[問題１]力学

図のように，質量 m の質点 1 と質点 2 がばねでつながれ，水平な床の上に静止している．時刻 t = 0 で，質量 m の質点 3 を質点 1 に速度 V0 で弾性衝突させた．運動はすべて一直線上で行われ，床と質点の間の摩擦は無視できるものとする．質点 1の位置座標を x1，質点 2 の位置座標を x2 とし，衝突後においても x1 < x2 である．ばねの質量は無視でき，ばねの自然長を l0 とする．また，ばねの自然長からの伸び（縮み）に比例した力（比例定数 k）が質点に働くものとする．衝突後の運動について，以下の設問に答えよ．
質点 1 と質点 2 からなる系のラグランジアンを求め，ラグランジュ方程式を用いて運動方程式を導け．

（１）

前問で求めた運動方程式を重心座標 XG = (x1 + x2) / 2 と相対座標 xr = x2 − x1を用いて書き直せ．また，この結果をもとに，この質点系の運動を簡潔に説明せよ．

（２）

（３）

質点 1 と質点 2 からなる系の重心の速度を求めよ．

（４）

質点 1 と質点 2 の間の距離の最小値を求めよ．

（５） 位置座標 x1，x2 を時間 t の関数で表せ．ただし，時刻 t = 0 のとき XG = 0 とする．

図

[問題２]電磁気学（１） 真空中の一様電場 E0 を考える．以下の設問に答えよ．ただし, 真空の誘電率はε 0 とし，原点 O における静電ポテンシャルをゼロとする．
a)

原点 O からの位置 r における静電ポテンシャル φ 0 (r) を E0 と r を用いて表せ．

b)

図 1 のように，帯電していない半径 R の導体球の中心を原点 O の位置においたとき，導体球外部の領域 (r ≧R, r : r の大きさ) における静電ポテン
シャルφ 1 (r) を E0, R, r, r を用いて表せ．このとき導体球が作る静電ポテンシャルは，原点 O におかれた電気双極子が作るそれと等価であることを用いてよい．また，電気双極子の作る静電ポテンシャルは双極子モーメントp を用いて，φd (r)=𝒑𝒑∙𝒓𝒓

4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟 𝟑𝟑とかける．

（２） 図 2 のように，中心位置が同じ，半径 R1 の導体球 S1 と内半径 R2，外半径R3 の導体球殻 S2 を考える．以下の設問に答えよ．ただし，無限遠の静電ポテンシャルをゼロとし，真空の誘電率をε 0，原点 O からの位置ベクトルを r,その大きさを r とする．
a)

導体球 S1 と導体球殻 S2 にそれぞれ q1 と q2 の電荷を帯電させる．R1 ≤r ≤ R2 と r ≥ R3 の領域における，静電ポテンシャルφ 2 (r)，φ 3 (r)を求めよ．
ただし，S1 および S2 は共に接地されていないとする．

b)

導体球 S1 と導体球殻 S2 からなるコンデンサの静電容量 C を求めよ.

c)

導体球 S1 のみ接地した時，導体球 S1 の電荷 q1 を，導体球殻 S2 に与えた電荷 q2, および, R1, R2, R3 を用いて表せ．

図1

図2

[問題３]

量子力学

質量𝑚𝑚の粒子が，一定の中心力を受け，𝑥𝑥𝑥𝑥平面上で半径𝐿𝐿の円運動をしている．ハ
ミルトニアンは，極座標の角度𝜃𝜃(0 ≤ 𝜃𝜃 < 2π)と換算プランク定数ℏを用いて，ℏ2 𝑑𝑑2
𝐻𝐻 = −+ 𝑉𝑉02𝑚𝑚𝐿𝐿2 𝑑𝑑𝜃𝜃 2で与えられる．ここで，𝑉𝑉0は定数である．以下の設問に答えよ．
（１）

この粒子の波動関数𝜓𝜓を考える．

a)𝜓𝜓が次式で表されることを示せ．ただし，𝑛𝑛は無次元数，𝐸𝐸は粒子のエネルギーである．

𝜓𝜓 = �1exp(𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)
2π�𝑛𝑛 = ±�2𝑚𝑚𝐿𝐿2 (𝐸𝐸 − 𝑉𝑉0 )�ℏ2b)波動関数の周期的境界条件を用いて，𝑛𝑛が整数であることを示せ．

c)

古典力学における角運動量の𝑧𝑧成分ℓ𝑧𝑧 は，ℓ𝑧𝑧 = 𝑥𝑥𝑝𝑝𝑦𝑦 − 𝑦𝑦𝑝𝑝𝑥𝑥 で与えられる．

ここで，𝑝𝑝𝑥𝑥 と𝑝𝑝𝑦𝑦 は運動量の𝑥𝑥および𝑦𝑦成分である．ℓ𝑧𝑧 の演算子が次式で与えられることを示して，𝜓𝜓に対するℓ𝑧𝑧 の固有値を求めよ．
ℓ𝑧𝑧 =ℏ 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜃𝜃（２）𝛷𝛷 = 𝐶𝐶 exp�𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜃𝜃 �で記述される波束を考える．ここで，C は規格化定数である．
a)b)|𝛷𝛷|2 の概形を，𝜃𝜃の関数として図示せよ．

