水の流れ

熱：高温源
熱力学
thermodynamics

力学mechanics

位置エネルギー↓
運動エネルギー

仕事

熱：低温源
1

エネルギー保存→？？？

力学• 高校の物理基礎の復習

2

運動の第一法則「すべての物体は、外部から力を加えられない限り、静止している物体は静止状態を続け、運動している物体は等速直線運動を続ける」

運動の第二法則
物体の運動状態の時間変化を、物体に作用する力と関係付ける法則

質量m

力F

加速度a

F = maNewtonの運動方程式

運動の第三法則
一方が受ける力と他方が受ける力は向きが反対で大きさが等しい
・作用・反作用の法則☞

F = ma に関して(*)
この式の等号を，通常の式の等号と考え，右辺と左辺が等しいと単純に理解してはいけない。質量mをもつ物体に力Fが加えられたならば，その結果として加速度aが生じるという因果関係（原因と結果）をあらわしているのである。…こういうことをわざわざいうのも，両辺を単純に等しいとみて，力Fのほかにも今ひとつの力maがあるかのような誤解をしている学生をときどき見かけるからである。
＊新・物理入門（増補改訂版）

山本義隆

駿台文庫

F = ma に関して(*)
運動方程式や作用・反作用の法則は何からも導かれない式であり，その意味で力学の出発点としての原理の位置をしめる。それでは原理の正しさは何によって保証されているのかといえば，それは，そこから導き出される諸法則が経験的・実験的事実をよく説明するということによってである。

＊新・物理入門（増補改訂版）

山本義隆

駿台文庫

単位（SI単位系以外使わないこと）• m: 質量 [kg]• l: 距離[m]• t: 時間[s]• v :速度[m s ] 微分量として定義します• a: 加速度[m s ] 微分量として定義します• F: 力[N]=[kg m s ] Newtonの法則-1-2-2

Apollo 15 astronaut Dave Scott drops a hammer and a feather on the moon to demonstrate gravity.

物体の運動（力学）と微分積分
x(t) : 物体が時間t[s]の時にいる位置 [m]x(t)x(t+Δt)

位置x(t + t) x(t)
移動距離 / 時間 = (t + t) t
割る

速度：v(t) = limt 0[m s-1]x(t +t)
tx(t)

dx(t)
=
dt

Δt: 微少時間
例えば，0.01 s
dt: 無限小時間
両者を混同しても事実上問題ない位置x(t)x(t+Δt)等速度運動なら速度は定数x(t)v(t)

tt微分・積分と物理化学
切っても切れない仲
今さら公式憶える？
いいえ，定義から導きましょう！！

...
物理化学で最も脅威を憶える点は，習ったことがないか，たとえ習ったとしても忘れてしまっている数学を遠慮なく使うことであろう。
...
物理化学の講義を何年もした経験から，物理化学のトピックを提示する前にそこで使う数学を復習するのが役に立つことが解った。

マッカリー・サイモン

物理化学序微分df (x)f (x + dx)
f (x) == limdx 0dxx + dxf (x + dx) f (x)= lim
dx 0dx⇥例：f(x) = A, f(x) = ax, f(x) = ax2

f (x)
x

f(x+dx)f(x+dx) - f(x)
f(x)

dx
x

f (x) =⇥=x+dx

df (x)f (x + dx)= lim
dx 0dxx + dxf (x + dx) f (x)limdx 0dxf (x)x

f (x + dx)
f (x) = limdx 0dxf (x)えいやっとをlimはずす

f (x + dx)

f (x) + f (x)dx
傾き×距離

この関係は今後よく使いますf(x+dx)
f (x)

f(x)
xdx
x+dx

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい

f (x) = x
f (x + dx)

f (x) = (x + dx)

x = dxdf (x)f (x + dx)= f (x) = lim
dx 0
dxdx

f (x)

=1

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい
f (x) = x
f (x + dx)

2f (x) = (x + dx)

2

x = 2xdx + (dx)22df (x)f (x + dx) f (x)= f (x) = limdx 0dxdx
2xdx + (dx)2= lim= lim (2x + dx)
dx 0dx 0dx= 2x

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい

f (x) = x3
f (x + dx)

f (x) = (x + dx)

3

x = 3x dx + 3x(dx) + (dx)32df (x)f (x + dx)= f (x) = lim
dx 0
dx
dx
2
= 3x

2f (x)

dx, (dx)2 の項はゼロになる

3

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい
f (x) = xn
f (x + dx)

f (x) = (x + dx)nxn = n C1 xn 1 dx + n C2 xn 2 (dx)2 + ...

