数理解析研究所講究録
1529 巻 2007 年 74-86

74

Asymptotic stability of small solitons for NLS withpotential
徹 (Tetsu Mizumachi)

水町

九州大学数理学研山院 (Faculty of Mathematics, Kyushu University)

1

Introduction
非線形$\backslash \grave{J}\mathrm{z}$レディンガー方程式$iu_{t}+\Delta u=Vu+f(u)$

(NLS)

for

$(t, x)\in \mathbb{R}\cross \mathrm{R}^{n}$

,

$\{$

for

$u(x, 0)=u_{0}(x)$$x\in \mathbb{R}^{n}$,の小さな定常波解の安定性について考察する。 ここで V(x) は実数値関数であり、 $f(u)=$$\alpha|u|^{\mathrm{p}-1}u,$$\alpha=\pm 1$. とする。 (NLS) はレーザービームや BEC など、 波長が揃った分散性の弱い現象を記述するモデル方程式として様々な場面で現れる。 \mbox{\boldmath $\varphi$}E(x) を$\Delta\phi_{E}+E\phi_{E}=V\phi_{E}+\alpha|\phi_{E}|^{p-1}\phi_{E}$

(1)

$\{$

$\lim_{|x|arrow\infty}\phi_{E}(x)=0$

の解とし,
る.

$u(t, x)=e^{-*Et}\varphi_{E}(x)$for$x\in \mathrm{R}^{2}$

,

.

とおくと,

$u$

は形状が時刻垣こ依存しない (NLS) の解であ

この解は定常波解と呼ばれ, その中でも (1) の中で最もエネルギー順位の低い groundstate とよばれる解が (NLS) の解の中で重要な役割を果たす.

非線形シュレディンガー方程式はハミルトニアン系であり、$H(u)= \int_{\mathrm{R}^{n}}(|\nabla u|^{2}+V(x)|u|^{2}+\frac{2\alpha}{p+1}|u|^{p+1})dx$$N(u)= \int_{\mathrm{R}^{n}}|u|^{2}dx$(Hamiltonian),(charge),などの保存量を持つ. これらの保存量を用いて ground state の安定性は 198O 年頃から活発に研究された.

$V\equiv 0,$ $\alpha<0$(非線形項が attractive) の場合, $p<1+4/n$ であれば,ground state はリャプノフ安定であり, $P\geq 1+4/n$ であれば不安定なことが知られている([6, 14, 34]).

また$V\not\equiv \mathrm{O}$の場合, ground state の安定性は $[29, 32]$ らにより研究された.

75(C) ground state が安定な場合, ほとんどの (NLS) の解は時間が経つと複数個の groundstate と高さの減衰する波の重ね合わせになることが期待されているが, まだわからないことが多く残されている ([39] 参照).
本稿では V\not\equiv O が以下の (VI)-(V3) をみたす$C^{1}$-級関数の場合に, 小さな定常波解の漸近安定性について考察する.

(V1) $V(x)$ は国$arrow\infty$で十分速く減衰する.

$-n=1$ のとき $(1+x^{2})V(x)\in L^{1}(\mathbb{R})$ ,$-$$n.=2$ のとき $\sup_{x\in \mathrm{R}^{2}}\langle x\rangle^{3+0}(|V(x)|+|\nabla V(x)|)<\infty$(V2) $L=-\Delta+V$ は $\lambda=E_{*}<0$ で唯–つの固有値を持つ.

(V3)

$0$

は $L$ のレゾナンスではない.

.

以上の仮定の下で, (1) の定常波解が構成できることが知られている ([35]).

Proposition 1. Assume $(Vl)-(V\mathit{3})$ . Let $n=1,2$ and let 6 be a small positive number.
Suppose that $E\in$
and $\alpha=1$ or $E\in(E_{*}-\delta, E_{*})$ and $\alpha=-1$ . Then, there$(E_{*}, E_{*}+\delta)$

evists a positive solution

1.

