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マグニチュードの分布のη値と地震予知η -value for Magnitude Distribution and Earthquake Prediction

東京大学地震研究所
宇津 徳治
Tokuji Utsu
Earthquake Research Institute, University of Tokyo
1．η値の定義と性質
地震のマグニチュード M の度数分布の特性を 1 個の数値で表すとき，もっともひんぱんに用いられるのが，Gutenberg-Richter の式の b 値である。ある地域，期間に発生したマグニチ
ュード Ms 以上の地震が G － R 式に従う母集団からのランダムサンプルであると仮定したとき，b 値は次の式で推定される。
b ＝（ l o g e ）／ E［X］					

⑴ただし，E は平均を表し，X ＝Ｍ－ Ms ， log e ＝ 0.43429 である。
地震は近似的に G － R 式に従って発生しているとみなせる場合が多いが，そのとき l o g N（N はマグニチュード M 以上の地震の数）対 M のグラフは直線となり，b 値はその傾斜に当たる。b 値が地震の発生地域，期間等により異なるか否かは 20 年以上前から論じられており，b値の変動と大地震の発生の関連性や前震の b 値についての研究もいくつか発表されている。
マグニチュードがどのような分布をしていようとも，b 値を⑴式によって求めれば，すべての M が Ms に等しい場合を除き必ずある正の値が得られる。Ms を固定した場合，Ms よりもずっと大きい地震を多数含んでいるデータは，マグニチュードの平均値が大きく，b 値は小さくなり，逆に Ms に近い小さい地震ばかりから成るデータでは，b 値は大きくなる。地震の発生が G － R 式に従うか否かを問わず b 値は地震のマグニチュード分布のこのような性質を表しているが，マグニチュード分布の特性を表す数値はほかにも考えられる。
かつて筆者 1）は次のη値を考えた。
η＝ E［X2］／ E2［X］					
2⑵2一般に分散を V で表すと V［X］＝ E［X ］－ E ［X］であるから
η＝ V［X］／ E2［X］＋ 1				⑶G － R 式が成り立つことは X が指数分布に従うことであり，指数分布では V［X］＝ E 2［X］であるから，このときはηの理論値は 2 となる。また，log Ｎ対Ｍのグラフが上に凸になるような分布の場合はη＜ 2 でありその逆の場合はη＞ 2 となる。一般に η は 1 ＜ η ＜∞の値をとり得る。ηの代わりにその逆数を用いてもよい。η－1 は 0 ＜ η－1 ＜ 1 の値をとる。
η値を導入した論文 1）でも述べたが，自然地震のデータについて η 値を求めてみると η ＜ 2の場合が多い。後述のように，G － R 式に従う母集団からのランダムサンプルについても η ＜2 となるほうがそれ以外の場合よりやや多く，特にサンプル数が小さいときその傾向が著しい
が，自然地震に関してη＜ 2 の例が多いのはこの効果だけでは説明できない。

―380―マグニチュード分布において，η値が b 値とはまったく違う性質を表すものであるためには，同一の母集団からの同じ個数のランダムサンプルについては b と η は独立であることが必要である。このことを一般的に証明することは難しいが，数値実験によって調べることはできる。
ここでは G － R 式（指数分布）に従う母集団から，サンプル数 Ns を 5，10，20，50，100，200，500 とするランダムサンプルの組を，それぞれ 2 ～ 5 万組ずつ作り，各組についてｂ，ηを⑴および⑶により計算し b，ηの度数分布，b と η の相関を調べた。η の分布を正規確率紙上に示したものが第 1 図である。これをみるとサンプル数 Ns が十分大きいときは，η はほ―

