された圏のことを言う．もう少し具体的には無限圏 C とは次の 3 つのデータ• 対象の集合 Obj(C);• 二つの対象 X, Y ∈ Obj(C) が与えられたとき，射の位相空間 HomC (X, Y );• 3 つの対象 X, Y, Z ∈ Obj(C) に対して合成と呼ばれる連続写像 HomC (X, Y )×HomC (Y, Z) →HomC (X, Z)が与えられており，しかるべき公理（つまり合成の推移性と恒等射の存在）を満たしているものをいう．

注. — 上記の無限圏はより正確には位相圏と呼ばれるものである．近年無限圏が広く使われるようになったが，これは Lurie による教科書 [L] の影響が大きい．ここではいわゆる擬圏を無限圏の定義として採用しており，その影響もあり無限圏といえば擬圏をさすことが多い．擬圏は特殊な

1

単体的集合のことであり，指定するデータが位相圏に比べて圧倒的に少なく，それが Lurie が無限圏として採用した理由の一つである．一方で位相圏の方が感覚的な説明がしやすいので今回は位相圏を無限圏の定義として採用した．

このように射を位相空間にすると極めて豊富な構造を持つ．例えば二つの射 f, g : X → Y が与えられたとき，これらは M := HomC (X, Y ) という位相空間の二つの点としてとらえられる．Mは位相空間なので f と g を「道でつなぐ」という概念が考えられる．これら二つの点が H という道，つまり H : [0, 1] → M という連続写像で H(0) = f , H(1) = g を満たすもの，が与えられているとする．この H は f と g の間の「2 射」を与えるものと解釈できる．
無限圏があるとそれに付随する普通の圏が構成できる．C を無限圏とする．このとき hC を対象の集合を Obj(C) で，X, Y ∈ Obj(C) に対してHomhC (X, Y ) := π0 HomC (X, Y )として定義することによって hC が圏になることが簡単に確かめられる．hC を C のホモトピー圏と呼ぶ．この定義を用いて C の射 f : X → Y が同値であるとは f をホモトピー圏 hC の中で考えると同型になっているものとして定義する．最終的に興味があるのはホモトピー圏であることが多いので，同値であるという概念に特別な意味があることは納得いただけると思う．
これまでの議論では，無限圏の理論とは基本的にただの豊饒圏の理論だという印象を受けるかもしれない．豊饒圏の理論と決定的な違いが現れるのは「無限圏の同値」の概念を導入する時である．C と D を無限圏とし，F : C → D を関手とする．これが豊饒圏の意味で同値であるとは任意の X, Y ∈ C に対して誘導される写像 F (X, Y ) : HomC (X, Y ) → HomD (F (X), F (Y )) が同相でF が質的全射であることであった．この定義で果たして欲しいものなのだろうか？例えば C0 として対象 {0, 1} を持ち恒等射以外は Map(0, 1) = {∗} となっている無限圏とし，C1 として対象 {0, 1}を持ち恒等射以外は Map(0, 1) = I （I = [0, 1] という閉区間）という無限圏とする．{∗} と I は同相でないことから C0 と C1 は豊饒圏としては同値ではない．一方で 2 圏の立場に立てば C1 の中の射 0 → 1 は全て同値なので C0 と C1 は同値とするべきである．つまり，豊饒圏の意味での同値というのは無限圏論的な立場からすれば強すぎる概念なのである．この議論を突き詰めると我々に本当に必要な同値の概念は F (X, Y ) が同相というものではなくホモトピー同値なものであるということが分かる．本論説では定義にまで戻ることはないが重要な概念なので正確な定義を記しておく：
定義. — 無限圏の間の関手 F : C → D が同値であるとは次の 2 つの条件を満たしていることをいう．

1. ホモトピー圏に誘導される関手 hF が本質的全射．

2. 全ての対象 X, Y ∈ C に対して連続写像 F (X, Y ) : Hom(X, Y ) → Hom(F (X), F (Y )) はホモトピー同値である．
このように無限圏論はホモトピー論的な性格を持った圏論であるということができる．

