中学校数学における方程式の理解に関する研究―等式の性質の用い方の理解に関する困難性に焦点を当てて―

鷹野 公俊（M19EP030）

１. はじめににおける等式の性質の用い方について理解し図１は, 平成29年度全国学力・学習状況調ているかどうかをみる」とされており, 全国査（以下全国調査）の問題の一部である。この正答率は64.8%であった。の問題の趣旨は, 「簡単な一元一次方程式を3 次の（１）から（４）までの各問いに答□解くことができるかどうかをみる。」とされており, 全国の正答率は83.2%であった。

えなさい。

数学 A □
3 方程式の解き方とその利用（１）一次方程式 6𝑥 − 3 = 9 を次のように解きました。

3 次の（１）から（４）までの各問いに答えなさい□

6𝑥 − 3 = 9……①6𝑥 = 9 + 3……②6𝑥 = 12𝑥=2（１）一次方程式 4𝑥 = 7𝑥 + 15 を解きなさい

図１：平成29年度全国調査 数学A□
3
これまでに出題された全国調査のうち,「簡単な一元一次方程式を解く問題」を整理

上の①の式から②の式へ変形してよい理由

すると, 次の表１のような結果になる。

として正しいものを, 下のアからエまでの中から１つ選びなさい。

表１：簡単な一元一次方程式を解く問題
問題番号

問題の概要

正答率

H19A3(2)

一 元 一 次 方 程 式

83.6%

ア

り立つから, ②の式へ変形してよい
イ4(𝑥 + 5) = 80 を解く
H20A3(1)

一 元 一 次 方 程 式①の式の両辺に３をたしても等式は成①の式の両辺から３をひいても等式は成り立つから, ②の式へ変形してよい

78.4%

ウ

①の式の両辺に３をかけても等式は成−5𝑥 + 7 = −𝑥 + 31

り立つから, ②の式へ変形してよいを解く
H25A3(1)

一元一次方程式 3𝑥 +

エ

74.4%

①の式の両辺を３でわっても等式は成り立つから, ②の式へ変形してよい

7 = 9 を解く
H28A3(1)

一元一次方程式 𝑥 +71.9%

図２：平成30年度全国調査 数学A□
3

12 = −2𝑥 を解く
H29A3(1)

一元一次方程式 4𝑥 =83.2%

これまでに出題された全国調査のうち,7𝑥 + 15 を解く「等式の性質の用い方の理解を問う問題」を

図２は平成30年度全国調査の問題の一部で整理すると, 表２のような結果になる。

ある。この問題の趣旨は「方程式を解く場面

1表２：等式の性質の用い方の理解を問う問題

うな手段が考えられるかを先行研究から明ら

問題番号

問題の概要

正答率

かにし, 実際に指導を行う。指導が有効である

H19A3(1)

一元一次方程式 7𝑥 =61.7%

かを調査問題から明らかにしていく。

5𝑥 + 6 を 解 く と き ,２. 研究の視点

移項の意味を選ぶ
H21A3(1)

一元一次方程式 4𝑥 +藤井斉亮他（2016）では, 「方程式を変形7 = 15 を 解 く と き ,するには, 次の 等式の性質 が使われる」と移項の意味を選ぶ
H24A3(3)

一元一次方程式 7𝑥 =（図（１）等式の性質について69.1%述べた上で, 等式の性質を図３のようにまと79.6%めている。

4𝑥 + 6 を解く際に用いられている等式の性質を選ぶ
H25A2(4)

二元一次方程式 2𝑥 +74.6%

3𝑦 = 9 を 𝑦 について解く際に用いられている等式の性質を選ぶ
H27A3(1)

一元一次方程式 7𝑥 =79.8%

5𝑥 + 4 を解く際に用いられている等式のさらに, 図３を示したうえで,性質を選ぶ
H30A3(1)

