複雑系による経済モデル分析

第1回 フラクタル理論と経済時系列予測への応用
時永 祥三
l………‖＝＝‖‖＝＝＝＝＝‖＝‖‖‖＝＝‖‖＝＝＝‖＝＝‖‖‖＝‖＝‖＝＝‖＝＝＝‖‖‖＝仙…ll川‖＝川IlllL…llL……‖‖＝＝‖‖＝＝＝＝＝＝＝‖‖‖＝＝＝＝‖＝＝＝＝‖‖＝＝‖‖＝…ll＝‖＝‖＝‖＝‖＝‖‖‖＝＝＝‖＝＝＝＝‖‖＝＝‖‖‖＝‖‖＝＝‖＝‖＝＝＝＝＝＝＝＝‖＝州l

定義されたりする．どのように細かく分割しても＝や
1． はじめに1l量l潮ミではなく同じような形状を川いざるを得ない（し今川の解説では，複雑系による経済モデル分析に関たがって，微分が定義できない）．このように，通常してこれまでの研究を小心にしながら，最近の．；舌越にの幾イ叶、卸くJな形状とはかけ離れたl舟形をフラクタルとついて述べていく．この解説のベースとなっているもよんでいる．のは，これまで発衣した論文をもとに苦右・が編集し，複雑系による経済分析でフラクタルがもつ意味は，最近川行した汗二i1；て、あるが［9］，このあともいくつか単純な部分の集合が特定の意味ある件質をもつことにの新しい展開があるので，これらも含めて述べていく．

あると∴えよう．以卜では，身近に観i貝りできるフラク以卜 ，5川にわたって，タルの例をホす．

次のような内容について述べる．

（1）「l然界（1）フラクタル理論と経済時系列riElりへの応川淘枠線や両店風景がある．人まかに眺めたlヌl形と，（2仁遺伝的アルゴリズムによる最適化と経済

この一部分を拡人して見た図形は，その複雑さにおい（3）ファジィ推論システムの最適構成と推定てl■i＝ニような形状をしている．また植物，樹木もその（4）カオスと経済軌（、iモ理論と応用

例で，1つの部分を拡大して同じような形状が現れる．

（5）ニューラルネットワークと複雑系

川についても，本流を含む全体の形状が，同様に枝が2．フラクタル理論と経済分析
複雑系の経済モデル分析の最初のテーマとして，フ広がった形状をしている．
（2）人l二物

金属結．1王】では樹木のように結晶が形成（成長）されラクタルをとりあげる．フラクタルはl′h⊥相似′lアl三としることが知られている．電話の卜jI線を，交検f‖1から家て表現されているように，部分的な現象を拡大するこ庭まで配線する形状も同様であるとの指摘もある．とにより全体が見えてくる，あるいは逆のことが近似（3）「1然現象的に成立することをさしている．経済千の分野では，地震の発隼状況を地球の内部で分布として描くと，i三として時系列の解析に過刷するが，株価をはじめ典

人きな地震を大きな範岡で計測した結果と，小さな範ナ凹l勺な時系列にフラクタルが観i貝りされており，応州範州で小さな地震を計測した関係とが同様であることが囲も広い．

知られている 捕り様に，宇宙における星の分布）．

フラクタル（fractal）とは，その捉‖Ⅳ者であるマンデルプロ（Mandelbrot）教授による造語であると（4）株佃

株価のブラウン連動は1つの典型的なフラクタルでされており，その語源はラテン語の「端りJれ」とかある．人食をもっている投資家が大きな株佃変動にい「破片」を意味している［2，6，10］．すなわち，細かだく印象と，小楯の資金しかもたない投資家が小さなな破けが生まって1つの形を形成する現象を指してお株佃変動にいだく印象は同じであると言える．

り，部分の集まりが全体を構成しているとも考えるこ（5）通信トラヒック，需要とができる．令体の形も部分に似ていることから，‡′I

インターネットなどの適㌫トラヒックを計測するとLl相似件（self−Similarity）をもつ現象や集合としてして描いたグラフとはIiiJじような形状をしていること

