数理解析研究所講究録 1206 巻 2001 年 83-95

83$G_{2}$-Geometryof Overdetermined Systems of Second Order
北海道大学大学院理学研究科

山口佳三の論文を出発点として, 二階の接触
この講演では, 次の E.Ca.
幾何学について話したいと思います.
$\mathrm{r}\mathrm{t}_{\dot{C}}\iota|\mathrm{n}$$\lceil \mathrm{C}1]$Les$\iota \mathrm{b}_{\backslash }^{\backslash }\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\grave{e}$de Pfaff \‘a cillc] variables et les \’equations aux, Ann. Fc. Normale, 27 (1910),
du secondnles$()\mathrm{r}\mathrm{c}1\mathrm{r}(_{\lrcorner}^{1}$$\mathrm{e}1‘.!1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{v}\grave{c}^{y}\mathrm{e}_{-\prime}\mathrm{s}\mathrm{p}\dot{c}11^{\cdot}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}.1\mathrm{l}\mathrm{t}!\mathrm{s}$$109-\cdot 1.92$

実際、$\mathrm{C},\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}.\mathrm{I}\mathrm{l}$.

は, この論文の中で, つぎの過剰決定系 (involutive$\mathrm{s}.\mathrm{v}\mathrm{s}\uparrow,\mathrm{C}\ln).$$. \frac{\dot{c})_{\vee}^{2_{7}}}{\partial\prime\chi^{2}}.,\cdot=\frac{1}{3}(\frac{\partial^{\prime 2}z}{r9y^{2}})^{3}$$(’\mathrm{A})$$\frac{rf^{2}z}{\partial’x\partial y}=\frac{1}{2}(\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}})^{2}$$\cdot$. $-s^{2})-\{-.32s^{3}.-3(\mathrm{i}rst=0$$.\mathrm{q}_{?}^{2}.,+12f^{2}.(.7^{\cdot}t$(ここに$r \cdot=\frac{\partial^{2}z}{\partial x\sim}.\cdot,$

,

.

.

ないし、つぎの放物型方程式(B),$t=. \frac{\partial’z\underline{)}}{19y^{2}}$$s—. \frac{\acute{\mathrm{C}}^{\}^{\sim_{z}^{J}}}}{\partial x’\partial y}.,$.

は古典的記号法です..) のシン

メトリー, すなわちこれらの 階偏微分方程式 (系) を保つ無限小接であることを
触変換のなすり一環, が 14 次元例外型単純り一環
見いだしています. この事実の検証を目標に , 表題の内容を明らかに$-\circ--$$G_{2}$

して行きたいと思います.

\S 1. 二階の接触多様体. ここで (よ, 二階のジエット空間の幾何についておさらいをします ([Y1], [Y3]). 接触多様体の起源はつぎの接触
要素 (を

element) の空間 [Grassmann Bundle] にあります.
次元の多様体とします. $.I(’\Lambda/I,n)$ を次で定めます.

$\mathrm{e}:\iota\prime \mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{t}.\acute{\acute{\iota}}\iota \mathrm{e}:\mathrm{t}$$(\prime m, +7\mathfrak{l}\cdot)$$.I(\mathrm{n}_{}I,\uparrow\iota)=.\cup\cdot I_{x}\tau\in \mathit{1}1l.$,$J_{x}=Gr\cdot(.7\mathrm{I},,7_{x}^{\tau}(M))$$M$.

の $n$ 次元部分空間 (すなわち, $M$
は,
ここに,
次元接触要素)の .
には自の或すグラスマン多様体です.
$Gr(n,\mathit{1}_{x}^{\tau}\Gamma(\Lambda I))$

$7l$$\Gamma l_{a:}^{\urcorner}(\Lambda,I)$$J(\Lambda f,r\iota)$84
然にの部分束 $C$ がつぎのように定まっています$n)$ の各点において, 射影の微分$n))arrow\eta(\Delta I)$ を考えるとの次元部分空間 は,$n))$ の余次元 $m$ の部分空間
をつぎで定めます.
$T\ovalbox{\tt\small REJECT}(M,n))$$\pi\ovalbox{\tt\small REJECT} J(M,n)arrow M$$u$$\mathrm{L}(M)$$\ovalbox{\tt\small REJECT} J(M$$\pi\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathit{1}^{\urcorner}\ovalbox{\tt\small REJECT}(J(M$$n$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(J(M$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$,,,$\ovalbox{\tt\small REJECT}(u)$$C(u)=\pi_{*}^{-1}(u)$ $\subset T_{u}(J(M,n))$$C$.

は $J(M,n)$ 上の canc)nical systelll と呼ばれます. $J(M,n)$ の任意の点 ?lo の近傍には, つぎのような座標 (inhomogeneous Grassmanncoordinate) が入ります: $x_{0}.=\pi(u_{0})$ のまわりの $M$ の座標近傍 $U’$ :$\cdots,x_{n})$ をのなるよう [こ取ると近傍 $U=\{u\in\pi^{-1}(U’)|\pi(u)=a,*\in U’ \ dx_{1}\wedge\cdots\wedge dx_{n}|_{u}\neq 0\}$における座標がっぎで定まります.
$(z^{1}$$\cdots,z^{n\iota},x_{1},$$da,\cdot 1\wedge\cdots\wedge dx_{n}|_{u_{\mathit{0}}}\neq 0$$,$$u_{0}$$(z^{1}, \cdots,z^{rr\iota},x_{1,\iota}.\cdots,\prime x,,p_{1}^{1}, \cdots,p_{7l}^{1n})$$dz^{\alpha}|_{u}= \sum_{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha}(\prime u)dx_{i}|_{u}$$(\alpha=1, \cdots,m)$

明らかに , この座標系 (正準座標系とよびます) で,$C$.

