数理解析研究所講究録
1534 巻 2007 年 109-118

109

量子通信路の漸近的可逆性
科学技術振興機構さきがけ小川朋宏 (Tomohiro Ogawa)
PRESTO, Japan Science and Technology Agency

1

はじめに

量子通信路とはトレースを保存する完全正写像のことで, 物理的には量子力学的ノイズや量子状態操作を–般的に記述する概念である. 量子通信路を通して量子状態を忠実に伝送するための方法として, 量子誤り訂正符号が知られている. これは量子計算で用いる量子状態
をノイズから守るための研究として始まった [1] [2]. 本稿では, 量子誤り訂正符号の漸近理論として知られる量子状態伝送符号化定理 [3] [4] [5] について述べ, その–般化を試みる.
非漸近的な量子誤り訂正条件についての考察から, 「量子状態を受信系に忠実に伝送すること」 と「受信系以外の系 (環境系や盗聴者) に入力に関する情報を何も伝えないこと」が等価であることが分かる [6] [7]. Devetak はこの論法を漸近論において展開し, 量子通信路
において「盗聴から安全にメッセージを伝送すること」が実現されると 「量子状態を忠実に伝送すること」が実現できること,「盗聴から安全にメッセージを伝送すること」は量子通信
路 resolvability 問題に帰着されることを示した [4].
量子通信路 resolvability 問題は, 古典的情報理論における通信路 resolvabihity 問題 [8] の量子力学的拡張であり. [4] において暗に用いられてきた. 林 [5] はこれを明確に意識し量子状態伝送符号化定理の情報スペクトル的証明を与えている. 本稿のアプローチはこれに習っている. 本稿では量子状態伝送符号化定理の review (2 節) の後に次の結果を示す.
$\bullet$$\bullet$

非漸近的な量子誤り訂正条件について, 作用素環論の言葉で特徴付けを与える (3 節).

量子通信路 resolvability 問題の–般公式に対する評価を与え (4 節), 独立同–な量子通信路に限らない–般的な設定のもとで, 量子状態伝送符号化容量の下限を与える (5 節).

なお量子情報理論全般の教科書として [5] [9] を参照して頂きたい.

2

量子状態伝送符号化定理

HA, HB を有限次元 Hilbert 空間とする. トレースを保存する完全正写像 (TP-CP 写像)
は量子通信路 (quantum channel) または量子操作 (quantum operation)とよばれる. Hilbert 空間 H 上の量子状態とは, 密度行列
. ] のことである. 本稿では bracket 記法をまたは state
用い, Hilbert 空間の内積 \xi , \eta では物理の慣習を用いる. すなわち, \xi に関して共役線形:
に関して線形であるとする.
量子通信路 を 回使用することで (すなわち,: L(H 艶)\rightarrow L(H@Bn) を使用することで), できるだけ大きな次元をもつヒルベルト空間 Hn 上の任意の量子状態を “漸近的に忠実に” 伝送する方法 (符号化・復号化) の族を考える. これらの伝送方法についての “符号化レード?の上限を量子通信路 の量子状態伝送容量とよびと書く. このとき次の定理が成り立つ.

$\mathcal{E}:\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})$$\rho^{*}\geq 0,\mathrm{R}[\rho]=1\}$.

$\rho\in S(\mathcal{H}):=\{\rho\in \mathcal{L}(\mathcal{H})|\rho=$$\varphi(\cdot)=\mathrm{r}_{\mathrm{R}[\rho}$$\langle$$\rangle$$\langle c\iota\xi_{1}+c_{2}\xi 2, \eta\rangle=c_{1}^{*}\langle\xi_{1},\eta\rangle+c_{2}^{*}\langle\xi 2, \eta\rangle,$$\mathcal{E}$$n$$\lim\inf_{narrow\infty}\frac{1}{n}\log\dim \mathcal{H}_{n}$$\eta$$\mathcal{E}^{\otimes n}$$\mathcal{E}$$C_{q}(\mathcal{E})$110

Proposition 1(量子状態伝送符号化定理 [3] [4] [5])(1)$C_{q}( \mathcal{E})=\lim_{narrow\infty}\frac{1}{n}\max_{\Phi n}I_{c}(\rho_{n}, \mathcal{E}^{\otimes n})\rho_{n}\in S(\mathcal{H}_{A})$ただし,$I_{c}(\cdot, \cdot)$は coherent information [10] とよばれ, 量子通信路$\mathcal{E}$:$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})$と入力量子状態について, 以下で定義される量である.
任意のについて. ある Hilbert 空間
と純粋状態
が存在
して, 部分トレースによりとすることができる. このときを purification,
を参照系 (reference system) とよぶ. また rank $\rho_{RA}=1$ であるから, あるHilbert 空間
により,を purification とよと書ける. このぶこともある.
(:は恒等写像),
とおくと, coherent information は von Neumann エントロピー $H(\rho):=-\mathrm{h}[\rho\log\rho]$ を用いて次で定義される.
$\rho_{A}\in S(\mathcal{H}_{A})$$\rho_{A}\in S(\mathcal{H}_{A})$$\mathcal{H}_{R}$$\rho_{RA}\in S(\mathcal{H}_{R}\otimes \mathcal{H}_{A})$$\rho_{A}=\mathrm{b}_{R}[\rho_{RA}]$$\rho RA$$\mathcal{H}_{R}$$\rho_{RA}=|\Phi_{RA}\rangle\langle$ $\Phi_{RA}|$$|\Phi_{RA}\rangle\in \mathcal{H}_{R}\otimes \mathcal{H}_{A}$$\rho_{RB}=(\mathcal{I}_{R}\otimes \mathcal{E})(\rho_{RA})$$\mathcal{I}_{R}$$|\Phi_{RA}\rangle$$\rho_{B}=\mathrm{R}_{R}[\rho_{RB}]$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{R})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{R})$(2)$I_{\epsilon}(\rho_{A},\mathcal{E}):=H(\rho_{B})-H(\rho_{RB})$$I_{\mathrm{c}}(\rho_{A},\mathcal{E})$は$\rho_{A}$の purification の自由度によらないことが示される.

