数理解析研究所講究録
1527 巻 2007 年 67-73

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On the finite extinction time of the Ricci flow on
certain 3-manifolds$\sim \mathrm{T}$. . Colding と$\mathrm{H}$$\mathrm{W}$. . Minicozzi II の論文から$\mathrm{P}$名古屋大学多元数理科学研究科

川上$\sim$

裕 (Yu Kawakami)i

Graduate School of Mathematics
Nagoya University

1

序

向き付けられた閉 3 次元多様体の分類を意味する Thurston の幾何化予想(有名な Poincar\’e 予想はこれに含まれている) を解決する手法として, 1980 年代に Richard Hamilton により Ricci flow を用いた幾何解析的手法が導入され, 幾つかの興味深い結果が示された. その研究結果から提唱された, いわゆる “Hamiltonprogram” に関して近年 Grisha Perelman により画期的な結果 ([Pel], [Pe2], [Pe3])が提出され, 現在その議論の正当性を示す幾つかの検証論文 (例えば [CZ], [KL],[MT] などが挙げられる) が出されている ところで, Ricci flOW の解は時間局所$M^{3}$的には常に存在するが, 一般には有限時間内に特異性が生じる. この特異性を活かして, 多様体の分解を考えるのが Hamilton program の主張の 1 つである. その”際, “と呼ばれる手法を用いるのだが, この “surgery” を伴う Ricci flow が$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\gamma$

有限時間内に extinction するかどうかは Ricci flow と topology との関係を調べる上で非常に重要である (ここで flow が extinction するとは, 各点でのスカラー曲率が発散することを意味している). 実際, Perelman は論文 [Pe2] で次のことを証明している.
定理 1.1 (Perelman [Pe2]).

$M^{3}$

上の 1-parameter 計量 $g(t)$ が Ricci flow の方程式$\partial_{t}g=-2Ric_{M_{l}}$(1)

をみたし, 有限時間内で extinction するならば, 初期時間における 3 次元多様体
は 3 次元球面との連結和で表される多様体と微の商空間と乎分同相になる.
$(M^{3},g(\mathrm{O}))$$S^{3}$$\cross S^{1}$

今回紹介する Colding と Minicozzi II の論文 [CM] の主結果は, この定理の逆にあたるものである. Coldi たちがこの問題を取り組むきっかけとなったのはPerelman による次のような質問である ([CM] の序文にそのときのことについて記してある).

3 次元球面上のかってな計量で Ricci flow を走らせたらどのようなことが起こるのか?特に flow は有限時間内に extinction するのではないか?
-mail Address: m02008w@math.nagoya.u.ac.jp

$1E$

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この質問を理解する上で重要な例を 1 つあげる.
を初期値とすの標準計量
例 1.2 (標準計量の有限時間特異性). 3 次元球面(但し $r(0)=1$ ) を考えると, Ricci tensor
る 1-parameter metric $g(t)=r(t)g$(但し, g:j は標準計量 g。n の成分) となるので, これを Ricci flowの方程式 (1) に代入すれば, $r(t)=1$ –4t を得, t=1/4 で計量がつぶれることがわかる. このときの計量 $g(t)$ のスカラー曲率は$S^{3}$$g_{\mathrm{c}an}$。 $n$$\text{が}R_{ij}(t\rangle$$=\mathit{2}g_{1j}$$R(t)= \frac{3}{\mathit{2}\{(1/4)-t\}}$となり,t=1/4 で発散する. 従って,

この flow は有限時間内で extinction する.

今回紹介する主結果はその質問の答えである.
を, $g=g(0)$ を初期計量定理 1.3 (Colding-Minicozzi [CM1, Perelman [Pe3]).にもつホモトピー球面とする. この多様体で Ricci flow g(t) を考えたとき, g(t) は必ず有限時間内で extinction する.
$M^{3}$

注意 1.4. この結果は non-aspherical (ある $k>1$ に対して $\pi_{k}(M)\neq 0$ となる多様体)

で素な向き付けられた閉 3 次元多様体に対しても成り立つ.

