数理解析研究所講究録
第 894 巻 1995 年 67-75

67ある滑らかに対角化できない Levi 形式をもつ

擬凸領域における--Neumann 問題$\partial$

長谷川研 $=$ ( $Kenji$ HASEGAWA)

工学院大学\S 0. 概説
正の整数
対して

$n$

に対して

$C_{p,q}^{\infty}(\Omega 7$$\Omega$を–上の$\Omega$

を $C^{n+1}$ の滑らかな境界をもつ領域とする $1\leq p,$ $q\leq n$ となる整数 $p,$ に$q$$C^{\infty}$函数を係数とする $(p, q)$ -形式の空間とすると万.

となる作用素万が定義される. また–上に Hermite 計量を導入すると$\Omega$

れ,suPP$\varphi$が$b\Omega$

共役作用素- :と接触しない$\varphi$$\in C_{p,q}^{\infty}(7$$\partial*$に対して$C_{p,q+1}^{\infty}(\Omega 7arrow C_{p,q}^{\infty}(\Omega 7$$(\overline{\partial}\varphi, \psi)=(\varphi, arrow\partial\psi)$と$\psi\in C_{p,q+1}^{\infty}(\Omega 7$が得られる.

$\epsilon$

を–上の$||\varphi||_{\epsilon}\leq C(||\overline{\partial}\varphi||+||\overline{\partial}^{*}$$\varphi\in C_{p,q}^{\infty}(\Omega 7$

)

$($

,

$)$

$=(\varphi, \overline{\partial}\psi)$

が任意の

が与えら

となる万の

$\psi\in C_{p,q+1}^{\infty}(\Omega 7$の集合とする. $U$ を の開集合として$\overline{\Omega}$$\varphi$$L^{2}norm,||||_{\epsilon}$$\Omega$例

for$|+||\varphi||)$を考えたい (01) の応用としては-u $=f$ で $f$ がひ上で指数$\partial$$s+\epsilon$を$\psi$に内積を指数が の–上の Sobolev$\Omega$$\epsilon$$>0,$ $C>0$ に対して

(0.1)

指数

$C_{p,q}^{\infty}(\Omega 7$に対して (万第となるある境界値条件をみたす$\mathcal{D}^{p,q}(U)=\{\varphi\in \mathcal{D}^{p,q}(\Omega 7|supp\varphi\subset\overline{\Omega}\cap U\},||||$

norm とする. 定数$\mathcal{D}^{p,q}(\Omega 7$$C_{p,q}^{\infty}(\Omega 7arrow C_{p,q+1}^{\infty}(\Omega 7$の Sobolev 空間にはいることが導ける. ひ$\subset\Omega$$s$$\forall\varphi\in \mathcal{D}$p,q(ひ),の Sobolev 空間にあれば $u$ はひ上での場合は$\partial$--$\partial*+$$\partial*\partial$の楕円性より$\epsilon=1$

で (0.1) が成立することが容易に示せるが, $U\cap b\Omega\neq\emptyset$ の場合は非強圧的な楕円型境界値問題となり問題は急激に難しくなる.zO を$b\Omega$の点として (0.1) が成立する の近傍ひが存在するための$\chi 0$の近くにおける幾何学的条件を考察する. もし $=1/2$ とすれば Folland と Kohn[4]$\text{が^{む}}$$\epsilon$$\Omega$

の

$Z0$

における

Levi 形式が $n-q$ 個以上の正の固有値か $q+1$ 個以上の負の固有値をもてば (01) が成立することを示したが,0 $<\epsilon<1/2$ とすれば Levi 形式の固有値の符号で判定することが不可能となりの境界と次元の複素解析集合の接触度との関係を考える必要がある. ここで が擬凸であると仮$\Omega$$q$

む定する. Catlin 1 は の上界を における
$]$

$[$

$\epsilon$$b\Omega$と$q$次元の解析集合の接触度の上限の逆数で与えており, 2 において 1 と少し異なる形で定義した接触度が上界をもつことがある 0
$[$

$]$

$\Omega$$]$$[$$<\epsilon$

で$($0.1 が成立$)$

する必要十分条件であることを証明した. 最適な 6 の値を求めることについては特定の場合についてのみ行われている Kohn 10 , 11 は $q=n-1$ であれば が $n-1$ 次元の部分複素多様体と
$[$

