テキスト P1-8
基礎数理 AI(第 1 回 2021 年 6 月 11 日)
一般的注意. 新型コロナウイルス感染対策として, 本授業は遠隔で開講する. 基本的には, このノートとテキストを読んで, ほぼ毎回の小レポートの提出 (計 60 点満点), および中間・期末レポート (各 20 点満点) で評価する. また, Zoom を使った授業映像の配信を行うが, ネットワーク環境を持たない受講者に不利にならないように, ノートとテキストを読むだけで完結するように配慮する. なお, 遠隔授業の前にノートとテキストを読み込んでいることを前提とする. 何も準備せずに聴講しても, 恐らく意味が分からないであろう. ノートは本番の前の授業日を目処に公開する. 質問は, 遠隔授業の休憩時間と授業後にチャット機能で受け付ける. また, メール ⟨masakazu@eng.niigata-u.ac.jp⟩ でも随時受け付ける. 「ノートの○ページ上から○行」「テキストの P ○ 下から○行辺りの式」などと併記して質問してもらえれば回答しやすい. ノートの右上には対応するテキストのページを記載した. なお, テキス
トはシラバスの通り• 高橋泰嗣, 加藤幹雄, 微分積分概論, サイエンス社, 2013を用いる. テキストの内容で, このノートに改めて記載しないものもある. テキストも併せて読んで勉強することを勧める. テキストの演習問題の他, シラバスに記載した他の参考文
献も理解の助けになる. なお, このノートの「コラム」は授業の本筋ではないので読み飛ばしても差し支えない.
レポート提出方法. 学務システムを経由して提出する. スマホやタブレットで撮影したもので十分. ただし, 読めることを確認すること. ファイル名は, 在籍番号の前に授業の回数と a1「7a1t21y777b.pdf」等とを記す. 例えば第 7 回授業のレポートの場合「7a1t21x666a.jpg」すること. (従わなくとも罰則はありませんが, 集計漏れが生じる危険があります). PC で作成・提出する場合はウイルス対策を取ること. この方法での提出が難しい場合はメールで相談すること.
中間・期末レポート. 授業の曜限 (火・金 3 限) にオンライン試験の要領で実施する. 現在想定している流れとしては, 3 限開始の頃に学務システムで問題を公開 ⇒3 限終了の頃までに学務システムにレポートの画像を提出する. 資料の持ち込みは可1で, 60 分程度で解ける問題を選ぶ. 詳細は時期が近づいてから改めて連絡するが, ネットワーク等の環境が成績に不利に働かないように配慮する.

1. 極限と連続
まず, 授業で使う記号を準備する.

