3596

チュートリアル

汎用マルチフィジックス有限要素解析ソフトウェア COMSOL Multiphysics を取り上げて新しい計算科学工学の仕事の流れを解説していきます。今回はチュートリアル（全4回シリーズ）の第1回目として、伝熱問題を中心に解説していただきます。なお、今号よりチュートリア
ル記事は1ページ目のみを本誌掲載し、続きは日本計算工学会 HP（日本計算工学会誌「計算工学（Vol.22, No.2）」http://www.jsces.org/Issue/Journal/）上で公開していますので、そちらも併せてご参照ください。

＜チュートリアル＞

COMSOL Multiphysics による計算科学工学– 新しいプラットフォーム（1）

橋口 真宜

。

1

す。ペンドリーとスミスの理論はマクスウェル方程式
はじめにと呼ばれる電磁波の偏微分方程式に基づいており、彼
計算シミュレーションは工学、理学、数学、生物らの分野でも COMSOL Multiphysics が利用されていま
学、医学、経済学といった幅広い分野で利用されてお新しいプラットフォーム
す [3]。数値解を求めるために採用されている有限要素
り、 計 算 科 学 工 学（CSE, Computational science and[4]
法 も十分にその妥当性が検証されている数値解法でengineering）の進展には目を見張るものがあります。一Computational
Science and Engineering by using COMSOLMultiphysics – New Platform(1)す。COMSOL Multiphysics は知識社会における多様な例として、ヴェセラゴが予見しペンドリーとスミスにニーズに応え得るソフトウェアであると考えられます。
よって理論化され実証された負の屈折率を持つメタマ
橋口真宜
本チュートリアルは計算科学工学における COMSOL
テリアルは、リーマン、アインシュタインの開拓したMultiphysics の利用について解説を行ないます。
曲がった空間概念を計算科学工学の力を借りて電磁波工学に自在に応用できるようになってきました [1]。こ ２．計算科学工学の新しいスタイルへ向けて
１ はじめに
2 計算科学工学の新しいスタイルへ向けてのアイデアは他の伝熱、音響、固体力学の分野へも急計算シミュレーションは工学、理学、数学、生物学、医学、
今回はチュートリアル連載の第１回目ということですので、速に展開されてきています。
今回はチュートリアル連載の第1回目ということです
経済学といった幅広い分野で利用されており、計算科学工学
計算科学工学の仕事の流れを見るところから話を始めたいと思
産業界は IoT（Internet of Things）によってネットの上ので、計算科学工学の仕事の流れを見るところから話(CSE, Computational
science and engineering)の進展には目います。そこで共通していると思われる内容を図１にまとめまにビッグデータを蓄積しその分析から得られる情報を始めたいと思います。そこで共通していると思われを見張るものがあります。一例として、ヴェセラゴが予見しペを、製品、販売あるいは医療の診断支援などにフィー した。現象を解析するには数学モデルの解を求めその挙動を可る内容を図1にまとめました。現象を解析するには数学
ドバックしていこうとしています。ドイツのインダス 視化をするところまでいきたいのですが、実際には諸事情によモデルの解を求めその挙動を可視化をするところまで
ンドリーとスミスによって理論化され実証された負の屈折率をトリー4.0は情報技術による製造業の革新を目指してい
いきたいのですが、実際には諸事情によってかなりな持つメタマテリアルは、リーマン、アインシュタインの開拓しってかなりな時間と労力を要します。
ます。CPS（Cyber Physical System）は分野ごとのデータ
時間と労力を要します。
た曲がった空間概念を計算科学工学の力を借りて電磁波工学に一方、COMSOL Multiphysics の使用経験に基づいてまとめてを収集、蓄積、解析、融合することでサイバー空間と
一方、COMSOL Multiphysics の使用経験に基づいて[1]
自在に応用できるようになってきました
みますと、図１の右半分の新しい考え方やスタイルに変化する。このアイデアは他
実世界が相互連携した社会を生み出そうとしていままとめてみますと、図1の右半分の新しい考え方やスタの伝熱、音響、固体力学の分野へも急速に展開されてきています。高度な計算科学工学や情報とインターネット技術 と思われます。
イルに変化すると思われます。
の融合によって知識にウェイトを置く社会化は今後加す。
産業界は速すると考えられます。
IoT（Internet of Things）によってネットの上に
これらの動きにおいては、取扱いが簡便で広範囲のビッグデータを蓄積しその分析から得られる情報を、製品、販分野を計算解析の対象にできるソフトウェアを普及さ売あるいは医療の診断支援などにフィードバックしていこうとせていくことが急務です。
しています。ドイツのインダストリー4.0
は情報技術による製COMSOL Multiphysics はマルチフィジックス解析汎用有限要素解析ソフトウェアであり、幅広いフィジッ
造業の革新を目指しています。CPS(Cyber Physical System)は
クスを解析できるように COMSOL 社（ストックホルム
分野ごとのデータを収集、蓄積、解析、融合することでサイバ／ボストン）によって設計開発されてきました [2]。本ソー空間と実世界が相互連携した社会を生み出そうとしています。
フトウェアを利用すれば広範囲なマルチフィジックス
高度な計算科学工学や情報とインターネット技術の融合によっ（多重複合物理現象）を連成し計算できるシステムを容易に構築できます。計算解析の基礎は偏微分方程式のて知識にウェイトを置く社会化は今後加速すると考えられます。
初期値境界値問題においており、計算原理が明快でこれらの動きにおいては、取扱いが簡便で広範囲の分野を計

COMSOL Multipysics による計算科学工学 –図1 新しい考え方/実現のスタイル
新しい考え方／実現のスタイル
図１

算解析の対象にできるソフトウェアを普及させていくことが急
筆者紹介
務です。
COMSOL Multiphysics はマルチフィジックス解析汎用有限要
はしぐち まさのり
計測エンジニアリング（株）第1技術部部長。
素解析ソフトウェアであり、幅広いフィジックスを解析できる

日本機械学会認定計算力学技術者上級アナリスト。

ように COMSOL 社（ストックホルム/ボストン）によって設計開COMSOL Multiphysics の技術サポートチーム統括。

本稿ではCOMSOLMultiphysicsを使ってどのような手順
本稿ではCOMSOL Multiphysics
を使ってどのような手順で問で問題を解くのかを紹介しながら、計算科学工学の新しい題を解くのかを紹介しながら、計算科学工学の新しい仕事のス
仕事のスタイルについても考えていきたいと思います。
タイルについても考えていきたいと思います。
注．COMSOL, COMSOL Multiphysics, COMSOL Desktop, COMSOL
Server、
続きはWeb でおよび LivelinkはCOMSOL ABの商標または登録商標です。その他の発されてきました[2]。本ソフトウェアを利用すれば広範囲なマ
COMSOL 社（ス ト ッ ク ホ ル ム）訪 問 時 KTH（ス日本計算工学会誌「計算工学(Vol.22,No.2)」HP:
製品名、サービス名、組織名は、各組織の商標または登録商標です。

ウェーデン王立工科大学）にて撮影
ルチフィジックス（多重複合物理現象）を連成し計算できるシ

http://www.jsces.org/Issue/Journal/
者独自の考えに基づいており他を代表するものではありません。

ステムを容易に構築できます。計算解析の基礎は偏微分方程式の初期値境界値問題においており、計算原理が明快です。ペン

なお、本文中に™、®マークは明記しておりません。本稿の説明は著

ドリーとスミスの理論はマクスウェル方程式と呼ばれる電磁波

筆者紹介の 偏 微 分 方 程 式 に 基 づ い て お り 、 彼 ら の 分 野 で も COMSOL

はしぐち まさのり

Multiphysics が利用されています[3]。数値解を求めるために採

計算工学

（20）

Masanori HASHIGUCHI

計測エンジニアリング(株)第１技術部部長。

チュートリアルチュートリアルチュートリアルチュートリアルCOMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム（1）COMSOL
Multiphysics
による計算科学工学–– 新しいプラットフォーム
COMSOL
Multiphysics
による計算科学工学
新しいプラットフォーム(1)
COMSOL
Multiphysics
による計算科学工学– 新しいプラットフォーム(1) (1)

3 COMSOL Multiphysics
３．COMSOL
３．COMSOL Multiphysics
Multiphysics
３．COMSOL
Multiphysics
3.1 COMSOLMultiphysics
Multiphysics の機能概要
３．１
の機能概要
３．１ COMSOL
３．１
COMSOL Multiphysics
Multiphysicsの機能概要の機能概要
COMSOL
Multiphysics
は有限要素解析ソフトウェア
COMSOL
Multiphysics
は有限要素解析ソフトウェア
COMSOL
Multiphysics
は有限要素解析ソフトウェア
COMSOL Multiphysics は有限要素解析ソフトウェアです。計算科学工学に必須の機能を備えています。図2です。計算科学工学に必須の機能を備えています。図です。計算科学工学に必須の機能を備えています。図です。計算科学工学に必須の機能を備えています。図に概略を示します。OS ははWindows、Mac、Linuxのいず
２に概略を示します。OSWindows、Mac、Linuxのい
２に概略を示します。OS
２に概略を示します。OSはWindows、Mac、Linux
Windows、Mac、Linuxのいのいれでも稼働します。言語はマルチ言語対応になっていずれでも稼働します。言語はマルチ言語対応になってずれでも稼働します。言語はマルチ言語対応になってずれでも稼働します。言語はマルチ言語対応になってますので、ワールドワイドでの共同作業も容易です。
いますので、
ワールドワイドでの共同作業も容易です。
いますので、
ワールドワイドでの共同作業も容易です。
いますので、
ワールドワイドでの共同作業も容易です。

