J. Jpn. Soc. Soil Phys.
土壌の物理性No. 137, p.11 ∼ 18 (2017)

土壌中の不安定な密度勾配から生じる対流の模擬実験に対する線形安定解析
深田耕太郎 1 · 木原康孝 1

Linear stability analysis of a novel experimental simulation of convection driven
by an unstable density gradient in soil
Kotaro FUKADA1 and Yasutaka KIHARA1

Abstract: When the upper part of a soil solution has alarger density than the lower part, an unstable layer develops, and convection may occur. However, our theoreticalunderstanding of this convective flow pattern is limited,
given the complexity of its governing equations. In thisstudy, we conducted a simple experiment to generate convection, and used linear stability theory to explain its flow
pattern. Glass beads with 0.2-mm diameter were placed ina 6×14×1 cm rectangular container. The lower half of thiscontainer was saturated with water, while the upper half
was saturated with a concentrated and regulated NaCl solution. The resulting solution density interface undulated,
and finger convection emerged. We found that the average
speed of the fingers could be expressed using the equation: hydraulic conductivity×solution density difference /solution density of the lower part. This is consistent withpredictions from linear stability theory. We also found thatthe number of fingers had a non-linear relationship with thesolution density difference. The number of fingers corresponded to the wave number for the larger steady solution,
when the length of the density gradient area was twice thedistance from the density interface to the front of the finger.
Key Words : glass beads, density-driven flow, visualization, linear stability theory, finger

1. はじめに重い流体が軽い流体の上にある場合，系が不安定となり，対流が生じる場合がある．対流は，大気や海洋あるいは日常生活で起きているありふれた現象である．中でも，ベナール対流やソルトフィンガー（Turner, 1973）などは有名である．

が生じると考えられている（Duffy and Al-Hassan, 1988；

Wood and Sanford, 1990）．この様な流れを密度流と呼ぶこともある．Wooding et al.（1997a, b）は Hele-Shaw 型の塩湖のモデルで対流の発生を確認している．その流れ
模様は，まず密度勾配領域が波のように揺らぎ，時間とともにフィンガーやプルームと呼ばれる溶液の降下へと発展する．対流は，沿岸域の帯水層が塩類化する要因と考えられている（Post and Kooi, 2003）．他にも，廃棄物処理場から漏出した溶液（Zhang and Schwarts, 1995）
や，斜面の土壌空気（Rose and Guo, 1995）に対して，対流の発生が予想されている．
対流現象に特徴的なものに，流れ模様の自発的な形成がある．例えばベナール対流では，ベナールセルと呼ばれる 1 つの対流の要素が蜂の巣状に並んだ模様が形成される．
対流現象の理論的説明は，レーリーが線形安定論と呼ばれる手法を考案することに始まる．線形安定論とは，対流の支配方程式を満足する解に対してある攪乱を重ね，その攪乱が時間的に発達するかを調べることで，解が実現するか吟味するというものである（木村, 1983）．
例えば，重い流体が軽い流体の上にある場合，流れないという解は支配方程式と境界条件を満足する．しかし，重ねた攪乱が発達する場合は実現しないと考える．レー
リーは対流模様が水平方向に繰り返すことから，攪乱の流れ関数を Φ(z∗ ) sin(k∗ x∗ ) と与えた．ここで，x∗ は水平方向の座標，z∗ は鉛直方向の座標，k∗ は波数であり，単位長さあたりの波の個数の 2π 倍である．セルの大きさは波数で表され，密度勾配との関係が明らかになっている（Turner, 1973）．
土壌中の対流の場合も同様に，不安定となる層が初期土壌中でも対流は生じる．塩湖では，蒸発によって湖に形成する波動模様についての波数，あるいは，単位長が干上がる際に，水分飽和状態の湖底表層付近の土中水