一元一次方程式 6𝑥 −

64.8%

また

3 = 9 を解くとき, 移5□項の意味を選ぶ
表１と表２を概観してみると, 移項と等式等式の両辺を入れかえても, 等式は成り立つ。

𝐴=𝐵の性質は出題された全ての問題において用いならば𝐵=𝐴として, □5 の性質も紹介している。

られており, その重要性がわかる。また,「簡単な一元一次方程式を解く問題」の正答

古藤（1991）は, 「方程式を解くとは, どう率は約80％であるが, 「等式の性質の用い方いうことか。それは, 与えられた方程式を同値の 理 解 を 問 う 問 題 」 の 正 答 率 は 約 70 ％ で あ変形して, 最も簡単な方程式 𝑥 = 𝑎 を求めるる。特に注目したのはH19, H21, H30 の「移項ことである。その 𝑥 = 𝑎 が解であり, この同の意味を選ぶ問題」の正答率の低さである。

値変形に用いられるのが『等式の性質』であ筆者はこの正答率の差に着目した。等式の性る。」と述べており, 等式の性質は, 方程式を質と移項の重要性や、２つの問題の正答率の解く際の同値変形の根拠であると述べてい差から, 私は等式の性質の指導方法を検討する。

る必要があるのではないかと考えた。

半田（1995）は, 「方程式の指導ではこれしたがって本研究では, 方程式を解く場面を機械的に解けるようになることのみに力点における等式の性質の用い方に焦点を当て, 等がおかれる指導もよくみられる。方程式が機式の性質を生徒に理解させるためにはどのよ械的に解けるようになること, つまりアルゴリ

2ズムのよさを身につけさせることは大切ではまた, 杉山（2006）は「覚えることは少ないあるが, これのみが方程式指導の最重点ではなけれども, それから多くのものが作り出せるよい。」と述べている。これに加え「方程式を解うにしておく, 忘れても思い出せるようにしてくことは, 等式の性質を用いた同値変形であおく,る。……すなわち, 等式の両辺に同じ数を同じ…覚えることを少なくして, できることを多くような操作をしたとき, また等式になるというする……基礎的な知識に結びつけていろいろこと自身の理解は生徒にとって理解困難なこなことを理解することが大事である。」と述べとではなく, 生徒にとっては当たり前の性質でており, Skemp が述べる関係的理解の重要性ある。大切なことは, 等式の性質によって解がと同様のことを主張している。

こういうことが大事なことである。…

変わらないという同値変形をしていることのSkempや杉山の主張から, 移項の根拠が等理解である。」と述べており, 同値変形の理解式の性質にあることを理解させることは大切が大切であることを主張している。

であることがわかった。したがって, 移項の根以上の先行研究から, 等式の性質の重要性を拠が等式の性質にあることを理解させる活動

生徒に強調する活動に加え, 同値変形であるこを考案する。とを理解させるような活動を考案する。
（３）試みたい工夫（２）移項の根拠が等式の性質にあること

以上の先行研究を踏まえて, 次に示す(Ⅰ)

全国調査では, 移項の根拠が等式の性質にあ～(Ⅲ)の方法で計画・実施していく。

ることを問う問題が出題されている。移項に(Ⅰ) 等式の性質を黒板に常に掲示する

よって式変形は簡単になるが, あえてその根拠

この方法では, 等式の性質を黒板に常にを問うていることについて考察する。

掲示しておく。この取り組みは, 生徒に等

Skemp（1992）は, 理解について「関係的式の性質を常に意識させ, いつでも既習事理解」と「道具的理解」の二つを区別してい項に戻ることを目的としている。

る。「関係的理解」とは, なすべきこととその理由をともに知っていることであり, 「道具的(Ⅱ) 生徒が解説を行う際に根拠を説明させる理解」とは, 理由づけのない規則の適用である

