証券経済研究第112号（2020.12）

ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いたStochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析
戸
三
要

塚
井

英
秀

臣
俊

旨

本論文は，外国為替市場におけるボラティリティの確率的な変動について分析を行なったものである。特に，為替レート収益率とボラティリティとの間に非対称な動きが存在するかどうかの検証を行ない，同時にハミルトニアン・モンテカ
ルロ法によるベイズ推定が，金融時系列モデルの分析に有効であるかどうかの考証を行なう。このようなボラティリティの確率的な動きを検証するため非対称
Stochastic Volatility モデルを用いてハミルトニアン・モンテカルロ法によるベイズ推定を行なうことにする。外国為替相場のデータとして，ユーロ／米ドル為
替レート，米ドル／円為替レート，米ドル指数を利用する。実証分析では，ユー
ロ／米ドル為替レートでは収益率とボラティリティとの間には非対称性は存在しないが，米ドル／円為替レートと米ドル指数では収益率とボラティリティとの間には非対称性が存在するという結果となった。ここで，米ドル／円為替レートは米ドル指数に比べ負の相関は弱いがボラティリティの対数値の自己相関関数の減衰は遅いことが分かった。また，非対称 Stochastic Volatility モデルのベイズ推定において，他のマルコフ連鎖モンテカルロ法と同様にハミルトニアン・モンテ
カルロ法の有効性が示された。

目
Ⅰ．はじめに

次
Ⅳ．データと実証結果

Ⅱ．SVL モデル

１ ．データ

Ⅲ．HMC 法によるベイズ推定

２ ．実証分析

１ ．ハミルトニアン力学

３ ．推定結果

２ ．HMC 法

Ⅴ．考察

３ ．Leapfrog 法

Ⅵ．結論と今後の課題

59ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析ラメータだけでなく潜在変数（latent variable）

Ⅰ．はじめにであるボラティリティも同時に事後分布からサンプリングする必要がある。そのためボラティ

リスク資産価格収益率のボラティリティは経

リティは観測個数と同じ個数になるため，効率

験的な事実として時間を通じて確率的に変動し的にサンプリングすることが重要となる。このていることが知られている。金融時系列分析でような MCMC を用いた SVL モデルのベイズ

