⟨Bra|Ket⟩ とは？ どう使う？
The current ﬁle is: braket.tex
February 2, 2022 6:00pm

まずは空間のベクトルの復習をしよう。ベクトルは向きと大きさをもつ量である。ある直線上の存在する点の位置はその直線上にあるベクトル r にある係数を掛ければ特定できる。ベクトルは長さ 1 の単位ベクトル r̂ を用いることが便利である。

rOr̂

Figure 1: ベクトルは長さ r と方向を示す単位ベクトル r̂ であらわされる。r = r r̂
2 次元の場合を考えよう。平面内の位置は 2 つの単位ベクトル â, b̂ と 2 つの係数 α, β であらわされる。
r = αâ + β b̂(1)â と b̂ が直交してない場合を Fig.2 に示した。ベクトル r と â の内積（射影）r · â は |OA| となり，ベクトル r と b̂β b̂CBBβ b̂rb̂Oârb̂αâOAAαââFigure 2: 非直交座標系と直交系座標でのベクトル⃗ = |OA|â+|OB|â はベクトル r とはの内積（射影）r · b̂ は |OB| となるが，この射影された二つのベクトルの和 OCならない。一方で，â と b̂ が直交している場合は，r · â = α, r · b̂ = β となり，
r = (r · â)â + (r · b̂)b̂(2)

3 次元のベクトル r は、直交した単位ベクトル i, j, k とそれらへの射影（内積）x = r · i, y = r · j, z = r · k の単純な和で(3)r = (r · i) i + (r · j) j + (r · k) k| {z }=x| {z }=y| {z }=zr = xi + yj + zk と表される。我々は３次元の空間しか認識できないが, ３次元のベクトルを４次元，５次元，，，，N次元へと拡張することもできる。

1

一般のベクトル r は，そのベクトルのそれぞれの直交単位ベクトルへの射影ベクトルの和となる。これを一般化して，N 次元空間の正規直交単位ベクトルを e1 , e2 , e3 , ..., eN とすると，一般にベクトル r は

r=NX(r · ei )ei(4)i=1

その際，正規直交単位ベクトル ei は以下の関係を満たす。
(ei · ej = δi,j ,1, i = j0, i ≠ j

δi,j =(5)

これまでは，ベクトルの話であったが関数はどうであろうか？ (4) 式と同じように一般の関数を規格直交関数で展開することは可能であろうか？また関数どうしの内積も存在するのであろうか？答えは YES であり，これはまさにフーリエ級数，フーリエ変換の発想である。いま，ある関数 f (x) が，正規直交関数 gn (x) で以下のように展開できるとする。展開係数 an は左から gn∗ (x) をかけて積分すると以下のように与えられる。ここで，*は複素共役をあらわす。

f (x) =ZX

an gn (x)ngn∗ (x)f (x)dx

Z==gn∗ (x)XX(6)
am gm (x)dx =mX

Zamgn∗ (x)gm (x)dx

mam δn,m = an(7)m

ここで，以下の規格直交条件を使った。
ZR(1, n = m0, n ≠ mgn∗ (x)gm (x)dx = δn,m =(8)R

２つの関数の積分 gn∗ f (x)dx や gn∗ gm (x)dx はベクトルの内積に対応して関数の内積とよばれる。
量子力学の波動関数（状態ベクトル）は，（複素）無限次元空間（ヒルベルト空間）での単位ベクトルとその射影であらわされる。すなわち，ある波動関数 ψ は以下のように ϕn で展開できるとする

ψ(x) =Xcn ϕn (x)(9)n展開係数 cn は以下のように与えられる。

⟨ϕn |ψ⟩ ≡Z

ϕ∗n (x)ψ(x)dx =XmZcm|

ϕ∗n (x)ϕm (x)dx = cn{z(10)}= δn,mn は 1 から無限に続くが，正規直交系の ϕn を指定しておけば，波動関数 ψ(x) は係数 c1 , c2 , c3 , ... によって決まる。
係数 c1 , c2 , c3 , ... を以下に示すように列ベクトルと見なせば，Dirac のケットベクトルで以下のように定義できる。
⟨ϕ1 |ψ⟩c1
 c2   ⟨ϕ2 |ψ⟩   c   ⟨ϕ |ψ⟩ 
 3  3  .  .
  .  .

