Phase Field 法による繊維間のデンドライト成長シミュレーション
Phase Field Simulation of Dendritic Growth Between Fibers○正 高木 知弘（神戸商船大）正 冨田 佳宏（神戸大工）学 山本 裕介（神戸大院）
正 福岡 俊道（神戸商船大）Tomohiro TAKAKI, Kobe University of Mercantile Marine, 5-1-1, Fukaeminami, Higashinada-ku, Kobe
Yoshihiro TOMITA, Kobe University, 1-1, Rokkodai, Nada-ku, Kobe
Yusuke YAMAMOTO, Kobe University
Toshimichi FUKUOKA, Kobe University of Mercantile Marine

Key Words : Phase Field Method, Dendritic Growth, Composites, FEM

1 緒言
繊維強化複合材料の機械的性質は，その形成過程に強く影響を受ける．そのため，母材凝固時の挙動を前もって把握しておくことは大変重要である．本研究では，繊維強化複合材料の形成過程を数値解析を用いて評価する研究の第一段階として，繊維間の過冷却純金属中におけるデンドライト成長シミュレーションを行い，デンドライト成長形態におよぼす繊維の影響を検討する．解析には，固液界面において連続的に変化する秩序パラメータを用いたフェーズフィールド法を採用する．

２ フェーズフィールド
フェーズフィールド方程式
方程式(1)
フェーズフィールド法は，相変化を連続的に取り扱うことを可能とする数値解析手法である．本研究で用いた純金属材料に対するフェーズフィールド方程式の導出過程を以下に示す．
系の全自由エネルギーF として，次式で示す Ginzburg-Landau型の自由エネルギー汎関数を採用する．
 ε 2
2F [φ , T ] = ∇φ + f (φ , T )dV
 2

V ∫

(1)

ここで，φは液相（φ=0）と固相（φ=1）を界面領域において連続的に結ぶ秩序変数であり，フェーズフィールドと呼ばれる．εは界面エネルギーσと界面厚さδに関係する微小な正のパラメータである．
また， f (φ , T ) は自由エネルギー密度であり次式のように仮定する．
(2)f (φ , T ) = f S (T )h(φ ) + f L (T )(1 − h(φ )) + Wg (φ )f S (T ) ：固相の自由エネルギー密度
f L (T ) ：液相の自由エネルギー密度

Wg (φ ) ：界面の過剰自由エネルギーh(φ )：エネルギー密度分布(h(φ ) = φ 3 10 − 15φ + 6φ 2)

g (φ ) ：2 重井戸型関数 g (φ ) = φ (1 − φ )「系は常に系のエネルギーを最も早く減らす方向に進み，その速度はエネルギー勾配に比例する」という仮定を設定すると，∂φδF= −M(3)δφ∂t22となり，
∂φ∂f 
= M  ε 2 ∇ 2φ −∂t∂φ (4)が求めるフェーズフィールド方程式となる．
上記式中のフェーズフィールドパラメータ，ε，W，M は界面エネルギーσ，界面厚さδ，カイネティック係数µと関係付けられ，それぞれ次式で与えられる．

4T µb3δσ6σb, W=, M= M(5)b15δLδ
ここで，TM は融点，L は潜熱である．また，b = 2tanh-1(1-2λ)であり，例えば界面領域を 0.1 < φ < 0.9 とする場合λ = 0.1，0.05 < φ <0.95 とする場合λ = 0.05 となる．
以上より，εに異方性を考慮した 2 次元フェーズフィールド方程式と，潜熱発生項を考慮した熱伝導方程式は次式となる．

ε=1 ∂φ∂  ∂ε ∂φ  ∂  ∂ε ∂φ  + ε
= −  ε∂x  ∂θ ∂y  ∂y  ∂θ ∂x M ∂t()1+ ∇ ⋅ ε 2 ∇φ + 4Wφ (1 − φ ) φ − + β + aχ 2
15L(T − TM )β =−φ (1 − φ )
2WTM

(6)

ε (θ ) = ε {1+ γ cos kθ }∂φL
∂T= κ∇ 2T + h ′(φ )
(7)
c
∂t
∂t
式中の変数は以下の通りである．θ：界面法線方向と x 軸の角度．κ：
熱拡散係数．c：単位体積当たりの比熱．a：ノイズの振幅．χ：[-0.5,0.5]の乱数．γ：異方性強度．k：異方性モード．

３ 数値解析手法
式(6)と(7)を解析するために，空間は 4 節点アイソパラメトリッ
ク要素を使用した有限要素法，時間はクランク・ニコルソンの中央差分法を用いて離散化を行う．連立一次方程式の解法は，フェーズフィールド方程式に対してはマトリックスが非対称となるため前処理付き双共役勾配法，熱伝導方程式に対しては前処理付き共役勾配法をそれぞれ適用している．また，規則メッシュを使用しているためいずれも Element by Element 法を採用する．
繊維が等間隔で配列した条件を仮定し，図 1 に示すような解析領域を使用する．フェーズフィールド方程式は金属部のみ，熱伝導方程式は全領域において解かれる．フェーズフィールドφは界面領域以外では 0 または 1 となるため，0.00001 < φ < 0.99999 の領域を解析領域とし，計算時間の短縮を図っている(2)．このため，特に解析初期においては計算時間に占める温度場解析の割合が非常に大きくなる．さらに，同じサイズの要素を使用する場合，フェーズフィールド方程式よりも熱伝導方程式の方が小さな時間増分∆t を必要とする．以上の理由より，温度場に使用する要素サイズ dX をフェーズフィールドの要素サイズ dx よりも大きくし，解析を効率良く行っている．本解析では，dX = 3dx とする．図 2 は，各解析領域のメッシュ分割を模式的に示している．

