矛盾があるはずである。

「ゼノンの逆理」は逆理か？
東京大学名誉教授

元 KCG 情報システム開発研究所 所長

小亀■ 話の概要 ■ゼノンの四つの逆理は，何の疑いも持たれず真の逆理・逆説・
パラドックス（本論文でこの三つの単語は，まったく同じ意味

逆説の本領である。ただし，単語で示される二つの概念同士の考えられたこと・考えられ続けてきたことが無意味だというの場合や，命題同士であっても対立関係が直ちに理解できる場合ではない。その逆である。それらの思索の中から，有益な多くは，一方を他方の逆説・逆理とは言わない。この場合は「矛盾」の成果が生みだされた。何より，共通のテーマとして，各分野そのものである。逆説の中に矛盾の指摘が含まれているが，逆の立場から論じ合う場を提供すること自体，大変有益である。

説とは結びつかない矛盾が存在する。

自分で直接検討し直し，他人の言う通りでそれ以外ではない，

ただ，「逆説」として問題自体が正しく解決されることはない

よく知られたパラドックスの一つに，「うそつきのパラドッと納得・容認した事実ではない。それが真実と教え込まれた以と言うだけのことである。事実，解決されないからこそ，さらクス」がある。クレタ人が，“ クレタ人はうそつきである ” と言っ上，考えるまでもないと割り切っているからである。この割りに考察が深められ，あまたの考えが模索され続けている。先に，たとき，“ そうなのか ” とそのまま受け入れられそうな言い分

切りのため，真実を見抜く知力が完全に失われる。

「逆説」の解明が「束ねた葦で西瓜をたたくようなもの」と評だが，考えてみると，この命題自体が論理的矛盾を含み，「うそ」として扱っている）として信じられ，現在なお，広く受け入れ

ゼノンの議論は，これを逆説として肯定的に捉え，解明しよ価したが，それは，ありもしない逆説を「逆説」として解こうなのか「正しい」のか，判断できなくなる（矛盾が両立してしられる最終的解決策が模索され続けている。一方で，特に数学

うとすると，無限の繰り返しや無限大・無限小などの大きさ・とする道具にするからで，束ねられた一本一本の葦は，「逆説」

まう）というものである。このとき，条件を変え，クレタ人以の分野では，数理的に見て，これらの逆説はとっくに解決済み

極限値，空間・空間の一点，時間・時間の経過や一瞬，連続あを解こうとする努力によって，はじめて生み出された価値ある

外のだれかが言ったとすれば，パラドックスではなくなる。まとみなされている。哲学者そのほかの人々は，数学的解決には

るいは不連続，などなど，考えだせば言及せずにおれない事項

成果であることも，大いにあり得る。もしかすると，ゼノンは，た，「例外を認めない」ことを鉄則にする論理体系を，「例外を満足していない。総体的に見れば，2000 年を超える長きにわが関連し，まずはそれらの概念の定義・理解の仕方から論じる

一見逆理のように見えるかもしれない表現を考案し，運動や時一つだけ認める」論理体系に変えれば，クレタ人が言うことのたって，現在なお，依然解決されていない状態にある。本論文は，必要性に迫られる。しかもそのような複数の概念同士の相互関間，無限や連続などの不確かな概念の，さらなる熟考と掘り下中で，「クレタ人はうそつきである」という命題そのものだけは，「無現」という概念を視覚化する論理的方法を提案する。この係がうまく整合するような，論理的まとめ上げを確立しなけれげの必要性に目覚めさせることを目論んだのではないか，とさ

この命題の内容に命題自身は拘束されない例外であるとするこ

視覚化によれば，限りない繰り返しを含む命題が真であるか否ばならない。そのうえ，概念の定義・理解にしても，学問・研

え思えるほどである。

とができ，パラドックスではなくなる。

かを論理的に分析することが容易に可能になる。この方法によ

究の専門分野ごとに微妙な相違・温度差があるばかりか，同じり，ゼノンの逆説が，真の逆説ではあり得ず，自己矛盾を含ん研究分野内でも異論がある，などの困難が現実に存在し，そのだ単なる命題にすぎないことが明らかになる。ゼノンの逆説め

思考環境を考えただけでも，問題が決着に向け収束することの，いた議論が決して解けないのは，逆説でないものを真の逆説と途方もない困難が感じられる。つまり，パラドックスを解こう「概念」は抽象的なものであり，言語で表現され理解される。

い（ありえなくできる）。逆に，逆説ではない命題を逆説に変して解くことに，さまざまな努力を重ねること自体にある。

とする方法自体が，簡明でない。むしろ複雑をきわめ，曖昧でもともと具象的な対象の中から，共通するものとして抽出され貌する創作も可能になる。従って，「パラドックス」を解くにすらある。このような手法で，はたして正解にたどり着けるとた論理的理解である場合以外は，視覚に訴えられないことも少あたっては，『同じ「思考環境・思考条件」で，同じ「論理体系」

期待できるであろうか？

■ １．はじめに ■たがいに矛盾関係にある二つの命題であっても，それぞれの■ ２．概念のイメージ化 ■命題が成立する「思考環境・条件」や「論理体系」が異なる（人為的に異にする）ときは，たがいに矛盾でも逆説でもありえな

包丁ではなく，束ねた葦で西瓜をたなくない。もし，何かの概念が，可能な限りその特質を失わず，により，二つの「命題」同士の関係が取り上げられ，議論ある

たき割り，中身をさらけだそうとするようなものではないか？

かつ余分なものを含まないで，具象的に視覚化されたイメージ

いは分析されなくてはならない』。
（ここで取り違えてはならな「アキレスは亀に追いつけない」や「飛んでいる矢は静止し

この論文で筆者が主張することは，ゼノンの逆説自体を考察・に置き換えられる（以下，イメージ化されると言う）なら，積いのは，同じ思考環境とは，正論とされる命題が生み出されたている」で広く知れわたっているゼノンの逆説（または逆理：分析したのち，この「逆説」の正しい解き方を追究することで極的に利用するべきである。下手なアナロジーは，雑物が混じ

思考環境のことで，生み出された正論自体の論旨を思考環境にパラドックス）は，紀元前４世紀にアリストテレスの著作でははなく，ゼノンの議論が本質的にどのような意味と意義を持つ

り，かえって害をもたらすので避けなければならない。このこ

採用することではない。）この原則を離れ，一方の命題だけがじめて内容があきらかにされてから，21 世紀の現代に至るま／持ち得るものかについて，自分で論理的な分析が加えられるとを念頭に，ある概念を過不足なくイメージ化するためには，成立する，「偏った思考環境」を設定し，それしか正論はないで，延々と語り継がれ，多くの学者／研究者によりその解決がよう，かつその結果が客観的理解につながるよう，誰もが理解

おそらく，すでに理解したと思っている内容に，より「磨きをとする立場から，いまや思考環境を異にする他方を否定するこ考えられてきた。中には完全に解決できた／できると自称するできるごく常識的な論理により，誰にも共通する方法論の基礎かける」という再検討が，無自覚であっても，加えられることとができたところで，逆説・逆理を解決したことにはならない。

論説や説明もしばしばあらわれ，ときには，“ 言いくるめられを確立するための提案である。それに基づく分析手段は，「葦が推測される。イメージ化された概念の特質を，逆にそのイメー

単なる自己錯誤の押しつけにすぎないのだが，案外この手の議そうになる ” こともあるが，それでもやはり，すっきりせず，の束」ではなく，
少なくとも「包丁」でなくてはならない。従っジを通じ，しっかり見直すことによって，抽象的理解のままで論が少なくない。よく注意して検討すれば，そのからくりが見

依然，なにかが “ 引っ掛かって落ち着かない ”，というのが，て，得られた分析結果の理解には，“ 言いくるめられそうになる ”

は気づきがたい，新しい展望と演繹が開ける。概念に対し，誰えてくる。この原則は，きわめて厳格に守られねばならず，こ多くの人々の実感のようである。21 世紀になっても，ゼノン

ことや，“ 引っ掛かって落ち着かない ” 気持，または “ 納得すにも共通する認識が確立される。本論文はその事実の考察と提とのほか重大であるから，しっかり記憶に刻んでほしい。

の逆説について書かれた一般向けの書籍が，わが国だけでも毎ることもできない ” 思いからの完全解放がなくてはならない。

供であるが，事例として，ゼノンの逆理「そのもの」の分析を年のように出版される。万人あるいは大多数を納得させる解決

結論を言えば，ゼノンの議論は，それ自身の中に自己矛盾を策が出現し，もはや一定の決着を見た過去の命題とは到底言え内蔵する，誤った命題の表明にすぎないことが判明する。ゼノ

この章では，ゼノンの逆理を解析するに当って，現行の諸議ない。

ンが批判の対象とする「通常説（事象の観測のままのわれわれ論の中に必ず見られる用語を含め，必要な最小限の概念についの理解）」に立ち向かえるような論理ではない。つまり，正常て，共通の認識を持つための準備から始める。

ところで，誰もが経験することだが，この問題をはじめて知るときは，必ず典型的かつ古典的な「逆説・逆理」の見本・手16

淳

れば他方が立たなくなるという，「矛盾の成立」を実証するのが，ゼノンの逆説を，文字通り逆説・逆理として捉え，あれこれとりあげて，議論を展開する。

■ ２･１．可能的無限と現実的無限 ■無限という概念には，可能的無限（potential infinity）と現実的無限（actual infinity）の二つがあるとされている。たとえば，竹内（1980）は編著『無限と有限』の序説の中で，可な意味での「逆説・逆理」の主張ではあり得ない。

■ ２･２．矛盾とパラドックスの区別 ■

能的無限を〈操作的無限〉と名付け，“ いくらでも操作が続けで，不毛に終わるのは，むしろ当然というか，自然な結果であ

逆説・逆理（パラドックス）は，正論・正当説または正統説（オー

実的無限を，“ 有限のものとは隔絶した大きさを持つものとしられ，学び，理解させられたといっても過言ではない。また，る。それにもかかわらず，「逆説を解明した」とする論説には，ソドックス：正しい結論として表現され，客観的事実として認ての無限 ” と説明し，〈存在としての無限〉と表現している。

事実，学者や専門家たちが論じる立場は，あくまで「逆説」のゼノンの言い分自体の中の自己矛盾を指摘した場合を除き（そめられた命題）に対し，帰結自体に自己矛盾があることを，そ

この訳語のほうがわかりやすいかもしれない。この論文中で筆解明から離れることはない。このような「刷り込まれ型（他人のような論説は見当たらない），筆者の指摘する矛盾の容認のの説の正当化に使われたのと同じ論理を使い，正統説と相反す

者は適宜，可能的無限を「繰り返し ( 無限 )」，現実的無限を「存依存型）」の知識や信条は，気づかないものの，意外と多い。

上での論説であるから，必ずどこかに不都合・誤りないし自己る正しい命題が成立する事実を見せつけ，一方を立てようとす

在的繰り返し ( 無限 )」と言う。

本として，ゼノンの四つの逆説的議論が，アプリオリに目の前

2000 年以上の長きにわたって，「逆説」でないものを「逆に紹介されるのが常である。逆に言うと，パラドックスとはど説」としてしか捉えず，それを真っ向から解こうとしたところ

んなものか，ゼノンの「アキレスと亀」を教科書として，教えられる，つくすことがない ” こと，と解説している。竹内は現17

矛盾があるはずである。

「ゼノンの逆理」は逆理か？
東京大学名誉教授

元 KCG 情報システム開発研究所 所長

小亀■ 話の概要 ■ゼノンの四つの逆理は，何の疑いも持たれず真の逆理・逆説・
パラドックス（本論文でこの三つの単語は，まったく同じ意味

逆説の本領である。ただし，単語で示される二つの概念同士の考えられたこと・考えられ続けてきたことが無意味だというの場合や，命題同士であっても対立関係が直ちに理解できる場合ではない。その逆である。それらの思索の中から，有益な多くは，一方を他方の逆説・逆理とは言わない。この場合は「矛盾」の成果が生みだされた。何より，共通のテーマとして，各分野そのものである。逆説の中に矛盾の指摘が含まれているが，逆の立場から論じ合う場を提供すること自体，大変有益である。

説とは結びつかない矛盾が存在する。

自分で直接検討し直し，他人の言う通りでそれ以外ではない，

ただ，「逆説」として問題自体が正しく解決されることはない

よく知られたパラドックスの一つに，「うそつきのパラドッと納得・容認した事実ではない。それが真実と教え込まれた以と言うだけのことである。事実，解決されないからこそ，さらクス」がある。クレタ人が，“ クレタ人はうそつきである ” と言っ上，考えるまでもないと割り切っているからである。この割りに考察が深められ，あまたの考えが模索され続けている。先に，たとき，“ そうなのか ” とそのまま受け入れられそうな言い分

切りのため，真実を見抜く知力が完全に失われる。

「逆説」の解明が「束ねた葦で西瓜をたたくようなもの」と評だが，考えてみると，この命題自体が論理的矛盾を含み，「うそ」として扱っている）として信じられ，現在なお，広く受け入れ

ゼノンの議論は，これを逆説として肯定的に捉え，解明しよ価したが，それは，ありもしない逆説を「逆説」として解こうなのか「正しい」のか，判断できなくなる（矛盾が両立してしられる最終的解決策が模索され続けている。一方で，特に数学

うとすると，無限の繰り返しや無限大・無限小などの大きさ・とする道具にするからで，束ねられた一本一本の葦は，「逆説」

まう）というものである。このとき，条件を変え，クレタ人以の分野では，数理的に見て，これらの逆説はとっくに解決済み

極限値，空間・空間の一点，時間・時間の経過や一瞬，連続あを解こうとする努力によって，はじめて生み出された価値ある

外のだれかが言ったとすれば，パラドックスではなくなる。まとみなされている。哲学者そのほかの人々は，数学的解決には

るいは不連続，などなど，考えだせば言及せずにおれない事項

成果であることも，大いにあり得る。もしかすると，ゼノンは，た，「例外を認めない」ことを鉄則にする論理体系を，「例外を満足していない。総体的に見れば，2000 年を超える長きにわが関連し，まずはそれらの概念の定義・理解の仕方から論じる

一見逆理のように見えるかもしれない表現を考案し，運動や時一つだけ認める」論理体系に変えれば，クレタ人が言うことのたって，現在なお，依然解決されていない状態にある。本論文は，必要性に迫られる。しかもそのような複数の概念同士の相互関間，無限や連続などの不確かな概念の，さらなる熟考と掘り下中で，「クレタ人はうそつきである」という命題そのものだけは，「無現」という概念を視覚化する論理的方法を提案する。この係がうまく整合するような，論理的まとめ上げを確立しなけれげの必要性に目覚めさせることを目論んだのではないか，とさ

この命題の内容に命題自身は拘束されない例外であるとするこ

視覚化によれば，限りない繰り返しを含む命題が真であるか否ばならない。そのうえ，概念の定義・理解にしても，学問・研

え思えるほどである。

とができ，パラドックスではなくなる。

かを論理的に分析することが容易に可能になる。この方法によ

究の専門分野ごとに微妙な相違・温度差があるばかりか，同じり，ゼノンの逆説が，真の逆説ではあり得ず，自己矛盾を含ん研究分野内でも異論がある，などの困難が現実に存在し，そのだ単なる命題にすぎないことが明らかになる。ゼノンの逆説め

思考環境を考えただけでも，問題が決着に向け収束することの，いた議論が決して解けないのは，逆説でないものを真の逆説と途方もない困難が感じられる。つまり，パラドックスを解こう「概念」は抽象的なものであり，言語で表現され理解される。

い（ありえなくできる）。逆に，逆説ではない命題を逆説に変して解くことに，さまざまな努力を重ねること自体にある。

とする方法自体が，簡明でない。むしろ複雑をきわめ，曖昧でもともと具象的な対象の中から，共通するものとして抽出され貌する創作も可能になる。従って，「パラドックス」を解くにすらある。このような手法で，はたして正解にたどり着けるとた論理的理解である場合以外は，視覚に訴えられないことも少あたっては，『同じ「思考環境・思考条件」で，同じ「論理体系」

期待できるであろうか？

■ １．はじめに ■たがいに矛盾関係にある二つの命題であっても，それぞれの■ ２．概念のイメージ化 ■命題が成立する「思考環境・条件」や「論理体系」が異なる（人為的に異にする）ときは，たがいに矛盾でも逆説でもありえな

包丁ではなく，束ねた葦で西瓜をたなくない。もし，何かの概念が，可能な限りその特質を失わず，により，二つの「命題」同士の関係が取り上げられ，議論ある

たき割り，中身をさらけだそうとするようなものではないか？

かつ余分なものを含まないで，具象的に視覚化されたイメージ

いは分析されなくてはならない』。
（ここで取り違えてはならな「アキレスは亀に追いつけない」や「飛んでいる矢は静止し

この論文で筆者が主張することは，ゼノンの逆説自体を考察・に置き換えられる（以下，イメージ化されると言う）なら，積いのは，同じ思考環境とは，正論とされる命題が生み出されたている」で広く知れわたっているゼノンの逆説（または逆理：分析したのち，この「逆説」の正しい解き方を追究することで極的に利用するべきである。下手なアナロジーは，雑物が混じ

思考環境のことで，生み出された正論自体の論旨を思考環境にパラドックス）は，紀元前４世紀にアリストテレスの著作でははなく，ゼノンの議論が本質的にどのような意味と意義を持つ

り，かえって害をもたらすので避けなければならない。このこ

採用することではない。）この原則を離れ，一方の命題だけがじめて内容があきらかにされてから，21 世紀の現代に至るま／持ち得るものかについて，自分で論理的な分析が加えられるとを念頭に，ある概念を過不足なくイメージ化するためには，成立する，「偏った思考環境」を設定し，それしか正論はないで，延々と語り継がれ，多くの学者／研究者によりその解決がよう，かつその結果が客観的理解につながるよう，誰もが理解

おそらく，すでに理解したと思っている内容に，より「磨きをとする立場から，いまや思考環境を異にする他方を否定するこ考えられてきた。中には完全に解決できた／できると自称するできるごく常識的な論理により，誰にも共通する方法論の基礎かける」という再検討が，無自覚であっても，加えられることとができたところで，逆説・逆理を解決したことにはならない。

論説や説明もしばしばあらわれ，ときには，“ 言いくるめられを確立するための提案である。それに基づく分析手段は，「葦が推測される。イメージ化された概念の特質を，逆にそのイメー

単なる自己錯誤の押しつけにすぎないのだが，案外この手の議そうになる ” こともあるが，それでもやはり，すっきりせず，の束」ではなく，
少なくとも「包丁」でなくてはならない。従っジを通じ，しっかり見直すことによって，抽象的理解のままで論が少なくない。よく注意して検討すれば，そのからくりが見

依然，なにかが “ 引っ掛かって落ち着かない ”，というのが，て，得られた分析結果の理解には，“ 言いくるめられそうになる ”

は気づきがたい，新しい展望と演繹が開ける。概念に対し，誰えてくる。この原則は，きわめて厳格に守られねばならず，こ多くの人々の実感のようである。21 世紀になっても，ゼノン

ことや，“ 引っ掛かって落ち着かない ” 気持，または “ 納得すにも共通する認識が確立される。本論文はその事実の考察と提とのほか重大であるから，しっかり記憶に刻んでほしい。

の逆説について書かれた一般向けの書籍が，わが国だけでも毎ることもできない ” 思いからの完全解放がなくてはならない。

供であるが，事例として，ゼノンの逆理「そのもの」の分析を年のように出版される。万人あるいは大多数を納得させる解決

結論を言えば，ゼノンの議論は，それ自身の中に自己矛盾を策が出現し，もはや一定の決着を見た過去の命題とは到底言え内蔵する，誤った命題の表明にすぎないことが判明する。ゼノ

この章では，ゼノンの逆理を解析するに当って，現行の諸議ない。

ンが批判の対象とする「通常説（事象の観測のままのわれわれ論の中に必ず見られる用語を含め，必要な最小限の概念についの理解）」に立ち向かえるような論理ではない。つまり，正常て，共通の認識を持つための準備から始める。

ところで，誰もが経験することだが，この問題をはじめて知るときは，必ず典型的かつ古典的な「逆説・逆理」の見本・手16

淳

れば他方が立たなくなるという，「矛盾の成立」を実証するのが，ゼノンの逆説を，文字通り逆説・逆理として捉え，あれこれとりあげて，議論を展開する。

■ ２･１．可能的無限と現実的無限 ■無限という概念には，可能的無限（potential infinity）と現実的無限（actual infinity）の二つがあるとされている。たとえば，竹内（1980）は編著『無限と有限』の序説の中で，可な意味での「逆説・逆理」の主張ではあり得ない。

■ ２･２．矛盾とパラドックスの区別 ■

能的無限を〈操作的無限〉と名付け，“ いくらでも操作が続けで，不毛に終わるのは，むしろ当然というか，自然な結果であ

逆説・逆理（パラドックス）は，正論・正当説または正統説（オー

実的無限を，“ 有限のものとは隔絶した大きさを持つものとしられ，学び，理解させられたといっても過言ではない。また，る。それにもかかわらず，「逆説を解明した」とする論説には，ソドックス：正しい結論として表現され，客観的事実として認ての無限 ” と説明し，〈存在としての無限〉と表現している。

事実，学者や専門家たちが論じる立場は，あくまで「逆説」のゼノンの言い分自体の中の自己矛盾を指摘した場合を除き（そめられた命題）に対し，帰結自体に自己矛盾があることを，そ

この訳語のほうがわかりやすいかもしれない。この論文中で筆解明から離れることはない。このような「刷り込まれ型（他人のような論説は見当たらない），筆者の指摘する矛盾の容認のの説の正当化に使われたのと同じ論理を使い，正統説と相反す

