山梨大学教職大学院

令和４年度

教育実践研究報告書

効果的な補助線の指導－直観的な考察を通して－
教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 小松健一
1 研究動機

2 研究目的

私は学生の頃から，図形領域にあまりいい清宮（1967）は 12 個の型を組み合わせて行印象をもっていなかった。覚えた語句を使用

われる初等幾何学における発見的研究法を提したり，公式を利用して問題を解いたりする案した。

知識や技能に比べ，その問題を解くために必（１）既知事項を組合せる要な線を考えることが，この図形領域には多（２）図から性質を知るかったためである。特に高等学校時代の数学（３）定理の別証明から新性質を発見するの先生に，なぜ補助線をそこに引くのか質問（４）条件を変形して新定理を得る

すると「ここに引きたくなるから」と言われ，（５）特殊化する

なぜそこに引くのか，なぜその線を発見でき（６）ある性質を想定し，その必要十分条件たのかといったことを明確には教えてはくれを調べるなかった。教職に就き補助線を扱う問題を幾（７）逆の研究

度となく経験しているが，なぜそこに引くの（８）仮定を類似の条件で，おきかえての研か，なぜそんな線が考えられたのかうまく説明できない現状のまま，数学科の教員として時が過ぎてしまった。今まで受け持った生徒

究（９）定理の証明を調べて，本質的でない部
分の条件を，他の緩い条件でおきかえも私と同じ思いを持って過ごしてしまっていることを考えると今すぐにでも解決したいとて拡張を得る（10）定理の結論について，その必要十分条思ったため本研究テーマで進めていきたいと思った。

件を調べる（11）定理の仮定の条件を，他のゆるい条件

平成 29 年度告示中学校学習指導要領解説数におきかえて，定理が成り立つかどう

学編では「図形について主に直観的な取扱いをしており，それを通して，図形を直観的にかを調べる（12）相補的な条件の場合についての研究捉える力はかなり高まってきていると述べてまた，平成 29 年告示中学校学習指導要領解ある。このことからわかるように小学校で図説数学編にて改定の経緯及び基本方針の中に形を直観的に捉えることは行っていると言え「AI の進化」について述べられていた。またる。しかし，平成 29 年度告示小学校学習指導要領解説算数編では直観的な力が高まったな「平成 20 年改訂の学習指導要領の教育内容を維持した上で」との記載から思考・判断・表どという記述は図形領域の中で示されてはい

現に限定して遡ってみると「表現に関する能ない。そこで仮説として考えられるのが，「直力の育成」について述べられていた。

観的な考えは徐々に身につくものであって特よって本研究の目的を先行文献に現代の教定の単元はない」ということである。その仮育を合わせることで「生徒自らが引きたくな説をもとに，私のような思いをする生徒を可るような補助線に関する効果的な指導を発見

能な限り減らすために算数数学における補助し，数学科に関わる教員にとって，効果的な線の指導をどのように行えば効果的なのかと補助線の指導とはどういったものかというこいうことを研究していく。とを明らかにする」こととする。

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3 研究方法

教育実践研究報告書⑤「個別」の「一般化」

本研究の目的を達成するために次の方法で⑥具体物を知覚することから始まる研究を進めた。まず，補助線について先行研

また，同著書では「直観なしで論理の筋が究や文献にあたり，言葉のもつ定義や意味を進むはずがない」や「直観なしで人間は物を確認する。次に，先行研究から得た知見を基識（し）ることはできない」とも述べられてにして，言語活動や ICT を取り入れた授業をいる。このことから，この研究では直観的な計画したり，どのようにして補助線を書くに考察を身に付けていくことを基にして研究を至ったのかという視点から教材研究を行った進めていくこととする。

りする。そして，補助線を用いた図形が多く4.3 教材について出題される中学校２年次の「平行線と角」と始めに，算数数学において補助線に関するいう単元に焦点を当てて授業を実践する。そ

内容がどの学年でどんな内容が出ているのかして実践授業での指導が生徒にどのような効ということを調べた。その中で，「学年が上が果を与えたのかを成果物などから見取り，実るにつれて補助線を扱う機会が増え，難易度践授業の分析や考察を行う。最後に，授業実が高くなるのではなないか」と仮説を立てな

