72

数理解析研究所講究録
第2012巻 2016年 72-80

Determining all elliptic curves with good reduction
outside a given set of primes
津田塾大学後期博士課程4年

*

筒石奈央

1. Introduction

楕円曲線の reduction について次が知られている.
定理1.1. 代数体 K と,整数環 \mathcal{O}_{K} の素イデアルの有限集合 S に対して, S に属さない全ての素イデアルでgood reductionをもつ K 上の楕円曲線の同型類の集合\mathcal{E}_{K}^{S}=\{S の外 good reduction をもつ K 上の楕円曲線 \}は有限集合.

これを受けて,次の問題を考える.
問題1.2. 与えられた K と S に対して, \mathcal{E}_{K}^{S} を決定せよ.

本稿では, \mathcal{E}_{K}^{S} を決定するアルゴリズムを与える.

\mathcal{E}_{K}^{S} の決定アルゴリズムの概要

2.

本稿で与えるアルゴリズムの大きな枠組みは次である.
1. S の外 good reduction をもつ K 上の楕円曲線の j 不変量の集合

j(\mathcal{E}_{K}^{S})=\{j(E):E\in \mathcal{E}_{K}^{S}\}を含む有限集合 J_{K}^{S} を,いくつかの K の拡大体上の S‐単数方程式の解を用いて
構成する.
2.

各 j\in J_{K}^{S} に対して, j(E)=j となる K 上の楕円曲線 E で E\in \mathcal{E}_{K}^{s} となるものを全て求める.

*

講演時

73

実は, \mathcal{E}_{K}^{S} を決定するアルゴリズムとして,Cremona‐Linghamによるもの ([2]) が既に知られている.彼らの方法では, K 上のある楕円曲線の整数点を全て求めることでス
テップ1のような j(\mathcal{E}_{K}^{S}) を含む有限集合が作られる.しかし,そのような整数点を全て求めること自体が難しく,任意の体 K で求まるわけではない.一方我々の方法では,
K のいくつかの拡大体上の S‐単数方程式の解を用いて

j(\mathcal{E}_{K}^{S}) を含む有限集合 J_{K}^{S} を構成する. S‐単数方程式を解くアルゴリズムはあり ([7]), これも任意の体で解けるわ
けではないが 単数群のランクがある程度小さければ計算可能である.特に S=\emptyset の場合は単数群のランクが10以下のとき,Magma([1]) の既存のコマンドUnitEquation
で計算ができる.4章で,この場合に我々のアルゴリズムを実装したプログラムを用いた\mathcal{E}_{K}^{\emptyset} の決定例をいくつか紹介する.

ステップ1ついては3章で詳しく述べるが ステヅプ2についてはここで簡単に説明する. j\in K に対して,Ej をWeierstrass 方程式\left\{ begin{ar y}{l y^{2}=x^{3}- j(-1728)d^{2}x-2j(-1728)^{2}d^{3}&(\mathrm{i}\mathrm{f}\dot{j}\neq0,1728),\ y^{2}=x^{3}-dx&(\mathrm{i}\mathrm{f}j=1728),\ y^{2}=x^{3}-d&(\mathrm{i}\mathrm{f}j=0) \end{ar y}\right.

(1)で定義される K 上の楕円曲線とし, n_{j}\in \mathbb{Z}, E_{j} を次のように定義する.

n_{j}=\left{\begin{ar y}{l 2&(\mathr {i}\mathr {f}j\neq0,1728),\ 4&(\mathr {i}\mathr {f}j=1728),\ 6&(\mathr {i}\mathr {f}j=0). \end{ar y}\ight.
すると, i を i 不変量にもつ楕円曲線は,易の nj 次twist E^{(d)}(d\in K^{\times}/(K^{\times})^{n_{j}}) になるが(cf. [4, Proposition X.5.3, X.5.4]), E^{(d)} が S の外 good reduction をもつと仮定
すると, d として K^{\times}/(K^{\times})^{n_{j}} のある有限部分集合の元のみを考えれば十分になる (cf.
[2]). その有限個の d に対して, E^{(d)} が S の外 good reduction をもつかを調べ,ステッ.

