数理解析研究所講究録
1119 巻 1999 年 171-178

171

マスロフ指数を含む高階の 2 次特性類 1横浜市立大学理学部数理科学科

1

宮崎直哉 (Naoya Miyazaki)2

Introduction
このノートでは、 シンプレクティック幾何学に現れる様々な無限次元リー群 3 に同伴している特性形式 (類) について、 いくつか分かったことについて報告します。 最も身近に現れる 一群としてはシンプレクティック多様体上のシンプレクティック変換群があげ$\rceil J$

られますが、 それ以外にもシンプレクティック幾何学にまつわるものとしてはフーリコ i

積分作用素のなす群や変形量子化の際に現れる非可換代数のうえの自己同型群などが挙げられます。 ここではこれらの多様体 (一群)のある種の同語反復束を考えることによって特性形式を定義しようと言うわけですが、 それを系統的に取り扱うために、 最初にすこし抽象的概念 (ラグランジアン・ファイバー束) を準備して、 上記の群がら得られる同語反復束がその特殊な例となるようにしておきたいと思います。 大雑把に言って$1J$

ファイバーがある共通なシンプレクティック多様体におけるラグランジアン部分多様体
で、 それらが滑らかに連なっているファイバー束をラグランジアン・ファイバー束と定義します (くわしくは次節を参照)

この束のファイバー方向の接空間を考えることによリシンプレクティックベクトル束が得られシンプレクティック 2 次特性類を構成しようと言うのがこのノートの大まかな方針です。 このようにして 2 次特性類が構成できるのですが、 この理論を先ほどのリー群に適用することで、 様々な面白い結果がえられます。
。

そのひとつとして考えている群が線形シンプレクティック群の場合には、 得られる特性類にマスロフ類が含まれてきます。
他にもいくつか応用があるのですが、 そのまえに少し無限次元 ) 一尊について基本的$1$なことを振り返っておきましょう。 カイパーの定理として良く知られているように無限次元ヒルベルト空間における可逆有界作用素全体のなす無限次元 一立 $GL(H)$ は可縮であります (従ってユニタリ群もそうです) このような現象は無限次元であることを本質的に使って証明されます。 それでは、 これとは対照的に可縮になっていないような無限次元リー群 (多様体) にはどのような例が存在するのでしょうか ?
このノートの後半
では前半で導入された 2 次特性類の応用として、 これらの問題について考察したいと思います。 結論としては既約非コンパクトエルミ $-$ } 対称空間上のシンプレクティック変換群が可縮でないことがわかります。 またこれ以外にも可縮でない例はフーリエ積分作$\dagger J$。

$\backslash$

用素や振動型積分変換などを用いることによって得られます。 以上のことから正則フレッ) 一群には単に $GL(H)$ とは局所的なモデル空間が異なるだけでなく大域的な位相
シ的性質の異なる例が数多く含まれていることがわかります。
$1$$=\mathrm{L}$

1 京都大学数理解析研究所講究録 「力学系と微分幾何学」 (1999 年 9 月 1 日 $- 3$ 日)

用の原稿-form, Symplectic topology, Infinite dimensional Lie group, etc
2 SupPorted by the Grant in Supportof Promotion of Research at Yokohama City University
3 ここで扱う無限次元リー群は主に [Om], [OMYKI,2] の意味での正則フレッシェ. リー群です$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{y}\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{s}:\mathrm{M}\mathrm{a}s1\mathrm{o}\mathrm{v}$

172

2

ラグランジアン・グラスマニアン多様体

いくつかの用語とそれに関する事実を簡単に復習しておきます (cf. [Ar], [Fu], [Ma],[Lel], [Le2], [Va]
まず、 ラグランジアングラスマニアン多様体について振り返っておきます。
$)$。

