数理解析研究所講究録
1003 巻 1997 年 1-14

1$\mathrm{C}^{*}-$

環の自由積の stable rank
勝 (千葉大学理学部)

渚

1. INTRODUCTION
この報告は、 1996 年夏に K. Dykema, U. Haagerup, M.
より証明された次の命題の概略を述べたものです。

$\mathrm{R}\emptyset \mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}$

に

を持つ
環
定理単位元を持ち、 忠実な正規化されたトレースの族 $\{(A_{i,i}\tau)|i\in I\}$ を考える。 $i_{1}\neq i_{2}\in I$ として $x\in A_{i_{1}},$ $y,$ $z\in A_{i_{2}}$$\mathrm{C}^{*}-$$\tau_{i}$$A_{i}$

で$\tau_{i_{1}}(x)=\mathcal{T}_{i_{2}}(y)=\mathcal{T}i2(_{\mathcal{Z})}=\mathcal{T}_{i_{2}}(\mathcal{Z}^{*}y)=0$となるものが存在することを仮定する。 このとき、 トレースによる自由
環 $(A, \tau)=*_{i\in A}(A_{i}, \tau_{i})$ の stable rank t は 1 となる。
積$\mathrm{C}^{*}-$

stable rank という概念は、 M. A. Rieffel [Rf] により導入されたもであるとは、 $A$ の可逆
環 $A$ がのであり、 単位元を持つ
元全体 $G(A)$ が $A$ で稠密となることを意味する。 ここでは-般的な次環は cancellation
元の定義は与えないが stable rank が 1 となる
property など K- 理論に付随する情報を与えることが知られている。
自由業の reduced group-algebra の stable rank を計算すること
は [Rf] で呈示された問題で、 上の定理はそれに答えたものであり、 単位元を持つ simple, finite-algebra は stable rank が 1 であるという予想をサポートする結果にもなっていました。 ですが、 この予想について
は、 最近 J. villadsen [V] により否定的な解答が得られています。
ここでは、 環の自由積についてではなく、 2 個の生成元を持つ自由群の群環の場合について、 証明を与えることにします。 (実際、 プレプリ
ントも自由群の場合の証明を別にかいています。 ) ただし、 その議論を$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{s}\mathrm{r}(A)=1$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}$$\mathrm{C}^{*}$

環の自由積に適用したときに、 その問題点と証明の流れがっかめるように留意したつもりです。
以下のような 3 つの話題をみておくと、 証明の概略が把握しやすくな
ると思います。
と $G(A)$ との距離の評価の元(1)(2) Avitzour 条件
環のノルムと(3) 2 個の生成元を持つ自由群の群
$A$

$T$

$\mathrm{C}^{*}-$

この 3 つの内容を説明したのちに証明を述べます。

$l^{2}-$

ノルムの関係

2
2. $G(A)$ との距離単位元を持つ$G(A)$ の距離を$\mathrm{C}^{*}-$$\alpha(T)$

環 $A$ の可逆元全体を $G(A)$ と表す。 A の元 $T$ とと表す。 つまり、$\alpha(T)=\inf\{||T-S|||S\in G(A)\}$ .
この $\alpha(T)$を評価する方法が M.

[Rr] により命題 1 のように与$\mathrm{R}\emptyset \mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}\iota \mathrm{n}$えられ、 その系としての命題 2 が 5 章で用いられる。
まず記号についての注意。 $T$ の組分解 $\tau=V|T|=|T^{*}|V$ を考えると、 $|T|,$ $|T^{*}|\in A_{\backslash }|T|,$のスペク トル分解を考えてに対応するスペクトル射影をそれぞれ $E,,$と表す。 このとき、および $f(0)=0$ となる連続関数 $f$ に対して $Vf(|T|)\in A$ となる。
$|T^{*}|$$[0, \lambda]$$VE_{\lambda}=F_{\lambda}V$$F_{\lambda}$

命題 1$[\mathrm{R}\emptyset \mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}]$$\alpha(T)=\inf\{\lambda|V(1-E_{\lambda})\in G(A)(I-E_{\lambda})\}$

命題 2

.

単位元を持つ環 $A$ が $sr(A)\neq 1$ のとき $||P||=$$\alpha(P)=1$ となる $P\in A$ が存在する。
証明$\mathrm{C}^{*}-$$[\mathrm{R}\emptyset \mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}]$$sr(A)\neq 1$ より$G(A)$は$A$で稠密ではない。 従って $\alpha=$となる $T\in A$ が存在する。
が $G(A)$ の閉包に属するこ$||T||\geq\alpha$とからがわかる。 $h(\mathrm{O})=0$ となる連続関数を次のように定める$\alpha(T)>0$

$0$

$h$

$h(t)= \min\{\frac{t}{a^{\mathit{1}}},1\}$.

