1/100

10.
g-2/EDM超電導磁石開発とMRIへの精密磁場技術

阿部充志
髙エネルギー加速器研究機構
超電導低温工学センター

2/100

自己紹介
1977年４月 日立製作所入社 エネルギー研究所配属
以後、所属部署の名称は変化するが、実質的には同じ研究開発部門でした。
1977-2002 核融合関連の機器設計、実験参加：トカマク装置HT-1, HT-2、TRIAM-1M(九州大)
1983-1984 原子力研究所那珂研の外来研究員でDoublet-III実験参加
199０年代、JT-60改造計画の設計検討、ITER-EDA
1998-2002、 LHD建設, CHS改造計画の設計検討
2002-2017、MRI磁石及び加速器磁石磁場(熱)設計担当
開放型MRI磁石開発・製品化
J-PARC RCS磁石の熱・磁場設計
超電導放射光源(Wiggler@九州シンクロトロン)の設計検討（設計：主に磁場分布設計手法の開発、起磁力配置の原理的検討）
2009年9月 総研大より核融合科学専攻で博士（工学）取得
2017年 日立製作所定年退社→高エネルギー加速器研究機構、
2017～2019年：素粒子原子核研究所
2019～現在 ：超電導低温工学研究センター

3/100精密磁場
J-PARCで準備中のミューオン関連の実験
・g-2/EDM詳細計測実験
・MuSEUM実験(MuSEUM: Muonium Spectroscopy Experiment Using Microwave)
では極めて精度良い一様磁場が要求されています。どちらも、実験領域で、平均磁場±0.1ppm(均一度0.2ppm)の平坦な磁場分布を必要としています。
均一性の良い磁場が必要と言われているMRI(Magnetic Resonance Imaging)撮像装
置磁場でも10ppm(50cmDSV)～3ppm(40cmDSV)程度の均一度であり、2つの実験に利用する磁場を実現するには、これまでの技術に対してInnovationが必要である。

1.5～2.0m

約2.0m(NU1に仮置中)z

全身用撮像用MRI磁石
直径50cm球内で10ppm程度

MuSEUM実験用磁場

×66.6cmΦg-2/EDM実験用磁場

直径20cm-30cm長の楕円体内で0.2ppm 3.0cm幅-10cm高の円筒内で0.2ppm

4/100

逆問題
通常、電流分布や磁性体位置が与えられて磁場計算を行うが、磁場再構成・制御・装置設計等における逆問題を解く必要性がある。
つまり、順問題：B= AI

逆問題：I = A-1B

(B：磁場磁束等の磁場分布目標値、A：応答行列、I電流分布のパラメータ)

しかし、多くの場合、Aは非正方行列で、A-1が存在しないため、
一般逆行列A*を用いて、近似的に解Iを得る。
最小２乗法 AtP= AtA I
A* = At(AtA)-1: 安定な解が得られるとは限らない（非常に振幅の大きな解となることも多い）
そこで、正則化法(Tihonov正則化と打ち切り
特異値分解(TSVD)正則化がある）を用いる。
ここでは、TSVD正則化を用いて議論を進め内容を紹介する
特異値分解：Singular Value Decomposition (SVD)単位電流あたりの磁場強度の大きな成分を選択できる。TSVD=Truncated SVD

5/100The solution that we want
Reasonable solution,・is possible to manufacture
・with reasonable accuracy
・with reasonable currents.

磁場

I = A-1 BTG = (AtA)-1At BTG

LSM with regularization

電流

磁場
空間位置

Simple LSM
LSM: Least Square method

6/100内容
1．はじめに
背景と目的
2．最小二乗法と正則化
3．TSVD正則化を用いる例題
4．MRI用磁石の一様磁場設計
均一磁場設計、
磁場シミング(精密磁場調整)
5．g-2/EDM精密計測実験用磁石
主磁石の磁場設計、
磁場調整装置、入射蓄積関連の磁場余談であるが、参考文献[19]によれば、特異値分解が任意の行列に適用でいることは1939年[27]に初めて示された。計算機の誕生と同じ時期である。また、この文献[19]には、「システム制御の有効な手法の1つとして定着していくであろうと思われる」と書かれているが、磁場設計の分野で、積極的に用いた例は見ていない。
[19] 伊理正夫、児玉真三、須田信英、「特異値分解とそのシステムへの応用」、計
測と制御、Vol.21, No.8, 昭和57年8月(1982).
[27] C. Eckart and G. Young, “A Principal Axis Transformation for NonHermitian Matrices”, Bull. Amer, Math. Soc. 45, pp.118-121, 1939.

7/1002.

最小二乗法と正則化

ここでは、磁石などの磁気応用機器を設計する際に必要となる逆問題を解く方法について、特異値分解利用した打ち切り特異値分解による正則化を説明する。
目標磁場bTG(X,Y)をおおよそ再現する電流分布、つまり、bTG(X,Y,Z)≒ f{i (X,Y,Z)}の電流分布をi (X,Y,Z)求めることが、磁石設計上の課題の中心である。
空間離散的に電流・磁場共に扱うと考え、下記の問題とする。
TG
磁場分布 BTG={𝐵1TG , 𝐵2TG ,-----, 𝐵𝑖TG ,-----, 𝐵M}

Aijはj番目電流の単位電流がi番目磁場評価点に作る磁場

I1

逆問題：I = A-1B

I2
IN
Ij

順問題：B= AI

磁場評価点(MFEPs)

電流I={I1, I2, --- Ij, ---IN}

𝐵1TG

𝐵2TG
𝐵3TG
TG
𝐵M

MFEP： Magnetic Field Evaluation Points)

8/1002.

最小二乗法と正則化 （2）Er=||(BTG -AI)||2 = (BTG -AI)t(BTG -AI) → 最小

(2-2)

𝜕𝐸𝑟

Iに関して微分を行い、極値を取る条件で =0から、 最小二乗法
𝜕𝑰
で求める電流は目標磁場に対して、(AtA)I=AtBTG,(2-3)
I= (AtA)-1AtBTG(2-4)
である。Aは非正方で非正則行列であるが、 (AtA)は正方で正則となることが多いので、電流Iを求めることは出来る。しかし、この解は正確に磁場分布を再現するが、非常に大きな電流や隣り合うところに正負の大きな電流を配置するとか、工学的には実現できない解を与えることが多い。
そのため、磁場の再現誤差を許しながら、実現可能な電流分布を与える手法について、筆者が使っている特異値分解を利用した正則化法を説明する。

9/1002.

最小二乗法と正則化 （3）正則化法には、2つの方式がある。
1．打ち切り特異値分解正則化
2．Tihonov正則化
本セミナーでは、打ち切り特異値分解(TSVD)を使って説明していく。
・特異値分解： ＳＶＤ：Singular Value Decomposition
・打ち切り特異値分解＝TSVD: Truncated SVD
ＴＳＶＤを使う主な理由は下記の点である。
(1) 特異値（単位電流当たりの磁場強度）の大きなSVD固有モードを選択するので、どういう磁場分布を必要としているか解り易い。
(2) 打ち切り固有モード番号と磁場再現精度が解り易い(3) SVD固有モードから必要とする起磁力源配置の把握が容易(4) 必要な磁場精度と起磁力源配置の自由度の関係が解り易い10/100

2.1. 正則化による最小二乗解

行列AにSVDを適用すると、
A=Σuklkvkt,(2-5)
ここで、ukとvkはそれぞれ、磁場分布と電流分布の正規直交基底で、lkは特異値で電流-磁場の換算係数(T/A)と考えること出来、単に電流当たりの磁場強度である。加算は固有モード番号kについて行う。
SVD固有モードを使うと、一般逆行列は、
A* = (AtA)-1At = σ𝑘 𝒗𝑘 𝒖𝑡𝑘 /𝜆𝑘 ,(2-6)
で求めることが可能である。
I = σｋ(uktBTG)vk/lk(2-7)
一方、Tihonov正則化は、(AtA + e2LtL)I = AtBTG (2-8) → I = (AtA + e2LtL)-1 AtBTG(2-9)
I =σ𝑎𝑙𝑙_𝑘𝜆ｋ𝜆2 +𝜀 2𝒖tk 𝑩TG vkｋである。両者の違いは打ち切り方法である。

(2-10)

11/100

2.2.

固有モード強度に注目したTSVD正則化

最小二乗解は前ページの解であるが、書き直して
1/2
I = σｋ(uktBTG)vk/lk (2-7) =σ𝑘 𝑛𝑝 vk PTGk /lk,
(2-11)
ここで、 PTGkはk番目固有モードの強度で、下式である。
PTGk = uktBTG/np1/2(2-12)
磁場評価点(MFEPs)での再構成磁場は、1/2
BREC = σ𝑘 𝑛𝑝 PTGkuk(2-13)
目標磁場BTGと再構成磁場BRECの差(残差BRE)は、
BRE(MT)= BTG- BREC = BTG ̶ Σnp1/2PTGkuk(2-14)
であるが、加算は、固有モードkについて1～打ち切りSVD固有モード番号MTまで行い、 残差はMTに依存する。残差の最大最小(Peak-to-peak値 PP値)
BREPP(MT) = BREMAX (MT) - BREMIN (MT) <er(2-15)
で磁場分布の再構成精度を確認し、磁場設計の妥当性を確認する。
以上で求めた電流Iを使えば、任意の点で磁場を計算でき、超電導導体の経験磁場など、実機で実現可能性を評価する。固有モードの加算で、番号がMT以下であっても、不必要なもの、例えば対称性が一致しないものなど、は加算から除外する(計算誤差を避ける)こともある。

2.2.

固有モード強度に注目したTSVD正則化 (2)
模式的説明
電流分布

A
A＊ = Σviuit/li

目標磁場
分布:B

電流面

vi、uitおよびliでi番目固有モードを構成
磁場評価面
全て加算=最小2乗法
電流面
高次
無視
B

0.05/l～20

0.001/l～1000

l1
l2
l3
lN

強い磁場強度

0.5/l～5

固有モード強度
電流分布の基底 vi 特異値(T/A) 磁場分布の基底 ui Pk= uktB/n 1/2p

電流ポテンシャルの振幅大電流固有モード強度 Ik= np1/2 Pk /lk
加算-1.0/l～1

行列Aのランクの数

12/100

-1.0

0.5
0.05

0.001

13/100

2.3. 目標磁場について

磁場設計の目標磁場BTGは、BX, BY, BZのどの方向でもあり得るが、一様磁場の場合(MRI, g-2/EDM実験やMuSEUM実験の磁場)についてコメントする。
一様磁場を目指した設計では、磁石軸Z方向の磁場を取り扱う。つまり。
TG
TG
TG
TG
BTG =(𝐵Z1, 𝐵Z2,---------, 𝐵Z𝑖,---------𝐵ZM)である。一方で、実機での計測値や試験対象(Muon)が感じる磁場は、磁場の絶対値であり、わずかな差異がある。その差は、
2

絶対値= 𝐵⊥2 + 𝐵𝑍2 ≃ 𝐵𝑍 {1 + 0.5 𝐵⊥ൗ𝐵2 },𝑍(4-19)である。括弧内第2項は、 𝐵⊥ 成分が100ppmレベルの誤差があっても、5E-9の大きさで、一様磁場に与える影響は極めて小さい。
記号B**(上添え字＊＊は、MS(計測磁場), TG(目標磁場), REC（再構成磁場）,RE（残差磁場）等)の要素はi番目磁場評価点に対して𝐵𝑖∗∗ である。
余談であるが、SVDを行う計算ツールは、現在ではwebから容易にダウンロードできると思います。’80年代では、ネットは無かったので、この方法を使い始めた時には、正方行列の固有値・ベクトルを求めるプログラムから自作した。現代は非常に効率的である。

14/100

3．TSVD正則化を用いる練習問題
第2章での定式化を、簡単な体系で練習問題として
磁場設計を行うことで、理解を助ける。
・円環体系で垂直断面(ポロイダル断面)内の磁場を目標磁場として、円環面を周回(トロイダル)方向に流れる電流分布を求める。
3.1 例題の計算体系(円電流の計算精度を補足）
3.2 応答行列と特異値分解3.3 磁場・電流分布の再構成
3.4 目標磁場とMaxwell方程式
3.5 第3章のまとめ

