2022年度河川技術に関するシンポジウム

確率限界法検定を導入した
極値降雨量時系列の非定常性評価
児玉武史1・清水啓太2・山田朋人3
1学生会員

北海道大学工学部環境社会工学科国土政策学コース
2正会員 博士(工学) 北海道大学博士研究員 大学院工学研究院
3正会員 博士(工学) 北海道大学教授 大学院工学研究院

近年における記録的豪雨の多発について

2

過去経験のないような近年の豪雨に対していかに対策を講ずるべきか？⇒膨大な気候シミュレーションにより実現する“物理的に発生し得る豪雨リスク”が評価可能となってきている．

確率降雨量の不確実性評価

3

力学的予測結果は，理論により導かれる統計的閾値と整合する．
→力学的予測と統計的予測の統合が確率降雨量の不確実性評価の頑強性を担保する上で重要．
地球温暖化対策に資するアンサンブル
気候予測データベースd4PDF

十勝川帯広基準地点流域

過去実験

4℃上昇実験
(Shimizu et al, 2020)

年最大72時間降雨量 [mm]

確率年 [年]

過去・将来数千年間分に亘るアンサ
ンブル気候実験により，将来の豪雨災害リスクが分布として評価可能になる．

非超過確率

力学的ダウンスケーリングの実験デザイン(Yamada et al, 2018)

研究目的

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【研究背景】
・地球温暖化に伴う気候変動の影響により降雨量の非定常性の顕在化1)2)3)．
・過去の観測情報から年最大降雨量の母集団分布の推定が行われるが，観測値は推定分布上に完全に載ることはなく，ある幅の中に存在する（観測により蓄積された時間方向での情報量に依存して年最大降雨量の取りえる幅が存在）．

確率限界法検定を用いた非定常性の評価手法の提案．
・確率限界法検定は，所与の時間スケールにおいて実現し得る年最大降雨量の統計的閾値を算定可能．
・本手法により，年最大降雨量の非定常性の強度が時間軸上で評価されるとともに，過去の観測値から推定した母集団分布の信頼性の診断が可能となる．
1) P. C. D. Milly, Julio Betancourt, Malin Falkenmark, Robert M. Hirsch, Zbigniew W. Kundzewicz, Dennis P. Lettenmaier, Ronald J.
Stouffer: Stationarity is Dead: Whither Water Management?, Science, Vol. 319, pp. 573-574, 2008.
2) 気象庁: IPCC第5次評価報告書 第１作業部会報告書政策決定者向け要約, 2014.
3) 国土交通省: 気候変動を踏まえた治水計画にかかる技術検討会 「気候変動を踏まえた治水計画のあり方」提言 令和3年4月改訂,2022.

観測値の増加に伴う“推定幅”の更新

観測値(1920年から1969年)に当てはめたGumbel分布
観測値(1920年から1969年)
標本サイズ；50
観測値(1920年から2018年)
標本サイズ；99
観測値(1920年から1969年)
に対する確率限界値
観測値(1920年から2018年)
に対する確率限界値

年最大12時間雨量 [mm]

確率年 [年]【研究目的】“診断する関数形を明示”しつつ，“幅を考慮”した，非定常性の診断手法の提案

非超過確率

計画降雨量等は過去の観測情報に基づく確率分布より推定されてきた．
…極値降雨量時系列に対する非定常性の評価手法の確立が急務

確率限界法検定の概要

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森口（1995）はKolmogorov-Smirnov検定の裾野での検定力の低さを改善させた理論として確率限界法検定の理論を構築した．
確率限界法では，ある順位の累積確率（年最大降雨量の“発生確率”）がベータ分布に数学上従うことを取り入れ，検定力を高めた．
森口繁一：確率表現関数の検定について―Kolmogorov-Smirnov検定を考え直す―，pp.233-244，日本統計学会誌，第25巻，1995.

森口繁一(1916~2002)
東京大学名誉教授
写真出典；日本OR学会

統計的に実現する可能のある年最大降雨量の幅（両緑線の幅）

確率限界法検定における検定統計量の導出
これまでの降雨観測の歴史は可能性の一つの実現結果（「確率の経路の一つ」）．（順序統計量としての）年最大降雨量の発生確率自体は確率分布（ベータ分布）に従う（理論上自明）．

6

確率限界法検定における検定統計量の導出
標準一様分布からの乱数生成→過去発生し得た年最大降雨量の発生確率のとり得る幅が推定可能（実現可能性のある確率の経路の算出）

7確率限界法検定における検定統計量の導出

8

検定統計量分布の実現値は，（確率の経路の）標本のうち最大値となることに着目し，検定統計量分布に対して極値分布の仮定を導入した．これにより，有意水準と検定統計量の関係を確立し，同理論の水文頻度解析への導入が実現した(清水・山田ら，2018) ．

確率限界法検定の理論により，年最大降雨量の発生確率自体がとり得る幅が導出可能となった．

年最大雨量（順位統計量）の累積確率uの累積確率F(u)確率密度

所与の順位におけるベータ分布

全ての確率の経路から抽出した確率αminのサンプルから検定統計量分布を構成

検定統計量の確率分布
有意水準p%-log(2αmin)

