数理解析研究所講究録
1527 巻 2007 年 74-99

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Willmore 予想およびその書き換え$\sim E^{3}$にはめこまれたトーラス上の Dirac 作用素およびその複素 Fermi 曲線$\sim$

熊本大学大学院自然科学研究科 安藤 直也 (Naoya Ando)

Graduate School of Science and Technology
Kumamoto University
北里大学一般教育部 谷口. 哲也 (Tetsuya Taniguchi)

Colege of General Education
Kitasato University
1 はじめに
本稿は Willmore 予想をめぐる最近の動向に関する概説 (サーベイ) である.
$E^{3}$にはめこまれたトーラスに対する Willmore 汎関数の値 (平均曲率の 2 乗の積分) はにおいてClifford トーラスの立体射影による像と共形同値であるときに限ることが期待されている. これは Wifmore 予想として知られて$2\pi^{2}$

以上でありかつ等号成立は$S^{3}$の$E^{3}$いる.

Willmore 予想については, まず Willmore が回転トーラスに対する Willmore 汎関数を考察した. また Willmore および Shiohama-Takagi は空間曲線の管状近傍の境界と表されるトーラスに限定すると Willmore 予想が正しいことを示した ([Wi2], [S-T1). Weiner
は Willmore 汎関数の第 2 変分公式を求め, そして Willmore 汎関数に関して Clifford トー
ラスは安定であることを示した ([We]). Li-Yau は共形構造が Chhfford トーラスのものに近いトーラスに対し Willmore 予想が正しいことを示し ([L-Y1), Montiel-Ros は Li-Yau の手法に立脚してより多くの共形構造に対し Willmore 予想が正しいことを示した ([M-R]).
にはめこまれた全てのトーラスに対する Willmore 汎関数の値の下限を達
L. Simon は$([\mathrm{W}\mathrm{i}1])$$E^{3}$

成するトーラスが存在することを示した ([Sil], [Si2]).

方, M. U. Schmidt によって Willmore 予想は正しいと主張する論文 [Scl] が発表されたが, [Scl] においては$E^{3}$の曲面について直接考察するのではなく複素 Fermi 曲想と呼ばれるものを考察することによって元々の問題を扱おうとしている. 本稿の目的はの$E^{3}$

トーラスと複素 Fermi 曲線の対応について説明することである. まず Konopelchenl\mbox{\boldmath $\omega$} やTaimanov によって考案された–般の曲面に対する表現公式 ([Ko], [T3]) に注目する:のトーラス上に Dirac 方程式およびその解が見い出され, 逆に複素平面 上ポテンシャルが実数値でありかつ 2 重周期的である Dirac 方程式および幾つかの周期条件を満たす 上$E^{3}$$\mathrm{C}$$\mathrm{C}$

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の解から

$E^{3}$のトーラスを構成できる (一般の曲面に対する表現公式としては平均曲率とGauss 写像の観点での Kenmotsu の表現公式 ([Ken]) が以前から知られている). この表現
公式が [Scl] の出発点であり, 考察の対象は$E^{3}$のトーラスそのものから Dirac 方程式へとうつる. 特にトーラスに対する Willmore 汎関数の値は対応する Dirac 作用素のポテンシャ
ルのノルムの 4 倍と表される. 第 2 節において, 以上について詳しく説明する.

$L^{2}$

複素平面$\mathrm{C}$上ポテンシャルが 2 重周期的である Dirac 作用素についてはその Bloch 関数ともよばれる). Bloch 関数とは Dirac
作用素の準周期的な固有関数のことであり, 準運動量 (quasimomentum) と呼ばれる の元が付随している. Dirac 作用素に対し, その核に含まれる全ての Bloch 関数の準運動量からなる集合 (の部分集合) は Dirac 作用素の複素 Fermi 曲線と呼ばれる.
のトーラス上の Dirac 作用素は必ず Bloch 関数を持ち, 従ってその複素 Fermi 曲線は空集合ではない. ポテンシャルが有界である場合, Dirac 作用素の複素 Fermi 曲線はの解析的集合である. 第 3 節において, 以上について詳しく説明する.
第 3 節において, トーラス上の 2 重周期的なポテンシャルを持つ Dirac 作用素にとよばれるものを考えることができる$arrow \mathrm{F}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{t}\text{関}!\text{数}$$\mathrm{C}^{2}$$\mathrm{C}^{2}$$E^{3}$$\mathrm{C}^{2}$$([\mathrm{T}3])$$D$

対しては, Bloch 関数を経由して, 複素 Fermi 曲線 $F(V, W)$ が定義される
曲線は$\mathrm{C}^{2}$の解析的集合であるが格子 A の双対格子

こで $F(V, W)$ のリーマン面$F(V, W)$$\mathrm{Y}$$\mathrm{A}^{*}$の作用により不変である. そによる商 $F(V, W)/\Lambda$ を考えたとき, この正規化があるコンパクトからある 2 点に属する$\Lambda^{r}$$(k_{1}, k_{2})$$\infty^{-},$は$\infty^{+}$を除去したものと同型となることがある. このとき$\mathrm{Y}\backslash \{\infty^{-}, \infty^{+}\}$

上の$\mathrm{C}^{2}$に値を取る多価関数とみなせることに注意する. 逆にある性質もつ, 2 点付きのコンパクトリーマン面

値を取る多価関数

複素 Fermi$k:\mathrm{Y}arrow \mathrm{C}^{2}$の組$(\mathrm{Y}, \infty^{-}, \infty^{+}, k)\mathrm{B}\mathrm{a}$$\mathrm{Y}$

とその上め

に

$\mathrm{C}^{2}$

ら Dirac 作用素の A に関して 2 重

周期的な有限型ポテンシャル (V, $W$ ) を構成することができる. さらにこのポテンシャルに対応する複素 Fermi 曲線$\mathcal{F}(V, W)$

のなかに,

$k$

による

$\mathrm{Y}\backslash \{\infty^{-}, \infty^{+}\}$

いることがわかる. 第 4 節ではこれを説明する.

本稿の関連文献として [O-O-U], [Mo] があるの像が含まれて.

[Scl] において Schmidt は本稿で説明される内容に続いて複素 Fermi 曲線のモジュライ空間の構成を行ない, そしてその上でWillmore 汎関数の振る舞いを考察し Willmore 予想を解決しようとしている. 大仁田義裕
氏, 乙藤隆史氏および宇田川誠–氏による文献 [O-O-U] は複索 Fermi 曲線のモジュライの構造および Willmore 汎関激の振る舞いについての精力的な分析である. また [Sc2] において Schmldt は与えられた Riemann 面から$E^{3}$

もしくは$E^{4}$

への共形写像で Willmore 汎関数の値を Riemann 面の共形類の中で最小にするものが存在することを主張しているが, このことを示すために凹形写像等の下元数的定式化に立脚した議論が行なわれている ([Scl]

76

では

$E^{3}$

への共心的なはめこみに関して同様の結果を示すために複素 Fermi 曲線のモジュライを考察する). 守屋克洋氏による [Mo] は [Sc2] における主張とそのために必要な議論を解説するものである.

2 曲面の表現公式

2.1 -般論$O$を複素平面$\mathrm{C}$の単連結な領域とし, $U$ を,$\partial:=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-\sqrt{-1}\frac{\partial}{\partial y})$とおく.

$\Psi:={}^{t}(\psi_{1}, \psi_{2})$$O$上の滑らかな実数値関数とする. そして$\overline{\partial}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+\sqrt{-1}\frac{\partial}{\partial y})$$D_{U}:=$,

は $0$ 上の滑らかな C2 値関数で Dirac 方程式 $D_{U}\Psi={}^{t}(0,0)$ を満たすものとする.

命題 2.1$O$上の 1 形式$\omega_{1}:={\rm Re}(\psi_{1}^{2}dz-\psi_{2}^{2}d\overline{z})$,$\omega_{2}:={\rm Im}(\psi_{1}^{2}dz-\psi_{2}^{2}\Gamma z)$,$\omega_{3}:=\psi_{1}\overline{\psi}_{2}dz+\overline{\psi}_{1}\psi_{2}d\overline{z}$は閉である.

証明 次が成り立つ:$2\phi v_{1}=\{\partial(\overline{\psi}_{1}^{2}-\psi_{2}^{2})-\overline{\partial}(\psi_{1}^{2}-\overline{\psi}_{2}^{2})\}dz\wedge\Gamma z$$=2\{\overline{\psi}_{1}\partial\overline{\psi}_{1}-\psi_{2}\partial\psi_{2}-\psi_{1}\overline{\partial}.\psi_{1}+\overline{\psi}_{2}\overline{\partial\psi}_{2}\}dz\wedge Fz$$=2\{\overline{\psi}_{1}\cross\overline{U\psi}_{2}-\psi_{2}\cross(-U\psi_{1})-\psi_{1}\cross U\psi_{2}+\overline{\psi}_{2}\cross(-\overline{U\psi_{1}.})\}dz\wedge\Gamma z$

$=0$

よって

$\omega_{1}$.

は閉である. 同様に$\omega_{2}$も閉であることがわかる.

$\omega_{3}$が閉であることは $D_{U}\Psi=$t(o, o) および U が実数値関数であることを用いて示される
注意

$U$

口

が複素数値関数でありしかし実数値関数であるとは限らない場合,

り閉であるが,$\omega_{3}$$\omega_{1},$$\omega_{2}$はやはは閉であるとは限らない.

は単連結であるので, 命題 2.1 および Poincar\’e の補題から : は 上の完全形式であることがわかる:の固定された 1 点 および の各点 に対し $C$ を 内で と為を結$O$$\omega$$O$

ぶ曲線とする (向きは$z0$

$z_{0}$

から

$z$

$O$

へのものとする) とき,

$O$

$z$

:の

$\omega$

$O$

$C$

$z$

に沿う線積分の値は終点

$z$

77

にのみ依存し $C$ の選び方には依らない. そこで$\iota_{k}(z,\overline{z}):=\int_{C}\omega_{k}$,$\iota(z,\overline{z}):=(\iota_{1}(z,\overline{z}),$$\iota_{2}(z,\overline{z}),$$\iota_{3}(z,\overline{z}))$とおく.

