Super-Survey Tidal Effects
in the Redshift-space
秋津 一之 (東京大学/Kavli IPMU D1)
in collaboration with Masahiro Takada (Kavli IPMU)
and Yin Li (Kavli IPMU/UC Berkeley)based on Phys. Rev. D 95, 083522(2017) and in prep.
第6回観測的宇宙論ワークショップ 2017/10/24@弘前大学

Introduction/Motivation•

Super-Survey modes : サーベイ領域を超えるような長波長ゆらぎ•

重力による非線形モードカップリングによって観測量（短波長ゆらぎ）に影響（systematics）•

観測：有限体積Super-Survey modes→直接観測不可•理論：N体シミュレーション→周期境界条件-> 解析的にモデル化する必要

Finite Survey Volumeor N-body simulation box

Super-Survey modesの等方成分と非等方成分

Local Patch•

長波長ゆらぎによる重力ポテンシャルを定義：
1L (x) ⌘VWZ

d3 y (y)W (yx),

VW =

Z

yd3 x W (x)xx

L
1/3→ サーベイのスケール L ⇠ VW 以下のゆらぎをならしたもの•

長波長ゆらぎによる重力ポテンシャルをサーベイ領域周りで展開：
L (x) =

L (x0 ) + ri'

L (x0 ) + ri=

L (x0 ) + ri

1i j
33|x+rr|xx+O(r|x)L x0i j L x0L x02✓◆
111 Ki
2i j|x+|x+
1rr|xxL x0L x0i j L x0ij
6232i
⇢m a2 b |x0 x2 + 2⇡G¯
⇢m a2 ⌧ij |x0 xi xj
L |x0 x + ⇡G¯
3imean density modulation•tidal effect

等方的な成分（ b ）と非等方的な成分（ ⌧ij ）は独立な自由度

Super-Survey modesとの非線形モードカップリング•

Super-Survey modesの影響は二つ：
1. Dilation : 共動距離が変わる (Sherwin&Zaldarriaga12, Li+14a)
2. Growth : 成長が促進／抑制 (Hamilton+06, Baldauf&Seljak+11)

Gaussian Initial Condition
Observed Region (Local Patch)

Late TimeSuper-Survey modesに対するPower Spectrumの応答•

理論：ensemble average

観測：統計平均1P̂ (ki ) ⌘VWP (k) ⌘ h (k)2 iZ

d3 k(k) ( k)|k|2ki Vki

Super-Survey modesの影響を考慮@P (k)
P (k; b ) ' P (k) +b@ b
power spectrum response to•

1P̂ (ki ) ⌘VWbZ

d3 k
W (k) W ( k)|k|2ki Vki

dimensionless power spectrumに対する応答
3@ k 3 P (k; b )@P(k;)@k
P (k; b ) @ ln kb
3'k+@ b@ b
@ ln k@ bk fixedgrowth•

dilation

標準的な宇宙論を仮定した場合に、responseの具体形がどうなるか？

Power Spectrum Response & Squeezed Bispectrum•Ansatz : Squeezed Bispectrum (3点相関関数) は長波長ゆらぎに対するPower Spectrum (2点相関関数) の応答で表せる (Consistency Relation)"!
#K@P (k)@P (k)
ijLlim B(k, k q, q) = P (q)+ q̂i q̂jq!0@ b3@⌧ijkqq•kStandard Perturbation Theory :P (k; b , ⌧ij ) ' P (k) + b



47
21

growth

1 @ ln P (k)8
P (k) + ⌧ij k̂i k̂j
3 @ ln k
7dilation

growth@ ln P (k)P (k)@ ln kdilation(Dai&Pajar+15, Akitsu+17)• k̂i 依存性→非等方clustering→Redshift-space DistortionやAlcock-Paczynski testに影響Redshift-space Distortion•

特異速度によるドップラー効果で視線方向に歪む → 非等方性~v（視線方向 n̂ がpreferred direction）

⇠(r)

100n̂

線形理論（Kaiser87）
Sg (k) = b✓⇥

1+ µg = b m,

⇤2

視線
方向m (k)f1 d ln D⌘ =, µ ⌘ k̂ · n̂bb d ln a◆50rπ (Mpc/h)•0−50−100~v−100−500rσ (Mpc/h)

50100(Reid+12)•Super-Survey modesを考慮すると、⌧ij もpreferred direction•⌧ij は速度場にも影響を与えるので、additionalな非等方性を生むハズ

Power Spectrum Response in the Redshift-space(Akitsu&Takada in prep.)•

赤方偏移空間における密度ゆらぎについて実空間と同様の考察をする。
ただし、長波長ゆらぎは実空間のものを考える。
lim Bssm (k, kq!0"@Ps (k)Lq, q) = P (q)+@ bq̂i q̂j

Kij

3!

