数理解析研究所講究録
第 1570 巻 2007 年 145-151

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ZHONG による弱 PALAIS-SMALE 条件と COERCIVITY について
九州工業大学・工学部

鈴木智成 (Tomonari SUZUKI)

1. 序
数学者の定義の一つに 「コーヒーから定理をつくる人」 というものがある.
もちろん, これは冗談であるが, 非常に的を射ている. ただ, この定義に従うと, 筆者は数学者ではないことになるだろう. 筆者は定理をつくることよりも,別証明や (反) 例をつくることが好きだからだ.
前置きが長くなったが,本稿では, 筆者の最近の論文 [11] に関する解説を書こうと考えている. この論文の中で, Zhong $[13, 14]$ の定理に関する別証明と例を与えている. つまり,論文 [11] は最も筆者らしい論文の一つと言える. 論文 [11] では具体的に以下–のことをしている.
$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$

Ekeland の定理を一度しか用いない簡潔な別証明を与えた$h$の連続性が不要であることを示した

Zhong の弱 Palais-Smale 条件がある意味「最弱」な Palais-Smale 条件であることを示した
完備性のないあるノルム空間における反例を与えた

なお, 講究録の趣旨には合わせるため, 通常の論文とは異なり, 筆者の主観的なコメントも記述している. 筆者の現時点での感覚なので, 的外れな意見もあるかも知れない. この点について, ご容赦願いたいのと同時に, 楽しんでいただければ幸いである. また, 本質的な部分に焦点をあてる為に, 本質的でない部分については, 若干強い条件を仮定している所もある.

2. 準備
本稿を通して,る集合とする.

$N$を自然数全体からなる集合とする.

$\mathbb{R}$を実数全体からなをバナッハ空間 $X$ で定義された実数値関数とする. $f$ が $x\in X$ でガトー
微分 (G\^ateaux differentiable) 可能であるとは, $X$ 上で定義された実数値$f$

キーワード. $Palai*Smale$ 条件, coerciity, Ekeland の変分原理, $\tau- distance$

住所. 〒 804-8550 北九州市戸畑区仙水町 1-1 九州工業大学工学部数学教室.
電子メール. $suzmi-tmns$ . kyutech. ac. iP.

.

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線形連続関数 $f’(x)$ が存在して, すべての $y\in x$ について$\lim_{tarrow 0}\frac{f(x+ty)-f(x)}{t}=\langle f’(x), y\rangle$が成立することをいう. (この定義と異なるガトー微分の定義もあるので注意)$f$ がコァシブ (coercive) であるとは,$\lim\inf f(x)=\infty$r\rightarrow 科科 $||x||\geq r$が成立することをいう. また, $f$ が弱パレイスメイル条件 (weak Palais) から
Smale condition, weak-PS) [13] を満たすとは, 以下を満たす$[0, \infty)$ への非減少 (連続) 関数が存在することをいう:$[0, \infty$$h$$\bullet\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+h(t)}dt=\infty$$\bullet$$X$の点列$\{x_{n}\}$$h(||x_{n}\Vert))=0$について, $\{f(x_{n})\}$ が有界でかつ $\lim_{narrow\infty}\Vert f’(x_{n})||(1+$を満たすならば,$\{x_{n}\}$は収束する部分列を持つ$h(t)=0$ の場合, $f$ はパレイスメイル条件 (Palais-Smale condition, PS)を満たすといい, $h(t)=t$ の場合, $f$ はセラミパレイスメイ l 条件 (CeramlPalais-Smale condition, Cerami-PS) を満たすという.

PSCerami-PS$\Rightarrow$$\Rightarrow$weak-PSという関係が成立する. 「 $Cerami- PS\Rightarrow weak- PS$ 」 は特別な場合であることから従う. 「 $PS\Rightarrow Cerami- PSJ$ は条件の結論の部分が同じで, 仮定の部分については PS のが弱いことから従う.
) への関数とす
定義 1([5]). (X, ) を距離空間とし, を $X\cross X$ から) へる. このとき, が $X$ 上の -distance であるとは $X\cross[0, \infty$ ) からの関数 が存在して以下の 5 条件を満たすことをいう.
$d$

$p$

$[0, \infty$$[0, \infty$$\tau$$P$$\eta$$(\tau 1)p(x, z)\leq p(x, y)+p(y, z)$ がすべての $x,$ $y,$ $z\in X$ について成り立つ$(\tau 2)\eta(x, 0)=0$

り立ち,$\eta$と $\eta(x, t)\geq t$ がすべての $(x,t)\in Xx[0, \infty)$ について成は第 2 変数について凹かつ連続である$( \tau 3)\lim_{n}x_{n}=x$

