数学的見方・考え方を活用した問題解決型授業とは－方程式分野に焦点を当てて－教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 雨宮冬弥

1.研究動機と背景び技能を関連付けながら、統合的・発展的に考研究動機えること」とされている。数学的見方を一次方本研究の背景として、筆者の学部時代の経験が関わっている。私は学部時代の実習で中程式の単元で考えると、問題を解決するために、等しい数量の関係を方程式に表すこと力

学 1 年生の一次方程式単元の一次方程式の利や作った方程式を形式的に処理することで方用を担当した。生徒の実態を見ると配属校が程式のよさを理解する力のことであるといえ山梨大学付属中学校であったために学力は高い生徒たちであった。一次方程式の文章問題る。また、数学的考え方を同じく一次方程式の分野で考えると、数量の関係を図や表などででは方程式を利用して解く他に問題によってわかりやすくしたり、解決の過程を振り返り、は鶴亀算などの算術的な方法で解くことがで他の問題場面で活用可能かどうかを考えるこきる。実習校の生徒たちは多くが小学生のときに鶴亀算を学習している。そのような経緯とといえる。このように学習指導要領の観点から見ても方程式分野の指導は重要な位置にがあり、方程式の文章問題では鶴亀算などをなっているといえる。

用いている子どもも多かった。実際に授業をしたところ生徒は一次方程式を用いて解くことができているが、鶴亀算のような算数の知

平成 20 年度の全国学力・学習状況調査の次の問題が挙げられる。
折り紙を何人かの生徒に配るのに、1 人に 3 枚ずつ識で解く方が簡単ということを行っている生配ると 20 枚余ります。また、1 人に 5 枚ずつ配ると徒がいたり、方程式で解くことの良さがわか２枚足りません。

らないといった生徒もいた。このような経験から私は方程式分野における問題解決型授業方程式を作りなさい。ただし、作った方程式を解く必を研究し、子どもたちに方程式の良さを感得要はありません。

させられるようにしたいと思い、このような研究テーマにした。
研究背景
平成 29 年告示の学習指導要領（数学編）において「数学的見方・考え方を働かせ」という言葉がキーワードとなっている。
「数学的な見方」とは、「事象を数量や図形およびそれらの関係についての概念等に着目してその特徴や本質を捉えること」とされている。
「数学的な考え方」とは、「目的に応じて数、式、図、表、グラフ等を活用しつつ、論理的に考え、問題解決の過程を振り返るなどして既習の知識およ生徒の人数を求めるために、生徒の人数を x としてこの問題の正答率は 60.5%であり、解答類型と反応率は表 1 の通りである。誤答類型の 2、3、4 の反応率はいずれも 5%以下である。類型
9 の反応率が 12.1%、類型 0（無解答）の反応率が 18.5%という結果になった。
比率が大きい誤答類型は見受けられなかったため、子ども達が方程式のどこでつまずいているかを明らかにすることは難しいと思われる。この問題の解答類型と反応率は表 1 に記載。

