数理解析研究所講究録925 巻 1995 年 110-116110

楕円曲線の Hasse 不変量について

\S 1.

石橋

九大数理学研究科

佐藤尚宜 (Hisayoshi SATO)

九大数理学研究科

白谷克巳 (Katsumi SHIRATANI)

序

標数 $p\geq 5$ の素体$\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$定義方程式の右辺の弓乗という.

睦 (Makoto ISHIBASHI)

鹿児島工業高専

Hasse 不変量は上に定義された楕円曲線$(x^{3}+ax+b)^{L^{-\underline{1}}}2$$E_{a,b}$

の関数体の

$p$

における

$E_{a,b}$$x^{p-1}$: $y^{2}=x^{3}+OX+b$ を考える.
を Hasse 不変量の係数$H_{a,b}$

次不分岐拡大の存在に深く関係している.

$H_{a_{J}b}$に対する公式は はじめ Deuring [2] によって計算された. 最近になって Kaneko [4] によってある超幾何多項式を用いて計算されている. また Koike [7] は有限直上の超幾何級数を用いて Legendre form で与えられた楕円曲線などの Frobenius 自己同型の trace を表示している.

–方 Chowla-Dwork-Evans [1] は楕円曲線 $y^{2}=x^{3}+x$

た 2 項係数に対する$p$のHasse 不変量に関係しを法とする公式を与えている.

ここではまず楕円曲線 $y^{2}=x^{3}+1$ の Hasse 不変量に関係した 2 項係数のきを法としたときの公式を与え, 次に $-$ 般の$E_{a,b}$

に対する

$p$

の高いべ

Hasse 不変量の有限体上での超幾何級数を用いる簡明な表示を得る.

\S 2.

$y^{2}=x^{3}+1$

素数

$p$

に関係した 2 項係数に対する合同式

を $p\equiv 1$ (mod 3) とし楕円曲線 $y^{2}=x^{3}+1/\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$ をとる .

を同 $-$ 視する. このとき この楕円曲線の Hasse 不変量は$\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$の$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$で$(_{\mathrm{g}_{\frac{-\underline{1}-12}{3}}}^{L})$$\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$

と

に等しい.

$\mathrm{Z}/p\mathrm{Z}$$\omega$をTeichm\"uller 指標 とし Koike[6] によって定義された有限体上の 2 項係数$= \frac{\omega^{k}(-1)}{p-1}J(\omega, \omega-)ik=\frac{1}{1-p}\frac{\Gamma_{p}(\frac{i-k}{p-1})\mathrm{r}(p\frac{k}{p-1})}{\Gamma_{p}(\frac{i}{p-1})}$を考える. ただし$J(\omega^{i-k}, \omega)$

Gross-Koblitz の公式による.

はJacobi 和,$\Gamma_{P}$,は $p$ 進 gamma 関数,$0\leq k\leq i$

また二番目の等式は

111$i=\ddagger \mathrm{i}_{\frac{-1}{2}},$

$k=$

弓とし

$\Gamma_{P}$の関数等式, Taylor 展開, 及び Diamond の公式を用いると任意の自然数 $f$ に対して

modを得る. 更に$(_{\omega 3}^{\omega_{L^{-}}}\underline{1})\#-1*$を$\mathrm{Q}(\sqrt{-3})$$(_{\omega}^{\omega}*^{-})^{\tau} \overline{\tau}_{1}=\underline{p}\underline{1}\frac{(-1)^{*^{-1}}}{p-1}B$

は

$B$

(1)

において

,

$B=p^{-1}g( \omega)\Delta_{\frac{-1}{2}}g(\omega\frac{2(\mathrm{p}-1)}{3})g(\omega^{\frac{5(\mathrm{p}-1)}{6})}$: Gauss$g(\omega^{a})$と表すことができて$p^{2f}$$\mathrm{Q}(\sqrt{-3})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}|$,]の整数となる. そこで$B=\alpha+,\theta w$,$w= \frac{1+\sqrt{-3}}{2},$$\alpha,$$\beta\in \mathrm{Z}$とおく. このとき$N_{\mathrm{Q}(\sqrt{-3})/\mathrm{Q}}(B)=p=\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta 2$

であるが,

この

$p$

の分解における$\alpha,$$\beta$の満たす条件を有理的に表す. 実際$\zeta$を 1 の原始

3 乗根として, $k\in\{1, -1, \zeta, -\zeta, \zeta^{2}, -\zeta 2\}$ に対して$\sum$$\eta_{k}=$$\zeta_{p}^{x}$,($\zeta_{p}$: 1 の原始$p$乗根)$\omega 1\underline{\backslash }x\underline{\backslash }\mathrm{p}*^{-1}(x)-=k1$と置く と, Gauss 和の定義により$g(\omega^{\frac{2(\mathrm{p}-1)}{3}})$$\equiv$$g(\omega^{R_{\frac{-1}{2}}})$

となる.

