Table 1 Beam Parameters (250 GeV ECM)

ILC 加速器

Particles/bunch

2 × 1010

Bunches/pulse

1. はじめに

1312

Bunch Length

6 mm (damping ring)
0.3 mm (after bunch

この講義では、ILC 加速器の設計の概略を理解しcompressor)てもらうことを目的とする。超伝導加速システ

Bunch spacing

ム、電子・陽電子源、ビームダンプ、施設などに

554 ns (linac, etc. )6.15 ns (damping ring)

ついてのより詳しい説明は他の方の講義がある
ので概略のみとする。また、ビーム力学に関する

Repetition rate

5 Hz

内容も「ナノビーム」の講義でより詳しく解説さNormalized

4𝜇𝜇m/20nm (damping ring)

れるはずである。他の講義では触れられないと思emittance x/y

5𝜇𝜇m/35nm (BDS)

われる部分については、その仕組みとそこでのビBeam Energy

5 GeV (damping ring)ームの振る舞いについて少し詳しく説明する。

15 GeV (after 2nd bunch

後半では、ILC のビームパラメータの特徴についcompressor)て、「なぜそうなっているか？」をルミノシティ

125 GeV (final energy)（衝突点でのビームパラメータ）とエネルギー効

Beam size at

x : 520 nm率（超伝導空洞による加速）の観点から説明する

collision pointy : 7.7 nm

ことを試みる。

2. ILC 加速器の構成

2.1. 電子入射器

この節では、ILC の加速器の設計が「どのように電子源で縦偏極した電子ビームが生成される。レなっているか」を述べ、「なぜそうなっているのーザー光を陰極 (photo-cathode) に当て光電効か」については次節以降で説明を試みる。

果で出てくる電子を加速してビームとする。偏極
し た 多 バン チ の 大強 度の ビ ー ムを 作 る ため にphoto-cathode の量子効率と偏極度、大強度のレーザーの技術が重要である。photo-cathode は、
電子のスピンの向きによってエネルギー準位の異なる特殊な結晶構造を持った物質で、エネルギ
ー幅の狭いレーザー光を当てることによって決まったスピンの電子のみを取り出すことができ

Fig. 1 ILC Layout 概念図。実線は陽電子の、点線は電子のビームライン [1]る。
125MeV ま で は 常 伝 導 の 加 速 空 洞 に よ り 、
125MeV から 5GeV までは主線形加速器と同じ

Fig. 1 に ILC 加速器の概念図を、主なビームパラ方式の超伝導加速空洞で加速され、ビームの時間

メータを Table 1 に示す。

構造は主線形加速器部分と同じである。

以下、上流から各コンポーネントの役割やビーム

5GeV まで加速された後、エネルギー圧縮を経て、の状況について簡単に説明する。ただし、・エネル

偏極の向きを垂直方向に回転されてダンピング

ギー圧縮、バンチ長圧縮、スピンの操作などにつリングに入射される。

いては順番を変えて後で説明する。

２－ 1

2.2. 陽電子入射器の拡がり（energy spread）は 約 0.1%まで減少す

基本設計の陽電子源は「アンジュレーター方式」

る。
（陽）電子円形加速器では、シンクロトロン放と呼ばれる。主線形加速器で加速され、衝突実験

射の影響（放射減衰と放射励起）により時間ととに使用される前の高エネルギーの電子をヘリカ

もに、ビームの形がきれいな正規分布に近づいてルアンジュレーターに通す。発生する光子を標的

いき、軌道やエネルギーも安定になっていく。

に当てることで生成される陽電子を集めてビー

ILC は 5Hz で運転されるので、ビームがダンピン

ムとする。光子が偏極しているので前方に生成さグリングに滞在できる時間は 0.2 秒未満であり、れる陽電子ビームも偏極する。

この間に十分減衰させる必要がある（damping

陽電子源では、標的の破損（瞬間的な熱による機time が 0.2 秒に比べて十分短い必要がある。

械的な衝撃、熱の蓄積による溶解、等）を防ぎな

Appendix 式(6-49)参照）。ILC のダンピングリン

がら要求される量の陽電子を集めてビームとす

グの周長は長く、曲線部分での曲率が小さいのることが重要である。
その後は電子ビームと同様に、数 100MeV までは常伝導の加速空洞で、その後は主線形加速器と同じ方式で 5GeV まで加速 (Booster Linac) された
後、エネルギー圧縮を経て、偏極の向きを垂直方向に回転されてダンピングリングに入射される。

で、damping time を小さくするために wiggler
を直線部に挿入する。これにより damping time
は横方向 25ms, 縦方向 12ms 程度になるが、Wiggler 強度の変更によってある程度の調整が可能になっている。放射によるエネルギー損失は曲線部よりも wiggler 部分の方が大きい。曲線部

その生成方式から、ビームの時間構造は主線形加の曲がりが緩やかで、直線部に wigger があるこ

速器部分と同じでなければならない。

とは水平方向のエミッタンスを小さくすること

別の選択肢として、陽電子発生用の独立した電子にも役立っている。

線形加速器（常伝導）を用意する「電子駆動方式」

Table 2, Normalized emittance in Damping Ring.
(unit: rad-m)がある。エネルギー約 4 GeV の電子ビームを標的に当てることにより生成される陽電子を集めて入射ビームとする。ダンピングリングのエネルギー 5

Electron

GeV までの加速にも常伝導の線形加速器を用いHorizontal
Verticalる。ビームの時間構造は主線形加速器部分とは異Positron

なる。

Horizontal
Vertical

2.3. ダンピングリング（damping ring）

7 × 10取出し−5~1 × 10−3

4 × 10−6
2 × 10−8
4 × 10−6
2 × 10−8

後で述べるように、ルミノシティを大きくするた

ILC のビームの１パルスは約 1300 個のバンチかめには低エミッタンスのビームが必要であり、そらなり間隔は約 500ns であり、全体で約 0.65 msのためにはダンピングリングは必須である。ダンである。この構造のままのビームをダンピングリ

ピングリングを周回する間に放射減衰によってングに蓄積しようとすると周長約 200 km が必要

ビームのエミッタンは低下する。入射ビームと取となり、非現実的である。実際のダンピングリン

り出されるビームの規格化エミッタンスを Table
2 に示す。

グの周長の設計値は約 3km で、バンチ間隔は約6.15 ns (0.65 GHz の RF の 4 周期)と短い。リン

ダンピングリングによってエミッタンスは桁違

グ内でバンチ間隔を小さくするためにはバンチ 1

いに小さくなる、特に陽電子の垂直方向のエミッ

個ずつを高速のキッカーで入射・出射する必要がタンスは約 1/50000 になる。また、入射される粒子のエネルギーのずれの許容値は約 0.75％であるのに対して、取り出されるビームのエネルギー

ある(Fig. 2)。リング内にあるバンチの軌道に影響を与えないため、キッカーの立ち上がり・立下り
時間はバンチ間隔よりも短くなくてはならない。

２－ 2

（電子駆動方式の陽電子源の場合は入射ビームの建てにしてもう一個陽電子リングを追加できる

時間構造が異なり、キッカーに要求される性能もように設計される（従って、始めは 1 階が陽電子、これとは異なる）

2 階が電子のリングである）。
2.4. Return Line と turnaround
リングから取り出された低エミッタンスのビー
ムは、主線形加速器と同じトンネル内を通って加速器の端まで輸送される。この部分は基本的に 4極磁石とドリフト空間からなる単純な FODO

Fig. 2 DR からの Extraction. DR 内と線形加速器
ではバンチの時間構造が異なる。高速キッカーによりバンチ 1 個ずつ入射・取り出しを行う
Fig. 3 にダンピングリングのレイアウトを示す。

(Focus-Open space-Defocus-Open space ?) の繰り返しである。４極磁石の設置誤差・位置の変動
はエミッタンス増大を引き起こすが、その影響は磁場が強いほど大きい。誤差に対する要求を緩くするため、この部分では磁場の弱いビーム光学設

一方の直線部に入射・取り出しのための領域と周計を採用している（収束・発散力が小さく、ベー

長調整用のシケインがあり、もう一方の直線部にタ関数が大きい）。また、主線形加速器の加速空洞

は wiggler, RF 空洞, チューン調整用の phasetrombone がある。図は陽電子リングを上から見を水平（重力の向きに垂直）に置くために、この部分のビームラインは地球の曲率に沿って曲がたもので、電子リングはこれを左右反転したものっている。

になる。陽電子と電子のダンピングリングは同じ

ビームは加速器の両端の turnaround で折り返さ

トンネルに 2 階建てで設置されるので、RF 空洞

れるが、ここでのシンクロトロン放射によるエミなどの背の高い構造物が重ならないようになっ

ッタンス増大は無視できない（放射励起）。エミッている。

タンス増大を抑えるため、turnaround の曲率はあまり大きくできず、また、収束力をある程度大きくしておく必要がある（低エミッタンスのスト
レージリングと同様に、4 極磁石を強くし間隔を短くするようなビーム光学設計が必要）。従ってこの部分では長い Return Line と事情が異なり、エミッタンス増大を抑えるためには 4 極磁石の位
置やビーム軌道の精度が要求される。
Return Line, Turnaround では 4 極磁石の設置

Fig. 3 Damping ring layout. Chicane は周長の調整のため、phase trombone はチューン調整のための領域。図は陽電子リングで、電子リングは左右反転された形。[1]ILC は当初はパルス当たり約 1300 バンチでスタートするが、将来バンチ数を 2 倍に増強することを想定して設計される。ビーム電流が 2 倍になると、陽電子ダンピングリングで電子雲による不安定性（electron cloud instability）が問題になる可能性がある。そのため、トンネルはリングを 3 階

誤差は 0.15mm とされている[1]（ただし Return
Line での実際の許容値はこれより緩いと思われる）。この程度の誤差の中でエミッタンス増大を小さくするため、”kick minimization” と呼ばれる軌道補正の方法が適用される。このため、ほぼ全ての 4 極磁石の直近に軌道補正用 2 極磁石とビーム位置モニターが取り付けられ、誤差によるビームの蹴り角を全体として小さくするように（軌道 が 滑 らか に な るよ うに ） 調 整が 行 わ れる 。
（Appendix 参照）

２－ 3

設置誤差などの時間的に変化しない誤差に加え

電子主線形加速器は長さ 5.49 km, 陽電子主線形て、変動する誤差もある。ダンピングリングから加速器は 5.37 km で、其々3666 台と 3588 台のの取り出しキッカーの強度の変動や長い Return

空洞がある。電子ビームは加速の後、陽電子生成

Line での磁場の変動（4 極磁石の振動、何らかののためのアンジュレータを通過してエネルギー

変動する漏れ磁場など）による軌道変動はが下がるのでその分長い。空洞全てが設計電場

turnaround での feedforward により各バンチ毎（31.5MV/m）で運転できればビームエネルギーはに補正され、下流には影響を与えない。しかし、設計値 125GeV を越える。また、電子・陽電子主軌道の変動が大きいと turnaround の部分でのエ

線形加速器其々の最上流部に約 300m の予備のス

ミッタンス増大につながるので、上流での変動もペースがあり、ここに加速空洞を追加設置するこ

ある程度抑えておく必要がある。

とにより、ある程度のエネルギーの増強が可能である。
加速空洞は 9 台又は 8 台が 1 台のクライオスタット（クライオモヂュール）に組み込まれる。空洞
8 台が組み込まれるクライオモヂュールには 4 極
磁石、軌道補正のための 2 極磁石、ビーム位置モ
ニターなどが組み込まれる。ビーム光学的には 4極磁石１台、空洞 26 台からなる 3 台のクライオ
モヂュールが 1/2 FODO セルを作る単位となる。

Fig. 4 Turnaround で の バ ン チ 毎 の orbit
feedforward

一方、高周波の供給・制御では、1 台のクライス
トロンから高周波が供給される 39 台の空洞 (9/2
クライオモヂュール) が 1 単位 (RF unit)となる。

2.5. 主線形加速器（Main Linac）（4 RF unit が 3 FODO セルに対応する）

Return line, スピン回転とバンチ長圧縮を経たビームは、主線形加速器で最終的なエネルギーまで加速される。
長い距離にわたって超伝導空洞に液体ヘリウムを供給するための技術的な理由から、主線形加速器のクライオモジュール（に沿ったヘリウム供給ライン）は、水平（重力に垂直）に設置される。
つまり、主線形加速器は地球の表面に沿った曲線

Fig. 5 クライオモヂュール。下図は 8 空洞タイプのモヂュールで、中央に 4 極磁石などが組み込まれる。上図の 9 空洞タイプでは中央にも空洞がある。

になる。この曲がりは滑らかで緩やかなので、ビームダイナミクスの観点からは問題にならないと考えられる。
主線形加速器のビーム光学設計は、単純な FODO
であり、4 極磁石間の距離は約 39 m(FODO セル
長 78 m), FODO セル当たりの位相の進みは水平方向 75 度、垂直方向 65 度で、主線形加速器全体にわたってほぼ一定である（したがって、4 極磁石の強度はビームエネルギーに比例して下流ほど強くなっていく）。

Fig. 6 主線形加速器の１FODO セル。
加速空洞内の電場は、供給される高周波による電場とビーム自身が作る電場（wakefield）の和である。バンチの後方の粒子はバンチ前方の粒子による（短距離の）wakefield の影響を受けてエネル
ギーが低下する。エネルギーの拡がりをなるべく

２－ 4小さくするため、バンチの中心が高周波の加速のできる。しかし、ビームにはエネルギーの拡がりピークから 5 度程度位相のずれたところに来るよがあるのでその角度変化は同じではない。局所的うにする。結果としてエネルギーの広がりの絶対には角度変化は単純にエネルギーにほぼ反比例

値は主線形加速器の中ではあまり増加しない。加するが、その下流の 4 極磁石全てでビームの位置

速があるために相対的なエネルギーの広がりはがエネルギーに依存することになる。その結果、減少する。

下流の 4 極磁石での角度変化はエネルギーに非線

Fig. 7 に加速電場と wakefield による減速電場、形の依存性を持ち、これは最後に補正することが合計の電場を示した。Wakefield の傾き(𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑)

極めて困難である（できない）。これが dispersive

はほぼバンチの線電荷密度に比例するので、これeffect によるエミッタンスの増大となる。これをを打ち消すための RF のピークからの位相のずれ小さく抑えるには、主線形加速器のビームライン(off-crest phase) は大雑把にはバンチ電荷に比例のあらゆる場所で誤差による軌道の角度変化をしバンチ長に反比例する。この位相が大きくなる