= nxn 1 dx + ...
df (x)f (x + dx)= f (x) = limdx 0dx
dx

f (x)

= nx

n 1(x + dx)n = (x + dx)(x + dx)(x + dx)....(x + dx)

n項のかけ算からdxを０項だけ選ぶ方法:

1通りn項のかけ算からdxを１つだけを選ぶ方法:

n通りn項のかけ算からdxを２つだけ選ぶ方法: nC2通り

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい1
1f (x) = = xx

1
1x (x + dx)
f (x) = lim/dx =/dx
dx 0 x + dx
x(x + dx)x1
1= lim=dx 0 (x + dx)xx2

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい

12f (x) = 2 = xx

11x2 (x + dx)2f (x) = lim/dx=/dx
dx 0 (x + dx)2x2(x + dx)2 x22x dx
2
3
= lim
==2xdx 0 (x + dx)2 x2
x3

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい

1f (x) = x = nxn
n11x(x + dx)
f (x) ==(x + dx)nxn
(x + dx)n xn
n 1nx
dx + ...
=(x + dx)n xnn

f (x + dx)

f (x) =n 1 2nnx

=nxn 1

練習問題：微分の定義からdf(x)/dxを求めなさい
f (x) = xn/m
md[f(x)]
mnn 1[f (x)] = x ,= nxdxd[f (x)]m[f (x + dx)]m [f (x)]m= lim
dx 0dxdx[f (x) + f (x)dx]m [f (x)]mlim
dx 0dxm[f (x)]m 1 f (x)dx + ...
m 1
= lim
= m[f (x)]f (x)dx 0dxm[f (x)]m 1 f (x) = nxn 1nxn 1
n xn 1n n 1 n+(n/m)
f (x) === x(m1)(n/m)
n(n/m)
mxmx
mn (n/m) 1f (x) = xm練習問題：次のf(x)のdf(x)/dxを求めなさい

f (x) =x,f (x) =x3 ,f (x) =

3x2 ,

1 1/2
1 1f (x) = x , f (x) = x
=22 x
3 1/2
33/2f (x) = x , f (x) = x=x2
22 1/3
2 12/3f (x) = x , f (x) = x= 333 x
1/2

f (x) = x

2f (x) =2x,x31, x0, x ,
2, 0,x,

2x , ...

x , 2x, ...
0

あれれ，微分して1/xになるのはどこへ？？

積分x2f (x)dxx1f(x)x1x2x積分x2f (x)dxx1

この場合は積分は負の量になる！
x1f(x)x2xA(x2 -x1)
f (x) = Ax2
x1

x1x2x2
Adx = [Ax]x1 = A(x2x1 )f (x) = Ax + B

x1 ⇤ xx2⇥x2

1 2(Ax + B)dx =Ax + Bx
2x1
x1
122= A(x2 x1 ) + B(x2 x1 )2
1
= (x2 x1 )[A(x1 + x2 ) + 2B]
2x2 x1= [(Ax1 + B) + (Ax2 + B)]
22

上底下底高さ/2

積分f(x)f (xi+1 )f (xi )xi xi+1

⇥ xN
x0x0Nf (x)dx ⇥x1f (xi ) + f (xi+1 )(xi+12i=0N⇥xN1lim

dx⇥0xi ) ☞台形公式

f (xi )dx
i=0

☞短冊の面積の和bdfbdx = [f ]a = f (b)a dx「微分」の積分⇥ xNx0df
dx =dx

N 1

lim

x⇥0

f (xi ) x
⇤

i=0
N 1

⇥

f (a)

lim

x⇥0

f (xi+1 )i=0

f (xi )xx

N 1=

[f (xi+1 )f (xi )]

i=0

= f (xN ) f (xN 1 ) + ....
+f (x2 ) f (x1 ) + f (x1 )= f (xN )f (x0 )f (x0 )

元の力学に戻ります速度変化 / 時間 =割る

加速度：a(t) = limt 0[m s-2]v(t)v(t +v(t + t) v(t)(t + t) tv(t)dv(t)
d2 x(t)==dt
dt2v(t+Δt)

速度t)t

等加速度運動v(t)v(t+Δt)速度

等加速度運動等加速度運動なら加速度は定数v(t)

a(t)

tt

微分 x(t) → v(t) → a(t)x(t) ← v(t) ← a(t) 積分

dv(t)
a(t) =
dttt
dv(t )a(t )dt =dt
dt00t
0a(t )dtt= [v(t )]0 = v(t)tv(t) = v(0) +v(0)a(t )dt0

