数理解析研究所講究録 1434 巻 2005 年 195-204

195

乱流場の大スケールデータ同化による小スケールの再生
Regeneration of small scales by large-scale data
assimilation in turbulence
吉田恭 (筑波大学大学院数理物質研究科)
金田 行雄 (名古屋大学大学院工学研究科)
Kyo Yoshida (Department of Pure and Applied Sciences, University of Tsukuba)
Yukio Kaneda (Department of Engineering, Nagoya University)

概要

最近著者らが行った, 乱流におけるデータ同化の影響についての直接数値シミュレー
Rev.
Lett. 94, 014501 (2005) を紹介する. Taylor マイクロスケールに基づ Reynolds 数
以下のモード (大きい渦) の時々刻々で 179 までの DNS により, ある臨界波数(小さい渦) のデータは, たとえ
それより高波数のモードの正しいデータがあれば,されることが示された. ま「再生」
初期において失われていても, 時間が経つにつれ, ただし は平均エネルギー散逸率, はた臨界波数は Kolmogorov 長と表せることが分かった.
動粘性係数を用いてション (DNS) による研究 [K. Yoshida, J. Yamaguchi, and Y. Kaneda, Phys.
$\langle$$]$$k^{*}$$R_{\lambda}$$\eta\equiv(l/^{3}/\epsilon)^{1/4}$$\epsilon$$l/$$k^{*}\approx \mathrm{O}.2\eta^{-1}$1

背景

乱流において, 流れ場は初期条件や境界条件に敏感に依存することが広く知られている.
例えば, Batchelor は文献 [1] の中で以下のように記している. 「... ある種の流体運動において, 流体中の与えられた時間, 位置の速度は, 殆ど同じ条件下で何度か測定を行っても,測定の度に異なる値を示す. 」乱流のこの敏感性は, その予測可能性の限界に関係している. 気象予報に関連しては, Leith and Kraichnan [2] が完結近似に基づく理論解析により,大気乱流の予測は小スケールの初期誤差のため約 2 週間が限界である, と見積もった. ま
た Lorenz[3] 以降の非線形カオス系の研究も, 乱流の誤差, 摂動に対する敏感性という側面を強調している.

198

しかし, 一方である状況においては乱流は誤差に対して敏感ではなくなる, という可能性が考えられる. 例として, 大気乱流を考えてみよう. 大気運動の詳細なデータを得るのは困難でも, 例えば衛星等を使って (空間的にも, 時間的にも) 粗いデータなら得られる
場合はあるだろう. 気象の分野で Charney et al. [4] は, 連続データ同化 (continuous da.ta
assimilation) と呼ばれる方法を提案した. これは, 時々刻々観測で得られる粗$|_{l}\mathrm{a}$

データを

気象数値モデルに活用して, 現在の大気の状態の予測を向上させようとするものである.
最近の研究 [5, 6, 7, 8] において, 連続データ同化の方法は, Navier-Stokes 方程式に従う
乱流の直接数値シミュレーション (DNS) にも適用された. その結果ある程度の量の疎視化された場の時々刻々のデータがあれば, 細かいスケールの場の誤差は時間とともに減少する事が分かっている. これは, ある時刻の小さい渦のデータが失われたとしても, 大き
い渦のデータがあれば, 小さい渦のデータは時間とともに 「再生」 されることを意味する.
この観点において, 小さい渦は大きい渦に隷属的であると言える. また, 連続データ同化の問題は, 数学においては, いわゆる場を決定するモード数の理論 (theory ofmodes) と密接に関わっている. (例えば, 文献 [9, 10, Il] やそれらの申の引用文献を見よ,$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}_{\mathrm{I}\mathrm{l}}\mathrm{g}$$)$ただし, これら先行研究では, 乱流 (特に高 Reynolds 数の) におけるデータ同化の影響の定量的評価は十分にはなされていない. 過去の数値実験による研究で扱ったのは, 発達した乱流に特徴的なエネルギースペクトルの一 5/3 乗則が実現されていない低 Reynolds
数乱流であった. また, 数学の研究において, 誤差抑制のために必要なデータ量の十分条件が得られているが, 数値実験ではその条件よりかなり少ないデータ量でも誤差が抑制されることが示唆されている $[7, 8]$ .
そこで著者らは, 高 Reynolds 数乱流におけるデータ同化の影響の定量的評価を, 特に小さい渦が「再生」するために最小限必要なデータ量とその乱流の統計量への依存性に焦点そ当て, DNS を用いて行った. [12]. 以下ではこの研究の内容を紹介する.

