数理解析研究所講究録908 巻 1995 年 134-147

134

周期系における Bloch 波の包絡ソリトン
剛 (Takeshi Iizuka)\dagger 愛媛大理

飯塚

1$\mathrm{I}\mathrm{I}^{*}$

序論
不均–系におけるソリトン現象はこれまで、以下のような種々の条件下で調べられてきた。

1) 局所的な不均–性によるソリトン散乱 [2]2) 緩やかな不均–性によるソリトン増幅、減衰、分裂 [3]3) 弱不均–系でのソリトン変形 [4]4) パラメトリックな力によるソリトンのトラッピング、 ソリトン列の発生 [5].
1) はここでは触れない。 ), ) では系の不均–性を特徴付ける長さが、 ソリトンの特徴
的波長に比べて十分長いという仮定があり、 4) では 2 つ長さが同程度であるという仮定が課せられている。結果的に、 ) ) では、不均–性と非線形性と分散性の 3 つの効果の競
$2$

$2$

$3$

$\sim 4$合を表わすモデル方程式に帰着される。それでは「系の不均–性を特徴付ける長さが、ソリトンの特徴的波長に比べて十分短い場合」はどうなるのであろうか\acute j. 一般的には、モデル方程式に帰着させるのは不可能である。 この理由は物理的にいえば、不均–性によって初期波形から短波長モードが励起されて分散効果が強められるからである。このような場
合はもちろん、 ソリトン現象が観測されるのは不可能であろう。
しかし最近になって、例外的に「不均–性が周期系に分布している場合」 (周期系) ソ
リトン現象がおこる可能性が議論された $[1, 6]_{0}$ つまり (周期系の周期) \ll (ソリトンの波長) という条件下でソリトンが propagate する可能性が、理論的に示されたのである。直観的に考えると、ソリトン波長に比べて十分短い周期の不均–性は、波動に対し頻繁な散乱を招き、結果的にはソリトンを減衰させてしまいそうである。確かに、長波長の弱非線形波動や単色波の変調を考える限り、 ソリトンの観測は不可能である。 しかしここで発想を変えて、「ブロッホ波の変調」 という立場で非線形波動を考えると、状況は–変する。
まずここでいう、ブロッホ波の定義を述べる。量子力学でよく知られている通り、周期
ポテンシャル (周期を とする) の下ではブロッホ波解と呼ばれる波動関数 $Y(x)\exp(-\mathrm{i}\omega t)$が存在する。ただし は空間座標、垣よ時間座標、 \mbox{\boldmath $\omega$}はエネルギー (角振動数) を示し、関
数 $Y(x)$ は次の関係を満たす。
(1.1)
$L$

$x$

$\mathrm{Y}(x+L)=\mathrm{Y}(X)\mathrm{e}^{\mathrm{i}k}L$$*$

論文 [1] の続編$\mathrm{t}_{\triangleright \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}1:}\mathrm{i}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}\mathrm{u}}\mathrm{k}\mathrm{a}^{\{\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{e}}\mathrm{c}\mathrm{I}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}.\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{i}.\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}- \mathrm{u}.\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}_{\mathrm{P}}$135

k は実定数で、波数と呼ばれている。明らかに、 ブロッホ波は自由ポテンシャルの下での平面波 (単色波)$\exp \mathrm{i}(kx-\omega t)$の拡張となっている。 この肝胆は量子力学における波動関数に限らず、周期的不均–性を持つ多くの線形化された古典波動系に対しても成立する。例を挙げると、底の深さが周期的に変わる重力深水波、誘電率が周期的に分布する光ファイバー、後で述べる周期的な格子力学系などがあり、 (11) を満足するような線形解の存在を示すことができる。従って古典波動系に対しても、 このような$\mathrm{Y}(x)\exp(-\mathrm{i}\omega t)$

解をブロッホ波と呼ぶことは、混乱を招くことはないであろう。いうまでもなく角振動数と波数 k はある分散関係で関係づけられ、一般には 1 つの branch が 1 つのバンドに対応するようになっている。
ところで散逸のない波動系において、単色波 $\exp$ i(ゐ x-\mbox{\boldmath $\omega$}t) の非線形効果、会散効果
による変調が、非線形シュレディンガー (NLS) 方程式で記述されることはよく知られてい$\omega$る。 この事実は、光ファイバー、非線形格子、流体、プラズマといった非線形分散系のかなり広い範囲で成立し、 ソリトン現象の普遍性の–因となっている。先に述べた、周期系におけるソリトンはこの考え方をブロッホ波にあてはめたものである。つまり周期系の場
合、一般に線形化された方程式の解は単色波の代わりにブロッホ波となるので、搬送波として単色波でなくブロッホ波を採用する。結論からいうと、包絡波が均–系の場合と同様に、 NLS 方程式に従うことがモデルを用いて証明されたわけだが$[1, 6]_{\text{、}}$

この事実は多く\emptyset 周期系で成立すると考えられる。概略を表示すると次のようになる。
均–系

周期系

この結果は、搬送波がブロッホ波、 という意味でこれまで考えられていなかったソリトンの新しい概念を示唆している。
もっとも周期系におけるソリトン現象の研究は、 これまで全くなかったわけではない。
例えば、誘電率が周期的に分布する光ファイバー中の電磁波では、 Gap ソリトンが数値的に見出された [7]。この現象に対する理論的な説明 $[8, 9]$ によれば、やはりブッロホ波の包絡波が NLS 方程式を満たす、 という結果を得ている。搬送波としてブロッホ波を採用す
る、 という発想はこの研究ではじめて考えられたようだが、 ここではブロッホ波に対して周期性を課している (つまり波数ゐが限られた離散的な値のみしか考えない) のでこの解
’.
.
.. .
析は–般的なものではあるとはいえない。
また Pnevmatikos 達 [10] や Campa 達 [11] は非線形の diatomic 格子系において、optical
方程式に従うことを示し、モードあるいは acoustic モードのゆっくりとした変調が、$\cdot$$\mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{S}$

