編者緒言
本書は，藤原松三郎著「代数学」第一巻および第二巻を現代仮名遣いに改め，述語の一部を現在ひろく用いられているものに置き換えたものである．
本書の第一巻は 1928 年に，第二巻は 1929 年に刊行されたが，それは二十世紀の代
数学の教科書のスタイルを根本的に変えた van der Waerden の “Moderne Algebra”
が出版される直前であった（同書第 I 巻は 1930 年，第 II 巻は 1931 年の刊行）．また，我が国において代数学の古典として読み継がれてきた高木貞治による「初等整数論講義」および「代数学講義」はそれぞれ 1930 年，31 年に出版されている．今日の目で眺めたとき，これらのことが本書をその組立てにおいて，また，内容において極めて独自なものとしている．
本書の特徴として，代数学全般にわたり基礎的理論を詳述し，かつ高度な内容にまで説き及んでいるだけでなく，概念導入にあたりその背景を説明し具体例を挙げるな
ど丁寧な叙述をしているため，自修書としても適していると言えよう．さらに，第八章および第九章で系統的に論じられている Fourier の定理，Sturm の定理あるいはRouth-Hurwitz の定理など代数方程式の根の分布に関する理論や Newton 法や Horner
法などの近似解法は，現代の大学の学部教育で教えられることは稀であるが，力学系
理論，物理学や工学等において重要であり，これらの方面の専門家にとっても貴重な参考書となっている．また，原著は巻末に補遺を追加して，本文の訂正や文献の追加を行っている．特に，最後に加えられた補遺は，江戸時代に和算家が得た諸結果を本巻で展開されている西洋数学の成果と対比したもので，著者が心血を注いだ和算史研究の成果の一端を知ることができる．本改訂版では「和算家による独創的成果」と題を改めて収録した．
述語については，著者が独語，英語等から直接訳出したものも相当数あると思われる．そのため，第二巻序言でも述べられているように，他書とは異なる述語が散見され，その中には定着しなかったものもある．本改訂版では，「方列」を「行列」とするなど，それらを現在標準的に用いられているものに置き換えた．しかしながら，著者の

iii

iv

編者緒言

意図を尊重して，変更しなかったものや，敢えて広く流通しているとは言い難いものに置き換えた場合もあることをお断りしておく．例えば，原著では「整函数」は，「多項式」（「整式」とも言う）を指しているが，数論における整数と有理数に対応するものとして，整函数と有理函数と呼ぶことには充分な正当性があると考える．しかし現
在では，専ら複素平面上で正則な関数を整関数と呼んでいるのを考慮して，本改訂版
では原著にもある「有理整関数」を採用することとした．
編者らの浅学非才のため，思わぬ誤解から却って原著の明晰性を損ねてはいないかと恐れる．読者の叱正を俟って改訂をしていく所存である．
改訂にあたり述語や文献についてご教示いただいた都築暢夫東北大学教授に感謝の意を表したい．

2019 年 1 月

編著者

目

次

編者緒言 ······························································································· iii
原著者紹介 ·························································································· v

序

原著，新編用語対照表 ·········································································

vii

記号対照表 ·······················································································

viii

言 ·······························································································

ix

第1章

有理数体

第 1 節 自然数 ······················································· § 1.1〜§ 1.5

1〜 4

緒言／自然数系の公理／相等／数学的帰納法／加法および乗法
第 2 節 整数 ························································ § 1.6〜§ 1.19

4〜16

整数系／整数の加法／加法の結合法則／加法の交換法則／反数／整数の乗法／分配
法則／乗法の結合法則／乗法の交換法則／零／負数／減法／相等に関する定理／整数の順序
第 3 節 順序数と計数 ·········································· § 1.20〜§ 1.22

17〜20

集合／有限集合と計数／無限集合
第 4 節 有理数 ··················································· § 1.23〜§ 1.31

20〜30

除法／二整数の対として定義された新数／有理数／有理数の順序／有理数系の稠密性／乗冪数と指数法則／算法の形式上不易の原則／群／有理数体

第 2 章 有理数体の数論
第 1 節 素数 ·························································· § 2.1〜§ 2.5

31〜34

素数／エラトステネスの篩／素数の表／無限に多くの素数の存在／素数の分布問題
第 2 節 整数の素因数分解 ······································ § 2.6〜§ 2.10

xi

34〜43

xii

目

次

素因数分解の基本定理／モジュール／互いに素な数に関する定理／素因数分解の基
本定理の証明／ユークリッド互除法
第 3 節 合同式 ··················································· § 2.11〜§ 2.12

43〜47

合同式／一次合同方程式
第 4 節 フェルマーの定理 ···································· § 2.13〜§ 2.16

48〜53

剰余全系／ウィルスンの定理／オイラーの関数／フェルマーの定理
第 5 節 平方剰余 ················································ § 2.17〜§ 2.21

53〜59

平方剰余と平方非剰余／ルジャンドルの記号／オイラーの判定条件／ガウスの補助

 
2
定理／
の決定
p

第 6 節 反転法則 ················································ § 2.22〜§ 2.2459〜64

反転法則／平行格子／高木博士の証明
第 7 節 合成数の平方剰余 ···································· § 2.25〜§ 2.28
μ

64〜69

λ

合成数の平方剰余／ p の場合／ 2 の場合／一般の場合
第 8 節 高次合同方程式 ······································· § 2.29〜§ 2.35

69〜83

高次合同方程式の根／素数の原始 δ 乗根／ p の原始根／合成数の原始根／ pα の場
合／ 2λ の場合／標数系
第 9 節 ディオファンタス方程式 ··························· § 2.36〜§ 2.40

