４．比例・反比例の変域・図形・複合問題ほか【問１】
太郎さんは，ある日の放課後，スクールバスが学校前を出発するのと同時に，自転車で学校前を出発し，このバスと同じ道路を通って帰宅した。バスは，学校前を出発し，バス停Ｂまで行って，学校前に戻る。行きは，バス停Ａ，Ｂでそれぞれ１分間停車し，帰りは，同じ道路を学校前まで停車せずに戻るものとする。自転車とバスはそれぞれ常に一定の速さで走り，バスの速さは時速 45 km とする。図１を見て，あとの問いに答えなさい。
（山形県 2002 年度）
図１

１．学校前を出発してから x 分後の，学校前から太郎さんまでの距離を y

図２km として，x と y の関係をグラフに表すと図２のようになった。太郎さん
は毎分何 km の速さで進んだか，グラフから読み取って答えなさい。

２．学校前を出発してから x 分後の，学校前からバスまでの距離を y kmとして，次の(1)，(2)に答えなさい。
(1) バスが，学校前を出発してからバス停Ａに着くまでの x と y の関係を表すグラフを，解答欄のグラフにかきなさい。

(2) バスが，バス停Ａを出発してからバス停Ｂに着くまでの，x と y の関係を式に表しなさい。x の変域も書くこと。

３．太郎さんが，戻ってきたバスとすれ違うのは，学校前を出発してから何分何秒後か，求めなさい。

km/分

１(1)
２(2)
３式

（分秒後≦x≦）【問２】関数 y＝ax(a は定数) について，x＝6 のとき y＝2 である。x の変域が 3≦x≦8 のときの y の変域を求めよ。
（熊本県 2002 年度）

≦y≦

【問３】
はる子は，ある作文コンクールに友人たちと応募することにした。みんなの作文をまとめて送るために，郵便物の重さと郵便料金との関係を調べた
ら，表のとおりであった。この表で，郵便物の重さが x g のときの郵便料金を y 円とすると，y は x の関数である。この関数のグラフをかけ。ただし，xの変域は 0＜x≦200 とする。
（熊本県 2002 年度）

郵便物の重さ 郵便料金
50 gまで120円
75 gまで140円
100 gまで160円
150 gまで200円
200 gまで240円

【問４】１分間に 3ℓ ずつ水を入れると，100 分で満水になる水そうがある。表を参考にして，次の各問いに答えなさい。
（沖縄県 2002年度）
2

3

4

満水になるまでの時間（分）

ア

10075

問１．１分間に 2ℓ ずつ水を入れるとき満水になるまでの時間

アを求めなさい。

１分間に入れる水の量（ℓ ）15

問２．１分間に x ℓ ずつ水を入れるとき，満水になるまでの時間を y 分とする。このとき，y を x の式で表しなさい。

問３．問２で，x の変域が 1≦x≦5 のとき，y の変域を求めなさい。

問１
問２
問３分y＝≦y≦【問５】20図において，①は関数y＝ x のグラフである。また，点Aは双曲線①上にあり，その座標は（－10，－2）である。
このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（静岡県 2003 年度）
20(1) x の変域が 1≦x≦5 のとき，関数 y＝の y の変域を求めxなさい。

(2) 直線 OA と双曲線①との交点のうち，x 座標が正である点をB とする。また，y 軸上に，y 座標が正である点 C と，y 座標が負である点 D をとる。四角形 ADBC が平行四辺形で，その面積が 85 となるときの，２点 C，D の座標を求めなさい。
求める過程も書きなさい。

(1)
求める過程

(2)

答 C（，）， D（，）

【問６】図のように，関数 y＝2x，y＝aのグラフがあります。２つのグラフは２点で交わxっており，その交点を A，B とします。y 軸について点 A，B と対称な点をそれぞれC，D とします。長方形 ACBD の周の長さが 24 であるとき，a の値を求めなさい。
（広島県 2003 年度）【問７】
A さんは公園で毎日ジョギングをしています。A さんがジョギングにかける時間は日によって異なりますが，ジョギングをする速さは一定で，30 分間のジョギングをしたときに走る道のりは 4 km になります。A さんがジョギングを x 分間したときに走る道のりを y km とします。x の変域が 15≦x≦90 のとき，y の変域を求めなさい。
（広島県 2005 年度）
≦ y ≦

【問８】
y は x に比例し，x の値が－3 から 2 まで増加するとき，y の値は 10 減少する。このとき，y を x の式で表しなさい。
（新潟県 2007 年度）【問９】y は x に比例し，比例定数は－4 である。x の変域が－1≦x ≦5 のときの y の変域を求めなさい。
（長野県 2007 年度）≦ y≦【問 10】図のように，関数 y＝aのグラフ上に x 座標が正である点 P をとり，その x 座標を t とする。ただし，a＞0 とする。
x点 P から x 軸，y 軸に垂線をひき，その交点をそれぞれ Q，R とする。t＝2 のとき，四角形 OQPR は正方形になった。
次の問いに答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さは 1 cm とする。
（兵庫県 2007 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．次の①，②にあてはまる数や式を書きなさい。

