ヘドニック型価格指数へのリッジ回帰
推定量の適用丸山 祐造
東京大学空間情報科学研究センター
時空間社会経済システム研究部門

CSIS シンポジウム 9 月 19 日

Yuzo Maruyama

0. きっかけ昨年 12 月 CSIS 内の不動産関連のシンポジウム
でのリクルートの清水千弘さんの発表
ヘドニック法 (回帰分析) に基づいて「性質の良い品質調整済住宅価格指数 (RRPI)，あるいはヘドニック型価格指数を求める」ことが一つの重要なテーマ

RRPI とは? 各期毎に売買事例のデータセットが得られるとき異時点間における住宅価格の変化を捉えるための価格指数1

Yuzo Maruyama

1. ヘドニック回帰と指数
首都圏における中古マンションに対する価格指数を作成
データセット (各月毎，月平均 1000 件程度のサンプル，1989.04–2003.03 全部で T = 168 期)
被説明変数
中古マンションの価格
説明変数
最寄駅までの距離，都心までの接近性，専有面積，築後年数，バルコニー面積，管理費，南向きダミー，沿線ダミー，など

2Yuzo Maruyama

3

データのイメージを掴む
n = 158, 955

平均

標準偏差

最小最大

マンション価格 (万円)

3750

1802

10009998

最寄駅までの距離 (分)

7.6

4.2

1.0

20.0

都心までの接近性 (分)

25.2

5.0

16.3

77.5

専有面積 (m2 )

55.3

17.9

15.0120

築年数

14.1

7.0

1.0

35.0

市場滞留時間 (月)

88.0

85.4

1.0700Yuzo Maruyama

他の経済インデックスとの違い
日経平均，株価指数など (基本的に) 各期毎に同じ商品が常に市場にある．
中古マンションの例では，全く同じ条件の物件が各期毎に存在することはあり得ない!
異時点間で条件の異なる商品価格の推移から，価格変動を把握したい．

4

Yuzo Maruyama

5

ヘドニック回帰モデル
第1期

yi1 = β01 + β11 xi1 + · · · + β p1 xip + , i = 1, . . . , N1
..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

..
.

第T期

yiT = β0T + β1T xiT + · · · + β pT xip + , i = 1, . . . , NT
 は誤差項で，平均 0 分散 σ2 の正規分布
また物件間の誤差項は互いに独立であると仮定

Yuzo Maruyama6

既存の指数構造制約型
全期間を通じて不動産市場の価格メカニズムの構造 (つまり回帰係数) は変化しない

β11 = · · · = β1T ,...

β p1 = · · · = β pT

全てのデータをプール
各期のダミー変数 (1 or 0) を説明変数 z1 , . . . zTとして加えて，最小二乗法

Yuzo Maruyama7

i = 1, . . . , N(=PTi=1 Ni ) に対して

yi = β0 + β1 xi1 + · · · + β p xip +p1 z1 + · · · + pT zT + 
各期ダミーの回帰係数の推定量を p̂t
基準期のダミーの回帰係数の推定量 p̂1p̂t / p̂1 (t = 1, . . . , T ) が指数

Yuzo Maruyama

構造非制約型
各期毎に構造は変化する
各期毎に最小二乗法 β̂t
注目する品質 x0 = (x1 , . . . , x p )(例：桜上水徒歩 10 分，65 平米，3LDK，築 3年，南向きなど)を各期毎に代入した注目品質の推定値 ŷt = x0 β̂t
基準期の注目品質の推定値 y1 = x0 β̂1yt /y1 (t = 1, . . . , T ) が指数891.41.6

Yuzo Maruyama

0.60.81.0restrict

0.4index

1.2

non−restrict

050

100time150

Yuzo Maruyama

制約型の欠点• 指数変化は比較的滑らかだが，全期間を通じて構造変化がないというのはムチャな話• 特定の回帰係数の推移にも関心がある場合に対応不可能• 逐次的に最新のデータを得て指数を得る場合，更新毎に過去の指数が変化
非制約型の欠点• 指数変化がかなりギザギザ• 近接する期とは構造が近いはずでその情報を使わないのはあまりにもったいない

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Yuzo Maruyama

11

回帰分析の復習y  β0 + β1 x 1 + · · · + β p x p回帰係数 βi
説明変数 xi を 1 単位増加させたときに (他の説明変数の値は固定した下で) 中古マンション価
格 y が平均的に何円増えるか?

