数理解析研究所講究録 1200 巻 2001 年 48-59

48-VERSION OF COLEMAN POWER SERIESAND P-ADIC ZETA FUNCTIONS OF MODULAR FORMS$K_{2}$

東大数理

太香子 (TAKAKO FUKAYA)(学術振興会特別研究員 PD)
深谷

GRADUATE SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES
UNIVERSITY OF TOKYO(JSPS RESEARCH FELLOW PD)

CONTENTS
1.
2.

1

序

Coleman 巾級数
進 関数への応用
3.
References
$p$

2
4
12

$L$

1. 序
の 巾円分拡大に対する norm 系を捉える理を素数とする. 進数体論と で, Coleman 氏 [Co]&こよる Coleman 巾級数の理論がある. この理論に円単数 (zeta element) の系を適用する事により, Riemann ゼータ関
進 Riemann ゼータ関数が得られる事が知ら
数の 進解析関数版である,
$p$

$p$

$p$

$\mathbb{Q}_{p}$$\llcorner$

$p$

$p$

れている.
この Coleman 巾級数の理論は,

実は 進数体に限らず, 剰余体が完全な混標数を持つ完備離散付値体で, 絶対不分岐なもの一般に対し成り立つ理論である. しかし, 剰余体が非完全な場合には適用されない.
筆者は剰余体が非完全な場合にも, 対応する理論をつくり, 応用を得る事を試みた. 本稿の目的は, 混標数 $(0,p)$ を持つ完備離散付値体で, その剰余体巾]$=p\text{を^{}\grave{\backslash }}\text{数^{}\backslash }\text{の理^{}\frac{\underline{[}}{\overline{\overline{\mathrm{n}}}}\Delta}ml^{\sim}\sim\lambda\backslash$\text{級}\mathrm{k}\mathrm{B}^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}\text{
条}(+\mathrm{k}.\cdot \mathrm{k}^{p}$ 1r\Gamma\llcorner^{\backslash }\backslash 9^{-}\text{る}(\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{-}arrow 9^{-}\text{理_{}\overline{\beta}\mathrm{m}}^{-\Delta}-\text{と}\Leftrightarrow$$p$,({?}\l J-*\emptyset ‘\Phi \Gam a ’\l corner ‘ |f lf\ni kE完^\yen \lambda ‘\Phi 6)$->\text{と}C^{\backslash \backslash }\grave{\text{あ}る}\mathrm{t}_{)}\text{の_{}\vee}t_{arrow}^{\mathrm{r}}\lambda\dagger 1,.’\mathrm{C}\mathrm{o}1\mathrm{e}\mathrm{m}_{\mathrm{B}}\mathrm{a}\mathrm{n}\vec{}\text{の}\mathrm{f}\varpi_{\overline{\square }}^{\wedge}$に Coleman 巾級数の理論に対応するものとして構或したものは, 「版のColeman 巾級数の理論」である. これについて \S 2 で述べる. また円単数の系に対応する系として, 加藤和也氏による 「保型形式のゼータ関数に対応
する zeta element の系」 を用い, これを 「版の Coleman 巾級数」 に適用する事により, 保型形式の複素 $L$ 関数の 進解析関数版である保型形式の 進 $L$ 関数を得た. これについて \S 3 で述べる.
$K_{2}$$p$$p$

著者は日本学術振興会の援助をいただいております (特別研究員$\mathrm{P}\mathrm{D}$).

$K_{2}$

49
この研究について発表の機会を頂いた事に対し深く感謝申し上げる. またこの研究全般に対し御指導下さった加藤和也先生に心からの感謝を申し上げる.

2. COLEMAN 巾級数
本章ではすでに知られている Coleman 巾級数の存在定理についての復習と, 今回の 「版の Coleman 巾級数」の存在定理について論じる.
混同を避けるため以下の表記を用いる.
$K_{2}$: 混標数 $(0, p)$ をもつ完備離散付値体で剰余体 が完全であるもの. つまり が $[k:k^{p}]=1$ を満たすもの.
を満たす: 混標数 $(0, p)$ をもつ完備離散付値体で剰余体 が
もの.
$H$

$k$

$k$

$\mathrm{H}$$[\mathrm{k} :$\mathrm{k}$ここで仮定として $H$ , 田よ共に絶対不分岐, つまりあるとする.