辺 OR の長さを t を使って表すと①cm となる。

よって，四角形 OQPR の面積は②cm2 であり，t の値に関係なく一定である。

問３．四角形 OQPR を，x 軸を軸として 1 回転させてできる立体の体積を V cm3，y 軸を軸として 1 回転させてできる立体の体積を W cm3 とする。このとき，t と体積 V の関係，t と体積 W の関係を，次のア～オから選び，それぞれ記号で答えなさい。
ア 比例の関係があり，t の値が増加するにつれて体積は増加する。
イ 比例の関係があり，t の値が増加するにつれて体積は減少する。
ウ 反比例の関係があり，t の値が増加するにつれて体積は増加する。
エ 反比例の関係があり，t の値が増加するにつれて体積は減少する。
オ t の値に関係なく，体積は一定である。

問１a＝(1)

問２
(2)

問３

t と体積 V の関係

t と体積 W の関係

【問 11】
大小 2 つのさいころを投げ，大きいさいころの目を a，小さいさいころの目をb とするとき，それぞれを x 座標，y 座標とする点 (a，b) をとる。このようにして決まる 36 個の点のうち，図の点(1，1) のように，反比例 y＝6x(x＞0)のグラフよりも下側にある点は，点(1，1)を含めて何個あるか答えなさい。ただし，グラフ上の点は含まないものとする。
（鳥取県 2007 年度）個【問 12】
図のように，点 A (2，－3) を通る関数 y＝ax のグラフがあります。この関数について，x の変域が－3≦x≦4 のとき，y の変域を求めなさい。
（広島県 2007 年度）【問 13】
図のように，関数 y＝aのグラフ上に 3 点 A，B，C がある。A の座標はx(6，1) で，B の x 座標は－2，C の y 座標は 3 である。次の問１～問３に答えなさい。
（群馬県 2008 年度）
問１．a の値を求めなさい。

問２．2 点 B，C を通る直線の式を求めなさい。
問３．三角形 ABC の面積を求めなさい。
問１
問２
問３

【問 14】
面積が 8 cm2 である長方形の縦の長さを x cm，横の長さを y cm とする。x の変域が 1≦x≦4 のときの y の変域を求めよ。
（愛知県Ｂ 2008 年度）【問 15】
図 1 のように，y＝x のグラフと y＝aのグラフが 2 点 P，Q でx交わっている。線分 PQ を対角線とする正方形の面積が 36 のとき，aの値を求めなさい。
（滋賀県 2008 年度）

a＝【問 16】y は x に比例し，x＝2 のとき y＝－6 である。また，x の変域が－2≦x≦1 のとき，y の変域は α≦y≦b である。
このとき，a，b の値を求めなさい。
（鳥取県 2008 年度）
a＝【問 17】
図において，2 点 A，B は反比例 y＝a(a＞0) のグラフ上にあり，x点 A の x 座標は 1，点 B の x 座標は 3 である。A，B から x 軸に垂線をひき，x 軸との交点をそれぞれ P，Q とする。四角形 APQB の面積が 4 であるとき，a の値を求めなさい。
（山形県 2009 年度），b＝【問 18】関数 y＝12で，x の変域を 1≦x≦4 とするとき，y の変域を求めなさい。
x（茨城県 2009 年度）≦ y ≦【問 19】
図のように，y が x に比例する関数㋐のグラフと，y が x に反比例する関数㋑のグラフが，点 P で交わっている。点
P の座標が (2，4) であるとき，次の各問いに答えなさい。
（三重県 2009 年度）(1) 関数㋐，㋑のそれぞれについて，y を x の式で表しなさい。

(2) y＝2 のグラフと関数㋐，㋑のグラフの交点をそれぞれ Q，R とするとき，△PQR の面積を求めなさい。ただし，座標の 1 目もりを 1 cm とする。

(1)

㋐ y＝

(2)

【問 20】
図のように，x の変域を x＞0 とする関数 y＝18のグラフ上に 2 点 A，B がxあります。2 点 A，B から x 軸にそれぞれ垂線 AC，BD をひきます。線分 AC上に BE⊥AC となるように点 E をとります。点 A の x 座標が 2，四角形 BECDの面積が 10 のとき，点 B の座標を求めなさい。
（広島県 2009 年度）㋑ y＝cm2