検定統計量の実現値αmin
各経路に存在する確率のうち，最小のものが検定統計量の実現値αmin
年最大雨量（順位統計量）の累積確率u

有意水準に応じてαを与え，棄却限界線を構成（年最大降雨量の発生確率に対する統計的閾値）確率限界法検定の概要

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森口（1995）はKolmogorov-Smirnov検定の裾野での検定力の低さを改善させた理論として確率限界法検定の理論を構築した．
確率限界法では，ある順位の累積確率（年最大降雨量の“発生確率”）がベータ分布に数学上従うことを取り入れ検定力を高めた．順序統計量の生起確率に対して，所与の有意水準の統計的閾値を導出する．

確率限界法により導出される年最大雨量の生起確率の幅（緑線）

年最大降雨量の統計的閾値（両緑線の幅）

年最大雨量（順位統計量）の累積確率uの累積確率F(u)ベータ分布

青点；観測実績
観測実績は可能性の中の一つの経路

年最大雨量（順位統計量）の累積確率u

年最大降雨量に対してどのような分布を仮定しても， →年最大降雨量の統計的閾
その生起確率(累積確率としての)の幅は確率限界法によ値が推定可能となる．
り“一意的に”定まる．

確率限界法検定の定常・非定常評価への導入

確率限界法検定によるp値の時系列

非超過確率【年最大降雨量時系列{x1, x2,…xn}（標本サイズ；n）の非定常性評価手法の手順】（1）所与の期間の観測値から年最大降雨量の母集団分布を推定する．
このとき，推定母集団分布を帰無仮説とする．
（2）i個の年最大降雨量の観測標本{x1, x2,…xi}に確率限界法検定を適用し，時点iでのp値を算出．
（3）手順(2)をi=1からnまで繰り返し，p値の時系列を得る．※iは年数を表す（1≦i≦n）．

観測値(1920年から1969年)に当てはめたGumbel分布
観測値(1920年から1969年)
標本サイズ；50

確率年 [年]

観測情報の蓄積に伴い，年最大降雨量の統計的閾値への推定が更新される．

確率限界法検定により，仮定した年最大降雨量分布の下で生起しうる豪雨の振れ幅を高精度で推定可能．
⇒大規模豪雨の統計的特性の診断（定常・非定常評価）に適用．

観測年最大流域平均雨量の時系列10

観測値(1920年から2018年)標本サイズ；99
観測値(1920年から1969年)
に対する確率限界値
観測値(1920年から2018年)
に対する確率限界値

母集団分布の推定に使用した期間(1961年~1990年)

年最大12時間雨量 [mm]5年

時間 [年]
帰無仮説の信頼性が時間軸上で評価可能．

年最大降雨量 [mm]

年最大降雨量 [mm]

確率年 [年]

確率年 [年]
非超過確率

確率年 [年]
非超過確率

非超過確率

帰無仮説の下で，年最大降雨量の取りうる幅が変化していく．

年最大降雨量 [mm]

本手法による非定常性の検出力の検証実験
検証実験の概念図

擬似乱数の時系列

111   x −       x −   f ( x;  ,  ) = exp  −   exp − exp  −            f(x；μ，σ)：Gumbel分布の確率密度関数，
x：年最大降雨量[mm]，μ：位置母数，σ：尺度母数

100年間分に亘る年最大降雨量の時系列データをモンテカルロ法により疑似的に生成．このとき，50年を境として，生成する乱数の従う確率分布を変化させることで，非定常を組み込んだ時系列データを作成．

1921~1970年に相当する疑似的な年最大降雨量を生成する
確率分布の概念図（1≦t≦50）

従来時系列の非定常評価に用いられてきたMann-Kendall検定と本手法を比較し，検出力の差異を定1971~2020年に相当する疑似的な 量化させる．
年最大降雨量を生成するGumbel（51≦t≦100）

Mann-Kendall検定による非定常評価
Mann-Kendall検定を適用した乱数時系列※1番目と50番目のデータが従う確率分布と51番目から100番目のデータが従う確率分布は異なる．

Mann-Kendall検定の概要
𝑛−1𝑛12

𝑆−1

𝑆>0𝑉𝑎𝑟(𝑆)𝑍=0 𝑆=0
𝑆+1
𝑆<0𝑉𝑎𝑟(𝑆)𝑛(𝑛 − 1)(2𝑛 + 5)
𝑉𝑎𝑟 𝑆 =
18nはデータの総数

𝑆 = ෍ ෍ sgn(𝑋𝑗 − 𝑋𝑘 )𝑘=1 𝑗=𝑘+1sgn 𝜃 = 1 𝜃 > 0sgn 𝜃 = ൞ sgn 𝜃 = 0 𝜃 = 0sgn 𝜃 = −1 𝜃 < 0

