24 関数y=ax²(中3)まとめ2ABCDE

次の問いに答えなさい。
①

半径 x cm 高さ 10cm の円柱の体積を y cm3 とするとき，y を x の式で表しなさい。

y＝x2π×10y＝10πx2y＝10πx2②

半径が 2 倍，3 倍，4 倍…となると，体積はどうなりますか。

4 倍，9 倍，16 倍…となる
4ABCDEy が x の 2 乗に比例し，x＝－3 のとき，y＝6 である。次の問に答えなさい。
①y を x の式で表しなさい。
6＝4aa＝232 2
y＝ x3②x＝－6 のときの y の値を求めなさい。
y＝2 22x に x＝－6 を代入すると，y＝ ×(－6)233

y＝24y＝245ABCDE

y＝ax2 のグラフが点(1 , －3)を通るとき，次の問いに答えなさい。

①a の値を求めなさい。

y＝ax2 に x＝1，y＝－3 を 代入，－3＝a(1)2② グラフが点(よって，a＝－32, m)を通るとき，m の値を求めなさい。
3

よって， y＝－3×224× ＝－3334
m＝－ 3③ グラフが点(n , －12)を通るとき，n の値を求めなさい。
－12＝－3x2

よって，x＝±2n＝±2Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

7ABCDE

次のグラフをかきなさい。
①y＝3x2②y＝③

y＝－y1 2x3101 2x4
5－50z5－5－109次の関数について，y の変域をそれぞれ求めなさい。

ABCDE①11ABCDE

y＝－2x2 (－2≦x≦1)② y＝－1 2x (－4≦x≦－2)4

絶対値の大きい方，すなわち－2 をx に－4 を代入すると，y＝－4x に代入して，y＝－8x に－2 を代入すると，y＝－1－8≦y≦0－4≦y≦－1

関数 y＝3x2 について，x の値が次のように増加するときの変化の割合を求めなさい。
①－1 から 2 まで

② －3 から 0 まで
＝3＝－9312BCDE関数 y＝－91 2x について，x の値が 2 から 6 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
2

したがって，変化の割合＝16＝46－ 2

別解2＋6＝88×1＝424Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

xP3 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

13関数 y＝ax2 について，x の値が－3 から 6 まで増加するときの変化の割合が－15 であるとき，

BCDEa の値を求めなさい。
27a＝－1593a＝－153a15＝－33a＝－5a＝－515ABCDE

次の㋐～㋓の関数について，下の問いに記号で答えなさい。
㋑ y＝－4x＋3㋒ y＝3x2㋐

y＝2x＋5①x が増加するとき，y がつねに減少する関数はどれか。

㋓ y＝－2x2㋑②x≦0 の範囲で，x が増加するときに y も増加する関数はどれか。

㋐，㋓16関数 y＝3x2 のグラフと x 軸について対称なグラフが点(－2 , m)を通るとき，n の値を求めBCDEなさい。
y＝－3x2 に x＝－2 を代入すると，y＝－3×(－2)2
y＝－12m＝－1218

物を落とすとき，落ち始めてから x 秒間に落ちる距離を ym とすると，およそ y＝5x2 という関BCDE係がある。このとき，次の問いに答えなさい。
① 物が落ち始めてから 4 秒間ではおよそ何 m 落ちますか。

80m＝80②320m の高さから物を落とすとき，地面に着くまでにおよそ何秒間かかりますか。
x2＝648 秒間

x＝±8③ 落下し始めてから 3 秒後までの平均の速さを求めなさい。

15m/秒

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P4 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

19

自動車のブレーキがききはじめてから停止するまでの距離を，制動距離という。制動距離はBCDE

自動車の速さの 2 乗に比例する。自動車の速さが時速 x km，制動距離 y m とするとき，x＝30，y＝5 となる。次の問いに答えなさい。
①y を x の式で表しなさい。
5＝900aよって，求める式は

y＝y＝1 2x180

1 2x180② 時速 60 ㎞のときの制御距離を求めなさい。

y＝20m

1×60×60＝20180③ この自動車の制御距離が 45 m のとき，速さを求めなさい。

x＝±90

時速 90kmx≧0 だから x＝9020CDE

周期が x 秒のふりこの長さを y m とすると，およそ y＝1 2x という関係がある。このとき，4次の問いに答えなさい。
① 周期が 2 秒であるふりこを作るには，ふりこの長さを何 m にすればよいか求めなさい。

y＝

1 2x に，x＝2 を代入すると，y＝14

よって，1ｍ② 長さが 9m であるふりこの周期は何秒になるか求めなさい。

y＝

1 2x に，y＝9 を代入すると，x＝±64

よって，

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6秒

P5 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

22次の図Ⅰのように，長方形 ABCD と直角二等辺三角形 EFG が直線 ℓ 上にある。長方形はBCDEそのままで，直角二等辺三角形を矢印の方向に，頂点 G が C に重なるまで移動させる。
図Ⅱのように，線分 BG の長さを x cm，重なってできる部分の面積を y cm2 とするとき，次の問いに答えなさい。
図Ⅰ

