19 回 場合の数⑴―ならべ方

第ねらい●ある地点から，同じ点を2度通らずに目的地に行く道順が何通りあるかを求める。
●ごばんの目の形をした道で，もっとも短い道のりで行く道順が何通りあるか求める。
●積の法則を利用して場合の数を求める。
●特定の順番にならべるならべ方などを，樹形図をかいてくふうして求める。

例題

1 同じ点を 2 度通らずに行く道順

右の図のように，4 つの地点 A，B，C，D を結ぶ道があります。

Ａ
Ｃ

同じ点を 2 度通らないで， A から D まで行く道順は， 全部で何通ＤＢりありますか。

解き方 と ポイント
A から次の地点へ行く道は，下の 3 通りあります。
① B ヘ行く道② C へ行く道elp③ Dへへ行く道①を選んだ場合，B からは，C へ行く道，Dへ行く道を選んだ場合，同じ道，D へ行く道があります。Cがあります。Cます。C へ行く道を選んだへ行く点は 2 度通らないので，D へ行く道のの1本本しか選べません。この場合の道順は，べません。この場合の道順は，。この場合の道順は，
A→B→C→Dma

A→B→D

考える
選んだ場合，
場合，の 2 通りです。同様に考えると，②を選んだ場合，
A→C→B→D

A→C→DS

り，③だ場合だ場合，の 2 通りあり，③を選んだ場合，
A→DＡ

ＣＢ

ＤＤＢＣ

ＤＤ

Ｄ

5 通りあります。
す。これを樹形図にすると右上の図のようになり樹形図にすると右上
樹形図にすると右上の図のの 1 通りです。これを樹形図にすると右上の図のようになり，道順は

□類題1

5 通り

基本問題 1，2

右の図のように，4 つの地点の地点 A，B，C，D を結ぶ道があります。

ＡＢＣ

いで地点から D 地点まで行く道順は，全部同じ点を 2 度通らないで，Aで何通りありますか。
（例題通り）

Ｄ

2 きまった点を通る道順

右の図のように，A，B，C の 3 つの地点があり，A 地点から B 地点まで行く道がア， イ， ウの 3 本， B 地点から CアＡイエＢＣ地点まで行く道がエ，オの 2 本あります。これについて，次ウの問いに答えなさい。

オ⑴

A 地点から B 地点を通って C 地点まで行く道順は，全部で何通りありますか。

⑵

行きに通った道を通らないで，A 地点と C 地点を往復する道順は全部で何通りありますか。

おうふく209

第 19 回場合の数⑴―ならべ方

解き方 と ポイント
A 地点から B 地点までは，ア，イ，ウの 3 通りの道順があります。ま⑴た，B 地点から C 地点まで行くには，A 地点から B 地点まで行く道順にA から B への行き方かかわらず，エ，オの 2 通りの道順があります。A 地点から B 地点へ行

B から C への行き方
エアオ

く道順（ 3 通り）のそれぞれに，B 地点から C 地点へ行く道順が 2 通りずつあるので，道順は全部で，3×2＝6（通り）

※

エイオ

6 通り

このように，□通りある事がらのそれぞれに対し，△通りずつの事

エウオ

がらがあるとき，これらすべての場合の数は，□×△
せきほうそくと，かけ算で求めることができます（積の法則）。
ので，もどる方
C 地点から B 地点へもどるときは，行きに使った道を使わないので，もどる方法は，

⑵

2−1＝1
（通り）
おうふくelpma

るので復する道順は全部で，る道順
で，同様に，B 地点から A 地点へもどる方法は 2 通りあるので，往61×

A → C（行き）の道順

2×C → B の道順＝ 12（通り（通り）

12 通り

B → A の道順

□類題2基本問題
問
3，4

右の図のように，A，B，CA，B， の 3 つの地点があり，A点があり，A 地点か行く道 2 本，Ｂ地点からＢ地点から
ら C 地点まで行く道がら B 地点まで行く道がS