者は適宜，可能的無限を「繰り返し ( 無限 )」，現実的無限を「存依存型）」の知識や信条は，気づかないものの，意外と多い。

上での論説であるから，必ずどこかに不都合・誤りないし自己る正しい命題が成立する事実を見せつけ，一方を立てようとす

在的繰り返し ( 無限 )」と言う。

本として，ゼノンの四つの逆説的議論が，アプリオリに目の前

2000 年以上の長きにわたって，「逆説」でないものを「逆に紹介されるのが常である。逆に言うと，パラドックスとはど説」としてしか捉えず，それを真っ向から解こうとしたところ

んなものか，ゼノンの「アキレスと亀」を教科書として，教えられる，つくすことがない ” こと，と解説している。竹内は現17

可能的無限とは，一つのプロセスの中に，それ自身と同じプ

まったく別の概念であることが，はっきり理解される。とくに，が言っていることの内容を，正確に把握することから始める。

ロセスが「無数に含まれる＝繰り返しが何度でも可能である」「可能的無限＝繰り返し無限」でコトが述べられているとき，われわれが理解するのは，日常聞かされている以下の内容によことの指摘である。たとえば，Ａ点からＢ点まで行くのに，Ａ意味があるのは，「最初の一回の過程」についての分析や適用るものであるから，それを採りあげることにする。

点とＢ点の中間点Ｍ１まで行かねばならない。Ｍ１点からＢ点だけであることが，容易に理解される。言い換えれば，“ 同じ“ アキレスが亀を追いかけるとき，まず，亀が元いた位置にまで行くのにその二点の中間点Ｍ２点まで行かねばならない。

論理が繰り返されているときは，最初の一回の過程に限定して到達する必要がある。そのときには，亀は元の位置から先へ進

この「繰り返し操作」が，Ｂ点に到達する以前に無限に続く，議論するべきで，不用意に繰り返しとその議論に巻き込まれるんでいる。この位置にアキレスが追いついたときは，亀はさらという論理が，可能的無限である。他方，現実的無限とは，た＝繰り返しにトラップされる（わなに捕らわれる）ことがあっに前に進んでいる。この過程はいつまでも繰り返され，終わり

とえば自然数に１を加えると，それより大きな数値が「現実に」てはならない ” という事実が，当然のこととして理解可能になを見ることがない。従って，アキレスは亀に追いつくことがでる。最も大事な認識は，単なる論理的「繰り返し」は，自分自きない ”

得られ，実体の存在が一つ増える。さらに１を足すとさらに大［図２］現実的無限（存在的繰り返し無限）のイメージ化：コイルモデル

きな数値が増える。この繰り返しは際限なく続けることができ，

なお，ひとこと申し添える。論理の一過程の内容が何らかの身で閉じる議論の構築・没入であり，無限に続けることも，途議論の背後で暗黙の条件とされていることは，アキレスが亀数値の存在の数（かず）は無限に大きくなる，という考えであ収束に向かう場合，必ずゼロになる以外に結末はありえないと中でやめることもできるが，その思考や操作により，外部や自より速く動くこと，両者の速さが話の途中で勝手に変わらないる。繰り返しのたびに，新たに現実的存在が追加される，また信じている人は，この事実をも同時にイメージ化しようとし，

身の論理過程に，何の変更も影響も与えることができない，とこと，アキレスが亀を追いかけるという以上アキレスが最初亀は，繰り返しの前の状況とは異なる状況に変わる。

円モデルが 360°回転するうちに，次第に半径が短縮するモデ

いう，明瞭な認知である。この種の「無限」の議論であることの後方にいること，アキレスも亀も一度も止まらないこと，で筆者は，可能的無限と現実的無限を，具体的イメージで理解ルを考え，無限の繰り返しが「渦巻き」状になって，ついにはさえ見抜けば，無意味な繰り返しに過ぎないとして，実質的効ある。[ 暗黙の条件は，できる限り単純で，誰もが共通に認識するのが最適と思う。イメージ化することで，新しい知見が得消失する＝回転半径がゼロになることを考慮に入れるかもしれ

力の伴わない「無限」の操作に，理由もなく引き込まれる思いできる必要最小限に想定するべきである。誰も気づかなかったられる。最大のメリットは，抽象的概念が個人差のない理解にない（このモデルは，第 4 章 4．1 節で採り上げる）。しかし，を断ち切ることができる。

条件を追加すべき指摘を除き，人により異なる拡大解釈を気ま統一されることにある。では，どのようにイメージ化するのか，円モデルの円周の一巡りは，「論理の一過程」についての永遠

次節で紹介する。

■ ２･３．可能的無限と現実的無限のイメージ化 ■図１に示すように，可能的無限を「円」に，図２に示すよう

なお，図１と図２の左側の図（円）が同じになることも，意まに条件に持ち込んでも，議論のための議論ができるだけで，の繰り返しのイメージ化であって，論理の内容（が収束を意味味がある。図２のほうは，三次元モデルの二次元平面への投影

かえって問題の輪郭と本質をぼやかす。例えば，吉永（2008）]

するか否かなど）については無関係であるから，円周上の回転（射影）である。現実的無限（存在的繰り返し無限）も，無限の「繰一方実際にわれわれが経験する「（観測による）事実」から，を繰り返すごとに，円が小さくなり，遂には最初の「論理の一り返し」が含まれるから，可能的無限と「繰り返し」について

過程」自体が消滅するようなイメージ化はありえない。それで共通の性質を持つ。これの事実のイメージ化が，コイルモデル

は「可能的無限」ではなくなる。

の投影が円モデルと一致することで表わされている。従って，

必ず追いつき，追いぬく ”“ 速いほうのアキレスが速くないほうの亀を追いかけたとき，に，現実的無限を「コイル」に対応させてイメージ化する。図

次に，現実的無限の持つ特質，すなわち，ＡからＢへの論理

ある事象のイメージ化がコイルモデルである事実をはっきり掴である。アキレスと亀の競争を実際に観測したとして，見たま

１と図２の (a),(b),(c) は，それぞれ，(a) 真上から見たとき，(b)的一過程を繰り返すごとに，新しい現実的な事実が生み出されんでいれば，「繰り返し」を強調するため，自らの投影である

まを理解する内容の，無駄のない「必要かつ十分」な表現であ

斜めから見たとき，(c) 真横から見たとき ) の図である。

るという事情を，図２（a),(b),(c）に示す。コイル上を，一回円モデルを一時的に使うことは差し支えない。

り，かつ一回の競争＝一過程だけを述べている。このとき，当図１の上部の直線ＡＢは，ＡにはじまりＢに終わる「完結し然のこととして言外に想定されている条件は，（逆の言い方にまわる過程（360°回転の過程）ごとに，元に戻らず，何らか■ ３．イメージ化の効能による逆説の分析 ■た論理的命題の一過程（一回限りで成立する過程）」を表しての現実的事実を発生し，回転前とは異なる状態に転移することいる。一般に，ＢはＡと同じ内容ではない。また。この命題自（位置を変えることに対応）をイメージ化したものである。こ体が，「無限の繰り返しを表現する命題」ではないとする。

れを現実的無限（存在的繰り返し無限）の「コイルモデル」と「イメージ化による理解」が，予想以上の効力を発揮する実

き，必ず追いつく ” で区切ってはならない。アキレスも亀も，呼ぶことにする。

例として，ゼノンの逆説を採りあげてみよう。一般に言われる追いついた／追いつかれたとたんに停止することが，論理的に図１の下部の円 (a),(b),(c) は，同じ過程を無限に繰り返すこなるが）ゼノンの議論とまったく同じである。
この一過程を，“ 速いアキレスが速くない亀を追いかけたととができるという可能的無限の概念を，円周上を「一回まわる

円モデルで可能的無限をイメージ化すれば，可能的無限は，ゼノンの逆説は四つある。その順番は相互関連のありなしを論は可能になってしまい，イメージ化されねばならない。それか過程（360°回転）」は，何回でも繰り返すことができるという任意の一過程に対し，その繰り返しを述べるだけで，「始めとじる書物によって異なるが，筆者の議論に関しては，順番にはら先は，アキレスは急停止し一休みするが，亀は依然全力で走事実と対応させることにより，イメージ化したものである。こ

終りがある過程」（終りが始めにつながらなくてよい）で繰り

関係ないものの，ゼノンの逆理が最初に具体的に紹介されたのり続けるイメージもあり得る。現実の観測にそぐわない。これ

れを可能的無限（繰り返し無限）の「円モデル」と呼ぶことに返しが可能であれば，どのような場合にも言える論理にすぎず，は，アリストテレスの『自然学（Aristotelis Physica）』である

は，思いのほか重要な事実であり，記憶に留めてほしい。

する。円周上のＡとＢは，同位置を占めるが，図１の上部に示最初の一過程（最初の 360°回転）を除いて，“ この繰り返し

ので，四つの逆理の指名はその順に従う。（アリストテレスのまた，よく言われるように，最初に「よーい・ドン」でスターされた論理過程の始めと終りのＡとＢに，対応する。

の論理からは，新しい事実が何も生まれない ” ことが，きわめ著作そのものを直接見なくても，植村 , 2002 に，アリストテ

トするプロセスは，述べられていない。このプロセスが加わるて明確に表示される。言い換えれば，可能的無限の論理は自分

レスのゼノン批判を具体的に取り上げながら自身の見解を述べと，最初の静止状態から加速という速度の変化をそれぞれ行う

自身で閉じており，“ 自分自身（の最初の一過程の論理内容）

た論旨明瞭な著作がある。内山編集 , 2008 の第 2 章も参考にという，余分の条件（論理過程）が付加され，余計なプロセス

とも，他のなにごととも，関係を持ち得ない。従って何事にもなる。）とそのイメージ化が勝手に加えられたことになる。

影響を与えることができない ” 事実が，一目瞭然になる。一方，第一：二分割コイルモデルでイメージ化された現実的無限は，同じ過程を一

第二：アキレスと亀線的イメージに即して正統説の過程を検討すると，「ＡからＢ回繰り返すごとに，それ以前と異なる新しい状態・状況が創り

第三：飛ぶ矢への論理過程」は，“ 亀より速いアキレスが，亀の後方から亀出される。新しい状態への移行については，新しい存在を生み

第四：競技場に向けて同じ速さで走り続け（Ａ），同じ向きに同じ速さで歩出すことのほか，一過程の経過の後，実質的な変化があり，過程の経過以前と異なる場合のすべてについて，考えの対象にな

ゼノンの四つの逆理のうち，一番有名な，第二の逆説「アキレスは亀に追いつけない」を考えてみよう。

る。
二つのモデルで表された「可能的無限」と「現実的無限」の［図１］可能的無限（繰り返し無限）のイメージ化：円モデル

うように，違いの特徴が明確に具体化・可視化され，紛れなく第 2 章 2．3 節の図１の上側に示した，一過程を意味する直き続ける亀に，追いつき追いぬく（Ｂ）” という，一回の過程（一回限りの競争）であることがわかる。それ以外に何も言及されていない。繰り返しなど，どこにも存在しない。われわれが現■ ３･１．第二命題そのものの分析 ■違いは，「円（二次元）」と「コイル（三次元）」が決定的に違18

正しい認知とすることの表現（正統説）は，

実に見る「（ゴールのない）かけっこ／競争」は，常にそういうものである。

「アキレスは亀に追いつけない」という逆説の中で，ゼノン

ゼノンの議論は，それに反し，繰り返し＝「同じプロセスの19

可能的無限とは，一つのプロセスの中に，それ自身と同じプ

まったく別の概念であることが，はっきり理解される。とくに，が言っていることの内容を，正確に把握することから始める。

ロセスが「無数に含まれる＝繰り返しが何度でも可能である」「可能的無限＝繰り返し無限」でコトが述べられているとき，われわれが理解するのは，日常聞かされている以下の内容によことの指摘である。たとえば，Ａ点からＢ点まで行くのに，Ａ意味があるのは，「最初の一回の過程」についての分析や適用るものであるから，それを採りあげることにする。

点とＢ点の中間点Ｍ１まで行かねばならない。Ｍ１点からＢ点だけであることが，容易に理解される。言い換えれば，“ 同じ“ アキレスが亀を追いかけるとき，まず，亀が元いた位置にまで行くのにその二点の中間点Ｍ２点まで行かねばならない。

論理が繰り返されているときは，最初の一回の過程に限定して到達する必要がある。そのときには，亀は元の位置から先へ進

この「繰り返し操作」が，Ｂ点に到達する以前に無限に続く，議論するべきで，不用意に繰り返しとその議論に巻き込まれるんでいる。この位置にアキレスが追いついたときは，亀はさらという論理が，可能的無限である。他方，現実的無限とは，た＝繰り返しにトラップされる（わなに捕らわれる）ことがあっに前に進んでいる。この過程はいつまでも繰り返され，終わり

とえば自然数に１を加えると，それより大きな数値が「現実に」てはならない ” という事実が，当然のこととして理解可能になを見ることがない。従って，アキレスは亀に追いつくことがでる。最も大事な認識は，単なる論理的「繰り返し」は，自分自きない ”

得られ，実体の存在が一つ増える。さらに１を足すとさらに大［図２］現実的無限（存在的繰り返し無限）のイメージ化：コイルモデル

きな数値が増える。この繰り返しは際限なく続けることができ，

なお，ひとこと申し添える。論理の一過程の内容が何らかの身で閉じる議論の構築・没入であり，無限に続けることも，途議論の背後で暗黙の条件とされていることは，アキレスが亀数値の存在の数（かず）は無限に大きくなる，という考えであ収束に向かう場合，必ずゼロになる以外に結末はありえないと中でやめることもできるが，その思考や操作により，外部や自より速く動くこと，両者の速さが話の途中で勝手に変わらないる。繰り返しのたびに，新たに現実的存在が追加される，また信じている人は，この事実をも同時にイメージ化しようとし，

身の論理過程に，何の変更も影響も与えることができない，とこと，アキレスが亀を追いかけるという以上アキレスが最初亀は，繰り返しの前の状況とは異なる状況に変わる。

円モデルが 360°回転するうちに，次第に半径が短縮するモデ

いう，明瞭な認知である。この種の「無限」の議論であることの後方にいること，アキレスも亀も一度も止まらないこと，で筆者は，可能的無限と現実的無限を，具体的イメージで理解ルを考え，無限の繰り返しが「渦巻き」状になって，ついにはさえ見抜けば，無意味な繰り返しに過ぎないとして，実質的効ある。[ 暗黙の条件は，できる限り単純で，誰もが共通に認識するのが最適と思う。イメージ化することで，新しい知見が得消失する＝回転半径がゼロになることを考慮に入れるかもしれ

力の伴わない「無限」の操作に，理由もなく引き込まれる思いできる必要最小限に想定するべきである。誰も気づかなかったられる。最大のメリットは，抽象的概念が個人差のない理解にない（このモデルは，第 4 章 4．1 節で採り上げる）。しかし，を断ち切ることができる。

条件を追加すべき指摘を除き，人により異なる拡大解釈を気ま統一されることにある。では，どのようにイメージ化するのか，円モデルの円周の一巡りは，「論理の一過程」についての永遠

次節で紹介する。

■ ２･３．可能的無限と現実的無限のイメージ化 ■図１に示すように，可能的無限を「円」に，図２に示すよう

なお，図１と図２の左側の図（円）が同じになることも，意まに条件に持ち込んでも，議論のための議論ができるだけで，の繰り返しのイメージ化であって，論理の内容（が収束を意味味がある。図２のほうは，三次元モデルの二次元平面への投影

かえって問題の輪郭と本質をぼやかす。例えば，吉永（2008）]

するか否かなど）については無関係であるから，円周上の回転（射影）である。現実的無限（存在的繰り返し無限）も，無限の「繰一方実際にわれわれが経験する「（観測による）事実」から，を繰り返すごとに，円が小さくなり，遂には最初の「論理の一り返し」が含まれるから，可能的無限と「繰り返し」について

過程」自体が消滅するようなイメージ化はありえない。それで共通の性質を持つ。これの事実のイメージ化が，コイルモデル

は「可能的無限」ではなくなる。

の投影が円モデルと一致することで表わされている。従って，

必ず追いつき，追いぬく ”“ 速いほうのアキレスが速くないほうの亀を追いかけたとき，に，現実的無限を「コイル」に対応させてイメージ化する。図

次に，現実的無限の持つ特質，すなわち，ＡからＢへの論理

ある事象のイメージ化がコイルモデルである事実をはっきり掴である。アキレスと亀の競争を実際に観測したとして，見たま

１と図２の (a),(b),(c) は，それぞれ，(a) 真上から見たとき，(b)的一過程を繰り返すごとに，新しい現実的な事実が生み出されんでいれば，「繰り返し」を強調するため，自らの投影である

まを理解する内容の，無駄のない「必要かつ十分」な表現であ

斜めから見たとき，(c) 真横から見たとき ) の図である。

るという事情を，図２（a),(b),(c）に示す。コイル上を，一回円モデルを一時的に使うことは差し支えない。

り，かつ一回の競争＝一過程だけを述べている。このとき，当図１の上部の直線ＡＢは，ＡにはじまりＢに終わる「完結し然のこととして言外に想定されている条件は，（逆の言い方にまわる過程（360°回転の過程）ごとに，元に戻らず，何らか■ ３．イメージ化の効能による逆説の分析 ■た論理的命題の一過程（一回限りで成立する過程）」を表しての現実的事実を発生し，回転前とは異なる状態に転移することいる。一般に，ＢはＡと同じ内容ではない。また。この命題自（位置を変えることに対応）をイメージ化したものである。こ体が，「無限の繰り返しを表現する命題」ではないとする。

れを現実的無限（存在的繰り返し無限）の「コイルモデル」と「イメージ化による理解」が，予想以上の効力を発揮する実

き，必ず追いつく ” で区切ってはならない。アキレスも亀も，呼ぶことにする。

例として，ゼノンの逆説を採りあげてみよう。一般に言われる追いついた／追いつかれたとたんに停止することが，論理的に図１の下部の円 (a),(b),(c) は，同じ過程を無限に繰り返すこなるが）ゼノンの議論とまったく同じである。
この一過程を，“ 速いアキレスが速くない亀を追いかけたととができるという可能的無限の概念を，円周上を「一回まわる

円モデルで可能的無限をイメージ化すれば，可能的無限は，ゼノンの逆説は四つある。その順番は相互関連のありなしを論は可能になってしまい，イメージ化されねばならない。それか過程（360°回転）」は，何回でも繰り返すことができるという任意の一過程に対し，その繰り返しを述べるだけで，「始めとじる書物によって異なるが，筆者の議論に関しては，順番にはら先は，アキレスは急停止し一休みするが，亀は依然全力で走事実と対応させることにより，イメージ化したものである。こ

終りがある過程」（終りが始めにつながらなくてよい）で繰り

関係ないものの，ゼノンの逆理が最初に具体的に紹介されたのり続けるイメージもあり得る。現実の観測にそぐわない。これ

れを可能的無限（繰り返し無限）の「円モデル」と呼ぶことに返しが可能であれば，どのような場合にも言える論理にすぎず，は，アリストテレスの『自然学（Aristotelis Physica）』である

は，思いのほか重要な事実であり，記憶に留めてほしい。

する。円周上のＡとＢは，同位置を占めるが，図１の上部に示最初の一過程（最初の 360°回転）を除いて，“ この繰り返し

ので，四つの逆理の指名はその順に従う。（アリストテレスのまた，よく言われるように，最初に「よーい・ドン」でスターされた論理過程の始めと終りのＡとＢに，対応する。

の論理からは，新しい事実が何も生まれない ” ことが，きわめ著作そのものを直接見なくても，植村 , 2002 に，アリストテ

トするプロセスは，述べられていない。このプロセスが加わるて明確に表示される。言い換えれば，可能的無限の論理は自分

レスのゼノン批判を具体的に取り上げながら自身の見解を述べと，最初の静止状態から加速という速度の変化をそれぞれ行う

自身で閉じており，“ 自分自身（の最初の一過程の論理内容）

た論旨明瞭な著作がある。内山編集 , 2008 の第 2 章も参考にという，余分の条件（論理過程）が付加され，余計なプロセス

とも，他のなにごととも，関係を持ち得ない。従って何事にもなる。）とそのイメージ化が勝手に加えられたことになる。

影響を与えることができない ” 事実が，一目瞭然になる。一方，第一：二分割コイルモデルでイメージ化された現実的無限は，同じ過程を一

第二：アキレスと亀線的イメージに即して正統説の過程を検討すると，「ＡからＢ回繰り返すごとに，それ以前と異なる新しい状態・状況が創り

第三：飛ぶ矢への論理過程」は，“ 亀より速いアキレスが，亀の後方から亀出される。新しい状態への移行については，新しい存在を生み

第四：競技場に向けて同じ速さで走り続け（Ａ），同じ向きに同じ速さで歩出すことのほか，一過程の経過の後，実質的な変化があり，過程の経過以前と異なる場合のすべてについて，考えの対象にな

ゼノンの四つの逆理のうち，一番有名な，第二の逆説「アキレスは亀に追いつけない」を考えてみよう。

る。
二つのモデルで表された「可能的無限」と「現実的無限」の［図１］可能的無限（繰り返し無限）のイメージ化：円モデル

うように，違いの特徴が明確に具体化・可視化され，紛れなく第 2 章 2．3 節の図１の上側に示した，一過程を意味する直き続ける亀に，追いつき追いぬく（Ｂ）” という，一回の過程（一回限りの競争）であることがわかる。それ以外に何も言及されていない。繰り返しなど，どこにも存在しない。われわれが現■ ３･１．第二命題そのものの分析 ■違いは，「円（二次元）」と「コイル（三次元）」が決定的に違18

