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Multi-Phase-Field 法による鉄鋼材料の拡散相変態シミュレーション
Multi-Phase-Field Simulation of Diffusional Transformation in Steel○山本隆史・神戸大院

山中晃徳・東工大院

Takashi YAMAMOTO,
Graduate School of Engineering,
Kobe University

Akinori YAMANAKA,
Graduate School of Science andEngineering,Tokyo Institute of Technology

高木知弘・京工繊大院

冨田佳宏・福井工大

Tomohiro TAKAKI,
Graduate School of Science andTechnology,
Kyoto Institute of Technology

Yoshihiro TOMITA,
Fukui University of Technology

Key Words : Phase-Field Method, Numerical Simulation, Diffusional Transformation, Microstructure
1. 緒言

NC a = ∑ φi Cia =φ1C1a + φ2C2a + φ3C3a + L + φ N C Na

一般に使用される鉄鋼材料の多くは，高温度領域でオーステナイト(γ )単相であった材料が，冷却過程でフェライト(γ →α )変態及びパーライト(γ →α +θ )変態などを経た結果得られる．このため，多くの鉄鋼材料は内部にフェライト(α )組織とパーライト組織を含む．特に，パーライト組織は微細なα 相とセメンタイト(θ )の層状組織であるため，機械的特

(2)

i =1

系の全自由エネルギーは，次式に示すGinzburg-Landau型のGibbsの自由エネルギー汎関数を用いて定義する(2) ．
⎡ N N ⎛ a ij2⎤⎞
G = ∫ ⎢∑ ∑ ⎜ −∇φ i ⋅ ∇φ j + Wij φ i φ j ⎟ + g e ⎥ dVV⎟⎜2⎠⎣⎢ i =1 j = i +1⎝⎦⎥(3)

全自由エネルギーが時間とともに単調減少し，組織形成が性に優れている．しかしながら，コロニーやブロックなどの進行すると仮定すると，phase field φiの時間発展方程式は，複雑な構造の形成を実験的手法のみで予測し，適切な組織制以下のTDGL方程式で表される．
φ御方法を決定することは難しい．本研究では，相変態による

n Mn∂φ i⎤ (4)1 2⎧⎫ 1ij ⎡22= −∑⎨(Wik − W jk )φ k + a ik − a jk ∇ φ k ⎬ − ∆Gij ⎥∑⎢2∂t⎭ 2j =1 n ⎣ k =1 ⎩⎦組織形成過程を自由エネルギーに基づいて解析可能なPhase-Field法(1)を用いて，フェライト変態及びパーライト変態による組織形成過程をシミュレートし，組織形成予測を行う．これまでの研究では，Fe-C系平衡状態図を用い，Fe-C二元合金についての解析を行ってきた．しかしながら，実際用いられている工業用鋼には，Mn，Ni，Siなどの合金元素が添加されており，これらの元素が組織形成過程に寄与していることが知られている．そこで，計算状態図などで用いられる化学的自由エネルギー関数を用いてモデル再構築し，Fe-C二元系からFe-C-Xi多元系に拡張することで，合金元素の添加による組織形成過程への影響について検討することを目的とする．
2. Multi-Phase-Field モデル
N個の結晶粒を含む系を考え，i (i =1, … , N ) 番目の結晶粒を粒iと定義する．秩序変数として，粒iの存在確率を表す
phase field φiと溶質aの濃度Caを定義する．φi は粒i内では 1，Ni =1i(1)

また，溶質濃度Ca は各結晶粒における溶質濃度Cia のphasefield φi による重み付け和として，次式のように定義される．

(5)

ここで，Giはi相のGibbsの自由エネルギーを表し，その値は化学的自由エネルギー関数を用いて導出する(4)．相変態の駆動力を式(5)のように定義することにより，Fe-C-Xi系における微視組織の時間発展方程式を導出することが可能になる．
本モデルでは，溶質原子aの拡散流束J aが各粒からの拡散流束Jiaの和として表現されると仮定し，拡散方程式を次式のように表す．
∂C a⎧N⎫⎞⎛ N= ∇ ⋅ J a = ∇ ⋅ ⎜ ∑ φi J ia ⎟ = ∇ ⋅ ⎨∑ φi Dia ∇Cia ⎬∂t⎩ i =1⎭⎠⎝ i =1(6)

このときのDiaの値は，ケミカルモビリティMiaとGibbsの自由エネルギーを用いて次式のように導出する．

Dia = M ia ⋅ Ti a (Gi )(7)
3. 解析モデル

滑らかに変化する領域を界面と定義する．さらにphase field∑φ = 1)

