数理解析研究所講究録988 巻 1997 年 1-71有理関数のHOLOMORPHIC FAMILY について

志賀啓成$(\mathrm{H}_{\mathrm{t}\mathfrak{n})\mathrm{s}\mathrm{h}\overline{\mathfrak{l}}}^{\backslash }r \mathrm{s}\text{級_{}\overline{\varphi}}c.

東京工業大学

有理関数 (次数はつねに 2 以上)の)$理学部

holomorphic family に関する二つの結果を述べる. ただし証明の詳細は準備中の論文に譲り, 結果の報告と略証のみにとどめ

6.
$0$

. 準備.

複素多様体 $W$ をパラ
phic family$\{R_{\lambda}\}_{\lambda\in w}$$\dot{j}$ータ空間とする次数 $d>1$ の$\mathrm{g}\dot{\text{理}}$の分類について述べる. 詳細は [MS]:“Quasiconformal Homeomorphism and Dynamics$1\mathrm{I}1$関数の holomor--Sullivan$\mathrm{M}\mathrm{c}\mathrm{M}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}$”(preprint) を参考にされたい.

パラメータ空間 $W$ の点で, その点のある近傍 $U$ ではすべての
いに Riemann 球$R_{\lambda}(\lambda\in U)$が互$\ovalbox{\tt\small REJECT}$のある位相写像による共役になっているような点全体を $W^{top}$と書くことにする. この定義で位相写像として擬等角写像がとれるものを $W^{qc}$ と書くことにする.

これに対して$R_{\lambda}$と$R_{\lambda’}(\lambda, \lambda’\in U)$

が Julia 集合上で ($\hat{\mathbb{C}}$上の) 擬等角写像で共役であるとき J-stable (or stable) といい, このようなパラメーター全体を$W^{stable}$とかくことにする. すなわち $W^{stable}$ とは, 各 $\lambda\in W^{Stab}le$ に対して,ある $W$ での近傍 $U$ がとれて, 任意の $\lambda’\in U$ に対して$\hat{\mathbb{C}}$上の擬等角写像
Typeset by$f_{\lambda’}$が$A_{\mathcal{M}}S-\mathrm{I}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}$2とれて,$R_{\lambda’}\backslash .*\backslash \mathrm{o}f_{\lambda’}’=f_{\lambda’}\mathrm{o}.R_{\lambda,\dot{i}}..\vee$$\backslash \sim$

が$R_{\lambda}$のジュリア集合上で成立することである.

次に, postcritically Stable parameters の集合,め, まず critical

有理関数の$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}_{\mathrm{S}}$$R_{\lambda}(z)$き, 整数の組 ( $i,j,$$R_{\lambda}^{k}$の$k$$\mathbb{G}^{\backslash }\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\backslash }\backslash$critical$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}_{\mathrm{S}}$全体の集合を,としたと$\{c_{1}(\lambda), \ldots, C_{n}(\lambda)\}$, のが Orbit relation であるとは,(ci$(\lambda)$)$1\leq i,j\leq n;0\leq k,$ $l$$=R_{\lambda}^{\ell}(Cj(\lambda))$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}$全体の集合を $W^{post}$ と書き,が局所的に安定であるような parameters$\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{S}}\mathrm{t}\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y}$Stable parameters の集合と.

.

$arrow.\text{れ}.\text{らの間}\rangle \text{には}W^{qc}\backslash \subset W^{top}\subset W^{post}$$\mathrm{B}^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}$を定義する. そのた

Orbit relatiOn という概念について説明する.

が成立することとする. この Orbit$\lambda\in W$$W^{post}$

なる包含関係が h. ることはすぐ分弁る$\not\cong l\mathrm{h}$$W^{qc}=W^{top}=W^{post}\subset W^{Stabl}e$であることがしられている [MS].

1. Attractive な family の境界としての Siegel disk の性質について.

Caeleson-Gamelin の text に次のような結果が載っている (Complex Dynamics,Springer-Verlag, 1993, p. 86, Theorem 1.4).
Theorem A. A(の $=\lambda(z-z^{2}/2),$
るところの$\theta$$\lambda=e^{i\theta}$を考える. このとき, ほとんど至に対して A は Siegel dfsk を持ち, かつその境界上に cr 捌 cal pof 加$z=1$ がある.

この定理は示唆に富んだ結果である. 上の A は単位円$\triangle=\{\downarrow\lambda|<1\}$をパラメーター空間とする有理関数の family の境界にあると考えられる. しかも, 任意の3$\lambda\in\triangle$が$\lambda$に対して$P_{\lambda}$になっている.