本稿では, Colding-Minicozzi がこの主結果の証明のために用いた “width” と呼ばれる量の評価式とその証明の概略を紹介する.

2width の定義と主結果の証明について

この節では, 主結果を示すための ‘Width” と呼ばれる量の定義とその評価式について述べる. 向き付けられた閉 3 次元多様体 M3 が non-aspherical であるとき, 球面定理や Hurewicz isomorphism theorem といった topoloy の結果から $\pi_{3}(M)\neq 0$であることがわかり, さらにそのことから 2 次元球面 S2 から M への写像の成す(Sobolev) 空間が単連結ではないことがわかる (詳しくは論文 [MM] 参照). よって, この多様体に対して “width” という量を定義することができる.
が定値写像であり, かつ非自明と定義 2.1 (Colding-Minicozzi [CM]).に属する連続写像 $\beta:[0,1]arrow C^{0}\cap L_{1}^{2}(S^{2}, M)$ を 1 つ固定する.
なホモトピー類
このとき, “width” $W(g)=W(g, [\beta])$ を次のように定義する.
$\beta(0)$$\beta(1)$$[\beta]$$W(g)= \min\max \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}y(\gamma(s))$.

(2)$\gamma\in[\beta]\epsilon\in[0,1]$

注意 2.2. “width” の定義 (2) ではエネルギー汎函数を用いて定義しているが面積汎函数を用いて定義しても同じ量になる. このことから, “width” と呼ばれる量の幾何学的意味は-out の中で切り口 (slice) が最大となるものを考え, その中でできる面積最小曲面 (極小曲面) の面積\sim であると解釈することができる.
$\mathrm{f}\mathrm{s}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{e}\gamma$

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さて,Ricci flow の解 g(t) によって定義される width の微分に関して次の評価式が成り立つ.

定理 2.3 (Colding-Minicozzi [CM]).
を $g=g(\mathrm{O})$ を初期計量にもつ non-asphericalな向き付けられた閉 3 次元多様体とする. この多様体上の l-parameter 計量 g(t) がRjcci flow の方程式 (l) をみたすならば, その計量に関する width W(g(t)) は次の式をみたす.
$M^{3}$$\frac{\overline{d}}{dt}W(g(t))\leq-4\pi+\frac{3}{4(t+C)}W(g(t))$

.

(3)

但し,
$\frac{\overline{d}}{dt}W(g(t))=\lim \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{n}harrow+0$$\frac{W(t+h)-W(t)}{h}$である.

注意 2.4. この評価式 (3) に現れる量はそれぞれ幾何的な結果によって生じるものである. 実際, $-4\pi$ は Gauss-Bonnet の定理から生じ, 3/4 は Ricci flow のスカラー曲率が従う発展方程式の解の最小値 (下限) から生じるものである. C は初期計量に依存した定数であるが, 実際の値はこの結果には重要ではない.

この評価式から主結果である定理 13 を導くことができる. 実際、評価式 (3) より,$\frac{\overline{d}}{dt}W(t)(t+C)^{-3/4}=$.

$(t+C)^{-3/4}( \frac{\overline{d}W(t)}{dt}-\frac{3W(t)}{4(t+C)})\leq-4\pi(t+C)^{-3/4}$.

よって, 両辺を t に関して 0 から T まで積分すると,$(T+C)^{-3/4}W(g(T))\leq C^{-3/4}W(g(0))-16\pi\{(T+C)^{1/4}-C^{1/4}\}$(4)が成り立つ. 定義より $W\geq 0$ であり, (4) の右辺は $T$ が十分大きいとき負の値になることから定理 13 の結果が従う. よって, 定理 23 の width に関する評価式 (3)を証明すれば定理 13 の証明が完成することになる. 以後の節ではこの評価式 (3)の証明について述べることにする.

