Discussion Paper No.359

Non-Trivial Unawareness in (Non-)Partitional Standard
Information Structures

Yoshihiko Tada
Chuo University
Economic Reserch Institute,
Associate Researcher
December 2021

INSTITUTE OF ECONOMIC RESEARCH
Chuo University
Tokyo, Japan

Non-Trivial Unawareness in (Non-)Partitional Standard Information Structures1

多⽥由彦
中央⼤学⼤学院経済学研究科博⼠後期課程
2021 年 11 ⽉ 25 ⽇

要旨

本稿は標準的な情報構造を⽤いても無意味でない不可知を取り扱うことが可能であることを⽰す. 先⾏研究では標準的な情報構造で不可知を議論した場合に, 不可知は無意味なものとなってしまうことを指摘してきた. しかしながら,その無意味性は標準的な知識演算⼦の定義から導かれるものである. 我々は知識演算⼦の定義を変えることによって標準的な情報構造上であったとしても,不可知を有意味に議論することが可能であることを証明した. 我々は先⾏研究と異なる結論を導き出したけれども, 主観的状態空間が客観的状態空間と⼀致するところでは, 先⾏研究の結論と⼀致することも⽰した. この点から我々の知識演算⼦の定義は標準的な知識演算⼦の定義を⼀般化したものであると主張することができる.
キーワード：Information, Knowledge, Unawareness, Triviality, Symmetry.

I イントロダクション
本稿は標準的な情報構造を⽤いても無意味でない不可知を取り扱うことが可能であることを⽰す. 標準的な分割的情報構造モデルでは, 共通知識の仮定を
1

本稿は Tada (2021a) に対する匿名の査読者からいただいたコメントに基づいて論⽂の再構成を⾏なった. 匿名の査読者に感謝する.

1

設けた場合, Aumann (1976) の事後確率⼀致定理や Milgrom and Stokey (1982)の無取引定理などが成⽴していた. この結論を避けるために, 先⾏研究では知識の⽋落に焦点を当てて, ⾮分割的情報構造を想定して共通知識の仮定を外して分析を⾏なった, e.g., Samet (1990), Brandenburger, Dekel, and Geanakoplos(1992), Shin (1993), Geanakoplos (2021). しかしながら, Dekel, Lipman, andRustichini (1998) は不可知の性質である Plausibility, KU Introspection, AU
Introspection を仮定した場合, 知識演算⼦が Necessitation を満たすならばTriviality が 成 ⽴ し , Monotonicity を 満 た す な ら ば Unawareness Leads toIgnorance が成⽴することを⽰した. 標準的な知識演算⼦は必ず Necessitationと Monotonicity を成⽴させるから, この結論は標準的な情報構造では不可知を有意味に議論することができないことを意味する.2 3 不可知を有意味に議論するために, Heifetz, Meier, and Schipper (2006) は概念の⽋落に焦点を当てて不可知構造モデルを提案し, 有意味に不可知を議論することをできるようにした. その後, 不可知の研究は概念の⽋落に関するものが主となった, e.g., Heifetz,
Meier, and Schipper (2008, 2013), Li (2009), Heinsalu (2012), Schipper (2013,2014), Galanis (2013, 2018).4
しかしながら, 知識の⽋落に焦点を当てた不可知の研究を捨てることは尚早であるように思われる. 例えば, Fukuda (2021) は AU Introspection を仮定し
2

標準的な情報構造における不可知の無意味性を指摘した他の研究としては,

Modica and Rustichini (1994, 1999) や Chen, Ely, and Luo (2012) がある.
3

なお, Tada (2021c) は⾮標準的な情報構造の上で不可知を議論した場合には,Unawareness Leads to Ignorance は有意味な不可知の性質となりうることを指摘している.
4

不可知に関するサーベイとしては Schipper (2014, 2015) が挙げられる.

2

なければ標準的な情報構造でも不可知を議論することが可能であることを指摘した. そもそも標準的な情報構造における不可知の無意味性は知識演算⼦の定義から導かれるものである. 標準的な知識演算⼦の場合, その定義から
Necessitation と Monotonicity が必ず成⽴する. そのため, Plausibility, KU
Introspection, AU Introspection を仮定したとき, 不可知の議論は無意味なものとなってしまう. しかしながら Dekel, Lipman, and Rustichini (1998) が指摘したように, 知識演算⼦がこれらの性質を満たさないならば, 不可知を有意味に議論することができるようになる. 我々は標準的な情報構造であったとしても,Necessitation と Monotonicity が成⽴しなくなるような知識演算⼦をモデル化
する.
モデル化にあたって, 我々はまず客観的状態空間の部分集合となる主観的状
態空間を定義した. そして主観的状態空間と関連づけて知識演算⼦を定義しなおした. 標準的な知識演算⼦の場合, 主観的状態空間と関連づけられることなく定義される. これに対して我々は, 通常の定義に加えて, 各事象が主観的状態
空間の部分集合であるときに限り, 主体はその事象を知っているものと定義し,その事象が主観的状態空間の部分集合でない場合には, 主体はその事象を知らないものと定義した. これにより Necessitation と Monotonicity を満たさな
いような⼀般化知識演算⼦を扱うことを可能にした.
我々は不可知演算⼦を⼀般化知識演算⼦に基づいて定義した. ⼀般化不可知
演算⼦はほとんどの性質については先⾏研究と同様に成⽴するが, 我々の⼀般化 不 可 知 演 算 ⼦ は 不 可 知 が 有 意 味 で あ る と こ ろ で は , Symmetry と AConjunction は成⽴しない. これは先⾏研究と異なる点である. しかしながら我々のこの結論は決して先⾏研究と不整合であるとは⾔えない. 例えば
Modica and Rustichini (1994, 1999) や Tada (2021b) などは Symmetry を仮3

