数理解析研究所講究録
第 1902 巻 2014 年 36-52

36

One Dimensional Tunnel-Junction Formulaewith Application to Single Electron
岡山大学廣川真男

Masao Hirokawa
Okayama University

1序
これまでの半導体集積回路技術やレーザー技術等の蓄積の上に，ナノテクノロジーの先端技術が加わり，量子物理学は新たな側面と展開を見せ始めている．理論物理学による議論の想像を超える興味深い実験結果も多数現れ，それらの詳細な説明と把握を行う理論物
理が要求されているようにも思う．ちょうど，量子力学が誕生する過程で，実験物理学が理論物理学に投げかけた興味深い実験結果を基に，量子力学という理論が築き上げられて行く時代を彷彿するようにさえ感じる．この量子力学形成の過程で理論物理学に数学が大きく貢献した経験から，現在のこの方面の物理学における数学の貢献をも予感させる．
2008 年 1 月に RIMS 研究集会『スペクトル散乱理論とその周辺』において S. Harocheのグループ等による共振器量子電磁量子力学 (cavity QED), 2008 年 11 月には RIMS 研
究集会『非可換解析とミクロ マクロ双対性』 において cavity QED 上で展開される H.
Ritsch らの cavity-induced atom cooling の物理を紹介し，その数学的問題提起とそれに対する解析を紹介したが [10, 11], 特筆すべきことは，通常の量子電磁力学 (QED) における原子と光の相互作用の強さを超える強結合領域を cavity QED は実現したことであろう．
S. Haroche は cavity QED における業績で 2012 年の一ベル物理学賞を受賞している．また，物理学者は Josephson 接合を利用した超伝導回路上で cavity QED の実証実験にも成功し，cavity QED でさえ作れなかった強結合領域を人工原子とマイクロ波の相互作用で作り出し，QED の理論では把握できないような物理を実現し始めている [12, 13]. この超伝導回路上での cavity QED は回路量子電磁力学 (circuit QED) と呼ばれてる．これらの物理学共通のゴールは，(人工) 原子の適当な孤立した 2 準位を量子ビットとみなし，その量子ビットをレーザーやマイクロ波により制御する量子デバイス機能の確立にある．
量子情報や量子計算機の量子デバイスを考えた場合，そのデバイスは，量子ビットの持

つ情報の制御部，量子ビットの情報の記憶部，量子ビットの情報の輸送部から成ることがシステム論 [25] から要求される．本稿では，1 次元接合量子デバイス中の単電子の輸送問
題，さらに，電子の電荷の流れ (i.e., 電流) に注目する物理学ではなく，電子のスピンの流れに注目するスピントロニクス [3] と呼ばれる物理学の立場に立ち，単電子のスピンを量子ビットとみなしたとき [7, 17, 19], その量子ビットの輸送問題の数学的側面を考えるた
め，論文 [14, 15] で得た結果を中心に紹介してみたい．

37
1985 年，当時の IBM Thomas J. Watson 研究所の R. A. Webb らは，一つの AharonovBohm リングに二本のリードを繋ぎ図 1(a) のようなデバイスを作り，Aharonov-Bohm リ
ングの輪の中に磁場をかけると，Aharonov-Bohm 効果が磁気抵抗効果をもたらすことを発見した [27]. ここで，磁気抵抗効果は，磁場を外からかけることにより電気抵抗が変化する現象であり，磁気抵抗とは異なる現象であることを注意しておく．つまり，R. A.
(b)

(a)

図 1: (a) 一つの Aharonov-Bohm リングと二本のリードからなる量子デバイス．(b) リードの片方から単電子の波動関数を流すと，Aharonov-Bohm リン

グで波動関数はスプリットし，もう一方のリードでそれぞれの波動関数の重ね合わせとなる．このとき，Aharonov-Bohm リングの輪の中に磁場をかけると，波動関数の重ね合わせに Aharonov-Bohm 効果が現れる．

Webb らは Aharonov-Bohm 効果を用いてリードの電子の輸送を制御することに成功したのである．大雑把には，図 1(b) のように，リードと Aharonov-Bohm リングとが成す一方との境界でスプリットされる波動関数
が他方の境界で再び出会い重ね合わせ(励を作るとすると，Aharonov-Bohm 効果の影響を考慮し，$\varphi_{1}(\vec{x})$$\varphi_{2}(\vec{x})$$\psi$$\psi(\vec{x})=\varphi_{1}(\vec{x})e^{-i\frac{e}{\hslash c}\int_{\wedge}\vec{A}\cdot d\vec{x}}+\varphi_{2}(\vec{x})e^{-i}$と書ける．今，簡単のために例えば，$\varphi(\vec{x})$

:

1(x )
$arrow$$=\varphi$$=\varphi$

意$\int.\vec{A}\cdot d\vec{x}$2(励と仮定すると，$| \psi(\vec{x})|^{2}=2|\varphi(\vec{x})|^{2}\{1+\cos(-\frac{e}{\hslash c}\oint\vec{A} d\vec{x})\}$となり，Aharonov-Bohm 位相
らば$|\psi(\vec{x})|^{2}=4|\varphi(\vec{x})|^{2}$$\frac{e}{\hslash c}\oint\vec{A}\cdot d\vec{x}$を得る．従って，Aharonov-Bohm 位相がであり，Aharonov-Bohm 位相が

$\pi$

$0$

な

ならば $|\psi(\vec{x})|^{2}=0$ となり，電子の存在確率が Aharonov-Bohm 位相により変化する．従って，R. A. Webb らの実験から，

位相因子により電子の輸送を制御できる可能性がある(PE1)という物理的期待が持てる訳である．

もう一つ別の物理的期待を計算物理の結果から紹介する．図 2(a) にある $Y$ 接合と呼ばれる，三つの 1 次元ボース凝縮体を一点で $Y$ 字型に接合した物理系を考える．得能らはこの$Y$接合をモデル化するため，1 次元ボース凝縮体を Tomonaga-Luttinger 液体理論におけるボソン化で記述する．このとき，接合部分の点は境界条件によって物理的特性を記述する．
この $Y$ 接合を二つ用意し図 2(b) のように Aharonov-Bohm リングを作り，片方のリードか
ら高密度の凝縮体を入射する．このとき，R. A. Webb らの結果のように Aharonov-Bohm
効果が境界条件の情報を通して期待されるが，得能らの結果によると，Andreev 反射 [1, 2]のような現象が起こり，Andreev 反射の引き起こす位相と Aharonov-Bhm 位相が相殺さ