プ2の楕円曲線を得る.

3.

J_{K}^{S} の決定方法

3.1. Admissible 曲線
E が位数2の K 有理点を持つとき,つまりE(K)[2] \neq\{0\} が成り立つとき, E を

admissible 曲線と呼ぶ.また,、\mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} =\{E\in \mathcal{E}_{K}^{S}:E(K)[2]\neq\{0\}\}とおく.

筆者は,[5] で \mathcal{E}_{K}^{\emptyset}=\emptyset となるための3次体 K についての条件を与えたが,その証明の中で admissible 曲線について次を示した.

命題3.1 ([5, Proposition 3.2.]). K を次を満たす3次体とする.

74(i) 2は K で不分岐,(ii) K の狭義類数は6と素.
このときE\in \mathcal{E}_{K}^{\emptyset,\mathrm{a}\mathrm{d} ならば K の単数 x, y で\ovalbx{\t smalREJCT}

x+16y=1 または x+y=1を満たし,

j(E)\displaystyle \in\{\frac{(x+2^{8}y^{2})^{3} {x^{2}y^{2} , \frac{2^{4}(x+2^{4}y^{2})^{3} {\backslash x^{2}y^{2} , \frac{(1+2^{4}xy)^{3} {x^{2}y^{2} , \frac{2^{8}(1+xy)^{3} {x^{2}y^{2} \}となるものが存在する.
K, S が一般の場合でも,命題3.1のように E\in \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} に対応するいくつかの S‐単数
方程式が取れ, j(E) はその単数解で与えられることが、次のようにして分かる。

まず, E\in \mathcal{E}_{K}^{S} のWeierstrass 方程式の判別式について,次が成り立つ.
命題3.2. S‐イデアル類群 C_{K,S} の12倍写像の核 C_{K,S}[12] の代表系 C を固定する.

E\in \mathcal{E}_{K}^{S} とすると, E は判別式 $\Delta$ が$\Delta$ \mathcal{O}_{K,S}\in C^{12}=\{\mathbb{C}^{12}:\mathrm{C}\in C\}を満たす \mathcal{O}_{K,S} 係数の Weierstrass 方程式をもつ.ただし, \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathfrak{p} (x) は x\in K の \mathfrak{p} 指数を表すとし, \mathcal{O}_{K,S}= { x\in K :全ての \mathfrak{p}\not\in S について \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathfrak{p} (x)\geq 0 } とおく.

C_{K,S}[12] の代表系 \mathcal{C} を固定し, E\in \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} とする.命題3.2のように, \triangle \mathcal{O}_{K,S}\in C^{12}となる E のWeierstrass 方程式をとる. E はadmissible より,

y^{3}=x^{3}+Ax^{2}+Bx(A, B\in \mathcal{O}_{K,S})(2)という形の Weierstrass 方程式に変換できる.この変換で判別式は 2^{12} 倍されること
より

B^{2}(A^{2}-4B)=2^{8}\triangle(3)が成り立つので, $\alpha$_{1}=\displaystyle \frac{AB}{\sqrt{ $\Delta$} +2^{4}, $\alpha$_{2}=\displaystyle \frac{AB}{\sqrt{ $\Delta$} -2^{4} とおくと,$\alpha$_{1}$\alpha$_{2}=\displaystyle\frac{A^{2}B^{2}-2^{4}\triangle}{$\Delta$}=\frac{4B^{3} {\triangle}$\alpha$_{1}-$\alpha$_{2}=2^{5},,j(E)=\displayst le\frac{(2^{4}(A^{2}-3B)^{3} 2^{12}\triangle}=\frac{(2^{8}+\frac{B^3}{\triangle})^{3} (\frac{B^3}{\triangle})^{2}=\frac{(2^{10}+$\alpha$_{1}$\alpha$_{2})^{3} (2$\alpha$_{1}$\alpha$_{2})^{2}を得る.これらのことから, j(E) を含む集合 J_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} が次のように定義される.
3

(4)
(5)
(6)

75

定義3.3. \mathfrak{D}\in C^{12} に対して

\mathcal{F}_{K,\mathfrak{D} =\{K(\sqrt{ $\delta$}): $\delta$\in \mathcal{O}_{K,S} はのの生成元 \},F\in \mathcal{F}_{K,\mathfrak{D} に対して

B_{F/K,\mathfrak{D} =\{\mathfrak{B}\in P_{S} 0\displayst le\leq\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}(\mathfrak{B})\leq\frac{1}2\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}(2^{8}\mathfrak{D}):for all\mathfrak{p}\not\in S\}

とおく。ただし,P聡は \mathcal{O}_{K,S} の単項イデアル全体を表す.

