Proceedings of the 1st Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 29th Linear Accelerator Meeting in Japan (August 4 - 6, 2004, Funabashi Japan)

ESTIMATION OF ALIGNMENT ERRORS OF QUADRUPOLEMAGNETS BY COD
A. Ando 1, Y. Fukuda, S. Hisao, T. Matsubara
NewSUBARU, Laboratory of Advanced Science and Technology for Industry, University of Hyogo
1-1-2 Kouto, Kamigoori-cho, Ako, Hyogo 678-1205
Abstract
The alignment errors of quadrupole magnets were estimated from the revolution frequency shift and COD ( ClosedOrbit Distortion ) shift due to the excitation perturbation of these magnets in the NewSUBARU storage ring. After theCOD correction setting the obtained errors as the offset of BPM's ( Beam Position Monitors ), the ring circumference isonly shorter than the designed value (118.731 m ) by ~ 0.5 mm and the agreement of beam optics between in the realmachine and in the calculation is almost complete.

閉軌道データと四極電磁石の据付誤差１．はじめに
2

放射光施設ニュースバル 蓄積リング は困難であったコミッショニングの歴史性（主原因： RF
contact finger の垂れ下がりによるアパーチャーの狭窄）から、ＣＯＤ補正用水平方向ステアリング電磁石（sth ）の設定に偏りがあり、 RF周波数も設計値から大きくずれた 499.9555 MHzで軌道長は設計値：118.731 mより 2.6 mm 以上短くなっている。
従ってＣＯＤ補正を初心に返ってやり直すことが、以下に述べるように大きな課題である。

J n ( m1/2 *mrad)

0.25

0.15
0.10

蓄積リングは周期２の鏡像対称であるが、六極や八極などの高次非線形磁場の奇数次のフーリエ成分が大きく、ベータトロン振動数（チューン： ν x,ν y）の動作点を大きく制限している。高次非線形磁場の主原因は四極電磁石や偏向電磁石の系統的高次成分及びこれらの磁石中でのＣＯＤであると考えられるので、ＣＯＤが充分小さい限り、偶数次のフーリエ成分しか発生しないはずである。
また sth の設定値の規格化されたフーリエ成分：
Jn = (1/2πν x) Σ [ β x1 / 2θ exp(inφ)]t （ t 番目の sth のキックはθ t でベータと位相はそれぞれ β x t , φ t ）のゼロ成分（平均値）は図１の黒丸と実線で示すよ
うにゼロでない。
更にチューン動作点を変えるたびにＣＯＤ補正を常にやり直している。
NewSUBARU リングの特徴である α p < 0 運転[2]で且つ｜α p｜<< 1 では、ＣＯＤ補正中に α p > 0となることがしばしば生じた。
以上から前述した軌道長問題も含め、電子ビームは磁石中心を通っているか確認することとした。

20.2

0.05

２．ことの起こり

1

Jn(H)-Old(0-BPM)
Jn(H)-New(0-BPM)
Jn(H)-NewOrbit[1]02

4Harmonics

68

図１：規格化されたsthのフーリエ成分(単位：m1/2 )３．QM 摂動による COD Shift
電子ビームは放射励起と減衰により、設定された磁場に対して、回転周波数の h ( Harmonic Number )倍が RF 周波数と一致するようにエネルギーを変えるので、水平方向( x ) 軌道は式 (1) で表される。ここに本来の RF 周波数 f0(1) はこの磁場設定で決まる軌道長：L(1) に対応しているが、データからでは何も分からない量である。 x は磁石の据付誤差である。(1) 式を ρ で割り全周について積分すると、この軌道長の L(1) からのずれ ∆L(1) が (2) 式のように求まる。但し所謂 Smooth Approximationを用い、∮ 1/2 (s) G(s) x(s) ds = 0 等とした。また六極電磁石の寄与を無視した。

E-mail : ando@lasti.u-hyogo.ac.jp
http://www.lasti.u-hyogo.ac.jp/NS/Index-J.html

99Proceedings of the 1st Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 29th Linear Accelerator Meeting in Japan (August 4 - 6, 2004, Funabashi Japan)x( s) = A+∑k( s){∑tK t cos(t )− ∑j

