数理解析研究所講究録 1434 巻 2005 年 215-223215

エネルギー散逸率の大スケール変動
毛利 英明 (Hideaki Mouri) 1

気象研究所

Meteorological Research Institute同志社大学 高岡正憲 (Masanori Takaoka) 2
Doshisha University

1

はじめに

局所等方乱流に関する Kolmogorov [1] の 1941 年理論では, 小スケールにおける統計が動から一 的に決まると考える. これに対し Landau
粘性係数 と平均エネルギー散逸率[2] は以下のように議論した:$\Leftrightarrow\prime \mathrm{P}_{\backslash }$$\langle\epsilon\rangle$$\iota/$“局所エネルギー散逸率 は, エネルギー保有渦のスケールにおいて空間的に変動する筈. この変動は普遍的でなく, 流れにより異なる. 小スケール統計は変動の影響を受け普遍性を持たない.”$\epsilon$

Landau の議論は小スケールにおける間欠性の予言と看倣されてきた. 1962 年に Kolmogorov [3] が対数正規分布理論を発表した際, 間欠性のアイデアを Landau から得たと記したからである. しかしながら上の議論は大スケール変動に関するものだ, Landau が文献に記録されている以上のことを Kolmogorov に語ったのか, Landau の議論から Kolmogorov
が独自に間欠性のアイデアを得たのかは不明である [4].
エネルギー散逸率の小スケールにおける間欠性は精力的に調べられてきたが [4, 5, 6, 7, 8],

速度相関長を超えるような大スケールにおける変動を調べた例は少数の理論的研究を除いて無い. Oboukhov [9] は変動は常に顕著であると考えた. Kraichnan [10] は変動が何らかの空間的な混合により平滑化されると考えた, 一問的な混合は圧力揺らぎによるエネル

ギー再配分の結果として引き起こされる可能性がある [5]. このようにエネルギー散逸率の大スケール変動に関しコンセンサスは得られていない.
エネルギー散逸率の変動は大スケールにおいて顕著なのだろうか ? 大スケール変動は普遍性を持つのだろうか ? これらの問題を境界層乱流に関する風洞実験から調べよう. 熱線流速計と Taylor 仮説とを用いて, 速度場の 1 次元断面を得る. 平均流に沿っての座標での局所エネルギー散逸率は, 縦速度 あるいは横速度 を用いて
$x$

$v$

$u$

$\epsilon_{u}(x)=15\nu\ovalbox{\tt\small REJECT}\frac{du(x)}{dx}||^{2}$あるいは$\epsilon_{v}(x)=\frac{15\nu}{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}\frac{dv(x)}{dx}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{2}$

.

(1)

の代
これらの局所エネルギー散逸率は, 真の局所エネルギー散逸率
用にすぎないが, 局所等方乱流において正しい平均値を与える, 局所エネルギー散逸率を$\nu\sum_{i,j}(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i})^{2}/2$$1\overline{\mathrm{T}}305- 0052$

2$\overline{\mathrm{T}}610- 0394$

つくば市長峰 気象研究所 (hmouri@mri-jma.go.jp)
京田辺市多々羅都谷 同志社大学工学部 (mtakaoka@mail.doshisha.ac.jp)

2\dagger 8

粗視化して, スケール H こおける散逸率を得る :$\in(r, x)=\frac{1}{r}\int_{-r/2}^{+r/2}\epsilon(x+x’)dx’$(2).

まわりでの工ネ
添字 $u,$ は不必要な場合には省略とする. 平均散逸率の変動を, スケール の関数として調べることにしよう.
ルギー散逸率$\langle\epsilon(r, x)\rangle=\langle\epsilon(x)\rangle$

$v$

$r$

$\epsilon(r, x)$2

最大スケールにおける自明な振舞が乱流の 1 次元断面上で得られているとする. 乱流が 1 次
局所エネルギー散逸率
は元断面に沿って一様ならば, スケール における相関関数$\epsilon(r, x)$$\phi_{\epsilon:}(r)$$r$$\phi_{\epsilon}(r)=\langle[\epsilon(x+r)-\langle\epsilon(x)\rangle][\epsilon(x)-\langle\epsilon(x)\rangle]\rangle$

ここで$\langle\cdot\rangle$

は座標

$x$

.