は, っぎで与えられます.
$C=\{\varpi^{1}--.

ここ$l_{-}^{arrow}$,\ldots=\varpi^{m}=0\}$,$\varpi^{\alpha}=d\tilde,,\alpha-\sum_{i=1}^{7l}p_{i}^{a}dx_{i}(\mathrm{c}\mathrm{v}=1, \cdots,m)$です.

は幾何学的な. 階のジェット空間で, $m=1$ の時, 接触多様体 (すなわち, $C$ は $T(,J)$ の余次元 1 の部分束で, 局所的に
$C=\{\varpi=0\}$ なる時,
は volume f\’orm. ここに, $J=J(M$ ,$n).)$ となっています. 二つの $(rn+n)$ 次元多様体 $M,\hat{M}$ とその間の可微分同相写像 :
に対して,
は同型射
: $(J(M,n)$ ,$C)arrow(J(\hat{M},n),\hat{C})$ (すなわち,$J(M,n)arrow
J(\hat{M},n)$:は可微分同に移す) を誘導します. $rn=1$ が特別なのは, っぎ
相写像で $C$ をの定理によります (cf. [Y3]).
$(J(\mathrm{A}\prime I,n),C)$$-arrow$$\varpi\wedge(\varpi)^{n}$$\Lambda\prime Iarrow \mathrm{A}\hat{f}$$\varphi$$\varphi$$\varphi_{*}$$\varphi_{*}$$\hat{C}$$\cdot$を $(rn+n)$ 次元多様体とする.
定理 Ll (B\"acklund)$71$.
ならば, 同型射 :に対して, 可微分同相写像 :が存在して,となる.
$\Lambda I,\grave{M}$$\geqq 2$$\Phi$$Marrow \mathit{1}\hat{\mathrm{V}}I$$\varphi$$(J(M,n),\dot{\iota}_{J}^{\gamma})arrow(,I(_{\mathit{1}}\hat{\mathrm{Y}}I,n),\hat{C})$$\Phi=\varphi_{*}$

接触変換 (’ 同型射) の全体が $M$ の可微分同相写像のリフトより真に増大することは, よく知られた事実です. 従って, 幾
何学的な二階のジエット空間を考えるとき, 未知関数の個数 $m$ が 1 か
それ以上かで様子が異なって来ます.
の時, 接触多様体 $(J,C)$$rn=1$ の時,$rn=\mathrm{I}$85を出発点として, $(J,C)$ 上の Lagrange-Grassmann Bundle $(L(J),E)$を考えます.
$L(J)=\cup L_{u}u\in.J$$L(J)-h$ には,,$L_{u}=${Le.gendrian }$\epsilon$$\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}$of$(C(u),d\varpi)\}$.

canoxiical systein $E$ がつぎのように定まります.
for$E(v)=\pi_{*}^{-1}(v)\subset\prime \mathit{1}_{v}^{\urcorner}(L(J))$$v\ulcorner-T_{u}(J)$,$u=\pi(v)$.

: $L(J)arrow J$ は射影. $L(J)$ の各点 の近傍には, $u=\pi(v)$の近傍の $(,J,C)$ の正準座標系 $(x_{1}, \cdots,x_{n},z,p_{1}, \cdots,p_{n})$ を適当に取る
ことによって, 正準座標系 $(x_{i},z,p_{i},p_{ij})$ が入ります $(pij=pji)$ . 正
準座標系で, $E$ は, つぎで与えられます.
$\backslash ._{\vee}$

こに,

$\pi$

$v$

$E=\{\varpi=\varpi_{1}=\cdots=\varpi_{n}=0\}$

ここ$l_{\sim}^{\sim},$$\varpi=dz-\sum_{i=1}^{n}p_{i}dx_{i}$,. $=dp_{i}- \sum^{\iota}j_{-1}^{--}’ p_{ij}dxj(i=1,$$\varpi_{?}$$\cdots$,

です. 二つの接触多様体 $(J,C.),$とその間の接触変換 : $(J$ ,$(L(J),E)arrow(L(\hat{J}),\hat{E})$
に対して,
は同型射
を誘
:
導します. 逆に, つぎが成り立ちます (cf. [Y1]).

$7b)$

$C)$

$(\hat{J},\hat{C})$$\varphi$-$(\hat{J},\acute{C})$$\varphi_{*}$$\dot{\backslash }\rho$

定理 L2を接触多様体とする. 同型射 : $(L(J)$ ,に対して, 接触変換 :が存在して,$(J,C),$$F_{\lrcorner})arrow(L(\hat{J}),\hat{E})$$(\hat{J},\hat{C})$$\Phi$$\varphi$$\Phi=\varphi_{*}$$(J,C^{\cdot})arrow(\hat{J},\hat{C})$となる.

我々の最初の目標は , $(L(J),E)$ の部分多様体論を定式化することです.

\S 2. 微分式系の幾何 (田中理論).
る田中理論 ([T1],

ここでは, 微分式系の幾何に対す[T2]) についておさらいをします.

を次元 $N$ の多様体とし, $D$ を $M$ 上の微
2.1. 派生系と特性系.
の (階数
の) 部
分式系とします. すなわち, $D$ はの接束の各点の近傍では, –\rightarrow 次独立な s— $N-r$ 個の 1-微分分束です.
形式
が取れて , 局所的には, $D$ はつぎで与えられます.
$\Lambda\prime I$$\mathbb{J}’I$$.\prime l^{1}(M)$$\Lambda^{\mathit{1}}.I$$\omega_{1}.,$$\cdots,\omega_{s}$$D=\{\omega_{1}=\cdots---\omega_{s}--- 0\}$

.

