数理解析研究所講究録 1452 巻 2005 年 53-62

53

バナッハ空間の実数パラメータ漸近的非拡大半群の不動点定理と強収束定理
Wataru Takahashi( 高橋 渉), Kei Zembayashi(善林 啓)
Department of Mathematical and Computing Sciences,
Tokyo Institute of Technology, Tokyo 152-8552, Japan(東京工業大学大学院情報理工学研究科)

1

はじめに

をバナッハ空間 $E$ のコンパクトで凸な部分集合とする. $\{T(t) : t\geq 0\}$ が, $C$ 上の
リプシッツ定数 $\{k(t) : t\geq 0\}$ をもつ実数パラメータ漸近的非拡大半群 (one-parameter
asymptotically nonexpansive semigroup) であるということを以下のように定義する;$C$(i) $||T(t)x-T(t)y||\leq k(t)||x-y||,$$\forall x,$(ii) $T(t+s)x=T(t)T(s)x\forall t,$ $s\geq 0,$(iii) $T(0)x=x,$$\forall x\in C$(v)$t\mapsto k(t):[\mathit{0}, \infty)arrow[0, \infty)$$k(t)\geq 1,$ $\forall t\geq 0$;が連続写像;$\forall x\in C,$$(\mathrm{V}1)\circ$$\forall x\in C$

;

;

(iv)

$t\mapsto T(t)x$$y\in C$が連続

かつ, $\lim\sup_{tarrow\infty}k(t)=1$ .

となるとき, $\{T(t) : t\geq 0\}$ を $C$ 上の実数パラメータ非拡大半群 (one-parameter nonexpansive semigroup) と呼ぶ.

写像族 $\{T(t) : t\geq 0\}$ について, $k(t)=1,$$\forall t\geq 0$2004 年鈴木-高橋 [4] により以下の定理が証明された :をバナツハ空間 $E$ のコンパクトで凸な部分集合 . し, $\{T(t) : t\geq 0\}$ を $C$ 上の
one-parameter nonexpansive semigroup とする. $x_{1}\in C$ とし, 数列 $\{x_{n}\}\in C$ を以下
$c1$

$C$

のように定義する:$x_{n+1}= \frac{\alpha_{n}}{t_{n}}l^{t_{n}}T(s)x_{n}ds+(1-\alpha_{n})x_{n},$$\forall n\in \mathrm{N}$

.

54
ただし,

$\{\alpha_{n}\}\subseteq[\mathit{0},1]$と $\{t_{n}\}\subseteq(0, \infty)$ は$0< \lim_{narrow}\inf_{\infty}\alpha_{n}\leq\lim_{narrow}\sup_{\infty}\alpha_{n}<1$,$\lim_{narrow\infty}t_{n}=\infty,\lim_{narrow\infty}\frac{t_{n}}{t_{n+1}}=1$に強収束する.
は $\{T(t) : t\geq 0\}$ の共通不動点を満たすとする このとき,
橋の 課 [4] に動機づけられ, , のバナッハ空間のコンパクトで本研究では, 鈴
凸な部分集合上で定義された one-parameter asymptotically nonexpansive semigroupに関する 2 つの不動点定理を得た. さらに, 一般のバナッハ空問のコンパクトで急なの部分集合上で定義された one-parameter asymptotically nonexpansive semigroup$z_{0}$$\{x_{n}\}$$-\backslash \Re$$\mathcal{X}-\mathfrak{F}$$\#_{\backslash }$共通不動点を求める点列的近似法を導入し, 上の結果を用いることによりこの点列がによって証明
共通不動点に強収束する, という結果も得た. この結果は鈴木-高橋 [4]
された結果の一般化でもある.

2

準備

で定義された有界ををそれぞれ, 自然数と非負な実数とする.
におけるノルム t ま
な実数値連続関数全体の作るバナッハ空間とする. ただし,をその共役空間とする. そのとsupremum ノルムである. $E$ をバナッハ空間とし,$\mathrm{N}$と$\mathbb{R}^{+}$$C(\mathbb{R}^{+})$$\mathbb{R}^{+}$$C(\mathbb{R}^{+})$$E^{*}$

き, $E$ 上の写像

$J$を以下のように定義する :$J(x)=\{x^{*}\in E^{*} :\langle x, x^{*}\rangle=||x||^{2}=||x^{*}||^{2}\},$$\forall x\in E$.

