数理解析研究所講究録
第 1819 巻 2012 年 103-110

103

The Zbaganu constant of absolutenormalized spaces

新潟大学大学院自然科学研究科水口洋康 (Hiroyasu Mizuguchi)
Graduate School of Science and Technology, Niigata University
新潟大学理学部
斎藤吉助(Kichi-Suke Saito)
Faculty of Science, Niigata University

1 .Introduction
Banach 空間において von Neumann-Jordan 定数や James 定数など様々な Banach

空間の幾何学的定数が存在する．これらは Banach 空間の幾何学的構造を調べる上で重要であり，不動点理論などに関連して急速な発展を遂げている．
$X$を Banach 空間，$S_{X}=\{x\in X|1x\Vert=1\}$ を $X$ の単位球面とする．Jordan-von

Neumann([7]) は 1935 年，内積空間を中線定理を満たすノルム空間として特徴付けた論文の中で，任意の Banach 空間 X に対して$\frac{1}{2}\leq\frac{\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}}{2(||x||^{2}+||y\Vert^{2})}\leq 2, \forall_{x,y\in X}, (x, y)\neq(0,0)$となることを注意している．このことに関連し Clarkson([4]) は 1937 年に Banach 空
間の丸さの度合いを表す次の概念を導入した．
$\frac{1}{C}\leq\frac{\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}}{2(\Vert x||^{2}+||y\Vert^{2})}\leq C, \forall_{x,y\in X}, (x, y)\neq(0,0)$

を満たす

$C$

の最小値を von Neumann-Jordan $(NJ)$ constant といい，
$C_{NJ}(X)$ と表記する．Jordan -von Neumann の指摘から $1\leq C_{NJ}(X)\leq 2$ であり，中線定理が内積空間を特徴づけることから $C_{NJ}(X)=1\Leftrightarrow X$ :Hilbert 空間である．又，$C_{NJ}(X)<$
uniformly non-square (UNS) であることもよく知られている．ここで $X$ がuniformly non-square (UNS) であるとは，ある $\delta>0$ が存在し $\Vert x-y\Vert>2(1-\delta)$ ,$x,$ $y\in S_{X}$ ならば $\Vert x+y\Vert\leq 2(1-\delta)$ であることを言う．
Clarkson は Clarkson の不等式を用いて 空間の $NJ$ constant を求め，斎藤加藤高橋 ([9]) は
上 absolute normalized norm の $NJ$ constant の値を計算，評価した．
’$2\Leftrightarrow X:$$L_{p}$$\mathbb{C}^{2}$

他にもこの定数に関し多くのことが研究されている ([1,8,12] 他多数).
更に，近年 $NJ$ constant に近い形をした定数が数多く定義，研究されている．

$Zb\check{a}ganu$は次を定義した．

104$X$ の Zbaganu constant $C_{Z}(X)$ を
Definition 1.1. ([13]) Banach 空間 $X$ に対し，

$C_{Z}(X)= \sup\{\frac{\Vert x+y||\Vert x-y\Vert}{\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}}$$x, y\in X, (x, y)\neq(0,0)\}$で定義する．

この定数について，[9] に倣い$\mathbb{R}^{2}$

上 absolute normalized norm の値について幾つかの結果を得たので，ここで述べる．

2 .Preliminaries
Banach 空間 $X$ に対し$\frac{1}{C}\leq\frac{\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}}{2(||x||^{2}+||y\Vert^{2})}\leq C, \forall_{X,y\in X}, (x, y)\neq(0,0)$を満たす の最小値を von Neumann-Jordan $(NJ)$ constant といする．すなわち，$C$$4^{t},$$C_{NJ}(X)$$C_{NJ}(X)= \sup\{\frac{\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}}{2(||x||^{2}+||y\Vert^{2})} x, y\in X, (x, y)\neq(0,0)\}$である．
$C_{NJ}(X)= \sup\{$ $\frac{\Vert x+ty||^{2}+||x-ty\Vert^{2}}{2(1+t^{2})}$$x,$ $y\in S_{X},$$0\leq t\leq 1\}$の形で扱われることも多い．
$-\hslash$$C_{Z}(X)= \sup\{\frac{\Vert x+y||\Vert_{X}-y\Vert}{\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}} x, y\in X, (x, y)\neq(0,0)\}$であるが，任意の$x,$ $y\in

X$

に対し，

$\frac{\Vert x+y||\Vert x-y\Vert}{\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}}\leq\frac{\Vert x+y\Vert^{2}+\Vert x-y\Vert^{2}}{2(||x||^{2}+||y\Vert^{2})}\leq 2$$y=0$ とするとであり，$\frac{\Vert x+y||\Vert x-y\Vert}{\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}}=\frac{\Vert x||^{2}}{||x||^{2}}=1$$1\leq C_{Z}(X)\leq C_{NJ}(X)\leq 2$ である．
であるため，と表記