このとき $T$ の極分解 $\tau=V|T|$ に対して $Vh(|T|)--P$ とおくと $P\in A$ ,$||P||=1$ となる。 $|T|$ と $h(|T|)$ の値域射影が–致することに注意すると、 $Vh(|T|)l\mathrm{h}P$ の極分解になっていることがわかる。
(resp.
)をに対する $|T|$ (resp. $h(|T|)$ ) のスペクトル射影とすると、 $\lambda<1$に対してとなる。 ここで $\alpha(P)<1$ と仮定すると命題 1 より、 $0\leq\lambda<1,$ $S\in G(A)$ で $V(I-\tilde{E}_{\lambda})=s(I-\tilde{E}_{\lambda})$ となるものが$E_{\lambda}$$\tilde{E}_{\lambda}$$[0, \lambda]$$\tilde{E}_{\lambda}=E_{\alpha\lambda}$

存在すると。なつりま矛り盾。
となり矛盾。 従って$(\lambda)\text{従って}=S(I-E_{\alpha}\lambda)$$\alpha\lambda<\alpha$となると。なこるれよりとなる。

$\alpha(T)\leq\square$$1\leq\alpha(P)\leq||P||=1$

今後の議論で必要な事実は命題 2 ですが、 参考までに以下に命題 1 の証明を述べておきます。

( の証明) $V(I-E_{\lambda})=S(I-E_{\lambda})$ となる $S\in G(A)$ が存在するとを次のように定める仮定する。 $f_{\lambda}(0)=0$ となる連続関数$\leq$$f_{\lambda}$

ム $(t)= \max\{t-\lambda, \mathrm{o}\}$ .

3$T_{\lambda^{-=}}Vf\lambda(|T|)$

とおくと$T_{\lambda}=Vf_{\lambda}(|T|)=V(I-E_{\lambda})f\lambda(|T|)$$=S(I-E\lambda)f\lambda(|T|)=Sf_{\lambda}(|T|)$.

任意の正数 に対して $S(f_{\lambda}(|T|)+\epsilon I)$ は可逆となるから乃は $G(A)$ のが得られる。 口閉包に属する。 $||T-\tau\lambda||=\lambda$ に注意すれば$\epsilon$$\lambda\geq\alpha(T)$

(

の証明)

とし、 $\alpha(T)<b<a$ となるを選ぶ。
$\alpha(T^{*})=\alpha(T)<b$ だから $||T^{*}-X||<b$ となる $X\in G(A)$ が選べる。
$\geq$$a>\alpha(T)$$b$

連続関数 $f$ を次のように定めるとき$f(t)=\{$$\mathrm{Y}=Xf(|T^{*}|)$,$1/t$ ,
$1/b$$(t\leq b)$$(t>b)$とおけば、 $Y\in G(A)$ となり$||(I-YV)(I-Eb)||<1$$(*)$

を満たす。 この評価は後ですることにして、 次に $g(0)=0$ を満たす連続
関数 を
$g$

$g(t)=$と定義すれば $z=(I-YV)g(|T|)\in A,$ $||Z||<1$ となる。 従って$I-Z\in G(A)$ であり

(I

–

$Z$

) $(I - E_{a})=I-E_{a}-Z(I - E_{a})$$=I-E_{a}-(I-\mathrm{Y}V)g(|T|)(I-E_{a})$$=I-E_{a}-(I-\mathrm{Y}V)(I-E_{a})=\mathrm{Y}V(I-E_{a})$より、 $V(I-E_{a})=Y^{-1}(I-z)(I-E)a’ Y^{-}1(I-z)\in G(A)$ となる。
$(*)$ の評価については$||(I-YV)(I-Eb)||=||(V^{*}-Y)V(I-E_{b})||=||(V^{*}-\mathrm{Y})(I-F_{b})V||$$=||(V^{*}-Y)(I-F_{b})||=||(V^{*}|\tau*|f(|\tau^{*}|)-Y)(I-F_{b})||$$\leq||T^{*}f(|T^{*}|)-Y||=||(T^{*}-x)f(|\tau*|)||<b\cdot\frac{1}{b}=1$となる。

$\square$4
3. AVITZOUR 条件
により導入され、により拡張された、 ある種の環の単純性、 トレ一ス状態の-意性を導く条件について説明する。
この事実が 5 章の証明で、 直接必要ということではないがアイデアとして有用なものである。 まず Powers が用いた論法を見やすくする Choi のノルム評旧式について、 述べることにする。
$\mathrm{P}\circ \mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}[\mathrm{P}]$$\mathrm{C}\mathrm{h}_{\circ}\mathrm{i}[\mathrm{C}\mathrm{h}]$$\mathrm{C}^{*}-$

命題 3[Choi]

をヒルベルト空間とし $H=H_{0}\oplus H_{1}$ とする。
$b\in B(H)$ は $bH_{0}\subset H_{1}$ を満たすものとする。
個のユニタリ作用素$(i\neq i)$ を満たすとき
が$H_{0},$ $H_{1}$.

