信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

異なる次数分布をもつ結合カオス回路ネットワークの同期現象の調査
橋本周平†

近澤隆啓†

上手 洋子†

西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{s-hashimoto,chikazawa,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、10 個のカオス回路を結合したネットワークを用いて同期現象を調査した。使用したネットワークは 3 種類の次数分布を基に作成しており、それらはスケールフリーネットワークを形成しているべき乗則に似せた次数分布、ランダムネットワークを形成している二項分布に似せた次数分布、それ以外の右上がりの次数分布である。エッジ数はどのネットワークも 16 本で固定しており、回路間は抵抗により結合する。それらのネットワークの結合強度を変化させ同期割合の様子を観察した。結合強度を増加させるとスケールフリーネットワークを模したモデルがランダムフリーネットワークを模したよりも低い同期率になることが確認できた。
キーワード

カオス回路、複雑ネットワーク、同期現象

Investigation of Synchronization Phenomena of Coupled Chaotic Circuit
Networks with Diﬀerent Degree Distribution
Shuhei HASHIMOTO† , Takahiro CHIKAZAWA† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{s-hashimoto,chikazawa,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract
In this study, we investigate synchronization phenomena using network model of coupled ten chaotic circuits. Eachnetwork model is based on three types of degree distribution. It is degree distribution which imitates Scale-free,which imitates Random network and soaring distribution which is diﬀerent from others. Scale free network is following the power law and random network is following the normal distribution. The number of edges of each networkmodel are 16 and each circuit are coupled by reisters. We investigate synchronization by using these network model.
As the coupling strength increase, synchronization rate of network model which imitates Scale-free network is lower
than that network model which imitates Random network.
Key words Chaotic Circuit, Complex networks, Synchronization,

1. ま え が き合の調査を行った。実社会の複雑ネットワークはスケールフリー性やクラスター性、スモールワールド性などの性質によっ同期現象は我々の日常の至るところで観察されている。例えて特徴付けられている [3], [4]。またスケールフリーネットワー

ば、メトロノームの振れや、ホタルの明滅、心臓の拍動などがあクを形成するべき乗則、ランダムネットワークを形成する二項る。特に発振器の同期現象は非常に興味深く、複雑ネットワー分布、そして右肩上がりの次数分布を使用し、10 個の結合カクは様々な分野で注目を集めている。ネットワークを特徴づけオス回路のネットワークを模したモデルを作成する。それらのる要素としては次数分布や平均パス長、クラスタリング係数なエッジ数は 16 本と設定し、回路間は抵抗で結合する。ノードどがある。またカオス回路を用いた複雑ネットワークも研究さ数およびエッジ数は同条件で、それらの結合強度を変化させてれているが、次数分布に着目したカオス回路の複雑ネットワー

同期率を測定し比較を行う。

クの同期現象の調査はまだ少ない [1], [2]。
本研究では、結合カオス回路の複雑ネットワークにおいていくつかの次数分布からネットワークを作成し、それらの同期割2. 回路モデル
本研究で使用するカオス回路モデルを図 1 に示す。この回路—1—

は西尾・稲葉回路と呼ばれるカオス回路であり、負性抵抗、2つのインダクタ、キャパシタ、ダイオードにより構成されている。この回路方程式を式 (1) に示す。

図 2 ネットワークモデル.

dxi

= αxi + zi

dτ



dyi


= zi − f (y)図 1 カオス回路モデル.

di1


= v + ri1L1

dt




di2dτ

= v − vdL2(1)dt C dv = −i1 − i2 .
 dtN∑dzi
=−x−βy−δij (zi − zj )iidτ
i,j=1

(6)(i, j = 1, 2, · · ·, N ).

式 (6) において、N は結合回路数を表し、δ は回路間の結合強度を示している。またパラメータ α は負性抵抗の大きさに対非線形抵抗の I − V 特性を式 (2) に示す:

vd =(rd2i2 +VV− i2 −rdrd

応している。

)

次に、本研究で使用した次数分布を図 (3) に示す。図 3(A) は.

(2)

また、式 (1) 中の各変数を以下のように置き換えると、

α=rC, β=L1

L1 C,L2, γ = rdR(C) は右肩上がりの次数分布を示している。それぞれのネットワークの回路数は 10 個に設定しており、エッジ数はどのネッ√√C
L1 CVx,i=V yn , v = V z ni=n21

L1L2√√
L1L2
√√ δ = 1 L1 , t = L1 C2 τ,べき乗則を模した次数分布、(B) は正規分布を模した次数分布、トワークも 16 に設定している。またネットワークの平均パス長も近い値に設定した。

(3)

C

この回路の正規化された式 (4) が得られる。

dxi

= αx + z dτ dyi= z − f (y)dτ dzi = −x − βy,dτ(4)また、 f (yn ) を以下に示す。

f (yn ) =12(yn +11− yn −γγ).