$\langle x\rangle^{k}\phi_{E}\in H^{1}$$\phi_{E}$to (1) such that for every$k\in \mathrm{N}$,for every$k\in \mathrm{N}$, and as E–,

2. The function$E\text{ト}arrow\langle x\rangle^{k}\phi_{E}$is$C^{1}$

in$H^{1}$$\langle x\rangle^{k}(\phi_{E}-|E-E_{*}|^{1/(p-1)}(||\phi_{*}||_{L^{\mathrm{p}+1}}^{-(p+1)/(p-1)}\phi_{*})=O(E-E_{*}))$

2

,

in

$H^{1}$.

漸近安定性に関する既知の結果

2.1$V\not\equiv 0$$n\geq 3$$\infty$$E_{*}$での場合, (Vl)-(V3) の仮定の下で Soffer-Weinstein[36] は)(微小な) 定常波と散乱波 ($e^{1t\Delta}v_{+}$

1 u0||Ll\cap H1 が小さければ,$tarrow$と表される波) の和で表されることを証明した. 証

明の鍵となったのは [17] による p-p’-評価である. また Yau-Tsai $[38,40, 44,45,46]\text{は}$(V2) の条件を–般化し, 作用素 L が 2 つ以上の固有値を持つ場合を研究した.
場合の対応する結果は [4] と [5] により証明された.

V\equiv 0 の76

以下にこれらの結果の端緒となった Sofffer-Weinstein の証明の概略を紹介する. 解を定常波の部分と残りの部分を表す $v(t, x)$ に分解する.

(2)$u(t, x)=e^{-i\theta(t)}(\phi_{E(t)}(x)+v(t, x))$E(t) は振幅,.

\theta (t) は位相を表すパラメーターである. (2) を (NLS) に代入すると,$iv_{t}=Lv+g_{1}+g_{2}+gs+g_{4}$ ,(3)$g_{1}(t)=-\dot{\theta}(t)v(t)$,$g_{2}(t)=(E(t)-\dot{\theta}(t))\phi_{B(t)}-i\dot{E}(t)\partial_{E}\phi_{E(t)}$$g_{3}(t)=f(\phi_{E(t)}+v(t))-f(\phi_{E(t)})-\partial_{g}f(\phi_{E(t)}+\epsilon v(t))|_{\epsilon=0}$,,$g_{4}(t)= \partial_{\epsilon}f(\phi_{E(t)}+\epsilon v(t))|_{\epsilon=0}=\alpha\phi_{E(t)}^{p-1}(\frac{p+1}{2}v(t)+\frac{p-1}{2}\overline{v(t)})$

となる.

,

とすると, (3) 線形化方程式は$V={}^{t}(v,\overline{v})$,$iV_{t}=\mathcal{L}_{E(t)}V$$\mathcal{L}_{E}=(-\Delta+V+\frac{p+1}{2}\phi_{E}^{\mathrm{p}-1})\sigma_{3}+\frac{p-1}{2}\phi_{E}^{p-1}i\sigma_{2}$$\mathcal{L}_{E}$のスペクトル$\{k\in \mathbb{R} :$\sigma(\mathcal{L}_{E})$|k|\geq E\},$

$0$

は,

$\sigma(\mathcal{L}_{E}=\{0\}\cup\sigma_{es\epsilon}(\mathcal{L}_{E}),$$P_{E}$$\mathcal{P}_{E(t)}V(t)=0$を$\mathcal{L}_{E}$は連続スペクトルで$\sigma_{e\epsilon s}(\mathcal{L}_{E})=[$

は多重度 2 の固有値となる. また 0-広義固有空間は

span
となる.

$\sigma_{ess}(\mathcal{L}_{E})$.

$\{$ , $\}$の連続スペク トルの空間への spectral projection とするとき,となるように次の制約条件を課す.

(4)$\langle\Re v(t), \phi_{E(t)}\rangle=\langle_{\mathrm{S}V}^{\alpha}(t), \partial_{E}\phi_{E(t)}\rangle=0$.

(4) を について微分し (3) を代入すると,
$t$

(5)

$=O(||e^{-\sqrt{|E(l)|}|x|/2}v||_{L^{2}}^{2})$が得られる. 従って $\lim_{tarrow\infty}E(t)$ が存在するためには, 適当な重みつき空間を $W$ とすると,$v\in L^{2}(0, \infty;W)$となることを示せばよい. (3) の$g_{1}$

を消去するために,

とおくと,

(6)

$w(t)=e^{-itL}w(0)-i \sum_{2\leq j\leq 4}\int_{0}^{t}e^{-i(t-s)L}e^{-*\theta(s)}g_{j}(s)ds$.