15/100

3.1 例題の計算体系
電流：トーラス面上を周回方向に流れる電流I
I = （I1, I2, ----------------, 𝐼𝑁𝐹 ）

電流I

Z

Aij
j=NF/2
j=1+NF/2

i=1+M/2

q

j=3
j=2
i=2
j=1
i=1
i=M j=NF

R

磁場：ポロイダル断面上の磁場B
B ** =sin(q)BR + cos(q)BZ∗∗
B** = (B1**, B2**, --------, 𝐵𝑁𝑃)

上添字**は目標TG、再構成REC,
残差RE、平均AV, 基準0,----など

16/100

3.1 例題の計算体系 (2)現在の練習問題はBTG ≒AIZ

Aijの電流Iを求めることで、答えは、
I = σｋ(uktBTG)vk/lk

そこで、Aを求め特異値分解(SVD)を適用する。Aij計算で円電流が作る磁場の場合、
𝐵𝑍 =

𝐵𝑅 =

2 −𝑍 2𝑅𝑐2 −𝑅𝑚𝑚
2 𝐸 𝑘
2𝑅𝑐 −𝑅𝑚 +𝑍𝑚

𝜇0 𝐼 𝑘4𝜋 𝑅𝑐 𝑅𝑚

4𝜋𝑅𝑚 𝑅𝑐 𝑅𝑚
𝜋2

𝐸 𝑘 = ‫׬‬0𝜋2

𝐾 𝑘 = ‫׬‬01 − 𝑘𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜃

1−𝑘𝑠𝑖𝑛2 𝜃

4𝑅 𝑅

𝑘 = 𝑅 +𝑅 𝑐 2𝑚+𝑍 2𝑐𝑚𝑚

i=1+M/2+ 𝐾(𝑘)

2 +𝑍 2𝑅𝑐2 +𝑅𝑚𝑚
2 𝐸 𝑘
𝑅𝑐 −𝑅𝑚 2 +𝑍𝑚

𝜇0 𝐼𝑍𝑚 𝑘

j=NF/2
j=1+NF/2

j=3
i=2 j=2 R
i=1 j=1
i=M j=NF(k=0～1.0)− 𝐾(𝑘)

ベクトルポテンシャル(例題の体系では
周回方向成分のみ)の場合は、
𝐴∅ =𝜇0 𝐼 𝑅𝑐
𝜋 𝑘𝑅𝑚

𝑘

1 − 2 𝐾 𝑘 − 𝐸(𝑘)𝐾(𝑘)、 𝐸 𝑘 は第1種、第2種の完全楕円積分値である。この計算精度は磁場計算
精度に直接影響する。→短い計算時間で、高精度に計算できることが必要。

17/100

3.1.1 円電流による磁場
多くの磁石は円形コイルの組み合わせで作られる。円電流による磁場を高速・高精度で計算することは、磁場設計を高精度に行うためには極めて重要。
そこで、 第1種、第2種の完全楕円関数の計算(𝐾(𝑘), 𝐸 𝑘 )に近似式を使う(参考文献)。
Z𝑁𝑁

𝐾 𝑘 ≈ ෍ 𝑐𝑛 𝑘 ′ 𝑛 − ln𝑘′ ෍ 𝑑𝑛 𝑘′𝑛
𝑛=1

𝑁

𝑛=1

RC

𝑁

𝐸 𝑘 ≈ 1.0 + ෍ 𝑎𝑛 𝑘 ′ 𝑛 − ln𝑘′ ෍ 𝑏𝑛 𝑘′𝑛𝑛=1′
ただし、𝑘 = 1.0 − 𝑘

Z=0

Z=Zm Rm

磁場計測点

𝑛=1

係数Cn, dn, an, bnの計算法と数値は参考文献で与えられているので、利用する。
N=4では2.0E-8程度、 N=10では1E-12以下の精度が得られる。
MRIや核融合関連ではN=4で必要十分な解を
得ていた。

RC

[32] W. J. Cody, “Chebyshev approximations for the complete elliptic integrals K and E,” Math. Comput., vol. 19, pp. 105–112, 1965. (注)[34] Xuewei Ping , Li Li, Xinghui Yin , Xin Wang , Qingbo Li, and Meiyan Ju, “A Discussion on Efficient Methods for Computing
Magnetic Flux Density of Circular Coils”, IEEE Journal of Multiscale and Multiphysics Computational Technique, Vol.4, pp227-233, 2019

18/100

3.1.1 円電流による磁場 (2)円電流：z=0.15m、半径RC=0.52, 及び、0.81 m
磁場計算点,Z=0.0m, Rm=0.25, 0.0, および、0.333 m|線分分割計算ー多項式計算近似| (T)

軸方向磁場
1.0E-02
電流ループ
電流値I

1.0E-04(𝒓 − 𝒓i′)

∆𝒍i−𝟐
∆𝒍i−𝟏
∆𝒍i
∆𝒍i+𝟏
∆𝒍i+𝟐

1.0E+00

𝑩

1.0E-06
4次Rm=0.25m
1.0E-08
4次Rm=0.00m

1.0E-101.0E-12
Rm=0.333m, RC=0.81m, ZC=0.15m
1.0E-14
1.E+00

1.E+02

1.E+04

1.E+06

1.E+08Fig. 3.1-3(a) 曲線の線分分割

線分分割数

Fig. 3.1-3(b) 磁場計算精度の確認。完全楕円積分に近似式を使った解析式による値と線分分割による計算値の比較。

大半径2m

3.2. 応答行列と特異値分解
電流I

軸対称の円環上の周回（トロイダル方向電流）を計算する(2D体系)
・電流: 大半径2.0m, 小半径0.4mの円環(トーラス)面を周回方向(トロイダル方向)に流れる電流80本。

Axial position Z (0.1m)

19/100q

I = （I1, I2, -----Ij, -----------, 𝐼𝑁𝐹 ）・磁場評価点(MFEPs): 大半径2.0m, 小
半径0.25mの円環(トーラス)面上に100点。
B =(B1, B2, -----Bi, -----------, 𝐼𝑀𝐴 )MFEP上の磁場(BR, BZ)が評価磁場であるが、今回は、小半径方向の磁場、Br = cos(q)BR+ sin(q)BZで評価する。

Major radius position R (m)・応答行列A𝑍
B = AI {Aij = cos(θ) 𝐴𝑅𝑖𝑗 + sin(θ) 𝐴𝑖𝑗}
行列成分Aijはi番目円電流がj番目MFEPに作る単位電流当たりの磁場。
MFEPs: magnetic Field Evaluation Points

20/100

3.2. 応答行列と特異値分解 (2)𝑍
𝐴𝑖𝑗=

𝐴𝑅𝑖𝑗 =

𝜇0 𝑘
4𝜋 𝑅𝑐𝑗 𝑅𝑚𝑖
𝜇0 𝑍𝑚 𝑘4𝜋𝑅𝑚𝑖 𝑅𝑐𝑗 𝑅𝑚𝑖

Axial position Z (0.1m)・応答行列A𝑍
B** = AI {Aij = cos(θ) 𝐴𝑅𝑖𝑗 + sin(θ) 𝐴𝑖𝑗}
行列成分Aijはi番目円電流がj番目MFEPに作る単位電流当たりの磁場B 。

Major radius position R (m)

2
2
2
𝑅𝑐𝑗
− 𝑅𝑚𝑖
− 𝑍𝑚

𝑅𝑐𝑗 − 𝑅𝑚𝑖

2

2
+ 𝑍𝑚

𝐸 𝑘 +𝐾 𝑘

2
2
2
𝑅𝑐𝑗
+ 𝑅𝑚𝑖
+ 𝑍𝑚

𝑅𝑐𝑗 − 𝑅𝑚𝑖

2

2
+ 𝑍𝑚

𝐸 𝑘 −𝐾 𝑘

21/100

3.2. 電流-磁場の応答行列と特異値分解 (3)
𝐴𝑖𝑗 =
𝑘=

𝜇0 𝑅𝑐𝑗𝜋 𝑘𝑅𝑚𝑖1−

4𝑅𝑐𝑗 𝑅𝑚𝑖
𝑅𝑐𝑗 +𝑅𝑚𝑖

2+𝑍𝑚𝑖 2

Axial position Z (0.1m)・応答行列A
B** = AI
行列成分Aijはi番目円電流がj番目MFEPに作る単位電流当たりのベクトルポテンシャルAΦ.

Major radius position R (m)𝑘2

𝐾 𝑘 − 𝐸(𝑘)(k=0～1.0)

22/100

目標磁場：BTG
BZ=1.0T 一様
𝐵𝑖𝑇𝐺 = sin(𝜃𝑖 )𝐵𝑍
BTG ={-------, sin(𝜃𝑖 )𝐵𝑍 --------}
I =ΣvkuktBTG/lk
1/2=σ𝑘 𝑛𝑝 vk PTGk /lk,

PTGk = uktBTG/np1/2
1/2

BREC = σ𝑘 𝑛𝑝 PTGkuk
BRE = BTG- BRECBREPP = BREMAX - BREMIN

Singular value lk [T/A], Eigenmode strength PTGk [T],RE
Peak-to-peak residual 𝐵PP[T]

3.3. 磁場・電流分布の再構成
1.0E+00

MT=4

1.0E-01MT=8

1.0E-02MT=12

1.0E-03
1.0E-04

1.0E-05
1.0E-06
1.0E-07
1.0E-08
1.0E-09
1.0E-10
0

5

10

15

Eigen mode Number MD
Truncation Eigen mode Number MT20

23/100

3.3. 磁場・電流分布の再構成 (2)下記式でk=1~MTで加算して電流分布Iを求め、
I =ΣvkuktBTG/lk

BRE(X)= 𝐵𝑍𝑇𝐺 − 𝐵𝑍𝑅𝐸𝐶 (X)
ここでは目標磁場を

1/2=σ𝑘 𝑛𝑝 vk PTGk /lk,

円電流の集まりとして、磁場分布𝐵𝑍𝑅𝐸𝐶 (X)を計算。

Axial position Z (0.1m)

下記式で残差磁場分布を計算(a) MT=4

𝐵𝑍𝑇𝐺 =1.0Tとしている。

(b) MT=8

MT=4(c) MT=12

MT=8

MT=12

Major radius position R (m)磁場を目標とした場合の磁場分布をベクトルポテンシャルAΦ(上下に走る線)と残差磁場分布（放射状の等高線、単位：T ）。MTを増やすことで、残差磁場は減少する。

24/100

3.3. 磁場・電流分布の再構成 (3)Axial position Z (0.1m)

目標磁場をベクトルポテンシャルで与える場合、𝐴𝑇𝐺∅ = 𝑅/2.0 + 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡/𝑅
目標磁場を磁場であれば、軸方向磁場は、分布B(1T一様)
1 𝜕𝑅𝐴𝜙𝑇𝐺
𝐵𝑍 == 1.0 𝑇
で与えた場合𝑅 𝜕𝑅
で前ページと同じ目標磁場である。
この目標磁場で磁場を再構成し、残差を求め化結果(MT =9)が下図。
(a) AΦ(0)=0.57167|I|=354.7 kA(b) AΦ (0)=0.42167|I|=360.4 kA(b) MT=8

MT=8(c) AΦ (0)=0.72167|I|=360.4 kA

Major radius position R (m)ベクトルポテンシャルを目標磁場として電流分布計算も出来る。磁場を目標とした場合(右上)は左端に近い結果であり、電流の絶対和は小さい。

25/100

Singular value lk [T/A], Eigenmode strength PTGk [T],RE
Peak-to-peak residual 𝐵PP[T]

3.4 目標磁場とMaxwell方程式(BRの目標磁場)
Maxwell方程式と整合しない目標磁場を与えた場合を示しておく、
1 𝜕𝑅𝐵𝑅
𝜕𝐵𝑍
div
B
=0
(
+
= 0)に
左側：𝐵RTG = 1.0 [T]とした場合、
𝑅 𝜕𝑅
𝜕𝑍
矛盾しない目標磁場は右側
右側： 𝐵𝑅𝑇𝐺 = R/2.0, ＆ 𝐵𝑍𝑇𝐺 = −𝑍 [T]1.0E+01