G j (xj − xj )cos( j )S k(xk − xk ) 2 cos( k)} + D(s)d(1)A = 1/(2sin),− | ( s)−cos( t) = cos(t |)(1)

3.2 Q3 電磁石(2)１２台の Q3 に g = -0.0083 * 0.214 = - 1.71E-3( 1/m) を与えると図２左のＣＯＤ変位があった。運動量分散が ~1.40 m 点で外側に ~0.1 mm ずれているので、電子は ∆E/E = ~ 1E-4/1.40 = ~ 7.14E-5 だけ高エネルギーになっている。これは軌道長 L(2) がL(1) より短くなり、RF 周波数を大きくしなければならないことを表している。これらを (4) に代入す
ると、α p = ~ 1.30E-3 として、
-1.71E-4 *1.40*12 δx = -8.14E-5*1.30E-3*118.731*2
x = 1.05 (mm)を得る。

K = (Kick− by− steering & Error )SB"l /( B )G = B' l /( B ),D = (Dispersion ), d(1)= −{ fRF − f 0(1)}/ f0(1)/∆L(1) = ∑Kt Dt + ∑G j x j D j + d(1) L(1)以上では、次の関係式を用いている。
D(s) =

1/2∫12sin(s')−cos{(s')− (s) }ds

四極電磁石の励磁の強さを Gj ==> Gj +gj と変えた
とき、同じ RF 周波数にて x ==> x + z となり、軌道長も更に、 L(2) 長くなったとすると、

3.3 COD Shift とQM でのキック(1) 式を用いると、この時の COD 変位は以下となる。

∆L(1) + L(2) = ∑K t Dt + ∑ (G j + gj ) x j D j + d(2) L(2)L(2) = L(1) + L(2),f 0(2) = hc / L(2)(3)∆x(s) = A+D(s){ d(2) − d(1)}f RFL(2){2 +}
f 0 (1)L(1)≈A

もし d(1)=0, 即ち fRF =f0(1) であれば、∑ g x D = 2 L(2)kk(s) [∑ {−G j∆ x j − ∆ G j *( x j + ∆ x j − x j )}cos( j)+ ∑{Sk [2∆x k *( x k − xk ) + ∆x 2k ] + ∆Sk *( x k + ∆x k − x k )2}]cos(k)(3) - (2) を整理すると以下を得る。
0 = ∑ g j x j D j − L(2)に疑いが生じる。但し RF 周波数は ~499.9465
MHz で軌道長は設計値より ~ 0.5 mm 短い。

(s) ∑ G j x j cos( j)cos( k) + D(s){d(2) − d(1)} (5)後半では ｜x｜,｜ x｜<<｜ x｜とし、六極も無視した。これを用い図２左を解析すると図２右を得る。
(4)k

Q3 の配置は BPM : 2, 5, 8, 11, 14, 17 の両側に、( 1, 2 ), ( 3, 4 ), ( 5, 6 ), ( 7, 8 ), ( 9, 10 ), ( 11, 12 ) である。

但し添え字 k に対応する QM だけを変更。
3.1 RF 周波数設定

3.4 ビームによる確認

本来の軌道長が確定されていない段階では、 BPMでの測定値の平均がゼロとなるように、 RF 周波数を設定した。

上記２方法で推定された据付誤差をもとに、対応する BPM にオフセットを与えて軌道補正し、 QM励磁変更に伴うＣＯＤ変位の最小のオフセットを求めた。3.3 項でのＣＯＤ補正−＞キック−＞ x では 近似(5) を用いているが、実際の ∆ x ではこれが成り立っておらず、結果は 3.2 項の評価式 (4)に対応した x : 0.95 mm が最適値であった。他のQM に対しても、 COD 補正計算を目安にして Try& Error で解を求めると以下となった。これを新軌道と呼ぶことにする。
BPM No.BPM Offset 値（mm）
11.0
2 0.9530.05
4 -0.15
5 0.95
6 -0.1570.5
8 0.95
9 -0.25
10 -0.2
11 0.95
12 0.4130.0
14 0.95
15 0.5160.75
17 0.95
18 0.42∆E/E=6.42E-5mm
0.1∆x(DQ3=-0.008)
Corrected∆E/E=6.42E-5mm
0.08

