Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 TUP023

バンチの傾きモニタの線形加速器への応用の検討
BUNCH SLOPE MONITOR FOR LINAC
中村 剛#Takeshi, NAKAMURA#
High Energy Accelerator Organization / J-PARC

Abstract

We previously proposed bunch slope monitor for the time dependent position shift in a bunch. The monitor uses signals
from usual beam position monitor electrodes and distinguish the signals from slope and the center-of-mass by their signal
shape difference, with the circuits of a few GHz as the difference can be observed even in the low frequency. In this report,
we discuss the application to stripline type BPMs, and propose new monitor circuits with BPF that simplify the circuits
and adjustment.

1.

はじめに

2.

ビーム位置モニタからの傾斜の信号

バンチ内での横方向位置の時間依存性による傾き
ビーム位置モニタ(BPM) は、ビームを挟んで対抗を、一般に用いられているビーム位置モニタ電極の する２電極から構成されている。この２電極の信号信号を用いて数 GHz の低周波領域の回路により測定 の差および和は Fig. 1 のように 180 度ハイブリッドする手法、およびそれによる傾きのフィードバック (180 degree hybrid, 以下ハイブリッド)により生成でを提案している[1, 2]。前回の発表[1]ではボタン型電 きるが、BPM を通過する時刻 𝑡𝑡 での平均位置を極の信号を用いて、その微分波形を用いることによ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)、電荷密度を 𝜌𝜌(𝑡𝑡) とすると、差の信号はそのり数 ns 間隔のバンチごとの測定が可能な手法を提案 積 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝜌𝜌(𝑡𝑡) に応答し、和の信号は電荷密度𝜌𝜌(𝑡𝑡)にしていたが、本発表では、線形加速器への応用とし のみ応答する。さて、BPM のデルタ関数的なビームて、線形加速器で多用されているストリップライン の通過に対する応答を𝐺𝐺(𝑡𝑡) とすると、差の信号は、型電極への応用の検討、および、孤立バンチである(1)
𝐷𝐷! (𝑡𝑡) = * 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝑥𝑥(𝑡𝑡 " )𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "ことから時定数が長いバンドパスフィルタをもちいた簡便な手法を提案する。となる。後段に線形の応答 𝐿𝐿(𝑡𝑡)を持つ素子が置かれ上述のバンチの進行方向の傾き（以降、傾斜）は、 ると、その出力は蓄積リングでは横方向のビーム不安定性、線形加速器ではビーム軸のズレが発生する横方向ウェーク場
𝐷𝐷# (𝑡𝑡) = * 𝐿𝐿(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " )𝐷𝐷$%! (𝑡𝑡 " ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 "によるキックなどにより生成され、ビームの損失や、実効的なビームサイズの増大を引き起こし、ビーム(2)= * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " )𝑥𝑥(𝑡𝑡 " )𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "電流やビーム品質を制限する要素となっている。そのような現象の解析には、高精度、高速での計測は(3)
𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) = * 𝐿𝐿(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 "" )𝐺𝐺(𝑡𝑡 "" − 𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 ""必須である。ところで、ビームの重心位置の測定では、ビーム位置モニタの電気信号を回路により処理 となる。線形応答をもつ素子は、例えばバンドパスすることにより、バンチの重心位置を数ミクロンの フィルタ(BPF)やローパスフィルタ(LPF)、リニアア精度で、かつ、数百 MHz の測定レートで測定するこ ンプなどである。同様に、和の信号はとが可能となっている。一方、傾斜を回路により測定する手法は今の所見受けられず、例えばストリー(4)
𝑆𝑆! (𝑡𝑡) = * 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " )𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "クカメラによる方法[3]や、RF 偏向空洞によるキックを用いる方法[4]、そしてバンチの電磁場分布を電(5)𝑆𝑆# (𝑡𝑡) = * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " )𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "気光学測定する方法[5]などが実現あるいは提案されている。しかし、これらの手法は、その測定の精度 となる。
や測定レートを上述の重心位置測定のそれらに匹敵(" &(! &BPMさせることは困難となっている。これに対して本発T DIF
LT-B
表の手法は、通常の重心位置モニタで用いられてい" $ % $!
$"(&)
る回路技術により実現可能であるので、精度や測定
SUM $!(&)
B T+B
L
レートを大きく向上させられる可能性があり、不安定性抑制 bunch-by-bunch フィードバックや傾斜のリ
180 degree Hybrid
アルタイム補正への発展の可能性に導く。
Figure 1: BPM and difference signal 𝐷𝐷! (𝑡𝑡) and sum
signal𝑆𝑆! (𝑡𝑡), produced with 180 degree hybrid.
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nkmr@post.kek.jp#- 343 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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x HeadTail, - . !
#(%)

