物理学と数学■■

九後汰一郎<京都大学理学部物理学教室606京都市左京区北白川追分町〉

１．

－昔前までは，素粒子論の分野に於いて，例外群など全くお目にかからなかったし，それらについて知っている人
はごく少数の数学好きのみであったろう．しかし，７０年代の後半頃から，強・弱・電磁相互作用統一理論のゲージ群

Giirseyらは,クォーク閉じ込めとからめて，カラーＳＵ(3)．
対称性を８元数(octonion)の自己同型群Ｇ２の部分群として理解したいという動機からＥｐＳＵ(3)×Ｗ(3)ｘＳＵ(3)に着目し，ｓｏ(10)の更なる拡張ゲージ群として初めて例
外群Ｅ`を考察した.3）

としてＳＵ(5),')ｓｏ(10)2)に続いて例外群Ｅ`])の可能性が一方，これとは別の流れとして，クォーク・レプトンを真剣に検討されたり，極大(Ⅳ＝8)超重力理論が非コンパ

準南部-ゴールドストーン(Nambu-Goldstone:ＮＧ）フェクト例外群Ｅ７(+7)の対称性を持つ事が発見される4)など，
少し事情が異なってきた．更に最近では，超対称弦理論の展開の中で，例外群中最大のＥ８がselfLdualrootlatticeを持つ（E8の単純根の張る８次元格子空間がその逆格子空間と同型である）という顕著な性質に基づいて，混成弦(heteroticstring)の理論5)が構成されるなど，ますます例
外群が重要になりつつある．

何故，例外群（特にＥ系列のＥ`,Ｅ7,Ｅ８）が素粒子論に関係してくるのか？多分深淵な理由があるのであろうが，残念ながら筆者には良くわからない．ただ，統一理論に関連した所で例外群がどう関係してくるかについて少し説明しておきたい．

先ず，我々の世界にはクォーク・レプトンが３世代分存在して，各世代は質量が異なるのみで他は全く同じ性質の次の構成要素から成ることを思い出そう：各世代で，ｉ）ク
ォークは，その左手型・右手型ワイル(Weyl)成分両方に
対し，ｕｐおよびdownの２成分があり，それらがそれぞ

れ３色のカラー自由度を持つから，ワイル成分の個数で数えて，２×2×3＝１２個存在する．ｉｉ）レプトンは，左手型・右手型両成分を持つ荷電レプトンと，左手型成分のみのニュートリノから成るから，２＋1＝３個ワイル成分がある．

これら(－世代当り）都合15個のワイル成分は,強い相互作
用のカラーＳＵ(3).，弱い相互作用のＳＵ(2)w，電磁相互作用Ｕ(1)EM，の三つの対称性を統一したGeorgi-GlashawI）のＳＵ(5)対称性の下で，５*次元表現と10次元表現に同定される．更にこの可約表現5*＋１０を－つの既約表現にしたいという要求から，極めて重い“ニュートリノ”を－つ付け加えて16次元表現とし，これをｓｏ(10)のスピノール
表現と同定するのがｓｏ(10)大統一理論（GUT）である.2）

ルミオンとする考え方がある.`）すなわち，ある物理系の群Ｇの（大局的）対称性が部分群Ｈに自発的に破れる際，零質量のいわゆるＮＧポソンが商空間Ｇ脇の次元と同じ数だけ現れるという定理があるが，もし系に更に超対称性(supersymmetry)があれば，これらＮＧポソンの各々に必ず零質量フェルミオンの相棒が存在せねばならず，これを準ＮＧフェルミオンと呼ぶ。一般に，ＮＧポソンや準ＮＧ
フェルミオンは結合状態として供給されるので，クォー

ク・レプトンを準ＮＧフェルミオンと考える立場は，クォーク・レプトンが更に基本的な粒子の結合状態と考える

複合模型の立場の一つである．そこで，例えばＧﾉH＝E7／
SU(5)×SU(3)×Ｕ(1)を考えれば，この場合のＮＧポソン，

従って準ＮＧフェルミオンは，Ｈの中のＳＵ(5)の表現で言って(5*＋10)表現が３組(1)と５表現が－つ現れる.7）
前者は，まさに，クォーク・レプトンの３世代分とぴったりなのである．しかも，これらのＮＧポソン・準ＮＧフェルミオンの相互作用Lagrangianは，商空間ＧﾉＨがケーラー(Kamer)多様体の場合一意的に決定されるのである．
興味ある読者は文献8～１０を見られたい．

この稿の目的は，多分一般の物理の読者には未だ馴染みのない，この様な例外群およびその表現を解説することである．数学を良く知っている人ならば，恐らく８元数上の3×３ジョルダン(Jordan)行列などを用いて例外群の美しい構造を手際よく紹介してくれるのだろう'１)けれど，ここでは，非常に散文的に，例外群とその表現の陽な構成法を紹介することにする．一言で言えば，例外群の極大部分群
として我々（物理屋）の良く知っている古典群となるものを一つ選び，その古典極大部分群の表現を利用して例外群の構造を見，表現を作るという方法である．（こういう安BOOH00UOOuOl00Do800uooOOoOoUOOODoOOoIoooOOOOOuOOOOoUOooooooOoOOUoooDoo80I0BooOoOOOOUuoooo880BoooooooOOooOooOoOoIOoOoOO000000uuoOOooooooIOoOOO9000000cIOooOoIoooOoIOOOOIOOOOOOOOu8000000IOOOOOOOOIo8IOOIOOOooooooOoOotOOOO8000uuOoOOooooOO8uOOOOBOOOoO8000Ioooo,0800809800,0000000ooOoooOoooOOOOOOOOODBuoOOoooooUOOoOoOOoOuO00OuoOIUoo600000BMoIoOoOoIOoooooooooooOOO／

