数理解析研究所講究録
第 770 巻 1991 年 21-25

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Remarks on the Asymptotic Behaviour for Elliptic Equations
with Critical Growth
東大理

石村直之 (NAOYUKI ISHIMURA)

1. INTRODUCTION
次の問題を考える。

(I)$\{\begin{array}{l}-\triangle u-\lambda(\epsilon)u=N(N-2)u^{p-\epsilon}in\Omega u>0in\Omega u=0on\theta\Omega\end{array}$

ここで$\lambda(\epsilon)$

は$\Omega$$\epsilon$

は $R^{N}(N\geq 3)$ の単位球、 $p=(N+2)/(N-2),$の$\epsilon\geq 0$, またgiven function とする。の本講演では (I) の解のときの振舞いを問題にする。
まず知られている事実を述べる。
$\epsilonarrow 0$$u_{\epsilon}$(1) (I) の解は球対称、 単調減少である ([GNN])のとき (I) は任意のに対して解を持つ。
(2)
とき (I) は。

$\epsilon>0$$\lambda(\epsilon)<\lambda_{0}$$\lambda(0)\in(0, \lambda_{0})$$N\geq 4$$\lambda(0)\in(\frac{1}{4}\lambda_{0}, \lambda_{0})$$N=\theta$のとき、 そのときに限り解を持つ。 ここで$\epsilon=0$のの単位球における主固有値である ([BN])のとき、の極限での振舞いは次で与えられる。
(3)$\lambda_{0}$はー$\triangle$。

$\lambda(\epsilon)\equiv 0$$u_{\epsilon}$$\{\begin{array}{l}\lim_{\epsilonarrow 0}\epsilon^{1/2}\cdot u_{\epsilon}(0)=(\frac{2\sigma_{N}}{N-2})^{1/2}(\frac{N(N-2)}{s_{N}})^{N/4}\lim_{\epsilonarrow 0}\epsilon^{-1/2}\cdot u_{\epsilon}(x)==(\frac{2\sigma_{N}}{N-2})^{-1/2}(\frac{N(N-2)}{s_{N}})^{-N/4}\cdot(N-2)\sigma_{N}G(x)\end{array}$$x\neq 0$

ここで$G(x)$ は単位球におけるー$\sigma_{N}=\frac{2\pi^{N/2}}{\Gamma(N/2)}$$\triangle$の Green’s function,

は $R^{N}$ における単位球の表面積,$S_{N}= \pi N(N-2)(\frac{\Gamma(N/2)}{\Gamma(N)})^{2/N}$

kt best Sobolev constant.

22([AP]) 。彼らは ODE の方法を用いている。
(4)N=$,independent of のとき、 の極限での振舞いはである$\lambda(\epsilon)\equiv\lambda$$\epsilon$$u_{\epsilon}$

次で与えられる。
$0\leq\lambda<\lambda_{0}/4=\pi^{2}/4$のとき$\{\begin{array}{l}\lim_{\epsilonarrow 0}\epsilon^{1/2}u_{e}(0)=(\frac{sz}{\pi}\star_{l\cdot n\lambda}^{\lambda})^{1/2}\lim_{earrow 0}\epsilon^{-l/2}u_{e}(W)=(\frac{S2}{\pi}|\star^{\lambda})^{-l/2}\cdot 4\pi G_{\lambda}(x)\end{array}$$x\neq 0$

ここで$G_{\lambda}(x)$はー$\triangle-\lambda$のGreen’s function:.

$G_{\lambda}(x)= \frac{1}{4\pi|x|}\{\cos(\sqrt{\lambda}|x|)-\frac{\sin(\sqrt{\lambda}|x|)}{\tan\sqrt{\lambda}}\}$$\lambda=\pi^{2}/4$のとき$\{\begin{array}{l}\lim_{arrow 0}\epsilon^{1/4}u_{\epsilon}(0)=(8\pi^{2})^{l/4}\limarrow o\epsilon^{-l/4}u_{e}(W)=(8\pi^{2})^{-1/4}\cdot 4\pi G_{\pi^{2}/4}(x)\end{array}$$x\neq 0$.