R real numbers(実数) の全体
C complex numbers(複素数) の全体. R ⊂ C が成り立つ.
なお, ある集合 A が別の集合 B に含まれるとき A ⊂ B と書く. 例えば {2, 4, 6, 8, 10} ⊂{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A ⊂ B とは, 「a ∈ A ⇒ a ∈ B 」が成り立つと言うこと. a ∈ A を
集合 A の元, または成分という. 例えば π は実数であるから R の元である.2
1「不可」としても取り締まりは不可能なので2つまり π ∈ Rリモート講義での⼯夫点
基礎数理 AI を中⼼として（⼭本 征法先⽣）（⼯夫した点の多くは複数の教員からヒントを参考にした）予習資料
オンライン授業の後に、次の授業の内容および宿題を学務システムにアップロード=> 学⽣は事前に授業ノートを読み込んでからオンライン授業に臨む。
添付ノートは完成版で、学⽣に公開するときは授業ごとにページが増える。
(第 1 回授業ノートは全 6 ページ、第 2 回授業ノートは全 12 ページで 7 ページ以降が該当箇所)
授業記録の配信
オンライン授業は Zoom のリアルタイム配信であるが、映像を 1 週間程度 YouTube にも掲載した。これは、元々ノートを取りながら話を聞くのが苦⼿な学⽣も居るので、授業ノートと YouTube 映像で内容を繰り返し確認できるようにした。
授業ノートには授業の全内容が記されているので、ノートを取らなくても復習が可能。
宿題は次の授業⽇の 23:59 が締切で、学務システムに提出させる。
レポートの評価
対⾯式授業では適宜コメントを⼊れて返却していたが、現状では解答例の最後に⼀般的な注意として呼びかけるほかない。学習効果としては不⼗分かもしれない。
板書
強調部分の⾊分けだけではなく、⾚い⽂字は四⾓で、⻘い⽂字は丸で囲むなど、形でも認識できるようにしている。これは、⾊覚に個⼈差があることと、画⾯を通すと⾊が⾒えにくくなることへの対応。
授業中の質問授業の途中に休憩時間を設定し、そこで質問を受け付けている。質問への対応が済んでから後半の授業を再開する。質問がなければ 3 分後に再開する。
さらに、授業終了後 ⼀定時間は Zoom ミーティングを開いておいて、そこでも質問対応する。なお、質問対応の時間中は録画を停⽌する（録画されているとなると、質問を躊躇する学⽣も居るだろうから）。
質問はチャット機能、または⾳声で受け付けている。
オンライン授業だと、対⾯授業と⽐較して質問しやすいという意⾒もある。
それでもタームが進む毎に質問は少なくなってゆく。
質問しやすい雰囲気にする⼯夫として、「分からないところがあったら、同じ所で何⼈も躓いているはず=> 誰かが率先して質問することで、全員が助かって授業の質も上がる」と⾔ったことを呼びかけている。
機器についてbluetooth のヘッドセット(Blue Parrot)を使⽤している。
PC や web カメラに内蔵のマイクでは、ホワイトボードを向いた瞬間に⾳声が聞き取りづらいようだ。
カメラの位置が低いとホワイトボードに蛍光灯の光が映り込んでしまうので、三脚に webカメラをガムテープで固定して使っている。
アンケートに対する学生の回答
１:資料の事前配布など予習に役⽴った科⽬の科⽬名と役⽴った内容，感想を教えて下さい。
・基礎数理 B：授業で⾏う内容を⼀回⾏うことで理解が深まった。
・基礎数理 B： あらかじめわからないところに⽬星をつけられる・基礎数理 A1、基礎数理 B：授業内容のノート（レジュメ）を事前に配布され、授業の予習がしやすかった。授業内ではノートの解説を詳しく解説してくれたため、⾃分の予習とリンクさせやすい授業だった。
・数学：配布された資料に⽬を通しておけばどこが分からないのかはっきりするので、そこの説明により集中して聴講できた。
・基礎数理：詳しく説明があり、例題もあったから・基礎数理：[内容] 例題・問題の量が⼗分だったこと[感想] 内容により困難な場合もあると思うが、具体的な問題への解答を予習とすると、講義内容について調べることを予習とするより、予習への意欲が⾼くなり、また学⽣⾃⾝が客観的に予習段階での理解度を把握できると思う。
３:ノイズが少なく，⾳声（⾳響）が明瞭であった科⽬の科⽬名あるいは教員名を教えて下さい。
・5 名の学⽣が先⽣の講義を挙げました。
４:資料の提⽰⽅法がよかった科⽬の科⽬名と良かった点，感想を教えて下さい。
・基礎数理：分かりやすく、例題もあった
５:画⾯への書き込み（ホワイトボード，コメント）が効果的な科⽬の科⽬名と効果的な点，感想を教えて下さい。
・基礎数理 ⾒やすく、進⾏スピードがよかった・基礎数理 B マーカーペンを⾊分けしながら授業をしていて⾒やすかった
８:復習を効果的に⾏えた科⽬の科⽬名と復習に効果的であった点，感想を教えて下さい。
・基礎数理 B 基礎有機化学：どちらも宿題が出されたので、家での学習も意欲的に取り組めた
・基礎数理 B、基礎有機化学前半。授業後に動画を視聴できたので理解できなかったところを繰り返し視聴することができた。

テキスト P72-79, 82
基礎数理 A1(第 11 回 2021 年 7 月 20 日)• 有理函数の積分.
例. 不定積分∫x−5x2 − x − 2を求める.

x−5x2 − x − 2=

dxx−5AB=+(x + 1)(x − 2)x+1 x−2

とおいて両辺に (x + 1)(x − 2) を掛けると x − 5 = A(x − 2) + B(x + 1). これがすべての x について成り立つためには A + B = 1, −2A + B = −5. すなわち A = 2, B = −1. したがって)∫ (∫x−521dx =−dx = 2 log |x + 1| − log |x − 2| + C
x2 − x − 2x+1 x−2= log|x + 1|2+ C.
|x − 2|例. 不定積分□∫dxx(x + 1)2を求める.