例. —1. 圏 C とその射の類 X が指定されると X に属する射が同値になるような最も小さい
無限圏が存在し C[X −1 ] と書く．この無限圏は存在は保証されているもの構成は抽象的で具体的な計算にはほとんど役立たない．

2. 無限圏論がまだ発展していなかった時はモデル圏を用いて無限圏的な操作を行っていた．C
を単体的モデル圏として，C◦ を fibrant かつ cofibrant な対象からなす忠実充満部分圏とする．W を weak equivalence からなる射の類とすれば，C◦ [W −1 ] は比較的簡明な表記が存在する．

3. Quillen によって単体的集合の圏 Set∆ に単体的モデル圏の構造が入れられた．このモデル圏に付随する無限圏を空間の無限圏と呼ぶ．この無限圏は従来の位相幾何学が対象としてきた2

「空間」のなす無限圏である．この無限圏の対象はいわゆる Kan 複体である．Kan 複体を知らない人は位相空間と思ってしまっても本論説では問題はない．無限圏 C が与えられたとき
HomC (X, Y ) を空間の無限圏の対象としてみたものを MapC (X, Y ) と書く．本論説では違いはほとんどないので MapC は HomC のことだと思っておいてよい．

無限圏論では極限や Kan 拡張など圏論の基本的な操作を一般化することができる．これらの概念の説明も加えたいところだが，紙面の関係で深くは立ち入れない．ただ，極限の一種であるファイバー積が無限圏論でどのように扱われるかだけ簡単に説明したい．まず空間の無限圏の中

でファイバー積がどのようになるか考えてみよう．空間の図式 X −→Z←− Y が与えられたとき普top
通のファイバー積を X ×Z Y と書こう．これを考えると X → X # がホモトピー同値でも一般に# top
X ×topZ Y → X ×Z Y はホモトピー同値とは限らない．この問題を解決するため古典的にはホモトピーファイバー積 X ×hZ Y と呼ばれるものが考えられた．これは次の組を満たすデータの成す空間である：x ∈ X,y ∈ Y,
f (x) ∼ g(y).
fg

ここで ∼ は Z の中の道（path）を意味している．つまり h : [0, 1] → Z という連続写像で h(0) =f (x), h(1) = g(y) となるものである．重要なことはこのように ×h を定義するとホモトピー同値
X → X # に対して X ×hZ Y → X # ×hZ Y がホモトピー同値になることが示せる．実はこの ×h が空間の無限圏の中でのファイバー積となっている．無限圏論の哲学からするとファイバー積は同値な射で保たれている必要がある．空間の無限圏ではホモトピー同値が同値になっているので普通のファイバー積ではなくホモトピーファイバー積が無限圏のファイバー積になっていることの傍証になるだろう．
より一般的な無限圏 C に対してもファイバー積が同じように定義できるし，次のような普遍性
からも定義できる．つまり，X ×Z Y とは任意の W ∈ C に対して

MapC (W, X ×Z Y ) → MapC (W, X) ×MapC (W,Z) MapC (W, Y )という標準射が同値となることを言う．ここで MapC は空間となるので右辺に出てくるファイバー積は上で導入したホモトピーファイバー積のことである．普通の圏ならばファイバー積は同型を除いて一意に決まる．無限圏の場合は同値を除いて一意に決まるのは簡単にわかるが，もっと強∼い一意性がある．つまり F , F # が両方ともファイバー積であったとき f : F −→ F # という同値な射が存在する．ただこの同値は一意ではない．別の同値 g があったとする．この時ホモトピー（つまり 2 射）f → g がある．ただこのホモトピーも一意ではない．これがずっと続くのでどのような意味で一意なのか明らかにする必要がある．これを定式化するために，無限圏のホモトピー論
的な性質を用いて「全てのファイバー積をパラメーター付けする空間」を考える．ホモトピー的に一意というのはこの空間が可縮であることを示している．無限圏論の一つの哲学は圏論で一意性で特徴づけしていた種々の性質をパラメーター空間の可縮性に置き換えることである．当然議論は格段に複雑になりホモトピー論的になるが古典的な圏論と驚くべきほど並行した理論ができるのである．