はボラティリティが確率的に変動するモデルと推定によるリスク資産価格に関する実証研究とし て，Stochastic Volatility（ 以 下，SV） モ デ

して，Yu［2005］，Omori et al.［2007］
，大森・

1）

ル があり，多くのリスク資産価格変動分析の渡 部［2008］， 石 原・ 大 森［2008］，Omori and実証研究に利用されている。SV モデルはボラ

Watanabe［2008］，Takahashi et al.［2009］，

ティリティを観測されない変数として扱い，ボNakajima and Omori［2010］，中島・大森［2011］

ラティリティの対数が自己回帰の線形確率過程などがある。

に従うとしてモデル化されている。本論文でこれまでの先行研究では，MCMC 法として，は，SV モデルを用いて外国為替相場における

Gibbs Sampler や Metropolis-Hasting 法が多く

ボラティリティの確率的変動についての検証を

利 用 さ れ て き た。 し か し な が ら， こ れ ら の行なう。また，株式市場には，株価収益率とボ

MCMC 法は，多くの確率変数を一度に推定す

ラティリティとの間の関係として，ある種の非ると棄却率が小さくなる等の問題点があるた

対称（asymmetry）な動きがあることが知らめ，Takaishi［2008］，Takaishi［2009］，

れている。つまり，株価収益率が下落すると，Takaishi［2013］では，Hybrid Monte Carlo を

次期にはボラティリティは上昇し，株価収益率

用 い た ベ イ ズ 推 定 を 行 な っ て い る。 ま た，が上昇すると，次期にはボラティリティは下落

Nugroho and Morimoto［2015］では，ハミルする傾向があるとしている（Leverage effects）。

トニアン・モンテカルロ（Hamiltonian Monte

これは，株価収益率とボラティリティとの間にCarlo；以下，HMC）法2） によるベイズ推定をは負の相関があることを示唆している。本論文

行 な っ て い る。 本 論 文 で は，Nugroho andでは，外国為替相場においても株式市場と同様

Morimoto［2015］と同様に HMC 法を用いたベな現象が存在するのかどうかに関して，レバ

イズ推定により SV モデルと SVL モデルのパレッジ効果を考慮した SV（SV with Leverage；

ラメータ推定を行なう3）。

以下，SVL）モデルを用いて実証分析を行なう。

実証分析を進めるにあたっては，2015年 1 月

SV モデルや SVL モデルのパラメータは最5 日から2019年12月30日までのユーロ／米ドル

尤推定することが困難であり，最尤法に代わる為替レート（Euro/U.S. Dollar exchange rate；

推定法が必要になる。この問題に対処するた

以 下，EUR/USD），米ドル／円為替レート

め，多くの先行研究ではマルコフ連鎖モンテカ（U.S. Dollar/Yen exchange rate；以下，USD/

ルロ（Markov Chain Monte Carlo；以下，MCMC）

JPY）と2015年 1 月 1 日か2019年12月31日まで

法を用いたベイズ推定を行なっている。SV モの 米 ド ル 指 数（U.S. Dollar Index； 以 下，

デルや SVL モデルでは，モデルを記述するパ

4）
DXY）の日次データを用いて実証的な検証を

60

証券経済研究第112号（2020.12）行なった。推定されたρの事後平均，ならび

ここで，ut は平均 0 ，分散 1 ，ηt は平均 0 ，に95％信用区間から，EUR/USD は収益率とボ分散ση2 の正規分布に従う誤差項である。i.i.d.

ラ テ ィ リ テ ィ と の 間 に 相 関 は な く， 一 方，は， 過 去 と 独 立 で 同 一 な 分 布（independent

USD/JPY と DXY の収益率とボラティリティ

and identically distributed）を表す。μ はボラとの間には負の相関があるという結果となっティリティの平均を表し，φはボラティリティ

た。したがって，EUR/USD では収益率とボラのショックの持続性を表すパラメータである。

ティリティとの間には非対称性が存在しない⑵式は，ボラティリティσ2t の対数値が AR ⑴が，USD/JPY と DXY では非対称性が存在すプロセス（ 1 次の自己回帰過程）に従うことをると考えらる。そのため，株式市場だけでなく示している。ここでは，前日の外国為替収益率

外国為替相場にも為替レートによっては，収益のボラティリティに与える影響を捉えるため

率とボラティリティとの間に非対称があることに，ボラティリティの変動を 1 期先行させたモが確認された。また，SV モデルと SVL モデデルとする。非対称な動きをモデルに与えるに

ルのベイズ推定では，非効率性因子（inefficiency

は⑴式と⑵式で ut とηt に対して相関関係を考

factor）の値からハミルトニアン・モンテカル

えれば良い。ut とηt とが，相関関係ρを持つロ法の有効性が示された。

として SVL モデルを構築すると，本論文の以下の構成は次の通りである。Ⅱ．
では，本論文で用いた分析モデルである SV モ（η ）～i.i.d.N（［ 0 ］，［ρσ σ ］） ⑷デルと SVL モデルについて説明する。Ⅲ．でとなる。⑴－⑶式からなるモデルは SV モデ

は，Leapfrog を用いた HMC 法によるベイズ

ル，また⑴，⑵，⑷式からなるモデルはレバ推定に関して解説を行なう。Ⅳ．では，本論文

レッジ効果を含むので SVL モデルとそれぞれで使用した外国為替相場のデータと実証結果に呼ぶこととする。SVL モデル⑴，⑵，⑷式の関して紹介する。Ⅴ．では，実証結果を踏まえ

未知パラメータ（φ，ση，ρ，μ）をまとめてて考察に関して述べる。最後のⅥ．では，結論

θで表すと，SVL モデルの尤度関数は次のよと今後の課題について言及する。

うに表される。

本的な SV モデルは，収益率 yt とボラティリ
ティσ2t＝exp（ht/2）の過程を ht＝lnσt2 として5）

ρση
2
η

η

∫ ∫
1
＝
∫ …∫П 2πexp（h ）yexp［－
2exp（h ） ］
1×П
2πσ 1－ρ｛h －μ－φ（h －μ）－ρσ y exp（－h /2）｝exp［－］
2σ（1－ρ ）1－φ（1－φ ）（h －μ）
×
exp［－
］
2πσ
2σ