$w(t)=e^{-i\theta(t)}v(t)$77となる. g2 は v についての良い減衰評価があれば (5) を使って処理できるので, g3+g4 について考える.
$g_{3}(t)+g_{\mathit{4}}(t)=O(g_{I}(t)+g_{II}(t))$,$g_{I}(t)=\phi_{E}(t)^{p-1}v(t)$,$g_{2}(t)=|v(t)|^{p-1}v(t)$であり,$g_{I}(t)$$\bullet$は,$p$が Strauss の臨界幕よりも大きければ,$||v(t)||_{L^{\mathrm{p}+1}}$を評価することで処理できる.
$\bullet$$g_{I}I$は,$v(t)$

について 1 次の妙なので,$||v(t)||x\sim t^{-1-0}$が扱えるためには, 適当な空間 $X$ でであることが必要になる.

1であるから,$g_{II}$$e^{:\iota L}P_{\mathrm{c}}||_{B(L^{\mathrm{p}},L^{\mathrm{p}’})\sim}<t^{-n/2+n/p}$$||u||w:=||\langle x\rangle^{-\sigma}u||_{L^{2}},$$||u||_{X}<\sim||u||_{L^{qq>\mathit{2}n}},/(n-\mathit{2})$となるように $X$

をとると, 多少不正確な書き方であるが,$|| \int_{0}^{t}e^{:(t-*)L}P_{\mathrm{c}}g_{II}(s)ds||_{X}$$\leq\int_{0}^{t}\langle t-s\rangle^{-n(1/2-1/q)}||g(s)||_{L^{q’}}ds$$\leq\int_{0}^{t}\langle t-s\rangle^{-n(1/2-1/q)}\langle s\rangle^{-n(1/2-1/q)}ds\sup_{s}(\langle s\rangle^{n(1/2-1/q)}||v(s)||_{X})$$\leq\epsilon\langle t\rangle^{-n(1/2-1/q)}$

であり,$Earrow E_{*}$のとき,$\epsilonarrow 0$となるようにとれる.

従って $||v||x\leq\langle t\rangle^{-n(1/2-1/q)}$ を示せばよいが, このとき $p\geq 1+4/n$ が必要になる ([361 では,n=3, P>2 の場合を証明したことになっているが, 補間不等式の指数の計算を間違えたためではないかと思う).

2.2$V\equiv 0$$V\equiv 0$の場合の場合, 定常波の生み出すポテンシャル項$g_{4}$

を摂動として扱うことは出来ない.

Buslaev-Perelman $[3, 4]$ は n=1 の場合, Cuccagna[9] は n\geq 3 の場合に定常波解の周りでの線形化作用素の生成する半群の評価をし, 定常波解の漸近安定性を証明した. 非自励系

78の半群の時間大域的な評価を得るのは難しいので,では,$\lim_{tarrow\infty}$

E(t)=E+ であり,$E(t)$$[\mathit{3}, 4]$や$\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{a}[9]$-E+ が t について可積分の場合を扱っている (こ$\text{のとき}\phi_{E}+(x)\text{は}\phi_{E(t)}(x)\text{のよい近似を与え}$にBuslaev-Perelman,

定常波解の周りでの線形化作用素が実質的に依存しない).

$t$Remark 1.
$Cuccagna[\mathit{9}J$$\mathcal{L}_{E}$は自己共役作用素ではなく [は $n\geq 3$ の場合に Yajima

る研究を応用し, ベクトル値のた.

の結果を適用することは出来ない.

$\mathrm{J}7J$$([\mathit{4}\mathit{2},\mathit{4}\mathit{3}\mathit{1})$による波動作用素の p-有界性に関す. レディンガー方程式に対して $L^{p}-L^{p’}$ -評価を証明し$\backslash \nearrow=\backslash$, n\geq 3 の場合,

$e^{it\mathcal{L}_{E}}P_{E}\text{についての}L-\underline{L}’\text{評価が得られれば}$ground state の漸近安定性は Soffer- Wei\sim tein[3 可と同様に示すことが出来る. その後 Peoelman[3 のは,

パルス間に相互作用のほとんどない multi-pulse 解の漸近安定性を証明した.

