オッズ比とオズ比とロジスティック回帰の考え方
立教大学社会学部
山口和範© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

Contents• オッズ(Oddｓ)とは？
• オッズ比(Oddｓ Ratio)• オッズ比の利用の意味• ロジスティック回帰© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

２つの事例からCohort Study

Tumor
developed

Total

not developed

exposed5228202872

not exposed

65043

5049

Case Control Study

Tumor
developed

not developed

exposed66

14

not exposed

27

15

Total

93

29

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オッズとは？
• Oddsp1− p

例：イギリスのBookmakerJapan to win 2006 World Cup : 150 to 1：雨が降るか？ even ( 1 to 1 ) [五分五分]© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

比較研究• 2群比較を例に…

それぞれの母集団からの無作為標本を比較

pA と pB を比較© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

２×２分割表にまとめると
aba+bcdc+dpA と pB を比較© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

事例(1)
Cohort Study

Tumor
developed

Total

not developed

exposed5228202872

not exposed

65043

5049

•発生率：pA=0.01811, pA=0.01811•相対リスクの推定値：15.236•相対リスクの95%信頼区間：[9.91, 23.43]© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

後ろ向き研究• 2種類の結果の人を集めて…

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２×２分割表にまとめるとpA と pB を比較 ??
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オッズ比の必要性
aba+bab(a+b)

cdc+d+dcd( +d)(c+d)

a+cb+dコホート研究の場合

Case-Control研究の場合

右の表の場合、a/(a+b)やc/(c+d)自体は意味がない
よって 相対リスク自体の推定ができない
よって、相対リスク自体の推定ができない© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

オッズ比のマジック
aba+bab(a+b)

cdc+d+dcd( +d)(c+d)

a+cb+d研究の方向(標本の取り方)が違っていても、オッズ比は同じ！！！

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オッズ比のマジック
p11-pp1

1p2

1-p2

1p1 (1 − p2 )(1 − p1 ) p2
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オッズ比のマジック
80

120

200

80

120

1090

100

1090

90
210

04
0.4

06
0.6

18/9

4/7

0.1

0.9

11/9
13/7
1

オ ズ比は両方とも ６
オッズ比は両方とも© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

オッズ比と比率の比較• p1とp2の比較• オッズ比p1p2

p1 (1 − p2 )(1 − p1 ) p2

p1 と p2が０に近ければ、上記の2つの量は、似た値になる© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

事例(2)
Case Control Study

Tumor
developed

not developed

exposed6614

not exposed

2715

Total

9329

•オッズ比の推定値：•オッズ比の95%信頼区間：
オ ズ比
信頼区間

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2.62[[1.69,4.05]]

他の要因を考慮した効果の測定• マンテル・ヘンテェル推定量– 他の要因で層別しても、オッズ比は共通であるという仮定の下で、共通オッズ比を推定• ロジスティック回帰分析
ロジステ ク回帰分析– 複数の要因の効果を調整する方法。回帰分
析に似た分析手法

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マンテル・ヘンテェル推定量
年齢=70以上• 共通オッズ比の推定

ap

bp

cpdp

年齢=30-50
年齢=30以下

a1
c1b1

a2b2

p2

d2…

pd1

∑ a ∑ di∑ b∑ cii =1pi =1© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

piii =1pi =1

ロジスティック回帰分析• 目的は判別分析とほぼ同じ• 正応答確率などを積極的に推定したい場合などに便利（確率の算出において、説明変数の分布の仮定が不必要）• 正応答確率に対する（線形）モデル© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

ロジスティック回帰分析
p (Y = 1) =exp(p( β 0 + β1 x1 + L + β p x p )1 + exp( β 0 + β1 x1 + L + β p x p )p (Y = 1)log= β 0 + β1 x1 + L + β p x p1 − p (Y = 1)回帰係数の推定には、最尤推定法(MLE)が用いられる© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

ロジスティック回帰分析• モデルの適合度の比較– 尤度比検定• 回帰係数の検定やチェック– Wald 検定 ( t 検定と同じようなもの)• 漸近的な性質を利用– オッズ比に直して解釈することもある（exp(β)）© 2010, The Institute of JUSE. All Rights Reserved.

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