数理解析研究所講究録
第 1549 巻 2007 年 84-95

84

KZ-associator と多重ゼータ値の関係について
早稲田大学・理工学部・数理科学科

村上

順 (Jun Murakami)

Department of Mathematical Sciences, School of Science and Engineering,

Waseda University

はじめに

多重ゼータ値の $Q$ 上の関係式を調べる研究は最終的な予想が述べられるまでに進んでいるが, ここでは, 結び目の Kontsevich 不変量を定義するときに用いられた KZ-associator と多重ゼータ値の関係式との関係を考察する.

Kontsevich 不変量の不変性から多重ゼータ値についての情報を取り出そうというものである. 不変性は pentagon, hexagon 関係式として表現され, この関係式から多重ゼータ値の関係式が導かれる. 一般的な関係式は記述できていないのだが, 最近, Kurlin [2] により, double commutator を法とした場合についての具体的な結果が得られたので,これについて触れる.

1. Kontsevich 不変量

まず始めにコード図によりあらわされる結び目の Kontse-vich 不変量の構成法を述べる. [1]1.1. コード図$X$$X$

を向きのついた円周上のコード図とは,$X$$S^{1}$や線分$I$のいくつかの直和集合とする.

上の相異なる偶数個の点を 2 個ずっ組にしたもののことである. 図では組になっている 2 点を点線で結んで表現する.

$X$を全体として不変にする連続変形によって移り合うコード図は同値なものと見なす. $2n$ 個の点からなるコード図の次数を

$n$

と定義し,

$X$

上の次数

$n$

のコード図の同値類の形式的な一次結合全体を $C_{n}(X)$ と書く. この空間を 4 項関係式と呼ばれる図 1 の関係式で割った空間をん (X) であらわす.
$\mathcal{A}_{n}(X)=C_{n}(X)/4$

項関係式である. さらに$\mathcal{A}(X)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}(X)$85$t_{\backslash \prime}\backslash \underline{\backslash \backslash \backslash \prime}\swarrow_{\backslash }\backslash J-\underline{\backslash J^{\backslash }J\backslash \backslash /\prime}\swarrow_{\backslash }^{---\backslash }\backslash +\wedge^{-}\backslash \backslash \swarrow^{-\backslash }\backslash \gamma_{\sim}arrow^{\backslash }--’\nwarrow=0\backslash \backslash$

図 1: 4 項関係式とする.

$\mathcal{A}(X)$にはコード図の次数から決まる grading が入っているので, これをもちいて完備化しておく. すなわち, 無限和$x= \sum_{n-\triangleleft}^{\infty}x_{n}$も$\mathcal{A}(X)$,$(x_{n}\in \mathcal{A}_{n}(X))$に入るとする. コード図に対して, そのコードを分配することにより, 余積$\Delta:\mathcal{A}(X)arrow \mathcal{A}(X)\otimes \mathcal{A}(X)$が定義され,$A(X)$

は余代数となる. また,$X=S^{1}$のときは, 図 2 のような連結和によって積が定義される. 連結和を行う場所を変えると一般に異なるコード図が得られるが,
る.

4 項関係式より,

これらの余積と積により$\mathcal{A}(S^{1})$$\mathcal{A}(X)$の元としては一致し, 積は well-defined であにはホップ代数の構造が入る.

図 2: コード図の連結和
さて,コード図のコードで, その端点 $P,$$q$

が $X$ の同じ成分に入り,

$P$

と

$q$

の

間に他のコードの端点が無いとき, このコードを孤立したコード と呼ぶ. そして$\mathcal{A}(X)$を, 孤立したコードを持つコード図をする.

$\hat{\mathcal{A}}(X)$も余代数となり,

1.2. 反復積分法を用いて$R^{3}$$\hat{\mathcal{A}}(X)$とする. また,中に対応する元$K$とする関係で割ったものを$\hat{\mathcal{A}}(X)$とにもホップ代数の構造が入る.

