数理解析研究所講究録
第 1569 巻 2007 年 1-7

1

強デファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束
川上智博

640-8510 和歌山市栄谷 930

和歌山大学教育学部数学教室

kawa@center.wakayama-u.ac.jp

1. 序文
本稿では、実数体の通常の構造$\mathcal{R}=(\mathbb{R}, +, \cdot, >)$の順序極小拡張$\mathcal{M}=(\mathbb{R}, +, \cdot, >, \ldots)$おいて考察する。 もっと一般的に、 実閉体上でも議論することができるが、$\mathcal{M}$にに制限して考える。 デファイナブルカテゴリーに関しては、 [3], [4] などに性質がまとめられている。 本稿では、 デファイナブル集合は、 すべてパラメータつきで考える。
ここでは、 $G$ がコンパクトデファイナブル群のとき、 デファイナブル $G$ 集合上の $G$ ベクトル束の強デファイナブル $G$ ベクトル束構造の一意存在について考察する。 また、 $G$がコンパクトデファイナブル$C^{r}$群で、 $0\leq r<\infty$ のとき、 アフィンデファイナブル $C^{f}G$多様体上の $G$ ベクトル束の強デファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束構造の一意存在について考察する。

2. セミアルジェブリックベクトル束と NASH ベクトル束$\mathbb{R}^{n}$$0,$$\ldots,$のセミアルジェブリック部分集合とは、 $\{x\in \mathbb{R}^{n}|f_{1}(x)=\cdots=f_{k}(x)=0,$ $h_{1}(x)>$$h_{l}(x)>0$}$f_{i},$$,$$h_{l}\in \mathbb{R}[x_{1}, \ldots, x_{n}]$の形の集合の有限和となることである。 セミアル2000 Mathematics Subject Classification. $14P10,14P20,57R22,57S10,57S15,03C64$.
群, デファイナブル $C^{r}G$
Keywords and Phrases. 順序極小構造, デファイナブル群, デファイナブル
ベクトル束, セミアルジェブリックベクトル束.
$C^{f}$

2
ジェブリック集合とは、 ある[14] により、$\mathbb{R}^{n}$$\mathcal{R}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <, )$のセミアルジェブリック部分集合のことである。 A. Tarskiのデファイナブル集合は、セミアルジェブリック集合となる。

ここでは、 セミアルジェブリック写像は連続であると仮定する。

定義 2.1. セミアルジェブリックベクトル束 $\eta=(E,p, X)$ とは、全空間 $E$ をセミアルジェ

ブリック空間、 底空間 $X$ をセミアルジェブリック集合、 射影 $p:Earrow X$ をセミアルジェブリック写像とし、開被覆を有限セミアルジェブリック開被覆とし、貼り合わせ写像をセミアルジェブリック同相写像としたものである。
セミアルジェブリックカテゴリーにおいても、 セミアルジェブリック束写像、 セミアルジェブリック束同型写像、 引き戻し束を考えることができる。 セミアルジェブリックベクトル束は,$\mathcal{R}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <)$におけるデファイナブルベクトル束である。

定理 22([2]). $\eta=(E,p, X)$ をセミアルジェブリック集合 $X$ 上のベクトル束とする。 このとき、 セミアルジェブリックベクトル束同型を除いて、 ただひとつのセミアルジェブリックベクトル束 $\zeta=(E’,p’, X)$ が存在して、$\eta$と$\zeta$はペクトル束同型となる。

次に普遍ベクトル束を定義する。
定義 2.3.

