数理解析研究所講究録
第 1543 巻 2007 年 31-40

31「3 次元 Hilbert 変換」 による界面磁場解析と磁性流体自由表面解析

北大大学院工学研究科

水田(Yo Mizuta)

洋Grad. Sch. of Engineering, Hokkaido Univ.

1

はじめに規則的, 不規則的, あるいはスパイク集合状の, 形状が複雑な磁性流体自由表面の現象解析を自在に行うには, 任意の界面形状・印加磁場分布のもとで,界面磁場を厳密かつ迅速に求める必要がある.

2 次元複素解析に基づく磁性流体自由表面解析 $[1, 2]$ を 3 次元へ拡張してきたが [3, 4, 5], 本稿では, 3 次元 Hilbert 変換による拡張がほぼ完了した磁場解析についてまとめ, 自由表面現象解析への展望を述べる.
これまで,

2

Flat Space と Real Space の対応関係

水平に近い界面ばかりでなく, 多価になるほど複雑な界面, 液滴・磁性流体柱などにおいても, 汎用的な方法で界面磁場を求められるようにするため,Real Space の座標 $(x, y, z)\equiv r(X, Y, Z)$ を Flat Space の座標 (X,介変数表示する. ただし, $Z=0$ を界面とする. このとき,$r_{Y}\equiv\partial r/\partial Y$$Y,$ $Z$) で媒$rx\equiv\partial r/\partial X$,は界面の接線ベクトルなので, これらより, 界面の接線単位ベク

トル $tx=rx/|rx|,$ $t_{Y}=r_{Y}/|r_{Y}|$ と, 法線単位ベクトル $t_{Z}=(rx\cross r_{Y})/|rx\cross r_{Y}|$を定義できる. ここで,$|rx|,$$|r_{Y}|$は Flat Space の座標に対する Real Spaceの座標の収縮の割合を表しており, 空間収縮率とよぷ. $t_{X}\cdot t_{Z}=t_{Y}\cdot t_{Z}=0$はいつでも成り立つが, 直交曲線座標系では, さらに $t_{X}\cdot t_{Y}=0$ となる. なFlat Space (X,$Y,$ $Z$

Real Space $(x, y.z)$)$z$$\Rightarrow$

奪Fig. 1: Flat Space と Real Space の対応関係

32
お実際の解析では, 非直交曲線座標系

33.1$s_{1},$を$s_{2}$$t_{X},$$t_{Y}$へ変換しながら使う.

界面条件と界面磁場

調和場・界面調和場・界面磁場・界面条件

流体 (j=l) ・真空 $(j=2)$ の各領域で, 調和場 (磁束密度ベクトル)を考$f_{j}$える. 界面上で, $I=X,$ $Y$ を接線成分, $I=Z$ を法線成分とする界面調和場を考えると, 界面上の.

$g_{jI}$は (1) のように, また, 界面磁場, すなわち接$f_{j}$

線磁場 $h_{X,Y}$ 法線磁束密度$f_{j}=g_{jX}t_{X}+g_{jY}t_{Y}+g_{jZ}t_{Z}$$h_{X,Y}=g_{jX,jY}/\mu_{j}$,は,$b_{Z}$,$b_{Z}=g_{jZ}$

界面を横切る値の跳びを$[\cdots]$$\mu j$$g_{jI}\equiv t_{I}\cdot f_{j}$$h_{X,Y},$

3.2$b_{Z}$,(1).

(2)と表せば,「界面をはさんで接線磁場法線磁束密度が連続」 という界面条件は,てtを透磁率として (2) のように表される.

$[h_{X,Y}]=0,$ $[b_{Z}]=0$には, 流体・真空各領域を区別する添え字となる.
$j$

したがっをつけない.

界面調和場・界面磁場の基本場・誘導場への分離

既知の外場$h^{0}$

から次のように直接定義した基本場は, そのままでは界面条件を満たさない. このため,$h_{X,Y}=h_{X,Y}^{0}+h_{X,Y}^{1},$ $b_{Z}=b_{Z}^{0}+b_{Z}^{1}$が界面条件を満たすように, 誘導場を決める.
$\{_{\mathfrak{F}\mathfrak{B}lf_{j}}^{\Xi*\text{場}\cdot..P_{\dot{4}},=\mu_{j}h^{0}}$’$g_{jI}=t_{I}f_{j}g_{j_{1}I}^{0}=t_{I}.P_{\{},$,$h_{X,Y}^{0}h_{X,Y}^{1}$,$h_{X,Y}=(g_{j}^{0_{X_{\dot{\theta}}Y}}+g_{jX,jY}^{1})/\mu_{j},$$b_{Z}=g_{jZ}^{0}+g_{jZ}^{1}$をとれば (和では$1/\mu_{j}$る$g_{jI}^{1}$$\mu_{j}$またはについて, $j=1,2$ の和または差をかけて), 以下のように,の表式と (複号上下は $j=2,1$ ).

