数理解析研究所講究録1092 巻 1999 年 22-31

22

長方形容器における$-$$2\yen--$ \vdash ‘‘のファラデー波デ

九大総理工 和田穣 (WADA Yutaka )九大応力研 岡村誠 (OKAMURA$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{k}\circ \mathrm{t}_{\circ)}$

1

はじめにファラデー共鳴とは水の入ったコップのような容器を垂直方向にうまく振動させたときとする) の定在波の共鳴現象のことでに表面に励起される 2 つのモード (振動数をある。 実験が比較的小規模であり、 またその理論が力学系の理論に帰着されることもあり、 実験、 理論とも近年盛んに研究されてきた。 [1]$\omega_{1},$$\omega_{2}$

今までのファラデー波の研究は共鳴する振動数で見ると大きく分けて、$2\omega_{1}$の場合に分類することができる。 2 つのモード$\omega_{2}$$\omega_{1},$が$\omega_{2}\approx\omega_{1}$$\omega_{2}\approx\omega_{1}$と$\omega_{2}\approx$の関係をもつ場合の場が円筒容器や柱状容器内の定在波の共鳴現象でしばしば現れる。 例えば、により円筒容器内の定在波の共鳴深さ近傍での解の振る舞いが調べられ合には、の場合には、 長方形容器内の表面張力定在波の研究が Forster,ている。 また、$\omega_{2}\approx\omega_{1}$$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}[2]$$\omega_{2}\approx 2\omega_{1}$により行われている。

$\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}[3]$

今までの研究は以下の (1), (2), (3), (4) の振幅時間発展方程式にまとめられる。

1.の場合
例えば、 正方形容器の場合、 表面変位の線形部分$\omega_{2}\approx\omega_{1}$$\eta$

は以下の式となる。

$\eta=(A_{1}(\mathcal{T})\cos\omega_{1}t+B1(\mathcal{T})\sin\omega_{1}t)\cos X+(A_{2}(\tau)\cos\omega_{2}t+B2(\mathcal{T})\sin\omega_{2}t)\cos y$はゆっくり変動すは時間 に比べ充分ゆっくり進む時間とする。 また、る振幅とする。 $Y_{1}=A_{1}+\mathrm{i}B_{1},$ $Y_{2}=A_{2}+\mathrm{i}B_{2}$ とすると、.Yl, 巧の時間発展方程式は以下のようになる。
$A_{1},$$t$$\tau$$A_{2},$$B_{1},$$B_{2}$$\mathrm{i}\frac{dY_{1}}{d\tau}=Y_{1}^{*}+(1+|Y_{1}|^{2}+|Y_{2}|^{2})Y_{1}+Y_{12}^{*}Y^{2}$(1)$\mathrm{i}\frac{dY_{2}}{d\tau}=Y_{2}^{*}+(1+|Y_{1}|^{2}+|\mathrm{Y}_{2}|^{2})Y_{2}+Y^{2}Y^{*}12$(2)は複素共役とする。 実際の係数は 1 とはならないが、表記を簡潔にするためそれぞれの係数を 1 とした。 また、 粘性はないものとし、 以下もないものとする。
ここで$*$の場合
2.
表面変位の線形部分 は以下のようになる。
$\omega_{2}\approx 2\omega_{1}$$\eta$$\eta=$($A_{1}(\tau)$

COS $\omega_{1}t+B_{1}(T)\sin\omega_{1}t$ ) COS $X+(A_{2}(T)$ COS$\omega_{2}t+B_{2}(\tau)\sin\omega_{2}t)$

COS $2x$23$Y_{2}$$Y_{1},$を上と同様におくと$Y_{1}$,$Y_{2}$の時間発展方程式は以下のようになる。

(3)$\mathrm{i}\underline{dY_{1}}=Y_{1}+Y_{1}^{*}Y_{2}$$d\tau$.

(4)$\mathrm{i}\frac{dY_{2}}{d\tau}=Y_{2}+Y_{1}^{2}$

次の 3 は、 今回行った研究についての場合である。 長方形容器の、 ある共鳴深さ近傍での 2 次元定在波の場合である。

3.

