Proceedings of the 17th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
September 2 - 4, 2020, Online

PASJ2020 FRPP46

g-2/EDM 精密計測用超電導磁石内設置能動磁気遮蔽型
ステアリング磁石の試設計
TRIAL DESIGN OF A STEERING MAGNET TO BE PLACED IN MUON STORAGE
MAGNET FOR G-2/EDM PRECISION MEASUREMENT阿部充志#,A)，萩津透 A)，齊藤直人 A)，佐々木憲一 A)，三部勉 A)，中山久義 A), 飯沼裕美 B)
Mitsushi Abe#, A)，Toru OgitsuA)，Naohito SaitoA)，Ken-ichi SasakiA)，Tsutomu MibeA)，Hisayoshi NakayamaA)
Hiromi IinumaB)A)
KEK, B) Ibaraki Univ.

Abstract
Experiments of g-2/EDM precise measurements are under preparation in J-PARC and they use a high field (3.0 T)
muon beam storage magnet (MBSM) with a fiducial volume of cylindrical fiducial volume with 3cm-radial width, 10cmvertical (axial) height and 66.6 cm diameter with less than 0.2 ppm peak-to-peak magnetic field homogeneity. Muons will
be injected by the spiral injection from the magnet top through iron-yoke, reducing axial speed by the fringe field andwill be stopped by a kicker radial field. However, there are some error fields and some corrections of muon injection orbit
are necessary. Then, the steering magnets (SMs) are under developments and they will be placed inside and outside ofthe MBSM. SMs should have active shield coils to avoid additional error fields from magnetic interactions with structural
metals. Then, they are ASSMs (Active Shield SM). Furthermore, ASSM should have small joule heat generations to avoiderror fields due to temperature change of the iron-yoke. Under these specifications, we have done a trial design ASSMs
using newly developed magnetic design method expanded from MRI gradient field coil design method.

1.

はじめに大強度陽子加速器(J-PARC)に配置されている、物質・生命科学実験施設(MLF)の大強度ミューオン(muon)ビームラインでは、十分なビーム強度を保ちつつ、エミッタンスが非常に小さい超冷 muon ビームの実用化研究が進んでいる。これを利用して、高エネルギー加速器研究機構(KEK)を中心に、muon 異常磁気モーメント(g-2)と電気双極子モーメント(EDM)の超精密測定を行う実験(以下では本実験または g-2/EDM 実験)を準備している[1]。
この実験にはミューオンを蓄積・周回させる領域に 3.0 Tで非常に一様(均一)な磁場を持つ MBSM(Muon Beam
Storage Magnet)を使う[2, 3]。
一方、この実験では、MBSM 上部からの螺旋入射を行う。これは、鉄 yoke に開けたビーム入射口を通過したmuon を磁石フリンジ磁場で軸方向速さを減速し、キッカー磁場で中央面付近に蓄積・周回させる[2]。
設計磁場では期待する入射・蓄積が行われるが、実際の磁石では、組み立て設置誤差、建屋鉄筋のや周囲の鉄製機器の影響などで、誤差磁場が存在し、muon 軌道のずれが発生する可能性がある。そのため、この誤差磁場と muon 軌道を補正する必要がある。Muon 蓄積領域では均一磁場を確保する磁場シミングを行うが、昨年の本学会で議論した[4]。今回は、入射軌道を調整する
Steering Magnet (SM)の設計を議論する。
この SM は周囲との磁気的相互作用とそれによる追加的な誤差磁場を避けるために、精度良い磁気シールド機能を持つ必要がある。また、熱的な要因による鉄 yokeからの誤差磁場を避ける必要もある。そのため、能動磁___________________________________________# abemk@post.kek.jp

気シールド(AS: Active Shield)機能を持つ ASSM であり、muon 入射に合わせたパルス運転で発熱量を抑える。
本発表では、能動磁気シールド機能を持つ磁石の磁気設計手法を開発し、本実験で使用できる ASSM の試設計に応用する。

2.

ASSM の概要

2.1 設置位置
ASSM 配置位置は極めて限られている。Figure 1 の磁石で、鉄 yoke にあけるビーム入射口前後のみである。入射口を挟んで、外側と内側の 2 つ(Outside-ASSM およびInside-ASSM)を配置(Fig.2 参照)する予定である。この 2
つの ASSM を用いて muon 入射トンネルからビーム蓄積

Figure 1: Schematic explanation of muon beam storage
magnet and muon injection hole.