Hahn-Banach の定理から, $J(x)$ が空でないことがわかる [6]. 以下の補題は鈴木 [3]は本研究の本質となる補と )’i\not\subset 漏橋 [4] によって得られた結果である. これらの$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathfrak{F}\mathfrak{F}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

題である.
と {w 訂をバナッハ空間 $E$ の有界点列とし,補題 1 ([3, Lemma 2]).
を $(0, 1)$ 上の点出で $0< \lim\inf_{n}\alpha_{n}\leq\lim\sup_{n}\alpha_{n}<1$ を満たすものとする. $z_{n}=$$\{\alpha_{n}\}$$\{z_{n}\}$$\alpha_{n}w_{n}+(1-\alpha_{n})z_{n},$$\forall n\in \mathrm{N}$とし

Jim $\sup(||w_{n}-w_{n+k}||-||z_{n}-z_{n+k}.||)\leq 0,$$\forall k\in \mathrm{N}$$narrow\infty$とする. このとき $\lim\inf_{narrow\infty}||w_{n}-z_{n}||=0$ となる.

補題 2 ([4, Lemma 2]). $A$ と $B$ を $[0, \infty)$ の部分集合で可測集合とし,の点列で $\lim_{narrow\infty}t_{n}=\infty$ を満たすものとする, さらに$\lim_{narrow\infty}\frac{\mu(\lceil 0,t_{n})\cap \mathrm{A})}{t_{n}}=1,\lim_{narrow\infty}\frac{\mu([0,t_{n})\cap B)}{t_{n}}=1$$\{t_{n}\}$を $(0, \infty)$55を満たす (ただし,$\mu$はルベーグ測度である). このとき$\lim_{narrow\infty}\frac{\mu([0,t_{n})\cap A\cap B)}{t_{n}}=1$であり, かつ任意の $t>0$ について $[t, \infty)\cap A\cap B\neq\emptyset$ である,
さらにもう 1 つの補題が必要となるが, その補題を紹介する前にいくつかの定義を与える, $C$ をバナッハ空間 $E$ のコンパクトで凸な部分集合とし, $\{T(t):t\geq 0\}$ を $C$ 上の one-parameter asymptotically nonexpansive semigroup とする. $z\in C$ に対して,$l= \lim\sup_{tarrow\infty}||T(t)z-z||,$$\mathrm{A}=$ロ $t>0$ $C(t)$ とする. ただし $C(t)$ は $\{T(s)z ; s\geq t\}$の閉包である. $l>0$ とする. $u\in C,$$\epsilon>0$, そして $0\leq p<q\leq\infty$ を満たす

$p,$

$q$

に対

して
$B(u,p, q, \epsilon)=\{t\in[p, q) :||T(t)z-u||\geq l-\epsilon\}$とする。
補題 3([4, Lemma 3]). $U$ を $A$ の有限集合とする.
$B(z, t, \infty, \epsilon)\cap(_{u\in U}\cap B(u, t, \infty, \epsilon))\neq\emptyset,$$\forall t\in(0, l)$が成り立つと仮定する. このとき, $v\in A$ が存在して, $||v-z||=l$ を満たし かっ$\rangle$$u\in U$ に対して $||v-u||\geq l$ を満たす

3,

Main Results

この節では, 一般のバナッハ空間の one-parameter asymptotically nonexpansive
sem igroup に対する 2 つの不動点定理と, Mann 型の点列に関する強収束定理を証明
する.

