数理解析研究所講究録
913 巻 1995 年 185-190

185

Navier-Stokes 方程式の外部問題について小林

孝行 (Takayuki Kobayashi)

筑波大数学系

柴田

良弘 (Yoshihiro Shibata)

筑波大数学系の発表を中心に行いたいと思う. 3 次元物体
本講演は我々の共同研究のまわりを流れる非圧縮性粘性流体の運動はいわゆる次の Navier-Stokes 方程式によって記述される.
$([\mathrm{K}\mathrm{b}\mathrm{S}1,2])$$\mathcal{O}$

,

(1.a)

$\partial_{t}\mathrm{u}-\triangle \mathrm{u}+(\mathrm{u}\cdot\nabla)\mathrm{u}+\nabla p=0$(1.b)$\mathrm{u}=0$(1.c)$\mathrm{u}(\mathrm{O}, x)=\mathrm{a}$(1.d)$\lim \mathrm{u}(t, x)=\mathrm{u}_{\infty}$

in
on
in ,

$\nabla\cdot \mathrm{u}=0$$(0, \infty)\cross\Omega$,$(0, \infty)\mathrm{x}\partial\Omega$,$\Omega$,$\forall_{t}\in[0, \infty)$.

$|x|arrow\infty$

但し簡単の為, 質量密度と粘性係数は共に 1 とした. また基本的な記号として,はの補集合,
はその境界でなめらかな超曲面であると仮定する, $x=(x1, x2, xs)$ はの点,
1 よ時間,
は転置を表す),
はの通常の内積, $0=^{T}(0,0,0)$ , 太字のアルファベットはベクトル値関$\Omega$$\mathcal{O}$$\mathrm{R}^{3}$$\partial\Omega$$t$$\partial_{t}=\partial/\partial t,$$\partial_{j}=\partial/\partial_{j},$$\triangle=\partial_{1}^{2}+\partial_{2}^{2}+\partial_{3}^{2},$$\nabla=^{T}(\partial_{1}, \partial_{2}, \partial_{3})(^{T}$$\mathrm{R}^{3}$$\cdot$.

数を表す. 例えば
ここではいわゆる強解の時間大域的–意存在につかついてのみ考察する.
は T. Kato [Ka] によりが空集合の場合の初期値 aノルムが十分小かつの場合に強解の時間大域的–意存在が示された. その方法は線形部分の Stokes 作用素に対する Cauchy 問題の解の後に詳しく述評価と云われるものを示し, 非線形項を small perturbation と見な
べるいわゆる
して問題 (1) を解くというものである.
かつが空でない有界集合の場合はH.Iwashita, [I] により初期値 a のノルムが十分小かつの場合に強解の時間
大域的–意存在が示された. その方法はやはり線形部分の Stokes 作用素に対する外部問
題の解の $L_{q}-L_{r}$ 評価を示し, 非線形項を small perturbation と見なして問題 (1) を解くというものである. ここでは,の場合について T. Kato [Ka] 及び H. Iwashita[I] の結果を拡張できることについて述べたいと思う. R. Finn [, Fi 1-Fi 6] の定常問題に関する良く知られた仕事に続いて J. G. Heywood [He 1-He 3] はが
$L_{2}(0, \infty)$ の元となる場合にの意味での弱解の存在を示した. (さらなる研究については K. Masuda [Ma 1] を参照せよ.) ここでの興味はが定数ベクトルの時の時間大域的強解の–意存在を示す事にある. 講演者の知る限り長年の未解決問題であった. 解く過$\mathrm{u}=^{T}(u_{1}, u_{2}, u_{3})$$\mathrm{u}_{\infty}=0$$(\Omega=\mathrm{R}^{3})$$\mathcal{O}$$\nabla\cdot \mathrm{a}=0$$L_{3}$$L_{q}-L_{r}$$\mathrm{u}_{\infty}=0$$\mathcal{O}$$\nabla\cdot \mathrm{a}_{--}0$$L_{3}$$\mathrm{u}_{\infty}\neq 0$$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{F}$$\mathrm{u}_{\infty}=\mathrm{u}(\infty t)$$L_{2}$$\mathrm{u}_{\infty}$

程を述べながら主定理を述べていこう.

