情報教育における数学力向上への取り組み
京都情報大学院大学

南野公彦

京都コンピュータ学院

松村

初

概要

ラム，またはこの解析のどこに，どのように使われているか」
とい象を解析する場合は必ず微積分の考え方が必要になってくる

うことを学生に視覚的に伝えやすい。たとえば，「３次元で表現が，工 学 系の学 科では電 子回路の回路方程式をたてたり伝された動きのあるコンピュータグラフィックスを利用するゲームを達関数から過渡応答を求めるときなど，微積分の応用事例が作成する」場 合 ，位置関係や運動状態を表現するために，三多くあり，シミュレータなども揃っているため解析結果の視覚化

角関数，微分積分，ベクトル・行列の演算の理解が必須となも容易に行える。
これは「微かに分かる，分かった積もり」と敬るし，「アンケート調査を行うためのＷｅｂページを作成し，デー遠されることの多いこの分野の救いとなっている。

若者の学力低下が問題となっている現在，高等教育機関においても従来のカリキュラムでは要求される数学力に到達することはタ解析を行う」場 合 ，確率論や統計学の知識が不可欠である。

困難である。数学の基礎的な部分と実際の活用をともに拡充することで，学生の数学基礎力，応用力の充実を目指す，専修学

このように，学生が自発的に取り組む課題の中に数学の応用校京都コンピュータ学院における取り組みを紹介する。

事例が豊富に転がっているという「モチベーションの高さ」がコ

多変量データを同時に扱う際に必ず登場するベクトル，行列ンピュータ教育を行っている本学院の利点であり，「使いながらの基礎概念を学ぶ科目である。ほかの科目との関連も当然多く，学ぶ」学習スタイルは効果的な循環を生み出している。
これは上記（２）〜（４）にも密接に絡み合っている。

1.

日本の若者の数学力の現状べて暗記することが少ないから。というものがほとんどであった。
また，「数学が嫌い，どちらかと中学校や高等学校の数学の時間ではなかなか難しいところで育」[１][２] の施策や「理系離れ」傾向，さらに追い打ちをかけいえば嫌い」と回答した理由としては，ある。

る「大学全入」の影響を受け，日本の若者の数学力の低下は（理由Ｂ−１）計算が難しい。同じことの繰り返しで面白くない。

まさに危機的状態である。専修学校や大学など，高等教育機（理由Ｂ−２）公式が多く，覚えられない。覚えても使い道がな

関でも通常のカリキュラムだけでは講義のレベルが保てず，「リい。

近年，日本の初等・中等教育機関における「第３次ゆとり教本学院の数学系の科目のいくつかピックアップし，その概要（6） 工業数学
基本的な力学を学ぶ上で必要となる，関数やグラフについを紹介する。て学ぶ科目である。物体の位置や速度，温度，光度などの時（１） 情報数学て，自然現象と基本的な関数の対応関係を，実例を通して学

間 変 化を測 定する複 数のセンサーを備えたグラフ電 卓を用いメディアル（治療）」教育として初等数学科目を設定している機（理由Ｂ−３）sin や cos，lim，∑など，数学のくせに英語（？）

関が多くなった。
これは数学だけに限った話ではなく，国語やが出てくる。

英語，社会などあらゆる教科で問題が表面化している。

（理由Ｂ−４）小 学 校の算 数で十 分だと思う。高 度な数 学は論理演算，確率などを学習する。論理演算はプログラミングを学省の平成１９年度科学研究費補助金（奨励研究）に採択さ生活で使わない。

行う上ですぐに必要になるし，指数や対数はアルゴリズムの二れている。

国際学力調査 [３] を見ても日本の順位は確実に下がってき情報処理教育に欠かせない，２進数や指数・対数，集合，べるようになっている。
このグラフ電卓を用いた授業は，文部科ている。
ＯＥＣＤ（経済協力開発機構）が実施した「生徒の学というものがほとんどであった。
Ｂ−１，Ｂ−２から，数学の授業の分探索や計算量の見積もりに欠かせない。応用の即時性の高習到達度調査」（ＰＩＳＡ２００３），ＩＥＡ（国際教育到達度評価