2

データ同化の数値実験方法$\mathrm{u}^{(1\rangle}(\mathrm{x}, t)$と$\mathrm{u}^{(2)}(\mathrm{x}, t)$

を Navier-Stokes 方程式に従う 2 つの速度場とする. 2 つの速度とも異なっていてよい
場では初期条件が異なり, またそれぞれの外力の立方体として周期境界条件を課すとする. 簡単のため, 流体の占める領域を 1 辺への大からについての Fourier 変換とする.
のを\^u$\mathrm{f}^{(1)}(\mathrm{x}, t)$$\mathrm{f}^{(2)}(\mathrm{x},t)$$2\pi$$\mathrm{u}^{(2)}$$\mathrm{u}^{(1)}$$(\mathrm{k}, t)(\mathrm{i}=1,2)$$\mathrm{u}^{(i)}(\mathrm{x}, t)$

スケールのデータ同化を,\^u$(\mathrm{k}, t)$

を血 (1)\^u$(\mathrm{k}, t)$$\mathrm{x}$$k\equiv|\mathrm{k}|<$k。を満たす低波数モードについて時問間隔に置き換えることで行う

2

よって,

$(\mathrm{k}, t_{0}+nT_{a})=\hat{\mathrm{u}}^{(1)}(\mathrm{k}, t_{0}+nT_{a})$(ん $<k_{a},$ $n=1,2,$$\cdots$)$T_{a}$

で,187

表 1: DNS パラメタと速度場の初期における統計量 $N:1$ 方向の格子点数,: 最$k_{i}:\Delta(k,0)\neq
0$
平均エネル
時間刻み
,
大解像波数,となる最小波数, : 動粘性係数,::
ミクロ
ギー散逸率,
積分長,
ミクロスケール,
長,:Taylor:Kolmogorov:Taylor:
スケールに基づく Reynoids 数. (文献 [12] より引用. )$\mathrm{u}^{(1)}$$k_{\max}$$\Delta t$$lJ$$\epsilon$$\lambda$$L_{0}$$R_{\lambda}$$\eta$$\overline{64302810.010.0}$$N$$k_{\max}$$\nu(\mathrm{x}10^{-})$$k_{i}$$\Delta t(\mathrm{x}\mathrm{I}\mathrm{O}^{-})$

RUN128-1
RUN256-1
RUN512-1
RUN128-2$L_{0}$$\epsilon$$\lambda$$\eta(\mathrm{x}10^{-})$

0.1710.941
49.2
0.1380.7960.312
19.4
0.132 0.759 0.204
10.0
4.82
0.1270.728 0.127
0.148 0.8820.43132.6$0.\delta^{r}41$$\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{N}64rightarrow 1$

60

128
256
512
128

120
241

58
112
236

60

58

10.0

270
1.10
0.410
550

4.00
1.00
10.0

$R_{\lambda}$

31
67
107
179
45

が成り立つ. $T_{a}arrow 0$ の極限が連続データ同化に対応する. ここでは特に断らない限り, ことはそれぞれ「正しい場」 と「正しい場の大スケーの極限のみを考える. 速度場
ルデータを用いてシミュレーションした場」 のモデルと考えることができる.
$E^{(i)}(k, t)$ と $E^{(i)}(t)(\mathrm{i}=1,2)$ をそれぞれのエネルギースペクトルと単位質(誤差) 場とをそれぞれ速度差
量当たりのエネルギーとする. 同様にのエネルギースペクトル, エネルギーとする. つまり,$\mathrm{u}^{(1)}$$\mathrm{u}^{(2)}$$\mathrm{u}^{(i)}(\mathrm{i}=1,2)$$\Delta(k, t)$$\mathit{5}\mathrm{u}=$$\Delta(t)$$\mathrm{u}^{(2)}-\mathrm{u}^{\langle 1)}$

$E^{\langle i)}(k, t)=(1/2), \sum_{k=k}$|\^u$(\mathrm{k}’, t)|^{2}$$\Delta(k, t)=(1/2).,\sum_{k=k}|\delta\hat{\mathrm{u}}(\mathrm{k}’, t)|^{2}$,,$E^{(i\rangle}(t)= \sum_{k}E^{(i)}(k, t)$,$\Delta(t)=\sum_{k}\Delta(k, t)$