3. 6 つの関手と両変ホモロジー理論

6 つの関手の枠組みは Grothendieck によって導入された概念である．Grothendieck によれば「良い」コホモロジー理論があればその裏に 6 つの関手があり，それによってコホモロジーが生み出されるとされる．6 つの関手の枠組みはコホモロジー理論に比べ柔軟な枠組みで，より深い構造を炙り出すのである．簡単のため底体 k を固定する．Sch/k を k 上の分離的かつ有限型なスキームの圏とする．このとき，6 つの関手の枠組みとは各 X ∈ Sch/k に対して三角圏 D(X) を対応させ，
射 f : X → Y に対して関手 f! , f∗ : D(X) → D(Y ), f ∗ , f ! : D(Y ) → D(X) という 4 つの関手と，⊗, Hom という D(X) の自己関手が与えられているもので，様々な関係を満たしている．例えば• D(X) は ⊗, Hom によって閉モノイダル圏となっている．
3• (f ∗ , f∗ ), (f! , f ! ) は随伴対になっている．

• 自然変換 f! → f∗ が存在し，f が固有ならこの自然変換は同値になっている．
• 射影公式，つまり f! (F ⊗ f ∗ G) ∼= f! F ⊗ G という同型がある．

などの性質を満たしている．

例. — 6 つの枠組みを持っているコホモロジー論は色々と知られている．代表的なものを挙げたい．

1. 最も始めに考案されたのは Weil 予想の解決を目的として構成されたエタール・コホモロジー論だと思われる．標数 p の体 k と p とは異なる素数 " が与えられたとき D(X) = Dcb (X, Z/"Z)，つまり構成可能エタール Z/"Z 加群のなす導来圏を取ってくればそれは 6 つの枠組みを持つ．
2. k の標数が 0 のとき，代数的 D 加群の理論は 6 つの関手の枠組みを与えている．それの類似として k が正標数の時，数論的 D 加群と呼ばれる理論があり，それも 6 つの関手の枠組みを持っている．
3. Hodge 理論も 6 つの関手の枠組みを持っており，いわゆる Hodge 加群の理論である．

4. モチビックコホモロジーの理論も 6 つの関手の枠組みを持つことが知られている．Voevodskyのアイディアに端を発し，Ayoub や Cisinski-Déglise らによって構築された（[Ay, CD] など）．

6 つの関手が与えられると大きく分けて二つの関手を定義できる．X ∈ Sch/k をとり，π : X →Spec(k) を構造射とする．D(X) の単位対象を 1X と書き，特に 1Spec(k) を 1 と書く．このとき，!
"Hn (X) := HomD(Spec(k)) 1, π∗ π ∗ 1[n] ,
! ∗
"
HBM
n (X) := HomD(Spec(k)) π! π 1[n], 1 .

Hn (X) は X → Y に対して Hn (Y ) → Hn (X) という関手性があるのでコホモロジー理論である．
HBMn (X) はいわゆる Borel-Moore ホモロジーである．Fulton-MacPherson [FM] はこの二つの（コ）ホモロジー理論を統合し，両変ホモロジー理論を定義した．簡単に両変ホモロジー理論を導入し# という圏を導入する．この圏の対象は f : X → Y という Sch/k の中の射の集合でよう．まず．Arある．この対象は簡単のため X/Y と書くこともある．二つの対象 (f : X → Y ), (g : W → Z) が与えられたとき射 f → g は最も自然なものではなく，少々ひねったものである．つまり，射とは
図式
α
"W
X#
W ×Z Y
!

!

Y

Y

!

