PS39<M&M2008 材料力学カンファレンス・2008 年 9 月 16 日～18 日>
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パーライト組織形成過程の Multi-Phase-Field シミュレーション
Multi-Phase-Field Simulation of Pearlite Microstructure Formation○学 山本 隆史 (神戸大院)
正 高木 知弘 (京工繊大院)

正 山中 晃徳 (神戸大院)
正 冨田 佳宏 (神戸大院)

Takashi YAMAMOTO*, Akinori YAMANAKA**, Tomohiro TAKAKI*** and Yoshihiro TOMITA**Graduate School of Engineering, Kobe University, Nada, Kobe, 657-8501**Graduate School of Science and Technology, Kobe University, Kobe, 657-8501***Graduate School of Science and Technology, Kyoto Institute of Technology, Kyoto, 606-8585
Key Words: Phase-Field method, Numerical simulation, Pearlite, Microstructure
パーライト組織を含む鉄鋼材料の力学特性は内部組織の形態や分布により特徴づけられるため，組織形態の予測が重要となる．そこで，相変態による組織形成過程を組織の全自由エネルギーの最小化原理に基づき解析可能な Multi-Phase-Field 法を用いて，パーライト組織形成過程の数値シミュレーションを実施する．本研究では，フェライト相とセメンタイトからなる初期ラメラー組織の形態がパーライト組織形成過程や組織形態に及ぼす影響を検討し，パーライト組織の形成メカニズムを明らかにする．

1. 緒言
パーライト組織はフェライト(α )相とセメンタイト(θ )の微細な層状組織であり力学特性が優れているため，多くの鉄鋼材料で用いられている．パーライト組織を含む鉄鋼材料の力学特性はコロニーやブロックと呼ばれる内部組織の形態や分布により特徴づけられるため，組織形態の予測が重要となる．しかしながら，複雑な内部組織の形成を実験的手法の⎡ N N ⎛ a ij2⎤⎞
G = ∫ ⎢∑ ∑ ⎜ −∇φ i ⋅ ∇φ j + Wij φ i φ j ⎟ + g e ⎥ dVV⎟⎜⎢⎣ i =1 j = i +1⎝ 2⎥⎦⎠(3)

全自由エネルギーが時間とともに単調減少し，組織形成が進行すると仮定すると，phase field φi の時間発展方程式は，以下の TDGL 方程式で表される．
φn 2Mn∂φ i⎤1⎫ 8⎧ij ⎡= −∑∑ ⎨(Wik − W jk )φ k + 2 aik2 − a 2jk ∇ 2φ k ⎬⎭ − π φ i φ j ∆E ij ⎥n ⎢⎣ k =1 ⎩∂tj =1
⎦()

(4)

みで予測し，適切な組織制御方法を決定することは難しい．

ここで，∆Eij は，相変態に伴う自由エネルギーの変化量を表

本研究では，ブロック，コロニーなどのパーライト組織特有しており，例えば粒 i，粒 j がそれぞれγ 相, α 相の場合であの内部組織の形成予測を行うことを最終的な目的とし，相変れば，γ →α 変態の自由エネルギー変化量を表す項である．

態による組織形成過程を，組織の全自由エネルギーの最小化

本研究では，∆Eij は変態エントロピーと過冷度の積として定原理に基づき解析可能な Multi-Phase-Field 法(1,2)を用いて，パ義し，次式で表す．

ーライト組織形成過程の数値シミュレーションを実施する．

∆E ij (C , T ) = ∆S ij ⋅ ∆Tij (C , T )本稿では，初期ラメラー組織におけるラメラー間隔の不均一

ここで，変態エントロピー∆Sij は相により値が決まる．過冷(5)性が，ラメラーの成長過程ならびに組織形態に及ぼす影響を度∆Tij は炭素濃度 C と系の温度 T の関数であり，線形化平衡検討する．

状態図を用いて算出される(3)．

2. Multi-Phase-Field モデル
N 個の結晶粒を含む系を考え，i (i =1, ... , N ) 番目の結晶粒を粒 i と定義する．秩序変数として，粒 i の存在確率を表す
phase field φi と炭素濃度 C を定義する．φi は粒 i 内では 1，他の粒内で 0 の値をとる変数である．また，φi が 0 から 1 に滑らかに変化する領域を界面と定義する．さらに phase field φiは独立な変数ではなく，任意の点で次式を満たす．
N∑φ = 1i =1i(1)また，炭素濃度 C は各結晶粒における炭素濃度 Ci の phasefield φi による重み付け和として，次式のように定義される．
NC = ∑ φ i C i =φ1C1 + φ 2 C 2 + φ 3 C 3 + L + φ N C N(2)i =1