小さくしておく必要がある（全体にわたってビーと、ピーク電圧に対して実際の加速電圧が低くな

ム軌道をなめらかにする）。これは、dispersion（軌り、より多くの空洞が必要になり、コストの増大

道のエネルギー依存の一次の係数）を全ての 4 極につながる。

磁石の位置で直接測定（上流の RF を変更してビームエネルギーを変化させ、4 極磁石とセットになっているビーム位置モニターにより測定）して、dispersion が小さくなるように（設計値に近くなるように）軌道を補正（4 極磁石の隣の軌道補正用の 2 極磁石を使用）することで可能になる。
主線系加速器での wakefield はほとんどが加速空洞による。荷電粒子が空洞（ほぼ軸対象の構造物）の中心からずれた位置を通ると、ずれた方向に後続の粒子を蹴るような電磁場が励起される。このため、バンチの後方の粒子の軌道が変化してエミFig. 7 Energy gain from RF field, energy loss due
to wakefield and total energy gain per unit length.
主線形加速器でビームの低エミッタンスを保つことは重要である。垂直方向のエミッタンスは水
平方向のエミッタンスの 1/100 よりも小さいので、垂直方向の低エミッタンスを保存することが特に問題となる。ビームの横方向のエミッタンスを増大させてしまう要因にはッタンスが増大する（その後の軌道が、ビーム軸方向の相対的な位置に依存する）。これを抑えるにはビームが加速空洞の中心を通るようにすればよいが、そのためには精度よく空洞と 4 極磁石
を設計通りの位置に設置しておく必要がある。
（ビームの軌道は 4 極磁石の設置位置に依存する
ので、空洞と 4 極磁石の両方が設計通りに置かれる必要がある。
）
Dispersive effect, wakefield effect 両方を計算に入れた検討により、主線形加速器での許容設置誤 エネルギーに依存した軌道のずれ(dispersive
effect) 横方向の wakefield

差（標準偏差）は約 0.3mm とされている（詳しい
許容値の定義と数値については参考文献[1]を参
照）。

がある。
（詳しい議論は参考文献[3]を参照）
4 極磁石の設置誤差や加速空洞の傾きなどがあると、その場所でビームが蹴られて軌道角度が変化

加速空洞には加速 RF より高い周波数の高次の共振モード（HOM, Higher Order Mode）があり、する。ビームの中心軌道は最後に補正することが２－ 5

バンチの通過によって励起されて後続のバンチ

4 極磁石での軌道角度変化は磁場中心と軌道のずに影響を与える。この効果を抑えるためにはれに比例するので、4 極磁石の位置変動は軌道変 重要な HOM の周波数が空洞毎にばらつく

動を引き起こす。軌道は補正後にも完璧に 4 極磁

 重要な HOM の減衰が速い（Q 値が小さい）石の中心を通っているわけではなく、ある程度のことが必要である

ずれがあるので、4 極磁石の強度が変動すれば軌周波数がばらつくことによって空洞毎に後続バ

道が変動する。加速空洞の傾きがあれば横方向にンチを蹴る方向が変わり、相殺されることが期待

粒子を蹴るので、傾きが変動すれば軌道も変動すできる。必要な周波数のばらつき幅はバンチ間隔る。また、傾きのある空洞の電場が変化すれば、の逆数程度であるが、これは空洞毎の形状の微妙

やはり軌道も変化する。

な差によって自然に生じると考えられている。
損失が無く、何もしなければ減衰は非常に遅い。

Table 3 Tolerances of dynamic errors in Main
Linac (in vertical direction, root mean square)

HOM を早く減衰させるため、各空洞直近のビー

4 極磁石振動（位置変動）

ムパイプに HOM coupler と呼ばれる HOM の電~100 nm

4 極・軌道補正磁石強度変動

0.01%

磁場を外に取り出すための構造が取り付けられ空洞の傾きの変動

3 radる。ここから加速モードの電磁場が抜けて行って空洞電場の変動

1%は困るので加速周波数は通過させないようなフ（空洞の設置誤差 0.3 mrad）

空洞は超伝導なので HOM も空洞壁ではほとんど

ィルターになっている。また、励起される重要なHOM 全てを取り出すため、各空洞の前後に角度を変えて２個取り付けられる。

其々の許容誤差を Table 3 に示す。
ここで、空洞電場の変動の許容値は、空洞毎の変動に対するものであることを注意しておく。空洞の加速電場は入力 RF をコントロールすることで調整できる。先に述べたように、1 台の RF 源からは 39 台の空洞に RF が供給されるので、エネ
ルギーを安定させるだけならば、39 台の空洞の電場の合計を一定にするように調整すればよい。

Fig. 8 HOM coupler [1]以上では、時間的に変化しないような誤差による影響について述べたが、ビームの軌道が変動する
こ と で も問 題 が 生じ る可 能 性 があ る 。 先に 、
turnaround での feedforward によってその上流に起因する軌道変動を抑制すると述べたが、主線形加速器内での原因によっても軌道の変動が起きる。軌道変化は粒子を横方向（水平・垂直方向）に蹴る電磁場の変化によって起こるが、その主な原因は、
 4 極磁石の機械的な振動（横方向の位置の変動）
 4 極磁石と軌道補正磁石の磁場変動

Fig. 9 加速空洞の傾きと電圧変動による横方向の軌道変化（複数の空洞の電圧の和のみを一定にする場合）。これを抑えるため、個々の空洞の電圧を調整する必要がある。

 加速空洞の機械的な振動（傾きの変化）

しかし、上に述べたような横方向の軌道を安定さ 加速電場の変動（傾いた空洞の）せるためには、空洞毎に電場を一定にするようにである。

調整する必要がある。設置誤差による傾きが空洞

２－ 6

毎にバラバラであるために合計の電場が一定でも横方向の蹴り角は変動してしまうからである。
運転時の加速電場は空洞性能によって異なるため、各空洞の電場をビームパルス全体で一定にするためには、入力 RF をコントロールするだけでなく、入力カプラーの結合度（𝑄𝑄𝐿𝐿 , Loaded Q）を

2.7. BDS（Beam Delivery System）
2.7.1. コリメーターシステム
加速されたビームは最終収束系に入る前にコリ

空洞毎にあらかじめ調整しておく、といったややメータシステムを通りビームの中心から遠く離複雑な調整が必要になる。[4]れた粒子 (halo) が取り除かれる。halo は、ビー

これらの変動要因によって、主線形加速器の終端

ム粒子がビームパイプ内の残留ガスによって散での垂直方向のビーム軌道の変動はビームサイ

乱されることなどで生じるが、その正確な量や分ズの 2 倍程度になると予測されるが、この変動に布を予測することは難しい。最終収束ビームライ

よる主線形加速器内でのエミッタンスの増大はンにビーム halo が残っていると、(1) halo 粒子が小さい（ビーム光学上、収束力が小さいことによビームパイプ・磁石などに当たることによって 2る）。ただし、この軌道変動が最終収束系にまで持次粒子が発生し、 (2)halo 粒子が 4 極磁石（特にち込まれるとエミッタンスが増大してしまう（収衝突点前の最後の 2 台）の磁場で曲げられること

束が極めて強いところがあるので）。そのため、主によりシンクロトロン放射が発生する。これらの線形加速器の直後にはバンチ毎に軌道補正を行

粒子は検出器に入って物理実験の邪魔をするのう高速の feedback が必要である。軌道の変動はで取り除く必要がある。

バンチ間隔（~500ns）の間では極めて小さいと考

主線形加速器の後の通常のビームラインではビえられるので、前のバンチの軌道の情報から後続ームの大きさは非常に小さい(1~10 𝜇𝜇m程度)ののバンチを補正することで軌道の安定化が可能

で、コリメータは特別にビームサイズを大きくした場所を作って設置する。

である。
2.6. 陽電子源のためのアンジュレーター
主線形加速器で加速された電子ビームは、陽電子源ための光子を発生させるヘリカルアンジュレーターを通る。ヘリカルアンジュレーターはビー
ムパイプに沿って螺旋状に巻かれた 2 本の超伝導のコイルからなる。ここで電子が螺旋運動をする
ことで放出された光子が陽電子生成に使われる。
前方に出た光子は偏向するので、これによって生Fig. 10 BDS optics from ILC-TDR [1]

成される陽電子も偏極を持つ。
光子の放出により電子ビームはエネルギーが低下する（3GeV 程度）ので、電子の主線形加速器
は陽電子側より長く、加速空洞が多い。エネルギ

Fig. 10 に ILC-TDR に載っている BDS の光学設計が示されているが、「betatron collimation」と記されているベータ関数が大きい（従ってビームーの拡がりも増加するのでビームの質がやや劣

サイズが大きい）場所に横方向のずれ(betatron

化することは避けられない。しかし、軌道の調整

振動)が大きい粒子を取り除くコリメータが置かにより横方向のエミッタンス増大はほとんどなれる。これらは、垂直方向・水平方向のそれぞれくすことができる。

について振動の位相が 90°異なる場所に 2 か所

陽電子源については他の講義で説明されるのでこれ以上の内容は省略する。

ずつ設けられる（従って、残った粒子の (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ′ )位相空間と (𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 ′ ) 位相空間上での分布は長方２－ 7形となる）。
「energy collimation」と記された、水受け止められるが、spoiler での散乱により粒子が平方向の dispersion の大きな場所には、
エネルギ

広がってエネルギーの密度は小さく、absorber のーのずれた粒子を取り除くためのコリメータが破壊も防ぐことができる。

置かれる。

ビームの軌道やエネルギーは常に BDS の入り口

コリメータには加速器を保護する役割もある。

でモニターされ、異常がある場合には (1) ダンピ

BDS は最高ビームエネルギー500GeV にまで対ングリングからのビーム取り出しが止められ、(2)

応できるように設計されているが、このビームエ

既にダンピングリングから取り出されたビームネルギーでの 1 バンチ（2 × 10 個の電子・陽電は bunch compressor 出口及び BDS 入り口の高10子）は約 1600 J のエネルギーを持つ。従って、ビ速キッカー電磁石によってビームダンプに捨てームの中心の軌道や中心のエネルギーが何らかられる。コリメータは 2 バンチ分のビームが全ての原因でずれると、加速器を構成する機器に当た当たっても耐えられるように設計される。

って壊してしまう可能性がある。そのようなビー

コリメータ部分は開口部が狭くなっている（1~2

ムをコリメータで止めるわけだが、コリメータ自mm）が、開口部が急激に変化するとビームによ

身も熱で融けたり、機械的な衝撃で破壊されたりる電磁場（wakefield）が励起されて軌道変動の増する心配がある。これを防ぐために、其々のコリ

大、エミッタンスの増大を引き起こす。そのため、メータの場所ではビームサイズを水平方向（ベーspoiler と absorber の前後は長いテーパー構造

タ関数または dispersion）と垂直方向（ベータ関になっている。

数）の両方とも大きくするようにしている。さらに、各コリメータは薄い spoiler とその下流の厚い absorber の組になっている（Fig. 11）。

2.7.2. 最終収束
コリメータ領域を通過したビームは、最終収束系(Final Focus System) で極小サイズ（水平方向
500nm, 垂直方向 8nm）に収束される。収束は、基本的には衝突点直前の 2 台の強力な 4 極磁石によるが、ここで「色収差」が問題になる。光をレンズで収束させる場合に波長の違いによって焦点距離がずれるのが色収差だが、加速器のビームの場合もビーム内の粒子の間のエネルギーの違Fig. 11 コリメータは spoiler と absorber の組になっている。

いによって焦点の位置がずれることを「色収差」(chromatic aberration)と呼んでいる。この収差は、横方向の振動（ベータトロン振動）の位相の進みがエネルギーに依存するため（chromaticity）とみることもできる。この収差を補正しないと衝
突点でのビームサイズは設計値の 10 倍ほどになってしまう。円形加速器での chromaticity 補正

Fig. 12 Spoiler の 概 念 図 。 中 心 に 重 い 金 属 のspoiler（銅?）があり、前後は軽い導体（ベリリウム？）の長いテーパーになっている。

と同様に、リニアコライダーの最終収束でも 6 極
磁石を水平方向の dispersion のある所に置くことで補正される（Appendix）。このため、最終収

Spoiler を薄くすることで、ビームのコアが直接当

束ビームラインでは偏向磁石よって軌道を曲げたっても大部分のエネルギーは電磁シャワーでChromatic aberration の補正は、最終収束ビーム発生する 2 次粒子として下流に抜け、spoiler が破
壊されることを防ぐ。
これらの粒子は absorber でて dispersion を作る。
ライン全体にわたって各ビーム粒子のエネルギ

２－ 8

り、途中で強い磁場を通過するとシンクロトロン

積もりとして、交差角(𝜃𝜃), バンチ長(𝜎𝜎𝑧𝑧 ), バンチサ

放射によって各粒子のエネルギーが乱雑に変化

ミノシティは低下するが、実際には両辺は同程度してしまい、補正できなくなってしまう。そのたである）。そこで、crab crossing という方法が採め、最終収束ビームラインの偏向磁石の磁場は弱られる。Fig. 13 のように、衝突点の前でバンチのく、軌道を緩やかに曲げるために長い距離が必要

前方と後方を逆方向に蹴ることにより衝突点でになっている。さらに、この間のビームパイプの（重心系で見て）正面衝突させることができる。バ

内面の電気抵抗（resistive wall impedance）が大ンチの前後を逆方向に蹴るために、2.6GHz（主線

きいと wakefield によりエネルギー損失が起こ

形加速器の 2 倍の周波数）の横方向の共振モード

り（ビームバンチの前方と後方でエネルギー変化（dipole mode）を持つ超伝導の「クラブ空洞 (crabが異なる）、やはり色収差の補正がうまくいかな

cavity)」が使われる。

ーが（ほとんど）変わらない場合にのみ有効であくなる。そのためビームパイプは（ステンレスなイズ(𝜎𝜎𝑥𝑥∗ ) の間に 𝜃𝜃𝜎𝜎𝑧𝑧 ≪ 𝜎𝜎𝑥𝑥∗ の関係がなければル

どではなく）アルミ製又はステンレスに銅をコー

2.7.3. 軌道の高速フィードバック

ティングしたものが使われる。

衝突点でのビームは極めて小さいので、少しビー

なお、ILC では「local chromaticity correction」

ム軌道がずれただけでルミノシティが低下してと呼ばれる色収差補正方法（衝突点直前の 2 台のしまう。特に垂直方向には 2 つのビームの位置を強力な 4 極磁石の其々の位置に６極磁石を置く方

2nm 程度の精度で合わせなければならない。ビー法）が採用されているが、収束に関するより詳し

ムライン各所でフィードバックによる軌道の補い内容は「ナノビーム」の講義で説明されるはず正が行われるが、最終的に衝突点での高速のフィなのでここでは説明を省略する。

ードバックによってビーム位置の安定化が行わ

衝突点で電子ビームと陽電子ビームの設計軌道れる。ビーム軌道の変動のほとんどはビームライ

は水平面上にあるが、14 mrad の角度（交差角,

ン上の磁石（その中でも最後の 2 台の 4 極磁石のcrossing angle）を持っている。完全に正面衝突で影響が大きい）の位置の変動（地面の揺れ、機器

なく角度を持たせるのは、交差後のビームを安全の振動等）や電気的な変動によるものだが、これに捨てる（検出器の余計な信号を減らす）ためではバンチの間隔 (約 500ns)に比べるとゆっくりある。

と変動する。つまり、あるバンチと次に来るバンチの軌道はほぼ同じと考えてよく、前のバンチの軌道を測定してずれの分を次のバンチで補正することによって位置を安定化できる。バンチ間隔
が、(1) 軌道変動に対しては短いが (2)フィードバ
ックのための信号処理に要する時間よりも長いということが重要である。単純に考えると、衝突点での位置変動を 2nm 以内にするためには 2nmの分解能を持つビーム位置モニターが必要になる（非常に難しい）。しかし、衝突点での高速のフィードバックでは、バンチの位置を直接測定する