=|ψ⟩ =⇒ .
 .   
 cn   ⟨ϕn |ψ⟩   .  .
  .  .
.
.

2(11)

R

また，波動関数 χ(x) と ψ(x) の内積は， χ∗ (x)ψ(x)dx であるが，χ(x) も正規直交系の ϕn で χ(x) =と展開できるとすると，Zχ∗ (x)ψ(x)dx =Z Xd∗m ϕ∗m (x)Xcn ϕn (x)dx =m=nX∗dm cn δn,m =d∗n cnnnmXXmXXd∗m cnZPm dm ϕn (x)ϕ∗m (x)ϕn (x)dxn(12)最後の式は，以下のように行ベクトルと列ベクトル積となっている。
(d∗1 d∗2 d∗3 ... dn∗c1
 c2 
 c 
 3  .  . 
... )  . 
 cn  .  . .

(13)

(14)
ここで，

⟨χ|ϕn ⟩ =Z∗

χ (x)ϕn (x)dx =Xmd∗mZ|ϕ∗m (x)ϕn (x)dx = d∗n{z(15)}= δn,mχ を Dirac のブラベクトルであらわせば，⟨χ| =⇒ (d∗1 d∗2 d∗3 ... d∗m ... ) = (⟨χ|ϕ1 ⟩ ⟨χ|ϕ2 ⟩ ⟨χ|ϕ3 ⟩ ... ⟨χ|ϕm ⟩ ... )(16)であり波動関数 χ(x) と ψ(x) の内積はブラケットをつかって,

⟨ϕ1 |ψ⟩c1
 ⟨ϕ2 |ψ⟩ 
 c2  ⟨ϕ |ψ⟩ 
 c 
 3 3 . .


.
.
∗ ∗ ∗∗= (⟨χ|ϕ1 ⟩ ⟨χ|ϕ2 ⟩ ⟨χ|ϕ3 ⟩ ... ⟨χ|ϕm ⟩ ... ) ⟨χ|ψ⟩ = (d1 d2 d3 ... dm ... ) .

 .  ⟨ϕn |ψ⟩ 
 cn 
 . .

 . .
.
.

(17)と書かれる。
式 (9) の cn に式 (10) を代入して，右辺の ϕn と cn の順番を入れ替えると|ψ⟩ =X|ϕn ⟩⟨ϕn |ψ⟩(18)nここで右辺の |ψ⟩ より前を演算子とみなすと |ψ⟩ → |ψ⟩ への恒等変換となるので

Iˆ =X|ϕn ⟩⟨ϕn |(19)n1となる。これを射影演算子 (projection operator) という。
1

この式をファインマンは the great law of quantum mechanics! (There is no analog in vector analysis) と The Feynman
LecturesPon Physics, Volume III, Chapter 8、（8.9）式で書いている。式の左辺は 1 や Iˆ ではなく縦棒 (vertical bar) すなわち | = i |i⟩⟨i| と記
述しているところがファインマンらしいセンスを感じる！

3ある演算子 Ô を波動関数 ψ に作用させて，別の波動関数 χ との内積をとる。2 つの波動関数は正規直交関数 ϕNで展開できるとするとZ∗

χ (x)Ôψ(x)dx =XXmd∗mZ

ϕ∗m (x)Ôϕn (x)dxcn =nXXmd∗m ⟨ϕm |Ô|ϕn ⟩cnnこれは，以下のように行ベクトル，行列，列ベクトルの積とみなせる。演算子を行列とみなせば
Z⟨ϕi |Ô|ϕj ⟩ ≡ Oij(20)χ∗ (x)Ôψ(x)dx =(21)
O11

 O21

 O
 31

 .
 .
(d1∗ d∗2 d∗3 ... d∗m ... )  .

 Om1
 .
 .

.

O12 O13
O22 O23
O32 O33.
.
.
.
.
.
Om2 Om3
.
.
.
.
.
.