定理 1. $C$ をバナッハ空間 $E$ のコンパクトで凸な部分集合とし $\{T(t) : t\geq 0\}$ を上の one-parameter asymptotically nonexpansive semigroup とする. $z\in C$ に対して$C$$\lim \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}tarrow\infty||\frac{1}{t}\oint_{0}^{t}T(s)zds-z||=0$を満たすとする. このとき $z \in\bigcap_{t\geq 0}F(T(t))$ となる.
証明. 任意の $t>0_{7}x\in C$ に対して
$l= \lim_{tarrow}\sup_{\infty}||T(t)z-z||,$$M(t, x)= \frac{1}{t}\oint_{0}^{t}T(s)xds$

56とする. このとき l—0 を示せば十分である. 実$\ovalbox{\tt\small REJECT}’\backslash$, $l=0$ とすると $\lim_{sarrow \mathrm{m}}T(s)z=z$となる. このことから任意の $t\geq 0$ に対して$T(t)z=T(t) \lim_{sarrow\infty}T(s)z=sarrow\circ\ovalbox{\tt\small REJECT}$$T(t+s)z=z$ .

の定義から, \sim im ユー\sim tn $=\infty$ かつ $\lim_{narrow\infty}||T(t_{n})z-z||=l$ をが存在する. $\{T(t_{n})z\}\subset C$ であり, かつ $C$ がコンパクトであるこ
満たす増加列が存在して, $\{T(t_{n_{i}})z\}$ が $u_{1}\in C$ に強収束する. このととから, 部分列が存在して
き $u_{1}\in A$ であり, かつ $||u_{1}-z||=l$ となる. また仮定から増加列$l>0$ を仮定する.

$l$$\{t_{n}\}$$\{t_{n_{i}}\}\subseteq\{t_{n}\}$$\{t_{n}\}$$\lim_{narrow\infty}t_{n}=\infty$

が成す任意の $u\in A$ と$.\text{り}$立ち, かつ $\{M(t_{n_{7}}z)\}$ が に強収束する. $||u-z||=t$ を満たに対し, まずはじめに$z$$\epsilon\in(0, l)$$\lim_{narrow\infty}\frac{\mu(B(u,\mathrm{O},t_{n},\epsilon))}{t_{n}}=1$を示す.

であり, かつ $\lim\sup_{tarrow\infty}k(t)\leq 1$ であることから, 任が存在して, 任意の $t\geq s0$ に対し $||T(t)z-z||\leq$
意の $\delta>0$ に対し,
l+\mbox{\boldmath $\delta$}かつ $k(t)\leq 1+\delta$ を満たす. さらに, $u\in A$ であるから, $||T(s_{1})z-u||\leq\delta$ を満たが存在する. それゆえ, 任意の $t>2s_{1}$ に対して
す$\lim\sup_{tarrow\infty}||T(t)z-z||=t$$s_{0}\in[\mathit{0}, \infty)$$s_{1}\geq s_{0}$$||T(t)z-u||\leq||T(t)z-T(s_{1})z||+||T(s_{1})z-u||$$\leq k(s_{1})||T(t-s_{1})z-z||+||T(s_{1})z-u||$$\leq(1+\delta)(l+\delta)+\delta$$=l+(2+l+\delta)\delta$$t_{n}>2s_{1}$.

とし, $D= \sup\{||z|| : z\in C\}$ とする.
$l=||z-u||$$\leq||z-M(t_{n}, z)||+||M(t_{n}, z)-u||$$=||z-M(t_{n}, z)||+|| \frac{1}{t_{n}}\int_{0}^{t_{\mathrm{t}}}’(T(t)z-u)dt||$$\leq||z-M(t_{n}, z)||+\frac{1}{t_{n}}\oint_{0}^{t_{n}}||T(t)z-u||dt$$\leq||z-M(t_{n}, z)||+\frac{2s_{1}}{t_{n}}D+\frac{1}{t_{n}}\int_{2s_{1}}^{t_{n}}||T(t)z-u||dt$57
であり, かつ$\frac{1}{t_{n}}I_{2s_{1}}^{t_{n}}||T(t)z-u||dt$$= \frac{1}{t_{n}}\int_{B(u,2s_{1},t_{?1},\epsilon)}||T(t)z-u||dt+\frac{1}{t_{n}}\oint_{[2s_{1},t_{\mathrm{n}}\}\backslash B(u,2s_{1},t_{n},\epsilon)}||T(t)z-u||dt$$\leq\frac{1}{t_{n}}\mu(B(u, 2s_{1}, t_{n},\epsilon))(l+(2+l+\delta)\delta)+\frac{1}{t_{n}}\mu([2s_{1}, t_{n})\backslash B(u, 2s_{1}, t_{n}, \epsilon))(l-\epsilon)$$\leq\frac{1}{t_{n}}\mu(B(u, 0, t_{n}, \epsilon))(l+(2+l+\delta)\delta)+\frac{1}{t_{n}}\mu([0, t_{n})\backslash B(u, 0, t_{n},\epsilon))(l-\epsilon)$$= \frac{1}{t_{n}}\mu(B(u, 0, t_{n}, \epsilon))(l+(2+l+\delta)\delta)+\frac{1}{t_{n}}(t_{n}-\mu(B(u, 0, t_{n}, \epsilon)))(l-\epsilon)$$=l- \epsilon+\frac{1}{t_{n}}\mu(B(u, 0, t_{n}, \epsilon))(\epsilon+(2+l+\delta)\delta)$

