数理解析研究所講究録
第 852 巻 1993 年 112-125112

大阪大学基礎工学部 高岡正憲 (Masanori Takaoka)

ヘリカル対称性を持つ流れ場の数値シミュレーション

2 ヘリカル対称流場がヘリカル対対称性を持つとは、$v=v(r,\theta+\epsilon z,t)=v(r,\phi,t)$

113という型で書ける時をいう。ここに、 \epsilon はヘリカル構造の訪向へのピッチを表すパラメータである。ただし、その定義からも分かるように、のことば流線嗣麟鋤洞様にピッチを持つヘリカル状になることを意味し$(2\pi/\epsilon)$$arrow\vee$ない。このような対称性を持つ場を表現するには、次のよっな Beltrani ベクトルを用いると便利なことが\acute -知られている。
$h=h^{2}(e_{z}-\epsilon re_{\theta})$

ここに$h^{2}= \frac{1}{(1+\epsilon^{2}r^{2})}$注意する。 ま$\gamma_{\{-\text{、}}-\vee$であり、このベクトノレが単位ベクトノレ召まないことに\gamma くクト J\iota Zl‘A\succ \emptyset ような陀質を持ち、$\nabla\cdot h=0,$$\nabla\dot{\cross}h=-2\epsilon h^{2}h,$$h\cdot\nabla f(r, \phi,t)=0$

は、 2 つのスカラー関 ra 数 l\mbox{\boldmath $\psi$}と渦度場
非圧縮性流体の速度場を用いてそれぞれ次のように書ける。
$(_{u})$$(_{\omega})$$(r, \phi)$、$\chi(r,\phi)$$u=-h\cross\nabla\psi-h\chi$

ここで,$\omega=h\cross\nabla\chi+h(2\epsilon h^{2}\chi-\triangle^{*}\psi)$$\triangle^{*}=\frac{1}{rh^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(rh^{2}\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^{2}h^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}$$=e_{r} \frac{\partial}{\partial r}+e_{\phi^{\frac{1}{rh}\frac{\partial}{\partial\phi}}},$である。に注意すると、 \chi の任意関数 (\emptyset \tilde \equiv \doteqdot *1 値面が渦面を与の時は、軸吋称 $(_{r=c\circ nst}$ . な面が i 尚えることが分かる。ただし、面となる。
このとき基礎方程式 ( ,\chi \not\subset \rangle 3vI 呆代) は、
このとき、$\nabla\chi\cdot\omega=0$$)$$\chi\equiv 0$$\psi$$\frac{\partial\chi}{\partial t}=-\frac{1}{r}\frac{\partial(\chi,\psi)}{\partial(r,\phi)}+\nu\triangle^{*}\chi-4\nu\epsilon^{2}h^{4}\chi+2\nu\epsilon h^{2}\triangle^{*}\psi$$\frac{\partial\triangle^{*}\psi}{\partial t}=\frac{2\epsilon h^{2}}{r}\frac{\partial(\chi,\psi)}{\partial(r,\phi)}-\frac{1}{r}\frac{\partial(\triangle^{*}\psi,\psi)}{\partial(r,\phi)}+2\epsilon^{2}h^{2}\chi\frac{\partial\chi}{\partial\phi}$$-8 \epsilon^{3}h^{4}\chi\frac{\partial\psi}{\partial\phi}+2\epsilon^{2}h^{2}\triangle^{*}\psi\frac{\partial\psi}{\partial\phi}-2\nu\epsilon\triangle^{*}(h^{2}\chi)+\nu\triangle^{*2}\psi$

を流れ関数とする二 5-ひ爺 D Navierの時は、と書ける。特に、と変換するとの時は、
Stokes 方程式となり、$\epsilon=0$$\psi(r,\theta)$$\epsilonarrow\infty$$\tilde{\psi}$($r,$$z\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{た}\sim \text{のとき_{}(r,\phi)}^{J^{g}}}^{Stokes\text{の^{}\grave{\backslash }i}}\text{、^{}arrow}\{Iffi\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\tilde{\chi}=\chi/\epsilon,\tilde{\psi}=\psi/\epsilon$