$r$

86
D’robenius の定理より、 $(M,D)$ が完全積分可能 (すなわち, 局所座標
系 $(x_{1}, \cdots,x_{N})$ が取れて ,の条件はつぎで与えられます$D\ovalbox{\tt\small REJECT}\{dx_{1}\ovalbox{\tt\small REJECT}\cdots\ovalbox{\tt\small REJECT} dx, \ovalbox{\tt\small REJECT} 0\})$

(mod

であるため

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

for)$\Leftrightarrow$$d\omega_{i}\equiv 0$$\Leftrightarrow$$[D,D](_{--}^{-D}, \mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{l}\cdot \mathrm{e} D=\Gamma(D)$$\omega_{1},$$\cdots,\omega_{\mathit{8}}$$i=1,$ $\cdots,s$ ,.

従って, non-integrable な微分式系に対する最初の手がかりとして,の派生系 (derived system)が考えられます. 派生系 $D$ は,セクションのことぼで, つぎで与えられます.

$D$$\partial..D$$D=D+[D,D]$ .
また,の Cauchy 特性系 $Cf\iota(D)$ は各点 $x$ に於いて,$(\Lambda\prime I,D)$

つぎで定義されます.
$Cl_{l}.(D)(x)--$.

{ $X\in D(x)|X$ \rflo r

ノ $i\equiv 0$$d\omega$(nlod$\backslash \prime v_{1},$for$Ch(D)$ は,

です

$($

.

$(.j\mathrm{f}.

$\cdots,\omega_{\mathit{8}}$)$i=1,$ $\cdots,s$ }微分式系となる時 (ランクー定の時)., 常に完全積分可能.

[\mathrm{Y}1])$

さらに高次 (れます$k$次) の派生系$(\mathrm{c}\mathrm{f}.[\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{G}_{3}])$

$kD$

.

kD

が通常, 帰納的につぎで与えら$=\partial‘\cdot(\partial^{k-1}D)$.

次の弱派生系 ( .-th weak derived system)
つぎで定められます.
これに対して,

$h$

$k$

(k.)D

’(k-.l)D+[D,$=\partial$$\partial^{(k)}D$が(k-yD].

弱派生系を用いるのが, 田中理論の一つのポイントです ([T1]). この時, 微分式系 $(M,D)$ が正則 (regular) であるとは, すべての自の部分束となっているこ
然数 に対して $D^{-(k+1)}=\partial^{(k)}\prime D$ がとで定めます.
$k$$T(M\grave{)}$

正則な $(M,D)$ に対してつぎが成り立ちます.
. (S1)

ある$/\mathit{4}\geqq 1$

が存在して,$D=D^{-1}\subset D^{-- 2}\subset\cdots\subset D^{-\mu}=\cdots=D^{-k}$

87
(S2)

$p,q<0$.

を正則な微分式系で, $T(M)=$におけとします. $(M,D)$ の最初の不変量として, $M$ の各点の表象代数 (synibol algebra.) がつぎのように決まります22. Symbol Algebras.
$D^{-\mu}$る

for any$[D^{p},D^{q}]\subset D^{p+q}$$(\mathrm{A}I,D)$$x$$(\Lambda^{J}.I,D)$.

$([’1^{\urcorner}1]).$,$\mathrm{m}(x)---\oplus p=-1-\mu \mathfrak{g}_{p}(x)$ここに,$\mathfrak{g}_{p}(x)=D^{p}(x)/D^{p+1}(x)(p<-1)$$\mathfrak{g}_{-1}.(x)=D(x),$の bracket 積がつぎで定められます.

$\mathrm{m}(x)$$[X,\mathrm{Y}]=\varpi_{p+q}([\tilde{X},\tilde{\mathrm{Y}}]_{x})$ここに, $\tilde{X}\in\Gamma(D^{p}),$より, これによって

for,$X\in \mathfrak{g}_{p}(x),\mathrm{Y}\in \mathfrak{g}_{q}(x)$$X=\varpi_{p}(\tilde{X}_{x}),\tilde{\mathrm{Y}}\in 1^{\urcorner}(D^{q}),$$\mathrm{m}(x)$. また,$\mathrm{Y}=\varpi_{q}(\tilde{\mathrm{Y}}_{x})$.
. (S2)

は, 階別べき零 (nilpotent) リー環となり,つぎを満たします.
$[\mathfrak{g}_{p\dagger 1}(x),\mathfrak{g}_{-1}(x)]=\mathfrak{g}_{p}(x)$逆に, 生或条件 (郎$=[\mathfrak{g}_{p+1},\mathfrak{g}_{-1}]$

for $p<-1$ .

,for $p<-1$ ) を満たす階別べに対して, M(m). ををリー環とする
き零り一環を上の左不変ベクトル場
単連結べき零リー群とします.
の或すり一環と同—視するとき, 9-1 は,-\llcorner の左不変微分式系の各点での symbol algebrasを定めます. 明らかに,
はをど同型となります.
Standard differential systemの無限小自己同型の或すリー環と呼びます.
of typeとし, で, 代数的に定められます. \S 4 での )は,は, 佳 (m) がいつ有限次元単純り一環になるかを議論します.
$\mathrm{m}=\oplus_{p=-1}^{-\mu}\mathfrak{g}_{p}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$M(\mathrm{m})$$\Lambda I(\mathrm{m})$$(\Lambda^{J}.I(\mathrm{m}),D_{\mathrm{m}})$$D_{\mathrm{m}}$$(M(\mathrm{m}),D_{\mathrm{m}})$$\mathrm{m}$$(M(\mathrm{m}),D_{\mathrm{m}})$$\mathrm{m}$$\mathfrak{g}(\mathrm{m})$$\mathrm{m}$$1$$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$表象代数の例として, $(L(J),E)$ では, 各点でつぎのになります.