図２
Multiphysics
図2 COMSOLCOMSOL
Multiphysicsの機能概要の機能概要
図２
図２ COMSOLCOMSOL Multiphysics
Multiphysicsの機能概要の機能概要

ユーザーは0からではなくこのプロトタイプから作業
は
な
く
こ
の
プ
ロ
ト
タ
イ
ユユ
ーー
ザザ
ー
は
０
か
ら
で
は
ト
タ
イ
プ
かプ
らか
ユ
ー
ザー
ーは
は０
０か
から
らで
でな
はく
なこ
くの
こプ
のロ
プ
ロ
ト
タ
イ
プ
から
ら
を開始できます。
作業を開始できます。
作業を開始できます。
作業を開始できます。
３．３
COMSOL
Desktopとオブジェクト指向
３．３
Desktopとオブジェクト指向
３．３COMSOLCOMSOL
Desktopとオブジェクト指向
3.3
COMSOL
Desktopとオブジェクト指向
COMSOL
Desktopのモデルビルダは図３の通りに可視
COMSOL
Desktopのモデルビルダは図３の通りに可視
COMSOL
Desktopのモデルビルダは図３の通りに可視
COMSOL Desktop のモデルビルダは図3の通りに可視化できました。続いて、HelloCOMSOL.mphと同じ内容化できました。続いて、HelloCOMSOL.mphと同じ内容化できました。続いて、HelloCOMSOL.mphと同じ内容化できました。続いて、HelloCOMSOL.mphと同じ内容
をを
HelloCOMSOL.javaと名前を付けてJava
ファイルと
HelloCOMSOL.javaと名前を付けて
Java
ファイルと
を
HelloCOMSOL.javaと名前を付けてJava
ファイルとを HelloCOMSOL.java と名前を付けて Java ファイルとしして保存しましょう。
して保存しましょう。
して保存しましょう。
て保存しましょう。
そのファイルはメモ帳(notepad)で開くことができ
そのファイルはメモ帳(notepad)で開くことができ
そのファイルはメモ帳(notepad)で開くことができ
そのファイルはメモ帳（notepad）で開くことができまます。図４にその内容を示します。
ます。図４にその内容を示します。
ます。図４にその内容を示します。
す。図4にその内容を示します。
COMSOL
Desktopは、図４に示した通り、
COMSOLCOMSOL Desktop
Desktopは、図４に示した通り、
は、図４に示した通り、
COMSOL Desktop は、図4に示した通り、com.comsol.
com.comsol.model.*とcom.comsol.model.util.*をイ
com.comsol.model.*とcom.comsol.model.*と com.comsol.model.util.*をイ
com.comsol.model.util.*をイ
model.*とcom.comsol.model.util.*をインポートしていまンポートしています。HelloCOMSOL
クラスを構築し、ンポートしています。HelloCOMSOL
ンポートしています。HelloCOMSOL クラスを構築し、クラスを構築し、す。HelloCOMSOL
クラスを構築し、その内容はstatic
その内容はstaticModelrun()メソッドとmain()メソ
その内容は
その内容はstatic
staticModel
Modelrun()メソッドとrun()メソッドとmain()メソmain()メソッドから構築されています。
Model
run()
メソッドと
main()
メソッドから構築されてッドから構築されています。
ッドから構築されています。
Model run()の中はモデル ビ ルダのコンポー ネント
います。
Model
Model run()の中はモデル
run()の中はモデルビ
ビルダのコンポー
ルダのコンポーネント
ネント
１ にModel相 当 run()
す るの中はモデルビルダのコンポーネント1に相create(“comp1”) や 3D 空 間 と し た
１
に
相
当
す
る
create(“comp1”)
や
3D
空
間
と
し
１
に
相
当
す
る
create(“comp1”)
や
3D
空
間
と
した
た
create(“geom1”,3)、あるいはmesh(“mesh1”).run()が当するcreate("comp1") や3D 空間とした
create("geom1",3)、create(“geom1”,3)、あるいはmesh(“mesh1”).run()がcreate(“geom1”,3)、あるいはmesh(“mesh1”).run()があります。
あるいは mesh("mesh1").run() があります。
あります。
あります。

３．２
COMSOL Desktop
Desktop
3.2 COMSOL
３．２
COMSOL
Desktop
３．２
COMSOL
DesktopCOMSOL
MultiphysicsのUser
COMSOL
Multiphysicsの GUI（Graphical
GUI（Graphical User
Interface）[2]
COMSOL
MultiphysicsのGUI（GraphicalUser
COMSOL
MultiphysicsのGUI（Graphical
User
Interface）はCOMSOL
Desktopと呼ばれます。
[2]は COMSOL Desktop と呼ばれます 。
[2][2]Interface）はCOMSOL
Desktopと呼ばれます。
Interface）はCOMSOL
Desktopと呼ばれます。ケ ー
COMSOL
Desktopではモデルビルダとアプリケーショ
COMSOL Desktop で は モ デ ル ビ ル ダ と ア プ リ
COMSOL
Desktopではモデルビルダとアプリケーショ
ンビルダの切り替えが随時可能です。モデルビルダは
COMSOL
Desktopではモデルビルダとアプリケーショ
ションビルダの切り替えが随時可能です。モデルビル
ンビルダの切り替えが随時可能です。モデルビルダは単独/多重複合の物理現象の数学モデルを設定する機
ンビルダの切り替えが随時可能です。モデルビルダは
ダは単独／多重複合の物理現象の数学モデルを設定す
単独/多重複合の物理現象の数学モデルを設定する機能をもった操作ウィンドウです。今回のチュートリア
単独/多重複合の物理現象の数学モデルを設定する機る機能をもった操作ウィンドウです。今回のチュート能をもった操作ウィンドウです。今回のチュートリア
ルはここを対象としています。その内容を「モデル」
能をもった操作ウィンドウです。今回のチュートリア
リアルはここを対象としています。その内容を「モデルはここを対象としています。その内容を「モデル」と呼ぶことにします。
ルはここを対象としています。その内容を「モデル」
ル」と呼ぶことにします。
では COMSOL Desktop を起動します。モデルウィザと呼ぶことにします。
と呼ぶことにします。
で は COMSOL Desktop を 起 動 し ま す。 モ デ ル ウ ィードボタンをクリックし、空間次元を３Ｄに選択後、ではCOMSOL
では
COMSOL Desktop
Desktop を起動します。モデルウィザを起動します。モデルウィザ
ザードボタンをクリックし、空間次元を3D
に選択後、
完
了
ボ
タ
ン
を
ク
リ ッ ク し ま す と 、 図 ３ の COMSOL
ードボタンをクリックし、空間次元を３Ｄに選択後、ードボタンをクリックし、空間次元を３Ｄに選択後、
完
了
ボ
タ
ン
を
ク
リ
ッ
ク
し
ま
す
と、
図3の
COMSOL
Desktop
がPC
画面上に表示されます。
ファイルメニュ
完
了
ン
を
ク
リ
ッ
ク
し
ま
す
と
、
図
の
COMSOL完Desktop
了ボ
ボタ
タ
ン
を
ク
リ
ッ
ク
し
ま
す
と
、
図３
３
の
が
PC
画
面
上
に
表
示
さ
れ
ま
す。
フ
ァ
イCOMSOL
ルメ
ーを使い
HelloCOMSOL.mphと名前を付けて保存します。
DesktopがDesktop
がPC
PC画面上に表示されます。ファイルメニュ
画面上に表示されます。ファイルメニュ
ニューを使いHelloCOMSOL.mphと名前を付けて保存
PC 画 HelloCOMSOL.mph
面 に 表 示 さ れ と名前を付けて保存します。
る モ デ ル ビ ル ダ に は
ーを使い
ーを使い
と名前を付けて保存します。
します。HelloCOMSOL.mph
HelloCOMSOL.mph(root)、
グローバル定義、
コンポーネ
PC
画
面
に
表
示
さ
れ
る
PC
画
面
に
表
示
さ
れ
るモ
モデ
デル
ルビ
ビル
ルダ
ダに
には
は
PC 画 面 に 表 示 さ れ る
モ
デ
ル
ビ
ル
ダ
に
は
ント１、定義、ジオメトリ１、材料、メッシュ１、結HelloCOMSOL.mph(root)、グローバル定義、コンポーネ
HelloCOMSOL.mph(root)、グローバル定義、コンポーネ
HelloCOMSOL.mph（root）、グローバル定義、コンポー
果の各ノードがデータツリー形式で表示されます。
ント１、定義、ジオメトリ１、材料、メッシュ１、結ント１、定義、ジオメトリ１、材料、メッシュ１、結ネント1、定義、ジオメトリ1、材料、メッシュ1、結果
果の各ノードがデータツリー形式で表示されます。
果の各ノードがデータツリー形式で表示されます。
の各ノードがデータツリー形式で表示されます。