践より得られた成果と課題を明らかにし，補がらＴ社の教科書を参考に表 1 にまとめた。

助線を見つけるための指導で効果の得られた

表１ 算数数学における補助線の扱い
平面図形領域における学年
補助線に関係する主な内容
小学校
L 字型図形の求積
４年次
小学校
多角形の内角の和
５年次
小学校
円の求積
６年次
縮図 拡大図中学校
作図
１年次
多角形の内角の和 外角の和中学校
三角形の内角の和 平行線と折２年次
れ線の角 矢じりの角 星形多角形の内角の和指導をまとめ，本研究の結論とする。
4 研究内容4.1 補助線について
まず，補助線における定義について広辞苑を基に再確認した。広辞苑では補助線を「幾何の問題で，解答を導き出すために図形に補う直線または円」と定義しており，本研究でもこの定義を基にして進めていく。
4.2 「直感」と「直観」について直感と直観の言葉の意味を調べ，その違いを再確認する。広辞苑では，直感と直観の言葉の意味を次のように記載している。
【直感】説明や証明を経ないで，物事の真相を心でただちに感じ知ること。すぐさまの感じ。
【直観】判断・推理などの思惟作用の結果ではなく，精神が対象を直接に知的に把握する作用

中学校
３年次

高等学校
１年次

また，松原（1990）は直観について次の①～⑥のように述べている。
①１に１を加えて２になると信じさせる力②論理の進行すべき道を照らして案内するもの③悟り

校舎の高さ 三角形と比の証明
三角形と比の逆の証明
中点連結定理 平行線と比円周角の定理を利用した計算
三平方の定理を利用した計算
二等分線と比 三角形の五心チェバ・メネラウスの定理
方べきの定理 正弦定理 余弦定理 接弦定理

高等学校三角関数の合成
２年次
高等学校
ベクトル
３年次
（１）校種ごとの違いについて
学年が上がる度に補助線を扱う問題が増え，④「具体」の中に「普遍」を観ること－ 187 －

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高等学校は特定の問題で扱うことをあまり行わず，単元を通して補助線を扱っていた。そを証明する。
第２時：平行線と折れ線の角の求め方を考えして，補助線に関する内容も難易度も当初の仮説通りであることが分かった。

教育実践研究報告書る。
第３時：星形多角形の内角の和が 180°になる

小学校と中学校の違いについては補助線をことを証明する。

取り扱う数が大きく異なることが表１をみる

4.4.2 OPP シートについて
授業実践の前に OPP シートを配布し，生徒とわかる。中学校と高等学校では，数ではなくその質に大きな違いが見られた。に説明を行った。これは山梨大学教職大学院（２）校種ごとの特徴についてで普段から使用されているものを活用したも

表１に記載はないが，小学校で扱う内容ののである。

中には，平行や垂線といったように補助線を引くための基礎となる知識がある。そのため小学校では補助線の知識を得ることに重点を置いていることが伺える。中学校の補助線に関する問題は，補助線を引けばたいていの答えが導き出せるような問題が多いのに対し，高等学校では補助線を引いてから問題が始まるような傾向が多いことが分かった。
（３）問題の選定
表１にもあった通り，中学校２年次で補助

図１ OPP シート

線を利用する学習が増えていることから，今OPP シートには以下の４つの項目を設けた。
①「補助線」についてあなたが思うことを書いてください②授業の振り返り③「補助線」についてあなたが思うことを書いてください④全体を通しての振り返り

回は中学校２年次で研究を進めた。
「多角形の内角の和」については小学校５年次で一度を学習していること。
「多角形の外角の和」については，多角形の外角を作成するために延長線を引くことを前提として解くので，これらのものを研究授業の問題として扱うことはしなかった。また，「矢じりの角」を設けた。②については授業ごとに気づいたも補助線を利用して考えることができるが，ことなど自分が考えたことを書く枠を設定し，「星形五角形の内角の和」を求める際の既習授業が終わる度に OPP シートの回収を行った。

事項として位置づけていくため，本授業では③と④については，全授業を終えた後に記入取り扱わなかった。よって本研究では「４章する時間を設け，第３時終了後に OPP シート

平行線と角」における「三角形の内角の和」の回収を行った。

以降の内容について授業実践を行った。尚，

4.4.3 授業実践

①については第１時の前半に記載する時間扱った問題については表１の太字で表した。

ここからは授業実践の実際について述べて

4.4 研究授業の分析
4.4.1 授業計画
令和４年 10 月 27 日から 11 月 22 日の期間

いく。
（１）第１時 10 月 27 日（木）Aで山梨県内の公立中学校２年生を対象に全３時間の授業実践を行った。授業の計画は以下Bの通りである。
第１時：三角形の内角の和が 180°になること－ 188 －