$\mathrm{c}^{2}(n)$と同型$\mathrm{c}^{2}(n)=\mathrm{c}_{-3}\oplus\backslash \mathrm{c}_{-2}\oplus \mathrm{c}_{-1}$

ここに,

C-3 $=W$ , C-2 $=W\otimes_{-}V^{*},$ $\mathrm{c}_{-1}=V\oplus W\otimes S^{2}(V^{*})$ であと 1 のベクトル空間です. bracket
は, それぞれ次元
り,の pairing から誘導されるもので, 他は, 0 としま
積は, $V$ とす. 実際, この同型は , $(L(J),E)$ の正準座標系を用いて, 任意の点での cofl.aIlle $\{\varpi,\varpi_{i},dx_{i},dp_{ij}.\}(1\leqq i\leqq j’\leqq n)$ に* ‘J する dual frame
$V,$
,

$W$

$n$

$V^{*}$$\cdot$

88
{糸,

,

$j\ovalbox{\tt\small REJECT} n)$

に

が,

} を用

て容易に計算されます.
ここの free base となっていることに注意します
は, 古典的記号法です. また,乃立
E がつぎを満たすことが容易にわかります.

$aP_{ij}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\{\ovalbox{\tt\small REJECT},\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\}(1\ovalbox{\tt\small REJECT} i\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{F}(E)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} 8+$$+ \sum\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{r}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} lx_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$

$E$

’

の派生系

$\partial z$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$${}_{\ovalbox{\tt\small REJECT} 1}\mathrm{P}ij\ovalbox{\tt\small REJECT}_{p_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}$$E=\{\varpi=0\}=\pi_{*}^{-1}C$ ,$Ch(\partial E)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi_{*}$.

\S 3. $PD$-多様体の幾何.
化します ([Y1]).

(R.0)
ここに,

$p$

ここでは, $(L(J),E)$ の部分多様体論を定式をつぎを満たす $L(J)$ の部分多様体とします.

$R$: $Rarrow J$ submersion.

$p=\pi|_{R}$ で,$\pi$: $L(J)-\prec J$ は射影です. 二階のジエソトと $C^{2}=E$ があります.
空間 $L(J)$ F には, 二つの微分式系
これらを, $R$ に制限したものをとします. Canonical system$E$ を定める 1-形式達の $R$ への制限を同じ記号であらわすことにしますと, 条件 (R.O) よりこれらは一次独立であり, つぎが成り立ちます.
$C^{1}.--’\partial E$$D^{1},$$D^{2}$$\{\varpi,\varpi_{1}, \cdots,\varpi_{n}\}$$D^{1}=\{\varpi=0\}$ ,$D^{2}=\{\varpi=\varpi_{1}=\cdots=\varpi_{n}=0\}$.

実際, さらに $(R;D^{1},D^{2})$ は, つぎを満たします.

(R.1)$D^{1}$とはそれぞれ余次元が 1 と $n+1$ の$D^{2}$$\mathrm{f}\dot{\mathrm{f}\mathrm{l}}$

分式系で

ある.

(R.2)

$D^{2}\subset D$(R.3)$Ch(D^{1})$

(R.4)

$R$

札

は

の各点

$v$

$D^{2}$

の余次元

に於いて,

$n$

の部分束である.

$Ch(D^{1})(v)\cap Ch(D^{2})(v)=\{0\}$.

逆に, この 4 つの条件が, (R.O) を満たす $(L(J),E)$ の部分多様体を特徴付けます. すなわち, 我々は, 多様体とその上の二つの微分式
系の triplet $(R;D^{1},D^{2})$ が, 4 つの条件 (R.1) から (R.4) を満たす時,
PD 多様体と呼びます. $PD$ 多様体には, つぎのような (局所的な)実現定理が成り立ちます 条件 (R.1) と (R.3) より, 完全積分可能
系 $Cl\iota(D^{1})$ の定める foliation の余次元は , $2n+1$ ですが, 今, $R$ は$Ch(D^{1})$ について regular, すなわち leaves の空間$J=R/Ch(D^{1})$はは $2n.+1$ 次元の多様体であるとします. この時,に落ちま$D^{1}---p_{*}^{-1}C$
$J$
$C$
すなわち
,
があって,
上の余次元 1 の微分式系
す.
となります. ここに, $p:Rarrow.J=R/Ch(D^{1})$ は射影で, $(J,C)$ は接:$D^{1}$$J^{\cdot}$

89
触多様体です. 条件 (と $(R2)$ はつぎの写像$R.\mathfrak{h}$$\sim$の像が$\ovalbox{\tt\small REJECT},C$) のLegendrian subspace となることを保証しています.
$\iota(\cdot\iota’)=p_{*}(D^{2}(v))\subset C(u)$,$u=p(v)$

最後に条件 (R.4): $Rarrow$. $L(J)$ が immersion であることを示しています. さらに, つぎが成り立ちます.
$|\mathrm{h}\iota$

定理 3.1.
それぞれ$(R;D^{1},D^{2}),$$Ch(D^{1}),$$(\hat{R}.;\hat{D}^{1},\hat{D}^{2})$を $PD$ 多様体とし,について regular とする.

$Ch(\hat{D}^{1})$$R,\hat{R}$$(J,C),$は$(\hat{J},\hat{C})$を同伴する接触多様体とする. この時, 同型射 :) は, 接触変換: $(,J,C)arrow(\hat{J},\hat{C})$ を誘導し, つぎの可換
図式が成り立つ.
$Rarrow\iota$ L(力$\Phi$;$(R;D^{1},D^{2})arrow(\hat{R}$$\hat{D}^{1},\hat{O}^{2}$$\varphi$$\downarrow\varphi_{*}$$\Phi\downarrow^{1}$$\hat{R}arrow\hat{\prime,}L(\hat{J})$.