Desktop
画面
図3 COMSOLCOMSOL
Desktopの
のGUI
GUI
図３
COMSOL
DesktopのGUI画面
画面
計算工学 図３

図４ HelloCOMSOL.java の内容
これはオブジェクト指向のプログラミングであるこ
図4 HelloCOMSOL.java の内容
図４
図４ HelloCOMSOL.java
HelloCOMSOL.javaの内容の内容とは一目瞭然です。
これはオブジェクト指向のプログラミングであるこ
これはオブジェクト指向のプログラミングであるこ
オブジェクト指向は①実現したいことをプログラ
これはオブジェクト指向のプログラミングであることは一目瞭然です。
とは一目瞭然です。
ム化しやすい、②プログラムの再利用性が高い、③機とは一目瞭然です。
オ
グ
ラ
[5]
オブ
ブジ
ジェ
ェク
クト
ト指
指向
向は
は①
①実
実現
現し
した
たい
いこ
こと
とを
をプ
プロ
ロ
グ
能の追加変更が楽であるというメリットがあります。ラオブジェクト指向は①実現したいことをプログラム
ム化しやすい、②プログラムの再利用性が高い、③機
ム化しやすい、②プログラムの再利用性が高い、③機
COMSOL
Desktop に対応させてみると、①はフィジック
化しやすい、②プログラムの再利用性が高い、③機能[5][5]能の追加変更が楽であるというメリットがあります。
能の追加変更が楽であるというメリットがあります。
スの設定がしやすい、②は既存のものを利用してプロ[5]の追加変更が楽であるというメリットがあります。
COMSOLCOMSOLDesktop
Desktopに対応させてみると、①はフィジックに対応させてみると、①はフィジック
グラムの開発期間を短縮できる、③はモデルビルダー
COMSOL Desktop に対応させてみると、①はフィジッスの設定がしやすい、②は既存のものを利用してプロスの設定がしやすい、②は既存のものを利用してプロの設定内容の追加・変更が容易である、ということにクスの設定がしやすい、②は既存のものを利用してプグラムの開発期間を短縮できる、③はモデルビルダーなります。COMSOLDesktop は①②③を GUI 環境としてグラムの開発期間を短縮できる、③はモデルビルダー
ログラムの開発期間を短縮できる、③はモデルビルの設定内容の追加・変更が容易である、ということにうまく整理・実現できています。さらに、この環境をの設定内容の追加・変更が容易である、ということにダーの設定内容の追加・変更が容易である、というこなります。COMSOL
利用すれば一人でもマルチフィジックスモデルを開発なります。COMSOLDesktop
Desktopは①②③を
は①②③をGUI
GUI環境として環境としてとになります。COMSOL Desktop は①②③を GUI 環境
うまく整理・実現できています。さらに、この環境をできます。生産性も向上します。マルチフィジックス
うまく整理・実現できています。さらに、この環境をとしてうまく整理・実現できています。さらに、このを複数人数で開発すると調整などに時間や労力をとら利用すれば一人でもマルチフィジックスモデルを開発利用すれば一人でもマルチフィジックスモデルを開発
環境を利用すれば一人でもマルチフィジックスモデル
できます。生産性も向上します。マルチフィジックス
できます。生産性も向上します。マルチフィジックス
を開発できます。生産性も向上します。マルチフィ
を複数人数で開発すると調整などに時間や労力をとら(??-2) を複数人数で開発すると調整などに時間や労力をとらVol.22, No.2 2017

計算工学
計算工学
計算工学

（20-2）(??-2)(??-2)