ほとんどすべての時間が計算の反復演習や公式の暗記に費い科目である。
また，それらの分野に関連した情報処理技術者学会）が実施した「国際数学・理科教育動向調査」（ＴＩＭＳ

やされていることが伺われる。確かに計 算ができることは重 要

試 験の数 理 問 題を演 習として行い，合 格 率アップの一 助もＳ２００３）ではともに，上位層が減少し，中位から下位層にシフである。
しかし，数学の本来の目的は，その抽象性の高さにより狙っている。

トしている。
また，単純な計算問題や選択式問題は今でも世界

反 復 的な計 算 作 業をせずとも問 題 が 解 決 できるところにある。のトップクラスだが，記述式問題は世界平均を下回る。試験の計算手法を身につけた者にとって，反復演習は苦痛でしかな

得点だけでなく，ＰＩＳＡの生徒への質問紙調査「数学への興い。
また，Ｂ−２と答えた学生にヒアリングしてみたところ，原理やデータを解析し必要な情報を抽出する「統計」は情報処理

抽象の世界に導くために，思考要素とそれらの関係性を可視味・関心」「 数学の勉強への動機付け」に関する項目を見ても，定義と，そこから導かれる公理，公式がごちゃごちゃになってお技術者にとって必須の技法で，自然科学はもちろんのこと，経化することである。
また，「シミュレーション」とはそのモデル化さ生徒の数学に対する意識はＯＥＣＤ各国の平均よりもはっきりとり，また公式はわけもわからず暗記して，問題を解くときに数字営 判 断における意 思 決 定にいたるまであらゆる分 野で活用された思考要素の関係を定式化し，解析を行うことで思考結果低い。

をあてはめるだけのものになっていた。
Ｂ−３もしかりである。
これている。
この科目では資料の整理や要約統計量から確率分を可視化することである。江見・南野 [５] によると数理的思考

現在，学習指導要領が２０１１年の改定に向けて見直されれでは面白いわけがない。そして，一番の問題はＢ−４である。

布，区間推定までの統計学の基本的な部分を学習する。
これプロセスによる問題解決は，①現実の問題をモデル化する，②てはいるが，第３次ゆとり教育の影響をあまり受けていない若使わない，必要性を感じないでは興味のわきようがない。せめは高 等 学 校の数 学Ｃに表 計 算ソフトによる実 習が付け加わっ

抽 象モデルを使って計 算やシミュレーションをする，③計 算・者が高等学校を卒業するのは２０１６年以降 [４] であり，それて他 教 科で数 学の応 用事 例を学 習する機 会があればよいのた程度の範囲ではあるが，これには数学Ｃの履修率が約１７％シミュレーションにより得られた思 考 結 果から問 題 解 決 への考までは技術立国・ニッポンの受難の日々が続くことになる。

だが，一番数学が頻繁に登場する理科，特に物理を学習してという２００７年４月のアンケート結果が影響している。

え方や方法を理解する，という３つのステップで進む。初・中等（7） シミュレーション技法
これは２００７年度に新規開講された新しい科目で，身のまわりの現象や社会現象などを通して，実際の問題解決に活用できるようにモデル化とシミュレーションの考え方や方 法を学ぶも（２） 統計学のである。
「モデル化」とは，具象（現実）の世界にある問題を教 育 機 関における数 学 教 育は抽 象 世 界における作 業のごくいる高校生は少数派だ（２００８年度大学入試センター試験全（３） ＣＧ数学

一部，「解析」のトレーニングのみにとどまっており，現実の問題

京都コンピュータ学院に入学してくる学生の数学力も，全体受験者約５０万人中，物理Ⅰの受験者は約１４万人。化学Ⅰ，生的に見て近年低下傾向にある。
もちろん，学力の個人差は大物Ⅰはそれぞれ約２０万人，１８万人。数学は約３５万人）。
この

直線や平面，曲面など図形の構成要素の構造やそれらのを解 決するという方 向に向いていないのが根本的な問題なのいにあり，学習に対するモチベーションも様々である。
２００７年