この方法は, 生徒が板書した解答を生徒としている。ただ単にやり方だけを覚えて, 問自身が解説する際に, 式変形の根拠を逐一題に適用する生徒は, Skemp のいう「道具的尋ねる。この取り組みは等式変形の根拠が理解」をしている生徒であり, 移項の根拠を理等式の性質にあることを意識させることに解しつつ問題に適用できる生徒は「関係的理より, 同値変形の理解, 移行の根拠が等式解」をしている生徒であるといえる。関係的の性質にあることを理解させることを目的

理解には以下のような長所が挙げられていとしている。

る。
(Ⅲ) 解を元の方程式に代入し, 等式が成りた<関係的理解の長所>つか確認したり, 逆算を行ったりする。

① 新しい課題を解決するのにより適している

この方法は, 等式の性質を用いて式を変② 記憶するのがより容易である

形しても方程式の解は変わらないという,③ 関係的知識は, それ自身を目標とすること同値変形であることの理解を図ることを目ができる的としている。

④ 関係的シェマは, 質において有機的である

3

３. 検証授業の目的と方法には説明の根拠を言うように指導しておく。

（１） 検証授業の方法

生徒が解説をする際に, 根拠が示せない場合○対象校：山梨県内公立中学校には, 筆者が「なぜこの式に変形できる○対象生徒：第１学年生徒(54名)の？」と根拠を尋ねることによって, 等式変○授業実践

形の根拠が等式の性質にあることを意識させ・単元：方程式る。この方法は方程式の単元, 全10時間の授・指導計画（全10時間）

業で実施する。

(1)方程式とその解き方
1.方程式とその解(3時間)(Ⅲ)の方法

2.方程式の解き方(1時間)

等式の性質を用いて方程式を解いた後に ,3.いろいろな方程式(2時間)解を元の方程式に代入させる。この活動によ(2)一次方程式の利用
1.一次方程式の利用って「等式の性質を用いて方程式を変形させ(4時間)たのであるから, 元の方程式に代入しても等式は成り立つ」ということを実感させる。こ（２） 検証授業で取り組む工夫の具体の方法は, 方程式の単元3時間目以降, 全ての検証授業における, (Ⅰ)～(Ⅲ)の具体的な方時間で実施する。

法を考察する。

また, 方程式の導入の場面では「貯金箱の(Ⅰ)の方法中の50円玉は何枚か」という題材で, 生徒それぞれに文字式を立てさせる。
方程式の利用に入る前に, その際に出てきた解 𝑥 = 200 を等式変形すれば, それぞれが立てた式に戻ることを確認する。
例：

𝑥 = 200
4𝑥 = 800
4𝑥 + 236 = 1036

この方法は, 方程式の単元1時間目, 7時間目において実施する。
図４：「等式の性質」のカード（３） データの収集
等式変形の性質の指導以降, 図４の「等式検証授業において収集したデータは, 映像の性質」のカードを常に黒板に貼りだしておと音声の記録, 生徒の書いたノート, 学校がき, 生徒が等式の性質を意識しやすいように行っている「自主学習ノート」である。ビデする。この方法は方程式の単元, 全10時間のオカメラは一台使用した。ビデオカメラは ,授業で実施する。

教室と黒板を中心に全体を撮影した。

(Ⅱ)の方法

４. 検証授業の実際解答を生徒に板書させ, その解答について以下では(Ⅰ)～(Ⅲ)の方法を実践した際の板書した生徒自身や, 他の生徒に解説をさせ筆者による見取りや生徒のノートなどから,る活動を授業内に取り入れる。また, その際(Ⅰ)～(Ⅲ)のそれぞれの良かった点や, 課題

4

点を省察する。に代入しても方程式は成り立つの？」とい(Ⅰ)の方法

う発問をし, 元の方程式に解を代入する活【成果】

動を行った。その際に生徒から「答え・方法(Ⅱ)の実践の際に, 生徒が掲示され（解）は変わらないんだ」（下線部筆者加ている等式の性質を指さしながら説明をす筆）という発言が出された。筆者はこの発る様子が見られた。

