数理解析研究所講究録
第 1980 巻 2016 年 28-3628

量子電磁力学におけるカイラル対称性の自発的破れとMaskawa-Nakajima 方程式
群馬大学大学院理工学府数理科学分野

渡辺秀司

Shuji Watanabe
Division of Mathematical Sciences, Graduate School of Science.and Technology,
Gunma University1

量子電磁力学とは
量子電磁力学は、 電子と光子の間に働く相互作用 (gauge 相互作用と呼ばれる) を考慮した、 電子と光子の運動を記述する量子力学的な動力学のことであり、 Einstein の特殊相対性理論を満たしている。 この電子と光子の間に働く相互作用により、 電子や光子の各々が消滅したり生成したりするため、電子数や光子数の各々が一定には保たれないことが生以上のじ得る。 したがって、 量子電磁力学の枠組においては電子数や光子数の各々はであっても許される。 この点が、Schr\"odinger 作用素とは整数である限り任意であり、本質的に異なっている。 よく知られているように、Schr\"odinger 作用素の枠組では粒子の数は増えも減りもしないで一定のままである。 因みに、 この量子電磁力学における 「くりこみ理論」 という業績に関して、 朝永振一郎博士 SchwingerFeynman がノーベル物理学賞を 1965 年に受賞している。
上述のように量子電磁力学の枠組においては電子数や光子数の各々は 以上の整数である限り任意のため、 Schr\"odinger 作用素の枠組では決して扱えない物理現象が量子電磁力学の枠組 (場の量子論の枠組み) では扱える。 その 1 つが対称性の自発的破れと呼ばれる、極めて興味深い物理現象である。 このような物理現象は自然界には様々存在する。磁$0$$\infty$$0$

石でも対称性が自発的に破れているし、 また、 超低温において電気抵抗がゼロとなる超伝導と呼ばれる現象でも同様である。 この稿では、 量子電磁力学におけるカイラル対称性の自発的破れと呼ばれる現象を扱う。

2量子電磁力学におけるカイラル対称性とは

量子電磁力学では、 Lagrangian と呼ばれるものが最初に定義される。 この Lagrangianから変分法における Euler-Lagrange 方程式として導かれる方程式が運動方程式であるが、量子電磁力学では運動方程式よりも Lagrangian のほうが頻繁に扱われる。 これは、 実際に起きる運動のほかに、 実際には起きない運動をも纏めて扱おうとしているからである。

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このような力学の形式を Lagrange 形式という。 量子電磁力学における Lagrangian が、何らかの変換に対して不変であれば、 これから保存則が導かれる (Noether の定理)。
さて、量子電磁力学の Lagrangian には電子場 $\psi=\psi$ L
R、光子場 $A_{\mu}(\mu=0,1,2,3)$電子の質量項が含まれる。 ここで、 電子の質量 $m$ は $m>0$ であり、$+\psi$、$m(\overline{\psi_{L}}\psi_{R}+\overline{\psi_{R}}\psi_{L})$そして、$\gamma_{5}$を Dirac 行列と呼ばれる $4\cross 4$ 行列のうちの 1 つとするとき、素数の成分を 4 つもつスピノルと呼ばれる$\psi$$\psi_{L}$と$\psi_{R}$は複から、$\psi_{L}=\frac{1-\gamma_{5}}{2}\psi, \psi_{R}=\frac{1+\gamma_{5}}{2}\psi$はによって定まる。 また、の複素共役のようなものである。 Einstein の特殊相対性理論では時空の変換として Lorentz 変換が登場するが、 この Lorentz 変換に対して、 電子場と光子場はそれぞれスピノル、ベクトルとして変換する。光子の質量は gauge相互作用故に厳密にゼロである。
ここで、 電子の質量がゼロとなる場合を考えよう。 このとき、 $m=0$ となるため、 上の電子の質量項は存在しなくなる。 このため、$\overline{\psi_{L}}$$\psi$$\psi_{L}$$A_{\mu}$$\psi_{L}\mapsto e^{i\alpha}\psi_{L}, \psi_{R}\mapsto e^{i\beta}\psi_{R}, \alpha, \beta\in \mathbb{R}$というグローバルな変換の下で量子電磁力学の Lagrangian は不変となる。上の$\alpha$や$\beta$が時空点によらない定数のときにグローバルな変換と呼ばれる。 このとき、 量子電磁力学のLagrangian はカイラル対称性をもつという。 そして、 量子電磁力学における Lagrangianとがカイラル対称性をもてば、の各々が任意にその位相を変化させても Lagrangian$\psi_{L}$$\psi_{R}$は不変、 したがって、 運動方程式も不変となり、 何の変化も生じない。

