数理解析研究所講究録
第 852 巻 1993 年 95-103

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1962 Kolmogorov Hypothesis の検証

巌 (Iwao Hosokawa)

電通大

細川

航技研

山本稀義 (Kiyoshi Yamamoto)

1 。序論
1962 年、 Kolmogorov は等方性乱流の中の intermittency

効果を説明するために、 refined similariry hypothesis (RSH)を導入した。 scale$r$$r$の eddy の速度 scale の指標として直径の球面上の相対する 2 点での流れの速度差の、 2 点をつな$\Delta u_{r}=u_{1}$Flg. 1

96

ぐベクトル方向の成分を、逸率の平均を$\epsilon_{r}$$v$とし、 球内でのエネルギー散とし、 両者をつぎのように関係させる。

$\Delta u_{r}=v(r\epsilon_{r})^{1/3}$

ここに、$\Delta u_{r}$.. ... . (Kolmogorov RSH). ..

(1)

は普遍的な或る確率変数とし、 Kolmogorov はその分布については言及しなかった。 しかし、 この関係によって速度構造関数の詳しい議論が可能になり、 乱流理論でもつその意味は大きい。
これに対し、 かって著者らは否定的な DNS の結果を公表した 2。

$\Delta u_{r}$と$\epsilon_{r}$の相関はほとんどないというのが主要な結論であったが、 これは国外の有数の学者を刺激し、 Thorod-dsen &Van Atta3 , Praskovsky4 , Stolovitzky et$a1^{5}$,

S-Y.

Chen6 より、 反対の結果が寄せられた。 前の 3 者は実験、後者は DNS であるが、$\epsilon_{r}$を 1 次元 surrogate$\epsilon_{r^{1}}(=v(\partial u/\partial x)^{2})$におきかえているので、 (1) に対する正確な研究になっているかどうかは問題である。

$\Delta u_{r}$と$\epsilon_{r^{[}}$の相関係数は、 いずれも 0.5 に近い数字が報告されている。 そこで、 著者らは前の結果を再検討し、 scatter plot に bug のあるのを発見したので、 ここに訂正された結果を次のように述べる。

確かに相関は存在するが、あり、$\Delta u_{r}$と$\epsilon_{r}^{1}$$\Delta u_{r}$と$\epsilon_{r}$の相関係数は 0.28 での相関係数は 0.49 である。 (1) でて平均したもの (conditional mean) は$v$につい97(2)$<\Delta u_{r^{>}(v)}\propto(r\epsilon_{r})^{1/3}$となるが、 これは確かに$(r\epsilon_{r})^{1/3}$が相対的に小さいときに成立しているが、 大きいところでは成り立っていない。 scatterplot の訂正を含めてこれらの結果は Ref. 7 に公表したので興味のある読者はそれを参照されたい。
ここでは、 上に述べた RSH の不完全な部分が$\Delta u_{r}$の構造関数や分布関数にどのように影響するかということを考察したい。

2。

RSH の確率的表現

一般に、$\Delta u_{r}$の確率密度関数 (Pdf) を(3)$p_{3}(\Delta u_{r})=\int p_{1}(\Delta u_{r^{;}}x)p_{2}(x)dx$と書く。 ここに $X=(r\epsilon_{r})^{1/3}$ である。

$p_{1}$

は条件つき確率である。 (1) により、

(4)

$P(v)=\int p_{1}(vx;x)xp_{2}(x)dx$として、$v$の pdf が得られるが、 もし Kolmogorov の RSHが完全に正しければ$v$(VX;$x$

条件つき確率$P_{1}$$P(v)=p_{1}$ (vx;$x$の分布は)

)

は$x$

$x$

$x$

$x$に依らない筈であるから、の関数ではない。 したがって.