中の向きのついた結び目 $K$ に対して, 反復積分と呼ばれる方

直線 $R$ の直積と見なし,$t$$\hat{\mathcal{A}}(S^{1})$

$0$

$C$

$\hat{Z}(K)$を定義する. まず$R^{3}$

を複素平面 $C$ と数に対応するパラメータを $z,$ $R$ に対応するパラメータをは一般の位置にあり,$t$が一定の平面とは交わるか接するとき

86
は接点が 1 点になっているとする. そして$\hat{Z}(K)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2\pi\sqrt{-1})^{n}}\cross$$(-1)^{\# P} \downarrow\bigwedge_{k=1}^{n}d\log(z_{k}-z_{k}’)\cross D_{z_{1},z_{1}’,\cdots,z_{n},z_{n}’}$$\int_{t_{1}<t_{2}<\cdot<t_{1}}..Z_{1},$$\chi_{1}’\sum_{s.t}$$(z_{1},t_{1}),$$(z_{1}’,t_{1})\in K$$z_{n},z_{n}’s.t$$(z_{n},t_{n}),$とする. ここでに対応する$S^{1}$$D_{z_{1},z_{1}’,\cdots,z_{n},z_{\mathfrak{n}}’}$.

$(z_{n}’,t_{n})\in K$

は, 図 3 のように $K$ 上の点の組

上のコード図をあらわし,$\# P_{1}$は,$z_{t}$

あるいは

点で $K$ の向きが下向きになっているものの個数をあらわす.
とき,組$(z_{k}, z_{k}’)$

上の積分は

$n$

は平面

$t=t_{k}$$(z_{1}, z_{1}’),$$z_{i}’$$t_{1},$$\cdots,$$(z_{n}, z_{n}’)$に対応する $K$ の$\cdots,$$t_{n}$

を固定したと $K$ との交点から 2 点を選ぶことで決まるので,を決めるごとにん (Sl) の元を定めている. また,$K$の極大, 極小

図 3: 結び目や絡み目上の反復積分
点のところでは,が,log の中身が$0$になる組み合わせもあり, 積分が発散してしまう

この場合は, 対応するコード図が孤立したコードを含むので,散積分の寄与は除外されており,$\hat{Z}(K)$$\hat{A}(S^{1})$中では発の $n$ 次の部分はん (Sl) の元をきちんと定87
義している. これより,るところは,の中では,$\hat{Z}(K)$は$\hat{\mathcal{A}}(S^{1})$の元を定めている. また, 次数

$0$

に対応す

1 と定める. こうすると, 次数による grading で完備化された$\hat{Z}(K)$$\hat{\mathcal{A}}(S^{1})$は可逆元である.

1.3. 結び目の不変量 反復積分により定義された$\hat{Z}(K)$は結び目 $K$ の紐の水平方向に関する連続変形では不変なことがわかる. これは 4 項関係式による性質である.
紐を変形して新たに極大極小点を作るような変形では変化してしまう.

しかし,

れは, 極大, 極小点が 2 個ずつある自明な結び目 $U$ に対応する元

$\nu$

こ

を用いて正規化することができる.
$\nu=\hat{Z}(U)^{-1}$$K$の極大点の個数を $m(K)$ として$\tilde{Z}(K)=\hat{Z}(K)\cdot\nu^{m(K)-1}$

とする.

定理

(Kontsevich)$\tilde{Z}(K)$は結び目の不変量である.

は Kontsevich 不変量と呼ばれ,Vassiliev 不変量や Jones 不変量などの量
子不変量を含む大変一般的な不変量である.
$\tilde{Z}(K)$

図 4: 極大, 極小点が 2 個ずつある自明な結び目 $U$

2. KZ associator

Kontsevich 不変量を実際に反復積分で計算するのは大変であるが, 以下に述べるような方法 (詳しくは文献 [3] 参照) で基本的な構成要素に分解してある程度実際に計算できるようになる. このとき, 交点に対応する部分は指数関数的にあらわされるのであるが, associator と呼ばれるものも必要になり, これの表示に多重ゼータ値がでてくる. このことから, 多重ゼータ値の研究に associatorが関係してくる.