Remark 2. 基本解は空間次元が低いほどゆっくり減衰し,$||e^{:\iota\Delta}||_{B(L^{1},L^{\infty})}<t^{-n/2}\sim$なので,$n=1,\mathit{2}$の場合には /9, 3 可とは異なる議論が必要である.

$Buslaev- Perelman[\mathit{3},\mathit{4}J$は, $n=1,$ $\lim_{uarrow 0}f(u)/|u|^{9}=0$ の場合に$||\langle x\rangle^{-7/2-0}e^{itL}P_{\mathrm{c}}f||_{L^{2}}\sim<t^{-3/2}||\langle x\rangle^{2}f||_{L^{1}+L^{2}}$ground state の漸近安定性を証明した. 最近 K 加 eger-Schlag[24] が空間次元がを用いて,1 次元の場合に籾の計算方法を改良し, $P\geq 1+4/n$ の場合を研究した. また, 拾\mbox{\boldmath $\gam a$}\tau
Zamescu[23J は, [3 珂と同じ結果を n=2 の場合に初期値の球対称性を仮定せずに証明した.

これらの結果は何れも2.3で$H^{1}$$u\sim \mathrm{O}$で $|f(u)|\sim|u|^{p}p\geq 1+4/n$ の場合を扱っている.

における漸近安定性$V\equiv 0,$$P\geq 1+4/n$ の場合,

$e^{1t\Delta}u_{+}$に収束する ([12] など).

$H^{1}$

で小さな解は, 適当な $u_{+}\in H^{1}$ に対して,$\mathrm{G}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}- \mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}- \mathrm{T}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{i}[15]$V\not\equiv O で (VI)-(V3) をみたす場合に,$\bullet$$\int_{0}^{t}e^{i(t-s)L}P_{\mathrm{c}}g_{I}(s)ds$(5) からの評価$\lim_{tarrow\infty}E(t)$$n\geq 3,$$p\geq 1+4/n$

lluOllHl が小さければ解 u が t\rightarrow \infty で定常波と散乱状態の和で表されることを示した. V\equiv 0 の場合と異なる点は,$\bullet$は,$tarrow\infty$が存在することを示す

79の 2 点であるが, 彼らは Strichartz の端点評価を用いてエネルギー空間における漸近安定性を証明した.
$q,$$r\geq \mathit{2}$,$\frac{\mathit{2}}{q}+\frac{n}{r}=\frac{n}{2}$,$(q, r, n)\neq(2, \infty, \mathit{2})$を満たすとき, ( , r) の組を admissible であるという.
$q$

Lemma 2. (Strichartz estimate,$(a)$) Assume $(Vl)-(V\mathit{3})$ .

$[\mathit{2}\mathit{0}J$

Suppose that $(q,r)$ is admissible. Then theoe exists a positive number,
fOr eve 瑠.

$C$such that$f\in L^{2}(\mathbb{R})$$||e^{-itL}P_{\mathrm{c}}f||_{L_{t}^{q}L_{l}^{r}}\leq C||f||_{L^{2}}$mnhemore, it holds that$|| \int_{\mathrm{R}}e^{:\epsilon L}P_{\mathrm{c}}g(s, \cdot)ds||_{L_{l}^{2}}\leq C||g||_{L_{t}^{q’}L_{x}^{r’}}$$(b)$

Suppose that$Cs\mathrm{u}ch$$(q_{1},r_{1})$andthat for every$(q_{2},r_{2})$.

are admissible. Then there enists a positive $nu$ mber$g(t, x)\in S(\mathbb{R}\cross \mathbb{R}^{2})$,$|| \int_{\mathit{0}}^{t}e^{-i(t-\epsilon)L}P_{\mathrm{c}}g(s, \cdot)ds||_{L_{l}^{q_{1}}L_{x}^{r_{1}}}\leq C||g||L_{t}^{q_{2}’}L_{x}^{r_{2}’}$.

