プレス加工中におけるインプロセスモニタリング
近畿大学工業高等専門学校 総合システム工学科機械システムコース
准教授 萩野 直人（2018 年度 一般研究開発助成 AF-2018033-B3）
キーワード：薄板金属成型，接触条件，超音波，FDTD，可視化

1.

緒

言

工材が薄板となる場合，要素数が膨大となり計算リソース

近年，機械部品は国際競争にさらされており，低コストの増加を招く．そこで本研究では，計算リソースの低減を化および高精度化が求められてきている．精密機械部品を目的として被加工材付近の空間差分を細かくした sub-

プレス加工のみで製作できれば，後加工の必要がなくなり，grid13)を用いた FDTD 法の基礎的検討を行った．

低コスト化が可能となる．このようなネットシェイプ化をプレス加工で行うには，金型の形状が製品に高い精度で転２．インプロセスモニタリングの原理写されなければならない．近年，導入が進んでいるサーボ

本研究で行っているインプロセスモニタリングは図 1

プレスは，サーボモータを用いてスライドを昇降させる構に示す様に異なる材質の境界面で超音波が反射する性質造を有しており，スライドモーションを制御することによを利用している 1)，14)．特に媒質 2 が空気の場合は超音波って精度の高い加工を行うことが可能である．しかしながが全反射する．図 2 に示す様に，プレススライドが下死点

ら，加工中にプレスベッド，スライド中央部がたわみ，金に到達していない場合，金型と製品の間には隙間（空気）型と製品の間にわずかな隙間が生じる場合がある．このよが存在し，その境界面で超音波は全反射する．一方，下死うな加工中に生じる隙間をセンサにより検出し，サーボ機点まで到着すると境界面での反射量は減少し透過量が増構にフィードバックさせて金型のモーションやスライド加する．この反射，透過波の増減を計測する事により計測

下死点を制御すればネットシェイプ加工が可能となるだが可能である．この金型内の超音波伝播特性は金型の形状けでなく，機械を停止せずに調整が行え，全自動プレス加および被加工材の材質・厚さに影響されることが分かって工システムの実現が期待される．また数値シミュレーショ

いる 1)～9)．特に金型の形状は伝播経路に対する影響が大きンの精度を向上させるためには，加工中の製品形状を把握い．それらの影響を全て実験で検証することは困難でありし，その結果を解析に反映させる必要が求められる．その超音波伝播シミュレーションでの検証が有効である．

ような要求より，インプロセスでの金型内における製品との接触状態を精度良く計測・可視化することは重要な課題である．しかしながら，著者の知る限り加工中の製品形状を精度良く計測する方法はない．仮に接触式または光学式センサを用いる場合，金型にセンサを設置するための穴を追加工しなければならず，金型の精度・剛性の低下を招く恐れがある．そこで，著者らは非破壊的手法である超音波を用いてプレス加工中の被加工材と金型の接触状態をインプロセスで計測するシステムの開発を行っている 1)～9)．
超音波で接触状態を計測する場合，金型に追加工をせずに

図 1 異なる媒質の境界面における超音波の反射と透過 6)計測できる利点がある．金型内の超音波伝播は金型の形状および被加工材の材質および厚さに影響されることが分かっている．特に金型の形状は伝播経路に対する影響が大きい．それらの影響を全て実験で検証することは困難であり，超音波伝播シミュレーションによって調べる事は有効な手段である．
そこで著者らは主に電磁波の伝播に用いられる有限差分時間領域法（Finite difference time domain method，以下FDTD 法）5)～12)を用い金型内の超音波音場を数値シミュレーションにより可視化を行い，実際の計測値の予測を行う技術の開発を行っている．プレス加工に対し FDTD 法を用いると被加工材の板厚を基準として空間差分を決定する必要がある．実際のプレス加工に適用する場合，被加工材に比べ金型の厚さの方が非常に大きい．そのため，被加(a) 下死点前(b)下死点

図 2 薄板 V 曲げ加工における接触状態のインプロセスモ
ニタリング

３．FDTD 法による超音波伝播解析
図 3 に示すように，超音波探触子から金型に入射した超𝜌

音波は，塑性変形を伴わず，弾性波として媒質内を伝播する．等方性を有する媒質において，y 方向の音場が一様とした場合の弾性波の基礎式を(1), (2)に示す 5)～7),15),16)．式(1)はフックの法則，式(2)は粒子の運動方程式である．