図３

COMSOL Desktop の GUI 画面

Vol.22, No.2 2017Vol.22,Vol.22, No.2
No.2 20172017

チュートリアルチュートリアルCOMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)COMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム（1）チュートリアルCOMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)れてしまって生産性を落としかねません。
ジックスを複数人数で開発すると調整などに時間や労COMSOL
Desktop では基本モジュールや専門モジュー COMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)チュートリアル[2]
れてしまって生産性を落としかねません。
力をとられてしまって生産性を落としかねません。
ルを用意 しており、ユーザーが実現したい内容をモCOMSOL
Desktop
では基本モジュールや専門モジュー
COMSOL
Desktop
では基本モジュールや専門モ
デルビルダーに指示していきます。この「指示」をすれてしまって生産性を落としかねません。
[2]
[2]
ルを用意
しており、ユーザーが実現したい内容をモ
ジュールを用意しており、ユーザーが実現したい内COMSOL Desktop では基本モジュールや専門モジュー
ることはオブジェクト指向の基本的な考え方です。
デルビルダーに指示していきます。この「指示」をす
容をモデルビルダーに指示していきます。この「指示」
ルを用意 [2]しており、ユーザーが実現したい内容をモ
オブジェクト指向はクラスの継承、メソッドのオー
工学を問わず、切望されています。実験が主体の化学ることはオブジェクト指向の基本的な考え方です。
をすることはオブジェクト指向の基本的な考え方です。
デルビルダーに指示していきます。この「指示」をす
学や生物などの分野でも同様です。実際の現象を記述
バーライド（上書き）、フィーチャーやインスタンス、や生物などの分野でも同様です。実際の現象を記述す
オブジェクト指向はクラスの継承、メソッドのオー
オブジェクト指向はクラスの継承、メソッドのオー
ることはオブジェクト指向の基本的な考え方です。
するのは解そのものですので数値解もすぐさま求める
インターフェースや抽象クラスによるポリモーフィズ
学や生物などの分野でも同様です。実際の現象を記述[5]
るのは解そのものですので数値解もすぐさま求めるこ
バーライド（上書き）、フィーチャーやインスタンス、
バーライド
（上書き）
、フィーチャーやインスタンス、ことができて数値解の挙動をわかりやすく可視化でき
ム （ 多 態オブジェクト指向はクラスの継承、メソッドのオー性 ） を 利 用 し ま す 。 COMSOL Multiphysics
するのは解そのものですので数値解もすぐさま求める
学や生物などの分野でも同様です。実際の現象を記述とができて数値解の挙動をわかりやすく可視化できる
インターフェースや抽象クラスによるポリモーフィズ
インターフェースや抽象クラスによるポリモーフィズ
バーライド（上書き）、フィーチャーやインスタンス、 る環境でないと役に立ちません。
のソースコードは参照できないので推測になりますが、[5][5]するのは解そのものですので数値解もすぐさま求める
ことができて数値解の挙動をわかりやすく可視化できインターフェースや抽象クラスによるポリモーフィズ
環境でないと役に立ちません。
ム
（
多
態
性
）
を
利
用
し
ま
す
。
COMSOL
Multiphysics
ム（多態性）
を利用します。COMSOL
MultiphysicsのCOMSOL
Multiphysics はそのような環境づくりのた
これらの考え方を十二分に活用していると考えられま[5]ことができて数値解の挙動をわかりやすく可視化でき
ム
（
多
態
性
）
を
利
用
し
ま
す
。
COMSOL
Multiphysics
る環境でないと役に立ちません。
COMSOL Multiphysics はそのような環境づくりのたのソースコードは参照できないので推測になりますが、
ソースコードは参照できないので推測になりますが、めの新しいプラットフォームを提供しているように見す。実際に COMSOL Desktop で操作をしていくと、一つる環境でないと役に立ちません。
のソースコードは参照できないので推測になりますが、えます。
COMSOL Multiphysics はそのような環境づくりのた
めの新しいプラットフォームを提供しているように見これらの考え方を十二分に活用していると考えられま
これらの考え方を十二分に活用していると考えられまのフィジックスに関する操作を習得すれば他のフィジ
COMSOL Multiphysics はそのような環境づくりのた
これらの考え方を十二分に活用していると考えられまめの新しいプラットフォームを提供しているように見
えます。
す。実際に
COMSOL
Desktop
で操作をしていくと、一す。実際にCOMSOL
Desktop
で操作をしていくと、一つックスでも同じルック＆フィールで行えますし、デフめの新しいプラットフォームを提供しているように見す。実際にCOMSOL
Desktop
で操作をしていくと、一つえます。
つのフィジックスに関する操作を習得すれば他のフィ ５．有限要素法による離散化とのフィジックスに関する操作を習得すれば他のフィジ
PDE インターフェース
ォルト設定をユーザー設定によって上書きしていくとえます。
のフィジックスに関する操作を習得すれば他のフィジジックスでも同じルック&
フィールで行えますし、デックスでも同じルック＆フィールで行えますし、デフ
有３
限つ要の素
よい
るず
離れ散も化
イ方
ン程
タ式ー
先5述 の
方法
程に
式は
以と
下PDE
の一般
いった操作方法がオブジェクト指向に沿ったものになックスでも同じルック＆フィールで行えますし、デフ
５．有限要素法による離散化とPDE
インターフェース
フォルト設定をユーザー設定によって上書きしていくォルト設定をユーザー設定によって上書きしていくとフェースの形で記述できます。
っています。フィジックスは数式とフィールド（デー５．有限要素法による離散化とインターフェース
ォルト設定をユーザー設定によって上書きしていくと
先
述 の ３ つ の 方 程 式 は い ず れPDE
も以下の一般方程式
先述の3つの方程式はいずれも以下の一般方程式の形といった操作方法がオブジェクト指向に沿ったものにいった操作方法がオブジェクト指向に沿ったものにな
タ、変数）から成るインターフェースであり、ノード
先述の３つの方程式はいずれも以下の一般方程式
いった操作方法がオブジェクト指向に沿ったものになの形で記述できます。
で記述できます。
なっています。フィジックスは数式とフィールド（デーっています。フィジックスは数式とフィールド（デー追加や入力フィールドによってメソッドの実装をしての形で記述できます。
っています。フィジックスは数式とフィールド（データ、変数）から成るインターフェースであり、ノード追タ、変数）から成るインターフェースであり、ノードいると考えればすんなりとCOMSOL Desktop の操作方式
タ、変数）から成るインターフェースであり、ノード
加や入力フィールドによってメソッドの実装をしてい これは皆さんも良くご存じのとおり、流束(flux)Γと追加や入力フィールドによってメソッドの実装をしてを理解できます。
追加や入力フィールドによってメソッドの実装をしてると考えればすんなりとCOMSOL
Desktopの操作方式いると考えればすんなりとCOMSOLの操作方式
ソース項 f が、着目している物理量φ(x,t)の時間発展
いままでの計算工学での仕事COMSOLの 考Desktop
え
方の主
流は図
いると考えればすんなりとDesktopの操作方式
これは皆さんも良くご存じのとおり、流束(flux)Γとを理解できます。
を理解できます。
これは皆さんも良くご存じのとおり、流束（ﬂux）Γ
を決めるという収支式です。例えば、先の３つの方程
１に示したように手続き型でした。
「作業」をするイメ
これは皆さんも良くご存じのとおり、流束(flux)Γとを理解できます。
ソース項
f が、着目している物理量φ(x,t)の時間発展
いままでの計算工学での仕事の考え方の主流は図1に
い
ま
ま
で
の
計
算
工
学
で
の
仕
事
の
考
え
方
の
主
流
は
図
とソース項
が、着目している物理量φ(x,t) の時間発展ージであるので個別の内容にとらわれがちでした。例
ソース項 f fが、着目している物理量φ(x,t)の時間発展
い ま ま で の 計 算 工 学 で の 仕 事 の 考 え 方 の 主 流 は 図 式とは表１の関係があります。
を決めるという収支式です。例えば、先の３つの方程示したように手続き型でした。
「作業」
をするイメージ
１に示したように手続き型でした。
「作業」をするイメを決めるという収支式です。例えば、先の3つの方程式
えば、流体力学の密度、固体力学の密度、静電場の電を決めるという収支式です。例えば、先の３つの方程
１に示したように手続き型でした。
「作業」をするイメ式とは表１の関係があります。
であるので個別の内容にとらわれがちでした。例えージであるので個別の内容にとらわれがちでした。例とは表1の関係があります。
表１．典型的な方程式との関係
式とは表１の関係があります。
荷密度は別ものとして区別する必要がありました。一ージであるので個別の内容にとらわれがちでした。例ば、流体力学の密度、固体力学の密度、静電場の電荷
えば、流体力学の密度、固体力学の密度、静電場の電
えば、流体力学の密度、固体力学の密度、静電場の電方、COMSOL
Desktop では密度は共通概念とし、単に所
表１．典型的な方程式との関係
表1 典型的な方程式との関係
密度は別ものとして区別する必要がありました。一荷密度は別ものとして区別する必要がありました。一
表１．典型的な方程式との関係
荷密度は別ものとして区別する必要がありました。一
属するフィジックスインターフェースが異なると考え
方、COMSOL
Desktopでは密度は共通概念とし、単に方、COMSOL
Desktopでは密度は共通概念とし、単に所方、COMSOL
Desktopでは密度は共通概念とし、単に所ます。spf.rho,
solid.rho,
es.rho といった変数記述
所属するフィジックスインターフェースが異なると考属するフィジックスインターフェースが異なると考え属するフィジックスインターフェースが異なると考えが出てきますが「.」を「の」と読めばそれらの意味をえます。spf.rho,
solid.rho,
es.rhoといった変数記述が出ます。spf.rho,
solid.rho,
es.rhoといった変数記述ます。spf.rho,
solid.rho,
es.rhoといった変数記述
誰でも簡単に理解できます。さらに、固体力学インタ
てきますが
「.」
を
「の」
と読めばそれらの意味を誰でもが出てきますが「.」を「の」と読めばそれらの意味をが出てきますが「.」を「の」と読めばそれらの意味をーフェースの密度ρ(x,y,z,t)データへのアクセスも簡誰でも簡単に理解できます。さらに、固体力学インタ
単 にと記述するだけで済みます。このような考理 解 で き ま す。 さ ら に、 固 体 力 学 イ ン タ ー
誰でも簡単に理解できます。さらに、固体力学インタ
COMSOL Desktop では自身のノートに記述したこれら
solid.rho
フェースの密度ρ(x,y,z,t)
データへのアクセスも
solid.
ーフェースの密度ρ(x,y,z,t)データへのアクセスもーフェースの密度ρ(x,y,z,t)データへのアクセスもの方程式をほぼそのまま、入力できます。実際にそのえ方によればマルチフィジックス解析環境も実現しや
COMSOL
Desktop
では自身のノートに記述したこれ
COMSOLDesktop
Desktop
では自身のノートに記述したこれら
solid.rhoと記述するだけで済みます。このような考 入力方法を見ていきます。
COMSOL
では自身のノートに記述したこれら
rhoと記述するだけで済みます。このような考え方によsolid.rhoと記述するだけで済みます。このような考すいと考えられます。
らの方程式をほぼそのまま、入力できます。実際にその方程式をほぼそのまま、入力できます。実際にそのえ方によればマルチフィジックス解析環境も実現しやの方程式をほぼそのまま、入力できます。実際にそのればマルチフィジックス解析環境も実現しやすいと考え方によればマルチフィジックス解析環境も実現しや
COMSOL Desktop のコンポーネント１を右クリック。
COMSOL
Multiphysics は Java や C++というオブジェの入力方法を見ていきます。
入力方法を見ていきます。
すいと考えられます。
入力方法を見ていきます。
えられます。
フィジックスを追加を選択後、数学：PDE インターフ
ク すいと考えられます。
ト 言 語 を 利 用 し て 開 発 さ れ て い ま す 。 COMSOLCOMSOL
Desktopのコンポーネント１を右クリック。
のコンポーネント1を右クリック。
COMSOL Desktop
DesktopCOMSOL
Multiphysics
はJava
や
C++というオブジェ
COMSOLCOMSOL
MultiphysicsははJava
Java やと い う オ ブ ジ ェ ェース：一般形式
COMSOL
Multiphysics
やC++
C++というオブジェ
PDEのコンポーネント１を右クリック。
を選択し、追加。これに上述のDesktop
を実際に操作してみるとオブジェクト指向にフィジックスを追加を選択後、数学：PDE
インター
フィジックスを追加を選択後、数学：PDE インターフ
クト
ト言
言
語
を
利
用
し
て
開
発
い
ま
す
。
COMSOL
ク
語
を
利用
用し
して
て開
開発
発さ
ささ
れれ
てて
い
ま
す。COMSOL
フィジックスを追加を選択後、数学：PDE
インターフ
ク
ト
言
語
を
利
れ
て
い
ま
す
。
COMSOL
熱伝導方程式を設定してみます。一般形式 PDE(g)をク沿った操作であることが理解できます。後程、例題をフェース：一般形式
PDEを選択し、追加。これに上述
ェース：一般形式
PDEを選択し、追加。これに上述のDesktop
を実際に操作してみるとオブジェクト指向にェース：一般形式 PDE を選択し、追加。これに上述のDesktopを実際に操作してみるとオブジェクト指向にを実際に操作してみるとオブジェクト指向に リックし設定ウィンドウの従属変数セクションで従属
Desktop
解きながらこのあたりを見ていきます。
の熱伝導方程式を設定してみます。一般形式
PDE(g) を
熱伝導方程式を設定してみます。一般形式 PDE(g)をク沿った操作であることが理解できます。後程、例題を沿った操作であることが理解できます。後程、例題を
熱伝導方程式を設定してみます。
一般形式 PDE(g)をク沿った操作であることが理解できます。後程、例題を 変数名をphi に変更。変数名は任意で良いのですが、リックし設定ウィンドウの従属変数セクションで従属
クリックし設定ウィンドウの従属変数セクションで従解きながらこのあたりを見ていきます。
解きながらこのあたりを見ていきます。
リックし設定ウィンドウの従属変数セクションで従属解きながらこのあたりを見ていきます。
上述の熱伝導方程式の表現に近いほうが混乱しません。
４．物理イメージと数学モデル
変数名を phi
属変数名をphiに変更。変数名は任意で良いのですが、に変更。変数名は任意で良いのですが、変数名を phi に変更。変数名は任意で良いのですが、続いて、図５のように各入力項目を埋めるだけです。
計算科学工学は数式を使います。数式は数学モデル
上述の熱伝導方程式の表現に近いほうが混乱しません。
上述の熱伝導方程式の表現に近いほうが混乱しませ４．物理イメージと数学モデル
上述の熱伝導方程式の表現に近いほうが混乱しません。
4 物理イメージと数学モデル
４．物理イメージと数学モデル
phi の空間微分、例ともよばれます。数学モデルは物理的なイメージモデ
続いて、図５のように各入力項目を埋めるだけです。
計算科学工学は数式を使います。数式は数学モデル ただし、従属変数に設定した変数ん。続いて、図5のように各入力項目を埋めるだけで計算科学工学は数式を使います。数式は数学モデル
続いて、図５のように各入力項目を埋めるだけです。
計算科学工学は数式を使います。数式は数学モデル
えば
phi
の
x
微分は
phix
と書くことは知っておく必要
ルから構築されます。基礎方程式の型としては偏微分
ただし、従属変数に設定した変数 phi phiの空間微分、例ともよばれます。数学モデルは物理的なイメージモデす。ただし、従属変数に設定した変数の空間微分、ともよばれます。数学モデルは物理的なイメージモデ があります。
ただし、従属変数に設定した変数
phi の空間微分、例ともよばれます。数学モデルは物理的なイメージモデ
この時追加されるJava コードを図５に示
方程式(
PDE、Partial Differential Equations )にな
えば
phi
の
x
微分は
phix
と書くことは知っておく必要
ルから構築されます。基礎方程式の型としては偏微分
例えば phi の x 微分は phix と書くことは知っておく必要
ルから構築されます。基礎方程式の型としては偏微分 します。２個のえば
phi の x 微分は
phix と書くことは知っておく必要
ルから構築されます。基礎方程式の型としては偏微分
feature(“gfeq1”)は一般形式
PDE1 のがあります。この時追加される
Java
コードを図５に示るのが一般的であり、ラプラス方程式/ポアソン方程式、方程式( PDE、Partial
Differential Equations )にながあります。この時追加される
Java コードを図5に示し
方程式（PDE、Partial
Differential
Equations）になるのががあります。
この時追加されるJava コードを図５に示
方程式(
PDE、Partial
Differential
Equations)にな
設定ウィンドウで編集した保存流束とソース項の各々します。２個のfeature(“gfeq1”)は一般形式
PDE1
波動方程式、
熱伝導方程式/拡散方程式が典型的な方程るのが一般的であり、ラプラス方程式/ポアソン方程式、 ま す。2個 の feature("gfeq1") は 一 般 形 式 PDE1の設の定
一般的であり、ラプラス方程式／ポアソン方程式、波します。２個のfeature(“gfeq1”)は一般形式 PDE1 の[4]るのが一般的であり、ラプラス方程式/ポアソン方程式、に対応しています。
設定ウィンドウで編集した保存流束とソース項の各々
熱伝導方程式/拡散方程式が典型的な方程式です波動方程式、。
ウィンドウで編集した保存流束とソース項の各々に対動方程式、熱伝導方程式／拡散方程式が典型的な方程設定ウィンドウで編集した保存流束とソース項の各々[4] 熱伝導方程式/拡散方程式が典型的な方程波動方程式、に対応しています。
さて、計算科学工学の仕事においてはいろいろな論。お い て は 数 学 モ デ ル を 生 み 出 す こ と知 識式です社 会[4]
化に応しています。
[4] 。
式ですに対応しています。
式です。
さて、計算科学工学の仕事においてはいろいろな論
知 識 社 会 化 に お い て は 数 学 モ デ ル を 生 み 出 す こ と 文や教科書を参照します。有限要素法の解説には弱形も重要な活動になります。いろいろなアイデアを試行
さて、計算科学工学の仕事においてはいろいろな論
知識社会化においては数学モデルを生み出すこともさて、計算科学工学の仕事においてはいろいろな論
知も重要な活動になります。いろいろなアイデアを試行
識 社 会 化 に お い て は 数 学 モ デ ル を 生 み 出理学、
す こ と 式が良く出てきます。有限要素法では強形式(Strong
文や教科書を参照します。有限要素法の解説には弱形錯誤を交えながら試すことのできる環境は数学、文や教科書を参照します。有限要素法の解説には弱形
重要な活動になります。いろいろなアイデアを試行錯
文や教科書を参照します。有限要素法の解説には弱形式が良く出てきます。有限要素法では強形式(Strongも重要な活動になります。いろいろなアイデアを試行
錯誤を交えながら試すことのできる環境は数学、理学、 form)の方程式の両辺に試行関数(Testfunction)を掛
工学を問わず、切望されています。実験が主体の化式が良く出てきます。有限要素法では強形式（Strong
誤を交えながら試すことのできる環境は数学、理学、式が良く出てきます。有限要素法では強形式(Strongform)の方程式の両辺に試行関数(Test function)を掛
錯誤を交えながら試すことのできる環境は数学、理学、工学を問わず、切望されています。実験が主体の化
form)の方程式の両辺に試行関数(Test function)を掛
工学を問わず、切望されています。実験が主体の化
計算工学
計算工学
計算工学