であることから (ただし$\mu$はルベーグ測度)$l \leq||z-M(t_{n}, z)||+\frac{2s_{1}}{t_{n}}D+l-\epsilon+\frac{1}{t_{n}}\mu(B(u, 0, t_{n}, \epsilon))(\epsilon+(2+l+\delta)\delta)$.

それゆえ$\frac{\mu(B(u,0,t_{n},\epsilon))}{t_{n}}\geq\lim_{narrow\infty}\frac{-||z-M(t_{n},z)||-\frac{2s_{1}}{t_{n}}D+\epsilon}{\epsilon+(2+l+\delta)\delta}=\frac{\epsilon}{\epsilon+(2+l+\delta)\delta}$$\lim\dot{\mathrm{x}}\mathrm{n}\mathrm{f}narrow\infty$$\geq 1$$\lim_{narrow\varpi}\frac{\mu(B(z,0,t_{n},\epsilon))}{t_{n}}=1,$

を示す.

.

$\ovalbox{\tt\small REJECT},.,$.

$\frac{\mu(B(u,0,t_{n},\epsilon))}{t_{n}}\leq 1$$\forall\epsilon\in(0, f)$

任意の $\epsilon\in(0, l)$ に対し, $s_{2}\geq 0$ が存在して $||T(s_{2})z-u_{1}||\leq\epsilon/4$ かつを満たす. $t_{n}>s_{2}$ とし, $t\in B(u_{1}, s_{2}, t_{n}, \epsilon/4)$ とすると

$k(s_{2}) \leq\frac{l-\epsilon/2}{l-\epsilon}$$||T(t-s_{2})z-z|| \geq\frac{1}{k(s_{2})}||T(t)z-T(s_{2})z||$$\geq\frac{1}{k(s_{2})}(||T(t)z-u_{1}||-||T(s_{2})z-u_{1}||)$$\geq\frac{l-\epsilon}{l-\epsilon/2}(l-\epsilon/2)$$=l-\epsilon$.

それゆえ$\mu(B(z, 0, t_{n}, \epsilon))\geq\mu(\{t-s_{2} :t\in B(u_{1}, s_{2}, t_{n}, \epsilon/4)\})$$=\mu(B(u_{1}, s_{2}, t_{n}, \epsilon/4))$$=\mu(B(u_{1},0, t_{n}, \epsilon/4)\backslash [0, s_{2}))$$\geq\mu(B(u_{1},0, t_{n}, \epsilon/4))-s_{2}$.

58$u_{1}\in A$

であることから$\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{m}\inf_{narrow\infty}\frac{\mu(B(z,\mathit{0},t_{n},\epsilon))}{t_{n}}\geq\lim_{narrow\infty}\frac{\mu(B(u_{1},0,t_{n},\epsilon/4))-s_{2}}{t_{n}}=1$.

すなわち$\lim_{narrow\infty}\frac{\mu(B(z,0,t_{n},\epsilon))}{t_{n}}=1$.

