1. 高周波デバイスの基礎

電圧 V により、 eV （ e ：素電荷）のエネルギーが得られる。たとえば、1V の電圧を使って得られる運動エネルギーは[eV]（エレクトロンボルト）

1. はじめに
本年度の OHO の主題は ERL であるが、ERL のという単位として使われる。
1[eV]=1.60217646×1019[J]である。

みに捉われず、一般的な高周波加速器を構成する
高周波デバイスに設計に必要な基礎、シミュレー
ション、製作、試験方法について述べる事とした。
超伝導加速器の設計には役に立たない事項も多く含んでいるかと思うが、結果の式だけは役に立つ事もあるだろう。
対象としては、既に電磁気学の勉強はしてきた方で、これから例えば修士課程で高周波デバイスの設計を行う事になる、学部４年生や修士１年の学生の参考書になればと考えている。電磁気学のFig. 1 静電場を用いた電子加速

教科書から、実際の高周波デバイスの設計へは若干の飛躍があるので、このギャップを埋める事を静電場を使った加速器には、コッククロフト-目的とした。マイクロ波工学といった書籍は非常

ウォルトン型加速器、バンデグラフ型加速器があに参考にはなるが、対象が通信関係である事が多る。

く、加速器のように大電力を蓄積する目的で書か

静電場による加速は、加速器として電圧を上げれていない。また加速器の本には高周波の事は断る事は難しいが、電流は増やす事が可能である。

片的にしか書いていない事が多い。そこで修士課

例えば電子管内部では数 100kV 程度の電圧で、数程で高周波デバイスの設計を行った、今まで指導100A の電子を加速し、この電子ビームを変調さしてきた学生・関わりをもった学生の修論の序章せる事で高周波を増幅し、大電力の高周波を得て等を参考にさせて頂き、専門的な部分は省いた内

いる。

容とした。
まずは電子線形加速器について一般的な説明

2.2. 高周波加速を行い。その後 Maxwell 方程式から電磁波の基

静電場を使った加速では、エネルギーを上げよう

礎、そして電磁波空洞について述べる。さらに加とすればさらに高電圧が必要になる。高電圧を利速器の装置全体での各コンポーネントについて用する場合には絶縁破壊が問題になり、ある一定の簡単な説明を行う。

以上の加速は困難になる。
そこで、電極に比較的低い電圧を与えながら粒

2. 加速器における高周波の役割とエネル
ギーフロー

子を何回も通して繰り返し加速する「多重加速」の考えが生まれた。この原理で初めて実現した本
格的な加速器はサイクロトロンであった。Fig. 2

2.1. 静電場加速にサイクロトロンの原理図を示す。図のように磁電子や荷電粒子の加速は、電場 E を使って行われ場により運動する荷電粒子を回転させながら電る。もっとも単純な加速方式は、Fig. 1 のようにコンデンサのようなギャップ間に 直流電圧をかけて、電子などの荷電粒子を加速させる方式である。この方式で電子を加速する場合は、印加した極間に粒子がきたとき常に加速方向に電場が向くように高周波を印加している。
また、線形に電極を並べたヴィデレー型ライナ
ックの原理図をFig. 3 に示す。これも、ギャップ

間を粒子が通過するときに常に加速電場を受けるように粒子の速度と高周波の周波数を合わせておく。
しかし、ヴィデレー型ライナックで可能な周波数は 10MHz 程度であり、軽い粒子には適してはいない。そこで、さらに高周波を用いて効率よく加速するために共振空洞に高周波を共振させて加速させる方法が開発された。共振空洞を利用す

Fig. 3 ヴィデレー型ライナック

るものには、Fig. 4 に示すようなヴィデレー型ラ
イナック、Fig. 5 の円盤装荷導波管がある。
ヴィデレー型ライナックは共振空洞内の粒子が常に加速電場を感じるように空洞内にドリフ
トチューブを挿入し、逆電場がかかるときにはドリフトチューブ内を粒子が通過するようにしている。
円盤装荷型導波管では、もともと位相速度が光速を超えてしまう導波管の中に円盤を取り付け

Fig. 4 アルバレ型ライナック

ることで位相速度を落とし粒子の速度と一致させることで常に加速電場を受けられるようにしている。
また、ひとつの空洞共振器を何度も通過させる
ことで加速を行う加速器をシンクロトロンといいFig. 6 に示すような構造になっている。
Fig. 5 円盤装荷導波管

Fig. 2 サイクロトロン

Fig. 6 シンクロトロン

W=
Vcavity2

2
CVcavity2

2

V cavity=ω ( R / Q)

= V cavity = ω ( R / Q)W = ( R / Q)QL PRF(2-1)

なので、荷電粒子が通過する前と後のエネルギーの差 ΔW は以下のように、電荷のポテンシャルエ
ネルギーになる。
Fig. 7 ERL 用の超伝導空洞
2.2.1. 高周波空洞のギャップにおける荷電粒子との相互作用ΔW =C (Vcavity ± ΔVbeam )2 − CVcavity 2
(2-2)

2

±CVcavity ΔVbeam = ±qVcavity
これから、低い電圧で大電流のビームを、短い
ギャップ(小さい R/Q)かつ低い Q の空洞で減速しde-て、高周波エネルギーを取り出し(電子管)、R/Q
及び Q が高い空洞(加速管)に入れる事で回路におVbeam=q/C

けるトランスのような働きができ、高電界での加速が可能になる事が分かる。
しかも高周波では位相速度をビームの速度に合わせる事で、連続的に加速ができるため、繰り返しで、いくらでもエネルギーを上げられるというのが、高周波加速の非常に優れた点である。

E=Vcavity/d

高圧電源

低電力RF系

電子管

PRF
Fig. 8 空洞に入射する荷電粒子の概念図

加速管

加速管

C をギャップの容量、 ω を角振動数、空洞のパラ

Fig. 9 高周波加速器の概念図

メーターについては後述だが、とりあえずシャン
トインピーダンスを(R/Q)、負荷 Q 値を QL などとFig. 9 は高周波加速器の概念図であり、全体のεS1
おく。C ==の平板に電荷 q の荷電
d ω ( R / Q)
粒子が入射した場合に放射される電圧は
ΔVbeam = q / C となる。
蓄積されている電磁界のエネルギーW はエネルギーの流れは以下のようになっている。
• DC 電圧(～100kV)、パルス高電圧(～500kV)の大電流(～数 100A)電子ビームのエネルギー↓ (低電力ＲＦによる変調)

• ギャップが短く(低い R/Q)、少ない高周波の蓄

これが０になる時

積(低いＱ値)の高周波空洞で高周波を取り出しVbeam =↓ (大電力高周波)±
QL ΔVbeam= I (R / Q )QL (e j δφ − 1)
2π

(2-5)

• 大きい高周波の蓄積(高い Q 値)で長いギャッ
プ(高い R/Q)の高周波空洞に高周波を蓄積して、例えば数十 MV、数 100mA のビームの集群・加速の電圧が空洞に発生する事になる。

3. 高周波の基礎

2.2.2. ビームの減速(エネルギー回収)

3.1. 電磁波の復習

加速管に減速位相で入射した場合、ビームの減速

電磁波は以下のマクスウェル方程式に従うこと

により、加速空洞のエネルギーが上がる。ここではよく知られている。

重要なのは、電磁波は単純に和であり、空洞の損失が少ない場合、ビームの減速による空洞電圧は線形に上がるので、空洞エネルギーは２乗で増え∇× H = J +

∂D
∂t

(3-1)

ていく。Vbeam の足し算であっという間に増えてしまう事である。この性質がビームウェーク場による加速が興味深い所でもある。

∇× E = −ERL では、加速したビームを、再度加速管に減速位相で入射する事で、加速したビームエネルギーを回収し、一時的に例えば数 100MW という、
投入電力よりもはるかに大きい総電力のビームを得る事ができる。ビーム電流の損失や位相のず

∂B
∂t

(3-2)

∇⋅ D = ρ(3-3)∇⋅ B = 0(3-4)

れが無ければ、原理的には式(2-2)のビームによる

これらは物質に無関係にいつでも成り立つ基本

損失エネルギーをΔW= qVcavity - qVcavity = 0 にで的な式であってマクスウェルの基本方程式と呼きる。実際には、位相のずれなどのエラーがあり、ばれる。これに物質の性質に関する式、

加速ビームの位相のずれは０、減速ビームの位相のずれをδφとすれば、±
ΔVbeam= −ΔVbeam + ΔVbeame j δφ

= ΔVbeam (e j δφ − 1)

(3-5)

B = μH(3-6)

J = σE

(3-7)

(2-3)

この位相のずれた成分は、そのまま空洞に蓄積されていく。ここで空洞中の最大到達電圧は、荷電粒子流 I = qf が通過する際のエネルギーと、空洞内部及び外部への損失エネルギーの総和がつり合った時なので、

dW±= fCVbeam ΔVbeam
− PL
dt
2
±
V
Vbeam
ΔVbeam= beam−2π(R / Q )(R / Q )QL

D = εE(2-4)

が加わって方程式系として完結する。
導波管など物体を伝わらせて電磁波を送る場
合の伝送電磁波に対する方程式を求めるには以下のようにする。まず、電場・磁場をE = E0 (x , y )e j ωt −γz z(3-8)

H = H 0 (x , y )e j ωt −γz z(3-9)

の形におき、 γz が純虚数

(3-17)

γz = j βz(3-10)となる場合に z 方向に進む波となる。真空中のマ
ク ス ウ ェ ル 方 程 式 ( σ = 0, ρ = 0 ) に 式 (3-8) 、(3-9)を代入すれば

完全導体、完全磁気壁ではそれぞれ、接線方向の(3-11)

∂x

2

∂2H z
∂x

2

+

∂y

2

∂2H z
∂y

2

しくは磁界が０である、従って、境界の法線方向

n × E s = 0, n ⋅ H s = 0

完全導体

n × H s = 0, n ⋅ E s = 0

完全磁気壁(3-19)

また誘電率の違う媒質同士の境界条件は境界の接線方向を t として以下である。
(3-12)n ⋅ Ds1 = n ⋅ Ds 2 , t ⋅ E s1 = t ⋅ E s 2
3.3. Maxwell 方程式の積分形と TM/TE モード
Maxwell 方程式を積分形は、= −( ω 2εμ + γz 2 ) Ez

⎛ ρ⎞
E = − ∫ G ⎜ ∇ + jωμ J 0 ⎟ dVV⎝ e⎠+ ∫ ⎡⎣ − jkzH × n − ( n × E )(3-13)

S(3-20)

×∇G − ( E in ) ∇G ⎦⎤ dS= −( ω 2εμ + γz 2 ) H z(3-14)

2(3-15)∂H(3-21)

×∇G − ( H in ) ∇G ⎦⎤ dS
この Maxwell 方程式の積分形は、結果の式は本やうが、導出過程の書物が見つからなかったので、私が導出した過程を付録に書いておいた。完全導(3-16)∂E⎡⎛k ⎞+ ∫ ⎢⎜ J 0 + j E ⎟ × n − ( n × H )
S
Z ⎠
⎣⎝

論文に書いてあるが、私の調べ方が悪いのだと思∂H∂E( ω2εμ + γz 2 )Ey = j ωμ ∂xz − γz ∂yz( ω2εμ + γz 2 )H x = j ωμ ∂yz − γz ∂xz

H = − ∫ G ( −∇ × J 0 ) dVV∂H∂E
( ω εμ + γz )Ex = −j ωμ ∂yz − γz ∂xz
2

ポテンシャル差が０であり、接線方向の電界、もを n として、以下のような境界条件が成り立つ。

となり、この式と ∇ ⋅ E = 0, ∇ ⋅ H = 0 から

∂2Ez

(3-18)

3.2. 境界条件

⎛ ∂Ez
⎞ ⎛
⎞
⎜⎜
+ γz Ey ⎟⎟⎟ ⎜⎜ −j ωμH x ⎟⎟
⎟
⎟ ⎜
⎜⎜ ∂y
⎟⎟
⎟⎟⎟ ⎜⎜⎟⎜⎜⎜∂Ez ⎟ ⎜⎜⎟⎟ = ⎜ −j ωμH y ⎟⎟⎟⎜⎜ −γz Ex −⎟⎟⎜∂x ⎟⎟ ⎜⎜⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜ ∂E⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜ y − ∂Ex ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎝ ∂x∂y ⎟⎠ ⎜⎝ −j ωμH z ⎟⎠+∂Hが導かれる。

⎛ ∂H z⎞ ⎛⎞+ γz H y ⎟⎟⎟ ⎜⎜ j ωεEx ⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜⎜ ∂y
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎟⎜⎜∂H z ⎟⎟ ⎜⎜⎟⎟ = ⎜ j ωεEy ⎟⎟⎟⎜⎜ −γz H x −⎟⎜∂x ⎟⎟ ⎜⎜⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜ ∂H⎟⎟∂H x ⎟ ⎜
⎟⎟
y
⎜⎜
⎟⎟ ⎜
−
⎟
ωε
j
E
⎜
⎜⎝ ∂x
⎠
z ⎟
∂y ⎟⎠ ⎝∂2Ez

∂E

( ω2εμ + γz 2 )H y = −j ωμ ∂xz − γz ∂yz体の境界条件の式(3-19)を代入すると、

E = ∫ ⎣⎡ − jkzH S × n − ( E S in ) ∇G ⎦⎤ dS
S(3-22)

H = ∫ − ( n × H S ) × ∇GdS

(3-23)SRS =となる。ここで XY 平面上の２次元的に囲まれ、z軸方向に伸びている導波管などのパイプ形状の物を考え、境界表面での磁場を

1

=

δσ

ωμ ωμδ
=2σ
2(3-28)

3.4.2. 超伝導の表面抵抗
第一種超伝導体は BCS 理論に従っており、クー⎛ H ⎞ ⎛0 ⎞⎜⎟ ⎜⎟H S = H Sxy + H Sz = ⎜ H Sy ⎟ + ⎜ 0 ⎟⎜0 ⎟ ⎜ H z ⎟⎝⎠ ⎝ S⎠
xS

パーペアがマイクロ波により励起され常伝導電(3-24)

子となる電子の数は統計的に計算できる。これにより計算された BCS 理論値を RBCS 、空洞の表面状態による残留抵抗を Rres として、全表面抵抗はと XY 成分と Z 成分に分離する。なお ∇G は面積

以下のようになる。

分する、もしくは境界垂直面では、法線方向にな

RS = RBCS + Rresる。 H S = H S の時は、導波管内部の磁場の z 成xy

分 H z = 0 だが、電界の z 成分 Ez ≠ 0 となり、TM(Transverse Magnetic)モードと呼ばれる。また H S = H S の時は導波管内部の電界の z 成分zEz = 0 だ が 、 磁 場 の z 成 分 H z ≠ 0 と な り
TE(Transverse Electric)モードと呼ばれる。これ
らから、導波管内を伝播する電磁波は TM モードと TE モードの重ね合わせである事が分かる。
3.4. 表面抵抗

RBCS = A⎛ Δ ( 0 ) Tc ⎞⋅ ⎟exp ⎜ −T
⎝ k BTc T ⎠ω2(3-29)(3-30)

ここで k B はボルツマン定数、 Δ (0) は 0[K]でのギャップエネルギー、 Tc は超伝導臨海温度である。
係数 A は超伝導体によって決まる定数である。
T<Tc の温度範囲では Nb では半実験式が使える。
2

1⎛ f ⎞⎛ 17.67 ⎞RBCS = 2 × 10⎜
⎟ exp ⎜ −⎟T ⎝ 1.5 ⎠T ⎠⎝−4

3.4.1. 常伝導の表面抵抗
導電体表面では導電率が大きく変位電流は無視できるため、以下のようになる。
(3-25)−(1+ j )2

である[10]。電力は周波数が低い場合は通常の電線を用いるが、高周波になると漏洩が大きく普通

これを導体の深さ方向を d として解くと

H (d ) = H (0)e jωt e

4. 伝送線路
伝送線路とは電磁波を輸送するための金属の管∂H
ΔH = μσ= jωμσ H∂t

ωσμの電線では電力を輸送することができない。そこ
で、低電力の場合は同軸線路、大電力の場合は導d(3-26)

波管が用いられる。

となり、電流は指数関数的に深さ方向に減衰する

4.1. 位相速度と群速度事が分かる。ここで電流もしくは磁界が 1/e にな

単色平面波

る深さを表皮深さ(δ)と言う。

δ=

2

ωσμ

(3-31)u ( x , t ) = u0 e j ( ω t − β x )(3-27)

ここで表皮抵抗 RS を以下のようにおけば、(4-1)の位相速度 v p は明らかに以下の式で示される。

vp =

ω
β

(4-2)

もし、どの周波数においてもこの単色平面波のvg =

速度が等しいならば、このような波で構成された

dω
dβ

(4-9)

波束は同じ速度で伝わっていく。しかし、一般には伝播速度 vg は、波数 β によっている。したがっである。

て、波束は新たな特徴を持つ。調和的な波動の重4.2. 同軸線路

ね合わせの一般形は

同軸線路は、原理的には周波数分散性が無く、カu ( x, t ) =1 ∞u0 ( β ) e j ( ω t − β x ) d β∫−∞
2π

ットオフ周波数も無いため、通常の高周波の伝送(4-3)

ここで、 u0 ( β ) は波数 β に対する振幅である。
この波の角振動数は β によって違うので、

ω = ω (β )(4-4)

布していたとすると、 β 0 に近い波数の波のみが(4-3)に関与でき、(4-4)の線形近似∫ u (β )e
−∞

0

⎞⎤

(4-11)j (ωt −kz z )(4-12)

を代入すると、− k z Er = −ω εμ Er = − jωμ Hθ

⎡⎛ dω ⎞⎤t ⎟⎥⎢ − j β ⎜⎜ x −⎟⎢⎣⎝ d β 0 ⎠ ⎥⎦(4-6)

(4-13)

μ
H
ε θ

Er =

dβ

これを同軸線路の内導体の半径 a、外導体の半径b として、積分すると、

1 ∞
u0 ( β ) e − j β x d β
∫
−∞
2π

(4-7)

dω
t である。よって
dβ 0⎡ ⎛この波束の速度を群速度 vg と呼び、

(4-8)

μ I
⎛b⎞
log ⎜ ⎟
ε 2π
⎝a⎠(4-14)

従って特性インピーダンスは以下となる。

ZTEM =dω ⎞ ⎤⎛⎞ ⎢⎣⎢ j ⎜⎜⎝ ω − β0 d β 0 ⎟⎟⎠t ⎥⎦⎥dωu ( x, t ) = u ⎜⎜ x −t, 0 ⎟ ed β 0 ⎟⎠⎝b

V = ∫ Er dr =a

したがって、式(4-6)の積分は u ( x′,0 ) と見なせる。
但し、 x′ = x −Hθ (r )2π r = I
また Er = Ere

式(4-3)より、 t = 0 のとき

u ( x, 0 ) =∂∂E( rHθ ) = 0, r = − jωμ Hθ
∂r∂r
外導体の内側と外側の経路積分を考えると

1 ⎢⎣⎢ j ⎜⎜⎝ ω0 − d β 0 β0 ⎟⎟⎠t ⎥⎦⎥u ( x, t ) =e
2π∞(4-10)となる。マクスウェル方程式は、以下となる。

(4-5)

で十分である。式(4-3)に代入すると
dω

ドのみである。TEM モードでは、円筒座標でこれから rH θ が定数である事が分かる。

dω( β − β0 )
dβ 0

⎡ ⎛

波長に比べて半径が十分小さい場合は TEM モー

Ez = Eθ = H z = H r = 0と書ける。もし u0 ( β ) がある β 0 の周りに鋭く分ω ( β ) = ω0 +は同軸線路を用いる。同軸線路の伝送モードは、

V
=
I

μ 1
⎛b⎞
log ⎜ ⎟
ε 2π
⎝a⎠(4-15)

4.3. 導波管

Ez = A sin kx x sin kyy(4-18)となり、 x = a, y = b で Ez = 0 を考慮すると、

4.3.1. 矩形導波管
矩形導波管は、大電力高周波の輸送にもっともよkx =く使われるものであり、四方を良導体で囲まれた筒状のものである。矩形導波管の形をFig. 10 に示す。Fig. 10 において電磁波は z 方向に進む。
導波管の中を進む波のうち、Ez =/ 0, H z = 0

ぶ。

(4-19)

ただし、 m, n は 0 でない整数である。したがって、固有値 k が、のものを TM 波または E 波と呼ぶ。ま た、Ez = 0, H z =/ 0 のものを TE 波または H 波と呼mπnπ, ky =abkc

2⎛ m π ⎞⎟2 ⎛ n π ⎟⎞2222= kx + ky = ⎜⎜⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ kmn
⎜
⎜
⎝ a ⎠
m, n = 1,2,

⎝ b ⎠(4-20)
を満たすときのみ解が定まる。 kmn に対するものを TM mn モードという。 Ez を式(3-15)、(3-16)、(3-17)、(3-18)に代入すると他の成分も求められ以下のようになる。

j β mπ
m πx
n πy
cos
sin
a
b
kc 2 aj β nπm πxn πyEy = −A
sin
cos
2 b
a
b
kc
m πx
n πy
Ez = A sin
sin
a
b
Ey
j ωε n πm πxn πy(4-21)
Hx = −
sin
cos
=A
Z mn
a
b
kc 2 bEj ωε m πm πxn πy
H y = x = −A
sin
cos
2
Zmn
a
b
kc a
Hz = 0Ex = −A

Fig. 10 矩形導波管
TM モードTM 波の方程式は、式(3-13)より、

∂2Ez
∂x

2

+

∂2Ez
2

+ kc 2Ez = 0∂y22
kc = ω εμ + γz 2 = k 2 − β 2(4-16)という２次元の固有値問題になり、境界条件は金属 表 面 で電場 が 垂 直なの で 、 x = 0, a お よび

y = 0, b のときに Ez = 0 である。

kc

2

ω εμ

Z0

に は γz が 純 虚 数 で な け れ ば な ら な い か ら 、(4-17)= kx2 + ky2の形をとる。ただし、境界条件 x = 0, y = 0 でEz = 0 を考慮すると、

β

導波管の中を電磁場が波として進行するため

式(4-16)の解は、

Ez = (C 1 sin kx x + C 2 cos kx x )× (C 3 sin ky y + C 4 cos ky y )Zmn =ω 2εμ > kc 2 でなければならない。したがって、
TM mn モードは

ω > ωc , ωc =kmn
εμ(4-22)

の場合のみ導波管を通過し、ωc 以下の角周波数は通過しない。ωc に対する周波数 fc =

ωc
2π

を遮断周

TE モードTE 波の方程式は、式(3-14)より、波数(cutoff frequency)と呼ぶ。

ωc に対する波長 λc は遮断波長と呼ぶが、 λc よ∂2H z

りも波長が短いものだけが導波管を通過できる。

2管内での波長 λg は自由空間での波長 λ より大きくなり、次の関係がある。

λc =

λg =

2π

ωc εμ

2π
=
β
1
=
λg

=

2π
kmn

εμ ω 2 − ωc2

λ

2

−

∂y

2

+ kc 2H z = 01

λc2(4-23)⎛ ωc ⎞⎟2dωvg == c 1 − ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎝ ω ⎟⎠
dβ

∂n

∂H z
∂y

= 0 とい
∂H z

=0

∂x

= 0 である。式(4-30)の解は、式(4-17)と同じ形になるが、境界条件を考慮すると、

H z = A cos kx x cos kyy(4-31)mπnπ, ky =ab(4-32)(4-25)kx =また、管内での波の群速度 vg は∂H z

う条件である。よって、x = 0, a のときであり y = 0, b のとき(4-24)(4-30)という固有値問題になり、境界条件は金属表面では磁場の法線方向への 微分が 0、

2π

1

∂x

+

∂2H z

となる。m, n は整数であるが、今の場合それらを0 に し て も Hz = 0 に は な ら な い 。 た だ し 、(4-26)である。伝送電力と単位長当たりの伝送損失およm = n = 0 の場合においては kc = 0 となり、
ω = 0 となってしまうから m, n のうち一つだけが 0 になりうる。ゆえに、

び減衰定数は次式のように求まる。

PTM = ∫ Re( S z )dS =
S

1
2
ET dS
∫
S
2Z TM

1 λc2
=A
ab
8Z TM λλgkc
(4-27)

2⎛ m π ⎞⎟2 ⎛ n π ⎟⎞2222= kx + ky = ⎜⎜⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ kmn
⎜
⎜
⎝ a ⎠
⎝ b ⎠
m, n = 0,1,2,m =n =02

Rs
2
H T ds
∫
C
C
2
2
2
2 2 ⎡
⎛ mπ ⎞⎛ nπ ⎞ ⎤2 Rs ω ε
=A
⎢⎜
⎟ b+⎜
⎟ a⎥
2 kc4 ⎣⎢⎝ a ⎠⎝ b ⎠ ⎦⎥

(4-33)
を満たすときのみ解が定まる。 kmn に対するもの
を TE mn モードという。 H z を式(3-15)、(3-16)、

ploss ,TM = ∫ Re(− S n )ds =α=2
Rs λg λc2 1 ⎡⎛ mπ ⎞2⎛ nπ ⎞ ⎤
b
+
⎢⎜
⎟
⎜
⎟ a⎥
2 ZTM λ ab ⎢⎣⎝ a ⎠⎝ b ⎠ ⎥⎦

(3-17)、(3-18)に代入すると他の成分も求められ以(4-28)(4-29)

下のようになる。

ードの基礎になっているので非常に重要である。
j ωμ n π
m πx
n πy
cos
sin
Fig. 11 に円形導波管の形と円柱座標系を示す。
abkc 2 bj ωμ m π
m πx
n πy
sin
cos
Ey = −Z mn H x = −A
2 a
a
b
kc
Ez = 0j β mπ
m πx
n πy
sin
cos
Hx = A2 aabkc
j β nπ
m πx
n πy
sin
cos
Hy = Aab
kc 2 b
m πx
n πy
cos
H z = cosab
Fig. 11 円形導波管
ω εμ
Zmn =
Z0
β

