数理解析研究所講究録925 巻 1995 年 19-33

19

モチーフについて

東大

. 数理

斎藤 秀司

内容

\S 0 序論\S 1 Weil コホモロジー理論と pure なモチーフの圏\S 2 モチーフ (Motive) の圏の構成\S 3 Le&chetz の固定点定理と Weil 予想\S 4 直線の$h^{1}$とヤコビ多様体\S 5 保型形式のモチーフ\S 0 序論
近年$\sim$

モチーフ’という言葉が常識的に用いられるようになった。 これはもともと Grothendieck によって提出された概念である。様々な Weil コ

ホモロジー理論に内在する自然な構造は (例えば複素多様体のべッチコ
ホモロジーにおけるホッヂ構造、 一般箇数の体上の多様体の $t-$ 進エ $p-$
ル. コホモロジーにおけるガロア群の $t-$ 進表現、 標数ゼロの体上の多様体の ト “ ラーム. コホモロジーにおけるホッヂ フィルター等) それらが全く異なったコンテクストで存在しているにもかかわらず互いに深く影響モチ一し合っている。 モチーフの哲学 (あるいは Grothendieck のいう
フのヨガ’ ) はこの異なる構造を背後で結びつけている神秘的な力’ をフについては筆者は理解する試みより生じたともいえるであろう。
すでに何回か拙論を書かせていただいている ([Sa-l],[Sa-2]) 。特に最近精力的な研究が進んでいる混合モチーフについては以前の拙論に委ねるこなモチーフ’ にとにして今回は Grothendieck がもともと定義した
ついて簡単にその定義、 意義、 例、 応用等について述べていきたい。
$\sim$$\sim$$\text{モチ一}$$\sim \mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e}$\S 1 Weil コホモロジー理論と pure なモチーフの圏を 上の非特異射影的なスキームのな
今 を固定された基礎体として$X\in
C_{h}$
は必ずしも連結とは限らないとする。)
す圏とする (後の都合上$X\in C_{h}$ と整数 $r\geq 0$ にたいし $X$ 上の余次元の代数的サイクルとは形
式和
$k$

$k$

$C_{h}$。

$\prime r$$\sum_{V\subset X}n\mathrm{v}\cdot[V]$ことである。 ここに和は $X$ の余次元の既約部分多様体 $V$ をわたる有限, 整数である。 $X$ 上の余次元 の代数的サイクル全体は自和で然に加法群となるがこれを代数的サイクル上の有理同値と呼ばれる関係$n\gamma\in \mathrm{Z}$

$r$

$r$

20

で割った群を $X$ の余次元$r$$CH’(X)_{\mathrm{Q}}=CH’(x)\otimes \mathrm{Q}$‘$C_{h}$のChow 群と呼び $CH’(X)$ で表す。 さらにとおく。

上の Weil コホモロジー理論’とは反変函手$2\dim(X)$$H^{*}$: $C_{h}arrow GrAlg_{K}$ ; $Xarrow H^{*}(X)=$$H^{:}(X)$$\bigoplus_{:=0}$

でいくつかの性質を満たすものである。 但し $K$ はある標数ゼロの体で$G^{r}rAlg_{K}$ は K 上の反可換な次数つき多元環のなす圏とする。 満たすべき性質とは通常のコホモロジー理論の持つ共通のもので分解、サイクル写像の存在、 ボアンカレ双対定理といったものである。 また $H^{*}(X)$ の多元環としての乗法はコホモロジーのカップ積に対応している。以下 Weil
コホモロジー理論の定義を簡単にふりかえってみよう。 の射 $f$ :$\mathrm{K}\tilde{\mathrm{u}}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{h}$$C_{h}$$\mathrm{Y}arrow X$にたいし$f^{*}$:$H^{*}(\mathrm{Y})arrow H^{*}(X)$を函手的射とする。

(1) (Kunneth 分解公式)$p$:$X,$ $\mathrm{Y}\in C_{h}$ とし$X\cross \mathrm{Y}arrow X$

,

$q$

:

$X\cross \mathrm{Y}arrow \mathrm{Y}$を射影とする。 このとき$H^{*}(X)\otimes H^{*}(\mathrm{Y})\simeq H^{*}(X\cross \mathrm{Y})$;$a\otimes barrow p^{*}(a)\cdot q^{*}(b)$が成立。

(2) (ボアンカレ双対定理) $X\in C_{h}$ を連結(i)$i\not\in[0,2n]$ にたいし$n$次元とするとき$H^{i}(X)=0$ が成立。

(ii)

自然な

(iii)

自然な積 $H^{\dot{*}}(X)\cross H^{2n-:}(\mathrm{x})arrow H^{2n}(X)\simeq K$ は非特異である。

$-$

向き付け’

(3) (サイクル写像)