!
"Z

# op →で α が固有なものである．合成は自然なものである．この圏を用いることにより，関手 HBM
n : Ar(Ab) を f : X → Y に対して HomD(Y ) (f! f ∗ 1Y , 1Y ) を対応させるものとして定義できる．これが実際に関手になっていることは 6 つの関手の性質から分かる．このように定義すると∼ BM
HBM
n (X/Spek(k)) = Hn (X)HBM (X/X) ∼= H−n (X)nとなっていることが確認でき，二つの理論を統一的に記述していることが分かる．この HBM は
Fulton と MacPherson の両変ホモロジー理論の例になっている．

4

4. 両変ホモロジー理論の無限強化

前節では両変ホモロジー関手 HBM
n を導入したが，これを「無限強化」したい．まず，なぜ無限強化が必要なのかを説明しよう．序説でも述べたように一般にコホモロジーの元は貼り合わせることができない．一方で哲学的には無限圏まで行けば貼り合わせることができるはずで，それは古典論ではコホモロジー降下という形で現れてくるのであった．無限圏まで行ってしまえば元の貼り合わせができたり，写像錐を取る操作が関手的であったりと，従来「禁じられていた」操作がやりたい放題になってしまうという印象を持たれるかもしれない．実際にこれは正しいのだが，困難は実際に貼り合わせの図式を無限圏の中で構成するところにある．もう少し詳しく説明しよう．
X を多様体として X = U ∪ V という開被覆を取る．α ∈ Hn (X) の元を貼り合わせのデータで記述しようとすると以下の 3 つのデータを与えることは同値である：(4.1)

αU ∈ Hn (U ),αV ∈ Hn (V ),h : αU |U ∩V ∼ αV |U ∩V .

ここで 3 番目のデータ h はホモトピーであり，無限圏的なデータである．ホモトピーを構成すること自体はそこまで難しいことではないし，これら 3 つのデータを取ることはそこまで苦労はな
いといえるだろう．では 3 枚の被覆 X = U ∪ V ∪ W であったらどうか？この場合は次のようなデータが必要になってくる：(4.2)

αU ∈ Hn (U ),hV U : αU |U ∩V ∼ αV |U ∩V ,αV ∈ Hn (V ),αW ∈ Hn (W )hV W : αV |V ∩W ∼ αW |V ∩W ,hW U : αU |U ∩W ∼ αW |U ∩W

HU V W : hW V |U ∩V ∩W ◦ hV U |U ∩V ∩W ∼ hW U |U ∩V ∩W .

被覆の枚数がもっと多くなると必要とされるデータがどんどん増えてき，さらに高い次数のホモトピーも必要となってくる．こうなると強引に手で扱うのは難しいと理解いただけるのではないだろうか．
さて，このような貼り合わせの情報をまとめて無限圏の言葉で表現するにはどうすればよいだ
ろうか．そのためにはまず上で ∼ と書いたホモトピーの関係を正確に表す必要があり，導来無限圏 D を導入する必要がある．とはいっても細かい定義をするのはここでは不可能なので，重要な性質のみを列挙する．つまり，次の性質を満たす無限圏 D が存在する：

1. hD ∼= D(Ab) である．つまり，D のホモトピー圏はアーベル群のなすアーベル圏の導来圏となる．別の言い方をすると D は D(Ab) の無限強化である．

2. D は安定無限圏である．つまり，0 対象・任意のファイバー積・余ファイバー積が存在して
おり，ファイバー図式はすなわち余ファイバー図式となっている．

安定無限圏は無限圏の中でも大切なクラスで，アーベル圏の無限版のような趣を持っている．実際，一般にアーベル圏 A に対して D(A) の無限強化となるような安定無限圏 D(A) を構成する一
般的な手法が知られている．導来圏 D(A) の中で定義されているシフト関手 [1] は D の関手に持ち上げることができ，これも [1] と書く．安定無限圏は実にきれいな理論で，三角圏の定義の中ではシフト関手はデータの一つであったが，[1] は安定無限圏の中で定義される関手である．具体的に書くと [1] は X ∈ D を 0 -X 0 に移す関手である．普通の圏論的な思考では 0 -X 0 は 0 になってしまうが，高次ホモトピーの存在から意味のある対象が出てくることに注意する．
これを用いるとコホモロジーの貼り合わせは無限関手

