数理解析研究所講究録
1003 巻 1997 年 15-27

15

非可換確率空間における半円分布の特徴付け
樋渡 修 (Osamu Hiwatashi)
吉田裕亮 (Hiroaki Yoshida)

千葉大理
お茶女大理

はじめに

$0$

非可換代数の上で確率論を展開することは可能である. これらは非可換確率論と呼ばれている. いくつかの非可換確率論の定式化があるが, ここでは D.Voiculescu による free 確率論についてその定義および free 確率論における分布の特徴付け問題に関して得られたいくつかの結果について報告する.
.
1 章では free 確率論の紹介を中心に行い, 2 章では研究会で報告を行った [HNY]の結果も含めて紹介の概略と, その後黒田倫子 (お才女大理) と共に行ったする.
$[\mathrm{H}\mathrm{I}<.\mathrm{N}\mathrm{Y}]$1

非可換確率空間と free 性

通常の確率空間において独立性の概念は重要な概念である. この独立性を非可換確率論へ自然に拡張することは以前から行われていた. これは tensor 積に基づくものでり, 独立な確率変数の族には可換性が仮定されていた. 非可換性が十分に反映される独立性に代わる概念として, D.Voiculescu によって導入され free 性という概念がある. 本来は, 自由群が生成する作用素環の解析のための道具として導入されたものであるが, free 性, 半円分布, 中心極限定理など通常の確率空間との対比が見事であるこどもあって, 非可換版として興味深いものとなっている. 標語的に言ってしまえば, 独立性の概念を free 性に置き換えた確率論が free 確率論である.
まず free 性の定義を独立性と対比させながら紹介する.
を positive で $\mu(\Omega)=1$ を満たす確率測度
を -field, またを base space,と表記される. もし, $f$ :が可積分であれば, 期待とし確率空間は,.
.
.
.
値 $E(f)$ は.
$\Sigma$$\Omega$$\sigma$$\mu$$\Omegaarrow \mathbb{C}$$(\Omega, \Sigma, \mu)$$\cdot$$E(f)= \int_{\omega\in\Omega}f(\omega)d\mu(\omega)$となる. この形式を代数的に取り扱うことによって非可換確率空間を記述する.

上の unital (1 を含む) 代数 $(-$$(A, \phi)$ が非可換確率空間であるとは,
定義 1.1.
$A$$\phi(1)=1$をなる線形汎関数の組をいう. $A$ を単位と般には非可換):
確率空間, $A$ が有
元を含む
algebra で, が $A$ 上の state のとき $(A, \phi)$ は
限型 von Neumann algebra で\mbox{\boldmath $\phi$} が正規 trace のとき $(A, \phi)$ を, $W^{*}-$ 確率空間という. また, 非可換確率空間 $(A, \phi)$ において $a\in A$ は確率変数と呼ばれる.
$\mathbb{C}$$\phi$$C^{*}-$$Aarrow \mathbb{C}$$\phi$$C^{*}-$

通常の確率空間の独立性の概念は以下のように非可換確率空間に拡張される.
Typeset by AMSu 入16$(A, \phi)$ を非可換確率空間とし, $A_{i}(i\in I)$ を $A$ の 1 を共有す
定義 1.2. (独立性)る部分代数とする. このとき,が独立であるとは, 以下の条件が成立するとき$(A_{i})_{i\in I}$

をいう
$t$

(1)

任意の

$i_{1},$$i_{2}\in I(i_{1}\neq i_{2})$for$x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$(2)$x_{j}\in A_{i_{j}}$

(ただし

に対して,

$i_{1},$ $i_{2},$$\cdots,$$x_{1}\in A_{i_{1}}$$i_{n}$

and$x_{2}\in\lambda_{2}$は全て異なる) について,$\phi(x_{12n}X\ldots x)=\phi(x_{1})\emptyset(x_{2})\cdots\emptyset(x_{n})$

いま各

(2)

$A_{j}$,.

が 1 を含むので (2) は以下の条件 (2) と同値である.
$\phi(x_{j})=0$ (ただし,は全て異なる) について,$i_{1},$ $i_{2},$$x_{j}\in A_{i_{j}},$$\cdots,$$\phi(x1x\mathit{2}\ldots Xn)=0$$i_{n}$.

この独立性の概念は tensor 積の概念に基づいて定義されている. つまり通常の確率変数の独立性を –般化したものである. ここで tensor 積の代わりに free 積を扱う
ことによって, “独立 ‘ の概念を, より非可換性の強い概念に置き換えることを考える.
これが D. Voiculescu によって導入された free 性である.

