数理解析研究所講究録994 巻 1997 年 32-36

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The uniqueness of the integrated density of states
for the Schr\"odinger operators with magnetic fields
峯拓矢 (Takuya Mine)

京都大・理

岩塚明 (Akira Iwatsuka)
土居伸– (Shin-ichi Doi)

1

Introduction
次の様な磁場の付いた Schr\"odinger operator を考える.

on$H=( \frac{1}{i}\nabla-a)^{2}+V$$a\in L_{lo\text{。}^{}2}(Rd)$$L^{2}(R^{d})$,, real-valued function,$V\in L_{l_{\mathit{0}\text{。}}^{}1}(R^{d}),$$V\geq 0$.

を表す vector potential である. $H$ は$L^{2}(R)$ 上の self-adjoint operator として実現される事が知られている([I-K], [L-S] 参照) .
) は物理的要請から考案された量であるが, 数
Integrated density of states (以下 I
ここで $V$ は electric$a$$\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}..\mathrm{i}\mathrm{a}1,$.

は磁場$B=\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}a$$\mathrm{D}\mathrm{S}$

学的にも様々な興味深い性質を持っており, 既に多くの数学者により研究されている. I
なお
は $R$ 上の単調非減少関数であり, 次の 2 通りの方法で定義される ([C-L] 参照)
をある程度のは開集合は内の有界開集合を表すものとし,定義中の$\mathrm{D}$.

$\mathrm{S}$$\Omegaarrow R^{d}$$R^{d}$$\Omega$regularity を保ちつつ定義 1)$H$を$R^{d}$$L^{2}(\Omega)$て実現したものを$H_{\Omega}^{X}$$\Omega$

全体に拡げていく極限を表すものとする.に制限して何らかの境界条件 $X$ を付けて self-adjoint operator としと書く.
以下の固有値の数をと書く.とし,$\lambda\in R$$N_{\Omega}^{X}(\lambda)$$H_{\Omega}^{X}\text{の}..\lambda$

この時 次の極限$\rho^{X}(\lambda)=\lim_{\Omegaarrow \mathrm{n}^{d}}\frac{N_{\Omega}^{X}(\lambda)}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(\Omega)}$が存在するならば, この定義 2)$C_{0}(R):=$を境界条件 $X$ に対応する I$\rho^{X}(\lambda)${ : continuous function on
$f$

$R$

$\mathrm{D}\mathrm{S}$と呼ぶ.

with compact support} とする. 次のlinear functional$C_{0}(R) \ni farrow\frac{\mathrm{t}\mathrm{r}(x\Omega f(H)x_{\Omega})}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(\Omega)}=:\rho_{\Omega}(f)$の特性関数である. Riesz’s representation.
を用いて([Ru] 参照) により, ある Borel measure

は positive functional である.

theorem但し,$\chi_{\Omega}$

は$\Omega$$d\rho_{\Omega}$$\rho_{\Omega}(f)=\int_{\mathrm{R}}f(\lambda)d\rho_{\Omega}(\lambda)$と表せる.
定義する.

$\Omegaarrow R^{d}$とした時,$d\rho_{\Omega}$の weak limit$d\rho$が存在するならば, I.

$\rho(\lambda):=\int_{\mathrm{R}}x_{\mathrm{t}^{-\infty},\lambda}]d\rho$$\mathrm{D}\mathrm{S}\rho(\lambda)$

を次で

33の本来の物理的意味は 以下のエネルギーを持つエネルギー準位の単位体積当Iりの平均個数であり, 定義 1 はその物理的意味からの定義であるといえる. しかし定義 1 では開集合を取り替える毎に異なる operator
全体で定義を扱わねばならず, またされた oper..a.t.or.-H . の対応も明らかではない. -方で定義 2 は表面的には定義 1 とは異なる形式を取っており Iの本来の物理的意味との関わりもさほど明確でないが, 数学的な取り扱いが比較的容易で, 例えば [H-S] ではこの定義を採用している. また定義 2 により良と Iく知られた $H$ の spectrumとの関係$\lambda$$\mathrm{D}\mathrm{S}\rho(\lambda)$$\Omega$$R^{d}$$H_{\Omega}^{X}$$k$$\mathrm{D}\mathrm{S}$$\sigma(H)$$\mathrm{D}\mathrm{S}$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(d\rho)=\sigma(H)$が得られる (表している.

