分野5 研究開発課題(1)「格子QCDによる物理点でのバリオン間相互作用の決定」	
筑波大学・計算科学研究センター
理化学研究所・計算科学研究機構
藏増 嘉伸	1

Outline	§1. はじめに§2. 課題の概要
藏増班と核力(初田)班§3. H24年度の進捗§4. H25年度の計画§5. まとめ2§1. はじめに	※重力の効果は無視できるほど小さい	

電磁相互作用による化学結合
炭素原子	

ダイアモンド結晶構造 	

〜10−10m	
電子	

強い相互作用
クォーク	

核子	
陽子	
中性子	

〜10−15m	

原子核	

3格子QCD	QCD Lagrangian ＝ 第一原理

1!
L = Fµν Fµν +q̄ [γµ(∂µ − igAµ) + mq ] q4
q=u,d,s,c,b,t
結合定数gとクォーク質量mqはフリーパラメータ#"1""O[Aµ, q, q̄]# =DAµDqDq̄ O[Aµ, q, q̄] exp − d4xL[Aµ, q, q̄
Z

短距離
漸近自由性	"O[A , q, q̄]# =µ長距離(i) 閉じ込め(i) (i)N
1 !
O[Aµ , q , q̄ ]N i=1

力の強さが大きく摂動計算では本質がわからない⇒ 第一原理に基づいた非摂動的数値計算によって定量的に解析

4

ハドロン(複合粒子群の総称)	
10−15mの世界	
ハドロン	
バリオン	
原子核を構成	p(陽子), n（中性子),Δ, Λ, Σ, Σ＊, Ξ, Ξ＊, Ω, Λc, Ξc, Λc, ・・・
メソン	
π, K, K＊, ρ, ω, η, φ, a, b, f, D, B, ・・・	湯川秀樹博士が予言	
5

1!
L = Fµν Fµν +q̄ [γµ(∂µ − igAµ) + mq ] q
数値計算手法（1）	
4
q=u,d,s,c,b,t4次元（空間3次元＋時間1次元）連続理論における経路積分#$"
1""O[Aµ, q, q̄]# =DAµDqDq̄ O[Aµ, q, q̄] exp − d4xL[Aµ, q, q̄]Z

QCD Lagrangian 	

統計力学における分配関数との類似性 ⇒ モンテカルロ法
計算機にのせるために自由度を有限化 ⇒ 4次元時空を離散化（4次元格子）N1 !
(i) (i)"O[Aµ, q, q̄]# =O[A(i),q, q̄ ]µN i=1"Oh(t)Oh† (0)# t$0∼ exp (−mht)
q(x): クォーク場
Aµ(x): ゲージ場

h = π, nucleon
q(n): クォーク場
Uµ(n): SU(3)リンク変数	

6

1!
L = F4µν Fµν + q=u,d,s,c,b,tq̄ [γµ(∂µ − igAµ) + mq ] q
4 1 µν q=u,d,s,c,b,t!
L = − F Fµν +q̄ [iγ µ(∂µ − igAµ) − mq ] q4
q=u,d,s,c,b,t
数値計算手法（2）	
1 µν!
L =1− F Fµν + !
q̄ [iγ µ(∂µ − igAµ) − mq ] q
L = − F4µν Fµν + q=u,d,s,c,b,tq̄ [iγ µ(∂µ − igA$µ) − mq ] q%
4
1 " # q=u,d,s,c,b,t!
4次元格子上における経路積分"O[Uµ, q, q̄]# =dUµdqdq̄ O[Uµ, q, q̄] exp − Llatt[Uµ, q, q̄]
n,µ
n
Z
$
%
1" #
!
"O[Uµ, q, q̄]#1=" #dUµdqdq̄ O[Uµ, q, q̄] $exp" − Llatt[Uµ, q, q̄]
%
n,µ
4 n
Z
"O[Uµ, q, q̄]# =dUµdqdq̄ O[Uµ, q, q̄] exp −d nLlatt'[Uµ, q, q̄]
&
"
Z n,µ
1 #
eff
"
Ō[U
]#
=
dU
Ō[U
]
exp
−S
[Uµ]
µ
µ
µ
latt
統計性からクォーク場はグラスマン数（反可換）⇒
解析的に積分
n,µ
Z
&
'
1" #
eff
"Ō[Uµ]# =−Slatt[U%µ]$1 "Z # n,µ dUµ Ō[Uµ] exp
eff"Ō[Uµ]# =dUµ Ō[Uµ] exp −Slatt
[Uµ]