言を, 生徒が同値変形を理解した発言と判【課題】
・断した。

授業を観察していた先生から「作りが雑【課題】なので, 生徒にとって印象が悪い」という・等式変形を行わずに, 左辺が5になる数を意見を頂いた。また, 生徒の中には「文字探していた生徒がいたが, この生徒にとっが小さくて見えにくい」と発言していた者ては 𝑥 = −4 を代入したときに, 𝑥 + 9 = 5もいたので, 型紙で作ることや, 文字のフが成り立つことは自明であった。そのため,ォントを大きくするなどのデザインを見直等式変形を用いて解を求める技能をある程す必要があった。

度習熟した後に, この方法を行う方が良いのではないか, という示唆が得られた。

(Ⅱ)の方法・

数学的には同値変形であることは確認で【成果】

きるが, 問題文と合わせて式を読み取るこ・

図５のように, 生徒自身が「−1」や「÷とができなかった。この課題を改善するた(−2)」, 矢印などを書き込み, 説明を行っめに, 天秤のモデルと関連付けて方法(Ⅲ)ている様子が見られた。この様子から, こを行うことが有効であると考えられる。その生徒は移項の根拠が等式の性質にあるこの理由は, 天秤のモデルであれば, 問題文とを確認できていたといえる。と合わせて式変 形を読 み取る必要はな く ,式変形の様子を視覚的に確認することができる。平林（1987）「天秤の二つの皿は方程式の両辺に, 天秤のつりあいは方程式における相当性（いわゆる『等号の成立』）に対応させられ, 天秤のつりあいに関する物理的知識は, いわゆる「等式の性質」の理解に利用される。」と述べており, 天秤

図５：移項の指導の際の生徒の記述のモデルは等式の変形が物理的知識に対応できることを示している。したがって, 逆(Ⅲ)の方法

算を行う活動においても天秤のモデルを併【成果】用して指導に当たると有効であると考えら・れる。

等式変形の導入時, 次のような場面があった。

５. 調査問題𝑥+9=5（１） 調査問題の対象

𝑥+9−9=5−9

令和元年11月初旬, 検証授業を受けていた

𝑥 = −4

生徒54名に対して調査を行った。

筆者は「この 𝑥 = −4 , って 𝑥 + 9 = 5

5

（２） 調査問題の内容

さい。

検証授業の効果を測定するために, 「方程ア式の解を求める問題」「移項の根拠が等式の①の式の両辺に7をたしても等式は成り立つから, 移項してよい。

性質にあることを問う問題」が同一年度に採イ

用されている平成21年度の全国調査を基に作①の式の両辺から7をひいても等式は成り立つから, 移項してよい。

成する。また, 解答時間は15分とする。

ウ

なお, 全国調査は中学校第３学年を対象に①の式の両辺に7をかけても等式は成り立つから, 移項してよい。

行っているが, 調査問題の対象者は中学校第エ①の式の両辺を7でわっても等式は成り立つから, 移項してよい。

１学年である。そのため, 中学校第１学年までの既習事項を扱う問題を採用し, 全国との各問の趣旨と学習時期を整理すると次の表正答率を比較する。調査問題は以下の通りで３のようになる。

ある。

表３：各問の趣旨と学習時期

問１ 下の□に当てはまる数を答えなさい
15 ∶ 9 = 5 ∶□
2

問1

2

問２ 2 × (−3 ) の計算で, (−3 ) の部分はどのように計算しますか。

問2

１つ選びなさい。
(−3) × (−3)

イ−(3 × 3)

ウ−(3 × 2)エ+(3 × 3)オ+(3 × 2)