$n$$u_{1},$ $u_{2},$$\cdots,$$u_{n}$$u_{i}u_{j}^{*}H_{1}\subset H_{0},$$|| \frac{1}{n}\sum_{=i1}^{n}u^{*}biui||\leq\frac{2||b||}{\sqrt{n}}$が成立する。
証明 まず $bH\subset H_{1}$ のときを考えることにする。 $cH\subset H_{0}$ となるとの直交性に注意すると$c\in B(H)$ に対して
$H_{0}$$H_{1}$$||b+c||2\leq||b||^{2}+||_{C}||2$が成立する。 $(u_{i}u_{j}^{*})*b(uiu_{j}^{*})H\subset H_{0}$ $(i\neq j)$ だから.

$|| \sum_{1i=}^{n}u^{*}bu_{i}|i|2=||u_{1}(\sum_{=i1}^{n}ubui)i*u_{1}^{*}||^{2}=||b+\sum_{i=2}^{n}u_{1}u_{i}b*u_{i}u*1||^{2}$

れ$\leq||b||^{2}+||\sum u_{i}b*ui||^{2}i=2\leq\cdots\leq n||b||^{2}$が導ける。
$bH_{0}\subset H_{1}$のときは次のように考えると$(_{*}^{0}$$*\mathrm{I}*=$.
$b=b_{1}+b_{2}^{*}$

$+$

と分解して

$b_{1}H\subset H_{1},$ $b_{2}H\subset H_{1},$ $b_{2}^{*}H\subset H_{0},$ $\max\{||b1||, ||b_{2}||\}\leq||b||$となるようにできる。このとき$|| \sum_{i=1}^{n}u^{*}ibui||\leq||\sum_{1i=}^{n}ui*b_{1}u_{i}||+||\sum_{i=1}^{n}u^{*}ib2ui||$$\leq\sqrt{n}||b_{1}||+\sqrt{n}||b2||\leq 2\sqrt{n}||b||$となる。

$\square$5Powers は 2 個の生成元を持つ自由群乃の reduced group$\mathrm{C}^{*}-$

環の単純性と忠実な有限トレースが–意的に存在することを以下のような議論で示した。
の生成元を $a,$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$b$とする。 任意の $g\in F_{2}$ に対して$\delta_{g}(h)=$によってヒルベルト空間$l^{2}(F_{2})$のベクトルを表す。 また $g,$ $h\in F_{2}$ に対して$\lambda(g)\delta_{h}=\delta_{\mathit{9}^{h}}$によって $l^{2}(F_{2})$ 上のユニタリ作用素$F_{2})$

が生成する

す。
もつ。

$C_{r}^{*}(F_{2})$$\mathrm{C}^{*}-$

が定義できる。 この $\lambda(g)(g\in$と表環を reduced group環といい、という標準的な忠実なトレース状態を$\lambda(g)$$\mathrm{C}^{*}-$$C_{r}^{*}(F_{2})$は $\tau(\cdot)=<\cdot\delta_{e}|\delta_{e}>$に対して適当に大きな自然数$b-kgnb^{k}$ の縮約した元の形はのべきでを選ぶと $b^{-k}g_{1}bk,$ $b-kg_{2}b^{k},$のべきで終わるようにできる。 ここで $h_{r}=b^{k}a^{r}(r\in \mathrm{N})$ と始まりを次の 2 つの部分空間に分解す置くことにする。 ヒルベルト空間

単位元でない乃の元$g_{1},$ $g_{2},$$k$$\cdots,$ $g_{n}$$b$$\cdots,$$b$$l^{2}(F_{2})$る。
$H_{0}=<\delta_{g}|g=e$

or $g=a^{\pm}\cdots>$ ,$H_{1}=<\delta_{g}|g=b^{\pm}\cdots>$.

このとき$\lambda(b^{-k}g_{i}bk)H_{0}\subset H_{1}$となり命題 3 を適用すれば$\lambda(a^{r})H_{1}\subset H_{0}$$x=\Sigma_{i=}^{n}1\lambda\alpha_{i}(g_{i})\in C_{r}^{*}(F_{2}),$$N\in \mathrm{N}$に対して$|| \frac{1}{N}\sum_{r=1}^{N}\lambda(hr)^{*}X\lambda(h_{r})||=||\frac{1}{N}\sum_{r=1}N\lambda(ar)^{*}(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\lambda(b^{-}kb^{k}gi))\lambda(a)r||$$\leq\frac{2||\Sigma\alpha_{i}\lambda(b-kgibk)||}{\sqrt{N}}=\frac{2||x||}{\sqrt{N}}$という評価が得られる。 この議論で $N$ が任意であることに注意すれば
次の 2 つの命題が直ちに従う。

命題 4[Powers]$u_{1},$ $u_{2},$$\cdots,$$C_{r}^{*}(F_{2})$$u_{n}\in C_{r}^{*}(F_{2})$

