数理解析研究所講究録 1452 巻 2005 年 215-226

215

Tsallis の relative entropy と relative operator entropy柳

研二郎 ( Kenjiro Yanagi)
山口大・工(Department of Applied Science, Yamaguchi University)
古市 茂 (Shigeru Furuichi)
山口東京理科大(Tokyo University of Science in Yamaguchi)
栗山 憲 (Ken Kuriyama)
山口大・工(Department of Applied Science, Yamaguchi University)

1

Classical Tsallis relative entropy

Definition 1 次で定義される $S_{q}(X)$ を Tsallis entropy という.
$S_{q}(X)=- \sum_{x}p(_{i}\mathrm{r}.)^{q}1_{\mathrm{I}1_{q}}p(x,)$

ただし $p(:\iota)=F(X=\mathrm{r})$ は random$1_{11_{q}}((.

$\mathrm{t}\prime ar\mathrm{i}ableX$\mathrm{r}.)=\frac{x^{1-c_{I}}-1}{1-(J},$,の probabifify distribution でありまた$x\geq 0_{\dot{l}}q\geq 0$

とする.
このとき
$\lim_{qarrow 1}S_{q}(X)=S(X)=-\sum_{x}p(x)\log p(x)$である, すなわち Shannon elltropy t こ収束する.

を 2 つの probabilitzJ
Definition 2$D_{q}(A|B)$ を Tsallis
このとき次で定義されるを仮定する.
する, ただし砺 $>0,$ $bj>0$$d?,\cdot str\mathrm{i}b\tau|_{1}\mathrm{f}.?,\cdot \mathit{0}’\hslash$$A=\{a_{1}.a_{\underline{?}}., \ldots a_{n}\}_{l})B=\{b_{1}, b_{2j}\ldots, b_{n}\}$e7l 加 opy という.
$D_{(\mathit{1}}(A|B)=- \sum_{j=1}^{n}a_{j}$石$\frac{b_{j}}{a_{\acute{f}}}=\frac{1-\sum_{j=1}^{n}a_{j}^{q}b_{\mathrm{j}}^{1-q}}{1-q}$$q$

ただし $0\ln_{q}\infty=0$ と定義する.
このとき$q arrow 11\mathrm{i}\mathrm{n}1D_{q}(A|B)=D_{1}(A|B)=\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}a_{j}\log\frac{a_{j}}{b_{j}}$である. すなわち$\mathrm{K}\iota\iota 11f\supset \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{k}$Proposition 1 Tsalli.s-Leibler information に収束する.
},$tropy$$re,lat\dot{\tau,}\iota\prime e\theta,7$の性質は次の通りである.

,と$re,lat.\mathrm{i}v\epsilon,$’216(1)(Nonnegativity): $D_{q}(A|B)\geq 0$ .
(2) (Symmetry):$D_{q}(a_{\pi(1\rangle,\ldots\prime}.a_{\pi(n\rangle}|b_{\pi(1)}, \ldots, b_{\pi(n)})=D_{q}(a_{1},$$a_{\eta}.|b_{1,i}\ldots b_{n}\rangle$$\ldots,$.

(3) (Possibility of extension):$D_{I},(a_{1}, \ldots,a_{n}., 0|b_{1,|}\ldots.b_{n}, 0)=D_{q}(a_{1:}\ldots,a_{n}|b_{1}, \ldots, b_{n})$.

(4) (Pseudoadditivity):$D_{q}(A^{(1)}\mathrm{x}A^{(_{\vee}\}}’|B^{(1\rangle}\mathrm{x}B^{\langle_{\sim}^{\eta})})$$=$$D_{l},(A^{(1)}|B^{(1\rangle})+D_{q}(A^{(_{u}^{\mathrm{Q}})}|B^{(\}}\underline’)+(q-1)D_{q}(A^{(1)}|B^{(\mathrm{I})})D_{q}(A^{(2\rangle}|B^{(2)})’$

ただし

.

,

$A^{(1)}\rangle\langle A^{(2)}=\{a_{j}^{(1)}a_{j}^{(2)}|a_{j}^{(1)}\in A^{(1)}, a_{j}^{\{2)}\in A^{(2)}\}$$B^{(1)}\mathrm{x}B^{(2\rangle}=\{b_{j}^{(1\rangle}f_{j}^{(2)}r|b_{j}^{(1)}\in B^{\langle 1)}, b_{j}^{(2)}.\in B^{(2)}\}$(5) (Joint convexity): $0\leq\lambda\leq 1,$ $q\geq 0$ とする.
対して次が成り立つ,.

$B^{(i\}}=\{b_{j}^{\langle i)}\},$$A^{(\mathrm{i})}=\{a_{j}^{(i)}\},$$(\mathrm{i}=1,2)\}$ こ$D_{q}(\lambda A^{\langle 1\rangle}+(1-\lambda)A^{(2)}|\lambda B^{(1)}+(1-\lambda)B^{(2)})$$\leq$$\lambda D_{q}(A^{\langle 1\rangle}|B^{(1\rangle})+(1-\lambda)D_{q}(A^{(2\rangle}|B^{(2)})$.

(6) (Strong additivity):$D_{q}(a_{1}, \ldots, a_{i-1}, a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, a_{i+1_{\dot{i}}}\ldots, a_{n}|b_{1}, \ldots, b_{i-1}, b_{\dot{\tau.}\iota}, b_{i\mathrm{z}}, b_{i+1,\ldots\prime}.b_{\tau},)$

$=$

ただし

$D_{q}(a_{1}$, .. .,$a_{n}|b_{1}$,...,$b_{n})+b_{i}^{1-q} \mathrm{r}\iota_{i}^{\eta}D_{q}(\frac{a_{i_{1}}}{a_{i}})\frac{a_{i_{2}}}{a_{\dot{r}}}|\frac{b_{\mathrm{i}_{1}}}{b_{i}},$$\frac{b_{i_{2}}}{b_{i}})$$a_{\mathrm{i}}=a_{\dot{\gamma}_{1}}.+a_{i_{2}}.b_{i}=b_{\mathrm{i}_{1}}+b_{i_{2}}$,.

