数理解析研究所講究録
第 1549 巻 2007 年 169-176

$p$

169

進多重ゼータ値の双対性について
九州大学・数理学府 田中立志 (Tatsushi Tanaka)
Graduate School of Mathematics, Kyushu University

definition

1

本文中の$p$はすべて素数とする.

進多重ゼータ値の定義は, Colemt の 進積分論を用いた古庄 [F] の仕事である. 本報告集ではその本質的な部分は省き, 定義に至るまでの話を概説することにする.
$k_{n}\in N$ に対して,
$p$

$p$

$k_{1},$$\ldots,$$Li_{k_{1},\ldots,k_{n}}(z)$$:= \sum_{m_{1}>\cdots>m_{n}>0}\frac{z^{m_{1}}}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{n^{n}}^{k}}$上の関数を (重さ $k:=k_{1}+\cdots+k_{n}$ , 深さ の) 進多重ポリログ, pMPLという. これは $|z|_{p}<1$ で収束している.
まで
この関数を $z=1$ でも意味あるものにするべく, まずは解析接続する. そのために必要な理論が Coleman の 進積分論である. その解析接続された pMPL をもって改めて $pMPL$ ということにする. すなわち, 進なる$n$$\mathbb{C}_{p}$$p$$\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}_{p})-\{1, \infty\}$

$P$

$P$

多重ポリログとは, 次のように帰納的に定まる関数である.
$\ldots k_{n}\in N,$に対して,$k_{1},$$\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C}_{p})-\{1, \infty\}$

上の Coleman$a\in \mathbb{C}_{p}$$Li_{k_{1},\ldots,k_{n}}^{a}(z)= \{\int_{z^{-1,k_{2}.’.\cdot.\cdot.,k_{n}}}^{z}(t)dt\int_{0}\frac{\frac Li_{k_{1}}^{a}1t1}{1-t}Li_{k_{2},,k_{n}}^{a}(t)dt$$(k_{1}=1)(k_{1}>1),$.
$Li_{1}^{a}(z)=- \log^{a}(1-z)(=\int_{0}^{z}\frac{dt}{1-t})$$\log^{a}$.

は $p$ 進対数関数であり, a ごとに定まる $(\log^{a}(p)=a)$ . $P$ 進多重ポリログ

この形で帰納的に定義するのは, もとのに関する微分関係式に由来する. 積分の記$|z|_{p}<1$ での級数表示から求まる,号はすべて Coleman の 進積分である.
をとったものが (収束すればそれが)そこで, この pMPL を極限値
進多重ゼータ値, pMZV である. 重さ, 深さの概念は pMPL のそれと同じである.
はこの $\log^{a}$ ごとに定まる関数である.
$z$

$P$

$\lim_{zarrow 1}’$$\zeta_{p}(k_{1}, \ldots k_{n})$$:= \lim_{zarrow 1}\prime Li_{k_{1},\ldots,k_{\hslash}}^{a}(z)$

$P$

170
上の関数 $f(z)$ に対して,ここに,の数列 {Zn}雛 l に対して, 極限値値を表す.
$\mathbb{C}_{p}$$lim1_{\text{→}1}f$(のとは, 次の 2 条件を満たす任意$\lim_{n\ovalbox{\tt\small REJECT}\infty}f(z_{\text{π}})$(i)$z_{n}$

(ii)

→α

in

$\mathbb{C}_{p}$が同じ値に収束するときにその,$e(\mathbb{Q}_{p}(z_{1}, z_{2,-})/\mathbb{Q}_{p})<\infty$(i.e. 分岐指数有限の拡大).

ゐ魏、,..., ゐ. (2) が収束するか否か, 及び収束したときの値は によらないこと, た 1 $>1$ ならいつも収束し, ん 1 $=1$ でも収束することもあること, さらに,$\lim 2_{\text{→}1}$$pMZV$ は値を$a$$\mathbb{Q}_{p}$に持つことも知られている.

known results and main results2で定義した $pMZV$ の性質として, 特殊値, 関係式, $pMZV$ たちが張る 上のベクトル空間の次元予想を見ていくことにする. 主結果については証明もつ$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$$\mathbb{Q}$ける.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$(1) [ $C$ によると, 深さ 1 の $pMZV$ は久保田-Leopoldt の 進$p$$L$関数の特殊値に一致する.
$\zeta(k)=_{p}k_{\overline{1}}L_{p}(k\text{ω^{}\ovalbox{\tt\small REJECT} k})$(ん〉・)・(2 ん) $=0$ や, も (銑 +1) ≠ $0(p|(k-1)$ ま
たは は正則素数) が Sou16 [S] などにより知られている.
(2)
紛 $=0$ と, 後述の harmonic product formula を用いると,ωは Teichm 廿 ler 指標である・ 特に,$\zeta_{p}$$p$$\zeta(2$$\zeta(2k, -2k)=0$であることが分かる.
$P\ovalbox{\tt\small REJECT} oof$