83〜92

ディオファンタス解析／一次ディオファンタス方程式／フェルマーの最後定理／ピタゴラスの方程式／四次のフェルマー方程式
第 10 節

加法的数論 ··········································· § 2.41〜§ 2.45

92〜99

加法的性質／二つの平方数の和／四個の平方の和／ウェアリングの問題／数論の発展
第2章

演習問題 ·····································································

100〜105第2章

諸定理 ········································································

106〜113第3章

無理数

第 1 節 循環小数 ···················································· § 3.1〜§ 3.3

115〜124収束数列／ g を基数とする小数／循環小数
第 2 節 メレーおよびカントルの無理数論 ················· § 3.4〜§ 3.11

124〜135

目

xiii

次

無理数の概念の発展／収束数列と基本数列／有界数列と単調数列／メレーおよびカントルの無理数の定義／実数の絶対値／無理数の稠密分布／実数の数列／極限の概念
第 3 節 乗冪と対数 ············································· § 3.12〜§ 3.16

135〜144n 乗根／有理数を指数とする乗冪／無理数を指数とする乗冪／対数／自然対数の底 e
第 4 節 デデキントの無理数論 ······························ § 3.17〜§ 3.26

144〜154

デデキントの理論／切断の定義／切断の相等および大小／切断の正負／切断の和／
切断の差／切断の積／切断の商／切断による無理数の定義／実数体と切断
第 5 節 無理数の二つの理論の調和 ························ § 3.27〜§ 3.28

154〜158

メレー–カントル，デデキントの定義による無理数の対応／一直線上の点列

第4章

有理数による無理数の近似

第 1 節 連分数の主要性質 ········································ § 4.1〜§ 4.6

159〜174

小数による無理数の近似／有限連分数／ユークリッド互除法との関係／連分数の近
似分数／無限連分数／同等なる無理数
第 2 節 最良近似の問題 ··········································· § 4.7〜§ 4.9

174〜180最良の近似／中間近似分数／最良近似問題の決定
第 3 節 近似分数の判定条件 ································· § 4.10〜§ 4.11

180〜184

主要近似分数の条件／中間近似分数の条件
第 4 節 近似分数の近似度 ················································ § 4.12

184〜187

フルウィッツの定理
第 5 節 循環連分数 ············································· § 4.13〜§ 4.16
循環連分数／ラグランジュの定理／ガロアの定理／√

D の連分数展開

第 6 節 フェルマー方程式 ···································· § 4.17〜§ 4.18
2

188〜196
196〜2052

いわゆるペル方程式／方程式 x − Dy = ±4
第 7 節 連分数の幾何学的表示 ······························ § 4.19〜§ 4.20

205〜209

クラインの方法／連分数の諸性質の幾何学的証明
第 8 節 ディオファンタス近似 ······························ § 4.21〜§ 4.25

209〜219

xiv

目

次

ディオファンタス近似／ディリクレの定理／ αx − y − β の問題／数列 (nα) の分
布／ (nα) の分布の均等性
第4章

演習問題 ·····································································

220〜222第4章

諸定理 ········································································

223〜228

第5章

複素数

第 1 節 複素数体 ···················································· § 5.1〜§ 5.9

229〜238数の概念の最後の拡張／複素数の定義／複素数の絶対値／複素数体における 0 と

1 ／複素数の順序／複素数の平方根／複素数の n 乗根／複素数の一般乗冪／複素数の特性としての零因数の否定
第 2 節 複素数の幾何学的表示 ······························ § 5.10〜§ 5.14

238〜246

ガウス平面／複素数の和と差／複素数の積と商／円変換／複素数に関する史実
第5章

演習問題 ·····································································

第6章

247〜249

有理整関数

第 1 節 有理関数体 ················································· § 6.1〜§ 6.4

251〜256

有理整関数／有理整関数の除法／有理関数体／多変数の有理整関数と有理関数
第 2 節 二項定理と多項定理 ····································· § 6.5〜§ 6.7

256〜263

二項定理／多項定理／導関数と連続関数
第 3 節 ユークリッド互除法 ··································· § 6.8〜§ 6.12

263〜272

ユークリッド互除法／有理関数の分解／ラグランジュの補間公式／オイラーの恒等式／有理関数の展開
第 4 節 代数方程式の根の存在 ······························ § 6.13〜§ 6.17

272〜278

代数学の基本定理／代数学の基本定理の証明／ n 個の根の存在／重根／共役根
第 5 節 有理整関数の既約性 ································· § 6.18〜§ 6.23

278〜288

既約の定義／ガウスの定理／整係数の有理整関数の既約条件／アイゼンシュタイン
およびシェーネマンの既約条件／二つの凸多角形の平均形／有理整関数のニュート
ン多角形

目

xv

次

第 6 節 有理整関数の合同 ···································· § 6.24〜§ 6.25

288〜291

有理整関数を法とする合同／p, f (x) を法とする合同
第 7 節 同次関数と対称関数 ································· § 6.26〜§ 6.30

291〜299

代数方程式の根と係数との関係／同次有理整関数／対称有理整関数／根の対称関数／根の冪和第 8 節 根の連続性 ············································· § 6.31〜§ 6.32

300〜304

係数の連続関数としての根／ルーシェの定理
第6章

演習問題 ·············································································

第6章

諸定理 ········································································

第7章

305

306〜309

行列式

第 1 節 置換 ·························································· § 7.1〜§ 7.5

311〜318

行列式の起源／置換／置換の積／巡回置換／互換と奇置換，偶置換
第 2 節 行列式の基本性質 ········································ § 7.6〜§ 7.8

318〜327

行列式の定義／行列式の基本性質／行列式の特有性質
第 3 節 小行列式 ·················································· § 7.9〜§ 7.11

327〜339

小行列式／ファンデルモンドの展開／ラプラスの展開
第 4 節 行列式の積 ············································· § 7.12〜§ 7.17

339〜352

二つの行列式の積／行列式の積の拡張／相反行列式／ヤコビの定理／シルヴェスターの定理／アダマールの定理
第 5 節 行列式の階数 ·········································· § 7.18〜§ 7.21