9勿理学と数学Ｌｉｃ群の表現（例外群）

513

イ

直かつ実践的な話なので，実は，ここ以降は数学の人には読んで欲しくない.）

５節がこの稿の本題であるが，リー群に関する術語や基α＝(α,,α2,…,α,)に対応する生成子Ｘを風と記す：（３）［ＨＥα]＝αＥα、本的概念のおさらいを２，３，４節で行う．それらを周知のＨをhermiteにとっておくと固有値αは実であり，α(≠O)はＧの鴎以外の生成子を一意的にラベルする．この〃読者は５節のみをお読み頂きたい．

の固有値α(≠O）このとを群Ｇの根(roots）と呼ぶ．(3)式

2．リー(me)群（リー代数）の根と単純根
一般のり－群に関する基本的な数学の術語は最近では物理の文献にも現れるので，その便宜も考えて先ずそれらの簡単な定義から始めよう.'２１わかり易いように良く知っている３次元空間回転群SO(3)二sU(2)の場合を対照しながら述べる．

空間回転ｓｏ(3)の元は，１，２，３軸まわりの無限小回転の生成子(角運動量演算子)人ＪＭを用いてexp(i昌βiJl）
で与えられた．Ｊｉは交換関係[JbJl]＝iG〃kJkを満たし，その線形結合の元Ｘ=8,Ji全体は，交換関係[ＸＹ]を掛算として代数（algebra又は環）を成す．一般のLie群Ｇの場合も同様で，Ｇの元ｇＥＧは（少くとも単位元近傍では)，いくつかの独立な生成子(generators）Ｘｉ，Ｘｈ,…，XHjを用ｄ

いてg=exp(i昌OixDと表され,ｘ'は，［期Ｘ]＝Ｗｘｈ（１）の形の交換関係を満たす．独立な生成子ｘｉ(i＝1,...,．)ののhermite共役をとれば，［ＨＥ１]＝－αEIIが従うからＥＩＩ
は根一αに対応する生成子Ｅ_αである．生成子の規格化を，
Ｎをある定数として＊

ｔｒ(Hh島)＝lV6v，ｔｒ(EllEb)＝lVLβ（４）で行えば，任意の且とＥ_α＝E1に対し，［凪,Ｅ_α]＝ａＨ（５）が従う事は，［Eα,Ｅ_α］がＨ固有値０の量である事から容易にわかる．他の交換子[Eb,Ｅｂ］も，α＋βがＧの根でなければ零，根であればＥα+βに比例し，比例係数は(4)の規格化条件やヤコピ(Jacobi)恒等式[｡,[B,ｑ]＋cyclic＝Ｏを使って決められる．(3)～(5)で与えた厚の基底(HhEaE-｡)を力ルタンーワイル基底と呼ぶ．［so(3)の例では，Ｊ士＝(Ｊｉ±iJh)/,/~ずとすれば，［J2,Ｊ±］＝±ムだから，根は±１で，Ｈ＝妬,Ｅ+,＝J+,Ｅ-,＝ＪＬが力ルタンーワイル

基底を与える.］結局，Ｇの根全体{α｝がわかれば，Ｇの生成子全体＝力ルタンーワイル基底(ＨｂＥａ,Ｅ_α)が対応
し，その代数が一意的に求まることになる．

個数ｄを群Ｇの次元ｄｉｍＧと呼び，Ｘｌの線形結合の成す

７次元ベクトルＵ＝(2ﾉ,川,…,ＤＪに対し，その成分を〃，代数をリー群Ｇのリー代数夢と呼ぶ．［この稿では群の大からD,迄Ⅱ頂に見て行った時，初めての零でない成分が正局的構造には触れないので，群Ｇの表現と代数夢の表現

ならＵ＞０，負ならＵ＜Ｏと記す．またＵ－ｗ＞ｏならＵはｗを区別しないことにする.］より大きいと言う．Ｇの根αのうち，α＞Ｏのものを正根

ｄｉｍＧ個の生成干潟のうち，互いに可換な（それ故同時(positiveroots),α＜Ｏのものを負根と呼ぶ．（Ｇの負根は，対角可能な)最大の組が７個の生成子(Hi,Ｈ２,…,且)で与正根と１対１対応しており，全て正根の逆符号で与えられえられる時，ｒを群Ｇの階数(rankG)と呼び，線形結合

る.）全てのＧの正根の中で，他の正根の和では決して書「

三OiHiの元の成す代数を夢のカルタン(Cartan)部分代数

けないものを単純根(simpleroots）と定義する．この定義

Jｒ（対応する群をカルタン部分群または極大輪環群）とから直ちに，Ｇが半単純群（semi-simplegroup:Ｕ(1)不変呼ぶ．［SO(3)の例だと，階数は'－１で，例えばJ§がカ部分群を含まない群）の場合，次の事が従う.'2）