ときなが しょうぞう
九州人′、rニ人′、祁識猟肯、r研究院経済イ1用Ij門〒8128581福岡市来区箱崎6−191
640（38）

秒単作でi汁測した結果のグラフと，1時間単位で集計が知られている（商■1占の需要を一定期間にわたって集計した結果も同様）．

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オペレーションズ・リサーチ

のに，時制軸の仲良に関して統計的な性質が変わらな

3．コツホ曲線とフラクタル時系列

いことがある［6］．いま，β〃（りを代表的なフラクタ

ル時系列であるfBm（fractionalBrownian motion）

lツーlにはコッホ曲線とよばれる代表rlくJなフラクタル図形をホす．この図形は，部分r畑こ見られるl三冠模様としておく．fBnlはブラウン運軌を非整数断種分しがいくつか集まることにより州似形の同じような1三冠て得られる［6，1机．このとき，次の式が成り、1′：つ模様を形成している．

すなわち，時系列β〃（りをfBmとするとき

もちろん，集合として形成されている仁；迂は部分的な図形とはまったくIii＝ニというわ

β′′（J＋7 トβ′′（り＝ん￣〟（β′∫（／十／汀）−β〃（り）

けではないが，梅めて類似している．この曲線はF′1」（3）相似性をもたせているために，平面を薇いノヰくすほど

ここで，〃はハーストパラメータであり，フラクタの複雑さはもたない．したがって，約1．26次元といル次ノ已βとはβ＝2一〃の関係にある．カは作意のう仙をもつことになる．

止の数である．峠系列の差をとっているのは，β〃（り次元の定義には数種類あるが，相似性次元とよばれ＝〃（りは発散するケースがある理山による．つまり，る次ノ亡を川いる．あるけ＝Iプが，仝休を1んに縦小した峠問軸を1／か倍し，スケールをカ −〟倍したときの波

棚似形ろ佃ほ吊二よって成り立っているとき，次で定形の性質は，元のものと統計f畑二Iiりじ′lて上質をもつこと義する．

を意味する．しかし，同時に，統．汁的な性質が同じでβ＝log打log（Z（1）あることをホしているにすぎないので，例えば，コッ

コッホ州1線の場合，1三冠の形状が全体と部分をなしてホ肋線にならって，時系列の一部分を引き延ばして拡いるので，これらの個数を数えてみると，全休を1／3人しても，全体に−一致するなどの現象は確認できない．にした匝Ⅰ形が4佃含まれているので，以卜では，我々が以前に提案したフラクタル時系列

β＝log4／log3＝1．2618…

（2）

r測了・法を紹介する［3，4，7，11，12］．これは帖系フラクタル時系列を考察する場合ぺ，このようなコ列の時間軸をスケール変換する点は共通しているが，ッホ曲線における性質を利別する．時系列は曲線とは時系列そのものを拡大するのではなく，時系列を．；己述∴いがたい側面もあるが，あえて曲線とみなすと…1線するパラメータの作川する場所を，拡大されたスケー全体のグラフの小に，これを縮小した掴l線が複数個合ルの卜で川いるようにしている．そのために，最初にまれていることになる．部分を観測して，これを過）11時系列を記述するモデルを求め，次に，このモデルのに船人すると全体が見えてくるといった関係を川いる．

パラメータを拡大された畔l掛軸の卜で川いるようにし

なおフラクタル時系列，3次元のフラクタル表面をコンピュータで′ト成する方法の詳細は省略するが，文ている．
−・一般的な線形時変人日月システム

献のみあげておく．

〟（り＝J 0姉，仁㌃）∬（丁）れ＞′。

（4）（1）スペクトルの件質を川いるもの［6］（2）逐次ランダム加算によるノバ去［2，13］を考察する．このシステムでは人力J（りとノーりJダ（′）
が巨i】じであるので時系列の同定モデルと考えられる．

