医学部専門予備校

福岡校

大阪医科薬科大学（後期） 数学

2022年3月10日実施〔1〕 x >
= 0 のとき次の (1) (2) の不等式が成り立つことを示せ。
x2< log (x + 1)2 =3x2
x+ x(2) ex <= (x + 1)e 2 <=e 3(1) x −

解答

(x2(1) f (x) = log(x + 1) − x −2)′とおくと， x >= 0 において f (x) =1x2
> 0 である−1+x =x+1
x+1 =から，f (x) の増減は次のようになる．

したがって f (x) >= 0 すなわち x −x0···′f (x)0+f (x)0↗

x2< log(x + 1) が成り立つ． （証明終）2 =(2) x >= 0 においてx3x2x+ex <=e 3= (x + 1)e 2 <が成り立つことは，自然対数をとった

x<=x2
x3x++ log(x + 1) <···①=23が成り立つことと同値である．ここで，左側の不等式については (1) により成立する．右側の不等式を示すために g(x) = x +x3−
3{x2+ log(x + 1)2}′2とおく．x >= 0 において g (x) = x − x + 1 −であるから， g(x) の増減は次のようになる．

x0···′g (x)0+g(x)

0↗

したがって g(x) >= 0 すなわち①の右側の不等式が成り立つ． （証明終）大阪医科薬科大学直前授業（3/9 入試日の前日！）
t
すべての実数 t に対し，1 + t <= e が成り立つことを示せ．

1x3>0=x+1x+1 =医学部進学予備校メビオ

1 ∑xi とし，y1 , · · · , yℓ の平均
k i=1k〔 2 〕 x1 , · · · , xk , y1 , · · · , yℓ を実数とする。x1 , · · · , xk の平均値を x =1 ∑yj とする。x1 , · · · , xk , y1 , · · · , yℓ の平均値を m とする。
ℓ j=1ℓ

値を y =(1) m を k, ℓ, x, y で表せ。
k∑(2) 等式(3) S =

(xi − x)2 =k∑

i=1i=1k∑ℓ∑(xi − m)2 +i=1(4) S1 =k∑i=1xi 2 − k(x)2 を証明せよ。
(yj − m)2 とする。等式 S =k∑j=1(xi − x)2 +ℓ∑

xi 2 +i=1ℓ∑yj 2 − (k + ℓ)m2 を証明せよ。

j=1(yj − y)2 とする。S − S1 を k, ℓ, x, y で表せ。

j=1

解答(1)


kℓ
∑
kx + ℓy1 ∑
m=xi +yj  =k+ℓk+ℓi=1
j=1(2)k∑2(xi − x) =i=1k∑xi − 2x2i=1=k∑k∑xi + k (x)2i=12xi 2 − 2x · kx + k (x)

i=1

=k
∑

xi 2 − k (x)2i=1（証明終）

(3)

S=k
∑

(xi − m)2 +i=1=k∑k∑xi 2 − 2mk∑xi 2 +k∑i=1ℓ∑xi + km2 +ℓ∑
j=1

yj 2 − 2mℓ∑yj + ℓm2

j=1

yj 2 − 2m (kx + ℓy) + (k + ℓ)m2

j=1

xi 2 +i=1=k
∑
i=1

i=1

=(yj − m)2

j=1

i=1=ℓ
∑ℓ
∑

yj 2 − 2m · m(k + ℓ) + (k + ℓ)m2(... (1))

j=1

xi 2 +ℓ∑yj 2 − (k + ℓ)m2

j=1（証明終）医学部進学予備校メビオℓℓ∑∑
22(4) (2) の等式を用いると，(yj − y) =yj 2 − ℓ (y) がわかるので，
j=1

j=1

S1 =

k
∑

2(xi − x) +i=1=k∑ℓ∑(yj − y)2

j=12

xi 2 − k (x) +i=1ℓ∑yj 2 − ℓ (y)2

j=1

したがって，S − S1 =k∑xi 2 +i=1ℓ∑yj 2 − (k + ℓ)m2

j=12




−k∑


2xi 2 − k (x) +i=1

j=1

2= −(k + ℓ)m2 + k (x) + ℓ (y)(= −(k + ℓ)==

kx + ℓyk+ℓ)2}kℓ { 22(x) − 2x y + (y)k+ℓkℓk+ℓ2(x − y)22+ k (x) + ℓ (y)ℓ∑(... (1))

