数理解析研究所講究録
第 836 巻 1993 年 170-190

170

スチェクロフ固有値問題と結合解法 (その 2)
電気通信大学 情報工学科
牛島 照夫(Teruo USHIJIMA)
敦
網代(Atsushi AJIRO)
横松 大作(Daisaku YOKOMATSU)
要旨
斉次ディリクレ条件の下で, 外部領域におけるボアッソン方程式の有限要素近似を考察する. 方程式の非斉次項 f は, 有界な台をもつ二乗可積分関数であるとする. 仮想境界として の台を内部に含む十分大きな円を用いて, 問題を仮想境界上で非局所境界条
件を持つ内部問題に変換する. この条件は, ラプラス方程式の外部ディリクレ問題に附随するスチェクロフ作用素を用いて表現される. この内部問題の有限要素近似の考察と,我々の数値計算結果の報告が本論文でなされる.
$f$

1. モデル問題
障害物
は, 区分的になめらかな境界をもった平面内の有界領域であるとし, その補集合をとする. サポートが有界なの元 に対して外部領域
におけるボアッソン方程式の斉次ディリクレ問題を取り上げる.
$\Gamma$$\mathcal{O}$$L^{2}(\Omega)$$\Omega$$f$$\Omega$$\Omega\Gamma$$==|u|f0$

$(E)$

,

$o^{n_{n}}i_{<}$$\{-\Delta_{1>}u_{a}\sup_{1x}u$

科科.

ここで, 正数

は十分大きくとって のサポートが原点を中心とする半径 の円の内部に含まれるものとしている. そのとき, 原点とし, その内を中心とする半径 の円を部領域と, 外部領域をの共通部分を
とする.
$f$

$a$

$a$

$\Gamma_{a}$$a$$\Omega$$\Omega_{e}$$\Omega_{i}$$\Omega=\Omega_{i}\cup\Gamma_{a}\cup\Omega_{e}$図 11 領域図

2. 外部スチェクロフ作用素とし, ヒルベルト空間 $X=L^{2}(\Gamma_{a})$ における自原点を中心とする半径 の円周ををそれぞれ次の
己共役作用素 A を次のようた定める. まず円周と円の外部領域
ように極座標を用いて表わすものとする.
$a$$\Gamma_{a}$$\Gamma_{a}$$\Gamma_{a}$$=t$ (a $\cos\theta,$ a $\sin\theta$ )$\Omega_{e}$$=\{(x,y) :$\Omega_{e}$: $-\pi<\theta\leq\pi$ },x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, r>a, -\pi<\theta\leq\pi\}$.

171
ヒルベルト空間 $X=L^{2}(\Gamma_{a})$ の内積を$( \varphi,\psi)=\int_{\Gamma_{a}}\varphi\overline{\psi}d\Gamma=a\int_{-\pi}^{\pi}\varphi$($a\cos\theta,$a$\sin\theta$)$\overline{\psi}$($a\cos\theta,$a$\sin\theta$)$d\theta$

で表す. 関数系$\{C_{0}=\frac{1}{\sqrt{2\pi a}},$は,$C_{n}= \frac{1}{\sqrt{\pi a}}\cos n\theta,$$S_{n}= \frac{1}{\sqrt{\pi a}}\sin n\theta,$

における完全正規直交系である. 定義域$X=L^{2}(\Gamma_{a})$$D(\Lambda)=\{\varphi\in L^{2}(\Gamma_{a})$:$n=1,2,$ $\cdots\}$$D(\Lambda)$

を$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{a})^{2}\{|(\varphi,C_{n})|^{2}+|(\varphi,S_{n})|^{2}\}<\infty\}$とする自己共役作用素 A を,$\Lambda\varphi=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{a})\{(\varphi,C_{n})C_{n}+(\varphi, S_{n})S_{n}\},$$\varphi\in D(\Lambda)$

によって定めることができる. この作用素を外部スチェクロフ作用素と呼ぶ. この作用
素の固有値は,$n=0,1,2,$$\underline{n}$$=$$\lambda_{n}$’$\cdots$

$a$

である.
円
上の周期的な連続関数$\Gamma_{a}$$(E_{e})$の解$u_{e}$}は,$\Omega_{e}$$\varphi$が与えられたとき, ラプラス方程式の外部境界値問題

で有界とすれば一意に存在する ([7]).

,$\Gamma\Omega_{a^{e}}$$(E_{e})$$=_{e}\varphi=0|u|o^{n_{n_{\infty}}}i_{<}$$\{\begin{array}{l}-\Delta u_{e}u_{e}\sup_{\Omega_{e}}\end{array}$.
領域

からみた境界$\Omega_{e}$$\varphi\in D(\Lambda)$

であれば,$\Gamma_{a}$における外向き法線微分を$\frac{\partial u_{e}}{\partial n_{e}}=\Lambda\varphi$$\frac{\partial}{\partial n_{e}}$で表す. 問題$(E_{e})$においてである. この事情は [8] で紹介した.

3. 非局所境界条件をもつ内部問題への変換モデル問題 $(E)$ において,制限したものを, それぞれ,(1)$u_{i}=u|_{\Omega_{i}},$また, 仮想境界$\varphi$と$q$$\Gamma_{a}$

の内部を
とし,
と書く.
; および

$\Omega-\Omega_{e}$$u$$u_{e}=u|_{\Omega_{\epsilon}}$$u=\varphi$

,

$(E)$

の解

$u$

を

$\Omega_{i}$および$\Omega_{e}$に$u_{e}$

.

における

$u$

$\frac{\partial u}{\partial n}=q$onの境界値と,とする.

(2)$\Omega_{i}$$\Gamma_{a}$.

$\Omega$; から見た外向き法線導関数値をそれぞれ

172
このとき

$u$

; は, つぎのにおける混合境界条件付きのボアッソン方程式$\Omega_{i}$$(E_{i})$

の解で

ある.

$(E_{i})$円$u_{e}$$\{\begin{array}{l}-\Delta u.\cdot=fin\Omega.\cdot u.\cdot=0on\Gamma\frac{\partial u}{\partial n}=qon\Gamma_{a}\end{array}$が与えられたとき, ディリクレ境界条件付きラプラス方程式の解であるから, 前述の A をで有界とすれば一意である. ところで,上の連続関数$\Gamma_{a}$は,$\Omega_{e}$$\varphi$$q=- \frac{\partial u_{e}}{\partial n_{e}}$用いると, (3) のように書ける.

(3)$q=-\Lambda\varphi$

したがって問題$(\mathcal{E})$逆に$(\mathcal{E})$.

$(E_{i})$の解$u_{i}$

は, 次の問題$(\mathcal{E})$の解である.

$\{\begin{array}{l}-\triangle u=fin\Omega.\cdot u=0on\Gamma\frac{\partial u}{\partial n}=-\Lambda uon\Gamma_{a}\end{array}$

の解

(4)

で,

$\Gamma_{a}$における境界値$\varphi$

が $D(\Lambda)$ の元であるならば,$u_{e}=( \varphi,C_{0})C_{O}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a}{r})^{n}\{(\varphi,C_{n})C_{n}+(\varphi,S_{n})S_{n}\}$

と定めると

(5)

$u$

$u_{e}$}よ $(E_{e})$ を満たし,$u=\{\begin{array}{l}u.\cdot in\Omega.\cdot u_{e}in\Omega_{e}\end{array}$

とおくと,

$u$

は $(E)$ の解である.

