統計教育シンポジウム（2012年3⽉2〜3⽇，⼀橋⼤学）

⾼等学校での数学Ⅰ「データの分析」に関するアセスメント 提案
アセスメントの提案
⼤分⼤学
東京 療保健⼤学
東京医療保健⼤学
東京情報⼤学

和泉 志津恵*
深澤 弘美
櫻井 尚⼦

⽬次
研究の概要
統計教育の⽬標とアセスメント
数学Ⅰ「データの分析」
指導のポイント
指導ポイント
出題例

まとめ及び今後の課題*連絡先： shizue@oita-u.ac.jp

研究の概要
研究の背景

学習指導要領の改訂
平成24年度⼊学⽣より統計の必修化(数学Ⅰ)

研究の⽬的

我が国の統計教育のアセスメント基準の確⽴
統計教育に関する教授法・教材作成の⽀援
試験問題の開発への⽀援

研究の⽅法

諸外国の⼊試制度・問題の調査
諸外国のアセスメントの実態把握
ト

我が国の問題解決型統計教育のアセスメン

統計教育の⽬標（Gal and Garfield, 1997）

以下のことができる市⺠を育成

不確実性，ばらつきについて理解
不確実性
ばらつきについて理解
⾝の回りにある統計情報を活⽤
情報満載の現代社会に効率よく参加
より専⾨的な課題に関連して，データの提⽰ 説明 伝達に貢献
⽰，説明，伝達に貢献

統計教育のアセスメントの視点（Davies and Marriott, 2010）

1. 統計的課題解決のプロセスの理解
2 統計の技術的視点など授業内容の理解
2.
3. パラメータの推測などの分析についての理解
4. 統計ソフトなどの活⽤⼒
5. 応⽤可能な⼒
6. 現実的な視点で批判的に捉える⼒
7 結果を伝える⼒
7.

Assessment Resource Tools for）
Improving Statistical Thinking(ARTIST）
統計教育のアセスメントに関した研究成果を発表
試験問題を提供
⼤学における統計の⼊⾨コースでの3領域と
キ ワ ド
キーワード
Statistical Literacy (統計的読解）

Statistical Reasoning (統計的推論）

Statistical Thinking (統計的思考）

Identify (特定）Explain why (理由の説明）

Apply (応用）

Describe (記述）

Explain how (方法の説明）

Critique (批評）Translate (変換）Evaluate (評価）Interpret (解釈）

Generalize （一般化）

Read (読解）
Compute (計算）⾼等学校における作題，評価の参考に

統計教育のアセスメントの⽅法
記述式試験
ワークシート （イギリスの全国共通試験）
プロジ クト （International Baccalaureate，IB試験)
プロジェクトレポート （Advanced Placement，AP試験）
単純な計算問題，複数選択問題，短い答えを求める質問よりも，統計的課題解決のプロセスを体験させる

数学Ⅰ「データの分析」の指導
数学Ⅰ「デ タの分析」の指導
⾼等学校の指導要領の学習内容
データの散らばりデータの相関

⼩・中学校の指導要領の学習内容
データの整理度数分布表とヒストグラム
代表値

データの整理デ タの整理
解決すべき課題を明確にする
課題に適したデータを⾃ら集め，整理する
デ タの内容および問題の背景情報を理
データの内容および問題の背景情報を理解する
デ タの収集では 標本調査や⺟集団とデータの収集では，標本調査や⺟集団と標本について復習するグラフを⽤いたデータの整理
実際の新聞やテレビでの活⽤例
間違ったグラフの例⽰

代表値
最頻値，中央値，平均値の意味と違い最頻値
中央値 平均値の意味と違い
代表値とヒストグラムの関係
外れた値の影響
平均値 v.s. 中央値

代表値の⼤⼩関係から分布の形状を推測
代表値から分布の中⼼の位置を把握

度数分布表とヒストグラム
度数分布表 （数量タイプのデータ）（数量タイプのデ タ）
平均や累積相対度数，四分位点を求める，散らばりの指標を学習する
ヒストグラム （数量タイプのデータ）（数量タイプのデ タ）
度数分布表を基に作成する
データのピーク，5割，7割の範囲を特定する
パレート図 （カテゴリーデータ）
デ タの重点を把握する
データの重点を把握する

