数理解析研究所講究録
第 1567 巻 2007 年 69-79

69スカラー PDF 輸送方程式における条件付統計量モデルの実験的検証
名古屋大学・工学研究科

内田(Kenji UCHIDA)

健児

Graduate School of Engineering, Nagoya University
名古屋大学・工学研究科

酒井康彦(Yasuhiko SAKAI)

Graduate School of Engineering, Nagoya University

1

緒言
乱流中の物質拡散や化学反応を伴う混合現象を解析的あるいは数値的に予測する際に, 通常用いられる最も基本的な方法は, 乱流の遠度場同様に, 濃度場に対して時間平均した保存方程式を解く方法である [l1. ただし,

この場合, よく知られているように対流輸送項や化学反応項をモデル化し.

方程式系を閉じた形にする必要がある. 一方, 濃度に対する確率密度関数 (以後, PDF: Probability$\alpha nsity$

Funcfion) の輸送方程式を解く PDF 法 [2.31 は, このような対流輸送項や化学反応項にモデル化を必要としないため, 乱流混合現象を解析する方法として, 近年盛んに研究されるようになってきている [4.51.

しかしながら, 濃度に対する PDF 輸送方程式を解くためには, 濃度れた変動速度 uO 期待値 (以後, 条件付速度)$\langle u_{j}|\delta=\psi\rangle$

スカラー散逸率) \langle $\chi|\delta=\psi$), あるいは, 変動濃度成分

条件付スカラーラプラシアン)$\langle\nabla^{2}c|\partial=\psi\rangle$$c$やスカラー散逸率$\chi$

脳魴鑄佞韻の期待値 (以後, 条件付に対するラプラシアンに対して. モデル化が必要となる.

$\nabla^{2}c$の期待値 (以後,したがって, これらの条件付統計量の特性を明らかにすることは, 乱流混合現象の解明にきわめて重要な役割を果たすことになる.

上記のような背景から, 条件付統計量に関して, これまでに実験や数値計算により数多くの報告がされている [6-l3, 151. 例えば, 条件付速度 ($u_{t}|\psi\rangle$に関する報告としては, 一酸化窒素とオゾンを用いた混合層での測定 [6], スカラーとして温度を用いた軸対称噴流 [7] や一様勢断流での測定 [81 などがあり, 数値的研究では, 直接数値計算 (以後,DNS: Direct Numerical Simulation) による等方性

乱流中で平均値勾配を持つパッシブスカラー場の計算 [9] などが挙げられる. 一方. 条件付スカラー
散逸率$\langle\chi|\psi\rangle$

や条件付スカラーラプラシアン$\langle\nabla^{2}c|\psi\rangle$

に関する研究としては, 温度を用いた格子乱流 [l0] や乱流後流と大気境界層での測定 [11], 対向流での測定 [12], 蛍光染料を用いた軸対称噴流での測定 [111 などが報告されている. また, 数値的研究としては,

DNS による一様等方性乱流でのパッシブスカラー場の計算 [9, 13.l51 などが例として挙げられる.
しかしながら,このように条件付統計量について数多く報告されているものの, これらの実験や数値計算では, そのほとんどがシュミット数 Sc ($\equiv v/D;v$ は動粘性係数,

プラントル数唐 ($\equiv v/\alpha;\alpha$$D$は分子拡散係数) あるいは

は熱拡散係数) が $O(1)$ と小さく, シュミット数が大きな物質を用いての測定はほとんど見られない. また, レイノルズ数の影響に関しても明らかにされていない. そこで,
本研究では, 高シュミット数の軸対称噴流無反応濃度場において, 5 種類のレイノルズ数に対して遠度 2 成分と濃度の同時計測を行い, その同時測定から得られる条件付統計量の特性について調べ,

こ

れまでに報告されているモデルとの比較を行い, それらのモデルの有効性を検証した. 本稿では,

こ70
れらの結果を報告する.

2

スカラー PDF 1; 対する輸送方程式
物質の濃度や温度といったスカラーに対する PDF の輸送方程式については, Pope (2000) [4] や
ここでは, 本稿に必要な部分のみをまとめて記す. 今, 簡

Fox (203) [1] に詳しく解説されている.
単のため, 1 成分のみを考えると, 濃度$\delta(X,t)$に対する保存方程式は,$\frac{D\delta}{Dt}=D\nabla^{2}\delta+S(\delta(X,t))$で表される. ここで,$D$

は分子拡散係数,

$S$

,

(1)

は化学反応項である.

