日常の場面で関数を活用する授業実践―テクノロジーを用いて―M 1 9 E P 0 31
中井 敬吾
第1章

問題の所在と研究の目的ていく力を養うための指導を検討すること。

筆者は，教育実習で 1 次関数の利用を指導し② グラフ電卓を導入する有用性や困難性につた。そこで，関数が日常や社会に生かされていて明らかにすること。

いると感じる生徒が少ない実態を目の当たりにした。清水(2006)も「数学の授業では，1 次第2章関数そのものを学習することが中心となり，研究の方法第1章の目的を達成するために，次の方法で数学が日常の事象とつながりを持っているこ研究を進めていく。とを生徒たちに実感させることが難しい」と① どのようにしたら日常の場面で関数を活用述べており，関数指導の困難性は従来から言する良さを実感できるか，関数やグラフ電われてきている。本研究では，これまでの関卓の活用について書かれている文献を中心数の学習で学んだことを，日常で使う場面をに示唆を得る。

設定し，関数を活用していく力を養う指導に② ①の示唆をもとに教材研究し，検証授業をついて検討していきたい。場面設定と解決過行う。そして，授業の分析・考察をし，日程を意識した授業によって，数学の有用性を常の場面で関数を活用していく力を養うた感じさせたいと考える。

めの指導を検討する。

また，清水(2007)は，関数の指導の方針と③ 検証授業の中で用いたグラフ電卓の使用にして，次の 4 点を念頭においていると述べてい関するアンケートを授業後に生徒に行い，る。「第 1 に，関数について学んだら，生徒がグラフ電卓に対する生徒の認識を明らかにそれを使って問題解決する場面を設定するこする。それをもとに，グラフ電卓を授業にと。第 2 に，できるだけ日常生活の場面を設定導入する有用性や困難性を明らかにする。

し，生のデータを使うこと。第 3 に，数学を使って仕組みを探ったり予測したりする課題の第3章

検証授業を行うにあたって開発。第 4 に，数値が複雑になるので，テクノ検証授業を行うにあたって，先行研究の考ロジー(グラフ電卓)を積極的に活用するこ察及び教材研究，そして，対象校で授業実践と。」以上の 4 点は，関数指導においてどれもを行ってきた。その内容を以下にまとめる。

重要であると考えるが，特に第 4 においては，これまでテクノロジーを活用して授業を行っ第1節

先行研究の考察た経験がないため，どのように授業に導入し3.1.1

関数指導たらよいのかわからないことが多い。本研究松原(1990)は，「関数思想を養成すること

では，グラフ電卓を導入する有用性や困難性を目ざすからには，数学的に考えることの根の所在について明らかにしていきたい。

幹に関数に類する見方，すなわち写像の見方

以上より，本研究の目的は大きく 2 つある。

があるといっている」と述べ，それは「関数① 日常の場面で関数を活用する良さを実感での効用」に帰着すると考えられている。このきる教材を作成し，その解決の過程でグラ「関数の効用」について，松原は次のようにフ電卓を用い，日常の場面で関数を活用し述べている。

1

3.1.2「『集合Ｘで発生している問題を解決するのグラフ電卓活用の授業実践に集合Ｙの性質を使う。そのためにＸをＹに大澤(1996)は，グラフ電卓を活用して，リ変換する』このように考えると数学のほとん

レーのバトンパスの課題を解決させる授業を4どのことがこの手法によって解決されている時間の指導計画で行ったとしている。この研といっても過言ではない。集合Ｘとしてとら

究では，「グラフ電卓を利用することによえた問題を上手に解決するために適切な集合り，扱いの困難であった現実場面問題の教材Ｙを見つけて，ＸとＹとの間に関数を設定す化が，例えば関数的内容を中心に中学3年生にる。すなわちＸをＹに変換してＹの性質を使対しても可能である。」や，数学の有用性をってＸ上の問題を解くのである。」

体感させることができたなどの成果をあげてこのことから，集合Ｘとして捉えた問題をいる。この研究では，グラフ電卓に慣れる時上手に解決するために適切な集合Ｙを見つけ間を3時間確保してから，バトンパスの課題をて，ＸとＹとの間に関数を設定できる日常の提示したとされており，グラフ電卓に慣れる場面設定を考えることで，関数を活用する良時間を何時間か確保する必要があるという示さを実感させることができるのではないかと唆を得られた。