ここで

$\equiv$$\eta_{1}+\eta_{-1}+\eta_{\zeta}+\eta-\zeta+\eta\zeta 2+\eta-(^{2}\equiv-1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$\mathrm{r}_{3}$$g(\omega^{\frac{5(\mathrm{p}-1)}{6}})\equiv\eta_{1}-\eta_{-1}+\eta_{\zeta}-\eta_{-}\zeta+\eta_{\zeta^{2}}-\eta_{-(^{2}}$,mmod$\mathrm{r}_{3}$イデアル $\mathrm{r}_{3}=(\sqrt{-3})$ である. 故に$pB$$=p\alpha+p\beta w$$\equiv$.

$-g( \omega^{L^{-}}2)^{2}\underline{\iota}\equiv(-1)\frac{-1}{2}+1\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathfrak{l}_{3}$

従って’$\alpha-\beta\equiv(-1)^{\frac{-}{2}}$である.

(mod 3)

(2)

112

–

方, $pB$ を$\mathrm{Q}(\zeta, (_{P})$$pB$の元として表すと$g(\omega^{L^{-}}2)\underline{1}\{(\eta_{A}\eta C-\eta B\eta_{D})+(\eta_{A}\eta D+\eta B\eta C-\eta B\eta_{D})(\}$$=$$p(\alpha+\beta)+p\beta\zeta$

$=$

.

ただし
$\eta_{A}=\eta_{1}+\eta-1^{-\eta_{\zeta^{2}}}-\eta_{-\zeta^{2}}$,$\eta_{C}=\eta_{1}-\eta-1-\eta(+\gamma_{1-\zeta},$となる. 故に1,$\zeta$が$\mathrm{Q}((_{p})$上の$\mathrm{Q}((, C_{P})$(mod 2)) である.

,$\eta_{D}=\eta_{\zeta^{2}}-\eta_{-\zeta^{2}}-\eta_{\zeta}+\eta_{-\zeta}$の底であることより$\beta\equiv 0$(従って $a\equiv 1$$\eta_{B}=\eta_{\zeta}+\eta-\zeta-\eta_{\zeta^{2}}-\eta_{-\zeta^{2}}$$\mathrm{Q}(\sqrt{-3})$(mod 2)(3)の単数の個数は 6 で, $p=N(\epsilon(\alpha+\beta w))(\epsilon$ :単数) なる分解も 6 通り考えられるが (2), (3) を満たすものはひとつしかなく 従って$p$の分解が確定する.
さて

ば

$B$

の

$\mathrm{C}_{P}$への埋め込みは$B_{0}= \Gamma_{p}(\frac{1}{2})\Gamma p(\frac{1}{3})\Gamma_{p}(\frac{1}{6}),$$P/B_{0}$$B\overline{B}=p$であることからの二つであることがわかる,

Gross-Koblitz 公式を用いれ$B_{0}+p/B_{0}=2\alpha+\beta$$B_{0} \equiv(2\alpha+\beta)+\frac{1}{2}k\sum_{1=}^{2f-1}(-1)k\frac{4^{k}}{(2\alpha+\beta)^{2}k-1}pk$となる. よって $B$ の埋め込みを

定理 1.

(mod 3),$p$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{2f})$にすれば $v_{-}=2\alpha+\beta$ とおいて (1) とともに次を得る.

(mod 3) なる素数とし, $4p=u^{2}+.3v^{2},$(mod 2) と を分解するときを $p\equiv 1$$?_{-}/\equiv 0$$B_{0}$だから$u,$$v\in \mathrm{Z}$を$?d\equiv(-1)^{L^{-\underline{1}}}2$$p$$\{1-.\frac{2}{3}(2^{p^{f-\iota}(p-1})-1)+\frac{3}{4}(3^{p^{f-}(}p-1)-11)\}$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{2f})$

特に $f=1$ のとき$\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}(u-\frac{p}{?_{-}l})(1-.\frac{2}{3}(2^{p-1}-1)+\frac{3}{4}(3^{p-1}-1))$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{2})$

.