という同–視のもとで、$(\triangleleft’)(x, y)\in \mathrm{R}^{2n}arrow x+y\sqrt{-1}\in \mathrm{C}^{n}$ミート内積の虚部として定まるシンプレクティックフォ
$(\text{ロ})\mathrm{R}^{2n}$の実部分空間$-.L\mathrm{a}$を$\sigma$$\mathrm{C}^{n}$の標準的エルとかきます。

について$\lambda$$(\mathrm{a})\lambda^{\sigma}=\{v\in \mathrm{R}^{2n}|\sigma(\lambda, v)=0\}$

(b)
(c)
(d)
(e)

$\lambda:\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{c}\Leftrightarrow\lambda\subset\lambda^{\sigma}\Leftrightarrow\sigma|_{\lambda\cross\lambda}=0$$\lambda:\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{c}\Leftrightarrow\lambda^{\sigma}\subset\lambda\Leftrightarrow\lambda^{\sigma}:\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{c}$, coisotropic$\lambda:\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\Leftrightarrow\lambda=\lambda^{\sigma}\Leftrightarrow\lambda:\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{c}$$\lambda:\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\Leftrightarrow\sigma|_{\lambda\cross\lambda}:\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}$$(\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash )$ラグランジアン・グラスマニアン多様体を$\Lambda(n)=\{\lambda|\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\}$

で定義し

ます。
$(_{-}^{-})$(事実 1) ラグランジアン・グラスマニアン多様体にはユニタリ群 $U(n)$ が推移的に作用し $\lambda_{im}=\{x+y\sqrt{-1}|x=0, y\in \mathrm{R}^{n}\}$ の等方部分群は体としては A $(n)=U(n)/O(n)$ です。
事実 1 により下の写像 (Souriau maP) が定義されます。

$O(n\rangle$。よって多様$(_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\tau_{\overline{\backslash }})$$W$(へ) (事実 2)$\sigma=d\theta$:$\Lambda(n)=U(n)/O(n)$$arrow$$U(n)$$\lambda=U_{\lambda}\lambda_{im}$$arrow$$U_{\lambda}\cdot U_{\lambda}^{t}$(local) とすると、 ラグランジアン部分空間(1)$\lambda$の上では$d\theta|_{\lambda}=$が存在し、だからボアンカレの補題により局所的には に依存する関数が成立します。 この関数のことを以下では母関数 (generating function) とよびます。 更に、 Souriau map と母関数はケイレー変換で結ばれています。
$\lambda$$\sigma|_{\lambda}=0$$S_{\lambda}$$\theta|_{\lambda}=dS_{\lambda}$$W( \lambda)=\frac{1-\sqrt{-1}\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}S_{\lambda}}{1+\sqrt{-1}\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}S_{\lambda}}$ただし、 ここで3$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}$(2)はヘッシアンを意味します。

ラグランジアン・ファイバー束と 2 次特性形式 (類)いよいよこの節は 2 次特性形式 (類) を導入します (cf. [Mi2])。まずラグランジアン

ファイバー束の定義を与えておきます。

Definition 3.1$\mathcal{M}$

が $G$ 上のラグランジアン・ファイバー束であるとは $G\cross S$ の部分束を伴い以下の条件を満足しているものである ;は (無限次元) 多様体であり、 は偏極を持ったシンプレクティック多様体であるであり、 写像$\gamma$(i)(ii) 任意の $g\in G$ に対して、 ファイバー
$G$

体である。

$S$

$\mathcal{M}_{g}(=:\gamma(g))$

が $S$ のうグランジアン部分多様

173(iii) $ev$ : $\mathcal{M}\ni(g, m_{g})-\neq m_{g}\in S$ で定義される写像に対し $ev$ が滑らかな写像である。
ただし、 $g\in G,$

注意$m_{g}\in\gamma(g)$ 。

は必ずしもラグランジアンベクトル空間とは限りません。 -方、 ラグランジアン部分束といったらラグランジアン部分ベクトル束の事であるとします。
$\mathcal{M}$