N
n,µ
Z
1 !
1
"O[Uµ, q, q̄]# =O[Uµ(i), q (i), q̄ (i)] + O  √ 
N i=1
N

N
1 !
1 
物理演算子の期待値はゲージ配位に関する平均(i) (i) (i)√"O[Uµ, q, q̄]# =O[Uµ , q , q̄ ] + O 1N
1 N!
(i) (i) (i)N
i=1"O[Uµ, q, q̄]# =
O[U
,
q
,
q̄
]
+
O  √
µN
1 N
N i=11 !
(i)"Ō[Uµ]# =Ō[Uµ ] + O √
N i=1
N 

N
1 !
1
(i) (i) (i)
統計誤差	   "O[Aµ, q, q̄]# =O[ANµ , q , q̄ ] + O 1 √
1 N!
(i) (i) (i)Ni=1 √ 
"O[Aµ, q, q̄]# =
O[A
,
q
,
q̄
]
+
O
µ
N
1 !
N i=1
N√1 
7
(i) (i) (i)"O[Aµ, q, q̄]# =O[Aµ , q , q̄ ] + O
N i=1
N
N





物理的パラメータ	数少ないパラメータ• ４次元体積： V=NX・NY・NZ・NT• 格子間隔： a(結合定数gの関数)• クォーク質量： mu,md,ms,…

a	

クォーク場	
 ゲージ場	
8

§2. 課題概要(藏増班)	
u 物理点での1+1+1フレーバー格子QCDシミュレーションp u,d,sクォーク質量の決定と基本物理量の測定
電磁相互作用とu-dクォーク質量差の導入p 既知の共鳴状態の解析と新しいクォーク複合系の探索p 軽原子核の直接構成

u メンバー石川健一(広島大), 石塚成人(筑波大), 谷口裕介(筑波大), 浮田尚哉(筑波大),
山崎剛(名古屋大), 滑川裕介(筑波大)u 役割分担p K computer向けコード最適化：石川p 共用開始前各種テスト：石川, 浮田
p ゲージ配位生成：浮田, 滑川
p 基本物理量測定：浮田, 滑川
p 共鳴状態・新奇クオーク複合系：石塚p 軽原子核構成：山崎u 定例meeting
課題1メンバー全員による情報交換・進捗状況報告を2週間に一回開催

9

課題概要(核力班)	
u 物理点でのバリオン間有効相互作用の決定p 現実的核力の決定p 現実的ハイペロン力の決定p 3体力の解明
p Exotic hadron候補
H-dibaryon, X(3872), Z(4430), Θ+, Λ(1405), etc.

u メンバー
初田哲男(東大/理研), 石井理修(筑波大), 佐々木健志(筑波大), 土井琢身(理研),
根村英克(筑波大), 村野啓子(理研)u 役割分担p 核力：石井, 村野p ハイペロン力：根村, 佐々木, 井上
p 3体力：土井

10

両班の連携のコアパート	
藏増班	

核力班	
配位を用いた計算	

核力・
ハイペロン力の計算	

配位生成	

核子を自由度とした原子核構造計算へのインプット

配位上での
物理量計算

量子的
少数多体計算	

軽原子核直接計算	
比較・検討	

11

チューニング状況	
[A] ハイブリッドモンテカルロ法（分子動力学法の一種）による配位生成 	[B] 各配位上での物理量および核力・ハイペロン力計算
	•

計算コストの主要部分­ 大規模疎行列に対する線形方程式を倍精度で“ひたすら”解く
Dx(i)=b(i)­ Dは12・V(〜109)次元の複素非エルミート正方行列­ 各行には51個の非ゼロ要素しかない­ 要求B/F値：約2.1(DP)­ [A]でのコストは約80%, [B]ほぼ100%•