Proof.
(1): -lnq(のは$\alpha$)$\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{v}\mathrm{e}.\mathrm{x}\mathrm{f}\iota\iota \mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$であるので次を得 6.

.

$D_{\mathit{1}},(A|B) \equiv-\sum_{\mathrm{j}=1}^{n}a_{j}\ln_{q}\frac{b_{j}}{a_{j}}\geq-\ln_{q}(\sum_{j=1}^{n}a_{j}\frac{b_{j}}{a_{j}})=0$(2), (3) 及び (4): 明らか.
(5): [3] のして次の不等式が成り立つ.

$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}.\mathrm{r}_{\dot{e}}\iota 1\mathrm{i}_{A}\prime \mathrm{e}\mathrm{d}\log- \mathrm{s}\iota\iota \mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{i}\iota \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{q}\iota \mathrm{l}\mathrm{R}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$

より

. の

$l\mathrm{I}_{-\backslash }^{\mathrm{m}_{\mathrm{J}}}.,\in$$\alpha_{i},$. $=1,2, \ldots, n),$$\beta_{i}\geq 0(\mathrm{i}$.

$\sum_{i=1}^{\eta}\alpha_{i}1_{\mathrm{I}1_{q}}(\frac{\beta_{i}}{\alpha_{i}})\leq(\sum_{i=1}^{\eta}\alpha_{\mathrm{i}})\ln_{q}(\frac{\sum_{i=1}^{n}\beta_{i}}{\sum_{i=1}^{\eta}\alpha_{i}}..\cdot)$

これを用いればよい.
(6): $q\geq 0$ に対して function$L_{q}$

を次のように定義する.

.

$L_{q}(.\cdot r_{\mathrm{i}\prime/)\equiv}.$

一詔$\ln_{q}\frac{\frac{?}{}}{x}$.

$q\geq 0\}_{-\dot{X}^{\backslash }}^{-A_{-\int}}$

(1)

217

また次の記号を導入する.
$a_{i_{1}}=\zeta\iota_{j}.(1-s),$$b_{\dot{\tau}_{1}}.=b_{i}(1 - t),$$a_{i_{2}}=a_{i}s,$$b_{i_{2}}=b_{i}t$.

このとき$?)+(q-1)L_{q}(x_{1},$ $y_{1})L_{Q}(x_{2},$$L_{q}(_{(r,.r?/1}.\mathrm{I}^{J}\cdot 2_{j}..\cdot)|l/2=\not\in.\iota_{2}L_{q}(|x_{1},$ $y_{1})+x_{1}L_{q}(’.\mathrm{r}_{2J2}.,$

これを用$\triangleright\backslash$$y_{2})$.
q.e.el.

ればよい.

Remark 1 次が成り立つ.
(1) Proposition 1 の (1) より $S_{q}(A)\leq\ln_{q}n$ .
(2)$Propos\uparrow,\cdot t_{l}\mathrm{i}on\mathit{1}U)(\mathit{4})$\d ag er$\text{り}$$S_{q}(A^{(1)}\mathrm{x}A^{(2)})=S_{q}(A^{\langle 1)})+S_{q}(A^{(2\rangle})+(1-q)S_{q}(A^{(1\rangle})S_{q}(A^{(2)})$(3) Proposition 1$\text{の}(\mathit{5})1^{-}\text{り}$$S_{q}(\lambda A^{(1)}+(1-\lambda)A^{(\underline{?})})\geq\lambda S_{q}(A^{(1)})+(1-\lambda)S_{q}(A^{(2)})$(4)$Propos\dot{r.}t\mathrm{i}o71,\mathit{1}$

.

の

.

(6) より$S_{c_{\mathit{4}}}(a_{1\dot{r}}\ldots, a_{i-1}., a_{i_{1}}, a_{i_{2}\dot{r}}a_{i+1}, \ldots, a_{n})$$=$.

$S_{q}(a_{1\backslash } \ldots.a_{\mathrm{i}-1}, a_{i}, a_{i+1}, \ldots, a_{n}.)+a_{?}^{q}.S_{q}(\frac{a_{i_{1}}}{a_{i}}, \frac{a_{i_{2}}}{a_{i}})’.$

sets とする、 $W=\{W_{ji}\},$ $(i=1, \ldots, n_{J},j=1, \ldots m)\dot{\prime}$ を $A$ 力.
であへの tranls.ition probability matrix とする. すなわち $\sum_{j=1}^{m}Wji=1,$
らとする. また $A=\{a_{?}^{(in)}.\cdot\}jB=\{b_{i}^{(in)}\}$ を $A$ における 2 つの異なるは次のよう)における probability
る. このときA.

$\mathcal{B}$を 2 つの finite$\sigma 11\mathrm{p}11_{\mathrm{C}}\backslash 1$}$\mathrm{e}\mathrm{t}$$\mathrm{i}=1,2,$$B$$\ldots,$$n$$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\supset \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{I}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{b}\iota\iota \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{x}\cdot \mathrm{i}\mathrm{l}$$1\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}WA=\{a_{j}^{out)}.\}_{)}WB=\{b_{j,\vee}^{(out\rangle}.\}$$\mathcal{B}$に定義される.

.

$b_{j}^{(out)}= \sum_{\dot{\mathrm{z}}=1}^{n}b_{i}^{(in\rangle}W_{ji}$$a_{j}^{(\mathit{0}\tau\iota t)}= \sum_{\dot{\mathrm{z}}=1}^{n}a_{i}^{(i\tau\uparrow)}W_{7^{i_{\dot{i}}}}$.

Proposition 2 任意の $q\geq 0$ に対して次が成り立つ.
$D_{q}(WA|WB)\leq D_{q}(A|B)$ .

Proof. generalized$\log- \mathrm{S}1\iota \mathrm{n}1\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{q}\iota \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}(1)$$D_{q}(WA|WB)$

$=$

$=$

を適用して次を得る.

$- \sum_{j=1}^{m}a_{j}^{(\mathit{0}\mathfrak{l}\iota\prime)}\ln_{q}\frac{b_{j}^{(out\rangle}}{a_{j}^{(\mathit{0}\cdot\alpha t)}}$.