353〜357

階数／行列式の積の階数／クロネッカーの定理／対称行列式の階数
第 6 節 一次方程式 ············································ § 7.22〜§ 7.24*

358〜373

n 元一次方程式の n 個の一組／一次式の一組の独立性／ D = 0 なる場合／ディオ
ファンタス近似に関するクロネッカーの定理
第 7 節 終結式 ··················································· § 7.25〜§ 7.28

374〜384

終結式／終結式の構造／シルヴェスターの消去法／f (x) = 0, g(x) = 0 の根で表された R(f, g)

xvi

目

次

第 8 節 判別式 ··················································· § 7.29〜§ 7.31

384〜388

判別式／二次，三次方程式の根の性質／判別式のほかの形
第 9 節 ベズー行列式 ·········································· § 7.32〜§ 7.35

388〜397

ベズー行列式／f (x), g(x) の最大公約関数／Bm と終結式との関係／ケイリーの公式
第 10 節有理関数の展開係数 ······························· § 7.36〜§ 7.39

397〜407

有理関数の展開係数の条件／条件の第二の形／f (x), g(x) の公約関数／C0 (k) とBk+1 , Rk+1 との関係
第7章

演習問題 ·····································································

408〜416第7章

諸定理 ········································································

417〜422第8章

方程式

第 1 節 低次方程式 ················································· § 8.1〜§ 8.4

423〜429二次方程式／三次方程式／四次方程式／五次方程式
第 2 節 根の存在範囲 ·············································· § 8.5〜§ 8.7

429〜437

根の存在範囲／掛谷の定理／クロネッカーの定理
第 3 節 方程式 f (x) = 0, f  (x) = 0 の根の関係 ········ § 8.8〜§ 8.12

437〜447ロルの定理／ガウスの定理／ラゲールの定理／グレイスの定理／グレイスの定理の応用
第 4 節 フーリエの定理 ······································· § 8.13〜§ 8.16

447〜454数列の符号の変化の数／フーリエの定理／デカルトの符号の法則／虚根の数に関するガウスの定理
第 5 節 スツルムの定理 ······································· § 8.17〜§ 8.19

454〜461

スツルムの定理／三次四次方程式への応用／広義のスツルム鎖
第 6 節 数字方程式 ············································· § 8.20〜§ 8.26

461〜474

数字方程式／実根の範囲／実根の分離／ニュートンの方法／ホーナーの方法／反復法／グレッフェの方法

目

次

xvii

第8章

演習問題 ·····································································

475〜477第8章

諸定理 ········································································

478〜487

第 9 章 方程式と二次形式
第 1 節 二次形式 ···················································· § 9.1〜§ 9.7

489〜501

二次形式／二次形式の標準形／ヤコビの変換／一般の場合／二次形式の慣性律／定
符号二次形式／非負二次形式
第 2 節 エルミットおよびベズー形式 ························· § 9.8〜§ 9.9

501〜506

エルミット形式／ベズー形式
第 3 節 二次形式の特有方程式 ······························ § 9.10〜§ 9.11

506〜510

シルヴェスターの定理／再帰二次形式
第 4 節 スツルムの問題 ······································· § 9.12〜§ 9.17

510〜522

エルミットの方法／すべての根が実数であるための条件／正根の条件／ f (x) =0, g(x) = 0 の根がすべて実数で，互いに分つための条件／再帰二次形式が正値形式となるための条件／ L 形式
第 5 節 エルミットの問題 ···································· § 9.18〜§ 9.20

523〜532

エルミットの問題／ラウス–フルウィッツの問題／シューアの問題
第9章

演習問題 ·····································································

533〜535

第9章

諸定理 ········································································

536〜542

第 1 巻 補遺 ················································································

543〜549

和算家による独創的成果 ·······························································

550〜553

総 索 引 ····················································································

555〜562

欧字先頭索引 ··············································································

563〜570

著者索引 ····················································································

571〜576

引用雑誌名略記 ···········································································

577〜579

第1章
第1節
1.1.

有理数体
自 然

†

数

緒言． 数学の基礎は自然数の概念である．この概念は物を数えるということから普通得られるものであるが，この心理的発生の順序を離れ，自然数を論理的に定義しようとすると，たちまち少なからざる困難に遭遇する．故にこのような根本的な問題はしばらくこれを措き，我々はすでに自然数の概念を得たものとして我々の論究の歩を進めていくことにする．ただこれらの知識を組織づけるため，一応自然数系の性質を列挙しよう．
我々が第一に気づくことは，自然数の系統

N:

1, 2, 3, 4, . . .

には順序が存在していることである．1 の後に 2，2 の後に 3，3 の後に 4 という風に，N のいずれの一数をとっても必ずその後に続くものが一つ，しかも唯一つ存在す
る．n の後に続くものを n の後者と名づけ，n∗ にて表せば，1 の後者 1∗ は 2 であり，2 の後者 2∗ は 3 である．

N に属する数には，最初の 1 を除けば必ずそれの前に来るものが唯一つ存在する．
n の前にくる数を ∗ n にて表し，これを n の前者と名づければ，3 の前者 ∗ 3 は 2，2の前者 ∗ 2 は 1 である．ただ 1 だけには前者がない．
次に一つの自然数 n に 1 を加えるということは，n より n の後者 n∗ を作る演算である．これを n + 1 = n∗ にて表す．
二つの自然数の和は，†第 1 章については，Loewy, Lehrbuch der Algebra I, 1915; Pringsheim, Vorlesungenüber Zahlen- und Funktionenlehre I, 1916; 高木博士，新式算術講義 第八版，1912 を参照
されたい．

1

第1章

2

§ 1.2.

