修士論文

CMB 偏光観測に用いる反射防止膜の開発(Development of anti-reﬂection coatings for
CMB polarimetry)
東京大学大学院理学系研究科
物理学専攻日下研究室
坂栗佳奈

January 2022

概要
宇宙マイクロ波背景放射 (cosmic microwave background: CMB) は宇宙誕生後約 38 万年から届く宇宙最古の電磁波であり、初期の宇宙が指数関数的な膨張を起こすインフレーションの情報を持つ。インフレーション中に生成される原始重力波を観測し、B モード偏光と呼ばれる特殊な偏光パターンを測定できればインフレーションの証拠となる。ところがこの信号は、未だ統計的に優位に観測されていない。現在は地上・衛星を含めた多くの CMB 観測実験が存在し、測定を目指している。例えば、地上実験の 1 つである Simons Observatory (SO) 実験では、チリのアタカマに望遠鏡を設置する。SO では B モード偏光を、原始重力波の大きさを表すテンソル・スカラー比 r に対して精度 σ(r) = 0.003 と世界最高感度で測定することを目指している。
高精度な CMB 実験の実現に向けて、光学系由来の系統誤差を低減する装置開発が進められている。特に、B モード偏光の大きさは現行実験から、CMB の温度揺らぎと比べて O(10−7 ) 以下と非常に小さいことが示唆されている。そのため、装置の非理想的な振る舞いによって無偏光信号がわずかに偏光して見える、「温度揺らぎから偏光への漏れこみ」が大きな系統誤差の要因となる。望遠鏡に使用される光学素子である半波長板用サファイアや IR カットフィルター用アルミナは屈折率が高く、そのままでは多くの光を反射してしまう。反射により漏れこみが生じ、大きな系統誤差となる。また、検出器に届く光が減少することで統計数が減少する。そのため、これらの素子に反射防止加工を行い、反射率を減少させる必要がある。さらに、反射率が完璧に 0 にならないことによる系統誤差・統計誤差を正確に見積もる必要がある。
本研究では、半波長板・IR カットフィルターの反射防止膜の作製と性能評価を行った。CMB 観
測に必要な広帯域で低反射率を実現するため、屈折率の違う誘電体である mullite, Duroid 5880LZを、厚さを調整して 2 層に重ね合わせるコーティングを開発した。これらの素材は屈折率・熱収縮率の点で適するものである。作製したサンプルは場所による厚さの不均一性がなく、また、素子が設置される低温でも剥離しないことが確認できた。光学性能の評価では、偏光信号の測定を狙う

90/150 GHz の周波数帯で約 2%、ダストによる前景放射を除去するための 220/280 GHz の周波数帯で < 1% の低反射率を実現した。さらに、低温での光学性能評価のため、液体窒素を用いた簡易測定系を開発し、透過率の測定を行った。常温測定と約 100 K での低温測定を比較すること
で、温度依存性を持つ誘電正接が低温で減少することを確認した。これに対応して透過率は、常温では 80% 程度と観測精度に対して不十分であったが、低温測定では約 90% まで増加した。最後に、反射率・透過率の測定結果を用い、観測に対する考察である温度から偏光への漏れこみの系統
誤差と、望遠鏡の感度を評価した。

序文
本研究は、東京大学、高エネルギー加速器研究機構、Kavli IPMU、米国ローレンスバークレー研究所との共同研究である。

1, 2 章が CMB 及び CMB 観測実験の概要であり、3 章以降が本研究独自の開発内容である。
3 章で記載された、反射防止膜に関する温度から偏光への漏れこみと感度の計算は筆者が行った。
4 章に記述されている反射防止膜の作製材料・方法は、ローレンスバークレー研究所・高エネル
ギー加速器研究機構によって開発されたものである。筆者は主に光学シミュレーションを担当した。筆者が行った光学計算に基づき高エネルギー加速器研究機構で装置作製を行い、性能試験後の次の作製へのフィードバックも筆者が行った。また、性能評価試験の 1 つである冷却試験は、高エネルギー加速器研究機構で行われた。5 章では、もう 1 つの性能評価試験である光学測定について述べた。常温光学測定の測定環境開発は、Kavli IPMU によって行われた。作製サンプルのデータ
取得は Kavli IPMU に筆者が赴き共同で行い、測定結果の解析は筆者が行った。また、X 線 CT
画像撮影のためのサンプルの切断・画像の撮影は、東京大学湯本研究室で行われた。6, 7 章での測定系の開発・結果の解析は、筆者が行った。

目次
第1章

宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)11.1

標準ビッグバン宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

インフレーション理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

CMB の密度揺らぎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

CMB の偏光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

CMB の観測実験

102.1

観測実験の種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

地上での観測実験. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3

光学素子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

第3章

偏光信号の精密測定

193.1

反射防止膜の意義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2

温度から偏光信号への漏れこみ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3

感度の向上 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4

まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

第4章

反射防止膜の製作

29

4.1

反射防止膜の原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.2

コーティング材料の選定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3

光学シミュレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.4

反射防止膜のデザインと作製. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.5

性能評価試験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

常温での光学性能評価

40

5.1

測定系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2

小サンプルの測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5.3

大サンプルの測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

低温での光学性能評価

58

第2章

第5章

第6章

i

6.1

セットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2

測定結果と考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

考察

69

7.1

温度から偏光への漏れこみ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

7.2

感度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

まとめと今後の展望

74

8.1

まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

8.2

今後の展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

付録 A

反射係数・透過係数の導出

76

付録 B

多層反射防止膜の屈折率

78

付録 C

サンプルに焦点を当てるセットアップ

80

第7章

第8章

参考文献

84

ii

図目次
1.1

COBE 衛星の分光器 FIRAS による CMB の測定データ . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Planck によって測定された全天の (a) 温度分布と (b) パワースペクトル . . . . .

6

1.3

Thomson 散乱による偏光生成のメカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

E モード偏光と B モード偏光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

CMB のパワースペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1

チリのアタカマにおける周波数に対する大気の透過率. . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

SA 実験で使用される望遠鏡と検出器の概念図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3

SO 実験で用いる望遠鏡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4

CMB の信号、シンクロトロン、ダストの周波数に対する輝度温度と SO の観測周
波数帯 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5

大口径望遠鏡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.6

小口径望遠鏡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.7

半波長板の概念図. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.8

SO 実験で使用される半波長板サファイアと IR カットフィルターの例 . . . . . . .

18

3.1

反射防止膜の概念図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

反射防止膜の層数の違いによる、反射率の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3

入射角に対する S 偏光と P 偏光の反射率の違い. . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.4

反射防止膜の不完全さにより生じる系統誤差の原因 . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.5

層数の違いによる反射率と漏れこみの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.6

光学素子の透過率の違いによる感度の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.1

多層誘電体膜の概念図と座標系の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2

2 層コーティング反射防止膜の概念図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.3

MF,UHF での最適な反射防止膜シミュレーション . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.4

反射防止膜作製過程の模式図. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.5

Duroid 貼り付けとカットの様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.6

完成した反射防止膜のサンプル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.7

冷却試験の様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

iii

5.1

測定セットアップの概念図と写真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.2

大サンプルの測定セットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5.3

入射角 45 度での、(a) MF, (b) UHF サンプルの測定データとフィット結果 . . .

43

5.4

フィット結果を垂直入射に外挿した、(a) MF, (b) UHF サンプルの反射率 . . . .

43

5.5

ダイシングでのサンプルの切り出し . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.6

サンプルの X 線 CT 画像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.7

入射角 18 度の反射率測定セットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.8

入射角 18 度での反射率シミュレーションと測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.9

入射角の違いによる、垂直入射での反射率の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5.10

UHF サンプルの透過率測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.11

半波長板の概念図. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.12

アルミナフィルターの測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.13

SO SAT フィルターの測定場所の位置関係と、場所の違いによる反射率の比較 . .

55

5.14

半波長板用アルミナの測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.15

サファイア半波長板の反射率測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.16

サファイア・アルミナ間に空気が入った時のシミュレーション . . . . . . . . . . .

57

6.1

低温測定の外観写真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.2

低温測定で用いた銅ホルダー. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.3

液体窒素投入後の時間経過に対するアルミナの温度 . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.4

低温測定で用いる箱上部の構造の断面図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.5

zotefoams の 1 枚と 6 枚の透過率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.6

アルミナに水滴をつけた時の透過率変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

6.7

低温測定セットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

6.8

アルミナ単体の常温・低温測定の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.9

UHF サンプルの常温・低温測定の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.10

mullite と Duroid の tan δ をフィットした時の相関 . . . . . . . . . . . . . . . .

67

7.1

場所ごとの屈折率・厚さのフィット結果を、垂直入射の値に代入した反射率 . . . .

70

7.2

S 偏光・P 偏光それぞれの、入射角の違いによる反射率の比較 . . . . . . . . . . .

71

7.3

各バンドごとの入射角に対する漏れこみ R(s-p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7.4

反射防止膜の測定結果を用いた SAT の感度計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

C.1

平面波を作る場合と焦点を当てるセットアップの、光線追跡の比較 . . . . . . . .

81

iv

表目次
4.1

最適化に用いた周波数と理想的な反射率の計算結果 . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

5.1

それぞれの周波数帯での平均反射率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.2

MF サンプルの作製した値とフィット結果の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.3

テストサンプルの作製した値・光学測定によるフィット結果・X 線 CT 画像の比較

47

5.4

入射角の違いによるフィット結果の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.5

コーティング材の誘電正接: tan δ (×10

−4

5.6

測定サンプルと平均反射率のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.1

誘電正接 tan δ (×10−4 ) のフィット結果と透過率 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67v) のフィット結果と 80 K での prediction 51

第1章

宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)
宇宙マイクロ波背景放射 (cosmic microwave background: CMB) は、宇宙誕生後約 38 万年から届く宇宙最古の電磁波である。CMB の存在はガモフ、アルファー、ハーマンによって予言され [1]、1964 年にペンジアスとウィルソンにより発見された [2]。その後の精密測定により、輝度のスペクトルは温度 2.725 K を持つ黒体放射に一致することが確かめられている [3]。図 1.1 は、COBE 衛星に搭載された FIRAS 分光器のスペクトル測定データである。黒い点が測定データ、赤い曲線が温度 2.725 K の黒体輻射であり、曲線はデータをよく再現している。これは、過去のある時期に宇宙が熱平衡状態にあったことを示しており、宇宙が高温高密度の状態から始まったとする
ビッグバン理論の証拠となっている。高温高密度の宇宙では、光は電子による散乱を受け直進できなかった。宇宙膨張とともに温度が約 3000 K まで下がると、電子がヘリウム原子核と陽子に捕獲され、光が直進できるようになる。この時期が宇宙の晴れ上がりであり、現在観測される CMB は
当時の情報を保持している [4]。

1.1 標準ビッグバン宇宙モデル
標準ビッグバン宇宙モデルは、宇宙は高温高密度の状態から始まり膨張によって冷却されながら現在に至ったとする、現在の宇宙の標準モデルである。1922 年、フリードマンは重力場の方程式であるアインシュタイン方程式を解き、宇宙が膨張・収縮することを示した [6]。
アインシュタイン方程式は、アインシュタインテンソル Gµν 、計量テンソル gµν 、エネルギー運
動量テンソル Tµν を用いて、

Gµν + Λgµν =

8πG
Tµν
c4

(1.1)

で記述される。ただし、Λ は宇宙定数、G は重力定数である。以下では、この方程式の解を求める。アインシュタイン方程式を解くため、宇宙が空間的に一様等方であるとする宇宙原理を仮定す

1図 1.1: COBE 衛星の分光器 FIRAS による CMB の測定データ [5]。横軸が周波数、縦軸が輝度を表す。点が FIRAS の測定データを示している。赤い線は温度 2.725 K の黒体輻射の理論曲線を表しており、測定データと一致する。

る。この時、時間を加えた時空の計量は、 sin χ2 
ds2 = −c2 dt2 + a2 (t)[dχ2 +(dθ2 + sin θ2 dϕ2 )]χ2
2 sinh χ
d(r/a)dχ = √
1 − kr2 /a2

(1.2)

(1.3)

と書ける。ただし、{} の中は +1 (曲率正)0 (曲率 0)k=
−1 (曲率負)(1.4)に対応する。また、a(t) は宇宙のスケール項と呼ばれ、空間の大きさを与える量である。この計量をロバートソンウォーカー計量と呼ぶ。さらに、宇宙の物質が完全流体であることを仮定すると、エネルギー運動量テンソルは、



−ρc2
 0
Tµν = 
 0
0

2

0
p
0
0

0
0
p
0


0
0

0
p

(1.5)

と書ける。これらを (1.1) に代入すると、アインシュタイン方程式の (0,0) 成分、空間成分から

( )2
ȧ
8πG
Λ
k
+ 2 c2 =ρ + c2
a
a
3
3
{( )
}
2
ȧ
ä
k
p
2 +
+ 2 c2 = −8πG 2 + Λc2
a
a
a
c

(1.6)
(1.7)

が得られる。宇宙定数 Λ = 0 で圧力 p ≪ ρc2 の場合を考えると、

kc2
ρ
−1
=
a2 H 23H 2 /8πG

(1.8)

ȧ(t)

と書き換えることができる。ただし、H(t) ≡ a(t) であり、現在の値 H0 = H(t0 ) はハッブル定数である。ここで、

3c2 H 2
8πG
ρ0
Ω0 =
ρc
ρc =

(1.9)
(1.10)

を定義する。ρc は臨界密度と呼ばれ、曲率が 0 で平坦な宇宙の密度を表す。Ω0 は宇宙の密度パラメータと呼ばれ、臨界密度に対する現在の宇宙の密度の割合を表す。これらを用いて式 (1.8) を現在の値 (0 の下付き添え字) に書き換えると、

kc2= Ω0 − 1
a20 H02(1.11)となる。つまり、宇宙のエネルギー密度の測定によって、宇宙の曲率の符号を定めることができる。
また、式 (1.8) を積分することで、スケール項 a(t) の時間変化を求めることができる。例えば、宇宙が平坦であり、非相対論的物質の場合を考える。この時、曲率 k = 0, 圧力 p = 0 と仮定できるので、式 (1.8) は(a = a0

3H0 t
2

)2/3
(1.12)と積分される。これより、時間の 2/3 乗に比例して宇宙が膨張することがわかる。

1.2 インフレーション理論
フリードマン方程式の解に基づいた宇宙モデルは観測と一致するが、宇宙の最初期に適用するには、以下の問題が生じる。

• 地平線問題：CMB の観測から、温度の揺らぎは全方向で ∆T /T ∼ 10−5 と小さい。これは、再結合以前に一様化するプロセスが働いたことを意味するが、地平線を超えて全く因果関係のなかった領域を一様化することは不可能である。

3

• 密度揺らぎの起源の問題：現在の宇宙の構造は、宇宙初期の密度揺らぎが成長したものである。宇宙の初期になるほど地平線は小さくなるので、現在の宇宙の大規模構造を創るには、その時刻で地平線を超えた揺らぎを創らなければならない。

• 平坦性問題：現在の宇宙は観測的に曲率を測定できないほど平坦である。密度パラメータ Ω
は値が 1 から少しでもずれると宇宙は急激に膨張・収縮するため、宇宙を平坦なまま維持することは困難である。

• モノポール問題：大統一理論によると、モノポールは宇宙初期に多量に生成される。しかし、現在モノポールは観測されていない。
これらの問題を解決できるモデルが、インフレーション宇宙モデルである。このモデルは、1981
年にグース、佐藤らによって提唱された [7, 8]。温度の高い初期宇宙は真空のエネルギー密度が高い状態として始まり、温度が臨界温度以下になると相転移を起こして真空のエネルギー密度が 0 の真空に落ちる。相転移時の落下の速度が宇宙膨張に比べて十分に遅い場合には、膨張によって輻
射・物質のエネルギー密度が減少する一方、真空のエネルギー密度は一定でのままである。時間経
過とともに、真空のエネルギー密度は宇宙のエネルギー密度の高い割合を占めるようになる。真空のエネルギー密度 ρv と輻射のエネルギー密度 ρr で満たされた平坦な宇宙宇宙膨張の解は、式(1.8) より、{
a=b1/4 l(2ct/l)1/2(ct ≪ l)−1/2 1/4
2
b l exp(ct/l) (t ≫ l)となる。ただし、

(
l=c

8πGρv
3

(1.13))−1/2(1.14)

は真空のエネルギー密度を特徴づける長さであり、b は

b=

ρr a4
ρv l 4(1.15)

で定義される無次元量である。このように、インフレーション宇宙モデルでは、相転移が終了するまで宇宙は指数関数的膨張をする。この真空のエネルギー密度が存在することは、アインシュタイ
ンによって導入された宇宙定数 Λ が存在することと同義であり、

Λ = 8πGρv /c2(1.16)

で結び付けられる [6]。

1.3 CMB の密度揺らぎ
インフレーション理論を実験的に証明するには、CMB の密度揺らぎと、原始重力波由来の「Bモード偏光」と呼ばれる特殊な偏光パターンの観測が必要となる。この章では、密度揺らぎについ
て述べる。

4

CMB の密度揺らぎについては、COBE [9]、WMAP [10]、Planck [11] の衛星によって精密に観測されている (図 1.2a)。この揺らぎは、平均値からのずれ ∆T とすると、すべての方向で∆T /T ∼ 10−5 の程度である。CMB の温度揺らぎを定量的に評価するためには、パワースペクト
ルを用いる。天球面上の座標 (n̂) における温度揺らぎを、∆T (n̂) =∞ ∑ℓ∑aℓm Yℓm (θ, ϕ)(1.17)ℓ=1 m=−ℓと球面調和展開する。aℓm を用い、パワースペクトルは

Cℓ =

m=ℓ
∑
1
aℓm a∗ℓm
2ℓ + 1(1.18)

m=−ℓで定義される。この値は、座標原点の選び方によらず、天球座標の回転に対して不変となる。図1.2b は、Planck によって測定された CMB のパワースペクトルである。パワースペクトルの解析から、宇宙論パラメータを得ることができる。
温度揺らぎが生じる原因の 1 つは、重力場の不均一性によるものである。重力ポテンシャルが大きい領域から出る光は重力赤方偏移によってエネルギーを失い、重力ポテンシャルが小さい領域から出る光は重力青方偏移によりエネルギーを得る。宇宙の初期に物質分布が不均一であれば重力場も不均一となり、温度揺らぎが生じる。この効果による温度揺らぎは任意の方向 n̂ で、∫∆T
1 ∑ t0dtḊij n̂i n̂j=−
T0
2 ij tL(1.19)と書ける [4]。Dij は重力波を表し、任意の二点間の距離を非等方に変化させるものである。この行列は、z 方向に波が進むとすると、



h+

h
Dij =
×
0

h×
−h+
0


0
0
0

(1.20)