F\in \mathcal{F}_{K,\mathfrak{D} に対して
S_{F}= { \mathcal{O}_{F} のイデアル \mathfrak{P}^{-} :ordep (\mathfrak{p})>0_{;}\mathfrak{p}\in S },B \in

BF/K,のに対して

A_{\mathfrak{B} =\{(\mathbb{C}_{1}\mathfrak{D}^{-6}, \mathrm{C}_{2}\mathfrak{D}^{-6}) :亀 \in PS_{F}(i=1,2) \mathbb{C}_{1}\mathbb{C}_{2}\mathfrak{D}^{12}=4\mathfrak{B}^{3}\},,\mathfrak{A}_{F}=(\mathfrak{A}_{1},.\mathfrak{A}_{2}) \in A磐に対して

U_{\mathfrak{A}_{F} =\{($\alpha$_{1}, $\alpha$_{2})\in F^{2}:$\alpha$_{i}\mathcal{O}_{F,S_{F} =\mathfrak{A}_{\dot{ $\eta$}}(i=1,2), $\alpha$_{1}-$\alpha$_{2}=2^{5}\},

J_{K,\mathfrak{A}_{F}=\displaystyle\{ frac{(2^{10}+$\alpha$_{1}$\alpha$_{2})^{3}{(2$\alpha$_{1}$\alpha$_{2})^{2}:($\alpha$_{1},$\alpha$_{2})\inU_{\mathfrak{A}_{F}\} capK

とおく.そして

J_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d}=\displayst le\bigcup_{\mathfrak{D}\inC^{12}\bigcup_{F\in\mathcal{F}_{K,\emptyset}\bigcup_{\mathfrak{B}\inB_{F/K,\mathfrak{D} \bigcup_{\mathfrak{A}_{F}\inA_{\mathfrak{B} J_{K,\mathfrak{A}_{F}

とおく.

このとき,次が成り立つ.
定理3.4. (i)J_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} は K と S にのみ依存する有限集合,(ii) E\in \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} ならば j(E)\in J_{K,S}^{\mathrm{a}\mathrm{d} .
Proof. (i) 定義より C^{12}, B_{F/K,\mathfrak{D} , A_{\mathfrak{B} が有限集合なのは明らか. \mathfrak{D}\in \mathbb{C}^{12} に対してのの
生成元 $\delta$\in \mathcal{O}_{K,S} を固定すると,各 F\in \mathcal{F}_{K,\mathfrak{D} は K の単数 u によって F=K(\sqrt{ $\delta$ u}) で与えられる.したがって \mathcal{F}_{K,\mathfrak{D} は \mathcal{O}_{K}^{\times}/(\mathcal{O}_{K}^{\times})^{2} と一対一対応するので,有限集合. \mathfrak{A}_{F}=(\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2})\in A_{\mathfrak{B} に対して \mathfrak{A}_{i} の生成元物 \in \mathcal{O}_{F,S_{F} を固定すると,鶏のその他の生成元
は S_{F} ‐単数
x_{i}\in \mathcal{O}_{F,S_{F} ^{\times}= { x\in K :全ての \mathfrak{p}\not\in S に対して \mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathfrak{p} (x)=0 } に \text{ょ_{}1} つて r_{i}x_{i}で与えられるので