$]$

$[$

$]$

$\epsilon$$b\Omega$の接触度の逆数で 0.1 が成り立つことを Rothschild と Stein 12 の結果を適用することによって主
$($

$)$

$[$

$]$

68

張した. また [10] で Levi 形式が滑らかな正則 vector 場の基底で対角化できるならば同様な方法

によって最良な を求めることができることを指摘した.Fornaaess と Sibony[5] は $n=1$ で が凸$\Omega$$\epsilon$

であれば が [1] で与えられる上界で成立することを示した. 最近では Derridj[3] が滑らかに Levi$\epsilon$

形式が対角化できない例を含むあるクラスを設定して [12] の結果を適用することによって最良な$\epsilon$を求める方法を与えた. 本稿では次の様な $C^{n+1}$ の擬凸領域の $q=1,$

めることについて報告したい.

$($

0.2

$\tilde{r}(w_{0}, \cdots, w_{n})$$\tilde{r}(O)=0$$)$,$\cdots,$$n$に対する最良な を求$\epsilon$

を原点の近傍で定義された $C^{n+1}$ 上の$\frac{\partial\tilde{r}}{\partial{\rm Im} w_{0}}(0)\neq 0$$C^{\infty}$函数で,を満たし, 領域 $\tilde{\Omega}=\{w\in C^{n+1};\tilde{r}(w)<0\}$ に対してその正 evi 形式が原点で正定値であると仮定する 1 を $n/2\leq l\leq n$ を満たす整数として,{mi}Ll を $i=1,$

正の整数の列とする.j $=l+1,$$\cdots,$$n$$\cdots,$$n-l$ に対して $m_{i}\leq m_{i+1}$ となるに対して函数 $f_{j(Zj}$ , zj-l) を$f_{j(z_{j},z_{j-l})=z_{j}^{m_{j}}+\sum_{k=0}^{j}gjk(z_{j-l})z_{j}^{k}}m-1$,の形をして $gjk$ を原点の近傍で定義された正則函数で$p\leq m_{j-l}(m_{j}-k)/m_{j}$に対して$\frac{\partial^{p}g_{jk}}{\partial z_{j-l}^{p}}(0)=0$

を$\backslash ffi’\cdot$

す とする. 最後に$\{m_{i}\}_{i=1}^{n}$を$\tilde{m}_{i}\leq\tilde{m}_{i+1}$となる様に$\{\tilde{m}_{i}\}_{i=1}^{n}$に並びかえる. 主結果は次のとおりである (cf.[7]).

定理$\Omega$

を滑らかな境界をもつ有界な $C^{n+1}$ の領域で境界は原点を含むとする.

$\Omega\cap$

ひ $=\{z\in$ ひ $;\tilde{r}(z_{0}, z_{1}^{m_{1}}, \cdots, z_{l}^{m_{I}}, f|_{+1}(z_{l+1}, z_{1}), \cdots, f_{n}(z_{n}, z_{n-l}))<0\}$となる原点の近傍ひが存在するとすれば,(01) が1/2m $n+1-q$ で成立して$\tilde$$\epsilon=$$\mathcal{E}$$>1/2\tilde{m}_{n+1-q}$であれば成立しない.

もし の恥 vi 形式が対角形でなければ の固有値は$\Omega$$\Omega$ない 1990 年 7 月に筆者は $f_{j(Zj}$ , zj-l)$\equiv 0$$C^{\infty}$函数でないので滑らかに対角化できの場合に定理が成り立つことについて講演したが(cf $[6]$ ), $1991$ 年に Derridj はこの場合を含むあるクラスに関する結果を [3] において発表した. 本
稿で述べられているクラスに含まれて [3] のクラスに属さない例は次の通りである:$\Omega=\{(z_{0}, z_{1}, z_{2});{\rm Im} z_{0}+|z_{1}|^{6}+|z_{1}^{2}z_{2}^{2}+z_{2}^{4}|^{2}<0\}$.

69[3] では滑らかな正則 vector 場の基底を固定した状態でそれと双対な微分形式の基底における各成分の Sobolev norm を上から評価する形となっているがこの例では$|z_{2}|^{4}/|z_{1}|^{3}$が十分大きいと滑らかでない基底の変換をする必要があり [3] が適用できない.