C

図２ 三角形の内角の和山梨大学教職大学院

令和４年度①指導意図（焦点化）

教育実践研究報告書①指導意図（顕在化）

平行線の同位角や平行線の錯角を前時まで平行線と折れ線の角の大きさを求める過程に学習していることから，平行線を利用してには，様々な種類の補助線が利用される。そ説明できるようにしたい。また，既に学習しの補助線を考えた理由を問うことで補助線をたことのある内容を取り上げることによってどのように捉えているかを探りたい。

補助線に焦点を当てて授業を展開したい。

②本時の目標②本時の目標平行線と折れ線の角の求め方を考えよう

三角形の内角の和が 180°になる方法を説
明できる③指導の実際・本時の問題と関連を図る導入と予想③指導の実際

スライドを用意して平行線と直線との交点
P が動くことでできる角は何度になるのか予・小学校時の証明方法を確認
任意の三角形がかかれた紙の内角を保ちながら切り，それらの角を一か所に集めて平角想した。その際，解くために必要な角の大きさを提示した。になることから 180°を共通認識させた。
・自力解決
紙での証明は別の三角形で同じことは厳密な証明とは言えないことから，どうしたら三角形の内角の和が 180°であることを証明できそうか確認して自力解決を行った。
・発表
発表を通して三角形の内角の和が 180°で↓あることを確認する。その際に平行線を補助線として活用することで証明できることを確認した。
④本時のワークシート
自由に補助線やその補助線を考え付いた理由を書き込めたり，友人の考えを書き込めたりできるようなワークシートを作成した。

↓

図５ 第２時導入時のスライド・平行線と折れ線の角の大きさを確認
図３ 第１時ワークシート（２）第２時 11 月 10 日（木）平行線と折れ線の角の大きさについて
GeoGebra を利用し，解く前に予想が正しかったのか正答を確認した。
・自力解決
求め方の種類を１つに限定せずに別のやり

図４ 平行線と折れ線の角－ 189 －山梨大学教職大学院

令和４年度

教育実践研究報告書方はないか考える時間をつくった。その際に，となる２直線が存在しない。つまり既習の知なぜそのような補助線を引くことができたの識の何を利用すればいいのかという意図を見か理由も同時に記入した。

取りたい。また，本時ではどのようなことを・発表するのかという不安を払拭するため，前時の生徒が意見を発表して，平行線と折れ線の角の大きさが 110°になることを証明した用

授業展開の大部分をそのまま踏襲した。
②本時の目標

紙を黒板に貼り，説明をした。その際，補助星形五角形の内角の和がどのようにして線の引き方は多岐にわたり，既習事項を活用180°になるか考えようすることで証明できることを確認した。

③指導の実際・ワークシートの「はかせ」へ記入

・本時の問題と関連を図る導入と予想「はかせ」の解き方とその理由をワークシ

平行線と折れ線の角の図から変化して星形ートに記入した。ここでいう「はかせ」とは五角形になるスライドを提示した。そして星「速く，簡単に，正確に」の頭文字をとった

形五角形の内角の和に焦点を当てて，その角ものである。この「はかせ」で選んだやり方にはどんな特徴があるか予想した。

が，生徒にとって最も効果的なやり方と同等のものとして研究を進めた。
⑥ワークシート
自由に補助線やその補助線を考え付いた理由を書き込めたり，友人の考えを書き込めたりできるようなワークシートを作成した。
↓↓

図６ 第２時ワークシート（３）第３時 11 月 22 日（木）dabce↓

図７ 星形五角形の内角の和①指導意図（深化）
平行線と折れ線の角を求める際には，すでに平行線が記載されている。そのことから平行線を利用して解けないかと考える生徒は多いと予想した。一方，星形五角形には平行線－ 190 －

図８ 第３時導入時のスライド山梨大学教職大学院

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教育実践研究報告書・星形五角形の内角の和が 180°なる確認

5 実践授業を終えての成果と課題

星形五角形の内角の和が 180°になることに

5.1 成果ついて GeoGebra を利用し，解く前に予想が正しかったのか正答を確認した。

補助線を生徒が引けるようになるために行った効果的な指導とその成果を以下に示す。

・自力解決

１つ目は，補助線に関する授業を展開する

求め方の種類を１つに限定せずに，別のや上で「取り上げる問題の順序」を留意しており方はないか考える時間をつくった。その際くことである。表１にもある通り，学年が上に，なぜそのような補助線を引くことができがる度に補助線に関する問題が増えてくる一たのか理由も同時に記入した。