Coleman 巾級数の理論は, 通常 p 進数体$p$\mathrm{k}^{p}]=p$がそれぞれの素元でをどの剰余体が有限体の体に対し与えられているが, もっと一般に $H$ のような剰余体が完全な, 混標数
完備離散付値体に対し与える事のできる理論である.
これに対し, 今回の「版の Coleman 巾級数」は出こ対する理論である.
$\mathbb{Q}_{p}$$K_{2}$$H$$\mathrm{H}$「$\mathrm{k}$の例としては,の例としては$p$

進数体$\mathbb{Q}_{p}$やその有限次不分岐拡大体がある.
がある. ここ (こ は変数である.

$\lim_{arrow}(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}[[q]][1/q])[1/p]$$q$

上版の Coleman \pi n] 級数」では, この のように, 剰余体 への像力を生或するもの (mod (p)] なるもの) を一つ固定して考える.
$\grave{\grave{\mathrm{a}}}$$K_{2}$$\mathrm{k}$$\mathrm{k}^{p}$$q$$\mathrm{k}=\mathrm{k}^{p}[q$項 2.1-2.2 で $H$ に対して与えられている通常の Coleman 巾級数の理論(classical case と呼ぶ事にする) を振り返り, 項 2.3-2.4 で に対して与えられる今回の 「版の Coleman 巾級数」の理論を述べる.
$\mathrm{H}$$K_{2}$

2.1. classical case を振り返る. まずは設定をする. 各 $n\geq 1$ に対し 1 の
上
原始 乗根
を,
を満たす様に取り, 固定する. 更に,$p^{n}$$\zeta_{p^{n}}$$O_{H}$$\zeta_{p^{n+1}}^{p}=\zeta_{p^{n}}$の形式巾級数環 $O_{H}[[\epsilon-1]]$ に対し, 連続準同型$\varphi,$$\sigma$: $O_{H}[[\epsilon-1]]arrow O_{H}[[\epsilon-1]]$ ,を次で特徴付けられるものとして定義する.

$\varphi|\mathit{0}_{H}=\sigma|\mathit{0}_{H}=\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}$of$O_{H}$: $O_{H}arrow O_{H}$ ,50$\varphi(\epsilon)=\epsilon^{p}$,$\sigma(\epsilon)=\epsilon$.

次の定理が Coleman 氏による Coleman 巾級数の存在についての主定理である.
定理 2.2 (Coleman [Co]). 乗法群の間の標準群同型が次のように存在する.
$(O_{H}[[ \epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}arrow\lim_{n}O_{H_{n}}^{\mathrm{x}}\underline{\simeq}arrow$はここに左辺のの部分群である. 右辺の逆極限$(O_{H}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}$$\varphi$の norm$\lim_{arrow}O_{H_{n}}^{\mathrm{x}}$$\mathrm{N}_{\varphi}$’が 1 で作用する$O_{H}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}}$は norm 写像によって与えらる. 同

$n$

型は

$f(\epsilon)\in(O_{H}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}$

(2.1)

に対し

$f(\epsilon)\vdasharrow((\sigma^{-n}f)(\zeta_{p^{n}}))_{n}$と与えられる.

norm 系の群の群がどのようなものである力 , という問題に興味$\mathrm{a}$$\lim_{arrow}O_{H_{n}}^{\mathrm{x}}$は沸くが, 答えは簡単にはわからない. それをこの定理は norm 系の群は$(O_{H}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}$という比較的わかりやすい群に標準的に同型である事を示している. この様に, Coleman の定理には norm 系の群を捉える理論としての意義がまずはある.
元に対し定理 22 の同型により対応する$(O_{H}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}$$x\in\varliminf O_{H_{n}}^{\mathrm{x}}$

$n$

の元を

$x$

に対応する Coleman 巾級数と呼ぶのである.