$- \sum\sum a_{j}^{(in)}W_{ji}\ln_{q}\frac{\sum_{?.=1}^{n}b_{\dot{\tau}}^{(in)}W_{ji}}{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{(i\mathrm{n})}W_{ji}}mn.\cdot$$j=1i=1$.

$\leq$$- \sum\sum^{\eta}a_{\dot{\mathrm{z}}}^{(\mathrm{i}n]}W_{ji}\ln_{q}\frac{b_{i}^{(\cdot in)}W_{ji}}{a_{i}^{(in)}W_{j\dot{\epsilon}}}m$$j=1i=1$$=$$=$$- \sum_{i=1}^{n}a_{\dot{\tau}}^{(in\rangle}.\ln_{q}\frac{b_{i}^{(in\rangle}}{a_{i}^{(in)}}$$D_{q}(A|B)$.
q.e.rl.

218

2

Quantum Tsallis relative entropy

を 2 つの density operators とする. $0\leq q<1$ に対して次で定義される
Definition 3
う.
を quantum Tsallis relative entropy と$\rho.,$$\sigma$$\backslash$$D_{q}(\rho|\sigma)$$D_{q}( \rho|\sigma)=\frac{1-Tr[\rho^{q}\sigma^{1-q}]}{1-q}$.

また Umegaki [14] {こよって quantuml relative entropy が次のように定義されていることに注意する.
$U(\rho|\sigma)=Tr[\rho(\log\rho-\log\sigma)]$$D_{q}(\rho|\sigma)$を$D_{2-q}(\rho|\sigma),$.

に拡張して定義すると都合がよい. 即ち $0\leq q<1$ {こ対してはが定義されるとする.
$1<q\leq 2$ に対しては$0\leq q\leq 2$$D_{q}(\rho|\sigma)$

Proposition 3 次の (1), (2) が成り立つ.
(1)$D_{q}(\rho|\sigma)\leq U(\rho|\sigma)\leq D_{2-q}(p|\sigma)$(2)$D_{2-q}(\rho|\sigma)\leq U(\rho|\sigma)\leq D_{q}(\rho|\sigma)$

for $0\leq q<1$ .

for $1<q\leq 2$ .

Proof. 任意の $x>0,$ $t>0$ に対して$\frac{1-x^{-t}}{t}\leq\log x\leq\frac{x^{t}-1}{t}$が成り立つので任意の $a,$$b,$$t>0$ に対して次の不等式を得る.

$a( \frac{1-a^{-t}b^{t}}{t})\leq a\log\frac{a}{b}\leq a(\frac{a^{t}b^{-t}-1}{t}\rangle$$\rho=\sum_{i}\lambda_{i}P_{i},$$\sigma=\sum_{i}$(2).

\mu jQj\not\in :スペクトル分解とすると $\sum_{i}P_{i}=\sum_{j}Q_{j}=I$ だから次の不等式を得る.
$Tr[ \cdot\frac{\rho^{1+t}\sigma^{-t}-\rho}{i}-\rho(\log\rho-\log\sigma)]$$=$$\sum_{i,j}Tr[P_{i}\{\frac{\rho^{\mathrm{I}+t}\sigma^{-\mathrm{f}}-\rho}{t}-p(\log\rho-\log\sigma)\}Q_{j}]$$=$$\sum_{i_{\dot{d}}}(\frac{1}{t}\lambda_{i}^{1+t}\mu_{j}^{-t}-\frac{1}{t}\lambda_{i}-\lambda_{i}\log\lambda_{i}+\lambda_{i}\log\mu_{j})Tr[P_{\mathrm{i}}Q_{j}]\geq 0$.

最後の不等式は (2) の右側の不等式から得られる. したがって$Tr[ \rho(\log\rho-\log\sigma)]\leq\frac{1}{t}Tr[p^{1+t}\sigma^{-t}-\rho]$.

左側の不等式も同様にして得られる. したがって $1-q=t(>0)$ とおけば Proposition 5 の
q.e.d.
(1) を得る. また $q-1=t(>0)$ とおけば Proposition 5 の (2) を得る ,: strictly positive operators に対して relative operator entropy
によって次のように定義された.

$p_{\dot{J}}\sigma$$S(\rho|\sigma)=p^{1/2}\log(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})\rho^{1/2}$.

$S(\rho|\sigma)$力$\grave{\grave{\backslash }}$Fujii-Kamei [4]

219

ここで

$\rho,$$\sigma$が$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{a}\dot{\mathrm{t}}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$のとき$U(\rho|\sigma)=-Tr[S(\rho|\sigma\rangle]$であることは明らかである. 一方 Hiai-Petz [8] によって次の関係が成り立つことが示された.
$U(\rho|\sigma)\leq-Tr[S(\rho|\sigma)]$.

また Yallagi-F\iota \iota ruichi-Kuriyanla [15] t こよって $0\leq q<1$ に対して Tsallis relative operator

entropy$T_{q}(p|\sigma.)$が次のように定義された.
$T_{q}( \rho|\sigma)=\frac{p^{1/2}(p^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})^{1-q}\rho^{1/2}-\rho}{1-q}$

このとき次が成り立つ.

.

linl $T_{q}(\rho|\sigma)=S(p|\sigma)$ .
$q\prec 1$

また$\rho,$$\sigma$が commutative のとき次が成り立つことは明らかである.
$D_{q}(p|\sigma)=-Tr[T_{q}(\rho|\sigma)]$

さらに次が成り立つ.
$\lim_{qarrow 1}D_{q}(\rho|\sigma)=U(\rho|\sigma)$

Theorem 1$p,$$\sigma$.

を strictly positive density operators とする. このとき $0\leq q<1$ に対して次が成り立つ.
$D_{q}(\rho|\sigma)\leq-Tr[T_{q}(p|\sigma)]$

Proof.

$\alpha$.

.

-power nueall #。は次のように定義される.
$A\beta_{\alpha}B\equiv A^{1/2}$(A-1/2BA-工/2)-A1/2.