の元

と正数

$x$

$\lambda_{1},$と正数$\lambda_{2},$$\cdots,$$\epsilon$に対して有限個のユニタリが存在して$\lambda_{n}(\Sigma_{i=1}^{n}\lambda_{i}=1)$

れ$|| \tau(X)1-\sum\lambda iui|*xu_{i}|i=1<\epsilon$

となる。

証明
$C_{r}^{*}(F_{2})$に対して $||x-y||<\epsilon/3$ となるを選ぶ。 $\alpha_{1}=0$ を許すことにすれば $g_{1}=e$ と仮定して良い。
$x\in C_{r}^{*}(F_{2})$$y=\Sigma_{i=}^{n}1\lambda\alpha_{i}(g_{i})\in$

6トレースの定義より $\tau(y)--\alpha_{1}$ だかられ$\tau(y)1-y=\sum\alpha i\lambda i=2(g_{i})$上の議論より $N$ 個のユニタリ$u_{1},$ $u_{2},$,$g_{2},$$\cdots,g_{n}\neq e$$\cdots u_{N}\in C_{r}^{*}(F_{2})$

.

が取れて

$|| \frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}u_{j}(*)1-y)u_{j}||\mathcal{T}(y.=||\tau(y)1-\frac{1}{N}\sum jN=1u_{j}^{*}yuj||<\frac{\epsilon}{3}$とできる。 このとき、$|| \tau(X)1-\frac{1}{N}j=1\sum Nu_{j}*xu_{j}||\leq|\tau(x-y)|+||\tau(y)1-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}u_{j}yuj|*|$$+|| \frac{1}{N}\sum_{=j1}^{N}u_{j}*(y-X)uj||<\in$

となる。

口

は単純 (閉両側イデアルは自明なものに限る)である。 またトレース状態はただ–つである。

命題 5[Powers]$C_{r}^{*}(F_{2})$の $\{0\}$ でない閉両側イデアルを $J$ とする。 $x\in J$ を
証明の忠実性より $\tau(x)\neq 0$ が従う。 またでない正の元とするとトレース$x\in J$ よりだから命題 4 より $\tau(x)1\in J$ となる。
まり、 $J=C_{r}^{*}(F_{2})$ となる oを上のトレース状態とすると命題 4 より

$0$

$C_{r}^{*}(F_{2})$$\tau$$\Sigma_{i=1}^{n}\lambda_{ii}uxu_{i}*\in J$$\varphi$$\text{つ}$$C_{r}^{*}(F_{2})$$| \tau(X)-\varphi(_{X})|=|\varphi(\tau(X)1-\sum_{i=1}\lambda iuXu_{i})i*|<\epsilon$が導け$\tau=\varphi$となる。

$\text{口}$以上の Powers の議論を Choi は位数 2, 3 の 2 つのユニタリが生成する
環は Choi環の単純性、 トレースの–意性に拡張した。 このとの自由積群環と呼ばれているが、 自由積の言葉でいうとの reduced group C 札環、 または、 2 つのと環環ということができる。
の重みが均等なトレース状態による自由積
位数 2, 3 の元によって生成される自由画$\mathrm{C}^{*}-$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathbb{Z}_{2}$$\mathrm{C}^{*}-$$\mathbb{Z}_{2}*\mathbb{Z}_{3}$$\mathbb{Z}_{3}$$\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}$$\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}$$\mathrm{C}^{*}-$$G=\mathbb{Z}_{2}*\mathbb{Z}_{3}=<a,$$b|a^{2}=e,$ $b^{3}=e>$の場合を考えてみる。 $c_{n}=(ba)^{n}b^{-1}(n\in \mathrm{N})$ とおくと、 長さの縮約語 $w$ に対して、 $2n\geq l$ のとき $C_{n}^{-1}wcn$ は

$b$

$l$

の

のべきで始まり

$a,$
$b$

$b$

の

7

べきで終わる縮約形をも$\vee\supset$。ここで $h_{i}=ab^{arrow 1}$ (ab)’ とおくと

$h_{i}h_{j}^{-1}=$
従って $l^{2}(G)$ を次の 2 つの部分空間$H_{0=}<\delta_{g}|g=e$$H_{0},$ $H_{1}$or $g=a^{\pm}\cdots>$ ,$\lambda(c_{nn}^{-1}wc)H_{0\subset}H1$,に分解すると$H_{1}=<\delta_{g}|g=b^{\pm}\cdot\cdot.\cdot>$$\lambda(h_{i})\lambda(h_{j})^{*}H_{1}\subset H_{0}$という関係が成立する。 これに命題 3 を適用すれば上と同じようにの単純性、 トレース状態の–意性が得られる。
この Choi の議論を拡張して Avitzour は次の環の自由積に関する命題-.

$C_{r}^{*}(G)$を証明した。
.

