数理解析研究所講究録
第 1982 巻 2016 年 1-7

1

ダグラス環における割り算問題について

日本大学薬学部

Hardy spaces

1$H^{p}$and, II

丹羽典朗 (Norio NIWA)$H^{\infty}$複素平面の単位開円板を $D$ , 単位円周を$H(D)$ とする$I$$\partial D$とする．また， $D$ 上の正則関数全体の集合を:$D:=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$$\partial D:=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$$H(D):=$ { $f$ :$f$is analytic in$D$}$0<p<\infty$ とする．

$H^{p}:= \{f\in H(D):\Vert f\Vert_{p}:=\sup_{r<1}(\int_{0}^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^{p}\frac{d\theta}{2\pi})^{\frac{1}{p}}<\infty\}$$H^{\infty}:= \{f\in H(D):\Vert f\Vert_{\infty}:=\sup_{z\in D}|f(z)|<\infty\}$$H^{p},$$H^{\infty}$に$(f+g)(z):=f(z)+g(z)$: pointwise addition$(z\in D)$(1)$(\alpha f)(z):=\alpha\cdot f(z) (z\in D, \alpha\in \mathbb{C})$はそれぞれ線形空間となる．
により和とスカラー倍を定める事で，はは完備距離空間となる．
において距離を定め，$0<p<1$ のとき，$1\leq p<\infty$ のとき，はは Banach 空間となる．
においてノルムを定め，はは Banach 空間となる．さらににおいてノルムを定め，$H^{p},$$\Vert f\Vert_{p}^{p}$$\Vert f\Vert_{p}$$\Vert f\Vert_{\infty}$$H^{p}$$H^{p}$$H^{p}$$H^{\infty}$$(f_{9})(z)$$H^{\infty}$$H^{p}$$H^{\infty}$$:=f(z)\cdot g(z)$により積を定めると，$(z\in D)$$\Vert fg\Vert_{\infty}\leq\Vert f\Vert_{\infty}\Vert g\Vert_{\infty}$

を Banach 空間: pointwise multiplication
を満たし，$H^{\infty}$(2)は Banach algebra となる．

上の有界線形汎関数全体の集合とする．
上の (nonzero な) 乗法的有界線形汎関数全体の集合とする．
を-topology を入れる事により， $M(H^{\infty})$ は compact Hausdorﬀ 空間になる．
$M(H^{\infty})$ をの極大イデアル空間と呼ぶ．それは，『乗法的有界線形汎関数 $m\in M(H^{\infty})$の $kernel\Delta$ と『Banach algebraの極大イデア) 』 とが 1 対 1 に対応する事による．
$(H^{\infty})^{*}$$H^{\infty}$$M(H^{\infty})(\subset(H^{\infty})^{*})$の dual space,

つまり，$H^{\infty}$$\Lambda I(H^{\infty})\uparrow_{arrow}’weak_{-}^{*}$$H^{\infty}$$H^{\infty}$$\triangleright$$H^{\infty}$2$f(m):=m(f) , f\in H^{\infty}, m\in M(H^{\infty})$ ,と定めると，$\hat{f}$は $M(H^{\infty})$ 上の連続関数となる．

$H^{\infty}\ni farrow\hat{f}\in C(M(H^{\infty}))$この.

homomorphism を Gelfand 変換という．また，$\hat{f}\in C(M(H^{\infty}))$$H^{\infty}$と $f\in H^{\infty}$ とを同一視し，-関数 $f$ への $D$ の点$z$$\hat{f}$$\hat{f}$の事を $f$ の Gelfand 変換ともいう．

を単に $f$ と表す事にする．の代入$H^{\infty}\ni farrow f(z)\in \mathbb{C}$上の乗法的有は，(1) のように各点ごとに和，(2) のように各点ごとに積を定める事で，界線形汎関数と見なす事ができる．つまり， $D\subset M(H^{\infty})$ である．そこで，次のような問題$H^{\infty}$が生じた :$D$は $M(H^{\infty})$ において dense であるか？

この問題は長年未解決であったが，1962 年，Lennart Carleson により肯定的に解決された([2]). つまり， $D$ は $M(H^{\infty})$ において dense である．これを Carleson’s Corona Theorem という．