$(A, \phi)$ を非可換確率空間とする. $1\in A_{i}\subset A(i\in I)$ を $A$ の
定義 1.3. (free 性)が free であるとは, $x_{j}\in A_{ij}$ で $\phi(x_{j})=0$ ただ部分代数とする. このとき,
ならばし,$(A_{i})_{i\in I}$$i_{1}\neq i_{\mathit{2}}\neq\cdots\neq i_{n},-$$\phi(x1x2\ldots Xn)=0$が成り立つときをいう.
によって生成された部分代数
部分集合の族 $X_{i}\subset A$ が free であるとは,は free であるという.
達が free であるときをいう. 特に, $X_{i}=\{x_{i}\}$ のとき,$\{1\}\cup\lambda_{i}^{r}$$A_{i}$$(x_{i})$この free 性の定義においては単に隣合う代数が違うということだけを言っているので 2 つの代数が交代で現れることも, もちろん許されていることに注意しなければが free であるならば, こならない. また, この free 性の定義により,れらの任意の word の期待値がそれぞれの元の多項式の期待値の積の和として表されることにも注意しなければならない.
に変数非可換多項式とする. free な確率変数の族
すなわち を,の和の形式に展開することが出)) は対して, 期待値\mbox{\boldmath $\phi$}(p(xl,は1変数多項式である.
来る. ただし,なる関係式の展開を例にとると,実際, 期待値を用いることによって$(x_{1}, x_{\mathit{2}}, \cdots, x_{n})$$\{x_{1}, \cdot*\cdot, x_{n}\}$

$n$

$p$

$x_{\mathit{2}},$$\cdots,$$x_{n}$$\prod p_{i}(\phi(x_{i}))$$p_{i}$$\phi(x_{1}x_{21}X^{\mathit{2}})$$y^{\mathrm{o}}=y-\phi(y)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\emptyset$$\phi(x_{1\mathit{2}1}xx^{2})=\phi(x_{11}^{\mathrm{o}_{X}2}2^{X)}+\phi(x_{1})\phi(X_{\mathit{2}1}X)\mathit{2}$$=\phi(x_{1^{X}}^{\circ \mathrm{O}}\mathit{2}X_{1}^{2})+\phi(x_{\mathit{2}})\phi(x^{\circ \mathit{2}}11X)+\phi(x_{1})\phi(X_{2}X^{2})1$$=\emptyset(x_{1}^{\mathrm{O}}X_{\mathit{2}}(\mathrm{o}X_{1}\mathit{2})^{\mathrm{o}})+\phi(x_{1})\mathit{2}\emptyset(x_{1^{X_{\mathit{2}}}}\circ\circ)+\phi(x_{\mathit{2}})\phi(x^{\circ \mathit{2}}11X)+\phi(X_{1})\emptyset(x2x_{1}^{2})$$=\phi(X_{2})\phi(x^{\circ 2}11X)+\phi(X_{1})\phi(x_{21}x)\mathit{2}$

,

17
は
となり, 多項式表示されるので, 議論は帰納的に終了する.
$x_{1^{X_{1}}}^{\mathrm{o}2}=x_{1}^{3}-\emptyset(x_{1})x^{2}1’ x_{2}x_{1}^{2}$

定義 1.4. (分布)変数多項式環$x_{1}x_{2^{X_{1}^{\mathit{2}}}}$

より低い次数の多項式としてを非可換確率空間とする. 確率変数 $x\in A$ の分布とは 1で上の線形汎関数$(A, \phi)$$\mathbb{C}[X]$$\mu_{x}$$\mu_{x}(P(x))=\emptyset(P(x))$,$P\in \mathbb{C}[X]$

なる関係で定まるものである.
確率空間 $(A, \phi)$ においては,
特に,が自己共役であるならば, 分布
は上のコンパクトな台を持つ確率測度に拡張される. すなわち
$C^{*}-$$x\in \mathcal{A}$$\mu_{x}$$\mathbb{R}$$\int P(t)d\mu_{x}(t)=\phi(P(x))$

なる確率測度$d\mu_{x}$,$P\in \mathbb{C}[X]$が–意に存在する.

の次の simple moment という. 確率変数
に対して, $\mu_{x}(X^{n})$ を
は, $\mu_{x}(X)=0$ であれば中心的 (centered) であるといい, また, centered な確率変数
は, $\mu_{x}(X^{2})=1$ であるとき, 標準 (standard) と呼ばれる.

確率変数

$x$

$x$

$n$

$x$

$x$

先に述べたように, free 確率変数の各々の期待値はそれぞれのモーメントの積の線形結合によって表される. 例で見ると$\phi(x_{121}xx^{2})=\phi(X_{2})\phi(x^{\circ 2}1X1)+\phi(X_{1})\phi(x_{21}x)2$$=\phi(x_{2})(\phi(x^{3}1)-\emptyset(x_{1})\phi(X_{1}^{2}))+\emptyset(X_{1})(\emptyset(x_{2})\phi(X_{1}^{2}))$$=\phi(x_{1}^{3})\phi(_{X_{2}})$となり, 注意することは, ここで現れる各項はについて 4 次であるということについては全て 3 次,については全て 1 次の斉次式であるということであと,る. この展開を期待値のモーメント展開とよび, 一般的に各々の項は,$x_{2,n}\ldots,$について, モーメントの次数に関して斉次であり, 各々の項の次数は, それぞれの変数に関して斉次であることがわかる.
$x_{1},$$x_{1}$$x_{\mathit{2}}$$x_{2}$$x_{1},$$x$

通常の確率論の正規分布の役割を果たす, free 確率空間における重要な分布が, 半
円分布である. これは, D.Voiculescu の free 中心極限定理の極限分布がこの半円分布であることや, 通常の確率論において正規分布の持つ性質を free 確率空間においてこの半円分布が持っているということによる. この報告も通常の確率空間で狼立性に基づく正規分布の特徴付けを free 性に基づく半円分布の特徴付けを行うものである.

