数理解析研究所講究録
911 巻 1995 年 99-103

99

On aSingular Parabolic Equation 1
佐藤 剛 (Koh Sato)

北大理\S 1. 序次の偏微分方程式の解と、 その性質を考える。
$u_{t}=|u_{x}|^{-a}u_{xx}$,$u(t, \mathrm{O})=u(t, 1)=0$$u\langle 0,$$X$)$=\mathrm{u}\mathrm{o}(X),$$u_{0}\langle X$),$\geq 0$,$(t, x\rangle\in(0, T)\mathrm{x}\langle 0,1)$(1.1)$t\in[0, T]$(1.2)$0<x<1$(1.3)

1の熱は滑らかであるとする。 (1.1) を見るとわかるように、 これは拡散係数 ii ,方程式とも見ることができる。つまり、 の傾きが に近い所では非常に大きな拡散がおこることになる。と呼ばれるもので、)はこのの項 (一般には $p=2-\alpha$ としてこの項を持つ放物型の偏微分方程式は 1960 年代の中ごろから研究が始まつた. p-Laplacian 問題は $P>2$
ただし$\alpha\geq 0$

で、$u_{0}$$u$$|^{-\alpha}$

$0$

$u$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(|\nabla u|^{\mathrm{p}-}2\nabla u)$$|u_{x}|^{-\alpha}uxx$$\mathrm{p}\frac{-}{}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$のときと、 $1<P<2$ のときとでは性質が異なるが、今ではどちらの場合も弱解の–意性や連続性などが。この論文では主に $1<P<2$ の場合を対象にしているといえるが、 この場合には分かっている。
$([\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{B}])$

解が有限時刻で消滅すること $(\exists T>0\mathrm{s}.\mathrm{t}. \forall t\geq T, u(t, x)\equiv 0)$ が分かっている(11) の両辺を微分し、 $v=u_{x}$ とおいて$x$$([\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{B}], \mathrm{p}188)$。また、方向のスケールを適当に調節すれば、次のように表される.
$v_{t}$$=$$(|v|^{\mathrm{p}-}2V)_{x}X$(1.4)’

但し $p=2-\alpha$ である。 この式では $P>2$ のとき、 (1.4) は多孔性媒体での拡散のモデルに起源を持つ
porous medium equation と呼ばれるものであり、 $1<p<2$ のときは磁界中のプラズマの拡散問題のモデルのひとつであり、 plasma equation と呼ばれている. この方程式に関しては、 $(1.1)-(1.3)$ において$1<P<2$ のときには解の連続性、 Dirichlet 境界条件の下で解が有限時固内に消滅すること、 どのような初期データから出発しても消滅時刻の近くでは変数分離解に漸近することなどが Berryman, Holand らによって明らかにされている.
ここではまず \S 2 で $(1.1)-(1.3)$ を満たす非負の変数分離解を求めた (得られた変数分離解は–意ではない)。前もって行なった $(1.1)-(1.3)$ についての数値実験の結果は解が有限時間内に消滅すること、及び任$0<\alpha<1$ にあたるとき、つまり$(\mathrm{i}\mathrm{B}\dot{]}, [\mathrm{B}\mathrm{H}])$.

意の初期データから出発しても消滅時刻の近くでは変数分離解に漸近することを示唆するものだったが、\S 2 で得られた変数分離解も有限時刻で消滅することがわかつた. \S 3 では. [IS] にならって (11) の粘性解を定義し、求め$f.\cdot\dot{\text{変}}$数分離解が粘性解であるかどうかについて考察する。

\S 2. 変数分離解$(1.1)-(1.2)$ の変数分離解の存在と、 その性質について考える。

まず (1.1) の代わりに$u_{t}|u_{x}|^{\alpha}=u_{xx}$(2.1)の $C^{2}$ 級の変数分離解で非負のものについて考える。すなわち$u(t, x)=U(x)\cdot T(t)$1 これは大沼正樹氏《北大理) との共同研究で得られた結果に墓ついて書かれています.