我々は $G$ として以下のようなものを想定しています。 :ラグランジアン部分多様体の族 (ラグランジアン多様体のモヂ ライ)$(b)$ 偏極を持つシンプレクティック多様体上の)\rceil
一群のシンプレクティック作用。 etc.
これらのような想定下では、, ただし、
はうグランジァン
$(a)$

$=$

$\Lambda 4=\mathrm{u}_{g\in G}\{g\}\mathrm{x}\gamma(g)$$\gamma(g)$部分多様体あるいは正準グラフを意味します。

さて、 ラグランジアンファイバー束に同伴する 2 次特性形式の導入を行いましょう。 まず、 次のように上にシンプレクティックベクトル束が誘導されます。 $\mathcal{E}=ev^{*}(TS)$$\mathcal{M}$。

$J$を概複素構造、$h$を

このようにして我々は$\mathcal{E}$

上 $ev$ により誘導されるエルミート構造であるとしておきます。

に同伴するユニタリ. フレーム束を得ます。 これは主 $U(m)-$ただし束、$2m=\dim S$ であります。 さらに我々は以下のようにラグランジァン・ファ
$\mathcal{E}$$\mathcal{U}$がイバー束を構成できます。
におけるラグランジアン部分多様体であるという仮定から、 接空間
はうグランジアン部分空間です。 故に、 我々はラグランジア$S$$\gamma(g)$$T_{p}\gamma(\varphi)$$\mathcal{L}_{1}$ンファイバー束を構成することが出来ます。 -方、 $M$ が偏極を持っているので、 我々はもうひとつ別のラグランジアンファイバー束を構成することが出来ます。 各々のラグランジアンファイバー束 $L_{i}(i=0,1)$ において “ -related” ユニタリフレーム束$\mathcal{L}_{0}$$\mathcal{L}$$\mathcal{O}_{i}(i=0,1)$が同伴しています。 これらは、 構造群がユニタリ群がら直交群へと簡約されて、 $O(m)$ 磁束になっています。 そこで、 各々の O(m) 凍に関して、 我々は O(m)-値接続

形式 $\omega_{i}(i=0,1)$ を固定します。 さらに、 $\phi=(1-t)\omega_{0}+t\omega_{1}$ とおいて、 ファイバーに沿う積分で$m_{k}:= \int_{[0,1]}c_{2k-1}(d\phi+\phi\wedge\phi)_{\text{、}}$という形式を定義します。 ただし、 果 $=Trx^{2k-1}$です。

Theorem 3.2$m_{k}$

は閉 (4k–3)-形式を定める。

Proof スト一クスの公式、 ビアンキの恒等式そして接続形式の歪対称性からわかる。
ここからは、 $G$ が (無限次元)$)1$

一群で俗心にラグランジアン部分多様体が滑らかに連動しているものを考えます。

Example 1$G=Sp(2n, \mathrm{R})$での時には線形シンプレクテイッ
を使って$S=(\mathrm{R}^{2n}, \omega)\ominus(\mathrm{R}^{2n}, \omega)$

ク群に同伴する 2 次特性類が構成されます。 特に$m_{1}$$\text{と定義してやることによって次のことがわかります_{。}}$$\mu(\Phi)=-\langle m_{1}|_{Sp(2n,\mathrm{R})}, \Phi\rangle$.

(homotopy) $Sp(2n, \mathrm{R})$ 内の 2 つのノレ一フ がホモトピックになるのはそれらが、$\circ$ついて同じ指数を持つときに限る。

$\mu$

に

174

(product) 任意の 2 つのノレ一$\mu(\Psi_{2})$$\text{フ^{}\mathrm{o}}\Psi_{1}$,$\Psi_{2}$in $Sp(2n,$$\mathrm{R}$) に対して、$\mu(\Psi_{1}$$\Psi_{2})=\mu(\Psi_{1})+$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$。