ＡＢＣ

4 本あります。Aます。 地点からから B 地点を通って C 地点ま地点まで行く地点まで行く道全部りありますか。
ありますか。
順は，全部で何通りありますか。

例題

（通り）

ごばんの目の形をした道を通る道順
目の形を目の形をした3 ごばんの目の形をした道を通る道

右の図のような，うな，ごばんの目の形をしたごばんの目の形をした道があります。これについて，の目

Ｂなさ
次の問いに答えなさい。

Ｃまわり道をA から B までまわり道をしないで，最も短い道のりで進む道順は，⑴

全部で何通りありますか。
⑵

ＤＡ

A から C を通って B まで，まわり道をしないで，最も短い道のりで進む道順は，全部で何通りありますか。

⑶

A から B までまわり道をしないで，最も短い道のりで進みます。D 地点が通れないとき，進む道順は，全部で何通りありますか。

解き方 と ポイント
そ

右の図で，アからエまで道に沿って進む場合，エの地点へは，辺イエか辺ウエを通って行く方法しかないので，

△イ△＋□
エ

アウ□

エの地点へ進む道順＝イまでの道順＋ウまでの道順となります。

210

⑴

右の図1のように， それぞれの交差点までの道順を表す数を図に書きこんで考えます。
B の部分に書きこむ数は 9 となるので，進み方は全部で 9 通

図1○印のところは，ほかからの道がないので，道順は前の道順と同じ。

19②52341①①Bりです。
A

9 通り⑵ C を必ず通るので，まず A から C まで最も短い道のりで進むことを考えちょうます。A と C が向かい合う頂点となるような長方形部分が通ることのでき

図23る道です。
同様に，C から B へも，C と B が向かい合う頂点となるような長方形（正方形）部分を通ることができるので，右の図2のようになります。
交差点ごとに道順を加えると，B の部分に書きこむ数は 6 となるので，進み方は全部で 6 通りです。

216B
33CA

116 通りと◎別の解き方◎
A から C へ行く方法は，図2より，3 通りあります。C から B へ行く方

elp

図3
図BC

1

ありまって，法は，右の図3のように道順を書きこむと，2 通りあります。よって，A道順 2 通りず
道順がから C までのそれぞれの道順に対して， C から B までの道順がつあるので，積の法則で，3×2＝6（通り）ma

D をふくむ辺をふQ の部分が通れません。PQ分が通れません。P 部分⑶ D 地点が通れないので，DPQ

21

図435P

D 1
Q21112

各交差の道順を書きこむと，右のを書きこむと，右の図4
図 のよが通れないとして，各交差点までの道順を書きこむと，右の図4のように5 通りでむ数は 5 となるので，進み方は全部でなるので，進み方は全りでなります。B の部分の部分に書きこむ数はす。
き方◎別の解き方◎

S

5 通り

21AB

べての場合の数から，の数から， D を通を通る道順の数⑴のすべての場合の数から，を通る道順の数をひいて求めます。A から辺 PQ を通って B へ， A から P までが 2 通り，， Pかから Q までが 1 通り， Q から B までが 2 通りあります。
行く方法は，通よって，D を通らない道順は，9−2×1×2＝5
（通り）
通り）

基本問題 5，6

類題3
右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。これについＢて，次の問いに答えなさい。
□⑴

Ｃ

A から B までまわり道をしないで，最も短い道のりで行く道順は，全部で何通りありますか。
（□⑵

通り）

ＡからＣを通らないでＢまで，まわり道をしないで，最も短い道Ａ

のりで行く道順は，全部で何通りありますか。
（通り）

211

第 19 回場合の数⑴―ならべ方

例題

4 積の法則を利用したならべ方
そく

A，B，C の 3 人の男子と，D，E の 2 人の女子が 1 列にならびます。これについて，次の問いに答えなさい。
⑴

5 人のならび方は全部で何通りありますか。

⑵

A と B がとなり合ってならぶとき，ならび方は全部で何通りありますか。
ご⑶ 男子と女子が交互にならぶとき，ならび方は全部で何通りありますか。

解き方 と ポイント
1 人目は A，B，C，D，E のだれでもよいので， 5 通りあります。2 人目は， 1 人目が 5 人のうち⑴

だれになっても，1 人目にならんだ人以外の 4 通りあります。3 人目，4 人目，5 人目も同様に，3 通り，2 通り，1 通りあるので，積の法則より，
5 × 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 120（通り）