105
また任意の $x,$ $y\in X$ に対しが成り立つとき，任意の $u,$ $v\in S_{X}$ に対し $\Vert u+v\Vert^{2}+\Vert u-v\Vert^{2}\geq 4$ であるが，このことは内積空間の特徴付けになっている ([5, 11]) ので $NJ$ constant 同様，$C_{Z}(X)=1\Leftrightarrow X$ : Hilbert 空間が成$\Vert x+y\Vert\Vert x-y\Vert\leq\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}$

立する．更に$C_{Z}(X)<2\Leftrightarrow X$: uniformly non-square (UNS) であることも知られている．

このような $NJ$ constant と共通した性質に加えて， 空間， 空間などに対しても$L_{p}$$l_{p}$

2 つの定数の値が等しいことなどから Zbaganu は任意のノルム空間においてこの定数は $NJ$ constant と等しくなると予想した．
Example 2.1. (Zbaganu の予想に対する反例，[2])$\mathbb{R}^{2}$に次のノルム$\Vert(x_{1}, x_{2})\Vert=\{\begin{array}{ll}\max\{|x_{1}|, |x_{2}|\} (x_{1}x_{2}\geq 0)|x_{1}|+|x_{2}| (x_{1}x_{2}\leq 0)\end{array}$を与えた空間を $X$ とする．このとき$C_{Z}(X)= \frac{5}{4}<\frac{3+\sqrt{5}}{4}=C_{NJ}(X)$が得られる．

(or$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{R}^{2}$) 上のノルム$\Vert\cdot\Vert$

が absolute であるとは，任意の $z,$て $\Vert(z, w)\Vert=\Vert(|z|, |w|)\Vert$ が成立するときを言う．また，(or ) に対し
カ normalized であると
$w\in \mathbb{C}$$\mathbb{R}$$\grave{}\grave{}\grave{}$$\Vert\cdot\Vert$

は $\Vert(1,0)\Vert=\Vert(0,1)\Vert=1$ を言う．例えば， ノルムは absolute normalized である．
$l_{p^{-}}$$\Vert(z, w)\Vert_{p}=\{\begin{array}{l}(|z|^{p}+|w|^{p})^{\frac{1}{p}} (1\leq p<\infty) ,\max(|z|, |w|) (p=\infty) .\end{array}$$\Lambda N_{2}$を$\mathbb{C}^{2}$上の absolute normalized ノルム全体とする．任意の$\Vert\cdot\Vert\in AN_{2}$に対して$\psi(t)=\Vert(1-t, t)\Vert(0\leq t\leq 1)$

とおく．このとき は [0,1] 上の連続凸関数で $\psi(0)=\psi(1)=1$ かつ $\max(1-t, t)\leq$を満たす．このような性質を満たす関数の全体をとする．任意の$\psi$$\psi(t)\leq 1$$\Psi_{2}$$\psi\in\Psi_{2}$に対して$\Vert(z, w)\Vert_{\psi}=\{\begin{array}{ll}(|z|+|w|)\psi(\frac{|w|}{|z|+|w|}) ((z, w)\neq(0,0))0 ((z, w)=(0,0))\end{array}$

とおくとと$\Psi_{2}$$\Vert\cdot\Vert_{\psi}\in AN_{2}$

かつ $\psi(t)=\Vert(1-t, t)\Vert_{\psi}(0\leq t\leq 1)$ を満たす．従って $AN_{2}$は 1 対 1 に対応する ([3, 10]).

106
任意の $0\leq t\leq 1$ で $\psi(t)=\psi(1-t)$ が成り立つとき， は $t=1/2$ で対称であるという． に含まれる 2 つの関数について，任意の $0\leq t\leq 1$ で $\psi(t)\leq\varphi(t)$ が成立するときと表す．また，$\psi$$\psi,$$\Psi_{2}$$\varphi$$\psi\leq\varphi$$\psi_{2}(t)=\Vert(1-t, t)\Vert_{2}=\sqrt{(1-t)^{2}+t^{2}},$と表す事とする．斎藤-加藤-高橋は$\mathbb{C}^{2}$$M_{1}= \max_{0\leq t\leq 1}\frac{\psi(t)}{\psi_{2}(t)},$$\Lambda l_{2}=\max_{0\leq t\leq 1}\frac{\psi_{2}(t)}{\psi(t)}$上の absolute normalized ノルムに対して $NJ$

constant を次のように計算した．
Theorem 2.2. ([9])(resp.
(i)$\psi$とする) のとき$\psi\leq\psi_{2}$$\psi\geq\psi_{2}$(ii)$\psi\in\Psi_{2}$$C_{NJ}(\mathbb{C}^{2}, \Vert \Vert_{\psi})=M_{1}^{2}$

が $t=1/2$ で対称で，$M_{1}= \frac{\psi(1/2)}{\psi_{2}(1/2)}$

または(resp.