インデックスの深さに関する帰納法深さ 2 のとき, harmonic productformula より$\zeta_{p}(2k)^{2}=2\zeta p(2k, 2k)+\zeta p(4k)$

従って, 窃 (2 ん, 2 ん)=0 が得られる.
深さが $n-1$ まで成り立っとして深さ
product fbrmula よ り$n$.のときを考える. やはり harmonic

171$\zeta_{p}(2kn-2k)\zeta_{p}(2k)=\zeta_{p}(2kn-2k, 2k)+\zeta_{p}(2k, 2kn-2k)+\zeta_{p}(2kn)$.

辺々交代的に加え, $\zeta_{p}(2k)=0(k\in N)$ を用いると $\zeta_{p\cup}2k,$’ $2k=0$ が得られ$n$

る.

口(3) (2) の事実と, 後述の shuffle product formula を用いると,6 $(3, 1, \ldots 3,1)=0,$であることが分かる. 但し,$I$$\sum_{k\in I}\zeta_{p}(k)=0$はインデックス$\cup^{3,1,,3,1}2n$の間に 2 を 1 つだ

け入れた, 深さが $2n+1$ のインデックス全体. 証明には shuffle 積代数鵤 $(:=$, 後述) における恒等式 [BBBL] を用いる.

$\mathbb{Q}+x\mathfrak{H}y$

Proof.

$\mathfrak{H}^{0}$で次のような式が成り立っ :$\sum_{i=-n}^{n}\{(xy)^{n-i_{i}}(xy)^{n+i}\}=4^{n}(x^{2}y^{2})^{n}$辺々$Z_{p}$.

を施すと$\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}(2i+1)\{(xy)^{n-i_{i}}(xy)^{n+1+i}\}$$=4^{n}( \sum_{i=0}^{n}(x^{2}y^{2})^{i}xy(x^{2}y^{2})^{n-i}+\sum_{i=1}^{n}(x^{2}y^{2})^{i-1}x^{2}yxy^{2}(x^{2}y^{2})^{n-i})$辺々$Z_{p}$

従って,.

を施すと

$\sum_{k\in I}\zeta_{p}(k)=0$が得られる.

口172$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

上の shuffle 積
構造, 巧 1 $:=$
まず, 2 変数の非可換多項式環幻功上の harmonic 積 $(*)$ 構造とろなる evaluation map を定義する.
演算めは次で定義される.
: 幻 ×ゐ$:=\mathbb{Q}@,$ $y>$$(\ovalbox{\tt\small REJECT}\coprod)$$\mathbb{Q}+$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$(i)$\mathbb{Q}$-双線形性(ii) 任意の $w\in$ 巧に対し,$wm1=1\ovalbox{\tt\small REJECT} w=w$(iii) $u_{F^{X}}$ または雪 ￠ $=1,2$ ) と任意の words$(u$巧は積演算$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$*$$w_{1})$、,$w_{1},$$w_{2}\in$

めに対し皿 $(u_{2}w_{2})=u_{1}(w_{1}mu_{2}w_{2})+u_{2}(u_{1}w_{1}mw_{2})$.

により可換代数となる. これを巧 m と書く.
は次で定義される.
: 幻1 ×$\mathfrak{H}^{1}arrow \mathfrak{H}^{1}$

-双線形性

(i)

$\mathbb{Q}$$w*1=1*w=w$ ,(ii) 任意の $w\in$ 巧 1 に対し,(iii) 任意の $p,$ $q\in N$ と任意の words$w_{1},$$w_{2}\in$

め 1 に対し$z_{P}w_{1}*z_{q}w_{2}=z_{P}(w_{1}*z_{q}w_{2})+z_{q}(z_{p}w_{1}*w_{2})+z_{p+q}(w_{\text{・}}*w_{2})$により可換代数となる. これを母と書く.
は幻 の,
め :=Q+ H 的 ( ⊂ め 1 ⊂ ) とおくと, 巧 1

め 1 は積

・

$*$

$0$

$x$

$\mathfrak{H}^{-}$$\mathfrak{H}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathfrak{H}^{-}$