同型 $H^{2n}(X)\simeq K$ が与えられている。

帆手的射$\gamma_{X}’$: $CH’(X)_{\mathrm{Q}}arrow H^{2}’(X)$が与えられている。 さらにこれら K\={u}nneth 分解, ボアンカレ双対定理, サイクル写像の間には種々の適合性が成立。 詳しいことは [K1] を参照。

いくつかの例をあげることにする。

(1-1$\rangle$

21(i)$\mathrm{C}$は複素数体) の場合
を $X$ の複素数有理点の集合により定まる通常の位相を与えたものとする。 そのときその Betti コホ$k\subset \mathrm{C}$$\langle$$X(\mathrm{C})$$\mathrm{C}$モロジー$H^{i}(X):=H^{i}(X(\mathrm{C}), \mathrm{Q})$(ii)$(K=\mathrm{Q})$を $k$ の代数閉包、 を $k$ の忌数と異なる素数としてエタールコホモ$\overline{k}$$\ell$

ロジー$H^{:}(X):=H_{et}:(X\cross_{h}\overline{k}, \mathrm{Q}l)$$(K=\mathrm{Q}_{\mathit{1}})$(iii) が恒数ゼロの体としてドラームコホモロジー$k$$H^{i}(X):=H_{DR}^{i}(\mathrm{x}/k)$

(iv)

$k$

が標数

$P$

$(K=k)$の完全体、 $W(k)$ を Witt 環, $K$ をその商体としてクリスタ

リンコホモロジ一$H^{i}(X):=H_{\mathrm{c}’ y}^{:}.(X/W(k))\otimes_{W(h)}K$

Grothendieck は上に述べた種々の Weil コホモロジ一理論に内在するの上の pure なモチーフの圏’
普遍的性質を見据えることによって存在を想定した。 それはある意味では ‘C みの線型化’ とも見れる。
の満たすべき基本的性質を挙げると$‘ k$$\mathcal{M}_{h}$$\mathcal{M}_{h}$

(1-2)
(i)

はアーベル圏でしかも半単純である。 更にが定義されている。
$\mathcal{M}_{h}$$\mathcal{M}_{h}$にはテンソル積\otimes(ii) 自然な反変函手$h$: $C_{k}arrow \mathcal{M}_{h;}Xarrow h(X)$が存在する。

(iii) 上のは次の普遍性を満たす。 任意の Weil コホモロジー理論 $Xarrow$
から $K$ 上のベク トル空間の圏 $.Vec_{K}$ への函手と見たとき $-$ 意$H(X)$ はに $H=R_{H^{\circ}}h$ と分解する。 ここに$h$$C_{k}$$R_{H}$:$\mathcal{M}_{h}arrow Vec_{K}$実現函手’ (
functor’ ) と呼ばれる。
更に $R_{H}$ はテンソル積を保つ。 の対象 $M,$ $N$ にたいしは忠実な完全函手で$-$$\sim \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{Z}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}$$C_{h}$$R_{H}(M\otimes N)=R_{H}(M)\otimes R_{H}(N)$

.

22

次説で

$\mathcal{M}_{h}$の定義を与えよう。

\S 2 モチーフ (Motive) の圏の構成
まず代数的サイクル上の二つの同値関係を導入しよう。 $X\in C_{k}$ を 次元とする。 最初に数値的同値 (numerical
連結多様体とし
equivalence)$d$$c,$ $d\in CH^{\mathrm{f}}(X)\mathrm{Q}$$\text{を}$

for any $a\in CH^{d-}’(X)_{\mathrm{Q}}$$c\sim c’\Leftrightarrow<c,a>=<c’,$ $a>$で定義する。 ここに
$<$

,

$>$

:

$CH^{r}(x)_{\mathrm{Q}}\cross CH^{d}-,(X)_{\mathrm{Q}}arrow \mathrm{Q}$をサイクルの交点数によって与えられるものとする。 次に任意に与えられた Weil コホモロジー理論$2\dim(X)$$Xarrow H^{*}(X)=$$H^{:}(X)$$\bigoplus_{:=0}$に対してホモロジー同値 (homological equivalence) を$c\sim c’\Leftrightarrow\gamma_{X}^{r}(_{C)}=\gamma’ \mathrm{x}(c)’$,で定義する。 ここに$\gamma_{X}’.:CH’(X)_{\mathrm{Q}}arrow H^{2}’(X)$をサイクル写像とする。Grothendieck はスタンダード予想の–部として上の二つの同値関係が $-$ 致する (特にホモロジー同値は Weil コホモロジー
理論の取り方に依存しない) ことを仮定することにより $M_{k}$ の構成を行を定義するのにそこではなっている
内の morphisms の群
代数的サイクルを用いている。 –方 Deligne は複素多様体上の代数的サイクルの定めるコホモロジーの Hodge サイクルの持つある著しい性質 (複の任意の自己同型で移してもそれはまた Hodge サイクルであ素数体る) に着目して ‘絶対 Hodge サイクル’ を定義しこれを代数的サイクルの定義をの代対物とすることによりスタンダード予想の仮定なしに$-$ともとれるような抽象的な理論がこのしている。
見 generml nonsense$\mathcal{M}_{h}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}u_{\mathrm{h}}$$\circ$$\mathrm{C}$$\mathcal{M}_{h}$CM 型アーベル多様体のゼータ関数の特殊値の研究に深い応用があるのはが Grothendieck
最近
真に興味深い (詳しくは [DMOS] 参照)$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{n}[\mathrm{j}]$$0$の半単純性をスタンダード予想なしに示している事にもの定義した注意しておこう。
$\mathcal{M}_{h}$23