考える。

清水(2007)は，グラフ電卓を活用して，一藤原(2010)は，「1次関数とみなす活動」の番売上金額の多いTシャツの値段を求める課題

指導について，次の留意点を得たとして3点挙を解決させる授業を3時間の指導計画で行い，げているが，ここでは2点目を見ていく。

数学を日常の場面に使って考える楽しさを生「みなすことの是非についての言語活動を充徒に体感させている。この研究では，「グラ実させること」

フ電卓等のテクノロジーを活用することでよ

日常の場面では，一方の値を決めるともうり進んだ数学を学習することが発達段階に応一方の値もただ1つに決まる関係，つまり関数じてできることは実証できた。日常の場面にの関係になっていることはごくまれである。

関数を活用する授業を設定するには，テクノそのため，関数とみなすことは，日常の場面ロジーは必要不可欠であると考える。」と述の問題を解決する上で重要な過程であると考べ，グラフ電卓の必要性をあげている。先のえる。しかし，1次関数の単元を学習している

大澤と同様に，中学校第3学年を対象としていときに活用の問題を取りあげると，全てのデるが，清水は2006年で，グラフ電卓を生徒にータが一直線に並んでいなくても，「どうせ各自持たせ，ガス料金を求める課題を，中学これも1次関数になる」というような先入観か第2学年を対象に行っている。この研究は，普ら，データの散らばり具合に着目せず，1次関段何気なく使っているガス料金の仕組みが1次数と決めつけてしまうことが考えられる。実関数であることを実感し，数学が使われてい際に，教科書に載っている問題は，全て1次関ることを問題解決の中から見出させることに数とみなして解決できる問題になっているた重きを置いている。しかし，研究のまとめでめ，そこまで吟味しなくても解決できてしま「本来比例や1次関数となっていないものを比う現状がある。生徒が1次関数とみなしてよい例とみる，あるいは，1次関数とみることで問かと吟味する活動を重視することで，生徒自題解決できるような関数の単元での教材開発

身が疑問に思った，データがきれいにそろっを行い，実践授業を行いたい」と述べていていない日常の場面において，関数とみなしる。これを踏まえ，本研究では，本来比例や1て良さそうか判断して問題を解決できるよう次関数となっていないものを1次関数とみるこになるのではないかと考える。とで解決できる課題を設定したいと考える。

2

また，清水(2007)は，グラフ電卓に慣れる時間を求めたいときに，誰しもが最初から3月の平の確保の記述はないが，「グラフ電卓を活用均気温に着目して予想するかは不明である。

して問題解決をはかる3年間の関数指導の一環開花日が毎年違うことは，なぜなのか，何にとして本授業を位置付けている。」と述べて開花日が影響されるか考えさせたい。そこ

おり，中学校第1学年からグラフ電卓をいつでで，開花日に関係のありそうな数量を考えさも取り出せるようにしている指導をしている

せる活動を取り入れる。しかし，データを集と考えられる。

めさせる活動を取り入れると時間がかかってしまうので，平均気温以外に日照時間と降水第2節

教材研究量のデータも集めておき，3つのデータを提示

まず，教材研究をする際に重視する点を明したい。そこから開花日に関係のある数量を確にする。これまでの先行研究の考察を踏ま見つけさせ，開花日と3月のデータを1次関数

え，筆者は次の 3 つの点が，日常の場面で，関とみなして予想できるようにし，①を満たす数を活用していく力を育成するために重要で課題設定にする。また，開花日と関係があるあると考えた。

か吟味が必要になるような降水量や日照時間① 求めたい数量があったときにそれと関係のを入れて考えさせ，議論できるようにし，③ある適切な数量を見つけ，関数を設定できを満たすようにしたい。

る日常の場面の課題を設定すること。
② 本来 1 次関数となっていないものを 1 次関第3節

授業実践数とみなすことで解決できる課題を設定す〇対象校：山梨県内公立中学校

ること。

〇対象生徒：第2学年生徒(56名)③ みなすことの是非についての言語活動を充〇授業実践

実させること。

・単元：1次関数
・指導計画(全20時間)1次関数の単元でグラフ電卓を活用した課題⑴1次関数として，「桜の開花日を予想しよう」はよく1．1次関数(2時間)扱われており，この課題について教材研究を2．1次関数の値の変化(1時間)行うこととする。中学校第2学年の東京書籍の3．1次関数のグラフ(4時間)

教科書に掲載されており，藤井(1999)，清水4．1次関数を求めること(2時間)と新井(2006)も取りあげている課題である。

5．基本の問題(1時間)