ABC1= ++2x(x + 1)
x x + 1 (x + 1)2とすると (↑ B の項がないとうまく分解出来ない),

1 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx = (A + B)x2 + (2A + B + C)x + A
であるから (↑ 定数項・x の項・x2 の項の係数を決めなければならない ⇒ パラメータは 3 つ必要) A + B = 2A + B + C = 0, A = 1. これを解くと A = 1, B = C = −1. これより)∫∫ (dx1
11x1
=−−dx
=
log++ C.
□x(x + 1)2x x + 1 (x + 1)2x+1x+1
例題. 不定積分∫dxx3 − 1を求める.18

11A
Bx + C==+x3 − 1(x − 1)(x2 + x + 1)
x − 1 x2 + x + 1
とおいて両辺に x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) を掛けると

1 = A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1) = (A + B)x2 + (A − B + C)x + A − C.
18分母を因数分解出来ないので困るパターン64

係数を比較すると A+B = A−B +C = 0, A−C = 1. これを解けば A = 13 , B = − 13 , C = − 23であるから)∫∫ (dx1
1x+2=−dx.
x3 − 13x − 1 x2 + x + 1′)(↑ 第 1 項の積分は容易. 第 2 項は「 (分母+ 余り」の形にする) ここで分母∫∫∫x+2
12x + 13dxdx =dx +222x +x+12x +x+12x +x+1
∫13dx
= log(x2 + x + 1) +.
22(x + 12 )2 + 34

さらに √23 (x + 12 ) = y とおくと∫∫∫dx4dx
2dy2=√= √ arctan y + C
1 23 =
41 223y +1(x + 2 ) + 4(x + 2 ) + 1
333()
22x1
= √ arctan √ + √+ C.
3
3
3以上から
∫

1
11dx
= log |x − 1| − log(x2 + x + 1) − √ arctan
3x −1
363

• R(x,(2x1√ +√33)+ C.

□√√
x2 + Ax + B) の積分. x2 + Ax + B = t − x とおく.

例. 不定積分∫√を求める.

dx
x2 + 1√x2 + 1 = t − x とおいて両辺の平方を取れば x2 + 1 = t2 − 2tx + x2 .
∴x=t2 − 1,2tdx =t2 + 1
dt.
2t2

また

12t11
√
==.
2 −1 = 2t2t−x
t +1x +1t − 2t
以上から
∫∫
∫
√
2t t2 + 1dtdx
√
x+=dt
=
=log|t|+C=
log
x2 + 1 + C.
t2 + 1 2t2t
x2 + 1□• R(cos x, sin x) の積分.
例. tan x2 = t とおくと∫∫R(cos x, sin x)dx =( 2 2t ) 2,dtR 1−t1+t2 1+t2 1+t22.
t=tan x2

21−txxx2t2 x
実際 cos x = 2 cos2 x2 − 1 = 1+t2 − 1 = 1+t2 , sin x = 2 sin 2 cos 2 = 2 tan 2 cos 2 = 1+t2 . また2tan x2 = t の両辺を微分すると 2 cos12 x dx = dt. よって dx = 1+t2 dt.
265

例題. 次の不定積分を求めよ:

(1)

∫

1dx
x(x + 2)2

∫(2)

dx
sin x

1bc
1
1a1
解答 (1). x(x+2)
2 = x + x+2 + (x+2)2 とおくと a = 4 , b = − 4 , c = − 2 であるから)∫∫ (1111dx =−−dxx(x + 2)24x 4(x + 2) 2(x + 2)2x1
1+= log+ C (C : 積分定数).
□
4x+22(x + 2)
22t
解答 (2). t = tan x2 とおくと sin x = 1+t
2 , dx = 1+t2 dt であるから∫∫∫
dx
1 + t2 2dtdt=== log |t| + C = log tan x2 + C
sin x
2t 1 + t2t(C : 積分定数).

□3.2. 定積分. f ∈ C[a, b], f (x) ≥ 0 としたとき, y = f (x) (a ≤ x ≤ b) のグラフと x 軸に挟まれる部分の面積 S を求める.
y

⾯積S! = #(%)

xOab

区間 [a, b] を

∆ : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = bと分割する. (区間をいくつに分割するか. x1 , . . . , xn をどこに配置するか. これらの分割の情報がすべて記号 ∆ に格納されていると考える). また|∆| = max |xk − xk−1 |1≤k≤nとし, 19小区間 [xk−1 , xk ] に点 ξk を任意に取る.
y

⾯積!(#$ )(&$ − &$() )!(#$ )* = !(&)

Oxax1 x2xk

xk-1

xn-1 bξky = f (x) のグラフを棒グラフで近似する
19小区間 [xk−1 , xk ] のなかで一番幅が広いのはどこ?