38
(b)

図 2: (a) 三つのリードを 1 次元ボース凝縮体とし，一点の接合で繋いで作る
接合． $(b)Y$ 字の二本のリードの頭を繋ぎ，Aharonov-Bohm リングとそれぞれの接合でリードが繋がったデバイスを二つの $Y$ 接合から作る．

$Y$れ，結果的に Aharonov-Bohm 効果が現れない．得能らの結果が示唆するのは，Andreev
反射のように，物理系によっては境界条件に位相因子が出現する可能性がある(PE2)ということである．ここで，Andreev 反射のイメージを図 3 に記した．

図 3: Andreev 反射とは，常電導体と超伝導体の接する境界面の部分で起こる
基本的な現象で，入射波と反射波の位相差が波動関数に現れる．簡単にその物
理的メカニズムを記すと，常伝導体から一個の電子が超伝導体に侵入した瞬間，
その電子は超伝導体内で Cooper 対を直ぐに形成せねばならず，その相棒を探すことになる．ところが，超伝導体内の全ての電子は既に Cooper 対を形成しているので，結局その電子は相棒の電子を常伝導体から誘拐することになる．
この誘拐された電子が常電導体内にホールを作るが，常電導体から超伝導体に侵入した電子の代わりに反射となり位相差を生む．超伝導体による巨視的位相, 超伝導エネルギーギャップを, 単電子のエネルギーを$-\theta-\cos^{-1}(E_{e1}/\Delta_{0})$となる．
Andreev 反射による位相差はを$\theta$$E_{e1}$$\triangle 0$とすると，

上述の二つの物理的期待 (PE1) と (PE2) を基に，図 4 にあるような一つの接合の左右に量子細線 (リード) を付けた量子デバイスのユニット，そしてその数学的機構を考えてみることもできるであろう [14]. このユニット内の単電子を本稿では扱う．現在のテクノロ
quantum wires

smgle electron::

Junctlon

図 4: 一つの接合の左右に量子細線 (リード) を付けた量子デバイスのユニット．

39
ジーは単電子の輸送やそのスピンの操作を可能にしていることを注意しておく [9, 18, 26].
そこで，本稿で考える問題は問題 1: 接合と量子細線との成す境界において，波動関数の境界条件に位相因子が出現することはあるか？
問題 2: もし位相因子が出現するのであれば，それはどのようなときか？

である．ここで，接合に物理的数学的任意性を与えるため，ブラックボックスとして扱う．このユニットに量子デバイスの機能を持たせるには，接合に量子ビットの情報の制
御部や記憶部を設定する必要があるが，本稿ではその設定は考えない．量子デバイス作成を目指す実験物理学による基本的実験から，理論物理学による解釈と解析を経由して，数理科学を用いたモデリングと解析に関する最先端の話題を共有するためのワークショップ
を Interdisciplinary Workshop on Quantum Device (IWQD) と題して開催して来ているが[16], IWQD を含め本稿がこの分野への数理科学の積極的な参加を促すものとなれば幸いである．

2

1 次元接合模型
本稿では，数学的に最も簡単な場合として，1 次元接合模型を扱う．開集合

して，その閉包を$\overline{\Omega}$で表す．関数空間$AC^{1}(\overline{\Omega})$$AC^{1}(\overline{\Omega}):=\{f\in L^{2}(\Omega)|f$は$\overline{\Omega}$と$AC_{0}^{1}(\overline{\Omega})$$\Omega\subset \mathbb{R}$に対を上で絶対連続で $f’\in L^{2}(\Omega)\},$$AC_{0}^{1}(\overline{\Omega}):=\{f\in AC^{1}(\overline{\Omega})|f(x)=0, \forallx\in\partial\Omega\},$で，関数空間$AC^{2}(\overline{\Omega})$と$AC_{0}^{2}(\overline{\Omega})$を$AC^{2}(\overline{\Omega}):=\{f\in L^{2}(\Omega)|f$と $f’$ は$\overline{\Omega}$

上で絶対連続で $f”\in L^{2}(\Omega)\},$り $f(x)=f’(x)=0,$$AC_{0}^{2}(\overline{\Omega}):=\{f\in AC^{1}(\Omega$$\forall x\in\partial\Omega\},$で定義しておく．
可分な Hilbert 空間上の作用素 $A$ に対して，その定義域を $D(A)$ と記す．また，部分空間に対して， の 上への制限を $A$「 と記す．特に， $A$ が閉作用素のとき，を不足部分空間$\mathcal{H}$$\mathcal{D}\subset D(A)$$A$$\mathcal{D}$$\mathcal{D}$$\mathcal{K}_{\pm}(A)$$\mathcal{K}_{\pm}(A) :=ker(\pm i-A^{*})$

で定義し，不足指数 $n_{\pm}(A)$ を$n_{\pm}(A):=\dim \mathcal{K}_{\pm}(A)$で与える．

よく知られた von Neumann の理論 [20, 28] による次の命題を我々の拠り所とする :40
命題 2.1$A_{0}$

を閉対称作用素とする．

i) $n_{+}(A_{0})=n_{-}(A_{0})$ ならば，ii)

$A_{0}$

は自己共役拡張を持つ．

へのユニタリ作用素全体との間には一対一対応があり，その対応は次のように与えられる :各ユニタリ作用素
に対し，作用素 $Au$ を$A_{0}$の自己共役拡張全体と$\mathcal{K}_{+}(A_{0})$から$\mathcal{K}_{-}(A_{0})$$U:\mathcal{K}_{+}(A_{0})arrow$$\mathcal{K}_{-}(A_{0})$$\{\begin{array}{l}D(A_{U}):=\{\psi=\psi 0+\psi^{+}+U\psi^{+}|\psi 0\in D(A_{0}) , \psi^{+}\in \mathcal{K}_{+}(A_{0})\},A_{U}:=A_{0}^{*}\lceil D(A_{U}) ,\end{array}$で定義すると，$A_{U}$

は$A_{0}$の自己共役拡張で，その作用は$A_{U}(\psi 0+\psi^{+}+U\psi^{+})=A_{0}\psi 0+i\psi^{+}-iU\psi^{+}$である．逆に， の各自己共役拡張が存在して $A=A_{U}$ をみたす．
$A_{0}$