ルタン部分代数の生成子.］Ｈ＝(Hi,Ｒｂ,…，印は同時対角可能な演算子の最大の組であるから，Ｇの任意の既約表

現Ｒに属するベクトルの基底は，Ｈの固有値〃＝OzI，ノリ２，…,似,)で一意的にラベルされる；
Ｈい〉＝〃|ノリ〉．（２）ｉ）単純根は，バーrankG)個存在し互いに独立である．
これをαi(j＝1,2,…Dと記す．

ｉｉ）任意の正根α＞Ｏは，この単純根αiを用いて「

α=三"'α'("'は金工非負の整数）（６）の形に書ける．

(1)の交換関係により，代数彦自身Ｇの一つの表現（随伴表現と呼ぶ）の線形空間と見微せるから，厚の基底＝独立な生成子も皆Ｈの同時固有ベクトルにとる事ができる．可換性によりＨｌｅ〃は全て零固有値を持つ；［ＨＨｎ＝0.凪
以外の独立な生成子は皆零でない固有値を持ち，固有値*(4)式でのＨ１やＥｂはある（任意の忠実な）表現での表現行列と解する．
Ｈの固有値の異なる生成子は勿論直交する事に注意．

0000uoououououIoouuuDIouoouooouoooooouuoooooBoooooBuoooooooBooOoIoIOooooooIooooMⅡ000000ⅡIO800IOOOOoooⅡIOoOBIIIIOOOOOOIOOuⅡ0000100000OoOoOIoDoIOOIooOOoIuoIoooooooIⅡ0000000008IooIoIOIOOOoIoUoIO10IIoOIIOoOOⅡuoOoIoOoooⅢ0000000Ⅱ000000000IoIooooooⅡIIooooooIoIIuooIOoIOoOOOOuOuIooIooIooouoooooooooIoooIoooooOMoOoooOllloooOuoooDnoooIooIoooouoIooIoooooO00

59‘日本物理学会誌Ｖｏｌ.“,No.8,1189

3．単純群のデインキン(DynlKin)図，既約表現

表１

の基本系
群Ｇは，非自明な不変部分群Ｈ（Ｈ≠Ｇ（１）でＶｇｅＧに対しgHg-lcHとなるもの）を含まない時，単純群と呼ばれる．以後，単純リー群Ｇに話を限る．

p＝Ｏ(p'＝O）
p＝１⑫'＝1）

今，Ｇの任意の既約表現Ｒに於いて，その表現空間ｙの中のあるＨ固有ベクトル(2)，Ｈ|ﾉu>＝Julﾉ(z>，を持ってこよう．一般に数学ではこの固有値〃のことを，表現Ｒの重み(weights）と呼ぶ．（随伴表現の場合の零以外の重みを特に根と呼んでいる訳である.）このベクトル|ノリ〉に対し，Ｇの任意の一つの正根α(単純根でなくてよい）に対応す

る生成子Ｅα，およびそのhcrmite共役Ｅ１＝E_α，を繰り返

p＝２(p'＝1）
p＝３(p'＝1）

酢
ゾー丁|α|＝β２αβ/|α'2＝－(p－９）（14）

し演算すれば次の系列が得られる：なる関係式が，任意の２根α，βに対して得られることに仏〕蓋|:二)二|:二:)=二＝|:土::！=；

なる．殊に，α,βが単純根の場合には，β－αは根ではな（７）い（(6)に注意!）から，９＝Ｏであり－２αβ/|α'2＝ｐ（p:非負の整数）‐（15）となる．同様に－２β･α/|β'2＝p’も成立つから

α･β/|αⅡβ|＝－，/ｱｱﾌﾉ２，｜β|/|α|＝p/p'（16）を得る．これより，任意の二つの単純根α,β(≠α)のなす

ぃ+偽の薑|鰍|h》'二とi亘二且川⑧

角度cosO＝αβ/|α||β|と長さの関係は，表１に示した４(3)の交換関係により，Ｅ・(ＥＩＩ＝Ｅ_｡）はＨの固有値をα通りの場合（またはα←，βを入れ換えた場合）しか無い事だけ上げる（下げる）演算子であるから，(8)の胆＋ＩＣα＞がわかる．この関係は，表１の最後の欄に示した様に，単は〃の固有値が〃＋肱の固有状態である：

純根に白丸を対応させ，その間をｐ本の線でつなぐ，といＨ|〃十Aα>=(｣u+肱山+ACα>,-9≦ＩＣ≦〃.（９）う約束で図示できる．これをDynkinの記号と言う．

この系列は，(7)に示した様に両端で切れねばならない；
すなわち，ヨp,ヨ９(非負の整数）でＥ北＋pα>＝０，Ｅルー9α>＝０（10）呼ぶ．いくらかの考察の後，単純群のディンキン図は，図となる．何故なら，交換関係(3),（５）より

１（で２重丸◎とそれから出る線を除いた図）に示した形

Ｌ＝α･Ｈ/|α'２，Ｊ+＝Ｅα/|α|，Ｌ＝Ｅ_α/|α’（11）がｓｏ(3)角運動量代数を満たす事がわかり，(7)の系列ののものしか無い事がわかる.'2）初めの四つのタイプＡ"，B"，Ｑ,、蝿は，群Ｇの階数r＝〃が任意の値をとれる｡｡個ベクトル｛'’十kα>｝はその既約表現を与え，ｓｏ(3)の任のシリーズで，古典群の特殊ユニタリ群SU("＋1)，固有意の（ユニタリ）既約表現は有限次元でなければならない