【問 21】
図で，点 O は原点であり，直線①は関数 y＝3x のグラフである。点 A は x 軸上の点で，その x 座標は正の整数である。点 A を通り，y 軸に平行な直線をひき，直線①との交点を B とする。また，点 B を通り，x 軸に平行な直線をひき，y 軸との交点を C とする。
これについて，次の(1)～(3)の問いに答えよ。
（香川県 2009 年度）(1) 次の㋐～㋓のうち，関数 y＝3x について正しく述べたものはどれか。1 つ選んで，その記号を書け。
㋐ y は x に反比例する㋑ グラフが点 (2，6) を通る㋒ x の値が 3 増加すると，対応する y の値は 1 増加する
㋓ x の値が 2 倍になると，対応する y の値は 6 倍になる

(2) 点 A の x 座標を a とする。線分 OB 上 (点 O，点 B を含む) にある x 座標，y 座標がともに整数となる点は，全部で何個あるか。a を使った式で表せ。

(3) 長方形 OABC の周上にある x 座標，y 座標がともに整数となる点の個数が，線分 OB 上 (点 O，点 B を含む) にある x 座標，y 座標がともに整数となる点の個数より，41 個多くなるとき，点 A の x 座標はいくらか。点 A の x 座
標を a として，a の値を求めよ。a の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

(1)(2)個a の値を求める過程(3)

【問 22】図のように，y＝3ax …①， y＝4x(x＞0，a は定数)…②のグラフがあり，その交点の x 座標は 3 である。
このとき，a の値を求めると，a＝アである。また，②のグラフ上にあり，x 座標と y 座標がともに自然数である点の個数は， イア， イ個である。に当てはまる数を求めなさい。
（熊本県 2009 年度）

アイ【問 23】
図は y＝18のグラフである。x の変域が－6≦x≦－2 のときの y の変域を求めなさい。
x（青森県 後期 2010 年度）【問 24】y は x に比例し，その比例定数は負の数です。x の変域が－6≦x≦3 のとき，y の変域は－7≦y≦す。になりまにあてはまる数を求めなさい。
（宮城県 2010 年度）

【問 25】図において，①は反比例 y＝aのグラフ，②は比例 y＝x のグラフであり，①と②は 2 点 P，Q で交わっている。線x分 PQ の長さが 6 2 であるとき，a の値を求めなさい。
（山形県 2010 年度）【問 26】
図において，①は関数 y＝7のグラフである。曲線①上に，x 座標が正である点 A をとり，AO の延長と曲線①とのx交点を B とする。点 A を通り x 軸に平行な直線と，点 B を通り y 軸に平行な直線との交点を C とする。また，点 Aを通り y 軸に平行な直線と，点 B を通り x 軸に平行な直線との交点を D とする。このとき，長方形 ACBD の面積は，点 A が曲線①上のどこにあっても一定の値である。その値を求めなさい。
（静岡県 2010 年度）

【問 27】図のような使い残した針金の重さをはかったところ 400 g あった。この針金の 10 cm の重さは 2 g である。使い残した針金の長さは何 m か，次のア～エから 1 つ選びなさい。
（徳島県 2010 年度）
図ア 10 mイ 20 mウ 40 mエ 80 m【問 28】
図において，①は関数 y＝ax，②は関数 y＝18のグラフである。点 A は①と②の交点で，その y 座標は 6 である。
x

このとき，次の問１～問４に答えなさい。
（高知県 前期 2010 年度）
問１ 点 A の座標を求めよ。
問２ 定数 a の値を求めよ。
問３ ②のグラフ上の点で，x 座標と y 座標がともに自然数となる点は全部で何個あるか。
問４ 点 A から x 軸，y 軸にひいた垂線が x 軸，y 軸と交わる点をそれぞれ B，C とし，①のグラフに点 P，y 軸上に y 座標が 8 である点 Q をとる。三角形 OPQ の面積が四角形 OBAC の面積と等しくなるとき，
点 P の x 座標をすべて求めよ。

(問１問２問３問４，)

a＝個【問 29】図において，四角形 ABCD は AB＝4 cm，AD＝8 cm の長方形であり，2 点 P，Q は，それぞれ辺上を動く点である。点 P は，A を出発して，B まで毎秒 1 cm の速さで動く。点 Q は，点 P が A を出発するのと同時に B を出発して，C まで毎秒 2 cm の速さで動く。2 点 P，Q が出発してからの時間を x 秒とするとき，次の問１～問３に答えなさい。
（高知県 後期 2010 年度）
問１ x＝1 のとき，線分 PQ の長さを求めよ。

問２ 0＜x＜4 のとき，PB＋BQ の長さを，x の式で表せ。

問３ 0＜x＜4 で，PB：BQ＝5：6 となるとき，三角形 PBQ の面積を求めよ。

cm問１

問２

問３() cmcm2

【問 30】
校内マラソン大会において，一郎と大輔はスタート地点を同時に出発し，同じコースをそれぞれ一定の速さで走った。出発してから 4 分後に，一郎はスタート地点から 1000 m の地点を，大輔はスタート地点から 800 m の地点を通過した。
図は，2 人が出発してからの時間と，それぞれが走った距離との関係を表したグラフの一部である。
このとき，次のア， イに当てはまる数を入れて，文を完成しなさい。
（熊本県 2010 年度）

