入射器の概略・全体

夏井

拓也

1

目次
1

はじめに - KEK 入射器の役割

22電子線形加速器の基礎

3
3

2.1

Transfar Matrix と Twiss parameter .

2.2
2.3

静電加速と高周波加速について . . . .

2.4
2.5

高周波の基礎 . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1

高周波源

クライストロン . . .

2.3.2
2.3.3

導波管 . . . . . . . . . . . . . .
共振空洞 加速空洞 . . . . . .

熱陰極静電加速電子銃（熱電子銃） . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2

3

13

光陰極高周波加速電子銃 (RFgun) . . . . . . . . . . . . . . . 14
マグネット . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6.1
2.6.2

ソレノイドマグネット . . . . .

2.6.3

四極 (Quadrupole) マグネット .

14
ダイポールマグネット . . . . . 15

KEK 電子陽電子入射器棟
3.1
3.2

7
7

2.3.4 導波管と共振空洞の結合 . . . . 8
加速管 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9電子銃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1

2.6

5
6
6

15
17

加速管 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
入射部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1 プライマリー電子ビーム入射部 - 熱カソード DC gun とBuncher 部- . . . . . . . . . . . 19
RF gun による電子ビーム入射システム . . . . . . . . . . . . . 21
高周波システム . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2
3.3

3.3.1
3.3.2
3.4
3.5

3.6

Low Level RF . . . . . . . . . . 26
クライストロンモジュレータ . 26

3.3.3 High power RF システム . . . . 28
陽電子ビーム生成 . . . . . . . . . . . . 29
各種モニターとビーム計測 . . . . . . . 29
3.5.1
3.5.2

BPM (Beam Position Monitor) 29
ストリークカメラ . . . . . . . . 30

3.5.3
3.5.4
3.5.5

スクリーンモニター . . . . . .

30
32
Q scan 法とその応用 . . . . . . 33

3.5.6
3.5.7

RF 誘起波モニタ . . . . . . . . 35
測定データの取扱 . . . . . . . . 35

ワイヤースキャナー . . . . . .

ビーム運転

3.6.1

. . . . . . . . . . . . . . . 36
ビームのパルス切り替えの仕組み 36

4

3.6.2
3.6.3
3.6.4

パルスマグネットシステム . . .

3.6.5
3.6.6

エナジーノブ . . . . . . . . . .

37
37
フェージング . . . . . . . . . . 37
各モードでのエネルギー . . . .

37
クライストロンスタンバイ . . . 39

おわりに

39

A 導波管
40
A.1 基本式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.2 矩形導波管 . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.2.1 TM モード . . . . . . . . . . . 41
A.2.2 TE モード . . . . . . . . . . . . 41
A.3 円形導波管 . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.3.1 TM モード . . . . . . . . . . . 42
A.3.2 TE モード . . . . . . . . . . . . 43
B 空洞共振器
43
B.1 直方体空洞共振器 . . . . . . . . . . . . 43
B.1.1 TM モード . . . . . . . . . . . 44
B.1.2 TE モード . . . . . . . . . . . . 44
B.2 円筒形空洞共振器 . . . . . . . . . . . . 45
B.2.1 TM モード . . . . . . . . . . . 45
B.2.2 TE モード . . . . . . . . . . . . 46
C 陪周期構造の等価回路

46入射器の概略・全体
1

はじめに - KEK 入射器の役割

KEK の入射器は 40 年近く前に 2.5 GeV の PF 入射器として建設が始まり，1982 年には 2.5 GeV 電子
ビームの蓄積に成功している．当時は 400 m の線形加速器だった．1984 年に TRISTAN 計画では陽電子ビームの生成も始まり，電子・陽電子ビームともに 2.5

GeV のエネルギーが入射が可能となった．1999 年より KEKB が始まり SLED を導入して高周波を増強し，折返し地点の J-arc を作って全体が 600 m に伸びた

[1]．現在は，SuperKEKB の入射が始まり，RF gun

図 1: 入射器写真 (Google ストリートビューより)の増設，新しく陽電子生成のため FC の導入，ダンピ
ングリング設置など達成している．

ビームを要求する．入射器ではこれら 4 つのリングの現在，KEK には放射光施設と物理実験施設 (Su-

要求に応じて必要なときにビームを加速し入射していperKEKB) があり，2 つの放射光リング，SuperKEKB
HER LER の 4 リングを運転している．電子陽電子入る．ただし，厄介なことに各リングで要求するビーム射器棟では，この 4 リングにビームを供給している．入ネルギー，はたまた電子と陽電子の違いなど）．また，射器棟の加速器は線形加速器 (Linac, liner accellator)と呼ばれるもので，名前の通り直線上にビームを加速

KEKB から SuperKEKB へのアップグレードで入射器のビームも表 1 のように大幅な改善を求められていしていく装置である．この入射器棟の線形加速器は，る．電荷量は電子・陽電子ともに４倍になり，エミッ

加速管というものを並べたもので，途中で折り返し地

タンスも大幅な改善を求めらている．陽電子ビームの点を挟むものの，600 m にも渡って同じ景色が延々と

電荷増強のため FC が新設され，エミッタンス改善の続く装置，というか施設である．この全長 600 m のためにダンピングリングが建設さた．電子ビームは高線形加速器を４リングの入射器として使っている．図

電荷低エミッタンスをダンピングリングなしで実現す

1 が線形加速器が並ぶ入射器の一部を写した写真である．
（実はこの図 1 は Google ストリートビューの写真
でり，Google ストリートビューで擬似的に入射器をるため光陰極 RF gun が開発された．

見学できる．ただし，同じような線形加速器がいくつである．更に SuperKEKB 開始からは，全リング同時も並んでいるので，すべて見終える前に飽きてしまうにビームを要求されたならば，ほぼ同時にビームを入だろう）

射することも実現させた．これはパルス的に発生する

スペックはすべてバラバラである（電荷量やビームエ

さて，４つもリングがあり，それぞれスペックの違うビームに対して入射器の加速ラインはたったの 1 本

電子ビームラインの途中には陽電子発生用のター

ビームのパルス間隔が 20 msec なので 20 msec 毎に，ゲットが設置され，電子ビームから陽電子ビームを作

各リング仕様に加速器を切り替えるという作業を忙しり出している．そして，陽電子ビームも電子ビームとなく行っている（なんともサービス精神旺盛だ）．

共通の加速管で加速していく．陽電子ビームではエミッ

4 リングあるのだからいっそ 4 つ入射器を作ればい

タンス改善のためのダンピングリングが入射器の途中いのにと読者は思ったかもしれない．筆者もそう思うに設置されている．陽電子ビームに関しては一度ダンが，現実に建設された入射器は 1 つだけだ．
（きっとコ

ピングリングに入射し，エミッタンスが小さくなった

ストや諸事情でこうなっているのだろう．
）しかたな

ビームを取り出し再び線形加速器で加速する．

いので，ここでは世にも珍しい 4 リング同時入射のた

放射光施設ではリングに電子ビームをためて放射光を発生させたいので，入射器棟に電子ビームを要求する．SuperKEKB リングでは電子ビームと陽電子ビー
ムを衝突させる物理実験をするために電子・陽電子

めの入射器の説明をはじめたい．

表 1: KEKB と SuperKEKB のビームパラメータ
KEKB
SuperKEKB

Beam

e+

e−

e+

e−

Energy [GeV]
Bunch charge [nC]

3.5
1

8.0
1

4.0
4

7.0
4

Normalized Emitance [mm-mrad]

1400

310

100/15 (Hor./Ver.)

40/20 (Hor./Ver.)

電子線形加速器の基礎

2ビームとは多数の粒子がほぼ同じ運動量を持って，ほぼ同じ位置にある状態をさす．荷電粒子の場合は電x1, x1'

x
p

x0䇻

x0
㻝

場によって粒子を加速しビームにしていく．荷電粒子z
Lの中でも電子（または陽電子）は非常に加速が容易な部類である．それは，電荷量に対して質量が非常に小

図 2: x と x′

さい（電荷の素だから当然であるが）ので，容易に光の速度に達するためである．
さて，電子ビームのエネルギーの単位として [eV] が
通常よく用いられる．これは電子１個が 1 V の電圧を移動したときに得られる仕事量である．1 C の電荷
で 1 V の電圧ポテンシャルで得られるエネルギーが 1

J なので，1 eV は，1.602 × 10−19 J (素電荷量 J) となる．1 kV で加速すれば 1 keV, 1 MV で加速すれば1 MeV, 1 GV で加速すれば 1 GeV である．
（ちなみに keV は「ケブ」，MeV は「メブ」，GeV は「ジェブ」と発音する．
）電子の質量は 9.109 × 10−31 kg なので，1 MeV で光の速度の 94.1 %に, 10 MeV で 99.9%，100 MeV で 99.9987 %に達する．入射器棟では，7 GeV まで加速するが，ほぼ入射器全体に渡ってビー
ムは光の速度とみなして良い．

2.1

Transfar Matrix と Twiss parameterx1 = Lx′0 と変化し，角度は変わらないので x′1 = x′0となる．これを 2 × 2 の行列を使って表せば，
]( )
( ) [
1 L
x0
x1
(1)
=
′
0 1
x′0
x1
となる．ここで示した 2 × 2 の行列は長さ L のド
リフト空間の Transfar Matrix と呼ばれるものである．例えば，レンズの役割をする
Transfar Matrix は[]
10となることが知られている．これは平行−1/f 1ビームを通すと長さ f の距離が焦点をとなるものである．平行ビーム x′ = 0 が焦点 f のレンズを通り f の距離のドリフト空間を走った場合が図 3 になる．実際

x(x0, 0)x1, x1'

ビームは多数の粒子の集まりであり，１つの粒子は３次元空間の位置と３次元方向の運動量を持っているzので６次元で表される．しかし，通常はビーム進行方
向に垂直な x 方向と y 方向は独立に扱うことができる．
すなわち，単一粒子は (x, x′ ) と (y, y ′ ) の２次元 ×2 でf考えることが多い．x′ は x の微分であり，粒子の角度と考えてよい．図 2 に (x, x′ ) の概念図を示す．さて，
図 2 において粒子がなんの力も受けずに（このような状態をドリフトと呼ぶ）運動を続けて z = L の位置まで進んだとしよう．その状態を (x1 , x′1 ) とすると，

図 3: 平行ビームのレンズ集束

にこれを計算してみると，
( ) [
][
]( )
x1
1 f
1
0
x0
=
′
x1
0 1 −1/f 1
0
[
](
)
1 f
x0
=
0 1
−x/f
)
(
0
=
−x0 /fただし，

βγ − α2 = 1

(2)

(6)

の関係がある．この楕円の面積は πε になり ε のみが(3)

楕円の面積に係る係数であることがわかる．この ε がエミッタンス (emittance) と呼ばれる値でビームの質(4)を決める非常に重要な値である．
（このようにビームの 1σ で作るエンベロープで定義したエミッタンスをとなり，x0 の値にかかわらず x1 = 0 となることがわ
かる．

rms エミッタンスと呼ぶ）図 5 に Twiss parameter の例を示す．

後述する Q マグネットはビームに対しレンズの役

3

α=1, β=1
α=-1, β=1
α=-2, β=1
α=-1, β=4
α=0, β=5割を果たし，実際のビームライン上には多数の Q マグ
2

ネットが置かれている．このレンズの並びは光学系とほとんど同じなのでビームラインの Transfar Matrix

1

Matrix は R と記述されることが多い．
（あるビームラインが Transfar Matrix R とすると，入射粒子 x0 =
(x0 , x′0 )t で出射粒子 x1 = (x1 , x′1 )t であれば，単純に，
x1 = Rx0 となる．
）
さて，ここまでは単粒子について見てきたが，ビームは多数の粒子の集まりである．この粒子群としてのx’の並びのことを Optics と呼ぶことが多い．Transfar
0
-1
-2
-3
-3

-2

-1

0

ビームを記述するために Twiss parameter というものがある．まず，ビームは図 4 のように x, x′ 平面において原点を中心に正規分布になっているとすと，これ

1

2

3

4

x
図 5: 様々な Twiss parameter における楕円 ε = 1

は２次元の楕円で表すことができる．図 4 は正規分布
粒子分布のエンベロープとして描かれた楕円 x =のシグマで楕円を描いている．

(x, x′ ) も当然ながら Transfar Matrix R によって x1 =3

Rx0 と変化する．この関係を使って Twiss parameter
がどう変化するかを見ていく．

2

さて，一般的な楕円の式は対称行列 σ −1 を使って，x’

1xT σ −1 x = 10(7)と表される．ここで，xT0 σ0−1 x0 = 1 と xT1 σ1−1 x1 = 1-1となる２つの楕円 x0 , x1 の間に x1 = Rx0 の関係が-2あったとする．このときに σ0−1 と σ1−1 にどのような-3-5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

関係があるかを計算すると

5xxT0 σ0−1 x0 = 1
xT0 RT (RT )−1 σ0−1 R−1 Rx0 = 1

図 4: x − x′ 平面の粒子分布(Rx0 )T (RT )−1 σ0−1 R−1 (Rx0 ) = 1
このように粒子分布のエンベロープとして描かれた

xT1 (Rσ0 RT )−1 x1 = 1

楕円は，以下の式によって定義される．[2]γx2 + 2αxx′ + βx′2 = εxT1 (RT )−1 σ0−1 R−1 x1 = 1

(5)

(8)

となり，以下の関係があることがわかる．

が変化するか計算してみると，（以下からは，Twiss(Rσ0 RT )−1 = σ1−1(9)

Rσ0 RT = σ1(10)

ここで，式 (5) を満たすように σ を定義すれば
[
]
γ/ε
α/ε
σ −1 =(11)α/ε β/ε[]βε −αεσ=(12)−αε γεとなる．σ の行列式は ε2 になるので，R の行列式が１

parameter の β, γ ）
][
[
] [
1 0
β1 ε1
β2 ε2 −α2 ε2=0 G −α1 ε1−α2 ε2 γ2 ε2
[
=

β1 ε1
−Gα1 ε1−α1 ε1γ1 ε 1−Gα1 ε1G2 γ1 ε1

][

]

1 0
0 G

(20)
(21)

となる．ここで Twiss parameter の条件 βγ − α2 = 1の条件をみたすためには ε2 = Gε1 の関係が必要になる．すなわち，加速によってエミッタンスはローレン

ならばエミッタンスが変化しないということがわかる．

ツファクタの比だけ小さくなり，Twiss parameter はドリフトスペースも Q マグネットの Transfar matrix

以下のように変化する．

も行列式は 1 なのでエミッタンスは不変量として扱われる．

α2 = α1

β2 =

1
β1
G

γ2 = Gγ1

ε2 = Gε1(22)

しかし，エミッタンスが保存されるのは加速を考え

線形加速器のなかでは，常にビーム加速を行うのでない場合である．ここで，ビームの進行方向 z に加速

エミッタンスはどんどん小さくなってしまう．そこで，が加わった場合を考える．
（ちなみに，加速を考えた場

エネルギーが変化しても値を保存する規格化エミッタ

合の Twiss parameter はローレンツファクタ γ や速ンスが定義される．規格化エミッタンス εN は，エミッ

度 β = v/c が出てきて紛らわしくなってしまう．こタンスとローレンツファクタ γ の積をとって，

こからしばらくはその意味で γ, β を使う．
）このとき，εN = γε

ビームはほぼ光速になっており，βz ≃ 1, βx ≃ x′ とする．また，加速によりローレンツファクタが γ1 から γ2 になったとすると，加速前と加速後の運動量 p1 ,

p2 は

(23)

と表される．
実際には，x 方向 (x, x′ ) と y 方向 (y, y ′ ) に独立にTwiss parameter が存在する．また，加速方向の z 方
px1 = γ1 βx1 mc(13)

pz1 = γ1 βz1 mc(14)

px2 = γ2 βx2 mc(15)

pz2 = γ2 βz2 mc(16)

ほぼ光速に近いので βx2 = βx1 となり，z 方向のみの加速なので px2 = px1 ，すなわち γ2 βx2 = γ1 βx1 となり，

γ1
β2 = βx1γ2
γ1′x1 = x′2
γ2

(17)
(18)

向でも同じように位置 z と運動量 δ = ∆p/p (p:ビームの平均運動量，∆p:粒子の平均運動量からのずれ) を定義できる．すると，粒子は 6 次元 (x, x′ , y, y ′ , z, δ) のパラメータをもつ．この場合でもビームを６次元の楕円と考えれば，式 (10) が成り立ち，同じように６次
元の Transfar Matrix R が分かれば６次元の Matrix

σ が計算できる．
ここまでの関係式を使えば，ビームの初期の Twiss
parameter とエミッタンスが分かっていて，どのようにマグネットと加速管が配置されているか分かれば，ビー
ムがどこでどのようなビームサイズと発散角（Twiss
parameter）であるかすべて計算できる．

さらに，x においては（加速空間を薄肉近似すると）変化はないので，Trasfar matrix R は
]
[
1 0
M=
0 γγ122.2(19)静電加速と高周波加速について

荷電粒子を加速するためには電場を作ればよい．最も単純な方法は静電場を作ることだ．図 6 のようにとなる．ここでローレンツファクタの比 γγ12 を G と置き，マイナス電圧を印加したカソード（電子発生源）とア