かつ $\lim_{n}\sup\{\eta(z_{n},p(z_{n}, x_{m})) :m\geq n\}=0$

ならばがすべての $w\in X$ について成立する$( \tau 4)\lim_{n}\sup\{p(x_{n}, y_{m}) :m\geq n\}=0$ かつ $\lim_{n}\eta(x_{n}, t_{n})=0$ ならば$p(w, x) \leq\lim\inf_{n}p(w, x_{n})$$\lim_{n}\eta(y_{n}, t_{n})=0$が成立する$( \tau 5)\lim_{n}\eta(z_{n},p(z_{n}, x_{n}))=0$$d(x_{n}, y_{n})=0$が成立する

かつ $hm_{n}\eta(z_{n},p(z_{n}, y_{n}))=0$ ならば $\lim_{n}$147
注意. 距離関数$\lceil_{p(x,x)=OJ},$$d$は一つの$r_{p(x}$$\tau$-distances である. また,[$p(x, y)=p(y, x)$ 」,, y)=O\Rightarrow x=y」等は一般には成立しない. [4-11] 等を参照のこと.
次の定理は Ekeland の変分原理と呼ばれる.

定理 2 (Ekeland [2, 3]). (X, ) を完備距離空間とし, $f$ を $X$ で定義された下半連続で, 下から有界な実数値関数とする. このとき, $u\in X$ と $\lambda>0$ に対して, 以下を満たす $v\in X$ が存在する.
$d$$f(v)\leq f(u)-\lambda d(u,v)$$f(w)>f(v)-\lambda d(v,w)$ ,$\forall w\in X\backslash \{v\}$

次の定理は -distance 版の Ekeland の変分原理である.
$\tau$

定理 3 ([5]). (X, ) と $f$ は定理 2 と同じとする. を $X$ 上の -distance とする. このとき, $p(u,u)=0$ を満たす $u\in X$ に対して, 以下を満たす $v\in X$が存在する.
$d$$P$(1)$f(v)\leq f(u)-p(u,v)$(2)$f(w)>i(v)-p(v, w)$ ,$\tau$$\forall w\in X\backslash \{v\}$は一つの -distance なので, 定理 2 は定理 3 の特別な場合と言注意.
える. この定理 3 は, 我々の主道具である.
$\lambda d(\cdot, \cdot)$$\tau$

3. ZHONG の定理の別証明
この節では, 本稿の目的の一つである, Zhong の定理に対する別証明を与える.

定理 4 (Zhong [13]). $f$ をバナッハ空間 $X$ で定義されたガトー微分可能な下半連続実数値関数とする. を) から$h(t))^{-1}dt=\infty$ を満たす関数とする. もし,$h$$[0, \infty$) への非減少関数で$:= \lim$ $inff(x)$ が実数なら$[0, \infty$$\alpha$$\int_{0}^{\infty}(1+$$rarrow\infty||x||\geq r$

ば,$\lim_{n}\Vert x_{n}\Vert=\infty,$を満たす $X$ の点列$\lim_{n}f(x_{n})=\alpha$$\{x_{n}\}$

そして $\lim_{n}\Vert f’(x_{n})\Vert(1+h(\Vert x_{n}\Vert))=0$が存在する.

この定理の対偶もどきを取ると以下になる.
定理 5 (Zhong [13]). $X$ と $f$ は定理 4 と同じとする. $f$ は下から有界であると仮定する. このとき, もし が weak-PS を満たせば, $f$ はコアシブである.
$f$Zhong の証明は Ekeland の変分原理を何度も使う少し複雑なものであった. 以下では, 定理 3 を一度しか使わない別証明を与える.

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定理 4 の証明 ([11]). 以下を示せば十分である. 「すべての$\Vert v\Vert\geq 1/\epsilon,$する」

に対して,$|f(v)-\alpha|\leq\epsilon,$ $\Vert f’(v)\Vert(1+h(\Vert v\Vert))\leq\epsilon$ を満たす $v\in X$ が存在を固定し, -distanoe を$\epsilon>0$$\tau$$\epsilon>0$$P$$p(x,y)= \frac{\epsilon}{2}\int_{||x||}^{||x\Vert+||x-y\Vert}\frac{dt}{1+h(t+1)}+\frac{\epsilon}{2}\int_{\Vert y||}^{\Vert y||+\Vert x-y||}\frac{dt}{1+h(t+1)}$で定義する. 実数値関数$g$

を$g(x)= \max\{f(x), \alpha-2\epsilon\}$で定義する. 明らかに,をは下半連続でかつ下から有界である.
$1/\epsilon<r<r’,$を満たすようにと$1<r, \inf_{||x\Vert\geq r}f(x)>\alpha-\epsilon,$
$g$

$r,$

$r’\in \mathbb{R}$$\int_{r}^{r’}\frac{dt}{1+h(t+1)}=6$

る. $u\in X$ を $\Vert u\Vert>r’,$ $f(u)<\alpha+\epsilon$ を満たすようにとる.