大略このような考えで $(E)$ と$(\mathcal{E})$が等価であることがわかる.

4. 弱形式問題とその離散化
まず, 次の記法を導入する.
$a(u,v)$$= \int_{\Omega_{i}}\nabla u\nabla vdx$$l(\varphi,\psi)$$= \int_{\Gamma_{0}}(A\varphi)\psi d\Gamma$

ここで,$\gamma$は$H^{1}(\Omega_{i})$から$V=\{v\in H^{1}(\Omega_{i}) :

とし,

$V$

$=$

$F(v)$$= \int_{\Omega_{i}}fvdx$,.

$H^{1/2}(\Gamma_{a})$上へのトレース作用素であるとする. 関数空間

v|_{\Gamma}=0\}$における二次形式$a_{\infty}(u,v)$,$a_{\infty}(u,v)$を$a(u,v)+l(\gamma u,\gamma v)$,$u,v\in V$

$V$

を

173
によって定める. このような設定の下で, 問題$(\mathcal{E})$の弱形式問題$(\Pi)$は,$\{\begin{array}{l}a_{\infty}(u,v)=F(v),v\in Vu\in V\end{array}$$(\Pi)$と書ける. 二次形式
上強圧的であるから, $(\Pi)$ は一意可解である.
は,さて砿をの有限次元部分空間とすると (II) の標準的なガレルキン近似問題は,$a_{\infty}(u,v)$

$V$

$V$

$(\Pi_{h})$である.

$\{\begin{array}{l}a_{\infty}(u_{h},v_{h})=F(v_{h}),v_{h}\in V_{h}u_{h}\in V_{h}\end{array}$

しかし, 通常の有限要素空間をにとった場合には,算することは一般にはできないので, 計算可能な連立一次方程式にい. そこで, 若干の工夫をする.
に対して,

を正確に計
を帰着できな$l(\gamma u_{h}, \gamma v_{h})$$V_{h}$$(\Pi_{h})$$\varphi\in L^{2}(\Gamma_{a})$$P_{M} \varphi=(\varphi,C_{0})C_{0}+\sum_{n=1}^{M-1}\{(\varphi,C_{n})C_{n}+(\varphi,S_{n})S_{n}\}+(\varphi,C_{M})C_{M}$

とおく.

$P_{M}\varphi$

は$\varphi$の有限フーリエ展開である. そこで,

$a_{M}(u,v)$$=$$a(u,v)+l_{M}(\gamma u,\gamma v)$$l_{M}(\varphi,\psi)$$=$$l(P_{M}\varphi,\psi)$,と新たな記法を導入して, 次の離散化問題$(\Pi_{h}^{M})$$(\Pi_{h}^{M})$を導入する.

$\{\begin{array}{l}a_{M}(u_{h},v_{h})=F(v_{h}),v_{h}\in V_{h}u_{h}\in V_{h}\end{array}$の有限次元部分空間であり, $M$ と は独立なパラメータである. (問題
ここで琉はへの帰着に, 著者達の考えが及んだのは, [3] 及び [2] によるところが大であったことを附記する.)$V$$h$$(\Pi)$

5. 実際の計算における離散化問題

図 5.1 領域$\Omega_{j}^{M}$の三角形分割図 5.2 数値計算に用いた基本三角形分割

174
を 2 $M$ 個に等分して, 各等分点を頂点
内部境界 は, 多角形であるとする. 円周とし, 正多角形の周をを取り除いた領域をとする正多角形の内部から, 障害物
上の節点は正多角形の頂点の全てを三角形分割する. ただし,とする. 領域
よりなり, それ以外の点は節点ではないように分割する. この分割に対応する区分一次
上ではになるものの全体をとする.
連続要素の作る空間で,さて上の連続な周をとすると, これはの元に制限した関数を期関数で, 隣接する節点の間ではその節点値を画線で結んでできる関数値を持っている.
をの上で集中化したものを
とする.
と書く.
このような関数の一つを上の点 を,と,上の節点
この手続きを説明する. 記法を簡単にするためにそれぞれ次の $(a),$ $(b)$ のように極座標表示する.
$\Gamma$$\Gamma_{a}$$\Omega_{1}^{M}$$\mathcal{O}$$\Gamma_{a}^{M}$$\Omega_{:}^{M}$$\Gamma_{a}^{M}$$\hat{V}_{h}$$\hat{V}_{h}$$0$$\Gamma$$\Gamma_{a}^{M}$$\gamma_{M}(v_{h}\wedge)$$\Gamma_{a}^{M}$$v_{h}\wedge$$\Gamma_{a}$$\hat{\varphi}_{M}$$\hat{\varphi}_{M}$$\overline{\varphi}_{M}$$\Gamma_{a}^{M}$$(a)b_{j}=$ ( $a\cos\theta_{j},$ a$(b)b=$ ( $a\cos\theta,$ a$\Gamma_{a}$上の階段関数$\overline{w}_{j}$$\sin\theta_{j}$$\sin\theta$),),$b_{j}$$b$$\Gamma_{a}$$j=0,\pm 1,\ldots,\pm(M-1),M$ ,$\theta_{j}=\frac{j\pi}{M},$$-\pi<\theta\leq$

$\pi$

.

を

$\overline{w}_{j}(b)=\{\begin{array}{l}1.|\theta-\theta_{j}|<\frac{\pi}{2M’}0.|\theta-\theta_{j}|>\frac{\pi}{2M’}\end{array}$$j=0,$$\pm 1,$$\ldots,$$\pm(M-1)$ ,$< \frac{\pi}{2M’}$$\overline{w}_{M}(b)=\{\begin{array}{l}1\pi-\theta<\frac{\pi}{2M} or \theta+\pi 0.else\end{array}$

によって定める.

$\hat{\varphi}_{M}$の集中化$\overline{\varphi}_{M}$は,レ$\hat{\varphi}_{M}(b_{j})\overline{w}_{j}$$\overline{\varphi}_{M}=$$j=-(M-1)$

によって定める. これを用いて$\hat{P}_{M}\hat{\varphi}_{M}$$\equiv$$P_{M}$に対応する砺を次のようにおく.

$(\overline{\varphi}_{M},\overline{C}_{0}^{M})C_{0}$$+ \sum_{n=1}^{M-1}\{(\overline{\varphi}_{M},\overline{C}_{n}^{M})C_{n}+(\overline{\varphi}_{M},\overline{S}_{n}^{M})S_{n}\}+(\overline{\varphi}_{M},\overline{C}_{M}^{M})C_{M}$ここで,$\overline{C}_{n}^{M}$と$\overline{S}_{n}^{M}$

はそれぞれ次のように定められる$\overline{C}_{n}^{M}=\sum_{j=-(M-1)}^{M}C_{n}(\theta_{j})\overline{w}_{j},$の展開係数変換である. 今定義した砺は,$\hat{P}_{M\hat{\varphi}_{M}}$上の階段関数である.

$\Gamma_{a}$$\overline{S}_{n}^{M}=\sum_{j=-(M-1)}^{M}S_{n}(\theta_{j})\overline{w}_{j}$$a_{n}^{M}=(\overline{\varphi}_{M},\overline{C}_{n}^{M})$$\Gamma_{a}^{M}$,.