Fig. 13 （上）交差角のためにそのままではルミノ
シティが低下する。
（下）crab crossing によるルミノシティ回復しかし、そのままでは、バンチ全体が重ならない
ためにルミノシティが減少してしまう（単純な見のではなく、交差後の相手のバンチの位置を測定する。バンチが交差するとき、相手のビームが作る電磁場の力（beam-beam force）によって各粒子が蹴られるが、バンチ位置にずれがあると、そのずれの大きさに依存してバンチの重心の軌道

２－ 9角度が変化する。従って、交差後の相手のバンチ

バンチは Fig. 15 のように、加速空洞とその下流の重心位置を測定することで 2 つのバンチの相対のシケインを使って圧縮される。

的な位置のずれが分かる。その情報をもとに次のバンチの軌道を補正する。交差するバンチが垂直方向に 1nm 程度ずれた場合の角度変化は 10
𝜇𝜇rad 程度になり、衝突点から数ｍの場所にビーム

位置モニターを置くとすると、要求される分解能は数十𝜇𝜇m程度になる（全く問題ないと思われる）。

Fig. 15 Bunch Compressor の構成。加速空洞と
シケイン。
すなわち、
 バンチ中心と電圧ピークの位相をずらした加速空洞を通過させ、ビーム軸方向の位置に依存したエネルギーの勾配を作る（バンチ前方
よりも後方のエネルギーを高くする）

Fig. 14
Schematic of IP intra-train feedback
system. The deflection of the outgoing beam isregistered in a BPM and a correcting kick applied tothe incoming other beam. [1] シケインを通過させ、ビーム軌道長がエネルギーに依存する（高エネルギーの粒子ほど軌道長が短くなる）ようにする。
これを 𝑧𝑧 − 𝛿𝛿𝐸𝐸 面（𝑧𝑧はビーム軸方向の位置, 𝛿𝛿𝐸𝐸 はエネルギーの相対的な差）で模式的に表したのが2.8. ビームダンプ

Fig. 16 である。𝑧𝑧 − 𝛿𝛿𝐸𝐸 の拡がりを楕円で表してほとんどのビーム粒子は興味のある反応を起こいる。バンチ長圧縮によりバンチ長は短くなるがさず、衝突点を通り抜けていく。相手のビームがエネルギーの拡がりは大きくなり、この過程で楕作る電磁場の力（beam-beam force）によってエ円の面積は変化しない。

ネルギーや角度の拡がりが大きくなる。粒子が衝
突点付近のビームパイプ等に当たってしまうと測定器に余計な信号を生じてしまうので、広がったビームをうまく輸送してビームダンプに捨てなくてはならない。捨てられるビームのパワーは非常に大きいので、ビームダンプには特殊な設計が必要になる。ビームダンプについては他の講義で説明されるのでここでは省略する。
2.9. バンチ長圧縮 (Bunch Compressor)
ダンピングリングでは、バンチ長は 6 ㎜ （）である。バンチ長が線形加速器の RF 波長に比べて十分短くないと位置に依存して加速電圧に差ができてしまう。また、後で議論するように、ルミ
ノシティを大きくするためには衝突点でのバンチ長は短い方が良い。そのため、主線形加速器に入射する前に、バンチ長を 0.3mm まで縮める。

Fig. 16 Bunch Compressor の原理。バンチ内でビーム軸方向の位置に依存したエネルギーの勾配を作り（左）、下流でエネルギーに依存した軌道
長の差を作る（右）ことにより、バンチ長を短縮させる。
ILC の基本パラメータでは、バンチ長はダンピン
グリングの 6 ㎜ から主線形加速器での 0.3 ㎜まで圧縮させる必要がある。ダンピングリングからのビームはエネルギー5GeV でエネルギーの拡がりが約 0.1% (5MeV, 標準偏差)だが、バンチ長を 1/20 にするためには単純な計算でエネルギーの拡がりは 100MeV となり 2% (100MeV/5GeV)

２－ 10

の相対的なエネルギーの拡がりとなる。しかし、そのような大きなエネルギーの拡がりはビーム

Fig. 18 Energy Compressor の構成のコントロールを難しくする。そのため ILC の
Bunch Compressor は 2 段階になっていて、第一段階で 0.9 mm 程度まで圧縮し、第 2 段階ではビームを 5GeV から 15GeV まで加速することと合わせてバンチを目標値まで圧縮する。エネルギーを 3 倍にすることで、相対的なエネルギーの拡がりを 1/3 にしてコントロールを容易にすることができる。２段階になっているため、バンチ長の圧縮にはある程度自由度があり、基本パラメータとFig. 19 Energy Compress の原理は異なるバンチ長にも対応できる。例えば、バン

Bunch Compressor と同様に加速空洞とシケイン

チ長を半分の 0.15 mm にすることも可能であで構成されるが、順番が逆で、まずシケインによる。
（ただし、ビーム不安定性を抑えるためなどのってエネルギーに依存して粒子の位置を変化さ

理由で、その場合にはバンチ電荷を減らす必要がせ（エネルギーの高い粒子を進ませてエネルギーある。
）の低い粒子を遅らせる）その下流の加速空洞での𝑧𝑧 − 𝛿𝛿𝐸𝐸 分布の変化の様子の例を Fig. 17 に示す。非線形の効果もあり、単純な楕円形にはならない。
 

位相を調整することによりバンチ前方を減速しバンチ後方を加速する。
2.11. スピン（偏極）の操作
縦偏極したビームを衝突させることができるのは円形コライダーと比べた場合のリニアコライ
ダーの重要な利点の一つである。
粒子源でのビームは縦方向に偏極しており（ただし電子駆動方式の陽電子源では偏極はない）、最終的に衝突点では（基本的に）縦方向に偏極した

Fig. 17 Bunch Compressor 第 1 段（左）と第 2 段（右）での z-E 分布の変化の例。鎖線：入口、点線：
加速空洞の後、実線：出口。
2.10. エネルギー圧縮 (Energy Compressor)
ダンピングリングの縦方向（エネルギーとビーム

ビームを衝突させるが、ビームライン全体で縦偏極しているというわけではなく、横方向の偏極ビームの区間がある。
Appendix にあるように、ビーム軌道が角度 𝜃𝜃 曲
げられると偏極の向きが 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 回転する（𝐺𝐺 は電子の異常磁気モーメント, 𝛾𝛾 はローレンツファク

軸方向の位置）の acceptance は (±3.75MeV) ×ター）。この回転角度はエネルギーに比例してい(±3.5 cm)と されて いるが [1]、こ れ を Boosterてビームにはエネルギーの拡がりがあるので、ダ

Linac から出てくるビームパラメータと比べる

ンピングリングでは水平面（軌道面）内の偏極のと、エネルギーの拡がりに対しては厳しく（特に向きは周回中にバラバラになってしまう。すなわ

陽電子のエネルギー幅が大きい）、バンチ長に対ち、偏極度を保持するには、偏極の向きはリング

してはかなり緩い。そのため Booster Linac の後内では垂直方向でなければならない。そのために Energy Compressor を 設 置 す る 。 こ れ はに、ダンピングリングの上流と下流に其々 Spin

Bunch Compressor とは逆に、バンチ長を長くしてエネルギーの幅を圧縮するものである。

Rotator が置かれ、スピンの向きをコントロール
する。

２－ 11

2.11.1. リングの上流の Spin Rotator

2.11.2. リングの下流の Spin Rotator

縦方向の偏極から垂直方向の偏極への変換は以

横方向の偏極から縦方向の偏極への変換は、基本

下のような 2 段階で行う。
（Appendix 参照）

的に、上流の Spin Rotator と逆の solenoid – ビーム軌道を 23.7°曲げることで偏極の向き

bend の 2 段階で行うことができる。

を 270°回転させ水平方向（横方向）にする

必要なソレノイドの 磁場×長さ がビームエネ

 ソレノイド磁場を通過させ水平方向から垂直

ルギーに比例するので、Spin Rotator はダンピン
グリングのエネルギーと同じ 5GeV の段階で行方向に 90°回転させる
23.7°という角度は 5 GeV の電子・陽電子のスピう。また、Spin Rotator の下流でビームの進行方

ンを 270°回転させる軌道の角度変化(𝜃𝜃) で、向が変化するとスピンの方向も変化する（変化の𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 270°

(2 − 1)から決まる（もちろん軌道を 7.9°曲げて偏極の方向がエネルギーに依存する）ので、Spin Rotatorの出口でのビームの方向は衝突点での方向になるべく近いことが望ましい。従って、リングの下向きを 90°回転させてもよいのだが、Booster

流の Spin Rotator は Turnaround の直後に設置

Linac からダンピングリングの間のビームライされる。

ンの角度を考慮すると 23.7°の方が都合が良い。
なお、必要な軌道角変化はエネルギーに反比例す

ダンピングリングの下流の Spin Rotator は単に
順番が逆というだけでなく、以下の 2 つの点でダる）。

ンピングリングの上流の Spin Rotator と異なっ

ソレノイド磁場（ビーム軸方向の磁場）で 5 GeVている。

のビームの偏極を水平方向から 90°回転させて垂直方向にするためには、
Δ𝜙𝜙 =

𝜋𝜋 𝑒𝑒
= (1 + 𝐺𝐺) ∫ 𝐵𝐵∥ 𝑑𝑑𝑑𝑑
2 𝑝𝑝

(2 − 2)から（Appendix 参照）、磁場の積分 26.2 T・m が必要になる（この値はビームエネルギーに比例する）。ILC では、磁場強度 3.2 T, 長さ 8.32 m のFig. 21 ダンピングの下流の Spin Rotator の構成

超伝導ソレノイドを使用することになっている。

ダンピングリング下流のビームは低エミッタンスであり、特に垂直方向のエミッタンスが水平方向の 1/200 程度になっている。ソレノイド磁場中をビームが通過すると水平方向(x)と垂直方向(y)の運動の間のカップリングが生じ、垂直方向のエ
ミッタンスが増大してしまうので、何らかの対策が必要である。カップリングを消すために、同じ強さと長さのソレノイドが 2 台組で設置され、そFig. 20 ダンピングリングの上流の Spin Rotatorの構成。縦偏極ビームを垂直方向に偏極したビームにする。偏向磁石で垂直方向を軸として 270°
回転させた後、ソレノイド磁石でビーム方向を軸として 90°回転させる。

の間にビーム光学が x 方向は I, y 方向は -I にな
るようなビームラインを挿入する（Appendix 参照）。
さらに、ダンピングリングの上流と異なり
solenoid - bend の２段階ではなく solenoid pair –bend – solenoid pair という 3 段階になっている。
bend での偏極の回転は 90°に固定される（軌道２－ 12

の曲がり 7.9°）が、前後の solenoid 磁場を変更

250 GeV では損失 120 GeV となり、非現実的なすることにより、最終的な偏極方向を任意に選ぶものとなる。

ことができるように設計されている。

また、シンクロトロン放射はエネルギー損失だけ
でなく、ビームのエミッタンスの増大（放射励起

3. なぜ「リニア」なのかAppendix 参照）ももたらす。

これまでの衝突型加速器はほとんどが円形（周回以上のように、電子・陽電子では、エネルギーが型）である（唯一の例外が SLC）が、ILC は線形

高くなると円形よりも線形のコライダーが有利である。ここでは、なぜ円形ではなく直線の加速となる。

器なのか、説明を試みる。

（ 放射 による エネル ギー損 失は gamma factor

3.1. ビームエネルギー

1840 倍重いので、同じビームエネルギーに対して周回型加速器の主な利点は、放射による損失は約 10−13倍であり、現存する加(𝛾𝛾 ≡ 𝐸𝐸/𝑚𝑚𝑐𝑐 2）の 4 乗に比例する。陽子は電子の約 同じ加速装置を何度も通過させて加速できる（「リニア」では一回しか使えないので多数の速器ではほぼ無視できる。現在の陽子円形加速器のエネルギーの限界は軌道を曲げるための磁場強度で決まっている。）

加速装置が必要） 同じビームを長時間使用可能（「リニア」では一回交差させたビームは捨てられるので効率

3.2. エネルギーのアップグレード

が悪い）

さらに、リニアコライダーでは、両端にビームラなどがある。

インを延長することで、既存の施設をほとんど無しかし、荷電粒子の軌道が曲げられると放射光を駄にすることなくエネルギーを上げていくこと出して（シンクロトロン放射）エネルギーを失っができる。ILC は重心エネルギー250 GeV で出発てしまう。加速器の軌道半径を𝜌𝜌, ビームエネルギする計画だが、主線形加速器を上流に追加していーを𝐸𝐸, 粒子の質量を𝑚𝑚, エネルギーファクター

くことでエネルギーを 1 TeV （ビームエネルギー𝛾𝛾 ≡ 𝐸𝐸/𝑚𝑚𝑐𝑐 2 とすると、一周当たりの放射によるエ

どの他の部分が設計されている。

ネルギー損失は、

𝑒𝑒 2 𝛾𝛾 4𝑈𝑈 =3𝜖𝜖0 𝜌𝜌𝑈𝑈[eV] ≈ 6 × 10−9

(3 − 1)𝛾𝛾 4𝜌𝜌[m](3 − 2)500 GeV）まで上げられるように、最終収束系な
以上のような理由で、エネルギーフロンティアの電子・陽電子加速器は線形とするのが自然な選択だと思われる。
3.3. ルミノシティ
周回型のコライダーでは同じバンチが何度も衝のように計算できる。このエネルギーは周回毎に突の機会を持つがリニアコライダーでは 1 回のみ補ってやらなければならない。ビームエネルギーであり、交差頻度を大きくしてルミノシティを稼を上げるためには、同じサイズの円形加速器ではぐのが難しい。

必要な電力がエネルギーの 4 乗で増大する。逆に電力が決まっているとすると、加速器の曲率半径をエネルギーの 4 乗に比例して大きくしなければそこで、衝突点でのビームのサイズを極力小さくすることで、1 回当たりのルミノシティを大きくする。2 つのバンチが交差してもほとんどの粒子ならない。これを考えると、先に挙げた利点はビはすり抜けていくが、各ビーム粒子は相手のバンームエネルギーが高くなるに従って成り立たな

チの作る強力な電磁場（beam-beam force）によくなっていくことが分かる。例えば、曲率半径がって曲げられ、さらに制動放射 (beamstrahlung)

3 km だとすると、電子のビームエネルギー125
GeV では一周当たりの損失 7 GeV, エネルギーを出し、角度とエネルギーの拡がりが増大する。

２－ 13

ルミノシティを大きくするには交差点でのビーとなる。
（ただし、実際にはビームが交差する間にムのサイズを小さくしたいが、そうするとビーム形状が変化するので、この式は近似である。
）従っ∗て、ルミノシティを大きくするには、𝜎𝜎𝑥𝑥 と𝜎𝜎𝑦𝑦∗ の積の作る電磁場が強くなる。周回型加速器では、交差後のビームの質の劣化やビーム粒子損失につ（ビームの横方向の断面積に比例）を小さくする

ながるため、ビームサイズを極端に小さくするこ必要がある。

とができず、交差一回当たりのルミノシティをあまり大きくすることができない。（SuperKEKB

4.2. ビームの最終収束、砂時計効果で採用されている「ナノビームスキーム」のよう荷電粒子のビームを収束させるのに 4 極磁石を使にルミノシティを上げる工夫はあるが、原理的なう。
（Appendix 参照）