(direct sum) If $n=n’+n$ ” として、 $Sp(2n’, \mathrm{R})\cross Sp(2n", \mathrm{R})$ を標準的な仕方で$Sp(2n, \mathrm{R})$の部分群とみなす。 その時、 $\mu(\Psi’\oplus\Psi" )=\mu(\Psi’)+\mu(\Psi$ ”(normalization)

ノ– $\text{フ^{}\mathrm{o}}\Psi\backslash S^{1}arrow U^{J}(1)\subset Sp(2n, \mathrm{R})$

:

$)$

。

は Pa に関して$\Psi(t)=e^{2\pi it}$指数 1。

上記の 4 つの性質がマスロフ指数 を特徴づけているのでスロフ指数と –致していることも示されたことになる。
Example 2$S=\mathrm{R}^{2n}\ominus \mathrm{R}^{2n}$$G=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\omega}(\mathrm{R}^{2n}),$のとき、$\mu=-\langle m_{1}|_{Sp(2n,\mathrm{R})}, \rangle$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\omega}(\mathrm{R}^{2n})\cross \mathrm{R}^{2n}$がマに同伴した 2 次を用いることによって調和振動子の解 (ハ特性類を得ることが出来ます。
ミルトン流) が非自明なサイクルを与えていることが簡単に示されます。
$m_{1}|_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\omega}(\mathrm{R}^{2n})}$とするとき、
Example 3
をその上の測地流としに同伴した 2 次特性類が構成されます。 $N=$ 辞で$S=(T_{\star}^{*}N, d\theta)\ominus(T_{\star}^{*}N, d\theta)$$G=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\theta}(T_{\star}^{*}N),$$(T^{*}N, d\theta)$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\theta}(T_{\star}^{*}N)\cross$$\varphi_{\mathit{9}}$ます。 そのとき$\varphi_{g}$は$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\theta}(T_{\star}^{*}N)$における非自明サイクルであることがわかります。

$\gamma=WF$ (cf. [ARS], [OMY],
Example 4 $G=FIO(N),$は波に同伴した 2 次特性類が得られます (このとき、 FIO[OMYKI, ]面を意味します)これについても測地流の量子化で非自明サイクルになるようなものの$S=(T_{\star}^{*}N, d\theta)\ominus(T_{\star}^{*}N, d\theta),$$2$$\mathrm{W}\mathrm{F}$$(\mathrm{N})\cross T_{\star}^{*}N$$)_{\text{、}}$。

存在が示されます。
さて、 ここからは非コンパクトエルミート対称空間 M(非コンパクトエルミート多様体

が大域的な正則等長になっているようなもので結果的にはケーラー多様体にもなっている (cf. [He]) 上のシンプレクティック変換群と 2 次特性類
について少し詳しくみていきます。 今考えている空間が非コンパクトエルミート対称空: $M$ $arrow M$
間であることから、 原点における接空間 M。と $M$ とは指数写像で同–視される。 今度の場合は Diff $\omega(M)\cross M$ における 2 次特性形式が得られることになります。
に制限して得られる形式を考えましょう。 このように
ここでは特に 1 次形式を
で、 各点

$P$

での測地的反転$\sigma_{p}$$)$$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}$。

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\omega}(M)$

定義された閉 1 次形式はノントリビアルなコサイクルを定めているのでしょうか ?

まずそれを調べるための準備をしましよう。
天下りではありますが、 非コンパクト対称空間 $M$ 上の正準変換群における別の閉形式を定義しましょう。 そのために以下のようなダイアグラムを用いることにします。
$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\omega}(M)\cross Marrow\Lambda\tilde{\tau}(2\dim_{\mathrm{C}}M))arrow U(2\dim_{\mathrm{C}}W M))^{\mathrm{d}}arrow^{\mathrm{e}\mathrm{t}}U(1)$