Ex = Zmn H y = A

TM モード(4-34)
普通、矩形導波管では TE 01 モードを使って RFTM 波 で あ る の で H z = 0 と し て 円 柱 座 標 系(r , θ, z ) を使い、式(3-13)を書き直すと輸送を行う。
伝送電力と単位長当たりの伝送損失および減

∂2Ez

+

1 ∂E z1 ∂2Ez++ kc 2Ez = 0 (4-38)
2
2
r ∂r
r ∂θ

衰定数は次式で与えられる。

∂r 2⎛⎧2 n = 0 ⎞1 λc2 ε nε m
PTE = A ζab ⎜ ε n = ⎨⎟2 λλg 4
⎩1 n ≠ 0 ⎠⎝となる。Fig. 11 のとおり導波管の半径を R とし、

2(4-35)
2
1 1 ⎧⎪ k 2 − kc2 ⎡⎛ mπ ⎞ploss ,TE = A⎢⎜⎨⎟ a
2 σ cδ s ⎪⎩ kc4 ⎢⎣⎝ a ⎠Ez = 0 である。式(4-38)の解は、 m 次の Bessel
関数( m = 0,1,2,)を J m とすると、

Ez = J m (kcr ) ( A cos m θ + B sin m θ )2(4-36)⎫⎪⎛ nπ ⎞ ⎤
+⎜
+
+
ε
ε
b
a
b
(
)
⎥
m
n ⎬
⎟
⎝ b ⎠ ⎦⎥⎪⎭
2

(4-39)の形になる。ここで、境界条件を考慮すると、J m (kc R) = 0(4-40)となる。J m の n 番目の 0 点を jmn と書くと、k と

η λλg 2 1 ⎧⎪ k 2 − kc2 ⎡⎛ mπ ⎞α=a⎢⎨σ cδ s λc2 ε nε m ab ⎪⎩ kc2 ⎢⎣⎜⎝ a ⎟⎠

して

2

⎫⎪
⎛ nπ ⎞ ⎤
+⎜
+
+
b
a
b
ε
ε
(
)
⎥
m
n ⎬
⎟
⎝ b ⎠ ⎦⎥⎭⎪
2

中 心 軸を z 軸 と す ると 、境 界 条件 は r = R で(4-37)

jmn
R; n = 1,2,

kmn =(m = 0,1,2,(4-41))
2

4.3.2. 円形導波管
円形導波管は、矩形導波管と比べると実用的に使用されることはあまりないが、加速管の電磁場モの値をとり、 kc 2 = ω 2 εμ + γz 2 = ( jmn / R )である。

H z = 0 として、 Er = Ex cos θ + Ey sin θ ,E θ = −Ex sin θ + Ey cos θ ,∂∂x= cos θ ∂ ,∂r∂= sin θ ∂ を 考 慮 す る と 式 (3-15) 、 (3-16) 、∂y∂r(3-17)、 (3-18)はTE モードTM 波は Ez = 0 として円柱座標系 (r , θ, z ) を使
い、式(3-14)を書き直すと

Er = −

j β ∂E z
kc 2 ∂r(4-42)

∂2H z
∂r 2

+

1 ∂H z1 ∂ 2H z++ kc 2H z = 0
2
2
r ∂r
r ∂θ
(4-48)

j β 1 ∂Ez
Eθ = −
kc 2 r ∂θ

(4-43)となる。ここで、境界条件は r = R で

∂H z
∂r

= 0で

ある。式(4-48)の解は、式(4-39)と同型になるが境

Hr =界条件を考慮すると、

j ωε 1 ∂Ez
kc 2 r ∂θ

Hθ = −(4-44)j ωε ∂Ez
kc 2 ∂r(4-45)となる。Ez = AJ m ( kmn r ) cos m θ として上記の式に代入すると以下のようになる。

R⎛ j ′ ⎞⎟2
kc 2 = ⎜⎜⎜ mn ⎟⎟⎜⎝ R ⎟⎠(4-46)c44kc Z 0)をとる

(4-50)である。

Ez = 0 として、 Er = Ex cos θ + Ey sin θ ,E θ = −Ex sin θ + Ey cos θ ,∂∂x= cos θ ∂ ,∂r∂= sin θ ∂ を 考 慮 す る と 式 (3-15) 、 (3-16) 、∂y∂r(3-17)、 (3-18)は

る。

k βπ

; n = 1,2,

ことになる。 k 2 のとり得る値は

この際の伝送電力、減衰定数は以下のようにな

PTM =

′
′
0 点を jmnと書くと、 kc R = jmnとなるように、j′j β jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎞⎟Jm ⎜r ⎟ cos m θ⎜⎝ R ⎟⎟⎠
kc 2 R⎛j⎞jβ mEθ = AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θ⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 r⎛j⎞
Ez = AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ cos m θ⎜⎝ R ⎠⎟⎛j⎞j ωε mH r = −AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θ⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 rj ωε jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎞⎟H θ = −AJm ⎜r ⎟ cos m θ⎜⎝ R ⎟⎠⎟
k2 R(4-49)′の n 番目のとなり、m 次の Bessel 関数の微分 J m

kmn = mn ( m = 0,1,2,

Er = −A

Hz = 0J m′ (kc R) = 0⎛ ′⎞⎜⎜J (r ) = dJ m (r ) ⎟⎟⎜⎝ m
dr ⎟⎠⎟

2

jmn 2J m′ ( jmn R ) ε0Rk2
α = s / 1− c
RZ 0
k 04

(4-47)Er =j ωε 1 ∂H z
kc 2 r ∂θ

(4-51)j ωε ∂H z
kc 2 ∂r(4-52)

j β ∂H z
kc 2 ∂r(4-53)

Eθ = −

Hr = −

Hθ = −

j β 1 ∂H z
kc 2 r ∂θ

(4-54)となる。H z = AJ m ( kmn r ) cos m θ として上記の

る。

PTE =

Z 0k βπ
4kc

4

′ 2
′
− m 2 )J m ( jmn
( jmn
) ε0

⎞⎟
Rs
kc 2 ⎛⎜ kc 2
m2
⎟⎟
/ 1−
α=
× ⎜⎜
+
′ 2
RZ 0
k04 ⎜⎝ k04
jmn− m 2 ⎟⎠

式に代入すると以下のようになる。

⎛ j′⎞⎟j ωε mJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θ⎜⎝ R ⎠⎟
kc 2 r′⎛ j′⎞⎟j ωε jmn
E θ = −A
J m′ ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θ⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 R
Ez = 0′⎛ ′⎞j β jmn′ ⎜ jmn ⎟H r = −AJ m ⎜⎜r ⎟⎟ cos m θ
kc 2 R⎝⎜ R ⎟⎠
⎛ j′
⎞⎟
jβ m
Hθ = AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θ
kc 2 r⎝⎜ R ⎟⎠⎛ j′⎞⎟
H z = AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θ⎜⎝ R ⎠⎟

この際の伝送電力と、減衰定数は以下のようにな

Er = −A(4-56)
円形導波管の減衰率
円形導波管の減衰率の例として、Fig. 12 に内径80mmφの 円形導波管の様々な伝搬モードでの(4-55)

損失をプロットしてみた。
通常のモードは単位長さ当たりの損失が最小になる周波数が存在する事が分かる。しかし TE0n
モードだけは特別で、周波数が上がれば着々と損失が減るため、長距離伝送に向いている事が分かる。

Fig. 12 円形導波管の減衰率

13 のように x , y, z 座標軸をとり、それぞれの辺の5. 空洞共振器

長さが a,b, d であるとする。

例えば、導波管をある長さのところで切り、両端

これは、 z 方向の導波管が z = 0, d で閉じたもに導体でふたをするとその中で電磁波が反射をのと考えると、両端で電磁波が反射し z 方向と繰り返し、波長の合うものが共振する。このように、閉じた導体中で電磁場の共振を生じさせるも−z 方向の波が重なり合い定在波を作る状態である。電磁波が z 方向に進むときは、 γz = j β であのを空洞共振器という。

るが、−z 方向に進むときは、γz = −j β である。

これは、導波管にふたをしたものに限らず、どのような形のものでも共振を生じさせることができる。定在波加速管はまさにこの空洞共振器で両端では、 E は端面に垂直であるので、

Ex = Ey = 0 である。

ある。
空洞の内部の電磁波は以下のヘルムホルツ方
程式(Δ + k ) E = 0(Δ + k ) H = 0
2

c

(5-1)

2

c

を、以下の境界条件で固有モードを解けば、

n × E s = 0, n ⋅ H s = 0

完全導体

n × H s = 0, n ⋅ E s = 0

完全磁気壁

Fig. 13 直方体空洞共振器
TM モード

以下のような直交関数の固有モードが得られる。

矩形導波管の TM モードの結果、式(4-21)より、z方向に進む波（進行波）は∇ × En = − jkn Z n H n∇ × Hn = j

kn
En
Zn

(5-2)

∫ E ⋅ E dV = ∫ Z H ⋅ Z H dV = δ
n

m

n

n

m

m

nm

なお完全導体ではなく、金属のような導体上の場
合は、変位電流が無視できて、境界条件は前述の表皮抵抗を利用して、

n × E s = −(1 + j ) Rs H s

導体

(5-3)

と書けるが、Rs は金属では小さいため、内部の電磁界の形にはほとんど影響を与えず、完全導体の場合の固有モードが通常はそのまま使える。
5.1. 直方体空洞共振器
直方体空洞共振器は、ある長さの矩形導波管の両端に導体でふたをしたものと考えられる。今、Fig.

j β mπm πxn πy − j βz
e
cos
sin
a
b
kc 2 aj β nπm πxn πy − j βz
Ey = −A
e
sin
cos
2 b
a
b
kc
m πx
n πy − j βz
Ez = A sin
e
sin
(5-4)
a
b
j ωε n πm πxn πy − j βz
Hx = A
e
sin
cos
2 b
a
b
kc
j ωε m πm πxn πy − j βz
H y = −A
e
sin
cos
a
b
kc 2 aHz = 0Ex = −Aと表され、 −z 方向に進む波（後退波）はこの結果の β を −β に置き換えたもので表されるので

j β mπm πxn πy j βz
e
cos
sin
2 a
a
b
kc
j β nπm πxn πy j βz
Ey = A
e
sin
cos
2 b
a
b
kc
m πx
n πy j βz
Ez = A sin
e
sin
a
b
j ωε n πm πxn πy j βz
Hx = A
e
sin
cos
a
b
kc 2 bj ωε m πm πxn πy j βz
H y = −A
e
sin
cos
2 a
a
b
kc
Hz = 0⎛ m2 n2p2 ⎞++ ⎟⎟⎟ π 2
ω 2 εμ = kc 2 + β 2 = ⎜⎜⎜⎜⎝ a 2b2
d 2 ⎟⎠(m = 1,2, ; n = 1,2, ; p = 0,1,2, )Ex = A

(5-9)
(5-5)

= j (e − j βz + e j βz ) = −2 sin βzpπ(p = 0,1,2, )
d

(5-6)

2

2

2

(5-10)TE モード矩形導波管の TE モードの結果、式(4-21)より、z方向に進む波（進行波）は(5-7)とすると z = 0, c で sin βz = 0 となる。したがって、進行波と後退波を足しあわせたとき、

z = 0, c で Ex = Ey = 0 と す る た め に は 式(5-7)の条件が必要になる。 進行波と後退波の和をとり 2 で割ると以下の結果を得る。

1 pπ m π
m πx
n πy
p πz
cos
sin
sin
2 d a
a
b
d
kc
1 pπ n π
m πx
n πy
p πz
Ey = −A
sin
cos
sin
2 d b
a
b
d
kc
m πx
n πy
p πz
Ez = A sin
sin
cos
a
b
d
j ωε n π
m πx
n πy
p πz
Hx = A
sin
cos
cos
a
b
d
kc 2 bj ωε m π
m πx
n πy
p πz
H y = −A
sin
cos
cos
2 a
a
b
d
kc
Hz = 0Ex = −A

(5-8)
このとき、

2

⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ 2 ε p ⎞ ⎛ n ⎞ 2 ⎛ 2 ε p ⎞ ⎤/ ⎢⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎥⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ a d ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ b d ⎠ ⎥⎦⎛⎧1 p = 0 ⎞⎜ε p = ⎨⎟⎩2 p ≠ 0 ⎠⎝であり、このとき

β =λ ⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤ ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ p ⎞Q=⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ × ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟2δ s ⎣⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦⎥ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ d ⎠2となる。ところで、−je − j βz + je j βzとなる。またこの空洞のＱ値は以下である。

j ωμ n πm πxn πy − j βz
cos
sin
e
2 b
a
b
kc
j ωμ m πm πxn πy − j βz
sincos
Ey = −Aeabkc 2 aEz = 0(5-11)
j β mπm πxn πy − j βzsincos
Hx = Aeabkc 2 aj β nπm πxn πy − j βzsincos
Hy = A
e
2 b
a
b
kc
m πx
n πy − j βzcos
H z = coseab
Ex = Aと表され、 −z 方向に進む波（後退波）はj ωμ n πm πxn πy j βz
sin
A cos
e
a
b
kc 2 bj ωμ m πm πxn πy j βz
cos
Ey = −
A sin
e
2 a
a
b
kc
Ez = 0j β mπm πxn πy j βz (5-12)cos
Hx = −A sineab
kc 2 aj β nπm πxn πy j βzcos
Hy = −A sineab
kc 2 bm πxn πy j βzcos
H z = cos
e
a
b
Ex =

となる。この場合も進行波と後退波を足しあわせたときに Ex = Ey = 0 となるためには、式(5-7)の条件が必要になる。
進行波と後退波の和をとると以下の結果を得る。

j ωμ n π
m πx
n πy
p πz
cos
sin
sin
2 b
a
b
d
kc
j ωμ m π
m πx
n πy
p πz
sin
cos
sin
Ey = −A
2 a
a
b
d
kc
Ez = 01 pπ m π
m πx
n πy
p πz
sin
cos
cos
H x = −A
2 d a
a
b
d
kc
1 pπ n π
m πx
n πy
p πz
sin
cos
cos
H y = −A
2 d b
a
b
d
kc
m πx
n πy
p πz
cos
sin
H z = cosabd
Ex = A

3

2
2
2
2
2
λ ⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ p ⎞ ⎤ 2
Q = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥δ s ⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ d ⎠ ⎥⎦⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ 2 ε n ⎞ ⎛ p ⎞ 2/2 ⎢⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ + ⎜ ⎟⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ a b ⎠ ⎝ d ⎠2⎛⎛ ε⎛ 1 1 ⎛ n ⎞2 ⎞ ⎞ ⎤2 ⎞⎛ m ⎞n⎜ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ + 2 ⎜ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎥⎜ a d ⎝ b ⎠ ⎟ ⎟⎥⎜⎝ b L ⎠⎝ a ⎠
⎝
⎠ ⎠⎦
⎝

⎛
⎧1 n = 0 ⎞⎜εn = ⎨⎟
⎩2 n ≠ 0 ⎠⎝(5-15)
5.2. 円筒形空洞共振器
円筒形空洞共振器は、ある長さの円形導波管の両端に導体でふたをしたものと考えられる。今、Fig.
14 のように r , θ, z 座標軸をとり、円の半径を R 、高さを h とする。
これは、 z 方向の導波管が z = 0, h で閉じたものと考えることができる。

Fig. 14 円筒形空洞共振器(5-13)
このとき、2

ω εμ = kc

TM モード2円形導波管の TM モードの結果、式(4-46)より、z⎛ m2 n2p 2 ⎟⎞ 2⎜+ β = ⎜⎜++ ⎟⎟ π⎜⎝ a 2b2
d 2 ⎟⎠
2(m = 0,1,2, ; n = 0,1,2, ;p = 1,2, ; m = n = 0)方向に進む波（進行波）は(5-14)となる。またこの空洞のＱ値は以下である。

j β jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎞⎟Jm ⎜r ⎟⎟ cos m θe − j βz
2 R⎜
⎝ R ⎟⎠kc⎛j⎞jβ mEθ = AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θe − j βz⎜⎝ R ⎠⎟
kc 2 r⎛j⎞
Ez = AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ cos m θe − j βz⎜⎝ R ⎟⎠(5-16)⎛⎞
jj ωε mH r = −AJ ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θe − j βz
2 r m⎜⎝ R ⎠⎟kc
j ωε jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎟⎞H θ = −AJm ⎜r ⎟⎟ cos m θe − j βz
2 R⎜
⎝ R ⎟⎠k
Er = −Ac

Hz = 01 p π jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎞⎟
p πz
Jm ⎜
r ⎟⎟ cos m θ sin⎜⎝ R ⎟⎠hkc 2 h R⎛⎞j
1 pπ mp πzEθ = AJ ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θ sin
2 h r m⎜h
⎝ R ⎠⎟kc⎛j⎞
p πzEz = AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ cos m θ cos⎜⎝ R ⎟⎠h⎛⎞jj ωε mp πz
H r = −AJ ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θ cos
2 r m⎜h⎝ R ⎠⎟kc
p πz
j ωε jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎞⎟H θ = −AJm ⎜r ⎟⎟ cos m θ cos
2 R
⎜
⎟
h
⎝ R ⎠
kc
Hz = 0Er = −A(5-19)と表され、 −z 方向に進む波（後退波）はこのとき、

j β jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎞⎟Er = AJm ⎜r ⎟⎟ cos m θe j βz⎜
2 R
⎝ R ⎠⎟
k
c

⎛j
⎞
jβ m
J m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θe j βz⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 r⎛j⎞
Ez = AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ cos m θe i βz
(5-17)⎜⎝ R ⎠⎟⎛j⎞j ωε mH r = −AJ m ⎜⎜ mn r ⎟⎟⎟ sin m θe j βz⎜⎝ R ⎠⎟
kc 2 rj ωε jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎞⎟H θ = −AJm ⎜r ⎟⎟ cos m θe j βz
2 R
⎟⎠
⎜
R
⎝
k
E θ = −A

Hz = 0cとなる。進行波と後退波を足しあわせたときにEr = E θ = 0 となるためには、
β =pπ(p = 0,1,2, )h(5-18)の条件が必要になる。進行波と後退波の和をとり2 で割ると以下の結果になる。

2

ω εμ = kc(m = 0,1,2,

2

2⎛ jmn ⎞⎟2 ⎛⎜ p 2 ⎟⎞⎜⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟+β =⎜⎜⎝ R ⎟⎟⎠⎜⎝ d 2 ⎟⎠2; n = 1,2,

; p = 0,1,2, )(5-20)となる。またこの空洞のＱ値は以下である。

Q=R ⎛ ε pR ⎞/ ⎜1 +
⎟
δs ⎝
L ⎠

⎛
⎧1 p = 0 ⎞⎜ε p = ⎨⎟ (5-21)⎩2 p ≠ 0 ⎠⎝TE モード
円形導波管の TE モードの結果、式(4-55)より、z方向に進む波（進行波）は⎛ j′⎞⎟j ωε mEr = −AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θe − j βz⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 r′⎛ ′⎞j ωε jmn′ ⎜ jmn ⎟E θ = −AJ m ⎜⎜r ⎟⎟ cos m θe − j βz⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 R
Ez = 0′⎛ j′⎞⎟
j β jmn
H r = −A
J m′ ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θe − j βz⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 R⎛ j′jβ m⎟⎞Hθ = AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θe − j βz
kc 2 r⎝⎜ R ⎟⎠⎛ j′⎞⎟
H z = AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θe − j βz⎝⎜ R ⎟⎠(5-22)と表され、 −z 方向に進む波（後退波）は⎛ j′⎞⎟j ωε mJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θe j βz⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 r′⎛ j′j ωε jmn⎟⎞
E θ = −A
J m′ ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θe j βz⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 R
Ez = 0′⎛ j′⎞⎟(5-23)j β jmn
Hr = AJ m′ ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θe j βz
2 R⎜⎝ R ⎠⎟
kc
⎛ j′
jβ m
⎟⎞
H θ = −AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θe j βz⎜⎝ R ⎟⎠
kc 2 r⎛ j′⎟⎞
H z = AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θe j βz⎜⎝ R ⎟⎠
Er = −A⎛ j′⎞⎟j ωε mp πzEr = AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θ sin
2 r⎟⎜⎝ R ⎠
hkc′′
j ωε jmn ′ ⎛⎜ jmn ⎟⎟⎞p πzEθ = AJ m ⎜⎜r ⎟ cos m θ sin
2 R⎟⎜⎝ R ⎠hkc
Ez = 0
′
⎛ j′
⎞⎟
p πz
1 p π jmn
Hr = AJ m′ ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θ cos⎜⎝ R ⎟⎠hkc 2 h R
′
⎛
⎞
j
p πz
1 pπ m⎟H θ = −AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ sin m θ cos⎜⎝ R ⎟⎠hkc 2 h r
⎛ j′
⎞⎟
p πz
H z = AJ m ⎜⎜⎜ mn r ⎟⎟ cos m θ sinh⎝⎜ R ⎟⎠(5-24)
このとき、2

ω εμ = kc(m = 0,1,2,

2

2⎛ jmn ⎞⎟2 ⎛⎜ p 2 ⎟⎞⎜⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟+β =⎜⎜⎝ R ⎠⎟⎟⎜⎝ d 2 ⎟⎠2; n = 1,2,

; p = 1,2,
(5-25)となる。またこの空洞のＱ値は以下である。

⎛ ′ 2 ⎛ π pR ⎞ ⎞λ′ 2− m 2 ) ⎜ jmn
+⎜
Q=
jmn
(
⎟ ⎟⎟
⎜
2πδ s
L
⎝
⎠ ⎠
⎝
2

3
⎡ ′ 4
2⎛ R⎞
′
+ 2 (π pjmn
/ ⎢ jmn) ⎜⎝ L ⎟⎠⎢⎣2⎛ π mpR ⎞ ⎛ 2 R ⎞ ⎤+⎜⎟ ⎜1 −⎟⎥L ⎠ ⎥⎦⎝ L ⎠ ⎝

(5-26)

6. 空洞と伝送線路の結合

進行波と後退波を足しあわせたときにEr = E θ = 0 となるために β は TM モードのときと同じ条件である。進行波と後退波の和をとり

2i で割ると以下の結果になる。

6.1. 共振空洞と伝送線路の結合のマクスウェル方程式からの導出
ポインティングベクトル S = E × H を面積積分
し、Maxwell 方程式を代入すると以下のようになる。

ω∫ ( E × H ) ⋅ n dS = ∫ ∇ ⋅ ( E × H ) dV
= ∫ ( H ⋅∇ × E − E ⋅∇ × H ) dV
S

V

dW
dt

(6-4)

dW
ω
W − Pext − Pbeam
=−
dt
Qwall

(6-5)

Qwall

V

W + Pext = − Pbeam −並び替えると∂H∂E ⎞⎛= −∫ ⎜ μ H ⋅+ E ⋅J +εE ⋅
⎟ dV
V
∂t
∂t ⎠
⎝
d ⎛ μH 2 ε E2 ⎞= − ∫ E ⋅ J dV − ∫ ⎜
+
⎟ dV
V
2 ⎠
dt V ⎝ 2(6-1)となる。これは、振動を平均化したエネルギーのdW= − Pbeam −dt

時間変化を表した物だが、実際には H と E は９

これは良く知られているように、ポインティング

れば、振動解の時間発展の方程式を導出する事も０度ずれた振動をしており、２次の微分を計算す∫ ( E × H ) ⋅ n dS とビーム加速= ∫ E ⋅ J dV と電磁波エネルギ

ベクトルの面積分
エネルギー Pbeam
ーの時間変化VdW d ⎛ μ H 2 ε E 2 ⎞= ∫ ⎜+⎟ dV の2 ⎠dt
dt V ⎝ 2

総和が０であり、ポインテインングベクトルが電磁波の単位面積当たりのエネルギー流である事が分かる。
ここで、ポインティングベクトルの面積分を結合孔と導体壁に分け、ポインティングベクトルと法線ベクトルの内積を書き換え、導体表面について 式 (5-3) で 法 線 ベ ク ト ル の 向 き が 逆 な の で
H s = − H として、

∫ ( E × H ) ⋅ n dS
= ∫ ( E × H ) ⋅ n dS + ∫ (n × E ) ⋅ H dS
= P + (1 + j ) R ∫ H dS
hole

Shole

S wall空洞共振器は外部から励振されるため導波管などの伝送線路と結合されている。ここでは、空洞共振器を取り扱うとき重要になるパラメーターについて説明する[11]。
空洞共振器を特徴付けるパラメーターとしては、Q 値と結合係数 β がある。Q 値は次式で定義
される。

Q=

ω0W
P

(6-6)

ているエネルギー、 P ：損失（単位あたりに空洞
wall

2

s S
wall

6.2. 共振空洞と伝送線路の結合の過渡現象とフィリングタイム

ここで、 ω0 ：共振周波数、 W ：空洞に蓄えられ

S

ext

できる。

S

から失われるエネルギー）である。
Q 値には３種類あり、(1) 無負荷の Q ( unloaded Q ) − Q0

wall

(6-2)

(2) 外部の Q ( external Q ) − Qext

ここで Pext は外部への結合孔からの電力流出を(3) 負荷時の Q ( loaded Q ) − QL

指している。この電力は、波高 2 で位相が 45がある。Q0 は空洞内で電磁場による壁電流で消費度ずれている事を意味し、導体上での壁損失の平される電力 P0 による Q である。Qext は空洞の結合

均電力は Rs∫ H dS となる。そこで、
2孔から外に逃げていく電磁場の電力 Pext による Q

S

R ∫S
1
= s wall 2
Qwall ωμ ∫ H dV

H 2 dS wallV=

δ s ∫S
2wallである。この P0 と Pext の和が空洞から失われるパH 2 dS wall

ワー PL とすると次の関係がある。

∫ H dV2V(6-3)と無次元の量を定義すれば、式(6-1)と式(6-2)から

PL = P0 + Pext

(6-7)

1
1
1
=
+
QL Q0 Qext

(6-8)

結合係数は、空洞と外部回路（普通は導波管）との結合の強さを表し、

β=Pext Q0=
P0 Qext(6-9)