$\omega_{2}\approx 3\omega_{1}$の場合

表面変位の線形部分$\eta$

は以下のようになる。

$\eta=(A_{1}\cos\omega_{1}t+B_{1}\sin\omega_{1}t)\cos x+(A_{2}\cos 3\omega_{2}t+B_{2}\sin 3\omega_{2}t)\cos 5x$$Y_{1)}Y_{2}$を上と同様におくと、 その時間発展方程式は以下のようになる。
$\mathrm{i}\frac{dY_{1}}{d\tau}$$=$$Y_{1}+Y_{1}^{*}+Y_{1}^{3}+(|Y_{1}|^{2}+|Y_{2}|^{2})Y_{1}+(|Y_{1}|^{2}+|Y_{2}|^{2})Y^{*}$$+(|Y_{1}|^{4}+|Y_{2}|^{4}+|Y_{1}|^{2}|Y_{2}|^{2})Y_{1}+|Y_{1}|^{2*2}YY_{2}1+Y_{1}^{4}Y_{2}^{*}$$\mathrm{i}\frac{dY_{2}}{d\tau}$$=$$Y_{2}+(|Y_{1}|^{2}+|Y_{2}|^{2})Y_{2}+|Y_{1}|^{2}Y_{1}^{3}+(|Y_{1}|^{2}+|Y_{\mathrm{z}}|^{2})Y2$$+Y_{1}^{2}Y_{2}+Y_{1}^{*2}Y_{2}+(|Y_{1}|^{4}+|Y_{2}|^{4}+|Y_{1}|^{2}|Y_{2}|^{2})Y_{2}$

このことについて以下の章で詳しく述べる。

2手法.

ファラデー波を解析する手法としては、 振幅展開法や平均化ラグランジアン法があるが、今回は振幅展開法で行った。 非圧縮、 渦なし、 表面張力なし、 粘性なしという仮定から水の波の基礎方程式が得られる。 なお、\Phi は速度ポテンシャル、\eta は表面変位とする。

24$(-d\leq y\leq\eta)$(5)$(1+g_{1}\epsilon^{2}\mathrm{c}o\mathrm{s}\Omega t)\eta=0$$(y=\eta)$(6)$\Phi_{y}=\eta_{t}+\Phi x\eta_{x}$$(y=\eta)$(7)$(y=-d)$(8)$(x=0,2\pi)$(9)$\triangle\Phi=0$$-P= \Phi_{t}+\frac{1}{2}(\Phi_{x}2\Phi_{y}^{2}+)$\dagger$\Phi_{y}=0$$\Phi_{x}=0$

波長が 2\mbox{\boldmath $\pi$} 、重力加速度が 1 となるように空間, 時間を無次元化した。 なお流体表面での圧力は とした。振幅 g1\epsilon 2、振動数\Omega で正弦的に容器を加振する。 また、 は 1$0$$\epsilon$$\text{より}.\pi \text{分小}$から少しずらした振動数とし、であり、 旧ま静止した流体表面から容器底面までの深さである。 まず共鳴条件を考える。
さい数とし、加振振動数$\Phi$$\Omega$は共鳴する振動数$\Omega=\omega_{\text{。}}+\epsilon^{2}\beta$$\omega_{c}$は次のように展開する。

\Phi =\epsilon 石$+\epsilon^{2}\overline{\phi_{2}}+\cdots$(10)(6), (7) より$\Phi_{tt}+\Phi_{y}=(\text{非線形項})$(11)(10), (11) より$\frac{\partial^{2}\overline{\phi_{1}}}{\partial t^{2}}+\frac{\partial\overline{\phi_{1}}}{\partial y}=0$(12)(5), (8), (9) より$\overline{\phi_{1}}=a_{1}\cos\omega t\cos X\cosh(y+d)$(13)$\omega=\sqrt{\tanh d}$$.(14)$とおくと、 (11) よりとなる。 また、 共鳴条件について、 ここでは $(1,1),(5,3)$ のモードを考えているので、項の–\mbox{\boldmath $\phi$}5 は $(5,3)$ モードのみを考える。 ここで、 振動数と波数に着目して$\epsilon^{5}$の$\cos n\omega t\cos mx\cosh m(y+d)$