yt＝exp（ht/2）ut ，

⑴

ht＋1＝μ＋φ（ht−μ）＋ηt ，

］）

0
1 0
，
0
0 ση2

⑵
⑶

t

t＝1

2
t

t

T－1

2
η

t＝1

以下のように記述する。

（［ ］［

1

T

ファイナンスの実証分析で通常用いられる基

（ ）

0

t

L（θ）＝ … （y|h）
f
（h|θ
f
）dh

Ⅱ．SVL モデルut
～i.i.d.N
ηt

ut

t＋1

2

t

2

2
η

2
η

2

η t
2

t

1

2

2

2
η

dh1…dhT⑸61

ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析

この積分が解析的に解けないため，SVL モデ
ルのパラメータは最尤推定することが難しく，∑ 2m ＋U（q）≡K（p）＋U（q） ⑻H（q，p）＝

d

p2j

j

j＝1

最尤法に代わる推定法が必要になる。本論文でと定義され，K（p）と U（q）は系の運動エネル

は，HMC 法を用いたベイズ推定により SV モ

ギーとポテンシャルエネルギーをそれぞれ表デルと SVL モデルのパラメータ推定を行なう。

す。また，mj は質点の質量である。

2．HMC 法Ⅲ．HMC 法によるベイズ推定

n 個のデータ y＝｛yi｝ni＝1が与えられた場合，Ⅲ．では，HMC 法の基本的な概念を中心とした簡単な紹介を行なう。 1 ．では，HMC 法

モデルのパラメータθのベイズ推定は，以下の式に基づいて行なわれる。

の定式化において重要な点であるハミルトニア（f θ| y）＝

ン力学の基本原理を述べる。 2 ．では，HMC

（y|θ
f
）（
f θ）

Z

⑼

法による乱数列の発生方法について説明する。

ここで，f（θ| y），f（y|θ），f（θ）は，それぞれ事3 ．では，
ハミルトンの運動方程式（Hamiltonianʼs

後確率密度関数，尤度関数，事前確率密度関数

equations of motion）を時間反転性と体積保存である。また，Z は規格化因子を表し，
f）（f θ）dθ∫ （y|θ

を保ったまま数値的に求められる Leapfrog 法について解説する。

Z＝⑽Θと定義され，周辺尤度とも呼ばれる。事前確率密度関数は過去のデータの情報を基に設定され1．ハミルトニアン力学

るが，過去のデータの情報がない場合は，事前

ハミルトニアン力学は，古典力学を再定式化

分布の情報が無いことを表す無情報事前分布がする抽象的な概念として提案されたが，単なる用いられる。無情報事前分布を用いた場合，事理論の再定式ということ以上に，ハミルトニア

後分布は尤度関数と同等になる。

ン力学の定式化は，統計力学や量子力学の発展に多大な貢献をした。ハミルトン力学では，系

事後確率密度関数 （f θ| y）と，これと独立な標準正規分布，の状態は一般化された座標と運動量（qj，pj），

Пexp（－ 2m ）

（p）
f
≡

（j＝1，…，d）が張る位相空間の一点に相当し，系の時間発展は位相空間の軌跡で与えられる。

j＝1

⑾

j

（
f θ，p|y）＝f（θ| y）
（p）
f 

⑿

d
j j＝1

トンの運動方程式，

で与えらえる。ここで，p＝｛p ｝ と定義され，

dqj
∂H
＝
，
dt
∂pj 

⑹

dpj
∂H
＝－
dt
∂qj 

⑺

である。H はハミルトニアンと呼ばれ，系の

62

p2j

の同時分布は，

この系の時間発展を表す軌跡の方程式がハミルエネルギーを表し，d

仮想的な運動量を表す。HMC 法はこの同時分
布から乱数を生成する。⑿式の両辺に対数をとると，∑ 2m  ⒀log （
f θ，p|y）＝log （f θ| y）−

d

j＝1

p2j

j

となる。⒀式の右辺第 1 項をポテンシャル・エ証券経済研究ネルギー，第 2 項を運動エネルギーとみなすと，∑

H（θ，p）＝−log （f θ| y）＋

d

p2j
2mj 
j＝1

⒁

Leapfrog 法でεのステップサイズで⑹－⑺式を差分化した式は，

（

pj t＋

＝U（θ）＋K（p）となり，事後確率密度関数をハミルトニアンと考えらえる。したがって，ハミルトニアンの運動方程式⑹－⑺式より，dθj∂K（p） pj
＝
＝
dt
∂pj
mj 

⒂

dpj
∂U（θ） ∂＝−＝log （f θ| y）

dt
∂θj
∂θj

⒃

第112号（2020.12）

）

（ ）

ε
ε ∂U（q（t））
＝p（t）
−
，
j
2
2
∂qi

（

q（t＋ε
）＝q（t）＋εpj t＋
j
j

（

⒅

）

ε
，
2 

⒆

）（ ）

ε
ε ∂U
（q
（t＋ε）
）
p（t＋ε
）＝pj t＋ −
⒇
j
2
2
∂qi
となる。
未知パラメータθに加え，潜在変数 h＝（h1，…，hd）も推定されるパラメータとして取り扱となる。⒂－⒃式を解くことで乱数を生成する。