[8] の Theorem 34 より任意の $\alpha\in[0,1]$ に対して
$Tr[e^{A}{}_{r}\mathrm{H}_{\alpha}e^{B}]\leq Tr[e^{\langle 1-\alpha)A+\alpha B}]$

$A=\log\rho,$ $B=\log\sigma$.

とおくと次を得る.
$Tr[\rho_{r}\mathrm{H}_{\alpha}.\sigma]\leq Tr[\epsilon^{\log\rho^{1-\alpha}+\log\sigma^{\alpha}}.]$.

ここで Golden-Thom pson inequality より任意の Hermitian operators $A,$
$Tr[e^{A}.e^{B}]$に対して $Tr[e^{A+B}]\leq$$B$が成り立つので次が得られる.
$Tr[e^{\log\rho^{1-\alpha}+\log\sigma^{\alpha}}]\leq Tr[e^{\log\rho^{1-\alpha}}e^{1\circ \mathrm{g}\sigma^{\alpha}}]=Tr[\rho^{1-\alpha}\sigma^{\alpha}]$

したがって

.

.

$tr[p^{1/2}(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})^{\alpha}\rho^{1/2}]\leq Tr[p^{1-\alpha}\sigma^{\alpha}]$

ここで $\alpha=1-q$q.e.d.

とおけばよい.

Corollary 1(Hiai-Petz [8])$\rho_{\dot{J}}\sigma$

を strictly positive density operat $ors$

り立つ.
$Tr[\rho(\log\rho-\log\sigma)]\leq Tr[\rho\log(\rho^{1/2}\sigma^{-1}\rho^{1/2})]$.

とするとき次が成220

Proposition 4$\beta,\cdot\sigma$

を density operators とする. $0\leq q<1$ に対して次の (1) $\sim(4)$ が成り立つ.

(1)(Nonnegativity):$D_{q}(\rho|\sigma)\geq 0$.

(2) (Pseudoadditivity):$D_{q}(\rho_{1}\otimes\rho_{2}|\sigma_{1}\otimes\sigma_{2})=D_{q}(\rho_{1}|\sigma_{1})+D_{q}(\rho_{2}|\sigma_{2})+(q-1)D_{q}(\rho_{1}|\sigma_{1})D_{q}(\rho_{2}|\sigma_{2})$.

(3) (Joint convexity):$D_{q}( \sum_{j}\lambda_{j}\rho_{j}|\sum_{j}\lambda_{j}\sigma_{j})\leq\sum_{j}\lambda_{j}D_{q}(\rho_{j}|\sigma_{j}\rangle$(4) (Invariance): unitary transformation

$U$

.

に対して

$D_{q}(U\rho U^{*}|U\sigma U^{*})=D_{q}(\rho|\sigma)$.

Proof. 任意の $x\geq 0,$ $y\geq 0_{:}0\leq q<1$ に対して
$f(q_{\dot{J}}x_{i}y) \equiv\frac{x-x^{q}y^{1-q}}{1-q}-(x-y)\geq 0$が成り立つので次を得る.
$D_{q}(p|\sigma)\geq Tr[\rho-\sigma]$.

が density operators であるので (1) が得られる,(2): 直接の計算で得られる.
(3): Lieb’s theoreml より任意の operator と任意の $0\leq t\leq 1$ に対して fnnctional $f(A, B)\equiv$について jointly concave である.
$Tr[Z‘ A^{t}.ZB^{1-t}]$ は positive operators $A,$
q.e.d.
(4): Stone-Weierstrass approxim ation theorem を用いると明らかである.

$\rho,$$\sigma$$Z$$B$

Theorem 2 任意の $trace- presean|\mathrm{i}ng$ conzpletely positive hnear mapに対して次が成り立つ.
とoperaton$\rho.,$$\sigma$$\Phi$と任意の density$0\leq c\mathit{1}<1$$D_{q}(\Phi(\rho)|\Phi(\sigma))\leq D_{q}(\rho|\sigma)$.

Proof. [9] と同様にすればよい.
の monotonicity
に対して
)
まず
systcm AB において partialとする. [10] よ$p^{AB},$における
operators
density
を composite system ABを証明する.
が存在する.
とprobability $pj$
り次のような unitary operators$D_{q}(\rho|\sigma)$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}Tr_{B}$$\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\backslash 1$$\sigma^{AB}$$U_{j}$$\rho^{A}\otimes\frac{1}{n}=\sum_{j}p_{j}(I\otimes U_{j})\rho^{AB}(I\otimes U_{j}\rangle^{*}$,

は system $B$ の identity operator, $\rho^{A}=Tr_{B}[\rho^{AB}],$
ただし $n$ は systelll $B$ の次元,] である. Tsallis relative entropy の joint convexity と unitary invarinace より次の関係式を得る.

$\sigma^{A}=$$I$$Tr\cdot B\{\sigma^{AB}$$D_{q}( \rho^{A}\otimes\frac{1}{n})$$\leq$$\sum_{j}p_{j}D_{q}((I\otimes U_{j})\rho^{AB}(I\otimes U_{j})^{*}|(I\otimes U_{j})\sigma^{AB}(I\otimes U_{j})^{*})$

$=$

$=$

$\sum_{j}p_{j}D_{q}(\rho^{AB}|\sigma^{AB})$$D_{q}(\rho^{AB}|\sigma^{AB})$

.

221

ここで
$D_{q}( \rho^{A}\otimes\frac{1}{n}|\sigma^{A}\otimes,.\frac{1}{\prime n})=D_{q}(\rho^{A}|\sigma^{A})$より次を$\acute{\mathrm{t}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$,る$D_{q}(Tr_{B}[\rho^{AB}]|Tr_{B}[\sigma^{AB}])\leq D_{q}(\rho^{AB}|\sigma^{AB})$[11] より任意のの nnitary operatorl$\mathrm{t}_{\Gamma \mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}}1^{)\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\tau.\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{i}}.\zeta \mathrm{n}\mathrm{g}$$\mathrm{F}\text{さ_{}\iota}h\xi_{l}$と sttbsystenz$U^{\Lambda B}$

positive linear nlap は total systenl AB 上
上の projection(pure state) $P^{B}$ でつぎのよう (こ表$\Phi(\rho^{A})=Tr_{B}[U^{AB}(\rho^{A}\otimes P^{B})(U^{AB})^{*:}$$D_{q}(\rho|\sigma)$の unitary(3)$\Phi$$B$.

