山梨大学教職大学院

令和４年度

教育実践研究報告書

数学的な表現を育てる授業づくり

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 佐藤亮太

1.

本研究の目的決する際には、目的に応じて表、式、グラフを

筆者の中学時代、数学の問題を考えたり、答

適切に選択し的確に表現することが大切であえを導き出したりすることが面白く、数学が好る。
」と位置付けられ、表、式、グラフを意識しきだった。しかし、自分の考えを文章に表したた指導が重要視されている。

り、他人に説明したりすることに苦手意識をも（２）数学的な表現っていた。

数学的な表現は、表や式、グラフだけではな

令和４年度全国学力・学習状況調査において正答率の低かった問題は、大問７「日常的な事い。中原（1999）は算数・数学におけるさまざ
まな表現方法をその特性に着目し、次の 5 つに象の数学化と問題解決の方法」の「（２）関数、類型化した。

問題解決の方法を数学的に説明する」で 28.2%

・現実的表現…実世界の状況、実物、具体物なだった。このように、正答率が低かった問題のどによる表現共通点として、数学的な表現を用いて説明する

・操作的表現…学習具などに動的操作を施すこことに課題がある。現在の中学生においても、とによる表現説明する力が苦手であることが分かる。

・図的表現……絵、図、グラフなどによる表現

本研究の目的は、１次関数に焦点をあてて、・言語的表現…日本語、英語など日常言語を用

データの傾向を的確に捉え、判断の理由や根拠を数学的な表現を用いて説明することができいた表現
・記号的表現…数字、記号など数学的記号を用る授業実践を通して、有効性を検証することで

いた表現

ある。

このように、数学的な表現とは表、式、グラ
フだけでなく、言葉や操作なども含まれるもの2.

だと述べている。筆者は、１次関数の利用にお研究の内容（１）1 次関数についてける数学的な表現には、次のものがあると考え生徒は、第１学年で具体的な事象における二る。

つの数量の変化や対応を調べ、関数関係につい・図的表現……表、グラフて理解し、比例、反比例を関数として捉え直し

・言語的表現…１次関数、直線、一定、みなす、た。また、日常の事象の問題を解決するために、二つの数量の関係を表やグラフで表し、比例や変化の割合
・記号的表現…式（𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏）

反比例とみなして、考察している。

また、柗元(2009)は、「数学的な表現する力は、

第２学年の１次関数では、二つの数量 x、y の

単に、図、表、式、グラフ等の表現様式を学ぶ

変化や対応を調べる事を通して、１次関数につだけで身につくものではない。それらを探求のいて考察し、表現することができるようにする。
平成 29 年告示中学校学習指導要領解説数学編

道具として活用することができ、さらに、数学的な表現を使って自分の考えを相手に伝えよには、「１次関数の特徴を表、式、グラフで捉えうとしたり、数学的な表現で表された事柄を読るとともに、それらを相互に関連付けることで、み取るときに、実感を伴って自分のものにな

１次関数についての理解を深める。
」
「問題を解

る。
」というように述べており、数学的な表現を－ 194 －

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教育実践研究報告書手段の一つとした活動を取り入れた授業が大目では、グループでデータを調べさせる活動を切であると考える。

取り入れた。本時で必要なデータは、単に 2022

（３）授業実践の特徴

年７月 24 日 12 時の観測所の標高や気温を調① 課題の提示

べても、信頼度の高いデータは得られない。生本実践の１時間目は、「気温が 30℃以下の時、徒が気象に関した信用できるデータはどこを

保冷バッグに入れたペットボトル飲料を 10℃

調べたらいいのかを考え、気象庁のサイトにた

以下に保てる時間を予想しよう」である。このどり着けるようにしたい。

課題を提示する際、実際に保冷バッグに入れた④ １次関数とみなす

ペットボトルを見せ、触らせ、冷たいという実

前時までに、１次関数について一通り学習を感を得る。また、人間が冷たいと感じる温度がしてきた。本時の授業では、現実事象の問題を10℃であることを教える。これにより生徒が興表に表されたデータから変化の割合に着目し味を持ち、自分の部活動の経験などと照らし合たり、グラフに表したりして１次関数とみなしわせながら、意欲的に問題に取り組むことがでて解決をしていく。１次関数とみなすためには、きる。