= !!"
=1(-)
4($)

+tAngleCM"+ &' $ 0 $$0 $ ~*+0+$!!" # $ # + &' (# $+## $(# $ ~ *+$!!" #$ $+ &' ($ $+#$ $($ $ ~ *+$Figure 2: Bunch distribution and the definitions of signals
from BPM and the signal after linear components, of which
represses are 𝐺𝐺(𝑡𝑡) and 𝐿𝐿(𝑡𝑡), respectively.

さて、傾斜を持つバンチでは、𝑥𝑥̅ (𝑡𝑡)𝜌𝜌(𝑡𝑡) は、(6)𝑥𝑥̅ (𝑡𝑡)𝜌𝜌(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥&! 𝜌𝜌(𝑡𝑡) + 𝜃𝜃𝑐𝑐 𝑡𝑡 𝜌𝜌(𝑡𝑡)の形をもつ。第１項は、バンチの重心 (CM) の変位を表し、第２項が傾斜の大きさ(Angle)を表している(Fig. 2) 。これらが BPM や後段に作る信号をそれぞれ CM 信号、Angle 信号と呼ぶこととする。この信号が作る BPM の差の信号は、
𝐷𝐷! (𝑡𝑡) = * 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝑥𝑥(𝑡𝑡 " )𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "= 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶 * 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝜌𝜌(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 "+ 𝜃𝜃𝑐𝑐 * 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝑡𝑡 𝜌𝜌(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 "とおいている。これらは BPM と線形素子を経て𝐷𝐷# (𝑡𝑡) = * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " )𝑥𝑥(𝑡𝑡 " )𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "= 𝑥𝑥&! 𝑆𝑆# (𝑡𝑡) + 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑅𝑅# (𝑡𝑡)

𝑆𝑆# (𝑡𝑡) = * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "𝑅𝑅# (𝑡𝑡) = * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝑡𝑡 " 𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "3.

傾斜信号の抽出

この章では CM 信号を Angle 信号から分離する手法を示す。一つの手法は和信号を微分して差信号と掛け合わせる方法であり[1]、もう一つの手法は和信号および差信号を共に BPF に通し、その後、和信号の位相を調整して差信号に掛け合わせる方法である。
後者が本発表の対象である。なお、以下では、
overline を持つ値は、その時間平均であるとしと定義する。

(7)= 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆! (𝑡𝑡) + 𝜃𝜃𝑐𝑐 𝑅𝑅! (𝑡𝑡)となる。ここで CM 信号は Eq. (4) の和の信号𝑆𝑆(𝑡𝑡) と同じ波形をもち、また、Angle 信号の波形を𝑅𝑅! (𝑡𝑡) = * 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝑡𝑡 𝜌𝜌(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 "𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡 " ) "𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑡𝑡 "
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑆𝑆#(13)= −𝑘𝑘 * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 " = −𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑が成り立つ。すなわち、𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)(14)
𝐷𝐷# (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥&! 𝑆𝑆# (𝑡𝑡) − 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑となる。また、同様に Eq. (6)、Eq. (7) から
𝑑𝑑𝑑𝑑
(15)
𝑥𝑥̅ (𝑡𝑡)𝜌𝜌(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥&! 𝜌𝜌(𝑡𝑡) − 𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)!
(16)
𝐷𝐷! (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥&! 𝑆𝑆! (𝑡𝑡) − 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑑𝑑𝑑𝑑となる。これらをみると、CM 信号は和信号に相似、Angle 信号は CM 信号および和信号の微分に相似、となり、また、BPM や線形素子を通過してもその特性は保持される。ただし、実際のビーム形状はGaussian からずれるので、それについての議論は後ほど行う。
= −𝑘𝑘 * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " )tt!!" 0 $𝑅𝑅# (𝑡𝑡) = * 𝐻𝐻(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 " ) 𝑡𝑡 " 𝜌𝜌(𝑡𝑡 " )𝑑𝑑𝑡𝑡 "