この Trasfar matrix R でどのように Twiss parameter

ノードを用意し，アノード電極に穴を開けておけばそ]の穴から電子ビームが取り出せる．これが静電場を利

実際には非常に高い周波数の交流電圧，すなわち高用したビーム加速である．電極の電圧がすなわちビー

周波を利用する．高周波とは電磁波の俗称みたいなもムのエネルギーである．1 kV の電極を用意すれば 1ので数 MHz から数十 GHz までの周波数帯を示すこ

keV の電子ビームになる．

とが多い．図 8 のように高い周波数の電磁波を伝導帯の空洞の中に閉じ込めて加速電場を発生させる装置をAnode

Cathode加速空洞と呼ぶ．

1 keV
electron
1 kV

図 8: 高周波空洞での加速
図 6: 静電場加速

さて，このように発生したビームを追加速したいと

2.3

高周波の基礎する．どうすればよいだろうか？また電極を用意すれば良さそうに思う．しかし，グランドレベルに放出さ高周波とは電磁波の俗称みたいなもので数 MHz かれたビームをグランドレベルのままで加速するには静ら数十 GHz までの周波数帯を示すことが多い．加速

電場は使えない．なぜならば静電場加速はポテンシャ

器業界では RF(radio frequency) とよぶことが一般的

ルエネルギーを運動エネルギーに変換したに過ぎず，である．

ビームのエネルギーはカソードのポテンシャルにのみ依存するからである．

2.3.1

高周波源

クライストロン

そこで登場するのが高周波加速である．これは，図7 のように電極に直流電源をつなぐのではなく交流電源をつなぐことに相当する．このようにして，電圧がクライストロン (klystron) は加速器用の RF 源としてよく用いられるもので，ハイパワーの RF が得られ0 のときに電子が入口から入射してだんだんと加速電場が印加され，また出口に達するときには電圧が 0 にる．クライストロンには直進形クライストロンと反射戻るというふうになれば繰り返し加速が可能である．

られるものは直進形クライストロンである．また，近もちろん電子の入射のタイミングをずらせば減速させ

年はマルチビームクライストロンの開発も進められてることも可能である．

いる．

形クライストロンがある．加速器の RF 源として用い

図 9 に直進形クライストロンの原理を示す．Buncher

electroncavity に種となる RF を入れてやることで電子銃から発生した電子ビームにモジュレーションをかけ，バンチ
ングした電子ビームを Catcher cavity に打ち込む．このバンチングした電子ビームが作る電磁場を Catcher

cavity に溜めて出力 RF として取り出す．
直進方クライストロンの特徴を以下に示す．

• 効率が高く 40%にも達するので大電力用に適する
図 7: 交流電圧での加速• 増幅度が大きく 60dB にも達する

e- beamが得られる．

RF output

RF input

Collector

Anode

ここで，ω は共振角周波数である．これらの微分方
程式を金属の境界条件

CathodeH ·n=0

(28)

E×n=0

(29)

のもととけば空洞内の電磁場が求まる．ここで，n はBuncher cavity

Catcher cavity

境界の法線ベクトルである．一般的な形状（境界条件）の共振空洞の電磁場分布及び共振周波数を求めるには，
式 (27) または，式 (26) を数値計算で解くことになる．
特殊な形状においては解析解が存在するが，その例を

図 9: 直進形クライストロンの原理

補足 B に示した．

• 入力 RF の周波数によって出力周波数が完全に決まるので，周波数安定度はきわめてよいが，周波数帯域は狭い空洞に電磁場のエネルギーが溜まると，金属表面には電流が流れてエネルギーが消費される．エネルギー
消費は金属の電気抵抗に比例するので，当然電気抵抗が低い材料が選ばれる．常温の金属であれば銅が用いられるし，超電導体が使われることもある．空洞のに

2.3.2

導波管

溜まったエネルギー U と消費電力 P を用いて共振空洞

導波管は高周波を伝搬させるものであり，加速器での Q 値 (Quality factor) が以下のように定義できる．

は大電力の高周波を高周波源から加速管まで運搬する

U
(30)
P
ここで，ω0 は共振角周波数である．
（この Q 値は電気回路の LC 共振回路での Q 値と同じである．
）

ために使う．導波管は中空の金属管で作られており，四角い金属管がよく使われている．特に大電力を扱う
導波管は中が真空に保たれている．導波管の詳しい解Q = ω0加速器ではこの共振空洞を加速空洞として応用す説は補足 A を参照してほしい．

る．その場合，ビーム軸に対して軸対称な形状を用いることが多い．これは，計算がしやすいこともあるが，

2.3.3

共振空洞 加速空洞

ビームに対して横方向に対称な電磁場を与えるという共振空洞とは金属の空洞であり，共振空洞内は金属

メリットも有る．軸対称な空洞に対して TM0 モード

で囲まれた真空の空間となる．そこに電磁波のエネが加速に使用される．TM モードとは図 10 に示した

ルギーを貯め込む場合は，ある決まった周波数の共振ように円筒空洞座標の θ 方向のみに磁場 H が存在し，モードが現れる．電場と磁場は位置 r と時間 t の関数

電場は θ 成分を持たず rz 平面にのみ分布する．このE(r, t), H(r, t) と表されるが，共振モードだけを考えると，それぞれ共振周波数 ω で振動するモード

ような TM0 モードは磁場が θ 方向に依存性がないのE(r, t) = E(r)eiωt(24)

で，式 (27) はスカラーらの微分方程式
(
)
1 ∂
∂Hθ
∂ 2 Hθ ( ω )2r++
Hθ = 0
r ∂r
∂r
∂z 2
c

H(r, t) = E(r)eiωt

(25)

となる．

(31)

この空洞の特性を表す重要なパラメータにシャントと表すことができる．
また共振空洞を解析する場合，金属内部には電荷も電流もない条件で計算する．これは，マクスウェル方
程式で電荷密度 ρ = 0, 電流密度 j = 0 に対応する

インピーダンスがある．シャントインピーダンス Zs
はどのくらい効率よくビームを加速できるかの指標となる．まず，加速空洞は電場を発生しているので，その電場を z 軸方向（加速方向）に積分すると電圧が得ので，∇ E(r) +2∇2 H(r) +( ω )2c( ω )2c

れれる．その電圧の２乗は消費電力に比例するはずなE(r) = 0(26)

H(r) = 0(27)ので，その比をシャントインピーダンス Zs と定義し，

Zs =

V02
[Ω]
P

(32)

である．この V0 と Vef f の比を transit time factorrθ

T = Vef f /V0 という．
改めて，transit time factor T を含んだ形のシャンEz

トインピーダンスの式を記すと以下のようになる．

∫LH㼀㻹䝰䞊䝗䛾ຍ㏿✵Ὕ

Zs T 2 =r0z

E0 (z)ei cβ dz

2

P

(38)

加速空洞の特性として Zs T 2 が重要になる．

r z ᖹ㠃䛾
㟁☢ሙศᕸ

z

2.3.4

導波管と共振空洞の結合

空洞共振器は外部から励振されるため導波管と結合されている．ここでは，空洞共振器を取り扱うとき重要になるパラメータについて説明する．

E0

㍈ୖ㟁ሙ

空洞共振器を特徴付けるパラメータとしては，Q 値zと結合係数 β がある．Q 値は Q = ω0 U
P で表されることはすでに述べた．ここで，ω0：共振周波数，U ：空洞に蓄えれているエネルギー，P ：損失（単位あたり

図 10: 軸対称 TM0 モードの加速空洞に空洞から失われるエネルギー）である．

Q 値には３種類あり，と表される．単位は [Ω] となる．V0 は加速管の z 方向

1. 無負荷の Q(unloaded Q) — Q0

電場ピーク値 Ez (r, z) を用いて

∫ L
V0 =

Ez (0, z)dz

(33)

0

2. 外部の Q(external Q) — Qext
3. 負荷時の Q(loaded Q) — QLと定義される．ここで，E0 はピーク値を積分したので必ずしも粒子が感じる電場強度ではない．実際には，[]加速空洞の周波数 ω を用いて E0 (z, t) = ℜ E0 (z)eiωtと表せる．そこで，実際の粒子の感じる電圧 V を考えると，電圧は粒子の入射位相 θ に依存する．では速度 v = βc の電子が位相 θ で入射したときに感じる電がある．Q0 は空洞内で電磁場による壁電流で消費される電力 P0 による Q である．Qext は空洞の結合孔から外に逃げていく電磁場の電力 Pext による Q である．
この P0 と Pext の和が空洞から失われるパワー PL とすると次の関係がある．

場と電圧を考える．電子の位置 z は z = cβt であるのでこれを考慮して電場を積分し電位差を求めると，∫ L[]
V (θ) =
ℜ E0 (z)eiωt eiθ dz
(34)
0

∫ L

]
[
z
=
ℜ E0 (z)ei cβ eiθ dz
0
[ ∫
]
L

=ℜ e

iθ

E0 (z)e

z
i cβ

dz

(35)

PL =P0 + Pext
1
1
1
=
+
QL Q0
Qext

(39)
(40)

結合係数は，空洞と外部回路（普通は導波管）との結合の強さを表し，

β=
(36)

Pext
Q0
=
P0
Qext

(41)

0

で表され，β > 1，β = 1，β < 1 に対して，それぞとなる（実際にはビームはほぼ光速とみなすので β =れ強結合，臨界結合，弱結合という．また，式 40, 411）．ここで，電圧が最大になる位相を選んだ実行的な電圧 Vef f は，式を見て明らかなように，

から

QL =

∫ L
Vef f =

E0 (z)e
0

z
i cβ

dz

(37)

の関係が導かれる．

1
Q0
1+β

(42)

Linac の運転は通常 RF パワーを矩形パルスにして入力するが，この矩形パルスを空洞に入力したときの空洞内電場の波形および反射波形から QL および結合係数 β が求められる．U の減少率が P であるから

dU
dtであり，したがって，式 (30) を使えば
P =

ext

0
− Q

(44)

となり，ステップパルスを切ったときの空洞内電力の減衰の時定数から QL が求められる．U が U0 の 1/eになる時間を ∆t とすると

∆t =

QL
ω0

(45)

となる．

1

2
Pref =Eref

(43)

ω t

U = U0 eとなる．また，Eref ，Pref は次式で与えられる．

−1 + Eext (0 < t < t1 )(51)
Eref =
E(t < t)(52)

t = t1 − 0，t = t1 + 0 での反射電力 Pref の値を P1 ,P2 とすると
{
[
(
)]
}2
2β
π(1 + β)f t1
P1 =1 − exp −
−1
1+β
Q0
(53)
(
)2 [
(
)]2
2β
π(1 + β)f t1
P2 =
(54)
1 − exp −1+βQ0となる．指数の項は通常 1 に比べて非常に小さいのでまた，β は反射波の立ち上がりと立下りのピーク値無視すると，

から以下のようにして求められる．空洞への入力波を(Ei ，空洞から放出される波を Eext とすると，結合孔での反射波は，−Ei となり，結合孔から放出される波P1 ≈(Eref は次式で与えられる．

P2 ≈Eref = −Ei + Eext

(46)

ここで，Pi を入射電力，Pr ef を反射電力，P0 を無負

)2
(56)

√ )2
1 − P1√β=
1 + P1
( √
)2
P2
√
β=
2 − P2(57)(58)

また，この式より β が無限大のときは P2 = 4 となる．

(48)が得られる．この式は

2.4

dEext
tf
+ Eext = αEi
dt

(55)

(

dU
Pi = Pref + P0 +(47)dtが成り立つ．電力は電場の２乗に比例することと式(30), (41) を使うと1
2
Eext
2Q0
dEext
+
Eext
β
ωβ
dt

2β
1+β

)2

となり，これより β が求められる．

荷の損失とすると，電力は保存されるから

Ei2 = (Ee − Ei )2 +

1−β
1+β

(49)

2Q0
L
と書き換えられる．ただし，tf = 2Q
ω = ω(1+β) ：空2βである．
洞の充填時間，α = 1+β

ここで，パルス ON の時間を [0, t1 ] とし（すなわち，

加速管

加速管は高周波空洞を並べたもので空洞同士が電磁気的に結合し，ビーム加速に都合よく加速電場が発生するようになっている．加速管については OHO2002の「5 . 加速管・立体回路」に詳しく解説がある．

0 < t < t1 では Ei = 1 ，t1 < t では Ei = 0），それ

電子線形加速器の加速管は円筒型導波管に円盤を装ぞれの区間に対して式 (49) を解くと
 [)](π(1+β)f t

α
1
−
exp
−

Q0





(0 < t < t1 )
)
]
(
)
[
(
Eext =tt1
− 1 exp − π(1+β)f
α exp π(1+β)f

Q
Q
0
0




(t < t)荷した形のものが使われ，円盤装荷導波管 (disc-loaded

waveguide) と呼ばれ，図 11 のような形である．これは，円筒導波管に円盤を装荷して，導波管の RF の位
相速度を遅く（管内波長を短く）したものと考えることができる．これは，電子ビームを加速できる位相速度 (vp ≤ c) にするためである．導波管としてはこの

1

(50)
Pext
β
2
Qext dPext
0 d(Eext )
0
= Q
= 2Q
Eext dEdtext
ω
dt
ωβ
dt
ωβ
1P
ref

= (Eext − Ei )2

P0 =

=

2
Eext
β

dU
dt

=

構造を遅波構造 (slow-wave structure) と呼ぶ．加速管では穴の空いたディスクとディスクの間の空間をセル (cell) と呼ぶことが多い．

加速管には進行波管 (travelling-wave tube) と定在
波管 (standing-wave tube) がある．進行波管は RF のエネルギーが流れる方向が一方的（ビームを加速する方向）であるが，定在波管は+方向の流れと-方向の流㻜㻌㼙㼛㼐㼑

れがある．いずれの場合もセルの中に図 12 のような加速電場を立ててビームを加速する．
π㻛㻞㻌㼙㼛㼐㼑

2π㻛㻟㻌㼙㼛㼐㼑㼏㼛㼟㻌㼘㼕㼗㼑
2π㻛㻟㻌㼙㼛㼐㼑㼟㼕㼚㻌㼘㼕㼗㼑

図 11: 加速管の構造 (断面図)π㻌㼙㼛㼐㼑

㻱㻙㼒㼕㼑㼘㼐

図 13: 加速管の共振モード

㼎㼑㼍㼙

図 12: 加速管の中の加速電場

加速管は共振空洞が結合孔を通じて連成振動体となったもので，各共振モードは図 13 のようになる．0

mode はすべてのセルで同じ方向に電場が立つモード
で加速には使えない．π/2 mode は１セル進むと位相が π/2 だけ進むモードで，図 13 を見てもわかる通り 4

図 14: 2π/3 mode cos like の電場

セル進むと同じ位相になっている．2π/3 mode は１セルで 2π/3 だけ位相が進むので 3 セルで同位相になっている．2π/3 mode は，進行波管によく用いられるモードで図 13 の sin like と cos like のを交互に繰り返しながら波が進んでいく．この，sin like と cos like は式 (31) を周期境界条件で解いた場合の実部と虚部に当たる．実際の 2π/3 mode の電場形状は図 14, 15 のようになる．
（π/2 mode でも進行波管はあり得る．
）πmode は 1 セルごとに逆位相になり，２セル進むと同位相になっている．ただし，π mode はエネルギーの流れが無く，定在波しか存在し得ない．通常，加速管に π mode が使われることはない．
図 13 では，セルの大きさを同じにとっているが，実際は管内波長が光速になるようにする．S-band 2856

MHz の場合は波長が 104.97 mm なので，2π/3 mode

図 15: 2π/3 mode sin like の電場

の 1 セルの長さは 34.99 mm となる．図 16 は各共振

Rモードを波長を一致させて描いたもので，π mode が
最もセルが長くなることがわかる．

In
L /2

R

k

In

-2

L/2

L /2

R

k

In

-1

L /2

C

π㻛㻞㻌㼙㼛㼐㼑

R

k

L /2

C

I n+
L /2

L /2

C

R

k

In+2

1

L/2
C

L /2

L/2
C

図 17: 等価回路
2π㻛㻟㻌㼙㼛㼐㼑㼏㼛㼟㻌㼘㼕㼗㼑

となるので，これを整理すると，
(
)
R
1
k
k
In−1 + 1 +−In + In+1 =02jωL ω 2 LC
2(61)

2π㻛㻟㻌㼙㼛㼐㼑㼟㼕㼚㻌㼘㼕㼗㼑π㻌㼙㼛㼐㼑

図 16: 加速管の共振モードを波長を揃えて並べた場合

加速管においてもシャントインピーダンスは定義されるが，複数のセルが繰り返される加速管の場合は単位長さあたりのシャントインピーダンス Zs [Ω/m] が用いられる．この場合も，式 (38) がほぼ同じ形で利
用でき

∫L
2

Zs T =0z

E0 (z)ei cβ dz
PL

2

[Ω/m]

(59)

となる．ここで，L は加速管の長さ，P は加速管の電力損失 [W] である．
これまで説明してきたように，加速管とは共振空洞がある結合係数で結合している連成振動体である．この連成振動体としての特徴を取り出してモデル化したとなる．ここで，ω ′ , Q を以下のように定義する．
√
1
ω′ L
1 L
′
ω =√
=
Q=
R C
R
LC
このように定義すると， 式 (61) は以下のようになる．
(
)
ω′
ω ′2
k
1+
− 2 In + (In−1 + In+1 ) =0 (62)jωQω2
また，損失がない場合，すなわち R = 0 のときは，
(
)
ω ′2
k
1 − 2 In + (In−1 + In+1 ) =0
(63)
ω
2
となる．
次に，回路が無限に続いている場合を考える．このとき，回路は周期的な構造を保っているのでフロケの定理が成り立つ．すなわち電流 In はそれぞれ位相差を持っていて，それは以下のようにあらわされる．

ものが電気回路の等価回路モデルである．等価回路モ

In+1 = In e−jϕ(64)

デルは加速空洞がもつ共振モードの特徴をよく再現しているので非常に有用な解析手法である [3, 4, 5, 6]．
加速管の共振空洞一つ一つを電気回路の LC 共振状態に見立てて，空洞同士の結合度を相互インダクタンスで表した回路が，加速管等価回路としてよい近似になることが知られている．ここでは，図のように周期的