2Singular inner function$f\in H^{p}(0<p\leq\infty)$ ならば，$d\theta$についてほとんどいたる$e^{i\theta}\in\partial D$に対して$\lim_{zarrow e^{i\theta}}f(z)$(nontangentially) が存在する．
$f^{*}(e^{i\theta}):= \lim_{zarrow e^{i\theta}}f(z)$とおく．これにより，た関数$f^{*}$$\partial D$上のほとんどいたるところ (almost everywhere, a.e.) で定義されが得られるが，$f(z)= \int_{\partial D}\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z}f^{*}(e^{i\theta})\frac{d\theta}{2\pi}$

によって， $D$ 上の関数 $f(z)$ を取り戻す事ができる．よって，$f^{*}$と $f$ を同一視する事にし，単に $f$ と表す事にする．まとめると， $f\in H^{\infty}(D)$ と $f^{*}\in H^{\infty}(\partial D)$ と $\hat{f}\in C(M(H^{\infty}))$ を同一視する．
$\psi\in H^{\infty}$

かつ $|\psi(e^{i\theta})|=1$ a.e.

$e^{i\theta}\in\partial D$を満たすとき，$\psi$を inner function という．

3$(0\neq)f\in H^{p}(0<p\leq\infty)$とする． $f$ は無限個の零点を持つと仮定する． $f$ の零点列をとすると， $\sum_{n=1}^{\infty}(1-|z_{n}|)<\infty$ を満たす．これを Blaschke condition という．
が Blaschke condition を満たすとき，次の関数 $b(z)$ を定義する事ができる．

$\{z_{n}\}_{n}$$\{z_{n}\}_{n}$$b(z)= \prod_{n=1}^{\infty}\frac{z_{n}}{|z_{n}|}\frac{z_{n}-z}{1-\overline{z}_{n^{Z}}}$$b(z)$

は$\{z_{n}\}_{n}$を零点列として持つ．

は inner function である．

$b$$b\in H^{\infty}$

かつ $|b(e^{i\theta})|=1a.e.$$e^{i\theta}\in\partial D$を満たすので，$b$を Blaschke product という．

$F( z)=\exp(\int_{\partial D}\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z}\log|f(e^{i\theta})|\frac{d\theta}{2\pi})$$F\in H^{p}$である． $F$ を outer function という．( $F$ を $f$ の outer part という．)$\psi_{\mu}(z)=\exp(-\int_{\partial D}\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z}d\mu(\theta))$

ここで，という．

$\mu\perp d\theta$である．つまり，$\psi_{\mu}\in H^{\infty}$$\mu$とかつ $|\psi_{\mu}(e^{i\theta})|=1$

は mutually singular である． を singular measureは inner function であを満たすので，a.e.
$d\theta$$\mu$$e^{i\theta}\in\partial D$$\psi_{\mu}$を singular inner function という．
任意の $f\in H^{p}$ は，一般に， $f=Cb\psi_{\mu}F(C\in \mathbb{C}, |C|=1)$ と因数分解する事ができる．

る．

$\psi_{\mu}$$月$

3Douglas algebraは Banach algebraとする．
上の本質的有界な可測関数全体の集合をである．の極大イデアル空間をより， $M(H^{\infty})\supset M(L^{\infty})$とすると，の特徴づけを与である．次の結果が知られている．この結果は，inner function と$\partial D$$L^{\infty}:=L^{\infty}(\partial D)$$L^{\infty}$$L^{\infty}$$H^{\infty}\subset L^{\infty}$$M(L^{\infty})$$M(L^{\infty})$

えている．

Theorem 1 ([6]) $m$ を$H^{\infty}$の complex homomorphism とする．そのとき，次の条件は同値である．の境界にある．
(i) $m$ は(ii) $m$ は，の complex homomorphism の(iii) $|\psi(m)|=1$ for every inner functions(iv) $|b(m)|=1$ for every Blaschke products(v) $\psi(m)\neq 0$ for every inner functions(vi) $b(m)\neq 0$ for every Blaschke products$H^{\infty}$$\check{S}ilov$$L^{\infty}$$H^{\infty}$への制限である．