1.0E+01

1.0E+00

1.0E+00

1.0E-01

1.0E-01

残差磁場

1.0E-02

1.0E-02

1.0E-03

1.0E-03

1.0E-04

1.0E-04

1.0E-05

1.0E-05

1.0E-06

1.0E-06

1.0E-07

1.0E-07

1.0E-08

1.0E-08

1.0E-09

1.0E-09

1.0E-101.0E-10
20 0

0

5

10

MT=4

15

MT=8
MT=12

5

10

15

20

Eigen mode Number MD Truncation Eigen mode Number MT

残差磁場強度の比較、目標磁場、左：Maxwellと矛盾、右：Maxwellに整合26/100

3.4 目標磁場とMaxwell方程式 (BRの目標磁場2)
下記式でk=1~MTで加算して電流分布Iを求め、
I =ΣvkuktBTG/lk
1/2=σ𝑘 𝑛𝑝 vk PTGk /lk,

Axial position Z (0.1m)

円電流の集まりとして、磁場分布𝐵𝑍𝑅𝐸𝐶 (X)を計算。
(a) MT=4

下記式で残差磁場分布を計算
BRE(X)= 𝐵𝑍𝑇𝐺 − 𝐵𝑍𝑅𝐸𝐶 (X)
ここでは、目標磁場を、カプス磁場

𝐵𝑅𝑇𝐺 = R/2.0, ＆ 𝐵𝑍𝑇𝐺 = −𝑍 [T]としている。

(b) MT=8(a) MT=12

Major radius position R (m)磁場を目標とした場合の磁場分布をベクトルポテンシャルAΦ(左右に走る線)と残差磁場分布（放射状の等高線、単位：T）。MTを増やすことで、残差磁場は減少する。

27/100

3.4 目標磁場とMaxwell方程式(3)1.0E+01
1.0E+00
1.0E-01
1.0E-02
1.0E-03
1.0E-04
1.0E-05
1.0E-06
1.0E-07
1.0E-08
1.0E-09
1.0E-10

MT=9

Axial position Z (m)Singular value lk [T/A], Eigenmode strength PTGk [T],RE
Peak-to-peak residual 𝐵PP[T]

目標磁場にベクトルポテンシャル利用し、
𝐴TG(3-21)∅ = ｰRZ/2.0とする場合の、磁場再構成。

0

5
10
15
20
Eigen mode Number MD
Truncation Eigen mode Number MT

Major radius position R (m)3.4 目標磁場とMaxwell方程式(4 勾配磁場の場合)
目標磁場をBZ(R) = 1.0 + Const(R – 2.0) [T]､𝜕𝐵

𝜕𝐵とすると、 𝜕𝑍𝑅 = 𝜕𝑅𝑍であることから、
𝐵𝑅TG = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑍
さらに、
1 𝜕𝑅𝐵𝑅
𝜕𝐵𝑍
+
=0
𝑅 𝜕𝑅
𝜕𝑍

(a) Correct target B

で有ることが必要であり、Z=0面
以外では、
2
TG −1 𝜕𝐵𝑍 𝑍∆𝐵𝑍 = 𝑅 𝜕𝑅 2を追加する。

𝐵𝑍TG =1.0 +(b) Wrong target B

𝜕𝐵𝑍
𝜕𝐵 𝑍 2(R-2.0) − 𝑍
𝜕𝑅
𝑅0 𝜕𝑅 20.35(c) Residuals at R=2.0 m

Axial position Z (m)

0.25
0.15
0.05

-0.05
-0.15
-0.25
-0.35
-1.0E-05

Major radius position R (m)正しい𝐵ZTG {式(3-28)}

28/100MFEP

MFE
0.0E+00 P 1.0E-05
Residual (T)勾配垂直磁場の再構成結果、目標磁場、左：Maxwellに整合、中央：Maxwellと矛盾、
左：残差磁場の軸(Z方向)方向分布(R=2.0m)

29/100

3.5 第3章のまとめ
円環体系(トーラス)で、最小二乗法を打ち切り特異値分解
正則化で解く手法を、例題を通して説明した。
1. 太い円環上に電流が周回方向に流れ、細い円環上に磁場評価点(MFEPs)を配置し、MFEPsに目標磁場を与え、電流分布を求める、例題である。
2．円電流の高速・高精度で求めるために完全楕円積分値を展開式で求める手法を説明した。
3．垂直軸方向(Z)一様磁場を目標にした場合を示した。
4．大半径方向（R）方向磁場を目標とした場合を通じて、
Maxwell方程式との整合性について説明した。また、ベクトル
ポテンシャルも目標磁場として用いることも可能であると説明した。
5．最後に垂直磁場に傾斜がある場合の目標磁場について説明した。

30/100

4. MRI用磁石の一様磁場設計
本章では、これまで説明してきた、最小二乗法を打ち切り特異値分解による正則化を使って解く方法(TSVD正則化)を、一様磁場を持つMRI用磁石の起磁
力配置の設計に適用する。
全身用MRIに適用している磁石には、大別して、下図左の垂直磁場(開放）型と右の円筒（トンネル）型の2種類があるが、ここでは、主に円筒型を取り扱う。垂直磁場型(0.2～1.2T)では起磁力源に超電導コイルを用いるもの以外に、永久磁石を用いるものもあるが、円筒型(>1.5T)では全てNbTi線材利用の超電導コイル利用である。

Fig. MRI 装置の外観写真．左：垂直磁場型，右：水平磁場型．
(参考文献[29], 図12より引用)

31/100

4. MRI用磁石の一様磁場設計 (2)
本章では、下記の項目について説明していく。4.1～4.4は磁石の起磁力配置設計例でこの時の目標磁石は右下表である。
4.1. MRI磁石磁場設計の磁場成分
4.2. 概念検討(Step-1)(CB断面の積分について)
4.3. 起磁力配置の離散化(Step-2)
4.4. 巻き線数の離散化(Step-3)
4.5. 鉄芯型MRI磁石の場合
4.6. 磁場シミング
4.7. MRI磁石静磁場設計のまとめ
Ref. [9，10]を中心に説明します。

Table 4-1 MRI磁石の試設計仕様
文献[10], Table 1より引用)
Parameter
Value
Number of MC-CBs (NMC)
6 (5 to 7)
Magnetic field at center (B0)
3.00 T
Inner radius of coil blocks
0.500 mElectrical length of MC (Le)1.520 mHomogeneity in 40 cm DSV< 1.00 ppm
Volume of interest (VOI)
0.40 m DSV
Radius of shield coil
(RSC)
0.945 mCurrent density, end-MC-CBs
150 A/mm2
other CBs 180 A/mm2
Max. magnetic field conductor<6.20 T
Current drive mode
Persistent32/100

4. MRI用磁石の一様磁場設計 (3)Shield coil (SC)Step-1 FL (Filament Loop) current

DSV

Step-2 CBs (continuous currents )Main coil (MC)Step-3 CBs (integerized turns )３段階の計算によりDSV(４０ｃｍφ程度)中の磁場を1ppm程度以下とするコイルブロック(CB: Coil Block)配置を求める

33/100

4.1. MRI磁石磁場設計の磁場成分
一様磁場を発生するMRI用などの磁石で、起磁力配置を決める磁場設計には、 |b|ではなくbZを扱う。これは、計算を線形化するためであり、妥当性を下に述べる。

1.5～2.0m

MRIや後で取り扱うg-2/EDM磁石の磁場は、 VOI（Volume OF Interest）中では極めて一様で、磁石軸方向を向いた磁場bである。このとき、|b|≒bZで、
𝑏=

2
𝑏⊥
2
2
𝑏⊥ + 𝑏𝑍 ≃ 𝑏𝑍 {1 + 0.5 ൗ𝑏2
𝑍

磁場

},

一様磁場中では、 |b| の変動は10ppm/40cm程度以𝜕𝑏𝜕𝑏𝜕𝑏下であり、 𝜕𝑍𝑍 = − 𝜕𝑋𝑋 + 𝜕𝑌𝑌 ,および,
𝜕𝑏𝑍
𝜕𝑏𝑌
𝜕𝑏𝑍
𝜕𝑏𝑋
=
,
&,
=
を考慮すると、𝑏⊥ 成分も
𝜕𝑌
𝜕𝑍
𝜕𝑋
𝜕𝑍
2
𝑏⊥
10ppm/40cm程度以下で、 0.5 ൗ𝑏2 <1.0E-9である。
𝑍

このため、一様磁場磁石設計ではこの項は無視でき、|b|≒bZである。

全身用撮像用MRI磁石
直径50cm球内で均一度10ppm程度

均一度[ppm] ＝
磁場分布の最大最小値の差 6
x10
平均磁場

34/100

4.2. 概念検討(Step-1)
Step-1： 連続電流(多数の円電流)で主コイル数・位置の概要を決める

DSV

1.04 ｍShield coil (SC)

(ソレノイド半径=0.52mで検討)

手順(1)

Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ

(a) 線輪電流→磁場分布の行列A(b) 特異値分解A=Σuklkvkｔ 実行(c) 固有モードの加算で電流分布
正則化；Truncated SVD (SVD=Singular Value Decomposition)
I=A*BTG; A*=Σvkukt/lk で打ち切り固有モード番号MTまで加算
本研究ではSVDを利用して、利用可能な固有モード(電流分布)を明確化する

Y
Magnetic field
Bz at i-th
positionZ

DSV

Filament loop currents
j-th current

Solenoid (Filament loop currents)

Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ
Ｘ

連続電流モデル

DSV=Diameter Spherical Volume
400mmDSVを以下では想定
Length35/100

4.2. 概念検討(Step-1) (2)Step-1の連続電流(多数の線輪電流)モデルによる応答行列Aの特異値分解(A=Σuklkvkｔ)による固有モード
目標精度(|残差磁場|)<1ppm (400mmDSV)<3mT (BTG=3Tで一様)

No. 特異値(T/A) 強度(p-p T) No. 特異値(T/A) 強度(p-p T)
1
6.06E-5
3.10 9
2.56E-9
2.07E-43
4.03E-6
0.109 11
1.93E-10
2.19E-5
5
3.20E-7
0.0231 13
1.65E-11
2.43E-6
7
2.57E-8
2.08E-3 15<1E-11<1E-6

13番目以上の固有モードの寄与は小さい(1ppm以下)
均一度にわずかに影響

Radial position r(m)

0.8
0.4
0.0
0.8
0.4

反対称奇数分布モード

0.0
ｰ0.8

0.0

0.8

0.0

0.8

Axial position z(m)

0.0

0.8

0.0

0.8

36/100

固有モード数と均一度の関係を把握し、固有モード数を決める。

1m（シールドコイル（SC）は主コイル（ソレノイド）の-99%磁気モーメント)
目標磁場BTG=｛3.0T(一様分布) ̶ BSC｝ ≈ I = σｋ(uktBTG)vk/lk

Homogeneity (ppm P-P)

I を用いて磁場分布・均一度(40cm-DSS)を計算→ MT =6が妥当
Le=1.55m

With Shield Coil
Without Shield CoilSolenoid length (mm)400φDSV
軸方向

100kA

4.2. 概念検討(Step-1) (3)37/100①

1mWith SC
Without SC

②

②

③
③

Solenoid length (mm)主コイル（ソレノイド）軸長と総起磁力の関係

100kA

①

100kA

負電流

電流分布

Absolutely summed current (AT)各打ち切り固有モード数(MT)で起磁力最少の軸長が存在。
②が妥当で、この磁場を再現するように起磁力配置(離散配
置されたCBｓ）を決める(Step-2＆Step-3)

200kA

4.2. 概念検討(Step-1) (4)軸方向
3T均一磁場の電流分布

38/100

4.2.1.CB断面の積分について

Coil Block(CB)は矩形断面を持つ。この断面を一定の電流密度(A/mm2)で周回方向電流が流れているとして磁場を求める。

Magnetic Field
Evaluation Point(MFEP) ×zr

Axial position Z

Coil Block(CB)の磁場計算で、断面の積分にはガウス求積法を利用。

RCba8ｘ23=184と8ｘ24=192で作図したが、実際の3T磁石では小さいCBでは10倍以上の巻き数、なので、CB断面内を一様電流密度での磁場計算は妥当
と考える。