表 1 平成 20 年度の解答類型と反応率
解答類型

反応率

正答（％）
1

3𝑥 + 20 = 5𝑥 − 260.5

次の問題と考え方を読んで下のに当てはまる言葉を書きなさい。

◎または

問題

折り紙を何人かの生徒に配るのに、1 人

𝑦 = 3𝑥 + 20{
𝑦 = 5𝑥 − 2に 3 枚ずつ配ると 20 枚余ります。また、1と解答しているもの

人に 5 枚ずつ配ると２枚足りません。
生徒の人数を求めるために、生徒の人数（同値な式であればよを x として方程式を作りなさい。

い。枚数はｙと異なる文字で表していてもよ

考え方
方程式を作るために、𝑥を使って、上の問題の数量のうちを 2 通りい。以下同様。
）
23𝑥 − 20 = 5𝑥 + 2

4.1

またはの式で表すと、3𝑥 + 5と5𝑥 − 2になります。
この 2 つの式が等しいので、方程式は

𝑦 = 3𝑥 − 20{𝑦 = 5𝑥 + 2

3𝑥 + 5 = 5𝑥 − 2です。と解答しているもの
31
1𝑥 + 20 = 𝑥 + 2
350.2

この問題の解答類型と反応率は表２の通りである。
表 2 平成 21 年度の解答類型と反応率

または

解答類型

反応率

1𝑦 = 𝑥 + 20
3{
1𝑦 = 𝑥 −2
5

１ 「折り紙の枚数」と解 36.3
答しているものと解答しているもの（枚数と解答している（％）

4 上記以外の一元一次方 4.7
程式を解答しているもの
9 上記以外の解答

12.1

0 無解答

18.5

さらに、この問題に関して平成 21 年度の全国学力・学習状況調査において次の問題が出題されている。

正答◎ものを含む。
）
２ 「折り紙」と解答して 4.7いるもの
３ 「生徒の人数」と解答 19.3
しているもの（生徒、または人数と解答しているものを含む。
）
４ 「配り方」と解答して 2.3いるもの
９ 上記以外の解答

19.5

０ 無解答

17.3

この問題では3𝑥 + 5と5𝑥 − 2の式が何を表しているかという方程式の立式について出題している。平成 20 年度の調査では約 6 割の子る。また、方程式の応用問題として一般的な文どもが方程式の文章問題を方程式に立式する

章問題は次の順序で解決されるとも述べていことができているが、平成 21 年度の調査では正答率が 4 割未満となっており、文字式の意る。
○文章問題を方程式で解く過程味が読み取れていないということが分かる。

①問題から方程式を作る。

これらの調査により、今の子ども達は方程②作った方程式を解く。

式を立式する際に数量関係を読み取れずにいるということが分かる。このため、方程式分野③方程式の解を吟味・検討する。
この中で子どもが最も困難と感じるものは①における「数学的見方・考え方」は現代の数学問題から方程式を作る過程であると述べてい教育にとって 1 つの課題であるということがる。このことから、方程式の困難性の所在は立いえる。また、平成 29 年告示の学習指導要領（数学編）では「主体的に問題発見・解決の過式にあると見ることができる。
生徒たちが方程式の立式に困難性を感じて程を遂行すること、そして、これを振り返っていることは分かったが、なぜ方程式の立式が言語としての数学で表現し、意見の交流や議困難であるのかは分かっていない。先ほど紹論などを通して吟味を重ね、更に洗練させていくことが大切であり、ここに数学的活動の介した平成 20 年度の全国学力・学習状況調査の結果においても、反応率が大きい誤答類型教育的意義がある。
」と書かれており、数学的は特に見当たらない。しかし、平成 21 年度の活動を含んだ授業開発は必要なことであると

全国学力・学習状況調査での正答率はかなりいえる。

低い値になっているため、さらなる調査をしていく。

2.研究目的（２）文字式の理解について

本研究の目的は大きく分けて２つある。

Kuchemann(1981)は、子どもが文字に対し１つ目は先の研究背景で述べたように方程式の立式が子ども達にとってとってどのようてどのような意味を与えているのか次の様に述べている。

な困難になっているかを明らかにすることで①未知数としての文字ある。子ども達が方程式のよさを実感するた②一般の数を表す文字

めには困難性の解決が必要であるためこのような目的にした。

③変数としての文字④数値化された文字

２つ目は明らかになった困難性を解決する⑤使わない文字ための指導法を追求することである。困難性⑥対象物としての文字の所在が分かれば、困難性を改善するための手立てが必要となる。その手立てを踏まえた

この中で④、⑤、⑥は数学本来の文字の意味ではない。④は文字なにかの数字を意味してい数学的活動を考え、指導法として考えて行く。

ると捉えてしまっている。⑤は文字は計算などには使わないものという捉え方をしている。

３.先行研究（１）方程式の困難性について
三輪（1991）は方程式の文章問題の困難性に⑥は物を簡略化した記号、あるいは、物そのものの記号というように捉えている。
。
（３）子どもの文字式に対する理解ついて「方程式の学習において、方程式が解けKuchemann(1981)が提案している⑥の物るようになることと方程式の意味を知ることは重要なことであるが、それらを用いて応用としての文字以外の理解がある。それは、次の3 つである。