今 $n_{+}(A_{0})=n_{-}(A_{0})=n\in \mathbb{N}$ とし，する．このとき，ユニタリ作用素$A$に対し，ユニタリ作用素$\mathcal{K}\pm(A_{0})$$U:\mathcal{K}_{+}(A_{0})arrow \mathcal{K}_{-}(A_{0})$の完全正規直交基底を対応$\{\psi_{j}^{\pm}\}_{j=1}^{n}$を一つ固定$U:\mathcal{K}_{+}(A_{0})arrow \mathcal{K}_{-}(A_{0})$$U: \psi_{j}^{+}\mapsto\sum_{k=1}^{n}u_{jk}\psi_{k}^{-}, j=1, )n,$によって， $n\cross n$ ユニタリ行列 $(u_{jk})_{j,k=1,\cdots,n}$ とみなせる．そこで以下， $U\in U(n)$ と表す．

もし非対角成分が全て $(ie., u_{jk}=0, i\neq k)$ のとき， $U$ は対角であるといい，そうでないときは， $U$ は非対角であるということにする．
を
各 $\Lambda>0$ に対して，半直線
を左の島，半直線
右の島と呼ぶことにし，本稿で考える配位空間を$0$$\Omega_{\Lambda,L}:=(-\infty, -\Lambda)$$\Omega_{\Lambda,R}:=(+\Lambda, +\infty)$$\Omega_{\Lambda}:=\Omega_{\Lambda,L}\cup\Omega_{\Lambda,R}$で与える．このとき，我々の粒子の状態空間は Hilbert 空間$\mathbb{C}^{2}\otimes L^{2}(\Omega_{\Lambda})$で，線分が接合となる．

定義 2.21 次元最小 Schr\"odinger 作用素$H_{S0}$を$\{\begin{array}{l}D(H_{S0}):=AC_{0}^{2}(\overline{\Omega_{\Lambda}}) ,H_{S0}:=p^{2},\end{array}$で定義する．ただし，$p$は $p:=-i \frac{d}{dx}$ で与えられる運動量作用素である．

$[-\Lambda, +\Lambda]$

41$H_{S0}$は閉対称で，その共役作用素$H_{S0}^{*}$は$\{\begin{array}{l}D(H_{S0}^{*})=AC^{2}(\overline{\Omega_{\Lambda}}) ,H_{S0}^{*}=p^{2},\end{array}$となる．ただし，$p^{*}=- \dot{\iota}\frac{d}{dx}.$

Dirac 作用素を定義する前に，関数空間$\mathcal{A}C(\overline{\Omega_{\Lambda}})$と$\mathcal{A}C_{0}(\overline{\Omega_{\Lambda}})$$\mathcal{A}C(\overline{\Omega_{\Lambda}}):=\mathbb{C}^{2_{\otimes}^{\wedge}}AC^{1}(\overline{\Omega_{\Lambda}})$を，各$\Lambda>$

0 に対して，,$\mathcal{A}C_{0}(\overline{\Omega_{\Lambda}}):=\mathbb{C}^{2_{\otimes}^{\wedge}}AC_{0}^{1}(\overline{\Omega_{\Lambda}})$,で与えておく．ただし， は代数的テンソル積を表す．
を運動する相対論的粒子に対する量子化を考える．Dirac の処方
今，1 次元配位空間
箋に従えば，波動関数に対して確率解釈を行うために，$\otimes\wedge$$\Omega_{\Lambda}$$\alpha^{2}=\beta^{2}=I$

かつ$\alpha\beta+\beta\alpha=0$を適当に見つけ，エネルギー作用素が子化の表現を見つける必要がある．ここで， $m$ は相対論的粒子の質量でをみたす行列ある．行列$\beta$$\alpha$と$\alpha\otimes p+\beta\otimes mI$$\beta$$I$の形になる量は恒等作用素でを$\beta=\sigma_{z}$としたときに，行列$\alpha$の候補として$\alpha=\sigma_{x}$が挙げられるが，本稿では，$\alpha$として$\sigma_{x}$または$\sigma_{y}$を採用する．ここで，$\sigma_{x},$$\sigma_{y},$$\sigma_{z}$は Pauli のスピン行列である :$\sigma_{x}:=(\begin{array}{ll}0 11 0\end{array}), \sigma_{y}:=(\begin{array}{l}0-i0i\end{array}), \sigma_{z}:=(\begin{array}{ll}1 00 -1\end{array})$

定義 2.3 Dirac 粒子の質量 $m\geq 0$ と運動量作用素$H_{D0}$$p$に対して，1 次元最小 Dirac 作用素を$\{\begin{array}{l}D(H_{D0}):=\mathcal{A}C_{0}(\overline{\Omega_{\Lambda}}) ,H_{D0}:=\sigma_{x}\otimes p+m\sigma_{z}\otimes I_{L^{2}(\Omega_{\Lambda})},\end{array}$で定義する．

$H_{D0}$は閉対称で，その共役作用素$H_{D0}^{*}$

は次のようになる :$\{\begin{array}{l}D(H_{D0}^{*})=\mathcal{A}C(\overline{\Omega_{\Lambda}}) ,H_{D0}^{*}=\sigma_{x}\otimes p^{*}+m\sigma_{z}\otimes I_{L^{2}(\Omega_{\Lambda})},\end{array}$42
以下，波動関数向きスピンを持った波動関数に対して，上向きスピンを持った波動関数
を，それぞれ$\psi\in \mathbb{C}^{2}\otimes L^{2}(\Omega_{\Lambda})$$\psi_{\downarrow}$$\psi_{\uparrow}$と，下$\psi_{\uparrow}:=(\begin{array}{l}10\end{array})\otimes\psi, \psi_{\downarrow}:=(\begin{array}{l}01\end{array})\otimes\psi$と表現しておく．

論文 [8] で，1 次元最小 Schr\"odinger 作用素の自己共役拡張の波動関数に対して， $-$種類の境界条件が提案された．そのうちの一つは波動関数が接合を通り抜けないものであり，もう一つは接合をトンネルするものである．更に，前者の場合には見られないが，後者の場合には境界条件の中に位相因子が出現することが示された．ただ，論文 [8] にお$H_{S0}$$e^{i\theta}$