(??-3)（20-3）(??-3)

計算工学(??-3)

Vol.22, No.2 2017Vol.22,Vol.22,No.2
No.22017
2017

Vol.22, No.2 2017

チュートリアルCOMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)て紹介しましたが実際にはエンタルピーの形になるの

け算し、それを解析対象となる空間領域で積分して、チュートリアルで da には密度×比熱を意味する
rho*Cp を設定した例
COMSOL Multiphysics
による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム(1)を示しています。
COMSOL
Multiphysics
チュートリアルによる計算科学工学–の新しいプラットフォーム
チュートリアルCOMSOL
Multiphysics
による計算科学工学–式
新しいプラットフォーム(1)（1）
feature(“wfeq1”)
が弱形
実 装 に 対 応 し た Javaて紹介しましたが実際にはエンタルピーの形になるの
け算し、それを解析対象となる空間領域で積分して、

け算し、それを解析対象となる空間領域で積分して、で コードになっています。
da には密度×比熱を意味する rho*Cp を設定した例て紹介しましたが実際にはエンタルピーの形になるのを示しています。
で feature(“wfeq1”)
da には密度×比熱を意味する
rho*Cpを設定した例が弱形式の実装に対応 し た Javaを示しています。
コードになっています。
feature(“wfeq1”) が 弱 形 式 の 実 装 に 対 応 し た Java
コードになっています。