定して分析しているのであって, 常に成⽴することを⽰しているわけではない.
従って, Symmetry が成⽴しないケースのもとで, 有意味な不可知を議論することは可能なのである.
我々の⼀般化知識演算⼦は標準的な知識演算⼦とは異なるものであるけれど
も, 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致するところでは同じ性質を導く.
従って, 標準的な情報構造で⽰されてきた Triviality Theorems (Modica andRustichini 1994, Dekel, Lipman, and Rustichini 1998, Chen, Ely, and Luo 2012)についても, 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致するところでは成⽴する.
これは我々のモデルが標準的なモデルを⼀般化したものであることを⽰している.
本稿は次のように構成されている. II 節では標準的な情報構造を定義し, その上で⼀般化知識演算⼦を定義する. III 節では⼀般化知識演算⼦に基づいて⼀般化不可知演算⼦を定義し, その性質について特徴づけを⾏なった. IV 節ではTriviality Theorems の⼀般化を⾏い, 我々のモデルが標準的なモデルを⼀般化したものであることを⽰した. 最後に V 節では結論を述べている.

II

準備

2.1 標準的な情報構造
本節ではまず標準的な情報関数の定式化を⾏う. 有限な世界の状態の集合(状態空間) を Ω と記し, 𝜔 ∈ Ω を世界の状態とする. 事象は 𝐸 ⊆ Ω と記し,
¬𝐸 = Ω ∖ 𝐸 とする. 主体の情報関数を 𝑃: Ω → 2! ∖ {∅} とする. 任意の 𝜔 ∈ Ωに対して, 𝑃(𝜔) ≠ ∅ は明らかである. ⾔い換えれば任意の情報集合は⾮空となる. このとき 〈Ω, 𝑃〉を情報構造と呼ぶ.
ここで Ω を客観的状態空間と呼び, 主観的状態空間 𝑋 ⊆ Ω を以下のように4定義する5:

𝑋 = 7 𝑃(𝜔).
"∈!

通常の情報構造モデルではこのとき情報集合の性質を以下のように設ける.

P1 任意の 𝜔 ∈ 𝑋 に対して, 𝜔 ∈ 𝑃(𝜔).
P2 𝜔′ ∈ 𝑃$ (𝜔) ならば 𝑃$ (𝜔% ) ⊆ 𝑃$ (𝜔).
P3 𝜔′ ∈ 𝑃$ (𝜔) ならば 𝑃$ (𝜔% ) ⊇ 𝑃$ (𝜔).

注釈 1：情報関数 𝑃 が P1 を満たすものと仮定する. このとき, 𝑋 = Ω が成⽴するとき, かつそのときに限り, (P1*) 任意の 𝜔 ∈ Ω に対して, 𝜔 ∈ 𝑃(𝜔).

通常の情報関数では P1* を仮定する. P1 は P1*を緩めたものであることは明らかである. このとき分割に対して以下のように定義する.

定義 1：情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, 情報関数 𝑃 が P1*, P2, P3 を満たすとき,

𝑃 は分割的(partitional) であると呼ぶ. 情報関数 𝑃 が P1, P2, P3 を満たすと
き, 𝑃 は部分的分割的 (partially partitional) であると呼ぶ.

5

主観的状態空間のこの定義は Fiorini and Rodrigues-Neto (2017) を参照した.

留意すべきは, 我々は主観的状態空間が客観的状態空間の部分集合であることを要求しているのに対して, 彼らは主観的状態空間が客観的状態空間の上位集合であるかもしれないことを認めている.

5

2.2 ⼀般化知識演算⼦
次に⼀般化知識演算⼦ 𝐾: 2! → 2! について考える. 任意の状態 𝜔 ∈ Ω と事
象 𝐸 ⊆ Ω をとったとき, 𝐾(𝐸) を以下のように定義する:

𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) if 𝑃$ (𝜔) ⊆ 𝐸 and 𝐸 ⊆ 𝑋; and<𝐾$ (𝐸) = ∅ otherwise.

𝜔 ∈ Ω を与える. このとき任意の事象 𝐸 ⊆ Ω に対して, 𝜔 ∈ 𝐾$ (𝐸) が成⽴する
とき, “主体は 𝜔 で 𝐸 を知っている” と解釈し, 𝜔 ∉ 𝐾$ (𝐸) が成⽴するとき,“主体は 𝜔 で 𝐸 を知らない” と解釈する. 通常の議論では, 主観的状態空間
𝑋 を含めて知識演算⼦を定義しないが, 本稿では主観的状態空間も考慮に⼊れて定義する. この定義では与えられた事象に対して, 情報集合が部分集合となっているだけでなく, その事象が主観的状態空間の部分集合であることも含める. それが成⽴しないときは, すなわち 𝐸 ⊈ 𝑋 のときもまた主体は 𝐸 について知らないものと考える. このとき, 以下の命題が成⽴する.

命題 1：情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, ⼀般化知識演算⼦ 𝐾 は以下の性質を満たす.

