Multi-Phase-Field 法によるパーライト変態に及ぼす粒界拡散の影響評価
神戸大学[院]○山本 隆史神戸大学[院]

山中 晃徳

京都工芸繊維大学[院]高木 知弘

神戸大学[院]

冨田 佳宏

Evaluation of Effects of Grain Boundary Diffusion on Pearlite Transformation
by Multi-Phase-Field Method
Takashi YAMAMOTO, Akinori YAMANAKA, Tomohiro TAKAKI and Yoshihiro TOMITA
1緒

ここで，∆Eijは，相変態に伴う化学的自由エネルギーの言

フェライト(α )相とセメンタイト(θ )相の共析組織で変化量を表しており，例えば粒i，粒jがそれぞれγ 相, αあるパーライト組織は，ラメラーやコロニー，ブロック相の場合であれば，γ →α 変態の化学的自由エネルギーなどの特徴的な組織形態を有するが，その形成メカニズ変化量を表す．本研究では，∆Eijは変態エントロピーとムはいまだ明らかにされていない．しかしながら，これ過冷度の積として定義し，次式で表す．

までの研究により，パーライト組織形成は炭素原子の拡∆E ij (C , T ) = ∆S ij ⋅ ∆Tij (C , T )(5)

散により支配され，特に結晶粒界における炭素拡散が結ここで，変態エントロピー∆Sijは相により値が決まり，晶粒内より速いことから，炭素原子の粒界拡散がパーラ

過冷度∆Tijは線形化平衡状態図より求められる炭素濃度

イト組織の形成に大きな影響を与えていることが指摘

Cと系の温度Tから算出される．

されている1)．本研究では，まずパーライト組織の形成

さらに，本モデルでは，炭素原子の拡散流束Jが各粒過程を予測可能とすることを目的とし，Multi-Phase-Field

からの拡散流束Jiのphase field φiによる重み付け和とし法を用いてFe-C二元合金におけるパーライト変態をモおよびその成長速度に及ぼす影響について検討する．さて表現されると仮定し，次式の拡散方程式を導出する3) ．
∂C⎛ N⎞(6)= ∇ ⋅ J = ∇ ⋅ ⎜ ∑ φi J i ⎟∂t⎝ i =1⎠

らに，従来報告されているパーライトラメラーの成長速

各粒内における拡散係数をDi とすると，拡散流束Ji は度とラメラー間隔の関係式と，本研究で得られた結果とJi=Di∇Ciと表すことができるため，式(6)は次式のようにの比較を行う．
N個の結晶粒を含む系を考え，i (i =1, … , N ) 番目の結表される．
∂C⎛ N⎞= ∇ ⋅ ⎜ ∑ φ i D i ∇C i ⎟∂t⎝ i =1⎠晶粒を粒iと定義する．秩序変数は，粒iの存在確率を表3デル化する．そして，粒界拡散がパーライト組織の形成

2

Multi-Phase-Field モデル

(7)
解析モデル

すphase field φiと炭素濃度Cを定義する．φi は粒i内では 1，共析鋼（Fe-0.77wt%C）の970K等温保持におけるパー他の粒内で 0 の値をとる変数であり，φiが 0 から 1 に滑ライト組織の成長シミュレーションを行う．本研究で用らかに変化する領域を界面として定義する．さらにphaseいる解析モデルを図1に示す．解析領域下部にラメラー

field φiは次式を満たす．

間隔λの初期ラメラー組織を配置し，残りの部分をオーN∑φ = 1i =1(1)iステナイト(γ )相とする．図1はλ = 0.24 µmの場合に対応しており，特に述べない限りこの値を用いる．差分格子

また，炭素濃度Cは各結晶粒における炭素濃度Ciのphasefield φi による重み付け和として，次式のように定義される．
NC = ∑ φ i C i =φ1C1 + φ 2 C 2 + φ 3 C 3 + L + φ N C N(2)i =1

系の全自由エネルギーは，次式に示すGinzburg-Landau型のGibbsの自由エネルギー汎関数を用いて定義する2) ．
⎡ N N ⎛ a ij2⎤⎞(3)
G = ∫ ⎢∑ ∑ ⎜ −∇φ i ⋅ ∇φ j + Wij φ i φ j ⎟ + g e ⎥ dVV⎟⎜
2⎢⎣ i =1 j = i +1⎝⎥⎦⎠
全自由エネルギーが時間とともに単調減少し，組織形成が進行すると仮定すると，phase field φiの時間発展方程式
は，次式のTDGL方程式で表される．
φn Mn
∂φ i
⎤
1 2ij ⎡⎧
⎫ 822= −∑φ i φ j ∆E ij ⎥⎨(Wik − W jk )φ k + a ik − a jk ∇ φ k ⎬ −∑⎢2∂t⎭ πj =1 n ⎣ k =1 ⎩⎦()

(4)

Fig. 1 Simulation model.