4．フラクタル時系列の予測

線形時変システムのインパルス応答関数／直，㌻）がス

フラクタル時系列の件質として良く知られているもケール関数￠（りを川いて次のように展開されると仮定する．

全休が部分王冠を4個含む（5）∞00 ／zけ㌃）＝∑∑ぁゎ￠〟∫（り如ノ（㌻）！−＝OJ＝0

ただし，￠〃∫（り＝￠（2￣〃トダ），0く′≦1；
￠（り＝
†三 1

横軸を3倍

otherwise

以下では，特に，人Jh力が同じである同定問題（〟（′）
旨＝∬（りの場合）を考える．

全体がまた王冠の形

この式の解釈であるが，時刻′における時系列の値

図1コッホ曲線と相似件次ノ亡2001年11JJり一© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（39）641∬（才）は過去の値を積分することにより表現できるとータをもとにして，1ステップ先のサンプルの予測値するものである．この方法は日勤制御などの⊥学分野を計算することが行われる．これを，以下では∂時ではよく川いられる．積分は加算に置き換えて計算さ刻先の予測とよぶ．

れるので，一種の自己回帰式と解釈してもよいが，r‖1

これに対して，式（10）に従って，逐次的に子測された哺係数が一定ではなく，時系列の観測時刻に依〟する

伯を観測伯と見なして，了瀾りを継続していく場合を考ものとなる．

え，これにより乃ステップ将来の仙を「測する場合を邦∠川‡刻先の予測とよんでおく．〝∂峠刻先の予測

いま，式（4）による子測値〝（〜）と入力時系列J（りとの差の崩小2釆近似を考え，これを最小化するようににおいてもインパルス応答が計算されているので，線インパルス応答関数の係数ゐ∫Jを決定する．計算にあ形子測をそのまま継続して川いる場合と比較して，予たり式（6）でⅣ＝0とし，ノの範囲をノ＝1〜4に限定す

測誤凄は極めて小さいものとなる．
なお，この計算を実l祭に行うには，離散時悶＝こおける．最適化の方法として巌急降下法を川いる．

次に，時間軸の伸長による子測について述べる．いる積分や計算の簡略化が必要である．詳しくは，文献

ま，n≦J≦nは時系列J（′）が観測される時「紺区間［9］を参照されたい．

でありれ＝n−れとする．また，0＜J≦右はJ（り5．予測誤差を子測するl大間とする．なお，T，右の選び小こは作意性があるが，期間れの時系列が，期l捌全体7ちの

次に，式（10）をIlいて時系列を予測した結果について時系列とできるだけ相似であるように選択する必要がまとめておく．フラクタル時系列であるfBmを対象ある．とする．

図2には本章の了・法を川いて峠系列を子測した場介

次の昼を定義する．

∂＝αβ，α＝ちけ．，右＞r（8）の結果をホしてし、る．実線が観測値であり破線が翻り伯である．睦12は1−Step先の子測である．

βは時系列J（′）のフラクタル次元であり，ナ測誤差を観測された期間における時系列の最大振1＜β＜2

幅を基準とした予測誤差の相対値としておく．これらである．J（′）がフラクタル件を持つ場斜こは，その自己相似性により，0＜′≦右において，次の式が近似r畑こ成立すると考えられる．

表1fB111のろ時刻先のriHl儲差（α＝2）

洲＝占−1J抽舵㌔1）J（丁）れ′＞妬（9）
この式はあくまでも経験的に成立することが戸想され

次元β1．80 1．50 1．25

予測誤差

0．25 0．19 0．17

る式であl），理論的な結果ではない．この導州には，

表2 厨川阜剣先の「測畝差（β＝1．5，〟＝2）

時系列をコッホ曲線とみなして，相似関係を兄山すノノ法を刷いている．図1の例では，横軸方位＝こα倍だmむ＝30 60 90 120

け曲線を引き延ばすと，相似の図形が狛個出現して3．7

予測誤差

4．95．25．6いる．これを時系列の時間軸の伸長に過川する．すな
わち，時間軸がα倍された領域の小にか偶のフラク

2タル匝】形が入ると解釈される．

0

計算においては，α＝整数となるようにTl，右を選2んでいる（例：右＝271）．サンプリングされた時系列を仮定し，サンプリングl甜隔を1とする．すなわち，4式（4）では′＝ん＋1であり，式（9）では′＝妬＋ぁとなる6ので，次の子測式となる．
8