さて Grothendieck 流のの定義を振り返ってみよう。 実際以下の定義において代数的サイクル上の適当な同値関係 $R$ を つ固定したときそれに関するモチーフの圏が定義される。 この圏は必ずしもアーベ
ル圏とは限らず後に述べるまうにが半単純アーベル圏となるため$R$の必要十分条件は が数値的同値であることである。 方前節 $(1 -2)$(iii) の条件が満たされるためには $R$ が種々の Weil コホモロジー理論より定まるホモロジー同値より細かい必要がありここに前節でのべた $M_{h}$が存在するためには上のスタンダード予想の $-$ 部を仮定する必要があるのである
また $R$ が有理同値
ホモロジー同値
rational(homological equivalence) 、数値的同値 ( numerical.equivalence) と粗
くなるに従い自然な函手$\mathcal{M}_{h}$–$\mathcal{M}_{k}(R)$$\mathcal{M}_{k}(R)$–$($$\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{e})_{\text{、}}$$\circ$$\mathcal{M}_{h}(rat)arrow \mathcal{M}_{k}(hom)arrow \mathcal{M}_{h}(num)$が導かれる。 先に述べたようにはアーベル圏とはならないわけであるが– 方次のような利点も持っている。世の中には Weil コホモロジー
理論ではないが現代の数論において非常に重要な役目を果たす $-$ 般化されたコホモロジー理論と呼ばれるものがある。 たとえば素体上の有限生
成体上の多様体の絶対 $t-$ 進エタ一ノ. コホモロジーであるとか、 モチー
フの $L-$ 関数の整数点における特殊値に関する Beihnson 予想において活躍する Deligne-Beiinson コホモロジーがそれである。 またこれらは混合
モチーフの理論とも関係があり興味深い。 $M_{k}(rat)$ の利点とはこれらの一般化されたコホモロジー理論を多様体の圏からの隠亡とみたときそれはを自然に経由するが $\mathcal{M}_{h}(hom)$ や $\mathcal{M}_{h}(num)$ を経由する事と $\mathcal{M}_{k}(hom)$ の関係についてははできないということにある。
$\mathcal{M}_{k}(rat)$$C_{h}$$\mathcal{M}_{h}(rat)$$\mathcal{M}_{k}(rat)$

混合モチーフの圏の理論からの美しい解釈があるのだがそれについては
今回は省略させていただきたい。
を前節の通りとする。 上で述べたように代数的サイクル上の適当な同値関係 $R$ を $-$ つ固定する。 $X,$
にたいし
と整数

$1^{2}- 1)k\text{、}C_{h}$$\mathrm{Y}\in C_{h}$$r\in \mathrm{Z}$$cH’+d:(x_{:}\cross \mathrm{Y})_{\mathrm{Q}}/R$$Cor \prime_{R}’(X, \mathrm{Y})=\bigoplus_{i}$,.

とおく く。 ここに $X=$ 垣:
いた。 合成写像$x_{:}$

を連結成分への分解とし$d_{i}$=dim(X ぎ) とお,$Corr’R(X,\mathrm{Y})\cross Cor^{J}\prime’R(\mathrm{Y}, z)arrow c_{orr}’+l(\prime Rx, z)$$(\alpha,\beta)arrow\beta\cdot\alpha:=(p1\mathrm{s})_{*}(\mathrm{P}12*\alpha\cdot P_{2\mathrm{s}}^{*}\beta)$,が定義される。 ただし$p_{12}$:$X\cross \mathrm{Y}\cross Zarrow X\cross \mathrm{Y},p2s$:$X\cross \mathrm{Y}\cross Zarrow \mathrm{Y}\cross Z,p_{1\mathrm{s}}$:$X’\cross \mathrm{Y}\cross Zarrow X\cross Z$