定義 1.5.

中心が$m\in \mathbb{R}$, 半径 $r>0$ の半円分布 $\omega_{m,r}(P(X))$ とは$\omega_{m,r}(P(X))=\frac{2}{\pi r^{2}}\int_{m-r}^{m+r_{P(}}t)\sqrt{r^{\mathit{2}}-(t-m)^{\mathit{2}}}dt$18なる関係式で定義される非可換確率空間における分布である. (通常の確率空間の見方でいえば, 密度関数の形状が半楕円である)
確率空間 $(A, \phi)$ において, 自己共役な確率変数 $x\in A$ の分布が上の半円分布のとき, 確率変数 は中心, 半径 $r>0$ の半円的 (semicircular) であるという.
$C^{*}-$$m\in \mathbb{R}$$x$$\omega_{m,r}$正規分布の場合と同様に, 半円分布は, 1 次モーメント, 2 次モーメント:$\omega_{m,r}(X)=m$$\omega_{m,r}(X^{\mathit{2}})=m^{\mathit{2}}+\frac{r^{\mathit{2}}}{4}$によって-意に定まる. さらに, 中心 , 半径 $r>0$. の半円分布に従う確率変数
moment に関しては, 次の関係式を得る.
$0$

$x$

の

$\phi(x^{k})=\frac{2}{\pi r^{2}}\int_{-r}^{r}t^{k}\sqrt{r^{2}-t^{2}}dt$$= \{\frac{0(2m)!}{m!(m+1)!}(\frac{r^{2}}{4})^{m}$$(k=.2m+1(k’=2\eta),)$

なお, $c_{m}= \frac{(2m)!}{7n!(m+1)!}$ は $m$ 次 Catalan 数と呼ばれる組み合わせ論でよく現れる数
である.
$C^{*}-$

確率空間 $(A, \phi)$ において, 自己共役な確率変数 $x\in A$ の分布には$\mathbb{R}$上のコンパクトな台を持つ確率測度が対応するので, 自己共役な確率変数 $x(\neq 0)$ が中心の半円的であるための必要十分条件は, 任意の $m\in N$ について次の関係を満たすこ

$0$

とである.

$\phi(x^{2+1}m)=0$$\{$$\phi(_{X^{\mathit{2}m}})=c_{m}\phi(_{X}\mathit{2})^{m}(\neq 0)$.

通常の確率論において独立な確率変数の和の分布を考えることは重要である. 結
果的には和の分布はいわゆる合成積 (convolution) で与えられる. この free 版が free

additive convolution である.

定義 1.6.
を, 分布
き, 確率変数 $x_{1}+x_{2}$ の分布(additive) convolution といい,
$x_{1},$ $x_{2}$$\mu_{x_{1}},$にそれぞれ従う free な確率変数とする. このとは,にのみ依存して定まる. これを free
田とかく.

$\mu_{x}2$$\mu_{x_{1}+X}2$$\mu_{x_{1}}$$\mu_{x_{1}},$$\mu_{X_{2}}$$\mu_{x_{2}}$通常の確率論で convolution を用いて和の分布を計算するとき Fourier 変換は重要な役割りを果たす. 特に Fourier 変換の対数は cumulant 母関数と呼ばれ, この convolution を線形化するするものとして知られている. この free 版として, D.
変換を導入した.
Voiculescu は$\mathrm{R}-$19
定義 1.7.

$\mathbb{C}[X]$

上の分布

$\mu$

について,

の形式的幕級数$\zeta^{-1}$$G_{\mu}( \zeta)=\zeta^{-1}+\sum^{\infty}I^{\mathrm{L}}(\mathrm{x}k)\zeta^{-}k=1k-1$,を考える. この普通の合成に関する逆関数, すなわち
$G_{\mu}$ $(\text{ム_{}\mu}’となる関数$I\mathrm{t}_{\mu}^{r}(z)$

を考える.

この

(z))=z$かつ $I\iota_{\mu}^{\Gamma}(c(\mu\zeta))=\zeta$$I_{1_{\mu}^{\mathcal{F}}}(z)$は$z$の形式的罧級数として$I \mathrm{f}_{\mu}(_{Z)}=z^{-1}+\sum_{=k0}\alpha k+1Z^{k}\infty$

なる形で与えられる. このとき, 分布

$\mu$

の

,

R- 変換 R\mu (のは,$R_{\mu}(z)=Ii_{\mu}(rZ)- \frac{1}{z}=\sum_{k=0}^{\infty}\alpha k+1z^{k}$と定義される.