\S 1. 証明の概略
定理の陳述の中で
る.

$\{$

1,

,

$n\}$

$>1/2\tilde{m}_{n+1-q}$ で$\epsilon$

を $\{i(1), \cdots, i(n)\}$ に $mi($の(0.1) が成立しないことは [1] を用いて次の様に示され$=\tilde{m}_{j}$となる様に並び変える. $z_{i(1)}=\cdots=z_{i(n-q)}=0$ で$z_{0}= \frac{}{\frac{\partial\tilde{r}1}{\partial w_{0}}(0)}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial\tilde{r}}{\partial w_{j}}(0)f_{j}(z)$で定義される$q$次元部分複素多様体を$V^{q}$,とする. この時, 次の不等式$|r(z)| \leq C\sum_{j=n+1-q}^{n}|z_{i(j)}|^{2\tilde{m}_{j}}\leq C|z|^{2\tilde{m}_{n+1-q}}$,が成り立つので [1] の Theorem 1 を適用すると (0.1) の不成立がいえる.
$\epsilon=1/2\tilde{m}_{n+1-q}$

で (01) が成立することを証明するために (0.1) を b

複体の不等式に帰着させる. そのために$r(z_{0}, \cdots, z_{n})=\tilde{r}(z_{0},$$b\Omega$$z_{1}^{m_{1}},$$\Omega$

上の接 Cauchy-Riemannの局所座標を導入する. まず$\cdots,$$z_{l}^{m_{l}},$$fi_{+1}(z_{l+1}, z_{1}),$ $\cdots,$ $f_{n}(z_{n}, z_{n-l}))$,

とおき,Malgrange の予備定理を使うと (0.2) より$r(z)=f(z)(\phi({\rm Re} z_{0}, z_{1}, \cdots, z_{n})-{\rm Im} z_{0})$で$\phi$(0) $=0,$ $f(z)>0$ となる$C^{\infty}$

実数値函数 , $f$ がある. よって吻$\phi$

おけば $(x_{1}, \cdots, x_{n}, y_{1}, \cdots, y_{n},t)$ は$b\Omega$の局所座標となる. また接空間の座標とする b の開集合ひに対して$\Omega$形式の空間として, b を$\partial$

関する函数$b\Omega$$\zeta$$\overline{\partial}_{b}$$(\tau$ $)$$\mathcal{B}^{p,q}$からの共役作用素とする.
を用い表象を$\tau^{\epsilon}\zeta(\tau)$$\tau$$\mathcal{B}^{p,q+1}$$\geq 2$$\mathcal{B}^{p,q}$,$={\rm Re} z_{J},$$yj={\rm Im} z_{J},t={\rm Re} z0$$(\xi_{1}, \cdots, \xi_{n}, \eta_{1}, \cdots, \eta_{n}, \tau)$$||\Delta$の余$\Omega$への双対境界作用素, b を から導かれた且 ermite 計量に$*$$\partial$の時く $(\tau)=1$ でとする擬微分作用素を$\tau$$\Delta_{\epsilon}$$\varphi||\leq C(||\overline{\partial}_{b}\varphi||+||\overline{\partial}_{b}^{*}.\varphi||+||\varphi||)$。

$b\Omega$(ひ) を台がひに含まれる b 上の滑らかな $(p, q)-$$\leq 1$$\Omega$の時く$(\tau$$)=0$ となる滑らかな実数値とすれば,Sweeney[13] の結果より (01) は

において

(1.1)