問題を解くことも重要なことである。
」と方程①問題文の言葉を置き換えている物としての式を応用することの重要性について述べてい文字

②数値を置き換えている③物そのものを置き換えた文字ⅴ 調査問題について問題は平成 20 年度全国学力・学習状況調査

また、清水（2017）は子どもの文字式に対する理解を次のように述べている。子ども達はこの問題の数値を変えたものにした。今回の調査では、立式を問うだけでなく、方程式を解いのような文字の理解をしているため、平成 20て答えを出すところまでを解答させた。これ

年度全国学力・学習状況調査の問題を例にとには調査対象校の学習実態を調べることも視

ると3𝑥 + 20を「3 枚ずつ 1 人に配ると 20 枚余る」という様に読み取っており、3𝑥は人数を野に入れていたため、方程式の解き方なども調査問題に書かせ、調査の対象とした。

表し、20 は枚数を表すといった様に別々の数

Ⅲ 事前調査①の結果量を表す式と捉えていたり、生徒の人数𝑥を使問題の正答率と問題場面から立式した式をった式は生徒の人数を表していると捉えたりすると考えられる。

解答類型を作り、分類していくことにした。
表３ 実態調査①立式の結果

4.研究方法１

以上の先行研究を踏まえて、本研究は以下のように進めた。
（１）実習校における事前調査①

解答類型

反応率

3𝑥 + 21 = 5𝑥 − 6354 人

または、この両辺を含む連立方74.0％

程式として立式しているもの。
3𝑥 − 21 = 5𝑥 + 63

1人（２）実習校における事前調査②

または、この両辺を含む連立方1.3％（３）授業実践（４）実習校における事後調査

程式として立式しているもの。

２３5．実践結果
（１）事前調査①
Ⅰ 調査の内容0％

程式として立式しているもの。
４

調べるために事前調査を実施した。平成 20 年の所在を明らかにすることをねらいとした。

0人

または、この両辺を含む連立方実習校において一次方程式について実態を度全国学力・学習状況調査を参考に解答類型を作り、誤答を調査することによって、困難性

11𝑥 − 21 = 𝑥 + 63
35

上記以外の一元一次方程式また4人は、連立方程式を立式して解答5.5％しているもの。
５９

3𝑥 + 21または5𝑥 − 63と解答し3人ているもの。

4.1％

上記以外の解答

12 人
16.4％

Ⅱ調査対象、方法
ⅰ 対象：山梨県内公立 A 中学校 3 年生 73 名
ⅱ 実施時期：令和２年 7 月中旬
ⅲ 方法：A4 の問題用紙 1 枚に一次方程式の利用の問題を 1 問載せたものを、朝の会の前に 10 分時間をいただき質問紙調査を行った。
ⅳ 調査問題
あめを何人かの生徒に配るのに、１人に３個ずつ配ると２１個余ります。また、１人に５個ずつ配ると６３個足りません。生徒の人数とあめの数を求めなさい。

０無解答

0人0％

事前調査①の正答率は 44 人（60.3％）であり、全国平均とほとんど変わらない値になった(平成 20 年度全国学力・学習状況調査と比較)。立式の反応率を見てみると、誤答類型２，３，４はほとんど見られず、調査した学校では立式をすること自体はできないということはないように思われる。立式はできているが方程式の解が正しくなかったり、代入ができていなかったりする生徒が 10 人（13.4％）
いた。