問題が無くなっているわけではない。
）

1 台の 4 極磁石では、水平・垂直方向のどちらか

一方、リニアコライダーでは、交差後のビームは一 方 し か収 束 で きな いの で 、 衝突 点 手 前に は捨ててしまうので、その質があまり問題にならな「final doublet」と呼ばれる 2 台の 4 極磁石を組い。そのため交差点でのビームサイズを小さくしみ合わせることで、Fig. 22 のように両方向ともにてルミノシティを大きくすることが可能なので収束される。

ある。

水平方向

4. 衝突点でのビームパラメータ
4.1. 極小ビーム
ルミノシティはコライダーの性能を表す重要な

垂直方向

パラメータである。単位時間にある物理現象（これを観測することがコライダー実験の目的である）が起こる回数は、ルミノシティ（𝐿𝐿）とその現象の衝突断面積（𝜎𝜎）の積で表される。
event rate = 𝐿𝐿𝐿𝐿

(4 − 1)

速度が各々 𝑣𝑣⃗1 , 𝑣𝑣⃗2 のビーム１とビーム２を衝突させる場合、位置 𝑥𝑥⃗ での各々のビーム粒子の密度を𝜌𝜌1 (𝑥𝑥⃗), 𝜌𝜌2 (𝑥𝑥⃗) とすると、ある瞬間のルミノシ

Fig. 22 2 台の 4 極磁石によるビームの最終収束衝突点付近では横方向の磁場が無く、各粒子の軌道は直線である。1 方向のみ考えるとビームの様
子は Fig. 23 のようになる。

ティは、

𝐿𝐿ins = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 3 𝜌𝜌1 (𝑥𝑥⃗)𝜌𝜌2 (𝑥𝑥⃗)|𝑣𝑣⃗1 − 𝑣𝑣⃗2 |と書くことができる。

(4 − 2)衝突点でのビームの横方向（ビーム軸に垂直な方向, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)）の粒子密度が標準偏差 (𝜎𝜎𝑥𝑥∗ , 𝜎𝜎𝑦𝑦∗ ) を持つ
正規分布の場合、バンチ当たりの粒子数を𝑁𝑁, パ

ル ス 当 た り の バ ン チ 数 を 𝑛𝑛𝑏𝑏 , パ ル ス の 頻 度（repetition rate）を𝑓𝑓rep とする（バンチが単位時間に 𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑓𝑓rep 回交差する）と、平均ルミノシティは
𝐿𝐿 =𝑁𝑁 2 𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑓𝑓rep
 
4𝜋𝜋𝜎𝜎𝑥𝑥∗ 𝜎𝜎𝑦𝑦∗(4 − 3)２－ 14

Fig. 23 衝突点付近の粒子軌道の様子

焦点深度とビームサイズの関係を調べてみる。焦となり、エミッタンスとバンチ長がルミノシティ

点(Focal point)でのビームサイズと軌道角度の拡がりを 𝜎𝜎𝑢𝑢∗ = √〈𝑢𝑢∗2 〉, 𝜎𝜎𝑢𝑢∗′ = √〈𝑢𝑢′2 〉 とする（u は xを制限することが分かる。これを「砂時計効果」

距離 d ずれると、軌道角度のばらつきのためにビ

ILC の衝突点でのビームは水平方向のサイズが垂または y, 〈′〉は全ビーム粒子の平均、𝑢𝑢∗

は焦点での位置, 𝑢𝑢 は軌道角度）。焦点からビーム軸方向に∗ームサイズは（焦点では〈𝑢𝑢 𝑢𝑢′〉 = 0である）と増大するが、

𝜎𝜎𝑢𝑢 = √2𝜎𝜎𝑢𝑢∗となる距離を焦点深度(𝛽𝛽𝑢𝑢∗ )と定義すると
𝛽𝛽𝑢𝑢∗ =

𝜎𝜎𝑢𝑢∗

𝜎𝜎𝑢𝑢′

で、エミッタンスは、なので、𝜀𝜀𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢∗ 𝜎𝜎𝑢𝑢′
𝜎𝜎𝑢𝑢∗ = √𝜀𝜀𝑢𝑢 𝛽𝛽𝑢𝑢∗

4.3. 扁平ビーム（flat beam）
直方向のサイズの 100 倍程度に設計されている。
これは、以下に述べるように、beamstrahlung 等

𝜎𝜎𝑢𝑢 ≡ √〈𝑢𝑢2 〉 = √〈(𝑢𝑢∗ + 𝑢𝑢′ 𝑑𝑑)2〉= √𝜎𝜎𝑢𝑢∗2 + 𝜎𝜎𝑢𝑢∗2′ 𝑑𝑑 2と呼んでいる。

の beam-beam force の悪影響を抑えながらルミ
ノシティを大きくするためである。

(4 − 4)(4 − 5)(4 − 6)(4 − 7)(4 − 8)となり、一定のエミッタンスのビームを小さくす
るには焦点深度を短くしなければならないことが分かる。
バンチはビーム軸方向に有限の長さを持っているので、衝突は焦点の前後の有限の長さで起こる。従って、ルミノシティは焦点の前後のバンチ

ルミノシティを大きくするためにはビームサイ
ズを小さくしたいが、ビームをあまり小さくすると困ることがある。前節で、「交差後のビームは捨ててしまうので、その質があまり問題にならない」と述べたが、beam-beam force はバンチが交差する間働き、衝突する前の粒子もbeamstrahlung によってエネルギーを失ってしまう。これは、決まったエネルギーでの衝突を観測したい場合に問題となる（どの程度まで許されるかは観測したい現象によって異なる）。エネル
ギー損失の平均は𝛿𝛿𝐵𝐵𝐵𝐵 ≡average energy loss
𝑟𝑟𝑒𝑒3 𝑁𝑁 2 𝛾𝛾≈
2 (4 − 10)
beam energy
𝜎𝜎 (𝜎𝜎 ∗ + 𝜎𝜎 ∗ )
𝑧𝑧

𝑥𝑥

𝑦𝑦

と表される（𝑟𝑟𝑒𝑒 ：電子古典半径, 𝛾𝛾: energy factor,

𝜎𝜎𝑧𝑧∗：バンチ長）。従って、beamstrahlung を抑えるためには、𝜎𝜎𝑥𝑥∗ , + 𝜎𝜎𝑦𝑦∗ を大きくすればよい。

ルミノシティは𝜎𝜎𝑥𝑥∗ と 𝜎𝜎𝑦𝑦∗の積に反比例するので、𝜎𝜎𝑥𝑥∗と 𝜎𝜎𝑦𝑦∗ に大きな差をつけるのが良いことが分かる（積を小さく、和を大きくする）。

長の範囲でのビームサイズで決まる。焦点付近のビームは砂時計の括れた部分のような形になり、焦点深度をあまり短くすると前後でのビームサ
イズが大きくなり却ってルミノシティが下がる。
最適な焦点深度はバンチ長程度になるはずである。従って、バンチ長を𝜎𝜎𝑧𝑧 とすると、最適なビー

ムサイズは、

𝜎𝜎𝑢𝑢∗ ≈ √𝜀𝜀𝑢𝑢 𝜎𝜎𝑧𝑧

(4 − 9)Fig. 24 断面の周囲の長い扁平なビームは円筒のビームよりも周囲に作る電場が弱い
こ の こ とは 、 長 いバ ンチ の 表 面の 電 場 強度 を
Fig.24 のように考えると理解できる。密度が一２－ 15定とすると（電荷量は断面積に比例）断面積が同じであれば（ガウスの定理から）表面での電場の強さは周囲の長さに反比例する。
垂直方向のエミッタンスが水平方向のエミッタ
ンスよりも小さいこと（また、アラインメントの精度が良い）などの理由で、𝜎𝜎𝑦𝑦∗ ≪ 𝜎𝜎𝑥𝑥∗ となるよう

4.5. パラメータの柔軟性
ルミノシティの式(4-13)の導出でも見たように、
𝑁𝑁, 𝑛𝑛𝑏𝑏 , 𝜎𝜎𝑥𝑥∗ , 𝜎𝜎𝑦𝑦∗ , 𝜎𝜎𝑧𝑧 , 等のパラメータの間には制限があるが、その制限内ではある程度の自由度がある。𝛿𝛿𝐵𝐵𝐵𝐵 を変えないためには𝑁𝑁 2 /𝜎𝜎𝑧𝑧 𝜎𝜎𝑥𝑥∗ 2 を一定に平な形状となる。

しなければならないが、例えば 𝑁𝑁, 𝜎𝜎𝑧𝑧 , 𝜎𝜎𝑥𝑥∗ を全て

この場合、トをこれらのパラメータの関数として表すことに選ぶ。すなわち、ビームの断面は水平方向に扁といったことは可能である。ルミノシティとコス𝛿𝛿𝐵𝐵𝐵𝐵 ≈𝑟𝑟𝑒𝑒3 𝑁𝑁 2 𝛾𝛾
𝜎𝜎𝑧𝑧 𝜎𝜎𝑥𝑥∗2

ができれば唯一の最適なパラメータの組み合わ(4 − 11)となり、𝛿𝛿𝐵𝐵𝐵𝐵 に上限があるとすると、𝜎𝜎𝑥𝑥∗ の下限が𝑟𝑟𝑒𝑒3 𝑁𝑁 2 𝛾𝛾
𝜎𝜎𝑥𝑥∗ > √𝜎𝜎𝑧𝑧 𝛿𝛿𝐵𝐵𝐵𝐵のように与えられる。

(4 − 12)には全ての条件が事前にわかるわけではないので、本当の最適パラメータは決められない。また、研究の進展に伴い何をどのビームエネルギーで調べるかという物理学の要請が変化すれば最適パラメータは変わるであろう。バンチ圧縮の所でも述べたように、色々な条件に対応できるようにしておくことは重要である。

式(4-3), (4-9) (𝑢𝑢 → 𝑦𝑦), (4-12) をまとめると、ルミ
ノシティの最大値が𝑁𝑁𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑓𝑓rep 𝛿𝛿𝐵𝐵𝐵𝐵𝛿𝛿𝐵𝐵𝐵𝐵
1=
𝐼𝐼̅𝑏𝑏 √
 (4 − 13)
√
3
3
𝜀𝜀
𝜀𝜀𝑦𝑦
𝑦𝑦
4𝜋𝜋√𝑟𝑟𝑒𝑒 𝛾𝛾4𝜋𝜋𝜋𝜋√𝑟𝑟𝑒𝑒 𝛾𝛾で与えられる（𝐼𝐼̅𝑏𝑏 は平均ビーム電流）。ルミノシテ

ィを上げる方法は以下の 3 通りしかないことが分かる。

5. ビームの時間構造とエネルギー効率
ILC のビームの 1 個のバンチは2 × 1010個の電子

又は陽電子からなり、1312 個のバンチが 554 ns

間隔で連なったものが 1 個のビームパルスになる。1 パルスは約 0.73 ms の長さがあり、これが5Hz で運転される。
このようなパラメータはどのように決められた

 平均電流を増やすのだろうか？ 超伝導空洞を用いた線形加速器

 大きな beamstrahlung を許容するは一般的に常伝導のものに比べてパルス長が極 垂直方向のエミッタンスを小さくする
１つ目は、所要電力や設備の容量を増やすことになりコストの増加を意味する。2 つ目は調べたい
物理現象によって制限される。
結局、垂直エミッタンスを小さくすることが、技術的な努力によってルミノシティを大きくする
ほぼ唯一の方法と言える。
従って、ダンピングリングは必須であり、以降のビームラインで様々な誤差を抑えて低エミッタ
ンスを保持することが必要になる。

せを決めることができるであろう。しかし、実際に、ある程度柔軟にパラメータを変えられるよう

4.4. ルミノシティの式

𝐿𝐿 =

小さくし、𝑁𝑁𝑛𝑛𝑏𝑏 を一定にするために 𝑛𝑛𝑏𝑏 を増やす、めて長く、パルス内の平均電流が小さい。これはなぜか？ 空洞壁での RF パワーの損失がほとん
どないことがその本質的な理由であるが、以下にその説明を試みる。
5.1. RF エネルギーの効率
ILC での 1 パルスの空洞電圧の時間変化を簡略化したものは Fig. 25 のようになる。RF パワーを入れ始めてから時間と共に空洞内にエネルギーが蓄積され電圧が上がっていく。パルス内のビー
ムを全て同じ電圧で加速するために、ビームパル

２－ 16

スが来る前に RF パワーを入力し始め、設定電圧

ビーム通過中は入力パワーとビームに与えられになるタイミングでビームが来るようにしておるパワーが等しくなるので、結果として全入力

く。

RF エネルギーのうち、ビームが来る前に入力されたエネルギーの分だけビームに与えられることなく捨てられることになる。
入力パワーが全 RF パルス長にわたって一定の場
合（実際の運転では必ずしもそうではないが、近似的には正しい）、入力パワーを ON してから設
定電圧になるまでの時間(fill time) を𝑇𝑇fill ,ビームFig. 25 空洞電圧の 1 パルスでの時間変化 (𝑻𝑻𝒃𝒃 =𝟐𝟐𝑻𝑻𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 の場合) の様子のパルス長を𝑇𝑇beam とすると、Energy to Beam = 𝑃𝑃in 𝑇𝑇beam
Wasted Energy = 𝑃𝑃in 𝑇𝑇fillであるから、エネルギー効率は
RF Energy Efficiency =𝑇𝑇beam𝑇𝑇fill + 𝑇𝑇beam(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)となる。fill time は他のパラメータから決まり、𝑇𝑇fill = ln2 ×

2𝑄𝑄𝐿𝐿= ln2 × 𝜏𝜏𝜔𝜔

(5 − 5)になる。𝜔𝜔 は RF の角周波数、𝑄𝑄𝐿𝐿 は空洞の loaded

Q （ほぼ入力カップラーの 𝑄𝑄ext に等しい：超伝

導空洞の特徴）であり、𝜏𝜏 = 2𝑄𝑄𝐿𝐿 /𝜔𝜔 は空洞の時定数である。また、𝑄𝑄𝐿𝐿 はビーム通過中の入力パワーとビームに与えられるパワーが等しくなるためには、
Fig. 26 1 パルスでの入力パワー, ビームに与えら れ る パ ワ ー , 反 射 パ ワ ー の 時 間 変 化 (𝑻𝑻𝒃𝒃 =𝟐𝟐𝑻𝑻𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 の場合：実際とは異なる)
ビームパルスの通過中には電圧が一定となるよ

うにパラメータを決めておく。ビームパルスの終
わりと同時に入力 RF も切る。空洞壁でのパワー損失を無視し（超伝導空洞の特徴）、ビーム通過中に空洞からの反射が無いとすると（実際には、反射 が ほ とん ど な いよ うに パ ラ メー タ を 設定 する）、入力パワー(𝑃𝑃in) は加速電圧(𝑉𝑉𝑐𝑐 ) とパルス内の平均ビーム電流の積である。
𝑃𝑃in = 𝑉𝑉𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑏𝑏

𝑉𝑉𝑐𝑐
(5 − 6)(𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝐼𝐼𝑏𝑏
でなければならない。(𝑅𝑅/𝑄𝑄)は空洞の形状で決ま
𝑄𝑄𝐿𝐿 =

る定数である。
（Appendix 参照）
以上をまとめると、
Wasted Energy = 𝑃𝑃in 𝑇𝑇fill = 2ln2

𝑉𝑉𝑐𝑐2
(5 − 7)
𝜔𝜔(𝑅𝑅/𝑄𝑄)

なので、1 パルス当たり無駄になるエネルギーは
空洞電圧（及び空洞の形状）のみで決まり、ビー
ムのパラメータには依らないことが分かる。な
お、設定電圧での空洞内の電磁場のエネルギーは(5 − 1)

２－ 17

𝑊𝑊(𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑐𝑐 ) =𝑉𝑉𝑐𝑐2
𝜔𝜔(𝑅𝑅/𝑄𝑄)(5 − 8)

であり、fill time 中に捨てられる（反射してくる）

キッカーマグネットによってバンチ毎に入射・出エ ネ ル ギ ー は 、 空 洞 内 エ ネ ル ギ ー の 約 40%

射して、ダンピングリング内ではバンチ間隔を短(2ln2 − 1)である。（パルスの後(decay time)に空く詰め込むことで可能になる。キッカーマグネッ

洞内に残っているエネルギーが捨てられる）（Fig.