$n$と$k$を $0\leq k\leq n$ を満たす整数とする。

$G(n, k)=\{A\in M_{n}(\mathbb{R})|A^{2}=A,{}^{t}A=A, trA=k\}$ ,$E(n, k)=\{(A,v)\in G(n,k)\cross \mathbb{R}^{n}|Av=v\}$$u$,: $E(n, k)arrow G(n, k),$ $u((A, v))=A$ ,$\gamma(n, k)=(E(n, k),u,$ $G(n, k))$と定義する。 $\gamma(n, k)=(E(n, k),$ $u,$ $G(n, k))$ は代数的ベクトル東となり、$n$と$k$に付随した普遍ベクトル束という。
定義 24. ランク$k$のセミアルジェブリックペクトル束 $\eta=(E,p, X)$ が強セミアルジェ

ブリックとは、 ある自然数て、$\eta$$n$とあるセミアルジェブリック写像 $f$ : $Xarrow G(n, k)$ が存在しと $f^{*}(\gamma(n, k))$ がセミアルジェブリック束同型となることである。

定理 25([2]). 任意のセミアルジェブリックペクトル束は、 強セミアルジェブリックである。

3
次に Nash ベクトル束を考える。 Nash は、 セミアルジェブリックかつ
このことは、 セミアルジェブリックかっ

Nash 多様体は、$C^{\omega}$$C^{\infty}$$C^{(d}$ことである。と同値である。

多様体であって、 そのチャートの個数が有限個で、 それらの貼り合わせ写像が Nash 写像であるものである。通常のみ定理は成立しない。 Nash 多様体が、 ある$\mathbb{R}^{n}$$C^{\infty}$多様体のように、 Whitney の埋め込に Nash 埋め込み可能のとき、 アフィンという。 セミアルジェブリックベクトル束と同様にして、 Nash ベクトル束を考えることができる。

定義 2.6. アフィン NNash 多様体 $X$ 上のランク

Nash とは、 ある自然数$n$$k$の NNash ペクトル束 $\eta=(E,p, X)$ が強とある Nash 写像 $f$ : $Xarrow G(n, k)$ が存在して、$\eta$と $f^{*}(\gamma(n, k))$が Nash 束同型となることである。

命題 2.7 ([2]).

$\mathbb{R}^{2}$

上に強 NNash でない Nash ベクトル東が存在する。定理 2.5 の Nuh 版は成立しない。
定理 22 の NaSh 版は成立する。
定理 2.8 $([2|)$(1)$\eta$.

$X$をアフィン Nuh 多様体とする。

を $X$ 上のベクトル束とするとき、 NNash ベクトル束同型を除いて、 ただひとつの強 Nash ベクトル東(2)$\zeta$$\eta’$が存在して、$\eta$と$\eta’$がベクトル束同型となる。

を $X$ 上のセミアルジェブリックペクトル束とするとき、 Nash ベクトル束同型を除いて、 ただひとつの強 Nash ベクトル束$\zeta’$が存在して、$\zeta$と$\zeta’$がセミアルジェブリックペクトル束同型となる。

定理 28 の部分的同変版が、 [5] によりなされている。

3. デファイナブル
定義 3.1. 実数体は、$\mathbb{R}$$G$ベクトル束とデファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束$\mathcal{R}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <)$の構造の拡張$\mathcal{N}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <, \ldots)$が順序極小構造との任意のデファイナブル部分集合が開区間 $(a, b),$ $-\infty\leq a<b\leq\infty$ と点の有限和に限ることである。
$\mathcal{M}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <, \ldots)$$(\mathbb{R}, +, \cdot, <)$を実数体$\mathcal{R}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <)$の順序極小拡張とする。 実数体$\mathcal{R}=$の代わりに実閉体 $\mathcal{R}’=(R, +, \cdot, <)$ の順序極小拡張も考えることができるが、4
ここでは、 そこまで拡張して考えない。 以下では、 すべて$\mathcal{M}$上で考える。 また、 デフア

イナブル写像はすべて連続を仮定する。
$\mathcal{M}$$\mathbb{R}$は順序 $<$ を言語の中に含んでいるので、 任意の開区間 $(a, b),$ $-\infty\leq a<b\leq\infty$ はのデファイナブル集合である。 また、 等号 $=$ はいつでも言語に含まれていると考えるのが約束なので、$a\in \mathbb{R}$に対して、点$\{a\}$ものデファイナブル集合である。だから、順$\mathbb{R}$序極小とは、 和 +、積.、順序 $<$ の他に関数関係が加えられていても、$\mathbb{R}$のデファイナブル集合が増えないことを意味している。
例 3.2 ($\mathbb{R}$の順序極小拡張の例). (1)$\mathcal{R}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <)$.