3

minimal 2-sphere の面積増大度の評価

この節では, この後の証明で用いられる non-aspherica1 な閉 3 次元多様体内のを単なる closed
minima12-sphere の面積増大度の評価式について述べる. 今
上の l-parameter
immersed surface とし, $g(t)$ を Ricci flow の式 (1) をみたす計量とする. このとき, 次の式が成り立つ (詳しくは [Ha] の 38 ページから 41 ページを参照\rangle .
$\Sigma\subset M^{3}$$M^{3}$$\frac{d}{dt}|_{t=0}Area_{g(t)(\Sigma)=-}\int_{\mathrm{Z}}[R-Ric_{M}(\mathrm{n}, \mathrm{n})]$

,

(5)

70

に対しはそれぞれ $M$ のスカラー曲率, リッチ曲率 (3 次元球面を に対する単位法ベクトて $R=6,$ $Ric=\mathit{2}$ となるように正規化しておく) ,但し $R$ ,$S^{3}$$Ric_{M}$$\Sigma$$\mathrm{n}$

さらに,

ルとする.
立つ.

$\Sigma$が closed minimal immersed surface のとき, 次の式が成り$\frac{d}{dt}|_{t=0}Area_{g(t)}(\Sigma)=-\int_{\Sigma}K_{\mathrm{Z}}-\frac{1}{2}\int_{\Sigma}(|A|^{2}+R)$

Gauss 曲率,,(6)の第 2 基本形式 (つまりは主曲率の平方の和となる) である. 実際, リッチ曲率とスカラー曲率の定義から導くことができる
但し,$K_{\mathrm{Z}},$$K_{M}$

はそれぞれ $M,$$\Sigma$の$A$

は$\Sigma$$|A|^{2}$$R=2K_{M}+\mathit{2}Ric_{M}(\mathrm{n}, \mathrm{n})$とガウス方程式と$\Sigma$の極小性 (主曲率の和が ) から導くことができる$0$$K_{\Sigma}=K_{M}- \frac{1}{2}|A|^{2}$

を (5) に代入することで (6) を得ることができる. 式 (6) から次の結果を得る.

を分岐した closed minimal immersed
補題 3.1 (Colding-Minicozzi [CM]).
(
以後これを分岐したminimal 2-sphere と呼ぶことにする) としたとき, 次
sphere$\Sigma\subset M^{3}$の式が成り立つ.
$\frac{d}{dl}|_{t=0}Area_{g(t)}(\Sigma)\leq-4\pi-\frac{Area_{g(0)}(\Sigma)}{2}\min_{M}R(\mathrm{O})$

Proof. 集合$\{p_{i}\}$を$\Sigma$の分岐点の集合とし,$b_{i}>0$を$p_{i}$.

(7)における branching orderとする. このとき (6) と分岐点を伴う閉曲面に対する Gauss-Bonnet の定理から$\frac{d}{dt}|_{t\triangleleft}-Area_{g(t)}(\Sigma)\leq-\int_{\Sigma}K_{\Sigma}-\frac{1}{\mathit{2}}\int_{\Sigma}R=-4\pi-\mathit{2}\pi\sum_{i}b_{i}-\frac{1}{2}\int_{\mathrm{Z}}R$.

よって, この補題が示された

口

また, Ricci flow の解 g(t) のスカラー曲率 R は発展方程式(8)$\partial_{t}R=\triangle R+2|Ric|^{\mathit{2}}\geq\triangle R+\frac{2}{3}R^{2}$をみたすので, 弱最大値原理 (詳しくは [To] 参照) から次の補題が成り立つ.

補題 3.2. Ricci flow の式 (1) をみたす
上の 1-parameter 計量 $g(t)$ のスカラー
曲率 $R=R(t)$ に対して, ある定数 $C$ が存在し, $t>0$ のとき次の不等式が成り$M^{3}$立つ.
$R(t) \geq-\frac{3}{2(t+C)}$.

(9)

式 (7) と (9) を組み合わせることで, 次の式が得られる.
$\frac{d}{dt}|_{t-\triangleleft}Area_{g(t)}(\Sigma)\leq-4\pi+\frac{3Area_{g(0)}(\Sigma)}{4(t+C)}$

.