を $(m, n)$ のモードという。
$\overline{\emptyset 5}=a_{5}\cos 3\omega t\cos 5_{X\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}5(y+d)$$\frac{\partial^{2}\overline{\phi_{5}}}{\partial t^{2}}+\frac{\partial\overline{\phi_{5}}}{\partial y}=F(\overline{\phi 1},\overline{\emptyset 2},\overline{\emptyset 3},\overline{\phi 4})$

(15)
(16)

よって (15), (16) より、$a_{5}(-9\omega^{2}\cosh 5d+5\sinh 5d)\cos 3\omega t\cos 5X=F(\overline{\phi_{1}},\overline{\phi 2},\overline{\emptyset 3},\overline{\emptyset 4})$

(17)

25

深さ

$d$

が、
$d_{c}= \frac{1}{2}\log\frac{\sqrt{10}+\sqrt{\sqrt{65}-5}}{\sqrt{10}-\sqrt{\sqrt{65}-5}}\approx$

0.6232のときには、 (14) を使うと、$-9\omega^{2}\cosh 5d+5\sinh 5d=0$となるから、 (17) の左辺はとなる。 –方、 右辺は$0$$0$でないので、 $(5, 3)$ モードは $d=d$。

で高調波共鳴を起こしていることがわかる。
(5) から (9) 式を用い、 共鳴深さ d。の近くの深さでの共鳴現象を表す式を求めよう。 速度ポテンシャル$\Phi_{\text{、}}$

表面変位\eta は、$\Phi=\epsilon\phi_{1}+\epsilon^{2}\phi_{2}+\epsilon 3\phi_{3}+\cdots$$\eta=\epsilon\eta_{1}+\epsilon\eta 22+\epsilon 3\phi_{3}+\cdots$と展開する。 $(1,1)$ モードと $(5,3)$ モードが共鳴していることから、 $(1,1)$ と $(5,3)$ のモードのオーダーが同じと見なせるので、$\phi_{1}$$\phi_{1}$は以下のようにおくことができる。

$- \frac{1}{\omega_{\mathrm{c}}}(A_{1}(t_{2}, t_{4})\sin\omega_{C}t_{0}-B_{1}(t2, t_{4})\cos\omega ct\mathrm{o})(\cosh y+\sinh y\tanh d_{c})\cos x$$=$( $\cosh 5y+\sinh 5y$ tanh5 ) $\cos 5x(18)$$- \frac{1}{3\omega_{c}}(A_{2}(t_{2,4}t)\sin 2\omega_{c}t_{0}-B_{2}(t_{2},t_{4})\cos 3\omega_{c}t_{0})$ここで、$A_{1},$$B_{1},$$A_{2},$$B_{2}$

はゆっくり変動する振幅である。 また、$t_{0}=t,$$d_{c}$$t_{2}=\epsilon^{2}t,$$t_{4}=\epsilon^{4}t$..とし、 時間微分は$\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t_{0}}+\epsilon^{2_{\frac{\partial}{\partial t_{2}}}}+\epsilon\frac{\partial}{\partial t_{4}}4$のように置き換える。 とは共鳴する深さ d。から少しずらした深さのこととし $d=d$で表す。 (6), (7), (8) より、 を $y=0$ のまわりで、 また d=d。のまわりで展開する。
$d$$+\epsilon^{2}d_{1}$。

$\Phi$$\frac{\partial\phi_{1}}{\partial t_{0}}+\eta_{1}=0$$\frac{\partial\phi_{1}}{\partial y}-\frac{\partial\eta_{1}}{\partial t_{0}}=0$$(y=0)$(19)$(y=0)$(20)

よって、$\eta_{1}=(A_{1}\cos\omega_{c}t+B_{1}\sin\omega_{\text{。}}t)\cos x+(A_{2}\cos 3\omega_{\text{。}}t+B_{2}\sin 3\omega_{c}t)\cos 5X$