[15] は Lemma2 で, $(q, r)=(\mathit{2},2n/(n-\mathit{2}))$ n\geq 3 の場合を用いて limt\rightarrow \infty \infty E(t) が存在することを示した.

しかし, $n=1$ のとき,$q$の値が最も小さくなる組は,あり, $n=2$ の場合も $(q, r)$ が admissible ならば $q>2$ なので,

$n=1,\mathit{2}$$(q, r)=(4, \infty)$ での場合は Strichartz

評価だけでは limt\rightarrow \infty \infty E(t) が存在し, 定常波解が漸近安定であることをを示すのには不十
分である.

3

主結果と補題以下に私自身の結果を述べる.

Theorem 3. Assume
positive number. Suppose
andfimction$(Vl)-(V\mathit{3})$$\theta(t)$$P_{d}u=\langle u, \phi_{*}\rangle\phi_{*},$

.

とする.

be a sufficiently small
real-valued. Then there exist an $E_{+}<0$ , a

Let $p\geq 1+4/n$ and let$||u_{\mathit{0}}||_{H^{1}}<\epsilon_{0}$$v_{+}\in P_{c}H^{1}(\mathbb{R}^{2})$$P_{\mathrm{c}}u=(I-P_{d})u$$\epsilon_{0}$$C^{1}$

such that.

$\lim_{tarrow\infty}||u(t)-e^{i\theta(t)}\phi_{E}+-e^{-1tL}v_{+}||_{H^{1}(\mathrm{R}^{2})}=0$

80

Theorem 3 は, Strichartz の端点評価の代わりに, 時間大域的な局所平滑評価 (Lemmas4-7) を用いて証明した

Kato([18]) により得られた KdV 方程式の 1oca1smoothing effectを表す不等式は, 近年の Martel-Merle の研究です上で重要なことがわかった.

$\backslash \grave{\nearrow}$=L$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$

レディンガー方程式の local smoothing estimate は, 定数係数の場合 Constantin-Saut[8] や Kenig-Ponce$n\geq 3,$$V\not\equiv \mathrm{O}$の場合は Ben-Artzi と方程式の孤立波解の漸近安定性を示$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{a}[21,\mathit{2}\mathit{2}],$$\mathrm{K}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}[1]$により示された Theorem 3 の証明に

Lemma 2 の他に以下の不等式を用いる.

は,Lemma 4. Let $n=1$ . Assume $(Vl)$ and
$(a)$

$(b)$

There exists a positive constant$C$$(V\mathit{2})$.

such that for any$||\langle x\rangle^{-\mathit{3}/2}e^{-1tL}Qf||_{L_{x}\infty_{L_{t}^{2}}}\leq C||f||_{L^{2}}$(8)$||\partial_{x}e^{-ltL}Qf||_{L_{x}L_{t}^{2}}\infty\leq C||f||_{H^{1/2}}$

There exists a positive constant

$C$

,

.

such that for any $g(t, x)\in S(\mathbb{R}^{2})$ ,$|| \int_{\mathrm{R}}e^{:\iota L}Qg(s, \cdot)ds||_{L_{l}^{2}}\leq C||\langle x\rangle^{3/2}g||_{L_{x}^{1}L_{t}^{2}}$Lemma 5. Let $n=1$ . There exists a positive constant$t\in \mathbb{R}$$C$,

such that for any $g(t, x)\in S(\mathbb{R}^{2})$

,

(10)

$\sum_{j=\mathit{0},1}||\langle x\rangle^{-1}\theta_{x}^{;}\int_{\mathit{0}}^{t}e^{-1(t-s)L}Qg(s, \cdot)ds||_{L_{x}^{\infty}L_{t}^{2}}\leq C||\langle x\rangle g||_{L_{*}^{1}L_{1}^{2}}$Fhrthe rmore, if$C$$f\in S(\mathbb{R})_{f}$

(7)

(9)

and

$[47,31]$ などにより示され,$\sup_{x\in \mathrm{R}}e^{\alpha|x|}|V(x)|<\infty$.

