理論と実験の比較田中東樹

2022 年 12 月 5 日

Fig. 1.
―― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ‐ ‐ ¨ ‐ ¨ ¨ ¨ ¨ ‐…

‐ ¨
… … … … … …

‐ い ‐ ‐ ‐ ¨・‐ロ ロ ロ ロ"・■ 口 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨ロロ ￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨￨11111111111111111111111llllillllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllilillllllllllll:]・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

弾性散乱の典型的なエネルギースペクトル

HEAVY 10N SPECTRA
Au― Si SuRFACE BARRIER DETECToR

INCIDENT 10N ENERGY ‑26 5 Mevｎ１〇 一 Ｘ
コ﹈ Ｚ Ｚ く 工 Ｏ∝ ﹈α∽卜 Ｚ ⊃ Ｏ Ｏ︒
Ｌ５十１＋︱︱十︲Ｉ

ANGLE OF OBSERVAT10N ‑26° LA3

8090ANAビ

̀ZER cHANNEL NUMBER

Fig. 1. Typic。 I Heovy:onSpectrOob,oined wilh。 2× 2 mm′ 100‐ 。hmocm Au‐ Si Surfoce‐Fig.
1. 弾性散乱の典型的なエネルギースペクトル

BOrrier Detector.

Figure 3 presenis two ongulor distribufions fOr

Fig. 1. の横軸はエネルギーに対応する量，縦軸は検出された粒子の数を表している．
016 1。 ns elostic。 ‖y Sc。 ォlered frOm cOrbOn′show̲

︑０一りヽぬＥ ２〇 一卜Ｏ﹈∽ ∽∽０∝Ｏ コく 一卜２ Ш∝﹈﹂﹂一●ing tthe typicOl decreOse in the experimentOl
それぞれのピークに対応する粒子を決定する方法の一つとして実験ゼミの課題
1 で取り組crOss
ELASTIC SCATTERING
sections
below
theRutherfOrd
predictiOns
cl十 。lher161。
̲。
NS ON GOLD[二 l Fig. 1. の左側のスペクトルに関して課題 1 のプログラムんだものが考えられる．例えば
than fOrwOrd ongles. Definite Oscillolory Sfruc‐
三十ure is superposed On the decreose′ however′ ond
27Mevを実行すると図1 から図4 が得られた．
￨ ￨￨theexperimental

cross

sectiOn exceeds theRutherford predictiOn over O sm。 ‖ Ongulor rclnge
preceeding tthe breok′

chOracteristic Of the predic̲

tions Of the BIoir shOrp cutOff model.4

fractiOn in these curves′ fOr which
η=5.3 ond 5.8′
respectively′ in cOntrost to the do,。 surveyed byMclnlyre θ′ α′ which suggested thOl diffrOctiOn
Sfructture would be expected Only fOrη ≦ 5. ￨￨1 shOuld be emphclsized however′thcャ this diffrac̲tion structure is markedly domped wifh decreosing.′

020 40 60 80 !Oo 120
CENTER OF MASS scATTERING ANGLE

Fig. 2.

1t issomewhoi surprising lo find such prOnounced dif̲Elostic sc。 ,lering Of 27‐ Mev o16 1。 ns fromCold. 丁he sOlid curve is the Rutherford Predicャ ion.

4」

. s. B!。 ir′ Pみ ys, R̀υ . 95′1218(1954).

Angle (lab.) vs Energy (lab.)
Energy [MeV]

Energy [MeV]

Angle (lab.) vs Energy (lab.)
30
Incident Particle
Target Particle

2530
Incident Particle

202015151010550020

40

6080

10012000140
160
180Angle (lab) [deg]Target Particle2520

図 1: 12C と C

40

Incident Particle
Target Particle

2515101055100120140160180Angle (lab) [deg]図 3: 12C と P

Target Particle

251580140160180Angle (lab) [deg]Incident Particle

2060120302040100Angle (lab.) vs Energy (lab.)
Energy [MeV]

Energy [MeV]

Angle (lab.) vs Energy (lab.)2080

図 2: 12C と O

3000600020406080100120140160180Angle (lab) [deg]図 4: 12C と H

図 1 から図 4 の角度が 26 度の点がそれぞれの粒子が持つエネルギーである．しかし図を見れば分かるように，Fig. 1. とはいくつか矛盾がある．一つ目は H と散乱した 12C が26 度で検出されていること，二つ目は散乱粒子の持つエネルギーの大小が O の場合と Pの場合で違っていることである．一つ目の矛盾点は図 4 を見れば明らか．二つ目の矛盾点は詳細な値をとると分かる．26 度で検出される散乱粒子のエネルギーは O と散乱したとき約 22.7 MeV，P と散乱したとき約 22.3 MeV となって，大小関係が Fig. 1. と異なっている．