ソリトン解から予想される孤立波が進行することも数値的に証明した。また、 この系でゼ方程式が導かれることも知られている [12]。さロ波数 k\rightarrow 0 極限をとった場合にはらに、ヘルムホルツ共鳴器が配置されたトンネルにおける音響波でも、ブロッホ波のゼロ$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$136

波長極限の非線形変調として、$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$方程式が導かれた [13]。これらの結果は、均–系と同様に周期系においてもソリトン現象が普遍であることの傍証となっている、と考えられるが、解析法はいずれも各々のモデルに強く依存しているようである。
これに対して先に述べた解析 $[1, 6]$ では、簡単な力学モデル (周期的非線形 Klein-Gordon方程式) を扱っているのだが、方法自体は「一般の周期系に適用できる形の逓減摂動法を構築する」 という立場をとっている。 この解析でもっとも重要なポイントはまず第– に、
ブロッホ波の変調を考えることである。つぎに、与えられた 1 次元の周期的非線形系の波
動 $Y(x,t)$ に対して、次のような展開を導入することである。
$y(x,t)=\epsilon Y(x,\omega)\mathrm{e}^{-}U\mathrm{i}_{\mathrm{I}}dt(\xi, \tau)+\epsilon Y^{*}(X,\omega)\mathrm{e}^{+d}‘\overline{U}\mathrm{i}t(\xi, \tau)$$+ \epsilon V2(X,\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}w}(\iota-i)\frac{\partial U(\xi,\tau)}{\partial\xi}+\epsilon 2V*(X,\omega)\mathrm{e}i\frac{\partial\overline{U}(\xi,\tau)}{\partial\xi}+\dot{u}vt$.

.

$+ \epsilon^{3}W(x,\omega)\mathrm{e}^{-}\dot{u}dt(-1)\frac{\partial^{2}U(\xi,\tau)}{\mathfrak{Q}P},+\mathit{6}\overline{W}3(x,\omega)\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega}t(-1)\frac{iP\overline{U}(\xi,\tau)}{\backslash -}$.-.,$\iota^{-,-}$ ノ $-$$\iota$$-\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\cup’\cdot\iota-,-$ ノ-$\backslash$-ノ$\partial\xi^{2}$$\partial\xi^{2}’$+(非線形の補正項)(1.2)

ただし、新たな独立変数\xi , \tau は$\xi=\epsilon(\frac{\mathrm{d}\text{ゐ}{\mathrm{d}\omega}}x-t)$,$(1.3\mathrm{a})$$\tau=\epsilon^{2}(^{\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2}\text{ゐ}{\mathrm{d}\omega^{2}}}}x+\epsilon^{2}x(X,\omega))$で定義され、$\mathrm{Y}(x,\omega)\mathrm{e}^{-}$(1.3b)‘は与えられた系を線形化したときのブロッホ波である。 また、$V(x,\omega),$ $W(X,\omega),\overline{W}(x,\omega)$はそれぞれ次式で与えられる。

$V(X,\omega)=\mathrm{e}^{ik}x_{\frac{\partial}{\partial\omega}}(Y(x,\omega)\mathrm{e}^{-}ikx)$,(1.4a)$W(x,\omega)=\mathrm{e}^{ikx_{\frac{1}{2}\frac{\theta}{\theta v^{2}}}}(\mathrm{Y}(x,\omega)\mathrm{e}-ikx)-ix(x,\omega)\mathrm{Y}(X,\omega)$(1.4b)$\overline{W}(x,\omega)=\mathrm{e}-ikx_{\frac{1}{2}}\frac{iP}{\mathrm{a}_{v^{2}}}(\mathrm{Y}^{*}(x,\omega)\mathrm{e}ikx)-\mathrm{i}\chi(x,\omega)Y^{*}(x,\omega)$(1.4c)

但しゲージ補助関数\mbox{\boldmath $\chi$}(x, ) (複素数値もとり得る) は周期条件\mbox{\boldmath $\chi$}(x+L) $=\chi(x)$ を満たし$\omega$ているものとし、具体的な形は、逓減摂動法の♂e-‘ の係数の比較から固定される。非線形の補正項の導入の仕方は、モデルがどのような非線形性を持つかに依存する。
展開 (1.2) の第 1項をみればわかる通り、最低次に関する限りこれは波動 $y(x, t)$ がブロッホ波の変調であり、その包絡波は, で与えられることを示しているただしと–U \xi , は.
.
(15)$\text{、}2$$U(\xi, \tau),\overline{U}(\xi_{\mathcal{T})}$$U(\xi, \tau)$$($$\tau)$$\cdot$$\overline{U}(\xi,\tau)=U^{*}(\xi_{\mathcal{T})},*$という関係があるものとものとする。また、定義からわかる通り $V(x,\omega),$はブロッホ波の $Y(x)$ と同じ関係式 (11) を満たしている。 .