チューニング状況­ 線形方程式求解部分(精度混合型nested BiCGStab)に注力­ Weak scaling：92%(16ノード ⇒ 12288ノード)­ 実行効率：25%12

§3. H24年度進捗状況	
※昨年度の本シンポで報告した計画に対する達成度	
u 藏増班✓	p 共用開始前はゲージ配位生成のための各種テスト✓	p 共用開始後はゲージ配位を生成開始⇒ 並行して基本物理量測定・軽い安定原子核の構成u 核力(初田)班✓	p 共用開始前は2体・3体バリオン間力計算のためのコードの高度化と実証テストp 共用開始後は生成されたゲージ配位を用いて中心力・テンソル力を含めた2体バリオン間力の系統的計算を開始

13

ゲージ配位生成と基本物理量測定	
• ハイブリッドモンテカルロ法によるゲージ配位生成(H25年度も継続)
2+1フレーバー(mu=md≠ms)QCD
格子サイズ：964, 格子間隔：〜0.1fm• 数%の範囲内での物理点へチューニング済
0.14
0.12
0.10

(mH/mΩ)latt / (mH/mΩ)exp − 1

0.08

安定ハドロンの質量計算と実験値との比較	

preliminary	

0.06

physical input
mπ, mK, mΩ

0.04

5%	

0.02

2%	

0.00
-0.02
-0.04

mu=md, ms, a	

今後reweighting法で更にfine tuning	

-0.06
-0.08
-0.10

π

K

N

Λ

Σ

Ξ

Ω

14

1+1+1フレーバーQCD+QED
PACS-CS 12	
アイソスピン対称性の破れ− 電磁相互作用
Qu=+2/3e, Qd=Qs=−1/3e, e=√4π/137− u-dクォーク質量差
mu=md≠ms (2+1フレーバー) ⇒ mu≠md≠ms (1+1+1フレーバー)
Physical input:
mπ+(ud), mK0(ds), mK+(us), mΩ-(sss)
Output:mu, md, ms, a(格子間隔), mn-mp, …
物理点近傍(数%のズレ)での2+1フレーバーQCD	

reweighting法	

物理点直上での1+1+1フレーバーQCD+QED	

物理点直上での2+1フレーバーQCD	

15

Reweighting法%"O[m]#m ⇒ "O[m ]#m%

Simulation parameter：mTarget parameter：m’""O[m]#m ⇒ "O[m%]#m%% −S[m% ]DU O[m ]e"O[m ]#m% ="DU e−S[m%]"% −S[m% ]DU O[m]e% ]−S[m])"%%−S[m]−(S[m"O[m]#m% ]e=
DU O[m
"−S[m% ]DUe="% ]−S[m])"DU e−S[m]−(S[m% −S[m]−(S[m% ]−S[m])DU O[m ]e"% =−S[m]−∆[m% ,m]
DU O[m ]e"−S[m]−(S[m% ]−S[m])
DU
e
=
"
% ,m]
"
DU e−S[m]−∆[m% −S[m]−∆[m% ,m]% ,m] DU O[m ]e% −∆[m"O[m ]e = #m"−S[m]−∆[m% ,m]DUe="e−∆[m%,m]#m"O[m%]e−∆[m%,m]#m="e−∆[m%,m]#m%

パラメータmで生成したゲージ配位を使ってパラメータm’での期待値を計算することが可能"O[U ](κ∗ , κ∗ , κ∗ )det[Wuds [U ]]#(κud ,κs ),qQED
u d s
∗
∗
∗
∗
∗
"O[U ](κ∗u, κ※等式変形だが現実問題として補正が小さい方が良い
,
κ
)#
=
16
d s (κu ,κd ,κs ),fQED∗ ,κ∗ s ),qQED∗"det[W"O[U]]#(κuds [U](κ
,
κ
,
κ
ud
u
d
s )det[Wuds [U ]]#∗∗∗"O[U ](κu, κd, κs )#(κ∗u,κ∗d,κ∗s ),fQED =