定理 2.2$([\mathrm{T}3])\iota$

は $O$ から$E^{3}$

への滑らかな共形写像である. さらに $O$ 上$\Psi\neq{}^{t}(O, 0)$が成り立つならば,(a) ははめこみである;$\iota$(b) が導く計量$\iota$$g$は$g=e^{2\alpha}dzd\overline{z}$(c) に関する平均曲率は$\iota$$-2Ue^{-\alpha}$で与えられる, 但し$\alpha:=\log(|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2})$である;で与えられる.

証明 まず$\partial\iota\cdot\partial\iota=\frac{1}{4}(|\frac{\partial\iota}{\partial x}\frac{\partial\iota}{\partial y}|^{2}-2\sqrt{-1}\frac{\partial\iota}{\partial x}\cdot\frac{\partial\iota}{\partial y})$が成り立つ. -方 の定義から,$\iota$$\partial\iota\cdot\partial\iota.=\frac{1}{4}(\psi_{1}^{2}-\overline{\psi}_{2}^{2})^{2}-\frac{1}{4}(\psi_{1}^{2}+\overline{\psi}_{2}^{2})^{2}+.\psi_{1}^{2}\overline{\psi}_{2}^{2}=0$を得る. よってるは共心写像である. また$\partial\iota\cdot\overline{\partial}\iota=\frac{1}{4}(|\frac{\partial\iota}{\partial x}\frac{\partial\iota}{\partial y}|^{2})=\frac{1}{2}|\frac{\partial\iota}{\partial x}|^{2}=\frac{1}{2}|\frac{\partial\iota}{\partial y}|^{2}$が成り立ち, -方 の定義から,$\iota$$\partial\iota\cdot\overline{\partial}\iota=\frac{1}{2}(|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2})^{2}$を得る. よって $O$ 上 $\Psi\neq{}^{t}(0,0)$ が成り立つならば,$|\psi_{2}|^{2})$とおくと, が導く計量は$\iota$$e^{2\alpha}dz\Gamma z$$\iota$ははめこみである. $\alpha:=\log(|\psi_{1}|^{2}+$と表されることがわかる. また$\partial\iota \mathrm{x}\overline{\partial}\iota=\frac{\sqrt{-1}}{2}\frac{\partial\iota}{\partial x}.\cross$.

$\frac{\partial\iota}{\partial y}$が成り立ち, -方 の定義から,$\iota$$\partial\iota\cross\overline{\partial}\iota=-\frac{\sqrt{-1}e^{\alpha}}{2}(2{\rm Re}(\psi_{1}\psi_{2}), 2{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{2}),$$-|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2})$を得る. よって$\frac{\partial\iota}{\partial x}\cross\frac{\partial\iota}{\partial y}=-e^{\alpha}(2{\rm Re}(\psi_{1}\psi_{2}), 2{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{2}),$$-|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2})$78を得る. よってに関する単位法ベクトル場$\iota$$\nu$

は$\nu=-e^{-\alpha}(2{\rm Re}(\psi_{1}\psi_{2}), 2{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{\mathit{2}}),$

で与えられる.

$\iota$に関する平均曲率 $H$ は$-|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2})$$H=2e^{-2\alpha}(\partial\overline{\partial}\iota)\cdot\nu$で与えられるが, の定義およ$\iota$び $D_{U}\Psi={}^{t}(0,0)$ から,$\partial\overline{\partial}\iota=U(2{\rm Re}(\psi_{1}\psi_{2}))2{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{2}),$がわかるので,注意$(\partial\overline{\partial}\iota)\cdot\nu=-Ue^{\alpha}$とするとき,$U\equiv 0$の正則関数である.

$\mathit{0}$$-|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2})$を得る. よって $H=-2e^{-\alpha}U$ を得る.
および$\Psi \text{は}\overline{\partial}\psi_{1}=\mathit{0}$上の関数 $f,$を$g$$\partial\psi_{2}=0$$f:=-\overline{\psi}_{2}^{\mathit{2}},$を満たす. よって

口$\psi_{1}\text{および}\overline{\psi}_{2}$は$z$とおくと, 極小曲面に対す$g:=-\psi_{1}/\overline{\psi}_{2},$る Enneper-Weierstrass の表現公式$\iota(z)={\rm Re}(\int_{C}f(1-g^{2})dz,$$\sqrt{-1}\int_{C}f(1+g^{2})dz,$$2 \int_{C}fgdz)$を得る. よって定理 2.2 は極小曲面に対する Enneper-Weierstrass の表現公式の–般化である.

定理 2.3とし,$\iota$$([\mathrm{T}\bm{3}])\iota$$E^{3}$

証明

および $\Psi\neq{}^{t}(O, 0)$ を満たす滑らかなへの写像が$\iota$$\iota$と$E^{3}$$\iota$

が導く計量

$g$

を g=e2\alpha dz 占

このとき $U:=-He^{\alpha}/2$ に対し, Dirac 方程式

に関する平均曲率を $H$ とする.

$D_{U}\Psi={}^{t}(0,0)$ら: $Oarrow E^{3}$ を共形的なはめこみとする.
$\mathrm{C}^{2}$-値関数$\Psi$が存在して対応する $O$ かの平行移動との合成と表される.

は共晶写像であるので,$\partial\iota\cdot\partial\iota=0$が成り立つ. これは(1)$(\partial\iota_{1})^{\mathit{2}}+(\partial\iota_{2})^{2}+(\partial\iota_{3})^{2}=0$と同値である.
り立つことと立つならば$\iota$$F:=\iota_{1}+\sqrt{-1}\iota_{\mathit{2}}$$(\partial\iota_{1}, \partial\iota_{2})=(0,0)$$P$がわかる. よってを満たす 1 価複素数値関数$p\text{で}\overline{\partial}F\neq 0$のような$\psi_{1},$$\psi_{2}$で $\Psi\neq{}^{t}(0,0),$で,$\partial\iota_{3}\neq 0$$\psi_{1},$$\psi_{2}$$\psi_{1},$$\psi_{\mathit{2}}$$P$$(\partial\iota_{1},\partial\iota_{2})=(0,0)$が存在する. さらに,
$p$

および

$\psi_{\mathit{2}}^{2}=-\overline{\partial}F$

が成

が成り

が成り立つ. (1) から,が成り立つ点の近傍上$\psi_{1}^{\mathit{2}}=\cdot\partial F$$\partial\iota_{3}=0$

およひが成り立つ点で $\partial F=0$ が成り立つとす$\partial F^{\cdot}=-(\partial\iota_{3})^{\mathit{2}}/\partial\overline{F}$が存在する. $O$ は単連結であるので, $O$ 上 1 価な$\psi_{1}^{\mathit{2}}=\partial F$$(\partial F,\overline{\partial}F)=(0,0)$$(\partial F,\overline{\partial}F)\neq(0,0)$. は存在する: 仮にが成り立つので, のある近傍上の近傍上においても, このような

ると

$p$

が成り立つことは同値である.

ははめこみではない. よって $O$ 上$(\partial F)(\partial\overline{F})=-(\partial\iota_{3})^{2}$$\psi_{2}^{\mathit{2}}=-\overline{\partial}F$とおく. このとき $O$ の点$\mathrm{C}^{2}$が成り立ちよって上-値関数$\Psi:={}^{t}(\psi_{1},\psi_{2})$を満たすものが存在することがわかる.

$\Psi$に対79

し$\omega_{i}$を命題 2.1 の中でのように定義するとき,

像は予め与えられていると$\iota$$E^{3}$$\iota_{1}$$\iota$$\iota_{2}$,(2)$\partial\iota_{2}=-\frac{\sqrt{-1}}{2}(\psi_{1}^{2}+\overline{\psi}_{\mathit{2}}^{2})$と$\int_{C}\omega_{1}={\rm Re}\int_{C}(\psi_{1}^{2}-\overline{\psi}_{2}^{2})dz$

.

の差および

を線積分することによって得られる写のある平行移動の合成に等しい: はめこみ に対し,$\partial\iota_{1}=\frac{1}{2}(\psi_{1}^{2}-\overline{\psi}_{2}^{2})$が成り立つので,$\omega_{i}$と$\int_{C}\omega_{2}={\rm Im}\int_{C}(\psi_{1}^{2}+\overline{\psi}_{2}^{2})dz$

の差は終点

$z$

(必要ならばによらないことがわかる; また$\psi_{2}$$\iota_{3}$については,

をー\psi 2 にとりかえることによって)$(\partial\iota_{3})^{2}=\psi_{1}^{2}\overline{\psi}_{2}^{2}$$\partial\iota_{3}=\psi_{1}\overline{\psi}_{l}$であることからを得るので,$\iota_{3}$と$\int_{C}\omega_{3}=2{\rm Re}\int_{C}\psi_{1}\overline{\psi}_{2}dz$

の差は終点

$z$

によらない. 以上のような示したい. まず$\psi_{2}\neq 0$$\Psi$

が Dirac 方程式 $D_{U}\Psi={}^{t}(0,0)$ を満たすことをが成り立つ点の近傍で考える.

の 2=$\psi_{2}^{2}=-\overline{\partial}F$$- \frac{\partial\overline{\partial}\iota_{1}+\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\iota_{2}}{2\psi_{2}}$を用いて, 次を得る:

.

(3)

また
$U\psi_{1}=$ロー$\frac{He^{\alpha}}{2}\psi_{1}$$=-e^{-\alpha}\psi_{1}(\partial\overline{\partial}\iota)$

.

