この3曲線を描いたのが図2である。指数関数と4次曲線はどちらもよくフィットしている。

ティティウス ・ ボーデの法則の係数

ExcelでもRでも同様な近似指数関数が得られ結局ボーデの

The coefficients of Titius-Bode's Law

法則は作花 一志 (京都情報大学院大学 )Kazuyuki Sakka （ The Kyoto College of Graduate Studies for Informatics）

an=0.3871+0.3163* 1.966n

Excel

an=0.3871+0.2885* 2.005n

Rと書き表される。残差平方和はExcelでは0.327919，Rでは0.073607403でRの方が優れているといえよう。
また指数関数と4次関数はどちらもよくフィットするがそれはこの区間だけのことである。x<0，x>6では両者の値は大きAbstractく異なる。

The coefﬁcients of Titius-Bode's law are derived by using Excel and R programming of non-linear regression method

図1 Excelによる指数関数近似

1. はじめに

2.2 R による解2. 非線形回帰分析

次ページに記すRプログラミングではデータフレームというティティウス・ボーデの法則とは惑星の太陽からの距離が簡実測データとしては水星からケレスも含め天王星までの平均単な数列で表されるというもので，18世紀から知られている。

距離aを使う。第2列のnは前節の値に従う。第4列は第1階差で1766年，ヨハン・ダニエル・ティティウス（1729 -1796）があるが何の規則性も見当たらない。第2階差をとっても同じで提案したときには，単なるパズルであるとして批判されたが，ある。第5列は各anより水星の値を引いたものでこれを新たな1772年にヨハン・ボーデ（1746 -1826）が，物理的説明を加数列 bnとし，これを非線形関数で近似する。

えた形で数列の重要性を書き加えて有名になった。
当時知られていた太陽系の6つの惑星（水星，金星，地球，火星，木星，土星）の軌道長半径（太陽からの平均距離）aは
a n = 0.4+0.3 *2 nで表せ，単位は天文単位（ A U ）である。ここで水星は n = -∞，金星は n = 0，地球は n = 1，火星は n = 2 ，木星は n = 4 ，土星は n =5でありn = 3は欠番である。この法則の提唱後1781年に天王星が発見され，その距離は n= 6 の場合によく合っていたため，法則の信憑性が高まった。そのため，空席である n = 3 に該当する天体の探索が行われ，その結果1801年に小惑星ケレスが発見された。その後，このn=3に当たる距離には多数の小惑星が存在a

階差a-a(水)

水星-∞

0.3871

金星

00.7233

0.3362

0.3362

地球110.2767

0.6129火星

21.52370.5237

1.1366ケレス

32.7671.24332.3799木星

45.2034

2.43644.8163

土星59.53714.33379.15

天王星

619.1913

9.654218.8042

2.1 Excelによる解
最も簡単な方法は散布図（bn vs n）に近似式を書き加えると距離39.445AUで a 7 に近い。2006年冥王星は惑星から外れたとしては曲率が正の増加関数であろう。Excelでは近似曲線のが，その軌道付近には多数のカイパーベルト天体が見つかって式として指数

線形

対数多項式

累乗

移動

b=2.0051と求まった。
図3 指数関数（細線）と4次関数（太線）

ドはu2<-nls(y ~ a*x^2 + b*x + c，start = c ( a = 0.2，b = 0.2，c= 0.2)，

この7点にフィットする曲線は多数あるということである。

trace = TRUE)
であり次のように求まる。
a = 0.8134 b =-2.1603 c = 1.2266
同様にして近似関数として4 次関数 y = a*x4+bx3+cx2 + dx + e をなっているが，適するものとしては指数関数と偶数次多項式で惑星の軌道半径の変化が起きることが分かっている。また近年，ある。指数関数を選ぶと近似関数としてy = 0.3163e0.6758xとな太陽系外惑星系が多数発見されたが，そこでは大きな惑星が親るが，底を変換するとy=0.3163* 1.966 xとなる。