(2) $R_{exp}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <e^{x})$ .
$a^{t}$(3)$R_{S}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <, \{x^{t}\}_{t\in S})$、

ただし、 $S$ は$\mathbb{R}$の部分体で、 $x^{t}=\{$$0$(4) $R_{an}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <, (f))$

、ただし、 $f$ は $f|[-1,1]^{k}$ で$C^{w}$,,で、 その 外で$a\geq 0$$a<0$$0$とする。となる関数すべてを代表して表している。

(5) $R_{an,exp}=(\mathbb{R}, +, \cdot, <, (f),e^{x})$定理 3.3 ([12]). (1)(2)$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$の順序極小拡張は、 非可算個無限個存在する。の極大な順序極小構造は存在しない。

$\mathcal{R}$の順序極小構造に対して、適当な関数を付け加えて、 その拡張となる順序極小構造を構成することができる。
定義 3.4. $0\leq r\leq\omega$ とする。ぴ多様体がデファイナブルぴ多様体とは、 その局所座標近傍系が有限で、 その貼り合わせ写像がデファイナブルぴ写像となることである。
定理 3.5 ([9]). $0\leq r<\infty$ のとき、任意のデファイナブルファイナブル
しかし、$C^{r}$$C^{r}$

多様体 $X$ は、 ある$\mathbb{R}^{n}$にデ埋め込み可能である。 つまり、 $X$ はアフィンである。

$\mathcal{M}=\mathcal{R}$で $r=\infty$ とすると、 デファイナブル

$C^{r}$多様体は、 Nash 多様体となるので、上の定理において、 $r=\infty$ ととることができない。 Nash 多様体のときと違って、デファイナブル
$C^{\infty}$$0\infty$多様体は、 デファイナブル多様体とデファイナブル

$C^{w}$$C^{w}$多様体とは限らない。 デファイナブル多様体については、未知の部分が多いので、今後の研究課題である ([11])。

定義 3.6. 群 $G$ がデファイナブル群 (デファイナブル
集合 (デファイナブル

$C^{r}$ル写像 (デファイナブル
デファイナブル$C^{r}$$C^{r}$群)とは、 $G$ がデファイナブル多様体) であって、群演算 $GxGarrow G,$ $Garrow G$ がデファイナブ$C^{r}$写像) となることである。

群、 Nash 群に関して以下の定理が知られている。

5定理 37. (1) $0\leq r<\infty$ のとき、 任意のデファイナブル群は、 デファイナブル型を除いて、 ただひとつのデファイナブル

$C^{r}$$C^{r}$群同群構造をもっ。

(2) セミアルジェブリック群は、 NaSh 群同型を除いて、 ただひとつの NaSh 群構造をもつ。
$G$をデファイナブル群 (デファイナブル$C^{r}$群) とする。 $G$ 表現写像とは、 $G$ からへの群準同型写像で、 デファイナブル写像 (デファイナブル
$G$

表現写像から導かれた $G$ 作用をもった$\mathbb{R}^{n}$$C^{r}$$O_{n}(\mathbb{R})$写像) となるものである。

を $G$ 表現という。 ここでは、直交表現のみを考える。
定義 3.8. (1) $G$ をデファイナブル群とする。 デファイナブル $G$ 集合とは、 ある $G$ 表現の$G$不変デファイナブル部分集合のことである。

(2)$G$をデファイナブル

$C^{r}$群とする。 デファイナブル $C^{f}G$ 多様体 $(X, \phi)$ とは、 デフア

イナブルぴ多様体 $X$ とデファイナブル
下、$\phi$$C^{r}$

作用$\phi$: $G\cross Xarrow X$ の組のことである。 以を省略して、 $X$ と書いて、 デファイナブル $C^{r}G$ 多様体を表すものとする。