Yuzo Maruyama

各期毎に回帰係数を推定することのメリット
例えば，，，，南向きということに消費者がどれほどの価値を置く傾向にあるかということに関する推移を推測することも出来る．
総武線沿線であること，東急東横線沿線であることの効果の推移，あるいはそれらの効果の比較も出来る．

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Yuzo Maruyama

適度な構造制約を入れながら，滑らかに接続する指数が望ましい(R 清水タイプ) 接続型
過去一定期間の構造は変化しないとして，構造制約型を適用し逐次的に指数を作成
欠点• 構造制約型と同じく更新の度に過去の指数が変化．
• 過去の一定期間と言ってもその長さをどうやって決めるのか?

13

14

1.4

1.6

Yuzo Maruyama

1.2

non−restrict

restrict

1.0
0.8
0.6
0.4

index

setsuzoku

050

100time150

Yuzo Maruyama

本講演で提案する指数「一期前の構造とは近い」という情報だけ．
基本は非制約型
ベイズ，カルマンフィルター，リッジ回帰のアイデアを組み合わせる
特徴• 滑らかさ 制約と非制約の中間• 新データ取得後も，過去の指数は変化なし• 各回帰係数の推移も把握可能

15

Yuzo Maruyama

162. 問題設定
とりあえず t 期だけに限定．後で時系列．

yt = At βt + t 期のヘドニックモデル

 ∼ N(0, σ2 INt ), 分散 σ2 未知， I は単位行列βt : p 次元回帰係数ベクトル 未知
At : Nt × p ランク p の説明変数行列 既知
回帰係数ベクトル β の良い推定量を求めたい
通常の推定量 最小二乗推定量

β̂ = (A0 A)−1 A0 y ∼ N(β, σ2 (A0 A)−1 )Yuzo Maruyama

都合が悪い状況• A(説明変数を p 個並べた行列) のいくつかが高い相関を持っている• A0 A は極めて小さい固有値を持つ• 分散共分散行列が (A0 A)−1 であることに注意すると β̂ は分散が極めて大きい (精度が低く，不安定な) 推定量• 例えば E[β̂0 β̂] はとても大きい可能性がある17

Yuzo Maruyama

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実データではどうなっているか?
例えば専有面積とバルコニー面積，管理費は比較的高い相関を持つ．
97

98

9900

010203

専バ

0.49

0.5

0.51

0.49

0.53

0.52

0.49

専管

0.68

0.67

0.67

0.65

0.57

0.64

0.67

相関係数が驚く程安定していることにも注意Yuzo Maruyama

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3. リッジ回帰推定量とベイズの解説
Hoerl and Kennard (1970)
制約つき最小二乗法
min{(y − Aβ)0 (y − Aβ)}
βs.t. β0 β ≤ Mβ̂R (λ) = [A0 A + kI]−1 A0 y= (I − [I + λA0 A]−1 )β̂
ここで λ = 1/k である．

Yuzo Maruyama

リッジ回帰推定量のベイズ的解釈
リッジ回帰推定量 事前分布 β ∼ N(0, λσ2 I p )に関するベイズ推定量
実は 0 でなくても任意の実数ベクトルで定義可能 (これが後で効いてくる)• 問題は λ の決め方
• また事前分布の分散共分散行列が単位行列の定数倍であるのは，自然ではない．
新たなベイズ推定量を提案

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Yuzo Maruyama

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ベイズ統計・ベイズ推定量 超速習
簡単のため一次元 X1 , . . . , Xn ∼ N(θ, σ2 )通常の自然な推定量 標本平均 X̄ = (1/n)

PXi

ベイズ 事前分布 θ ∼ N(µ, τ2 ) を想定
ベイズ推定量は重み付き平均n1X̄+µσ2
τ2= cX̄ + (1 − c)µ,n1+ τ2σ2c 非常に自然な係数

c=nσ2n1+σ2τ2

Yuzo Maruyama

サンプルが十分情報を含めば，(⇔ n 大，σ2 小)，
c → 1 つまりベイズは X̄ に近い
逆に事前情報が正確であれば (⇔ τ2 小)，c → 0つまりベイズ推定量は µ に近い．
ただ σ2 や τ2 は未知なので，つまり重み係数 cは未知なのでデータから推定する必要がある．