面と内すでるの積分‘\Leftrightar ow - 1*BI\iota のは各そi,\iota \foral \su‘cAe\qsuc \acute \acute J\mbox{\boldmath $\sigma$}) るよ。うに定義できる。
$\sqrt{}$エネルギー :

$E= \frac{1}{2}\int\{\psi\varpi+\chi^{2}\}h^{2}rdrd\phi$

エンストロフィ :$Q= \frac{1}{2}\int\{(\nabla\chi)^{2}+(\epsilon r\partial_{r}\chi)^{2}\}h^{2}rdrd\phi$114
ヘリシティ :

$H=-2 \int\{\varpi+\epsilon h^{2}\chi\}xh^{2}rdrd\phi$

ヘリシティ変化率 :$\frac{dH}{dt}=4\nu\int\{\epsilon h^{2}(\varpi+2\epsilon h^{2}\chi)^{2}-(\varpi+2\epsilon h^{2}\chi)\triangle^{*}\chi\}h^{2}rdrd\phi$

ここに\mbox{\boldmath $\varpi$}$=-\triangle^{*}\psi$

CaseI:である。

$\chi=\exp\{-r^{2p}(\frac{\cos^{2}\phi}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\phi}{b^{2}})^{p}\}$$\varpi=-2\epsilon h^{2}\chi-\epsilon r\partial_{r}\chi=2\epsilon\{pr^{2p}(\frac{\cos^{2}\phi}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\phi}{b^{2}})^{p}-h^{2}\}\chi$CaseII:$\chi=0$$\varpi=\frac{2pr^{2p-1}}{h}(\frac{\cos^{2}\phi}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\phi}{b^{2}})^{p-1}$$\{(\frac{\cos^{2}\phi}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\phi}{b^{2}})^{2}+\sin^{2}\phi\cos^{2}\phi(\frac{-1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})^{2}\}^{1/2}$$\exp\{-r^{2}(\frac{\cos^{2}\phi}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\phi}{b^{2}})\}^{p}$

両者は等渦度面でみたとき同じ構造を持っており、 $z=c\circ nst$ . の面内では楕円状の渦輪となっている。この全体的な様子を図 1 に 3 次元の鳥敢図として示す。また、両者の大きな違いとしては、前者においては $H= \frac{dH}{dt}=\omega_{z}=0$であるのに対し、後者では $H=u\cdot\omega=0$ ,である。今回の計算では特に\epsilon $=1,$ $p=2,$ $a=1,$ $b=3$ , R0=3\succeq \llcorner た。このとき前者は、 Aref$\frac{dH}{d}\neq 0$

115と zawadzki により調べられた二つの楕円渦輪の初期条件を連続化したものに相当する。

$t$

こ漏ま通常のヘリシティ密度$u\cdot\omega$と異なり Galilean 不変な量である。

116にたいし、負の値のものは、より小さいスケールにトランスファされ粘性効果により散逸していく。結果として、正の値のもの力橙欧皮数但|J に大きい領賊を持つようになり最終 hi‘] に正のヘリシティが現れる (生き残る) ことになる。
最後に Reynolds 数 (粘性) {衣存性を調べるために、図 6 に粘性の異なる6‘類の計算における、エネルギー、エンストロフィ、ヘリシティ、ヘリシティ変化率の時間発展の様子を示す。ここで、今の渦の初期における循環は$\Gamma=\int_{0}^{\infty}\omega_{\phi(\phi=\phi 0)}dr=1$であり、この循環を持\subset ‘{‘ff\beta -pffi 力く 1 回絡まるとのヘリシティが出来るので、今生 されたヘリシティは有邑 o 鼠であることを注意しておく。 また、系の持つ高い対称性により約 1 桁に渡る Reynolds 数領域を調べることもできた。
まず、エンストロフィのグラフから分かるように、 3 次元のそれと同様にある時刻でピークを持つ。これは、渦の引き伸ばし効果により小さいスケールの場が造られることに対応する。ただし、そのピーク値の大きくなり方の粘性依存園ま 3 次元のそれより弱い。また、粘性が小さくなったときのエネル
ギーとヘリシティの保白\mbox{\boldmath $\psi$}性を見てみると 前者はより保存されているが、後者はむしろその変化が大きくなっている。 しかしながらこのことは、非粘性極限でヘリシティの保存牲の破れを意味するものではない。 というのは、の変化のピークを迎える時間は、ベキ関数的に粘陛に依存し大きくなっているからである。
$2\Gamma^{2}$