$b_{n}^{M}=(\overline{\varphi}_{M},\overline{S}_{n}^{M})$

上の折れ線関数いることに注意すると次の鑑上の二次形式$\wedge l_{M}(\text{\^{u}}_{h},v_{h}\wedge)$.

は, 本質的には離散フーリエ上の関数に写してを,が定まることがわかる.

$\hat{\varphi}_{M}$$L^{2}(\Gamma_{a})$175$\wedge l_{M}(\hat{u}_{h},v_{h}\wedge)\equiv$$\int_{\Gamma_{a}}\{\Lambda\hat{P}_{M}(\gamma_{M}\hat{u}_{h})\}\hat{P}_{M}(\gamma_{M^{\wedge}}v_{h})d\Gamma$,$\hat{u}_{h},$$v_{h}\wedge\in$$\hat{V}_{h}$.

さらに,$a^{M}( \hat{u}_{h},v_{h}\wedge)=\int_{\Omega_{j}^{M}}\nabla\hat{u}_{h}\nabla v_{h}\wedge dx,$

とおく. ここで,$M$は十分大きくて$F^{M}(v_{h} \wedge)=\int_{\Omega_{j}^{M}}fv_{h}\wedge dx,\hat{u}_{h},$$\Omega_{i}^{M}$$v_{h}\wedge\in\hat{V}_{h}$が $f$ のサポートを含んでいるものとする.

二次形式$a_{M}\wedge(\hat{u}_{h},v_{h}\wedge)$$a^{M}(\hat{u}_{h},v_{h}\wedge)+\wedge l_{M}(\hat{u}_{h},v_{h}\wedge)$$=$を導入すれば, 我々は次のような計算可能な離散化問題$\hat{V}_{h}$$(\Pi^{M})\wedge$$\{\begin{array}{l}\wedge a_{M}(\hat{u}_{h},v_{h}\wedge)=F^{M}(v_{h}\wedge),v_{h}\wedge\in\hat{u}_{h}\in\hat{V}_{h}\end{array}$$(\Pi^{M})\wedge$

を得る.

,

は一意可解である. 我々は, こ
上強圧的であるから,の問題を当面数値計算の対象として, 理論的かつ数値的にその妥当性を調べていくことにしている.

二次形式$\hat{a}_{M}(\hat{u}_{h}, v_{h}\wedge)$は,$(\Pi^{M})\wedge$$\hat{V}_{h}$$(\Pi^{M})\wedge$

6. 離散化問題$(\Pi^{M})\wedge$の行列表現

図 6.1 基本三角形分割の場合の節点番号付けの三角形分割による節点を $\{b_{j} : 1\leq j\leq L\}$ とする. ただし、 $N_{0}=2M$と $N_{0}<N<L$ に対して,

内部領域$\Omega_{j}^{M}$$b_{j}\in\Gamma_{a}$: $1\leq j\leq 2M$ ,$b_{j}\in\Gamma$: $N+1\leq j\leq L$

は \S 5 のと一致し,となっているものとする. ここで、 $1\leq j\leq M$ のときは \S 5 の $b_{j-2M}$ と一致させる. 標準的な鑑の基底を$M+1\leq i\leq 2M$ のとき,$\{\hat{w}; : 1\leq j\leq L\}$ とする.
は,
であって,
すなわち
をみたす
ものである.
の任意の元鉱は,$b_{j}$$b_{j}$$b_{j}$$w_{j}$$\hat{V}_{h}$$\hat{w}_{j}\in\hat{V}_{h}$$\hat{w}_{j}(b_{k})=\delta_{jk}$176$v_{h} \wedge=\sum_{j=1}^{L}V(j)\hat{w}_{j}$,$V(j)=v_{h}\wedge(b_{j})$と表わされる. さて,$\alpha_{1j}=a^{M}(\hat{w}_{j},\hat{w}:)$,$\lambda_{1j}=\wedge l_{M}(\hat{w}_{j},\hat{w}_{1})$:$1\leq i,j\leq L$

とおく. 明らかに,$\lambda_{2j}=0$,$i>N_{0}$or $j>N_{O}$である. 行列 $A$ , 非斉次ベクトル $F$ 及び, 未知ベクトル V を次のように導入する.
$A_{0}$$=$$(\alpha_{1j})_{1\leq i,j\leq N_{0^{2}}}$$A_{1}$$=$$(\alpha_{*j})_{N_{0}+1\leq i,j\leq N}$$A_{2}$$=$$(\alpha_{ij})_{N+1\leq i_{\dot{\theta}}\leq L}$$A_{l0}$$=$$(\alpha_{1j})_{\text{湖}0+1\leq i\leq N,1\leq J\leq N_{0}}$$A_{01}$$=$$A_{10}^{T}$$A_{21}$$=$$(\alpha_{1j})_{N_{1}+1\leq i\leq L,N_{0}+1\leq i\leq N}$$A_{12}$

$=$

A

$=$

$A_{21}^{T}$

,

,
,

,

$(\lambda:j)_{1\leq i,j\leq N_{0}}$.
$(\Pi_{M})\wedge$,$=$$(F_{j})_{1\leq j\leq N}$$=$$F^{M}(\hat{w}_{j})$$F_{0}$$=$$(F_{j})_{1\leq J\leq N_{0}}$$F_{1}$$=$$(F_{j})_{N_{0}+1\leq j\leq N}$

V$=$$(V(j))_{1\leq j\leq N}$$V_{0}$$=$$(V(j))_{1\leq j\leq N_{0}}$$V_{1}$$=$$(V(j))_{N_{0}+1\leq J\leq N}$$F_{j}$,

これらの行列とベクトルを用いれば,

(E)

$F$

,

,
,
,

,
,

.

は次の (E) の形になる.

$(\begin{array}{ll}A_{0}+\Lambda A_{01}A_{l0} A_{1}\end{array})(\begin{array}{l}V_{0}V_{l}\end{array})=(\begin{array}{l}F_{0}F_{1}\end{array})$.

ここで, \alpha りは, 節点座標を用いて解析的に表示される. さらに$F_{j}$

は, 必要があれば数である. ここで,

値積分公式を用いて任意精度で近似計算できる. 残った問題はとは A の固有関数で, その固有値がであることに注意する.
のとき,$\lambda_{:j}$$S_{n}$$\lambda_{n}(=\frac{n}{a})$$C_{n}$$1\leq j\leq 2M$$\hat{P}_{M}\gamma_{M}\hat{w}_{j}=(\overline{w}_{j},\overline{C}_{0}^{M})C_{0}+\sum_{n=1}^{M-1}\{(\overline{w}_{j},\overline{C}_{n}^{M})C_{n}+(\overline{w}_{j},\overline{S}_{n}^{M})S_{n}\}+(\overline{w}_{j},\overline{C}_{M}^{M})C_{M}$である. そこで,$c_{jn}$$s_{jn}$$=$$=$$(d{}_{j}\overline{C}_{n}^{M})$$(\overline{w}_{j},\overline{S}_{n}^{M})$: $1\leq j\leq 2M$,
: $1\leq j\leq 2M$,

$0\leq n\leq M$,$1\leq n\leq M-1$

とおく. 計算すると次のようになる.
$c_{jn}$

同様に,

$=$

$a \int_{0}^{2\pi}\overline{w}_{j}\sum_{k=1}^{2M}C_{n}(\theta_{k})\overline{w}_{k}d\theta$$=$$aC_{n}( \theta_{j})\int_{0}^{2\pi}\overline{w}_{j}^{2}d\theta$$=$$\frac{a\pi}{M}C_{n}(\frac{jn\pi}{M})$

.