図 4 はκ2/κ1 を変化させたときのデンドライト成長形態の違いを示している．ここで，繊維間隔 w1 は 5.04µm 一定としている．図4 (a) κ2/κ1 = 0.01 の場合，繊維の熱拡散係数が小さいため界面で発生した潜熱が拡散しにくく，2 次アームの成長速度が遅くなっていることがわかる．図 4(c) κ2/κ1 = 1.00 の場合，初期状態の seed から生じた固相は解析領域左端を繊維に向かって成長し，繊維に衝突すると繊維の長手方向に中央部のデンドライトよりも早い速度で成長した．これは，繊維に接して成長するデンドライト先端における潜熱が，熱拡散係数の高い繊維中に拡散され易いためであると考えられる．
Fig.1 Numerical region and boundary conditions

FE Mesh for Phase Field(a) w1=10.2µm(b) w1=5.04µm

FE Mesh for Temperature Field
Fig.2 Finite element mesh(c) w1=2.52µm
Fig.3 Effects of the width between fibers on the dendritic growth
patterns at t=1.5µsec, in which κ2/κ1=0.1. The black areas
represent φ>0.5 which corresponds to the solid.

４ 境界条件と解析条件
図 1 に境界条件を示している．繊維対称面において温度の周期境界を設定し，繊維長手方向の境界に断熱条件を与えている．またフェーズフィールドに関しては境界において dφ/dn = 0 とする．
母材に対応する金属は純ニッケルとしている．
解析で使用した物
性および上記式中の変数値を以下に示す(3)．σ = 0.37J/m2，µ =2.0m/Ks，TM = 1728K，L = 2.35×109J/m3，κ = 1.55×10-5m2/s，
c = 5.42×106J/Km3，γ = 0.015，k = 4，a = 0.025，λ = 0.1．また，メッシュサイズを dx = 0.02µm（dX = 0.06µm）とし，界面厚さは
δ = 4dx = 0.08µm とする．時間増分∆t は 0.0001µsec としている．
初期温度は全領域において Ti = 1511.2K としている．これは，無次元化過冷度(TM -Ti)/(L/c) = 0.5 に対応する．フェーズフィール
ドは解析開始時全て液体つまりφ = 0 とし，seed として図 1 に示す
左端中心の 1 つの節点をφ = 1 としている．

５ 解析結果繊維間におけるデンドライト成長形態を評価するために，図 1に示す繊維間隔 w1 と繊維の熱拡散係数κ2 を種々変化させて，一連のシミュレーションを行う．ここでは繊維幅 w2 = 5.04µm，h =40.08µm 一定としている．
図3はκ2/κ1 = 0.1のときのデンドライト成長形態におよぼす繊維間隔 w1 の影響を示している．ここでκ1 は金属部ニッケルの熱拡散係数である．図 3 (a) w1 = 10.2µm の場合，バルク中のデンドライト成長とあまり違いは見られないが，2 次アームが繊維壁に衝突するとその部分の幅が大きくなる傾向が観察される．図 3 (b) w1 =5.04µm の場合，繊維と 1 次アームとの距離が小さいため，図 3 (a)と比べて 2 次アームの成長速度が遅くなっていることがわかる．バ
ルク中における 1 次アームの幅は約 2.5µm であり，図 3(a)(b)でもほぼ同じ大きさを示した．図 3 (c) w1 = 2.52µm はバルク中の 1 次アーム幅とほぼ同じ繊維間隔であり，この場合 2 次アームの形成は確認されていない．しかしながら，1 次アーム先端の成長速度は図3(a)(b)(c)いずれもバルク中の成長速度とほぼ同じ約 23m/sec となっている．

(a) κ2/κ1=0.01(t=1.5µsec)(b) κ2/κ1=0.10(t=1.5µsec)(c) κ2/κ1=1.00(t=0.5µsec)
Fig.4 Effects of the thermal diffusivity of the fibers on thedendritic growth patterns, in which w1=5.04µm.

６ 結言
繊維間の過冷却純金属中におけるデンドライト成長をフェーズ
フィールド法を用いて解析し，デンドライト成長形態におよぼす繊
維間隔と繊維の熱拡散係数の影響を検討した．

参考文献(1) Boettinger, J. W. and Warren, J. A., 1996 , “The Phase-FieldMethod: Simulation of Alloy Dendritic Solidification during
Recalescence,” Metall. Trans. A, Vol.27, pp.657-669.
(2) Kim, S. G., Kim, W. T, Lee, J. S., Ode, M., and Suzuki, T.,1999, “Large Scale Simulation of Dendritic Growth in Pure
Undercooled Melt by Phase-field Model,” ISIJ International,
Vol.39, No.4, pp.335-340.
(3) Murray, B. T., Wheeler, A. A., and Glicksman, M. E., 1995,“Simulations of experimentally observed dendritic growth
behavior using a phase-field model,” J. Cryst. Growth, 154,
pp.386-400.