ただし、 電子の質量がゼロでないときは、 すなわち、 $m\neq 0$ のときは、 電子の質量項が存在するため、 量子電磁力学の Lagrangian はカイラル対称性をもたない。

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量子電磁力学におけるカイラル対称性の自発的破れとは電子の質量をゼロとする、 すなわち、 m O。このとき、 電子の質量項は存在しないため、 量子電磁力学の Lagrangian はカイラル対称性をもつ。 しかし、 万が一、 電子と光子の相互作用の結果として電子が質量を獲得したら、 そのときは電子の質量項が存在することになる。 そのため、 量子電磁力学の Lagrangian が元来もっていたはずのカイラル対称性が破られることになる、 量子電磁力学の元々の Lagrangian はカイラル対称性をもっていたにもかかわらず。 一見奇妙なこの現象をカイラル対称性の自発的破れという。
量子電磁力学のように、 電子や光子などの粒子数が 以上の整数である限り任意であり、であっても許される力学系においては、 たとえ Lagrangian が、 したがって運動方程式までが何らかの対称性をもっていても、現実にはその対称性が破れている場合が生じうる。 対称性が自発的に破れるというこの現象は、 Schr\"odinger 作用素の枠組では決して生じ得ない。 そして、 対称性の自発的破れというこのような現象は、 超低温において電気抵抗がゼロとなる超伝導と呼ばれる現象で初めて認識された。超伝導に対する量子力学的$\neq$$0$$\infty$

30な理論は BCS 理論と呼ばれるものであり、Bardeen, Cooper, Schrieﬀer の 3 人の物理学者によって発表された。 この理論は大成功を収め、 この業績により彼ら 3 人はノーベル物理学賞を 1 972 年に受賞している。 この BCS 理論においては、Hamiltonian は位相変換不変であるため、 エネルギーの最も低い基底状態での電子数は一定であらねばならない。 しかし、 BCS 理論においては BCS 状態と呼ばれる基底状態はいろいろな電子数をもつ状態の線形結合となっているため、 電子数は一定ではなく、 いろいろな値をとりうる。
すなわち、 Hamitonian のもつ位相変換不変性という対称性が自発的に破れていることになる。 この事実を世界で最初に気づいたのが、 南部博士であり、益川博士、 小林博士とともにノーベル物理学賞を 2008 年に受賞している。

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Maskawa-Nakajima 方程式とはさて、 電子の質量をゼロとすれば量子電磁力学の Lagrangian はカイラル対称性をもつが、 このカイラル対称性は自発的に破れることがあるのか？すなわち、 量子電磁力学という動力学はカイラル対称性を自発的に破ることがあるのか？ という問題を、 益川博士と中島博[15, 16] が最初に研究した。 この研究の過程で、 益川一中島両博士は次の非線形積分方程式を導出した : 電子の質量をゼロとするとき、$\pm$$u(x)= \frac{\lambda}{2}\int_{\epsilon}^{\Lambda}\frac{1}{y+x+|y-x|}\frac{yu(y)}{y+u(y)^{2}}dy, (0<)\epsilon\leq x, y\leq\Lambda.$

ここで、$\lambda=\frac{3a^{2}}{4\pi^{2}}$$>$0、また $a>0$ は gauge 結合定数とよばれ、 電子と光子の結合の強さを表す。 カットオフ$\epsilon,$$\Lambda>0$

は、 $\epsilon>0$ は十分小さく、 力 1 つ $\Lambda>0$ 十分大きい。 非線形積分方程式である上の Maskawa-Nakajima 方程式の解
ネルギーの 2 乗であるの関数となることに留意。

$u$は電子の質量であり、エ$x$

Remark 4. 1. 本来は、 Maskawa-Nakajima 方程式におけるカットオフは、としたいのだが、 数学的な困難さを回避したいが故にここでは、つ $\Lambda>0$ 十分大きいものとした。
上の Maskawa-Nakajima 方程式は、 すべての$x$