さあたりのフィンガーの本数などによって流れ模様が評が高密度状態となり，不安定性が拡大して下向きの流れ価される．フィンガーの移動速度も重要な指標である．

1 Faculty of life and environmental science, Shimane University,

Nishikawatsu-cho, Matsue city, Shimane prefecture 690-8504 Japan.
Corresponding author: 深田耕太郎, 島根大学生物資源科学部.
2017 年 3 月 27 日受稿 2017 年 8 月 16 日受理

これらについて理論的に説明すること，つまり，ある時
刻における流れ模様を予測することには課題がある．
対流の支配方程式は難解である．加えて，上側境界で溶液密度を一定にするなど，表現したい系に合わせて

土壌の物理性

12

第 137 号(2017)

境界条件が拘束される．そのため数値計算手法が利用程度要した．その直後に試料を静置し，経過時間の測定されているが，実験との一致は限られている．例えば，を開始した．

Wooding et al.（1997a, b）の計算は実験よりもたくさんのフィンガーを生み出し，移動速度は 2 倍程度大きかっ
た．Cremer and Graf（2015）は，初期条件として与える界面で波模様が発達し，フィンガーとなって移動する．

密度の揺らぎの大きさによって，計算が実験と一致する

り，下側を着色すれば上昇するフィンガーが青色となる．

この状態で実験を開始すると，水と NaCl 溶液の密度
上側を着色した場合は，下降するフィンガーが青色とな

場合としない場合があると報告した．Tan et al.（2003）

しかしどちらの場合も，もともと着色されていた部分には独自の理論を提案し数値計算と比較したが，数値計算侵入する無着色のフィンガーは見えづらい．そのため，から求めた波数は理論の 2 倍程度大きかった．

無着色の溶液中に侵入した着色のフィンガーに対して，

原 因 の 一 端 は 数 値 計 算 手 法 に あ る ．Mazzia et al.

移動速度とフィンガーの本数を求めることにした．

（2001）の研究では，計算格子数を増加させても数値

フィンガーの一つが容器の底部あるいは頂部に到達し解は収束しなかった．また，流れを起こすためには密た段階で，フィンガーの本数を数えた．このタイミング

度の揺らぎを与える必要があり，その大きさがその後にしたのは，時間経過とともにフィンガーがより明瞭にの流れ模様に影響することが分かっている（Simmons et

区別できるようになるためである．ただし，どの部分をal., 1999；Cremer and Graf, 2015）．Diersch and Kolditz

1 つのフィンガーとするかについての判断には主観性が（2002）が総括しているように，安定した数値計算手法と入っている．着色部には濃淡が生じることと，模様は完

不安定である系の表現は，同時に求めることが難しい．

全に規則的ではないことにより，観察者によって数本程一方で，現象の複雑さそのものも原因の一つといえ度の差が生じる可能性がある．

る．例えば van Reeuwijk et al.（2009）は Elder problem

フィンガーの移動速度は，フィンガーの本数の決定と（Elder, 1967）と呼ばれるモデルが初期値に依存した複数

同じタイミングで，初期密度界面から各フィンガーの先の定常解をもつことを示した．この結果は，他の土壌対端までの距離を求め，経過時間で割って速度とし，フィ流系でも解が唯一ではない可能性を示唆している．対流

ンガー一本についての平均値を求めた．フィンガーの移現象はカオス的であり，長期的には，波数やフィンガー

動速度と本数を数えた時刻は，およそ，実験開始から 5の本数ではなく，系の全質量や重心の位置が予測しやす

時間後（上側の溶液密度 1010 kg m−3 ），40 分後（1050 kg

いと考えられている（Xie et al., 2010；2011；2012）．

m−3 ），20 分後（1100 kg m−3 ），15 分後（1150 kg m−3 ）線形安定論は，数値計算ほど土壌中の流れに対する適用が検討されていないようである．その理由はおそら
く，塩湖のモデルのように蒸発による密度勾配の増加なである．
各濃度条件に対し，実験を 5 回繰り返し，うち 1 回は下側を着色した．