正しい認知とすることの表現（正統説）は，

実に見る「（ゴールのない）かけっこ／競争」は，常にそういうものである。

「アキレスは亀に追いつけない」という逆説の中で，ゼノン

ゼノンの議論は，それに反し，繰り返し＝「同じプロセスの19

反復」が意図的に導入されている。しかも「無限」と抱き合わのは当然である。] 「亀が元いた位置」の設定は，図１の円モ

議論の前提，というより議論そのものの，実質的に「追いつき

己矛盾の誤りにも気づけないから，正調な「逆説」として認知せである。あきらかに，正統説とゼノンの議論では，論じ方がデルの円周を一回転したとき，議論の出発点Ａ（出発点と言っ追いぬく」とする内容と，それから直結的に演繹される帰結「追するほか，手だてがない。
（「ごもっともと」思うことの正当化が，異なるが，同じことを，言い方を変えて表現することは不可能ても，「よーい・ドン」の位置のことではない：論理の出発点）

いつかない」との間には，飛躍的ギャップがあることくらいは，「ゼノンの議論は背理法によるものだ」と信じ込むことである。

ではない。では，いまの場合，はたして同じことを採り上げてから，追いつくＢに至る代わりに，Ｂとして亀が元いた位置に気づけるはずである。ところが，ぜノンは，当然のことのようこれについては，第 4 章 4．4 節で別個に論じる。
）

いることになるのであろうか？

換言すれば，一つの事象＝ア置き換える設定に変更したことになる。この変更により，一回にこのギャップを無視し，逆に，まるで因果関係でもあるかの以上を要するに，アキレスが当然亀に追いつき追いぬく現実

キレスと亀とのかけっこについて，正統説とゼノンの議論が，360°回転する過程だけに意義と意味があり，それで完結する

ように，「追いつき追いぬく」ことの繰り返しだけから，「追いの事実に対して，何らかの有効性のある真の逆理的な論理的同じ思考環境下で，同じ論理体系内で，同じ事象の異なる表現

コイルモデルとしてイメージ化すべき一過程事象を，円モデル

つかない」と結論している。また，われわれのほうも，何らの展開が，ゼノンの議論の中のどこにもない。
「繰り返し」自体になっているであろうか？

通常の理解では，答えは「イエス」（二次元平面への自己の投影）の特質を利用し，同じ円周上を疑念も抱かず，肯定的にこの論理過程を受け入れてしまう。そからは何も生まれない（第 2 章 2．3 節参照）
。それどころか，のはずである。だからこそ，ゼノンの言い分が「逆説・逆理」

無限に回る繰り返しの論理過程へ移行することが，自動的に可

こで，自己矛盾そのものの表明にすぎないゼノンの言い分が，追いつき追いぬくことの繰り返しを肯定的に論じた挙句の果てたりうる（第 2 章 2．1 節の議論参照）。現に，だれもが，正能化された。

正しい「逆説」として理解・肯定されてしまう／肯定されたこに，繰り返しが「終わらないこと」を「追いつけないこと」にとになる。この認知心理は，いったい何に起因するのか？

すり替えることをもって結論にするという，論理的に飛躍した

当な逆説として受け止めている。

■ ３･２．はじめて明らかになる
ゼノンの第二の逆理の真実 ■20

しかし，円モデルによる堂々めぐりの論理は，言わば自己の内に閉じこもった論理であり，意味があるのは，最初の一回転追いつき追いぬくことの「繰り返し」にすぎないゼノンの議帰結を主張したとたんに，「追いつくこと」と「追いつかない」

だけで，自分自身（の論理）にも，他の現実的または論理的事論の主旨が，突然追いつけない結論になる飛躍に気づけないのことを自らの論理の中で両立させる矛盾に陥るという，独演的象の何事にも，何の影響も及ぼすことができない「無効力・無は，ゼノンの言い分を聞きつつ，“ ある過程の「繰り返し」が，内容がその正体である。［筆者の論法は，ゼノンがわれわれを効果」な，単なる（論理的）表現にすぎない。そのまま，いついつまでも続けられる ” という可能的無限を論じた「正当な論陥れた手法を逆手にとって，逆にゼノンの内部矛盾を暴いたことになる。］

亀より後ろにいる「アキレスが亀に追いつき追いぬく」といまでも回り続ける限りでは，
なんの弊害もないが，
なんのメリッ理」の展開として，肯定的に受け入れる心情でいる（ただし，うのは，追いかけはじめと考えた状態から，追いつき追いぬくト（実効果）も生まれない。要するに「繰り返せる」こと自体繰り返し自体は無効な操作であることは念頭から消えている）

ゼノンの「アキレスと亀」の逆説は，これまで信じ切られて状態まで，一回限りの過程である。つまり，“ 亀とアキレスのに論理的誤りはないが，回り続ける以前と「何事も変わらない」。

ところに，“ だから「追いつけない」” と言われれば，この「正きたような「逆説・逆理」と言える論理的命題ではなく，繰り隔たり（ｄとする）が，最初は有限の大きさを持つ論理的初期

この事実が，ゼノンの言い分に使われている論理過程を円モデ

当な論理」が，現実の事実の否定に有効に働いたものと錯覚し返すこと自体には論理に誤りがないというだけで，議論の主体状態であったが（状態Ａ），次第に狭まり（ｄ→ 0），最後はゼルでイメージ化することで明瞭に浮上し，いわば空まわり論理てしまうからである。

は，自分自身にも外部に対しても，なんら有効性を持ち得ないロ（ｄ＝ 0）になって（状態Ｂ），追いついた途端に追いぬくの「もてあそび」にすぎない実態を，だれもが正確に認知できる。

ここで言う錯覚とは，有意義な論理として正当なのは，「追論理上の自己反復にすぎないのに，議論の主体とは何の脈略も状態（ｄ＞ 0）に移行する ” という，一連の一回限りの過程が，円モデルでの最初の一回転が意味するところは，
ゼノンでは『アいつき追い抜く」にあるだけという真実は埋没され，実効果を持たない唐突な結論（しかも，議論の主体とは相反する結論）

われわれの知っている現実そのものである。（ここで，ＡとＢ

キレスは亀が元いた位置に到達し通過する』
ことの認知である。

持たない終りなく繰り返す結果「終わりがない」ことのほうだと結びつけたため，論理的矛盾を創造する演繹に終わった主張

は，図１と図２にあるＡとＢに相当する。）イメージモデルでこれは正論での「アキレスは亀が現在いる位置に到達し通過す

けが「正当な論理」であると，取り違えることである。

であることが，理解されたことと思う。誤りの原因は，本来繰

は，図２のコイルモデルに相当する。ただし，図２に示すＡかる＝アキレスが亀に追いつき追いぬく」ことの認知と本質的にわれわれが容易に錯覚してしまう原因を，さらに追究してみり返しのない一回限りの事象に，繰り返しの論理を恣意的に導らＢへの一回の 360°回転だけである。あとはない。（Ｂ点以変わらない。
（ゼノンの繰り返し過程と，正論の一過程が，共よう。ゼノンの，結論に至る前の，繰り返しの過程の内容には，入したことにある。この時点で，正論の命題とは異なる思考環

後のコイルの表示は，追いつき追いぬいた後の，限りなく続くにコイルモデルとその一部でそれぞれイメージできることは先

否定的要素が何もない。
「…がない」という表現は見当たらない。

境が創作され，それだけでも正論の「逆説」を構成できる立場

別の論理過程のイメージ化になる。つまり，以後の 360°
回転は，

に述べた。
）

話を結論に導く直前に，“ この繰り返しは無限に続けられる＝を失っている。

距離差ｄがゼロから増大しつづけるという，新しい一過程に変ゼノンの言い分では，繰り返しているだけなら何事も起きな「終わることがない」” が，初めて出てくる否定的表現である。

この事実が明白になった根拠は，ゼノンが利用した「可能的わるが，新過程への移行がスムーズにつながるイメージ化であい。ところがこの議論の結びとして，突然『アキレスは永久に「終わらない」という否定的表現は（可能的無限の特徴の指摘

無限」を，円モデルでイメージ化・視覚化した功績にある，とることに注意されたい。）

亀に追いつけない』と結論を下したとたん，無効力繰り返し論

であり）論理的に正しいから，「終わりがない」に対する同意・筆者は考える。円モデルで「繰り返しの効果」を検討すれば，

さて，アキレスと亀の競争での，ゼノンの表現自体のイメー

理の「実効化」を狙ったことになり，自己矛盾が表面化する。

受け入れの認知心理が，一連の議論の結末が「…がない」で結

その繰り返し自体からは何も結論できることがないことが，見ジ化には，コイルモデルそのものをあてがうのがよいが，ゼノ

なぜなら，すでに指摘したとおり，繰り返しの議論の中で，“ アばれることに不思議はないと思える下地になる。言い換えれば，ただけで理解され，はっきり記憶される。ゼノンの議論が，追ンが持ち込んだのは，一回限りの一過程の細分化により，一過

キレスが亀のいた元の位置に追いつく（ばかりでなく，追いぬ「正当な論理」による（実際の観測結果の）帰結は「追いつき

いつき追いぬくことの肯定的繰り返しが論じられているだけで程の中での限りない繰り返しの議論であるから，細分化によっ

く＝通過する）” という事実がすでに肯定的に使われている（で追いぬくこと」にあるのに，ゼノンが説得する「繰り返す過程あることも，視覚化されたモデルにより，容易に判明する。こてはじめて可能になった「存在的繰り返し（無限）」の特質をなければ，ゼノンの堂々めぐりの議論すら不可能になる）。にが終わらない」ほうが「正当な論理」に間違いないと判定・納の認知は強固なもので，簡単には失われない。従って，ゼノン

強調したイメージ化は，コイルモデル自身の二次元平面への投もかかわらず，「追いつき追いぬく」ことの繰り返しに過ぎな得することに意識が集中しているから，「…ではない」と結論の結論が，木で鼻を括ったような唐突な帰結であり，論理的飛影である「円モデル」によるのが適切である（2．3 節の終り

い「空転の論理操作」の果てが，いきなり「追いつけない」と的に否定されるのは，ゼノンの言う通り，「追いつき追いぬく」

躍がある事実が鮮明に浮かび上がる。

の文節参照）。

いう具体的事実に飛躍的に直結されており，完全に自己矛盾しほうだと錯覚する。従って，いつまでも繰り返すことができる■ ３･３．その他のゼノンの逆理の真相 ■図２のコイルモデルの最初の一回転だけで表現されるべきている。
（“ いや，自己矛盾ではない：ゼノンは「背理法」をことだけを述べているにすぎない「終わりがない」を，「追い“「追いかけ始めて追いつき追いぬく」という一回限りの過程 ”

使っているのだ ” という反論が予想されるが，後に取り上げる

つき（追いぬく）」の否定＝「追いつけない」こととすり替え

を，無限に「繰り返し可能な過程」にするために，細分化した＊１。
）すなわち，同じ議論（同じ思考環境での同じ論理体系

るトリッキーな主張が，ごく自然に受けられてしまう。

ときの一過程として，ゼノンは，「アキレスが，亀が元いた位による議論）の中で，隔たり＝ｄがゼロになることを真っ先に

実は，否定されるべきは，一回限りで完結する事象に「繰り置に追いつき（到達し）かつ通過する」という設定を導入した前提にし，かつその繰り返しだけを論じた結果，ｄが限りなく返す過程」を導入・設定すること自体である。扱われている素ことになる。[ この設定の中に，亀が元いた位置に必ず追いつゼロに近づいても決してゼロになりえないという帰結が，突然材は，「追いつき追いぬく」正論と，「追いぬけない」ゼノンのき（到達し），しかも追いぬく（通過する）という，もともと飛躍的に主張されている。
【＊１背理法かどうかについて，第言い分の二つしかないことは，百も承知でありながら，「繰りゼノンの第一の二分割の逆説は，「Ａ点からＢ点へ行こうしの一過程の論理的事実が，すでに容認されていることを，決し

4 章 4．4 節で詳細に検討する。
】

返し」の目暗ましにより，目の前で堂々と矛盾の一方だけを押ても，Ａ点を動くことはできない」というもので，その論法は，て見逃してはならない。元の一過程を，ただ無限の繰り返しに「追いつき追いぬく」と「追いつけず追いぬけない」は完全しつけられ，「ごもっとも」と思ってしまう。そうかといって，“ ＡからＢへ行くためには，その中点Ｃ１を通過しなければな

するための単なる分割であるから，元の論理が保存されているに矛盾する概念同士であるが，そのことに思い至らなくても，正調な認知を捨てるわけにもいかず，ゼノンの言い分にある自らないが，ＡからＣ１に行くためには，その中点Ｃ２を通過せゼノンの第一，第三，第四の逆説について考察してみよう。

■ ３･３･１．第一（二分割）の逆説 ■21

反復」が意図的に導入されている。しかも「無限」と抱き合わのは当然である。] 「亀が元いた位置」の設定は，図１の円モ

議論の前提，というより議論そのものの，実質的に「追いつき

己矛盾の誤りにも気づけないから，正調な「逆説」として認知せである。あきらかに，正統説とゼノンの議論では，論じ方がデルの円周を一回転したとき，議論の出発点Ａ（出発点と言っ追いぬく」とする内容と，それから直結的に演繹される帰結「追するほか，手だてがない。
（「ごもっともと」思うことの正当化が，異なるが，同じことを，言い方を変えて表現することは不可能ても，「よーい・ドン」の位置のことではない：論理の出発点）

いつかない」との間には，飛躍的ギャップがあることくらいは，「ゼノンの議論は背理法によるものだ」と信じ込むことである。

ではない。では，いまの場合，はたして同じことを採り上げてから，追いつくＢに至る代わりに，Ｂとして亀が元いた位置に気づけるはずである。ところが，ぜノンは，当然のことのようこれについては，第 4 章 4．4 節で別個に論じる。
）

いることになるのであろうか？

換言すれば，一つの事象＝ア置き換える設定に変更したことになる。この変更により，一回にこのギャップを無視し，逆に，まるで因果関係でもあるかの以上を要するに，アキレスが当然亀に追いつき追いぬく現実

キレスと亀とのかけっこについて，正統説とゼノンの議論が，360°回転する過程だけに意義と意味があり，それで完結する

ように，「追いつき追いぬく」ことの繰り返しだけから，「追いの事実に対して，何らかの有効性のある真の逆理的な論理的同じ思考環境下で，同じ論理体系内で，同じ事象の異なる表現

コイルモデルとしてイメージ化すべき一過程事象を，円モデル

つかない」と結論している。また，われわれのほうも，何らの展開が，ゼノンの議論の中のどこにもない。
「繰り返し」自体になっているであろうか？

通常の理解では，答えは「イエス」（二次元平面への自己の投影）の特質を利用し，同じ円周上を疑念も抱かず，肯定的にこの論理過程を受け入れてしまう。そからは何も生まれない（第 2 章 2．3 節参照）
。それどころか，のはずである。だからこそ，ゼノンの言い分が「逆説・逆理」

無限に回る繰り返しの論理過程へ移行することが，自動的に可

こで，自己矛盾そのものの表明にすぎないゼノンの言い分が，追いつき追いぬくことの繰り返しを肯定的に論じた挙句の果てたりうる（第 2 章 2．1 節の議論参照）。現に，だれもが，正能化された。

正しい「逆説」として理解・肯定されてしまう／肯定されたこに，繰り返しが「終わらないこと」を「追いつけないこと」にとになる。この認知心理は，いったい何に起因するのか？

すり替えることをもって結論にするという，論理的に飛躍した

当な逆説として受け止めている。

■ ３･２．はじめて明らかになる
ゼノンの第二の逆理の真実 ■20

しかし，円モデルによる堂々めぐりの論理は，言わば自己の内に閉じこもった論理であり，意味があるのは，最初の一回転追いつき追いぬくことの「繰り返し」にすぎないゼノンの議帰結を主張したとたんに，「追いつくこと」と「追いつかない」

だけで，自分自身（の論理）にも，他の現実的または論理的事論の主旨が，突然追いつけない結論になる飛躍に気づけないのことを自らの論理の中で両立させる矛盾に陥るという，独演的象の何事にも，何の影響も及ぼすことができない「無効力・無は，ゼノンの言い分を聞きつつ，“ ある過程の「繰り返し」が，内容がその正体である。［筆者の論法は，ゼノンがわれわれを効果」な，単なる（論理的）表現にすぎない。そのまま，いついつまでも続けられる ” という可能的無限を論じた「正当な論陥れた手法を逆手にとって，逆にゼノンの内部矛盾を暴いたことになる。］

亀より後ろにいる「アキレスが亀に追いつき追いぬく」といまでも回り続ける限りでは，
なんの弊害もないが，
なんのメリッ理」の展開として，肯定的に受け入れる心情でいる（ただし，うのは，追いかけはじめと考えた状態から，追いつき追いぬくト（実効果）も生まれない。要するに「繰り返せる」こと自体繰り返し自体は無効な操作であることは念頭から消えている）

ゼノンの「アキレスと亀」の逆説は，これまで信じ切られて状態まで，一回限りの過程である。つまり，“ 亀とアキレスのに論理的誤りはないが，回り続ける以前と「何事も変わらない」。

ところに，“ だから「追いつけない」” と言われれば，この「正きたような「逆説・逆理」と言える論理的命題ではなく，繰り隔たり（ｄとする）が，最初は有限の大きさを持つ論理的初期

この事実が，ゼノンの言い分に使われている論理過程を円モデ

当な論理」が，現実の事実の否定に有効に働いたものと錯覚し返すこと自体には論理に誤りがないというだけで，議論の主体状態であったが（状態Ａ），次第に狭まり（ｄ→ 0），最後はゼルでイメージ化することで明瞭に浮上し，いわば空まわり論理てしまうからである。

は，自分自身にも外部に対しても，なんら有効性を持ち得ないロ（ｄ＝ 0）になって（状態Ｂ），追いついた途端に追いぬくの「もてあそび」にすぎない実態を，だれもが正確に認知できる。

ここで言う錯覚とは，有意義な論理として正当なのは，「追論理上の自己反復にすぎないのに，議論の主体とは何の脈略も状態（ｄ＞ 0）に移行する ” という，一連の一回限りの過程が，円モデルでの最初の一回転が意味するところは，
ゼノンでは『アいつき追い抜く」にあるだけという真実は埋没され，実効果を持たない唐突な結論（しかも，議論の主体とは相反する結論）

われわれの知っている現実そのものである。（ここで，ＡとＢ

キレスは亀が元いた位置に到達し通過する』
ことの認知である。

持たない終りなく繰り返す結果「終わりがない」ことのほうだと結びつけたため，論理的矛盾を創造する演繹に終わった主張

は，図１と図２にあるＡとＢに相当する。）イメージモデルでこれは正論での「アキレスは亀が現在いる位置に到達し通過す

けが「正当な論理」であると，取り違えることである。

であることが，理解されたことと思う。誤りの原因は，本来繰

は，図２のコイルモデルに相当する。ただし，図２に示すＡかる＝アキレスが亀に追いつき追いぬく」ことの認知と本質的にわれわれが容易に錯覚してしまう原因を，さらに追究してみり返しのない一回限りの事象に，繰り返しの論理を恣意的に導らＢへの一回の 360°回転だけである。あとはない。（Ｂ点以変わらない。
（ゼノンの繰り返し過程と，正論の一過程が，共よう。ゼノンの，結論に至る前の，繰り返しの過程の内容には，入したことにある。この時点で，正論の命題とは異なる思考環

後のコイルの表示は，追いつき追いぬいた後の，限りなく続くにコイルモデルとその一部でそれぞれイメージできることは先

否定的要素が何もない。
「…がない」という表現は見当たらない。

境が創作され，それだけでも正論の「逆説」を構成できる立場

別の論理過程のイメージ化になる。つまり，以後の 360°
回転は，

に述べた。
）

話を結論に導く直前に，“ この繰り返しは無限に続けられる＝を失っている。

距離差ｄがゼロから増大しつづけるという，新しい一過程に変ゼノンの言い分では，繰り返しているだけなら何事も起きな「終わることがない」” が，初めて出てくる否定的表現である。

この事実が明白になった根拠は，ゼノンが利用した「可能的わるが，新過程への移行がスムーズにつながるイメージ化であい。ところがこの議論の結びとして，突然『アキレスは永久に「終わらない」という否定的表現は（可能的無限の特徴の指摘

無限」を，円モデルでイメージ化・視覚化した功績にある，とることに注意されたい。）

亀に追いつけない』と結論を下したとたん，無効力繰り返し論

であり）論理的に正しいから，「終わりがない」に対する同意・筆者は考える。円モデルで「繰り返しの効果」を検討すれば，

さて，アキレスと亀の競争での，ゼノンの表現自体のイメー

理の「実効化」を狙ったことになり，自己矛盾が表面化する。

受け入れの認知心理が，一連の議論の結末が「…がない」で結

その繰り返し自体からは何も結論できることがないことが，見ジ化には，コイルモデルそのものをあてがうのがよいが，ゼノ

なぜなら，すでに指摘したとおり，繰り返しの議論の中で，“ アばれることに不思議はないと思える下地になる。言い換えれば，ただけで理解され，はっきり記憶される。ゼノンの議論が，追ンが持ち込んだのは，一回限りの一過程の細分化により，一過

キレスが亀のいた元の位置に追いつく（ばかりでなく，追いぬ「正当な論理」による（実際の観測結果の）帰結は「追いつき

いつき追いぬくことの肯定的繰り返しが論じられているだけで程の中での限りない繰り返しの議論であるから，細分化によっ

く＝通過する）” という事実がすでに肯定的に使われている（で追いぬくこと」にあるのに，ゼノンが説得する「繰り返す過程あることも，視覚化されたモデルにより，容易に判明する。こてはじめて可能になった「存在的繰り返し（無限）」の特質をなければ，ゼノンの堂々めぐりの議論すら不可能になる）。にが終わらない」ほうが「正当な論理」に間違いないと判定・納の認知は強固なもので，簡単には失われない。従って，ゼノン

