数理解析研究所講究録
1110 巻 1999 年 64-67

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Extension of automorphisms of a subfactor to
the symmetric enveloping algebra
増田俊彦(MASUDA Toshihiko)
高知大学理学部数理情報学科

1

序

表題の symmetric enveloping algebra とは与えられた subfactor ら新しい subfactor を型 subfactor $N\subset M$ から新しい subfactor を作作る方法の–つであるが, 与えられたる方法としては次にあげる 4 種類の方法が知られている.
1 番目は central sequence subfactor, ここで は自然数の上の超フィルターである. 2 番目は Ocneanu の asymptotic inclusion $M\vee M’\cap M\infty\subset M_{\infty}$ である. 3 番目
図である. 4 番
は表題にもある Popa の symmetric enveloping algebra$\mathrm{B}\mathrm{a}$$\mathrm{I}\mathrm{I}_{1}$$M’\cap N^{\omega}\subset M_{\omega}$$\omega$$M\vee M^{\mathrm{O}}\mathrm{P}\mathrm{p}\subset M$$M^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$どN

目は Longo-Rehren inclusion である. 実際にこれらは違う目的で考えられた物ではあるが,良い条件の下ではこれらは同型になったり, 同じ paragroup(又は standard invariant) を持つ事が知られている. この報告では特に central sequence subfactor と symmetric enveloping
algebra の類似に着目して, 河東が [1] で行った自己同型の解析の類似を如何に symmetricenveloping algebra 上で行うかを解説したい. この報告の内容は主に [4], [5] の内容に基づいている.

Longo-Rehren 構成法の $-$ 般化と symmetric envelopalgebra

2$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$

序では新しい subfactor を構成する方法として, Longo-Rehren inclusion を挙げたが,Longo-Rehren の構成方法は最初の subfactor が深さ有限の場合にしか通用しない. そこで,これを–般の subfactor に適用できる様にする必要がある.
を $N\subset M$ から生じる M-M bimodule のシステムとする. M-M bimodule $MZiM$ にをこれから自然に得られるとする
対して,bimodule とし,$\Delta$$Z_{i^{\mathrm{O}}}$とこれは$A:=M\otimes M^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$$M^{\mathrm{o}_{\mathrm{P}\mathrm{P}_{-}}}M\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}$bimodule となる.

$B_{i}:=Z_{i}\otimes Z_{i^{\mathrm{O}}}$$\{V_{i,j,k}^{e}\}_{61}^{N_{j}^{k}}=\subset \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(_{M}z_{i^{\otimes_{M}}}ZjM, MZkM)$

を正65

規直交基底とし,$\tilde{V}_{i,j,k}$を次の様に定義する.
$\tilde{V}_{i,j,k}:=\sqrt{\frac{d(i)d(j)}{d(k)}}\sum_{e}V_{i,j}^{e},\otimes JkVi,j,k\mathrm{e}J^{-1}$.

すると $J$ が複素線型写像なので, これは基底の取り方によらずに定義される.
ここで $AXA:=\oplus_{i\in\Delta^{A}}B_{iA}$ と A-A bimodule を定義する.
$\lambda_{i,\xi}^{l}\in B(X)$

ここでに対し,$\xi\in B_{i}^{\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{d}}$を次の様に定義する.

.

$\lambda_{i,\xi}^{l}(\oplus\eta_{j}):=\oplus jkj\sum\tilde{V}_{i},j,k(\xi\otimes_{M}\eta_{j})$で生成される von Neumann 環とすると, $A\subset B$ をえる.
ここで symmetric enveloping algebra の構成を簡単に復習しておく. 詳細は[6], [7] を参照されたい.
$B$を$\lambda_{i,\xi}^{l}$, Jones projectionで生成される $c*$ 環とする. するとこの時この四脚に–意的に tracial state が存在する事が示される. ここで
この tracial state に関して GNS 構成を行って,弱位相で閉包をとった物を $M$ 図とを $M,$

$C^{*}(M, e_{N}, M’)\subset B(L^{2}(M))$$M^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$$e_{N}$$C^{*}$$\sigma$$M^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$$\mathrm{e}_{N}$かく

この時次の定理が示される。

定理 21([4])$A\subset B\cong M\vee M^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}\subset M$

図$M^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$.