最後に「 “漸近的に忠実に” 伝送」を正確に述べる. 伝送したい量子状態が与えらによる符号化を行った後,を量子通信路に入力する. 受信者は出力量子状態から量子操作:により元の量子状態を復号する. 符号 (Cn, Dn) による量子状態伝送の誤りはトレースノル
ムを用いて次式で評価される.
れたとき, 送信者は量子操作び :$S(\mathcal{H}_{n})arrow S(\mathcal{H}_{A}^{\otimes n})$$\mathcal{E}^{\otimes n}$$\mathcal{E}^{\Phi n}C^{n}(\rho)$$\rho\in S(\mathcal{H}_{n})$$C^{n}(\rho)$$D^{n}$$S(\mathcal{H}_{B}^{\Phi n})arrow S(\mathcal{H}_{n})$(3)$\mathrm{P}\mathrm{e}(C^{n},D^{n})=’\max\uparrow\rho-D^{n}\mathcal{E}^{\Phi n}C^{n}(\rho)||_{1}\rho\epsilon S(\mathcal{H}_{\hslash})$は
このとき量子状態伝送容量を満たす符号の列についての符号化レート $\lim$ i 両\rightarrow \infty 。月 og dimの上限として定義される. 慣例として, 量
子状態伝送の誤りは忠実度 (fidelity) という量で定義されるが, トレースノルムで定義をしても漸近的に同等である. また, $\text{符号化については等距離作用素}W:\mathcal{H}_{n}arrow \mathcal{H}_{A}^{\Phi n}\text{を用いた}$埋め込みび :の形に限っても十分であることが知られて$C_{q}(\mathcal{E})$$\lim_{narrow\infty}\mathrm{P}\mathrm{e}(C^{n}, D^{n})=0$$\{(C^{n},D^{n})\}_{n=1}^{\infty}$$\mathcal{H}_{n}$$\rho\in S(\mathcal{H}_{n})\mapsto W\rho W^{*}\in S(\mathcal{H}_{A}^{\Phi n})$いる [11].

3

量子誤り訂正条件

本節では, 非漸近的な状況で量子通信路への入力が完全に復元されるための条件 (完全量子誤り訂正条件) [12] [13] について. 作用素環的特徴付けを与える.

量子通信路

:

について, 逆向きの量子通信路が存在してとなるとき,
は量子状態族 $S$ に関して可逆 (reversible) であるという. また. ある \sim \in S(HB) が存在して \forall \rho \epsilon S,となるとき, E は量子状態族 S に関して消失的 (vanishing) であるという. 特に量子誤り訂
正符号の文脈においては, 量子状態族 S として, ある部分空間 KHA についての量子状
態全体を考える. また以下では, 部分空間を対応する射影子 によりと表す.
について, ある Hilbert 空間
TP-CP 写像 :と等距離作用素 $V$ :が存在してと書ける (Stinespring-Kraus$\mathcal{E}$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})$$\mathcal{R}:\mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})$と量子状態族$\forall\rho\in S,$$S\subseteq S(\mathcal{H}_{A})$$\mathcal{R}\mathcal{E}(\rho)=\rho$$\mathcal{E}$$\mathcal{E}(\rho)=\rho 0$$S(\mathcal{K})=\{\rho\in S(\mathcal{H}_{A})|\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}(\rho)\subseteq \mathcal{K}\}$$p\mathcal{H}_{A}$$P$$\mathcal{E}$$\mathcal{H}_{A}arrow \mathcal{H}_{B}\otimes \mathcal{H}_{E}$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})$$\mathcal{E}(\rho)=\mathrm{T}\mathrm{r}_{E}[V\rho V^{*}](\rho\in S(\mathcal{H}_{A}))$$\mathcal{H}_{E}$111表現). 等距離作用素 $V$ は,$\mathcal{H}_{E}$$V= \sum_{k}E_{k}\otimes|f_{k}\rangle$

と書け,

の ONS

:

$\{|f_{k}\rangle\}_{k}$と作用素の族$E_{k}$$\mathcal{H}_{A}arrow \mathcal{H}_{B}$により,$\in \mathcal{H}_{B}\otimes \mathcal{H}_{E}$$\otimes|f_{k}\rangle$$|\psi\rangle$:$\in \mathcal{H}_{A}\mapsto\sum_{k}E_{k}|\psi\rangle$

は条件 $\sum_{k}E_{k}^{*}E_{k}=1_{A}$ を満たす. これよりが導かれる.
に対して, dual
TP-CP 写像 :$\{E_{k}\}_{k}$$\mathcal{E}$の operator sum 表現$\mathcal{E}(\rho)=$$\sum_{k}E_{k\rho}E_{k}^{*}$$\mathcal{E}$$\mathcal{E}^{*}:$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})$Tr
Stinespring-Kraus 表現を持つとき,$[\rho \mathcal{E}^{*}(X)](\forall\rho\in S(\mathcal{H}_{A}), \forall X\in \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B}))$がし [E(\rho )X]が上の写像となる.