24

は射影とする。 同値関係 $R$ に関する 上のモチーフの圏を以下のように定義する。
$M=(X, \alpha, ’)$ からなる。 ここに $X\in C$ でまの対象は 3 っ組とする。
の射の集合は$k$$\mathcal{M}_{h}(R)$$\mathcal{M}_{h}(R)$$f_{}^{\wedge}\alpha\in Cofr^{0}(RXX,)\text{、}\alpha\cdot\alpha=\alpha_{\text{、}}$$,$$\in \mathrm{Z}$$\mathcal{M}_{k}(R)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}((x, \alpha, r), (\mathrm{Y},\beta, s))=\beta\cdot c_{or}r_{R}-\mathit{7}$ $(X, \mathrm{Y})\cdot\alpha$によって定義されまた射の合成は上に述べた合成法則に従って定義される。 自然な函手$h$:$C_{h}arrow \mathcal{M}_{k}(R)$; $Xarrow h(X):=(X, \Delta_{X}, 0)$ ,が存在する。 ただし $\Delta_{X}\subset X\cross X$ を対角成分とする。

(2-2)$\mathcal{M}_{h}(R)$においてテンソル積が(X,$\alpha,$$r$)$\otimes(\mathrm{Y},\beta, \delta)=(\mathrm{x}\cross \mathrm{Y}, \alpha\otimes\beta, r+\ell)$によって定義される。 いま$L=(\mathrm{p}_{k2}^{1}, \pi, \mathrm{o})$とおいて$\sim \mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{f}_{\mathrm{S}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{Z}$

モチープ と呼ぶことにする。 ここに$\pi_{2}=\mathrm{P}_{h}^{1}\cross(0)$。

このとき 整数 $r\geq 0$ にたいし(X,$\alpha,$$-r$ ) $\simeq(\mathrm{x}, \alpha, 0)\otimes L^{\otimes}$’$=(X\cross(\mathrm{P}_{h}^{1})^{r},\alpha\otimes(\pi^{\otimes\prime})2’ 0)$が成立する。
次に合に$\mathrm{A}l_{h}(R)$を加法的な圏にするため直和を定義しよう。 まず特殊な場(X,$\mathrm{O}$$\alpha,$)$\oplus(\mathrm{Y},\beta, \mathrm{O})=(X\mathrm{U}\mathrm{Y}, \alpha \mathrm{U}\beta, \mathrm{o})$とおく。 一般の場合テンソル積の加法性により(X,$\alpha,$$r$)$\oplus(\mathrm{Y},\beta, \epsilon)$

は $-$ 意的に(X$\cross(^{\mathrm{p}_{k}^{1}})^{m}-,$$\mathbb{I}\mathrm{Y}\mathrm{x}(\mathrm{P}_{\iota}^{1})^{m}-\cdot,$)$\alpha\otimes(\pi^{\otimes(m-}’)2\beta$$\mathrm{n}\otimes(\pi-\iota))\bigotimes_{2}(m, m)$,と定義されることがわかる。 ここに $m$ は $m \geq\max(r, s)$ を満たす任意の整数とする。 以上の定義により
は、加法的
線形テンソル圏(additive-linear tensor category)’ [DMOS, II 115] と呼ばれるも$\mathcal{M}(R)$$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}-$25のの構造を与えられたことになる。 この圏は ‘擬アーベル的 ( pseudoabelian)’ である。言い換えるとすべての射影子$p\cdot p=p$$(M\in \mathcal{M}_{h}(R))$
なるもの) がその像と核を持つという性質を持つ。
$(p\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(M),$(実現函手 (realization funnctor)) いま Weil コホモロジー理論(2-3)$2\dim(X)$$Xarrow H^{*}(X)=$$H^{i}(X)$$\bigoplus_{:=0}$

つ選んでおく。代数的サイクル上の同値関係 $R$ を– つ固定しそれは上の Weil コホモロジー理論が定めるホモロジー同値 (homological equivalence) より細かいと仮定する (例えば $R$ として有理同値をとれる)
このとき各整数 にたいし準同型
を

–

。

$i$

$-$

$c_{\mathit{0}\prime\prime_{R}}0(x, x)arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Hi(X), H:(X))$;$\alphaarrow\alpha_{*}$が定義される。 $\text{ここに}\sigma\in H^{:}(X)$ にたいし,$(n=\dim(X))$$\alpha_{*}(\sigma)=(p_{2})*(\gamma_{x}^{n_{\mathrm{X}\mathrm{x}}}(\alpha)\cup p_{1}(*\sigma))$

とおいた。 ただし

: $X\cross X(i=1,2)$ は射影とする。 このとき対応$p_{i}$$2\dim(X)$$Xarrow H^{*}(X)=$$H^{:}(X)$$\bigoplus_{i=0}$は実現四手 (realization functor) と呼ばれる函手$H^{*}=\oplus H$: : $M_{h}(R)arrow$ ($\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}$$K$-vector spaces)$i\in \mathrm{Z}$に延長される。 その定義は$H^{i}((X, \alpha, \gamma))={\rm Im}(\alpha_{*} :H^{:+2}’(X)arrow H^{i+2\prime}(X))$に依って与えられる。 ただし $K$ は固定された We 垣コホモロジー理論の係数体とする。

次の美しい結果は U.