δx

0.06

0.08

0.04
0.06

0.02

0.04

0-0.020.02-0.04
0-0.06-0.02
0369BPM

1215

18-0.0802468
Q3 Number1012

図２：Q3 摂動とCOD Shift 及びCOD 補正計算からの据付誤差評価（ともにmm）
従来の sth 設定を忘れ COD 補正を行うと sthのフーリエ成分は図１の白丸と点線のようになる。
５次以上に特異な大きさがあり、補正軌道の信頼性

これを基準に QM の強さ：B'/ (Bρ) =-0.008 (m - 2 )100

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変更したときの COD 変位は図３のようになった。
（上記オフセット無しでは 40~ 100 µm である。）|∆S| = 1 A@ New-Offset
2004-06-04∆x(µm) ∆Q = -0.008 ( m ) @ New-Offset-x
30∆Q1(-.008)
20∆Q2(-.008)
100-10-20-300369121518BPM∆x-cod (∆Q3 / ∆Q4 =0.008)∆x (µm)x-offset = 0.95 mm@ BI
15∆Q3-2∆x(∆S2=+1A)∆x(∆S1=-1A)∆ x ( µm )∆ x ( µm )200∆x(∆SD=-0.5A)∆x(∆SF=+0.5A)|∆S| = 0.5 A@ New-Offset
2004-06-04
4040200-20-20-40-40-60
036912BPM

1518036912BPM1518

図４：六極摂動と COD Shift (µm )この COD 変位を、対応する六極の設定変化量からのキックの変化によるとしては説明できない。もともとの COD や四極の影響もあると思われる。（設置位置は、S1 & S2 は Q1 & Q2、SF & SD は Q3& Q4 に対応。）∆Q410

きさである。即ち Betatron Tune は変化していないと考えられる。

50-5-10036912BPM∆ x ( µm )∆Q = -0.008 ( m-2 )@New-Offset-x
151518∆QA(-.008)∆QB(-.008)∆QC(-.008)

1050-5-10-15５．結論
新軌道での Twiss Parameter を測定すると、以下のように計算値と良く一致している。
β (m)βxβx-meas

ββ -measyDx
D -meas D (m)
xyx

40

1.5
α p =~1.3E-3350369BPM121518

図３：新軌道でのQM摂動とCOD変位(µm)
20 µm 以下は六極電磁石の寄与などがあり、実現は不可能であった。
RF 周波数は ~499.9467 MHz とCOD = 0 とほぼ同一で軌道長は設計値より ~ 0.5 3mm 短い。

４．六極電磁石摂動と Tune Shift
上記新軌道での六極電磁石の設定を変更したときの COD と Tune の変位を測定した。（図４）
台数及び変化の強さは以下の通り。
S1S2SFSD881212
台-1.321.320.66-0.655∆LB"/(Bρ) m -2
これらによる Tune Shift は -(1.0E-4 ~1.0E-3) であり、Synchrotron 振動のチューンが ~2E.0E-3 であることを考慮すると、上記シフトは測定誤差内の大1300.525020-0.515-110-1.55-20-2.5051015202530s (m) : 1/4 Ring

この新軌道を採用するか、或いは据付をやり直すかについては、放射光軸の変化が伴うので、目下検討中である。

参考文献[1] A. Ando, et al., " Isochronous storage ring of the New
SUBARU project ", J. Synchrotron Radiation, 5 (1998),
pp. 342-344.

[2] A. Ando, et al., " Negative Alpha-p Operation atNeWSUBARU ", Proceedings of the 8-th Int. Conf.
on Synchrotron Radiation Instrumentation, AIP
Conference Proceedings 705 (2004), pp. 13-16.
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