(10)

71

4width の増大度の評価式の証明について

この節では, 前節で示した minimal 2-sphere の面積増大度の評価を用いて, 定
理 2.3 を証明する. まず, width $W(g)$ と minimal 2-sphere との関係について, 次の結果が知られている.

.

命題 4.1
non-aspherical な閉 3 次元多様体$M)$上で与えられた計量 g と非自明なホモトピー類に対して, あるが存在し,に属する swaep–out の列 :$(\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}[\mathrm{J}\mathrm{o}], \mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}- \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}[\mathrm{M}\mathrm{M}], \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{u}- \mathrm{Y}\mathrm{a}\mathrm{u}[\mathrm{S}\mathrm{Y}])$$M^{3}$$[\beta]\in\pi_{1}(\sigma\cap L_{1}^{2}(S^{2}, M),$$[\beta]$$\gamma^{j}$$[0,1]arrow\sigma\cap L_{1}^{2}(S^{\mathit{2}}, M)$$W(g)= \lim_{jarrow\infty}.\max_{\in[0,1]}Energy(\dot{\psi}_{\delta})$.

さらに, ある点列 $s_{j}\in[0,1]$ と index が高々 1 の分岐した conformal minimal im$jarrow\infty$ のとき, 写像の列はmersion 吻,$\ldots,u_{m}$ : $S^{2}arrow M$ が存在し,の意味で弱収束上のコンパクト部分集合で–様にかつ恥にし, 次の式が成り立つ.
$u_{1},$$\gamma_{\epsilon_{j}}^{j}$$S^{2}\backslash \{x_{1}, \ldots,x_{k}\}$$L_{1}^{2}$$W(g)= \sum_{i=0}^{m}Energy(u_{i})=\lim_{jarrow\infty}Energy(\psi:_{j})$最後に, 各 $i>0$ に対して, 点品$S^{2}$が存在して, 写像$\gamma_{\epsilon_{\mathrm{j}}}^{j}$$\{x_{k}‘\}$と$x_{k_{i}}$.

における conformal dilation$D_{:,j}$: 乎$arrow$

D 痔が : に収束する.

。

$u$

さらに上手く変形することによって, 命題 41 で述べた sweep-out\mbox{\boldmath $\gamma$}j の min-max
列に対して, 次の性質を付け加えることができる.
性質 42. 次のような性質をみたす列が存在する : 与えられたて, ある $J$ ととに依存する $\delta>0$ が存在し, もし $j>J$ で$\{\gamma_{j}\}$$g$$\epsilon>0$に対し$\gamma_{j}$(11)$\dot{E}nergy(\dot{\psi}_{l})>W(g)-\delta$

ならば, index が高々 1 の分岐した minimal 2-sphere の集まり$\{\Sigma_{1}\}$が存在し, 次の式が成り立つ.
$d_{vat}( \bigcup_{i}\Sigma_{:},\dot{\psi}_{s})<\epsilon$.

(12)

但し,とは varifold distance のことを意味する (定義などの詳しいことは [CL]の第 4 章を参照).
$d_{var}$が width $W(g)$ とほぼ同じ大きさであれ上の性質を端的に言えば,
ば,は index が高々 1 の分岐した minimal 2-sphere の和集合に varifold の意味で近づく』 ということである. これから証明に用いることは式 (12) から容易に導くことができる次のことである: $F$ を $M$ 上の 2 次形式,を で表すと次の式が成り立つ.
$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}y(\gamma_{\epsilon_{k}}^{k})$$\gamma_{s_{k}}^{k}$$\gamma_{\epsilon}^{j}$$\Gamma$.