データの散らばり
デ タの散らばり分布の散らばり具合

視覚的
箱ひげ図からヒストグラムをイメージする
グループ間の分布の⽐較
数値的
四分位範囲，四分位数，四分位偏差，
範囲（最⼤値－最⼩値）
分散，標準偏差相関散布図の形状と相関関係を視覚的に把握
相関係数をもとに定量的に判断
相関と因果関係の違いを理解
Excel等のソフトウエアの利⽤等
トウ
利⽤
回帰直線
予測の可能性についての理解問題例①

花⼦さんは，リンゴを育ててスーパーマーケットに出荷することになりました スーパーマーケットからはりました．ス
パ マ ケットからは，⼤きくて，均⼤きくて 均⼀な⼤きさのリな⼤きさのリンゴを出荷するように依頼されています．花⼦さんは，AとBの2つの品種を育てていますが，そのうちどちらを商品として出荷するかを決めるために それぞれ50個収穫して重さを測りました 結果は以下のめるために，それぞれ50個収穫して重さを測りました．結果は以下の通りです．
リンゴ A
リン

リンゴ B
リン

平均値

270270

中央値

280

250

最小値

200220

最大値

290480

単位：グラム（１）どちらのリンゴを出荷すべきでしょうか？
（２）その理由として，このデータから予測できるリンゴAとリンゴBの違いを述べなさい．

数学Ⅰ「データの分析」の出題例
⼩・中学校における「データの整理」「度数分布表とヒストグラム」「代表値」の各知識を踏まえて問題の解説
中央値(位置の平均）と平均値（算術平均）の違いと関係を知る
今ある情報から，データの分布の様⼦を予測する
リンゴA 最⼤最⼩の差が90，中央値が平均値より10⼤きいので，分布の中⼼がやや右に偏り，左に裾が⻑くなる形状
リンゴB 最⼤最⼩の差が260，中央値が平均値より20⼩さいので 分布の中⼼が左に偏り 右に裾が⻑く20⼩さいので，分布の中⼼が左に偏り，右に裾が⻑くなる形状，全体のばらつきがAより⼤きいと思われる．
出荷するなら，Aを推奨する．

問題例②

ある街のスポーツクラブの会員の男⼥（⼩児を含む）の体重を整理すると 下の度数分布表が得られた 会員には体重を整理すると，下の度数分布表が得られた。会員には80㎏以上の⼈はいない．
階級度数(人)男性

女性

10kg未満00

10kg以上20kg未満

1020kg以上30kg未満

0030kg以上40kg未満
以上未満

01

40kg以上50kg未満

15g以g未満
50kg以上60kg未満

3860kg以上70kg未満

7

570kg以上80kg未満

81

問題例②

(1) この表をもとに，階級値を使って男性と⼥性の平均値を計算しなさい．
均値を計算しなさ(2) 男性と⼥性の体重の分布を⽐較するのに有効なグラフは何か？グラフの名前と，実際のグラフを描きなさい．
(3) 男性と⼥性の分布の違いを⽂章で説明しなさい．
(4) 男⼥の分布を⽐較分析した結果，男性と⼥性には男⼥の分布を⽐較分析した結果 男性と⼥性には異なるエクササイズプランが必要だという意⾒がでた この意⾒が妥当だと判断する理由を述べなでた．この意⾒が妥当だと判断する理由を述べな
さい．

参考 統計検定 級
参考：統計検定4級

問題の解説
度数分布表から階級値を使って平均値
度数分布表から階級値を使て平均値を計算する
ヒストグラムを描く
描いたヒストグラムをもとに 分布の描いたヒストグラムをもとに，分布の集中の様⼦を，的確な代表値を⽤いて章 説
⽂章で説明する表やグラフから読取った情報をもとに，決定事項の理由を⽂章で記す