$e_{N}$

3

自己同型の拡張

この節では, 前節の結果を使って, subfactor の自己同型 から symmetric enveloping
algebra 上の自己同型 図と 図 $id$ を構成する.
まず自己同型
Aut $(M, N)$ をとってくる. すると, M-M bimoduleに$MZiM\congM\alphaZi’\alphaM$
対して,となる がある. この同型を与えるユニタリ作用素をと$\alpha$$\alpha$$\alpha^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$$\alpha$$\alpha\in$$MZ_{iM}\in\triangle$$i’$$U_{i,\alpha}$

おくとこのユニタリ自体はスカラー倍の任意性があるが, 上の$\tilde{V}_{i,j,k}$の定義と同様$\tilde{U}_{i,\alpha}$$:=$を考えるとこれはきちんと定義されている. そこでを考えると Ad$(B,A)$がわかるので, AdAutとなっている事がわかり,さらに 上ではと–致している事もわかる. そこでとおく.
ここで が強外部的でないと仮定する. すると長田-幸崎による強外部的でない自己同型の特徴付けによって, これはである事と同値なので 次がすぐゎかる.
$U_{i,\alpha}\otimes JU_{i,\alpha}J^{-1}$$U_{\alpha}:=\oplus_{i}\tilde{U}_{i,\alpha}$$U_{\alpha}\in$$U_{\alpha}(\lambda_{i,\xi}\iota)=\lambda_{i’,\overline{U}i,\alpha\xi}$$A$$\alpha\otimes\alpha^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$$\alpha \text{図}\alpha^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}:=\mathrm{A}\mathrm{d}U\alpha$$\alpha$$M\alpha^{-1}MM\in\triangle$

命題 31の時 図$\alpha$$\alpha$が強外部的でない事と Adが成り立つ.

$U_{\alpha}$が $B$ の内部自己同型になる事は同値である. こ$\alpha^{\mathrm{o}\mathrm{p}}=\mathrm{A}\mathrm{P}\mathrm{d}\lambda_{\alpha},\hat{1}$

ここまでは$\alpha\otimes\alpha^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}$の拡張を考えるには$\alpha$の拡張を考えたい. しかしこが自明な Loi 不変量を持っている事を仮定する必要がある. この場の $B$ への拡張を考えたが次に$\alpha\otimes id$合に自己同型の拡張を考える上でのキーポイントとなるのは次の定理である.

66

定理 32存在する.

$\alpha$(1)(2) 任意のを自明な Loi 不変量を持つ自己同型とすると次の様なユニタリ作用素$\mathcal{E}_{i,\alpha}\in \mathrm{H}_{0}\mathrm{m}(_{M}z_{iM,M\alpha}Z_{iM}\alpha)$$\mathcal{E}_{i,\alpha}$が.

$T\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(MZ_{i}\otimes_{M}Z_{jM,M}Z_{k}M)$について$\mathcal{E}_{k,\alpha}T=T(\mathcal{E}i,\alpha\otimes_{M}\mathcal{E}_{j,\alpha})$が成り立つ.

この定理を使うと$\tilde{\mathcal{E}}_{i,\alpha}:=\mathcal{E}_{i,\alpha}\otimes id\in B(B_{i})$と置いた時, 前節で構成した,$\tilde{V}_{i_{7},k}$について$\tilde{\mathcal{E}}_{k,\alpha ij,k}\tilde{V},=\tilde{V}_{i,j},k(\tilde{\mathcal{E}}_{i.\alpha}\otimes_{A}\tilde{\mathcal{E}}_{j},\alpha)$がわかる.と置いた時 Adが成立するので, これを使うととなっている. ことなっており, への制限はよって前と同様 Adと書く.の自己同型をここで, 上で考えた 2 種類の自己同型の拡張の関係をみてみる. そこで, を自明な Loiが強外部的でないとする.
不変量をもつ自己同型をし, さらにある $p>0$ についてを考えるとと内部自己同型となる. ここで, 凹
すると上で見た様に 図となる事がわかる.
これはあるスカラー があって$\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}:=\oplus_{i}\tilde{\mathcal{E}}_{i,\alpha}$$\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}(\lambda^{l},)i\xi=\lambda_{i,\overline{\mathcal{E}}_{i,\alpha}\xi}$$A$$\tilde{\mathcal{E}}_{\alpha}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B, A)$$\alpha\otimes id$$\alpha \text{図}id$$\alpha$$\beta:=\alpha^{p}$$\beta$

$c$

命題 33

$c=\gamma_{h}(\alpha)$$id(\lambda_{\beta})$$\alpha$$\beta^{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}}=\lambda_{\beta}$$c\lambda_{\beta}$が成り立つ.

ただし$\gamma_{h}(\alpha)$は higher obstruction である.