一様配置

ガウス分点
に配置

39/100

4.2.1. CB断面の積分について
断面内の面積積分は、
+1

න

+1

න

−1

𝑁𝑥

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≈ ෍

෍
𝑖=1

−1

𝑀𝑦
𝑗=1

𝑤𝑖 𝑤𝑗 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )で加算に置き換えて実行するが、 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 を一様配置とガウス分点に配置した場合で、磁場計算精度を比較した。既出の線輪電流磁場式を使って下記で計算する。
bz = bz(I, Rc, Rm, Zmc)

一様配置

ガウス分点に配置

Table 4-3 磁場積分値の比較

ここで、 Rc, Rm, ZmcはCB半径、磁場計算点の半径位置、 磁場計算点 ガウス求積(4x7) 等分割(1000x5000)
BZ (T)BZ (T)Rm Zmc
および、CBから見た計算点の軸方向位置である。
BR (T)BR (T)(m) (m)
CBが作る磁場はCB断面を積分して、下記である。
0.694431840217
0.694431840305
+𝑏/2

න

+𝑎/2

න

−𝑏/2 −𝑎/2
𝑁𝑋 𝑀𝑌

≈ ෍෍
𝑖=1 𝑗=1𝐼
𝑏 1.0, 𝑅𝐶 + 𝑥, 𝑅𝑚 , 𝑍𝑚𝑐 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑎𝑏 𝑍𝐼𝑤 𝑤 𝑏 1.0, 𝑅𝐶 + 2𝑎𝑥𝑖 , 𝑅𝑚 , 𝑍𝑚𝑐 − 2𝑏𝑦𝑗
𝑎𝑏 𝑖 𝑗 𝑍

一様配置では均等に配置するが、ガウス求積法
では、 𝑤𝑖 , 𝑤𝑗 と𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 は既に計算された値がweb上に公開されているので、それを利用する。ただし、それぞれの数値の有効桁は可能な限り多くしておく(64bit数値では16桁)。

0.333 0.0

0.0
0.366090422210
0.333 0.50
0.110401434761
0.670767518211
0.333 0.10
0.0574310032839
0.688363919301
0.333 0.05
0.0298539491299

0.0
0.366090422208
0.110401434778
0.670767518289
0.0574310033036
0.688363919386
0.0298539491404

CBs近傍では精度が不十分であるので、要注意。導体の経験磁場の計算には一様配置が良い。

4.3.
1.2 Step-1

起磁力配置の離散化(Step-2)
100kA

40/100

Solenoid 7.01MAT

三段階の磁石設計手法

Radial position R(m)

0.9
0.6
0.3
0.0
1.2

Step-1 FL current

Step-2MC blocks 6.96MAT
1.09ppm(P-P)
11.99MJ

0.9
0.6
0.
3
0.0
0.9

Step-2 CBs(CB currents are continuous)

0.6

0.3

0.0

-0.3

-0.6

Axial position Z(m)-0.9

Step-3 CBs (integerized turns )Step-2では、Step-1で求めたFL電流配置(上)でピークとなった位置にCB(Coil Blocks)を、Step-1の磁場を再現するように配置（位置・断面形状）を調整する(下)。Step-2では、CBsの起磁力は連続値、実数値(real number)の電流値である。rCBとしてStep-3で決めるiCBと区別する。

41/1004.3.

起磁力配置の離散化(Step-2) (2)100kA

Radial position R(m)

1.2
0.9
0.6
0.3
0.0

-0.3
-0.6
0.3
0.0
FLs 0.6
6 MC-CBs
Axial position Z(m)
SC11
SC10
0.9
2.11MAT
2.15MAT
6.90
(CBs)
MAT
7.02 MAT
0.6
0.3
0.0

-0.9

MC30
MC31
MC20

手作業で調整し、線輪電流がおおよそ±1kA程度まで抑えた。手作業だとこのあたりが限界であるが、40cmΦで1.56ppmの均一度、Step-1(0.96ppm)より悪化している

MC10

1 kA

MC11 MC21100 kA

Radial position R (m)目標磁場BTGを、
BTG＝(3.0T一様） - (CB磁場)として、線輪電流を求めた。

1.56(1.25)ppm
0.96ppm
-0.3
0
0.3
0.9
-0.6
0.6
Axial position Z (m)CBsの手作業による配置
残差線輪電流が小さくなるように配置

磁場設計に使っている固有
モードの強度を正確に調整する手法を考案・採用。

42/1004.3.

起磁力配置の離散化(Step-2) (3)CB position (R, Z)

ROT

IOT>0

WR

IBOT<0

R

ITP
>0

WAX
ZBT

ZTP

RIN

Radial position R (m)Coil block displacement

MC31

MC21

I1N <0Z

Additional currents due to
CB displacement

ΔZTP> 0refers to
ITP >0MC20MC10MC31 MC30
Electrical length
VOI
Axial position Z (m)43/1004.3.

起磁力配置の離散化(Step-2) (4)Step-2のSVD固有モードはStep-1の多数線輪電流(連続電流分布を模擬)とほぼ同じ磁場分布を持つ。そのため、Step-1の磁場分布を再現できる。
1.00

Radial position R (m)

0.75
0.50
0.25
1.00
0.75
0.50
0.25
0.0
-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

-0.4

0.0

0.4

Axial position Z (m)Fig. Step-2の固有モードの電流と磁場分布、左：Step-2でCB辺の移動によるSVD固有
モード、右：Step-1の線輪電流（連続電流）によるSVD固有モード.

0.8

44/100

起磁力配置の離散化(Step-2) (5)Homogeneity h40 (ppm)

手作業配置

Step-2終了時

1.2 FLs

Residual strengths (ppm)

Radial position R (m)(MMC+MSC)/MMC (%)

Residual Eigenmodestrength Prei (T)(MMC+MSC)/ Homogeneity
MMC (%)
h40 (ppm)

4.3.

6 MC-CBs
SC10
2.13MAT

SC11
0.9
0.6

2.19MAT
7.02 MAT
MC11

0.3

0.0
-0.9

MC21

7.08 MAT
MC30
MC31

MC20

MC10

3515 ppm
0.84 ppm
-0.6
-0.3
0.0
0.6
0.3
Axial position Z (m)0.9

Iterative calculation step

Step-2では、SVD固有モード強度をStep-1の多数線輪電流(連続電流分布を模擬)で求めた固有モード強度と同じ値となるように、CBsの位置・形状を繰り返し計算で調整する。

45/100

F13=+0.40

F13=-0.53
SC10

SC11

0.9

2.27MAT
7.24MAT

0.6

Homogeneity (ppm PP)

1.2

起磁力配置の離散化(Step-2) (6)MC31

2.17MAT

MC21 MC31 MC30 MC20

MC10

0.3
0.0
-0.9

0.53 ppm

-0.6

(a)

5 MC-CBs
6 MC-CBs

7.01MAT

1.21 ppm

-0.3
0.0
0.6
0.3
Axial position Z (m)0.9Maximum conductor
magnetic field Bex (T)Radial position R (m)

4.3.

(b)

High ordered eigenmode strength (F11, F13) (T)高次ｺｲﾙの固有ﾓｰﾄﾞ強度による均一度の改善と端部MCｰCBの経験磁界

46/100

4.4. 巻き線数の離散化(Step-3)
Step-2開始時

Step-2終了時

Radial position R (m)1.2

6 MC-CBs
SC10
2.13MAT

SC11
0.9
0.6

2.19MAT
7.02 MAT
MC11

0.3

MC21

7.08 MAT
MC30
MC31

MC20

MC10

Step-1 FL current
0.0
-0.9

3515 ppm
0.84 ppm
-0.6
-0.3
0.0
0.6
0.3
Axial position Z (m)0.9上記のようにStep-2で求めた
起磁力配置ではrCBs. 巻き数・起磁力は連続・実数

Step-2 CBs(CB currents are continuous)

Step-3巻き線構造、素線電流値を決め、各iCBs位置を、一様磁場を発生するように微調整する。

Step-3 CBs (integerized turns)

4.4. 巻き線数の離散化(Step-3) (2)Table 下記線数の整数化検討例(rCB→iCB)
Models rCB placements (F13=-0.13) Conductor sizes
iCB (IPS = 1000.5 A)
rCB Sizes (mm) Amp-turns Radial Axial
Winding turns
iCB sizes (mm) CB-Total Amp-turns
(kAT)
(mm)
(mm)
tunrs
(kAT)
Radial Axial
CBs
Radial Axial Lack Radial Axial
MC10
64.2 220.0
2117.9 2.05
3.25
32
66
-2
65.6 214.5
2110
2111.1MC20
29.5 154.3
820.3 1.85
3.00
16
52
-2
29.6
156
830
830.4
MC30
22.1 150.0
594.6 1.85
3.00
12
50
-2
22.2
156
598
598.3
SC10
42.0 144.8-1094.8 1.85
3.00
22
50
-2
40.7
150
1098
-1098.6

起磁力は連続値

導体

巻き線数を整数化

半径方向の層数は、2層単位で決めるため、コイル形状・起磁力は、
Step-2からは、素線の大きさや電流値より、大きく変化する。

軸方向R

47/100軸方向Z

磁石軸側

48/100

4.4. 巻き線数の離散化(Step-3) (2)Step-3のSVD固有モードもStep-1の多数線輪電流(連続電流分布を模擬)とほぼ同じ磁場分布を持つ。そのため、Step-1の磁場分布を再現できる。
1.00

Radial position R (m)

0.75
0.50

0.25
1.00
0.75
0.50
0.25
0.0
-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

Axial position Z (m)Fig. Step-3の固有モードの電流と磁場分布、左：Step-3でCB移動によるSVD固有モード、
右：Step-1の線輪電流（連続電流）によるSVD固有モード.

49/100

4.4. 巻き線数の離散化(Step-3) (3)Step-3では、Step-2の電流・CB形状に近くなるように、巻き線数を決め、後半ではStep-2の固有モード強度を再現するように、CBs位置を調整し、起磁力配置を求める。
その後、実機の求める大きさ、導体、機械的強度、クエンチ時の健全性など把握する。

Radial position R (m)1.2
Before iCB position
tuning SC11

After iCB position
SC10
tuning2.20MAT

2.20MAT

0.9
0.6

7.08MAT
MC31

Table Step-3でのiCBとrCBのコイル位置調整

7.08MAT

MC21MC31MC30MC20

MC10

0.3
0.0
-0.9

3.0000T
3.0059T
0.91ppm
909.4ppm
-0.6
-0.3
0.0
0.6
0.3
Axial position Z (m)0.9

Fig. Step-3でのCBs配置の最適化。
左：Step-3開始時、離散化巻き線数でStep-2のCB位置、右：Step-3終了時でCBs位置を固有
モード強度を調整後。

CB names &Parameters
MC10
RC (m)MC11
ZC (m)MC20
RC (m)MC21
ZC (m)MC30
RC (m)MC31
ZC (m)SC10
RC (m)SC11
ZC (m)
E. Length Lem
Homog. h40
ppm
Bex
T
EM
MJ

rCB
iCB
iCB
(F13=-0.14) 1000.0A 1000.5A
0.5321
0.53250.53280.66100.66230.66250.52480.5266
0.52680.30620.30780.30790.52100.52280.5231
0.0942
0.0946
0.0946
0.94500.94600.94650.60000.60000.60001.54201.53901.5396
0.94
0.91
0.91
6.10
6.17
6.17
12.21
12.27
12.29

50/100

4.5. 鉄芯型MRI磁石の場合
均一度？
No.
誤差磁場

Z [mm]
750
Yes
繰り返し計
算終了

誤差磁場の補正に必要な T(A): 磁気モー
メント密度
磁気モーメント分布(計算面)

Cylinder450 Convexoconcave
Coil
375 Calculation plane
500

磁気モーメント→鉄量(磁極面凹凸)
・DUCAS: M. ABE, T. NAKAYAMA, S. OKAMURA, K. MATSUOKA , “A newtechnique to optimize coil winding path for the arbitrarily distributed magnetic field andapplication to a helical confinement system”, Phys. Plasmas. Vol.10, No.4,(2003)1022.(核融合科学研究所と共著)
・本計算例： Y. Murata, M. Abe, R. Ando, T. Nakayama, ‘A Novel Design Method of
Shapes of Ferromagnetic Materials for the Superconducting MRI Magnets’, IEEE, Trans.,
Applied Superconductivity, vol. 19, Issue 3,2009, pp.2293-2296.
DUCAS応用シミング:・ M. Abe, R. Ando, T. Nakayama, “Magnetic field shimming adjustment: Reducing
magnetic distribution errors by obtaining current potential distribution of MRI apparatus,
United States Patent, US 8,947,089 B2, 3 Feb. 2015, PCT No. PCT/JP2009/058713 filed
May 8, 2009, PCT Pub. No. WO2009/136643, Foreign Application Priority Data, May 9,2008 (JP) 2008-122843.
・M. Abe, ‘MRI Magnet Shimming by Calculations of Iron Piece Placements with
Truncated Singular Value Decomposition Regularization’, will be submitted to
JSMRM(日本磁気共鳴医学会), Accepted for publication (2016/10/28), in press andAdvance Publication] Released: March 02, 2017, mp.2016-0046 .