(3)

に関する空間平均相関長 L。は$\ovalbox{\tt\small REJECT}=\frac{\int_{0}^{\infty}\phi_{\epsilon}(r)dr}{\phi_{\epsilon}(0)}$(4).

より大きいスケールにおいて相関が無視し得ると仮定しよう. つまりにおいて. この仮定は現実乱流の任意の物理量について期待できる, というのは現実乱流は有限の拡がりしか持たないからである.
まわりでのエネルギー散逸率の揺らぎ
を用いれば平均散逸率
相関関数
あるスケール$r_{*}$$r>r_{*}>L_{\epsilon}$$\phi_{\epsilon}(r)/\phi_{\epsilon}(0)\simeq 0$$\langle\epsilon(r, x)\rangle$$\phi_{\epsilon}(r)$$\sigma_{\epsilon}(r)$が得られる:$\sigma_{\epsilon}(r)^{2}=\langle[\epsilon(r, x)-\langle\epsilon(r, x)\rangle]^{2}\rangle=\frac{2}{r^{2}}\int_{0}^{r}(r-r’)\phi_{\epsilon}(r’)dr’$

注目するスケール

$r$

がスケール

$r_{*}$.

(5)より充分に大きい場合に上式 (5) は$\sigma_{\epsilon}(r)^{2}=\frac{2L_{\epsilon}\phi_{\epsilon}(0)}{r}$

(6)

.

を持つ,
つまりエネルギー散逸率の揺らぎはスケーリング
よりの意味を考えよう. 注目するスケー)r がスケー)
スケーリングは迂 の小領域に関する和を用いて表す
充分に大きいとする, エネルギー散逸率$\sigma_{\epsilon}(r)\propto r^{-1/2}$$\triangleright r_{*}$$\sigma_{\epsilon}(r)\propto r^{-1/2}$$\epsilon(r, x)$$r_{*}$

ことができる:$\epsilon(r, x)=\frac{r}{r}*\sum_{n=1}^{r/r_{*}}\epsilon(r_{*}, x_{n})$ただし$x_{n}=x- \frac{r+r}{2}*+$ ユは互いに独立だから,小領域におけるエネルギー散逸率
らぎの 2 乗は. したがってエネルギー散逸率の揺らぎ$\epsilon(r_{*}, x_{n})$$\sum_{n}\sigma_{\epsilon}(r_{*})^{2}$$\sigma_{\epsilon}(r)^{2}=\frac{r_{*}\sigma_{\epsilon}(r_{*})^{2}}{r}$.

$r_{*}$

.

(7)

に関する揺
の 2 乗は$\sum_{n}\epsilon(r_{*}, x_{n})$$\sigma_{\epsilon}(r)$

(8)

217

: Summary of turbulence statistics.
velocity
Mean streamwise
Streamwise velocity fluctuation
Spanwise velocity fluctuation$\text{表}1$$U$$\langle u^{2}\rangle^{1/2}$$\langle v^{2}\rangle^{1/2}$