デファイナブル $C^{r}G$ 多様体は、 [10], [8] などにおいて研究されている。

以下の定義は、 定義 23 の同変版である。

定義 3.9. $G$ をデファイナブル群 (デファイナブル
$O_{n}(\mathbb{R})$$C^{r}$群)、$\Omega$

を $n$ 次元 $G$ 表現とし、$B:Garrow$をその表現写像とする。 $M(\Omega)$ を $n\cross n$ 行列全体の集合で、 $(g, A)\in G\cross M(\Omega)arrow$$B(g)AB(g)^{-1}\in M(\Omega)$という $G$ 作用をもっているとする。任意の自然数$\gamma(\Omega, k)=(E(\Omega, k),$ $u,$ $G(\Omega, k))$$k$に対して、を以下のように定義する。

$G(\Omega, k)=\{A\in M(\Omega)|A^{2}=A,{}^{t}A=A,trA=k\}$,$E(\Omega, k)=\{(A,v)\in G(\Omega, k)\cross\Omega|Av=v\}$

$u$

このとき、
れを $G$ と$\gamma(\Omega, k)$$\Omega$,: $E(\Omega, k)arrow G(\Omega, k)$ : $u((A,v))=A$ ,は代数的 $G$ ベクトル束となり、 Nash $G$ ベクトル束にもなっている。 こに付随した普遍 $G$ ベクトル束という。

定義 3.10. (1) デファイナブルベクトル束 $\eta=(E,p, X)$ とは、 全空間 $E$ をデファイナブ

ル空間、 底空間 $X$ をデファイナブル集合、 射影 $P:Earrow X$ をデファイナブル写像とし、開被覆を有限デファイナブル開被覆とし、貼り合わせ写像をデファイナブル同相写像としたものである。

6(2) $0\leq r\leq\omega$ とする。 デファイナブル
底空間 $X$ をデファイナブル

$C^{r}$$C^{r}$

ベクトル束 $\eta=(E,p, X)$ とは、 全空間 $E$ と多様体、 射影 $p:Earrow X$ をデファイナブル

$C^{r}$開被覆を有限デファイナブル開被覆とし、貼り合わせ写像をデファイナブル写像とし、$C^{r}$微分同相写像としたものである。
定義 311. (1) $G$ をデファイナブル群とする。 デファイナブルベクトル束 $\eta=(E,p, X)$がデファイナブル $G$ ベクトル束とは、全空間 $E$ をデファイナブル $G$ 空間、底空間 $X$ をデファイナブル $G$ 集合、射影 $p:Earrow X$ をデファイナブル $G$ 写像とし、任意の $x\in X,g\in G$に対して、 $p^{-1}(x)arrow p^{-1}(gx),$ $yarrow gy$ が線形同型写像となることである。

(2)$G$をデファイナブル

$C^{r}$群、 $0\leq r\leq\omega$ とする。 デファイナブル

$C^{r}$ベクトル束$\eta=(E,p, X)$ がデファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束とは、全空間 $E$ と底空間 $X$ をデファイナ

ブル $C^{r}G$ 多様体、射影 $p:Earrow X$ をデファイナブル $C^{r}G$ 写像とし、任意の $x\in X,g\in G$に対して、 $p^{-1}(x)arrow p^{-1}(gx),$ $yarrow gy$ が線形同型写像となることである。
定義 3.12. (1) $G$ をデファイナブル群とする。 ランク$k$$\eta=(E,p, X)$ が強デファイナブルとは、 ある $G$ 表現とデファイナブル $G$ 写像 $f$ : $Xarrow$$G(\Omega, k)$が存在して、$\eta$$\Omega$のデファイナブル $G$ ベクトル束と $f^{*}(\gamma(\Omega, k))$ がデファイナブル $G$ ペクトル束同型となることである。

(2) $G$ をデファイナブルび群、 $0\leq r\leq\omega$ とする。 アフィンデファイナブル $C^{r}G$ 多様体 $X$ 上のランク$k$

ルとは、 ある $G$ 表現$f^{*}(\gamma(\Omega, k))$のデファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束 $\eta=(E,p, X)$ が強デファイナブ$\Omega$とデファイナブル $C^{r}G$ 写像 $f$ : $Xarrow G(\Omega, k)$ が存在して、$\eta$とがデファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束同型となることである。