$W(X,\omega),\overline{.W.}(x,\omega)$

137

それではなぜ、上のような展開 (1.2) がでてききたのか? また変数\tau の中の補助関数\mbox{\boldmath $\chi$}(x)は何なのか ? 実はこれらは、「線形波動」の議論から自然に導入できることなのである。
詳しくは論文 $[1, 6]$ を参考にしていただきたい。さて、本論文の目的は、 この解析法を周期的非線形格子系に適用することである [14]。もちろん周期は任意の自然数 N である。その意味でこれは、 diatomic 格子の研究 $[10, 11]$ の拡張とも考えることができる。まず次節

では、系を線形化したときブロッホ波解が存在することを示す。第 3 節では、弱非線形波動を考える。そのために、 (1.2) と同様の、摂動展開を行なう。結果を先にいうと、ブロッホ波の包絡波は NLS 方程式に従うことが証明される。

2周期格子のブロッホ漫画
まず周期的「調和」 格子を考える。運動方程式は次式で与えられる。
$m_{j}\ddot{y}_{j}(t)=K_{j}(yj+1(t)-y_{j}(t))-K_{j}-1(yj(t)-yj-1(t))$(2.1)

で、j 番目と $j+1$ 番目の変数垣よ時間を表わし、j 番目の格子の変位、質量はそれぞれとは次のような周期性を持つとする。
と た。
格子を結び付けるばね定数を$y_{j},m_{j}$$\text{し}$$K_{j}$$m_{j}$$K_{j}$$m_{j+N}=m_{j}$(2.2a)$K_{j+N}=K_{j}$(2.2b)

先ず次のような型の解を考えよう。
$y_{j}(t)=Y_{j}\mathrm{e}^{-}\mathrm{i}wt+Y_{j}^{*}\mathrm{e}^{+\mathrm{i}}\omega t$

これを運動方程式に代入すると$Y_{j}$

に関して、 2 階の差分方程式が得られる。

$-\omega^{2}m_{j}Y_{j}=Kj(\mathrm{Y}j+1-\mathrm{Y}_{j})-K_{j-1}(Y_{j}-Y_{j}-1)$

この 2 つの独立解を$Y_{j}^{(1)}\text{、}\mathrm{Y}_{j}^{\{2)}$$-\omega^{2}m_{j}\mathrm{Y}_{j}\{1$

(24)

として、

) $=K_{j}(Y_{j+1}^{\langle 1)}-Y_{j}^{\mathrm{t})})1K_{j}--1(Y\{1)-jY_{j-1}11))$$-\omega^{2}m_{j}\mathrm{Y}_{j}^{\{2})=K_{j}(Y_{j+1}^{(}-2)Y^{1)})j-K_{j}-1(2Y_{j})-Y_{j-1}\mathrm{t}2(2))$$\text{から}\omega^{2}m_{j}$(2.3)(2.5a)(2.5b)

を消去すると、(Y 糞)lYj(2)$-Y_{j}^{\langle 1)}Y)j+11^{2})=K_{j}-1(Y_{j}(1)\mathrm{Y}_{j}1-2)1^{-}Y^{(}j-1)(2)1Yj)$(2.6)

が得られる。つまり、次式で定義される「ロンスキアン」 W が j に依存しない事がわかる。
))$(2)j+1$ 2$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\equiv K_{j(Y)}Y^{(1)}Y_{j}-j+1\langle$Yj11$$Y_{j}^{\langle 1)}\text{、}Y_{j}^{(2)}\text{の境界条件とし}$

(2.7)

て
$\mathrm{Y}_{01}^{(1)\mathrm{t}2)}=Y=0$(2.8a)$Y_{1}^{(1)}=Y0=1(2)$(2.8b)

138を採用する。 $W_{N}=W0$ と $K_{N}=K0$ に注意すると次式を得る。

(2.9)$Y_{N1}^{(1)}Y_{N}^{\mathrm{t})}+-YNY_{N1}+2(1)(2)=1$

ところで$Y_{j+N}^{(2)}$$K_{j}$と mj の周期性を考慮すると、 Yj+N はまた (2.4)

はつぎのように$Y_{j}^{\{1)}$を満たすので、際鞍とと $Y_{j}^{(2)}\text{の線形結合で現せられる}$ 。

$(Y_{j+N}^{(}Y_{j+,2)}^{(}1)N)=\overline{M}(Y_{j}^{(1)}Y_{\mathrm{j}}^{(2}))$(2.10)

ただし M(f $j$ に依存しない $2\cross 2$ の行列で、モノドロミ一行列と呼ばれている。境界条件(2.8) から M の成分が次のように決まる。
$\overline{M}=(Y_{N}^{(1}Y_{N+1}^{(2)}+1)$$Y_{N}^{(2}Y_{N}^{(1)}))$(2.11)

したがって (2.9) からモノドロミー行列の行列式は直ちに(2.12)$\det\overline{M}=1$となる。 さて、$(C_{1}, c_{2})$をモノドロミー行列の固有列ベクトルとする ;(Cl,$c_{2}$)$\overline{M}=\lambda$( ,C2)$c_{1}$

もちろん固有値を とした。さらに「ブロッホ解」$\lambda$$Y_{j}$(2.13)

を次のように導入しよう。

$Y_{j}=c_{1}\mathrm{Y}^{(1)}j+c_{2}Y_{j}(2)$(2.14)$\mathrm{Y}_{j+N}=\lambda \mathrm{Y}j$(2.15)