∗
D(e
Q
,
κ
ph
q
T2Kでの先行研究
q)
Wuds[U ] =D(0, κq )
q=u,d,s(

PACS-CS 12	

lattice size = 323×64, a 〜 0.1 fm	

電磁相互作用 ＋ u-dクォーク質量差−1 η|2 +|η|2
1.10−|Wudsdet[Wuds] = !e#η 0 +⇒ mK0(ds)とmK+(us)の差
0.500
1.08
K to K propagators
0.499

0.498
0.497
0.496
0.495
0.494
0.493

_
0
K (ds)
497.6MeV
_	
det[W
uds ]
+
K (us)
493.7MeV

1.06

1.02

=

1%	

1.00

(1)
(2)
(NB )
0.98
det[Wuds] × det[W
]
×
·
·
·
×
det[W
uds
uds ]
0.96

0.94
0.92
0

0.492
0.491
0.490

)

slope = mK+−mK0	

1.04

*

exp: 3.937(28) MeV 	
5

10

t

15

20

25

K 0(t)K 0(0)( Z (1 − (mK 0 − mK + )t)++!K (t)K (0)#much smaller than 1	

Fit結果4.54(1.09) MeVは実験値3.937(28)(mK 0 − mK + )t ) 1 MeVと誤差の範囲で一致
2

T2Kでの先行研究(2)Physical input:
mπ+(ud)=139.7(15.5) [MeV]mK0(ds)=497.6(8.1) [MeV]mK+(us)=492.4(8.1) [MeV]mΩ(sss)は実験値に固定

PACS-CS 12	
exp: 139.6 [MeV]
exp: 497.6 [MeV]
exp: 493.7 [MeV]
exp: 1672.5 [MeV]

クォーク質量(MSbar scheme at µ=2 GeV):
mu=2.57(26)(07) [MeV]
md=3.68(29)(10) [MeV]
ms=83.60(58)(2.23) [MeV]
課題：QCD+QEDシミュレーションでは大きな有限体積効果が予想される
π中間子(140MeV)@QCD ⇔ フォトン(質量ゼロ)@QED⇒ 京を用いたより大きな格子サイズ964でのシミュレーション
核力・ハイペロン力の計算にも利用可能
18

原子核の直接構成	
Yamazaki-YK-Ukawa 12	
2+1フレーバーQCD, mπ＝0.5 GeV, mN=1.32 GeV
4He	

3He	

NN(3S1)	

NN(1S0)	

束縛エネルギー [MeV]	
 43(12)(8)	
 20.3(4.0)(2.0)	
 11.5(1.1)(0.6)	
 7.4(1.3)(0.6)	
実験値 [MeV]	

28.3	

7.72	

0.040

0	

0.040
3

0.020

ΔE( S1) [GeV]

0.000

experiment
Fukugita et al. [7]
NPLQCD mixed [8]Aoki et al. [11]PACS-CS Voo [2]
NPLQCD 2+1f Voo [3]
NPLQCD 3f Vmax [4]This work 2+1f Voo

1

0.020

ΔE( S0) [GeV]

Fukugita et al. [7]
NPLQCD mixed [8]Aoki et al. [11]PACS-CS Voo [2]
NPLQCD 2+1f Voo [3]
NPLQCD 3f Vmax [4]This work 2+1f Voo

0.000-0.020-0.0402.22	

-0.020

0

0.5

1

1.5

2
2
mπ[GeV ]2

2.5-0.040

0

0.5

1

1.5

2
2
mπ[GeV ]2

2.5|ΔE(3S1)| > |ΔE(1S0)| ⇒ 質量を軽くして行くと(先に)1S0の束縛が解ける？
19

核力計算の進捗状況	
u 現実的核力の決定
負パリティおよびスピン軌道力の計算u 現実的ハイペロン力
結合チャンネルハイペロン力 (S=−1, −2, −3, −4)u Exotic hadron候補
フレーバーSU(3)極限におけるH-dibaryonのクォーク質量依存性u 3体力直線配置による近距離斥力の導出「京」向けコードの高度化を行いつつ,「京」以外で重いクォーク質量を使ったベンチマーク的計算が進行中	
20

understand the nucleonw energies both from theoof view. As shown in Fig. 1,
als are thought to be charions [2,3]. The long range
ood and is dominated by them range part (1 fm & r &ibutions from the exchangens (!, !, and "). The shortirically known to have ah is essential not only for
ata, but also for the stability, for determining the maxind for igniting the type II
ough the origin of the rerelated to the quark-gluon
been a long-standing open