性質 1.8. [VDN]

R- 変換は次の関係式を満たす:$R_{\mu_{x_{1}}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\mu_{x}2}(Z)=R\mu x_{1}(\mathcal{Z})+R_{\mu x_{2}}(z)$$R_{\mu_{\gamma x}}(z)=\gamma R(\mu x\gamma_{Z})$$R_{\mu_{x+\gamma}1}(_{Z)}=R_{\mu_{x}}(Z)+\gamma$

R- 変換の例として、中心 $m$ , 半径$r$の半円分布の R- 変換を挙げる.

$R_{\omega_{m,r}}(_{Z})=m+ \cdot\frac{t^{2}}{4},z$

一般に R- 変換に現れる係数は free cumulant と呼ばれている. R- 変換の定数項は
平均 (1 次の free cunmlant), また, 1 次の項の係数は分散 (2 次の free cumulant) である. 通常の確率論における正規分布の特徴付けとして 3 次以上の cumulant が で$0$あるという性質があるが, このことは free 確率論において 3 次以上の free cumulantがであるのは半円分布に限るというように言い換えられる. これも正規分布と半$0$円分布のひとつの対応である.

cumulants と moments の関係については, 可換の場合と非可換の場合との非常に興味深い対比が [Spe] で得られている. 以下, この関係の紹介を行う. そのた
このめにいくつか記号を導入しよう.
$S(n)=\{1,2, \ldots, n\}$ に対して $P$ が $S(n)$ の分害 IJ (partition) であるとは $P=$$\{\pi_{1}, \pi_{\mathit{2}}, \ldots, \pi_{m}\}$が $\pi_{i}\neq\phi(1\leq i\leq m)$ で$\pi_{i}\cap\pi_{j}=\phi$

かっ $\cup\pi_{i}=S(n)$ のと20きをいう. また, $S(n)$ および各$\pi_{i}=(v_{1}, \ldots, v_{p}),$$v_{1}<\cdots<v_{p},$$\pi_{i}$を ordered set とみて, すべての $i,j$ に対して$\pi_{j}=(w_{i}, \ldots, w_{q}),$$w_{i}<\cdots<w_{q}$$w_{k}<v_{1}<w_{k+1}=w_{k}<v_{p}<w_{k+1}$とすれば$(k=1, \ldots, q-1)$が成り立つとき, 分割 $P$ は非交差 (non-crossing) であるという. これは同じ分割要素の元を線で繋いだとき, それらが交差しないという意味で名付けられている. $\wp(S(n))$
で $S(n)$ の分割全体を表すものとし, $NC\wp(S(n))$ で $S(n)$ の non-crossing 分割全体を表すものとする. もちろん $NC\wp(S(n))\subset\wp(S(n))$ である.と分割 $P=$で,次の cumulant を表すものとする. このとき
$r_{k}$$k$$r_{1},$ $r_{2},$$\{\pi_{1}, \pi_{\mathit{2}}, \ldots, \pi_{m}\}\in\wp(S(n))$$\ldots$$r_{n}$’に対して$R(P)=\square ri=m1\mathrm{I}\pi_{i}1$の元の数をあらわすものとする. もは分割要素
ちろん $\sum_{i=1}^{m}|\pi_{i}|=n$ である. このとき普通の確率論における moment-cumulant 関
係式は, 以下の関係式で与えられることが知られている.

なる記号を導入する. ただし$|\pi_{i}|$$\pi_{i}$$m_{n}= \sum_{(P\in\wp s(n))}R(P)$実は free 確率論においても同様の free moment-free cumulant 関係式が成り立つ.
すなわち,$m_{n}.=Nc_{\wp} \sum_{P\in(S(n))}R(P)$である. 違いは分割に対する和が非交差分割に制限されているだけである.

次に正規分布と free 確率論で重要な半円分布とを, 自然につなぐ例について紹介
は $[0,1]$ 区間を動く. 正規分布は直交多項式系である Hermite 多項式と密接な関係にある. すな
わち, Hermite 多項式は正規分布の密度関数を重みに持つ直交多項式系である. この
Hermite 多項式の q-analogue を考え, これを直交多項式系とする重み関数を作るこ分布族を得る.
とにより, 正規分布と半円分布を結ぶを整数
正の整数 に対して, qしたい. これは正規分布の q-analogue である. ここで, パラメータ$q$$\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}_{-}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}$$[n]_{q}$$n$$[n]_{q}= \frac{1-q^{n}}{1-q}=1+q+\cdots+q^{n-1}$,$[0]_{q}=0$と定義し, また q- 階乗を$[n]_{q}!=[1]_{q}\cdots[n]_{q}$と定義する. このとき
ある.