方，小学校や中学校段階で補助線を引くため・生徒の様子から問題の結論を変えるの基礎となる既習事項を，どれだけ感得して生徒の一人が矢じりの角の部分を指しているかが重要であることが分かる。そこで，「ここが分かればできると思う」という疑問既習事項を感得した上で，問題設定をどのよを全体の疑問として投げかけ，矢じりの角をうな観点で設定するか表にして示す。

用いて星形五角形の内角の和を求めた。

表２ 問題設定の観点と例

・発表

観点

生徒が意見を発表して星形五角形の内角の和が 180°になることを証明した用紙を黒板①既習事項のに貼り，説明をした。その際，補助線の引き感得方は多岐にわたり，既習事項を活用することで証明できることを確認した。

②既習事項を・ワークシートへ記入改めて証明する問題

第２時で「はかせ」のやり方を選択しワークシートに記入するよう指示したが，本時は③多くの補助線が引ける「はかせ」ではなく，「自分にとって最も効果的な方法」を聞いた。第２時との変更理由は問題「はかせ」に捉われず自由にその方法の選択

本研究での問題やその他例（中学校で学習する内容）
・対頂角・平行線の同位角・多角形の外角の和など
・三角形の内角の和・角の二等分線の証明
・平行線と折れ線の角・矢じりの角・星形五角形の内角の和理由を問いたかったことにある。
⑥ワークシート④単元を通して得た知識

自由に補助線やその補助線を考え付いた理を活用した由を書き込めたり，友人の考えを書き込めた・星形七角形の内角の和・凹型四角形の内角と内部にある三角形の内角の和問題りできるようなワークシートを作成した。

授業実践を通して，國宗, 熊倉, 柗元（2013）
での「既習事項と結び付けて考えることによって補助線のイメージがわいてくる」にもあるように既習事項をどれだけ得ているかという大切さを改めて実感した。その上で，②～④のように問題を分けた。第１時を終えた生
図９ 第３時ワークシート

徒の感想に「当たり前のことは意外と当たり前ではなかった」と記載してあった。このこすべての授業後には，ワークシートと OPPとから，補助線指導における問題の設定は，シートに記入する時間を設け，回収した。

既習事項を改めて取り扱うことが補助線指導－ 191 －山梨大学教職大学院

令和４年度の起点となることが分かった。

教育実践研究報告書の授業では多くの考えが生み出された。つま次に，多くの補助線が引ける問題を設定しり安心できる環境づくりをしたことによって，た。本授業では，平行線と折れ線の角を問題集中してその問題に向き合うことができた。

として取り上げた。ここでは「直観的な考え３つ目は「生徒の疑問を全員に共有し，直方を身に付けること」と「安心して補助線を前に学習した知識を用いて，解決までの道の引けるようにする」ことの２点に焦点を当てりを示すこと」である。生徒が「（矢じりの角て授業を展開した。授業後の生徒の振り返りの部分を指して）ここの角が分かればできそでは「こんなに多くのやり方があるとは思わう」という発言をした。そこでその疑問を全なかった。他の問題にもこの考え方を試した

体で共有すると，矢じりの角で求められるとい」という記述から，多くのやり方を共有すいう意見が出た。その意見から，矢じりの角ることで次の補助線に対する意欲の向上と直で求められるということを知った生徒はその観的な考え方に結び付けることができた。

やり方を利用して解答を出していた。授業の最後に，この単元を通して得た知識を活用最後に「自分の中で最も効果的だったと思うした問題を設定した。この指導で，毎回の授やり方」を問うと，19 名中その生徒を含む約業で得られた学習が次の授業では既習事項と半数の 10 名の生徒が矢じりの角を利用して，なるように指導をすることで生徒の図形に対星形五角形の内角の和を解いていた。

する意欲や考え方に良い影響をもたらした。

４つ目は，「たった一人だけが答えた解答をつまり，問題の設定を教師側が段階的・意取り上げること」で効果が表れた。第２時で図的に設定することで補助線に対する生徒のは，図 10 のように答えた生徒は一人だった。