注 2.2.1. 環 $A$ と 0 以上の整数#こ対し代数的 $K$ 群と呼ばれるアーベル群$K_{i}(A)$ (Quillen [Qu]) が定義される.
$A=O_{H_{n}}$ や $A=O_{H}[[\epsilon-1]]$ の場合$K_{1}(A)=A^{\mathrm{x}}$ となる事から,
は定理 22版の Coleman 巾級数の理論と見る事ができる.
$i$$K_{1}$

2.3. これまでに述べた 「

巾級数」の理論を, 我々が考える体に対し構或する事を考える. この場合は定理 22 の様に乗法群のままの設定で行うとうまくいかない. 次数 2 の代数的 $K$ 群,
群を考え, 以下のような設定をするとうまくいく事がわかった.
$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}$$\mathrm{H}$$K_{2}$

設定をする. 各 $n\geq 1$ について 1 の原始 乗根をを満たの pbase の持ち上げす様に取り固定する. 更にこの場合を取り固定する. (pbaseを満たすの元$p^{n}$$\zeta_{p^{n}}$$1\mathrm{h}\mathrm{k}$の持ち上げとは,3$\mathrm{k}=\mathrm{k}^{p}[q\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (p)]$$\zeta_{p^{n+1}}^{p}=\zeta_{p^{n}}$$q\in O_{\mathrm{H}}$$O_{\mathrm{H}}$51の事を言う.) その上, 各のある代数閉包 の元,について,のも $(q^{1/p^{(n+1)}})^{p}=q^{1/p^{n}}$ を満たす様 (こ取り, 固定する. (我々の乗根$\overline{\mathrm{H}}$$n\underline{>}1$$q$$\mathrm{H}$$q$$q^{1/p^{n}}$$p^{n}$「
版の Coleman 巾級数」の理論は, この様に -base の持ち上げを決める毎に与えられる理論である.)
更に,に対し, 連続準同型
上の形式巾級数環$K_{2}$$p$$O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]$$O_{\mathrm{H}}$$\varphi,$$\sigma$:$O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]arrow O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]$,

を次で特徴付けられるものとして定義する.
のまずへの制限は次の 2 つの条件 (i) (ii) で特徴付けられる.
$\varphi,$$O_{\mathrm{H}}$$\sigma$(i) modulo (p) をする事で導かれる準同型:$\varphi=\sigma$$\mathrm{k}arrow \mathrm{k}$は $p$ 乗写像に一致する.

(ii)$\varphi(q)=q^{p}$,$\sigma(q)=q$.

$\varphi(\epsilon)=\epsilon^{p}$,$\sigma(\epsilon)=\epsilon$

.

更に

準同型

$\varphi,$$\sigma$はこれらの条件によって特徴付けられる連続準同型である.

次の定理が$K_{2}$

版の Coleman 巾級数の存在についての主定理である.

定理 2.4([Ful]). 標準群同型が次の様に存在する.
$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}arrow\underline{\simeq}arrowarrow \mathrm{i}\mathrm{m}\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})$.

$n$

ここ (こ, 左辺の$1]])$$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}$

はの部分群である. 右辺の逆極限$\varphi$

1マの normが 1 で作用する$\mathrm{N}_{\varphi}$$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})$は$K_{2}$$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-$

群の norm 写像によって与えられる. また, 各群に対し,はある種の完備化をあらわす.
この完備化については [Ful] を参照されたい. ) 更に群同型は, 環準同型$\hat{K}_{2}$$K_{2}$$($$(n\geq 1)$(2.2)$O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]arrow O_{\mathrm{H}_{n}}$;$f(\epsilon)\vdash+(\sigma^{-n}f)(\zeta_{p^{n}})$より導かれる群の準同型 (こよってもたらされる.
ここには次によって特徴付けられる環準同型である .
$\sigma^{-n}(q)=q^{1/p^{n}}$ ,また導かれる準同型:(
mod (p)) は 乗写
像の逆写像である.
: (mod $(p)$ )$(f(\epsilon)\in O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])$$K_{2}$$\cdot$$\sigma^{-n}$$O_{\mathrm{H}}arrow O_{\mathrm{H}(q^{1/\mathrm{p}^{n}})}$$\sigma^{-n}$$\sigma^{n}$$\mathrm{k}$$q^{1/p^{n}}$$arrow \mathrm{k}\underline{\simeq}$$\mathrm{k}arrow \mathrm{k}$$q^{1/p^{n}}$$p^{n}$

52
注 2.4.1. 定理 2 旧よ定理 22 の版, になっている事が写像 (22) を写
は版の Coleman 巾級数
像 (2.1) と比較する事によってわかる. 定理と呼ぼれるべきものである.
$K_{2}$$K_{2}$$2\ovalbox{\tt\small REJECT}$

3.