最後に数学的帰納法を用いることにより $u_{m}\in A,$ $||u_{m}-z||=l$ であり, そしてが存在することを示す. $||u_{1}-z||=l$ は成りについて $||u_{i}-u_{j}||\geq l$ となる立っている. もし, u。が仮定を満たしているとすると, 以下のようにして $u_{m+1}$$\mathrm{i}\neq j$$\{u_{m}\}$$u_{\mathrm{I}},$$\ldots$を構成することができる: $\lim_{narrow\infty}\mu(B(z, 0, t_{7b}, \epsilon))/t_{n}=1(\forall i\in\{1, \ldots, m\})$ かつ$\epsilon\in(0, l)$であるから, Lemma 2 より$\lim_{narrow\infty}\frac{\mu(B(z,0,t_{n},\epsilon)\cap\bigcap_{i=1}^{m}B(u_{\mathrm{i}},0,t_{n},\epsilon))}{t_{n}}=1$

かっ$B(z, t, \infty, \epsilon)\cap(_{i=1}^{m}\cap B(u_{i}, t, \infty, \epsilon))\neq\emptyset\forall t\geq 0$

よって Lemma 3 より, $u_{m+1}$ を見つけることができる.

$\{u_{m}\}\subseteq$.
孟が $C$ 上の点列でありかつ $C$ がコンパクトであることから, $\{u_{n}\}$ の強吟束する部分列が存在する, よって矛盾を得る. すなわち $l=0$ となる.

口

Theorem 1 を用いることにより, 以下の不動点定理を得ることができる.
定理 2.

$C$

をバナッハ空間 $E$ のコンパクトで凸な部分集合とし,$\{T(b) :t\geq 0\}$を $C$ 上の one-parameter asymptotically nonexpansive semigroup とする. このとき$\{T(t) :t\geq 0\}$

証明. 任意のの共通不動点が存在する.

$f\in C(\mathbb{R}^{+})$

つ $\lim_{narrow\infty}t_{n}=\infty$に対し,. はじめに$\mu_{n}(f)=\frac{1}{t_{n}}f_{0}^{t_{n}}f(s)ds$$\{\mu_{n}\}$が,の列であることを示す. $f\in C(\mathbb{R}^{+})$ と$C(\mathbb{R}^{+})$$n\in \mathrm{N}$$\{t_{n}\}\subset \mathbb{R}^{+}$か上の asymptotically invariant meanについて$| \mu_{n}(f)|=|\frac{1}{t_{r\iota}}\int_{0}^{t_{n}}f(s)ds|$$\leq\frac{1}{t_{n}}\oint_{0}^{t_{n}}|f(s)|ds$$\leq||f||$とする. ただし

58
かつ $\mu_{n}(1)=1$ であることから, $||\mu_{n}||=\mu_{n}(1)=1$ となる. これは$\mu_{n}$が mean であることを示している. さらに, 任意の $h\geq 0$ について$| \mu_{n}(f)-\mu_{n}(r_{h}f)|=|\frac{1}{t_{n}}.[_{0}^{t_{n}}f(s)ds-\frac{1}{t_{n}}\oint_{0}^{t_{r\iota}}f(s+h)ds|$$=| \frac{1}{t_{n}}\int_{0}^{t_{n}}f(s)ds-\frac{1}{t_{n}}\int_{h}^{h+t_{n}}f(s)ds|$$=| \frac{1}{t_{n}}\int_{0}^{h}f(s)ds-\frac{1}{t_{n}}\oint_{t_{n}}^{t_{n}+h}.f(s)ds|$$\leq\frac{2||f||h}{t_{n}}$となる,

すなわち $\lim_{narrow\infty}|\mu_{n}(f)-\mu_{n}(rhf)|=0$ .

invariant であることがわかる.
このとき$\{\mu_{n}\}$

束し, さらに$\mu$の部分ネット$\mu$を$\{\mu_{n_{\alpha}}\}$$\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}^{*}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$が存在して,

よって
で$\{\mu_{n_{\alpha}}\}$$\{\mu_{n}\}$が asymptotically$\{\mu_{n}\}$の収積点であるとする.