$=$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})$で定義され unital$\mathrm{C}\mathrm{P}$$\mathcal{E}$$\mathrm{R}[\mathcal{E}(\rho)X]=\mathrm{R}[?\mathrm{Y}_{E}[V\rho V^{*}]X]=\mathrm{R}[V\rho V^{*}(X\otimes 1_{E})]=\mathrm{R}[\rho V^{*}(X\otimes 1_{E})V]$

より E*(X)=V\sim X\otimes lE)V である. 本来 Stinespring\tilde Kraus 表現と言えばこちらを指すのであった. また, 量子通信路 F:L(HA)\rightarrow L(HE) を F(\rho )=TrB[V\rho V\tau ] で定義する. このとき以下の定理が成り立つ.
について, Hilbert 空間と等距離作用Theorem 1 量子通信路 :をにより
素表現が与えられているとする.
:
Stinespring-Kraus上の射影子とするとき, E の S(pHA) に関する可逆性について以下は同値である. ただし.
$\mathcal{E}$$V$$\mathcal{H}_{A}arrow \mathcal{H}_{B}\otimes \mathcal{H}_{E}$$\mathcal{K}=\mathcal{H}_{B}\otimes \mathcal{H}_{E\prime}q=VpV^{*}$

のとする.

(i)
(\"u)

$P$

.

$\mathcal{M}=\mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})\otimes 1_{E}\text{とおき},$.

$\mathcal{M}\vee N$$\mathcal{H}_{A}$

は $(\mathcal{M}\cup N)’’$ を表わすも$(\{q\}’\wedge \mathcal{M})_{q}=\mathcal{L}(q\mathcal{K})$$(\{q\}\vee \mathcal{M}’)_{q}=\mathbb{C}q$(iii)$q\mathcal{M}’q=\mathbb{C}q$(iv)$pE_{1}^{l}.E_{jp\in}\mathbb{C}p$(v)$\mathcal{H}_{E}$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})$$\mathcal{E}$はについて可逆$S(p\mathcal{H}_{A})$(vi) $F$ は$(\forall i,j)$$S(p\mathcal{H}_{A})$について消失的条件 (iv) と (v) の同値性は完全量子誤り訂正条件として知られている. 以下をふまえると, 作用素環の初等的な知識のもとで, 上記の同値性は易しい. 一般に unital CP 写像 T:に対して,$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})$$A\tau=\{X\in L(\mathcal{H}_{B})|T(X^{*})T(X)=T(X^{*}X), T(X)T(X^{*}\rangle=T(XX^{*})\}$-algebra で, multiplicative domain とよばれる. の Steinspring-Kraus 表現を $T(X)=$$V^{*}(X \otimes 1_{E})V=\sum_{k}E_{k}^{*}XE_{k}\text{とすると}$ ,multiplicative domaln は
は

$T$

$*$

$A_{T}=\{X\in \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})|X\otimes 1_{E}\in\{VV^{t}\}’\}=\{E_{k}E_{l}^{*}|k, l\}’$で与えられる [14]. 条件 (i) での$\{q\}’\wedge \mathcal{M}$

ついての multiplicative domain である.

は,$\mathcal{E}$の$\mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A})$への制限の dual$(\mathcal{E}|c(p\mathcal{H}_{A}))^{*}$にまた, この定理では有限次元の仮定は本質的ではなく. normal TP.CP 写像であればよい. 以下に定理の証明を与える.

proof.

:とおくと $N’=\{q\}’\wedge \mathcal{M}$ で,が成立する. よって主張が成り立つ.
$\cdot$$(\mathrm{i})\Leftrightarrow(\mathrm{i}\mathrm{i})$$N=\{q\}\vee \mathcal{M}’$$q\in N$ より $(N_{q})’=(N’)_{q}$112への作用を考えることで$(\mathrm{i}\mathrm{i})\Leftrightarrow(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\wedge\prime q\mathcal{K}$$(\{q\}\vee \mathcal{M}’)_{q}=(q\mathcal{M}’q)’’$が分かる. これより主張が成り立つ.
$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\Leftrightarrow(\mathrm{i}\mathrm{v}):Vp$

である.

が

$p\mathcal{H}_{A}$とをつなぐ部分等距離作用素であるに注意すると,$q\mathcal{K}$$\mathcal{M}’=1_{E}\otimes \mathcal{L}(\mathcal{H}_{E})$$\mathrm{B}$)ら,$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\Leftrightarrow pV^{*}\mathcal{M}’Vp=\mathbb{C}p$$pV^{*} \mathcal{M}’Vp=\{\sum_{k,l}p(E_{\dot{k}}\otimes\langle f_{k}|)(1_{B}\otimes \mathrm{Y})(E_{l}\otimes|f[\rangle)p|\mathrm{Y}\in \mathcal{L}(\mathcal{H}_{E})\}$$= \mathrm{t}\sum_{k,l}c_{k\iota}pE^{*}Ek\mathrm{t}p|c_{k\downarrow\in \mathbb{C}\}}$となる. これより主張が成り立つ.
: $N=\{q\}\vee \mathcal{M}’$ とおき, Z(劫を $N$ の center, $z(q)\in$ Z(劫をsupport とする. $\mathcal{Z}(N)\subseteq N’=\{q\}’$ A MM に注意すると, *-同型写像$(\mathrm{i})\Rightarrow(\mathrm{v})$$q$の central$\mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(q\mathcal{K})=N_{q}’arrow N_{z(q)}’\subseteq \mathcal{M}$により. 写像
義より