(8)

3.1

(11)となる。
さて、バンチが Gaussian であると仮定すると、kをある正定数として𝑑𝑑𝑑𝑑(12)
𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡) = −𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑が成り立つ。このとき'

1 (* 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑′
𝑇𝑇 )'

(17)

(手法 1: 和信号の微分との積

この方式は以前に報告済み[1]であるがここに再掲しておく。回路は Fig. 3 である。

BPM

(9)

(10)

𝑓𝑓(𝑡𝑡) =Beam

T-B

T $! #T+BB"! #%"# #! $ + '(LPF1"#! $"$Differentiator
LPF
1LPF
2

"#! $"$LPF
2#! $'("#! $"$$!

CM%"# #! $ $Figure 3: Bunch slope monitor with differentiation of sumsignal.
この回路では、和信号𝑆𝑆# を微分したものを差信号
𝐷𝐷# とミキサーにより掛け合わせ、LPF に通すことにより Angle 信号を分離する。バンチから十分に離れた時間 +/-T/2 では𝑆𝑆# (±𝑇𝑇/2) = 0 となるので'1
𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡) 1 𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)([𝑆𝑆# (𝑡𝑡)( ]( ' = 0 (18)==𝑆𝑆# (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
2 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑇𝑇)(- 344 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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PASJ2022 TUP023*+! (-) (となる。一方、G*-H は常に正であるので、その時間平均は０ではない。これから、𝐷𝐷# (𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)
= 𝑥𝑥&! 𝑆𝑆# (𝑡𝑡)− 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑘𝑘 I
J
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)(19)= −𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 I
J𝑑𝑑𝑑𝑑となり、傾斜成分が抽出できる。実際の回路では時間平均の代わりに LPF を用いることで 𝑆𝑆(𝑡𝑡) *-*+(-)

項を抑制する。

用いられている Fig. 5 に示す短絡ストリップライン型 BPM(長さ 0.13 m)を仮定した。CST studio suite を用いて計算した長さ 3.3 ps (rms) のバンチに対する出力信号を Fig. 6 に示す。計算時間やメモリの制限からより短いバンチでの計算は困難であったので、この信号を近似的に𝐺𝐺(𝑡𝑡)として用い、モデルのバンチ長を 3.3ps より十分に長い 8 ps (rms)と設定した。
線形加速器ではこれより短いバンチとなる場合が多いが、それについては後ほど検討する。の3.2 手法 2：BPF と和信号の位相シフト
本報告では、新しく BPF をもちいる方法を提案する。回路を Fig. 4 に示す。
BPM

TT-B

*! &T+B

BeamB)! &!! cos &' + )*+ sin &'
BPF

(A)
BPF

cos %&

sin %&(B)LPF)*+ sin" &'

LPF

CM

cos %&(C)Figure 5: Shorted-stripline BPM.

!

!! cos " &'Figure 4: Bunch angle monitor circuit with BPF and phase
control.
𝐷𝐷! (𝑡𝑡) および、その成分である𝑆𝑆! (𝑡𝑡), 𝑅𝑅! (𝑡𝑡)をBPF に 通 し た も の を そ れ ぞ れ 𝐷𝐷$%/ (𝑡𝑡) , 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡) ,𝑅𝑅$%/ (𝑡𝑡)と置く。BPF の中心角周波数を𝜔𝜔とし、BPFのバンド幅による包絡線の変化を無視、そして時刻t を定義しなおすことにより(20)
𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡) = cos 𝜔𝜔𝜔𝜔と置くことができる。このとき、Eq. (9)、(14) のよ
うに𝐷𝐷$%/ (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥&! 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡) + 𝜃𝜃𝜃𝜃𝑅𝑅$%/ (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡)
= 𝑥𝑥&! 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡) − 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑(21)= 𝑥𝑥&! cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜔𝜔 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔となる。さて𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡)は和信号の波形でもあるので、和信号のタイミングを周期 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋/𝜔𝜔の 1/4 だけずらすことにより(22)
𝑆𝑆!"# (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4) = sin 𝜔𝜔𝜔𝜔が得られる。これと𝐷𝐷$%/ (𝑡𝑡) の積の時間平均は𝑇𝑇
𝐷𝐷$%/ (𝑡𝑡)𝑆𝑆$%/ R𝑡𝑡 − S4= 𝑥𝑥&! cis 𝜔𝜔𝜔𝜔 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜔𝜔 sin( 𝜔𝜔𝜔𝜔1(23)= 𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃𝜃 𝜔𝜔
2となり Angle 信号が抽出できる。微分の場合と同様に、時間積分の代わりに LPF を使うこととする。
なお、ここに示した２つの方法では、BPM からの信号の掛け算を用いることから出力の強さはバンチ電流の２乗に比例する。

4.