$[\mathrm{c}_{-}\mathrm{L}]$

参照).

ここで

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}(d\rho)$

は measure$d\rho$のmeasure としての support を上の定義において自然に生じる問題として存在と –意性の問題が挙げられる. 存在については既に様々な研究がなされており, 開集合の拡げ方及びポテンシャルに何らかの条件を課す事により肯定的な結論が得られている ([B-.P], [C-L], [K-M] 参照) . ここでは–意性, す
なわち次の 2 つの主張を問題にする.
A) 定義 1 と定義 2 は同–の極限を与える.
B) 定義 1 での極限は境界条件 $X$ の取り方に依存しない.
$\rho^{X}(\lambda)$, B) に関して, 磁場 $B=0$ の時には既に多くの研究がなされており, 開集合の拡げ方及びポテンシャルに何らかの条件を課す事により肯定的な結論が得られている. A) については, [C-L] で multi-dimensional random Schr\"odinger operator の場合に Dirichletの定義 1 と, 定義 2 が–致する事を示している. B) については, [B-P] では l-dimensionalの, [K-M] では multi-dimensional の, それぞれ random Schr\"odinger operator の場合にA)$\text{境}R.\text{条件で}$Dirichlet 境界条件と Neumann 境界条件での定義 1 が–致する事を示している. また [Sh]では almost-periodic coefficient を持つ elliptic differential operator の I
を同様に定義し, ある parabolic uniformly condition を満たす開集合の拡げ方と境界条件について I$\mathrm{D}\mathrm{S}$$\mathrm{D}\mathrm{S}$の–意性を示している.
.
しかし磁場 $B\neq 0$ の時には A) , B) に関する結果は著者の調べた範囲では無いと思われるたため, ここではこの場合について考える事にする. 我々の主結果を述べる前にいくっかの準備をしておく.

開集合の拡げ方について次の仮定をおく.
仮定)を$\mathcal{O}$の有界な開集合の族とし, 次の条件を満たすものとする.
, compact set,such hat.
, compact set, such that$R^{d}$(A 1)$\forall_{K}\subset R^{d}$(A 2)$\forall_{\epsilon}>0^{\exists}K\subset R^{d}$$\exists_{\Omega}\in \mathcal{O}$$.\mathrm{t}$$K\subset\Omega$$\frac{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\{x\in\Omega|\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x,\partial\Omega)<1\})}{\mathrm{v}\mathrm{o}1(\Omega)}<\epsilon$

for$\forall_{\Omega}\supset K,$

以下, 開集合
1) はの元$\Omega$$\mathcal{O}$$-$.

全体に拡げていく極限を考える. 仮定 (Aが任意に大きく取れる事を保証しており, 仮定 (A 2) は が内で大を$\Omega$$\Omega\in \mathcal{O}$$\Omega\in \mathcal{O}$を満たしながら$R^{d}$$\Omega$$\mathcal{O}$34

きくなるに従って$\Omega$の体積に対する$\Omega$の境界の体積の比が任意に小さくなる事を表している.

Operator $H$ の有界開集合$\Omega$への制限を次の様に定義する.の開集合とする.
上の境界条件 $X$ の付いた Schr\"odinger operator を次の quadratic form に付随する self-adjoint operator として定義する.
定義)$\Omega$を$R^{d}$$L^{2}(\Omega^{-i})$$(H_{\Omega}^{x_{u}},$$u)_{\Omega}=||( \frac{1}{i}\nabla-a)u||_{\Omega}2+||V^{1/2}u||_{\Omega}2$, for$\forall_{u}\in Q(H_{\Omega}^{X})$.