これを式 (63) に代入すると，
)
(
)
k (
ω ′2
1 − 2 In + In ejϕ + e−jϕ =0
ω
2
(
)
ω ′2
1 − 2 + k cos ϕ =0
ω

(65)
(66)

に並んだ空洞を図 17 の回路に示すような等価回路モデルで考える．これは，LCR 回路が結合係数 k の相互インダクタンスで結合した回路である．今，結合された LC 回路が N 個あり，n 番目の回路に流れている
電流を In とする．

(

n 番目の回路における回路方程式を求めると，)
L
L
1
In + jωk In−1 + jωk In+1 = 0
R + jωL +
jωC
2
2
(60)

となる．これより，位相差による周波数変化は以下の式で表される．

ω′
1 + k cos ϕ()
k′≈ ω 1 − cos ϕ
2

ω=√

(67)
(68)

この関係から位相速度 vp と群速度 vg を求めてみる．まず，位相速度の定義は vp = ω/β である．(β = 2π/λg ,λg :管内波長，β:伝搬定数) また，位相 ϕ は図 18 のように加速管構造の周期長 d を使って表せば ϕ = 2πd/λg =dβ である．よって，位相速度は定在波管と進行波管の RF のエネルギーの流れを図
20 に示すが，定在波の場合は導波管からカプラー（結合セル）を通して加速管にエネルギーが流れ，そのエネルギーは加速管の中を行ったり来たりしながら定在ω′ d
vp = √
ϕ 1 + k cos ϕ

(69)
(70)

波を形成する．RF のエネルギーはマッチングが取れているのならば (結合係数 β = 1 であるならば)，加速管の中ですべて消費される．対して進行波管の場合となる．また群速度は dω/dβ と一致する．したがっはエネルギーの流れは，上流から下流へと一方的であて，群速度 vg は式 (68) を用いるとり，最上流の入力カプラーから入力された RF は最下流まで達すると，出力カプラーからダミーロードへとk
vg = ω d sin ϕ
2
′

(71)

捨てられる．

となる．この周波数と伝搬定数の関係を分散関係といい，図 19 のような形になる．また，図 19 において原点とグラフの結んだ直線の傾きが位相速度になり，グラフの傾きが群速度となる．
φᐃᅾἼ⟶䝎䝭䞊䝻䞊䝗

d

電場
加速管

λg

㐍⾜Ἴ⟶

図 18: 加速管の中の d, λg , ϕ の関係

図 20: 定在波管と進行波管の RF エネルギーの流れ

定在波管の場合は，陪周期構造 (bi-periodic struc-ωture) がよくもちいられる．これは，π/2 mode と同様な群速度をもちシャントインピーダンスを高めたもの

vp
vg

である．
進行波管の場合は上流から下流へと RF が流れていく過程で徐々にエネルギーを失っていく．セルの形状が全く同じならば上流では高い加速電場だが下流に行
くほど電場は弱くなる．ここで，空洞自体の無負荷のφ = π/2

φ = 2πβ (= φ /d )Q 値を考えると，単位長さあたりに蓄えられたエネ
ルギー w と単位長さあたりの電力損失 dP/dz をもちいて，

図 19: 加速管の分散曲線

Q=−ω
加速管の中では群速度が大きい方がモードが安定することが知られている．そのため，通常 ϕ = π となる

π-mode 空洞は使われず，π/2-mode や 2π/3-mode な
どがよく使われる．

w
dP/dz

(72)

となる．加速管の群速度 vg は，

vg =

P
w

(73)

となり，ディスクの結合孔が小さくなれば群速度も遅一定の直流電流となる．この電流値はカソードの限界

くなる．

値で決まる場合と，電子銃に印加する電圧で決まる場

加速管全体で同じ加速電場を保つように設計された合がある．十分にカソードの温度が高い場合は発生電

ものが定電界型進行波管である．これは，下流に行く子は十分に多く，印加電圧により電子ビーム電流が決にしたがって群速度を落とすように設計されていて，まる．これは，電子そのものから発生する電場が印加

具体的にはディスクの結合孔を狭くしていく．入射器

電圧を打ち消してしまうため，カソード表面の電場がの加速管もこの定電界型である．

完全に打ち消されてしまう以上の電子はビームにはな
りえないためである．この電子そのものの電荷がビー

2.5

電子銃

ムを制限する領域を空間電荷制限領域 (Space charge

limit) と呼ぶ．電圧でビーム電流が制御できるメリッ

電子銃とは電子ビームを作り出す装置である．電子

トから多くの場合は空間電荷制限領域で熱電子銃をビームを作るためには，電子の発生源と加速装置（電使用する．空間電荷制限領域ではビーム電流は電圧の場発生）が必用になる．電子発生源は陰極（cathode,3/2 乗に比例することが知られており，２分の３乗則

カソード）と呼ばれ，主に熱陰極，冷陰極，光陰極のまたはチャイルド・ラングミュア則 (Child-Langmuir

３種類がある．加速方法は 2.2 章でも紹介した静電加law) と呼ばれる．電流 J と電圧の２分の３乗 V 3/2 の速と高周波加速がある．入射器で使用している電子銃

比例係数はパービアンス P と呼ばれ，熱電子中の特は熱陰極静電加速電子銃と光陰極高周波加速電子銃で性を表す量として利用される．

あるが，加速器で使用されるのは大抵はこの２種類で

P =

ある．

J
V 3/2

[AV−3/2 ](74)

熱陰極とは物質を加熱しその熱エネルギーで電子がカソードとアノードだけの単純な熱電子銃を２極管飛び出すことを利用している．ゆえに，仕事関数が低と呼ぶが，それに対して３極管というものも存在する．

く高融点の物質が理想的である．タングステンやタン

２極管ではビームエネルギーを変えるために電圧を変タル，六ホウ化ランタン (LaB6 ) などが利用される．

えるとビーム電流まで 3/2 乗則に従って変化してしま

冷陰極とは，熱することなく電場をかけただけで電う．そこで，電流とビームエネルギーを独立に変化さ

子ビームが得られるもので，カーボンナノチューブのせるために３極管を使用する．これは，カソードの近カソードなどが研究されている．

くにグリッドと呼ばれる網目状の電極を配置して，カ

光陰極 (Photo cathode) は物質中の電子に光子が吸ソード・グリッド間の電圧を変化させることで電流を収されることで電子が仕事関数を超えて，空間中に調整する．図 21 に３極管の構造を示す．ビームのエ

飛び出す光電効果を利用する．照射する光子は高強度

ネルギーは加速電圧で制限されるので，せいぜい数百の紫外光が必要になる場合が多いので，レーザ光が利

keV が限度である．

用される．照射された光子の数に対して物質の外に飛Cathode

び出す電子の数の比を量子効率 (Quantum Eﬃceincy,

Grid

Anode

Q.E.) と呼ぶ．
（光子 100 個で１個の電子が出てきたら
Q.E. は 0.01 となる）
electron

2.5.1

熱陰極静電加速電子銃（熱電子銃）

もっとも世の中で多く使われているのは熱陰極静電加速電子銃であり，熱電子銃といえば大抵はこれである．
（熱陰極高周波加速電子銃も稀に使用される）令和になった今日では少なくなったが，ブラウン管テレビ
は熱電子銃のビームで映像を映し出していた．昭和の䜾䝸䝑䝗㟁ᅽ
䝡䞊䝮㟁ὶ䜢Ỵ䜑䜛䠊ຍ㏿㟁ᅽ䝡䞊䝮䜶䝛䝹䜼䞊䜢Ỵ䜑䜛䠊

後期には一家に一台以上電子銃があったのだ．また，クライストロンの中身は大きな熱電子銃である．熱陰
極静電加速電子銃のビーム電流は当然のことながら

図 21: ３極管構造

2.5.2

光陰極高周波加速電子銃 (RF gun)

高周波加速電子銃は光陰極のものが多く使われる．
これは，高周波加速電子銃が低エミッタンスを生成す

2.6

マグネット

マグネットは磁場を発生させるものである．荷電粒子の磁場に対する運動方程式はる目的に由来することが多いからであろう．高周波電F = q(v × B)

子銃の特徴は，カソード表面に高い電場を与えられる
ことで空間電荷効果を低減することにある．エミッタ
ンス増大の原因に空間電荷効果があり，ビームが非相対論領域で横方向キックを受けることで生じる．空間
電荷効果でエミッタンスが悪化する前に高電場で相対論領域まで加速させてしまうのが高周波電子銃の特徴である．
ただし，もう一つ高周波電子銃のなかでエミッタン
ス悪化の原因のなるものがある．それは，高周波エミッ
タンスとよばれるもので，おもに横方向の電場が時間的に変化することで生じる．これは，ビームのバンチ
内で先頭と後方で集束・発散の受け方が異なり投影エ
ミッタンスが増大することが要因である．
（スライス

(75)

となることから分かる通り，運動方向と垂直な方向にしか力を与えない．すなわちエネルギーを変化させな
い．よって，磁場はビームの方向を制御することのみに使われる．
加速器で使用するマグネットは通常は電磁石を使う．
これは，電流値を変化させることで磁場を容易に制御することができるからである．特殊な用途では永久磁石を用いることもあるが，加速器でマグネットといえば電磁石である．なので，電磁石はその電源も一体として考えるのが普通である．電磁石は加速器全体の消費電力の大きな部分を締めている．

エミッタンスで考えると増大しないと考えることもで

2.6.1

きる．
）
高周波エミッタンスの影響を受けにくくする工夫として光陰極と短パルスレーザを使うことが挙げられる．
つまり，高周波電場が変化するよりも十分短い時間だ
け電子発生を行うという考え方である．図 22 は単純な RF gun の構造を示しているが，基本的にはいくつかの高周波空洞の端に光陰極を配置しておき，レーザポートから短パルスのレーザを加速位相に合わせて照射する．すると，レーザパルス幅とほぼ同じバンチ長の単バンチビームが生成される．一般的には数 MeV

La
serのエネルギーのビーム生成がなされる．

E-field

ソレノイドマグネット

加速器で使用されるマグネットは，「ソレノイドマグ
ネット」と「それ以外」に分類できるかもしれない．
なぜならソレノイドマグネットは唯一ビーム進行方向に積極的に磁場を発生させるものだからだ．加速器でいうソレノイドマグネットは図 23 のような形で，コイ
ルの中にビーム軌道が入っている．一般的にはソレノ
イドとは磁場を発生させる巻線形状のことをいうが，加速器ではそのソレノイドコイルの中にビームが通るかどうかを指す場合が多い．
（ソレノイドコイルをビー
ム軌道の上下に置けばそれは後述するダイポールマグ
ネットである．
）Beam

CathodeBeam

図 22: 基本的な光陰極高周波加速電子銃の構造

図 23: ソレノイドマグネット

ここで式 (75) を見返すとビーム進行方向に磁場を発生させても力が発生しないことを思い出すだろう．一見，ソレノイドマグネットは全く意味がないもののように思える．しかし，ビームは単粒子ではなく粒子群

鉄心であり，ビーム進行方向が z 方向だったとしても個々の粒子は x, y 方向にも運動量を持っている．非常にエミッタンスが大きいビーム，すなわち x, y 方向の運動B量が大きいビームはそのままではどんどん x, y 方向に広がって発散していってしまう．このようなビームの発散をてっとり速く抑えてしまう方法がソレノイド
Coil

マグネットである．粒子が xy 平面で運動量を持っていても xy 平面では円運動をするため，ビームサイズ
がそれ以上広がらない．入射器では，熱カソード DC

図 24: ダイポールマグネット

gun からでたばかりの電子ビームの部分や，ターゲッ
トから出てきた直後の陽電子ビームに使っている（これらは，低エネルギーでエミッタンスが極めて悪い）．

net, Quad-magnet または簡単に Q マグネットなどとまた，クライストロン内部のビーム発散を抑えるためよく呼ばれる．Q マグネットはビームの集束に使わにも使われている．

れる．

少し特殊な例では，磁場を短い区間に集中させた磁

Q マグネットの特徴は，x 方向に集束力を与えると気レンズと呼ばれるような使い方もある．この場合は，き，y 方向には発散力を与えることである．したがっ発散を抑えるというよりはビームサイズを小さく集束て，単体ではビームを集束させることができず，２つさせるものである．これは，磁気レンズの入口，出口または３つの Q マグネットを使うことで，x,y 両方向の垂直方向磁場を積極的に使って集束力を発生させてに集束させることができる．２つの組の Q マグネットいる．

をダブレット，３つの組をトリプレットと呼ぶ．

陽電子ビーム発生ターゲットは Flux Concentratorと呼ばれる強力なソレノイド磁場発生器の中に置かれQ マグネットの磁極の構成を図 25 に示す．この図の原点に紙面と垂直にビームが通過する．Q マグネッている．この詳細については，OHO19 陽電子源で詳

トは図 25 のように４つの磁極を持っているがそれぞ

しく解説がある．

れの磁極断面は双曲線になっている．
y

2.6.2

ダイポールマグネット

ダイポールマグネットは S 極，N 極それぞれ１つづつしかないマグネットのことである．磁場は空間的に一様になることを想定している．

N

S

使用用途に応じて，ベンドマグネットやステアリンr

グマグネットと呼ばれる．ベンドマグネットはビーム
ラインそのものが大きく曲げた形で設計されていて，

xB

その形状に合わせてビームを大きく曲げる目的で使う．
ステアリングマグネットはビームラインは直線である

A

N

S

が，様々な誤差の影響でビームの方向を微調整しなけ
ればいけない場合に使う．
図 24 はダイポールマグネットの例だが，鉄心にコイルを巻いて１組の SN 極を作り出している．

2.6.3

四極 (Quadrupole) マグネット

四極マグネットは S 極，N 極それぞれ２つづつ，計４つの磁極をもつマグネットである．Quadrupole mag-

図 25: Q マグネットの磁極双曲線である磁極で囲まれていた内部のスカラーポ

Iとなる．また Bx = −µCy = −µ0 2N
r 2 y よりテンシャルを ϕ とすると，

H = −∇ϕ2e µ0 N I
d2 x
=−
x
dz 2
γm0 v r2d2 y
2e µ0 N I=−ydz 2
γm0 v r2

(76)となり，∇ · B = µ∇ · H = −µ∇ · ∇ϕ = 0 より

d2 ϕ d2 ϕ+ 2 =0
dx2
dy

(77)

(88)
(89)

が導かれる．この方程式の解は以下のようになる．

√√
x′x =x0 cos kz + √0 sin kz
k
√
√
y0′
y =y0 cosh kz + √ sinh kz
k
√
√
√
′
x = − x0 k sin kz + x′0 cos kz√√√
y ′ =y0 k sinh kz + y0′ cosh kzとなる．この解は，

ϕ = Cxy(78)であるから，

Hx = − Cy(79)

Hy = − Cx

(80)

(90)
(91)
(92)
(93)

2e µ0 N I
ここで，k = γmr 2 ，また，z = 0 で，x = x0 , y =
0v

となる．

となる．ここで，第２項は磁極内の積分を表し，比透y0 , x′ = x′0 , y ′ = y0′ である．これを，マトリックス
表示にすると以下のようになる．
[ ] [√√ ][ ]√1 sin kz
cos kz
x
x0
k √
√
√
(94)
=
′
x
x′0
cos kz− k sin kz[ ] [√√ ][ ]√1 sinh kz
cosh kz
y
y0
k
√
√
= √
(95)
′
y
y0′
k sinh kz
cosh kz

磁率が真空部分に対して十分大きいので第１項に対し

いま，Q マグネットを通過後 fc なる距離を走行したて無視すると次にようになる．
∫ B
∫ B
∫ B
∂ϕ
∂ϕ
dy =
dϕ
−∇ϕ · ds =− dx −
∂x
∂y
A
A
A
(82)

とすると（Q マグネットの z 方向の厚さを zl とする），[ ] [][√ ][ ]√√1 sin kzl
cos kzl
x0
x
1 fc
k
√
√
√
=
′
x′0
x
0 1
− k sin kzl
cos kzl

次に定数 C を求める．１ポールあたりの巻数を N ，
電流を I とし，図 25 に示す閉ループの積分を行うとアンペールの法則より，
I
∫ B
∫ A
2N I = H · ds =H · ds +H · ds (81)A

B

2

ここで，N 極の形状は xy = r /2，S 極の形状は xy =−r /2 であるので，
2

ϕA − ϕB =Cr(96)となり，集束方向の焦点距離は x′0 = 0 に対して x = 0となる fc を求めればよいので

2

2N I
C= 2
r

1
√
fc = √
k tan kzl

(83)
(84)

(97)

となる．

である．

さらに，ここで Thin lens 近似を行う．これはレン

次に，電子の運動を考える．電子が紙面の裏から表ズの作用をするが厚さが 0 とみなす．つまり，kzl を一へ通過するとして，運動方程式を考えると以下のよう定として zl を限りなく 0 に近づける．すると行列は，
[
]
√ ] [
√
√1 sin kzl
cos kzl
1
0
k √
√ 2
√
√
=
− k zl 1− k sin kzl
cos kzl

になる．

d2 x
=evBy
dt2
d2 y
γm0 2 =evBx
dt

γm0

(85)
(86)

ここで，m0 :電子の静止質量，e:素電荷，v:電子の速√度，γ = 1/ 1 − β 2 (β = v/c) である．v が一定で
あるので，
2
d2 x
2d x
=
v
dt2
dz 2

(87)

[

√
cosh kzl√√
k sinh kzl√ ] [√1 sinh kzl
1
k
√
=
kzl
cosh kzl

]
0
1

(98)
(99)

となる．集束，発散のそれぞれのマトリクスは，
[
]
[
]
1 0
1 0
MF =
MD = 1(100)− f1 11f表されるので，Q マグネットは f = kz1 l である．Q マ
グネットの性能の指標としてよくこの k が使われる．
ここで示した k は，一般的に K 値と呼ばれる．マグ
ネットの厚みも合わせて KL などもよく使われる．