$\mathrm{J}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}[\mathrm{J}]$による。

定理 $(2-4_{-})$ 次の条件は同値である。
(1)$\mathcal{M}_{h}(R)$

(2)

$R$

は半単純な 7 一ベル圏である。

は数値的同値 ( numerical equivalence) である$\circ$26

系 (2–5)をホモロジー同値に関する 上のモチ一フの圏とする。 もし数値的同値とホモロジー同値が– 致するなら $M_{k}$ は前
節の (1–2) $(i),(ii),(iii)$ の条件をすべて満たす。
$k$$\mathcal{M}_{k}=\mathcal{M}_{k}(h_{\mathit{0}}m)$が存在するためには homologicalequivalence と numerical equivalence が–致することが必要であることがわかる。 この二つの同値関係の 致はスタンダード予想の–部であることに注意しておこう。
これにより第 1 節で導入された$\mathcal{M}_{k}$–ここでは圏 $\mathcal{M}_{h}(h_{om})$ において考えることにする。 $X\in C_{h}$ を $d$ 次
元連結多様体とし$1^{2-}6)$

ど$[ \Delta_{X}]=\sum_{:=0}\pi X:$,$\pi_{X}^{i}\in H^{2d-:}(x)\otimes Hi(X)$を対角成分のコホモロジー類の Kunneth 分解とする。 ここで次の条件を考える。
$C(X)$ : 任意の整数

$i$

にたいし

$\pi_{X}^{i}$は代数的、 つまり

いま $C(X)$ が成立すると仮定する。 定義より

整数

$r\in \mathrm{Z}$にたいしホモロジー同値に関する:$\pi_{X}=\pi_{X}:i$$\pi_{X}$$k$$\pi_{X}^{i}\in C_{\mathit{0}\prime\prime}0(homX, X)$.

であるから各上のモチーフ$h^{i}(X)(r):=(X, \pi_{X}^{i}, r)\in \mathcal{M}_{h}(hom)$が定義される。 また$h(X)(r):=(\mathrm{x}, \Delta \mathrm{x}, r)\in \mathcal{M}_{h}(hom)$と書く ことにしよう。 簡単のため $h(X)=h(X)(\mathrm{O})$ あるいは $h^{i}(X)=$$h^{i}(X)(0)$ と記することもある。 定義により$H^{*}(h^{:}(X)(’))=H^{:}(X)$,$h(X)= \bigoplus_{i=0}^{)}h^{:}(X)i=2\dim(\mathrm{x}$が成り立つ。

\S $ Le&chetz の固定点定理と Weil 予想
有限野上の多様体の有理点の数を数え上げることによって定義される

Weil の合同ゼータ関数にまつわるいわゆる Weil 予想が現代数学に与えた影響はあまりにも大きい。 Grothendieck はその前半部分に当たる有理性27を示したわけであが、 じつはこれはエタールコホモロジ一という Weil
コホモロジーが構築された暁には形式的に従う事実であった。 今$2\dim(X)$$Xarrow H^{*}(X)=$$H^{i}(X)$$\bigoplus_{i=0}$

を任意に与えられた Weil コホモロジー理論としよう。 前節 (2–2)
見たように写像$Co’\prime_{R}^{0}(X, x)arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Hi(X), H:(X))$;

で$\alphaarrow\alpha_{*}$(homological equivalence) より細かい任意の代数的サイクル上の同値関係。 次に述べるいわゆる Le&chetzの固定点定理は Weil コホモロジー理論の持つ公理的性質より形式的な議論によって従うものである (くわしくは [K1] を参照)がある。 ここに $R$ はホモロジー同値。

定理 (3–1) (Le&chetz の固定点定理) $X\in C$ を連結多様体とする。次の公式が成立。

$<\Delta_{X},$$\Gamma>=\sum^{(}(-1)^{:_{\tau(}}r2\dim X):=0\mathrm{r}_{*}$: $H^{i}(X))$ .