177
$=$

$s_{jn}$$\frac{a\pi}{M}S_{n}(\frac{jn\pi}{M})$.

したがって,$=c_{j0} \Lambda C_{0}+\sum_{n=1}^{M-1}$$\Lambda\hat{P}_{M}(\gamma^{M}\hat{w}_{j})${$c_{jn}\Lambda C_{n}+s_{jn}$A$S_{n}$}$\cdot+c_{jM}\Lambda C_{M}$$= \sum_{n=1}^{M-1}\{c_{jn}\Lambda C_{n}+s_{jn}\Lambda S_{n}\}+c_{jM}\Lambda C_{M}$.

一方,$=cC+ \sum_{n=1}^{M-1}\{c_{in}C_{n}+s_{in}S_{n}\}+c_{iM}C_{M}$$\hat{P}_{M}(\gamma^{M}\hat{w};)$関数系$\{C_{n}, S_{n}\}$$=$$\lambda_{1j}$$=$は$L^{2}(\Gamma_{a})$$\wedge l_{M}(\hat{w}_{1},\hat{w}_{j})$.

での完全正規直交系であるから,$=$$\int_{\Gamma_{a}}\{\Lambda\hat{P}_{M}(\gamma_{M}\hat{w}_{j})\}\hat{P}_{M}(\gamma_{M}\hat{w}_{1})d\Gamma$.

$\frac{\pi a}{M^{2}}\cross\{\sum_{n=1}^{M-1}\lambda_{n}\cos(\frac{(i-j)n\pi}{M})+\lambda_{M}\cos(i\pi)\cos(j\pi)\}$

さらに計算を進めると,.

’$ii=\neq jj$$\lambda_{1j}=\{\frac{\pi}{2}\frac{M+1}{2[(-M}\frac{\pi}{2M}1)^{(i-j)}M-\frac{1-(-1)^{(:-j)}}{1-\cos\frac{(i-j)\pi}{M}}]$を得る ([1]).
において非斉次境界データ
なお,$\Gamma$(E)$g$を与える場合の対応する離散化問題は,$(\begin{array}{lll}A_{0}+A A_{01} 0A_{10} A_{l} A_{12}0 0 I_{2}\end{array})(\begin{array}{l}V_{0}V_{l}V_{2}\end{array})=(\begin{array}{l}F_{0}F_{l}G\end{array})$の形に帰着される. ただし, 境界データ$g= \sum_{j=N+1}^{L}G(j)\hat{w}_{j}$

,

$g$

は,

$G=(G_{(j)})_{N+1\leq J\leq L}$

なる形であるとした. 行列 I2 は, $L-N$ 次単位行列である.

7. 離散問題の解の誤差の事前評価について
における自己共役作用素
はじめに実ヒルベルト空間
指数 は正数である.
$(\Pi_{h}^{M})$$L^{2}(\Gamma_{a})$$s$$\Lambda^{s}$を次のように定める.

178$D( \Lambda^{s})=\{\varphi\in L^{2}(\Gamma_{\alpha}):\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{n}{a})^{2\epsilon}\{|(\varphi,C_{n})|^{2}+|(\varphi, S_{n})|^{2}\}<\infty\}$$\Lambda^{s}\varphi=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{a})^{s}\{(\varphi, C_{n})C_{n}+(\varphi, S_{n})S_{n}\}$

あきらかに$\Lambda^{1}=\Lambda$

である.

$L^{2}(\Gamma_{\alpha})$のノルムを$| \varphi|=(\varphi,\varphi)^{1/2}=(\int_{\Gamma_{a}}|\varphi|^{2}d\Gamma)^{1/2}$

for$|\cdot|$$\varphi\in D(\Lambda^{s})$

,

.

で表わす.

.

集合 $D(A^{s})$ は, ノルム :$|\varphi|_{s}=(|\varphi|^{2}+|\Lambda^{s}\varphi|^{2})^{1/2},$$\varphi\in D(\Lambda^{s})$と表わす. 原点を中心とするによって完備なヒルベルト空間になる. この空間ををと表わす. 正整数 $m$ に対して, ソボレフ空間
半径 の円の内部を$H^{s}(\Gamma_{\alpha})$$H^{m}(\Omega_{a})$$\Omega_{a}$$a$$H^{m}(\Omega_{a})$で定義する.

$=$$\{v\in L^{2}(\Omega_{a});D^{\alpha}v\in L^{2}(\Omega_{\alpha}), |\alpha|\leq m\}$ここで$D^{\alpha}v$は超関数的導関数 :回$D^{\alpha}v= \frac{\partial^{|\alpha|}v}{\partial x_{1^{\alpha_{1}}}\partial x_{2^{\alpha_{2}}}}$$=\alpha_{1}+\alpha_{2},$$\alpha_{1}\geq 0,$$\alpha_{2}\geq 0$を表わしている. 補間空間論 (Lions-Magenes[5] ) にしたがい,$s\in[0,1]$

に対して,$H^{1+s}(\Omega_{a})=[H^{2}(\Omega_{a}), H^{1}(\Omega_{a})]_{1-\epsilon}$の元 を複素数値関数として取り扱と定める. ([5] に厳密にしたがうためには,の近傍で, 無うべきであるが, 記述が煩項になるので, 便宜的な導入をした.) 領域に制限するの元 を境界で表わす.
限回微分可能な関数の全体をでの無限回微分可能な関数が得られる. この対応を で表わす :と, 境界$H^{m}(\Omega)$$v$$\Omega_{a}$$C^{\infty}(\overline{\Omega_{a}})$$C^{\infty}(\overline{\Omega_{a}})$$\Gamma_{a}$$v$$\Gamma_{a}$$\gamma$$C^{\infty}(\overline{\Omega_{a}})\ni varrow\gamma v\in C^{\infty}(\Gamma_{a})$.

に関してその全ての導関数と共に周期の元は,当然の事ながら,のである. 関数解析の基本事項である次の事実を補題 1 とする.
$\theta$$C^{\infty}(\Gamma_{a})$$2\pi$

補題 1$(L1)\gamma$は$H^{1}(\Omega_{a})$からへの作用素として連続的に拡張される.
で表わすと,$H^{1/2}(\Gamma_{a})$$(L2)(L1)$ の拡張を又$\gamma$$H^{1/2}(\Gamma_{a})=\gamma(H^{1}(\Omega_{a}))=\{\gamma v:v\in H^{1}(\Omega_{a})\}$である.
$(L3)\gamma$は$H^{2}(\Omega_{a})$から$H^{3/2}(\Gamma_{a})$補題 1 の証明は, 例えば,への連続作用素とみなせる.

$Ne\check{c}as[6]$$\blacksquare$などにゆだねる. 補間空間の定義から,

を持つも

179
$H^{1/2+s}(\Gamma_{a})=[H^{3/2}(\Gamma_{a}), H^{1/2}(\Gamma_{a})]_{1-\epsilon},$([5] p.10 (2.7) ). 補題 1 の $(L1 )$(p.27) により, 次の命題 1 を得る.