直交群ｓｏ(2"＋1)，ユニタリ・シンプレクティック群からである．ｓｏ(3)の既約表現の最大・最小固有値は±ノ

Sp(")＝USp(2"),および（固有）直交群ＳＯ(2")にそれぞ(ｊ整数又は半整数）でなければならないから，ＪＷｚ＋kα〉＝α･仏＋肱)/|α'21ノリ＋ＩＣα〉に注意して，（７）よりれ対応する．他の五つＥ`,Ｅ7,Ｅ8,Ｆ4,Ｇ２（添字は階数）が，

聖|言晉2Ｌ+ji型|差T募り--'（'2）
が従う．両式を辺々加えて

２ＧＭ/|α'2＝－(p－９）（ﾖp,ﾖ9:非負の整数）（13）を得る．これは任意の表現の重み〃が，任意のＧの正根αに対して満たさねばならない条件式である．
特に，随伴表現を考え，｜ノリ〉として母を採れば，群ＧのパーrankG)個の単純根α,，α2,...,α｢の間の全ての関係をDynkinの記号で表したものをディンキン図と本稿の目的である例外群である．

図１には，単純根（1重丸）以外に，群Ｇの最高の根０(随伴表現中の最大のＨ固有値）の逆符号のもの－０（すなわち最低の根）を２重丸◎で示し，他の単純根との関係をDynkin記号を準用して示してある．この２重丸まで含めた図形を拡大ディンキン図と呼ぶ．

ある既約表現Ｒの重み（Ｈ固有値）のうち最大のものを，Ｒの最高の重み(highestweight）と呼ぶ，最高の重み〃がIo6000Do80000000000000008000IoooooooDooIoOooooIuooIoooBoI800000600000000uOouBuooOoooDOoOOoOOoooooooIooIooooIIoouoIOOOoOOI80000uⅡ000000IouOIoUOOIooIOoOo10080uoOooooⅡ00DoooOooOooIOooooOooooooooDooOoOoOIooIooooooIoooIOOOoooOoOooIoOoooooIoooOoOoIoOOoDIoooooooooooooIuooOoooooOoooooOIoooIooo10000EooooDoooIoIuIoluDoooOoIooOoOoIOooOIIoI6000IIoooIooooooooIIoooIo

物理学と数学Lie群の表現（例外群）５９５

Ｅ６A"[ＳＵ("＋１)］

B,z[ＳＯ(2"＋l)］

ロー〔￣Ｃ

Ｑ－Ｏ－Ｔ

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デー黙:Ⅲ

０８

Ｇ２
１２

○一一C￣;○

図１単純群の拡大ディンキン図（太線部はデインキン図)．

る：ＳＵ(")＝Ａ"-,の場合，ディンキン・ラベル(1,0,...,

与えられると，その状態牌>(highestweightstate）

Ｈ|ﾉu>＝ｌｕｌａ>，Ｖ正根αに対しEtJu>＝0，（17）に対し次々降演算子（loweringoperators:負根一α＜Ｏに対応する任意の生成子）Ｅ_｡＝E1を掛けてゆけば，その既約表現Ｒに属する全ての状態が得られるから，既約表現Ｒはその最高の重み〃で一意的に指定することが出来る．
最高の重み〃は，（10),（17)よりｐ＝Ｏであるから，（13）式により２α〃/|α１２＝ﾖｇの条件を任意の正根αに対して満たさねばならない．これは，Ｇの７個の単純根αj(ノー１，…,刀に対して０町"/lajl2＝9！（9i:非負の整数）（18）の条件と等価で,逆に，（18)の７個の非負整数の組(91,92,…，９Ｊにより最高の重み〃を指定する事ができる．実際，
単純根{αi｝はァ次元ベクトル空間の完全系を張るから，それに対して２α,．"ﾉ/|α''2＝6〃（19）の意味で双対な基底仏,,〃2,…,〃Ｊが一意的に定まり，(18)を満たす最高の重み〃はこの基底〃,を用いて
餌＝９１〃1＋q2Ju2＋・・・＋9,1m「（20）と表される．よって，（91,92,…,９Ｊで最高の重み〃が与えられ，Ｇの既約表現Ｒが指定できる．この７個の非負整数の組(91,92,…，９Ｊを既約表現Ｒのデインキン・ラベ
ルと呼ぶ．（19）のベクトル仏を最高の重みとする既約表
現Ｒ,（i＝lb2,…，,）［ディンキン・ラベルが(0,0,…，１，

０，…,Ｏ)の形のもの］をＧの既約表現の基本系，又は単に基本表現（filndamentalrepresentations),β,を基本の重み(fimdamentalweights）と呼ぶ．それは(20)式により，一0）［最高の重み此］の既約表現Ｒｌは，良く知られた〃成
分(複素)ベクトルｊｉ（ノー１，２，…仰上の(定義表現とも呼ばれる）表現で，ディンキン・ラベル(0,0,…,１，０，．．．，