記号先ずここで用いる記号の説明をしよう.
$D$

上の通常の

$L_{q}$

空間,$||\cdot||_{q,D}$$D$ををそのノルムとする.

の領域とするとき,
さらに次のようにおく.
$\mathrm{R}^{3}$$L_{q}(D)$$|| \mathrm{u}||_{q,D}=(_{j}\sum_{=1}||u_{j}s||^{q}q,D\mathrm{I}^{1/q}(1\leqq q<\infty);$$|| \mathrm{u}||\infty,D=_{j=1}\max,||u2,3j||_{\infty,D}$

,

を

186

$||u||_{q,m,D}=||\overline{\partial}_{x}^{m}u||_{q,D}$;$||\mathrm{u}||_{q,D}m,=||\overline{\partial}_{x}^{m}\mathrm{u}||_{q,D}$;$\overline{\partial}_{x}^{m}u=(\partial_{x}\alpha u, |\alpha|\leqq m)$.

簡単の為, 次の省略形を用いる.
$||\cdot||_{q,m}=||\cdot||_{q,m,\Omega},$$||\cdot||_{q}=||\cdot||_{q,\Omega},$は tempered distributions の空間,

$S’$

また

$|\cdot|_{q}=||\cdot||_{q,\mathrm{R}^{3}},$$|\cdot|_{q,m}=||\cdot||_{q,m,\mathrm{R}}\mathrm{s}$.

を $D$ に含まれるコンパクトな台を$C_{0}^{\infty},(D)$もつ無限階微分可能な関数の全体, さらに次の様に空間を定義する.
$L_{q,b}(D)=\{u\in L_{q}(D)|u(x)=0\forall_{X}\not\in B_{b}\},$ $B_{b}=\{x\in \mathrm{R}^{3}||x|<b\}${$W_{q,l_{o\mathrm{C}}}^{m}(\mathrm{R}3)=$$W_{q,c}^{m_{l_{\mathit{0}}}}(D)=${$u\in S’|\partial_{x}^{\alpha}u\in L_{q}(B_{b})\forall_{\alpha}$$u|\exists_{U}\in W_{q}^{m_{loc}},(\mathrm{R}3)$$L_{q,l_{\mathit{0}}\mathrm{C}}(D)=W^{0},lc(qoD)$:

such that $u=U$ on$\forall_{b}>0$

$D$

};

};

;

$W_{q}^{m}(D)=\{u\in W_{q,l_{\mathit{0}}c}^{m}(D)|||u||_{q,m,D}<\infty\}$$\dot{W}_{q}^{m}(D)=\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$and$|\alpha|\leq m$;completion of$C_{0}^{\infty}(D)$;with respect to$\dot{W}_{q,a}^{m}(D)=\{u\in\dot{W}_{q}^{m}(D)|\int_{D},u(X)dx=0\}$

$||$

.

$||_{q,m,D;}$;$\partial_{x}^{m}u=(\partial_{x}\alpha u, |\alpha|=m)$$\hat{W}_{q}^{m}(D)=\{u\in W_{q,\mathrm{c}}^{m_{l_{\mathit{0}}}}(D)|||\partial_{x}^{m}u||_{q,D}<\infty\},$.

3 次元ベクトル値関数の対応する空間を次の様に表す.

{$\mathrm{L}_{q}(D)=$また,される. 更に$\mathbb{C}_{0}^{\infty}(D),$$\mathrm{L}_{q,b}(D),$$\mathrm{J}_{q}(D)=\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$$\mathrm{u}=\tau_{(}u_{1},$$\mathrm{W}^{m_{l_{\mathit{0}}C}}(q,D),$completion in$u_{2},$$\mathrm{L}_{q},\iota_{\mathit{0}}\mathrm{C}(D),$$\mathrm{L}_{q}(D)$$\mathrm{G}_{q}(D)=\{\nabla p|p\in\hat{W}_{q}^{1}(D)\}$u $)|u_{j}\in L_{q}(D),j=1,2,3$ }.
$\mathrm{W}^{m}q(D),\dot{\mathrm{w}}_{q}^{m}(D),\hat{\mathrm{W}}_{q}^{m}(D)$of the set {Banach 空間$\mathrm{L}_{q}(D)$$\mathrm{L}_{q}(\Omega)$};$[\mathrm{F}\mathrm{w}\mathrm{M}]$, T. Miyakawa [Mi] により$\mathrm{J}_{q}(\Omega)$$\oplus$は直和の上への continuous projection とする.