Yoke

繰り返し計算FOVの磁場計算

FOV(φ380 mm)

R [mm]

2500

3000

Calculation plane
Convexoconcave CoilFig. ½ cross-sectional drawing of test model Including symmetric axis

4.5. 鉄芯型MRI磁石の場合 (2)Highly homogeneous field and a feasible iron shape were obtained!
250

30
25
20
15
10
5
0

200

150

100

25

30

35

40

45

50

55

50

0
0

10

20

30

40

50

60

Z [mm]

Iteration step

Eigen distribution strength

Homogeneity [ppm]51/100

1.E-03

1.E-04

1.E-05

1.E-06

1.E-07

1.E-08

1.E-09
0

50

100

150

200

Mode number

Fig. Eigen distribution strength (ui•B)with 7 merged cylinders.

300
200
100
0

R [mm]
100 200 300 400

Fig. Transition of homogeneity in explicit method process, and final shapes and BZ
field distribution after 50 iterations with 7 merged cylinders.

250

52/100

4.6. 磁場シミング
Z(軸)方向1.20023441 T

X-Y面との角度(Latitude) (度)一様磁場を持つように設計しても、実機では、設計時の丸め誤差、製作・組み立て誤差がある。さらに設置されると、周囲の鉄材(建物や床の鉄筋など)の影響
で誤差磁場が発生する。
例えば、右図は、J-PARCでMuSEUM
実験用に用意している磁石が発生した磁場である。MuSEUM実験では、20cm30cmの回転楕円体で 0.2ppmの均一度が必要とされており、ほど遠い均一度であった。磁場を正確に調整(シミング)して初めて利用できる磁石になる。
NU1の磁石に対して、MuSEUM実験で必要な均一度が実現可能であることを示
す、シミング試験を行い、成功しているので、その方法を述べる。

90

45
1.19940305 T
0

上側

下側

-45
40ppm/線均一度=693ppm-900ｰZ(軸)方向90180270
周回方向角度(Azimuthal angle) (度)360

Fig. 4-19 NU1に仮置きしているreuseの全身MRI用MRI磁石で、シミング前に計測された磁場。メルカトール
図法(回転軸は磁石軸位置で水平方向)で直径40cm球
体表面の磁場分布(1.20T)。下側で弱い磁場は、床に入っている鉄筋の影響と考えられる。
40cm-DSS: 693ppm,
20-30cm回転楕円体表面：341ppm

MuSEUM：Muonium Spectroscopy Experiment Using Microwave

53/100

4.6.1. シミング機構
1.098 m0.8 m

1.175 m

鉄片配置：288(576)個のシムポケット

MFMPs

B

床面 鉄筋
MuSEUM magnet と Field camera
Magnet. Reuse MRI magnet, B<2.9 T.

Shim-tray

シムポケットにシ
ム片を配置

Field camera(1.2 T用)：分解能0.02mT程度、24nmrセンサx24角度位置=576点を40cm球面上で計測。(日立製作所より借用、感謝します)

3cm

4cm

<11mm

鉄片数でシム片量を調整,
最小単位は0.06cc(0.1Am2)→より小さく
最大量=13.2cc(1ポケット当たり)

MuSEUM実験用のReuse-MRI磁石で磁場シミングを試行

z54/100

4.6.2. 繰り返しのシミング作業
磁石設置、励磁後
シミング作業開始

鉄量配置誤差(計算、鉄片大きさ誤差、磁化強さ、磁化方向----)は繰り返し作業で補正し、計測精度で均一度を達成する。

Magnetic field measurement
Yes

Good homogeneity h(0) ?
No

Return to repeat

作業終了

Shimming calculation(HiSHIM：High accuracy SHIMming)
Ramp-down is necessary ?

No

Yes

シム片配置作業
Ramp-down
Iron piece placements
Ramp-up

図4-17 シミング作業の手順。磁場分布が目標の均一度を得るまで、繰り返し作業を行う。

シミング計算：計測磁場から磁気モーメント配置を算出、M. Abe, et al., IEEE
TAS, vol.27(2017) 4400812の手法、・ BER ≒AMとなる磁気モーメント配置
Mをもとめる。Aは単位磁気モーメントが作るBZ の応答行列(576x288)。打ち
切り特異値分解(SVD)正則化で算出する。下記の近似で線形計算、
・強磁性体シム片は高磁場中で受動的に磁気飽和し、磁化は、
鉄片：2.15T(1.711Am2/1cc), (ニッケ
ル：0.6T)で一定
・|B|ではなくBZを扱って計算｛一様磁場に近い状態として近似(|B|≒BZ)}

55/100

4.6.3. シミング計算

最小二乗法(LSM) で誤差磁場BER = B0- BMSを補正する磁気モーメント分布Mを求める。
Er = (B0- BMS - AM)2=(BER - AM)2 → 最小MS
BMS : 576点の計測磁場(𝐵1MS --- 𝐵iMS --- 𝐵576)
ただし、計測面から内挿した磁場である。
0
B0 : 目標磁場(𝐵10 --- 𝐵i0 --- 𝐵576)
A : 磁気モーメントから磁場の応答行列

シミング領域
周回方向角度

磁場計測面
磁場評価面

Y

Z
X

BM

i

静磁場B
(1.0～3.0T)

シムトレイの磁気モーメント(鉄片)Mj

・純鉄飽和磁化；鉄片1cc =磁気モーメント 1.711 Am2

LSMの解で、誤差磁場を補正するMは、
M = (AｔA)-1AｔBER,(AｔA)-1Aｔは一般逆行列、打ち切り特異値分解正則化法(TSVD)を利用すると下記。
t ER𝑇
M = σ𝑘=𝑀
𝑘=1 vkuk B /lk,

加算は固有モードについて特異値lk[T/Am2]
降順に, 打ち切り固有モード番号k= MTまで行う。vkとukはそれぞれ、MとBのk番目固有分布。シミング後の予想残差磁場BREは下
式となる
t ER
𝑇
BRE= BER –σ𝑘=𝑀
𝑘=1 uk(uk B )= BER - AM (MT )このシミング計算では少ないシム片量で良好な均一度となるように、・打ち切り固有モード番号MT、
・目標磁場強度B0 、を決める仮想的シミング計算(シミング設計)も必要、シミング作業前に検討する。

56/100

4.6.3. シミング計算 （2：磁場分布の内挿）

MuSEUM実験領域(20-30cm楕円体)の到達可能均一度
50cm球面で最少二乗法
楕円体面で最少二乗法
0.476 ppm
0.00482 ppm
Max(BRE)− Min(BRE)
均一度(ppm)＝106
BCEN

シムトレイの磁気モーメント(鉄片)
シミング面
Y
X

最少二乗法（LSM）で設計(シミング)
Er = (BER)2 =(B0- BCB)2 →最小
磁場計測BMS
磁場内挿計算誤差磁場：BER = BAV - BMS

磁場計測点
磁場評価点
(MFEP)
Z

誤差磁場分布BERを再現する仮想起
磁力面の電流（磁気モーメント）分布

静磁場B

任意の内挿点のBER計算可能→ 磁場評価点(MFEP)のBER＝シミング計算への入力磁場(1.70T)

Mj

MFEPの誤差磁場を補正するシミング計算

MFS: Magnetomotive Force Surface(起磁力面), MFEP: Magnetic Field Evaluation Point(磁場評価点)

57/100

4.6.3. シミング計算 （3：磁場分布の内挿2）仮想磁石設計磁場で1.7T内挿磁場計算
50cm-DSS(球面)磁場分布→内挿磁場

Vertical position Y (0.1m)

Designed(入力)MZ(1) 計算磁場(50cm球面576点)を入力(2)磁場分布を再現する起磁力分布をLSMで算出(MFS=70cm-DSS, 3602 nodes)・電流(DUCAS),・半径方向磁気モーメント(MR),・軸方向磁気モーメント(MZ),(3) 起磁力分布から計測面内の磁場分布を算出

確認結果：全モデル、実験領域では1.0E-9T(0.001ppm)以下の誤差で磁場を内挿できる。

-0.01

磁石軸

今後は、アルゴリズムの最も単純なMZモデルを内挿計算に利用する。

磁場計測点
シミング面
磁場評価面
Z

Y
DUCAS

MR

Axial position Z (0.1m)
Magnetic field interpolation test, using a magnetic fieldof a virtually designed magnet (LSM on 50cm-DSS).

X

静磁場B

DSS: Diameter Spherical Surface

58/100

4.6.3. シミング計算 （4：シミング設計）

1.0E-02693 ppm

1.0E-03

BER =(BAV- BCB)
シミング後の推定残差BRE
t ER= BER –σ𝑘=𝑀𝑇
𝑘=1 uk(uk B )= BER - AM (MT )RE
𝐵PP: BER要素の振幅、打ち切り固有モード番号の関数でプロットRE
𝐵PP
6
均一度(ppm)＝10 B

RE
2020/07/07実測磁場から算出𝐵PP(1.2T, 40cm直径field camera, BAV=1.19991006)

1.0E-05
1.0E-06

MT= 69大MTｰ>シム片量増加

1.0E-04

シミング

RE
Residual magnetic field amplitude 𝐵PP(T)

目標均一度を少ない鉄量(小MT)で実現できる打ち切り固有モード番号MTを選択

CEN

シミング前実測

0.2 ppm=0.34mT

1.0E-07
1.0E-08

0

25
50
75
100
125
Truncation SVD eigenmode number MT150

MT =69としてシミングす
れば、目標均一度を達成できると予測。

シミング計算(B0=BAV)で求めた残差磁場と打ち切り固有モード番号MTの関係

計測：40cm-DSS (DSS: Diameter Spherical Surface)、磁場評価:20-30-SPS(SPS: SPheroid Surface)59/100

4.6.3. シミング計算 （4：シミング設計2.目標磁場とシム片最小単位）

MRI磁石シミングで使った最小単位の0.06cc鉄片(0.103Am2)では、均一度0.02ppmは不可、
最小単位0.017Am2程度以下が必要。Ni (弱飽和磁化)や磁性パテ材(連続量)のシム材を用意。
920cc = 7.3kg

MT= 69鉄量0.8

1.2E-038.0E-04NG
シミング不可0.6

0.4

4.0E-04

負鉄量

鉄片0.06cm3 (0.103Am2)

0.0E+00

均一度
Ni0.036cm3 (0.017Am2,鉄片の1/6)

0.5 Gauss

0.2

合計シム鉄量(m3)

均一度(20-30cm楕円体表面) (ppm)

1.0-4.0E-04

無限小単位シム片
0.0
1.19950

1.19955

1.19960

1.19965

1.19970

1.19975-8.0E-04
1.19980

目標磁場強度B0 (T)BAV =1.19991006

60/100

4.6.4.シミング作業の実行
2020/07/16(Liq. He full)1000

均一度(ppm)100

シム片単位0.06cc
以下に縮小

10

1

0.1

0

1

2

3

4

5

繰り返し作業回数

67

高さ方向位置Y (0.1m)

0.1 ppm/line

Fiducial volume

B<BCEN
B>BCEN
均一度=0.171 ppm

25.8℃

軸方向位置Z(0.1m)

繰り返しシミング作業(左)により得られたシミング後の内挿磁場分布(右)(磁場計測面：40cmDSS、磁場評価面： 20-30-SPS1.2T) 均一度（MuSEUM実験領域表面=20-30cm-SPS、peak-to-peak）：

61/100

4.6.5. 受動シミングの難しい磁場

計測磁場|B|とシミング計算𝐵𝑍 の関係は
|B|＝𝐵MS=2
𝐵⊥
2
2
𝐵⊥ + 𝐵𝑍 ≃ 𝐵𝑍 {1 + 0.5
ൗ𝐵2
𝑍

},

シミング後でも、Zに依存せず、

𝜕𝐵𝑋
𝜕𝐵+ 𝑌 ＝0,
𝜕𝑋
𝜕𝑌

𝜕𝐵𝑌
𝜕𝐵
= 𝑋 を満たす磁場は残る。ベクトルポ
𝜕𝑋
𝜕𝑌

テンシャルAΦで表すと、|B|, 𝐵𝑍 と𝐵⊥を区別した計測は困難。 𝐵⊥が𝑛 𝐶 cos 𝑛𝜃 + 𝐶 sin 𝑛𝜃 ,
A
=
෍
𝑅
MS
𝐶
𝑠
Φ
5ガウスでも、𝐵𝑍 =1.70Tでは 𝐵 ＝1.70
𝑛+ 7.4E-8 Tで、影響は小さい(<0.1ppm)。
のような磁場(下記)は残る。

n=1

n=2

n=3

Fig. 4-24 BX, BY成分{式(4-21)}磁場の磁力線を左からn=1, 2, 3で示す。
矢印は磁場方向。

62/100

4.7.

