医学部専門予備校

福岡校

関西医科大学（前期） 数学

2022年1月29日実施

Ⅰ

ボタンを 1 回押すたびに 3 桁の数字が表示される装置がある。各桁には，ある出現確率で 1, 2, 3, 4, 5 のいずれかの数字が現れ，3 つの数字がすべて一致したときに「あたり」となる。この装置には状態 A と状態 B の 2 つの状態があり，そのときの状態に従って数字の出現確率がすべての桁で同時に変化する。この状態はボタンを押すたび13，状態 B はの確率で選ばれる。また，状態 A のときの数字の出現確率は，1 の出現443
11確率のみで，残りの 2 〜 5 はそれぞれであり，状態 B のときの数字の出現確率は，1, 2, 3 は，5 は51052で，4 は出現しない。
5に決定され，状態 A はこの装置について，以下の確率を求めよ。なお，各設問の答えは解答用紙の指定欄に既約分数で記入すること。

(1) 装置の状態が状態 A のとき，ボタンを押して「あたり」が出る確率(2) 装置の状態が状態 B のとき，ボタンを押して「あたり」が出る確率(3) ボタンを押して「あたり」が出る確率(4) ボタンを押して「あたり」が出たときに，装置の状態が状態 A である条件付き確率
解答

(1)

11(2)

5011125(3)1211000(4)511解説
状態 A, B における各数字の出現確率を表にすると以下の通りとなる．
数字13515状態 A
状態 B

211015311015((1) 状態 A のとき，3 桁の数字が 111 となる確率は(110)3354110計511025011)3であり，222，333，444，555 となる確率はそれぞれであるから，求める確率は(35)3(+4×110)3=1150((2) 状態 B のとき，3 桁の数字が 111，222，333 となる確率はそれぞれ15)3，444 となる確率は 0，555 とな医学部進学予備校メビオ(る確率は25)3であるから，求める確率は(3×15)3(+0+25)3=

11125(3) (1)(2) の結果を考慮すると，求める確率は
121111311×+×=450
41251000(4) 装置の状態が状態 A であるという事象を X ，また，ボタンを押して「あたり」が出るという事象を Y とすると，求める条件付き確率はP (X ∩ Y )PY (X) ==P (Y )

111×
450
1211000=511

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Ⅱ関数 f (x) を f (x) =6x2 + 17x + 10と定めるとき，以下の設問に答えよ。なお各設問の答えは解答用紙の指3x − 2定欄に記入し，左の枠内には答えの導出過程を簡潔に記入すること。

(1) f (x) > 0 を満たす x の値の範囲を求めよ。
C(2) f (x) = Ax + B +が x についての恒等式となるように，定数 A, B, C の値を定めよ。
3x − 2(3) f (n) の値が正の整数となるような整数 n をすべて求めよ。
解答(1) f (x) > 0 の両辺に (3x − 2)2 > 0 をかけると，(6x + 5)(x + 2)(3x − 2) > 0となるので，−2 < x < −56,23<x．

(2) 分子を分母で割り算することにより，f (x) =24(3x − 2)(2x + 7) + 24
= 2x + 7 +であるから，3x − 23x − 2

A = 2, B = 7, C = 24 ．
(3) (1) より f (n) > 0 となる整数 n は，−1 もしくは 自然数である．f (−1) は整数とならないので n = −1 は不24適である．n が自然数のとき f (n) = 2n + 7 +が正の整数となるためには，3n − 2 が 24 の正の約数（33n − 2で割って 1 余るもの）であればよい．このとき 3n − 2 = 1, 4 のみとわかる．したがって，n = 1, 2 である．

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Ⅲ

関数 f (x) = πx cos(πx) − sin(πx)，g(x) =sin(πx)
を考える。ただし，x の範囲は 0 < x <= 2 とする。以下xの設問に答えよ。

(1) 関数 f (x) の増減を調べ，グラフの概形を描け。
34<x<の範囲にあることを示せ。
(2) f (x) = 0 の解がただ 1 つ存在し，それが32(3) n を整数とする。各 n について，直線 y = n と曲線 y = g(x) の共有点の個数を求めよ。
解答(1) f ′ (x) = −π 2 x sin(πx) より f ′ (x) = 0 ⇐⇒ x = (0, ) 1, 2 であるから，増減は次のようになる．
x(0)···