2yj 2 − ℓ (y)医学部進学予備校メビオ〔 3 〕 一列に並べた 4 つの箱がある。また，1 〜 4 の数を 1 つずつ記してある，赤いカード 4 枚と青いカード 4 枚がある。まず，4 枚の赤いカードを箱の中に入れる。ただし，1 つの箱に入れる赤いカードの枚数に制限はない。

(1) 赤いカードの 1 と 3 が同じ箱に入る確率を求めよ。
(2) 赤いカードに記されている数の和が奇数である箱の個数を X とする。X = 0, 1, 2, 3, 4 となる確率をそれぞれ求めよ。
さらに，4 枚の青いカードをすべての箱の中に 1 枚ずつ入れる。

(3) 赤と青のカードに記されている数の総和が奇数である箱の個数を Y とする。Y = 0, 1, 2, 3, 4 となる確率をそれぞれ求めよ。
解答(1) 1, 3 のカードのみに着目すると，全事象は 42 通りある．このうち 1, 3 が同じ箱に入るような入れ方が 4 通
14りある．ゆえに，求める確率は 2 =.
44
別解

1 が 4 つの箱のいずれかに入っているとき，3 は 1 と同じ箱に入ればよいので，求める確率は

14.

(2) X = k (k = 0, 1, 2, 3, 4) となる確率を P (X = k) と表すことにする．偶数のカードは X の値に影響を与えないので，奇数のカードのみに着目する．1, 3 のカードが同じ箱に入るとき X = 0 となり，異なる箱に入る
とき X = 2 となるため，X = 1, 3, 4 となることはない．また (1) より，P (X = 0) =余事象の確率から，P (X = 2) = 1 −1が得られるので，413=である．以上より，求める確率は次の表のようになる．
44X
確率0141023340 04(3) 赤いカードの奇数を ⃝ で表し，青いカードの奇数を × で表すとする．
1X = 0 のとき，必ず Y = 2 となりその確率は (2) から· · · ① である．
4X = 2 のとき，右表で考える．P (X = 2) =3であることを
44 つの箱の状況⃝ ⃝考慮すると，

311·=，
4681343① と右表の (ii)〜(v) より，P (Y = 2) =+·=，
4464311
右表の (vi) より，P (Y = 4) =·=．
468

右表の (i) より，P (Y = 0) =(i)×(ii)×(iii)×Y
確率0181023430418016246416××(iv)×(v)×(vi)Y = 1, 3 となることはないため，求める確率は次の表のようになる．

×Y の値 確率××× ×

医学部進学予備校メビオ〔4〕 0 <=x<= 1 において，次の関数 f (x) を考える。
f (x) = x(4 − x) − sin2πx2<a<(1) 0 == 2 のとき，方程式 f (x) = a は唯一つの解を持つことを示せ。
∫ 2<<(2) (1) より y = f (x) が持つ逆関数を y = g(x) (0 = x = 2) とする。
g(x)dx を求めよ。
0解答(1)
π1 − cos πxx = 4x − x2 −22f (x) = x(4 − x) − sin2であり，f ′ (x) = 4 − 2x −πsin πx2である．0 <=x<= 1 の範囲において，ππ<sin πx =220<= 2x <= 2, 0 <=であることを考慮すると，

f ′ (x) >=4−2−π>02

したがって f (x) は 0 <=x<
= 1 において単調増加である．f (0) = 0, f (1) = 2 であるのでグラフは以下のようになる．

yy = f (x)2y=ax1O

ここで，方程式 f (x) = a の解の個数は y = f (x) と y = a の交点の個数と等しいので，先の議論から<0=a<= 2 のとき，唯一つの解を持つことは示された． （証明終）(2)yy = f (x) ⇐⇒ x = g(y)2∫ 2∫ 2g(x)dx であるので，g(y)dy すなわち