を

と

for

$\forall\varphi\in \mathcal{B}^{p}$’q(ひ),

70となる原点の近傍ひが存在することと同値であることが分る. 以下この不等式を考えていくことにする. [13] によると (0.1) の正否は且 ermite 計量の選び方に依存しないことがいえているので,$b\Omega$に接する正則 vector 場$L_{j}= \frac{\partial}{\partial z_{j}}-\frac{\partial\phi/\partial z_{j}\partial}{i+\partial\phi/\partial t\partial t}$を正規直交基底となるように計量をとり,(1,0) 形式
重指数 $I=$ ($i_{1},$$\cdots$, Zp), $J=(j_{1},$ $\cdots,j$のに対してて, それらを用いて $(p, q)$ -形式$\omega$$\omega$飴 $rj=1,$1,,$\omega_{n}$I $=$ 鰯 1$\cdots,$$n$,をそれに対する双対基底とする. 多$\wedge\cdots\wedge\omega_{i_{p}},\overline{\omega}_{j}=\overline{\omega}j_{1}\wedge\cdots\wedge\overline{\omega}j_{q}$としを$\varphi$ノ,$\varphi=\sum_{I,J}\varphi I,J\omega_{I}\wedge\overline{\omega}_{J}$と表す. ここでの時 b$\partial$$\varphi,$$\partial_{b}^{*}\varphi$$\Sigma$’は成分が単調増大に並んでいる多重指数だけの和をとるという意味である. こは次の様に表される:’(1.2),$\overline{\partial}_{b}\varphi=(-1)^{p}\sum_{I,J}\sum_{j=1}^{n}\overline{L}_{j\varphi I,J}\omega_{I}\wedge\overline{\omega}_{j}\wedge\overline{\omega}_{j}+\sum f_{IfL,|}^{I,J}\varphi I,J\omega_{H}\wedge\overline{\omega}_{L}$(13).

$\overline{\partial}_{b}^{*}\varphi=(-1)^{p+1}\sum_{I,K}\sum_{j=1}^{n}L_{j\varphi I,JK}\omega_{I}’\wedge\overline{\omega}_{K}+\sum g_{I!,K}^{I,J}\varphi I,J\omega_{H}\wedge\overline{\omega}_{K}$

ここで $I$ と $H$ は $p$ 重指数,」は$g_{Ff,K}^{I,J}\}hC^{\infty}$

$q$

重指数,

$L$

は $q+1$ 重指数, $K$ は $q\sim 1$ 重指数をとるとして,$f_{H_{l}L}^{I,J}$と函数とする.

十分に小さい $a>0$ に対して原点の近傍として $B_{a}=\{(z, t)\in C^{n}\cross R;|z|<a, |t|<a\}$ をとる. 正の実数$\rho$)$\tau$

に対し z

$\in$

B。の近傍を定義する $1\leq j\leq l$ となる整数 と$i$$z_{j}\in C0$に対して$M_{o,z_{j}}^{(j)}(\rho)\tau)=\{\begin{array}{ll}2|z_{j}0|^{m_{j}-1}(\frac{\tau}{\rho})^{1/2} if |_{Z_{j}}^{0}|^{m_{j}}\geq 2(\frac{\rho}{\tau})^{1/2}(\frac{\tau}{\rho})^{1/2m_{j}} if |_{Z_{j}}^{0}|^{m_{j}}<2(\frac{\rho}{\tau})^{1/2},\end{array}$とする. 次に」$+1\leq i\leq n$ となる整数 と $(z_{j}, z_{j-l})\in 00C^{2}$ に対して
$i$$M_{o,(z_{j}}^{(j)}$,。

$j-\iota)^{(\rho,\tau)}$$=\{\begin{array}{l}2|^{0}z_{j}|^{m_{j}-1}(\frac{\tau}{\rho})^{1/2} if |^{0}z_{j}|^{m_{j}}\geq\max((\frac{\rho}{\tau})^{1/2}, |^{0}z_{j-l}|^{m_{j- I}})1\text{塁^{}ax}\leq m_{j}|\frac{\partial^{k}f_{j}}{\partial z_{j}^{k}}(z_{j}0,0z_{j-l})(\frac{\tau}{\rho})^{1/2}|^{1/k} otherwise.\end{array}$

71

む

む

$0\in C^{n}$ に対して $1\leq j\leq l$ ととする. $|z0|\leq a$ となる $z=0(z_{1}, \cdots, z_{n})$整数 の集合を$i$$\Lambda$zo$(\rho, \tau),l+1\leq j\leq n$$|^{m_{j}}\geq 2(\rho/\tau)^{1/2}$$|z_{j}$

を満たす

と

む
$|z_{j}$を満たす の集合を$i$$\Gamma_{\circ,z}(\rho, \tau)$$|^{m}j \geq\max(2(\frac{\rho}{\tau})^{1/2})|^{0}z_{j-l}|^{m_{j-l}})$とする $4=1,$$1$$\cdots,$に対してを使い $C$ の開集合