$\nu$

$=e^{-2\alpha}\psi_{1}(\partial\overline{\partial}\iota_{1}, \partial\overline{\partial}\iota_{2}, \partial\overline{\partial}\iota_{3})\cdot(2\mathrm{R}\dot{\mathrm{e}}(\psi_{1}\psi_{2}), 2{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{2}),$$-|\psi_{1}|^{\mathit{2}}+|\psi_{2}|^{2})$(4)$= \frac{e^{-2\alpha}}{\psi_{2}}\{2\psi_{1}\psi_{2}{\rm Re}(\psi_{1}\psi_{2})\partial\partial\iota_{1}+2\psi_{1}\psi_{2}{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{2})\partial\partial\iota_{2}$$+\psi_{1}\psi_{2}(-|\psi_{1}|^{2}+.

|\psi_{2}|^{\mathit{2}})\partial\overline{\partial}\iota_{3}\}$が成り立つ. ここで (1) から$(\partial\iota_{3})\partial\overline{\partial}\iota_{3}=-(\partial\iota_{1})\partial\overline{\partial}\iota_{1}-(\partial\iota_{2})\partial\overline{\partial}\iota_{2}$がわかるが, (2) および$\partial\iota_{3}=\psi_{1}\overline{\psi}_{2}$に注意して,$\psi_{1}\overline{\psi}_{2}\partial\overline{\partial}\iota_{3}=-\frac{1}{2}(\psi_{1}^{\mathit{2}}-\overline{\psi}_{2}^{\mathit{2}})\partial\overline{\partial}\iota_{1}+\frac{\sqrt{-.1}}{2}(\psi_{1}^{2}+\overline{\psi}_{2}^{2})\partial\overline{\partial}\iota_{2}$

(5)

80

を得る. (4) の右辺第 3 項に (5) を代入すると,$U \psi_{1}=\frac{e^{-2\alpha}}{\psi_{2}}\{2\psi_{1}\psi_{2}{\rm Re}(\psi_{1}\psi_{2})\partial\overline{\partial}\iota_{1}+2\psi_{1}\psi_{2}{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{2})\partial\overline{\partial}\iota_{2}$$+ \psi_{1}^{\mathit{2}}(\frac{1}{2}(\overline{\psi}_{1}^{\mathit{2}}-\psi_{2}^{2})\partial\overline{\partial}\iota_{1}+\frac{\sqrt{-1}}{2}(\overline{\psi}_{1}^{2}+\psi_{2}^{2})\partial\overline{\partial}\iota_{2})$$+ \psi_{2}^{2}(-\frac{1}{2}(\psi_{1}^{\mathit{2}}-\overline{\psi}_{2}^{2})\partial\overline{\partial}\iota_{1}+\frac{\sqrt{-1}}{2}(\psi_{1}^{2}+\overline{\psi}_{2}^{2})\partial\overline{\partial}\iota_{2})\}$$= \frac{e^{-2\alpha}}{\psi_{2}}\{(2\psi_{1}\psi_{2}{\rm Re}(\psi_{1}\psi_{\mathit{2}})+\frac{1}{2}|\psi_{1}|^{4}-\psi_{1}^{\mathit{2}}\psi_{2}^{2}+\frac{1}{2}|\psi_{2}|^{4})\partial\overline{\partial}\iota_{1}$$+(2 \psi_{1}\psi_{2}{\rm Im}(\psi_{1}\psi_{\mathit{2}})+\frac{\sqrt{-1}}{2}|\psi_{1}|^{4}+\sqrt{-1}\psi_{1}^{\mathit{2}}\psi_{2}^{2}+\frac{\sqrt{-1}}{2}|\psi_{2}|^{4})\partial\delta\iota_{2}\}$$= \frac{e^{-2\alpha}}{\psi_{\mathit{2}}}\{\frac{1}{2}(|\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2})^{2}\partial\overline{\partial}\iota_{1}+\frac{\sqrt{-1}}{2}(|\psi_{1}|^{\mathit{2}}+|\psi_{2}|^{2})^{2}\partial\overline{\partial}\iota_{2}\}$$= \frac{1}{2\psi_{2}}(\partial\overline{\partial}\iota_{1}+\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\iota_{2})$$=-\partial\psi_{2}$を得る, 但し最後の等式は (3) による.

$\psi_{\mathit{2}}=0$示すことができる:(4) に注意するとで$\psi_{2}=\overline{\partial}\iota_{3}/\overline{\psi}_{1}$が成り立つので で$P$$P$が成り立つ点$U\psi_{1}=-\partial\overline{\partial}\iota_{3}/\overline{\psi}_{1}$$\partial\psi_{2}=\partial\overline{\partial}\iota_{3}\Gamma^{\psi_{1}}$

$P$

の近傍でも

$U\psi_{1}=-\partial\psi_{2}$が成り立ち, –方$p\text{の}$を得る. 以上と同じやり方で,

,

を

近傍上で

$\overline{\partial}\psi_{1}=U\psi_{2}$を得る

口系 24A を$\mathrm{C}$の格子とし,$\iota$:$\mathrm{C}/\Lambdaarrow E^{3}$を共形的なはめこみとする. このとき$\iota$に対する Willmore 汎関数の値は に対して定理 2.3 の中でのように定まる Dirac 作用素のポ$\iota$

テンシャル $U$ の証明$\iota$$L^{2}$

ノルムの 4 倍に等しい.,が導く計量を $g=e^{2\alpha}dz\Gamma z$ と表すと,えられる. また$\iota$$g$

に関する面積要素は $dA=e^{2\alpha}dxdy$ で与に関する平均曲率を $H$ とするとき $U:=-He^{\alpha}/2$ とおくと,$\iota$に対するWillmore 汎関数の値は$\mathrm{W}(\iota)=\int_{\mathrm{C}/\Lambda}H^{2}dA=4\int_{\mathrm{C}/\Lambda}U^{2}dxdy$と表される. よって L に対する Willmore 汎関数の値 W(b) は Dirac 作用素 Du のポテンシャ
ノレ $U$ の

系 2.5

ノルムの 4 倍に等しい.

$L^{2}$$\Lambda,$$\iota$$\square$および $U$ を系 24 の中でのようなものとし,を満たす滑らかな$\mathrm{C}^{2}$-値関数で対応する$\mathrm{C}$から$E^{3}$$\Psi$は$\mathrm{C}$

上 $D_{U}\Psi={}^{t}(0,0),$ $\Psi\neq{}^{t}(0,0)$への写像が$\iota$と$E^{3}$の平行移動との合81成と表されるようなものとする.
$\Psi(z+\gamma,\overline{z}+\overline{\gamma})=\epsilon(\gamma)\Psi(z,\overline{z})$このとき任意の$\gamma\in$

A に対し$\epsilon$$\gamma,$$\gamma’\in\Lambda$

は A に関して周期的であり, そして$\iota_{k}$および任意のが成り立つ, 但し : $\Lambdaarrow\{1, -1\}$ は A から 2 元 1, $-1$ からなる群 $\{1, -1\}$ への準同形写像である (証明$z\in \mathrm{C}$$\psi_{1},$に対し$\psi_{2}$$\epsilon(\gamma)\epsilon(\gamma’)=\epsilon(\gamma+\gamma^{J})$は (2) および$\partial\iota_{3}=\psi_{1}\overline{\psi}_{2}$が成り立つ).
を満たすことに注意して, 系 25 を得る.
門 26A を$\mathrm{C}$の格子とし,

する.

$\Psi$$z\in \mathrm{C}$および任意のは$\mathrm{C}$

平

上滑らかな

$U$

$\mathrm{C}^{2}$$\gamma\in\Lambda$

は $C$ 上の滑らかな実数値関数で-値関数で $D_{U}\Psi={}^{t}(O, 0),$ $\Psi\neq{}^{t}(0,0)$ を満たしさらに任意のに対し$\Psi(z+\gamma,\overline{z}+7)=\epsilon(\gamma)\Psi(z,\overline{z})$は A から $\{1, -1\}$ への準同形写像である. このときへの写像 が$\iota$$\mathrm{C}/\Lambda$

から$E^{3}$

A に関して周期的であるとへの写像として$\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{U}$

関して同値な 2 点を端点とする曲線 $C$ に沿う$\Psi$

が成り立つとする, 但し

および $U$ から構成される$\mathrm{C}$から$\epsilon$$E^{3}$-defined であるための必要十分条件は A に’ の線積分が$\omega_{*}$$0$になることである.

2.2 回転面の場合[T2] を参考にして,$E^{3}$の回転面に対し定理 23 の中でのように定まるポテンシャル$U$および Dirac 方程式 $D_{U}\Psi={}^{t}(0,0)$ の解 $\Psi\neq{}^{t}(O, 0)$ について考察したい:$E^{3}$の回転面は次のような写像による像と合同である:$\iota(x,y):=(f(y)\cos x, f(y)\sin x,$ $g(y))$

但し $f,$$g$は開区間$I\subset \mathrm{R}$上の滑らかな関数で, $f>0$ および $(f’)^{2}+(g’)^{2}\neq 0$ を満たす.

直ちに.
$\frac{\partial\iota}{\partial x}\cdot\frac{\partial\iota}{\partial x}=f^{\mathit{2}}$

がわかる.
は

$\iota$,$\tilde{y}$,$\frac{\partial\iota}{\partial x}\cdot\frac{\partial\iota}{\partial y}=0$,$\frac{\partial\iota}{\partial y}\cdot$$\frac{\partial\iota}{\partial y}=\cdot(f’)^{2}+(g’)^{2}$

は $y\in I$ の関数で, $d\tilde{y}/dy=\sqrt{(f’)^{2}+(g’)^{2}}/f$ を満たすとする. このとき$(x,\tilde{y})$による像の局所座標であり,$\frac{\partial\iota}{\partial x}\cdot\frac{\partial\iota}{\partial x}=\frac{\partial\iota}{\partial\tilde{y}}\cdot\frac{\partial\iota}{\partial\tilde{y}}=f^{2}$が成り立つ. 以下においては, この座標を ( , ので表す. こうして は共形的なはめこみと$x$

みなされ, 複素変数 $z:=x+\sqrt{-1}y$ を得る. また関数 $f$ や数$y$に関するものであるとする. このとき$\iota$$g$の微分は新しく取り直した変$f^{2}=(f’)^{\mathit{2}}+(g^{f})^{2}$が成り立つ.