1···

2′f (x)(0)−0+0f (x)(0)↘

−π↗

2πしたがって，グラフの概形は次の通り．

y2π12Ox−π(2) (1) のグラフから f (x) = 0 の解がただ 1 つ存在することは明らかである．さらに
 ( )√432 f<0=− π+332( )
3
=1>0
 f243<x<の範囲にある． （証明終）32πx cos(πx) − sin(πx)
f (x)(3) g ′ (x) ==となる．この分母は正であるから， g ′ (x) の符号は f (x) の符号とx2x2一致する．ここで，f (x) = 0 のただ 1 つの解を α とする．
であるから，ただ 1 つの解はlim g(x) = limx→+0x→+0sin(πx)·π =ππxであることに注意すると，g(x) の増減は次のようになる．

x···(0)′g (x)g(x)(π)

α···

−0+↘

sin(πα)α↗

したがって，y = g(x) のグラフの概形は次の通り．

yπOsin(πα)α1 α2x20

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ここで，−1 < sin(πα) < 0 および α > 1 より −1 <と曲線 y = g(x) の共有点の個数はとなる．

sin(πα)< 0 がわかるので，n を整数として直線 y = nα
= 4 のとき n>
 n = 1, 2, 3 のとき
n = 0 のとき
n<= −1 のとき0個1個2個0個

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Ⅳ

xy 平面上に，2 点 P (cos θ, cos2 θ)，Q (sin θ, sin2 θ) をとる。線分 PQ の中点の x 座標を t とし，線分 PQ
π< θ < π の範囲を動くとき，以下の設問に答えよ。なお各設問の答えは解答用紙の指定の長さを L とおく。θ が2 = =欄に記入し，左の枠内には答えの導出過程を簡潔に記入すること。

(1) 直線 PQ の方程式を t を用いて表せ。
(2) L の値の範囲を求めよ。
(3) L が最大値をとるときの θ の値を求めよ。
(4) 線分 PQ が通過する領域を xy 平面上に図示せよ。
解答cos θ + sin θ
1 + 2 sin θ cos θ1より cos θ + sin θ = 2t である．また，t2 =より，sin θ cos θ = 2t2 −242である．よって直線 PQ の方程式は，(1) t =y=sin2 θ − cos2 θ(x − cos θ) + cos2 θsin θ − cos θ= (sin θ + cos θ)x − sin θ cos θ= 2tx − 2t2 +12である．

(π )
π
1135
1
12
<<t<
π<θ+π より，−となるので，0 <(2) まず，t = √ sin θ +と=t <
= 44
4 =
4 = 4
2 = = 22である．

L2 = (sin θ − cos θ)2 + (sin2 θ − cos2 θ)2= (sin θ − cos θ)2 {1 + (sin θ + cos θ)2 }= (1 − 2 sin θ cos θ){1 + (sin θ + cos θ)2 }= (−4t2 + 2)(1 + 4t2 )= −16t4 + 4t2 + 2(1= −16 t −82)2+94√39L<すなわち， 2 <である．
==42
11(3) 前問の議論より L が最大値をとるのは，t2 =すなわち t = ± √ のときである．このとき，82 22となるので，2 <=L <=(1π )1√ sin θ +=± √422 2)(1π=±⇐⇒ sin θ +42π57⇐⇒ θ +=π,π466117π,π⇐⇒ θ =1212医学部進学予備校メビオ(4) 点 P，Q はともに y = x2 上にあるので，線分 PQ は，12のy >= x の部分2y = 2tx − 2t2 +2である．よって，y >= x を満たし，さらに t の方程式

2t2 − 2xt + y −が−1=0211<t<で解をもつ条件を求めればよい．
2 = = 2f (t) = 2t2 − 2xt + y −12(x )2x2
1=2 t−−+y−222とおき， f (t) = 0 の判別式を D とする． f (t) = 0 が −(i)······①11<t<で少なくとも 1 つ解をもつ条件は，
2 = = 21x<−⇐⇒ x < −1 のとき22()( )
1122<> 0 ⇐⇒ x <f −0 かつ f= x との共通部分は==y<= −x であるが，−x < x なので y >22 =ない．

