ロガリズムとデシベル

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アルテック・ランシング

トレイニングマニュアル 第２章
LOGARITHMS AND DECIBELS
ロガリズムとデシベル
ロガリズム
サウンド・リンフォースメントの中で仕事をしていると､まっています。この表が載った本をあちこちに持ち歩

幅広い範囲の音圧と電気的パワーレベルを取り扱う

くのは重荷になるほど不便なことですから､今では非ことになります。人間の耳は１００万対１の音圧範囲

常に詳細なログ数値を手持ち電卓で瞬時に出してくを感じ取っています。ロガリズム又はログというのは､れます。

このように大きな比率を持った数値を取り扱う上で簡

私どもは１０のログ数値が 1.0000 で１００のログ数潔な方法といえます。

値は 2.0000 であることがわかります。１０から１００の間簡単に言うと､何らかの数値のロガリズムは基本数にある全ての数字の対数値は１．００００から２．００００値がその数値を生み出すために累乗されなくてはなの間にあることになります：log10 38 = 1.5798 となりらない指数力といえます。

ます。言いかえれば１０の 1.5798 乗は 38 になるのです。この原理を拡大していくと､100 から 1000 までの

102 = 100てそれから log10 100 = 2 そし間にある数字の対数値は 2.0000 から 3.0000 の間にanti log10 2 = 102 =100あることになります：log 474 =2.6758。10 の 2.6758

101 = 10乗は 474 ということになります。小数の左側にある数

それから log10 10 = 1 そしてanti log10 1= 101 = 10
22 = 4

字は対数の指標(Characteristic)であり､小数の右側

それから log2 4 = 2 そして anti

log2 2 = 22 = 4にある数字は対数の仮数(Mantissa)となります。対数を処理していると仮数は勝手に正の数と仮定されますが､指標は正の数にも負の数にもなります。０から 1

１０を底とするロガリズムが便利であるがゆえに､わの間にある全ての数値は負の数値になります。それ

れわれの仕事の中では最も良く使われます。ですか

ゆえに 0.000676 という数値のログ数値は-4 + 0.8299

ら log という記号(底を表していない)は１０の底を含んとなります。書き方である-4.8299 は指標と仮数の両でいることを意味しています。１０を底とする対数は常方がマイナスになっていることを表します。この数値用対数またはブリグシアン対数と呼ばれています。

は間違っているし､数学的に便利なものではないは高等学校で微積分を習い始めると e =ずです。それゆえにこの数値を 6.8299 – 10 という負2.718281828459045 を底とする自然対数を使うことがの表現に置き換えてみましょう。数字を表現する対数多くなります。自然対数の底の数字は無限大に続き的方法は指数表記の形になりますから､広い範囲にますが､普通は小数点以下５桁程度で四捨五入してわたる全ての数字は簡潔にかつ便利に扱えることに使われます。自然対数はナピエリアン(Napierian)シなります。対数の表現の特質や原理がどれだけ使わステムとも呼ばれ､‘In’という記号を使います。

れているかを見てみましょう。

対数表の作成はそれほど難しいことではありません
が､消耗する作業になります。幸運にもこの作業は数世紀前にブリッグスとナピエールによってなされてし株式会社エムアンドエヌ〒160-0015 東京都新宿区大京町 2-4
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対数の特質log B√A = 1/B log A

私どもの作業で最も一般的なに対数を使うのは､掛け算と割り算の演算を簡単にするためです。対数を例として学習している世代や大多数の大人が言うように､掛け3√895 = (895)1/3 = 1/3 log 895

算や長除法は高等数学の分野となります。対数は足log 895 = 2.9518

し算や引き算に比べてもっと簡単なものです。です

1/3log 895 = 2.9518/3 = 0.9839

から数字を掛けたい場合には対数を使ってその数字を加え､それから逆対数を使って結果を確かめるの

anti log 0.9839 = 9.64
したがって
3√895 = 9.64です。
例えば

有効数字が三桁逆数を求めるために対数を使うことができます。
log (A x B) = log A + log B
A と B がそれぞれ１０である場合にはlog (A/B) = - log (B/A)
逆数の対数は‘colog’と呼ばれます。我々が作業

log (10 x 10) = log 10 + log 10 = 1 + 1 =する多くの逆数が 1 という分子を持っているので､この数式を置き換えて colog 法を使って 1/63 という数