強調したイメージ化は，コイルモデル自身の二次元平面への投もかかわらず，「追いつき追いぬく」ことの繰り返しに過ぎな得することに意識が集中しているから，「…ではない」と結論の結論が，木で鼻を括ったような唐突な帰結であり，論理的飛影である「円モデル」によるのが適切である（2．3 節の終り

い「空転の論理操作」の果てが，いきなり「追いつけない」と的に否定されるのは，ゼノンの言う通り，「追いつき追いぬく」

躍がある事実が鮮明に浮かび上がる。

の文節参照）。

いう具体的事実に飛躍的に直結されており，完全に自己矛盾しほうだと錯覚する。従って，いつまでも繰り返すことができる■ ３･３．その他のゼノンの逆理の真相 ■図２のコイルモデルの最初の一回転だけで表現されるべきている。
（“ いや，自己矛盾ではない：ゼノンは「背理法」をことだけを述べているにすぎない「終わりがない」を，「追い“「追いかけ始めて追いつき追いぬく」という一回限りの過程 ”

使っているのだ ” という反論が予想されるが，後に取り上げる

つき（追いぬく）」の否定＝「追いつけない」こととすり替え

を，無限に「繰り返し可能な過程」にするために，細分化した＊１。
）すなわち，同じ議論（同じ思考環境での同じ論理体系

るトリッキーな主張が，ごく自然に受けられてしまう。

ときの一過程として，ゼノンは，「アキレスが，亀が元いた位による議論）の中で，隔たり＝ｄがゼロになることを真っ先に

実は，否定されるべきは，一回限りで完結する事象に「繰り置に追いつき（到達し）かつ通過する」という設定を導入した前提にし，かつその繰り返しだけを論じた結果，ｄが限りなく返す過程」を導入・設定すること自体である。扱われている素ことになる。[ この設定の中に，亀が元いた位置に必ず追いつゼロに近づいても決してゼロになりえないという帰結が，突然材は，「追いつき追いぬく」正論と，「追いぬけない」ゼノンのき（到達し），しかも追いぬく（通過する）という，もともと飛躍的に主張されている。
【＊１背理法かどうかについて，第言い分の二つしかないことは，百も承知でありながら，「繰りゼノンの第一の二分割の逆説は，「Ａ点からＢ点へ行こうしの一過程の論理的事実が，すでに容認されていることを，決し

4 章 4．4 節で詳細に検討する。
】

返し」の目暗ましにより，目の前で堂々と矛盾の一方だけを押ても，Ａ点を動くことはできない」というもので，その論法は，て見逃してはならない。元の一過程を，ただ無限の繰り返しに「追いつき追いぬく」と「追いつけず追いぬけない」は完全しつけられ，「ごもっとも」と思ってしまう。そうかといって，“ ＡからＢへ行くためには，その中点Ｃ１を通過しなければな

するための単なる分割であるから，元の論理が保存されているに矛盾する概念同士であるが，そのことに思い至らなくても，正調な認知を捨てるわけにもいかず，ゼノンの言い分にある自らないが，ＡからＣ１に行くためには，その中点Ｃ２を通過せゼノンの第一，第三，第四の逆説について考察してみよう。

■ ３･３･１．第一（二分割）の逆説 ■21ねばならず，この無限の繰り返しのため，結局Ａから動くこと

ぶことは不可能である。つまり，突然の帰結と実感される原因

肯定的認知を前提にしなければ，ゼノンの逆説といわれる命題ができない ” というものである。

は，「終わらない」を「動けない」にすり替える論理の飛躍を，の論理的樹立は発足できない。（この論法は，背理法ではない。

われわれは自分の意思で，動かないでじっとしていることもわれわれが感じるからでる。
アキレスと亀の場合と同じである。

第 4 章 4．4 節参照。筆者が現在進めている論法の方が背理法

第四番目の逆説は，競技場の逆理と言われている。“ ある隊できるし，動いて場所を変えることもできる。ゼノンが，「動

論理を飛躍させた途端に，「動ける」ことを容認し続けた議論的である。）矢が「動き続ける（飛び続ける＝静止しない）」こ

列Ｌ（有限個の個体から成る一つの連なり）の先頭が競技場のかないで静止している」事実のほうを取り上げ，これに対するの果てに，突然「動けない」ことの容認を両立させるという自とを不可欠の前提に据えて議論を進めた結果，「動かない＝静Ａ点を通過してから，最後尾が同じくＡ点を通過するまでの時逆説を考えたのでないことは確かである。逆に「動くという事

己矛盾を，自ら表面化することになった。ゼノンの議論が仮に止している」と帰結することは，自己矛盾以外のなにものでも間をＴとする。このとき，Ｌと同じ構成で同じ速さで動く別の実」をまず認めなければ，「動けない」とする結論の命題が，「動背理法によるものであるとする立場であっても，背理法の論法ない。ゼノン自ら「動き続ける矢」の肯定的認知だけに立って

隊列Ｍの先頭が，Ｌとは反対向きに，Ｌの先頭と同時にＡ点をける」とする正論の「逆説」にはなりえない。従って，“ Ａかの中に，論理の飛躍があってはならない。

いる以上，それと矛盾する結論「矢は静止している」を，ゼノ通過したとする。Ｍの最後尾がＡ点を通過するのは，Ｌの最後

らＢへ行くためには，その中点を通過せねばならない ” とゼノ

自己矛盾があり，どう見ても得体のしれない議論を，正当なン自ら撤回してもらわなくてはならない。われわれがゼノンの尾がＡ点を通過するのと同時になる。このとき，Ｌの最後尾もンが言うとき，実際に中点に行き着く事実を肯定的に語ってい「逆説」
として認知するわけにいかないのは，自明のことである。

言い分を「逆説（すくなくとも正しい＝自己矛盾のない命題）」

Ｍの最後尾もＡ点にある。Ｍの先頭がＡ点を通過してからＭのとして認めることは，矛盾をそのまま容認することになる。誤最後尾がＡを通過するまでの時間は，Ｌのときと同じくＴであ認の責任をわれわれに転嫁されてはかなわない。

る。要するに，ＬとＭの先頭同士が出会ってから，最後尾同士ると考えなければならない。“ そうではない。ゼノンは背理法を使って，自身は「動けない・動かない」立場を堅持しながら，■ ３･３･２．第三（飛んでいる矢）の逆説 ■命題の帰結を「仮に肯定」してみせるのだ ” とする意見があろこのように論証した以上，“ では，私の言い分のどこに矛盾が同じ位置になるまで，つまり，ＬとＭがすれちがいに要したう（「仮に」と言っても，まずは実際に肯定することと変わりゼノンの第三の逆説とされている「飛んでいる矢は静止してがあるか，論理的にではなく具体的に指摘してごらん ” とゼノはない）。しかし，命題の帰結を認めれば不合理な結果に至る

いる」はどうであろうか。この逆説は，通常，“ 飛んでいる矢ンが逆襲するかもしれない。軽々しくその手に乗らない方が賢

ゼノンの言い分の中の，ＬとＭの二つだけに着目しよう。Ｌ

ことの論証は，単なる通常の反論であって，背理法ではない。

といえども，任意の「一瞬」には，静止している空間の「一点」

明だが，筆者は，空間の一点と，時間の一瞬を重ね合わす（＝の先頭がＭの先頭と同じ位置を占めた時刻（ゼノンはこのとき背理法であるかのように肯定的に理解してしまえば，その時点にある。これはどの一瞬・どの一点についても言える事実であ同等に扱う）ことにあると思う。空間の一点は，たとえば目のＭの先頭の位置を，先の議論のＡ点と同じとみなしている）か

でゼノンの論法を「正当な論理」として，真っ先に認めてしまっ

るから，その繰り返しや積み重ねからは，静止しか生まれない ”

前に置かれたリンゴが限りなく小さくなり，たとえ消滅しても，ら，Ｌの最後尾がＭの先頭の位置と一致するまでの時間はＴでたことになる＊１。これが，誤った飛躍的結論を諾々として受というように紹介される。これはアリストテレスの最初の紹介

その位置（一点）は，自分（観測者）に対して固定できる（静ある（隊列Ｍは動き続けており，従ってＭの先頭が逆向きに動け入れる下地になる。

によるもので（たとえば植村 , 2002；入不二 , 2002），アリス

止している）ように思える。しかし，時間の一点に相当する一いていることは考慮されていない）。この状態では，Ｌの先頭

トテレスはこの「一瞬」を分析し，これを排除することの論証

瞬を「今」とするとき，想定したとたんに過去になり，自分にはＭの最後尾の位置にあり，Ｌの最後尾はＭの先頭の位置にあで，ゼノンの逆説を否定している。

対して固定できない。従って，時間の一瞬は空間の一点に本質る。従って，さらにＬは同じ方向に，Ｌの最後尾がＭの最後尾的に重なり得ない。固定できないものを，固定できるとするとの位置に来るまで動かねばならない（ゼノンはこのときＭの最ころに矛盾がある。

後部の位置をＡ点と考えている）。その所要時間はＴである。

われわれがＡ点からＢ点に移動するときの論理的一過程は，「Ａ点を離れＢ点に到着する」という，一回限りの「動き」の過程である。イメージ化は，図２に示すコイルモデルの，最初の 360°回転に相当し，以後の継続はない。

われわれが，自然現象の中に，「飛んでいる＝動いている」と「動いていない＝静止している」を観測するとき，その区別

時間はＴである。

ゼノンはこの一過程の中に無限の論理的繰り返しを盛り込む

を，時間や空間と関連付けて理解するのではない。知識の不十

過去の記憶の中なら，一瞬を固定できるではないか，と反論

つまりＬとＭの二つの隊列のすれ違いだけに着眼すれば，隊列ため，ＡからＢへ行くまでに（Ｂは，Ａのすぐそばでもよい）分な子供でさえ区別できる認知である。まずは，見たままを事されるかもしれないが，それはイメージとして記憶されている

ＬとＭの先頭同士が出会ってから，最後尾同士が同じ位置にな中点を設定し，まずＡから中点に「実際に行く」過程を導入した。

実として受け入れ理解する。言い換えれば，観測結果の「動く」

事象との関連の限りにおいての話である。何年何月何日の何時るまでには２倍のＴ時間かかることになる。

この設定は，ＡからＢへ行く論理過程と同じ論理過程のコピーという事実はどういうことなのか，「静止する」という事実は何分…という時刻が，過去に固定された一瞬のように錯覚する“ 同一のすれ違いが，一方はＴ時間かかり，他方が２Ｔ時間を創ったことになる。同時に，（イメージ化したモデルとして何なのかは，すでに観測し了解した結果の理由付けの解明といが，時計という単なる表示装置のイメージの記憶にすぎない。

かかるということは，Ｔ時間は２倍のＴ時間と同じということ

円モデルを使って説明すれば，）Ａから 360°回転を一回終えう，次の段階に入った論理的考察である。その結果，時間の「一（時計が示す表示そのものが，時間や時刻・一瞬そのものの定である ” というのが，ゼノンの第四の逆理である。ともに動く

た時点で，Ｂに至るのではなく，Ｂの代わりに中点に至る過程

瞬」や空間の「一点」などの概念の動員が始まる。哲学者・数義にはなり得ない。）たとえば，ぐっすり眠った過去の何時間

二つの隊列のすれ違いと，一方が動かない隊列とのすれ違いを，に置換した。ここまでの置換は，アキレスと亀の場合と類似し学者・心理学者などすべての学者が，飛んでいる矢の逆説を考の経過の中に，記憶されている具体的事象は一切ないが，一瞬同じこととする想定が見え見えであるため，誤りが容易に指摘ているが，今回は，２周目以後は再びＡ点に戻って同じ論理をえるとき，いきなり「一瞬」
・「一点」と不可分の議論を展開すを固定できるであろうか？

実は，過去の記憶の中には，もはできるからか，古来あまり取り上げられない。逆に，なぜこの繰り返す点で，異質のものである。繰り返すたびにＡ点に戻らるのは，おそらくアリストテレスの最初の紹介に影響されたもや時間そのものは存在していない・時間そのものは単独に記憶言い分が「逆理」になるか，わざわざ「逆理として成立する理

ねばならないのは，ゼノンの議論が，実際にＡから中点まで移のではないか。

できない。未来は必ず今になるけれども，未来についても同様

由」を創作する議論があるほどである。

動する事実，すなわち「動けること」を肯定的に利用している

われわれの自然観測による認識は，飛んでいる矢は，「動きである。時間そのものの中に一瞬を固定できない。［このようからである。そうしなければゼノンの言い分（背理法ではない

続けている・静止していない」であり，このとき実際の現象がな議論を始めると，必ず反論に遭い泥沼に陥るのが常である。］＊１）自体が成り立たない。この繰り返しは無限に続けられる

示す一過程は，「矢が飛んでいること」
・「飛び続けること」だ

ところで，「飛んでいる矢は静止している」の上記の批判にが，円モデルで事態を把握していれば，繰り返しの議論そのもけである。言い換えるとしても，「静止していない」であり，ついて，図１や図２のようなイメージ化されたモデルを使ってゼノンの第一から第三までの言い分を，もともと逆説ではなのが，何ら実質的効果をもたらさないのは明らかだから，黙っそれ以外，何もない。

いない＊２が，筆者が第二と第一の逆説の実体を，円モデルでいと言い切った論説は，一度も見聞きしていない。円モデルに

初めて明らかにできたと自認するまでは，第三の逆説そのものよる可能的無限と，コイルモデルによる現実的無限の「最初のて聞いていればそれですむ。議論の内容が，もっぱらＡから動

ゼノンの言い分の裏に何があるかは，次のように考えれば明■ ３･３･４．この節３･３のまとめ ■を批判できる手立てなど，思いもよらなかった。この逆説に360°回転」利用による，上記筆者の論法の中に，時間や空間論するのか，興味をもって待てばよい。すると突然，予想に反逆に，静止している矢を考える。
「静止している矢は静止しも，前二者と同じような論理的誤りがあるに違いないという思または無限などについての哲学的概念や数学的定義・理解につし，“ Ａから「動けないという事実」” が帰結される。無限のている」。これはわれわれの観測事実に直接基づく認知の，必いが，「否定しようとしている命題自体を肯定的前提にする（まいて論及がなかった点に留意されたい。われわれの誰もが日常繰り返しまでの議論では，「動く・動ける」を肯定する論理だ

要かつ十分な言語表現である。ゼノンがこの事実の認知についず，命題自体を肯定する）」という第一・第二に共通する手法的に持っている知識で理解できることだけが述べられているはけが使われ，否定的な事実も表現も一切含まれていない。唯一て，逆説を立てようとしたのでないことは明白である。そこを，第三の中にも，見出させたのである。【＊２その理由は 3．

ずである。

の否定的表現は，最終結論の，繰り返しが「終わらない」といで，「飛んでいる矢は静止している」という命題を成立させる

4 節で改めて述べる。】

う事実だけである。この否定的論理事実を借用し，「動けない」

ためには，まず，議論の対象から静止している状態の矢を完璧

事項がある。これも，いまだかつて気づかれたことがない。ゼ

と結びつける以外，ゼノンが目的とする議論の結末を否定で結に除外しなければならない。つまり，まず「動き続ける矢」のノンは自分の議論を逆説のように受け止めさせるための仕掛け

く・動けることを前提にしているので，ゼノンがどのように結22■ ３･３･３．第四（競技場）の逆説 ■らかになる。

さて，ゼノンの「逆理（もどき）」について，いま一つ重要23ねばならず，この無限の繰り返しのため，結局Ａから動くこと

ぶことは不可能である。つまり，突然の帰結と実感される原因

肯定的認知を前提にしなければ，ゼノンの逆説といわれる命題ができない ” というものである。

は，「終わらない」を「動けない」にすり替える論理の飛躍を，の論理的樹立は発足できない。（この論法は，背理法ではない。

われわれは自分の意思で，動かないでじっとしていることもわれわれが感じるからでる。
アキレスと亀の場合と同じである。

第 4 章 4．4 節参照。筆者が現在進めている論法の方が背理法

第四番目の逆説は，競技場の逆理と言われている。“ ある隊できるし，動いて場所を変えることもできる。ゼノンが，「動

論理を飛躍させた途端に，「動ける」ことを容認し続けた議論的である。）矢が「動き続ける（飛び続ける＝静止しない）」こ

列Ｌ（有限個の個体から成る一つの連なり）の先頭が競技場のかないで静止している」事実のほうを取り上げ，これに対するの果てに，突然「動けない」ことの容認を両立させるという自とを不可欠の前提に据えて議論を進めた結果，「動かない＝静Ａ点を通過してから，最後尾が同じくＡ点を通過するまでの時逆説を考えたのでないことは確かである。逆に「動くという事

己矛盾を，自ら表面化することになった。ゼノンの議論が仮に止している」と帰結することは，自己矛盾以外のなにものでも間をＴとする。このとき，Ｌと同じ構成で同じ速さで動く別の実」をまず認めなければ，「動けない」とする結論の命題が，「動背理法によるものであるとする立場であっても，背理法の論法ない。ゼノン自ら「動き続ける矢」の肯定的認知だけに立って

隊列Ｍの先頭が，Ｌとは反対向きに，Ｌの先頭と同時にＡ点をける」とする正論の「逆説」にはなりえない。従って，“ Ａかの中に，論理の飛躍があってはならない。

いる以上，それと矛盾する結論「矢は静止している」を，ゼノ通過したとする。Ｍの最後尾がＡ点を通過するのは，Ｌの最後

らＢへ行くためには，その中点を通過せねばならない ” とゼノ

自己矛盾があり，どう見ても得体のしれない議論を，正当なン自ら撤回してもらわなくてはならない。われわれがゼノンの尾がＡ点を通過するのと同時になる。このとき，Ｌの最後尾もンが言うとき，実際に中点に行き着く事実を肯定的に語ってい「逆説」
として認知するわけにいかないのは，自明のことである。

言い分を「逆説（すくなくとも正しい＝自己矛盾のない命題）」

Ｍの最後尾もＡ点にある。Ｍの先頭がＡ点を通過してからＭのとして認めることは，矛盾をそのまま容認することになる。誤最後尾がＡを通過するまでの時間は，Ｌのときと同じくＴであ認の責任をわれわれに転嫁されてはかなわない。

る。要するに，ＬとＭの先頭同士が出会ってから，最後尾同士ると考えなければならない。“ そうではない。ゼノンは背理法を使って，自身は「動けない・動かない」立場を堅持しながら，■ ３･３･２．第三（飛んでいる矢）の逆説 ■命題の帰結を「仮に肯定」してみせるのだ ” とする意見があろこのように論証した以上，“ では，私の言い分のどこに矛盾が同じ位置になるまで，つまり，ＬとＭがすれちがいに要したう（「仮に」と言っても，まずは実際に肯定することと変わりゼノンの第三の逆説とされている「飛んでいる矢は静止してがあるか，論理的にではなく具体的に指摘してごらん ” とゼノはない）。しかし，命題の帰結を認めれば不合理な結果に至る

いる」はどうであろうか。この逆説は，通常，“ 飛んでいる矢ンが逆襲するかもしれない。軽々しくその手に乗らない方が賢

ゼノンの言い分の中の，ＬとＭの二つだけに着目しよう。Ｌ

ことの論証は，単なる通常の反論であって，背理法ではない。

といえども，任意の「一瞬」には，静止している空間の「一点」

明だが，筆者は，空間の一点と，時間の一瞬を重ね合わす（＝の先頭がＭの先頭と同じ位置を占めた時刻（ゼノンはこのとき背理法であるかのように肯定的に理解してしまえば，その時点にある。これはどの一瞬・どの一点についても言える事実であ同等に扱う）ことにあると思う。空間の一点は，たとえば目のＭの先頭の位置を，先の議論のＡ点と同じとみなしている）か

でゼノンの論法を「正当な論理」として，真っ先に認めてしまっ

るから，その繰り返しや積み重ねからは，静止しか生まれない ”

前に置かれたリンゴが限りなく小さくなり，たとえ消滅しても，ら，Ｌの最後尾がＭの先頭の位置と一致するまでの時間はＴでたことになる＊１。これが，誤った飛躍的結論を諾々として受というように紹介される。これはアリストテレスの最初の紹介

その位置（一点）は，自分（観測者）に対して固定できる（静ある（隊列Ｍは動き続けており，従ってＭの先頭が逆向きに動け入れる下地になる。

によるもので（たとえば植村 , 2002；入不二 , 2002），アリス

止している）ように思える。しかし，時間の一点に相当する一いていることは考慮されていない）。この状態では，Ｌの先頭

トテレスはこの「一瞬」を分析し，これを排除することの論証

瞬を「今」とするとき，想定したとたんに過去になり，自分にはＭの最後尾の位置にあり，Ｌの最後尾はＭの先頭の位置にあで，ゼノンの逆説を否定している。

対して固定できない。従って，時間の一瞬は空間の一点に本質る。従って，さらにＬは同じ方向に，Ｌの最後尾がＭの最後尾的に重なり得ない。固定できないものを，固定できるとするとの位置に来るまで動かねばならない（ゼノンはこのときＭの最ころに矛盾がある。

後部の位置をＡ点と考えている）。その所要時間はＴである。

われわれがＡ点からＢ点に移動するときの論理的一過程は，「Ａ点を離れＢ点に到着する」という，一回限りの「動き」の過程である。イメージ化は，図２に示すコイルモデルの，最初の 360°回転に相当し，以後の継続はない。

われわれが，自然現象の中に，「飛んでいる＝動いている」と「動いていない＝静止している」を観測するとき，その区別

時間はＴである。

ゼノンはこの一過程の中に無限の論理的繰り返しを盛り込む

を，時間や空間と関連付けて理解するのではない。知識の不十

過去の記憶の中なら，一瞬を固定できるではないか，と反論

つまりＬとＭの二つの隊列のすれ違いだけに着眼すれば，隊列ため，ＡからＢへ行くまでに（Ｂは，Ａのすぐそばでもよい）分な子供でさえ区別できる認知である。まずは，見たままを事されるかもしれないが，それはイメージとして記憶されている