モデル計算

手法 2 の例を示す。BPM として線形加速器でよくFigure 6: Output of the BPM shown in Fig. 5 for bunchlength 3.3ps (rms).
以下では傾斜の大きさをバンチ長𝜎𝜎(rms) の時間で重心の変位と同じ変位となる角度𝜃𝜃 = 𝑥𝑥𝐶𝐶𝐶𝐶 /(𝑐𝑐𝑐𝑐) と仮定し、バンチ形状およびそれに対応する BPM 出力をそれぞれ𝑡𝑡(24)𝑥𝑥̅ (𝑡𝑡)𝜌𝜌(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥$% 3𝜌𝜌(𝑡𝑡) + 𝜌𝜌(𝑡𝑡)6𝜎𝜎
1(25)
𝐷𝐷! (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥&! I𝑆𝑆! (𝑡𝑡) + 𝑅𝑅! (𝑡𝑡)J𝜎𝜎とする。バンチの波形 Eq. (24) の各成分、およびそれらのスペクトルをそれぞれ Fig. 7 および Fig. 8に示す。BPM の出力𝐷𝐷! (𝑡𝑡)の CM 信号 𝑆𝑆! (𝑡𝑡) および Angle 信号(1/𝜎𝜎)𝑅𝑅! (𝑡𝑡) を Fig. 9、それらのスペクトルを Fig. 10 に示す。これから Angle 信号は、CM信号の微分と相似であり、そのため周波数成分はすべて 90 度ずれていることがわかる。
これらの信号を BPF に通す。その出力を1(26)𝐷𝐷$%/ (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥&! I𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡) + 𝑅𝑅$%/ (𝑡𝑡)J𝜎𝜎とする。BPF の中心周波数として、BPM のスペクトル(Fig. 10)に現れているピークのうち下から３番目の 2.9 GHz とし、バンド幅 150 MHz の Gaussian 型４次とした。BPF の応答は Spice で計算している。BPF
出力(Fig. 11, 12)でも期待通り CM 信号および Angle
信号は 90 度ずれているので、和信号の 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡)の遅延を調整して𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4)を生成し、CM 信号や- 345 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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Angle 信号と掛け合わせて Fig. 13 の信号を生成する。
結果として CM 信号𝑆𝑆$%! (𝑡𝑡) × 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4)は DC 成
分 を 持 た な い 一 方 、 Angle 信 号 (1/𝜎𝜎)𝑅𝑅$%! (𝑡𝑡) ×
𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4) は DC 成分を持つ信号にとなる。
これらの信号をカットオフ周波数 150 MHz をもつLPF(Gaussian, 4 次)に通した信号を Fig. 14 に示す。
DC 成分をもたない CM 信号は強く阻止され、そのため Angle 信号は相対的に大きな信号となっており選択的に抽出できている。

Figure 10: Spectrum of BPM signal of Angle 𝑅𝑅$%! /𝜎𝜎(solid) and CM 𝑆𝑆$%! (dashed).

Figure 7: Bunch shape for model for Angle (𝑡𝑡/𝜎𝜎) 𝜌𝜌(solid) and CM 𝜌𝜌 (dashed). Gaussian shape with 𝜎𝜎(rms)= 8 ps is assumed and 𝑥𝑥$% in Eq. (5) is set to 1.

