工場の位置と配達区域
柳井 浩
Il川l……l…ll………l…‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖＝‖‖州l……………………………………ll……‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖‖＝‖‖‖‖‖＝‖‖＝‖‖＝‖＝‖………………………‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖＝‖‖‖……………l工場Aからの費用が少ない点の集まりをある会社が，2地点A，Bに工場を持っている．ど工場Aの配達区域

ちらの工場にも同じ製品を作る設備があり，そこで工場Bからの費用が少ない点の集まりを作った製品を直接消費地に配達している．

工場Bの配達区域

Xとすればよい．したがって，この2つの区域の境界では
γA（Ⅹ）＝γB（Ⅹ）

すなわち，CA十q・d（A，Ⅹ）＝CB＋q・d（B，Ⅹ）となる．この式を整理すればd（B，Ⅹ）一d（A，Ⅹ）＝（CA−CB）

すなわち，2つの工場への距離の差が
図1
S ＝製品の製造コストは，工場によって異なり，（CA−CB）
q

工場AではCA／トンという一定値になる点の集まりが境界線ということに工場BではCB／トンなる．このSという値を距離差と呼ぶことにしよう．
2点からの距離の差が一定の点の軌跡を画くことはである．輸送費は距離に比例し，単位距離あたりq円／トン

そう難しくはない．囲み記事1のように定規とコンパスを用いてもよいし，囲み記事2のように簡単な器具であり，この会社の負担である．
したがって，点Ⅹにある消費地に製品を運ぶ費用は，を作ってもよい．無論，計算機を用いてもよい．こう工場Aからならば，してできる曲線が2点を焦点とする双曲線と呼ばれることは，多くの諸君がご存知のことと思う．つまり，γA（Ⅹ）＝Cチ＋ヴ・d（A，Ⅹ）

配達範囲の境界線は，2つの工場を焦点とする双曲線

工場Bからならば，γB（Ⅹ）＝CI主＋q・d（B，Ⅹ）になる．

ところで，製造コストのCAやCBは変化することがである．ここに，d（A，X）はAからⅩへの距離を，d（B，Ⅹ）はBからⅩへの距離を表わす．また，価格は地ある．工場の立地条件によって，それぞれの価格の変域によらない均一価格である．

動もあろう．また，工場はそれぞれの立場で，技術のところで，ある点Ⅹに製品を供給するときに，どちらの工場から運べば費用がかからないのかはγA（Ⅹ）とγB（Ⅹ）の大ノトを比較すればよい．すなわち，改善，つまー），製造コストを減らす努力を競っているから，CA−CBの値も月日とともに変わってゆくだろう．
輸送単価のqの方も，いつまでも一定というわけではない．ガソリンの値段だって始終変わるし，道路のやない ひろし 慶応義塾大学理工学部 管理工学科

混雑がひどくなれば，それだけ時間が余計にかかるよ〒223横浜市港北区日吉3−14−1

うになり，コストにも響いてくる．

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オペレーションズ・リサーチ

このようなことを考え，変化に迅速に対応できるよがったものを地図の上に重ねる．（重ねた上で，再びコうにするには，いろいろな値の距離5＝（CA−C。）／

ピーすれば関係者に配ったりすることもできる．）図qに対応する双曲線をいくつも作図しておくとよい．

3は架空の地方の地図に，架空の2工場A，Bを焦点地図の上に，直接このような曲線を多数画くのが面倒とする双曲線を重ねたもので，太く画かれた曲線を上ならば，次のような方法を使えば楽である．図2に示記のような「理論」によって作られた「最適」な境界したものは，上のような曲線のいくつかを，計算機を線とするものである．