積分変数をt’にしてt = 0からt’ = tまで積分

dx(t)
v(t) =dtttdx(t )v(t )dt =dtdt
00t0v(t )dt

t= [x(t )]0 = x(t)tx(t) = x(0) +x(0)v(t )dt0

積分変数をt’にしてt = 0からt’ = tまで積分等加速度運動tv(t) = v(0) +a(t )dt = v(0) + at

0tx(t) = x(0) +0tv(t )dt = x(0) +1 2
= x(0) + v(0)t + at
2[v(0) + at]dt

0

積分変数をt’にしてt = 0からt’ = tまで積分Newtonの運動方程式:
質量mをもつ物体に力Fがかかると，加速度aが生じる
Fma2dvd x
F = ma = m=m 2dtdt[N][kg m s-2]

F =dv=dtv(t) =<latexit sha1_base64="IFQPoYNeBLJ+o24/ME0HcmMDNNY=">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</latexit>

Fext=-F=mg
ポテンシャルU=-Fh =mghx=h
F=-mgx(t)xx(0) = 0mgg
gt
h=Z t

0v(t )dt =0-v
x=0
F=-mg01 2gt
21 21 2h = gt =v
22g
1 21mgh = mg v = mv 22g
212mgh + 0 = 0 + mv
2BeforeAfterポテンシャル＋運動エネルギーは一定→エネルギー保存則(位置エネルギー)

Newtonの運動方程式

dv
F = ma = mdt→エネルギー保存測x2x2dvF dx =m dx
x1からx2まで積分
dtx1x1dx
dx =dt = vdt
xからtへ変数変換
dtx2t2t2dv
dvmd 2m dx = mv dt =(v )dt
dt
dt
2 t1 dtx1
t1x2mm2
F dx = v(t2 )v(t1 )222x1

力×距離
=仕事
[N m]=[J]「仕事が加えられたとき，結果として エネルギーが変化する」という因果関係（原因と結果）をあらわしている（山本義隆 新・物理入門）
運動

運動エネルギー変化[kg m2 s-2]=[J]xv(t1) = 0x1
F = -mg例：重力（一定）x2mm2F dx = v(t2 )v(t1 )222x1mm22mg(x2 x1 ) = v(t2 )v(t1 )
22mm22v(t1 ) + mgx1 = v(t2 ) + mgx2
22v(t2) > 0x2

運動エネルギー＋

位置エネルギーは一定
エネルギー保存則

水の流れ

熱：高温源
熱力学
thermodynamics

力学mechanics

位置エネルギー↓
運動エネルギー

仕事

熱：低温源
45

エネルギー保存→？？？

PV=nRT
を力学から導く

分子運動論理想気体：大きさなし，相互作用無し

理想気体：大きさなし，相互作用無し

内部エネルギー ＝ 運動エネルギーの総和→

温度のみの関数（理想気体）

圧力すなわち理想気体の状態方程式を導こう

F⇥

力

時間dv
理想気体の状態方程式
F = ma = mdtと力学t2t2dv
F dt =m dt = mv(t2 ) mv(t1 )
dt
t1
t1
運動量変化

力積

今度は時間で積分 「運動変化の原因として力積が加えられた結果，運動量が変化する」という因果関係（原因と結果）をあらわしている（山本義隆 新・物理入門）

t2F dtt1

t = m[v(t2 )F=t2 t1

力の時間平均（定数）v(t1 )]

wall

v

ball
mv

after before

Fball

t = m( vv) =

Fball
Fwall

t = Fwallt = 2mv

t2mv:作用・反作用< Fwall > = PS

S
面積気体は，体積V [m3],分子数Nで存在するとする

気体は速度vで±x,±y,±zのみに運動er density n is given by N/V , where N is the total number of molecules in the volume
2N2N
mv
以下の直方体内にある分子の1/6は全てΔt秒間に気体P =mv 2 =
3V3V222mvが壁を叩く。Δt秒間に気体が壁を叩く分子数はPV =N
322PV =
Ekinetic
31N(Sv t)
he more sophisticated method, we
6can get the same answer.
V+z +y-x-y+x-zvΔtS

2mv 1
NFwall = P S =(Sv t)t 6V1N
2
P =
mv
3V
2122
P V = N ( mv ) = Ekinetic
3233Ekinetic = nRT (from statistical mechanics)
223PV =nRT = nRT
32

Fwall2mvM
2= P dA == mv dAt
3
微小面積

M=v tdA

M:Δtの時間内にdAを叩く分子数

6
The number density n is given by N/V , where N is the total number of molecules
N=N
2 N mv 2:数密度
2
P =mv =
V
3V
3V
2
22 mv 2N
2 N mv
PV =N
2
32P =mv =2
number ofP Vmolecules=Ekinetic M =3V
3V2
inside the box
3
ρvΔt dA → 1/6( ρvΔt dA)
22 N mv
2
With the more sophisticated method, we can get the same answer.
PV == Ekinetic
3 23vΔtρ

33Ekinetic = N kB T = nRT
22
統計力学（３年）
P V = nRTdA

Figure 2:

If we can use the following relation,