2 人がスタート地点を出発してから 10 分間に走った距離は，一郎の方が大輔よりアm 長かった。

また，スタート地点からイm の地点を，一郎が通過してから 4 分 15 秒後に大輔も通過した。

アイ【問 31】
関数 y＝12について，x の変域が 3≦x≦9 のときの y の変域は a≦y≦4 である。a の値を求めよ。
x（鹿児島県 2010 年度）
a＝【問 32】図のように，AB＝10m，BC＝20m の長方形 ABCD の空き地に，∠B を内角とする長方形で，面積が 80m2 の花壇をつくることになりました。この花壇の AB 上にある辺の長さを xm，BC 上にある辺の長さを ym として，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（宮城県 2011 年度）(1) y を x の式で表しなさい。ただし，x，y の変域は答えなくてもよいものとします。

(2) 花壇の 1 辺を BC にしたときの花壇の周りの長さは，花壇の 1 辺を AB にしたときの花壇の周りの長さの何倍になるか，求めなさい。

(1)
(2)

倍

【問 33】
点(2，－1) と原点について対称な点の座標を求めなさい。
（栃木県 2011 年度）(，)

【問 34】
毎分 10  の割合で水を入れると，30 分で満水になる空の水そうがある。この水そうに毎分 15  の割合で水を入れると，水そうが満水になるのは水を入れ始めてから何分後か。
（栃木県 2011 年度）
分後【問 35】ある鉄道の運賃は，乗車する距離によって表の通りになっています。これを，乗車する距離を x km，運賃を y 円として x と y の関係のグラフに表すと，次のグラフのようになります。
距 離
0～ 6 km まで～11 km まで～19 km まで～27 km まで～40 km まで

運 賃
160 円
190 円
230 円
270 円
300 円

T さんは，この鉄道の沿線を一人で旅行するのに，鉄道を利用するか，自動車を自分で運転して行くかを決めようとしています。T さんの自動車は，120 円分のガソリンで 10 km 走ることができます。
このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。ただし，鉄道，自動車いずれの場合も，鉄道の沿線を旅行する距離は同じとします。
（埼玉県 後期 2011 年度）(1) T さんが自動車で旅行をする場合，自動車を走らせる距離を x km，そのとき使ったガソリン代を y 円とするとき，y を x の式で表しなさい。

(2) T さんは，25 km 以上 30 km 以下の距離を旅行するのに，鉄道と自動車のどちらが得かを決めようとしています。鉄道の運賃と自動車のガソリン代を比べたとき，鉄道，自動車のどちらを利用した方が得かを書きなさい。その際，どちらを利用した方が得かの理由を，(1)で求めた式のグラフをかいて，それをもとに金額の違いを具体的に述べながら説明しなさい。

(1)y＝〔説明〕(2)

よって，() を利用した方が得である。

【問 36】図のように，関数 y＝13のグラフ上に x 座標が正の数である 2 点 A，B があり，関数 y＝ のグラフ上に x 座標がxx正の数である 2 点 C，D があります。直線 AC，BD はそれぞれ x 軸，y 軸に平行で，AC＝BD です。直線 AC と直線 BD との交点を E とします。このとき，点 E の x 座標と y 座標は等しくなります。このわけを，点 E の座標を (a，b) として，a，b を使った式を用いて説明しなさい。
（広島県 2011 年度）【問 37】
厚さが一定の 1 枚の厚紙から，図１のような 1 辺の長さが 20 cm の正方形と，図２のような形を切り取って，それぞれ重さをはかると，20 g，4 g であった。このとき，図２の形の面積を求めなさい。
（山口県 2011 年度）
図１

図２cm2

【問 38】
1 周 400m のトラック (図１) を，A さんと B さんがそれぞれ一定の速さで走る。出発して x 分後までに走った距離を ym とする。図２は A さんと B さんそれぞれについて，x と y の関係を表したグラフの一部である。
このとき，次の各問いに答えなさい。
（沖縄県 2011 年度）
問１ A さんのグラフについて，y を x の式で表しなさい。

図１

問２ A さんと B さんが同時にスタート地点より出発し，矢印方向に走る。A さんと B さんが最初に並ぶのは，出発して何分後か求めなさい。

図２

問３ C さんがこのトラックを 10 周走った。はじめは A さんと同じ速さで走り，途中から B さんと同じ速さで走ったところ，全体で 17 分かかった。このとき，C さんが A さんと同じ速さで走ったのは何分間か求めなさい。

問１

y＝

問２

分後

問３分間