で書き下せる。重力波による歪みは面積を変えないので、x 方向の空間が伸び/縮みすると y 方向の空間が縮み/伸びする + モードと、それに 45 度傾いた × モードの 2 つのモードが存在する。この空間の伸縮によって光子のエネルギーが増減するため、重力波による光子のエネルギー変化は四重極の角度依存性を持つ。この四重極異方性は、l = 2 に対応する。

1.4 CMB の偏光
CMB の偏光は、前章で述べた四重極の温度揺らぎと、Thomson 散乱により生成される。この偏光には、E モード偏光と B モードの 2 つの偏光パターンが存在する。特に B モード偏光の観測
は、原始重力波の × モードの存在を示し、インフレーションの証拠となる。B モード偏光は信号の小ささから未だ直接観測されておらず、現在 Simons Array 実験や Simons Observatory 実験など様々な実験で観測を目指している。この章では、偏光の生成メカニズムについて述べる。

5

(a)

(b)

図 1.2: Planck によって測定された全天の (a) 温度分布と (b) 角度スケールに対するパワースペク
トル。パワースペクトルは、Dl = l(l + 1)Cl /2π で表されている。

まず、Thomson 散乱による偏光の生成について記述する。CMB の最終散乱面において、光子は Thomson 散乱を受ける。図 1.3 は、Thomson 散乱による偏光生成のメカニズムを表す。z 軸正方向を視線方向に取り、強度の異なる無偏光が原点に存在する電子に入射する場合を考える。左の
図は、双極異方性 (dipole) が存在する場合を表す。ここでは、x 軸正方向と負方向から異なる温度の光が到来する。この時には、偏光は生成されず z 方向に進む光は無偏光のままである。一方、右の図は、四重極異方性 (quadrupole) が存在する場合を表す。ここでは、x 軸と y 軸方向からそれ
ぞれ強度の異なる光が到来する。この時、z 軸方向に進む光の x, y 成分が異なる強度となり、偏光が生成される。

CMB の偏光パターンは、観測量であり、かつ回転に対して不変な E モード偏光と B モード偏光の 2 つのパターンで表す (図 1.4)。まず、ストークスパラメータの Q, U (ある任意の方向の偏光

6

(a)

(b)

図 1.3: Thomson 散乱による偏光生成のメカニズム。強度の違う無偏光が原点にある電子によって散乱され、z 軸正方向に進む場合を表している。直線は、偏光の方向を表す。また、色の違いは強度の違いを表す。(a) 温度の双極異方性が存在する場合。偏光は生成されない。(b) 温度の四重極異方性が存在する場合。偏光が生成される。

成分とそれに 45 度傾いた成分) をスピン ±2 の球面調和関数で展開し、

Q ± iU =

∞ ∑
ℓ
∑

m
±2 aℓm±2 Yℓ(1.21)ℓ=2 m=−ℓと記述する。Q, U は、座標の取り方に依存する。ここで、E モードと B モードを ±2 aℓm =−(Eℓm ± iBℓm ) と定義すると、
Eℓm = −
Bℓm = i2 aℓm + −2 aℓm

2

2 aℓm − −2 aℓm

2(1.22)(1.23)となる。E モードは波数ベクトルに垂直または平行であり、B モードは波数ベクトルに対して 45度傾いたモードとなってる (図 1.4)。パワースペクトルは、これらの E, B の標識を用いて、⟨Eℓm Eℓ∗′ m′ ⟩ = CℓEE δℓℓ′ δmm′

(1.24)⟨Bℓm Bℓ∗′ m′ ⟩ = CℓBB δℓℓ′ δmm′

(1.25)と定義される。図 1.5 は、CMB の温度と偏光のパワースペクトルを表す。実線は理論線であり、点はそれぞれの実験の観測値または予測値を表す。Plank, BICEP2/Keck の値は観測値であり、LiteBIRD, SO は予測値である。温度については、Plank 衛星などで精密に測定がされている。一()
方、偏光は温度揺らぎに比べて小さく、特に B モード偏光は O 10−7 のため、観測が難しい。
7

図 1.4: E モード偏光と B モード偏光。ℓ は波数ベクトルである。E モード偏光は、波数ベクトルに垂直または平行である。一方、B モード偏光は、波数ベクトルに対して 45 度傾いている。座標系の回転に伴い偏光の向き・ℓ は回転するが、ℓ に対する角度は座標系の取り方によらない。線の長さは、ストークスパラメータの大きさを表す。

図 1.5: CMB のパワースペクトル [12]。横軸は角度スケールを表し、右に行くほど小さいスケールとなる。TT は温度、BB, EE はそれぞれ E モード、B モード偏光を表す。Planck, BICEP2/Keckは観測値、LiteBIRD, SO は予想値を表す。

8

CMB の揺らぎには、スカラー揺らぎとテンソル揺らぎが存在する。そのうち、スカラー揺らぎ
はフーリエ波数ベクトルに対して軸対称であり、スカラー揺らぎからは E モード偏光のみが生成される。一方、テンソル揺らぎについては、互いに 45 度傾いた + モードと × モードが存在する
ため、B モード偏光を生成することができる。原始重力波の大きさは、テンソル揺らぎとスカラー
揺らぎのパワースペクトルの比である、テンソル・スカラー比 r で定義される。Pt , Ps をそれぞれテンソル揺らぎ、スカラー揺らぎのパワースペクトルとすると、

r=

Pt
Ps

(1.26)と記述できる。パワースペクトルは、テンソルとスカラー揺らぎのスペクトル指数 nt , ns を用いて(Pt = A t(
Ps = A s

k
k0
k
k0

) nt
(1.27))ns −1(1.28)

で定義される。ただし、A は振幅を表し、k は波数である。また、k0 は適当な波数であり、慣例的に k0 = 0.05 Mpc−1 と選ぶ。また、スペクトル指数はそれぞれ

d log Ptd log kd log Ps
ns = 1 +d log knt =(1.29)(1.30)と定義されるので、これらを用いると、テンソル・スカラー比は式 (1.26) より、

r=

At
As

(1.31)と書ける。この r は、インフレーションのエネルギースケール V と

V 1/4 ∼ 1016 GeV( r )1/4
0.01(1.32)

で結び付けられるので、0 でないテンソル・スカラー比の測定により、インフレーションのモデルを実験的に証明することができる。現在までの観測では、r < 0.036 (95% 信頼区間) が得られている [13]。

9

第2章

CMB の観測実験
CMB の温度・偏光を測定することで、インフレーション理論をはじめとした初期宇宙や宇宙進化の様々な情報を知ることができる [14, 15]。近年 CMB の精密観測に向けて、装置由来の系統誤差を減少し、感度を向上する望遠鏡の開発が進められている。本章では、地上 CMB 観測実験について、Simons Array 実験と Simons Observatory 実験を例にとり望遠鏡の概要と使用される光学素子について述べる。

2.1 観測実験の種類
現在、CMB の偏光観測を目指し、地上・気球・衛星で様々な実験が行われている。3 つの観測
方法は、それぞれ異なる特徴を持つ。地上実験は観測を数年のタイムスケールで長く行うことができ、統計数を稼ぐことが可能である。一方、大気の吸収による影響を受けるため、これらを取り除く必要がある。気球実験は、高度約 35 km の上空に気球を飛ばすことで大気の影響を抑えることができる [16]。しかし、観測角度スケールが小さく、また、1 週間から 1 か月程度の短期間の観測となる。衛星実験は、大気の影響を受けず、さらに全天観測が可能である [17]。一方、打ち上げコ
ストがかかるといった問題が存在する。このように、どの観測方法においても利点と欠点が存在
し、それぞれの特色を考慮した装置開発が必要となる。

2.2 地上での観測実験
地上で CMB を観測するためには、ノイズの原因となる大気や水の影響を最小限に抑えた観測場
所・装置で観測を行う必要がある。以下で述べる Simons Array 実験・Simons Observatory 実験の望遠鏡はいずれもチリのアタカマ砂漠、標高 5200 m に位置し、これらの影響を受けにくい場所
で観測を行っている。図 2.1 はサイト付近の周波数に対する大気の透過率を表す。大気の吸収が大
きい周波数帯では、CMB 信号が透過してこないことに加え、大気からの強い放射が存在する。そのため、観測の際には、この大気の吸収線を避けた周波数帯で観測を行う必要がある。また、望遠
鏡による熱放射を抑えるため、装置は低温に冷却して使用される。光学素子は 0.5 K–50 K で用い

10図 2.1: チリのアタカマにおける周波数に対する大気の透過率。色の違いは異なる可降水量を表す[18]。大気の吸収線を避け、CMB を観測する必要がある。

られ、検出器は Simons Array 実験では 250 mK、Simons Observatory 実験では 100 mK の温度で使用される。

2.2.1 Simons Array (SA) 実験
Simons Array (SA) 実験は、現行の地上 CMB 観測実験である。オフアクシス-グレゴリアン
型反射望遠鏡である、主鏡が直径 2.5m の Huan Tran Telescope (HTT) を使用し、4 分角の角度分解能を持つ (図 2.2)。POLARBEAR (PB)-2a, PB-2b, PB-2c の 3 台の望遠鏡があり、それぞれ同時に 2 つの周波数帯を観測できる 2 色の検出器を持っている。PB-2a, PB-2b は中心周
波数が 90/150 GHz と CMB の信号が最大になる周波数帯を観測する。PB-2c は中心周波数が220/270 GHz の周波数帯を観測し、特に宇宙塵由来の前景放射を見積もる [19, 20]。検出器には、1 台あたり 7558 個の超伝導転移端センサー (transition-edge sensor: TES) を搭載している。テ∑ンソルスカラー比 r について r < 0.01 (95% 信頼区間)、ニュートリノ総質量mν < 40 meV(68% 信頼区間) の物理結果を目指す。
図 2.2b は PB-2b 検出器を表している。検出器は 2 つのヘリウム 3 減圧冷凍機を用い、冷却されている。主に、直径 0.5 m の真空窓、4 K に冷却された 3 枚のレンズ、0.3 K の焦点面からなる。
真空窓とレンズの間には、IR カットフィルター (2.3.2 で記述) と低温半波長板 (2.3.1 で記述) が存在する。

2.2.2 Simons Observatory (SO) 実験
Simons Observatory (SO) 実験は、最大規模の次世代 CMB 偏光観測実験であり、B モード偏光を世界最高感度、テンソルスカラー比 r に対して精度 σ(r) = 0.003 で測定することを目指し

11

(a)

(b)

図 2.2: SA 実験で使用される望遠鏡と検出器の概念図。(a) Huan Tran 望遠鏡の概念図 [21]。2 枚のミラー (primary mirror, secondary mirror) で光を反射し、検出器へと入る。(b) PB-2b 検出器。空からの光はミラーで集光され、図の右側から入射する。直径 0.5 m の真空窓、IR カットフィ
ルター、低温半波長板 (CHWP)、3 枚のアルミナレンズを通過し Focal plane で結像する。Howeet al. [20] をもとに作成。

ている [22]。大口径望遠鏡 1 台と小口径望遠鏡 3 台を設置し、2022 年に観測開始予定である (図2.3)。これらの望遠鏡には合計 6 万個の TES 検出器が搭載され、測定感度の大幅な向上を図っている。ノイズの低減のため、希釈冷凍機を使用し、TES を 100 mk まで冷却している。観測は 3 つの周波数帯である Low-frequency (LF)、Mid-frequency (MF)、Ultra-high-frequency (UHF) で行い、CMB の信号だけでなく、ダスト放射・シンクロトロン放射の見積もりも行う (図 2.4)。 望
遠鏡には 2 色の検出器を用い、それぞれ中心周波数が 27/39 GHz, 93/145 GHz, 225/280 GHz の周波数帯を観測する。
大口径望遠鏡 (Large Aperture Telescope: LAT)
大口径望遠鏡は、直径 6 m の口径を持つクロスド-ドラゴン型反射型望遠鏡である (図 2.5)。

arcmin の角度分解能で重力レンズ効果の測定を目的としている [23]。空からの光は 2 度鏡で反射され、低温のレシーバー (LATR) へと向かう。LAT には最大 13 本の光学筒が並び、それぞれの面で焦点を結ぶ。光学筒ごとに、LF, MF または UHF の周波数帯を観測するための光学素子及び検出器が設置されている。視野角を最大にするため、中心以外の光学筒は光学素子のアルミナを楔形にしている。レシーバー内には 3 枚のシリコンレンズが存在し、焦点面で結像する。

12

(a)

(b)

図 2.3: SO 実験で用いる望遠鏡。(a) 大口径望遠鏡。1 台設置する。直径 6 m の口径を持ち、arcmin の角度分解能で重力レンズ効果を見積もる。(b) 小口径望遠鏡。3 台設置し、どの望遠鏡も42 cm の口径を持つ。数度の角度スケールで観測し、原始重力波由来の偏光測定を目指す。

図 2.4: CMB の信号、シンクロトロン、ダストの周波数に対する輝度温度と SO の観測周波数帯[22]。低周波側からそれぞれ 2 バンドずつ LF, MF, UHF となり、2 色の検出器を用いる。大気や水の吸収線を避け (図 2.1)、それぞれの信号を最大限に検出できる観測周波数帯となっている。

13

図 2.5: 大口径望遠鏡。空からの光は 2 度鏡で反射され、低温検出器へと入る [24]。右の図はレシーバーの拡大図である。最大 13 本の光学筒が並んでいる。

小口径望遠鏡 (Small Aperture Telescope: SAT)
小口径望遠鏡は 3 台建設され、それぞれ直径 42 cm の口径を持つ屈折型望遠鏡である (図2.6)[25, 26]。35 度の視野角を持つ。それぞれが 1 つの光学筒を持ち、LF, UHF の光学筒が 1 つずつ、MF の光学筒が 2 つ存在し、MF 用光学筒のうち 1 本を LF 用光学筒に途中で入れ替えることによって観測を行う。数度の角度スケールで観測をし、原始重力波由来の B モード偏光の測定を目指すことで、インフレーション理論の証拠を探索する。図 2.6 は小口径望遠鏡のレシーバーである。空から入射し真空窓を通過した光は、IR カットフィルター、低温半波長板、3 枚のシリコンレンズなどの光学素子を通過し、検出器がおかれる焦点面で結像する。希釈冷凍機により検出器は100 mk、レンズは 1 K、半波長板は 50 K まで冷却されている。

2.3 光学素子
CMB の偏光信号を最大限検出器に送るため、近年様々な光学系での装置開発が進められている。特に、大気の揺らぎによる雑音や望遠鏡の内部で光が反射することで生じる偽物の偏光 (偽偏光) は、大きな系統誤差を生じる原因となる。B モード偏光の信号は温度揺らぎと比べて O(10−7 )と非常に小さいため (図 1.5)、装置の非理想的な振る舞いによって無偏光信号がわずかに偏光して見える、「温度揺らぎから偏光への漏れこみ」が大きな系統誤差の要因となる。CMB の高精度な測定には光学系由来の系統誤差を最小限に減らす装置の開発が必須となる。本節では、中でも本研究において関係の深い、サファイア半波長板とアルミナ IR カットフィルターについて述べる。

14

図 2.6: 小口径望遠鏡のレシーバー [25]。上から光が入射し、まず真空窓 (window) を通過する。その後、冷却された半波長板、レンズなどの光学素子を透過し、焦点面 (focal plane array) で結像する。

2.3.1 連続回転式半波長板
半波長板は、複屈折素材を用いることにより偏光信号に変調を加えるものである (図 2.7)[27]。
半波長板による位相差 δϕ は、

2π∆nd
λ∆n = |no − ne |
δϕ =

(2.1)
(2.2)

と書ける。ただし、d は複屈折材の厚さ、λ は入射光の波長、∆n は光の速く進む軸と遅く進む
軸 (ordinary, extraordinary) の屈折率 (no , ne ) の差を表す。特定の周波数において、この位相差

δϕ = π となるように厚さを決定する。光軸に対して偏光角 χ で入射した光は変調を受けて −χ で透過、つまり入射偏光角と透過偏光角の差は 2χ となる。

CMB 実験では、例えば PB-2b、小口径望遠鏡に使用される。サファイアを複屈折素材として用い、連続回転させることで偏光成分のみを変調する。これにより、偏光成分と無偏光成分を区別し、無偏光成分である大気の揺らぎを除去する。偏光の向きを回転し、1 つの検出器で互いに 90
度異なる偏光方向の信号を読むことが可能なため、検出器間の系統誤差が生じない。一方で、半波
長板自体の不完全さに由来する系統誤差が生じる。この信号は、半波長板に同期する信号 (HWP

15

(a)

(b)

図 2.7: 半波長板の概念図。(a) z 方向に進む直線偏光が x 方向に光軸を持つ半波長板によって変調される様子を表す。半波長板の x 方向と y 方向の屈折率が異なるため、1/2 波長の位相差が与えられる。(b) 半波長板の回転角。左が入射偏光、右が透過偏光を表す。光軸である x 軸に対して χ で入射した光は −χ で透過、つまり入射偏光角と透過偏光角の差は 2χ となる。

synchronous signals: HWPSSs) として記述され、定量的な評価が必要となる。運用の際には、半波長板自身が作るサイドローブ・熱放射による影響を避けるため、直径 >450 mm、温度 <100 Kといった条件で製作する必要がある [28]。PB-2b、小口径望遠鏡どちらの場合も次節で述べる IR
カットフィルターより検出器側に設置される。
また、1 枚の半波長板では、ある特定の周波数でしか変調を加えることができない (式 (2.1))。

CMB 観測に必要な広帯域で変調効率を上げるため、サファイアを複数枚重ねて用いる。3 枚のサファイアを適切な角度で重ね合わせることにより、理想的には MF, UHF の周波数帯で変調効率>99% を実現できる [29]。
周波数 f で回転する半波長板に、軸に対する角度 χ、ストークスパラメータ (I, Q, U ) で記述される光が入射すると、変調されてdm = I + ϵ Re[(Q + iU )m(χ)] + A(χ) + N(2.3)

で検出される [30, 31]。ただし、m(χ) ≡ exp(−4iχ) は変調関数、A(χ) は半波長板に同期する信

16

号 (HWP synchronous signals: HWPSSs)、ϵ は変調効率、N はノイズを表す。このように半波長
板は変調信号に加えて HWPSSs も生成するので、この信号を定量的に記述することで半波長板による信号を正確に見積もることができる。HWPSSs は、A(χ) = A0 (χ) + λ(χ)I(2.4)と空の強度に無関係な A0 (χ) と、無偏光成分が変調されて偏光となる λ(χ)I に分解できる。これ
らの項は χ のフーリエ級数で展開でき、A(χ) =∞∑(An + aoptn I) cos(nχ + ϕn )

(2.5)

n=1

と書ける [32]。An は CMB 温度 [mK], aopt
n は割合 [%] で評価される。一番大きい成分である

n = 2 の信号は 2f の信号と呼ばれ、取得したデータの質を評価するのに使用される [33]。次に大きな信号は 4f となる。これは、望遠鏡内部で多重反射することなどで生じる同期信号である。上式から、温度の信号が偏光信号として観測される値であることがわかり、これを温度から偏光信号への漏れこみと呼ぶ。