データの特徴と１次関数の特徴が類似してい２時間目は、「2022 年 7 月 24 日の富士山のることに気づかなければならない。そのため、八合目周辺の気温が何度くらいかを予想しよ

復習において、１次関数は変化の割合が一定にう」である。本時では、山梨県内の 6 つの観測なり、グラフが直線になるということを板書し所の標高と気温をタブレットで調べさせ、問題ておき、授業を通して１次関数の特徴を確認で解決をしていく。その調べる日時として、2022

きるようにする。自力解決で手が止まっている

年７月 24 日 12 時に設定した。これは、この課

生徒がいれば、板書とグラフを見比べるように題を提示する際、2009 年７月 24 日に凍死で男する。

性が亡くなった事件を取り上げるため、つながりを持たせた。これにより、富士登山をしたこ3.

とがある生徒や、これから富士登山をしたい生（１）授業について

授業の実践
令和４年 10 月６日、11 月 16 日に、山梨県

徒の身近な出来事であり、生徒が自分事として問題に取り組むことができる。

内の公立小学校において、研究授業を２時間行② グループワーク
本時では、数学的な表現を用いて説明する力

った。対象は第２学年で、１時間目は 22 人、
２時間目は 16 人である。

を養うためにグループワークを取り入れた。グ

生徒は、すでに１次関数を学習し、それを利ループ編成については、実習担当と相談をし、用した授業を行う。

グループごとに学力差が開きすぎず、話し合いが活発になるように編成した。グループワーク（２）１時間目の授業

前に、「根拠：考えの元になる資料や証拠」
、
「理

① ねらい

由：自分の考え、推論」を説明し、根拠と理由

冷たいペットボトル飲料が 10℃になる時間を明確にして生徒が説明できるようにする。

を、１次関数を利用して問題を解決し、説明す③ データについてることができる。

本実践では、限られたデータから問題を解決② 授業の実際していく。現在の社会で必要となる力は、情報

ア.１次関数の復習を自分で収集し、整理し、分析し、考察する力である。そのため、生徒に一方的に教師がデー

最初に次のことについて、生徒に発問しながら復習を行った。１次関数の式は𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏、タを提示せず、解決するためにはどんな情報が必要であるか考えさせる時間を設ける。２時間（𝑦の増加量）変化の割合 a が

－ 195 －

（𝑥の増加量）と求められ一定、

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１次関数のグラフは直線で切片を通る。

の際、次のようにグループで説明するときの例

イ.問題把握文を提示した。

保冷バッグの中からペットボトルを取り出

根拠：考えの元になる資料や証拠し、冷たいことを確認する。そして次のように問うた。
「冷蔵庫からペットボトルを取り出して、保冷バッグに入れて持ってきました。じゃあ、どれぐらいの間、その 10℃以下に保てると思いますか。
」
生徒の予想は、1 時間、2 時間、2 時間半、6 時
間など、様々であった。

理由：自分の考え、推論「私は、この表から、こんな風なことが読み取れました。そこから、こうこうこういう風に考えられたので、結果、10℃以下に保てる時間は何分になりました。
」
自力解決が途中の生徒には、どこまでやったか、何が分からなかったかを話し合うようにした。
8 分間グループワークを行った。

ウ.データの提示

キ.全体検討問題を提示後、次のように問うた。
「予想するためにはどんな情報が必要ですか。」
周りと話し合わせ発表させた。生徒から、「1℃上がるのに何分必要か」、「保冷バッグに入れた時間」、「ペットボトルの最初の温度」という意見があった。その後、データを提示した。

グループワーク中に 2 名の生徒の考えをタブレットで撮影し、Jam board に貼り付けた。
モニターに教師のタブレットを映し、見づらい
生徒は自分のタブレットから見た。
１人目の生徒 S（I.A）の考えは下の写真で、次のように発表していた。