:

$\pi$

$X\in \mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A})arrow\pi(X)\otimes 1_{E}\in \mathcal{M}$が定まる. 特に$\pi$は$\mathrm{C}\mathrm{P}$写像である. 定$VXV^{*}=(\pi(X)\otimes 1_{E})q$$\forall X\in \mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A}),$であり, 特に $q=(\pi(p)\otimes 1_{E})q$ であるから,
suPport projection が $s(\varphi)=1-p$ となる$((1-\pi(p))\otimes 1_{E})q=0$ が成り立つ.

$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})$上の状態$\varphi$

を用いて,

ここで

$T:\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})$を以下で定義する.
$T(X)=\pi(pXp)+\varphi(X)(1-\pi(p))$$T$は unital$\mathrm{C}\mathrm{P}$写像であり,$\forall\rho\in S(p\mathcal{H}_{A})$と$\forall X\in \mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})$に対して以下を満たす.

$\mathrm{D}[\mathcal{E}(\rho)T(X)]=\mathrm{R}[V\rho V’(T(X)\otimes 1_{E})]$$=\mathrm{R}[V\rho V^{*}(\pi(pXp)\otimes 1_{E})q]+\varphi(X)\mathrm{R}[V\rho V^{t}((1-\pi(p))\otimes 1_{E})q]$$=\mathrm{R}[V\rho V^{*}VpXpV^{*}]$$=^{r}\mathrm{R}[\rho X]$

すなわち,$(\mathrm{v})\Rightarrow(\mathrm{i})$とおけば: TP-CP 写像 :$R=T^{*}$$\mathcal{R}$$\forall\rho\in S(p\mathcal{H}_{A}),$である.
が存在して,$\mathcal{R}\mathcal{E}(\rho)=\rho$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{B})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})$$\forall\rho\in S(p\mathcal{H}_{A}),$$\mathcal{R}\mathcal{E}(\rho)=\rho$

であ

るから,
$\mathrm{T}\mathrm{r}[V\rho V^{*}VXV^{*}]=\mathrm{b}[\rho X]=\mathrm{n}[\mathcal{R}\mathcal{E}(\rho)X]=\mathrm{n}[\mathcal{E}(\rho)\mathcal{R}^{*}(X)]=\mathrm{R}[V\rho V^{*}(\mathcal{R}^{*}(X)\otimes 1_{E})]$が,$\forall\rho\in S(p\mathcal{H}_{A}),$$\forall X\in \mathcal{L}(\mathcal{H}_{A})$について成り立つ. これより, 特にいて$q(\mathcal{R}^{*}(X)\otimes 1_{E})q=qVXV^{*}q=VXV’$

である. 不等式$\mathcal{R}^{*}(X^{*})\mathcal{R}^{*}(X)\leq \mathcal{R}^{*}(X^{*}X)$を用いると,$VX^{*}XV^{*}=q(\mathcal{R}^{*}(X^{*})\otimes 1_{E})q(\mathcal{R}^{*}(X)\otimes 1_{E})q$$\leq q(\mathcal{R}^{*}(X^{*})\otimes 1_{E})(\mathcal{R}^{*}(X)\otimes 1_{E})q$$\leq q(\mathcal{R}^{t}(X^{*}X)\otimes 1_{E})q$$=VX^{*}XV^{*}$$\forall X\in \mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A})$

につ

113

が成り立つ. よって,$\forall X\in \mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A}),$が成立し,$\forall X\in \mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A})$$q(\mathcal{R}^{*}(X)\otimes 1_{E})q=(\mathcal{R}^{*}(X)\otimes 1_{E})q$

について $R^{*}(X)\otimes 1_{E}$ と$q$は可換である. これより以下の包含関係が成り立つ.
$\mathcal{L}(q\mathcal{K})=V\mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A})V^{l}=(\mathcal{R}^{*}(\mathcal{L}(p\mathcal{H}_{A}))\otimes 1_{E})q\subseteq(\{q\}’\wedge \mathcal{M})_{q}$逆向きの包含関係: (iii) を仮定すると存在して,$(\{q\}’\wedge \mathcal{M})_{q}\subseteq \mathcal{L}(q\mathcal{K})$$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\Leftrightarrow(\mathrm{v}\mathrm{i})$は明らかであるから主張が示された.