2.3.2 IR カットフィルター
CMB 観測に用いられる TES は転移温度を下げるほど感度が向上する。SO および SA の検出器
温度はそれぞれ約 100 mK、250 mK である。一方、CMB 光子が入射する真空窓は 300 K と常温のため、∼100 W もの熱量で光学系が温められてしまう。そのため、ミリ波を透過し、エネルギーの高い赤外線 (IR) を除去する素子を設置する必要がある。地上 CMB 実験では、IR 除去の素子としてアルミナを使用する。このアルミナは IR を除去することに加え、熱伝導が良いため、大気の300 K からの熱量を受けても十分に冷却が可能となる。一方で、上記 2.3.1 で述べた半波長板は連続回転させる必要があり熱伝導が悪くなる。そのため、半波長板の素子を十分に冷却できるよう、IR カットアルミナは、同じ温度ステージの連続回転式半波長板より空側に設置する必要がある (図2.2)。
SA, SO 実験では、このアルミナの IR カットフィルターを光学筒の各温度ステージごとに設置し、これらの各温度ステージの冷却力に合わせて IR によるパワーを段階的に遮断する。PB-2b では、50 K ステージにアルミナフィルターを、4 K, 350 mK ステージにメタルメッシュフィルター[34] を導入している [35]。また、3 枚のレンズがアルミナで作製されており、このレンズは IR をカットする役割も果たす。SO では、4 K, 40 K ステージにアルミナフィルター、焦点面に設置された検出器の前の mK ステージにメタルメッシュフィルターを設置する [20, 36, 37]。SO のレン
ズはシリコンで作製され、アルミナより IR に対する吸収率が低い。さらに、レンズは 1 K に設置されているため、冷却能力が SA に比べて低い。そのため、SA 実験では不要である 4 K ステージにもフィルターを設置する必要がある [38]。ただし、アルミナは屈折率が約 3.1 と大きいため、反射防止加工を行って使用することが必須である。

17

(a)

(b)

図 2.8: SO 実験で使用される半波長板サファイアと IR カットフィルターの例。(a) 半波長板用サファイア。MF では厚さ 4 mm、UHF では厚さ 2 mm のサファイアを用いる。図のサファイアを

3 枚重ねて高い変調効率を実現する。(b) IR カットフィルター用アルミナ。元の素材であるアルミ
ナに、反射防止加工を行っている。

図 2.8 は、SO 実験で使用するサファイアとアルミナの 1 例である。どちらの素子も直径約50 cm と大口径である。また、厚さは観測周波数帯に応じて 2 mm – 4 mm で調整されている。

18

第3章

偏光信号の精密測定
偏光信号を高精度で測定するためには、統計量の上昇による統計誤差の削減を行い、かつ系統誤差を統計誤差より十分小さく制御可能な装置の開発が必要となる。また、装置によるこれらの誤差を正確に見積もる必要がある。例えば、望遠鏡の光学素子について、屈折率の高いサファイアやア
ルミナは多くの光を反射し誤差を生じる原因となるため、そのままでは使用できない。そこで、反射防止加工を行い、反射率を減少させて使用する。反射防止加工はすべての周波数帯で反射率を 0にすることはできないため、装置の非理想性から生じる誤差を定量的に評価する必要がある。本章
では、反射率が有限であることで生じる誤差について、系統的な観点と統計的な観点それぞれから、シミュレーションを用いて評価を行った。まず、反射防止膜の意義と要求について述べる。次に、反射率が 0 でないことによって生じる系統誤差である、温度から偏光への漏れこみについて議論を行う。最後に、透過率の減少による統計誤差について、望遠鏡の感度計算を行い評価する。

3.1 反射防止膜の意義
前章 2.3 で述べたように、SA 実験や SO 実験の光学素子には、サファイア (半波長板用) やアルミナ (IR カットフィルター用) が用いられる。これらの屈折率 ns ≃ 3.1 は真空の屈折率 1 と比べて大きい*1 。垂直入射において、境界面での反射率はフレネルの式より、

R=(ns − nvacuum )(ns + nvacuum )2
2 ≃ 0.3(3.1)と書ける。ただし、nvacuum = 1 は真空の屈折率である。上式より、これらの素子は ∼ 30% もの
光を反射してしまい、誤差を生じる原因となる。また、式 (3.1) の反射率は境界面での反射率 (片面) のため、両面合わせた際には、平均約 40% の反射率となる (図 3.1)。この値は、垂直入射でない場合 (入射角を持つ場合) にさらに大きくなり、そのまま用いることはできない。そのため、これらの素子に反射防止加工を施すことが必須であり、反射率の減少による系統誤差の減少・透過率*1 望遠鏡に使用するサファイア及びアルミナはどちらも約 3.1 と等しい屈折率を持つ。そのため、開発した反射防止膜

は両方の素子に適用できる。

19

(a)

(b)

図 3.1: 反射防止膜の概念図。(a) 反射防止膜なしの場合。片面あたり約 30%、両面を合わせると40% ほどの反射率となる。(b) 反射防止膜ありの場合の概念図。サファイアまたはアルミナと真空の屈折率の間の屈折率を持つ誘電体を重ね合わせる。内部反射で生じる干渉によって入射波と反射波が打ち消しあい、低反射率を実現する。

の増加による統計誤差の減少が偏光信号の精密測定に重要となる。本研究では、屈折率の異なる誘電体を重ね合わせることにより反射率の減少を行う (図 3.1)。重ね合わせる誘電体は、層数が多い
ほど低反射率の反射防止膜を作製することができる。図 3.2 は、反射防止膜の層数の違いによる反射率の比較である。ここでは、各層数において、SO の周波数帯である MF1 と MF2 を合わせた
平均反射率が最小となる理想的な場合を計算している [39, 40]。表は、反射率計算に用いた各層の屈折率、厚さ、平均反射率を表している。層を増やすほど広帯域の反射防止膜となり、平均反射率が減少していることがわかる。CMB 観測では観測周波数帯が広いため、1 層では低反射率を実現できず、複数層の誘電体が必要となる。反射防止膜作製の詳細については次章で記述する。

CMB 偏光観測において、サファイア半波長板・アルミナフィルターの光学素子に反射防止加工を行うためには、以下の要求を満たさなければならない。

• 観測周波数帯において、低反射率を実現する必要がある。周波数帯は、∼100 GHz で比帯域∼30% の広帯域となる (図 2.4)。先行研究や光学シミュレーションを基に、MF 周波数帯では約 2%,、UHF 周波数帯では約 1% の反射率を目標とする [41, 42]。

• 反射防止膜を施す半波長板やフィルターは直径 50 cm と大口径であり、この大きさに対して反射防止膜が均一となる必要がある。

• 光学素子は熱放射を抑えるため、<50 K の低温で使用される [43]。そのため、冷却時に層間の熱収縮率の違いによって剥離しない必要がある。
これらの要求を満たし、誤差を最小限に抑えた反射防止膜の開発・性能評価が必須である。広帯域
で低反射率を実現するため複数層のコーティングが必要であり (図 3.2)、本研究では 2 層の反射防止膜を開発した。

20

100

MF1

MF2

Reflectivity

10 1
10 2
10 3
10 4
10 5 6080

1-layer2-layer
3-layer
100 120 140 160 180 200 220

Frequency [GHz]
(b)

(a)

層数

n

d [mm]

反射率 [%]

1

1.8

0.31

16, 3.2

2

1.4, 2.5

0.42, 0.23

2.6, 0.7

3

1.2, 1.7, 2.5

0.54, 0.37, 0.25

0.5, 0.3

図 3.2: 反射防止膜の層数の違いによる、反射率の比較。(a) 1–3 層の最適なコーティングのグラフの比較。赤線で囲まれた範囲は MF の観測周波数帯を表す。(b) (a) のグラフを縦軸対数表記したグラフ。観測周波数が広帯域のため、1 層ではすべての周波数帯で反射率を低減することはできない。層を 1 層増すごとに、反射率は 1 桁程度減少することが見て取れる。表は、図に対応する、各層数ごとの最適な屈折率・厚さと平均反射率を表す。n は屈折率、d は厚さを表し、各層ごとの最適な値を示している。反射率は、左の値が MF1、右の値が MF2 の周波数平均を表す。

3.2 温度から偏光信号への漏れこみ
この節では、系統的な影響について議論する。B モード偏光の大きさは CMB の温度揺らぎと比べて非常に小さい (図 1.5)。そのため、装置の非理想的な振る舞いによって無偏光信号がわずかに偏光して見える、「温度揺らぎから偏光への漏れこみ (intensity-to-polarization leakage; I-to-P

leakage)」が大きな系統誤差の要因となる。漏れこみの主な要因は、望遠鏡内部で光が反射することで偽の偏光「偽偏光」が生じることである。これらを低減するため、偏光信号に変調を加える連続回転式低温半波長板が導入されている。半波長板を導入することで偽偏光を除去できるが、半波
長板自体の不完全さに由来する漏れこみは、CMB の偏光信号と区別できないため取り除くことができない。また、例えば SO の 40 K フィルターなど、半波長板より空側に設置される素子によっ21

図 3.3: 入射角に対する S 偏光と P 偏光の反射率の違い。入射角が 0 度の時は S 偏光 (青) と P 偏
光 (オレンジ) が同じ反射率であり、偏光成分は生じない。一方、入射角が 0 でない値をとった場
合、S 偏光と P 偏光が違う反射率を持ち、偏光成分が生じる。図は、100 GHz でのシミュレーショ
ン例であり、1 層の理想的な反射防止膜を置いた場合を表す。

て生じる系統誤差も、半波長板が CMB の偏光信号と素子によって作られた偏光信号を区別することはできない。温度揺らぎの大きさから、装置由来の数 % (10 µK) ほどの漏れこみでも大きな系
統誤差となり、B モード偏光を観測できない。以下では、反射防止膜の開発にあたり、反射率が完
璧に 0 にならない事による偏光への漏れこみについて、原因ごとに議論する。

3.2.1 入射角が 0 でないことによる漏れこみ
反射防止膜が完璧でないことで生じる系統誤差の一番大きな原因は、望遠鏡内で無偏光成分が光学素子に 0 でない入射角で入射することである。入射角が 0 でないと、入射面に垂直な偏光成分(S 偏光) と平行な偏光成分 (P 偏光) の反射率が異なり、無偏光成分が入射しても出てきたときに偏光となってしまう。図 3.3 は、入射角に対する S 偏光・P 偏光の反射率シミュレーションである。100 GHz において 1 層の反射防止膜を施した時の例で計算を行った。垂直入射では S 偏光・

P 偏光の反射率が等しく反射光は無偏光だが、入射角を持つ場合は S 偏光・P 偏光が違う反射率となり、反射光はこの差により偏光となることがわかる。SO で用いる小口径望遠鏡 Small Aperture

Telescope (SAT) は 35 度の大きな視野角を持つため、この影響を十分に検討する必要がある。
反射防止膜が必要な光学素子の中でも、特に、半波長板より空側にある 40 K フィルター (SO の場合) による系統誤差の検討が重要である。これは、半波長板が、より空側にある素子の不完全さによって生じる漏れこみの偏光信号と、CMB の偏光信号を区別できないためである。0 でない入

22

(a)

(b)

(c)

図 3.4: 反射防止膜の不完全さにより生じる系統誤差の原因。(a) 無偏光が、半波長板より空側の光学素子に対して角度を持って入射することによる、偏光信号への漏れこみの概念図。(b) サファイアの複屈折性により、半波長板に同期した偏光信号が生じる概念図。(c) 場所により不均一な反射防止膜を施した半波長板の回転に伴い、半波長板に同期した信号が生じる概念図。

射角でフィルターに入射した無偏光は、反射されて偏光として半波長板に入射し、半波長板に同期する 4fHWP の信号として検出される (図 3.4、式 2.5)。
入射角によって生じる漏れこみは、反射防止膜の性能が良いほど小さくなる。ここで、反射防止膜の層数の違いによる漏れこみへの影響を評価する。SO で必要な MF 周波数帯において、1–3 層の最適なコーティングを比較する。最適なコーティングとは、数値計算において平均反射率が最小となる理想的な場合を仮定している。図 3.5 は、入射角に対する 1–3 層の最適なコーティングの反射率を比較したものである。層の数が 1 層増えるごとに、最適な反射率は 1 桁程度減少する。これに対応する漏れこみは、平均反射率の S 偏光と P 偏光の差をとることで、図 3.5b のように求めることができる。層数による漏れこみの違いは、入射角が大きくなるほどより顕著に現れることが見て取れる。ここで、漏れこみはR(s−p) =Rs − Rp2(3.2)

で定義される値であり、Rs , Rp はそれぞれ S 偏光と P 偏光の平均反射率とした。ここで求めたR(s−p) が、半波長板に同期する 4fHWP の信号である aoptに対応する。Salatino et al.(2018) [32]4では、半波長板全体の漏れこみが入射角 20 度において、95 GHz で 0.76%、145 GHz で 0.63% と見積もられている。作製した反射防止膜について最終的にこれらの値と比較し、漏れこみの定量的な評価を行う。

3.2.2 半波長板が複屈折性を持つことによる漏れこみ
2 つ目の原因として、サファイアが複屈折性を持つことが挙げられる。半波長板用サファイアは、軸の方向に対して ordinary axis で屈折率 no ≃ 3.1、extraordinary axis で屈折率 ne ≃ 3.4 を持つ [38, 44]。これにより、軸に対する光の入射方向によって ∼ 3% 透過率が異なり、無偏光信号が

23

(a)

(b)

図 3.5: 層数の違いによる反射率と漏れこみの比較。(a) 入射角に対する 1–3 層の S 偏光 (実線) とP 偏光 (点線) の反射率。1 層増えるごとに反射率は 1 桁減少する。(b) 入射角に対する S 偏光と P
偏光の反射率の差。(a) の反射率に対してそれぞれ式 (3.2) に従い差を計算したもの。層の数が増えるほど S 偏光と P 偏光の差は小さく、漏れこみによる系統誤差を抑えることができる。

偏光信号になる (図 3.4)。この影響は、半波長板に同期する 2fHWP , 4fHWP の信号として検出される。2fHWP の信号として検出される A2 (式 (2.5)) は 10 K の大気のローディングで ∼ 300 mK に対応する。

3.2.3 その他の原因
半波長板が回転することによっても偏光信号への漏れこみが生じる。半波長板に反射防止膜が均質に施されていないと、場所によって反射率が異なる (図 3.4)。この不均質な反射防止膜が施された半波長板が 2 Hz で回転することにより、回転に伴って光が違う反射率の場所を通過し、偏光信号が生じる。検出される信号は、nfHWP であり、任意の n の値について半波長板に同期した信号が生じる。
また、反射率が大きいことで、望遠鏡の光学筒内で光が多重反射することによって「ゴースト」が生じる。ゴーストは、反射防止膜の不完全性により間違った場所に結像されるものである。
以上より、装置の不完全性により生じる温度から偏光信号への漏れこみには、複数の原因が存在する。ただし、一番誤差として考慮すべき原因は、半波長板より空側にある素子からの、半波長板が区別することができない入射角による漏れこみであり、これらの系統誤差を最小限に抑えるために、反射防止膜の開発・性能評価が必須である。

24

3.3 感度の向上
この節では、統計的な影響について議論する。CMB の偏光信号を高精度で検出するためには、前節で述べた系統誤差を減少することに加えて、統計誤差を減少し感度を上げることが重要である。ここでは、まず、CMB 実験で用いられる感度計算の概要を説明する。続いて、シミュレー
ションを使用し、光学素子である半波長板や IR カットフィルターの透過率が感度に与える影響について議論する。

3.3.1 感度計算の概要
望遠鏡の感度は、map depth: σmap と呼ばれる 2 次元マップにおけるノイズで表せる。map

depth は、√
4πfsky10800
NETarr (ηthrough )σmap =πηobs tobs[K arcmin](3.3)

で定義され、SN 比を特徴づける値として捉えることができる [45]。単位は K-arcmin と慣例的に温度の単位で議論され、係数 10800/π は単位換算のための係数である。この map depth は、値が小さいほどノイズが小さいことを意味する。ここで、NETarr は望遠鏡の検出器アレイ全体のノイズである。fsky , ηobs , tobs はそれぞれ観測する空の割合、観測効率、観測時間を表す。map depth
は、観測する立体角の 1/2 乗に比例し、また、観測時間の 1/2 乗に反比例することがわかる。空の観測割合と観測時間がトレードオフの関係となっていることが見て取れる。これより、式 (3.3) において、根号で記述される部分は観測方法に関するノイズを表している。つまり、装置によるノイズを考える場合は NETarr を評価すればよい。

NET (noise equivalent temperature) を評価するため、光子ノイズを考える。光子ノイズは、検出器に到達する光子数の揺らぎによるノイズである。式 (3.3) の NETarr は検出器アレイ全体のNET であるが、光子ノイズの議論には、1 つの検出器におけるノイズである NETdet を用いる。
NETarr と NETdet は、√NETdetNETarr = √Γ [K s]Y Ndet(3.4)の式で結び付けられる。ただし、Ndet は総検出器数、Y は検出器の歩留まり (0–1 の値をとる) を表す。また、Γ は焦点面上の検出器間の相関 (≥ 1) であり、無相関の場合は 1 をとる [45]。検出器
は総和ノイズ NETdet のうち物理限界である光子ノイズが支配的になるよう、他のノイズ成分が最適化されている。したがって、ここでは簡単のため、NETdet は、光子ノイズが他のノイズに比べ25

て十分大きいと仮定する*2 。この時、NETdet ∼ √

√
NEPph
[K s]
2(dP/dTCMB )(3.5)と記述できる。ただし、NEPph は光子ノイズをパワーに換算した値 (noise equivalent power;

NEP)、dP/dTCMB はパワーと温度の単位変換のための係数である。NEPph は各バンドの中心周
波数 νc とバンド幅 ∆ν を用いて、√ (NEPph ∼

2Popt
2 hνc Popt +∆ν

)√[W/ Hz](3.6)と記述できる [47, 46]。ここで、Popt =∫ ∞ [N∑elem
0]pi (ν) B(ν)dν

(3.7)

i=1

は検出器に入射するパワーである optical power を表す。pi (ν), B(ν) はそれぞれ周波数 ν における i 番目の光学素子のパワースペクトル密度、B(ν) は検出器のバンドパスを示す。空からの放射を含めたすべての素子のパワースペクトル密度とバンドパスの積を周波数積分することで、Popt が得られる。つまり、光学素子のパワースペクトル密度を正確に求めることができれば、感度を正確に記述できる。
パワースペクトル密度は、素子の温度、吸収、spillover*3 、散乱、透過の関数で書き表せる [45]。
ここに含まれる透過率は、他の 3 要素のそれぞれの係数 α(ν), β(ν), δ(ν) と反射係数 r(ν) を用いて*4 、