法ベクトル \nu は$\nu(x, y)=\frac{1}{f(y)}(g’(y)\cos x, g’(y)\sin x,$$-f’(y))$$\iota$に関する単位82で与えられる.

$\iota$に関する平均曲率 $H$ は$H= \frac{1}{2f^{2}}(\frac{\partial^{2}\iota}{\partial x^{\mathit{2}}}+\frac{\partial^{2}\iota}{\partial y^{\mathit{2}}})$.

ン

で与えられるので,$H(x,y)=- \frac{f’(y)g’’(y)+g’(y)(f(y)-f’’(y))}{2f(y)^{3}}$がわかる (X に依らない). よってポテンシャル $U=-Hf/2$ は(6)$U(x,y)= \frac{f’(y)g’’(y)+g’(y)(f(y)-f’’(y))}{4f(y)^{2}}$と表される ( に依らない). 定理 23 の証明の中でのように,$x$の第 1 成分と第 2 成分を用$\iota$いて関数 $F$ を $F(x, y):=e^{\sqrt{-1}x}f(y)$ とおく. このとき$\partial F(x,y)=\frac{\sqrt{-1}e^{\sqrt{-}x}}{2}(f(y)-f’(y))$

を得る. よって$\partial F$と$\overline{\partial}F$

ぽ同時に

$0$

,

$\overline{\partial}F(x,y)=\frac{\sqrt{-1}e^{\sqrt{-1}x}}{2}(f(y)+f’(y))$(7)になることは無い. $\partial F=0$ が成り立つ点はちょうど$f=f’$ が成り立つ点であり, そしてこのような点の近傍ではは$\partial F$$\partial F(x,y)=\frac{\sqrt{-1}e^{\sqrt{-1}x}}{2}\frac{g’(y)^{2}}{f(y)+f’(y)}$と表される. 同様に$\overline{\partial}F=\mathit{0}$てこのような点の近傍ではが成り立つ点はちょうど $f=-f’$ が成り立つ点であり, そし$\overline{\partial}F$は,$\overline{\partial}F(x,y)=\frac{\sqrt{-1}e^{\sqrt{-1}x}}{2}\frac{j(y)^{2}}{f(y)-f(y)}$と表される. よって $x,$$y$の滑らかな関数,$\psi_{1},$$\psi_{\mathit{2}}$,$\psi_{1}^{2}=\partial F$$\psi_{2}^{2}=-\overline{\partial}F$で$\psi_{1}\overline{\psi}_{2}=\frac{g’}{2\sqrt{-1}}(=\partial g)$を満たすものが存在し, この条件を満たす滑らかな関数の組はみである.

$\partial F$$(f’)^{2}+(g’)^{2}$

以下, $f$ やと$\overline{\partial}F$

は同時に

$0$

.

$(\psi_{1}, \psi_{\mathit{2}})$と $(-\psi_{1}, -\psi_{2})$ のになることは無いので, $\Psi\neq{}^{t}(0,0)$ がわかり, また $f^{2}=$に注意して $D_{U}\Psi={}^{t}(0,0)$ を示すことができる.
$g$

は $I=\mathrm{R}$ 上定義されているとする. このときはめこみである. さらに $f$ やるものとする. このとき$\mathrm{C}$$g$$\iota$は$\mathrm{C}$から$E^{S}$

は周期的であるとし, これらは最小の周期の格子 A として

$2\pi$と$\sqrt{-1}l_{0}$への共形的な$l_{0}>\mathit{0}$を共有すによって生成されるものを考え

83

ると,

$\iota$は$\mathrm{C}/\Lambda$

から$E^{3}$

への共心的なはめこみとみなされる. (6) から, $U$ は周期周期関数であることがわかる.
意の$z\in \mathrm{C}$$\gamma:=\sqrt{-1}l_{0}$に対し,$\Psi$$g$を持つは A に関する周期関数ではない: まず $\gamma:=2\pi$ のとき任$\Psi(z+\gamma, \overline{z}+\overline{\gamma})=-\Psi(z, \overline{z})$のとき任意の $z\in C$ に対し,

例えば, $f$ や$l_{0}$

が成り立つ; さらに がうめこみの場合,$\iota$$\Psi(z+\gamma,\overline{z}+\overline{\gamma})=-\Psi(z, \overline{z})$が成り立つ.

として次のようなものをとる:$f(y):=R+r\cos\phi(y)$ ,但し $R>r>0$ でありまた$\phi$は$\mathrm{R}$$g(y):=r\sin\phi(y)$,(8)

上の滑らかな単調増加関数で任意の$y\in \mathrm{R}$

に対し

(9)

$\phi’(y)=\frac{R+r\cos\phi(y)}{r}$および $\phi(y+l_{0})=\phi(y)+2\pi$ を満たす (条件 (9) は $f$ とめのものである). $f,$
が $(R, 0)$ , 半径が

$r$

$g$

に対応する共形的なはめこみとが $f^{2}=(f’)^{2}+(g’)^{2}$ を満たすたによる$\mathrm{C}$の像は xz-平面上の中心の円を z-軸の周りの回転によって動かして得られる回転トーラスである (特に $R/r=\sqrt{2}$ の場合の回転トーラスは$E^{3}$$\iota$$g$$S^{3}$のClfford トーラスの立体射影による像において共形同値である). (6) に (8) を代入して (9) に注意することによって,(10)$U(y)= \frac{R+2r\cos\phi(y)}{4r}$を得る. また (7) に (8) を代入して,$\partial F(x,y)=\frac{\sqrt{-1}e^{\sqrt-\urcorner x}}{2}$( $R+r$ coe$\phi(y)$) $(1+\sin\phi(y))$ ,(11)$\overline{\partial}F(x,y)=\frac{\sqrt{-1}e^{\sqrt{-1}x}}{2}(R+r\cos\phi(y))(1-\sin\phi(y))$

を得る. ここで注意したいことは, 例えば

得たいならば, (11) における$\partial F$$\psi_{1}^{2}=\partial F$

を満たす滑らかな複素数値関数についての式の右辺の平方根をただ考えても駄目 ($\psi_{1}$を$\psi_{1}$の滑らかさについての考慮が必要) であるということで, この式の右辺の因数の–つである$1+\sin\phi(y)$をこの零点 (例えば $\phi=-\pi/2$ が成り立つ点) の付近でと表せるので$\psi_{1}$$\cos^{2}$\mbox{\boldmath $\phi$}(の/(l-sin$\phi(y)$)

としてはこうした点の付近では$\psi_{1}(x,y)=\pm\frac{e^{\Gamma-\mathrm{T}(x/\mathit{2}+\pi/4)}}{\sqrt{2}},.\sqrt{\frac{R+r\cos\phi(y)}{1-\sin\phi(y)}}\cos\phi(y)$と表されるものを考えなければならない (従って $\psi_{1}(x,y+\iota_{0})=-\psi_{1}(x,y)$ が成り立つ).
\psi 2 についても同様である. 最後に \sim に対する Willmore 汎関数の値 W(\sim ) を求めたい. 系

84

24 によると, (10) で与えられている $U$ の 2 乗
れば

4$\mathrm{W}(\iota)$

を$U^{2}$$\mathrm{C}/\Lambda$

上積分して得られる値を 4 倍すを求めることができる. (9) に注意して,$\int_{\mathrm{C}/\Lambda}U^{\mathit{2}}dxdy$$= \frac{\pi}{2r^{2}}\int_{0}^{l_{0}}(R+2r\cos\phi.(y))^{\mathit{2}}dy=\frac{\pi}{2}(\frac{R}{r})^{2}\int_{0}^{l_{0}}dy=,$$\frac{\pi}{2}(\frac{R}{r})^{2}.\int_{0}^{\mathit{2}\pi}\frac{d\phi}{(R/r)+\cos\phi}$がわかる. 最右辺の積分は$s= \sqrt{\frac{(R/r)-1}{(R/r)+1}}\tan\frac{\phi}{2}$と変数変換すると計算することができ, その結果 に対する Willmore 汎関数の値$\iota$4$\mathrm{W}(\iota)$は$\int_{\mathrm{C}/\Lambda}U^{\mathit{2}}dxdy==(R/r)^{2}\pi^{2}(R/r)^{2}-1$

であることがわかる. 右辺は $R/r=\sqrt{2}$ のときに最小値様の議論をしていて, その結果

$2\pi^{\mathit{2}}$$2\pi^{\mathit{2}}$をとる ([$\mathrm{W}\mathrm{i}1|$においても同という値に注目することになった).

注意 ( $R$ , r)=(西, 1 に対応する共形的なはめこみ$\iota_{0}$による$\mathrm{C}$の像は$S^{3}$のClifford ト $-$ラス$\{(x_{1}, x_{\mathit{2}}, x_{3}, x_{4})\in S^{3}|x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{1}{2},$の立体射影による像に等しい:$\mathrm{R}^{2}$

から$S^{3}$

への写像$\iota_{1}(x, y):=(\frac{\cos x}{\sqrt{2}},$$((x, y)\in \mathrm{R}^{2})$る$\iota_{\mathrm{i}}(x,y)$とおくと,$S^{3}$$\frac{\sin x}{\sqrt{2}},$$\iota_{1}$$x_{3}^{\mathit{2}}+x_{4}^{2}= \frac{1}{2}\}$を$\frac{\cos y}{\sqrt{2}},$$\frac{\sin y}{\sqrt{2}})$の点 $N:=(0,0,0,1)$ からの立体射影

$\pi$

:

$S^{3}\backslash \{N\}arrow E^{3}$によの像は$\pi 0\iota_{1}(x,y)=(\frac{\cos x}{\sqrt{2}-\sin y’}\frac{\sin x}{\sqrt{2}-\sin y’}\frac{\cos y}{\sqrt{2}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}.y})$であり,$E^{2}\text{の}$曲線$\{(\frac{1}{\sqrt{2}-\sin y’}\frac{\cos y}{\sqrt{2}-\sin y})|y\in \mathrm{R}\}$

は $(\sqrt{2},0)$ を中心とし半径が 1 の円を描くので, 勾 (C)$=\pi.\circ\iota_{1}(’.E^{2})$がわかる.