ＬとＭの先頭同士が出会ってから，最後尾同士が同じ位置にな中点を設定し，まずＡから中点に「実際に行く」過程を導入した。

実として受け入れ理解する。言い換えれば，観測結果の「動く」

事象との関連の限りにおいての話である。何年何月何日の何時るまでには２倍のＴ時間かかることになる。

この設定は，ＡからＢへ行く論理過程と同じ論理過程のコピーという事実はどういうことなのか，「静止する」という事実は何分…という時刻が，過去に固定された一瞬のように錯覚する“ 同一のすれ違いが，一方はＴ時間かかり，他方が２Ｔ時間を創ったことになる。同時に，（イメージ化したモデルとして何なのかは，すでに観測し了解した結果の理由付けの解明といが，時計という単なる表示装置のイメージの記憶にすぎない。

かかるということは，Ｔ時間は２倍のＴ時間と同じということ

円モデルを使って説明すれば，）Ａから 360°回転を一回終えう，次の段階に入った論理的考察である。その結果，時間の「一（時計が示す表示そのものが，時間や時刻・一瞬そのものの定である ” というのが，ゼノンの第四の逆理である。ともに動く

た時点で，Ｂに至るのではなく，Ｂの代わりに中点に至る過程

瞬」や空間の「一点」などの概念の動員が始まる。哲学者・数義にはなり得ない。）たとえば，ぐっすり眠った過去の何時間

二つの隊列のすれ違いと，一方が動かない隊列とのすれ違いを，に置換した。ここまでの置換は，アキレスと亀の場合と類似し学者・心理学者などすべての学者が，飛んでいる矢の逆説を考の経過の中に，記憶されている具体的事象は一切ないが，一瞬同じこととする想定が見え見えであるため，誤りが容易に指摘ているが，今回は，２周目以後は再びＡ点に戻って同じ論理をえるとき，いきなり「一瞬」
・「一点」と不可分の議論を展開すを固定できるであろうか？

実は，過去の記憶の中には，もはできるからか，古来あまり取り上げられない。逆に，なぜこの繰り返す点で，異質のものである。繰り返すたびにＡ点に戻らるのは，おそらくアリストテレスの最初の紹介に影響されたもや時間そのものは存在していない・時間そのものは単独に記憶言い分が「逆理」になるか，わざわざ「逆理として成立する理

ねばならないのは，ゼノンの議論が，実際にＡから中点まで移のではないか。

できない。未来は必ず今になるけれども，未来についても同様

由」を創作する議論があるほどである。

動する事実，すなわち「動けること」を肯定的に利用している

われわれの自然観測による認識は，飛んでいる矢は，「動きである。時間そのものの中に一瞬を固定できない。［このようからである。そうしなければゼノンの言い分（背理法ではない

続けている・静止していない」であり，このとき実際の現象がな議論を始めると，必ず反論に遭い泥沼に陥るのが常である。］＊１）自体が成り立たない。この繰り返しは無限に続けられる

示す一過程は，「矢が飛んでいること」
・「飛び続けること」だ

ところで，「飛んでいる矢は静止している」の上記の批判にが，円モデルで事態を把握していれば，繰り返しの議論そのもけである。言い換えるとしても，「静止していない」であり，ついて，図１や図２のようなイメージ化されたモデルを使ってゼノンの第一から第三までの言い分を，もともと逆説ではなのが，何ら実質的効果をもたらさないのは明らかだから，黙っそれ以外，何もない。

いない＊２が，筆者が第二と第一の逆説の実体を，円モデルでいと言い切った論説は，一度も見聞きしていない。円モデルに

初めて明らかにできたと自認するまでは，第三の逆説そのものよる可能的無限と，コイルモデルによる現実的無限の「最初のて聞いていればそれですむ。議論の内容が，もっぱらＡから動

ゼノンの言い分の裏に何があるかは，次のように考えれば明■ ３･３･４．この節３･３のまとめ ■を批判できる手立てなど，思いもよらなかった。この逆説に360°回転」利用による，上記筆者の論法の中に，時間や空間論するのか，興味をもって待てばよい。すると突然，予想に反逆に，静止している矢を考える。
「静止している矢は静止しも，前二者と同じような論理的誤りがあるに違いないという思または無限などについての哲学的概念や数学的定義・理解につし，“ Ａから「動けないという事実」” が帰結される。無限のている」。これはわれわれの観測事実に直接基づく認知の，必いが，「否定しようとしている命題自体を肯定的前提にする（まいて論及がなかった点に留意されたい。われわれの誰もが日常繰り返しまでの議論では，「動く・動ける」を肯定する論理だ

要かつ十分な言語表現である。ゼノンがこの事実の認知についず，命題自体を肯定する）」という第一・第二に共通する手法的に持っている知識で理解できることだけが述べられているはけが使われ，否定的な事実も表現も一切含まれていない。唯一て，逆説を立てようとしたのでないことは明白である。そこを，第三の中にも，見出させたのである。【＊２その理由は 3．

ずである。

の否定的表現は，最終結論の，繰り返しが「終わらない」といで，「飛んでいる矢は静止している」という命題を成立させる

4 節で改めて述べる。】

う事実だけである。この否定的論理事実を借用し，「動けない」

ためには，まず，議論の対象から静止している状態の矢を完璧

事項がある。これも，いまだかつて気づかれたことがない。ゼ

と結びつける以外，ゼノンが目的とする議論の結末を否定で結に除外しなければならない。つまり，まず「動き続ける矢」のノンは自分の議論を逆説のように受け止めさせるための仕掛け

く・動けることを前提にしているので，ゼノンがどのように結22■ ３･３･３．第四（競技場）の逆説 ■らかになる。

さて，ゼノンの「逆理（もどき）」について，いま一つ重要23

を設けている。それは『ゼノンの罠（わな）』とでも言うべきに禁止されねばならない。ゼノンの逆理の第一・第二の２例で

足立 (2000) は，“ 今ではおそらく高校生すら級数の問題としない。二つの可能性の一つは，回転半径が無限に減少（収束）ものである。その実体の紹介と解明は，ここでするより，次章は，「動き続ける」ことと空間の位置とを関連付けることを認てとらえれば何の矛盾もないのだと頭から思っている ” ことでを続けた極限では，回転半径ゼロという極限値に到達して消滅で展開する論説の後のほうが，より適切と思われるので，あらめても，「空間のどの位置にも留まることがない」イメージにあり，反対に，“ なぜゼノンの逆理が問題にされるのか，さっする（ｄ＝ 0 になる）ことのイメージ化であり，いま一つは，ためて第 4 章 4．5 節で明らかにする。

変更を加えてはならない。第三の「飛んでいる矢」の場合は，ぱりわからない ” と言う。逆に哲学者植村 (2002) はその著作

繰り返しは無限に終わることはないことのイメージ化である。

ここでこれまでの論説をまとめれば，ゼノンの逆説のそれぞ動き続ける「一瞬」と，アプリオリに静止しているとしか考えの中で，“ Ｂ・ラッセルを初めとする解決法，すなわち無限級

この二つを図示したのが，図 3 の分岐点とその後である。図

れの解決が，現在に至るまで，万人が納得する決着を見ないのない「空間内の任意の位置（一点）」を対応させることは，元数の和は有限であるという数学の命題を対置するやり方は，ゼの右上に至るイメージと，左端のイメージに戻る二つのルートには，当然の理由がある。もともと，逆説でないものを逆説と来不可能であり，矛盾を含む。強引な想定は許されない。第一・

ノンの問題の立て方とは微妙にすれ違ったままで，数学者たちが示されている。後者の元に戻るルートは，回転半径が元に戻信じ，「逆説の真面目な解決策」を模索するからである。つまり，第二の説についは，ゼノンも，その言い分を逆説として受け入はともかく，哲学者を納得させるには至っていない ” と指摘することを意味しているのではなく，縮小図を拡大して見直した問題になっていない（問題にもなり得ないから，もともと正解

れ何とか解こうとするわれわれも，実際のイメージには含まれる。筆者は「微妙にすれ違ったまま」という感じの，実態がなもの，と理解されたい。このイメージによる繰り返しは，論理などない）ことを，問題として認知し，正解を追究しても，空ない「繰り返し」または「可能的無限」を，勝手気ままに付加にかを，この節で明確にする。

的に終わることがない。ただそれだけで，円モデルと同様，何まわるだけである。加えるに，ゼノンの議論の三つまでが，同するという禁忌を犯している。これが問題解決の方法論的誤り

アキレスと亀の競争で，両者の間の距離差ｄが “ 限りなく小じ論理的矛盾を自分自身の中に持つ。逆に言うと，“ ゼノンのを生み，そのため，本来の命題が持つ明確な輪郭が完全にぼやさくなる（収束する：ｄ→ 0）とき，その果てで必ずゼロにな

数学では，数学独自の論理体系から考え，すでに認めた定理

逆理を「逆理として」解決した ” とする正攻法の論説がないわ

けてしまった。

る（ｄ＝ 0）のが当然 ” とする数学的発想が，それ以外の考えや定義などとの間で不都合を起こさないためには，「無限の繰けではないが，提案者以外から見れば，その主張自体が，空論

筆者は，イメージ化による真相の論理的究明の効果を論じた方を抑え，優位に立つと信じることに，論理的根拠があるのだ

り返しが収束する傾向を持つときは，ゼロにならねばならない（矛盾の無条件容認）であることの証（あかし）になる。従っが，イメージ化されたモデルの扱いを誤れば，とんでもない結

ろうか？

制約」がある。そのため，図の右上に至る経路のイメージ化して，それぞれの論説のなかに，具体的な欠陥またはさらなる自果を生むことを，改めて注意したい。概念のモデル化を正確にてみよう。

己矛盾が指摘されるはずである。[ 別途必要な議論は，第 4 章 4．

行うことが第一であり，次に正確にイメージ化されたモデルに

図 3 の左側に示すように，アキレスと亀との競争で，亀がにあり，やむを得ない選択である。この事実に気づかないと，

1 ～ 4．3 節で述べる。]

この解析を，例によって概念のイメージ化で検討しか取り得ない。選択の根拠は，まったく内部事情（お家の事情）

かくして，ゼノンの逆理は，解くこ

は，絶対に変更を加えてはならない。特にイメージに無形の論

元いたところまでアキレスが追いつき追いぬく一過程を，360

やむを得ない選択が，正当な理由で選択されたものと思いちがとが困難な永遠の真理であるかのように，堂々たる「逆理・逆理的変更ないし新論理を加えることは，それも禁止事項だが，°回転で表すことは，図１と同じであるが，数学では，次の一えることになる。[ ただし，微積分学の導入後は，コーシーの説」の古典として，現代まで引き継がれている。筆者は終止符

目に見えない変更であるだけに，厳重な自制と自省が必要であ

回転の過程では，直前の一回転よりアキレスと亀の距離差ｄがε - δ論法により，極限という無限にかかわる概念を有限の言を打ったつもりでいるのだが，読者はどのように判定されるでる。

減少している（事象が収束に向かう：ｄ→ 0）という新しい状

葉であらわす方法が確立された，とされている（たとえば，
深谷 ,態に変化することを考慮に入れ，図１のイメージに加え，360

1996）]°回転の半径が，回転中に絶えず減少する ( 収束する ) ことも到達したとたん，360°回転でイメージされた過程自体が消え同時にイメージ化する。そのため，円モデルではなく，図 3てなくなることが，見ただけでわかる。無限の繰り返しの論理の左下のような「渦巻モデル」になる。

の自己消滅である。言い換えれば，無限からの完全離脱である。

あろうか？

■ ３･４．ゼノンの逆説自体のイメージ化 ■■ ４．ゼノンの逆説は逆理としていかに扱われてきたか？ ■ゼノンの逆説そのものは，すでに具体的にイメージ化された

2400 年も前の問題が，現代もなお取りざたされているが，イメージ化によって明らかなように，極限値ゼロに数学者は，自己矛盾のない数学論理で保障されている消滅と理形で提案されている。
「アキレスと亀」は，抽象的に言えば，“ ゆっ

いったいどのように扱われてきたのであろうか？

筆者の理解解するから，否定のしようのない事実と受け止める。むしろそくり一方向に動き続ける物体を，それより速く動く物体が，後ではあるが，学問の専門分野によって，それぞれ固有の特徴的れが唯一の正論・正解であり，唯一絶対の理解の仕方であると方から追いかけ続けるとき，必ず追いつき追いぬく ” という事な扱い方・考え方があると思われる。ある専門分野の学者が，信じられる原因である。これが，ゼノンの逆理などで数学者の象（かけっこ競争）についてのイメージ化の一例である。後ろ

他分野の考え方を交えることもあるが，次節以降で，数学と物説明を聞くと，手品のように「無限」の過程がいつのまにか思から飛んでくる矢に背を向けて逃げる敵でも構わない。
「飛ん

理学，それ以外の分野の代表として哲学（心理学・論理学も含考の対象ではなくなって「有限」に組み込まれてしまう印象をでいる矢は静止している」は，“ 動きを続けるものは静止してめてよいと考える）の３分野での扱い方の特徴ないし相違を，持つ原因である。無限に続く足し算である等比級数が（収束すいる ” とする（と言いたい）抽象的概念を，飛ぶ矢でイメージ

筆者なりの分析を加え，分類を試みる。

る場合には），足し算結果（和）が有限値になってしまうことや，化したものである。継続して動き続けているものなら，イメー
ジ化のための具体例はなんでもよい。

0.99999…の無限の繰り返しが，1.0 とまったく等しい（数学■ ４･１．数学を足場にする解決 ■の論理では「証明」することすら可能な事実である）などにつ筆者が新たにイメージ化したのは，第一・第二のゼノンの議

24の実効果も生まない，自分自身で閉じた論理過程である。

いても同様である。
［図３］収束する繰り返し過程のイメージ化：渦巻モデル論に含まれている「繰り返し無限」の概念に対するものである。

アキレスと亀や，二分割のパラドックスは，いずれも，繰り第三についてはそれ自体のイメージ化に加えるに，
「一点」
と
「一

返しにともなう空間的距離差の減少，つまり「無限小」に向か

図 3 の左上は，アキレスと亀の競争の始めから終わりまでことは，否定のしようもなく，当然それ以外ありえないではな

瞬」の概念が持ち込まれている。一点のイメージ化は小さな黒う「連続」的な行為が，極限値としてゼロに到達するのかしなの一過程（状態ＡにはじまりＢに終わる「繰り返しのない」過程）

いか ” と，一方的に言われても，しこりが残るのは，図 3 の分点で表せるが，一瞬のほうは，具体的な別物でイメージ化でき

いのか，に関係している。

数学的立場から見て，“「繰り返し」の果てがｄ＝ 0 になるのイメージ化である。この過程を無限回に変貌するゼノンの繰岐点から先のプロセスとして，どちらか一方に決めなくてはな

ない「純粋な概念」である。（そもそも，固定したものとして亀に追いつけないのは，アキレスと亀との間の距離差が無限り返しの論理をイメージ化したものが，左下の渦巻きである（図らない理由のないわれわれ数学者以外には，２通りを等価の定義の仕様がない。空間の一点に対応させて考えられることがに小さくなっても，決してゼロ（減少の極限としての到達先＝１に回転半径の収束のイメージ化を加えたもの）。右向きの矢選択肢として，捉え続けるからである。さらに，われわれは，多いが，空間と時間は明らかに違う。アインシュタインの特殊極限値）にはなり得ないという，論理的過程の上に成り立つ。

印で示された左から２番目の図は，何回か同じ過程（360°回転）「かけっこ」で距離差ｄがｄ→ 0 を経て 0 に至ることを，観測相対性理論での扱いについては，別途議論が必要である。
）そ

ゼノンはこのことを指摘しようとして，イメージ化すれば第 2を繰り返した後の渦巻きモデルのイメージを示したもので，渦事実として，実はすでに認知している（第 3 章 3．2 節参照）。

のため，矛盾を指摘する筆者の論法が，第三の場合，他の二つ

章図 2 で表されるコイルモデルの二次元面への投影である円巻きが小さくなっている。これから先，限りなく同じ過程が繰

ただし，一回限りの過程として競争を理解する上でのことで，と異なっている。

モデルの論理を利用した。

り返されるとして，２通りが考えられ，イメージ化の分岐点に同じ原理を過程の無限の繰り返しの結果として押し付けられる

いったん概念を正しくイメージ化した後は，そのイメージ自一方，数学を足場にすれば，たとえば数学者深谷（1996）

なる。どちらに分岐するかは，等価な可能性についての単なることには，上記事由により，反発を感じるのである。反発感の体に変更を加えたり，あるいはイメージ自体が持たない属性を

は著書の中で「アキレスと亀」について，“「数学ではとっく

選択の問題であって，どちらに分岐するほうが正しいとか，ど

原因がどこにあるかが，図 3 に示すイメージ化によって，論加味したりしては，元の概念自体を変えることになるから，厳に解決済みの逆理に，いまだに関わっている」哲学者 ” と言い，

ちらに分岐しなくてはならないとう，客観的な論理上の理由は理的にはっきり理解できたのではなかろうか。

25

を設けている。それは『ゼノンの罠（わな）』とでも言うべきに禁止されねばならない。ゼノンの逆理の第一・第二の２例で

足立 (2000) は，“ 今ではおそらく高校生すら級数の問題としない。二つの可能性の一つは，回転半径が無限に減少（収束）ものである。その実体の紹介と解明は，ここでするより，次章は，「動き続ける」ことと空間の位置とを関連付けることを認てとらえれば何の矛盾もないのだと頭から思っている ” ことでを続けた極限では，回転半径ゼロという極限値に到達して消滅で展開する論説の後のほうが，より適切と思われるので，あらめても，「空間のどの位置にも留まることがない」イメージにあり，反対に，“ なぜゼノンの逆理が問題にされるのか，さっする（ｄ＝ 0 になる）ことのイメージ化であり，いま一つは，ためて第 4 章 4．5 節で明らかにする。

変更を加えてはならない。第三の「飛んでいる矢」の場合は，ぱりわからない ” と言う。逆に哲学者植村 (2002) はその著作

繰り返しは無限に終わることはないことのイメージ化である。

ここでこれまでの論説をまとめれば，ゼノンの逆説のそれぞ動き続ける「一瞬」と，アプリオリに静止しているとしか考えの中で，“ Ｂ・ラッセルを初めとする解決法，すなわち無限級

この二つを図示したのが，図 3 の分岐点とその後である。図

れの解決が，現在に至るまで，万人が納得する決着を見ないのない「空間内の任意の位置（一点）」を対応させることは，元数の和は有限であるという数学の命題を対置するやり方は，ゼの右上に至るイメージと，左端のイメージに戻る二つのルートには，当然の理由がある。もともと，逆説でないものを逆説と来不可能であり，矛盾を含む。強引な想定は許されない。第一・

ノンの問題の立て方とは微妙にすれ違ったままで，数学者たちが示されている。後者の元に戻るルートは，回転半径が元に戻信じ，「逆説の真面目な解決策」を模索するからである。つまり，第二の説についは，ゼノンも，その言い分を逆説として受け入はともかく，哲学者を納得させるには至っていない ” と指摘することを意味しているのではなく，縮小図を拡大して見直した問題になっていない（問題にもなり得ないから，もともと正解

れ何とか解こうとするわれわれも，実際のイメージには含まれる。筆者は「微妙にすれ違ったまま」という感じの，実態がなもの，と理解されたい。このイメージによる繰り返しは，論理などない）ことを，問題として認知し，正解を追究しても，空ない「繰り返し」または「可能的無限」を，勝手気ままに付加にかを，この節で明確にする。

的に終わることがない。ただそれだけで，円モデルと同様，何まわるだけである。加えるに，ゼノンの議論の三つまでが，同するという禁忌を犯している。これが問題解決の方法論的誤り

アキレスと亀の競争で，両者の間の距離差ｄが “ 限りなく小じ論理的矛盾を自分自身の中に持つ。逆に言うと，“ ゼノンのを生み，そのため，本来の命題が持つ明確な輪郭が完全にぼやさくなる（収束する：ｄ→ 0）とき，その果てで必ずゼロにな

数学では，数学独自の論理体系から考え，すでに認めた定理

逆理を「逆理として」解決した ” とする正攻法の論説がないわ

けてしまった。

る（ｄ＝ 0）のが当然 ” とする数学的発想が，それ以外の考えや定義などとの間で不都合を起こさないためには，「無限の繰けではないが，提案者以外から見れば，その主張自体が，空論

筆者は，イメージ化による真相の論理的究明の効果を論じた方を抑え，優位に立つと信じることに，論理的根拠があるのだ

り返しが収束する傾向を持つときは，ゼロにならねばならない（矛盾の無条件容認）であることの証（あかし）になる。従っが，イメージ化されたモデルの扱いを誤れば，とんでもない結

ろうか？

制約」がある。そのため，図の右上に至る経路のイメージ化して，それぞれの論説のなかに，具体的な欠陥またはさらなる自果を生むことを，改めて注意したい。概念のモデル化を正確にてみよう。

己矛盾が指摘されるはずである。[ 別途必要な議論は，第 4 章 4．

行うことが第一であり，次に正確にイメージ化されたモデルに

図 3 の左側に示すように，アキレスと亀との競争で，亀がにあり，やむを得ない選択である。この事実に気づかないと，

1 ～ 4．3 節で述べる。]

この解析を，例によって概念のイメージ化で検討しか取り得ない。選択の根拠は，まったく内部事情（お家の事情）

かくして，ゼノンの逆理は，解くこ

は，絶対に変更を加えてはならない。特にイメージに無形の論

元いたところまでアキレスが追いつき追いぬく一過程を，360

やむを得ない選択が，正当な理由で選択されたものと思いちがとが困難な永遠の真理であるかのように，堂々たる「逆理・逆理的変更ないし新論理を加えることは，それも禁止事項だが，°回転で表すことは，図１と同じであるが，数学では，次の一えることになる。[ ただし，微積分学の導入後は，コーシーの説」の古典として，現代まで引き継がれている。筆者は終止符