で表され、β > 1, β = 1, β < 1 に対して、それぞれ強結合、臨界結合、弱結合という。また、式(6-8)、(6-9)から

1
QL =
Q0
1+ β

(6-10)の関係が導かれる。

Fig. 15 空洞内のエネルギー変化を表した図（G はアドミッタンス、V は電圧、P はパワーを表しており、添え字の０は空洞内、wg は導波管、inは入力、r は反射、ext は Q 値の説明のときに用いたカップリングによる損失を表している）

ここで空洞電圧が０の状態で、高周波入力が矩形パルスとして、入力された場合の過渡現象を考と書くことができる。反射電圧は

Vr = −Vin + V0

える。Fig. 15 のようなエネルギー変化をしてい(6-12)

る系を用いる。G はアドミッタンス、V は電圧、なので、アドミッタンスと電圧を用いて書き直す

P はパワーを表しており、添え字の０は空洞内、とwg は導波管、in は入力、r は反射、ext は Q 値の説明のときに用いたカップリングによる損失を表している。空洞内のエネルギー変化は入力マイ

dW0= Gwg Vin2 − Gwg (V0 − Vin )2 − G0 V02
dt

クロ波のパワーPin と空洞内に入らずに反射する
マイクロ波のパワーPr 、そして、空洞から漏れ出てくるマイクロ波のパワーPext を用いて、

dW0= Pin − Pr − P0
dt

(6-13)となる。ここで、Q0 =(6-11)

ωW0
P0(6-14)という関係式を用いて式(6-13)を書き直すと

Q0 d(G0 V02 )ω dt= Gwg Vin2 − Gwg (V0 − Vin )2 − G0 V02(6-15)とせる。また、

β =

QL =

Ggw
G0

=

Pext
P0

ωW0
Q0
=
P0 + Pext
1+β(6-16)(6-17)

⎛ 1⎞ −tdV0 (t ) dV −Ttce=
+ V ⎜⎜ − ⎟⎟⎟e Tc⎜⎝ tc ⎠⎟
dt
dtを用いて式(6-15)を書き直していくと(1 + β ) QL d V 2 G( 0) 0ωとなり、式(6-21)に式(6-22)、式(6-23)を代入し書

dt= G V − GwgV02 − GwgVin2

き直すと

2
wg in

+ 2GwgV0Vin − G0V02
2 (1 + β ) GL dV0
G0ω
dt= −GwgV0 + 2GwgVin − G0V0

(6-23)(6-18)tt−⎛ dV − Tt⎧ 1 ⎫ − Tc ⎞
Tc
c
Tc ⎜
e + V ⎨− ⎬ e ⎟ + Ve = αVin
⎜ dt⎟
⎩ tc ⎭
⎝
⎠
t

Tc

t

t

−
−
dV − Tc
e − Ve Tc + Ve Tc = αVin
dt

dV
e
dt

t
−
Tc

= − β G0V0 + 2 β G0Vin − G0V0

Tc

2 (1 + β ) QL dV0

dV 1= αVin e Tc
dt T

(6-24)= αVintωdt= − β V0 + 2 β Vin − V0と表せる。この式(6-24)を積分すると= −V0 (1 + β ) + 2 βVint

V = α Vine Tc + C

2QL dV0ω dt(6-25)と表せ、式(6-22)に代入するとt⎛⎞ −t
V0 (t ) = ⎜⎜⎜ α Vine tc + C ⎟⎟⎟e c
⎝
⎠

2β
V
= −V0 +
(1 + β ) in

= α Vin + Ceとなる。そして、−Tt(6-26)cとなる。この時、初期条件 t=0 のとき、V0 (t ) = 0

2QL
Tc =
ω

(6-19)

を用いると以下のように C が求まる。

V0 (0) = α Vin + C = 0

2β
α=
1+β

(6-20)

C = −α Vin(6-27)

求めた C を式(6-26)に代入するとと定義し式(6-18)を変形すると
−t

Tc

dV0
+ V0 = αVindt(6-21)V0 (t ) = α Vin − αVine Tc−t ⎞⎛= α Vin ⎜⎜⎜ 1 − e Tc ⎟⎟⎟⎝⎠(6-28)と表せる。ここで、と表せる。

V0 (t ) = Ve

−Ttとおき、ｔで微分をすると

c(6-22)

ここで、

ω = 2πf(6-29)

という関係式と式(6-17)、(6-20)を用いて式(6-28)
を書き直すと− ω t ⎞ 2β⎛
V0 (t ) = ⎜⎜⎜ 1 − e 2QL ⎟⎟⎟V⎝⎠ 1 + β in⎛
− 2 π f 1 + β t ⎞ 2β⎜V
= ⎜ 1 − e 1 2Q0 ⎟⎟⎟⎜⎝⎠ 1 + β in
π f (1+ β )⎛− Q t ⎞ 2β⎟⎟⎜0
= ⎜1 − e⎟⎠⎟ 1 + β Vin⎜⎝(6-30)と表せる。この時、式(6-14)をアドミタンス Gwg を

Fig. 16 空洞電圧の時間応答

用いて書き換えると、

Q
W0 = 0 Gwg V02
ωβ7. 結合空洞(連成空洞)(6-31)
7.1. マクスウェル方程式での空洞の結合と表せ、式(6-30)を用いると、

n × E0 s = 0, n ⋅ H 0 s = 0 完全導体:0モード

πf (1+ β )⎤2
Q0Gwg ⎡⎛t ⎞ 2β
−
Q0
⎟
⎜
⎢
⎟
W0 =
V ⎥
⎜1 − e⎟⎟⎠ 1 + β in ⎥⎦2πfβ ⎢⎣ ⎜⎝n × H π s = 0, n ⋅ Eπ s = 0 完全磁気壁:π モード(6-32)∇ × E β = − jk β Z β H βと表せる。式(6-32)は時間変化に伴う空洞内に溜まるエネルギー W0 を表しているため、エネルギ∇ × Hβ = jーに関する filling time を表していると言える。

う関係があるため、時間変化に伴う空洞内に立つ
電場についての関係は

V0 =

Zβ

Eβ

(7-1)

β = 0, π

また、空洞内に溜まるマイクロ波のエネルギー

W0 と空洞内に立つ電場 E 0 には W0 ∼ E20 といkβ

この 0 モードの界とπモードの界をヘルムホルツ
方程式と、ベクトル公式を利用し、境界条件を考慮すると、以下のようになる。

π f (1 + β )⎞Q0Gwg ⎛⎜⎜ 1 − e − Q0 t ⎟⎟ 2 β V⎟⎟⎠ 1 + β in
2πf ⎜⎝(kπ2 − k02 ) ∫ E0 ⋅ Eπ dVV

QLGwg β ⎛− πf t ⎞⎜⎜ 1 − e QL ⎟⎟ Vin=2⎠⎟
2πf(1 + β ) ⎜⎝QLGwg (Q0 − QL ) ⎛− πf t ⎞⎜⎜ 1 − e QL ⎟⎟ Vin
=2
⎝⎜
⎠⎟
2πfQ
0

= − ∫ ( E0 ⋅∇ × ∇ × Eπ − Eπ ⋅∇ × ∇ × E0 ) dVV

= − ∫ ( E0 × ∇ × Eπ − Eπ × ∇ × E0 ) ⋅ ndS
S= − ∫ ( E0 × H π ) ⋅ ndS + ∫ ( Eπ × H 0 ) ⋅ ndS
SS(6-33)=−∫

Shole( n × Hπ ) ⋅ E0 dS − ∫S ( n × E0 ) ⋅ Hπ dSと Q0 、 QL 、 β などを用いて表すことができる。

+∫

Shole

( Eπ × H 0 ) ⋅ ndS + ∫S ( n × Eπ ) ⋅ H 0 dS

この結果を用いることで、filling time を求めることができる。この様子を適当な時定数で書くと図ようになる。

=∫

Shole

wall

( Eπ × H 0 ) ⋅ ndS

wall

(7-2)

結合度 k は結合孔のエネルギー流(R / Q )n =∫S ( Eπ × H 0 ) ⋅ ndS と蓄積エネルギー
hole

Ln
1
= ωn Ln =
ωnC n
Cn

(7-7)

∫ E ⋅ Eπ dV の比で、これはπモードと０モード

磁気的な結合がある場合を記述するため、まず nの２乗の差に比例する事が分かる。

番目の空洞内部の電流を書くとV

0∫ ( Eπ × H ) ⋅ ndS = k − kk∼π∫ E ⋅ Eπ dV
0

Shole

2

2
0

(7-3)

0

V

inind = inC + inL + inG
dv= C n n + inl + inr + Gn vn
dt

(7-8)

式(7-5)、(7-6)、(7-7)、式(7-8) を使うと7.2. 等価回路

ωn Ln inind7.2.1. 結合空洞の等価回路

全ての特性を表す事ができない。そこで、等価回= (R / Q )n inind
1 dvn
1
=
+ ωn Ln (inl + inr ) +
v
ωn dt
Qn n

路を用いて空洞との結合を表す事にする。

n 番目の空洞の左側の磁気結合は、以下のように以上はエネルギーのやり取りを元にして、空洞の特性を表してきたが、エネルギーでは連成空洞の

(7-9)

表せる。

Fig. 17 結合空洞の等価回路
Fig. 17 は結合空洞の等価回路を表している。ｎ⎛ dil ⎞
⎛ vn ⎞⎟ ⎛ 2Ln
M n,n −1 ⎞⎟ ⎜⎜ dtn ⎟⎟⎜⎜⎜⎟⎟⎟ ⎜ r ⎟⎟⎜⎜ v ⎟⎟ = ⎜⎜⎜ M⎟ ⎜ din −1 ⎟⎟2L⎝ n −1 ⎠ ⎝ n,n −1
n −1 ⎠ ⎜⎜⎝ dt ⎠
l
⎛
L ⎞
⎜⎜
1
kn −1,n L n ⎟⎟ ⎛⎜ L din ⎞⎟⎟
n
⎟⎜
dt
n −1
⎟
= 2 ⎜⎜⎟⎟⎟ ⎜⎜
dinr −1 ⎟
Ln −1
⎟
⎜⎜
⎜
⎟
⎟⎟ ⎜⎝ Ln −1 dt ⎠1⎜⎝ kn −1,n L⎠
n(7-10)番目の空洞で結合が無い場合のアドミッタンス
は以下のように書ける。

1
+ Gn
j ωLn
⎡ ⎛ω
ω ⎞
1
1 ⎥⎤
⎢ j ⎜⎜=− n ⎟⎟⎟ +(R / Q )n ⎢⎣ ⎜⎝ ωnω ⎟⎠ Qn ⎥⎦同様に右側の磁気結合は、

Yn = j ωC n +

(7-4)

ここで、

⎛ dinr ⎞⎟⎛ vn ⎟⎞ ⎛ 2Ln⎞
Mn ,n +1 ⎟ ⎜⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ ⎜⎜ dtl ⎟⎟⎟
⎜⎜ v
⎜
2
M
L
⎟
⎟ ⎜⎜⎜ din +1 ⎟⎟⎝ n +1 ⎠ ⎝⎜ n,n +1
n +1 ⎠⎝ dt ⎠l⎛L ⎞⎜⎜1kn,n +1 L n ⎟⎟ ⎛⎜ L din ⎞⎟n +1 ⎟⎜⎟⎟ ⎜⎜ n dtr ⎟⎟⎟= 2 ⎜⎜
din +1 ⎟⎜⎜Ln +1⎟⎟ ⎜ L⎟1⎝⎜ kn,n +1 L⎠⎟ ⎜⎝ n +1 dt ⎠
n

ωn =

1
LnC n

(7-11)(7-5)

ここで M は磁気結合の相互インダクタンスで、結合度 k と以下のような関係である。

Qn =

ωnC n
1
=
Gn
ωn LnGn(7-6)

M n −1,n = kn −1,n 4Ln −1Ln
M n,n +1 = kn,n +1 4Ln Ln +1(7-12)

この式をフーリエ変換により d = j ω と置き換式(7-9)から、

dt

dvn
ω
= −ωn2 (Lninl + Lninr ) − n vn
dt
Qn
ind
+ ωn (R / Q )n in

え、 vn = Vne(7-13)

式(7-10)、(7-11)の逆行列から電流の微分である
d (Ln inl )dtとd (Ln inr )dtの式が得られる。

∗
d (Lninl ) vn − kn −1,nvn −1=dt
2(1 − kn2−1,n )∗d (Lninr ) vn − kn,n +1vn1=
dt2(1 − kn2,n +1)(7-14)= kn −1,nkn∗,n +1 = kn,n +1= kn,n +1

=I

ne

j ωt

とする事に

(7-17)

以上は良く教科書に載っている２次の項 k 2 は無視した式であるが、空洞列が一様な場合には、以下のように変数変換すると、式が簡単になるので２次の項を省略せず計算を進める事ができる。

kn,n +1 = k *n,n +1 = k
ωn = ωc 1 − k 2
Qn = Qc 1 − k 2(R / Q )c(R / Q )n =1 − k2(7-15)(7-18)式(7-9)を微分し、式(7-14)を使って、以上の関係
式を使うと、 k の２次の項を無視しない式(7-16)は以下のようになる。

ωn +1(R / Q )nωn (R / Q )n +1

dicinddt
1 d 2vn
1 dvn=+ ωcvn +ωc dt 2
Qc dt
+ vn +1v− k ωc n −1
2

(R / Q )c

式(7-13)、(7-14)は時系列の連立微分方程式であり、 vn 、 Ln inl 、 Ln inr が変数である。
さらに、式(7-9)を微分し、式(7-14)を使って、さらに k は小さいとして２次の項 k 2 は無視した場
合、以下の２次の微分方程式が得られる。

dinind(R / Q )ndt
1 d 2vn
1 dvn=+ ωnvn +ωn dt 2Qn dt
ω− n ( kn∗−1,nvn −1 + kn∗,n +1vn +1 )
2

n

ind

(R / Q )n I nind
⎡ ⎛ω
ω ⎞
1 ⎤⎥
V
= ⎢ j ⎜⎜
− n ⎟⎟⎟ +⎢ ⎜⎝ ω
⎥ n
⎟
ω
Q
⎠
⎣
n
n ⎦
j ωn ∗
kn −1,nVn −1 + kn∗,n +1Vn +1 )+(2ωk ∗ として置き換えた。

Ln
Ln −1
ωn −1(R / Q )nωn (R / Q )n −1
Ln
Ln +1

, i

ind

より、以下の定常解を得る事ができる。

ここで式を簡単にするために、結合度を以下のkn∗−1,n = kn −1,nj ωt

(7-19)

前と同様に vn = Vne j ωt , i ind n = I ind ne j ωt とす
れば、(7-16)(R / Q )c I nind
⎡ ⎛ω
ω ⎞
1 ⎥⎤
V
= ⎢ j ⎜⎜ − c ⎟⎟⎟ +⎢ ⎜⎝ ωω ⎟⎠ Qc ⎥⎦ nc⎣
+ Vn +1
ω V+ jk c n −12ω

(7-20)

こ れ に 伝 播 定 数 γ = α + jβ の 電 磁 波

この関係を βD ≤ π の基本ブリリアン帯につ

vn = Vne −γz = V0e j ωt −γz = V0e −αze j (ωt −βz ) をいて描くとFig. 18のようになる。この曲線を分散代入し、さらに

I nind1
1=− (R / Q )c=− (R / Q )cG ind
*
Qc
Vn
Qc
Qc
1

曲 線 (dispersion curve) と い い 、 ωc 1 − k とωc 1 + k の間の周波数を通過帯(pass band)という。

とすると、以下のようになる。

⎡ ⎛ω
⎤
⎞
⎢ j ⎜⎜ − ωc ⎟⎟ + 1 ⎥V⎢ ⎜⎝ ωω ⎟⎟⎠ Qc* ⎥⎥⎦ n⎢⎣c
ω e −γ D + e γ D+ jk c
ω
2
⎡ ⎛ω
⎞
ω
1 ⎤⎥
V
= ⎢⎢ j ⎜⎜ − c ⎟⎟⎟ +⎜ω ⎟⎠ Qc* ⎥⎦⎥ n⎣⎢ ⎝ ωcω
+ jk c ( cosh(αD )cos(βD )ω+ j sinh(αD )sin(βD ) )=0(7-21)

Fig. 18 無限周期構造の分散曲線（基本ブリリアン
帯）。D はセルの長さ、 λg は管内波長

ここで式の実数と虚数はそれぞれ一致しないとまた通過帯に属するひとつの周波数 ω にはセル間の位相差が ±βD の２つの波が存在する。

いけないので、以下の 2 つの関係式が得られる。

なお β D が 0,π/2,πの時をそれぞれ 0-モード、

ω2= 1 − k cosh (α D ) cos ( β D )ωc2
ω1= k c sinh (α D ) sin ( β D )∗ωQc

π/2-モード、π-モードなどと呼ぶが、それらの共振周波数は以下のようになる。
(7-22)

f0 = fc 1 − k =式(7-22)は２次の項などを省略していない分散関

fπ /2 = fc =係の式である。ここでこれを解くと非常に複雑になってしまうため、ここまでで初めての近似とし
1 と す れ ば 、 sinh(αD ) = αD 、て 、 αDcosh(αD ) = 1 なので、
ω
=
ωc
αD =
=

1

1

2π CL 1 + k
1

2π CL

fπ = fc 1 + k =1

1 − k21
1

2π CL(7-24)

1−k

なお結合度 k と空洞周波数 fc を 0 モード及びπモードの周波数から求めると、

1 − k cos(βD )1 ω1Qc* ωc k sin(βD )1Qc*が得られる。

1 − k cos(βD )k sin(βD )k =(7-23)fc =fπ 2 − f02
fπ 2 + f02
2 fπ2 f02
fπ2 + f02

(7-25)

となる。再確認だが、これらの式が成り立つのは

αD

1 の時であり、 k 2 が無視できないような結合度が大きい場合でも成り立つ。

αD

1 と見なせないような損失の大きい媒体の場合は、式(7-22)から計算する必要がある。
実際に私が以前開発した周期構造型減衰器で、等価回路設計と電磁波特性が異なる結果になった事がある。
また二重周期型(APS)空洞のように kn,n +2 が無視できない場合についての式も導出できるが、複雑になるので、ここでは記述しない。
7.2.2. 結合度の計算(２セル結合空洞)
前述のように結合度の計算には β D が 0,πとなる
0-モード、πモードの共振周波数の計算をするのが良い。このためには２セル結合空洞の計算が必要である。Fig. 19 に示すような、ピルボックス
空洞を２つ並べ、その２つの間に円孔をあけた形を考える。

Fig. 19 円孔で結合した２ハーフセル超伝導空洞

同形のセルが２個何らかの方法で結合した連成振動系では、２セル間の振動が同位相（位相差=0）になるものと逆位相になるものの２つの基準
モードが存在する。Fig. 19 の構成で、TM 010 モードの場合を例にとれば、２つの基準モードはFig. 20 、Fig. 21 のようになる。

Fig. 20 ２ハーフセル空洞の0 モードでの電場分布

7.2.3. 連成空洞の群速度式(7-23)から群速度はvg =d ω ωc2
kD sin( β D)=d β 2ω

(7-29)

これから群速度が最大になるのはおよそπ/2 モードの時である事が分かる。
7.2.4. 入力空洞の等価回路

Fig. 21 ２ハーフセル空洞のπモードでの電場分布
この２セルピルボックス空洞の等価回路を式(7-20)を使って行列で表すと以下のようになる。
Fig. 22 入力空洞の等価回路

⎡ ⎛ω
ω ⎞
⎢ j ⎜⎜ − c ⎟⎟⎟ + 1⎢ ⎜⎝ ωω ⎟⎠ Qc*
c
⎢
⎢
ω
⎢
jk c
⎢
ω
⎢⎣
⎡0⎤
= ⎢⎢ ⎥⎥⎢⎣ 0 ⎥⎦⎤
ω⎥jk c⎥ ⎡V1 ⎤
ω
⎥⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥
⎛ω
⎞
ω
1
⎥ ⎢⎣V2 ⎥⎦j ⎜⎜ − c ⎟⎟⎟ +⎜⎝ ωcω ⎟⎠ Qc* ⎥⎥⎦る。図は入力空洞部の等価回路である。

I 1ind = I drive − G0V1
= I drive −(7-26)
この式が、V1 = V2 = 0 以外の解を持つための条件
は左辺の行列式が 0 になる事であり、以下が成り立つ必要がある。

⎛ω
ω ⎞
ω
1
j ⎜⎜ − c ⎟⎟⎟ += ± jk c⎜⎝ ωcω ⎟⎠ Qc*ω

入力空洞は G 0 = βG1 の伝送線路と結合してい(7-30)

ここで外部 Q である Qext は以下のように定義される。

Qext =(7-27)

V1(R / Q )1Qext

Q
1
= 1
β
(R / Q )1G0

(7-31)

式(7-30)、式(7-17)を使うと入力空洞( n = 1 )は以下のように書ける。

壁損失を０とした場合には、となる。これは２セル結合空洞の固有モードであり、式(7-24)と比較すると、それぞれ β D = 0, π の

⎡ ⎛ω
ω ⎞
1 ⎥⎤
V
(R / Q )1 I drive = ⎢ j ⎜⎜ − 1 ⎟⎟⎟ +⎢ ⎜⎝ ωω ⎠⎟ QL ⎥⎦ 1 (7-32)⎣
1jω ∗+ 1 ( k12
V2 )2ω０-モードとπ-モードと対応している事が分か

ここで負荷 Q は以下の関係が成り立つ。

ω = ωc 1 ± k

る。

(7-28)

1
1
1
=
+
QL
Q1 Qext(7-33)

さらに電場を上げていくと、電場に対して電流は飽和する。この領域を電圧飽和領域という。この領域では電流は再び陰極からの放出電流により制限されているため、カソード温度により電流も変化する。

8. 高周波源

熱電子銃は空間電荷制限領域で運転されることが多い。陰極からの電流は陰極の温度や陰極自加速器における高周波源は、電子ビームを変調

身の劣化などにより変化するので、長期にわたりし、マイクロ波を増幅する事で、大電力高周波を一定に保つことは困難である。一方で、両極間の得ている。本稿は高周波的な特性について限定し電圧を一定に保つことは容易である。この領域にたため、荷電粒子を含む系については触れない事

おいては得られる電流はカソードからの放出電にし、必要に応じて結果の式のみとした。

流には依存せずに、アノード・カソード間の電圧

8.1. 電子銃
大電力高周波源である電子管では、電子銃が欠かせない。電子銃には、熱カソード DC 電子銃、フォトカソード RF 電子銃、熱カソード RF 電子銃などがあるが、ここでは熱カソード DC 電子銃いわゆる熱電子銃について簡単に説明する[6]。
熱電子銃は、カソードから熱電子放出により真空中に放出された電子を静電場によって取り出す電子銃である。静電場の代わりに高周波によるにより決定されるので、結果的に安定した電流が容易に得られるのである。
空間電荷制限領域では、平行電極の場合、両極間の距離 d 、アノード電位 VA（カソードがアース）とすると、熱カソードから取り出せる最大電流密度 J は、
3

V2
J = 2.33 × 10−6 A
d2[A/m2 ]

(8-1)

電場を用いて電子を取り出すものを RF 電子銃ととなることが知られている。この式を 3/2 乗則あいう。熱電子放出とは、金属を高温に熱すること

るいはチャイルド・ラングミュアの法則

で伝導体の自由電子がエネルギーを得て表面障(Child-Langmuir law)という。ここで 3/2 乗則に壁を越えて真空に放出された電子である。

おける比例係数

熱カソードから放出された電子の電流量は、アノード、カソード間に印加された電圧により変化する。
まず、電場が 0 付近では電子が有している初速

P =

J
3
2

[AV2/3 ]

(8-2)

VA

度によりアノードへの到達電流が決定される。電をパービアンスと呼び、電子銃の性質を表す量と子の初速度はカソード温度によって変化するのして用いる。パービアンスの高い電子銃は低い極で、この電流値はカソード温度により変化する。

電圧で大きなビーム電流を取り出せる。

徐々に電圧を上げていくと電流がカソードからの放出ではなくビーム自身が作る電場、すなわ

カソード面積を S とおくと、平行ビームのパー
ビアンスは式:(8-1)を変形して、ち空間中に存在する空間電荷によって制限される領域となる。この領域を空間電荷制限領域といP = 2.33 × 10−6う。ここでは電流はほぼ電圧の 3/2 乗に比例し、S
d2[AV2/3 ](8-3)

3/2 乗則(three-halves law)が近似的に成り立つ。

のように表される。つまりパービアンスはカソー

電流がカソードからの放出ではなく空間電荷にド面積に比例し、かつアノード・カソード間隔のより制限されるのでカソード温度に対して電流

2 乗に反比例する。

はほとんど 変化しない。

8.2. Inductive Output Tube (IOT) = KlystrodeERL 計画では、主線形加速器の高周波源として
IOT が候補になっている。IOT は３極管の一種で、グリッドーカソード間に高周波をかけた後、直流電圧で加速して、高周波の増幅を行うものである。
IOT の利点はFig. 23 直進形クライストロンの原理• 効率が 70%程度と高い。
• 入出力特性が線形に近く、低電力制御に都合が良い。
逆に IOT の欠点は
• 大電力化が難しく、１本当たりの電力はクライストロンに遠く及ばない。結果として単価が相当下がらないと、対電力価格ではクライストロンに劣る。
• 高周波になるとカソード-グリッド間の間隔が縮まり製造が困難になる。
• 増幅度が 20dB 程度しかないため、前段にもう一段の IOT が必要になる

直進型クライストロンの特徴を以下に示す。
• 効率が高く 40%にも達するので大電力用に適する• 空洞を多段にする事で、増幅度を大きくでき、60dB にも達する• 入力 RF の周波数によって出力周波数が完全に決まるので、周波数安定度はきわめてよいが、周波数帯域は狭い
クライストロンのビーム電力や効率は電子ビー
ムのパービアンスで決まっている。従って、ビーム一本当たりのパービアンスを下げるマルチビ
ームクライストロンでは効率が高くできるため、開発が進められている[8]、[9]。