状況を改善しなければ，数学を含めた理系の学力は今後も伸位置関係をコンピュータ上で表現するための解析幾何学，またである。
この「シミュレーション技法」という科目では，現実の問４月に「情報数学」の授業でアンケート（回答数：２８２名）を実び悩むことであろう。

プレイヤーの視点の切り替えなどで必要となる線形代数，さら題を解 決するために必 要な現 実のモデル化・抽 象 化を身にには運動の表現まで，主にＣＧエンジニアやゲームプログラマつけさせるべく，講師の中村洲男先生（京都情報大学院大学を目指す学生に必須の数学をまとめて学習する科目である。の学生でもある）が２００３年に Ver１.０を開発したソフトウェア施したところ，「数学が好き，どちらかといえば好き」と回答した
学生は３９％であり，その理由として，

14（５） 線形代数学

２． 京都コンピュータ学院における数学教育（理由Ａ−１）問題を解く行為がパズルを解くようで面白い。

数学の応用事例に触れる，という点では，京都コンピュータ（理由Ａ−２）答えが１つに決まるから解けたときに達 成 感を学院は恵まれた環境にあるといえる。
カリキュラムに組み込まれ感じる。ている数学科目と学生が身につけたい技術との間に直接的・（理由Ａ−３）論理を追っていけばよいので，ほかの科目に比即時的な関連があるからだ。そのため「この数学がこのプログ「SimTaKN（シムタくん）」参考文献［６］を利用し，実習形式（４） 微分積分学
主に制御系プログラマを目指す工学系の学生を対象にした，
１変 数から多 変 数まで微 積 分を学ぶ科目である。変 化する現でモデル化とシミュレーションを学習する。
「SimTaKN（シムタくん）」は安価でありながら上記３ステップすべてをビジュアル的支援するもので，難しい数値計算部分はソフトウェアに内包さ15

情報教育における数学力向上への取り組み
京都情報大学院大学

南野公彦

京都コンピュータ学院

松村

初

概要

ラム，またはこの解析のどこに，どのように使われているか」とい象を解析する場合は必ず微積分の考え方が必要になってくる

うことを学生に視覚的に伝えやすい。たとえば，「３次元で表現が，工 学 系の学 科では電 子回路の回路方程式をたてたり伝された動きのあるコンピュータグラフィックスを利用するゲームを達関数から過渡応答を求めるときなど，微積分の応用事例が作成する」場 合 ，位置関係や運動状態を表現するために，三多くあり，シミュレータなども揃っているため解析結果の視覚化

角関数，微分積分，ベクトル・行列の演算の理解が必須となも容易に行える。
これは「微かに分かる，分かった積もり」と敬るし，「アンケート調査を行うためのＷｅｂページを作成し，デー遠されることの多いこの分野の救いとなっている。

若者の学力低下が問題となっている現在，高等教育機関においても従来のカリキュラムでは要求される数学力に到達することはタ解析を行う」場 合 ，確率論や統計学の知識が不可欠である。

困難である。数学の基礎的な部分と実際の活用をともに拡充することで，学生の数学基礎力，応用力の充実を目指す，専修学

このように，学生が自発的に取り組む課題の中に数学の応用校京都コンピュータ学院における取り組みを紹介する。

事例が豊富に転がっているという「モチベーションの高さ」がコ

多変量データを同時に扱う際に必ず登場するベクトル，行列ンピュータ教育を行っている本学院の利点であり，「使いながらの基礎概念を学ぶ科目である。ほかの科目との関連も当然多く，学ぶ」学習スタイルは効果的な循環を生み出している。
これは上記（２）〜（４）にも密接に絡み合っている。

1.

