A東大京大への国系数学実戦演習【サンプル】【発展編】《演習時間150分》

第1問

自然数1, 2,…,nからK個を取り出して積を作り，取り方すべてについてこの積を加えた和をS(n,k)で表す．ただし，k>nのときにはS(n,k) = 0とする．
例えば，
S(n, 1) = 1+ 2+ … +nS(4, 2) = 1- 2+ 1 • 3+ 1 • 4+ 2 • 3+ 2 · 4+ 3 · 4 = 35

である．
(1) 1 <k�nに対して，S(n,k)をS(n- 1,k-1)とS(n- 1,k)で表せ．
(2)a n ＝LS(n, k)とするとき，an をa□で表せ．ただし，n�2とする．

(3)(2)で定めたan を求めよ．

k=l

第2

問

△ABCの外心0が三角形の内部にあるとし， a,/J,yは，►----,

aOA+/3OB+yOC= 0を満たす正の数であるとする． 直線OA, OB, OCがそれぞれ辺BC, CA, ABと交わる点をA', B', C'とする． このとき， △A'B'C'の外心が0に一 致すればa=/J=yであることを示せ．

第nを自然数とし， In=
(l)
(2)
(3)

f ゜�1 X守dxとおく．

3間とfn+l の間に成り立つ関係式を求めよ．
すべての自然数nに対して， In > 0であることを示せ．
すべての自然数nに対して， 不等式
ee<In <n+2" n+lが成り立つことを示せ．
(4) lim n(nln ―e)を求めよ．
I11n →OO

第4問

aを実数， zを0でない複素数とする． zと共役な複素数を z で表す．
(1)次を満たす z を求めよ．

az+l--=-=0z(2)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
az+1--=0z(3)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
a—z（ザ＋乞 -=0z

第5

問

AとBの2人が， 1個のサイコロを次の手順により投げ合う．
① l回目はAが投げる② 1, 2, 3の目が出たら， 次の回には同じ人が投げる③ 4, 5の目が出たら， 次の回には別の人が投げる④ 6の目が出たら， 投げた人の勝ちとし， それ以降は投げない
このとき， ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ．

第6問

0を原点とするxyz空間において， 点(1,0,0)を中心とする半径2の球の表面および内部をK1,点(-1,0,0)を中心とする半径2の球の表面および内部をK2とし， 空間内の3点P, Q, Rに対し，ぷ韮国，函＝ ！ （正面＋面）3で定まる点 X, yを考える．
(1) pが瓦を， Qが氏をくまなく動くとき， 点Xの全体が作る立体の体積を求めよ．
(2) 次の条件を満たす点Rの全体が作る立体の体積を求めよ．
「氏に属する任意の P と， んに属する任意のQに対して， Y はK1に属する」(3) 次の条件を満たす点 R の全体が作る立体の体積を求めよ．
「瓦に属する任意のPと， 紀に属する任意のQに対して， Yは和集合K1 U氏に属する」

B
東大京大への国系数学実戦演習【サンプル】【標準編】《演習時間150分》

第1間

自然数 l,2, …,n から K 個を取り出して積を作り， 取り方すべてについてこの積を加えた和を S(n, k) で表す． ただし， k>n のときには S(n, k) = 0 とする．
例えば，S(n, 1) = 1 +2 + ·.. + n
S(4, 2) = 1 ・ 2+l ·3 + 1-4 +2.3 +2 • 4+3 · 4 = 35である．
(1) 1 < k�n に対して， S(n, k) を S(n - 1, k-1)と S(n-1, k) で表せ．
(2)a n ＝LS(n, k) とするとき， an を a□ で表せ． ただし， n�2 とする．

(3)(2) で定めた an を求めよ．

k=I

第2

問

△ABCの外心0が三角形の内部にあるとし， a,/J,yは，)9))

aOA+fJOB+yOC= 0を満たす正の数であるとする． 直線OA, OB, OCがそれぞれ辺BC, CA, ABと交わる点をA', B', C'とする． このとき， △A'B℃'の外心が0に一 致すればa=/J=yであることを示せ．

第a を O�a<l の範囲の数とする． F(a) =与えるaの値を求めよ．

3問

f I Iog(x-a) I dx とおくとき， F(a)の最小値とそれを,L第4

問

aを実数， zを0でない複素数とする． zと共役な複素数を云で表す．
(1)次を満たすzを求めよ．
az+l--=-=0z(2)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
a5+1--=0z(3)次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ．
az（ザ＋5-ー＝0z

第5

問

AとBの2人が， 1個のサイコロを次の手順により投げ合う．
① l回目はAが投げる② 1, 2, 3の目が出たら， 次の回には同じ人が投げる③ 4, 5の目が出たら， 次の回には別の人が投げる④ 6の目が出たら， 投げた人の勝ちとし， それ以降は投げない
このとき， ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ．