H : Open(X)op → D

として表現できる．この無限関手は π0 Map(Z[−n], H(X)) ∼= Hn (X) を満たしているものと仮定する．つまり，Hn (X) の元を与えることは Z[−n] → H(X) という D の中での射を与えることと同値である．X = U ∪ V の状況を考えよう．このときMap(Z[−n], H(U )) ×Map(Z[−n],H(U ∩V )) Map(Z[−n], H(V )) . Map(Z[−n], H(U ) ×H(U ∩V ) H(V )).
5

の元がどうなっているか考えよう．そのため W ∈ {U, V } に対して ρW : Map(Z[−n], H(W )) →Map(Z[−n], H(U ∩ V )) とする．これは §2 で説明した空間の無限圏でのファイバー積の具体的な表記によれば上のファイバー積の元は次の 3 つのデータで表される：

fU ∈ Map(Z[−n], H(U )),fV ∈ Map(Z[−n], H(V )),ρU (fU ) ∼ ρV (fV ).

ここで最後のホモトピーは Map(Z[−n], H(U ∩ V )) の中のホモトピーである．Map(Z[−n], H(U ))は空間であることから，ホモトピーも正確な意味で定義されているのである．この情報はまさに(4.1) と同じであることが分かるだろう．同じように 3 枚の被覆の場合も同様の無限圏の中の射影極限で表現することができ，このデータの具体的な表記が (4.2) であることが確かめられる．
このように関手 H に必要な貼り合わせの情報がすべて含まれていることが分かる．貼り合わ
せによってコホモロジーが復元できることは「H が射影極限を保つ」という条件に対応することもここまでの観察からわかると思う．つまりコホモロジー降下は H という射影極限を保つ無限関手を与えることとして解釈できるのである．
コホモロジー論は単純に Open(X)op → D という関手でとらえられることが分かったが，両変ホモロジー理論の場合関手性がもっと複雑である．それを表現したのが次の定理である：
定理 (阿部 [A1]). — 「良い」6 つの関手の枠組みを持つコホモロジー理論が与えられているとす!
"
BM (X/Y ) という同∼# op → D が存在して HBMる．この時無限関手 HBM : Arn (X/Y ) = Map Z[n], H# の射に対して両立する．
型が存在し，Ar

ここで「良い」6 つの関手の枠組みを持つということを正確に定式化するのはかなり大変である．この気持ちだけを簡単に解説したい．両変ホモロジー関手の定義の中には f! が出てくる．一番の問題はこの f! を無限圏的に整合性が取れるように定義するのが極めて大変なことにある．まず一番基本になっている関手は引き戻し関手 f ∗ である．これの右随伴を取ることにより f∗ が定義される．f が固有的な場合は f! . f∗ となるべきなので，f! が f が固有の場合に定義できたと思える．次に j が開移入の時 j! は j ∗ の左随伴となっているべきなので j! は j ∗ から定まる．一般の射

f : X → Y の場合，これを X −→X−→ Y で j が開移入，f が固有的であるように分解し f! := f ! ◦ j!となっているべきなので，f! が定まるということであった．このように f ∗ が与えられていれば f!
は（存在は別として）実質的に一意に定まってしまうのである．問題は分解は一意でないし，標準的にとれるわけでもないことにある．そのためどの分解でとっても実質的に同じものであることを示さなくてはならない．無限圏の場合データが極めて多いため，この事実を定式化するのでさえとても大変である．この部分の構成は Lurie のアイディアのもと Gaitsgory と Rozenblyum [GR]によって行われ，6 つの関手の枠組みの無限強化は既に知られていた．6 つの関手が無限強化されていれば上の定理もすんなりと導出されると思うわけで，筆者もそう思ったのだが，実際にはこの無限強化された 6 つの関手の枠組みから上記の定理を出すためには非自明な議論が必要である．
一番の問題はこの 6 つの関手の枠組みは (∞, 2) 圏と呼ばれる，2 圏の無限版という無限圏よりもさらに複雑なものから無限圏的なデータを取り出さなくてはならないことである．
jf