3Bloch 多様体および複素 Fermi 曲線
以下においては, 特に断らない限り関数は複素数値であるとする. A をする.

$\mathrm{C}$上の関数$\psi$が A に関して準周期的 (quasiperiodic) であるとは,$\Lambda$$\mathrm{C}$

の格子と

から乗法群

85

$C^{\mathrm{x}}:=\mathrm{C}\backslash \{0\}$への準同型写像$\epsilon$:$\Lambdaarrow \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$が存在して任意のおよび任意の$z\in \mathrm{C}$$\gamma\in\Lambda$

に対し

,

(12)

$\psi(z+\gamma,\overline{z}+\overline{\gamma})=\epsilon(\gamma)\psi(z,\overline{z})$が成り立つときにいう.
おける$\psi_{1}$$\psi$

が周期的であることと$\epsilon\equiv 1$は同値である. 第 2 節の系 25 に

は A に関して準周期的である.

準同型写像$\sqrt{-1}\gamma_{2}\in\Lambda$:$\epsilon$$\Lambdaarrow \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$に対し,$\mathrm{C}^{\mathit{2}}$の元 $k=(k_{1}, k_{2})$ が存在して任意の $\gamma=\gamma_{1}+$

に対し

(13)

$\epsilon(\gamma)=\exp(2\pi\sqrt{-1}(k_{1}\gamma_{1}+k_{2}\gamma_{2}))$が成り立つ. 逆に$\mathrm{C}^{\mathit{2}}$

の元

$k$

A に関して準周期的な関数に対し, (13) で定められる写像$\psi$に付随する準同型写像の準運動量 (quaeimomentum) というではないが,$\mathrm{C}^{2}/\Lambda^{*}$

写像の集合と量の集合は$\mathrm{C}^{\mathit{2}}/\Lambda^{*}$

準同型写像$\epsilon$:$\Lambdaarrow \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$は準同型である.

に対し, (13) を満たす

$k\in \mathrm{C}^{2}$$k\in \mathrm{C}^{\mathit{2}}$$\epsilon$$\Lambda^{*}$

は A の双対格子). A から$\mathrm{C}^{\mathrm{x}}$を$\psi$

は –意

への準同型

の間に 1 対 1 対応が存在し, –つの準周期的な関数に対しその準運動の元で与えられる.

$\Lambdaarrow C^{\mathrm{x}}$を–つとり $E$ を$\mathrm{C}$上の自明な複素直線東に次のように同値関係 \sim 。を導入する: $E$ の元$E$:準同型写像 に対し, (13) を満たすの元 $[k]$ を唯–っ定める ($\mathrm{C}^{2}/\Lambda^{*}$$\epsilon$$\epsilon$$(z_{1}, \xi_{1}),$$(z_{2},\xi_{2})$$\mathrm{C}\mathrm{x}\mathrm{C}$とするとき,に対し A の元$\gamma$が存在

して$z_{2}-z_{1}=\gamma$が成り立つとき,$(z_{1},\xi_{1})\sim_{\epsilon}(z_{\mathit{2}},\xi_{\mathit{2}})$複素直線東である.

$\mathrm{p}\mathrm{r}:\mathrm{C}arrow C/\Lambda$,と書く. $E_{e}:=E/\sim_{e}$ とおく. このとき$P(M, G, \mathrm{p}\mathrm{r})$によって主帥

$P(M, G,\mathrm{p}\mathrm{r})$は$\mathrm{C}/\Lambda$

上のを考えることができる ( $G=\Lambda$ を

次元 Lie 群とみなす) が, このとき 1 次元複素ベクトル空間$1/\epsilon$$E_{e}$

を標準射影とするとき, $P:=C$ を全空間, $M:=C/\Lambda$

を底空間とし $G:=\Lambda$ を構造群とする主命$0$$\xi_{2}=\epsilon.(\gamma)\xi_{1}$に付随する複素直線束であるに注意すると, E。の切断と準同型写像 \epsilon が付随する$\mathrm{C}$$\mathrm{C}$

上の $G=\Lambda$ の表現である$P\mathrm{x}_{1/e}\mathrm{C}$は$E_{e}$に等しい, (12)上の準周期的な関数を同–視することができる.
$\psi$

数$\phi$が準運動量$k\in \mathrm{C}^{2}$を持つ準周期的な関数であることと A に関して周期的な$\mathrm{C}$上の関が存在して任意の $z=x+\sqrt{-1}y\in \mathrm{C}$ に対して$\psi(z,\overline{z})=\exp(2\pi\sqrt{-1}(k_{1}x+k_{2}y))\phi(z,\overline{z})$

(14)

86

が成り立つことは同値である. 準周期的な関数

し (14) の中でのように定まる周期関数を$\phi’$$\phi,$の二つの準運動量 $k,$$\psi$とすると,と$\phi$$\phi’$$k^{j}$のそれぞれに対の間の関係は(15)$\phi’(z,\overline{z})=\exp(-2\pi\sqrt{-1}(\gamma_{1}^{*}x+\gamma_{2}^{*}y))\phi(z,\overline{z})$で与えられる, 但し
準運動量は$\gamma^{*}=\gamma_{1}^{*}+\sqrt{-1}\gamma_{\mathit{2}}^{*}$$\Lambda^{*}$の元であり $k’-k=\gamma^{*}$ を満たす.

を持つ準周期的な関数で対応する周期関数が

$k$

(および

$L^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda)$(および$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$

し,および $L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda, k’)=L_{1}^{2}(C/\Lambda;k)$ が成り立つ.

$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k’)=L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$は線形空間をなす.

$\phi_{1},$)の) で表す. $k’=k+\gamma^{*}$ に対元であるようなものの集合を$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$,に対し$\phi_{2}\in L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$$\langle\phi_{1}, \phi_{\mathit{2}}\rangle_{L^{2:=}}\int_{\mathrm{C}/\Lambda}\phi_{1}\overline{\phi}_{2}dxdy$

とおき,$\psi_{1},$に対し ($\psi_{\mathit{2}}\in L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$中でのように$\psi_{i}$$\psi_{2}\rangle_{i^{2};k}:=\langle\phi_{1}, \phi_{2}\rangle_{L^{2}}$および k から定まる周期関数である..

ありこの内積に関して$\psi_{2}\in L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$$\psi_{1},$$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$$\langle$,

とおく , 但し$\rangle_{L^{2_{j}}k}$は: は (14) の$\emptyset$$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$の内積では Hilbert 空間とみなされることがわかる

また$\psi_{1}$,に対し$\langle\psi_{1}, \psi_{\mathit{2}}\rangle_{L_{1}^{2};k}$$:=\langle\phi_{1},$(但し$\phi_{2})_{L^{2}}+\int_{\mathrm{C}/\Lambda}(2\pi\sqrt{-1}\phi_{1}k+\nabla\phi_{1})\cdot(\overline{2\pi\sqrt{-1}\phi_{\mathit{2}}k+\nabla\phi_{2}})dxdy$$\nabla\phi_{*}:={}^{t}(\partial\phi_{i}/\partial x,$ $\partial\phi_{i}/\partial y)$積に関して$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$$k’=k+\gamma$に対し$\langle$) とおくと,$\langle$,$\rangle_{\mathrm{L}_{1}^{2_{j}}k}$は$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda, k)$(15) に注意すると,は Hilbert 空間とみなされることがわかる,$\rangle_{L^{2_{j}}k^{\prime=(}},$$\rangle_{L^{2_{j}}k}$,$\langle$,$\rangle_{L_{1}^{2};k^{\prime=(}},$の内積でありこの内$\rangle_{L_{1}^{2_{j}}k}$

.

がわかる.

以後

$L_{1}^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda;[k])$$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$$\phi$とするとき,

であり,$U$$L_{1}^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda;k)$の点列が収束することと ( を–つ固定して)$k$することは同値である.
元をを $L^{2}(C/\Lambda;[k])$ と書き,$\psi\in L_{1}^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda;[k])$$\partial\psi\in L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;[k])$$\overline{\partial}\psi\in L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;[k])$を A に関して周期的なに対応する$\mathrm{C}$

に対し (

に対応する
$L^{2}.(C/\Lambda)$$k$$D_{U}$$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$$L_{1}^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda;[k])$と書く.

の対応する点列が収束を–つ固定して) 対応する

$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$のの元は $\partial\phi+\pi(k_{2}+\sqrt{-1}k_{1})\phi$の元は $\overline{\partial}\phi+\pi(-k_{2}+\sqrt{-1}k_{1})\phi$ である.

上の関数とし, さらに中でのような Dirac 作用素とする. このときをは$L^{\infty}(C/\Lambda)$の元とする.

$L_{1}^{2}(C/\Lambda)\cross L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$$D_{U}$からを第 2 節の$L^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross$

L2(C/\Lambda ) への線形作用素とみなされる. さらに任意の k\in C2 に対し, DU は L2l(C/\Lambda ;[k])$\cross$

87から$L_{1}^{\mathit{2}}(C/\Lambda;[k])$$L^{\mathit{2}}(C/\Lambda;[k])\cross L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;[k])$の O-Bloch 関数とはある$D_{U}$$k\in \mathrm{C}^{\mathit{2}}$で $D_{U}$ の核に含まれるものである.