2.1. Non-associative tangle

結び目の図を 2 本の水平線で切り取ったような,端点のある結び目の図のようなものを考える. 上の水平線上に
平線上に$n_{2}$

個の点があり,$n_{1}$

個の点, 下の水

これらの点を端点とする結び目の図, すなわちこれら

88
二本の線の間にあり, 紐をあらわす線の交点で線の上下がわかるようにした図のことを tangle という.

さらに, 水平線上の$n_{1}$

個, あるいは$n_{2}$

個の点に対し, これを線上で括弧をつけたものを考え, これを non-associative tangle と呼ぶ.

$((q_{1}q_{2}) q_{3})$図 5: Non-associative tangle の例

Non-associative tangle は次の形の元の組み合わせに分解することができる.

交点

極大, 極小点

associator(括弧の付け替え)

図 6: Non-associative tangle の生成元

これらの生成元の Kontsevich 不変量を, 括弧でくくられた点が括弧の外の点に比べて非常に近くにあるとして反復積分を用いて定義する. 実際には発散する部分する部分があるので, これを正規化して発散しないようにしたものとするである. 生
成元に対しては以下のように定義し, 一般の non-associative tangle については, 生89
成元に対応する Kontsevich 不変量を組み合わせることでその Kontsevich 不変量を定義することにする.
まず, 交点に対応する生成元

次のコード図 (の級数)$R$$\sigma_{i}^{-1}$$\sigma_{i},$に対しては,$i$番目と $i+1$ 番目のところにを対応させたものとする.
$R= \exp(\frac{C}{2})\cdot P$$C$はコードをあらわし,

$P$

は

$i$

成分と $i+1$ 成分の入れ替えをあらわしており, 図で表現すると図 7 のようになる. また, 極大, 極小点に対しては 1.3 節での

$\nu$

を用

を対応させる. 括弧の付け方だけをかえる生成元は associator と呼ばれる

いて$\nu^{1/2}$が,これに対しても定義したい. そのためにいくつか準備が必要である.

図 7: 交点に対応するコード図の級数

2.2. Associator
応するを図 8 で与えられる non-associative tangle とし,$N$$\hat{Z}(N)\in\hat{\mathcal{A}}(I^{3})$を反復積分で定義したいのであるが,これに対そのままでは発散する項がある. しかし, 発散の様子はよくわかるので, これををキャンセルするように正規化することができ,

こうして得られたものをめ, いくつか準備する.

$A,$ $B$

$(($

$|$

$($

$)$

$|$

$($

$\Phi$とする.

を具体的に書くたはそれぞれ図 9 のようなコードとする.

$)$

$|$

$\Phi$$(\cong$$|\backslash |$

$k$

いう感じ)

$))$

図

$8:N\ovalbox{\tt\small REJECT}$の tangleの正の整数からなるデータ$J=(p_{1},q_{1}, \cdots p_{g},q_{9})$

$J$

を偶数個

90

$|-----\cdot\cdot-|$$|$$|\cdot--\cdot---\cdot|$

$|$

A

$B$

図 9: コード図 $A,$ $B$
とし,

$J$

に対応する $A,$ $B$ からなる語$\Omega_{J}$を$\Omega_{J}=B^{p_{1}}A^{q_{1}}B^{p_{2}}A^{p_{2}}\cdots B^{p_{9}}A^{p_{g}}$と定義する. 対応するコード図は図 10 のようになる.

これに対し,$q_{g}\{q_{1}\{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-----}^{------}--\cdot----------||-----\ovalbox{\tt\small REJECT}------.--=I|\}p_{1}$

図 10:$p(J)= \sum_{k=1}^{g}p_{k}$,のあらわすコード図$\Omega_{J}$$q(J)= \sum_{k=1}^{g}q_{k}$,$|J|=p(J)+q(J)$ ,$g(J)=g$ ,$\zeta_{J}=$

とする.