$p$

進 $L$ 関数への応用

Coleman 巾級数にはさまざまな応用があるが, ここでは 進 関数への応用に焦点を当てる. まず, classical case で, Coleman 巾級数が 進 Riemann
$p$

$L$

$p$

ゼータ関数の構或に応用された結果を振り返り, 次に我々の$K_{2}$

版の理論について述べる.

項 3.1-3.2 では, classical case における応用を振り返る. 以下では $H=\mathbb{Q}_{p}$ とする. 複素 Riemann ゼータ関数の進関数版である進 Riem 璽次璽心愎 -lic l よ岩澤氏により, 完備群環 $O_{H}[[G_{\infty}]]=$

3.1.

$\zeta(s)$

$p$

$p$

$\zeta_{p}$$\varliminf O_{H}[(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})^{\mathrm{x}}]$の全商環の元としてとらえられる事が示された. ([Iw]に詳しい.) 項 3.1-32 の目的は, この$p$

進 Riemann ゼータ関数$\zeta_{p}$を,Coleman 巾級数の理論に円単数の系を適用する事で得る事である.
まず次の合或写像を考える.
$1_{\frac{\mathrm{i}\mathrm{m}}{n}}O_{H_{n}}^{\mathrm{x}}arrow(O_{H}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}})^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}\underline{\simeq}$(3.1)$4^{d1}\Omega_{O_{H}[[\epsilon-1]]}^{1}=O_{H}[[\epsilon-1]]\cdot d\log(\epsilon)$$arrow O_{H}[[\epsilon-1]]\underline{\simeq}$$arrow O_{H}[[G_{\infty}]]$.

最初の同型は定理 22 によって与えられるものである. または絶対微分形式の加群に対し,$\Omega_{O_{H}[[\epsilon-1]]}^{1}|\mathrm{h}$,$\Omega_{O_{H}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{1}$,$\Omega_{O_{H}[[\epsilon-1]]}^{1}=\lim_{n}\Omega_{O_{H}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{1}/arrow p^{n}\Omega_{O_{H}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{1}$とする. 写像 $d\log$ は$a\vdash+\underline{da}$’$a$で与えられる写像である. 更に,と書く事にする. 最後の写像は$a\in$$\epsilon^{a}\vdash\not\simeq\{\begin{array}{l}a^{-1}\sigma_{a}0\end{array}$; に対し, 対応する G。の元を
if $(a,p)=1$
if $(a,p)\neq 1$\sigma 。

53に伴う OH-加群の準同型である.

3.2. 整数$c$

で $(c,p)=1$ を満たすものを固定する.

うに定義する .

円単数の系を次のよ$\cdot$$( \frac{1-\zeta_{p^{n}}^{c}}{1-\zeta_{p^{n}}})_{n}\in 1_{\frac{\mathrm{i}\mathrm{m}}{n}}O_{\mathrm{H}_{n}}^{\mathrm{x}}$([Kal], \S 1.1 参照). 円単数の系の, 合或 (3.1)&こよる像が$(1-\sigma_{c})\zeta_{p}$となる事が示される.
こうして Coleman 巾級数の理論を用いて自然に定義された写像に, 円単数の系という zeta element を適用する事で, 進 Riemann ゼータ関数が得られた.
$\zeta_{p}$$p$

我々はこの理論の3.3.

$K_{2}$$K_{2}$

版を考える.

版の Coleman 巾級数の 進
$p$

$L$

関数への応用について述べる.

この場合は, 加藤和也氏による保型形式のゼータ関数に対応する zeta element
版の Coleman 巾級数を用いて定義する自然な写像に適用し, 保型を,形式の 進 関数を得る.
で $(N,p)=1$ 満たすものを固定する. 以下では
整数 N
$K_{2}$$p$$L$$\geq 1$$\mathrm{H}=\lim_{arrow}(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}[[q]]$$n$$[1/q])[1/p]( \zeta_{N})(O_{\mathrm{H}}=\lim_{n}(arrow \mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}[[q]][1/q])[\zeta_{N}])$

とおく.

ここ (こ

$\zeta_{N}$は 1 の原

始 $N$ 乗根である.

乗法群の場合の類似を辿り,像を考える.