は領域 $k-1/2<|\mathrm{k}’|\leq k+1/2$ についての和である.
$E^{(1)}(k, t)=E^{(2)}(k, t)$ が成り立つ場合, $\Delta(k, t)=0$ は波数領域 $(k-1/2, k+1/2]$ で \^u.
\^u\^u であることを意味し, また $\Delta(k, t)=2E^{(1)}(k, t)$ は同じ波数領域ではそとに相関が無いことを意味する. よって,\^u $(-\mathrm{k}’, t)=0$ , つまりはずれ全体の定量的評価を与えている.
とのずれ,
波数領域におけるとの双方についてエイリアスを除去したスペクトル法を馬いた. 時
DNS は
間発展には 4 次の Runge-Kutta 法を用いた. 行った DNS は 5 つのグループ, RUN64-1,
RUN128-1, RUN256-1, RUN512-1, RUN128-2 に分けられる. それぞれのグノ 1/–y の中のの初期場が等しいが, k。が互いに異なっている.
とDNS は格子点数の初期場には, 予め行った外力を加えた Navier-Stokes 方程式の DNS の統計的準定
常状態を用いた. 外力 は低波数領域 $2<k<3$ に負の摩擦である. ここで,$\sum_{k’=k}$$=$$\Sigma_{k’=k}$$\mathrm{u}^{(2)}$$\mathrm{u}^{(1)}$$\mathrm{u}^{(1)}$$\Delta(k, t)$$\mathrm{u}^{(2)}$$\mathrm{u}^{(1)}$$(\mathrm{k}’, t)$$\mathit{0}.\mathrm{J}$$\Delta(t)$$\mathrm{u}^{(2)}$$N^{3},$$\mathrm{u}^{(2)}$$\mathrm{u}^{(1)}$$\mathrm{u}^{(1)}$$\mathrm{f}$$\hat{\mathrm{f}}$($\mathrm{k},$t)=\gamma \^u$(\mathrm{k},$$t\dot{)}$をほぼ一定値 05 に保つよの形で加え, $\gamma(>0)$ の値は各時闇ステップ毎にエネルギーとなるような値を選んだ. (ただし, RUN128-2
うに決定した, 動粘性係数 はは最大解像波数,となるような値を選んだ. ) ここでのみは$E^{(1)}$$\nu$$k_{\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}\eta\approx 2$$k_{\max}\eta\approx 1$$k_{\max}$$\eta\equiv(\nu^{3}/\epsilon)^{1/4}$

198

の初期
は単位体積当たりの平均エネルギー散逸率である. \^ul=t。での値は, を k。より大きい任意の高波数として, 低波数領域 $k<k_{i}$ では \^u
では $E^{(2)}(k, t_{0})=E^{(1)}(k, t_{0})$ をほぼ満たすようにして乱数と等しくし, 高波数領域
は Kolmogorov 長,$(\mathrm{k}t)\}$$\epsilon$$(\mathrm{k}, t_{0})$$k_{i}$$k\geq k_{i}$( to)\approx 2E $(k, t_{0})$ となる,に局在している.
つまり初期の誤差は高波数領域$T_{a}arrow 0$ の極限は, DNS では $T_{a}=\Delta t$ , ただしムォは時間刻み, と置くことで近似した.
$E^{(i)}(k)(\mathrm{i}=1,2)$ を準定常に保っために, 初期場を準備するための DNS と同様に外力をで発生させた. よって$k<k_{\mathrm{i}}$では $\Delta(k, t_{0})=0,$ $k\geq k_{i}$ では$k_{i}$$\Delta$$k,$$\leq k\leq k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{c}}$$\mathrm{f}^{(i)}$$\mathrm{f}^{(i)}(\mathrm{k}, t)=\gamma \mathrm{u}^{(i)}(\mathrm{k}, t)$$(2<k<3)$のように加えた. データ同化する最大波数 k。は常に 3 より大きく選んでいるので,に直接影響を及ぼすことはである. つまり, はとなる波数領域 k\geq k。ではなく, 非線形相互作用を通してのみ影響を与える.
の乱流を特徴づけるいくつかの量を記した. こ
表 1 に DNS のパラメタと初期場,
こで, 積分長は $L_{0}=(\pi/2u^{\prime 2})fdkk^{-1}E(k)$ , Taylor マイクロスケーノレは
ただし$R_{\lambda}=(u’\lambda/\nu)$で与えられる,,
Taylor マイクロスケールの基づく Reynoids 数は$\tilde{\delta}\hat{\mathrm{u}}\neq 0$$\mathrm{f}$$\hat{\mathrm{f}}(\mathrm{k})=0$$\delta \mathrm{u}$$\mathrm{u}^{(1)}(\mathrm{k}, t_{0})$$\lambda=(15\nu u^{\prime 2}/\epsilon)^{1/2}$$u’=(2E/3)^{1/2}$ である.