導かれる $[4, 6]$(3).

$b_{Z}^{1}b_{Z}^{0},$$h^{0}$

による基本場$h_{X,Y}^{1},$$h_{X,Y}^{0},$$b_{Z}^{0}$によ$b_{Z}^{1}$の表現が.

$h_{X,Y}^{0}=t_{X,Y}\cdot h^{0}$,.

$\{^{g_{jX,jY}^{1}=\mu_{j}h_{X,Y}^{1}\mp\tilde{b}_{X,Y}}g_{jZ}^{1}=b_{Z}^{1}\mp\mu_{j}\tilde{h}_{Z},\{\begin{array}{ll}\tilde{b}_{X,Y} =0,\tilde{h}_{Z} =-M(t_{Z}\cdot h^{0})/P, \{\end{array}$$b_{Z}^{0}=2(t_{Z}\cdot h^{0})/P$

ただし, $P\equiv 1/\mu_{2}+1/\mu_{1},$ $M\equiv 1/\mu_{2}-1/\mu_{1}$を満たしている. (4) の$g_{jI}^{1}$. これらは, 確かに(4)$[h_{X,Y}]=0,$ $[b_{Z}]=0$を $f_{j}^{1}=g_{jX}^{1}t_{X}+g_{jY}^{1}t_{Y}+g_{jZ}^{1}t_{Z}$ に用いれば,$\{\begin{array}{l}f_{j}^{1}\cross t_{Z}=\mu_{j}(h^{1}\cross t_{Z})\mp(b^{0}\cross t_{Z})f_{j}^{1}\cdot t_{Z}=b_{Z}^{1}\mp\mu_{j}\tilde{h}_{Z}\end{array}$$\{\begin{array}{l}h^{1}\equiv h_{X}^{1}t_{X}+h_{Y}^{1}t_{Y}b^{0}\equiv\tilde{b}_{X}t_{X}+\tilde{b}_{Y}t_{Y}\end{array}$(5)33
43 次元界面磁場方程式

3 次元調和場方程式に界面条件を組み込んで, 界面磁場だけで閉じた, 3次元界面磁場方程式を導く.

4.1

3 次元調和場方程式

調和性 $\nabla\cross f=0,$ $\nabla\cdot f=0$ を考慮するには,ポテンシャル$\phi$$f=\nabla\phi$を与えるスカラー3次を Laplace 方程式 $\Delta\phi=0$ を解いて求める代わりに,元 Green の定理を, 流体真空各領域の内部 $V$ と,$V$を囲み界面 $F$ と遠方表面から構成される表面 $S$ に適用する [7].
$\int\int\int_{V}(\phi’\Delta’\psi-\psi\Delta’\phi’)dV’=\oint_{S}\{\phi’(\nabla’\psi)-\psi(\nabla’\phi’)\}\cdot dS$$\psi$には,$\delta(r’-r)$$r,$$r’$.

(6)を観測点・ソース点の座標として, Poisson 方程式 $\Delta’\psi=$の基本解, すなわち,は $r’$ の関数・微分を示す.

$r$$\nabla’\psi=(r’-r)/(4\pi|r’-r|^{3})$ を用いる.

を $F$ 上に置き,$F$を無限遠まで拡げて,“”’$S$の積分のうち $F$ からの寄与だけ残せば (複号上下は $j=2,1$ ).
$(t_{Z}\pm\hat{G})\cross(f_{j}^{1}\cross t_{Z})+(t_{Z}\pm\hat{G})(f_{j}^{1}\cdot t_{Z})=0$,(7)$\hat{G}f(r’)\equiv 2\int\int_{F}|d\theta|(\nabla’\psi)f(r’)=\int\int_{F}|r_{X}’||r_{Y}’|dX’dY’\frac{(r’-r)}{2\pi|r’-r|^{3}}f(X’,Y’)$

ここで,$f_{j}$の代わりに$f_{j}^{1}$. $(8)$に (7) を適用して, 領域内に磁極があっても, それによる特異な場は基本場として除去する. また面積素は, Flat Space の界面座標 (X’, $Y’$ ) で $dS=\mp|r_{X}’||r_{Y}’|dX’dY’t_{Z}’$ と書き直した.