holds for an $\alpha>0$ , there exists a positive number

such that(11)$|| \int_{0}^{t}\partial_{x}e^{-1(t-\epsilon)L}Qg(s, \cdot)ds||_{L_{x}^{\infty}L_{t}^{2}}\leq C||g||_{L_{x}^{1}L_{t}^{2}}$Lemma 6. Let $n=2$ and $s>1$ . Assume
constant such that$(V\mathit{1})-(V\mathit{3})$. Then there enists a positive

$C$

(12)

for every(13)

for every$||e^{-1tL}P_{\mathrm{c}}f||_{L_{t}^{2}L_{l}^{2,-\iota}}\leq C||f||_{L^{2}}$$f\in S(\mathbb{R}^{2})$,and that,$|| \int_{\mathrm{R}}e^{1sL}P_{c}g(s, \cdot)ds||_{L_{x}^{2}}\leq C||g||_{L_{t}^{2}L_{x}^{2}},.$$g(t, x)\in S(\mathbb{R}\cross \mathbb{R}^{2})$

.

.

81

Lemma 7. Let $n=2$ and $s>1$ . Then there exists a positive constant(14)$|| \int_{\mathit{0}}^{t}e^{-i(t-s)L}P_{c}g(s, \cdot)ds||_{L_{\mathrm{t}}^{2}L_{x}^{2,-*}}\leq C||g||_{L_{t}^{2}L_{x}^{2,s}}$for every$g(t, x)\in S(\mathbb{R}^{2})$Remark a. [$\mathit{2}J$

[は,

$L$

and

$t\in \mathbb{R}$such that.

.

が divergence

(15)

$C$

forrn の場合に Paley-Littlewood 分解を用いて$||e^{1tL}f||_{\dot{B}_{2,\infty}^{1/2}}\sim<||f||_{L^{2}}$を示している.

しかし (5) を用いて $\lim_{tarrow\infty}E(t)$ の存在を示すには,(7) のように解$u$に微分がかからない状態を制御する必要がある. (15) と異なり, (7) は 0 がレゾナンスの場合にE5 しない. [277 では, JOst 解を用いて Green 関数を書き下し, non-resonance conditionが成り立つ場合には, (7) が成立することを示した.

4

証明の方針 ([27, 28])
空間 1 次元の場合を説明する.

$v$についての評価は以下の量を用いて閉じることが出来る.

$\mathrm{M}_{1}(T)=\sup_{0\leq t\leq T}|E(t)-E_{*}|$,$\mathrm{M}_{2}(T)=||\langle x\rangle^{-3/2}P_{c}w||_{L_{l}^{\infty}L^{2}(\mathit{0},T)}$$\mathrm{M}_{3}(T)=||P_{d}w||_{L_{x}^{\infty}L^{2}(0,T)}+||\partial_{x}P_{d}w||_{L_{x}^{\infty}L^{2}(\mathit{0},T)}$,,,$\mathrm{M}_{\mathit{4}}(T)=||(L-E. +1)^{1/2}P_{\mathrm{c}}w||_{L^{q}(\mathit{0},T;L_{x}^{2\mathrm{p}})\cap L^{\infty}(\mathit{0},T_{j}L_{x}^{2})}+||P_{\mathrm{c}}w||_{L^{4}(\mathit{0},T;L_{l}^{\infty})}$$\mathrm{M}_{5}(T)=||P_{d}w||_{L^{4}(\mathit{0},T;W_{x}^{1,\infty})\infty(0,\tau;H_{x}^{1})}\cap L$

ただし,

,

$\mathrm{M}_{6}(T)=||\partial_{x}P_{\mathrm{c}}w||_{L_{x}^{\infty}L^{2}(0,T)}$.

$4/q=1-1/P$ とする. 特に,$g_{3}+g_{4}=O(g_{I}+g_{II})$の評価について説明する.

$g_{I}$

方 Lemma 2 において右辺をについては,$V\equiv 0,$$||u_{\mathit{0}}||_{H^{1}}$$||g_{II}||L_{t}^{q_{2}’}L_{x}^{\mathrm{r}_{2}’}(q_{2}, r_{2})=(2, \infty)$の場合と同様に評価できる.

$-$とすることは出来ないので, その代わりに Christ-Kiselev の補題 ([7]) を用いて Lemma 2 と Lemma 4 を組み合わせたものを用いる.