がに weak* topology で収$\mu$

は invariant mean となる [6]. すなわち, 任意の $x\in C$ と y*\in E*(こついて$\lim_{\alpha}\mu_{n_{\alpha}}\langle T(\cdot)x, y^{*}\rangle=\mu\langle T(\cdot)x_{7}y^{*}\rangle$

Bochner 積分から,.

$\mu_{n_{\alpha}}\langle T(\cdot)x, y^{*}\rangle=\langle\frac{1}{t_{n_{O}}}f_{0}^{t_{\tau_{\alpha}}}’ T(s)xds, y^{*}\rangle$. また mean の$’||\not\subset\ovalbox{\tt\small REJECT}$から,を満たす $x_{0}\in C$ がただ 1 点存在する. $x0=T_{\mu}x$ とする.

$\mu\langle T(\cdot)x, y^{*}\rangle=\langle x_{0}, y^{*}\rangle$

このとき, 任意の $x\in C$ と $y\in E^{*}$ について$\lim_{\alpha}\langle\frac{1}{t_{n_{\alpha}}}f_{0}^{t_{n_{\alpha}}}T(s)xds, y^{*}\rangle=\langle T_{\mu}x, y^{*}\rangle$となる, すなわちから,が$\frac{1}{t_{n_{\alpha}}}f_{0}^{t_{n_{\alpha}}}T(s)xds$$\frac{1}{t_{n_{\alpha}}}\int_{0}^{t_{n_{\alpha}}}T(s)xds$

が$T_{\mu}x${こ強$T_{\mu}x1^{}.\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \Xi$$\text{収束}$

収束する $C$ がコンパしている. さらに

$T_{\mu}$$\text{ク}\vdash$

であることは nonexpansive 写像である. 実際, 任意の $x,$ $y\in C$ に対し$||T_{\mu}x-T_{\mu}y||^{2}=\langle T_{\mu}x-T_{\mu}y, j\rangle$$=\mu\langle T(\cdot)x-T(\cdot)y$,の$\leq\mu||T(\cdot)x-T(\cdot)y||||j||$$=\mu||T(\cdot)x-T(\cdot)y||||T_{\mu}x-T_{\mu}y||$$\leq\lim_{tarrow}\sup_{\infty}k(t)||x-y||||T_{\mu}x-T_{\mu}y||$$\leq||x-y||||T_{\mu}x-T_{\mu}y||$

ただし $j\in J(T_{\mu}x-T_{\mu}y)$ である.

.

バナツハ空間のコンパクトで凸な部分集合上で定義された nonexpansive 写像は不動点を持つことから, $F(T_{\mu})\neq\emptyset[6]$ . $z\in F(T_{\mu})$ につ

60
いて$\lim \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}tarrow\varpi||\frac{1}{t}\oint_{0}^{t}T(s)z-z||\leq\lim_{narrow}\inf_{\infty}\mathrm{f}||\frac{1}{t_{n}}\oint_{0}^{t_{n}}T(s)xds-z||$$\leq\lim_{\alpha}||\frac{1}{t_{n_{\alpha}}}\int_{0}^{t_{n_{\alpha}}}T(s)zds-z||$$=||T_{\mu}z-$ $z||=0$.

よって Theorem 1 から, $z \in\bigcap_{t\geq 0}F(T(t))$ となる.

口

Theorem 2 の証明を DeMarr[l] や高橋 [5] の証明と比べてみると Theorem 2 の証明
においては, $F(T_{\mu})= \bigcap_{t\geq 0}F(T(t))$ という事実を証明したことにもなる. Theorems 1と Theorems 2 を用いることにより, Mann 型の点列に対する強収束定理を証明する.
定理 3. $C$ をバナッハ空間 $E$ のコンパクトで凸な部分集合とし, $\{T(t):t\geq \mathit{0}\}$ をリプ

シツツ定数が $\{k(t) : t\geq 0\}$ である $C$ 上の one-parameter asymptotically nonexpansiveを以下で定義する :semigroup とする. $x_{1}\in C$ とし,$\{x_{n}\}$$x_{n+1}= \frac{\alpha_{n}}{t_{n}}\oint_{0}^{t_{n}}T(s)x_{n}ds+(1-\alpha_{n})x_{n},$ただし,$\{\alpha_{n}\}\subset[0,1]$$\lim_{narrow\infty}\frac{t_{n}}{t_{n-+1}}=1$とし,に強収束する.