8.3. クライストロン
クライストロン(klystron)は加速器用の RF 源としてはもっともよく用いられるもので、ハイパワ
ーの RF が得られる[7]。クライストロンには直進
形クライストロンと反射形クライストロンがある。加速器の RF 源として用いられるものは直進
形クライストロンである。また、近年はマルチビ
ームクライストロンの開発も進められている[8],[9]。
Fig. 23 に直進形クライストロンの原理を示す。Buncher cavity に種となる RF を入れてやる
ことで電子銃から発生した電子ビームにモジュレーションをかけ、バンチングした電子ビームを
Catcher cavity に打ち込む。このバンチングした
電子ビームが作る電磁場を Catcher cavity に溜めて出力 RF として取り出す。

8.4. マグネトロン
マグネトロン(magnetron)は、磁電管とも呼ばれ、
電場と磁場の相互作用によって振動をおこす RF
電子管である[4]。
Fig. 24 にマグネトロンの構造を示す。マグネ
トロンは図のように複数の RF 空洞を持った真空管であり、中心が陰極、外側の導体が陽極になっている。
空洞はそれぞれ同じ共振周波数をもつ空洞共振器になっており、隣り合う２つの空洞間の電磁場位相が 180 度(π[rad])になるπモードが誘起されるようになっている。
中心のヒータ温度を上げることによって熱電子が放出され 陰極に向かって加速されるが、軸方向に加えられた磁場によって軌道がまげられ、作用空間を回転運動する。ここで空洞共振器の空隙部を通過する際、そこに加わる高周波電場によって加速、減速の速度変調を受ける。回転運動をしている電子のうち、加速電場を受けたもの（電ームを加速できる速度( v p ≤ c )にするためであ場からエネルギーを奪うもの）は、ここで加速さる。これを遅波構造(slow-wave structure)と呼ぶ

れるので直ちに陽極に到達してしまい、作用空間にとどまることができない。したがって、作用空間には減速電場を受けたもの、すなわち、電場にエネルギーを与え、発振に役立つものばかりになる。 作用空間にできる減速電場は、空洞共振器の数の 1/2 であるので、作用空間の電子も減速電場と同じ数だけの塊になる。この塊を電子極と呼[12]。
円盤装荷導波管には進行波管(travelling-wavetube)と定在波管(standing-wave tube)がある。超伝導空洞は通常は定在波管であるが、ここでは超伝導空洞のみに捉われず、この両方について説明
し、加速管を電気回路的な等価回路に置き換えた
解析方法について説明する。

び、発振に役立つ電子は必ずいずれかの電子極に含まれる。
電子極は、陽極電圧と磁場とによってある周期で作用空間を回転しながら、同じ周期で振動する

9.1. シャントインピーダンス

空洞共振器の高周波電場にエネルギーを与える

さて、次に実際にシャントインピーダンスを計算ので、空洞共振器は振動が持続する。

する方法を示す。今、加速管の１周期ぶんの電磁場分布が分かっているとする。これは、計算コードなどを使い知ることができる。ここで、得られる電磁場分布は当然共振周波数の周期で時間とともに変化するので複素数で表さ れE (r , z ) = ER (r , z ) + jEI (r, z ),H (r , z ) = H R (r , z ) + jH I (r, z )と表現される。また、電磁場が分かれば加速管表

Fig. 24 マグネトロンの構造
マグネトロンの特徴を以下に示す。
• 小型、堅固であり、取り扱いも比較的容易である• 発振効率が高く、70%にも達する

面電流が計算でき、その値と加速管の材質（普通は銅）の電気抵抗値・表皮深さから Q 値や１セルでの消費電力 P が導き出せる。
さきほど「加速に有効な」電場という表現をしたが、これは 粒子が感じる電場であるので軸上の電場強度であり、時間的に移動する粒子の位置での電場強度である。１周期の間に粒子が感じる
電位差をV とすると

• 自励発振であり直進形クライストロンに比べると周波数の安定性が悪い

9. 加速管V = ∫z (t )=DEz (0, z (t ))e j ωt dt

0

(9-1)

と表される。ここで、 L は１セル分の長さ、 z (t )ここでは、電子線形加速器でもっとも重要な部分

は粒子の位置である。粒子が光速で通過すればである加速管について説明する。電子線形加速器

z = ct なので、の加速管は円筒型導波管に円盤を装荷した形のも の が 使 わ れ 、 円 盤 装 荷 導 波 管 (disc-loaded
waveguide)と呼ばれる。円盤を装荷するのは、加速管のマイクロ波の位相速度を遅くして電子ビ

V = ∫

D1

0 c

j ωz

E (0, z )e c dz

(9-2)

である。１セルあたりでの電位差V と電力損失

行波管は RF のエネルギーの流れが電子の進行方

PD を用いるとシャントインピーダンスは向と一致している。さらに、位相速度 v p を電子の

E 02
E2
V2
Zs =
=
= 0
PD D
PD / DP

速度と一致させている。
(9-3)

である。なお、 P は単位長さの電力損失、E 0 = V / D は軸上電場の平均である。これをR/Q で書くと以下のようになる。、

R /Q =

E 02
ωW

(9-4)

9.1.1. Transit Time Factor

Fig. 25 進行波管

ED は加速管の z 方向電場ピーク値 Ez (r , z ) を用
いると

ED =

1 D
E (0, z )dz
D∫0 z

(9-5)

である。ここで、 ED はピーク値を積分したので必ずしも粒子が感じる電場強度ではない。そこ
で、粒子が感じる電場の値に換算するためのファクターを考える。それが transit time factor Tである。粒子が感じる平均電場がTED となるようにT を計算するとFig. 26 は進行波加速管の概念図であり、以下の

j ωz

T =

D
∫ 0 c1 E (0, z )e c dz
D

∫ 0 Ez (0, z )dz

Fig. 26 進行波加速管の概念図

ような関係が成り立っている。
(9-6)

P = vgU

(9-7)

Q =

ωU
W

(9-8)

Zs =

E2
W

(9-9)

α=

W
2P

(9-10)である。ただし、粒子の速度が光速 c であるとした。また、分子で絶対値を取っているのは最大加速電場を受ける位相で粒子が入射されたと仮定しているためである。

9.2. 進行波管
ERL とは逸れるが、常伝導の進行波管の構成を
Fig. 25 に示す。進行波管は加速管の電子ビーム
入射側から RF を投入して、加速管反対側まで流れた RF をダミーロードに捨てる。このように進Lτ = ∫ αdz

(9-11)

0

ここで式のパラメーターは以下のようになって
いる。

P
U

υg

加速管内での高周波の損失は壁損失と、ビーム
ローディングである。従って、高周波の減衰は以下のように表せる。

dP= −W − IE = −2αP − IEdz

電力流
単位長さ当たりのエネルギー(9-15)

群速度

ここで I は平均的な電流量である。

Q
W
Zs

Ｑ値

電力の全微分を以下のように偏微分で置き換え

壁損失

ると、

E
α
L

電界

τ

シャントインピーダンス∂P∂P dtz
dP
=
+
∂z
∂t dz
dz
∂P
1 ∂P
=
+
∂z
vg ∂t

減衰率
実質的な加速管の長さ
全体の減衰係数式から以下のような α と vg の関係が得られる。

W
W
=
2P
2vgU
ω 1
=
2Q vg

(9-16)

式(9-15) は以下のようになる。

∂P
1 ∂P
+
= −W − IE∂zv g ∂t= −2αP − IE

α=(9-12)(9-17)

ビーム電流が無いと、電力損失は以下のようになる。

式(9-12)をｚで積分すると以下のような式が得ら∂P= −W = −2αP
∂z

れる。

ω

z

z dz

∫ 0αdz = 2Q ∫ 0 v
ω
t
2Q z
t
=τ z,
tf
=

g

z

ようになっている。

(9-19)

ここで Pin は高周波の加速管への入力電力であり、 Pout は加速管出口からの出力電力である。
電界一定(Constant Gradient(CG))という条件

L dz

で計算を行うと式(9-10)から W は一定である。従0vって式(9-18)を以下のように書き換える事ができ

g
L

2Q
αdz
ω ∫0
2Q τ
.
=
ω
=

−2 αdzP= e ∫0Pin
L
Pout−2 ∫ αdz
0=e= e −2τ
Pin(9-13)

ここで t f は加速管のフィリングタイムで、以下のtf = ∫(9-18)

る。
(9-14)∂PCG= −WCG = −2αCG PCG = const∂z(9-20)∂ ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎟ = −1⎜∂z ⎜⎝ 2αCG ⎟⎟⎠これから PCG が以下のように求まる。

PCG = Pin − WCG z(9-21)(9-27)

従って式(9-26)を書き換えれば式(9-19)と式(9-21)から、加速管出口での電力はPCG (L) = Pout = Pine −2τ = Pin − WCG L
WCG = Pin

1 − e −2 τL

(9-22)∂E= −αCG Zs I∂z

これを積分すれば、電界は以下のようになるz

E = E 0 − Zs I ∫ αCGdz

これから減衰率は以下のようになる。

0

αCG =

WCG
2PCG

(9-28)(9-29)

ここで1−e−2 τ1L=
2 1 − 1−e−2 τ z(9-23)L

E0 =

ZsW (0) =1 − e −2 τ
PinZs
L

(9-30)

これからビームローディングがある場合でも、減衰率の関数形は同じで α = αCG である。
式(9-10)、式(9-11)から電力流と壁損失の電界との関係は以下のようになっている。

E2
W =
Zs
E2
P =
2αCG Zst
E = E 0 − Zs I τ z
tf

加速電界の長さＬの総和は積分すると得られ以
下のようになる。
(9-24)

これを式(9-17)に代入すると電界の満たす式がE = E0 −⎛Zs I
1 − e −2τ ⎞⎟log ⎜⎜⎜ 1 −
z ⎟⎟
⎜⎝
2
L
⎠⎟

(9-32)

Zs IL ⎛⎜
2τe −2τ ⎞⎟
⎟⎟
−
1
⎜
2 ⎜⎝⎜
1 − e−2τ ⎟⎠(9-33)

V = E 0L −得られる。

∂ ⎛⎜ E 2 ⎟⎞E2⎟⎟ = −− IE⎜⎜∂z ⎜⎝ 2αCG Zs ⎟⎠Zs(9-25)

超伝導の連成空洞の場合では、Q が非常に大きい
ため、減衰定数 τ を大きくするためには、群速度vg を小さくする必要がある。結果結合度を小さくせねばならず、空洞の形状精度の面からも、ウェークフィールドの面からも不可能となる。

これを展開すると⎪⎧ ∂ ⎛ 1 ⎟⎞⎪⎫∂E⎟⎟ + 1⎬⎪ = −αCG Zs I
+ αCG E ⎨⎪ ⎜⎜⎪⎩⎪ ∂z ⎜⎝ 2αCG ⎟⎠⎪⎭⎪∂z(9-26)式(9-23)使えば以下が得られる。

(9-31)

超伝導で進行波管が可能だとすれば還流型の進行波管だろう。

Pout

が不安定である。従って π モードでは、常伝導のPin

加速管では空洞内の損失があるため長くすることはできず、数セルが限界である。超伝導加速の
P, vg

E

場合は、壁損失もほぼ０で、ビームローディングI

も小さいため、πモードの連成空洞も可能であ
W

Z=0

Z=L

Fig. 27 還流型進行波管

り、実際 ILC や ERL 計画では９セルのπモードの定在波空洞が採用されている。

Fig. 27 は還流型進行波管の概念図である。還流型にする事で、結合度は大きいままで、全体としては高いＱの空洞に見せる事が可能になる。例えば 、 超 伝 導 加 速 空 洞 の 電 界 が 20MV/m で
R/Q=1000Ωの場合、必要な蓄積エネルギーは、

W=

E2∼ 98 [ J / m] であり、例えばπ/2 モ
ω ( R / Q)ードの進行波管で空洞間の結合度が ERL 用の空
洞 と 同 じvg / c =4%

程 度 だ と す る と 、Fig. 28 定在波管ωkD sin( β D) ∼ 0.03 である。これらか2cω
2c

ら、還流電力は P = Wvg ∼ 900 [ MW ] となってしまう。しかも超伝導で還流型にするには、還流部
分まで超伝導にする必要があり、やはり難しい。
9.3. 定在波管
定在波管の構成をFig. 28 に示す。定在波管は供給した RF がすべて加速管の中で消費され、進行波管のように RF を捨てることはしない。定在波
管は導波管から見れば6節で示した空洞として見える。
Fig. 29 ERL 用の超伝導空洞

加速管の中では、エネルギー束が両端の壁で反射され、進行波と後退波が入り混じった状態になり、定在波を作っている。常伝導の定在波管では位相が π / 2 だけ進む π / 2 モードが群速度最大であり、電磁場が安定になるため良く使われる。
しかしπ/2 モードでは電界が小さい空洞が１つおきにできてしまうため、シャントインピーダンスが低い。これを解消するため APS 型や DAW 型、
サイドカップル型などが開発された。
なおシャントインピーダンスがもっとも高くなるのは π モードである。しかし、 π モードは群
速度が 0 である完全な定在波であるため、電磁場

超伝導では αD1 なので、πモードの群速度を検討するためには式(7-23)と式(7-29)から出発す
れば良い。

vg =

ωc
dω ωc2
kD sin( β D) ==d β 2ω
2α Qc*

つまりπモードというのは、損失がある事により、 β D がπから微小にずれて、エネルギー流が生まれるという事を意味していると考えられる。

参 考 文 献[1] 亀井亨、木原元央、「加速器科学」丸善株式
会社[2] S. Y. Lee 、“ Accelerator Physics Second
Edition”、World Scientific Pub. Co. Inc. 2004
[3] 小林仁、「電子線形加速器」、OHO’88 高エ
ネルギー加速器セミナー、（財）高エネルギ
ー加速器科学研究奨励会 1988
[4] 中島将光、「マイクロ波工学」、森北出版株
式会社[5] 鈴木清、「マイクロ波回路の基礎」、啓学出
版株式会社[6] 栗木雅夫、「電子線形加速器の基礎 電子源」、OHO’02 高エネルギー加速器セミナー、（財）高エネルギー加速器科学研究奨励会
2002[7] 道園真一郎、「電子線形加速器の基礎 高周波源」、OHO’02 高エネルギー加速器セミナー、（財）高エネルギー加速器科学研究奨
励会 2002[8] A. Larionov, V. Teryaev, S. Matsumoto, Y.H.
Chin 、“ Design of Multi-Beam Klystron in
X-Band” 、 Proceeding of the 27th Linear
Accelerator Meeting in Japan[9] A.Yano, S. Miyake, TOSHIBA ELCTRON
TUBES & DEVICES Co., Ltd., Ohtawa-shi,
Japan, S. Choroba, DESY, Hamburg, Germany、“ DEVELOPMENT OF TOSHIBA L-BAND
MULTI-BEAM
KLYSTRONFOREUROPEAN XFEL PROJECT” 、 Proc. ofParticle Accelerator Conference ’07, June 25 29, 2007, Albuquerque, New Mexico[10] 後藤憲一、山崎修一郎、「電磁気学演習」、
共立出版株式会社[11] 山口誠哉、「電子線形加速器の基礎 加速
管・立体回路」、OHO’02 高エネルギー加速器セミナー、（財）高エネルギー加速器科学
研究奨励会 2002[12] 高田耕治、「加速器の基礎理念」、高エネル
ギー加速器研究機構 加速器研究施設、
2002 年 7 月 8 日改訂[13] 高田耕治、「高周波加速の基礎」、高エネル
ギー加速器研究機構 加速器研究施設、
2005 年 1 月 12 日改訂[14] 肥後寿泰、「ディスクロード型加速構造のカプラーマッチングに関する簡単な等価回路解析」、JLC-note、No.42、1993 年 2 月 9日[15] D. E. Nagle、E. A. Knapp、B. C. Knapp、“Coupled Resonator Model for Standing Wave
Accelerator Tanks”、The Review of Scientific
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1967 pp.1583-1587[16] E. A. Knapp、B. C. Knapp、J. M. Potter、“ Standing Wave High Energy Linear
Accelerator Structures” 、 The Review of
Scientific Instruments Volume 39. Number 7
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ロナ社[18] G. Wendt, in Handbuch der Physik, ed. S.
Fl¨ugge, Vol. 16 (Springer, Berlin, 1958), p.140.
[19] 夏井拓也、「可搬型非破壊検査用 X バンド
ライナックの実証」、修士論文、東京大学大学院工学系研究科、2008[20] 古田安彦、「マイクロ波アンジュレータの開発研究」、修士論文、東京理科大学大学院
理工学研究科物理専攻、2007

ue = Ge

付録 A

( Δ + k ) u = −δ ( r − r ′) e
2

1. スカラーヘルムホルツ方程式の基本解( Δ + k ) G = −δ (r − r ′)2

（e は任意のベクトル）∇ ⋅ ( ue ) = ∇ ⋅ ( Ge )(1-1)

= G ⋅∇ ⋅ e + e ⋅∇G(2-3)= e ⋅∇G

（３次元）

G=

(2-2)

e

e − jkR
4π R

ur = ∇ × ( Ge ) ( = ∇ × ( ue ) )R = r − r′R=

( x − x′ ) + ( y − y ′ ) + ( z − z ′ )22= ( ∇G ) × e + G ( ∇ × e )2= ( ∇G ) × e

(1-2)
（２次元）

(2-4)

∇ ⋅ ur = ∇ ⋅∇ × ( Ge ) = 0

jH ( ) ( kR ) Y0 ( kR ) − jJ 0 ( kR )
G=− 0
=
4
4
2

(1-3)

∇ × ur = ∇ × ∇ × ( Ge )= ∇∇ ⋅ ( Ge ) − Δ ( Ge )= ∇∇ ⋅ ( Ge ) − ( ΔG ) e

ここで ∇G を求める

R
∇G ( kR ) = G′ ( kR ) ⋅ k ⋅∇R = G′ ( kR ) ⋅ kR= ∇∇ ⋅ ( Ge ) + ( k 2G + δ ( r − r ′ ) ) e(1-4)

Δur − ∇∇ ⋅ ur + ∇ × ∇ × ur = 0

（３次元）

⎛ 1
⎞R
∇G = G ⋅ ⎜ − − jk ⎟
⎝ R
⎠R

(2-5)

(2-6)

↓
(1-5)

Δur + ∇ × ∇∇ ⋅ ( Ge ) + k 2∇ × ( Ge )+∇ × (δ ( r − r ′ ) e ) = 0（２次元）

jH1( ) ( kR ) R Y1 ( kR ) − jJ1 ( kR ) R∇G = −
⋅k =
⋅k
4
R
4
R
2

(1-6)

2. 基本解( Δ + k ) u = −∇ × (δ ( r − r ′) e )
2

r

(2-7)

(2-8)

3. 体積積分→面積分∫ ( uΔA − AΔu ) dV を面積分に変換するため= ∫ ∇ ⋅ ( ψdV ) = ∫ ψ ⋅ ndS となる ψ を求める
V

スカラーヘルムホルツ方程式の基本解

G ( r − r ′)VS

ここで ∇ ⋅ ( a × b ) = b ⋅∇ × a − a ⋅∇ × b を利用し( Δ + κ ) G = −δ ( r − r ′)2↓ベクトルヘルムホルツ方程式へ

(2-1)

て

∇ ⋅ ( u × ∇ × A ) = ∇ × A ⋅∇ × u − u∇ × ∇ × A= ∇ × A ⋅∇ × u − u∇∇ ⋅ A + uΔA(3-1)

∇ ⋅ ( A × ∇ × u ) = ∇ × u ⋅∇ × A − A∇∇ ⋅ u + AΔu(3-2)∫ ( u ( Δ + k ) A − A ( Δ + k ) u dV )= ∫ ψ ⋅ ndS
2

2

e

V

e

(4-5)

S

さらに ∇∇ ⋅ の項を消去するため、∇ ⋅ (φ ⋅ a ) = φ∇ ⋅ a + a ⋅∇φ を利用して

cA ⋅ e = − ∫ ue ( Δ + k 2 ) AdV
V∇ ⋅ ( u∇ ⋅ A ) = ∇ ⋅ A ⋅∇ ⋅ u + u∇∇ ⋅ A(3-3)∇ ⋅ ( A∇ ⋅ u ) = ∇ ⋅ u ⋅∇ ⋅ A + A∇∇ ⋅ u(3-4)+ ∫ ( u e ×∇ × A + ue∇ ⋅ A(4-6)⎧ue = Ge⎪⎨∇ ⋅ ue = e ⋅∇G⎪∇ × u = ∇G × e
( )
e
⎩

(4-7)

S

− A × ∇ × ue − A∇ ⋅ ue ) ⋅ ndS

これから ψ ＝(3-1)＋(3-3)－(3-2)－(3-4) である
従って∫ ( uΔA − AΔu ) dV
= ∫ ( u × ∇ × A + u∇ ⋅ A − A × ∇ × u − A∇ ⋅ u ) ⋅ ndS
V

S

(3-5)

cA ⋅ e = − ∫ ue ( Δ + κ 2 ) AdVV+ ∫ ⎡⎣( ( ∇ × A ) × n )iGe + G ( ∇i A ) nieS− ( n × A )i( ( ∇G ) × e ) − ( Ain )( e i∇G ) ⎤⎦ dS

4. ベクトルヘルムホルツ方程式の積分形∫ ( u ( Δ + k ) A − A ( Δ + k ) u)= ∫ ( uΔA − AΔu ) dV
2

(4-8)

2

V

(4-1)

( ( n × A ) × ∇G ) ⋅ e

V(1) u = ( G , G , G ) として A の各成分 Ai にスカ

cA ⋅ e = − ∫ Ge i( Δ + κ 2 ) AdV
V

ラーヘルムホルツ方程式として解く+ ∫ ⎡⎣( ( ∇ × A ) × n + n∇i A ) G∫ ( G ( Δ + κ ) A − A ( Δ + κ ) G ) dV
2iV

− ( n × A ) × ∇G − ( Ain ) ∇G ⎤⎦ ⋅ edS

i

∂G ⎞
⎛ ∂A
= ∫ ⎜ G i − Ai
⎟ dS
S
∂n ⎠
⎝ ∂n

(4-2)

(3) u = ur として ∇ × A を求める

cAi = − ∫ G ( Δ + k 2 ) Ai dV( c = ∫ δ ( r − r ′) dV )V(2) u = ue として A を求める

∫ ( u ( Δ + k ) A − A ( Δ + k ) u dV )= ∫ ψ ⋅ ndS
2

V

∂G ⎞
⎛ ∂A
+ ∫ ⎜ G i − Ai
dS
S
∂n ⎟⎠
⎝ ∂n

(4-9)

S

2

(4-3)

2

r

V

r

(4-10)

S∇ × ue = ∇ × ( Ge )(4-4)−∇ × (δ ( r − r ′ ) e )ここで左辺を整理するため∇ ⋅ ( a × b ) = b ⋅∇ × a − a ⋅∇ × b
を利用して(4-11)

(∇ ⋅ A × (δ ( r − r ′ ) e ))φ = e ⋅∇G とすれば
(4-12)= δ ( r − r ′ ) e ⋅∇ × A − A∇ × (δ ( r − r ′ ) ⋅ e )( (∇ ⋅ ue × ( Δ + k 2 ) A

A × ∇ ( e ⋅∇G )= ( e ⋅∇G ) ∇ × A − ∇ × ( ( e ⋅∇G ) ⋅ A )))(= ∇ × ue ⋅ ( Δ + k 2 ) A − ue ⋅ ∇ × ( Δ + k 2 ) A)∫ ⎡⎣ A × ∇ ( e ⋅∇G )⎤⎦ ⋅ ndS= ∫ ⎡⎣( e ⋅∇G ) ∇ × A⎤⎦ ⋅ ndS− ∫ ∇ ⋅ ( ∇ × ( e ⋅∇G ) ⋅ A ) dV

(4-13)

S(4-19)S

またV∇ × ΔA = ∇ × ( ∇∇ ⋅ −∇ × ∇ ×) A= −∇ × ∇ × ∇ × A

これを代入すると(4-14)= ( Δ − ∇∇ ⋅) ∇ × A

c (∇ × A) ⋅ e()= − ∫ ue ⋅ ( Δ + k 2 ) ∇ × A dV

= Δ∇ × AV+ ∫ ⎡⎣( ( ∇G ) × e ) × ∇ × A + ( ( ∇G ) × e ) ∇ ⋅ A

よりS∇ ×(Δ + k 2 ) A = (Δ + k 2 )∇ × A(4-20)

これらを代入して

e で整理すると∫ δ ( r − r ′) e ⋅∇ × AdV= − ∫ u ⋅ ( ( Δ + κ ) ∇ × A ) dV
+ ∫ ⎣⎡ψ + A × (δ ( r − r ′ ) e )c (∇ × A) ⋅ e

V

2

e

V

S

(

− ( e ⋅∇G ) ∇ × A − Ge × ( ∇∇ ⋅ −∇ × ∇ × ) A⎤⎦ ⋅ ndS(4-15)(4-16)V)+ ∫ ⎣⎡{( ∇ × ∇ × −∇∇ ⋅) A} × n ⋅ G − ( ∇G × n ) ∇ ⋅ A
S)− ue × ( Δ + κ ) A ⎤ ⋅ ndS⎦
2(= − ∫ Ge ⋅ ( Δ + k 2 ) ∇ × A dV

− ( n × ∇ × A ) × ∇G − ( ( ∇ × A ) ⋅ n ) ∇G ⎤⎦ ⋅ edS(4-21)c (∇ × A) ⋅ e(

これは ∇i A = 0 の時 ∇ × A に対して(2)の結)= − ∫ ue ⋅ ( Δ + k 2 ) ∇ × A dVV果と一致した。

+ ∫ ⎡⎣( ( ∇G ) × e ) × ∇ × A + ( ( ∇G ) × e ) ∇ ⋅ A
S(− A × ∇ ( e ⋅∇G ) + ( k 2G + δ ( r − r ′ ) ) e

(

)

)

+ A × (δ ( r − r ′ ) e ) − Ge × ( Δ + k 2 ) A ⎤ ⋅ ndS⎦(4-17)

5.