.

113

\S 3.

有限体上の超幾何級数と Hasse 不変量
上の楕円曲線$\mathrm{G}\mathrm{F}(p)(p\geq.5)$

下と$\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$を同– 視する.

$\mathrm{Z}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$$H_{a,b}$

となる.

この和を

$H_{a,b}$の定義によりにおける$x^{-}2^{-}\mapsto-1$$=$$(1+ax^{-23}+b_{X^{-}})4^{-}\overline{2}$$=$$. \sum_{3_{l}+2k=^{L}2}\frac{(\begin{array}{l}L^{\underline{-1}}2\end{array})!}{i^{1}k!(\mathrm{L}\frac{-1}{2}-i-k)!}-\underline{1}.akb^{i}$を用いて変形するが,$\Gamma_{P}$

例えば $p\equiv 5$: $y^{2}=x^{3}+ax+b$ の Hasse 不変量を計算する、 以$E_{a,b}$

$p$

の係数

を 12 を法にして場合に分ける.

(mod 12) で $a\neq 0$ のとき, $i=2i_{0},$ $k=3k0+1$ とおくと

$i!=2^{2i}0i_{0}$!

$( \frac{1}{2})_{i_{0}}$,$k!= \{(-3)3i\mathrm{o}(\frac{1-p}{12})_{\dot{\mathrm{t}}_{0}}(\frac{5-p}{12})_{i_{0}}(\frac{9-p}{12})_{\dot{l}0}\Gamma_{p}(\frac{1-p}{4})\}^{-1}$$( \frac{p-1}{2}-i-k)$ $!=(L \frac{+3}{4})_{?}\mathrm{n}\Gamma_{\mathrm{p}}(\frac{1-p}{4})^{-1}$$(2 \mathrm{i}_{\frac{-1}{2}})!=\Gamma P(\frac{1-p}{2})^{-1}$,,(ただし $(a)_{n}=o(a+1)\cdots(a+n-1)$ )となり, 従って$H_{a_{\rangle}b}= \text{。^{}\frac{\mathrm{p}-1}{4}}\frac{\Gamma_{p}(\frac{1-p}{4})^{2}}{\Gamma_{p}(\frac{1-\mathrm{p}}{2})}\sum_{0\dot{\iota}}^{\underline{\mathrm{s}}}l0=\llcorner 1^{-}2\frac{(\frac{1-p}{12})_{i_{0}}(\frac{5-p}{12})_{i}0(\frac{9-p}{12})_{i_{0}}}{(\frac{3+\mathrm{p}}{4}\mathrm{I}_{i_{0}}(\frac{1}{2})_{i_{0}}i_{0}!}(-^{27})^{\prime_{0}}4a\underline{b}32$となる.

$b\neq 0$のときは$k_{0}$

を用いてまとめる. 他の場合も同様である.

(mod 12) $(a’=1,5,7,11)$ のとき超幾何多項式3で定義すれば

$H_{ab,\rangle}$$\tilde{F}2$($a_{0}$$3\tilde{F}2$

ここで$p\equiv a’$を’$a_{2}b_{2}|x)= \sum_{0m=}^{1}L_{\frac{a^{l}}{2}}^{-}\frac{(a_{0})_{m}(\mathit{0}_{1})_{m}(\mathit{0}_{2})_{m}}{m!(b_{1})m(b_{2})m}x^{m}$$o_{1}b_{1}$は次で与えられる.

定理 2.

(i) $a\neq 0$ のとき$o_{J}^{L^{-}}4 \underline{1}\frac{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}(\frac{1-\mathrm{p}}{4})^{2}}{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}(^{\underline{1}-}2[])}3\tilde{F}2$$H_{a,b}=\{$(($\frac{1-p}{12}$$\frac{}{4}\frac{5-p}{3+p12}$$\frac{9-p}{\frac{121}{2}}|-\frac{27b^{2}}{4a^{3}}$$\frac{7-p}{12}$$o_{}^{\frac{p-7}{4}}b \frac{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}(\begin{array}{l}\underline{- 1}\ovalbox{\tt\small REJECT}-4\end{array})\mathrm{r}_{p}(^{\underline{7}-}4A)}{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}(\frac{1-}{2}\mathrm{g})}3\tilde{F}_{2}$$\frac{11-p}{\xi\llcorner 12+\underline{5},4}$$\frac{15-p}{\frac{123}{2}}$$|- \frac{27b^{2}}{4a^{3}}$))$p\equiv 1,5$

$p\equiv 7,11$(mod 12),(mod 12).

