結晶塑性解析に基づくサブグレイン組織予測と再結晶シミュレーション
京都工芸繊維大学[院]○高木知弘

神戸大学[院]

山中晃徳

神戸大学[院]

冨田佳宏

Subgrain Structure Prediction from Crystal Plasticity Analysis
and Recrystallization Simulation
Tomohiro TAKAKI, Akinori YAMANAKA and Yoshihiro TOMITA
1緒が良く用いられる．ここで，γs は粒界エネルギー，Ds は言

冷間加工後の熱処理過程で生じる再結晶組織を精度良く予測・制御することは，製品の諸特性を向上させるために極めて重要である 1)．このためには，試行錯誤的な実験的評価に加えて，コンピュータを援用する数値的評価が重要となる．しかしながら，再結晶組織は加工時の変形組織の影響を強く受けることから，精度良く予測された変形組織に基づく再結晶粒の核生成・成長シミュレーションが不可欠であり，このことがモデルの構築を困難にしている．
著者らはこれまでの研究で，結晶塑性有限要素解析から変形時の結晶方位と蓄積エネルギーを算出し，これに基づく再結晶核生成および KWC Phase-field モデル 2) により再結晶粒成長を再現する連成再結晶モデルを構築した 3)．本手法は Raabe ら 4)と同様の手法であるが，再結晶シミュレーションで多く用いられている MonteCarlo 法や Cellular automaton 法の代わりに，粒成長問題を精度良く解くことのできる Phase-field 法を新たに導入した．しかしながら，これらの手法では核生成条件を仮定する必要があり，再結晶カイネティクスや最終的な再サブグレン直径，K は定数である．式(1)に Read-Shockleyの関係

γs = γmΔθ ⎛Δθ ⎞⎜1 − ln⎟Δθ m ⎜⎝Δθ m ⎟⎠(2)を考慮すると，

Ds =KKΔθ ⎛Δθ ⎞⎜1 − ln⎟γs =γmEstoreEstoreΔθ m ⎜⎝Δθ m ⎟⎠(3)を得ることができる．蓄積エネルギーEstore は結晶塑性解析から算出される転位密度ρ を用いて次式により計算することができる．

1(4)ρμb 22
ここで，μ はせん断弾性係数，b はバーガースベクトル
Estore =の大きさである．さらに，サブグレイン直径 Ds と結晶方位差Δθとの関係としてΔθ = |∇θ |Ds を仮定すると，式(3)より，⎡⎧
K γ m ⎫⎤(5)Δθ = Δθ m exp ⎢1 − 1 ⎨ ∇θ⎬⎥
Estoer Δθ m ⎭⎦⎩⎣を得ることができる．ここで，|∇θ |は局所的な結晶方位と粒界モビリティーを導入することで，サブグレイン構勾配である．
式(5)より，結晶塑性解析から導出される Estore と|∇θ |により局所的な方位差Δθを算出すると式(3)よりサブグ
レイン直径 Ds が得られる．これらの情報を元に，Phase field 法による通常粒成長シミュレーションを行うことで，サブグレイン構造を作成する．

造の粒界エネルギー駆動粒成長，つまり異常粒成長を用

2.2 Multi-phase-field 法

結晶組織は，設定する核生成条件に依存して変化し，定量的な評価が困難である．
核生成条件を前もって設定せず自発的な核生成を可能とする手法として，方位差に依存した粒界エネルギー

粒成長シミュレーションには，

6)いる方法がある ．そこで本研究では，結晶塑性解析か

Steinbach ら の Multi-phase-field モデルを用いる．本モら得られる情報に基づき変形時のサブグレイン構造を

デルはパラメータと物性値の関係付けが容易で定量的予測し，そのサブグレイン構造を初期構造とするな粒成長シミュレーションが可能であり，Kim ら 7) のア

Multi-phase-field 法 6)による異常粒成長シミュレーション

ルゴリズムを用いることでシミュレーションを効率的を行うことで，変形組織に基づく自発的な核生成を可能に行うことができる．

5)とする再結晶モデルを構築する．ここで，Multi-phase-field 法の数値解法において Kim ら

7)のアル

文献[6]によると，粒 i 内で 1，他粒内で 0，粒界で 0 <φi < 1 の値をとる phase field φi の時間発展方程式は，次式ゴリズムを導入することで，多くの粒の成長を効率的にで与えられる．