66このときS(∆) =n∑f (ξk )(xk − xk−1 )k=1

を Riemann 和20という. Riemann 和は S を棒グラフの面積で近似したものと見なせる. このとき, [a, b] の分割を細かくするほど, 棒グラフは y = f (x) のグラフに近づくので, S(∆) もS に近づくことが期待される. 実際に極限を取った

lim S(∆)|∆|→0を, f (x) の [a, b] における定積分あるいは Riemann 積分といい∫ bf (x)dxaと書く. f ∈ C[a, b] のとき, 定積分は一意に定まることが知られている. さらに∫ bf (x)dx
S=aである. つまり, 定積分とは, 函数のグラフと x 軸の間の面積である. ただし f (x) < 0 のときは, この面積も負の値をとる. なお, 不定積分と異なり定積分の積分変数は何でも良い. つまり∫∫∫bbf (x)dx =a

ただしbf (t)dt =af (θ)dθ.
a∫ b∫ bf (n)dn,f (C)dCaaなどは趣味が良くないかもしれない.

∑コラム (長い S). Riemann 和は面積の「和」であるから ∆ で表される. Σ はローマ字の Sに相当するギリシャ文字であるが, この文字で和を表すのは sum(英語) や Summa(ドイツ語)に由来する. したがって Riemann 和の極限である定積分を表すにもS を用いるのが妥当で∫21あるが, そこで選ばれたのが長い S, つまり である. なお, この長い S は今でもドイツの地
ビールのラベルや店の看板などに見られる.
f (x) の原始函数を F (x) としたとき∫ bf (x)dx = F (b) − F (a)aが成り立つ. この性質を微分積分学の基本定理という. 右辺を[F (x)]ba = F (b) − F (a)と書くことがある. G(x) を別の原始函数としたとき G(x) = F (x) + C なる定数 C が存在するのであった. よって∫ b
G(b) − G(a) = F (b) + C − F (a) − C = F (b) − F (a) =f (x)dx.
aつまり, 基本定理においては, どの原始函数を選んでも構わない.
20リーマン. 1826-1866. もちろん分割の仕方 ∆ によって S(∆) の値は変わる
21恐らく導入したのは Leibniz である

67

なお, 原始函数や不定積分は定積分を計算するのに便利な道具として後から開発されたものである. 「図形の面積を知りたい」という実用的な動機が当然先に存在するのである. また, 例えば y = f (x) が位置 x における温度を表すならば, 区間 [a, b] に含まれる熱は定積分∫b∫f (x)dx を計算すれば求まる. 22一方, この場合は不定積分 f (x)dx は何の意味も持たない.
a
実用上の意味を持つのは定積分であり, 不定積分はそれを計算するための道具に過ぎない.
∫
例. sin xdx = − cos x + C であるから∫ π/20sin xdx = [− cos x]π/2= − cos π2 + cos 0 = 1.
0□

補足. 定積分には積分定数は現れない. 例えば上の例で, 原始函数として − cos x + C を選ぶと
∫ π/2
sin xdx = [− cos x + C]π/2= − cos π2 + C + cos 0 − C = 100であり, 積分定数の影響が消える.
例. 定積分

∫ 2log xdx1を求めよ.
解答. 不定積分すると∫log xdx = x (log x − 1) + Cであるから∫ 2

log xdx = [x (log x − 1)]21 = 2 (log 2 − 1) − 1(−1) = 2 log 2 − 1.

□1

おまけ 1. x31−8 の不定積分を求めよ.
a
解答. x31−8 = x−2+ x2bx+cとすると (a + b)x2 + (2a − 2b + c)x + 4a − 2c = 1 であるから+2x+41
1a + b = 2a − 2b + c = 0, 4a − 2c = 1. これを解くと a = 12, b = − 12, c = − 13 . よって∫∫∫dx
11dxx+4=−dx
32x −812x − 2 12x + 2x + 4∫∫
1
12x + 21dx=
log |x − 2| −dx−.
1224x2 + 2x + 4
4(x + 1)2 + 3∫dx = log |x2 + 2x + 4| であり, また
ここで x22x+2+2x+4
∫
∫∫dx
1dx
11dy
1x+1
=
=√= √ arctan y = √ arctan √ .
1222(x + 1) + 3
3y +1(x + 1) + 1
333
33
22正確には定積分に比熱を掛けたものが熱68√ として置換積分を行った. 以上から
ただし y = x+13

∫dx
111x+12√√ +C=
log|x−2|−logx+2x+4−
arctanx3 − 8 1224
4 3321x − 4x + 41x+1= log 2− √ arctan √ + C (C : 積分定数).
24x + 2x + 44 33

おまけ 2. 次の不定積分を求めよ:
∫dx
√
(1)
x x2 + 2

∫
(2)