は $z=0$ を attracting fixed point に持ち, その multiplier

よく知られているように$\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{i}_{\mathrm{V}}\mathrm{e}$baSin には CritiCal pOintが含まれているから, 上の定理は attracive basin の極限としての Siegel disk がCritiCal pOint に関しても極限的な状態にあることを意味している.
一般に Siegel disk の境界に critical pOint が存在するかというのは問題であるが,Herman がこれに対して反例を構成しているようである. -方, 最近 ROgers(preprint) によって, 多項式の場合 neutral$\mathrm{D}\mathrm{i}_{0}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}$$\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{i}}\mathrm{n}\mathrm{t}$のmulitiplier がnumber より定まる場合は (Siegel disk を持ち) , その Siegel diskの境界に critical pOint が存在することが示されている.

Rogers の結果を認めるとTheOrem A は次のように拡張される.
$\mathrm{C}\mathrm{o}\Gamma \mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\Gamma \mathrm{y}$.

$W$を平面領域として,$\{P_{\lambda}\}_{\lambda\in\overline{W}}$多項式の連続な famiJy で $W$ で stable かつき, もしある $\lambda_{0}\in W$ で至るところの点$\lambda\in\partial W$$P_{\lambda_{\text{。}}が}$に対して$\{P_{\lambda}\}_{\lambda\in W}$$\overline{W}$をパラメーター空間とする$hol_{\mathit{0}}\mathrm{m}orphi_{C}$なものとする. このとattra Cting cycle を含んでいるならば,$P_{\lambda}$

ほとんどはやはり対応する attracting CyCle を持っているか, またはその境界上に critical pOin
ここで fammuly

を$\mathrm{t}$を含むような Siegel disk を持つ.

が stable とは, $W^{stable}=W$ であるときをいう.

(略証) 簡単のために attracting fixed$\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{i}}\mathrm{n}\mathrm{t}$の場合に証明する.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$family が Stable という仮定から, FatOu 成分は labelling が可能になる. すなわ
ち,$P_{\lambda}(\lambda\in W)$のattracting fixed point$a(\lambda)$

を$\lambda$

について$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$なるように取れる. したがって,$a(\lambda)$

における multiplierになる.

$a(\lambda)$

は attractive であったから,に関して$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}_{\mathrm{P}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$$|\varphi(\lambda)|=|P_{\lambda}’(a(\lambda))|<1$

すなわち,$\varphi(\lambda)$

は $W$ から単位円板$\triangle$$\varphi(\lambda)=P_{\lambda}^{/}(a(\lambda))$.

への正則写像になる.

もに$\lambda$

4

単位円 $\partial\triangle=\{e^{2\pi\theta}|0\leq\theta<1\}$ において,を $E$ とする.

このとき, 正則写像の性質より上で調和測度が$0$の境界値は$\varphi$$\theta$が Diophantine 数でない集合

によって $E$ に対応する点は$\partial W$になることが知られている. 換言すれば, ほとんど全ての点での$\overline{\Delta}-E$$\varphi$に値を持っている. よって, 上記の ROgerS の結果より求める主張が成立する.
有理関数の family に関しては,

TheOrem A の形で証明することは今のところで来ていないが, 次のように少し条件をつけた形では証明できる (ただし, ここでは.

証明はしない)TheOrem 1.
で,で$W$$R_{\lambda_{0}}$$\{R_{\lambda}\}_{\lambda\in\overline{W}}$を$\overline{W}$をパラメーター空間とする有理関数の連続な Family

で Stable かつ $h_{\mathit{0}}\iota_{omo}rphi_{C}$がその$p\mathrm{e}ri_{\mathit{0}}di_{C}$なものとする. このとき,もしある $\lambda_{0}\in W$

component に critical Point を–つしか含まないようなattraC ting CyCle をもっているならば, ほとんど至るところの点$\lambda\in\partial W$

に対して

COrOllary と同じ主張が成り立つ.
上の定理では 「」 という仮定を設けたが, 特別な$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{y}$$\mathrm{h}\mathrm{o}1_{0}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$family に関してはこの条件は自動的に満たされる. 例えば次の系が証明できる.
$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\Gamma \mathrm{y}$.

$\{R_{\lambda}\}_{\lambda\in\overline{W}}$を$\overline{W}$で, 任意の $\lambda\in W$ に対してをパラメーター空間とする有理関数の連続な family
はちょうど $(2d-2)$ 個の attraCting CyCleS を$R_{\lambda}$持っていると仮定する. そのとき

TheOrem 1 と同じ結論が成立する.

(Corollary の略証) 条件より,つの$R_{\lambda}$に対しては各 attracting cycle 内にはただcritical point が存在する. その critical points をすると, これらの critical points の Orbit
なる CritiCal$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}_{\mathrm{S}}$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$同士の OrbitS は異なる)$c_{1}(\lambda),$$\ldots,$$C2d-2(\lambda)$とは trivial なものしかない (異. よって $W=W^{post}=W^{qc}$ . したがって, この family は Stable になるので定理 1 の仮定が満たされ, 求める結論が導かれる.