$K_{2}$

版 Coleman 巾級数を用いた次の合或写$\lim_{arrowarrow}\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})arrow\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]])^{\mathrm{N}_{\varphi}=1}\underline{\simeq}$

$n$

11

(3.2)

写

$\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]}^{2}=O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]\cdot d\log(q)\wedge d\log(\epsilon)$$arrow O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]\underline{\simeq}$$arrow O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}]]$最初の同型は定理 2.4 t こよるものである. また
カ 群$\mathrm{I}$$\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{1}$と$\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]}^{2}$$\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{2}=\bigwedge_{\mathit{0}_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]}^{2}\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{1}$は絶対微分形式の(\sim \rightarrow \lambda すし,$\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]}^{2}=\lim_{n}\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{2}/p^{n}\Omega_{O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]/\mathbb{Z}}^{2}arrow$654である. 写像 $d\log$ は$\{a, b\}\vdash+\frac{da}{a}\wedge\frac{db}{b}$$\{a, b\}$$(a, b\in O_{\mathrm{H}}[[\epsilon-1]]^{\mathrm{x}}),$

アーベル群

に対し

$A$

は symbol で特徴付けられる写像である. 更に$A[[G_{\infty}]]$をとする. また$\varliminf A\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}[(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})^{\mathrm{x}}]$$a\in \mathbb{Z}_{p}$に対し, 対応する G。の元を \sigma 。と表す. 最後の写像は$\epsilon^{a}\}arrow\{\begin{array}{l}a^{-1}\sigma_{a}\mathrm{i}\mathrm{f}(a,p)=10\mathrm{i}\mathrm{f}(a,p)\neq 1\end{array}$に伴う OH-加群の準同型である.
classical case にならって, classical case での円単数に相当する zeta element をこの合或写像に適用する. この場合の zeta element につぃて次に述べる.

3.4. 我々の場合の zeta element の定義をする.
で $\mathcal{M}+N\geq 5$ を満たすものに対し,
3.4.1. 整数
次の functor を表現する 上の modular curve とする .
S\mapsto (組の同型類の集合$\mathcal{M},N\geq 1$$\mathrm{Y}(\mathcal{M},N)$を$\cdot$$\mathbb{Q}$$(E, \iota)$

ここに $E$ は $S$ 上の楕円曲線,$S$

整数$c,$ $d\geq

1$

そして

上の群スキームの単射準同型$\iota$は$\mathbb{Z}/\mathcal{M}\mathbb{Z}\cross \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}arrow E$

で $(c, 6p)=(d, 6Np)=1$ を満たすものを取る.

により保型形式のゼータ関数に対応する zeta element

).

加藤和也氏

$c,d^{Z}N \in\lim_{n}K_{2}(arrow \mathrm{Y}(p^{n}, Np^{n}))$([Ka2]) ([Sc] にも定義が掲載されてぃる) が定義されてぃる. また標準写像$\lim_{n}K_{2}(arrow \mathrm{Y}(p^{n}, Np^{n}))arrow\lim_{n}K_{2}(arrow O_{\mathrm{H}_{n}})[[G_{\infty}]]$が存在する ([Ful] 参照). この写像と自然な写像

1マ$K_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})$[[G。]]\rightarrowの合或による zeta element $c,d^{Z}N$ の像を, 乗法群の場合
マの円単数\emptyset 系に対応する我々の場合の zeta element とする. 合或写像 (3.2)$\hat{K}_{2}(O_{\mathrm{H}_{n}})[[G_{\infty}]]$により与えられる写像$,\mathrm{C}$:$\lim_{n}\hat{K}_{2}(arrow O_{\mathrm{H}_{n}})[[G_{\infty}]]arrow O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}]][[G_{\infty}.]]=O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}\cross G_{\infty}]]$にこの zeta element を適用する.

55
その像についてまず次の事が成り立つ.
命題 3.4.2. $N=1$ の時次が成立する :$=(1-\sigma_{c,1})(1-\sigma_{d,2})$$L(_{c,d}z_{1})$.

.
$( \sum_{i\geq 1,(i,p)=1}\sum_{j\geq 1}q^{ij}\sigma_{i,1}+\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},1})( \sum_{l\geq 1,(l,p)=1}\sum_{m\geq 1}q^{lm}\sigma_{l,2}+\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},2})$

ここで,$a,$ $b\in \mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}}$の元であり,

に対し,$\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},1}$(res7 .