学習時期

比の意味を理解しているかど

小学校第うかをみる

６学年

指数を含む正の数と負の数の下のアからオまでの中から正しいものをア

趣旨

計算で, 指数の計算の仕方を理解しているかどうかをみる

問3

中学校第計算ができるかどうかをみる

１学年

程式を解くことができるかど
うかをみる問３ 次の式を計算せよ

方程式を解くに当たって , 等2 × (5 − 8)問5問４ 次の方程式を解きなさい。

１学年（）を含む正の数と負の数の係数に分数を含む一元一次方問4

中学校第式の性質と移項の関係を理解しているかどうかをみる

中学校第１学年
中学校第１学年

31𝑥 = 𝑥−744

解を調べる。問２, 問３では, 対象者の方程問５ 一次方程式 4𝑥 + 7 = 15 を次のように解式の単元以外の中学校の学習の理解を調べ

問１では, 対象者の小学校までの学習の理きました。

る。問４, 問５では, 今回の検証授業の効果
4𝑥 + 7 = 15……①を調べる。

4𝑥 = 15 − 7……②
4𝑥 = 8（３）調査結果

𝑥=2①対象者と全国との正答率の比較

上の①の式から②の式への変形では, 7

調査問題の対象者54名と全国の正答率, 達を左辺から右辺に移項しました。移項し成率をまとめると表４の通りになる。なお,てよい理由は, 等式の性質を元に説明で表４の項目の「達成率」とは, 分母を全国のきます。

正答率, 分子を対象者の正答率としている。

7を移項してよい理由として正しいもの

達成率が100%以上であるとき, 対象者の正答を, 下のアからエまでの中から1つ選びな6

率が全国の正答率以上であることを示してい（３）考察る。

問１は小学校第６学年で学習する内容であ
表４：対象者と全国の正答率の比較った。また, 問１の正答率は対象者87.0%, 全対象者

全国達成率

国89.1%であり, 達成率は97.6%である。対象

問1

87.0%

89.1%

97.6%

者と全国との正答率にはあまり差がないこと

問2

61.1%

76.2%

80.2%

から, 対象者は小学校段階の学習はある程度

問3

77.8%89.9%

86.5%

理解できていることが分かる。

問4

38.9%

53.5%

72.7%

問２～５は全て中学校第１学年で学習する

問5

63.0%

69.1%

91.2%

内容であった。問２～問５の正答率は, 全国の正答率を下回っているが, この理由として②問４と問５の解答類型
問４と問５を平成21年度の全国調査解答類

は対象生徒の学年が違うことの影響が大きい

型を基に整理すると, 対象者と全国の反応率と考える。全国調査の対象生徒は中学校第３を整理すると次の表５, 表６の通りになる。

学年であるが, 本調査の対象生徒は中学校第表５：問４の解答類型１学年であった。生徒は, 中学校第１学年の解答類型

対象者

全国の正の反応

反応率

答率(%)

比例以降の単元の学習を進めていく中で, 全ての項目の正答率が向上していくと考える。
そのため, すべての問題において, 対象者の正答率が全国の正答率を下回ったと考える。

(%)
1アと解答しているもの

13.0

12.7

2イと解答しているもの

63.0

69.1

3ウと解答しているもの

14.8

11.8

4エと解答しているもの

3.7

5.59

上記以外の解答

0.00.00

無解答

5.6

1.0

問４の趣旨は, 「係数に分数を含む一元一次方程式を解くことができるかどうかをみ◎る。」であり, 本研究の目的の一つである。
しかしながら, 問４の正答率は対象者38.9%,全国53.5%であり, 達成率は72.7%であった。
また, 全国の無回答の反応率は14.5%であったが, 対象者の無解答の反応率は29.6%と2倍近い値となっている。これは, 中学校第１学年

表６：問５の解答類型
解答類型の生徒にとって, 分数計算が困難であること

対象者の全国の正反応率

反応率

答

(%)

(%)