どがあると，系が複雑になるためと考えられる．そこで，

NaCl を含む高溶液密度の土壌層を厚み 3 cm だけ用意
し，NaCl を含まない溶液密度の土壌層 3 cm の上に置くという実験系を用いることにした．この系では不安定な密度勾配が実験開始時に与えられ，流れが生じても上下層間の密度差がしばらく維持されることが期待できる．
本研究の目的は，線形安定論によって，密度差とフィンガーの移動速度および数の関係を説明することである．

2. 実験方法
試料として粒径 0.2 mm のガラスビーズを用いた．水
分飽和状態にし，縦 6 cm，横 14 cm，幅 1 cm のアクリ
ル製直方体容器に 3 cm 分充填した．次に，NaCl を加えて所定の密度に調整した溶液を作り，これらの溶液で飽和したガラスビーズを容器に加えてさらに 3 cm 分充填
した．間隙率は約 40 ％である．下側の溶液密度は 1000kg m−3 で共通であり，上側の溶液密度は，1010，1050，
1100，1150 kg m−3 の 4 種類に設定した．したがって，
上側と下側の溶液の密度差は，10，50，100，150 kg m−3である．上側か下側をブリリアントブルーで着色し，側面から流れを観察できるようにした．ブリリアントブ
ルーの使用量は密度の影響を無視できる程度に少ない．
実験温度は 20 ℃である．上側半分の試料の充填に 10 秒

3. 線形安定論
線形安定論は，密度の影響を近似的に考慮した方程式系（ブシネスク系）に対し，ある攪乱を与えて，その時間発展を見るというものである．攪乱が減衰すれば安定であり，成長すれば不安定である．攪乱が減衰も成長もしない場合は定常である．土壌中の対流について線形安定論を与えたのは Horton and Rogers（1945）と Lapwood（1948）である．整理されたものは，Combarnous andBories（1975），Nield and Bejan（1992）に詳しい．これ
らの文献は熱対流の視点から書かれているが，密度変化の原因が異なる点を除けば，以下の内容と同じである．なお，式展開の方法と流れ関数の仮定については，

Chandrasekhar（1981）と木村（1983）を参考にした．
支配方程式は，連続式，運動方程式，拡散方程式である．以下では 2 次元を考える．また，流れ関数 ψ∗ を導入する．これにより，連続式は自動的に満たされる．x，z 軸方向の運動方程式，拡散方程式は，それぞれ，
x 方向の運動方程式，1 ∂ p′∗ g
∂ u∗
=−
+ u∗
∂ t∗
ρ0 ∂ x∗ K(1)

論文：土壌中の不安定な密度勾配から生じる対流の模擬実験に対する線形安定解析

z 方向の運動方程式，

13

次に，式（7）を無次元化するために

1 ∂ p′∗ gρ∗′
∂ w∗
g
=−
−
+ w∗
∂ t∗
ρ0 ∂ z ∗ρ0Kx∗ = L · x(2)

拡散方程式，t∗ =∂ ρ∗′+ w∗ Γ = κ ∇2∗ ρ∗′∂ t∗s−1 ），p′∗ は圧力の撹乱（Pa），ρ∗′ は密度の撹乱（kg m−3 ）であり，4 つの方程式によって解くべき変数である．また，ρ0 は水の密度（1000 kg m−3 ），g は重力加速度（9.8m s−2 ），K は飽和透水係数（2 × 10−4 m s−1 ），Γ は密度勾配（kg m−4 ），κ は拡散係数（10−9 m2 s−1 ）である．
流れ関数 ψ∗ と流速 u∗ ，w∗ の関係は，

u∗ =

(8)