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プ電流値(A), ダクトの渦電流減衰時定数(s)である。この設計では、ビームダクトの材質、渦電流時定数は通電波形を決め、発熱量、電源容量の把握に重要なパラメータである。SUS ダクトでは Table 1 の時定数であるが、セラミック(肉厚が厚くなるため Inside 部では不可)もしくは高抵抗の金属材料(インコネル、Ti 合金など)を利用することで、通電時間を短縮し、発熱量を抑えることができる。

3.

ASSM の磁気設計

3.1 磁気設計手法の概要
Figure 2: Schematic drawing of the ASSM placements.
領域までの螺旋入射軌道[2]を調整する。特に配置領域の限られる inside-ASSM について、、設計手法の開発と試設計を通して、実際に配置出来ることを確認する。
2.2 目標仕様
Table 1 は設計の目標仕様である。目指す磁場(BL 積および磁気遮蔽性能)を、狭い領域に発生し、小さな発熱量で実現することが重要である。ASSM の大きさだけで無く、周囲との熱的・磁気的相互作用を防ぎ、さらなる誤差磁場を防止するために、周囲への漏れ磁場が小さいことが必要である。十分な磁気遮蔽を得るには 3D でのシールドコイルの設計が必要であり、核融合装置設計と MRI 傾斜磁場コイル設計分野の参考文献[5-9]を応用して開発し、ASSM 設計に適用した。
発熱量低減のためパルス通電であり、muon ビーム入射に同期した 25 Hz 通電である。各パルスの通電時間はダクト上の渦電流による磁場を避けるために、渦電流時定数の 4 倍のフラットトップ時間とし、電流の立ち上げたち下げを 0.1 ms とする台形電流波形を想定している。この場合、Joule 発熱 Q(W)は次式である。
𝑄

25𝑅𝐼 4𝜏

0.000066(1)

ここで R, I, τe はそれぞれ、ASSM の抵抗（Ω）, フラットトッ
Table 1: Target Specifications of ASSMs
Parameter

Inside-ASSM Outside-ASSM

BL product (Tm)

1.0E-3

4.0E-3Magnetic field direction

RadialRadial, axial

Control angle

Pitch

Pitch, rolling

Magnetic shied (μT)
Joule heat Q (W)
Outer diameter (mmΦ)
BeamWall thickness (mm)duct Material
Eddy current decay time τe
Allowablesize

今回の ASSM の磁気設計は Fig. 3 の考えで実行する
磁気設計を 2 次元(2D)[9]で行い、概略を把握した後、3D 設計を実行する。2D，3D 共にシールドコイルと主コイルがともに矛盾無く電流分布を決めるために、下記 2 項目のために、繰り返し計算を行う。
・主コイルからの磁場を考慮したシールドコイルの電流分布計算。
・シールドコイルからの磁場を考慮したステアリング用のダイポール磁場(以下ではステアリング磁場)を作る主コイ
ル電流分布計算。
以下では、2D 磁気設計例を Outside-ASSM で、3D 磁気設計の手法と設計例は Inside-ASSM で、議論する。
2次元(2D)磁気設計[9]・2Dでの電磁緒量算出

目標
3次元(3D)磁気設計[5-8,10,11]BL積・3Dでの電磁緒量算出
電流密度

ビームダクトの渦電流・発熱量→ASSM通電波形
25Hz運転、パルス幅：渦電流時定数の4倍

Figure 3: Flow of ASSM magnetic design.
3.22D 磁気設計

円筒の電流面を考え、軸方向無限長の電流分布を算出する。実際には有限長なので、計算は単位長さあたりの物理量を計算し、長さを掛け合わせて、ASSM の電磁諸量を算出する。Fig. 4 は Outside-ASSM の 2D 断面内の計算結果であり、曲線は磁力線を示し、矢印は電流を示し(外向きで正電流、電流値は長さに比例) している。
磁力線は、シールドコイル (半径 100 mm) 内で閉じ込められ磁気シールドがよく出来ていることが解る。一方、< 1.0 at 0.2m < 1.0 at 0.3m
<1.0<10.042.7

89.1

1.5

2.1

TBD (Temporary SUS)
0.0575 ms

0.166 ms

Diameter (mm)<100<200

Length (mm)<200<400Figure 4: Left shows result of 2D design calculations foroutside-ASSM. Lines: Flux contour lines at every
40μWb/m. Arrows: current magnitudes. Right schematiccoil assemble plan of two dimensional ASSM.