とんど 2 であるが，Ns が小さいと散らばりが大きく，η の平均値η あるいは中央値（メディ～アン）ηは 2 より小さくなることがわかる。しかし b とηの間の相関はほとんど認められない―～（相関係数の絶対値は 0.05 以下）。第 2 図にη およびη と Ns の関係を示す。
別の極端な例として，Ms から Ms ＋ c までの区間で M が一様分布する母集団をとりあげる。
この場合の図は省略するが，Ns の大小に拘らず b の平均はほぼ 0.87 ／ c に等しく，η の平均は約 1.33 となる（この母集団に対する理論値は b ＝ 2（log e）／ c，η ＝ 4 ／ 3）。また b とηの間には強い正の相関が見られる。
2．前震のη値
1926 年～ 1985 年に日本付近に起こった M5.0 以上の地震のうち，気象庁の地震月報に M4.0以上の前震が 5 個以上記載されているものは第 1 表に示す 22 個である。前震，本震，余震の判定はある基準を設けて計算機により行ったが，その基準の説明は省略する。なお，その基準によると，1945 年三河地震とその前震・余震はみな東南海地震の余震に分類されるが，ここでは三河地震の前震・余震とみられるものを別に拾い出して扱った結果も含めた。
前震と余震について b 値とη値を⑴，⑵によって求めた。M4.0 以上の余震が 50 個を越える場合（4 例）については時間順に初めから 50 個をとり，それについて求めた値を示した。
本震とその次に大きい地震のマグニチュード差 Mm － M1 が 0.4 以下の場合を仮に群発地震と呼ぶこととし，第１表の条件１の欄にｓと記した。22 例中９例がｓである。このｓと余震のデータが少ない 1 例を除いた残り 12 例のうち，前震の η 値が余震のそれよりも小さい（ηf ＜η a）ものが 11 例を占める。余震との比較でなく ηf 値そのものが小さいもの，例えば ηf ＜1.5 は 9 例ある（群発地震についてはη f ＜ 1.5 は 9 例中 5 例）。
第 1 表には含めないが，1978 年伊豆大島近海地震の翌朝，余震域の西側の伊豆半島中部に起こった M5.8 の地震は，それ自身の前震・余震を伴った。この例では M3.0 以上でほぼ完全なデータが気象庁地震月報から得られる。東経 138 °57′以西の伊豆半島に起こった地震を用い Ms＝ 3.0 と し た 場 合，Nf ＝ 7，bf ＝ 0.40，ηf ＝ 1.51，Na ＝ 15，ba ＝ 0.65，ηa ＝ 1.89となる。また，1984 年長野県西部地震の翌朝，余震域の西側に起こった M6.2 の地震もそれ自身の前震・余震を伴なった。これらの地震を用い Ms ＝ 3.0 とした場合，Nf ＝ 27，bf ＝ 0.98，
η f ＝ 2.07，Na ＝ 50（最初の 50 個を採用），ba ＝ 1.08，ηa ＝ 2.47 となる。これら二つの場合もη f ＜η a である。
第 1 図に見られるように，G － R 式に従う母集団については，サンプル数が小さいと η は小―381―