2anti log 2 = 102 =100
数字を対数の引き算を使って割ることができます。

字を例に作業してみましょう。
colog A = log 1/A = -log A/1 =- log 1log (A/B) = log A – log B
A が１００で B が１０の場合にはcolog 63 = log 1/63 = log 1 – log 63log (100/10) = log 100 – log 10 = 2 – 1log 63 = 1.7993=1log 1 = 0 = 10.0000 – 10-colog 63 = 8.2007 – 10 = 2.2007

anti log 1 = 101 = 10
対数は他の数字の関係を計算するのにも使うこと皆様が理解をしているように､この例も負の対数にができます。対数で累乗することができます。数字のおける実用的な用途のように見えます。マイナス記累乗をする対数はべき指数や累乗によって掛け合わ号はその前ではなく数字の上に置きますが､実用目された数字の対数となります。

的では正形式である 8.2007-10 が全ての計算が完

log AB = B log A
対数を使ってルートの根を開くことができます。数了するまでの対数を表す方法となります。

字のルートを使った対数は､ルートの指数で割られた数字の対数と等しくなります。

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デシベル
電力比ｄB というのはサウンド・リンフォースメントの中で仕公式さえ分かっていれば dB を迅速に表すことがで事をする上で数量の比率を説明するのに最も広く使きるために､これらの２種類の情報項目は非常に役にわれます。私達はしきりに電力､電圧､電流､音圧レベ立つものです。１０対１で上昇する電力比は+10 dBル(SPL)そして dB に似たものを言葉で表します。ｄBとなり､１０対１で減少する電力比は -10 dB となるの表される数量はどれでも常に比率を表しています。ｄです。例えば 1000 対 100､1 対 0.1､0.001 対 0.0001

B について完璧に理解することは､サウンドを請け負等も同様です。さらに､2 対 1 の電力比率の増加は数う仕事には必要不可欠の物です。

量に関係なく+3dB となり､2 対 1 の電力比率の減少

根本的には､ベルが 10 を底とする対数を電力比には数量に関係なく-3dB ということになります。例えば使うように決めました。

6 対 3､4 対 2､4000 対 2000 等も同じことです。

Bel = log (P1/P2)
デシベルというのは私どもの仕事に使うのに一層便

4 対 1 の dB 値は幾つになるのでしょうか？4 対 2の比率は 3dB であり､2 対 1 の比率は 3dB となりま利なもので､電力の比率の 10 を底とする対数を 10す。従ってトータルの比率は 6dB であることになりま倍するように定義されています。

す。

dB = 10 log (P1/P2)
これを実証するために 1､2 の例があります。P1 = 2

さて､20 対 1 の電力比を計算してみましょう。20 対10 という比率は 2 対 1 という比率と同じになり 3dB と㍗､P2 = 1 ㍗としてみましょう。そうするということになり､10 対1 が 10ｄB ですから合計は13dB

dB = 10 log (2/1) = 10 (.301) ≒ 3 dBということになります。図 2.1 はパワー比率と対応する1 と 2 が含まれる数量は 3dB の比率になると言わdB 値の関係を表しています。ｄB というのは常に比れています。私達はこれを 2 通りの方法で言い表し率を表していることを覚えていてください。

ます。２㍗というの１㍗に比べて 3dB 大きい。または､１㍗というのは２㍗よりも３dB 小さい。
他の例題があります。P1 = 10 ㍗､P2 = 1 ㍗とす
るとその比率は 10 dB となります。
dB = 10 log (10/1) = 10 dB

上のカーソルが dB､下のカーソルが電力比

図 2.1

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電圧と電流の比率
普通は電気的そして音響的システムにおいて直接50 ボルト対 2 ボルトの dB 比は幾つになりますか？

電力を測定することはしません。その分電圧､電流そ回答

して音圧の数値は測定することができます。同じ負荷50 から 100 に増加をすると+6dB になりますで働いている 1 ボルトや 2 ボルトに対応する電力比

100 から 200 に増加をすると＋6dB になります

率を計算すると何が分かるか考えてみてください。図200 から 20 に減少すると－20dB になります

2.2 はこれらの関係を表しています。

20 から 2 に減少すると－20dB になります
従って､＋6＋6－20－20 = －28 dB となります。
前に述べたことを思い出せば､50 ボルトというのは 2ボルトよりも 28dB 大きいというのか､2 ボルトというのは 50 ボルトよりも 28dB 小さいということになります。
前と同様に､一定の負荷インピーダンスとしています。
問題 22 ボルトから 2.5 ボルトに比率が増加すると dB では幾つになるでしょうか？
回答