1x<< 0 ⇐⇒ −1 <= x < 0 のとき
2 = 2( )1x212><<D>
0かつf0⇐⇒xy+であるが，x < x2 なので，y >===== x との共通部分は
222(ii) −1x2+22x1(iii) 0 <= 2 <= 2 ⇐⇒ 0 <=x<= 1 のとき)
(x21122<y<D>= 0 ⇐⇒ −x == 2 + 2 であるが，−x <= x なので，y >= x との共通部= 0 かつ f − 2 >x2 <=y<=分は x2 <==y<(iv)

x21+221x<⇐⇒ x > 1 のとき
22( )()
1122>< 0 ⇐⇒ −x <0かつ
ff −= x との共通部分は= x であるが，x < x なので y >=y<2 =2 =ない．

以上より，求める領域は以下の斜線部分である（境界を含む）．

1x21y = x2
y=+22O1y−1x

別解 111<t<で解をもつための条件で上記の解法では 4 つ場合分けをしているが，線分 PQ 上2 = = 2の点の x 座標が −1 <=x<= 1 の範囲にあることから，実は上記の場合分けの (i)，(iv) は不要である．また，(ii)，f (t) = 0 が −(iii) も(D>= 0 かつ「 f−12)(>= 0 または f12)>
= 0」

医学部進学予備校メビオという条件でまとめることができる．
別解 2① において，f (t) = 0 を変形すると，( 2)((x )2x21x1x )22 t−−+y−= 0 ⇐⇒ y −+= −2 t −222222111x2<t<+と x = 2t で常に接していることがわかる．−より，==2222< 1 であるから，接点はこの範囲にある．また，P, Q の x 座標について −1 <−1 <= 2t == cos θ <= 0, 0 <= sin θ <=122であるから，点 P は y = x 上の −1 <=x<= 0 の部分を，点 Q は y = x 上の 0 <=x<
= 1 の部分を動くので，であるから，直線 PQ は y =線分 PQ が通過する領域は下図のようになる．

y = x2yy=
1
12Q

P−1O

1xx2
1+22

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Ⅴ< 3 で表される円柱を C とする。以下の設問に答えよ。
座標空間において，x2 + y 2 <= 3，0 <=z=√(1) C のうち， 3z <= y を満たす部分を D1 とするとき，D1 の体積を求めよ。
√< − 3y を満たす部分を D2 とするとき，D2 の体積を求めよ。
(2) C のうち，z =√√(3) C のうち，yz 平面上の直線 y + 3z = 0 からの距離が 3 以下となる部分を D とするとき，D の体積を求めよ。
解答√
1または ± 3 であるので，図に現れる直角三角形の 3 辺の長さの比は3以下，解答に現れる直線の傾きは ± √

1:2:√

3 であることに注意する．

(1)zz3y√3z = yO′√− 3 − k2xO′√y√1√ · 3 − k2
33 − k2√√√ )( √22x2 + y 2 <= 3= 3 に x = k を代入すると − 3 − k <= 3 − k となるので，D1 を 平面 x = k − 3 <=k<=y<√√√2<y<<z<で切った断面は − 3 − k 2 == 3−k , 0== 3, 3z <= y で表される領域となる．その面積を S1 (k) とおくと図より√√
1
13 − k2 · √ · 3 − k2 ·23)
1 (= √3 − k22 3S1 (k) =である．したがって求める体積を V1 とすると，∫ √3

1V1 = √ S1 (k)dk = √3− 3∫ √30()
3 − k 2 dk = 2

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(2)zz
√

z = − 3yy√

3·√33 − k2O′√− 3 − k2x
D2 を 平面 x = kO′√

y3 − k2√√√ )√( √2< 3 − k2 , 0 <− 3<=k<= 3 で切った断面は − 3 − k <=y==z<= 3, z <= − 3y で表される領域となる．その面積を S2 (k) とおくと図より