これによって, $(L(J),E)$ の条件 (R.O) を満たす部分多様体論が,$PD$

多様体の幾何として定式化されました.
が成立すると, $(R$ ,多様体 $(R;D^{1},D^{2})$ に於いて,の幾何となり田中理論が直接適用可能です. これについては, つぎの compatibilityのもどでつぎの定理が知られてい
ます.
$PD$

$D^{1}=\partial\prime D^{2}$$D^{2})$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{I}1}(C..)$

(C)
ここに,

$p^{(1)}$$R^{(1)}$: $R^{(1)}arrow R$ は L への写像である.

は$(R;D^{1},D^{2})$のfirst prolongation です$([\mathrm{Y}1\})$.

定理 32. $(R;D^{1},D^{2})$ を条件 (C) を満たす $PD$ 多様体とする.
この時, $R$ の各点に於いてつぎが成り立つ.
$v$

dirn
特に,

$D^{1}(v)-\dim\partial D^{2}(v)=\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{i}}\mathrm{n}$$D^{1}=\partial\prime D^{2}$$\Leftrightarrow$$Cl\iota(D^{2})=\{0\}$$Ch(D^{2})(v)$.

.

の場合には, $PD$ 多様体 $(R;D^{1},D^{2})$ の幾何は ,さらに $(X,D)$ の幾何に reduction 可能です, ここに, $X=R/Ch(D^{2})$であり, $D^{2}=p_{*}^{-1}D,$: $Rarrow X$ です. 実際, (A) はこの例であり,
dil.n $X=5$ , rank $D=2$ となっています.
$1^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{k}Cl\}.(D^{2})>0$$\rho$

90\S 4. 単純階別り一環に付随する微分式系.

ここでは, その prolongation が有限次元単純り一環となる Standard differential system を分類 {, ます ([Y5]). 話を簡単にするため, この節では , すべて複素数体上のリー環を考えます.
を ( 上の) 有限次
4.1. ルート系による単純階別リー環の分類.
を の Cartan 部分環とし, \sim こ関するルー
元単純り一環とします.
$\mathbb{C}$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$の 1 組の基底 (単純ルート系)とします.
の (–斉に非負または一を取ると, すべての .
は,斉に非正の) 整係数.. 次結合でかかれ,
はつぎのようにルート空間
分解されます.

ト系を$\Phi$$\Phi\subset \mathfrak{h}^{*}$$\Delta=\{\alpha_{1}$$\cdots,\alpha\ell\}$$\alpha$$\in\Phi$$\Delta$$,$$-\wedge$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}=\oplus(x\in_{-}\Phi\dashv\cdot\alpha\in\Phi^{+}\mathfrak{g}_{\alpha}\oplus \mathfrak{h}\oplus\oplus 9-\alpha\cdot$

ここに,$\mathfrak{g}_{\alpha}=${ $X\in \mathfrak{g}|[h,X]=\alpha(h)X$ forh

応する 1 次元の) ルート空間で,
ム,
割され,
ます

$\Delta$:の空でない部分集合に gradation が入り,$\Phi^{+}$$\Phi^{+}=\bigcup_{p\geqq 0}\Phi_{p}^{+}$.

$\mathfrak{g}_{p}=\oplus a\in\Phi_{\mathrm{p}}^{+}\mathfrak{g}_{\alpha\prime}$,$\alpha\in\Phi$に対は正のルートの集合です.

を選ぶと, っぎのようにが分) 一環となりは階$|$$\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{J}$$\mathfrak{g}=\oplus_{p\in \mathbb{Z}}\mathfrak{g}_{p}$$\Phi_{p}^{+}=\{\alpha=\sum_{i=1}^{\ell}n_{i}\alpha_{i}|.\sum_{\alpha.\in\Delta_{1}}.n_{i}=p\}$$90=\oplus,9\circ \mathrm{t}\oplus\backslash \mathfrak{h}\oplus\oplus(\mathrm{x}\in_{-}\Phi_{\mathrm{J}}^{+}\alpha\in\Phi_{0}^{\dagger}9\cdot-\alpha$$[\mathfrak{g}_{p\prime}\mathfrak{g}_{q}]\subset \mathfrak{g}_{p+q}$

この時, さらに, 負のパート

for

for

’

$p,q\in \mathbb{Z}$$\mathrm{m}=\oplus_{p<0}\mathfrak{g}_{p}$$\mathfrak{g}_{p}=[\mathfrak{g}_{p+1\prime}\mathfrak{g}_{-1}]$を満たします.
を以降,} は, ($\Phi^{+}$$\Delta_{1}$$\mathfrak{g}$$\in \mathfrak{h}$$\mathfrak{g}_{-\mathrm{P}}=\oplus\alpha\in\Phi_{\mathrm{p}}^{+}9-a$’.

は, 生或条件;$p<$. $-1$

からこうして得られた単純階別リー環はであらわすことにします. ここに,単純り一環 \sim こ対応する Dynkiu 図形をあらわし,
はその頂点のこの時,となること部分集合をあらわしています.
はに注意します. ここに,の最高ルートです.
$\Delta_{1}\subset\Delta$$\oplus_{p=-\mu}^{u}|\mathfrak{g}_{p}$$\mathfrak{g}=$$(X_{\ell},\Delta_{1})$$X\ell$$\Delta_{1}$$\mu---\sum_{\alpha\in\Delta_{1}}:m_{i}$$\theta=\sum_{i=1}^{\ell}m_{i}\alpha_{i}$逆に , つぎが成り立ちます.