は媛の部分代数となる, これらをそれぞれ瑞, 巧昏現と書く・

め o の各 word を $pMZV$ に evaluate する$\mathbb{Q}$-線形写像ろ : め o$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Qp を$Z(x^{a_{1}}y^{6_{1_{\text{…}}}} x^{a_{\text{・}}}y^{\text{わ_{・}}})=\zeta(a_{1}+1,\vee^{\text{一}}6_{1}-1$( , ゐ ‘ ≧ ) で定義する. 2 つの shuffle relation とは写像ろが $m$ 積とて -代数準同型になるというものである.
$1$$a_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$\mathbb{Q}$

Theorem 2.1. $([BF|,$ $[FD$(1) $shum_{e}$ product fbrmula 任意の $w,$ $w\in$ 巧 o に対して,$Z(wmw)=Zp(w)Z(w)$・(2) harmonic product formula 任意の $w,$ $w\in$ め o に対して,$Z(w*w)=zp(w)Z(w’)$

・$*$

積につい173
特に,(3) double shuffle relation 任意の $w,$$w’\in \mathfrak{H}^{0}$に対して,$Z_{p}(w\coprod 1w’-w*w’)=0$ .

Main Theorem 2.2. duality 任意の$w\in \mathfrak{H}^{0}$$Z_{p}(w)=Z_{p}(\tau(w))$

ここに,$\tau$:$\mathfrak{H}^{0}arrow \mathfrak{H}^{0}$

に対して,

.

は $xrightarrow y,$ $y\mapsto x$ で定義される反自己同型である.

(1) の shuffle product formula を用いれば, 進 Drinfel’d associator の 2-cyclerelation と pMZV の duality とが equivalent であることが分かる. 両者を結びつけたものは, formal associator の 2-cycle relation (\S ^\S 3 で述べる) であった. このことを本報告集での主結果とする.
$P$

Proof.

$p$

ms Drinfel’d associator(7)2-cycle relation$\Phi_{KZ}^{p}(X, -Y)=\Phi_{KZ}^{p-1}(-Y, X)$は, formal associator を evaluate したものとして,$Z_{p}(\hat{\Phi}(X, Y))=Z_{p}(\hat{\Phi}^{-1}(-Y, -X))$と書ける. formal associator の 2-cycle relation$\hat{\Phi}^{-1}(-Y, -X)=\tau(\hat{\Phi}(X, Y))$を用いて係数比較すると pMZV の duality が出る. 逆を辿れば両者が equivalent
口であることが分かる.

また, 古庄氏による以下の証明もある. 従来の$P$

進 KZ 方程式$\frac{\partial G}{\partial u}=(\frac{X}{u}+\frac{Y}{u-1})G(u)$

を左

$P$

進 KZ 方程式と呼ぶことにする. これには基本解 $G_{0}(u),$ $G_{1}(u)$ で,$\lim_{\epsilonarrow 0}G_{0}(\epsilon)\cdot\epsilon^{-X}=1,$$\lim_{\epsilonarrow 0}G_{1}(1-\epsilon)\cdot\epsilon^{-Y}=1$をみたすものが一意的に存在する. 同様に, 右$P$

進 KZ 方程式$\frac{\partial H}{\partial u}=H(u)(\frac{X}{u}+\frac{Y}{u-1})$

174には, 基本解 $H_{0}(u, H_{1}(u)$ で,1,$\text{臨^{}6^{-y}}$・$H_{1}(1-6)=1$をみたすものが一意的に存在する. この解たちに,$H_{0}(u)=G_{1}($

一一一$H_{1}(u)=G_{0}($一$Y’$

一$X;1-u)^{-1}$なる関係 1 があるため,$Y$$\text{軽_{}Z}(X,Y)=1i^{H_{0}(X;1\epsilon)\epsilon^{x}}$一と書ける.

この式の両辺の一一$x^{k_{1^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}1}y_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}X^{k_{\text{π}}-1}Y$(極 $>1$ ) の係数を比較すれば$pMZV$ の duality が得られる.

その他,

$p$

進でない MZV で成り立っ種々の関係式が $pMZV$ でも成り立っかどうかは open problem である.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

重さんの $pMZV$ たちが張る$2k$

戰 トル空間鐸を・$:=\text{
Σ_{}+k_{n}=k}\mathbb{Q}$$\zeta(k_{1,\text{…}}\text{鳶_{}1+\ovalbox{\tt\small REJECT}}..$’

このとき, 次元予想とは, 数列 {d η}盤 l が $d_{0}=1,$ $d_{1}=$$0,$ $d_{2}=1$ , 娠 $=$ 娠-2+ 娠_3 (ん ≧) をみたすとするとき,と書くことにする.