う。このポテンシャルエネルギーを Leapfrog

HMC 法の特徴は，複数の確率変数を一度に法の⒅－⒇式で用いて変数 q≡（θ，h）の新しい更新できることが可能なことである。モンテカ

値を求め，⒄式の棄却率を用いて新しい変数のルロ法で用いられる Metropolis 法も原理的に更新を行なう。

は複数の確率変数を更新することが可能である。しかし，その場合棄却率が小さくなるため

Ⅳ．データと実証結果

実用上は一度に更新することは困難である。
HMC 法による乱数列の発生は以下のステッ
プによって実行される。

1．データ

1 ．新しい乱数の候補θnew を乱数で決めた初本論文では，外国為替相場のデータとして，期値⒂－⒃式のハミルトンの運動方程式か

東京外国為替市場における17：00時の銀行間直ら求める。ただし，ハミルトンの運動方程

物 の EUR/USD，USD/JPY6） と DXY7） の 日 次

式は解析的には解けないため，Leapfrog

データを用いた。EUR/USD と USD/JPY のデー法で数値的に求める。

タの観測期間は，2015年 1 月 5 日から2019年122 ．新しい乱数の候補を次の確率で選択する。
＊

＊

r＝min
［1，
exp
（−H
（θ ，
p ）
＋H
（θ，
p）
）
］
⒄
3 ．上記のステップを繰り返す。

3．Leapfrog 法

月30日までであり，DXY のデータの観測期間は2015年 1 月 1 日から2019年12月31日までである。収益率 yt は，t 時点の為替レートを Pt とするとき，yt＝（lnPt−lnPt−1）×100（％）として計算を行なった。EUR/USD と USD/JPY の日⒂－⒃式のハミルトンの運動方程式は解析的次収益率の観測期間は，2015年 1 月 6 日からに解けないため，数値的に解く必要がある。

2019年12月30日までであり，DXY の日次収益

HMC 法では時間反転性と体積保存を満足する

率の観測期間は2015年 1 月 2 日から2019年12月

数値積分法を用いる必要があり，それらを満足

31日 ま で で あ る。 観 測 個 数 は EUR/USD とする数値積分として Leapfrog 法が用いられる。

USD/JPY が1225であり，DXY が1304である。

63

ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析
図表 1

EUR/USD, USD/JPY, DXY の日次収益率の要約統計量

観測個数

平均

標準偏差

歪度

超過尖度

最大値

最小値

EUR/USD1225－0.00540.51920.20012.77673.0724－2.0198

USD/JPY

1225－0.00800.5393－0.3429

2.40642.2784－2.5547DXY

1304

0.00500.4264－0.0730

2.03622.0310－2.4008（注） EUR/USD と USD/JPY の観測期間は，2015年 １ 月 ６ 日から2019年12月30日までであり，DXY の日次収益率の観測期間は2015年 １ 月 ２ 日から2019年12月31日までである。

データの要約統計量は，図表 1 に纏められてい

図表 2

る。
EUR/USD の収益率の歪度については正の値

θと h の採択確率

SV モデルSVL モデル

θ

h

θ

h

となっており，EUR/USD の収益率の分布は右

EUR/USD

75.7％

99.8％

78.2％

99.9％

に 歪 ん だ 分 布 に 従 っ て い る。USD/JPY と

USD/JPY

88.0％

99.9％

94.9％

99.9％

DXY

96.9％

99.8％

99.2％

99.9％

DXY の収益率の歪度については負の値となっており，これらの収益率の分布は左に歪んだ分布に従っている。また，EUR/USD，USD/JPY，

メータθとボラティリティの対数値 h の採択

DXY の収益率の超過尖度については，全ての確率を示す。図表 2 から，日経225先物や TOPIX

為替レートに関して 0 を超えていることから，先物のような株価指数の場合8）と異なり，パラ

これらの収益率の分布は正規分布よりも裾が厚メータθ＝（φ，ση，ρ，μ）の採択確率は高くな

いことが分かる。したがって，EUR/USD の収いことが分かる。特に，USD/JPY や DXY に益率は，正規分布よりも裾が厚く，右に歪んだ

比べ EUR/USD のパラメータθの採択率は，分布に従っており，USD/JPY と DXY の収益

SV モデルで75.7％，また，SVL モデルで78.2％

率は，正規分布よりも裾が厚く，左に歪んだ分と低いことが分かる9）。

布に従っていることが分かる。

2．実証分析

HMC 法の運動方程式の数値解は Leapfrog法により求められる。Leapfrog 法には 2 つの任意パラメータ（ε，τ）があり，εは仮想的（ 1 ） HMC 法による計算な微小時間を，また，τは時間ステップの回HMC 法によるベイズ推定においては，稼働数をそれぞれ表す。これらの値の整合性は，パ

検査期間として最初の10,000個を捨てた後，ラメータの採択確率，事後自己相関関数，標本100,000個の確率標本を発生させ，MCMC の標

経路，事後確率密度関数等から判断される。経本の独立性を担保するため標本の抽出は 5 つお験上，εは小さく，τを大きくすると標本経

きに合計20,000個の結果を用いた。また，同時路が状態空間を万遍なく十分に訪れると考えらに走らせる MCMC の数（チェーン数）は 3 とれている。潜在変数 h とパラメータθをアッした。なお，本論文における数値計算は全て C