つものであるとき,に対し–の線形作用素とみなされる. Dirac 作用素$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda;[k])\cross L_{1}^{2}(C/\Lambda;[k])$$\Psi={}^{t}(\psi_{1}, \psi_{2})$$L_{1}^{2}(C/\Lambda)\cross L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$の元が$D_{U}$の $0$$\Phi={}^{t}(\phi_{1}, \phi_{\mathit{2}})$の零ではない元-Bloch 関数で準運動量 を持
$k$

が存在して

$\psi_{1}$と$\emptyset$: の間に (14)のような関係がありかつ $D(U;k)\Phi={}^{t}(0,0)$ が成り立つ, 但し$D(U;k):=D_{U}+\pi(k_{2}-\sqrt{-1}k_{1}0$である. また$L_{1}^{2}(C/\Lambda)\mathrm{x}L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$の元$\Phi$$k_{\mathit{2}}+\sqrt{-1}k_{1}0)$

が $D(U;k)\Phi={}^{t}(O, 0)$ を満たすとき,$\Phi$に対し (14)によって定義される C 上の関数 \Psi は Du の -Bloch 関数で準運動量 k を持つものである.

よって次の補題を得る.
補題 3.1 $([\mathrm{T}3])\Psi$ が Dirac 作用素ととと$\psi_{i}$$L_{1}^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda)\mathrm{x}L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$$\phi_{i}$$D_{U}$の元$\Phi$$D_{U}$の $0$-Bloch 関数で準運動量を持つものであるこ$k$

が $D(U;k)\Phi={}^{t}(0,0)$ を満たすことは同値である, 但しの関係は (14) によって与えられる.

のある

$0$

-Bloch 関数の準運動量であるような定理 3.2 $([\mathrm{T}3])U$ を$L^{\infty}(C/\Lambda)$$\mathrm{C}^{2}$の元の集合を $F(U)$ で表す.

の元とする. このとき $F(U)$ は$\mathrm{C}^{2}$の解析的集合である;

余次元は正であり, 局所的に唯–つの解析関数の零点の集合として表される.
証明複素数$a\in \mathrm{C}$に対し D 辻 ac 作用素 D。をへの線形作用素とみなすことができるが,$a$$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L_{1}^{\mathit{2}}(C/\Lambda)$

として D。の核がから${}^{t}(O, 0)$$L^{2}(C/\Lambda)\mathrm{x}L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$

のみからなるようなものをとる. このとき D。は全単射であるので, 逆作用素
$D_{a}^{-1}$:$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)arrow L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$が存在する. これは有界作用素であり, さらに Kondrachov のうめこみ定理を用いては$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\mathrm{x}L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$

上のコンパクト作用素であることがわかる. このとき$D(U;k)\circ D_{a}^{-1}=+(_{\pi(k_{2}-\sqrt{-1}k_{1})}U-a$が成り立ち, そして$U$が$D_{a}^{-1}$$L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$$\pi(k_{2}+\sqrt{-1}k_{1})U-a)\mathrm{o}D_{a}^{-1}$の元であれば (16) の右辺第 2 項は(16)

$L^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$

上のコンパクト作用素である. 従って $D(U;k)\circ D_{a}^{-1}$ は Redhohn 作用素である. そしてこ
れは

と,

$k$

に関して多項式であるので, 特に$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L^{2}(C/\Lambda)$$k$

に関して正則である. [Ku] の定理 1616 による上の Fredhoh 作用素 $D(U;k)\circ D_{a}^{-1}$ が非自明な核を持つような

$k$

88

の集合は

$\mathrm{C}^{2}$の解析的集合でありかつ局所的に唯–つの解析関数の零点の集合として表される. そして補題 31 から, この集合は$\mathcal{F}(U)$であることがわかる. また $k_{1}=0$ とおくと

(17)$\frac{1}{\pi k_{2}}D(U; k)=+\frac{1}{\pi k_{2}}D_{U}$

を得るが,$D_{U}$

はして任意の正数$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$$\epsilon>0$から$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L^{2}(C/\Lambda)$

に対し正数 $R>0$ を十分大きくとると $|k_{2}|>R$ を満たすようなに対し (17) の右辺第 2 項の作用素ノルムが上から値を持つ$k_{2}$がわかり,$\epsilon$$k_{2}$

で押さえられるので, 十分大きな絶対のみからなることがわかる. よって$F(U)\neq \mathrm{C}^{2}$の余次元が正であることがわかる. こうして定理 32 を得る.

口に対し $D(U;k)$ の核は$\mathcal{F}(U)$への有界作用素であり, そ${}^{t}(0,0)$

参考 定理 3.2 の証明の中で用いた [Ku] の定理 1.6.16 は [G], [Kel], [K-T] において主張されている.
$V,$ $W$

は$L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$の元で複素数値であるとする. Dirac 作用素$D_{V,W}$$:=$の零ではない元で $Dv,w$ の固有関数であるもののことである. 補題 31 と同様に, 次を得る :補題 3.3$\Psi$

が Dirac 作用素 $D_{v,w}$ の Bloch 関数で準運動量$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$の元$\Phi$の固有関数であることは同値である, 但し$\Psi$$D_{V,W}$に対応する固有値と$\Phi$$(k, \lambda)\in \mathrm{C}^{3}$$\psi_{i}$と$\phi_{1}$$k_{2}+\sqrt{-1}k_{1}0)$の関係は (14) によって与えられる. そに対応する固有値は等しい.

の Bloch 関数で準運動量在するようなを持つものであることとが$D(V, W;k):=D_{V,W}+\pi(k_{2}-\sqrt{-1}k_{1}0$

して

$k$

$k\in \mathrm{C}^{2}$の集合をを持ち対応する固有値が$\mathcal{B}(V, W)$$\lambda\in \mathrm{C}$であるものが存で表す. 定理 32 の証明を参考にして, 次の定理を得る.

定理 3.4

$V,$

$W$

を

$L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$の元とする. このとき $B(V, W)$ は$C^{3}$の解析的集合である;

余次元は正であり, 局所的に唯–っの解析関数の零点の集合として表される.

89$L^{\infty}(C/\Lambda)$の元 $V,$ $W$ に対し, 解析的集合 $\mathcal{B}(V, W)$ を Dirac 作用素 $D_{v,w}$ の Bloch 多様体という. また $F(V, W)$ は$\mathrm{C}^{2}$の部分集合で,$F(V, W)\cross\{0\}=B(V, W)\cap\{\lambda=0\}$

で定義されるものとする. $F(V, W)$ は

Fermi 曲線という.

$Dv,w$ の複素

命題 3.5 ([T4], [Scl])(a) 写像$\sigma$$\mathrm{C}^{2}$の解析的集合である.

$U\in L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$$L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$$\mathcal{F}(V, W)$

を Dirac 作用素

に対し, $F(U)=F(U, U)$ が成り立つ.

の元 $V,$ $W$ に対し, 次が成り立つ.

:$C^{3}arrow \mathrm{C}^{3},$$(k, \lambda)rightarrow(-k, \lambda)$:$\mathrm{C}^{3}arrow C^{3},$$(k, \lambda)\}arrow(\overline{k},\overline{\lambda})$:$C^{3}arrow \mathrm{C}^{3},$$(k, \lambda)\vdash*(-\overline{k},\overline{\lambda})$によって $B(V, W)$ と $B(W, V)$ は 1 対 1 に対応

する.

(b) 写像$\rho$

によって $\mathcal{B}(V, W)$ と$\mathcal{B}(\overline{V},\overline{W})$は 1 対 1 に対応

する.
.

(c) 写像$\eta$

によって $B(V, W)$ と$B(\overline{W},V\gamma$

は 1 対 1 に対応する.
証明 B(V, W) の元 (k, \mbox{\boldmath $\lambd $}) に対し Dv,w の Bloch 関数 \Psi =t(\psi 1, \psi 2) が存在する.
対し$(\overline{\psi}_{2}, -\overline{\psi}_{1})$はよって (c) を得る. の$D_{\overline{W},\overline{V}}$Bloch 関数で準運動量$-\overline{k}$を持ち対応する固有値は

この \Psi に$\overline{\lambda}$

である.

Stokes の定理を用いて, \mbox{\boldmath $\phi$}1, \mbox{\boldmath $\phi$}2\in L21(C/\Lambda ) に対し$\langle\partial\phi_{1}+\pi(k_{2}+\sqrt{-1}k_{1})\phi_{1}, \phi_{\mathit{2}}\rangle_{L^{2}}=\langle\phi_{1}, -\overline{\partial}\phi_{2}-\pi(-\overline{k}_{2}+\sqrt{-1k}1)\phi_{2}\rangle_{L^{2}}$,$\langle\overline{\partial}\phi_{1}+\pi(-k_{\mathit{2}}+\sqrt{-1}k_{1})\phi_{1}, \phi_{\mathit{2}}\rangle_{L^{2}}=\langle\phi_{1}, -\partial\phi_{2}-\pi C^{k_{2}}+\sqrt{-1k}1)\phi_{\mathit{2}}\rangle_{L^{2}}$がわかる. よって

$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$

において線形作用素$\partial+\pi(k_{\mathit{2}}+\sqrt{-1}k_{1})$(但し定義域は$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$において稠密な,$L_{1}^{\mathit{2}}(\mathrm{C}/\Lambda)$$-(\overline{\partial}+\pi(-\overline{k}_{2}+\sqrt{-1k}1))$である. 従って$L^{2}(C/\Lambda)$$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$において稠密な$\overline{\partial}+\pi(-k_{\mathit{2}}+\sqrt{-1}k_{1})$,) の共役作用素はそれぞれ$-(\partial+\pi Ck_{2}+\sqrt{-1k}1))$において線形作用素 $D(V, W;k)$ (定義域は$L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L_{1}^{2}(\mathrm{C}/\Lambda))$の共役作用素 $D^{*}(V, W;k)$ は$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross$$D(\overline{V},\overline{W};^{\gamma}k$であることがわかる:$D^{*}(V, W;k)=D(\overline{V},\overline{W};\overline{k})$.

複素数 $a\in C$ を定理 32 の証明の中でのようなものとすると, $V,$

(18)
$W\in L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$に対し $D(V, W;k)\circ D_{\text{。}^{}-1}$ は恥 edholm 作用素であるので, $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D(V, W;k)<\infty$ がわかる.

