山梨大学教職大学院

令和５年度

教育実践研究報告書

中学校数学科の図形領域における指導についての研究－空間図形と平面図形を繋ぐ学習－

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 今泉健汰

る性質を見いだすことや空間図形と平面図形

１．研究の動機と目的
数学において，空間図形の問題を解く際に，を統合的に捉えることが必要である。図形を模型を用いて問題となっている空間図形を観多面的・多角的に捉える経験をすることで，察しながら解くということはできない。また，図形に限らず事象を多面的・多角的に捉える

実際には見取図や投影図といった平面図形で力を育成することができると考える。

表現された空間図形を扱う必要があり，空間従って，図形に関する学習指導において立図形を自身の頭の中でイメージしながら問題体を様々な方向から観察して図形の性質を見を解くことが求められる。ここに空間図形のいだすこと，平面で表現された立体について問題を解く上での課題があると考える。

意図的に扱い空間図形と平面図形を繋ぐこと

全国学力・学習状況調査においても，生徒が必要不可欠であると考えられる。

いることが明らかとなっている。

以上のことより，本研究の目的を，中学校数学科の図形領域の指導において，模型の活右の図は立方体の見取図用や空間図形と平面図形を繋ぐ指導の追求をです。線分 BD と CF の行い，生徒の図形の概念形成，特に空間図形長さについて，下のアかの理解に対し，どのように寄与するかを明ららエまでの中から正しいかにするとともに図形領域の指導においてのものを１つ選びなさい。

効果を検証することとする。

が空間図形の問題を解くことに課題を持って図１：H22 全国学力・学習状況調査【A 問題】
この問題はどちらの線分も正方形の対角線となっているため，線分の長さは等しい関係

２．研究の方法①

先行研究の分析と考察を行い，空間図形にあるが，実際の正答率は 55.7%と約半数しの理解に対する有効な教材や指導についか正答しておらず，誤答では見取図上で表現ての示唆を得る。

された長さをそのままの長さとして捉えてし②まった生徒が一定数いた。

全国学力・学習状況調査，学習指導要領の分析と考察や先行研究から得られた教また，中学校学習指導要領(平成 29 年告示)

材，指導に対する示唆を受け，授業実践

解説数学編において数学科の目標では「(２)における教材や学習指導を設定する。

数学を活用して事象を論理的に考察する力，数量や図形などの性質を見いだし統合的・発③

展的に考察する力，数学的な表現を用いて事④設定した教材，学習指導をもとに授業実践を実施する。
授業実践の分析と考察を行い，生徒の空象を簡潔・明瞭・的確に表現する力を養う。」

間図形の理解に対し，寄与することがでという文言がある。

きたのかについて授業実践の成果と課題より明らかにする。

数学において性質を見いだすことや統合的・発展的に考察する力を養うことが求めら⑤れており，特に図形領域であれば図形に対す－ 323 －

授業実践の分析と考察，成果と課題をもとに本研究の結論を纏める。

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３．空間図形の理解を促す指導の考察

教育実践研究報告書（２）四角錐を切断

生徒の空間図形の理解に対する有効な教材

この課題において特定できる立体は四角錐や指導への示唆を得るために先行研究にあただけではない。四角錐を構成する面のうち，り，分析と考察を行った。

正方形の面を対角線で切断することでできる三角錐についても平面図，立面図が共に直角二等辺三角形となっている。

３.１ 空間図形と平面図形を繋ぐ教材の考察
ここでは吉川(2011)「投影図から立体を特定する課題の教材研究」を挙げる。この研究はあくまで教材研究に焦点が当てられた研究であり，取り上げた課題は以下の通りである。
【課題】投影図で表すと下の図のように，平面図，立面図が合同な直角二等辺三角形になる立体を特定せよ。ただし，立体は凸多面体であるとする。
図２：課題の図

図４：切断により得られる三角錐（１）投影図の条件で立体を切断
この課題では平面図，立面図，両方の直角図４の上下で示された立体をそれぞれ合わせると切断する前の四角錐となる。つまり，二等辺三角形について，それぞれの斜辺を対上２つの三角錐と下２つの三角錐はそれぞれ角線として正方形の枠を考えることで，立方切断面を共有している立体となっている。正体が浮かび上がる。立方体を考え，平面図，方形の対角線は２本あり，２通りの切断方法

立面図の条件に沿うように切断することで立があるため，四角錐の切断によって作成でき体を特定することができる。具体的には，平る三角錐は計４種類となる。

面図が直角二等辺三角形となるように切断す（３）側面図の考察ることで底面が直角二等辺三角形の三角柱となり，切断した三角柱に対して，さらに立面従来の投影図では５種類の立体を１つに特定することはできない。そこで平面図，立面図が直角二等辺三角形となるように切断する