プデートする際に用いる任意パラメータ（ε，言語を用いている。

τ）には，（0.05，1000）と（0.01，5000）を用

図表 2 に HMC 法でサンプリングしたパラ

64

いた。

証券経済研究第112号（2020.12）（ 2 ） 収束判定

いと言える。また，いずれのパラメータの標本

HMC 法の妥当性を調べるために，サンプリ

経路も安定した動きで十分に状態空間全体を推ングによって得られた値が，ある事後分布に収移していると見なし得ることから，定常分布に束しているかどうかを判断する必要がある。収収束していると考えらえる。さらに，図表 4 か束を判断するにはいくつかの方法があるが，本ら SV モデルと SVL モデルのいずれのパラメー

論文ではサンプリングしたパラメータの標本自タ の Gelman-Rubin 統 計 量 も ほ ぼ 1 に 近 い 値

己相関関数，標本経路，事後確率密度関数の目であることが分かる。したがって，得られた標視による判定と，Gelman-Rubin 統計量を併用

本系列は不変分布に十分収束していると言えしての判定を行なう。Gelman-Rubin 統計量がる。

1 に近い場合，連鎖が定常状態に収束している10）と判断できる。

図表 5 に EUR/USD の日次収益率を用いた
SV モデルと SVL モデルの推定結果を示す。
最初に，ボラティリティに対するショックの持3．推定結果続性を表すパラメータφについて検証する。

（ 1 ） EUR/USD の推定結果

図表 5 から SV モデルと SVL モデルのφの事

図表 3 に EUR/USD による標本自己相関関後平均はそれぞれ0.8967と0.8929であり，これ数，標本経路，事後確率密度関数を示す。まらが 1 に近いことからボラティリティに対する

た，図表 4 に SV モデルと SVL モデルの各パショックが高い持続性を持つことが分かる。こラメータの Gelman-Rubin 統計量を示す。図の結果は過去の研究11）と整合的な結果となって

表 3 の標本自己相関関数より，いずれのパラいる。

メータにおいても十分に減衰していることが分次に，EUR/USD の日次収益率とボラティリ

かる。これより HMC 法によりサンプリングさティとの間の相関を表すパラメータであるρ

れたパラメータの定常分布への収束は十分に速について検証する。ρの事後分布は0.0740と

図表 3

EUR/USD を用いた SVL モデルの推定結果（注） 標本自己相関関数（上段），標本経路（中段），事後確率密度関数（下段）。

65ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析
図表 4

EUR/USD の Gelman-Rubin 統計量
φ

ση

SV

1.00101.0018SVL

1.00051.0005図表 5ρ

μ1.00001.00011.0000EUR/USD の日次収益率を用いた推定結果

パラメータ

SV

SVL

φ

0.8967（0.05）［0.7762, 09669］
22.2

0.8929（0.0542）［0.7591, 0.9655］
25.5

ση

0.3358（0.0681）［0.2282, 0.4940］
29.5

0.3394（0.0713）［0.2334, 0.5123］
26.1

ρ

0.0740（0.1011）［－0.1293, 0.2676］
7.4

μ－1.5642（0.1147）－1.5617（0.1135）［－1.7895, －1.3346］ ［－1.7832, －1.3339］
3.5
3.3

対数周辺尤度

1109.721112.82（注） 1 行目：事後平均および事後標準偏差， 2 行目：95％信用区間， 3 行目：非効率因子。

0 に近い値であり，さらに，その95％信用区間（ 2 ） USD/JPY の推定結果

は［ －0.1293，0.2676］ と 0 を 含 む 区 間 で あ

図表 6 に USD/JPY による標本自己相関関る。このことから，EUR/USD の日次収益率と数，標本経路，事後確率密度関数を示す。ま

ボラティリティの対数値との間にはほぼ相関がた，図表 7 に SV モデルと SVL モデルの各パないと考えられる。次に，HMC 法の非効率性

ラメータの Gelman-Rubin 統計量を示す。図因子の値はあまり大きくなく，最も大きいση

表 6 から標本自己相関関数の収束性や標本経路であっても30程度であり，この結果は先行研の傾向等は，EUR/USD と同様の振る舞いを示

12）

究と 整 合 的 で あ る。 最 後 に，SV モ デ ル と

SVL モデルの推定された対数周辺尤度

13）

していることが分かる。さらに，図表 7 からはそ

SV モデルと SVL モデルのいずれのパラメー

れ ぞ れ1109.72と1112.82で あ り，SVL モ デ ル

タ の Gelman-Rubin 統 計 量 も ほ ぼ 1 に 近 い 値の対数周辺尤度が SV モデルのそれよりも大きであることが分かる。したがって，EUR/USD