命題 6[Avitzour] $A,$ $B$ を単位元をも
環とし、
をそれぞ
れ忠実なトレース状態とする。 $u\in.A,$ $v,$ $w\in B$ をユニタリ元とし$\vee\supset \mathrm{C}^{*}-$$\varphi,$$\psi$$\varphi(u)=\psi(v)=^{\psi(w})=\psi(v^{*}w)=0$を満たすものとする。 このときによる $A,$ $B$ の自由積
で、 ただ–つのトレース状態をもつ。
$\varphi,$まず$\psi$$\mathrm{C}^{*}-$環は単純環の自由積について説明する。
単位元をもつ 2 つの環 $A,$ $B$ の自由積 $A*B$ というのは、 $A,$ $B$ で生成され単位元を同–視する以外は何の関係ももたない環のことである(純代数的な概念で&) る)。
をそれぞれ $A,$ $B$ 上の線形汎関数とする
とき $A*B$ 上の線形汎関数
は以下の関係式で定まる。
,$\mathrm{C}^{*}-$$\varphi,$$\psi$$\varphi*\psi$$\varphi*\psi|_{B}=^{\psi}$$\varphi*\psi|_{A}=\varphi$

で$(\varphi*\psi)((C_{1^{-}}(\varphi*\psi)(c_{1}))\cdots(Cn-(\varphi*\psi)(C_{n})))=0$

ただしとき$n\in \mathrm{N}$$A_{0},$ $B_{0}$

かつ $ci\in A$ (resp.

を$\varphi,$$\psi$$B$) ならば$c_{i+1}$$\in B$(resp.

$A$) 。こののカーネルとすると $A*B$ は線形空間として$\mathbb{C}\oplus A_{0}\oplus B_{0}\oplus(A0\otimes B_{0})\oplus(B0\otimes A_{0})\oplus(A0\otimes B0^{\otimes}A0)\oplus\cdots$と表せる。
$A,$ $B$ が単位元をもつ$(A, \pi_{\varphi}, H_{\varphi}, \omega_{\varphi}),$$\mathrm{C}^{*}-$

環でが状態であるときは GNS- 表現
つまり$\varphi,$$\psi$$(B, \pi_{\psi}, H_{\psi}, \omega_{\psi})$$\varphi(a)=(\pi\varphi(a)\omega\varphi|\omega)\varphi$を考え、 次のようなヒ$\mathrm{K}\mathrm{s}$.

’$\psi(b)=(\pi_{\psi(}b)\omega\psi|\omega_{\psi})$

ベルト空間を作る$H=\mathbb{C}\Omega\oplus H_{\varphi}^{00}\oplus H_{\psi}\oplus(H_{\varphi}0\otimes H_{\psi}0)\oplus(H_{\psi^{\otimes H_{\varphi}}}00)$$\oplus(H_{\varphi^{\otimes H\otimes}}^{00}\psi\varphi H^{0})\oplus\cdots$

8
ただし $H_{\varphi}0_{=}Ker\varphi,$ $H_{\psi}Ker\psi 0_{=}$ とする。 同-視 C\Omega \oplus H 餅--\sim

を用$H_{\varphi}$

いて$H\cong H_{\varphi}\otimes(\mathbb{C}\oplus H_{\psi}^{0}\oplus(H_{\psi}^{0}\otimes H_{\varphi}^{0})\oplus(H_{\psi}^{0}\otimes H_{\varphi}^{0}\otimes H_{\psi}^{0})\oplus\cdots)$の同-視を与えるユニタリをがで始まるときは $U_{\varphi}c=C,$とする。 つまりで始まるときは$U_{\varphi}\Omega=\omega_{\varphi},$$U_{\varphi}$$C$る。 このとき

$A$

の

$H$

$H_{\psi}^{0}$への表現を$U_{\varphi}^{*}(\pi_{\varphi}(\cdot)\otimes I)U_{\varphi}$$c$が$H_{\varphi}^{0}$となと定義する。 同様に$U_{\varphi^{\mathrm{C}=}}\omega_{\varphi}\otimes c$が定義できて $B$ の $H$ への表現ができる。 この 2 つの表現を用いてによ$A*B$ の $H$ 上の表現が定まり、 $\pi(A*B)$ のノルム閉包をる $A*B$ の自由積環という。 このとき $c\in A*B$ に対して
$U_{\psi}$$\pi$$\varphi,$$\psi$$\mathrm{C}^{*}-$$(\varphi*\psi)(c)=(\pi(_{C})\Omega|\Omega)$となっている。
トレース状態どうしの自由積はまたトレース状態になることが知られている。 命題 6 に話を戻すと、 群の生成元の語のかわりに $A*B$ が,をの語として表されていると見ると類似の議論が展開できる。
との元で始まる語または で始まる語または$A*B$ の部分集合でからを $A*B$ の部分集合で $\psi(v*b)=0$ となるの元する。
始まる語とする。 $H_{i}=\overline{\pi(W_{i})\Omega}(i=0,1)$ とすると $H=H_{0}\oplus H_{1}$ とな
でない整数 に対して、 ユニタリ $(vu)^{k}$ はる。
$A_{0}$$W_{0}$$B_{0}$$A_{0}$$\mathbb{C}$$v$$B_{0}$$W_{1}$