明らかにこれはを満たす。モノドロミー行列の行列式が 1 であること $(.2.12)$ を利用すると、 M の固有値は次のように求まる。
$\lambda=\frac{1}{2}(\Delta\pm\sqrt{\Delta^{2}-4})$(2.16a)(2.16b)$\Delta=\mathrm{t}\mathrm{r}\overline{M}$(2.16a) をみればわか通り $|\Delta|<2$ であれば\mbox{\boldmath $\lambda$} は複素数であり囚 2 $=1$ となるから、固有値\mbox{\boldmath $\lambda$}は(2.17)$\lambda=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kN}$と表される。ただし実定数ゐはすぐあとでわかる通り波数と呼ぶことができる、 ブロッホに対して次の注目すべき関係式
解の満足する式 (2.15) と (2.17) 比べてみると巧が成立する。
(2.18)$=Y_{j}(\omega)$$Y_{j+N}(\omega)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kN}Y_{j}(\omega)$

139

N に置換えた式他ならない。差これはまさに (1.1) でをそれぞれ j、分方程式 (2.4) にブロッホ解を代入し、 (2.18) を用いると、 $Y_{1}\sim Y_{N}$ に対する次のような$x_{\text{、}}Y(x)\mathrm{s}L$$Y_{j}(\omega)_{\text{、}}$

線形方程式が得られる。

(2.19)$\hat{L}(\text{ゐ},\omega)=$

ここで $N\cross N\text{の行列}\hat{L}(\text{ゐ},\omega)$ は次のように定義した。

$D_{2}..(.\omega)K_{1}0$$K_{j-1}^{\cdot}K_{2}..$.
$K_{N-2}^{\cdot}K_{j}0.$$\hat{L}(\text{ゐ_{}\omega},)=(K_{N}\mathrm{e}^{+kN}D_{1}(\omega)K_{1}\mathrm{i}$$K_{N}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kN}D_{N}(K_{N}-1\omega))(2.20)$$D_{\dot{j}}..\cdot(.\cdot\omega)$.
$\grave{D}_{N-1}..(K_{N-}1\omega)-$(2.21)$D_{j}(\omega)=\omega^{2}m_{j}-(K_{j}+K_{j}-1)$

ただし $N=2$ に対しては(2.22)$\hat{L}(\text{ゐ_{}\omega},)=.$

である $\mathrm{o}Y_{j}\text{のトリビアルな解を避けるためには}\hat{L}(\text{ゐ},\omega)$ の行列式は $0$ である必要がある。

(2.23)$\det\hat{L}(\text{ゐ},\omega)=0$

これは波数んと角振動数\mbox{\boldmath $\omega$} を結び付ける分散関係ほかならない。一般に与えられた実数んに対して\mbox{\boldmath $\omega$}の解は複数の branch を持ち、それぞれは 1 つのバンド’band’ に相当する。さらにもし $|\Delta(\omega)|>2$ であるなら波数ゐは複素数になるので、 (2.18) からわかる通り Yj は空間的に不安定になる。いいかえると\mbox{\boldmath $\omega$}はギャップの中にある、 といえる。
e\psi (-i\mbox{\boldmath $\omega$}のは$Y_{j}(\omega)$

周期格子におけるブロッホ波そのものである。

3非線形格子におけるブロッホ波の変調とソリトン

ここでは、周期系に対する逓減摂動法を非線形格子に適用する。 まず格子波に関して次の 2 つの仮定を課する。
1) 振幅は十分小さい

創波動は、前節で導入した Bloch 波の非線形分散性による、時間空間的にゆっくりとした変調である。

140

j 番目のばねの伸びを\mbox{\boldmath $\delta$}として、 その力学ポテンシャルは$U_{j}( \delta)=\frac{1}{2}K_{j}\delta^{2}+\frac{1}{4}K_{j}\beta_{j}\delta^{4}+O(\delta^{5})$(3.1)

で与えられるとする。但し定数\beta j は周期性を満たす$\beta_{j+N}=\beta j$(3.2)

すると格子の運動方程式は次のようになる。
$m_{j}\ddot{y}_{j}(t)=K_{j}[(y_{j+1}(t)-y_{j}(t))+\beta_{j}(y_{j}+1(t)-yj(t))3]$$-K_{j-1}[(y_{j}(t)-y_{j-}1(t))+\beta_{j-1}(yj(t)-yj-1(t))^{3}]$(3.3)

さて、上式で現せられる格子波 に対して、 (1.2) の型の摂動展開を導入する。そのためにまず、 (1.3) とまったく同様の独立変数を定義する。
$y_{j}$$\xi=\epsilon(\frac{\mathrm{d}\text{ゐ}{\mathrm{d}\omega}}j-t)$$\tau=\epsilon^{2}(^{\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2}\text{ゐ}{\mathrm{d}\omega^{2}}}}j+\chi j\mathrm{I}$(3.4a)(3.4b)

は周期的であり (\mbox{\boldmath $\chi$}j+N=\mbox{\boldmath $\chi$}’)、具体的な形は、あとで決まる。摂動展開は次のように与える。

