山梨大学教職大学院

令和５年度

教育実践研究報告書

数学的問題解決に関する研究－数学的結論の解釈・評価の過程に焦点をあてて－教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 宮下迪

1.

研究の背景と目的前提の上で，(１)その事象に光を当てるように，数学は，現実世界の様々な領域における仕組

数学的問題に定式化する，(２)定式化した問題をみを説明，分析，予測するための一連の手段である。このような数学の実用性は，数学を学習

解く，(３)得られた数学的結果をもとの事象と関連づけて，その有効さを検討し，評価する。(４)することの１つの意義であると考える。

問題のより進んだ定式化をはかる，の４段階を現実世界における問題を数学を用いて解決するとき，現実事象を数量や図形に着目して定式化することだけでなく，数学的な結論を現実事踏む過程のことである」と述べている。そして
これら４段階を図式にまとめている。

象に即して解釈することが必要である。
しかし，数学的な結論を現実事象に即して解釈することに課題があることは，National
Assessment of Education Progress(1983)の調査結果から明らかになっている(以下，NAEP と記す)。

図１：数学的モデル化過程(三輪，1983)

１台の軍隊のバスには，36 人の兵士が乗せられる。もし，1128 人の兵士を訓練場までバス

NAEP の調査結果や Silver らの調査研究によって公となった課題は，数学的モデル化過程にで運ぶならば，何台のバスが必要か？
(Silver ら,1993,p118)

おける解釈・評価の過程を辿っていないことでNAEP の基準では 32 台が唯一の正答であり，31.3 台や31 13台のような解答は誤答とされてい実事象における問題を解決するために必要な能力である。そのため，数学的結論を解釈・評価る。この調査問題は余りのあるわり算の問題ですることの有用性の感得と能力の育成は不可欠あり比較的容易であると思われるが，正答率はである。

24％と大変低いものであった。この調査結果を契機に，Silver ら(1993)は余りのあるわり算にまた，三輪(1983)は数学的モデル化の数学教
育上の意義として，学校数学をより応用可能な関する調査研究を行った。この研究の結果から，ものにしようとすること，数学的な考え方の育

子どもが余りのあるわり算の問題を正しく答え

成をはかろうとすること，知識の開発される過られないことの原因は，計算結果を理解するための解釈と評価の段階を省略することであるこ

程に子どもを参加させようとすること，の３つを述べている。ここで述べられている数学的なとが明らかとなった。

考え方は，数学的モデル化過程に示されているある。数学的結論を解釈・評価することは，現現実世界の問題を数学を用いて解決するとき

４段階であり，数学的モデル化過程に数学的なに辿るプロセスは，数学的モデル化過程と呼ばれている。三輪(1983)は数学的モデル化過程と考え方のさまざまな側面が含まれている。そのため，数学的モデル化過程を通して育成をはかは，「それまでの経験や観察を基にして，何かあることが十分考えられるとされている。数学的る事象が探究を要するという認識があるという結論を解釈・評価することは数学的な考え方の－ 415 －

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教育実践研究報告書１つであることから，数学的モデル化過程を通とは何かを決定する。また，必要なデータして育成することができると考える。

があれば，収集する。(定式化)

これらのことから，本研究の目的は，数学的モデル化過程を重視した授業実践を通して，数「数学の問題」③ 定式化した数学の問題に対して，関連のあ学的結論を現実事象に即して解釈・評価する力

る数学の分野を同定し，それに対する直観の育成と数学的問題解決の指導について考察すや知識を働かせ，数学的モデルを作成する。

ることとする。

(数学的モデルの作成)
数学的方法により，結論を得る。この過程

④
2.

研究の方法

で，新しい概念や方法，アルゴリズムなど①

先行研究の分析と考察を行い，数学的結論を得ることもある。(数学的処理)

を現実事象に即して解釈・評価する過程を位置づけ，本研究における数学的問題解決「数学的結論」⑤ 数学的方法により得た結論を，社会へ訳しについて概括する。
②③

3.