$M_{o,z_{j}}^{(j)}(\rho, \tau)$$\tilde{\Omega}_{o,z_{j}}^{(j)}(\rho, \tau)$をむ$\tilde{\Omega}_{o,z_{j}}^{(j)}(\rho, \tau)=\{z_{j}\in C;|z_{j}-z_{j}$そして $j=l+1\cdots n$ に対して

$M^{(j)}(\mathring{z}_{j},$。
$j-\iota)^{(\rho,\tau)}$を使い$|< \frac{1}{M_{oz_{j}}^{(j)}(\rho,\tau)}\}$$C^{2}$の開集合$\Omega\hat$,(jzoj),。

$j-\iota)^{(\rho,\tau)}$を$j\in\Gamma_{\circ,z}(\rho, \tau)$

$($

であれば

$\hat{\Omega}^{(j)}oo(\rho,\dot{\tau})=(z_{j},z_{j-\iota)}\{\begin{array}{l}(z_{j}, z_{j-l})\in C\cross\tilde{\Omega}_{O}^{(j-l)};z_{j-I}\end{array}$む$|f_{j}(z_{j}, z_{j-l})-f_{j}(z_{j}, z_{j-l})|0$$< \frac{|z_{j}|^{m_{j}-1}0}{AM_{(z_{j},z_{j-l})}^{(j)}oo(\rho,\tau)}\}$,

そうでなければ$\hat{\Omega}_{(z_{j},\mathring{z}_{j-l})}^{(j)}o(\rho, \tau)=\{(z_{j}, z_{j-l})\in C\cross\tilde{\Omega}_{Q) ,z_{j-l}}^{(j-l)}\cdot$$|^{\text{む}}z_{j}-z_{j}|< \frac{1}{AM_{(z_{j},z_{j-\iota)}}^{(j)}oo(\rho,\tau)}\}$とする. ここで且は後で十分に大きくとるとする. 最後に$|^{\text{む}}|\leq a$を満たす

む$z\in$$C^{n}$

に対して近傍$\overline{\Omega}_{o,z}(\rho, \tau)k$$\tilde{\Omega}_{o,z_{z_{n-l+1}}}(\rho, \tau)=\tilde{\Omega}_{o}^{(n-l+1)}\cross\cdots\cross\tilde{\Omega}_{o,z_{1}}^{l}\cross\hat{\Omega}_{(z_{l+1},z_{1})}^{(l+1)}oo\cross\cdots\cross\hat{\Omega}_{(z_{n},z_{n-\iota)}}^{(n)}oo$

とする.j
で

$\in\Gamma_{\circ,z}$$\Omega_{\circ,z}(\rho, \tau)$( , りのとき$\rho$$\hat{\Omega}_{oo ,(z_{j},z_{j-\iota)}}^{(j)}(\rho,$上の正則ベクトル場$\tilde{L}_{j}$$\tau)$において常にを $i\circ$$\overline{\partial}z\partial f_{(z}\dot{r}jj$, zj-l)$\neq 0$であることが示せるのであれば$\tilde{L}_{j}=L_{j}-\frac{\frac{\partial f_{z}+\iota}{\partial z_{j+l}\partial^{\partial z}f_{?\neq I}j}(z_{j+l},z_{j})}{\frac(z_{j+l},z_{i})}L_{J+l}$とし, そうでなければ
命題

1.

$a$

$\overline{L}_{j}=L_{j}$とする.

を十分に小さく且と を十分に大きくとる. この時ある定数を満たす $z\in 0C^{n}$ と$\rho$$\tau\geq$

c を満たす に対して台が$\rho$$\tau$$\Omega$o $(\rho, \tau)$$C^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}>0$

が存在して $|^{0}|\leq a$に含まれる任意の滑らかな函数 ’ と$\varphi$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$72

が以下の不等式を満たす:(1.4)$\rho^{\frac{1}{2}}\Vert M_{o,z_{j}}^{(j)}(\rho, \tau)\varphi\Vert\leq c||z_{j}^{m-1}j\tau^{\frac{1}{2}}\varphi||\Lambda_{z}(\rho, \tau)$(1.5)$\rho^{2^{-m_{j}}}\Vert M_{o,z_{j}}^{(j)}(\rho, \tau)\varphi\Vert\leq C(j$

for

(1.6)