図 1 は初期のエネルギースペクトル $E^{(1)}(k)[\approx E^{(2)}(k)]$ を示している. Reynolds 数の最も大きい乱流 $(R_{\lambda}=179, N=512)$ において慣性小領域を特徴づける $k^{-5/3}$ スペクトルがかろうじて見られることに注目されたい.

3

数値実験結果の時間発展を表している. ここで $t_{0}=0$を用いている.
で無次元化した時間
は初期の短い経過的期間の後時間とともに増大する. これは文献 [2]が小さい場合,等の乱流の初期値敏感性と整合する結果である. しかし, 一方で, k。がある波数より大きが初期の経過期間の後は時間とともに減少している. 図からい場合は, 逆に
図 2 は, $R_{\lambda}=107$ で様々な k。についてのとして, 横軸には Kolmogorov 時間$\Delta(t)$$t/\tau$$\tau\equiv(\nu/\epsilon)^{1/2}$$k_{a}$$\Delta(t)$$\Delta(t)$$\Delta(t)$$\Delta(t)\approx \mathrm{A}\exp(-\alpha t)$,(1)とほぼ指数関数的に増大または減少しているのが分かる. ここで減衰定数 は k。に依存しての時問区間 $10\tau<t\leq T_{\max}$といる.
をそれぞれ局所減衰定数よりもがは DNS を終了した時刻,での平均と標準偏差とする. ここでが指数的増加をしなくなり飽和する適当な時刻
小さくなった時刻 ( $\alpha>0$ のとき),$\alpha<0$(のとき), の何れかである. また初期経過の期間 $0\leq t\leq 10\tau$ は時聞平均区間から除外した.
$\alpha$$\overline{\alpha}$$\Delta\alpha$$\alpha(t)\equiv-\partial/\partial t[\log\Delta(t)]$$T_{\mathrm{m}\mathrm{a}\}\mathrm{c}}$$\Delta(t)$$\Delta(t)$$10^{-30}$

789$\frac{E(k)}{\epsilon^{\mathrm{M}}\eta^{5/3}}$$k\eta$

図 1: 様々なのエネルギースペクトル $E^{(1)}(k)$ 両軸はについての初期速度場
を用いて無次元化してある. (文献 [12] より引用. )$\mathrm{u}^{(1)}$$R_{\lambda}$$\epsilon$と$10^{0}$$10^{-5}$$10^{-\mathrm{I}0}$$\Delta(t)10^{-15}$$10^{-20}$

$10$

-25

$10^{-30}$

0

20

40

60

80

100 120 140$t/\tau$

図 2: 様々な k。における, 誤差場(文献 [12] より引用. )$\mathrm{u}^{(2)}-\mathrm{u}^{(1)}$のエネルギー \Delta (のの時間発展 $(R_{\lambda}=107)$$\eta$

200$\neg l$$\tilde{\alpha_{0.5}-}051..501.\cdots\cdots.\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-0.1}^{----- \mathrm{t}}R_{\lambda}R\chi-_{1^{\xi_{\bullet}^{1}}}^{f-}\mapsto’..\Delta.\cdot.\cdot\lrcorner.\cdot..\bullet=179\cdot\cdot-\cdot\bullet\cdots\cdots.\cdot _{P}=107!R\chi=67\cdot-\sim R_{\lambda}=31-_{\mathrm{A}}R_{\lambda}=45\cdot\sim-\{\}--\backslash 0.10_{0.150.20.25}l\mathrm{t}-s_{\mathrm{J}}.\neg\lrcorner\varphi^{l}\neg$.

$\varphi$$\bullet\lrcorner\neg$.