使って画いたものである．これを複写機でOHPの透

ところで，このような図を画いても，「理屈はそうか

明フイルムにコピーする．このとき，図の2点Aおよも知れないけれど，現実は違う＊）．」という人たちもいびB間の長さが，2工場A，Bの地図上の長さに【一致るだろう．長いあいだの習慣もある．輸送費だって，するように拡大・縮小の調整をする．こうしてでき上直線距離に比例するとは限らない＝）．個々の消費地についてみれば，道路事情のよい所も悪い所もある．製造設備の大きさの問題もある．だから，「こんな曲線を画いたって，そのとおりに実行するわけにはゆかない」という主張もあろう．これらには，それなー）に尤もな点もあろう．
しかし，それでもこのような図が無意味だというわけではない．次に述べるように，いろいろな活用の方法がある．まず，どちらの工場から配達されているのかを各消費地について書き込んだ地図一…一現行の配達区域図を作り，これに，上の双曲線図を重ねて見る．
1．「理論」で計算した「最適な」境界線と現行のもの

双曲線の描き方 1 コンパスと定規を三角形CXAがCAを底辺とする2等辺三角形でな使って，2点AおよびBを焦点，5を距離ければならない．

差とする双曲線上の点の1つを見つけるには次のようにすればよい．

CAを底辺とする2等辺三角形をつくるには，CAの中点Mに垂線を立てこれが2点B，Cを通る直まず，点Bを中心に半径5の円を画き，この円周上に1点Cをとる．そして，直線BCが境界線とどこで交わるのかを考えてみよう．

線と交わる点を求めてこれを頂点とすればよい．これを点Dと呼ぶことにしよう．

さらに，境界線全体を求めるには，点Cを動かし，BCの延長線上に1点Ⅹをとるとき，Bからの距境界線上の点Dを数多く求めてこれをつなげばよい．

離はd（B，X）＝BC＋CX＝S＋CXとなるから，d（B，Ⅹ）−d（A，Ⅹ）＝Sとなるためには，S＋子音一d（B，X）＝S
すなわち，d（B，Ⅹ）＝百官とならなければならない．言いかえれば，

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（35）1Tl最適な 境界で置き換えたときの利益・不利益を考える．

0利益については，過年度の配達量を調べ，もし「最適な」境界に従って配達していれば，どれだけ利益が多くなっていたはずかを計算してみる．

0「理論」どおりに配達できない理由が生産設備の大きさにあるのならば，設備投資をしてこれを変えることが利益につながるのかどうかを考える．

0不利益については，不慣れな所へ配達することによって生ずるトラブルや，それを避けるためにどのような措置が必要かを調べる．
3．現行の境界が，ほぼ双曲線に沿っているが，いくつかの例外がある場合：がほぼ一致している場合：

一一−一一一個々の例外について，￣その理由を調べ，変更すべ−…一一
こんなことは滅多にないだろう．あれば，むしろきか否かを考える．

気味が悪い．どこかに計算間違いでもあるのではな

4．現行の配達区域が入り乱れており，双曲線等は比いかと心配になる．しかし，本当に合っているのなら，較の対象にならない場合：「理論」もまんぎら捨てたものでもないということに−−‥−−どのような経緯で配達区域が定まったのか？そなる．

れについては，どのような考えがあったのか？コスト

2．「理論」で計算した 最適な境界線と現行のものはピッタリと一致しているわけではないが，現行の境と輸送費を考えること自体に不合理な点がないか？
これらを検討する．

これ以外にもいろいろな方法があるだろう．まとめ

界が双曲線の1つに沿って走っている場合：−…‥（a）距離差S＝（CA−CB）／ヴの値を再検討するて言えば，「理論」と「現行」を比較して，問題点を浮必要がある．

かび上がらせる手かがかりを得ようということである．

（b）（a）に問題がなければ，現行の境界を 理論的に

2現実のありさまを前にするとき，これに「理論」を重双曲線の描き方 2 双曲線を画くには，の位置にピンを立て，ここに，上に説明した道具の細長い板切れと紐や輪ゴムなど，ありふれ紐a，bの端のリングを引っかける．板の端のⅤ字た材料で作られる，次のような，ごく簡単にエンピツをあてがって，紐がピンと弓長られたままの状態（輪ゴムの弾力が，紐を常にピンと張るのをな道具を用いることもできる．