ただしゲージ補助関数\mbox{\boldmath $\chi$}’$=\chi_{j}(\omega)$$y_{j}(t)=\epsilon Yj(\omega)\mathrm{e}-\mathrm{i}_{d}‘ tU(\xi, \tau)+\epsilon Y_{j}^{*}(\omega)\mathrm{e}^{+t}\mathrm{i}\iota d\overline{U}(\xi, \tau)$$+ \epsilon^{2}V_{j}(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}(\omega-\mathrm{i})\frac{\partial U(\xi,\tau)}{\partial\xi}+\epsilon 2V^{*}(j\omega)\mathrm{e}^{+\dot{\mathrm{n}}t}\mathrm{i}’\frac{\partial\overline{U}(\xi,\tau)}{\partial\xi}$$+ \epsilon^{3}W_{\mathrm{j}}(\omega)e^{-\mathrm{i}\omega t}(-1)\frac{\partial^{2}U(\xi,\tau)}{\partial\xi^{2}}+\epsilon 3\overline{W}j(\omega)\mathrm{e}(+\mathrm{i}\omega l-1)\frac{\#\overline{U}(\xi,\tau)}{\partial\xi^{2}}$$+\epsilon^{3}x_{j}(\omega)\mathrm{e}^{-3\dot{u}}dt(U(\xi, \tau))^{3}+\epsilon X_{j}3*(\omega)\mathrm{e}+3\mathrm{i}\iota dt(\overline{U}(\xi,\tau))3$(3.5)$+O(\epsilon^{4})$と\tau はブロッホ波 Yje-一のゆっくりとした変調を記述する変数であり、$U(\xi, \tau)$ は包絡波である。
のように定義した。

言うまでもなく$\xi$$V_{j\text{、}}W_{j^{\text{、}}}\overline{W}_{j}\text{は}(1.4)$$V_{j}(\omega)=e^{\mathrm{i}k\mathrm{j}_{\frac{\partial}{\partial\omega}}}(Y_{j}(\omega)\mathrm{e}-\mathrm{i}kj)$(3.6a)$W_{j}( \omega)=\mathrm{e}+\mathrm{i}kj_{\frac{1}{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\omega^{2}}(Y_{j}(\omega)e-\mathrm{i}kj)-\mathrm{i}\chi_{j}(\omega)Yj(\omega)$(3.6b)$\overline{W}_{j}(\omega)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kj_{\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}}{\partial\omega^{2}}}}(Y_{j}^{*}(\omega)e^{+})\mathrm{i}kj+\mathrm{i}\chi_{j}(\omega)Y_{j}*(\omega)$(3.6c)

141である。
の関係は、 (1.5) で与えられた通り万 \xi ,を含む行は、 非線形補正項である。
の係数の比較をする。 (ただし はさて $(3.5)$ を運動方程式 $(3.3)$ に代入して\epsilon n
自然数 l は整数) この手続きは、通常の逓減摂動法とほぼ同じとみなせる。 $(n,[)=(1,1)$と $(2,1)$ では式 $(2.4)$ とその\mbox{\boldmath $\omega$}微分がそれぞれ得られる。 $(n,l)=(1, -1)\text{、}(2, -1)$ でも同様$\overline{U}(\xi, \tau)$と$($$U(\xi, \mathcal{T})$$U^{3}\text{や}\overline{U}^{3}$$\mathcal{T})=U^{*}(\xi, \tau^{*})$’$n$$\exp-\mathrm{i}l\omega t$の結果となる。 $(n, l)=(3,1)$ では次の方程式が得られる、(3.7)$P_{\mathrm{j}}(\mathrm{i}U\tau-U\xi\xi)+Q_{j}U^{2}\overline{U}=0_{0}$但し$P_{j}=-\mathrm{i}(K_{j}g_{jj}Y+1^{-K_{jgj1}}-1-\mathrm{Y}_{j}-1)$.

$\cdot$$Q_{j}=3K_{\mathrm{j}}\beta_{j}|Y\mathrm{j}+1-\mathrm{Y}j|^{2}(Yj+1^{-Y_{j})}-3K_{j}-1\beta j-1|Y\mathrm{j}-\cdot.Y_{j-}1^{\cdot}|2^{\cdot}(\mathrm{Y}_{j}-Y_{j}^{\cdot}-\cdot 1)$.

$g_{j}=x_{\mathrm{j}}+1-x_{j}+ \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2}\text{ゐ}{\mathrm{d}\omega^{2}}}$$\chi_{j+N}\cdot=x_{j}$(3.8a)(3.8b)(3.8c)$\cdot$

より直ちに

(3.9)

$g_{1}+g_{2}+ \cdots+g_{N}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}^{2}k}{\mathrm{d}\omega^{2}}N$が成立する事をここで注意しておく。
さてこの段階ではまだ、 がまだ決定されていない。 したがって $(3.8.\mathrm{a}),\text{で与えられた}$
乃の具体型は来定である。 ここで、 j の関数として乃は Q, に比例する、 と仮定しよう。
$\chi_{j}$(3.10)$Q_{\mathrm{j}}=bP_{j}$は定数。 この式はいわば、 \mbox{\boldmath $\chi$}’ を決めるゲージ固定の条件に相当する。 (3.10) を具体的に書くと次のようになる。
ただし

$b$

(3.11)$\mathrm{S}=\mathrm{i}b^{-1}$$\text{ここで}\mathrm{S}\text{は下に与えられる}$N$\cross$

N の行列である。

$-K_{1}Y_{1}K_{1}\mathrm{Y}_{2}$$K_{j}.Y_{j+1}0.$$\mathrm{S}=($$K_{2}Y_{3}0$$-K_{N}Y_{N}\mathrm{e}K_{N}Y_{1}\mathrm{e}\mathrm{j}kN-\mathrm{i}kN$$-\dot{K}_{j}Y_{j}$.
$-K_{N-1}^{\cdot}..\mathrm{Y}_{N-1}$)(3.12)