０)[最高の重み叩の既約表現Ｒｊは,ノ階完全反対称（複素)テンソル‘[伽､…刎上の表現である．ｓｏ(2")＝Ｄ風の時は，（1,0,…,Ｏ）い,］の既約表現Ｒｌは，212成分実ベク
トルｘ`(ノー1,2,…，２")上の表現であり，（0,1,0,…,Ｏ）
砂2]から(0,0,…，1,0,0)nom-2］迄の既約表現Ｒｊ(Z≦ノ≦"－２）は，ノ階完全反対称実テンソルｘ['１画…ijd上の表現である．（0,…,0,1,0)、Z風-,]および(0,…,０，１）Ｌ]は，
Ⅲわゆる（カイラル）スピノール表現である．

4．既約表現の構成法，次元，テンソル積，
分岐則
単純群Ｇのディンキン図が与えられれば，その「個の単純根(α,,α2,…，αＪの間の“内積''２α１．αﾉ/lajl2が決まり，(6)の形をしている他の全ての正根{α｝を(14)の関係式
および(7)を考慮して求める事ができる．［例えば，－２α，.α2/|α,'2＝〃ならば，（14）よりｐ＝"’９＝0（単純根の差ａ２－ａ１は根でないから９＝O）がわかり，(7)より，α2＋ACα，(AC＝1,2,…，〃)が正根である事がわかる．求まった正根αに対して，更に“内積”－２α,．α／lajl2＝ｐ－９を計算し，次々に別の正根α＋Ａｃａｊ(－９≦AC≦p）を求めてゆく．'2）
デインキン･ラベル(91,92,…，９Ｊの既約表現Ｒに属する全ての状態も，原理的には，最高の重み〃＝z9Uuiの状態|,u>から出発して，次々と降演算子EL=E-a‘（α'は般の〃を最高の重みとする既約表現Ｒが，各基本表現Ｒ，単純根のみで充分）を演算し，（13）の関係式および(7)を９，重用いたテンソル積表現で作れることが,わかるからを考慮して求めてゆくことができる．また，二つの既約表である．

我々に馴染みの古典群で，既約表現の基本系を例示す

現Ｒ1,Ｒ２のテンソル積Ｒ,×Ｒ２をｂ既約表現の直和に分解
すること

０uOooOu8uooIoOODoBooooooooooooooooooouoOBo8u8000000uooOoOO80000008IOOOoUlOoDOOooIoooooooouoooOuooOooo880UuOUoOIOOIOOOOIOOoIOOOOOmDIUOoOlOootoooooooooooOoOOOOOOoI800000000IIoIOOOOIOOIOoOOOOOluIOoOOooooIOIOOIIoIUoooOoUOOou100000IIOOOuoIoOOlIUooOoIOolIOIOOOooOIOOOooooIOooDoooooooooIIIoooOOIuoOOoOOooouoIoouoooOoOIoOuooOooOOooOouoOⅡ0000000000000000BoIIoolDOO

5％

日本物理学会誌ＶＯＬ44,Ｎ0.8,1989

表２Ｆ4,Ｅ３の既約表現の次元とテンソル積既約分解の例．

表４例外群の正則極大部分群．

Ｅ６ｘＵ(1),so(12)×SU(2),ＳＵ(6)×SU(3),[SU(4)]2×SU(2),ＳＵ(8)Ｅ７×SU(2),Ｅ`×SU(3),ｓｏ(10)xSU(4),［SU(5)]２，
ｓＵ(6)×ＳＵ(3)×SU(2),ＳＵ(8)×ＳＵ(2),so(16),ＳＵ(9)ＨｌｑＲ,×Ｒ２＝二Ｒｊ（21）

二:E三鵜i,害器,祠,=両､＝
四一四

１１'１蕊ijlijHi

表３Ｐｂ,Ｅ８の部分群so(9),ＳＵ(9)による分岐則の例．

SU(2)×USp(6),［SU(3)]2,sU(4)×SU(2),ｓｏ(9)[SU(2)]2,ｓU(3)も，角運動量合成則の時と同様に次の様にやれる：Ｒ,,Ｒ２の重み全体を仏(1)}，他(2)｝とすれば，テンソル積空間Ｒｌ
×Ｒ２の重みはい(1)＋〃(2)}であり，その中で最高の重みをらして，ベクトルや既約テンソルで容易に表現することが採り，それに対応する既約表現に属する重み全体を上の方できたし，物理でも主にその方法が採られてきた．

１１法で見付け，それらを仏(,)＋〃(2)}から除く．次に残った

例外群の代数を陽に求めるには，その正則極大部分群

重みの組から最高の重みを採り出し，再びそれに対応する(regularmaximalsubgroup)で古典群になるものを見つけ，既約表現の重み全体を更に除く，等々・同様な方法で，Ｇそれに基づいて生成子を分類するのが多分最も簡単である．

の一つの既約表現Ｒを，Ｇのある部分群Ｈの既約表現

群Ｇの正則極大部分群というのは，Ｇの極大部分群（それを含む群がＧ以外にないもの）で，階数がＧと同じｒのもＲｌＨ)に直和分解すること
Ｒ＝ＺＲ⑪
ｉ』

（22）

もできる．（22)は分岐ﾛﾘ(branchingrule)と呼ばれる．
これらは，しかし，原理的な話で，実際にはもっと要領の良い方法が知られている．例えば，〃を最高の重みとす