上図 電力 IxE = 1 ㍗

2 から 1 に減少すると－6dB

下図 電力 IxE = 4 ㍗

1 から 10 に増加すると＋20dB

図 2.2

10 から 5 に減少すると－6dB5 から 2.5 に減少すると－6dB

2 対 1 の電圧または電流が固定された負荷に流れると､4 対 1 の電力比になることに注意して下さい。ですから電圧と電流の比率は簡単に dB で表すことができます。
dB = 20 log (V1/V2) または 20 log (I1/I2)
幾つかの練習問題
問題 1全てを足し合わせると－6＋20＋－6－6 = +2 dBとなります。従って､2 ボルトから 2.5 ボルトへの増加比率は 2dB ということになります。ですから 2 対 1 や10 対 1 の比率を知っていれば､これからも比率が様々に変化しても対応ができるのです。図 2.3 は電圧と電流の比率と対応する dB 比率との関係を表したものです。

上のカーソルは dB､下のカーソルは電流または電圧の比率

図 2.3
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音圧の比率
音圧の比率は電圧や電流の比率と同じ動作をしま

対 1 の比率になり､単位面積あたりのパワーも 4 対 1す。2 対 1 の音圧比率は 6dB となります。これから述に比率になります。1 フィートの半径において測定さべる方法に表されています。

れた dB SPL は 2 フィートの半径において測定され無指向性の音源を考えてそれが 1 ㍗という固定さた音圧よりも 6dB SPL の差があることを表しています。

れた音響パワー出力を出していると仮定して下さい。

音響パワー(電気的パワーのようなもの)は音圧の 2球体の面は 4πr2 として表されます。1 フィート離れた乗に比例しています。

放射距離では､1 ㍗の総パワーは 4π12 フィート = 4π平方フィートという面積を通り抜けていきます。これ

6dB = 10 log (P1/P2)2 = 20 log (P1/P2)
従って P1(1 フィートで測定された音圧)と P2(2 フィは 12.56 平方フィートになります。2 フィート離れた場ートで測定された音圧)は 2 対 1 の比率になっていま

所では､4π22 平方フィート = 16π平方フィートすなす。それゆえにわち 50.24 平方フィートになります。この面積差は 4dB = 20 log (P1/P2) = 20 log (2/1) = 6dB

逆二乗法則
以前に述べた説明で“逆二乗法則”が分かりやすくます。

なっています。自由音場(反射と残響がない空間)における観察では､距離が倍になるに従って 6dB ずつ

dB = 10 log (D1/D2)2 = 20 log (D1/D2)
音源からの距離が増えていくに従って音圧の減衰音圧が落ち､距離が 10 倍になると 20dB 音圧が落ちが分かる便利な逆二乗法則ノモグラフが図 2.4 に示てきます。その法則は分析に基づいて説明されていされています。

図 2.4

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リファレンスレベル“ゼロ dB”は電力であろうが音圧にでも使うことがです。サウンドを請け負う仕事では dBm と dB SPL のきる､取り決めにより使いやすく固定された基準点で2 種類の取り決めを使って関わることになります。

ｄBm
0 dBm は 600Ωの負荷に 1 ミリワットがかかってい0 dBm = 1 ミリワット（0.001 ㍗）る状態と定義されています。これに付随する電圧は10 dBm = 10 ミリワット(0.01 ㍗)0.778 ボルトになります。幾つかの基本的関係は次20 dBm = 100 ミリワット(0.1 ㍗)のようになります。

30 dBm = 1 ㍗
33 dBm = 2 ㍗
36 dBm = 4 ㍗
40 dBm = 10 ㍗

VU メーター
VU(ボリューム単位)メーターはサウンドシステムに

VU メーターはピークの信号値を読みません。VUおける電気的レベル監視用に広く使われています。

メーターは非常に短い時間の高いエネルギーを持っ普通に売られている状態では､パワーレベルが 600たピークに応答できません。従って､あるパワーアンΩラインにおいて 0 dBm である場合に VU メーター