いことが分かる。したがって，EUR/USD の日と同様に得られた標本系列は不変分布に十分収

次収益率に対しては SVL モデルの方があては束していると言える。

まりが優れているモデルであると考えられる。

図表 8 に USD/JPY の日次収益率を用いた
SV モデルと SVL モデルの推定結果を示す。

66

証券経済研究
図表 6第112号（2020.12）

USD/JPY を用いた SVL モデルの推定結果（注） 標本自己相関関数（上段），標本経路（中段），事後確率密度関数（下段）。

図表 7

USD/JPY の Gelman-Rubin 統計量

φ

ση

SV

1.00301.0044SVL

1.00021.0006

図表 8ρμ1.00011.00001.0000USD/JPY の日次収益率を用いた推定結果

パラメータ

SV

SVL

φ

0.8686（0.0508）［0.7531, 0.9513］
27.2

0.8608（0.0492）［0.7727, 0.9320］
11.7

ση

0.4023（0.0728）［0.2786, 0.5634］
37.2

0.4129（0.0705）［0.3070, 0.5370］
21.0

ρ

－0.1806（0.0912）［－0.3272, －0.0275］
8.5

μ－1.5435（0.1091）－1.5463（0.1039）［－1.7569, －1.3242］ ［－1.7136, －1.3758］
4.22.8

対数周辺尤度

1361.95

1375.76（注） 1 行目：事後平均および事後標準偏差， 2 行目：95％信用区間， 3 行目：非効
率因子。

67

ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析

EUR/USD と同様にφとρの推定結果につい（ 3 ） DXY の推定結果て検証する。図表 8 から SV モデルと SVL モ

図表 9 に DXY による標本自己相関関数，標デルのφの事後平均はそれぞれ0.8686と0.8608

本経路，事後確率密度関数を示す。また，図表で あ り， こ れ ら は 1 に 近 い こ と か ら，USD/

10に SV モデルと SVL モデルの各パラメータ

JPY も EUR/USD と同様にボラティリティのの Gelman-Rubin 統 計 量 を 示 す。 図 表 9 か ら

ショックが高い持続性を持つことが分かる。ρ

標本自己相関関数の収束性や標本経路の傾向等の事後分布は－0.1806と負の値であり，さらは，EUR/USD や USD/JPY と同様の振る舞いに，95％信用区間も［－0.3272，－0.0275］でを示していることが分かる。さらに，図表10かあることからρが負である事後確率は95％よら SV モデルと SVL モデルのいずれのパラメー

り大きいと言える。したがって，ρが負であタ の Gelman-Rubin 統 計 量 も ほ ぼ 1 に 近 い 値

る こ と か ら，USD/JPY の 日 次 収 益 率 と ボ ラであることが分かる。したがって，EUR/USD

ティリティの対数値との間には負の相関がある

や USD/JPY と同様に得られた標本系列は不変と考えられる。

分布に十分収束していると言える。

非効率性因子の値は，EUR/USD と同様にあ

図表11に DXY の日次収益率を用いた SV モ

まり大きくなく，最も大きいση であっても38

デルと SVL モデルの推定結果を示す。図表11

以下である。最後に，SV モデルと SVL モデ

から SV モデルと SVL モデルのφの事後平均

ルの推定された対数周辺尤度はそれぞれ

はそれぞれ0.7785と0.6869である。これらの値

1361.95と1375.76で あ り，SVL モ デ ル の 対 数

は 1 よりも十分小さく，USD/JPY や EUR/USD

周辺尤度が SV モデルのそれよりも大きいこととは異なりボラティリティのショックが高い持が分かる。したがって，USD/JPY の日次収益

続 性 を 持 つ と は 言 え な い。 ρ の 事 後 分 布 は率に対しては SVL モデルの方があてはまりが－0.2191と負の値であり，さらに，95％信用区