□dx
(1 − cos x) sin x√√
222x2 + 2 とおくと x = t 2t−2 , dx = t2t+2x2 + 2 = t 2t+2 であるから
2 dt,)∫∫∫∫ (dx2t2t t2 + 22111√√ −√ dtdt =dt = √=t2 − 2 t2 + 2 2t2t2 − 2x x2 + 22t− 2 t+ 2√√√
t− 2x + x2 + 2 − 211√ + C = √ log√ + C (C : 積分定数).
√= √ log□
2t+ 22x + x2 + 2 + 2

解答 (1). t = x +2 2)
2dt, dx = 1+t
解答 (2). t = tan x2 とおくと (1−cos1x) sin x = (1+t2 であるから4t3

∫

したがって

∫dx
=
(1 − cos x) sin x∫

1 + t211dt = − 2 + log |t| + C.
32t4t21dx
1+ log tan x2 + C.
=−2 x
(1 − cos x) sin x
4 tan 22□1+cos x
1+cos x別解 (2). (1−cos1x) sin x = (1−cos2 x) sin x = − sin4 x (− sin x) であるから, γ = 1 + cos x とおくと− sin xdx = dγ. また sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − (γ − 1)2 = γ(2 − γ) であるから)∫∫ (∫γ1112dx=−dγ = −++dγ(1 − cos x) sin x
γ 2 (2 − γ)24γ 2 − γ (2 − γ)2()12γ
1 − cos x
11=−+−+ C.
□log+ C = log42−γ2−γ4
1 + cos x 2(1 − cos x)
1−(1−2 sin2 x )x
2
補足. 上の 2 つの解は同じである. 実際 1−cos= 1+(2 cos2 x −1)= tan2 x2 より 12 log | tan x2 | =1+cos x
2 tan2 x2
11−cos x
2 xlog.
また
1−cosx=2−2cos=
41+cos x
21+tan2 x2

21= 4 tan1 2 x + 14 . 最後の 14 はより 2(1−cosx)
2C に吸収させる.

問題 (第 11 回分). 次の定積分を求めよ：∫ π/4∫ π/2x(1)e sin x cos xdx
0sin4 xdx(2)069

解答 (1). 加法定理と部分積分より∫∫∫
11 xxxe sin x cos xdx =e sin 2xdx = e sin 2x − ex cos 2xdx
22
∫
∫
1 x
1 xxxx= e sin 2x − e cos 2x − 2 e sin 2xdx = e sin 2x − e cos 2x − 4 ex sin x cos xdx
22であるから∫

1e sin x cos xdx = ex5(xこれより∫ π/4)1
sin 2x − cos 2x + C.
2[()]π/4
111 x 1e sin x cos xdx = esin 2x − cos 2x= eπ/4 + .
□5210500∫∫
こんな解答がありました. ex sin x cos xdx = 12 ex sin 2xdx の後, (ex cos 2x)′ = ex cos 2x −2ex sin 2x, (ex sin 2x)′ = ex sin 2x + 2ex cos 2x より ex sin 2x = ( 51 ex sin 2x − 25 ex cos 2x)′ . これより
[]π/4
∫ π/4
1 1 x
2 x
11x
e sin x cos xdx =e sin 2x − e cos 2x= eπ/4 + .
□2 5510500x

解答 (2). 第 10 回ノートにある漸化式を用いても良いが, より直接的に∫∫∫
43′3sin xdx = sin x(− cos x) dx = − sin x cos x + 3 sin2 x cos2 xdx∫∫33233sin 2xdx = − sin x cos x +(1 − cos 4x) dx.
= − sin x cos x +483
これより原始函数として − sin3 x cos x + 38 x − 32
sin 4x がとれる. よって[]π/2∫ π/23π3343=
sin xdx = − sin x cos x + x −sin 4x.
8321600補足. なお, 上の原始函数は第 10 回で求めたものと一致する. 実際 38 x の部分は同じなので三角函数の部分だけ比較すると
33− sin3 x cos x −sin 4x = − sin3 x cos x −sin 2x cos 2x3216()
133= − sin3 x cos x − sin x cos x 1 − 2 sin2 x = − sin3 x cos x − sin x cos x.
84822x別解 (2). 加法定理を繰り返し使えば sin4 x = 1−2 cos 2x+cos= 38 − 12 cos 2x + 18 cos 4x であ4るから[]π/2∫ π/23π3114=sin xdx = x − sin 2x +sin 4x.
□8432
1600注意. 定積分は定数です. 変数 x は残りません. (1) で e0 = 0 や cos 0 = 0 とした解答が散見されます. 慎重に計算しましょう.

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