いては，位相因子の出現と波動関数のトンネル効果との間の完全な数学的関係は明らかにされなかった．論文 [14, 15] では，この問題を 1 次元最小 Schr\"odinger 作用素と 1 次元最小 Dirac 作用素に対して解決した．これらの論文では，自己共役拡張と波動関数の境界条
件との間の一対一対応を具体的に明らかにすることで，境界条件にどのように位相因子が現れ，波動関数のトンネリングでどのように位相が決まるのかを数学的に解明した．
と 1 次元最小 Dirac 作用素 $H_{D0}$
簡単な計算により，1 次元最小 Schr\"odinger 作用素の不足指数は， $n_{+}(H_{\# 0})=n_{-}(H_{\# 0})=2$ となることが分かる．従って，命題 2.1 より，$\#=D,$ , は自己共役拡張を持つ．
$H_{S0}$$H_{\# 0},$

$S$

2. 1

Schr\"odinger 粒子に対する境界条件で表す．すなわち，. 二つのパラメータからなるベクトルに対して，次のような左の島と右の島の境界の情報が独立した境界条件を導入する :拡張された実数全体の集合を$\overline{\mathbb{R}}$$\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$$\rho=(\rho_{+}, \rho_{-})\in\overline{\mathbb{R}}\cross\overline{\mathbb{R}}$$\rho_{\pm}$(isolation)

また，四つのパラメータが条件$\{\begin{array}{ll}\rho_{+}\psi(+\Lambda)=\psi’(+\Lambda) if \rho_{+}\in \mathbb{R},\psi(+\Lambda)=0 if \rho_{+}=\infty,\rho_{-}\psi(-\Lambda)=\psi’(-\Lambda) if \rho_{-}\in \mathbb{R},\psi(-\Lambda)=0 if \rho_{-}=\infty.\end{array}$$\alpha_{j},$$i=1$ , 2, 3, 4, からなるベクトル$\{\begin{array}{l}\alpha_{1}\alpha_{3}^{*}, \alpha_{2}\alpha_{4}^{*}\in \mathbb{R},\alpha_{1}\alpha_{4}^{*}-\alpha_{2}\alpha_{3}^{*}=1,\end{array}$と記す．
をみたすとき，
任意のに対して境界行列$\alpha\in \mathfrak{A}_{S}$$\alpha\in \mathfrak{A}_{S}$$B_{\alpha}\in M_{2}(\mathbb{C})$を$B_{\alpha} (\begin{array}{ll}\alpha_{1} \alpha_{2}\alpha_{3} \alpha_{4}\end{array})$$(S\rho)$$\alpha=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})\in \mathbb{C}^{4}$43で与える．この境界行列により左の島と右の島の境界の情報を交換する境界条件を(interchange)$(S\alpha)$$B_{\alpha}(\begin{array}{l}\psi(-\Lambda)\psi,(-\Lambda)\end{array})=(\begin{array}{l}\psi(+\Lambda)\psi’(+\Lambda)\end{array})$で導入する．

2.2

Dirac 粒子に対する境界条件

二つのパラメータ$\rho_{\pm}$からなるベクトル$\rho=(\rho_{+}, \rho_{-})\in\overline{\mathbb{R}}\cross$に対して，次のような左の島と右の島の境界の情報が独立した境界条件を導入する :(isolation)

四つのパラメータ$\alpha_{j},$$\{\begin{array}{ll}i\rho_{+}\psi_{\uparrow}(+\Lambda)=\psi_{\downarrow}(+\Lambda) if \rho_{+}\in \mathbb{R},\psi_{\uparrow}(+\Lambda)=0 if \rho_{+}=\infty,i\rho_{-}\psi_{\uparrow}(-\Lambda)=\psi_{\downarrow}(-\Lambda) if \rho_{-}\in \mathbb{R},\psi_{\uparrow}(-\Lambda)=0 if \rho_{-}=\infty.\end{array}$$i=1$ , 2, 3, 4, からなるベクトル$\alpha$$=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4})\in \mathbb{C}^{4}$$(D\rho)$が条件$\{\begin{array}{l}\Re(\alpha_{1}\alpha_{2}^{*})=\Re(\alpha_{1}\alpha_{3}^{*})=0,\Re(\alpha_{2}\alpha_{4}^{*})=\Re(\alpha_{3}\alpha_{4}^{*})=0,\alpha_{1}\alpha_{4}^{*}+\alpha_{2}\alpha_{3}^{*}=\alpha_{1}\alpha_{4}^{*}+\alpha_{2}^{*}\alpha_{3}=1,\end{array}$をみたすとき，任意のと記す．
に対して境界行列$\alpha\in \mathfrak{A}_{D}$$\alpha\in \mathfrak{A}_{D}$$B_{\alpha}\in J\ell_{2}(\mathbb{C})$を$B_{\alpha}:=(\begin{array}{ll}\alpha_{1} \alpha_{2}\alpha_{3} \alpha_{4}\end{array})$とし，左の島と右の島の境界の情報を交換する境界条件を(interchange)$B_{\alpha}(\begin{array}{l}\psi_{\uparrow}(-\Lambda)\psi_{\downarrow}(-\Lambda)\end{array})=(\begin{array}{l}\psi_{\uparrow}(+\Lambda)\psi_{\downarrow}(+\Lambda)\end{array})$で導入する．

3

主結果
まず，前章で与えた二種類の境界条件は，次のように自己共役拡張を与える :$(D\alpha)$44
定理 3.1 [8, 14, 15] 以下， $\#=S,$ $D$ とする．

i) (B. C. with isolation) 任意の$\rho\in\overline{\mathbb{R}}\cross\overline{\mathbb{R}}$に対して定義域$D(H_{\#\rho}):=\{\psi\in D(H_{\# 0}^{*})|\psi$で与えたとき，「$H_{\#\rho}:=H_{\# 0}^{*}$$D(H_{\#\rho})$ii) (B. C. with interchange) 任意のは$H_{\# 0}$$\alpha\in \mathfrak{A}_{\#}$「$H_{\#\alpha}:=H_{\# 0}^{*}$$D(H_{\#\alpha})$$\rho$