Maxwell eq.

∂B= − jwμ H
∂t

(5-1)

∂D
= J 0 + (σ + jεω ) E
∂t

(5-2)

∇× E = −∇× H = J +表面積分の項を整理するため

ΔE = ∇∇ ⋅ E − ∇ × ∇ × E

公式∇ × φ A = ∇φ × A + φ∇ × A
を利用して(4-18)=∇

ρ+ jωμ J 0 + jωμ (σ + jωε ) E
ε

(5-3)

ΔH = ∇∇ ⋅ H − ∇ × ∇ × H= −∇ × J 0 + (σ + jεω ) jωμ H(5-4)

k 2 = − (σ + jεω ) jωμ = ωμ (ωε − jσ )(5-5)

( Δ + k ) E = ∇ σε + jωμ J

(5-6)

2

( Δ + k ) H = −∇ × J

0

2

0

(5-7)

これらの積分型は、式(4-9)の A = E として e は自由に選べることから⎛ ρ⎞
E = − ∫ G ⎜ ∇ + jωμ J 0 ⎟ dVV⎝ e⎠+ ∫ ⎡⎣ − jkzH × n − ( n × E ) × ∇G
S

(5-8)

− ( E ⋅ n ) ∇G ⎦⎤ dS
H = − ∫ G ( −∇ × J 0 ) dV
V

k ⎞
⎡⎛
+ ∫ ⎢⎜ J 0 + j E ⎟ × n − ( n × H ) × ∇G (5-9)
Sz ⎠⎣⎝− ( H ⋅ n ) ∇G ⎦⎤ dS

2. 高周波デバイスの設計とシミュ
レーションの法線方向の導関数が un =∂u
= u n とする。これ∂nらに重さ関数 v を、両辺にかける。

∫ ( (Δ + k )u ) vdA + ∫ ( u − u ) vds = 021. 電磁波の数値シミュレーション

S

C2

n

n

(1-1)

この１項目はヘルムホルツ方程式の誤差に v をか
1.1. はじめにけた物の積分を表し、２項は境界での残差の積分

偏微分方程式の数値シミュレーションにはいくである。これを部分積分し、以下の式を得る。

つかの方法があり、様々なソフトウェアが存在す∫ ( (Δ + k )u ) vdA
2

るが、電磁波という古典的な計算でも、ソフトウS⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞= ∫ un vds − ∫ ⎜+⎟ dACS ∂x ∂x∂y ∂y ⎠⎝

ェアによって大きな食い違いが生じる事がある。
その際に、偏微分方程式の数値解法の特性を知っていれば、問題解決の糸口になるかもしれない。
なお電磁波シミュレーションと合わせた荷電(1-2)

粒子シミュレーションまで記述したかったが、専

ここで境界 C1 では v = 0 なので、１項目は消え以門的になってしまうので別の機会にする事にし下になる。

て、今回は省いた。
1.2. 有限要素法(FEM)⎛ ∂u ∂v∂u ∂v ⎞∫ ⎜⎝ ∂x ∂x + ∂y ∂y ⎟⎠ dA − ∫ u vds = 0
S

C2

n

(1-3)

有限要素法はメッシュの形状が自由に選べるた

この式は弱形式と呼ばれる。ここで v は境界 C1

め、境界条件に適合しやすく、さらに次数を上げ上で 0 になる以外は任意なので、 v = δ u とする。

れば精度が出易い方法である。
公開されている、もしくは商用のソフトウェア
としては軸対称では Superfish、３次元では HFSSなど非常に精度の高いプログラムがあり、従来のマイクロ波設計では欠かせないシミュレーショ
ン方法となっていた。しかし境界に適合したメッ
シュを生成するという事は、荷電粒子との相互作用を計算する上では、どのメッシュの中に粒子が⎛ ∂u ∂δ u

S子を組み込むと、あまり良い方法とは言えない。
電磁波の固有モードを計算する Superfish の場
合も、荷電粒子のトラッキングを行う Parmeraに電磁界分布を渡す際には、補間して直交格子にn⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂u ⎞ 2 ⎤1
δ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ dA − ∫ unδ uds = 0
C2
2 ∫S ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥⎦
(1-5)
従って

⎧⎪ 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂u ⎞2 ⎤⎫⎪
δ ⎨ ∫ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ dA − ∫ unuds ⎬ = 0
C2
2 S ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥⎦⎩⎪⎭⎪変換している。従ってここでは有限要素法の基礎を説明するにとどまる事とする。

C2

これは次のように変形できる。

存在するのかを判定するのに多くの計算時間を要するため、電磁波計算だけなら良いが、荷電粒∂u ∂δ u ⎞∫ ⎜⎝ ∂x ∂x + ∂y ∂y ⎟⎠ dA − ∫ u δ uds = 0 (1-4)(1-6)
これは、汎関数 F に対して、δF=0 を解けば良い

1.2.1. Galerkin FEM事を意味し、Rayleigh-Ritz 法とも対応がついて領域 S 内の２次元のヘルムホルツ方程式の厳密解いる。

を u とする。その境界 C1 上で u = u 、Ｃ２上で2
2
1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎤F = ∫ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ dA − ∫ unuds
C2
2 S ⎢⎣⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎥⎦

δ F = F[ H + δ H ] − F[ H ](1-7)= ∫ ⎡⎣ { ∇ × ( H + δ H ) } ⋅ { ∇ × ( H ∗ + δ H ∗ ) }− k 2 ( H + δ H ) ⋅ ( H ∗ + δ H ∗ ) ⎤⎦ dVδF =0− ∫ ⎡⎣ ( ∇ × H ) ⋅ ( ∇ × H ∗ ) − k 2 H ⋅ H ∗ ⎤⎦ dV

1.2.2. 電磁波の汎関数
ここでは、電磁波の磁場の空間分布を示す式∇×∇× H = k2H(1-8)

２次の微分を無視すると= ∫ ⎡⎣ ( ∇ × H ) ⋅ ( ∇ × δ H ∗ )+ ( ∇ × H∗ ) ⋅ ( ∇ ×δ H )− k 2 { H ⋅ δ H ∗ + H ∗ ⋅ δ H } ⎤⎦ dVの汎関数を示す。電場についての式∇×∇× E = k2E(1-9)∇ ⋅ (V × W ) = W ⋅ (∇ × V ) − V ⋅ (∇ × W )を使っても同じである。

V = (∇ × H )あるいは (∇ × H ∗ ),式(1-8)の汎関数は

W = δ H ∗あるいは δ Hとする

F[H ]= ∫ ⎡⎣ −∇ ⋅ { (∇ × H ) × δ H ∗ } + δ H ∗= ∫ ⎡⎣ ( ∇ × H ) ⋅ ( ∇ × H ∗ ) − k 2 H ⋅ H ∗ ⎤⎦ dV(1-10)である。ここで、 H は磁場の空間分布である。また、汎関数はエネルギーに関係していることが多く、このようにすると磁場のエネルギーに関係し⋅{ ∇ × (∇ × H ) } − k 2 ( H ⋅ δ H ∗ ) ⎤⎦ dV+ ∫ ⎡⎣ −∇ ⋅ { (∇ × H ∗ ) × δ H }+ δ H ⋅ { ∇ × (∇ × H ∗ ) }た量になるのである。わざわざ、複素共役を使わ− k 2 ( H ∗ ⋅ δ H ) ⎤⎦ dV

ないで計算しても同じ結果が得られる。この場合

この式に発散定理を使い、は、汎関数が複素数になる。

式を整理するとそれでは、この式の第 1 変分がゼロになる条件
が式(1-8)を満足するかどうか調べる。第一変分= − ∫ ⎡⎣ (∇ × H ) × δ H ∗+ (∇ × H ∗ ) × δ H ⎤⎦ ⋅ ndS

は、 H を δ H 変化させたときの微小変化量で+ ∫ ⎡⎣ { ∇ × ∇ × H − k 2 H } ⋅ δ H ∗+ { ∇ × ∇ × H ∗ − k 2 H ∗ } ⋅ δ H ⎤⎦ dV(1-11)となる。
いつものように、任意の δ H に対して、この第一変分 δF がゼロになる条件を考える。第 1 変分

δF は実数であるが、 H や δ H は複素数である。
この複素数の実数部と虚数部の変化に対して、第1 変分がゼロとならなくてはならない。わかりやすくするために、複素数になっている部分を

H = H r + iH i

(1-12)となる必要がある。これは、マクスウェルの方程
式から導かれた磁場の偏微分方程式と同等であδ H = δ H r + iδ H i(1-13)と実数部と虚数部に分ける。これらを、式(1-11)に代入すると、る。
以上のことから、高周波の電磁場の磁場を計算するためには、式(1-10)の第一変分をゼロにすればよいことが分かる。静磁場のマクスウェルの方
程式は、式(1-10)の第 1 変分をゼロにするのと等δ F = −2 ∫ [ (∇ × H r ) × δ H r

しいのである。

+ (∇ × H i ) × δ H i ] ⋅ ndS

電場については、ここでは計算しないが、全く+ 2∫ ⎡⎣ { ∇ × ∇ × H r − k H r } ⋅ δ H r
2

同じ手順で求められる。そして、結果も全く同じ+ { ∇ × ∇ × H i − k 2 H i } ⋅ δ H i ⎤⎦ dV(1-14)である。
1.2.3. 軸対称定在波問題となる。これが、実数部と虚数部に分けた汎関数

軸対称空洞内部の電磁場を求めるための汎関数の第 1 変分である。もちろん、任意の δ H に対しを示す。問題は定在波に限るものとする。

て、これがゼロになる条件を考えるのである。任

軸対称問題は、円柱座標系を使うのがセオリー

意の δ H と言うことは、任意の δ H r と δ H i に対しである。この場合、空洞の形状は完全軸対称であて、第 1 変分がゼロになる条件を探すのである。
そのためには、この式の右辺第 1 項と 2 項がともにゼロにならなくてはならない。
右辺第 1 項は、境界条件を表し、⎧ (∇ × H r ) × n = 0 または δ H r = 0⎪
かつ(1-15)⎨⎪ (∇ × H ) × n = 0 または δ H = 0⎩iiの場合、ゼロとなる。通常は、(∇ × H ) × n = 0 とする。これが自然境界条件で、ノイマン条件となる。この磁場の回転は、マクスウェル方程式より、∇ × H = iωε 0 E となる。従って、ノイマン条件は、

E × n と書き直すことができる。すなわち、電場と境界の法線方向が一致するのである。これは、金属の境界条件である。すなわち、境界を指定しなければ、自然に金属の境界条件が満足されるのである。一方、 δ H = 0 はディレクイ条件で、境界の値を指定した場合である。

とができる。式(1-10)では円柱座標系の回転の演算が表れ、それは

1 ∂H z ∂Hθ ⎤rˆ
∇ × H = ⎡⎢−∂z ⎥⎦⎣ r ∂θ
∂H∂H z ⎤ ˆθ+ ⎡⎢ r −
∂r ⎥⎦
⎣ ∂z
1 ∂
∂H r ⎤+ ⎡⎢ (rHθ ) −zˆr ⎣ ∂r∂θ ⎥⎦(1-16)(1-17)である。
一般には、これを、汎関数の式(1-10)に代入す
ることになる。しかし、通常の空洞では最も共振周波数の低いモードが重要になる。加速空洞の場
合、通常は最低次の TM モードが運転に使われる。
これが、運転モードとなり、真っ先に解析したい
モードである。このモードは、場が θ 方向の依存性を持たず、磁場は H θ のみである。このモードの磁場の回転は、

第 2 項がゼロとなるのは、⎧∇ × ∇ × H r − k 2 H r = 0
⎪
かつ
⎨
⎪
2
⎩ ∇ × ∇ × Hi − k Hi = 0る。定在波の場合、磁場は実数として取り扱うこ∂H
1 ∂∇ × H = ⎡⎢ − θ ⎤⎥ rˆ + ⎡⎢ (rHθ ) ⎤⎥ zˆr ⎣ ∂r⎣ ∂z ⎦⎦∂H∂H
H= ⎛⎜ − θ ⎞⎟ rˆ + ⎛⎜ θ + θ ⎞⎟ zˆ
∂r ⎠⎝ ∂z ⎠⎝ r

1.3. 境界要素法(1-18)

境界要素法が非常に興味深いのは、計算格子を計
算空間内部に配置する必要が無く、表面のみに形成すれば良いため、複雑な３次元ＣＡＤ形状におとなる。この回転の結果を汎関数の式(1-10)に適いて正確かつ、簡単に格子の形成が可能な事であ用すると以下の式になる。

る。境界要素法は、マクスウェル方程式の積分形から出発する。スカラーヘルムホルツ方程式に帰F [ Hθ ]着できる場合は、通常の本に載っている解法で計
2

⎡ ∂H
⎤
1 ∂ ( rHθ ) ⎞= ∫ ⎢ ⎛⎜ θ ⎞⎟ + ⎛⎜− k 2 Hθ2 ⎥ dV⎟
⎣ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ r ∂r ⎠⎦2
2
(1-19)
⎡ ∂H
∂H
H ∂Hθ
= ∫ ⎢ ⎛⎜ θ ⎞⎟ + ⎛⎜ θ ⎞⎟ + 2 θr ∂r⎣ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂r ⎠
2

2

⎤
H
+ ⎛⎜ θ ⎞⎟ − k 2 Hθ2 ⎥ 2π rdrdz⎝ r ⎠⎦算が可能であるが、３次元の電磁波解析を行う場
合、ベクトルヘルムホルツ方程式の解法が必要である。ベクトルヘルムホルツ方程式の積分形は、
結果の式は本や論文に書いてあるが、私の調べ方が悪いのだと思うが、導出過程の書物が見つからなかったので、私が導出した過程を１の付録に書いておいた。付録の計算に従うと、結果として以下のような式が得られる。

電場の計算
有限要素法を用いて、式(1-19)の第 1 変分がゼロとなる H θ が、軸対称空洞の磁場になる。この磁場から、電場を求めるためには、マクスウェル方程式を使う。これを時間の微分の項を −jω に置き⎛ ρ⎞
E = − ∫ G ⎜ ∇ + jωμ J 0 ⎟ dVV⎝ ε⎠+ ∫ ⎡⎣ − jkzH × n − ( n × E )S

×∇G − ( E ⋅ n ) ∇G ⎦⎤ dS

換えると、∇ × H = − jω D

(1-20)(1-24)

H = − ∫ G ( −∇ × J 0 ) dV
Vとなる。これから電場は

E=

j

ε 0ω

∇× H

(1-21)⎡⎛k ⎞+ ∫ ⎢⎜ J 0 + j E ⎟ × n − ( n × H )
S
z ⎠
⎣⎝

(1-25)

×∇G − ( H ⋅ n ) ∇G ⎦⎤ dSと求められる。ここで、円柱座標系の回転を計算

この式は既に、電界、磁界は表面のみに帰着できすることになる。それは、式(1-17)のとおりで、ているため、これを離散化すれば、行列が得られ、ここでは H θ のみなので、先に示した式(1-18)のよ

表面の解が計算できる。離散化する際の注意点とうになる。従って、電場は以下のようになる。

してはグリーン関数の体積積分は、表面上では立j ∂HθEr = −ε 0ω ∂zj ⎛ Hθ ∂Hθ ⎞+Ez =ε 0ω ⎜⎝ r∂r ⎟⎠体角になるため、左辺に係数 C がかかる事である。
(1-22)

またこの定数 C を単純に立体角とするより、ラプラス方程式の基本解Gl を使って

(1-23)∂Gl
dS として求めた方が積分の誤差
S ∂nC = −∫

が吸収でき、精度が上がるようである。
なお有限要素法と比較した場合の問題点は以下の通りである。

• 行列要素が複素数で、かつ密になり、有限要

Fig. 1 は、境界要素法で円筒空洞の高次固有モ

素法のようなバンドマトリクスを効率良くード(TM115)を計算した結果である。円筒部及び端解く方法が使えない。ただ逆に行列が密なの板部は高次のラグランジ補間を用いて離散化しで開き直って高次の補間を使う事はできる。

たため、少ないメモリ消費でこのような高次モー• 波数 k がグリーン関数に入っており、k に対ドを正確に解けた。しかし固有モードを求めるた

して行列が線形でないため、行列の固有値問めには、det(M)=0 を探索するのに膨大な時間がか

題に帰着できない。従って固有モードの計算かった。ただし、このような問題は伝搬解析ではには det(M)=0 を k を変えて探索するしかな

起こらないので問題は無い。

く、膨大な時間がかかる。
• ２次元ではグリーン関数がハンケル関数になり計算に非常に時間がかかる。
• 軸対称問題を２次元問題に帰着できない。
これらを打破する方法として多重極子展開法など、近接するノードを一まとめにして、多重極子
展開する事で、計算を高速化し、かつ行列を帯状にする試みがなされている。

1.4. 差分法
差分法と言えば昔は精度が悪いという印象があり、有限要素法や境界要素法が好まれてきた。しかし、様々な精度向上の試みにより、有限要素法
等と同等な精度が得られるようになり、近年は計算の単純な差分法も再び台頭するようになってきた。
マクスウェル方程式を計算するための差分法
としては、FDTD 法や FIM 法、等価回路を用いた TLM 法、微分を連続させた CIP 法などがある。
この中で最も単純な差分法は FDTD 法であるので、まずは FDTD 法について述べる。その後差分法における精度向上ついて簡単に説明する。
1.4.1. FDTD 法
時間領域差分法とは、差分法を時間領域まで拡張
した数値計算方法である。この章では、まず一般的な差分化について述べ、マクスウェル方程式を空間領域における差分化を行う。その後、時間領域における差分化を行い、空間、時間領域における差分化を行う。
差分化
2 次元の任意の座標位置（i、j）（但し i、j は整数）、
時間ステップ n における関数 F を

F n (i, j ) = F (iΔx, j Δy, nΔt )(1-26)と定義する。中央差分を用いて空間、時間の差分化の式は次のように表される。
Fig. 1 境界要素法により計算した TM115 モードnn∂F n (i, j ) F (i + 12 , j ) − F (i − 12 , j )=∂x
Δx(1-27)

∂F n (i, j ) F=∂tn + 12(i, j ) − FΔtn − 12(i, j )

(iΔx,(j+1)Δy) Ex(1-28)

セル

Δy

y

Hz
Ey

Ey

関数 F の F を電場 E あるいは磁場 H と考えると
x

電磁波について差分化することができる。

ははは空間領域における差分化
２次元での TE10 モード時（ E z = 0 ）のマクスウ(iΔx,jΔy) Ex

Δx((i+1)Δx,jΔy)

の中央差分
の中央差分
と の中央差分

Fig. 2 二次元問題における解析モデルとセル構成

ェル方程式は式(1-32)の定義を用いてマクスウェル方程式を空

∂H z
∂y

(1-29)∂H z∂x(1-30)∂Ex ∂E y−∂y∂x(1-31)

ε 0 E x =ε 0 E y = −μ0 H z =間領域で差分化すると、

1

ε 0 E x ⎛⎜ i + , j ⎞⎟
2
⎝

=
=

∂H z (⎠

i + 12 , j)∂y

H z ( i + 12 , j + 12 ) − H z ( i + 12 , j − 12 )Δy(1-33)と表すことができる。この場合、それぞれの方程式はFig. 2 を参考にすると２点間の中央差分によって表すことができる。すなわち、式(1-29)で表させる E x (□印)は H z (×印)の中央差分によって示され、式(1-30)で表させる E y (○印)は H z (×印)の中央差分によって示され、さらに式(1-31)で表させる H z (×印)は E x (□印)と E y (○印)のそれ
ぞれの中央差分で示されることがわかる。

1
ε 0 E y ⎛⎜ i, j + ⎞⎟2⎠⎝
∂H x ( i + 12 , j )=−∂x
H z ( i + 12 , j + 12 ) − H z ( i − 12 , j + 12 )=−Δx
(1-34)

このような一連の考えから、Fig. 2 の右図のような一つのセルを考える。ここで、座標に一般性を持たせる為次式のように定義する。

1
Ex ⎛⎜ i + , j ⎞⎟ = Ex
2 ⎠
⎝
1⎞
⎡
⎛
⎤
⎢⎣ x = ⎜⎝ i + 2 ⎟⎠ Δx, y = j Δy ⎥⎦11μ0 H z ⎛⎜ i + , j + ⎞⎟
⎝

2

2⎠

=

∂Ex ( i + 12 , j + 12 ) ∂E y ( i + 12 , j + 12 )
−
∂y
∂x

=

Ex ( i + 12 , j + 1 ) − Ex ( i + 12 , j )Δy(1-32)−E y ( i + 1, j + 12 ) − E y ( i, j + 12 )Δx
(1-35)と表すことができる。

時間領域における差分化

空間、時間領域における差分化

時間領域における差分化のために次のように時(1-27)、(1-28)で求めた結果を用いて、マクスウル

間の定義を行う。

方程式の空間、時間領域における差分化（2 次元）

Exn = Ex ( t = t0 + nΔt )を行うと、(1-36)

1
Exn +1 (i + , j )2
Δt1= Exn (i + , j ) +ε 0 Δy2⎡ H n + 12 ⎛ i + 1 , j + 1 ⎞ − H n + 12 ⎛ i + 1 , j − 1 ⎞ ⎤⎜z⎢⎣ z ⎜⎝
22 ⎟⎠2
2 ⎟⎠ ⎥⎦⎝

ここで、

Δt：時間ステップ
n ：繰り返し回数
t0 ：基準となる時間(1-39)

1
E yn +1 ⎛⎜ i, j + ⎞⎟
2⎠
⎝
Δt
1
= E yn ⎛⎜ i, j + ⎞⎟ −2 ⎠ ε 0 Δx⎝
⎡ H n + 12 ⎛ i + 1 , j + 1 ⎞ − H n + 12 ⎛ i − 1 , j + 1 ⎞ ⎤⎜z⎢⎣ z ⎜⎝
22 ⎟⎠2
2 ⎟⎠ ⎥⎦⎝

Fig. 3 電界と磁界の時間の関係(1-40)である。この定義を用いてマクスウェル方程式を
時間領域で差分化すると、
n −1

n

E −E
n− 1
= ∇× H 2
ΔtΔtn− 1
E n = E n −1 ∇ × H 2

ε 0 E n − 2 ≈ ε 0
1(1-37)

ε0

n + 12n− 1−H 2= −∇ × E n
Δt
Δt
n+ 1
n− 1
H 2 = H 2 − ∇ × EnH
μ0 H n ≈ μ0

(1-38)

μ0

1
1
n+ 1
H z 2 ⎛⎜ i + , j + ⎞⎟
2
2⎠
⎝
1
1
n− 1
= H z 2 ⎛⎜ i + , j + ⎞⎟
2
2⎠
⎝
1
1
Δt ⎡ n ⎛Ex ⎜ i + , j + 1 ⎞⎟ − Exn ⎛⎜ i + , j ⎞⎟ ⎥⎤
+
⎢
2
2 ⎠⎦
μ0 Δy ⎣ ⎝
⎠
⎝
1⎞
1 ⎞⎤
Δt ⎡ n ⎛
n⎛
E
i
j
E
i
j
1,
,
−
+
+
−
+
⎜
⎟
⎜
y
y
2⎠
2 ⎟⎠ ⎥⎦
μ0 Δx ⎢⎣ ⎝⎝(1-41)と表すことができる。今回は 2 次元で空間、時間と表すことができる。この式の意味するところを領域における差分化を行ったが、3 次元に拡張す

Fig. 3 を用いて説明をする。n 回目に計算されたることで実際の空洞共振器内でのマイクロ波シ

電 界 E n は 一 周 期 前 の E n −1 と そ の 半 周 期 前 のミュレーションを行うことができる。

Hn − 12

界H

によって計算され、またそれに対応する磁n + 12nは、 E と Hを示している。

n −1

によって計算されること

1.4.2. 軸対称問題
軸対称における rot は以下のようになっている。

⎛
⎜ 0
⎜
∂
rot( A) = ⎜
⎜ ∂z
⎜
⎜−1 ∂
⎜
⎝ r ∂θ

−

∂
∂z
0

∂ 1
+
∂r r

1 ∂ ⎞
r ∂θ ⎟ ⎛ A ⎞⎟ r∂ ⎟⎜ ⎟−
Aθ∂r ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝ Az ⎠0 ⎟⎟⎠境界適合については、例えば FDTD 法に対してはContour-Path 法が簡単であるので、境界適合の(1-42)

例として、簡単に述べる。Fig. 4 は Contour-Path法による導体への境界適合の概念図である。

∫Edl=0

Ex2

これを書き直すと、以下のようになる。

⎛
⎛1
⎞⎜ 0
⎜ r 0 0 ⎟⎜⎜⎟ ∂rot( A) = ⎜ 0 r 0 ⎟ ⎜
⎜ ∂z
⎜
1 ⎟⎜
∂
⎜0 0
⎟
r ⎠ ⎜⎜ −
⎝
⎝ ∂θ

−

∂
∂z
0

∂
∂r

∂ ⎞
∂θ ⎟ ⎛ A ⎞
⎟ r
∂ ⎟⎜
⎟
rAθ ⎟
−
⎜
⎟
∂r ⎜
⎟ ⎝ Az ⎠⎟0 ⎟⎟⎠(1-43)Hz
Ey1

Ey2 D2
SD1

従って、通常の２次元の rot の計算を軸対称にす

Ex1るには、通常のデカルト座標の rot で

Ax = ArAy = rAθ

Fig. 4 Contour-Path 法による境界適合(1-44)

として計算し、計算後に Ax , Az に 1/r し Ay に r をかければ計算できる。
1.4.3. 差分法の精度向上
従来差分法は有限要素法などに比べて、精度が劣ると思われてきたが、これは境界上での物理値がマクスウェル方程式を表面積分し、導体上での接線方向の電界の経路積分が０である事を利用す
ると、Fig. 4 に対応した式は以下のようになる。

ΔH= rot EΔtΔt
∫ HdS = − ∫ Edl−μ

重要な流体などが対象だったからだと思われる。
マクスウェル方程式のように、波長より十分に小さい形状の正確な差異が問題にならず、境界に適μS

HzS = −

Δtμ(1-45)C( E D + E D 2 − E D1)
x1

y2

y1

合し、空間内部のみが正確に解ければ良いような

このように単純な計算で、格子を境界に適合する方程式の解法では、差分法でも精度向上が簡単に事なく、境界適合が可能である。

可能である。
精度向上に必要な事は、差分法に限らず、• 次数の向上• 境界適合2. 回路シミュレーションとエネルギー
2.1. 等価回路シミュレーションである。次数の向上については、差分化の際に空等価回路シミュレーションの利点は、電磁波解析

間差分の次数や時間差分の次数を上げれば良いでは非常に時間がかかる結合空洞の周波数特性だけで、式が複雑になるだけなので、ここでは述や、何万波もの過渡解析が高速にできる事であべない。

る。結合空洞の回路シミュレーションをするため

には、それぞれの空洞の固有モードと、結合度が必要になる。
2.2.

