数理解析研究所講究録905 巻 1995 年 57-67

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Neumann-Wigner 型ポテンシャルについて

淳 (京都工芸繊維大学 繊維学部) (Jun内山理工学部) (Masaharu

荒井 正治 (立命館大学in$-\triangle\psi(x)+q(X)\psi(_{X})=\lambda\psi(x)$$\mathrm{R}^{n}$Uchiyama)

Arai)

,

$\{$

$\lambda>0$という固有値問題を考える.
$q(x)$ は$\mathrm{R}^{n}$

ここで$\triangle$

は$\mathrm{R}^{n}$のLaplacian である.

またで有界な実数値関数で$\lim q(x)=0$$|x|arrow\infty$とする.

$Dom(H)=H2(\mathrm{R}^{n})$,$H=-\triangle+q(X)$とすると$H$はである.

$L^{2}(\mathrm{R}^{n})$で自己共役作用素で$\sigma_{\mathrm{e}ss}(H)=[0, \infty)$

essential spectrum と continuous spectrum を同 $-$ 視すると上記の問題はcontinuous spectrum に埋め込まれた固有値を考えるということである.

これに関して Neumann-Wigner [12](および Simonによる修正) は次の結果を与えた.
$q_{NW}(x)= \frac{-32\sin r}{\{1+g(r)^{2}\}2}$$g(r)=2r-\sin 2r$,.

$[g^{3}\cos r-3g^{2}\sin^{3}r+g\cos r+\sin^{3}r]$,58$\sin r$$\psi_{NW}(_{X})=\overline{r\{1+g(r)2\}}$ ’$\lambda=1>0$,$x\in \mathrm{R}^{3}$

は上記の問題を満たす.

,$r=|x|$

ここで

as$q_{NW}(X)=-8 \frac{\sin 2r}{r}+\mathrm{O}(r^{-2})$$rarrow\infty$,$| \psi_{NW}(X)|\leq\frac{c_{onS}t}{1+r^{3}}\in L^{2}(\mathrm{R}^{3})$であることに注目する.

そこで次の問題を考えることにする.

問題

in$H=-\triangle+q(x)$において,$q(x)$$L^{2}(\mathrm{R}^{n})$は次の 2 条件を満たすとする.

(Q.1)$q(x)$(Q.2)$q(x)=-k \frac{\sin 2r}{r}+\mathrm{O}(r-1-e_{0)}$ここで$k$は$\mathrm{R}^{n}$で連続な実数値関数,は実定数である.

このとき$\lambda>0$

as
は$H$

$rarrow\infty$$(\epsilon_{0}>0)$の固有値であるか ?

これに対する答を次の形で用意しておく.
定義

“yes”

$\Leftrightarrow\exists q(x)$$” no”\Leftrightarrow\forall q(x)$satisfying (Q.1), (Q.2) $s.t$ .

.

$\lambda\in\sigma_{p}(H)$satisfying (Q.1), (Q.2) に対して.

$\lambda\not\in\sigma_{p}(H)$.

59

ここで

$\sigma_{P}(H)$“の固有値の全体を表す. 上の定義において あ$H$はる. . . が存在して” および$\mathrm{O}(r^{-1-\epsilon})0$“全ての. . . に対して” は (Q.2) における補正項に関係している. 上述の例により次を得る.

定理 1. (Neumann-Wigner [12]) (Simon による修正)$n=3,$ $k=8,$$\lambda=1\Rightarrow(‘ yes$”.

また次のことが知られている.
定理 2. (Moses-Tuan [10])(Albeverio による修正)$n=3,$ $k=4,$“$\lambda=1\Rightarrow$$yes$”.

定理 3. (essentially due to Atkinson [5])(1)$\forall k,$(2)$|k|\leq 2,$$\lambda=1\Rightarrow$(3)$|k|>2,$$\lambda=1\Rightarrow$$\lambda\neq 1,$$\lambda>0\Rightarrow$““$no$$no$$\mathrm{n}=1$とすると”.

”.

“yes”.

Atkinson の論文においては上記の結果は explicit には与えられていない.
また (2), (3) の結果を得るためには Atkinson の与えた定理を少し修正して適用しなければならない.