82

Lemma 4 の証明の方針の概略は下記のとおり.

$R(\lambda)=(\lambda-L)^{-1}$とすると,$t\neq 0$,$f\in S$ に対して,$\ovalbox{\tt\small REJECT} e^{-itL}f=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-it\lambda}dE_{ac}(\lambda)f$$= \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-:t\lambda}P_{c}(R(\lambda-i0)-R(\lambda+i0))fd\lambda$

が成り立つ.
$||e^{\dot{*}tL}P_{c}||_{L_{t}^{2}}$$\lambda$.

についての Plancherel の定理 (正確には duality argument を用いる) から,の評価は,$||R(\lambda\pm i\mathit{0})||_{L_{\lambda}^{2}}$の評価に帰着される.

Lemma 8(高周波数帯の評価). Assume$M$ andsuch that$(V\mathit{1})$and$(V\mathit{2})$. Then there exist positive numbers$C$$\sup_{x}||R(\lambda\pm i\mathit{0})u||_{L_{\lambda}^{2}(M,\infty)}\leq C||u||_{L^{2}(\mathrm{R})}$,$\sup_{x}||\partial_{x}(R(\lambda-i0)-R(\lambda+i0))u||_{L_{\lambda}^{2}(M,\infty)}\leq C||u||_{H^{1/2}(\mathrm{R})}$for every$u\in S(\mathbb{R})$.

Lemma 9 (低周波数帯の評価). Assume$\mathit{9}^{iven}$$(V\mathit{1})$and$(V\mathit{2})$in Lemma 8. Then there enists a positive number

$C$

. Let

$M$

such that for every$\sup_{x}||\langle x\rangle^{-3/2}R(\lambda\pm i\mathit{0})u||_{L_{\lambda}^{2}(\mathit{0},M)}\leq C||u||_{L^{2}(\mathrm{R})}$$\sup_{x}||\partial_{x}R(\lambda\pm i\mathit{0})u||_{L_{\lambda}^{2}(0,M)}\leq C||u||_{L^{2}(\mathrm{R})}$

Lemmas 8, 9 におけるし,$||R(\lambda\pm i0)||_{L_{\lambda}^{2}}$be a positive number$u\in S(\mathbb{R})$

,

,

.

の評価は [13] 同様, 基本解を Jost 解を用いて表Deift-Turbowitz[10] による Jost 解の評価を適用する. また Lemma5 は,$\frac{1}{\sqrt{\mathit{2}\pi}i}\int_{-\infty}^{\infty}d\lambda e^{-1t\lambda}\{R(\lambda-i0)+R(\lambda+i0)\}P_{c}(F_{t}^{-1}g)(\lambda, \cdot)$$=2 \int_{\mathit{0}}^{t}dse^{-1(t-*)L}P_{c}g(s, \cdot)+\int_{-\infty}^{\mathit{0}}dse^{-:(t-*)L}P_{\mathrm{c}}g(s, \cdot)-\int_{0}^{\infty}dse^{-:(t-\epsilon)L}P_{\mathrm{c}}g(s, \cdot)$.

を用いて Lemma 4 と同じやり方で証明する.

参考文献-ARTZI AND S. KLAINERMAN, Decay andequation, J. Anal. Math. 58 (1992), 25-37.

[1] M.

$\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{N}$$regular\dot{\tau}ty$

for the Schrodinger

83[2] N. BURQAND

F. PLANCHON, Smoothing and dispersive estimates for 1D

Schrodinger equations with $BV$ coeff cients and applications, J. Funct. Anal. 236(2006), 265-298.

[3] V. S. BUSLAEV AND G. S. PERELMAN, Scattering for the nonlinear Schr\"odinger
equation: States dose to a soliton, St. Petersburg Math. J. 4 (1993), 1111-1142.

[4] V. S. BUSLAEV AND G. S. PERELMAN, On the stability of solitary waves for non-linear Schrodinger equations, Amer. Math. Soc. Transl. 164 (1995), 75-98.
[5] V. S. BUSLAEV AND C. SULEM, On asymptotic stability of solitary waves for non-linear Schrodinger equations, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 20 (2003),

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