日本の若者の数学力の現状べて暗記することが少ないから。というものがほとんどであった。
また，「数学が嫌い，どちらかと中学校や高等学校の数学の時間ではなかなか難しいところで育」[１][２] の施策や「理系離れ」傾向，さらに追い打ちをかけいえば嫌い」と回答した理由としては，ある。

る「大学全入」の影響を受け，日本の若者の数学力の低下は（理由Ｂ−１）計算が難しい。同じことの繰り返しで面白くない。

まさに危機的状態である。専修学校や大学など，高等教育機（理由Ｂ−２）公式が多く，覚えられない。覚えても使い道がな

関でも通常のカリキュラムだけでは講義のレベルが保てず，「リい。

近年，日本の初等・中等教育機関における「第３次ゆとり教本学院の数学系の科目のいくつかピックアップし，その概要（6） 工業数学
基本的な力学を学ぶ上で必要となる，関数やグラフについを紹介する。て学ぶ科目である。物体の位置や速度，温度，光度などの時（１） 情報数学て，自然現象と基本的な関数の対応関係を，実例を通して学

間 変 化を測 定する複 数のセンサーを備えたグラフ電 卓を用いメディアル（治療）」教育として初等数学科目を設定している機（理由Ｂ−３）sin や cos，lim，∑など，数学のくせに英語（？）

関が多くなった。
これは数学だけに限った話ではなく，国語やが出てくる。

英語，社会などあらゆる教科で問題が表面化している。

（理由Ｂ−４）小 学 校の算 数で十 分だと思う。高 度な数 学は論理演算，確率などを学習する。論理演算はプログラミングを学省の平成１９年度科学研究費補助金（奨励研究）に採択さ生活で使わない。

行う上ですぐに必要になるし，指数や対数はアルゴリズムの二れている。

国際学力調査 [３] を見ても日本の順位は確実に下がってき情報処理教育に欠かせない，２進数や指数・対数，集合，べるようになっている。
このグラフ電卓を用いた授業は，文部科ている。
ＯＥＣＤ（経済協力開発機構）が実施した「生徒の学というものがほとんどであった。
Ｂ−１，Ｂ−２から，数学の授業の分探索や計算量の見積もりに欠かせない。応用の即時性の高習到達度調査」（ＰＩＳＡ２００３），ＩＥＡ（国際教育到達度評価

ほとんどすべての時間が計算の反復演習や公式の暗記に費い科目である。
また，それらの分野に関連した情報処理技術者

学会）が実施した「国際数学・理科教育動向調査」（ＴＩＭＳ

やされていることが伺われる。確かに計 算ができることは重 要

試 験の数 理 問 題を演 習として行い，合 格 率アップの一 助もＳ２００３）ではともに，上位層が減少し，中位から下位層にシフである。
しかし，数学の本来の目的は，その抽象性の高さにより狙っている。

トしている。
また，単純な計算問題や選択式問題は今でも世界

反 復 的な計 算 作 業をせずとも問 題 が 解 決 できるところにある。のトップクラスだが，記述式問題は世界平均を下回る。試験の計算手法を身につけた者にとって，反復演習は苦痛でしかな

得点だけでなく，ＰＩＳＡの生徒への質問紙調査「数学への興い。
また，Ｂ−２と答えた学生にヒアリングしてみたところ，原理やデータを解析し必要な情報を抽出する「統計」は情報処理抽象の世界に導くために，思考要素とそれらの関係性を可視味・関心」「 数学の勉強への動機付け」に関する項目を見ても，定義と，そこから導かれる公理，公式がごちゃごちゃになってお技術者にとって必須の技法で，自然科学はもちろんのこと，経化することである。
また，「シミュレーション」とはそのモデル化さ生徒の数学に対する意識はＯＥＣＤ各国の平均よりもはっきりとり，また公式はわけもわからず暗記して，問題を解くときに数字

営 判 断における意 思 決 定にいたるまであらゆる分 野で活用された思考要素の関係を定式化し，解析を行うことで思考結果低い。

をあてはめるだけのものになっていた。
Ｂ−３もしかりである。
これている。
この科目では資料の整理や要約統計量から確率分を可視化することである。江見・南野 [５] によると数理的思考

現在，学習指導要領が２０１１年の改定に向けて見直されれでは面白いわけがない。そして，一番の問題はＢ−４である。

布，区間推定までの統計学の基本的な部分を学習する。
これプロセスによる問題解決は，①現実の問題をモデル化する，②てはいるが，第３次ゆとり教育の影響をあまり受けていない若使わない，必要性を感じないでは興味のわきようがない。せめは高 等 学 校の数 学Ｃに表 計 算ソフトによる実 習が付け加わっ