、

こ117
時間発展してくるとその分布は変わらず、 アンプリチュードが大きくなってくる。つまり、どちらかの符号を持つヘリシティが敲麟嬬にトランスファされディケイするのではなく、全体として大きくなることでその差として現れるヘリシティも大きくなっているのである。

118$)1]$I.

$*$

初判+4g,$4$$\eta$蝸承鋤 (|\omega |二碗).

$|\underline{\gamma}$$\phi$

り$c_{aA\iota.I}$

蒲$\uparrow_{c^{\theta})},\lambda$$f\grave{fi}\psi_{||4/\int\ovalbox{\tt\small REJECT}\eta}$,$y\ L$切$\#--\theta$

$-2$

$0$

2

119

120

121

R-w.

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$R-w.n$R-w.n.

R-w.n.

$n$$R-w.n$$\iota^{\backslash }\underline{\acute{\nearrow}}\uparrow s-$.

$.\wedge$.

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R-恩.

}) ンティの$\varphi_{t\nu\dot{u}\sim}\beta X\wedge^{o}J$} レツ
$/$

$n$.

$v_{\triangleleft)_{B}}^{\prime\eta\ovalbox{\tt\small REJECT} k\text{、}}(C_{au}l)$122$Ti$

20

10$0$$T|$$\llcorner$$7^{\backslash }\sim J\urcorner l$,$(a)$

me

30$0$

$J)_{\overline{\sim}}0^{\sigma oaS^{-}}$

20

10$T|$} ネ)\iota , $A-$、40

me$r_{)}t_{Q)}^{J}f\}^{p_{b^{!\ovalbox{\tt\small REJECT}}}}f$me$Ti$$(\})L^{\backslash }/\lambda$の )$j$}$–\theta_{\lambda}\theta^{\theta}S_{J}$$gy_{\sqrt{}}$ぐ2$(C)\wedge$

リン\hslash$j1arrow- a.\circ\circ 2_{l}$\copyright$\Phi^{\lrcorner)_{\overline{\sim}}\nu_{\backslash }ooa2,}\emptyset \mathcal{Y}\sim\sim a_{\tau}o’\circ/$

30$\cdot$40

me$\mathcal{U}$)$\wedge’)_{\grave{J}7_{(\ovalbox{\tt\small REJECT}^{-}4\tilde{\not\in}}}’\backslash$$y_{\vee}\sim p_{\}gp/$

123

$i$

$r-\sim\theta$$\}$$t\mathfrak{g}$$)_{\underline{\grave{J}}}\eta_{l}7_{t}$$c$ヘ\alpha$\overline{\Lambda}$

り$/\backslash \eta_{l}4^{r\underline{\uparrow}}/_{\backslash }$り鴫湖粟ん.
$()\nu\urcorner$$-2$

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又考楓)

2

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$\wedge^{\bigwedge,}’\sim$$\iota$$\iota 4)$$t.1$$\nearrow--2_{\backslash }r$$($.
$1\urcorner\underline{\backslash p}7l$.

$($$\mathfrak{l}$$\iota$

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メ\Leftrightarrow f$\iota$$f$$\neg z^{l}\triangleleft\gamma_{\sim}7$

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$n$) 冫フィり毎\leftar ow \mbox{\boldmath $\lambda$}\wedge 0\paral el }|\mbox{\boldmath $\sigma$})$.\wedge^{\}}$

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$W^{\prime_{1}\eta_{\mathscr{J}}}\triangleleft’\nearrow\triangleright\ovalbox{\tt\small REJECT}^{(c_{\partial\sim 4}z.)}$