1 点, 1 時刻オイラー PDF をた (\mbox{\boldmath $\psi$};x, ) と表すと, ゐに対する輸送方程式は式 (1)いま, 濃度$t$より, 次式のように導かれる.
$\frac{\partial f_{\delta}}{\partial\prime}+U_{i}\frac{\partial f_{\delta}}{\partial x_{l}}+\frac{\partial}{\partial x_{l}}[\langle u_{l}|\psi\rangle f_{\delta}]$$=- \frac{\partial}{\partial\psi}[\{\frac{D\delta}{Dt}|\psi\}f_{\epsilon}]$.

$=- \frac{\partial}{\partial\psi}[\langle D\nabla^{2}c|\psi\rangle f_{\epsilon}]-\frac{\partial}{\partial\psi}[(D\nabla^{2}C+S(\psi))f_{Z}]$ここで,$U_{i}$(2)と $C$ は, それぞれ平均遠度と平均濃度を表している. あるいは.
$\frac{Df_{\epsilon}}{\overline{D}t}=D\nabla^{2}f_{\tilde{c}}-\frac{\partial}{\partial x_{i}}[(u_{i}|\psi\rangle f_{\delta}]$$- \frac{\partial^{2}}{\partial\psi^{2}}[(D\nabla c\cdot\nabla c|\psi\rangle f_{\tilde{c}}]-\frac{\partial^{2}}{\partial\psi^{2}}[(D\nabla C\cdot\nabla C)f_{\delta}]$$c- \frac{\partial}{\partial\psi}[S(\psi)f_{\delta}]$で書き換えられる. ここで,$\langle*|\delta(l,t)=\psi\rangle$,$N^{=}T_{t}0\partial+U_{i}^{\partial}\Gamma x_{l}$

(3)
であり,

$\Psi$

はサンプル空間における濃度で,$\langle*|\psi\rangle$

はを意味している. ここで, これらの PDF 輸送方程式において注目すべきことは, 以下の関係,$\langle S(\delta)|\psi\rangle=S(\psi)$,(4)により. 化学反応項が閉じられた形として現れることである. したがって, スカラー PDF に対する輸送方程式において閉じられていない項は, (り,$u_{t}|\psi\rangle$,$\langle D\nabla c\cdot\nabla c|\psi\rangle$

あるいは$\langle D\nabla^{2}c|\psi\rangle$を含む項であこれらの項に対してモデル化が必要となる.

そこで, 本研究では,$\langle u_{j}|\psi\rangle,$$\langle\chi|\psi\rangle$

および$\langle D\nabla^{2}c|\psi\rangle$

について, 軸対称噴流無反応濃度場に対して実験的にこれらの特性を調べ, 従来のモデルと比較することにより, モデルの有効性を検証した. なお,$\chi$は変動濃度$c$に対するスカラー散逸率であり,$\chi\equiv 2D\nabla c\cdot\nabla c=2D\frac{\partial c}{\partial x_{i}}\frac{\partial c}{\partial x_{i}}$で定義されることに注意されたい.

,

(5)

71

図1

図2

実験装置概略図

速度 2 成分-濃度同時測定用複合プローブ

3 実験装置および実験条件
3.1 水路および座標系
図 1 に本研究で用いた水槽の概略図を示す. この水槽のテストセクション寸法は縦 280mm 横$280mm\cross$ 長さ $1,0mm$ であり, ノズルは水路断面の中央に位置している. 座標系はノズル出口を$x$原点とする円柱座標系で, 軸方向に , 半径方向に$x$

噴流形成用のノズルは噴流出口直径
ドルバルブにより$0\sim 8.5m\prime s$

$d$

$r$

をとっている.