Stokes 作用素 A と Oseenとする関係式
によって各々定義される作用素とする. $B(I, X)$ をと$X$
値の有界連続な関数の全体とする. T. Miyakawa [Mi] により上定義された作用素$\mathbb{O}(\mathrm{u}_{\infty})$$\mathrm{A}=-\mathrm{P}\triangle$

$I$

から

$D$

はつぎの Helmholtz 分解をもつ.
$\mathrm{L}_{q}(D)=\mathrm{J}_{q}(D)\oplus \mathrm{G}_{q}(D)$

を

in

.

この時, D. Fujiwara and H. Morimotoと置く.

$\mathrm{P}$$\mathrm{u}\in \mathbb{C}_{0}^{\infty}(D)|\nabla\cdot \mathrm{u}=0$も同様に定義はは定義域を$D_{q}(\mathrm{A})=D_{q}(\mathbb{O}(\mathrm{u}\infty))=\mathrm{J}(q\Omega)\cap\dot{\mathrm{W}}(q\Omega)\cap \mathrm{W}^{2}(1q\Omega)$$\mathbb{O}(\mathrm{u}_{\infty})=\mathrm{A}+\mathrm{p}(\mathrm{u}_{\infty}\cdot\nabla)$$\mathbb{O}(\mathrm{u}_{\infty})$$\mathrm{J}_{q}(\Omega)$

上の解析的半群$e^{-t\mathbb{O}(\mathrm{u}_{\infty})}$生成する事が知られている.

187

主定理. 第–段階としてのものとなる.

(2.a)$\mathrm{u}(t, x)=\mathrm{u}\infty+\mathrm{v}(t, x.)$と置くと$\partial_{t}\mathrm{v}-\triangle \mathrm{v}+(\mathrm{u}_{\infty}\cdot\nabla)\mathrm{v}+(\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{v}+\nabla p=0,$

(2.b)
(2.c)

$\mathrm{v}$についての方程式はつぎ

in
on
in .

$\nabla\cdot \mathrm{v}=0$$(0, \infty)\cross\Omega$,$(0, \infty)\mathrm{x}\partial\Omega$$\mathrm{v}=-\mathrm{u}_{\infty}$,$\Omega$$\mathrm{v}(0, X)=\mathrm{a}-\mathrm{u}_{\infty}$

境界条件を零と為すために, 次の Oseen 方程式に対する定常問題を考える.

(3)

in

$-\triangle \mathrm{w}+(\mathrm{u}_{\infty}\cdot\nabla)\bm{\mathrm{w}}+(\mathrm{w}\cdot\nabla)\mathrm{w}+\nabla p=0,\nabla\cdot \mathrm{w}-=0$

を用いて
式は次のものとなる.
この

(4.a)

$\mathrm{u}(t, x)=\mathrm{u}_{\infty}+\mathrm{w}(x)+\mathrm{v}(t, x)$$\mathrm{w}$$\nabla\cdot \mathrm{v}=$

.

(4.c)

但し,

$\mathrm{v}$$\partial\Omega$.

に対する方程

in
in
on
in .

