グラファイトにおける比熱の２重ピーク構造の発見

物性研究所・附属国際超強磁場科学研究施設・小濱 芳允、Zhuo Yang (杨 卓)
黄身が 2 つある卵は二黄卵と呼ばれる。幸運の兆しだと子系化合物の比熱測定を行ったところ、類似の 2 重ピーク捉える文化もあるらしく、1 つと思っていたことが 2 つあを発見し、同様に f 電子系化合物である CeRu2Si2 におけると人は嬉しいということだろう。本稿では、1 つだと思る 2 重ピーク構造の解釈[3]を思い出した。この青木らにっていたグラファイトの量子振動のピークが、比熱のみ 2よる CeRu2Si2 論文では、電子状態密度に鋭いピークを 1つに分裂する現象について紹介する(図 1c)[1]。この比熱つ有し、これがゼーマンエネルギーによりフェルミエネルの 2 重 ピ ー ク 構 造 は CEA-Grenoble の Christophe

ギーを横切ると比熱の 2 重ピーク構造を示すことが論じら

Marcenat 博士と著者らにより、2019 年頃に始まったグラれている。グラファイトの自由電子も磁場下では量子化さファイトの共同研究で観測された新現象である

れたサイクロトロン運動を示すため、電子状態密度はラン(Christophe 博士は 2024 年 3 月から外国人客員所員としダウ準位による複数の鋭いピーク構造を有する。このためて小濱研に滞在) [2]。ピークが 1 つから 2 つに増えたもの

磁場下のグラファイトの状態密度は CeRu2Si2 と類似性がの、我々は科学者であるので単純に喜べなかった。サンプ

あり、サイクロトロンエネルギーでそれぞれのランダウ準ルが双晶になっているのか、測定セットアップの問題か、位がフェルミエネルギーを横切れば比熱の 2 重ピーク構造

それとも本質的な現象なのかをさんざん議論したが、比熱が連続的に現れうる。この解釈で定量的に比熱の 2 重ピーの専門家である Christophe Marcenat 博士そして著者も、ク構造を再現できたため Christophe Marcenat 博士と著者

当時は 2 つに分裂する比熱ピークの起源を理解できずにいた。の長きにわたった疑問が解決したわけだが、本稿ではこのそんな折に Christophe Marcenat 博士と小濱研の特任研究詳細について紹介する。

員である Zhuo Yang 博士(現宮田研特任助教)らと共に f 電比熱は物性研究に古くから使われる物性量であるが、特に数 K 以下の低温領域では金属の遍歴電子に関わる電子比熱(Cel)が支配的となる。電子比熱を温度で割った量(Cel/T)は電子状態密度の定量評価に使われており[4]、以下のように表現される。

𝐶𝑒𝑙
𝑇∞= 𝑘2𝐵 ∫−∞ 𝐷(𝐸) (−𝑥2𝑑𝐹(𝑥)𝑑𝑥

式1) 𝑑𝑥

ここで、𝐹(𝑥) = 1/(1 + 𝑒 𝑥 )はフェルミディラック分布関数、𝑇 は温度、𝑘𝐵 はボルツマン定数、そして𝑥 = 𝐸/𝑘𝐵 𝑇とおく。式 1 の近似式として、電子状態密度 D(E)がエネルギー変化しないと仮定すると、非常に良く知られた以下の式が得られる。

𝐶𝑒𝑙𝑇

図 1：物性量とランダウ準位の磁場変化。(a)磁気熱量効果(1/T)、(b)電気抵抗の変化量(ΔRxx)、(c)電子比熱/温度(Cel/T)、(d)電子のランダウサブバンド(赤線)、ホールのランダウサブバンド(青線)の磁場変化を示す。

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物性研だより第 64 巻第 1 号

1= 𝛾 = 𝜋𝑘2𝐵 𝐷(𝐸𝐹 )3式2

ここで、𝐷(𝐸𝐹 )はフェルミエネルギーにおける電子状態密度を表す定数である。𝛾はゾンマーフェルト係数と呼ばれ、式 2 によるとこの値は状態密度に比例するはずである。こ■■ ■■ ■ ■ ■

の考え方はほぼ全ての金属において、電子比熱が支配的となるヘリウム温度以下(~数 K)で正しい。なぜなら金属のバンド幅は通常数 eV のオーダーであり、ヘリウム温度における熱エネルギーよりも 4 桁高く、電子状態密度に細かな構造があろうとも比熱測定で調査できる数Ｋ程度のエネ
ルギー幅では𝐷(𝐸)は定数と近似できるからである。バン
ド構造の詳細を決定するパラメータがエネルギースケールの大きな相互作用である限り、この近似は成り立つであろう。しかしながら、近藤効果のような数 K 程度のエネルギースケールにより状態密度が再構成され、超微細な構造が出現するとこの近似は正しくない。実際、CeRu2Si2 において比熱の二重ピーク構造が実験的に示され[3]、これは状態密度のエネルギー変化を考慮しない式 2 では再現不図 2：状態密度の微細構造と対応する比熱異常 (a) CeRu2Si2 で仮定された状態密度[3]、(b)ランダウ準位で期待される状態密度、(c) CeRuSi2 の状態密度で期待される比熱(赤)と磁気熱量効果(青)、(d)ランダウ準位の状態密度で期待される比熱と磁気熱量効果。

可である（詳細は省くが 2 重ピーク構造の温度変化が再現できない）。このため青木らは図 2(a)のように状態密度がエネルギーに反比例しつつ、あるエネルギーE0 で発散する𝐷(𝐸)と式 1 を用い、比熱の二重ピーク構造を説明した。
この𝐷(𝐸)は以下と書ける。

