……州州脚州醐‖附…州相川州州捌脚‖冊＝…‖州‖州捌州…州湘‖酬‖州…m州捌州脚‖‖州m…州‖州…‖…州州m‖州…州…m附…

＝∴ −、・・・・・二・・＿十三ミニ．予・・−‥J高橋 磐郎潤附冊醐㈱㈱酬闇削冊柚‖淵榊淵附脚㈱舶皿醐酬l附甜附州附脚備州刷附州胴州‖冊削㈱冊酬削瀾刷鮒刷l剛酬闇冊柚潮冊抑制‖…州醐‖1附‖州…………刷‖‖l、・ −・：‥・−′∴ミ・十・

全グラフになる。

−一般に完全情報の場合のグラフは完全グラフとな§2で述べたようにこの講座では壷にパラメタ山るが、そこでどの3点或，ゴ，ゐをとってもつねに（β，β2ラ亡8〔を一対比較値とする方法）を用いているが、その最も簡単な場合は、∂（＞且）（より良い）とβ…1（より悪（5．2）

打仙→戊，j→た ならば 戌肌→たい）の2種類のみとなるが、この場合をbina訂y問題とが成り立つとき、このグラフ（あるいは比較行列）は呼ぶことにしよう。（一対比較値に♂0 ＝ 且が含まれ論理的整合性があると呼ぶことにする。論理的整合性る場合も広い意味でb亙m甜y問題と呼ばれることもあを持つ比較行列過の整合度（§3）は必ずしも0となるわる）。

けではない。3点に対して（5．2）が成立しないとき、ここの他瓦m甜yという巌鴻簡単な場合を考えると、一の3点は（たとえば図且の且，2，3のように）サイクルを般のÅH野では見えなかった問題点がはっきり現れて構成する。も／たがってグラフ中にサイクルが多く含まくることがある。また払ゑm甜y問題は、スポ山ツやゲーれていれば整合度が悪いと判定される。西澤氏はこのムなどで、特に相撲や将棋など勝ち負けだけで決まるような観点から、わim甜yÅH捌こ対する整合度の評価勝負の結果から、そのプレ心いゃー㌦（チし・【−一山ムや個人）の真を行うことを提案している［31。の強さを推定すると言った、いわゆるスポーツ科学への応用にも有効である。
・・「さ・箆。鼠 完全情報の磯愈「般に脱脂野間題の叫対比較値鞘の結果は、山つの有向グラフで表すことができる。対象豆がゴより良い（チ、−ト血ム或がゴに勝った）ときα五メ＝βとなるが、この・… ‥・．：、

とき、底意から点歪への矢線（有向枝）塩−・ト鵬→†タがあると考える。このグラブはルい叫フP（始点と終点が同山の矢線）

図且：わinaごyAHPのグラフや多塞枝（2点間に脚本もの失線を持つもの）のない単グラフが論理的整合度を持てば、その点全体は全順純グラフとなる。

序集合せなる。つまり各点に一連の番号を次のようにたとえば比較行列が且

翌3付けることができる；まずimp血矢線の全くない点が4

頂止

¶几♂

且
血ニ∩∠

だ

一皿且

∂βバブ

ハ紺V

﹁⊥ユの遁且 β仙且β仙1

必ず且つだけ存在するからこの点を五番とする（もし

♂

β ♂州1

芳 ，．

4であるとき、これに対応するグラフは図且のような完すべての点がimp㍑もを持てばこのグラフは必ずサイク（5。且）ルができる。またimpuも矢線のない点が2つ以上存在することはない。2点あれば、その2点を結ぶ矢腺はどちらかの点のinpu七となるから）。且番の点とそれにつながる矢腺をすべて取り除いてできるグラフはや