3

KEK 電子陽電子入射器棟
KEK の電子陽電子入射器棟は加速管を並べた 600

3.1

加速管

入射器で使用している加速管は，すべて 2 m の 2π/3

mode の定電界型の進行波管である．これらの加速管は PF 2.5 GeV 入射器時代 1980 年から 1981 年に製造された約 160 本のものと，KEKB 増強時代 1999 年までに作られた約 70 本がある．これらは，電気鋳造法という方法で製作され，ほぼ同じ性能であった．例外
的に，陽電子集束部分に使われている LAS が 10 本あm にも及ぶビームラインであるが，そのビームライン
もいくつかの単位に分けられる．基本的にはクライス

り，これは 2013 年頃導入されている．

トロンと 4 本の加速管で 1 unit と呼ばれ，この同じ加いもの（直径 24.9 から 20.9 mm）から狭いもの（23.7

速 unit が繰り返し並びビームラインを形成している．

から 19.7 mm）がある．ただし，全長は 2.072 m, 空

加速 unit は１つのクライストロンを中心としたもの

洞数 54 個と統一されており，加速電圧 40 MV を見込で，すなわち立体回路系でつながっている単位である．

んでいる．図 27 はカットモデルの写真であり，図 28

そこにはクライストロンから導波管を通して４つの加に加速化の全体図を示す．減衰定数 τ = αl は 0.302

速管が接続されている．これら４本の加速管は独立にから 0.368，フィルングタイムは 0.46 から 0.56 µsec

位相を変えることはできず，設計段階で位相がそろうとなっている．

加速管はいくつか種類があり，ビームアパーチャが広ように計算されている．さらに，この加速 unit を８個並べたものを sector 呼び，A, B, C, 1, ... 5 sectorの８個の sector が存在している．B sector と C sectorの間には R sector があり，ビームを 180 °曲げている．
このアーク部分を J-arc と呼んでいる．A, B sector は
北から南に向かってビームを加速するが，C sector からは南から北に向かって加速する．
クライストロンを識別するためには B1, 12, 54 な
ど sector と unit 番号を使うことができる．さらに加速管はその後に 1 から 4 の番号で識別できる (12 3 加速管などと呼ぶ) ．例外的に A sector は電子銃を含
み 4 unit までしかなかったり，ビームライン最終には 61 クライストロンが存在していたりするので，厳密には全く同じものが並んでいるわけではないが，基図 27: 加速管カットモデル写真本となる単位が繰り返される．

1 sector には陽電子生成用のターゲットがある．ター
ゲットは陽電子集束磁場を作るための FC(Fulx Con-

centrator) の中に設置され，その下流は通常の加速管ではなく LAS(Large Apature S-band) と呼ばれる大口径の加速管になっている．2 sector と 3 sector の間には電子，陽電子振り分け用のシケインマグネットが置かれ，陽電子はダンピングリングに入射される．
ダンピングリングでエミッタンスが小さくなって出射された陽電子は再び，電子ビームラインと合流して 3

sector に入る．3 sector 以降はすべてのマグネットがパルス化されているので，電子と陽電子では独立のオプティクスを組むことが可能となっている．これら全体図を図 26 に示す．

3.2

入射部

入射器は加速ユニットの繰り返しでビーム加速を可能にしているが，同じ形のユニットでどこまでも加速可能であるのは電子ビームがほぼ光速とみなしてよい速度であるためである．しかし，標準ユニットに突入する前に，電子を発生させてほぼ光速まで加速させる
セクションが必要である．電子銃を含むその部分を入射部と呼んでいる．

㻰㻯㻌㼓㼡㼚

㻭㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

㻲㻯㼀㼍㼞㼓㼑㼠

㻯㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

㻾㻲㻌㼓㼡㼚

㻰㼡㼙㼜㼕㼚㼓㻌
㻾㼕㼚㼓㻾㻲㻌㼓㼡㼚

㻾㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞
㻔㻶㻙㼍㼞㼏㻕

㻮㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

㻸㻭㻿㻝㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

㻞㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

㻟㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

㻠㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

㻿㼑㼏㼠㼛㼞㻌㻔㻷㼘㼥㼟㼠㼞㼛㼚㻌㼤㻤㻕㻟㻌㼐㻮㻌䝝䜲䝤䝸䝑䝗㻾㻲䝟䝹䝇䝁䞁䝥䝺䝑䝃䞊ຍ㏿㼁㼚㼕㼠

䝎䝭䞊䝻䞊䝗

䜽䝷䜲䝇䝖䝻䞁

ᆅୖ䝁䞁䜽䝸䞊䝖㐽ⶸᆅୗຍ㏿⟶ 㼤㻠

図 26: 入射器全体，Sector, 加速 Unit㻡㻌㼟㼑㼏㼠㼛㼞

図 28: 加速管の全体図
入射部は２種類の電子銃を使い分けている．すなわ

はクライストロンと同程度の数 usec，グリッドパルス

ち，熱陰極静電加速電子銃と光陰極高周波加速電子銃が 2 nsec である．この 2 nsec のビームを入射器で使である．

用する S-band 加速管で単バンチ加速が可能な 30 psec

KEK 入射器では，古くから静電加速熱電子銃が使程度まで圧縮する．バンチの時間幅をせまくすること

われてきたが，SuperKEKB 入射にむけて新たに光陰をバンチ圧縮またはバンチングという．とくに DC 電

極高周波電子銃を開発した．SuperKEKB HER が要子銃で発生したビームはまだ相対論領域には達してい求するのは 4 nC, 20 mm-mrad という高電荷，低エないため速度差によるバンチ圧縮，ベロシティーバン

ミッタンスの電子ビームであり，光陰極高周波電子銃

チングが可能である．入射器では SHB1, SHB2, プレはこのスペックに特化している．そのため，HER 用

バンチャー，バンチャーというコンポーネントを使っのビームのみ光陰極高周波電子銃 (RF gun) で，そのてベロシティーバンチングを行っている．

他のビームは静電加速熱電子銃で生成している．RF

電子銃の加速電圧は 200 kV であるが，このようなgun の増設に伴って，入射部のビームラインを２階建

高電圧を 2 nsec という短パルスで制御するのは現実的て構造にした．入射器のビームラインのレベルに RFではない．そこで，数百 V 程度の電圧を 2 nsec で制

gun を増設し，従来の熱電子銃には高いレベルに移動してもらった．それらの下流にて，24 deg ベンドラ

御し，グリッド電圧とすることでビームのパルス幅とインを介して熱電子銃ビームが合流するようなビーム用している電子銃の概略を図 30 に示す．図に示す通ラインを組んでいる．２階建てラインを図 29 にしめりこの電子銃は２つのパルス電源を組み合わせた三極

す．合流ラインのベンドマグネットはパルスマグネッ

管であり，メインの加速電圧を作る部分はクライスト

トになっており，Pulse to Pulse での打ち分けが可能

ロンモジュレータとほぼ同じ仕様である（実際に現在となっている．

はクライストロンモジュレータを転用している）．さ

ビーム電流を制御する方式をとる．実際に入射器で使らに高圧側に高速のパルス電圧発生器を乗せてグリッ3.2.1

プライマリー電子ビーム入射部 - 熱カソード

DC gun と Buncher 部-

ド電圧としている．グリッドにはビームを出すとき以
外は bias と呼ばれる逆電圧をかけており，けしてビー
ムがでないようにしている．

SuperKEKB 陽電子ビームの陽電子源は電子ビーム

カソードは熱カソードであり，電場制限領域で使用をターゲットに当てて生成している．そのため，陽電される．すなわち，Grid 電圧でビーム電流を制御で子プライマリー電子ビームは 10 nC の高電荷が求めきる．電荷量が低いビーム (PF 入射用ビームなど) のれれる．この高電荷電子ビームを発生させるために静ためには Grid 電圧を低くすることで対応している．

電場加速熱陰極電子銃を使っている．ただし，静電場

電子銃から出てきたビームは 2 nsec 程度のバンチ長加速と言っても発生させる実際の電子ビームは 2 nsecを持っている．加速周波数 2856 MHz では波長は 350程度になる．この電子銃は三極管であり，高圧パルス

psec 相当であり，このまま加速管に入射しても 5, 6

図 29: 熱電子銃と RF gun の２階建てライン

Cathode

V

Grid

Anode

Ϭ͘ϴ

bias

2 ns

t
electron-100 ~ -500V

ĞƚĂ;ǀͬĐͿ

Ϭ͘ϳϱ

o

Ϭ͘ϳ
Ϭ͘ϲϱ
Ϭ͘ϲ

'ƵŶ,sϮϬϬŬs

Ϭ͘ϱϱ

V

Ϭ͘ϱ

o
4 us

t

Ϭ͘ϭ

Ϭ͘ϭϱ

Ϭ͘Ϯ
Ϭ͘Ϯϱ
ŶĞƌŐǇ΀DĞs΁Ϭ͘ϯ

-200 kV

図 31: 電子エネルギーと速度
図 30: 入射器静電加速電子銃の概略長が決定される．Buncher を出た時点でビームは 20
バンチに分かれてしまう．そこで，低い周波数の単空
洞の加速空洞を用いてバンチ長を縮めていく．この低

MeV 以上になっており，速度は光速に達しているため
バンチ長はその後（基本的には）変化することはない．

とよぶ．SHB は２種類使っており，114 MHz(波長 25

PreBuncher と Buncher は独立な 2/3π モードの進行波加速管であり，それぞれ独立に RF パワーと位相を倍，周期 8.77 nsec) の SHB1 と，571.2 MHz(波長 5調整できる．図 32 に PreBuncher と Buncher セルの倍，周期 1.75 usec) の SHB2 がある．まず SHB1 でバ

位置関係を示す．PreBuncher は 200 keV に調整されンチ長を 1/5 にして，SHB2 でさらにその 1/5 にしてたセルのみで構成されており加速はしない．Buncher

2856 MHz の加速空洞に入射するという発想である．

の中で徐々にセルのサイズが変わっていきビームが加SHB では基本的にはビーム全体を加減速させることはなく，RF のゼロクロスに入れてビーム先頭を減速，ビーム後方を加速する．図 31 は 200 keV 付近の速されていく．

エネルギーと速度の関係であるが，数十 keV のエネル

うにしている．図 33 に GPT で計算したバンチ圧縮

い周波数の加速空洞を SHB(Sub Harmonic Buncher)

これら SHB から Buncher まではソレノイドマグ
ネットの中に置かれ，ビームが横方向に発散しないよギー差をつけてやれば十分な速度差が発生することがの結果のグラフを示す．計算上はシグマで 7 psec まわかる．SHB1 と SHB2 の距離は 1300 mm で，SHB2で圧縮できる結果となっている．

から PreBuncher までは 300 mm である．

実際の調整は，ストリークカメラでバンチを測定しSHB1, 2 で圧縮されたバンチは，加速管と同じ共振つつ，SHB1, 2, PreBuncher, Buncher の RF パワー

周波数の進行波管である PreBuncher に入射され，さと位相を調整し単バンチかつビームロスがないようならに圧縮される．そして，最終的には Buncher に入状態に持っていく．陽電子プライマリー電子ビームは射されバンチ圧縮と加速を同時に行いビームのバンチ

１バンチあたり 10 nC のビームを生成する．これらをWƌĞďƵŶĐŚĞƌ

ƵŶĐŚĞƌ ĐĞůůƌŝĨƚϭ͘ϮϱDsͬŵZĞŐƵůĂƌĐĞůůǆϮϵϮϬDsͬŵ

図 32: PreBuncher と Buncher セルの位置関係

^,ϭ
400
350
300

^,Ϯ

stdt [ps]250200WƌĞďƵŶĐŚĞƌ

150

ƵŶĐŚĞƌ

100
50
0
0.0
GPT

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

position [mm]図 34: 熱電子銃 10 nC ビームを調整したバンチ長を
図 33: 熱電子銃ビームバンチ圧縮の計算結果 (GPTストリークカメラで測定した結果

計算)の端がカソードになっていて，カソードそのものに高調整して１バンチに圧縮し，ストリークカメラで測定した結果を図 34 に示す．

周波加速電場が印加される構造である．
レーザの詳しい説明は本 oho19 の 5-1「RF 電子銃
及びレーザー光源」にあるのでそちらを参照してほし

3.2.2

RF gun による電子ビーム入射システム

い．ここでは，入射機の LLRF との関係を説明したいと思う．レーザ光のおおもとになっているのは発振器

光陰極高周波電子銃は SuperKEKB で要求される低であるがこれは 114 MHz で発信しており，入射器でエミッタンス電子ビームを生成するために開発された

使用している 114 MHz に同期させている．114 MHz

もので，従来の熱カソード DC gun の入射部とは全くは入射器で使用する基本周波数の一つであるとともに違う思想になっている．DC gun からのビームは低エファイバー発振器にとって発信が容易な周波数である．

ネルギーの長バンチビームを数メートルに渡って徐々発振器は 114 MHz であるが，2856 MHz(加速周波数)にバンチ圧縮していったが，光陰極 RF gun は最初かでも再同期を行い位相安定度を高めている．発振器か

ら短パルスのレーザによって単バンチを作り出し，そら出た 114 MHz に同期した約 20 psec のレーザパルの瞬間に高電場で加速し数 mm のうちに相対論領域

ス (繰り返しが 114 Mpps, パルス幅 20 psec という意

までビーム加速を行う．つまり，バンチ長はレーザパ味) はファイバーアンプで増幅される．ファイバーア

ルスで決め，空間電荷効果でエミッタンスが悪化する

ンプの途中で SOA という機器で 114 MHz から 10.38

前に高電場でビームを加速する．

MHz にパルスが 1/11 に間引かれる．10.38 MHz も入RF gun は，一般的には数セルから成る定在波空洞

射器の基本周波数でビームトリガの最小単位である．

ファイバーアンプとしてはもっと繰り返しを低くしてパルスあたりのエネルギーを上げたほうが効率がよい
が，ビームに同期する最小単位が 10.38 MHz なので，

CW で増幅するファイバーアンプではここが限界である．次に個体アンプの増幅になるが，これは，パルスアンプなのでビームに同期した 50 Hz で運転する（19
年現在は 25 Hz にとどめている）．10.38 MHz から実際に増幅するパルスを取り出すのはポッケルスセルを使用している．個体アンプは LD(Laser Diode) を使ってポンプを行うが，増幅パルスが有り無し（ビームを出すかどうか）にかかわらず 50 Hz で運転を続ける．

図 36: 疑似進行波型サイドカップル空洞

これは，加速管スタンバイと同じ理由で熱負荷を一定に保つためである．実際のビーム発生に同期している

実際の RF gun は７つの加速空洞と５個の結合空洞のはパルス選択のポッケルスセルだけである．２バン

をもっており，図 37 のような加速電場になる．この

チ発生はポッケルスセルのゲートを広げて 10.38 MHzのパルスを２パルスに増やすことで対応する．生成さRF gun の設計思想は，空洞表面には電場集中を起こさないような形状かつ高い加速電場を得ることを目標れたレーザパルスは基本はの 1064 nm の４倍高調波に，最大表面電場強度がカソードセルでは 120 MV/m，266 nm に変換されて RF gun に入射される．

レギュラーセルでは 100 MV/m 以下になるようにしRF gun は非常に特殊な空洞の開発が行われ，サイドカップル空洞を軸上に２つ配置した擬似進行波型とている．

呼ばれる空洞が新たに開発された．サイドカップル空洞は陪周期構造と呼ばれる π/2 mode 空洞の特性を持つ加速空洞である．陪周期構造は，付録 C を参照していほしい．これは 5 nC のスペースチャージによる発散力に対する集束電場を得ることを目的に開発された．
例えば，図 35 のように加速ギャップを狭くしたサ
イドカップル空洞では必然的にドリフトスペースが長

図 37: 擬似進行波型サイドカップル RF gun の加速空

くなり，効率的な加速方法とは言えない．そこで，図洞の２次元電場計算結果

36 のようにドリフトスペースに当たる部分に独立したもう一つのサイドカップル空洞を配置してやる．更に，この２つの定在波空洞に π/2 だけ位相差をつけてRF を投入すればビームからみると進行波に乗っているように見える．故にこの構造を擬似進行波型サイドカップル空洞と呼んでいる．この構造は非常に効率よ
く加速とビーム集束とを行うことができる．

この加速空洞で 5 nC のビームを生成した場合の計算結果を図 38, 39 に示す．グラフの 0 mm の点がカソードであり，RF gun の出射口は 200 mm のことろである．カソード径は 8 mm で，カソードからの発生
電子は 20 psec の矩形パルスを想定している．図 38 の結果からわかるように規格化エミッタンスが 5.5 mm-

mrad 程度になる．ビームサイズの変化のグラフを見て分かる通り，カソード付近で集束力をうけてビーム
サイズが縮んでいる．これは，外部磁場無しの計算なので，空洞内の集束電場の影響である．ビームエネル
ギーは 11.5MeV 程度になる．これらのシミュレーショ
ンは GPT 2 を用いて行われた．
結合空洞を含めた空洞全体の形状は図 40, 41 のよう
図 35: 通常のサイドカップル空洞になる．ビーム軸に対して 60 °の方向にレーザポート
2 General Particle Tracer ３次元ビームトラッキングシミュレー
ションコードが設けられており，ここから，カソードにレーザが照射される．空洞は２つの定在波空洞からなるので入力
導波管が２つあり，π/2 だけ位相差をつけた RF が投Emittance [mm-mrad]

1412

入される．空洞内で消費される RF パワーは 13.4 MW10を想定しており，入力 RF は反射も含めて 20 MW を8要求している．結合空洞との結合係数は 3 %となるよ6