MRI磁石静磁場設計のまとめ

MRIの精密磁場設計について下記の項目に沿って説明しました。
4.1. MRI磁石磁場設計の磁場成分
4.2. 概念検討(Step-1)(CB断面の積分について)
4.3. 起磁力配置の離散化(Step-2)
4.4. 巻き線数の離散化(Step-3)
4.5. 鉄芯型MRI磁石の場合
4.6. 磁場シミング(シミング機構、繰り返しシミング作業、シミン
グ計算、シミング計算の実行、受動シミングの難しい磁場)

Table 4-1 MRI磁石の試設計仕様
文献[10], Table 1より引用)
Parameter
Value
Number of MC-CBs (NMC)
6 (5 to 7)
0
Magnetic field at center (B )3.00 T
Inner radius of coil blocks
0.500 mElectrical length of MC (Le)1.520 mHomogeneity in 40 cm DSV< 1.00 ppm
Volume of interest (VOI)
0.40 m DSV
Radius of shield coil
(RSC)
0.945 mCurrent density, end-MC-CBs
150 A/mm2
other CBs 180 A/mm2
Max. magnetic field conductor<6.20 T
Current drive mode
Persistent
40cm DSV: 40cm Diameter Spherical Volume(40cm直径球体)

5.

g-2/EDM磁石の磁場設計

MuonビームはLinac→Transport line→Injection tunnel
を経由して、らせん入射軌道に入ってくる。
螺旋軌道は、基本的には主磁場により決まるが、下記の磁場も重要である。
・螺旋入射軌道微調整に2つのASSMs (inner-ASSM, outer-ASSM)
・らせん軌道で降りてくるMuonを止める
Kickerコイル
・Muonの上下位置を維持する
弱収束磁場コイルを用意する計画で設計を進めている。

Iron yoke

2.2m

63/100Detector

Muon Storage Magnet(永久電流運転の超電導磁石)
ビーム蓄積磁石内のコイル・磁石配置模式図

64/1005.1.

主磁場

主磁場の使用は下表である。ビーム蓄積領域では、0.2ppmの均一度が重要で、らせん軌道領域では、半径方向成分が負(BR<0)とならないような磁場設計が重要である。
Table 5-1 Muon 蓄積磁石(MSM)の仕様
Parameters
ValuesMagnetic field strength
3.0 T
Homogeneity (BZ)
< 0.2 ppm
R: 0.318 m to 0.348m
Area with Homogeneous
magnetic field
Z: -0.05 m to +0.05 m
n-index of weak focus field
0.0 to 3.0E-4
Radial magnetic field
BR > -1.0E-4 T
component BR
Current drive
Persistent mode


F


BR

beam

B

Solenoid
axis
beam

R

Radial fringe fieldBR compress
spiral motion

Solenoid
coil

Solenoid
coil
Vertical kickby a radialpulsed field,
Br(t)65/100

5.1.1. Step-1 (概念検討)
仕様の磁場分布が可能なことを線輪(FL)電流の集合で確認
Z

0.33 m

Bi

ビーム蓄積領域(半径33.3CM,
30mmx100mm)

B=AIFLI

Solved by least square
method using TSVD
To obtain an
homogeneous 3.0 T B(a) Solenoid only type filament loop
current placements

Bi

磁場評価面

ビーム蓄積領域(半径33.3CM,
30mmx100mm)
X

2.2 m

IFL

Filament loop currents

XX
X
X
X
X
X
X
X
FL XX
jX
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X

X X X X X X XX X X X X X XXXXX

Filament loop currents

X
XX
X
X

XX
X

0.8 m

X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
jXX
X
XR
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X

X X X X X X XX X X X X X XZ(b) Solenoid + iron yoke type filament
loop current placements

Fig. Computational models to discuss the concept of the g-2/EDM magnet
with filament loop (FL) currentsR66/100

5.1.1. Step-1 (2)
100

0.04

10

▲： Fig. 3左Solenoid●： Fig. 3右Solenoid+iron yoke
0.03
Solenoid Fig. 3(a)

1

0.02

0.2 ppm
0.1

0.01

Closed Fig. 3(b)

0.01

0.00
Minimum BR

0.001

-0.01
6

7

8

9

加算割合100%

打ち切り固有モード番号MD
100%
100%
100%

Axial position Z (m)53-rd mode

5-th mode

0.60

0.60

1.20

10

Minimum BR (T)Homogeneity (ppmPP)

起磁力配置最適化に使用する固有モード

11

100%

10%

9-th mode

11-th mode

0.60
0.0
-0.60

1-st mode
-1.20
0.0

0.60

1.20

1.20

1.20

7-th mode
0.60

1.20

0.60

Radial position R (m)Fig. 4 Eigenmodes used for the magnet design

1.20

0.60

1.20

67/100

5.1.1. Step-1 (3)No current area : dBZ/dR = dBR/dZ
Inside strong BZ causes negative BR

Radial field on the muon orbit radius:r = p/qB= 300MeV/qBc =1/B(R,Z)
0.2

Vertical position Z (m)Solenoid only (左)Radial field BR (T)0.1

Negative BR

0.0
0.2
Solenoid + iron yoke (右）

0.1

100kA

100kA

0.0
0.0

Contours
0 mT, ±0.3 mT±3.0 mT, ±30.0 mT

Radial position R (m)

0.2

0.4

0.6

0.8

Vertical position Z (m)Fig. Candidates for the g-2/EDM magnetic field(Solenoid + iron-yoke type is acceptable)

1.0

68/100

MFES

Vertical position Z (m)Vertical position Z (m)5.1.1. Step-1 (4)-0.1ppm+0.1ppm

Contours
0 mT±0.3 mT±3.0 mT±30.0 mT

0.17 ppm

Radial position R (m)100kA

Homogeneity 0.17 ppm (peak-to-peak)on 30mmx100mm rectangle surface
MFES:7.0cm R-width, 25cm Z-width
MFES: Magnetic Field Evaluation Surface

Radial position R (m)Fig. 5 Target magnetic field distribution for the g-2/EDM magnet
1.0x(Eigenmodes 1 to 9) + 0.1x(11-th Eigenmodes for margin of homogeneity)69/100

5.1.2. Step-2およびStep-3

Step-1で求めた磁場分布・起磁力配置の概念を離散的に配置されたCBsと鉄yokeの起磁力で、正確(SVD固有モード強度を再現)に再現する。

Iron pole

1.78 m2.97 mIron yoke

Vertical position Z (m)1.614 MA
0.628 MA

CB電流密度:125A/mm2

0.33 m0.385 mRadial position R (m)10kA

5 Coil blocks

100kA

Iron pole

0.467 MA

Fig. 磁場分布・起磁力配置の概念(左：Step-1)を手作業でCBsと鉄yokeに置き換えたStep-2初期値。

70/100

5.1.2. Step-2およびStep-3 (2)Magnetic field due to Iron-yoke・Nonlinear calculation with CBs

Magnetic field by CBs･Tuning of CBs placements(b)+
2Ｄ averaged

繰返計算

B>B(0.333,0)

Vertical position Z (m)(a)

Summed magnetic field=

B>B(0.333,0)

Radial position R (m)Radial position R (m)Fig. 6 コイルブロック(CB)配置を与えて鉄yokeの作る磁場計算と、鉄yoke磁場を与えて磁場分布を均一化するようにCB配置を最適化する計算を、交互に繰り返してビーム蓄積領域の磁場分布を均一化させる。

M. Abe, K. Shibata, “Coil Block Designs with Good Homogeneity for MRI Magnets Basedon SVD Eigenmode strength”, IEEE Trans. Magn., vol. 51, no. 10, P. 7002713, Oct. 2015.

71/100

5.1.2. Step-2およびStep-3 (3)Magnetic field due to Iron-yoke・Nonlinear calculation with CBs

Iron pole 変更(b)

Summed magnetic field

コイルターン数整数化

100

Step-2+10

2Ｄ averaged

B>B(0.333,0)

Homogeneities
hR5x10, hS7x25 (ppm)(a)

Vertical position Z (m)Magnetic field by CBs･Tuning of CBs placements

hRBS

Step-3hSMFES=(磁場評価面)(ビーム蓄積領域)

繰返計算

1

B>B(0.333,0)

0.1
0

1

2

3

4

5

6

7

Radial position R (m)Radial position
R (m)calculation (non-linear) step
Iterative

Fig. 6 コイルブロック(CB)配置を与えて鉄yokeの作る磁場計算と、鉄yoke磁場を与えて磁場分布を均一化するようにCB配置を最適化する計算を、交互に繰り返してビーム蓄積領域の磁場分布を均一化させる。

M. Abe, K. Shibata, “Coil Block Designs with Good Homogeneity for MRI Magnets Basedon SVD Eigenmode strength”, IEEE Trans. Magn., vol. 51, no. 10, P. 7002713, Oct. 2015.

72/100

5.1.2. Step-2およびStep-3 (4)ミューオン入射: 実使用しないダミー穴を追加し、周回方向の磁場を平坦化
周回方向磁場分布,2D磁場分布には含まれないので、残った磁場はシミングで対応
3.0100E+00

1 hole x2(top & bottom)
Dummy

3.0096E+00

Beam

3.0092E+00

磁場強度 (T)3.0088E+00

Z=0.00 m
Dummy

3.0084E+00
03.00740E+00

45

90

135

180

4 hole x2(top & bottom)

225

Z=0.20 m

3.00720E+00

270

315

360

7.76 mT pp

3.00700E+00

Dummy

3.00680E+00

2.70 mT pp

Z=0.05 m

3.00660E+00
3.00640E+00
045

Z=0.00 m
90
135 180 225
周回方向角度(度)2.52 mT pp
270

315

360

Upper half of iron-yoke(CM7, Dec. 2013)

Fig. 7 ビーム入射穴による周回方向の磁場リップル( < 1ppmPP)

73/100

Vertical position Z (m)Radial field BR (T)

5.1.2. Step-2およびStep-3 (5)
0.2

0.1

BR>-1ガウス

0.0
0.0

0.2

0.4

0.6

1.0

0.8

Radial position R (m)MFES

B>3.0T

Vertical position Z (m)Vertical position Z (m)Contours
0 mT±0.3 mT±3.0 mT±30.0 mT

均一度=0.13 ppm
Radial position R (m)Fig.起磁力配置最適化手法の適用結果(5CBs:M20160422)
Left is the magnetic field with iron yoke and poles. Right is the zoomed magnetic field.