$j\in\{1, \cdots, l\}\backslash \Lambda_{0,z}(\rho, \tau)$,$\rho^{2^{-m}j}\Vert M^{(j)}oo(\rho, \tau)\varphi\Vert(z_{j},z_{j-\iota)}\leq C(||\tilde{L}_{j}\varphi||+||\tilde{L}_{j}^{*}\varphi||+\Vert\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{j}}\tau^{\frac{1}{2}}\varphi\Vert)$

for

(1.7)

$j\in\{l+1, \cdots, n\}\backslash \Gamma_{\mathring{z}}(\rho, \tau))$$\rho^{\frac{1}{2}}\Vert M_{oo ,(z_{j},z_{j-l})}^{(j)}(\rho, \tau)(\varphi’+\frac{\frac{}{\partial\iota}}{\frac{\partial j\partial fzj-}{\partial z_{j}}}\varphi)\Vert\leq C\Vert\tau^{\frac{1}{2}}(\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{j-l}}\varphi+\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{j}}\varphi’)\Vert$for$j\in\Gamma_{0,z}(\rho, \tau)$(i.4) と (1.7) は右辺の norm の中で(1.6) については函数が$||\overline{L}_{j}^{*}$

,

$0$

.

と〆に掛けている函数の評価を行えば直に示せる.(1.5) と$\varphi$になることがあるので同じ方法は適用できないので, 右辺に$||\tilde{L}_{j}\varphi||$と例を付ける必要がある. このようにすれば [8] に倣い函数とベクトル場の交換子を用いることによってこれらの不等式が証明できる.
次に超局所的な議論を行うために$t$の双対座標 を導入する. $C>0$ を十分に大きくとり $\rho>0$ に$\tau$

対して $D_{\rho}=\{(z, \tau);|z|\leq a, \tau\geq C\rho\},\tilde{D}_{\rho}=D_{\rho}\cross\{t;|t|\leq a\}$ とおく. また$\{\not\equiv\Omega\circ(\rho)(\mathring{z},\tau)$$D_{\rho}$の各点$(z, \tau)00$の近を$|\tau-\tau|o0<\tau^{1-\delta}0\}$$|t|<a,$$\Omega_{(z,\tau)}oo(\rho)=\{(z, \tau)\in C^{n}\cross R;_{z}z\in\tilde{\Omega}_{o}(\rho, \tau),$と定義する. ここで を $0<\delta<1/2\tilde{m}_{n}$ となるようにとる. この時,D の点列$\delta$$\{(z^{(\alpha)}, \tau^{(\alpha)})\}_{\alpha=1}^{\infty}$$\rho$$\bigcup_{\alpha=1}^{\infty}\Omega_{(z^{(\alpha)},\tau^{(\alpha)})}(\rho)\supset\tilde{D}_{\rho}$となり, 更に共有点を含む (z( ), ( ))$\Omega$$\alpha$$(\rho$ $)$$\alpha$$\tau$

きる. 記号をB にするために一 1, 2,$\Lambda_{z(\alpha)}(\rho, \tau^{(\alpha)}),$ $\Gamma_{\alpha}(\rho)=\Gamma_{z(\alpha)}(\rho, \tau^{(\alpha)}),$$\Psi_{\alpha}$の表象$\psi\alpha$$(z, t, \tau)$を$\psi_{\alpha}(z,t, \tau)$,の個数の最大値は $a,A,\rho$ に依存しないように選ぶことがで$\grave$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$を$\cdots$, に対して $M_{\alpha}^{(j)}=M^{(j)},$$\Omega_{\alpha}(\rho)=\Omega_{(z(\alpha)_{\mathcal{T}}(\alpha))}(\rho)$$M_{\alpha}^{(j)}=M^{(j)}\Lambda_{\alpha}(\rho)=z_{j}^{(\alpha)}(z_{j}^{(\alpha)},z_{j-l}^{(\alpha)})$’と書き, これらを使い擬微分作用素