$3$$\dim_{Q}Zkd_{k3}$一というものである. 山下氏により $\dim_{Q}$ 鐸≦ $d_{k-3}$ が示された. (本報告集の山下氏の頁参照)

3associator
まず,Drinfblの手法を用いて, 古庄 [associator を構成的に定義する.

$Le\ovalbox{\tt\small REJECT} Murakami[LM\ovalbox{\tt\small REJECT}$$d$$F\ovalbox{\tt\small REJECT}$により定義された$p$進

1 右 進 KZ 方程式はその作り方からそもそも σ $-1$ の微分方程式になっています. 本集会中早稲田大学の大井氏による御指摘もありました.
$P$

175
-代数準同型 :-線形写像$Y-\eta$ で,を, $X\mapsto X-\xi,$ $Yrightarrow$を,:$Y^{p}MX^{q}(M\in\{X, Y\}^{*})$ で定義する. また, pMZV たちを係数にもつ 2 変数の非可換巾級数’(X, $Y$ ) を,$\mathbb{C}_{p}$$g_{1}$$\mathbb{C}_{p}\langle\langle X, Y\rangle\ranglearrow \mathbb{C}_{p}[[\xi, \eta]]\langle\langle X, Y\rangle\rangle$$\mathbb{C}_{p}$$\varphi^{p}(X, Y)$$\eta^{p}M\xi^{q}rightarrow$$\mathbb{C}_{p}[[\xi, \eta]]\langle\langle X, Y\rangle\ranglearrow \mathbb{C}_{p}\langle\langle X, Y\rangle\rangle$$g_{2}$$:=1+ \sum^{\infty}$$(-1)^{n}\zeta_{p}(k_{1}, \ldots k_{n})X^{k_{1}-1}Y\cdots X^{k_{n}-1}Y$$\sum$$n=1$$k_{1}>2$$k_{2},\ldots X_{n}\geq 1$

とおく. この’(X, $Y$ ) に$\Phi_{KZ}^{p}(X, Y)$ である.

$g_{1}$と$g_{2}$の合成を施したものが 進 Drinfel’d associator$P$$\Phi_{KZ}^{p}(X,Y)=g_{2}\circ g_{1}(\varphi^{p}(X, Y))$さて, formal associator$\hat{\Phi}(X, Y)$とは,$\hat{\Phi}(X, Y):=\exp_{III}(-yY)\cdot$$\sum_{w\in\{x,y\},W=Cap(w)}wW\cdot\exp_{I\coprod}(-xX)$の元である. ここに,で定義される巧 nJ \langle \langle X,
Cap $(w)$ は の大文字化, $\exp_{III}(-yY)$ は,$Y\rangle\rangle$$\{x, y\}^{*}$

は $x$ と$y$の word 全体,$w$$\exp_{lII}(-yY)$である. (ある.

$y^{m_{n}}$は$y$$:= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}y^{\infty_{n}}\frac{Y^{n}}{n!}$の $n$ 個の $rn$ 積による積)$\hat{\Phi}(X, Y)$は実は$\mathfrak{H}_{III}^{0}\langle\langle X, Y\rangle\rangle$の元でを evaluate することで得ら
Drinfel’d associator は formal associator
れることが [IKZ] (の予稿版) により知られている. それは 進でも同様である.
$\hat{\Phi}(X, Y)$$P$$\Phi_{KZ}^{p}(X, Y)=Z_{p}(\hat{\Phi}(X, -Y))$[T] では$\hat{\Phi}^{-1}(X, Y)$

.

を計算し,

$\hat{\Phi}^{-1}(X, Y)$$:=\exp_{\bm{m}}(xX)\cdot$$\sum_{w\in\{x,y\}^{*},W=Cap(w)}S(w)W\cdot\exp_{\iota u}(yY)$であることを導いている. ここに, $S$ :$\mathfrak{H}arrow \mathfrak{H}$は $x\mapsto-x,$ $yrightarrow-y$ で定まる反自己同型. このことから,$\hat{\Phi}(X, Y)\cdot\tau(\hat{\Phi}(-Y, -X))=1$であることが分かる. ( は係数のみにかかるものとする) これが formal なレベルでの 2-cycle relation である.
$\tau$

176

参考文献[BBBL] J. M. Borwein, D. M. Bradley, D. J. Broadhurst and P. Lison\v{e}k; Combinatorial aspects of multiple zeta values, The Electronic J. of Combinatorics, Volume 5(1) (1998), R38.

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[T] T. Tanaka ; A few applications of shuffle products for p-adic multiple zetavalues, Master’s thesis, Kyushu University (2004).