で $u(x)=0$$\epsilon>0$$\epsilon=0$

かつ $\Lambda=\infty$は十分小さく、 かという解 (自明な解) を必ずもつことが分かる。 この自明な解は、 すべてのエネルギーにおいて電子の質量がゼロであることに対応している。 したがって、 電子の質量項は存在せずに、 カイラル対称性は自発的には破れずに保たれていることを、 この自明な解は示している。 他方、 もし、 自明な解以外の解が存在すれば、 質量が元来、 ゼロであった電子はゼロでない質量を獲得し、 その結果として電子の質量項が現れ、 そして量子電磁力学という動力学がカイラル対称性を自発的に破ったことになる。 故に、 自明な解以外の解が存在するかどうかがカギとなる。
問題 :非線形積分方程式である上の Maskawa-Nakajima 方程式は、 自明な解以外の解をもつか？

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Maskawa-Nakajima 方程式において、 $y<x$ であれば、 $|y-x|=x-y$ 一方 $y>x$であれば、 $|y-x|=y-x$ となるので、 Maskawa-Nakajima 方程式は次のように変形される :
、

(4.1)

$u(x)= \frac{\lambda}{4}\{\frac{1}{x}\int_{\epsilon}^{x}\frac{yu(y)}{y+u(y)^{2}}dy+\int_{x}^{\Lambda}\frac{u(y)}{y+u(y)^{2}}dy\}, (0<)\epsilon\leq x, y\leq\Lambda.$

ゆえに$x^{2}u"(x)+2xu’(x)+ \frac{\lambda}{4}\frac{xu(x)}{x+u(x)^{2}}=0, (0<)\epsilon\leq x\leq\Lambda.$

九後一中島両博[14] は が十分大のときには $u(x)arrow 0$ と仮定して、 この常微分方
程式をが十分大のところで扱った。 それゆえ、 $x+u(x)^{2}$ をと近似すれば、 それは次のようになる :十分大のに対して
$\pm$

$x$

$x$

$x$

$x$

$x^{2}u"(x)+2xu’(x)+ \frac{\lambda}{4}u(x)=0.$

この常微分方程式はよく知られた形のものに帰着できて、 九後一中島両博士は次の結論に到達した :電子の質量をゼロとし、 また、 が十分大のときに $u(x)arrow 0$ と仮定する。 このとき、$0<\lambda<1$ ならば自明な解 $u=0$ のみが存在する。 したがって、 量子電磁力学はカイラル対称性を保つ。 一方、 $\lambda>1$ ならば自明な解以外の解が存在する。 したがって、 量子電$x$

磁力学はカイラル対称性を自発的に破る。

5

Maskawa-Nakajima 方程式の作用素論的扱いーその九後 –中島両博士による結論は、$0$が十分大のときに $u(x)arrow 0$ になるという仮定の下で得られている。 したがって、 この仮定が成り立たない場合には、 同じ結論を得るかどう$x$かは不明である。 また、 $x^{2}u"(x)+2xu’(x)+ \frac{\lambda}{4}u(x)=0$ という上の常微分方程式は、の仮定の下では十分大の$x$においてのみ成立するので、 そうでない$x$こに対しては成立しない。
そこで、 このような仮定なしで、 非線形積分方程式である上の Maskawa-Nakajima方程式を作用素論的に扱う。
関数$w:[\epsilon, \Lambda]arrow \mathbb{R}$を$w(x)= \frac{4\epsilon}{\lambda}\sqrt{\frac{\epsilon}{\Lambda x}}$によって定義する。 この関数 $w$ を用いて、 Banach 空間$C[\epsilon, \Lambda]$の以下の部分集合 $V$ を考えよう :$V= \{u\in C[\epsilon, \Lambda]:w(x)\leq u(x)\leq\frac{\lambda}{4}\sqrt{\Lambda}$

at all$x\in[\epsilon, \Lambda]\}.$

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そして、 次の非線形積分作用素を扱う:$u\in V$について

$Au$ $(x)= \frac{\lambda}{2}\int_{\epsilon}^{\Lambda}\frac{1}{y+x+|y-x|}\frac{yu(y)}{y+u(y)^{2}}dy,$$\epsilon\leq x\leq\Lambda.$