この

$\zeta$は多重ゼータ値のことで, 次で定義される.
$\zeta(k_{1}, k_{2}, \cdots k_{r})=\sum_{n_{1}>n_{2}>\cdots>n_{r}>0}\frac{1}{n_{1^{k_{1}}}n_{2}^{k_{2}}\cdots n_{r}^{k_{r}}}$

さらに$c_{J,0,0}= \frac{(-1)^{q(J)}}{(2\pi\sqrt{-1})^{|J|}}\zeta_{J}$

ここで $J’=(p_{1}’, q_{1}’, \cdots,p_{g}’,, q_{g}’,)$ で,,$c_{J,0,\ell}=(-1)^{\ell} \sum_{J’}m_{J,J’}c_{J’,0,0}$$\Omega_{J’}$が挿入して得られる $A,$ $B$ の語となるもので,$\Omega_{J}$に $B$ を

$m_{J,J’}$$l$

個最右端以外のところにはこのような方法でを得る方法の場合の数である. 同様に$c_{J,k,\ell}=(-1)^{k} \sum_{J’}m_{J,J’}c_{J’,0,\ell’}$$J$から $J’$

91とする.

ここで $J’=(p_{1}’, q_{1}’, \cdots p_{g’}’, q_{g}’,)$ で,$\Omega_{J’}A^{\ell’}$が$\Omega_{J}B^{\ell}$以外のところに挿入して得られる $A,$ $B$ の語となるもので,に $A$ を

$m_{J,J’}$

$k$

個最左端

はこのような方

法で $J$ から $J’$ を得る方法の場合の数である. 例えば,
$c_{(1,1),0,1}=-2c_{(2,1),0,0}= \frac{2}{(2\pi\sqrt{-1})^{3}}\zeta(3)$$c_{(1,1),1,1}=-2c_{(1,2),0,1}=2c_{(1,1,1,1),0,0}+4c_{(2,2),0,0}= \frac{2}{(2\pi\sqrt{-1})^{4}}(\zeta(2,2)+2\zeta(3,1))$

これらを用いると,は以下のように定義される.

$\Phi$$c_{J,k,\ell}A^{k}\Omega_{J}B^{\ell}$$\Phi=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{g=0}^{[m/2]}$$\sum_{k,\ell\geq 0}$$g(J)=g$$k+\ell+|J|=m$

但し,

$J$

が空列

$\phi$のときは $c_{\phi,0,0}=1$ とする. 具体的に $m\leq 2$ の部分を求めると,$c_{(1,1),0,0}= \frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}$,$c_{\phi,1,1}=- \frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}$より$\Phi=1+\frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}(BA-AB)+\cdots$となる. また,$\Phi^{-1}$は$\Phi$の $A$ と$B$を入れ替えたものとなる.

これを一般の associator に拡張するために,

分 $C$ に関する 2 重化$\Delta_{C}$を定義する.

$—$$X_{C}$$X$上のコード図 $D$ の $X$ の連結成

$C$のかわりに,を,$arrow^{\Delta_{C}}$$\Vert---$

$C$

$+$

$C_{1}$$n$に対応する端点を持っコード図と個の端点があるとき, それぞれを$C_{2}$$C_{1}$という 2 つ$C_{1}C_{2}$$C_{1}C_{2}$と同相な成分を持つ 1 次元多様体とし,$C_{2}$$|\}---$

図 11: $X$ の成分 $C$ に対応するの $C$$C_{1},$$D$$\Delta_{C}$の $C$ に端点を持つコードに対し,に端点を持つコード図とを考える.
あるいは$C_{2}$に割り振ることにより,$C$上に$2^{n}$個

92のコード図が考えられるが, これらのすべての和を$\Delta_{C}(D)$とする. さらに,

$n$

重

化を
$\Delta_{C}^{(n)}=\Delta_{C_{n-1}}\cdots\Delta_{C_{2}}\Delta_{C}$で定義する. そして一般の associator については$\Phi$の 3 本の線をそれぞれ多重化したものを対応させる. これで non-associative tangle の Kontsevich 不変量が定義されたことになる.