𝐷(𝐸) =𝐴式31+√|𝐸−𝐸0 |⁄Γ

ここで A は状態密度ピークの高さ、𝛤はピークの半値幅を表すパラメータである。近藤効果によりエネルギーに反比例する形で状態密度が発散することについては、三宅らにより理論的に説明されている[5]。近藤効果以外のメカニズムでも、測定温度スケールと同程度(0.1K~数Ｋ)の微細構造がバンド構造に誘起されれば、類似の 2 重ピーク構造が得られるはずであり、磁場下におけるランダウ量子化さ図 3：グラファイトの比熱の実験結果と式 1 と式 3 を使った理論フィット。2 つのランダウサブバンドが図 1(d)のようにフェルミエネルギーを横切ると考えると、比熱の 2 つのダブルピーク構造が再現できた。

れた量子準位はそのような微細構造の良い起源となるはずである。三宅らの理論によると近藤効果により電子状態密本研究は、電子状態密度に非常に幅が狭い微細構造があり、度はエネルギーについて対称な図 2(a)の形となるが、ラン外場によりこのピーク構造がフェルミエネルギーを横切れ

ダウ準位におけるフェルミ面の状態密度は図 2(b)に見られば、比熱の外場依存性は 2 重ピーク構造となることを示しるように“非対称”なエネルギーに反比例する 1 次元系伝導ている。式 1 の積分に含まれる𝑥2 項がこの 2 重ピーク構造体の状態密度である。これはランダウ準位の状態密度は式の起源であり、同様の𝑥2 項を有する熱伝導度も同様な振る3 の|𝐸 − 𝐸0 |が𝐸 − 𝐸0 となることを示している。この結果舞いを示すと予想される。一方で𝑥2 項を持たない磁気熱量

CeRu2Si2 では図 2(a)の状態密度を反映し図 2(c)のような効果や電気抵抗は 2 重ピーク構造を取らず、図 1 および図左右対称な比熱の二重ピーク構造を示すが、ランダウ準位2(c,d)に示すように 1 重ピークとなる。しかしながら、比の非対称な状態密度が反映されるグラファイトでは図 2(d)熱の 2 重ピーク構造が量子振動現象に現れるのは稀であるに示すように左右非対称な比熱を示すべきである。実際に事に注意したい。他の比熱の量子振動で見られるように7～8T の磁場で、2 つのランダウサブバンドが図 1(d)のよ[6,7]、ランダウ量子数が大きいと比熱の 2 重ピーク構造がうにフェルミエネルギーを横切ると考え、それぞれのラン近い磁場に現れ、ピーク構造が干渉した量子振動が観測さダウサブバンドに図 2(b)の状態密度を仮定すると、式 1 はれる。つまり比熱のピーク数は変わらないが量子振動の位

図 3 に示す比熱の磁場依存性をほぼ完全に再現した。

相シフトが観測される。他にも不純物が多く、状態密度の■■■■ ■■■物性研だより第 64 巻第 1 号

8微細構造が不明瞭ではない場合も比熱の 2 重ピーク構造は観測されない。しかしながら比熱の 2 重ピーク構造およびその起源となるシャープな電子状態密度は、近藤格子系で一般に存在しうるようで、我々も UCoGe 等で 2 重ピーク構造を観測している[1]。このため図 2(a)のようにシャープな電子状態密度を保持する場合に、どのような Cel/T が現れるかを考えるのは興味深い。例えば E0 がフェルミエネルギーに厳密に等しい場合(この状況は 2 重ピーク構造の中心における磁場で成り立つ)、Cel/T の温度変化は非フェルミ液体の系で見られるような対数発散を示すことが判っている[1]。このような複雑な比熱の振る舞いが、状態密度に特徴的な形状を仮定するだけで出現するのは驚きであった。低温比熱の複雑な振る舞いを説明した論文として、本研究は磁場で誘起されるフェルミオンの諸現象（量子振動、量子臨界現象やリフシッツ転移）のより精密な理解に貢献していくと考えられる。

参考文献[1] Z. Yang, B. Fauqué, T. Nomura, T. Shitaokoshi, S.
Kim, D. Chowdhury, Z. Pribulová, J. Kačmarčík, A.
Pourret, G. Knebel, D. Aoki, T. Klein, D. K. Maude, C.
Marcenat, and Y. Kohama, Nat. Commun. 14, 7006
(2023).

Editor’s Highlighted.

[2] C. Marcenat, T. Klein, D. LeBoeuf, A. Jaoui, G.
Seyfarth, J. Kacmarcik, Y. Kohama, H. Aubin, K.
Behnia and B. Fauque, Phys. Rev. Lett. 126, 106801(2021).

Editors’Suggestion.

[3] Y. Aoki, T. Matsuda, H. Sugawara, H. Sato, H.
Ohkuni, R. Settai, E. Yamamoto, Y. Haga, A. Andreev,V. Sechovsky, L. Havela, H. Ikeda, and K. Miyake, J.
Magn. Magn. Mater. 177, 271 (1998).
[4] C. Kittel & P. McEuen, Introduction to Solid State
Physics Vol. 8 (Wiley, 1996).
[5] K. Miyake and H. Ikeda, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 033704(2006)[6] S. C. Riggs, O. Vafek, J. B. Kemper, J. B. Bett, A.
Migliori, F. F. Balakirev, W. N. Hardy, R. Liang, D. A.
Bonn and G. S. Boebinger, Nat. Phys. 7, 332 (2011).
[7] V. A. Bondarenko, S. Uji, T. Terashima, C. Terakura,S. Tanaka, S. Maki, J. Yamada, S. Nakatsuji, Synth.
Met. 120, 1039, (2001).

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