K1 (Necessitation)：𝑋 = Ω が成⽴するとき, かつそのときに限り 𝐾(Ω) = Ω;
K2 (Monotonicity)：𝑋 = Ω が成⽴するとき, かつそのときに限り 𝐸 ⊆ 𝐹 ⟹𝐾(𝐸) ⊆ 𝐾(𝐹);K3 (Conjunction)：𝑋 = Ω が成⽴するとき, かつそのときに限り 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) =𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹);K4 (Truth)：𝑃 が P1 を満たすならば, 𝐾(𝐸) ⊆ 𝐸;
6

K5 (Positive Introspection)：𝑃 が P2 を満たすならば, 𝐾(𝐸) ⊆ 𝐾𝐾(𝐸); andK6 (Negative Introspection)：𝑋 = Ω が成⽴するとき, かつそのときに限り 𝑃 がP3 を満たすならば, ¬𝐾(𝐸) ⊆ 𝐾¬𝐾(𝐸).

注釈 2:

K3 は K2 を導く.

注釈 3:

任意の 𝐸, 𝐹 ⊆ 𝑋 に対して,

K2ʼ 𝐸 ⊆ 𝐹 ⟹ 𝐾(𝐸) ⊆ 𝐾(𝐹); andK3ʼ 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹).

通常の知識演算⼦の場合, Necessitation, Monotonicity, Conjunction は必ず成⽴
す る . Heifetz, Meier, and Schipper (2006) や Li (2009) に お い て も ,Necessitation, Monotonicity, Conjunction は必ず成⽴した. 対照的に本稿の⼀般化知識演算⼦は主観的状態空間が客観的状態空間と⼀致しない場合にはNecessitation, Monotonicity, Conjunction は成⽴しない. この点は我々の知識演算⼦の最⼤の特徴である. また通常の知識演算⼦は情報関数が P3 を満たすならば, Negative Introspection は必ず成⽴するが, ⼀般化知識演算⼦の場合,
主観的状態空間は客観的状態空間と⼀致しなくてはならない.

III ⼀般化不可知演算⼦
本節では⼀般化不可知演算⼦ 𝑈: 2! → 2! を以下のように定義する6:6

この定義は Modica and Rustichini (1994) の定義でもある.

7

𝑈(𝐸) = ¬𝐾(𝐸) ∩ ¬𝐾¬𝐾(𝐸).

Dekel, Lipman, and Rustichini (1998) 提案した Plausibility (𝑈(𝐸) ⊆ ¬𝐾(𝐸) ∩¬𝐾¬𝐾(𝐸)) は我々の定義から明らかに成⽴する. ⼀般化可知演算⼦ 𝐴: 2! → 2!
は, 𝐴(𝐸) = ¬𝑈(𝐸) と定義する. このとき⼀般化不可知演算⼦の無意味性は以下のように⽰される.

補題 1：情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, 情報関数 𝑃 が部分的分割的であるとする.

このとき⼀般化知識演算⼦ 𝑈 は以下の性質を満たす. 任意の 𝐸 ⊆ Ω に対して,lTriviality：𝑋 = Ω が成⽴するとき, かつそのときに限り, 𝐴(𝐸) = Ω; andl

Non-Triviality：𝑋 ≠ Ω のとき, かつそのときに限り, 𝐴(𝐸) = 𝐾(𝐸). さらに𝐸 ⊈ 𝑋 または 𝐸 = ∅ が成⽴するとき, かつそのときに限り, 𝐴(𝐸) = ∅.

注釈 4：情報関数が部分的分割的でないときは, 主観的状態空間が客観的状態空間と⼀致していたとしても Triviality は成⽴しないかもしれない.

以上の補題から以下の命題が成⽴する.

命題 2：情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, 情報関数 𝑃 が部分的分割的であるとする.

このとき⼀般化不可知演算⼦ 𝑈 は以下の性質を満たす.
U1 (KU Introspection)：𝐾𝑈(𝐸) = ∅;U2 (AU Introspection)：𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈𝑈(𝐸);U3 (Weak Necessitation)：𝑋 = Ω ならば 𝐴(𝐸) = 𝐾(𝑋);&U4 (Strong Plausibility)：𝑈(𝐸) = ⋂'&()(¬𝐾) (𝐸);8

U5 (Weak Negative Introspection)：¬𝐾(𝐸) ∩ 𝐴¬𝐾(𝐸) = 𝐾¬𝐾(𝐸);U6 (Symmetry)：𝑋 = Ω ならば, 𝑈(𝐸) = 𝑈(¬𝐸);
U7 (A-Conjunction)：任意の 𝜆 に対して 𝐸* ⊆ 𝑋 ならば, 𝐴(∩* 𝐸* ) =∩* 𝐴(𝐸* );U8 (AK-Self Reflection)：𝐴𝐾(𝐸) = 𝐴(𝐸);U9 (AA-Self Reflection)：𝐴𝐴(𝐸) = 𝐴(𝐸); andU10 (A-Introspection)：𝐾𝐴(𝐸) = 𝐴(𝐸).

命題 3：情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, 情報関数 𝑃 が部分的分割的であるとする.