図に加え，側面図を導入することで立体を１ことで図３のような正方形を底面とする四角つに特定する。２つの視点では立体を特定す錐となり，立体が特定できたことになる。

ることができないという結果から，生徒が３つ目の視点で観察する必然性を感得することができ，立体を複数の視点で捉える活動に繋げることができる教材である。
３.２ 先行研究より得られた示唆
これまでの先行研究の分析と考察より得られた教材，指導に対する示唆を述べる。

図３：立方体を切断する過程
平面図，立面図から立体を考え，立体に対して投影図を元にして切断するという活動を・ 立方体の切断を扱う教材であること。
・ 立方体の切断により，新たな立体を考察する場面があること。

通して空間図形と平面図形を行き来した学習が可能となっている。

・－ 324 －空間図形に着目したり平面図形に着目し山梨大学教職大学院

令和５年度たりすることが可能であること。
・教育実践研究報告書

４.２ 授業実践の実際

平面図，立面図，側面図を用いて立体を投影的に捉える機会があること。

実際に行った授業実践について，投影図から立体を特定する活動を行った第２時，第３図形を多面的・多角的に捉える経験は，立時を中心に詳細を述べていく。

体を様々な方向から観察することで達成され（１）第２時 12 月 11 日（月）るものであり，平面図，立面図に加え，側面①前時の復習と課題提示

図の活用によって生徒が空間図形を観察する

第２時の冒頭では第１時で立方体を作成し，視点を意図的に増やすことが可能となる。従様々な方向から投影図に表す活動を行ったこ

来の平面図，立面図では立体を特定できないとを確認した。その上で本時の授業では第１場面を設定することが空間図形の理解に対し時と異なり，平面図形から空間図形を考えるて有効ではないかと考える。

活動を行うことを伝え，課題を提示した。
【課題】投影図で表すと

４．授業実践の詳細

図のように，立面図，平ここからは授業実践の詳細について述べて面図が合同な直角二等いく。まず，授業実践で扱う教材についてで辺三角形となる立体をあるが，吉川が挙げた「投影図から立体を特特定しよう。ただし，立定する課題」を扱っていくこととした。

体はへこみのない立体であることとする。

４.１ 授業実践の概要

図５：第２時で扱った課題の図
課題を提示した後に，投影図で示された直授業実践における時期，対象，単元，授業計画については次の通りである。

角二等辺三角形から立体を特定する模型作成

時期：令和５年 11 月 29 日〜12 月 13 日を行なっていくことを説明した。

対象：甲府市内の中学校第２学年②課題の投影図について考察

単元：空間図形（投影図）

第１時

め，まずは課題の投影図からどのような立体立体(立方体)を投影図で表現するを考えていけばよいか考察する時間を取った。

・ 投影図で表現し直すことで，立方体具体的には平面図の直角二等辺三角形を取りを色々な角度から観察する。
・ 模型作りを通して，立方体に対する理解を深める。
投影図から立体を特定する①

第２時

いきなり個人解決に向かうことは難しいた

表１：授業計画・ 投影図から立体を考え，試行錯誤しながら模型を作成する。
・ 四角錐の各面を構成する図形の特徴上げて，平面図から考えられる立体にはどのような立体があるかを考察させた。話し合いを経て，生徒は平面図から底面が直角二等辺三角形となる三角柱や三角錐が考えられると解答した。そこで予め用意した三角柱の模型を提示し，平面図が直角二等辺三角形になっていること，立面図が正方形になっているこについて理解する。とを見せ，立面図が直角二等辺三角形となる投影図から立体を特定する②ようにすれば良いことを確認し，課題に取り第・ 投影図を満たす別の立体を考える。

組む方針が立てられるようにした。

３時

・ 側面図の学習を通して，様々な視点③模型作成で立体を見ることが重要であると理解する。

模型作成は５分程度，個人解決の時間を取り，その後グループでの解決もして良いこととした。
立方体から考える生徒，投影図から考える－ 325 －山梨大学教職大学院

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生徒と反応は様々であったが，第２時の模型――――――――――――――――――――

作成においては図６に示した２種類の模型を

T45：具体的にこれどんな図形でできているかっていうと，これどんな図形。

作成することができた。

S27：正方形。
T46：はい，正方形が何枚。
S28：１枚。
T47：これは。
S29：直角二等辺三角形。
T48：直角二等辺三角形，これが何枚。１，２。
ここはどうなってる。これどんな図形っ