EA4cmℓF

図ⅡDE A
ycm24cm4cm GB6cmDℓC①

次の場合について，y を x の式で表しなさい。

(1)0≦x≦4CF B xcm G

重なる部分は直角二等辺三角形になるので，y＝x×x×(2)12

よって，y＝1 2x2

4≦x≦6

重なる部分は，面積が 8cm2 の直角二等辺三角形のまま変わらないので，y＝8②y(cm2)

グラフに表しなさい。

505x(cm)24

下のグラフは，あるタクシー会社のタクシーの走行距離と料金の関係を示したものである。

BCDE

最初の 2km までは 700 円，その後は 0.5km ごとに 80 円ずつ加算されていく。
乗車距離が x km のときの料金を y 円とする。次の問いに答えなさい。
y (円)① 走行距離が 3.8km のときの料金を860

表より，3.5＜x≦4 のとき，780940＋80＝1020②940

求めなさい。

1020 円

y＝860 となるx の変域を求めなさい。

表より，

700

00.5

1

1.5

22＜x≦2.5
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2.5

33.5 4x (km)P6 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

25

y＝2x2 について，x の変域が a≦x≦2a＋3 のとき，y の変域は 0≦y≦8 となった。このとき，

E定数 a の値を求めなさい。
y＝8 のとき x＝a , 2a＋3(a ,8)のとき(2a＋3 ,8)のとき

8＝2a28＝2(2a＋3)2

4＝a2

8＝2(4a2＋12a＋9)a2＝48＝8a2＋24a＋18

a＝±2

8a2＋24a＋10＝0

1
a＝－226関数 y＝x2 で，x の値が a から a＋2 まで増加するときの変化の割合は，y＝4x＋1 と同じにCDEなる。このとき，a の値を求めなさい。

4a＋4＝422a＋2＝42a＝4－2
2a＝2

a＝ 1

a＝127

x の変域が－2≦x≦1 のときの y の変域をそれぞれ求めなさい。

BCDE

㋐

y＝－2x－1㋑ y＝3x＋1㋒

y＝2×(－2)2㋓y＝－(－2)2㋒ y＝2x2

y＝8 よって y の変域は
y＝－4

よって y の変域は

㋓ y＝－x20 ≦y ≦8－4 ≦ y ≦ 0㋐－3≦y≦3㋑－5≦y≦4㋒0≦y≦8㋓－4≦y≦0

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P7 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

29CDE

右の図のように，関数 y＝

1 2x のグラフ上に，3 点 P，Q，R がある。
3P，Q，R の x 座標は，それぞれ－3，0，6 とするとき，次の問いに答えなさい。

① 点 P の座標を求めなさい。
グラフより x＝6
これを y＝y＝

1 2x
3y

1 2x に代入
3P( 6 , 12 )

y＝12R
Q

② 直線 PQ の式を求めなさい。

－3Q の座標を求めると，Q(－3，3)

y＝x＋6

よって，③ 点 R の座標を求めなさい。

(0,6)

y＝x＋6 の切片だから④ △PQO の面積を求めなさい△PRO＝6×6×1＝182△PQO＝9＋18＝2727Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

06xP8 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

30CDE

右の図で y＝ax2…㋐と y＝－3x＋10…㋑のグラフが 2 点 A，B で交わっている。点 A の4x 座標は－8 である。このとき次の問いに答えなさい。

㋑a の値を求めなさい。

①y＝－y㋐A

3x＋10 に x＝－8 を代入，y＝164

点 A(－8，16)これを y＝ax2 に代入，a＝1414B② 点 B の座標を求めなさい。
3y＝－ x＋104…㋑0

これを解いて，x＝5，－8グラフより－8 は，適当でない。x＝5 を㋐に代入， y＝(5，25425)
4③ △OAB の面積を求めなさい。
㋑と y 軸との交点を R とする。R の y 座標は，10，△OAB＝△ARO＋△BRO△ARO の底辺を RO＝10，高さは，A の x 座標＝－8，△ARO＝10×8÷2＝40△BRO の底辺を RO＝10，高さは，B の x 座標＝5， △ARO＝10×5÷2＝2565△OAB＝40＋25＝65④ ㋐のグラフ上の点 A と点 B の間に△PAB と△OAB の面積が等しくなるような点 P をとるとき，点 P の x 座標を求めなさい。
直線が y＝－y＝－