昇順に並べ替えたデータの順列において，同じ値が連続している部分が何回あるかを示した変数をkとおいている．また，その連続部分が出現した順番をjとした．
Zは統計量Sを標準化した関数であり，Zは標準正規分布に従う．

有意水準5%のMK検定では棄却されない．
×2

標準統計量Zの時系列

検定統計量分布

統計量Sの時系列

5p値の時系列変化

対象時系列にMann-Kendall検定（以降，MK検定とも表記）した結果，算出されたp値の時系列の変動が大きい．ことが分かる．

観測年最大降雨量時系列の非定常評価結果

13

100年間分の疑似的な年最大降雨量の時系列を300セット作成．

時間 [年]⇒数値実験において使用するGumbel分布 ※青線は(1≦t≦50)で{μ,σ}={250,50}であり，赤線は(51≦t≦100)で{μ,σ}={280,70}

Mann-Kendall検定によるp値の時系列

確率限界法検定によるp値の時系列

非定常性の検出力が高い

有意水準5%

時間 [年]

t=100でのMK検定の検出力：52.7 (158/300)

有意水準5%

時間 [年]

t=100での確率限界法検定の検出力：70.0 (210/300)

確率限界法検定による観測年最大降雨量の非定常評価結果 14【対象のデータ】
全国一級河川流域に位置する基準地点における年最大流域平均雨量（113地点）※対象データの降雨継続時間は，計画降雨継続時間である．

緯度

緯度

1961年から1990年に亘る30年間分の年最大降雨量の観測値から推定したGumbel分布を母集団分布と仮定した際の確率限界法検定によるp値を算出．その空間分布を示す．

【帰無仮説】
1961年から1990年に亘る30年間分の年最大流域平均降雨量の観測値に当てはめたGumbel分布
経度

緯度

緯度

経度

経度

強

経度
(非定常性の強度)

弱

近年では母集団と仮定した分布からの逸脱が全国的にみられる．2019年時点では北海道地方と東北地方は，他地方と比較して相対的に非定常性が検出された流域の割合が高いことが分かる．

MK検定と確率限界法検定の検出力の差異の背景にある数理的構造 15
北海道沙流川水系沙流川平取基準地点
における年最大流域平均雨量

Mann-Kendall検定の検定統計量の特徴：

確率限界法検定において検定統計量を与えた降雨量

時点tにおいて，検定対象となる標本中の全てのデータ{x1, x2,…xt}（標本サイズt）を用い，検定統計量Zが算出される．⇒標本中のデータ全体に重きを置くと言える．

母集団分布の推定に使用したデータの期間：1961年~1990年

確率限界法検定の検定統計量の特徴：
仮定分布に従う年最大降雨量の累積確率の“経路”の中で，ベータ分布上で最も稀な生起確率が検定統計量αminとなる．⇒検定統計量αminよりもベータ分布上で低い累積確率値が出現しない限り，p値が急激に変化することはない．
〇本手法は，関数形が確定した確率分布の非定常性評価に有効である．

有意水準5%での検定

5p値は，減少傾向にあったが，時間経過に伴うデータの蓄積に伴って上昇．

時間経過に伴いデータが蓄積しても，分布が棄却され続ける．

5
確率限界法検定によるp値の時系列変化

Mann-Kendall検定によるp値の時系列変化

まとめ

1616

本研究では確率限界法検定に基づく新しい定常・非定常性評価手法を提案した．
本手法は，極値に対して高い検定力を有する確率限界法検定を時間軸上で逐次的に行うことで，年最大降雨量時系列の非定常性の強度をp値の時系列として定量化させるものである．
・適合度検定の採用は，診断される確率分布の関数形が確定している利点がある．
・時間軸上で，年最大降雨量がとりうる幅（棄却限界値の幅）が更新されることは，時間方向での情報量を表現可能な点で利点である．

本手法は，年最大降雨量の非定常性の強度が時間軸上で評価できるため，過去の観測値から推定した母集団分布の信頼性の診断が可能となる．
適用事例としては，本手法は，計画降雨量の推定に使用してきた確率分布の信頼性を推定当時よりも時間を経た現在時点（観測情報を増えた時点）において，診断する等の検討に資するといえる．

観測値(1920年から1969年)に当てはめたGumbel分布
観測値(1920年から1969年)
標本サイズ；50

確率年 [年]

非超過確率

本手法を全国の基準地点流域平均年最大降雨量に適用した．その結果，近年では母集団と仮定した分布からの逸脱が全国的にみられる．2019
年時点では北海道地方と東北地方は，他地方と比較して相対的に非定常性が検出された流域の割合が高いことが分かった．

時間経過に伴い“幅”が更新．

観測値(1920年から2018年)
標本サイズ；99
観測値(1920年から1969年)
に対する確率限界値
観測値(1920年から2018年)
に対する確率限界値

年最大12時間雨量 [mm]
過去の観測値から推定した母集団分布が今後も確からしいのであれば，幅の中に新たなデータが落ちるはずである．
一方，幅の外にデータが落ちるならば，非定常性が時間的に増加していると判定する．