@Ps (k)@⌧ij#3w/ h s (k1 ) s (k2 ) mL (q)i ⌘ Bssm (k1 , k2 , q)(2⇡)3 D(k1 + k2 + q)••

Standard Perturbation theory :kq@Ps (k)8 @ ln P (k)k=k̂i k̂j b2 P (k)⌧ij
7@ ln k⇣⌘ @ ln P (k)24 2+ bn̂i n̂j + µ k̂i k̂j µ 2µk̂i k̂j + bk̂i n̂jbf P (k)7@ ln k⇣⌘ @ ln P (k)16+µk̂i k̂j + 4bk̂i n̂jµk̂i k̂j + 2bk̂i n̂j
f 2 µ3 P (k)7@ ln k@ ln P (k) 3 4+ 4µk̂i n̂j n̂i n̂j µk̂i n̂jf µ P (k)@ ln k⌧ij に対する応答には ⌧ij k̂i k̂j , ⌧ij k̂i n̂j , ⌧ij n̂i n̂j のような項が現れるqRedshift-spaceで現れる非等方性@vz@(v · n̂)• k̂i k̂j n̂i n̂j：Kaiser factorは=· n̂ 由来@z@ n̂→ k̂i k̂j / @(i vj) velocity shearの視線方向へのprojection•⌧ij k̂i k̂j ：large-scale tidal field ⌧ij✓ とsmall-scale tidal field / k̂i k̂j⇠ @(i vj)

•

◆

1 K
ij のcoupling3⌧ij k̂i n̂j ：必ず ⌧ij k̂i n̂j k̂l n̂l の形で現れる（ Ps (k) = Ps ( k) の対称性）
large-scale tidal fieldの視線方向へのprojectionとlarge-scale tidal fieldとsmall-scale velocityのcoupling•⌧ij n̂i n̂j ：large-scale tidal fieldの視線方向へのprojection（large-scale velocityのKaiserがmappingを通じて見える）

Power Spectrum Response for ⌧33 & BAO peak shift
S@Pg2 (k)SS
Pg2,obs (k) = Pg2 +
⌧33
@⌧33

•

relative responseは O(1)power spectrum response to tau= growth + dilation (k微分)S@Pg2(k)/@⌧33
S (k)
Pg2

S
Pg2(k)
SPg2,nowiggle(k)•

BAO wiggle→BAO peak shift
特に、⌧ij はshiftが方向依存

k [h/Mpc]

Alcock-Paczynski test•

非等方クラスタリング→BAO peakを歪ませる

視線方向•

⌧ij

Alcock-Paczynski test (Alcock&Paczynski79) :r?

rk

BAO peakが等方であるべしということから宇宙論パラメタを制限•

観測：redshift & angle ( z, ✓)理論：共動距離 (rk , r? )some cosmological models•••

視線方向の距離：zrk =H(z)視線方向と垂直な方向の距離： r? = (1 + z)DA (z) ✓⌧ij は (rk , r? ) を非等方に変えてしまう

1DA =1+zZ z0dz
H(z)Fisher Forecast•

銀河サーベイで、 ⌧33 と DA , H(z),がどのくらい縮退するか (z = 0.5)

Detectability of the large-scale tidal field•

摂動論で導出したresponseを小スケールまで外挿して計算• DA , H,などが他のサーベイや大スケールの情報からfixできれば、kmax ' 0.25 h/Mpc あたりで⇤CDM でのrmsを超えられる。

Separate Universe Picture•摂動論が破綻する強非線形領域におけるsuper-survey modesに対する応答はどうするか？
→大きなboxサイズでのsimulation?
計算コスト大だが、長波長ゆらぎは線形成長。
非線形成長を計算するというN体simulationの精神から離れていく→ separate universe picture•

長波長ゆらぎはLocal patch内で一様成分のように振る舞う→長波長ゆらぎはLocalにはbackgroundと見分けがつかない→長波長ゆらぎをbackgroundの量に取り込んでしまうSuper-Survey modes in the separate universe picture
Local Patchb

⇢¯mW

⇢¯m

⇢¯mW = ⇢¯m (1 + b )
33
⇢
¯a=
⇢¯am
• mW W!

aW ' a 1→宇宙膨張が早く／遅くなる• aWcomcom=aW!