𝜕𝛹̇𝜕𝑤̇ 𝜕𝑢̇= 𝑐55 (− )𝜕𝑡𝜕𝑥 𝜕𝑧(9)式 (6),(7)は それ ぞれ 縦波 およ び 横波 の伝 播 を 表し，̇𝛷 =∂𝛷/∂t，𝛹̇ =∂Ψ/∂t である．ここでρ𝛷̇ と ρ 𝛹̇ は圧力の単位を持ち，それぞれスカラ速度ポテンシャル圧力，ベクトル速度ポテンシャル圧力と定義した．

𝑐11
𝜕 𝑇𝑥𝑥
[ 𝑇𝑧𝑧 ] = [𝑐13𝜕𝑡 𝑇0𝑥𝑧

𝑐13𝑐330𝜕2𝛷
𝜕2𝛷 𝜕2𝛷
−𝑐(+)=011𝜕𝑡 2
𝜕𝑥 2 𝜕𝑧 2(10)𝜌𝜕2𝛹𝜕2𝛹 𝜕2𝛹
−𝑐(+)=055𝜕𝑡 2𝜕𝑥 2 𝜕𝑧 2(11)式(10)は音速cl =√c11 /ρで伝播する縦波の波動方程式を，式(11)は音速cs =√c55 /ρ で伝播する横波の波動方程式を表す．したがってスカラ速度ポテンシャルΦとベクトル速度ポテンシャルΨはそれぞれ独立して波動方程式を満たすことが分かる．

図 3 金型内の超音波伝播
𝜕𝑢̇
𝜕𝑥0
𝜕𝑤̇
0]
𝜕𝑧𝑐55𝜕𝑢̇ 𝜕𝑤̇[ 𝜕𝑧 + 𝜕𝑥 ]

𝜌(1)伝播解析には FDTD 法 5)～12)を用いた．FDTD 法は主に電磁場解析に用いられてきた．この手法を固体内の弾性波伝播シミュレーションに適用した．本計算法では，空間および時間領域で弾性波の式を差分方程式に展開して逐次計算を行い，弾性波の時間応答が計算できる 12)．

𝜕𝑇𝑥𝑥 𝜕𝑇𝑥𝑧+
𝜕 𝑢̇
𝜕𝑧 ]
𝜌 [ ] = [ 𝜕𝑥𝜕𝑇
𝜕𝑇𝑥𝑧
𝜕𝑡 𝑤̇𝑧𝑧+𝜕𝑧𝜕𝑥(2)k+1.
w.
k+1/2𝒖̇ = grad𝛷 + rot𝜳(3)z.
u(n-1)

Δt.
u(n+1)

k-1

Velocity potential

xDxi-1i-1/2

ii+1/2 i+1(a) Spatial lattice

図4(b) Calculation procedureof stress and particle
velocity in time domain

FDTD 法の計算格子𝜕𝛷 𝜕𝛹−𝜕𝑥 𝜕𝑧(4)

本研究では，式(10)， (11)で示した波動方程式では無く，𝜕𝛷 𝜕𝛹+𝜕𝑧 𝜕𝑥(5)粒子速度の 1 階の微分方程式である式(6)， (7)とスカラ・ベクトル速度ポテンシャルの時間微分Φ̇ ，Ψ̇ に関する 1式() ()を時間で偏微分すると
𝜕𝑢̇ 𝜕𝛷̇ 𝜕𝛹̇=−𝜕𝑡𝜕𝑥 𝜕𝑧𝜕𝑤̇𝜕𝛷̇ 𝜕𝛹̇=+𝜕𝑡𝜕𝑧 𝜕𝑥𝜕𝛷̇𝜕𝑢̇ 𝜕𝑤̇
= 𝑐11 ( +)
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑧

階の微分方程式である式(8)， (9)に FDTD 法を適用した．
先にも述べたようにスカラ速度ポテンシャル応力ρΦ̇ お(6)(7)