η(ν) = [1 − α(ν)][1 − β(ν)][1 − δ(ν)][1 − r(ν)](3.8)と記述できる。上式は、半波長板や IR カットフィルターを含めたすべての光学素子に適用でき、これらの透過率の積をとることで、光学スループット ηthrough と呼ばれる値を定義できる。光学ス
ループットは、観測周波数帯内の全光子数に対する検出される光子数の割合を表し、

ηthrough =

N
inst
∏

ηi

(3.9)

i=0

と記述される。ただし、Ninst は、検出器も含めた望遠鏡内の全ての光学素子を表している。透過率を最大化することで高い光学スループットを実現できるため、感度の向上には透過率の向上が必須である。

*2 光子ノイズ以外のノイズ成分として、検出器に使用される超伝導転移端センサーから熱浴へ流れる熱の揺らぎによる

ボロメータノイズ、超伝導転移端センサーを読み出す際の読み出しノイズが挙げられる [46]。厳密な NET の計算には、式 (3.5) において、光子ノイズに加え、これらすべての NEP の二乗和平方根をとる必要がある。
*3 spillover とは、光学系での開口に収まらないビームのパワーを表す。
*4 係数はすべて周波数 ν の関数となる。

26

3.3.2 光学素子の透過率が感度に与える影響
この節では、光学素子の透過率が、感度にどのように影響を与えるかをシミュレーションにより評価する。式 (3.3) の感度計算には、CMB 偏光観測実験の感度計算機である BoloCalc *5 [45, 44]を用いた*6 。
図 3.6 は、アルミナフィルター及び半波長板サファイアの透過率の違いによる、SAT 感度の比較である。SAT 望遠鏡にはアルミナフィルターが 40 K、4 K の 2 枚存在し、図に記載した透過率 T
はフィルター 2 枚と半波長板すべての透過率を示す。青、オレンジ、緑の線は、これらの素子の透過率がそれぞれ 100% (光が完全に透過する理想的な場合), 90%, 60% の場合の感度を表す。反射防止膜なしの場合は、透過率が約 60% (反射率約 40%) となるため、図の緑の線に対応する。他の感度計算に必要なパラメータは、すべて SO での baseline の値 [22] を基に、一定値にそろえている。左の図 (3.6a) は map depth の計算結果である。点は各周波数帯の中心周波数を示す。低周波数側から 2 点ずつ LF, MF, UHF を示す。全ての光が透過する理想的な場合 (青) に比べ、反射防止膜がなく透過率が 60% となる場合 (緑) は、map depth が約 2 倍となることがわかる。ここからも、偏光信号の精密測定には反射防止膜なしで光学素子を用いることはできないことがわかる。
右の図 (3.6b) は、求めた map depth について、透過率 T = 1 の場合を基準としたときの相対的な map depth である、mapping speed (MS) を表す。mapping speed は、

MS =

1
1
∝ 2
2
σmap
NETarr

(3.10)

で定義され、ノイズを相対的に比較するために用いられる。上式から、値が大きいほど感度の高い装置であることを示す。また、ここでは透過率 T = 1 を基準としているため、T = 1 の MS は 1となっている。透過率の減少に伴い MS が低下し、透過率 60% では約 0.2 と大幅に低下することがわかる。

3.4 まとめ
偏光信号の精密測定には、屈折率の大きい光学素子の反射率を抑えるため、反射防止加工を行うことが必須である。SA 実験や SO 実験の望遠鏡に反射防止膜を施すには、広帯域で低反射率・直径 50 cm の大口径・低温で剥離しないといった複数の要求を満たす必要がある。また、高精度でB モード偏光を測定するためには、反射率が 0 にならないことによる誤差について、温度から偏光への漏れこみの系統誤差、光学スループットの減少に伴う感度を正確に計算しなければならない。
系統誤差は温度から偏光信号への漏れこみが大きな誤差要因となり、主に光が垂直入射でないこと
によって生じる。統計誤差に関しては、感度計算から、光がすべて透過する場合に比べ、反射防止*5 BoloCalc: https://github.com/chill90/BoloCalc*6 このシミュレーションによる感度計算では、光子ノイズだけでなく、他のノイズ成分であるボロメータノイズや読み出しノイズが含まれている。

27

1.0

Map depth [ K arcmin]

50

Relative mapping speed

T=1
T=0.9
T=0.6

60

0.8

40

0.6

30

0.4

20

0.2

10
0

50

100

150

200

Frequency [GHz]

250

50

(a)

100

150

200

Frequency [GHz]

T=1
T=0.9
T=0.6
250

(b)

図 3.6: 光学素子の透過率の違いによる感度の比較。青、オレンジ、緑はフィルター 2 枚と半波長板の透過率がそれぞれ 100%, 90%, 60% の時の感度を表す。他の素子の値はすべて SO baselineの値を基に一定値にそろえている。(a) は map depth, (b) は透過率が 1 の時を基準とした相対的な MS を表す。

膜がないことで map depth が 2 倍ほど大きくなることが確認された。本章ではシミュレーションを用いて議論を行ったが、7 章では、開発した反射防止膜の測定結果を基に、温度から偏光信号への漏れこみと感度の議論を行う。

28

第4章

反射防止膜の製作
反射防止膜は、屈折率の異なる誘電体を重ねることにより、屈折率を徐々に下げ干渉の原理を利用して特定の周波数帯で反射率を減少させるものである (図 3.1)。特に、そのままでは反射率の大
きい望遠鏡の光学素子である、半波長板用サファイア・IR カットフィルター用アルミナに必須である。CMB 観測に必要な広帯域を実現するため、本研究では、2 層の反射防止膜を開発した。本章では、まず、反射防止膜を作製するにあたり必要となる原理について、数学的取り扱いを述べる。次に、開発した反射防止膜について、コーティング材料の選定と最適なコーティングの光学シ
ミュレーションによるデザインを述べる。最後に、作製した反射防止膜の性能評価試験の概要を述べる。

4.1 反射防止膜の原理
4.1.1 反射率・透過率の数学的扱い
本節は光学の原理 (I) を参考に記述する [39]。Maxwell 方程式から、反射率・透過率を求めるた
めの特性行列を導出する。まず、Maxwell 方程式は、ガウス単位系で以下のように記述される。

1 ∂D
4π
=
j
c ∂t
c
1 ∂B
∇×E+
=0
c ∂t
∇ · D = 4πρ

∇×H −∇·B =0

(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)

ただし、E, D, B, H はそれぞれ電場、電束密度、磁束密度、磁場であり、ρ は電荷密度、j は電流密度を表す。ここで、図 4.1 のように、電場が入射面に対して直行する TE 波について考える。以29

図 4.1: 多層膜誘電体の概念図と座標系の定義。z 軸正の方向に TE 波が進行し、z = 0 で誘電体膜に入射する。電場 E は入射面に垂直、磁場 H は平行である。

上の式 (4.1)–(4.4) の Maxwell 方程式は、以下の 6 個のスカラー方程式

∂Hz
∂Hy
iωϵ
−
+
Ex = 0
∂y
∂z
c
∂Hx
∂Hz
−
=0
∂z
∂x
∂Hy
∂Hx
−
=0
∂x
∂y
Bx = 0∂Exiωµ−Hy = 0
∂z
c
∂Ex
iωµ
+
Hz = 0
∂y
c

(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)と書き下せる。ただし、ϵ は誘電率、µ は透磁率であり、ω は角振動数である。また、時間に対しては exp(−iωt) で変化するとしている。式 (4.9), (4.10) を磁場 Hy , Hz について解き、それぞれ z,y で微分、式 (4.5) に代入すると、∂ 2 Exd(ln µ) ∂Ex∂ 2 Ex++ n2 k02 Ex =
∂y 2
∂z 2
dz
∂z

30

(4.11)

となる。ただし、k0 = ωc は波数、n =√ϵµ は屈折率である。これを解き、式 (4.9), (4.10) を用い

ると、Ex , Hy , Hz の解はそれぞれ z の関数 U (z), V (z), W (z)、定数 α を用いて、Ex = U (z) exp{i(k0 αy − ωt)}(4.12)

Hy = V (z) exp{i(k0 αy − ωt)}(4.13)

Hz = W (z) exp{i(k0 αy − ωt)}(4.14)と書ける。これは、振幅部分である z の関数と位相部分を変数分離した形となっている。このU (z), V (z), W (z) を求めることにより、誘電体内の特性行列を求めることができる。
次に、以上で書き下した式を用いて特性行列を導出する。Ex , Hy , Hz の表式を式 (4.5), (4.9),(4.10) に代入し、U, V の微分方程式を書き下すと、
d2 Ud(ln µ) dU+ k02 (n2 − α2 )U = 0−2
dz[dz ] dz(4.15)

α2d ln (ϵ − µ ) dV
d2 V−
+ k02 (n2 − α2 )V = 0
dz 2
dz
dz

(4.16)となる。これらの微分方程式の解を求めることで、電場を書き下すことができる。解を求めるにあたり、特解をそれぞれ U1 , U2 , V1 , V2 と置く。これらの解は、z に関する 1 次微分方程式によって結び付けられ、

Ui′ = ik0 µVi
Vi′ = ik0 (ϵ −(4.17)
α2)Uiµ(4.18)と書ける。ただし、i = 1, 2 である。これらの式を変形すると、z に関する全微分d(U1 V2 − U2 V1 ) = 0
dz(4.19)

で書き表すことができる。今後の議論のため、これらの特解を U1 = f (z), U2 = F (z), V1 = g(z),V2 = G(z) と書き、さらに簡単のため、f (0) = G(0) = 0, F (0) = g(0) = 1 を満たすものを選ぶ。
この時、初期値 U (0) = U0 , V (0) = V0 を持つ U, V の任意の z に対する値は、

U = F U0 + f V0

(4.20)

V = GU0 + gV0(4.21)

Q = N Q0

(4.22)と表示できる。行列で書くと、で表せる。ただし、

(
Q=

)
( )
(
)
U (z)
U0
F (z) f (z)
Q0 =
N=
V (z)
V0
G(z) g(z)31(4.23)

である。式 (4.19) から detN = (一定) であり、式 (4.22) を Q0 について解くと、

Q0 = M Qが得られる。ただし、

(
M=

g(z)
−G(z)

(4.24))−f (z)F (z)(4.25)である。この M を特性行列と呼び、これは z = 0 における電場ベクトルの x, y 成分を、任意の位
置 z における成分と結びつけるものである。つまり、この M を求めることで、場の全ての成分を決定でき、層状媒質内での平面波の伝播を記述できる。

4.1.2 均質誘電体膜
反射防止膜の反射率計算のため、前節で求めた特性行列を均質な誘電体膜に適用することを考える。図 4.1 のように、i 番目の薄膜の誘電率、透磁率をそれぞれ ϵi , µi , 入射角 θi とすると、

αi = ni sin θiと書ける。また、ni =√(4.26)

ϵi µi は定数であり、境界条件を解くと、(M (zi ) =cos (k0 ni di cos θ)− pii sin (k0 ni di cos θ)−ipi sin (k0 ni di cos θ)cos (k0 ni di cos θ))が得られる。ただし、di = zi − zi−1 は i 番目の誘電体の厚さである。また、pi =(4.27)√

ϵiµi cos θ と置いた。薄膜が複数層になった時には、この特性行列をかけ合わせることで Q0 を求めることができる。0 ≤ z ≤ z1 , z1 ≤ z ≤ z2 , . . . , zN −1 ≤ z ≤ zN と薄膜が重ね合わさった場合は、z = 0 における Q0 について、

Q0 = M1 (z1 )M2 (z2 − z1 ) · · · MN (zN − zN −1 )Q(zN )(4.28)と計算できる。反射率・透過率を求めるためには、それぞれ反射係数 r、透過係数 t を求める必要があり、電場と磁場の接線成分が媒質間で連続となる条件を用いると、以上から

p0 M11 + p0 ps M12 − M21 − ps M22
p0 M11 + p0 ps M12 + M21 + ps M22
2p0t=p0 M11 + p0 ps M12 + M21 + ps M22

r=(4.29)(4.30)が 得 ら れ る (詳 細 は 付 録 A で 記 述)。た だ し 、Mij は 行 列 M (zN ) = M1 (z1 )M2 (z2 −z1 ) · · · MN (zN − zN −1 ) の ij 成分であり、p の引数である 0, s はそれぞれ z < 0, z > zN における引数である。反射率・透過率は、

R = |r|2
ps
T = |t|2p0
R+T =132(4.31)(4.32)(4.33)

で求まる。
誘電体による電磁波の吸収を考慮する場合には、上記の屈折率 n を複素屈折率に拡張して計算する必要がある。ここでは吸収を特徴づける数値として、誘電体内でのエネルギー損失を表す値である、誘電正接: tan δ を用いる [38]。誘電正接は、複素誘電率の実部と虚部の比で表せる。つまり、誘電率の実部 ϵ′ 、虚部 ϵ′′ として複素誘電率 ϵ をϵ = ϵ′ − iϵ′′(4.34)

ϵ′′ϵ′(4.35)と書き表した時、tan δ =

で定義される。tan δ は、値が大きいほど誘電体による吸収が大きいことを表している。また、この値は周波数・温度に依存する値となる。屈折率 n は誘電率と透磁率の関数で n =√ϵµ と書ける

ので、これらを用いると、実数の屈折率 nr を複素屈折率に拡張する場合には、すべての計算において、√
n −→ nr 1 + i tan δ(4.36)と変換すればよい。このように吸収を考慮すると、反射率 R、透過率 T 、吸収率 A は、

R+T +A=1(4.37)という関係を満たす。

4.1.3 反射防止膜
反射防止膜は、屈折率の異なる誘電体を重ねることにより、屈折率を空気の屈折率 1 まで段階
的に下げ特定の周波数帯で反射率を減少させるものである (図 3.1)。ここでは、反射係数が最大値または最小値をとる光学的な厚みを求める。簡単のため、まず、1 層で垂直入射する系を考える*1 。この時、式 (4.29), (4.31) より、薄膜の光学的厚さ n1 d1 を入射波長 λ に対して λ/4, 3λ/4,

5λ/4, . . . とすると、(
R=

n0 n2 − n21
n0 n2 + n21)2(4.38)と書ける。つまり、屈折率 1 の真空中から入射すると考えると、

n2 = n21(4.39)

を満たすとき、膜の屈折率が最終媒質の屈折率より大きい場合は最大値、小さい場合は最小値をとる。特に、薄膜の光学的な厚さが 4 分の 1 波長で、屈折率が十分小さい膜は反射防止膜として用いられる。
*1 図 4.1 で n0 から入射、n1 が 1 層目、n2 が最終媒質である。

33

2 層以上の多層膜になった場合も、同様に考えることができる。2 層の反射防止膜の時には、各層が 4 分の 1 波長になる条件を考えると、反射率が最小になる屈折率は、

1=n21 n3n22(4.40)と記述できる (詳細は付録 B で記載)[40, 48]。ただし、ここでも真空の屈折率 n0 = 1 から入射することを仮定した。

4.2 コーティング材料の選定
半波長板用サファイアと IR カットフィルター用アルミナはほぼ等しい屈折率を持つため、どちらの素子に対しても同様の材料・作製方法を使用することができる。2 層反射防止膜について、
コーティング材料として用いる誘電体は、3 章で述べたように、以下の条件を満たさなけらばならない (前章の条件を再掲)。

• 観測周波数帯において、低反射率を実現する必要がある。周波数帯は、∼100 GHz で比帯域∼30% の広帯域となる (図 2.4)。先行研究や光学シミュレーションを基に、MF 周波数帯では約 2%,、UHF 周波数帯では約 1% の反射率を目標とする [41, 42]。

• 反射防止膜を施す半波長板やフィルターは直径 50 cm と大口径であり、この大きさに対して反射防止膜が均一となる必要がある。

• 光学素子は熱放射を抑えるため、<50 K の低温で使用される [43]。そのため、冷却時に層間の熱収縮率の違いによって剥離しない必要がある。
以上の条件を満たし、かつ屈折率が式 (4.40) を満たす必要がある。本研究で反射防止を行うサファ
イア及びアルミナは屈折率 nSapphire or Alumina ∼ 3.1 のため、n1 ∼ 1.4, n2 ∼ 2.5 の屈折率を持つ
誘電体が最適な反射防止膜となる。
これらより、コーティング材料として、1 層目には Tocalo Corporation の mullite *2 , 2 層
目には Rogers corporation の Duroid 5880LZ *3 を用いた。図 4.2 はコーティングの概念図を示す。これらは剥離防止の観点から、熱収縮率の差が小さい誘電体となっている。熱収縮率は、

mullite/Duroid ともに常温で ∼ 10−6 /K である。ただし、この値は温度や貼り付けプロセスにより変化する可能性があるので、実際に冷却試験を行って剥離の有無を確認する必要がある。mullite
は屈折率 2.52 の多孔質セラミックスであり、Duroid 5880LZ は屈折率 1.41 の PTFE とマイクロ
グラスファイバーをベースとした複合材である。また、1 層目と 2 層目の貼り付けには糊剤として
屈折率 1.7 の Epo-Tek 301-2 *4 を用いた。

*2 Tocalo Corporation: https://www.tocalo.co.jp/english/*3 Rogers Corporation: https://rogerscorp.com/*4 Epoxy Technology: https://www.epotek.com/

34

図 4.2: 2 層コーティング反射防止膜の概念図

4.3 光学シミュレーション
コーティング材料の選定後、数値計算を用いて各周波数帯において最適なコーティング材の厚さを決定した。SO 検出器の周波数帯を考慮し、MF, UHF の周波数帯でそれぞれ平均反射率が最小となるように厚さの最適化を行った*5 。
表 4.1 は最適化に用いた周波数、最適化された mullite と Duroid の厚さ、理想的なコーティングの平均反射率を表す。周波数は、2 色の検出器について透過率が 50% 以上となる範囲を用いた。2色の検出器について、低周波数側を 1、高周波数側を 2 とラベル付けした。また、コーティングを行うアルミナの厚さは反射率の値に影響を与えないが、ここではフィルターに使用されるアルミナの厚さにほぼ等しい 2 mm を用いて計算を行った。最適化を行うにあたり、糊剤である Epo-Tek
が反射率に与える影響は無視できないため (5.2 章に詳細を記載)、この影響を考慮して実質的に 3層となる数値計算を行った。Epo-Tek の塗布は均一で再現性のある工程であり、40 µm 厚、屈折率 1.7 で固定して計算を行った。図 4.3 は、表 4.1 の厚さを代入した最適化結果のグラフである。
赤い線で囲まれた MF, UHF の周波数帯で平均反射率を計算した。

4.4 反射防止膜のデザインと作製
この節では、反射防止膜の製作過程について述べる。図 4.4 は、1 つのサンプルについて、作製過程の模式図を表す。概要としては、コーティング材の厚さを調整しながら作製と性能評価を繰り返し、最終的に最適なコーティングの厚さを決定する流れとなる。この流れに従い、まず、10 cm
角のテスト用小サンプルを作製した。小サンプルの作製には厚さ 4 mm のアルミナ A995LD*6 を*5 最適な反射率は、すべて入射角 0 度で計算した。
*6 NTK Ceratec: https://www.ceratech.co.jp/company/history/35