$\Phi^{+}$

91
定理 4.1.
を生或条件を満たす上の単純階別りーの Dynkin 図形を $X$ とする. この時, $X$ の頂点の部分環とする.
集合が存在して,
は,と同型となる.
の|司型類はその diagram
で定まっている.
$\mathfrak{y}$$\mathfrak{g}$$\Delta_{1}$$\mathbb{C}$,$\mathfrak{g}\ovalbox{\tt\small REJECT}\oplus$$\mathfrak{g}\ovalbox{\tt\small REJECT}\oplus$,$(X\ell$$(X_{\ovalbox{\tt\small REJECT}},\Delta_{1})$$\mathfrak{g}_{p}$$,\Delta_{1})$$\mathrm{a}\sim\sim \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{s}$42. 単純階別り一環に付随する微分式系.

定理 4.1 により, 結果
的に, 生或条件を満たす単純階別り 環の分類は,の parabolic 部分環の分類に一致しています. 従って,
各単純階別り一環
に対して, 唯.– つの $R$-space(compact
connected liomogerieous complex znanifold) $M_{\mathfrak{g}}=G/G’$ が定まります. さらに,なる場合には, \Delta ち上に,より G-不変(Standard differential system
な微分式系
が定まり,
m)
の
は,
of type
opeIl dense 部分多様体となります.
の
(
従って
,
の)
)
automorphism につ’いては, つぎが成り立ちます.
–$\mathfrak{g}=\oplus_{p\in \mathbb{Z}}\mathfrak{g}_{p}$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}’=\oplus_{p\geqq 0}\mathfrak{g}_{p}$$(X\ell,\Delta_{1})$$\cdot$$\mathrm{s}\mathrm{i}_{111}1)1\mathrm{y}$$\mu,$$\geqq 2$$\emptyset-1$$(M(\mathrm{m}),D_{\mathrm{m}}),$$D_{\mathfrak{g}}$$(\Lambda/I_{\mathfrak{g}},D_{\mathfrak{g}})$$(M_{\mathfrak{g}}$$(\Lambda l(\mathrm{m}),D_{\mathrm{m}})$$D_{\mathfrak{g}}$$\mathrm{i}_{\mathrm{I}1}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}1$

定理 42. 生或条件を満たす上の単純階別リー環
は, つぎの例外 (1), (2), (3) を除いて,の prolongation(こ —致する.
$\mathbb{C}$$\mathfrak{g}=\oplus_{p\in \mathbb{Z}}\mathfrak{g}_{p}$$\mathrm{m}=\oplus_{p<0}\mathfrak{g}_{p}$$\mathfrak{g}(\mathrm{m})$

(1)
(2)
(31,

$l^{\iota=\mathrm{I},}\mathrm{i}.\mathrm{e}.,$,$\mathrm{e}:\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{a}|\mathrm{c}.\mathrm{t}$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}-1\mu\backslash !’gradation,$\mathrm{i}.\mathrm{e},.,$

90\oplus \mathfrak{g}_{1}$$l^{\iota=2}$.
&dim$\mathfrak{g}_{-2}=1$$(X_{\ell},\Delta_{1})\cong(A_{\ell},\{\alpha_{1},\Gamma \mathrm{J}_{j}^{\cdot}\}\prime \mathrm{I}(i=2, \cdots l’-1)$or.

$(C_{l},\{\alpha_{1},\alpha_{\ell}\})$.

ここで, 例外 (1), (2), (に対応する $R$-space はつぎの通りです.
は,(1)
コンパクト既約エルミート対称空間です. (2) は, Boothby
bype の接触多様体 (Standard contact nianifold) で, 各複素単純リー$3\grave{)}$環に対して唯. つ存在します (次節で議論します). (3) の場合,に (ま ,,が,には,,$E)$ が対応します.
は, -次元複素射影空間であり,ここに,は,contact inanifold of type $Cp$ です. (2), (3) は, 共に,階ないし二階のジェッ } の空間であることに注意します.
$–\wedge$$\{\alpha_{1},\alpha_{i+1}\})$$(A\ell$$(J(\mathrm{P}^{\ell},i),C)$$\mathrm{P}^{\ell}$$(C_{\ell},\{\alpha_{1},\alpha_{\ell}\})$$(L(\mathrm{P}^{2\ell-1})$$\mathrm{P}^{2\ell-1}$$\ell$$\mathrm{S}\mathrm{t}.\mathrm{e}\lambda \mathrm{J}\mathrm{l}\mathrm{d}\mathrm{a}r\mathrm{d}$

—

\S 5.

$\backslash$$G_{2^{-}}$

Geometry.

ここでは.

$\S_{\backslash }^{\mathrm{f}}l,$の-..-. 般化を考えます.

\S 4 の議論を踏まえて, (A), (B). Standard contact manifolds.

各複素単純り一環 は, 最高を持ちます. \S 4 の構或より, contact gradation
は,の分割) です. ここに,
この最高ルー- トを峻別する gradation (は, Extended Dynkin diagram に於いて,のと連結している$’\supset.1\mathrm{r}$ル-} .
$\cdot\backslash$$\mathfrak{g}$$\theta$$(X_{\ell},\Delta_{\theta})$$\Phi^{+}$$\Delta_{\theta}$$-\theta$$X\ell$92の部分集合です. また,を最高ウェイトにもつ既約表の随伴 ( 余随伴) 表現があります.
に対応す
$R$
$G$
る
の
は,
のルートベクトルを通る-spaceorbit(contactの射影化として得られます. この構或より,は,gradationに対応する) 自然な接触構造 , を持ちます. (cf. [Y5, \S 4])
は, 当初, コンパクト単連結等質Standard contact manifold
複素接触多様体として, Boothby によって見いだされています ([Bo]).
頂点のなす
現として,

$\Delta$$\theta$$\cong$$(X_{\ell},\Delta_{\theta})$$\mathfrak{g}$$\theta$$(\mathrm{c}\mathrm{o})\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$$J_{\mathfrak{g}}$4$(X_{\ell},\Delta_{\theta})$$(_{\mathfrak{g}}^{\gamma}$$(J_{\mathfrak{g}},C_{\mathfrak{g}}’)$

Extended Dynkin Diagram with the coefficient of Highest Root

(cf. [Bu])5.2. Gradation of$G_{2}$.