$M_{2}^{2}$$M_{2}= \frac{\psi_{2}(1/2)}{\psi(1/2)}$).

とする．このとき$C_{NJ}(\mathbb{C}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})=M_{1}^{2}\Lambda I_{2}^{2}.$3 . Results
Theorem 2.2 に倣い$\mathbb{R}^{2}$上の absolute normalized ノルムに対する Zbaganu constantの値について考える．
$x,$ $y\in X$ に対し $u=x+y,$ $v=x-y$ とおくことでなお，$\frac{\Vert x+y||\Vert x-y\Vert}{\Vert x\Vert^{2}+\Vert y\Vert^{2}}=\frac{4||u\Vert\Vert v\Vert}{\Vert u+v\Vert^{2}+||u-v\Vert^{2}}$となることから$C_{Z}(X)= \sup\{\frac{4||x\Vert\Vert y\Vert}{\Vert x+y||^{2}+||x-y\Vert^{2}} x,y\in X, (x, y)\neq(0,0)\}$の形に書き換え可能であること，$(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert)$

において $NJ$ constant 及び Zbaganu con-stant は最大値として与えられる事に注意が必要であり，以下の結果を得るためにこれらの事柄を利用した．
である場合について考える．
または
と比較可能
まず が
(resp.
) のとき(resp.
Theorem 2.2 (i) から既に，$\psi$$\psi\leq\psi_{2}$$\psi\geq\psi_{2}$$M_{2}^{2})$であることは

Proposition 3.1.

$\psi\leq\psi_{2})$$(\psi\geq\psi_{2}$$\psi_{2}$$\ominus_{-}$$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert .

\Vert_{\psi})\leq M_{1}^{2}$

明である．

$\psi\in\Psi_{2}$とする．

$\psi\geq\psi_{2}$のとき$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})=M_{1}^{2}.$107
Theorem 3.2.

$\psi\in\Psi_{2},$$\psi\leq\psi_{2}$とする．このとき$C_{z}\mathbb{R}^{2},$$\Vert_{\psi})=M_{2}^{2}$$\Vert$であることは，条件 (1) 又は (2) を満たす $0\leq s<t\leq 1$ が存在することと同値である．
(1) $\psi(s)=\psi_{2}(s),$ $\psi(t)=\psi_{2}(t)$ で，$r= \frac{\psi(s)t+\psi(t)s}{\psi(s)+\psi(t)}$とおくと$\frac{\psi_{2}(r)}{\psi(r)}=\frac{\psi_{2}(1-r)}{\psi(1-r)}=M_{2}$を満たす．

(2) $\psi(s)=\psi_{2}(s),$ $\psi(t)=\psi_{2}(t)$ で，$r= \frac{\psi(s)t+\psi(t)s}{(1-2t)\psi(s)+\psi(t)}$とおくと$\frac{\psi_{2}(r)}{\psi(r)}=\frac{\psi_{2}(1-r)}{\psi(1-r)}=M_{2}$を満たす．

次に，上記の結果を基に一般の場合について考える．Theorem 2.2 (ii) から既に，$\psi(t)$が $t=1/2$ で対称で，

または$M_{1}= \frac{\psi(1/2)}{\psi_{2}(1/2)}$$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})\leq M_{1}^{2}M_{2}^{2}$

Proposition 3.3.

を満たすときである事は自明である．

$\psi\in\Psi_{2}$とする．

$\psi(t)$する．このとき$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})=\mathbb{J}I_{1}^{2}M_{2}^{2}.$Theorem 3.4.

$\psi\in\Psi_{2}$とする．このとき$M_{2}= \frac{\psi_{2}(1/2)}{\psi(1/2)}$とする．

$\psi(t)$が $t=1/2$ で対称で，か つ縞$\grave{}$が $t=1/2$ で対称，

$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert \Vert_{\psi})=\wedge g_{M_{2}^{2}}$$M_{1}= \frac{\psi(1/2)}{\psi_{2}(1/2)}$$= \frac{\psi_{2}(1/2)}{\psi(1/2)}$と, 更に $M_{2}>1$