ψ∗ = LK · ψ(3)と書ける．ここで，u∗ ，w∗ は x 方向と z 方向の流速（mL·t
Kを式（7）に代入する．ここで，L は密度勾配の存在する

z 方向の範囲（m）とする（したがって，上側溶液と下側溶液の密度差を ∆ρ と書くと，Γ = ∆ρ /L）．すると，(

K ∂1− κ 2 ∇2
L ∂t
L

)(

g
K ∂
−
L ∂t K
=−

∂ ψ∗
∂ z∗

(

∂ ψ∗
w∗ = −
∂ x∗

(4)

∂
κ 2
−
∇
∂ t KL)()

1 2∇ LK ψ
L2

gΓ 1 ∂ 2 LK ψ
ρ0 L 2 ∂ x 2)gL∂− 2 ∇2 ψ∂t K(9)gΓ L2 ∂ 2 ψ=−
ρ0 K 2 ∂ x 2

である．
式（1）と（2）をそれぞれ z∗ と x∗ で偏微分し，両者の差をとると，∂∂ t∗(∂ 2 ψ∗ ∂ 2 ψ∗
+
∂ x∗2
∂ z2∗

g
=
K

(

となる．定常の場合は，∂ /∂ t = 0 より，)∂ 2 ψ∗ ∂ 2 ψ∗
+
∂ x∗2
∂ z2∗

)
−

( κ
) ( gL )gΓ L2 ∂ 2 ψ−∇2 − 2 ∇2 ψ = −KL
K
ρ0 K 2 ∂ x 2

g ∂ ρ∗′
ρ0 ∂ x∗∇2 ∇2 ψ = −R∂ 2gg ∂ ρ∗′∇∗ ψ∗ = ∇2∗ ψ∗ −∂ t∗
K
ρ0 ∂ x∗(∂g−∂ t∗ K)∇2∗ ψ∗ = −R=g ∂ ρ∗′
ρ0 ∂ x∗(5)(∂− κ ∇2∗
∂ t∗

を得る．

)(

g
∂
−
∂ t∗ K)

ここで，R はレーリー数と呼ばれる無次元量である．

g ∂ ρ∗′−
ρ0 ∂ x∗ψ = Φ(z) sin(kx))(6)

gΓ ∂ 2 ψ∗∇2∗ ψ∗ = −ρ0 ∂ x∗2(11)

ここで k は x 方向の（無次元化された）波数である（k∗ = k/L）
．波数とは，単位長さあたりの波の個数を 2π倍したものである．次に，波数 k∗ とフィンガーの本数の間に次式が成り立つと仮定する．

となり，式（6）に式（5）を代入して整理すると，

(

(10)

関数を用いることにする．

(
)
(
)(
)
g ∂ ρ∗′
g ∂
∂ ψ∗
−
+Γ −
−
ρ0 ∂ x∗ρ0 ∂ x∗∂ x∗= κ ∇2∗KΓL2
κρ0

流れ模様が水平方向に繰り返すことから，次式の流れ式（3）を x∗ で偏微分すると，

∂
∂ t∗

∂ 2ψ
∂ x2

本数 = 0.14

(7)

k∗
2π

ここで 0.14 は実験装置の横の長さ（m）である．

(12)

土壌の物理性

14

第 137 号(2017)（13）より，

200

2

R=

150

(k2 + π 2 )
k2

(14)

である（Fig. 1 の曲線 1）．
流れが全領域（L = 6 cm）で生じている場合は，上R 100側の境界条件は du/dz = 0, w = 0，下側の境界条件は

u = w = 0 である．この場合，

1 2

50

Φ(z) = B0 sin(q0 z) + B1 sinh(q1 z)

(15)