目に見えない変更であるだけに，厳重な自制と自省が必要であ

回転の過程では，直前の一回転よりアキレスと亀の距離差ｄがε - δ論法により，極限という無限にかかわる概念を有限の言を打ったつもりでいるのだが，読者はどのように判定されるでる。

減少している（事象が収束に向かう：ｄ→ 0）という新しい状

葉であらわす方法が確立された，とされている（たとえば，
深谷 ,態に変化することを考慮に入れ，図１のイメージに加え，360

1996）]°回転の半径が，回転中に絶えず減少する ( 収束する ) ことも到達したとたん，360°回転でイメージされた過程自体が消え同時にイメージ化する。そのため，円モデルではなく，図 3てなくなることが，見ただけでわかる。無限の繰り返しの論理の左下のような「渦巻モデル」になる。

の自己消滅である。言い換えれば，無限からの完全離脱である。

あろうか？

■ ３･４．ゼノンの逆説自体のイメージ化 ■■ ４．ゼノンの逆説は逆理としていかに扱われてきたか？ ■ゼノンの逆説そのものは，すでに具体的にイメージ化された

2400 年も前の問題が，現代もなお取りざたされているが，イメージ化によって明らかなように，極限値ゼロに数学者は，自己矛盾のない数学論理で保障されている消滅と理形で提案されている。
「アキレスと亀」は，抽象的に言えば，“ ゆっ

いったいどのように扱われてきたのであろうか？

筆者の理解解するから，否定のしようのない事実と受け止める。むしろそくり一方向に動き続ける物体を，それより速く動く物体が，後ではあるが，学問の専門分野によって，それぞれ固有の特徴的れが唯一の正論・正解であり，唯一絶対の理解の仕方であると方から追いかけ続けるとき，必ず追いつき追いぬく ” という事な扱い方・考え方があると思われる。ある専門分野の学者が，信じられる原因である。これが，ゼノンの逆理などで数学者の象（かけっこ競争）についてのイメージ化の一例である。後ろ

他分野の考え方を交えることもあるが，次節以降で，数学と物説明を聞くと，手品のように「無限」の過程がいつのまにか思から飛んでくる矢に背を向けて逃げる敵でも構わない。
「飛ん

理学，それ以外の分野の代表として哲学（心理学・論理学も含考の対象ではなくなって「有限」に組み込まれてしまう印象をでいる矢は静止している」は，“ 動きを続けるものは静止してめてよいと考える）の３分野での扱い方の特徴ないし相違を，持つ原因である。無限に続く足し算である等比級数が（収束すいる ” とする（と言いたい）抽象的概念を，飛ぶ矢でイメージ

筆者なりの分析を加え，分類を試みる。

る場合には），足し算結果（和）が有限値になってしまうことや，化したものである。継続して動き続けているものなら，イメー
ジ化のための具体例はなんでもよい。

0.99999…の無限の繰り返しが，1.0 とまったく等しい（数学■ ４･１．数学を足場にする解決 ■の論理では「証明」することすら可能な事実である）などにつ筆者が新たにイメージ化したのは，第一・第二のゼノンの議

24の実効果も生まない，自分自身で閉じた論理過程である。

いても同様である。
［図３］収束する繰り返し過程のイメージ化：渦巻モデル論に含まれている「繰り返し無限」の概念に対するものである。

アキレスと亀や，二分割のパラドックスは，いずれも，繰り第三についてはそれ自体のイメージ化に加えるに，
「一点」
と
「一

返しにともなう空間的距離差の減少，つまり「無限小」に向か

図 3 の左上は，アキレスと亀の競争の始めから終わりまでことは，否定のしようもなく，当然それ以外ありえないではな

瞬」の概念が持ち込まれている。一点のイメージ化は小さな黒う「連続」的な行為が，極限値としてゼロに到達するのかしなの一過程（状態ＡにはじまりＢに終わる「繰り返しのない」過程）

いか ” と，一方的に言われても，しこりが残るのは，図 3 の分点で表せるが，一瞬のほうは，具体的な別物でイメージ化でき

いのか，に関係している。

数学的立場から見て，“「繰り返し」の果てがｄ＝ 0 になるのイメージ化である。この過程を無限回に変貌するゼノンの繰岐点から先のプロセスとして，どちらか一方に決めなくてはな

ない「純粋な概念」である。（そもそも，固定したものとして亀に追いつけないのは，アキレスと亀との間の距離差が無限り返しの論理をイメージ化したものが，左下の渦巻きである（図らない理由のないわれわれ数学者以外には，２通りを等価の定義の仕様がない。空間の一点に対応させて考えられることがに小さくなっても，決してゼロ（減少の極限としての到達先＝１に回転半径の収束のイメージ化を加えたもの）。右向きの矢選択肢として，捉え続けるからである。さらに，われわれは，多いが，空間と時間は明らかに違う。アインシュタインの特殊極限値）にはなり得ないという，論理的過程の上に成り立つ。

印で示された左から２番目の図は，何回か同じ過程（360°回転）「かけっこ」で距離差ｄがｄ→ 0 を経て 0 に至ることを，観測相対性理論での扱いについては，別途議論が必要である。
）そ

ゼノンはこのことを指摘しようとして，イメージ化すれば第 2を繰り返した後の渦巻きモデルのイメージを示したもので，渦事実として，実はすでに認知している（第 3 章 3．2 節参照）。

のため，矛盾を指摘する筆者の論法が，第三の場合，他の二つ

章図 2 で表されるコイルモデルの二次元面への投影である円巻きが小さくなっている。これから先，限りなく同じ過程が繰

ただし，一回限りの過程として競争を理解する上でのことで，と異なっている。

モデルの論理を利用した。

り返されるとして，２通りが考えられ，イメージ化の分岐点に同じ原理を過程の無限の繰り返しの結果として押し付けられる

いったん概念を正しくイメージ化した後は，そのイメージ自一方，数学を足場にすれば，たとえば数学者深谷（1996）

なる。どちらに分岐するかは，等価な可能性についての単なることには，上記事由により，反発を感じるのである。反発感の体に変更を加えたり，あるいはイメージ自体が持たない属性を

は著書の中で「アキレスと亀」について，“「数学ではとっく

選択の問題であって，どちらに分岐するほうが正しいとか，ど

原因がどこにあるかが，図 3 に示すイメージ化によって，論加味したりしては，元の概念自体を変えることになるから，厳に解決済みの逆理に，いまだに関わっている」哲学者 ” と言い，

ちらに分岐しなくてはならないとう，客観的な論理上の理由は理的にはっきり理解できたのではなかろうか。

25

われわれのほうも，「繰り返しの（＝収束しない）過程」にこ違っていることを論証するのなら，「追いつき追いぬく」を明このためである。（ただし，古典物理学＝マクロの世界での話。）の逆説は，和田純夫 (1998) により，物理学での新しい概念（「多

だわり続けても，何の生産的効果をも期待できないことを自覚確に考慮に入れ，正論の思考環境・条件を離れず，自ら無限（級

同じ事象を観測しても，自然現象の正しい観測結果そのままで世界解釈」）の採択を促す命題としての解決法が提案され，「双せねばならない。それなりの理解の仕方（自分への何らかの言数）を持ち込まず，数学独自の論理体系による，まったく新しない表現や理解は，物理学では受け入れられない。つまり，数子のパラドックス」は，千代島 (1999) が，「逆説」を解くには，

い聞かせ）で，ある場合には，数学での論理体系を肯定的に受い論法を考え直さねばならない。筆者の思うところ，それはた学では自分自身の論理体系に正否・適否の判断の根拠があり，正説と同一の思考環境・論理体系での議論によることの重要性

け入れるしかないことを自覚することも大切である。（ただし，ぶん無理である。何となれば，ゼノンの言い分自体が自己矛盾

自然界とは関係なくことが進むが，物理学は正しいのは自然現を何度も強調しながら，「逆説」の不成立を論証している。
］

ゼノンの逆理の解明については，数学といえども，対処の仕方の上に成り立っているのが真実であるからである。数学以外の象そのものだけである。従って，自然現象の中に予期できない

筆者の学歴は物理学であるが，物理学の立場からゼノンの逆自体に，他説と同じ根本的誤りがあるから，要注意。）だから他分野にも，思考環境の変化を無頓着に行い，問題を解決した

新しい事実が発見されたときは，それまでの理解の仕方のほう理を解こうとしたのではない。ごく日常的な理解や論理を基に，と言って，数学者のように，分岐した他方の論理過程を抹消すとする主張がある。それらを自ら排除し，上記の正調な立場をが変更されねばならない。物理学自体の中に，矛盾を含まない

どの研究分野の学者や一般人にも共通して理解されるよう，注る必要はない。むしろ，図 3 の全体的イメージは，頭の中に暗に踏まえ，問題を解こうとして解きえないでいる他分野の実論理体系を樹立することは当然であるが，場合によってはその意しながら，考えを進めたつもりである。

保持し続けるべきである。数学者の中にも，吉田洋一（1960）

状を，数学者はまず理解しなければならない。

修正・変更を余儀なくされる。

のような，数学による自明の結果としての解き方に慎重な学者もかつては存在した。『零の発見』は筆者が中学生時代に読んアキレスと亀の競争の例でイメージ化された，「速さの異な■ ４･２．哲学でのゼノンの逆説の扱い ■だ古今の名著だが，今読み返して見ても，その思索の深さや直観の鋭さは，「アキレスと亀」についての言及の中にも躍如としている。
さて，実は，以上の論旨よりさらに深い所に，大問題点が二つ残されたままである。

る２物体の相互関係という自然現象の観測において，速いほうが遅いほうを追いかける場合」は，“ 必ず追いつき追い抜く ”

ゼノンの逆理を取り上げた多くの論説の中には，「アキレス

前節の図 3 で示した，分岐点で別れる「収束する」と「収という表現が，「だれにとっても，必要かつ十分な，最も簡潔な」と亀」や「飛んでいる矢」に対する逆説の導き方が，背理法ま束しない」の両者は，互いに矛盾関係にあるルートなので，同自然現象の観測結果の表現である（言い変えても “ アキレス亀

たは帰謬法によるものであり，そのうえ，紀元前５世紀のゼノ

じ論理体系の中で，両立不可能である。これに気付かず，両方との距離差が次第に短縮しゼロになり，転じて増大に変わる ”

ンこそ，背理法の最初の考案者であるとさえ指摘する解説に，のルートを渡り歩く議論も頻繁になされている。
特に哲学では，である）。その故に，これが採用される。仮に，ゼノンのよう何度か出遭った。一例を挙げると，香川（2000）はその著書

アキレスが次第に亀に追いつく過程を，数学者が収束する無この「渡り歩き」が宿命のようである。ゼノンの第三の逆説にな理解の仕方で “ 追いつけない・追い抜けない ” 結果が正当にの中で，「ゼノンが生んだ “ 背理法 ” とは何か」と題し，“ 背理

限級数化したとき，無限の加算のままの形ならよいが，その級いきなり正面から取り組むと，必ず導入を迫られる “ 時間の「一帰結されても，観測事実と合わないために採用されない。かと法では，まず，自分とは意見の違う人が認める命題の帰結をいっ

数の和の形で有限化したまとめは，“ アキレスが亀に「追いつ瞬」” や “ 空間の「一点」” の理解には，無限小との関連から，

いって，ゼノンの言い分を誤りと決めつけたり，排除したりす

たん受け入れる。ところが，それを認めると矛盾やパラドック

く」” までを締めくくったことになる。正論とする一過程の最渦巻モデルの収束に至るイメージに沿わざるを得ない一方で，ることもしない。論理的に正しいからと言って，あるいはこのスが生じることが，つぎに示される。そこでそもそもの命題の後は，「追いつき追いぬく」である（第 3 章 3．1 節参照）
。つ

時間や空間そのものを考えるときは，いつまで経っても・どこように見ればこうなると主張されても，自然現象の現実に合わ

帰結がまちがっているのだという結論が下される ” と述べ，引

まり数学では，アキレスと亀の正論の命題の全過程を，その最まで行っても終わらない概念という意味で，渦巻モデルの収束ない表現・理解の仕方を，取り上げるわけにはいかない，といき続いて “ この方法は，前提を間違いだとすると，矛盾が生じ終段階で，正確に扱っていない。全過程の最後の締めくくりは，に至らないイメージが持たれている。
そこで，時間の経過（流れ）うだけのことである。自然現象のそのままの認知が第一であるることを示して，前提が正しいのだと主張する場合にも使える ”

無限級数の和では置き換えられない。図 3 の右上に至る収束／空間の広さが，幅ゼロの一瞬／一点の無限の組み合わせからから，ゼノンの言い分を抹殺しなければ，正しいと決めた認知と言っている。

ルートで，最後に「消滅」と書いたが，もっと拡大してみると，「追可能かどうかを問題にし始めると，分岐点以後の二つのルートが転覆するなど，ありえない。従って，ゼノンの考え方なり表

背理法というのは，普通，“ ある命題（正しい前提から，正いぬく」がポツンと残っている。一方ゼノンのほうは「追いつを同時にたどることになる。いくら考えても，誰もが納得でき現を，正しい認知に対する「逆説」として位置付ける理由がない。

しい論理過程により，正しい結論を導く記述）の帰結の正しさけない」と言っているので，最終段階で追い抜くことも考慮しる客観的結論がなかなか得られないのは，当然の帰結であるこその故に，放置可能である。逆に言えば，物理学では世上言を証明するため，命題の帰結を否定すれば，同じ論理で不都合ている可能性を排除できないから，この点ではゼノンより劣るとが，図 3 のイメージ化により，きわめて明確に理解できる。

われる「ゼノンの言い分」を「逆理として議論する舞台」がない。

や矛盾が起きることを導きだし，従って命題の帰結が正しい ”扱いである。

論理的に矛盾する二つの概念（ルート）を，矛盾を超えて，同本質的には「物理学での理解」によるゼノンの言い分の扱い（取ことを証明する論法である，と理解されている（念のため手元まだ大事な事実がある。数学者は，ゼノンの「言い分の一部」

じ論理体系の中で共に生かすべく，二つをなんとか結びつけより立てて「逆説」と認識しない）をそのまま採用しながら，（そにある啓蒙書で調べ直したが，どれも同じである。内井 ,1981;

を数値化して表現し，無限級数の和の問題に転換した。それはうとすること自体，原理的に無駄な努力なのである。無理に結の事実に気づかず）ゼノンの言い分を正当な「逆説」と肯定し

三浦 ,2004; 和田秀樹 ,2004 など）。だからこそ，理に適ってい良いとしても，4．5 節で指摘するが，ゼノンは，本来繰り返

びつければ，ゼノンの第三の逆理「飛んでいる矢は静止していつつ，解決しようとする論説が見られる。たとえば，林晋（2000）

ると認知された命題の帰結に背いてみせる論法という意味で，しと関係のない正論の命題に，無限の繰り返しを導入するといる」に反論することが難しくなる。
「渡り歩き」からの離脱に，編著の中で，野矢が『アキレスは亀を追いぬけないのか』で述

背理法という概念が成立する。しかもこのとき，背く（否定すう「罠」を真っ先に仕掛けた（4．5 節参照）。数学者は，この数学のような逃げ方のできない哲学は，まことに苦しい立場にべている論法である。「逆説」とみなすためには，物理学からる）のは，あくまで命題の帰結（結論）のほうであって，命題

罠にまんまとはまり，数学ではすでに自明の自己論理による帰あるといわねばならない。そのゆえに，数学者が落ち込んだ過離れた余分な思考環境の設定（野矢説では「言い方」の違いとの前提ではない。なぜなら，「前提さえ正しければ，必ず結論

結＝無限等比級数には和という有限値があるという数学的事実

ち（「逆理」でないものを逆理として誤りであると論証する）する設定）が不可欠になり，この設定こそ問題解決の決定的要が正しい」とは言えないからである。香川は，命題の前提と帰を示し，ゼノンの言うとおり「繰り返しが終わらない」のではを冒さないで済んでいるのは，不幸中の幸である。
（おそらく，

因と自認するから，真の解決要因である「物理学による認知・結を混同している。また，背理法の理解の仕方が，本来の理解なく，立派に終わる，だからゼノンは間違っている，と断定し哲学者から猛反発を受けると思うが，哲学にうとい筆者には，理解」が完全に埋没される。野矢説での設定は，『言い方』ととは逆である。本来の理解のほうが従になっており，逆の使いただけのことである。正論と対立するゼノンの説が，正しい「逆

どのような対応を迫られるか，予測できない。
）

する以外に，「理解法」
・「見方」
・「論理の使い方」
・「考え方」等々

方が主になっている。しかも背理法の正しい「逆の使い方」は，何でもよい。野矢説は問題解決の決定論になりえない。

命題を肯定すれば，矛盾する結果が生まれる，という論理に戻説」として，間違いであることを，正論と同じ論理環境のもとで，論証できたわけではない。事実，同じ論理環境下での「ア■ ４･３．物理学から見たゼノンの逆説 ■キレスが亀に追いつく」一過程の数学的取り扱いは，無限級数

26■ ４･４．ゼノンの論法は背理法（帰謬法）か？■

村山（2007）は回りくどい議論の末，“ これにて，一件落着…”

るから，結局は「反論」そのものでしかあり得ない。香川が背と結んでいる「アキレスと亀」の理解の仕方も，結局は物理学理法として説明した言い分を正しく表現すれば，“ 自分とは意の導入を排除し，未知数二つの一次連立方程式を立て，最初の物理学は，自然現象の理解を目的にする学問である。その手から見た見方そのままの紹介である（ただし村山の議論はこれ

見の違う人が認める命題の帰結を受け入れる。ところが，それアキレスと亀の距離差とそれぞれの速さを数値で与えれば，そ段は，自然現象の観測にあり，まずありのままを誤りなく見たをもって終わりとするものではなく，四次元時空との関連でのを認めると矛盾（パラドックスではない）が生じることが，示の解として，アキレスが最初からどれだけの距離で，何分後に上で，それを客観的（だれもが同じ）になることを念頭に，簡話に引き込む）。

される。そこでそもそもの命題の帰結が間違っているのだとい追いつくかを計算できる。これが，本来の数学が取り上げるべ

潔で必要かつ十分な表現で理解する。この点では，一般人が日物理学での真の逆説は，「シュレディンガーの猫」や，「双子う結論が下される ” になる。これは「反論すること」そのもの

き正道である。その代り，ゼノンの論説にはいっさい触れられ常経験し理解することとほとんど変わりがない。われわれが常のパラドックス」のように，物理学の論理体系内で矛盾を引きの説明であり得ても，背理法の説明にはなっていない。前提がない。数学から見て，ゼノンの言い分が「真の逆説」として間識とすることが，物理学での認識と一致することが多いのは，起こす命題に限られる。［参考までに：「シュレディンガーの猫」

正しくとも，「正しくない論理的処理」のため，正しくない結27われわれのほうも，「繰り返しの（＝収束しない）過程」にこ違っていることを論証するのなら，「追いつき追いぬく」を明このためである。（ただし，古典物理学＝マクロの世界での話。）の逆説は，和田純夫 (1998) により，物理学での新しい概念（「多

だわり続けても，何の生産的効果をも期待できないことを自覚確に考慮に入れ，正論の思考環境・条件を離れず，自ら無限（級

同じ事象を観測しても，自然現象の正しい観測結果そのままで世界解釈」）の採択を促す命題としての解決法が提案され，「双せねばならない。それなりの理解の仕方（自分への何らかの言数）を持ち込まず，数学独自の論理体系による，まったく新しない表現や理解は，物理学では受け入れられない。つまり，数子のパラドックス」は，千代島 (1999) が，「逆説」を解くには，

い聞かせ）で，ある場合には，数学での論理体系を肯定的に受い論法を考え直さねばならない。筆者の思うところ，それはた学では自分自身の論理体系に正否・適否の判断の根拠があり，正説と同一の思考環境・論理体系での議論によることの重要性

け入れるしかないことを自覚することも大切である。（ただし，ぶん無理である。何となれば，ゼノンの言い分自体が自己矛盾

自然界とは関係なくことが進むが，物理学は正しいのは自然現を何度も強調しながら，「逆説」の不成立を論証している。
］

ゼノンの逆理の解明については，数学といえども，対処の仕方の上に成り立っているのが真実であるからである。数学以外の象そのものだけである。従って，自然現象の中に予期できない

筆者の学歴は物理学であるが，物理学の立場からゼノンの逆自体に，他説と同じ根本的誤りがあるから，要注意。）だから他分野にも，思考環境の変化を無頓着に行い，問題を解決した

新しい事実が発見されたときは，それまでの理解の仕方のほう理を解こうとしたのではない。ごく日常的な理解や論理を基に，と言って，数学者のように，分岐した他方の論理過程を抹消すとする主張がある。それらを自ら排除し，上記の正調な立場をが変更されねばならない。物理学自体の中に，矛盾を含まない

どの研究分野の学者や一般人にも共通して理解されるよう，注る必要はない。むしろ，図 3 の全体的イメージは，頭の中に暗に踏まえ，問題を解こうとして解きえないでいる他分野の実論理体系を樹立することは当然であるが，場合によってはその意しながら，考えを進めたつもりである。

保持し続けるべきである。数学者の中にも，吉田洋一（1960）

状を，数学者はまず理解しなければならない。

修正・変更を余儀なくされる。

のような，数学による自明の結果としての解き方に慎重な学者もかつては存在した。『零の発見』は筆者が中学生時代に読んアキレスと亀の競争の例でイメージ化された，「速さの異な■ ４･２．哲学でのゼノンの逆説の扱い ■だ古今の名著だが，今読み返して見ても，その思索の深さや直観の鋭さは，「アキレスと亀」についての言及の中にも躍如としている。
さて，実は，以上の論旨よりさらに深い所に，大問題点が二つ残されたままである。