$L_{n}= \frac{1}{t_{n}}\int_{0}^{t_{n}}k(s)ds-1$$z_{0}$.

と $\{t_{n}\}\subset(0, \infty)$ が $0< \lim\inf_{narrow\infty}\alpha_{n}\leq\lim\sup_{narrow\infty}\alpha_{n}<1$ ,\sim im ユー、$t_{n}=\infty$ , そして
共通不動点$n\in \mathrm{N}$を満たす.

$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}L_{n}<\infty$ならば,$\{x_{n}\}$は $\{T(t) : t\geq 0\}$ の証明. $w \in\bigcap_{t\geq 0}F(T(t))$ とする. 任意の $k,$ $n\geq 0$ に対して$||x_{n+k}-w||=|| \frac{\alpha_{n+k-1}}{t_{n+k-1}}\oint_{0}^{t_{n+k-1}}T(s)x_{n+k-1}ds+(1-\alpha_{n+k-1})x_{n+k-1}-w||$$\leq(\frac{\alpha_{n+k-1}}{t_{n+k-1}}\int_{0}^{t_{n+k-1}}k(s)ds+(1-\alpha_{n+k-1}))||x_{n+k-1}-w||$$=(\alpha_{n+k-1}L_{n+k-1}+1)||x_{n+k-1}-w||$$\leq(\alpha_{n+k-1}L_{n+k-1}+1)(\alpha_{n+k-2}L_{n+k-2}+1)||x_{n+k-2}-w||$$\leq\cdots$$\leq(\prod_{i=n}^{n+k-1}(\alpha_{i}L_{i}+1))||x_{n}-w||$.

このことから$\lim_{karrow}\sup_{\infty}||x_{k}-w||=\lim_{karrow}\sup_{\infty}||x_{n+k}-w||\leq(\prod_{i=n}^{\infty}(\alpha_{i}L_{i}+1))||x_{n}-w||$.

Gl$\sum_{\mathrm{i}=1}^{\infty}\alpha_{i}L_{i}<\infty$より,$\lim_{narrow\infty}\prod_{i=n}^{\infty}(\alpha_{i}L_{i}+1)=1$. すなわちJim $\sup||x_{n}-w||\leq\lim_{narrow}\inf_{\infty}||x_{n}-w||$ .
$karrow\infty$

よって lim ユー$\infty$$\infty$$||x_{n}-w||$

であることから,$1+\epsilon$が存在する.