図に示すように，長さの差がSであるような2本助けてくれる．）で板側に引っ張れば，求める曲線のの紐a，bの各一端にリング（ワッシャーあるいは片側が画かれる．エンピツの先と2点A，Bとの距ラグという金具を利用する．）を取り付け，細長い板艶の差が常にSという一定値に保たれるのは明らかの端に入れたⅤ字型の切り込みすれすれに取り付けであろう．残る側も同様にして画くことができる．

られたリング（金具店でヒートンとして売っているものでもよいし，小さな金属製のパイプを貼り付けてもよい．）を通す．紐a，bの他の端をまとめて輪ゴムに結び，さらに輪ゴムを板の他の端に打ちつけた釘に引っかける．これで道具はでき上がりである．

次に地図を製図板の上に拡げ，A，B2工場
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ねて，頭の中で 2重写し にして理解を深めたり，をせまられている．A，Bにはそれぞれ魚市場があり，改善の糸口をさがし，役に立てようというのがオペ

そこにおける魚の価格は無線で知ることができる．一リサーチの方法である．

レーションズ・方，航行に要する費用と船上における冷凍の費用はど

課題1．上の問題で工場が3ヵ所ならば，どのようなちらも距離に比例する．A，Bそれぞれに向かうべき取り扱いが必要になるだろうか？

点の範囲を定めよ．

課題2．ここであげたものと同様の仕組みをもつ例題− 一 一・− − − 一 一 − 一 一一 一一 一− − − − − − −・一− − 一 一− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 一 − − − − − − −・一 −を列挙してご覧なさい。

＊）この例題は，ある企業における実際のオペレーショグループを作り，空想をたくましくして「しりとり」

ンズ・

風に次々と問題を提出してみるとよい。

である．

例1：2つの学校を「交通費・と授業料」で比較する．

＊＊）筑波大学の腰塚武志教授は，地図の上ででたら

例2：2つの床屋を「行くのに要する時間と待ち時めに2点をとり，その直線距離をタテ軸に，道路に沿っ間＋散髪時間」で比較する．

●

リサーチの仕事を高校生むけに再構成したものての最短距推をタテ軸とするグラフに打点することを

例3：N君の家から目的地へ行くのに2つの経路が多数回線り返し，これらがほぼ直線上に並ぶことを確ある．A駅から電車に乗るものと，B駅から電車に乗かめている．したがって，特別な場合を除けば，実際るものである．A駅は家から遠いが，急行が止まる．の走行距離が直線距離にある定数を乗じたものである

B駅は近いが，急行が止まらず，駅で電車が来るのをとしても，それほど不自然ではない．

待つ時間も，目的地まで電車に乗っている時間も長い．
A駅から乗るべきか？ B駅から乗るべきか？ N君の家の付近では各駅へ行くべき範囲はどのように仕切られるか？

例4：魚を大量に積んだ漁船が，海上の点Ⅹにいて，2つの漁港A，Bのいずれへ行って魚を売ろうか判断

双曲線の数式による表現 2点A（0，／），3（＊）式と（＊＊）式を加えて2で割ればB（0，−／）からの距離の差、− t・■ニーニ

5＝2色，となるから，さらにこれを2乗して整理すれば，が一定な点の軌跡としての双曲線の数式をみちびいγ2 ズ2ておこう．

且2 ／2−￡2

距離の差が一定という関係はすなわち双曲線の方程式である．

∬2＋げ−プ）2−ノ柵）2＝2且とかける．簡単のため，ここでは

何＝ノ輌平、∴ 、・、・∴ノ・．、、・・と書くことにすれば，上式はA（0，f）

何−ノて寺丁＝2￡（＊）となる．

この式の両辺に〈何−∨何〉を乗じて整理す
れば，

好γ＝2g（何＋ノて了丁〉
すなわち，〈何−Jて打）＝二塑且（＊＊）

B（0，−f）という関係が得られる．

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1996年3 月号（37）1丁3