優れているモデルであると考えられる。

間も［－0.3795，－0.0437］であることから ρ

図表 9

DXY を用いた SVL モデルの推定結果（注） 標本自己相関関数（上段），標本経路（中段），事後確率密度関数（下段）。

68証券経済研究
図表10

DXY の Gelman-Rubin 統計量

φ

ση

SV

1.00201.0015SVL

1.00141.0017

図表11

ρ

μ1.00011.00011.0003

DXY の日次収益率を用いた推定結果

パラメータ

SV

SVL

φ

0.7785（0.1258）［0.4430, 0.9294］

0.6869（0.1486）［0.3247, 0.8983］

71.1

56.6

0.4244（0.1023）［0.2698, 0.6718］
72.8

0.5092（0.1132）［0.3084, 0.7434］
54.5

ση

第112号（2020.12）

ρ－0.2191（0.0852）［－0.3795, －0.0437］
12.1

μ－1.9296（0.0852）－1.9420（0.0754）［－2.0940, －1.7555］ ［－2.0844, －1.7874］
7.67.9

対数周辺尤度

1224.98

1420.76（注） 1 行目：事後平均および事後標準偏差， 2 行目：95％信用区間， 3 行目：非効率因子。

が負である事後確率は95％より大きいと言える。 し た が っ て， ρ が 負 で あ る こ と か ら，

V．考察

USD/JPY の日次収益率とボラティリティの対数値との間には負の相関があると考えられる。

EUR/USD，USD/JPY，DXY を 用 い た SVL

次に，非効率性因子の値は，EUR/USD やモデルの推定されたパラメータφの事後平均

USD/JPY と比べると大きな値となっており，

は，それぞれ0.8929，0.8608，0.6869であった。

最 も 大 き い ση で は72.8で あ る。 最 後 に，SV

EUR/USD，USD/JPY に よ る 値 に 比 べ，DXY

モデルと SVL モデルの推定された対数周辺尤

での値は小さいことが分かる。一方，SVL モデ

度 は そ れ ぞ れ1224.98と1420.76で あ り，SVL

ルでは，パラメータθに加え，ボラティリティ

モデルの対数周辺尤度が SV モデルのそれよりの対数値 h も潜在変数として推定している。パ

も大きいことが分かる。したがって，DXY の

ラメータの値とボラティリティのショックの持

日次収益率に対しては SVL モデルの方があて

続性の関係を検証するために，ボラティリティ

はまりが優れているモデルであると考えられの 対 数 値 h の 自 己 相 関 関 数（Autocorrelation

る。

function；以下，ACF）を図表12に示す。

69

ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析
図表12

図表13

EUR/USD，USD/JPY，DXY のボラティリティの対数値 h の ACF（2015/ 1 / 6 –2019/12/30）

EUR/USD, USD/JPY, DXY のボラティリティの対数値 h の相互相関係数（2015/ 1 / 6 –2019/12/30）

図表12から，次のことが分かる。EUR/USDの減衰が最も遅く，ラグが40でも相関があるこ

日次収益率と推定されたボラティリティの対数値 h の相互相関関数を示す。

とが分かる。一方，USD/JPA の減衰はラグ15

図表13から，ラグが 1 から10の間で次のこと

程度，DXY の減衰はラグ 5 程度と短い日数でが分かる。EUR/USD の場合，相互相関係数14）

減衰していることが分かる。この減衰の様子は正の値であるが，最も大きな相互相関係数のは，EUR/USD，USD/JPY，DXY のそれぞれ

値は0.0580と小さい。一方，USD/JPY と DXYのφの値の大きさと整合的である。したがっの場合，相互相関係数は負の値であり，最も大て，φの事後平均によるボラティリティに対きな相互相関係数は，USD/JPY が−0.1626，

するショックの持続性が高いという結果とボラ

DXY が−0.2642である。また，ラグが大きく

ティリティの対数値 h の ACF から得られた h

なると相互相関係数が小さくなることが分か

が長期記憶性を持つという結果は整合しているる。この結果は，推定されたパラメータφとことから，ボラティリティの対数値 h の推定整合的である。USD/JPY と DXY のグラフのも十分良い結果であると考えられる。

違いを定量的に比較するために，収益率とボラ

EUR/USD，USD/JPY，DXY を用いた SVL
モデルの推定されたρの事後平均，ならびに95％信用区間から，EUR/USD は収益率とボラ
ティリティとの間に相関はなく，一方，USD/

ティリティとの相互相関を次の関数で近似することを考える。

（ T ）

L（l）＝−Aexp －l

JPY と DXY の収益率とボラティリティとの間

ここで，l はラグ，T は減衰時間，また，A はには負の相関があると考えられる。さらに，

振幅（相関の強さ）をそれぞれ表す。これらの

EUR/USD，USD/JPY，DXY の日次収益率とパラメータは，最小二乗法を用いてラグが 1 か

ボラティリティの対数値との関係を調べるため

ら14の 範 囲 で 求 め た。USD/JPY と DXY のに，図表13に EUR/USD，USD/JPY，DXY の（τ，A）はそれぞれ（4.06，0.22）と（1.74，

70

証券経済研究第112号（2020.12）0.48） で あ る。 こ れ よ り，USD/JPY は DXYとして，高次元パラメータ空間のリーマン幾何に比べ相関は弱いが減衰は遅いことが分かる。

学を活用し効率的なサンプリングを行なえる
リ ー マ ン 多 様 体 HMC 法（Riemann Manifold

Ⅵ．結論と今後の課題

23）
HMC；RMHMC）
や，これを拡張した修正コ

レスキーリーマン多様体 HMC24）等が提唱され本論文では，HMC 法を用いて EUR/USD，
USD/JPY，DXY の日次収益率データに対し，ている。これらの方法について今後検討する必要があると考えられる。