周波数領域の計算

Spice などの通常の回路シミュレーターで計算が可能である。
2.3. 過渡解析
高周波空洞の過渡解析が必要なのは以下のような場合である。
• 進行波管などで分散特性を考慮したい場合• 入力 RF をフィードバックなどのため変調した場合の応答が知りたい場合• ビームローディングの過渡応答を考慮した
い場合
Spice などの通常の回路シミュレーターで、LCR 回路を書けば簡単にシミュレーションでき

3. モデルの作成とシミュレーションソフ
トの使い方
3.1. ３次元データ形式
電磁界解析や形状作成には現在は非常に多様多種な物が存在し、クロスチェックも可能になった。従来はこれらのツールを独立に使用してきた。つまりそれぞれのシミュレーションソフトのデータ形式はあまり互換性が無く、それぞれ専用の形式で記述して、図面は別に図面用のソフトウ
ェアで２次元の物を書いていた。
しかし近年 ACIS などの３次元干渉形状計算カーネルの進歩により、いくつかのソフトウェアでは共通のデータとして、例えば SAT/IGES/SHP
形式等のファイルが読み書きできるようになっている。
ここでは我々が通常行っている３次元ＣＡＤ
である Autodesk 社の Inventor で３次元図面をる。
しかし一般的な回路シミュレーターは連立微

書 き 、 そ れ を Ansoft 社 HFSS や CST 社

分方程式を解くのに４次のルンゲクッタ法を用

MW-STUDIO へインポートしてシミュレーショ

いているため、高 Q の空洞の振動解の過渡シミュ

ンする。計算が完了したら、元の３次元図面を２レーションには精度が足りない。高 Q 空洞の過渡次元図面にし加工会社、もしくは CAM 加工ので解析を行うには、以下の２つの方法がある。

きる加工会社へ直接３次元データを送付すると(1) 振動解を変数変換して取り除き、エンベロー

いう流れで説明を行う事とした。こうする事で、プのみを解く(2) 振動解をさらに高精度の微分方程式ソルバ
ーで解く。

一貫性のある設計と、従来良くあった寸法ミスを減らす事ができるという利点がある。しかし３次
元 CAD とシミュレーションソフトは連携して動(1)の方がもちろん高速で賢い方法だが、最近は計

くわけではないので、シミュレーションソフトに算機に汚染され、賢さでは先人には遠く及ばない

組み込まれた形状最適化機能などは使用できなので、私は汎用性もある(2)を勧める。

い。ただ、最適化は一般的には数点形状を変えて(2)の場合、要は回路シミュレーターを製作すれば計算すれば、簡単に行える事が多いので、あまり良いわけだが、高精度の微分方程式ソルバーが必問題にはならないだろう。

要になる。Numerical Recipies によれば、有理関
数補外を利用した Bulirsch-Stoer 法が最も良い方

3.2. Autodesk 社 Inventor の使い方法だという事である。実際、Bulirsch-Stoer 法を(1) パーツを作成する

試してみた所 100 万波程度の長時間の振動解の過①[ファイル]>[新規作成]の順にクリックする。

渡解析が安定にできる事が分かったので、この方法を採用するのが良いと思う。

②[ 新 規 フ ァ イ ル ] ダ イ ア ロ グ ボ ッ ク ス で 、Standard.ipt をダブルクリックする。

③新しいパーツ ファイルを開くと、スケッチ モードで作業できる。

(3)シミュレーションソフトにインポートする
HFSS や MW STUDIO に読み込ませて、電磁界④スケッチは[2D スケッチパネル]を利用し、2 次
元でスケッチを行う。

計算を行う場合には、[ファイル]>[コピーに名前をつけて保存]を選択して、ファイルの種類に[SAT ファイル]を選択して保存する。

⑤スケッチが終わったら、右クリックをして[スケッチを終了]を選択する。

(4)加工図面を作成する
設計して、実際作成するためには 2 次元の図面を⑥スケッチを元に[パーツフューチャーパネル]を作成しなければならない。

用いて、押し出しや回転などを行い、3 次元のパーツを作成する。
⑦1 回のスケッチでできない場合にはさらに先ほど書いた 3 次元の形状の面を右クリックし、新①[ファイル]>[新規作成]の順にクリックする。
②[ 新 規 フ ァ イ ル ] ダ イ ア ロ グ ボ ッ ク ス で 、Standard.idw をダブルクリックする。

しいスケッチを選択する。
③図面ビューパネルから[ベースビュー]を選択⑧④～⑥を繰り返してパーツを作る。

し、図面にしたいファイルを選択し尺度、方向を決めて配置する。

⑨[ファイル]>[保存]から名前を付けて保存する。
④さらに[図面ビューパネル]を利用し、投影図や(2)アセンブリを作成する

断面図、詳細図を加える。

パーツを組み合わせた組図を作成する①[ファイル]>[新規作成]の順にクリックする。

⑤[図面注記パネル]を利用し、寸法や公差などを記入し図面を完成させる。

②[ 新 規 フ ァ イ ル ] ダ イ ア ロ グ ボ ッ ク ス で 、Standard.iam をダブルクリックする。

⑥[ファイル]>[iproperty]で作成者やパーツ名、材質、個数などを右下の表題欄を記入して、加工③アセンブリパネルから[コンポーネントを配置]

図面を完成させる。

を選択し、先ほど作成したパーツを開いて配置する。

⑦この作業を 1 つ 1 つの部品ごとに行い、部品図
面を作り、部品をくみ上げたときの組図も作成④アセンブリパネルを用いて、コンポーネント同士に拘束条件などを付けて、組み合わせていく。

すると、1 式の図面が完成する。
3.3. 電磁波シミュレーション
電磁界シミュレーションソフトとして主に HFSS⑤③～④を繰り返し、コンポーネントを組み合わせる。

と MWSTUDIO などが使われている。ソフトによって解析方法に特徴があり、目的によって使い分けたり、複数のソフトでシミュレーションを行⑥出来上がったら、[ファイル]>[保存]を選択して名前を付けて保存する。

い、確認を行ったりすることが重要である。

ここでは空洞のシミュレーションを例に HFSSと MW STUDIO の使い方を説明する。
3.3.1. HFSS
3.3.1.1. HFSS の概要
HFSS には３つの解析方法があり、解析したいモ
デルの状況により適切に解析方法を選ぶ必要がある。
Driven Modal：

Fig. 5 モデルのインポート

伝搬モードに着目した電磁界解析。導波管など(3) 単位の設定の解析に用いる。

①[3D Modeler]>[Units]をクリックすると、Set

Driven Terminal：
ノードに着目した電磁界解析。デジタル信号の解析に用いる。
Eigenmode：

Model Units ダイアログが立ち上がる。
②Select units から単位(mm)を選択し、[OK]をクリックする。

固有値解析。どんな電磁波が閉じ込めることが(4) 材質の設定できるかを調べる解析。

①[Edit]>[Select]>[ Objects]を選択する。

この中で空洞の設計で用いられる Driven Modalと Eigenmode の解析手順についてそれぞれ説明②3D Modeler ダ イ ア ロ グ で 材 質 を 決 め た い
Object をクリックすると紫色に変わる。

する。
3.3.1.2. Driven Modal での解析手順(1) プロジェクトの作成[File]>[New]をクリックして新しい Project を開く。
(2) 3D モデルの作成①シ ミ ュ レ ー シ ョ ン モ デ ル は Autodesk 社
Inventor で作成し、ファイル形式を*.sat で保存する。(HFSS で直接作成することも可能。)
Fig. 6 材質の設定②[3D Modeler]>[Import…] を ク リ ッ ク す る とImport File 選択ダイアログが立ち上がる。
③作成したモデルの sat ファイルを選択して[開く]をクリックすると HFSS にモデルを読み込む。

③[3DModeler]>[Assign Material]をクリックす
ると、Select Definition ダイアログボックスが立ち上がる。

Fig. 7 Select Definition ダイアログボックス
Fig. 9 境界条件の設定④材質（vacuum）を選んで、[OK]をクリックす・Perfect E：る。

完全導体、電界が境界面に対して垂直になる。
(5) 境界条件の設定①[Edit]>[Select]>[ Face ]を選択する。
②3D Modeler ダイアログで境界条件を決めたい
モデルの面をクリックすると紫色に変わる。

(デフォルト)・Perfect H：
磁界が境界面に対して垂直になる。主に対象境界時に使用。
・Finite Conductivity：
指定した導電率と透磁率を適用。
クリック後 Finite Conductivity Boundary ダ
イアログでパラメーターを指定
デフォルトで以下の状態では境界材質が銅である。
Conductivity; 5800000
Relative Permittivity; 1

Fig. 8 モデルの境界条件③[HFSS]>[Boundaries]>[Assign]>[境界条件(下記の中より)]をクリックし境界条件を設定する。

Fig. 10 Finite Conductivity の設定
Use Material で指定の材質に設定も可能である。

・Impedance：
波動インピーダンスを適用
・Layered Impedance：
表面の粗さ、メッキ処理
・Radiation：
電磁波をそのまま放射・Symmetry：Fig. 11 Solution type の選択

対称境界条件、電磁波のふるまいが対象、
Perfect E、または Perfect H に設定
・Master＆Slave：
周期境界条件
その他 PML(完全吸収境界)、Lumped RLC などがある。

(8) 解析の設定
a.

ポートを設定する。

①[Edit]>[Select]>[ Face]を選択する。
②3D Modeler ウィンドウでポートにしたいモデ
ルの面をクリックすると紫色に変わる。

※ポートと境界条件の重複はできない。
(6) メッシュの設定
通常は自動で行われるため、今回は特に設定する必要はない。しかし、メッシュがさらに必要な場
合はマニュアルメッシュを設定する。
①3D Modeler ウィンドウでメッシュを指定した
い面やオブジェクトをクリックする。
②[HFSS]>[Mesh Operations]>[Assign]>[マニュアルメッシュの種類]をクリックする。
On Selection：
オブジェクト表面のメッシュを制御する。
Inside Selection：

Fig. 12 ポートの設定

オブジェクト内部のメッシュを制御する。

③[HFSS]>[Excitations]>[Assign]>[Wave Port]をクリックする。

③各々のマニュアルメッシュの設定をして[OK]※port には Wave Port と Lumped Port があるをクリックする。

が、空洞設計には主に Wave Port を用いる。
④Wave Port ダイアログが開き、port の設定を行(7) Solution type の選択①[HFSS]>[Solution Type] を ク リ ッ ク す る とSolution Type ダイアログが開く。
②以下の中から[Driven Modal]を選んで[OK]をクリックする。

い、完了したら[OK]をクリックする。

Fig. 13 ポートモードの設定
Modes のタブにおいて
Number of Modes：1
解析を行いたいモードの数

Fig. 14 Setup の設定(高次モードの解析を行う場合以外は通常 1)

Solution Frequency：1.3GHz

Integration Line &Characteristic Impedance：None , Zpi

解析したい周波数付近の値を入れる。

S-parameter 算出時に使用

Maximum Number of Passes：10

導波管を port にする場合は None＆Zpi

メッシュの粗さはここで決まり、数値が大きいほど精度が増す。

※入射波源、入射波の種類などを指定すること③[OK]をクリックする。

も可能である。

④[HFSS]>[Analysis Setup]>[Add Sweep] を 選
択する。

b.

⑤Edit Sweep ダイアログで設定を行う。

Driven Modal 解析のセットアップ①[HFSS]>[Analysis Setup]>[Add
Setup]をクリックする。

Solution②Edit Sweep ダイアログの General のタブから
以下の設定を行う。

Sweep Type：必要に応じて[Discrete]にチェックを入れる。[Discrete]を選ぶと、それぞれの値において解析を行うため 3 つの中で精度が最も良く、カットオフ周波数が周波数範囲にあっても解析ができるが、解析時間はかかる。[Fast]の場合は選択したポートのモードのカットオ
フに入らないように周波数の範囲を選ぶ。
Frequency Setup;
Type：[Linear Step]
Start・Stop：1.28GHz・1.32GHz
解析をしたい周波数の範囲
Step Size：0.001GHz
解析したい周波数間隔

フィールドを保存するには[Save Fields (AllFrequency]にチェックを入れる

Fig. 16 Create Report ダイアログ
次に Traces タブで以下のような設定をする。
Solution：解析した Setup 名(例 Setup1:sweep1)
Category： S Parameter
Quantity： 必要な S パラメーター
Function：単位(mag)
設定できたら Add Trace をクリックして Done を
Fig. 15 Sweep の設定

クリックする。

⑥設定が終わったら[OK]をクリックする。
⑦[HFSS]>[Analyze All]をクリックすると解析が始まる。
(9) Driven Modal での結果の見方a.

ポートモードをみる

Wave port から入射させたマイクロ波のモードを確認する。
左のウィンドウから[Port Field Display]>[WavePort 名]>[Mode N]を選択する。
b.

S-parameter や Smith Chart をみる①[HFSS]>[Results]>[Create Report]をクリックする。
②Create Report ダイアログで Report Type とDisplay Type を選ぶ。
＊S-parameter の場合
Report Type：Modal Solution Data
Display Type：Rectangular Plot

Fig. 17 S-パラメーターの設定

Fig. 18 S-パラメーター(結果)＊Smith Chart を見る

Fig. 20 フィールドプロットの設定

Report Type：Modal Solution Data
Display Type：Smith Chart③Create Field Plot ダイアログで、見たいフィールドの設定を行う。

次に Traces タブで以下のような設定をする。

Solution：解析した Setup 名

Solution：解析した Setup 名(例 Setup1:sweep1)(例 Setup1:sweep1)

Intrinsic Variables；

Category：S Parameter

Freq：周波数(例 1.307GHz)

Quantity：必要な S パラメータ

Phase：位相(例 0deg)

Function：単位(None)
設定が終わったら[Done]をクリックすると、フィ設定できたら Add Trace をクリックして Done をールドが表示される。

クリックする。

Fig. 21 共振周波数での磁場のベクトル分布

Fig. 19 スミスチャート
c.

Field を見る

①Filed を見たいオブジェクトまたは面をクリッ
クして、選択する。
②[HFSS]>[Fields]>[ 見 た い Field(E 、 H など)]>[Mag(強度)か Vector(ベクトル)]をクリッ
クすると、Create Field Plot ダイアログが開く。

d.

フィールドの出力

電場や磁場の各方向成分の分布をファイルに出力することができる。
①[HFSS]>[Field]>[Calculator] を 選 択 す る と 、Field Calculator ダイアログが開く。

Fig. 23 出力するフィールドの設定
Output file name：出力するファイル名
Grid points on which to export：
Calculate grid points にチェックを入れ 、Fig. 22 出力するフィールドの選択②Field Calculator ダイアログで設定を行う。

X,Y,Z についてフィールドデータがほしいグリ
ッ ド の 格 子 点 の Minimum( 最 小 値 ) とMaximum(最大値)、Spacing(間隔)を入力する。
設定が終わったら、[OK]をクリックする。

Context；
Solution：出力したい Setup 名(例 Setup1:sweep1)

3.3.1.3. Eigenmode での解析手順

Freq：周波数(例 1.307GHz)

手順(1)～(6)までは Driven Modal での解析手順

Phase：位相(例 0deg)と一緒である。詳しくは Driven Modal の解析手

Input の Quantity で出力したいフィールドを順を参照。

追加する。(例、E と H)
設定したら Output の Export をクリックする。
③Export Solution ダイアログが開くので、以下(1) プロジェクトの作成(2) 3D モデルの作成のような設定を行う。

Fig. 24 Eigenmode シミュレーションモデル

(3) 単位の設定[mm]を選択する。
(4) 材質の設定(8) 解析の設定①[HFSS]>[Analysis Setup]>[Add Solution
Setup]をクリックすると、Solution Setup ダイ
アログが立ち上がる。

Vacuum に設定する。
(5) 境界条件の設定
下図のような境界条件をとる。

Fig. 27 Solution Setup ダイアログ
General のタブから以下の設定を行う。
Minimum Frequency：1GHz

Fig. 25 境界条件の設定

解析したい最低の周波数の値を入れる。
Number of Modes：5(6) メッシュの設定探索させる共振モードの数。

今回は特に設定を行う必要はない。

Maximum Number of Passes：10(7) Solution type の選択

メッシュの粗さはここで決まり、数値が大きい①[HFSS]>[Solution Type]をクリックするとほど精度が増す。

Solution Type ダイアログが開く。

Maximum Delta Frequency Per Pass：0.1％
計算の精度がここで決まり、数値を小さくする
ほどを精度が増す。
②[OK]をクリックする。
③[HFSS]>[Analyze All]をクリックすると解析が始まる。
(9) Eigenmode での結果の見方
a.

Fig. 26 Solution type の選択②以下の中から[Eigenmode]を選んで[OK]をクリックする。

共振モードの周波数を確認する。

①[HFSS]>[Results]>[Solution Data]を選択すると、Solutions ダイアログが開く。
②[Eigenmode data]タブを選択するとそれぞれのモードの共振周波数が表示される。

Fig. 28 Eigenmode datab.

各モードのフィールドを確認する。

①フィールドを見たいオブジェクトまたは面をクリックして、選択する。
②[HFSS]>[Fields]>[ 見 た い Field(E 、 H な

Fig. 30 モードの選択ど)]>[Mag(強度)か Vector(ベクトル)]をクリックする。
③Create Filed Plot ダイアログが開くので、プロットの設定を行い、[Done]をクリックする。

Fig. 31 Edit Sources ダイアログ

Fig. 29 フィールドプロットの設定④左のウィンドウから[Field Overlays]を右クリックして、[Edit Sources]をクリックすると、Edit Sources ダイアログが開く。ここで、見たいフィールドのモードの[Scaling Factor]を 1にするとそのモードのフィールドの状態が表示される。
Fig. 32 0 モードでの電場分布

・Eigenmode ソルバ：
共振モードの計算を行う。
・Integral Equation ソルバ：
電気的に非常に大きな構造の場合に有効。
3.3.2.2. 時間領域ソルバでの解析手順(1) CST DESIGN ENVIROMENT を起動し、[Createanewproject] か ら [CSTMICROWAVE STUDIO]を選択し、[OK]をクリックする。
Fig. 33 π/2 モードでの電場分布

Fig. 35 プロジェクトの選択(2) プロジェクトテンプレートのダイアログがFig. 34 πモードでの電場分布開くので、シミュレーション対象のデバイスに最も近いテンプレートを選択する。わから

3.3.2. MW-STUDIO
3.3.2.1. MW-STUDIO の使い方
MW STUDIO とは、高周波における電磁界シミュレーションを行うソフトです。
このソフトには 4 つのシミュレーションソルバ
ーがあり、状況により適切に選ぶ必要があります。
・時間領域ソルバ：
時間領域で計算してフーリエ変換により広帯域周波数にわたる計算を行う。
・周波数領域ソルバ：
周波数ごとに計算を行う。

ない場合は<None>を選択し[OK]をクリックする。

Fig. 36 テンプレートの選択(3) 単位の定義
テンプレートを選択すると設定されるが変更する場合、[Solve]>[Units]を選択し、Units ダイア
ログに入力する。

Fig. 38 背景材質の定義(5) モデルの作成①モデルの作成は Inventor で行い、*.sat ファイ
ル形式で保存する。
※CST STUDIO で直接、モデルを作成することも可能。
②[File]>[Import]>[SAT(up to R17)]を選択し、Inventor で作成した sat ファイルをインポートする。
Fig. 37 単位の設定(4) 背景材質の定義
テンプレートを選択すると設定されるが変更する場合、[Solve]>[Background Material]を選択し、ダイアログボックスで背景材質を設定します。
＊背景材質として設定できるのは Vacuum とPEC(完全導体)のみであるので Copper などにしたい場合には、[Multiple layers]にチェックをして、物質と物質の層の高さを設定する。

Fig. 41 周波数範囲の定義(8) 境界条件と対象条件の設定①[Solve]>[Boundary Conditions] を 選 択 し 、Boundary Conditions ダイアログボックスで境界条件を設定する。
Fig. 39 モデルのインポート(6) 材質の定義
左 の ナ ビ ゲ ー シ ョ ン ツ リ ー か ら[Components]>[default]>[インポートしたファイ
ル]を右クリックして、[Change Material]をクリックすると、ダイアログボックスが開き Material
で材質を選択する。
材質は[Load from Material Library]から読み出してくることができる。

また、[symmetry planes]のタブから対称条件を設定することもできる。
②それぞれの面に対する境界条件を以下の中から選択し、[OK]をクリックする。
electric：完全電気導体(Et=0)
magnetic：完全磁気導体(Ht=0)
open：自由空間
open(add space)：自由空間
遠方界計算のための余裕空間を追加。
periodic：
向かい合う 2 面の境界を周期的境界条件とする。
conducting wall：
損失のある金属材質の壁として動作
unit cell：
周期的境界条件、2 次元の周期性に加え、座標軸の方向も定義できる。

Fig. 40 材質の定義(7) 周波数範囲の設定[Solve]>[Frequency] を 選 択 し て 、 Frequency
Range Setting ダイアログボックスで解析する最低周波数と最高周波数を設定する。
Fig. 42 境界条件の設定

(9) メッシュの可視化[Mesh]>[Mesh View]を選択するとメッシュモー
ドとなり、メッシュが表示される。
メッシュの面の方向は、 [Mesh]>[X/Y/Z Plane
Normal]で変更し、メッシュ面を移動させるには[Mesh]>[Increment/Decrement Index]を選択する。

Fig. 44 ポートの定義③[Solve]>[Waveguide Ports]を選択すると Ports
ダイアログボックスが開く。

Fig. 43 メッシュビュー
多くの場合、自動メッシュ生成機能が生成するメッシュは初期メッシュとして妥当なメッシュであるが、表示されたメッシュを変更したい場合、[Mesh]>[global Mesh Properties]を選択すると変更させることができる。
また、部分的に(特定のオブジェクトだけの)メッ
シュを変更したい場合には、左のナビゲーション
ツリーから[Components]>[default]>[メッシュの変更したいオブジェクト]を右クリックして、[local mesh property]をクリックすれば変更することができる。
(10) ポートの定義①[Object]>[Pick]>[Pick Face]をクリックして、Face ピックツールを起動する。
②ポートにしたい面をクリックして選択すると選択された面はハイライト表示される。

Fig. 45 Port ダイアログ
ここで設定を確認後、[OK]をクリックする。
(11) 時間領域ソルバの設定[Solve]>[Transient Solver]を選択し時間領域ソ
ルバのダイアログボックスで設定を行う。
Accuracy：
定常状態モニタを定義する設定。値を下げるほ
ど精度は良くなる。
Source Type：励振させたいポートを設定する。

All Port はすべてのポートを 1 個ずつ励起、させていく。

S-パラメーターを表示させるには、ナビゲーショ

Mode：励振させるモードの数

ンツリーの[1D Results]>[|S| linear]/[|S| dB]

S-parameter setting：を選択することにより表示される。

自動的に計算、正規化したい場合、[Normalize
to fixed impedance]を選択する。

Fig. 47 S-parameter
ま た 、 ス ミ ス チ ャ ー ト も [1D Results]>[Smith
Chart]を選択することにより表示される。
Fig. 46 時間領域ソルバの設定
設定が終わったら、[Start]をクリックし、シミュレーションが開始する。
(12) ポートモードの解析
ナ ビ ゲ ー シ ョ ン ツ リ ー か ら [2D/3D
Results]>[Port Modes]>[ポート名]>[見たいモードと電界か地場か(e1 や h1 など)]を選択すると、ポートモードとそれに関連したパラメーターが表示される。

Fig. 48 スミスチャート

こ の 表 示 を 調 整 す る に は [Results]>[PlotProperties]を選択してプロットプロパティダイ(14) 適応メッシュリファイン

アログを開いてプロットオプションを変更させソルバ結果を基に改善し、メッシュを適応させるる。

適応メッシュリファイン機能を備えている。
この機能は Solver Parameters ダイアログで(13) S-パラメーターの解析[Adaptive mesh refinement]をチェックすると有シミュレーションが終了したら、ナビゲーション

効になる。

ツリーの[1D Results]>[Port signals]を選択し、[Start]をクリックすると、ソルバは連続したパスポートモードの時間信号を確認する。

間で S-パラメーターが大きく変異しないように

ここでシミュレーション終了前にすべての時間

なるまでメッシュリファインのパスを実行しま

信号が 0 まで減衰していることが重要である。

す。このパスが実行され、終了すると以下のよう

なダイアログボックスが表示され、メッシュがリ記録した電磁界分布を表示させるには、ナビゲー

ファインできる。

シ ョ ン ツ リ ー の [2D/3D Results]>[E-field]

ここで[Yes]をクリックしてメッシュ適応機能を[H-field]>[表示させたいフィールド]を選択する。

オフにして、再度解析をしてもメッシュは有効と[Results]>[Plot Properties]から 3D ベクトルプロ

なっている。

ットのオプションを変更することによりいろいorろと表示することがでる。
また、構造の断面表示は[Results]>[3D Fields on
2D Plane]を選択することにより表示ができる。