$q$

,

$[0]_{q}!=1$-Hermite 多項式は次のように帰納的に定義される多項式で

21
定義 1.9.
れる.

正の整数 7 に対して q-Herlnite 多項式$H_{0}^{(q)}(X)=1$,$H_{n}^{(q)}$は以下のように定義さ$H_{1}^{(q)}(_{X)}=x$$xH_{n}^{()}q(x)=Hq(n()+1X)+[n]qn-1(H^{(q)}x)$$(n\geq 1)$

このとき以下のような直交関係を得る.

性質 1.10. [LM]$\mu_{q}$を区間 [ $-2/\sqrt{1-q},$ $2/\sqrt{1-q\rfloor}$ 上の測度で$\mu_{q}(dx)=-\sqrt{1-q}\mathrm{J}T\mathrm{t}\sin\theta n1\prod_{=}(1-q)n|1-qe|^{\mathit{2}}n\mathit{2}i\theta dX$

ただし $x= \frac{2}{\sqrt{1-q}}\cos\theta$ ,$\theta\in[0, \pi]$とする. このとき$q$-Hermite 多項式は$\mu_{q}$に関する直交多項式系である. すなわち,$\int_{-\mathit{2}}^{2/\sqrt{1-q}}/\sqrt{1-q}=H_{n}(q)(X)H_{m}(q)(X)\mu q(dx)\delta nm[n]_{q}!$なる関係を満たす.
$q=1$ のときが, 通常の Hermite 多項式で重み関数が正規分布の密度関数であり,$q=0$ のときの重み関数が半円分布の密度関数, すなわち free の場合に対応している.

2

半円分布系の特徴付け

この章では主として free 性を用いた半円分布系の特徴付けに関する結果の紹介を行う. 実質的には [HNY] および [HKNY] の内容を概説することになります.
通常の確率空間で独立に同 $-$ の分布に従う確率変数の族を i.i.d. (independently
identically distributed) な族と呼んだ. そこで, , 確率空間 $(A, \phi)$ においても freeであり, かっ自己共役な確率変数で全て同じ分布を持つとき f.i. . (freely identically
distributed) であると呼ぶことにする. また f.i. . である確率変数の族の同–分布が$C_{-}^{*}$$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$標準半円分布であるときその確率変数の族を標準半円分布系 (standard se 而 circularsystem) と呼ぶことにする.
.
この標準半円分布系の特徴付けに関する結果の紹介を以下に行うことにする. 非可換確率空間は確率空間で考え, 確率変数は自己共役とする. したがって先にも述べた通り分布を特徴付けるには, その高次の lnolnent を特徴付ければ十分である.
まず Voiculescu によって示された free 性の回転不変性について触れておく.
$C^{*}-$

定理 2.1.
行列とし$\{x_{1,2,.,n}X..x\}$を標準半円分布系とする. $A=(a_{ij})\in M_{n}(\mathbb{R})$ を直交$y_{i}= \sum_{j=1}a_{ij}x_{j}$$(i=1,2, \ldots, n)$

22
とおくと

も標準半円分布系になる.

$\{y_{1}, y_{\mathit{2}}, \ldots, y_{n}\}$特徴付けに関して最初に紹介するのは確率変数の線形形式と 2 次形式の free 性に基づくものである. 確率変数のこれらの形式は統計量とも呼ばれ, 通常の確率論でもっとも単純かつ重要な線形統計量は標本平均である. また 2 次統計量で重要なものは標本分散であり.\acute 実際この標本平均と標本分散の独立性から正規分布が特徴付けられる. この free 版が次の命題である. (係数行列と係数ベクトル は標本分散,
標本平均の場合も含んでいる )$A$

定理 2.2.

[HNY]を$(a_{ij})\in M_{n}(\mathbb{R})$f.i. . な中心的確率変数の族とする. $A=$
非負定値実行列, また,を . 次非負$x_{1},$ $x_{2},$$n\mathrm{x}n$$\mathrm{b}$$\cdots,$ $x_{n}$を$\mathrm{d}$$\mathrm{b}={}^{t}(b_{1}, \cdots, b_{n})\in \mathbb{R}^{n}$$n$ベクトルとして.
$A\mathrm{b}=0$,$\sum_{i}b_{i}a_{ii}\neq 0$を満たすものとする. このとき,$l= \sum b_{ii}x$$q= \sum a_{ij}xix_{j}$

とおくと,が free である為の必要十分条件は,$l,$ $q$$x_{1},$ $\cdots,$ $x_{n}$である.

[十分条件]$||\mathrm{b}||=1$

が半円分布に従うことと仮定して良い. $A$ の対称性, $A\mathrm{b}=0$ より直交行列 $S=(s_{ij})$

で$SA^{t}S=diag\{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n-1},0\}$,$S\mathrm{b}={}^{t}(0, \ldots, 0,1)$となるものが選べる. ここで$y_{i}= \sum_{j=1}^{n}s_{i}jX_{j}$とおくと, 前定理より
は free となる.となるから,$y_{1},$$q,$$y_{\mathit{2}},$$l$$\ldots,$$y_{n}$(は free となる.