$)$

をみたす

を

$\}$

の自己共役拡張である．

に対して定義域$D(H_{\#\alpha}):=\{\psi\in D(H_{\# 0}^{*})\psi$で与えたとき，は耐$D(H_{\#\rho})$は出$\alpha$$)$$D(H_{\#\alpha})$

をみたす

を

$\}$

は珊 の自己共役拡張である．
$0$とは定理 3.1 は，二種類の境界条件の自己共役拡張を与えることを主張しているが，ここで，「他の種類の境界条件で自己共役拡張を与えるものがあるのか？」 という疑問が生じる．これに対する答えを見て行く．そのために，以下の議論で使うユニタ
リ群 $U(2)$ の表現を与える．通常，準同型定理により $U(n)/SU(n)\cong U(1)$ なる表現はよく知られているが，ここでは $n=2$ という具体的な値を上手く使い別な表現を与える :$(\#\rho)$$(\#\alpha)$$H_{\# 0}$

補題 3.2 [14] ユニタリ群 $U(2)$ は次の表現を持つ :$U(2)=U(1)S\mathbb{H}=\{\gamma_{3}(\begin{array}{ll}\gamma_{1} -\gamma_{2}^{*}\gamma_{2} \gamma_{1}^{*}\end{array})|\gamma_{1},$

ここで，$2\cross 2$$\gamma_{2},$行列からなる Hamilton の四元数体$\mathbb{H}$$\gamma_{3}\in \mathbb{C},$$|\gamma_{1}|^{2}+|\gamma_{2}|^{2}=|\gamma_{3}|=1\}.$に対して， $S\mathbb{H}:=\{A\in \mathbb{H}|\det A=1\}.$

補題 3.2 を通すと，von Neumann の理論において自己共役拡張をパラメータ化する$U\in U(2)$ に対し，次のような物理的意味を与えることができる．

3. 1
定数$\pm iL_{\pm})$

Schr\"odinger 粒子の場合$N_{S}$を Ns:

9e /西としておく．左の島上の$\Lambda$$=$$H_{S0}^{*}$の固有関数 $L_{\pm}(x)(i.e,$を$\{\begin{array}{l}L_{+}(x):=N_{S}e^{(1-i)x/\sqrt{2}}\chi_{L}(x) ,L_{-}(x):=N_{S}e^{(1+i)x/\sqrt{2}}\chi_{L}(x) ,\end{array}$

で，右の島上の$H_{S0}^{*}$の固有関数 $R_{\pm}(x)(i.e, H_{S0}^{*}R\pm=\pm iR_{\pm})$ を$\{\begin{array}{l}R_{+}(x):=N_{S}e^{(-1+i)x/\sqrt{2}}\chi_{R}(x) ,R_{-}(x):=N_{S}e^{(-1-i)x/\sqrt{2}}\chi_{R}(x) ,\end{array}$$H_{S0}^{*}L_{\pm}=$

45
で与えることができる．ここで，$\chi_{L}$はユニタリ行列 $U=(u_{k\ell})_{k,\ell=1,2}$ の成分の，$\overline{\Omega_{\Lambda,L}}$$u_{kl}$$\chi_{R}$は$\overline{\Omega_{\Lambda,R}}$の特性関数．

を$\{\begin{array}{l}UL+=u_{11}L_{-}+u_{12}R_{-},UR+=u_{21}L_{-}+u_{22}R_{-},\end{array}$で与える．すると，補題 3.2 により，$\{\begin{array}{l}UL_{+}=\gamma_{3}\gamma_{1}L_{-}-\gamma_{3}\gamma_{2}^{*}R_{-}UR_{+}=\gamma_{3}\gamma_{2}L_{-}+\gamma_{3}\gamma_{1}^{*}R_{-}\end{array}$であるから，波動関数 $\psi=\psi_{0}+c_{L}L++c_{r}R++c_{L}UL++c_{R}UR+$ に対して$\{\begin{array}{l}c_{R}=0\Rightarrow\psi=\psi_{0}+c_{L}\gamma_{3}(L_{+}+\gamma_{1}L_{-}-\gamma_{2}^{*}Rc_{L}=0\Rightarrow\psi=\psi_{0}+c_{R}\gamma_{3}(R_{+}+\gamma_{2}L_{-}+\gamma_{1}^{*}R\end{array}$となるので，パラメータは Schr\"odinger 粒子の波動関数の境界での反射を司る反射パラ
メータ，また，パラメータは波動関数の接合のトンネリングを司るトンネリング パ$\gamma_{1}$$\gamma_{2}$ラメータである．

定理 3.3 [14]i) 対角な $U\in U(2)$ は，全て

$U=(\begin{array}{ll}\gamma_{L} 00 \gamma_{R}\end{array}),$$\gamma_{L}=\gamma_{3}\gamma_{1},$$\gamma_{R}=\gamma_{3}\gamma_{1}^{*}$

なる表現を持ち， $|\gamma_{1}|=|\gamma_{3}|=1$ をみたす補題 3.2 の任意のパラメータに対して， $D(H_{U})=$$D(H_{S\rho})$ であるための必要十分条件は次の公式で与えられるベクトルとの対応となる :$\gamma_{1},$$\gamma_{3}$$\rho\in\overline{\mathbb{R}}\cross\overline{\mathbb{R}}$(S-Ll) 任意の$\gamma_{L}\neq-e^{i\sqrt{2}\Lambda}$

に対して，$\rho_{-}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\{\tan(\frac{\theta_{L}}{2}-\frac{\Lambda}{\sqrt{2}})-1\}, \theta_{L}:=\arg\gamma_{L}.$(S-L2)$\gamma_{L}=-e^{i}$(S-Rl) 任意の西$\Lambda$

に対して， $\rho_{-=\infty}.$$\gamma_{R}\neq-e^{i}$

西$\Lambda$

に対して，$\rho+=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\tan(\frac{\theta_{R}}{2}-\frac{\Lambda}{\sqrt{2}})-1\}, \theta_{R}:=\arg\gamma_{R}.$(S-R2)$\gamma_{R}=-e^{i\sqrt{2}\Lambda}$

に対して， $\rho_{+}=\infty.$ii) 非対角な $U\in U(2)$ は，全てる表現を持ち，$U=\gamma_{3}(\begin{array}{ll}\gamma_{1} -\gamma_{2}^{*}\gamma_{2} \gamma_{1}^{*}\end{array}),$$|\gamma_{1}|^{2}+|\gamma_{2}|^{2}=|\gamma_{3}|=1$