が 20mm の円形ノズルを使用し, 噴流出口流速砺は—–の範囲で調整が可能で, 面積式流量計 (日本フローセル SCO-4 型) により流量を調整することで出口流速を設定した. 今回の測定では,$U0$

を 3.2. 48. 6.4. 7.4. $8.5m\prime s$の 5 種類に設定し測定を行った. このときの噴流レイノルズ数 ${\rm Re} t\equiv U_{0}d/v$ ) はそれぞれ. 6,600,$9.\mathfrak{M},$$13,3\infty,$ $15,5\infty,$ $17,7\infty$$r/bu=0.\infty$ ( $bu$である. なお, 今回の測定で詳細に調査を行った位置は, $x/d=50$ の: 軸方向平均速度の半径方向分布の半値幅) と $r/b_{U}=0.73$ の 2 点である. また. 拡

散流体は工業用染料 C. I. Direct Blue 86 (Scれる. その際の噴流出口濃度$C_{0}$$\simeq 3,8\infty$) を含む水溶液であり, ノズルより水中に噴出さは 3. $0kym^{3}$ である.

3.2 測定系
瞬時速度の測定には X 型熱膜プローブ (TSI 1u3-20W) を使用した. この熱膜の受感部は 51$\mu m\phi$の円簡型白金フィルムで, 受感部長さは lmm である. また, 2 本の熱膜の間隔は lmm である.

一

方, 瞬時濃度の測定には吸光光度法 [14] を原理とする光ファイバープローブを用いた. 本研究で用いた染料の吸光スペクトルは, 波長 665 nm 付近で最大値をとるため, 波長 670nm の半導体赤色レー
ザー (日立 $\mathfrak{x}L6714G$) を光ファイバープローブに入射した.

レーザー光は光ファイバーによりプロー

プ先端まで導かれ, 検査部を通過する. 検査部を通過したレーザー光は再び光ファイバーにより光電子増倍管 (浜松ホトニクス H6780-20) まで伝送され, 電流。電圧変換回路により光強度に比例した電圧に変換される. なお, このプローブには入射側, 受光側ともにコア径が 9.5 $\mu m$ の光ファイバーが用いられており, 検査部において両者のファイバーはおよそ 07mm の間隔で対向している. これらのプローブを組み合わせた速度 2 成分-濃度同時測定用複合プローブの概略図を図 2 に示す.

プロー

72
表1

各噴流レイノルズ数に対する乱流レイノルズ数の評価 $(x/d=50)$

ブ同士の接触による破損を防ぐため, 熱膜交差点と光ファイバープローブとの間隔
た.

なお, 本研究で詳細に調査を行う $X/d=50$ の中心軸上での間遅れは,${\rm Re}=6,6\infty$の場合には 1.123 mgec,

はいずれも積分時間スケールの
いては,$10^{-1}$$\Delta$$\Delta$

を 0. $5mm$ としに対する速度信号と濃度信号の時${\rm Re}=17,70$ の場合には 0.423

msec であり, これら

程度のオーダーである. 一方, 複合プローブの空間分解能につTaylor のマイクロスケールと同程度のオーダーであると判断される. なお, 本測定でのサン

プリング周波数は 20kHz で, サンプリング点数は 262,144 点, サンプリング時間はおよそ 13 秒である.
また, 本研究における噴流レイノルズ数

軸方向変動速度 rm.

$s$

. 値,

$\lambda$${\rm Re}$と $x/d=50$ での乱流レイノルズ数 $R_{\lambda}(\equiv u’\lambda/v;u’$::Taylor のマイクロスケール) の関係を表 1 に示す.

4 実験結果41 確率密度関数分布
条件付統計量の分布を示す前に, 軸方向変動速度 , 半径方向変動速度$u$分布を示す. 図 3(a) から (C) には.

$u,$

$v$

および

$c$

$v$

および変動濃度

$c$

の PDF

の $X/d=50$ の中心軸上における各種レイノルズ数に対する PDF 分布をそれぞれ重ねて示してある. 横軸, 縦軸ともにそれぞれの変動 rms. 値 $u’,$および $d$ で正規化されている. なお, 図中の$\xi,\hat{\zeta},\hat{\psi}$

はそれぞれ $u,$$v,$ $c$$\sqrt{}$に対するサンプル空間座標を示す. 図より, 軸方向速度と半径方向速度の PDF はほぼガウス分布 (図中の実線) と一致している.
一方, 濃度 PDF は,${\rm Re}=17,7\infty$${\rm Re}=17,7\infty$の場合を除きやや負に歪んだ分布傾向を示していることがわかる.

の場合に関しては, ほぼガウス分布と一致する傾向が見られた.