22

Yuzo Maruyama

234. 新たなリッジ回帰型推定量
問題設定の再確認 (t 期だけに限定)β̂ = (A0 A)−1 A0 y ∼ N(β, σ2 (A0 A)−1 )S /σ2 ∼ χ2n
事前分布

where S = (y − Aβ̂)0 (y − Aβ̂)β|η, λ ∼ N(0, η−1 {λ−1 d1 I p − (A0 A)−1 })λ ∼ λa (1 − λ)b I(0,1) (λ),η ∼ ηc I(0,∞) (η),

d1 は、( A0 A)−1 の最大固有値

η = σ−2

Yuzo Maruyama

提案するベイズ推定量b = n/2 + c − a − 1, γ = (p/2 + a + 1)/(n/2 + c − a)!
γSB−10−1δγ = I −d1 (A A) β̂
w+γ+1w = β̂0 β̂/(d1 S )• リッジ回帰推定量の一般化• 最小二乗推定量 β̂ と事前情報の平均値 0 の重み付き平均• γ が小さい程，β̂ に近い24

Yuzo Maruyama

γ の決め方期を固定すれば数学的には容易．
基準 (δ − β)0 (δ − β)/σ2 の期待値 R(δ, β, σ2 )Pp 2 20 ≤ γ ≤ 2( i=1 di /d1 − 2)/(n + 2) とすると，

R(δSγ B , β, σ2 ) ≤ R(β̂, β, σ2 ) ∀ β, σ2
例えば γ = (p − 2)/(n + 2) とする(固有値がすべて等しい場合の最適な γ)
各期毎に primitive な最小二乗推定量 (OLS) よりも良い接続を考えた場合，最適な γ の選択はやや困難

25

Yuzo Maruyama

26

5. スムーズな接続に向けて事前分布の平均ベクトルが 0 だったのは本質的ではない
一期前の推定量を事前分布の平均ベクトルとして想定する

βt |η, λ ∼ N(β̂t−1 , η−1 {λ−1 d1 I p − (A0 A)−1 })λ ∼ λa (1 − λ)b I(0,1) (λ),η ∼ ηc I(0,∞) (η)

実は離散時間カルマンフィルターと同じこと

Yuzo Maruyama

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第 t − 1 期の回帰係数 β の推定量 β̂t−1
第 t 期の OLS β̂OLS ,t ，残差平方和 S t
提案するリッジ回帰型ベイズ推定量

β̂Rt = (I − C) β̂OLS ,t + Cβ̂t−1
ここで p × p 行列 Ct はC=γS i(β̂OLS ,i − β̂i−1 )0 (β̂OLS ,i − β̂i−1 ) + (γ + 1)d1 S i

A は t 期の説明変数行列( A0 A)−1

Yuzo Maruyama

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提案するリッジ回帰型ベイズ推定量 (正式版)β̂Rt = (I − C) β̂OLS ,t + Cβ̂Rt−1 ,t = 2, · · ·ここで p × p 行列 Ct はC=

γS i(β̂OLS ,i − β̂Ri−1 )0 (β̂OLS ,i − β̂Ri−1 ) + (γ + 1)d1 S i( A0 A)−1

Yuzo Maruyama

推定量の性質• 多重共線性による弊害を防ぐ• 一期前の推定量と今期の OLS の重みつき平均• γ が大きい程，一期前の推定量に近付く (収束先は別だが，，)• OLS の精度の低い component をより一期前の推定に近づけ，精度の高い component はあまり近づけない (自動的に調整)• γ を小さく適切に決めると，各期毎に OLS よりも良い29

Yuzo Maruyama

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リッジ回帰ヘドニック型価格指数
全 T 期の回帰係数β̂1 → β̂R2 → · · · → β̂RT
注目する品質 x = (x1 , . . . , x p )1→xβ̂R2xβ̂1→ ··· →xβ̂RTxβ̂1• 非制約型価格指数よりも滑らかに推移• 急な変化に対してロバスト

311.4

1.6

Yuzo Maruyama

1.2

non−restrict

restrict

1.0
0.6

0.8

ridge

0.4index

setsuzoku

050

100
time150

Yuzo Maruyama

6. 今後の課題• γ の選び方に自由度．今回は目で見て決めただ
け．最適性の基準を考える．
trade off
・各期毎に OLS よりも良くするためには，γ は小さい方が良い．(但し前期の改良の条件は十分条件．γ が少々大きくても OLS よりも数値的には良いはず．)・指数が滑らかに推移するためには γ が大きい方が良い．

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Yuzo Maruyama

他のデータへの適用
総務庁統計局の消費者物価指数

POS データを使ったパソコンの価格推移にヘドニック法を用いる
説明変数 (CPU，重さ，画面の大きさ，USB の個数，メーカーダミー，DVD ダミーなど)
半年経つと同じ製品はないと思ってよい

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