$\psi.$$b.$$\psi.$$b.$

つまり，任意の inner function$H^{\infty}$と$L^{\infty}$である．
に対して， $|\psi|=1$ onの間の uniformly closed subalgebra を Douglas algebra という．
$\psi$$H^{\infty}+C:=\{f+g:f\in H^{\infty}(\partial D), g\in C(\partial D)\}$$M(L^{\infty})$4とを真に含む最小の Douglas algebra である．
で生成される closed$H^{\infty}+C=[H^{\infty},:]$をと表す事にする．
subalgebraである．ここで， は座標関数$H^{\infty}+C$はを表し，の複素共役を表す．の極大イデアル空間を $M(H^{\infty}+C)$ とすると，は$H^{\infty}$$H^{\infty}$$A(\subset L^{\infty})$$[H^{\infty}, A]$$\overline{z}$

$z$

$z$

$M(H^{\infty}+C)=M(H^{\infty})\backslash D$

を $M(H^{\infty})$ のである事が知られている． $M_{e^{i\theta}}:=\{m\in M(H^{\infty}):z(m)=e^{i\theta}\}$上の fiber という．

$e^{i\theta}$$M(H^{\infty}) \backslash D=\bigcup_{e^{i\theta}\in\partial D}M_{e^{i\theta}}$である．

次の事が知られている．

Theorem 2 ([6])$f\in H^{\infty}$

分条件は， $f$ が $D$ から$f\in H^{\infty}$$\{e^{i\theta}\}$上で constant であるための必要十(の Gelfand 変換 f) がへ連続的に拡張できる事である．
$M_{e^{i\theta}}$とする．簡単のため$\{|f|<1\}:=\{m\in M(H^{\infty}):|f(m)|<1\}$$Z(f) :=\{m\in M(H^{\infty}):f(m)=0\}$

とおく．

$\psi_{\mu}(z)=\exp(-\int_{\partial D}\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z}d\mu(e^{i\theta}))$.

はへ解析的に拡張する事ができとすると，は $D$ から $S(\mu)$ のどの点へも連続的に拡張する事はできない．上の結果
る．一方，の上で $|\psi_{\mu}|=1$ であり，集合および $\{|\psi_{\mu}|<1\}$と組み合わせると，$\mu$の closed support set を$S(\mu)$$\psi_{\mu}(z)$$\mathbb{C}\backslash S(\mu)$$|\psi_{\mu}(z)|$$Z(\psi_{\mu})$$\bigcup_{e^{i\theta}\in\partial D\backslash S(\mu)}M_{e^{i\theta}}$は$\bigcup_{e^{i\theta}\in S(\mu)}M_{e^{\mathfrak{i}\theta}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$|\psi_{\mu}|=1$

こ含まれる :

on$\bigcup_{e^{i\theta}\in\partial D\backslash S(\mu)}M_{e^{i\theta}}$$Z( \psi_{\mu}) , \{|\psi_{\mu}|<1\}\subset\bigcup_{e^{i\theta}\in S(\mu)}M_{e^{i\theta}}$$b(z)= \prod_{n=1}^{\infty}\frac{z_{n}}{|z_{n}|}\frac{z_{n}-z}{1-\overline{z}_{n}z}.$$\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty}$の accumulation points の集合をする事ができる．一方， $|b(z)|$ は上と同様に，$|b|=1$on$D$$\bigcup_{e^{i\theta}\in\partial D\backslash S(b)}M_{e^{i\theta}}$$Z(b) , \{|b|<1\}\subset\bigcup_{e^{i\theta}\in S(b)}M_{e^{i\theta}}$である．

からとすると， $b(z)$ はへ解析的に拡張のどの点へも連続的に拡張する事はできない．

$S(b)$$S(b)$$\mathbb{C}\backslash S(b)$5Douglas algebra における割り算に関する結果と問題

4

Douglas algebra における割り算に関する結果をいくつか紹介する．
を Douglas algebra, $M(A)$ を の極大イデア) 空間とする．さらに， $f\in A$ とし， を interpolating Blaschke product とする．そのとき， $\{m\in$Theorem 3 (Axler-Gorkin, [1])