$b$

$k$

$0$

(vu)

$kH_{1}\subset H_{0}$を満たす。 また、 スカラーでない質から$A_{0},$ $B_{0}$の語 $x$ についてトレースの性$(\varphi*\psi)((uv)^{j_{X}}(uv)^{-j})=0$

となる。
または

$j$

$u^{*}$

またはがで始まりが十分大のときは $(uv)^{j}x(uv)^{-}j$ は、で終わる語の-次結合となる。 このとき
$u$

$v$

$wuw((uv)j\cdot(xuv)-j)wu^{*}w^{*}*$

は $w$ で始まり$w^{*}$

で終わる語となるから$wuw((uv)^{j_{X}}(uv)-j)w^{*}u^{*}w*H_{0}\subset H_{1}$を満たす。 これで命題 3 を用いる状況が整ったので命題 6 の証明は完結する。

4:$||\cdot||$と$||\cdot||_{2}$の評価

この章では作用素ノルムとヒルベルト空間のノルムを計算するので、です。 自由群の言葉を準備しておきます。 ここで考える離散群 $G$ は
縮約語の長さをもちいて$F_{2}$$E_{n}=\{S\in G||S|=n\}$$n\in \mathrm{N}\cup\{0\}$9という集合とその特性関数$\chi_{n}$を定義します。 $G$ 上の複素数値関数 $f$ についてサポートを

supp $(f)=\{_{S}\in G|f(s)\neq 0\}$と定義し、 supp $(f)$ が有限のとき$\lambda(f)=\sum f(S\epsilon cS)\lambda(_{S})$とします。 ヒルベルト空間の元としてのノルム$||f||_{2}$は$||f||_{2}=( \sum_{\in sG}|f(_{S})|^{2})1/2=\mathcal{T}(\lambda(f)^{*}\lambda(f))^{1/2}$で与えられる。 サポートが有限な 2 つの関数 $f,$$g$に対して畳み込み積を$(f*g)(S)= \sum_{ut,,u\in c,t=s}f(t)g(u)$と定義します。
5 章で必要となるのは次の命題です。

命題 7[Haagerup]$f$を $G$ 上の有限サポートを持つ関数とする。

このとき$|| \lambda(f)||.\leq 2(S\in\sum G|f(S)|^{2}(1+|S|)^{4})^{1/}2$

特に、 サポートの語の最大長さを $N$ とすると$||\lambda(f)||\leq 2(N+1)2||f||2$が得られる。

この証明は以下の 3 つの補題の結果として得られます。
補題 1

を supP $(f)\subset E_{k},$ $suPp(g)\subset E_{\mathrm{t}}$ とする。 $|k-l|\leq m\leq k+l$ かつ $k+l-m$ が偶数のとき$k,$ $l,$ $m\in \mathrm{N}$とし、 $f,$$g$$||(f*g)x_{m}||_{2}\leq||f||_{2}||g||_{2}$となり、 それ以外の場合は$||(f*g)x_{m}||_{2}=0$

となる。

補題 2

supp $(f)\subset E_{n}$ のとき、 $||\lambda(f)||\leq(n+1)||f||_{2}$ .

補題 3

$f$

が有限サポートを持つとき、$|.| \lambda(f)||.\leq\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)||f\cdot\chi n||_{2}$.

10語の積演算のときにおこる縮約に注意した議論が必要になるのは補題
1 であり、 続く補題から命題 7 までの証明は標準的な作業です。 というわけで、 補題 1 の証明を最後に回し、 順に概略を述べます。
補題$1\Rightarrow$

補題 2$g\in l^{2}(G)$に対して $||\lambda(f)g||_{2}=||f*g||_{2}$ だから$||f*g||_{2}\leq(n+1)||f||2||g||_{2}$を示せばよい。 $g_{k}=g\cdot\chi_{k}$ とおくと $g=\Sigma_{k=0}^{\infty}gk,$
あり、 $f,$に対して補題 1 を適用していく。

$||g||^{2}=\Sigma_{k=\text{。}}\infty||g_{k}||_{2}^{2}$で$g_{k}$.

$||(f.*g)$.