表１ 問題のデータ

図１ 生徒 S（I.A）の考え
エ.見通しを持たせる
データを提示した後、次のように問うた。

S（I.A）：私は、10 分毎、10 分で上がる温度

T30：このデータ、どういう表され方をしての平均が 0.6 になるので、7.6 に 0.6 を足しますか。

ていったら、10℃になるのが 100 分なので、

S29：10 分毎に上がる温度

100 分だと思いました。
T39：ありがとう。まず、S（I.A）さんは 10

T31：そうですね。じゃあ、今度はこのデー
タをもっとわかりやすくする方法はありますか。

分毎に上がる温度に着目しました。この 10

S30：グラフすか。

T32：おお、グラフ。このデータをグラフに

S34：変化の割合、比例表してみたら、何かわかりそうですね。

T40：変化の割合だね。なぜ、S（I.A）さん

分毎に上がる温度ってなんて言い換えれまは変化の割合の平均をとったんですか。
S35：大体同じ、一定

オ.自力解決ワークシートを配布し、今から求めるものが、

T41：そう、大体同じ、一定とみなしたから水が 10℃以下に保てる時間、10℃になる時間平均をとったんだね。この変化の割合が１っであることを確認し、8 分間自力解決を行った。

ていということは、時間と温度はどんな関係

カ.グループワークですか。
S36：１次関数、比例

自力解決後、担任の先生と事前に決めていたグループに移動させた。その後、次のように黒T42：そうですね。１次関数とみなして考え板に提示し、根拠と理由について説明した。そてますね。

－ 196 －

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この生徒は表から、10 分毎の上がる温度を教育実践研究報告書③ 生徒の考え一定とみなし、平均 0.6℃を求めた。60 分と生徒の考えは以下の表のようになった。

7.6℃にそれぞれ 10 分、0.6℃を足していくと、

表２ １時間目の生徒の考え

10℃の時が 100 分であると答えた。

グラフに直線を引く

17 人

グラフに点のみ

2人

グラフが直線以外

2人

表を用いた

8人

式をかいた

8人

2 人目の生徒 S（W.Y）は、下のような写真で、次のように発表していた。

表を使った生徒は、全員グラフでも考えていた。直線以外になった生徒が 2 人で、1 人は点と点を結び折れ線になっていた。もう 1 人の生
徒 S（H.K）は、下の写真のように点と点を結び、20 分の点と原点を結んでいた。

図２ 生徒 S（W.Y）の考え
S（W/Y）：私は、グラフに点を打って、直線を引きました。そこから、10℃のところを読んで、答えが 100 です。
T44：ありがとう。S（W.Y）さんはデータか
らグラフに点を打った後どうしましたか。
図３ 生徒 S（H.K）の考え

S39：直線を引いた。
T45：そうですね。なぜ、直線を引いたんでまた、式を記入している生徒の内、1 人が𝑦 =すか。
S40：１列、まっすぐ並んでるから

0.06𝑥 + 4と求め、7 人は𝑦 = 0.6𝑥 + 4と求めて

T46：そうだね。点を打ったらまっすぐ並んでるから直線を引いたんだね。どいうこといた。

は、このグラフから、どんなことがわかりま（３）２時間目の授業

すか。

① ねらい

S41：1 次関数

問題解決に必要なデータを収集し、標高と気T47：そうだね。１次関数とみなすことがで温の関係を１次関数とみなして考え、問題を解きるから直線を引いたんだね。そして、10℃決する方法を説明できる。

のところをみると 100 分だから答えが 100② 授業の実際
ア.前時の復習分になりました。

前時で、水の温度と時間が、表の変化の割合

ク.まとめ
学習感想をかかせた。その後、次のようにまが一定であることや、グラフが直線になることとめた。

から１次関数とみなして考えたことを振り返「温度は時間の 1 次関数とみなして考えるこった。

とで予想できた。
」

イ.問題把握2009 年 7 月 24 日の富士山で行方不明にな－ 197 －

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教育実践研究報告書った男性が遺体で発見された事件を話し、亡くS（S.R）：観測所の標高と気温を全部グラフ

なった原因について話し合わせ、問題を提示しに表して、八合目の標高が 3.1km だから、た。

3.1km のグラフを見て、12.5℃だったので

T11：凍え死に、凍死って出てきたんだけど、12.5℃です。

夏だよね。

T40：ありがとう。S（S.R）さんは、グラフ

S10：高いから寒いに線を引いてたんだけど、なんで線引けたと

T12：寒いんだ。てことは、気温って何に関思いますか。

係してそうですか。

S33：点を打ったから。

S11：高さ、標高

T41：点を打って、その点がどう並んでるか

T13：それでは今日はこんな問題を考えていら引けたのかな。

きましょう。

S34：比例、同じように並ぶ問題：「2022 年 7 月 24 日の富士山の八合目

T42：そうだね。グラフを見た時、点が大体

周辺の気温が何度くらいかを予想しよう。
」

まっすぐに並んでるから、直線を引いて、標ウ.データ調べ、自力解決

高 3.1km のところを読むと、僕のグラフだと 13℃になりました。このグラフみたいに問題を提示後、次のように問うた。
「予想するためにどんな情報が必要ですか。
」