S2 (k) =√3 − k2 ·√3·√

3 − k2 ·√=12)
3 (3 − k22である．したがって求める体積を V2 とすると，∫ √3V2 =√ ∫S(k)dk=
32
√

− 30

√

3()
3 − k 2 dk = 6

医学部進学予備校メビオ(3)
zzyyO′O′xxz
3

√

3·

√

3 − k2√
1√ · 3 − k23H√
− 3 − k2O′√√
2 3 − k2y

3 − k2√√√yz 平面上の直線 y + 3z = 0 からの距離が 3 以下となる部分は，yz 平面上の直線 y + 3z = 0 を軸とする√√半径 3 の円柱である（これを C ′ とする）．したがって C ′ を平面 x = k で切った断面は y + 3z = 0 からの√距離（図の垂線 O′ H の長さ）が 3 − k 2 の 2 直線に挟まれた部分となる．D は C と C ′ との共通部分である√ )( √から， D を平面 x = k − 3 <=k<= 3 で切った断面は図の斜線部のような台形となる．この台形の面積をS3 (k) とおくと，()
√√
√ √
1122√
S3 (k) =×3· 3−k +· 3 − k × 2 3 − k223√)
4 3 (=3 − k23となる．したがって求める体積を V3 とすると，∫ √38 √
V3 = √ S3 (k)dk =33− 3∫ √30()
3 − k 2 dk = 16

医学部進学予備校メビオ
別解(3) で図のように O′ , A, B, E, F を定める．ここで′′′′z′△O AB ≡ △O HB ，△O FE ≡ △O HE である．△O AB√√
を − 3<=k<= 3 について積分したものが V1 であり，√√△O′ FE を − 3 <=k<= 3 について積分したものが V2であるので，V3 = 2 (V1 + V2 ) = 16 である．

EHB

FO′yA

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講評
Ⅰ［確率］（やや易）3 桁の各位の数字が一致すれば「あたり」となる確率の問題．やや目新しかったかもしれない．問題文が少し長く条件が複雑に見えるかもしれないが，並べ替えを考慮する必要がない分計算は楽である．落ち着いて読み解けば各設問の誘導も親切であるため十分完答が狙える問題であった．ここは落とせない．

Ⅱ［数と式，整数］（やや易）分数関数の問題．(1) は分母で場合分けしてもよいが，解答のように分母分子に (3x − 2)2 をかけて解いた方が手っ取り早い．(2) の恒等式もただの計算であるため落とせない．(3) に関しても (2) で式変形をした後であるためかなり考えやすい．こちらも Ⅰ と同様に完答を狙いたい問題であった．

Ⅲ［数学Ⅲの微分］（標準）(1) は三角関数で表された関数 y = f (x) のグラフを増減を調べて描く問題．(2) は (1) を用いた f (x) = 0 の解の評価の問題．(3) では g ′ (x) の符号と f (x) の符号が一致することを用いてその値域について考察する．設定は単純だが，正確な計算が必要とされる問題だろう．

Ⅳ［線分の通過領域］（やや難）y = x2 上に三角関数で表された 2 点 P, Q をとり，線分 PQ の通過領域を求めさせる問題．三角関数の基本的な変形が出来れば誘導に従って (1), (2), (3) は解けるが，計算力はある程度必要である．最終的な通過領域は答案が作成しにくい．定石通り x, y を定数とみてパラメータ t が範囲内に解をもつ条件を求めると直線の通過領域は求められるのだが，求めたいのは線分の通過領域なので，図形的に考えて面倒な議論を避けるのが現実的であろう．

Ⅴ［空間図形，数学Ⅲの積分］（やや難）座標空間内で，直円柱を平面で分割したときの立体の体積を求める問題．(1)(2) は典型的であるため是非正解したいところである．(3) では，x 軸に垂直な断面（台形となる）の面積を考えて積分すればよいが，図を正確に把握するのが難しかったかもしれない．実は (1) と (2) の結果がそのまま利用でき，それに気づけると大幅に時間が短縮できる．

（総評は次ページへ）医学部進学予備校メビオ
例年だと計 4 問で Ⅰ が小問集合であったが，今回は小問集合がなくなり大問 5 問となった．ただし Ⅰ と Ⅱ を合わせて小問集合程度の分量ではあった．これでここ 5 年間は出題形式に何らかの変化が起こり続けていることになる．
今回のセットはほぼ易しい順に問題が並んでいる．Ⅰ〜Ⅲ を完答に近いところまで仕上げ，Ⅳ，Ⅴ で半分以上は得
点したいところ．例年よりは得点しやすい．目標は 75%．

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