このとき⼀般化不可知演算⼦ 𝑈 は以下の性質を満たす. 任意の事象 𝐸 ≠ ∅ に対して,
U2ʼ (Reverse AU Introspection)：
1. 𝑋 = Ω ならば, 𝑈𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈(𝐸); and2. 𝑋 ≠ Ω かつ 𝐸 ⊈ 𝑋 ならば, 𝑈𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈(𝐸).
U3ʼ (Reverse Weak Necessitation)：𝑋 ≠ Ω かつ 𝐸 ≠ 𝑋 ならば 𝐴(𝐸) ≠ 𝐾(𝑋).
U6ʼ (Reverse Symmetry)：𝑋 ≠ Ω のとき,
1. 𝐸 ⊆ 𝑋 ならば, 𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈(¬𝐸); and2. 𝐸 ⊈ 𝑋 ならば, 𝑈(𝐸) ⊇ 𝑈(¬𝐸). 等号条件は ¬𝐸 ⊈ 𝑋.
U7ʼ (Reverse A-Conjunction)：𝑋 ≠ Ω のとき, 任意の 𝜆 に対して 𝐸* ⊆ 𝑋 かつ
任意の 𝛿 に対して 𝐸+ ⊈ 𝑋 ならば, 𝐴(∩* 𝐸* ) ⊇∩* 𝐴(𝐸* ).

U1-4 は Dekel, Lipman, and Rustichini (1998) が提案した. U6-9 は Modica andRustichini (1994, 1999) が提案した. U5-9 は Halpern (2001) が提案した. U10
は Heifetz, Meier, and Schipper (2006) が提案した. U2ʼ は Fukuda (2021) が
提案した.

9

本 稿 が 新 た に ⽰ し た の は , Reverse Weak Necessitation (U3ʼ), Reverse
Symmetry (U6ʼ), Reverse A-Conjunction (U7ʼ) である. 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致しないとき, U3, U6, U7 は成⽴しないかもしれない. 任意の事象が主観的状態空間の部分集合である場合は, Symmetry は必ず成⽴しない.
事象が主観的状態空間の部分集合でないとき, その反対事象が主観的状態空間の部分集合でないならば, Symmetry が成⽴するのに対して, その反対事象が主
観的状態空間の部分集合であるならば, Symmetry は成⽴しない. また, 主観的状態空間が客観的状態空間と⼀致しないとき, A-Conjunction が成⽴する条件
は全ての事象が主観的状態空間に属しているか, 全ての事象が主観的状態空間に属していないかのいずれかである.
Reverse Symmetry の含意について考えよう. 我々のモデルでは主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致しないところでは Symmetry が成⽴しない事象が必ず存在する. これは状態空間の部分集合しか認識できない主体は, 認識可能な事象の反対事象を認識することができないことを意味している. この性質は決して記号的な性質ではなく, 現実世界でも起こりうることである.

例：⼆⼈の労働者 Alice と Bob を考える. ⼆⼈はそれぞれ別の場所で働いており, 互いの存在を知らないとする. ある⽇, 雇⽤者が今後の契約について次のことを考えていたとする.

𝜔) ：Alice と Bob の⼆⼈をクビにする.
𝜔, ：Alice だけをクビにする.
𝜔- ：Bob だけをクビにする.
𝜔. ：誰もクビにしない.

10

ここで Alice は Bob の存在を知らないから, 彼⼥は⾃分がクビになるか (𝜔, ),クビにならないか (𝜔. ) のいずれかしか知らない. このとき, いずれの場合であっても, Bob がクビになったのかどうか (𝜔) , 𝜔- ) については知ることができない. すなわち, 事象 {𝜔, , 𝜔. } に可知であったとしても, 事象 {𝜔) , 𝜔- } については不可知なままである. ∎そもそも Reverse Symmetry は知識演算⼦の定義から導かれたものである.
もし Reverse Symmetry が作為的なものであるならば, 知識演算⼦の定義が作為的であるということになる. すなわち, 主観的状態空間に属していない事象に対しては空集合が与えられるという定義が作為的であるということになる.
しかしながら, 主観的状態空間に属していない知識に対して, 主体が何かしらの知識を持っていることはいささかおかしな話である. 従って, 認識できていない事象に対して空集合が与えられることは決して作為的であるとは⾔えない.
多くの先⾏研究では Symmetry が成⽴することを証明するか, それを仮定して分析されてきた, e.g., Modica and Rustichini (1994, 1999), Halpern (2001),
Heifetz, Meier, and Schipper (2006, 2008, 2013), Li (2009), Sadzik (2021), andTada (2021b). では, Reverse Symmetry は先⾏研究と整合的でない性質なのだ
ろうか? 結論を⾔えば, そうではない. Modica and Rustichini (1994) は知識演
算⼦が Necessitation, Monotonicity, Truth, Positive Introspection が成⽴しているとき, Symmetry と Negative Introspection が同値であることを⽰した. すな
わ ち , Necessitation も し く は Monotonicity が 成 ⽴ し な い と こ ろ で は
Symmetry と Negative Introspection は同値にはならないのである. しかしこれは有意味な不可知について議論するとき, Symmetry が必ず成⽴することを保11

証 す る わ け で は な い . ま た Tada (2021b) は Monotonicity, Truth, Positive
Introspection が成⽴するところでは AU Introspection と Symmetry が同値であることを証明した. しかし本稿のモデルでは, 主観的状態空間と客観的状態
空 間 が ⼀ 致 し な い と こ ろ で は , Monotonicity が 成 ⽴ し な い . 従 っ て , AU
Introspection と Symmetry の同値性を保証しない. 以上から我々は有意味な不可知を考えるにあたって, Symmetry が成⽴しないかもしれない状況が存在す
ること⾃体は何ら問題ないのである.7

IV

Generalized Triviality Theorems

Modica and Rustichini (1994), Dekel, Lipman, and Rustichini (1998), Chen,
Ely, and Luo (2012) は Triviality Theorem について検討を加えてきた. 本節では Triviality Theorem の再検討と⼀般化を⾏う.