$q(1_{B}\otimes \mathcal{L}(\mathcal{H}_{E}))q=\mathbb{C}q$$\forall\rho\in S(p\mathcal{H}_{A}),$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{E})$上の状態$\varphi 0$が$q(1_{B}\otimes \mathrm{Y})q=\varphi \mathrm{o}(\mathrm{Y})q$$\forall \mathrm{Y}\in L(\mathcal{H}_{E}),$

である. よってであるから,$\forall \mathrm{Y}\in \mathcal{L}(\mathcal{H}_{E})$に対して,$\mathrm{n}[F(\rho)\mathrm{Y}]=\mathrm{h}[V\rho V^{*}(1_{B}\otimes \mathrm{Y})]=\mathrm{h}[V\rho V^{*}q(1_{B}\otimes \mathrm{Y})q]=\varphi_{0}(\mathrm{Y})\mathrm{n}[V\rho V^{*}q]=\varphi_{0}(\mathrm{Y})$が成り立つ. すなわち $F$ は消失的であり (vi) が導かれた. この論法を逆向きにたどること口でが示される.
$(\mathrm{v}\mathrm{i})\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$4量子通信路 resolvability 問題

量子通信路 resolvability 問題とは, 量子通信路の出力が消失的になるように (出力から入力が全く分からないように), 入力側で意図的にランダマイズするときの必要な乱数のサイズを見積る問題である [8] [5].
ある集合 から有限次元 Hilbert 空間 上の量子状態への写像と X 上の確率分布関数 (x) x\in X が与えられているとする. この写像 F は古典量子通信路ともよばれ, 古典的メッセージを量子通信路を通して伝送するときの入出力関係が想定されている. この 次独立同–拡大$\mathcal{X}$$F:x\in \mathcal{X}rightarrow\rho_{x}\in S(\mathcal{H})$$\mathcal{H}$

$\}$

:.

$n$

$F^{n}$:(4)$x^{n}=(x_{1},x_{2}, \ldots,x_{n})\in \mathcal{X}^{n}rightarrow\rho_{x^{\mathfrak{n}=\rho_{x_{1}}\otimes\rho_{x_{2}}\otimes\cdots\otimes\rho_{x_{\hslash}}\in S(\mathcal{H}^{\otimes n})}}$$p^{n}(x^{n})=p(x_{1})p(x_{2})\ldots p(x_{n})$とおけばを考え, アンサンブル平均をとおく. 今の場合である. ここで, Xn の部分集合 {xr,
} $\subseteq \mathcal{X}^{n}\text{を上手に選ぶことにより}$ , サンプ
が, 漸近的に “区別ができない” ようにしたい.
ル平均とアンサンブル平均
サンプル平均はサイズ Ln の–様乱数の出力を見て (サイコロを振って), それに従って$\sigma=E_{p}[\rho_{x}]$$\sigma_{n}=E_{p^{n}}[\rho_{x^{n}}]$$x_{2}^{n},$$\frac{1}{L_{\hslash}}\sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{n}}$$\ldots,$$\sigma_{n}=\sigma^{\otimes n}$$x_{L_{\hslash}}^{n}$xr$\sigma_{n}$を入力することで実現できる. このときの必要な乱数のサイズ Ln の限界を見積ることが量子通信路 resolvability 問題の目的で, Ln を Ln\approx enR の形で増大さるとき, レート R をど
こまで小さくできるかを問題にする.
以下では情報スペクトル的方法とよばれる–般的な状況のもとで議論をする. 本来, 情報
スペクトル的方法において Hilbert 空間に有限次元の仮定を設けたくないのであるが, 今の上のから有限次元 HUbert 空間
に対して, 集合
ところ必要である. 各 $n=1,2,$が与と, 確率分布関数
量子状態への写像:$\mathcal{X}^{(n)}$$\mathcal{H}^{n}$$\ldots$$F^{n}$$x^{n}\in \mathcal{X}^{(n)}rightarrow\rho_{x^{n}}\in S(\mathcal{H}^{n})$$\{p^{n}(x^{n})\}_{x^{n}\in \mathcal{X}^{(n)}}$114

えられているとし, これらの列を $F=\{F^{n}\}_{n=1}^{\infty},$と書く. 典型的には 次独
立同–拡大 (4) を想定していて, 混乱のない限りの括弧を省略してと書くことにする. またアンサンブル平均をとおく. 実数 $R$ について, サイズの部分集合の列 $\{x_{1}^{n}, \ldots, x_{Ln}^{n}\}\subset\chi n(n=1,2, \ldots)$ が存在して,$p=\{p^{n}(\cdot)\}_{n=1}^{\infty}$$\mathcal{X}^{(n)}$$n$$\mathcal{X}^{n}$$\sigma_{n}=E_{p^{n}}[\rho_{x^{n}}]$$L_{n}$$\lim_{narrow}\sup_{\infty}\frac{1}{n}\log L_{n}\leq R$(5)$\lim_{narrow\infty}||\frac{1}{L_{n}}\sum_{l=1}^{\iota_{n}}\rho_{x_{l}^{n}}-\sigma_{n}||_{1}=0$(6)を満たすとき, レート $R$ は achievable であるという. 量子通信路 resolvability 容量 $C_{r}(p,F)$ はachievable なレート $R$ の下限として定義される. このように操作的に定義された resolvability
容量 C7(p,F) が, どのような情報量で書けるかが問題である.
エルミート作用素 $A$ とに対して $\{A>a\}:=s((A-a)_{+})$ (正部分へのサポート射を影) とおく. ここで, Hilbert 空間のサポートに限ることで. $\sigma_{n}>0$ を仮定しても一般性は失なわれない. re801 bi1ity 問題においては以下の情報量が重要である.
$a\in \mathrm{R}$$\mathcal{H}^{n}$$\sigma_{n}$$l(\mathrm{p},F)$$:= \sup\{a\in \mathrm{N}|\lim_{narrow\infty}E_{p^{n}}?\mathrm{Y}[\rho_{x^{n}}\{\rho_{x^{n}}-e^{na}\sigma_{n}>0\}]=1\}$(7)$\overline{I}(p,F)$$:= \inf\{a\in \mathrm{R}|\lim_{narrow\infty}E_{\mathrm{p}^{n}}\mathrm{R}[\rho_{x^{n}}\{\rho_{x^{n}}-e^{na}\sigma_{n}>0\}]=0\}$