この$\phi_{1},$$\eta_{1}$を用いて$O(\epsilon^{2})$(21)の項を求める。 (6), (7) より、$\frac{\partial\phi_{2}}{\partial t}+\eta_{2}+\eta 1\frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial t\partial y}+\frac{1}{2}(\frac{\partial\phi_{1}}{\partial x})2+\frac{1}{2}(\frac{\partial\phi_{1}}{\partial y})^{2}=0$(22)$\frac{\partial\phi_{2}}{\partial y}-\frac{\partial\eta_{2}}{\partial y}-\frac{\partial\eta_{2}}{\partial t}+\eta_{2}\frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial\eta_{1}}{\partial x}\frac{\partial\phi_{1}}{\partial x}=0$

(23)

26

(22), (23) より$\eta_{2}$を消去する。

(24)$\frac{\partial^{2}\phi_{2}}{\partial t^{2}}+\frac{\partial\phi_{2}}{\partial y}=F_{2}(\phi_{1}, \eta_{1})$が決まり.(22) よりのマセマティカを使って求めた。
この (24) より$\phi_{2}$$\eta_{2}$が決まる。以上の方法で$O(\epsilon^{5})$まで数式処理ソフト

ここで 3 次に着目する。
$\frac{\partial^{2}\phi_{3}}{\partial t^{2}}+\frac{\partial\phi_{3}}{\partial y}$$=$$F_{3}(\phi_{1}, \eta 1, \emptyset 2, \eta 2)$$=$$X_{1}\cos\omega Ct\cos X+x_{2}\sin\omega_{\text{。}}t\cos X+X_{3}\cos 3\omega_{\text{。}}t\cos 5X+X_{4}\sin 3\omega \mathrm{C}t\cos 5X+$というように永年項が出てくる。 ここでの $X_{i}(i=1, \cdots, 4)$ は永年項が になる条件、 例えば、 $X_{1}=0$ から$A_{1},$$B_{1},$ $A_{2},$ $B_{2}$を含む。 この$0$$\frac{\partial A_{1}}{\partial t_{2}}=p0d1B1+p1A^{2}B11+p1B^{3}1+p2B_{1}A_{2}^{2}+p2B1B2B3g_{1}1\mathrm{c}o\mathrm{s}22^{-p}\beta t2-p3g_{11}A\sin 2\beta t_{2}$は定数である。 また同様にという関係が得られる。の関係も得られる。 いま、 $Y_{1}=A_{1}+\mathrm{i}B1,$ $Y2=A2+\mathrm{i}B_{2}$ とすると 3 次の永年項がる条件は$p_{0},$$\mathrm{i}\frac{\partial Y_{1}}{\partial t_{2}}$$=$$\partial A_{2}/\partial t_{2},$$\cdots,p_{3}$$(-\cdot\beta+p_{0}d1)Y_{1}$$\partial B_{1}/\partial t_{2},$$\partial B_{2}/\partial t_{2}$$0$にな(25)$+p3g_{1}Y^{*}+1(p1|Y1|^{2}+p2|Y_{2}|2)Y_{1}$.

$\mathrm{i}\frac{\partial Y_{2}}{\partial t_{2}}$$=$$Y_{2}=A2+\mathrm{i}B_{2}$ でありまた、ただし、は定数である。 同様に 5 次の永年項がと変換している。 また、$Y_{1}arrow Y_{1}\exp(\mathrm{i}\beta t2),$ $Y_{2}arrow Y_{2}\exp(-3\mathrm{i}\beta t_{2})$$Y_{1}=A_{1}+\mathrm{i}B_{1},$$\text{、}$$p_{4},$$\mathrm{i}\frac{\partial Y_{1}}{\partial t_{4}}$

$=$

(26)