U_{\mathfrak{A}_{F} =\{($\gamma$_{1}x_{1}, $\gamma$_{2^{X}2}):x_{i}\in \mathcal{O}_{F,S_{F} ^{\times}, $\gamma$_{1}x_{1}-$\gamma$_{2}x_{2}=2^{5}\}と表せる.ここで, S_{F} ‐単数方程式 $\gamma$_{1}x_{1}-$\gamma$_{2}x_{2}=2^{5} は有限個の解しか持たないので([4, Theorem IX.4.1]), U\mathfrak{A} も有限集合.したがって, J_{K}^{\mathcal{S},\mathrm{a}\mathrm{d} は有限集合.
(ii) 上の説明のように E のWeierstrass 方程式 (2) をとると, \mathfrak{D}=\triangle \mathcal{O}_{K,S}\in C^{12},F=K(\sqrt{\triangle})'\in \mathcal{F}_{K,\mathfrak{D}} また,式(3),(4),(5) より, \mathfrak{B}=B\mathcal{O}_{K,S}\in B_{F/K,\mathfrak{D}}, \mathfrak{A}_{F}=($\alpha$_{1}\mathcal{O}_{F,S_{F} , $\alpha$_{2}\mathcal{O}_{F,S_{F} )\in A_{\mathfrak{B} ( a_{1} a2) \in U_{\mathfrak{A}_{F} , j(E)\in J_{K,\mathfrak{A}_{F}} が成り立つ.したがって,\grave{}F.

,

j(E)\in J_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d}

,

口

76

3.2. Non‐admissible 曲線

ここでは, E\in \mathcal{E}_{K}^{S} がnon‐admissible の場合,つまり,E\in \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d} =\mathcal{E}_{K}^{S}\backslash \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} =\{E\in \mathcal{E}_{K}^{S} : E(K)[2]=\{0\}\}となる場合に, j(E) を含むような集合 J_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d} を定義する.

E\in \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d} とする.位数2の E 上の点 P=(p_{1},p_{2})\in\overline{K}\times\overline{K} を取ると, K(P)=K(p_{1},p_{2}) は K 上3次拡大体になり, E を K(P) 上の曲線とみなすと明らかに E は
S_{K(P)} の外 good reduction をもち, K(P) 上admissible, つまり E(K(P))[2]\neq\{0\} となる.したがって,

j(E)\in J^{S_{K(P)}.' \matK(P)hrm{a}\mathrm{d} \cap Kとなる.ここで K(P) が満たす条件をみていくと,まず, K(P) は E の位数2の点の座標を全て K に添加した体 K(E[2]) の K 上3次部分体であり, K(E[2]) は K(P)/K のGa‐
lois closure になっている.また,K(E[2])/K(\sqrt{\triangle})(\triangle は E を定める任意の Weierstrass

方程式の判別式) の分岐は次のように制限される.
命題3.5 (cf. [4, Proposition VⅡ.4.1]). E\in \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} とし, E のWeierstrass 方程式の判別式を $\Delta$ とおく.この時, K(E[2])/K(\sqrt{\triangle}) は s-=S_{K(\sqrt{\triangle})}\cup\{\mathfrak{p}:\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathfrak{p} (2)>0\}の外不分岐な3次巡回拡大.したがって, K(E[2]) は K(\sqrt{ $\Delta$}) のmod \displaystyle \mathcal{M}=\prod 撃e \mathfrak{P}のray class field K(\sqrt{\triangle})_{\mathcal{M} の K(\sqrt{\triangle}) 上3次部分体.ただし,(\mathfrak{P}\in S_{K(\sqrt{\triangle})}^{-})

卿=\left{\begin{ar y}{l \lfor\fac{3\mathrm{o}\mathrm{}\mathrm{d}_\mathfrak{P}(3){2}\rflor+1&if\mathrm{o}\mathrm{}\mathrm{d}_\mathfrak{P}(3)>0,\ 1&otherwise. \end{ar y}\right.

特に, K(\sqrt{\triangle}) のmod \mathcal{M} のray class group C_{K(\sqrt{\triangle}) ^{\mathcal{M} の位数は3の倍数.