$\sigma_{a,1}$) は対応する第 1(resp.2) の(resp.
) は第 1 の (resp. 第 2 の)G。に対する$G_{\infty}$$\sigma_{b,2}$$\zeta_{p-\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c},2}$$p$

進 Riemann ゼータ関数である.
注 3.4.3. 命題 342 からわかる様に, $N=1$ の時, $L(_{c,d}z_{N})$ は ( 進 Eisenstein 級数) ( 進 Eisenstein 級数) の形 (こなっている. ([Hi3] 参照.) また
命題においては簡単のために $N=1$ の時に結果を述べているが, 一般の $N$$\Lambda$$\cross$$\Lambda$に対しても同様の事がいえる.
関数ではないが, これは保型形式の 進 関数を生み出す保型形式になっている. 以下で, このを用いて保型形式の 進 関数を生み出す事についての結果を述べる.

この様に像自体は 進
$p$

$L$

$p$

$L$

$\prime \mathrm{C}(_{c,d}z_{N})\in O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}\cross G_{\infty}]]$$p$

3.4.4. まず$L$$G_{\infty}^{(1)}=G_{\infty}^{(2)}=G_{\infty}(=\mathbb{Z}_{p}^{\mathrm{x}})$とする. 像$\prime C(_{c,d}z_{N})$より下の様にして導かれる元を universal zeta modular form
$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$と呼ぶ.

はある非零因子である. universal zeta modular form は次のように特徴付けられる:写像
ここに$g\in \mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}^{(1)}]]$$O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}\cross G_{\infty}]]arrow O_{\mathrm{H}}[[G_{\infty}^{(1)}\underline{\simeq}\cross G_{\infty}^{(2)}]]$;$x\sigma_{a,1}\sigma_{b,2}\mapsto+x\sigma_{a}^{(1)}\sigma_{b}^{(2)}$$(x\in O_{\mathrm{H}}, \sigma_{a}^{(1)}\in G_{\infty}^{(1)}, \sigma_{b}^{(2)}\in G_{\infty}^{(2)})$,’ こよる $L(_{c,d}z)$ の像が$(1-\sigma_{c}^{(1)})(1-\sigma_{c^{-1}d}^{(2)})z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$.

版の Coleman 巾級数を用いて保型形式の 進 関数を生み出す事についての主結果は, この universal zeta modular form
から保型形式の進 関数得られるという, 下に述べる定理 36 である. この定理を述べるための準備をする.
$K_{2}$$p$$L$$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$

$L$

8

$p$

56
3.5. 進保型形式の理論を振り返る.
$M\geq 1$ と,に対し, $M_{k}(X_{1}(M);F)$の有限次拡大3.5.1. 整数 kをに対する重み の保型形式で Fourier 係数が $F$ に入るものの空間$p$$\geq 2,$$k$$\Gamma_{1}(M)$とする.

$F\subset\overline{\mathbb{Q}}$$\mathbb{Q}$

$F$

の素元

$\lambda$について,$F_{\lambda}$

を $F$ の$\lambda$による完備化とする. そして,

$M_{k}(X_{1}(M);F_{\lambda})=M_{k}(X_{1}(M);F)\otimes_{F}F_{\lambda}$,$M_{k}(X_{1}(M);Op_{\lambda})=M_{k}(X_{1}(M);F_{\lambda})\cap Op_{\lambda}[[q]]$と定義する. ここでは $M_{k}(X_{1}(M);F_{\lambda})$ は Fourier 展開によりや空間とみなされている. 更にについて,$A=F_{\lambda}$$F_{\lambda}[[q]]$の部分$O_{F_{\lambda}}$$M_{k}(X_{1}(Np^{\infty});A)=\cup M_{k}(X_{1}(Np^{t});A)t=1\infty$