Fig. 49 適応メッシュリファイン(15) 複数の周波数での電磁界解析
Fig. 51 磁場分布

[Solve]>[Field Monitors]でモニタを定義することで、シミュレーション中に任意の周波数における電磁界を記録することができる。
Monitor のダイアログで、モニタの種類(Type)とFrequency フィールドで周波数を指定し、[Apply]をクリックし設定を保存する。

(16) 周波数領域ソルバでのシミュレーション
時間領域ソルバは高速に計算を行うが、周波数領域ソルバは周波数のサンプルポイントごとに計算を行うため非常に時間がかかる。しかし、MW
STUDIO の周波数ソルバは特殊な広帯域周波数
スイープ技術を用いて、比較的少ない周波数サン
プルから広帯域スペクトルを導き出すことができる。
[Solve]>[Frequency Domain Solver]を選択し、Frequency Domain Solver Parameter ダイアログで設定を行う。
Method：General purpose（一般的なソルバ、他は対象を特化したソルバ）
Mesh type：Tetrahedral Mesh
（四面体メッシュ）

Fig. 50 モニタの設定

スイープ技術を用いるには Frequency Samples
で Frequency 行の[Auto]にチェックを入れ、周波数ポイントの自動サンプリングを有効にした後、[Use broadband frequency sweep]にチェックを入れる。
これで[Start]をクリックすると、解析が開始される。

Fig. 53 Eigenmode モデル(6) 材質の定義
Vacuum とする。
(7) 周波数範囲の設定
1.2GHz～3.5GHz とする。
(8) 境界条件と対象条件の設定
Fig. 52 周波数領域ソルバの設定
3.3.2.3. Eigenmode ソルバでの解析手順
手順(1)～(9)までは時間領域ソルバでの解析手順と一緒である。詳しくは時間領域ソルバの解析手
順を参照。
(1) 新しいプロジェクトを開く。
(2) テンプレートを選択する。
(3) 単位を定義する。
Dimensions：mm
Frequency： GHz(4) 背景材質を定義する。
PIC とする。
(5) モデルをインポートする。

Fig. 54 境界・対象条件の定義

(9) メッシュの可視化

Fig. 56 Eigenmode の設定
Fig. 55 メッシュの確認

設定が完了したら、[Start]をクリックすると、解析が開始する。

(10) Eigenmode ソルバの設定
固有モードソルバは、閉じたデバイスの有限個の(11) 結果の見方

電磁界共振モード分布を計算する。そのため、ポ固有モードソルバの N 次モードの結果はナビゲ

ートの定義は必要ない。

ーションツリーからアクセスすることができる。

固有モードで計算するには[Solve]>[Eigenmode
Solver]で Eigenmode Solver Parameters ダイア
ログで設定を行う。
Solver setting；
Method：モードの数に応じて、適切なソルバメソッドを選択する。
・損失がある問題⇒JDM・損失がない問題＋モードの数(1～5)⇒JDM
・損失がない問題＋モードの数(5 以上)⇒AKS
Mode：必要なモードの数を入力する。

Table 1 結果の表示
Navigation tree

Type of results[2D/3D Results] > [Mode]> [Mode N] > [e]Electric field[2D/3D Results] > [Mode]> [Mode N] > [h]Magnetic field[2D/3D Results] > [Mode]> [ModeN] > [Surface
Current]

Surface current
field[2D/3D Results] > [Mode]> [Mode N] > [Energy
density]

Energy density

[5] 伊藤耿一、「大学院情報理工学３計算力学」、
講談社サイエンティフィク[6] 中田高義／高橋則雄、「電気工学の有限要素法」、森北出版

Fig. 57 0 モードの電場分布

Fig. 58 πモードの電場分布

参 考 文 献[1] 神谷紀生、「有限要素法と境界要素法」、サイ
エンス社[2] 山下榮吉、「マイクロ波シミュレータの基礎」、電子情報通信学会[3] 加川幸雄／小柴正則／池内雅紀／鏡愼、「電気・電子のための有限／境界要素法－波動問
題への応用－」、オーム社[4] 橋本修／阿部琢美、「FDTD 時間領域差分法入門」、森北出版

3. 高周波デバイスの設計・製作・試験

個別発注の場合、• 仕様の検討• 電気・熱設計• 機械設計

1. はじめに
通常の RF デバイスのほとんどは、近年は設計～製造まで可能な会社が多数あり、電子管～超伝導空洞まで、性能仕様での発注による丸投げが可能である。さらに小規模な加速器であれば加速器全体を性能仕様で発注という事も可能でしょう。例
えば、私の現在の専門である電子管は、企業での• 見積～製作～工程管理～組立が主な仕事となる。

2. 電気設計
2.1. 電磁波シミュレーションの計算結果とその評価

技術レベルが非常に上がってきており、近年は研基本仕様は理論式から検討が可能ですが、最終的究所での開発項目では無いとさえ囁かれておりには電磁波シミュレーションによる計算が必要ます。

になる事が多い。電磁波シミュレーションにおい

しかし製造過程を知らないばかりに、そもそもて重要なのは、何をどのシミュレーターで効率良

無理のある仕様を押し付けた挙句に、仕様を満たく計算するかを考え、むやみにシミュレーション

さないのを外注先の技術力のせいにするというをしない事でしょう。そこで例えば以下のような事態を引き起こす事もある。また従来より性能をポイントが参考になるかもしれません。

上げたい場合や、研究用等で試行錯誤が必要な場• 固有モード、Ｓ-パラメーター、タイムドメイ

合、コスト削減などを目的として、試作に関してン等の様々な方法を効率良く組み合わせては、自力で仕様の決定～電気設計～機械設計～試使用する。

験までを行い、製作のみ個別発注する事をお勧めしたい。

• 計算格子の間隔は波長から決まるため、同じ周波数では、一般的に計算対象の体積に比例

その後量産の最初は構造仕様で発注し、量産にして計算時間が増えます。逆に例えば電磁波入ったら性能仕様発注というのが正しい流れだのモードの対称性などを利用して、計算時間と思わる。「事前の準備もなく予算が付いたのでを減らす事ができる。

とにかく性能仕様で発注」という事態も多いかと思いますが、そういった結果泥沼化する事もあり、試作を自力で行う事で、無理の無い仕様を認識するのが早道だったりもするのではないでしょうか。
というわけで、ここでは高周波デバイスの試作をするための、"設計は全部自分でやって製作のみ
個別発注" という前提で進める事とします。当然
設計～評価まで自力で行うという事は、非常に大きな労力を必要とするため、合理的にかつ効率良く工程を進めるのに必要な情報を集めたつもりです。

• 必要なのは正確な絶対量ではなく、相対値である事が多い。この２つは所要計算が全く違う。
• Ｑの高い空洞のＳ-パラメーターを計算しない。
2.2. 反射係数と定在波比
マイクロ波の振る舞いについて記述する際、等価回路を用いて記述する場合がある。本節でも、反射係数と定在波比の説明をする為、Fig. 1 のような回路を用いて説明する。

となる。ここで Vi , Vr は l = 0 での入射波および反射波電圧であり、 β は位相定数でβ = 2π / λg 、 λg は管内波長である。
伝送線上負荷から、 l なる点における電圧、電流はその点における入射波と反射波の合成であり、その比はその点から負荷側をみたインピーダ
ンス Zl となる。すなわち、Fig. 1 伝送経路と不可インピーダンス

Zl =まず、反射係数について述べる。Fig. 1 のよう

Vie j βl + Vre − j βl
Vie j βl − Vre − j βl

Z0

(2-7)

に、特性インピーダンス Z0 の伝送線路の出力端

ここで、l = 0 となる場合の Zl がすなわち Z であ（開口②）に被測定インピーダンス Z（ Z = R + jX ）が接続された場合、

るから

Z
z=
= r + jx
Z0

y=

Z0
1
= = g + jb
Z
z

Z=
(2-1)

Vi + VrZ
Vi − Vr 0(2-8)となり、これよりVr
Z − Z0
z −1
=
=
≡Γ
Vi
Z + Z0
z +1

(2-2)

(2-9)

と表すことができる z および y をそれぞれ Z の Z0となり、Γ を電圧反射係数といい、式(2-3)～(2-6)

に関する規準化インピーダンスおよび、規準化アより、電流反射係数は −Γ であることがわかる。

ドミタンスと称する。ここで Z = Z0 (z = 1) の場
合を整合状態といい、Z ≠ Z0 (z ≠ 1) の場合を不整合状態という。
入力端（開口①）から高周波電力を加えたとき、
一般的に z ≠ 1 の場合、伝送線上には入力波と反また、 Vr , Vi , z はいずれも複素量であるため、 Γも複素量となり、一般的に極座標をもちいてΓ =| Γ | exp jθ で表わす。そして、電圧反射係
数 Γ は S-パラメーターと以下のような関係がある。

射波とが存在する。すなわち、高周波電源から負Γ = S11荷にむかって進行する入射波については

入射波電圧 = Vi exp j(ωt + βl )(2-3)

入射波電流 = ( Vi / Z 0 ) exp j(ωt + βl ) (2-4)
負荷から電源に向かって進行する反射波については

入射波電圧 = Vr exp j(ωt − βl )その為、ネットワークアナライザーで反射法を用いた場合、電圧反射係数を測定していると言い換えることもできる。
次に定在波比について述べる。伝送線上の電圧分布について考えてみると、 l なる点における電圧 V は式(2-3)、(2-4)および(2-9)から次のように
なる。

(2-5)

入射波電流 = −( Vr / Z 0 ) exp j(ωt − βl ) (2-6)(2-10)

V = Vie j (ωt +βl ) + Vle j (ωt −βl )= Vie j (ωt +βl )(1 + Γ ⋅ e − j 2βl )

ρ −1
ρ +1

(2-16)1+Γ
1−Γ

(2-17)| Γ |=(2-11)= Vie j (ωt +βl )(1+ | Γ | ⋅e j (θ−2βl ))z=

したがって、V の絶対値は| V |=| Vi | 1+ | Γ |2 +2 | Γ | cos(θ − 2βl )という関係式を導きだすことができる。

(2-12)となり、Fig. 2 のように λg / 2 を周期として波状

2.3. スミスチャート

的に変化する。このような場合、伝送線上には定在波が存在しているという。この定在波の腹、おスミスチャートとは、インピーダンスと反射係数を対応させた計算図表である。今、 z = r + jx 、

よび谷にあたる電圧は、式(2-11)より、

Γ =| Γ | e j θ = ΓI + jΓQ として、式(2-16)に代| Vmax |=| Vi | (1+ | Γ |)| Vmin |=| Vi | (1− | Γ |)(2-13)(2-14)

入し、r、x を求めると、

1 − ΓI2 − ΓQ 2r=

(1 − ΓI )2 + ΓQ 2

(2-18)となる。ここで | Vmax | と | Vmin | の比を ρ とす
ると、

x=
ρ=

| Vmax | 1+ | Γ |=| Vmin |1− | Γ |2ΓQ(1 − ΓI )2 + ΓQ 2

(2-19)(2-15)となり、これよりさらに⎛⎞2
1⎜⎜ I − r ⎟⎟ + Γ 2 =Q⎟⎜⎝
r + 1⎠(r + 1)2(2-20)

2
⎛
1 ⎟⎞
1
⎜
(ΓI − 1) + ⎜ ΓQ − ⎟⎟ =
⎜⎝
x⎠
x2

(2-21)

2となり、 Γ 平面状で r = 一定の軌跡は中心が

ΓI = r / (r + 1) 、 ΓQ = 0 で半径が 1 / (r + 1)なる円群となり、また x = 一定の軌跡は中心が

ΓI = 1, ΓQ = 1 / x で半径が 1 / x なる円群となることがわかるFig. 3 。一方、 Γ を極座標で表したときの軌跡はFig. 4 のようになる。Fig. 3 のFig. 2 定在波形

外周の半径は１（r = 0 の場合）であり、Fig. 4 の外周の半径も 1( | Γ |/ 1 )であるので、この両者をとなり、この ρ を電圧定在波比という。先に求め重ねて書いたのが実際のスミスチャートである

た式(2-9)、式(2-15)を用いると、Fig. 5 。

Fig. 3 Γ = ( z − 1) / ( z + 1)
Fig. 5 スミスチャート
2.4. スミスチャートを用いた Q 値の求め方
実際にスミスチャートを用いて Q 値を求める方
法について説明する。はじめに、空洞共振器は等価回路を用いてあらわすことができ、Fig. 6 のように表すことにする。

Fig. 4 Γ = Γ ejθFig. 6 空洞共振器の等価回路
伝送線に損失がないとすると、共振角周波数を

ω0 、無負荷時の Q（unloaded Q）を Q0 とすると、
ω0 =

Q0 =

1
LC

ω0C
G

(2-22)(2-23)

となり、入力角周波数を ω とすると入力アドミッ

β =

タンスは

ω ⎞
C ⎛⎜ ω
− 0 ⎟⎟⎟
Yin = G + j⎜ω ⎟⎠L ⎜⎝ ω0Y0G(2-31)で表す。この結合度 β は外部の Q と関係があり、(2-24)

β =と書くことができ、この時、

ω = ω0 + Δω

(2-25)

Δω
1
ω0(2-26)

Q0
Qext(2-32)と表すこともでき、上記の式と式(2-30)を用いる
と

QL =

Q0
1+β

(2-33)

それでは具体的に結合度 β の求め方についてという関係を用いると、

⎛
Δω ⎞⎟
⎟
Yin = G ⎜⎜ 1 + 2jQ0
⎜⎝
ω ⎟⎟⎠

説明する。式(2-26)で求めた入力アドミタンスを(2-27)

0

特性アドミタンスで割ると結合された伝送線は空洞からみると負荷とな

Yin
G ⎛⎜
Δω ⎞⎟
⎟ = g + jb=⎜⎜ 1 + 2jQ0
ω0 ⎟⎠⎟
Y0
Y0 ⎝り、全体からみるとそれだけ損失を増すことになとなり、これより反射係数を求めると、と書き直すことができる。

(2-34)

り、全体の系の Q は低下する。この Q を負荷時の Q（loaded Q）といい、 QL で表すと、

QL =

ω0C
G + Y0Γ=(2-28)

Y0 − Yin(1 − g) − jb=
Y0 + Yin(1 − g) + jbという関係式を得ることができる。 Γ の周波数特性をスミスチャート上にかくとFig. 7 のようにとなり、結合によって電力が外部に流出し、Q がなる。

低下することを表す量として外部の Q（external
Q）を Qext で表し、次のように定義する。

Qext =

ω0C
Y0(2-29)

したがって、式(2-23)、式(2-28)、式(2-29)より、

1
1
1
=
+
QL
Q0
Qext

(2-35)(2-30)という関係式を得られる。
一方、空洞の共振時のアドミタンスと伝送線のアドミタンスの比は、空洞と伝送線の結合度を表し、これを結合度（結合係数）といい、Fig. 7 空洞アドミスタンスと Q 値

b = ±g となる場合を考えると、式(2-34)より、
Δω
=1
2Q0
ω0
ω
Q0 = 02Δω

となり、このときの共振周波数からのズレを ΔωLとすると、(2-36)となり、このときの共振周波数からのズレを Δω0
とすると、

ω0
2ΔωL

QL =

(2-41)となる。Fig. 7 のスミスチャートにおいて、

b = ±(1 + g) は QL で 示 し た 直 線 に な る 為 、ΔωL はこの円弧とアドミタンス円の交点の周波

Q0 =

ω0
2Δω0

数から求められる。
(2-37)

以上の方法で、 QL 、 Q0 、 Qext が求められ、

式(2-32)を用いることで結合度 β も求めることがとなる。Fig. 7 のスミスチャートにおいて、

b = ±g の曲線は Q0 で示した円弧になる為、Δω0 はこの円弧とアドミタンス円の交点の周波数から求められる。
次に b = ±1 となる場合を考えると、式(2-31)、

できる。

2.5. 固有モードによる結合度の計算
S パラメーターを用いた方法では、Q 値が大きいと、共振周波数が先にある程度分かっていない

式(2-34)より、と、計算できない。そのためにしばしば固有モー

G
Δω
× 2Q0
=1
Y0
ω0
ω0
1
= Q0 × = Qext
2Δωβ

ドを先に解くと思うが、この固有モードを解く際(2-38)

Δωext とすると、を表す。これを定式化するのは式(2-7)で無損失の空洞が伝送線路に接続されているとして、

Z0 =(2-39)な る 。 Fig. 7 の ス ミ ス チ ャ ー ト に お い て 、

b = ±1 の曲線は Qext で示した円弧になる為、
Δωext はこの円弧とアドミタンス円の交点の周波数から求められる。
次に b = ±(1 + g) となる場合を考えると、式(2-31)、式(2-33)、式(2-34)より、

G
Δω
G
× 2Q0
=1+
Y0
ω0
Y0
ω0
1
= Q0 ×
= QL
2Δω
β +1

同調曲線とは、結合孔に接続されている伝送線路に可変短絡を取り付けた際の共振周波数の変化となり、このときの共振周波数からのズレをω0Qext =
2Δωextに同調曲線を利用すれば、結合度は計算できる。

1
⎛ω
ω ⎞
jQext ⎜⎜
− 0 ⎟⎟⎟⎜⎝ ω0ω ⎟⎠(2-42)とすれば良く、Zl =Vie j βl + Vre − j βl
Vie

j βl

− Vre

− j βl1(2-43)⎛ωω0 ⎞⎟⎜⎟j Qext ⎜
−
⎜⎝ ω
ω ⎟⎠⎟
0

となる。ここで伝送線路終端を短絡した場合

Zl = 0Vi = −Vr(2-40)
なので、(2-44)

0=cos(βl )j sin(βl )

1
⎛ω
ω ⎞
− 0 ⎟⎟⎟
j Qext ⎜⎜
⎜⎝ ω0
ω ⎟⎠

(2-45)である、近年は計算機の向上により、正確な絶対値を追い求める事もできるようになってきたが、一般的にはシミュレーションは適当にやって、物を安全側に製作してから測定した後、調整機構にと書き換えられ、よりチューニングもしくは、調整加工を行った方⎛ 2πl ⎞⎟ ⎛ ωω ⎞1⎜= tan ⎜⎜⎜
− 0 ⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎜⎜
Qext
ω ⎠⎟
⎝⎜ λg (ω) ⎠ ⎝ ω0
2πΔl 2Δω
≈−λg 0 ω0⎛⎞⎜⎜Δl = l − λg 0 , λ = λ (ω ) ⎟⎟
0 ⎟
g0
g
⎜⎜
⎟⎠
2
⎝

が早く製作できる。例えば空洞の長さ L に対しての共振周波数の差分Δf/ΔL や、結合度では結合孔の半径 r に対しての、Δｋ/Δr などである。
(2-46)

この際のΔL, Δr などはシミュレーションのメ
ッシュ等よりも十分に大きくして、この１次の差分情報を求めれば十分である事が多い。

3. 製造工程となる。正確には１行目の関数を用いて関数をフィットするのが正しいが、一般的には２行目の式

3.1. 構造仕様・図面で十分である。まず導波管の長さを管内波長λg構造仕様を決める際や図面作成の際に気をつけの 1/4 にすると、導波管内にエネルギーが溜まらないため、Δω=0 となりω0 が求まる（Δωの原点が定まる）。その後導波管の長さを半波長程度るべき点としては、• 機械加工における無理を強いない。

にし、その付近でΔl を変えながら、導波管の共• 材料はできるだけ規格品を使う。

振による全体の共振周波数のずれを見る事で、外• 旋盤、次にフライスというように精度の出る部Ｑが求まり、結合度が求まる。ただしΔl の原
点は分からないので、何点か計算する必要がある。

順番で製造できる構造にする。
• 刃物の先端径をできるだけ大きい物を使用
して角の R が大きくできる物はできる限り

この方法は、実際の測定でも可変短絡器を使大きくする事で、刃物の振動を抑え、切削速

い、空洞に小さな穴を開けてアンテナを挿入する

度を速め、かつ平坦度を増す事ができる。

などして同様な測定が可能である。
2.6. タイムドメインでの結合度の計算
Q 値が非常に高く、結合度も１に近い場合、伝送線路側から空洞を見るというやり方は非常に計
算時間が分かる。一般的に加速器の空洞の場合、空洞内部の固有モードは単純なモードで Q0 も既知の事が多い。従って、空洞に固有モードを立てた状態から、タイムドメインで計算をし、結合孔から漏れ出てくる電磁波の電力を計算すれば、内部に蓄積されているエネルギーとの比から、QLが求まり、簡単に結合度が計算できる。

• 新しい製造方法、材料を使用する際には十分な試作費、試作時間を考慮する• 超高真空機器なので材料、接合技術が非常に限定的である• 材料は高純度かつ欠陥の無い物が求められる。必要に応じてだが、例えば銅の場合は電子管用無酸素銅、ステンレスの場合は低カーボンの物(SUS316L)を選択する。高純度材料
は時期によって入手に数ヶ月かかる事もあるので、納期も考慮する必要がある。
• 超高真空機器における一般的な接合技術は
ロウ付け、TIG 溶接、電子ビーム溶接、HIP

2.7. 差分情報などと限られている。気密性はもちろん、放空洞の計算で最低限必要なのは、正確な絶対値で出ガスが少ない事や、ベーキングに耐えられはなく、およその絶対値とおよその差分情報のみる必要があるからである。当たり前だが、例

えばハンダ付け、接着剤はもちろん使えな• フライスい。またゴムの O リングなども材質がバイトンでも耐熱温度は 200℃程度なので、ベーキング温度によっては使えない。
これらを踏まえた上で、JIS 規格に従って図面を書く。図面は組み立て図と、部品図で構成され、部品図は必ず１品一枚とする。１：１にできる物
は１：１で書くと加工の方が物を合わせて確認ができる。
3.2. 機械加工
先端技術は日進月歩で進歩している割には、機械加工で高精度に製作できる形状は工作機械の種類や刃物の形状で制限されるため、昔からあまりFig. 9 フライス
• NC 加工機と CAM

変わっていない。大きく変化したのは CAM による多軸加工が可能になったため、斜めや曲線の加工をするのに、以前のように冶具を工夫したりする必要が無くなった事だが、CAM のソフトウェ
アは現時点では高価であり、また専任のオペレー
ターが必要であるため、町工場にまで普及しているとは言えない。
• 旋盤

Fig. 10 多軸ターニングセンターの概念図

Fig. 8 旋盤

加工歪や弾性により加工時やロウ付け時に変形する事がある。
3.4. 表面処理
常伝導加速空洞では一般的には、ダイヤモンドバ
イトによる加工後、表面処理はしないのが最も良いとされている。しかし超伝導加速空洞では、空洞が塑性加工などで成形されるため、表面処理が性能を決める。
Table 1 表面処理法
Fig. 11 実際に加工した高周波空洞の写真
ダイヤモンドバイト

技術

ECB
平滑性

非常に高い耐摩耗性により長時間使用でき、良好下地面な仕上面が得られる。（0.025μmRa）また高速度前処理の切削にも耐えられる。ただし、鉄系金属材料や、研磨表

欠陥のある材料で使用したり、刃物を普通のバイ

面

トと同様に物に当てると刃物が欠けるため、細心実効面の注意が必要である。

電解複合研磨 浸漬電解研磨

積

◎

不要

バフ研磨

CP

BUFF

○

△

○

必要

必要

EP

（下地粗さに （下地粗さに

性

～

依存）

依存）

（超）鏡面

半光沢

光沢なし

光沢

極小

中
大

大

×

△

（マクロ的粗 （ミクロ的粗

非付着

放電加工

科学研磨

さ改善）

さ改善）

◎

○

ワイヤー放電加工と、形彫り放電加工がある。形

剥離性

◎

○

×

△

彫り放電加工は被加工物に形成したい形状に対

加工歪

なし

なし

なし

あり

応する形に作られたグラファイト電極または銅

耐食性

○

○

△

×

電極等を、被加工物に近付けるように送ってゆく。ワイヤー放電加工は、細い金属ワイヤーを被加工物に近付けるように送ってゆく。ワイヤーはボビンから一定の速さで供給され、上下のガイドで保持される。一対のガイドが相対的に運動する

4. 接合技術
4.1. ろう付ことによりテーパ加工、上下任意形状の加工を行ろう付けとは、金属を接合する方法の一つで、接うことができる。金属ならほとんど何でも加工可

合する母材よりも融点の低い合金（ろう）を溶か能であるが、放電加工面は溶解・再凝固を繰り返して一種の接着剤として用いる事により、母材自すため脆化するため、そのままでは空洞内壁の表体を溶融させずに複数の部品を接合する方法で面などには使えない。

ある。

3.3.

4.1.1. 炉の種類

塑性加工

金属の塑性を利用した加工方法であり、加速器で接合する母材とろうを暖めるために炉と呼ばれも、例えば導波管は引き抜き加工により製造される窯を用いる。ろう付けする際、炉の内部は高温ている。また拡管による円形導波管の製作や、深になり、母材やろうが酸化しやすいため、酸素を絞り加工による空洞の試作などが行われている。

除去するなどの対策が必要になる。炉には真空炉、不活性ガス炉、水素ガス炉などがあり、以下それぞれについて説明する。
真空炉
真空炉とは真空ポンプを用いて炉の中を高真空の状態にしている炉のことである。炉を暖める場
合は内部が真空の為、対流が起こらず、対流が起こる場合より時間がかかり、温度を下げる場合も同様に時間がかる。
不活性ガス炉
不活性ガス炉とは 10−4torr くらいまで炉の内部

Fig. 12 ろう付け時の炉の温度変化の真空を引き、その後、窒素やアルゴンなどの不(1) ヒーターをつけると exp 的に温度が上がって活性ガスで置換した炉のことである。一度真空にいく。この時ゆっくり温度を上げていく。

してから、不活性ガスで置換するため、隅々まで(2) すべての測定箇所の温度が T1 になったら数分

ガスが行き渡る。

間温度が一定になるようにヒーターを調整する。この温度 T1 は固相線温度といい、この温

水素ガス炉

度以下の場合、ろうは完全に固体である。なぜ

水素ガス炉とは不活性ガス炉と同様に 10−4torr

この温度で数分間一定に保つかというと、ろうくらいまで真空を引き、その後、水素ガスで置換付けする物体の温度が一様になるようにする

した炉のことである。水素ガスは還元作用がある為である。その為、物体の形や大きさによって為、ろう付けする金属表面の酸化膜などを除去し時間は変わってくる。

てくれるという利点もある一方、酸素との比率で(3) すべての測定箇所の温度が T2 になったら数秒爆発する可能性もある為、取り扱いには注意が必

間温度が一定になるようにヒーターを調整す要である。

る。その後ヒーターを OFF にし、そのままの状態でゆっくり温度を下げていく。この温度

4.1.2. ろう付け時の炉の温度調整

T2 は液相線温度といい、この温度以上の場合、

ろう付け時の炉の温度調整について説明する。炉

ろうは完全に液体である。なぜこの温度で数秒の温度を縦軸、時間を横軸にとったグラフをFig.