(ii) $b\neq 0$ のとき$b^{arrow 1}|-6 \frac{\Gamma_{\mathrm{p}}(\frac{1-\mathrm{P}}{3})\Gamma_{p}(\underline{1}-_{\Delta)}6}{\Gamma_{\mathrm{p}}(^{\underline{1}-_{\Delta)}}2}3\tilde{F}2$$H_{a,b}=$

$\{$

ab

$\frac{\mathrm{p}-5}{6}\frac{\Gamma_{\mathrm{P}}(^{\underline{2}-A)\Gamma}3\mathrm{p}(^{\underline{5}}6B)}{\Gamma_{\mathrm{p}}(^{\underline{1}}2-A)}3\tilde{F}2$(($\frac{1-p}{3}$$\frac{1-p}{\frac{121}{3}}$$\frac{7-p}{\frac{122}{3}}$$|- \frac{4a^{3}}{27b^{2}}$$\underline{2}-A\frac{43}{3}$$|- \frac{4a^{3}}{27b^{2}}$$\frac{5-p}{12}$$\frac{11-p}{\frac{122}{3}}$))$p\equiv 1,7$

$p\equiv 5,11$(mod $12)$ ,(mod 12).

114

更に $H_{a,b}$ を有限体上の超幾何級数を用いて表す.

(mod 12),$p\equiv 5$($3\tilde{F}2$

ただし 2
更に

$2\tilde{F}1$($\tilde{F}1$($(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$\mathit{0})\not\equiv 0$のとき$\frac{1-p}{12}$$\frac{5-}{\frac{3+\rho 12R}{4}}$$\frac{9-}{1\frac{12}{2}}R|-\frac{27b^{2}}{4a^{3}})\equiv 2\tilde{F}1(\frac{1}{12}$$\frac{1}{12}$$\frac{5}{\frac{121}{2}}$$|-27\neg$)$\frac{5}{\frac{121}{2}}|-^{\underline{27b^{2}}}4a^{3})$$=$(mod ).
$p$$4ab^{2}= \frac{(\frac{1}{12})_{i_{0}}(\frac{5}{12})_{i\mathrm{o}}}{(\frac{1}{2})_{\dot{\iota}0}i_{0!}}i_{0}\mathrm{g}_{\frac{-5}{\sum_{=0}^{12}}}(-\frac{27b^{2}}{a})^{\dot{\iota}_{0}}43^{\cdot}$$\frac{(m)_{n}}{n!}=(-1)^{n}$及び$\frac{1}{12}$

(

$l,$

$m$

: 有理整数) を使って$|- \frac{27b^{2}}{4a^{3}})\equiv i\sum_{0=1}^{1}(-L_{\frac{5}{2}}^{-}1)^{i_{0}}(-\frac{27b^{2}}{4b})^{i0}3$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$\frac{5}{1\frac{12}{2}}$(mod 12) のとき $P(A;B, c|x)$

一般に $p\equiv a’$$:=(-i_{0}\mathrm{g}_{\frac{-a^{l}}{\sum_{=0}^{12}}}1)i0x^{i}0$$H_{a,b} \equiv a1P(_{1}\underline{5p-1}\underline{p-1},\underline{p}22;|125-4-\frac{27b^{2}}{a})3$

とおくと$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$となる. 更に$( \frac{p-1}{9}.)(^{L^{-\underline{1}}}9.)^{-1}-$$\Gamma_{p}(\frac{1}{4})^{2}$(mod )$p$$\mathrm{L}^{-\underline{1}})24(L)1^{\frac{-52}{2}}$

であるが,

の

$\Gamma_{p}$$\equiv\frac{\mathrm{r}\backslash *\text{ノ}{\Gamma_{p}(\frac{1}{12}\mathrm{I}\Gamma_{P}(\frac{5}{12})}}$

distribution relation により$\frac{\Gamma_{p}(\frac{1}{12})\Gamma p(\frac{5}{12})}{\Gamma_{p(\frac{1}{4})^{2}}}\equiv-(-3)^{L}4-\underline{1}$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$,を得る. –方$P(A;B, C|X) \equiv(-1)^{BC}+i0\sum_{0=}^{p-2}\omega^{\dot{\iota}_{0}}(x)$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$であることから 有限体上の超幾何級数

2

$F1$

(

$\omega^{-A}$$\omega^{-B}\omega^{-C}$$|x)= \frac{p-1}{p}\sum_{=i_{0}0}^{p2}-\omega^{\dot{\iota}_{0}}(_{X})$を用いれば他の場合も同様にして次を得る.