る既約表現の次元dOZ）は，次の有名なWeylの公式､」

ｄ仏)＝Ⅱ122±ごＬ２Ｌに正根６．α（23）で容易に求まる．ただし６は（19）の基本の重み〃,の和の（従ってカルタン部分群を共有するもの）である．これは一意的ではないが，次の様な簡単な求め方が知られている：

拡大ディンキン図Ｄから任意に（２重丸以外の）一つの頂点α,を取り除いた図（D/α'と呼ぶ）が，極大正則部分
群のディンキン図を表す．ただし，その図Ｄ/α,がもとのディンキン図Ｄと同じ形の場合は，Ｄからα,を除いた図D/α,の表す群とＵ(1)群の直積が極大正則部分群と解する．

6＝〃,＋Ju2＋…＋｣u'である．テンソル積の既約分解(21）例として図１のＥ`の場合にこの規則を適用すればに対しても，次元の間の条件式｡(Ｒ】)．｡(R2)＝=｡(Ｒｊ)や，

詳細に立入らないが，その様な方法で，単純群の種々な表

E|蟻:j選鰄鮒;)伽

現の次元，テンソル積の既約分解(21),分岐則(22)，が計外群の場合に表４の結果が得られることを確かめられたい．

算機を用いて計算されており，表にして刊行されてい先ず例として，最大の例外群Ｅ８の代数を，その極大部

る.'3,14）ここでは，後の利用も考えて，例外群Ｆ4,Ｅ８に対分群ＳＵ(9)に基づいて陽に求めて見よう．（勿論，どの極するほんの一例を表2,表３に引用しておこう．

大部分群を用いるかは，その後どの部分群に分解してゆき

カシミア演算子の値（これに対しても（23）の様な公式がある）の間の条件式などを用いた決定法がある．ここではの３通りの正則極大部分群が得られる．同様にして他の例

たいかという物理的要求に応じて便利なものを選べば良5．例外群の代数と表現」い.）Ｅ８の独立な生成子は248個あり（表ＺのＥ８の随伴表

物理での実際の応用に於いては，群の代数や表現に関し

現の次元)，それらは部分群ＳＵ(9)の生成子92-1＝80個て，もっと具体的でかつ扱い易い表示が必要となる．古典と，それ以外の248-80＝168個に分かれる．この168個群の場合には，もともと行列群として知られていた由来か

は，ＳＵ(9)の表現になっていなければならない事を考えれ

MOOO8000IOOOOODOOOOOOOBOOOO10UOOOOUOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOIOOOOOOOOOOOUOOOOOOOOOOOUOlOOUOIOOOOn00000UOOOODUOOOOOOOIUBOOOOUUOOOOUOOOUIOOOOOOUOOOOOIUOOOUUOOOOUOOOOOUIOOOIOOOOBOIOUUUUOOOUOOO80IUOOLOOOOIOOOOOUOOOIOOOIOOOOIOOOOUUOIOOOODOODIOUOOOUOO1UIOOIOOIOOIOOIOOOOOOOUO6IOOOOOOOOIOOOOOOOIOOOUOIOOOOOIIOOOIBOOOOOOBMOOMOOOOOOOOOOIUOOOOOOOOOOOOOO8000000000000UO

物理学と数学Lie群の表現（例外群）５９７

錨2Ｊリば，容易に３階反対称テンソル表現（ヤング(Young)図＝γa)を満たす，いわゆる7行列γ・(α＝1,2,…，，:１６×１６で曰に対応)=84(=,Q次元)とその複素共役表現84であ行列）を用いてても確められる．

で与えられるものである．ここでｓｏ(9)のスピノール表

そこで，ＳＵ(9)の生成子をＴｌ(ＺＩＬITW=0,Ｔ(↑＝刀),３階
反対称テンソルの生成子をＥﾘﾑ，その複素共役を万"'＝(Evk)↑,と記す．添字〃等は全て１から９迄走る．ＳＵ(9)

現は実(real)である事を想い起こしておこう．すなわち，の生成子の交換関係は，良く知っている様に

ピノールの生成子Ｅαは次の実条件を満たす：ると推測できる.＊実際これで正しい事は，直ぐ表３を見［Ｔｌ,Ｔｍ＝6iTl-61TM（25）である．（TlはSU(9)の，×，行列定義表現でj行ｊ列のみ
1,他はＯの行列に対応.）次に，ＳＵ(9)共変性から［T$EjM,"]＝6個,廊十6lEkjm十61hEk"－(1/3)6{E"耐，［T1,万k１m]＝－６｝面'厩-61万lw-6W万k"＋(1/3)6{万M，,（26）