敷居が下がったといえる。
２つ目は「授業内で正答を予想させたことで生徒にとって集中してその問題に向き合うことができた」ことである。第２時では，問われている角の大きさを予想させると２人の生徒が発言した。
T31：ここの角は何度になると思いますか？
T32：予想で構わないよ。予想は単に自分が思ったことだから間違っても全然 OK。何度だと思う？
S3：間違ってるかもだけど 100°かな？
T33：他にいる？
S4：110°
T34：他には？
T35：100°だと思う人？（1 名挙手）
T36：110°だと思う人？（大勢が挙手）
T37：そんなに 110°だと思っているならぜ
ひ予想の時に言おうね。
これがきっかけで「予想は間違って良いも

図 10 MT 生の考え方①
MT 生は，平行線と折れ線の交点を繋ぎ，平角と三角形の内角の和を利用して解を導いた。
このやり方をしている生徒は一人もいなかったので，全体の前で取り上げることで特別感を味わわせるように配慮し，授業の最後に取り上げた。その生徒は授業後の振り返りで『他の問題のときに今回の「はかせ」がつかえるのかためしたい』との記述があった。の」ということを前面に出すことができ，生徒の安心に繋がった。そして，生徒が予想し図 11 第２時後の MT 生の振り返り
MT 生は，次の図 12 で示したようにやじりた解答を，GeoGebra を用いて正しいかどうか確認したこともまた生徒が安心して問題に取り組める指導の一つであった。その結果，この角を求める際にも図 10 と同様のやり方を基にして問題に取り組んでいた。

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教育実践研究報告書

6 本研究の結論
本研究の目的は「生徒自らが引きたくなるような補助線に関する効果的な指導を発見し，数学科に関わる教員にとって，効果的な補助
図 12 MT 生の考え方②
別日に MT 生が星形五角形を求める際に同線の指導とはどういったものかということをじやり方を利用して問題を解こうとしていた。

以下の４点が今回の実践授業を通して分か明らかにする」ことであった。
った補助線の指導である。
（１）補助線への敷居を下げる問題の設定（２）予想と解の確認を最初に行うことによる安心できる環境づくり（３）生徒の疑問への対応を通した授業展開（４）最も多かった解答と最も少なかった解答の取り上げこれらをもとに授業を展開することで，補図 13 MT 生の考え方③助線を生徒自らが引きたくなると結論付けた。
引用・参考文献

図 14 最後の MT 生の振り返り

・藤井斉亮，真島秀行他(2020)『新しい算数１MT 生はすべての授業を終えた後の振り返りで「今までは問題にかいてある図形にむり①②～６』，東京書籍
・藤井斉亮，真島秀行他(2021)『新しい数学１

やりこことここが同じでとか書きこむだけだ～３』
，東京書籍

った。
（中略）補助線をひくと新しい図形がみ・國宗進, 熊倉啓之, 柗元新一郎（2013）「図えたりして発想がひろがったのでこれから積形の論証の理解とその学習指導－図形の相極的にとりいれていこうと思った。
」と記載し似に関する補助線を引く方法の意識化」,日ていた。このことから自分自身が考えた特殊

本数学教育学会誌数学教育第 95 巻,RSなやり方で一度成功体験をしていると，別の号,pp.113-120

問題でも活用できるのではないかと考えを発展させ実際に使用し，今後も活用したいとい・俣野博，河野俊丈他(2021)『新編数学』Ⅰう意思が芽生えたことが伺える。よって「た・松原元一（1990）『数学的見方考え方－子どった一人だけが答えた解答を取り上げること」

もはどのように考えるか』，
国土社，
pp.19-35で効果が表れたと結論付けられる。

～Ⅲ，A～C，東京書籍

・文部科学省（2008)『中学校学習指導要領解
説－数学編－』，教育出版，p.8

5.2 課題・文部科学省（2017)『小学校学習指導要領(平今回はコロナウイルスの影響もあり，授業成 29 年告示)解説－算数編－』，日本文教出を受けた生徒数が全体の３分の２程の人数だったので得られたデータ数が少なかった。こ版
・文部科学省（2018）『中学校学習指導要領（平のことからグループでの学習が不十分で，生成 29 年告示）解説－数学編－』，日本文教

徒同士で対話をする言語活動が展開できなか出版，p.1，p.46

ったので表現する活動による効果を追究でき

・清宮俊雄（1967）「初等幾何学における発見なかった。次年度の課題として生徒同士の言的研究法について」，日本数学教育学会誌数語活動を更に取り入れた授業展開がどのよう

学教育第 13 巻，R 号，pp.16-45

な効果をもたらすのかを踏まえて調べたい。

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