4.2

3 次元界面磁場方程式

界面磁場で表した誘導場 (5) を 3 次元調和場方程式 (7) に代入し, 誘導場を含む項を左辺に移項して, 誘導場方程式を導く.
$(\cross 1/\mu j)$. 真空$(t_{Z}\pm\hat{G})\{\cross(-h^{1}\cross t_{Z})-b_{Z}^{1}/\mu_{j}\}=\pm(t_{Z}\pm\hat{G})\{\cross(-b^{0}\cross t_{Z})/\mu_{j}-\tilde{h}_{z\}}$

流体 $j=1$$j=2$ の (9) の和を,より $b^{0}=0$ を使えば,$h_{X,Y}^{1},$$b_{Z}^{1}$$t_{X,Y}$と$t_{Z}$.

(9)に射影する. さらに, (4),(5)に対する 3 次元界面磁場方程式が導かれる.

$\{\begin{array}{ll}2 h_{X,Y}^{1}+M\hat{G}_{X,Y}b_{Z}^{1}=2\hat{G}_{X,Y}\tilde{h}_{Z}, \hat{G}_{I}f(X’,Y’)\equiv t_{I}\cdot\hat{G}f(X’, Y’).(P+M\hat{G}_{Z})b_{Z}^{1}=2\hat{G}_{Z}\tilde{h}_{Z}, \end{array}$

(10)

34
4.3

積分演算子

(10) に現れた積分演算子を, $I=X,$ $Y,$ $Z$ ,$f(X^{j}, Y’),$$g(X’, Y’)$ を任意の関数として,$\Delta X’\equiv X’-X$,$\Delta Y’\equiv Y’-Y$,

次のように書き換える.

$\hat{G}_{I}f(X’, Y’)=\int\int_{F}|r_{X}’||r_{Y}’|dX’dY’\frac{t_{I}\cdot(r’-r)}{2\pi|r-r|^{3}}f(X’, Y’)$$= \frac{1}{|r_{X}||r_{Y}|}\hat{H}_{I}\{\Phi_{I}(X, Y;X’, Y’)|r_{X}’||r_{Y}’|f(X’, Y’)\}$,$\Phi_{I}(X, Y;X’, Y’)\equiv\frac{\{|r_{X}|^{2}(\Delta X’)^{2}+|r_{Y}|^{2}(\Delta Y’)^{2}\}^{3/2}}{|r-r|^{3}}\frac{t_{I}\cdot(r’-r)}{T_{I}(\Delta X,\Delta Y)}$

(11)

,

(12)

.

(13)

$\hat{H}_{I}g(X’, Y’)\equiv\int\int_{F}\frac{T_{I}(\Delta X’,\Delta Y’)|r_{X}||r_{Y}|dX’dY’}{2\pi\{|r_{X}|^{2}(\triangle X)^{2}+|r_{Y}|^{2}(\Delta Y)^{2}\}^{3/2}}g(X’, Y’)$

$T_{I}(\Delta X’, \Delta Y’)$は,

$X’arrow X,$ $Y’\sim Y$の $t_{I}\cdot(r’-r)$ の近似で,, あるいは. 界面形状が平面に近い場合

次のようになる (Fig. 2 参照).

Fig. 2: $t_{J}\cdot(r’-r)$ の近似$T_{I}(\Delta X’, \Delta Y’)$.
(14)$\{\begin{array}{ll}T_{X}(\Delta X’, \Delta Y’)=|r_{X}|\Delta X’, T_{Y}(\Delta X’, \Delta Y’)=|r_{Y}|\Delta Y’-,T_{Z}(\Delta X’, \Delta Y’)=\{\overline{L}(\Delta X’)^{2}+ \tilde{M}(\Delta X’)(\Delta Y’)+N(\Delta Y’)^{2}\}/2.\end{array}$

ここで $\tilde{L}\equiv t_{Z}\cdot r_{XX},\tilde{M}\equiv t_{Z}\cdot r_{XY},\tilde{N}\equiv t_{Z}\cdot r_{YY}(r_{XY}\equiv\partial^{2}r/\partial X\partial Y$ など$)$

は,

平均曲率 $H$ を以下のように求めるときにも使う.
$2H=\kappa_{1}+\kappa_{2}=(|r_{Y}|^{2}\tilde{L}+|r_{X}|^{2}\tilde{N})/(|r_{X}||r_{Y}|)^{2}$(12) の補正関数 $\Phi_{I}(X, Y;X’, Y’)$ は,
とき 1 に近づ \langle . (13) の$\hat{H}_{I}$

は,

.