(5)

これが RSH の意味するものである。

Thoroddsen &Van Atta の実験で、 ある程度これの証明が

98得られている 8。さらに、 $P(v)$ が nearly Gaussian であることも最近分かってきた 5,8。このように $P(v)$ が既知で普遍的であるなら、 (4) は$p_{3}(\Delta u_{r})=\int P(\Delta u_{f}/x)/xp_{2}(x)$dx(6)として計算できる。
$p_{2}(x)$を $3D$ Cantor set model, $pm$ odel 10 randommodel, lognormal model などで与え、 P3$(\Delta u_{r})$$\beta$を吟味することは Ref. 12 で行ったので、 それを参照して頂きたい。
いろいろな$r$に対して、 少なくとも定性的には予想以上に実験と DNS に合う P3$(\Delta u_{r})$が得られている。 しかし定量的にはどうか。

3。

RSH の欠陥

実際の P3$(\Delta u_{r})$は$r$に応じて skewness をもっている。 したがって、 (6) において、 $P(v)$ が Gaussian であるだけではこれを説明できない。 r-dependence の skewness をもった$P(v;r)$ が必要なのである。 ところがこのことは、 $P(v)$ がにも$\epsilon_{r}$$r$にも依存しない普遍確率であるとした Kolmogorovの仮設に原則的に違反する。

さらによく調べると、 広い範囲の$r$のP3$(\Delta u_{r})$を導くには、Gaussian 以上の kurtosis をもった $P(v;r)$ が必要になる$\underline{}$と99が分かる。
きは大きい$r$が小さいほどこの傾向は大きい。
$\epsilon_{r}$を生じうるので、 これは大きい$r$$x$が小さいとに対応すると考えられ、 第 1 節で述べた RSH の問題点がここに反映していると見るのは自然であろう。
$P(v;r)$ の概念はもはや RSH を逸脱するので、 Modified

RSH (MRSH) と呼ぶ。 これは Gaussian の $P(v)$ に$r$に依存する Gram-Charlier の項を追加して実現しうる。

最近、 慣性領域を越えて $rarrow\eta$ ( olmogorov length) まで$K$(6) を拡張適用して$\partial u/\partial x(=\Delta u_{r}/r|_{r=\eta})$の one-point statisticsを議論しようという動き 12,13 があるので、 このことは極めて重要である。 $rarrow\eta$ で $3D$ Cantor set model がどれほど事実を描き得るかを Fig. 2 で DNS と比較して示した。 これはTaylor の Reynolds 数$R_{\lambda}=$約 100 のときで $\eta=2^{-7}$ であり、統計的類似性は期待以上に良好である。
具体的に kurtosis の例を挙げる。 $3D$ Cantor set model を使って上記の $\eta=2^{-7}$ で RSH は kurtosis 4. 8 を与えるが、われわれの DNS では、$=$$\partial u/\partial x$のそれは 6 に近い。 また、$R_{\lambda}$

約 165000 のとき $\eta=2^{-23}$ で RSH は kurtosis 10.02 を与えるが、 V an Atta &Antonia の資料によると、

れは 60 $- 70$ に達するのである。

$\partial u/\partial x$のそ1004 。結論
Kolmogorov の RSH は定性的には正しい傾向を示すが、定量的には不完全である。 もし、 確率表現 (6) における関数$P(v)$が $P(v;r)$ に modify されるなら、 広範囲の$r$で妥当なP3(\Delta ur) が得られる可能性がある。 そうなると、 RSH から導かれる良く知られた関係 :(7)$\zeta_{p}=p/3-\mu_{p13}$($\zeta_{p}$は速度構造関数の指数、$\mu_{q}$は間欠指数) がそのまま保存されるかどうかは疑問である。 これらの研究結果はこのつぎの機会に発表したい。

References

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101
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15. I. Hosokaw a and K. Yamamoto: J. Phys. Soc. Jpn. 58(1989) 20.

$\underline{59}$102

FIG. 2 (a)A $2D$ CUT OF DISSIPATION-RATE DISTRIBUTION IN
TURBULENCE BY THE $3D$ CANTOR SET MODEL

103

FIG. 2 (b)A $2D$ CUT OF DISSIPATION-RATE DISTRIBUTION IN TURBULENCEBY DNS AT THE FULLY-DEVELOPED STATE (REF. 15)