であることは，条件 (1) 又は (2) を満たす

$0\leq s<t\leq 1$ が存在することと同値である．

(1)$\frac{\psi(s)}{\psi_{2}(s)}=\frac{\psi(t)}{\psi_{2}(t)}=M_{1}$で$r= \frac{\psi(s)t+\psi(t)s}{\psi(s)+\psi(t)}$(2)$\frac{\psi(s)}{\psi_{2}(s)}=\frac{\psi(t)}{\psi_{2}(t)}=M_{1}$で$r= \frac{\psi(s)t+\psi(t)s}{(1-2t)\psi(\mathcal{S})+\psi,(t)}$とおくと$\frac{\psi_{2}(r)}{\psi(r)}=n\tau_{2}$

とおくと

を満たす．

$\frac{\psi_{2}(r)}{\psi(r)}=M_{2}$を満たす．

上の absolute normalized ノルムについてであるが， につ上記の 4 つの結果はいては次の事が成り立つ．
$\mathbb{R}^{2}$

Remark 3.5.
$C_{Z}(\mathbb{C}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})$$\mathbb{C}^{2}$に含まれるため，任意のである．よって$\mathbb{R}^{2}$が$\mathbb{C}^{2}$$\psi\in\Psi_{2}$に対して$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})=C_{NJ}(\mathbb{C}^{2}, \Vert\cdot\Vert\psi)$$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})\leq$が成り立つとき，$C_{NJ}(\mathbb{C}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})=C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})\leq C_{Z}(\mathbb{C}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})\leq C_{NJ}(\mathbb{C}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})$から$C_{Z}(\mathbb{C}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})$

もまた$C_{NJ}(\mathbb{C}^{2}, \Vert \Vert_{\psi})$と等しい事が分かる．

108

4. Examples
Example 4.1.
$\psi(t)=\max\{t, 1-t, \frac{1}{\sqrt{2}}\}$という関数を考えると$\psi\leq\psi_{2}$であり，$\Vert(z, w)\Vert_{\psi}=\max\{\Vert(z, w)\Vert_{\infty}, \sqrt{2}\Vert(z, w)\Vert_{1}\}$

である．又 $t=0,1/2,1$ でとなり，$\psi(t)=\psi_{2}(t)$$\frac{\psi_{2}}{\psi}$$s=0,$ $t=1/2$ に対してるが，は $t=1- \frac{1}{\sqrt{2}},$$\frac{1}{\sqrt{2}}$で最大値をと$r= \frac{\psi(s)t+\psi(t)s}{\psi(\mathcal{S})+\psi(t)}=\frac{1\cdot(1/2)}{1+1/\sqrt{2}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$$s=0,$ $t=1/2$ が Theorem 3.2 の条件 (1) を満たすのでであるため，$C_{NJ}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})=M_{2}^{2}=2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$

更に，この$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi})=$

となる．

から

$\psi$$\varphi(t)=\{\begin{array}{ll}\psi_{2}(t) (0\leq t\leq\frac{1}{2})\psi(t) (\frac{1}{2}\leq t\leq 1)\end{array}$

であるが，Theorem 3.2 の条件 (1) 又は (2) を満た
す $0\leq s<t\leq 1$ は存在しないので，という関数$\varphi$を考えると$\varphi\leq\psi_{2}$$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\varphi})<2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=C_{NJ}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\varphi})$となり Zbaganu の予想に対する反例となる．

Example 4.2. $1/\sqrt{2}\leq\beta<1$ に対して，$\psi_{\beta}(t)=\max\{t, 1-t, \beta\}$

とすると
この

$\psi_{\beta}$$\psi_{\beta}$と$\psi_{2}$は $t=1/2$は交わる．

で対称であり， は$t=1/2$ で最大値嘔$\frac{\psi_{2}}{\psi_{\beta}}$$\beta$$t=\beta$$s=1-\beta,$
をとるが，

で最大値

$t=\beta$$\frac{\{\beta^{2}+(1-\beta 2)^{2}\}^{\frac{1}{2}}}{\beta}$

を，$\frac{\psi_{\beta}}{\psi_{2}}$

は

とおくと

$r= \frac{\psi(s)t+\psi(t)s}{\psi(s)+\psi(t)}=\frac{\beta\cdot\psi_{\beta}(1-\beta)+(1-\beta)\cdot\psi_{\beta}(\beta)}{\psi_{\beta}(\beta)+\psi_{\beta}(\beta)}=\frac{\psi_{\beta}(\beta)}{2\psi_{\beta}(\beta)}=\frac{1}{2}$であるため $s,$$t$

は Theorem 3.4 の条件 (1) を満たす事が分かる．従って$=C_{NJ}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi_{\beta}})=M_{1}^{2}Af_{2}^{2}=2\{\beta^{2}+(1-\beta)^{2}\}$となる．

$C_{Z}(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{\psi_{\beta}})$

109

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