ところで正の固有値の存在に関しては次の結果を得た.
定理 4. (Arai-Uchiyama [4])$\forall n,$$|k|>2,$$\lambda=1\Rightarrow$“$yes$”.

次に正の固有値の非存在について考える.
$V(r)= \frac{\sin 2r}{r}$$x\in \mathrm{R}^{n}$,$r=|x|$

60

とおいたとき$\lim_{rarrow}\sup r\partial_{r}V(r)\infty=2$$\lim_{rarrow}\sup_{\infty}|rV(r)|=1$,,$\lim_{rarrow}\sup_{\infty}\int_{1}^{r}tV(t)dt-\lim\inf_{\infty}\int_{1}rarrow t\mathit{7}V(d)dt=1$である. その値が$0$でない有限値であるという意味で上記の $V(r)$ はこの3 っの値を考えるとき critical な例になっている. ($0$になるときは smallperturbation であると考えられる. ) そこで次の 5 つの仮定を満たす $H$を考える.

in$H=-\Delta+q(x)$$L^{2}(\mathrm{R}^{n})$$q(x)=V_{1}(x)+V_{2}(x)+V_{3}(r)$ ,(1)$V_{1}(x),$$V_{2}(x),$$V_{3}(r)$は,$Q(r)= \int_{1}^{r}tV_{3}(t)dt$$\mathrm{R}^{n}$で実数値関数かっ有界,,(2)$\lim_{rarrow}\sup_{\infty}V_{1}(x)=0$(3)$L:= \lim_{rarrow}\sup_{\infty}r\partial_{r}V_{1}(x)<\infty$(4)$K:= \lim_{rarrow}\sup\infty|rV_{2}(X)|<\infty$(5)$M:= \lim_{rarrow}\sup_{\infty}Q(r)-\lim\inf Q(r)rarrow\infty<\infty$(注意 : $L\geq 0$と入る.

,,,.

) この $H$ に対して次のような性質を持つを求めることを考える.

$\lambda>\Lambda\Rightarrow\lambda\not\in\sigma_{p}(H)$.

$\Lambda\geq 0$

61

このA に関してはいくつかの結果がある.

:

Kato [8]Agmon [1]$V_{1}(x)\equiv V_{3}(r)\equiv 0\Rightarrow\Lambda_{K}=I\mathrm{f}^{2}$:$V_{3}(r)\equiv 0,$:

Eastham-Kalf [6],$K=0 \Rightarrow\Lambda_{A}=\frac{L}{2}$,$V_{3}(r)\equiv 0\Rightarrow$:$\mathrm{K}\mathrm{h}_{\mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{r}}\mathrm{o}\mathrm{V}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{i}- \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}-\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{e}[9]$$M< \frac{1}{4}$$\Lambda_{KLP}=\max\{[\frac{I\mathrm{f}+\sqrt{I\mathrm{f}^{2}+2L(1-2M)}}{2(1-2M)}]^{2},$ $\frac{2K^{2}+L(1-4M)}{2(1-4M)^{2}}\}$

Kalf-Kummar [7]:$M< \frac{1}{2}\Rightarrow$$\Lambda_{KK}=[\frac{I\mathrm{f}+\sqrt{I\mathrm{f}^{2}+2L(1-2M)}}{2(1-2M)}]^{2}$:

Arai-Uchiyama [3]$\Lambda_{AU}=\frac{1}{2}$

.

,

,

$M<1\Rightarrow$$\frac{1}{1-M^{2}}[Ic^{2}+L+\sqrt{I\mathrm{f}^{2}(I\zeta^{2}+2L)+L^{2}M^{2}}]$.

これらに関して次のことが分かる.
$\bullet$$\Lambda_{EK}$は$\bullet$において $L=0$ または $K=0$ とおくことによって$\Lambda_{A}$$\Lambda_{KLP},$を得るから$\Lambda_{KK},$得るから$\bullet$$\Lambda_{AU}$$\Lambda_{I\mathrm{f}LP},$$\Lambda_{EK}$はおよび$\Lambda_{I\mathrm{f}}$$\Lambda_{A}$$\Lambda_{I\iota’}$の拡張になっている.