1−14と解答しているもの

38.953.5214と解答しているもの

3.7

4.1

37または27−と解答しているもの
27.4

9.8

475.6

3.9または−7と解答してを示していると考えられる。問４の達成率は全ての問題の中で最も低く, 大きく課題が残る結果となった。
しかし, 図６で示◎す解答を行う生徒も表れた。この生徒は指示がなかったにもかかわらず, 「× 2」などいるものの記述を行ってお9

上記以外の解答

14.8

14.2

0

無解答

29.6

14.5

り, 方法(Ⅰ)(Ⅱ)
が定着している様子が見られた。

7

図６：生徒Aの記述

問５の趣旨は, 「等式の性質の用い方の理が動機である。しかし, 調査問題では係数に解を問う問題」であり, 本研究の目的の一つ分数を含む方程式を取り扱ってしまったため,である。問５の正答率は, 対象者63.0%, 全国正答率の差との関連を図ることができなかっ69.1%であり, 達成率は91.2%である。問５にた。調査問題のデザインを考え直し, 生徒のおける対象者と全国との正答率にあまり差が方程式の理解を明らかにする必要がある。

ないことは, 検証授業が有効であったことを示していると考えられる。しかし, 全国の無謝辞

解答の反応率は1.0%に対して, 対象者の無解本研究を進めるにあたり, 実習校の先生方答の反応率は5.6%であった。これは新たな課にご協力頂きましたことを感謝致します。ま題であるので今後の研究課題としたい。

た, 猪股真弥先生には研究方法のみならず,生徒指導などにも重要な示唆を賜りました。

６. まとめと今後の課題感謝致します。

本研究では, 方程式を解く場面における等式の性質の用い方に焦点を当て, 等式の性質を

７. 引用文献

生徒に理解させるためにはどのような手段が・藤井斉亮他（2016）「新編考えられるかを先行研究から明らかにし, 実際（東京書籍）p.86に指導を行った。指導が有効であるかを調査

・半田進（1995）「考えさせる授業 算数・数問題から明らかにしていった。この方針のも新しい数学」

学 ‐実践編」（東京出版）p.136.と, (Ⅰ)等式の性質を黒板に常に掲示する(Ⅱ)

・平林一栄（1987）「数学教育の活動主義的生徒が解説を行う際に根拠を説明させる(Ⅲ)

展開」（東洋館出版）pp.328-329

解を元の方程式に代入し, 等式が成り立つか・ 国 立 教 育 政 策 研 究 所 （ 2007-2015 ） 全 国 学

確認したり,逆算したりする, という活動を計力・学習状況調査

画・実施した。授業や調査問題の結果の分析

学校から, (Ⅰ)～(Ⅲ)のそれぞれの方法において成解説資料

報告書

中数学・古藤怜（1991）「新・中学校数学指導実例

果や課題が見つかった。

講座 2 数・式」（金子書房）pp.115-133

最後に今後の課題について述べる。

・文部科学省（2018）「中学校学習指導要領解第一に, 調査問題の問５において, 対象者説数学編」

・R.R. Skemp (1992)「新しい学習理論にもとの無解答の反応率が高かった点である。問５は選択式にもかかわらず, 無解答の反応率がづく算数教育」（東洋館出版）5.6%であり, 全国の無解答の反応率は1.0%に・杉山吉茂（2006）「杉山吉茂算数教育論選対して高い結果となってしまった。 今後は,集 豊かな算数教育をもとめて」（東洋館出

この問題を明らかにするための調査問題を作版）p.28

成したり, インタビュー調査を行ったりする・杜威（1991）「学校数学における 文字式のことで, 原因を明らかにする必要がある。

学習に関する研究 数の世界から文字の世界第二に, 問４は係数に分数を含む問題であへ」（東洋館出版）ったため, 移項の根拠が等式の性質にあることの理解との関連が図れなかった点である。
本研究は「簡単な一元一次方程式を解く問題」の正答率と, 「等式の性質の用い方の理解を問う問題」の正答率の差に着目したこと

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