系の全自由エネルギーは，次式に示す Ginzburg-Landau 型の Gibbs の自由エネルギー汎関数を用いて定義する(1)パーライト変態においては，炭素原子の拡散による炭素濃度の変化が組織形成に大きな影響を与えるため，炭素拡散方程式を解く必要がある．本研究では，炭素原子の拡散流束 Jが各粒からの拡散流束 Ji の和で表現されると仮定し，炭素拡散方程式を次式のように表す．
∂C⎛ N⎞= ∇ ⋅ J = ∇ ⋅ ⎜ ∑ φi J i ⎟∂t⎝ i =1⎠(6)

各粒内における拡散係数を Di とすると，拡散流束 Ji は Ji=Di∇Ci と表すことができるため，式(6)は次式のように表される．
∂C
⎞
⎛ N
(7)
= ∇ ⋅ ⎜ ∑ φi Di ∇Ci ⎟∂t⎠⎝ i =1
本研究では，θ が Fe3C という組成を持つことを考慮し，界面においてθ は常にこの組成に従った炭素濃度（25atom%≒6.68wt%）をとるものとする．すなわち，粒 i がθ であるときは Ci = 25 atm% ≒ 6.68 wt% を満たす．

3. 解析モデル

き，図 3(d), (e)のように，θ が中央に向かって成長するのが共析鋼（Fe-0.77wt%C）の 970K における等温保持による分かる．このように，初期ラメラーの形態によりラメラー組パーライト組織の成長シミュレーションを行う．本研究で用織の初期の成長過程が決まり，さらにラメラーの成長に伴いいる解析モデルを図 1 に示す．解析領域下部にα 相とθ から変化するγ 相内の炭素濃度分布が以降の成長過程を決定付けなる初期ラメラー組織を配置し，残りの部分をオーステナイることが分かった．

ト(γ )相とする．差分格子は 384×192 の規則格子を用い，差分格子間隔は∆ x = ∆ y = 2.5 nm とする．各相の初期の炭素濃度は，α 相とθ は共析温度 1000K における平衡組成，γ 相では Fe-C 系共析鋼の炭素濃度と等しい 0.77wt%とする．境界条件は，左右端面では周期境界条件，上下端面では零ノイマン境界条件を用いる．解析領域下部の初期ラメラー組織について，ラメラー間隔がλ = 0.24µm で均一な場合(A)と中央のラメラー間隔のみλ = 0.16µm でラメラー間隔に不均一がある場合(B)を考え，パーライト組織形成過程の比較を行う．

(A)(B)
Fig. 1. Computational models.

4. 解析結果と考察
図 2 にラメラー間隔がλ = 0.24µm で均一な場合(A)のパーFig. 2. Distributions of carbon concentration for case A at (a) 0s, (b) 0.13s,(c) 0.26s, (d) 0.39s, (e) 0.52s and (f) 0.65s.

ライト組織形成過程を炭素濃度分布で示す．この場合，α 相とθ は協調的に成長することが分かる．ここで，α 相とθ の成長機構について考えると，炭素原子の固溶量が小さいα 相はγ 相に炭素原子を排出しながら成長し，炭素原子の固溶量が大きいθ はγ 相から炭素原子を取り込みながら成長する．
そのため，α 相は成長方向のγ 相の濃度が低いほど成長し易く，θ は成長方向のγ 相の濃度が高いほど成長し易い．(A)の場合においてα 相とθ が協調的に成長しているのは，等間隔にα 相とθ が存在することで上記の炭素原子の分配が効率的に行われるためであると考えられる．また，この初期ラメラー組織のラメラー間隔(0.24µm)は，この温度領域で観察される一般的な値であり，このときにラメラーが協調的に成長することが確認できる．
一方，図 3 にラメラー間隔に不均一がある場合(B)のパー
ライト組織形成過程を炭素濃度分布で示す．解析領域中央のθ は成長初期に途切れ，それ以外のθ は湾曲しながら成長していることがわかる．このとき成長初期にθ が途切れるのは，解析領域中央部においてはα 相からγ 相に排出される炭素原子が少なく，θ が成長するために必要な炭素原子を周囲から取り込むことができないためである．また，成長に伴ってα相とθ が湾曲するのは，ラメラー間隔の不均一により，θ 成

Fig. 3. Distributions of carbon concentration for case B at (a) 0s, (b) 0.13s,(c) 0.26s, (d) 0.39s, (e) 0.52s and (f) 0.65s.

5. 参考文献

長方向のγ 相において，場所ごとに炭素濃度の差が生じるた(1) I. Steinbach et al, Physica D, 134, (1999), 385-393.

めであると考えられる．図 3(c)に示すように，解析領域中央(2) K. Nakajima et al, Acta Materialia, 54, (2006), 3665-3672.の矢印で示した領域ではγ 相の炭素濃度が高くなる．このと(3) J. Tiaden et al, Physica D, 115, (1998), 73-86.