有理数体

a + (b + 1) = (a + b) + 1
なる関係により順次定義されるものである．例えば

5 + 3 = 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1,
5 + 2 = 5 + (1 + 1) = (5 + 1) + 1 = 6 + 1 = 7,
故に

5 + 3 = (5 + 2) + 1 = 7 + 1 = 8.
二つの自然数の積は

a · 1 = a,a(b + 1) = a · b + a

により順次定義されるものである．例えば

a · 2 = a(1 + 1) = a + a,a · 3 = a(2 + 1) = a · 2 + a = a + a + a,....

この和および積を作る演算をそれぞれ加法，乗法と呼ぶ．それは次の法則により支配される．
加法の交換法則 :a + b = b + a.

加法の結合法則 :a + (b + c) = (a + b) + c.

乗法の交換法則 :a · b = b · a.

乗法の結合法則 :a · (b · c) = (a · b) · c.

分配法則 :a · (b + c) = a · b + a · c,

1.2.

(b + c) · a = b · a + c · a.

自然数系の公理． 以上の事実を既知のものとして出発するとしても，既知として取扱うものはできるだけ少数にとどめ，その他のすべてを論理的に導き出すことは，我々が常に努めるべきところである．
この見地より我々は自然数系 N を次の公理によって定義することにする∗1 ．

N1 ) N は 1 を含む．
N2 ) N に属する数 a の後者は常に唯一つ存在する．これを a∗ とする．
§1.2,∗1

自然数系の公理は Peano より始まる．Peano, Formulaire des mathématiques,

Torino, 1898, t.2, pp.1–59; t.3, pp.39–44; Loewy, Algebra 参照．

第2章

有理数体の数論

第1節
2.1.

素

†

数

素数． 我々は第 1 章において，整数を支配する法則を論じた．本章においては，専ら個々の整数の組立てに関する性質を研究しよう．これが狭義の数論である．
すでに §1.23 において定義したように，整数 a が整数 b にて整除される場合，換言すれば，a = bc が成立する第三の整数 c が存在する場合，a を b の倍数，b を a の約数または因数という．a はまた c の倍数，c は a の約数である．
定義によれば，a · 1 = a であるから，1 および a 自身は整数 a の約数であるが，それ以外に約数をもたない正整数がある．それらを素数と名づける．1 および自己以外に約数をもつ正整数を合成数と名づける．1 は合成数ではないが，便宜のため，素数の内には加えないことにする．

2 を約数とする正整数を偶数といい，その他の正整数を奇数という．2 は唯一の偶数の素数である．他のすべての素数は当然奇数でなければならない．このことが素数
中 2 がしばしば特別の取扱いを要求する原因になる．

2.2.

エラトステネスの篩． 我々の第一の問題は，与えられた正整数 a が素数なるか否かを，いかにして決定すべきかである．

a が合成数ならば，a = bc, (b, c  2) なる形をとる．b  c とすれば a  b2 ，従って b は k 2  a < (k + 1)2 が成立する k を超え得ない．故に a が素数なることを確かめるには，2, 3, 4, . . . , k のいずれをも約数にもたないことを見ればよい．然るに2, 3, 4, . . . , k の一つ n がすでにそれより以前の数を約数にもてば，n が a の約数な†本章に関しては，Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4 Aufl., 1894; Bach-mann, Niedere Zahlentheorie I, 1902; 竹内博士，整数論，1925; Cahen, Théorie des nombres
1 (1914), 2 (1924) 参照．文献は Dickson, History of the theory of numbers 1, 2, 1919,
1920 に詳しい．

31

第 2 章 有理数体の数論

32§ 2.4.

るか否かを調べる必要がない．故に次のように行えば，手数は少なからず省き得られると同時に，a を超えないすべての素数が一挙にして求められる．これはギリシャの昔から知られエラトステネスの篩（ふるい）と呼ばれているものである．
例えば，これを a = 20 について説明してみよう．まず

2, 3, 4∗ , 5, 6∗ , 7, 8∗ , 9∗ , 10∗ , 11, 12∗ ,13, 14∗ , 15∗ , 16∗ , 17, 18∗ , 19, 20∗の内，2 の倍数を消す．これは 2 より始めて，二つ目を消していけばよろしい（消したものは ∗ 印にて表す）．次に残った最初の数，すなわち 3 の倍数を消す．これは 3より始めて三つ目を消していけばよい．42 < 20 < 52 であるから，4 までやればよろ
しい．然るに 4 はすでに消されているから，改めて 4 の倍数を消す労をとるに及ばない．このようにしてふるい残された数，すなわち 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 が 20 を超えない素数の全体である．

2.3.

素数の表． この方法で，100 を超えない素数を定めれば，次の 25 個が得られる．

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
104 以下の素数の表は，チェビシェフ (Tchebycheﬀ)，Theorie der Kongruenzen,
1889 の巻末にある．より広い範囲の素数の表は，Carnegie-Institution から刊行せられた，レーマー (Lehmer)，List of prime numbers from 1 to 10006721, Washington,

1914 である．

2.4.

無限に多くの素数の存在． 素数の数には限りがあるか．この問いに対しては，早くすでにユークリッドが，彼の幾何学原本第九巻，命題 20 において，次の答を与えている．
定理． 素数は無限に多く存在する．
任意の正整数は，少なくとも一つの素数を約数にもつ．何となれば，正整数 a 自身が素数ならば，いうまでもない．a が合成数ならば， 2 なる二つの約数の積 b · c と第3章 無 理
第1節
3.1.