なので,$g(u)=f(u)$ である. 定理 3 により, (1), (2) を満たす $v\in X$ が存在する. もし $||v\Vert<r$ を仮定すると, (1) より,$\Vert u||>r$$\alpha-2\epsilon\leq g(v)\leq g(u)-\frac{\epsilon}{2}\int_{||v||}^{||v||+||u-?l\Vert}1+h(t+1)dt$$\leq g(u)-\frac{\epsilon}{2}\int_{\Vert v||}^{||u||}\frac{dt}{1+h(t+1)}\leq g(u)-\frac{\epsilon}{2}\int^{r’}\frac{dt}{1+h(t+1)}$$=f(u)-3\epsilon<\alpha-2\epsilon$となり, 矛盾を得る. すなわち,得て, これより$\alpha-\epsilon<$$\Vert v\Vert\geq r>1/\epsilon$である. よって $g(v)=f(v)$ を$inff(x)\leq f(v)\leq f(u)<\alpha+\epsilon$$||x[|\geq r$を得る. すなわち, $|f(v)-\alpha|\leq\epsilon$ である. また (2) より $\Vert f’(v)\Vert(1+h(\Vert v\Vert))\leq$
口を得る.

$\epsilon$$|f(v)-\alpha|\leq\epsilon,$ $\Vert f’(v)\Vert(1+h(\Vert v\Vert))\leq$
注意. 証明すべき 3 つの条件のうち一番複雑なのが 3 番目の条件である. この 3 番目の条件が自動的に成立するように -distance を定義するのが, この証明の最も重要なポイントで$\Vert v\Vert\geq 1/\epsilon,$$\epsilon$$\tau$ある. 次に, 閉集合 $\{x\in X:\Vert x\Vert\geq 1/\epsilon\}$ から$v$を探すのであるが, 微分情報を得るために, 実際には, 開集合 $\{x\in X:\Vert x\Vert>1/\epsilon\}$ から を探さなければならない. Ekeland の定理は閉集合にしか適用できないので, これは問題である. Ekeland の定理を適用する際集合 $\{x\in X:\Vert x\Vert\leq 1/\epsilon\}$ が無意味になるように, $u,$ $r,$ $r’$ そして -distance を選ぶことで, この問題を解決した. すなわち, 問題の複雑で困難な部分を -distance に負わせることにより, 見通しのよい簡潔な別証明を得ることができたのである.
$v$$\tau$$P$$\tau$

$P$

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4.

$h$の連続性

Zhong [13] は定理 4 において 「 の連続性」を仮定しているので, 厳密に言えば, 定理 4 は新しい定理であり, 従って, 上の証明は別証明ではない. しかしながら, 「 の連続性」は仮定してもしなくても同値であることが分かった. この節ではそれを証明する.
$h$

$h$

命題 6([11]). を) から) への非減少です関数とする. このとき, 非減少連続関数 でを満たす関数が存在する.
$h$$[0, \infty$$[0, \infty$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+h(t)}dt=\infty$$\theta$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+\theta(t)}dt=\infty$

証明.

$[t]$

を$t$を越えない最大の整数とする. 関数$\theta$を満たと $h(t)\leq\theta(t)$を$\theta(t)=(1-t+[t])h([t]+1)+(t-[t])h([t]+2)$で定義する.

この関数は,のグラフを 1 左に平行移動し, 間隔 1 で点を取り, それらの点を線分で結んだ折れ線をグラフとする関数である. 従って,$h(t)\leq\theta(t)\leq h(t+2)$$h$が成立する. よって$\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+\theta(t)}\geq\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+h(t+2)}=\int_{2}^{\infty}\frac{dt}{1+h(t)}=\infty$も成立する.

口同様に以下も成立する.

命題 7([11]). を) から) への非減少です関数とする. このとき, 非減少連続関数 でを満たす関数が存在する.
$h$$[0, \infty$$[0, \infty$$\theta$

従って, 我々の議論においては, 「$h$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+h(t)}dt<\infty$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+\theta(t)}dt<\infty$を満たと $\theta(t)\leq h(t)$の連続性」を気にする必要はない.