5.1.3. 鉄yoke磁場(3D)の扱い

鉄yokeの開口部が周回方向の磁場にリップルを作る。これは、設計時には可能な範囲で小さくしておくが、設置後のシミングにより、磁場を一様化する。
第5.2.4項でシミングの計算シミュレーション(仮想シミング)を示す。

+0.1 ppm-0.1 ppm+/- 8mT ripple(1) 鉄yoke形状とCB配置を仮定。
(2) 非線形3D磁場計算コードで磁場計算。
(3) 磁場分布を周回方向に平均化して2D磁場。
(4) 2D磁場の均一度を確認、良好で計算完了。
(5) CB磁場BCBを計算(2D磁場)。
(6) 鉄yoke磁場(2D) BIRを(5)と(4)の差異で算出。
(7) BCB+BIRが2D一様磁場となるCB配置に調整(8) 調整CB配置で3D非線形場計算(9) CB配置可能性を確認→(3)or(1)へ戻。

Reconstructed BZ(R=0.333, Z = 0.0m, B0=3.00000409T)

Axial field BZ (1.0E-5 T)

74/100

Radial position R (0.1 m)

CBｓと鉄yokeがMuon蓄積領域に作る磁場分布。
x:10毎の3D計算磁場、○：周回方向平均磁場、
実線：2D再構成磁場。蓄積領域で±8mTのリップ
ル磁場が存在するが、シミングは容易で有ることは確認済み。

75/100

5.1.4. 磁場設計のUpdate
Muonビーム入射口（4個ｘ上下）常時開。7個はダミーで磁場分布調整用冷凍機からの液体He輸送管用（4個ｘ上下）常時開。7個はダミーで磁場分布調整用。

1.44m

Fineシムトレイ用引き出し穴（20個ｘ上下）閉止鉄栓無し

2.20m

Coarseシムトレイ用引き出し穴（4個ｘ上下）作業後に穴に閉止鉄栓検出器配線、真空排気、キッカーコイル配線（1個ｘ上下）
鉄yoke外形は、製作性を考慮して8角形。
・上下(天井・床)板は純鉄(385mm厚)、外周部はSS400（構造材、330mm→増加検討中）を検討中。

現在の鉄yoke設計形状。設計の進展に依って変化し、CBs位置も変更。
(現在のCBsはM20210727.or.M20210604 導体の違い)

76/100

Vertical position Z (m)BZ (T)

5.1.5. 2D再構成磁場と周回方向磁場変動

×: 3D nonlinear cal.
Field ripple is large
Magnetic field BZ
at Z > 1.00 m(R = 0.42m, B0=3.00000404T)±0.107T ripple

Axial position Z (m)BR (0.1T)

Radial field BR(R = 0.42 m)
×: 3D nonlinear cal.
±513 Gauss
Field ripple

Radial position R (m)Axial position Z (m)Muon入射シミュレーション用2D再構成磁場

主磁場を含め、各種磁場の働き、設計の妥当性は、入射シミュレーンで検討中。Z<0.95mでは検討の高速化のため下図の2D平均化・再構成磁場で進めている。蓄積領域では、鉄yokeの穴に開けた貫通孔の影響で±1mTの磁場リップルがあるが、シミング可能であることは確認済み。

77/100

5.2. 調整装置

正確な磁場分布で設計しても、実際に設置された磁石には、種々の原因で誤差磁場が混入する。そのため、MRI用磁石と同様に、磁場調
整（シミング）を行う。そのために、下表の装置を用意をしている。
受動的（Passive）シミング機構

能動的(Active)シミング機構

磁化鉄片の磁気モーメント利用(飽和磁化：
1.711Am2/1cc)、配置位置・量を調整

小コイルによる磁場を利用、電源電流を調整

Coarse用

Fine用

BZタイプシムトレイ

粗いシミングに利用最終的な精度良いシミング 軸方向成分BZ用

鉄容量＜37000 cc<6000ccを目指す

鉄容量＜2016 cc＜100ccを目指す

BRタイプシムトレイ
直交磁場成分(BX, BY )用±3ガウス以内（1.0kAT） ±6ガウス以内（1.0kAT）

20本ｘ20ポケット(92.5cc) 20本ｘ20ポケット(5.0cc)

周回方向にSCコイル6個 周回方向にSCコイル6個

消磁必要

実験中でも操作可能 実験中でも操作可能

励磁を保つ

鉄yoke天井の4個のシムト 鉄yoke天井の20個のシム 6個の小コイルを独立に 6個の小コイルを独立に通電できる電流導入
レイ取り出し穴。シミング終 トレイ取り出し穴。シミング 通電できる電流導入
了後に閉止。実験開始後 終了後でも開継続、鉄ではCoarseシミング無し yokeの変化無し

78/100

5.2.1. 受動磁場シミング
Coarseシムトレイ用引き出し穴（4個ｘ上下）
作業後に穴に閉止鉄栓
Fineシムトレイ用引き出し穴（20個ｘ上下）
閉止鉄栓無し鉄yokeの現設計形状

Coarseシムトレイ

Fineシムトレイ

79/100

5.2.1. 受動磁場シミング (2)鉄片配置は(Er = |B0 – BMS|2) を小さくする,
Berr =(B0 - BMS ) ≒ AM (M; 純鉄1.7Am2/ccで鉄量換算)→M=A*Berr （A; 応答行列, 例えば1404x400）
一般逆行列A* はTSVD (Truncated SVD)利用。

磁気モーメント分布(鉄量に比例)M=(M1,----,Mi, -----) (i-th シムポケット)B = (B1, ---, Bj, ---) (j-th MFEP: Magnetic Field Evaluation Point)
磁石現場
均一度
OK?

シミング計算M. Abe, et al., IEEE Trans. Appl. Supercond.,
27, Art. no. 4400812 (2017).

SVD A=Σuiliviｔ→ A+=Σviuit/li

強度Piを考慮して固有モード加算

磁場計測

M ＝ Σ(viuit/li)BER
BRE ＝ BER + Σnp1/2Piui
Pi ＝ ui･BER/np1/2

鉄片配置

鉄量算出
残差磁場分布を評価 BRE.
鉄量配置を出力

Aij

Coarse用シムポケット(1.50mLx1.34mΦ, 20(z)x20(rot.) pockets

磁場シミング作業

80/100

5.2.2. 能動的磁場シミング
3D Spiral injection

Arrows: Current direction

BZ タイプシムコイル

Arrows: Current direction

BR タイプシムコイル

シムコイルアレイ

81/100

5.2.2. 能動的磁場シミング (2)Top view

2nd

3rd

1st

100 mm30 mm

4thStorage region
30 mm

5th

6th

シムコイルアレイの配置図（上面図）

Storage area

82/100

5.2.2. 能動的磁場シミング (3)BR type

BRタイプシムコイルがZ=0面上に発生する磁場

83/100

5.2.2. 能動的磁場シミング (4)Axial position Z (m)B-strength 0.4mT/line

10cm

Axial direction

Strong3cm
Weak

StrongRadial direction

Radial position R (m)Fig. BZ typeシムコイルの作る磁場(6個x1.0kA電流)。BZ強度の微調調整に使うことも亜出来る。

84/100

5.2.3.受動シミングの難しい磁場との関連
第4.6.5項で示したシミングの難しい磁場は𝐵⊥ であり、下右の軸に垂直な面上を向いた成分の磁場であるが、これは計画してるBRタイプシムコイルと一致した磁場分布である。
そのため、何らかの方向で検出できれが、補正することは可能であると考える。

n=1

n=2

n=3

第4.6.5項で示したシミングの難しい磁場（Fig. 4-24より)BRタイプシムコイルによるZ=0の磁場(Fig. 5-14)

85/100

5.2.4. 受動的磁場シミングと残差磁場シミングのシミュレーション鉄yoke設置誤差による誤差磁場のシミング
誤差磁場原因として鉄yokeの設置誤差のみを考える。
目標磁場B0はミューオン蓄積領域で一様であり、 Bi0は全ての3.0T、ビーム蓄積領域でBZの磁場振幅は3.0Tを中心に、-0.1ppm～+0.1ppm (-0.3mT～+0.3mT) であることがシミング後の目標
Z

Iron-yoke

Coil

設計値

X

(1) 1mm上方向変位(2) 1mm軸変位(3) 0.05度回転

シミング計算例に使用した鉄yoke変位例

86/100

5.2.4. 受動的磁場シミングと残差磁場 (2)Fiducial volume<-10 ppm 10 ppm

0.10

BR=ｰ0.5 Gauss

0.0
0.10

>10 ppm

0.10

Low B
0.0

Homogeneity = 0.07 ppm
0.1 ppm
1.0 ppm
10.0 ppm

0.10
0.20
0

90

180

270

360 0

90

Azimuthal angle (degree)

BRRE
BR=ｰ0.5 Gauss

High B

After shimming (1623.7 cc)

10.0 ppm
1.0 ppm
0.1 ppm

BR=0 Gauss

BZRE

0.20

0.5 Gauss/line

180

BR=＋0.5 Gauss

0.20

Axial position Z (m)BRER

Before shimming

Shimming
operation

Axial position Z (m)

ER
B
Z
0.20

270

360

Iron yoke

MBSM axis

弱収束磁場
コイル

Kicker
シムトレイcoil

蓄積磁石
半径方向(R)

主コイル

Kicke
r
Kick field

Shim-coils

MuonビームはLinac→Transport line→Injection tunnel
を経由して、らせん入射軌道に入ってくる。
・螺旋入射軌道微調整に2つのASSMs (inner-ASSM, outer-ASSM)
・らせん軌道で降りてくるMuonを止める
Kickerコイル
・Muonの上下位置を維持する
弱収束磁場コイルを用意する計画で設計を進めている。

蓄積磁石
軸方向(Z)

5.3. Muon入射&蓄積関係の磁場発生機器

螺旋入射87/100

ビーム蓄積磁石内のコイル・磁石配置模式図
ASSM: Active Shield Steering Magnet

88/100

蓄積磁石
軸方向(Z)

5.3. Muon入射&蓄積関係の磁場発生機器 (2)
主磁場(3T)
数ヶ月以上
弱収束磁場(n-index=1.5E-4)
シミング磁場(鉄片､Shim-coil)

MBSM axis

Iron yoke

DC

J-PARC運転周期=25Hz
40ms
弱収束磁場
コイル

Kicker
シムトレイcoil

蓄積磁石
半径方向(R)

Kicke
r
Kick field

Muonビーム
0.2秒

ASSM
Outer-ASSM (BL=4mTm)
0.66msダクト渦電流Inner-ASSM(BL=1mTm)s

0.23ms
30ms

主コイル

1E-3秒

Shim-coils

螺旋入射

静磁場

ビーム蓄積磁石内のコイル・磁石配置模式図
ASSM: Active Shield Steering Magnet

Muon Z 位置(7.4ns/周回)(dilated life time 6.6ms)
Kicker磁場(約1mT)100～300ns
0.2～1kA
時間

1E-6秒

各磁場の動作タイミング概念図

89/100

5.3. Muon入射&蓄積関係の磁場発生機器 (3)Muon螺旋入射関連磁石(コイル)の仕様
Muon蓄積磁石内で磁場をつくる磁石・コイルは下記のものであるが、青色文字は直接に螺旋入射に関連しMuon軌道を調整。以下では順次説明する。
表 静磁場関係
コイル・磁石主磁場コイル(超電導、永久電流)機能仕様(i) Muon蓄積領域一様強磁場 (i) 3.0 T±0.3mT(ii) Muon軸方向移動を減速 (ii) BR>010ガウス程度の磁場調整可能、<6000cc,
Coarseシミング
Max.35000cc、トレイ操作に上蓋の開閉有り
受動的シミング(強磁性体,鉄片など)
0.1ガウスレベルの磁場調整、<100cc, Max.2000cc
Fine シミング
常時開口のシムトレイ操作用穴を持つ
BR-type: BR周回方向分布補正 一様、1回･2回対称、最大7ガウス
シムコイル(超電導,電源駆動)
BZ-type: BZ周回方向分布補正 一様、1回･2回対称、最大3ガウス
𝐵𝑅 = −𝑛 𝐵𝑍0 Τ𝑅0 𝑍
弱収束磁場コイル(B ∝Z)の収束磁場を発生
𝐵𝑍0𝑍2(WFFC)(超電導,電源駆動) R
𝐵Z = −𝑛 0 { 𝑅 − 𝑅0 + 0 }±0.3mT𝑅2𝑅