したがって (3) と.

.

invariance を再度用いると次を得る.

$D_{q}(\Phi(\rho^{A})|\Phi(\sigma^{A}))$$D_{q}(U^{AB}(\rho^{A}\otimes P^{B})(U^{AB})^{*}|U^{AB}(\sigma^{A}\otimes P^{B})(U^{AB})^{*})$$\leq$$=$$D_{q}(\rho^{A}\otimes P^{B}|\sigma^{A}\otimes P^{B})$$=$$D_{q}(p^{A}|\sigma^{A})$.
q.e.d.

Col.ollary 2 任意の trace-presearving completely positive hnear map
operator と $0\leq q<1$ に対して次が成り立つ.

$\Phi$と 任意の density$\rho$$H_{q}(\Phi(\rho))\geq H_{q}(\rho)$,

ただし$H_{q}(X)= \frac{Tr[X^{q}]-1}{1-q}$

は quantum Tsallis entropy である.

3

Generalized Tsallis relative entropy

Definition 4 任意の
次のように定義する.

$pos\mathrm{i}t\mathrm{i}\cdot ve$

operators $A,$ $B$ と任意の実数 $q\in[0,1)$ に対して $D_{q}(A||B)$ を$D_{q}(A||B)= \frac{Tr[A]-Tr[A^{q}B^{1-q}]}{1-q}$.

Lieb’s concavity theorem より次が成り立つ.
$D_{q}( \sum_{j}\lambda_{j}A_{j}||\sum_{j}\lambda_{j}B_{j})\leq\sum_{j}\lambda_{j}D_{q}(A_{j}||B_{j})$(4),

ただし $\lambda_{j}>0(\sum_{j}\lambda_{j}=1)$ である.

Theorem 3 任意の$s\cdot nbadd\mathrm{i}t\mathrm{i}_{8\prime}\mathrm{i}t\mathrm{z}/$$pos\mathrm{i}t,ive$

operators, A2, $B1,$ $B2$ と任意の $0\leq q<1$ に対して次の$A_{1}$

が成り立つ.
$D_{q}(A_{1}+A_{2}||B_{1}+B_{2})\leq D_{q}(A_{1}||B_{1})+D_{q}(A_{2}||B_{2})$Proof. 任意の実数する.

$\alpha.\beta’$’ 任意の )
$1$.

$\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$)$\mathrm{O}1$$\mathrm{e}\mathrm{r}t\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}^{1}A,$$B$.

に対して次が成り立つことに$(5.\mathrm{I}$$\grave{.}f\mathrm{f}\mu_{-\backslash }\mathrm{m}_{-}$

222$D_{q}( \alpha A||\beta B)=\alpha D_{q}(A||B\rangle-\alpha\ln_{q}\frac{\beta}{\alpha}Tr[A^{q}B^{\mathrm{I}-q}]$(4) より任意の )$\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$$1$operators$X_{1}\dot,$$X_{2},$ $Y_{1},$$Y_{2}$

と任意の

.

得る.
$D_{q}(\lambda_{1}X_{1}+\lambda_{2}.X_{2}||\lambda_{1}Y_{1}+\lambda_{2}Y_{2})\leq\lambda_{1}D_{q}(X_{1}||Y_{1})+\lambda_{2}D_{q}(X_{2}||Y_{2})$ここで$A_{i}$

二$\lambda_{i}X_{i},$$B_{i}=\lambda_{i}Y_{i}(\mathrm{i}=1,2\rangle$に対して次を$\lambda_{1,2}\lambda(\lambda_{1}+\lambda_{2}=1)$

.

とおくと

$D_{q}(A_{1}+A_{2}||B_{1}+B_{2}) \leq\lambda_{1}D_{q}(\frac{A_{1}}{\lambda_{1}}||\frac{B_{1}}{\lambda_{1}})+\lambda_{2}D_{q}(\frac{A_{2}}{\lambda_{2}}.||\frac{A_{2}}{\lambda_{2}})$.
q.e.d.

したがって (5) より結論が得られる.

Theorem 4 任意の positive opemtors $A,$ $B$ と任意の $0\leq q<1$ に対して次の不等式が成り立つ,$D_{q}(A||B) \geq\frac{Tr[A]-(Tr[A])^{q}(Tr[B])^{1-q}}{1-q}$.

を満たす任意の boundedくProof. Holder’inequaiity より $Tr[|X|^{s}]<\infty,$$1<t<\infty$ に対して次が$1<s<\infty,$を満たす任意の$X,$と$1/s+1/t=1$
operators
linear$Tr[|Y|^{\mathrm{f}}]$$\infty$

$Y$

成り立つ.
$|Tr[XY]|\leq Tr[|X|^{s}]^{1/s}Tr[|Y|^{t}]^{1/t}$.

ここで $X=A^{q},$ $Y=B^{1-q},$ $s=1/q,$ $t=1/(1-q)$ とおくと
$Tr[A^{q}B^{1-q}]\leq(Tr[A]\rangle^{q}(Tr[B])^{1-q}$

q.e.d.

が得られ結論に至る.

4

Tsallis relative operator entropy

Hilbert space $H$ 上の bounded linear operator は任意の $x\in H$ に対して $(Tx_{j}x)\geq 0$ をが invertible かつ positive であるとき満たすとき positive といい $T\geq 0$ と表わす. また
strictly positive と U\い $T>0$ と表わす. Tsallis relative operator entropy は次のように定義
$T$

$T$

される,

Definition 5 ([5]) $A>0,$ $B>0$ と $0<\lambda\leq 1$ に対して$\ovalbox{\tt\small REJECT}(A|B)=\frac{A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{\lambda}A^{1/2}-A}{\lambda}$

を $A$ と $B$ の間のTsallis relative operator entropy と定義する.

