令和 4 年度実施
東北大学大学院情報科学研究科博士課程前期・入学試験問題 (2022 年 8 月 31 日)
専門試験科目群第 7・社会科学群
問題 E-1
財 x と y の市場価格はそれぞれ px と py である。消費者の選好は効用関数 U (x, y) =√x+√2yで表す。消費者は収入 I を得ているとする。(i) 財 x と y の需要関数を求めなさい。(ii) 財 x に関して、需要の価格弾力性を求めなさい。(iii) 財 x と y の代替弾力性を求めなさい。

[English]

The market prices of goods x and y are px , py , respectively. Consumer’s prefer√√ences are represented by utility function U (x, y) = x + 2y. Assume that the consumer has
income I. (i) Find the demand functions of goods x and y. (ii) Calculate the price elasticity
of demand for good x. (iii) Find the elasticity of substitution between goods x and y.

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東北大学大学院情報科学研究科博士課程前期・入学試験問題 (2022 年 8 月 31 日)
専門試験科目群第 7・社会科学群
問題 E–2 プレイヤー 1, 2 がそれぞれ 2 個の戦略（行動）A, B を有するゲームの利得表が、下のように与えられている。各セルの 1 番目と 2 番目の数字は、プレイヤー 1 と 2 の利得をそれぞれ表す。また、問題 (1) から (3) では各プレイヤーが同時に行動すると仮定する。

(1) このゲームが典型的な「囚人のジレンマ」の性質を持つような、x, y の数値例を示しなさい。また、「パレート最適」という言葉を使って、その理由を説明しなさい。

(2) x = 8, y = 2 のもとで、このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡を全て求めなさい。
(3) このゲームが複数の純粋戦略ナッシュ均衡を持つような、x, y の条件を示しなさい。
(4) 最初にプレイヤー１が先導者として意思決定を行い、プレイヤー 2 は追随者として、相手の行動を観察してから意思決定を行う状況を考える。x = 8, y = 2 のもとで、サブゲーム完全ナッシュ均衡を全て求めなさい。

[English]
The table below shows the payoﬀs of a game in which players 1 and 2 have two strategies(actions), A and B. The ﬁrst and second numbers in each cell represent the payoﬀs of players
1 and 2 respectively for the corresponding strategy combination. Moreover, in (1)–(3), twoplayers are assumed to make decisions simultaneously.
(1) Give a speciﬁc example of x and y such that this game describes the typical “prisoner’sdilemma”. Also, explain the reason using the term “Pareto optimum”.
(2) Find all pure strategy Nash equilibria of this game when x = 8, y = 2.
(3) Show the conditions for x, y such that this game has multiple pure strategy Nash equilibria.
(4) Assume that player 1 makes the decision ﬁrst as a leader, and player 2 makes the decision
after observing the decision of player 1 as a follower. Find all subgame perfect Nash equilibria
if x = 8 and y = 2.

PPP

Player 2PPPPPP
Player 1PPPA

BAx,xy,7

B6,24,32

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東北大学大学院情報科学研究科博士課程前期・入学試験問題 (2022 年 8 月 31 日)
専門試験科目群第 7・社会科学群(1) 関数 f (x) は閉区間 x ∈ [3, 10] において連続で、単調減少である。さらに、∫ 10∫ 10f (3) = 10, f (10) = 5,f (x)dx = 42.5 とする。積分f −1 (x)dx を計算しなさい。
35
0 1 0′2 3n′(2) J =  0 0 1  とし、 (J + 2J ) を求めなさい。ただし、J は J の転置行列であり、0 0 0n は自然数である。
問題 E–3(1) Suppose f (x) is continuous and decreasing on the closed interval x ∈ [3, 10].
∫ 10
∫ 10
Furthermore, f (3) = 10, f (10) = 5, andf (x)dx = 42.5 hold. Calculate
f −1 (x)dx.
35

0 1 0
′2 3n′(2) Let J = 
 0 0 1 . Calculate (J + 2J ) , where J is the transpose of J, and n is0 0 0a natural number.
[English]3令和 4 年度実施
東北大学大学院情報科学研究科博士課程前期・入学試験問題 (2022 年 8 月 31 日)
専門試験科目群第 7・社会科学群
問題 E–4

確率 p で成功し、1 − p で失敗する試行を繰り返し行う。このとき、r 回成功するまでに失敗する回数 X が従う確率質量関数はP (X = x; r, p) =(r + x − 1)! rp (1 − p)x(r − 1)!x!

で与えられる。(1) r = 1 とする。(i) X の積率母関数 E[etX ] を計算しなさい。(ii) X の平均と分散を計算しなさい。(2) 一定の p の値のもとで 5 回成功するまでの失敗回数を 10 回記録した
ところ、32, 25, 38, 65, 68, 15, 40, 34, 83, 110 であった。このとき、p の最尤推定量を小数点以下3 桁まで計算しなさい。
[English]Consider repeated trials, each of which succeeds with probability p and fails withprobability 1−p. The probability mass function of the number of failures X before r successes
is given as
P (X = x; r, p) =(r + x − 1)! rp (1 − p)x .
(r − 1)!x!

(1) Let r = 1. (i) Calculate the moment generating function of X, E[etX ]. (ii) Calculate
the mean and the variance of X. (2) The following are 10 records of the number of failures
before 5 successes for a given p: 32, 25, 38, 65, 68, 15, 40, 34, 83, 110. Calculate the maximum
likelihood estimator of p to three decimal places.

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