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中心部では磁力線は横方向に走っており、正確にステアリング磁場 (BST=BY=160 Gauss) が発生されている。
右側に示すように磁場方向の異なる 2 組のコイル対を重ねることで、外見は 1 個の磁石であるが、2 方向のステアリングを行う計画である。
Table 2 には 2D 計算結果による電磁諸量をまとめた。
磁石への通電は 25 Hz パルス通電である。SUS ダクトとする場合、ダクトと磁石共に発熱量が大きくなるので、セラミックダクトをこの Outside-ASSM 部では採用する必要があることが解る。しかし、電源を含め、特に高度な磁気的仕様を要求する項目はない。この 2D 磁気設計では、ASSM 端部は考慮出来ないため、値に誤差は大きいと考える。しかし、セラミックダクトを採用すれば設置上特に問題となる項目は無いと言える。
Table 2: Electro-magnetic Parameters of Outside-ASSM
Parameter
P/S current (A)ASSM-1

ASSM-2

Small radius side

Large radius side

76.0

76.8

Numb. of turns±22/11±24/13

Conductor (mm)Cu 2.0x2.0

Cu 2.0x2.0

Rough size (mm)205Φ-350L

BL products (Tm)

4.0E-3 (effective length 0.25m)

M. energy E (J)EM
Induc Inductance (mH)tion
Inductive voltage (V)

0.500

0.572

1768

203

134

152

Resistance R (Ω)

0.234

0.263

17.8

20.2
1551

24.7(3.25)

28.3(3.72)

25Hz pulse

25Hz pulse

Total voltage (V)Spec. plan

41.8 (0: Ceramic duct)
152

𝐶 sin 2𝑖

1 𝜃(3)𝑘𝐴/𝑚(4)とした。20.8 kA/m は導体(25 A)最密配置時の電流密度である。この結果、導体配置は直線の組み合わせとなり。
電流密度が向上し、製作性も改善される。式(3)の Ci は磁石軸に沿った磁場(BY：Fig. 4 で紙面垂直方向)の積分、1352

Powersupply∑
20.8

Resistive voltage (V)Duct Joule loss (W)𝑇

として T 値を周回方向角度のみの関数とし、端部では、Joule Joule loss (cont.) Q (W)loss
Heat generation (W){SUS (Ceramic) duct}体を配置すると、求めるコイルを作ることになる。三角要素で電流面を表現し、節点に T 値を割り当て、目標磁場を再現するように最小二乗法で決める。本設計に応用した DUCAS[6]では、打ち切り特異値分解法(TSVD)を利用して、最小二乗法を解き、その T 分布から、電流分布、そして流線に沿った導体配置を決める。本設計ではシールドコイルと主コイルの 2 つの面電流を、互いの磁場を考慮した繰り返し計算で、同時に、互いに矛盾無く、算出する。この方法は、MRI 装置の傾斜磁場コイル磁気設計手法[7, 8]を応用した ASSM 磁気設計手法である。
Figure 5 は本試設計の計算モデルである。InsideASSM の主コイルとシールドコイルの電流面を三角要素の集合で表現し、節点に T 値を割り当てる。主コイル(左:接点数 2501)では内側(1845 点)に、シールドコイル(右:接点数 3337)では外側に磁場評価面(面上に磁場評価点(MFEPs: Magnetic Field Evaluation Points): 3905 点)を配置している。この BST の方向は MBSM 座標では半径方向で(BR type in Fig. 1)、ビーム上下方向角(pitch angle)を調整する。
主コイルの目標磁場は次のように考えた。BST 分布を目標値として導体配置の算出も行ったが、導体配置に粗密が発生するため、BL 積を高めるには不利である。
そこで、局所的な磁場強度分布には拘らず、BL 積をビームダクト断面内で一様にした。そのため、

BL 積=.
.

𝐵 𝑑𝑙(5)をダクト断面内で一様とするように、決めた。
一方、シールドコイルの目標磁場については、ASSM

172

230V, 100A, >10kHz

3.3 3D 磁気設計手法
前節の 2D 磁気設計結果を踏まえ、3D 磁気設計を行う。後者では 2 つの電流面(主コイル、シールドコイル)の電流分布を、目標磁場に適合する磁場を発生するように、算出する[5-8]。ASSM 磁気設計での座標系は、このASSM 設計の座標系であり、MBSM の座標系とは異なるので注意が必要である。
この手法では、核融合装置で誘導渦電流を求める計算で使われてきた電流ポテンシャル T(単位 A)[10, 11]を電流面上の変数に用いる。次式で電流を表現している。
𝒋∇𝑇

𝒏(2)

ここで、j は電流面上の電流密度ベクトル(A/m)で、n は電流面の法線である。電流密度は T の勾配に比例した大きさで、2 点間の T の差異が、その間を流れる電流の大きさである。また、電流面上で T 分布の等高線を描くと、電流は等高線に沿って流れており、等高線に沿って導Figure 5: Computational model for inside-ASSM 3D
magnetic design. Numbers are diameters of current
carrying surfaces (CCS). Shield CCS is squeezed at edge
to reduce leak field.