の基本的性質は [5] で与えられている. ここでは Tsallis relative operator entropy
inequality とその逆の inequality を与える.
を用いて Shannon type の$T_{\lambda}(A|B)$$\mathrm{o}\mathrm{l}\supset \mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}$Theorem 5 $\{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\}\text{ }\{B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}\}$ \yen : Hilbert spaceと$H-\mathrm{h}\sigma$)

stnictly positive

operator からなる 2 つの列で $\sum A_{j}=\sum B_{j}=I$ を満たすとする. このとき内力減り立つ.
$j=1$

$j=1$

$0 \geq\sum_{j=1}^{n}T_{\lambda}(A_{j}|B_{j})\geq\frac{(\sum_{j=1}^{n}A_{j}B_{j}^{-1}A_{\mathrm{i}})^{-\lambda}-I}{\lambda}$

.

223

証明にあたり次の Lemma を必要とする,

Lem ma 1 $t>0$ を固定すると次の $\lambda(0<\lambda\leq 1)$ に関する inequality が成り立つ.
$\frac{t^{\lambda}-1}{\lambda}\leq t-1$.

Proof. $t=1$ のときは明らか. $t\neq 1$ とする. $F(\lambda)=\lambda(t-1)-t^{\lambda}+1$ とおく. このときは concave function$F’(\lambda)=t-1-t^{\lambda}\log t$ かつ $F^{Jl}(\lambda)=-t^{\lambda}(\log t)^{2}<0$ . したがって$F(\lambda)$

q.e.d.

である. $F(0)=F(1)=0$ だから結論を得る.

Proof of Theorem 5. Lemma 1 より$\frac{A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{\lambda}A^{1/2}-A}{\lambda}$$A^{1/2} \frac{\langle A^{-1/2}BA^{-1/2})^{\lambda}-I}{\lambda}A^{1/2}$$=$$\leq.A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2}-I)A^{1/2}$$B-A$ ,$=$

ただし $A>0,$ $B>0$ かつ $0<\lambda\leq$ ししたがって.
$\sum_{j=1}^{n}T_{\lambda}(A_{j}|B_{j})$別の inequality も証明する.

$=$$\sum_{j=1}^{n}\frac{A_{j}^{1/2}(A_{j}^{-1/2}B_{j}A_{j}^{-1/2})^{\lambda}A_{j}^{1/2}-A_{j}}{\lambda}$$\leq$$\sum_{j=1}^{n}(B_{j}-A_{j})=0$$f(x)=-x^{-\lambda},$ $c_{j}=A^{1/2}$..

[こより 九 rnta [6] の Proposition 3.1を適用すると$\backslash d$

を.

かつ $X_{j}=A_{j}^{1/2}B_{j}^{-1}A_{j}^{1/2}$ とおくこと$/\mathrm{r}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

る.

$-( \sum_{j=1}^{n}A_{j}^{1/2}(A^{1/2}B_{j}^{-1}A_{j}^{1/2})A_{j}^{1/2})^{-\lambda}\geq-\sum_{j=1}^{n}A_{j}^{1/2}(A_{j}^{1/2}B_{j}^{-1}A_{j}^{1/2})^{-\lambda}A_{j}^{1/2}$

.

したがって

.

$( \sum_{j=1}^{n}A_{j}B_{j}^{-1}A_{j})^{-\lambda}\leq.\sum_{j=1}^{n}A_{j}^{1/2}(A_{j}^{-1/2}B_{j}A_{i}^{-1/2})^{\lambda}A_{j}^{1/2}$

q.e.d.

ゆえに証明を完了する.

Theorem 5 の corolary として Rlruta [6] によって得られた Shannon inequalty とその逆の inequaiity の operaior 版に相当するものが得られる.
Corollary 3 (Furuta [6])$\{A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\}$&$\{B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}\}$it Hilbert space$H\downarrow \mathrm{C}\mathrm{D}$strictly positive operator からなる 2 つの列で $\sum_{j=1}Aj=\sum_{j=1}Bj=I$ を満たすとする, このとき次が成り立つ.
$0 \geq\sum_{j=1}^{n}A_{j}^{1/2}(\log A_{j}^{-1/2}B_{j}A_{j}^{-1/2})A_{j}^{1/2}\geq-\log[\sum_{j=1}^{n}A_{j}B_{j}^{-1}A_{j}]$.

Corollary 3 は [6] の Corollary 2.4 の 1 部分である. 次の section では一般化された
relative operator entropy を新しく定義し, その性質を調べる.

$\mathrm{T}\mathrm{s}\mathrm{a}11\mathrm{i}\mathrm{s}^{\backslash }$224

Generalized Tsallis relative operator entropy

5$\mathrm{r}\mathrm{t}^{\backslash }.1_{\dot{C}}\iota \mathrm{f}\cdot \mathrm{i}\mathrm{v}\epsilon_{-}^{1}$

operatorと rclatcd opcrator cntropy を思い出そう.

$\mathrm{C}\mathrm{l}x\mathrm{t}.1^{\cdot}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$Deflnition 6 $A>0,$ $B>0$ に対して$S(A|B)=A^{1/-}.,(1_{5\mathrm{J}}\mathrm{g}^{7}A^{-1/2}BA^{-1/\underline{)}}‘)A^{1/9}\sim$entropy と定義される. これはは $A$ と $B$ の開のとに対して,て定義された 4 また $A>0.B>0$
によって次のように定義された.
が$\tau\cdot\epsilon^{J}.lnt\mathrm{i}\cdot\prime\prime r^{J}op\mathrm{r}.\tau\cdot r|,\mathrm{i}or$$\lambda\in \mathbb{R}$and Kamei[4] によっretative operator$F_{1l}..ii\mathrm{i}$$g\epsilon’n,\epsilon^{\mathrm{i}}.rr’,l\dot{\uparrow.}zed$$er’.t_{77\mathit{1}}.p\cdot.\mathrm{t}/$$\Gamma^{f}?\iota r\uparrow/.\dagger a[6]$$S_{\lambda}(A|B)=A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/arrow)}.)^{\lambda}(\log A^{-1/2}BA^{-1/2})A^{1/2}$$A_{\acute{i}\lambda}‘ B=A^{1/\mathit{2}}.(A^{-1/\underline{\cdot)}}BA^{-1/2})^{\lambda}A^{1/2}$,.