トの立上り・立下り時間（バンチ間隔はこれより25 も参照）。

長くなければならない）には限界があるので、バ

一方、ビームに与えられるエネルギーは設定電圧と全電荷量(𝑞𝑞pulse )との積である。

ンチの数を増やすにはそれに比例してダンピン

Energy to Beam = 𝑉𝑉𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑇𝑇beam = 𝑉𝑉𝑐𝑐 𝑞𝑞pulse (5 − 9)

グリングを長くしなければならず、建設費の増大につながる。
バンチ数も電流も増やせなくても、１バンチの電以上のことから結論として、入力 RF に対するエ荷を大きくしてバンチ間隔を大きくすることでネルギー効率をよくするには、（ビームパルスが長くなる）パルス当たりのビー

𝑞𝑞pulse 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑇𝑇beam
=
𝑉𝑉𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑐𝑐

ム電荷を増加させて効率を上げることができそ(5 − 10)うである。しかし、バンチ電荷を大きくすると（ウここの議論では、空洞壁での損失が無視できるほピングリング内でエミッタンスを小さくするのど小さく、ビーム通過中は入力パワーがほぼ全てが難しくなるとともに、その下流でのエミッタン

ビームに与えられることが本質的に重要である。

スも増大する。

5.1.1. 空洞電圧を下げる？

別の方法として、極端にビームパルスを長く（ダ空洞の設定電圧を下げればエネルギー効率が上十分長く）すれば、減衰したバンチを取り出し、がるが、電圧に反比例して必要な空洞の数が増加

そこに新たにバンチを入射していくということ

して加速器が長くなる。これは建設費の増加につができて、ダンピングリングからのバンチ数の制

ながり得策でない。

限がなくなる。実質的にはパルス運転でなく連続を大きくすればよいことが分かる。

ェーク場などにより）ビームの不安定性の問題が生じる。バンチ電荷をあまり大きくすると、ダンンピングリングの減衰時間(damping time)より(CW: Continuous Wave) 運転することになる。世

5.1.2. 電流を大きくする？

の中では多くの超伝導線形加速器が CW で稼働し電流を大きくすれば効率が良くなる。しかし、そている。入力 RF のエネルギー効率のみを考えれれに比例して入力パワーを上げなくてはならず、

ば、CW が理想的である。

RF 源（クライストロン等）を増強する必要があ

しかし、ILC はエネルギーフロンティアの加速器る。これも建設費の増加につながるので限界があであり、限られた長さの加速器で高エネルギーのる。

ビームを作るためにできる限り高電場で運転す

5.1.3. ビームパルスを長くする？

る必要がある。そうすると、空洞を冷却するのにビームパルスを長くすれば、パルス当たりの電荷題が生じる。これについては次節で論じる。

を大きくでき、エネルギー効率が良くなる。これ

結局、ダンピングリングの周長からバンチ数に制が、ILC のビームパルスが一般的な常伝導空洞の限があり、適度な長さの (msec 程度の)パルス運

線形加速器に比べて極端に長い理由である。ただ

転のみが現実的である。

必要なエネルギーが膨大なものになるという問し、いくらでも長くできるわけではない。
一つの制限はダンピングリングの長さからくる。

5.2. 空洞の冷却に要するエネルギー

現在の設計では、線形加速器でのビームパルス長

これまで、空洞壁でのパワー損失は無視してきは 0.73 ms すなわち 220 kｍであるが、ダンピン
グリングの周長は約 3km である。これは高速のた。これは現在の設計パラメータで入力 RF パワ

２－ 18

ーの効率を考える上では十分良い近似である。空でなければならない。つまり、空洞から取り除く

洞壁での時間当たりのエネルギー損失は熱の 150 倍以上の熱を環境中に放出する必要があ

𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑉𝑉𝑐𝑐2
𝑃𝑃0 =
=
(𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0
𝑄𝑄0

り、このエネルギーの元は冷凍装置が消費する電(5 − 11)と表される。𝑊𝑊は空洞内の電磁場のエネルギー、
𝜔𝜔は RF の角周波数、𝑄𝑄0 は空洞の Q 値(quality

factor)、𝑉𝑉𝑐𝑐 は空洞電圧、(𝑅𝑅/𝑄𝑄)（アールオーバーキュー）は空洞の形状で決まる定数である。

ILC の設計値（𝑉𝑉𝑐𝑐 = 32.7MV, (𝑅𝑅/𝑄𝑄) = 1036 Ω,

𝑄𝑄0 = 10 ）では、空洞 1 台当たりの損失は約 100
10W となる。これは、空洞当たりの入力パワー（𝑉𝑉𝑐𝑐 =32.7MV, 𝐼𝐼𝑏𝑏 = 5.8mA の積）約 190 kW に比べると非常に小さい（したがって、前節での近似は妥力である。150 倍という計算値は効率 100％の理
想的な冷凍設備の場合であり、実際の効率 20%程
度(ILC-TDR)では空洞壁の発熱の約 750 倍の電力が必要になる
ILC のビームパルス長(𝑇𝑇𝑏𝑏 )は 0.73 ms, 繰返し(𝑓𝑓rep) 5Hz なので、単純にビームパルスの通過時の み 計 算す る と 空洞 １台 当 た りの 平 均 発熱 は100×0.00073×5 W となる。より正確には、ビー
ムパルス前後(fill time 及び decay time)も空洞

電圧は 0 ではないので、それも考慮に入れ、空洞
壁での平均損失パワーは当である）。しかし、これに相当する熱を極低温(2K)の空洞から取り除くためには、無視できない

𝑃𝑃0,average =エネルギー（冷凍設備が消費する電力）が必要に

𝑉𝑉𝑐𝑐2(𝑇𝑇 + (4ln2 − 2)𝜏𝜏) 𝑓𝑓rep(𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0 𝑏𝑏≈ 0.9 Wなる。

(5 − 15)

熱力学の教科書に載っているように、温度 𝑇𝑇 でと計算できる。

減少する。その分のエントロピーはどこかで増加まで加速するのに必要な空洞台数 6800 を掛ける

Δ𝑄𝑄 の熱量を取り除くとエントロピーが Δ𝑄𝑄/𝑇𝑇

これに 750 を掛け、さらに電子・陽電子を 125GeV

していないとつじつまが合わない（熱力学第２法と、冷却に要する電力は約 5MW となる。
（実際に則より）。冷却設備は環境中に熱を放出することは、空洞以外での発熱や熱侵入もあり、その分必でエントロピーも放出しているわけである。熱は

要な電力は増える。
）

自然には温度の高いところから温度の低いとこ

空洞を連続(CW)運転すると、先にも計算したようろに移動するが、極低温の空洞から常温の環境中に、約 100 W の熱が空洞壁で発生し、この 750 倍に熱を移動させるにはエネルギー消費が必要での 75 kW が空洞一台当たりの冷却に必要で、ある。

6800 台では 500 MW 以上となり、連続運転にす

空洞の温度と環境の温度をそれぞれ𝑇𝑇cold , 𝑇𝑇warm ,ることで節約できる RF エネルギーよりもはるか

境に放出するエントロピーを Δ𝑆𝑆warm ,トも膨大なものとなる）。

空洞から奪う熱をΔ𝑄𝑄cold , 環境に放出する熱を
Δ𝑄𝑄warm , 空洞から奪うエントロピーをΔ𝑆𝑆cold , 環とすると、熱力学第２法則より−Δ𝑆𝑆cold + Δ𝑆𝑆warm > 0(5 − 12)

𝑇𝑇warm
Δ𝑄𝑄warm > Δ𝑄𝑄cold
𝑇𝑇cold(5 − 13)

Δ𝑄𝑄warm > Δ𝑄𝑄cold × 150(5 − 14)でなければならないのでであり、𝑇𝑇cold ≈ 2K, 𝑇𝑇warm ≈ 300K だから、に大きいエネルギーを消費することになる。（さらに、運転コストのみでなく冷却設備の建設コスというわけで、ILC ではパルス運転を採用している。ビームパルス長(𝑇𝑇𝑏𝑏 )を短くすれば冷却コストは下がるけれども、先にみたように RF パワーの効率低下（𝐼𝐼𝑏𝑏 一定の場合）、あるいは RF ピークパワーの増大から建設コスト増につながる（𝐼𝐼𝑏𝑏 を大き く し てパ ル ス 当た りの 電 荷 を一 定 と した 場
合）。
ところで、上の式を変形すると、

２－ 19

𝑉𝑉𝑐𝑐2 𝑓𝑓rep
𝑃𝑃0,average =𝑅𝑅(𝑄𝑄 ) 𝑄𝑄0
× (1 + 4(2ln2 − 1)

過中の入力パワーは、ビームに与えられるパワーに等しい」という条件でエネルギー効率を考えてきた。常伝導空洞では損失が無視できないのでこの条件を一般化して
𝑉𝑉𝑐𝑐) 𝑇𝑇𝑏𝑏 (5 − 16)𝜔𝜔(𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑞𝑞pulseとなるので、繰り返し(𝑓𝑓rep )とパルス当たりの電荷量(𝑞𝑞pulse )を固定した場合には、空洞壁の平均発熱

はビームパルス長(𝑇𝑇𝑏𝑏 )に比例（従ってビーム電流(𝐼𝐼𝑏𝑏 )に反比例）する。つまり、冷凍機の負荷を減ら

すには、ビームパルス長を短くした方が良いこと

 ビームパルス通過中の入力パワー(𝑃𝑃in)は、ビー

ムに与えられるパワー(𝑃𝑃𝑏𝑏 = 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑉𝑉𝑐𝑐 )と空洞壁での損失(𝑃𝑃0 )との和に等しいとする。これは、反射がゼロであるということである（こういう条件の時、エネルギー効率は最適に近いであろう）
。
つまり

がわかる。
5.2.1. まとめ

𝑃𝑃in = 𝑃𝑃𝑏𝑏 + 𝑃𝑃0(5 − 17)

𝑉𝑉𝑐𝑐2(𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0(5 − 18)とする。ここで、

ここまでの議論をまとめてみると、
 ビームパルスの全電荷(𝑁𝑁𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑒𝑒 = 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑇𝑇𝑏𝑏 )：RF エネ
ルギーの効率化のために大きくしたい バンチ 1 個の電荷(𝑁𝑁𝑁𝑁)：ビーム不安定性、ウェーク場の影響などで制限される
 １パルス内のバンチ数(𝑛𝑛𝑏𝑏 )：ダンピングリングの周長を短く（建設コスト低減）するため小である。

さらに、入力カプラーのカップリング(𝛽𝛽 = 𝑄𝑄0 /𝑄𝑄ext = 1 + 𝑄𝑄0 /𝑄𝑄𝐿𝐿 ) を用いると、
𝑉𝑉𝑐𝑐 =

さくしたい ビームパルス内の電流(𝐼𝐼𝑏𝑏 )：RF 源の建設コスト低減のため小さくしたいが、冷凍機負荷低減

2√𝛽𝛽
𝑅𝑅√𝑃𝑃 (𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0 − 𝐼𝐼𝑏𝑏 ( ) 𝑄𝑄𝐿𝐿
1 + 𝛽𝛽 in
𝑄𝑄(5 − 19)

𝐼𝐼𝑏𝑏 (𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0
𝑉𝑉𝑐𝑐(5 − 20)なので、カップリングを、のためには大きくしたい。
 ビームパルス長(𝑇𝑇𝑏𝑏 )：冷凍機負荷低減のため短
くしたい

𝑃𝑃0 =

つまり、

𝛽𝛽 = 1 +となる。
これらの条件は相違反するものがあるので、最適

𝑄𝑄𝐿𝐿 =と思われる妥協点を探してパラメータを決めているわけである。ただし、何が最適かを定義する

𝑉𝑉𝑐𝑐
×
𝐼𝐼𝑏𝑏 (𝑅𝑅/𝑄𝑄) 1 +1
2𝑉𝑉𝑐𝑐
𝐼𝐼𝑏𝑏 (𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0(5 − 21)のも、その定義に従って正確にパラメータを決めと設定することになる。

るのも難しい。

この場合、ビームパルス通過中のエネルギー効率
は5.3. 参考：常伝導空洞の場合のエネルギー効率

𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑉𝑉𝑐𝑐
=
𝑃𝑃in
1+

先に述べたように、超伝導空洞を用いた線形加速器のビームパルスは通常の常伝導加速器に比べ

1

𝑉𝑉𝑐𝑐
𝐼𝐼𝑏𝑏 (𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0(5 − 22)

ると極端に長い。ここで、常伝導空洞のエネルギである。従って、効率をよくするためにはビーム

ー効率を調べることで、これを確認しておく。

電流(𝐼𝐼𝑏𝑏 )を大きくする必要があり、少なくとも超伝導空洞では入力パワーに対して空洞壁でのパワー損失は無視できるので、「ビームパルス通

２－ 20

𝐼𝐼𝑏𝑏 ~𝑉𝑉𝑐𝑐(𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄0(5 − 23)

でなければならない（この場合 𝑃𝑃𝑏𝑏 ~𝑃𝑃0）。この電流は𝑄𝑄0に反比例する。

と表されるような磁石で作られ、水平・垂直方向の磁場はそれぞれ

常伝導空洞の場合の概算（桁数程度）として、∂ 𝑛𝑛(𝑟𝑟 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛)∂𝑥𝑥∂
𝐵𝐵𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 (𝑟𝑟 𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛)∂𝑦𝑦(6 − 3)𝑟𝑟 𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 = constantと表されるような磁石で作られ、(6 − 4)∂ 𝑛𝑛(𝑟𝑟 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛)∂𝑥𝑥∂ 𝑛𝑛
𝐵𝐵𝑦𝑦 = 𝑏𝑏𝑛𝑛
(𝑟𝑟 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛)∂𝑦𝑦(6 − 5)