表 25Hzパルス磁場関係
コイル・磁石Outer-ASSM
Inner-ASSM
Kickerコイル

機能
muon軌道角(2D)･入射穴出口位置調整
muon軌道上下角･軸方向移動速度調整
BRパルス磁場でmuon軸方向移動を停止

WFFC: Weak Focus Field Coil、弱集束磁場コイル仕様
200mmΦ-400mm長以内, <10.0W, BL=4.0mTm
100mmΦ-200mm長以内, <1.0W, BL=1.0mTm±1ターン、薄板円筒導体、放射冷却のみ

ASSM: Active Shield Steering Magnet、能動磁気遮蔽型ステアリング磁石

90/100

5.3.1. 弱収束磁場
WFFC: BR∝Zの半径方向磁場の磁場を発生し,Muonを蓄積領域に閉じ込める。超電導の主コイルの内側に配置し、超電導＋電源給電で動作する。
起磁力源の無いところでは、

BR
F=qvxB

Z=0.0
m

R

𝜕𝐵𝑅
𝜕𝐵
= 𝑍
𝜕𝑍
𝜕𝑅

であり、近似的に、
BZ(R) ∝ 𝑅𝑛−𝑖𝑛𝑑𝑒𝑥 ,𝑅 𝜕𝐵
n-index = − 0 𝑍

R=0.333m

F=qvxB

𝐵𝑍0 𝜕𝑅

BRとし、WFFCが作る磁場の目標磁場を、
𝐵
𝑅0

𝐵𝑅TG = − 𝑍0 𝑍(n-index)

弱収束磁場とMuonの運動
蓄積領域

𝐵ZTG =𝐵𝑍00𝑛 − 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑥 { 0 𝑅 − 𝑅 +𝑅

𝐵𝑍0 𝑍 2𝑅 0 2𝑅 0}、として起磁力配置を決める(円筒座標)。

弱収束磁場コイル(WFFC)の磁場
WFFC: 弱収束磁場(Weak Focus Field) Coil

91/100

5.3.1. 弱収束磁場 (2)1. 応答行列Aを右体系で計算
BZ成分に対する行列で設計している
2. 特異値分解A=Σuklkvkｔ実行
3. 逆行列はA-1= Σvkukt/lk,
4. Ik = vkuktBTG/lk,
5. 固有モードの加算でWFFC候補案

Z

WFFC半径位置=0.795m𝑀𝑇𝒗𝑘 𝒖𝑡𝑘 𝑩𝑇𝐺
𝑰=෍
𝜆𝑘

R

Aij

MFEPs

主コイル内径=0.80m

V1

V3

V5

V7

Candidate WFC

1.502m

Vertical position Z (m)1

Radial position R (m)WFFC用磁場のSVD固有モード(CBs数50個)

WFFC-CBs(Coil Blocks)配置

弱収束磁場コイル(WFFC)配置検討

92/100

5.3.1. 弱収束磁場 (3)Table WFFCの使用固有モード検討
線輪電流7本
ケ
残差
残差
合計
合計
|
𝑅𝐸
𝑅𝐸
𝐵
𝐵
電流
電流
𝑍
𝑍
ス 1 3 5 7 9
(kA)
(kA)
(0.1mT)(0.1mT)
1 1.0 1.0 0.0 0.0 0.0 -44.3～+57.2 3.43 -44.5～+57.5
3.47
2 1.0 1.0 0.5 0.0 0.0 -22.0～+30.2 8.12 -22.3～+30.6
8.71
3 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0 -4.11～+3.90 15.49 -3.85～+3.66 17.74
4 1.0 1.0 1.0 0.5 0.0 -2.18～+2.38 42.50 -2.08～+2.26 36.32
5 1.0 1.0 1.0 0.9 0.0 -1.04～+1.16 74.96 -1.03～+1.15 62.02
5 1.0 1.0 1.0 1.0 0.0 -0.856~+0.825 83.16 -0.838~+0.872 68.51
7 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 -0.112~+0.125 699.5
No.
No.
加算割合
固有mode番号

線輪電流50本

93/100

5.3.1. 弱収束磁場 (4)Vertical position Z (m)WFFC半径位置=0.795m+10.29kA
Z

ｰ8.61kA+8.71kAR

MFEPs

Radial position R (m)残差磁場等高線(0.2mT/線)

主コイル内径=0.80m

Designed WFC
Designed WFC

1.502m

Vertical position Z (m)BZ等高線(20mT/線)-9.45kA

Aij+8.71kAｰ8.61kA+10.29kA
Radial position R (m)WFFC用磁場のSVD固有モード(CBs数7個)

WFFC-CBs(Coil Blocks)配置。
0.2mm設置誤差(Z=0のCB)は±3.5mTの誤差磁場

弱収束磁場コイル(WFFC)配置検討：現在案

94/100

5.3.2. キッカーコイル
常伝導＋高圧電源(~25kV)
Type-11 Kicker
0.2～1.0kA, R=0.333m

Muons

Acceleration Deceleration
0.4(Current is not yet fixed)

0.1

0

-0.1
-0.002

0.000

0.002

BR (T)

0.004

Upper
conductor

Support rods
(Insulator)

3.0 T

Magnet+Weak focus+Kicker field

Current

0.2

Supported from upper side

Conductor Z position
R=0.36m
R=0.36m

Vertical position Z (m)

0.3

Muons
Lower conductor

合計磁力：<100g程度
インダクタンス＝2.02mH
発熱量：0.17W(1kA, 200nsx25Hz)
温度上昇<0.3K、ε=0.1の輻射のみ

95/100

5.3.3. 能動磁気遮蔽型ステアリング磁石
蓄積磁石
軸方向(Z)

Table ASSMの目標設計仕様(常伝導)
Inner-ASSM Outer-ASSM
パラメータ
BL積 (Tm)
1.0E-3
4.0E-3
Pitch
Pitch, rolling
調整方向
磁気シールド (mT)
< 1.0 at 0.2m < 1.0 at 0.3m
抵抗発熱 (W)<1.0<10.0
外径 (mmΦ)
42.7
89.1
壁厚 (mm)
1.5
2.1
Beam
ダクト
TBD (Temporary SUS)
材質
0.166 ms
渦電流減衰時間 0.0575 ms
許容サイズ (mm)<100Φx200L <200Φx400L

Kicker coil

MBSM axis

螺旋入射Iron yoke

Outer-ASSM(BL=4mTm)

100ms

ASSM通電(0.66ms)
ダクト渦電流(SUS?)

Inner-ASSM(BL=1mTm)

Y (0.1m)

ASSMs

Magnetic field BY

KickerKick field

0.23ms

MC

30ms
時間

ASSM: Active Shield Steering Magnet

100ガウス
10cm長<21.1A/mm
MC：51.2Φ
SC: 45.6Φ

1E-3秒

Current: 40 A

SC
X (0.1m)

Inner-ASSMの2D設計結果(磁力線分布)

96/100

5.3.3. 能動磁気遮蔽型ステアリング磁石 (2)2D設計結果を受けて、3D磁場設計
電流ポテンシャルTと三角要素で、曲面上の電流分布を表現する。
J = {T1(X3 - X2) + T2(X1 - X3) + T3(X2 - X1)}/(2S)For CCS1(主コイル)= 20.8 (𝑘𝐴/𝑚) ,目標磁場 B=0.01T→BL=1.0mTm+0.2

BL = ‫׬‬−0.2 𝐵𝑦 𝑑𝑙

164mm

𝑑𝑧

Z (m)

𝑑𝑇

𝐴,

128 mm

𝑇 = 𝑇0 σ𝑙=4
𝑙=1 𝐶𝑙 sin{ 2𝑙 − 1 𝜃}MFEPs(b) Shield coil
B =0
72.0ｰ91.2φR(a) Main coil
CCS1
51.2φ

Iterative(T･m)Calculation

For CCS2(シールドコイル)

MFEPs

𝐵𝑅 = 0 ,T=Tk1 i=k1
Flow out current
Jk12=Tk1-Tk2
T=Tk2
i=k2

CCS2

Jk31=Tk3-Tk1

Jk

T=Tk3
i=k3
Jk23=Tk2-Tk3

X (m)

X (m)

DUCAS利用： M. Abe, et. Al, “A new technique to optimize coil winding
path for the arbitrarily distributed magnetic field and application to ahelical confinement system”, Phys. Plasmas. Vol.10, No.4, pp. 10221033, (2003).

Figure: Computational model for inside-ASSM 3D magnetic design. Numbers are diameters ofcurrent carrying surfaces (CCS). Shield CCS is squeezed at edge to reduce leak field.

97/100

5.3.3. 能動磁気遮蔽型ステアリング磁石 (3)X (0.01 m)

面電流(DUCAS)による計算結果
CCS1
(MC)

Coil-end connections

Z (0.1 m)

CCS2
(SC)

CP determined by Eq.
MMC=2.44874 Am2 Z (0.1 m)

25A毎に等高線を抽出,線電流/導体配置。
𝑇𝑛 = 25.0 × 𝑛 − 0.5 (𝐴),(a)

1.0 mT

Inner-ASSMの3D磁場設計結果(導体配置)(b)

0.1 mT
1.0 mT
10 mT

10 mT

M調整無し

164 mm20cm

Z (0.1m)

93.2 mm Φ

ただし、SC端部を利用し、MSC= -MMCに調整

MC

MSC=-2.35512 Am2

M調整有り
X (0.1m)

磁気モーメント(M)を調整して漏れ磁場低減

98/100

5.3.3. 能動磁気遮蔽型ステアリング磁石 (4)Table. Magnetic parameters of inner-ASSM

Y (0.1m)

Parameter
2D design 3D design
Conductor current (A)
25.0
25.0
Number of turns±22/12±25/12
Conductor (mm)Cu 1.0x2.0 Cu 1.0x2.0
Max. current density (A/mm)
21.1
20.8
1.0E-30.996E-3
BL product (T･m)
Magnetic energy (J)0.01890.0322
EM
Inductance (mH)
60.4
100.3
Induction
Inductive voltage (V)
50.3
86.0
Joule loss Resistance (W)
0.153
0.222
Resistive voltage (V)
3.83
5.55
(25Hz
pulse)
Joule heat (W)
0.60
0.87
Duct Joule loss (W)
1.0 (rough estimation)
Current x Voltage
25A x 64.1V 25A x 91.6V

X (0.1m)

ASSM断面内のBL積分布(中心：0.996mT, 等高線：0.1mTM/線)

7cmのところで6.2mmの変位(軌道半径40cm)

128

66Φ

44Φ

164

ビームダクト内
径39.7mmΦ

ASSMボアを通過するビームダクトの配置

ビーム通過可能幅

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5.4. g-2/EDM磁石磁場設計のまとめ
g-2/EDM磁石の磁場設計について下記の内容・磁場設計
状況をを説明しました。
5.1.
主磁場 35(Step-1、Step-2およびStep-3、鉄yoke磁場(3D)の扱い、
磁場設計のUpdate、2D再構成磁場と周回方向磁場変動)
5.2.
調整装置
41
(受動磁場シミング、能動的磁場シミング、受動シミングの難しい磁場との関連、 受動的磁場シミングと残差磁場）
5.3.
Muon入射&蓄積関係の磁場発生機器(弱収束磁場、キッカーコイル、能動磁気遮蔽型ステアリン
グ磁石)

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6. ま と め
g-2/EDM磁石の磁場設計を目標として、下記の項目を説明してきました。
・打ち切り特異値分解正則化(TSVD正則化)の計算法
・TSVD正則化を利用した例題、・MRI用磁石の設計と設置後の精密磁場調整(シミング)
・g-2/EDM磁石の設計について
TSVD正則化を用いた主磁場(3.0T)起磁力配置設計
鉄yokeのUpdateと磁場設計時の扱い調整装置として、静磁場のシミング機構、及び、
螺旋入射軌道の調整磁場装置について説明した。

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おわり