表 4.1: 最適化に用いた周波数と理想的な反射率の計算結果
バンド名

周波数帯 [GHz]MF1

78–106MF2

128–168UHF1

195–256UHF2

257–316

mullite [mm]Duroid [mm]

0.212

0.394

0.100

0.191

(a)

最適な平均反射率

2.8%
0.67%
0.31%
0.25%

1.6%
0.28%

(b)

図 4.3: (a) MF, (b) UHF での最適な反射防止膜シミュレーション。表 4.1 の値を用いた時の結果である。赤い線で囲まれた範囲で平均反射率を計算した。

用い、両面にコーティングを行った。以下に各工程の詳細を記述する。

• mullite 熱溶射：1 層目の mullite は、Tocalo Corporation の大気プラズマ溶射法により、アルミナに熱溶射をして貼り付けた [49, 41]。熱溶射の際、アルミナは両面で 30 µm ほど削れることが経験的に確認されている。

• Duroid 加工：2 層目の Duroid は、購入時の厚さからデザイン値の厚さにするため、まずスズノ技研*7 で加工を行っている。デザイン値よりも厚い Duroid を削り出し、厚さを調整した。

• 1 層のみでの光学試験：光学試験では、1 層作製するごとに測定を行い、各層の光学特性を理解した。これにより、各貼り付けプロセスが正しいことを確認できる。

• Duroid 貼り付け・カット：加工した Duroid 5880LZ は、糊剤である Epo-Tek で貼り付けを行った。Epo-Tek を Duroid 側に塗り、真空を引くことで mullite へ均一に接着した。また、2 層のコーティングしたサンプルについて、冷却時に熱収縮で剥離することを防ぐため、*7 スズノ技研株式会社：https://suzunogiken.jimdofree.com/

36

図 4.4: 反射防止膜作製過程の模式図。テスト用の小サンプルでこの工程を繰り返すことにより、最終的に最適なコーティング層の厚さを決定した。各層の作製ごとに光学試験、完成したサンプルに冷却試験を行った。

4 cm ピッチで Duroid に切り込みを入れた。図 4.5 は、貼り付け時の様子とカットをした
Duroid を表す。
• 冷却試験：完成したサンプルで冷却試験を行うことで、剥離の有無を確認した。詳細は 4.5
節で記述する。

• 光学試験：2 層コーティングのサンプルで光学試験を行うことで、低反射率を実現できているかの確認を行った。光学試験の詳細は次章 5 で記述する。

• データ解析：光学試験で得られたデータを用い、各層の屈折率・厚さのフィットからそれぞれの誘電体の性質を理解した。

• デザイン変更・決定：得られた誘電体の性質を考慮し、より反射率を低減させるための厚さの変更を行った。低反射率のサンプルを得られるまでテストを繰り返し、最終的な厚さを決定した。
小サンプルでこの工程を繰り返すことで、最終的なコーティングの設計値を決定した。そして、本番用の IR カットフィルターと半波長板である、直径約 50 cm の大きい反射防止膜を作製した。
フィルター用には、望遠鏡の設計に合わせて厚さ 2 mm または 4 mm のアルミナを用い、小サンプ
ルと同様両面にコーティングを行った。半波長板用アルミナには、厚さ 4 mm のアルミナ 2 枚にそれぞれ片面のコーティングを行い、サファイアを挟んで反射防止膜を作製した (図 4.2)。図 4.6は、作製した小サンプル・IR カット用アルミナフィルター・半波長板用サファイアにコーティン
グした例を示している。大きさは異なるが、作製方法は同様である。

4.5 性能評価試験
作製した反射防止膜について性能評価試験を行った。試験項目は、• 光学性能評価：低反射率が実現していることを確認する。先行研究や光学シミュレーションを基に、MF 周波数帯では約 2%,、UHF 周波数帯では約 1% の反射率を目標とする [41, 42]。

37

(a)

(b)

図 4.5: Duroid 貼り付けとカットの様子 (photo credit:長谷川雅也先生)。青いシートは保護用であり、コーティング材ではない。(a) 貼り付けた Duroid に対し、真空を引いて接着している様子。

(b) Duroid を 4 cm ピッチでカットした様子。

(a)

(b)

(c)

図 4.6: 完成した反射防止膜のサンプル。(a) 冷却・光学性能評価用の 10 cm 角サンプル。大きい
反射防止膜と同様の過程で作製する。(b) SO 実験に用いるアルミナフィルターにコーティングしたサンプル。(c) SA 実験で用いる半波長板サファイアにコーティングしたサンプル。サファイア
を 3 枚重ね合わせ、その両端から mullite、Duroid をコーティングしたアルミナを挟んで固定している。

• 冷却試験：低温環境でも剥離が起こらず、反射防止膜が耐えられることを確認する。
の 2 つである。光学性能評価については、次章以降で詳細を記述する。ここでは、冷却試験について述べる。
反射防止膜を施した光学素子は 4–50 K の低温で用いられる。このため、低温下に置いたときに層間の熱収縮率の違いによって剥離しないことを確認する必要がある。剥離を防止するため、サンプルには 4 cm ピッチで切り込みが入れている (図 4.6)。KEK において 30 K に冷却する試験を 3

38

(a)

(b)

図 4.7: 冷却試験の様子 (photo credit: 長谷川雅也先生)。30 K までの冷却を 3 回繰り返し、剥離がないことを確認した。

回行い、このサイクルによってコーティング層がはがれていないことを確認した。図 4.7 は、冷却試験の様子を表す。また、いくつかのサンプルについては、冷却試験前後に光学測定を行い、冷却前と比べて光学性能に変化がないことも確認した。

39

第5章

常温での光学性能評価
4.4 節で述べた方法でサンプルを作製したのち、光学性能評価試験を行った。測定は Kavli IPMUにある N5222B Vector Network Analyzer (VNA)*1 を用いた。この VNA は 10 MHz–26.5 GHzに対応しており、extender で逓倍することによって必要な周波数帯を測定することが可能となる。観測に必要な MF, UHF の周波数帯に応じて、E band: 55–95 GHz, F band: 90–140 GHz,

G band: 140–220 GHz, Y band: 220–330 GHz を測定した。
サンプルの性能評価は反射率の測定によって行い、厚さと屈折率の傾向を理解した。4.4 節で述
べたとおり、まず、10 cm 角の小サンプルにおいて作製・光学性能評価・厚さの再調整の過程を複数回繰り返し、最終的な厚さの決定を行った。そして、実際の観測で使用される直径 ∼ 50 cm の大サンプルの作製・性能評価を行った。また、反射率測定に加えて、透過率の測定も行うことで、
コーティング層の誘電正接の評価を行った。この章では、常温での光学測定のセットアップと、小サンプル・大サンプルそれぞれの測定結果・その考察について述べる。結果を踏まえた漏れこみ・感度の考察については 7 章で記述する。

5.1 測定系
5.1.1 小サンプルの測定
図 5.1 は反射率測定と透過率測定それぞれについての、小サンプルの測定系の概念図と写真である。測定系は主に VNA, extender, ホーン, 放物面鏡, 黒体, サンプルからなる。黄色い線は光学パスを表し、ホーンからは鉛直方向の偏波が出力される。光は放物面鏡で反射されたのちサンプルを反射/透過し受信側の extender へ進む。ホーンと放物面鏡との距離は、放物面鏡の焦点距離である

102 mm に固定されている。そのため、ホーンを出て放物面鏡で反射された光は、平面波としてサンプルを反射/透過する。反射率測定では、S 偏光を測定する。また、定在波を除去するため、黒体を光学パス上に配置した。この黒体は、波面に対して ∼ 5 度傾けており、より定在波を除去する
ことができる。
*1 Keysight Technologies: https://www.keysight.com/jp/ja/home.html

40

(a)

(b)

(c)

(d)

図 5.1: 測定セットアップの概念図と写真。(a) 反射率測定の概念図。黄色い線が光学パスを示す。
反射率測定では 45 度の S 偏光を測定する。(b) 透過率測定の概念図。(c) 反射率測定セットアップの写真。(a) (b) 同様に黄色い矢印が光学パスを表す。左上の写真は反射率測定サンプルを水平に見たものである。(d) 透過率測定セットアップの写真。

41

(b)
(a)

図 5.2: 大サンプルの測定セットアップ。(a) 中心を測定している様子。15 cm のシャフトを用いて高さを増し、中心にビームをあて測定を行っている。(b) 測定を行う大サンプルの例。中心と、中心から 15 cm 離れた円周上の 8 か所について反射率を測定した。

5.1.2 大サンプルの測定
大サンプルの反射率測定概要は、小サンプルと同様であり、図 5.1 のようにサンプルに平面波を入射するセットアップを用いた。サンプルが大きく、場所による反射率の違いがないことを確認するため、サンプルの中心 (center) と、中心から 15 cm 離れた円周上 (side) の複数個所を測定した。
図 5.2 は測定セットアップの写真と大サンプルの測定箇所を表す。中心の測定には、15 cm のシャフトを用い高さを増し、ビームを当てた。side の測定では、サンプルの位置は中心の測定と同じ場所に置き、extender・放物面鏡をシャフトから降ろして測定した。

5.2 小サンプルの測定結果
5.2.1 反射率
反射率は、入射角 45 度の S 偏光を測定している。性能評価の方法として、45 度での測定データについて屈折率と厚さのフィットを行い、その値を入射角 0 度のモデルに代入することで反射率を評価する解析を行った。
図 5.3 は、MF, UHF 周波数帯のサンプルそれぞれについての測定データとフィット曲線である。データは MF では 55–220 GHz, UHF では 140–330 GHz の周波数帯を表している。図 5.4
はフィット結果を垂直入射に変換した時の反射率とデザイン値を表す。デザイン値について、コー

42

(a)

(b)

図 5.3: 入射角 45 度での、(a) MF, (b) UHF サンプルの測定データとフィット結果

(a)

(b)

図 5.4: フィット結果を垂直入射に外挿した、(a) MF, (b) UHF サンプルの反射率。オレンジがフィット結果を垂直入射での値に代入した曲線、緑がデザイン値である。赤い線は平均反射率を計算する周波数帯を表す。

ティング層の性質を理解するため、フィット結果と等しいアルミナの厚さを仮定して反射率を計算している。デザイン値との主な違いはコーティング材の厚さであり、作製精度について 2σ の範囲に収まる。また、表 5.1 はこれらのサンプルについて各バンド内での平均反射率を計算したものである。バンドそれぞれの平均・2 つのバンドを合わせた平均を記述している。MF, UHF サンプル両方について、平均反射率 ∼2% 程度の低い反射率を実現できている。ここで重要なことは、デザ
イン値と等しいことではなく各周波数帯を合わせた平均反射率が低いことである。測定値とデザイン値との違いについては、作製精度内に収まっていれば良いものと考える。

43

表 5.1: それぞれの周波数帯での平均反射率。サンプルとデザインの違いは主にコーティング層の厚さの違いによるものである。全体の反射率が小さいことが重要であり、厚さの違いは作製精度に収まっている。
周波数帯

measured
design

MF

UHF

MF1

MF2

UHF1

UHF2

1.7%

3.4%

0.38%

0.87%

2.7%
3.6%

0.9%

2.0%

0.62%
0.92%

0.18%

0.54%

5.2.2 厚さの違いの考察
反射率測定を行うと、各層の厚さについて、作製した値と光学測定から得られたフィット結果に違いがみられた。そこで、光学測定に加え、X 線 CT 画像で直接内部を観察することにより、光学的な厚さとの対応関係を考察した。ここでは、まず光学測定から得られた結果の考察を述べ、次に

X 線 CT 画像から得られた結果の考察を述べる。
表 5.2 は 1 つの MF 周波数帯用サンプル*2 について、それぞれの素材の作製した値とフィット結果の比較である。n は屈折率、d は厚さを表す。それぞれの層ごとに屈折率・厚さをフィットした。
アルミナの屈折率は単体での測定でよく決まっており、固定してフィットを行った。また、フィットにあたり糊剤である Epo-Tek の影響が無視できないため (詳細は次の X 線 CT 画像の段落で記述)、屈折率 1.7、厚さ 0.04 mm の Epo-Tek の値を mullite/Duroid 間に仮定した。各層の屈折率については、作製した値に比べて変化量が小さく、また、この値をコントロールすることはできな
いため、以下では厚さの違いのみについて考察する。厚さについて、測定結果より以下の傾向が見られる。

• Duroid の厚さは、作製した値に比べてフィット結果が ∼ 20 µm 厚く見える• mullite の厚さは、作製した値に比べてフィット結果が ∼ 40 µm 薄く見える• アルミナの厚さは、作製した値に比べてフィット結果が ∼ 30 µm 薄く見える
アルミナについては、mullite を熱溶射する準備過程で、表面が片面当たり ∼10–15 µm 削れることが経験則からわかっている [49]。アルミナはコーティングの基となる素材であり、厚さは反射防止膜の性能には無関係であるため、反射防止膜の開発過程においては問題とならない。mullite,

Duroid については、すべてのサンプルで同様の傾向が見えており、最終的なデザインでは、これらを考慮して薄くまたは厚く加工を行った。厚さの違いが生じることの物理的な解釈については、*2 このサンプルは、厚さの最適化について R&D 途中のサンプルである。貼り付けた各層の厚さは、最終的に決定した層の厚さとは異なる。

44

表 5.2: MF サンプルの作製した値とフィット結果の比較。n は屈折率、d は厚さを表す。アルミナの屈折率は固定している。

DuroidMulliteAlumina

作製した値

ﬁt(ﬁt) - (作製した値) [mm]

n

1.41

1.417 ± 0.003—

d [mm]

0.420

0.444 ± 0.002

0.024 ± 0.002

n

2.52

2.534 ± 0.004—

d [mm]

0.250

0.203 ± 0.001-0.047 ± 0.001

n

3.14

3.14 (ﬁxed)—

d [mm]

3.90

3.864 ± 0.002-0.036 ± 0.002

次段落以降で述べる。
ここまで述べたフィット結果の考察について、作製した値との厚さの違いは、以下の 2 通りの可能性が考えられる。

1. 実際に作製した厚さと、ミリ波で光学測定をした時の光学的厚さが異なる。この場合は、作製値とフィット値を補正してサンプルを作製する必要がある。

2. サンプルを作製値通りに作ることができていない。この場合は、前のサンプルを踏まえて正しい値で作製することで、フィット値と合わせることができ、厚さの違いは生じない。
これらを区別するため、光学測定に加え、作製サンプルについて X 線 CT 画像による直接観察を行った。これにより、層の境界を見ることができれば内部の構造を観察することができ、mulliteと Duroid の作製した値・フィット結果の厚さと比較することができる。さらに、mullite/Duroid
だけでなく、糊剤としている Epo-Tek の厚さや剥がれの有無も確認することができる。

X 線 CT 画像を撮影するため、中心部分をダイシングソーで厚さ 1 cm ほどに切り出した。これ
は、薄く切り出すことで、X 線の透過率の違いによる濃淡をはっきり見ることができ、層間の区別をつけることができるからである。図 5.5 は、サンプルを切り出す様子と切断したサンプルを表す。切り出したサンプルは、切断時の力で層間が剥がれていないことを確認した。
図 5.6 は、切断したサンプルを X 線 CT 画像で観察したものである。写真はサンプルの端から5 mm の断面を表す。画像上部から順に Alumina、mullite、Epo-Tek、Duroid、空気の層となる。
層の境界をはっきりと見ることができる。そして、各層の場所による厚さのばらつきや層間での剥離は、目視の限りでは確認できないことがわかった。この画像を「click measure*3 」で取り込み、厚さの推定を行った。表 5.3 は、サンプルの作製した値・光学測定によるフィット結果・X 線 CT
画像 (図 5.6) による厚さの比較をまとめたものである。これらの結果から、各層の厚さについて、以下のことを考察できる。

*3 https://onochi-lab.com/page-282/

45

(a)

(b)

図 5.5: ダイシングによるサンプルの切り出し。(a) ダイシングソーを用いて、サンプルを切り出している様子。手で押さえられているものが、切り出す前のサンプルであり、サンプル右の円盤状のカッターが、ダイシングソーである。定位置で回転するダイシングソーにサンプルを押し当てることで、サンプルが切断される。(b) ダイシングにより切り出したサンプル。約 1 cm と薄く切り出すことで、層間の違いを切り出す前より明瞭に観察することができる。

• Duroid の厚さは作製値と一致している。一方で、光学測定によるフィットに比べると∼30 µm の差がある。つまり、光学的厚さと実際の厚さに違いが見て取れる。作製の際には、この差分だけ薄く貼り付ける必要がある。

• mullite の厚さは、作製した値に比べて ∼40 µm 薄くできていることがわかる。この結果
は、光学測定のフィット結果と一致する。つまり、光学計算による最適な厚さより 40 µm
薄く作製すればよい。

• mullite と Duroid の間には Epo-Tek 層が ∼40 µm 存在する。この影響は mullite と Duroidの厚さに比べて無視できないので、Epo-Tek 込みで実質的に 3 層で最適化計算を行う必要がある。ただし、Epo-Tek の屈折率は 1.7 と mullite と Duroid の屈折率 (それぞれ 2.52、

1.41) の間にあるため、Epo-Tek が加わることにより平均反射率が悪くなることはない。また、Epo-Tek の塗布は再現性のある工程のため、常にこの 40 µm を仮定することができる。

Duroid の厚さが光学的厚さと実際の厚さで違う理由については、明確には理解できていない。
Duroid は PTFE を基にした複合材であり、X 線 CT 画像では < 0.1 µm の構造を持っていることが見られる。この構造がミリ波に対して無視できず、実効的厚さが異なっていることも考察できる。ただし、作製値に比べてフィット結果が 40 µm 厚く見えることはどのサンプルでも同じ傾向であり、作製値を修正することによってミリ波に対して厚さを調整することができた。よって、厚さの修正によって反射防止膜としての性能を維持できるので、作製上の問題はない。最終的な作製値の決定には、これらの厚さの違いを考慮し、再度最適化を行うことにより、表 5.6 でまとめられ46

図 5.6: サンプルの X 線 CT 画像。写真はサンプルの端から 5 mm の断面を表す。写真上部がアルミナであり、そこから順に mullte、Epo-Tek、Duroid、空気の層となる。厚さ測定のため、層の境界に線を引いている。(Photo credit: 湯本潤司先生、小西邦昭先生)

表 5.3: テストサンプルの作製した値・光学測定によるフィット結果・X 線 CT 画像の比較。Duroid
は作製した値と X 線 CT 画像による観察結果が一致し、mullite は光学測定と X 線 CT 画像の厚さが一致していることがわかる。
作製した値 [mm]

光学測定 [mm]