$n_{0}\in \mathrm{N}$$\epsilon>0$とする. $\lim\sup_{tarrow\infty}k(t)=1$ そして$t_{n}arrow$が存在して, 任意の $n\geq n_{0}$ について $(1/t_{n}) \int_{0}^{t_{?1}}k(s)ds\leq$となる. $D= \sup_{z\in C}||z||$ とする. $n\geq n_{0}$ について$||M(t_{n}, x_{n})-M(t_{n+k}, x_{n+k})||-||x_{n}-x_{n+k}||$$\leq||M(t_{n}, x_{n})-M(t_{n}, x_{n+k})||+||M(t_{n}, x_{n+k})-M(t_{n+k}, x_{n+k})$く$\frac{1}{t_{n}}\int_{0}^{t_{n}}k(s)ds||x_{n}-x_{n+k}||$l\vdash llx ユー$x_{n+k}||$刊 $|M(t_{n}, x_{n+k})-M(t_{n+k}, x_{n+k})||-||x_{n}-x_{n+k}||$$\leq(1+\epsilon)||x_{n}-x_{n+k}||+||M(t_{n}, x_{n+k})-M(t_{n+k}, x_{n+k})||-||x_{n}-x_{n+k}||$$=\epsilon||x_{n}-x_{n+k}||+||M(t_{n}, x_{n+k})-M(t_{n+k}, x_{n+k}.)||$$= \epsilon||x_{n}-x_{n+k}||+||\frac{1}{t_{n}}\int_{0}^{t_{n}}T(s)x_{n+k}ds-\frac{1}{t_{n+k}}\oint_{0}^{t_{n+k}}T(s)x_{n+k}ds||$$\leq\epsilon||x_{n}-x_{n+k}||+(\frac{1}{t_{n}}-\frac{1}{t_{n+k}})||\int_{0}^{t_{?\iota}}T(s)x_{n+k}ds||+\frac{1}{t_{n+k^{\wedge}}}||\oint_{t_{n}}^{t_{n+k}}T(s)x_{n+k}ds||$$\leq 2\epsilon D+(\frac{t_{n}}{t_{n}}-\frac{t_{n}}{t_{n+k}}+\frac{t_{n+k}-t_{n}}{t_{n+k}})D$が任意の$\leq 2\epsilon D$$k\in \mathrm{N}$で成り立つ. よって $\lim$ sup ユー、$(||M(t_{n}, x_{n})-M$ ( $t_{n+k}$ , xn 十 k)$ll$$-||x_{n}-x_{n+k}||)$となる. $\epsilon>0$ の任意性から$\forall k\in \mathrm{N}$$\lim_{narrow}\sim\sup_{\infty}(||M(t_{n}, x_{n})-M(t_{n+k}, x_{n+k})||-||x_{n}-x_{n+k}||)\leq 0,$を得る. よって Lemma 1 から, Jim $\inf_{narrow\infty}||M(t_{n}, x_{n})-x_{n}||=0$ . $C$ 力 S コンパクトであが存在してることから, 一般性を失うことなく, 部分列を満たし, かつ $C$ 上のある下 z。に強収束する. 任意の$\lim_{karrow\infty}||M(t_{n_{\mathrm{k}}}, x_{n_{k}})-$$\{x_{n_{k}}\}$$x_{n_{k}}||=\mathit{0}$$n_{k}\geq n_{0}$について$||M(t_{n_{k}}, z_{0})-z_{0}||$$\leq||M(t_{n_{k}}, z\mathrm{o})-M(t_{n_{k}}, x_{n_{k}})||+||M(t_{n_{k}}., x_{n_{k}})-x_{n_{k}}||+||x_{n_{k}}-z_{0}||$$\leq(1+\epsilon)||x_{n_{k}}-z_{0}||+||M(t_{n_{k}}, x_{n_{k}})-x_{n_{k}}||+||x_{n_{k}}-z_{0}||$.

すなわち$\lim\sup||M(t_{n_{k}}, z_{0})-z_{0}||\leq 0$.

$karrow\infty$よって$\lim_{tarrow}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{f}$$||M(t, z_{0})-z0||= \lim_{kkarrow\infty}||M(t_{n_{\mathrm{k}}}, z_{0})-z0||=0$.

e2
ゆえに Theorem 1 から, $z_{0} \in\bigcap_{t\geq 0}F(T(t))$ となる.

$\{||x_{n}-z_{0}||\}$

が収束列であることから$\lim_{narrow\infty}||x_{n}-z_{0}||=\lim_{karrow\infty}||x_{n_{k}}-z_{0}||=0$

口となり, 定理は証明できた.
注意 1. $t_{n}=n^{2}$ そして $k(s)=1+se^{-s}$ とする. このとき$\underline{t_{mA^{\underline{1}}}.}=1$$\lim_{narrow\infty}t_{n}$かつ$L_{n}= \frac{1}{n^{2}}\oint_{0}^{n^{2}}k(s)ds-1=\frac{1}{n^{2}}\int_{0}^{n^{2}}se^{-s}ds\leq\frac{1}{n^{2}}$となる. すなわち$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}L_{n}\underline{<}\sum_{n=1}^{\infty}L_{n}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<\infty$

このことから,$\{t_{n}\}$と $\{k(s) :s\geq 0\}$.

が Theorem 3 の条件を満たしていることがわ

かる.

参考文献
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$\mathrm{Y}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}arrow$