宇宙機の力学と軌道設計

九大院 坂東麻衣

はじめにスペースミッション

軌道設計（人工衛星の航路）
解析的アプローチによる軌道設計の効率化
運動の法則（力学）Dec. 21, 2012
Research introduction

Research Topics	
理論・解析
•••
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応用

ハミルトンヤコビ方程式に基づく軌道設計
地球周回軌道上でのフォーメーションフライング
三体問題でのフォーメーションフライング
ラグランジュ点の安定化メカニズムの解析
帯電/帯磁衛星の力学と軌道設計
低推力推進によるDESTINYの軌道設計
小惑星衝突回避ミッションための軌道設計…………

Research Topics	
理論・解析
••
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応用

ハミルトンヤコビ方程式に基づく軌道設計
地球周回軌道上でのフォーメーションフライング
三体問題でのフォーメーションフライング
ラグランジュ点の安定化メカニズムの解析
帯電/帯磁衛星の力学と軌道設計
低推力推進によるDESTINYの軌道設計
小惑星衝突回避ミッションための軌道設計
…………

はじめに
•

地球接近小惑星やスペースデブリを観測するための軌道設計を行うためには，従来の軌道理論では燃料消費の意味で最適な軌道を設計することが難しい．

新しい軌道理論ランベール問題• Lambertʼs Problem- Transfer of a spacecraft from one point to another

Impulse ΔV�

cImpulse ΔV�

決められた時間でPからQへ移動するために必要な速度を求めよ．

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

ランベール問題
古典的アプローチ
ランベールの解• 軌道の幾何学的形状をもとに必要な速度を求める方法
Lambertʼs problem

Lambert’s equation�

Impulse ΔV�cImpulse ΔV�Lambert方程式を解くことにより，必要な速度を求めることができるが，終端位置，初期位置が変わるたびに解き直す必要がある．�
境界条件が変わると解くことができない．
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

ランベール問題
母関数を用いたアプローチ
軌道の母関数を求めるアプローチ (Guibout, Scheeres, 2004)
軌道設計を大幅に簡単化！
Hamilton-Jacobi equation�

Lambertʼs problem

Impulse ΔV�

cImpulse ΔV��
F1 (q f ,q0 ,t f ) Generatingfunction�F1母関数は，初期位置，終端位置の関数であるため，関数の評価を行うことで必要な速度が求まる．
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム€アナロジー

下の三角形の面積を求めよ．

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

アナロジーaf

S = ∫ F(x)dx

F(x)

a0a0

afdx

ba
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウムx

古典的アプローチ�

ab
S=2母関数を用いたアプローチ�アナロジーbf

S = ∫ G(x)dxb0G(x)b0bf

dxba
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウムx

古典的アプローチ�

ab
S=2母関数を用いたアプローチ�

運動方程式• Hamiltonʼs equation• Newtonʼs equation: canonical variables�• Hamiltonの原理：運動は，• Euler-Lagrange’s作用積分の停留値として決equation�
定される．
: generalized�
coordinate�t: Hamilton�
systemI[ q] = ∫ t0f L (q, q˙ ,t )dt: Hamiltonian: Lagrangian�€••

すべての運動方程式は等価.
以下ではHamiltonの方程式を用いる．

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム: generalized �momentum�
pq

正準変換
• ２つの変数の組の間の関係式

New variables (Q, P)

Old variables (q, p)変換の規則�

p?

qHamiltonian : H
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

PQHamiltonian : K

ランベール問題の解
V. M. Guibout,D. J. Scheeres, Journal of Guidance, Control, and Dynamics 2004, vol.27 no.4 (693-704)

初期時刻の状態と現時刻での状態の変数変換を求める

Transformation equations�（Final velocity）�
（velocity at t）
Transformation
to moving initial state（HJ equation）�

(q, p) =(q(t),p(t)), H(q, p, t ) =T+V�
(Q, P)= (qf, pf), K(qf , pf ,t ) = 0�t ∈ [t 0, t f ]時刻をおって運動を解くのではなく，初期値と現時点との間の変換を表す関数を求めれば，すべての軌道を一度に表すことができる
2013/2/2-3€
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

小惑星データ• The MPC Orbit (MPCORB) Database(June 8, 2009)t=0

Z [AU]

1

Earth0.5
0Sun-0.5z˜-1y˜

地球円軌道に固定した回転座標系 ( x˜ , y˜, z˜ )

x˜
€

10.5
0Y [AU]-0.5

100 asteroids

€
-1-1

€
-0.5

0.5
0
X [AU]