戻す。(解の翻訳)

先行研究における数学的モデル化過程を重⑥

結論は実際的か，合理的か，受け入れられ視した学習指導，全国学力・学習状況調査，
学習指導要領の分析と考察を行い，授業実

るか等を検証する。(評価)a) もし十分ならば，他者に的確に伝える。

践における教材や学習指導の示唆を得る。

b) もし不十分だったり満足がいかなかったな

授業実践の分析と考察を行い，数学的結論

らば，①に戻り，その原因を突き止め，再びを現実事象に即して解釈・評価する力の育成に寄与することができたのか概括する。

始める。

数学的問題解決の過程の分析と考察

本研究における数学的問題解決の過程を位置づけるために，数学的モデル化過程をはじめとした現実事象の問題解決の過程の分析を行う。
3.1 数学的モデル化過程の分析

図 2：数学的モデル化過程(西村，2012)

現実世界の問題を数学を用いて解決するときに辿るサイクルである数学的モデル化過程の分

西村の数学的モデル化過程は，三輪の数学的モデル化過程における解釈・評価と示されてい析と考察を行う。ここでは，西村(2012)の数学

る思考の相を，解の翻訳と評価という２つの思的モデル化過程を示す。

考の相に分けて示している。

西村は，数学的モデル化過程を「社会の問題」の解決に必要な相として「問題の翻訳」「定式化」

3.2 数学化サイクルの分析
OECD 生徒の学習到達度調査(PISA 調査)で「数学的モデルの作成」「数学的処理」「解の翻は，数学的モデル化過程と同様に，生徒が現実

訳」「評価」を定義し，それらの思考がめざすも生活の問題を解決するために使用する基本的なのとして，「社会の問題」「数学の問題」「数学的結論」を明示し，次のように規定している。

プロセスが存在し，数学化と呼ばれている。数学化サイクルは数学化の５段階に概観し，図式「社会の問題」

として示されている。

①

解決したい，理解したい「社会の問題」に(１) 現実に位置づけられた問題から開始する

対して，数量化や幾何学化などをし，数学を適用しやすくする。(問題の翻訳)こと。
(２) 数学的概念に即して問題を構成し，関連②

重要と思われる対象や関係を見いだすとともに，保つべきことは何か，無視すべきこする数学を特定すること。
(３) 仮説の設定，一般化，定式化などのプロ－ 416 －

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セスを通じて，次第に現実を整理すること。

への直進的な進行でなく，サイクリックなもの

それにより，状況の数学的特徴を高め，現として考えられ，次のように図式化されている。

実世界の問題をその状況に忠実に表現す
る数学の問題へと変化することができる。
(４) 数学の問題を解く。
(５) 数学的な解答を現実の状況に照らして解釈すること。これには解答に含まれる限界を明らかにすることも含む。
図４：数学的モデリング(Greer ら，2000)
Greer らの数学的モデリングは，PISA 調査における数学的枠組みである数学化サイクルと類似した特徴がある。数学的モデルを処理した結果に焦点をあてると，数学化サイクルでは(５)の段階に相当し，図式では２つに分けて示されている。数学的モデリングでは，解釈と評価に区別され，示されている。

図３：数学化サイクル
三輪や西村の数学的モデル化過程において，3.4 本研究における数学的問題解決の考察
西村(2012)や Greer ら(2000)の先行研究から，数学的な結論について熟考する段階は数学的結論から現実の世界や社会の問題へと辿る過程であり，図式には１つの段階として示されている。

いずれのサイクルにおいても，現実の問題を数学を用いて解決するとき，現実事象に焦点をあ

これに対し，数学化サイクルでは，数学化プロて数学の問題とし，その問題を解き数学的結論

セスが数学的解答から現実的解答へと移行してを得るという特徴は類似している。

いる様子と，現実的解答が本来の現実世界の問題に関連づけられ戻ってくる様子の２つに分けまた，数学的結論を現実世界やもともとの問題と関連づけて考えることは，特に現実世界のて示されている。

