06-10
一次元スティックスリップモデルによる石礫流れ中の塑性応力波伝播挙動
名古屋工業大学
名古屋工業大学
国土交通省

学生会員
正会員

○山﨑友裕
前田健一
舘井 恵

も同様に観測した．

１ 背景と目的
我が国では，毎年多くの土砂災害が発生し，莫大な被害を被っている．効率的な砂防対策を考えるために，土石流の内部構造に着目

表‐1 解析パラメ‐タ

し，石礫流れを粒状体として計算する個別要素法で再現した．図‐記号（単位）

数値

１（a）は解析結果で，色の濃い粒子ほど大きな応力がかかっている．

全質点数n （個）2，100

それにより，以下のことが明らかになった．

質点質量m （kg）

1000

・色の濃い粒子が連なった応力鎖と，それが発生と消滅を繰り返す重力加速度g （m/s2）

ばね定数k （N/m）

ことにより，流れ方向に発生する塑性応力波が存在１）．
・この塑性応力波は粒状体流れ全体の速度とは違う速度で，伝播していく 2）（図‐１（b））．
・V と u の２つの速度の大小関係で流れの区分が可能．

ばねの自然長l9.871.0×10 〜1.0×108（m）

1.0

静止摩擦力

µ0.56

動摩擦力

µ‘0.28, 0.56

載荷時間t

本研究では粒状体流れの内部挙動の基本的な性質を知るために

載荷速度v （m/s）

0.01〜5.00

一次元スティックスリップモデル 3），4）を導入し，そのモデルと粒計算刻み∆t （s）

0.00010状体流れの内部挙動との比較，検討を行った．

傾斜角θ0〜30（s）

（°）

10

本報告では，粒状体流れにおいて確認されている特徴的な挙動である，先端では構造が不安定であること，速度が大きいほど構造が３ 解析結果及び考察

不安定であること，傾斜角が安息角付近で挙動が変わること 1）と３．１ 単一ばねモデル

いった挙動と一次元スティックスリップモデルの挙動を比較した．

（a）

（b）

図‐１ 流れの速度と波速：（a）解析結果； （b）模式図（a）２ 一次元スティックスリップモデルの概要

図‐２ 石礫流れのスティックスリップモデル
図‐２のような，土石流内の石礫の塊を摩擦のある質点で，その（b）弾性をばねで表現し，それらを連結させることで粒状体流れの一次元スティックスリップモデルとした．基本のパラメータは実際の石図‐３ 質点数２での解析結果：

礫を考慮し，表‐１のように設定した．また，石礫間において引張（a）先頭質点の速度の経時変化と速度依存，力は作用しない為，質点間がバネの自然長よりも長くなると，ばね（b）バネにかかる力の経時変化と速度依存は作用しないものとした．本研究では，平面に置いたモデルを最後尾（図‐２左端）の質点（質点番号１）が一定速度 v を保つように質点数２個，連結ばね１本の場合の挙動を調べた．図‐３（a）に先力 F を作用させた．
質点１に作用する力 F と変位 x をマクロ挙動，端質点の速度の経時変化を示す．速度は０から載荷速度の２倍の間各質点の挙動をミクロ挙動として観察した．傾斜角をつけたケースで振動し，先端の質点が停止と移動を繰り返すというスティックス- 294 -力が０になる時間がある一定時間存在するようになる．これはバネには引張り力が働かないためである．他の載荷速度の場合（v=0.01m/s：赤線，v=0.05m/s：緑線，v=0.10m/s：青線），同じ周期

t=5.0 (s) (A)
t=15.0 (s) (B)

0.08
0.06
0.04
0.02
00で同じ振動の中心で振動している．

velocity of each mass (m/s)

かかる力の経時変化を示す．速度が大きいとき（v=0.50m/s：黒線）
，0.1

0.1
velocity of each mass (m/s)

リップという挙動を示していることがわかった．図‐３（b）にバネに

204060mass number80

図‐３（a） ，（b）ともに載荷速度が大きいほど振幅は大きくなって

0.08
0.06
0.04
0.02

t=30.50 (s) (C)t=31.15 (s) (D)
t=31.50 (s) (E)00100

204060mass number

80100（a）（b）

いる．弾性のばねと完全塑性の性質をもつ質点を連結し摩擦力を与
図‐６ 各質点の速度分布:

えただけで，速度依存の性質を持つことがわかった．

（a） 先端の質点 100 がまだ動き出していない場合;（b）先端の質点 100 が既に動き出した後の場合

３．２ 連続ばねモデルの挙動

横軸は，mass number，縦軸は velocity of each mass

３．２．１ マクロ挙動

21３．２．３ 傾斜角の違い

58

v=0.10 (m/s)
v=0.90 (m/s)
v=3.00 (m/s)[×105]
resultance of mass number 1 (N)resultance of mass number 1 (N)[×10 ]

642001234
displasement of number 1 (m)5

図‐4 作用力と最後尾の質点位置の関係に及ぼす載荷速度の影響

5432

Slope angle θ=0(deg)Slope angle θ=10(deg)Slope angle θ=20(deg)Slope angle θ=30(deg)

100

12345

displasement of mass number 1 (m)

質点数 100 とし，載荷速度を変えた場合の作用力 F と最後尾の質図‐７ 作用力と最後尾の質点位置の関係に及ぼす傾斜角の影響

点（質点番号１）の流下距離との関係性を図‐４に示す．v=0.10m/sの場合，先端の質点に力が加わる前（①より左）は，F が単調増加

質点数 100 とし，傾斜角θを変えた場合の力質店番号１を一定速し，非線形性が確認できた．その後先端の質点に力が伝わった後，度にするために必要な力 F とその流下距離との関係性を図‐７に示全体として振動している．
v=0.90m/s になると v=0.10m/s と似た挙動

す．傾斜角が０，10，20 度のとき，それぞれの振動の周期や振幅で高周波成分が増加している．さらに速度が大きくなるとの大きさなどの挙動は似ているが，傾斜角が大きいほど作用力の大（v=.3.00m/s）載荷初期（②）にピークが出現し，減少したのち振きさ自体は小さくなっている．しかし，傾斜角が 30 度のときは力動を伴いながら増加する．質点数が 100 のときでも速度依存性が確を与えなくても流下している．摩擦係数 µ’の tan‐1µ’=29°を傾斜角認できた．

が超え，それぞれの質点にかかる重力の斜面下向きの力が，最大静止摩擦力よりも大きくなり，各々で流下し質点同士が離れ“疎”になったためである．

３．２．２ ミクロ挙動
ここで図‐５の時刻 A（t=5.00 s），B（t=15.00 s），C（t=30.50 s），D（t=31.15 s），E（t=31.50 s）における速度の空間分布を図‐６に示４ まとめす（先端の質点が動き出す前の時点で A, B の２時点，動き出した

本研究により，粘性要素がないスティックスリップモデルにおい後の場合で３か所）．先端の質点１が動き出すまでは，各質点の速て，載荷速度によってスティックスリップモデルの挙動が変化する

度は後方から徐々に大きくなっている．先端が動き出すまでおよそという，速度依存がマクロ的にもミクロ的にも確認できた．その他

27 秒かかり全体が振動して流れる塑性波は平均で 3.6m/s で伝わっに，スティックスリップモデル内では力が徐々に後方から前方へ伝ており，弾性波速度の理論値解に比べてかなり遅い．

わる様子が確認できた．また，先端が不安定であることや塑性波の存在，傾斜角と安息角の大小による挙動の変化など粒状体流れと多くの共通点が確認された．つまり，一次元スティックスリップモデ
ルは粒状体流れの内部波動伝播の考察に有効であることがわかった．
参考文献
１） 高橋 保: 土石流の機構と対策, 近未来社, 2004. 12 ．２）前田,福間,舘
井: 第 22 年度砂防学会研究発表会概要, pp80‐81, 2010．３）
B.N.J.Persson：Sliding Friction, pp17‐25, 1997．４）田中 久一郎：摩擦のおはなし, pp83‐94, 1985．

図‐５ 全体の質点の速度の経時変化- 295 -