直線を引いたってことは何とみなしてます

すると、「高さと気温の比例のグラフ」
、
「一合目

か。

に合目の気温」、「百葉箱で調べた八合目の気S35：１次関数

温」、「その場所の去年の気温」、「七合目と九合
目の気温」という意見が出た。その後、ワーク

T43：そうですね。１次関数とみなすことでシートを配布し、グループで 6 か所の観測所のオ.まとめ

八合目の気温を予想することができました。
現実事象に立ち戻りながら、次のように発問

標高と気温のデータを収集させた。データが調べ終えたグループから自力解決するよう指示してまとめをした。

した。生徒のデータ調べが捗っていなかったた

T45：今日は何と何の関係について考えましめ、生徒に手を止めさせ、教師がモニターで気たか。

象庁のサイトのデータの集め方を説明した。

S36：標高と気温

エ.全体共有生徒の考えをタブレットで撮影し、Jam

T46：標高と気温はどんな関係でしたか。
S37：１次関数

board に張り付けた。モニターに教師のタブレ

T47：そうですね。１次関数とみなして考えットを映し、見づらい生徒は自分のタブレットることができました。

から見た。発表する前に、根拠と理由を意識するよう促した。取り上げた生徒 S（S.R）の考え「気温は標高の１次関数であるとみなしては下の写真で、次のように発表した。

T48：甲府は何度でしたか。

考え、予想できた。
」
S38：32.2℃
T49：八合目は何度ですか
S39：13℃
T50：てことは 20℃くらいの気温差があるね。もしみんなが富士山に登ろうと思った
ら、目標の標高と甲府の気温を調べれば予想できそうですね。
学習感想を書かせ終了した。

図４ 生徒 S（S.R）の考え－ 198 －

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令和４年度③ 生徒の考え

教育実践研究報告書

・言語的表現…１次関数、直線、一定、みなす、生徒の考えは以下のようになった。

変化の割合

表３ ２時間目の生徒の考え

・記号的表現…式（𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏）
、平均値等グラフに直線を引く

7人

S（I.A）は、表を用いて「私は、10 分毎、10グラフに点のみ

2人分で上がる温度の平均が 0.6 になるので、7.6グラフの点を結ぶ

10 人に 0.6 を足していったら、10℃になるのが 100分なので、100 分だと思いました。」と発表し分析と考察た。S（W.Y）は、「私は、グラフに点を打って、（１）１時間目

直線を引きました。そこから、10℃のところを① 復習について読んで、答えが 100 です。
」と発表した。

4.

授業の始めに１次関数の表、式、グラフにつS（I.A）は、10 分毎に上がる温度（変化の割いて復習をした。その際、表は変化の割合が一合）という言語的表現を用いて説明できていた。

定、グラフは直線になるという 1 次関数の特徴

また、２人とも根拠（グラフや表などの図的表に焦点を当てて板書した。そのため、問題解決

現）と理由を明確に説明していた。しかし、発で、表から水の 10 分毎の上昇温度を一定とみ

表や机間巡視で「１次関数」や「みなす」といたり、グラフに打った点の並びから直線を引いう言葉を使って、なぜ直線を引いたのか、なぜたりする生徒が多かった。

変化の割合の平均をとったのかという、より具② 課題の提示

体的な説明をしている生徒は見られなかった。

1 時間目は保冷バッグに入れた水の温度が全体検討で、なぜ直線を引いたり、平均をとっ

10℃に達する時間を求める問題であった。生徒たりしたのかを聞いていくと、生徒は１次関数

が夏の部活動で体験したことのある問題であとみなして考えていることに気づいた。このこり、実際に保冷バッグに入れたペットボトルをとから、生徒は、図的表現や記号的表現などの提示し触らせたことで、生徒は意欲的に問題を考えていた。しかし、問題を解決してから現実既習を用いて問題を解決することができる。しの事象に戻り、「どうしたらもっと長く 10℃以ことが困難であると考えられる。また、本実践