2︒
Ｌ５十︲ＩＯ

80

90
ANAビ

Fig. 2.
16

̀ZER cHANNEL NUMBER

Fig. 1. Typic。 I Heovy:on SpectrO ob,oined wilh。

2× 2 mm′

O と Au の散乱

Figur016 1。
︑０一りヽぬＥ ２〇 一卜Ｏ﹈∽ ∽∽０∝Ｏ コく 一
卜２ Ш∝﹈﹂﹂一●ing tthsection
than fOr
十ure is

ELASTIC SCATTERING̲。 161。 NS ON GOLD[二 l￨￨ ￨27 Mev三theex

Rutherf

preceeditions O

somewhofractiOn
respecti

Mclnlyre
Sfructt
shOuldtion str

020406080!Oo 120
CENTER OF MASS scATTERING ANGLE
16

Fig. 2. O と Au の散乱
Fig. 2. Elostic sc。
,lering Of 27‐ Mev o16 1。 ns from
Cold. 丁he sOlid curve is the Rutherford Predicャ ion.

4」

Fig. 2. の横軸は重心系における散乱角，縦軸は微分散乱断面積を表している．クーロン散乱における微分散乱断面積はよく調べられていて，それはdσc (ϕ)=dΩ(ZZ ′ αh̄c2mv 2)21=4sin (ϕ/2)(ZZ ′ αh̄c4E)21sin (ϕ/2)
4と表される．Fig. 2. を見ると理論と実験が整合していることが分かる．

1523(1). s.

Fig. 3.

異なるエネルギーでの 16O と C の散乱

016+c12̲ヽご:IЯ i

ヾ

ぴ０１

「＼♂

l157 Mev￨ ￨ ￨ ￨ASTiC SCATTERING

５︒

寸Ю︑

♂

ｒ

∝ ﹈■ Ｚ Ш ＯЮヽ︒

Ｉヽ︲﹂︒ち＼ＯＥ ２０ＦＯｕ∽ ∽∽０にｏコ≦ 卜２﹈∝Ш﹂﹂ ０∽∽くＬＯ︐∝ ロ ト Ｚ ШＯ︒︱ＬＯ

ご ︒ち ＼ Ｏ Ｅ ２ 〇 一卜 Ｏ Ш ∽ ∽ ∽０ に Ｏ コく Ｆ Ｚ Шα ﹈ ﹂Ｌ ● ∽ ∽ く Ｅ

ELASTIC SCATTERINGコいCENTER OF MASS SCAπ ERING ANGLECENTER OF MASs scATTERING ANGLE

Fi9.3.Angulor Dis,ributions fOr o16。 n CorbOn. An Ongu10r
Fig. 3. 異なるエネルギーでの 16O とresolu,ion
C の散乱 Of〜 o.5° hos been used in thesosurements. The dOshed curves Ore tthe Rυ

therford prediclions.

Fig. 3. の横軸は重心系における散乱角，縦軸は微分散乱断面積を表している．どちら
hence increosing
η′ in Ogreement withlntyre's observ。
liOns.の図でも 40 度より小さい角度では理論と実験が整合しているが，それ以降は理論値と比16。

ergy′。
N MAGNESiUM
Figure 4 shOwsべて実験値が小さくなっていることが分かる．またグラフは単調減少する関数に周期性をOngulor distributiOns Of 016 ions

EcM=19† M ev

2lllagnesium ond On clluminunl′。goin shOwing tthe持った関数が重なったように見える．この周期性はブレア模型から予測されるものと整合lするが，剛体球ポテンシャルに対して第0 次ボルン近似を行っても現れる．
『iCr[■ :emT¶誌 ij胤臓 」肥 思 ∫0806

Om d。 ￨。 such os fhese′ we hove extroctedieroctiOn rodil which l shcl‖ summcrize in α04

le oォ the conclusiOn Of this poper.

02

Hclving the 10ndem energy vorio十 ion cvoiloble it:∬〇oslic scclttering of 016 by corbOn mecsured of鍋.[̲42pttctts II冠:ホ ::誦 iei鳥 ′なrgies below tthe cOulomb bOrrier the 90° yieldin occOrd with tthese predictiOns but αt higherergies

il drops below Ond shOws relofivelyrP resOnclnt slructture.