(2.2)

100), $T(t)$ は非負で(2.2) を 2.1) に代入し変数を分離すると、次の方程式が得られる.と表せる$u$

で $(2.1)-(1.2)$ を満たすものを求める。但し$U\langle x$$C^{2}$級であるとする。

$\langle$$T\langle t)^{a-1}\cdot\tau’(\iota)=U(x)^{-1}\cdot|U’(x)|-\alpha$

上式で$c$.

(2.3)$U\prime\prime(X)=-C$は定数であるが、 U が非負であることと、 $U(0)=U1^{1)=0}$ であることより、 $U(x)”\leq 0$ であるから、 $c>0$ である。 また正の定数\beta を用いて $\overline{U}(x):=\beta U(x)$,$\tilde{T}(t)=\beta^{-}1T\mathrm{t}t)$とすると$\tilde{U}(x)$,$\tilde{T}(t)$は次の式を満たす。
$\tilde{U}(x)\tilde{T}(t)=U(x)T(t)$$\tilde{T}^{\alpha-1}(t)\tilde{T}’1t)=\tilde{U}^{-1}(x)|\tilde{U}’1X)|^{-\alpha}\tilde{U}’’1x)=-\beta^{-a}c$.

よって、 (2.3) において $c=1/\alpha$ とおいても–般性を失わない。以上のことより、次の方程式が得られる。
$\tau(t)^{\alpha}-1$.

(2.4)$T’(t)=- \frac{1}{\alpha}$(25)$U”(x)=- \frac{1}{\alpha}U(x)|U’(x)|^{\alpha}$となる。 ここで (2.4) は容易に解くことができ、変数分離解は次のように表される。
$u(t, x)=(t_{*}-t)1/\alpha$と表せる。ただし、 ここで$t_{\mathrm{r}}>0$. $U(x)$(26)

は解の消滅時刻である。 また $U(x)$ は次の式を満たす。

$U”(x)=- \frac{1}{\alpha}U(x)|U’(X)|\alpha$,$U(\mathrm{O})=U(1)=0$.

$U(x)>0$ ,$0<x<1$

(2.7)
(2.8)

(2.7), (2.8) の解は次のようにして求めることが出来る。
定理 21$V(x)\geq 0$が次の式を満たすとする.
$V”(x)=- \frac{1}{\alpha}V(x)(V’(X))^{\alpha}$$U(x)$$V’(x)\geq 0$,$0\leq x\leq 1/2$

(2.9)

$V(\mathrm{O})=0$(2.10).

(2.11)$V’(1/2)=0$
このとき $U(x)$ を,$:=$と定義すると $U(x)$ は (2.7), (2.8) の対称解である。

証明 (2.7) の両辺に $(V’(x))^{1-\alpha}$ をかけて$0$から$x$まで積分し、整理すると次の式を得られる。

(2.12)$V’(x)=(V’(0)^{2\alpha}--c_{\alpha}V(x)^{2})^{\frac{1}{2-\alpha}}$

ただし、$c_{\alpha}= \frac{2-\alpha}{2\alpha}$である。 さらに (2.12) を解くと V は次のように表される。

.

$V(x)=V’(0)^{1}- \frac{\alpha}{2}C\alpha-\frac{1}{l}W-1(V’(0)\frac{a}{2}CX)\frac{1}{\alpha \mathrm{a}}$(2.13)

101

ただし、 $W^{-1}(x)$ は次のような単調増加関数 W の逆関数である.
$W(y):= \int_{0}^{y}\langle 1-S^{2})^{-}\equiv\Phi dS1,$$0\leq y\leq 1$.

) と表すことにする。
)のとき、上の積分は $y=1$ のときにも収束し、 その時の値を(2.13) で表される V は (2.12) の解ではあるが、 (2.9), (2.10) をある区間でのみ満たし、 しかもその区間はとすると必ずしも $[0,1/2]$ ではない。 V が (2.11) を満たすには、 V が最大値を達成するときの の値を$W\langle 1$$\alpha<1$$=M_{\alpha}\langle<\infty$$x$$x_{*}$$r$$x_{*}\leq 1/2$でなければならない。 (2.13) では$x_{*}$は次のように表される.

$x_{*}=V’(0)^{-}\alpha/2c_{\alpha}^{-}/2M_{\alpha}1$.