星のすぐ近くを公転する場合が多い。そのため，ティティウス・2次関数では
y = 0.8134 x 2 - 2.1603x + 1.2266

a = 0.03527724

b = -0.24968234

d = -0.47146919

e=0.36611291

c= 0.81789407が求まった。

から選ぶように近年の惑星形成のシミュレーションの結果では，形成後にもめてみる。

start=以下はa=0.2，b=0.2を初期値として繰り返し演算を行う

用いた場合にはいうものである。散布図（図1）からしてこれを近似する数式

この小文では実測データからその係数を非線形回帰分析で求trace = TRUE )近似関数として2次関数 y = a * x 2 + b x + c を用いた場合のコー均距離は30.110AUで a 7 = 38.8から大きくずれており，法則のボーデの法則は，力学的な必然ではないとも言われている。

u1<-nls(y~a*b^x，start =c( a = 0.2，b = 0.2)，

a = 0.2885

n

信憑性について疑問の声があがった。むしろ冥王星の方が平均いる。

ドはという意味である。6回の繰り返し演算で収束し表1 惑星の平均距離していることが判明したが，惑星に相当する天体を発見するには至らなかった。ところが1846年に発見された海王星の平形式でデータを扱う。指数関数y =a*bx で近似する場合のコーとなるがズレが目立つ。

4 次関数では
y = 0.0353x4 - 0.2497x3 + 0.8179x2 - 0.4715x + 0.3661となり，よくフィットしている。

図2 Rによる3つの近似曲線

7071この3曲線を描いたのが図2である。指数関数と4次曲線はどちらもよくフィットしている。

ティティウス ・ ボーデの法則の係数

ExcelでもRでも同様な近似指数関数が得られ結局ボーデのThe coefficients of Titius-Bode's Law

法則は

作花 一志 (京都情報大学院大学 )Kazuyuki Sakka （ The Kyoto College of Graduate Studies for Informatics）

an=0.3871+0.3163* 1.966n

Excel

an=0.3871+0.2885* 2.005nRと書き表される。残差平方和はExcelでは0.327919，Rでは0.073607403でRの方が優れているといえよう。
また指数関数と4次関数はどちらもよくフィットするがそれはこの区間だけのことである。x<0，x>6では両者の値は大きAbstractく異なる。

The coefﬁcients of Titius-Bode's law are derived by using Excel and R programming of non-linear regression method

図1 Excelによる指数関数近似

1. はじめに

2.2 R による解2. 非線形回帰分析

次ページに記すRプログラミングではデータフレームというティティウス・ボーデの法則とは惑星の太陽からの距離が簡実測データとしては水星からケレスも含め天王星までの平均単な数列で表されるというもので，18世紀から知られている。

距離aを使う。第2列のnは前節の値に従う。第4列は第1階差で1766年，ヨハン・ダニエル・ティティウス（1729 -1796）があるが何の規則性も見当たらない。第2階差をとっても同じで提案したときには，単なるパズルであるとして批判されたが，ある。第5列は各anより水星の値を引いたものでこれを新たな1772年にヨハン・ボーデ（1746 -1826）が，物理的説明を加数列 bnとし，これを非線形関数で近似する。

えた形で数列の重要性を書き加えて有名になった。
当時知られていた太陽系の6つの惑星（水星，金星，地球，火星，木星，土星）の軌道長半径（太陽からの平均距離）aはa n = 0.4+0.3 *2 nで表せ，単位は天文単位（ A U ）である。ここで水星は n = -∞，金星は n = 0，地球は n = 1，火星は n = 2 ，木星は n = 4 ，土星は n =5でありn = 3は欠番である。この法則の提唱後1781年に天王星が発見され，その距離は n= 6 の場合によく合っていたため，法則の信憑性が高まった。そのため，空席である n = 3 に該当する天体の探索が行われ，その結果1801年に小惑星ケレスが発見された。その後，このn=3に当たる距離には多数の小惑星が存在

a階差

a-a(水)

水星-∞

0.3871

金星

00.7233

0.3362

0.3362

地球110.2767

0.6129火星

21.5237

0.52371.1366ケレス

32.7671.24332.3799木星

45.2034

2.43644.8163

土星59.53714.33379.15

天王星

619.1913

9.654218.8042

2.1 Excelによる解
最も簡単な方法は散布図（bn vs n）に近似式を書き加えると距離39.445AUで a 7 に近い。2006年冥王星は惑星から外れたとしては曲率が正の増加関数であろう。Excelでは近似曲線のが，その軌道付近には多数のカイパーベルト天体が見つかって式として指数