U is represented as U!r~; r~ " % VNN !r~; r"&!r~ # r~ " withthe derivative expansion [2]: VNN % VC !r" $ VT !r"S12 $^ "~ 2 ' r"
^ # "~ 1 ' "~ 2
VLS !r"L~ ' S~ $ O!r2 ". Here S12 % 3!"~ 1 ' r"!
~^~is the tensor operator with r & jrj=r, S the total spin
~ the relative angular momenoperator, and L~ & #i~r ( rtum operator. The central NN potential VC !r", the tensor potential VT !r", and the spin-orbit potential VLS !r"can be further decomposed into various spin-isospin channels, e.g., VC !r" % VC1 !r" $ VC" !r""~ 1 ' "~ 2 $ VC' !r"'~ 1 ' '~ 2 $VC"' !r"!"~ 1 ' "~ 2 "!'~ 1 ' '~ 2 ". In the phenomenological analysis

dinate axes and their nearest neighbors. As is clear fromdiagram (Fig. 2, the wave function is suppressed at short distanceIts contrib
and has a slight enhancement at medium distance, which
g2%N $~ 1 &$~ 2
suggests that the NN system has a repulsion (attraction) at
4"
3 #2
short (medium)%N coupl
Quantum
Field distance.
Theoretical consideration
Figure 3 shows the central (effective central) NN potenrespective
1
3
2
S-matrix
inelastic
Unitarity
tial in the
S0 ( below
S1 ) channel
at tthreshold.
! t0 " 6. As
for r gives
inwhich dom
P
H
Y
S
I
C
A
L
R
E
V
I
E
W
L
E
T
T
E
R
S
Eq. (2), we takeIshii-Aoki-Hatsuda
the discrete form of the2iLaplacian
現象論的モデル	
07 with the tances. Its
PRL 99, 022001 (2007)
S=
enearest-neighbor points. E is obtained from the Green’s
sign and
300
based
on
equal-timeBSamplitude(NBS) of
Wave
functionNambu-Bethe-Salpeter
G#r~; E$ which is a solution
the function
Helmholtz
large distIntheactualsimulations,of the NN scattering phase shift [3], equation
the Schrödinger
on the lattice [9]. By fitting the wave function
S0
tween 1Eq200
= r~ "
0|N(xfour+0; r,0)N(x,0)|6q,
E⇥!#~rV$ at thepoints#10–16;0$point
and #10–16;
1; 0$ byEis(r)
the ghostnucleoncorrelator,
equation with a certain parametrization ofsolvedNN
1
3
G#~r; E$, we obtain E# S0 $ " !0:49#15$ MeV 6andE#QCD
S1 $ eigen-state"quarkwith ener
indicateg
rst serious attempt to attack
repulsive
andcompared
with
the
data.
On
the
other
hand,
if
we
can
a
b
c
クェンチ近似,mN(x):=1.34GeV
local operator
N (x) = abc q (x)q (x)qom lattice QCD simulations
core
Several100ine a NN potentialfromthe~ directly from lattice simulations for various
calculate !!r"~ y;
~ t; t0 " % h0jN
~func
FNN !x;
t
wave
% !x;
amplitude of the two local
100
r = |r|⇥ed by distancerEq.
[8]. This
Asymptotic
behavior
600 potential
1
X !asy #r$ "
E,
(1)
can
be
used
to
definethenonlocalS0
en employed by CP-PACS
03# An2h0jN
0 "[9].directly without recourse to the experimental inS1
cattering U!~
on therlattice
~
;
r
500
k 600ksin(krl⇥/2+(k))
N potential shows a strong
CD Bonn
OPEP l
l
n
E
=
=
50
⇤
(r)
⇥
A
Reid93lhundred MeV
at short
disE
2µ
m
puts
exceptforquark
masses
and
the
QCD
scale
parameter.
N
kr
-100
AV18
400
ction at medium and long500