である

$0\leq s\leq 1$と $(L3 )$ と, [5] Chapt.1 Theorem 5.1

命題 1$\gamma\in L(H^{1+s}(\Omega_{a}), H^{1/2+\epsilon}(\Gamma_{a})),$$0\leq s\leq 1$であり, 作用素ノルム :$\Vert\gamma||_{L(H^{1}+*(\Omega_{a}),H^{1}/2+*(\Gamma_{a}))}$

は,$s\in[0,1]$

に関して一様に有界である.

$\blacksquare$

上の命題において, バナッハ空間 $X$ からバナッハ空間 $Y$ への連続線形作用素の全体を $L(X, Y)$ で表わすものとして,$L(H^{1+s}(\Omega_{a}), H^{1/2+s}(\Gamma_{a}))=L(X,Y)|_{X=H^{1+\epsilon}}t^{\Omega_{a}),Y=H^{1/2+\epsilon}}(r_{\alpha})$である. 次の記法を準備する.
$a(v)$$=$$a(v,v)^{1/2}$,$l(\varphi)$$=$$l(\varphi,\varphi)^{1/2}$

.

すなわち,

$v\in H^{1}(\Omega_{i})$に対して,$a(v)=( \int_{\Omega}.\cdot|\nabla v|^{2}dx)^{1/2}$であり,$\varphi\in H^{1/2}(\Gamma_{a})$に対して,$l( \varphi)=|\Lambda^{1/2}\varphi|=[\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{a})\{|(\varphi,C_{n})|^{2}+|(\varphi,S_{n})|^{2}\}]^{1/2}$

である.

命題 2
障害物

$\mathcal{O}$$l(\gamma v)$と仮想境界の半径$\leq$$\overline{\lambda}a(v),$$a$のみに依存する定数$\overline{\lambda}=\overline{\lambda}(\mathcal{O},a)$が存在して,$v\in V$が成立する.
証明の近傍で恒等的に 1 であり,固定する. あきらかに,$\Gamma_{a}$(7.1)$\gamma(\theta v)=\gamma v$$\mathcal{O}$の近傍で恒等的に$0$である$C^{\infty}(\overline{\Omega_{a}})$の元$\theta$を一つ

180である. 補題 1 の $(L1)$ より, ある $C$ が存在して,

(72)
である.

$\theta$$|\gamma(\theta v)|_{1/2}\leq C\Vert\theta v\Vert_{H^{1}\langle\Omega_{u})}$に依存する定数(7.3)$C_{\theta}$が存在して,$||\theta v||_{H^{1}(\Omega_{a})}\leq C_{\theta}\Vert v||_{H^{1}(\Omega:)}$である. ところで,$V=\{v\in H^{1}(\Omega_{i}):v|_{\Gamma}=0\}$

上では,$H^{1}(\Omega_{i})$のノルムと $a(v)$ とは同値である. すなわち$\Omega$; に依存する定数 $C$; が存

在して

(7.4)

$||v\Vert_{H^{1}(\Omega:)}\leq C;a(v),$$v\in V$である. (7.1), (7.2), (7.3), (7.4) より,$|\gamma v|_{1/2}\leq CC_{\theta}C_{i}a(v)$

である.

ところで

$|\varphi|_{s}$の定義から,$l(\gamma v)=|\Lambda^{1/2}\gamma v|\leq|\gamma v|_{1/2}$である. したがって,$\overline{\lambda}=CC_{\theta}C_{i}$ととれば, 命題 2 の主張が成立することが解る.

命題 3
問題 $(\Pi)$ の解$u$と問題 $(\Pi^{M})$ の解$u^{M}$$\blacksquare$に対して,$a(u-u^{M})\leq\overline{\lambda}l(\gamma u-P_{M}\gamma u)$

なる評価が成立する.

$\overline{\lambda}$

は命題 2 で述べられている定数である.

証明

はじめに任意の(7.5)$\varphi,\psi\in H^{1/2}(\Gamma_{a})$に対して,$l(P_{M}\varphi,\psi)=l_{M}(\varphi,\psi)$

であることに注意する. 実際,$\Lambda^{1/2}P_{M}\varphi=P_{M}\Lambda^{1/2}\varphi$

であり,$P_{M}$

は$L^{2}(\Gamma_{a})$での直交射影であることから,

181$l(P_{M}\varphi, \psi)$$=$$(\Lambda^{1/2}P_{M}\varphi, \Lambda^{1/2}\psi)$$=$$(P_{M}\Lambda^{1/2}\varphi, A^{1/2}\psi)$$=$$(P_{M}\Lambda^{1/2}\varphi, P_{M}A^{1/2}\psi)$$=$$(A^{1/2}P_{M}\varphi,A^{1/2}P_{M}\psi)$$=$$l_{M}(\varphi, \psi)$となるからである. さて,$u$

は $(\Pi)$ の解であるから,$a(u,v)+l(\gamma u,\gamma v)=F(v)$が任意の$v\in V$

(76)
である.

に対して成立する. すなわち,$a(u,v)+l(\gamma u-P_{M}\gamma u,\gamma v)+l(P_{M}\gamma u,\gamma v)=F(v)$$u^{M}$

は $(\Pi^{M})$ の解であるから,$a(u^{M},v)+l_{M}(\gamma u^{M},\gamma v)=F(v)$が任意の$v\in V$

(7.7)

に対して成立する. (7.5) から,$a(u^{M},v)+l(P_{M}\gamma u^{M},\gamma v)=F(v)$である. (7.6), (7.7) より,$a(u-u^{M},v)+l(P_{M}(\gamma(u-u^{M})),\gamma v)=l(P_{M}\gamma u-\gamma u,\gamma v)$

が任意の$v\in V$に対して成立する. そこで $v=u-u^{M}$ とすると,$a(u-u^{M})^{2}\leq$$l(P_{M}\gamma u-\gamma u,\gamma(u-u^{M}))$を得る. シュワルツの不等式により,$a(u-u^{M})^{2}\leq$$l(P_{M}\gamma u-\gamma u)l(\gamma(u-u^{M}))$である. 命題 2 より,$a(u-u^{M})^{2}\leq\overline{\lambda}l(P_{M}\gamma u-\gamma u)a(u-u^{M})$となる. 両辺を $a(u-u^{M})$ で割ると,

命題 3 の成立がしたがう.

定理 1$(\Pi)$ の解 $u,$の任意の元$(\Pi_{h}^{M})$の解$u_{h}^{M}$と$V_{h}$$v_{h}$に対して,$a(u-u_{h}^{M})\leq(1+\overline{\lambda}^{2})\{a(u-v_{h})+l((1-P_{M})\gamma u)\}$と評価される.
証明

補助的に$\blacksquare$

182$a_{M}(v)=a_{M}(v,v)^{1/2}$なる記法を用いる. 命題 2 により $v\in V$ に対して,$a_{M}(v)^{2}$$\leq$$a(v)^{2}+l(\gamma v)^{2}$$\leq$$(1+7^{2})a(v)^{2}$を得る. したがって,

(7.8)

,

$a(v)\leq a_{M}(v)\leq\sqrt{1+\overline{\lambda}^{2}}a(v)$$v\in V$である. これから $V$ は $a_{M}(u,v)$ を内積とするヒルベルト空間であることがわかる.
とする. 問題 $(\Pi^{M})$ との内積 $a_{M}(u,v)$ に関する $V$ から砿への直交射影を$\mathcal{P}_{h}^{M}$から,$a_{M}(u_{h}^{M},v_{h})=a_{M}(u^{M},v_{h}),$$v_{h}\in V_{h}$である. すなわち,$u_{h}^{M}=\mathcal{P}_{h}^{M}u^{M}$である.