Streamwise flatness factor
Spanwise flatness factor
Air temperature
Kinematic viscosity
Mean energy dissipation rate
Mean energy dissipation rate
Correlation length (u)Correlation length (v)Correlation length
Correlation length
Taylor microscale$\langle u^{4}\rangle/\langle u^{2}\rangle^{2}$$\langle v^{4}\rangle/\langle v^{2}\rangle^{2}$$\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$$\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$$\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$$\circ \mathrm{c}$$\mathrm{c}\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-1}$$\nu$$(\epsilon_{u})$$\langle\epsilon_{u}\rangle=15\nu\langle(\partial_{x}u)^{2}\rangle$$(\epsilon_{v})$$\langle\epsilon_{v}\rangle=15\nu\langle(\partial_{x}v)^{2}\rangle/2$$\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-3}$$\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}^{-3}$$L_{u},= \int_{0}^{\infty}\phi_{u}(r)dr/\phi_{u}(0)$$L_{v}= \int_{0}^{\infty}\phi_{v}(r)dr/\phi_{v}(0)$$(\epsilon_{u})$$L_{\epsilon_{u}}= \int_{0}^{\infty}\phi_{\epsilon_{u}}(r)dr/\phi_{\epsilon_{u}}(0)$$(\epsilon_{v})$$L_{\epsilon_{v}}= \int_{0}^{\infty}\phi_{\epsilon_{v}}(r)dr/\phi_{\epsilon_{v}}(0)$’$\lambda=[2\langle v^{2}\rangle/\langle(\partial_{x}v)^{2}\rangle]^{1’2}$

Kolmogorov length
Microscale Reynolds number

こうして再びスケーリング

7.05
1.48
1.22
2.71
3.02
14.9-15.9
0.145
5.45
4.05
42.3 cm
5.78 cm
0.970 cm
0.753 cm
0.896 cm
0.0166 cm
756$\eta=(\nu^{3}/\langle\epsilon_{v}\rangle)^{1/4}$${\rm Re}_{\lambda}=\langle v^{2}\rangle^{1/2}\lambda/\nu$$\sigma_{\epsilon}(r)\propto r^{-1/2}$を得る. 導出から明らかなように, このスケーリ

ングは統計的なもので力学的なものではない.
が大きいことから, 中心極限定理を適用すれば,さらに式 (7) における小領域の総数の近傍は平均散逸率が充分に小さい限り, エネルギー散逸率
揺らぎ
で Gauss 分布に従うことがわかる [7].
が大スケールにおいてと Gauss 性は, 物理量
統計的スケーリング
相加的であることを意味する, ある領域における相加的な物理量の値は, 互いに独立な小領域における値の和として表すことができる (式 (7)). 多くの例が統計力学・熱力学で見られるが [11], 対象とするスケールが, 相関が顕著であるようなスケールに比べ, 非常に大
$r/r_{*}$$\epsilon(r, x)$$\sigma_{\epsilon}(r)$$\langle\epsilon(r, x)\rangle$$r\epsilon(r, x)$$\sigma_{\epsilon}(r)\propto r^{-1/2}$

きいからである.

3

風洞実験

気象研究所風洞を用いて実験を行った. 測定部の寸法は流れ方向に 18 , スパン方向に
3 , 高さ方向に 2 . 測定部の床面全体に粗度として煉瓦を置いた. 煉瓦の寸法は流れ方
向に 006 , スパン方向に 021 , 高さ方向に 0.11 . 煉瓦の間隔は 05 . 測定部の入に設定した.
り口での流入速度を 10
流れ方向速度 $U+u$ とスパン方向速度 の時系列を 型熱線風速計を用いて取得した.
. Taylor 仮説により, 平均流に沿った速度. 熱線の間隔は 1
熱線の有効長は L25$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$$\mathrm{X}$$v$$\mathrm{m}\mathrm{m}$$\mathrm{m}\mathrm{m}$218

場の 1 次元断面が得られる .3

測定部の風上端から 125 の場所で測定を行った. この場所で境界層は充分に発達しての高さにあった.
からいた. 99%厚さは 08 . 排除厚さは 02 . 対数則層は
測定位置は床面から 025 で対数則層内にある. スパン方向速度 $v(x)$ の 1 点確率分布
が Gauss 分布での値 3 を取るように, この高さを決めに関する flatness
た. 床面に近すぎると, 粗度の影響を受け flatness は 3 より小さくなる. 床面から遠すぎると外側の層流との境界の変動の影響を受け flatness は 3 より大きくなる. flatness 力 と$\mathrm{m}$$0.15\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$0.35\mathrm{m}$$\mathrm{m}$$\langle v(x)^{4}\rangle/\langle v(x)^{2}\rangle^{2}$$\backslash \backslash \backslash$$3$

なるような中間的な高さでは, 様々な大きさ・強さの渦が乱雑かつ独立に空間を充たしていると考えられる [12].