42 条件付速度モデルの検証
Pope (1985) [161 によれば, 速度と濃度の結合確率密度関数が結合ガウス分布であるという仮定を用いると, 条件付速度は次式で表される.
$\langle l_{i}|\psi\rangle=U_{i}+\frac{\langle u_{i}c)}{c^{2}}(\psi-C)$.

(6)あるいは, 変動速度成分 $u_{i}=\tilde{u}_{l}-U_{i}$ および変動濃度成分 $c=\delta-C$ を用いると$\langle u_{i}|\psi\rangle=\frac{\langle u_{j}c\rangle}{c^{\rho}}\hat{\psi}$

,

(7)

73

図3

確率密度関数分布. (a) 軸方向速度, (b) 半径方向遠度. (c) 濃度と変形される. ここで, ゆは変動濃度
r.m.$. 値 $d$

変動濃度と物質フラックス$\hat{\psi}/c’$$\langle u_{i}c\rangle$$c$に対するサンプル空間座標である. 式 (7) より, 変動濃度で無次元化された条件付遠度$\langle u_{i}|\psi\rangle d/\{u_{i}c\rangle$の分布は, 無次元化に対して傾きが 1 の線形性を示すことがわかる.

図 4 は, $x/d=50$ の中心軸上において, 各種レイノルズ数に対する条件付軸方向速度

布を重ねて示したものである.

$\langle u|\psi\rangle$は変動濃度 r.m.8.

されている. また, 図中に一点鎖線で示されるのが,$\dagger Hd$

および物質フラックス ($uc\rangle$$\langle u|\psi\rangle$

の分

で無次元化

Ferchichi&Tavoularis (2002) [81 による一様勢

断乱流での温度場に対する測定結果 $(R_{\lambda}=253, R\simeq 0.7)$ である. 図より, 分布は各種レイノルズ数に対して良い相似性を示しており,$|\psi/c’|$S2 の範囲において, 式 (7) に示したように分布の傾きが1(図中の実線) になっていることがわかる. なお,$|\hat{\psi}/d|\approx 2$の領域で. 分布のぱらつきが見られるのはサンプル数が少ないことによるものと考えられる.
図 5 および図 6 は, $x/d=50,$ $r/b_{U}=0.73$ において, 各種レイノルズ数に対する条件付軸方

向遠度$\langle u|\psi\rangle$

および条件付半径方向速度

いては, 中心軸上の場合と同様に,$\langle v|\psi\rangle$の分布を重ねて示したものである.

$(u|\psi)$につ各種レイノルズ数によらず分布は良い相似性を示しており.

$|\hat{\psi}/d|\leq 2$の範囲において, 分布の傾きが 1(図中の実線) になっている. また.

$|\hat{\psi}/d|\leq 2$の範囲においては, 傾きが 1(図中$\langle v|\psi\rangle$に関しても.

の実腺) の良い相似性を示していることがわかる. なお, 図中に破線で示されるのが, Overholt&Pope$(1\mathfrak{B}6)[9]$が DNS を用いて計算した一様等方性乱流中の平均値勾配を持つパッシブ
スカラー場の計算値 $(R_{\lambda}=52, Pr=0.7)$ で,-

点鎖線で示されるのが, Ferchichi&Tavoularis$(2\infty 2)[81$による測定値 $(R_{\lambda}=253, R\simeq 0.7)$ である. 本研究で得られた測定値 $(Sc\simeq 3,80)$ は,

これらの結果 $(Pr\simeq 0.7)$ と拡散係数が大きく異なるにも関わらず, 分布形状がよく一致していることがわかる.

したがって. 以上の結果から, Pope によって提案された式 (7) は,レイノルズ数や ‘*‘1’ュミッ

図4

条件付軸方向速度分布 $(x/d=50, r/b_{U}=0.\infty)$

74

図5

条件付軸方向速度分布 $(x/d=$$50,$ $r/b_{U}=0.73$

図)6 条件付半径方向速度分布$(x/d=50, r/b_{U}=0.73)$

ト数 (あるいはプラントル数) に関係なく, 軸対称噴流の中心軸上とその近億 $(r/bu=0.73)$ においてほぼ成立すると考えられる.

43

条件付スカラー散逸率モデルの検証

431

スカラー散逸睾の推定条件付スカラー散逸率を求めるためには, スカラー散逸率$\chi$の瞬時値を推定する必翼がある.