9,034,502,400 possibilities

５つの小惑星を観測する場合
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム€1

最適シーケンス• Optimal sequence
0.1

0.1

0.08

0.08
asteroid5

0.06

0.06

0.04

0.04

0.02
0
asteroid2−0.02

asteroid4

0.02

asteroid4yy

asteroid50−0.02−0.04

spacecraft at t 0

asteroid2

−0.04

−0.06

−0.06asteroid1

asteroid3

−0.08

−0.08

−0.1
−0.1

−0.1
−0.1

−0.08 −0.06 −0.04 −0.02

00.02

0.04

0.06

0.08

0.1

x

asteroid3−0.08 −0.06 −0.04 −0.020asteroid1
0.02

0.04

x

100 asteroids

9,034,502,400 possibilities

Selection of 5 asteroids
９０億通りの組み合わせの中から最適な複数フライバイ軌道を決定．
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

0.06

0.08

0.1

Research Topics	
理論・解析
••
•
•
•
•
•
•

応用

ハミルトンヤコビ方程式に基づく軌道設計
地球周回軌道上でのフォーメーションフライング
三体問題でのフォーメーションフライング
ラグランジュ点の安定化メカニズムの解析
帯電/帯磁衛星の力学と軌道設計
低推力推進によるDESTINYの軌道設計
小惑星衝突回避ミッションための軌道設計…………

地球周回軌道上のフォーメーションフライング
Purpose: 燃料消費を最小化しつつ，２機の宇宙機のフォーメーションフライングを実現する軌道を設計する

NCVE property
Formation Flying

LeaderFollower
Earth

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

地球周回軌道上のフォーメーションフライング
Purpose: 燃料消費を最小化しつつ，２機の宇宙機のフォーメーションフライングを実現する軌道を設計せよ．
Solution: リーダー衛星の軌道近傍で成り立つ線形化方程式に対して，線形制御理論を用いた軌道設計が可能
NCVE property
Formation Flying

LeaderFollower
Earth

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

三体問題• ２つの天体は安定な周期軌道となる（ケプラーの法則）• しかし３つ目の天体が加わると解析的に解くことが不可能，軌道を予測することができない．

３体問題
解けないよ重力ポアンカレ
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

三体問題におけるフォーメーション
Purpose: 三体問題の不安定な周期軌道の軌道維持と周期軌道近傍でのフォーメーション軌道を設計せよ．
Formation ﬂying using output regulation theory
80000

80000

60000

60000

40000

40000

20000

20000

Halo orbit
Earth0ω =4・

Y [km]

Sun

Y [km]

ω =2-20000-40000-40000-60000-60000-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]
80000-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]
80000

60000

60000

40000

40000

20000

20000

ω =200・Y [km]

Y [km]

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

・-20000

ω =10L200・-20000-20000-40000-40000-60000-60000-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]

Halo軌道(自然に存在する軌道)• 不安定平衡点周りに存在する自然な周期軌道• 大きな軌道(数10万km〜）
非線形性が強く軌道設計が難しい
5x 10

followerleader

864y [km]

2

160万km

0

L2点

ï2
ï4
ï6
ï8

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

1.474

1.476

1.478

1.48 1.482
x [km]

1.484

1.486

1.488
x 108

小halo軌道(人工的な軌道）

u x [m/s2]• 不安定平衡点周りに存在する人工的な小さな周期軌道• 周期を任意に設計可能
制御入力-2e-13線形な領域での軌道設計は簡単
1u y [m/s2]

0・2km3e-09
2e-09
1e-09
0-1e-09-2e-09-3e-09

L2点-0.5-1-1-0.5

0

Y[km]

0.5

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

1u z [m/s2]

Z[km]

0.5

-2.5e-13-3e-13-3.5e-13-4e-13-4.5e-13-5e-13-5.5e-13

6e-09
4e-09
2e-09
0-2e-09-4e-09-6e-0901020

30
time [days]

40

50

60

0

102030time [days]

40

50

60

0

102030time [days]

40

5060

力学と制御の合わせ技• L2点近くで小ハロー軌道を設計（左）• Halo軌道に設計した小ハロー軌道を重ね合わせる．(右）80000

1ω =2060000

0.540000

0・2km

L2点-0.5

Y [km]

Z[km]

20000
0160万km-20000-40000-12km-60000-1-0.5

0
Y[km]

0.5

1-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]

軌道設計が難しい領域でもフォーメーション
L2点で設計した軌道をいろいろな軌道と重ねあわせることで2013/2/2-3
軌道が設計できた
様々な軌道を設計することができる
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

合わせ技の応用
Halo軌道に小Halo軌道を重ねあわせることでずれたHalo軌道になる

1

Z[km]