問題例③

下の表は，ある⾼校の1年⽣10⼈の英語の⼩テスト（20点満点）の結果をまとめたものである 次の問いに答えなさい点）の結果をまとめたものである．次の問いに答えなさい．
なお，IDは各学⽣につけた番号である．
ID

1回目

2回目

1回目と2回目の差と差

11113221413-1138102

4

118-35913461815-37141738111549910

110561

合計

11012010問題例③(1) 1回⽬と2回⽬の結果を散布図に表しなさい．
(2) 1回⽬と2回⽬の結果について共分散を求め，1回⽬と2回⽬の結果の間の相関関係の⽅向について述べなさい．
((3)) 1回⽬と2回⽬の結果の差について，5数要約を回⽬と 回⽬の結果の差にて， 数要約を求めなさい．なお，5数要約とは，最⼩値，第1四分位数，中央値，第 四分位数，最⼤値を意味す
分位数，中央値，第3四分位数，最⼤値を意味す
る．
(4) 1回⽬と2回⽬の結果の差について
1回⽬と2回⽬の結果の差について，箱ひげ図を箱ひげ図を描きなさい．
(5) 1回⽬と2回⽬では結果がどのように変わっただ
ろうか、あなたの考えを述べなさい．

まとめと今後の課題
数学Ⅰ
⽬標：知識の習得＋実際に活⽤できる⼒を養う
作
作題：現実のデータや現実に起こり得る問題を活現実 デ タ 現実 起得
活
⽤
⽅法：統計的課題解決のプロセスを体験して，得られた成果をレポートにまとめる
得られた成果をレポ トにまとめる
統計的課題解決⼒の育成
統計検定級 ⼤学基礎
級 デ タ 分析級 資料
2級：⼤学基礎，3級：データの分析，4級：資料の活⽤における作題との連携問題の解説
2変量の関係をあらわす，最適なグラフを描く
共分散の符号から 相関関係の⽅向を知る
共分散の符号から，相関関係の⽅向を知る
5数要約（最⼩値，第1四分位数，中央値，第3四分位数 最⼤値）のそれぞれの意味を理解し四分位数，最⼤値）のそれぞれの意味を理解し，値を算出する
箱ひげ図をもとに 差の分布の様⼦を説明する
箱ひげ図をもとに，差の分布の様⼦を説明する
差の箱ひげ図から， 1回⽬と2回⽬での結果の変化について述べる

参考⽂献[1] Gal, I. and Garfield, J.B. (1997). Curricular Goals and Assessment
Challenges in Statistics Education, The Assessment Challenge inStatistics Education, IOS Press.
[2] Davies N. and Marriott J. (2010). Assessment and feedback instatistics, Assessment Methods in Statistical Education 3-19, WILEY.
[3] Parsons, R. (2010). GCSE Mathematics Foundation Level, CGP.
[4] Metcalf, P. (2006). Cambridge IGCSE Mathematics, Collns.
[5] ArtistのWebサイト
ArtistのWebサイト，
https://app.gen.umn.edu/artist/[6] delMas, R.C. (2002). Statistical Literacy, Reasoning, and Learning: AC
Commentary.
t
JJournall off St
Statistics
ti ti Ed
Education
tiVolumeV l10,
10 NumberNb 33,
http://www.amstat.org/publications/jse/v10n3/delmas_discussion.ht
ml[ ] Chance,[7]hB. anddddelMas,
lR., Rossman, A. (200(2004).
) Designingi iandd
Evaluating Assessments for Introductory Statistics, Minicourse #1
Joint Mathematics Meetings, Phoenix, AZ., January 7, 9, 2004.

謝辞
統計数理研究所「統計学の⼊試問題策定に関する研究 〜諸外国事例事例をもとに〜」（21－共研－4210，22⼀共」（共研，共研⼀4105），
代表者 櫻井尚⼦「統計教育の新展開に向けた⼤学・⼤学院における統計教育の国際⽐較」（21⼀共研⼀）4203），
代表者 和泉志津恵

⼤分⼤学

⼥性研究者⽀援プログラム