は form domain である.の時 (但し一は form closure を但し,表す) $X=D$ と書き, $(H_{\Omega}^{X})= \{u\in,L^{2}(\Omega)|(\frac{1}{}\dot{.}\nabla-a)u.\in(L^{2}(\Omega))d, V1/2u\in L2(\Omega)\}$ の時$Q(H_{\Omega}^{X})=\overline{C_{0}^{\infty}(\Omega)}$$Q(H_{\Omega}^{X})$$Q$$X=N- \text{と書く}$$H_{\Omega}^{D}$.

.

は Dirichlet 境界条件の付いた operator である.

また, $B=0$ の時は$H_{\Omega}^{N}$は Neumann

境界条件の付いた operator である.

主結果の主張を簡潔にするため, 定義 1 での収束を走義 2 の場合と同様に measure の収束はに言い換えておく事にする. 定義 1 におけるの単調非減少関数であり, その微分を考える事により $R$ 上の measureと同–視できる. $R$ 上の measureのとした時の収束を $C_{0}(R)$ の functional としての weak topology での収束として定義する. すなわち,$N_{\Omega}^{X}(\lambda)/\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Omega)$$\lambda\in R$$d\rho_{\Omega}^{X}$$\Omegaarrow R^{d}$定義)$d\rho_{\Omega}arrow d\rho\Leftrightarrow_{de}f\forall_{f\mathrm{o}(R)^{\forall\exists d}}\in c\epsilon>0K\subset R$, compact set,
, for$| \int_{\mathrm{R}}f(\lambda)d\rho_{\Omega}(\lambda)-\int_{\mathrm{R}}f(\lambda)d\rho(\lambda)|<\epsilon$I$\mathrm{D}\mathrm{S}$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$$\forall_{\Omega}\in \mathcal{O},$.
$\Omega\supset K$.の–意性は次の 3 つの主張の同値性, 及びそれらの極限の–致に言い換える事ができる.

(W)

(D)
(N)

measuremeasuremeasure$d\rho_{\Omega}$の weak himit$d\rho$$d\rho_{\Omega}^{D}$の weak limit$d\rho^{D}$$d\rho_{\Omega}^{N}$の weak limit$d\rho^{N}$が存在する.
が存在する.
が存在する.

(W) と (D) に関して我々は次の結果を得た.

Theorem 1と (D),の開集合の族とする. この時上の (W)とは measure として等しは同値であり, さらに–方が成り立つ時, 極限$\mathcal{O}$を$(\mathrm{A}1)$$(\mathrm{A}2)$を満たす$R^{d}$$d\rho$$d\rho^{D}$い.

次に, (N) について考える. Operatorの固有値の個数は, ( $B=0$ の時は Neumann
境界条件付きの operator である事を考えると) Dirichlet 境界条件の場合と比較して境界の$H_{\Omega}^{N}$形により強く依存すると思われるため, 境界の regularity に関して適当な仮定を置く必要があると思われる. このために開集合族 $LM(r, A, B)$ を導入する. $LM(r, A, B)$ の定義は後で述べるが, 球や長方形の内部といった境界がさほど複雑でない図形の相似拡大からなる開集合族はある $r,A,$ $B>0$ について $LM(r,A, B)$ に含まれる事が容易に示される. (W) ,(D) , (N) の同値性及び極限の–致について我々は次の結果を得た.

Theorem 2を (A 1),(A 2) を満たすの開集合の族とし, さらにある $r,$ $A,$ $B>$に対し $\mathcal{O}\subset LM(r,A, B)$ が成り立つとする. この時間の (W) , (D) , (N) は全て同値であり, どれか 1 つが成り立つ時, 極限は全て measure として等しい.
$\mathcal{O}$$R^{d}$$0$$d\rho,$$d\rho^{D},$$d\rho^{N}$

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注)が Theorem 2 の仮定を満たす時, form sense で$\mathcal{O}$$H_{\Omega}^{D}\geq H_{\Omega}^{X}\geq H_{\Omega}^{N}$を満たすような境界条件 $X$ についても同様の主張が成り立つ. periodic 境界条件, Dirichlet と Neumannの mix 境界条件, Bloch 境界条件等はこの条件を満たしている.