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軸に対して放射状に発散(もしくは収束)する磁場成分 Brに対し全 MFEPs で、𝐵0(6)とした。ただし、これだけの条件だと、端部で電流面が閉じてないために、この部分からの漏れ磁場は大きい。そこで、シールドコイルと主コイルで、同じ大きさ(符号は反対)の磁気モーメントとなるように、人為的に両端部のみ導体位置を広げた。
Figure 5 の計算モデルでは電流ポテンシャル T の分布および面電流分布が求まる。その流線に沿って、T 値の等間隔で、導体の配置を決める。より詳しい計算方法は参考文献[5-8]を参考にしていただきたい。
3.4 Inside-ASSM 磁気設計結果
前節の計算法に従って決めた Inside-ASSM の導体配置を Fig. 6 に示す。シールドコイルは両端を絞った形状とし、軸方向の漏れ磁場を低減している。Figure 6 は磁場方向(Y 方向)から見たている。角を丸めた直線の組み合わせで主コイル導体が配置され、その磁場を磁石外部で打ち消すようにシールドコイル導体が配置される。この導体配置で求めた電磁諸量が Table 3 である。参考に2D 設計計算値も記述した。2D では端部の状況が不明である。そのため、磁場については 1.1 倍の軸方向実効長、導体長については 1.5 倍とした。このような短軸コイ
ルの 2D 値は誤差が大きいが、電源や発熱量の概略を把握するには有効と考える。
導体位置(電流路)が求まると、下記の式を用いて、導体長 LCu, 磁気モーメント M、磁気エネルギーE などの電磁緒量が算出できる。
LCu = ∑

∮ 𝑑𝒔

M= 𝐼∑

∮𝑿E= 𝐼∑∮ 𝑨･𝑑𝒔

A=𝐼∑

(7)𝑑𝒔

∮ 𝑑𝒔/r2

表中で注意することは、コイルとビームダクトを合わせた発熱が 1 W を超えると推定されることである。高抵抗のビームダクトを用いることで、発熱量は低減できるが、Inside-ASSM 位置でのセラミックダクトは、ビーム通過口径が小さくなってしまうため、採用が難しい。そのため、高抵抗の合金(インコネルや Ti 合金)で作られたビームダクトを利用する必要があり、検討を進めている。
Figure 7 は巻き線配置を、展開図(180 度分) で示す。
図で横方向は周回方向である。一つの inside-ASSM を構成するには、2 コイル x2 組を組み合わせる。主コイル(左)は直線の導体配置の組み合わせで、角を丸めた。
一方、シールドコイル(右)では、|Z|<65 mm では、Br=0 とする導体配置であるが、|Z|=65~82 mm の両端部では導体位置を広げし、開口部に起因した漏れ磁場を縮小するためである。このため、inside-ASSM 全体での磁気モーメントは 1.0E-3 Am2 以下となり、磁石周囲での漏れ磁場は小さくなり、MBSM 磁場(3T)との相互作用による
Table 3: Electro-magnetic Parameters of inside-ASSM
Parameter

2D cal.

3D cal.

P/S current (A)

25.0

25.0

Numb. of turns±22/12±25/12

Conductor (mm)Cu 1.0x2.0

Cu 1.0x2.0

21.1

20.8

100Φ-150L

100Φ-164L

Max. current density (A/mm)
Rough size (mm)BL products (Tm)
Magnetic energy (J)EM
Inducti Inductance (μH)
on
Inductive voltage (V)1.0E-30.01890.0322

60.4

100.3

50.3

86.0(8)

Resistance (W)0.153

0.222(9)Resistive voltage (V)Jouleloss Joule loss (cont.) (W)

3.83

5.55

95.8

138.9

Heat generation (W)

0.60

0.87

SUS duct25Hz

25Hz(10)

これらの積分は全て導体に沿って行う。加算は全ての巻き線で加算する。I は導体に流れる電流であり、ここでは25 A である。𝑿は導体位置で∮ 𝑿 𝑑𝒔は巻き線が囲む面積を表すことになる。 ｒは導体(𝑑𝒔)位置と磁気ベクトルポ
テンシャル A 計算点との距離である。

Figure 6: Calculated conductor placements for Inside
ASSM. Small coil is the main coil. Large and squeezed atedge coil is shield coil. Outer most four turns of the shieldcoil are expanded to set off that of the main coil. Transientwindings are not shown.