牛冒こ $S(A^{1}|B)=S_{0}(A|B).,$ $A^{1}’.(|B=A,$ $A;_{1}B=B$ となることに注意する.

, relative operator entropy を次のように一般化する$\mathrm{T}\mathrm{s}_{\epsilon}^{t}\iota 11\mathrm{i}^{\zeta\backslash }.$Definition7 $A>0,$ $B>0,$$\lambda.’/$.

$\in \mathbb{R}.,$$\lambda\neq 0,$$t,\cdot\in \mathbb{Z}$

4

に対して

$\tilde{T}_{/\iota,k,\lambda}(A|B)=.\frac{A_{/;.+l\lambda}\prime B-A_{\triangleleft_{f4+(k-1\}\lambda}}^{\triangleright}.B}{\lambda}$

を$gt^{)}.7l,e7^{\backslash }al\dot{?}zc.dT.\backslash \cdot al,l\dot{r,}.\mathrm{s}rel.t’\dagger.\mathrm{i}\cdot\iota’ e$

山\lambda

operator entropy と定義する. 特に$\lambda\neq 0$

に対して$(A|B)=., \frac{A_{\lambda}^{\triangleleft}B-A_{0}^{\mathrm{r}}B\prime}{\lambda}=.\frac{A^{1/)}\sim(A^{-1/\underline{\cdot)}}BA^{-1/\supset}\sim)^{\lambda}A^{1/2}-A}{\lambda}.=T_{\lambda}(A|B)$$S_{k},\pm k.\lambda(A|B),$ $S,,\pm(k+1\rangle$ $\lambda(A|B)$

Proposition 5 $\lambda>0.//$.

$\in \mathbb{R},$と$\tilde{T}_{/\mathrm{t},k+1,\pm\lambda}.(A|B\rangle$$k=0.1_{J}.2_{J}\ldots$.

の闘の関係について調べる.

. のとき次が成り立つ.

(1) $S_{/\iota-(k+1)\lambda}(A|B)\leq\tilde{T}_{\mu,k+1,-\lambda}(A|B)\leq S_{\mathrm{g}_{l}.-k\lambda}(A|B)$ .

(2)$S_{l+\lambda\cdot\lambda},(A|B)\leq\tilde{T}_{t},,\iota\cdot.+1,\lambda(A|B)\leq S_{/’+\langle k+1)\lambda}(A|B).\cdot$

Proof.

.

$\lambda>0.\ell($$\in \mathbb{R},$$k=0.1.2_{:}\ldots$のとき

任意の $t>0$ に対して次の$t’,’-( \mathrm{A}\cdot.+1)\lambda\log t\leq.\frac{t^{1^{\prime.-(h+1)\lambda}}-t^{\mu.-k\lambda}}{-\lambda}.\leq t^{/x-k\lambda}.\log t$.

$t^{\mu\cdot+k\lambda}$

したがって$(1\cdot \mathrm{e}^{1}..\mathrm{d}$

. を

$t$

Iog .

$r$

$A^{-1/)}.arrow BA^{-1/2}$$\leq’\frac{t^{l^{t\cdot+(k+1)\lambda}}-t/:+\iota\cdot x}{\lambda}.\leq t^{\mu+\langle k+1)\lambda}.\log t$で置き換え両辺に$A^{1/2}$.

をかけることにより目標の式を得る.

$k=0$ 又は 1 のとき次のようになる.
$A>0_{:}B>0_{:l}/_{\mathfrak{l}}\in \mathbb{R},$$\lambda>0$

を得る.

,

.

Corollary 4$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{c}1\iota 1\mathrm{a}1\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}1\sigma^{1}$のとき$S_{-2\lambda},,(A|B)\leq\tilde{T}_{\mu,2,-\lambda}(A|B)\leq S_{/},.-\lambda(A|B)$$\leq$$\tilde{T}_{l^{\iota,1,-\lambda}}(A|B)\leq S_{\mathit{1}},.(A|B)\leq\tilde{T}_{\mu,1,\lambda}(A|B)$$\leq$$S_{/\iota+\lambda}(A|B)\leq\tilde{T}_{\mathit{1}^{t,2_{\tau}\lambda}}(A|B)\leq S_{/\iota+2\lambda}(A|B)$

.

225

特に $/\iota=0$ . $\lambda=1$ とおくと次を得る.

Corollary 5 $A>0_{2}B>0$ に対して
$S_{-2}(A|B)\leq\tilde{T}_{0.?-1}.(\vee\cdot A|B)\leq S_{-1}(A|B)$$\leq$$\tilde{T}_{0,1,-1}(A|B)\leq S_{0}(A|B)\leq\tilde{T}_{0,1,\mathrm{I}}(A|B)$$\leq$$S_{1}(A|B)\leq\tilde{T}_{\mathrm{f}1,2,1}(A|B)\leq S_{\mathit{1}}.(A|B)$

.

書き直すと
$S_{-\sim)}.(A|B)\leq AB^{-1}A-AB^{-1}AB^{-1}A\leq S_{-1}(A|B)$$\leq$$\leq$$A-AB^{-1}A\leq S(A|B)\leq B-A$
$S_{1}(A|B)\leq BA^{-1}B-B\leq S_{2}.(A|B)$.

のと$s?’.m^{n}j=1s_{\pm(l^{\neg}+1)\lambda},t.(A_{j}|B_{j})$同様にして問の関係を求める. ただし $A_{j}.>0,$ $B_{j}>0$ は $\sum_{j=\mathrm{I}}^{n}A_{j}=\sum_{j=1}^{n}.B_{j}=I$ を満たすと仮定する.
のとき次を得る.
$\lambda>0,$.
$\sum_{j=1}^{n}\overline{T}_{\mathrm{g}\iota,k+1,\pm\lambda}(A_{i}.|B_{j}.)$$\sum_{j=1}^{\eta}.S_{l},\pm k\lambda(A_{j}|B_{j}),$$l\iota\in \mathbb{R},$$k=0.1_{\dot{l}}2_{\backslash }$$\cdots$$\sum_{j=1}^{n}s_{\iota-(\lambda:+1\rangle\lambda(A_{j}|B_{\dot{\lrcorner}})},\leq\sum_{j=1}^{n}\tilde{T}_{/^{k+1,-\lambda}}.(\mathit{1},A_{j}|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}S_{\mu-k-\lambda}(A_{j}|B_{\mathrm{j}})$.