この課題では，桜の開花日と3月の平均気温と⑵1次関数と方程式の関係を見ていくことが一般的になってい1．2元1次方程式のグラフ(3時間)る。3月の平均気温が高くなれば，開花日は早2．連立方程式とグラフ(1時間)くなる傾向にあることから，開花日と，3月の⑶1次関数の利用平均気温との関係を1次関数とみなして開花日1．1次関数とみなすことを予想することができる課題となっている。

⇒検証授業(3時間目)

そのため，この課題は，②を満たす課題とな2．1次関数のグラフの利用(1時間)っている。しかし，①に関しては，開花日を3．1次関数と図形(1時間)求めたいときにそれと関係のある数量として34．基本の問題(1時間)

月の平均気温しかあげられておらず，開花日3(3時間)第4章

検証授業の実際

本授業は，前時にグラフ電卓に慣れる時間を15分確保した後に行った。
①日時
②題材名

令和元年10月30日

1時間

ソメイヨシノの開花日を求める方法を考えよう③授業のねらい(ⅰ)関係のある 2 つの数量に着目して，関数を設定し，開花日を予想することができる。
(ⅱ)1 次関数とみなすことの是非について考えることができる。
(ⅲ)開花日を予想し，実際と比べることで関数とみなすことのよさを感じることができる。
④授業の展開経過

指導内容及び活動内容予想される生徒の反応

指導上の留意点導入〇問題の設定・来年は青森県弘前市で・桜の開花について。

桜の花見をしたいと考えていて，飛行機の予約をするために開花日を予想したいことを伝える。
・桜の写真を見せる。

・桜の開花日は何に影響され・気温 (平 均気 温， 最高 気・弘前市みどりの協会のるか問う。

温，最低気温)HP の過去の開花日のデ・天気ータを見せ，桜の開花日・日照時間は毎年違うことを確認する。

展開・ 気 象 庁 の HP を 見 せ〇課題の把握桜の開花日に関係のある数量を見つけて，開花日を予想する方法を考えよう。

る。
・ワークシート①を配る。

〇表からどんなことがわかる

・平均気温が高いと，開花・もしあまり出なかったか問う。

日は早い傾向にありそう。

ら，2006 年と 2007 年，・平均気温が同じでも開花2005 年と 2013 年を比べ日が異なることがある。

させる。

・降水量は開花日と関係な・表だと関係が見えづらさそう。

いことから，2 つの数量・日照時間が長いと，開花を選び，グラフをかいて日は早い傾向にありそう。

関係を見た方がよいので・開花日が同じでも平均気はないかというところに

温，降水量，日照時間は異つなげる。

なっている。
〇グラフ電卓にデータを打ち

・平均気温：a=-3.484・グラフ電卓を配る。

b=30.529

込んで近似曲線をひいて，ワークシートに書き写す。

・自分が選んだ数量でグ・降水量：a=0.0753

ラフをかき終わったら，b=15.689
・日照時間：a=-0.1259

他の数量でもやるように促す。

b=37.987〇機械だから直線が引けるけ

・平均気温と日照時間は直・全てのグラフをスクリど，直線を引いても(1 次関数線を引いてもよいと思う。

ーンに映して比較させ，とみなしても)よいか問う。

・降水量は直線を引いては直線を引いてもよいか考いけないと思う。

えさせる。
・1 次関数とみなしてよ
さそうな根拠として，点の散らばりを挙げる。

○今年の 3 月の平均気温から

・平均気温：4 月 19 日

・気象庁の HP から得た開花日を予想する。

・降水量：4 月 22 日

今年の 3 月の平均気温の・日照時間：4 月 18 日

データを提示し，予想日を立てさせる。

まとめ〇実際の開花日が 4 月 19 日で・平均気温から開花日を予・弘前市みどりの協会のあったことを教え，来年予想想する。

HP から得た今年の弘前するときはどうすればよいか

・平均気温と日照時間の両市の開花日を提示する。

問う。

方から開花日を予想する。

〇本時の復習をする。

・開花日と平均気温の関係を 1 次関数とみなすことで，開花日の予想がで〇学習感想を書く。
表1

きたことを確認する。

授業で使用したデータ

3月データ
年

平均気温(℃) 降水量(mm) 日照時間(h) 開花日

開花日(4月基準)