したがって,$u-u_{h}^{M}=u-\mathcal{P}_{h}^{M}u+\mathcal{P}_{h}^{M}u-u_{h}^{M}=u-P_{h}^{M}u+\mathcal{P}_{h}^{M}(u-u^{M})$となる. 三角不等式から,$(7.9)$$a_{M}(u-u_{h}^{M})$P がは内積(7.10)
が任意の$a_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}(u,v)$$a$レ$(u-\mathcal{P}_{h}^{M}u)$$+$$a_{M}(\mathcal{P}_{h}^{M}(u-u^{M}))$に関する直交射影であるから,$a_{M}(u-\mathcal{P}_{h}^{M}u)\leq a_{M}(u-v_{h})$$v_{h}\in V_{h}$(7.11)$\leq$

に対して成立し, さらに,

$a_{M}(\mathcal{P}_{h}^{M}(u-u^{M}))\leq a_{M}(u-u^{M})$が成立する. したがって, (7.9), (7.10), (7.11) より,$a_{M}(u-u_{h}^{M})\leq a_{M}(u-v_{h})+a_{M}(u-u^{M})$である. (7.8) を両辺に用いると,$a(u-u_{h}^{M})\leq\sqrt{1+\overline{\lambda}^{2}}\{a(u-v_{h})+a(u-u^{M})\}$

である. 命題 3 によって,$a(u-u_{h}^{M})\leq\sqrt{1+\overline{\lambda}^{2}}\{a(u-v_{h})+\overline{\lambda}l(\gamma u-P_{M}\gamma u)\}$こ$(\Pi_{h}^{M})$183
これから, 定理 1 の成立がしたがう.

$\blacksquare$] に依存する
条件 $h-1$ が成立しているものとする.
さてパラメタ

条件 $h-1$ある定数$C$$h\in(0,\hslash$

が存在して

$V$

の有限次元部分空間の列砿に対して, 次のに対して,$v\in V\cap H^{2}(\Omega_{i})$$\min_{v\in V_{h}}\Vert v-v_{h}||_{H^{1}(\Omega_{i})}\leq Ch\Vert v\Vert_{H^{2}(\Omega;)}$と評価される. (定数

$C$

は

$h$

と

$v$

に依存せずにとれる.)定理 2
解 $u\in V\cap H^{1+8}(\Omega_{i})$ が, ある $s\in[0,1]$ に対して成立しているとする. 条件 $h-1$の下で, $s\in[0,1]$ と解に依存しない定数 $C$ が存在して,$u$$\Vert u-u_{h}^{M}\Vert_{H^{1}(\Omega_{i})}\leq C(h^{s}+M^{-s})\Vert u\Vert_{H^{1+\epsilon}(\Omega:)}$が成立する.
証明

定理 1 の評価式を用いる.
第一段 命題 2 の証明中の (7.4) 式より,
(7.12)$\Vert u-u_{h}^{M}\Vert_{H^{1}(\Omega_{i})}\leq C_{i}a(u-u_{h^{M}})$

である.

第二段
より,

$\mathcal{R}_{h}$(7.13)$1-\mathcal{R}_{h}$を $V$ から琉への$H^{1}(\Omega_{i})$内積に関する直交射影とする. 条件 $h-1$$\Vert(1-\mathcal{R}_{h})v\Vert_{H^{1}(\Omega:)}\leq Ch\Vert v||_{H^{2}(\Omega_{i})}$.

は直交射影だから,(7.14)$\Vert(1-\mathcal{R}_{h})v\Vert_{H^{1}(\Omega:)}\leq\Vert v\Vert_{H^{1}(\Omega_{i})}$.

補間空間論より,$\Vert(1-\mathcal{R}_{h})v\Vert_{H^{1}(\Omega:)}\leq Ch^{s}\Vert v\Vert_{H^{1+s}(\Omega_{i})},$

となる定数

$C$

$0\leq s\leq 1$が存在する ([5] Chapt.l Theorem 5.1 ). これから

$v_{h}=\mathcal{P}_{h}u$$\Vert u-v_{h}\Vert_{H^{1}(\Omega;)}\leq Ch^{s}\Vert u\Vert_{H^{1+s}(\Omega_{i})}$である. すなわち,(7.15)
第三段$a(u-v_{h})\leq Ch$ “$\varphi=\gamma u$$\Vert u\Vert_{H^{1+s}(\Omega_{i})}$と書く. 命題 1 より$s$.に依らない定数

$C$

があって,

に対して,

184
(7.16)$|\varphi|_{1/2+s}\leq C\Vert u\Vert_{H^{1+s}(\Omega_{j})}$である. さて,$l((1-P_{M})\varphi)^{2}$$=$$\frac{M}{a}|(\varphi,S_{M})|^{2}+\sum_{n=M+1}^{\infty}(\frac{n}{a})\{|(\varphi,C_{n})|^{2}+|(\varphi,S_{n})|^{2}\}$$=$$\frac{a^{2s}}{M^{2s}}[\frac{M^{1+2s}}{a^{1+2}}|(\varphi,S_{M})|^{2}$$+ \sum_{n=M+1}^{\infty}(\frac{nM^{2s}}{a^{1+2s}})\{|(\varphi,C_{n})|^{2}+|(\varphi,S_{n})|^{2}\}]$$\leq$$\frac{a^{2s}}{M^{2\epsilon}}\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{a})^{1+2s}\{|(\varphi,C_{n})|^{2}+|(\varphi, S_{n})|^{2}\}$.

したがって,(7.17)$l((1-P_{M}) \varphi)\leq\frac{a^{s}}{M^{\epsilon}}|\Lambda^{1/2+s}\varphi|$を得る. (7.16), (7.17) より,(7.18).

$l((1-P_{M}) \gamma u)\leq\frac{a^{s}\cdot C}{M^{s}}\Vert u\Vert_{H^{1}}+*t^{\Omega_{i})}$を得る. (7.12), (7.15), (7.18) より定理 2 の評価を得る.

$\blacksquare$に
条件 $h-1$ は, 有限要素近似において望ましい性質であるが, 我々の扱う領域との近くの三角形分
おいて, これを実現するためには, 特別の工夫が必要である.
割においては Zlamal の曲要素 ([9]) を使うなどの技巧が要求されることを補記する.
$\Omega_{i}$$\Gamma$$\Gamma_{a}$8. 収束率測定法について得られた数値解の真の解への収束率を, 数値的に調べるために用いる我々の測定法の背景には, つぎの定理 (倉田-牛島 [4]) がある.
定理の元 を固定する. 正のパラメタ] に対して $Tt$ の元
ヒルベルト空間$u(h)$ が定まっているとする. このとき, $e(h),e\sim(h)$ をつぎのようにおく.
$Xt$,$e(h)$$=$$||u_{h}-u||$$\sim e(h)$$=$$||u_{h}-u_{h/2}||$

そのとき, パラメタ
対して,

(8.1)
(82)

$c_{1}h^{\alpha}$$c\sim_{1}h^{\alpha}\sim$$h\in(0,\overline{h}$

$u$

$h$

$\leq$$\leq$.