The grOss structure cl十０:十01

０ ０lly』]∬ 里∬
lle鯉 :n:∬禅
on s. Figure 5 shOws excitotion curves for theyttrilξ

02

4y橋 鳳 満01008006004

̲ゴ 三「80 100 120「 20 40 60=̲1車:平 I「CENTER OF MASS SCATTERING ANGLE

剛体球ポテンシャルに対する第 0 次ボルン近似
まずはシュレディンガー方程式を積分方程式に書き直す．シュレディンガー方程式は k =U (r) = 2mV (r)/h̄ とおくと(∇2 + k2 )u(r) = U (r)u(r)√2mE/h̄，(2)と書ける．式 (2) の形の微分方程式は良く調べられていて，その一般解は式 (2) の特解と(∇2 + k2 )u(r) = 0(3)の一般解の和で表されることが分かっている．式 (3) は自由粒子のシュレディンガー方程式であるから，その一般解は既知である．よって式 (2) の微分方程式の特解を求めれば良い．それにはグリーン関数 G(r) を利用すると楽である．G(r) を用いると特解は∫

χ(r) =dr ′ G(r − r ′ )U (r ′ )u(r ′ )と表せる．G(r) は(∇2 + k2 )G(r) = δ(r)によって定まる．実際に計算して G(r) を求めるとG(r) = −eik|r|4π|r|であることが分かる．ここで十分遠方における波動関数の境界条件はu(r) = eikz +eikrf (ϕ)
rと書けることであった．よって式 (3) の一般解から eikz を選ぶと波動関数はu(r) = eikz −1 eikr4π r∫′′dr ′ e−ik ·r U (r ′ )u(r ′ )と書ける．つまり散乱振幅は

f (ϕ) = −m2πh̄2∫′(kr ′ = k′ · r ′ である．)′dr ′ e−ik ·r V (r ′ )u(r ′ )(4)と表せる．ここで第 0 次ボルン近似とは式 (4) においてu(r) = eikz = eik·rとすることである．これにより球対称ポテンシャルならば∫′′mdr ′ ei(k−k )·r V (r ′ )f (ϕ) = −2πh̄2()∫
2m 1 ∞
ϕ=− 2rV (r) sin(qr)drq = |k′ − k| = 2k sin2h̄ q 0と書ける（ϕ は重心系における散乱角）．剛体球ポテンシャル{V (r) =を考えると

2m V0 a3f (ϕ) = − 2h̄ (qa)2V00((r ≤ a)(r > a)sin(qa)− cos(qa)qa)となる．これから得られる微分散乱断面積が ϕ によって振動する関数となっている．

5(5)

︒

ヽ︲﹈∝Ш﹂﹂ ０∽∽く︐ヽコAπ ERING ANGLECENTER OF MASs scATTERING ANGLE

Fig. 4.
。 n CorbOn.
16 An Ongu10r resolu,ion
16
Of〜 o.5° hos been used in theseυ

O と Mg， O と Al の散乱

therford prediclions.

ement with16。

。

Of 016 ions

N MAGNESiUM

EcM=19† M ev

shOwing tthe2l臓 」肥

08
06

思 ∫

extrocted
crize in α

04
02

cvoiloble it０

es for the０ ０

e鯉 :n:∬〇

mecsured of誦 iei鳥 ′な

90° yieldt αt higher

elofively

01

02

y橋 鳳 満01008
006004

̲ゴ 三「80 100 120「 20 40 60=̲1車

ucture cl十Oscillo‐:平 I「CENTER OF MASS SCATTERING ANGLE

Fig. 4.

lons shown

1616Fig. 4. Distributions
O と Mg， O とAl の散乱
Angulorforo16 。n Mognesium

ond Aluminum. The d。 十o ore normolized十 o the Rutherford

he effec̲

predictiOns of fOrword Ongles.

he Ongulor Fig. 4. の横軸は重心系における散乱角，縦軸は微分散乱断面積の比（実験値/理論値）

tture withを表している．この場合でも 40 度より小さい角度では理論と実験が整合しているが，そshows less structure′ reflecting nucleor absorp―
れ以降は理論値と比べて実験値が指数関数的に小さくなっていることが分かる．また比がdOI。 ′ Os

distclnce′tion in this energy range.
1 を超える角度がある．これは波動性による干渉が原因である．

Before commenting furlher on tthese dO十 o l shOuld肺二∫騨:iUよ :T視 聟t繁 IP‖ ￡6:ccses bOth becouse of the speciOl symmefries in‐v。 lved

in the scOftering of identicol sPin̲zerOFig. 5.

微分散乱断面積のエネルギー依存性

η

ELASTIC SCATTERING
EXCITAT10N CURVES
16+c12。

Ⅸ諷2りφηδ′丁he plus orequotion depe

wave functio

simply enumer

identicol partwe Ob十 oin ih
丁he first t
RutherfOrd pr
the third isquontum
CENTER OF MASS ENERCY IN Mev

Fig. 5. 異なる散乱角での 16O と C の散乱
F ig. 5. Excitotion Curves for 016 Elostico‖ y Sco,‐

tered by Carbon. The dOshed curves Ore the Rutherfordpredictions.