$(-3\beta+p_{6}d_{1})Y_{2}+(3p_{2}|Y1|^{2}+p_{5}|Y_{2}|2)Y_{2}$$\cdots,$$p_{6}$$0$になる条件は$(q_{1}d_{1^{+}}^{2}q_{2}g1)2Y_{1}+ \frac{\beta}{4}g_{1}\mathrm{Y}_{1^{*}}+q3g_{1}Y_{1}3+d1(q_{4}|Y_{1}|^{2}+q8|Y_{2}|2)Y_{1}$$+g_{1}(q_{5}|Y_{1}|^{2}+q9|Y_{2}|^{2})Y^{*}+1(q_{6}|Y_{1}|^{4}+q11|Y_{2}|^{4}+q_{10}|Y1|^{2}|Y_{2}|^{2})Y1$(27)$+4q_{7}|Y_{1}|^{2}Y^{*}2Y_{2}+1q_{7}Y_{1}4Y_{2^{*}}$$\mathrm{i}\frac{\partial Y_{2}}{\partial t_{4}}$$=$$(q_{13}d^{2}1+q_{14}\mathit{9}_{1}^{2})Y_{2}+q_{12}|Y_{1}|^{2}Y_{1}^{3}+d_{1}(q_{1}6|Y_{1}|^{2}+q_{19}|Y_{2}|^{2})Y2$$+q_{15}g1Y2\mathrm{Y}_{2}1+q_{1}\tau g_{1}Y2Y1^{*}2+(q_{18}|\mathrm{Y}_{1}|^{\dot{4}}+q_{21}|Y_{2}|^{4}+q_{20}|Y_{1}|^{2}|Y_{2}|^{2})Y_{2}$$q_{1},$$\cdots,$ $q_{21}$(28)は定数である。 (25), (26), (27), (28) より(29)$\mathrm{i}\frac{dY_{1}}{d\tau}=\mathrm{i}\epsilon^{2_{\frac{\partial Y_{1}}{\partial t_{2}}+\mathrm{i}\epsilon^{4_{\frac{\partial Y_{1}}{\partial t_{4}}}}}}$(30)$\mathrm{i}\frac{dY_{2}}{d\tau}=\mathrm{i}\epsilon^{2_{\frac{\partial \mathrm{Y}_{2}}{\partial t_{2}}+\mathrm{i}\epsilon^{4_{\frac{\partial \mathrm{Y}_{2}}{\partial t_{4}}}}}}$に代入すると、$Y_{1},$$Y_{2}$の時間発展方程式が得られる。 ここで 微分は次のように定義する。
$\tau$$\frac{d}{d\tau}\equiv\epsilon^{2}\frac{\partial}{\partial t_{2}}+\epsilon^{4_{\frac{\partial}{\partial t_{4}}}}$(29), (30) を用いて、 数値計算した結果を次に示す。

27

3

数値計算

(29), (30) を用いて、 4 つの初期条件で数値計算を行った。パラメーターは $g_{1}=0.04,$$0.01,$ $d_{1}=-0.01$ である。 また 4 つの初期条件は $B_{1}(0)=0.02$ ,0.047, 0.1,0.26 とし $A_{1}(0)=$$\beta=$$A_{2}(\mathrm{O})=B_{2}(0)=0$とし、$t_{\max}=50000$ まで計算した。

図 2 は 4 次元位相空間の $A_{1}-B_{1}$ 平面への射影である。

$[egg1]$は $B_{1}(0)=0.26_{\text{、}}[egg2]$ は $B_{1}(0)=$を除
いてはモードに関する振幅の大きさは計算した時間内では 0.01 以下であった。 つまり、 $(5,3)$ モードはほとんど励起されていない。 –方、 ではの大きさは$0.047_{\text{、}}[egg3]$

は $B_{1}(0)=0.1_{\text{、}}[egg4]$ は $B_{1}(0)=0.02$ の時である。 図には示していないが、$(\bm{5},3)$$A_{2},$$[egg2]$$B_{2}$$[egg2]$$A_{2},$$B_{2}$

0.03 程度までになっており、他の 3 つの初期条件に\iota b. べて、 $(1,1)$ モードと $(5,3)$ モードの相互作用が強いことを示している。
次に図 3 に、 この $B_{1}(0)=$ 0.047 の時のの時間変動を表した。 図 3 の下図を見ると、 軌道がはじめ図 2 の上半面を周回し、 次に外部を周回し、 下半面を周回し、 上半面、 下半面、、、 というように不規則に周回しているのが確認できる。 このことから の$A_{1},$$B_{1}$$[egg2]$$B_{1}(0)=0.047$ の時、 カオスが出現しているのがわかる。