(15)

$t_{I}\cdot(r’-r)arrow T_{I}(\Delta X’, \Delta Y’)$となる

2 次元複素解析における Hilbert 変換を拡張した 3 次元 Hilbert 変換演算子であるが, その扱い方は次節で述べる.

53 次元 Hilbert 変換

5.1

周期関数の 3 次元 Hilbert 変換

2 次元複素解析における Hilbert 変換演算子をせば,$\hat{H}$$\hat{H}\equiv\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dX’}{X-X}$

cos $kX’=-\sin kX,\hat{H}$ sin $kX’=\cos kX$ という関係がある.と表

これと

35
Fourier 級数展開を利用すれば, 任意関数の Hilbert 変換を特異積分を行うことなく求めることができる.

同様なことを 3 次元解析でも可能にするため, 以下の (16) で定義される$\cos(kxX-k_{Y}Y)$ ,cos $k_{X}X$ sin$k_{Y}Y$などの周期関数 $f_{i}(X, Y)$ への, 積分演算子 (17) の作用を求めた $[5, 6]$ .
$(\partial/\partial X)^{2m}(\partial/\partial Y)^{2n}f_{i}(X, Y)=(-1)^{m+n}(k_{X})^{2m}(k_{Y})^{2n}f_{i}(X, Y)$

,.

(16)
(17)

$\hat{H}_{MN}\equiv\int_{-\infty}^{\infty}dX’\int_{-\infty}^{\infty}dY’\frac{|r_{X}||r_{Y}|(|r_{X}|\Delta X’)^{M}(|r_{Y}|\Delta Y’)^{N}}{2\pi\{|r_{X}|^{2}(\Delta X)^{2}+|r_{Y}|^{2}(\Delta Y’)^{2}\}^{3/2}}$

その結果を用いると,$\hat{H}xf_{i}(X’, Y’)=\hat{H}_{10}f_{i}(X’, Y^{j})=f_{i,X}(X, Y)/(k|rx|)$$\hat{H}_{Y}f_{i}(X’, Y’)=\hat{H}_{01}f_{i}(X’, Y’)=f_{i,Y}(X, Y)/(k|r_{Y}|)$

(18)

,,

(19)

$\hat{H}_{Z}f_{i}(X’, Y’)=\frac{1}{2}\{\frac{\tilde{L}}{|r_{X}|^{2}}\hat{H}_{20}+\frac{2\tilde{M}}{|r_{X}||r_{Y}|}\hat{H}_{11}+\frac{\overline{N}}{|r_{Y}|^{2}}\hat{H}_{02}\}f_{i}(X’, Y’)$$=- \frac{\tilde{L}f_{i,YY}(X,Y)+4\tilde{M}f_{i,XY}(X,Y)+\tilde{N}f_{i,XX}(X,Y)}{2k^{3}|r_{X}|^{2}|r_{Y}|^{2}}$ただし, $k^{2}\equiv(kx/|rx|)^{2}+(k_{Y}/|r_{Y}|)^{2}$ を定義し,$f_{i,XY}\equiv\partial^{2}f_{i}/\partial X\partial Y$

5.2$f_{i},x\equiv\partial f_{i}/\partial X,$.

(20)$f_{i,Y}\equiv\partial f_{i}/\partial Y$,のように表した.

3 次元界面磁場方程式の解法

一般的な界面形状変化で 3 次元界面磁場方程式 (10) を厳密に解いて, 誘導場を求める. 誘導場の各成分を, Flat Space で周期的な基底関数列で$(h_{X}^{1}h_{Y}^{1}b_{Z}^{1})^{t}= \sum_{n=0}^{N}$($a_{n}$cos$k_{n}\cdot R+b_{n}$sin$k_{n}\cdot R$と展開する. ここで, $R=(X, Y)$ は Flat Space 内座標,波数ベクトルである.

(21))$k_{n}=(k_{n}x, k_{nY})$

これにより, (10) は展開係数ベクトル$a_{n},$$b_{n}$

はに対する線形代数方程式になる.

線形代数方程式の係数を決める際に, (11) の演算子る.