ここで、 第 1 の写像$\tilde{\tau}$は$\varphi$に$\varphi$のグラフ上の点 $(p, \varphi(p))$ における接空間(3),$\lambda$を対応させるという写像であります。
ただし は $Sp(2n, \mathrm{R})\cap O(2n)$: $Sp(2n, \mathrm{R})arrow U(1),$と定義される。 $-$のマスロフ指数は$[\Phi(t)]\in\pi_{1}(Sp(2n,\mathrm{R}))$
この写像を用いてと $U(n)$ の同–視 R
こでが、 線形シンプレクテイツク群の $–=$ タリ群^のレトラクションを与えているが、 無限次元のシンプレクテイソク変換群て (ま4 通常マスロフ指数は次の様に定義される。

$Xrightarrow\det\iota(X^{t}X)^{-\frac{1}{2}}X))_{\text{、}}$$l$$\rho$$\mu([\Phi(t)])=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\circ\rho(q_{)}(t))$$\rho$

このような議論を経てマスロフ指数を定義することは難しい。

175

このようなダイアグラムを用いることによって閉 1 次形式 $m$ を以下のように定義します。
$m= \frac{1}{2\pi}(\det\circ W\circ\tilde{\tau})^{*}(d\theta)$.

(4)

すると次が言えます。

Proposition 3.3 上の形 $m$ は前出の 2 次特性形式$m_{1}$と同– のコホモロジー類を与える。

Proof これは両方ともラグランジアングラスマニアン上の 2 次特性形式の引き戻しであることからわかります。
さて、 この閉 1 次形式の具体的な表示を得るために、 しばらく非コンパクト. エルミート対称空間に関する事実を復習しておきましょう。 よく知られているように原点定すると、 以下の事実が成立しています。

1. (標準接続と呼ばれる特別な接続による) 指数写像が接空間 M。から$\mathrm{J}/I$$\mathit{0}$

を固

自身への微

分同相を与える。
2. $M$ 上の正則等長変換群 $A(M)$ はコンパクト開位相に関して有限次元リー群である。
3. $M$ 自身は単位元の連結成分 $G=A(M)_{\mathit{0}}$ と $K=\{g\in G|g(\mathit{0})=\mathit{0}\}$ によって等質空
間 $G/K$ と表される。

4. この時、$M_{o})$$M_{o}$

はリー環窺 e(A(M)0) の部分空間とみなすことができ、群の作用 $\tau_{\exp X}(X\in$のプッシ$\supset_{\wedge}$

フォワード$(\tau_{\exp X})_{*}$が M。から Mexp X.。への (複素構造 $J$ を保つ)

平行移動を与える。
この平行移動を利用して原点における (正則) ユニタリ一フレーム,点に散布して得られる大域的なフレームをと記すことにすると、$\partial_{z_{1}}|_{0},$$\theta_{1},$$X_{1}=(\theta_{1}-\overline{\theta}_{1}),$$Y_{1}=\sqrt{-1}(\theta_{1}+\overline{\theta}_{1}),$$\cdots,$$\cdots,$$\cdots$$\partial_{z_{n}}|_{\mathit{0}}$を各$\theta_{n}$$X_{n}=(\theta_{n}-\overline{\theta}_{n}),$$Y_{n}=\sqrt{-1}(\theta_{n}+\overline{\theta}_{n})$(5)はシンプレクティックフレームにもなっています。 これを用いて次の具体的な表示を得ます。

Proposition 3.4$m= \frac{1}{\pi}d\arg$

ただし$\theta=$$(\theta_{1}^{*}, \cdots, \theta_{n}^{*})$($\langle\varphi^{*}(\theta_{1}^{*}\wedge\cdots\wedge\theta_{n}^{*}),$$\theta_{1}\Lambda\cdots$A$\theta_{n}\rangle|_{\mathit{0}}$)$(\theta_{1}, \cdots , \theta_{n})$は上記のように定義されたシンプレクティックフレームで、はアルフレームであるとする。