において $M=0$ とおくことによって$\Lambda_{I\mathrm{f}K},$$\Lambda_{KLP}\geq\Lambda_{KIC}\geq\Lambda_{AU}$$\Lambda_{AU}$は$\Lambda_{EK}$が成り立つ.

またの拡張になっている.

$\Lambda_{EK}$を

62

その性質上 A はより小さいほうがより良い結果を与える. 即ち$\Lambda_{AU}$を適用した場合が $-$ 番良い結果が得られる. その差がどれく らいあるかを次のように調べる.
$q(x)$

は(Q.1), (Q.2) を満たすとする.

$V_{1}(x)=-(k+s+t) \frac{\sin 2r}{r}$,$V_{2}(x)=S \frac{\sin 2r}{r}+^{\mathrm{o}(r^{-})}1-e0$$V_{3}(r)=t \frac{\sin 2r}{r}$,( $-\infty<s,$ $t<\infty$: real constants)

とおく と$q(x)=V_{1}(x)+V_{2}(X)+V_{3}(r)$となる.

すると$L=2|k+s+t|,$ $K=|s|,$ $M=|t|$である.

これらを代入して得られるて相異なる許容範囲で)

$s,$

$t$

A をを動かして$\Lambda(s, t)$$\Lambda(s, t)$と表す. (各 A によっの最小値を求めることを考える.
$\inf\{\Lambda_{I}\backslash ’(s,t)|s=-k, t=0\}=k^{2}$$\inf\{\Lambda_{A}(s, t)|s=0, t=0\}=|k|$,,$\inf\{\Lambda_{EI}\zeta(s, t)|-\infty<s<\infty, t=0\}=\min\{k^{2}, |k|\}$,63$\inf\{\Lambda_{KLP}(S_{)}t)|$

$0$

–

科科

$<S<\infty$,,$|t|< \frac{1}{4}\}$if$|k|< \frac{1}{4}$

,

, if

$|k| \geq\frac{1}{4}$

,

$=\{$
$\min\{k^{2}, |k|\}$$\inf\{\Lambda_{KI\mathrm{f}}(S,t)|-\infty<S<\infty, |t|<\frac{1}{2}\}$$0$,if$|k|< \frac{1}{2}$,, if$|k| \geq\frac{1}{2}$

,

$=\{$
$\min\{k^{2}, |k|\}$$\inf\{\Lambda_{AU}(_{S}, t)|-\infty<S<\infty, |t|<1\}$

$0$

,

if

$|k|<1$ ,, if$|k|\geq 1$$=\{$$\min\{k^{2}-1, |k|\}$最小値$k^{2}$を与えるような$V_{1}\equiv V_{3}\equiv 0,$である. 最小値を与えるような分解は$|k|$$V_{1}\equiv 0,$である.ても$0$の分解は$V_{2}=-k \frac{\sin 2r}{r}+\mathrm{O}(r-1-\zeta 0)$$V_{1}=-k \frac{\sin 2r}{r},$である. 最小値$q(x)$.

$V_{3}\equiv 0,$$V_{2}=\mathrm{O}(r^{-1-e}\mathrm{o})$を与えるような分解は$V_{2}=\mathrm{O}(^{-}r-\mathrm{g}01),$

これらはいずれも,$K,$$V_{3}=-k \frac{\sin 2r}{r}$$L,$$M$を無理やり相互干渉させようとしA が最小値を取るという最適な状態では, 相互干渉していないことを示す.

しかし$\Lambda_{AU}$

これらとは異なりのみに現れる最小値 $k^{2}-1$ を与えるような分解は

64$V_{2}= \{\frac{1}{k}-k\}\frac{\sin 2r}{r}+\mathrm{O}(r^{-}1-\mathrm{g}_{0)},$$V_{1}\equiv 0,$であり,次にと$K$$\Lambda_{AU}$$M$$V_{3}=- \frac{1}{k}$.

$\frac{\sin 2r}{r}$の間で相互干渉を起こしている.

を導いた定理を適用して最適化することを考える.