→共動距離が変わる

1b3

com
W '→com→→ Separate Universe Simulation(Sirko05, Li+14a)

Growth effect
11+ b3Dilation effects

Separate Universe Simulation(Sirko05, Li+14a, Baldauf+16)•長波長ゆらぎb の効果をbackgroundに吸収& local patchが（別の）FLRW universeにみえることを要請
From the same initial seeds

b 6= 0b = 0a, h, ⌦m , ⌦⇤⌦K = 0

Perturbed flat FLRW Universe•

パラメタの関係は以下の通り
aW ' a 1

1b ,3hhW h⌘'hh＝aW , hW , ⌦mW , ⌦⇤W⌦KW 6= 0curved FLRW Universe (Unperturbed)= Separate Universe5⌦m b (t),6 D(t)⌦m⌦⇤== ⌦KW '⌦m⌦⇤h2hMode-coupling in the separate universe picture•••separate universeにおける短波長ゆらぎの（線形）発展方程式¨local,s + 2HW ˙local,s 4⇡G¯⇢mW local,s = 02˙ ˙¨˙! local,s + 2H local,s 4⇡G¯⇢m local,s = b local,s + 4⇡G¯⇢m b local,s313mode-coupling btw. long- & short! local,s / D(t) 1 +b21⇢⇢
1,1, ⇢¯mW = ⇢¯m (1 + b )local ⌘global ⌘⇢¯mW⇢¯m! global = (1 + b ) local

Perturbation theory :Zd⌦q(1)Z
F2 (k, q) s(1) (k) l (q)d⌦q (1)4⇡◆✓b =l (q)13
4⇡(1)= s (k) 1 + 1 +b21
（Baldauf+11 ,Takada&Hu13, Valageas14）(2)
s (k) =•(1)s (k) +

変更されたbackground上で短波長ゆらぎの成長を解けば、長波長ゆらぎと短波長ゆらぎのモードカップリングが考慮される。

Separate Universe Simulation demonstration
105

104

Sub
Small
Small+SSC (SU)

(Li+14a)103

Cii/CiiG -1

102

101

0.1

10-2

10-3

z=0Variance0.1

k [h/Mpc]1Power Spectrum Response forseparate universe simulationからpower spectrum responseを測定
linear limit :6821 3(Li+14a)

GrowthGrowth-Dilation
TotaldlnP(k)/dδb•b1-Dilation

0.3

z=0
Separate Universe
0.1

k [h/Mpc]

1

“Tidal” Separate Universe Simulation?
•

長波長ゆらぎの密度ゆらぎ b は一様等方成分→FLRW宇宙に吸収可•Large-scale tidal field ⌧ij は一様だが非等方→Bianchi I?
→No. Bianchi Iの非等方性はRicci tensor起源でlocalに決まる（Ip&Schmidt17）•Newtonian tidal field ⌧ij のGR対応物はWeyl tensorにencode→non-local : local patchの外の物質分布に依存•

Local Patchseparate universe pictureは破綻するが、⌧ij⌧ij がlinearで成長すると思えば、方向毎にscale factorを分解すればできそう⇢¯W = ⇢¯aW i ' a[1⌧i ]XiaW i = 3a!

Summary•

Super-Survey modes: サーベイ領域を超える長波長ゆらぎ
1. Dilation : 共動距離を変える
2. Growth : 成長を促進／抑制する•

Redshift-spaceでのSuper-Survey modesへの応答を定式化→特に、Super-Survey modesの非等方的成分（ ⌧ij ）は非等方clusteringを引き起こす（AP testへの影響）•

強非線形領域における影響を調べるためには、⌧ij を取り入れたN体シミュレーションが必要（separate universe simulationの拡張）→future works