X 線 CT 画像 [mm]Duroid

0.420

0.444

0.415

Mullite

0.250

0.203

0.216

Alumina

3.90

3.864

—

ている低反射率の反射防止膜を実現した。決定した作製値は、mullite、Duroid それぞれ MF 周波
数帯で 0.254 mm、0.385 mm、UHF 周波数帯で 0.147 mm、0.168 mm である。

5.2.3 入射角の違いによる測定データの比較
反射率を用いた性能評価では、入射角 45 度で測定を行い、フィット結果を垂直入射での値に外挿することで、反射防止膜の性能を評価した。ここでは、この解析方法の妥当性を議論する。
解析方法が正しいことを確かめるため、異なる入射角である 18 度でも反射率を測定し、測定47

図 5.7: 入射角 18 度の反射率測定セットアップ。黄色い線が光学パスを表す。入射角・反射角ともに 18 度となっている。45 度入射の測定と同様、S 偏光を測定した。

データが 45 度での測定結果と一致することを確認した。図 5.7 は、入射角 18 度でのセットアップ
写真である。入射角以外の測定セットアップは、45 度での測定と同様である。測定は MF 周波数帯の小サンプルで行い、測定した反射率・フィットした屈折率と厚さを比較した。
まず、直接的な比較として、18 度での測定結果と、45 度のフィット結果を 18 度に変換した反射率を比較した。図 5.8 は、45 度と 18 度の反射率を比較したグラフである。左は入射角の違いによるシミュレーション結果である。入射角が異なるとフリンジがずれ、反射率が全体で左右にシフトすることが予想される。右の図は、入射角 18 度での測定データと、45 度でのフィット結果を 18
度に外挿した反射率 (予測値) である。フリンジのパターンが一致し、大きな矛盾がないことが確認できた。次に、より詳細な議論をするため、入射角の違いによる厚さ・屈折率のフィット結果を比較した。表 5.4 は、入射角が 18 度と 45 度の場合の、フィット結果の比較である。厚さについて、フィット結果は ∼ 10 µm の範囲に収まっていることがわかる。屈折率についても、< 2% の誤差に収まっている。この結果を基に、垂直入射での反射率を計算したものが、図 5.9 である。18度の入射角で測定して垂直入射に代入した値がオレンジの範囲で示され、45 度での測定が青い範囲で示されている。それぞれの範囲は、1σ の範囲を表す。2 つの範囲は誤差の範囲内に収まっている。また、互いの測定結果はすべての周波数帯でもう一方の測定結果の 2σ の範囲に収まる。これより、2 つの測定結果が一致していることを確認した。

48

(a)

(b)

図 5.8: 入射角 18 度での反射率シミュレーションと測定結果。(a) 入射角の違いによる反射率の違いを示すシミュレーション。青が入射角 45 度、オレンジが 18 度での S 偏光の反射率計算結果である。屈折率・厚さはフィット結果を代入している。45 度から 18 度に入射角を変更すると、反射率が全体として低周波数側にシフトする傾向がみられる。(b) 入射角 18 度での反射率測定結果。
青の点が測定データ、緑の曲線が 45 度でのフィット結果を 18 度での値に外挿した値。フリンジのパターンが一致していることが確認できる。

表 5.4: 入射角の違いによるフィット結果の比較。n は屈折率、d は厚さを表す。アルミナの屈折率は固定している。

DuroidMulliteAlumina

18 度

45 度

n

1.439 ± 0.002

1.431 ± 0.003

d [mm]

0.426 ± 0.002

0.420 ± 0.002

n2.574 ± 0.002

2.531 ± 0.004

d [mm]

0.215 ± 0.001

0.227 ± 0.002

n3.14 (ﬁxed)

3.14 (ﬁxed)

d [mm]

3.891 ± 0.001

3.887 ± 0.002

5.2.4 透過率
反射率に加えて透過率を測定することで、反射防止膜の誘電正接を評価することができる*4 。誘電正接は、一般に周波数が高くなるほど大きくなるため、特に UHF サンプルでの評価が必要であ*4 光学測定では (反射率)+(透過率)+(吸収率)=1 となるので、反射防止膜の性能を評価するには反射率・透過率両方を測定する必要がある。

49

0.6
0.5

45 deg. fit
18 deg. fit

Reflectivity

0.4

MF1

MF2

0.3
0.2
0.1
0.0 6080

100 120 140 160 180 200 220

Frequency [GHz]図 5.9: 入射角の違いによる、垂直入射での反射率の比較。18 度と 45 度での測定のフィット結果
を、それぞれ垂直入射に外挿した結果を表す。青い範囲が 45 度測定、オレンジの範囲が 18 度測定の 1σ の範囲を示す。濃い線は中心線を示す。どの周波数帯においても、誤差の範囲内で一致する。

る。反射率の測定で得られた各層の屈折率・厚さのフィット結果を用い、各素材の誘電正接である

tan δ を推定した。
図 5.10 は、UHF サンプルについての透過率測定結果である。prediction には、反射率測定結果により得られた屈折率・厚さのフィット結果を代入した。反射率測定と透過率測定の波の振動パ
ターンが一致していることから、測定系の整合性が取れていることがわかる。透過率のフィットには、屈折率と厚さを反射率測定の値に固定し、各層の tan δ のみをフィットした。誘電正接は周波数依存性を持ち、すべての測定周波数で定数とすることはできない。そこで、測定バンドの切れ目を考慮し、フィットには Y band である 220–330 GHz のみの測定結果を使用した。また、反射防
止膜は実際に ∼50 K の低温で使用されるため、低温環境での誘電正接の推定も行った。80 K での推定値では、透過率は ∼95% まで上昇し、アルミナの吸収・コーティング材の吸収が半分ずつ影響を与えることが予想される。表 5.5 は tan δ のフィット結果と低温での予測値である。フィット結
果から、透過率は常温で UHF1: 85%, UHF2: 80% (コーティング基のアルミナが 4 mm の場合)と計算できる。常温では誘電体により吸収の影響が大きく、透過率が低くなってしまうことがわかる。ただし、誘電正接は温度依存性を持ち、低温で減少するため、実際の望遠鏡内で透過率は上昇すると考えられる。例えば、∼80 K での低温では透過率は 20% 程度上昇することが予想される。
半波長板やアルミナフィルターは 4 K, 40 K, 50 K で用いられるので、さらに透過率が上昇するこ

50

(a)

(b)

図 5.10: UHF サンプルの透過率測定結果。(a) 140–330 GHz の測定結果。prediction には、反射率測定により得られた屈折率・厚さのフィット結果を用いた。また、誘電正接については 220–

330 GHz のみのフィット結果を用いた。(b) サンプルのフィット結果を 80 K の推定値と比較している様子。誘電正接のない理想的な場合には、透過率は緑の線のように表せる。80 K の prediction
は赤い線で表している。また、コーティング材のみの影響を考慮するため、80 K においてアルミナの誘電正接を 0 にした曲線 (シアン) も表した。80 K の場合には、透過率は ∼20% 上昇することが予想される。

表 5.5: コーティング材の誘電正接: tan δ (×10−4 ) のフィット結果と 80 K での prediction と

80 K での prediction。低温では誘電正接は減少し、透過率は上昇することが予想される。
Temperature

AluminaMulliteDuroid300 K

7.0 ± 0.1
3.0 ± 1.1 [41]423 ± 353 ± 10 [41]39 ± 15< 21 [50]80 Kとが考察できる。低温での透過率測定については次章 6 で詳しく述べる。

5.3 大サンプルの測定結果
大サンプルは SA または SO 実験の望遠鏡に使用されるものであり、以下の光学素子についての反射防止膜の作製・反射率測定を行った。サンプルをまとめた表は、表 5.6 に記載した。測定では、小サンプルと同様の低反射率が実現できていることに加え、場所による不均一性がないことを確認した。

• SA PB-2b アルミナフィルター (50 K)
51

(a)

(b)

図 5.11: 半波長板の概念図。(a) 実際に使用する半波長板の概念図。サファイア 3 枚スタックの両側から、片面コーティングのアルミナを張り合わせる。反射率の測定結果は、図 5.15 で示す。(b)図 (a) からサファイアを取り除き、アルミナ部分を取り出した図。#1, #2 の反射率をそれぞれ測定し、2 枚を図のように重ね合わせた数値計算を行うことにより平均反射率を導出した。それぞれの測定結果は、図 5.14 で示す。

• SA PB-2b サファイア半波長板 (50 K)• SO SAT アルミナフィルター 2 枚 (4 K, 40 K)• SO SAT サファイア半波長板• SO LATR アルミナフィルター
これらの素子のターゲットとする周波数帯について、LATR 用アルミナフィルターは UHF の周波数帯で用いるものであり、その他のサンプルはすべて MF 用である。アルミナフィルターは両面にコーティングを施したため、小サンプルと同様に、45 度入射での反射率測定から得られた屈折率・厚さのパラメータを垂直入射での値に代入することで、各周波数帯での平均反射率を計算した。半
波長板は図 4.2 の通り、片面にコーティングを施したアルミナ 2 枚でサファイアを挟むことで反射防止を行った*5 。そのため、光学性能の評価には、片面コーティング 2 枚のアルミナを測定し、得られたパラメータを 2 枚分重ねた光学計算をすることで、平均反射率を導出した (図 5.11)。また、SO SAT サファイア半波長板は、反射防止膜部分であるアルミナ (片面コーティングを行った2 枚) のみの測定に加え、半波長板部分であるサファイアを 3 枚重ねた素子に、反射防止アルミナを貼り付けた全体の素子の反射率測定も行った。
図 5.12 は、各アルミナフィルターの測定結果である。中心 (center) と周囲 (side) 8 か所の 45度での測定データを示しており、SO のフィルターについてはバンド幅を赤線で記入した。場所の違いによって反射防止膜の性能が極端に悪くなることはなく、均一に作製できていることがわかる。また、剥がれて空気が入ると反射率が極端に悪くなるが、*6 、目視ではわからない剥がれもな*5 半波長板の反射防止膜作製では、コーティング基となるサファイアに直接 1 層目の mullite を貼り付けることが困難であるため、このような方法をとった。アルミナの屈折率はサファイアの屈折率とほぼ等しく、コーティングを行ったアルミナをサファイアと張り合わることで反射防止加工が可能となる。
*6 片面に空気が入った場合は、対称性がなくなり反射率測定カーブの極小値が 0 につかなくなる。両面に入った場合

52

表 5.6: 測定サンプルと平均反射率のまとめ
実験

望遠鏡

光学素子

MF1 [%]

MF2 [%]

UHF1 [%]

UHF2 [%]

平均 [%]SA

PB-2b

IR フィルター

1.1

2.0

–

–

1.7

SA

PB-2b

半波長板

1.3

4.3

–

–

3.0

SO

SAT

IR フィルター (40 K)

1.7

1.6

–

–

1.6

SO

SAT

IR フィルター (4 K)

0.8

3.8

–

–

2.6

SO

SAT

半波長板

1.2

6.1

–

–

4.0

SO

LATR

IR フィルター

–

–

0.22

0.65

0.43

いことが確認できた。各点のデータについて場所ごとに屈折率・厚さのフィッティングを行い、垂直での平均反射率を導出した。全体の反射率は、各場所の平均反射率を平均することにより導出した。小サンプルでは、平均反射率が MF で 2.7%、UHF で 0.62% より、大サンプルでも同様の低反射率が実現できていることを確認した。図 5.13 は、場所による反射率の違いについて、SAT ア
ルミナフィルターの計算例である。各測定場所の位置関係と、それに対応した測定場所において、
平均反射率との差をとったものを示す。場所による平均反射率の差はランダムであり、作製過程において不均一性が現れることはないと考えられる。また、平均反射率との差はどの測定場所においても ±0.3% 以内に収まることが確認できた。
図 5.14 は、半波長板用アルミナの測定結果である。まず、アルミナフィルターと同様、中心と周囲 8 か所の合計 9 点を測定することにより、場所による不均一性がないことを確認した。これらのアルミナはサファイアの両面に貼り付けを行うため、それぞれ 1 枚は片面のコーティングになっており、1 枚のみで性能評価を行うことはできない。反射防止膜の性能評価のため、各位置での片面のフィット結果を平均し、2 枚重ね合わせた反射率を計算した。
以上すべての素子の測定結果をまとめたものが、表 5.6 である。各反射防止膜の周波数帯ごとの平均反射率・2 つの周波数帯を合わせた平均反射率を記載した。全てのサンプルにおいて、小サン
プルと同様の低反射率を実現できた。MF 周波数帯では約 2%, UHF 周波数帯では約 1% と目標としており、ほとんどのサンプルで達成できていることを確認した。
また、SAT 用の半波長板に関しては、3 枚のサファイアスタックに反射防止膜のアルミナを重ねた半波長板の測定も行った (図 5.11 (a))。図 5.15 は反射率の測定結果である。青がデータ、緑が測定を行った入射角 45 度での S 偏光の予想値、オレンジが垂直入射での予想値を表す。この半波
長板の反射率測定前には、上記のアルミナに片面コーティングを施した反射率、サファイア単体の光学測定を行っており、予測値には、サファイア・アルミナそれぞれの測定結果から得られた屈折率と厚さの値を代入した。測定データと予測値は、すべて光軸に対する回転角度が 0 度でのデータを用いた [51, 52]。予測値と測定データとの違いについて、反射防止膜だけでなく、半波長板サ

は、山の高さが高周波側に行くほど高くなる傾向がある。例えば MF の理想的な反射防止膜の場合には、空気が50 µm 含まれると反射率の山のピーク (極大値) の高さが 3 倍程度になる。

53

(a) SA アルミナフィルター(b) SO SAT アルミナフィルター (4 K)(c) SO SAT アルミナフィルター (40 K)(d) SO LATR アルミナフィルター

図 5.12: アルミナフィルターの測定結果。入射角 45 度でのデータと予測値を表す。中心 (center),
周囲の点 45 度ずつ (side1–side45) の 8 か所を測定した。SO のフィルターは、赤線でバンド幅を記入してる。

ファイアスタックについての詳細な情報と解析が必要になるため、ここでは厳密な議論は行わない。予測値とデータが異なる理由について、例えば、サファイアとアルミナ間の貼り付け時に空気が入ったことが考察できる。図 5.16 は、それぞれ片面・両面に空気が入った時の光学シミュレー
ションである。赤い点は、図 5.15 に示したデータを表す。予測値は、測定データに合わせて 45 度
入射の場合を仮定した。どちらの場合も、空気が入ると反射率が大きくなり、特に高周波側での差が大きくなることがわかる。この予測値ではデータと一致せず、サファイアスタックの効果を含めたさらなる理解が今後の課題となる。ただし、サファイアは反射防止膜なしでは ∼ 40% と高い反

54

MF1
MF2

0.3

Diff [%]

0.2
0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
1.0
(a)

1.5

2.0

2.5

3.0

Side

3.5

4.0

4.5

(b)

図 5.13: SO SAT フィルターの測定場所の位置関係と、場所の違いによる反射率の比較。(a) SAT
アルミナフィルターの測定位置の関係。中心から 15 cm 離れた位置について、45 度ずつ 8 点を測定した。場所のラベルは適当な基準点を side1 とし、反時計回りに side4.5 までラベル付けを行った。(b) 各場所における反射率と、場所平均をとった反射率との差 ((各場所の反射率) - (平均反射率))。横軸が左の図 (a) に対応する位置、縦軸が平均反射率との差である。反射率のばらつきはランダムで傾向を持たず、また、このばらつきは ±0.3% 以内に収まっていることが確認できる。

射率を持つため、アルミナ反射防止膜を貼り付けることで、反射率を低減できていることは確認できる。また、図 5.15 で入射角 45 度の予測値に比べて、垂直入射の予測値では反射率の低くなっている周波数帯が低周波側に移動している (反射率プロットが低周波側にシフトしている) ことがわかる。この傾向を考慮すると、SO で必要な MF1, MF2 の範囲では垂直入射に換算した場合に、測定値よりもさらに反射率が減少することが考察できる。

55

(a) SA 半波長板用 #1(b) SA 半波長板用 #2(c) SO 半波長板用 #1(d) SO 半波長板用 #2

図 5.14: 半波長板用アルミナの測定結果。入射角 45 度でのデータと予測値を表す。表 5.6 で記載
した平均反射率は、2 枚のアルミナを重ね合わせて求めた。

56

図 5.15: サファイア半波長板の反射率測定結果。青が 45 度入射での測定データ、緑が測定を行った入射角 45 度での S 偏光反射率の予想値、オレンジが垂直入射での予想値を表す。

(a)

(b)

図 5.16: サファイア・アルミナ間に空気が入った時のシミュレーション。青・オレンジ・緑の線は、それぞれ空気が 0 mm, 0.05 mm, 0.1 mm 入った時の予測値を表す。赤は測定データを示す。(a)片面に空気が入った場合。(b) 両面に空気が入った場合。

57

第6章

低温での光学性能評価
アルミナフィルターや半波長板サファイアなどの光学素子は、50 K 以下の低温で使用される。
反射防止膜のより正確な性能評価のためには、温度依存性を持つコーティング材の誘電正接 (tan δ)を低温で評価する必要がある。特に、UHF 周波数帯のサンプルについては常温での誘電正接が大きいため、実際に低温で透過率を測定することで、この減少量を確認することが重要となる。本研
究では、常温測定と同様の VNA を使用する低温測定系を開発した (図 6.1)。以下では、この低温測定系の詳細とサンプルの測定結果について述べる。

図 6.1: 低温測定の外観写真。常温測定と同様の VNA, extender を用いる。サンプルの冷却は液体窒素を用いて行う。写真の中央には、発泡スチロールで構造を作った箱が置かれている (詳細は6.1 で記述)。左下の写真は測定した UHF サンプルであり、箱の中に設置される。

58

6.1 セットアップ
低温測定にあたり、液体窒素を用いた ∼100 K での、冷凍機を使用しない簡易セットアップを考える。VNA で透過率の測定を行うには、以下の条件を満たさなければならない。

• 測定サンプルが十分に冷えていること。ここでは 100 K を目標とする。
• 光学パスに水滴がつかないこと。
これらの条件を満たすため、サンプルの固定方法と液体窒素を入れる箱の設計、光学測定セット
アップの開発を行った。以下では各設計の詳細について記述する。

6.1.1 銅ホルダーによるサンプルの固定
1 つ目の条件を満たすため、熱伝導の良い無酸素銅でサンプルを固定し冷却を行った。図 6.2
は、作製した銅ホルダーの写真である。左の写真はホルダーの全体像を表し、右の写真は固定部分の銅の拡大図を表す。光学パスを広くとるため、サンプルの 4 辺を銅で挟んで固定した。この時、10 cm 角のサンプルに対し、8 cm 角の範囲が光学パスをとれる。また、銅とサンプルの接触面積を増やすため、Spira-Shield LS-11 NC *1 を用いてサンプルの固定を行った。図 6.2b のように銅に溝を掘りスパイラを取り付けることで、ねじ止めした際に均一な力が加わり、接触面積を増加することができる。
サンプルが十分に冷えるかを確認するため、作製した銅ホルダーにアルミナを固定し、液体窒素
を用いて冷却試験を行った。図 6.3 は液体窒素投入後の時間経過に対するサンプルの温度を表している。温度計はアルミナの中央に設置して測定を行った (図 6.2)。時間の経過とともにアルミナは冷却され、15 分ほどで冷え切ることがわかる。サンプルの温度は 97 K まで冷えることが確認できた。