この項では, スカラー散逸率の瞬時値の推定法について説明する. スカラー散逸率の瞬時値を定義式(5) に従って求めるには,$\partial c/\partial x_{i}$の全ての成分を測定する必要がある. しかしながら, これは困難であるため, 局所等方性の仮定がよく用いられる. したがって, 本研究でも, 局所等方性の仮定$\chi=6D(\frac{\partial c}{\partial x})^{2}$により$\chi$,(8)を評価した.

実際のスカラー散逸率$\chi$の計算には,$x$方向の空間微分を Taylor の仮説. すなわち

(9)$\frac{\partial}{\partial x}=-\frac{1}{U}\frac{\partial}{\partial\prime}$

により時聞微分に置き換え,$\chi=6D(\frac{\partial c}{\partial x})^{2}=_{U}^{6D}\urcorner(\frac{\partial c}{\partial t})^{2}$

,

(10)

を用いて値を算出した. また, 微分値の算出には,$\frac{\partial c_{i}}{\partial t}=\frac{c_{i-2}-\ i-\iota+\ -c}{12\Delta}$

,

(11)

で示される Ibylor の 5 点法を用いた. ここで, 創はサンプリング間隔である.

スカラー散逸率$\langle\chi|\psi\rangle$

は, 以上の方法から求められるスカラー散逸率$\chi$

したがって, 条件付を, 濃度$=\psi$で条件付

75
けを行うことにより求められる. なお, ここで注意しなければいけないことは, 局所等方性の仮定と Taylor 仮説を用いて求めた値の精度である.

Kailasnath et al. (1993) [111 が, 液相軸対称噴流拡散場の中心軸上での濃度測定から得た条件付スカラー散逸率をもとに考察をこれについては,$\langle\chi|\psi\rangle$

行っている. 彼らは, 噴流レイノルズ数 ${\rm Re}(\equiv U_{0}d/v)=27\infty$, 3900 で噴出される蛍光染料水溶液に
対して,

$P$

垣 $F$ (Planar Laser-Induoed Fluorescenoe) 法を用いて濃度測定を行った.

れた濃度場の二次元空間マップから,れぞれの値からある. その結果,

高濃度部分$\langle\chi|\psi\rangle$を推定した. ここで,$(\partial c/\partial x)^{2},$$(\hat{\psi}/d\approx 4)$$(\partial c/\partial y)^{2}$$\hat{\psi}/dk2$

および

$x$

$(\partial c/\partial y)^{2}$および$(\partial c/\partial x)^{2}+(\partial c/\partial y)^{2}$を求め, そおよび $y$ はそれぞれ流れ方向および半径方向座標で$(\partial c/\partial x)^{2}+(\partial c/\partial y)^{2}$

からそれぞれ推定したは,$\langle\chi|\psi\rangle$

を除き, 分布形状が非常によく一致していることが確認されている. また,

Taylor 仮説の影響に関しては,果,$(\partial c/\partial x)^{2},$

その測定から得ら$(\partial c/\partial x)^{2}$と$(\partial c/\partial t)^{2}$を用いてそれぞれ推定した ($\chi|\psi\rangle$を比較した結の領域を除き, 分布形状がよく一致していることが確認されている. 一方,$\hat{\psi}/d\approx 2$領域においては, 聴 yl\alpha 仮脱を用いて推定した値の方がやや小さい値をとる傾向が見られる.

のここで注意すべきことは, 平均値からのずれが大きい濃度の部分では, 条件付スカラー散逸率の正確な分布

形状自体が不確かであり, Taylor 仮脱を評価するには不十分に思われることである.
本研究は, Kailasnath et 砿に比べ, 噴流レイノルズ数が ${\rm Re}=6,6\infty\sim 17,70$ と大きいが, KaUasnath

et $al$ の実験条件から乱流レイノルズ数を推定すると$R_{\lambda}\sim 3\infty$となり, 本研究とほぼ同程度であることから, 本研究の条件付スカラー散逸率についても, 中心軸上の測定値に関しては, 平均値からのずれが大きい濃度の部分を除いて議論を行うのに十分な精度の分布が得られているものと予想される.