図６：第２時で作成できた立体て言える。正面から見ると…。

また，１つできたら，「他にも作れる場合は特定できたと言えないため，別の立体が作れ

S30：直角三角形。

るか考えよう」と問いかけ，他の立体が特定

T49：そう，これ実は直角二等辺三角形じゃな
くて直角三角形ね。直角三角形がこことできないか考えさせた。
角錐の方が作成できた生徒は多かった。これ

もう１個ここにあるから２枚。四角錐なので５つの面でできてるからこれで全部については投影図の立面図，平面図である直だよね。

四角錐と三角錐１種類が作成できたが，三角二等辺三角形を先に作成し，その２つの面――――――――――――――――――――

を組み合わせ，残りの面を作成すると三角錐四角錐を構成する各面の形に着目するとともに展開図をかくことで，次回までに四角錐が出来上がるためであると考えられる。
四角錐については課題に入る前に確認したように，立方体から三角柱，三角柱から四角を作成できるようにした。
⑤第２時のまとめ錐という流れで，立体を切断して作成するこ四角錐と三角錐ができたことにより，投影とができていた。

図から立体を１つに特定することはできなか④模型について全体共有ったことを全員の共通認識とした。

模型作成の作業を終えた後は，全体で作成（２）第３時 12 月 13 日（水）できた立体についての共有を行った。実物投影機で生徒が作成した立体を立面図と平面図①前時の復習と課題の再提示
第２時で投影図から立体を特定する活動をの視点から映し，実際に課題の投影図を満た行ったこと，立体を１つに特定することがでしている立体になっていることを確認した。

きなかったことを復習し，課題を再度提示した。投影図から２種類の模型が作成できたが，２種類で特定したと言って良いか，他にも作成できる立体はないかということを問い，課
題に取り組む準備をした。
②四角錐と三角錐を比較
他の立体を考えるにあたって，既に作成できている四角錐と三角錐ではどこが異なっているのかを考察した。

図７：実物投影機で映した立体
その上で，投影図から考える際に四角錐のまず，従来の投影図では表されていない部
分の平面が正方形と直角二等辺三角形であり，作成が難しいため，四角錐の各面がどのよう横の面が異なっていることを確認した。さらになっているかを確認していった。に，他の立体を考える際に，正方形の面が直－ 326 －山梨大学教職大学院

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角二等辺三角形でも良いことから，正方形の線)で分けて，こんな感じに分けました。

４つの頂点のうち，３つを選んで作る直角二

そうするとこっち側に四角錐ができて，等辺三角形が４種類あることを示して，他の立体の横の面が直角二等辺三角形となり，立こっち側に三角錐ができると思います。
S22：えー，こっち(三角錐)側に注目してほし体としては三角錐になりそうだということをいんですけど，こっち側の三角錐は今 A全体で確認し，作業に入った。

くんが持っているこの三角錐と組み合わ③模型作成せることで(四角錐と)同じ形になるんですよ。

第３時では模型作成に入る前の四角錐と三角錐の比較から，四角錐を用いて考える生徒――――――――――――――――――――が殆どであった。手が動かない生徒やわからこのように第３時では別の立体ができるこない生徒には机間巡視の中で四角錐を元にしとの他に，２種類の三角錐を組み合わせるこて，その切断から考えていけば良いことを伝とで四角錐と同様の立体になることに気づくえた。特に正方形の頂点を１つ切り取り，対ことができた生徒がいた。

角線で切断しても投影図に影響がないことを，第２時と第３時を通して，５種類の立体の模型を用いて示しながら説明することで，模型作成に取り組むことができるようにした。

うち，四角錐と三角錐３種類の計４種類の立体を模型作成の中で特定することができた。

第３時では前時の２種類の立体の他に図８⑤側面図の考察で示した立体を作成することができた。

４種類の立体が特定された上で，立体を１つに特定する方法を考えていく活動を行った。

図８：第３時で作成できた立体
図 10：側面図を考察した際の生徒の考え④特定できた立体について考察
模型作成の作業を終えた後は，作成できた立体に関しての確認を行った。作成できた生立体を１つに特定する際の考えとして図 10のような考えが挙がり，今回の授業実践にお徒の立体を実物投影機で映しながら前で説明いて重要な部分である側面図の考え方についしてもらった。ても「横から見た投影図」があれば良いという考えを持つことができていた。
また，ここで「側面図」を紹介し，四角錐を例に出して側面図まで含めた投影図を提示した。従来の立面図，平面図だけでは特定できない立体であっても，側面図まで含めれば１つに特定することができることを確認した。
⑥第３時のまとめ図９：実物投影機で説明