$A$

$A$

$\triangleright$$b$: $b(m)=0\}\subset\{m\in M(A): f(m)=0\}$ が成り立つならば，$M(A)$$\frac{f}{b}\in A$である．

Theorem 4 (Axler-Gorkin, [1])を Douglas algebra, $M(A)$ を の極大イデア) 空間とする．さらに， $f\in A$ とし， を interpolating Blaschke products の finite product とする．
$A$

$A$

$\triangleright$$b$

そのとき， $M(A)$ において $|f|\leq|b|$ が成り立つならば$\frac{f}{b}\in A$である．

が interpolating Blaschke product の場合， $M(A)$ における零点集合の包含関係からにおける割り算可能性が導かれる．それに対して， が interpolating Blaschke products のfinite product の場合， $M(A)$ における零点集合の包含関係の情報のみでは割り算可能性を導く事はできず， $M(A)$ における不等式から割り算可能性が導かれる．
$b$

$A$

$b$

$H^{\infty}$を含む最小の Douglas algebra $H^{\infty}+C$ における割り算に関する結果は，次の通りである．

Theorem 5 (Guillory-Sarason, [5])$\psi$

を inner function,$f\in H^{\infty}$とする．そのとき，次の条件は同値である．

(i)$\frac{f}{\psi^{n}}\in H^{\infty}+C$(ii) $f(1-|\psi|)=0$(iii)

for every positive integer$n$

on $M(H^{\infty}+C)$$\lim_{|z|arrow 1}f(z)(1-|\psi(z)|)=0$

Theorem 6 (Guillory-Sarason, [5]) 任意の inner function に対して，Blaschke productが存在して， と は $H^{\infty}+C$ において codivisible である．つまり，任意の inner function$\psi$$b$$\psi$$\psi$$b$に対して，Blaschke product$b$が存在して，$\frac{\psi}{b}\in H^{\infty}+C,$$\frac{b}{\psi}\in H^{\infty}+C$を満たすようにできる．

$b$と$\psi$は inner function なので$\frac{\psi}{b}\in H^{\infty}+C,$$\frac{b}{\psi}\in H^{\infty}+C$を$\psi\overline{b}\in H^{\infty}+C,$と表す事ができる．また， $QC:=(H^{\infty}+C)\cap(H^{\infty}+C)$ とおくと，$\psi\overline{b}\in QC$$b\overline{\psi}\in H^{\infty}+C$と表す事ができる．

上の定理から分かるように，$H^{\infty}+C$ における割り算可能性を考察するには，$Z(f)$ , $\{|f|<1\}$という集合が重要である事が分かる．
さて，ここで，この RIMS 共同研究のテーマである Guillory-Sarason の問題を述べておこう．

6
Guillory-Sarason の問題在するか？つまり，$H^{\infty}+C$$\frac{\psi_{\nu}}{\psi_{\mu}}$を満たす singular inner functions$\frac{\psi_{\mu}}{\psi_{\nu}}\in H^{\infty}+C$$\frac{\psi_{\nu}}{\psi_{\mu}}\in H^{\infty}+C,$は存在するか？ただし，において codivisible な singular inner functions は存$\psi_{\mu},$$\psi_{\nu}$は定数関数ではない．

関連する結果5

singular inner function を定義する事のできる singular measure 全体の集合を碕とする．
$M_{s}^{+}:=$$\mu\in M_{s}^{+}$

:

$\mu$

is finite positive,}$\mu\perp d\theta$

$:=$

{

$\nu\in M_{s}^{+}$

:

$\nu$

is absolutely continuous with respect toを満たすに対して，は outer vanishing measure を持つという．

Definition 1$\mu$$\mu$に対して，$L_{+}^{1}(\mu)$

き，{$\{|\psi_{\mu}|<1\}\subset Z(\psi_{\sigma})$$\mu\in M_{s}^{+}$

次の定理は，2 つの singular inner functions
るために

$\mu$

$\psi_{\nu}$$\psi_{\mu},$$\mu,$$\nu\neq 0$$\sigma\in L_{+}^{1}(\mu)$}が存在するとが $H^{\infty}+C$ において codivisible となが満たすべき条件を与えており，Guillory-Sarason の問題にアタックする際の手がかりになると思われる．