90$\mathrm{C}/\Lambda$

上の楕円型作用素である $D(V, W;k)$ の指数と $D$ “ (V, $W;k$ ) の核の次元$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D(V, W;k)$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}D(V,$$W$; 初は $D(V, W;k)$ の核の次元$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D^{*}(V, W;k)$の差に等しい:ind $D(V, W;k)=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D(V, W;k)-\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D^{*}(V, W;k)$ .
[L-M] の第 3 章系 79 によると,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}$Do に等しい.

あるので,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}$$D_{0}$は$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}D(V, W;k)$$L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)\cross L^{2}(\mathrm{C}/\Lambda)$(19)

は $D(V, W;k)$ の主表象である$D_{0}$の指数において自己共役であるつまり $D_{0}^{*}=D_{0}$ で$Do=0$ が成り立つ. よって $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}D(V, W;k)=0$ がわかり, (18) および (19)から$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D(V, W;k)=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D^{*}(V, W;k)=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D(\overline{V},\overline{W};\overline{k})$を得る. よってに,$\lambda\in \mathrm{C}$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D(V, W;k)\neq\{0\}$ならば,$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D\zeta\overline{V},\overline{W};^{\gamma}k\neq\{0\}$が $D(V, W;k)$ の固有値であるならば,$\overline{\lambda}$はわかる. よって補題 33 を用いて, (b) を得る. (a) は系 3.6$L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$(a) 写像$\sigma$::(c) 写像 :(b) 写像$\rho$

がわかる. より –般; 功の固有値であることが$D(\overline{V},\overline{W}$$\sigma=\eta\circ\rho$からわかる.

口の元 $V,$ $W$ に対し, 次が成り立つ.

$\mathrm{C}^{2}arrow \mathrm{C}^{2},$$krightarrow-k$$C^{\mathit{2}}arrow C^{2},$$k-\rangle$$\mathrm{C}^{2}arrow \mathrm{C}^{2},$$k\vdasharrow-\overline{k}$$\overline{k}$によって $F(V, W)$ と $F(W, V)$ は 1 対 1 に対応する.

によって $\mathcal{F}(V, W)$ と F(X, 吻は 1 対 1 に対応する.

$\eta$

によって $F(V, W)$ とに対し, $F(U)$ は注意$U\in L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$$V,$ $W$が実数値であるならば,$\rho$

実数値であるならば, $F(U)$ は$\sigma$$F\mathrm{c}W,V\gamma$

は 1 対 1 に対応する.

によって不変であることがわかる.

によって $F(V, W)$ は不変である. 従って$\sigma,$$\rho,$$\eta$$L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$の元$U\in L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$がによって不変である.

4 コンパクトリーマン面に対応する 2 重周期的ポテンシャルの構成および
その複素 Fermi 曲線
種数が

数

$g$

の 2 点付コンパクトリーマン面$k=(k_{1}, k_{2}):\mathrm{Y}arrow \mathrm{C}^{2}$の組$\mathrm{Y}$$(\mathrm{Y}, \infty^{-}, \infty^{+}, k)$とその上の$\mathrm{C}^{2}$に値を取る多価な有理型関を考える. ただし, つぎの条件をみたすものとする.

準運動量条件 (i)$k_{1}$と$k_{2}$は$\mathrm{Y}^{*}$

において正則で, さらに, 2 点

位の極をもつ. さらに, ある分枝において, $k_{1}-\sqrt{-1}k_{2}$ とと$\infty+$$\infty_{-}$と$k_{1}+\sqrt{-1}k_{\mathit{2}}$$\infty+$において 1はそれぞれ,$\infty_{-}$

において零になる.

準運動量条件 (ii)元を与える.

$k$の任意の二つの分枝の差は$\Lambda^{*}$の元になる. さらに,$\Lambda^{*}$

のすべての

91

準運動量条件 (iii)$\eta^{*}k$の任意の分枝は,$\mathrm{Y}$には, 固定点のない反正則対合的同型$-\overline{k}$のある分枝に等しい.

このとき, 準運動量条件 (i) より$\eta(\infty\pm)=\infty_{\mp}$

いて,と$\infty+$が与えられている. また$\eta$$k$は2点$\infty\pm$のみにおいて極をもつことから, ただちにが従うことに注意する. さて, 準運動量条件 (i) と準運動量条件 (iii) を用$\infty_{-}$の近傍において,$k_{1}(\infty\mp)\mp\sqrt{-1}k_{\mathit{2}}(\infty_{\mp})=0$(複合同順),

が$\eta k=-\overline{k}$満たされるように, それぞれの近傍ごとに分枝を選び, つぎの条件 (1) と (2) を満たす 2 次
元平面$\mathrm{R}^{2}$のパラメタ $x=(x_{1}, x_{\mathit{2}})$ に依存した$\mathrm{Y}$上の$\mathrm{C}^{\mathit{2}}$に値を取る Baker-Akhiezer 関数と呼ばれる $\psi(x, P)$ を考える.

(1)$\mathrm{Y}^{*}$

上の因子 $E=P_{1}+\cdots+P_{g+1}$ が存在し,なしたとき,$\mathrm{Y}^{*}$$\psi(x, \cdot)$

上で正則になっている. ただし,$\mathrm{Y}^{r}$を複素直線東 $.O(E)$ の切断とみは$\mathrm{Y}$から 2 点$\infty+$と$\infty_{-}$を除いたものとする.

(2)$\psi$

は 2 点 $\infty+’\infty-$ において次の漸近展開 (A) をもっ.

$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\psi=[+(\frac{\psi_{1,1}^{\mp}}{\psi_{2,1}^{+}})k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$at$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\psi=[+(_{\psi}^{\psi_{1}}=_{2,1}=,1)k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$at

ただし $<x,$ $k>=x_{1}k_{1}+x_{2}k_{2}$. ここで, 準運動量条件 (i) をもちいて,$k_{1}^{-1}$$\infty+$$\infty_{-}$

を2点

,

.
に

$\infty\pm$

おける, $k_{1}^{-1}(\infty\pm)=0$ を満たす局所座標系とみなしている. ある因子 $P_{1}+\ldots+P_{g+1}$ に対しては, B 包 ker-Akhiezer 関数の理論 ($[B\mathrm{e}],$開の定数項が ${}^{t}(1,0),{}^{t}(0,1)$ になる関数$\psi$

定理 4.1

任意の A の元$\gamma={}^{t}(\gamma_{1},\gamma_{2})$[D-K-N]) より,$\infty+$と$\psi$

における漸近展

は–意的に存在することに注意する.

に対して, 次が成り立つ:$\psi(x+\gamma, P)=\exp(2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)\psi(x, P)$すなわち$\infty_{-}$

は準周期的である. つまり第 3 節の$\epsilon$

として

.
が

$\epsilon(\gamma)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}.(2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)$

とれる.

証明

先の漸近展開 (A) において$x$の変わりに $x+\gamma$ を代入すると,$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x+\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)=[+(_{\psi_{2.1}}^{\psi_{1,1}}\mp)\mp k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2}.)]$

at$\infty+$

,

92

at

$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x+\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)=[+(_{\psi_{\mathit{2}}}^{\psi_{1}}=_{1}=_{1},)k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$$\infty_{-}$.

方$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x+\gamma, k>)\psi(x+\gamma,P)$$=\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\exp(-2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)$

であるので $\phi=\exp(-2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)$ とおくと$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\phi=[+(\frac{\psi_{1,1}\mp}{\psi_{2,1}^{+}})k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$at$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\phi=[+(^{\psi_{1}}\psi_{2,1}==_{1})k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$

at

したがって

$\phi$

は Baker-Akhiezer. 関数の条件 (2) を満たすことがわかる$\infty+$$\infty_{-}$

また

$k$

’

.

は多価関数

であるが, 準運動量条件 (ii) より $\exp(-2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)$ は–価となり, さらに$\mathrm{Y}^{*}$

上でいたるところ消えていない正則関数となる. ゆえに $\phi=\exp(-2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)$
は Baloer-Akhiezer 関数の条件 (1) も満たす

Baker-Akhiezer 関数の–意性より,$\phi=\psi$,$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)=\psi(x, P)$,$\psi(x+\gamma, P)=\exp(2\pi\sqrt{-1}<\gamma, k>)\psi(x, P)$

.口

がわかる.

系 4.2

Baker-Akhiezer 関数$\psi$

に対して, ポテンシャル $V$ と $W$ を, つぎで定義する.

$V=-2\pi\sqrt{-1}\psi_{1,1}\mp$,$W=2\pi\sqrt{-1}\overline{\psi_{1,1}^{-}}$.

このとき $V$ と $W$ は, 格子 A に関して周期的である.

証明

A の任意の元$\gamma$

をとり, 先の漸近展開 (A) において$x$の変わりに $x+\gamma$ を代入す

ると,$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x+\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)=[+(_{\psi_{2,1}(x+\gamma)}^{\mp}\psi_{1,1,\mp}(x+\gamma).)k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$at$\infty+$’

93$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x+\gamma, k>)\psi(x+\gamma, P)=[+(\psi_{2,1}=\psi=_{1},1(x+\gamma))(x+\gamma)k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$at$\infty_{-}$.

定理 4.1 より上記の左辺は $\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\psi(x, P)$ に等しいので,$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\psi(x,P)=[+(_{\psi_{2,1}(x+\gamma)}^{\overline{\psi_{1,1}^{+}}(x+\gamma)}\mp)k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$at$\exp(-2\pi\sqrt{-1}<x, k>)\psi(x, P)=[+(^{\psi_{1}}\psi_{\mathit{2},1}==_{1}(x+\gamma))(x+\gamma)k_{1}^{-1}+O(k_{1}^{-2})]$at 科科-.

$\infty+$’

これと先の漸近展開 (A) の 1 次の項の係数を比較することにより,$\psi_{1,1}(\mp x+\gamma)=\psi_{1,1}(\mp x)$,$\overline{\psi_{1,1}^{-}}(x+\gamma)=\overline{\psi_{1,1}^{-}}(x)$.

これより, $V,$ $W$ は格子 A に関して周期的であることが従う.