間一定に保った後、ヒーターを OFF にするか

12 に示す。グラフの形は真空炉でも不活性ガスというと、この温度ではろうが液体になってい炉や水素ガス炉でも同じであるが、今回は真空炉

る為、あまり長時間一定にしているとろうが流の場合を考える。このグラフはろう付けする母材

れ出てしまう為である。

のある一箇所での温度のグラフであり、通常は数箇所の温度を測定しながらろう付けを行う。

(4) T2 − 200℃付近で液体になっていたろうが固体に戻る。この後、このままの状態で温度が下グラフに振ってある数字の箇所ごとに、ろう付がるのを待つ方法と、窒素やアルゴンを炉の中けする際の炉の温度変化、温度調整について説明に注入する方法の二通りある。前者は炉の内部する。

が真空で対流がない為、温度が下がりにくい。
後者は窒素やアルゴンを注入することで対流が生まれ、温度を早く下げることができる。後者の場合をグラフの青い線で示す。

(5) 50～100℃になったら炉から取り出す。この温度よりも早く出してしまうと、酸化する可能性がある為、注意が必要である。
4.1.3. 母材の洗浄

3 には固相線温度、液相線温度、ろう付け温度を示す。
複数回ろう付けをする場合、この温度差を用いてろう付け温度が高いものから先にろう付けをする。

ろう付けする面が汚れていると母材同士がうまく接合しない場合がある。その為、ろう付けをす
る前に母材を洗浄する必要がある。特に加速管など、高真空、高温で使用する母材の場合は複数回洗浄する。以下に洗浄を行う順に洗浄方法を説明する。

Fig. 13 ろうの種類によるろう付け温度(1) 酸洗硫酸などの 2～5%の溶液で洗う。
長く洗うと酸化するので注意が必要。
(2) 純水洗
純水を用いて洗う。
(3) 純水液中で超音波洗浄
超音波を用いることで、細部まで洗うことができる。
(4) 純水洗（高温）＋攪拌
鏡面加工の銅などは 40℃以下
SUS（ステンレス）は 70℃以下
しかし、このように念入りな洗浄が必要な場合
はとても特殊で、一般のろう付けはアクセサリなどに用いられており、その場合はこれほど丁寧に洗浄はしない。その為、ろう付けを依頼する場合
は、高真空、高温で使用するものであることを相手に伝える必要がある。
4.1.4. ろうの種類
ろうには銅ろう、金ろう、パラジウムろう、銀ろうなどの種類があり、それぞれワイヤー状、帯状、粒状または粉末状などの形状がある。ろうの種類
により固相線温度や液相線温度が異なり、またワ
イヤー状のろうを用いる場合はろう溝を切る必要がある。Fig. 13 に大まかなろうの種類による
ろう付け温度の違い、Fig. 14 にろうの名前と形
状、Table 2 には代表的なろうの化学成分、Table

Fig. 14 ろうの形状

Table 2 真空用貴金属ろうの種類と化学成分
種類
記号 A

化学成分（mass%）
記号 B

Ag

Au

Cu

その他

BVAg-0

BV-Ag100-961

99.95 以上-

0.05 以下-

BVAg-6B

BV-Cu50-780/870

490 ~ 51.0

-

残部

-

BVAg-8

BV-Ag72Cu-780

71.0 ~ 73.0

-

残部

-

BVAg-8B

BV-Ag71CuNi-780/795

70.5 ~ 72.5-

残部

Ni：0.3 ~ 0.7

BVAg-18

BV-Ag60CuSn-600/720

59.0 ~ 61.0-

残部

Sn：9.5 ~ 10.5

BVAg-29

BV-Ag61CuIn-625/710

60.5 ~ 62.5-

残部

In：14.0 ~ 15.0

BVAg-30

BV-Ag68CuPb-805/810

67.0 ~ 69.0-

残部

Pd：4.5 ~ 5.5

BVAg-31

BV-Ag58CuPd-825/850

57.0 ~ 59.0-

残部

Pd：9.5 ~ 10.5

BVAg-32

BV-Ag54PdCu-900/950

53.0 ~ 55.0-

残部

Ni：24.5 ~ 25.5

BVAu-1

BV-Cu63Au-990/1015-

37.0 ~ 38.0

残部-

BVAu-2

BV-Au80Cu-890-

79.5 ~ 80.5

残部-

BVAu-3

BV-Cu62AuNi-975/1030-

34.5 ~ 35.5

残部

BVAu-4

BV-Au82Cu-950-

81.5 ~ 82.5-

BVAu-11

BV-Cu50Au-955/970-

49.5 ~ 50.5

残部-

BVAu-12

BV-Au75CuAg-880/895

12.0 ~ 13.0

74.5 ~ 75.5

残部-

Ni：2.5 ~ 3.5
Ni：残部

Table 3 真空用貴金属ろうの種類と温度
種類
記号 A

温度（参考）℃
記号 B

固相線

液相線

ろう付温度

BVAg-0

BV-Ag100-961

約 961

約 961

961 ~ 1080

BVAg-6B

BV-Cu50-780/870

約 780

約 870

870 ~ 980

BVAg-8

BV-Ag72Cu-780

約 780

約 780

780 ~ 900

BVAg-8B

BV-Ag71CuNi-780/795

約 780

約 795

795 ~ 900

BVAg-18

BV-Ag60CuSn-600/720

約 600

約 720

720 ~ 840

BVAg-29

BV-Ag61CuIn-625/710

約 625

約 710

710 ~ 790

BVAg-30

BV-Ag68CuPb-805/810

約 805

約 810

810 ~ 930

BVAg-31

BV-Ag58CuPd-825/850

約 825

約 850

850 ~ 890

BVAg-32

BV-Ag54PdCu-900/950

約 900

約 950

950 ~ 990

BVAu-1

BV-Cu63Au-990/1015

約 990

約 10151015 ~ 1095

BVAu-2

BV-Au80Cu-890

約 890

約 890

890 ~ 1010

BVAu-3

BV-Cu62AuNi-975/1030

約 975

約 10301030 ~ 1090

BVAu-4

BV-Au82Cu-950

約 950

約 950

955 ~ 1005

BVAu-11

BV-Cu50Au-955/970

約 955

約 970

970 ~ 1020

BVAu-12

BV-Au75CuAg-880/895

約 880

約 895

895 ~ 950

4.1.5. ろう溝
帯状や粒子状のろうを用いる場合は、接合する箇所にろうを置くだけだが、ワイヤー状の線ろうを用いる場合は、母材にろうが入る大きさの溝を切る必要があり、その溝をろう溝という。ろう溝はろう付けする際の母材の置き方で、溝の切り方が変わる。以下 2 つの場合について説明する。
Fig. 15 のように二つのパーツを縦に重ねてろう付けをする場合
ろう溝は経験上パーツ２の方に切ったほうが失敗が少ない。ろう溝はFig. 16 の様に切り、溝はろう材がきちんと収まるようにろう材の直径＋0.1mm の幅、深さで切る。青く塗りつぶされている箇所がろう溝であり、Fig. 15 は 1mmԄ のろう材を用いた場合のろう溝が描かれている。
Fig. 15 縦置きの場合
Fig. 17 のように二つのパーツを横に重ねてろう付けする場合ろう溝はパーツ１、パーツ２どちらに切ってもよい。Fig. 16 の様に溝を切ると、重力で上のろうがすべて下に流れてしまい上の部分がろう付けされないということが起こる。その為、Fig. 18 の様に溝を分割することにより、ろうが流れ出てしまうことを防ぐ必要がある。しかし、分割した溝が長すぎると先ほどを同じことが起こる為、注意が必要である。また、Fig. 19 の様に溝の端が揃っていない場合、上の溝から染み出てきたろうが下の溝へ流れ込みにくいため、ろう付けに隙間ができてしまう可能性がある。その為、Fig. 20 の様に溝の端を揃える必要がある。揃えることで、上の溝から染み出てきたろうが下の溝に流れ込
み、隙間なくろう付けされる。
今回は矩形のもので説明をしたが、円形のもの
や他の形のものでも同じように考えることができる。
Fig. 16 縦置きの場合のろう溝

Fig. 19 正しくない溝の切り方

Fig. 17 横置きの場合

Fig. 20 正しい溝の切り方
4.1.6. ろうの動き
炉で温められたろうがどのような動きをするのか説明する。Fig. 15 の１部を横から見た図をFig.
21 の I に示す。
Fig. 21-I の状態で温度を上げていくと、ろうが溶け始める。また、ろう溝の中にある気体の圧力も上がっていく（Fig. 21-II）ろう溝の中の気体に押され、ろうが母材と母材の間に毛細管現象で進んでいく（Fig. 21-III）。毛細管現象とは細い空間
内を、重力や上下左右に関係なく液体が浸透していく現象である。ろうはそのまま母材の端まで進
みすこしはみ出た状態で固まる。加速管など高電圧をかける場合はこのろうの出っ張りが原因で放電が起こることがある（Fig. 21-IV）。その為、Fig. 18 横置きの場合のろう溝

母材の角をろう材の半径～直径の cut やフィレッ
トをし、ろう材が外に出っ張らないようにする必要がある（Fig. 21-V）。
先の説明は線ろう材の場合であったが、帯状や粉末状のろう材の場合もろう溝からろうが染み出るという行程以外は線ろう材の場合と同じで用を利用する必要があります。しかし母材を陰極ある。

にするとタングステン電極は陽極となり、電極側へのアークの入熱量が大きくなるため、電極の消耗が激しくなって実用性に欠けます。この問題を解決したのが交流ＴＩＧ溶接法で、電極棒マイナ
ス、棒プラスの両極性の特徴を引き出しています。すなわちクリーニング作用を確保しつつ、電極消耗を極力抑えながら溶け込みを、棒マイナス
時と棒プラス時の中間の形となって確保できます。
4.2.3. パルスＴＩＧ溶接法(1) 直流パルスＴＩＧ溶接法
直流パルスＴＩＧ溶接法は溶接電流を一定周期でパルス状に変化させ、パルス電流が流れている
Fig. 21 ろうの動き

時間に母材を溶融し、ベース電流が流れている時間にはその溶融池を冷却凝固させて、周期的にできる溶融スポットを重ね合せながら溶接する方

4.2. TIG 溶接法です。直流パルスを使ったステンレス鋼の溶接

アーク溶接の一種。融点の非常に高いタングステ

は、数珠状のビードになり溶融スポットの重なり

ン棒からアークを出し、その熱で母材を溶かす。

部分は溶接速度やパルス周波数によって制御さアルゴンなどのシールドガスを用いる。溶加材をれます。薄板や板厚違いの溶接や、裏波溶接、難足すことも可能。精密な溶接に向く。高圧パイプ

姿勢溶接などが容易にできるなどの特徴がありや精密機器の溶接などに使われる。高融点のタンます。

グステンを電極にしているため電極自体は減りづらいがアーク熱を発生させるだけで溶着金属(2) 交流パルスＴＩＧ溶接法を付加するために左手で溶接棒を添加しなけれ交流パルスＴＩＧ溶接法のパルスの原理は直流ばならない。非鉄金属に対する溶接に適応力が広パルスＴＩＧと同様です。アルミニウムの薄板溶

い。

接や裏波溶接、美しいビード外観やＴＩＧ溶加棒とタイミングに合わせて溶接ができるなどの特4.2.1. 直流ＴＩＧ溶接法

徴があります。

最も一般的な溶接法で、直流の定電流特性の溶接

4.2.4. ＴＩＧ溶接の特徴

電源を用いタングステン電極を陰極に接続してアークを発生させます。直流ＴＩＧ溶接法は、アルミニウムやマグネシウムなどの活性金属以外• 不活性ガスシールドなので、溶接金属への不純物混入が少なく、高品質。

のほとんどすべての金属の溶接に適用できます。

• スパッタの発生がなく、溶接作業が容易。

4.2.2. 交流ＴＩＧ溶接法• あらゆる継手形状に適用でき、かつ溶接姿勢

アルミニウムやマグネシウム合金などの溶接では、母材表面の酸化皮膜を除去する必要があるため、母材側を陰極にしてアークのクリーニング作に制限がない。
• 小電流でも安定したアークが得られ、薄板溶接にも適用でき、また裏波溶接がしやすい。

4.2.5. TIG 溶接の欠点

4.3.1. 電子ビーム溶接の特徴• 人の手で作業を行うため熟練が必要であり• 高エネルギービーム熱源（TIG 溶接の数千

比較的難易度が高い。場合によって免許も必倍）なので、TIG 溶接では接合が難しい銅・要。

アルミニウムなど高熱伝導率の金属の厚板• 比較的高価な不活性ガスを大気放出で必要とすること• 溶接速度が MIG 溶接などの溶極式アーク溶
接法に比べて遅いこと• ガスシールドアーク溶接特有の風の影響を受けやすいでも予熱なしで溶接可能。また熱伝導を超える熱流入により異種金属の溶接が可能。
• 幅の狭い深溶け込み溶接が可能で、開先を取る必要がなく、突合せだけでよいので、低熱歪で段取りも簡単。
• 厚板から薄板まで欠陥の少ない溶接が可能
で、溶接部の結晶粒が小さく、機械的性質に4.3. 電子ビーム溶接

優れ、溶接部の切削も可能。

電子ビーム溶接方とは、高真空中でフィラメント

• 真空中での溶接なので、母材および溶接部の（陰極）を加熱して、放出した数 100mA 程度の電酸化と窒化を抑制し、Nb, Ti, Mg, Al 等活性

子を数 10kV 程度の高電圧で加速し、電磁コイル

な金属も容易に溶接が可能。また真空中なの（集束コイル等）で集束し、被溶接部に衝突させ、でコンタミネーションも非常に少ない。

電子ビームの運動エネルギーを熱エネルギーに• NC 機構が付いているので複雑な溶接線にも変換して溶接する方法です。

ならうことができ高信頼性繰り返し生産が可能。
4.3.2. 異種金属の接合
異種金属の接合の良好さはTable 4 のようになっている。例えば超伝導空洞材料の Nb と Ti の溶接性は良好である事が分かる。また異種金属の接合の際注意すべき事としては、熱伝導率の違いにより、溶け込みが違うため、オフセットして電子ビームを打つ必要がある事である。このオフセット
量については各社データを持っているようだが、テストピースを一度接合した後、切断して断面の溶け込み状態を確認した方が良い。

Fig. 22 電子ビーム溶接機の概念図

Table 4 異種金属の接合の良好さ
Ag
Ag

Al

Au

Be

Cd

Co

Cr

Cu

Fe

Mg Mn Mo Nb

Ni

Pb

Pt

Re

Sn

Ta

Ti

V

W

Zr

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Al

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Au

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Be

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Cd

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Co

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Cr

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Cu

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Fe

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Mg

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Mn

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Mo

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Nb

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Ni

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Pb

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Pt

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Re

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Sn

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Ta

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Ti

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V

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◎

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×
×

I s : ダイオードの飽和電流

4.4. HIP( 熱 間 等 方 圧 加 圧 法 /Hot Isostatic
Pressing)による拡散接合

Vs : PN 接合への印加電圧

η:1～2の定数

表面を非常に平滑にすれば重さと温度だけで拡

k:ボルツマン定数

散接合が可能であり、超精密加工で製作された X

T:温度

バンドの加速管などでは従来行われてきた。しかしこの方法は通常加工の平面度や平滑度では使
えない。

である。
DBM には VF が低い事が望まれるため、片側をHIP はアルゴンなどの不活性ガスを圧力媒体金属にしてショットキ障壁で VF を下げた、ショとし、通常 100MPa 以上の圧力と 1000℃以上のットキーバリアダイオードが用いられている。例

温度との相乗効果を利用して加圧処理する技術

えば超高速スイッチングダイオード 1S1588 ではです。ＨＩＰは、高い等方圧力（あらゆる方向かVF=0.7 V @ Is=1mA だが、ミキサー用ショットキ

ら均等に加わる圧力）と高温の相乗効果を利用すーバリアダイオードである 1SS315 では、VF=0.25

る原理的に優れた方法であり、粉末の加圧焼結、

V @ Is=1mA となっている。

鋳造品、焼結品の内部欠陥除去、拡散接合などにダイオードに以下のように RF と LO から入力さ利用する事ができる。

れた高周波の和を印加すると Vs は以下のように異種材料の接合をする際には、全体を缶に入れ、内部を真空に引きながら、HIP を行う事で、接合が可能である。これにより数μm の拡散層が得られ、混合率によって脆くなるような金属同士なる。

Vs = VRF sin(ω RF t ) + VLO sin(ωLO t )= ηVT ( vRF sin(ωRF t ) + vLO sin(ωLO t ) )(5-2)

でない限り、強固な接合が可能である。従って、HIP で接合した塊は接合後に機械加工を行う事

これを式(5-1)に代入し、2 次の項までテイラー展も可能である。

開すると、4.5. その他

is =

摩擦圧接など新しい接合技術も開発されている。

5. 低電力測定
5.1. DBM の仕組み

Is
= vRF sin(ωRF t ) + vLO sin(ωLO t )IT

1 − cos(2ωRF t )1⎛+ ⎜ vRF 22⎝2+ vRF vLO ( cos((ωRF − ωLO )t ) − cos(ωRF + ωLO t ) )+ vLO 2

低電力測定に必須なのがダブルバランスドミキ

1 − cos(2ωLO t ) ⎞
⎟
2
⎠
(5-3)

サー(DBM)です。パッシブな DBM はダイオード

これにより、差と和の項を含んでいる事が分かりで構成されており、ダイオードの I-V 特性は

I s (Vs ) = IT (eVsηVT− 1)  I F ekT
VT == 0.0257 [V @ 25℃]e
ここでミキサー用の素子として利用できる。実際には 3
次以上の項もあり、ω = mωRF + nωLO の電流出力

Vs −VFηVT(5-1)

が含まれる。

5.2. 周波数ドメイン（ベクトルネットワークアナ
ライザー）

VL
+

V1 +
V +V

- V4
+

+
V2 -

+ V3

R

VL
-

I

- VR+VI

導波管を用いて定在波比の測定などによっていたが、現在はベクトルネットワークアナライザー

- VL

1:2

周波数ドメインでの測定は、昔はスリット付きのを用いて行う。ベクトルネットワークアナライザ
ーは周波数を掃引した高周波をポートから測定<ZIF物に送り、反射と透過の信号の強さと位相を測る
1:2

IIF

ことにより、S-パラメーターを測定し、入射した周波数に対する測定物の特性を測定するものである。広帯域のベクトルネットワークアナライザ

+

VR

-

ーは一般的には狭帯域ＩＦ検波という方法により実現されており、内部はFig. 25 のような構成

Fig. 23 DBM の回路の１例になっている。
fRF

DB MIXER

f LO

L

R

fRF
fLO

L

fRF ×f LO
Fig. 24 DBM の概略記号

forward(1)forward(2)backword(1)backword(2)このダイオードの性質を利用して、ダイオード
４つを使いFig. 23 のような回路を構成する。例
えば VL,VR が入力で IF を出力とした場合、VL=
正、VR=正の時 V2 が ON になり、式(5-3)のような電流が流れる事になり、IF に和と差周波数の出測定物

力が得られる。一般的に LO とＲＦが高周波側、LO が低周波側となっているため、フィルターを通す事により IF に差周波数の情報が得られ、ダウンコンバーターとして利用できる。逆に LO と
IF を入力として RF を出力とした場合、和周波数の出力が得られ、アップコンバーターや RF スイ
ッチとして利用できる。

Fig. 25 ベクトルネットワークアナライザーの概念図ネットワークアナライザーで被測定物の測定を行う際、高い Q 値の空洞の共振周波数を測るだけであれば、同軸ケーブルの先端を切断し加工したアンテナなどを用いれば良い。しかし、反射率や透過率などを測る際には、ネットワークアナライ
ザーの校正が必要である。

DAC

ネットワークアナライザーの校正
伝送線路は、伝送線路自体の損失や、コネクターo0による変換、また導波管などへの変換による、損90

失や反射がある。これらは本当に測定したい反射や透過係数に被さった形で、測定されてしまう。

o

DAC

RF

測定空洞

そこで、ネットワークアナライザーには真の測定I値を得るために、伝送線路を無反射終端と、透過、

ADC

o

0

位相を変えた２つの短絡を用いて、校正を行う機能が備わっている。一般的に校正を行う際には

90

無反射終端（load）

o

ADC

Q

透過（thru）
Fig. 26 タイムドメイン測定の例

短絡１（例えば 1/8 short）
短絡２（例えば 3/8 short）
を使用し、伝送線路終端での無反射終端を、真の5.4. Slater の摂動理論による電場の測定

０点に、短絡をスミスチャート上での半径１の円

空洞に小型の誘電体や導体球などの摂動体( Vδ )をに変換する事で、真の測定値を得られる。
5.3. タイムドメイン
周波数ドメインでの測定とタイムドメインでの測定には常にフーリエ変換の関係が成り立つため、一般にはタイムドメインでの測定は必要無い。そもそも加速器ではタイムドメインな使用を入れた場合の共振周波数のずれは、以下の Slaterの摂動式で表せる。

( μ H 2 − ε E 2 )dVδ∫
f2
Vδ
= 1+ κ2
2
f02∫ (μ H + ε E )dVV= 1+

する際の特性を予測するために、簡単に正確な測定が可能な周波数ドメインの量をターゲットとして設計を行っていると言って良いだろう。そのκ

2W ∫Vδ

(5-4)( μ H 2 − ε E 2 )dVδ

ここで κ は摂動体の形によって決まる定数であ

過程には物理量の変換があるわけで、例えば結合り、空洞内部のエネルギーを W とした。

度 k の定在波、進行波での違いなど、変換で係数摂動が小さく、加速管のようにビームが走行するを間違える事もあるだろう。

中心部に限定すれば磁場は小さいので無視でき、そこで設計した物理量が本当に正しいかどうかδ=を間違いなく確認するためには、低電力でタイム
ドメインの測定を行うのが良いだろう。

f − f0 f 2 − f02

f0
2 f02

−κε E 2Vδ
4W

DBM を使ったタイムドメイン測定(5-5)となる。つまり摂導体を動かしながら、共振周波数の変化を測定すれば、電場の分布を知る事ができる。
5.5. 空洞の固有モードの測定
シミュレーションによる計算の確認などのために、空洞内部の固有モードの周波数だけが知りたい事が良くある。このためには同軸ケーブルを切断して、内導体の先端を直線、Ｌ型、ループ型な• 冷却による振動や腐食等がある事

どのアンテナにし、空洞共振周波数に与えない程• 放電などが原因で真空度の悪化などによる度の結合で、小さい穴から挿入し、ネットワーク

装置のインターロックが必要であり、休止時

アナライザーで測定する事で、固有モードの周波間をその都度設ける必要がある事

数が測定できる。またアンテナの先端の向きによる結合を考慮する事によりおよそのモードも推定できる。
5.6. 雰囲気・温度補正
共振周波数の測定は一般に窒素雰囲気の室温で行われるが、実際の運転状態での共振周波数に補正を行う必要がある。補正項目としては• 窒素の誘電率は 1.000547• 物温から、実際の使用温度への熱膨張係数の積分• 電圧の高い箇所から放射線が出る事があり、途中放射線の検査が必要である事。
• 大電力試験時は原因の箇所の特定が難しく、放射線や、放電音の分析が異常個所の特定をする手段である事。
• サーキュレーター等では磁場の B-H 特性により伝送特性が違う事• 導波管の伝送電力を測定するには、ベーテホ
ールカプラー等の方向性結合器が必要になる。

• 真空にする事による変形

なお、大電力試験に必要な導波管の規格や、高周• フランジを閉めた事による変形

波コンポーネントである 3dB ハイブリッド、サーがあり、常伝導ではＱ値内にほぼ正確に補正できキュレーターなどのコンポーネントは[1]に詳しるが、超伝導ではこれらを見込むのが難しく試験

く書いてあるので、それを参照して頂きたい。

が必要である。

6. 大電力での試験
低電力での試験との違いは

参 考 文 献超高真空・加圧ガス・乾燥窒素などを適切に[1] 福田茂樹、「高周波電力源の考え方とその設計」、OHO’06 高エネルギー加速器セミナ
ー、（財）高エネルギー加速器科学研究奨励
会 2006選ぶ必要がある事。

[2] J.C.Slater, Microwave Electronics• 耐圧が必要になるため、伝送路に導波管を使用する必要がある事。また伝送電力によって• 電子ビームを通す部分は少なくとも超高真空にする必要がある事。
• 高電圧によりマルチパクタ・絶縁破壊などの放電が起きる。またこの放電により破壊させずにエージングをさせて伝送電力を徐々に上げていく要領が、経験による勘所に頼る部
分が大きい事。
• 超高真空や加圧ガスを破らずに切り離せる構造にするためにはセラミックの真空窓等が必要である事• 発熱による共振周波数や位相のずれ、超伝導の破れが生じる事[3] A.H.メレカ著、寺井清訳、「電子ビーム溶接：
原理と実際」、産報