図6 弱形式
弱形式 PDEの設定例
図６
PDE の設定例

PDE
PDEインターフェースにはこのほかに、係数形式
インターフェースにはこのほかに、係数形式 PDE、
低次元
PDE などが用意されています。常微分や代数方
PDE、低次元PDE などが用意されています。常微分や程式を解くこともできます。
図６ 弱形式 PDE の設定例
代数方程式を解くこともできます。
いままで見てきた数学の PDE
PDE インターフェースは0か
インターフェースは 0
いままで見てきた数学の
図６ 弱形式 PDE の設定例
から方程式を組む場合に便利です。数理科学におけるPDE インターフェースにはこのほかに、係数形式 PDE、ら方程式を組む場合に便利です。数理科学における細粘性菌の走化性モデルといった方程式についてもこの
低次元
PDE などが用意されています。常微分や代数方胞性粘菌の走化性動態解析モデルといった方程式につPDE インターフェースにはこのほかに、係数形式 PDE、
図５ 一般形式 PDE の設定例
方法が適しています [6]。
程式を解くこともできます。
[6]
いてもこの方法が適しています
。
低次元
PDE
などが用意されています。常微分や代数方
一方で、COMSOL Multiphysics
では、計算科学工学0
いままで見てきた数学のPDE インターフェースは一方で、COMSOL Multiphysics では、計算科学工学
弱形式(Weak form)を求める という重み付残差法を離 程式を解くこともできます。
でルーチン的に利用される方程式系をカスタマイズしから方程式を組む場合に便利です。数理科学におけるいままで見てきた数学のPDE インターフェースは 0
でルーチン的に利用される方程式系をカスタマイズし散化の基礎にしており、ガラーキン法は試行関数を未たインターフェースを豊富に用意しており、それらを
図5 一般形式 PDE の設定例
粘性菌の走化性モデルといった方程式についてもこの[4]から方程式を組む場合に便利です。数理科学における
知関数φの形状関数と同じにします 。そこで試行関
たインターフェースを豊富に用意しており、それらを利用することで 0 から方程式を組むことなく問題の解
図５ 一般形式 PDE の設定例
方法が適しています [6]。
数を test(φ)と書くことにし、ガウスの発散定理を使 粘性菌の走化性モデルといった方程式についてもこの決を行うことができます。以下にその例を示します。
利用することで0から方程式を組むことなく問題の解決
form）の方程式の両辺に試行関数（Test function）を掛け
一方で、COMSOL Multiphysics
では、計算科学工学[6]
図５ 一般形式 PDE の設定例
方法が適しています。
うことで次の弱形式を得ます。
を行うことができます。以下にその例を示します。
算し、それを解析対象となる空間領域で積分して、弱弱形式(Weak form)を求める という重み付残差法を離でルーチン的に利用される方程式系をカスタマイズし一方で、COMSOLMultiphysics では、計算科学工学
６．非定常熱伝導問題の解法
形式（Weak form）
を求めるという重み付残差法を離散散化の基礎にしており、ガラーキン法は試行関数を未たインターフェースを豊富に用意しており、それらを弱形式(Weakform)を求めるという重み付残差法を離でルーチン的に利用される方程式系をカスタマイズし
６．１ 非定常熱伝導問題と計算例[4]
6 非定常熱伝導問題の解法
知関数φの形状関数と同じにします。そこで試行関化の基礎にしており、ガラーキン法は試行関数を未知利用することで0 から方程式を組むことなく問題の解散化の基礎にしており、ガラーキン法は試行関数を未たインターフェースを豊富に用意しており、それらを熱伝導方程式の問題は食品の水蒸気加熱を模擬し[4] [4]6.1 非定常熱伝導問題と計算例
数をtest(φ)と書くことにし、ガウスの発散定理を使決を行うことができます。以下にその例を示します。
関数φの形状関数と同じにします
知関数φの形状関数と同じにします。そこで試行関数。そこで試行関
利用することで0 から方程式を組むことなく問題の解た例 [7]を取り上げます。COMSOLDesktop で伝熱（固体）
熱伝導方程式の問題は食品の水蒸気加熱を模擬した
うことで次の弱形式を得ます。
をtest(test(φ)と書くことにし、φ ) と書くことにし、ガウスの発散定理を使うこ
数を
ガウスの発散定理を使
インターフェースを利用した解析を行ないます。食品
決を行うことができます。以下にその例を示します。
[7]
例の形は厚さを取り上げます。COMSOL
で伝熱（固体）
有限要素法の離散化に沿って各積分を評価すれば、節 ６．非定常熱伝導問題の解法とで次の弱形式を得ます。
うことで次の弱形式を得ます。
D(=2cm)、一辺長 2×D Desktopをもつ正方形断面を
インターフェースを利用した解析を行ないます。食品
６．１
点に置いた未知数φに関する連立方程式を導出できま ６．非定常熱伝導問題の解法も つ 直非定常熱伝導問題と計算例方体です。対称性を考慮して厚さ方向の半分す。その際、時間微分項は線の方法(Method of lines) ６．１の形は厚さD蒸をもつ正方形断面を熱伝 を解析します。今回、食品の物性は温度拡散係数
導非定常熱伝導問題と計算例
方 程D(=2cm)、一辺長2×式の問題は食品の水
気加熱を模擬しD/2[7]によって差分法で評価することにします。境界条件は、 た例を取り上げます。COMSOLDesktop
で伝熱（固体）で与えられているので密度と定圧比熱を１とし、熱伝もつ直方体です。対称性を考慮して厚さ方向の半分
熱伝導方程式の問題は食品の水蒸気加
熱 を 模 擬 し D/2
2-Γ・n の形のノイマン条件、あるいは未知関数の値そ た例[7]
導係数に温度拡散係数（2.4e-7(m/s)）を入力する方
インターフェースを利用した解析を行ないます。食品を解析します。今回、食品の物性は温度拡散係数で与を取り上げます。COMSOL Desktop で伝熱（固体）のものを設定するディリクレ条件、あるいは混合条件 インターフェースを利用した解析を行ないます。食品
有限要素法の離散化に沿って各積分を評価すれば、節法を採りました。水蒸気加熱面の温度は時間的に変化の形は厚さD(=2cm)、一辺長 2×D をもつ正方形断面をえられているので密度と定圧比熱を1とし、熱伝導係数
有限要素法の離散化に沿って各積分を評価すれば、[7]を使います。
する境界温度の実測値を使います。計算結果を図７点に置いた未知数φに関する連立方程式を導出できま
2 2×D
も
つ
直
方
体
で
す（2.4e-7(m。対称性を考慮
して厚さ方向の半分
有限要素法の離散化に沿って各積分を評価すれば、節の形は厚さD(=2cm)、一辺長をもつ正方形断面をに温度拡散係数/s)）を入力する方法を採りま節点に置いた未知数φに関する連立方程式を導出でき
COMSOL Multiphysics はガラーキン法と線の方法をに示します。中心温度を比較するとCOMSOLのの3D半有限す。その際、時間微分項は線の方法(Methodof lines)
D/2
を解析します。今回、食品の物性は温度拡散係数
点に置いた未知数φに関する連立方程式を導出できまつ直方体です。対称性を考慮して厚さ方向分ます。その際、時間微分項は線の方法（Method of lines） もした。水蒸気加熱面の温度は時間的に変化する境界温[7][7]
基礎方程式の離散化手法として採用しています。
要素解は実測値
よりも1D
差分解と一致します。
別によって差分法で評価することにします。
境界条件は、で与えられているので密度と定圧比熱を１とし、熱伝す。その際、時間微分項は線の方法(Methodof lines)[7]
D/2
を解析します。今回、食品の物性は温度拡散係数
度の実測値を使います。計算結果を図7に示します。
[7]
によって差分法で評価することにします。境界条件
時 間 発 展 型 の 弱 形 式 を COMSOL Desktop の 弱 形 式
2途、COMSOLの１D
有限要素解析と１D
差分解
は一致
-Γ・n
の形のノイマン条件、あるいは未知関数の値そによって差分法で評価することにします。
境界条件は、導係数に温度拡散係数（2.4e-7(m /s)）を入力する方で与えられているので密度と定圧比熱を１とし、熱伝中心温度を比較するとCOMSOLの3Dは妥当な解を算
有限要素解は実は、Γ・nの形のノイマン条件、あるいは未知関数のPDE(w)インターフェースで設定した例を図６に示しますることも確認しましたので
COMSOL
2のものを設定するディリクレ条件、あるいは混合条件-Γ・n の形のノイマン条件、あるいは未知関数の値そ法を採りました。水蒸気加熱面の温度は時間的に変化
導係数に温度拡散係数（2.4e-7(m/s)）を入力する方
[7]
[7]
測
値
よ
り
も1D
差
分
解
と
一
致
し
ま す。 別 途、す。
値そのものを設定するディリクレ条件、あるいは混合出しています。実験値との差異は物性値の影響であるを使います。
のものを設定するディリクレ条件、あるいは混合条件
する境界温度の実測値 [7]を使います。計算結果を図７
法を採りました。水蒸気加熱面の温度は時間的に変化[7]
COMSOL
の1D
有限要素解析と1D
差分解
は一致する
従属変数
phi
の時間
t
に関する微分はphitと書きと考えられます。この点は後程、吟味します。
条件を使います。
[7]
COMSOL Multiphysics はガラーキン法と線の方法をを使います。
に示します。中心温度を比較するとCOMSOL の 3D 有限する境界温度の実測値を使います。計算結果を図７ます。
上述の熱伝導方程式では
daを1として簡単化しことも確認しましたので
COMSOL
は妥当な解を算出しこの問題を解析する手順を示します。
空間次元を
3D
COMSOL
Multiphysics はガラーキン法と線の方法を
基礎方程式の離散化手法として採用しています。
COMSOL Multiphysics
はガラーキン法と線の方法を
要素解は実測値 [7]よりも 1D 差分解 [7]と一致します。
に示します。中心温度を比較するとCOMSOLの 3D 有限別ています。実験値との差異は物性値の影響であると考[7]
基礎方程式の離散化手法として採用しています。
時 間 発 展 型 の 弱 形 式 を COMSOL Desktop の 弱 形 式
基礎方程式の離散化手法として採用しています。
途、COMSOL の１D
有限要素解析と１D
差分解 [7]は一致
要素解は実測値
よりも1D 差分解 [7]と一致します。
別えられます。この点は後程、吟味します。
計算工学(??-4)
Vol.22,[7]No.2
2017
時
間
発
展
型
の
弱
形
式
を
COMSOL
Desktopの
弱形
式
PDE(w)インターフェースで設定した例を図６に示しま
時 間 発 展 型 の 弱 形 式 を COMSOL Desktop の 弱 形 式
することも確認しましたので
COMSOL 差分解
は妥当な解を算途、COMSOLの１D 有限要素解析と１Dは一致
この問題を解析する手順を示します。空間次元を3D
PDE(w)インターフェースで設定した例を図６に示します。
PDE(w)インターフェースで設定した例を図6に示します。
することも確認しましたので
COMSOL は妥当な解を算出しています。実験値との差異は物性値の影響であるとし、伝熱：伝熱（固体）インターフェース）を選択追す。
従属変数phiphiの時間
t に関する微分は
phit と書き
従属変数の時間t に関する微分は
phit と書きます。
出しています。実験値との差異は物性値の影響であると考えられます。この点は後程、吟味します。
加、スタディで時間依存を選択、完了。時間変化する
従属変数
phi の時間 t daに関する微分はphit と書きます。
上述の熱伝導方程式では
da を 1 として簡単化しと考えられます。この点は後程、吟味します。
上述の熱伝導方程式ではを1として簡単化して紹介
この問題を解析する手順を示します。空間次元を 3D[7]ます。上述の熱伝導方程式では da を 1 として簡単化し水蒸気加熱温度の実測値
はエクセルデータで提供さこの問題を解析する手順を示します。
空間次元を 3Dしましたが実際にはエンタルピーの形になるのでda にれているので外部のテキストファイルとして読み込んは密度×比熱を意味する
rho*Cp を設定した例を示して(??-4)
計算工学
Vol.22, No.2 2017
います。
計算工学
(??-4) で関数化したものをディリクレ境界条件としました。
Vol.22, No.2 2017
関数：内挿によって外部の実測値テーブルを任意の関feature("wfeq1") が弱形式の実装に対応した Java コー
数名、ここでは
Ts、として読み込み、温度境界で Ts(t)ドになっています。

計算工学（20-4）

Vol.22, No.2 2017

チュートリアルチュートリアルCOMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)COMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)とし、伝熱：伝熱（固体）インターフェース)を選択追

COMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム（1）チュートリアルとし、伝熱：伝熱（固体）インターフェース)を選択追
加、スタディで時間依存を選択、完了。時間変化する
加、スタディで時間依存を選択、完了。時間変化する(a) 中心温度の 3D 計算値、実測値（○）、1D 差分解(+)(b) ３次元温度分布の時間発展（計算値）(a) 中心温度の3D 計算値、実測値（○）、1D 差分解(+)
図７ 食品の水蒸気加熱問題(a) 中心温度の3D 計算値、実測値（○）、1D 差分解 (+)(a) 中心温度の 3D 計算値、実測値（○）、1D 差分解(+)
水蒸気加熱温度の実測値 [7] はエクセルデータで提供されているので外部のテキストファイルとして読み込んで関数化したものをディリクレ境界条件としました。
関数：内挿によって外部の実測値テーブルを任意の関(b)3次元温度分布の時間発展（計算値）(b) ３次元温度分布の時間発展（計算値）
数名、ここでは Ts、として読み込み、温度境界で Ts(t)図7 食品の水蒸気加熱問題
COMSOL Multiphysics による計算科学工学– 新しいプラットフォーム (1)(b) ３次元温度分布の時間発展（計算値）(ｔは時間変数の予約語)と記述。図８に完成したモデ