この等式の右辺は Maskawa-Nakajima 方程式の右辺に正に対応している。 したがって、
Maskawa-Nakajima 方程式の解は非線形積分作用素 $A$ の不動点に他ならない。 そこで、不動点定理を適用して、 不動点を探すことにする。

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作用素論的扱いーその 1(電子と光子の結合が強い場合)

まずは、 電子と光子の結合が強くて (gauge 結合定数が大きくて)、 $\lambda>2$ となる場合をと $\Lambda>0$ が扱おう。 Maskawa-Nakajima 方程式におけるカットオフ$\epsilon>0$$\frac{\epsilon}{\Lambda}\leq\min(\frac{1}{16}, (\frac{\sqrt{\lambda^{2}+128(\lambda-2)}-\lambda}{64})^{2})$を満たすと仮定する。 定数 は $\lambda>2$ であり、 また、 カットオフ
かつは十分大なので、 上の仮定は満たされる。
この仮定の下で、 次の定理を証明できる。
$\lambda$$\epsilon>0$は十分小さく、$\Lambda$

Theorem 6.1 ([22, Theorem 2.1]).

$\lambda>2$と仮定し、 カットオフ$\epsilon>0$と$\Lambda>0$をすぐ上のようにおく。

は集合 $V$ からそれ自身へのコンパクト写像であり、 不動点非線形積分作用素
で連続であり、 か$u_{0}\in V$ を少なくとも 1 つはもつ。 故に、 不動点 $u_{0}\in V$ は区間に対して満たす。 したがって、
つ、 $(0<)w(x)\leq u_{0}(x)\leq\lambda\sqrt{\Lambda}/4$ をすべての(a)$A$$[\epsilon, \Lambda]$$x\in[\epsilon, \Lambda]$

最初は電子の質量はゼロであっても、 量子電磁力学という動力学は電子のゼロでない質量を生み出し、 そのため、 量子電磁力学はカイラル対称性を自発的に破る。 さらに、 各々ので狭義単調減少であり、 以下を満たす :不動点 $u_{0}\in V$ は区間$[\epsilon, \Lambda]$$u_{0}\in C^{\infty}[\epsilon, \Lambda], u_{0}’(\epsilon)=0.$

を非線形積分作用素 $A:Varrow V$ の (a) で得られた、 ある不動点とする。 もし、に対して満たされれば、 非線形積分作用素 $A:Varrow V$$u_{0}(x)\leq\sqrt{x}$ がすべてのは不動点を 1 つだけもつ。 すなわち、 $u_{0}\in V$ は非線形積分作用素 $A:Varrow V$ の唯一の不動点である。

(b)$u_{0}\in V$$x\in[\epsilon, \Lambda]$

は有界、 閉、 かつ convex である。 また、 非線形積分作用素 $A$ は集合 $V$ からそれ自身への写像であることが示せる。 さらに、 非線形積分作用素 $A$ の像な

Proof. (a) 上の集合

$V$る集合 $AV=$ $\{Au:u\in V\}$ は相対コンパクトであること、 そして写像 $A:Varrow V$ が連続写像であることが示せる。 したがって、 非線形積分作用素 $A$ は集合 $V$ からそれ自身へのコンパクト写像であることがわかる。 故に、Schauder の不動点定理を適用できる。 狭義単調減少性と微分可能性は (4.1) から直ちに従う。
(b) 背理法による。 詳細は省略。

口

337

作用素論的扱い-その 2(電子と光子の結合が弱い場合)
次に、 電子と光子の結合が弱くて (gauge 結合定数が小さくて)、 $0<\lambda<1$ となる場合を扱う。 Maskawa-Nakajima 方程式を直接そのままの形で扱うことを避ける目的で、 以下のようにおく:$u(x)= \frac{\psi(x)}{\sqrt{x+\epsilon}}.$このようにおくと、Maskawa-Nakajima 方程式は次の形になる :$\psi(x)=\frac{\lambda}{2}\sqrt{x+\epsilon}\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{1}{y+x+|y-x|}\frac{y}{\sqrt{y+\epsilon}}\frac{\psi(y)}{y+\frac{\psi(y)^{2}}{y+\epsilon}}dy.$ここで、 $\Lambda=\infty$ と考えて、とした。 Remark 4.1 において述べたように、$\epsilon\leq x<\infty$