を十分大きくとれば $x_{*}\leq 1/2$ を満たすことが出来る. そのような $V’(0)$ (–意に決まらない) を用いれば、 $(2.9)-(2.11)$ の解を次のように表すことが出来る.
よって$V’(\mathrm{O})$,$V’(0)1- \frac{a}{2}c_{a}-1/2W-1(V’(0)\propto\frac{1}{\alpha 2}TcX)$$V(x)=\{$$V’(0)^{1/}-\alpha 2c^{-1/}\alpha 2$$0\leq x\leq x_{\mathrm{s}}$,$x_{*}<x\leq 1/2$.

, より $V’(x_{5})=V’’(X_{l})=0$ であるから、 $U(x)\in C^{2}(0,1)$ である。
明らかに $U(x)$ は (2.7) を $(0,1/2)$ で満たし、かつ (2.8) をも満たす。 また、次の式$\text{さら}\}_{arrow\frac{d}{dx}W}^{\wedge}-1\mathrm{t}M)=0$$\frac{d}{dx}V(1-x)=-V’(1-X),$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}V(1-X)=V’’(1-x)$が成り立つことより $U(x)$ は (2.7) を (1/2, 1) でも満たすことがわかる。

次の節で述べる粘性解の概念を用 . ると、 (2.1) の変数分離解 $u.(t, x)=U(x)\cdot T\mathrm{t}t)$ の proffie$U(x)$ は、 $V(x)$ が最大値を達成する点が $x=1/2$ だけであるときのみ、 $(1.1)-\langle 1.3$ ) の粘性解になることが注意 :$\mathrm{A}$$\mathrm{a}$わかる。

\S 3. 粘性解
ここでは $0<\alpha<1$ のときの (1.1) の粘性解 (viscosity solution) について、 その定義と粘性解に対して成り立つ比較定理について述べる。粘性解とは最大値原理に基づいて定義された非線形偏微分方程式に対する弱解の–種である。 ここでは (1.1) の解を、粘性解という弱解の–種を用いて定義する$\text{。}$粘性解の定義については [S] の粘性解の定義を参考にした。

まず、 (1.1) をより –般に空間$n$次元の方程式に拡張すると次のように書ける。

(3.1)$(t, x)\in Q_{T}:=(0, T)\mathrm{x}\Omega$$u_{t}-div(|\nabla u|-\alpha_{\nabla u})=0$

但し、ここで\Omega \subset R2 は有界領域、 $T>0$ とする。さらに、一般に 3.1) の様な式を次のように表すとする。
$\langle$$u_{t}+F(\nabla u, \nabla 2u)=0$$\langle$$t,$次の実対称行列全体の集合としたとき、 $F$ :数である。 このとき F が退化楕円型であることを次のように定義する。
ここで F は$\mathrm{S}^{n}$を.

$\mathrm{R}^{n}\backslash \{0\}\cross \mathrm{S}^{\hslash}$$n$

定義 31 F が退化楕円型 (degenerate elliptic) であるとは$\forall p\in \mathrm{R}^{\sim\backslash \{}0$$X\leq \mathrm{Y}\Rightarrow F(p, X)\geq F(p,\mathrm{Y})$が成り立つときをいう。

(3.2)$x)\in Q\tau:=(0, T)\mathrm{x}\Omega$}, $X,$

$arrow \mathrm{R}$$\mathrm{Y}\in \mathrm{S}^{n}$で表される連続な関.

に対して:.

102

F が退化楕円型であるとき {3.2) の形の方程式を退化放物型方程式という。
注意 :(3.1) は (3.2) における $F$ を$F\langle p,X$)$p\in \mathrm{R}’\backslash \{0\},$$=-|p|^{-} \alpha \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{e}\{1I-\alpha\frac{p\otimes \mathrm{p}}{|p|^{2}})X\}$(3.3)$X\in \mathrm{S}^{u}$としたときの方程式である。 このとき F は退化楕円型である.
次に (3.2) の粘性解を定義する. そのために、 まず F による

定義 3.2$f\in c^{2}([\mathrm{o}, \infty))$が $F(F)$ の元であるとは、$f(\mathrm{O}\rangle=f’(0)=f’’\langle \mathrm{o})=0$で、$x\in \mathrm{R}^{n}\backslash \{0\}$関数の集合 $F(F)$ を定義する。