たかはし いわろう 田本大学生産工学部

はり整合性を持つ完全グラフとなるから、これについ〒275千葉県習志野市泉町MMては＿邑と同じ手順をほどこせばよい。
このようにして付けられた番号順に点を並べ替え

讃6⑳（30）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレ一肌¶ションズ￠リサ」チ

髄T＝［0．298，0．281，0．245，0．176］

たときの対応する比較行列は
ββ β﹂

︿〃Ulュ

β β l

∂ l 一ll 一 一β ∂となり、①の方が②よりやや高い値が出ている。βの値によっても順位は不変である。

このような例があるからといってAHP的判定の方（5・3）⁚・ lβl一∂l︵〃︶l⁚・一が、勝敗数だけで決める単純な判定より良いかどうかということの保証はない。AHPの固有ベクトル法は、最小二乗法のガウス・マルコフの定理のような強力なのようになる。これに対して次のような定理が成り立定理に裏付けられていないため、強いことが言えないつ。のである。その原因はAHPの一対比較値にはデータモデルがないという点にある。

定理1論理的整合性のある（bina叩）氾×れ比較行列
Aの主固有ベクトル髄の第宜成分叫はAの第宜行の要素の幾何平均である。つまり
叫＝伊江ト2壱5．2 不完全情報の場合（豆＝1，…，れ），∂＝挽 （5．4）

8inaryの場合も一般の場合と同様、不完全情報の場合があり得る。とくにスポ、−ツ・ゲームでは勝ち抜また対応する主固有値は
和

きトーナメント戦のように総当りでない場合がしば人m弧＝1＋β∑百2（1￣壱）（5．5）

j＝2しば起こる。これに対するグラフは当然、不完全グラフとなる。相撲の場合は、たとえば幕内力士だけを考［］えてみると、力士の数は現在40人である。したがって
この定理は、binaryの場合は、論理的整合性を持つ判断がなされている限り、評価値叫や主固有値入maxが解析的に（数値計算せずに）求められることを示している。また（5．4）から明らかなように叫の値の順位はβの値に依存しない。

1日20試合が行われ、−場所15日全体で、20×15の試合が行われる。これに対して総当りの場合の試合数は40〔ち＝（40×39）／2＝20×39だから、一場所でほぼ半分以下の試合しか行えないことになる。つまり不完全の情報の場合となる。

この定理の証明のうち、（5．4），（5．5）で決まる叫入maxがA髄＝入max≠の関係にある事は単なる数式の計算で容易であるので読者の練習にゆだねよう。入maxの最大性の証明がやや難しいのでこれは文献［1］にゆだねることにする。

不完全情報の解析法は§4で述べたように3種の方法、Ha血∋r法、二段階（TS）法、LLS法がある。これらを適用すればよい。
［例2］簡単な4人のトーナメント戦を考えよう。結果が図2の上段のようになったとしよう。これをグラフでむろんいっでも論理的整合性のある判断がなされあらわすと、図2の下段のようなグラフとなる。

るとは限らない。また先に述べたようにスポーツなどで勝ち負けの結果から、チームの真の強さを推定する
場合にはサイクルがある場合が多い。

［例1］たとえば4つのチームのリーグ（総当り）戦の勝敗が図1のような結果になったとしよう。普通に考えると、①も②も2勝1敗だから同等の強さと判定される。しかし①は②に勝っているから、①の方が少し強一三＝−いのでは？、と言った意見も起こる。しかしまた、①は③のような弱いチームに負けているからそうとも言えない、といった反論も起る。
さてAHPでの判定はどうなるだろう。β＝2として図1に対応する比較行列（5．1）の主固有ベクトルを求：−1・二めると、図2：トーナメントのグラフ

1998年3月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（31）161これに対する比較行列は（β＝2として）

表且：トーナメント評価の比較： ■； ＼‡ ・三こワ⁝

組a〕塩ernU ウ山

鼠¶皿八日︶

5ハU

5ハ爪崩︶

巾川≠N

5

⁚∴爪諾

二盆

1㍊1

且

1髄2一5（）（） こ） 呈∴ま5 ｛）．5（〕〔7髄3、l、、
捌Ⅸ）＋C。63￠ の。50Q∴−、 ．． ●．．∴‥止聖となる。

甘S mm＄2 （）ご㌔∴1？

挽離郡法化よれば、§4。且の（軋2）式からぃりハりの下での最小二乗法を適用すると、（3．7）式のところで示したようにラグランジュ乗数は0であるから、毎JrJのm︶ 一m︑．ド望 m＝崇り肘 謂W

2ニÅ﹁ドトhhトドh仁ELLト仁hいLLとなる。これに対して、条件滋1＋ぬ2＋由3＋ぬ4＝のを決める方程式は結局の東園有べタトルを求めることになるが、これをパワ