142

まず (3.11) を gj について解いて、規格化条件 (3.9) から も求まる。さらに、例えば $\chi 0--0$
とおく事によって、 (3.8c) から が決定される。結果的に (3.7) と (3.10) より、包絡波に対:する閉じた方程式$b$$\chi_{j}$$=$(3.13)$iU_{\mathcal{T}}-U\epsilon\epsilon+bU^{2}\overline{U}=0$

つまり NLS 方程式が得られた。ここで 1 つ注意したいことは、 (3.13) の非線形項の係数$b$は実数となる、 ということである。 この証明は APPENDIXA で行うことにする。
さて、 \tau が実数なら (1.5) より–U はに等しくなり、非線形シュレディンガー方程式(3.13) はよく知られているとおり、 $b<0$ のとき 1 ソリトン解$U^{*}$$U=\sqrt{\frac{-2}{b}}A$

.

sech

$(A\xi+2BA_{\mathcal{T}})e\mathrm{x}\mathrm{p}\{\mathrm{i}A\xi-\mathrm{i}(A^{2}-B2)\tau\}$(3.14)を持つ。ただし $A$ , 川よ実定数である。 \tau が実数でなかったとしても、上の解を\tau の複素平面に解析接続したものは、 (3.13) の解になっている。この事実は (1.5) で与えられた–U の定義に由来する。 \mbox{\boldmath $\chi$}j の周期性と\tau の定義 (3.4b) から、 (3.14) は j-空間でも、動く孤立波であることがわかる。さらに格子波騨ま (3.5) で与えられるが、 これもまた孤立波である事がすぐわかる。つまりこれは、周期格子におけるソリトン現象他ならない。上に述べた解析
接続は、任意の解析解にも適用できる。これは ‘ノリトン現象が周期格子で観測できるこ$\mathrm{n}$とを示している。

4

要旨と議論

先に導入された、 周期系に対する 「拡張された」逓減摂動法を周期的非線形格子に応用した。 この方法で重要なポイントは 3 つある。第– に搬送波としてブロッホ波を採用したことである。つぎに (3.5) という形の、分散補正項を含む展開を導入することである。

これは、線形波動の議論から自然と導かれることである。最後にゲージ関数\mbox{\boldmath $\chi$}’ である。これは、包絡波の非線形方程式を導くのに不可欠である。
結果的に、包絡波が非線形シュレディンガー方程式に従うことが示された。従って、ブロッホ波の包絡波としてソリトン現象が現れることがわかった。もちろん多ソリトン現象
も、格子波として観測することができるであろう。非線形ばねのポテンシャルは、 (3.1) という形をとると仮定したが、 3 次の項があったとしても、我々の方法は適用可能である。
ただし、非線形の補正項を更に加えなければならなくなり、計算は繁雑になる。この場合同様に非線形シュレディンガー方程式が導かれるが、非線形の係数 が必ずしも実数になるとは限らないので、 ソリトン現象が常に見受けられるとはいえない。それでは、 が実数となる必要十分条件はどうなるのか ? これに関しては将来の研究として残しておく。
本論文では波数ゐが有限であると仮定したが、ゼロ端数極限ではおそらく包絡波として方程式が導かれると予想される $[12, 13]$ 。この場合も、今後の研究対象となるであ
$b$

$b$

$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$ろう。

APPENDIX $\mathrm{A}:(3.13)$ の肋く実数である事の証明

143

定数屓よ NLS 方程式 (3.13) の、非線形項の係数であり、方程式 $(3.11)\text{、}(3.9)$ を通じて求める事ができる。例えば $N=2$ の場合は容易に
ゐ $+ \frac{D_{1}+D_{2}+2K2}{K_{1}K_{2}})$$b=(2 \frac{\mathrm{d}k^{2}}{\mathrm{d}\omega^{2}}\sin 2\text{ゐ})^{-1}\{3K1\beta 1|Y1-Y_{2}|^{2}(2K_{1}^{-1_{\mathrm{c}\mathrm{o}}}\mathrm{s}2$$+3K_{2} \ |Y_{2}-Y1\mathrm{e}|^{2}2\mathrm{i}k(2K_{2^{-\mathrm{i}}}\cos 2\text{ゐ}+\frac{D_{1}+D_{2}+2K1}{K_{1}K_{2}})\}$(A.1)となり、 が実数である事も直接わかる。 (Dj は (2.21) で定義された。) 同様に $N=3$ の場$b$

合も が実数である。
$b$$b=(3 \frac{\mathrm{d}\text{ゐ^{}2}}{\mathrm{d}\omega^{2}}\sin 3\text{ゐ}\mathrm{I}^{-1}\mathrm{x}$..
$\cdot$$[3K_{1} \beta 1|\mathrm{Y}1-Y2|2\{2K_{1}^{-1}\cos 3\text{ゐ}-\frac{D_{3}(D_{1}+D_{2}+2K1)-K2^{-K_{3}}22}{K_{1}K_{2}K_{3}}\}$$+3K_{2}\ |Y2-Y\ovalbox{\tt\small REJECT}|^{2}\{2K_{2}^{-1}$

cos3 ゐ $- \frac{D_{2}(D_{3}+D_{1}+2K_{2})-K3^{-}2K_{1}^{2}}{K_{1}K_{2}K_{3}}\}..\cdot’$.