3. Pentagon, Hexagon 関係式

Tangle から反復積分で定義される Kontsevich

不変量はタングルの端点を固定した変形に関して不変になる. このことから, nonassociative tangle の生成元がいくつかの関係式を満たさなければならないことがわ
かるが, 中でも以下に述べる pentagon 関係式と hexagon 関係式が基本的である.

3.1. Pentagon 関係式 Kontsevich 不変量は下図のような変形では変化しない.
これを non-asociative tangle の Kontsevich に翻訳すると次の関係式が成り立つこととなる.
$\Phi_{123}\cdot\Delta_{2}\Phi_{123}\cdot\Phi_{234}=\Delta_{1}\Phi_{123}$$\Delta_{3}\Phi_{123}$$\cong$

図 12: Pentagon 関係式

Kontsevich 不変量は下図のような変形では変化しない. これを non-asociative tangle の Kontsevich に翻訳すると次の関係式が成り立っこと

3.2. Hexagon 関係式となる.

$\Phi_{123}\cdot R_{12}\cdot\Phi_{213^{-1}}\cdot R_{13}\cdot\Phi_{231}=\Delta_{2}R_{12}$3.3.

$\mathcal{A}_{h}(I^{3})$の構造

番目と 2 番目,

三本の線分の直和

2 番目と 3 番目,$I^{3}$

上のコード図 $A,$ $B,$ $C$ を, それぞれ 1

1 番目と 3 番目の線分を結ぶコード 1 っからなる93$\cong$

図 13: Hexagon 関係式

コード図とする.

$\hat{\mathcal{A}}(I^{3})$

コード図を繋ぐ操作により積が定義され, これによりは,線形環 (多元環. 代数とも呼ばれる) になる. この積に関して $A,$ $B,$ $C$ が生成する部分線形環を$\hat{\mathcal{A}}_{h}(I^{3})$とおく.

4 項関係式より,$\hat{\mathcal{A}}_{h}(I^{3})=<A,B,C|AC=CA+BA-AB>$となり, 任意の元は $C^{n}w,$ $w$ は $A,$ $B$ の語,

accociator$\Phi$という形の元の一次結合となる. 特に,については交換子の積の形で書けるので,$\hat{\mathcal{A}}_{h}(I^{3})$中の $A,$ $B$ の生成する部分線形環 $C<A,$ $b>$ に含まれる. $C<A,$ $b>$ は自由線形環で, 非可換多項式環と見なせるものである. さらに,logとすると, log
し,$\Phi$$\Phi=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(\Phi-1)^{k}}{k}$は $C<A,$ $b>$ 中の $A,$ $B$ の生成する自由リー環に含まれる. ただ$[A, B]=AB-BA$ とする.

3.4. Hexagon 関係式から定まる多重ゼータ値の関係式
式は 4 項関係式から従うものであるが, 実際に$\Phi$

Pentagon, Hexagon 関係

を代入してみると, Hexagon 関

係式から多重ゼータ値の関係式が得られることがわかる. 例として 2 次までの部分で計算してみる. まず,

Hexagon 関係式は次のように変形される.

$(\Delta_{2}R_{12})^{-1}$.

$\Phi_{231}$.

$R_{13}\cdot\Phi_{213^{-1}}$.