に依存しない正定数$e(h)$$e\sim(h)$$\leq$$\leq$$c_{2}h^{\alpha}$$c\sim_{2}h^{\alpha}\sim$,$\alpha,$$c_{1},c_{2},\tilde{\alpha},$$c\sim_{1}$, あが存在して] に$h\in(0,\overline{h}$

185
ならば,

$\alpha=\tilde{\alpha}$

である.

$\blacksquare$

事前評価 (8.1) があるとすると, $e(h)$ の計算が不可能な問題でも,を用いること$e(h)$
によって,のオーダーを数値的に測定できることをこの定理は保証している. さらに発展させて, (8.1) のような事前評価が得られていない場合でも,の数値的な挙動から, $e(h)$ のオーダーを推測するのはもっともらしいと我々は考えている.
当然の事であるが, ここで を解くべき問題の厳密解,を有限要素近似によって得られる離散問題の解, そして,を刻み幅 を半分にして得られる近似解にそれぞれ対応させている.
$\sim e(h)$$e\sim(h)$$u$$u_{h}$$h$$u_{h/2}$

9. 数値計算結果
計算に用いた障害物
は,の正方形で, その対角線の中心が原点と一致するものである. 便宜上, 向かい合う平行な二辺を座標軸に平行に置くことにする. 仮想境界
は, $a=5$ のところにある場合を考えた. \S 5 と \S 6 で述べた節点の選び方に整合するの三角形分割の一つとして, 図 6.1 に示したものを基本分割とする. このとき,$M=12$ である. この基本分割の各三角形の各辺を 2 分の 1, 3 分の 1, .. と分割し,1, 2, 3, 4, 6, 8 細分の三角形分割を作った. 対応する近似内部領域は,$M=12,24$ ,上に一辺を持つ三角形については, 必要な修36, 48, 72, 96 である. ただし, 仮想境界
正を加えて基本分割の細分を作った. 非斉次データ は,$\mathcal{O}$$–\backslash \Phi 2$$\Gamma_{a}$$\Omega_{1}^{M}$$\cdot$$\Omega_{1}^{M},$$\Gamma_{a}$

$f$

$f$

$=\{\begin{array}{l}1.r\leq 30.r>3\end{array}$を用いた. ただし近似問題
においては, 我々の三角形分割によって得られる要素
三角形で, 原点を中心とする半径 3 の円内にあるものの和集合をとしたとき,$(\Pi^{M})\wedge$$\Omega_{3}^{M}$$f$$=\{\begin{array}{l}1.(x,y)\in\Omega_{3}^{M}0.\ll\cdot\emptyset ffi\end{array}$

とした.
$u$

$u$

図 9.1

$u^{M}(r,0)$のグラフ

図 9.2 $u^{M}(r,r)$ のグラフ

186の解を $u^{M}(x,y)$ と書くことにする. 図 9.1 は,
これらの設定の下に得られた$u^{M}(r,0)$ の, 図 9.2 は, $u^{M}(r,r)$ のグラフの $M$ に関する依存性を示したものである. 対応して, 表 91 に $u^{M}(r,0)$ の, 表 9.2 に, $u^{M}(r,r)$ の指定したにおける関数値を示した. この表で 2M は仮想境界上の節点数, r は半径である.
$(\Pi^{M})\wedge$$r$

これらの図と表から見て, 数値解はもっともなものであると思われる.
表 9.1
解 $u^{M}(r,0)$ の数値

表 9.2

解 $u^{M}(r,r)$ の数値

ここで, 前節に述べた収束率測定法に基づいて,めに,$||u_{h}-u||$の漸近挙動を推測するた$\sim e(h)=||u_{h}-u_{h/2}||$の計算を試みた. 計算例においては, $h=1/M$ とする. 測定を試みるノルムは,
と
ルム,
である.
ノルム,
さて, 近似空間琉がの部分空間であって,に含まれおり, 近似解琉に属している :$||\cdot||_{L^{2}(\Omega;)}$$H^{1}$ノ$||\cdot||_{H^{1}(\Omega:)}$$H^{1}(\Omega_{i})$$u_{h}\in V_{h}$$L^{2}$$\subset V_{h/2}\subset H^{1}(\Omega_{i})$$V_{h/2}$$u_{h}$

が

187
場合には,

を

$u_{h}$$V_{h/2}$の基底で書き直すことにより,$e\sim(h)$の計算を$V_{h/2}$に対応する剛性行列と質量行列を用いる積和計算に帰着することができる ([4] 参照).
においては,
ところで, 我々の離散化問題
を標準的な方法を定めて,る. そこで,$(\Pi^{M})\wedge$$v_{h}\wedge\not\subset\hat{V}_{h}$$\hat{V}_{h}\not\subset H^{1}(\Omega_{i})$$\hat{V}_{h/2}$

の元

であり,

$\hat{V}_{h}\not\subset\hat{V}_{h/2}$

であに対応させることに$(v_{h}\wedge)_{h/2}$

して,$||\nabla((\hat{u}_{h})_{h/2}-\hat{u}_{h/2})||_{L^{2}(\Omega^{1/h})}$$||(\hat{u}_{h})_{h/2}-\hat{u}_{h/2}||_{H^{1}(\Omega^{1/h})},$$||(\hat{u}_{h})_{h/2}-\hat{u}_{h/2}||_{L^{2}(\Omega^{1/h})},$

誤差, エネルギー誤差と呼ぶ.
誤差,の計算を試みた. 簡単のために順にをに即して説明する. この場合のの定め方を我々の問題
さて,をと書き, ここだけの記法であるが,と書くことにしてきた.
$H^{1}$$L^{2}$$(\Pi^{M})\wedge$$(\hat{u}_{h})_{h/2}$$\hat{u}_{h}$$u^{M}$$\tilde{u}^{M}$$(\hat{u}_{h})_{h/2}$,,$e_{L}\sim(M)$

$=$

||行

$e_{H}\sim(M)$$=$$||\tilde{u}^{M}-u^{2M}||_{H^{1}(\Omega_{j}^{2M})}$$\sim e_{E}(M)$$=$$||\nabla(\tilde{u}^{M}-u^{2M})||_{L^{2}(\Omega_{1}^{2M})}$$M-u^{2M}||_{L^{2}(\Omega_{1}^{2M})}$の三角形分割によって得られる三角形の全体をとする. 5 節の方法で得た領域に属す三角形のそれぞれに対して, 各辺の中点を新たに節点ととする. 三角形分割とする. この分割する 4 つの合同な三角形を作る. これらの小三角形の全体をの三角形を, 2 種類に分類する.
$\mathcal{J}_{M}$$\Omega_{:}^{M}$$\mathcal{J}_{M}$$\mathcal{J}_{2^{0}M}$$\mathcal{J}_{2^{0}M}$(0)上にある頂点を一つも持たないか\searrow あるいはの何れか一つである.
点は, 節点(1)
上の (0) 以外の場合.
$\Gamma_{a}^{M}$$\Gamma_{a}^{M}$上にある頂$b_{j}$,
は 5 節の (5) 式で表されるものである. 上の (0) のものの全体を(1) のものの全体をとする.
と表す. ここで,上に節点をもつ三角形をの三角形で境界
さて,をと書き, は $2M$ をとして考える. 点 は, ある $\gamma\in(0,a)$ と5 節の$\theta\in(-\pi, \pi)$
を用いて,
ここで,

