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数理解析研究所講究録
第2010巻 2016年 56-60

Schrödinger operators with n positive eigenvalues:
anexplicit construction involving
complex valued potentials

兵庫県立大学物質理学研究科

*

楳田登美男

Tomio Umeda

Departments of Mathematical Sciences, University of Hyogo

1.

序本稿の目的は n 個の正固有値を持つシュレディンガー作用素を構成することである.初めに,歴史的な経緯をvon Neumann‐Wigner [9] まで遡って振り返る.
正の固有値を持つシュレディンガー作用素を初めて構成したのはvon Neumann‐Wigner[9] である.彼らは正固有値1を持つシュレディンガー作用素を次のように構成した :【r :=|x|, x\in \mathbb{R}^{3} に対して,V(r) :=-\displaystyle \frac{32\sin r}{\{1+ $\gamma$(r)^{2}\}^{2} ( $\gamma$(r)^{3}\cos r-3 $\gamma$(r)^{2}\sin^{3}r+ $\gamma$(r)\cos r+\sin^{3}r)(ここで$\gamma$(r)=2r-\sin 2r )$\psi$(x):=\displaystyle \frac{\sin r}{r\{1+ $\gamma$(r)^{2}\}とおくと$\psi$\in H^{2}(\mathbb{R}_{x}^{3}) , (-\triangle_{x}+V(r)) $\psi$(x)= $\psi$(x)が成り立つ】$\gamma$(r)\sim 2r(r\rightarrow\infty) なので, V(r)\sim-8\mathrm{r}^{} \sin 2r となり,したがって,本質的スペクト
ルは $\sigma$ \mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{s}(-$\Delta$_{x}+V)=[0, \infty)となる.それゆえ,この Schrödinger 作用素 -$\Delta$_{x}+V は埋込まれた固有値1を持つことが結論される.
vonNeumann‐Wigner のアイディアは次の2点に要約される :*\mathrm{s}_{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e} Richard 氏(名古屋大学), 内山淳氏 (京都工芸繊維大学) との共同研究

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1. Dirichlet 条件 f(0)=0 を満たし,かつ区間 0<r<\infty 上で(-\displaystyle \frac{d^{2} {dr^{2} +V)f=f(1)を満たす L^{2}(0, \infty) ‐関数 f(r) と減衰ポテンシャル V(r) を見つける;2.

$\psi$(x)=r^{-1}f(r) とおく.

=\displaystyle \frac{d^{2} {dr^{2} +\frac{2}{r}\frac{d}{dr} なので,(-$\Delta$_{x}+V(r) $\psi$=\displaystyle \frac{1}{r}(-\frac{d^{2} {dr^{2} +V(r) f=\frac{1}{r}f= $\psi$(3次元では $\Delta$ の動径部分となる.また, f(0)=0 なので, $\psi$\in H^{2}(\mathbb{R}_{x}^{3}) が成り立つ)(1) を満たすような f と V の組を見つける為に, [9\mathrm{J} ではまず適当な L^{2}(0, \infty) ‐関数 f(r)を見つけて,

V:=(f+\displaystyle \frac{d^{2}f}{dr^{2} )/fと定義している.(実際には,von Neumann‐Wigner は f(r)=\sin r/\{1+ $\gamma$(r)^{2}\} とおいた )ただ,この方法で構成されるSchrödinger作用素は正固有値を (少なくとも) 1つ持つことが保証されるだけである.

正固有値を持つ Schrödinger 作用素を構成する問題は実は大変デリケートである.実際,
Reed‐Simon [6, Theorem XIII.56] から次の事実が解る:

V が実数値であって,|V(r)|\cdot\leq

C(1+r)^{- $\rho$}, $\rho$>1 を満たすならば, $\sigma$_{\mathrm{p}}(-\triangle_{x}+V)\cap(0, \infty)=\emptyset したがって,Schrödinger,.

作用素が正の固有値を持つ為にはポテンシャルは長距離型に限られることになる.Ben‐Artzi‐Devinatz [3] では

V(r)=-\displaystyle \frac{k}{r}\sin 2r^{ $\alpha$}+V_{S}(r) |V_{S}(r)|\leq C(1+r)^{- $\rho$}, $\rho$>1 の形の,,ポテンシャルを扱い, $\alpha$ の値によって (つまり,振動の仕方によって) 正固有値が現れた
り,現れなかったりすることを示した :$\alpha$>0, \neq 1\Rightarrow$\sigma$_{\mathrm{p}}(-\triangle+V)\cap(0, \infty)=\cdot\emptyset ;\bullet$\alpha$=1\Rightarrow$\sigma$_{\mathrm{p}}(-\triangle+V)\cap(0, \infty)=\{1\} または \emptyset.

したがって,正固有値を論じる為に適切なポテンシャルはV(r)=-\displaystyle \frac{k}{r}\sin 2r+V_{S}(\mathrm{r}) の形ということになる.この形のポテンシャルに限って 歴史的な経緯のあらましを述べよう :(von Neumann‐Wigner [9] 1929)(Moses‐Tiian [5] 1959)

k=8\Rightarrow\exists V_{S}k=4\Rightarrow\exists V_{\mathcal{S}}

s.t.

s.t.

1\in$\sigma$_{\mathrm{p}}(- $\Delta$+V)

1\in$\sigma$_{\mathrm{p}}(-\triangle+V)58|k|>2\Rightarrow\exists V_{S} st. 1\in$\sigma$_{\mathrm{p}}(-\triangle+V)(Arai‐Uchiyama [2] 1999)|k|<2_{1}\Rightarrow 1\not\in$\sigma$_{\mathrm{p}}(-\triangle+V) for \forall V_{S}Arai‐Uchiyama [2] ではポテンシャル V が球対称とは限らないことを注意しておく.

