量子ドットの自己形成 Phase-field シミュレーション
Phase-field simulation of self-formation process of quantum dots

○正高木 知弘(神戸大・海科)

正冨田 佳宏(神戸大・工)Tomohiro TAKAKI, Faculty of Maritime Sciences, Kobe University, Kobe
Yoshihiro TOMITA, Faculty of Engineering, Kobe University, Kobe
Key Words : Quantum dot, Self-formation, Phase-ﬁeld method

1

緒言

ドブロイ波長以下の微小な三次元空間に電子を閉じ込める量子ドット構造は，現在のナノテクノロジーの分野で最も注目を集めているテーマの一つであり，次世代デバイスの開発のために高い期待が寄せられている．量子ドットの作成方法の一つとして，自己形成法(1)(2)(3) がある．自己形成法は，生成されるドットのサイズ揺らぎや位置制御などの問題を抱えているが，要求される非常に微細なドットを数多く比較的容易に生成することが可能であるため，現在最も注目されている方法である．自己形成法により生成される量子ドットのサイズや形状は，基板と薄膜の表面エネルギーと界面エネルギーおよび格子不整合ひずみエネルギーのバランスによって決定される．
著者らのグループでは，影響の顕著な表面エネルギーと格子不整合ひずみエネルギーに注目し，量子ドットの成長過程に生じる島形態変化(4) およびそれにより生じるサイズの bimodal 分布(5) を Phase-ﬁeld 法を用いることで再現することを可能とした．本研究では，より精度の高いシミュレーションモデルの構築および量子ドット形成メカニズムの解明を目指して，Multi-phase-feild モデル(6) を導入し，基板と薄膜の界面エネルギーが形態形成におよぼす影響を評価する．

2

Multi-Phase-Field モデル

図 1 に示すような気相，薄膜，基板より構成されるエピタキシャル成長モデルを考え，それぞれの相の体積分率を 3 つの秩序変数，φ1 ，φ2 ，φ3 を用いて表す．つまり，φ1 ，φ2 ，φ3 は，それぞれ気相，薄膜，基板中で 1，それ以外の相中で 0 となり，界面 (表面) 領域で滑らかに変化する．ここで，これら 3 つの秩序変数を用いた次の自由エネルギー汎関数を考える(6) ．
 3 a2ij−F =Vi=1 j>i2

∇φi · ∇φj + Wij φ2i φ2j+ fe dVを考慮した φ2 の時間発展式は次のように表される．
δF∂φ2= ∇ · M∇
+ S · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)∂tδφ2
ここで，M は表面拡散を表すモビリティーである．薄膜の表面エネルギーの異方性を a12 = a12 (θ) として考慮す
ると，2 次元問題における汎関数微分 δF/δφ2 は次のように算出することができる．
δF
δφ2 =

−∇ · a212 ∇φ222+ 12 −∇ · a212 ∇φ
3 + ∇ · a23 ∇φ3 −∇ · a31 ∇φ3∂∂
12 ∂φ212 ∂φ2a12 ∂a− ∂ya12 ∂a+ ∂x∂θ ∂y∂θ ∂x∂θ∂
12a12 ∂a− ∂x∂θ ∂φ2,x ∇φ3 · ∇φ2∂θ∂12a12 ∂a− ∂y∂θ ∂φ2,y ∇φ3 · ∇φ2(3)∂fe+2W12 φ1 φ2 (φ1 − φ2 ) + 2W23 φ2 φ23 − 2W31 φ23 φ1 + ∂φ2

ここで，下付の (), x，(), y はそれぞれ x，y による微分を表している．θ は x 軸から反時計回りにとった薄膜表面の法線方向の角度である．
異方性を考慮した勾配エネルギー係数 a12 (θ) には次式を用いる．
ā12{1 + γ cos (kθ)} · · · · · · · · · · · · (4)a12 (θ) =1+γ
ここで，ā12 は定数，γ は異方性強度，k は異方性モードである．θ > π の領域に対しては a12 (θ) = ā12 としている．
また，自己形成法により生成される量子ドットはファセッ
ト面を有する島形態を呈することが知られている(1)(2)(3) ．
このファセット島形態を再現するために，高い異方性強度を導入する．この場合，異方性強度が γ > 1/ k 2 − 1となると平衡形に現れない角度領域が現れる．平衡形に現れない角度領域 (2πi/k − θm ) < θ < (2πi/k + θm ) では，次式に示す修正した勾配係数を用いることで，ファ(1)

ここで，条件 φ1 + φ2 + φ3 = 1 が絶えず成り立つと仮定している．aij と Wij はそれぞれ i 相と j 相間の勾配エネルギー係数とエネルギー障壁の高さである．また，fe は薄膜と基板の格子不整合により生じる弾性ひずみエネルギーである．
基板の表面形態は時間と伴に変化しないと仮定すると，
φ1 = 1 − φ2 − φ3 と表されるので，独立変数は φ2 のみとなる．φ2 は薄膜の体積分率であり保存量であるので，Cahn-Hilliard の式に従うと，薄膜成長のための蒸着項 S

energyσ12 surface
between φ and φVapor : φ1 = 112Film : φ2 = 1yenergy
σ31 surface
between φ and φ3x1energy
σ23 interface
between φ and φ23Substrate : φ3 = 1Fig. 1 Schematic illustration of an epitaxial growth modelσ23 = 0.25 J/m2