かつ$|\gamma_{1}|^{2}+|\gamma_{2}|^{2}=|\gamma_{3}|=1,$$\gamma_{2}\neq 0$$\gamma_{2}\neq 0$

なをみたす補題 3.2 の任意のパラ46に対して， $D(H_{U})=D(H_{S\alpha})$ であるための必要十分条件は，次の公式で与えられるベクトルs との対応となる :メータ$\gamma_{1},$$\gamma_{2},$$\gamma_{3}$$\alpha\in \mathfrak{A}$$\alpha_{1}=i\sqrt{2}\gamma_{2}^{-1}(\Re(e^{i\pi/4}\gamma_{1})+\Re(e^{i(\pi/4-\sqrt{2}\Lambda)}\gamma_{3}))$$\alpha_{2}=-i\sqrt{2}\gamma_{2}^{-1}(\Re\gamma_{1}+\Re(e^{-i\sqrt{2}\Lambda}\gamma_{3}))$,,$\alpha_{3}=-i\sqrt{2}\gamma_{2}^{-1}(\Re\gamma_{1}+\Re(e^{i(\pi/2-\sqrt{2}\Lambda)}\gamma_{3}))$,$\alpha_{4}=i\sqrt{2}\gamma_{2}^{-1}(\Re(e^{-i\pi/4}\gamma_{1})+\Re(e^{i(\pi/4-\sqrt{2}\Lambda)}\gamma_{3}))$.

定理 3.3 は，自己共役拡張をパラメータ化する $U\in U(2)$ を決めるパラメータとをそれぞれ与える公式であによって，境界条件を決めるパラメータ
るが，この逆の公式は以下のようになる．
任意のに対して，対角な $U\in U(2)$ は$\gamma_{1},$$\rho\in\overline{\mathbb{R}}\cross\overline{\mathbb{R}}$$\gamma_{2},$$\gamma_{3}$$\alpha\in \mathfrak{A}_{S}$$\rho\in\overline{\mathbb{R}}\cross\overline{\mathbb{R}}$(S-L1’)$\rho-\in \mathbb{R}$のとき， $\gamma_{L}=\exp[2i(\tan^{-1}(1-\sqrt{2}\rho_{-})+\Lambda/\sqrt{2})].$(S-L2’) $\rho-=\infty$ のとき，
(S-R1’)(S-R2’)$\rho+\in \mathbb{R}$$\gamma_{L}=-e^{i\sqrt{2}\Lambda}.$のとき， $\gamma_{R}=\exp[2i(\tan^{-1}(1+\sqrt{2}\rho+)+\Lambda/\sqrt{2})].$のとき，$\rho_{+}=\infty$$\gamma_{R}=-e^{i\sqrt{2}\Lambda}.$なる公式で決まる．
任意のに対して，非対角な $U\in U(2)$ は次の命題で与えられる :$\alpha\in \mathfrak{A}_{S}$

命題 3.4 [14] 任意の$\alpha\in \mathfrak{A}_{S}$$B_{\alpha},$, に対して，非対角な $U\in U(2)$ は次の公式で決まる :$\{\begin{array}{l}\gamma_{1}=\Gamma_{0}e^{-i\theta}(e^{i\pi/4}\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+e^{-i\pi/4}\alpha_{4}) ,\gamma_{2}=-i\sqrt{2}\Gamma_{0}e^{-i\theta},\gamma_{3}=-\Gamma_{0}e^{i(\sqrt{2}\Lambda-\theta)}(e^{-i\pi/4}\alpha_{1}-i\alpha_{2}+\alpha_{3}+e^{-i\pi/4}\alpha_{4}) .\end{array}$

ここで，$\Gamma_{0}:=\{|e^{i\pi/4}\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+e^{-i\pi/4}\alpha_{4}|^{2}+2\}^{1/2}$

また，$\theta$は命題 3.5 にあるように$\alpha_{j}=e^{i\theta}a_{j},$命題 3.4 に現れた位相は以下のようにして
命題 3.5 境界行列
のとき
であり，

$B_{\alpha},$$\alpha_{1}\neq 0$$\alpha\in \mathfrak{A}_{S}$$\alpha j$を$\alpha_{1},$$j=1$ , 2, 3, 4,$B_{\alpha},$, 全体の集合を$\alpha_{1}=0$のとき$\alpha\in \mathfrak{A}_{S}$となる位相である．

, から決まる :または 2とする．このとき，0$k\neq j$ , ををとおき， $\theta\in[0, 2\pi$ ) と$\alpha_{1}\neq 0$$\mathcal{A}$$\alpha_{j}$$\alpha_{2}$$\{\begin{array}{l}\theta:=\arg(\alpha_{j}/|\alpha_{j}|) ;a_{j}:=|\alpha_{j}|, a_{k}:=\alpha_{k}\alpha_{j}^{*}/|\alpha_{j}|, k\neq j,\end{array}$$\alpha$$a_{k},$$\neq$

47と決めると，$\mathcal{A}$は次の表現を持つ :$\theta\in[0, 2\pi)$$\mathcal{A}=\{e^{i\theta}(\begin{array}{ll}a_{1} a_{2}a_{3} a_{4}\end{array})$

3.2
定数
島上の

,

$a_{j}\in \mathbb{R},$$j=1$ , 2, 3, 4;$a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3}=1\}.$

Dirac 粒子の場合$\mu$

を $\mu:=(1+im)/\sqrt{1+m^{2}}$ , 定数

$H_{D0}^{*}$の固有関数$N_{D}$

を $N_{D}:=(1+m^{2})^{\frac{1}{4}}e^{-\sqrt{1+m^{2}}\Lambda}$ とする．左の$\psi_{L}^{\pm}(x)(i.e., H_{D0}^{*}\psi_{L}^{\pm}=\pm i\psi_{L}^{\pm})$を$\{\begin{array}{l}\psi_{L}^{+}(x):=N_{D}[Matrix]\otimes\chi_{L}(x)e^{\sqrt{1+m^{2}}x},\psi_{L}^{-}(x):=N_{D}[Matrix]\otimes\chi_{L}(x)e^{\sqrt{1+m^{2}}x},\end{array}$で定義する．ここで，$\chi_{L}$は$\overline{\Omega_{\Lambda,L}}$の特性関数．また，右の島上の$H_{D0}^{*}$の固有関数$\psi_{R}^{\pm}(x)$を$(i.e., H_{D0}^{*}\psi_{R}^{\pm}=\pm i\psi_{R}^{\pm})$$\{\begin{array}{l}\psi_{R}^{+}(x):=N_{D}[Matrix]\otimes\chi_{R}(x)e^{-\sqrt{1+m^{2}}x},\psi_{R}^{-}(x):=N_{D}[Matrix]\otimes\chi_{R}(x)e^{-\sqrt{1+m^{2}}x},\end{array}$で定義する．ここで，$\chi_{R}$は$\overline{\Omega_{\Lambda,R}}$の特性関数．

