数理解析研究所講究録
第 1563 巻 2007 年 157-161

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The zero modes and zero resonancesof Dirac operators
アラバマ大学バーミンガム校数学科

斉藤義実 (Yoshimi Sait\={o})Department of Mathematics, University of Alabama at Birmingham
兵庫県立大学物質理学研究科 楳田登美男 (Tomio Umeda)

Graduate School of Material Science, University of Hyogo

1

序
つぎのような作用素を考察します :$H=\alpha\cdot D+Q(x)$

ここで $D=-\dot{j}\nabla_{x}$ であり,$\alpha=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$は Dirac 行列$\alpha_{j}=(\begin{array}{ll}0 \sigma_{j}\sigma_{j} 0\end{array})$

ただし

$0$

は $2\cross 2$ の零行列、$\sigma_{j}$(1)$(j=1,2,3)$ ,は Pauli 行列$\sigma_{1}=(\begin{array}{ll}0 11 0\end{array})$$\sigma_{2}=(\begin{array}{l}0-ii0\end{array})$$\sigma_{3}=(\begin{array}{l}0l0-1\end{array})$

また $Q(x)$ は 4 $x4$ のエルミート行列に値を取る関数であって, 下記の仮定 (A) を満たすものとします.

仮定 (A)$Q(x)$の各成分 $qjk(x)(j, k=1, \cdots 4)$ は可測関数であって,$|q_{jk}(x)|\leq C\langle x\rangle^{-\rho}$$(\rho>1)$

(2)

を満たす.
作用素 (1) は電磁場のポテンシャルを持つ Dirac 作用素$\alpha\cdot(D-A(x))+q(x)I_{4}$(3)158の一般化と見ることが出来ます。実際, (3) において $Q(x)=-\alpha\cdot A(x)+q(x)I_{4}$ と取ればよい. したがって, 作用素 (1) は質量がゼロの Dirac 作用素を念頭においたものであることを注意しておきます。 (3) において, とくに $q(x)\equiv 0$ の場合は$\alpha\cdot(D-A(x))=(\begin{array}{ll}0 \sigma\cdot(D-A(x))\sigma\cdot(D-A(x)) 0\end{array})$となります. ここに現れた作用素 $\sigma\cdot(D-A(x))$ は Balinsky-Evans [6] において Weyl-Dirac 作用素と呼ばれています. 2 成分のベクトル値関数に作用する Dirac 作用素である, というような意
味でこのような呼称を用いていると思われます.
作用素 (1) は “variable mass” の Dirac 作用素(4)$\alpha\cdot D+m(x)\beta+q(x)I_{4}$の一般化と見ることも出来ます. ここで$\beta$は$\beta=(\begin{array}{ll}I_{2} 00 -I_{2}\end{array})$です. 作用素 (4) のスペクトル的性質について近年盛んに研究が行われました. Kalf-Yamada [15],$Kalf-Okaji-Yamada[16]$ , Schmidt-Yamada [22], Pladdy [18], Yamada [23] を御覧下さい.

2

主結果(1) で与えられた形式的作用素 $H$ は定義域を(5)$Dom(H)=\mathcal{H}^{1}:=[H^{1}(\mathbb{R}^{3})]^{4}$と取ることにより,$\mathcal{L}^{2}:=[L^{2}(\mathbb{R}^{3})]^{4}$における自己共役作用素になります。以後, これを再び $H$ と書くことにします. ただし (5) において後で必要になりますので, 重み付き$L^{2,s}(\mathbb{R}^{3})$と定め, さらに定義$f$$H^{1}(\mathbb{R}^{3})$$L^{2}$

空間を導入しておきます :$:= \{u|\Vert u\Vert_{L^{2}}^{2},.

$\mathcal{L}^{2,s}:=[L^{2}’{}^{t}(\mathbb{R}^{3})]^{4},$は 1 階のソボレフ空間を表します.

$\mathcal{L}^{2}:=\mathcal{L}^{2,0}$:=\int_{R^{S}}\langle x\rangle^{2s}|u(x)|^{2}dx<+\infty\}$(6)と表すことにします.