$+3K_{3} \beta_{3}|Y_{3}-Y_{1}\mathrm{e}|^{2}3\mathrm{i}k(2K_{3}^{-1}\cos 3\text{ゐ}-\frac{D_{1}(D_{2}+D_{3}+2K3)-K1^{-K_{2}}22}{K_{1}K_{2}K_{3}}\}]$

:.

(A 2)

一般の $N(>3)$ については、帰納法で証明する事にする。 (3.12) $\text{で定義された}\mathrm{S}\text{の逆行}$
.

列は

となり、

$(3.9)_{\text{、}}(3.11)\text{、}$

,

$+1$

$(j\leq i)$$-1$$(j>i)$ .

(A 3) から の値は次のようにあらわされる。
$b$$b=(N \sin N\text{ゐ}\frac{\mathrm{d}^{2}k}{\mathrm{d}\omega^{2}})-1N-\sum_{\mathrm{j}=1}3K_{j}\beta j|Yj+1^{-Y_{j}|}(2K1\cos 2j N\text{ゐ}-r_{j}^{(N)})$但し$r_{j}^{(N)}$$-$(A .3)$(^{\mathrm{s}-1})_{i}j \frac{\mathrm{i}}{2}=-\frac{}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sigma Nk}Y_{j}}{K_{i}Y_{i}Y_{i+1}\sin N\text{ゐ}$$\sigma=\{$$\cdot$(A 4)は次式で定義される。
$K_{jN}+-1,$ $D\mathrm{j}-1$ , ゐ)
( $D_{j+N}K_{\mathrm{j}},$$(N).’\cdot\cdot,$$r_{j}^{(N)}=r_{j}$$\cdots,$$,$$=(Y_{j1}+-Yj)2( \frac{1}{K_{\mathrm{j}+1}Y_{j+1}Y_{\mathrm{j}}+2}+\cdots+\frac{1}{K_{j+-}N2Yj+N-2Yj+N-1}+\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kN}}{K_{j+N-1}Y_{j+}N-1Y_{j}})\mathrm{e}^{+\mathrm{i}Nk}$.

$+ \frac{1}{K_{j}}(^{\frac{Y_{j+1}}{Y_{j}}\mathrm{e}^{-}}\mathrm{i}Nk+\frac{Y_{j}}{Y_{j+1}}e^{+}.)Ik$

(A 5)
:

が実数であることを示せば+分(A 4) より直ちに、 が実数である事を証明するには、である。ここで注意すべきことが 1 つある。それは共通因子の自由度を残して $\sim Y_{j+N-1}$$b$$r_{j}^{(N)}$$Y_{j}$

144

が、 $D_{j}\sim D_{jN1}+-$ と $K_{j}\sim K_{j+N}-1$ と k の関数として求まる、 ということである。 $((2.19)$
を見よ) (2.2) と (2.18) を考えると式 (2.19) は、次のように書き換えられる。

$\hat{L}^{j}=$ただし N$\cross$(A 6)

N 行列 L’ は$K_{\mathrm{j}+1}..$$D_{\mathrm{j}}.K_{j}0^{+1}.$.

$ND1jj+\mathrm{i}kN$$\hat{L}^{j}=(_{K_{j+-}\mathrm{e}}^{K}$.
$K_{j+-3}^{\cdot}.\mathrm{o}_{N}$$.\cdot.\cdot.\cdot$$K_{j1}+N-e^{-\mathrm{i}}D_{j1}K_{jN}+-2+N-kN$.
$K_{j+N-2}D_{j+N}^{\cdot}..-2$

)

(A 7)

と定義される。もし $D_{j+N-1}\neq 0$ であるなら、 (A 6) の中の $Y_{jN1}+-$ を消去する事ができて、次の式を得る。

$\hat{L}’’=$(A.8)

ここで $(N-1)\cross(N-1)$ 行列 L//は以下のように定義される。

$\hat{L}’’=$(A .9)$r$

ただし$\overline{K}_{j+N-2}\equiv-\frac{K_{\mathrm{j}N-2}+Kj+N-1}{D_{j+N1}-}$(A. 10)$\overline{D}_{j}\equiv D_{j}-K_{j+N}2D-1j+N--11$(A 11)$\overline{D}_{j+N-2}\equiv D_{\mathrm{j}+N-2}-K_{j+N}2D-1-2j+N-1$(A.12)(A 6) の中の最後の方程式を用いて、 (A 5) に含まれる巧+N $-1$ を消去すると$r_{j}^{(N)}$$=(Y_{j+}1-+ \frac{1}{K_{j}}(\frac{Y_{j+1}}{Y_{j}}\mathrm{e}-\mathrm{i}NkYj)^{2}(\frac{1}{K_{j+1}Yj+1Y_{j+},+\frac{Y_{j}}{Y_{j+1}}e2}+)+\mathrm{i}Nk\ldots..(+\frac{1}{K_{j+N-3}Yj+N-3Yj+N-2}+\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kN}}{\overline{K}_{\mathrm{j}N-2}+Yj+N-2.Yj}\mathrm{I}\mathrm{e}^{+}\mathrm{A}.13)\mathrm{i}Nk$

145となる。ここで(A.7) をそれぞれに対して以下の変換を施してみよう。
$(\mathrm{A} .5)_{\text{、}}$と比べてみよう。

$(\mathrm{A}.13)\text{、}(\mathrm{A}.9)$$(\mathrm{A}.5)_{\text{、}}(\mathrm{A}.6)_{\text{、}}(\mathrm{A}.7)$$Narrow N-1$
$karrow\underline{N_{ }}$