.
4$\lrcorner.\cdot.\cdot$$\Delta-$$\dot{\mathrm{t}.}$0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

00.1$k_{a}\eta$

図 3: 様々な$R_{\lambda}$における次元化された標準偏差より引用. )の関数としての無次元化された減衰定数 . エラー 1“‘–は無を表す. 挿入図は \mbox{\boldmath$\alpha$}- が符号を変える付近の拡大図. (文献 [12]$\tilde{\acute{\alpha}}$$k_{a}\eta$$\tau\Delta\alpha$と $T_{a}=2\Delta t$ の DNS において

$T_{a}=\Delta t$$\overline{\alpha}$の違いはほぼ \sim 1% 程度であり, これよりを見積もることにおいて $T_{a}arrow 0$ の極限の良い近似であることが示唆される.
のの違には殆ど依存しない.
また平均減衰定数 は時間平均区間が十分ある限り
よりは小さい.
いによる典型的な変化量はに依存する. しかし,を k。の関数として見た場合, その関数は平均減衰定数$T_{a}=\Delta t$が$\overline{\alpha}$$\overline{\alpha}$$k_{i}$$\overline{\alpha}$$k_{i}$$\Delta\alpha$$R_{\lambda}$$\overline{\alpha}(k_{a})$$\overline{\alpha}(k_{a}\eta)=\overline{\alpha}(k_{a})\tau$(2),に殆ど依存しないことが図 3 により分かる. ここでのように無次元化された関数 は,が減衰する k。の下限, つまり図 3 で -\mbox{\boldmath $\alpha$}(k*) $=0$ となる , と定義する.
臨界波数 をすると, 図 3 から
(3)$\tilde{\alpha}$$k^{*}$$R_{\lambda}$$k^{*}$$\Delta(t)$$k^{*}\approx 0.2\eta^{-1})$と見積もることができる.
となる DNS(RUN64-1, RUN128-1, RUNS256-1, RUN512-1) とがとなる DNS(RUN128-2) の問でも無次元関数がほぼ一致していることは,を見積もる上で十分な解像度であることを示唆している. 我々の予備的 DNS によれば,$\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{S}k_{\max}\eta\approx 2$$k_{\max}\eta\approx 1$$k_{\max}\eta\approx 1$$\overline{\alpha}$

krn へ\eta $<1$ の DNS においては の値が山中の値よりもかなり小さくなることが分かっての解像度が必要である.
いる. つまり,を正しく見積もるには$\overline{\alpha}$$\overline{\alpha}$$k_{\max}\eta\geq 1$

201$\vee----\sim--arrow--\sim\cdot\wedge\sim-\iota$$R_{\lambda}=67R_{\lambda}=31$$R_{\lambda}=107$$\mathrm{a})$$\mathrm{A}$$\epsilon)$$R_{\lambda}=179$$\bullet$$R_{\lambda}=45\vdash-\cdot\circ--- 1$$\mathrm{A}i$. .

$\ominus l$

.
-5

0.5

$\mathrm{Q}$.

$\bullet$$\oplus$$\dot{\mathrm{A}}>.|$

‘

0.8

060.7

$\blacksquare$0.9

1$E_{a}/E$‘$*_{\grave{\dot{\mathrm{A}}}}\sim\lrcorner$$\overline{\varphi}$.\lrcorner 7.
$\mathrm{f}$$\dot{\mathrm{A}}’.\cdot.\cdot.$.

$.\dot{\mathrm{A}..}.\cdot$.

$\tau\overline{\alpha_{0.5}-}0.51.5201...\cdot.\cdot.\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\wedge}^{-_{\gamma}}-01arrow.\cdot.\cdot.\cdot\prime 0.1\bullet.\mathrm{o}.\lrcorner e\mathrm{A}0.3.0.4^{\underline{1}}\dot{\mathrm{A}}’\cdot l\phi\lrcorner\dot{\mathrm{A}}\overline{\varphi}^{*_{\grave{\dot{\mathrm{A}}}}.\mathrm{b})}\sim\lrcorner \mathrm{s}_{\mathrm{I}}$$arrow$

0.60020.4

0. 8

1$\Omega\sqrt\Omega$の関係における, エネルギー比 $E_{a}/E$ と無次元化された減衰定数と無次元化さ. b) エンストロフィー比
エラーバーは無次元化された標準偏差が符を表す挿入図はの関係図南のシンボルは a) と同じれた減衰定数
図 4: a) 様々な$T_{e}\overline{\alpha}$$R_{\lambda}$$\Omega_{a/’}\Omega$$T_{e}\Delta\alpha$$\tau\overline{\alpha}(=\tilde{\alpha})$号を変える付近の拡大図. (文献 [12] より引用. )$R_{\lambda}$$\tau\overline{\alpha}$