コンバータを用いた. サンプリング周波数は 30
データ集録には分解能 16-bit ののアナログフィルタを用いて
点. データ集録前に 24. データ長は 3$\mathrm{A}/\mathrm{D}$$\mathrm{x}10^{8}$$\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$$\mathrm{d}\mathrm{B}/\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}$以上の周波数を持つ成分を除去している.
表に乱流の統計諸量を示す. 速度の空間微分は以下のような差分から評価した:$15\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$$\frac{du(x)}{dx}=\frac{\prime u(x+\delta x)-u(x-\delta x)}{2\delta x}$

ここで

(9)

.

はサンプリング間隔. サンプリング間隔が充分に小さいため, 高次の差分項は必$\delta x$

要ない [5].

4

実験結果と考察エネルギー散逸率および関係する物理量の統計を広範囲のスケー)において見ていこう. 充分に長いデータを用いているため, 全スケールにおいて統計は充分に良く . 束して$\triangleright r$$\mathfrak{M}$いる.

図 la に局所エネルギー散逸率$\epsilon_{u}(x),$$\epsilon_{v}(x)$および速度 $u(x),$ $v(x)$ の相関関数と相関長を示す. 速度に関する相関関数と相関長の定義は

,

(10)

.

(11)

$\phi_{u}(r)=\{u(x+r)u(x)\rangle$

および$L_{u}= \frac{\int_{0}^{\infty}\phi_{u}(r)dr}{\phi_{u}(0)}$$\phi_{v}(r)=\langle v(x+r)v(x)\rangle$

および$L_{v}= \frac{\int_{0}^{\infty}\phi_{v}(r)dr}{\phi_{v}(0)}$はエはエネルギー保有渦の最大サイズまで顕著である. 相関長
ネルギー保有渦の平均サイズに相当する. 局所エネルギー散逸率は小スケールに属する物の減衰は早い. しかしながら, これらの相関関数は相理量だから, 相関関数
近くまで顕著である $[6, 8]$ .
関長を示す. 小スケールにおいて大きな値
図 lb こエネルギー散逸率の揺らぎ
近くにおいても揺らぎは平均エネルギー散逸をとるのは間欠性のためである. 相関長

相関関数$\phi_{u}(r),$$L_{u}$$\phi_{v}(r)$$\phi_{\epsilon_{u}}(r),$$\phi_{\epsilon_{v}}(r)$$L_{u}$$\sigma_{\epsilon_{u}}(r),$$\sigma_{\epsilon_{v}}(r)$$L_{u}$

3 流れ方向乱流速度$u$の測定値には, とくに小スケールにおいて, 2 本の熱線に垂直な乱流速度成分が混に基づく結果の方入している. スパン方向乱流速度 の測定値には, このような混入はない, そのためがに基づく結果より信頼できる.
$v$$\partial_{x}u$$\partial_{x}v$219$\vec{\frac{}{q)\iota n\Phi\supset\sim \mathfrak{B}}}$$\hat{\sigma \mathrm{J}}$$\wedge-\neg$$\frac{\mathrm{x}}{\vee}$$\frac{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}1\mathrm{e}(\mathrm{r}\rangle}{\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}l\mathrm{h}}$: Statistics as a function of the scale normalized by the Kolmogorov length .
The
andCorrelation functions
Root-mean-square flucand .
arrows indicate the correlation lengths
The
and
They are respectively normalized by
andtuations
andarrow indicates the Taylor microscale A. (c) Skewness and flatness factors for
andAverages and root-mean-square fluctuations.
.
andcoarse-grained over the scale They are respectively normalized by$r$$\mathrm{H}^{\iota}1$$\phi_{\epsilon_{u}}(r)/\phi_{\epsilon_{u}}(0),$$\phi_{\epsilon_{v}}(r)/\phi_{\epsilon_{v}}(0),$$L_{\epsilon_{u}’\epsilon_{v}}L,$$\sigma_{\epsilon_{u}}(r)$$\eta$$L_{u},$$\phi_{u}(r)/\phi_{u}(0),$$L_{v}$$\phi_{v}(r)/\phi_{v}(0).$$(\mathrm{b})$$\langle\epsilon_{v}(x)\rangle.$$\langle\epsilon_{u}(x)\rangle$$\sigma_{\epsilon_{v}}(r).$$(\mathrm{a})$$\epsilon_{u}(r, x)$$\epsilon_{v}(r, x)$$\mathrm{o}\mathrm{f}-5\delta u^{3}/4r$$(\mathrm{d})$$r.$$15\nu\partial_{r}(\delta u^{2})/2r$$\langle\epsilon_{v}(x)\rangle$$\langle\epsilon_{u}(x)\rangle$