σ23 = 0.50 J/m2isotropy

γ = 0.02

σ23 = 1.00 J/m2

σ23 = 1.25 J/m2

γ = 0.04

γ = 0.06

σ23 = 1.50 J/m2

σ23 =3.00 J/m2

Fig. 4 Equilibrium shapes with anisotropic surface energy
σ12 , in which σ23 = 0.25 J/m2 and σ31 = 1.00 J/m2

Wetting angle Θ [degree]

Fig. 2 Equilibrium shapes with isotropic surface energy of
σ12 = σ31 = 1.00 J/m2

Numerical results

σ12σ31Θσ23

σ23 [J/m2]

Fig. 3 Wetting angle under diﬀerent interface energies σ23

セット形態に現れるシャープなコーナーを表現する．
a (θm )a (θ) =cos θ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (5)cos θm
ここで，θm は平衡形に含まれない領域の最大角度である．
式 (1) 中の定数 aij と Wij は，相 i と j の 2 相状態の 1次元平衡問題を考えることで，
3δσij
6σij b, Wij =· · · · · · · · · · · · · · · · · (6)aij =bδと決定される．ここで，δ は界面幅，σij は 相 i と j 間の界面（表面）エネルギー，b は定数である．また，
φ3 は一次元平衡プロファイル φ3 = 12 tanh δb (ysubst − y) + 1としている．ここで，ysubst は基板表面の y 座標である．
式 (1) 中の弾性ひずみエネルギー fe は次式により定義する．
1fe (φ2 , εij ) = Dijkl (φ2 ) εij − ε0ij εkl − ε0kl (7)2ε0ij は基板と薄膜の格子不整合により生じる薄膜内の初期ひずみである．Dijkl (φ2 ) は気相中で零，固相中で弾0性率 Dijklの値を持つ滑らかに変化する弾性係数であり，0Dijkl (φ2 ) = ρ (φ2 ) Dijkl

4

シミュレーション結果

数値シミュレーションの精度を評価するため，表面エネルギーの異方性と弾性ひずみエネルギーを考慮せず(γ = 0，fe = 0)，表面エネルギー σ12 = σ31 =1.00 J/m2一定のもと界面エネルギー σ23 を変化させて，濡れ角を結言

薄膜と基板の界面エネルギーが量子ドットの形態発展におよぼす影響を評価するために，薄膜の表面エネルギーの異方性および薄膜材の蒸着項を考慮することの可能な Multi-Phase-Field モデルを構築した．また，弾性ひずみエネルギーと表面エネルギーの異方性を考慮せずにシミュレーションを行い，算出された濡れ角とヤングの式を比較し，数値シミュレーションの精度を確認した．
ファセット，弾性ひずみエネルギー，薄膜蒸着項の評
価に関しては，講演会において発表する．

参考文献
(1)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (8)によって表される．ρ (φ2 ) は ρ (φ2 ) = p3 10 − 15p + 6p2としている．ここで，p = φ2 + φ3 で表される固相の体積分率である．また，表面拡散によって発展する薄膜表面の移動に対して応力場は瞬間的に追従するとして，常に応力平衡 σij,j = 0 が満足されると仮定している．

3算出しヤングの式と比較する．図 2 はシミュレーションの結果得られた各 σ23 の値に対する薄膜の平衡形を示している．図より，σ23 が小さい場合は薄膜と基板の界面領域が大きく薄膜は半楕円状の形態を示すが，σ23 が大きくなるにつれて薄膜は円形に近づき，σ23 = 3.00 J/m2 では基板から完全に離れ，円形になっていることがわかる．図 3中の実線は，ヤングの関係式(7) σ31 = σ23 + σ12 cos (Θ)
より σ12 = σ31 =1.00 J/m2 の条件の下，σ23 を変化させて得られた濡れ角 Θ の変化を示している．また，図 3 中• はシミュレーションより得られた結果である．図 3 より，ヤングの式とシミュレーション結果の差は ±5 度の範囲となり，本シミュレーションが精度良く濡れ角を再現できていることが分かる．
図 4 は，弾性ひずみエネルギー fe = 0，σ12 = σ31 =1.00
J/m2 ，σ31 =0.25 J/m2 ，異方性モード k = 4 の条件の下で，異方性強度 γ を 0.0，0.2，0.4，0.6 と変化させてシミュレーションを行った際の平衡形態を示している．図4 より，異方性強度 γ が大きくなると，薄膜の形態が半楕円形から半正方形へ近づき，異方性形態を精度良く表現できていることが分かる．

(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

(7)

G. Medeiros-Ribeiro, A.M. Bratkovski, T.I. Kamins,
D.A.A. Ohlberg, R.S. Williams, Science, 279 (1998),
353 – 355.
Y.-W. Mo, D.E. Savage, B. S. Swartzentruber, M. G.
Lagally, Phys. Rev. Lett., 65 (1990), 1020 – 1023.
F.M. Ross, R.M. Tromp, M. C. Reuter, Science, 286(1999), 1931 – 1934.
T. Takaki, T. Hasebe, Y. Tomita, J. Crystal Growth,287 (2006), 495 – 499.
高木知弘, 冨田佳宏, 材料, 55 (2006), 掲載予定.
D. J. Seol, S. Y. Hu, Z. K. Liu, L. Q. Chen, S. G.
Kim, K. H. Oh, J. Appl. Phys., 98 (2005), 044910-1– 044910-5.
T. Young, Philos. Trans. Roy. Soc., 95 (1805), 65 –87.