よびベクトル速度ポテンシャル応力ρΨ̇ は応力の単位を有し，それぞれ垂直応力，せん断応力に相当する．図 4 (a) には等間隔計算格子の場合の速度ポテンシャルおよび粒子速度の配置を示す．空間領域では食違い格子を用い，Φ̇ およびΨ̇ と粒子速度は異なる格子点に配置されている．一方，
時間領域では図 4(b)に示すように蛙跳び差分を用いてΦ̇

また，式()～()より
𝜌ΔtΔt. (n+1/2). (n-1/2)

ここでy方向の音場が一様すると，x，z方向の速度u̇ ẇ は下𝑤̇ =Particle velocity

k-1/2

記のように表せる．ただしΨ=Ψ2 として再定義している．
𝑢̇ =.
u(n-1).
uDzu̇ =[u̇ , v̇ , ẇ ]をスカラ速度ポテンシャル およびベクトル
速度ポテンシャル＝1, 2, 3 を用いて表すと，下式のようになる 15),16)．

k.
(8)

およびΨ̇ と粒子速度を交互に計算を行う．ここで i， k はx， z 方向の格子番号，n は時間ステップ数を表す．
FDTD 法を薄板のプレス加工に適用する場合，その精度

は超音波の波長に左右され，波動の現象を表すために，波た．例えば𝑢̇ 1 は下記のように求めた．

長の 0.1 倍未満が必要なことが分かっている 7)．また，格子の大きさは被加工材厚さに影響され，薄板で複雑な形状

𝑢̇ 1𝑛+1 = 𝑢̇ 1𝑛 + (𝛷̇𝑖 − 𝛷̇𝑖−1 )𝛥𝑡/𝛥𝑥𝑐𝑜𝑎𝑟𝑠𝑒− (𝛹̇𝑐,1 − 𝛹̇𝑓,1 )𝛥𝑡/𝛥𝑧𝑐𝑜𝑎𝑟𝑠𝑒の反射・透過特性を調べるためには，より小さい格子とすることが望ましい．しかしながら，そのような場合，計算(12)リソースの大幅な増加を招く．そこで，被加工材-金型のCG-area と FG-area の境界界面においてサブグリッド部境界面付近にのみ小さい格子を配置し，それ以外は比較的分の物理量は既値の値より補間をして求めた．例えばu̇ は大きい格子を配置する sub-grid 法 13)の適用を行った．

下記のように求めた 13)．

図 5(a)に解析モデルを示す．z =25mm 以下では金型，それ以上では被加工材とした．シングルグリッド法ではモデル全てを等間隔のグリッドで分割した．一方，サブグリッ𝑢̇ 2 = (1 ⋅ 𝑢̇ 1 + 2 ⋅ 𝑢̇ 4 )/3(13)𝑢̇ 3 = (2 ⋅ 𝑢̇ 1 + 1 ⋅ 𝑢̇ 4 )/3(14)ド法では，z = 20 mm 以上に微小なサブグリッドを配置した．境界条件はモデルの下部を自由境界とし，それ以外の面は Mur の 1 次吸収境界とした 12)．音源は下部中央に設置し，長さを 10 mm とした．音源には図 5 (b)に示すよう本計算では Matlab を用い，計算用 PC（CPU：AMD Ryzen5な z 方向の粒子速度を与える方法とし，入射波の周波数はMemory: 32GB）を使用した．被加工材材質は A5052，金5MHz とした．

型材質は S50C とし，計算には表 1 の物性値を用いた．被Ratio of particle velocities
w [-]加工材と金型は境界面で連続とした．

. .

1.51

表 1 計算に用いた金型と被加工材の物性値

0.5

Longitudin

0-0.5

Material-100.51Time, t [μs](b) Input wave (Gaussian pulse)

図5計算モデルD z fine[kg/m3]

ν[-]

1.5

Steel (dies)

206

7850

702960

Aluminum(workpiece)

velocity
clcs

[m/s]

[m/s]

0.29

5864

3189

0.33

5919

2982

計算結果を図 7 に示す．ただし，縦波を表すスカラ速度.

.

f,2

f,1

ratio

Wave

４．結果および考察

D xfine.
w.