0.5

100000・

50000
Z [km]
0・

0-50000-100000

L2点-0.5-800000-1-1-0.5

0
Y[km]

0.5

1

スラスタを用いたラグランジュ点の制御
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム-400000
0X [km]0400000-400000-800000
800000800000400000
Y [km]

三体問題におけるフォーメーション
ハロー軌道とは違う周期の周期軌道を設計した場合．
Formation ﬂying using output regulation theory
80000

80000

60000

60000

40000

40000

20000

20000

Halo orbit
Earth0ω =4

Y [km]

Sun

Y [km]

ω =2-20000-20000-40000-40000-60000-60000-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]
80000-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]
80000

60000

60000

40000

40000

20000

20000

ω =20

Y [km]

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

0Y [km]ω =10L200-20000-20000-40000-40000-60000-60000-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]-80000-80000-60000-40000-20000 0 20000 40000 60000 80000
X [km]

Research Topics	
理論・解析
••
•
•
•
•
•
•

応用

ハミルトンヤコビ方程式に基づく軌道設計
地球周回軌道上でのフォーメーションフライング
三体問題でのフォーメーションフライング
ラグランジュ点の安定化メカニズムの解析
帯電/帯磁衛星の力学と軌道設計
低推力推進によるDESTINYの軌道設計
小惑星衝突回避ミッションための軌道設計…………

円制限三体問題
２つの天体に固定した回転座系で５つの平衡点（引力がつりあう点）が存在する
5つの平衡点（ラグランジュ点）
Y

２天体が重心の周りを円運動

L4

重力

重力L3

M1

L1

M2 L 2

X

重力L5
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

円制限三体問題
２つの天体に固定した回転座系で５つの平衡点（引力がつりあう点）が存在する
5つの平衡点（ラグランジュ点）
Y

２天体が重心の周りを円運動

L4L4Y

θ

L4

重力重力L3

M1L1

M2 L 2

θ

X

θ

L3

L1

D

重力L5
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

L5L2X

円制限三体問題• 太陽/木星系：トロヤ郡小惑星• 太陽/地球系：深宇宙港構想
太陽ー木星系:トロヤ群小惑星

太陽ー地球系：深宇宙港構想

ISASニュース 2005.3ISAS
No.2882013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

安定なラグランジュ点

http://www.youtube.com/watch?v=zkk̲81dR3GM
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

ラグランジュ点

YL3

L4

M1

L1

L5

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

M2 L 2X

ラグランジュ点• 軌道を設計しようとするとこうみえる

L4L3L2-1.5-2L1L5-2.5-3

Generalized
potential
0-10
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

1-11

L4/L5ラグランジュ点• L4/L5点はポテンシャルカーブから転がり落ちない？

安定L4L3L2-1.5-2L1L5-2.5-3

Generalized
potential
0-10
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

1-11

L4/L5ラグランジュ点• 安定化メカニズムの力学的解釈

L3Coriolis force

L4L2-1.5-2v

L1L5-2.5

1-3

Generalized potential

0-10-1
1

Coriolis force stabilize the L4 and L5 points.
2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

最適制御からの特徴づけ	• Feedback structure in L4/L5 points

x˙ = (A − BK )x = A0 x

自然がどのような制御を行っているか特徴づけする
The inverse optimality of implicit control（result）

Theorem 1. The feedback control u = −Kx (K ≠ 0) which places all theclosed-loop pole on the imaginary axis doesn’t satisfy the return
difference condition.

€Theorem 2. The feedback control u = −Kx (K ≠ 0) which places all theclosed-loop pole on the imaginary axis is optimal only if the cost has thefollowing form:

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

例）ピーナッツ型小惑星の観測ミッション• ピーナッツ型天体を三体問題とみたてることができる．
• 三体問題の軌道の応用が可能！

Itokawa
ISAS/JAXA

Periodic trajectory in theVicinity of the asteroidzz
ΩΩyx

2013/2/2-3
第６回宇宙総合学研究ユニットシンポジウム

ym1m2xおわりに• 宇宙機の力学と軌道設計法について，特に解析的なアプ
Itokawa
ローチに基づく軌道設計法を紹介した．
• これからの軌道設計では複雑な運動をより簡単に扱うアプローチが重要．
• 万有引力とスラスタをうまく組み合わせることでより上手な軌道設計を行うことができ，実現可能なミッションの幅が広がる．

Dec. 21, 2012
Research introduction

Question?
軌道設計の自由度 ミッションの自由度

New Orbit

Original Orbit

Asteroid

Gravity Tractor S/COriginal Orbit

New Orbit

Asteroid

Near Earth Asteroid observation missions
Kinetic Impactor S/C

Future deﬂection missions of NEAs