2005

1.0

150

49.4

4月28日

28

2006

2.0

69

72.9

4月30日

30

2007

2.0

78

102.5

4月24日

24

2008

4.4

18

149.9

4月16日

16

2009

2.4

77.5

138.5

4月17日

17

2010

1.4

105

116.8

4月27日

27

2011

0.7

89.5

133.7

4月26日

26

2012

1.1

121.5

96.4

4月27日

27

2013

1.4

90

120.3

4月28日

28

2014

1.9

149

130.3

4月23日

23

2015

3.9

92.5

142.3

4月15日

15

2016

3.8

52

168.2

4月16日

16

2017

2.2

82.5

141.1

4月18日

18

2018

4.1

92.5

159.9

4月20日

20

2019

3.3

76

151.9

4月19日195

図1

開花日と平均気温の関係を 1 次曲線で回帰したグラフ

S49：使っちゃいましょう。(多くの生徒)
今回は，検証授業の前に15分間しか操作の練習ができなかったため，グラフ電卓で解決しようと思っても操作できないと考え，途中からグラフ電卓を使って解決させるような展開になってしまった。生徒が自力でグラフに表し，解決させるために，グラフ電卓を授業が始まる前に生徒に持たせ，いつでも使える
図2

開花日と日照時間の関係を 1 次曲線ような環境にしておくことがグラフ電卓を使で回帰したグラフって授業する上で大切であると考えた。
1次関数とみなすことについては，これまでグラフ電卓で1次関数の回帰しか行った経験がないため，「グラフ電卓を使う＝1次関数とみなす直線が引ける」というような感覚になってしまっていたことが考えられる。そのため，何も考えず直線を引いて1次関数とみなしていた可能性が高い。グラフ電卓に慣れる時間を十分に確保し，グラフ電卓では様々な回

図 3開花日と降水量の関係を 1 次曲線帰曲線が引けることを理解させ，点の散らばで回帰したグラフりによって回帰曲線を使い分けられるようにしておく必要があると考えた。

第5章

検証授業の実際と分析・考察

第1節

検証授業の実際

2つ目は，1次関数とみなすことの是非についてあまり考えさせることができなかったこ

検証授業をしてみて，大きく2つの反省点がとである。その場面のプロトコルを以下に示浮かび上がった。実際の授業の記録(プロトコす。

ル)をもとに振り返りを行う。
1つ目は，グラフ電卓でグラフをかくことを誘導するような展開になってしまったことである。その場面のプロトコルを以下に示す。
T50：表。けっこう難しかった？こういった開花日と関係のあるやつ見つけるとき，関係を見るとき，表と何かなかった？いろいろ。
S47：グラフ。
T51：グラフ。グラフとか。
S48：式
T52：グラフとか式とか。勉強しているところで言うと，表とかグラフとか式でたぶん関係捉えてたのかなって思うんだけど。
じゃあ今日使っちゃいますか？グラフ電卓。

T64：今これ線引いて直線，機械だから引けたと思うんだけど，これ本当に直線引いても大丈夫？機械だから直線引けたけど。
っていうのをちょっと考えてもらいたくて。昨日，標高と気温やったと思うけど，そのとき点はどうだった？覚えてる？
S55：(手振りで表す生徒)
T65：そう。ほぼ一直線上だったと思うんだけ
ど，これどう？みんな。どうですか？次のワークシート②のところの名前書いていないところに書いてもらいたいんだけ
ど，直線ってことは。今まで習ってきた何てことだっけ？
S56：1 次関数。
T66：うん。1 次関数。3 つとも 1 次関数とみなしていいのか？(板書する)果たして 36

つとも 1 次関数とみなしていいのか？機

み取れる。

械だから直線引けたけど。ワークシート②のところに書いてください。時間ないですけど。3 つとも 1 次関数とみなしてよいのか。
S57：(ポカンとしている)
このやり取りをしたのは授業終了5分前である。ここに時間をかけ，みなすことの是非に

図6ついて考えさせたかったが，時間をかけて考生徒 C の学習感想えさせることができなかった。また，直線と図6の学習感想からは，来年の開花日を予想各点のずれをすぐに言う生徒もおらず，前時したいという意欲が湧いていることが読み取の授業の山小屋の気温を予測するところで，れる。また、3つの数量は，桜の開花日と関係点がほぼ一直線上になっているから1次関数とのある数量であると捉え，およその開花日みなせるという根拠の部分の理解も甘かったを，それぞれの数量との関係を見ていくことことがわかった。