所要 CPU 時間は13秒でした。ここで開発した「モデル」
は予測システムとして十分な精度と計算速度を有していることがわかります。
6.2 パラメトリックスイープ
COMSOL Multiphyisics はソフトウェアですので V&V
図８
伝熱（固体）インターフェースによるモデルが必須です。このうちのVeriﬁcation（検証）は先ほど3D
解析と1D 解析との比較によって完了していますので、ます。そのために、今回の問題の唯一の物性パラメタ
残るは Validation（妥当性の確認）になります。そのためである温度拡散係数を変化させたときに計算値がどのに、今回の問題の唯一の物性パラメタである温度拡散ようになるかを見てみます。それにはパラメトリック
係数を変化させたときに計算値がどのようになるかをスイープを使うと自動化できます。スタディ１を右ク見てみます。それにはパラメトリックスイープを使う
リックし、コンテクストメニューからパラメトリックと自動化できます。スタディ1を右クリックし、コンテ
スイープを追加。パラメータにalpha を選択。パラメ
クストメニューからパラメトリックスイープを追加。
図８ 伝熱（固体）インターフェースによるモデル
タ
名 に alpha、 を選択。パラメタ名に
パ ラ メ ー タ 値 リ alpha、パラス ト に 、
パラメータにalpha
図８ 伝熱（固体）インターフェースによるモデル(2.4e-7[m^2/s])*range(0.5,0.1,0.7)と入力。グロー
メータ値リストに、(2.4e-7[m^2/s])*range(0.5,0.1,0.7)とます。そのために、今回の問題の唯一の物性パラメタ
バル定義：パラメタのalpha はこのリストで上書きさ入力。グローバル定義：パラメタのalpha はこのリスト
である温度拡散係数を変化させたときに計算値がどのます。そのために、今回の問題の唯一の物性パラメタれます。あとはスタディ１を右クリックして計算を選で上書きされます。あとはスタディ1を右クリックしてようになるかを見てみます。それにはパラメトリック
である温度拡散係数を変化させたときに計算値がどの択するだけです。
計算時間は約 10 分でした。結果を図
計算を選択するだけです。計算時間は約10分でした。
スイープを使うと自動化できます。スタディ１を右クようになるかを見てみます。それにはパラメトリック
９に示します。
結果を図9に示します。
リックし、コンテクストメニューからパラメトリック
スイープを使うと自動化できます。スタディ１を右ク
結
果 の 可 視 化 指 示 も オ ブ ジalphaェクト
指向に沿ったも
結果の可視化指示もオブジェクト指向に沿ったもの
スイープを追加。パラメータにを選択。パラメ
リックし、コンテクストメニューからパラメトリックのになっています。
図７(a)をプロットしたプロットグ
タに名
、 パ
ラ メ
ーロ
タッ値トリ
スプ
トロに
なに
っ てalpha
い ま す。
図7(a)
をプ
した
ッ、
トグ
スイープを追加。パラメータに alpha を選択。パラメ
ループがすでにあるのでそれを右クリックし複製して(2.4e-7[m^2/s])*range(0.5,0.1,0.7)と入力。グロー
ループがすでにあるのでそれを右クリックし複製してタ 名 に alpha 、 alphaパ ラはこのリストで上書きさ
メ ー タ 値 リ ス ト に 、
バル定義：パラメタの再利用します。データセットは今回得たものに変更し再利用します。データセットは今回得たものに変更しれます。あとはスタディ１を右クリックして計算を選(2.4e-7[m^2/s])*range(0.5,0.1,0.7)と入力。グロー
ます。結果として、温度拡散係数を
1.44e-7(m2/s)にます。結果として、温度拡散係数を1.44e-7(m2/s)にす択するだけです。
計算時間は約
10
分でした。
結果を図
バル定義：パラメタのalphaはこのリストで上書きさすると時間変化
2550 秒の期間において中心実測温度
ると時間変化2550秒の期間において中心実測温度を全９に示します。
れます。あとはスタディ１を右クリックして計算を選を全般的に再現することがわかりました。
般的に再現することがわかりました。
結
果 の 可 視 化 指 示計算時間は約
もオブジェクト
向に沿ったも択するだけです。
10指分でした。
結果を図のになっています。
図７(a)をプロットしたプロットグ
９に示します。
ループがすでにあるのでそれを右クリックし複製して結果の可視化指示もオブジェクト指向に沿ったも再利用します。データセットは今回得たものに変更しのになっています。図７(a)をプロットしたプロットグ
ます。結果として、温度拡散係数を 1.44e-7(m2/s)にループがすでにあるのでそれを右クリックし複製してすると時間変化 2550 秒の期間において中心実測温度
再利用します。データセットは今回得たものに変更しを全般的に再現することがわかりました。

図７ 食品の水蒸気加熱問題ース)を選択追 ルビルダの内容を示します。これは解析手順書として
図７ 食品の水蒸気加熱問題[7]。時間変化する も利用できます。
水蒸気加熱温度の実測値
はエクセルデータで提供さ固体１では密度を１、定圧比熱を１、熱伝導係数にれているので外部のテキストファイルとして読み込ん[7]
水蒸気加熱温度の実測値
はエクセルデータで提供さalphaを設定しています。alphaの数値はグローバル定で関数化したものをディリクレ境界条件としました。
れているので外部のテキストファイルとして読み込ん
義：パラメタで2.4e-7[m^2/s]を与えています。
関数：内挿によって外部の実測値テーブルを任意の関で関数化したものをディリクレ境界条件としました。
数名、ここでは Ts、として読み込み、温度境界で Ts(t)図８の内容から、伝熱（固体）(ht)ではデフォルト(ｔは時間変数の予約語)と記述。図８に完成したモデ関数：内挿によって外部の実測値テーブルを任意の関設定（左肩にD のついた項目）に追加した項目は温度
ルビルダの内容を示します。これは解析手順書として数名、ここではTs、として読み込み、温度境界で Ts(t)１のみであることがわかります。設定は図８の通り、も利用できます。
(ｔは時間変数の予約語)と記述。図８に完成したモデ
該当する境界（５つの面）をクリックしそこの温度が固体１では密度を１、定圧比熱を１、熱伝導係数にルビルダの内容を示します。これは解析手順書としてTs(t)である指示をするだけで良いことがわかります。
alphaを設定しています。alpha の数値はグローバル定も利用できます。
境界条件のデフォルトは断熱条件に設定していますの
義：パラメタで2.4e-7[m^2/s]を与えています。
固体１では密度を１、定圧比熱を１、熱伝導係数にで、温度境界を設定しない残り一つの面はデフォルト
図８の内容から、伝熱（固体）(ht)ではデフォルト
alpha を設定しています。
alpha の数値はグローバル定
つまり対象条件に自動的に設定されます。
、1D 差分解(+) の断熱条件、設定（左肩に D のついた項目）に追加した項目は温度
義：パラメタで2.4e-7[m^2/s]を与えています。
このように、デフォルトを用意しておいて必要に応１のみであることがわかります。設定は図８の通り、
図８の内容から、伝熱（固体）(ht)ではデフォルト
じて上書きをする方式では、設定漏れを生じ得ません。
該当する境界（５つの面）をクリックしそこの温度がます。結果として、温度拡散係数を 1.44e-7(m2/s)に設定（左肩にのついた項目）に追加した項目は温度非定常解析は D2550
秒まで計算しました。３次元計
Ts(t)である指示をするだけで良いことがわかります。
図８
伝熱（固体）インターフェースによるモデル
図8
伝熱
（固体）
インターフェースによるモデル
すると時間変化 2550 秒の期間において中心実測温度
１のみであることがわかります。設定は図８の通り、算で所要CPU 時間は 13 秒でした。ここで開発した「モ境界条件のデフォルトは断熱条件に設定していますのを全般的に再現することがわかりました。
該当する境界（５つの面）をクリックしそこの温度がデル」は予測システムとして十分な精度と計算速度をで、温度境界を設定しない残り一つの面はデフォルトます。そのために、今回の問題の唯一の物性パラメタ計算値）（tは時間変数の予約語）と記述。図8に完成したモデル
Ts(t)である指示をするだけで良いことがわかります。
有していることがわかります。
の断熱条件、つまり対象条件に自動的に設定されます。
である温度拡散係数を変化させたときに計算値がどのビルダの内容を示します。これは解析手順書としても境界条件のデフォルトは断熱条件に設定していますの
６．２
パラメトリックスイープ
このように、デフォルトを用意しておいて必要に応ようになるかを見てみます。それにはパラメトリック
図9 温度拡散係数1.44e-7(m2/s) とした計算
利用できます。
で、温度境界を設定しない残り一つの面はデフォルト
COMSOL
Multiphyisics はソフトウェアですので
V&V
じて上書きをする方式では、設定漏れを生じ得ません。
スイープを使うと自動化できます。スタディ１を右ク
図９ 温度拡散係数 1.44e-7(m 2/s)とした計算
固体1で はつまり対象条件に自動的に設定されます。
密 度2550を1、秒まで計算しました。３次元計
定 圧 比 熱 を1、 熱 伝 導 係 数 にの断熱条件、が必須です。このうちのVerification（検証）は先ほ
非定常解析はリックし、コンテクストメニューからパラメトリックータで提供さす で に Veriﬁcation を 済 ま せ て い る COMSOL の1D 解を設定しています。alphaの数値はグローバル定
算で所要CPU
時間は 13 秒でした。
ここで開発した「モこのように、デフォルトを用意しておいて必要に応
ど alpha3D
解析と1D 解析との比較によって完了しています
スイープを追加。パラメータにalpha を選択。パラメ
として読み込ん析を使えばもっと短時間で物性値を推定できたでしょ
デル」は予測システムとして十分な精度と計算速度を
義：パラメタで2.4e-7[m^2/s]を与えています。
すでにVerification を済ませている COMSOL の１D
じて上書きをする方式では、Validation（妥当性の確認）になり
タ 名 に alpha、 パ ラ メ 設定漏れを生じ得ません。
ー タ 値 リ ス ト に 、件としました。 ので、残るは有していることがわかります。
う。物理の内容を損なわずに目的に応じて解析の規模
図8の内容から、伝熱(ht) ではデフォルト設定
非定常解析は2550 （固体）秒まで計算しました。３次元計(2.4e-7[m^2/s])*range(0.5,0.1,0.7)と入力。グローブルを任意の関６．２
パラメトリックスイープ
を変更できるCOMSOL Desktop 環境は計算科学工学の（左肩にDのついた項目）に追加した項目は温度1のみで
算で所要
CPU
時間は
13
秒でした。ここで開発した「モ
バル定義：パラメタの alpha はこのリストで上書きさ (??-5)
度境界で Ts(t) 計算工学
Vol.22, No.2 2017
COMSOL
Multiphyisics
はソフトウェアですので
V&V
仕事の効率化に大いに貢献します。
あることがわかります。設定は図8の通り、該当する境
デル」は予測システムとして十分な精度と計算速度をれます。あとはスタディ１を右クリックして計算を選完成したモデ
図９ 温度拡散係数 1.44e-7(m 2/s)とした計算が必須です。このうちのVerification（検証）は先ほ界（5つの面）をクリックしそこの温度がTs(t) である指択するだけです。計算時間は約10 分でした。結果を図有していることがわかります。
析手順書としてど 3D 解析と 1D 解析との比較によって完了しています
９に示します。
示をするだけで良いことがわかります。境界条件のデ
7 熱伝導と超音波の連成解析
６．２
パラメトリックスイープ
すでに Verification を済ませている COMSOL の１Dので、残るはValidation（妥当性の確認）になり
結果の可
視化
指示もオブ
ジ ェ ク ト 指 向 に 沿 っ た もV&V
、熱伝導係数にそれでは材料の温度拡散係数を同定できたので、超フォルトは断熱条件に設定していますので、温度境界
COMSOL
Multiphyisics
はソフトウェアですのでのになっています。図７(a)をプロットしたプロットグ
グローバル定音波による加熱に応用します。超音波を物体に照射す
図９ 温度拡散係数 1.44e-7(m 2/s)とした計算を設定しない残り一つの面はデフォルトの断熱条件、が必須です。このうちのVerification（検証）は先ほ
ループがすでにあるのでそれを右クリックし複製して
います。
計算工学
(??-5) ると物体の温度が上昇します。超音波の周波数
Vol.22, No.2f として2017
つまり対象条件に自動的に設定されます。
ど
3D 解析と 1D 解析との比較によって完了しています
再利用します。データセットは今回得たものに変更しではデフォルト1(MHz)
を考えます。この時間スケールは伝熱現象の時
すでにVerification を済ませている COMSOL の１D
このように、デフォルトを用意しておいて必要に応ので、残るはValidation（妥当性の確認）になります。結果として、温度拡散係数を 1.44e-7(m2/s)にした項目は温度
間スケールとの差異が大きいので超音波は周波数領域
じて上書きをする方式では、設定漏れを生じ得ません。
すると時間変化 2550 秒の期間において中心実測温度
は図８の通り、で解析します。周波数領域解析によって1周期分の吸収
非定常解析は2550秒まで計算しました。3次元計算で計算工学(??-5)
Vol.22, No.2 2017
を全般的に再現することがわかりました。
しそこの温度ががわかります。
定していますの面はデフォルト
設定されます。
おいて必要に応生じ得ません。