ここに左辺は $X\mathrm{x}X$ 上のサイクルの交点数とする。

ここで注意すべき大切な事実は上式の左辺は Weil コホモロジ一理論に依らないことである。
さて今基礎体 として有限体をとってみよう。 の元の数を q 個 $(k=\mathrm{F}_{q})$
$k$

$k$

として
$F$

: $Xarrow X$

を座標を q 乗するいわゆるフロベニウス写像としする。 また簡単のためこれらのグラフ (これらは同じ文字で表すことにする。 (3–1) より$<\Delta_{X},$$F^{n}$

をその $n$ 回の合成と$C_{\mathit{0}\prime}r(0X,$$F^{n}>=2 \mathrm{d}\mathrm{i}(\mathrm{x})\sum_{:=0}^{\mathrm{m}}(-1)^{i}T’(F_{*}^{n} :を得る。 $-$ 方上式の左辺は $X$ の他ならない。 かく して$q^{\mathfrak{n}}$

$X)$

の元)

も

H^{i}(X))$

元体に座標を持つ有理点の数\nu n(X) に:$\nu_{n}(X)=2\dim(x\sum_{=:0}^{)}\cdot(-1)^{:_{Tr}}(FnH^{i}(x))*$28なる式を得たわけであるがこれから形式的な議論により次を導くことができる。

定理 (3–2) (合同ゼータ関数の有理性と関数等式)を$d$$X\in C_{k}(k=\mathrm{F})q$

次元連結多様体としその合同ゼータ関数を$\log Z(X, t)=\sum_{\geq n1}\nu_{n}(\mathrm{x})\frac{t^{n}}{n}$によって形式的べき級数として定義する。 このとき$Z(X,t)= \prod_{=i0}P_{i}(\iota)2\text{ど}(-1)^{:}+1$が成立。 ここに$P_{i}(t)=det(1-F_{*}\cdot t|H:(X))$.

さらに $Z(X, t)$ は関数等式$Z(X, \frac{1}{q^{\text{ど}}t})=\pm(q2t)\chi(X)z(\mathrm{L}X, t)$を満たす。 ここに$\chi(X)=<\Delta_{X},$ $\Delta_{X}>=\sum_{i=0}^{2d}(-1)^{:_{\mathrm{d}}}\mathrm{i}\mathrm{m}(Hi(x))$.

後半の関数等式は Weil コホモロジー理論の公理的性質のうちの $-$ つポァ
ンカレ双対定理より形式的に従う。

\S 4 曲線の$h^{1}$とヤコビ多様体とそのヤコビ多様体と
この節ではモチーフの重要な例として曲線のの関係について説明しよう。 を固定された基礎体とし 上の有理同値関を以前のの中で考えることにする。
係に関するモチーフの圏
次元連結多様体
通り 上の非特異射影的なスキームの圏とし $X\in C_{h}$ をとする。 $X$ の $k-$ 有理点 $x\in X(k)$ を $-$ つ固定して$h^{1}$$k$$k$$\mathcal{M}_{h}(rat)$$C_{k}$$d$$k$$h^{0}(X):=(X, x\cross X, 0)\in \mathcal{M}_{h}(rat)$

とおく。 このとき$\mathcal{M}_{h}(rat)$,$h^{\text{ど}}(X):=(x, x\cross\, \mathrm{o})\in M_{h}(rat)$における同型$h^{0}(X)\simeq\underline{1}:=h(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}(h))$

and$h^{d}(X)\simeq \mathrm{L}^{\emptyset \text{ど}}$29が見て取れる。
さて $d=\dim(X)=1$ を仮定しよう。 このとき$h^{1}(X)=(X, \Delta_{X}-(x\cross X)-(X\cross x),$ $0)\in \mathcal{M}_{h}$(rat)とお \langle と$h(X)=h^{0}(X)\oplus h^{1}(X)\oplus h^{1}(X)$なる $\mathcal{M}_{h}(fat)$ における直和分解が成り立つ。 次の定理は Weil による。

を非特異射影的な曲線とし $J(X)\text{、}J(\mathrm{Y})$ をそ
定理 (4–1) $X,$
れらのヤコビ多様体とする。 このとき自然な同型$\mathrm{Y}\in C_{h}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathcal{M}_{\mathrm{h}}}(’ a\ell)(h^{1}(X),h^{1}(\mathrm{Y}))\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(J(\mathrm{x}), J(\mathrm{Y}))\otimes \mathrm{Q}$が成り立つ。 ここに右辺のいを表す。

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$はアーベル多様体としての準同型ぜんた系 (4–2) $A_{h}\subset M_{h}(rat)$ を$h^{1}(X)$,$X\in C_{h},$$\dim(X)=1$

なるモチーフの直和因子たちより生成される充満な部分圏とすると圏としての同値$A_{k}\simeq \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$category of abelian varieties over$k$

up to isogenyが成り立つ。
(4–1) は Weil の結果$CH^{1}(X\cross \mathrm{Y})\simeq CH^{1}(X)\oplus CH^{1}(\mathrm{Y})\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(J(\mathrm{x}), J(\mathrm{Y}))$より従う。 $(4 -2)$ に関してはすべてのアーベル多様体は適当な曲線のヤコビ多様体のアーベル部分多様体であるという事実とボアンカレの完
全可約性定理より従う。

最後に上の考察より簡単に従う事実として次のことに注意してみよう。
$t$を固定された素数としエク一ル. コホモロジー理論.