120 通りがな
A と B がとなり合うので，A と B を組にして考えます。
「 AB ，C，D，E」がならぶと考えて，⑵

4 × 3 × 2 × 1 ＝ 24
（通り）

elp

なく BA
B もあります。それぞれます。それぞ 24 通りずつあるので，りずA と B がとなり合うならび方は，AB だけでなく24 × 2 ＝ 48
（通り）

48 通り

らび方は，「男・女・男・女・男」
女・男・女・男」・女・男」とならぶときです。男子とならぶときとならぶと男子と女子が交互にならぶならび方は，とならぶときです。男子，女子そ⑶maSす。
れぞれのならび方を考えます。

（通り）
男子…3 × 2 × 1 ＝ 6（通女子…2 × 1 ＝ 2（通り）

通りのならび方に対し，女子のならび方がび方に対し，女子のならび方 2 通び方に対し，女子のならび方が通りずつあるので，ならび方は全部で，つあるの男子の 6 通
6 × 2 ＝ 12（通り）り））

類題412 通り

基本問題 7，8A，B の 2 人の人の男子と，C，DC，D の 2 人の女子がの女子 1 列にならびます。これについて，次の問いに答えなさい。
□⑴□⑵

4 人のならび方は全部で何通りありますか。
方は全部で何通

（通り）

（通り）

A と B がとなり合ってならぶとき，ならび方は全部で何通りありますか。

例題

5 条件や制限があるときのならべ方
じょう け んせいげん

{0， 1， 2， 3， 3} の 5 まいのカードの中から 3 まいをならべて， 3 けたの整数を作ります。これについて， 次の問いに答え

0

1

23なさい。
⑴

3 のカードが 1 まいまでしか使えないとき，3 けたの整数は，全部で何通りできますか。
ぐう⑵ ⑴のとき，3 けたの偶数は全部で何通りできますか。
⑶ 5 まいのカードのどれを使ってもよいとき，3 けたの整数は，全部で何通りできますか。

2123解き方 と ポイント
十の位， 一の位にはどの数字をならべてもよいですが， 百の位には 0 をならべることができませ⑴ん。このように，どこかの位に制限があるときは，制限のある位をはじめに考えると，積の法則を使うことができます。
① 百の位は 0 にはならないので，ならべ方は，1，2，3 の 3 通りあります。
② 十の位のならべ方は，百の位にならべたカード以外の 3 通りあります（十の位には 0 も使えるので，2 通りではありません）。
③ 一の位のならべ方は，百の位，十の位にならべたカード以外の 2 通りあります。
したがって，積の法則より，
3 × 3 × 2 ＝ 18
（通り）

18 通り

3 けたの整数が偶数となるのは，一の位が偶数となるときです。制限のある位が2 か所以上あるとのある⑵きはどちらかの位の数字を決めてから考えます。
① 一の位が 0 のとき（0）elp

2通の位にカー通りあります。
百の位は 0 以外の 3 通り，十の位は百の位と一の位にならべたカード以外の
3×2＝6（通り）② 一の位が 2 のとき（2）2 通りあります。
十の位位と一の位にならべたカード以位にならべたカードり
百の位は 0，2 以外の 2 通り，十の位は百の位と一の位にならべたカード以外の
2×2＝4（通り）

よって，合わせて，6 ＋ 4 ＝ 100（通り）（通りSma数のかかれたカードがあるときは，積の法則を使えません。同ードがあるときは，積の法則ードがあるときは，積の法則を使え同じ数のかかれたカードがあるときは，積の法則を使えません。同⑶