... O1n... O2n... O3n
...
.
...
.
...
.
... Omn
...
.
...
.
...
.



...
c1


...   c2 ...   c3 ...   . 
...  . ...   . ...   cn  . ... ...   . ...
.

また，d∗m = ⟨χ|ϕm ⟩, cn = ⟨ϕn |ψ⟩ を用いるとZχ∗ (x)Ôψ(x)dx =XXmd∗m ⟨ϕm |Ô|ϕn ⟩cn = ⟨χ|

Xn|ϕm ⟩⟨ϕm |ÔXm|ϕn ⟩⟨ϕn |ψ⟩nˆ= ⟨χ|IˆÔI|ψ⟩= ⟨χ|Ô|ψ⟩(22)

このように，波動関数はヒルベルト空間の列または行ベクトルであらわされ，演算子は行列としてあらわされるので，行列をもちいた線型代数が量子力学には重要な働きを示す。

連続的な基底系に対するブラケット表現:空間表示
前の例では，離散的な基底系に対して考慮したが，連続する基底系にも定義しよう。今位置に対する演算子 R̂ と連続系の基底 |r⟩ の固有方程式は，

R̂|r⟩ = r|r⟩(23)

ここで，r は位置ベクトルである。この基底系に対する正規直交条件はZ⟨r′ |r⟩ = δ(r − r′ ) = δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ )dr |r⟩⟨r| = Iˆ(24)(25)デルタ関数は以下の性質をもつ。
Z +∞

Z +∞
−∞

δ(x)dx = 1,−∞f (x)δ(x − x′ )dx = f (x′ )(26)

すべての状態ベクトル |ψ⟩ は以下のように展開できる

ˆ|ψ⟩ = I|ψ⟩=Z

dr |r⟩⟨r|ψ⟩ ≡Z

dr ψ(r)|r⟩ψ(r) ≡ ⟨r|ψ⟩

(27)
(28)

これが，位置に依存した波動関数 ψ(r) の本来の定義である。存在確率密度は，

ψ ∗ (r)ψ(r)dr = |ψ(r)|2 dr = |⟨r|ψ⟩|2 dr4(29)２つの状態ベクトル間の内積は⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|Zdr |r⟩⟨r|ψ⟩ =Zdrϕ∗ (r)ψ(r)(30)∂とすれば，
空間表示の際，交換関係 [X̂, P̂x ] = ih̄ より,P̂x = −ih̄ ∂x(X̂ P̂x − P̂x X̂)ψ(x) = [x(−ih̄)∂∂∂∂+ ih̄ x]ψ(x) = −ih̄(x− 1 − x )ψ(x)∂x∂x∂x∂x= ih̄ψ(x)(31)が成立する。以下の運動量表示での交換関係と比較せよ。

連続的な基底系に対するブラケット表現:運動量表示
今運動量に対する演算子 P̂ と連続系の基底 |p⟩ の固有方程式は，

P̂|p⟩ = p|p⟩(32)

ここで，p は運動量ベクトルである。この基底系に対する正規直交条件はZ⟨p′ |p⟩ = δ(p − p′ ) = δ(px − px′ )δ(py − py′ )δ(pz − pz ′ )dp |p⟩⟨p| = Iˆ

(33)
(34)

この基底系に対する正規直交条件は
Z⟨p′ |p⟩ = δ(p − p′ ) = δ(px − px′ )δ(py − py′ )δ(pz − pz ′ )dp |p⟩⟨p| = Iˆ

(35)
(36)

すべての状態ベクトル |ψ⟩ は以下のように展開できるˆ|ψ⟩ = I|ψ⟩=Z

dp |p⟩⟨p|ψ⟩ ≡Z

dp ψ(p)|p⟩ψ(p) ≡ ⟨p|ψ⟩

(37)
(38)

これが, 運動量に依存した波動関数 ψ(p) の本来の定義である。運動量空間での存在確率密度は，

ψ ∗ (p)ψ(p)dp = |ψ(p)|2 dp = |⟨p|ψ⟩|2 dp(39)２つの状態ベクトル間の内積は⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|Z

dp |p⟩⟨p|ψ⟩ =Zdpϕ∗ (p)ψ(p)(40)