$(0, \infty)\cross\Omega$,,$(0, \infty)\mathrm{x}\partial\Omega$,$\Omega$$\mathrm{v}(\mathrm{O}, X)=\mathrm{b}=\mathrm{a}-\mathrm{u}_{\infty}-\mathrm{w}$$L[\bm{\mathrm{w}}]_{\mathrm{V}}=(\mathrm{w}\cdot\nabla)\mathrm{v}+(\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{w}$,on$\mathrm{w}=-\mathrm{u}_{\infty}$$(0, \infty)\cross\Omega$$0$$\mathrm{v}=0$

(4.d)

,

と改めて置きなおすと$\partial_{\^{\mathrm{v}-}}\triangle \mathrm{v}+(\mathrm{u}_{\infty}\cdot\nabla)\mathrm{v}+L[\mathrm{W}]\mathrm{v}+(\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{v}+\nabla p--0$(4.b)$\Omega$. T. Kato [Ka] のアイデアに従って, 方程式 (4)を次の積分方程式として解くことにする.

(5).

$\mathrm{v}(t)=e^{-t\mathbb{O}()}\mathrm{u}_{\infty}\mathrm{b}-\int_{0}^{t}e^{-(}-s)\mathbb{O}(\mathrm{u}\infty)\mathrm{P}t(L[\mathrm{w}]_{\mathrm{V}}(S)+(\mathrm{v}(s)\cdot\nabla)\mathrm{v}(S))dS$

まず基本となるのは

Theorem 1.
there exists asuch that(6)$e^{-t\mathbb{O}(\mathrm{u})}\infty$に対する次のいわゆる$L_{q}-L_{r}$評価である.

(1) Let $1<q\leqq r<\infty$ and let $\kappa>0$ be any small number. Then,anddepending on but in $dep$ en dent of
ant$co\mathrm{n}st$$\sigma_{0}.’0<\sigma_{0}\leqq 1$$||e^{-t\mathbb{O}(\mathrm{u}_{\infty}}\mathrm{a})||\Gamma\leqq C_{q,r,\kappa}|\mathrm{u}_{\infty}|-\kappa t^{-}\nu||\mathrm{a}||_{q}$$q$$\forall_{t}>0,$$\kappa,$$0<|\mathrm{u}_{\infty}|\leqq\sigma_{0}$$\nu=\frac{3}{2}$ ,$\forall_{\mathrm{a}}\in \mathrm{J}_{q}(\Omega),$

provided that
, whereis in dependent of$1<q\leqq
r\leqq3$ . Then,(2) In addition, we assume that
$C_{q,r,\kappa}$$\mathrm{u}_{\infty}$.

$\cdot$(7)$||\nabla e^{-}\mathrm{a}\infty|t\mathbb{Q}(\mathrm{u})|r\leqq c_{q,r,\kappa}|\mathrm{u}_{\infty}|-\kappa t^{-(/2}\nu+1)||\mathrm{a}||_{q}$provided thai$0<|\mathrm{u}_{\infty}|\leqq\sigma_{0}$$\forall_{t}>0,$$\mathrm{u}_{\infty}$$\mathrm{a}\in \mathrm{J}_{q}(\Omega)$.

方程式 (3) の可解性と解の評価に対しては次の定理が成立する.

$r$

188

Theorem 2. Let $3<q<\infty$ and let and be any numbers such that $0<\delta<$
and but$\beta<1-\delta$ . Then, there exists a constant: $0<\sigma_{1}\leqq 1$ depending on$sol$ utions
(3)
a
dmits
then
the
em
,
pro
such that if
independent of
possessing the est ate:and$\delta$$\beta$$q,$$\sigma_{1}$$0<|\mathrm{u}_{\infty}|\leqq\sigma_{1}$$\mathrm{u}_{\infty}$(8)$\beta$$\mathrm{b}l$$\mathrm{i}m$$p\in W_{q}^{1}(\Omega)$$\mathrm{w}\in \mathrm{W}_{q}^{2}(\Omega)$$\delta$$||\mathrm{w}||_{q},2+|||\mathrm{W}|||\delta+||p||_{q,1}\leqq|\mathrm{u}_{\infty}|^{\beta}$.

Here, we put(9)$||| \mathrm{w}|||\delta=\sup_{\Omega x\in}(1+|x|)(1+s(\mathrm{u}\infty)(x))\delta|\mathrm{W}(x)|$$+ \sup_{x\in\Omega}(1+|x|)3/2(1+S(\mathrm{u}\infty)(x))^{1}/2+\delta|\nabla_{\mathrm{W}}(x)|$(10)$s(\mathrm{u}_{\infty})(x)=|x|-\mathrm{u}_{\infty}\cdot x/|\mathrm{u}_{\infty}|$,.