口

つぎにここで構成した $V$ と $W$ をポテンシャルにもっ Dirac 作用素 $D_{v.w}$ と Baker-

Akhiezer 関数
定理 4.3$\psi$の間の関係について考察する.

系 42 で与えられた $V$ と $W$ をポテンシャルにもつ Dirac 作用素を $D_{v,w}$ とする. このとき, 先で定義された $B$ aker-Akhiezer 関数$\psi$

は Dirac 方程式 $Dv.w\psi=0$ を

満たす.

証明

まず,

$\psi$を点$\infty^{+}$

において,$\psi==$と漸近展開できることに注意する. ただし $\psi_{k}=\exp(2\pi\sqrt{-1}<x, k>)$ . また作用素を作用させたものを$D_{V,W}\psi==$$\psi$に Dirac94

とおき,$D\psi^{(1,1)}$の点$\infty^{+}$

における漸近展開を計算すると,$D\psi^{(1,1)}=V\psi_{k}+V\psi_{k}\overline{\psi_{1,1}^{+}}(1/k_{1})+V\psi_{k}O(1/k_{1}^{\mathit{2}})+\partial(\psi_{k}\psi_{\mathit{2},1}(\mp 1/k_{1}))+\partial(\psi_{k}O(1/k_{1}^{\mathit{2}}))$$=V\psi_{k}+V\psi_{k}\psi_{1,1}(\mp 1/k_{1})+V\psi_{k}O(1/k_{1}^{\mathit{2}})$$+(\partial\psi_{k})\overline{\psi_{2,1}^{+}}(1/k_{1})+\psi_{k}(\partial\overline{\psi_{2,1}^{+}})(1/k_{1})$$+(\partial\psi_{k})O(1/k_{1}^{2})+\psi_{k}\partial(O(1/k_{1}^{2}))$$=V\psi_{\mathrm{k}}+V\psi_{k}\psi_{1,1}(\mp 1/k_{1})+V\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})$$+\pi(k_{2}+\sqrt{-1}k_{1})\psi_{k}\overline{\psi_{2,1}^{+}}(1/k_{1})+\psi_{\mathrm{k}}O(1/k_{1})$$+\psi_{k}O(1/k_{1})+\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})$$=V\psi_{k}+V\psi_{k}\psi_{1,1}(\mp 1/k_{1})+V\psi_{k}O(1/k_{1}^{\mathit{2}})$$+\pi(2\sqrt{-1}k_{1}+O(1/k_{1}))\psi_{k}\psi_{\mathit{2},1}(\mp 1/k_{1})+\psi_{k}O(1/k_{1})$$+\psi_{k}O(1/k_{1})+\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})$$=\psi_{k}[V+2\pi\sqrt{-1}\psi_{2,1}\mp+O(1/k_{1})]$

仮定

.

より

$V=-2\pi\sqrt{-1}\overline{\psi_{2_{1}1}^{+}}$$D\psi^{(1,1)}=\psi_{k}O(k_{1}^{-1})$

同様に$D\psi^{(2,1)}$の点$\infty^{+}$

における漸近展開を計算すると,$D\psi^{(2,1)}=\psi_{k}O(k_{1}^{-1})$

つぎに,$\psi$を点$\infty^{-}$$\mathrm{a}\mathrm{t}\infty+\cdot$

at$\text{科科_{}+}$

.

において,

$\psi==(_{\psi_{k}+\psi_{k^{\frac{1(1}{\psi_{2,1}^{-}}}}(1/k_{1})+\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})}^{\psi_{k}\overline{\psi_{1}^{-}}/k_{1})+\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})},)$

95と漸近展開し,$D\psi^{(\mathit{2},1)}$の点$\infty^{-}$

における漸近展開を計算すると,$D\psi^{(\mathit{2},1\rangle}=-\overline{\partial}(\psi_{k}\overline{\psi_{1,1}^{-}})(1/k_{1})+\overline{\partial}(\psi_{k}O(1/k_{1}^{\mathit{2}}))$$+W\psi_{k}+W\psi_{k}\psi_{\mathit{2},1}^{-}(1/k_{1})+W\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})$$=-(\overline{\partial}\psi_{k})\overline{\psi_{1,1}^{-}}(1/k_{1})-\psi_{k}(\overline{\partial}\overline{\psi_{1,1}^{-}})(1/k_{1})$$-(\overline{\partial}\psi_{k})O(1/k_{1}^{2})-\psi_{k}\overline{\partial}(O(1/k_{1}^{2}))$$+W\psi_{k}+W\psi_{k}\psi_{2,1}^{-}(1/k_{1})+W\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})$$=-\pi(-k_{2}+\sqrt{-1}k_{1})\psi_{k}\psi_{1,1}^{-}(1/k_{1})-\psi_{k}(\overline{\partial}\psi_{1,1}^{-})(1/k_{1})$$-(\overline{\partial}\psi_{k})O(1/k_{1}^{2})-\psi_{k}\overline{\partial}(O(1/k_{1}^{2}))$$+W\psi_{k}+W\psi_{k}\psi_{2,1}^{-}(1/k_{1})+W\psi_{k}O(1/k_{1}^{\mathit{2}})$$=-\pi(2\sqrt{-1}k_{1}+O(1/k_{1}))\psi_{k}\overline{\psi_{1,1}^{-}}(1/k_{1})-\psi_{k}(\overline{\partial}\overline{\psi_{1,1}^{-}})(1/k_{1})$$-(\overline{\partial}\psi_{k})(1/k_{1}^{\mathit{2}})-\psi_{k}\overline{\partial}(O(1/k_{1}^{2}))$$+W\psi_{k}+W\psi_{k}\psi_{2,1}^{-}(1/k_{1})+W\psi_{k}O(1/k_{1}^{2})$$=\psi_{k}[W-2\pi\sqrt{-1}\overline{\psi_{1,1}^{-}}+O(1/k_{1})]$

仮定$W=2\pi\sqrt{-1}\overline{\psi_{1,1}^{-}}$

より$D\psi^{(2,1)}=\psi_{k}O(k_{1}^{-1})$

同様に$D\psi^{(1,1)}$の点$\infty^{+}$$D\psi^{(1,1)}$

at$\infty_{-}$.

における漸近展開を計算すると,$D\psi^{(2,1)}=\psi_{k}O(k_{1}^{-1})$

以上より

.

at

$\infty_{-}$.

と $D\psi^{(2,1)}$ は因子 $E=P_{1}+P_{2}+\cdots+$ 弓に対応する

線束 $\mathcal{L}=O(E)$ と, 変換関数として$\psi_{k}$の正則切断になっており, さらに 2 点をもつ$\infty+$と$\mathrm{Y}$$\infty_{-}$

上の複素直線東$L$$\mathrm{Y}$上の複素直のテンソル積で消えることがわかる. -方, リーマン

ロッホの公式より$dimH^{0}(\mathrm{Y}, \mathcal{L}\otimes L(-\infty+-\infty_{-}))-dimH^{1}(\mathrm{Y}, \mathcal{L}\otimes L(-\infty+-\infty_{-}))$$=\ g(\mathcal{L}\otimes L(-\infty+-\infty_{-}))+1-g$$=\{(g+1)+0-2\}+1-g$$=0$.

$\mathcal{L}\otimes L$96

ここで, $degL=0$ であることと, 準運動量条件 (iii) より, $dimH^{1}(Y, \mathcal{L}\otimes L(-\infty+-\infty_{-}))=$$0$が従うことを用いると, $dimH^{0}(\mathrm{Y}, L\otimes L(-\infty+-\infty_{-}))=0$ となる$D\psi^{(\mathit{2},1)}=0$

である

以上より

$\psi$

よって $D\psi^{(1,1)}=0$ ,は Dirac 方程式 $D_{Vw}th=0$ の解であることが示された.
口

さて, 定理 43 により$\mathrm{Y}^{*}$

上の任意の点 $P$ に対して, $\psi(x, P)$ は $Dv,w$ の核の元である

ことがわかり, さらに定理 41 により多価関数による$\mathrm{Y}^{*}$の像は $F(V, W)$ に含まれての任意の 2 つの分枝の差は, 準運動量条件 (ii) よりいることがわかる. また$k$

る. よってを正規化したものが$\mathcal{F}(V, W)/\Lambda^{*}$$k$$\mathrm{Y}^{*}$$\mathrm{A}^{r}$に属すであると期待されるが定かではない.

5 おわりに本稿に関連する事柄や今後も考察すべき話題などを述べたい.

(I)$E^{3}$にはめこまれたコンパクトな曲面に対する Willmore 汎関数の値は換で不変である$([\mathrm{W}\mathrm{h}])$が, [G-S1 において Grinevich-Schmidt はラスに対する複素 Fermi 曲線が$E^{3}$$E^{3}$$E^{3}$の面形変にはめこまれたトーの共形変換で不変であることを主張している (本稿における議論から, こうしたことが期待されることは自然であることがわかる).

(II) 第 2 節で曲面の表現公式が Dirac 作用素の観点で与えられることを見たが, [Fl において Friedrich は曲面のスピン構造に関するスピノール東の切断に作用する Dirac 作用素の観点での情報と曲面論の基本方程式である Gauss-Codazzi の方程式との関係を説明している.

(III) 第 3 節ではポテンシャル $V,$ $W$ が$F(V, W)$ が$\mathrm{C}^{\mathit{2}}$$L^{\infty}(\mathrm{C}/\Lambda)$の元である場合に複素 Fermi 曲線の解析的集合であることを説明したが, [O-O-U] でも指摘されているように [Scl] においては $V,$ $W$ が$L^{\mathit{2}}(C/\Lambda)$の元である場合に $F(V, W)$ が$\mathrm{C}^{2}$の解析的集合であることを示す必要がある. ポテンシャルが L2(C/A) の元である場合に正しいかどうかを今後も分析したい.

(IV) 本稿は大仁田義裕氏, 乙藤隆史氏, 宇田川誠–氏および守屋克洋氏との度重なる議論に基づいて作成された. 特に命題 35 の証明の方針は乙藤氏および宇田川氏に教えて頂
いた.

97

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