る２物体の相互関係という自然現象の観測において，速いほうが遅いほうを追いかける場合」は，“ 必ず追いつき追い抜く ”

ゼノンの逆理を取り上げた多くの論説の中には，「アキレス

前節の図 3 で示した，分岐点で別れる「収束する」と「収という表現が，「だれにとっても，必要かつ十分な，最も簡潔な」と亀」や「飛んでいる矢」に対する逆説の導き方が，背理法ま束しない」の両者は，互いに矛盾関係にあるルートなので，同自然現象の観測結果の表現である（言い変えても “ アキレス亀

たは帰謬法によるものであり，そのうえ，紀元前５世紀のゼノ

じ論理体系の中で，両立不可能である。これに気付かず，両方との距離差が次第に短縮しゼロになり，転じて増大に変わる ”

ンこそ，背理法の最初の考案者であるとさえ指摘する解説に，のルートを渡り歩く議論も頻繁になされている。
特に哲学では，である）。その故に，これが採用される。仮に，ゼノンのよう何度か出遭った。一例を挙げると，香川（2000）はその著書

アキレスが次第に亀に追いつく過程を，数学者が収束する無この「渡り歩き」が宿命のようである。ゼノンの第三の逆説にな理解の仕方で “ 追いつけない・追い抜けない ” 結果が正当にの中で，「ゼノンが生んだ “ 背理法 ” とは何か」と題し，“ 背理

限級数化したとき，無限の加算のままの形ならよいが，その級いきなり正面から取り組むと，必ず導入を迫られる “ 時間の「一帰結されても，観測事実と合わないために採用されない。かと法では，まず，自分とは意見の違う人が認める命題の帰結をいっ

数の和の形で有限化したまとめは，“ アキレスが亀に「追いつ瞬」” や “ 空間の「一点」” の理解には，無限小との関連から，

いって，ゼノンの言い分を誤りと決めつけたり，排除したりす

たん受け入れる。ところが，それを認めると矛盾やパラドック

く」” までを締めくくったことになる。正論とする一過程の最渦巻モデルの収束に至るイメージに沿わざるを得ない一方で，ることもしない。論理的に正しいからと言って，あるいはこのスが生じることが，つぎに示される。そこでそもそもの命題の後は，「追いつき追いぬく」である（第 3 章 3．1 節参照）
。つ

時間や空間そのものを考えるときは，いつまで経っても・どこように見ればこうなると主張されても，自然現象の現実に合わ

帰結がまちがっているのだという結論が下される ” と述べ，引

まり数学では，アキレスと亀の正論の命題の全過程を，その最まで行っても終わらない概念という意味で，渦巻モデルの収束ない表現・理解の仕方を，取り上げるわけにはいかない，といき続いて “ この方法は，前提を間違いだとすると，矛盾が生じ終段階で，正確に扱っていない。全過程の最後の締めくくりは，に至らないイメージが持たれている。
そこで，時間の経過（流れ）うだけのことである。自然現象のそのままの認知が第一であるることを示して，前提が正しいのだと主張する場合にも使える ”

無限級数の和では置き換えられない。図 3 の右上に至る収束／空間の広さが，幅ゼロの一瞬／一点の無限の組み合わせからから，ゼノンの言い分を抹殺しなければ，正しいと決めた認知と言っている。

ルートで，最後に「消滅」と書いたが，もっと拡大してみると，「追可能かどうかを問題にし始めると，分岐点以後の二つのルートが転覆するなど，ありえない。従って，ゼノンの考え方なり表

背理法というのは，普通，“ ある命題（正しい前提から，正いぬく」がポツンと残っている。一方ゼノンのほうは「追いつを同時にたどることになる。いくら考えても，誰もが納得でき現を，正しい認知に対する「逆説」として位置付ける理由がない。

しい論理過程により，正しい結論を導く記述）の帰結の正しさけない」と言っているので，最終段階で追い抜くことも考慮しる客観的結論がなかなか得られないのは，当然の帰結であるこその故に，放置可能である。逆に言えば，物理学では世上言を証明するため，命題の帰結を否定すれば，同じ論理で不都合ている可能性を排除できないから，この点ではゼノンより劣るとが，図 3 のイメージ化により，きわめて明確に理解できる。

われる「ゼノンの言い分」を「逆理として議論する舞台」がない。

や矛盾が起きることを導きだし，従って命題の帰結が正しい ”扱いである。

論理的に矛盾する二つの概念（ルート）を，矛盾を超えて，同本質的には「物理学での理解」によるゼノンの言い分の扱い（取ことを証明する論法である，と理解されている（念のため手元まだ大事な事実がある。数学者は，ゼノンの「言い分の一部」

じ論理体系の中で共に生かすべく，二つをなんとか結びつけより立てて「逆説」と認識しない）をそのまま採用しながら，（そにある啓蒙書で調べ直したが，どれも同じである。内井 ,1981;

を数値化して表現し，無限級数の和の問題に転換した。それはうとすること自体，原理的に無駄な努力なのである。無理に結の事実に気づかず）ゼノンの言い分を正当な「逆説」と肯定し

三浦 ,2004; 和田秀樹 ,2004 など）。だからこそ，理に適ってい良いとしても，4．5 節で指摘するが，ゼノンは，本来繰り返

びつければ，ゼノンの第三の逆理「飛んでいる矢は静止していつつ，解決しようとする論説が見られる。たとえば，林晋（2000）

ると認知された命題の帰結に背いてみせる論法という意味で，しと関係のない正論の命題に，無限の繰り返しを導入するといる」に反論することが難しくなる。
「渡り歩き」からの離脱に，編著の中で，野矢が『アキレスは亀を追いぬけないのか』で述

背理法という概念が成立する。しかもこのとき，背く（否定すう「罠」を真っ先に仕掛けた（4．5 節参照）。数学者は，この数学のような逃げ方のできない哲学は，まことに苦しい立場にべている論法である。「逆説」とみなすためには，物理学からる）のは，あくまで命題の帰結（結論）のほうであって，命題

罠にまんまとはまり，数学ではすでに自明の自己論理による帰あるといわねばならない。そのゆえに，数学者が落ち込んだ過離れた余分な思考環境の設定（野矢説では「言い方」の違いとの前提ではない。なぜなら，「前提さえ正しければ，必ず結論

結＝無限等比級数には和という有限値があるという数学的事実

ち（「逆理」でないものを逆理として誤りであると論証する）する設定）が不可欠になり，この設定こそ問題解決の決定的要が正しい」とは言えないからである。香川は，命題の前提と帰を示し，ゼノンの言うとおり「繰り返しが終わらない」のではを冒さないで済んでいるのは，不幸中の幸である。
（おそらく，

因と自認するから，真の解決要因である「物理学による認知・結を混同している。また，背理法の理解の仕方が，本来の理解なく，立派に終わる，だからゼノンは間違っている，と断定し哲学者から猛反発を受けると思うが，哲学にうとい筆者には，理解」が完全に埋没される。野矢説での設定は，『言い方』ととは逆である。本来の理解のほうが従になっており，逆の使いただけのことである。正論と対立するゼノンの説が，正しい「逆

どのような対応を迫られるか，予測できない。
）

する以外に，「理解法」
・「見方」
・「論理の使い方」
・「考え方」等々

方が主になっている。しかも背理法の正しい「逆の使い方」は，何でもよい。野矢説は問題解決の決定論になりえない。

命題を肯定すれば，矛盾する結果が生まれる，という論理に戻説」として，間違いであることを，正論と同じ論理環境のもとで，論証できたわけではない。事実，同じ論理環境下での「ア■ ４･３．物理学から見たゼノンの逆説 ■キレスが亀に追いつく」一過程の数学的取り扱いは，無限級数

26■ ４･４．ゼノンの論法は背理法（帰謬法）か？■

村山（2007）は回りくどい議論の末，“ これにて，一件落着…”

るから，結局は「反論」そのものでしかあり得ない。香川が背と結んでいる「アキレスと亀」の理解の仕方も，結局は物理学理法として説明した言い分を正しく表現すれば，“ 自分とは意の導入を排除し，未知数二つの一次連立方程式を立て，最初の物理学は，自然現象の理解を目的にする学問である。その手から見た見方そのままの紹介である（ただし村山の議論はこれ

見の違う人が認める命題の帰結を受け入れる。ところが，それアキレスと亀の距離差とそれぞれの速さを数値で与えれば，そ段は，自然現象の観測にあり，まずありのままを誤りなく見たをもって終わりとするものではなく，四次元時空との関連でのを認めると矛盾（パラドックスではない）が生じることが，示の解として，アキレスが最初からどれだけの距離で，何分後に上で，それを客観的（だれもが同じ）になることを念頭に，簡話に引き込む）。

される。そこでそもそもの命題の帰結が間違っているのだとい追いつくかを計算できる。これが，本来の数学が取り上げるべ

潔で必要かつ十分な表現で理解する。この点では，一般人が日物理学での真の逆説は，「シュレディンガーの猫」や，「双子う結論が下される ” になる。これは「反論すること」そのもの

き正道である。その代り，ゼノンの論説にはいっさい触れられ常経験し理解することとほとんど変わりがない。われわれが常のパラドックス」のように，物理学の論理体系内で矛盾を引きの説明であり得ても，背理法の説明にはなっていない。前提がない。数学から見て，ゼノンの言い分が「真の逆説」として間識とすることが，物理学での認識と一致することが多いのは，起こす命題に限られる。［参考までに：「シュレディンガーの猫」

正しくとも，「正しくない論理的処理」のため，正しくない結27

錦の御旗を必要とする理由は，次のような認知心理にあるとじ議論をしているように見える。すでに第 3 章 3．2 節で分析

知を，単独に確立できない自己矛盾の容認を強要される。従っだいたい，背理法は，完結した命題の正否について，明確に思われる。すでに指摘した通り，ゼノンの「アキレスと亀」のしたように，現実の一過程（追いつき追い抜く）自体の，いわて，正論だけが生き残る小亀説の命題は，正当な論理から導か決着をつけ，命題の正しさを証明する論理である。命題を背理言い分には，「追いつき通過する」を繰り返す議論が，突然「追ばミニチュア版（追いつき通過する）を自説に組み込み，ミニ

れた逆説の否定である。』

法で議論した結果，どちらが正しいのか考え込ます（パラドッ

いつけない」結論に直結される論理の飛躍がある。ゼノンの論

チュア過程を「繰り返し続ける」ことは，正論での “ 動き続ける ”

クスを提示する）ための論法ではない。まして，「理に背く」

理が，背理法＝ “「否定」を論じて「肯定」に至る過程（これ条件を満たすことに他ならないと思わせている。のみならず，と言うとき，命題自体を『理』として，それに背く（逆になる）

を短絡し「否定」即「肯定」と理解することとし，
さらに「肯定」この二つを等価と思わせ，「繰り返し続けて終わらない」から「動“ いや，どのような困難があろうと，いつかは真の逆説とし帰結の方が正しいと短絡する論理ではない。

論になっていることの指摘である。

この論文が書かれた。

即「否定」になる論理過程であると勝手に転化する）” である

き＝追いかけ続けて終わらない＝追いつけない」とする帰結が，て，ゼノンの議論が誤りであることが論証される。われわれはゼノンが逆説的に扱おうとした対象の命題は，「ＡからＢへことに気づけば，肯定を否定に直結する飛躍は，もはや論理的至極当然のように思わせる。

そのために頑張っている。小亀説は所詮物理学の見地（4．3

動ける」・「アキレスは亀に追いつき追いぬく」・「飛んでいる矢な飛躍ではない（飛躍と思わず受け入れられる）。つまりゼノゼノンの論説は，疑念を抱くことなく表面だけを見れば（そは静止していない」であり，それらの命題の前提は，すべて「観ンの言い分の結びの飛躍を，
無理なく肯定するための受け皿を，れが今までの理解であるが），十分正論の「逆説」であると認は，いったい「真の逆説」とは何か？

測事実そのままの受け入れ」である。（競技場の場合は，通常自分のほうから進んで用意するのである。この人為的設定（捏定される資格を備えているようにみえる。ところが，正論が生論理環境・条件を使い「いずれの一方をも論理的に否定できず，の考えでも，パラドックスたり得るかどうか検討できるので，造）のため，ゼノンが “「肯定」を論じて突如「否定」に結ぶ ”

まれる観測とその理解の中に，「繰り返し続ける」は一切含ま

正論との両立があくまで可能な命題の樹立だからこそ，逆説た論外に置く。）

議論（「肯定」と「否定」の順が逆で，背理法ではない論法）

れていない。必要条件とされる「継続」は，“ 動き・運動の「継り得る」のが，真の逆説の特質ではないか？

を構築している不合理にまったく不感になり，完全に批判力を続」” に限定されている。ゼノンはミニチュア版を取り込むこら，その命題自体の論理構造に誤りを指摘すれば，正論自体に失う。

とによって，“ 運動の「継続」” を満たすと同時に，“ 繰り返しも影響が及ぶから，攻撃の仕様がない。ある議論を真の逆説とゼノンの言い分は，仮に正しいとしても，“ 見方を変えると，
命題＝正論とされていること（ないし常識）に反する事実に至節）以上のものではない ” と反論されることが予想される。で正論と同じ論理体系・

もし真の逆説なる ” という論法，つまり正論が十分条件を満たさないで帰結さ筆者は，“ ゼノンがその師であるパルメニデスの主張を擁護の「継続」＝無限の過程 ” をも忍び込ませたのである。この時認めながら，その誤りの指摘に成功するとすれば，その議論がれたのではないかという指摘と考えることはできるが，「直接するための論説で「背理法」を使った ” という一般的説明が，点で，正論にはなかった思考環境・条件を，誰にも気づかせず

逆説めいてはいるが，逆説ではないことを論証する以外ない（筆的な反論」の域を出ない。（正論が，前提とする観測事実その四つの逆説的議論そのものが背理法により逆理になると指摘さに織り込むという『罠』が仕掛けられた。この事実だけから判者の今回の論説の指導原理である）。逆説と認めることを，そものの「必要かつ十分な表現」であることは間違いない。
）最れたものと勘違いしたのか，と推測していた。香川解説を一例

定しても，ゼノンの言い分が，由緒正しい完璧な「逆説・逆理」のまま逆説ではないとする論証は自己矛盾である。従って，正初に命題を否定するという仮定がない以上，背理法でないこととして取り上げたのは，なぜ背理法と思うのかが，たまたま，たり得る資格はない。

論の逆説の誤り究明に成功すること自体，もともと逆説ではなは明らかである。まして，紀元前５世紀のゼノンが，「アキレ比較的詳しく記述されており，誤りが何に起因するのか，何の本来，アキレスと亀の競争という事象の観測の理解に，「無スと亀」をはじめ，背理法の最初の案出者であるという独断は，

ためか，わかったと思うからである。べつに香川解説だけを非限」という概念の関与は一切必要とされない。ところが，『ゼ小亀説は，物理学的な逆説の放置（4．3 節参照）ではない。

荒唐無稽な当てずっぽうであろう。正調な背理法なら，正論に難するつもりはない。

ノンの罠』に仕掛けられた “ 繰り返しの「継続」” の導入により，日常的論理を使い，ゼノンの命題自体が矛盾から構成されてい正論には必要なかった「無限」（現在の概念では，可能的無限ることを論証し，逆説どころか，論理的に成立しない命題であと無限小およびその極限と極限値）についての議論にやすやす

ることを実証したものである。また，正論とは異なる論理環境と落ち込み，単なる論理上の無限の繰り返しを，時間・空間にに立つこと（繰り返しと無限の導入）を指摘し，その非を論じ

対し “ もしアキレスが亀に追いつけないとすると，空まわりの論理「いつまでたっても追いつけない」を有意義と認めなけれ■ ４･５．ゼノンの罠 ■ばならなくなる。だからアキレスは亀に追いつく ” となる。背かったことの実証そのものにならざるを得ない。

理法の反対を応用する議論なら，“「アキレスが亀に追いつく」

ある論理体系の中で，当然の正論または正統説と信じられて関係する無限と思い込むという，自縄自縛の思考環境を，われた。逆説とされる命題の完全抹消が，正論の存続に何の影響もことばかりが「正当な論理（距離差ｄ＝ 0 になる）」の帰結といる命題に対し，正真正銘の逆説・逆理になる命題を突き付け

われ自ら創造し，深みにはまらざるを得ないシナリオが自作演与えないのは，このためである。

思い込んでいると，「正当な論理（繰り返しが終わらない＝可るためには，その命題が，正論が成立するのと同じ論理体系に出される。その最初の人物がアリストテレスである。それ以来，

能的無限）」で「アキレスが亀に追いつけない」という結論もよる同じ論理環境での議論であることが，必要条件になる（第俗っぽく言えば，すったもんだの議論の果てに，いまだに決着可能だが，どう説明する？ ” という議論である（とすれば，多2 章 2．1 節参照）。

を見ないでいる。逆に，解決できない事実こそ “ ゼノンの説が■ ５．おわりに ■“ ゼノンの逆説に，どうもうまく反論できない。反論できる

少意味があるように見える）。答えは，“ われわれが「追いつく」

アキレスと亀の競争という形で具体的に示された事象の，抽と認知するのは，それが「正当な論理」だからという理由によ

象的概念による理解は，“ ゆっくり一方向に動き続ける物体を，アリストテレスは，ゼノンの逆説にすっきり反論しきれないという証明を聞かされても，やはりしこりが残って，落ち着かるのでなく，観測したままの前提を，もっとも簡潔に表現する

それより速く動く物体が，後方から追いかけ続けるとき，必ずのは，「無限」を考えないわけにはいかなくなることにあるとない ” という思いは，実は正しい直感である。論理立てて説明という帰結であることによる ” である。しかもわれわれが正し

追いつき追い抜く ” である。二つの物体が，それぞれ固有の，

気づき，それが原因で，以後アリストテレス派では，意識的にできないのに，正しい結論を「直感」するというのは，認知心いとする上記三つの命題は，それぞれ，正しいと考える前提の，たがいに異なる速さを保持しながら，“ 動き続ける ” という，

一切「無限」を考えないことにしたということである（たとえ理からみてどのようなプロセスなのか，究明に値する命題であ

必要かつ十分な表現である。［いまや読者は，真の誤りが，“「正ダイナミックな事象そのものの観測である。
必要条件の中に「続ば J。Mazur, 2007）。消極的にすぎる対処法であるが，当時とろう。この論文で筆者が提案した「概念ないし思考過程の具体

当な論理」で「アキレスが亀に追いつけない」という結論も可能 ”

ける（持続する・継続する）」が含まれていることは，疑う余

してはゼノンの罠を直感し，これを避ける最も賢明な措置だっ的イメージ化」は，ゼノンの逆説自体が何であるかの論理的解と言うゼノンのほうにあることを，理解済みのはずである。
］

地がない。ウサギとカメの競争とは違う。

たのかもしれない。

明に応用することを通じ，「直観」としか言いようがないよう

ゼノンの言い分を正当な「逆理」と信じ込む第一の原因は，また，動きが速い・おそいは，観測するだけで認知できる事

第 1 章で述べたとおり「刷り込み」によるが，その正しさを実であり，速度という概念やその定義は，観測結果から抽出さ

自分なりに確認しておこうとするとき，ゼノンの言い分を “ 無れたものであるから，観測の段階で，それらの知識や定義は不理やりにでも背理法であると思わなくてはならない ” 原因は，レッキとした逆理である証拠 ” と信じられる始末である。

に思える思考過程の論理的分析・解明のための，一つの手立て■ ４･６．逆説の命題批判の是非と正否 ■を提案したものでもある。

必要であることに，気づかねばならない。蝶が飛ぶのと燕が飛次のような論証はいかがなものであろうか？

もが考えもしなかった事実が判明した。従って，ゼノンの説を，

ゼノンの言い分が，正真・証明の「逆理・逆説」であることをぶのは，見ただけでどちらが速いかは，子供が見ても自明の理『小亀説では “ ゼノンのアキレスと亀の議論は，真の逆説で真の逆理（自己矛盾がない命題）として容認する基盤の上で，あまりにも強固に信じ切っているため，その論理の筋道の客観解になる。この認知作用の中に，時間や空間との関連付けは含はない ” と論証している。この命題の正しさを背理法で証明す“「逆理」として正しくないことを論証する ” という方策では，的正当性と無欠陥性を，なんとしてでも立証する以外に道はな

まれていない。従って，観測とその結果の認知は，空間内の一る。もし真の逆説なら，ゼノンの言うとおり，アキレスは永久否定するという議論の方向は「正しい」けれども，否定の対象

い自己束縛にあると思われる。“ ゼノンの言い分は，まさに背点（位置）や，時間内の一瞬などの予備知識と一体化されてはに亀に追いつき追い抜けないことが帰結され，この帰結＝真のを「誤っている」。否定しなくてはならないのは，「逆理」とし理法で生みだされた由緒正しい逆説ですから，安心しましょう ”

じめて可能になる認知ではあり得ない。

逆説を否定できない。一方で，このほうこそ絶対に正しいと確て認知した内容ではなく，「逆理」ではないゼノン説の自己矛信できる事実＝「アキレスは亀に追いつき追いぬく」だけの認盾（単なる「誤った命題の構築」）である。この「正しい」けという錦の御旗の確認である。