問題を解決するために必要であることがわかる。

3.3 数学的モデリングの分析

そして，数学的結論を現実世界やもともとの問

諸外国においても数学的モデル化過程と同様の過程が示されている。Greer ら(2000)によると，

題と関連づけて考えることを実行する過程は数学的結論を現実事象に即して解釈する過程と，現実世界の問題場面を解決するための数学の応

数学的結論を現実的に解釈した事柄をもとの問用は数学的モデリングと名付けられ，次の６つ

題の結論としてよいか評価する過程の２つに分の過程が示されている。

記述された場面を理解する

けて考えることができると明らかとなった。解釈は数学的結論から現実的結論へと変容する過

適切な状況を深く留めた要素や関係の本質

程であり，評価は得られた現実的結論をもとのを記述する数学的モデルを構築する

現実の問題と関連づけて吟味する過程である。



数学的モデルから導かれるものを特定するために計算する解釈と評価は，どちらも問題の結論を導く段階
において重要であるが，これらの過程を実行す

数学的モデルのもとである現実的な場面をるための思考のもととなる事柄と思考したこと解決するための計算結果を解釈するによって得られる事柄が異なる。そのため，解

最初の状況との関連で解釈された結果を評価する

釈と評価は区別する必要がある。
本研究において，解釈は数学的な結論を現実解釈された結果を伝達する

事象や問題状況に即して表現すること，評価はこれらの過程は，与えられた条件からゴール解釈された事柄がもとの現実事象に適している－ 417 －

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教育実践研究報告書か吟味することと定義する。そして，本研究にか？Ａさんに提案しよう！

おける数学的問題解決の過程として，以下に図

［条件］

式を示す。

［数学的モデル］
𝑥は使用時間(0 ≦ 𝑥)，𝑦は総費用とし，𝑛は電球の個数(𝑛 ∈ ℕ)を表している。また白熱電球，
蛍光ランプ，LED ランプのグラフは，それぞれ，
赤，青，緑色で示している。
電球の寿命を無視し，問題解決を行う際には

図５：数学的問題解決の過程

使用時間と総費用を１次関数とみなす。そのた4.

授業実践の分析と考察

め，グラフは直線状となる(図６参照)。

先行研究や全国学力・学習状況調査，学習指導要領，教科用図書の分析を行い，そこから得電球の寿命に関して，電球は寿命で必ず切れるとし，電球が切れたときは同様の電球を用意られた示唆をもとに教材開発，授業構想し，実し使用することを仮定としている。そのため，践した。本章では授業実践の分析を行い，成果電球の寿命を考慮した場合，寿命によって電球と課題を明らかにする。
4.1 授業実践の概要が切れたときに総費用は電球１個の値段が加算される。よって，寿命を考慮した場合のグラフ

時期：令和５年 10 月

は階段状となっている(図７参照)。

対象：山梨県内公立中学校第２学年 21 名○

単元：１次関数4.2 開発した教材の特徴
先行研究や全国学力・学習状況調査，学習指寿命を無視したモデル

白 熱 電 球：𝑦 = 1.62𝑥 + 100

蛍光ランプ

：

𝑦 = 0.36𝑥 + 800

LED ランプ：

𝑦 = 0.27𝑥 + 2000

導要領，教科用図書の分析を行い，得られた示唆をもとに，３つの教材に関する観点を設けた。
 学習者にとって現実的で，直面しているもし
くは直面する可能性のある事象を設定する。
 前提条件によってモデルが異なる課題とする。
 解答形式は自由記述式とする。
上記の観点に基づいて，次の教材を作成した。
［現実場面］

図６：寿命を無視した場合のグラフ

Ａさんは，来年から一人暮らしを始めるため，○部屋に取り付ける電球を買いたいと思います。
インターネットで電球を探していると，電球には，白熱電球と電球型蛍光ランプ（以下，蛍光ランプとする），LED ランプの３種類あることを知りました。そこで，かかる費用が最も少な
い電球を選ぼうと思いました。
［解決の目標］総費用が最も少なくなるのはどの電球だろう－ 418 －

寿命を考慮したモデル

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た。1000 時間は，生徒が家にいると思われる 18時半から 23 時の５時間半に電球を使用することを想定し，半年間使用していた場合のおおよ
その合計時間である。使用時間が 1000 時間のときの総費用は白熱電球が 1720 円，蛍光ランプが1160 円，LED ランプが 2270 円である。使用時
間によって総費用が１つに決まること，また総費用の定義から，使用時間と総費用の関係を１

図７：寿命を考慮した場合のグラフ
4.3 授業実践の実際

次関数とみなして解決していくことを確認した。

①④

現実場面の把握と理解

課題の焦点化家の中に自分の部屋があるかという生徒にとって身近な話題を例に，将来的に１人暮らしを使用時間と総費用の関係を１次関数とみなしていることから，使用時間が𝑥時間のときの総費するときにどのようなものが必要になるのかを用を𝑦円として，白熱電球，蛍光ランプ，LED