432 条件付スカラー散逸準分布
図 7 は, $x/d=$ 父の中心軸上において, 各種レイノルズ数に対する条件付スカラー散逸率 (の分布を重ねて示したものである. 縦軸には, 平均スカラー散逸率とっている. また, 図中に点線で示されるのが,$\langle\chi\rangle$

で無次元化された$\chi|\psi\rangle$) を$\langle\chi|\psi$

Jayesh&Warhaft (1992) [101 による平均温度勾配を持つ格子乱流での温度場に対する測定値 $(R_{\lambda}=S4.4, R\simeq 0.7)$ , 一点鎖線で示されるのが, Kailasnath
et al.
による液相軸対称噴流中の濃度の測定値 $({\rm Re}=3,900, Sc\simeq 1,\mathfrak{M})$ , そして, 破線$(1\mathfrak{B}3)[11]$で示されるのが,Overholt&Pope (1996) [91 が DNS を用いて行った一様等方性乱流中での平均値勾配を持つパッシブスカラー場の計算値である $(R_{\lambda}=52, R=0.7)$ . 図より, 研究者により条件付スカ
ラー散逸率の分布が大きく異なっていることがわかる. 本研究の測定値は,の範囲におい$|\hat{\psi}/d|\leq 2$て,$\langle\chi|\psi\rangle/\langle\chi\rangle=1$の平坦な分布をしており, また, レイノルズ数による分布の違いもほとんど見られない. 本測定と $O$

rholt&Pope の計算結果を比較すると, 流れ場や拡散係数が大きく具なるにも関わらず, よく一致していることがわかる.

条件付スカラー散逸率の形状の違いに関して, Miller et a1.(1995) [171 は,スカラー PDF $f_{c}(\psi;x,t)$の形状, 特に, スカラー PDF の尾に依存すると報告している. もし, スカラー PDF がガウス的な尾を持つならば. 条件付スカラー散逸率は$\hat{\psi}$の値に関わらず平坦な分布形状を示し, 一方, 指数尾を持っならば, Jayesh&Wmha 食の測定値のような頂点の丸い V 字形状を示すとしている. 本研究における濃度 PDF は, 図 3(c) に示すように, ガウス分布に近い形状をしているため, 条件付スカラー

散逸率が平坦な分布形状になったものと考えられる. また, Jayesh&Warha 食の温度 PDF は指数尾を持ち,Overtvlt&Pqpe のスカラー PDF はガウス分布であることから, これらの研究者らの結果もまた, M41 皿 er $et$ 認. の報告と一致している.

76

図7

図8

条件付スカラー散逸率分布$(x/d=50, r/b_{U}=0.0)$

一方,$hyl\alpha$$(x/d=50, r/b_{U}=0.73)$.

仮説が $x/d=SO$ $r/b_{U}=0.73$ においても有効であると仮定した場合に, 各種レイノ

ルズ数に対して, 条件付スカラー散逸率 \langle

中の破線は条件付スカラー散逸率分布$\langle\chi|\psi\rangle/\langle\chi\rangle=1$$\chi|\psi$) の分布を重ねて示したものが図 8 である. なお, 図の直線である. 図より, 中心軸上の分布とは具なり, 負の変動から正の変動になるに従い, やや単調に増加している傾向が見られ, その傾きはレイノルズ数によらずおよそ

012 であった (図中の実線). これは, 先ほど述べた Miller
示していないが,$\ell tal$.

$[17]$ の報告から推測すると,

図にはこの位置における濃度 PDF がガウス分布からやや逸脱しているために, 条件付ス

カラー散逸率の分布もやや右肩上がりの分布になったものと考えられる.
以上により, 条件付スカラー散逸率の分布は, 各種流れ場や拡散場の状態に依存し, 単純なモデル化が困難であるように思われる.

4.4 条件付スカラーラプラシアンモデルの検証
条件付スカラーラプラシアンの推定は, 第 4.3.1 項と同様の方法で行った. まず, 変動濃度成分のラプラシアン$\nabla^{2}c$$c$は次式で与えられる.
$\nabla^{2}c=\frac{\partial^{2}c}{\partial x_{i}\partial x_{i}}$

.