$G_{2}$$[egg0]\Leftarrow[egg0]$$\alpha_{1}$

この場合,$\Delta=\{\alpha_{1},\alpha_{2}\}$,の Dynkin 図形はつぎで与えられます.
$\theta=3\alpha_{1}+2\alpha_{2}$.

$\alpha_{2}$より,$\Delta_{1}$の選び方は, つぎの 3 通りです.

93
(G1)

clim

$\Delta_{1}=\{\alpha_{1}\}$$\mathfrak{g}_{-2}=1$. この場合, $\mu=3$ で,です. また,,(A) の $(X,D)$ に一致していは$(M_{\mathfrak{g}},D_{\mathfrak{g}})$$\dim \mathfrak{g}_{-3}=\dim \mathfrak{g}_{-1}=2$

ます.

(G2)
(G3)

$\Delta_{1}=\{\alpha_{2}\}$. この場合は, contact gradation です.
で,. この場合,, 他は$l\iota=5$$\Delta_{1}--\{\alpha_{1},\alpha_{2}\}$次元 1 です.

Standard contact riianifoldの作用を分解します .

$G_{2}$$L(J_{\mathfrak{g}})$$(J_{\mathfrak{g}},C_{\mathfrak{g}})$にリフトすると,$\dim \mathfrak{g}_{-1}=2$

of type$L(J_{\mathfrak{g}})$に於いて, 例外群
は, つぎのように, 軌道$G_{2}$$\cdot$$L(J_{\mathfrak{g}})=O\cup R_{1}\cup R_{2}$

ここに,

$O$

は open orbit で,$R_{i}$.

は, 余次元$i$の軌道です. この時,は, それぞれ (B), (A) の global model と考えられます. さらに,は, コンパクトな軌道で,に対応する R-spaceとなっています. この事実から, (A) に対応する $PD$ 多様体 $(R;D^{1}$ ,$R_{1},$$R_{2}$$R_{2}$$D^{2})$

は$(G_{2},\{\alpha_{1},\alpha_{2}\})$$(G_{2},\{\alpha_{1},\alpha_{2}\})$に対応する $R$-space を用いて, 記述可能となり

ます.

5.3.

-geometry.

Extended Dyiikin diagrani に於いて,
type
を除いて,
は, 一つの siinple root
からな・っています. もちろん,の最高ルートに於ける係数は, 2 です. さらに, 例外リー環では,例外なく, . の隣に , 最高ルートに於ける係数が, 3 である simpleが存在します.
root
,E7,
に対して
の定める grada.tion は, $\mu=3$ で, dini
を満たします. さらに,同志の bracket 積を無視すれば, 他の部$G_{2}$$A_{\ell}$$\Delta_{\theta}$$\alpha_{\theta}$$\alpha_{\theta}$$\alpha_{\theta}$$X_{\ell}\cong E_{6}$$\alpha_{-G}$$E_{8},G_{2},F_{4}$$(X_{\ell},\{\alpha c\})$$\mathfrak{g}_{-3}=2,$$\dim \mathfrak{g}_{-1}=2\dim \mathfrak{g}_{-2}$$\emptyset-1$

分の積は ,$\mathfrak{g}_{-3}=W$,$\mathfrak{g}_{-2}=V$

,

9-]=W

$\otimes_{-}V^{*}$と記述されます. この事実が,に付随する微分式系,) より (B) の-.-^般化にあたる単独方程式 (Goursat 方程式) が構或され得る理由となります (. cf. [Ts]).
また, 明らかにのの定める $R$-space は,定める Standard contact manifold $(J_{g},C_{g})$ 上のファイバー空間ですが, 実際, $L(J_{g})$ 内のコンパクト軌道として実現されます. これが,(A) の一般化となる過剰決定系を与えます. ただし, この時, $PD$ 多様体としては, rank $Ch(D^{2})=1$ のケースで, $(X,D)$ としては,が対応します.
,$.(.X_{\ell},\{\alpha c\})$$(M_{\mathfrak{g}}$$D_{\mathfrak{g}}$$(X_{\ell},\{\alpha_{\theta},\alpha c\})$$(X_{\ell},\{\alpha_{\theta}\})$$(X_{\ell}$$\{\alpha_{G}\})$