抽 象モデルを使って計 算やシミュレーションをする，③計 算・者が高等学校を卒業するのは２０１６年以降 [４] であり，それて他 教 科で数 学の応 用事 例を学 習する機 会があればよいのた程度の範囲ではあるが，これには数学Ｃの履修率が約１７％シミュレーションにより得られた思 考 結 果から問 題 解 決 への考までは技術立国・ニッポンの受難の日々が続くことになる。

だが，一番数学が頻繁に登場する理科，特に物理を学習してという２００７年４月のアンケート結果が影響している。

え方や方法を理解する，という３つのステップで進む。初・中等（7） シミュレーション技法
これは２００７年度に新規開講された新しい科目で，身のまわりの現象や社会現象などを通して，実際の問題解決に活用できるようにモデル化とシミュレーションの考え方や方 法を学ぶも（２） 統計学のである。
「モデル化」とは，具象（現実）の世界にある問題を教 育 機 関における数 学 教 育は抽 象 世 界における作 業のごくいる高校生は少数派だ（２００８年度大学入試センター試験全（３） ＣＧ数学

一部，「解析」のトレーニングのみにとどまっており，現実の問題

京都コンピュータ学院に入学してくる学生の数学力も，全体受験者約５０万人中，物理Ⅰの受験者は約１４万人。化学Ⅰ，生的に見て近年低下傾向にある。
もちろん，学力の個人差は大物Ⅰはそれぞれ約２０万人，１８万人。数学は約３５万人）。
この

直線や平面，曲面など図形の構成要素の構造やそれらのを解 決するという方 向に向いていないのが根本的な問題なのいにあり，学習に対するモチベーションも様々である。
２００７年

状況を改善しなければ，数学を含めた理系の学力は今後も伸位置関係をコンピュータ上で表現するための解析幾何学，またである。
この「シミュレーション技法」という科目では，現実の問４月に「情報数学」の授業でアンケート（回答数：２８２名）を実び悩むことであろう。

プレイヤーの視点の切り替えなどで必要となる線形代数，さら題を解 決するために必 要な現 実のモデル化・抽 象 化を身にには運動の表現まで，主にＣＧエンジニアやゲームプログラマつけさせるべく，講師の中村洲男先生（京都情報大学院大学を目指す学生に必須の数学をまとめて学習する科目である。の学生でもある）が２００３年に Ver１.０を開発したソフトウェア施したところ，「数学が好き，どちらかといえば好き」と回答した
学生は３９％であり，その理由として，

14（５） 線形代数学

２． 京都コンピュータ学院における数学教育（理由Ａ−１）問題を解く行為がパズルを解くようで面白い。

数学の応用事例に触れる，という点では，京都コンピュータ（理由Ａ−２）答えが１つに決まるから解けたときに達 成 感を学院は恵まれた環境にあるといえる。
カリキュラムに組み込まれ感じる。ている数学科目と学生が身につけたい技術との間に直接的・（理由Ａ−３）論理を追っていけばよいので，ほかの科目に比即時的な関連があるからだ。そのため「この数学がこのプログ「SimTaKN（シムタくん）」参考文献［６］を利用し，実習形式（４） 微分積分学
主に制御系プログラマを目指す工学系の学生を対象にした，１変 数から多 変 数まで微 積 分を学ぶ科目である。変 化する現でモデル化とシミュレーションを学習する。
「SimTaKN（シムタくん）」は安価でありながら上記３ステップすべてをビジュアル的支援するもので，難しい数値計算部分はソフトウェアに内包さ15