5. 最弱な $p_{ALAIS}$

条件

論文 [11] を別なジャーナルに投稿したときに, リジェクトされたのであるが, そのときにエディタに次のように言われた. 「定理 4 のインパクトがあまりない」なぜなら「無限遠くで値が有限にとどまるならば, 傾きがゼロになる点列があるというのは, 直感的にも理論的にも明らかである」 と. この貴重な意見を動機付けとして, 筆者は定理 4 のインパクトを上げるための例を 2 つつくった.

例 8([11]).
$\infty$とし, を) から) への非減少でを満たす連続関数とする. $X$ 上の微分可能で下から有界な実数値関数 $f$ を$X:=\mathbb{R}$$h$$[0, \infty$$[0, \infty$$f(x)= \int_{0}^{x}\frac{-1}{1+h(\max\{t,0\})}dt$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+h(t)}dt<$150で定義する. このとき

lim

$inff(x)\in \mathbb{R}$かつ$|f’(x)|(1+h(|x|))\geq 1,$ $\forall x\in X$$rarrow\infty|x|\geq r$が成立する.

weak-PS の定義から条件$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+h(t)}dt=\infty$を外す (それを $r_{weak}$もどき」 と仮に名づける). すると, weak-PS もどきだけれども, コアシブでない例が必ず作れることを, この例は主張している. すなわち, weak-PS は「弱い$PSJ$ というだけではなく 「最弱な PS」であるということを主張している.

定理 4 を, 使用者の立場から眺めれば, インパクトは弱いかも知れない
少なくとも, 現時点では. しかしながら, 必要十分条件であることを鑑みれば,定理 4 は理論的に充分な価値があると筆者は考えている.

一

6. 完備性の役割に関する考察
この節では, 定理 4 のインパクトを上げるための第 2 の例について述べる.
先ほどの [無限遠くで値が有限にとどまるならば, 傾きがゼロになる点列があるというのは, 直感的にも理論的にも明らかである」について, 命題が正しいのだから, 「明らか」 と言われてしまえば議論の余地はない. そこで, ある完備でないノルム空間上で, 反例をつくってみた.

例 9([11]). 集合 $X$ を$X=$とし, $X$ に数 $f$ を$p_{1}${ $x:x$ は実数列で途中から$0$の並びになる}

ノルム $\Vert x\Vert=\sum_{n=1}^{\infty}|x(n)|$ を入れる.

$f(x)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$$\mathbb{R}$から $(0, \infty)$ への関$\exp$ $(2^{n}x(n))$

で定義する. すると, $f$ は下半連続, 非連続, 凸, ガトー微分可能,

lim$inff(x)=0\in \mathbb{R}$$h^{a}$

つ$||f’(x)||\geq 1,$$\forall x\in X$$rarrow\infty||x||\geq r$を満たす.
$f$は PS を満たしているが, コアシブでないという反例である. 定理 4 が「直感的にも理論的にも明らか」 とは, 今の筆者には見えない. 完備性に対するそこまでの感覚を筆者は身に付けていない.
$X$ を完備化したものはである. 逆に言えば, $X$ はを完備化する前のものである. 完備性があると, 凸関数の下半連続性と連続性が同値になるのだ$\ell_{1}$が, この例はその性質に対する反例にもなっている.

$\ell_{1}$151
コンパクトと完備は, 存在性と強い関係のある, 非常によく似た条件であるが, 前者が強くて派手なのに対して, 後者は弱くて地味である. 筆者はこの弱くて地味な完備性という性質に何故か非常に魅力を感じ, 研究を重ねてきた. そして, 例 9 を思いついたときに, この「弱くて地味」 という印象が少し変わった. 「地味」 というのは同じであるが, 「弱い」 というネガティブな印象から 「縁の下の力持ち」 というポジティブな印象に変わったのだ. また, 完備性のある空間とない空間の下でのガトー微分の意味は, 本質的に異なるのではないか\searrow という妄想を現在筆者は抱いている.
––

7. 最後に最後に, 本稿の主目的は別証明であるので,$r_{Zhong}[13]$による証明と本稿の証明を比較して頂きたい」 と書かねばならないだろう. しかし, 言うまでもないが, 筆者は Zhong の結果を知った後で別証明を与えている. 何もない所から証明するのとは比較にならない程, これは楽なことである.
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[13] C.-K. Zhong, A generalization of Ekeland’s variational principle and $applicat|on$ to

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[14] –, On Ekeland’s vanational principle and a minimax theorem, J. Math. Anal.
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