Phase-field 法による再結晶組織予測
京都工芸繊維大学

高木知弘

Recrystallization Microstructure Prediction by Phase-Field Method
Tomohiro TAKAKI
第 2 項は勾配項，第 3 項は駆動力項である．

１．はじめに再結晶は冷間加工後の焼きなましや熱間加工時に生じ，製２・２ MPF 高速化アルゴリズム MPF 法の欠点は，1 つの品の特性を左右する重要な現象である．再結晶粒成長の駆動結晶粒を 1 つの phase field 変数で表すため，粒成長問題など力は転位の蓄積エネルギーであり，再結晶核生成は転位密度多くの結晶粒を用いる場合，計算容量および計算速度においの高いところから生じるため，再結晶組織を精度良く予測すて限界があることであった．Kim ら 2) は，ある数値格子点にるためには，塑性加工時の変形不均一性の評価と，変形組織おいては多くの phase field 変数が零であり，Steinbach の MPFに基づく再結晶核生成と再結晶粒成長の評価が必要となる．

モデルがΣφi = 1 を満たしかつ界面領域が明確に決められるこ

塑性加工時の変形組織は EBSD 法などにより実験的に取得すとに着目し，MPF 法を効率的に解くためのアルゴリズムを提る方法があるが，観察組織から蓄積エネルギー分布を見積も案した．以下そのアルゴリズムの手順である 3)．

る手法は構築されているとは言えず，また実験を用いると体①n 個の phase field φi 変数に対して式(1)を解く．

系的な評価が困難となる．そのため，現時点では結晶塑性論②前のステップでφi = 0 であり，計算された増分量が負のに基づく有限要素法が変形組織予測手法として最も強力なツールであると考えられる．また，再結晶粒成長モデルとしてphase field を phase field グループから外し①に戻る．
③

は，時間・空間的に定量的な評価が可能である Phase-field 法が最も将来性のある手法である．
以上のような背景の下，著者は結晶塑性論と Phase-field 法

phase field を値の大きい順に並び替え，大きい方から nφ個までを保存する．

④nφ 個の phase field がΣφi = 1 を満たすようにφi を調整する．

⑤最近接格子点のφi が零でなく，今考えている格子点のφiを用いた再結晶組織予測モデルの構築を行っている．ここでが零の場合は，その phase field を解く phase field グルー

は，Multi-phase-field (MPF) 法を用いた統一的サブグレイン成プに追加する．

長モデルによる変形組織に基づく静的再結晶モデルと，同⑥MPF 法を用いた熱間加工過程の動的再結晶モデルを紹介し，以上の手順の中で，nφ は各格子点で保存するφi の最大の数で今後の展開と問題点について論じる．

あり，2 次元問題の場合 5 程度にしておけば十分である．

式(1)の n を更新する．

２．MPF シミュレーション

以上のように，式(1)で表される MPF 法と効率的なアルゴ再結晶粒成長の評価には Steinbach ら 1) が提案した MPF モリズムを用いることで，粒成長シミュレーションを定量的にデルを用いる．他にも幾つかの MPF 法が提案されているが，かつ効率的に行うことができる．
３．静的再結晶 (Static Recrystallization : SRX)

本手法は式中の係数と物性値の関係が明確であるため定量的2)な評価が可能であり，また，Kim ら のアルゴリズムと併用

冷間加工後の焼きなまし中に生じる静的再結晶の数値モデすることで極めて効率的な数値シミュレーションが可能とな

ルは大きく 2 つに分けることができる．一つは，核生成条件るため，現時点では最も有用な MPF モデルであろうと考えてを設定し蓄積エネルギーを駆動力とするモデル 4)，もう一ついる．

は，変形時のサブグレイン組織からスタートする粒成長モデ

２・１ MPF モデル Steinbach ら 1) が提案した MPF モデル

ル 3) である．再結晶は駆動力が小さいため，前者のモデルをにおいて，Phase field φi の時間発展方程式は次式のように表用いると数値格子サイズを大きくすることができるが，核生すことができる．
φ&i =成条件が必要でありシミュレートされる組織は核生成条件に大きく左右される．後者はサブグレイン組織を形成し易い高2M ijφ ⎡ n ⎧⎤1⎫ 8−∑∑ ⎨(Wik − W jk )φk + 2 aik2 − a 2jk ∇ 2φk ⎬⎭ − π φiφ j ΔEij ⎥⎦n ⎢⎣ k =1 ⎩j =1(n)(1)φi は i 番目の粒内で 1，他粒内で 0，粒界で 0 < φi < 1 の値をとる phase field であり，数値格子点上でφi > 0 となる n 個のphase field のみ計算の対象とする．勾配係数 aij，エネルギー障
壁 Wij，
phase field モビリティーMφij は次式により粒界エネルギーγij，界面幅δ，粒界モビリティーMij と関係付けることができる．
aij =2π2δγ ij , Wij =4γ ij ,δM φij =π2
M ij8δ