考えさせ，現実場面を提示した。

ランプにおける使用時間が 1000 時間のときの② 解決に必要な情報の共有と総費用の定義
３種類ある電球の中でかかる費用が最も少な

総費用を表す点をそれぞれ点 A，B，C としてプ
ロットし，使用時間が 1000 時間のときの総費用

い電球を選ぶためにどのような条件が必要であの大小関係を視覚的に捉えさせた(図８参照)。

るかを考えさせ，全体で共有した。様々な条件

そして，１個の値段では，白熱電球の総費用が出された中で，明るさは同じとみなすことや寿命は無視をするといった仮定を全体で確認しが最も少ないが，1000 時間使用したときの総費
用は蛍光ランプが最も少なくなっていることをたのち，１個の値段と１時間あたりの電気代を確認し，使用時間が増加するとそれに伴って総提示した。そして，かかる費用を総費用とし，費用も増加することと 1000 時間使用したとき「（総費用）＝（１時間あたりの電気代）×（使用時間）＋（１個の値段）」と定義した。

の総費用の関係から白熱電球の総費用が最も少
なくなることはないとし，考察対象から外れた。

③

また，使用時間が長くなると蛍光ランプと LED

解決の目標の共有

問題解決の目標は，総費用が最も少なくなる

ランプの総費用の大小関係が入れ替わるのでは電球を提案することであることを全体で確認し，生徒に総費用の量感を捉えさせるために使用時ないかという生徒の予想から，蛍光ランプとLED ランプの総費用が同じになるときの使用時

間が 1000 時間のときの総費用を具体的に求め間を求めると課題を焦点化した。

図８：授業実践において提示したグラフ－ 419 －

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⑤

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自力解決

教育実践研究報告書なるときの使用時間を求めている。

１次関数の問題を解決する方法として，表，式，グラフがあることを確認し，蛍光ランプとLED ランプの総費用が同じになるときの使用時間を求める課題の自力解決を行った。
⑥

全体での確認と共有１次関数のグラフは直線であり，直線は２点が決まると１つに定まることから，白熱電球，
蛍光ランプ，LED ランプにおける使用時間が2000 時間のときの総費用を表す点をそれぞれ
点 D，E，F としてプロットし，各電球におけるグラフを作成した(図８参照)。そして，蛍光ラン

図９：M.O 生の解答
加えて，以下のように授業者によって数学的

プと LED ランプのグラフの交点である点 G の
座標 (40000，5600)を求めた。このことから，蛍3

結論の解釈を全体で確認と共有を行っている。
T73：

光ランプと LED ランプの総費用が同じとなるのが，使用時間が 40000
時間であることを共有し，3(略)。この交点の𝑥座標が 13333…って，3 がずっと続くんだよね。ちょっと PC 上では割り切れて，切り上げて使用時間が 40000
時間であることは約６年半で3いるんだけど。このグラフからどんなことがわかるかというと，割り切れなあることも確認している。
⑦ 提案の作成
解決の目的である総費用が最も少なくなるのいから，約ということにするよ。このはどの電球であるか考えさせ，生徒が各自で提プは約 13333 時間で，総費用が同じになるよ。

グラフから，蛍光ランプと LED ラン

案を作成した。
⑧ 現実場面を再度考察する
提案の作成時に，生徒から寿命についても考える必要があるという意見から，電球の寿命の図５における評価の具体的な様相は次に述べるが，多くの生徒が蛍光ランプと LED ランプの総費用が同じになるのは使用時間が40000
時間の3条件を提示した。解決では寿命を無視していたときであるという数学的結論を解釈した事柄をが，寿命も考慮すると蛍光ランプと LED ランプの総費用が同じになるときの使用時間は40000
時
3踏まえて提案を作成している。このことから，生徒が数学的結論を現実事象に即して解釈を行間とは異なることに気付かせ，授業を終えた。