線形対数多項式

累乗移動

b=2.0051と求まった。
図3 指数関数（細線）と4次関数（太線）

ドはu2<-nls(y ~ a*x^2 + b*x + c，start = c ( a = 0.2，b = 0.2，c= 0.2)，

この7点にフィットする曲線は多数あるということである。

trace = TRUE)
であり次のように求まる。
a = 0.8134 b =-2.1603 c = 1.2266
同様にして近似関数として4 次関数 y = a*x4+bx3+cx2 + dx + e をなっているが，適するものとしては指数関数と偶数次多項式で惑星の軌道半径の変化が起きることが分かっている。また近年，ある。指数関数を選ぶと近似関数としてy = 0.3163e0.6758xとな太陽系外惑星系が多数発見されたが，そこでは大きな惑星が親るが，底を変換するとy=0.3163* 1.966 xとなる。

星のすぐ近くを公転する場合が多い。そのため，ティティウス・2次関数では
y = 0.8134 x 2 - 2.1603x + 1.2266

a = 0.03527724

b = -0.24968234

d = -0.47146919

e=0.36611291

c= 0.81789407が求まった。

から選ぶように近年の惑星形成のシミュレーションの結果では，形成後にもめてみる。

start=以下はa=0.2，b=0.2を初期値として繰り返し演算を行う

用いた場合にはいうものである。散布図（図1）からしてこれを近似する数式

この小文では実測データからその係数を非線形回帰分析で求trace = TRUE )近似関数として2次関数 y = a * x 2 + b x + c を用いた場合のコー均距離は30.110AUで a 7 = 38.8から大きくずれており，法則のボーデの法則は，力学的な必然ではないとも言われている。

u1<-nls(y~a*b^x，start =c( a = 0.2，b = 0.2)，

a = 0.2885

n

信憑性について疑問の声があがった。むしろ冥王星の方が平均いる。

ドはという意味である。6回の繰り返し演算で収束し表1 惑星の平均距離していることが判明したが，惑星に相当する天体を発見するには至らなかった。ところが1846年に発見された海王星の平形式でデータを扱う。指数関数y =a*bx で近似する場合のコーとなるがズレが目立つ。

4 次関数では
y = 0.0353x4 - 0.2497x3 + 0.8179x2 - 0.4715x + 0.3661となり，よくフィットしている。

図2 Rによる3つの近似曲線

7071

########### Bode ###x<-c(0:6)y<-c(0.3362，0.6129，1.1366，2.3799，4.8163，9.15，18.8042)
xy<- data.frame(x，y)# x，y データフレーム

u1 <-nls(y~a*b^x，start=c(a=0.2，b=0.2)，trace=TRUE)
u2 <-nls(y~a*x^2+b*x+c，start=c(a=0.2，b=0.2，c=0.2)，trace=TRUE)
u4 <-nls(y~a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e，start=c(a=0.2，b=0.2，c=0.2，d=0.2，e=0.2)，trace=TRUE)
plot(x，y) # 散布図
coef(u1)# 指数回帰係数

coef(u2)# 2次回帰係数

coef(u4)# 4次回帰係数#回帰曲線関数定義&プロット
f1 <- function(x) coef(u1)[1]*coef(u1)[2]^xplot(f1，0，6，col=3，add=T)
f2 <- function(x) coef(u2)[1]*x^2+coef(u2)[2]*x+coef(u2)[3]plot(f2，0，6，col=4，add=T)
f4 <- function(x) coef(u4)[1]*x^4+coef(u4)[2]*x^3+coef(u4)[3]*x^2+coef(u4)[4]*x+
coef(u4)[5]plot(f4，0，6，col=2，add=T)
text(1，15，"指数関数"，col=3);
text(1，13，"2次関数"，col=4);
text(1，11，"4次関数"，col=2);
title(" Bode's Law")
dev.new()plot(f1，-5，10，col=3)
plot(f4，-5，10，col=2，add=T)
text(0，270，"指数関数"，col=3);
text(0，250，"4次関数"，col=2);【参考文献】
金明哲「Rによるデータサイエンス」 森北出版

72200773