Maskawa-Nakajima 方程式におけるカットオフは本来、$\epsilon=0$

かつ $\Lambda=\infty$ としたかったからである。

Banach 空間$B^{0}[\epsilon, \infty$) の以下の部分集合 $W$ を考えよう :$W=\{\psi\in B^{0}[\epsilon,$$\infty):\psi(x)\geq 0$

そして、 次の非線形積分作用素を扱う :$\psi\in W$

at all$x\in[\epsilon,$$\infty)\}.$

について$B \psi(x)=\frac{\lambda}{2}\sqrt{x+\epsilon}l^{\infty}\frac{1}{y+x+|y-x|}\frac{y}{\sqrt{y+\epsilon}}\frac{\psi(y)}{y+\frac{\psi(y)^{2}}{y+\epsilon}}dy.$ここで、 $\epsilon\leq x<\infty$ . この等式の右辺は直ぐ上の Maskawa-Nakajima 方程式の右辺に正に対応している。 したがって、 Maskawa-Nakajima 方程式の解は非線形積分作用素 $B$ の不動点に他ならないので、 以前と同様に不動点定理を適用して非線形積分作用素 $B$ の不動点を探す。

Theorem 7.1 ([22, Theorem 2.2]). $0<\lambda<1$ と仮定する。 このとき、 非線形積分作用
素 $B$ は集合 $W$ からそれ自身への縮小写像になるので、 唯一 $0\in W$ という不動点のみをもつ。 したがって、 電子の質量はゼロのままに留まる。 それ故、 量子電磁力学はカイラル対称性をそのまま保つので、 カイラル対称性の自発的な破れは生じない。

Proof. 上の集合は閉集合であることがわかる。 また、 非線形積分作用素 $B$ は集合 $W$からそれ自身への写像であることが示せる。 さらに、 とを $W$ の要素とするとき、$W$$\psi$$\varphi$$|B\psi(x)-B\varphi(x)|$$\leq$$\frac{\lambda}{2}\sqrt{x+\epsilon}\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{1}{y+x+|y-x|}|\frac{\psi(y)}{\sqrt{y+\epsilon}}-\frac{\varphi(y)}{\sqrt{y+\epsilon}}|$吻$\leq \frac{\lambda}{2}\Vert\psi-\varphi\Vert_{B^{0}[\epsilon,\infty)}\sqrt{x+\epsilon}\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{dy}{(y+x+|y-x|)\sqrt{y+\epsilon}}$$\leq \lambda\Vert\psi-\varphi\Vert_{B^{0}[\epsilon,\infty)}$

ここで、$\Vert\cdot\Vert_{B^{0}[\epsilon,\infty)}$は Banach 空間$B^{0}[\epsilon, \infty$) のノルムを表し、 また、 すぐ下の lemma を使った。 $0<\lambda<1$ なので、 非線形積分作用素 $B$ は集合 $W$ からそれ自身への縮小写像であることが示せた。 故に、Banach の不動点定理から上の定理が従う。

口34
Lemma 7.2.
$\sqrt{x+\epsilon}\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{dy}{(y+x+|y-x|)\sqrt{y+\epsilon}}<2.$

Pro 砿 直接的な計算により、$\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{dy}{(y+x+|y-x|)\sqrt{y+\epsilon}}$$\leq$$\int_{0}^{\infty}\frac{dy}{(y+x+|y-x|)\sqrt{y+\epsilon}}$$= \frac{1}{2x}\int_{0}^{x}\frac{dy}{\sqrt{y+\epsilon}}+\frac{1}{2}\int_{x}^{\infty}\frac{dy}{y\sqrt{y+\epsilon}}$$= \frac{1}{\sqrt{x+\epsilon}+\sqrt{\epsilon}}+\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\ln(\sqrt{1+\frac{\epsilon}{x}}+\sqrt{\frac{\epsilon}{x}})$.

さらなる直接的な計算により、$\sqrt{x+\epsilon}\{\frac{1}{\sqrt{x+\epsilon}+\sqrt{\epsilon}}+\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\ln(\sqrt{1+\frac{\epsilon}{x}}+\sqrt{\frac{\epsilon}{x}})\}<2 (x\geq\epsilon)$.
口Acknowledgments
S. Watanabe is supported in part by the JSPS Grant-in-Aid for Scientific Research (C)24540112.

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