220

四と同程度である $[6, 8]$ . つまり “エネルギ– 逸率の揺らぎはエネルギーのスケールにおいて顕著である” という Landau [2] の議論は正しい. 統計的スケーリングが消滅するスケール, つまりエネ) レギーが始まるのは, 速度相関率$\mathrm{k}^{\mathrm{D}}\text{有}$$\langle\epsilon(x)\rangle$$\phi_{u}(r),$$\sigma_{\epsilon}(r)\propto r^{-1/2}$$\phi_{v}(r)$保有渦の最大サイズ近くからである.
まわりでのエネルギー散逸率
図 lc に平均散逸率$\langle\epsilon(r, x)\rangle$の変動に関する skewness$\epsilon(r, x)$と flatness を示す. これらの定義は

skewnessflatness$= \frac{\langle[\epsilon(r,x)-\langle\epsilon(r,x)\rangle]^{S}\}}{\langle[\epsilon(r,x)-\langle\epsilon(r,x)\rangle]^{2}\rangle^{3/2}}$$= \frac{\langle[\epsilon(r,x)-\langle\epsilon(r,x)\rangle]^{4}\rangle}{\langle[\epsilon(r,x)-\langle\epsilon(r,x)\rangle]^{2}\rangle^{2}}$

(12)

,

(13)

.

小スケールにおいて大きな値をとるのは間欠性のためである. 相関長 より大きいスケー
ルで skewness と flatness は Gauss 分布での値 0 と 3 に近づいていく. 図では明瞭でないが,最大スケールにおいても Gauss 分布での値は厳密には得られていない [7]. 中心極限定理
は Gauss 分布を厳密に与えるものでないからである.
図 ld に K\’arm\’an-Howarth-Kolmogorov 方程式に現れる物理量を示す. この方程式は定常な一様等方乱流の各スケールにおけるエネルギー収支を表す. 具体的な形は$L_{u}$$- \frac{5\langle\delta u(r,x)^{3}\rangle}{4r}+\frac{15\iota\prime}{2r}\frac{d\langle\delta u(r,x)^{2}\rangle}{dr}=\langle\epsilon(x)\rangle$

(14)

.

とエ
局所的なエネルギー伝達率一 5をスケール H こおいて粗視化し, 平均とそのまわりの揺ら
ネルギー散逸率近くまで拡がっている. こぎを計算した. 慣性領域はエネルギー保有渦の平均サイズにほぼ等しい. よりの領域において平均エネルギー伝達率は平均エネルギー散逸率大きいスケールにおいて, 平均エネルギー伝達率は無視し得るが, エネルギー伝達率の揺をが統計的スケーリング
らぎは依然として大きい. エネルギー散逸率の揺らぎを持つようになる大スケールで, エネルギー伝達率の揺らぎも統計的スケーリング
ここで $\delta u(r, x)$ は 2 点間速度差 $u(x+r)-u(x)$ .