は仮定より従う.

$l2=yn$$q= \sum_{i=}n-1\lambda_{i}1y_{i},$口[必要条件] まず奇数次のモーメント$\phi(x_{1})=0$

このとき,$\emptyset(l)=0$と$\phi(x_{1}^{2m+1})$$l,$ $q$

の

が

$0$

となることを帰納法で示す.

free 性より $\phi(lq^{m})=\phi(l)\emptyset(q^{m})=0$ .

つまり$0= \phi(lq)m=\emptyset((\sum_{i}b_{ii}x)(\sum_{i,j}aijx_{i}xj)^{m})$となり, この右辺のモーメント展開を考える.
ると$x2m+12m+1..\mathit{2}nm+1$$x_{1},$$x_{2},.,$の項をみ$\sum_{i}b_{i}a_{ii}^{m}\phi(X^{\mathit{2}})1m+1$$x_{2}^{\mathit{2}m}m++1\ldots 2xm+1$ 以外の項のモーメント展という項が現れることがわかる.
開を考えると, 少なくとも 2 つ以上の変数が混ざっていること,, x。に関す$x_{1}^{\mathit{2}1},$$x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots$

23
る $2m+1$ 次 (奇数次) の斉次式になっていることがわかる. $2m+1$ より小さい奇数次のモーメントは であるという帰納法の仮定よりこれらの項は全て消えてしま.
うことになる. 従って$0$$\sum_{i}b_{i}a_{ii}^{m}\phi(X_{1}^{\mathit{2}m+1})=0$となり$\phi(x_{1}^{2m+1})=0$となる.

同様の方針で偶数次のモーメントの free 性よ り
示す.
$l,$

$\phi(x_{1}^{2m})$が$\phi(x^{\mathit{2}})^{m}$の定数倍となることを$\alpha_{m}$$q$$\emptyset(l\mathit{2}q-1)m\phi=(l^{\mathit{2}})\phi(q)m-1$

両辺を別々に計算していく.

$x_{1},$$x_{2,\ldots,n}x$.

の free 性より.

$\phi(\iota^{2})=\emptyset((\sum_{i}b_{i}x_{i})^{\mathit{2}})=\sum_{i,j}bibj\emptyset(x_{ij}X)=(\sum_{i}b_{i}^{2})\emptyset(x_{1}^{2})$帰納法の仮定と既に示した奇数次のモーメントが$0$に注意すると,$\phi(q^{m-1})=\emptyset((\sum_{ji},aijXi^{X}j)m-1)$のモーメント展開で, 奇数次のモーメントを含む項は消え, 偶数次のモーメントの項$\phi(x_{1}^{2})^{k}(k<m)$ で表示される. つまりは$\alpha_{k},$$\phi(q^{m-1})=F(\alpha_{1,\mathit{2}}\alpha, \ldots, \alpha_{m-1})\phi(x_{1}^{\mathit{2}1})^{m-}$と表される. 同様に$\phi(l^{2}q^{m}-1)=\phi((\sum_{i}b_{i}x_{i})^{\mathit{2}}(\sum_{i,j}a_{i}j^{X_{i^{X_{j}}}})^{m-1}))$のモーメント展開を考える.

$x_{1’ \mathit{2}’ n}^{\mathit{2}m}x^{22m}m\ldots,$$x$の項をみると$( \sum_{i}b_{ii}^{\mathit{2}1}a^{m_{i}-})\phi(X)2m1$という項が現れることがわかる.
以外の項は上と同じ理由で, 奇数次の \yen 一メントを含む項は消え, 偶数次のモーメントの項は$\phi(.x^{2})^{k}1(k<m-)$で表示されることになる. 従って$x_{1}^{2m},$$x_{\mathit{2}}\mathit{2}m,$$\ldots,$$x^{2m}\text{れ}$$\alpha_{k},$$\phi(.\cdot l^{2}.q^{m})-1=(\sum_{i}b_{i}^{2}a_{i}-1)m_{i}\emptyset(_{X)}\mathit{2}m+G(1\alpha 1, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m-1})\phi(x1)^{m}\mathit{2}$となる. つまり$\phi(_{X_{1}^{\mathit{2}m}})=\frac{F(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m}-1)-G(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m}-1)}{\sum_{i}b_{i}^{2}a_{i}m-1i}\phi(_{X_{1}^{2}})^{m}$

24となり, 帰納的に示されたことになる.
これらの計算は.
に関する free 性にのみ依存している.
の線形性, 単変数の従って,,として特に標準半円分布系を考えると既に十分性の証明でみが free となるので, 上の定数
たように
(カタラン数) となる. 従ってこの命題の条件を満たす分布は半円分布に限ることがわかる. 口$\phi$$\phi$$x_{1},$ $x_{2}$– $x_{n}$$l,$ $q$$\alpha_{k}=C_{k}$上の証明のように特殊な期待値のモーメント展開と線形性, free 性とによって定まる普遍定数を決定することによって半円分布であることを確認することが可能である。 もちろん -変換は分布を決定するための強力な道具でもあり, 多くの局面で有.