核子間ポテンシャル	
•In this Letter, instead of finding U by varyingpartial
E, wewavetake
0
0.5
1
1.5
2
2.5
300
0
only the leading
term
in
the
derivative
expansionatlow
FIG. 1 (color online). Three examples of the modern NN
200singletand s-wave)
channel: CDpotential
in the S (spinenergiesandextract
thecentralpotentialV!r"
at fixed E
CBonn [17], Reid93 [18], and AV18 [19] from the top at r %r~; r~ "%!r~ " % E%!r~";
(1)
-50
100
through 0:8 fm.
0.0l.
e Schrödinger equation obfor two nucleons at low
00

VC(r) [MeV]

4)

Here J NN !t0 " is a source term
400
is thescatteringwith
phase
shifttl (k) theduces
nucleons
zero
300
the ground state contribution o
0.5
1.0
1.5
2.0
the
wall
source,J NN !t0 " # P#i
022001-1
 2007 The American Physical Society
0
20
N
is
obtained
from
N
by
2
~ !!r"
0
P
1 r
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
~ t0 ". En is the energy:(2)
VC !r" # E $-20ox~ q!x;r[fm]
2" !!r"-40B
and An !t0 " % hnjJ NN !t0 "j0i.
FIG. 3 (color online). The lattice QCD result3 of the central
volumeL, efftheenergyE tak
格子QCDによる波動関数計算⇒ ポテンシャルの決定
21in
#r$
[V
#r$]
the
(effective
central)
part
of
the
NN
potential
VCC
On the lattice, !!r~" with zero angular momentum
(‘ #
1
from
theitsnoninterac
S0 (3 S1 ) channel for m" =m' finite" 0:595.shift
The inset
shows0) is defined from the equal-time BS amplitude
as The solid lines correspondenlargement.
to the one-pion
ex- theFIG.
4 (cobe determined
from
simul
1

0

VC(r) [MeV]

VC(r) [MeV]

Vc (r) [MeV]•核力の決定	22

ハイペロン力とH-dibaryon状態	
u
u

フレーバーSU(3)でのバリオン間有効相互作用の計算	
バリオン間相互作用のフレーバー依存性の解明	
p 近距離斥力の起源に迫る	
→ クォーク間のパウリ排他律との関連性 	p H-dibaryon状態(フレーバー1重項)	
	
 → パウリ排他律に関する重要な情報	

mπ=700MeV	
Bound	
  state	H-ダイバリオン状態の研究	

⇔ バリオン系におけるクォークの役割を知る手掛かり	
mπ=410MeV	
	
  	
  	
  	
  	
  物理点	
  mπ=135MeV	

resonance	mπ=570MeV	
resonance	ΛΛ 散乱位相差とH-dibaryon状態のクォーク質量依存性	
23

3体力	
• 3体力: 現代原子核物理における最重要課題の一つ– 原子核の束縛エネルギー– 高密度物質の状態方程式・中性子星の物理– 超新星爆発・元素合成• 格子QCDでの「挑戦」: 極めて大きな計算コスト– ブレイクスルーを達成(2012) ! [unified contraction algorithm]	
– Wick縮約とカラー・スピノル縮約を統一的に扱うアルゴリズムの開発• 劇的な速度向上:• 格子計算：	

T.Doi, M.Endres, arXiv:1205.0585, CPC184(2013)117	

三重陽子
直線配位
mπ=1.1GeV	
T.Doi. et al. PTP127(2012)723+ t-dep method updates	

Preliminary

近距離で斥力三体力 !	

24§4. H25年度の計画	
重点課題追加配分枠申請が認められたとすると、、、u 藏増班p H25年度中に目標とする5000分子動力学時間の統計を得ることが可能p 更にreweighting法を用いて1+1+1フレーバーQCD+QEDシミュレーショ
ンを実行 ⇒ u, d, sクォーク質量の決定u 核力(初田)班
p 保存されたゲージ配位を用いて2体バリオン間力の系統的計算を実行
最初は中心力・テンソル力に注力

25

BACKUP	

26