定理 1：(Modica and Rustichini 1994) 情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, 情報関数 𝑃が部分的分割的であるとする. 𝑋 = Ω が成⽴するとき, かつそのときに限り,任意の事象に対して Symmetry が成⽴する.

定理 2：(Dekel, Lipman, and Rustichini 1998) 情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, 情報

関数 𝑃 が部分的分割的であるとする. このとき, 以下は同値である.

7

著者は匿名の査読者に感謝する. 匿名の査読者は Reverse Symmetry の興味深さには同意をしたものの, その性質が有意義であると結論づけることには慎重になるようにと⽰唆してくれた. この段落の主張は Reverse Symmetry に対する再考によって⽣まれたものである.

12

1. 𝑋 = Ω;
2. Triviality: 𝑈(𝐸) = ∅; and3. Unawareness Leads to Ignorance: ∀𝐸, 𝐹 ⊆ 𝑋, 𝑈(𝐸) ⊆ ¬𝐾(𝐹).

定理 3：(Chen, Ely, and Luo 2012) 情報構造 〈Ω, 𝑃〉 において, 情報関数 𝑃 が部

分的分割的であるとする. このとき, 以下は同値である.
1. 𝑋 = Ω;
2. Symmetry, AU Introspection, Negative Introspection が同値である.

先⾏研究では Plausibility, AU Introspection, KU Introspection が仮定されているとき, 知識演算⼦が Necessitation, Monotonicity が仮定されたならば不可知は無意味なものとなることが⽰されてきた. そして標準的な知識演算⼦ではNecessitation, Monotonicity が必ず成⽴するので不可知の無意味性は常に成⽴する. 我々の知識演算⼦の場合, 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致する
ところでは, 不可知の無意味性が常に成⽴する. しかしながら, 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致しないところでは, Plausibility, KU Introspection, AU
Introspection が成⽴しているにもかかわらず, 不可知の無意味性は保証されない. なぜならこの場合には, Necessitation と Monotonicity が成⽴しないからである. すなわち, 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致するところではTriviality Theorems が成⽴し, そうでないところでは情報関数が部分的に分割的であったとしても Triviality Theorems が成⽴しないのである. この結論は,我々のモデルが標準的な情報構造モデルを⼀般化したものであることを指す.

V

結論

13

本稿は標準的な (⾮分割的) 情報構造を⽤いても有意味な不可知の分析が可能であることを⽰した. Dekel, Lipman, and Rustichini (1998) が⽰したように,
Plausibility, KU introspection, AU Introspection を仮定した場合, 知識演算⼦がNecessitation, Monotonicity を満たしている場合には不可知が無意味なものとなるが, 標準的な知識演算⼦は必ず Necessitation と Monotonicity を満たす
から, 彼らの Triviality Theorem は必ず成⽴してしまう. これに対して我々のモデルでは, 知識演算⼦が Necessitation と Monotonicity が成⽴するための必要⼗分条件は主体の主観的状態空間が客観的状態空間と⼀致することであった. 我々の不可知演算⼦は Plausibility, KU Introspection, AU Introspection が必ず成⽴するけれども, 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致しない場合には, Necessitation と Monotonicity が成⽴しないので, 有意味に不可知を議論することができる.
なお, 我々の知識演算⼦, 不可知演算⼦は以下の点で特徴的なものとなっている. まず主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致しないところでは,
Symmetry と A-Conjunction が成⽴することを保証しない. この点はいくつかの先⾏研究とは異なる結論である, e.g., Heifetz, Meier, and Schipper (2006), Li(2009). しかしながら, Symmetry が成⽴しないことは決して先⾏研究と不整合であるわけではない. 標準的なモデルにおいても Symmetry が成⽴しないことを想定することは可能である.
本稿の結論は先⾏研究と異なる点を持つけれども, 主観的状態空間と客観的状態空間が⼀致するところでは, 標準的な情報構造における不可知演算⼦の議論と同様の結論を得る. 従って, 我々のモデルは標準的な議論を⼀般化したものであると⾔える.
本稿は主体の知識や可知に焦点を当てた分析を⾏なった. しかしながら, 意14

思決定に関わる状況については考察をしていない. 標準的な (⾮分割的) 情報
構 造 を ⽤ い て 意 思 決 定 を 分 析 し た も の と し て , Brandenburger, Dekel, andGeanakoplos (1992), Geanakoplos (2021) などが挙げられる. 今後, 相互作⽤が伴うような意思決定の状況に対して, 我々のモデルを⽤いてこれらの先⾏研究を⼀般化した研究を⾏うことが課題となる. また, 不可知研究それ⾃体の課題として応⽤可能性の問題がある. 現状では不可知の議論はいまだに応⽤可能性に乏しい状況である. 我々のモデルを経済学の⽂脈で活かせるかどうかについても今後検討していく必要があるだろう.