この調査の結果では、子どもの方程式の立の左辺と右辺は何を表しているのかを問うこ

式をどのように考えているのか見い出せないとによって、数量関係の把握や文字式の理解と考えたため、次の実態調査②を同じく A 中学校の２年生で実施することにした。

がなされているのかを調査した。
Ⅲ 事前調査②の結果（２）事前調査②

表４ 表の文章問題の立式の反応率

Ⅰ 調査の内容
事前調査①では、生徒が方程式の立式をどのように考えているのか見い出すことができ

3𝑥 + 21 = 5𝑥 − 63

44 人

または、この両辺を含む連立方程式72.1％として立式しているもの。
3𝑥 − 21 = 5𝑥 + 630人

または、この両辺を含む連立方程式0％２て考えているのか調査することにした。
Ⅱ 調査対象、方法
ⅰ 対象：山梨県内公立 A 中学校２年生 61 名

反応率１なかった。そのため本調査では事前調査①に設問を追加し、生徒がどのように立式につい解答類型として立式しているもの。
３1
1𝑥 − 21 = 𝑥 + 63
35ⅱ 実施時期：令和２年 7 月下旬
ⅲ 方法：A4 の問題用紙 1 枚に一次方程式の利用の問題を 1 問と裏にどのように立式をしたのかを問う問題を載せたものを、朝の会の0人0％または、この両辺を含む連立方程式として立式しているもの。
上記以外の一元一次方程式または、7人

前に 1５分時間を用いて質問紙調査を行った。

連立方程式を立式して解答してい11.5％

ⅳ 調査問題：事前調査①の問題に加えて以下の問題を追加して調査を行った。表７分、裏るもの。

４

５８分と時間を区切り、表を解いている時間は裏を見ないように指示を出した。

９3𝑥 + 21または5𝑥 − 63と解答して0人いるもの。

0％

上記以外の解答

10 人
16.4％

問題
あめを何人かの生徒に配るのに、１人に３個ず０0人

無解答

0％

つ配ると２１個余ります。また、１人に５個ずつ

表５ 裏の設問の反応率配ると６３個足りません。

解答類型

生徒の人数とあめの個数を求めなさい。
１

設問

あめの個数

２

生徒の人数

３3𝑥 − 5𝑥 = −63 − 21

この解き方を見て、 3𝑥 + 21 と 5𝑥 − 63 は何を表しているのか答えてください。

ｖ調査問題について
この調査では、方程式の文章問題を解いた

3𝑥 +21 は 3 個を𝑥 人に配り、2139 人個余った。5𝑥 -63 は 5 個を𝑥 人に63.9％配り、63 個足りなかった。

−2𝑥 = −84
𝑥 = 42

1人
１1.8％

生徒の人数を𝑥人とすると3𝑥 + 21 = 5𝑥 − 63

15 人
24.6％

この問題を A さんは生徒の数を次のように求めました。

反応率０

その他

6人
9.8％

表の文章問題の正答率は 34 人（55.7％）であり、全国平均より少し下回る形となった。これは、対象が中学 2 年生であったこともあり、後に、同じ問題の立式から方程式の解を出す

3 年生と比較したときに習熟度の差は出てしところまでを提示し、立式されている方程式まうと考えたため、特に重要視することはな

いことにした。反応率の方は事前調査①の時と同じく、誤答類型２，３，４の数値が低い値

A さんは地域のごみ拾いのお礼として子ども達にとなった。
裏の調査では「あめの個数」と答えた生徒はお菓子を配りました。１人に４個ずつ配ったら９１５人（24.6％）でかなり低い数値となった。

配ったら１５個余りました。子どもの人数とお菓

一番高い反応率を示したのは、解答類型３の子の個数はそれぞれいくつだったでしょう。
子の個数はそれぞれいくつだったでしょう。

「3𝑥+21 は 3 個を𝑥人に配り、21 個余った。
5𝑥-63 は 5 個を𝑥人に配り、63 個足りなかっ個足りませんでした。子ども達に１人に３個ずつⅳ授業の概要た。
」であった。このことから多くの生徒は方

本授業は 2 時間構成で授業を行った。1 時間

程式の右辺と左辺「あめの個数」と考えている

目は「子どもの人数を𝑥」としたときの解き方のではなく、解答類型３のように文章問題に書かれてあった様子をそのまま文字式にとしを行った。内容としては、数量関係の把握に線分図を用いた。そこから出てきた等しい数量て方程式を立式しているのではないかと考え関係を言葉で方程式に表す活動を行い、作らた。