(5)3. システムモデル

図3次 数 分 布.

本研究では、抵抗で結合された 10 個の結合カオス回路ネッ

これに加えて、それぞれの次数分布から作成したネットワートワークモデルを作成する。それぞれのネットワークは 3 種類クの違う平均パス長を持つネットワークも作成した。それらのの次数分布を元に作成されており、それらのネットワークを図ネットワークを図 4 に示す。

2 に示す。
これらのネットワークモデルの正規化方程式は式 (6) のよう

図 4 のネットワークも図 3 の次数分布から作成しており、それぞれのネットワークの平均パス長の関係は表 1 に示す。に表すことができる。

—2—

モデルがランダムネットワークを模したネットワークモデルの同期割合より小さいことが確認できた。

図 6 パラメータ α 別のカオスアトラクタ.
図 4 平均パス長の異なるネットワークモデル.
表 1 ネットワークの平均パス長.
The path length

(a)

(a’)

(b)

(b’)

(c)

(c’)

1.822

1.689

1.844

2.156

1.889

2.0

4. シミュレーション結果
本研究の同期の定義は回路間の電圧差によって定めている。
方程式 (7) で同期を定義する。

|Zj − Zi | < 0.15

(i, j = 1, 2, · · ·, N )(7)

図 7 結合カオス回路の同期割合 (α=0.350).

図 5 電圧差分波形.

図 5 は本研究で観察された電圧差分波形である。図 5 中の 2

図 8 結合カオス回路の同期割合 (α=0.460).

つの線は式 (7) で示された閾値を表しており、電圧差がこの閾値内に入ると同期とみなす。演算回数は 1,000,000 回であり、同期割合は結合された回路の同期割合を平均したものである。

4. 1 パラメータ α の異なるネットワークでの同期割合
このシミュレーションでは、カオス回路のパラメータ α を一様に変化させ、結合強度の増加による同期割合の比較を行う。パラメータ α の変化によるカオスアトラクターを図 6に示す。また図 7,8,9 にパラメータ α の異なるネットワークの同期割合を示す。ネットワーク別で同期割合を比較すると

α=0.490,0.460,0.350 の順に大きくなっていることがわかる。
また図 8 において、スケールフリーネットワークを模したネットワークモデル (a) の同期割合が δ=0.05 から δ=0.1 まで他の

図 9 結合カオス回路の同期割合 (α=0.490).

ネットワークモデルの同期割合よりも低い値を得ている。また
パラメータ α が大きくなるにつれ、各ネットワークの同期割合の変化が小さくなることが確認できた。加えて、全体的に、差は小さいがスケールフリーネットワークを模したネットワーク—3—

4. 2 平均パス長の異なるネットワークでの比較
この章では異なる平均パス長を持つ同じ次数分布から作成

5. ま と めされたネットワークでの比較を行う。図 10,11,12 にそれらを本研究では、3 種類の次数分布を作成し、それを元に製作し比較したグラフを記載する。この時、使用したパラメータはた結合カオス回路のネットワークにおける同期現象を調査し比α=0.460 である。図 10,11,12 において、どの次数分布におい較を行った。コンピュータシミュレーションにより調査を行っても結合強度が小さい時は平均パス長の小さいネットーワークた結果、カオス回路の負性抵抗の大きさに対応しているパラの同期割合が高い。しかし結合強度を増加させると、δ=0.08 以メータを一様に変化させ調査した時、どの次数分布でもスケー降で、平均パス長の大きいネットワークが同期割合が高くなる

ルフリーネットワークを模したモデルがランダムネットワーク結果が確認できる。

を模したモデルよりも低い同期割合を得ることが確認できた。
また、異なる平均パス長で各自数分布のネットワークモデルを比較した時、次数分布に関わらず、結合強度が小さい時は平均パス長の小さいネットワークの同期割合が高く、結合強度が大きくなると平均パス長の大きいネットワークの同期割合が高くなることが確認できた。
文

献[1] K.Ago, Y.Uwate, Y.Nishio, “Investigation of Synchronization in Coupled Chaotic Circuit Network with LocalBridge”, IEEE Workshop on Nonlinear Networks December
12-13, 2014.

図 10

次数分布 A の平均パス長の異なるネットワークの同期割合.

[2] T.Nishiumi, Y.Uwate, Y.Nishio, “Synchronization Phenomena of Chaotic Circuits with Stochastically-Changed Network Topology”, Proceedings of International Symposiumon Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA’14), pp.
811-814, Sep. 2014.
[3] D.J.Watts and S.H.Strogatz, “Collective dynamics of smallworld , Nature, vol.393, pp.440-442, 1998.
[4] A.L.Barabasi and R.Albert, “Emergence of scaling in random networks , Science, vol.286, pp.509-512, 1999.

図 11次数分布 B の平均パス長の異なるネットワークの同期割合.

図 12次数分布 C の平均パス長の異なるネットワークの同期割合.

—4—