(12)

,

(13)

ここで. 局所等方性の仮定を用いると,$\nabla^{2}c=3\frac{\partial^{2}c}{\partial x\partial x}$と書き換えられ, さらに, ?bylor の仮説を用いると,$\nabla^{2}c=_{U}^{3}T^{\frac{\partial^{2}c}{\partial\iota\partial t}}$と変形される.

推定を行った.

,

したがって, 本測定では式 (14) により, 条件付スカラーラプラシアン(14)$\langle Dfc\{\psi\rangle$

の

77

図9

図 10 条件付スカラーラブラシアン
分布 $(x/d=50, r/b_{U}=0.73)$

条件付スカラーラブラシアン

分布 $(x/d=50, r/b_{U}=0.\infty)$

図 9 は, $x/d=50$ の中心軸上において, 各種レイノルズ数に対する条件付スカラーラプラシアン$\langle\nabla^{2}c|\psi\rangle$

$d$

$O$

の分布を重ねて示したものである. 縦軸には, 平均スカラー散逸率

で無次元化された

rholt&P\varphi$\langle D\nabla^{2}c|\psi\rangle$$(1\mathfrak{B}6)[9]$$\langle\chi\rangle$と変動濃度 r.m.8. 値をとっている. また, 図中の実線は傾きが $- 1$ の直線であり, 破線はによる計算結果である. 図より, 本研究の条件付スカラーラプラシアンの測定結果は, 各レイノルズ数に対してほぼ相似な分布を示しており, その分布の傾きは,領域において, およそ$1$。

$|\hat{\psi}/d|\leq 2$のであることがわかる. このことは, 条件付スカラーラプラシアンに対して.
$\langle D\nabla^{2}c|\psi\rangle=-\frac{1}{2}\frac{\langle\chi\rangle}{c^{2}}(\psi-C)$

,

(15)

と表されることを示し, 現在, このモデルは IEM (tteracnon by Exchange with the Mean) モデルと呼ばれている [181. また, 本研究の測定結果と O

算 olt&Pope の計算結果を比較すると, 分布がよく一致していることがわかる.
一方, $X/d=50,$ $r/b_{U}=0.73$ における各種レイノルズ数に対する条件付スカラーラプラシアン$\langle\nabla^{2}c|\psi\rangle$

を重ねて示したものを図 10 に示す. 図より, 各レイノルズ数に対してほぼ相似な分布をしているものの, 中心軸上の場合とは異なり,$- 1$の傾きからやや逸脱していることがわかる.

以上をまとめると, 条件付スカラーラプラシアンの分布は, 軸対称噴流の中心軸上ではレイノルズ数に関係なく IEM モデルとほぼ一致するが, 中心軸から離れた位置 $(r/bu=0.73)$ においては, 正 M
モデル方程式 (15) からやや逸脱する傾向が見られるようである.

5 結書
高シュミット数物質水溶液を用いた軸対称噴流拡散場中で, 軸方向および半径方向瞬時速度と瞬時濃度の同時測定を行い, 条件付速度や条件付スカラー散逸率, 条件付スカラーラプラシアンの統計的特性について調査した. そして, 従来から提案されているモデルと比較することにより, これらのモデルの有効性について検証・考察した. その結果, 以下のような結論を得た.

1. 噴流軸上において, 無次元化条件付軸方向速度$\langle u|\psi\rangle d/(uc\rangle$の分布は, 相対変動濃度$\hat{\psi}/d$の78
大きさが比較的小さい領域$(|\hat{\psi}/d|\leq 2)$

に対して傾きが 1 の良い線形性を示した. 一方, 噴流

軸からやや離れた位置 $(r/b_{U}=0.73)$ における条件付軸方向速度 \langle
遠度$\langle v|\psi\rangle$に関しても, 同様の結果が得られた.

) および条件付半径方向$u|\psi$

これは, 噴流の中心部付近 (中心軸から半値幅付近) において, 速度と濃度の結合確率密度関数が結合ガウス分布的であるとするモデルが.

比較的有用であることを意味する.

2. 条件付スカラー散逸率 (は, 噴流軸上では$\chi|\psi\rangle$$\langle\chi|\psi\rangle/\langle\chi\rangle=1$の平坦な分布形状を示したが,噴流軸からやや離れた位置 $(r/b_{U}=0.73)$ では. 低濃度側から高濃度側に向かい単調増加する傾向が見られた. これらの分布形状の違いは, スカラー PDF の分布形状の違いによるものと予想され,$\langle\chi|\psi\rangle$のモデル化の際に, 検討すべき点と考えられる.