２方向の視点では立体を特定することがで――――――――――――――――――――
S21：三角柱の(長方形の)面だと思うんですけ

きなくても３方向の視点であれば特定することができること，立体を様々な方向から観察

ど，これ(長方形の面)をここの頂点とここすることでより正確に立体を理解し，捉えらの頂点を，えー，結ぶ線分(長方形の対角れるようになることをまとめとした。

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三角形を組み合わせたものを観察して，横の４.３ 授業実践の分析
ここでは授業実践の分析を述べる。主に模面が必ずしも直角二等辺三角形ではなくても型作成の様子や立体を考察する様子について良いのではないかという考えを持った。そこ記す。

で，組み合わせている直角二等辺三角形の一（１）四角錐作成の過程辺の長さが等しいため，横の面を正方形にし第２時において立方体からの切断ではないようという考えに至り，組み合わせた結果，方法で四角錐を考察することができた生徒に，四角錐の正方形と直角二等辺三角形を組み合どのような考えで模型作成に至ったのかインわせたものが出来上がったという。
提示された課題には側面の指定はなく，正タビューしたので，その内容を示す。
――――――――――――――――――――

方形でも良いということに気づくことができ

T：なんであの立体(四角錐)ができると思ったており，投影図から立体を特定する際の隠れた条件に着目して考えることができている。の？
S：なんか，あの立面図，平面図見て，大体あまた，模型を作成する過程で側面に正方形があいう形(直角二等辺三角形)になるってい浮かび上がったということがわかる。

うことと，しかも三角形ってことを考える（２）三角錐作成の過程と(組み合わせる平面は)絶対斜めになる。

第２時，第３時で行った模型作成の中で，

T：うんうん。

三角錐を作成できた生徒の例を挙げる。このS：じゃあ(平面が斜めになるから)傾けるしか生徒は立面図，平面図の直角二等辺三角形をないかってなって…。

作り，側面にも直角二等辺三角形を組み合わ

T：ここ(直角三角形になる面)をね。

せられることがわかったところで残りの空いS：はい。で，やった結果四角錐になりました。ている面を埋めれば良いことに気づいた。空T：難しかった？

間を埋める作業に関しては図 12 のように三角

S：結構難しい，なんかあれ(投影図)を立面図錐の枠を平面に押し当てて確認していた。

で見たときに，ここ(側面)の形なんでも良いんじゃねって思って，逆に。なんでも良いって思って，じゃあもうこのまま正方形にしようって…。
T：ああー。ここが三角形の一辺で，この長さが(等しい関係で)そのまま正方形になるからって感じ…。
S：はい。
――――――――――――――――――――
図 12：三角錐作成の様子
元々は空いている面も直角二等辺三角形であると考えていたが，実際に作成することで正三角形であることを理解することができた。
この活動により，空間内に存在する平面について，見取図や投影図で表された見かけの図形とは異なることに気づくことができた。

図 11：四角錐作成のイメージ
インタビューした生徒は，投影図から立体また，第３時を終えて生徒の中には図 13 のを考える際に，立面図，平面図の直角二等辺ように四角錐の模型の中に正方形の対角線を－ 328 －山梨大学教職大学院

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通る平面を入れ込み，それが切断面となって模型を用いて，従来の平面図，立面図に加四角錐を２つの三角錐に分けることができる

えて，別の真横から見た図を取り入れれば良ということを発見した生徒もいた。

いのではないかということに気づくことができていた。別視点の考察が入ることで授業実践のねらいでもある「立体を様々な方向から観察する」ということを生徒自ら行い，立体を観察することができていたといえる。
５．授業実践の考察

図 13：四角錐の中に切断面を入れ込む様子

授業実践の実際や分析を受けて，授業実践切断面は２種類あり，どちらの切断面を使を通して得られた成果と課題について述べる。

うかによって切り分けられる三角錐が異なっていることを理解することができていた。こ５.１ 授業実践の成果の模型から，四角錐を元にして三角錐を考察

授業実践の成果を以下に示す。授業実践をし，空間内に存在する切断面を正確に把握で通して得た成果は次の３点である。

きていたことが明らかとなった。

・ 投影図から立体を特定する活動を行うことで，条件に含まれない平面を必然的に（３）生徒の側面図に対する考察過程考察できた。

第３時の側面図を考える際の生徒の発表の・ 側面図を取り入れた授業を行うことで，様子を示す。
――――――――――――――――――――

生徒が立体を様々な方向から観察するこS38：横から見た投影図。とができた。

T47：横から見た投影図ね。なるほど。横から・模型作成を通して空間内に存在する平面を正確に捉え，見かけの図との違いを理見たってどういうこと。
S39：こういうのだと…。