で予想できると考えていることが読み取れる。

第2節

検証授業の分析・考察

関数の有用性を実感できたと読み取れる学
習感想を以下に示し、分析を行う。

図7

生徒 D の学習感想

図7の学習感想からは，平均気温と開花日の関係に着目した開花日の予想と，実際の開花図4日が一致したことに心を動かされたことが読生徒 A の学習感想み取れる。また，開花日を求めるために，3つ図4の学習感想からは，桜の開花日を予想の数量の中で，どの数量と開花日の関係を1次し，実際の開花日と比べることのたのしさを関数とみなすと信頼度が高い予想ができる味わったことと，1次関数の有用性を実感するか，吟味していることが読み取れる。

ことができたことが読み取れる。

上記以外にも，1次関数とみなせば，開花日を求められることがわかったという記述が見られ，1次関数の有用性を実感していることが読み取れた。しかし，なぜ，1次関数とみなしてよいか考えていることが読み取れる記述は見られなかった。2つの数量の関係を1次関数

図5とみなせることは大切であるが，1次関数以外

生徒 B の学習感想の関係でみなした方が良い場面は日常には多図5の学習感想からは，他の日常の場面でもく存在する。このことから，根拠をもって関1次関数を活用していきたいと感じており，関数を活用できるように，グラフと各点のずれ数の有用性を実感することができたことが読について考える活動の必要性が示唆される。

7第6章

グラフ電卓の使用に関する考察→アンケート結果から，最低でも1時間の授業

検証授業終了後に27名の生徒を対象に，グは見積もる必要があると考えられ，日々のラフ電卓に関するアンケートをとった。
表2

授業の中でその時間を確保することは難しい。

グラフ電卓に関するアンケート(n=27)

質問・グラフが形として残らない。

非常にそう思う そう思う そう思わない 全く思わない

グラフ電卓を使いこなす自信はありますか？

6885グラフ電卓は数学の授業において役立ったと感じますか？

16

650グラフ電卓を数学の授業でまた使いたいですか？

16263→かき残す必要があり，結果的に時間がかかってしまう。
・x軸とy軸が何を表しているか表示されていない。

グラフ電卓を使いこなせるようになるにはあとどれくらいの時間が必要だと感じますか？
時間(分) 人数

時間(分) 人数

時間(分) 人数

時間(分) 人数

→何がxで何がyなのか意識しづらい。

時間(分) 人数

0115140112011440

1312026032501？

3104306811300

1第7章

まとめと今後の課題

本研究の検証授業の教材は，関数の有用性※質問に対しての理由も記述させている。

を実感させる上で有効であるという示唆を得

以下は，グラフ電卓を導入した授業の有用られた。しかし，1次関数とみなすことの是非

性と困難性を，アンケートの結果と実際に授について議論を深められなかった課題が大き業をして感じたことを踏まえてまとめる。

く残った授業実践になってしまった。今後〇有用性も，日常の場面で関数を活用していく力を養・関数であるかどうか不明な事象を調べるにうための指導を検討し続けていきたい。まは効果的である。

た，グラフ電卓やタブレットを比較し，それ→グラフ電卓が数学の授業で役立ったと感じらを効果的に活用した授業を構想していきた

た生徒は80％おり，「本来は1次関数になっい。ていないものをそれとみなして線形で回帰し，問題を解決することにつなげることが＜引用文献＞できる」という点での良さを実感できてい・藤原大樹(2010)『1次関数を学ぶ意義と「みなす活た記述が多くあった。

動」についての一考察』横浜国立大学教育人間科学

・一度慣れると，学年が上がったときにも使部附属横浜中学校個別研究【数学科】

える。

・松原元一(1990)『数学的見方考え方』国土社→今回は1次関数しか習っていない中で使った・清水宏幸(2006)『日常の場面で1次関数を活用させので，直線を引くことしか知らなかった

る指導－ガス料金について考えさせる指導－』日本が，学年が上がると，関数での回帰の幅が

数学教育学会

広がり，どの関数で回帰するとよいかの吟・清水宏幸(2007)『日常の場面で関数を活用させる指味ができるようになる。

導－売上金額の一番多いＴシャツの値段を設定しよ・グラフをかく手間を省くことができる。

う－』日本数学教育学会→グラフをかくことが目的ではなくなり，表・清水宏幸，新井仁(2006)『グラフ電卓ワークショッ

示されたグラフをどう解決に役立てるかとプ－グラフ電卓を活用して問題解決－』日本数学教いう数学的な思考に焦点を当てることがで育学会

きる。

・杉山吉茂代表，藤井ほか(1999)『高度情報社会に対〇困難性

応する数学教育カリキュラムの開発に関する総合研

・グラフ電卓に慣れる時間の確保が必要不可

究』平成8～10年度文部省科学研究費補助金・基盤欠である。

研究(A)研究成果報告書

8