っていると判断することができる。

4.4 授業実践の分析

次に，図５における評価の様相について分析

ワークシートの記述や発話の内容をもとに，学習者がどのような解釈と評価を行っているか分析を行う。

する。本実践における評価とは，数学的結論を解釈して得られた蛍光ランプと LED ランプの総費用が同じになるのは使用時間が40000
時間の3

最初に図５における解釈の様相について分析ときであるという事柄をもともとの現実的な場する。本実践における解釈とは， 数学的モデルである式やグラフから，数学的処理や数学的分析を行い，その結論である𝑥 = 40000，𝑦 = 5600を3面と吟味することである。生徒の提案した電球とその理由をもとに具体的に分析する。総費用

蛍光ランプと LED ランプの総費用が同じになるのは使用時間が40000
時間のときであるという
3

生徒が 11 人，LED ランプを提案した生徒が７ように表現することである。M.O 生は連立方程式を解くことで解を求め，解を解釈することで総蛍光ランプと LED ランプの総費用が同じにが最も少なくなるとして蛍光ランプを提案した人である。また，３人の生徒は寿命を考慮する
かによって提案する電球が異なっていた。
① 電球の寿命を条件に含めない場合
A.K 生は，使用時間が40000
時間のときに蛍光3－ 420 －

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ランプと LED ランプの総費用が同じになるこ

定することで，主体的に解釈や評価を行うとを踏まえ，蛍光ランプと LED ランプの両方とことができるも総費用が同じになる 6 年半まで使い続けることができるかどうかわからないとしている。そ

前提条件によって，モデルの異なる課題を設定することで，解釈や評価の必要性を感のため総費用が同じになるまでは，蛍光ランプ

得させることができるの方が総費用は少ないことから，蛍光ランプを提案している。

前者に関して，本実践における数学的モデル

蛍光ランプがいいと思いました。LED ランプと蛍光ランプは約６年半使うと総費用が同じの数学的処理によって得られる数学的結論を現実的に解釈した事柄とは，蛍光ランプと LED ラ
ンプの総費用が一致するときの使用時間は40000
3になるけど，６年半も両方もつか分からないの時間であるということである。解決の目標は，で，蛍光ランプがいいと思いました。

総費用の最も少なくなる電球を提案することであり，数学的結論を現実事象に即して解釈した

図 10：A.K 生の作成した提案
また K.O 生は，使用時間が40000
時間のときに
3
蛍光ランプと LED ランプの総費用が同じになることを踏まえ，6 年半以上使い続けるという仮定を自ら設定している。6 年半以上使い続ける場合，LED ランプの方が総費用は少なくなること

事柄を直接的に最終的な結論とすることは不適切である。そのため，現実と関連づけて評価し，現実的結論を導くことが必要である。
本実践では，図５における数学化の段階において，電球の寿命は無視をすると仮定を設定し，数学的結論を導き，現実事象に即して解釈する。

から，LED ランプを提案している。
１個の値段は高いが，6 年半以上使い続けるのであれば他の 2 つよりも安くできる。
図 11：K.O 生の作成した提案② 電球の寿命を条件に含める場合
そして S.K 生は，寿命を条件に含めるかによって提案が異なっている。寿命を無視する場合，各電球は６年もたないとして蛍光ランプを提案している。寿命を考慮した場合，寿命によって電球が切れたときの買い替えることを踏まえ，
LED ランプを提案している。
蛍光ランプ。約６年半で LED ランプと総費用が同じになっているから，LED でもよいと思うが，１個の値段も考えると６年もたなくても費用も安い。
１個の寿命を考えてみると，蛍光が 8000 時間，る。分析から，いずれの提案においても電球の寿命を意識しながら作成している(図 10,11,12
参照)。また，提案を作成するためには電球の寿命も考慮しなければならないと考え，自ら電球の寿命について調べ，いずれの電球の総費用が最も少なくなるのか吟味している様相があった。
T84：