第6問

xyz空間において， yz平面上で放物線z= y 2 と直線z = 4で囲まれる平面図形をDとする ．
点(1,1,0)を通りz軸に平行な直線をlとし， lの周りにDを1回転させてできる立体をEとする ．
(l) Dと平面z = tとの交わりをDtとする． ただし， O�t�4とする． 点PがDt上を動くとき，点Pと点（1,1,t)との距離の最大値， 最小値を求めよ．
(2) 平面z= tによるEの切り口の面積S(t) (O�t�4)を求めよ ．
(3) Eの体積Vを求めよ ．

C
東大京大への図系数学実戦演習【サンプル】【東大・文科】《演習時間100分》

第△ABCの外心〇1形の内部にあるとし， a,/3,yaOA+/3OB+yOC= 0を満たす正の数であるとする直線OA, OB, OCがそれぞれ辺BC, CA, ABと交わる点をA', B', C'とする このとき， △A'B'C'の外心が0に 一 致すればa=fi=yであること

第2

問AとBのラベルの貼られた2つの箱がある． 箱Aには1, 2, 3, 4, 5の番号の書いてある球がそれぞれ1, 2, 3, 4, 5個ずつ合計15個入っている． 箱Bには1, 2, 3, 4, 5の番号の書いてある球が各3個ずつ合計15個入っている．
(1) 箱 A と箱 B から 1 つずつ球を取り出し， 取り出した球の番号をそれぞれふと XB とする．
ふ＞晶となる確率を求めよ．
(2) AとBのラベルがはがれてしまい， どちらが箱Aか箱Bかがまったく分からなくなってしまった． ラベル①とラベル②を2つの箱のそれぞれに任意に貼り付け， 箱①と箱②と新たに名前をつける． このとき， 箱①と箱②から1つずつ球を取り出し， 取り出した球の番号をそれぞれふと品とする． ふ＞X2のとき， 箱①が箱Aである確率を求めよ．

第3

問

放物線y= - (x -p)2 + qの頂点が曲線y=x(x2 -3)上にあり， これらの2曲線の互いに相異なる共有点の個数が2であるとする． このとき， これらの2曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．
ただし， O<p<2とする．

第4問

自然数1, 2,…,nからK個を取り出して積を作り，取り方すべてについてこの積を加えた和をS(n,k)で表す．ただし，k>nのときにはS(n,k) = 0とする．
例えば，
S(n, 1) = 1+2+…+nS(4, 2) = 1 • 2+1·3+1 • 4+2 -3+2 • 4+3 • 4 = 35である．
(1) 1 <k印に対して，S(n,k)をS(n-1,k-1)とS(n-1,k)で表せ．
(2)(3)

a n ＝LS(n, k)とするとき，an をan 1 で表せ．ただし，n�2とする．
ーk=l(2)で定めたan を求めよ．

D
東大京大への反喜ミ数学実戦演習【サンプル】【京大・文系】《演習時間120分》

m]
実数x, yがx2 +y2 =2を満たすとき，（x+1)(y+1)の最小値を求めよ．

△ABCの外心0が三角形の内部にあるとし， a,/3,y は，
99aOA+ /3面＋r0C=0を満たす正の数であるとする． 直線 OA, OB, OC がそれぞれ辺 BC, CA, ABと交わる点をとを示せ．
A', B',C'とする． このとき， △A'B'C'の外心が0に一 致す ればa=/3=yであるこ

AとBのラベルの 貼られた2つの箱がある． 箱A には1, 2, 3, 4, 5の番号の書いてある 球がそれぞれ1, 2, 3, 4, 5個ずつ合計15個入っている． 箱Bには1, 2, 3, 4, 5の番号の書いてある 球が各3個ずつ合計15個入っている．
(1) 箱Aと箱Bから1つずつ球を取り出し， 取り出した球の番号をそれぞれふと晶とする．
ふ＞晶となる確率を求めよ．
(2) AとBのラベルがはがれてしまい， どちらが箱A か箱Bかがまったく分からなくなってしまった． ラベル①とラベル② を2つの箱の それぞれに任意に貼り付け， 箱①と箱②と新たに名前をつける． このとき， 箱①と箱② から1つずつ球を取り出し， 取り出した球の番号をそれぞれふとX2とする． ふ＞ふのとき， 箱①が箱Aである確率を求めよ．

放物線y = -(x -p)汀qの頂点が曲線y =x(豆-3)上にあり，これらの2曲線の互いに相異なる共有点の個数が2であるとする．このとき，これらの2曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．
ただし，O<p<2とする．

自然数1, 2,…,nからK個を取り出して積を作り，取り方すべてについてこの積を加えた和をS(n,k)で表す．ただし，k>nのときにはS(n,k) = 0とする．
例えば，
S(n,1)=1+2+ … +nS(4,2)=1 ・ 2+1·3+1·4+2 ·3+2·4+3.4=35である．
(1) 1<k�nに対して，S(n,k)をS(n-1, k-1)とS(n-1, k)で表せ．

(2)

a 11＝ LS(n, k) とするとき，an を an-I で表せ．ただし， n�2 とする．
k=l(3) (2)で定めた an を求めよ．