解することができた。

T48：ちょっと，じゃあ前，前に来ていいよ。

中学校第１学年で学習する投影図は平面図，立面図のみであり，側面図までは表記されな説明してもらっていい。
S40：(立方体の面が)正方形だと，これが前から見た図で，これが横から見た図になるい。投影図に側面の指定がないため，生徒自ら側面の図形を考察する必要がある。側面がので絶対正方形だっていう，立方体だっ正方形か，直角二等辺三角形かを考察する活てことが証明されて，これが三角錐だと，動を通して，空間図形を構成する各平面をよ

これが上から見た図(平面図)で，これが前り正確に捉える機会を設定することができた。

から見た図(立面図)で，これが横から見た

また，側面図を考察する必要のある課題に図(側面図)という形になるので絶対に三したことによって生徒の立体を観察する視点

角錐はこの形だと証明される。

を意図的に増やし，多面的・多角的に捉える――――――――――――――――――――

ことができた。授業実践の事前・事後に行なった，立面図，平面図がともに正方形となる
投影図から考えられる立体を挙げる調査問題
では，図 15 のように事前調査で投影図から考えられる立体が１種類であり，事後調査で２種類以上の立体を考えられるようになった生徒の割合は約 71％であった。これは空間図形

図 14：模型で投影図を考察と平面図形を繋ぐ学習において，側面図を扱－ 329 －

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教育実践研究報告書と平面図の関係が垂直であることを生徒が意った授業実践の効果であるといえる。

識できていなかったことが考えられる。これについては模型を動かさずに実物投影機そのものを動かして観察することで，生徒が立面図と平面図の関係を意識できると考える。
図 15：調査問題における解答の変容
さらに，見取図などの平面に表現された空６．研究の結論

間図形では，面の形や高さといった情報を正本研究の目的は，中学校数学科の図形領域確に表現することができない場合がある。模の指導において，模型の活用や空間図形と平型作成し，実物を観察したことによって見取面図形を繋ぐ指導の追求を行い，生徒の図形図から捉える空間図形に対する誤った理解をの概念形成，特に空間図形の理解に対し，ど修正することができた。のように寄与するかを明らかにするとともに図形領域の指導においての効果を検証するこ

５.２ 授業実践の課題とであった。投影図を用いた授業を実践し，授業実践の課題を以下に示す。授業実践を通して得た課題は次の２点である。

側面図によって生徒の空間図形を観察する視点を意図的に増やすことによって，立体を構・ 投影図を観察する際に模型による奥行き成する平面の理解を深めることができたといをそのまま捉えてしまい，正確な投影図える。しかし，投影図を模型の観察によっての理解に困難を示した。

捉える際には，模型を投影的に捉える弱みを実物投影機で模型を見たときに立面図，把握することが重要である。

・

従って本研究の結論を，「空間図形と平面図平面図が垂直の関係であることをきちん形を繋ぐ学習指導を行うことにより，生徒がと示していなかった。
模型から投影図を捉える際に，模型(立体)図形を多面的・多角的に捉え，様々な方向かを平面で考えなければならないため，正確なら立体を考察し，正確に理解することが可能

投影図を模型から考えることは難しい場合がとなることが明らかとなった。しかし，空間あることが明らかとなった。

図形において投影図を扱う際には，実物を投影的に捉える際の弱みを把握し，理解を促す手立てを講じる必要がある。
」と纏める。
引用・参考文献・藤井斉亮，真島秀行他(2020)『新しい数学１』
東京書籍

図 16：模型と ICT の比較

・宮田舞(2011)「中学数学の幾何教育におけるこれに関しては，ICT の活用が効果的では数学の視覚化についての研究–３次元動的幾ないかと考える。ICT であれば投影図を正確

何ソフト Cabri３D の活用–」第 44 回数学教に映すことが可能であるため，模型との併用

育論文発表会論文集（第１巻）pp.531-536

で ICT によって投影図を捉えることが，投影・文部科学省(2018)『中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説−数学編−』日本文教出版

図の把握に必要ではないかと考える。
また，授業実践において投影図の確認をする際に，実物投影機を用いて生徒の作成した

p.23 p.31 pp.45-46 pp.78-81
・吉川行雄(2011)「投影図から立体を特定する模型を映した。その際に，立面図，平面図に課題の教材研究」学芸大数学教育研究

ついては模型を動かして確認したが，立面図

23 号 pp.17-24－ 330 －

第