Figure 8: Bunch spectrum of Angle (𝑡𝑡/𝜎𝜎) 𝜌𝜌 (solid) andCM 𝜌𝜌 (dashed).
CM'& =( + 1/2!!"#$%'~ '' = 2.9234

Angle!!"#$% = 2$/&

さて、より短いバンチについては、バンチを短くする代わりに周波数を低下させて様子を見ることとする。まず、BPF の通過周波数を 2.9 GHz から Fig.
10 の最初のピークの 0.6 GHz とし、1/5 に低下させる。また、バンド幅および LPF の周波数もスケールさせて 31 MHz に設定して計算したものを Fig. 15 に示す。低周波化に伴い BPM からの CM 信号の強度が Angle 信号の強度に対して相対的に大きくなることから、CM 信号の抑制は低下しているが、ミキサーでのタイミングを調整することにより、Angle信号のピークで CM 信号をゼロとすることが可能である。これを利用して重心信号を抑制する。すなわ
ち周波数を 1/5 とした場合でも傾斜信号を抽出可能と考えれば、スケーリングから 8 ps / 5 = 1.6 ps のバンチ長でも適用できる可能性がある。
また、Eq. (12) ( 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑘𝑘 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡) )が成り立つのは厳密には Gaussian だけであるが、上式が近似的には成り立つと期待されれば CM 信号と Angle 信号を間に、程度の位相差が発生することが期待できるので、これまでの手法が適用可能と考えられる。

CMAngle$ = 0.13.

Figure 9: BPM output for Angle 𝑅𝑅! /𝜎𝜎 (solid) and CM
𝑆𝑆! (dashed).

Figure 11: BPF output (point (A) in Fig. 4). Angle 𝑅𝑅$%/ /𝜎𝜎(solid) and CM 𝑆𝑆$%/ (dashed).

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5.

Figure 12: BPF output (expanded). Angle 𝑅𝑅$%/ /𝜎𝜎 (solid)
and CM 𝑆𝑆$%/ (dashed).

回路調整

回路の調整では、ミキサーの２つの入力について、CM 信号が抑制される、というタイミングを探すことが必要となる。すなわち、CM 信号を変化さても出力が変動しないというタイミングを探すことになる。CM 信号を変化させるにはビームを動かす、あるいは、BPM を動かすことで可能であるが、一方、ハイブリッドへの２入力の前には Fig. 16 のようにそれらの振幅のバランスを調整するための可変減衰器が設けられているので、そのバランスを崩すことで CM 信号に相当する信号を差信号に持ち込むことができ、その強度を変化させることができる。ただし、減衰量の変化に伴い減衰器内部の遅延も変化する可能性があるので注意する必要がある。
!(1 + $%)

T

D=T-B
B

!(1 − $%)

Figure 13: Output of mixer (point (B) in Fig. 4).
Angle: 𝑅𝑅$%/ (t)/σ × 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4)(solid)and
CM: 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡) × 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4) (dashed).

Figure 14: Output of LPF (point (C) in Fig. 4) for input
signals; Angle: 𝑅𝑅$%/ (𝑡𝑡)/σ × 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4) (solid) and
CM: 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡) × 𝑆𝑆$%/ (𝑡𝑡 − 𝑇𝑇/4) (dashed).
Angle

Different Mixing
Timing (+/- 2ps)

CM

Figure 15: Same as Fig.14, with lower frequency
BPF(fc=0.6 GHz , BW= 31 MHz) and LPF(fc=31 MHz).

1−'!(2$% + ')! 1 − $% 1 − '~ !(1 − ' − $%)Figure 16: BPM front-end circuits with variable attenuatorto adjust amplitude balance of two inputs to 180 degreehybrid.
また、ハイブリッド出力の差信号𝐷𝐷! (𝑡𝑡)には、𝜌𝜌(𝑡𝑡) に関連した位置換算で数百ミクロン程度となる不要な信号が混入する。一方、目標の一つであるbunch-by-bunch フィードバックへの応用を考えるとミクロンの精度で数百 MHz の測定レートが必要である。そこで𝐷𝐷! (𝑡𝑡)はベータトロン振動周波数を持つ一方、𝜌𝜌(𝑡𝑡) に関連した不要な信号は周回ごとに一定となることを利用しデジタル信号処理によりベータトロン振動だけを抽出することが可能であり、上記の要求を満たせる可能性がある。

謝辞

線形加速器への適用について議論や示唆をいただ
きました KEK の諏訪田剛様、宮原房史様、菊池光男様に感謝いたします。

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Oscillation for the Beam Shape Manipulation”, THPRO065,
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