は96×192 の規則格子を用い，差分格子間隔は∆ x = ∆ ykの値が大きくなるとnの値が理論値に近づくことが分= 2.5 nmとする．各相の初期の炭素濃度は，α 相とθ 相かる．このことから，実際のパーライト変態においてはでは共析温度1000K における平衡組成，γ 相ではFe-C系

本解析で考慮したよりも大きな粒界拡散が寄与してい共析鋼の炭素濃度と等しい0.77wt％とする．境界条件は，ることが示唆される．

左右端面では周期境界条件，上下端面では零ノイマン境界条件を用いる．さらに，粒界拡散は，0<φi<1の領域として定義される界面領域において拡散係数を定数 k 倍することによって表現する．
4

解析結果と考察

図2に粒界拡散を考慮しない場合(k = 1)のパーライトラメラー形成過程を炭素濃度分布の変化で示す．このとき， α 相が θ 相の前にせり出すように成長し， α 相と θ相の協調的な成長が実現されていないことが分かる．図3に，等温保持開始後0.15 sにおける k = 1, 2, 4, 8それぞれの場合のパーライト組織形態を炭素濃度分布で示す．
粒界拡散を考慮しない場合(k = 1)に対し，粒界拡散を導入した場合(k = 2, 4, 8)にはα 相とθ 相が協調的に成長し，Fig. 2 Distributions of carbon concentration during growth ofpearlite lamellar without grain boundary diffusion (k =1).

ラメラーが成長していることが分かる．さらに，粒界における拡散が速くなるほどラメラーが速く成長していることが分かる．これは，界面領域，特にγ /α 界面での炭素原子の拡散が速くなったことで，α 相から排出された炭素原子がθ 相へ拡散され易くなり，濃度分配が十分に行われるようになったためである．パーライトラメラーの成長には粒界拡散が重要な役割を果たしていることが本解析からも示唆される．
次に，パーライトラメラーの成長速度Vとラメラー間隔λ の関係について，従来の理論4)との比較を行う．図 4に，本解析で得られたVとλ の関係を示す．ラメラー間
隔λ が減少するほどラメラーの成長速度Vが増加しており，λ とV の関係としては妥当な傾向を示しているといFig. 3 Distributions of carbon concentration at 0.15 s for(a) k =1, (b) k =2, (c) k =3 and (d) k =4.

える．また，Vとλ はVλ n = constantの関係を満たすことが知られており，本解析におけるk = 1, 2, 4 の場合の結果に関しても，Vとλ の関係式を次式のようにまとめることができる．
k=1：

Vλ 1.2 = constant

k=2：

Vλ

= constant

(9)

k=4：

Vλ 1.4 = constant(10)

1.3(8)

文献(4)によれば，パーライトラメラーの成長が母相中の炭素原子拡散に律速されるとした場合（体拡散律速説）と，相界面での炭素原子拡散に律速されるとした場合（界面拡散律速説）それぞれについて，パーライトラメ
ラーの成長速度 V とラメラー間隔λ の関係式は次式のように表される．

Fig. 4 Relationships between growth velocity V and lamellar
spacing λ for k =1, 2, 4.

体拡散律速：Vλ 2 = constant

(11)

参考文献

界面拡散律速：Vλ 3 = constant(12)1) 榎本正人, 金属の相変態, 内田老鶴圃 (2000), 204.
2) I. Steinbach and F. Pezzolla, Physica D, 134, (1999),

ここで，今回の解析で得られたようなパーライトラメラ
ーの成長速度においては体拡散律速とした場合の式(11)が実験値と良く合うとされる4)．解析結果と式(11)を比較すると，現時点では定数nの値は理論値(n = 2)より小さく，これについては界面のモビリティや粒界拡散の大きさについて更なる検討が必要である．しかしながら，定数385-393.
3) K. Nakajima, M. Apel and I. Steinbach, Acta Materialia,
54, (2006), 3665-3672.
4) N. Ridley, Metallurgical Transactions A, Vol.15A (1984),
1019-1036.