2022.07.02 # 数学史# 科学教育⼤学数学をも翻弄した「ゆとり教育」の"呪い"できるか？

令和の数学教育は払拭「技術⽴国⽇本の再建」担う若者に期待

芳沢 光雄

数学・数学教育

プロフィール

⽇本の歴史から考える⼤学数学の学び
先⽇の記事〈⼤学数学にも浸透してきた『暗記だけの学び』〉では、初等中等教育で「理解無視の暗記だけの数学学習」が広がってしまった問題点について述べ、それが⼤学数学の学びにも浸透してきた状況を改善する目的ももって『新体系・⼤学数学⼊門の教科書』（上・下）を上梓したことを述べた。

今回は、⽇本の数学の学びに関する歴史的視点から、現在の状況を考えてみたい。
まず、しばしば⽿にすることだが、少しでも⽇本に関⼼のある海外の⼈達が疑問に思うことに、「⽇本は第⼆次⼤戦の後で、どうして目覚ましい発展を遂げたのか」ということがある。それに対して筆者が真っ先に思いつく回答は「⼯業化に向けた数学の教えと学びが、江⼾時代から脈々と⽣きていたから」ということである。
江⼾時代には、数学教科書『塵劫記』（吉⽥光由）が国⺠の間に普及したこともあって、国⺠の数学レベルは世界的にも相当⾼かった。明治維新を成し遂げた⼈材を松下村塾で育てた吉⽥松陰は、後に杉浦重剛が品川弥⼆郎の談話として残した「先⽣は此算術に就ては、⼠農⼯商の別なく、世間のこと算盤珠をはづれたるものはなし、と常に戒しめられたり」（「松陰四⼗年」、⽇本及⽇本⼈、政教社）という⾔葉からも分かるように、数学教育をとくに重視していたのである。

『塵劫記』の紙⾯

kodansha photo archive

技術⽴国・⽇本の礎を築いた数学教育者
英国の応⽤数学者・数学教育者で、熱⼒学第⼆法則などで有名なケルビン卿（ウィリアム・トムソン）の門下⽣であるジョン・ペリー（John Perry、1850-1920）は、1875年から1879年まで⽇本の⼯部⼤学校（東京⼤学⼯学部の前⾝）で教鞭を執り、特に数学の応⽤⾯を熱く説き、その後の技術⽴国・⽇本の礎の⼀角を築いた。
ペリーが1901年にグラスゴーでの数学教育に関する講演で述べた8項目は、いずれも重要であるが、筆者がとくに注目するのは、それらの中にある「数学の学びで得た成果は、⼈類共通のものだという喜びがある」「昔も今も、試験に合格するという狭い範囲で数学をとらえる⾒⽅があることは残念である」「数学は⾃⼰のためということから離れて、物事を考える重要性を学ぶ」

「数学を介していろいろな原理がよく理解できる」
等々である。

戦後の指導的⼈材を輩出した"特別科学組"
第⼆次⼤戦の末期に、優秀な科学者の育成を目的として設けられた特別科学学級（特別科学組）は、1944年12⽉から1947年3⽉までの僅か2年半であったが、その出⾝者のリストをネットで⾒ても分かるように、戦後の⽇本を築いた指導的⽴場の⼈達を数多く輩出した。
筆者はかつて、その⼀⼈である鈴⽊淑夫（元⽇本銀⾏理事、元野村総合研究所理事⻑）からレポートをいただき、旧制中学の三学年末までに微分積分や（複素）関数論まで学んだことを教えていただいた。この内容は、現在では⼤学理系学部の教養レベルである。
特別科学学級に関する他の資料からも分かるが、現⾏の中学1年、2年、3年に相当するその学年での数学授業時間数は、週8時間であった。数学教育における時間数の問題は、後で詳しく述べたい。
上で述べたような流れが、戦後の⼯業⽴国としての目覚ましい発展の礎になったと考える。参考までに述べると、現在の⼤学数学の基礎として微分積分と並んで学ぶ線形代数は、経営数学の前⾝である輸送問題*がきっかけとなって戦後から始まったのである。
＊輸送問題：ある製品を⽣産地から消費地まで最も安い費⽤で輸送する⽅法を求めるという問題