3. 条件付スカラーラプラシアン$\langle D\nabla^{2}c|\psi\rangle$

は, 噴流軸上では IEM モデルとほぼ一致するが, 噴

流軸からやや離れた位置 $(r/bu=0.73)$ では, IEM モデルからの逸脱が見られる.

4. 今回求めた 3 種類の条件付統計量は, いずれもレイノルズ数の違いによる分布形状への影響は見られなかった. また, 本研究 $(Sc\simeq 3, 0)$ と他の研究者ら $(R\simeq 0.7)$ を比較した結果, 拡散

係数が大きく具なるにも関わらず, 分布形状にはそれほど大きな違いは見られなかった.

参考文献[1] Fox, R.O., Computational models for $turbul\ell nt$ reactingflows, Cambridge University Press, 2003.
[2] Dopazo, C. and $O$ ‘Brien, E.E., An $app\iota oach$ to the autoignition of a turbulent $mixn_{1}re$ , Acta Asnv$\cdot$nautica, 1, pp.1239-1266, 1974.
[3] Pope, S.B.,

27,

ne probability approach to the modeling of turMlent reactin flow, Combust. FZame,$g$$pp.2\mathfrak{B}- 312$

,1976.

[4] Pope, S.B., $TUrbul\epsilon ntflaws$, Cambridge University Press, 2002.
$[S]$

.

Heinz, S.. Statistical mechanics of $turbukn\ell fows$ Springer-Verlag, 2003.

[6] Li, J.D. and Bilger, R.W., A simple theory of condiuonal mean velocity in turbulent scalar-mixing

layer, Phys. Fluids, 6, pp.605-610, 1994.
[7] Lucas, J.F. et al., Conditional velocity stausncs in tuMlent jets, U. Frisch ed., Advances in Tubu-

lence VII, pp.561-564, Kluwer Academic Publishers, 1998.
[8] Ferchichi, M. and Tavoularis, S., Scalar probability density fiiction and fine structure in uniformly
sbeared turbulence, J. Fluid Mech, 461, pp. 155-182, 2002.
[9] Overholt, M.R. and Pope, S.B.,
numerical simulation of a passive scalar with impsed mean
gradient in isotropic turbulence, Phys. Fluids, 8, $w\cdot 312\ 3148$, 1996.
$D\dot{r}ect$[10] Jayesh and Warhaft, Z., Probability distribution, conditional dissipation, and transport of pusive

fluctuations in $yid$-generatU turbulence, $Pvs$. Fluids A. 4. pp.2292-2307, 1992.
[11] Kailasnath,
et al., Conditional scalar dissipation rates in turbulent wakes, jets. and kuffiaq
layers, Phys. Fluids A. 5. pp.3207-3215, 1993.
[12] Saradi, K. et $aL$ , Conditional scalar dissipation statistics in a turbulent counterflow, J. Fluu Mech,
361, pp.l-u. 1998.
[13] Eswaran, V. and Pope, S.B., Direct numerical simulations of the turbelent mixing of a passive$te_{\mathfrak{M}^{eratuoe}}$

$P$

79
scalar, Pkys. Fluids, 31, Pp.506-520, 1988.
[141 大倉洋甫他, 吸光光度法一有機編一, 共立出版, 1984.
[15] Vedula, P. et al., Dynamics of scalar dissipation in isotropic turbulence: a numerical and modellingstudy, J. Fluu Mech, 433, pp.29-60, 2001.
[16] Pope, S.B., PDF methods for turbulent reactive flows, Prog. $En\ell oey$ Conebust. Sci., 11, pp. 119-192,

1985.
[17] Miller, R.S. et al., Modeling and simulation of conditional scalar statistics in turbulent mixing andreaction, 10th Symp. nrbukm Shear Flows, 2, 1995.
[18] $V$ llermaux, J. and DevMon, J. C., $R\varphi\hslash aentaion$ de la coalescence et de la redispersion des.

$d\triangleright$

Inaines de $s\epsilon aegauon$ dans un fluide par un modUle $d’ interac0onphenom\epsilon nologique$ Proc. 2ndInt. Symp. $Ckm$ React. Eng., pp.1-13, 1972.