$x_{m}||2=.|| \sum_{k=0}^{\infty}(f*g_{k})\cdot x_{m}||_{2}\leq\sum_{k=0}^{\infty}||(f*gk)\cdot xm||_{2}$$\leq||f||_{2}( m+n\sum ||g_{k}||_{2})$$m+n-k:even;k=|m-n|$$=||f||_{2}( \sum^{)}\min\iota=0(m,n||gm+n-2l||_{2})$$\leq||f||_{2}(\min(\sum_{=l0}^{m}’)n||gm+n-2l||_{2}2)^{1}/2(\min(m,n)\sum 1l=0)1/2$$\leq(n+1)^{1}/2||f||_{2}(\sum_{=l0}^{\min}(m,n)||g_{m+-}n2l||2)^{1/2}2$,

従って$||(f*g).||_{2}2= \sum_{k=0}|\infty|(f*g)\cdot xm||_{2}2$$\leq(n+1)||f||^{2}2\sum_{=k0}(\sum_{\iota 0}\infty\min(m,n)=||gm+n-2l||_{2}2)$れ$=(n+1)||f||_{2}^{2} \sum_{=l0}(\sum_{m=\iota}||g_{m+n-2l}||_{2}2)$$\leq(n+1)||f||_{2}^{2}(\sum_{=\iota 0}||g||_{2}n2)=(n+1)2||f||_{2}2||g||_{2}^{2}$

となる。

補題

$2\Rightarrow$$\square$補題 3$f=\Sigma_{n}^{\infty}=0f\cdot xn$と分解すれば補題 2 より明らか。
口

11
補題

$3\Rightarrow$

Cauchy-Shwartz の不等式を用いて

命題 7$|| \lambda(f)||\leq\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)||f\cdot\cdot\chi n||_{2}$$= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}((n+1)^{2}||f\cdot\chi n||2)$$\leq(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}})^{1/2}(n=0\sum\infty(n+1)^{4}||f\cdot\chi_{n}||^{2}2)^{1/2}$$= \sqrt{\frac{\pi^{2}}{6}}(\sum_{s\in c}|f(_{S})|^{2}(1+|s|)^{4})^{1}/2$となり、に注意すればよい。

$\sqrt{\pi^{2}/6}<2$

補題 1 の証明

supp口$(f)\subset E_{k},$ $supp(g)\subset E_{l}$と畳み込み積の定義より$(f*g)(S)= \sum_{t,u\in c,tu=S}f(t)g(u)=\sum_{|t|=k,|u|=\iota,tu=S}f(t)g(u)$となり、 語 $tu$ の長さは$k+l-2,$ $k+l$$|k-l|,$ $|k-\iota|+2,$ $\cdots,$の何れかである。 $m$ がこの数値と異なる場合は明らかに$||(f*g)x_{m}||_{2}=0$となる。

( $m=k+l$ のとき)

$s=tu$ で $|s|=m$ のとき

$s$

を表示する

$t,$ $u$は意的に定まる。 従って$||(f*g) \chi m||_{2}2=|t|=k,|u|=l,|t\sum|f(t)|2|g(u)u|=k+l|^{2}$$\leq|\iota|=k\sum_{u||=l},|f(t)|^{2}|g(u)|2=||f||_{2}^{2}||g||_{2}^{2}$となる。

( $m=k+l-2$ のとき)

$s=tu$ で $|s|=m$ のとき

$s$

を表示する

$t,$ $u$は$\cdot$$t=t’v$ ,$u=v^{-1}u’$ ,$|v|=1$と表され $t’,$ $u’$ は–意的に定まる。 このとき $f,$
数 $f’,$ $g’$ を構成する。
$f’(t’)=( \sum_{1|v|=}|f(t’v)|^{2})1/2$

を用いて次のような関supp $(f’)\subset E_{k-1}$,$g’(u’)=(|v|=1 \sum|g(v-1u’)|^{2})^{1/2}$$g$,

supp $(g’)\subset E_{l-1}$ .

12
このとき
$|(f*g)(_{S})|=|tu=s,|t|=k \sum_{\iota|u|=},f(t)g(u)|$$=| \sum_{=|v|=1,|tv|=k,|vu’|\iota,S=tu}f(t’’-1\prime\prime v)g(v^{-1}u’)|$$=| \sum_{|v|=1}f(t’)vg(v-1u^{;})|$$\leq(\sum_{|v|=1}|f(t’v)|^{2})1/2(\sum_{|v|=1}|f(vuJ)|^{2})^{1/2}$$=f’(t’)g(\prime u’)=(f’)*g’(s)$となり$f’,$ $g’$についての議論が $f,$ $g,$ $m=k+l$ のときの議論に帰着させられる。 つまり$|f*g|\chi_{m}\leq(f’*g’)x_{m}$より$||(f*g)\chi m||2\leq||(f’*g^{J})\chi m||_{2}$$\leq||f’||_{2}||g’||_{2}=||f||_{2}||g||_{2}$となる。

( $m=k+l-2p$ のとき)

$m=k+l-2$ のときと同様の方法で$f’(i’)=( \sum_{||v=p}|f(t’v)|^{2})^{1/}2$,

supp $(f’)\subset Ek-p$

を考察すれば良い。

$\square$5. 自由群の群環のときの証明
この章では次の定理の証明を与える。 この証明に必要な結果は、 命題
2 および命題 7 なのでこの 2 つの命題を確認していただくと理解できま
す。

.