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「ゆとり」で削られた数学教育
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2022.07.02 # 数学史# 科学教育⼤学数学をも翻弄した「ゆとり教育」の"呪い"令和の数学教育は払拭できるか？

「技術⽴国⽇本の再建」担う若者に期待
芳沢 光雄

プロフィール「ゆとり化」で削られてしまったもの
⾼度経済成⻑期が終わる1970年代後半から初等中等教育では、いわゆる「ゆとり化」の数学教育が始まった。1998年の学習指導要領改訂で「ゆとり教育」の骨組みが定められ、数学を中⼼に教育内容や授業時間数を3割削減するなどの目標が設けられた。
ちなみに、「ゆとり教育」時代の中学校での数学授業時間数は1年、2年、3年とも週3時間で、これは世界でも最低レベルである。驚いたのは、その3割削減した内容が、当初は「ゆとり教育」の「上限」であったことである。それ以上勉強してはいけないという、まるでどこかの国の⽂化⼤⾰命を思い出すような内容であった。
2002年に遠⼭敦⼦⽂部科学⼤⾂（当時）が「学びのすすめ」を発表して学習指導要領の内容を「下限」とするまでは、その内容を「上限」とする指導まで規定されたほどである。もし「学びのすすめ」が無ければ、⽇本は没落国家に⾄ったと振り返る。
さらに90年代後半には、数学の授業時間数が今後減ることで、いくつかの県では⾼校の数学教員がゼロ採⽤になった。
それどころか、「数学の教員はもはや役に⽴たない。教員室でのあなたの机はない。家庭科の教員免許を取ったら残してあげる」、などと校⻑から肩叩きされた優秀な数学教員が何⼈もいたのである。そしてテレビの情報番組では、家庭科の教員になった元数学教員が、エプロンを付けさせられて⾯⽩おかしく取り上げられたこともあった。
そのような出来事が続いたからこそ、筆者は朝⽇新聞「論壇」（1996年11⽉7⽇号）への寄稿を⽪切りに、数学の意義を活字にして訴え始めたのである。当時、筆者のもとに寄せられた意⾒の中で、とくに次の2点に関しては、なんとも悔しい気持ちを抑えることができなかった。

2つの本質的な問題
1つ目は、「ゆとり教育」を⽀持する⽅々から、「ゆとり教育を御批判される⽅々は『円周率約3はケシカラン』とよく⾔われますが、教科書にはちゃんと3.14と書いてあります。御批判の前に教科書をちゃんと⾒ましょう」と散々⾔われたことである（今でも⾔われる）。筆者は、その都度、このように説いたものだ。

確かに、3.14という記述はあります。しかし、それは意味のない3.14なのです。

たとえば、半径が11cmの円の⾯積を求めると、次のような計算が現れます。
11×11×3.14＝121×3.14
ここで、3桁同⼠の掛け算が出てきます。
ところが「ゆとり教育」の筆算では、2桁同⼠の掛け算は教えるものの、3桁同⼠の掛け算は学習指導要領範囲外となって、そこでは「円周率は約3として計算してよい」となったのです。
したがって、この場合は、円周率が3.14で近似されることを⽰しながら、実際には「3」として計算することになります。つまり、問題の本質は「3桁同⼠の掛け算」を学習指導要領範囲外にしたことなのです。