うに設計されている．

4
20size [mm]

0

100

200

300

400

500

600

700

1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

800

900

1000

900

1000

900

1000

stdx
stdx

0

100

200

300

400

500

600

700

800

std energy

14
Energy [MeV]

12
10
8
6
4
2
0
0

100

200

300

400

500

600

700

800

z [mm]

図 40: 空洞の真空部分形状
図 38: 擬似進行波型サイドカップル RF gun 5 nC ビー
ム加速シミュレーション結果．

time=2.48098e-009

Energy [MeV]

11.7
11.6
11.5
11.4
11.3

728
GPT

729

730

731

732

733

z

図 39: 擬似進行波型サイドカップル RF gun 5 nC ビー

図 41: 空洞の真空部分形状（カソード方向から見た図）

ムシミュレーション結果．生成ビームエネルギー分布．
図 42 は実際の形状の断面図である．図 43 は実際の形状で，導波管が２つついているのがわかると思う．
この２つの導波管の先には 3 dB ハイブリッドが取り付くようになっており，自動的に π/2 の位相差になっ射（カソードの正面からレーザを照射する）も検討さて RF が入力されるようになっている．

れたが，カソード径より擬似進行波型サイドカップル

RF gun のビームホールが小さいため新たな RF gunが検討された．
擬似進行波型サイドカップル RF gun とは別に設計させれたのが CDS(Cut Disk Structure) RF gun である．CDS 空洞も陪周期構造である．これは，軸上に配置された結合空洞に磁場でカップルさせ，軸上では電磁場的に分離させた構造であり，図 44 のような基本形状をしている．この CDS RF gun は５つの加速空洞をもっており，図 45 のような電場が発生する．ビー
ムトラッキングシミュレーション結果は図 46 のようになるが，エミッタンスは 7 mm-mrad 程度と概ね良好な結果となっている．

図 42: 擬似進行波型サイドカップル RF gun 断面図

図 44: CDS 空洞の基本形状

図 45: CDS RF gun の加速空洞の２次元電場計算結果

図 47 は RF gun 本体の断面図である．カプラーは
円筒導波管から結合する形にしているので，実際には
図 43: 擬似進行波型サイドカップル RF gun 形状

矩形導波管からモードコンバータを介している．モードコンバータも含んだ断面図を図 48 に示す．
２つの RF gun は同じ高さのレベルに置かれ，QTW

擬似進行波型サイドカップル RF gun は 60 °の方

RF gun が入射器ビームライン上に置かれているのに向に傾いたレーザポートからレーザを照射するが，こ対して，CDS RF gun は 90 °方向を向いて置かれてのようにすると，レーザから見てカソード面が斜めにいる（図 49）．これは，0 °入射のレーザポートを確なっており，レーザから見てカソード面の手前の方か保しつつ，２つのベンドマグネットでディスパージョ

らビーム発生がはじまり，結果的に斜めのビームが生ンを消した合流ラインを組むためである．

成される．現在は左右から同時にレーザを照射するこ

どちらの RF gun においても 1 nC 程度のビーム発とにより，非対称を緩和している．しかし，カソード

生において 10 mm-mrad 程度の規格化エミッタンスを

面は 8 mm, レーザに対して 30 deg なので，端から端達成している．RF gun から出射されたビームはまずまで 22.8 psec かかるので，レーザパルス幅 20 psec

加速管を通過したあとシケインを通る．このシケインに対しては斜め入射は不利である．そこで，0 deg 入はバンチ圧縮のために使われる．熱電子銃のビームとEmittance [mm-mrad]

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0

100

200

300

400

500

600

700

3.5

800

900

1000

900

1000

stdx
stdx

3
size [mm]

2.5
2
1.5
1
0.5
0
0

100

200

300

400

500

600

800

std energy

14
Energy [MeV]

700

12

図 48: CDS RF gun にモードコンバータが取り付い

10

た状態

8
6
4
2
0
0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

z [mm]

図 46: CDS RF gun 5 nC ビーム加速シミュレーショ
ン結果

図 49: RF gun 入射部ビームライン（上から見た図）
図 47: CDS RF gun 断面図

異なり RF gun から生成されたビームはすでに相対論
ナジースロープを付けて起動差で圧縮する）を行わな

入射器のマスターオシレータ (Linac MO) も SuperKEKB のメインマスターオシレータ (Main MO)
により同期されている．このは Main MO は 510 MHz

ければいけない．加速管のスロープに乗せて，時間方であり，そこから 1/51 の分周器を経て 10 MHz になっ領域に達しているため，R56 による圧縮（ビームにエ

向にエネルギースロープをつけてシケインの軌道差でたものを Linac MO に送っている．この 10 MHz に圧縮を行っている．その後が，熱電子銃のビームライ

同期した 571.2 MHz が入射器のマスターオシレータ

ンとの合流点になっており，またその直後がストリー(Linac MO) である．SuperKEKB Main Ring のマス
ターオシレータ (MR-MO) も Main MO に同期したクカメラでのバンチ長測定点となっている．

508.9 MHz となっている．

3.3

高周波システム3.3.1

Low Level RF

クライストロンモジュレータ

3.3.2

モジュレータとは，クライストロンにパルス電流を入射器で使用される高周波源はクライストロンであるが，クライストロンの特徴の一つに他励発信がある．
これは，高周波位相を制御するために都合がよく，低いパワーの入力 RF の制御が大電力出力 RF 位相の制
御に直結する．Low Level RF (LLRF) とは，低いパ
ワーの RF の制御の意味で，大電力増幅器（クライストロンなど）の入力 RF 制御を指し示す．

供給する電源のことである．クライストロンは 305 kV,

360 A の高電圧大電流のパルス電源を必要とする．この大電力パルスを商用電源から作り出す役目を担うのがクライストロンモジュレータである．クライストロ
ンモジュレータについては OHO17「マイクロ波電源」に詳しく解説があるので参照してほしい．モジュレータの主な構成は，

ビームは S-band 2856 MHz の加速管で加速するので，入射器全体に渡っての S-band RF 位相安定度は非常に重要である．また，DC gun においては，バン

1. 高電圧充電回路
2. PFN(Pulse Forming Network)

チングに寄与する SHB やバンチャーの位相がビームのタイミングを決める．RF gun においてもレーザを同期させているので，こちらもビームのタイミングを担っている．

LLRF は入射器全体の RF を制御する元となっているので，すべての元となる発振器を持っており，これ

3. 高電圧大電流スイッチ（サイラトロン）
4. パルストランスの４つからなり，非常に簡略化して回路図にすると図51 のようになる．

をマスターオシレータ (Mastor Oscillator, MO) とよ䝰䝆䝳䝺䞊䝍⟂య

ぶ．入射器のマスターオシレータはメインリングのの加速周波数であり，制御クロックにも使用される．

10.384 MHz は MO 周波数の 1/55 倍にあたり，２バ
ンチビーム間隔あり，またビームトリガ間隔の最小単位でもある．114.24 MHz は MO 周波数の 1/5 倍に䜽䝷䜲䝇䝖䝻䞁

㻟㻜㻡㻌㼗㼂

㻞㻞㻚㻡㻌㼗㼂

逓倍されて作られる．MO 周波数は，SHB2 の SHB1

䝃䜲䝷䝖䝻䞁

れを元に，10.384, 114.24, 2856 MHz の RF が分周㻠㻡㻌㼗㼂スターオシレータの周波数は 571.2 MHz であり，こ㻼㻲㻺㻠㻚㻢㻡㻌Ω

඘㟁ᅇ㊰

マスターオシレータに同期されている．入射器のマ㻝㻌㻦㻌㻝㻟㻚㻡㻢䝟䝹䝇䝖䝷䞁䝇

図 51: 簡略化したクライストロンモジュレータ回路図（サイラトロンとクライストロンは等価回路）

あたり，SHB1 の加速周波数であり，制御クロックにも使用さ，またレーザオシレータの周波数でもある．
高電圧充電器は，200 V 三相の入力電源を 43 kV

2856 MHz は MO 周波数の 5 倍にあたり，加速管の加速周波数である．マスターオシレータを含むメインスの直流に変化する部分で，この電圧が PFN のコンデテーションよりどのように RF を分配しているかを図

ンサが充電される．PFN はコンデンサとインダクタ

50 にしめす．

ンスからなる梯子回路で，矩形波を作り出す装置である．実際の PFN を図 52 に示す．これは，20 段の LC^ĞĐƚŽƌϭ

ϴϬŵ

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ĞнĐĂƉƚƵƌĞƐĞĐƚŝŽŶ

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000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
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Z 'hE Ž ŽǁĞŵ Ŷ Ğ ϱŶ ďĞ ŵ

Z
ŽŶ
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Kͬ

^Ͳϱ

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Ś ŵďĞ

Z
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Ž W Z ϲ ϱ 'ĞsŽ Z
ϰ Ϭ 'Ğs ϰŶ y Ϯ

000 00 00 00 00 00 00
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000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
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000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

00000000000000000000 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
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0000000000000000000000
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0000000000000000000000
0000000000000000000000

000 000 000 000 000
000 000 000 000 000

図 50 LLRF

はしご回路を並列にしたもので，インダクタンス 1.3µH とコンデンサ 15 nF をそれぞれ 40 個づつ使っている．充電回路は PFN のコンデンサに高圧を充電していくが，クライストロンは 50 pps で運転するので20 msec 以内（実際は 18 msec 以内）で充電を終わらせればよい．この時間スケールで考えれば充電回路か㻸㻝㻌㻝㻚㻟㻌㼡㻴
㻯㻝
㻝㻡㻌㼚㻲

㻸㻞

㻸㻞㻜

㻸㻟
㻯㻞

㻯㻟

㻯㻞㻜

ら見た PFN は 600 nF のコンデンサとなる．コンデ
ンサに充電が終わればサイラトロンが ON される．サイラトロンは回路的に見ればただのスイッチである．
ここで，電圧が溜まった PFN に負荷がつながることになる．PFN のインピーダンス Z は

図 52: 入射器モジュレータで使用している並列型 PFN

Z=

√
L/C

(101)

より，9.3 Ω となり，それが２並列になっているので4.65 Ω となる．図 52 を見て分かる通り，PFN とは伝送線路の等価回路を集中定数回路で再現したものである．実際の PFN 写真を図 53 に示す．よって，マッチングされたインピーダンスを負荷にすれば，反射無し
で回路に溜まったエネルギーを伝えることができる．
電圧が溜まった PFN は進行波と後退波が一定電圧の定在波を作っていると見ることができるので，まず，進行波が負荷に流れ込み，その後，終端で反射された
後退波が負荷に流れ込む．そのため，充電電圧の半分の電圧が負荷にかかる．パルス幅 t は，√
t =2N LC(102)

より，5.6 µsec となる．このように作られた 22.5 kV,

4.8 kA, 5.6 µsec のパルスはパルストランスを通してクライストロンに送られる．パルストランスは PFNとクライストロンのインピーダンスを合わせるように巻数が選ばれており 1 : 13.56 の比になっている．ク
ライストロンには 305 kV, 360 A のパルスが印加される．
充電回路の部分は，２種類のものがあり，入射器建設当時から使用している共振充電方式と比較的新しく導入されたインバータ方式がある．インバータ方式のモジュレータは格段に小型され，技術の進歩が見て取
図 53: 入射器モジュレータで使用している並列型 PFN

れる．現在は 14 台はインバータ方式のモジュレータ

写真が導入されているが，ほとんどは共振充電方式である．

3.3.3

High power RF システム

前述したようにクライストロンには大電力が送られ，50 MW 級の RF 出力が得られる．入射器で使用しているクライストロンは，三菱電機 PV-3050 および東

芝 E3730A であり，その仕様を表 2 に示す．KEK 入
射器のクライストロンの解説に関しては，OHO2002「4 . 高周波源」や OHO2017「3. 高電力クライストロン」に詳しい解説があるので参照していほしい．

50
10

MW
kW

4
310
2.1

µsec
kV
µP

51
45

dB
%

平均出力
パルス幅
ビーム電圧
バービアンス
利得
効率

陽電子は 10 nC, 3.3 GeV の電子ビームをタングス
テンターゲットに衝突させることで生成する．発生した陽電子はバラバラな方向に発散してしまうので非常に強い磁場で集束を行う．強力な集束磁場を発生

表 2: クライストロン仕様
周波数2856 +/- 1 MHz
ピーク出力

陽電子ビーム生成

3.4

する装置が FC(Flux Concentrator) であり，これはSuperKEKB に向けて新たに導入された装置である．
FC の詳細については本 OHO19「6. 陽電子源」を参照していほしい．
図 55 に FC とその周りの概略図を示す．FC はビー
ムライン上に置かれているが，その中にあるターゲッ
トは 3.5 mm ほどビームラインからずらしている．これによって，入射用の電子ビームは中心の穴を通すようにできる．プライマリービームはパルスステアリン
グマグネットで蹴り出してターゲットに当てる．

クライストロンへの入力 RF は 600 W で飽和点で使用している．さて，クライストロンの出力 RF パル
ス幅 4 µsec に対して，加速管のフィリングタイム約

0.5 µsec はずいぶんと短い．これは，クライストロン
から出力をそのまま加速管に入力するのではなく，パルス圧縮器を通してピーク電力を上げるためである．
入射器で使用しているパルス圧縮器は SLED(SLAC

Energy Double) というタイプである．SLED の詳し
い解説は OHO2002「加速管」にあるので参照していほしい．SLED は一旦空洞に RF を溜め込んで，位相図 55: 陽電子生成のための装置の概略図

を反転させることによって一気に溜まったエネルギーを取り出すものである．構成は，Hybrid を通して２つの空洞がつながったものである．概要を図 54 に示す．これにより，フラットなパルスが鋭く圧縮されて㻾㻲㻌㼜㼔㼍㼟㼑

㻯㼍㼢㼕㼠㼥
㻝㼠㻷㼘㼥㼟㼠㼞㼛㼚

㻯㼍㼢㼕㼠㼥
㻞

各種モニターとビーム計測

入射器棟ではビーム調整のための様々なモニターを
ຍ㏿⟶䜈

使用している．ビームを非破壊的にモニターできるような計測器は運転中は常にデータを取り続けているし，

㻼㼛㼣㼑㼞

㻼㼛㼣㼑㼞

まで加速されてダンピングリングへ入射される．

3.5

㻟㼐㻮㻌㻴㼥㼎㼞㼕㼐㼠

生成された陽電子ビームは，LAS を通り 1.1 GeV

ビームを破壊的に測定するものでも適宜測定を行う．
㼠

運転立ち上げの時期には，あらゆる測定を行いながらビームを作っていき，リングへの入射が始まれば，非図 54: SLED

破壊のモニターを駆使して安定運転を保つようにしている．

加速管へ入力されるので，タイミングをビームと一致されることが重要になる．実際には RF のタイミングをサーチしてビームが最も高いエネルギーになるとこ
ろを探す．

3.5.1

BPM (Beam Position Monitor)

ビームの位置を非破壊で測定する装置として

BPM(Beam Position Monitor) が使われている [7]．定性的に原理を説明すると，BPM の断面は図 56(a) の

極信号のバランスが崩れるかをワイヤーを通した校正

ように４つの電極が外部のケーブルにつながっている

装置で事前に測定しておき正確なビーム位置を割り出ものである．ここにビームが来ると図 56(b) のようにせるようにしている．

電極にミラーチャージが発生するので外部から電流が流れ込むことになる．そしてビームが通り過ぎたあとは溜まっていた電荷が逃げるので最初とは逆の電流が発生する．したがって，ビームが通過するとビームの入射器では，2014 年頃から信号処理システムの改善を行い，3 µm の分解能を達成している [8]．
図 58 は実際の運転で使用されている BPM を利用して軌道を観測するパネルである．

極性と同じ電圧が発生し，次にその逆の電圧が発生する．電子ビームが通過すればマイナス，プラスの順に電圧が発生し，陽電子の場合はマイナス，プラスの順
である．

3.5.2

ストリークカメラ

ストリークカメラはビームの時間方向のプロファイ
ルを測定するための装置である．破壊的な測定ではあるが，現在入射器棟で唯一時間方向のプロファイルを-I測定できる装置である．ビーム運転ではビームのバンI

チ長を測定する目的で使用される．
ストリークカメラは光の時間方向の長さを測定する装置である．したがって，ビームの時間情報を変えD ࣅ࣮࣒ࣃ࢖ࣉ࡜
⤯⦕ࡉࢀࡓ㸲㟁ᴟE ࣅ࣮࣒ࡀ᮶ࡿ࡜㟁ᴟ࡟࣑࣮ࣛࢳ࣮ࣕࢪࡀ
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ฟࡿ

図 56: BPM の概念図

ずに光に変換する必用がある．そこで，OTR(Optical

Transition Radiation) を利用する．ビームを鏡面仕上げにした金属面に当てると OTR により，ビームと同じ時間成分の光が発生する．その光をストリークカメ
ラまで導き，バンチ長を測定する．その様子を図 59 に示した．ストリークカメラの中では，光電面で光が電䝇䝖䝸䝑䝥⥺㊰

䝡䞊䝮䝟䜲䝥

子に変換される．その電子は，電圧をかけられて電子ビームとなりスイープ電極により横方向に蹴られる．

㻮㼑㼍㼙

これで，時間情報が空間情報に焼き直される．
（この過程は，アナログオシロスコープの原理に似ている．
）
㻿㼕㼓㼚㼍㼘

最終的には蛍光面のプロファイルを観測することにより，ビームの時間方向を測定できる．

図 57: ストリップライン型の BPM

ストリークカメラでビームを測定する過程は，面白い過程をたどっていて，電子ビー ム → 光 → 電子ビー

入射器で使用している BPM 電極は図 57 のように，
外部ケーブルとインピーダンスを合わせたストリップ
線路になっており，発生する電圧の正負逆転の時間ス
ケールはストリップ線路の長さで決まる．時間はスト
リップ線路の長さ L ならば, 時間 t = 2L/c となる．実ム → 光と変換が行われている．
入射器では，A sector, C sector, 3 sector にストリー
クカメラを設置している．特に A sector のストリー
クカメラは高性能で，レーザのパルス長の測定にも使用している．