$Xarrow H^{*}(X)--$$2\dim(X)$$H^{:}(\overline{X}, \mathrm{Q}_{l})$$\overline{X}=X\mathrm{x}_{h}\overline{k}$$\bigoplus_{i=0}$

にたいする $M\in \mathcal{M}_{h}$ (rat) の実現 (realzation) (2–3) を $H_{et,l}(M)$とする。 同様に $k=\mathrm{C}$ , 複素数体としべッチ. コホモロジー理論$2\dim(X)$$Xarrow H^{*}(X)=$$H^{:}(X(\mathrm{C}), \mathrm{Q})$$\bigoplus_{:=0}$

30にたいする $M\in \mathrm{A}t_{k}$ (rat) の (実現) realization を $H_{B}(M)$ とする。 このとき曲線 $X\in C_{h}$ にたいし
$H_{e\ell,l}(h^{1}(x))=T_{\mathit{1}}J(X)(-1)\otimes \mathrm{Q}_{l}$,$H_{B}(h^{1}(\mathrm{x}))=H^{1}(J(X), \mathrm{Q})=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\Gamma, \mathrm{Z})\otimes \mathrm{Q}$が成り立つ。 ここに$T_{l}J(X)=\varliminf J(X)(\overline{k})[\ell^{n}]$は $X$ のヤコビ多様体の Tate 加群で $(-1)$ は 1 の等根へのガロア群作用による Tate ひねりとする。 また $k=\mathrm{C}$ のとき $J(X)(\mathrm{C})=\mathrm{c}ff/\Gamma$ を $X$ のヤ

コビ多様体の解析的表示とする。 ここに g ま $X$ の噸数とし rな格子である。

$\subset \mathrm{C}^{g}$は適当\S 5 保型形式のモチーフ
この節ではモチーフの重要な例として保型形式 $f$ のモチーフ $M$; をあげる
ことにする。 これは代数的サイクル上の有理同値 (rational equivalence)
上のモチーフの圏の元として定義されに関する有理数体
る。 まず(rat) に関する大切な $-$ 般的事実に注意しておこう。 それはは任意に与えられた Weil コホモロジー理論に対し自然な
realization functor が存在することである ((2–3) 参照) 特に を固定された素数としエタ一ノ コホモロジー理論$\mathcal{M}_{\mathrm{Q}}(rat)$$\mathrm{Q}$$\mathcal{M}_{\mathrm{Q}}$$M\in \mathcal{M}_{\mathrm{Q}}(rat)$$\ell$$\circ$$=$$2\dim(X)$$Xarrow H^{*}(X)=$$H^{i}(\overline{X}, \mathrm{Q}_{l})$$\bigoplus_{i=0}$

にたいするその実現 (realization) $H_{\epsilon t.l}(M)$ が得られるがこれは有理数進表現
体の絶対ガロア群 Gal(Q/Q) の連続な$\ell-$$\mathrm{Q}$$\rho_{M,l}$:$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H_{et,l}(M))$

を与えることになる。 さらにこれはモチーフの $L-$ 関数$L(M, \ell)=\prod_{p}L_{p}(M,p)-l$$(_{\delta\in}\mathrm{C})$,$L_{p}(M,t)=det(1-\rho M,l(\sigma^{-})P1.t|H_{\epsilon}t,\ell(M)I_{\mathrm{p}})$を生じせしめる。ここに上の積はすべての有理素数にわたる。
ははにおけるフロベニウス置換、の素点$\sigma_{p}\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})$$P$$I_{p}\subset \mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})$$\mathrm{Q}$$p\text{の}\overline{\mathrm{Q}}$

への

31

延長を つ選んだときの惰性群とする。 $L(M, s)$ はの実部分\Re (s) が十分大きいところで絶対収束する事がわかる (これには Deligne に依って示された Weil 予想の後半部分、 フロベニウス写像の固有値の絶対値に関す–$\epsilon$

る部分が使われる) 。

以下山型形式のモチーフの話に移ろう。
$\Gamma_{1}(N)=\{\in \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z})|a\equiv d\equiv 1(N), c\equiv 0(N)\}$,$\Gamma_{0}(N)=\{\in \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z})|c\equiv 0(N)\}$とし$f( \tau)=n=1\sum\infty a_{n}e2\pi:n\tau$,$a_{1}=1$

を $\Gamma_{1}(N)$ に関する重さ $k\geq 2$ の new form で Hecke 作用素の同時固有関数とする。 よく知られているようにある指標$\psi$:$(\mathrm{Z}/N\mathrm{Z})^{*}arrow \mathrm{C}^{*}$にたいしfor any $\gamma=\in\Gamma_{0}(N)$( $f_{1^{h\gamma)}}(T):=(c\tau+d)^{-}hf(\gamma(\tau))=\psi(d)f(\tau)$が成立する。 いま簡単のためにすべての $n$ にたいしの仮定は本質的ではない) 。 このとき