どちらの場合でも$u_{\epsilon}(0)\cdot u_{\epsilon}arrow 4\pi G_{\lambda}$が成り立つ ([BP])
本講演では general。

as$\epsilonarrow 0$

in$L^{2}(\Omega)$

彼らは PDE の方法を用いている。

に対する解の振舞いを論じる。
簡単のため次の場合の考察に限定する。
$\lambda(\epsilon)$$\lambda(0)=\frac{\pi^{2}}{4}$$\lambda(0)=0$

if $N=$
if $N\geq 4$ .

また、 次の記法を用いる。

if $N=$$\lambda(\epsilon)=\frac{\pi^{2}}{4}+\lambda_{e}$if $N\geq 4$ .

$\lambda(\epsilon)=\lambda_{\epsilon}$

ただし、$\lambda_{\epsilon}arrow 0$とする。 さらに、$\mu_{e}^{-(N-2)/2}=||u_{\epsilon}||_{L\infty(\Omega)}=u_{e}(0)$と書く。 ここで$\mu_{e}arrow 0$に注意する。

as$\epsilonarrow 0$.

23

2. RESULTS AND THE SKETCH OF THE PROOF
次の asymptotic relations を証明する。 この関係式が極限での振舞いを決定する。

PROPOSITION.

$\epsilonarrow 0$のとき次が成り立っ。

$(A)N=3$ のとき。
$\frac{\pi^{2}}{8}\cdot\epsilon=-2\pi\lambda_{e}\mu_{\epsilon}+\pi^{4}\mu_{e}^{2}+o(\epsilon)+o(\mu_{\epsilon}^{2})+o(\lambda_{\epsilon}\mu_{\epsilon})$.

$(B)N=4$ のとき。
$\frac{2}{\}\pi^{2}\cdot\epsilon=-2\pi^{2}\lambda_{e}\mu_{\epsilon}^{2}\log\frac{1}{\mu_{e}^{2}}+8\pi^{2}\mu_{\epsilon}^{2}+$$+o( \epsilon)+o(\mu_{\epsilon}^{2})+o(\lambda_{\epsilon}\mu_{\epsilon}^{2}\log\frac{1}{\mu_{\epsilon}^{2}})$.

$(C)N\geq 5$ のとき。

$\frac{(N-2)^{s}}{2}(\frac{S_{N}}{N(N-2)})^{N/2}\cdot\epsilon=-2\sigma_{N}a_{N}\lambda_{\epsilon}\mu_{\epsilon}^{2}+(N-2)^{2}\sigma_{N}\mu_{\epsilon}^{N-2}+$$+o(\epsilon)+o(\mu_{e}^{N-2})+o(\lambda_{\epsilon}\mu_{\epsilon}^{2})$,ここで$a_{N}= \int_{0}^{\infty}\frac{r^{N-1}}{(1+r^{2})^{N-2}}dr<\infty$.

これらの関係式の直接の結果が次である。

THEOREM 1. $N=3,$ $q>2,$ $C>0$ とする。

$u_{\epsilon}$を、 以下のもとでの (I)の解とする。

$\{\begin{array}{l}2<q<\text{のとき_{、}}\lambda(\epsilon)=^{\pi}\frac{\pi}{16}C^{2}\cdot\epsilon^{l-2/q}q=4\emptyset \text{とき_{、}}\lambda(\epsilon)=^{l}\frac{8\pi-G^{l}}{16C^{3}}\pi\cdot\epsilon^{1/2}q>4\emptyset \text{とき_{、}}\lambda(\epsilon)=\frac{\pi^{s}}{2}C^{2}\cdot\epsilon^{2/q}\end{array}$

このとき、$u_{e}$のasymptotic behaviour は$\{\begin{array}{l}\lim_{earrow 0}\epsilon^{1/q}\cdot u_{e}(0)=C\lim_{\epsilonarrow 0}\epsilon^{-l/q}\cdot u_{\epsilon}(W)=C^{-l}\cdot 4\pi G_{\pi^{2}/4}(x)\end{array}$$x\neq 0$