SVL モデルを使用してベイズ推定による実証
分析を行なった。EUR/USD では収益率とボラ
ティリティとの間には非対称性が存在しない
が，USD/JPY と DXY では非対称性が存在するという結果となった。また，HMC 法を用いた SVL モデルのパラメータの推定結果は，先行研究と整合的であることが分かった。また，
HMC 法を用いての SVL モデルによるベイズ
推定は有効であることが明らかになった。さら

注1） SV モデルとその発展に関して詳しくは，Ghysels etal.［1996］, Shephard（ed.）［2005］，渡部［2005］を参照。
2） HMC 法は，Duane et al.［1987］によって素粒子物理学の格子 QCD（Quantum Chromo Dynamics）計算においてゲージ配置を効率よく生成する方法として考案された。その後，時系列データにおける確率過程のパラメー
タ推定に応用されることとなった。詳しくは，Takaishi［2013］，Nugroho and Morimoto［2015］，豊田（編著）［2015］第 5 章を参照。
3） 戸塚・三井［2020a］，戸塚・三井［2020b］では，日経225先物と TOPIX 先物のデータを使用して同様の実証研究を行なっている。

に，MCMC 法の効率性を示す非効率性因子か4） 米ドルの価値に対して 6 種類の世界的な主要通貨を次ら，HMC 法が他の MCMC 法と比較しても十（EUR）・57.6％，円（JPY）・13.6％，英ポンド（GBP）・

分有効であることも検証された。

の 比 率 で 構 成 し て 指 数 化 し た も の で あ る。 ユ ー ロ
11.9％，カナダドル（CAD）
・9.1％，スウェーデンクロー
ネ（SEK）
・4.2％，スイスフラン（CHF）
・3.6％である。

今後の課題としては，外国為替相場の収益率

5） ボラティリティσt2 が負にならないようにするためであの分布は正規分布よりも裾が厚く非対称な分布6） EUR/USD，USD/JPY の デ ー タ は， 日 経 ���������
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に従っているため，誤差項には t 分布15）や非対
称 t 分布等16） を用いて分析を行なうことである。また，Takahashi et al.［2009］が提案しる。
nancialQuest より取得した。
7） DXY のデータは，Bloomberg より取得した。
8） 詳しくは，戸塚・三井［2020a］，戸塚・三井［2020b］
を参照。
9） ここでの採択確率には注意が必要である。

ている Realized Volatility（RV）を取り入れた

10） 詳しくは，Gelman and Rubin［1992］，Gelman［1996］

Realized SV モデル17） や Markov Switching モ11） Jacquier et al.［1994］は，それまでの SV モデルを推デル18），多変量 SV モデル19）を利用した実証研を参照。
定した文献をサーベイし，φの推定値には0.8から0.995までの値が得られているとしている。

究が望まれる。HMC 法の観点からは，計算精12） 例として，大森・渡部［2008］を参照。

度と計算の収束性の向上20）が挙げられる。計算

13） 詳しくは，Newton and Raftery［1994］を参照。

精度の向上に関しては，Leapfrog 法における数値計算のパラメータ（更新回数と更新の大きさ）を自動的に決定する No-U-Turn アルゴリ
21）

ズム

や，これを基に更新回数を学習アルゴリ
22）

ズムにより決定するアルゴリズム等が提唱されている。また，計算の収束性を改良する試み

14） 相互相関係数を，時刻 t の収益率と時刻 t＋1のボラティ
リティの対数値との間の相関係数として定義する。
15） t 分 布 以 外 に も 一 般 化 誤 差 分 布（Generalized Error
Distribution；GED）や一般化 t 分布（������������������
Generalized t Dis�
tribution）などが考えられる。
16） 例 え ば，Nakajima and Omori［2010］， 中 島・ 大 森［2011］では，SVL モデルの誤差項の分布として一般化
双 曲 型 非 対 称 t 分 布（genenalized hyperbolic skewed
student t distribution）を適用して MCMC により実証分析を行なっている。

71ハミルトニアン・モンテカルロ法を用いた Stochastic Volatility モデルのベイズ推定による外国為替相場の分析
17） 詳しくは，大森・渡部［2013］を参照。
18） Markov Switching を含んだ SV モデルの MCMC を用いたベイズ推定による実証研究としては，Shibata and
Watanabe［2005］，里吉［2005］を参照。
19） 多変量 SV モデルのサーベイとして詳しくは，大森［2019］を参照。
20） 収束とは定常分布へ達することを指し，計算の収束性の向上とは稼働検査期間の短縮を意味する。
21） 詳しくは，Hoffman and Gelman［2014］を参照。
22） 詳しくは，Wu et al.［2019］を参照。
23） 詳しくは，Girolami and Calderhead［2011］を参照。
24） 詳しくは，Kleppe［2018］を参照。

参

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