0
0

3

6

9

12

15

とおける． B0 、B1 ，q0 ，q1 は定数である．式（15）はk

z = 0 で上側の境界条件を満たしている．また，z = 1
か −1 で下側の境界条件を満たすように B0 ，B1 ，q0 ，q1を決定できる（例えば，k = 3.95，R = 53.4，q0 = 3.64，
q1 = 6.67，B1 /B0 = 0.00115）．このときの k と R の関係
は，式（10），（11），（15）より，Fig. 1 波数 k とレーリー数 R の関係．1 が両側自由端の場合（式（14））．2 が自由端–固定端の場合（式（16））．
Relationship between the wave number (k) and the Rayleighnumber (R). Curve 1 shows the two free boundaries. Curve 2
shows one rigid and one free boundary.

q1 sin q0 cosh q1 − q0 cos q0 sinh q1 = 0

方程式（10）と境界条件を満たす解の中で，式（11）で表されるものを見つけることができれば，k と R の関係√
q0 = k τ − 1,が得られる．R の中に密度差が含まれ， k∗ とフィンガー

√
R
τ=
k

の本数が式（12）によって関係づけられている．これらにより，密度差とフィンガーの本数の関係が得られる．
密度勾配の存在範囲 L は，実験開始時はほぼゼロであり，時間とともに増加する．そこで，フィンガーをある(16)である（Fig.1 の曲線 2）．

L における対流の定常解で近似的に表すことを考える．
例えば L < 6 cm では，流れが生じている層の上下に流れ以上の結果を用いて，フィンガーの本数について 3 つの予測を立てた（Table 1）．1 つ目は，臨界点（dR/dk = 0の生じていない層が存在することになる．これを近似的の点）における波数がフィンガーの本数になるというもに表す定常解では，2 層の境界で流体は z 方向には運動のである．式（14）より，臨界点では R = 4π 2 ，k = π でできないが，水平方向には運動できると想定できる．こある．2 つ目と 3 つ目は，ある L に対する波数がフィの条件を式で書くと，境界において du/dz = 0，w = 0 でンガーの本数になるというものである．フィンガーの本ある．ここで，u と w はそれぞれ x 方向と z 方向の無次数を数えた時のフィンガーの移動距離は少なくとも半元化された流速である（u∗ = Ku，w∗ = Kw）．次の関数，

Φ(z) = A sin(π z)√q1 = k τ + 1

分（1.5 cm）程度〜最大（3 cm）であることから，フィンガーが上下へ移動することを考えて，ここでは L を 3(13)cm と 6 cm とした．このとき R は臨界点を超えているため， k には 2 つの解が存在する（Fig. 1）．2 つの解のは z = 0, 1 で du/dz = 0，w = 0 を満たしている． A は定間に存在する波数の撹乱は発達すると考えられる（木村，数である．このときの k と R の関係は，式（10）
，
（11）
，

1983）．したがって予測値はある範囲で与えられる．

Table 1 フィンガーの本数の予測値と測定値．
Predicted and measured value for the number of fingers.
予測値①

予測値②

∆ρ

L

R

本数

L

R

kg m−3mm–

本 /14cm

mm

10

20

4π 2

4

本数

予測値③

測定値

L

R

本数

本数

– 本 /14cmmm–

本 /14cm

本 /14cm

30

60

1– 5

60

120

1– 4

6– 8

50

4

4π 2

18

30

300

0–12

60

600

0– 9

12–15

100

2

4π 2

35

30

600

0–18

60

1200

0–13

16–18

150

1

4π 2

53

30

900

0–22

60

1800

0–16

17–20

論文：土壌中の不安定な密度勾配から生じる対流の模擬実験に対する線形安定解析

a)

d)

b)

e)

c)

f)

Fig. 2 フィンガーの発達（上側の溶液密度が 1010 kg m−3 の場合）．（a-f）実験開始時，1，2，3，4，5 時間後．
Development of fingers in the upper layer of a 1010-kg m−3 solution. (a-f) Elapsed times are 0, 1, 2, 3, 4, 5 hours.

a)

d)

b)

e)

c)

f)

Fig. 3 フィンガーの発達（上側の溶液密度が 1100 kg m−3 の場合）．（a-f）実験開始時，4，8，12，16，20 分後．
Development of fingers in the upper layer of a 1100-kg m−3 solution. (a-f) Elapsed times are 0, 4, 8, 12, 16, 20
minutes.