補論：証明

注釈 1：𝑋 = Ω の時は明らか. 𝑋 ≠ Ω を仮定する. このとき, 𝜔 ∉ 𝑃(𝜔) である
ような 𝜔 ∈ Ω が存在する. 従って (P1*) は満たされない. ∎命題 1：(K1) 𝑋 ⊆ Ω は明らかである. 𝑋 = Ω のとき, 任意の 𝜔 ∈ Ω に対して,𝑃(𝜔) ⊆ Ω を必ず満たすから, 𝜔 ∈ 𝐾(Ω). 従って, Ω ⊆ 𝐾(Ω) より 𝐾(Ω) = Ω.
𝑋 ≠ Ω のとき, Ω ⊈ 𝑋 は明らかであるから, 知識演算⼦の定義より 𝐾(Ω) = ∅.
(K3) 𝑋 = Ω を仮定する. 任意の 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) をとる. このとき, 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐸
かつ 𝐸 ⊆ 𝑋 と 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐹 かつ 𝐹 ⊆ 𝑋 が成⽴している. すなわち, 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸)かつ 𝜔 ∈ 𝐾(𝐹) より, 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹). 従って 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹). 任意の 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹) をとる. このとき, 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) かつ 𝜔 ∈ 𝐾(𝐹) が成⽴している. これは (𝜔) ⊆ 𝐸 かつ 𝐸 ⊆ 𝑋 と 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐹 かつ 𝐹 ⊆ 𝑋 を意味するから,(𝜔) ⊆ 𝐸 ∩ 𝐹 か つ 𝐸 ∩ 𝐹 ⊆ 𝑋 . す な わ ち 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) よ り 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹) ⊆𝐾(𝐸 ∩ 𝐹). 以上から 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹). 𝑋 ≠ Ω を仮定する. ここで 𝐹 =Ω と す る . こ の と き 𝐾(𝐸 ∩ Ω) = 𝐾(𝐸) で あ る の に 対 し て , 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(Ω) =15

𝐾(𝐸) ∩ ∅ = ∅. 従って 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) ≠ 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹).
(K2) 𝑋 = Ω, 𝐸 ⊆ 𝐹 を仮定する. このとき, 𝐾(𝐸) = 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹) ⊆𝐾(𝐹). 𝑋 ≠ Ω のとき, 𝐹 = Ω ならば, 𝐾(Ω) = ∅. 従って, 𝐾(𝐸) ⊈ 𝐾(𝐹).
(K4) P1 が成⽴していると仮定する. 任意の 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) をとる. このとき𝑃(𝜔) ⊆ 𝐸 かつ 𝐸 ⊆ 𝑋 が成⽴する. P1 より 𝜔 ∈ 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐸 であるから, 𝐾(𝐸) ⊆𝐸.
(K5) P2 が成⽴していると仮定する. 任意の 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) をとる. このとき𝑃(𝜔) ⊆ 𝐸 かつ 𝐸 ⊆ 𝑋 が成⽴する. ここで任意の 𝜔% ∈ 𝑃(𝜔) をとる. P2 より𝑃(𝜔% ) ⊆ 𝑃(𝜔) であるから, 𝑃(𝜔% ) ∈ 𝐸. 従って, 𝜔% ∈ 𝐾(𝐸). すなわち 𝑃(𝜔) ⊆𝐾(𝐸) が成⽴する. 以上より 𝐾(𝐸) ⊆ 𝐾𝐾(𝐸).
(K6) 𝑋 = Ω, P3 が成⽴すると仮定する. 任意の 𝜔 ∈ ¬𝐾(𝐸) をとる. このとき,
𝜔 ∉ 𝐾(𝐸) で あ る か ら 𝑃(𝜔) ⊈ 𝐸 . 任 意 の 𝜔% ∈ 𝑃(𝜔) に 対 し て P3 よ り ,𝑃(𝜔% ) ⊇ 𝑃(𝜔) であるから, 𝑃(𝜔% ) ⊈ 𝐸, 𝜔% ∉ 𝐾(𝐸), すなわち 𝜔% ∈ ¬𝐾(𝐸). 従って 𝑃(𝜔) ⊆ ¬𝐾(𝐸). 以上より ¬𝐾(𝐸) ⊆ 𝐾¬𝐾(𝐸). 𝑋 ≠ Ω のとき, ¬𝐾(Ω) = Ω であるから, 𝐾¬𝐾(Ω) = 𝐾(Ω) = ∅. 従って ¬𝐾(𝐸) ⊈ 𝐾¬𝐾(𝐸). ∎注釈 3：任意の 𝐸, 𝐹 ⊆ 𝑋 をとる.
(K3ʼ) 任意の 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) に対して 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐸 ⊆ 𝑋 かつ 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐹 ⊆ 𝑋 が成⽴するから, 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) かつ 𝜔 ∈ 𝐾(𝐹). 従って 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) ⊆ 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹). 任意の 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹) をとる. このとき 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐸 ⊆ 𝑋 かつ 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐹 ⊆ 𝑋 が成 ⽴ す る か ら , 𝑃(𝜔) ⊆ 𝐸 ∩ 𝐹 ⊆ 𝑋 よ り 𝜔 ∈ 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) . 従 っ て 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) ⊇𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹). 以上より 𝐾(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝐾(𝐸) ∩ 𝐾(𝐹).
(K2ʼ) Conjunction は Monotonicity を導く.