参考文献

94
[D- ] W. M. Bootliby, Homogeneous complex contact manifolds, Proc.
$(1961),$ $144- 154$ .
Soc.,
Symp. Prrre Math., Amer.
et 6’. Her.
[Bu] N.Bourbaki. Groupes et alg\‘e,l)les denlallll., Paris (1968).
H. Goldschmidt’. and P.
R. Bryant, S. S. Chern, R. B.
New-York
Springer-Verlag,
systems,
Gritfiths, Exterior(1986).
variables et les \’equations[C1] E.Cartan, Les syst\‘emes de Pfafl. \‘apaxtielles du second ordrc, Ann. Ec. Normale,
27 (1910), 109-192.
d\’eriv\’ees[C2] E.Cartan, Sur les syst\‘emes en illVOl\iota \iota tion ’\’equations
partielles du second ordre \‘a une fonction inconnue de trois vari,a.bles ind\’ependantes. Bull. Soc. Math. France,$0$$\mathrm{b}^{J}\mathrm{I}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}.$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}3,$$\mathrm{L}\mathrm{i}\epsilon^{\mathrm{Y}},$$\mathrm{C}1_{1}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}4,5$$\cdot$$\mathrm{G}_{1}\dot{‘}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathrm{I}1}\mathrm{e}\mathrm{r},$$[\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{G}_{3}]$$\mathrm{e}1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{l}\dot{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{f}_{\downarrow}\mathrm{i}\mathrm{a}1$$\mathrm{c}\mathrm{i}_{\mathrm{I}1}\mathrm{q}$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}$$\mathrm{a}\iota \mathrm{l}\mathrm{x}\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}.\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}_{J}\mathrm{s}$$\mathrm{d}$$\mathrm{a}\iota 1\mathrm{X}$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}39(1911)$352-443.
$[’.1^{\urcorner}1]$

N.Tanaka, On differential systellls,
groups, J. Ma.th. Kyoto Univ.,$\mathrm{g}_{1}\cdot \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}$Lie algebras and pseudO-$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}10(1970),$$[’1’2]\mathrm{N}.\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\sigma \mathrm{a}$$1- 82$.

. On the equivalence problems associated with simple$23- 84$ .
graded Lie algebras, Hokkaido Math. J.,
A.Tsuchiya, Ge.ometric Tbeory of Second Order Partial DifferNa.goya University (1981), (inent.ial Equat.ions, Lectrrre$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}8(1979),$$1’\mathrm{r}\mathrm{s}]$$\mathrm{N}\mathrm{o}\mathrm{t}\circ_{\mathrm{L}},\mathrm{s},$Japanese).

[Yl K.Yamaguchi, Conta.ct geometry of higlier order, Japanese J. of, 109-176.
Math.,[Y2] K.Yamaguchi, On involutive systems of second order of codimen$302- 305$ .
.
sion 2, Proc. of Japan Acad.,[Y3] K.Yarnaguchi, Geometrization of Jet, buIldles, Hokkaido Math. J.,.
(1983),, Typical classes in involutive systems of second or[Y4]$265- 291$ .
Math.,
der, Japanese
assoc.iate(lwith simple graded[Y5] K.Yamaguchi, Differential systems$413- 494$ .
$122(1993),$
in Pure Math..)’, Adv.
Lie-geometry of overdeterlllined systems of second[Y6] K.Yamaguchi,
order, in prepa.iation.
$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}8(1982)$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}58,$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}12$$\mathrm{S}\mathrm{e},\mathrm{r}$$\mathrm{A},$$\mathrm{N}\mathrm{o}.7(1982),$$27\sim 40$$\mathrm{K}.\mathrm{Y}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{c}1_{1}\mathrm{i}$$.\mathrm{I}.$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}11(1985),$$\mathrm{S}\mathrm{t}_{\mathrm{J}}\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{s}$$\mathrm{a}1\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}_{1}\mathrm{s}$$G_{2}$$\mathrm{v}\mathrm{e}$95$G_{2}$-Geometry of Overdetermined Systems of Second Order

By

Keizo YAMAGUCHIIntroduction.
Discovery of E.
$\underline{||}\mathrm{C}^{\rceil}..\rceil$Les$\mathrm{C}\mathrm{a}.\mathrm{r}\mathrm{t}\dot{\mathfrak{c}}\tau.\mathrm{n}$$s.?./\cdot 9t\grave{c,}rr|,e.\backslash \cdot$$.‘\grave,(^{J}c(J7/do\uparrow.d.\cdot re_{\backslash }$Allll.

Overdeterminedinde Pfaff \‘a$c?,\cdot nq.\iota,’ ariables$$\mathrm{E}\mathrm{t}^{\backslash }..\mathrm{N}_{011}.\mathrm{n}\mathrm{a}1\mathrm{e}..27$$(\mathrm{i}_{1’11^{f}\mathrm{C})}1\iota\iota \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e})\mathrm{L}\mathrm{s}.\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{t}\cdot \mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{l}$(1910), 10(t) -192:$\frac{\partial_{\sim}^{2}\prime}{\dot{\epsilon}\mathit{1}\tau.\cdot\sim)}.\tilde{.},=‘\frac{1}{3}(’\frac{o^{1}\prime\sim\sim)\prime\vee}{\acute{r})_{ll^{2}}},..\cdot.)^{3}$$(\Lambda-)$et, les \’equations aux deriv\‘ees partielles du.

$. \frac{\acute{r}J^{2_{\wedge}}\prime\vee}{\partial x()_{l/}}.\cdot=\frac{1}{2}(\frac{c^{r})^{2_{Z}}}{\partial y^{2}}.)^{2}$

Single equation of Goursat tyPe:(B)$()_{7}^{2}\mathrm{L}^{\cdot}+12t^{2}(\cdot \mathfrak{l}\cdot t-’.\mathrm{s}^{2}.)+32^{\mathrm{q}^{3}}.-36rst=0$‘$\vee\backslash \cdot \mathrm{v}1\mathrm{l}\mathrm{e}.\mathrm{r}^{\tau}$$r= \frac{\dot{\mathrm{c}}^{-}J^{12_{\gamma}},\prime}{\overline{\epsilon}\dot{\mathit{1}}x^{2}}\ldots|\mathrm{s}=\frac{c7^{2}\acute{\acute{6}}}{\partial x’\partial y}.\prime\prime$

14-dirnerisional Exceptional Shnple Lie Algebra$t= \frac{\partial^{2}z}{\partial^{\mathrm{r}}y^{2}}$$G_{2}$The Plan of This TALK.

,.