式(2)中の∆Gijは次式のように表される(3)．
∂G∆Gij = G j − Gi − ∑ (C aj − C ia ) ai
∂C ia

他の粒内で 0 の値をとる変数である．また，φiが 0 から 1 に

φiは独立な変数ではなく，任意の点で次式を満たす．

(多元系に拡張した時間発展方程式を用いて，これまでの研究と同様にFe-C二元合金を対象にした γ →α 変態シミュレーションを行い，その妥当性について評価する．その後，
Fe-C-Xi多元系のγ →α 変態シミュレーションを行い，合金元素の添加による組織形成過程への影響について検討する．本
稿ではこれらのうち，Fe-C二元合金の 970Kにおける，等温〔No.09-21〕日本機械学会第22回計算力学講演会CD-ROM論文集 〔2009-10.10〜12・金沢市〕－49－保持によるγ →α 変態のシミュレーションを行う．本研究で多少は成長速度の減少が見られるものの，α 粒の成長が速い用いる解析モデルを図 1 に示す．

ことが分かる．一方，γ 相の初期濃度が 0.55wt%のときも同

図 1(A)は一次元解析を行うための解析モデルである．相変様にα 粒成長初期に界面での炭素濃度の上昇が見られるが，態に伴うα /γ 界面の移動と，溶質原子の拡散挙動について検このとき，γ 相の初期炭素濃度が高いために成長速度が大き討するため，このようなモデルを用いる．解析領域左部に初く減少していることが分かる．一般に，相変態の速度は各相期フェライト(α )粒を配置し，残りの部分をオーステナイトの溶質濃度による影響を大きく受けるため， α 粒成長挙動(γ )相とする．差分格子は 24×2 の規則格子を用い，差分格においてこのような差異が生じることが知られている．この子間隔は∆ x = ∆ y = 2.5 nmとする．各相の初期の炭素濃度は，ことから，溶質濃度変化に対する相変態の駆動力の変化が良

α 相 は温度 970K における平衡組成 1.89×10-2 wt%Cを与え，γ 相の炭素濃度は 0.33wt%C，0.55wt%Cのニ通りの値を与え好に再現されていることが示された．

る．境界条件は，左右端面では零ノイマン境界条件，上下端等温保持開始後 0s，0.62×10-2s，1.24×10-2s経過したときの面では周期境界条件を用いる．

組織形態を，炭素濃度分布で表している．初期の界面形状は

図 3 に，α 粒の成長過程を二次元的に表したものを示す．

図 1(B)は二次元解析を行うための解析モデルである．α /γ

直線状であるが，α 粒成長初期に円弧状に変形することが分界面の二次元的な挙動について検討するため，このようなモかる．これは，組織形成に伴い界面エネルギーを最小化しよデルを用いる．解析領域左下に初期α 粒を配置し，残りの部うとするためであり，自由エネルギーの最小化が実現されて分をγ 相とする．差分格子は 96×96 の規則格子を用い，差いることが示されている．また，一次元解析のときと同様に，分格子間隔は一次元解析のときと同様である．α 相 の炭素濃界面での濃度上昇とそれに伴う成長速度の減少も見られ，二度も一次元解析と同様のものを与え， γ 相の炭素濃度は次元解析においても溶質濃度と相変態の駆動力との関係が0.33wt%C とする．境界条件は，全方向とも零ノイマン境界再現されていることが示された．Fe-C-Xi多元系のγ →α 変態条件を用いる．このような条件でγ →α 変態シミュレーショ

シミュレーションの結果については，発表当日に示す．

ンを行い，その妥当性についての評価を行う．

(A)

Fig. 2. Distributions of phase field φα and carbon concentration
for 0.33wt%C and 0.55wt%C in γ -phase.

(B)
Fig. 1. Computational model (A), (B).

4. 解析結果と考察
図 2 に，γ 相の初期濃度をそれぞれ 0.33wt%C，0.55wt%C

Fig. 3. Distributions of carbon concentration
at 0s, 0.62×10-2s, 1.24×10-2s.としたときのα 粒の成長過程を示す．各条件において，等温保持開始後 0s，1.86×10-4s，3.72×10-4s経過したときのphasefield φα (φα = 1 : α 相，φα = 0 : γ 相)と炭素濃度の変化をグラフで表している．γ 相の初期濃度が 0.33wt%のとき，α 粒成
長初期にα /γ 界面近傍において炭素濃度の上昇が見られる．
しかしながら，γ 相の炭素濃度が低いためにそのまま成長し，

5. 参考文献(1) R. Kobayashi, Physica D, 63, (1993), 410-423.
(2) I. Steinbach et al., Physica D, 134, (1999), 385-393.
(3) J. Eiken et al., Physical Review E, 73, (2006), 066122.
(4) I. Loginova et al., Acta Materialia, 51 (2003), 1327-1339.

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