$\mathrm{R}$用であることは疑うまでも無いことである. だが上の命題のようなタイプの問題には必ずしも有効ではなく直接的なモーメントの変形が有効なこともある. 次の回転不変性による半円分布の特徴付けは, Nica による R-変換の多変数版の応用として証明されたが, 我々の方針による証明も可能である.

定理 2.3. [Ni], [HNY]$C=(c_{ij})$を $n\cross n$ 直交行列であり, 両側にいかなる置換行列の積をそれぞれ施しても, よりサイズの小さな直交行列の直和にならないという意
味で分解不可能であるとする.
を f.i. . な確率変数の族とするとき,$x_{1},$ $x_{2},$$\cdots,$ $x_{n}$$y_{i}= \sum_{j=1}c_{ijj}x$で$y_{1},$$\cdots,$$y_{n}$,

も互いに free である為には$\mathrm{d}$$i=1,$ $\cdots,$$x_{1},$とが必要十分である.

,$x_{2X_{n}},$$\cdots$$n$が同-の半円分布に従うこ

以下の定理も free を独立に, 半円分布を正規分布にすれば, 通常の確率論では成り立つことが知られている正規分布の特徴付け問題の free 版である. この命題もモー

メントを調べる方法で証明することが可能ではあるが, むしろ R-変換が非常に有効であることが実感できる良い練習問題である.

定理 2.4. [HKNY]

を同–分布に従う, 互いに free な中心的な確率変数の族とする.
.
(ただし) に対して,aixiと銑が同–分布に従う為の必要十分条件は,が半円分布に従うことである.
$a_{1}$$x_{1},$$\cdots,$$x_{\mathit{2}},$$\cdots,$$x_{n}$$a_{n}\in \mathbb{R}$$a_{1}^{2}+a_{\mathit{2}}^{\mathit{2}}+\cdots+a_{n}^{2}=1$$\sum_{\vee}$$x_{1},$ $\cdots,$ $x_{n}$このように述べると, 一見, 通常の確率論で成り立つ正規分布の特徴付け問題がす重要な正規分布の特徴付けに関する定理(Cram\’er の定理) の free 版が成り立たないことを注意しておく. 通常の確率論において, Cram\’er の定理は正規分布の特徴付けを行う命題の証明によく用いられる. したがってこの定理の free 版が成り立たないのは, これら半円分布の特徴付け問題がべて free 版に持ち込めるように思えるが,free 確率論において意味のある問題であることを支持していると思われる.
Cram\’er の定理
従うならば,$X_{1},$

を互いに独立な確率変数とする.
もまた正規分布に従う.

$X_{1},$ $X_{\mathit{2}}$$\lambda_{2}^{r}$$X_{1}+X_{\mathit{2}}$が正規分布に

25
この定理における独立を free に, 正規分布を半円分布に置き換えた, free 確率論における, この定理の反例は [BV] で与えられている.

通常の確率論において正規分布から導出される数々の重要な分布がある.
分布
もそのひとつである. 次の定理は分布が正規であるような i.i.d. な確率変数族の特徴付けであると同時に分布を特徴付ける命題の free 版である.
$\chi^{\mathit{2}}$$\chi^{2}$

定理 2.5. [HKNY]$x_{1},$$x_{\mathit{2}},$$\cdots,$ $x_{n}$を互いに free かつ centered 同–分布に従う確率変数とするとき,$y= \sum_{i=1}(X_{i}+ai)^{2}$,$a_{1},$$\cdots,$$a_{\text{れ}}\in \mathbb{R}$の従う分布がにのみ依存する為の必要十分条件は個,半円分布系となることである.
$a=\Sigma_{i=}^{\text{れ}}1a_{i}\mathit{2}$ここで現れる$y$を非心$\chi^{2}$$x_{\mathit{2}},$.x 訂が$\cdots,$

分布の free 版と考えようというわけである. この$y$のR-変換の形をみておくと,定理 2.6. [HKNY]
が標準半円分布に従う確率変数であるとき, $(x+m)^{2}(m\in \mathbb{R})$の従う分布の R- 変換は$x$$R_{(x+m)}2(z)= \frac{1}{1-z}+\frac{m^{2}}{(1-2_{\mathcal{Z}})^{\mathit{2}}}$とあらわされる.