𝑉𝑉𝑐𝑐 ~10MV, (𝑅𝑅/𝑄𝑄) ~1000Ω, 𝑄𝑄0 ~104 と すると、

𝐼𝐼𝑏𝑏 ~1A となり（ILC のビーム電流は 5.8 mA）非常に大きい。また、𝑃𝑃in ~𝑃𝑃𝑏𝑏 ~𝑃𝑃0~10 MW であり、これらも非常に大きい（ILC では 𝑃𝑃in ~𝑃𝑃𝑏𝑏 ≈200

kW, 𝑃𝑃0 ~100 W）。

また、空洞の冷却、RF 装置の建設・運転コストなどの制限から、デューティー比 (𝑇𝑇𝑏𝑏 𝑓𝑓rep )を大きく

𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛となり、2n-極 skew 磁場は磁極がすることはできない。
𝑉𝑉𝑐𝑐~3𝜇𝜇A な
なお、ILC では、𝐼𝐼𝑏𝑏 = 5.8 mA ≫ (𝑅𝑅/𝑄𝑄)𝑄𝑄

𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑛𝑛0ので、前節までの近似が成り立ち、ビーム通過中のエネルギー効率はほぼ 100%である。

となる。

n は正整数で、𝑎𝑎𝑛𝑛 , 𝑏𝑏𝑛𝑛 は定数、極座標(𝑟𝑟, 𝜃𝜃) (𝑥𝑥 =6. Appendix

𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜃𝜃) を使用した。𝑎𝑎𝑛𝑛 は ”normal”
成分、𝑏𝑏𝑛𝑛 は ”skew” 成分の強さである。

6.1. ビーム力学

加速器で使われる多くの磁石は多重極のうちの 1

6.1.1. 座標系

成分のみを目的とする（他の成分も含まれてしま

ビームの設計軌道付近で局所的に直行する座標

normal は水平方向の偏向磁石、𝑛𝑛 = 1の skew は(x, y, z) を使用する（曲線直交座標）。ビームの設う こ と は 避 け ら れ な い が ）。 例 え ば 、 𝑛𝑛 = 1 の向（横方向）を(x, y)とする。任意の設計軌道に対垂直方向の偏向磁石、𝑛𝑛 = 2の normal は 4 極磁

して x と y をどのように選ぶかは簡単でなく、こ6.1.3. 転送行列

計上の進行方向（縦方向）を z, それと直交する方

こでは議論しない。本稿では単純に x を「水平方向」y を「垂直方向」としておく。
独立変数として時間ではなく設計ビーム軌道に沿った距離 s を使用する。
s で微分した量には「′」を付ける。例えば、である。

𝑥𝑥 ′ ≡

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑(6 − 1)石、𝑛𝑛 = 2の skew は skew 4 極磁石に対応する。

横方向（𝑥𝑥, 𝑦𝑦）の線形運動は転送行列で表すことができる。すなわち、𝑠𝑠1 から𝑠𝑠2への 4 × 4 転送行列
𝑀𝑀𝑠𝑠1→𝑠𝑠2 で以下のように表す。

𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
′
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1′
[𝑦𝑦 ] = 𝑀𝑀𝑠𝑠1→𝑠𝑠2 [𝑦𝑦 ]
2
1
𝑦𝑦2′
𝑦𝑦1′

𝑥𝑥 − 𝑦𝑦間にカップリングが無ければ、各々の方向の運動が2 × 2 行列で表せる。

6.1.2. 横方向の磁場の多重極展開

𝑥𝑥1
𝑥𝑥2[𝑥𝑥 ′ ] = 𝑀𝑀𝑥𝑥 [𝑥𝑥 ′ ],12加速器での粒子の運動を考えるのに、多くの場
合、横方向の磁場（ビーム軸に垂直な成分）を多重極展開すると便利である。
𝑟𝑟 𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 = constant𝑦𝑦2
𝑦𝑦1[𝑦𝑦 ′ ] = 𝑀𝑀𝑦𝑦 [𝑦𝑦 ′ ]12

6.1.4. エミッタンス（emittance）
横方向のエミッタンスは、

2n-極 normal 磁場は磁極が(6 − 6)(6 − 2)２－ 21(6 − 7)よって変化しない。高エネルギー（超相対論的な）
𝜀𝜀𝑢𝑢 ≡ √⟨𝑢𝑢2 ⟩⟨𝑢𝑢′2 ⟩ − ⟨𝑢𝑢𝑢𝑢′ ⟩2(6 − 8)のように定義される。𝑢𝑢 は 𝑥𝑥 または 𝑦𝑦, 〈 〉はビビームの場合には、
𝜀𝜀𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝑢𝑢

ーム内の全粒子に対する平均を表す。エミッタンである。

スは、正規分布の場合に 𝑢𝑢 − 𝑢𝑢′ 面（phase space）

6.1.5. 4 極磁場中のビーム粒子の運動で 1- 𝜎𝜎 の所の線を引いてできる楕円の面積を𝜋𝜋で割ったものに等しい。

(6 − 12)荷電粒子のビームを収束させるのに 4 極磁石を使う。4 極磁石は理想的には 4 個の磁極の形状が双曲線で、水平方向の磁場強度が垂直方向の位置に比例し垂直方向の磁場強度が水平方向の位置に比例する（比例定数は絶対値が同じで正負が逆）ような 4 極磁場を作る。

Fig. 27 粒子の分布（正規分布）。エミッタンスにを掛けたものは 1- の楕円の面積に等しい
エミッタンスの小さなビームは品質が良い（大きさが小さく運動方向がそろっている）ことを意味

Fig. 28 4 極磁石のビーム軸に垂直な断面
磁場中で荷電粒子（電荷 H）は運動方程式する。
次節で示すようにエミッタンスは線形運動で保存する。
正規分布に対しては、〈𝑢𝑢2 〉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢2 ,(6 − 13)

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑥𝑥= −𝑎𝑎𝑣𝑣𝑧𝑧 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑(6 − 14)𝑑𝑑𝑣𝑣𝑧𝑧= 𝑎𝑎(𝑣𝑣𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑦𝑦)
𝑑𝑑𝑑𝑑(6 − 16)に従い、力と速度が直交するのでエネルギーは変〈𝑢𝑢′2 〉 = 𝜎𝜎𝑢𝑢2′

で、𝑢𝑢 と 𝑢𝑢′ に相関が無ければ、
である。

𝑑𝑑𝑝𝑝⃗
⃗⃗
= 𝑒𝑒𝑣𝑣⃗ × 𝐵𝐵
𝑑𝑑𝑑𝑑

𝜀𝜀𝑢𝑢 = 𝜎𝜎𝑢𝑢 𝜎𝜎𝑢𝑢′ (〈𝑢𝑢𝑢𝑢′ 〉 = 0)

(6 − 9)化しない。4 極磁場中では、(6 − 10)

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑦𝑦= 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑧𝑧 𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑑𝑑

エミッタンスはビームが加速されると減少する。
これは、ビーム軸方向に加速されることによって、横方向の運動の角度が減少するからである。
「規格化エミッタンス(normalized emittance)」を
𝜀𝜀𝑢𝑢𝑛𝑛 ≡ √⟨𝑢𝑢2 ⟩⟨𝑝𝑝𝑢𝑢2 ⟩ − ⟨𝑢𝑢𝑝𝑝𝑢𝑢 ⟩2 /𝑚𝑚𝑚𝑚(6 − 11)のように定義すれば（𝑝𝑝𝑢𝑢 は各粒子の u 方向の運(6 − 15)となる (𝑎𝑎 ≡ 𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑚𝑚𝑚𝑚 ) が、高エネルギー加速器では 𝑣𝑣𝑧𝑧 ≫ 𝑣𝑣𝑥𝑥 , 𝑣𝑣𝑦𝑦 と近似でき、

動量）、横方向の運動量は軸方向への加速によって変化しないので、規格化エミッタンスは加速に

２－ 22

𝑑𝑑 2 𝑥𝑥= −𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑑𝑑𝑠𝑠 2
𝑑𝑑 2 𝑦𝑦= 𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑑𝑑𝑠𝑠 2(6 − 17)(6 − 18)

としてよい（𝐾𝐾 ≡ 𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑝𝑝𝑧𝑧 , 𝑣𝑣𝑧𝑧 = 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑）。

等が得られる。

𝐾𝐾が正であれば 𝑥𝑥 方向に収束、 𝑦𝑦 方向に発散され、負であればその逆になる。

このように表される運動を「線形運動」と呼ぶ（𝐾𝐾

磁石の長さ(𝑙𝑙)が短い場合には 𝑘𝑘 ≡ 𝐾𝐾𝐾𝐾 として、入り口から出口までの変化を
𝑥𝑥
1
≈(
( )
𝑥𝑥′ exit−𝑘𝑘

が𝑠𝑠に依存していてもよい。また、電磁場の無いドリフト空間(𝐾𝐾 = 0)での運動を含む）。

𝑦𝑦
1
≈(
(𝑦𝑦′)
𝑘𝑘
exit

エミッタンスが線形運動で不変であることは以下のように簡単に確かめられる。エミッタンスの定義式の 2 乗を s で微分すると、(6 − 24)(6 − 25)

6.1.6. スピン（偏極）の力学
電子（陽電子）の偏極ベクトル(𝑃𝑃⃗⃗)は以下のような、Thomas-BMT equation と呼ばれる方程式に従𝑑𝑑(𝑢𝑢2 ) ′2
𝑑𝑑(𝑢𝑢′2 )𝑑𝑑(𝑢𝑢𝑢𝑢′ )⟨⟩ ⟨𝑢𝑢 ⟩ + ⟨𝑢𝑢2 ⟩ ⟨⟩−2⟨⟩ ⟨𝑢𝑢𝑢𝑢′ ⟩
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑

って変化する。[5]𝑑𝑑𝑃𝑃⃗⃗𝑒𝑒⃗⃗⊥ + (1 + 𝐺𝐺)𝐵𝐵⃗⃗∥=−[(1 + 𝐺𝐺𝐺𝐺)𝐵𝐵
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑑𝑑𝑢𝑢′
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
⟩ − 2 ⟨ 𝑢𝑢′ ⟩ ⟨𝑢𝑢𝑢𝑢′ ⟩= 2 ⟨𝑢𝑢 ⟩ ⟨𝑢𝑢′2 ⟩ + 2⟨𝑢𝑢2 ⟩ ⟨𝑢𝑢′
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
− 2 ⟨𝑢𝑢= 2⟨𝑢𝑢𝑢𝑢

0 𝑦𝑦) ( ′)
1 𝑦𝑦 entranceと近似できる（thin lens 近似）。

𝑑𝑑(𝜀𝜀𝑢𝑢2 )=𝑑𝑑𝑑𝑑′ ⟩⟨𝑢𝑢′2 ⟩

0 𝑥𝑥
)( )
1 𝑥𝑥 ′ entrance𝑑𝑑𝑢𝑢′⟩ ⟨𝑢𝑢𝑢𝑢′ ⟩𝑑𝑑𝑑𝑑

2 ⟩〈𝑢𝑢′ (−𝐾𝐾𝐾𝐾)〉′2 ⟩〈𝑢𝑢𝑢𝑢′ 〉− 2⟨𝑢𝑢− 2⟨𝑢𝑢(−𝐾𝐾𝐾𝐾)⟩⟨𝑢𝑢𝑢𝑢′ ⟩ = 0+ 2⟨𝑢𝑢(6 − 19)

K が定数であれば（あるいは、1 個の磁石の中の+ (𝐺𝐺𝐺𝐺 +𝛾𝛾
𝐸𝐸⃗⃗ × 𝑣𝑣⃗) 2 ] × 𝑃𝑃⃗⃗ (6 − 26)
𝛾𝛾 + 1𝑐𝑐

ここで、𝑚𝑚 は電子質量, 𝛾𝛾 = 1/√1 − (𝑣𝑣/𝑐𝑐)2 , 𝐺𝐺 ≈⃗⃗⊥ は0.00115965 は電子の異常磁気モーメント, 𝐵𝐵⃗⃗∥ は速度に平行な磁粒子の速度に垂直な磁場, 𝐵𝐵
場, 𝐸𝐸⃗⃗ は電場, 𝑣𝑣⃗ は粒子の速度, 𝑐𝑐 は光速であように、K を定数とみなせるような範囲での近似

る。

として）運動方程式は調和振動の方程式であり、ILC 加速器内には粒子速度に垂直な強い電場は簡単に解ける。行列の形で、𝐾𝐾 ≥ 0 の場合 𝜅𝜅 ≡無いのでカッコ内の最後の項は無視できる。ま⃗⃗⊥としては偏向電磁石の磁場を、𝐵𝐵⃗⃗∥ はソレノ
た、𝐵𝐵√𝐾𝐾 > 0 と定義して、
𝑥𝑥( ′ ) = ( cos𝜅𝜅𝜅𝜅𝑥𝑥 𝑠𝑠−𝜅𝜅sin𝜅𝜅𝜅𝜅1sin𝜅𝜅𝜅𝜅) ( 𝑥𝑥 )(6 − 20)𝜅𝜅
𝑥𝑥 ′ 𝑠𝑠=0
cos𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑦𝑦(𝑦𝑦 ′ ) = ( cosh𝜅𝜅𝜅𝜅𝑠𝑠𝜅𝜅sinh𝜅𝜅𝜅𝜅1sinh𝜅𝜅𝜅𝜅) ( 𝑦𝑦 )−𝜅𝜅
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠=0 (6 − 21)cosh𝜅𝜅𝜅𝜅

𝑥𝑥( ′ ) = ( cosh𝜅𝜅𝜅𝜅𝑥𝑥 𝑠𝑠𝜅𝜅sinh𝜅𝜅𝜅𝜅1sinh𝜅𝜅𝜅𝜅) ( 𝑥𝑥 )(6 − 22)−𝜅𝜅
𝑥𝑥′ 𝑠𝑠=0
cosh𝜅𝜅𝜅𝜅

𝐾𝐾 < 0 の場合 𝜅𝜅 ≡ √−𝐾𝐾 > 0 と定義して、

𝑦𝑦(𝑦𝑦 ′ ) = ( cos𝜅𝜅𝜅𝜅𝑠𝑠−𝜅𝜅sin𝜅𝜅𝜅𝜅1sin𝜅𝜅𝜅𝜅) ( 𝑦𝑦 )𝜅𝜅
𝑦𝑦 ′ 𝑠𝑠=0
cos𝜅𝜅𝜅𝜅

(6 − 23)イドの磁場を考えればよい。
⃗⃗⊥ のみの領域では方程式は𝐵𝐵

𝑑𝑑𝑃𝑃⃗⃗𝑒𝑒⃗⃗⊥ × 𝑃𝑃⃗⃗
(1 + 𝐺𝐺𝐺𝐺)𝐵𝐵
=−
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚𝑚𝑚

(6 − 27)のように、偏極ベクトルは磁場方向を軸として回転する。これは、磁場によるローレンツ力の式
𝑑𝑑𝑝𝑝⃗
𝑒𝑒⃗⃗ × 𝑝𝑝⃗=−𝐵𝐵
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚𝑚𝑚 ⊥(6 − 28)と係数(1 + 𝐺𝐺𝐺𝐺)だけ異なるが同じ形をしていることが分かる（小文字の 𝑝𝑝⃗ は粒子の運動量）。従って、偏極磁場によって軌道が角度𝜃𝜃曲げられると、

２－ 23

偏極ベクトルの磁場に垂直な成分は (1 + 𝐺𝐺𝐺𝐺)𝜃𝜃

と書ける（𝑘𝑘 ≡ 𝑒𝑒𝐵𝐵𝑧𝑧 /𝑚𝑚𝑚𝑚）。これを解くと軌道は z 軸回転する。つまり、ビーム軸方向に対する相対的周りの螺旋となり、ソレノイド内の長さ L での転な偏極の方向が 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 だけ回転する。
⃗⃗∥ のみ存在する領域では
𝐵𝐵