３桁の掛け算を学習指導要領範囲外にしたことが問題なのだ

photo by gettyimages

2つ目は、「ゆとり教育」時代の前後に「数学は単なる計算技術だから、計算機が発達した時代を考えると、数学は不必要になってきた。数学科なんか卒業したって、学者を別にすると学校の先⽣しか就職⼝はないだろう」などと散々⾔われ（今でも⾔われる）、そうした意⾒を反映したかのように、それまで多くの成果を上げてきた横浜市⽴⼤学や上智⼤学の数学科が廃⽌となったことである。
しかし、これらの問題も、年⽉とともに解決の兆しが⾒えてきたのである。

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芳沢 光雄

プロフィール

なぜ３桁の計算が⼤切なのか？
最初の問題に関しては、諸外国の算数教科書でも3桁同⼠の掛け算を指導しているが、それが必要であることの本質的な理由にはならない。この問題に関しては、1、2、3、4、5……と成り⽴つ性質の理解が本質にある。掛け算でいえば、2桁同⼠、3桁同⼠、4桁同⼠、5桁同⼠……についての筆算ができるということの理解である。
数学でこのような対象に関しては「数学的帰納法」という証明法があるが、筆者は⻑い教育経験から数学的帰納法を⽤いる前に、n=1のとき成り⽴つ、n=2のとき成り⽴つ、n=3のとき成り⽴つ、というように、少なくても「3」までは確かめることによって、⼀般のnについて成り⽴つことを予想するのが⾃然である、という考えをもつ。
およそドミノ倒し現象だろうが、ボックスティッシュの紙が続いて出てくる現象だろうが、nが1と2の場合だけでは理解が不⼗分であり、nが3の場合のときが重要である。
それは、たとえば3枚のドミノを並べたとき、真ん中のドミノは倒されると同時に倒す作⽤があり、これが繋がる性質の本質である。
456×789の筆算を考えると、1段目の5×9のところでは、6×9によって繰り上がってきた5を加えると同時に、5×9に5を加えた50の5を上の位に加える作業が必要になる。この2つの作業は、3枚のドミノ倒しを⾏う場合の真ん中のドミノの動きに相当していることが分かるだろう。

3枚のドミノ倒し

photo by gettyimages

再び注目される「掛け算の桁数」
筆者は、そのような理解をもっていたがゆえに、「ゆとり教育」の以前から「3桁同⼠の掛け算の指導は必要である」と新聞・雑誌・講演などで、強く訴えていた。そして2006年7⽉に、国⽴教育政策研究所は「特定の課題に関する調査（算数・数学）」（⼩4−中3約1万9千⼈対象）に関する次の報告をおこない、それは筆者の持論を証明するかのようなものだった。
⼩4を対象とした「21×32」の正答率が82.0％であったものの、「12×231」のそれが51.1％に急落したこと。さらに⼩5を対象とした「3.8×2.4」の正答率が84.0％であったものの、「2.43×5.6」のそれが55.9％に急落したこと。
それを機に掛け算の桁数の問題は注目されるようになり、筆者は⽂部科学省委嘱事業の「（算数）教科書の改善・充実に関する研究」専門家会議委員に任命され（2006年11⽉〜2008年3⽉）、掛け算の桁数の問題、四則混合計算の問題、⼩数・分数の混合計算の問題、等々についての持論を最終答申に盛り込んでいただいた。その後の学習指導要領下の算数教科書では、それらの問題は改善され、現在がある。