計算工学（20-5）

Vol.22, No.2 2017

チュートリアルCOMSOL Multiphysics による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)

各々の Mesh1、Mesh2 を示しています。このように異な解析を使えばもっと短時間で物性値を推定できたでしるメッシュをマルチフィジックス解析に利用できます。
ょう。物理の内容を損なわずに目的に応じて解析の規
スタディ１をクリックして周波数領域の超音波伝播
模を変更できる COMSOL Desktop 環境は計算科学工学のCOMSOL Multiphysics
チュートリアルによる計算科学工学 – 新しいプラットフォーム（1）を計算。続いてスタディ２でその結果（発熱量）を利
仕事の効率化に大いに貢献します。
用して非定常伝熱を 5 秒間について計算実行。結果をて非定常伝熱を5秒間について計算実行。結果を図11に熱を算出すればそれを熱源として被加熱体の非定常伝
図１１に示す際、無次元化の最大値を変更しました。
７．熱伝導と超音波の連成解析
チュートリアルCOMSOL Multiphysics
による計算科学工学 – 新しいプラットフォーム (1)示す際、無次元化の最大値を変更しました。計算
CPU
熱解析を行なうことができます。
計算 CPU 時間は超音波 29 秒、伝熱 19 秒でした。
それでは材料の温度拡散係数を同定できたので、超時間は超音波29秒、伝熱19秒でした。
さて、超音波の解析を行なうのにそのモデルを新た
音波による加熱に応用します。超音波を物体に照射す
各々の Mesh1、Mesh2 を示しています。このように異な解析を使えばもっと短時間で物性値を推定できたでし
にると物体の温度が上昇します。超音波の周波数
作 成 す る 必 要 が あ る で し ょ う か。 実 は COMSOL
f としるメッシュをマルチフィジックス解析に利用できます。
ょう。物理の内容を損なわずに目的に応じて解析の規Multiphysicsのアプリケーションライブラリに超音波加て1(MHz)を考えます。
この時間スケールは伝熱現象のスタディ１をクリックして周波数領域の超音波伝播
模を変更できる COMSOL Desktop 環境は計算科学工学の[8]
熱のマルチフィジックス解析がすでにありますので
時間スケールとの差異が大きいので超音波は周波数領を計算。続いてスタディ２でその結果（発熱量）を利
仕事の効率化に大いに貢献します。
それを利用すればこの問題はすぐに解決します。
域で解析します。周波数領域解析によって１周期分の用して非定常伝熱を 5 秒間について計算実行。結果を変更点は Bioheat Transfer で（1）生体伝熱を固体に変吸収熱を算出すればそれを熱源として被加熱体の非定図１１に示す際、無次元化の最大値を変更しました。
７．熱伝導と超音波の連成解析
更、（2）同定した温度拡散係数値に相当する熱伝導係数
常伝熱解析を行なうことができます。
計算 CPU 時間は超音波 29 秒、伝熱 19 秒でした。
それでは材料の温度拡散係数を同定できたので、超kBmod=0.558[W/(m*K)]
を 材 料 に 入 力、 と い う2点 でさて、超音波の解析を行なうのにそのモデルを新た
音波による加熱に応用します。超音波を物体に照射すに 作 成 す る 必Pressure
要 が あAcoustics,
る で し ょFrequency
うか。実は COMSOL
す。超音波用のの内容は変ると物体の温度が上昇します。超音波の周波数 f としMultiphysics のアプリ ケー ションラ イブラ リに超音更する必要はありません。実験と同じく、超音波加熱て 1(MHz)を考えます。この時間スケールは伝熱現象の波加熱のマルチフィジックス解析がすでにあります [8]器は既存のものを利用し、被加熱材料のみを取り換え
時間スケールとの差異が大きいので超音波は周波数領のでそれを利用すればこの問題はすぐに解決します。
るイメージそのものです。
域で解析します。周波数領域解析によって１周期分の変更点は Bioheat Transfer で（１）生体伝熱を固具体的な手順は以下の通りです。
吸収熱を算出すればそれを熱源として被加熱体の非定体に変更、（２）同定した温度拡散係数値に相当する熱グローバル定義：パラメタで
kBmod を計算し、その常伝熱解析を行なうことができます。
伝導係数
kBmod=0.558[W/(m*K)]を材料に入力、という変数を材料に設定。Bioheat Transfer を右クリックし、
さて、超音波の解析を行なうのにそのモデルを新た固体を追加して Biological Tissue1を上書き。
に 作 成 す る 必 要 が あ る で し ょ う か 。 実 は COMSOL
図10は円筒半径48.6mm の場合の問題定義、モデルビ
Multiphysics のアプリ ケー ションラ イブラ リに超音ルダの一部、パラメタ設定、フィジックスによって必波加熱のマルチフィジックス解析がすでにあります [8]図11 超音波加熱のマルチフィジックス解析
要な空間解像度が異なることによる超音波、伝熱の図１１ 超音波加熱のマルチフィジックス解析
のでそれを利用すればこの問題はすぐに解決します。
各々の Mesh1、Mesh2を示しています。このように異な変更点は Bioheat Transfer で（１）生体伝熱を固8 まとめるメッシュをマルチフィジックス解析に利用できます。
８．まとめ
体に変更、
（２）同定した温度拡散係数値に相当する熱今回は、COMSOL Multiphysics の COMSOL Desktop にスタディ1をクリックして周波数領域の超音波伝播を
今回は、COMSOL Multiphysics の COMSOL Desktop に伝導係数 kBmod=0.558[W/(m*K)]を材料に入力、というおける GUI 操作による計算科学工学の新しい仕事のス計算。続いてスタディ2でその結果（発熱量）を利用しおける GUI 操作による計算科学工学の新しい仕事のス
タイルを、簡単な伝熱と超音波加熱の例題を使って紹タイルを、簡単な伝熱と超音波加熱の例題を使って紹介しました。次回以降、より広範囲のマルチフィジッ
介しました。次回以降、より広範囲のマルチフィジッ
クス分野の解析事例を紹介していきます。

■参考文献
[1]
[2]
[3]

図１０

既存の超音波加熱モデルへの組み込み[4]２点です。超音波用のの内容は変更する必要はありません。実験と同じく、を取り換えるイメージそのものです。
具体的な手順は以下の通りです。
グローバル定義：パラメタで kBmod
変数を材料に設定。Bioheat Transfer
図10 既存の超音波加熱モデルへの組み込み
既存の超音波加熱モデルへの組み込み
図１０
固体を追加してBiological Tissue1 を上書き。

計算工学

計算工学

[5]
[6]
[7]
[8]

雨宮智宏、透明マントを求めて、ディスカバー・トウェ
ンティワン、2014.
、
https://www.comsol.jp/company,http://www.kesco.co.jp
http://kesco.co.jp/comsol/download/user_stories/us_
metamaterial.pdf
竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎、計算工学、森北出
版、2006.
,
立山秀利、Java のオブジェクト指向がゼッタイにわかる本、秀和システム、2017.
https://www.jamstec.go.jp/es/jp/project/sangyou_report/H27_
KEISOKU_ENGINEERING_jp.pdf
伊藤章、Excel で移動現象、化学工学会編、丸善出版、
2014.
,
Acoustics_Module/Ultrasound/ultrasound_induced_heating,
Focused Unltrasound Heating in Tissue Phantom.

_heating, Focused Unltrasound Heating in Tissue Phantom.
（20-6）
Vol.22, No.2 2017(??-6)

Vol.22, No.2 2017