送行列が以下のように得られる。

𝑑𝑑𝑃𝑃⃗⃗𝑒𝑒⃗⃗∥ × 𝑃𝑃⃗⃗
(1 + 𝐺𝐺)𝐵𝐵
=−
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚𝑚𝑚

1
0 − (1 − cos 𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝑘𝑘
00−sin 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 =11(1 − cos 𝑘𝑘𝑘𝑘) 1
0
sin 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘[0]
sin 𝑘𝑘𝑘𝑘
0
cos 𝑘𝑘𝑘𝑘(6 − 29)のようにビーム軸に垂直な偏極の成分がビーム軸の周りに回転する。偏極ベクトルのビーム軸に垂直な成分を𝑃𝑃⃗⃗⊥ , 偏極方向の角度を 𝜙𝜙 と書くと、

1 𝑑𝑑𝑃𝑃⃗⃗⊥ 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒(1 + 𝐺𝐺)𝐵𝐵∥
|
|=
=
⃗⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚𝑚𝑚
|𝑃𝑃⊥|

(6 − 30)

1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒
𝑑𝑑𝑑𝑑 = (1 + 𝐺𝐺) ∫ 𝐵𝐵∥ 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑝𝑝(6 − 31)となるので、粒子の速さを 𝑣𝑣 として、偏極方向の角度の変化は磁場内の移動距離の積分で、
Δ𝜙𝜙 = ∫

1
sin 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘
cos 𝑘𝑘𝑘𝑘

1(6 − 34)

ソレノイドの端部では、横方向の磁場が発生す⃗⃗ = 0 なので、Fig.
⃗⃗ とするとdiv 𝐵𝐵る。磁束密度 𝐵𝐵

29 のような半径𝑟𝑟の円筒の表面での面積分に対して Gauss の定理を使うことにより、以下のようにその影響を計算することができる。

のように表せる（𝑝𝑝 は粒子の運動量の大きさ）。

（注意： 電子・陽電子のスピンは量子力学的な概念であり、厳密には偏極ベクトル(𝑃𝑃⃗⃗)も量子力学的に定義する必要がある。しかし、多数の粒子がある場合には、偏極ベクトルを「スピンの向きの平均」のように考えておいて間違いではないと思われる。
）
6.1.7. ソレノイド磁場中の運動

円筒を左側に十分長くすることにより、左の底面

ビーム軸方向に強度 𝐵𝐵𝑧𝑧 の磁場がある領域では、

荷電粒子（電荷 e）の運動方程式が𝑑𝑑𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑦𝑦 𝐵𝐵𝑧𝑧 ,𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑝𝑝𝑦𝑦 = −𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥 𝐵𝐵𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑑𝑑

Fig. 29 ソレノイド端部の磁場。円筒の表面でGauss の定理を使うことにより、横方向の磁場の積分が計算できる(6 − 32)（𝑝𝑝𝑥𝑥,𝑦𝑦 , 𝑣𝑣𝑥𝑥,𝑦𝑦 は 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 方向の運動量と速度）となるのでの積分は 0。側面での動径方向の磁場成分𝐵𝐵𝑟𝑟 の積分は⃗⃗ ⋅ 𝑛𝑛⃗⃗𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋∫ 𝐵𝐵𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐵𝐵

∫

side

(6 − 35)

であり、これと右端（ソレノイドの十分内部に取る）での面積分で、x-y 間にカップリングが生じる。磁場中（電場が無い）ではエネルギーが変化しないので、これ∫⃗⃗ ⋅ 𝑛𝑛⃗⃗𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜋𝜋𝑟𝑟 2 𝐵𝐵𝑧𝑧
𝐵𝐵

bottomは、との和が０になる。従って、
𝑑𝑑𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑦𝑦 ,
𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑣𝑣𝑦𝑦 = −𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑(6 − 33)

２－ 24

𝑟𝑟∫ 𝐵𝐵𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝐵𝐵𝑧𝑧
2

(6 − 36)(6 − 37)

が得られ、対称性より周方向の磁場成分は無いののカップリングを消すことができる。さらに、任で、意のドリフト空間を入れてもよい。すなわち、

𝑥𝑥∫ 𝐵𝐵𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝐵𝐵𝑧𝑧 ,2𝑦𝑦∫ 𝐵𝐵𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝐵𝐵𝑧𝑧 (6 − 38)2となる。ソレノイドの出口ではこの逆符号とな
る。

運動方程式
𝑑𝑑𝑝𝑝𝑦𝑦 = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑧𝑧 𝐵𝐵𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑝𝑝𝑥𝑥 = −𝑒𝑒𝑒𝑒𝑧𝑧 𝐵𝐵𝑦𝑦 ,𝑑𝑑𝑑𝑑を変形して、

𝑥𝑥 ′′ = −𝑦𝑦 ′′ =

(6 − 39)(6 − 40)（𝑘𝑘 ≡ 𝑒𝑒𝐵𝐵𝑧𝑧 /𝑚𝑚𝑚𝑚）

いとして近似すると、以下のような入口・出口
端部での転送行列が得られる。
00
0
1 𝑘𝑘/2 0
]
0
1
0
0
0
1

0
0
0
1 −𝑘𝑘/2 0
]
0
1
0
0
0
1

で得られる。

(6 − 44)間の転送行列、𝐴𝐴は 2x2 行列である。𝐷𝐷1,2の長さを
𝑑𝑑1,2 として 𝑑𝑑 ≡ 𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑2 と書くと、

𝑘𝑘𝑘𝑘
sin 𝑘𝑘𝑘𝑘
4
𝐴𝐴 = [𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘(1 − cos 𝑘𝑘𝑘𝑘)− sin 𝑘𝑘𝑘𝑘 +8
2
cos 𝑘𝑘𝑘𝑘 −

となる。

2
𝑑𝑑
sin 𝑘𝑘𝑘𝑘 + (1 + cos 𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝑘𝑘2] (6 − 45)𝑘𝑘𝑘𝑘
cos 𝑘𝑘𝑘𝑘 −sin 𝑘𝑘𝑘𝑘
4

dispersion とはビーム内の粒子のエネルギーの差に依存した横方向の軌道のずれのことである。
同じ電磁場を通過しても粒子のエネルギーの差によって軌道の変化が異なることによって生じる。超相対論的なエネルギーの場合には、電磁場(6 − 41)による軌道の角度変化はエネルギーに反比例する。

(6 − 42)

Fig. 30 Linear dispersion by bending magnets.

ソレノイド全体での転送行列は、

𝑀𝑀sol = 𝑀𝑀exit 𝑀𝑀in 𝑀𝑀ent

𝑂𝑂
]
−𝐴𝐴

6.1.8. Dispersionとなるので、横方向の磁場の存在する領域が短10𝑀𝑀ent = [
0
−𝑘𝑘/2

𝑂𝑂
𝐴𝐴
] 𝐷𝐷 𝑀𝑀 = [−𝐼𝐼 1 sol𝑂𝑂となる。ここで、𝐷𝐷1,2 は任意の長さのドリフト空

𝑒𝑒𝐵𝐵𝑦𝑦 𝑘𝑘= 𝑦𝑦
𝑚𝑚𝑚𝑚 2𝑒𝑒𝐵𝐵𝑥𝑥𝑘𝑘= − 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚
2

10
𝑀𝑀exit = [
0
𝑘𝑘/2

𝐼𝐼
𝑀𝑀sol 𝐷𝐷2 [𝑂𝑂(6 − 43)

Dispersion は設計軌道が曲がっているところで発生し、何らかの誤差によってビームの中心軌道が曲がっている場合にも発生する。Fig. 30 のように、bending magnet で軌道を曲げることによってほぼ線形の dispersion （軌道のずれがエネル

ソレノイド 2 台組によるカップリングの消去
同じ強さと長さのソレノイド 2 台の間に転送行列
𝐼𝐼 𝑂𝑂
が [
] となるようなビームライン（𝐼𝐼, 𝑂𝑂は
𝑂𝑂 −𝐼𝐼
2x2 の単位行列とゼロ行列）を挟むことで x-y 間ギーのずれに比例）が発生する。
線形の dispersion
は多くの場合に測定可能であり、また、bending
magnet を（２台以上）含むビームラインで消すことができる。

２－ 25

ビームのエネルギーを測定するため、あるいはエ

これは粒子が時間あたりに失うエネルギーだか

ネルギーコリメーション（エネルギーのずれた粒ら、エネルギーが高いほど放射によって多くのエ子をビームから取り除く）などのためにビームラ

ネルギーを失う。一方、加速空洞によるエネルギ

イン上に dispersion が作られる。

ー補填は粒子のエネルギーに依らない。従ってエ一方、4 極磁場やさらに高次の磁場がある場合にネルギーが高いほうにずれた粒子はエネルギーは 2 次以上の高次の（非線形の）dispersion が発が減少し、低いほうにずれた粒子はエネルギーが生する。例えば長いビーム輸送路や長い線形加速増大する。これが、シンクロトロン振動が減衰（エ器では、Fig. 31 のように 4 極磁石の設置誤差な

ネルギーの拡がりが減少）する原因である。

どによってビーム軌道と磁場中心がずれると下シンクロトロン放射は粒子の超前方に出る。つま流の全ての 4 極磁石によってさらに高次のり、粒子はエネルギーを失うが、その運動方向（角dispersion が発生する。
非線形 dispersion は測定

度）はほとんど変化しない（量子力学的効果によが困難で補正することは難しい。

り変化は完全にはゼロではないが、通常は無視できるほど小さい）。一方、加速空洞によるエネルギ
ー補填では全ての粒子が同じ方向に加速される。
結果として、粒子の横方向の運動量（運動方向の角度）が減少する（Fig. 32）。これを繰り返すこと
で、粒子の方向がそろっていくのが、横方向の振Fig. 31
magnets

Non-linear dispersion by quadrupole

動の減衰（横方向のエミッタンスの減少）である。

6.2. 放射減衰と放射励起
6.2.1. 放射減衰 (radiation damping)
円形加速器に（陽）電子ビームを周回させていると、自然にエミッタンスやエネルギーの拡がりが減少していく。これはシンクロトロン放射りが減少していく」ことは、ビーム内の個々の粒

Fig. 32 横方向の運動の放射減衰の概念図。運動量 (1) の粒子がシンクロトロン放射によってエネルギーを失い (2) の運動量となり、加速によってエネルギーを補填されて (3) の運動量となる。
横方向の運動量が減少する。

子の運動としての「ベータトロン振動（横方向の其々の方向の振動（縦方向、水平方向、垂直方向）振動）とシンクロトロン振動（縦方向の位置とエの振幅が 1/𝑒𝑒 になる時間を其々の「減衰時間（synchrotron radiation）によるエネルギー損失と、加速空洞によるエネルギー補填を繰り返すことで起こる。「エミッタンスやエネルギーの拡が

ネルギーの振動）が減衰していく」ということである。
（詳しくは、例えば参考文献[2]参照）
シンクロトロン放射は粒子が磁場で曲げられる
ところで発生するが、その時間当たりのエネルギ
ーの平均（放射パワー𝑃𝑃𝛾𝛾 ）は粒子のエネルギー(𝐸𝐸)の 2 乗と磁場の強さ(𝐵𝐵)の 2 乗に比例する。
𝑃𝑃𝛾𝛾 ∝ 𝐸𝐸 2 𝐵𝐵2(6 − 46)（damping time）」と呼ぶ。

6.2.2. 放射励起 (radiation excitation)
シンクロトロン放射では量子論的効果により粒子のエネルギーにでたらめな変化が生じるため、粒子の振動を励起する効果もある。
（詳しくは、例
えば参考文献[2]参照）
エネルギーがでたらめに変化するので、直接の効果としてエネルギーの拡がりが大きくなる（個々２－ 26

の粒子を見ると、縦方向の振動（シンクロトロン

この釣り合ったビームのエミッタンスが振動）の振幅が大きくなる傾向をもたらす）。

equilibrium emittance である。

dispersion のある場所でシンクロトロン放射がdamping time を 𝜏𝜏, 放射励起率を 𝑟𝑟 と書くとあると横方向の振動（ベータトロン振動）もエネ
ルギーがでたらめに変化することによって励起される。振動の中心（その周りで粒子が振動する）となる軌道（設計軌道、より正確には閉軌道）がemittance (𝜀𝜀) の変化は、
𝑑𝑑𝜀𝜀𝜀𝜀= 𝑟𝑟 −(6 − 47)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜏𝜏となるので、equilibrium emittance はエネルギーに依存して異なるためである。（Fig.
33 を参照）

である。

𝜀𝜀𝑒𝑒 = 𝑟𝑟𝑟𝑟

(6 − 48)

入射時のエミッタンスを𝜀𝜀0 とすると入射からの時刻 𝑡𝑡 でのエミッタンスは (6-47)を解いて
𝑡𝑡

となる。

𝑡𝑡

𝜀𝜀(𝑡𝑡) = 𝜀𝜀0 𝑒𝑒 −𝜏𝜏 + 𝜀𝜀𝑒𝑒 (1 − 𝑒𝑒 −𝜏𝜏 )(6 − 49)

取り出し時のエミッタンスは、要求される値よりFig. 33 横方向の放射励起の概念図。エネルギー1で設計軌道（閉軌道）にあった粒子。dispersion のある場所で放射によりエネルギーが 𝟏𝟏 → 𝟐𝟐 と変化。元の軌道は変化後のエネルギーでは設計軌道（閉軌道）からずれており、振動を始める。
円形加速器では必ず軌道が曲がっている場所があり、そこでは dispersion があり、シンクロトロ

も小さくなるようになっていなければならない。
6.3. 軌道補正の方法
ここではダンピングリングを出た後の長いビー
ム輸送ライン（Return line, turnaround）と主線形加速器でのビーム軌道の補正、特に dispersive
effect によるエミッタンス増大を抑える方法にン放射が発生するの。そのため放射励起によるエついてその概要を述べる。

ミッタンス増大は避けられない。設計軌道が同一偏向磁石の強度の誤差や 4 極磁石の設置誤差など

平面上（通常は水平面上）にあれば、その平面にがある程度あることは避けられないので、ビーム垂直な方向には設計上の dispersion が無い。磁石の軌道は設計からずれる。軌道補正の道具としの設置誤差などの効果を小さくするような補正て、ビーム位置モニター(BPM)と軌道補正用の偏を行うことで dispersion を小さくして放射励起

向磁石(steering magnet）がある。これらは、ビを抑えることができる（シンクロトロン放射でームラインのほぼ全ての 4 極磁石のすぐ近くに設は、エネルギーだけでなく角度もでたらめに変化置される（4 極磁石・BPM・steering magnet がする。しかし、その変化の効果はエネルギーの変

セ ッ ト に な っ て い る ）。 4 極 磁 石 と steering

化に比べると非常に小さい）。従って、通常は垂直

magnet が同じ場所にあれば、steering magnet

方向のエミッタンスは水平方向に比べて小さくの強さを変えることはビームに対しては 4 極磁石できる。

の横方向の位置を変えることと同じである。従って、steering magnet の代わりに 4 極磁石の位置

6.2.3. equilibrium, extracted emittance

調整装置があってもよい。

ダンピングリング入射後十分長時間経過した後のビームは放射減衰と放射励起が釣り合う（全体6.3.1. quad shuntingの平均として釣り合うということ。個々の粒子は組になっている 4 極磁石の磁場中心と BPM のゼ励起と減衰をランダムに繰り返す）状態になる。