\backslash _{K}/3
定義3.6. \mathfrak{D}\in C^{12} に対して

\mathcal{F}_{K,\mathfrak{D} ^{-}= { F\in F_{K,\mathfrak{D}} C_{F}^{\mathcal{M} の位数は3で割り切れる},:

F\in \mathcal{F}_{K}^{-},のに対して\mathcal{L}_{F/K}= { L K\subset L\subset F_{\mathcal{M}}, deg(L/K)=3, FL は L/K のGalois closure}
:

とおく.

(7)

77

このとき,命題3.5よりK(P)\displaystyle\in\bigcup_{\mathfrak{D}\inC^{12}\bigcup_{F\in\mathcal{F}_{K,\mathfrak{D}'\mathcal{L}_{F/K}となるので, J_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d} は次のように定義できる.
定理3.7.

J_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d}=\displayst le\bigcup_{\mathfrak{D}\inC^{12}.\bigcup_{F\in\mathcal{F}_{K,\mathfrak{D}'\bigcup_{L\in\mathcal{L}_{F/K}J_{L}^{S_L},\mathrm{a}\mathrm{d}\capK
とおく.

(1) J_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d} は K と S にのみ依存する有限集合,(ii) E\in \mathcal{E}_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d} ならば j(E)\in J_{K}^{S,\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{d}定理3.4と3.7より, j(\mathcal{E}_{K}^{s}) を含む有限集合4を得る.
系3.8.

J_{K}^{S}=J_{K}^{S,\mathrm{a}\mathrm{d} \cup J_{K}^{S}

とおく.

(i) J_{K}^{S} は K と S にのみ依存する有限集合,(ii) E\in \mathcal{E}_{K}^{S} ならば j(E)\in J_{K}^{S}.

4.

例\mathcal{E}_{K}^{\emptyset} に属する楕円曲線,つまり全ての素イデアルで good reduction をもつ楕円曲線

を, K 上の EGR 曲線と呼ぶ.
ここでは、Magma に用意されている単数方程式を解く既存のコマンド(UnitEqua‐tion) を用いて決定された EGR 曲線の例をいくつか紹介する.なお,ここでの計算はMagma Ver.2.21‐4を用いている.

4.1. \mathbb{Q}(\sqrt{-2}+\sqrt{-6})

K=\mathbb{Q}( $\alpha$)=\mathbb{Q}(\sqrt{-2}+\sqrt{-6}) とおく ( $\alpha$ は x^{4}+16x^{2}+16 の根). K の3つの2次部分体 \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) \mathbb{Q}(\sqrt{-6}) \mathbb{Q}(\sqrt{3}) 上,EGR 曲線は存在しないが, K 上は EGR 曲線が,,存在することが示される.
命題4.1. K 上の EGR 曲線は同型を除いて2曲線存在し,それは i 不変量が8000のWeierstrass 方程式y^{2}=x^{3}-120$\alpha$^{2}x\pm 448$\alpha$^{3}で与えられる.

78

K の類数は2で,イデアル類群は2の上の素イデア)レ \mathrm{p}(2\mathcal{O}_{K}=\mathfrak{p}^{4}) で生成されC^{12}=\{\mathcal{O}_{K}, 8\mathcal{O}_{K}\} とおくと, \mathcal{F}_{K,O_{K}}=\{K, K(\sqrt{-1}), K(\sqrt{\pm 2 $\alpha$})\}, \mathcal{F}_{K,\mathrm{S}\mathcal{O}_{K} =\mathcal{F}_{K,O_{K}\cup}\{K(\sqrt{\pm 2}), K(\sqrt{\pm $\alpha$})\} となる. F\in \mathcal{F}_{K,\mathrm{S}O_{K} のmodulo 2のray class number
る.

を計算すると,どれも3で割れないめで, \mathcal{F}_{K,O_{K} '=\mathcal{F}_{K,8\mathrm{O}_{K} '=\emptyset となる.したがって,K 上の EGR 曲線は admissible である.つまり\mathcal{E}_{K}^{\emptyset}=\mathcal{E}_{K}^{\emptyset,\mathrm{a}\mathrm{d} が成り立つ. j=8000 は,

F=K(\sqrt{-1}) 上の単数方程式 x-y=2 (解は35個存在) の解から構成される.
4.2.