5. 数論幾何への応用

ここまで（苦労して）両変ホモロジー理論を無限化したわけだが，もともとの筆者の動機は分岐理論のホモトピー的解釈にある．本論説とは主題が大きく違ってしまうので，細かい説明は残念ながら省かせていただき大枠のみ説明したい．k を正標数な代数閉体とし，X → Spec(k) を次元が d の滑らかな射とする．" を char(k) とは異なる素数として一つ固定し，Λ := Z/"Z とおく．Fを構成可能 Λ 加群のエタール層とする．この時，斎藤毅氏により F の特性サイクル CC(F) というものが定義されている（[S] を参照）．これは余説束 T ∗ X の d 次元サイクルであり，重要な性質として X が固有的だった時!
"CC(F), TX∗ X = χ(X, F)

6

∗ X は T ∗ X の 0 切断である．特性というようにオイラー・ポアンカレ標数を計算する．ここで TX
サイクルは D 加群の特性サイクルの理論を基本的なモデルとして存在が期待されてきたものである．D 加群の理論では特性サイクルが理論面においても応用面においても重要な研究対象であった．分岐理論と特性サイクルの類似性が 80 年代に Deligne や Laumon によって観察され始め，その頃から " 進層の特性サイクルの理論を構成することが大きな目標とされてきた．特性サイクルの構成に関しては Beilinson による特性多様体（特性サイクルの台となっているべき T ∗ X の閉部
分多様体）の構成に重複度の情報を付与することにより，遂に斎藤毅氏が特性サイクルが定義された．同時に斎藤氏（や Beilinson）によって様々な特性サイクルの性質が示されたが，特性サイ
クルの押し出しとの両立性に関しては予想として残された．予想を正確に紹介しないが，例えば以下の主張は予想の帰結となっている：

予想. — f : X → Y を k 上滑らかな多様体間の固有射とする．F を X 上の構成可能層とした時!
" !
"f∗ CC(F), TX∗ X = CC(Rf∗ F), TY∗ Y
が CH0 (Y ) の中で成立する．

重要なことはこの予想自体は従来の圏論のみで語られている予想で，無限圏は全く必要ない．
しかし，本論説で無限強化をした動機は次の定理を証明することにある：
定理 (阿部 [A3]). — 上記の予想は CH0 (Y ) に char(k) の逆数を添加した群の中で成立する．

証明の方針を簡単に説明したい．まず，平坦エタール系 FlÉtX という Sch/k の（前）層を導入する．定義は込み入っているので詳しくは述べないが次の性質を持っている：

1. FlÉtX (Spec(k)) = K0 Cons(X) である．ここで K0 はグロタンディーク群で Cons(X) は X
上の構成可能層のなす圏である．
$$
2. 一般に FlÉtX (T ) ⊂ t∈geom(T ) K0 Cons(Xt ) であり，FlÉtX の制限射は t∈geom(T ) (. . . ) の制限射から誘導される．ここで geom(T ) は T の幾何学的点の集合である．

FlÉt は高次元底の近接隣体の理論の情報をまとめたものであるということを加えておきたい．
モチビックコホモロジー論の 6 つの関手の枠組み [Ay, CD] は既に述べた Gaitsgory-Rozenblyumの方法を用いることで容易に無限強化できることが知られている．このことから前節の定理をこ# op → D という無限関手が得られる．一つの枠組みに対して適用することができ，特に HBM : Ar
BMの重要な性質として，H0 (X/Spec(k)) ∼= CH0 (X)[char(k)−1 ] というように，Chow 群を計算できることにある．char(k) の逆数を添加しなくてはならないのは特異点の解消が知られていないことによっている．
話を元に戻す．押し出し公式を示すために特性サイクルの定義から見直す．特性サイクル（の0 切断での引き戻し）は FlÉt の言葉を用いると∼FlÉtX (Spec(k)) → HBM
0 (X/Spec(k)) = CH0 (X)という射ととらえることができる．まず第 1 ステップとしてはこのアーベル群の射を構成するのではなく，もっと強く前層の射% : FlÉtX → HBM (X− /−)CC
0BMという射を構成することを考えることである．ここで HBM
0 (X− /−) は T に対して H0 (XT /T ) をBMBM対応させる前層である．同様に Hを §4 の定理で構成したので，無限関手 H (X− /−) も考えることができ，これを Sch/k 上の無限前層と思ったものである．この無限前層は後で用いる．
% を構成するため FlÉtX,0 ⊂ FlÉtX という部分層を考える．これは台がさて，この前層の射 CC