73

$=$

$( \prod_{j=1}^{l}\chi(\frac{|z_{j}-z_{j}^{(\alpha)}|}{M_{\alpha}^{(j)}}I)(\prod_{j\in\{l+1,\cdots,n\}\backslash \Gamma_{\alpha}(\rho,\tau)}\chi(\frac{|z_{j}-z_{j}^{(\alpha)}|}{M_{\alpha}^{(j)}}I)$$\cross$$( \prod_{-}\chi(\frac{|f_{j}(z_{j},z_{j-l})-f_{j}(z_{j}^{(\alpha)},z_{j-l}^{(\alpha)})|}{|z_{j}^{(\alpha)}|^{m-1}jM_{\alpha}^{(j)}}I)\chi(\frac{t}{a})\chi(\frac{|\tau-\tau^{(\alpha)}|}{(\tau^{(\alpha)})^{1-\delta}})$と定義する. ここで を$\chi$$R_{s}$,

上の滑らかな実数値函数で$\chi(s)=0$を満たすとする. 最後に函数$d_{\alpha,j(Zj}$

if $|s|\geq 1$ and $\chi(s)=1$ if, zj-l) とベクトル場$L_{\alpha,j}$$|s| \leq\frac{1}{2}$を$/d_{\alpha,j}(z_{j}, z_{j-l})=\{\begin{array}{ll}\frac{\partial f}{\partial z_{j-}}\overline{\iota}/\frac{\partial}{\partial}zf\lrcorner j if j\in\Gamma_{\alpha}(\rho)0 if j\not\in\Gamma_{\alpha}(\rho),\end{array}$$L_{\alpha,j}=L_{j}-d_{\alpha_{t}j+l}L_{J+l}$

for $j=1,$$\cdots,$ $n$,とする.(1.2) と (1.3) より(1.8)$\sum_{\alpha}(||\Psi_{\alpha}\overline{\partial}_{b}\varphi||^{2}+||\Psi_{\alpha}\overline{\partial}_{b}^{*}\varphi\{|^{2})=\sum_{J}\sum_{\alpha_{l}j}||\Psi_{\alpha}\overline{L}_{j}\varphi_{j}||^{2}’$,$+ \sum_{K}’\sum_{\alpha,\text{あ}k}({\rm Re}(\Psi_{\alpha}L_{J\varphi J^{K}}, \Psi_{\alpha}L_{k}\varphi kK)-{\rm Re}(\Psi_{\alpha}\overline{L}_{k}\varphi jK, \Psi_{\alpha}\overline{L}_{j}\varphi kK))$.

が得られ,[8],[9] によると (18) の左辺は (11) の右辺の定数倍より小さいことがいえる.(cjk $(z,$ $t)$ )を正則ベクトル場$L_{1},$$\cdots,$$L_{n}$

に関する Levi 形式, つまり吻$k(z, t)=\partial\overline{\partial}r(L_{i},\overline{L}_{k})|_{(z,t)}$とする.(1.8) の右辺を評価するために次の 2 つの命題を用意する:
命題 2.
$n$

個の列

(19)

もし と孟が十分に大きければ, 定数 $C>0$ を適当に選ぶと台が B。に含まれる任意の$\rho$に対して$(\varphi_{1}, \cdots, \varphi_{n})$$k(($ 吻$\sum_{\alpha}|$$kD_{t}\Psi_{\alpha}\varphi i,$ $\Psi_{\alpha}\varphi k)-(\Psi_{\alpha}L_{i\varphi i},$$\Psi_{\alpha}L_{k}\varphi k)+(\Psi_{\alpha}\overline{L}_{k}\varphi i,$$\Psi_{\alpha}\overline{L}_{j\varphi k}))|$

あ$\leq C(\sum_{\alpha}(||\Psi_{\alpha}\sum_{j}L_{j}\varphi_{j}||^{2}+\sum_{j}||M_{\alpha}^{(j)}\Psi_{\alpha}(\varphi J+d_{\alpha,j}\varphi_{j-l})||^{2})+\sum_{j}||\varphi j||^{2})$.

が成り立っ.
命題 3.