$C^{2}$

and $f”(r)>0,$ $\forall t>0$(3.4)$\nabla^{2}f(|X|))=0$(3.5)

に対して、

lin

$F\langle\nabla f(|x|),$$|x|arrow 0$を満たすときのことをいう。
例:(3.1) における$\langle$$(3.3)$ で表される)F については、例えば $f(\tau)=\prime 1+\sigma$ (ただし\mbox{\boldmath $\sigma$} $> \frac{1}{1-\alpha}$) とすると

$f\in F(F)$ である。

次に粘性解の定義に用いられる admissible なテスト関数の集合
定義 33 $Q\tau:=[0, T)\mathrm{x}\Omega$ とする。

$\varphi$$A\langle F$) を定義する

が $admisS\dot{|}ble(\varphi\in A\langle F))$ であるとは、を満たす全ての 2 $=(\hat{x},\hat{t})\in Q_{T}$ に対して、 ある $S>0$ と、 $f\in F\langle F$ ),$\lim_{r\downarrow 0}\omega(\mathrm{r})/t=0$$\langle$$A(F)$ は F に依る)。

$\varphi\in C^{2}\mathrm{t}Q_{T}$$\omega\in C([0, \infty))$) で、$\nabla\varphi(\hat{z})=0$でを満たし、かつ次の条件を満たすものが存在するときのことをいう.

$|\varphi(x, t)-\varphi(\hat{z})-\varphi \mathrm{e}\mathrm{t}\hat{Z})(t-\iota)|\wedge\leq f(|x-\hat{x}1)+\omega(|t-\hat{t}|),$(3.6)$\forall(x, t)\in B(\hat{z}, \delta)$

これらを用いて (3.2) の粘性解を定義する。
定義 3.4 $Q\tau:=(0, T)\mathrm{X}\Omega$ とし、 $F$ :とする. このとき、$u$$\mathrm{R}^{n}\backslash \{0\}\mathrm{x}\mathrm{S}^{\mathrm{n}}arrow \mathrm{R}$$\mathrm{u}$:が上半連続で $u<\infty$$Q_{T}arrow \mathrm{R}$が (S. ) の粘性劣解 (vbcosity subsolution) であるとは A(F)\neq \mbox{\boldmath $\phi$}で、かつadmissible なテスト関数\mbox{\boldmath $\varphi$}\in A(F) と QT 上の各点$(t,x)\epsilon Q_{T}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(u-\varphi)\langle t,$が連続、$P$$\langle\hat{t},\hat{x}\rangle$に対して$\varphi_{2}(\hat{t},\hat{x})+F(\nabla\varphi(\hat{\iota},\hat{X}),$ $\nabla^{2}\varphi(\hat{t},\hat{X}))\leq 0$$(\nabla^{2}\varphi(\hat{t},\hat{X}\rangle=0)$$\varphi_{2}(\hat{t},\hat{x})\leq 0$$(\nabla^{2}\varphi(\hat{t},\hat{X})\neq 0)$$x)=(u-\varphi)(\hat{t},\hat{x})\Rightarrow\{$が成り立つときをいう。同様に、下半連続関数 $v(v>-\infty)$ が$(\mathit{3}.\ell)$の粘性優解 (viscosity $supetS\mathit{0}lu\iota|on$)であるとは$\varphi_{t}\langle\hat{t},\hat{X})+F(\nabla\varphi(\hat{t},\hat{x}),$$\min_{(t,x)\in Q\tau}\mathrm{t}v-\varphi)\langle t,$$\nabla^{2}\varphi\langle\hat{t},\hat{x}))\geq 0$$\langle\nabla^{2}\varphi(\hat{t},\hat{X})=0)$$x)=(u-\varphi)\mathrm{t}\hat{t},\hat{x})\Rightarrow\{$$1^{\nabla^{2}\varphi}\mathrm{t}\hat{t},\hat{X})\neq 0)$$\varphi_{2}\langle\hat{t},\hat{x})\geq 0$が成り立つときをいう. さらに$u$が粘性劣解かつ粘性優解であるとき、$u$