次元 0 となる構成可能層から生成される部分群である．台の次元が 0 なら特性サイクルはただの7

% 0 := CC|%
階数の情報なので CC
FlÉtX,0 は跡射からすぐに構成できる．跡射の構成も自明ではなくこ% 0 を延長するというのが問題となる．
れは [A2] で構成したが，詳しくは立ち入らない．つまり CC
実は延長が一意的にできるという次の定理を示すことができる：!
"!
"
定理 (延長定理). — 制限射 Map FlÉtX , HBM (X− /−) → Map FlÉtX,0 , HBM (X− /−) は空間のなす無限圏の中で同値である．

BM (X /−) にする必要
この定理のためには普通の前層 HBM−
0 (X− /−) では不十分で無限前層 Hがある．これは証明の中で cdh 降下を用いなくてはならないことにある．HBM(X− /−) は cdh 層0ではない．そのため高次ホモトピーまで考慮した無限層 HBM (X− /−) を考える必要が出てくる．
一つのカギはこの無限前層は cdh 層になっていることである．延長定理の証明は込み入っているので残念ながらこれ以上述べられない．
実はこの延長定理はより一般的な定理から導かれており，例えば HBM (X− /−) を HBM (Y− /−)に変えても成立する．この事実を認めれば押し出し公式を示すことは容易である．押し出し公式
は次の可換が図式であることを示せばよい：

FlÉtX" HBM (X− /−)!

!
" HBM (Y− /−).

FlÉtY

延長定理によれば，これを示すためには FlÉtX,0 に制限して示せばよいことが分かる．これは跡射の性質から簡単に導かれ，証明が完結するわけである．このように，無限化したコホモロジー
理論を用いることによって降下でコホモロジーの元を構成することができ，押し出し公式の証明を与える．無限圏の枠組みは非常に柔軟であり，これからますます興味深い応用が出てくるのではないかと期待している．

References

[A1]
[A2]
[A3]
[Ay]
[CD]
[FM]
[GR]
[G]
[L]
[S]

Abe, T.: Enhanced bivariant homology theory attached to six functor formalism, プレプリントはarxiv.org/abs/2008.01948 で入手可.
Abe, T.: Trace formalism for motivic cohomology, プレプリントは arxiv.org/abs/2108.07459 で入手可..
Abe, T.: Ramification theory from homotopical point of view, I, II, プレプリントはご要望があればお送りします．
Ayoub, J.: Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le mondemotivique (I), (II), Astérisque 314, 315, (2007).
Cisinski, D.-C., Déglise, F.: Triangulated Categories of Mixed Motives, Springer Monographs in Mathematics (2019).
Fulton, W., MacPherson, R.: Categorical framework for the study of singular spaces, Mem. AMS 243,
AMS (1981).
Gaitsgory, D., Rozenblyum, N.: A study in derived algebraic geometry, Mathematical Surveys and Monographs 221, AMS (2017).
Groth, M.: A short course on ∞-categories, arxiv.org/abs/1007.2925 で入手可.
Lurie, J.: Higher topos theory, Ann. Math. Studies 170, (2009).
Saito, T.: The characteristic cycle and the singular support of a constructible sheaf, Invent. Math. 207,
p.597-695 (2017).

阿部知行：
東京大学 カブリ数物連携宇宙研究機構（WPI）
277-8583 千葉県柏市柏の葉 5-1-5
e-mail: tomoyuki.abe@ipmu.jp8