4

考察
外力のない $(g_{1}=0)$ かつ $A_{2}=B_{2}=0$ の時の 3 次のハミルトニアンを求めた。 これを図 4 に示す。 図 4 の下図は図 4 上図のハミルトニアンの等高線図であり、 これは軌道に対応する。 よって $g_{1}=0,$ $A_{2}=B_{2}=0$ の時は周期軌道しか存在しないことがわかる。 同様に外力の加わった $(g_{1}=0.01)$ かつ $A_{2}=B_{2}=0$ の時の 3 次のハミルトニアンを求めた。
これを図 5 に示す。
図 5 の下図は図 5 上図のハミルトニアンの等高線図であり、 これは軌道に対応する。 これから、 $dA_{1}/dt_{2}=dB_{1}/dt_{2}=0$ の点を通る軌道がヘテロクリニック軌道を取ることがわかる。 以上のことから $g_{1}\neq 0$ のとき 3 次のヘテロクリニック軌道に 5 次の非線形項が加わってヘテロクリニックカオスが出現することがわかる。 つまり、 3 次までの展開による結果と 5 次までの結果が定性的に異なっている。 [4] これが 5 次までの展開を行った理由である。

今回の結果からヘテロクリニックカオスが出てきた。 そのヘテロクリニックカオスの出現は以上の結果から次のように考えることができる。 振幅展開により求めた 3 次の振幅時間発展方程式はヘテロクリニック軌道を持つ。 その 3 次のヘテロクリニック軌道に 5 次の微小な擾乱が効果を及ぼし、 ヘテロクリニックカオスが出現する。

5まとめ

今回の結果を今までの研究と比較すると、新しい点がある。今までの研究は、 3 次の時間発展方程式を求め、 外力を加えないときはホモクリニック軌道、 あるいはヘテロクリニック軌道が存在し、外力を加えるとカオスが出現していた。 しかし今回の研究では、 3次の時間発展方程式では外力を加えないときは周期軌道のみが存在し、外力を加えるとヘテロクリニック軌道に変化し、 さらに 5 次の擾乱が加わって初めてカオスが出現したとい28

う点が新しい。
本研究では、 振幅展開法によりの場合の 5 次の振幅時間発展方程式を導出した。 また、 3 次のヘテロクリニック軌道と 5 次の非線形項によるヘテロクリニックカオス$\omega_{2}\approx 3\omega_{1}$の出現を確認できた。
を今回用いた数値のみでなく変化させて、 数値計算を行い今後は、 パラメータ結果を見てみたい。 また、今回は粘性を考慮していないので、粘性を導入した計算も行い$\beta,$$d_{1},$ $g_{1}$

たい。他には弱非線形の近似を行わない場合の解析を行い、 ここで得られた結果と比較することも重要であろう。

参考文献[1] 梅木誠[2][3]

ファラデー共鳴の非線形力学とカオス

ながれ

8 $(1989)157-164$.Miles: Internally resonant surface waves in a circular cylinder. J.Fluid Mech 149(1984) 1-14$\mathrm{J}.\mathrm{W}$.D.Craik: Second-harmonic resonance with Faraday excitation.
.Forster andWave Motion 26 (1997) 361-377$\mathrm{G}.\mathrm{K}$$\mathrm{A}.\mathrm{D}$.Gollub: Surface wave mode interactions: effects of symmetry and[4] F.Simonelli anddegeneracy. J.Fluid Mech 199 (1989) 471-494$\mathrm{J}.\mathrm{P}$29$B_{1}$$A_{1}$

図 2:

周期軌道とヘテロクリニック軌道$A_{1}$

図 3: ヘテロクリニック軌道の時系列

30$B_{1}$$B_{1}$

図 4: $g_{1}=0$ のハミルトニアン。 上は鳥撤図、 下はその等高線図。

31$B_{1}$$B_{1}$

図 5: $g_{1}=0.01$ のハミルトニアン。 上は鳥瞼図、 下は等高線図。