数

†

循環小数

収束数列． 有理数の無限に続く数列

a1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .
と，有理数 a とがあって，ε をいかに小なる正の有理数としても，正整数 n0 を定めて，n0 より大なるすべての n に対し常に|a − an | < εが成立するならば，a を数列 (a1 , a2 , . . . , an , . . . ) の極限と名づける．この数列は aに収束（あるいは収斂）するともいう．
例えば



n+1
3 4 5
,...
1, , , , . . . ,
2 3 4
n
1
を見ると，ε をいかに小さくとっても，n > n0 > とすれば
ε




1 − n + 1  < εn となる．故に



n+1
3 4 5
,...
1, , , , . . . ,2 3 4nの極限は 1 である．
極限を有する数列を収束数列と名づける．
収束数列については次の定理が成立する．
定理． 有理数列 (a1 , a2 , . . . , an , . . . ), (b1 , b2 , . . . , bn , . . . ) がそれぞれ有理数 a, bに収束すれば，(a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn , . . . ), (a1 − b1 , a2 − b2 , . . . , an − bn , . . . ),†本章に関しては，第 1 章にあげた Loewy, Pringsheim の書の他に，Perron, Irra-

tionalzahlen, 1921 を参照されたい．

115

第3章

116

無

理

数

§ 3.1.

(a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn , . . . ) はそれぞれ a + b, a − b, ab に収束する．
我々はこのうち，第三のみを証明し，他は同様であるから省略することにする．
仮定により，ε を任意に与えると，n > n1 なるすべての n に対し |a − an | < ε となるような n1 と，n > n2 なるすべての n に対し |b − bn | < ε となる n2 が定まる．

n1 , n2 の大なる方を n0 とすれば，n > n0 に対し常に |a − an |, |b − bn | < ε となる．
然るにab − an bn = a(b − bn ) + bn (a − an )であるから，絶対値に関する §1.26 の定理より|ab − an bn |  |a||b − bn | + |bn | · |a − an |が得られる．n > n0 に対しては |b − bn | < ε なる故に，|bn | < |b| + ε．故に n > n0に対しては

|ab − an bn | < (|a| + |b| + ε)εとなる．|a| + |b| + ε は有限であるから，ε を充分に小さくとれば，(|a| + |b| + ε)ε をいかに小なる有理数 ε よりも，さらに小にすることができる．従って任意の ε に対し，n0 を定め，n > n0 なるすべての n に対し |ab − an bn | < ε とできる．
すなわち数列 (a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn , . . . ) は ab に収束する．
同様にして次の定理が証明される．
定理． 数列 (a1 , a2 , . . . , an , . . . ), (b1 , b2 , . . . , bn , . . . ) がそれぞれ有理数 a, b に収束し，b = 0 ならば，a 1 a2an, ,...,
,...
b1 b2
bn



は

a
に収束する．
b

仮定により，任意の ε に対し n0 を定め，n > n0 なるすべての n に対し |a−an | < ε,|b − bn | < ε とできる．然るにabn − ba − an
an
=
,
−
+ an
b
bn
b
bbn
従って



a

 − an   |a − an | + |an | · |bn − b| .
b
bn 
|b|
|bn | · |b|n > n0 に対しては |an | < |a| + ε, |bn | > |b| − ε．b = 0 であるから，ε を初めから充1
分小さくとれば，|a| + ε < |a| + 1, |b| − ε > |b| となるようにできる．従って，
2第4章

有理数による無理数の近似
第1節

4.1.

†

連分数の主要性質

小数による無理数の近似． 前章において，我々は有理数の収束数列を以て無理数を定義した．これによれば，任意の無理数は有理数を以て漸次これに近づけることができる．このことを有理数による無理数の近似という．これに関する我々の第一の問題は，無理数を与えたとき，これに近似する有理数列をどのようにして定める
かということである．
この問題の解答として，二つの方法を挙げることができる．一は小数によるもので，他は連分数によるものである．
まず小数による無理数の近似から論じよう．
実数 ω と正の整数 g ( 2) をとり，次の演算を行う．

[x] を以てガウスの記号，すなわち x − 1 < [x]  x を満たす整数を表すものとす
れば

a0 = [ω],ω 1 = ω − a0 ,a1 = [gω1 ],ω2 = gω1 − a1 ,a2 = [gω2 ],ω3 = gω2 − a2 ,.........

............

an = [gωn ],ωn+1 = gωn − an ,.........

............

により順次整数 a0 , a1 , a2 , . . . が定まる．a0 は ω の如何により 0 または正負のいず†本章に関しては，Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, 1913; Pringsheim,

Zahlen- und Funktionenlehre I. 3, 1921 参照．

159

第4章

160

有理数による無理数の近似§ 4.1.

れともなるが，ω1 , ω2 , . . . はすべて 1 より小なる正数である．従って，a1 , a2 , a3 , . . .
は 0  ai < g を満足する整数である．これより

ω = a0 + ω 1 ,従ってω = a0 +

ω1 =

a1
ω2
+
,
g
g

ω3
ω2
a2
= 2 + 2 , ...,
g
g
g

ωn+1
a1
a3
an
a2
+ 2 + 3 + ··· + n + n
g
g
g
g
g

が導かれる．ω と分数

a1
a3
an
a2
+ 2 + 3 + ··· + nggggとの差 ωn+1 /g n は 1/g n より小である．g  2 である故に，n を充分大にすれば，このb n = a0 +差は任意に与えられた正数 ε よりも小にすることができる．すなわち (b0 , b1 , b2 , . . . )なる収束数列の極限は ω に等しくてω = a0 +

a1
a3
an
a2
+ 2 + 3 + ··· + n + ···
g
g
g
g

となる．
実数 ω が有理数を表すための必要条件は，上の級数が有限の所で切れるか，または
循環小数となることである．これはすでに §3.3 で論じた所である．これがまた充分条件となることは，次のように考えれば明らかである．
有限で切れる場合に有理数を表すことはいうまでもない．
循環小数であれば，その循環節を (am , am+1 , . . . , am+k−1 ) とすれば，



am+k
am+k+1am+k−1a1
a0 ++ · · · + m+k−1 g k + m + m+1 + · · · ,
g
g
g
g




a
am−1
a
a
m+k−1
1
1
k
k
g ω − ω = a0 ++ · · · + m+k−1 g − a0 ++ · · · + m−1
gggg
gk ω =となる．この右辺は一つの有理数であり，左辺は (g k − 1)ω であるから，ω は有理数でなければならない．
すなわち次の定理が得られる．
定理． 実数 ω を，g を底とする小数ω = a0 +

a1
a3
an
a2
+ 2 + 3 + ··· + n + ···ggggに展開した場合に，ω が有理数となるための必要にして充分な条件は，この小数展開
が有限で切れるか，または循環小数となることである．

第5章 複 素
第1節
5.1.