際の線路の長さは 135 mm なので，信号の時間は 0.90

nsec になる．ビームの位置が中心からずれるとビームに近い電極の信号の振幅が大きくなる．右にビームがずれれば右の電極信号が左より大きくなるし，上にずれれば上の電極の信号が大きくなる．このように４電極のバランスを見ればビームの位置を知ることができる．また４電極の信号振幅の合計はビームの電荷量に比例するのでビーム電荷量も知ることができる．実際には，事前にビームの位置がずれた場合にどの程度電

3.5.3

スクリーンモニター

スクリーンモニターはビームが当たると発光する物
質をビームラインに挿入してそれをカメラで観測することでビームのプロファイルを測定するものである．
スクリーンモニタはビームをスクリーン（発光体の薄い板）に当てなければならないので破壊的なモニターである．したがって，常時観測するものではなく，ビー図 58: BPM で得られた情報からビーム軌道と電荷を表示するパネル

ム調整や特別な測定をするときのみに使われる．ビー
ムの位置情報のみならず完全な２次元プロファイルを測定する方法としては入射器棟では唯一の方法である．
スクリーンモニタシステムは主に新旧２種類ある．
入射器全体にはおよそ 100 箇所ほどにスクリーンモニ
タが導入されているが，ほとんどが KEKB 以前から使っている古いタイプのシステムである．これに対し
ຍ㏿㟁ᴟ

᫬㛫᪉ྥ

ග㟁㠃

䝭䝷䞊

て，重要だと思われる箇所は徐々に解像度の良い新し
䝇䜲䞊䝥
㟁ᴟ

㟁Ꮚ

いシステムに置き換えている．
昔から使っているシステムは，厚め (1 mm) のアルミ
ナ蛍光板スクリーン（Demarquest 社製 99.5% Al2 O3 ）

䝇䝸䝑䝖
⺯ග㠃

を非同期アナログカメラで撮影するタイプである．構ග

成は比較的単純で，可動スクリーンをレンズ付きカ䝇䝖䝸䞊䜽䜹䝯䝷

䝺䞁䝈

メラで撮影するだけである．厚い蛍光板を使っているので発光量が多くアナログカメラで見てもはっきりと❆ビームを認識できる．ただし，すぐに発光が飽和して
㻻㼀㻾

㼎㼑㼍㼙

しまい正しいビームプロファイルは得られない．また，非同期撮影なので明るさは安定しないので，正確に図 59: ストリークカメラの原理

データを残すことも期待できない．ビーム情報を読み取るには熟練の勘に頼っているところが大きい．図 60が古いタイプのスクリーンでビームを観測した画像である．3
3 ゆっくりと蛍光がディケイしていくのを見ていると，入射器棟の歴史と昭和のノスタルジーを感じさせるシステムではあるが，定量的なデータを残せないので筆者は嫌いであるが，割と多くの人に人気がある．

図 60: アルミナ蛍光板スクリーンを非同期アナログ
カメラで撮影するタイプのスクリーン画像

これに対して，新しく導入されつつあるシステムはネットワーク接続されたデジタル同期カメラで厚さ 0.1

図 62: 新しいタイプのスクリーン撮影光学系写真

mm の YAG:Ce スクリーンまたは OTR を観測するものである．カメラがビームトリガに同期しているので，安定した撮影が可能である．光学系も解像度を上げる
ために工夫がなされており，ビーム電荷の違いに対応するため可変式の ND フィルタも導入されている．これら撮影のための光学系の体系図を図 61 に，写真を図 62 に示す．この新しいタイプのスクリーンでデータを取得した結果を図 63 に示す．解像度はおよそ 10µm で有ることが確かめられている．このタイプのス
クリーンモニタでは後述する Q scan 法による Twiss
parameter の測定が可能となっている．

図 61: 新しいタイプのスクリーン撮影光学系

3.5.4

ワイヤースキャナー

ワイヤースキャナーは実質的に非破壊でビームサイ
ズを測定するシステムである．これは，細いワイヤー

図 63: 新しいタイプのスクリーン画像 (スケールはをビームに当てて発生した放射線を測定する．ワイ[mm])

ヤーを動かしていけばワイヤーの可動方向のビームプ
ロファイルが計測できる．図 64 のように水平方向に対して 45 °方向に直線導入機が入っており，動作方
向に+/-45 °方向のワイヤーを張っているので，水平，垂直方向にワイヤーが移動する．
（動作方向に直角方向定点があるとする．このとき，求めたい点での Twissにもワイヤーが張ってあり斜め方向のプロファイルもparameter を α1 , β1 , γ1 とし，測定点では，α2 , β2 ,γ2 とする．また，シグママトリックスを σ1 , σ2 と見える．
）

して，そのあいだの Trasfar matrix を R とすると，

σ2 = Rσ1 RT となることはすでに述べた．これを計
算すると，
[

β2 ε2
−α2 ε2] [−α2 ε2
R11
=
γ2 ε2
R21

R12
R22

][

β1 ε1
−α1 ε1−α1 ε1
γ1 ε1][

R11 R21R12 R22
(103)

より，
2
2
β2 ε2 =R11
β1 ε1 − 2R11 R12 α1 ε1 + R22
γ1

(104)

−α2 ε2 =R11 R21 β1 ε1 − (R12 R21 + R11 R22 )α1 ε1
図 64: ワイヤースキャナー写真．水平方向に対して

45 °方向に直線導入機が動き，ワイヤーがビームを横切る様になっている．

+ R12 R22 γ1 ε1

(105)

2
2
γ1 ε1 =R21
β1 ε1 − 2R21 R22 α1 ε1 + R22
γ1 ε1

(106)

となる．ここで測定できるパラメータはビームサイズな
実際のビームサイズ測定結果は図 65 のようになる．
入射器では４つのワイヤースキャナーを一組としてTwiss parameter を測定するシステムを使っている．

のでそれに関係ある項目である式 (104) σ11 = βε(ビー
ムサイズの２乗) だけが重要である．γ を α, β で表し，22
β1 ε1 − 2R11 R12 α1 ε1 + R12
β2 ε2 = R11

1 + α12
ε1
β1
(107)

となる．
（加速がない場合はエミッタンスは変化しない
ので ε2 = ε1 であるが，加速も考慮すると，もとのエミッタンスと測定点でのエミッタンスを分けて考える必要がある．
）すなわち R11 , R12 を変化させて複数の
図 65: ワイヤーを動かしたときに得られる放射線の信号（左）と，そこからビームサイズを求めた結果（右）β2 ε を測定し，もっともらしい α1 , β1 , ε1 を当てはめることが Q scan 法と言われる方法である．ここで，Qを変えるのは R11 , R12 を変化させる一手段であるので，別に複数の Q が同時に動こうかスクリーンが移動しようが加速ゲインが変わろうが R11 , R12 が変わ

3.5.5

Q scan 法とその応用ることに変わりないので Q scan 法はある意味 Q scanを行わなくてもよい．大事なのは，ビームサイズを測

エミッタンス測定方法に Q scan 法という方法がある．これは Q マグネットの値を変えながらスクリー
ンでビームサイズを観測することでビームのパラメー
タを測定する方法である．したがって，optics を変え定した時の Transfar matrix を知ることである．
最小二乗法で「もっともらしい α1 , β1 , ε1 を当てはめ」を行う．では，式 (107) を一般的な最小二乗法の形てしまうしスクリーンでビームを止めてしまうので通常は破壊的な測定方法である．しかし，複数のワイ
ヤースキャナーを使った同じ原理の方法で非破壊的にビームパラメータを測定できる．基本的な Q scan 法を説明し，ワイヤースキャナーを使ったエミッタンス，

Twiss parameter の測定方法までを説明する．
ある点でのビームの Twiss parameter およびエミッ
タンスを求めたいとして，それより下流にビーム測χ2 = |A · x − b|2

(108)

]

に当てはめてみると

  x 1   β1 ε1 x = x2 = −2α21 ε1
(109)
  
 1+α1 ε1 

x3
β1


β2 ε2 |1  ← １回目の測定時のビームサイズの２乗 β2 ε2 |2  ← ２回目の測定時のビームサイズの２乗


b=
..
..




.
.




β2 ε2 |M ← M 回目の測定時のビームサイズの２乗
(110)


a11
a12
a13
 a21
a22
a23 


A=
(111)

..


.
aM 1 aM 2 aM 3
 2
2 |  ← １回目の測定時
R11 |1R11 R12 |1R121
2
2 |  ← ２回目の測定時
 R11 |2
R11 R12 |2
R12
2


=

..
..


.
.
2 |
2 |
R11
R11 R12 |M R12M
M ← M 回目の測定時(112)となるので，エミッタンス ε1 , と α1 , β1 , γ1 に対する
それぞれの誤差は以下のように計算できる．
()()
x2 2 2x1 2 2
sx2 +
sx3
(122)
4ε1
2ε1
(
)2
(
)2
(
)2
x2 x3
x3 x1
x1 x2
s2α1 =
s2x1 +
s2x2 +
s2x3 (123)
4ε31
2ε31
4ε31
)2
(
)
( 2 )2(x1
2x3 x1 − x22
x1 x2 2 2
s2x1 +
sx3 +
s2x2
s2β1 =
3
3
4ε1
4ε1
2ε31
(124)
(
)2
)2
( 2 )2(
2x3
2x3 x1 − x2x1 x2
s2x1 +
s2x2
s2γ1 =
s2x3 +
2ε31
4ε31
4ε31
(125)
s2ε1 =

x3
2ε1

)2

(

s2x1 +

入射器ではデジタル同期カメラの新しいタイプのス
クリーンモニタの箇所は Q scan を行えるようになっている．図 66 に Q scan 法の測定結果の一例を示す．
この例では，精度を上げるため３つのマグネットをスキャンした結果でパラメータのフィッティングを行っとかける．この優決定の連立方程式を SVD などでとている．一つの Q マグネットをスキャンしていくとけばよい．ここから，x1 , x2 , x3 が求まるのでエミッ

ビームサイズの自乗が放物線を描くことがよく知られタンス ε1 はいる（Thin lens 近似を行った場合であり一般的には√
ε1 =

正確ではない）が，この例では，それが３つになって

x2
x3 x1 − 24(113)

いることがわかる．
ワイヤースキャナーでは４点でビームサイズを測定となる．同じように，することで，Twiss parameter を求めている．数メーx2α1 = − √x2
2 x3 x1 − 42x1
β1 = √
x2
x3 x1 − 42x3
γ1 = √
x2
x3 x1 − 42(114)

トル間隔で置かれた４つのワイヤースキャナーを１セットしてデータを取りパラメータのフィッティング(115)を行っている．異なる転送行列の点でのデータを取るという意味では，Q マグネットをスキャンする方法と原理は同じである．もちろん，ワイヤースキャナー(116)が置かれた４点は，オプティクスを考えたときに誤差が小さくなるような測定点（位相が 45 °づつ回転する点）が選ばれている．ワイヤースキャナーでの利となる．
誤差の評価については誤差の伝播式より，f =点は，マグネットを変更する必用がないことと，ビーf (x1 , x2 , · · · ) の と き ，x1 , x2 , · · · に 対 す る 誤 差 を
s1 , s2 , · · · とすると f の誤差 s はムを止めなくていい点である．したがって，非破壊で

(
2

s =

∂f
∂x1

)2

(
s21 +

∂f
∂x2

)2
s22 + · · ·

(117)

となる．
それぞれの偏微分を計算すると，

Twiss parameter を知ることができる．４セットのワ
イヤースキャナーは，J-arc 前の B sector, J-arc 後のC sector, ダンピングリングあとの 3 sector, 入射器最下流の 5 sector と Twiss parameter を抑えておきたい場所に設置されている．ワイヤースキャナーで測定したあとに，設計値の Twiss parameter にマグネット

∂ε1
x3
=
∂x1
2ε1
∂α1
x2 x3
=
∂x1
4ε31

∂ε1
x2
=
∂x2
4ε1
∂α1
x3 x1
=
∂x2
2ε31

∂ε1
x1
=
∂x3
2ε1
∂α1
x1 x2
=
∂x3
4ε31

2x3 x1 − x22
∂β1
=
∂x1
4ε31

∂β1
x1 x2
=
∂x2
4ε31

x2
∂β1
= 13
∂x3
2ε1

x2
∂γ1
= 33
∂x1
2ε1

∂γ1
x1 x2
=
∂x2
4ε31

2x3 x1 − x22
∂γ1
=
∂x3
4ε31
(121)

(118)

を調整して修正することをマッチングと呼ぶ．マッチ(119)

ングと測定を繰り返して設計値の Twiss parameter に
実際のビームを合わせてこんでいく．ワイヤースキャ(120)

ナーでの測定結果の例を図 67 に示す．

図 67: ワイヤースキャナーで Twiss parameter を求めたるためのパネル

3.5.6

RF 誘起波モニタ

RF 誘起波モニタはビームが加速管を通過したときに生じるウェーク場を利用している．光速の電子ビー
ムが加速管を通過すると，ビームが作る電磁場が加速管の加速モードの共振をおこし，ダミーロードで

S-band の RF を観測することができる．
スタンバイモードの加速管でダミーローへいく RFを観測するとビームが通過するタイミングで，RF を観測することができる．この RF 位相を加速に使用す

RF 位相と比較するとビームが RF のどの位相に乗っているかが正確にわかる．
モニターしている RF 位相は温度ドリフトなどの影響がどうしても入ってきて，正確に絶対値を求めるのは非常に難しい．そこで，加速管のなかでビームと RF
位相を直接比較できる誘起波モニタは非常に有用である．運転上は RF 位相の絶対値よりもビームとの相対値のほうが重要なので，理にかなったモニタといえる．
誘起波モニタはビームと RF 位相の安定度の測定や，時間方向のビームジッタ測定，J-arc の R56 の測定な
図 66: Q scan 測定結果の例．３つの Q マグネットをどに用いられている．図 68 に実際の RF 誘起波モニ

使って水平，垂直方向それぞれの Twiss parameter を

タの測定の様子を示す．

求めている．

3.5.7

測定データの取扱

入射器では EPICS（Experimental Physics and Industrial Control System）という制御システムも用い

各リングではビームのエネルギーが違うので加速ゲインを変化させなければいけないし，電子と陽電子ではオプティクスも異なるので Q マグネットやステアリン
グマグネットも変えなけれればないらい．SuperKEKB
立ち上げに向けて 3 sector 以降はすべてパルスマグネッ
トに入れ替えを行った．これにより 3 sector 以降は完
全に Pulse to Pulse でオプティクスを変更できる．Aから 2 sector は一部パルスマグネット化しているが基本的には共通オプティクスである．
入射器全体の機器に対して 20 msec 毎に制御信号を送るシステムを Event system という．Event system
は今がどのモードであるかを 20 msec 毎に各機器に知らせる．それぞれの機器では，モードに対応する値を
図 68: RF 誘起波モニタの測定パネル

持っているので，ビームトリガタイミングでその値を出力する．入射器のシステムは時間スケールが異なるているので，ほとんどの測定データは EPICS のデータとして同様に扱うことができる．このため，誰でも測定器の詳細な仕様を気にすることなく測定データにアクセスすることができる．また，EPICS データの過去データはアーカイブに貯められて，こちらも簡単にアクセスできる．入射器は多くの人が関わり，膨大な測定値が日々貯められているので，どんなデータにも簡単にアクセスできることが重要である．

３種類の制御信号を使っている．すなわち，

1. モード毎の制御値，または単一の制御値．
（最も遅い信号，人間が判断してから動かすような値）
2. モード信号．
（20 msec 毎に送られる．今がどのモードかを機器に知らせる）
3. トリガー信号．
（最も時間精度が要求される信号．
この信号に合わせてビームが出力される．
）
パルスマグネットを例に取れば，上記の 1,2,3 をすべて

3.6

ビーム運転

3.6.1

ビームのパルス切り替えの仕組み

使っている．まず電流値が 1 に当たる．HER と LER
では流す電流値が違うのでモードごとの値を決めておく．このモード毎の制御値は頻繁には変えない．
「HER

実際のビーム運転では，入射リングに合わせてビー

ではマグネットの磁場が足りないなあ．100 A から

ムスペックを変えている．入射器は 50 pps で運転し120 A に変えてみるか．
」と人間が判断して変更するているがパルス毎にビームスペックを変えられる仕組程度の速さの信号である．対して Event 信号は必ずみを持っている．これは，SuperKEKB に向けて新た

20 msec 毎に受け取る．事前に「LER のときは 50 A,に導入したシステムであり，KEKB 時代はビームをHER のときは 120 A, PF は 70 A」などと決められているので，今がどのモードなのかを知れば出力するべき電流値が決まる．あとは，ビームが来るタイミン

切り替えるためには一定時間ビームを止めなければならなかった．しかし，リングでのビーム寿命が短い

SuperKEKB の運転では，常にビームを入射し続けること（トップアップ運転）が求められる．
入射リングは PF, PF-AR, LER, HER の４リング

グに合わせてパルス電流を出力するかだけだが，これであるが，どのリングにどの程度のパルスを割り振るで出力されることになる．
（ちなみに，すべての機器

かを自在に変化させられる．例えば，すべてのリングが 1, 2, 3 すべてを使うわけではない．DC マグネットに 12.5 Hz で均等にビームの振り分けることもできる．

は 1 のみで単一の制御値しか使えない．クライストロ

このためには，50 pps 間隔，つまり 20 msec のうちンモジュレータはパルス運転だが制御値は固定であるに入射器の加速器のパラメータを変更しなくてはいけため，1 と 3 だけを使う．モニターである BPM シス

ない．

テムはモードごとのビームを観測するために 2 と 3 をは，非常に精度のよいトリガータイミングが送られてくる．このように，必要な電流値が必要なタイミング使っている．
）

入射器全体の機器において，1. 制御値 2. モード 3.