16

補題 1：情報関数が部分的分割的であるとする. 𝑋 = Ω を仮定する. P3 を仮定しているから Negative Introspection が成⽴する. すなわち 𝑈(𝐸) = ∅. 従って𝐴(𝐸) = Ω. 𝑋 ≠ Ω のとき, Negative Introspection が成⽴しないので 𝐴(𝐸) ≠ Ωとなるような 𝐸 が存在するかもしれない. ここで 𝐸 ⊆ 𝑋 かつ 𝐸 ≠ ∅ のとき,
Truth より 𝐾(𝐸) ⊆ 𝐸 ⊆ 𝑋 が成⽴するから ¬𝐾(𝐸) ⊈ 𝑋. すなわち 𝐾¬𝐾(𝐸) =∅. 従って, 𝐴(𝐸) = 𝐾(𝐸) ∪ 𝐾¬𝐾(𝐸) = 𝐾(𝐸). 𝐸 = ∅ のとき 𝐾(𝐸) = 𝐴(𝐸) = ∅は明らか. 𝐸 ⊈ 𝑋 のとき 𝐾(𝐸) = ∅ より ¬𝐾(𝐸) = Ω. このとき 𝐾¬𝐾(𝐸) =𝐾(Ω) = ∅ であるから ¬𝐾¬𝐾(𝐸) = Ω. 従って 𝑈(𝐸) = ¬𝐾(𝐸) ∩ ¬𝐾¬𝐾(𝐸) = Ω
より 𝐾(𝐸) = 𝐴(𝐸) = ∅. ∎注釈 4：P3 が成⽴しないとき, Negative Introspection は成⽴しない. 従ってTriviality は成⽴しない. ∎命題 2：𝑋 = Ω のときは U1-10 が満たされることは明らかである. 𝑋 ≠ Ω を仮定する. このとき, 補題 1 より 𝐴(𝐸) = 𝐾(𝐸). すなわち 𝑈(𝐸) = ¬𝐾(𝐸)(U1) 𝐸 ⊆ 𝑋 のとき, ¬𝐾(𝐸) ⊈ 𝑋 である. 従って 𝐾𝑈(𝐸) = 𝐾¬𝐾(𝐸) = ∅. 𝐸 ⊈𝑋 のときは 𝑈(𝐸) = Ω であるから 𝐾𝑈(𝐸) = 𝐾(Ω) = ∅.
(U2) 𝑈𝑈(𝐸) = ¬𝐾𝑈(𝐸) ∩ ¬𝐾¬𝐾𝑈(𝐸) . U1 よ り ¬𝐾𝑈(𝐸) ∩ ¬𝐾¬𝐾𝑈(𝐸) = Ω ∩¬𝐾(Ω) = Ω. 従って, 𝑈𝑈(𝐸) = Ω であるから 𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈𝑈(𝐸).
(U4) 任 意 の 𝐸に 対 し て , ¬𝐾¬𝐾(𝐸) = ¬𝐾𝑈(𝐸) = Ω で あ る . 同 様 に¬𝐾¬𝐾¬𝐾(𝐸) = ¬𝐾¬𝐾𝑈(𝐸) = ¬𝐾(Ω) = Ω が 成 ⽴ す る . こ れ を 繰 り 返 す と'&&∩'&(, (¬𝐾) (𝐸) = Ω である. 従って, 𝑈(𝐸) = ¬𝐾(𝐸) = ¬𝐾(𝐸) ∩&(, (¬𝐾) (𝐸) =&∩'&() (¬𝐾) (𝐸).

(U5) 𝐾¬𝐾(𝐸) = 𝐾𝑈(𝐸) = ∅ . 𝐴¬𝐾(𝐸) = 𝐾¬𝐾(𝐸) = ∅ . 従 っ て , ¬𝐾(𝐸) ∩17

𝐴¬𝐾(𝐸) = 𝐾¬𝐾(𝐸).
(U7) 𝑋 ≠ Ω の と き , 𝐴(𝐸) = 𝐾(𝐸) で あ る . 従 っ て , 𝐴(∩* 𝐸* ) = 𝐾(∩* 𝐸* ) ,∩* 𝐴(𝐸* ) =∩* 𝐾(𝐸* ). ここで任意の 𝜆 に対して 𝐸* ⊆ 𝑋 ならば, 注釈 3 よりConjunction が成⽴するから 𝐴(∩* 𝐸* ) = 𝐾(∩* 𝐸* ) =∩* 𝐾(𝐸* ) =∩* 𝐴(𝐸* ).
(U8-10) 𝑃 は部分的分割的であるから, 𝐾 は Truth と Positive Introspectionが成⽴する. 従って 𝐴(𝐸) = 𝐾(𝐸) = 𝐾𝐾(𝐸) = 𝐾𝐴(𝐸) = 𝐴𝐴(𝐸) = 𝐴𝐾(𝐸). ∎命題 3：𝐸 ≠ ∅ とする.
(U2ʼ) 𝑋 = Ω の と き , 𝑈(𝐸) = ∅ で あ る か ら , 𝑈𝑈(𝐸) = 𝑈(∅) = ∅ . 従 っ て ,𝑈𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈(𝐸). 𝑋 ≠ Ω かつ 𝐸 ⊈ 𝑋 とする. このとき, 𝑈(𝐸) = Ω であるから
𝑈𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈(𝐸).
(U6ʼ) 𝑋 ≠ Ω とする. 𝐸 ⊆ 𝑋 ならば ¬𝐸 ⊈ 𝑋 であるから, 𝑈(¬𝐸) = Ω. 従って𝑈(𝐸) ⊆ 𝑈(¬𝐸). 𝐸 ⊈ 𝑋 ならば 𝑈(𝐸) = Ω より 𝑈(𝐸) ⊇ 𝑈(¬𝐸). ここで ¬𝐸 ⊈ 𝑋
ならば 𝑈(¬𝐸) = Ω であるから 𝑈(𝐸) = 𝑈(¬𝐸).
(U7ʼ) 𝑋 ≠ Ω とする. 任意の 𝜆 に対して 𝐸* ⊆ 𝑋, 任意の 𝛿 に対して 𝐸+ ⊈ 𝑋とする. このとき, 𝐴(𝐸+ ) = ∅ であるから, ∩* 𝐴(𝐸* ) ∩+ 𝐴(𝐸+ ) =∩* 𝐴(𝐸* ) ∩ ∅ =∅. 従って, 𝐴(∩* 𝐸* ∩+ 𝐸+ ) ⊇∩* 𝐴(𝐸* ) ∩+ 𝐴(𝐸+ ). ∎定理 1：𝑋 = Ω のとき, 命題２より任意の事象に対して Symmetry が成⽴する.
𝑋 ≠ Ω のとき, 命題３より Symmetry が成⽴しない事象が存在する. ∎定理 2：𝑋 = Ω のとき, 補題 1 より Triviality が成⽴する. Triviality が成⽴する
とき, Unawareness Leads to Ignorance が成⽴するのは明らか. UnawarenessLeads to Ignorance が成⽴すると仮定する. ここで 𝑋 ≠ Ω と仮定する. このと
18