本稿における結果は、 以下である。 これは、 [61 の一部である。
定理 3.13. $G$ をコンパクトデファイナブル群、 $\eta=(E,p, X)$ をランク

$k$のデファイナブ

ル $G$ 集合上の $G$ ベクトル束とする。

(1) (I1], [13]). ある $G$ 表現$f^{*}(\gamma(\Omega, k))$$\Omega$とある連続 $G$ 写像 $f$ : $Xarrow G(\Omega, k)$ が存在して、$\eta$とが $G$ ベクトル束同型となる。

(2) $([6|)$ デファイナブル $G$ ベクトル束同型を除いて、 ただひとつの強デファイナブル
$G$

ベクトル束

$\zeta$が存在して、$\eta$と$\zeta$は $G$ ベクトル束同型となる。

定理 314. $G$ をコンパクトデファイナブル

$C^{r}$

群、 $\eta=(E,p, X)$ をアフィンデファイナブ

ル $C^{r}G$ 多様体 $X$ 上のデファイナブル $G$ ベクトル束とし、 $0\leq r<\infty$(1) ([71).

$\eta$

は強デファイナブルである。とする。

7(2) $(\{6])$ . デファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束同型を除いて、 ただひとつの強デファイナブ
ル $C^{r}G$ ベクトル束$\zeta$が存在して、$\eta$と$\zeta$はデファイナブル $G$ ベクトル東同型となる。

系 315. $G$ をコンパクトデファイナブル

$C^{r}$

群、 $\eta=(E,p, X)$ をアフィンデファイナブ

ル $C^{r}G$ 多様体 $X$ 上の $G$ ベクトル束とし、 $0\leq r<\infty$ とする。 このとき、 デファイナブル
$C^{f}G$ベクトル束同型を除いて、 ただひとつの強デファイナブル $C^{r}G$ ベクトル束して、$\eta$$\zeta$が存在と (は $G$ ベクトル束同型となる。

REFERENCES[1] M. F. Atiyah, K-theory, Benjamin, 1967.
[2] J. Bochnak, M. Coste and M.F. Roy, G\’eom\’etie alg\’eb rique r\’eelle, Erg. der Math. und ihrer Grenzg.,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1987.
[3] L. van den Dries, Tame topology and o-minimal stru tures, Lecture notes series 248, London Math.
Soc. Cambridge Univ. Press (1998).
[4] L. van den Dries and C. Miller, Geometric categories and o-minimal stru ctures, Duke Math. J. 84(1996), 497-540.
[5] T. Kawakami, Algebraic vector bundles and Nash vector bundles, Chinese J. Math. 22(3) (1994),
$c$

$G$

$G$275-289.

[6] T. Kawakami, Definablefiber bundles and definable $C^{r}G$ vector bundles, preprint.
[7] T. Kawakami, Definable G-fiber bundles and definable $C^{f}G- fiber$ bundles, Surikaisekikenkyusho
K\={o}ky\={u}roku 1343 (2003), 31-45.
[8] T. Kawakami, Equivariant differential topology in an o-minimal $e\varphi ansion$ of the field of real numbers,Topology Appl. 123 (2002), 323-349.
[9] T. Kawakami, Every definable
manifold is affine, Bull. Korean Math. Soc. 42 (2005), 165-167.
[10] T. Kawakami, Imbedding of manifolds defined on an o-minimal structures on, Bull. Korean Math. Soc. 36 (1999), 183-201.
[11] T. Kawakami, Some open problems in o-minimal empansions of the field of real numbers, Bull. Fac.
Ed. Wakayama Univ. Natur. Sci. 57 (2007), 1-7.
[12] J.P. Rolin, P. Speissegger and A.J. Wilkie, Quasianalytic Denjoy-Carleman classes and o-minimdity,
J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 751-777.
[13] G. Segal, Equivariant K-theory, Inst. Hautes \’Etudes Sci. Publ. Math. 34 (1968), 129-151.
[14] A. Tarski, A decision method for elementary algebra and geometry, 2nd edition. revised, Berkeleyand Los Angeles (1951).
$C^{r}$$C^{r}$$(\mathbb{R}, +, \cdot, <)$