1-2 特異点の総合的研究●代表者 森真（数学科教授）●分担者 渡辺敬一（数学科教授）

茂手木公彦（数学科 教授）
山浦義彦（数学科教授）

田村純一（自然研研究員）【研究の概要および結果】
代数学的視点からは，（1）特異点の Jet scheme が有理特異点になるための条件を同次超曲面の場合に研究した。
（石井志保子，三内顕義との共著）（2）次元と埋め込み次元を指定したとき，F-pure ring, F-rational ring の重複度の最大値を与えた。
（C. Hunekeとの共著）（3）3 元，4 元生成の almost symmetric semigroup の特徴付けを与えた（成博勝，沼田崇宏との共著）などの成果を与えた。
幾何学的視点からは，結び目の Dehn 手術で Seifert 多様体が生じる典型的な例はトーラス結び目の Dehn 手術で，その仕組みはトーラス結び目の補空間の Seifert ファイブレーションの拡張という観点から理解することができる。
一方，双曲結び目の Seifert 手術は特異的な現象で，その発生のメカニズムはよくわかっていない。本研究では，ネットワークという全く新しい視点からそのメカニズムを明らかにすることを目標に研究を進めた。
解析学的視点からは，楕円型（Legendre-Hadamard 条件）偏微分方程式系に対する discrete Morse flow の構成及
び正則性理論が，内部評価として成立することを検証することに終始した。この結果の意義は , これまで知られていた結果では，境界の形状について，滑らかさを仮定する必要があり，また初期境界条件についても大局的（境界を込めた）Morrey 条件を仮定する必要があった。これに対して，今回の結果では , 前者の条件は完全に除くことができ，また後者は局所的に満たせば十分です。以上により，条件を緩和した仮定から出発しても内部 Morrey 評価を経て一様ヘルダー連続性が導出できることを確認することができた。
研究発表
Makoto Mori
Dynamical system with fractal structure and low discrepancy sequences,Workshop on fractals and Dynamicalsystems,Morning-side Center, Chinese Academy of Sciences, Beijing, 2011/12/28
Makoto Mori
Spectra of Dynamical system and random numbers,Seminar at IMCA, Peru,2012/02/01
Makoto Morihigher dimensional random sequence and dynamical system with fractal structure, Dynamics of Complex Systems
2012, Hokkaido Univ., 2012/03/08
Kimihiko Motegi,
Seifert fibered surgeries with distinct primitive / Seifert positions, 2011 年 10 月 14 日，東北大学
Kimihiko Motegi,
Networking Seifert surgeries on knots: a survey and future problems, 2012 年 3 月 2 日，Institute of Mathematics
Keiichi Watanabe
Certain Jet Schemes have Rational Singularities, Midwest Commutative5Algebra and Geometry Conference, Purdue University
Keiichi Watanabe
Certain Jet Schemes have Rational Singularities, 特異点論とそのひろがり , 京都大学
Keiichi Watanabe
トーリック環上の F-thresholds, 第 33 回可換環論シンポジウム，浜名湖カリアック （吉田健一氏との共同発表）
Keiichi Watanabe
Upper bound of multiplicity of F-rational and F-pure rings, 第 33 回可換環論シンポジウム，浜名湖カリアック
Keiichi Watanabe
The upper bound of multiplicity of F-pure rings and rational singularities, The 7th Japan- Vietnam Joint Seminar on
Commutative Algebra, Quy Nhon University, Vietnam,Jun-ichi Tamura,numerical experiments on old and new algorithms of multidimensional continued fraction expansions for real algebraic
number fields, Morning-side Center, Chinese Academy of Sciences, Beijing, 2011/12/28
Jun-ichi Tamura,Tensor Product of norm form equations and their solutions, 金沢大学 2012 年 2 月
研究成果物
Yoshihiko Yamaura:“Holder continuity of discrete Morse flows to the Alt-Caffarelli variational problem generating free boundaries”,
Nonlinear Analysis, 74（2011）, 7168-7183.（査読有り）．
Yoshihiko Yamaura:“Uniform Lipschitz continuity of solutions to discrete Morse flows”, International Journal of Pure and AppliedMathematics, 67/ 2（2011）, 193 -- 223.（査読有り）．
Masaki Mori and Makoto Mori,
New Construction of two dimensional Low Discrepancy Sequences,, Proceedings of The Institute of Natural Sciences,
Nihon University
Kimihiko Motegi,
Seifert fibered surgeries with distinct primitive/Seifert positions（with Mario Eudave - Munoz and KaturaMiyazaki）, Topology Appl. 159（2012）, 980-989（electronic）．
Kimihiko Motegi
Networking Seifert surgeries on knots（with Arnaud Deruelle and Katura Miyazaki）, Mem. Amer. Math. Soc. 217 no.
1021（2012）（electronic）．
Keiichi Watanabe
Coefficient ideal of ideals generated by monomials, Communications in Algebra {\bf 39}（2011）, 1563-1576（with S.
Ohnishi）．
Keiichi Watanabe
F-signature of graded Gorenstein rings, J. Pure and Appl. Algebra, {\bf 215}（2011）, 2190-2195（with A. Sannai）．
Keiichi Watanabe
Pseudo-symmetric and atomic numerical semigroups generated by three elements, Proc. Inst. Natural Sci., Nihon

6．
Univ., {\bf 46}（2011）, 291-298（with H. Nari and T. Numata）
Keiichi Watanabe
Multiplicity bounds in graded rings, Kyoto Journal of Mathematics {\bf 51}（2011）, 127-147（with C. Huneke and S.
Takagi）．
Keiichi Watanabe
Genus of numerical semigroups generated by three elements, to appear in J. of Algebra（with Hirokatsu Nari, TakahiroNumata）.
Keiichi Watanabe
Jet schemes of homogeneous hypersurfaces, To appear in Proc. Japan-France Singularity Seminar 2009（with ShihokoIshii and Akiyoshi Sannai）.
Jun-ichi Tamura and shinichi Yasutomi,
Continued fractions for quadratic elements in formal power series, the Ramsnyjan Journal 26（2011）, 399-405
研究集会
以下のような研究集会を開催した。
特異点論月曜セミナー
5 月 16 日，6 月 13 日，7 月 25 日，10 月 3 日，11 月 14 日，12 月 19 日，1 月 23 日，3 月 12 日の 8 回
幾何学セミナー7 月 6 日，9 月 16 日，10 月 27 日の 3 回

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