$\theta$の$7^{-}\not\subsetarrow$(6)$\theta^{*}=$

Proof 証明はヤコビの包合系と式 (2) を用いて吉岡テクニック [Yol を経て行われます。
これを用いることで次のことが証明できます。

Proposition 3.5 $M=D_{p,q}(\mathrm{C})=\{Z\in M_{q,p}|1_{P}-Z^{*}Z>0\}$ すなわち I 型の対称有界領域の時 $m$ は正準変換群のノントリビアルコサイクルを定める。

176の 1 次分数変換 (ハミルトン作用になっている) で
Proof 方針としては、適当な周期的フローを探し出してやることによって証明されるのですが、 以下では必要となる記号の説明も加えて少し詳しく説明しましょう。 まず最初に I 型の対称有界領域$SU^{\mathit{0}}(p, q;\mathrm{C})$は対称空間対による等質空間 $SU^{0}(p, q)/(U(q)\cross U(p))$ と同–視されることに注に以下のように作用しています ([He] を参照): い意します。 リー群 $SU^{0}(p, q)$ は$D_{p,q}(\mathrm{C})$$D_{p,q}(\mathrm{C})$ま、 $A=\in SU^{0}(p, q)$ と $Z\in D_{p,q}(\mathrm{C})$ に対して、 作用が(7)$A\cdot Z=(cZ+d)(aZ+b)^{-1}$で定義され、 この作用は推移的であり、 複素構造とエルミート構造を保つことがわかります。

以下ではジーゲル埋め込みの座標系をもちいて計算しま洗任意の元 $\sqrt{-1}X=\sqrt{-1}$$su(p, q)$ (ここで $X_{11}$ は $p\cross p$-行列,$X_{12}$は $p\cross q$ -行列, $X_{21}$ は$q\cross p$-行列,$X_{22}$は$q$$\cross$

q-行列

に対して

(8)

$=\exp(-t\sqrt{-1}X)$とすると $Z(P_{0})=Z_{0}$ となるような任意の点$P_{0}$$\in D_{p,q}(\mathrm{C})$

に対して

(9)

$Z(\Phi(\exp(-t\sqrt{-1}X)P_{0}))=(\delta(t)Z_{0}+\gamma(t))\cdot(\beta(t)’Z_{\mathit{0}}+\alpha(t))^{-1}$となる。 特にもし$X=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\lambda(\lambda=(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{P}, \lambda_{p+1}, \cdots, \lambda_{p+q}))$

なら

(10)

$Z(\Phi(\exp(-t\sqrt{-1}X)P_{0}))$$=$$\exp(-t\sqrt{-1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\lambda_{p+1}, \cdots, \lambda_{p+q}))\cdot Z_{0}\cdot\exp(t\sqrt{-1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{p}))$である。 以下ではこのようなフローを鰍と記すことにする。 更に、は$D_{p,q}(\mathrm{C})$$\lambda\in \mathrm{Z}$上の周期的なハミルトンフロー、 すなわち鰍が正油変換群の場合には$\varphi_{\lambda}$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{l}(D_{p,q}(\mathrm{C}))$

内のサイクルを定めることになる。
に対して、 $m$ とのベアリングを考える。
このサイクル$\varphi_{\lambda}$$\int_{\varphi_{\lambda}}m$

$=$

$=$

$\frac{1}{\pi}\int_{\varphi_{\lambda}}d\arg\det\frac{\partial\varphi_{\lambda}^{\mathrm{h}\mathrm{o}1}(Z,Z^{*})}{\partial Z}$$\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{d}{dt}\{\arg(\det\exp(-t\sqrt{-1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\lambda_{p+1,\}}\ldots\lambda_{p+q}))^{p}\cdot$$\det\exp(t\sqrt{-1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{p}))^{q}\}dt$

ア
$=$

アキダ

$q \sum\lambda_{i}-p\sum\lambda_{j}$

$i=1$

.

$p+1$

これは、 閉 1 次形式の非自明性を与えている。

(11)

177

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