数

複素数体

数の概念の最後の拡張． 前数章において，我々は自然数より出発し，数度の拡張によって実数体に到達した．この数体では零による除法を除いては加減乗除が何らの拘束なしに行われる．しかし開平方，すなわち a を与えて x2 = a が成立する

x を求めることに関し，a が負の場合に，我々は再び一つの障壁に直面しなければならない．何となれば，実数の平方は決して負とならないからである．
この制限を撤去して開平方が再び自由に行われるために数の概念の最後の拡張を行
い，ここに複素数なる新しい数を導入する∗1 ．

5.2.

複素数の定義． 整数より有理数に進む場合に整数の一対を考えたと同様に，

我々はここでは実数の一対 (a, b) を新しい数と考えて，これを複素数と名づける．相等，和および積に関しては次の定義をおく∗1 ．

I. a = c, b = d なるときに限り (a, b) = (c, d) とする．
II. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)．
III. (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)．
これより相等に関するすべての規定 (§1.3, 1.7, 1.11)，および交換，結合，分配法則
は複素数によって満足されることが容易に証明されるであろう．

(a, b) = (x, y) + (c, d) を満足する (x, y) を (a, b), (c, d) の差と定義する．上の和および相等の定義より§5.1,∗1 〔編者注：数の概念はさらに四元数，ケイリー数などに拡張された．これについ〕ては第 2 巻，第 12 章で論ずる．
§5.2,∗1 この定義のしかたは，Hamilton, Theory of conjugate functions or algebraic

couples, Dublin, 1835（Trans. Irish Academy 17, 1837 より）に始まる．

229

第5章

230
a = c + x,

b = d + y,

複

素

従って

§ 5.2.

数x = a − c,y =b−dとなる．すなわち減法は常に一通りに可能であって(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)が二つの複素数の差を表す．

(a, b) を (c, d) で除した商を定義するには(a, b) = (c, d) · (x, y)を満足する (x, y) を以てする．故に定義により a = cx − dy, b = cy + dx となる．

c2 + d2 = 0 すなわち c = d = 0 の場合を除けば
ac + bdbc − ad,y= 2
c2 + d2
c + d2となる．すなわち除法は除数が (0, 0) の場合を除けば常に一通りに可能であって，商x=は次の形で表される．

(a, b)=(c, d)

ac + bd bc − ad,c2 + d2 c2 + d2.

すなわち次の定理が得られる．
定理． 複素数の全体は一つの数体をつくる．
この数体を複素数体と名づける．
特別な場合として：a = b のときに限り，(a, 0) = (b, 0).
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0).
(a, 0) − (b, 0) = (a − b, 0).
(a, 0) · (b, 0) = (ab, 0).
a (a, 0)=, 0 , (b = 0)(b, 0)
bが成立する．これによれば，(a, 0) の形の複素数は実数 a と全く同一の法則に支配される．故に (a, 0) なる特別の複素数と，実数 a とを同一のものと見なして差支えがない．故に以下(a, 0) = a

第6章
第1節
6.1.

有理整関数

†

有理関数体

有理整関数． x を以て一定の数を表すものとせず，ある範囲内の有限個または無限個の数値を取り得るものと考えるとき，これを変数と名づけ，これに対し，一定の数値を表すものを常数と名づける．
常数 a0 , a1 , . . . , an と変数 x との結合

a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
を x の有理整関数，または単に整関数と名づけ∗1 ，a0 , a1 , . . . , an を係数，an xn ,an−1 xn−1 , . . . , a1 x, a0 を項と名づける．特に x を含まない項 a0 を絶対項という．
an = 0 ならば，n を次数と呼び，上の有理整関数を n 次の有理整関数と名づける．
係数 a0 , a1 , . . . , an が一つの数体 K に属すれば，この有理整関数を K の有理整関数という．あるいは K に属するともいう．
我々はまず有理整関数の加減乗除，およびこれを支配する法則を定めねばならない．
二つの有理整関数

F (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,G(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm
において，n = m, a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn なる場合に限り，F (x), G(x) は相等しいと定義し，F (x) = G(x) によってこれを表す．
†

本章以下第 9 章までに関しては，H. Weber, Lehrbuch der Algebra I, 2. Aufl., 1912

参照．
§6.1,∗1 〔編者注：原著では「整関数」を主たる術語として採用しているが，現代では，整関数は専ら複素変数関数論において，複素平面全体で正則な関数を指す用語として定着している．そのため，本改訂版では，有理整関数と呼ぶことにする．また，多項式と呼ぶことも
多い．
〕

251

第6章

252

§ 6.2.