mechln effec十 ′ 十predicfiOns
bo十 h of tthe%P鼎￨°

been demOnst
bo son s′o cre required toond becouse these d。 十moke oHOwonces fOr the ubiquilous corbon andoxygen confominonts in cIIl o十 her mecsurements.
We were porticulorly interested in the possibility
7
Of finding essentiol differencesin these twO。fccses which mighi be interpretable in the ligh十nucleOr structure.
BefOre presen十 ing these results l shOuld like t。

recently bytering of loin heovy iOn
moss serve tos we sha‖becr in mind

tion disOppecr

Fi9ure 6 p

Fig. 5. の横軸は重心系におけるエネルギー，縦軸は微分散乱断面積を表している．微分散乱断面積は式 (1) で与えられ，1/E 2 に比例する．古典的なラザフォード散乱から導かれる最接近距離は

Z1 Z2 e2
D=2E(

11+2sin (ϕ/2))で与えられる．

図 5: 最接近距離

Fig. 3. と Fig. 4. ではある散乱角以上から，Fig. 5. ではあるエネルギー以上から理論値と実験値の乖離がみられる．最接近距離が散乱角とエネルギーに対する減少関数であることを考慮すると，それは最接近距離が核力の影響を無視できないほど小さくなった結果，理論値とのズレが発生し始めたということだろう．Fig. 2. では乖離が見られなかったが，それは最接近距離が余り小さくならなかったからだと考えられる．

8

Fig. 6.

異なる散乱角での 16O と 16O の散乱一16+。 16̲

vantage of the foc一。

ＧＮ︲ＳＡＬコＥ︲ヨ﹁「lC SCATTER

contributions t
the spectrol onparticle scolter
the sc。 ltered o＼一Ш卜∽メ∽ ∽∽く一

independent Of tth

the coinciden十ran ged.
ゝ0leogues 。1 0ok
l would osk you
十he Mo十 十 pred＼ゝ一―――― MOTT SCATTERIenergy.

＼ＧＮ

cM・
φcM 38°dependence Ofヽ

一一

ヽM・ 90°一。一‑O φ58°

一̲ongles Other th一

ＬＯ α﹈卜Ｚ﹈０ ００﹂ｏ一０＼ＯＥ こ や＼ｏ０Onl
re9istered′ theplete cccOrd wiOn。 lysis o10ne.
have been widel

Figure 7 shows
oxygen elclsticO‖

̲ PREDiCT10NS

Of these energi

os cn十 :cip
十ionS Cre in comOnd′

theCENTER OF MASS ENERCY(Mev)
6. Exci,o,ion Curves for 016 ElosticO‖
tered by OXygen.
F ig。

predicled

Fi9ure 8 shows oy Sc。 1‐energies abOve

leristic decreOs
predictiOns′

1616butFig. of
6. 異なる散乱角でのO と EO2の散乱
mOdulotion
the choracteristtic
dependence.

Before cOmmenti

hol for energies below
lt is clear from these dOt。 十the Coulomb borrier′ in tthis cose。 + 10.5 Mev′ the十prediciions
dctα are in good accOrd with the M。 十9

like tO shOw yO
for cOmparison.
αgoincurveS′

ond fho十 ot higher energy the cross section drops
丁hisrapidly oS o resul1 0f nuclecr cbsOrplion.

behclvior is now we‖ known from other scclttering
meosurements with deuterOns′ 6 。lpho porticles′ 7

befOre′fOr ener

the MOfl predicti

mentol dcto.

lnhowever′ for ene

Fig. 6. の横軸は重心系におけるエネルギー，縦軸は微分散乱断面積を表している．同種粒子の微分散乱断面積はモットの公式で与えられる．

dσ(ϕ)=dΩ(ZZ ′ αh̄c2mv 2)2 [11+sin (ϕ/2) cos4 (ϕ/2))](21mcZZ ′ α2S2+(−1)
ln tan (ϕ/2)
cos
2S + 1 sin2 (ϕ/2) cos2 (ϕ/2)h̄k()2 [ZZ ′ αh̄c11=+444Esin (ϕ/2) cos (ϕ/2)()]
12mcZZ ′ α2S2+(−1)
cosln tan (ϕ/2)
2S + 1 sin2 (ϕ/2) cos2 (ϕ/2)
h̄k4

微分散乱断面積は式 (1) と同じように 1/E 2 に比例する．Fig. 5. の場合と同様にあるエ
ネルギー以上から理論値と実験値の乖離がみられるが，散乱角が小さいと最接近距離は大きくなるためズレは小さくなっている．

参考文献[1] D. A. Bromley, J. A. Kuehner, and E. Almqvist, “Heavy-ion Reaction Mechanisms. Elastic Scattering Data,” Proc. of the Second Conference on Interactionsof Complex Nuclei (New York: John Wiley, 1960).
[2] J. Sakurai, and J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics (3rd ed.) (Cambridge: Cambridge University Press, 2020), p.384.

10