止していたのちの立ち上げなどでは，加速位相がずれトリガー の３つをうまくコントロールすることで，各てしまっていることが普通である．実質的に，ビーム

リングへの同時入射を可能にしている．

のタイミングが RF 位相のどこに来るかを事前に把握することは非常に困難である．そこで，運転立ち上げ

3.6.2

パルスマグネットシステム

時にはビームを見ながら加速管の加速位相を探す（正弦波のトップに乗せる）作業が必用になる．まずは，

3 sector 以降はすべてのマグネットがパルス化されている．これは KEKB 時代には DC の Q マグネット

ある程度ビームが通る状態にしたうえで，１台づつク

トリプレットが設置させれていた場所に，それらを置キャンしながらベンドマグネットの下流にある BPM

き換えて設置された．SuperKEKB にむけてパルス Q

でビーム位置の変化を記録する．図 71 は 5 sector のマグネットダブレットとその間に xy パルスステアリ

フェージングを行った結果で，それぞれのクライスト

ングが設置された (図 69)．パルスマグネットの詳細

ロンにおいて，マグネットでの曲げ角が最も小さくなについては本 OHO19「4. パルスマグネット」を参照

る位相がクレスト位相として検出されている．

ライストロンの RF 位相をスキャンしていく．位相ス

していほしい．

3.6.5
3.6.3

各モードでのエネルギー

エナジーノブ各種ビームモードでエネルギーは固定であり，リン各入射ビームは当然ながらリングのエネルギーに合グのエネルギーにピタリと一致している必要がある．

わせて加速を行っている．４リングではエネルギーはビームエネルギーを大まかに決めるのは加速 unit のバラバラなので，加速ユニット毎に，加速，減速，加数であるが，それだけではビームエネルギーの精度は減速なしを選んでいる．図 70 は入射器内での各モード出ないので，微調整をする unit がある．単純に考えに対するエネルギー変化を横軸 z にとって示す．HER,

るとクライストロンからの出力 RF power を変化させ

LER は加速ユニットを最大限に使って加速を行う．対

れば良いのだが，クライストロン出力を変化させるのして，PF, PF-AR モードでは後半に減速ユニットをはいろいろと厄介な点が多い．
（クライストロン出力を設けている．特に，PF モードでは 1.7 GeV も減速し変化させるには２つの方法がある．１つ目はクライスている．これは DC マグネットの部分では共通エネル

トロンの電子銃電圧を変える方法だが，電圧を変える

ギーにしなければならないことに起因する．J-arc をことで出力位相もずれてしまう．２つ目は，クライス通すためには正確に 1.5 GeV のビームエネルギーにトロン入力 RF power を変化させる方法だが，通常，しなければならないので，C sector まではすべての飽和領域で使用し入力 RF power の変化に鈍感な領域

モードでエネルギーは一致している．1 sector では電を使っているで，出力 power の変動が激しくなってし子ビームを陽電子に変換するので，ここで陽電子ビーまう恐れがある．
）そこで，２つの unit を使い，クラムのエネルギーだけが大きく乖離する．1, 2 sector は

イストロン出力 power を変化させずに，実質的にはク

主に陽電子ビームに合わせた集束系である．ダンピン

レスト位相のまま加速電圧を変化させる．これは，加グリング以降の 3 sector から下流ではパルスマグネッ

速電圧の同じ unit をクレスト位相を挟んで正負逆にトが使用できるので各モードで完全独立なオプティク

同じ位相量 θ だけ変化させる．すると図 72 のようにスが採用できる．5 sector の下流部分ではエナジーノ

実質的にはクレスト位相のまま加速電圧が cos θ 倍にブが設けれているので各モードでビームエネルギーのなる．このような原理で加速電圧を変化させると，位微調整を行う．

V

B = cos-θ

3.6.4

フェージングV

A+B
A = cosθ
t

ビーム加速を行う上で最も加速効率が良い RF 位
相を探す作業をフェージングと呼ぶ（位相をふるからフェージング）．この最大加速電圧を得られる位相をク
レスト位相とよぶ．メンテナンスなどで長期間運転停

図 72: エナジーノブの原理t図 69: 以前の DC Q マグネット（トリプレット）（右）と置き換えられたパルスマグネット（ダブレットと xy ス
テアリング）（左）

図 70: 入射器での各ビームの加速状態 (C sector 以降)

図 71: フェージング結果を表示するパネル

相の変化を変えるだけで加速電圧を正確にコントロー

参考文献

ルできる．エナジーノブは J-Arc の前と入射器最下流に設けられており，B5, B6 unit ペアと 51, 52 unit ペアを使っている．

[1] Isamu Sato, Shozo Anami, Atsushi Enomoto,
Shigeki Fukuda, Hitoshi Kobayashi, and Kazuo
Nakahara. 放射光入射器増強計画 kekb に向けて design report on pf injector linac upgrade for

3.6.6

クライストロンスタンバイ

入射器では約 60 台のクライストロンを使って運転を

kekb. Technical report, National Lab. for HighEnergy Physics, 1996.

行っているが，すべてのクライストロンを加速に使っ[2] Karl L Brown, Frank Rothacker, David C Carey,ているわけではない．それは，どこかの unit が何らかand Christoph Iselin. Transport-a computer program for designing charged particle beam trans-のトラブルを起こしても，即座に代替 unit を入れられるようにスタンバイしているためである．このような，もしものときの予備 unit をスタンバイ unit と呼port systems. Technical report, European Organization for Nuclear Research, 1980.

ぶ．スタンバイ unit は加速に使っていないと言っても完全 RF を OFF しているわけではない．これは，加[3] E. A. Knapp, B. C. Knapp, and J. M. Pot-

速管に RF を供給しなければ加速管温度が下がってしまうからである．加速管は冷却水と RF の消費電力でter. Standing wave high energy linear accelerator
structures. The Review of Scientific Instruments,

温度を保っているので，急に熱負荷が加わると温度がVol. 39, No. 7, pp. 979–991, 1968.

安定するまでに時間がかかる．これを避けるために，平均の熱負荷だけは変えないように，タイミングだけをずらした運転を行っているのがスタンバイユニットである．スタンバイユニットも 50 Hz で運転を行って[4] D. E. Nagle, E. A. Knapp, and B. C. Knapp.
Coupled resonator model for standing wave accelerator tanks. Rev. Sci., Vol. 38, pp. 1583–1587,
1967.

いるが，HV, RF のタイミングのみ通常の unit と数µsec 遅らせている．このようにすると，ビームから見れば加速電圧 0 のユニットであるが，加速管の平均熱負荷は加速ユニットと同じである．常に数台のスタン
バイユニットを確保しておき不測の事態に備えている．

[5] 高田耕治. 加速器の基礎理念. 高エネルギー加速器研究機構 加速器研究施設, 2002.
[6] 高田耕治. 高周波加速の基礎. 高エネルギー加速
器研究機構

[7] T

4

おわりに
KEK 入射器棟では，様々な年代の様々な装置が稼働することによって様々なニーズのビームを作り出していることが，多少は説明できたでしょうか？まだまだ説明不足な点も多々あったとは思いますが，入射器と同じように OHO の歴史も長く，本編を読んでいて不明点があっても過去の OHO テキストを読めばきっ

Suwada,

加速器研究施設, 2005.

N

Kamikubota,

H

Fukuma,N Akasaka, and H Kobayashi. Stripline-typebeam-position-monitor system for single-bunchelectron/positron beams. Nuclear Instruments
and Methods in Physics Research Section A:
Accelerators, Spectrometers, Detectors andAssociated Equipment, Vol. 440, No. 2, pp.
307–319, 2000.

と素晴らしい解説にたどり着くでしょう．せめて，過[8] R Ichimiya, T Suwada, M Satoh, F Miyahara,

去の OHO の導入口になれたなら幸いです．昭和，平and K Furukawa. High position resolution andhigh dynamic range stripline beam position mon-

成の時を経た様々な技術の蓄積である入射器全体のOHO テキストを令和元年に担当させていただけたことは非常に光栄であり，今まで KEK 入射器に携わったすべての人に感謝申し上げたいと思います．

itor (bpm) readout system for the kekb injector linac towards the superkekb. WEPD04,
IBIC2014, Monterey, USA, 2014.

入すれば
(
)
∂Hz
∂Hz ∂Hy∂Hx+ γHy , −γHx −
,
−
∂y
∂x ∂x
∂y

付録
A

= (iωεEx , iωεEy , iωεEz )導波管(

導波管とは電磁波を輸送するための金属の管である．
電力は周波数が低い場合は通常の電線を用いるが，高(130a))∂Ez∂Ez ∂Ey∂Ex+ γEy , −γEx −
,
−
∂y
∂x ∂x
∂y

周波になると損失が大きくなり普通の電線では電力を= (−iωµHx , −iωµHy , −iωµHz )

輸送することができない．そこで，高周波の場合は同軸線路，さらに周波数が高くなると導波管が用いられ
る．linac で用いられるような RF の周波数領域では導波管が不可欠である．特に矩形導波管がよく用いら
れる．

A.1

基本式

電磁波は以下のマクスウェル方程式に従うことはよく知られている．

∂D∂t∂B∇×E =−∂t∇·D =ρ

(126b)∇·B =0(126d)∇×H =J +(126a)(126c)

これらは物質に無関係にいつでも成り立つ基本的な式であってマクスウェルの基本方程式と呼ばれる．これ(130b)となり，この式と ∇ · E = 0, ∇ · H = 0 から()
∂ 2 Ez∂ 2 Ez+= − ω 2 εµ + γ 2 Ez
∂x2
∂y 2
(
)
∂ 2 Hz∂ 2 Hz+= − ω 2 εµ + γ 2 Hz
2
2
∂x
∂y
( 2
)
∂Hz
∂Ez
ω εµ + γ 2 Ex = −iωµ
−γ
∂y
∂x
( 2
)
∂H
∂E
z
z
ω εµ + γ 2 Ey = iωµ
−γ
∂x
∂y
( 2
)
∂Ez
∂Hz
ω εµ + γ 2 Hx = iωµ
−γ
∂y
∂x
( 2
)
∂Hz
∂E
z
−γ
ω εµ + γ 2 Hy = −iωµ∂x∂y(131a)(131b)(131c)(131d)(131e)(131f)

が導かれる．

A.2

矩形導波管

矩形導波管は，linac の RF 輸送にもっともよく使われるものであり，四方を銅板で囲まれた筒状のものに物質の性質に関する式，である．矩形導波管の形を図 73 に示す．図 73 におい

D = εE(127a)

B = µH(127b)

J = σE(127c)て電磁波は z 方向に進む．

が加わって方程式系として完結する．

y

導波管など物体を伝わらせて電磁波を送る場合の伝zb

送電磁波に対する方程式を求めるには以下のようにする．まず，電場・磁場をE = E0 (x, y)eiωt−γz(128a)

H = H0 (x, y)eiωt−γz(128b)xaの形におき，γ が純虚数
図 73: 矩形導波管

γ = iβ(129)

導波管の中を進む波のうち，Ez ̸= 0, Hz = 0 のもとなる場合に z 方向に進む波となる．真空中のマクスのを TM 波または E 波と呼ぶ．また，Ez = 0, Hz ̸= 0

ウェル方程式 (σ = 0, ρ = 0) に式 (128a), (128b) を代のものを TE 波または H 波と呼ぶ．

A.2.1

TM モードの場合のみ導波管を通過し，ωc 以下の角周波数は通ωc
過しない．ωc に対する周波数 fc = 2πを遮断周波数TM 波の方程式は，式 (131a) より，∂ 2 Ez∂ 2 Ez++ k 2 Ez = 0
∂x2
∂y 2

(cutoﬀ frequency) と呼ぶ．
(132)

k 2 = ω 2 εµ + γ 2

ωc に対する波長 λc は遮断波長と呼ぶが，λc よりも波長が短いものだけが導波管を通過できる．管内での波長 λg は自由空間での波長 λ より大きくなり，次のという固有値問題になり，境界条件は金属表面で電場関係がある．

が垂直なので，x = 0, x = a, y = 0, y = b のときに

2π
2π
√ =
ωc εµ
kmn
2π
2π
=√ √
λg =
β
εµ ω 2 − ωc2
√
1
1
1
=
− 2
λg
λ2
λc
λc =

Ez = 0 である．
式 (132) の解は，
Ez = (C1 sin kx x + C2 cos kx x)(C3 sin ky y + C4 cos ky y)
(133)
k

2

= kx2 + ky2の形をとる．ただし，境界条件 x = 0, y = 0 で Ez =√( ω )2
dω
c
vg =
=c 1−
dβ
ω

(134)

となり，さらに x = a, y = b で Ez = 0 を考慮すると，mπnπ, ky =(135)ab
ただし，m, n は 0 でない整数である．したがって，固有値 k が，( mπ )2 ( nπ )22
k 2 =kx2 + ky2 =
+
≡ kmn
(136)
a
b
m, n = 1, 2, · · ·
kx =

(140)
(141)

また，管内での波の群速度 vg はを考慮すると，Ez = A sin kx x sin ky y

(139)

(142)

である．

A.2.2

TE モードTE 波の方程式は，式 (131b) より，∂ 2 Hz∂ 2 Hz++ k 2 Hz = 0
∂x2
∂y 2

(143)

という固有値問題になり，境界条件は金属表面では磁場を満たすときのみ解が定まる．kmn に対するものを

zの法線方向への微分が 0， ∂H∂n = 0 という条件である．

TMmn モードという．Ez を式 (131c), (131d), (131e),z
よって，x = 0, x = a のとき ∂H∂x = 0，y = 0, y = b(131f) に代入すると他の成分も求められ以下のように
なる．
iβ mπ
mπx
nπy
Ex = − 2
A cos
sin
k a
a
b
mπx
nπy
iβ nπ
A sin
cos
Ey = − 2
k b
a
b
nπy
mπx
sin
Ez = A sinabiωε nπmπxnπyHx = 2
A sin
cos
k b
a
b
iωε mπmπxnπyHy = − 2
A sin
cos
k a
a
b
Hz = 0(137a)zのとき ∂H∂y = 0 である．式 (143) の解は，式 (133) と同じ形になるが，境界条件を考慮すると，(137b)

Hz = A cos kx x cos ky y
mπ
nπ
kx =
, ky =ab(144)(137c)となる．m, n は整数であるが，今の場合それらを 0 に(145)

しても Hz = 0 にはならない．ただし，m = n = 0 の(137d)(137e)(137f)

導波管の中を電磁場が波として進行するためには γ

場合においては k = 0 となり，ω = 0 となってしまうから m, n のうち一つだけが 0 になりうる．ゆえに，( mπ )2( nπ )2

2
≡ kmn
(146)
a
b
m, n = 0, 1, 2, · · · （m = n = 0 を除く）

k 2 = kx2 + ky2 =+が純虚数でなければならないから，ω 2 εµ > k 2 でなけを満たすときのみ解が定まる．kmn に対するものをればならない．したがって，TMmn モードはkmn
ω > ωc , ωc = √εµTEmn モードという．Hz を式 (131c), (131d), (131e),(138)

(131f) に代入すると他の成分も求められ以下のようになる．
iωµ nπmπxnπy
Ex = 2
A cos
sin
k b
a
b
mπx
nπy
iωµ mπA sin
cos
Ey = − 2k aabEz = 0
iβ mπ
mπx
nπy
Hx = 2
A sin
cos
k a
a
b
iβ nπ
mπx
nπy
Hy = 2
A cos
sin
k b
a
b
mπx
nπy
Hz = A cos
cosab(147a)(147b)(147c)(147d)A.3.1

TM モードTM 波であるので Hz = 0 として円柱座標系 (r, θ, z)を使い，式 (131a) を書き直すと

1 ∂Ez
1 ∂ 2 Ez
∂ 2 Ez++ 2+ k 2 Ez = 0
2
∂r
r ∂r
r ∂θ2

(148)

となる．図 74 のとおり導波管の半径を R とし，中心軸
を z 軸とすると，境界条件は r = R で Ez = 0 である．
式 (148) の解は，m 次の Bessel 関数 (m = 0, 1, 2, · · · )(147e)(147f)

を Jm とすると，

Ez = Jm (kr) (A cos mθ + B sin mθ)(149)(147g)の形になる．ここで，境界条件を考慮すると，普通，矩形導波管では TE01 モードを使って RF 輸

Jm (kR) = 0

送を行う．

(150)

となる．Jm の n 番目の 0 点を jmn と書くと，k として

A.3

円形導波管

kmn =

円形導波管は，矩形導波管と比べると実用的に使用

jmn
R(m = 0, 1, 2, · · · ; n = 1, 2, · · · )(151)

されることはあまりないが，加速管の電磁場モードの2

基礎になっているので非常に重要である．linac はこの値をとり，k 2 = ω 2 εµ + γ 2 = (jmn /R) である．

の円形導波管を変形したものと考えることができる．

Hz = 0 として，Er = Ex cos θ + Ey sin θ, Eθ =∂∂∂∂= cos θ ∂r
, ∂y= sin θ ∂r
を
−Ex sin θ + Ey cos θ, ∂x
考慮すると式 (131c), (131d), (131e), (131f) は

図 74 に円形導波管の形と座標系を示す．円形導波管の解析を行うときは円柱座標系で記述するのが普通である．

iβ ∂Ezk 2 ∂riβ 1 ∂Ez
Eθ = − 2k r ∂θ
iωε 1 ∂Ez
Hr = 2k r ∂θ
iωε ∂Ez
Hθ = − 2k ∂rEr = −rzθR