期待値⟨ℓ𝑧𝑧 ⟩を計算せよ．必要があれば，次式を用いてもよい．
2π∫0 cos𝜃𝜃 ⋅ exp(2cos𝜃𝜃)𝑑𝑑𝜃𝜃c)

2π∫0 exp(2cos𝜃𝜃)𝑑𝑑𝜃𝜃≈ 0.701
この波束は𝛷𝛷 = 𝐶𝐶 ∑∞𝑛𝑛=0� �𝑛𝑛!� exp (𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)とも表現できることを利用して，⟨ℓ𝑧𝑧 ⟩ ≤ ℏとなるのはなぜか，考察せよ．

[問題４]

統計力学

互いに独立な𝑁𝑁個の調和振動子から成る系が，温度𝑇𝑇において熱平衡状態にある．
以下の設問に答えよ．ℏは換算プランク定数であり，ボルツマン定数を𝑘𝑘B とせよ．

（１）

古典的な系におけるハミルトニアンは，𝑁𝑁

𝑝𝑝𝑖𝑖2 𝑘𝑘 2
𝐻𝐻 = � �+ 𝑥𝑥 �
2𝑚𝑚 2 𝑖𝑖𝑖𝑖=1である．ここで，1 つの調和振動子は質量𝑚𝑚の質点とばね定数𝑘𝑘のばねによって構成され，𝑝𝑝𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑖𝑖 は各々𝑖𝑖番目の質点の運動量と位置である．

a)

この系の分配関数を積分形で表せ．

b)a）における積分を実行し，分配関数を求めよ．ガウス積分の公式∞𝜋𝜋� exp(−𝛼𝛼𝑧𝑧 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
𝛼𝛼−∞を用いてよい．ただし，𝛼𝛼 > 0 である．

c)

この系のヘルムホルツの自由エネルギーを求めよ．

d)

この系の内部エネルギーおよび比熱を求めよ．

（２）

量子的な系では，𝑗𝑗番目の調和振動子の固有エネルギーは，以下のように与えられる．
1𝜀𝜀𝑗𝑗 = �𝑛𝑛𝑗𝑗 + � ℏ𝜔𝜔𝑗𝑗
2
ただし，𝑛𝑛𝑗𝑗 = 0, 1, 2, ⋯ であり，𝜔𝜔𝑗𝑗 は角振動数である．

a)全ての調和振動子が同一の角振動数𝜔𝜔0 をもつ場合（𝜔𝜔𝑗𝑗 = 𝜔𝜔0 ），この系の分配関数，内部エネルギー，比熱を求めよ．
b)

角振動数が𝜔𝜔と𝜔𝜔 + 𝑑𝑑𝑑𝑑の間にある調和振動子の数を𝑔𝑔(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔0 𝜔𝜔2 𝑑𝑑𝑑𝑑とする．最大の角振動数を𝜔𝜔D として，この系の低温（𝑘𝑘B 𝑇𝑇 ≪ ℏ𝜔𝜔D ）における比熱を求めよ．ただし，𝑔𝑔0 は正の定数であり，以下の式を用いてよい．
∞𝑥𝑥 4 𝑒𝑒 𝑥𝑥
4𝜋𝜋 4𝑑𝑑𝑑𝑑 =�𝑥𝑥2150 (𝑒𝑒 − 1)

[問題５]

物性物理

１次元イオン結晶の格子振動について考える．図のように，正，負のイオンを各々質量𝑀𝑀𝐴𝐴 ，𝑀𝑀𝐵𝐵 の質点とみなせるとする．また，イオン同士がばね定数 𝐶𝐶 のばねで連結されているとみなせる．ここで，イオンの総数は十分に大きいとし，正，負のイオンの間隔を𝑎𝑎/2 とする．以下の設問に答えよ．

図𝑛𝑛 番目の正，負イオンの平衡位置からの変位を各々𝐴𝐴𝑛𝑛 (𝑡𝑡)，𝐵𝐵𝑛𝑛 (𝑡𝑡)とし，（１）𝐴𝐴𝑛𝑛 (𝑡𝑡)，𝐵𝐵𝑛𝑛 (𝑡𝑡)が満たすニュートンの運動方程式を書け．

（２）

設問（１）の運動方程式を解き，格子振動の分散関係が次の式を満たすことを示せ．ただし，𝜔𝜔を角振動数，𝑘𝑘を波数とする．

𝜔𝜔4 − 2𝐶𝐶 �1
14𝐶𝐶 2𝑘𝑘𝑘𝑘
� 𝜔𝜔2 ++
sin2=0𝑀𝑀𝐴𝐴 𝑀𝑀𝐵𝐵𝑀𝑀𝐴𝐴 𝑀𝑀𝐵𝐵
2

波長が非常に長い極限では，音響モードの分散関係は𝜔𝜔 = 𝑣𝑣|𝑘𝑘|とかける．
𝑣𝑣を求めよ．

（３）（４）

波長が非常に長い極限における，光学モードの角振動数𝜔𝜔0 を求めよ．

（５） 設問（４）で求めた角振動数が𝜔𝜔0 の光学モードでは，正と負のイオンが逆向きに運動することを示せ．
（６）

このようなイオン結晶に，𝜔𝜔0 と等しい角振動数を有する電磁波を適切に照射することで，光学モードの格子振動を励振できる．
「逆位相」と「電気分極」という言葉を用いて，光学モードの格子振動を励振できる物理的な理由を簡潔に述べよ．