ポ妬＋∂耕一1J抽′紘ユチ）∫（丁）dr，−10J＞妬

（10）−12

予測を議論する場合には，通常，現在までの観測デ

100

200300400500600700

図2 fBmの1−Step先十測（b時刻先）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

642（40）オペレーションズ・リサーチ

の誤差の特性については，文献［11］と［12］にまとめてデックスである．4・（t）としてはDaubechiesのウェーいる．占時刻先，〃∂時刻先の戸測誤差の大きさは，ブレットを川いる［1］．この￠（りの波形は，／＝0で時系列の最大振幅に対して：ヤ均して，それぞれ，最大植をとり，rd」jノブ向に振軌しながら減衰する形であ0．3％，5％程度となる（衣1，衣2）．

り，7〃はこの基本波形を時間軸方向に伸縮させる役
割を，刀は峠聞帥ノノ向に移軌させる役割をもつ．

6．フラクタル性の検証

J（′）がフラクタル性をもつことから，ウェーブレット係数エ・グの満たすべき条件として，次の関係式が時系列がフラクタル（「1」相似）であることは，通常，1）時系列の別個のサンプルの、lそ均の分散を調べ得られる［12，14］．

る，2）時系列のスペクトルが周波数に逆比例する，〃〟7′（J芳）＝♂22￣Ⅵγ椚

（18）

すなわち1／fスペクトルであるかを調べる，という2この関係式は，ウェーブレット各本関数の性質などをつのことを確認することにより行われる［5］．

川いると証明できる．

（1）時系列別個サンプルの、ド均の分散

この両辺の対数をとると，椚について線形の関係

もとの時系列をJl，J2，…としたとき，これらをタ77

式がHられる．この泊二線との2来、ドノノ謹も差〟∽の大きさによりフラクタル件を判定できる．

佃ずつ合計し平均をとった系列． 椚 J′（研）二距［写（log（〃〟γ㈹ト（・0−Clタ可＝2／（借r）．

（11）の分散であるひαγ（∫（椚））が‖川ぴαr（∬（椚））＝α明β（12）ただし，Co，Clは回帰牒二組を、11てはめた場合の係数でとなること．ただし，0＜β＜1であり，♂は椚＝1グ）あり，〟は涼■i：7乃の取り得る個数，＿方rは観測則問

場介の分散である．

におけるlog（乙，αr（J芹））の最人仙と最小仙との差であ（2）1〟●スペクトルをもつこと

る．fIうmに対して式の係数を計算し，式（19）に従って観測される峠系列がフラクタルであるかを検言lIミした

プロットしてみると分かるように（ここでは省略すり，フラクタル時系列を特徴づけるパラメータであるる），対数をとったグラフは柚めてl！ ！二線に近くなってフラクタル次元や分散を推定する方法としてウェーブいる．

レット変換が有効である．

以卜では，経済分野における税一夫rl甘なフラクタル時

フラクタル時系列は非定常時系列であるので，止確系列として，株価がフラクタルであるかどうかを検計な意味ではスペクトルは存在しないが，、ド均的な形としてみる．川いたデータは†1本の株式市場における屯して，次の式によりり▲えられる［12，14］．

／L化されたlI々の株価であり，CD−ROMデータであS（山）＝♂2（〟γ（13）γ＝5−2β（14）る東げ経済新報潮二，CI）株仙かノ〕人丁・しており，そのI叶谷ほ‖983叶から1993隼までの東京証券批・川叶一部