$\rho>0$$(\varphi_{1}, \cdots, \varphi_{n})$(1.10)に依存しない定数$\epsilon$$>0,$ $C>0$ が存在して, 台が B。に含まれる任意の $n$ 個の列に対して$\rho^{\epsilon}\sum_{\sigma,j}||M_{\alpha}^{(j)}\Psi_{\alpha}(\varphi j+d_{\alpha\dot{\theta}}\varphi j-l)||^{2}$

74$\leq c(\sum_{\alpha,j,k}c_{jk}D_{t}\Psi_{\alpha}\varphi J,$$\Psi_{\alpha}\varphi kj$

が成り立っ.
命題 2 は $[L_{J},\overline{L}_{k}]=cjkD_{t}$ であることを利用するとができる.

$(\varphi$

1,$\cdot$,$\dot{\varphi}_{n})=(\varphi 1K, \cdots, \varphi_{nK})$$arrow\vee$とに$s_{i}$

り示し, 命題 3 は $(1.4)-(1.7)$ から導くことおくと (19) と (110) を組み合わせることによって$\rho^{\epsilon}\sum_{\alpha,j}||M_{\alpha}^{(j)}\Psi_{\alpha}(\varphi jK+d_{\alpha,J}\varphi J-lK)||^{2}$$\leq$$+$$C( \sum_{\alpha,j,k}(\Psi_{\alpha j\varphi jK}$,$|| \Psi_{\alpha}\overline{L}_{i}\varphi kK||^{2})+\sum_{\alpha}||\Psi_{\alpha}\sum_{j}L_{i\varphi J^{K}}||^{2}+\sum_{j}||\varphi jK||^{2}$が得られる. したがって’$\rho^{\epsilon}\sum_{\alpha,j}\sum_{K}||M_{\alpha}^{(j)}\Psi_{\alpha}(\varphi J^{K}+d_{\alpha,j}\varphi J-lK)||^{2}$$\leq C(\sum_{\alpha}(||\Psi_{\alpha}\overline{\partial}_{b}\varphi||^{2}+||\Psi_{\alpha}\overline{\partial}_{b}^{*}\varphi||^{2})+||\varphi||^{2})$がいえ, 更に$M_{\alpha}^{(j)}$の下から評価することによって (11) を証明することができる.

参考文献[1] D. Catlin, Necessary conditions for subellipticity of the -Neumann problem, Ann. of Math.
$\overline{\partial}$

117 (1983), 147-171.
[2] –, Subelliptic estimates for the -Neumann problem on pseudoconvex domains, Ann. of$\overline{\partial}$

Math. 126 (1987), 131-191.

[3] M. Derridj) Estimations par composantes pour le problem

classes de domaines pseudoconvexes de$C^{n}$-Neumann pour quelques$\overline{\partial}$, Math. Z. 208 (1991), 89-99.

[4] G. B. Folland, J. J. Kohn, The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex,
Pri nceton Univ. Press, Princeton N. J. (1972).

[5] J. E. Fornaess, N. Sibony, Construction of P. S. H. functions on weakly pseudoconvex
domains, Duke Math. J. 58 (1989), 633-655.

75[6] K. Hasegawa, ある弱擬凸領域における$\overline{\partial}-$

ノイマン問題に対する劣楕円的評価について, 数理解析研究所講究録 750 (1991), 111-122.

[7], Subelliptic estimates for the -Neumann problem on certain weakly pseudo-convex$\overline{\partial}$–

domains, J. $Fac$ . Sci. ひ$niv.$ Tokyo 39 1992 , 385-418.
$($

$)$

[81 L. Hormander, subeiiiptic operators, seminor on sing. of $sol$ . of diff. eq. $fPrinceton$ ひ$niv$ .
Press, Princeton, N. J. $(1979),127-208$ .

[9] –, The Weyl calculus of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 32(1979), 359-443.
[10] J. J. Kohn, Boundary.behaviour of$\overline{\partial}$

on weakly $pseudc\succ convex$ manifolds of dimension

two, J. Differential Geom. 6(1972), 523-542.
[11] –, Subellipticity of the-Neumann problem on pseudo-convex domains: sufficient$\overline{\partial}$

conditions, Acta Math. 142 (1979), 79-122.
[12] L. P. Rothschild, E. M. Stein, Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups,
オ $cta$ Math. 137$($

1977 , 248-315.
$)$[13] W. J. Sweeney, A condition for subellipticity in Spencer’s Neumann problem, J. Differential
Equations 21 (1976), 316-362.