$| \int_{\Gamma}[Tr(F)-F(\mathrm{n}_{\Gamma},\mathrm{n}_{\Gamma})]-\sum_{:}\int_{\Sigma_{:}}[Tr(F)-F(\mathrm{n}_{\Sigma}\mathrm{n}_{\Sigma}):’:]|<C\epsilon||F||_{C^{1}}Area(\Gamma)$

(13)

72

以上の準備を踏まえて, 定理 23 を証明する. 時間 \tau を 1 つ固定し, \mbox{\boldmath $\gam a$}j(\tau ) を命
題 41 の性質をみたす計量 $g(\tau)$ の sweep-out の列とし, $\delta>0$ と を (11), (12),(13) をみたすものとする 今, $j>J$ で $Energy_{g}(\tau)(\gamma_{\epsilon}^{j}(\tau))>W(g)-\delta$ であるとを性質 42 内の分岐した minimal 2-sphere の集まりとする. 式
仮定し,(13) で $F=Ric$ とすると,$J$$\bigcup_{\dot{*}}\Sigma_{\delta}^{j},(:\tau)$$\frac{d}{dt}|_{t=\tau}Area_{g\langle\tau\rangle}(\dot{\psi}_{l}(\tau))$$\frac{d}{dt}|_{t=\tau}Area(\bigcup_{i}\Sigma_{\iota,i}^{j}(\tau))+C\epsilon||Ric_{M}||_{C^{1}}Area_{g(\tau)}(\dot{\psi}_{l}(\tau))$$\leq$$-4 \pi+\frac{3Area_{g(\tau)}(\gamma_{l}^{j}(\tau))}{4(t+C)}+C_{a}\epsilon$$\leq$$-4 \pi+\frac{3\max_{l\in[0,1]}Energy_{g(\tau)}(\gamma_{\epsilon}^{j}(\tau))}{4(t+C)}+C_{a}\epsilon$.

( (t)) を t=\tau 付近で order2 の Tay1or 展開をすることで, \tau とによらない十分小さいんに対して次の式が成り立つ.

よって,
$j$

$\leq$$Area_{g(t)}$$\gamma_{\epsilon}^{j}$$\frac{Area_{g(\tau+h)(\gamma_{\iota}^{j})-Area_{g(\tau)}(\gamma_{l}^{j})}}{h}\leq-4\pi+\frac{3\max_{\iota\in[0,1]}Energy_{g(\tau)}(\gamma_{\epsilon}^{j})}{4(t+C)}+C_{a}\epsilon+C_{b}h$(14)
また, 一般に $Area_{g(t)}(\gamma_{l}^{j})\leq Energy_{g(t)}(\gamma_{l}^{j})$ であり,$jarrow\infty$としたとき$\iota\in[0,1]\mathrm{m}uEnergy_{g(t)(\prime\dot{\oint}_{*})}arrow W(g(t))$

であることより,$\frac{W(g(\tau+h))-W(g(\tau))}{h}\leq-4\pi+\frac{3}{4t+C}W(g(\tau))+C_{a}\epsilon+C_{b}\text{ん}$上の式 (15) の上極限をとり,$W(g)-\delta$ のとき$\epsilonarrow 0$とすれば式 (3) を得る

また,Energy(15)$(\gamma_{\ell}^{\mathrm{j}}(\tau))\leq$, 計量 $g(t)$ の連続性からんを十分小さくとることによって (14) を得ることができるので, この場合にも式 (3) を得ることができる. これで定理 23を証明することができた.

5

追記

今回紹介したのは Colding-Minicozzi による証明であるが, Perelman のプレプ
リント [Pe3] にはこれとは別のやり方 (例えば, Perelman は minimal 2-8phere ではなminimal disk を考えている.) で有限時間内の extinction を証明している.
Perelman による証明に関しては Morgan-Tian のプレプリント [MT] に詳しく記されている. ちなみに, Morgan-Tian からみると Colding-Minicozzi による証明は$\text{く}$Perelman のものより技術的に少し難しく感じるようである. (Colding-Minicozzi の論文 [CM] には Perelman の証明の方が技術的に難しいと記してある.)

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参考文献
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[Pel] G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, preprint, math.
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Ricci flow with surgery on three-manifolds, preprint,$\mathrm{D}\mathrm{G}/0303109$.

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