Multi-phase-field 法による動的再結晶のモデリングとシミュレーション
京都工芸繊維大学 [院] ○高木 知弘

神戸大学 [院] 久國 陽介
神戸大学 [院] 冨田 佳宏

Multi-Phase-Field Modeling and Simulation for Dynamic Recrystallization
Tomohiro TAKAKI, Yousuke HISAKUNI and Yoshihiro TOMITA

1緒

また，ΔEij は駆動力であり，ΔEij = τ (ρj − ρi ) と表言

低中積層欠陥エネルギーを有する材料を高温環境下すことができる．ここで，τ は転位線エネルギー，ρiで変形させる場合，変形による転位の蓄積と再結晶がと ρj は図 1 に示す粒 i と j 内の転位密度である．

同時に生じる．この場合の再結晶を，冷間加工後の焼2·2鈍し時に生じる静的再結晶 (SRX) に対して動的再結蓄積と動的回復による転位の消滅は，次の Kocks–晶 (DRX) と呼ぶ(1), (2) ．このように，DRX は塑性変Meching モデルにより表す．

転位密度発展モデル

形と粒成長が同時に生じる複雑な現象であるがゆえに，変形による転位のdρ√= k1 ρ − k2 ρ.
dε

微視組織を再現可能な数値モデルはこれまで構築され(3)ているとは言えないようである．本研究では，転位発

ここで，k1 は加工硬化を表す定数，k2 は動的回復の展式と Multi-phase-ﬁeld (MPF) 法による DRX 数値程度を表す温度とひずみ速度の関数である．マクロなモデルを構築する．

応力は，次式により平均転位密度と関係付けられる．

√σ = αμb ρ̄,2DRX モ デ ル2·1MPF モデル
一つの粒は一つの phaseﬁeld φi によって表す．Steinbach ら(3) の MPF モデル

ここで，α は定数，μ せん断弾性係数，b はバーガーを採用すると，φi の時間発展方程式は次のように表す

スベクトルの大きさである．式 (3) と (4) より，マクことができる．
⎡ n nφMij
Wik − Wjk φk + 12 a2ik − a2jk ∇2 φk⎣ k=1
φ̇i = −

ロな応力–ひずみ関係が決定される．
⎤2·3
解析手順
はじめに，すべての粒内で，初⎦期転位密度を一定とする．式.
(3) によりひずみ増分 Δε− π8φi φj ΔEij(1)毎の転位密度変化を算出し，式 (4) により応力を計算

Migration rate V [μm/s]

ここで，n は 0 より大きな値を有する phase ﬁeld のφはそれぞれ勾配係数，エネル数，aij , Wij and Mij

ギー障壁，phase ﬁeld モビリティーであり，次の式により粒界幅 δ ，粒界エネルギー γij ，粒界モビリティー

Mij と関係付けることができる．
2π2δγij , Wij =4γij
π, Mijφ =Mijδ4δφi = 1Fig. 1

φj = 1

φj = 0φi = 0ρi = ρiρj = 0ρj = ρjgrain i(2)ρi = 0grain
boundaryﬁelds and dislocation densities around grainboundary

VDRX
grain

60
400

ρr ρm

TheoryDRXSRX (ΔE = 0.09 MPa)

200201030

400.100.06(b)ρm

0.0850ρr1013
Driving force ΔE

1012

0.02
0010151014

0.04

grain jSchematic illustration of proﬁles of phase(a)80Radius [μm]Driving force ΔE [MP]aij =2100

2000

4000

6000

1011
8000 10000

Dislocation density [1/m2]

nj=1(4)

Time step

Fig. 2

Variations in (a) migration rates of grainboundary and (b) driving force and dislocation densitieswithout DRX

60
40

D0 = 250 μmσc

D0 = 80 μm
D0 = 30 μm

20

D0 = 20 μm

00.0

0.1

Fig. 3

0.2

0.3

0.4

0.5

True strain

Stress-strain curves

Average grain size [μm]True Stress [MPa]80

D0 = 250 μm

200

D0 = 80 μm
D0 = 30 μm

100

D0 = 20 μm
Ds = 18.5 μm

00.0Fig. 4

0.1

0.2

0.3

0.40.5

True strain

Variations in average grain size

する．応力値が DRX の核生成の臨界値に達したら，(3) I. Steinbach and F. Pezzolla:

核生成速度に対応して粒界上に核を配置し，式 (1) に134(1999) 385–393.
(4) R. Ding and Z. X. Guo: Acta Mater. 49(2001)より DRX 粒の成長過程をシミュレートする．以上の手順を所定のひずみ値まで続ける．

3Physica D

3163–3175.

シミュレーション結果

図 2 は本研究で構築した手法の精度を評価するために，一つの DRX 粒を成長させた際の，粒界移動速度，駆動力，各粒内の転位密度の変化を示したものである．
この図より，MPF 法による結果は理論解と非常によく一致しており，本手法が DRX の成長過程を精度良く評価可能であることを確認することができる．
図 3 と図 4 は，図 5 に示すような DRX 過程のマクε = 0.070

ε = 0.084

ε = 0.098

ε = 0.500

ロな応力–ひずみ関係と平均粒径の変化を示している．
ここで，初期粒サイズは D0 = 20, 30, 80, 250 μm としている．図 3 から，初期粒径が小さい場合，応力–ひずみ曲線は複数のピーク値を持ち，初期粒径が大きい場合は，単一ピークを示すことがわかる．また，図4 より，最終的な平均粒径はほぼ同じ値になることが確認できる．以上のような現象は，これまでの実験お(a) D0 = 30 μm

よび数値解析により確認されている(4) ．さらに，図 5より，初期粒径が大きい場合は，典型的なネックレス構造を示している．また，この図から分かるように，初期粒径が小さい場合，DRX 核の優先的な生成サイ
トである粒界の面積が増大し，DRX 初期に多くの核が形成される．このため，図 3 に示す応力–ひずみ曲線では，ピーク応力が初期粒径が小さいほど低い値をε = 0.114

ε = 0.172

ε = 0.231

ε = 0.500

示すことが確認できる．以上のように，本手法は微視組織発展に依存するマクロな力学的挙動を評価可能であることが確認できる．

参 考 文 献(1) F. J. Humphreys and M. Hatherly: Recrystallization and Related Annealing Phenomena, (Elsevier, 2004) pp.415–450.
(2) T. Sakai and J. J. Jonas: Acta Metall. 32(1984)
189–209.

Fig. 5(c) D0 = 250 μm
Microstructure evolutions during DRX.
Strain values correspond to open circles inFig.2