Theorem 7 (Izuchi, [8])において codivisible となるような$\mu\in M_{s}^{+}$

が $H^{\infty}+C$ととする．もし，であり，かつ，が存在するならば， は outer vanishing measure$\mu\perp\nu$$\nu\in M_{S}^{+}$$\psi_{\mu}$$\psi_{\nu}$$\mu$を持つ．

1999 年頃，泉池と丹羽は，singular inner function
び，それらの集合の$\nu\in L_{+}^{1}(\mu)$に関する和集合$b$$\mu\in M_{s}^{+}$

に対して，,$\bigcup_{\nu\in L_{+}^{1}(\mu)}Z(\psi_{\nu})$て詳しく調べた．
以下は， $S(\mu)=\partial D$ を満たす singular measure

Theorem 8 (Izuchi-Niwa, [9])の Blaschke productに対して，$\psi_{\mu}$$\mu$$Z(\psi_{\mu})$, $\{|\psi_{\mu}|<1\}$ , およ$\bigcup_{\nu\in L_{+}^{1}(\mu)}\{|\psi_{\nu}|<1\}$についに関する結果である．

は $S(\mu)=\partial D$ を満たすとする．そのとき，任意$\nu\in L_{1}^{+}(\mu)$が存在して， $\{|b|<1\}\subset Z(\psi_{\nu})$ を満たすようにできる．

Guillory-Sarason の定理より， $\{|b|<1\}\subset Z(\psi_{\nu})$ を満たす$\frac{\psi_{\nu}}{b^{n}}\in H^{\infty}+C$

for every positive integer$\psi_{\nu}$と$b$に対して，$n$である事が分かる．

Corollary 1$\nu\in L_{+}^{1}(\mu)$$\mu\in M_{s}^{+}$

は $S(\mu)=\partial D$を満たすとする．そのとき，が存在して， $\psi_{\nu}f\in H^{\infty}+C$ を満たす．

$f\in L^{\infty}(\partial D)$に対して，

7
Theorem 9 (Izuchi-Niwa, [9])$\mu\in M_{s}^{+}$とする．そのとき，次の条件は同値である．

(i) $S(\mu)=\partial D.$$Z(\psi_{\nu})=M(H^{\infty})\backslash (D\cup M(L^{\infty}))$ .
(ii)$\cup$$\nu\in L_{+}^{1}(\mu)$

(iii)

(iv)

$\bigcup_{v\in L_{+}^{1}(\mu)}\{|\psi_{\nu}|<1\}=M(H^{\infty})\backslash (D\cupM(L^{\infty}))$.

$L^{\infty}=[H^{\infty}, \{\overline{\psi_{\nu}}:\nu\in L_{+}^{1}(\mu)\}].$

参考文献[1] S. Axler and P.Gorkin, Divisibility in Douglas algebras, Michigan Math. J., 31 (1984),89-94.
[2] L. Carleson, Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem, Ann.
of Math., 76 (1962), 547-559.
[3] J. Garnett, Bounded Analytic Functions, Academic Press, New York, 1981.
[4] P. Gorkin, Singular functions and division in $H^{\infty}+C$ , Proc. Amer. Math. Soc. 92 (1984),
268-270.
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[6] K. Hoﬀman, Banach spaces of analytic functions, Prentice Hall, Englewood Cliﬀs, NewJersey, 1962.
[7] Kei-Ji Izuchi, Singular inner functions of$L^{1}$-type II, J. Math. Soc. Janpan, 53 (2001),285-305.
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Iberoamericana, 18 (2002), 511-540.

[9] Kei-Ji Izuchi and N. Niwa, Singular inner functions of(1999), 787-811.

Research Oﬃce of Mathematics
School of Pharmacy
Nihon University
Narashinodai 7-7-1, Funabashi, Chiba 274-8555
JAPAN
$E$

-mail address : niwa.norio@nihon-u.ac.jp$L^{1}$-type, J. Korean Math. Soc. 36