24で与えられる。

THEOREM 2. $N\geq 5,$ $q>4/(N-2),$ $C>0$ とする。の (I) の解とする。

$u_{e}$

を以下のもとで$\{\begin{array}{l}4/(N-q<2\text{のとき_{、}}\lambda(\epsilon)=-\frac{(N}{4\sigma}\frac{S\kappa}{N(N-2)})^{N/}c^{4/(N-2)}\cdot\neq aq>2\emptyset \text{とき_{}\backslash }\lambda(\epsilon)=\frac{(N-l}{a_{l_{N}}}t^{N-4)/(N-2)}.\epsilon^{\frac{2(N-4)}{(\kappa-a)r}}q=2\emptyset \text{とき_{}\backslash }\lambda(\epsilon)=(C)\epsilon 2\end{array}$

ただし、 $’(C)$ は次の方程式の解である:$\frac{(N-2)^{\}}{2}(\frac{S_{N}}{N(N-2)})^{N/}C^{2}=(N-2)^{2}\sigma_{N}-2r(C)\cdot\sigma_{N}a_{N}C^{\frac{2(N-4)}{N-2}}$

このとき、$u_{e}$の.

asympto tic behavio $ur$ は$\{\begin{array}{l}\lim_{earrow 0}\epsilon^{l/q}\cdot u_{e}(0)=C\lim_{earrow 0}\epsilon^{-1/q}\cdot u(W)=C^{-1}\cdot(N-2)\sigma_{N}G(x)\end{array}$$x\neq 0$で与えられる。
以下 Proposition の証明の概略を述べる。
[BP] に従い、 Pohozaev identity :$\frac{N(N-2)^{s}}{2N-(N-2)\epsilon}\cdot\epsilon\int_{\Omega}u_{e}^{p+1-\epsilon}dx=\int_{\partial\Omega}(x, n)(\frac{\theta u_{\epsilon}}{\theta n})^{2}-2\lambda(\epsilon)\int_{\Omega}u_{\epsilon}^{2}$dae.の左右各項を評価する。 そのとき PDE methods を用いるが、 ここでは詳しくは立ち入らない。
左辺の評価。
$\lim_{earrow 0}\int_{\Omega}u_{\epsilon}^{p+1-e}dx=(\frac{S_{N}}{N(N-2)})^{N/2}$.

右辺の評価。 まず、$\mu_{\epsilon}^{-(N-2)/2}u_{e}(x)arrow(N-2)\sigma_{N}G_{N}(x)$in$W^{1,q}(\Omega)$を示す。 その後、 今簡単のため $N\geq 5$ に限るが、for $q<N/(N-2)$$\epsilonarrow 0$のとき、$\int_{\partial\Omega}(x, n)(\frac{\partial u_{\epsilon}}{\theta n})^{2}=(N-2)^{2}\sigma_{N}\mu_{\epsilon}^{N-2}+o(\mu_{e}^{N-2})$$2 \lambda(\epsilon)\int_{\Omega}u_{e}^{2}dx=2\sigma_{N}a_{N}\lambda_{\epsilon}\mu_{e}^{2}+o(\lambda_{\epsilon}\mu_{e}^{2})$

を示す。

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REFERENCES
F.V.Atkinson and L.A.Peletier, Elliptic equations $wi$ th nearly criti $cal$ growth,
J. Diff. Eqs. 70 (1987), $34k36S$[BN]
H.Brezis and L.Nirenberg, Poeitive $ol\sim tion$ ’ of nonlinear elliptic equations
involving crit ical Sobo $lev$ erponenl” Comm. Pure Appl. Math. 36 (1983), 437477.
[BP]
H.Brezis and L.A.Peletier, $Aeymptoli\epsilon$ ’fir elliptic equation’ involving ctitical growth, ”Partial Differentisl Equstions and the Calculus of Variations, Essays in Honor of E.De.Giorgi,” Birkhauser, 1989, pp. 149-192.
B.Gidas, W.-M.Ni and L.Nirenberg, Symmetry and related properties via[GNN]
the maximum principle, Comm. Math. Phys. 68 (1979), 209-243.
[AP].