2.

結果

序で述べたように,本稿の目的は, n 個の正固有値を持つシュレディンガー作用素を構成することである.結果を述べよう.
定理1. \forall n\geq 1, \forall$\mu$_{1}>\forall$\mu$_{2}>\cdots>\forall$\mu$_{n}>0, \forall a_{j}\in \mathbb{C}\backslash \{0\}, {\rm Re} a_{\mathrm{j}}\geq 0(i=1, \cdots, n)

,

に対して

s(r) :={}^{t}(\sin$\mu$_{1}r, \sin$\mu$_{2}r, \cdots, \sin$\mu$_{n}r)f_{a}(r)={}^{t}(f_{1a}(r), \cdots.' f_{na}(r)):=-(A+G(r))^{-1}s(r)とおき, n 個のパラメータ a:=\{a_{1}, , a_{n}\} に依存するポテンシャルを

V_{a}(r):=2\displaystyle \frac{d}{dr}(<f_{a}(r), s(r)>)と定める.ただし, <\cdot,>は \mathbb{C}^{n} の内積,また

A=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(a_{1}, \cdots, a_{n})G(r) :=(g_{ij}(r))_{i,j=1}^{n}( n\times n 行列),g_{ij}(r):=\displaystyle\int_{0}^{r}\sin($\mu$_{i}$\rho$)\sin($\mu$_{\mathrm{j} $\rho$)\mathrm{d}$\rho$.

このとき, $\mu$_{1}^{2}, \cdots, $\mu$_{n}^{2} は \mathbb{R}^{3} 上の Schrödinger 作用素一 \triangle+ Va の固有値である.
注意1

複素パラメータ aj がすべて実数ならば V_{a} は実数値であるが,そうでない場合V_{a} は複素数値である.

r\rightarrow\inftyのときの V_{a} の漸近挙動はV_{a}(r)=\displaystyle \backslash -\frac{4}{r}\sum_{j=1}^{n} $\mu$ j\sin 2 $\mu$ jr+\frac{8}{r^{2} (\sum_{j=1}^{n}a_{j} $\mu$ j\sin 2$\mu$_{j}r+W(r) +O(r^{-3})で与えられる.ここで W(r) は次のよ.うな周期関数である :W(r)=(\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\sin^{2}$\mu$_{\mathrm{j} r)^{2}+2\sum_{i,j=1}^{n}w_{ij}(r)$\mu$_{i}\sin$\mu$_{j}r\cos$\mu$_{i}r\ve ,w_{ij}(r)=\left{bgin{ary}l \frac{sin($\mu_{i}-$\mu_{:i})r2($\mu_{i}-$\mu_{j})-\frac{sin($\mu_{i}+$\mu_{j})r2($\mu_{i}+$\mu_{j})&(i\neqj)\-frac{\sin2$\mu_{i}r4$\mu_{i}&(=j)\end{ary}\ight.

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V_{a}(r)=-\displaystyle \frac{4}{r}\sum_{j=1}^{n}$\mu$_{j}\sin 2$\mu$_{j}r+V_{S}(r)距離部分陥(r)このことから,と分解すると,複素パラメータ aj は短にのみ現れることが解る.漸近展開の第2項では aj が1次式の形で現れている.また, V_{S} も振動することが解る.aj は右半平面に属する複素数であれば何でもよいので,これらの事実は,埋込まれた固有値を不変に保つ V_{S} の作る関数族が如何なるものであるかについて,一つの示唆を与えていると考えられる.
定理1の証明は Richard Uchiyama Umeda [7] を参照のこと.

参考文献[1] S. Agmon, I. Herbst and S.M. Sasane, Persistence of embedded eigenvalues, J. Funct.
Analysis 261 (2011),451‐477.

[2] M. Arai and J. Uchiyama, On the von Neumann and Wignerpotentials, J. Differential
Equations 157 no. 2 (1999), 348‐372.

[3] M. Ben‐Artzi and A. Devinatz, Spectral and scattering theory for the adiabatic oscil‐
lator and related potentials, J. Math. Phys. 20 no. 4 (1979), 594‐607.

[4] J. Cruz‐Sampedro,

I. Herbst and R.

\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\acute{\mathrm{m} ez‐Avendafio,

Perturbationsof theWigner‐von Neumann potential leaving the embedded eigenvalue fixed, Ann. Henri
Poincaré 3 no. 2 (2002), 331‐345.

[5] H.E. Moses and S.F. Tuan, Potentials with zero scattering phase, Nuovo Cimento 13
no.

1 (1959), 197‐206.

[6] M. Reed and B. Simon,Methods of Modern Mathematical Physics IV, Analysis ofOperators, Academic Press, New York 1978.

[7] S. Richard, J.Uchiyama and T. Umeda, Schrödinger operators with n positive eigen‐values:

anexplicit construction involving complex valued potentials, Proc. Japan

Acad. 92, Ser. \mathrm{A} (2016), 7‐ 12.60[8] J. Uchiyama, Simple construction of the Schrödinger operator having many positive
eigenvalues, Proceedings of the Fourth Workshop on Differential Equations, Chon‐nam

National University, Kwangju, KOREA (1999), 197‐199.

[9] J. von Neumann and E. Wigner, Uber merkwürdige diskrete Eigenwerte, Phys. Z. 30(1929), 465‐467.