$. \sum_{j=1}^{n}S_{\iota+\lambda:\lambda},(A_{j}.|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}\overline{T}_{/\iota,k+1,\lambda}.(A_{j}.|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}S_{(+\mathfrak{l}\mathrm{t}+1)\lambda}‘.(A_{j}|B_{j}\rangle$$\lambda:=0$,

又は 1 とおくと次を得る.

$\mathrm{C}_{01\mathrm{O}}.11\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}6A>0_{:}B>0./\iota\in \mathbb{R},$$\lambda>0$のとき$\sum_{j=1}^{n}S_{\mu-2\lambda}(A_{j}|B_{j})\leq.\sum_{j=1}^{n}\tilde{T}_{l^{\iota.,2,-\lambda}}(A_{j}|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}S_{/x-\lambda}(A_{j}|B_{j})$$\leq$$\sum_{j=1}^{n}\tilde{T}_{t^{\prime,1,-\lambda}}(A_{j}|B_{j}.)\leq\sum_{j=1}^{n}S_{/\ell}(A_{j}|B_{j})\leq.\sum_{i=1}^{n}\tilde{T}_{\mu,1,\lambda}(A_{j}|B_{j})$$\leq$$\sum_{j=1}^{n}S_{l^{\iota+\lambda}}(A_{j}|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}\tilde{T}_{\mu\cdot,\mathit{2},\lambda}|(A_{j}|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}S_{\mu+2\lambda}(A_{j}|B_{j})$.

特に { $\iota=0_{:}\lambda=1$ とおくと [6] の Corollary とは違った結果を得る.
$\mathrm{C}\circ \mathrm{I}^{\cdot}01\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}7\sum_{j=1}^{\eta}.A_{j}=\sum_{j=1}^{n}B_{j}=I$を$\backslash i|1\tau|\mathrm{i}$f\sim - す $A_{j}>0,$ $B_{j}>0$ に対して次を得る.

$\sum_{j=1}^{n}S_{-\sim\supset}.(A_{j}|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}A_{f}.B_{j}^{-1}A_{j}-\sum_{j=1}^{n}A_{\mathrm{j}}B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}^{-1}A_{j}$$(A_{j}|B arrow\leq I-\sum_{j=1}^{71}A_{j}B_{j}^{-1}.A_{j}\leq\sum_{\mathrm{i}=1}^{n}S(A_{j}|B_{j})\leq 0$$\leq$$\sum_{j=1}^{n}S_{-1}$$\leq$$\sum_{j=[perp]}^{n}S_{1}(A_{j}|B_{j})\leq\sum_{j=1}^{n}.B_{j}A_{j}^{-1}.B_{i}-I\leq\sum_{j=1}^{n}S_{2}.(A_{j}|B_{j})$.

$22\mathrm{B}$

References[1]

Abe,Mollotonic decrease of the quantum nonadditive divergence by projective mea, 2003.
surements, Physics Letters , vo1.312,$\mathrm{S}$$1>\mathrm{p}.336338$$\mathrm{A}$[2] N.Bel)iano,J.da Providencia Jr. and R.Lemos, Matrix inequalities in statistical mechan, Linear Algebra and its Applications, vo1.376, pp.265273, 2004.
$\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s}$[3] L.Borland, A.R.Plastino and C.Tsallis, Information gain within nonextensive thermo,, pp.6490-6501, 1998, and its Erratum,
statistics, J. Math. Phys.,$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.40,$$\mathrm{p}\mathrm{p}.2196$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.39$

1999.
[4]

and E.Kam lei, Relative operator entropy in noncommutative information the, Math. Japonica, vo1.34, pp.341-348, 1989.

$\mathrm{J}.\mathrm{I}.\mathrm{F}\iota\iota \mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{y}$[5] S.Furuichi, K.Yanlagi and K.Kuriyama, Fundamental properties of Tsallis relative entropy, J. Math. Phys. vo1.45, pp.4868-4877, 2004.
[6] T.Furuta, Parametric extensions of Shannon inequality and its reverse one in Hilbert
pp.219-235, 2004.
space operators, Linear Algebra and its Applications,$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.381,$[7] F.Hansen and G.K.Pedersen, Jensen’s operator inequality, Bull. London Math. Soc.,
vo1.35, pp.553-564, 2004.

inequality is complemented, Linear[8] F.Hiai and D.Petz, The Golden-Thon pson
pp.153-185}
Algebra and its Applications, Linear Algebra and its Applications,$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.181,$

1993.
[9] G.Lindblad, Cornpleteiy positive maps and entropy inequalities, Comm. Math. Phys.,$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.40,$

pp.147-151, 1975.

[10] M.A.Nielsen and I.Chuang, Quantum1 computation and quantum information, Cambridge Press, 2000.

[11] B.Schm acher, Sending entanglement through noisy quantum channel, Phys. Review
vo1.54, pp.2614 2628, 1996.

$\mathrm{A}$,$\sim$[12] C.Tsallis, Possible generalization of Bolzm lann-Gibbs statistics, J.Stat.Phys., vo1.52,

pp.479-487 1988.

[i3] C.Tsallis et al., Nonextensive Statistical Mechanics and Its Applications, edited by S.
); see also the comprehensive
Abe and Y. Okamoto (Springer-Verlag,.htm.
. cat .cbpf.br
at http
list of$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g},2001$$/\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{o}$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\epsilon \mathrm{s}$$://\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}$[14] H.Umegaki, Conditional expectation in an operator algebra, IV (entropy and informapp.59-85, 1962.
tion), Kodai Math. Sem. Rep.,$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}.14,$[15] K.Yanagi, S.Furuichi and K.Kuriyama, Generalized Shannon inequalities based on Tsallis relative operator entropy, Linear Algebra and its Applications, vo1.394, pp.109-118,2005.