有理整関数

この相等の定義は第 1 章にあげた相等に関するすべての公理を満足する．

F (x), G(x) の和，差，積としては，それぞれ（n  m と仮定して）(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (am + bm )xm + am+1 xm+1 + · · · + an xn ,(a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + · · · + (am − bm )xm + am+1 xm+1 + · · · + an xn ,a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + · · ·+ (a0 bm + a1 bm−1 + · · · + am b0 )xm + (a1 bm + a2 bm−1 + · · · + am+1 b0 )xm+1+ · · · + (an−1 bm + an bm−1 )xn+m−1 + an bm xn+mを以て定義し，これを F (x) + G(x), F (x) − G(x), F (x) · G(x) により表す．
これより直ちに分かることは，有理整関数の間にも数の場合と同様に交換法則：F (x) + G(x) = G(x) + F (x),F (x)G(x) = G(x) · F (x)．

結合法則：F (x) + {G(x) + H(x)} = {F (x) + G(x)} + H(x)，F (x){G(x) · H(x)} = {F (x)G(x)}H(x)．
分配法則：F (x){G(x) + H(x)} = F (x)G(x) + F (x)H(x)が成立することである．

F (x), G(x) の次数を n, m とすれば，積 F (x) · G(x) の次数は n + m である．
F (x) ± G(x) の次数は，n > m ならば n になるが，n = m の場合には n より低くなることがある．

F (x), G(x) が共に数体 K の有理整関数ならば，その和，差，積もまたすべて K の
有理整関数である．

6.2.

有理整関数の除法． 二つの有理整関数

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ,(a0 = 0)g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm ,(b0 = 0)の次数をそれぞれ n, m とし，n  m と仮定する．この場合

f (x) = g(x)q(x) + r(x)(1)

を満足する二つの有理整関数 q(x), r(x) を定め，r(x) の次数を g(x) の次数より低くすることができる．しかもこれは唯一通りに可能である．

第7章 行 列
第1節
7.1.

置

式

†

換

行列式の起源． 多元一次方程式の一組，例えば

a1 x + b1 y + c1 z = d1 ,(1)

a2 x + b2 y + c2 z = d2 ,(2)

a3 x + b3 y + c3 z = d3(3)を解くには，まず (1), (2) より z を消去するため，(1) に c2 ，(2) に c1 をかけて相減じれば(a1 c2 − a2 c1 ) x + (b1 c2 − b2 c1 ) y = d1 c2 − d2 c1(4)が得られる．(1) に c3 ，(3) に c1 をかけて相減じれば(a1 c3 − a3 c1 ) x + (b1 c3 − b3 c1 ) y = d1 c3 − d3 c1(5)となる．次に (4), (5) より y を消去するため，(4) に (b1 c3 −b3 c1 )，(5) に (b1 c2 −b2 c1 )をかけて相減じれば{(a1 c2 − a2 c1 )(b1 c3 − b3 c1 ) − (a1 c3 − a3 c1 )(b1 c2 − b2 c1 )} x
= (d1 c2 − d2 c1 )(b1 c3 − b3 c1 ) − (d1 c3 − d3 c1 )(b1 c2 − b2 c1 ).

(6)

これより x が求められる．(6) の両辺を書直せば
c1 a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 − a3 b2 c1 x
= c1 d1 b2 c3 + d2 b3 c1 + d3 b1 c2 − d1 b3 c2 − d2 b1 c3 − d3 b2 c1†

本章に関しては Kowalewski, Einführung in die Determinantentheorie, 1909; Pascal,

Die Determinanten, 1900 参照．文献に関しては Muir, History of determinants 1–4, 1906–
1923, 特に 1 参照．

311

第7章

312

行

列

式

§ 7.2.

となる．この係数の形を見れば，ある一定の法則の存在が認められるであろう．これを拡張して n 個の変数を含む一次方程式の n 個の一組を考えるとき，係数を支配する法則の組織的研究が必要になる．
このような動機から行列式の概念が生まれ出たのである．欧州の数学史上で最も早くこの思想が現れたのはライプニッツが 1693 年にロピタルに送った書簡中であるが，これは 1850 年にゲルハルトがライプニッツ遺稿中から発見するまでは全く埋もれていた∗1 ．従って行列式の理論の発展には直接の影響を与えなかった．
行列式の理論の実際上の源泉はクラメルが 1750 年に公にした代数曲線に関する書∗2 であって，ライプニッツと同様に，やはり一次方程式の一組の解から出発している．
しかしながら林博士∗3 は，我国の大数学者，関孝和 (?–1708) の交式斜乗の法は行
列式そのものであって，関の発見年代は 1683 年以前であることを初めて公にされた．
すなわちライプニッツよりさらに 10 年余早いのである．
本章において我々は行列式の理論と応用に一斑を論じる．
まず置換なる概念から始めよう．

7.2.

置換． 今ここに n 個の物をとる．それは数であってもなくてもよろしい．

これを要素と名づけ，簡単のため数字 1, 2, . . . , n で表すことにする．
これら n 個の要素を番号の順に配列すれば，(1, 2, 3, . . . , n) となるが，これを他の任意の配列に換える．例えば，これを (p1 , p2 , . . . , pn ) とする．p1 , p2 , . . . , pn は全体
では 1, 2, . . . , n に等しいが，ただその順序が異なっているに過ぎない．一つの配列から他の配列に移る演算を置換と名づける．
⎛⎞ (1, 2, 3, . . . , n) から (p1 , p2 , p3 , . . . , pn )に移る置換を ⎝

1

2

3

···

n

p1

p2

p3

···

pn

⎠ で表す．

この置換においては，1 が p1 に，2 が p2 に，以下順次 n が pn に換わる点に重き§7.1,∗1

Leibniz, Math Schriften, Berlin, 1850, I, p.229, 238–240, 245; Gerhardt,

Berliner Ber., 1891.
∗2 Cramer, Introduction à l’Analyse des lignes courbes algébriques, 1750, pp.59–60,
656–659.
∗3 林，東京数学物理学会記事 (2) 5, 1910.

第8章 方 程
第1節
8.1.