$N-1$

ん

(A 14)$K_{j+-}N2arrow\overline{K}j+N-2$$D_{j}arrow.\overline{D}_{j}$$D_{j+-}N2arrow\overline{D}j+N-2$

すると、(A 9) がそれぞれ再現する事がわかる、従って、われわれは次のような重要な関係式を得ることができた。
$(\mathrm{A} .13)_{\text{、}}$$(\mathrm{A} .8)_{\text{、}}$$r_{j}^{(N)}(K_{\mathrm{j},j.1}\ldots, K+N-, Dj, \cdots, Dj+N-1, k)$.,$=r_{j}^{(N-1)}(Kj, \cdots,K_{j+-3}N,\overline{K}j+N-2,\overline{D}_{j}, D_{j}+2, \cdots, D_{\mathrm{j}}+N-3,\overline{D}_{j-2}+N, \frac{N}{N-1}k)$(A 15)

が実数である事を示すためには $r_{j}^{(N-1)}(K_{j}.’\cdots,$ $K_{j+}N-2$ ,この関係式からわかることは、$D_{j+N2}-$ , ゐ) が任意の実数
Dj\sim Dj+N-2、みに対して実数である事を示せば+分である、 ということである。関係式 (A 15) は $N=3$ 場合、(A 2) から容易に確かめられる事を注意しておく。
さて、もし $D_{j+N1}-=0$ の場合は、 (A 6) の中の $Y_{j+N1}-$ と $Y_{j+N-2}$ を同時に消去する事ができて、 次式を得る。
$r_{j}^{(N)}$$D_{j},$$K_{j}.\sim K_{jN}+-2\text{、}$$\cdots,$$(\mathrm{A} 1)_{\backslash }$$1$(A.16)$\hat{L}^{\prime\prime J}=(|)$

ここで $(N-2)\cross(N-2)$ 行列 L”’ は$K_{j+1}$$D_{j}K_{j}0^{+1}$$\hat{L}’’’=($$K_{j-5}^{-}.+\mathrm{o}_{N}...K_{j4}D_{jN4}^{\cdot}+\cdot.-+N-\overline{K}_{j+2}N-\mathrm{e}K_{j4}D_{jN}+-3+N--\mathrm{i}kN$$\overline{K}_{\mathrm{j}3}+N-e\overline{K_{j}D}j+\mathrm{i}kN$

.
$..-$

)

(A.17)である。 ただし$\overline{K}_{j+N-3}\equiv-\frac{K_{j+N-3}Kj+N-1}{K_{j+N-2}}$,$\overline{D}_{j}\equiv D_{j}+(\frac{K_{j+N-1}}{K_{j+N-2}})^{2}D_{j+-2}N$(A 18)(A 19)

146

この場合は、 (A 5) は
$r_{j}^{(N)}$$=(Y_{j1}+-Yj)2( \frac{1}{K_{j+1}Yj+1Yj+2}+\cdots+\frac{1}{K_{\mathrm{j}+-}N4Yj+N-4\mathrm{Y}j+N-3}+\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kN}}{\overline{K}_{j}+N-3\mathrm{Y}j+N-3Y_{\mathrm{j}}})\mathrm{e}+\mathrm{i}Nk$(A 20)$+ \frac{1}{K_{j}}(^{\frac{\mathrm{Y}_{j+1}}{Y_{j}}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Nk}+\frac{Y_{j}}{\mathrm{Y}_{j+1}}\mathrm{e}^{+\mathrm{i}Nk}\mathrm{I}$と変形ができる。従って、前者と同様に次の関係式が得られる。
$r_{j}^{(N)}$( $Kj,$$=r_{j}^{(N2)}-$$\cdots,$$Kj+N-1,$ $Dj,$ $\cdots,$ $D_{j}+N-1$ , ゐ)

$K+N-4\overline{K}+N-3,\overline{D},$ $Dj+1,$( $K_{j,j,jj}\ldots,$.

$D_{j\dot{j}}+N-4,$$D+N-3,$ $\frac{N}{N-2}$ ゐ)$\cdots,$(A .21)$K+N-3,$ $D,$
, $D_{j+N-3}$ , ゐ)が実数である事を証明するには、$r_{j}^{(N-}(2)K_{j,jj}\ldots,$が任意の実数 $K_{j}\sim K_{j+N}-3\backslash D_{j}\sim D_{jN}+-3\text{ }$ ゐに対して実数であれば良い。
さて、変換 (A.15) あるいは (A 21) をくり返す事によって、 $r_{j}^{(N)}\text{の実数性の証明は_{、}}$
あるいはに対するものに還元できる。既に見た通り、(A 1) と (A 2) から、
あるいは$D_{3},K1,$に対して、実数である$D_{2,1}K,$あるいはは任意の実数が実数であること証明された。
従って、
.. .
最後に (A 4) に注意すると、 が実数であることがわかる。
.

ゆえに、$\cdots$$r_{j}^{\langle N)}$、$r_{j}^{(2)}$$r_{j}^{(2)}$$r_{j}^{(3)}$$r_{j}^{(3)}$$K_{2},$ $K_{3}$$D_{1},$ $D_{2},$$K_{2}$$D_{1},$$0$$r_{j}^{(N)}$

$b$

参考文献
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