K.K 生，今何を調べてた？

S81：

寿命。

T85：

(全体へ投げかけて)電球に寿命があるの知ってる？K.K 生，今調べていたことをみんなに教えてもらっていい？

S82：

が 10 年以上。
T87：(略)。今最初にみんなには寿命なしで考えてもらったんだけど，寿命ありで考えてみると，蛍光ランプと LED ラ

4.5 授業実践の成果と課題分析から授業実践の成果と課題を述べる。授業実践から得られた成果は，次の２点である。


ンプの総費用の一致するところは変
わってきそうだよね。

数学的結論を現実的に解釈した事柄が解決の目標の最終的な結論とならない課題を設

蛍光ランプは大体１年くらい。LED…

図 12：S.K 生の作成した提案

か提案を作成することで現実的結論を導いてい…

LED が 40000 時間，白熱が 1000 時間で LEDの方が持ち，
かいかえを考えると LED が安い。

そして解釈した事柄と現実とを関連づけて評価
し，いずれの電球の総費用が最も少なくなるのS85：－ 421 －

寿命で買い替えないといけない。

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T89：

令和５年度

そうだね。寿命があるから買い替える

5.

教育実践研究報告書

研究の結論ってことも考えられるよね。

本研究の目的は，数学的モデル化過程を重視

後者に関して，前提条件によって，モデルがした授業実践を通して，数学的結論を現実事象に即して解釈，評価する力の育成と数学的問題

異なる課題を扱うことは，それに伴って得られる数学的結論と数学的結論を現実事象に即して解決の指導について考察することであった。

解釈した事柄も異なる。そのため，解決の目標

先行研究等の分析から得られた示唆をもとにの最終的な結論が変化する場合がある。S.K 生
は電球の寿命を条件に含めるかによって，現実教材を開発し，授業を構想した。授業実践を通して，学習者に数学的結論を現実事象に即して的結論が異なることを興味深いと記述し，解釈

解釈することと，解釈した事柄を現実と関連づや評価の過程の必要性を感得している。

けて評価することの必要性を実感させることが(略)。寿命を考えたりすると意見が変わりおもできたと考える。
以上のことから本研究の結論は，学習者にとしろいと思った。
図 13：S.K 生の学習感想
また課題は，電球の寿命を考慮した問題解決を行う必然的を持たせる問いの設定や学習の流れ等の教材研究を行う必要がある点である。
本実践では，電球の寿命という条件を無視し，電球の使用時間と総費用の関係を１次関数とみなして，蛍光ランプと LED ランプの総費用が一致するときの使用時間を求め，現実事象と関連づけて評価し，総費用が最も少なくなる電球を提案している。このように，数学的問題解決のって現実的で，直面しているもしくは直面する可能性のある事象を設定すること，前提条件によってモデルが異なる課題とすること，解答形
式は自由記述式とすることの３つの観点を満たした教材を扱うことで，数学的結論を現実事象に即して解釈・評価する力の育成に寄与できることである。
引用・参考文献過程(図５)を１巡し，解釈や評価の育成を目指し

solution of division problems involvingた。しかしこれに留まらず，S.K 生や K.K 生のremainders : An examination of middle
school students’solution processes andように，更に現実的結論を考察し，電球の寿命を含めて考える生徒が現れた。このように寿命

their interpretations of solutions」,

を考慮してより良い現実的結論を得ようとする

Journal for Research in Mathematics

ような発展的な学習は，数学的問題解決の過程の 2 巡目以降にあたる。
図５における解釈と評価の過程はどちらも，

させる機能があることが示された。そのため，得られた現実的結論を無視した条件等とともに考察し，サイクルの 2 巡目以降へと繋げていくといった発展的な学習の指導が必要である。このような学習活動を実践するために，学習者が必然性を持って問題解決に取り組むための問いの設定やどのように学習を行うかといった学習

Education, Vol.24, No.2, pp.117-135
国立教育政策研究所(2004) 『PISA 2003
年調査 評価の枠組み：OECD 生徒の学習到達度調査』 ぎょうせい

問題解決の結論を導く段階であると同時に，より良い結論を求めて問題解決のサイクルを循環

Edward A. Silver, Lora J. Shapiro, Adam
Deutsch (1993) 「Sense making and the

Lieven Verschaffel, Brian Greer, Erik de
Corth(2000) 『Making sense of word
problems』, Swets & Zeitlinger Publishers
三輪辰郎(1983) 「数学教育におけるモデル化の一考察」 筑波数学教育研究第 2 号
筑波大学教育研究 pp.117-125

全体の流れなどの教材研究を行い，本実践について修正や改善を加えていく。

－ 422 －

西村圭一(2012) 『数学的モデル化を遂行する力を育成する教材開発とその実践に関する研究』 東洋館出版