,

.

.

115

定理 3.

$j=3^{3}4^{3} \frac{4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}$は絶対不変量である.

(i) $j\neq 0$ のとき/$|1- \frac{3^{3}4^{3}}{j})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 12)$,$|1- \frac{3^{3}4^{3}}{j})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$p\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 12)$,(mod )$p\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 12)$,$\omega^{-\frac{5(\mathrm{p}-1)}{L^{-}\iota_{2}2\underline{1}}}\omega^{-}$$-( \frac{a}{3})x\llcorner^{-\underline{1}}4p_{2}F_{1}(\omega^{-l}12\llcorner^{-}\underline{1}$$\omega^{-\frac{\mathrm{p}-1}{2}}\omega^{-\mathrm{g}_{\frac{-5}{12}}}$$-( \frac{a}{3})^{\frac{\mathrm{p}-1}{4}}p_{21}F(\omega^{-^{\underline{5}}B}\iota^{\frac{-1}{2}}$$H_{a,b}\equiv$$\omega^{-\frac{5\mathrm{p}-11}{12}}\omega^{-L^{-\underline{3}}}2$$\frac{b}{2}(\frac{a}{3})^{\mathrm{s};}\frac{-7}{4}p_{2}F_{1}(\omega^{-l\llcorner^{-\underline{\tau}}}12$$|1- \frac{3^{3}4^{3}}{\dot{J}})$$p$$\omega^{-L}\omega^{-L_{\frac{-3}{2}}}\frac{-11}{12}$$\frac{b}{2}(\frac{a}{3})^{\frac{\mathrm{p}-7}{4}}p_{21}F(\omega^{-\frac{5p-7}{12}}$(ii)$j\neq 3^{3}4^{3}$$|1- \frac{3^{3}4^{3}}{j})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$p\equiv 11$(mod 12).

のとき$\omega^{-\frac{\frac{7(\mathrm{p}-1)}{12}2(p-1)}{3}}\omega^{-}$$(-1)^{L}1^{\frac{1}{2}}-+1( \frac{b}{2})^{\mathrm{s}}\mathrm{i}_{\frac{-1}{6}}p_{2}F_{1}(\omega^{-\frac{\mathrm{p}-1}{12}}$$(-1)$ 静$|.

\frac{J}{J^{-3^{3}4^{3}}})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$p\equiv 1$(mod 12),$| \frac{j}{j-3^{3}4^{3}})(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$p\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 12)$,(mod )$p\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 12)$,$\omega^{-\frac{2(\mathrm{p}-2)}{3}}\omega^{-\frac{7\mathrm{p}-1\iota}{12}}$$+1_{\frac{o}{3}(\frac{b}{2})6}L^{-\underline{5}}p_{2}F_{1}(\omega^{-\frac{\mathrm{p}-5}{12}}$$H_{a,b}\equiv\{$$\omega^{-\frac{2(p-1)}{3}}\omega^{-4}1\llcorner_{\frac{7}{2}}^{-}$$| \frac{J}{j-3^{3}4^{3}})$$(-1)^{\mathrm{g}_{1}\mathrm{g}\llcorner} \frac{-7}{2}(\frac{b}{2})6-\underline{1}p2F_{1}(\omega^{-^{\underline{7}}s_{\iota^{\frac{-1}{2}}}}$$p$$\omega^{-\frac{2(\mathrm{p}-2)}{3}}\omega^{-E_{\frac{-11}{12}}}$$(-1)^{\frac{\mathrm{p}-11}{12}} \frac{a}{3}(\frac{b}{2})^{L}6p2-\underline{5}F_{1}(\omega^{-\frac{\tau_{p-}\mathrm{s}}{12}}$$|\overline{j-}3^{3}4^{\overline{3})}L(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$$p\equiv 11$(mod 12).

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