6.1.2 箱上部の構造
ここでは、2 つ目の条件である、光学パスに水滴がつかないための箱上部の構造を議論する。光
学パスに水滴がつく原因は、液体窒素によって外の空気が急激に冷やされることである。そのため、液体窒素の蒸気を徐々に温めてから箱の外に放出することを考える。図 6.4 は、箱上部の構造の断面図を表している。黄色い矢印が光学パスを示し、この間、つまりサンプルと箱の側面に水滴がつかない必要がある。まず、箱の側面に仕切り (図の水色の部分) を作ることで液体窒素の蒸気が通過する距離を長くとり、空気中に放出されるまでの時間を長くした。これにより、空気と液体
窒素の蒸気との温度差を小さくし、空気が急激に冷やされることを防いだ。また、蒸気をより温め*1 Spira Manufacturing Corporation: https://www.spira-emi.com/

59

(b)

(a)

図 6.2: 低温測定で用いた銅ホルダー。(a) アルミナサンプルをホルダーで固定した様子。サンプルが冷えるかを確認するため、中心に温度計を設置し冷却試験を行った。冷却の際には、下から約半分が液体窒素に浸かる。(b) 固定のために用いたホルダーの裏面。スパイラを用い、均一に銅の面とサンプルが接触する設計となっている。

るため、シリコンラバーヒーター SBH2117 (八光電機*2 )(図のオレンジの部分) を蒸気の移動経路に設置した。ヒーターは左右に 1 つずつ設置した。それぞれ 30 V, 147 mA で使用することで、通過する蒸気を ∼285 K まで温められ、外の空気との温度差を最小限に抑えられた。以上の構造を用い、常に図 6.4 の青い矢印で示された蒸気の流れを一方向にコントロールすることで、水滴がつかない構造を実現した。
仕切りとして用いる素材は、ビームのパワーの減衰を抑えるため、観測周波数帯 (ミリ波) に対して透過率の良いものを選定した。本研究では、Zotefoams *3 の Plastazote HD30 (High Density

Polyethylene Foam) を用いた。1 枚あたりの厚さは 12 mm であり、合計 6 枚を並べて用いる。図6.5 は、使用した zotefoams の透過率の測定結果である。1 枚では透過率 >99% となった。図 6.4のように光学パス上に 6 枚並べた透過率も ∼98% と高い透過率となっている。
サンプルに水滴がついていないことを確認するにあたり、箱の中を目視できないため、直接観察することは困難である。そこで、アルミナサンプルに水をつけて透過率を測定し、水滴がついたと*2 八光電機: https://www.hakko.co.jp/*3 Zotefoams Plt: https://www.zotefoams.com/

60

図 6.3: 液体窒素投入後の時間経過に対するアルミナの温度。液体窒素投入後約 15 分でアルミナは冷え切る。銅の熱伝導でサンプルが 97 K まで冷却されることが確認できた。

図 6.4: 低温測定で用いる箱上部の構造の断面図。青い矢印で表されている液体窒素の蒸気は、上部の構造を通る間に徐々に温められ外へ出る。蒸気の経路にヒータを設置した。

61

図 6.5: zotefoams の 1 枚と 6 枚の透過率。1 枚では透過率が >99% となった。測定で用いる 6 枚
でも ∼98% と高い透過率である。

きの影響を検討した。図 6.6 は、透過率の測定結果である。水滴がついていない場合と、段階的に水滴をつけた場合の合計 3 種類を比較した。水滴が増加するにつれ、透過率が徐々に減少することが確認された。また、水滴が少量の場合は測定周波数全体で透過率が減少するが (図のオレンジの点)、水が増加すると周波数依存性を持ち、高周波側になるにつれてより減少する (図の緑の点) ことが理解できた。

6.1.3 光学測定系
以上で述べた箱を用い、UHF の小サンプルについて透過率を測定した。図 6.7 はセットアップの概念図と写真を示す。銅を用いてサンプルの四辺を固定したため (図 6.2)、ビームの広がりによる散乱の影響を考慮する必要がある。そのため、常温でのセットアップと異なり、サンプルに焦点を当てるセットアップを用いた (図 6.7、詳細は付録 C に記載)。さらに、銅に黒体をつけることによっても銅のエッジによる影響を防いだ。測定には透過率の規格化用を含め、同じ銅ホルダーを 2個作製した。1 つのホルダーには何も置かず、もう 1 つにはサンプルを固定した。サンプルの中心にビームを当てるため、extender・放物面鏡を乗せたアルミ台を、シャフトで高さを増したうえで固定した。このアルミ台の位置を動かすことにより、規格化の際には何も置いていない銅ホルダー(図 6.7 で奥にある方のホルダー) の中心にビームを透過させ、サンプル測定の際にはサンプルが固

62

(a)
(b)

図 6.6: アルミナに水滴をつけた時の透過率変化。(a) 水滴をつけたアルミナの写真。(b) 水滴がついた時とついていないときの透過率の比較。アルミナを少し濡らすと、全体として透過率が減少する。さらに濡らすと周波数依存性を持ち、高周波側ほど透過率が低下する。

定してある銅ホルダーの中心にビームを当てた。

6.2 測定結果と考察
6.1 で述べたセットアップを用い、透過率の測定を行った。測定系が正しいことを確かめるため、
まず、性質のよく理解されているアルミナ単体の測定を行い、水滴がついていないことを確認した。その後、反射防止膜を施した UHF 周波数帯のサンプルを測定した。以下では、それぞれの測定結果と考察について述べる。

6.2.1 アルミナ単体の測定結果
アルミナ単体は 90–140 GHz での測定を行った。図 6.8 は常温と低温の測定結果を表す。アル
ミナが冷えることによって屈折率が変化するため、常温 (300 K)・低温 (100 K) を比較するとフリンジのパターンがずれていることが確認できる。低周波数帯での測定のため、tan δ の影響は見えず、平均透過率の増減は起こらなかった。水滴がつくと透過率が減少するので (図 6.6)、この測定では水滴がついていないことが確認できた。これらのデータについて屈折率のみのフィッティン
グを行い*4 、変化量を求めると、低温では屈折率が約 0.71% 減少することが確認できた。これは、Y.Inoue et al.(2016)[41] とも一致する。以上より、光学パスに水滴がつかず測定系が正しいことを確認した。
*4 アルミナの熱膨張係数は 7.5 × 10−6 /K [53] と小さいため、温度変化による厚さの変化は無視できる。

63

(a)

(b)

図 6.7: 低温測定セットアップ。(a) サンプルに焦点を当てるセットアップの概念図。黄色い矢印
が光学パスを表す。放物面鏡の焦点距離よりホーンを遠くに離すことで、放物面鏡で反射された
光はサンプルで焦点を結ぶ。(b) セットアップの写真。サンプルの中心にビームを当てるため、

extender を置いたアルミ台をシャフトに乗せ、高さを調整した。

64

図 6.8: アルミナ単体の常温・低温測定の比較。青が 300 K, オレンジが 100 K を表す。アルミナが冷却されることで屈折率が変化し、フリンジのパターンが変化していることが確認できる。

6.2.2 UHF サンプルの測定結果
測定系が正しくできていることを確認したのち、UHF サンプルの測定を行い、誘電正接の減少を確認した。図 6.9 は、100 K と 300 K の透過率測定結果の比較である。100 K の予測値は、常温での誘電正接のフィット結果と 80 K での予測値 [41] の線形補間により求めた値である。測定結果は、規格化する際の蒸気の揺らぎによる影響を考慮し、2 回分の結果を平均した。
この結果についてフィットを行うにあたり、以下の 2 通りのデータ選択の方法を用いた。
方法 1

220–280 GHz を使用：フリンジがきれいに見えている範囲。また、透過率の急激な変化が見られない範囲。

方法 2

220–295 GHz を使用：常温測定において、フィットとデータの差が小さい範囲。これより高周波数側は、VNA の仕様で誤差が大きくなる。

どちらの方法においても、常温でフィット結果との誤差が大きくなっていた 295 GHz 以上のデー
タは取り除いた。また、方法 1 では、280 GHz–300 GHz のデータを除外した。これは、この周波数帯で傾きが変わって透過率が下がっているが、このような急激な変化は物理的に考え難いからである。この原因として、測定回数が足りず規格化の際の揺らぎが見えていることや、散乱によって

65

1.0

Transmission

0.8
0.6
0.4
100 K prediction
300 K
100 K
0.0
220
240
260
0.2

280

300

Frequency [GHz]320

図 6.9: UHF サンプルの常温・低温測定の比較。紫が常温での測定 (5.10)、青が低温での測定である。100 K の予測値は、常温での誘電正接のフィット結果と 80 K での予測値 [41] の線形補間により求めた値である。

透過率が減少していることが考えられる。これらは測定回数の増加により理解できると考えられるが、詳しい原因の解明は、今後の課題である。
フィットでは、各層の屈折率と厚さは常温での測定結果に固定し*5 、誘電正接のみの値をフィットした。また、コーティング材の性能を評価するため、アルミナの誘電正接の値も文献値を基に固定した [41]。フィットについては、• mullite, Duroid を分けてフィットすると誤差が大きくなる。
• どちらの tan δ も透過率を下げる効果であり、強い負の相関を持つ (図 6.10)。
• 反射防止膜の性能を評価するには、2 層のコーティング層を合わせた効果がわかればよい。
という理由から、Duroid の tan δ を 0 に固定し、mullite のみでフィットを行った。
表 6.1 は、tan δ (×10−4 ) のフィット結果と、それを基に計算した各周波数帯での平均透過率である。方法 1 は 280 GHz 透過率まで、方法 2 は 295 GHz までのデータを使用している。tan δ は
厳密には周波数依存性を持つが、それぞれの平均透過率導出の際は、フィットした tan δ の値が一定だと仮定して計算している。

*5 アルミナの屈折率は、常温の測定結果ではなく、アルミナ単体の低温測定結果の値を用いた。

66

図 6.10: mullite と Duroid の tan δ をフィットした時の相関。横軸が mullite, 縦軸が Duroid の値である。紫が 1σ 、黄色が 2σ を表す。2 つの誘電正接は相関係数 ∼ -1 の強い負の相関を持つ。

表 6.1: 誘電正接 tan δ (×10−4 ) のフィット結果と透過率。屈折率と厚さは常温での測定結果に固定し、tan δ のみをフィットした。また、アルミナの値も固定した。低温測定では、Duroid の値は0 で固定している。方法 1 は 280 GHz 透過率まで、方法 2 は 295 GHz までのデータを使用した。
透過率はフィット結果を代入し、それぞれの周波数帯での平均を計算した。下の 2 行は、80 K,

300 K での文献値を示す。
Temp.

AluminaMulliteDuroidχ2 /ndf

100 K 方法 1

5 (ﬁxed)236 ± 30 (ﬁxed)100 K 方法 2

5 (ﬁxed)261 ± 3300 K

7 (ﬁxed)80 K 文献値

3.0 ± 1.1 [41]3.7 ± 1.7 [41]300 K 文献値

Transmission
UHF1

UHF2

0.26

91%

88%

0 (ﬁxed)

0.66

90%

87%

423 ± 339 ± 15

0.86

85%

80%

53 ± 10 [41]121 ± 16 [41]

< 21 [50]
21 [50]

—

—

—

—

—

—

方法 1 と方法 2 のフィット結果では、mullite の tan δ に ∼10% の違いが見られたが、この結果を基に計算した透過率は、∼1% ほどの違いしか見られず、同様の結果が得られた。次章 7 の感度計算では、方法 1 による結果を用いる。
透過率について、常温での測定と低温での測定を比較すると、誘電正接の減少により透過率が8% 程度上昇することを確認できた。誘電正接は高周波側で大きくなるので、UHF2 の周波数帯では UHF1 の周波数帯より 3% ほど透過率が低くなるが、全体としては約 90% まで透過率が増加し67た。常温では平均 82% 程度の透過率であるので、低温で透過率の増加を確認した。本セットアッ
プでは、∼ 100 K での測定を行っているが、実際の半波長板やフィルターは < 50 K で使用されるため、さらなる誘電正接の減少が予想される。

6.2.3 考察と今後の課題
低温では透過率が増加することを確認した一方、図 6.9 の緑の曲線で表される予測値とは、数 %の違いが見られた。ここでは、予測値とデータとの違いについての考察を述べる。予測値より透過率が低くなっている原因について、• 時間経過とともに水滴がつき始める• ビームの散乱が見えている• 予測値よりも実際の誘電正接が大きい
ことが考えられる。
まず、水滴がつくことについて議論する。液体窒素を注ぎ終えてからの時間経過とともに、空気の流れる速度が遅くなり、常温の空気が逆流して冷却され、水滴となることが考察できる。図 6.6のアルミナの測定結果から、水滴がつくと透過率が減少することが確認されているので、水滴によ
り予測値よりも測定データが低い透過率となる。この場合の測定結果は、透過率の下限値、つまり、誘電正接の上限値と考えられる。この問題を解決するためには、空気の逆流を抑える必要がある。例えば、内部でヒーターを焚き、気流の流れを速くするといった工夫が必要になる。次に、ビームの散乱の影響について議論する。この影響は、ホルダーに黒体をつけることにより散乱を取り除けることが常温測定で確認できている。冷却した際にエッジの影響が残っていることも考えられるが、その場合は透過率が減少して見えるので、フィットした誘電正接を上限値と考えることができる。
また、予測値よりも実際の誘電正接が大きいことも考察できる。上記の 2 つの原因は、測定系によるものであるが、この場合は、感度を求め誘電正接による影響がどの程度存在するかをより定量的に求める必要がある。詳細は、次章で記述する。ただし、測定結果は 100 K であるが実際に使用されるフィルターや半波長板は 50 K 以下のため、この場合もフィット結果より誘電正接が大きくなることはなく、上限値としてとらえることができる。
以上のように、どの可能性についても誘電正接は上限値と考えることができ、透過率の上昇を確認することができた。この上限値を用い、次章 7 では感度を計算する。今後の課題としては、より精度よく低温での透過率を測定できるようにすることが挙げられる。液体窒素を用いた低温測定では、規格化の際の蒸気の影響により、測定結果がランダムに揺らいでしまう。そのため、水滴がつくことなく回数を重ね、データを増やす必要がある。

68

第7章

考察
常温での反射率・低温での透過率の光学測定により得られた結果から、3 で述べた、光学素子による温度から偏光への漏れこみと、望遠鏡の感度を求めることができる。この章では、これら 2 つについて測定結果を用いて議論し、観測に対する影響を考察する。

7.1 温度から偏光への漏れこみ
ここでは、SO SAT の 40 K アルミナフィルター (MF 用)、LATR のアルミナフィルター (UHF用) について、入射角が 0 でないことによる温度から偏光への漏れこみ R(s-p) を計算する。これ
らのフィルターは半波長板より空側に設置されるため (図 2.6)、このフィルターにより生じた漏れこみは半波長板が偏光信号と区別できず、大きな系統誤差の要因となる。漏れこみの原理は 3.2 の通りである。漏れこみの計算は、以下の手順で解析を行う。

1. 測定した 9 か所 (中心と端 8 か所) の反射率について、場所ごとにフィットを行い厚さと屈折率のパラメータを得る。

2. 得られたパラメータを用いて、入射角が 0–20 度*1 での S 偏光・P 偏光をそれぞれ計算する。
3. 上で求めた各入射角の S 偏光・P 偏光の反射率について、検出器の周波数帯 (MF またはUHF) で重み付けをし、平均反射率を計算する。
4. R(s-p) を求める (式 (3.2))。
以下ではこの手順に則り、40 K アルミナフィルターを例に計算を進める。
まず、反射率測定から、場所ごとのフィットパラメータを得た。図 7.1 は、40 K フィルターの
場所ごとのフィット結果を表す。45 度での測定から得られた厚さと屈折率の値を、垂直入射での計算式に代入している。次に、得られたパラメータに関して、入射角 0–20 度に対する S 偏光・P
偏光を計算した。図 7.2 は、端の 1 点 (side1) に対する反射率の入射角依存性を表す。カラーバー
は入射角を示し、青が 0 度 (垂直入射)、赤が 20 度の場合である。入射角の変化により、S 偏光・P*1 SAT 望遠鏡は視野角が 35 度のため、入射角 ±17.5 度での解析が必要となる。

69

図 7.1: 場所ごとの屈折率・厚さのフィット結果を、垂直入射の値に代入した反射率。SAT の MF1、

MF2 の周波数帯を重ねてプロットしている。

偏光ともに、フリンジの高さと位置がずれていることが確認できる。ただし、入射角に対する依存性は、偏光成分によって異なる。S 偏光については、入射角が大きくなるにつれ、フリンジが右にずれ、反射率は高周波側で小さくなり、逆に低周波側で大きくなっている。光学測定はすべて S 偏光で測定をしており、この結果は、45 度での測定を垂直入射での値に代入したときの傾向とも一致する。P 偏光については、入射角が大きくなるにつれ、フリンジが右にずれ、S 偏光と同様の傾向がみられるが、反射率は入射角が大きくなるにつれ小さくなる傾向である。このように S 偏光とP 偏光で入射角の依存性が異なり、この違いが直接漏れこみに影響する。最後に、これらを各周波数帯で重みをつけて平均反射率を計算し、式 (3.2) から漏れこみ量 R(s-p) を求めた。
図 7.3 は、以上の手順で求めた漏れこみの結果である。左が MF 用、右が UHF 用のアルミナフィルターである。入射角に対する漏れこみ量を、周波数帯ごとに表している。濃い線はすべての場所での平均の値であり、最大・最小の範囲が塗られている。SAT の視野角を考慮すると、漏れこみ量は ∼0.2% の範囲に収まっていることが確認できた。Salatino et al.(2018)[32] では、半波長板全体の漏れこみが入射角 20 度において、95 GHz で 0.76%、145 GHz で 0.63% と見積もられている。この値と比較すると、40 K アルミナフィルターにおける漏れこみの量は、1/3 程度である
ことが計算できる。ここでは入射角の違いによる漏れこみの量を求めたが、他の原因による漏れこみを含めると、∼0.2% よりは大きくなることが予想される。ただし、入射角による漏れこみへの寄与が一番大きな割合を占めると考えられるので、求めた値がオーダーで増加することは考えにくい。また、10 K の大気のローディングを仮定すると、0.2% の漏れこみは 20 mK に対応する。