$\delta u^{3}/4r$$15\nu\partial_{r}(\delta u^{2})/2r$$L_{u}$$\langle\epsilon(x)\rangle$$r^{-1/2}$$\sigma_{\epsilon}(r)$$r^{-3/2}$持つようになる .4

エネルギー散逸は, エネルギー. カスケードの終端で起こるのだから, 各スケール問のエネルギー伝達に依存する [10]. エネルギー伝達は, 平均的には大スケールから小スケー
ルへの方向に進むが, 揺らぎが大きいことから解るように (図 ), 局所的には大スケール$1\mathrm{d}$から小スケールへとほぼ同じ頻度で小スケールから大スケールへの方向にも起きている.
このエネルギー伝達率の変動がエネルギー散逸率の大スケール変動の原因である. 前者は後者より大きいから (図), 何らかの空間的な混合が働いていると考えられる [10]. し$\mathrm{l}\mathrm{d},\mathrm{b}$かし後者は無視し得ない大きさだから, 空間的な混合は不完全と考えられる [5]. エネル
ギー伝達率の変動は, その原因を個々のエネルギー保有渦に帰することができる. すると

エネルギー散逸率の変動がエネルギー保有渦のスケールにおいて顕著であることが説明できる (図$1\mathrm{b}$). スケール がエネルギー保有渦の最大サイズを超えると, エネルギー保有

4 エネルギー伝達率一

ルギー散逸率$r$の統計的スケーリングは因子も同じ統計的スケーリングを持つ.

$5\delta \mathrm{u}^{3}/4r$$15\nu\partial_{r}(\delta u^{2})/2r$$r^{-1}$のため $r^{-1/2}$ でなく $r^{-3/2}$ となる. エネ

221$\sim|_{\mathrm{E}}^{\frac{\Phi}{.\tilde\underline{\circ\subset\underline{\alpha}}}}\check{\mathrm{t}}-\hat{\underline{\underline{\mathrm{x}}_{-}\emptyset \mathrm{E}\omega^{>}}}.\cdot\frac{\alpha}{}\varpi \mathrm{c}\alpha\Phi\frac{vu\}}{\dot{\mathfrak{D}}}$,$\frac{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}1\mathrm{e}(\mathrm{r}\}}{\mathrm{c}o\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}1\mathrm{a}\mathrm{t}|\mathrm{o}\mathrm{n}1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}(\mathrm{L}_{\mathrm{u}})}$

for boundary-layer turbulence as a function of.
. The abscissa is normalized by
the scale . The ordinate is normalized byat $r=L_{u}$ .
The inset shows the dependence on the microscale Reynolds number

IN 2: Root-mean-square fluctuation$\sigma_{\epsilon_{v}}(r)$$L_{u}$$\langle\epsilon_{v}(x)\rangle$$r$${\rm Re}_{\lambda}$

渦の乱雑かつ独立な空間分布を反映して, エネルギー伝達率の変動とエネルギー散逸率の). またエネルギー散逸率の変動は
変動は統計的スケーリング $r^{-3/2},$ $r^{-1/2}$ を持つ (図Gauss 分布に近づいていく (図 Ic).のレイノルズ数依存性を示す. 今回の実験結果
図 2 にエネルギー散逸率の揺らぎを気象研究所風洞における過去の実験結果 [13] と比較している. 今回と同じ粗面上で生成. 測定された境界層乱流の対数則層において得られた結果である. 流入速度は 2-20$\mathrm{l}\mathrm{d},\mathrm{b}$$\sigma_{\epsilon_{v}}(r)$$\mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}$