ロ点（読み値 0）を”quad shunting”と呼ばれる方２－ 27

法でビームを使って合わせることができる。4 極
磁石でのビーム軌道の角度変化はビーム位置の中心からのずれと 4 極磁場の強度に比例するので、4 極磁石の強度を変えて下流での軌道の変化を測定することでそこでのビーム位置のずれが分かる。強度を変えても下流の軌道が変化しない
ような位置を BPM のゼロ点とする。

を最小にするような 𝛿𝛿𝛿𝛿𝑖𝑖 の組を求めればよい。上式のカッコ内は 𝛿𝛿𝛿𝛿𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2,3, ⋯ ) の 1 次式なので結果は簡単に計算できる。ここで、𝑅𝑅12 (𝑖𝑖 → 𝑗𝑗) は𝑖𝑖番目の steering magnet から 𝑗𝑗番目の BPM までの転送行列の 1-2 成分（垂直方向の場合は 3-4 成分）である。

6.3.4. dispersion matching steering

6.3.2. one-to-one steering

Kick minimization と基本的には同様の結果と

全 て の BPM で の 読 み が ゼ ロ に な る よ う になる補正方法に dispersion matching steering

steering magnet を上流から遂次調整していきビ（設計 dispersion が 0 の場合は dispersion freeー ム を 最 後 ま で 通 す 軌 道 補 正 が one-to-one

steering） と呼ばれるものがある。これは、ビー

correction と呼ばれるものである。4 極磁石の設

ムライン上のあらゆる場所で（全ての BPM の場

置 誤 差 があ る の でこ の結 果 得 られ る 軌 道は 各所で）dispersion （エネルギーの違いに依存した

steering magnet の所で曲がっており、エミッタ

位置の違い）を設計値に合わせるというものであンス増大を十分抑えることはできない。

る。主線形加速器では、上流の RF を調整することで、ある区間のビームエネルギーを変えること

6.3.3. kick minimizationができ、異なるエネルギーでビーム軌道を測定で

kick minimization と呼ばれる方法でビーム軌道きる。この軌道補正では、その差をなるべく設計をなめらかにしてエミッタンス増大を抑えるこ

値に合わせる。つまり、エネルギー”1”での𝑖𝑖番目のと が で き る 。 こ の 方 法は 4 極磁 石 ・ steering

BPM の読みを𝑥𝑥𝑖𝑖,1, エネルギー”2”での読みを𝑥𝑥𝑖𝑖,2,magnet の組での軌道変化をなるべく小さくする
もので、𝑖𝑖 番目の組の steering magnet の蹴角を𝜃𝜃𝑖𝑖 , 4 極磁石の強度を 𝑘𝑘𝑖𝑖 , BPM の読みを 𝑥𝑥𝑖𝑖 として∑(𝜃𝜃𝑖𝑖 + 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑖𝑖

)2

(6 − 50)を最小にするように全ての 𝑖𝑖 について 𝜃𝜃𝑖𝑖 を調整する。one-to-one steering （あるいはその後の変化）の結果、現状の steering magnet の設定が𝜃𝜃𝑖𝑖,0 , BPM の 測 定 値 が 𝑥𝑥𝑖𝑖,0 , で あ る と す れ ば 、steering magnet を𝛿𝛿𝛿𝛿𝑖𝑖 変えた場合の BPM の測定値の変化は𝛿𝛿𝑥𝑥𝑗𝑗 = ∑ 𝑅𝑅12 (𝑖𝑖 → 𝑗𝑗) 𝛿𝛿𝛿𝛿𝑖𝑖

と書けるので、𝑖𝑖<𝑗𝑗(6 − 51)∑ (𝜃𝜃𝑖𝑖,0 + 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖,0 + 𝛿𝛿𝜃𝜃𝑖𝑖 + 𝑘𝑘𝑖𝑖 ∑ 𝑅𝑅12 (𝑖𝑖 → 𝑗𝑗)𝛿𝛿𝜃𝜃𝑗𝑗 )
𝑗𝑗<𝑖𝑖

て

2

∑(𝑥𝑥𝑖𝑖,1 − 𝑥𝑥𝑖𝑖,2 − Δ𝑖𝑖,1−2 )𝑖𝑖(6 − 53)を最小にするように steering magnet を設定する。steering magnet を変化させることによる
𝑥𝑥𝑖𝑖,1, 𝑥𝑥𝑖𝑖,2 の其々の変化は、steering magnet の強度変化に比例し（ビームライン上の全ての 4 極磁石の強度は既知なので）その比例係数もわかる。
さらに多数の steering magnet の強度変化の影
響は単純に足し合わせることができる。つまり、上式のカッコ内も steering magnet の強度変化の 1 次式なので、その 2 乗の最小化の結果は簡単に求められる。この方法では、BPM の読みの差のみを使うので quad shunt を使った BPM のゼロ点の調整は不要である。

2𝑖𝑖

そこでのビーム位置の差の設計値を Δ𝑖𝑖,1−2 とし

数学ノート(6 − 52)

kick minimization steering と dispersion
matching steering の計算は、𝑢𝑢𝑖𝑖 を測定値, 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖

を既知の定数として

２－ 28

2

∑ (𝑢𝑢𝑖𝑖 + ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝛿𝛿𝑗𝑗 )𝑖𝑖

𝑗𝑗(6 − 54)を最小にするような 𝛿𝛿𝑖𝑖 を求める問題になる。
これは、𝑢𝑢𝑖𝑖 , 𝛿𝛿𝑖𝑖 をベクトル 𝑢𝑢, 𝛿𝛿 の 𝑖𝑖 成分、 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖

𝐵𝐵𝑦𝑦 = 𝑎𝑎3 (𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 )𝐵𝐵𝑥𝑥 = 2𝑎𝑎3 𝑥𝑥𝑥𝑥

(6 − 56)となるもので、Fig. 35 のような 6 個の磁極を持つ磁石によって（近似的に）作ることができる。

を行列 𝐴𝐴 の 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 成分とみれば、|𝑢𝑢 + 𝐴𝐴𝐴𝐴|を最小にする 𝛿𝛿 を求めるということであり、その結果は 𝐴𝐴+ を 𝐴𝐴 の疑似逆行列としてと求められる。

𝛿𝛿 = −𝐴𝐴+ 𝑢𝑢(6 − 55)

Fig. 35 6 極磁石の概念図
粒子の運動は 4 極磁場中の運動の所で述べたのと同様、近似的に
𝑒𝑒𝐵𝐵𝑦𝑦𝑑𝑑 2 𝑥𝑥
𝑒𝑒𝑎𝑎3 2=−=−(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 ),
2
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑑𝑑 2 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝐵𝐵𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑎𝑎3
=
=
2𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑠𝑠 2(6 − 57)(6 − 58)と書ける。右辺は x, y の 2 次に依存するので、単
Fig. 34 One-to-one steering の結果と低エミッタ
ンス保存のための軌道補正（kick minimization,
dispersion free steering）の結果の概念図
6.4. Chromaticity, 6 極磁場による補正
chromaticity とはビーム内の粒子のエネルギーの差に依存した横方向の振動の位相のずれのことである。

純には線形運動に効かない。
しかしここで、ビームの中心が磁場の中心から水平方向に 𝛥𝛥 ずれているとしよう。すると上の 2 式
は 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 の 1 次の項のみを残すと𝑑𝑑2 𝑥𝑥2𝑒𝑒𝑎𝑎3𝑒𝑒𝑎𝑎3=−((𝑥𝑥 + 𝛥𝛥)2 − 𝑦𝑦 2 ) ≈ −𝛥𝛥𝛥𝛥 (6 − 59)
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑠𝑠 2
𝑑𝑑 2 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑎𝑎3
2𝑒𝑒𝑎𝑎3=2(𝑥𝑥 + 𝛥𝛥)𝑦𝑦 ≈
𝛥𝛥𝛥𝛥
2
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑝𝑝𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑠𝑠

超相対論的なエネルギーの場合には、磁場による軌道の角度変化はエネルギーに反比例するので、chromaticity は収束 4 極磁場の所で減少し、発散(6 − 60)となり、4 極磁場中の運動と全く同じ形をしてい全体としては必ず収束の効果が大きいので、4 極ることが分かる。つまり、水平方向に 𝛥𝛥 ずれたと磁場（及び偏向磁場）のみからなるビームライン

従って、粒子のエネルギーに比例した水平方向の4 極磁場の所で増加する。しかし、ビームライン

では chromaticity は負の値になる。
これの補正に使われるのが 6 極磁場である。
６極磁場とは、水平・垂直方向の強度がころを通るビームに対しては 6 極磁場は強さが2𝑎𝑎3 𝛥𝛥 の 4 極磁場と同等の効果がある。

位置のずれ（dispersion）のある場所に 6 極磁石を置くことによってエネルギーに比例した収束・発散力を付け加えることができる。これが、6 極磁場による chromaticity 補正の原理である。

２－ 29

6.5. RF 空洞の入力パワー・ビーム電流・電圧 [6]𝑄𝑄𝐿𝐿 =

加速空洞の共振周波数、入力 RF の周波数、ビームの周波数（バンチ間隔の逆数の整数倍）がすべて一致している場合には、空洞の電圧（𝑉𝑉𝑐𝑐 ）の変化は

𝑑𝑑𝑉𝑉𝑐𝑐 1= (𝑉𝑉𝑔𝑔0 + 𝑉𝑉𝑏𝑏0 − 𝑉𝑉𝑐𝑐 )𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜏𝜏

𝑄𝑄𝐿𝐿 ≈ 𝑄𝑄ext ≪ 𝑄𝑄0 , 𝛽𝛽 ≫ 1(6 − 62)

ワー 𝑃𝑃in を入力するとその後の電圧は、

2√𝛽𝛽
𝑅𝑅√𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 ( ) 𝑄𝑄0
𝑉𝑉𝑔𝑔0 =
1 + 𝛽𝛽𝑄𝑄(6 − 63)

𝑅𝑅
𝑉𝑉𝑏𝑏0 = −𝐼𝐼𝑏𝑏 ( ) 𝑄𝑄𝐿𝐿
𝑄𝑄

(6 − 64)

ビーム電流（𝐼𝐼𝑏𝑏 ）による（定常状態の）電圧である。

損失が非常に小さいので通常はという近似が成り立つ。

入力 RF パワー（𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 ）による（定常状態の）電圧

𝑉𝑉𝑐𝑐 = 𝑉𝑉𝑔𝑔0 (1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 )ーム電流 𝐼𝐼𝑏𝑏 がある間、電圧が一定であるためには、微分方程式(6-61)の右辺が 0 でなければなら
ず、

つまり、

(6 − 65)

𝑉𝑉𝑔𝑔0 + 𝑉𝑉𝑏𝑏0 − 𝑉𝑉𝑐𝑐 = 0
𝑇𝑇fillの関係は𝑅𝑅(𝑄𝑄 ) 𝑄𝑄0

(6 − 71)と増大していく。時刻 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇fill > 0 から一定のビ空洞壁でのパワー損失（𝑃𝑃0 ）と空洞の Q 値（𝑄𝑄0）
𝑃𝑃0 =(6 − 70)

空洞電圧 0 の状態から時刻 𝑡𝑡 = 0 から一定のパ(𝑅𝑅/𝑄𝑄) (R over Q)は空洞の形状で決まる定数。
𝑉𝑉𝑐𝑐2(6 − 69)

等の関係がある。超伝導空洞の場合は空洞壁での(6 − 61)と表すことができる。ここで 𝜏𝜏 は空洞の時定数
𝜔𝜔
𝜏𝜏 =
2𝑄𝑄𝐿𝐿

1
𝑄𝑄0
=
1
1
1 + 𝛽𝛽𝑄𝑄0 + 𝑄𝑄ext(6 − 72)

𝑉𝑉𝑔𝑔0 𝑒𝑒 − 𝜏𝜏 + 𝑉𝑉𝑏𝑏0 = 0(6 − 73)→ 𝑇𝑇fill = 𝜏𝜏 ln(6 − 74)

𝑉𝑉𝑔𝑔0−𝑉𝑉𝑏𝑏0となる必要がある（ビームパルスに対して RF をであるが、共振周波数を𝜔𝜔, 空洞内のエネルギー入れ始める時刻を調整する）。

を𝑊𝑊 として 𝑄𝑄0 の定義は
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑄𝑄0 ≡
𝑃𝑃0
で、
𝑅𝑅
𝑉𝑉𝑐𝑐2
( )=
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑄𝑄
である。

ここで、さらに反射パワーがゼロになるという要(6 − 66)

請をすると、(6 − 67)、
なので（𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑉𝑉𝑐𝑐 はビームに与えられるパワー）

入力カプラーの Q 値を 𝑄𝑄ext としてそのカップ

𝑃𝑃in = 𝑃𝑃0 + 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑉𝑉𝑐𝑐

𝑅𝑅
𝐼𝐼𝑏𝑏 ( ) 𝑄𝑄0
𝑄𝑄𝛽𝛽 = 1 +𝑉𝑉𝑐𝑐

リング

空洞の loaded Q

𝑄𝑄0
𝛽𝛽 =
𝑄𝑄𝑒𝑒xt(6 − 68)(6 − 75)(6 − 76)という関係が要求されることが分かる（入力カッ
プラーのカップリング 𝛽𝛽 をこのように調整しておく）。この場合には、

𝑉𝑉𝑏𝑏0 = −２－ 30

𝛽𝛽 − 1𝑉𝑉
2𝛽𝛽 𝑔𝑔0(6 − 77)

𝑉𝑉𝑐𝑐 =

𝛽𝛽 + 1𝑉𝑉
2𝛽𝛽 𝑔𝑔0といった簡単な関係が成り立つ。
特に、𝛽𝛽 ≫ 1 の場合には、

𝑉𝑉𝑐𝑐 = −𝑉𝑉𝑏𝑏0 =

となる。

𝑉𝑉𝑔𝑔0
2

𝑇𝑇fill = 𝜏𝜏 ln 2

(6 − 78)(6 − 79)(6 − 80)

参 考 文 献[1] ILC-TDR (Technical Design Report) Volume 3,https://www2.kek.jp/ilc/en/docs/ILCTDR_Volum
e3_PARTI.pdf,
https://www2.kek.jp/ilc/en/docs/ILCTDR_Volum
e3_PART2.pdf[2] OHO2012 講義テキスト「単粒子力学」久保浄[3] OHO2014 講義テキスト「リニアコライダー
ビーム力学」久保浄[4] M. Omet, et.al., Pys.Rev.STAB 17, 072003 (2014)[5] Handbook of Accelerator Physics andEngineering'' (second edition), section 2.6.1, ed.
A.W.Chao, et.al. (2013)[6] “KEK Lectures on Beam Loading and Impedance
Problem in e+e- Storage Rings”, P. B. Wilson,
KEK-Accelerator-79-7,
https://libextopc.kek.jp/preprints/PDF/1979/7920/7920007.
pdf[7] OHO2014 講義テキスト「リニアコライダー加速器」横谷馨

２－ 31