運動量表示の際，交換関係 [X̂, P̂x ] = ih̄ より, X̂ = ih̄ ∂p∂x とすれば，∂∂∂∂
px − px ih̄]ψ(px ) = ih̄(1 + px− px)ψ(px )
∂px
∂px
∂px
∂px
= ih̄ψ(px )(X̂ P̂x − P̂x X̂)ψ(px ) = [ih̄が成立する。上で示した空間表示での交換関係と比較せよ。

デルタ関数

5(41)

基本的な性質は(

δ(x − x0 ) =Z ∞Z ∞−∞∞,0,x = x0x ̸= x0(42)δ(x − x0 )dx = 1(43)f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 )(44)−∞(45)となる。
定義としては，(δ(x) ≡ lim δϵ (x), δϵ (x) =ϵ→0

δ(x) ≡ lim

ϵ→0− 2ϵ < x < 2ϵ0,|x| > 2ϵ1ϵ(46)

sin(x/ϵ)sin(Kx)= limK→∞
πxπx(47)!
") !"#$% &'!"#( &'!"#) &'

#1/ε

$

δε(x)

%!
&%

-ε/2 ε/2&'x&$&(&%&!

%($'Figure 3: デルタ関数の２つの定義
最後の式について考える。

lim sin(Kx)/x =x→0

zero cross point:

lim [sin(Kx)]′ /x′ = K cos(0)/1 = K(48)sin(Kx) = 0, Kx = −π, π, x = −π/K, π/K

(49)

x→0

surface area : S = (2π/K)K/2 = π
1sin(Kx)lim= 1
K→∞ π −∞
xZ ∞

(50)
(51)

以下のフーリエ変換を求める
Z ∞−∞′e−ik(x−x ) dk =Z K

lim

K→∞ −K′e−ik(x−x ) dk

(52)

ik=+K
h
11′′−ik(x−x′ )= lime[e−iK(x−x ) − eiK(x−x ) ]
(53)
k=−K
K→∞ −i(x − x′ )K→∞ −i(x − x′ )1= lim[cos K(x − x′ ) − i sin K(x − x′ ) − cos K(x − x′ ) − i sin K(x − x′ )] (54)K→∞ −i(x − x′ )2 sin K(x − x′ )1′[−2isin
K(x−x)]
=lim
(55)
= lim
K→∞
K→∞ −i(x − x′ )(x − x′ )= 2πδ(x − x′ )
(56)

=lim6

K2π/K
S=K(2π/K)/2=πFigure 4: sin(Kx)/x の積分
X = x − x′ として以下の積分は留数の定理（複素関数論）をつかってもとめることができる。
Z ∞Z∞ eiKz
sin(KX)
dX = Imdz, Kz = ZX−∞−∞ zZ ∞ iZZ ∞ iZeeImdZ/K = ImdZ−∞ Z/K−∞ Z= Imiπ = π(57)(58)(59)

最後の式で留数の定理を使った。
Imz

Rez0Figure 5: sin(Kx)/x の積分留数の定理（理系学生が感動するツボらしい 発散する特異点の回りを経路積分すれば値がえられるからね！）
については，George B. Arfken, Hans J. Weber, Frank E. Harris， Mathematical Methods for Physicists: A
Comprehensive Guide, 7th ed. Chap. 11 (Academic Press, Oxford, 2013) に詳しい。
性質としてよく使うものに

δ[g(x)] =Xi1
δ(x − xi )|g ′ (xi )|(60)ここで，xi は g(x) = 0 の点で，g ′ (xi ) ̸= 0 である。この公式をつかって

δ(ax) =δ[(x − a)(x − b)] =δ[(x2 − a2 )] =1
δ(x), a ̸= 0|a|1
[δ(x − a) + δ(x − b)], a ̸= b|a − b|1[δ(x − a) + δ(x + a)], a ̸= 02|a|(61)
(62)
(63)
(64)

階段関数である θ 関数とは以下の関係がある

dθ(x) = δ(x),dx(θ(x) =71, x > 00, x < 0(65)