202

平均減衰定数 は, エネルギー比 $E_{a}/E$ またはエンストロフィー比
ることもできる. ここでエンストロフィーは$\overline{\alpha}$$\Omega=\sum_{k}k^{2}E(k)$で,$E_{a},$$\Omega_{a}$$\Omega_{a}/\Omega$の関数と捉え,はそれぞれ同化されるエネルギー, エンストロフィーで,$E_{a}= \sum_{k<k_{a}}E(k)$,$\Omega_{a}=\sum_{k<k_{a}}k^{2}E(k)$,により定義される.
を用いて無次元化した減衰定について, 渦回転時間
図 4a) は様々なとなる臨界エネルギー比
数 をエネルギー比の関数として表している. 図から,$(E_{a}/E)^{*}$ はに強く依存していることが分かる. 一方, 図 4b) は Kolmogorov 時間を$T_{e}$$R_{\lambda}$$\equiv L_{0}/u’$$\overline{\alpha}=0$$\overline{\alpha}$$R_{\lambda}$

をエンストロフィー比率の関数として表して火 る.
について良く一致しており, $-\alpha=0$ となる臨界エンストロフィー比はグラフは異なる
0.30 $<(\Omega_{a}/\Omega)^{*}<0.35$ と見積もられる. 図 3, 4 から はエネルギー保有スケールの量によって特徴付けられることがではなく, エネルギー散逸スケールの量用いて無次元化した減衰定数$\mathrm{a}$$\tau\overline{\alpha}(=\tilde{\alpha})$$R_{\lambda}$$\overline{\alpha}$$L_{0},$$T_{e},$$\Omega$$E$$\eta,$$\tau,$

示唆される.

4

考察を大きさ の渦についての Reynolds 数と定義しよう, ただし は大きさ
今,を用いるとの渦の特徴的速度である. Koimogorov のスケール則となる. すると $\ell^{*}=1/k^{*}$ の大きさの渦についての Reynolds 数はを与えられた境界条件毎に決まる通常のとなる. ここで, この「臨界 Reynolds 数」(例えば, 平面 Poiseuille 流では ${\rm Re}_{c}=5722$ ) の類似として捉える
臨界 Reynolds 数ことができよう. 今考えている 「臨界 Reynolds 数」が通常のものと異なる点は, 「境界条件」 が定常ではなく, 大きいスケールの乱流場で与えられるという点である.
に殆ど依の乱流場においては無次元化した減衰定数 は DNS を行った範囲の存しないことが, 示された. また の形から, 高波数 $(k\geq k_{a})$ モードのデータが低波数$(k<k_{a})$ モードのデータ同化から 「再生」 されるための k。の条件が $k_{a}>k^{*},$
で与えられることが分かった. この条件が満たされている範囲では, 一般に受けいられている乱流の描像とは異なり, 乱流場は初期値の誤差にたいして鈍感である. 本研究で得に殆ど依存しないので, それぞれ高
の範囲で
られた や
は, 本研究で調べた$p$${\rm Re}_{\ell}\equiv u_{\ell}l/\iota J$$u_{\ell}$$\ell$$\sim(\epsilon\ell)^{1/3}$${\rm Re}_{l}\sim(P/\eta)^{4/3}$$u_{\ell}$${\rm Re}_{1/k}*\sim(k^{*}\eta)^{-4/3}\sim 9$${\rm Re}_{1/k^{*}}$${\rm Re}_{c}$$R_{\lambda}$$\tilde{\alpha}$$R_{\lambda}$$\tilde{\alpha}$$k^{*}\approx 0.2\eta^{-1}$$\tilde{\alpha}$$k^{*}\eta$$R_{\lambda}$$R_{\lambda}$

Reynotds 数極限の普遍形, 普遍定数の良い近似になっていることが期待される.
ここで $k<0.2\eta^{-1}$ を満たす自由度の数は全体の自由度の数と比べて非常に小さいことに注目されたい. 例えば, $k_{\max}\eta=1$ の DNS においては, 全自由度数中の 1% に満たない.

203

O.

3

0. 01
図 5: 小さい渦は [トカゲのシッポ L

したがって, 99% の高波数モードのデータを「再生」 するには, たった 1% の低波数モードの時々刻々のデータがあればよいのである. この意味で, 波数 以上のモード (小さい渦) はそれより波数の小さいモード (大きい渦) に隷属的であり, 「 カゲのシッポ」 であると言えよう (図 5) .
$k^{*}$$\text{ト}$謝辞で行われた. 表 1 とDNS は名古屋大学情報連携基盤センターの富士通
図 1-4 は文献 [12] より引用した. また, この研究は一部, 21 世紀 COE [計算科学フロンティア」 , 文部科学省科研費萌芽研究 14654073, 日本学術振興会科研費
15607011 の援助を受けている.
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