図の灰色部分の面積が

x1

O00

∫ 2

∫ 1g(x)dx = 1 · 2 −0f (x)dx0∫ 1(=2−1 − cos πx4x − x −220)dx

医学部進学予備校メビオ[]11 3112= 2 − 2x −x −x+sin πx322π0=56別解

y = f (x) のとき, x = g(y) であるので，∫ 2∫ 2g(x)dx =g(y)dy00∫ 1=x0∫ 1=dydxdx

xf ′ (x)dx0[]1 ∫ 1
= xf (x) −f (x)dx0∫ 1=2−f (x)dx0と変形できるので同じ結果を得る．

0医学部進学予備校メビオ〔 5 〕 自然数 x, y に対する方程式
3x − 2y = 1を考える。

(1) y >
= 2 に対して解 x が存在するならば，x は偶数であることを示せ。
(2) 上の方程式を満たす自然数 x, y の組をすべて求めよ。
解答y(1) y >= 2 のとき 2 ≡ 0 (mod 4) であり，また，3 ≡ −1 (mod 4) なので，3x − 2y ≡ (−1)x(mod 4)となる．よって，3x − 2y ≡ 1 (mod 4) となるためには x は偶数であることが必要である． （証明終）別解

3x − 1 = 2y より，3x − 1 = (3 − 1)(3x−1 + 3x−2 + · · · + 3 + 1)⇐⇒ 2y = 2(3x−1 + 3x−2 + · · · + 3 + 1)⇐⇒ 2y−1 = 3x−1 + 3x−2 + · · · + 3 + 1である．y >= 2 のとき，左辺は偶数であるが，右辺は x 個の奇数の和なので，x が偶数であることが必要である．
（証明終）(2) y = 1 のとき，3x − 2 = 1 より x = 1 である．
y>
= 2 のとき，前問より x は偶数なので x = 2z （z は自然数）とおくと，
3x − 2y = 1⇐⇒ 2y = 32z − 1⇐⇒ 2y = (3z − 1)(3z + 1)となるので，0 以上の整数 m, n（ただし m < n）を用いて，3z − 1 = 2m ,3z + 1 = 2nとおける．よって，2n − 2m = 2 ⇐⇒ 2m−1 (2n−m − 1) = 1となるが，これを満たすのは，(m − 1, n − m) = (0, 1) すなわち (m, n) = (1, 2) のみである．よって，z = 1であり，x = 2, y = 3 である．
以上より，この方程式を満たす自然数 x, y の組をすべて求めると，(x, y) = (1, 1), (2, 3) となる．

医学部進学予備校メビオ

講評〔1〕［数学Ⅲの微分］（易）(1) は (右辺) − (左辺) の増減を調べるだけである．(2) では，与式の各辺の対数をとって同値変形すると，一方の不等式は (1) と同じになる．他方の不等式も全く同様に考えて示すことができる．この問題は落とせないだろう．
〔2〕［データの分析］（標準）母集団を 2 つに分割したときの，全体の平均・分散と各集団の平均・分散の関係に関する有名な事実を証明させている．計算自体は難しくないのだが，文字が多いので慣れていないと処理が難しいだろう．
〔3〕［確率］（やや難）偶数のカードの存在は確率に影響しないことを見抜かないと複雑になってしまう．(3) は X = 2の場合を一つ固定し，そこに青いカードの 1, 3 がどう分配されるかを考えればよい．赤と青のカードの入れ方のルールが異なることに気をつけたい．
〔4〕［数学Ⅲの微積分］（標準）f (x) = a の解が一つになるということから，f (x) が単調であることを示せばよいと気付きたい．(2) では逆関数を求めるのではなく，グラフのどの部分の面積を表しているかを考えて解くとよい．
y〔5〕
［整数］
（やや難）(1) では，y >= 2 から 2 ≡ 0 (mod 4) なので，4 で割った余りに注目するとよい．その結果を利用して，(2) では y >= 2 の場合の解を因数分解で求める．y = 1 の場合も考えるのを忘れないこと．
例年と異なり，図形の出題がないのが目を引く．難易度は 2021 年後期，2022 年前期と同程度．〔1〕は完答した
い．それ以外の 4 問はいずれも差が付く問題であり，それらでどれだけ立ち回れたかが合否に影響するだろう．目標
は 60%．

解説動画公開中https://www.youtube.com/channel/UCwE0Fes3Ch0EyoPRWeeYB0Q

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