(Higherobstruction については [2, Section 2] を参照の事. )序にも述べたが, この話の–つの動機は [ の議論を symmetric enveloping algebra 上でどの様にするか, であったが, ここで今までの議論と [1] の議論を比較してみたい. そのために [1] における議論を簡単に復習してみる.
をとってくると, まずユニタリの列 $\{u_{n}\}\subset U(N)$自己同型ととれる. そこで $U:=(u_{n})\in N^{\omega}$ とおくと Ad は central sequence
がAd上の自己同型となる. ここで が centrally trivial というsubfactorとかき相対 Jones 不変となる事が示される. この数を仮定を使うと,$1|$$\alpha\in \mathrm{C}\mathrm{n}\mathrm{t}(M.N)\cap\overline{\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}}(M, N)$$\lim_{narrow\infty}$$U$$u_{n}=\alpha$$M’\cap N^{\omega}\subset M’\cap M^{\omega}$$\alpha$$\kappa(\alpha)$$U^{*}\alpha(U)\in \mathrm{C}$$\kappa$量と呼ぶ.

すると下の様な対応がある事がわかる.

最後に subfactor 理論における orbifold 構成法との関係を述べる. 今 を強外部的でなく自明な Loi 不変量を持つ自己同型で周期が とする. そこで同時接合積を考える. これからできる symmetric enveloping algebra と元の subfactor からくる symmetric enveloping algebra を比較したい. そこで $A\subset B$ を $N\subset M$ から得られる$\alpha$$n$$Mx_{\alpha}\mathrm{Z}_{n}$$N\aleph_{\alpha}\mathrm{Z}_{n}\subset$

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symmetric enveloping algebra とし,である. -方で今上には$\tilde{A}\subset B$をとる. ここで$\tilde{A}\rangle\triangleleft_{\alpha\otimes i}d\mathrm{z}_{n}$$\tilde{A}:=A\vee\{\lambda_{\alpha}\}$で与えられる$A\rangle\triangleleft \mathrm{P}\mathrm{Z}\alpha\otimes\alpha^{\circ \mathrm{p}}\mathrm{n}$と同型$\mathrm{Z}_{n}$$l$が成り立つ最小の正の整数としてる. すると はの作用である. ここで
unitary とする. そして$B\lambda_{\alpha\otimes i}d\mathrm{z}_{n}$$\beta$と置くと, これは作用があるのでこれで同時接合積
は 2 次コサイクルで捻った接合積となる. ここで を$\alpha \text{図}id$$\mathrm{z}_{\iota}$$u,$ $v$$\tilde{u}:=\lambda_{\alpha}^{*}uv\in B\lambda_{\beta}\mathrm{Z}\iota$

定理 3.4 Orbifold subfactor

上の自己同型をそれそれ$\alpha$$\beta$

図 $id,$

を $\beta=\alpha$ 区$\gamma_{h}(\alpha)^{l}=1$$id^{\frac{n}{l}}$と定義すに関する implementing$\beta$とおくと次の定理が成り立つ.

$N\rangle\triangleleft_{\alpha}\mathrm{z}_{n}\subset M\lambda \mathrm{z}\alpha n$から生じる symmetric enveloping algebra

は$(M\vee\{u\})\vee(M^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\mathrm{p}\vee\{\tilde{u}\})\subset B_{\lambda}\beta \mathrm{z}_{\iota}$と同型である.
この定理は Popa による symmetric enveloping algebra の特徴付けを調べる事により証明される.

参考文献[1] Kawahigashi, Y., Orbifold subfactors, centr $al$ sequences and th rela tive Jones invariant , Inter. Math. Res. Not. 129-140, (1995).
$e$$\kappa$[2] Kawahigashi, Y., Classifi tion of approximately in $ner$ automorphisms of subfactors,
Math. Annal. 308 (1997), 425-438.
$c\mathrm{a}$[3]$\mathrm{L}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{n}\mathrm{g}_{0}$, R., and Rehren, K.-H., Nets of$\mathrm{s}\mathrm{u}$bfactors, Rev. Math. 7 (1995), 567-597.

[4] Masuda, T., Generalization of Longo-Rehren constr ction to subfactors of infinite$dep$ th and amenability ofsion rule algebras, preprint, (1998).
$\mathrm{u}$$f\mathrm{u}$[5] Masuda, T., Extension of automorphisms of a subfactor to the symm tric enveloping
alge , preprint (1998).
$e$$b\mathrm{r}\mathrm{a}$[6] Popa, S., Symm tric enveloping algebras, amena bility and $AFD$ properties forfactors, Math. Res. Lett. 1 (1994), 409-425.
$e$[7] Popa, S., Some properti es of th symmetric enveloping alge
applica tions to amen ability and property , preprint, (1997).

$br\mathrm{a}$

$e$

$T$

$s\mathrm{u}b-$of a subfactor with