\mathbb{Q}(\sqrt[3]{46})

横山氏は [8] で \mathbb{Q}(\sqrt[3]{46}) 上の EGR 曲線として j(E)= −9936であるものを見つけているが, \mathbb{Q}(\sqrt[3]{46}) 上の EGR 曲線はその曲線のみであることが示される.
命題4.2. \mathbb{Q}(\sqrt[3]{46}) 上の EGR 曲線は同型を除いてただ一つで,その楕円曲線は i 不変
量 -9936 を持ち,Weierstrass 方程式y^{2}=x^{3}-2\sqrt[3]{46}x-8で定義される.

上の曲線は non‐admissible 曲線で, F=K(\sqrt{-1}) のmod2のray class field の K
上3次部分体 L 上の admissible EGR 曲線になっており, j 不変量は18次体 FL(単数群のランク 8) の単数方程式の解から計算される.
FL/3 \backslash 2

F=K(\sqrt{-1})L

2\backslash _{K}/3
4.3. EGR 曲線の族[6] で任意の次数 \geq 3 の体上定義される次の EGR 曲線の無限族が構成されている.
命題4.3.

n, a\in \mathbb{Z}(n\geq 2)とし, $\epsilon$ を

g_{n,a}(x)=x^{n}-16^{n-2}(a-16)x^{n-1}+ax-1の根とする.このとき, g_{n,a}(x) は \mathb {Q} 上既約で,楕円曲線

E_{1}:y^{2}+xy=x^{3}+16\dot{ $\epsilon$}x^{2}+8 $\epsilon$ x+ $\epsilon$,

E_{2}:y^{2}+xy=x^{3}-8 $\epsilon$ x^{2}+2 $\epsilon$(8 $\epsilon$-3)x+ $\epsilon$(4 $\epsilon$-1)
E_{3}:y^{2}+xy=x^{3}-8 $\epsilon$ x^{2}+ $\epsilon$(16 $\epsilon$-1)x,E_{4}:y^{2}+xy.=x^{3}-2 $\epsilon$ x^{2}+$\epsilon$^{2_{X}}は \mathb {Q}( $\epsilon$) 上の EGR 曲線.

,

79

証明の概略 g_{n,a}(x) の既約性は,Perron の既約性定理 ([3, Theorem 2]) から従う. g_{n,a}(x)の定数項が単数より, $\epsilon$ は明らかに単数だが, 1-16 $\epsilon$ の絶対ノルムを計算すると1となり 1-16 $\epsilon$ も単数であることが分かる.したがって,Weierstrass 方程式の判別式
は上から $\epsilon$(1-16 $\epsilon$) $\epsilon$(1-16 $\epsilon$)^{4}, $\epsilon$^{2}(1-16 $\epsilon$)^{2}, $\epsilon$^{4}(1-16 $\epsilon$) となり,どれも単数なので
昂 (i=1,2,3,4) はEGR 曲線.口,類数が1で,比較的判別式の絶対値が小さい (n, a)=(3,19) (4, 16) の場合に,EGR,曲線を決定した.
命題4.4. 多項式

g_{3,19}(x)=x^{3}-48x^{2}+19x-1,
g_{4,16}(x)=x^{4}+16x-1で定義される体 K 上,EGR 曲線はちょうど8曲線ずつ存在し,上の多項式の根を $\epsilon$\in K

とおくと,EGR 曲線瓦, E_{\overline{i}}(i=1,2,3,4) の j 不変量はj(E_{1})=j(E\mathrm{i})j(E_{2})=j(E_{\overline{2}})j(E_{3})=j(E_{\overline{3}})j(E_{4})=j(E_{\overline{4}})=4124$\epsilon$^{2}-197943 $\epsilon$+66391,=

218300419$\epsilon$^{2}-10461642895 $\epsilon$+ 3492807433,=

9788250386431$\epsilon$^{2}-3902514659536 $\epsilon$+205621494493,=

619787628373344257$\epsilon$^{2}-29711081063503953712 $\epsilon$+9919579807195071219

で与えられる.

参考文献[1] W. Bosma, J. Cannon, and C. Playoust: The Magma algebra system. I. The
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