0あるないときで分けて考えます。
いときで分けて考えます
じ数のあるときとないときで分けて考えます。
数がき① 同じ数がないとき

2まいをならべて 3 けたの整
まいをけたの整数を作るので，⑴{0，1，2，3} から 3 まいをならべ

1る② 同じ数があるとき，3 3か 33か 3 3にど02＋3＋3＝8（通り）12

よって，合わせて，※ 樹形図をかいて調べると，右のようになります。

10030226 通り

13103123021303233の数字が入るかを考えて，考え

18 ＋ 8 ＝ 26（通り）

33の形になります。それぞれのじゅ

203あより 18 通りあります。

10 通り

03123

基本問題 9，10

類題5{0， 1， 2， 5} の 4 まいのカードの中から 3 まいをならべて， 3 けたの整数を作ります。これについて，次の問いに答えなさい。
3 けたの整数は，全部で何通りできますか。

（通り）□⑵ 3 けたの偶数は，全部で何通りできますか。

（通り）

□⑴

213

第 19 回場合の数⑴―ならべ方基本

問

題

1 右の図のように，4 つの地点 A，B，C，D を結ぶ道があります。同じ点を 2 度通らないものとして，次の各問いに答えなさい。
□⑴

Ｂ

例題 1

A から D まで行く道順は何通りありますか。

ＤＡＣ（□⑵通り）

D から C まで行く道順は何通りありますか。

（通り）□ 2 右の図のように，5 つの地点 A，B，C，D，E を結ぶ道があります。同がありＢelp

順は全通りあじ点を 2 度通らないで， A から E まで行くとき， 道順は全部で何通りありますか。

ＥＡ

例題 1

（通り）

Ｃ市まで行く道がく道が 3 本， B 市から市から B 市まで行く道が3 右の図のように， A 市かＤ
Ｂ市

Ａ市maＣ

（通り）

道が 3 本あります。これについて，す。これについて，について， 次の問いに答
次の問いにC 市まで行く道が。
えなさい。
□⑴

例題 2

S

A 市から B 市を通ってを通って通って C 市まで行く道順は，全部で何通り市まで行く道順は，全市まで行く道順
すかありますか。

□⑵

おうふく

A 市から C 市まで行き，また A 市市までもどってくる往復の道順は，全部で何通りありますか。
（4 右の図のように，A，B，C，D の 4 つの地点があり，AＡＢ通り）
Ｃ

Ｄと B，B と C，C と D を結ぶ道があります。これについて，次の問いに答えなさい。
□⑴

例題 2

A から B，C を通って D まで行く道順は，全部で何通りありますか。
（通り）□⑵ 行きに通った道を帰りに通らないで，A と D を往復する道順は，全部で何通りありますか。

（214通り）

5 右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。
これについて，次の問いに答えなさい。
□⑴

Ｂ

例題 3

A 地点から B 地点までまわり道をしないで，最も短ＣＤい道のりで行く道順は，全部で何通りありますか。
（□⑵

通り）

Ａ

A 地点から C 地点を通って B 地点まで，まわり道をしないで，最も短い道のりで行く道順は，全部で何通りありますか。
（通り）とA 地点から B 地点まで，途中の CD の道を通って，まわり道をしないで，最も短い道のりで行□⑶

く道順は，全部で何通りありますか。
（elp通り）があり
れ
6 右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。これについて，次の問いに答えなさい。
□⑴

例題 3

Ｂ

A 地点から B 地点までまわり道をしないで，最も短い道の道を最も短い道の短い道のmaで何通りすか。
りで行く道順は，全部で何通りありますか。
（□⑵

S通り）通りＣＡ

A 地点から地点まで，まわり道をしないで，最も短い道のりで行く道順は，点から C 地点を通ってを通って B 地点まで，まわ地点まで，まわり道をし地点まで，まわり道をしないで，最全部で何通りありますか。
で何りますか。
ます（通り）ん，C さん，D さんの 4 人が横一列にならびます。これについて，次の問いに答えな
7 A さん，B さん，Cさい。
□⑴