とする.
を
また
による完備化とする.(これは$\overline{M}_{k}(X_{1}(Np^{\infty});O_{F_{\lambda}})$$\mathbb{C}_{p}[[q]]$$M_{k}(X_{1}(Np^{\infty});O_{F_{\lambda}})\subset O_{F_{\lambda}}[[q]]$$\mathbb{C}_{p}[[q]]$の $p$ 進 normに対し与えられる norm で,$||_{p}$$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}q^{n}\in$に対し,$| \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}q^{n}|_{p}=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}_{n}|a\mathbb{N}_{\mathrm{P}}$はは $|p|_{p}=p^{-1}$の代数閉包– の 進完備化,と定められる. ここにの 進 norm である. )([Hil] 参照. )なる; OF\lambda 戸よ重み $k\geq 2$ について独立である事が知られている.
と書く事にする. 更に従って, 省略して$\mathbb{C}_{p}$$\mathbb{C}_{p}$$\mathbb{Q}_{p}$$\mathbb{Q}_{p}$$||_{p}$$p$$p$$\overline{M}_{k}(X_{1}(Np^{\infty})$$\overline{M}(X_{1}(Np^{\infty});O_{F_{\lambda}})$$\overline{m}_{Np}\infty=(\mathbb{Q}_{p}(\zeta_{N})+\overline{M}(X_{1}(Np^{\infty});\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}])/\mathbb{Q}_{p}(\zeta_{N})$と定義する.
命題 3.5.2.
$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in\overline{m}_{Np^{\infty}}[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$ここに$g\in \mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}^{(2)}]]$,

は 3.4.4 の非零因子である.

を次のように定義する.
の部分環 $A$ に対し, $H_{k}(X_{1}(M);A)$ を $M_{k}(X_{1}(M);F_{\lambda})$ の A-線型白己準同型環の部分環
で $A$ 上 Hecke 作用素 $T(n)(n\geq 1)$ で生或されるものとする. そして3.5.3. Hecke 作用素の環$H_{Np}\infty$$H_{k}(X_{1}(Np^{\infty});A)= \lim_{0^{t}}H_{k}(arrow X_{1}(Np^{t});A)$$F_{\lambda}$,

57$H_{Np^{\infty=}}H_{k}(X_{1}(Np^{\infty});\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}])$

と定める.
る

この $H_{k}(X_{1}(Np^{\infty});A)$ も重み $k\geq 2$ によらない事が知られてい([Hil] 参照) ので を省略して$k$$\overline{m}_{Np}\infty$

関するに作用している. 更に$H_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}$$H_{Np}\infty$$H_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}$をと表記している.) 環$H_{Np}\infty$の ordinary part,

-adic

$L$

$P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}$は空間を $N$ に([Hil], \S 3 参照).

の primitive part とする

定理 3.6([Fu2]). universal zeta modular form$p$

$H_{Np}\infty$

は, universal ordinary$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$function$L_{p- adic}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}[\frac{1}{h}][[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$という次の性質 (P) を満たすものを生み出す. ここにはある非零因子である.

(P) ある $t\geq 0$ (こついてレベノレ$Np^{t}$の eigen cusp

で下に述べる条件 $(*)$ を満たすものに対し,(3.3)$P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}arrow\overline{\mathbb{Z}_{p}}$$h\in P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}},$form$g\in \mathbb{Z}_{p}[[G_{\infty}^{(1)}]]$$f= \sum_{n\geq 1}a_{n}(f)q^{n}$

準同型; $T(n)-\succ a_{n}$進 $L$ 関数 $L_{p- adi\mathrm{c}}(f)\in(O_{M}[[G_{\infty}^{(2)}]])\otimes o_{M}M$の有限次拡大体(Amice-V\’elu
Vishik [Vi]) になる. ここに $M$ は$M=\mathbb{Q}_{p}(a_{n};n\geq 1)$ である.
による

$L_{p- adic}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$の像が $f$ の$p$$[\mathrm{A}\mathrm{V}]_{f}$$\mathbb{Q}_{p}$上述の条件 $(*)$ について述べる.
(こ作用する diamond opemtor の群とみなせるので,
群
は実は
がいえる.
従って
上述の条件 $(*)$ とは$(*)f$ に対応する準同型 (3.3) が上の $g_{f}h$ を ‘(‘肖さない ordinary eigen cusp
form $f$ . (ordinary(こついては [Hil] 参照. )$G_{\infty}^{(1)}$$\overline{m}_{Np}\infty$$G_{\infty}^{(1)}\subset H_{Np}\infty$