さく求まる傾向がかなり明瞭である。η f とη a の大小関係を論ずる際にはこのことを考慮する必要がある。なお，実際の地震については G － R 式よりやや異なる M の分布をしている母集団を考えたほうがよいかもしれない。例えば M にある上限 Mc を考えた改良 G － R 式 1）を採用して，第 1 図に相当するものを作ってみると，図は省略するが，η 値は全般的に小さくなり，η値のサンプル数による依存性は若干小さくなる。
第 1 表でもそうであるが，前震の数 Nf のほうが余震の数 Na より小さい場合が多いので，
η f ＜η a となるのは，そのためではないかとも考えられる。η 値にどのような補正をすればデータ数の影響を除くことができるかは，データがどのような母集団からのサンプルであるかにも依存し，補正方法を定めるのは容易でない。ここではとりあえず G － R 式に従う母集団から―－Ns 個のサンプルをとったときのηの平均値ηと母集団の値 2 との差，すなわち 2 －ηを加える－－こととする。2 －η は Ns が 4 から 100 の間でほぼ log（2 －η ）＝ 0.15 － 0.69logNs で与えられる。
第 3 図は第 1 表の地震についてη f とη a の関係を示したもので，白丸が第 1 表で s を付けた
地震，黒丸がその他の地震である。なお，前述の 1978 年の伊豆半島中部の地震，1984 年の長野県西部の地震についても黒丸としてプロットしてある。黒丸については先に述べたように 1例を除いてη f ＜η a である。矢印の先端は上記の補正をしたときの移動先で，補正後は 4 例がη f ＞η a となるが，この補正はもしかしたら過補正かもしれない。
サンプル数の違いによる影響を除く別の方法として，余震に対しては前震とは違う Ms を採用し，データ数が等しくなるようにして求めたηを比較してみる。例えば第 1 表の北伊豆地震
では余震の Ms を 4.5 にとると Na は Nf と同じく 13 となり，このデータセットに対しては ba＝ 0.60，η a ＝ 1.74 となる。
このようにすると，この例ではη f とη a はほぼ等しくなってしまうが，第 1 表のほかの地震では，半数についてはむしろ差が広がり，ほとんどの場合 ηf ＜ ηa であることに変わりはない。
前震の b 値が余震の b 値より小さい例は Suyehiro et al. 2 ） 以来いくつかの例が報告されている（逆の例もある）。これらの場合，η値についてはどうなるかは興味深いが，前震・余震の M のデータが掲載されている論文は少ない 。Suyehiro et a1. が扱った例（1964 年 1 月22 日の長野県北部の地震，Ｍ＝ 3.3 ）では振幅 5.0mm 以上のデータを用いると ηf ＝ 2.11，ηa＝ 1.84 となる。M のデータが掲載されていなくても，log N 対 M のグラフの形から前震・余震のη値の大小関係が推測できる場合もある。このようなものでは ηf ＜ ηa の例が多いように思えるが，確定的なことは言えない。Mogi3）は岩石破壊実験の際の AE の大きさ分布の m 値（m＝ b ＋ 1）が大破壊の前震ではその余震より小さいことを発見した。この論文の図をみると，
AE の振幅の対数の分布は前震のほうが余震より η 値が小さいと思われる。
以上のいくつかの例をみると，データが十分でないので確定的なことはいえないが，η 値は前震のほうが余震あるいは常時発生している地震よりも小さい場合が多いのではないかと思われる。また，大地震の発生に関連してその前後で周辺地域の地震の η 値が変動するか否かも，調査する価値がある。このようにη値も地震予知の項目としてかなり期待が持てそうに思われるので，今後，マグニチュードの分布に着目するときには，b 値と同様，η 値についても調べ―382―てみることを提案したい。
参考文献1） 宇 津徳治：地震のマグニチュード分布式のパラメータの推定，地震 2， 31 （1978），367－ 382．
2） S uyehiro, S., T.Asada, and M.Ohtake : Foreshocks and aftershocks accompan y in g a p er c ep tib l e ear th q u a ke i n c e nt ra l Ja pa n, Pa pe rs Me t . G e o phys. , 1 5( 1964 ) , 71－ 84.
3） M o g i , K . : T h e f r a c t u r e o f a s e m i - i n f i n i t e b o d y c a u s e d b y a n i n n e r s t r e s sorigin and its relation to earthquake phenomena (second paper), Bull.
Earthq. Res. Inst.,

41(1963) , 595-614.

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第1表

 4 以上の前震が 5 個以上ある地震（Mm ≧ 5）の前震・余震の b 値，η 値，
M
Mm：本震の M，M1：次に大きい地震の M，Ms：b と η の計算に用いた地震の M の下限（実際には表の値から 0.05 を引いたものを Ms とする）。
Table 1 b and η values for foreshock and aftershock sequences.

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第1図

G － R 母集団（指数分布）からの Ns 個のランダムサンプルの η 値の分布

Fig. 1 Distribution of η for random samples of size Ns taken from a population satisfying the Gutenberg-Richter relation.

第2図―G － R 母集団（指数分布）からの Ns 個のランダムサンプルの η の平均値η
～と中央値η
―～Fig. 2 Mean (η) and median (η) of η for random samples of size NS from the same population as in Fig. 1.

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第3図Fig. 3

 1 表のη f とη a の関係。白丸は群発地震（第 1 表の条件 1 が s のもの），
第黒丸は前震－本震－余震系列，矢印の先はη f と ηa にそれぞれ Nf，Na に対―応する補正（2 －η ）を加えた値。

Relation between ηf and ηa given in Table 1. Open and filled circles represent earthquake swarm andforeshock-mainshock-aftershock sequence, respectively. The arrow indicates the correction for thesample size.

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