5
Remark. 実際に上の系の仮定を満たす有理関数は任意の $d>1$ について構成することが出来る.

2. Riemann SurfaCe 上の有理関数の$\mathrm{h}_{0}1\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$family について.

次にパラメーター空間が有限型 Riemann 面 $S$ の場合, 次数 $d>1$ の有理関数の nOn-trivial

なく(有限型)$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}_{\mathrm{P}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$family の有限性を考える. ファイバーが有理関数ではRiemann 面の場合には, このような families の個数の有限性は知られているし, 特別な場合にはその個数の上限を $s$ の複素構造に依らず評価できる.

方, 有理関数の family については,実際,数とする.

$\overline{S}$$s$を任意の$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{P}}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$family に制限をつけなければ無限個存在する.

Riemann 面として,$f$を$\overline{S}$上の非定数有理型関を $f$ の zero 点, 極を取り除いた有限型 Riemann 面とする.

き, 任意の有理関数 $R(z),$$n\in \mathrm{N}$–

このとに対して,$S\ni p\mapsto f^{n}(p)R(z)$および$S\ni p\mapsto R(z)+nf(p)$などは有理関数の $s$ 上の$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}_{\mathrm{P}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$family を定める.

ここで,選べば (むしろ, ほとんどの $R(z)$ に対して) , 上のようなうまく $R(z)$ を$\mathrm{h}\mathrm{o}1_{0}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$familesは non-trivial で, 異なる $n$ に対しては異なる families が得られることが分かる.

したがって, $n=1,2,$$\ldots$を考えれば, 無限個の holomorphic families が得られることが分かる.
-方,

MCMullen の結果 (Ann. of Math. 135, 1987) によれば, $s$ をパラメータ一空間とする Stable$\mathrm{h}\mathrm{o}1_{0}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$family は trivilal または affine ratiOnal

maPS の family となり有限性の問題は容易に解決される.

ここで affine ratiOnal

maP とは, (COmPlex) multiplication から induce される tOruS の$\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{r}_{\mathrm{P}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{C}$6
endmorphism で torus の hyperelliptic involution と equivariant なもののprojection であるときをいう.
よりも弱い条件を考え, このもとで family の有限性を導く.

ここでは “stable”

Theorem 2.

を $(g, n)$ 型の Riemann 面, $d>1$ を整数とする.

$S$をパラメーター空聞とする次数個でその個数は $g,$ $n,$で$d$$d$の有理関数の separative な families は高々有限( $S$ の等角構造に依らずに) 上から評価される.

ここで family が separativeとは以下のように定義する.

Definition 1. 与えられた自然数$n$に対して,$d>1$ の有理関数の holomorphic familyfamily であるとは, 任意のこのとき $S$$\lambda_{0}\in W$$W$を parameter 空間とする次数$\{R_{\lambda}(z)\}_{\lambda\in}w$

が order $n$ の separativeに対して次の条件を満たす近傍 $U$ が取れることとする.

各$\lambda\in U$に対して$\hat{\mathbb{C}}$内に $n$ 個の点からなる集合$E_{\lambda}$が取れて, 以下を満たす.

.

(1)$R_{\lambda}(E_{\lambda})=E\lambda$(2)$E_{\lambda}=\{a_{1}(\lambda), \ldots, an(\lambda)\}$としたとき, 各 $a_{j}(\cdot)(j=1, \ldots, n)$ は $U$ 内で解析的である.

(3)$a_{j}(\lambda)$て$E_{\lambda}$が$R_{\lambda}$のある周期$k$の周期点ならば, 周期$k$のその他の周期点は全に含まれる.

Stable ならば, 十分高い Order で上の Separative 条件を満たす. 実際, Stablefamilyる.

$\{R_{\lambda}\}_{\lambda W}\in$に対して十分周期の大きい周期点全体を考え, それを周期を大きく取っておくと, これらは repelling periodic

したがって$E_{\lambda}$

はStable であるから$R_{\lambda}$のジュリア集合$I(R_{\lambda})$$I(R_{\lambda})$$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}_{\mathrm{S}}$に含まれる. また,$E_{\lambda}$とすからなり,$\{R_{\lambda}\}_{\lambda\in W}$

はでは擬等角写像による共役である. したがって上記のSeparative 条件を満たすことが分かる. すなわち Separative family である.

7方,stable でない separative family は存在する. これは次のように構成す6.
$X$$F(R)$

をコンパクト Riemann 面とする.

$R$が空でないものを取る.

を含む $X$ 上の

ここで $R$を degree(algebraic) family を作る. ただし恒等的に O または$\infty$$d$の有理関数で Fatou 集合$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}-\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}$holomorphicとなるものを有限個含まれていてもよいとする. ここで, 十分周期の大きな repelling$\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$

CyCleS を考えて, それらが separative conditiOn を満たさない点および恒等的に O または$\infty$となる点を $X$ から除く. このような点は高々有限個しか存在しないから, そのような点を除いて得られる Riemann 面family である. -方,$X^{/}$

は有限型である. 作り方から

もしこれが stable ならば,

$X^{/}$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}1$

上の separative
から affine となるはずである. ところがこの family は $F(R)$ が空でない有理関数を含んでいるから矛盾である. すなわち stable ではない.