下に保てるか」や「冬に暖かい飲み物の場合」

では説明をさせる際、自分の頭で説明を組み立などについて考えることで、より生徒が今回の学習を身近に感じさせるようにする必要があてて行ったことにより、自分の根拠と理由が整理できなかったことも要因の一つであると考った。

える。そのため、ワークシートに、根拠と理由③ データの傾向を捉え１次関数とみなすを書く欄を設けることで、生徒が整理をして説かし、それらを、言語的表現を用いて説明する

１時間目では、グラフに直線を引けた生徒が明しやすくなる。また、生徒の説明を、教師が22 中 17 人だった。机間巡視や発表の際に、「1

みとることができ、より細かい分析が行えると次関数」という言葉を用いている生徒は見られ考える。

なかった。１次関数とみなしたから直線を引いたのではなく、無意識に直線を引いていると考えらえる。そのため、全体検討では、１次関数（２）２時間目① 復習について
2 時間目の復習では、１時間目の内容を口頭とみなして問題を解決したことに気づかせる
よう意識して行った。

のみで復習したため、１時間目よりも１次関数④ 数学的な表現を用いて説明するとみなす生徒が少なくなった。そのため、授業のポイントとなる復習は板書に残す必要があ

本時で考えられる数学的な表現は、次のもの
がある。

った。

・図的表現……表、グラフ② 課題の提示－ 199 －

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令和４年度

教育実践研究報告書

山梨の観測所の標高と気温から八合目（標高トを調べることが良いか話し合い、調べ方を3.1km）の気温を求める問題であった。過去の共有してから、活動を始める必要があった。

凍死で男性が亡くなった事件を取り上げるこ⑤ 数学的な表現を用いて説明するとで、生徒が自分事として問題に取り組むこと本時で考えられる表現は１時間目と同じでができた。

ある。S（S.R）は、「観測所の標高と気温を全③ データの傾向を捉え１次関数とみなす

部グラフに表して、八合目の標高が 3.1km だ

グラフに直線を引けた生徒が 19 人中 7 人と、から、3.1km のグラフを見て、12.5℃だったの

１時間目と比べて少なかった。多くの生徒のグで 12.5℃です。
」と発表した。この生徒は、グラフが点のみや折れ線になっていた。原因としラフを用いて考え説明した。この生徒の発表かて下のグラフより、2 時間目は実際のデータをら、１時間目と同様に、図的表現や記号的表現用いて行ったため１時間目よりもデータのバなどの既習を用いて問題を解決することがでラつきが大きかった。

きるが、それらを言語的表現を用いて説明することが困難であると考えられる。
5.

成果と課題

（１）成果
本研究の成果を以下に示す。
① 復習で１次関数の特徴を確認すること

図５ 用いたデータの比較で、１次関数とみなすことができた。

また、標高約 1km と約 3.7km と点が大きく② 根拠と理由を明確にして説明する活動離れていたことから、直線を引くことができな

を通して生徒の理解が深まった。

かったと考えられる。そのため、データを吟味
し、バラつきができる限り少ない日時を指定する必要があった。

①について、本実践では、授業の始めに１次関数の特徴（グラフが直線、変化の割合が一定など）を復習しながら板書にまとめた。それに④ データ調べ

より、生徒が問題のグラフの点の並びや表の変問題解決に必要なデータを一方的に教師か化の割合に着目し、１次関数の特徴と似ている

ら提示するのではなく、生徒がグループで協事を感じ取り、グラフに直線を引いたり、変化力しながら情報を収集して、問題を解決するの割合の平均をとったりして考えていた。それために、データをタブレットで調べる活動をにより、下記の学習感想から、生徒は 1 次関数

12 分間行う予定だった。開始後、多くの生徒とみなして考えたことを読み取れる。

が「2022 年 7 月 24 日 12 時」や「甲府 標・表やデータを活用して、増加量などをある高」と検索していた。そのため、残り 8 分に気象庁のサイトにあること、その 3 分後にテレビで調べ方を詳細に説明した。しかし、生程度決め、一次関数とみなすことで、式を徒は自分の作業に集中して、話を聞く態勢に・時間と温度は１次関数の関係である。表だ