を$(S.\mathit{2})$の粘性解であるという。

上で定義した粘性解に対して、次のような比較定理を証明することが出来る。 この定理を用いれば 3.2)$\langle$の解の–意性を示すことが出来る。
定理 35 $u,$ をそれぞれ 3. $Z)$ の定義 84 の意味での粘性劣解、粘性優解であるとし、放物型境界$v$$($$\partial_{\mathrm{p}}Q:=\langle\{0\}\cross\Omega)\cup(1^{0,T1}\mathrm{x}\partial\Omega)$とするとき、$u\leq v$が成り立つ。

on$\partial_{p}Q\Rightarrow u\leq v$

in$Q$pQ を

103

注意 :\S 2 で求めた変数分離解 $u(t, x)=U(X)\cdot\tau \mathrm{t}t)$ が、上で定義した粘性解であるかどうか確かめてみがを admlssible なテスト関数とし、る。 まず、 は粘性劣解であることは簡単に確かめられる.
,,$u\inC^{2}(Q_{T})$であるからとしたとき、最大値を実現する点を z$u-\varphi$$\varphi$$u$$u_{x}\langle_{\hat{Z}})=\varphi_{x}(\hat{z})$$=(\hat{t},\hat{x})$$u_{xx}(\hat{z})\leq\varphi_{xx}(\hat{Z})$が成り立つ。 よって、$\varphi_{x}\langle\hat{Z}$)$\neq 0$$\varphi_{1^{\hat{z})}}’+F(\varphi_{x}(\hat{Z}),\varphi_{x}x(\hat{Z}),$

また、$\varphi_{x}(\hat{z})=0$のときは、 $T’$ ( $t\gamma<0$ より$\varphi_{t}1\hat{z}$)$u_{t}(\hat{Z})=\varphi_{t}(\hat{z})$のときは、 F の退化楕円性より$)\leq u_{2}(\hat{Z})+F(u_{*}(\hat{Z}), uxx\mathrm{t}\hat{Z}),$$=\mathrm{u}|(\hat{Z})<0$$)=0$である。よって、 v は $U(x)$ の形 ($x_{*}$の値) に依らず (1.1) の粘性劣解である。
次に$u$

を $u-\varphi$ が最小値を実現する点とするとが粘性優解であるかどうかを考えてみる ,のとのときは、劣解のときと同様にして が粘性優解であることが分かる. 問題は$\hat{z}=(\hat{t},\hat{x})$$\varphi_{x}(\hat{z})=0$$u$$\varphi_{x}(\hat{z})\neq 0$

き、つまり $U( \hat{x})=U(x_{\mathrm{c}})=\max U(x)$ のときである, もし、 a 市 nissible なテスト関数で、 $u-\varphi$ が最$x\in(0,1)$

小値を実現する点で\mbox{\boldmath $\varphi$}x が (つまり$u_{x}$が)$0$になるような\mbox{\boldmath $\varphi$} が存在すれば、そのとき u, が粘性優解であるであるからその条件を満たさを満たさなければならないが、実際はためには 1(2)ない。 ここでは詳しい計算はしないが、 $x_{*}=1/2$ のとき ( $U(x)$ が唯–点で最大値をとるとき) にはとなることはない。 よって、a 市 nissible なテスト関数の proffle は $U$ と比べて尖り方が鈍いため、を満たす必要はなく、 $u(t,x)=U(x)\cdot\tau(t)$ は粘性優解である。 ところが、 $x_{*}<1/2$ のとき、つ$\varphi \mathrm{c}(\hat{z}\rangle$$\geq 0$$=u_{\mathrm{c}()}\hat{Z}\leq 0$$\hat{x}=x_{*}$$\varphi r(\hat{Z})\geq 0$

まり $U(x)$ がある区間内の全て点でその最大値をとる場合にはその区間内の点で $u-\varphi$ がその最小値をとかつ\mbox{\boldmath $\varphi$}t(z^) $=u_{\hat{z}}<0$ が成り立ち、粘性るような admlssible なテスト関数\mbox{\boldmath $\varphi$} は存在し、 そのとき$\varphi ae(\hat{z})=0$

優解であるための条件\mbox{\boldmath $\varphi$}’(2)$\geq 0$に反するため、 $u(t, x)=U\langle x$ )$\cdot T(t)$は粘性優解ではない。

参考文献

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