ユニタリ行列 $U=(u_{kl})_{k,\ell=1,2}$ の成分$u_{k\ell}$を$\{\begin{array}{l}U\psi_{L}^{+}=u_{11}\psi_{L}^{-}+u_{12}\psi_{R}^{-},U\psi_{R}^{+}=u_{21}\psi_{L}^{-}+u_{22}\psi_{R}^{-},\end{array}$で与える．すると，補題 3.2 により，$\{\begin{array}{l}U\psi_{L}^{+}=\gamma_{3}\gamma_{1}\psi_{L}^{-}-\gamma_{3}\gamma_{2}^{*}\psi_{R}^{-},U\psi_{R}^{+}=\gamma_{3}\gamma_{2}\psi_{L}^{-}+\gamma_{3}\gamma_{1}^{*}\psi_{R}^{-},\end{array}$は Dirac 粒子の波動関数の境であるから，Schr\"odinger 粒子のときと同様，パラメータは波動関数の接合のトンネリン
界での反射を司る反射パラメータ，また，パラメータ
グを司るトンネリングパラメータである．
$\gamma_{1}$$\gamma_{2}$48
定理 3.6 [15]i) 対角な $U\in U(2)$ は，全て

$U=(\begin{array}{ll}\gamma_{L} 00 \gamma_{R}\end{array}),$$\gamma_{L}=\gamma_{3}\gamma_{1},$ち， $|\gamma_{1}|=|\gamma_{3}|=1$ をみたす補題 82 の任意のパラメータ$\gamma_{R}=\gamma_{3}\gamma_{1}^{*}$$\gamma_{1},$$\gamma_{3}$に対して， $D(H_{U})=$であるための必要十分条件は次の公式で与えられるベクトルの対応となる :$D(H_{D\rho})$(D-Ll) 任意の$\gamma_{L}\neq-1$

なる表現を持$\rho\in\overline{\mathbb{R}}\cross\overline{\mathbb{R}}$に対して，$\rho_{-}=\frac{1}{\sqrt{1+m^{2}}}(\tan\frac{\theta_{L}}{2}-m) , \theta_{L} :=\arg\gamma_{L}\in[0, 2\pi)$(D-L2) $\gamma_{L}=-1$ に対して，(D-Rl) 任意の$\gamma_{R}\neq-1$と.

$\rho_{-=\infty}.$に対して，$\rho+=-\frac{1}{\sqrt{1+m^{2}}}(\tan\frac{\theta_{R}}{2}-m) , \theta_{R} :=\arg\gamma_{R}.$(D-R2) $\gamma_{R}=-1$ に対して，$\rho_{+}=\infty.$ii) 非対角な $U\in U(2)$ は，全て

$U=\gamma_{3}(\begin{array}{ll}\gamma_{1} -\gamma_{2}^{*}\gamma_{2} \gamma_{1}^{*}\end{array}),$$|\gamma_{1}|^{2}+|\gamma_{2}|^{2}=|\gamma_{3}|=1,$$\gamma_{2}\neq 0$

なをみたす補題 3.2 の任意のパラメータに対して， $D(H_{U})=D(H_{D\alpha})$ であるための必要十分条件は，次の公式で与えられるベクトル
D との対応となる :る表現を持ち，$\gamma_{1},$$\gamma_{2},$$|\gamma_{1}|^{2}+|\gamma_{2}|^{2}=|\gamma_{3}|=1$

かつ$\gamma_{2}\neq 0$$\gamma_{3}$$\alpha\in \mathfrak{A}$$\alpha_{1}=i\gamma_{2}^{-1}\sqrt{1+m^{2}}(\Im(\gamma_{1}^{*}\mu)+\Im(\gamma_{3}^{*}\mu))$$\alpha_{2}=\gamma_{2^{\sqrt{1+m^{2}}}}^{-1}(\Re\gamma_{1}+\Re\gamma_{3})$,$\alpha_{3}=\gamma_{2^{\sqrt{1+m^{2}}}}^{-1}(-\Re\gamma_{1}+\Re(\gamma_{3}^{*}\mu^{2}))$,$\alpha_{4}=i\gamma_{2^{\sqrt{1+m^{2}}}}^{-1}(\Im(\gamma_{1}\mu)+\Im(\gamma_{3}^{*}\mu))$

任意の$\rho\in\overline{\mathbb{R}}\cross$(D-L1’)(D-L2’)(D-R1’)(D-R2’),.

に対して，対角な $U\in U(2)$ は$\rho_{-}\in \mathbb{R}$のとき， $\gamma_{L}=\exp[2i\arctan(m+\sqrt{1+m^{2}}\rho$のとき， $\gamma_{L}=-1.$$\rho_{-}=\infty$$\rho+\in \mathbb{R}$のとき， $\gamma_{R}=\exp[2i\arctan(m-\sqrt{1+m^{2}}\rho+)].$$\rho_{+}=\infty$のとき， $\gamma_{R}=-1.$なる公式で決まる．
任意のに対して，非対角な $U\in U(2)$ は次の命題で決まる :$\alpha\in \mathfrak{A}_{D}$49
命題 3.7 [15] 任意の$B_{\alpha},$$\alpha\in \mathfrak{A}_{D}$,に対して，非対角な $U\in U(2)$ は次の公式で決まる :$\{\begin{array}{l}\gamma_{1}=\Gamma_{0}e^{-i(\theta-\pi/2)}(-\mu^{*}\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}+\mu\alpha_{4}) ,\gamma_{2}=(2/\sqrt{1+m^{2}})\Gamma_{0}e^{-i(\theta-\pi/2)},\gamma_{3}=\Gamma_{0}e^{-i(\theta-\pi/2)}\mu(\alpha_{1}+\mu^{*}\alpha_{2}+\mu\alpha_{3}+\alpha_{4})^{*}\end{array}$