を直ぐに書き下せる．最後に，Ｅｉｊ膨万vk間の交換関係は，再びSU(9)共変性と対称性だけから

ob6＝(1/4i)[殉γ』（31）Ｃγ・C-l＝７J(α＝1,2,...,9)，ＣＴ＝Ｃ（32）を満たす行列qchargeconjugationmatrix)が存在し，ス（Eα)↑二万・＝ＣａβEb．（33）
最後にＥα間の交換関係を［Eα,が]の形で書けば，so（９）共変性と(0.6)‘の添字構造より一意的に［E摩が]=-÷(恥)川（34）の形となる．再び右辺の係数は(5)式に一致するように決めた．（29),（30),（34)がＦ４の代数を与える．
随伴表現以外の表現も，本質的に同じ方法で極大部分群に基づいて陽に構成することができる．最後に例として，［E,"面…]=細十{豐磯：鰡駕}，（２７）F4の最低次元の基本表現２６(0001）を上と同じ部分群［E"ｂＥ,､１J＝(川!)どi/と',,､.,9E"９，ｓｏ(9)に基づいて構成してみよう．表３によれば，２６の（28）［万vli;万''，､]＝－(1/3!)evklm…Ｅ､,｡の形に決まる．ここで６ﾂｰ6ﾄﾞｳﾞﾉｰ6坪であり，Ｅ"k,…,ｓｏ(9)による分岐則は１＋，＋１６である．９は勿論ｓｏ(9)ベクトルJcb,１６は上でも出てきたスピノールルで，１をｚ(＝evMmml9；eI2…8,＝＋1）は，９階完全反対称SU(9)不と記す．ざすれば26表現のベクトル‘は変テンソルである．（27)の右辺全体にかかる係数は，生成子の規格化の条件(4)の要求により(5)式と比較して容易に１だとわかる．（28）の右辺の係数±(1/31）はヤコビ

作⑤

α＝１，２，．．．，９
α＝1，２，．．．，１６(35）(Jacobi)恒等式［[酌,ｂＥ,,､J，万・，U＋cyclic＝Ｏを見れば決と書ける．Ｆ４の生成子ＴｍＥａのこの‘の上での表現行列

まる．以上(25)～(28)でＥ８の代数が陽に求められた．

は，再びｓｏ(9)共変性のみから＝TBb＝－Tb｡，ｑｂ＝1,2,…，，）と記す．ここでも容易に

仲…■(Ｉ孤總蚤DJ(i）推測できる様に，残りの52-36＝16個の生成子はｓｏ(9)の形に決まる．０.〃百αは，任意の実変換パラメータ，ａ.‘＊の（実）スピノール表現風(α＝１，２，…，２[，/2]＝16)を張る＝0.6＝－０６のＥα＝(eα)*＝ｃα先βである．対角成分の係数はもう一つ，直交群に基づいて行う方法を例示すべく，５２次元の例外群F4の代数を求めてみよう．Ｆ４の極大部分群

としてSO(9)を採り，その’Ｑ＝36個の生成子をZED(T:‘（36）(表３参照)．先ずTh6は周知のｓｏ(9)代数を満たす：

ｓｏ(9)回転の意味から自明．未定係数ｓｂＬｚ`,Ｕに対し，［T態ＴＩ』＝i(6.cZBd＋叩TBo-6a`ｎ.－凡ZB`)．（29）
またＥαがSo(9)スピノールである事から直ちに(36)のＥα行列が交換関係(34)を満たすべしとの要求から
tzJ＝－１/4，ｓＵ＋５ｍ＝－２（37）［Eα,IBJ＝(。b`)`/BEb．（30）の条件が出る．これを導く際，フィルツ(Fierz)恒等式

ただし，ob6はスピノール上のＩＢＤの表現行列で，具体的

３e,蚕/＋(γ､ｅ,几(己γb)β－(1-2)＝2(＆０６族,)(ob6)ｊ８には，（クリフォード（C1ifTbrd)代数)γdγ`+γ５７１m＝26.6(γ：＊Ａ"‘ｑ，Ｅ６の様にデインキン図が非自明な対称軸を持っている場合のみ複素表現が存在する．それ故Ｅ８は常に実表現であり，８４があれば８４も必ず含まれる．

（38）が必要である．更に，（35）のｚｂＸａ凡の相対的大きさを固定するため，例えば

ｚ２＋ｘａｘａ＋ﾌ`ビル（39）

OuuuuuuuuIuuuuuuDuoououuDoooouoooouooo80000000000000000600010000uuuuIOuouooooooooOooIoooOoOOtoOOOlolOoIOolIOOuBouU00uoIoIooOoooOtoooOOloOOoOOOOoIoOoUOUIoOoouoI000IoooooooooIooOIoooDoOoouIoIouoooIIooOOoIooOoooooooooooMIoOOoO60BOOOIIoOoOIIooooUO1tIIoooouoouOuoououoooooooOoolOOIoIOOoOOouOOuoOIooooIuOooooo8000IouooououoooOuOuOOOIoooooooOooOoooIooIoooooooooOI

5肥日本物理学会誌Vol､44,Ｎ０．８，１９８９

が不変量である事を要請すれば（26×２６が１を含む事に注意)，ｓ＝－２ﾉ,ｒ＝－〃の条件が出て，

ｓ＝－D＝,/~丁/２，ｒ＝－zＦ１/２（40）と決定される．他のＥ`やＥ７の例や応用については文献９を見て頂きたい．

Ｂ（1982）233.Ｗ・Buchmiiller,Ｒ､PecceiandT・Yanagida:NucLPhys．

Ｂ２７７（1983）５０３．
７）Ｔ､ＫｕｇｏａｎｄＴ､Yanagida:PhysLett・l34B（1984)３１３．

８）Ｋ・Itoh,Ｔ・ＫｕｇｏａｎｄＨ,Kunitomo:ＮｕｃＬＰｈｙｓＢ２⑱（1986)２９５．

９）Ｋ・Itoh,Ｔ､KugoandHKunitomo:Pro9.Theor・Phys､７５（1986）386.
10）MBando,Ｔ・ＫｕｇｏａｎｄＫ､Yamawaki:Phys､Rep､１“（1988）217.