ρmodulus
E [GPa]-1.5(a) Analysis model

al elastic

Density Poisson’s

ポテンシャル圧力ρ𝛷̇ であり，時刻は t = 5.16μs である．

.
uk+1/2 Fine

grid
area

D z coarse

i-1.
w.
u1.
u2

i u.

3.

.
u4

Work-piece

Coarse
grid
area.

c,1

Transmitted
wavekc,20.1 [MPa]

Die

k-1/2

Reflected
wave

zxi-1

D x coarse

i-1/2

k-1

ii+1/2 i+1(a) Single grid method
Transmittedwave

図 6 サブグリッド法を用いた計算格子-0.1

図 6 に示すように z = 20mm より上部を微小なサブグリッドによって離散化した領域（FG-area）, z = 20mm 以下では比較的大きなグリッドの領域（CG-area）とした．CG-areaと FG-area のグリッド比は 3 とした 13)．グリッドの境界における物理量は CG-area のグリッド幅を基準として求め

Reflectedwave(b) Sub grid method

図 7 金型―被加工材境界面での反射波および透過波

サブグリッド法を用いた計算においても，金型と被加工れていない．一方，サブグリッド法では振幅の変化が大き材間の反射波および透過波が観測された．よって，定性的い．これは，CG-area と FG-area の境界で縦波の反射がみな特徴は捉えている．一方で，シングルグリッド法の場合られたことに影響されていると考えられる．空気中の音響に比べ，伝播の遅れと振幅の違いがやや見られる．サブグ

場解析の場合，境界面での反射誤差は小さい 13)．
その場合，リッド法では，CG-area と FG-area の境界で反射が生じる事

空気中の音波は縦波のみである．一方，金型内の音場解析が知られている 13)．本研究でも CG-area と FG-area の境界では弾性波を扱うことになり，縦波と横波が存在する．弾で超音波の反射が見られた．よって，金型と被加工材間の性波が物体の境界面に入射する場合，斜め入射することで波形の違いは，その反射の影響を受けていると考えられる．

縦波が横波に変化するなどモード変化が生じる．そのため，

図 8 にはシングルグリッド法とサブグリッド法によるCG-area と FG-area の境界で反射する際にモード変化が生計算時間の違いを示す．図中の横軸はグリッドサイズを表じており，それにより縦波のみの時に比べ誤差が大きいとしており，括弧内は CG-area のグリッドサイズである．サ考えられる．よって粗密グリッドの境界面での反射を詳細

ブグリッド法で計算を行った場合，大幅に計算負荷を大幅に調べ，誤差低減を図る必要がある．に低減していることが分かる．特にグリッドサイズが小さくなるとその効果は大きい．FDTD 法を薄板のプレス加工に適用する場合，その精度は超音波の波長に左右され，波動の現象を表すために，波長の 0.1 倍未満が必要なことが分かっている 9)．さらに複雑な形状の反射・透過特性を調べるためには，より小さいグリッドを被加工材-金型の境界面付近に配置することが望ましく，そのような場合に計算負荷の低減が期待できる．

Calculation time tc[s]

7000

6033
Single grid method

5000

Sub grid method

3000
1400
440 176

160 77010(30)30(90)
60(180)Grid size Δx,Δz [μm]Amp. of refected waves Al [-]図 8 計算時間

10.9020.80.60.467

Single grid method
Sub grid method
0.636
0.430.444

0.40.197
0.2010(30)

被加工材-金型の接触面付近の空間差分を細かくしたサ
ブグリッドを用いた FDTD 法の基礎的検討を行った．その結果，境界面での反射・透過特性を表していることが分かった．一方で粗密グリッド境界面での反射誤差を改善する必要がある．

辞本研究に対し，公益財団法人 天田財団より研究助成を受けた．記して感謝の意を表します．

参考文献

4000

1000

言

謝

6000

2000

５．結

30(90)
60(180)Grid size Δx,Δz [μm]図 9 反射波の振幅
シングルおよびサブグリッド法による反射特性の違いを図 9 に示す．ただし縦軸は反射波の最大振幅を入射波の最大振幅で除した振幅比 Al である．シングルグリッド法
では，反射波の振幅はグリッドの大きさにそれほど影響さ

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