Duct Joule loss (W)Power
supplyTotal voltage (V)Spec. plan

1.0 (rough estimation)
64.1

91.6

120V, 30A, >10kHz

Figure 7: Expansion plans for ASSM, left：main coil, right:
shield coil. Bottom scale numbers are in cm unit.

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PASJ2020 FRPP46電磁力も小さく、1g 以下にできる。
この導体位置の Inside-ASSM が発生するステアリング
磁場 BST を、Fig. 8 に BL 積分布(左、主コイル導体位置も示す)と 4 点の軸方向磁場分布(右)で示す。左図は、BST (左図で上方向)を式(5)で、紙面垂直方向に積分した BL 積を、ビームダクト断面内の等高線分布で示した。
中心軸上では 0.994E-3 Tm であり、等高線(1.0E-6 Tm/線)で示すように、断面内でほぼ一様である。これは式(3)の係数 Ci を調整した結果である。紙面上 Y 方向磁場成分(BST)の分布をダクト断面内 4 カ所(左図番号参照)で示す。両端部では、接続線の影響が大きく、磁場の変動が大きいが、左図のように BL 積の一様性は良い。
Figure 9 は周囲の漏れ磁場強度分布で、等高線(磁場強度 10, 1.0, 0.1 μT) で示す。ASSM 中心から 20 cm 程
度離れると 1.0 μT 以下であり、磁気シールドがよく設計できている。しかし、実機では製作誤差が存在し、計画通りにはシールド出来ない可能性もある。試作を通して製作誤差の影響も把握していく必要があると考えている。
3.4 製作法と試作縁被覆を持つ導線を、3D 工作で作られた溝に配置する方法を主案と考えている。一方、本設計手法で磁気設計した ASSM が思うような磁場を発生することを確認する基
本原理確認の試作も行う予定である。この段階では、導線配置パターン展開図を紙上に印刷し、印刷線に沿って導線（細いもの）を接着は位置し、巻き枠の円筒(アクリル筒)に巻き付け・接着する計画である。

4.

まとめ

J-PARC では muon の磁気/電気モーメント（g-2/EDM）を、均一な磁場中で詳細に計測する実験を準備している。その入射軌道を調整する能動磁気シールドステアリ
ング磁石 ASSM の設計手法の開発と試設計を行った。
その結果、MBSM 入射部の 2 つの ASSM について BL積、発熱量、シールド性能を満たす磁石を設計できることが解った。今後試作を通して本設計手法による ASSMの有効性を確認していく。

謝辞

本 ASSM は MRI 装置の傾斜磁場コイルと比較すると、
本研究は、科学研究助成事業(科研費) JP19H00673
電流、サイズ共に 1/10 以下と小さい。そのため、銅板か のサポートを受けています。
ら巻き線を切り出す製作法は採用できない。そこで、絶参考文献

Figure 8: Magnetic field by the designed inside ASSM.
Left: BL product distribution in the beam duct (1.0E-6Tm/line). Right: BY distribution in ASSM axial direction
and at the numbered positions (left).

Figure 9: Leak magnetic field around the designed insideASSM. Left: on the plane vertical to the steering magnetic
field BST. Right: on the plane parallel to BST.

[1] M. Abe et al., “A new approach for measuring the muon
anomalous magnetic moment and electric dipole moment”,
Prog. Theor. Exp. Phys., vol. 2019, 053C02.
[2] H. Iinuma et al., “Three-dimensional spiral injection scheme
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and Methods in Physics Research A, 832, 2016, pp51-62.
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[4] 阿部、他、”g-2/EDM 精密計測用ミューオン蓄積超電導磁石の磁場調整方針”、第 16 回日本加速器学会年会、No.
THOH07, 於京都大学 2019 年 7 月 31 日～8 月 3 日.
[5] 阿部、”プロジェクトレビュー、特異値分解固有モードを利用した磁場設計（核融合装置技術から応用した磁場設計）”、プラズマ・核融合学会誌 95、2019, pp. 155-172.
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path for the arbitrarily distributed magnetic field andapplication to a helical confinement system”, Phys. Plasmas.
Vol.10, 2003, pp. 1022-1033.
[7] M. Abe, “A design tool for MRI GCs using DUCAS withweighted nodes and initial current potentials”, IEEE Trans.
Magn., vol. 49, no. 12, 2013, pp. 5645-5655.
[8] M. Abe, “A Design Technique of MRI Active Shield
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Finite Elements”, IEEE Trans. Magn., vol. 50, 2014, p.
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[9] T. Obana, T. Ogitsu, “Design of Lightweight Superconducting Magnets for a Rotating Gantry with ActiveShielding”, IEEE Trans. Appl. Supercond., Vol. 30, 2020,p.4400305.
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