が作用素 $H$ のゼロ. モードであるとは, $f\in Dom(H)\backslash \{0\}$ であって, かつ $Hf=0$ を満たすことを言う. $f$ が作用素 $H$ のゼロ. レゾナンスであるとは,て, 超関数の意味で $Hf=0$ を満たすことを言う.

$f\in \mathcal{L}^{2,-\iota}\backslash \mathcal{L}^{2}(\exists s>0)$であっ159
ゼロレゾナンスの定義は論文によりまちまちですが, 共通理解としては 「けれども,$\mathcal{L}^{2}$$\mathcal{L}^{2}$には属さないより少し大きな関数空間には属す関数 $f$ で, $Hf=0$ を超関数の意味で満たすもの」と言えば大きな間違いにならないと思います。 このような事情を考慮して, 以下では$\rho>\frac{3}{2}$$0<s \leq\min\{\frac{3}{2}, \rho-1\}$を満たす場合にのみゼロレゾナンスを考察することにします。
Weyl-Dirac 作用素がゼロモードを持つようなベクトルポテンシャル $A(x)$ を構成した最初の仕事は Loss-Yau [17] です. 磁場が作用するクーロン系の安定性の問題において, Weyl-Dirac作用素がゼロ. モードをもつようなベクトル・ポテンシャルの存在, 非存在が鍵となることを明らかにした論文恥\"ohlich-Lieb Loss [14] とともに, 論文 [17] は (3 次元の) ゼロ・モードのその後の研究の端緒を切り開いた, と言う意味で非常に重要な仕事だと思います.
参考までに, Loss-Yau [17] 以後のゼロ・モードに関する仕事を私達の知り得た範囲で列挙しま
す : Adam-Muratori-Nash [1], [2], [3], Balinsky-Evans [5], [6], [7], Bugliaro-Fefferman-Graf [8],Elton [9], Erd\"os-Solovej [10], [11], [12].

ここまで 3 次元に限って述べてきましたが, ゼロ・モードの研究は 2 次元の場合が先行していました:Aharonov-Casher [4]. この論文で既にゼロモードという用語が使われています.

中で $zere\succ energy$ eigenstates という用語も使用されているのですが )
$!$

$2$

(同じ論文の次元のゼロモードの研究

で, 比較的最近のものとしては Erd\"os-Vougalter [ $13|$ , Persson [19], Rozenblum-Shirokov [20] があ落としがあるかもしれないことをお断りしておきます) すでに挙げた Balinsky-Eva$ります.

[6], [7] では 2 次元の場合も考察しています.
さて, 話題を 3 次元の場合に戻して, 主結果を述べます.

定理 1$\rho>1$数であって,とし, $f$ をディラック作用素 (1) のゼロ・モードとする. このとき, $f$ は連続関$|f(x)|\leq C\langle x\rangle^{-2}$を満たす.

注意 1 Loss-Yau [$17J$ で構成されたベクトル・ポテンシャル $A(x)$ , ゼロ. モード $f(x)$ はともに$|x|arrow\infty$のとき $O(|x|^{-2})$ です. したがって, 定理 1 は (少なくとも $1<\rho\leq 2$ の場合には) 最良の減衰評価を与えています.
定理 2$\rho>3/2$とし, $f$ をディラック作用素 (1) のゼロ. レゾナンスとすると$f\in \mathcal{H}^{1}$

この定理により, 先に述べた意味でのゼロ. レゾナンスは存在しないことが解ります.

証明の要点は定理 1, 2 ともに次の関係式を導くことにあります :$f=-TQf$ ,.

160
ここで $T$ はベクトル値関数 $f={}^{t}(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4})$ に作用する特異積分作用素$Tf(x)$ $:= \int_{R^{3}}\frac{i\alpha\cdot(x-y)}{4\pi|x-y|^{3}}f(y)dy$.

証明の詳細は Sait\={o}-Umeda[21] を御覧下さい.

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