28

この論法が誰にもすんなり受け入れられることを目指して，

ゼノンは自説を主張するにあたり，すべての条件が正論と同その結果，ゼノンの逆説自体に自己矛盾があるという，だれ

29

錦の御旗を必要とする理由は，次のような認知心理にあるとじ議論をしているように見える。すでに第 3 章 3．2 節で分析

知を，単独に確立できない自己矛盾の容認を強要される。従っだいたい，背理法は，完結した命題の正否について，明確に思われる。すでに指摘した通り，ゼノンの「アキレスと亀」のしたように，現実の一過程（追いつき追い抜く）自体の，いわて，正論だけが生き残る小亀説の命題は，正当な論理から導か決着をつけ，命題の正しさを証明する論理である。命題を背理言い分には，「追いつき通過する」を繰り返す議論が，突然「追ばミニチュア版（追いつき通過する）を自説に組み込み，ミニ

れた逆説の否定である。』

法で議論した結果，どちらが正しいのか考え込ます（パラドッ

いつけない」結論に直結される論理の飛躍がある。ゼノンの論

チュア過程を「繰り返し続ける」ことは，正論での “ 動き続ける ”

クスを提示する）ための論法ではない。まして，「理に背く」

理が，背理法＝ “「否定」を論じて「肯定」に至る過程（これ条件を満たすことに他ならないと思わせている。のみならず，と言うとき，命題自体を『理』として，それに背く（逆になる）

を短絡し「否定」即「肯定」と理解することとし，
さらに「肯定」この二つを等価と思わせ，「繰り返し続けて終わらない」から「動“ いや，どのような困難があろうと，いつかは真の逆説とし帰結の方が正しいと短絡する論理ではない。

論になっていることの指摘である。

この論文が書かれた。

即「否定」になる論理過程であると勝手に転化する）” である

き＝追いかけ続けて終わらない＝追いつけない」とする帰結が，て，ゼノンの議論が誤りであることが論証される。われわれはゼノンが逆説的に扱おうとした対象の命題は，「ＡからＢへことに気づけば，肯定を否定に直結する飛躍は，もはや論理的至極当然のように思わせる。

そのために頑張っている。小亀説は所詮物理学の見地（4．3

動ける」・「アキレスは亀に追いつき追いぬく」・「飛んでいる矢な飛躍ではない（飛躍と思わず受け入れられる）。つまりゼノゼノンの論説は，疑念を抱くことなく表面だけを見れば（そは静止していない」であり，それらの命題の前提は，すべて「観ンの言い分の結びの飛躍を，
無理なく肯定するための受け皿を，れが今までの理解であるが），十分正論の「逆説」であると認は，いったい「真の逆説」とは何か？

測事実そのままの受け入れ」である。（競技場の場合は，通常自分のほうから進んで用意するのである。この人為的設定（捏定される資格を備えているようにみえる。ところが，正論が生論理環境・条件を使い「いずれの一方をも論理的に否定できず，の考えでも，パラドックスたり得るかどうか検討できるので，造）のため，ゼノンが “「肯定」を論じて突如「否定」に結ぶ ”

まれる観測とその理解の中に，「繰り返し続ける」は一切含ま

正論との両立があくまで可能な命題の樹立だからこそ，逆説た論外に置く。）

議論（「肯定」と「否定」の順が逆で，背理法ではない論法）

れていない。必要条件とされる「継続」は，“ 動き・運動の「継り得る」のが，真の逆説の特質ではないか？

を構築している不合理にまったく不感になり，完全に批判力を続」” に限定されている。ゼノンはミニチュア版を取り込むこら，その命題自体の論理構造に誤りを指摘すれば，正論自体に失う。

とによって，“ 運動の「継続」” を満たすと同時に，“ 繰り返しも影響が及ぶから，攻撃の仕様がない。ある議論を真の逆説とゼノンの言い分は，仮に正しいとしても，“ 見方を変えると，
命題＝正論とされていること（ないし常識）に反する事実に至節）以上のものではない ” と反論されることが予想される。で正論と同じ論理体系・

もし真の逆説なる ” という論法，つまり正論が十分条件を満たさないで帰結さ筆者は，“ ゼノンがその師であるパルメニデスの主張を擁護の「継続」＝無限の過程 ” をも忍び込ませたのである。この時認めながら，その誤りの指摘に成功するとすれば，その議論がれたのではないかという指摘と考えることはできるが，「直接するための論説で「背理法」を使った ” という一般的説明が，点で，正論にはなかった思考環境・条件を，誰にも気づかせず

逆説めいてはいるが，逆説ではないことを論証する以外ない（筆的な反論」の域を出ない。（正論が，前提とする観測事実その四つの逆説的議論そのものが背理法により逆理になると指摘さに織り込むという『罠』が仕掛けられた。この事実だけから判者の今回の論説の指導原理である）。逆説と認めることを，そものの「必要かつ十分な表現」であることは間違いない。
）最れたものと勘違いしたのか，と推測していた。香川解説を一例

定しても，ゼノンの言い分が，由緒正しい完璧な「逆説・逆理」のまま逆説ではないとする論証は自己矛盾である。従って，正初に命題を否定するという仮定がない以上，背理法でないこととして取り上げたのは，なぜ背理法と思うのかが，たまたま，たり得る資格はない。

論の逆説の誤り究明に成功すること自体，もともと逆説ではなは明らかである。まして，紀元前５世紀のゼノンが，「アキレ比較的詳しく記述されており，誤りが何に起因するのか，何の本来，アキレスと亀の競争という事象の観測の理解に，「無スと亀」をはじめ，背理法の最初の案出者であるという独断は，

ためか，わかったと思うからである。べつに香川解説だけを非限」という概念の関与は一切必要とされない。ところが，『ゼ小亀説は，物理学的な逆説の放置（4．3 節参照）ではない。

荒唐無稽な当てずっぽうであろう。正調な背理法なら，正論に難するつもりはない。

ノンの罠』に仕掛けられた “ 繰り返しの「継続」” の導入により，日常的論理を使い，ゼノンの命題自体が矛盾から構成されてい正論には必要なかった「無限」（現在の概念では，可能的無限ることを論証し，逆説どころか，論理的に成立しない命題であと無限小およびその極限と極限値）についての議論にやすやす

ることを実証したものである。また，正論とは異なる論理環境と落ち込み，単なる論理上の無限の繰り返しを，時間・空間にに立つこと（繰り返しと無限の導入）を指摘し，その非を論じ

対し “ もしアキレスが亀に追いつけないとすると，空まわりの論理「いつまでたっても追いつけない」を有意義と認めなけれ■ ４･５．ゼノンの罠 ■ばならなくなる。だからアキレスは亀に追いつく ” となる。背かったことの実証そのものにならざるを得ない。

理法の反対を応用する議論なら，“「アキレスが亀に追いつく」

ある論理体系の中で，当然の正論または正統説と信じられて関係する無限と思い込むという，自縄自縛の思考環境を，われた。逆説とされる命題の完全抹消が，正論の存続に何の影響もことばかりが「正当な論理（距離差ｄ＝ 0 になる）」の帰結といる命題に対し，正真正銘の逆説・逆理になる命題を突き付け

われ自ら創造し，深みにはまらざるを得ないシナリオが自作演与えないのは，このためである。

思い込んでいると，「正当な論理（繰り返しが終わらない＝可るためには，その命題が，正論が成立するのと同じ論理体系に出される。その最初の人物がアリストテレスである。それ以来，

能的無限）」で「アキレスが亀に追いつけない」という結論もよる同じ論理環境での議論であることが，必要条件になる（第俗っぽく言えば，すったもんだの議論の果てに，いまだに決着可能だが，どう説明する？ ” という議論である（とすれば，多2 章 2．1 節参照）。

を見ないでいる。逆に，解決できない事実こそ “ ゼノンの説が■ ５．おわりに ■“ ゼノンの逆説に，どうもうまく反論できない。反論できる

少意味があるように見える）。答えは，“ われわれが「追いつく」

アキレスと亀の競争という形で具体的に示された事象の，抽と認知するのは，それが「正当な論理」だからという理由によ

象的概念による理解は，“ ゆっくり一方向に動き続ける物体を，アリストテレスは，ゼノンの逆説にすっきり反論しきれないという証明を聞かされても，やはりしこりが残って，落ち着かるのでなく，観測したままの前提を，もっとも簡潔に表現する

それより速く動く物体が，後方から追いかけ続けるとき，必ずのは，「無限」を考えないわけにはいかなくなることにあるとない ” という思いは，実は正しい直感である。論理立てて説明という帰結であることによる ” である。しかもわれわれが正し

追いつき追い抜く ” である。二つの物体が，それぞれ固有の，

気づき，それが原因で，以後アリストテレス派では，意識的にできないのに，正しい結論を「直感」するというのは，認知心いとする上記三つの命題は，それぞれ，正しいと考える前提の，たがいに異なる速さを保持しながら，“ 動き続ける ” という，

一切「無限」を考えないことにしたということである（たとえ理からみてどのようなプロセスなのか，究明に値する命題であ

必要かつ十分な表現である。［いまや読者は，真の誤りが，“「正ダイナミックな事象そのものの観測である。
必要条件の中に「続ば J。Mazur, 2007）。消極的にすぎる対処法であるが，当時とろう。この論文で筆者が提案した「概念ないし思考過程の具体

当な論理」で「アキレスが亀に追いつけない」という結論も可能 ”

ける（持続する・継続する）」が含まれていることは，疑う余

してはゼノンの罠を直感し，これを避ける最も賢明な措置だっ的イメージ化」は，ゼノンの逆説自体が何であるかの論理的解と言うゼノンのほうにあることを，理解済みのはずである。
］

地がない。ウサギとカメの競争とは違う。

たのかもしれない。

明に応用することを通じ，「直観」としか言いようがないよう

ゼノンの言い分を正当な「逆理」と信じ込む第一の原因は，また，動きが速い・おそいは，観測するだけで認知できる事

第 1 章で述べたとおり「刷り込み」によるが，その正しさを実であり，速度という概念やその定義は，観測結果から抽出さ

自分なりに確認しておこうとするとき，ゼノンの言い分を “ 無れたものであるから，観測の段階で，それらの知識や定義は不理やりにでも背理法であると思わなくてはならない ” 原因は，レッキとした逆理である証拠 ” と信じられる始末である。

に思える思考過程の論理的分析・解明のための，一つの手立て■ ４･６．逆説の命題批判の是非と正否 ■を提案したものでもある。

必要であることに，気づかねばならない。蝶が飛ぶのと燕が飛次のような論証はいかがなものであろうか？

もが考えもしなかった事実が判明した。従って，ゼノンの説を，

ゼノンの言い分が，正真・証明の「逆理・逆説」であることをぶのは，見ただけでどちらが速いかは，子供が見ても自明の理『小亀説では “ ゼノンのアキレスと亀の議論は，真の逆説で真の逆理（自己矛盾がない命題）として容認する基盤の上で，あまりにも強固に信じ切っているため，その論理の筋道の客観解になる。この認知作用の中に，時間や空間との関連付けは含はない ” と論証している。この命題の正しさを背理法で証明す“「逆理」として正しくないことを論証する ” という方策では，的正当性と無欠陥性を，なんとしてでも立証する以外に道はな

まれていない。従って，観測とその結果の認知は，空間内の一る。もし真の逆説なら，ゼノンの言うとおり，アキレスは永久否定するという議論の方向は「正しい」けれども，否定の対象

い自己束縛にあると思われる。“ ゼノンの言い分は，まさに背点（位置）や，時間内の一瞬などの予備知識と一体化されてはに亀に追いつき追い抜けないことが帰結され，この帰結＝真のを「誤っている」。否定しなくてはならないのは，「逆理」とし理法で生みだされた由緒正しい逆説ですから，安心しましょう ”

じめて可能になる認知ではあり得ない。

逆説を否定できない。一方で，このほうこそ絶対に正しいと確て認知した内容ではなく，「逆理」ではないゼノン説の自己矛信できる事実＝「アキレスは亀に追いつき追いぬく」だけの認盾（単なる「誤った命題の構築」）である。この「正しい」けという錦の御旗の確認である。

28

この論法が誰にもすんなり受け入れられることを目指して，

ゼノンは自説を主張するにあたり，すべての条件が正論と同その結果，ゼノンの逆説自体に自己矛盾があるという，だれ29

れども，何かが「誤っている」二つの思い（直観）が交錯するなかった。その理由は，学術論文のすべてが，結局は，最終解というジレンマのため，自分でどのように考えても，また他人決に至っていない。学術的に扱うと，どうしても客観的な批判の意見を聞いても，“ しこりが残る，落ち着かない ” のである。

を自ら持てなくなるのである。むしろ，ごく常識的な立場で，2000 年以上，あれこれ考えても，依然 “ 解けない，ひっかかる，

学問の対象として問題を考えないならば，その全貌と本質が見

釈然としない ” いま一つの原因は，実は，ゼノンが結論とする

えてくる。その事実をクリアー表現したかったからである。

クラウド・コンピューティング～ネットワークがコンピュータになる日～

京都コンピュータ学院

京都情報大学院大学

野一色 康博命題自体の中の自己矛盾を，どことも指摘できずに容認せざるを得ない自分自身にもあると言える。

■ 初めに ■

■ 謝 辞 ■

ため，ここで公的な機関の定義を紹介しておく。ＮＩＳＴ（アメリカ国立標準技術研究所）では，「クラウド・コンピューティ

一方で，“ ゼノンの逆説をとっくに「逆理として解いた」”と信じ，安心立命の境地にいる人々は，特別な思考環境の中で

本論文は，筆者がはじめて公表するものであるが，京都コン

最近，新聞やテレビなどのマスメディアでさかんに取り上ングとは，最小限の管理の手間またはサービス・プロバイダとだけ成立する論理による自明の帰結を，そのまま一般化できる

ピュータ学院・学院長長谷川靖子先生のご厚意により，「NAIS

げられるようになったクラウド・コンピューティング。コンのやり取りで，迅速に設定を行い利用できる，共有の構成可能と勘違いしているか，あるいは自説の中の自己矛盾に気づかず

journal」に掲載していただけることになった。深く感謝し厚ピュータをインターネットの中に抽象化して配置し，それらなコンピューティング資源（ネットワーク，
サーバ，
ストレッジ，にいることが，今回の論説により，包括的に証明されたこと

く御礼申し上げる。

をサービスとして利用する新しいコンピュータの利用形態。

アプリケーション，サービス等）のプールへの簡易なオンデマ

クライアント／サーバ型コンピューティングに代わる新たなンドのネットワークアクセスを可能にするモデルである」と定コンピューティング形態として成長が期待されており，ＩＤ義している。さらに，ＮＩＳＴではクラウド・コンピューティ

Ｃ（International Data Corporation）では 2013 年のクラウドングに関して，５つの重要な特性，３つのサービスモデル，４つのデプロイメントモデルを示している（図１）［３］。

にもなる。逆理どころか，矛盾そのものの表明にすぎないゼノンの言い分を，“ 正真正銘の「逆説」として「解いた」と主張すること自体が，「解いていない」ことの表明になる ” という，学術論文の引用は，意識的に避けている。以下は，一般に書新たなパラドックスの誕生である。そのいくつかの実例を挙げ，店で入手できる書物ばかりである。

市場は，2009 年の約 2.5 倍の 4420 億ドルに成長すると予測指摘するつもりであったが，一論文としては長くなりすぎるた

足 立 恒 雄（2000） 無 限 の パ ラ ド ッ ク ス。
『ブルーバックス

している［１］。グーグルやアマゾンに対抗するように，マイ

め，また，この論文の目的が個々の論説の非を暴くことではな

B-1278』。講談社。

クロソフト社も 2010 年 1 月から本格的なサービスを開始し，５つの重要な特性は，①利用者が自ら必要に応じてコン

いので，割愛する。しかし，どこかが誤っているに違いないこ

入不二基義（2002）。時間は実在するか。
『講談社現代新書

ＩＴベンダー各社からも「クラウド」に関連した製品やサービ

ピ ュ ー テ ィ ン グ 資 源 を 設 定 可 能 で あ る（On-demand self-とが決定的であれば，読者各位が多少緻密に検討を加えれば，

1638』
。講談社

ス群が発表されている。ここでは，クラウドの利用者としてのservice）。②標準的なネットワークアクセス手法で携帯電話，発見できると思われる。その際，第 2 章 2．1 節に述べた批判

植村恒一郎（2002）。
『時間の本性』。勁草書房。

企業の視点も交え，クラウド・コンピューティングの特性と今ノートＰＣやＰＤＡ等の様々なデバイスから機能が利用可能で基準が参考になると思う。

内井惣七（1981）。
『いかにして推理するか

後を眺めてみたい。

ある（Broad network access）。③コンピューティング資源は

ただ，否定の対象を見誤ったために，解けない命題として認いかにして証明

マルチテナントの仮想的な資源として用意されていて，利用者するか』。ミネルヴァ書房。

■ クラウド・コンピューティングとは ■の要求に応じて動的に割り当てができる（Resource pooling）。

知された「逆説（もどき）」を，何とか解決しようとする絶え

内山勝利編（2008）。
『哲学の歴史』古代Ⅰ。中央公論新社。

ない努力と論じ合いが，繰り返し考え直し，時間や空間，無限香川知晶（2000）。
『パラドックスの面白さがわかる本』。河出④素早く柔軟な拡張可能（Rapid elasticity）。⑤クラウドシス

小とその果て，連続・不連続などについて，さまざまな新しい書房新社。

テムが使用量を計測し，自動的に資源の制御や最適化を行う。

見解を生み出す成果を挙げることになった。同時に，新しい自竹内啓編（1980）。無限と有限。
『東京大学教養講座１』。東京（Measured Service）とされている。

己矛盾も発生し，その回避のため，さらに考えが深められると

大学出版会。

いう「永遠」の「良循環」の場ができた。この，終わりのない

千代島雅（1999）。
『アインシュタイン「双子のパラドックス」

ディスク等のインフラの管理や制御を行わなくても，プロバイ

思考環境の保全のためには，ゼノンの議論自体が「逆説」ではの終焉』。徳間書店。

ダが提供するアプリケーションが実行可能になる，ＳａａＳ。

あり得ないことを論証せず，そっとしておいたほうが良いのか

林晋（2000）。
『パラドックス !』。日本評論社。

②プロバイダが用意した開発言語やツールを用いて，利用者がどうか，筆者の思いの中に，新たな矛盾が生まれている。

深谷賢治（1996）。数学者の視点。
『岩波科学ライブラリー

自作や購入したアプリケーションをクラウドインフラ上に実装

35』。岩波書店。

する事を可能にする，ＰａａＳ。③利用者が，ＣＰＵ，ディス

とうてい受け入れ難いとする反論が予測される。過去現在の議Mazur, J。
（2007）。The Motion Paradox。Dutton。
（松浦俊輔

ク，ネットワークや他のコンピューティング資源を利用しＯＳ論は，ゼノンの言い分を真の「逆説」と信じた上での思考法に訳（2009）。
『ゼノンのパラドックス』。白楊社。
）

やアプリケーションを含む任意のソフトウェアを実装および実終始している。たとえゼノンの言い分に疑問を見いだしても，

三浦俊彦（2004）。
『論理学がわかる事典』。日本実業出版社。

行可能にする，ＩａａＳが定義され，４つのデプロイメントモ

正当な「逆説」になるように，逆に，受け取るほうの理解の仕村山章（2007）。
『四次元時空の哲学』。新泉社。

デルでは，プライベートクラウド，コミュニティークラウド，

方なり，モノの検討法・コトの設定なりを自分自身で変える発吉田洋一（1939）。零の発見。
『岩波新書 R13』
。岩波書店。

想と論法が，しばしば取られる。数学や物理学以外の専門分野

吉永良正（2008）。
『アキレスとカメ－パラドックスの考察』。

で多い。この立場から同じ手法／論法で，筆者の論議に反論を講談社。

ウィキペディア日本語版には，グーグルのＣＥＯエリック・えば自治体の業務システムを一つのコミュニティーとしてクラ加えないでいただきたい。そのような思考法から筆者の発想が和田純夫（1998）。
『シュレディンガーの猫がいっぱい』。河出シュミット氏が 2006 年８月に，米国カリフォルニア州サンノ

ウド化する，系列企業でコミュニティーを形成してクラウド化生まれたのではなく，「逆説」でないことの立証だけを目指し書房新社。

ゼで開催された検索エンジン戦略会議で「クラウド・コンピューする等が考えられる。

ての思考である。その方法論は第 4 章 4．6 節に凝縮されてい和田秀樹（2004）。
『論理的な頭に変わる本』。中経出版。

ティング」と表現したことが最初であると記載されている。こ

最後に，筆者の今回の論文は，今までにない結論であるため，

３つのサービスモデルでは，①ネットワーク，サーバ，ＯＳ，

図１

る。当然従来の対処の仕方・考え方は使われていない。使われこで彼は，「データサービスとアーキテクチャーはクラウドのていても，「向き」が逆である。従って，ゼノンの説が正しい「逆どこかにあり，適切なブラウザや適切なアクセス方法があれば，説」であることを，すでに認証済の従来の立場・論理で擁護されても，はじめから噛み合わない。筆者の議論の中の論理的誤りや自己矛盾の直接的な指摘を期待する。
筆者はこの論文を，いわゆる「学術論文」の形式で書きあげ

30【参考文献】

小亀

kogame淳

jyuni

東京大学名誉教授。
元 KCG 情報システム開発研究所所長。
経歴はアキューム 58Ｐに掲載

パブリッククラウド及びハイブリッドクラウドが定義されている。コミュニティークラウドは聞き慣れない言葉であるが，例■ 利点と課題 ■ＰＣ，Ｍａｃ，携帯電話，ブラックベリーや開発中の新しい装2008 年にＩＤＣがＩＴ企業の幹部やＣＩＯに行った調査に置からアクセスできる。」と述べている［２］。現在のところ，

よると，利点として，主にデプロイの容易さと速さ，コスト削

クラウド・コンピューティングの解釈は多様であり，ＩＴ企業減，最新の機能の利用が上げられている（図２）［４］。

各社は，それぞれ自社に有利な解釈で使用していると思われる

31