１階微分方程式：変数分離形微分方程式および同次微分方程式
クルモフ

バレリー

変数分離形微分方程式
次のような微分方程式

 

を変数分離形という。この分離形微分方程式の解法を考える。式
両辺を  で積分して を変形して       ここで、 は任意定数である。左辺の積分に置換積分法を用いて、これを  についての積分になおせば、

     一般解が得られる。以上の解法を次のように簡略して書く。

 

変数を分離して   

積分して


例題



   

次の微分方程式を解け。

       解答 これは変数分離形である。変数を分離して積分して        または

これが一般解である。ここで  は任意の定数である。この一般解は楕円群を表している。
例題



次の微分方程式を解け。

解答 これは変数分離形である。変数を分離して積分して   または   

注意：積分を行うときに任意の定数を導入することは非常に重要である。（次の例題参照）
１階微分方程式で  のとき た微分万程式を解くという。一般に

 となる解を求めることを、初期条件「 階微分方程式
となる。そこで、微分方程式
例題



       

 とおけば、 の代りに、これを  の形の方程式で表すことができる。（前述の例題参照）

次の微分方程式を解け。

解答 変数を分散して積分して両辺の 」のもとで与えられ     の両辺に  を掛け、       を表す

なお、タンジェントの和の式は                                     

であるので、これを式  に対して利用する。

          
結果は



 となる。
次に初期条件により、 を求める。

 と  を式  に代入し、    が得られる。これより
    また    最後に、  は解であるかを確かめる。
例題



ニュートンの冷却の法則によれば、温度  の媒質で囲まれた物体の温度に比例し、  の変化率は温度差  が成り立つ。 度の銅球を  度の液体に入れた。ただし、液体の質量は銅球の質量に比べ非常に大きいとする。
 分後に銅球の温度は  度になった。このとき、銅球が  度になるのは何分後か。

解 微分方程式は変数分離形であるから

 

との変形できて、を得る。

では



 では
   のとき





 ½        





  

 

両辺の対数をとり、したがって、         

 同次形微分方程式




 

この形の微分方程式を同次形であるという。この方程式の右辺は  だけの関数である。次のことが成り立つ。
同次形微分方程式  は、変数の変換
 すなわち  によって、 と  についての変数分離形になる。

 とすれば、

証明となる。これを  に代入すると


これは変数分離形である。
例題



次の微分方程式を解け。

   

解答この微分方程式を変形してこれは同次形である。

 とおけば、¼なる。


積分して




  ¼ である。これらを  に代入すれば、次の変数分離形に  したがって、これに           を代入して整理すれば、一般解 を得る。ここで、 は任意定数である。

    線形微分方程式¿º½ 線形微分方程式
次の形を持つ微分方程式

   

を線形微分方程式という（未知関数  とその導関数 ¼ について１次方程式であるからこの名称がつけられちる。
線形微分方程式 の一般解はÊÊ の両辺に

証明



このことで左辺は         である。

  を掛ければ、Ê Ê Ê    に等しくなるから、


例題Ê  

次の微分方程式を解け。

解答 ここでÊ式  より一般解は

となる。
または、元の微分方程式をÊ         

 で掛算し、

¼



 ¼



両辺を積分すれば、上記と同じ結果が得られる。

Ê 





Ê 
¼   は次のようになる。

 Ê

  



Ê



両辺を積分してÊ  すなわち 







例題

次の微分方程式を解け。

¼    解答 ここで微分方程式を式（）と同じ形になるように書き換える¼  




このとき   、  であり、 Ê  Ê である。式  より一般解は次のようになる。

    

¿º¾ ベルヌーイの微分方程式
  

をベルヌーイ微分方程式という（のときは線形微分方程式であり、 のときは変数分散形である）。ベ

ルヌーイの微分方程式の解法は次の通りである。

ベルヌーイの微分方程式

 で   とおいて、これを  と  の微分方程式に書きかえれば、線形微分方程式になる。

証明

  とおけば、
¼¼

これを に代入して整理すれば、
 ¼    ¼   ¼
 となり、これは線形微分方程式である。

 完全微分方程式：概要
次の形を持つ微分方程式

       の左辺がある関数    の完全微分であることがある。そのとき、式   を完全微分方程式という。

式  が完全微分方程式であれば、
  となる関数が存在する。このことから

  はである。そのとき、

 である。つまり完全微分方程式   である。ただし、  の一般解は   である。

  が完全であるための必要十分条件を与える。
定理         が完全であるための必要十分条件は次の定理は重要で、である。

 は完全であるとすれば、

証明： 必要性：   となる関数    が存在する。そして、

 なので と  を計算すると
  
  が成り立つ。

十分性：逆に式 が成り立っているとする。そのときに次の関数   を考える。
      

上記の関数の右辺の第一項内の  を定数としてみなす。
次に  と  を計算する。




ここで、式





                   ゆえに と  より         を利用する。
式    



は完全 である。