式

†

低次方程式

二次方程式． 二次方程式の解法はすでにユークリッドの幾何学原本の中に，幾何学の衣をつけて論じている．しかしギリシャでは負数の概念が知られていなかったから，負根の考えは全然ない．これに反してインドでは正根負根の区別を認め，二次方程式の二根を定める公式が考えられているが，無論虚根の考えは未だ生じていなかった．虚根の存在を考えるようになったのは十六世紀のイタリアの数学者カルダノ，
ボンベリらから始まる．
二次方程式

a0 x2 + a1 x + a2 = 0を解くには，まず，x = y + λ とおいて，第二項の欠けた二次方程式に移す．このことを

f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0
について行えば，f (x) = 0 は次のようになる．

ϕ(y) = b0 y n + b1 y n−1 + b2 y n−2 + · · · = 0,
ただし

b0 = a0 , b1 = na0 λ + a1 , b2 =n(n − 1)
a0 λ2 + (n − 1)a1 λ + a2 , . . .
2

故に

λ=−

a1
na0

とすれば，y n−1 の項はなくなる．
† 〔編者注：第 2 節以降で述べるが，ある区間内における方程式の解の個数を知る方法は，二分法と組合せて応用数学上重要である．〕

423

第8章

424

方

程

式

§ 8.2.

これを二次方程式に施せば次のようになる．

ϕ(y) = b0 y 2 + b2 = 0,b 0 = a0 ,b2 = (4a0 a2 − a1 2 )/4a0 .

故に

y=±
従って

x=

1
2a0

−a1 ±

a1 2 − 4a0 a2 ,√a1 2 − 4a0 a22a0が与えられた方程式の根である．

8.2.

三次方程式∗1 ． 三次方程式

f (x) = a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = 0に上記の方法を適用すると次のようになる．

ϕ(y) = b0 y 3 + b2 y + b3 = 0.
ただし

b 0 = a0 ,b2 = (−a1 2 + 3a0 a2 )/3a0 ,b3 = (2a1 3 − 9a0 a1 a2 + 27a0 2 a3 )/27a0 2 .
今 ϕ(y) = 0 を簡単のために

y 3 + ay + b = 0の形に直し，y = u + v とおけば

u3 + v 3 + (3uv + a)(u + v) + b = 0.
故に

3uv = −aとすれば§8.2,∗1

三次方程式は球および円筒に関する Archimedes の論文の中で初めて現れた．三次方程式の分類と解法とを論じた人にアラビアの Omar Alkayyami があるが，これは二つの円錐曲線の交点を定める問題に導いたのであって，真の代数的解法は十六世紀の Scipione delFerro が初めて与えた．Cardano と Tartaglia との間の三次方程式の解法についての論争はCantor の Geschichte der Math. II, pp.490–494 に詳しく出ている．

第9章

方程式と二次形式

第1節
9.1.

二次形式

†

二次形式． スツルム以後におけるスツルムの定理の発展を論ずるには，当然二次形式の理論を必要とする．しかし二次形式の理論は第 2 巻で改めて論じるので，ここでは当面の目的に必要なもののみに止める．

n 個の変数 (x1 , x2 , . . . , xn ) の二次の同次関数n
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =aik xi xk ,(aik = aki )i,k=1

を，これらの変数の二次形式といい，その係数の作る行列式



 a11


 a21
D = 
· · ·


an1

a12

···

a22

···

···

···

an2

···



a1n 


a2n 


···


ann 

をこの二次形式の行列式と名づける．これは一つの対称行列式である．

xi = ci1 y1 + ci2 y2 + · · · + cin yn ,(i = 1, 2, . . . , n)(i)とすれば，f (x1 , x2 , . . . , xn ) は (y1 , y2 , . . . , yn ) の二次形式になる．これをF (y1 , y2 , . . . , yn ) =n

bpq yp yq

p,q=1

とすれば
n


aik (ci1 y1 + ci2 y2 + · · · + cin yn )(ck1 y1 + ck2 y2 + · · · + ckn yn )i,k=1に等しいから，yp yq の係数を比較して† 〔編者注：二次形式は，今日では線形代数学の中で論じられるが，数学全般，統計学さらには情報科学等において，重要な概念や最適解探索アルゴリズムなどを提供する基盤理論である．
〕

489

第9章

490
bpq =
を得る．故に eiq =n

§ 9.1.

方程式と二次形式

aik cip ckq =



cip

i

i,k=1

aik ckq とおけば bpq =

aik ckqk

cip eiq となり，行列式の乗法によりik|eik | = |aik | · |cik |,|bik | = |cik | · |eik |,すなわち|bik | = |aik | · |cik |2を得る．これは f (x1 , x2 , . . . , xn ) の行列式 |aik | と F (y1 , y2 , . . . , yn ) の行列式 |bik |との間の関係を示すもので，重要な意義をもつものである．これを次に定理として掲げておく．
定理 1. 二次形式




aik xi xk が (i) なる一次変換によって，
bik yi yk となればその行列式の間には次の関係が成立する．

|bik | = |aik | · |cik |2 .
このようにして (x1 , x2 , . . . , xn ) の二次形式を (y1 , y2 , . . . , yn ) の二次形式に変換すれば，次の定理を得る．
定理 2. 二次形式 f (x1 , x2 , . . . , xn ) が ρ 個の変数の二次形式に直され，決して ρより少ない変数の二次形式に直されないために必要にして充分なる条件は，二次形式

f の行列式の階数 r が ρ に等しいことである．
これを次のように二段に分けて証明する．
まず f (x1 , x2 , . . . , xn ) が F (y1 , y2 , . . . , yn ) に変換されたとき，変数の数が n より少なくなったとする．例えば yn が全く入ってこないとすれば，b1n , b2n , . . . , bnn な
る係数は皆 0 である．故に |bik | = 0 となる．従って上の関係式より |aik | = 0 とな
る．何となれば (x1 , x2 , . . . , xn ) なる変数は互いに独立であるから |cik | は 0 でないからである．
故に二次形式 f の行列式 D の階数 r が n に等しければ，f は決して n 個より少ない変数の二次形式には直らないことが分かる．
次に r < n の場合を考える．今仮に