70

(a) S 偏光(b) P 偏光図 7.2: S 偏光・P 偏光それぞれの、入射角の違いによる反射率の比較。フィット結果を代入した
時の、周波数に対する反射率を表す。カラーバーは入射角を示し、青が 0 度 (垂直入射)、赤が 20度の場合である。S 偏光・P 偏光の違いにより、入射角の依存性が異なることがわかる。

(a)

(b)

図 7.3: 各バンドごとの入射角に対する漏れこみ R(s-p)。濃い線はすべての場所での平均の値を表し、塗られた領域は漏れこみが最大・最小の範囲である。(a) SO40 K フィルター (MF 用) の漏れこみ。(b) LATR フィルター (UHF 用) の漏れこみ。

717.2 感度
感度の計算は、BoloCalc*2 [45, 44] を使用した。計算方法は 3.3 の通りである。データとして、

MF は SO 40 K フィルターの常温での反射率、UHF は小サンプルの常温での反射率と低温での透過率の測定結果を用いた*3 。これらの Map depth と相対的な Mapping speed を求め、反射防
止膜がない場合と比較して性能を評価した。誘電正接の値は約 100 K での測定値のため、実際に素子を使用する <50 K では透過率が上昇すると考察できるので、求めた Map depth は上限値と考えることができる。また、反射防止膜の誘電正接を 0 とした理想的な場合とも比較することで、Map depth の下限値をつけた。
図 7.4a は、測定結果を基に計算した SO SAT の感度である。点は MF,UHF の周波数帯それぞれの中心周波数である。反射防止膜がない場合 (緑) と、開発した反射防止膜の反射率・透過率を代入した感度 (青) を比較した。オレンジの線は、アルミナ以外のコーティング材の誘電正接を 0に仮定した場合を表している。この場合は、反射防止膜の性能を評価するため、アルミナの誘電正接は tan δ = 5 × 10−4 と 0 でない値を代入した。反射率はそれぞれ 2 枚のアルミナフィルターと半波長板に適用し、その他の素子の値はすべて一定の値に固定している。測定結果から得られた

Map depth は、反射防止膜がない場合に比べてどの周波数帯においても減少していることがわかる。特に MF では Map depth の絶対値が小さいため、反射防止膜によって 1/2 以下と大幅に減少することが確認できた。UHF については、反射率 < 1% の低反射率を実現できているので、この周波数帯でも反射防止膜がない場合と比較して Map depth が小さくなっていることがわかる。ただし、反射防止膜による吸収が存在するため、透過率が減少した分だけ Map depth が大きくなっている。誘電正接が 0 となる理想的な場合にはオレンジの線まで減少する。そのため、オレンジの線を下限値、青い線を上限値として、実際の望遠鏡ではその間の Map depth をとることが考察できる。
また、これらの Map depth を相対的に比較するため、反射防止膜がない場合を 1 とした相対的な Mapping speed (MS) を計算した。図 7.4b は、求めた MS を表している。MF の周波数帯では、MS∼3 倍を実現していることが確認できた。UHF の周波数帯では、測定したサンプルではMS∼1.2 倍となる。誘電正接を 0 とした場合には、MF>1.5 倍となる。
以上より、開発した反射防止膜は、感度の上昇に有効であると考えられる。

*2 BoloCalc: https://github.com/chill90/BoloCalc*3 MF では誘電正接が小さいので、(反射率)+(透過率)=1 として吸収は考えない。

72

Map depth [ K arcmin]

50
40

no AR
w/ our AR
w/ our AR (Alumina loss only)

30
20
10
0 100 125 150 175 200 225 250 275

Frequency [GHz]
(a)

(b)

図 7.4: 反射防止膜の測定結果を用いた SAT の感度計算。点は MF,UHF のそれぞれの中心周波数であり、低周波側 2 点が MF、高周波側 2 点が UHF となっている。緑の線が反射防止膜がない場
合、青い線が開発した反射防止膜の反射率と透過率を代入した値である。オレンジの線は、アルミ
ナ以外のコーティング材の誘電正接が 0 だと仮定した場合を表し、MF では常に 0 を仮定している
ので点線で表している。(a) 反射防止膜なしと、反射防止膜ありの反射率・透過率を代入した Map

depth。 (b) 反射防止膜なしの場合を基準にした相対的な Mapping speed。

73

第8章

まとめと今後の展望
8.1 まとめ本研究では、CMB 偏光観測で使用するアルミナフィルター・半波長板サファイアの反射防止膜を開発した。本研究で開発した反射防止膜の特徴は、低温でも剥離せず、また、50 cm といった大口径の素子に ∼20 um の精度で均一にコーティング層を貼り付けたことである。反射防止膜は、広帯域で低反射率を実現するため 2 層で作製し、屈折率や熱収縮率の観点から、1 層目には mullite、

2 層目には Duroid 5880LZ を用いた。作製した反射防止膜の光学測定では、MF で ∼2%、UHFで < 1% の低反射率を実現できた。また、UHF の周波数帯では、低温での透過率測定を行うこと
で、常温に比べて誘電正接が減少したことを確認でき、∼100 K での透過率が ∼90% であることを理解した。これらの光学素子は、SA・SO 実験で使用される予定である。
さらに、反射率・透過率の光学測定から、反射率が 0 にならないことによる、温度揺らぎから偏光への漏れこみを求めた。この漏れこみは、偏光観測で大きな系統誤差となるため正確な評価が必要となる。光が入射角を持って素子に入射することで生じる漏れこみを計算し、統計誤差より十分に小さいことを確認した。また、反射防止を行った素子の光学スループットを求め、反射防止膜なしの場合と比較した望遠鏡の感度を計算した。これより、開発した反射防止膜により Map depthが減少することを確認できた。

8.2 今後の展望
今後の展望として、以下の 2 点が挙げられる。

• 低温透過率の精密測定と感度の詳細な計算• 反射率のさらなる低減• 観測サイトでの装置の較正
低温透過率の精密測定では、6 章で述べた測定系について、測定回数を増やし統計数を稼ぐ必要がある。これにより、低温環境による誘電正接の減少を高精度で定量的に見積もることができる。

74

透過率を高精度で測定することは、感度の詳細な計算につながる。光学系による統計誤差の精密な評価は、小さな B モード偏光信号を測定するために必要となる。2 つ目の反射率のさらなる低減については、反射率の減少により温度から偏光信号による漏れこみが少なくなり、系統誤差を低減することができる。本研究では 2 層のコーティングを開発したが、さらなる反射率の低減のため、3層でのコーティングを行うことも今後の課題となる。3 層では、MF の周波数帯においても理想的には <1% の低反射率の反射防止膜を実現可能となる (図 3.2)。この場合には、層数が増加するため、より層間による剥離を防ぐ工夫や、層の厚さについての理解が必要となる。
以上を踏まえ、望遠鏡が観測サイトに設置された際には、観測を通じた装置の校正を行い、B
モード偏光の観測を目指す。

75

付録 A

反射係数・透過係数の導出
ここでは、まず均質誘電体膜の特性行列である式 (4.27) を導出し、続いて式 (4.29), (4.30) の反射係数・透過係数を導出する。座標系の定義は図 4.1 の通りである。
特性行列について、TE 波に対しては、式 (4.15), (4.16) より、

d2 U+ (k02 n2 cos2 θ)U = 0
dz 2
d2 V
+ (k02 n2 cos2 θ)V = 0
dz 2

(A.1)
(A.2)

が得られる。式 (4.19) を満たす解は、U (z) = A cos (k0 nz cos θ) + B sin (k0 nz cos θ)√
1 ϵcos θ[B cos (k0 nz cos θ) − A sin (k0 nz cos θ)]V (z) =
i µ

(A.3)
(A.4)

となる。境界条件 f (0) = G(0) = 0, F (0) = g(0) = 1 を満たす特解として、√
iµU1 = f (z) =sin (k0 nz cos θ)
cos θ ϵV1 = g(z) = cos (k0 nz cos θ)
U2 = F (z) = cos (k0 nz cos θ)√ϵV2 = G(z) = i
cos θ sin (k0 nz cos θ)µが得られる。以上より、

√
p=

ϵ
cos θ
µ

(A.5)
(A.6)
(A.7)
(A.8)

(A.9)

と置くと、特性行列は、(
M (z) =)cos (k0 nd cos θ)− pi sin (k0 nd cos θ)−ip sin (k0 nd cos θ)cos (k0 nd cos θ)

76(A.10)

となり、式 (4.27) が導かれた。磁場が入射面と垂直となる TM 波の場合は、Maxwell 方程式の対
称性より、

√
q=

µ
cos θ
ϵ

(A.11)として p の代わりに q を用いればよい。
次に、反射係数と透過係数を導出する。簡単のため、z = 0 から z = z1 まで層状媒質があり、入射角 θ0 , 透過波の波面の法線が z 軸となす角を θs とする。入射・反射・透過波の電場の振幅を、それぞれ I ′ , R′ , T ′ と置く。境界条件より、電場と磁場の接線成分は層の境界の前後で連続でなければならない。よって、TE 波に関しては、

U0 = I ′ + R′
U (z1 ) = T(A.12)′(A.13)′′

V0 = p0 (I − R )(A.14)

V (z1 ) = ps T ′(A.15)

が導かれる。ただし、

√
p0 =

√

ϵ0
cos θ0µ0ps =ϵscos θsµs(A.16)である。これらは式 (4.24) を満たすので、

I ′ + R′ = (M11 + M12 ps )T ′′′p0 (I − R ) = (M21 + M22 ps )T′(A.17)(A.18)

が成り立つ。Mij は、z = z1 において計算された特性行列の ij 成分である。これより、膜の反射
係数・透過係数は、

R′
p0 M11 + p0 ps M12 − M21 − ps M22=′I
p0 M11 + p0 ps M12 + M21 + ps M22′
T
2p0
t= ′ =
I
p0 M11 + p0 ps M12 + M21 + ps M22

r=(A.19)(A.20)と記述され、式 (4.29), (4.30) が導かれた。TM 波に適応するには、Maxwell 方程式の対称性より、

√
q0 =

√

ϵ0
cos θ0µ0qs =ϵscos θsµs(A.21)

として、p0 , ps を q0 , qs に置き換えればよい。ただし、この場合に得られる r, t は電場の振幅比ではなく、磁場の振幅比である。

77

付録 B

多層反射防止膜の屈折率
ここでは、2 層と 3 層の反射防止膜について、最適な屈折率の導出を行う。座標系の定義は図4.1 の通りであり、n0 = 1 の空気中から入射する。2・3 層どちらの場合も、垂直入射であり、かつ層の光学的厚さが λ/4 となる時を考える。
まず、2 層の反射防止膜について、層の光学的厚さ λ/4 の条件から、各コーティング層の特性行
列 Mi (i = 1, 2) は (4.27) より、

(
Mi =

0
−ini

− nii
0

)
(B.1)

と書ける。これより、2 層合わせた特性行列 M は、

M = M1 M2
)
( n2
0
− n1
=
0
− nn12

(B.2)
(B.3)

となる。最終媒質の屈折率 ns とすると、反射係数は、

n0 M11 − ns M22
n0 M11 + ns M22n2n1− n0 + ns
n1
n2
=
n2
n1
− n0 − ns
n1n2
2
n ns − n0 n22= 12−n1 ns − n0 n22

r=

(B.4)

(B.5)

(B.6)

と計算される。n0 = 1 と、反射率 R = |r|2 = 0 の条件を用いることにより、層間の屈折率の関係は、

1=n21 nsn22と求められる。これより、式 (4.40) が導出できた。

78

(B.7)

3 層の場合も同様に、光学的厚さ λ/4 の条件を用いると、特性行列は、
M = M1 M2 M3)(0
i nn1 n2 3
= n1 n3
i n2
0

(B.8)
(B.9)

となる。反射係数は、

n0 ns M12 − M21
n0 ns M12 + M21n2
n1 n3
n0 ns i
−i
n1 n3
n2
=
n2
n1 n3
n0 ns i
+i
n1 n3
n2
2
2 2
n0 ns n2 − n1 n3=
n0 ns n22 + n21 n23

r=(B.10)(B.11)(B.12)と記述できる。2 層と同様反射率 0 の条件を用いると、

n21 n23 = n22 ns(B.13)となる。今後の課題となる 3 層コーティングでは、n1 ∼ 1.2, n2 ∼ 1.7, n3 ∼ 2.5 の誘電体を、屈折率 ns ∼ 3.1 のアルミナにコーティング予定であり、式 (B.13) を満たす。

79

付録 C

サンプルに焦点を当てるセットアップ
低温測定で用いた、サンプルに焦点を当てるセットアップについて記述する。常温での透過率測定では、放物面鏡の焦点に extender のホーンを置く測定セットアップを用いた。このセットアップでは、ホーンから出た光は放物面鏡で反射され、平面波となってサンプルに入射する。低温測定
では、サンプルの周囲を銅で固定するため、銅の縁による回折や散乱の影響を受けることが予想される。そのため、ホーンと放物面鏡の距離を変えることでサンプルに焦点を当てる方法を用いた(図 6.7)。
ホーンと放物面鏡の距離を計算するにあたり、光線追跡の数学的な取り扱いを考える。光線追跡を行うための光学系の要素は、すべて 2 × 2 の ABCD 行列と呼ばれる行列 M で書き表すことができる [54]。例えば、距離 d の自由空間は、

(

1
0

)
d
1

1
− f1

0
1

M=

(C.1)

で記述され、焦点距離 f の薄レンズは

(
M=

)
(C.2)

と書ける [55]。ここで、光学系の通過前後の光線を任意の位置における光線を、ベクトル

( )
y
r≡
θ

(C.3)

で定義する。ただし、y は光軸からの高さ、θ は光線が光軸となす角である。光線 r が i 個の光学系 M1 , M2 , · · · Mi を通過すると、通過後の光線 r ′ は、

r ′ = Mi · · · M2 M1 r

(C.4)

と求めることができる。
光線追跡には、Python の RayTracing molude を用いた*1 。放物面鏡にレンズの近似を適用し、
式 (C.4) より放物面鏡とホーンの距離を計算した。図 C.1 は、平面波を作るセットアップとサンプ*1 RayTracing: https://raytracing.readthedocs.io/en/1.3.1/index.html

80

(a)

(b)

図 C.1: 平面波を作る場合と焦点を当てるセットアップの、光線追跡の比較。左から右に光が進む。
横軸はホーンを原点としたときのホーンからの距離、縦軸は光軸に対する光線の高さを表す。(a)平面波をサンプルに当てるときのセットアップ。放物面鏡の焦点距離にホーンを置くことで、鏡を反射 (透過) した光は平面波となり、サンプルに入射する。(b) サンプルに焦点を当てるセットアップ。サンプルと放物面鏡の距離が 300 mm を仮定している。ホーンを焦点距離から特定の距離だ
け遠ざけることで、放物面鏡を反射した光はサンプルで焦点を結ぶ。

ルに焦点を当てるセットアップの比較である。実際のセットアップでは放物面鏡によって光線は90 度曲げられて反射するが、ここでは簡単のため、図の左から右に光が透過していくことを考える。平面波を作る場合は、放物面鏡の焦点距離にホーンを設置する。一方、サンプルに焦点を当てるセットアップの場合は、ホーンを適当な距離だけ焦点距離より遠ざける。例えば、放物面鏡とサンプルの距離が 300 mm の場合は、放物面鏡の焦点距離が 102 mm であることを用いて、

r′ =

(
1
0

x
1

)(

1
1
− 102

)(
)
0
1 300
r
0 1
1

(C.5)

と書ける。ただし、x はホーンと放物面鏡との距離である。この時、x ∼ 150 mm、つまり平面波を作るセットアップに比べてホーンを ∼50 mm 遠ざけることで、焦点を当てることができる。
また、上記のセットアップでのビームウエストを考える。ビームウエスト ω は、レンズの F 値

F と光の波長 λ を用いて、
ω ≈ Fλ(C.6)と書ける。F 値は、サンプルの焦点距離 f と絞り直径 D を用いて F = f /D と表せるので、

ω≈

f
λ
D

(C.7)

と記述できる。放物面鏡は焦点距離 ∼102 mm であり、絞りとして直径 5 cm の黒体を設置してい81るので、UHF 周波数帯での測定時 (λ ∼1 mm) のビームウエストは、102 [mm]× 1 [mm]
50 [mm]≈ 2 [mm]

ω≈

(C.8)
(C.9)

となる。この値は、アルミナサンプルの測定範囲である 1 辺 8 cm に比べて十分小さく、中心に集光できていることがわかる。

82

謝辞
本研究を進めるにあたり、多くの方々にご指導・ご支援いただきました。この場を借りて感謝申し上げます。指導教員の日下暁人准教授には、研究の進め方から発表練習・論文添削など多くの助言をいただきました。コロナ禍で大学に行けない時でも、オンラインで丁寧な指導をしていただ
き、研究をここまで進めることができました。木内健司助教には、装置作製について細かく教えていただき、日頃から多くのアドバイスを頂きました。茅根裕司特任助教には、CMB の理論に関して基本的なことから解析までご教授いただき、ゼミ中の小さな疑問にも丁寧に答えていただきました。山田恭平さん、西ノ宮ゆめさん、村田雅彬さん、寺崎友規さん、飯島健五さん、杉山純菜さんとは日頃から活発に議論を行い、CMB についての理解を深めることができました。杉山さんには、日頃の議論に加えて、IPMU 出張にも一緒に行っていただき、測定を助けていただきました。
秘書の河野久仁子さんには、出張の事務処理などいつも迅速に対応していただきました。研究室の皆様のおかげで楽しい研究生活を送ることができました。
また、IPMU の方々にも大変お世話になりました。松村知岳准教授には、測定環境を提供していただきました。また、出張に伺った際には、測定について様々なアドバイスを頂きました。岡山大学の桜井雄基特任助教には、IPMU での測定環境を開発していただき、測定を一緒に進めていただ
きました。測定方法や解析など、実験で必要な技術について基本的なことから丁寧にご指導いただ
きました。高久涼太さんには、測定で困ったときにアドバイスを頂きました。

KEK の長谷川雅也講師、株式会社エイ・イー・エスの五十嵐悟さんには、反射防止膜の貼り付け・冷却試験など、技術的な面からご協力いただきました。お二方がいなければ、本研究は成立しませんでした。カリフォルニア大学バークレー校の Charles Hill 博士には、本研究の基礎を作っていただきました。対面で会うことはできませんでしたが、研究を進めていく中で多くのアドバイスをいただきました。京都大学の田島治准教授には、SO 実験の日本グループのリーダーとして、研究に不自由のない環境を提供いただきました。
湯本潤司特任教授・小西邦昭准教授には、X 線 CT 画像の提供をしていただきました。違う研究室にも関わらず、いつも快く引き受けてくださったことを感謝しております。試作室の大塚茂巳さん、下澤東吾博士には、実験部品の作製を行っていただきました。
最後に、これまで支えてくれた家族に感謝いたします。

83

参考文献
[1] Ralph A. Alpher and Robert C. Herman. On the Relative Abundance of the Elements.
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