ここで，$\Gamma_{0}:=(\frac{4}{1+m^{2}}+|-\mu^{*}\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}+\mu\alpha_{4}|^{2})^{-1/2}$

また， は命題 3.8 にあるように相である．
$\theta$$\alpha_{j}=e^{i\theta}a_{j},$命題 3.7 に現れた位相は以下のようにして
命題 3.8 境界行列
のとき
であり，

$B_{\alpha},$$\alpha\in \mathfrak{A}_{D}$$i=1,$ $4;\alpha_{k}=ie^{i\theta}a_{k},$$B_{\alpha},$, 全体の集合を$\mathcal{A}$$\alpha\in \mathfrak{A}_{D}$$j=2$ , 3,となる位

, から決まる :とする．このとき，$\alpha_{1}\neq 0$または$\alpha$3$\neq$

0$\alpha_{1}\neq 0$$\{\begin{array}{l}\theta:=\arg(\alpha_{1}/|\alpha_{1}|) ;a_{1}:=|\alpha_{1}|, a_{2}:=-i(\alpha_{1}\alpha_{2}^{*})^{*}/|\alpha_{1}|,a_{3}:=-i(\alpha_{1}\alpha_{3}^{*})^{*}/|\alpha_{1}|, a_{4}:=(\alpha_{1}\alpha_{4}^{*})^{*}/|\alpha_{1}|,\end{array}$

とおく．また， $\alpha_{1}=0$ のとき$\{\begin{array}{l}\theta:=\arg(-i\alpha_{3}/|\alpha_{3}|) ;a_{1}:=i\alpha_{1}\alpha_{3}^{*}/|\alpha_{3}|, a_{2}:=\alpha_{2}\alpha_{3}^{*}/|\alpha_{3}|,a_{3}:=|\alpha_{3}|, a_{4}:=i(\alpha_{3}\alpha_{4}^{*})^{*}/|\alpha_{3}|,\end{array}$

とおく．すると，$\mathcal{A}$は次の表現を持つ :$\mathcal{A}=\{e^{i\theta}(\begin{array}{ll}a_{1} ia_{2}ia_{3} a_{4}\end{array})$$\theta\in[0, 2\pi)$,$a_{j}\in \mathbb{R},$$j=1$ , 2, 3, 4;$a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}=1\}.$

注意 3.1 境界行列
, で決まる境界条件は，スピンに次のような影響を与えとる．境界行列の成分は上向きスピンと下向きスピンを入れ替える役割を持つ．
これは，量子ビットの反転の操作に係る．
$\alpha\in \mathfrak{A}_{D}$$B_{\alpha},$$ia_{2}$$ia_{3}$

注意 3.2 命題 88 による境界行列の表現と Benvegnu-Dqbrowski 四パラメータ族 [5],; $A,$ $B,$ $C,$
, との間には次のような対応がある :$\mathbb{C}$$D\in \mathbb{R}$$\{\begin{array}{l}\omega=e^{i\theta};A=a_{1}, B=a_{2}, C=-a_{3}, D=a_{4}.\end{array}$$\omega\in$50
従って，次の系を得る :系 3.9 Benvegn\‘u-Dqbrowski 四パラメータ族は，von Neumann の自己共役拡張の理論にで決をみたす三つのパラメータ
かつおける，$|\gamma_{1}|^{2}+|\gamma_{2}|^{2}=|\gamma_{3}|=1$$\gamma_{2}\neq 0$$\gamma_{1},$$\gamma_{2},$$\gamma_{3}\in \mathbb{C}$

まる．

3.3

トンネリング位相

Schr\"odinger 粒子に対する命題 3.5 と Dirac 粒子に対する命題 3.8 で考察したように，
Schr\"odinger 粒子と Dirac 粒子共通に，それぞれの波動関数が接合をトンネルするときにが出現する．定理 3.3 と命題 3.4, 3.5, そして，定理 3.6 と命題 3.7,
境界条件に位相因子から完全に決まる
3.8 から次の系を得るが，これは位相 はトンネリングパラメータ
トンネル効果特有の位相であることを述べている．従って， はトンネリング位相ともい$e^{i\theta}$$\theta$$\gamma_{2}$$\theta$

うべきものである．
系 3.10 Schr\"odinger 粒子と Dirac 粒子，両方の場合に，位相因子

力 1 つ，そのときに限り境界条件に出現し，位相$\theta$は，ある適当な$e^{i\theta}$

は，$\nu\in \mathbb{Z}$$\gamma_{2}\neq 0$

のとき，

に対して

$\theta=-\arg\gamma_{2}+(\frac{1}{2}+\nu)\pi$と表される．

4

今後の課題
本稿では，1 次元接合模型のみを扱ったが，二つの不足指数が 2 となるため，$2\cross 2$

ユニタリ行列に対する計算の工夫が本質的で，その工夫により波動関数の接合におけるトン
ネル効果とそれに伴った位相因子の出現が具体的に把握できた．この模型にリードの数を増やせば不足指数も増え，また，配位空間の次元を上げると，即，不足指数は可算無限となってしまう．また，次元を上げた場合は，境界の幾何学的性質やトポロジカルな性質が反映されて来るであろう．現在，このような問題に boundary triplet の理論 [4, 6, 21] から取り組んでいる．
また，本稿では接合をブラックボックスとし物理的数学的に任意性を持たせたが，実際の量子デバイスを作成するためのモデリングを行う場合，接合部分に実際の物理系を設定しなければならない．この接合部分で量子ビットを制御する場合，本稿で述べたような，量子ビットを実現する電子のスピンと境界で出現する位相との関係を利用し，この位相と外から磁場を印加することでもたらされる Aharonov-Bohm 位相とを相互作用させるモデルを設定することも考えられるだろうし，また，電子のスピンから 2 準位原子の状態に変換する量子状態転写を設定し，cavity QED や circuit QED で扱う Jaynes-Cummings
模型や Rabi 模型等 [12] を設定することもできるだろう．数理科学としてモデルを設定し解析すべき問題は色々あるように思われる．

51
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