11）Ｐ・Ramond:m1mdzJajO〃mExUeprjO"αｌＬ陀Ｇ､叩sα"。』膝bmsbE〃ｍＲ"eα花ハロ"dDePebpme"rRqpolZCALT=68-577（1976).伊勢幹夫，竹内勝：Lie群I,岩波講座基礎数学（岩波書店，1976)．

参考文献

12）物理屋に分かり易いLie群の教科書は，例えばＨ・Georgi:Li2A1gebms

1）HGeorgiandS.Ｌ､Glashow:Phys・ReMLett､３２（1974)４３８．

２）HFritzschandP・Minkowski:AnnPhys.（USA)９３（1975）193.
3）Ｆ・Giirsey,Ｐ・RamondandPSikivie:Phys・Lett.Ｂ６０（1975）177,i〃化"jCleEhysjmb（Benjamin/Cummings，1982)，Ｒ・Gilmore：Ｌ陀

Gmz4psbLjeAlgB6msα"dSbmeq/mlleiM2pﾉｉｂｑｌｍ"s(Wiley,1974)．
13）Ｊ､ＰａｔｅｒａａｎｄＤ､SankolTinzb化ｓｑ/五ｍ"chi"ｇＲｗﾉes/brRepP℃se"mZjO"ｓ4）Ｓ・CremmerandBJulia:NucLPhys.Ｂ１５９（1979）141.

ｑ／SimpﾉｅＬｉｅＡｌｇｅｂｍｓ（L，UniversitedeMontr6al，1973)．Ｗ・ＭｃＫａｙ

5）Ｄ､IGross,Ｊ､Ａ・Harvey,EMartinecandR､Ｒｏｈｍ:NucLPhys.Ｂ256

ａｎｄＪ、Patera：Ｔｂ6“ｑ/Dime"sjO"sbSbco"ｄα"dFbluバカmdjCGsa"ｄＢｍ"chi"gRwﾉEsq/Si”んＡにebmMDekker,1980)．

（1985）253.

6）ｗ・BuchmiiUer,Ｓ､Ｔ・Love,Ｒ､PecceiandT､Yanagida:Phys・Lett､１１５14）RS1ansky:Phys・Rep､７９（1981）１．

物理学と数学一

三I:===二手三二P=藺藪
戸田幹人
足立聡
長谷川洋

<京都大学理学部物理第一教室606京都市左京区北白川追分町＞<京都大学理学部物理第一教室606京都市左京区北白川追分町〉<京都大学理学部物理第一教室606京都市左京区北白川追分町〉

近年，量子カオスと数論なかでもリーマン（Riemann）のど関数との関連が注目されてきている。本解説では，この話題を簡単に紹介する.''2）

左辺が発散する事から右辺のｚ(1〃)が発散する事，即ち素数ｐが無限にある事がわかる．さらに，具合~log'｡即(－）

１．リーマン予想3,4）（４）

から，素数の分布密度が１/logxである事が推測される．

今，複素変数ｓの関数r(s)を(1)式で定義する．

と(s)=員"~。Res>'，（１）（２）＝Ⅱ(1－'一`)-’Res＞１．
ｒ(s)を全複素平面|こ解析接続したものをリーマンのｒ関数という＿ご(s)はs＝１に１位の極を持つ以外は解析的であｐ

これは素数定理と呼ばれるもので，一見でたらめに見える
素数の分布に統計的な規則性がある事を示す.＊後で述べる様に，素数定理に相当するものがカオス古典軌道の分布則にあり，これがと関数と量子カオスの関連の露頭となっている.5）
さて，リーマン予想とは次の未証明の命題を言う．

る．（2）はオイラー（Euler)積と呼ばれるもので，すべてしぎ(s)の自明でない零点は，すべて直線Res＝1/Ｚ上に存の素数ｐにわたって積をとる．

在する．

オイラーは上の式から次の様にして素数が無限にある事

1859年，リーマンがこの予想を述べて以来，多くの数学の別証を与えた．ｒ(8)に対してs＝１とおく．

者がその証明への努力を続けてきた．その中で，ヒルベル’。g(=告)=-吾1゜g(1-'-1)=ｚＬ

ト（Hilbert)，ポーリャ(Polya)は次の様に考えた.`)今,r(s）Ｐｐ＋(収束する級数)．（３）＊オイラーはこの事に気づかなかった．数値計算により，最初にこの事に気づいたのはガウス（Gauss)である．

000000000000000000800000000000000000000000800008D800000000tOOOOOOOOOBIOOOOOOOI8800000000000000IOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOUOOOOOOOO1UOOOOOUOUOOIOOOOOOOOOOOOUOOOO6UOOOOOOUOOOUOOOOOOOOOOOOOOUIOOOOElOOOOOOOOOOOOOOOOIOOOOOOOOOOOIOOOOOOOOOOOOOOOOOOOIOOOOOOIOOOOOOOOOOOOOOUOOUOUBOUUOUu8UOOlOBOIOUOOOOIOOOOOOOOOOOIOOOOE00000000UOOU0IOOUOOOOUOOUOOOO60U6000100

物理学と数学量子カオスと4Ｆ関数５”P鋼