□⑵

□⑶

□⑷

例題 4

4 人のならび方は全部で何通りありますか。
は全部

（通り）

（通り）

（通り）

（通り）

左はしが A さんになるならび方は全部で何通りありますか。

A さんの右どなりが B さんとなるならび方は全部で何通りありますか。

C さんと D さんが両はしにならぶならび方は全部で何通りありますか。

215第 19 回場合の数⑴―ならべ方

8 右の図の㋐，㋑，㋒の部分を，どの 2 つの部分も同じ色にならないよ
うにぬり分けます。これについて，次の問いに答えなさい。
□⑴

例題 4
㋐

赤，青，黄の 3 色を使ってぬり分ける方法は，全部で何通りありま

㋑㋒すか。
（通り）

□⑵ 赤，青，黄，緑の 4 色のうち，3 色を使ってぬり分ける方法は，全部で何通りありますか。
（9 {0， 1， 2， 3， 4} の 5 まいのカードの中から 3 まいをならべて， 3 けたの整数を作ります。これについて， 次の問いに答えなさい。
□⑴

□⑵

01通り）

234

例題 53 けたの整数は，全部で何通りできますか。

elp

（通り）

（通り）

（通り）

（通り）

300 以上の 3 けたの整数は，全部で何通りできますか。
りできma□⑶ 一の位が 1 となる 3 けたの整数は，全部で何通りできますか。
たの整
全部で何通りできますか。
何通りできますか。

き□⑷S

3 けたの奇たの奇数は，全部で何通りできますか。
全部で何通りできますか
全部で何通りできますか。

まいのカードがあります。この中からがあり
10 {1， 2， 2， 3， 4} の 5 まいのカ
3 まいをならべて，整数を作ります。これについて，次の問
べて，整数を作ります

いに答えなさい。
□⑴

122□⑶

216

4

例題
題52 のカードを 1 まいままいまで使うことができるとき，3 けたの整数は，全部で何通りできますか。

（□⑵

3通り）

2 のカードを必ず 2 まい使うとき，3 けたの整数は，全部で何通りできますか。

（通り）

（通り）

3 けたの整数は，全部で何通りできますか。

練習

問

題

□ 1 右の図のように， 5 つの地点 A，B，C，D，E を結ぶ道があＣります。同じ地点を 2 度通らないで，A から E まで行く道順は，全部で何通りありますか。

ＢＥＡＤ通り2 右の図は，A 市から B 町，B 町から C 町，C 町から D 市まで

レーモノレール

Ｄ市elpmバス

地下鉄

道順は，全部で何通りありますか。

Ｃ町

行く
A 市から B 町へは電車を使うとき，A 市から D 市まで行く

地下鉄

□⑴

電車
船

Ｂ町

ら D 市まで行きます。これについて，次の問いに答えなさい。

電車

Ａ市の乗り物をまとめたものです。電車を 1 回だけ使って， A 市か

電車

バス通り

□⑵

道順はで何通りありますか。
りありますか。
A 市から D 市まで行く道順は，全部で何通りありますか。

aS通りのような，ごばんの目の形をした道があります。
ごばんの目の形をしごばんの目の形をした道が3 右の図のような，ごばんの目の形をした道があります。これについて，答え次の問いに答えなさい。
□⑴

Ｂ

道をしな
A から B までまわり道をしないで，最もまでまわり道をしないで，最も短い道のりで行く道順は，
Ｃ

あ全部で何通りありますか。

Ｄ通りＡ

□⑵

A から C を通って B まで，まわり道をしないで，最も短い道のりで行く道順は，全部で何通りありますか。

通り□⑶

A から D を通らないで B まで，まわり道をしないで，最も短い道のりで行く道順は，全部で何通りありますか。

通り

217

第 19 回場合の数⑴―ならべ方

4 右の図のようなごばんの目の形をした道があります。これについて，

Ｂ

次の問いに答えなさい。
□⑴

A から B まで遠回りしないで行く方法は何通りありますか。
Ｃ通りＡと

□⑵

A から B まで遠回りしないで行く道順のうち，途中の点 C を通る方法は何通りありますか。

通り□⑶

×印の道は工事中のため通ることができないとき，A から B まで遠回りしまで遠回りしないで行く方法は何通りありますか。

maelp

通り

男子が 3 人，女子が女子が 4 人です。この 7 人が 1 列にな列にならびます。これについす。
5 まき子さんのグループは男子がなさいて，次の問いに答えなさい。