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2022.07.02 # 科学教育

# 数学史

⼤学数学をも翻弄した「ゆとり教育」の"呪い"令和の数学教育は払拭できるか？

「技術⽴国⽇本の再建」担う若者に期待
芳沢 光雄

プロフィール

⼤学数学も新たな動きへ
2つ目の⼤学数学科の問題に関しては、2つの数学科の廃⽌に対しては、当初から関連する2つの学科等が他⼤学に設⽴されて成功すれば、プラスマイナス0になるだろう、と単純に考えていた。それに向けたチャンスは意外と早く訪れたのである。
ひとつは2007年に桜美林⼤学にリベラルアーツ学群が設置され、その中に筆者も参加した数学専攻が設けられたこと。もうひとつは、同志社⼤学で⼯学部が理⼯学部に改組した2008年に、そこに数理システム学科が設置されたことである。
桜美林⼤学の数学専攻については教員スタッフがたった3⼈という⼩さい専攻であるが、コンスタントに20名近くの数学メジャーの学⽣が集い、また中学や⾼校の数学教員をほとんど毎年のように輩出している。数学専攻の学⽣が、論⽂コンクールで観光庁⻑官賞を受賞したこともある楽しい組織である。
客観的に⾒れば、⼤学の数学系の学科等の問題に関しては、同志社⼤学の数理システム学科が成功するか否かの⽅が、はるかに⼤きな問題である。
幸い、旧友の教員が勤務する学科ということもあり、当学科の設置前後から数年前まで筆者は、⾼校⽣対象の当学科主催の講演会や、当学科の非常勤講師を担当させていただいた。もちろんそれらの効果は、あっても微々たるものであることは⼼得ていたが、横浜市⽴⼤学や上智⼤学のことを思い出すと体は⾃然に動いていた。
かつて三重県で⾏った⾼校⽣対象の出前授業に参加された⾼校⽣と、数理システム学科での筆者の授業で再開したときも嬉しかったが、何年か前に感激して涙が溢れて⽌まらないことがあった。
それは、数理システム学科の教員から、卒業⽣の主な就職先の資料を⾒せていただき、⾦融⼯学や符号・暗号理論に関係する企業に卒業⽣が続々と就職してきたことが分かったときである。同時に、このような情報が⽇本でもっと広がることこそが緊要な課題であると考えた。

数学を学んだ若者たちの活躍を知って、感涙にむせんだ

photo by gettyimages「技術⽴国⽇本の再建」を握る数学間もなくして、その思いが現実となることが起きたのである。2019年3⽉26⽇に経済産業省で発表されたレポート「数理資本主義の時代〜数学パワーが世界を変える」である。これは、数学関係者にとって⼤きな励ましになったことは⾔うまでもないが、これから数学を本格的に学ぼうという若い⼈達にとっても⼤きな励みとなるものである。
そのレポートの冒頭では、社会のあらゆる場⾯でデジタル⾰命が起き、「第四次産業⾰命」が進⾏中で、この第四次産業⾰命を主導し先へと進むために⽋かすことのできない科学が3つあると捉えている。「それは、第⼀に数学、第⼆に数学、そして第三に数学である！」と述べている点は、驚くばかりである。
全⽂50枚に及ぶレポートはネットで読めるようになっており、海外ばかりでなく国内でも数学系の⼈材が求められていることを詳しく述べてある。戦後の⼯業⽴国としての目覚ましい発展の礎には微分積分などの解析学が⼤きなウエイトを占めていたが、現在はそれに加えて、符号・暗号の基礎となる代数学や離散数学も重要になってきていることが、図によって視覚的にも理解できる。
⼤学数学の⼊り⼝の学びに関しても、そのような変化を鑑みることが必要と考え、6⽉に上梓した『新体系・⼤学数学⼊門の教科書』（上・下）の章⽴てで参考にした次第である。
さらに同書の出版直前に、数学界をリードする東京⼯業⼤学の加藤⽂元教授の注目すべきインタビュー記事〈GAFAで数学系の⼈材がひっぱりだこな理由。純粋数学はもう「ポケットに⼊っている」〉が「Forbes」6⽉9⽇号に掲載された。
上述の経済産業省のレポートを純粋数学の視点からブラッシュアップした記事であり、微分積分学の厳密な基礎になる「ε‐δ論法」や（代数学の群、環、体などを想定した）「数学的抽象概念の⾔葉」の学びにも⾔及している点に、頭が下がる思いがした。このインタビュー記事によって、「技術⽴国⽇本の再建」を夢⾒る若い⼈達が、数学の世界に⾶び込んで来ることも期待したい。

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