定理

$\mathrm{s}\mathrm{r}(C^{*}r(F_{2}))=1$

証明$F_{2}=<a,$ $b>,$ $A=C_{r}^{*}(F2),$ $A$$\mathrm{s}\mathrm{r}(A)>1$の可逆元全体を $G(A)$ と表す。

と仮定して矛盾を導く方法で証明をする。
とすると命題 2 より $x\in A$ で$\mathrm{s}\mathrm{r}(A)>1$$||x||=d(X, G(A))=1$となるものが存在する。 このとき $||x||_{2}=\sqrt{\tau(x^{*}x)}<1$ となる。 実際、$||x||=1$ より $1-x^{*}x,$ $1-xx*\geq 0$となり $||x||_{2}\leq 1$$0||x||_{2}=1$ とす
ると $\tau(1-X^{*}X)=\mathcal{T}(1-XX^{*})=0$ となりの忠実性より $x^{*}x=XX=1*$$\tau$

が導け $d(x, G(A))=1$ に反する。

13x\mapsto |国|2,近い$x$$-d(x, G(A))$ のノルム連続性に注意すると上の$y=\Sigma_{i=}^{n}1\lambda\alpha_{i}(g_{i})$

$x$

に

で
$||y||_{\mathit{2}}<d(y, G(A))$となるものが選べる。
ぶと$g_{i},$$g_{j}\neq e(i\neq$.

$b^{k}g_{i}b^{-k},$

の縮約形は

$b$

のべきで始まり$b$$k$$k\in \mathrm{N}$を選$b^{k-1k}g_{i}g_{j}b^{-}$のべきで終わる形になる。

$u=\lambda(ab^{k})$とおくとのに対して十分大きな,$v=\lambda(b^{-k}a)$の選び方より$||(uyv)^{m}||\mathit{2}=||uyv||_{\mathit{2}}^{m}$$(m\in \mathrm{N})$となる。 $m=2$ の場合を以下に検証しておく。 まず $uyv,$ $(uyv)^{2}$ の形はれ$uyv= \sum\alpha_{i}\lambda(ab^{k}gib^{-}kai=1)$

であり$||\cdot||_{2}$,$(uyv)2= \sum_{i,j}\alpha_{i}\alpha_{j}\lambda(ab^{k}g_{i}b^{-}kb^{k}a^{\mathit{2}}g_{j}b-ka)$の計算を行うと$||.uyv||_{\mathit{2}}^{\mathit{2}}=\tau((uyv)^{*}(uyv))$れ$= \tau(\sum\alpha i\overline{\alpha_{j}}\lambda i,j(a^{-1}bkgg^{-1}jib^{-k}a))=\sum i=1|\alpha_{i}|^{\mathit{2}}$$||(uyv)\mathit{2}||_{2}^{2}=\tau(((uyv)^{\mathit{2}})^{*}(uyv)^{\mathit{2}})$$= \sum_{i,j,S,t}\alpha i\alpha j\overline{\alpha s\alpha t}\mathcal{T}(\lambda(a-1b^{k}g_{t}-1b-k-a\mathit{2}bk-1b^{-k\mathit{2}}g_{s}g_{i}abkb^{-}gja)k)$$= \sum_{i,j}.|\alpha_{i}|2|\alpha j|^{\mathit{2}}=||uyv||^{4}\mathit{2}$となる。
語 $ab^{k}g_{1}b^{-k}a,$と命題 7 より$\cdots,$$ab^{k}g_{n}b^{-k}a$の縮約したときの最大長さを $N$ とおく$||(uyv)^{m}||\leq 2(mN+1)^{\mathit{2}}||(uyv)^{m}||\mathit{2}$$(m\in \mathrm{N})$という関係式が得られる。 これらを用いて $uyv$ のスペクトル半径 $r(uyv)$を評価すると$r(uyv)= \lim_{marrow\infty}||(uyv)^{m}||^{1}/m$$\leq\lim_{marrow\infty}(2(mN+1)^{2}||(uyv)m||_{2})^{1/}m$$= \lim_{marrow\infty}(2(mN+1)^{2})^{1/m}||uyv||\mathit{2}$$=||uyv||2=||y||_{2}$14となる。 $u,$$v$

がユニタリであることに注意すれば$d(y, G(A))=d(uyv, G(A))$$= \inf\{||uyv-z|||z\in G(A)\}$$\leq\inf\{||uyv-(uyv-\lambda 1)|||\lambda\in(Sp(uyv))^{c_{\}}}$$= \inf\{|\lambda||\lambda\in(Sp(uyv))^{c_{\}}}$$\leq\sup\{|\lambda||\lambda\in s_{p}(uyv)\}$$=r(uyv)\leq||y||_{2}$が導け、 $||y||_{\mathit{2}}<d(y, G(A))$ という選び方に矛盾する。
従って $sr(C_{r}*(F_{2}))=1$ が導かれる。

口

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