なっていなかった。また、グループで分担をけでなく、グラフでもいろいろなことが読せず、個人で調べて表を埋めていた。結果、み取れる。

データ調べと自力解決の時間が合計 23 分かか②について、本実践では、グループワークやってしまった。今回のデータは、気象庁のサ発表前に、根拠と理由を解説し、これらを明確

イトで何回か操作をしなければたどり着くこにしながら説明するよう指導した。これによりとができない。そのため、調べ学習を 0 から

生徒は、何をもとにして、どう考えたかなどを生徒にさせるのではなく、全体でどんなサイ

明確に説明していた。以下の学習感想から、説出したり、グラフを引けたりした。

明し合うことで生徒の理解が深まっているこ－ 200 －

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令和４年度

教育実践研究報告書とが見取れた。

を聞くことができず、最終的には、計 23 分の（1 時間目）

時間がかかってしまった。短時間で生徒にデー

・小さい班で、自分の根拠や理由、わかんな

タを調べさせることは難しいことである。そのいところを教え合って、みんなに共有できため、活動を始める前に、全体でどんなサイト

た。

を調べることが良いか話し合い、調べ方を共有してから、活動を始める必要がある。生徒の・最初わかんなかったことが、他の人の意見

ICT 活用能力にあった活動を考えていく。

などを聞いて、理解したとき、こんなに簡単で分かりやすかった。自分と違う意見や6.

考え方を知ることができて視野を広げる

本研究の結論
本研究の目的は、「１次関数に焦点をあてて。
、

ことができた。
（2 時間目）データの傾向を的確に捉え、判断の理由や根拠・結構難しかったけど友達の意見をみて理を数学的な表現を用いて説明することができる授業を構想し施行し、有効性を検証する」こ

解することができた。

とであった。
筆者の授業実践を通して、１次関数とみなせ（２）課題
本研究の課題を以下に示す。

たり、根拠と理由を明確にして説明しあうこと① データの吟味を行う。

で理解が深まったりした。しかし、データによ② ワークシートの構成を工夫する必要がって１次関数とみなすことができないことや、生徒が言語的表現を用いて説明できていない、あった。
③ 生徒が自力で行える活動を把握する。

生徒が自力で行える活動が把握できていない①について、１時間目よりも２時間目の方がという課題が明らかになった。

１次関数とみなせる生徒が少なかった。原因と今後の課題は、１次関数に限らず、生徒が言して、図 4-1 から、データのバラつきだと考え語的表現を用いて説明することができる力をられる。そのため、１日の天気や季節なども考育成する研究を進めることである。

慮し、データのバラつきが少ない日時を提示す
参考・引用文献る必要があった。
②について、本実践では、生徒が自力解決を行った後、すぐにグループになり、説明し合う

・気象庁「過去の気象データ検索」,気象庁｜過去の気象データ検索 (jma.go.jp),（参照日 2022

活動を行った。そのため、生徒は自分の頭で説明を組み立てて行い、自分の根拠と理由を整理

年 11 月 29 日）

し、より具体的に言語的表現を用いて説明する

数の新しい学習づくり』東洋館出版ことができなかったと考えられる。そのため、・藤井斉亮、真島秀行(2021)『新しい数学 2』

自力解決後、説明をするために根拠と理由を整

東京書籍理する時間をとり、自分の考えを客観的に見つ・柗元新一郎(2009)『中学校数学科「数学的なめ直す必要がある。ワークシートに根拠と理由

表現力」を育成する授業モデル』明治図書出版を書く欄を設け、それを見ながら説明、発表で・文部科学省(2018)『中学校学習指導要領（平きるようにする。

成 29 年告示）解説―数学編―』日本文教出版

・中原忠男(1999)『構成的アプローチによる算③について、本実践の２時間目では、データ

・文部科学省『令和３年度 全国学力・学習状

をグループで調べる活動を行った。最初は何も況調査 報告書【中学校/数学】』国立教育政策研究室

ヒントを与えず活動を始め、段階を重ねて調べ方を指導した。しかし、調べ方を指導している
際、生徒は自分の作業に夢中になって教師の話－ 201 －