注 3.6.1. 。の進保型形式 ([Hil],
は, 肥田氏による orclinary[Hi2] 参照) に対応する 2 変数 進 $L$ 関数である. Greenberg-Stevens 両氏([GS]), 北川氏 ([Ki]) によって既に 2 変数 進 $L$ 関数は与えられているが,のl よ係数が Hecke 環となっているところが, universal な点である.
また加藤氏の zeta element から 2 変数 進 $L$ 関数を得る結果には, 落合
氏 ([Oc]) による別の方法もある.
$\Lambda$$L_{p- adic}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$

$p$

$p$

$\check{\mathrm{c}}$$L_{p- adic}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$$p$

注 3.6.2. 正確には $k=2$ の時, 条件 $(*)$ を満たす $f$ の, 複素ゼータ関数の $s=1$ での値が 0 になる場合には, $L_{p- adic}(f)$ は準同型 (3.3) ではなくもう一工夫加えた準同型によって与えられるが, 詳細は略させていただいた.
10

58
注 3.7. ordinary とは限らない eigen cusp form $f$ のも universal zeta modular
zrjV から得られるが,ここでは述べない. 作或中の [Fu2] に述べたい.

$p$$fo\ovalbox{\tt\small REJECT} n$

3.8 最後に定理 37 に述べた
3.8.1 肥田氏 ([Hil]) により$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$$\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}]$による$L_{p\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$進 関数 $L_{p- adic}(f)$
こついては
の詳
$L$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\$の与え方を記す.

加群としての双対$\overline{m}_{Np^{\infty}}\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}]}(H_{Np^{\infty}}, \mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}])$が pairing$\overline{m}_{Np^{\infty}}\cross H_{Np^{\infty}}arrow \mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}]$; $(f= \sum_{n\geq 0}a_{n}(f)q^{n}, T)|arrow a_{1}(Tf)$ ,によって与えられている.
従って, 標準同型(3.4)$\overline{m}_{Np^{\infty}}[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathbb{Z}_{\mathrm{p}}[\zeta_{N}]}(H_{Np^{\infty}}, \mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}])[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$が存在する. universal zeta m.odular form
れるが, 特に次の事がいえる.
命題 3.8.2.

$\mathrm{A}=\mathbb{Z}_{p}[(_{N}][[G_{\infty}^{(1)}]]$$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$はこの (3.4) の両辺に含まとおく. この時次が成立する.

$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}} \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{A}}(H_{Np^{\infty}}, \Lambda)[[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$$( \subset \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}]}(H_{Np^{\infty}}, \mathbb{Z}_{p}[\zeta_{N}])[[G_{\infty}^{(1)}\cross G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}])$

ここで,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\Lambda}(, )$は A 加群としての準同型である.

3.8.3 universal ordinaryる$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$.

$\gamma \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}L$function$L_{\mathcal{F}^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$は次の合或写像によの像である.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\Lambda}(H_{Np^{\infty}}, \Lambda)[[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\Lambda}(P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}, \Lambda)[[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$$arrow P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}[\frac{1}{h}][[G_{\infty}^{(2)}]][\frac{1}{g}]$

11

.

59
最初の写像は自然な写像である. ふたつめの写像は次のようにして与えられる.
$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\Lambda}(P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}, \Lambda)arrow P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}\otimes_{\Lambda}Q(\Lambda)$

ここに $Q(\Lambda)$ はある$\Lambda$.

の全商環であり,$\psi\vdasharrow a$$a\in P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}\otimes_{\Lambda}Q(\Lambda)$.

は次を満たす元で$\cdot$$\psi(x)=\mathrm{T}(ax)\in Q(\Lambda)$写像;$\mathrm{T}$$(x\in P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}})$.

は, Hace 写像$\mathrm{T}$:$P_{Np^{\infty}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}\otimes_{\Lambda}Q(\Lambda)arrow Q(\Lambda)$

である.

こうして

$z_{Np^{\infty}}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$により$L_{\mu \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d},\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$が得られた.
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$p$

$L$

$p$

$p$

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$L$

$L$

$p$

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$L$

$p$

$p$

$L$

$\mathrm{I}$153-8914 東京都目黒区駒場 3-8-1$E$-mad address:takakO\copyright ms357.ms u-tokyo.

$\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}$12$B_{\mathrm{d}\mathrm{R}}$