肌視4＝ 2且og2

3滋1ー法で求めると、
1？瓦2−一義3＋滋4＝【一山且og2↓且Åmax＝4。の0い︺リ⁚⁚・−心．h0

一一視4＝肝log2

朋1十視2となり、これをとくと∴㌧．卜u∵㍉︹︼︺

が・、 ・ −．．

∴∴．となる。

・4ニ・3∴U︵2ム．一丁︑．

毎＋3壷3．＼

二段階法では、§4。2より、まず、視点の第且次近似は

翫 ＝＝ 拉×2〉く2）且／3 ＝乱。5874となる。したがって
髄l二2ヲ髄2＝1，視3＝且，視4＝且／2

愈2 ＝（の。5×且）り2 ＝の凸ア￠7且、以上の結果をまとめると、表1のようになる。（見や・・：−●

すくするため①を基準とした比率で表わしてある）。

●、 ●これをみると、Ha洩er法とmmS法は明らかにおかとなるから、しな結果となる。つまり③は準優勝者なのに、②と同且2。245 且。587 2．2舶『等の評価しか与えられていない。これに対して甘S法

5

爪⁝ぴニ︑工はまず妥当な結果である。て の凸7り7 乱︵⁝U︵⁝U且。4且嶺 且 且．4且4［例3］もう−一ノ〕の例を考えよう。これはトーナメント

爪U

結果の優勝者と最下位者とが戦って、最下位者の方が1 の。7の7 」L5となる。この童固有ペグトルをパワし一法で求めると、勝ってしまったという例である（図3）。

且

﹂⊥3小﹂

ハU︑︑⁚りハ⁝U心︺

︹し︶

A人

二ハりい

5り〟

Åm弧＝4。0￠﹁ル5となった。
最後に心臓を適用してみよう。§3。2の（3。墟）に相当

亡ヲ′・する式は、
図3：トーヘサメント補正のグラフ

鼠og2＝滋1一塩2
ムOg2＝壷ユlog2＝
習6選（32）

＋ゐ且2
此髄3

十e13

視3【滋4＋諺34

これに対しても3種の方法を適用すると表2のような結果が得られた（〕この例でもやはり、甘S法は妥当© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレー・ションズ ，リサーチ

表3：8人トーナメト評価の比較

表2：トーナメント補正評価の比較

Ha．rker TS LLS
1① ②（診 ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

祝11

祝2

0．355 0．537 0．5

祝31．08

祝41．06LLS

1

1 2 2 5 2 5 5 8Harker法 1 2 2 5 2 5 5 80．928 1TS法

1 5 3 8 2 6 4 70．946 1β＝2て比較してみよう［2］。結果が図4のようになったとして、3種の方法の結果は表3のようになる。ここでは簡単のため順位のみを示す。これをみてもHarker方とLLSとは全く同じであるが、TS法より妥当性を欠いている。（この順位は∂の備にほぼ無関係である）。
これらの例は少し小さすぎる例であるが、もう少し大きな例についてもいくつかシミュレーションをやってみた結果は、一般的に試合数の少ない疎な場合はTS方が他の方法より良い（常識と一致する）結果を与「虹あ 「、…． ▲・」上②える傾向がある事がわかった。
参考文献［1］I．地hashi：／

COmparisons＼⑦ ⑥AHPappliedtobinaryandternary，JournalqfQperutionReseart：hSo−

c五e吻げノ如肌，Vol・33，（1990），199−206．
［21Ⅰ．地basbiand M・n止ud・a：、、きi

AHPwithothermethodsinbinarypairedcompar−isons

図4：8人トーナメントのグラフ

Comparisons of，ProceedingsofAPORS

91，Be毎ingChina（199けであるが、その他の方法はおかしな結果である。特に［3］K・Nishizawa：Harker法では、1勝1敗の③や④が2勝1敗の①より高in binaryAHP

く評価されている。

ぶoc豆吻げJ呼α陀，Ⅵ）1．38，（1995），21−33．

Aconsistencyimppovingmethod，Joumat qFOperⅦtionResearTh［例4］もう少し数の多い8人のトーナメントに対し1998年3 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

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