2

Manifolds with Lipschitz boundary
次に $LM(r, A, B)$ (Manifolds with Lipschitz Boundary) の定義を述べておく. $r,$ $A,$ $B>0$

内の有界開集合とする. 以下の ) ) を満たすが存在する時 $\Omega\in LM(r,A, B)$ と定義する.
はは Affine transformation であり, $\chi_{k}(x)=A_{k}(X)+a_{k}$ と内の有界開集合,i)は orthogonal matrix,は constant vector である.
は $R^{d-1}$ 内の表せる. 但し
rectangle である. $t>0$ に対し,とする.
$U_{k}$

を$\Omega$$R^{d}$$\mathrm{i}$$\{U_{k}.’\chi_{k}.’$- \mathrm{v}$Sk, \phi k\}^{K}k=1$$R^{d}$$\chi_{k}$$A_{k}$$S_{k}$$a_{k}$$S_{k}(t):=\{x’\in R^{d-1}|\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(xs’,)k<t\}$は上 Lipschitz continuous である.と定義すると$x\in R^{d}$ に対し $x=(X’, X_{d}),X’\in R^{d-1},x_{d}\in R$ と書く.
ii)
この時,$\overline{S_{k}(r)}$$\phi_{k}$$\chi_{k}(U_{k})$$=$$\{(x’, xd)\in R^{d}|X’\in S_{k}(r), \emptyset k(x’)-r<x_{d}<\phi_{k}(X’)+r\}$$\chi_{k}(U_{k}\cap\Omega)$$=$$\{(x’, xd)\in R^{d}|x’\in S_{k}(r), \phi k(x’)-r<x_{d}<\phi_{k}(x’)\}$$=$$\{(x’, xd)\in R^{d}|X/\in sk(r), Xd=\emptyset k(X)/\}$$\chi_{k}$($U_{k}$寡$\partial\Omega$)が成り立つ.

iii)
open covering である.の Lipschitz constant はiv)$\partial\Omega\subset\bigcup_{k=1}^{K}\chi_{k}^{-1}(\{(X’, x_{d})\in R^{d}|x’\in S_{k}, X_{d}=\phi k(x)/\})$$\phi_{k}$$A$である. 特に$\{U_{k}\}_{k=1}^{K}$

は$\partial\Omega$の以下である. すなわち

, for $1\leq k\leq K$.

$||\nabla\phi_{k}||_{L(}\infty\overline{S_{k(r)}})\leq A$v)

$U_{k}$の重なり方は高々 $B$ 重である. すなわち$\#\{k|x\in U_{k}\}\leq B$, for$\forall_{X}\in R^{d}$.

参考文献
[B-P]

M. M. Benderskii and L. A. Pastur, On the spectrum of the one-dimensional
Schr\"odinger equation with a random potential, Mat. Sbornik.
$\mathit{8}\mathit{2}(\mathit{1}\mathit{2}\mathit{4})(1970)$[C-L]

R. Carmona and J. Lacroix, Spectral theory of random Schr\"odinger operators,Birkh\"auser, 1990.

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[H-S]

B. Helffer and J. Sj\"ostrand, Equation de Schr\"odinger avec champ magn\’etique et\’equation de Harper, $Lec$ . Note in Phys. 345(1989), 118-197.

[I-K]

T. Ikebe and T. Kato, Uniqueness of the self-adjoint extension of singular elliptic
differential operators, Arch. Rational Mech. Anal. 9(1962), 77-92.

[K-M] W. Kirsch and F. Martinelli, On the density of states of the Schr\"odinger operatorswith a random potential, J. Phys. A. Gen. 15(1982), 2139-2156.
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[Ru]

W. Rudin, Real and Complex Analysis,[Sh]

M. A. Shubin, The density of states of selfadjoint elliptic operators with almost
perildic coefficients, Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 118(1982), 307-339.

$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{w}$