15

土壌の物理性

16

ᘧ 18

10
8
6
4
2
0
1000

1050

1100

10

5

ୖഃ╔Ⰽࡢሙྜ
ୗഃ╔Ⰽࡢሙྜ

1050

1100

1150

ୖഃ⁐ᾮᐦᗘ㸦kg m 㸧-3Fig. 4 上側溶液密度とフィンガーの移動速度の関係．
Relationship between solution density and speed of the fingers
in the upper layer.

最後に，フィンガーの移動速度を予測する式を，定常状態の w∗ から求める．式（2）で ∂ /∂ t∗ = 0 とすると，Fig. 5 上側溶液密度とフィンガーの本数の関係．
Relationship between solution density and the number of fingers
in the upper layer.

れが拡散ではなく，密度勾配に起因して生じた下向きの流れであるのは明らかである．

Fig. 3 は上側の溶液密度を 1100 kg m−3 とした場合の結果である．各写真の時間間隔は 4 分である．Fig. 3a はgρ ′g
0 = − ∗ + w∗
ρ0
K

ρ∗′

15

0
1000

1150

ୖഃ⁐ᾮᐦᗘ㸦kg m-3㸧w∗ = K(2017)

20ୖഃ╔Ⰽࡢሙྜ
ୗഃ╔Ⰽࡢሙྜ

ࣇ࢕࣮ࣥ࢞ᮏᩘ㸦ᮏ /14 cm㸧ᖹᆒ⛣ື㏿ᗘ㸦cm h-1㸧12

第 137 号開始時としているが，すでに密度界面に揺らぎが認められる．これは試料の作成中に変化が生じたことを示して

(17)

ρ0

いる．Fig. 2 との違いは，移動速度が大きくなっている
こと，そして，フィンガーが細くなっていることである．

となる．ρ∗′ の大きさは線形安定論では求めることができない（木村，1983）．そこで，実験条件の中から代わりにが，上側溶液を着色した場合の結果と大きく違わなかっ密度差 ∆ρ を用いる．これより，移動速度 = K

Fig. 4 は上側溶液密度とフィンガーの移動速度の関係である．下側溶液を着色した場合の結果を▲で示した
た．これにより，下向きの流れと同様の上向きの流れが

∆ρ
ρ0

(18)

あることが確認できた．ある程度のばらつきが認められるが，移動速度と上側溶液密度には線形な関係がある．

Fig. 4 の直線は式（18）を示したものである．予測値とした． Post and Kooi（2003）と Xie et al.（2011）は，と測定値はよく一致している．これより，本実験におけ

数値計算結果から評価したフィンガーの移動速度と式るフィンガーの移動速度は，式（18）で与えられること（18）から計算した移動速度を比較している．このとき，が分かった．3 章で述べたように，Post and Kooi（2003）と Xie et al.（2011）は数値計算の結果から，フィンガーρ0 は計算領域全体の初期溶液密度（1000 kg m−3 ），∆ρは上側境界条件の溶液密度（1025 と 1200 kg m−3 ）と ρ0の移動速度は密度差に比例するが，式（18）より定数倍の差として与えられている．その結果は，数値計算から（0.115 と 0.22）だけ小さいと報告した．これらは今回得得た移動速度は式（18）で得られる値より定数倍（0.115