:

Uchiyama [11]$\lambda>\frac{1}{2}(\sqrt{4k^{2}+1}-1)\Rightarrow$“$no$”を導いたときと同じ考え方である.
命題 A. (Arai-Uchiyama [2])in

( $-\triangle+q_{1}(X)+q2(_{X)})\psi(X)=0$$\exists\delta>0,$

real-valued,:$\exists\eta(r)$$\exists\sigma(r),$$\exists\tau>0$,

bounded, real-valued,:$q_{2}(x)$$q_{1}(x),$$\mathrm{R}^{n}$constants $s.t$ .

:

for,

(1)

$\sigma(r)\geq\delta$(2)$\eta(r)\leq 2$(3)$\lim_{rarrow}\sup_{\infty}[r\partial_{f}q_{1}+\eta(r)q1+\sigma(r)-1|rq2^{-Q’}(r)|^{2}]<0$,$\forall x\in \mathrm{R}^{n}$bounded,$Q(r)= \frac{1}{4}(\eta(r)-\sigma(r))$:,

bounded,(4)$rq_{2}(x)-Q’(r)$ .

(5)$\lim_{rarrow\infty}\exp(\int_{1}^{r}\frac{\tau-\eta(t)}{t}dt)=0$(6)$\exp(-\int_{1}^{r}\frac{\sigma(t)+\eta(t)}{2t}dt)\not\in L^{1}(1, \infty)$

,,,

これは

65

$\Rightarrow$$\psi\not\equiv 0$とすると$\psi\not\in L^{2}(\mathrm{R}^{n})$.

これに対して次を得る.
命題

いるとする.

$\exists s,$$\lambda>0$$\mathrm{B}.(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}-\mathrm{U}_{\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}[4])$$\exists u,$

および実定数$k$が与えられてこのとき,$\exists v,$$\exists\sigma_{0},$$\exists\eta_{0}$real constants $s.t$ .

:$q_{1}(x)=-(k+s) \frac{\sin 2r}{r}-\lambda$,$q_{2}(x)=S \frac{\sin 2r}{r}+\mathrm{O}(r-1-e0)$$\sigma(r)=\sigma_{0}+2u\cos 2r$,,$\eta(r)=\eta 0+2v\cos 2r$

が命題 A の仮定を満たす.

$\Leftrightarrow$$\exists s,$$\exists u,$$\exists v,$$\sigma_{0}+\eta 0\leq 2,$$f(X)>0$$\exists\sigma_{0},$$\exists\eta_{0}$.:real constants $s.t$ .

$\eta 0>0,2|u|<\sigma_{0},$for$\eta 0+2|v|\leq 2$$\forall X\in[-1,1]$,,

ここで$f(X)=\{(s-u.+v)24u+(k+s+v\lambda)\}X^{2}$+2 $\{(k+s+v\lambda)\sigma_{0}+u\eta 0\lambda\}X+\sigma_{0}\eta 0\lambda-(_{S}-u+v)^{2}$

66$\Leftrightarrow$$\lambda+\sqrt{\lambda}$:$\lambda\geq 1$$1+\sqrt{\lambda^{2}-\lambda+1}$:$1>\lambda>0$,$|k\cdot|<\{$

上記の$q_{1},$$q_{2}$.

に対しては$q_{1}+q_{2}=q-\lambda$が成り立つことに注意する. 命題 A および命題$\mathrm{B}$より次を得る.

定理 5.(Arai-Uchiyama [4])$|k|<$
系 $6.$ ($.\cdot.\cdot$-Uchiyama[4])$\lambda>0\Rightarrow$$\Rightarrow$.

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{a}i\mathrm{i}$$|k|<1+ \frac{\sqrt{3}}{2},$

“

$no$

以上の結果より次の表を得る.

$\lambda$$\lambda\geq 11>\lambda’>0$”.

“ $no^{)}’$.

67

参考文献
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operators with potentials admitting some integral conditions II –Appli-cations–. in preparation[4] M. Arai and J. Uchiyama. On the von Neumann and Wigner potentials.
in preparation[5]$\mathrm{F}.\mathrm{V}$. Atkinson. The asymptotic solution of second-order differential equa-tions. Ann. Math. Pura Appl., 37(1954), 347-378.

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