(8)

Tr

$[\rho_{x^{n}}\{\rho_{x^{n}}^{1/2}\sigma_{n}^{-1}\rho_{x^{n}}^{1/2}>e^{n\mathrm{n}}\}]=1\}$(9)$\overline{I}_{BS}(\mathrm{p},F):=\inf\{a\in \mathrm{R}|\lim_{narrow\infty}E_{p^{n}}\mathrm{R}[\rho_{x^{n}}\{\rho_{x^{\iota}}^{1/2},\sigma_{n}^{-1}\rho_{x^{n}}^{1/2}>e^{na}\}]=0\}$(10)$\underline{I}_{BS}[\mathrm{p},F)$$:= \sup\{a\in \mathbb{R}|\lim_{narrow\infty}E_{p^{n}}$このとき次の定理が成り立つ.

Theorem 2 $R>\overline{I}_{BS}(p,F)$ ならば$R$

は achievable である. すなわち,$\overline{I}_{BS}(p,F)\geq C_{r}(p,F)$(11)量子通信路 resolvability 容量についての–般公式は, まだ与えられていない. 独立同–拡大(4) における以下の考察により, 残念ながら (11) の評価はタイトではないが, Hilbert 空間の有限次元性以外に何の仮定もおかない場合における評価という意義はある.
独立同–拡大 (4) では, (9) (10) について比較的容易に次式が示される.
$\overline{I}_{BS}(p,F)=\underline{I}_{BS}(p,F)=I_{BS}(p):=E_{p}$Tr$[\rho_{x}\log(\rho_{x}^{1/2}\sigma^{-1}\rho_{x}^{1/2})]$(12)-方で量子仮説検定の理論 [15] [16] [17] において, (7) (8) に関して次式が示されている.
$\overline{I}(p,F)=\underline{I}(p,F)=I(p):=E_{p}D(\rho_{x}||\sigma)$(13)[–log\mbox{\boldmath $\sigma$})] は量子相対エントロピーで, I(p) は Holevo 量子相
互情報量とよばれる. 独立同–拡大のケースにおいては I(p)\geq Cr が示されている. 不等式
IBS(P)\geq I(p) が示されているため [15], (11) はタイトな評価ではないことが分かる.
ただし,$D(\rho||\sigma):=\mathrm{n}$ $\rho(\log\rho$と可換な場合, 明らかに $\underline{I}(p,F)=L_{BS}[p,F),$ $\overline{I}(p,F)=\overline{I}_{BS}(p,F)$ が成立す
る. より自明な場合として, \rho xn がすべて互いに可換な場合は古典的な通信路である. 古典各$\rho_{x}^{n}$が$\sigma_{n}$的な場合の独立同–拡大 (4) において, (12) (13) は大数の法則の直接の帰結である. このように, (7)\sim (10) の情報量の性質を個別のケースで調べることは, 大数の法則, 中心極限

115

定理, 大偏差原理などの純粋に (量子) 確率論的な問題である. 情報スペクトル的方法では,(7)\sim (10) のように極めて–般的な形の情報量を用いて符号化定理を与えることで, (量子)情報理論特有の符号化問題と (量子) 確率論的な問題が分離されることに意義がある. 上記
定理の証明は以下で与えられる.

Proof:

Shannon のランダムコーディングと呼ばれる論法を用いる. 各
1,2, .. . , Ln) が, それぞれ独立に確率 pn に従うとして, その平均について,$x_{l}^{n}\in \mathcal{X}^{n}(l=$(14)$\lim_{narrow\infty}E||\frac{1}{L_{n}}\sum_{l=1}^{L_{\hslash}}\rho_{x_{l}^{n}}-\sigma_{n}||_{1}=0$が示せたとするならば, 少くともある系列(6) を満たす. そこで, $R>\overline{I}_{BS}(p,F)$.

(14) を示せばよい.
各について,を射影子とし,とおく. このとき以下の評価が成り立つ.
$x^{n}\in \mathcal{X}^{n}$が存在してとするとき, (5) は明らかであるから,$\{x_{1}^{n}, \ldots, x_{L_{n}}^{n}\}\subset \mathcal{X}^{n}(n=1,2, \ldots)$$L_{n}=\lfloor e^{nR}\rfloor$$q_{x^{n}}\in \mathcal{L}(\mathcal{H}^{n})$$q_{x^{n}}^{\perp}=1_{\mathcal{H}^{n}}-q_{x^{\iota}}’$.