積層欠陥エネルギー材にしか適用できないが，バルジングや異常粒成長による自発的な核生成が可能である．ここでは，後者のモデルと結果を紹介する．
まず，結晶塑性有限要素シミュレーションにより多結晶体の塑性変形をシミュレートする．次に，計算された蓄積エネルギーと結晶方位から変形時のサブグレイン組織を予測する
3)．
図 1 は多結晶モデルを 50%圧縮変形させた場合の蓄積エネルギーと結晶方位の分布である．これらの結果に基づいて予測したサブグレイン組織が図 2(a)である．図 1(a)と図 2(a)を比較すると，蓄積エネルギーの高い領域に細かいサブグレイン(2)式(1)の右辺括弧内の第 1 項は粒界におけるエネルギー障壁項，が配置されており，適切な変形サブグレイン組織予測が行えていることが確認できる．

結晶組織発展を示している．D0 = 30 μm では完全にランダムな核生成が見られるが，D0 = 250 μm では典型的なネックレス構造を確認することが出来る．図 5 は巨視的な応力－ひずみ(a) Stored energy (0.26-1.05 MPa) (b) Crystal orientation (0-π)

関係と粒サイズの変化に対する初期粒径の影響を示している．

Fig.1 Results of crystal plasticity FE simulation (50% compression)

粒サイズが小さいと複数ピークを有する応力－ひずみ関係が確認されるが，粒サイズが大きくなると単一ピークを有する曲線となることが分かる．また，粒サイズの変化より，定常再結晶粒サイズは初期粒径に依存しないことが分かる．

(a) Predicted subgrain structure(b) 60000 steps

本モデルは変形を陽に解かず簡単な転位密度発展式を用いているが，微視組織とマクロな力学挙動を実用的なレベルで関係付けることができている．今後 MPF 法と結晶塑性論を練成させていきたいと考えている．

(c) 120000 steps(d) 180000 steps(e) 240000 steps(f) 600000 steps

Fig.3 DRX microstructure evolutions (D0 = 30 μm)
Fig.2 Microstructure evolutions during MPF simulation
図 2(a)を初期構造とし，粒成長シミュレーションを行った結果が図 2(b)-(f)である．粒界エネルギーと粒界モビリティーは方位差依存性を導入しているため 3)，図 1(b)と図 2(b)を比べ

Fig.4 DRX microstructure evolutions (D0 = 250 μm)

ると分かるように，初期粒界と粒内で方位差が生じたところが核生成サイトとなり，再結晶粒が大きく成長していることが分かる．また，中央の粒の右側は蓄積エネルギーが小さくサブグレインが大きいため，再結晶化が遅いことが分かる．
以上のように，本手法を用いることで変形組織を反映した自発的な核生成を可能とする再結晶組織予測が可能であるこFig.5 Stress-strain curves and variations in grain sizeとが分かる．

４．おわりに
４．動的再結晶 (Dynamic Recrystallization : DRX)

Phase-field 法が脚光を浴び始めてから 20 年になろうとして低中積層欠陥エネルギーを有する金属材料を熱間で加工すいるが，中でも Multi-phase-field 法は材料組織設計を行う上でると，塑性加工による転位の蓄積による硬化と再結晶粒の生極めて汎用性の高い手法であり，また本手法に対して効率的成・成長による軟化が同時に現れる動的再結晶が生じる．動なアルゴリズムを用いることによりパソコンレベルで実用的的再結晶は静的再結晶に比べて現象が複雑であるため，数値な組織発展シミュレーションを行うことが可能となってきてモデルはあまり多く発表されていないようである．ここでは，いる．さらに，ここで紹介したように有限要素法と連成して転位密度の発展を Kocks-Meching モデルにより，再結晶粒成用いることで，塑性変形を含む複数の材料加工プロセスで形長を MPF モデルにより表現する動的再結晶(MPF-DRX)モデ成される材料組織の履歴を考慮した体系的な材料組織設計が可能になってきたと言える．今後の発展が期待される．

5)

ル を紹介する．

謝辞

MPF-DRX モデルの手順は次の通りである．

Phase-field 法に関する研究の遂行にあたり冨田佳宏教授に①

解析領域内の転位密度を一定ρ = ρ0 とする．

②

Kocks-Meching モデル dρ/dε = k1ρ – k2ρ によりひずみ増は多大なご指導とご支援を賜りました．ここに深甚な万謝を分Δε に対する転位密度増分Δρ から転位密度を計算する．

ささげる次第であります．

1/2③ 粒界上の転位密度が核生成臨界値に達したら核生成速度に応じて再結晶核を配置する．その際，核内の転位密度は初期値ρ = ρ0 とする．
④

MPF 法により粒成長過程をシミュレートする．粒成長の

1)
2)
3)

駆動力は隣合う粒の蓄積エネルギー差である．
⑤

解析領域内の平均転位密度ρave からBailey–Hirsch モデル

σ = αμbρave1/2 を用いて巨視的応力を算出する．
図 3 と図 4 は，初期粒径 D0 = 30 μm と 250 μm の場合の再4)
5)

参考文献
I. Steinbach, F. Pezzolla, Physica D, 134, 385 (1999)．
S. G. Kim, D. I. Kim, W. T. Kim, Y. B. Park, Phys. Rev. E,74, 061605 (2006)．
T. Takaki, A. Yamanaka, Y. Tomita, Proceedings of
APCOM'07, (2007).
T. Takaki, Y. Yamanaka, Y. Higa, Y. Tomita, J. Comp-Aid
Mat. Design, 14, 75 (2007).
T. Takaki, T. Hirouchi, Y. Hisakuni, A. Yamanaka, Y. Tomita,Mater. Trans., (2008). in press