プが仮に 18 dBm という出力能力を持っているとすが 0 VU を示すようになっています。しかしながらた

れば､出力を見ている VU メーターは＋4 dB におい

びたび増幅器､減衰ネットワーク､ときには可変装置とて 0 を読むように調整されなくてはいけません。最低

いった､もっと高いレベルでゼロを示すことになるものの歪みで瞬時のプログラムピークを扱うのに充分な､が接続されます。最も普遍的なものは､パワーレベルメーター値 0 の上に 14 dB の“ヘッドルーム”を持つが＋4 dBm と＋8 dBm に対してゼロを読み取ることことになります。この考え方はこれからの教育過程でができる固定された減衰ネットワークになります。

もっと詳細に論議されることでしょう。

dB SPL
0 dB SPL は 1 平方センチメートルあたり 0.0002加速するために与える力ということになり､ 1 cm/sec2dyne(0.0002 dyne/cm2)の音圧レベルを受けているということになります。0 dB SPL は人間が聞き取るこ状態として定義されています。最近では､用語 0 dBとができる音圧限界となり､私どもが日常的に聞く会= 20μN/M2 が進歩した容認された学説として使わ話や音楽といったものは､60 から 85 dB SPL の範囲れています。両方の用語とも互換性があります。にあります。図 2.5 は広い範囲の音圧レベルとそれdyne というのはｸﾞﾗﾑ/ｾﾝﾁﾒｰﾀｰ/秒(cgs)という力の単に対応する dB レベルを書いています。

位で､1 グラムの容量を持った物質を 1 秒間に 1cm

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パワーレベルのまとめ
パワーレベルがある基準レベル以上でｄB として表示されるとすれば､その総和を取ろうとしても 2 種類の数値を dB として単純に足すことはできません。どちらも 97 dB の音圧を出すことができる 2 本のラウドスピーカーがあるとして､両方を同時に鳴らしても 194 dB の音圧を出すことができるわけではありません。平
均値を取ればその合計音圧は 100 dB となります。この答に応じることができる一つの方法
は､2 本のラウドスピーカーが出すもとの出力レベルを変換しなくてはならなくて､それぞれの パ ワ ー レ ベ ル に 戻 っ て (1097/10 =5011872336)､それらを加え(5011872336×2 = 1.002410)､そしてそれを dB に変換する( 10 log 1.002410 = 100)という手順をとるのです。これは退屈な仕事になります。幸せなことにこの和を直接計算できる簡単な図式の道具があるのです。この表は図 2.6 に示されています。
両方が 97 dB SPL である二つのパワーレベルがあると仮定して下さい。その音圧差は0 ですから､図 2.6 を参照して 3 dB SPL を足しと全体パワーレベが 100 dB SPL になります。音圧レベルが 97 dB と 95 dB のラウドスピーカーがあると仮定して下さい。その音圧差は 2 dB ですから図 2.6 を見ると 2.2 dB
SPL を高い出力レベルに加えると 99.2 ｄBSPL になります。出力レベルが 97 dB SPL と91 dB SPL の 2 本のラウドスピーカーがあるとすると､1 dB SPL だけ上昇して全体のレベルは 98 dB SPL ということになります。これ以上､仮に 10dB の音圧差があるラウドスピーカ
ーを加える場合には､結果として出てくる平均レベルは現在存在している 2 本の音響レベルの高い方の数値とほとんど差がありません。

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2 本のラウドスピーカー出力レベルの和D は dB SPL で表される出力レベル差
N は高いほうの音圧レベルに加える数値

図 2.6電圧､dBV ,dBu/dBm 変換表株式会社エムアンドエヌ〒160-0015 東京都新宿区大京町 2-4
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dB 比dB で表す電圧比=20log10E1/E2
パーセンテージとして説明する dB で表す電圧比%=100x10±dB/20
dB として説明する%で表す電圧比
dB=20log(%/100)ｄＢで表される電力比=10log10P1/P2パーセンテージとして説明する dB で表す電力比%=100x10±dB/10
dB として説明する%で表す電力比
dB=10log(%/100)
dB SPL(Lp)=20log(SPL2)/0.00002
ここで SPL2 は 0.00002 Newton/m2 または 20 マイクロ・パスカルと相対する音圧レベル

dB PWL(Lw)=10log((Acoustic Power/(10-12 ワット))

参考文献：T・Ｈ・Ｅ Audio System Designer TECHNICAL REFERENCE

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