き, 𝑈(Ω) = Ω であるから, 𝑈(𝐸) ⊈ ¬𝐾(𝐹) となるような 𝐹 が存在する. これは⽭盾である. 従って 𝑋 = Ω.

定理 3 ：𝑋 = Ω のとき, 命題２より Symmetry, AU Introspection, Negative
Introspection が成⽴する. 𝑋 ≠ Ω のとき, Symmetry と Negative Introspection
は成⽴しない. しかしながら AU Introspection は必ず成⽴するので 3 つの性質は同値ではない. ∎引⽤⽂献Aumann, Robert J. (1976), “Agreeing to Disagree”, The Annals of Statistics, 4: 12361239.
Brandenburger, Adam, Eddie Dekel and Jhon Geanakoplos (1992), “Correlated
Equilibrium with Generalized Information Structure”, Games and Economic
Behavior, 4: 182-201.
Chen, Yi-Chun, Jeffrey C. Ely and Xiao Luo (2012), “Note on Unawareness: Negative
Introspection versus AU Introspection (and KU Introspection)”, International
Journal of Game Theory, 41: 325-329.
Dekel, Eddie, Barton L. Lipman and Aldo Rustichini (1998), “Staindard State-Space
Models Preclude Unawareness”, Econometrica, 66: 159-173.
Fagin, Ronald, and Joseph Y. Halpern (1988), “Belied, Awareness and Limited
Reasoning”, Artificial Intelligence, 34: 39-76.
Fiorini, Luciana C., and José A. Rodrigues-Neto (2017), “Self-Consistency, Consistency
and Cycles in Non Partitional Knowledge Models”, Mathematical Social Sciences,87: 11-21.

19

Fukuda, Satoshi (2021), “Unawareness without AU Introspection”, Journal of
Mathematical Economics, 94: 523-543.
Galanis, Spyros (2013), “Unawareness of Theorems”, Economic Theory, 52: 41-73.
––––––(2018), “Speculation under Unawareness”, Games and Economic Behavior, 109:598-615.
Geanakoplos, John (2021), “Game Theory without Partitions, and Application toSpeculation and Consensus”, The B.E. Journal of Theoretical Economics, 21:361-394.
Halpern, Joseph Y., (2001), “Alternative Semantics for Unawareness”, Games andEconomic Behavior, 37: 321-339.
Heifetz, Aviad, Martin Meier and Burkhard C. Schipper (2006), “Interactive
Unawareness”, Journal of Economic Theory, 130: 78-94.
‒‒‒‒‒‒(2008), “A Canonical Model for Interactive Unawareness”, Games and Economic
Behavior.
––––––(2013), “Unawareness, Belief, and Speculative Trade”, Games and Economic
Behavior, 77: 100-121.
Heinsalu, Sander (2012), “Equivalence of the Information Structure with Unawareness to
the Logic of Awareness”, Journal of Economic Theory, 147: 2453-2468.
Li, Jing (2009), “Information Structures with Unawareness”, Journal of Economic Theory,
144: 977-993.
Milgrom, Paul, and Nancy Stokey (1982), “Information, Trade and Common Knowledge”,
Journal of Economic Theory, 26: 17-27.
Modica, Salvatore, and Aldo Rustichini (1994), “Awareness and Partitional Information
Structures”, Theory and Decision, 37: 107-124.

20

––––––(1999), “Unawareness and Partitional Information Structures”, Games andEconomic Behavior, 27: 265-298.
Samet, Dov (1990), “Ignoring Ignorance and Agreeing to Disagree”, Journal of Economic
Theory, 52: 190-207.
Sadzik, Tomasz, (2021), “Knowledge, Awareness, and Probabilistic Beliefs”, The B.E.
Journal of Theoretical Economics, 21: 489-524.
Schipper, Burkhard C. (2013), “Awareness-Dependent Subjective Expected Utility”,
International Journal of Game Theory, 42-725-753.
––––––(2014), “Unawareness – A Gentle Introduction to Both the Literature and theSpecial Issue”, Mathematical Social Sciences, 70: 1-9.
‒‒‒‒‒‒(2015), “Awareness” in van Ditmarsh, H., J.Y. Halpern, W. van der Hoek, B.P.
Kooi ed., Handbook of Epistemic Logics, College Publication, 77-146.
Shin, Hyun Song (1993), “Logical Structure of Common Knowledge”, Journal of
Economic Theory, 60: 1-13.
Tada, Yoshihiko (2021a), “Unawareness and Reverse Symmetry: Aumann Structure with
Complete Lattice”, Chuo University.
––––––(2021b),“Note: AU

Introspection

andSymmetryunderUnawareness”, mimeo.
‒‒‒‒‒‒(2021c), “Is “Unawareness Leads to Ignorance” Trivial?”, mimeo.

21

Non-Trivial