情報教育における数学力向上への取り組みれている。そのため前 提 知 識は中学 校で学ぶ数 学 程 度で充分であり，誰でも気軽に入門が可能だ。

謝辞
筆者の京都コンピュータ学院での数学教育への取り組みに多大なる協力をしてくださっている講義担当の先生方に深く感（8） 数学基礎謝いたします。特に山西徹先生，松村初先生には教授方策を議上記（１）〜（7）に代表される京都コンピュータ学院の数学論しながらの教材作成をお願いしており，大変な労力を割いてい系の科目では，できるだけ前提知識を必要としない構成をとっただいております。
また，京都情報大学院大学の作花一志先生，ているが，それでもやはり義務教育レベルの数学の素養は必江見圭司先生にはさまざまな示唆とアドバイスをいただき，筆者を要である。
１９９０年 代 後 半より，大 学では国 公 私 立を問わず，導いていただいております。改めて，感謝申しあげます。

未履修や学力不足の補完のためのリメディアル教育を実施するところが増えてきた。京 都コンピュータ学 院では義 務 教 育レ
ベルの数学の補完のため，「数学基礎」を開講している。
２００
８年度からは教育コンテンツをｅラーニング化し，さまざまなレベルの学生に個別対応する予定である。

参考 [1] 江見圭司，矢島彰，石川高文献 行，中西祥彦，江見善一，「基数学基礎以外にも，情報数学，統計学，ＣＧ数学はすでにｅ

礎数学のＡＢＣ」，前書き，（共立出版，2006）

ラーニングコンテンツが用意されている。
ビデオ教 材やオンライ[2] 江見圭司，「情報教育の立ンテストのほか，情報数学では書き込み式のワークブックを配場からみた数学教育 〜 eラー

布し，手を動かして問 題を解いたりノートをとったりといった要ニングが開く新しい可能性〜」，素も大事にしている。
ワークブックでは京都コンピュータ学院の第５８回 数 実 研，（2006）
http://www.nikonet.or.jp/sp

専門教育の担当教員８名に「データベースと数学」「ネットワーring/suujitu/suujitu̲2.htm

クと数学」「プログラムと数学」「電気回路と数学」
といったタイト[3] 文部科学省「小学校算数・中学校数学・高等学校数学ルのコラムを寄稿していただき，情報応用技術や身のまわりの指導資料―PISA2003（数学

事 柄と数 学の関 連 性も簡 単に紹 介している。
また，オフィスア的リテラシー）及び TIMS2003

ワーの時間を設け，学生からの質問に対応している。
ｅラーニ（算数・数学）結果の分析と指ングコンテンツは学生に「完全個別対応」するためには不可欠

導改善の方向」[4] 江 見 圭 司ウェブサイトの要素である。

http://web1.kcg.edu/~k̲emi/math/birthday.pdf

３． おわりに[5] 江見圭司，南野公彦，「グラフ電卓を用いた情報・数学・京都コンピュータ学院では，そのまま役に立つ形で数学の授科学の統合的教育への提案」,業を提供できているが，役に立つかどうかが数学の価値や面情報処理学会コンピュータと教白さを決めるわけではもちろんない。数 学は実用科 学と歩みを

育 研 究 会 第 89 回 研 究 会

合わせて進歩することもあるが，大抵の場合は実用のことなど（2007）pp.1-4

お構いなしに発 展を遂げている。数 学の面白さは自分の定 義した世界を探求するところにも，美しいまでのシンプルさにも，すぐ不 安 定になり発 散してしまう泥 臭い数 値 計 算にもどこにでも転がっている。
もちろん，計算や図形，文章題など，単純に問題を解くという行為のなかにも転がっている。最近，書店に行くと数学再入門系の薄い本が平積みされており，よく売れているようである。社 会 人になってから数 学の必 要 性を認 識し，もう一度 学び 直したいというニーズは多いようだ。大 人でも子 供でも思考力に限界はない。思考すること，論理を組み立てることに喜びを感じられる幸せな時間を経験してほしい。

南野公彦

Kimihiko Nouno

京都大学大学院理学研究科修士課程修了，同博士課程中退。理学修士。京都情報大学
院大学助教。専門は数値流体力学，星間物理学。

松村初

Hajime Matsumura

慶應義塾大学大学院理工学研究科後期博士課程修了。博士（理学）。
京都コンピュータ学院教員。専門は離散数学，グラフ理論。
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