$R_{12}\cdot\Phi_{123}=1$

94
この左辺を具体的に展開して 2 次までの項を見る.
$(1- \frac{A+C}{2}+\frac{(A+C)^{2}}{2^{2}2!}-\cdots)(1+\frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}[C, B]+\cdots)(1+\frac{C}{2}+\frac{C^{2}}{2^{2}2!}+\cdots)\cross$$(1- \frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}[C,A]+\cdots)(1+\frac{A}{2}+\frac{A^{2}}{2^{2}2!}+\cdots)(1+\frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}[B,A]+\cdots)$$=1+ \frac{(A+C)^{2}+C^{2}+A^{2}}{8}+\frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}([C,B]-[C,A]+[B,A])+\frac{-(A+C)^{2}+CA}{4}+\cdots$$=1+ \frac{[C,A]}{8}+\frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}(-3[C,A]])+\cdots$となり,

これが 1 になることより$\frac{\zeta(2)}{4\pi^{2}}=\frac{1}{3\cross 8}=\frac{1}{24}$となり,$\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$であることがわかる.
高次の項に関しても, 定数項以外の単項式の各係数が$0$になるということより, 多重ゼータ値に関する $Q$ 上の多数の関係式が得られる. これらにより関係式がすべて得られるのでないかとも期待しているのであるが, 具体的にはほとんど計算してKurlin [2] により $L/[[L, L],$ $[L, L]]$ での考察がなされたので,結果を紹介する. ここで は $A,$で生成される自由リー環である.
いない. ただ,

その

$B$

$L$

3.5. Compressed associator$[[L, L],$ $[L, L]]$を法としたところでの associator

を文献 [2] では complessed associator と呼び, pentagon, hexagon 関係式に基づく
詳細な考察をおこなっている. そして Corollary 1.6 (c) で次が示されている.
$\Phi\equiv\exp$($\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)}{n}$(右辺の各項$\lambda^{k}\mu^{\ell}$.

$\frac{\lambda^{n}+\mu^{n}-(\lambda+\mu)^{n}}{(\pi\sqrt{-1})^{n}}$)mod $[[L, L],$ $[L, L]]$を (ad $A)^{k-1}(adB)^{\ell-1}[A,$ $B]$と読み替える)やこれらのなす単項式$\zeta(3)^{p}\zeta(5)^{q}\zeta(7)^{r}$については pen-tagon や hexagon 関係式からは何も制限がっかず,$[[L, L],$ $[L, L]]$を法とするとき

但し, 奇数に対応するは,$\zeta(n)$これらの単項式に任意の値を代入しても associator となる. (KZ associator ではないが, pentagon, hexagon 関係式を満たし, non-associative ttgle の不変量を定めるものとなる)

95
上の式は pentagon, hexagon 関係式を用いて得られたものであるが, 寺杣氏によるとモチーフを用いた考察からも同様の式が得られるそうである. (講演ではこの式を紹介せず, 低次の所での具体的な展開式のみを紹介したが, 講演後上記のような式が別の考察で知られているとの指摘を受け, 再度 [2] をチェックすると主結果の一つとして述べられていた)

22 節で与えられた$\Phi$の具体的な記述を $[[L, L],$ $[L, L]]$ を法として簡約化し, 上の式と比較することで多重ゼータ値に関する関係式を得ることができる.

4. 終わりにも,前節の [2] の結果と数論的考察の結果とが符合することからいってpentagon, hexagon 関係式は多重ゼータ値を$Q$上で見るための情報を本質的にあらわしているのではないかと思われる. そして, pentagon, hexagon 関係式から$Q$

上の多重ゼータ値の関係式がすべて得られるのではないかと期待しているわけだが, 実際にこのことを示すのは大変そうである. そこで, まずは pentagon, hexagon

関係式と, double shaffle 関係式などとの関係を明らかにすべきであろう. これがわ
かれば, 今までの多重ゼータ値に関する研究を幾何学的に見直すことができ, 新たな展開が生まれるのではないかと密かに期待している.

参考文献[1] D. BarNatan: On the Vassiliev Knot Invari ants, Topology 34 (1995) 423-472.
[2] V. Kurlin: Compressed Drinfeld Associators, math. $GT/0408398$ .
[3] Thang Q. T. Le and Jun Murakami: Representations of the category of tangles
by Kontsennch’s itemted integral, Commun. Math. Phys. 168 (1995), 535-562.