図 74: 円形導波管(152a)(152b)(152c)(152d)となる．Ez = AJm (kmn r) cos mθ として上記の式に代入すると以下のようになる．
()
iβ jmnjmn′
Er = − 2AJmr cos mθ
k R
R
(
)
iβ m
jmn
Eθ = 2 AJm
r sin mθ
k r
R
(
)
jmn
Ez =AJmr cos mθ
R
(
)
iωε m
jmn
Hr = − 2AJmr sin mθk r
R()
iωε jmnjmn′
Hθ = − 2AJmr cos mθ
k R
R

Hz =0

(153a)(153b)(153c)(153d)(153e)(153f)

A.3.2

TE モードB

TM 波は Ez = 0 として円柱座標系 (r, θ, z) を使い，
式 (131b) を書き直すと

空洞共振器

例えば，導波管をある長さのところで切り，両端に導体でふたをするとその中で電磁波が反射を繰り返
し，波長の合うものが共振する．このように，閉じた∂ 2 Hz
1 ∂Hz
1 ∂ 2 Hz++ 2
+ k 2 Hz = 0
2
∂r
r ∂r
r ∂θ2

(154)

z
となる．ここで，境界条件は r = R で ∂H∂r = 0 である．式 (154) の解は，式 (149) と同型になるが境界条件を考慮すると，導体中で電磁場の共振を生じさせるものを空洞共振器という．
これは，導波管にふたをしたものに限らず，どのような形のものでも共振を生じさせることができる．定在波加速管はまさにこの空洞共振器である．

′(kR) = 0
Jm

(155)

(
)
dJm (r)
′
Jm
(r) =
dr

B.1

′
となり，m 次の Bessel 関数の微分 Jmの n 番目の 0 点
′
′
を jmn
と書くと，kR = jmnとなるように，kmn =

′
jmn

R

(m = 0, 1, 2, · · · ; n = 1, 2, · · · ) をとることになる．
k 2 のとり得る値は( ′ )2jk = mnR
2(156)

直方体空洞共振器

直方体空洞共振器は，ある長さの矩形導波管の両端に導体でふたをしたものと考えられる．今，図 75 のように x, y, z 座標軸をとり，それぞれの辺の長さがa, b, d であるとする．
これは，z 方向の導波管が z = 0, d で閉じたものと考えると，両端で電磁波が反射し z 方向と −z 方向の波が重なり合い定在波を作る状態である．電磁波が z方向に進むときは，γ = iβ であるが，−z 方向に進むである．

Ez = 0 として，Er = Ex cos θ + Ey sin θ, Eθ =∂∂∂∂−Ex sin θ + Ey cos θ, ∂x= cos θ ∂r
, ∂y= sin θ ∂rをときは，γ = −iβ である．両端では，E は端面に垂直であるので，Ex = Ey = 0 である．

考慮すると式 (131c), (131d), (131e), (131f) は(157a)

yz(157b)dbiωε 1 ∂Hzk 2 r ∂θiωε ∂HzEθ = − 2k ∂riβ ∂HzHr = − 2k ∂riβ 1 ∂Hz
Hθ = − 2k r ∂θ
Er =(157c)(157d)xaとなる．Hz = AJm (kmn r) cos mθ として上記の式に代入すると以下のようになる．
( ′
)
iωε m
jmn
Er = − 2AJmr sin mθ
k r
R
(
)
′
′
iωε jmn
jmn′
Eθ = − 2AJmr cos mθk R
R

図 75: 直方体空洞共振器(158a)(158b)

Ez =0(158c)

iβ j ′′
Hr = − 2 mn AJm
k R(158d)( ′)jmn
r cos mθ
R
( ′
)
iβ m
j
Hθ = 2 AJm mn r sin mθ
k r
R
( ′
)
j
Hz =AJm mn r cos mθ
R(158e)(158f)

B.1.1

TM モード矩形導波管の TM モードの結果，式 (137a) から結果を得る．
mπxnπypπz1 pπ mπ
A cos
sin
sin
Ex = − 2
k d a
a
b
d

(137f) より，z 方向に進む波（進行波）は
iβ mπ
mπx
nπy −iβz
Ex = − 2
A cos
sin
e
k a
a
b
iβ nπ
mπx
nπy −iβz
Ey = − 2
A sin
cos
e
k b
a
b
mπx
nπy −iβz
Ez = A sin
sin
e
a
b
iωε nπmπxnπy −iβz
Hx = 2
A sin
cos
e
k b
a
b
iωε mπmπxnπy −iβz
Hy = − 2
A sin
cos
e
k a
a
b
Hz = 0(163a)(159a)(163b)(159b)(159c)(159d)(159e)(159f)

β を −β に置き換えたもので表されるので
iβ mπ
mπx
nπy iβz
A cos
sin
e
k2 a
a
b
mπx
nπy iβz
iβ nπ
A sin
cos
e
Ey = 2k babmπxnπy iβzEz = A sin
sin
e
a
b
iωε nπmπxnπy iβz
Hx = 2
A sin
cos
e
k b
a
b
iωε mπmπxnπy iβzHy = − 2
A sin
cos
e
k a
a
b
Hz = 0ω 2 εµ = k 2 + β 2 =

(

m2
n2
p2
+ 2 + 22abd(163d)(163e)(163f)

)
π2

(164)

となる．

(160b)TE モード(160c)

B.1.2(160d)

矩形導波管の TE モードの結果，式 (147a) から(147f) より，z 方向に進む波（進行波）は(160e)(160f)

ところで，()−ie−iβz + ieiβz = i e−iβz + eiβz = −2 sin βz(161)
であり，このときpπ(p = 0, 1, 2, · · · )
d

このとき，

(163c)(m = 1, 2, · · · ; n = 1, 2, · · · ; p = 0, 1, 2, · · · )(160a)

となる．

β=

mπx
nπy
pπz
sin
cos
a
b
d
iωε nπmπxnπypπzHx = 2
A sin
cos
cos
k b
a
b
d
iωε mπmπxnπypπz
Hy = − 2
A sin
cos
cos
k a
a
b
d
Hz = 0Ez = A sinと表され，−z 方向に進む波（後退波）はこの結果のEx =1 pπ nπmπxnπypπzEy = − 2
A sin
cos
sin
k d b
a
b
d

iωµ nπmπxnπy −iβz
A cos
sin
e
2
k b
a
b
iωµ mπmπxnπy −iβz
Ey = − 2
A sin
cos
e
k a
a
b
Ez = 0

Ex =

iβ mπ
mπx
nπy −iβz
A sin
cos
e
k2 a
a
b
iβ nπ
mπx
nπy −iβz
Hy = 2
A cos
sin
e
k b
a
b
nπy −iβzmπxcose
Hz = A cos
a
b

Hx =

て，進行波と後退波を足しあわせたとき，z = 0, c で

Ex = Ey = 0 とするためには式 (162) の条件が必要になる．進行波と後退波の和をとり 2 で割ると以下の(165b)(165c)(165d)(165e)(165f)(165g)(162)とすると z = 0, c で sin βz = 0 となる．したがっ(165a)と表され，−z 方向に進む波（後退波）はiωµ nπmπxnπy iβz
Ex = 2
A cos
sin
e
k b
a
b
iωµ mπmπxnπy iβz
Ey = − 2
A sin
cos
e
k a
a
b

Ez = 0iβ mπmπxnπy iβz
Hx = − 2
A sin
cos
e
k a
a
b
iβ nπ
mπx
nπy iβzHy = − 2
A cos
sin
e
k b
a
b
nπy iβzmπxcose
Hz = A cosab(166a)(166b)(166c)(166d)(166e)(166f)(166g)

となる．この場合も進行波と後退波を足しあわせたと
きに Ex = Ey = 0 となるためには，式 (162) の条件が必要になる．

r

進行波と後退波の和をとると以下の結果を得る．

iωµ nπ
mπx
nπy
pπz
A cos
sin
sin
(167a)
2k babdiωµ mπmπxnπypπzEy = − 2
A sin
cos
sin
(167b)k aabdEz = 0(167c)
1 pπ mπmπxnπypπzHx = − 2
A sin
cos
cos
k d a
a
b
d
(167d)
1 pπ nπmπxnπypπz
Hy = − 2
A cos
sin
cos
k d b
a
b
d
(167e)mπxnπypπz
Hz = A cos
cos
sin(167f)abd(167g)

z

Ex =

θ
h

R

図 76: 円筒形空洞共振器

B.2.1

TM モード円形導波管の TM モードの結果，式 (153a) から(153f) より，z 方向に進む波（進行波）は()
iβ jmnjmn′
Er = − 2AJmr cos mθe−iβz (169a)ω 2 εµ = k 2 + β 2 =
(168)
k R
R
(
)
iβ m
jmn
(m = 0, 1, 2, · · · ; n = 0, 1, 2, · · · ; p = 1, 2, · · · ; ただし，m = nE=
0 を除く
)m
AJ
r sin mθe−iβz(169b)
θ =
k2 r
R
(
)
jmn
となる．
Ez =AJmr cos mθe−iβz(169c)
R
(
)
iωε m
jmn
Hr = − 2AJmr sin mθe−iβz (169d)k r
R
B.2 円筒形空洞共振器()
iωε jmnjmn′
Hθ = − 2AJmr cos mθe−iβz (169e)
円筒形空洞共振器は，ある長さの円形導波管の両端
k R
Rに導体でふたをしたものと考えられる．今，図 76 の
Hz =0
(169f)
ように r, θ, z 座標軸をとり，円の半径を R，高さを hと表され，−z 方向に進む波（後退波）はとする．
()
iβ jmnjmn
これは，z 方向の導波管が z = 0, h で閉じたものと′Er = 2AJm
r cos mθeiβz(170a)
k R
R
考えることができる．
(
)
iβ m
jmn
Eθ = − 2 AJm
r sin mθeiβz(170b)
k r
R
(
)
jmn
Ez =AJmr cos mθeiβz(170c)
R
(
)
iωε m
jmn
Hr = − 2AJmr sin mθeiβz(170d)k r
R()
iωε jmnjmn′
Hθ = − 2AJmr cos mθeiβz (170e)
k R
R
このとき，

(

)
m2
n2
p2
+ 2 + 2 π2
a2
b
d

Hz =0

(170f)となる．進行波と後退波を足しあわせたときに Er =Eθ = 0 となるためには，pπ(p = 0, 1, 2, · · · )
β=
h

(171)

の条件が必要になる．進行波と後退波の和をとり 2 で割ると以下の結果になる．
()
1 pπ jmn
jmn
pπz′
Er = − 2AJmr cos mθ sin
k h R
R
h
(172a)()
1 pπ mjmn
pπzEθ = 2AJm
r sin mθ sin(172b)
k h r
R
h
)
(
pπz
jmn
Ez =AJmr cos mθ cos(172c)
R
h
)
(
iωε m
pπz
jmn
Hr = − 2AJmr sin mθ cosk rRh(172d)()
iωε jmnjmn
pπz′Hθ = − 2AJmr cos mθ cos
k RRh(172e)

Hz =0(172f)

このとき，(
ω 2 εµ = k 2 + β 2 =

jmn
R

)2
+

( 2 )2pd2(173)(m = 0, 1, 2, · · · ; n = 1, 2, · · · ; p = 0, 1, 2, · · · )TE モード円形導波管の TE モードの結果，式 (158a) から(158f) より，z 方向に進む波（進行波）は
( ′
)
j
iωε m
AJm mn r sin mθe−iβz(174a)
Er = − 2
k r
R
( ′
)
iωε j ′
jmn′
Eθ = − 2 mn AJm
r cos mθe−iβz (174b)
k R
R
Ez =0

(174c)

Hr = −(174d)( ′)′jmn
iβ jmn′AJr
cos mθe−iβz
m
k2 R
R
( ′
)
iβ m
jmn
Hθ = 2 AJm
r sin mθe−iβz
k r
R
( ′
)
jmn
Hz =AJmr cos mθe−iβz
R(175a)(175b)

Ez =0(175c)

iβ j ′′
Hr = 2 mn AJm
k R(175d)( ′)jmn
r cos mθeiβz
R
( ′
)
jmn
iβ m
r sin mθeiβz
Hθ = − 2 AJm
k r
R
)
( ′
jmn
r cos mθeiβz
Hz =AJm
R(175e)(175f)

進行波と後退波を足しあわせたときに Er = Eθ = 0となるために β は TM モードのときと同じ条件である．進行波と後退波の和をとり 2i で割ると以下の結
果になる．

( ′
)
iωε m
jmn
pπz
Er = 2AJm
r sin mθ sin(176a)
k r
R
h
(
)
′
iωε j ′jmn
pπz′Eθ = 2 mn AJm
r cos mθ sin(176b)
k R
R
h
Ez =0

(176c)
( ′
)
jmn
pπz
r cos mθ cos
Rh(176d)( ′)1 pπ mjpπzHθ = − 2
AJm mn r sin mθ cos
k h r
R
h
(176e)( ′)jpπz
Hz =AJm mn r cos mθ sin(176f)
Rh′
1 pπ jmn′
AJm
Hr = 2
k h R

となる．

B.2.2

と表され，−z 方向に進む波（後退波）は
( ′
)
iωε m
j
Er = − 2
AJm mn r sin mθeiβz
k r
R
( ′
)
′
iωε j
jmn
′
Eθ = − 2 mn AJm
r cos mθeiβz
k R
R

このとき，

(
2

2

2

ω εµ = k + β =

jmn
R

)2

( 2 )2
p
+
d2

(177)

(m = 0, 1, 2, · · · ; n = 1, 2, · · · ; p = 1, 2, · · · )となる．

(174e)(174f)

C

陪周期構造の等価回路

陪周期構造 (bi-periodic structure) とは図 77 のよ
うに異なる形の空洞 2 つで 1 周期になっている構造である．広い空洞と狭い空洞が交互に並んでいる構造であり，広い空洞を加速空洞 (Accelerating cavity)，狭い空洞を (Coupling cavity) と呼ぶ．このような構造
は定在波型加速管によく使われる．

Ra

Rc

k1

I2n-2
L /2

Ra

k1

I2n-1
L/2

L /2

I 2n
L /2

Ca

Rc

k1

L /2

Cc
k3

Ra

k1

I 2n+1
L /2

L /2

In+2
L/2

Ca

Cc

k2

k3

L /2

L/2
Ca

図 77: 陪周期構造加速管の空洞
図 79: 陪周期構造等価回路
さて，陪周期構造の加速管の基本的な考え方を説明する．2.4 でも説明したとおり加速管の群速度が高い
ほうが共振モードが安定するので定在波型加速管では群速度が最大となる π/2-mode が使われる．しかし，π/2-mode では図 78(a) のように加速電場をもつ空洞と電場が立たない空洞が交互に並んでしまう．そこで
図 78(b) のように電場が立たない空洞を狭くすることで加速効率をあげようとしたものが陪周期構造である．

E

(a)

E
(b)

周期構造

陪周期構造

図 78: 周期構造の π/2-mode と倍周期構造の電場の違い
陪周期構造を等価回路であらわしたものが図 79 である．加速空洞にあたる回路が容量 Ca がついた回路であり，結合空洞にあたる回路が容量 Cc がついた回路である．今，2n 番目の回路が加速空洞，2n + 1 番
目の回路が結合空洞に対応するとしている．また，ここではより実際の空洞の特性に近づけるために，インダクタンスの結合を隣の隣の回路にまで広げる．すな
わち，加速空洞から結合空洞への相互インダクタンスの結合係数を k1 として，加速空洞から加速空洞までの相互インダクタンスの結合係数を k2 ，結合空洞から結合空洞までを k3 とする．

回路方程式を求めると以下のようになる．
()
1
L
Ra + jωL +I2n + jωk1 (I2n−1 + I2n+1 )jωCa2L+ jωk2 (I2n−2 + I2n+2 ) = 0
(178)
2
(
)
1
L
Rc + jωL +I2n+1 + jωk1 (I2n + I2n+2 )jωCc
2L+ jωk3 (I2n−1 + I2n+3 ) = 0(179)2
これを整理すると，
(
)
ωa
ω2
k1
1+
− a2 I2n +(I2n−1 + I2n+1 )
jωQa
ω
2
k2
(I2n−2 + I2n+2 ) = 0
(180)
+
( 2
)
ωc
ω2
k1
1+
− c2 I2n+1 +(I2n + I2n+2 )
jωQc
ω
2
k3
(I2n−1 + I2n+3 ) = 0
(181)
+
2

Qa = ωRaaL , ωc =√ 1
, Qc = ωRccL である．また，損失がない場合は
Lc Cc
以下のようになる．
(
)
ωa2
k1
1 − 2 I2n +(I2n−1 + I2n+1 )ω2k2+(I2n−2 + I2n+2 ) = 0(182)( 2 2)
k1
ω(I2n + I2n+2 )1 − c2 I2n+1 +ω2k3+(I2n−1 + I2n+3 ) = 0(183)
2となる．ここで，ωa =

√ 1
,
La Ca

ここで，1 周期で位相が ϕ 進み，加速空洞と結合空洞の位相差は ϕ/2 であるとする．すなわち，
ϕI2n+m = I2n ej 2 m(184)

とおく．これを式 (182),(183) に代入すると，

ωa2
ϕ= 1 + k1 cos + k2 cos ϕ
ω2
2
ϕ
ωc2
= 1 + k1 cos + k3 cos ϕ
ω2
2

(185)
(186)

の関係が得られる．また，以下の関係も得られる．
(
)(
)
ω2
ω2
ϕ
1 − c2 + k3 cos ϕ
k12 cos2 = 1 − a2 + k2 cos ϕ2ωω(187)