は全部ありますか。
か。
□⑴ ならび方は全部で何通りありますか。

ごS通りに 7 人なら人ならぶとき，ならび方は全部で何通りありますか。
き，な子が□⑵ 男子と女子が交互

通り□⑶ 女子 4 人がとなり合うならび方は全部で何通りありますか。

通り□⑷ 一方のはしに男子，もう一方のはしに女子がならぶならび方は全部で何通りありますか。

通り

218

6 ｛ 0，1，2，3，4｝の 5 まいのカードがあります。このうち 4 まいをならべてできる 4 けたの整数について，次の問いに答えなさい。
□⑴ これらの数を小さい順にならべたとき，はじめて 3000 以上になるのは何番目の数ですか。

番目□⑵ これらの数を小さい順にならべたとき，80 番目の数はいくつですか。

3 けたの整数を作をなら
7 ｛0，1，1，1，2，3｝の 6 まいのカードがあります。このうち 3 まいをならべてります。これについて，次の問いに答えなさい。
□⑴ 全部で何通りの整数ができますか。

ぐう

すか。
□⑵ 偶数は，全部で何通りできますか。

Smaelp

通り通り

5 色を使ってぬり分け
図のの部分を，赤，青，黄，緑，黒の部分を，赤，青，黄，緑を使っ8 右の図の㋐〜㋓の部分を，赤，青，黄，緑，黒のだし，となり合う部分には同じ色はぬらないもり合う部分には同り合う部分には同じ色はます。ただし，となり合う部分には同じ色はぬらないものとします。これ次の答えなさ答えなさい。
について，次の問いに答えなさい。
□⑴㋐㋑

5 色のうちち 4 色を使ってぬり分ける方法は，全部で何通りありますか。てぬり分 る方法は

㋒
㋓

通り
□⑵

5 色のうち 2 色を使ってぬり分ける方法は，全部で何通りありますか。

通り□⑶

5 色のうち 3 色を使ってぬり分ける方法は，全部で何通りありますか。

通り219

第 19 回場合の数⑴―ならべ方□ 1 右の図のような，同じ長さのパイプをつないでできたわくがあります。

Ｂ

A から B までまわり道をしないで，最も短い道のりで行く道順は，全部で何通りありますか。

通り

Ａ

0 ， 1 ， 4 ， 5 ， 6 の 5 まいのカードがあります。このうち 3 まいをならべて 3 けたの整数を作り2ます。これについて，次の問いに答えなさい。ただし， 6 のカードは 6 または 9 のどちらとして用いてもよいものとします。
□⑴□⑵

6 のカードを使わないとすると，整数は全部で何通りできますか。
すか。

elp

通り

6 のカードを 9 として用い，必ず使うとすると，整数は全部で何通りできますか。
使うとすると，整数は全部で何通りできますか。
整数は全部で何通りで全部で何通りでma□⑶ 整数は全部で何通りできますか。
部で何ますか。

S通り

通り

正三角形
まれた立
しい4つの正三角形で囲まれた立体を，正四面体といいます。右3 大きさの等しい
ちょううつＡ

正四面体 ABCD の辺にの図のような，正四面体の辺にそって頂点から頂点へ移る点 P があり1 秒ごとに他の 3 つの頂点のうちの 1 つにから出発します。点 P は頂点 A から出発して，Ｄ2 秒後じ点移ります。また， 同じ点を何回でも通ることができます。このとき，に点 A に移る道順は，下の例のように，全部で 3 通りあります。これについＢＣて，あとの問いに答えなさい。
例：A → B → A，A → C → A，A → D → A□⑴

3 秒後に頂点 A に移る道順は，全部で何通りありますか。

通り□⑵ 5 秒後に頂点 A に移る道順は，全部で何通りありますか。

通り220