$\tau_{n}=E_{p^{n}}[\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}\rho_{x^{n}}^{1/2}]$$||\mathrm{z}_{n}^{1_{-\sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{n-\sigma_{n||_{1}}}}}}$$=||\mathrm{z}_{n}^{1_{-\sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n}+_{\Gamma_{n}^{1}}\sum_{l\approx 1}^{L_{\hslash}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}+\tau_{n}-\sigma_{n}||_{1}}}^{\perp}}}$$\leq||_{\Gamma_{n}^{1}}\sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n||_{1}+}||_{T_{n}^{1_{-\sum_{l=1}^{L_{\hslash}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}^{\perp}\rho_{x_{l}^{n||_{1}+}}^{1/2}}}}||E_{p^{n}}\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}^{\perp}\rho_{x^{n}}^{1/2}||_{1}$$\leq||_{\Gamma_{n}^{1_{-\sum_{l=\iota}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n||_{1}+_{T_{\mathfrak{n}}^{1_{-}}}\sum_{l=1}^{L_{n}}}}}}||\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}^{\perp}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}||_{1}+E_{\mathrm{p}^{n}}||\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}^{\perp}\rho_{x^{n}}^{1/2}||_{1}$よってランダムコーディングについての平均をとると,$E||_{T_{n}^{1_{-}}} \sum_{l=1}^{L_{\hslash}}\rho_{x_{l}^{n}}-\sigma_{n}||_{1}\leq B||_{\Gamma_{\mathfrak{n}}^{1}}\sum_{l=1}^{L_{\hslash}}\rho_{x_{l}^{\mathfrak{n}}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n}||_{1}+2E_{\mathrm{p}^{n}}||\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}^{\perp}\rho_{x^{n}}^{1/2}||_{1}$が成り立つ. この式の第二項について, Schwwartz の不等式を用いると次の評価が成り立つ.
$E_{\mathrm{p}^{n}}||\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}^{\perp}\rho_{x^{n}}^{1/2}||_{1}\leq E_{p^{n}}||\rho_{x^{n||\begin{array}{l}1/22\end{array}||q_{x^{n}}^{\perp}\rho_{x^{n}}^{1/2}||_{2}^{1/2}\leq E_{p^{\mathfrak{n}}}(\mathrm{R}[\rho_{x^{n}}q_{x^{n}}^{\perp}])^{1/2}\leq(E_{p^{n}}\mathrm{R}[\rho_{x^{n}}q_{x^{n}}^{\perp}])^{1/2}}}^{1/2}$

よって,$E||_{\Gamma_{n}^{1}} \sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{\mathfrak{n}}}-\sigma_{n}||_{1}\leq E||\mathrm{r}_{\hslash}^{1_{-\sum_{l=1}^{L_{\hslash}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{\iota}^{n}}^{1/2}-\tau_{n}||_{1}+2(E_{p^{n}}\mathrm{n}[\rho_{x^{n}}q_{x^{\mathfrak{n}}}^{\perp}])^{1/2}}}$

ここで $R>a>\overline{I}_{BS}(p)$ を満たす

$a$

(15)

を用いて,

$q_{x^{n}}=1_{\mathcal{H}^{\mathfrak{n}-}}\{\rho_{x^{n}}^{1/2}\sigma_{n}^{-1}\rho_{x^{n}}^{1/2}>e^{na}\}=\{\rho_{x^{n}}^{1/2}\sigma_{n}^{-1}\rho_{x^{n}}^{1/2}\leq e^{na}\}$(16)

とおく. このとき $7_{BS}(p)$ の定義 (10) と $a>\overline{I}_{BS}(p)$ により,$\lim_{narrow\infty}E_{\mathrm{p}^{n}}\mathrm{n}[\rho_{x^{n}}q_{x^{n}}^{\perp}]=\lim_{narrow\infty}E_{p}\neg$”Tr$[\rho_{x^{n}}\{\rho_{x^{n}}^{1/2}\sigma_{n}^{-1}\rho_{x^{\backslash }}^{1/2},>e^{na}\}]=0$となる. したがって, (15) の第二項は n\rightarrow ◎◎のとき 0 に収束する.
方 (15) の第–項について, Schwartz の不等式を用いると以下の評価が成り立つ.
$E|| \mathrm{r}_{n}^{1_{-\sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n}||_{1}=E}}||\sigma_{n}^{1/2}\sigma_{n}^{-1/2}(\frac{1}{L_{\hslash}}\sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n)}||_{1}$$\leq B(\mathrm{n}[\sigma_{n}^{-1}(\tau_{\mathfrak{n}}^{1}-\sum_{l=1}^{L_{n}}\rho_{x_{l}^{\hslash}}^{1/2}q_{x_{l}^{\hslash}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n)^{2}]})^{1/2}$$\leq(E\mathrm{R}[\sigma_{n}^{-1}(_{\Gamma_{n}^{1}}\sum_{l=1}^{L_{\hslash}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{\mathfrak{n}}}^{1/2}-\tau_{n)^{2}]})^{1/2}$$\leq(\frac{1}{L_{n}}E_{p^{\mathfrak{n}}}\mathrm{T}\mathrm{r}[\sigma_{n}^{-1}(\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{\mathfrak{n}}}\rho_{x^{n}}^{1/2}-\tau_{n})^{2}])^{1/2}$

(17)

116

ただし最後の不等式で,$k,$$l=1,2,$$\ldots,$$L_{n}$について$E[(\rho_{x_{k}^{n}}^{1/2}q_{x_{k}^{n}}\rho_{x_{k}^{\mathfrak{n}}}^{1/2}-\tau_{n})(\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}q_{x_{l}^{n}}\rho_{x_{l}^{n}}^{1/2}-\tau_{n)]}=\delta_{k,l}E_{p^{n}}[(\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}\rho_{x^{n}}^{1/2}-\tau_{n})^{2}]$が成り立つことを用いた. さらに, (17) の右辺について以下の評価が成り立つ.
$\frac{1}{L_{n}}E_{p^{n}}\mathrm{T}\mathrm{r}[\sigma_{n}^{-1}(\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}\rho_{x^{\hslash}}^{1/2}-\tau_{n})^{2}]=\frac{1}{L_{n}}E_{p^{n}}\mathrm{T}\mathrm{r}[\sigma_{n}^{-1}((\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}\rho_{x^{n}}^{1/2})^{2}-\tau_{n}^{2})]$$\leq\frac{1}{L_{n}}E_{p^{n}}\mathrm{n}[\sigma_{n}^{-1}(\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n}}\rho_{x^{\mathfrak{n}}}^{1/2})^{2}]$$= \frac{1}{L_{n}}E_{p^{n}}\mathrm{b}[\rho_{x^{n}}q_{x^{n}}\rho_{x^{n}}^{1/2}\sigma_{n}^{-1}\rho_{x^{n}}^{1/2}q_{x^{n]}}$$\leq\frac{e^{na}}{L_{n}}$ただし最後の不等式で伽’ の定義 (16) を用いた.
のとき

