多結晶体におけるマルテンサイト組織形成過程の Phase-Field シミュレーション
神戸大学[院]○山中晃徳

京都工芸繊維大学[院]高木知弘

神戸大学[院]

冨田佳宏

Phase-Field Simulation of Evolution of Martensitic Microstructure
in Polycrystalline Material
Akinori YAMANAKA, Tomohiro TAKAKI and Yoshihiro TOMITA
1緒

言

鉄鋼材料を強靭化する重要な構成相であるマルテンサイト相の組織形態は, 変態ひずみの緩和過程に特徴づ

また, 勾配エネルギー密度は, 次式で表される.

g gr =κ 3∑ ∇φ2i =12(3)i

けられる. 著者らはこれまでに, 弾塑性変形を伴うマル弾性ひずみエネルギーは Khachaturyan が提案するマイテンサイト変態挙動を表現可能な Phase-Field (PF)モデル

ク ロ メ カ ニ ッ ク ス 理 論 に 基 づ く Phase-Fieldを構築し, 塑性変形が単結晶中のマルテンサイト相の成Microelasticity 理論を用いて評価する 2). すなわち, 弾性長を抑制することを明らかにした 1). しかしながら, 実

ひずみエネルギー密度 gel は次式で表される.
11(4)g el = C ijkl ε ijel ε klel = Cijkl (ε klc − ε kl0 )(ε ijc − ε ij0 )22
ここで, Cijkl は弾性係数マトリクス, ε ijel は弾性ひずみであ際の鉄鋼材料は多結晶体であるため, 多結晶体中のマルテンサイト変態とそれによる組織形成過程を表現しうる PF モデルに拡張する必要がある. 本研究では, 著者らが提案するマルテンサイト変態の弾塑性 PF モデルを拡張し, 多結晶体における立方晶から正方晶へのマルテンサイト変態 (Cubic-Tetragonal 変態) の数値シミュレーションを行う. そして, 多結晶構造に起因する母相粒間の弾性相互作用や塑性変形による変態ひずみの緩和が組織形態に及ぼす影響を検討する.
2Phase-Field モデル

図 1 に示すように, Cubic-Tetragonal 変態では母相である立方晶(C 相)の<100>軸に平行な c 軸を有する正方晶(T相) のバリアントが 3 種類形成しうる. 本研究では, そのうち i 番目のバリアント内でφi = 1, それ以外のバリアり, 全ひずみ ε ijc と固有ひずみ ε ij0 の差として求められる.
全ひずみ ε ijc は, 境界条件より決定される系の巨視的形状変化を表す均一ひずみ ε ijc と均一ひずみからの変動量である変動ひずみ δε ijc の和として, 次式で表される.

ε ijc = ε ijc + δε ijc(5)

本研究では, ε は系が巨視的に変形を拘束されているcijことを仮定し, ε ijc = 0 で与えられる. 一方, 変動ひずみδε ijc は平衡方程式 σ ij , j = 0 をフーリエ変換を用いて解く

ことで次式のように導かれる 3).
rr
11(ni Ω mj + n j Ω mi )nnσˆ mn0 (k ) exp − ik ⋅ xr dk
δε ijc =3 ∫k2(2π )

()

(6)

ントまたは C 相においてはφi = 0 の値となる秩序変数φi

また, 多結晶体における CT 変態で生じる変態ひずみ(i = 1,2,3)を定義する. これを用いて系の全自由エネルギを塑性変形で緩和すること(塑性緩和)を表現可能にする

ーは, 次式の Gibbs の自由エネルギー汎関数で表される.
(1)
G = g ch + g el + g gr dV

ために, 固有ひずみ ε ij0 を変態ひずみ ε ijtrans と塑性ひずみ∫(V)

ここで, gch , gel および ggr は, それぞれ化学的自由エネル
ギー密度, 弾性ひずみエネルギー密度, 勾配エネルギー密度である. 化学的自由エネルギー密度は, 母相の結晶構造の対称性に対して不変でなければならないので, 次式に示すφi の Landau 展開形式で表現する.
2⎧⎪ A 3B 3C ⎛ 3 ⎞ ⎫⎪(2)g ch = ∆f ⎨ ∑φi2 − ∑φi3 + ⎜ ∑φi2 ⎟ ⎬3 i =1
4 ⎝ i =1 ⎠ ⎪⎭⎪⎩ 2 i =1
ここで, ∆f は C 相と T 相の化学的自由エネルギーの差である.

ε ijp の和として表現する.
3

ε ij0 = ε ijtrans + ε ijp = ∑ Rik R jl ε kl00 ( n)φn + ε ijp(7)n =1

ここで, 変態ひずみ ε ijtrans は Cubic-Tetragonal 変態で形成しうるバリアント i (i = 1, 2, 3) が形成する際に生じる変態ひずみ ε ij00 (i ) の和として定義する. Rij は回転マトリクであり, その回転角を母相粒の結晶方位とする. そして,変態に伴う塑性ひずみの発展および空間分布は, 次式に示す塑性ひずみの TDGL 方程式により表現する 4).
∂ε ijpδG shear= − K ijkl el p∂tδε kl(8)

ここで, Kijkl は K ijkl = (KCijkl )−1 にて与えられる定数, Gelshearはせん断ひずみエネルギーである. 以上で求められる全自由エネルギーより, T 相の時間発展を表す秩序変数φiの時間発展方程式は, 次式で表される.
Fig.1 Tetragonal variants produced by cubic-tetragonaltransformation.