33x＋10 と並行であればよいから，その直線は y＝－ x44

つまり3113x と y＝ x2 の交点が点 P の座標となる。 x2＝－ x，x2＋3x＝0444
4x(x＋3)＝0，x＝0，－3，x＝0 は点 O なのでそれ以外の座標が適当であるから x＝－3x＝－3Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

xP9 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

31

右の図において，直線㋐は関数 y＝x＋2 のグラフであり，曲線㋑は関数 y＝ax2 のグラフである。

CDE

点 A は直線㋐と曲線㋑との交点で，その x 座標は 3 である。点 B は曲線㋑上の点で，線分 AB は x 軸と平行である。また，点 C は直線㋐上の点で，線分 BC は y 軸と平行である。
y原点を O とするとき，次の問いに答えなさい。
㋑㋐① 曲線㋑の式 y＝ax2 の a の値を求めなさい。
点 A は x 座標は 3 だから，y＝x＋2 に x＝3 を代入

B

y＝3＋2＝5，点 A の座標は，(3，5)

曲線㋑の式 y＝ax2 に代入して 5＝9aa＝A595a＝9CO3② 線分 BC 上に点 E をとり，△ABE と△ACE の面積が等しくなるようにする。
このとき，直線 AE の式を y＝mx＋n として，m，n の値を求めなさい。
線分 AB が x 軸と平行なので，点 B の座標は，(－3，5)
線分 BC が y 軸と平行なので，点 C の座標は，(－3，－1)△ABE と△ACE の高さを AB とすると，点 E は線分 BC の中点なので，(－3，2)
よって直線 AE は(3，5)，(－3，2)を通る直線となる。
5＝3m＋710 7
31，3m＝ － ，3m＝ ，m＝22222m＝17，n＝22

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xP10 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

32右の図のように，関数 y＝2x2 のグラフ上に 2 点 A，B があり，DEそれらの y 座標はともに 8 である。あとの問いに答えなさい。

y① 関数 y＝2x2 のグラフ上に点 C，y 軸上に点 D をとり，y＝2x2平行四辺形 ABCD をつくる。点 C の座標を求めなさい。

A,B の x 座標は，y 座標が 8 だから，y＝2x2 に y＝8 を代入して，8＝2x2，4＝x2，x＝±2A,B の座標は，A(－2 , 8) ，B (2 , 8)，(4，32)

8 B

A② 直線 AD と関数のグラフとの点 A 以外の交点を E とする。
0

点 E の座標を求めなさい。

x2－6x－16＝0(x－8)(x＋2)＝0
点 A 以外の座標なので x＝8(8，128)

y＝2×82＝2×64＝128③ 平行四辺形 ABCD と四角形 ABCE の面積の比を求めなさい。
平行四辺形 ABCD の面積は 4×24＝96
四角形 ABCE の面積は 4×24＋4×96÷2＝96＋192＝288

96：288＝1：3

1：3

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xP11 【24 関数y=ax²(中3)まとめ】

33

A くんはある坂でボールを転がした。ボールが，転がり始めてから

DEx 秒間に進む道のりを y とすると，0≦x≦6 のとき，y は x のy(m)2 乗に比例し，2 秒間に進んだ道のりは 2m であった。
次の問いに答えなさい。
①

0≦x≦6 のときの x と y の関係を式に表し、グラフをかきなさい。
求める式は，y＝ax2 に，x＝2 , y＝2 を代入

2＝4aa＝1210

1
y＝ 2 x2② ボールが転がってから 6 秒間に進んだ道のりを求めなさい。

y＝③1 2x に x＝6 を代入すると，y＝18218m

05x (秒)A くんは、ボールが坂を転がり始めたと同時に，坂を下り始めた。A くんの速さを
秒速 3m すると，A くんが坂をおり始めてから何秒後にボールに追いつかれるか。
また、それをグラフにかきなさい。

y＝3x＝1 2x2x＝6

1 2x の連立方程式を解くと
26 秒後

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