ここで,(21) の cos$k_{n}\cdot R$, sin$k_{n}\cdot R$$\hat{G}_{I}$を扱う必要があを $(11)$ の $f(X, Y)$ として,$\Phi_{I}(X,Y;X’,Y’)|r_{X}’||r_{Y}’|f(X’,Y’)=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}(X,Y)f_{i}(X’,Y’)$(22)

36のように周期関数で展開し,(23)$\hat{G}_{I}f(X’, Y’)=\frac{1}{|r_{X}||r_{Y}|}\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}(X, Y)\{\hat{H}_{I}f_{i}(X’, Y’)\}$に (18)

5.3$(20)$

を用いれば, 積分によらず$\hat{G}_{I}$の処理ができてしまう.

緩やかな 3 次元界面形状$r’-r=r(X’,Y’)-r(X, Y)$ を $(X, Y)$ のまわりで$\Delta X’,$$\Delta Y’$について

Taylor 展開する. もし界面形状が平面に近ければ, $r’-r\simeq rx\Delta X’+r_{Y}\triangle Y’$のように$\Delta X’,$$\Delta Y’$について 2 次以上の項は無視できてれを 3 次元界面磁場方程式 (10) に用いると,$b_{Z}^{1}\simeq 0,$$\hat{G}_{Z}\simeq O$となる. こ$h_{X,Y}^{1}\simeq\hat{G}_{X,Y}\tilde{h}_{Z}$より,前節に述べた線形代数方程式を解かなくても, 近似的な誘導場が印加磁場から直接求められることになる. したがって, (11),(4) より,$\{\begin{array}{ll}b_{Z} = b_{Z}^{0}+b_{Z}^{1} \simeq\frac{2}{P}(t_{Z}\cdot h^{0}),h_{X,Y} =h_{X,Y}^{0}+h_{X,Y}^{1}\simeq(t_{X,Y}\cdot h^{0})-\frac{M/P}{|r_{X}||r_{Y}|}\hat{H}_{X,Y}\{|r_{X}’||r_{Y}’|(t_{Z}\cdot h^{0})\}\end{array}$の ように,$|rx||r_{Y}|$(24)

法線磁束密度は基本場自身となり, 接線磁場のみが空間収縮率の影響で変化する.

6

界面形状と界面磁場磁気応力差の関係

界面磁場磁気応力差に界面形状が及ぼす影響を調べるため, 印加磁場界面形状それぞれの分布は単一波数ベクトル$k_{F},$$k_{M}$

で表されるが, 界面形状は印加磁場と垂直な方向に変化するとして (Fig. 3), 誘導場

Flat Space 内分布をそれらの波数成分$T=[1/\mu j]\{\mu_{1}\mu_{2}(h_{X}^{2}+h_{Y}^{2})+b_{Z}^{2}\}/2$$a_{n},$$b_{n}$$h_{X,Y}^{1},b_{Z}^{1}$のと共に, さらに, 磁気応力差を Fig. 4 に示した $(x=X, y=Y)$.

37$\hat{G}_{Z}=0_{a.b}$$\hat{G}_{Z}\neq 0a.b$

38
物理的条件は, 解析領域の大きさ 0.1$($$m)^{2}$, 界面変位の振幅 0.01 $m$ または 0.05 $m$ , 印加磁場変化の振幅 100 $A/m$ , 透磁率 $\mu_{1,2}/\mu_{0}=1.40,1.00$ (流体真空,$\mu_{0}=4\pi\cross 10^{-7}H/m$) である. また解析的条件は, 実空間の離散点数 $1681=41\cross 41$ , 境界固定境界自由を合わせた波数空間のモード数$162=9\cross 9\cross 2$である.

Fig. 4 では, 緩やかな界面形状 ( $\hat{G}_{Z}=0,5.3$ 節) の場合を, 3 次元界面磁場には,いず方程式 (10) を厳密に解いた場合と比較した.
$\hat{G}_{Z}=0,\hat{G}z\neq 0$$h_{X}^{1}$

れでも,$k_{M}$に最大,$k_{M}+2k_{F}$に次の成分がある.

$(m=1,3,5, \cdots)$ の成分があるが,ではさらに小さいか$0$$\hat{G}z\neq 0$

でも$h_{X}^{1}$$h_{Y}^{1},$$b_{Z}^{1}$には $k_{M}+mk_{F}$よりずっと小さく, $\hat{G}z=0$になる. 界面変位の振幅 0.01 $m$ を 0.05 $m$ へ増やせば, いずれの誘導場でも $k_{M}+mk_{F}(m=1,2,3, \cdots)$ の成分が増大して, 用意したモード数が不足してくる. これらの傾向は, 主に, Fig. 3 に示した空間収縮率 $|rx||r_{Y}|$ の変化が大きくなることによる.
磁気応力差については, 基本場だけのよる$T_{B\prime}$

厳密な誘導場による$T_{A}$$\tau_{0}$, 緩やかな界面形状の誘導場にを比較した.