シミュレートすることを可能とする．

φ&i = −∑22.1

再結晶モデルサブグレイン組織予測

EBSD 法などによる組織観察から蓄積エネルギーEstore を算出する際，Estore =Kγ s
Ds

M ijφ ⎡ n ⎧1 2⎫⎤
22⎨(Wik − W jk )φ k + a ik − a jk ∇ φ k ⎬⎥∑⎢2⎭⎦
j =1 n ⎣ k =1 ⎩n(1)()(6)
ここで，n はφi > 0 の phase field の数であり，勾配係数
aij，エネルギー障壁 Wij，phase field モビリティーMφij は次式により粒界エネルギーγij，界面幅δ，粒界モビリティーMij と関係付けることができる．

aij =2π2δγ ij , Wij =4γ ij ,δM ijφ =π2M ij
4δ(7)粒界エネルギーの方位差依存性は式(2)により，粒界モビリティーの方位差依存性は次式により表される．

⎡⎧⎪ ⎛ Δθ ⎞ 4 ⎫⎪⎤M ij (Δθ ij ) = M m ⎢1 − exp ⎨− 5⎜⎜ ij ⎟⎟ ⎬⎥⎢⎪⎩ ⎝ Δθ m ⎠ ⎪⎭⎥⎦⎣
3(8)い粒界を有する粒が成長し，再結晶核を形成している．
再結晶核の成長は，サブグレインサイズが小さく蓄積エネルギーの高い grain 1 と grain 4 へ向かって進んでおり，サブグレインサイズの大きな grain 2 と grain 3 の内部では比較的長い時間が経過した後も再結晶が生じていないことが分かる．
以上のように，本研究で提案した手法は自発的な再結晶核生成を伴う変形組織に依存した再結晶粒成長が可能であることが確認できる．

シミュレーション結果図 1 は多結晶材料の結晶塑性解析結果から一部を取り出したものを示している．Grain 1 は結晶方位差が小さく蓄積エネルギーは比較的高い粒，grain 2 は方位差が小さ
く蓄積エネルギーも低い粒，grain 3 は粒内部では蓄積エネルギーが低く粒界近傍で大きな方位差と蓄積エネルギーが生じている粒，grain 4 は方位差は比較的小さいが蓄積エネルギーが高い粒である．これらの結果より 2.1
節の手順に基づき各差分格子点のサブグレインサイズ
Ds と方位が決定される．これに基づき，サブグレイン組織を作成するための粒成長シミュレーションの核を配Fig.2 (a) Nuclei to create subgrain structure and (b) createdsubgrain structure.

置したものが図 2(a)である．また，この粒成長シミュレーションの結果得られたサブグレイン組織を図 2(b)に示している．図 1 と図 2 を比較することにより，蓄積エネルギーの低い grain 2 と grain 3 の内部では粗いサブグレイン組織が，粒界では微細なサブグレインがそれぞれ生成していることが分かる．さらに，蓄積エネルギーの大きな grain 1 と grain 2 内部では細かなサブグレイン組織となっている．
図 3 は図 2(b)を初期構造とする再結晶 Multi - phase field シミュレーションの結果を示している．
図 3(a)より，初期粒界に位置する方位差の大きなサブグレインが優先的に成長し再結晶核となり，より大きく成長していることが分かる．また，粒内においても方位差の比較的高Fig.3 Microstructure evolutions during recrystallization.
参考文献
1)

F.J. Humphreys and M. Hatherly, Recrystallization
and Related Annealing Phenomena, Elsevier, 2004.

2)

R. Kobayashi, J. A. Warren and W. C. Carter, Physica
D 119, 415 (1998).

3)高木知弘, 山中晃徳, 比嘉吉一, 冨田佳宏, 機論
A, 73, 482 (2007).

4)

D. Raabe and R. C. Becker, Modelling Simul. Mater.
Sci. Eng. 8, 445 (2000).

Fig.1 Results of crystal plasticity FE simulation. (a) Crystal
orientation, (b) misorientation and (c) stored energy.

5)

F. J. Humphreys, Acta Mater., 45, 4231 (1997)．

6)

I. Steinbach and F. Pezzolla, Physica D, 134, 385(1999).

7)

S. G. Kim, D. I. Kim, W. T. Kim and Y. B. Park, Phys.
Rev. E, 74, 061605 (2006)．