積分方程式 (5) を解く為に次のいわゆる–般化されたボアンカレの不等式が解の評価において重要な働きをなす.

Theorem 3 Let $0\leqq\alpha<1/3$ and put $d(x)=s(\mathrm{u}_{\infty})(X)\alpha|X|1-\alpha\log|x|$ . Then,(11)$\int_{\Omega}|\frac{v(x)}{d(x)}|^{3}dx\leqq C||\nabla v||_{3}3$$\forall_{v}\in\dot{W}_{3}^{1}(\Omega),\cdot$

Kato [Ka] の議論に沿って Theorems 1, 2and 3 を用いて次の結果を得る.
Theorem 4. Letthat if a
unique solution$\in$$\mathrm{J}_{3}(\Omega),$

$q$

such
be a Hxed number $>3$ . Then, there exists a constant, ihen the problem (4) admits aand;J3
possessing the following properties:$\epsilon>0$$0<|\mathrm{u}_{\infty}|\leqq\epsilon$$\mathrm{v}(t, x)\in B([\mathrm{o}, \infty)$

(12)
(13)
(14)

$||\mathrm{a}-\mathrm{u}_{\infty}||_{3}\leqq\epsilon$$(\Omega))$,$t^{3(1//)}-1q/2(3t, X)\mathrm{V}\in B([0, \infty);\mathrm{J}_{q}(\Omega))$$t^{1/2}\nabla_{\mathrm{V}}(t, X)\in B([\mathrm{o}, \infty)$;L3$(\Omega))$,$\lim_{tarrow 0+}||\mathrm{v}(t, )-\mathrm{b}||_{3}+[\mathrm{v}]_{q,3}(1/3-1/q)/2,t+[\nabla \mathrm{v}]_{3,1/t}2,=0$.

Here, we put(15)$[v]_{q,\rho,t}= \sup s^{\rho}0<s<t||v(s, \cdot)||q$

.

と
を用いて
と置くと
、こうして得られた
これがもとの方程式 (1) の口底の解である.
最後に我々の話に関連する Navier-Stokes 方程式に関する若干の文献を掲げておく, 勿論完全を期しているわけではないことをお断りして置く.
$\mathrm{w}(x)$$\mathrm{v}(t, x)$$\mathrm{u}(t, x)=\mathrm{u}_{\infty}+\mathrm{w}(x)+\mathrm{v}(t, x)$

189$\mathrm{N}\mathrm{A}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{E}\mathrm{R}-\mathrm{s}\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{K}\mathrm{E}\mathrm{S}$

方程式に関する文献

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387-418.
[Fi 2][Fi 3][Fi 4]

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$p$

[I]

$L_{q}-L_{r}$$L_{q}$[Ka]$[\mathrm{K}\mathrm{b}\mathrm{M}]$$L^{p}$

966.

$\mathrm{R}^{m}$

190$[\mathrm{K}\mathrm{b}\mathrm{S}1]$$[\mathrm{K}\mathrm{b}\mathrm{S}2]$[Kz]$[\mathrm{K}\mathrm{z}\mathrm{Y}1]$

T. Kobayashi and Y. Shibata, On the Oseen equation in exterior domains,
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$L^{n,\infty}$$[\mathrm{K}\mathrm{z}\mathrm{Y}2]$[Ma 1]

[Mi]
[Os]

191

$\mathrm{N}\mathrm{A}\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{E}\mathrm{R}-\mathrm{s}\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{K}\mathrm{E}\mathrm{S}$$[\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{M}1]$$[\mathrm{B}\mathrm{r}\beta_{\mathrm{v}}\mathfrak{g}2]$$[\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{M}3]$[Fi 1]

方程式に関する文献

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[Fi 5][Fi 6]$[\mathrm{F}\mathrm{t}\mathrm{K}]$$[\mathrm{F}\mathrm{w}\mathrm{M}]$[Ga][He 1][He 2][He 3][I]

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