$\mathcal{J}_{2M}^{00}$$b_{j}$$\mathcal{J}_{2M}^{01}$$b_{j}^{M}$$b_{j}$$\triangle b_{j}^{M}b_{j+1^{C}}^{M}$$\Gamma_{a}^{M}$$\mathcal{J}_{M}$

$i$

$c$

$c=(\gamma\cos\theta,\gamma\sin\theta)$と書の中点を, それぞれと表されるものである. 線分–bjMc,ととに属す三角形は
くことにする (図 9.3 参照). 族に属す三角形は, 適当な と に対して, このようである. また,である.
に書けるものに限られることも明らかである. ここで硬をに対応させる. 上述の三つの小三角形
上の節点
上の点
ここで,
を考える. 添字 を 1 から $M$に対応させて,と書く. そこで,まで動かして, これらの三角形の全体を考え, それを$\overline{b_{j+1}^{M}c},\overline{b_{j}^{M}b_{j}^{M_{+1}}}$$\triangle b_{j}^{M}b_{j}^{0,2M_{Cj}}$$\mathcal{J}_{2M}^{01}$$\triangle c_{j+1}b_{j}^{0,2M}b_{j}^{M_{+1}}$$c_{j},$$i$$\mathcal{J}_{2M}^{01}$$=b_{2}^{2_{j}M},$$\Gamma_{a}^{M}$$b_{j}^{0,2M}$$\Gamma^{2M}$$\triangle b_{2j}^{2M}b_{2j+1}^{2M}c_{j},$ $\triangle c_{j}b_{2j+1}^{2M}c_{j+1},$$\triangle c_{J+1}b_{2(j+1)^{C_{j}}}^{2M}$$b_{j}^{0,2M}$$\triangle c_{j}b_{j}^{0,2M}c_{j+1}$$c$$b_{j}^{M_{+1}}=b_{2\langle+1)}^{2M_{j}}$$b_{2}^{2_{j}M_{+1}}$$\mathcal{J}_{2^{1}M}$$\mathcal{J}_{2M}=\mathcal{J}_{2M}^{00}\cup \mathcal{J}_{2^{1}M}$$c_{i+1},$

$i$

188
を作るときに用いたを, 我々はとおく. このようにして得られる三角形分割のである.
, においては,を作る際に, 節点からそこで,においては, $\tilde{u}^{M}(b)=u^{M}(b)$ とする. このようとした. $J_{2M}$ が定めるその他の節点を構成した. この方法が標準的な方法とあらかじめ呼んの元にして, 我々は$\hat{V}_{1/29}$$\mathcal{J}_{2M}$$u^{M}$$\tilde{u}^{M}$$\tilde{u}^{M}(b_{2j}^{2M_{+1}})=u^{M}(b_{j}^{0,2M})$$b_{2j}^{2M_{+}}$$b$$\tilde{u}^{M}$$\hat{V}_{1/2M}$

だでおあものである.

$\text{こ_{}\llcorner}^{}e$,$\Omega_{i}^{0,2M}=\bigcup_{T\in J_{2M}^{00}}T$

とおくと,$\tilde{u}^{M}=u^{M}$$C\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-----------}C_{1b_{2|+1}^{2(|+1)_{2M}}}-""""\prime b_{|,+1}^{M}b_{i^{M}}^{=b_{=b_{2|^{2M}}^{2M}}}$in$b_{1^{0,2M}}$.

$\Omega_{j}^{O,2M}$である.

$c_{i+1}$

図 9.3 境界の近くでの細分の計算値を示した. 図中の点は, 測定点 $M$ における測定値 $e\sim(M)$ を $(x, y)=(\log M, \log^{\sim}e(M))$ として打点したものである. 整数 $M$ は,$M=12,24,36,48$ である. 図中の直線は, 資料点 $(\log M,\log^{\sim}e(M))$ を最小二乗近似する
誤差に対して $\alpha=1.364$ ,直線 $y=\alpha x+\beta$ のグラフである. 我々の計算によれば,
If 1 誤差に対して $\alpha=0.838$ , エネルギー誤差に対して $\alpha=0.652$ であった. また,誤差に対して誤差に対して $\alpha=1.369,$$M=36,48$ の 2 点を通る直線の傾きは$\alpha=0.750$ , エネルギー誤差に対して $\alpha=0.659$ であった.
の値を示した. これらの図と表から, 測定した範囲で収束率は定常的
表 93 になものを観測したと思われる.
図 94 に $e_{L}\sim(M),e_{H}\sim(M),$$e_{E}\sim(M)$$L^{2}$$L^{2}$$\sim e(M)$外周上の節点数/2

図 94 近似解の誤差$H^{1}$

189
表 9.3

近似解の誤差の値

10. 今後の課題
本報告にはいくつかの飛躍があることは明かである. しかし, 敢えてそれらの飛躍を無視して想像をたくましくすると, われわれの数値計算に用いた例題においては,$u\in H^{1+s}(\Omega_{i}),$$s=0.66\cdots$のような予想がたてられる. このような予想を得たことが, 本研究の成果の一つであり,又この予想の当否を明らかにすることが今後の課題である.
計算例の場合の障害物の形から,の属するソボレフ空間の上界は角のある領域におけるポテンシャル問題の解の正則性の議論から決定できることであろうと思われるが,
著者達の力量はまだそこに及んでいない.
このような議論に数値的な立場から接近するためには, 問題
そのものの数値計算が必要であると思う. 円弧部分の境界近似に対する若干の技術的課題を克服して数値計算を実施し, $e\sim(h)=\Vert u_{h}-u_{h/2}||$ の挙動を正確に数値的に測定することも一つの課題で$u$$(\Pi_{h}^{M})$

ある.

の解を仲
の誤差評価を直接に得ることは実用上望ましいと考える.
立ちにしての評価を考えたいが, 未だ詳細には立ち入れないでいる.
文献 [3] にある, 外部領域を境界要素法によって離散化する方法などの他の結合解法との得失の比較も, 特にその数値計算の実際において, 行いたい課題の一つである. 他の結合解法として, 代用電荷法なども興味をひかれるところである.
本研究は, 帰着波動方程式の結合解法を遠くに見て実施していることを付記する.
問題$(\Pi^{M})\wedge$$(\Pi_{h}^{M})$11. 謝辞電気通信大学の加古孝教授には, 本研究の全体に亘って討論と助言をいただいている.
また, 6 節の \mbox{\boldmath $\lambda$}りの簡潔な表示式は, 我々の研究室の博士後期課程大学院生の名古屋靖一郎氏によるものである. 同氏からも種々有益な助言をいただいた. これらの方々に深く感謝する次第である.

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$\underline{70},493-503$

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$C^{ie}$$\underline{10}$