位置は今回と同じく測定部の風上端から 125 . 測定高度を今回と同じくスパン方向速度
はが Gauss 分布での値 3 を取るように決めた. 相関長五 ’の flatness
は 295 から 1258 の範囲
今回の実験結果とほぼ同じであった. 微分特性長レイノルズ数にあった.. レイノルズ数の違いに関わらず, 全ての場合で, 相関長 L、におけるエネルギーと同程度である. 詳細に見ると, レイノルズは平均散逸率
散逸率の揺らぎが小さい傾向にある. しかしながら, レイノルズ数
数が高いほど揺らぎ
が平均におけるエネルギー散逸率の揺らぎの大気境界層乱流において, 相関長と同程度であることが報告されている [8]. 上記の傾向は非常に高いレイノ
散逸率で存在しないか無視し得ると考えられる. 傾向の原因としてエネル
ルズ数
ギー. カスケードに際しての空間的な混合が挙げられよう. カスケードの深さや所要時間
はレイノルズ数が高いほど大きいが, レイノルズ数が非常に高い場合には顕著でない .5$\mathrm{m}$$L_{v}$$\langle v(x)^{4}\rangle/\langle v(x)^{2}\rangle^{2}$$u$${\rm Re}_{\lambda}$$\sigma_{\epsilon_{v}}(r)$$\langle\epsilon_{v}(x)\rangle$${\rm Re}_{\lambda}=9000$$\sigma_{\epsilon_{v}}(r)$$L_{u}$$\sigma_{\epsilon_{y}}(r)$$\langle\epsilon_{u}(x)\rangle$${\rm Re}_{\lambda}>>1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$

5 傾向の原因が測定にある可能性は否定できない. とくに高レイノルズ数において, コルモゴロフ長
プローブのサイズに比べ非常に小さい.

$\eta$

は

222

5

まとめ

境界層乱流に関する風洞実験から, ‘\mbox{\boldmath $\zeta$}エネルギー散逸率の変動はエネルギー保有渦のスケールにおいて顕著である’) という Landau [2] の議論を確認した. この変動は個々のエネ

ルギー保有渦が引き起こすエネルギー伝達率の変動に因る. エネルギー散逸率の変動は空間的な混合により平滑化されているが [10], その効果は完全なものでない [5]. 厳密には,Landau が議論したように, エネルギー散逸率の変動は普遍的でない. しかしながら, レイ
は平均エネルギー散逸率における揺らぎ
ノルズ数の値に関わらず, 相関長と常に同程度である.
エネルギー散逸率やエネルギー伝達率の大スケール変動は Kolmogorov [1] が考察したには重小スケール統計量, すなわち各スケールでの平均エネルギー$\langle\epsilon(x)\rangle$$\sigma_{\epsilon}(r)$$L_{u}$$\langle\delta u(r, x)^{2}\rangle,$

要でない.

$\langle\delta v(r, x)^{2}\rangle$

平均エネルギーは平均エネルギー伝達率と平均エネルギー散逸率により決まるが, 局所値の顕著な変動に関わらず, 平均エネルギー伝達率と平均エネルギー散逸率はK\’arm\’an-Howarth-Kolmogorov 方程式 (14) を充たしているからである. 実際慣性領域には普遍的な値を持つことが知られている
おける Kolmogorov 定数 {$\delta u(r, x)^{2}\rangle/(r\langle\epsilon(x)\rangle)^{2/3}$[14].

エネルギー散逸率やエネルギー伝達率の大スケール変動は高次の小スケール統計量, 例
えば$\langle\delta u(r, x)^{n}\rangle(n\geq 4)$や$\langle\epsilon(r, x)^{n}\rangle(n\geq 2)$, に重要である. これらの統計量は$\delta u(r, x)$

や

の局所値は
や
の空間分布に鋭敏である. そして小スケールにおける
速度 $u(x)$ の局所値に依存することが知られている $[15, 16]$ . 後者は大スケール変動を引き$\delta u(r, x)$$\epsilon(r, x)$$\epsilon(r, x)$

起こすエネルギー保有渦を特徴づける量である. エネルギー散逸率の大スケール変動は厳
密には普遍的でないから, Landau [2] の議論は高次の小スケール統計量を取り扱う際には充分に考慮する必要があると結論できる.

謝辞: 本研究は科研費 $(\mathrm{B}2)14340138$ および同志社大学研究促進基金の一部助成を受けた.

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頁脚注[3] A. N. Kolmogorov, J. Fluid Mech. 13, 82 (1962).

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