5

$0$

$L_{n}=\lfloor e^{nR}\rfloor$と $R>a$ より, 右辺は $narrow\infty$に収束する. 以上で (14) が示された.

口

量子状態伝送容量の–般公式

この節では, 前節の結果から導かれる, 量子状態伝送容量の–般公式について議論をす
2 節の問題設定を情報スペクトル的設定で–般化する. 各 $n=1,2,$に対して有限から
次元 Hilbe 尊空間への量子通信路が与えられていると:し, 量子通信路の列をと書く. このとき 2 節と全く同様に, “漸近的に忠実に” 伝送可能な Hilbert 空間上の量子状態全体を考え , “漸近的な符号化レード’ の上限として, 量子状態伝送容量 Cq(E) を定義することができる. この Cq(E) が (7)\sim (10) の情報量で評価されることを示す. そのためには, メッセージ伝送量子通信路符号化定理と量子通信路
resolvability の結果が必要となる.
メッセージ伝送量子通信路符号化定理について述べる. 量子通信路の列を用いて, 古典的メッセージの増大列 $\{1, \mathit{2}, \ldots, M_{n}\}(n=1,2, \ldots)$ を伝送することを考える.
メッセージに応じて異る量子状態を伝送し, 受信側では量子力学的測定により元のメッセー
ジを推定してやるのである. このとき “漸近的に誤りなぐ’ 伝送可能なメッセージの “漸近の上限として, メッセージ伝送通信路容量
lcg
的な符号化レート”が定義される. このとき次の定理が成り立つ.
る.

$\ldots$$\mathcal{H}_{A}^{n}$$\mathcal{E}^{n}$$\mathcal{H}_{B}^{n}$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A}^{n})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{B}^{n})$$\mathcal{E}=\{\mathcal{E}^{n}\}_{n=1}^{\infty}$$\mathcal{E}=\{\mathcal{E}^{n}\}_{n=1}^{\infty}$$M_{n}$$\lim\inf_{narrow\infty}\frac{1}{n}$$C_{\mathrm{c}q}(\mathcal{E})$

Proposition 2 (Hayashi-Nagaoka [18])(18)$C_{\mathrm{c}q}( \mathcal{E})=\sup_{\mathrm{p}}\underline{I}(p,\mathcal{E})$の列
ただし. $\sup$ は上の確率測度定義される情報量である. (より詳しくは,
いる. )$p^{n}$$S(\mathcal{H}_{A}^{n})$$\underline{I}(p,\mathcal{E})$ここで各$n=1,\mathit{2},$$\ldots$について, 量子通信路

は (7) でについてとり,が “achievable” であることが証明されて$p=\{p^{n}\}_{n=1}^{\infty}$$\mathcal{E}^{n}$$\underline{I}(p,\mathcal{E})$の Stinespring-Kraus 表現を与える Hilbert

空間を, 等距離作用素をとする. すなわち.
:とする. また, 量子通信路戸 :をで定義し, これとおく. このとき, Devetak の論法 [4] により, 上記のら量子通信路の列を2と前節の結果を用いることで, 量子状態伝送容量
Proposition
は次式で評価される.
$\mathcal{H}_{E}^{n}$$V_{n}$$\mathcal{H}_{A}^{n}arrow \mathcal{H}_{B}^{n}\otimes \mathcal{H}_{E}^{n}$$\mathcal{L}(\mathcal{H}_{A}^{n})arrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_{E}^{n})$$\mathcal{E}^{n}(\rho)=\mathrm{R}_{\mathcal{H}_{E}^{n}}[V_{n}\rho V_{n}^{*}]$$\mathcal{F}^{n}(\rho^{\rho})=\mathrm{T}\mathrm{r}_{\mathcal{H}_{B}^{n}}[V_{n}\rho V_{n}^{*}]$$F=\{\mathcal{F}^{m}\}_{n=1}^{\infty}$$C_{q}(\mathcal{E})$117

Theorem 3$C_{q}( \mathcal{E})\geq\sup_{p}[\underline{1}(p,\mathcal{E})-C_{f}(p,\mathcal{F})]$(19)$\geq\sup_{\mathrm{p}}[\underline{I}(p,\mathcal{E})-\overline{I}_{BS}(p,\mathcal{F})]$

ただし,$\sup$

は$S(\mathcal{H}_{A}^{n})$上の確率測度$p^{n}$の列 P$=\{p^{n}\}_{n=1}^{\infty}$

についてとり,$\underline{I}(p,\mathcal{E}),$$\overline{I}_{BS}(p,F)$

は (7) (10) で定義される情報量である.

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$A$

118

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