$T_{A}$には,$\tau_{0}$になく$T_{B}$で顕著でない界面形状の影響が現れ, これは界面変位が大きいほど鮮明になる. 各図下の最大値または最大最小値が示すように,$T_{A}$と$T_{0,B}$の相対差は56% 程度である. これは小さいようでも, 界面形状パターン形成の解析に大きく影響する可能性がある.
なお,

ここに示してはいないが, 界面形状の変化方向が印加磁場と平行な場合は, 物理的状況が全体として $Y$ に依存せず, 界面形状を緩やかとしなくても, (20) より実質的に $\hat{G}_{Z}=0$ となる.

このため,

$h_{X}^{1}$の $mk_{M}$ 成分$(m=1,3,5, \cdots)$ 以外は現れない.

7

まとめと今後の課題

界面条件調和性を満たす界面磁場だけを効率よく求めるため, 3 次元界面磁場方程式を導き, 周期関数への 3 次元 Hilbert 変換の作用を利用する解法を示した. この方法は, 磁場と流体の相互関係を見通しながら, 多価に39なるほど複雑な, あるいは, 液滴液柱などの界面へ適用範囲を拡げられるが, 本稿では, 印加磁場・界面形状それぞれが単一波数で分布し変化方向が互いに直交する場合の界面磁場・磁気応力差を求め, 厳密な解法の必要性を示した. 今後, モード数の範囲や補正関数の影響を調べながら, 印加磁場分布のモードや界面形状について解析条件の種類を増やしていく.
動的解析も可能となるように,2 次元解析では, Bernoulli 方程式と運動学的条件から, 次の磁場–流体結合発展方程式を導いた $[2, 8]$ .
$\frac{1}{g}\frac{\partial V_{X}}{\partial t}=F_{G}(X)+F_{C}(X)+F_{M}(X)+F_{D}(X)$

(25)

,

$\frac{\partial\theta}{\partial t}=(e^{2\tau}U_{X})\frac{\partial\theta}{\partial X}-(e^{2\tau}V_{Y})\frac{\partial\tau}{\partial X}+\frac{\partial}{\partial X}(e^{2\tau}V_{Y})$

ここで. $X$ は界面座標,$F_{C}(X),$ $F_{M}(X),$ $F_{D}(X)$$(U_{X}, U_{Y})$$\theta$と$\tau$は界面勾配角と$\theta$.

(26)に共役な空間収縮率, $F_{G}(X)$ ,は重力・表面張力・磁気力・動圧である. また, $(V_{X}, V_{Y})$ ,は Flat Space における流速界面移動速度である. 定常界面形状

は, (25) で $V_{X}=V_{Y}=0$ とすれば, 重力・表面張力・磁気力のつりあいから求められる.

以上の手続きを磁場解析と同様に 3 次元へ拡張して, 次のような非線形な分岐現象や動的現象への適用と比較を試みる.
1. 表面変位および磁場を平面波の重ね合わせで表し, 重力・表面張力.
磁気力のエネルギーの和に代入して, エネルギーが最小になるような表面摂動振幅を計算した. 磁性流体の比透磁率が 1 に近い場合, 一様
鉛直磁場強度$(B_{c}\leq B_{0})$. 四角$B_{0}$のある臨界値を$(B_{c}<B_{0})$$B_{c}$

として, 平面 (Bo<Bc) ・六角という定常界面形状パターンの遷移やヒステリシス効果を議論した [9].

2. 固定床自由表面がある磁性流体を表面が平らになるように座標変換し, 線形化した変換演算子の最小固有値から, 平らな表面が不安定になるときの臨界鉛直磁場強度を決めた. ロール・四角・六角という構造へ分岐し得ることを証明し, それらの局所安定基準を求めた [10].

40
3. 磁性流体表面に, 水平交流磁場により一方向 Faraday 不安定 (ロール不安定) を発生させるとき, 磁場の強さと振動数は, Mathieu 方程式$+2\gamma\dot{\zeta}+(\omega_{0}^{j})^{2}(1+\epsilon’\cos 2\omega t)\zeta=0$から予想される中立曲線の不安定領域内にあり, 生じた波動が線形分散関係を満たすことを. 容器サイズ効果を考慮しながら, 実験的に確認した [11].

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