れた言葉の式に文字や数を当てはめることに○事前調査の考察
生徒達が立式自体はできていることがわか

よって方程式を立式した。2 時間目では「お菓子の個数を𝑥」としたときの解き方を行った。

ったが、多くの生徒は立式した式の意味を問こちらでは数量関係の把握については図や表題文の流れを式に表すというように考えていなどは用いず、言葉の式を作る活動だけをしることが分かった。立式自体をすることは問題のやり方を覚えることでできることである。てから方程式を立式した。
ⅴ 授業実践の結果

しかし、これでは数量関係を考えることはで・𝑥は何を表しているかについてきないことに加え、２つの数量を１つの方程まず、ほとんどの生徒は方程式を作る前に式にまとめ、形式的に処理することができる
方程式のよさを感じることができないと考え

何を𝑥とすれば良いのかという点については理解できていた。このため、立式の際には𝑥がた。よって、次の実践授業では数量関係の把握

1 時間目では「子どもの人数」、2 時間目ではと立式した方程式の中の文字式の意味を理解「お菓子の個数」という認識がなされていたさせていくことが必要になるであろうと考えた。といえる。
・図の有効性について（３）授業実践

授業を進めていく中で、多くの生徒は最初Ⅰ実践の内容立式ができていなかった。しかし、1 時間目で授業のねらいとしては、問題の数量関係を丁寧に考えることで、立式することができる

は線分図を生徒たちと一緒に作ったところ、多くの生徒に「等しい数量関係」を認識させる方程式が何を意味しているのかを生徒と対話ことができた。しかし、2 時間目では線分図をしたり、数量関係を図を用いて表すことで視用いなかったためか 1 時間目と同じ問題にも覚的に理解したりすることである。また取り上げる題材はこれまで挙げてきていた過不足関わらず、立式に難しさを感じている様子が見られた。このことから、数量関係を把握するのある一次方程式の問題とする。

ことに関しては、図や表などの視覚化できるⅡ調査対象、方法ツールを用いることが重要であることが分か

ⅰ 対象：山梨県内公立 A 中学校１年生
ⅱ 実施時期：令和２年 10 月下旬

った。
・学習感想よりⅲ 題材
以下の問題を取り上げる。

学習感想では、「方程式を解くことはできるが、方程式を作ることは難しい」という感想が29.5％見受けられた。このことから、数量関係の理解に重要視しすぎてしまっていたことがかえって混乱を招いてしまったとも考えることができる。また、生徒にとっては問題を解くことが２ 生徒の人数

6.6％
３ 全員に配りきれるあめの数優先されており、事前調査①の解答類型３のように問題文の流れをそのまま方程式にしたり、式を覚えてしまった方が簡単と考えていたりするのではないかと思う。これらの感想

4人
2人
3.3％

４ あめの個数と生徒の人数

2人
3.3％

５ 1 人に配るあめの個数

2人から、生徒にとって数量関係を考えて立式す

3.3％

ることはとても困難であるため、授業におい

６ 3x+21 は 3 個を x 人に配り、 25 人ては発問の組み立てをより綿密に計画立てる
ことで、生徒が１つ１つ気付くことができる21 個余った。5x-63 は 5 個を 41.0％
x 人に配り、63 個足りなかっ様な問題解決を行っていくべきであることがた。

わかった。

７ その他・無答（４）事後調査
Ⅰ 調査の内容

6人
9.8％

事後調査の表の文章問題の正答率は 25 人

調査の内容は事前調査②と同じ形式で行っ（41.0％）であった。全戸平均と比べると大きた。授業実践によって事前調査と事後調査のく下回ってしまっている。生徒にとってこの比較を行うことで授業実践の成果と課題を見いだすことを目的としている。また調査時期問題が難しいと感じられているように捉えることができた。教材の改善が必要であることについては、実践授業のすぐ後ではなく、習熟がわかった。また、誤答の中には立式はできて度を見るために期末テストが終了した後の 12いるにもかかわらず、方程式の解をそのまま月に行った。
Ⅱ 調査対象、方法を答えとしていたり、代入を誤っていたものがあった。これらの要因としては、問題把握がⅰ 対象：山梨県内公立 A 中学校１年生 61 名