これらの計算結果より定理 25 のの分布が特徴付けられる. この は先ほども述べたように通常の確率論では非心分布として知られているものの free 版に相当する. そこで以下のような定義を行う.
$y$

$y$

$\chi^{2}$

定義 2.7.
とする. 確率変. , x 訂を標準半円系,{
数は, 自由度, 非心パラメータ の freeの従う分布\mbox{\boldmath $\chi$}2分布とよぶ.
に従うとは, .
R- 変換でいえば. 確率変数 が, 分布\mbox{\boldmath $\chi$}2$x_{1},$ $x_{2}$$\delta=\sum_{i1i}^{n}=?n^{\mathit{2}}(m_{i}\in \mathbb{R})$$\cdots$$(n, \delta)$$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+m_{i})^{\mathit{2}}$

$q$

$n$

$\delta$$\chi^{\mathit{2}}$$(n, \delta)$$R_{q}(z)= \frac{n}{1-z}+\frac{\delta}{(1-2_{Z})^{2}}$を満たすことである. 特に\mbox{\boldmath $\delta$} $=0$ であるとき, freeきは, noncentral であるという.

ち,$\chi^{2}$

分布は central,$\delta\neq 0$

であるとまた通常の確率論の場合と同様に, この分布族は次の再生性を有している. すなわ
を free な確率変数とし, それぞれの従う分布がと$q_{1},$$q_{\mathit{2}}$$\chi^{\mathit{2}}(n1, \delta 1),$$\chi^{2}(n\mathit{2}, \delta 2)$

26
する. このとき $q_{1}+q_{2}$ の従う分布は書けば$\chi^{2}(.n_{1}+n_{\mathit{2}}, \delta_{1}+\delta_{\mathit{2}}.)$に等しい. つまり記号的に$\lambda^{2\mathit{2}}(n_{1}, \delta_{1})+x(n2,\tilde{\delta})=\chi^{2}(n_{1}+n2, \delta_{1}+\delta \mathit{2})$である. . .

分布について成り立っている結果の free
以下に述べる結果は通常の確率論で分布は無理なく定義されたものであり, 自然な版である. 以下の結果より, free
free analogue であることを示している.
$\mathrm{X}’2$$\chi^{2}$

定理 2.8. [HKNY]$\{x_{1}, x_{\mathit{2}}, \cdots, x_{n}\}$称行列, $q= \sum_{i,j=1}^{n}$ ol:)x 丙とすると,$A^{2}=A$$q$を標準半円分布系とし, $A=(a_{ij})$ を $n\cross n$ 対が free$\chi^{2}$分布に従うための必要十分条件は.

定理 2.9. [HKNY], x 訂を半円分布系とする.
{$(a_{ij}),B=(b_{ij})$ について, 2 次形式統計量
aijxixj,
free であるための必要十分条件は $AB=0$ である.
$x_{1},$ $x_{2},$$\cdots$$\sum_{i,j=1}^{n}$$\sum_{i,j=1}^{\eta}$

定理 2.10. [HKNY]$A_{i}=(a_{jk}^{(})i)$$\{x_{1}, x_{\mathit{2},n}\ldots, x\}$$n\cross n$

を標準半円分布系とする.

対称行列 $A=$b,,x’ 勺が互いに$n\cross n$

対称行列

について

$y_{i}= \sum_{1j,k=}a^{(}Xn\tilde{J}^{kjk}i)X$,$i=1$ ,$\cdot$

..

’

$m$

とおく. $A= \sum_{i=1}^{m}A_{i}$ に対して $A=A^{2}$ である時, 以下は同値.
乗分布(1) $y_{i}(i=1, \cdots, m)$ の分布は freeは互いに free(2) $y_{1}.’\cdots,$$1^{2}$$y_{n}$.
定理 2.10. は, 通常の確率論では Cochran-Fisher の定理と呼ばれている.
(3). rankA$= \sum_{i=1}^{m}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}A_{i}$参考文献[BV] H. Bercovici and D. Voiculescu : Superconvergence to the central
andCranl\’ertheorem for free random variables, Probab. Theory Relat.
failure of theFields 102 (1995), 215-222.
$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\dot{\mathrm{u}}\mathrm{t}$[HKNY] O. Hiwatashi, T. Kuroda, M. Nagisa and H. Yoshida: The free analogue ofnoncentral chi-square distributions and synunetric quadratic forms in free randomvariables, preprint 1997.
[HNY] O. Hiwatashi, M. Nagisa and H. Yoshida: The characterizations of a semicircle law by the certain freeness in a -probability space, preprint 1997.
$\mathrm{C}^{*}$

27[LM] H. van Leeuwen and H. Maassen: A
J. Math. Phys. 36 (1995), 4743-4756.

$q- \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}_{0}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$of the Gauss distribution,[Ni] A. Nica : $R$ -transform of free joint distributions and non-crossing partition,
J. Funct. Anal. 135 (1996), 271-296.
[Spe] R. Speicher : Multiplicative functions on the lattice of non-crossing partitionand hee convolution, Math. Ann. 298 (1994), 611-628.

[VDN] D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica : Free random variables, CMR Monograph Series, volume 1, AMS, 1992.