⎛ ∂g⎞
∂φi∂g
δG= −L= − L⎜⎜ ch + el − κ∇ 2φi ⎟⎟δφiφφ∂t∂∂⎝ i⎠i(9)(Self-accommodation)機構が働き, 変態によって生じる弾性ひずみエネルギーを最小化するように組織が形成される. そして, 最終的には形状記憶合金で観察されるようなバリアント 1 と 2 が粒内に交互に並んだ層状組織が粒内に形成される 5). さらに, 母相粒数が 7 個の系においては, 10 個の系に比べて母相粒の弾性的拘束が弱いた
Fig.2 Polycrystalline structures with 7 and 10 parent grains.

めに, 特に粒径の大きな母相においてバリアントの分布が粗くなっていることがわかる.
図 5 に, 母相粒が 10 個の系における塑性緩和を伴う T相の形成過程を示す. T 相の形成過程は, 図 4 や図 5 に示したものと同様であるが, 図 6 に示すように変態ひずみを緩和するために系全体で塑性変形が生じるこの系でFig.3 Evolution of tetragonal phase without PA in
polycrystalline material containing 7 parent grains.

は, 塑性変形によって大きく弾性ひずみエネルギーが減少する. したがって, 弾性ひずみエネルギーを駆動力として作用するバリアントの自己調節効果が弱まり, 系全体が T 相に変態したときのバリアントの分布は, 先に示した結果ほど緻密な層状組織が形成されないことがわかる.
以上の結果より, 本研究で構築したマルテンサイト変Fig.4 Evolution of tetragonal phase without PA in
polycrystalline material containing 10 parent grains.
3 解析モデル態の弾塑性 PF モデルを用いた数値シミュレーションを

本研究では弾完全塑性体の系を仮定し, 2 次元多結晶の自己調節機構や塑性変形による変態ひずみの緩和が体における Cubic-Tetragonal 変態の数値シミュレーションを行う. このとき, 式(9)の時間発展方程式をφ1, φ2 に種々の条件下で行うことで, 多結晶体におけるマルテンサイト変態による組織形成過程のみならず, バリアント組織形態に及ぼす影響を明らかにすることができる.

ついて数値解析する. 本研究で用いる解析モデルを図 2に示す. 解析領域内の母相粒数は 7 個と 10 個の 2 種類を用意し, 各粒に結晶方位をランダムに与える. 各粒内の数字は結晶方位θ を表しており, x 軸と母相の[100]方向とのなす角度として定義する. さらに, 粒界に 0.01 以下の塑性ひずみ ε 12p を分布させて, 母相粒界からの T 相のFig.5 Evolution of tetragonal phase with SA and PA in
polycrystalline material containing 10 parent grains.

形成過程を再現する. 系の弾性係数は, C11 = 140, C44 =28, C12 = 84 [GPa], 塑性変形が生じる系の降伏応力は C相で 250 [MPa], T 相で 800 [MPa]とする. 変態ひずみは,ε1100 (1) = ε 2200 (2) = - 0.1, ε 2200 (1) = ε1100 (2) = 0.1 である.
4結果と考察図 3 と図 4 に, 結晶粒数が 7 個および 10 個の系における, 塑性緩和を伴わない T 相の形成過程を示す. 図中,黒色の領域(φi < 0.6)が母相の C 相を表している. また,灰色(φ1 > 0.6)および白色(φ2 > 0.6)の領域はそれぞれ c 軸が母相の[100]軸, [010]軸と平行な T 相を表している. (以後, これらをそれぞれバリアント 1 および 2 と呼ぶ). どちらの系においても, 母相の粒界近傍から T 相が成長しているが, 母相粒間の弾性相互作用により, 変態によって生じた応力場は粒界三重点において集中し, T 相は優先的にそこから形成することがわかる. さらに, 粒界近傍で T 相が形成された後は, それにより生じた変態応力に誘起されて, 先に形成した T 相の周囲にバリアント 1とバリアント 2 が交互に形成されていくことにより, 系全体に T 相広がっていくことがわかる. 塑性緩和が出来ないこれらの系では, バリアントの自己調整

Fig. 6 Distribution of equivalent plastic strain in martensitic
microstructure in polycrystalline material with 10 parent
grain at 105 s’.
参考文献
1) A. Yamanaka, T. Takaki and Y. Tomita, Mater. Sci.
Eng. A, (2008）, in press．
2) A. G. Khachaturyan, Theory of StructuralTransformations in Solids，John Wiley and Sons，NY,(1998).
3) T. Koyama and H. Onodera, Mater. Trans., 44, (2003),2503 - 2518.
4) X. H. Guo, S. –Q. Shi and X. Q. Ma, Appl. Phys. Lett,87, (2005), 221910.
5) Y. Aydogdu and O. Adiguzel, J. Mater. Proc. Technol.,123, (2002), 498-500.