なされていないことや立てた方程式の意味がⅱ 実施時期：令和２年 12 月中旬

わかってっていないことが考えられる。

ⅲ 方法：A4 の問題用紙 1 枚に一次方程式の利用の問題を 1 問と裏にどのように立式をし裏の立式された方程式が表している問題では、事前調査の結果よりわずかに「あめの数」たのかを問う問題を載せたものを、朝の会のと答えた生徒は多くあった。それにともなっ前に 1５分時間を用い、質問紙調査を行った。て解答類型６の「3x+21 は 3 個を x 人に配り、ⅳ， 査問題：問題は事前調査②と同じものを使用する。また、今回の調査では設問の聞き方21 個余った。5x-63 は 5 個を x 人に配り、63個足りなかった。
」を解答した生徒も減少してを「何を表しているのか」から「どのような数いた。しかし、まだ一番高い数値となっている。

量を表しているか」に変更した。

ここに授業実践の成果がわずかに現れている

ⅴ調査問題について
今回の調査では立式された方程式に対してことが分かるが、課題の根本的な解決にまでは至っていないといえる。他の解答類型はど生徒たちがどのような意味で捉えているのかれも低い値となっていることがわかる。

をより細かく調査するために解答類型を事前調査②よりも多く設定した。
Ⅲ事後調査の結果

6．研究のまとめ
本研究の目的は、1 方程式の立式に対する困解答類型

反応率

１ あめの数18 人

難性の所在を明らかにすること、２困難性を解決する指導方法を考察することであった。

状況調査 中学校報告書

1，方程式の立式に対する困難性の所在につい・国立教育政策研究所（2009）全国学力・学習て方程式の立式の困難性を調査するために事状況調査 中学校報告書
文部科学省 中学校学習指導要領（平成 29 年

前調査①、②を行った。ここでは多くの子ども

告示）解説 数学編 日本文教出版

達は方程式を立式する際に問題に書かれてあ・清水宏幸（2017）中学校数学における文字式ることを文字式化して方程式にしていることが分かった。このような生徒の中には 3𝑥＋21の理解に関する研究
題 題 99 巻や 5𝑥-63 といった文字式を「あめの個数」と本・清水宏幸（2019）中学生の方程式の立式過程

来は捉えられているが「3𝑥+21 は 3 個を𝑥人にに見られる文字式の理解に関する研究日本数配り、21 個余った。5𝑥-63 は 5 個を𝑥人に配り、63 個足りなかった。
」という解釈の方が問学教育学会誌 第 101 巻 第 7 号
・清水宏幸（2019）文字式とその式における文題を解く上では簡単だからという考えもある

字の理解に関する研究 日本数学教育学会誌と考えられる。この部分はインタビュー調査

101 巻を実施してさらに焦点化した調査が必要であると考える。このことから、生徒たちは未知の第 11 号
・杜威(1991)文字式の学習に関する研究

方程式を利用する問題に遭遇したときに立式

威 東洋館出版がうまくできなくなってしまい、方程式の立式が難しいと感じてしまっていることが明らかになった。
2．方程式の困難性を解決する指導方法について上の１のことを踏まえて実践授業を行った
ところ、立式の際の数量関係の把握において図など視覚化できるものを用いることによって、等しい数量関係の理解がなされることがわかった。１でも言ったように生徒たちは文章から式を立てることなどの見える物から方程式を立式することは難しいと感じないのではないかということが分かった。このため目に見えない問題の数量関係を視覚化することによって数量関係の把握はなされることが明らかになった。今回の題材では過不足のある問題であったため、線分図が有効であると予想し、それを用いて授業を行った。では、教科書に載っている他の「個数と代金」「速さ」の文章問題には視覚化したどのような教具が必要なのかを今後は研究していく必要があると思う。
引用・参考文献
・国立教育政策研究所（2008）全国学力・学習

日本数学教育学会誌

杜