$a_{n}\in \mathrm{Q}$$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\triangleright \mathrm{s}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{U}[\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{h}]$とする (こは次の性質を満上のモチーフたす(rat) を構成した。 を固定された素数としエタール. コホモロジー理論にたいするその実現 (realzation) を$H_{et,l}(M_{f})$

とする。

(1)

定理 (5–1)(2)$M_{f}$$\ell$$M_{j}\in \mathcal{M}_{\mathrm{Q}}$$\mathrm{Q}$$\dim_{\mathrm{Q}p}H_{\text{。}}t,\ell(M_{J})=2$.

より生ずるガロア表現,$\rho_{J^{l}}$: Gal(Q/Q)$arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(Het,\mathit{1}(M_{J}))\simeq \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Q}_{l})$にたいし次が成立。

(i) $p,1’Nt$ とすると$\rho f,\mathit{1}$は $P$ で不分岐で$det(1-\rho J,\lambda(\sigma_{p}-1)\cdot t|H_{\epsilon t},l(M;))=1-a_{p}t+\psi(p)p^{k1}t^{2}-$が成立。 ここに$\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})$$\sigma_{p}$は $p$ におけるフロベニウス置換。

32(ii) $p=t$ かつの意味で$p\parallel N$$\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{y}_{\mathrm{S}\mathrm{t}\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}$とすると$\rho f,p$は$\mathrm{G}\mathrm{a}1(.\overline{\mathrm{Q}.p}/\mathrm{Q}_{p})$の表現としては Fontaine

表現で$det(1-\emptyset\cdot t|C\prime ys(H_{et,l()}M_{f}))=1-a_{p}t+\psi(p)p^{h-}t12$が成立。

$(5 -1)(2)(i)$ の性質は Eichler-Schimura (重さ 2 の場合) と Deligne
(重さ

–

,

$L(M_{\ell)}$$L(M, \epsilon)$

般の場合) の結果の細密化になっている。 これは $M_{f}$ の $L-$ 関数

が凹型形式 $f$が全平面の$s\in \mathrm{C}$

Meffin 変換として表されることを導き、 特にに解析接続されることが帰結される。 一般にモチーフの $L-$ 関数の解析接続性は数論における重要な問題でわずかな特殊例に対してのみ知られている。 最近 $-$ 大センセーションとなった AWilesの志村 $-$ 谷山予想に関する仕事によれば次が成り立つ。
定理 (AWiles) $E$ を有理数体上の半安定な (semi-stable) 楕円曲線とすれば(rat) は適当な保型形式 $f$ にたいしそれの定めるモチーフ $M$; と同型になる。 とくに E の $L-$ 関数あるいはその Hasse-Weil
ゼータ関数は $f$ の Meffin 変換として表され全複素平面への解析接続が保証される。
$h^{1}(E)\in \mathcal{M}_{\mathrm{Q}}$(5–1)(ii) はいわゆる $p-$ 進ホッヂ理論からの応用でその記号の意味も含めて詳しい説明は省略する。 ただ $-$ 言っけ加えておくなら保型形式の整数論、 特に対応するガロア表現の研究において上で現れた $p=\ell$ の場合の考察は非常に重要である。 (2) $(ii)$ の証明には鋳の構成に加えての定理が使われる。
の理論とラー
ライ空間 (モジの構成はレベル構造付きの楕円曲線のモジ
曲線) 上のユニバーサルな楕円曲線の何回かのファイバー積の特異点を解消しさらにそのうえに適当な代数的サイクルを構成することがポイント$\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}-\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}[\mathrm{F}- \mathrm{M}]$$\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{z}-\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}[\mathrm{K}-\mathrm{M}]$$\mathrm{n}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{n}$

である。

参考文献
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Contemporary Math. 67 (1987), 179-207.
[J] U. Jannsen, Motives, numerical equivalence, and semi-,implicity, Invent. Math.
107 (1992), 447-452.
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Kleiman, Algebraic cycles and the Weil conjectures, in: Dix Exposes sur[K1]
La Cohomologie des Schemas, North-Holland.
斎藤秀司, 代数幾何と数論, 数理科学 3(1994).
[$\mathrm{S}.\mathrm{L}$$\mathrm{S}\mathrm{a}- 1|$.

33[Sa-l] 斎藤秀司, モチーフ. $Grothe-ieck$ の見果てぬ夢, 数理科学 8(1994).
[Sch] A. Scholl, Motives for modular $form\ell$ , Invent. Math. 100 (1990), 419-430.