た結果と異なる．その理由として，本実験系では，上半と 0.22）だけ小さいというものである．

分に高密度の溶液が十分な量存在し，密度差を維持できたためと考えられる．

4. 結果と考察

Fig. 5 は上側溶液密度とフィンガーの本数の関係を示したものである．上下の着色による（●と▲の）違いはFig. 2 は，上側の溶液密度を 1010 kg m−3 とした場合の，実験開始から 1 時間ごとの容器側面を写したものである．黒線は 1 cm 間隔で引かれている．数字の 6 が試料の表面で，0 が試料の底面である．開始時は上側 3 cmが青い状態である（Fig. 2a）．1 時間後には密度界面が波打っている（2b）．その後，振幅が拡大するように下降するフィンガーが形成され（2c ∼ 2e），約 5 時間で底部まで到達した（2f）．移動速度や模様の形成から考えて，こ認められない．密度差の増加とともに，フィンガーの本数は増えた．値にばらつきがあるものの，両者の関係は非線形的である．

Table 1 の右端の列にフィンガーの本数の測定値を示した．臨界点を用いた予測値①は密度差が 10，50 kg m−3のとき，測定値とある程度一致しているが，密度差が大きくなると外れている．臨界点の波数は L に反比例する（k∗ = k/L = π /L）が，レーリー数の定義（式（10））よ論文：土壌中の不安定な密度勾配から生じる対流の模擬実験に対する線形安定解析

17

り，ΓL2 = (∆ρ /L)L2 = ∆ρ L で一定となり，臨界点にお木村竜治 (1983): 地球流体力学入門 — 大気と海洋の流れのしく

ける L は密度差に反比例する．したがって臨界点では波み —, pp. 123-144. 東京堂出版, 東京.
Lapwood, E.R. (1948): Convection of a fluid in a porous medium.

数 k∗ は密度差 ∆ρ に比例する．これは実験結果の非線形性を説明できていない．一方で，L を 3 cm と 6 cm とした場合の予測値②と③の中の最大値は，実験結果の非線形性をよく表している．
以上の結果から，フィンガーの移動を L が増加する対流現象として解釈できると考えられる．フィンガーの本
数について，予測範囲の最大値が測定値と対応する理由として，臨界点における初期値に依存している可能性がある．しかし，この考えに従えば，例えば密度差 100 kg

m−3 のフィンガーの本数は Table 1 より 35 本から 13 本まで減少したことになるが，その傾向は観察からは明確には読み取れなかった（Fig. 3）．フィンガーの観察結果だけでこれ以上議論を進めるのは難しい．解析を進める
ためには，溶液密度の空間分布とその時間変化などの測定値が必要である．

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Simmons, C.T. Narayan, K.A. and Wooding, R.A. (1999): On atest case for density-dependent groundwater flow and solute

5. 結論

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Tan, K.-K., Sam, T. and Jamaludin, H. (2003): The onset of tran-

本研究で調べたのは，重い流体が軽い流体の上に同じ厚みだけ存在する 2 次元の系である．この系では，密度界面が揺らぎ，フィンガーが生じる．フィンガーの移動
速度は，上側溶液と下側溶液の密度差 / 下側溶液密度

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土壌の物理性要第 137 号(2017)

旨

土壌中において溶液の上部が高密度になると，不安定な層が形成され対流が生じる場合がある．しかし，支配方程式の難解さのため，流れ模様の理論的な理解は限定的である．そこで，対流を発生させる比較的単純な実験を考案し，線形安定論の適用を試みた．6×14×1 cm の直方体容器に粒径 0.2 mm のガラ
スビーズを充填した．そして，下側半分を水で飽和し，上側半分を所定の密度に調整した NaCl 溶液で飽和した．その結果，密度界面が揺らぎフィンガーが発生した．フィンガーの平均移動速度は線形安定論の予測（飽和透水係数×溶液密度差 / 下側溶液密度）と一致した．また，フィンガーの本数は溶液密度差と非線形な関係を示した．密度界面からフィンガー先端までの距離の 2 倍で密度勾配の範囲を表したとき，対流の定常解の波数のうち大きい方がフィンガーの本数に対応することが明らかになった．
キーワード：ガラスビーズ，密度流，可視化，線形安定論，フィンガー