ここでβ，♂2は時系列のフラクタル次元と分散である．

卜域介業の株式肝j＝二おけるII々のデータ（始伯，終なお式（13）に示すようにスペクトル5（仙）はh耶皮数／

仙，l：一雄i，安価の4つ）が．ミ已録されている．解析では，（ここで仙＝2プげ）の逆数になっており，これを1げ

この株仙に対してウェーブレット変換した場合の係数

スペクトルとよぶ．の分散の指数を研の関数としてホしている．スペー

フラクタル時系列のウェーブレット変換と分散，フスの関係で結果の詳細は省略するが，全休的にβはラクタル次元との関係を求める．Jj・えられた時系列（）．02程度となっている．この広がり（βの分散）にtr（りをウェーブレット変検する．

ついては極めて′トさく，ほほ、，〟＝0とみなせ，また，銘柄による差は人きくない．これより株価が強いフラJ（り＝∑∑豆釣膵（り−JIJJ

クタル性をもっていることが仁想できる．
∬芹＝／；洲抑）d′7．株価予測の傾向〝（′）はウェーブレット基本関数￠（りに対する次のスケール，シフト変換とにより構成される．
〝（り＝2晰2￠（2m仁粥）

ここで，研，77は，スケール変換，シフト変換のイン

2001年11‖1・′夫l祭に観測された株価（終伯）をフラクタル時系列（17）としてモデル化し，ここでホす丁・法によりその将来の仙をト測して，実際に観測されたIlキ系列との比較を寺J・© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（41）643

ワークを介して送信されるコンピュータデータである

J．

表3には，株価㌢測の乃ろ時刻先の戸測誤差についが，製．甘需要の発句ミとしてモデル化することも吋能でて，平均値と，いくつかの個別銘柄に対する結果を示あろう．ON／OFFソースの重ね合わせがフラクタルしている．となることの甚本的な考え方は，統計rl勺に独立である

子測誤差は期間＝勺の最大振幅に対する誤差の剖介（パーセント）としている．〃＝2000の場合

ON／OFFソースを統計的に多轟化するとガウシアを考察している．予測期問につし−ては，扉川軒別先にン・ノイズとなり，これを一定の＝粛聞lズ問にわたってついて，邦∂＝28から〃∂＝140までをとり，この場合積分するとfBmになることを利川している［5，8］．
以卜では同様な考え方により，「I々の需要データがのr測誤差を示している．

なお，占時刻先の子測誤差についての結果は省略しガウシアン・ノイズとして近似でき，これを数日間にているが，極めて小さく，、1え均して，振幅に対してわたり集計することによリfBmとなることを月日−て0．6％程度となっている．

いる． すなわち，それぞれのIlに発生する需要はラン

これらの結果より分かるように，全体rlくノに乃占時刻ダムであるが，これを，例えば，ある【Jを含めて8日先の予測誤差については銘柄により差が大きく誤差が前までを集計して時系列として表現すると，フラクタ小さい場合には0．3％程度であるが，大きい場合にはル件をもつことが示される［7］．この理由としては，14％程度まで拡大している．この、l雄ノ伯は4％ないし1Ⅰ々の需安がランダムに（ガウンアン・ノイズとみな6％程度である．これらは定常波に対する「測誤差よす）発／巨しており（ON／OFFソースであると考えり1一分に′トさい．

る），これを数【川∃Jにわたり累計することにより多黍r測誤差が84時刻先の場合には5％前後，140時刻化され，fBmとなると解釈される．
建材の椰類を60種類とり，それぞれについて次の先の㌣測の場斜こは7％前後となっており，実l賢にr測を川いて技資決定をするには人きな違いはないと考ようなデータ集計を行い，ウェーブレット係数から計えられる．なお，14（川寺刻先のri貝りは，例えば50011算したf㍍のや均伯を求めた．

【〜りの観測された株佃から14011先の株佃を予測するも（ケース1）【1々のデータのであり，その洪差が7％程度であることは，この予（ケース2）週単位の集計デー測ガ式が有効であることを示している．通常行われる（ケース3）あるFlを含めて8口前までを集計しそ

ブラウン運動のモデル，あるいは線形子測では，このタのRの値とする（ケース4）ある【〉Iを含めて15口前までを集計しそような精度は得られない．の口の伯とする

8．需要予測への応用

需要を示す時系列データに対し，∽を横軸にlog

通信トラヒッタのモデル化に関連して，最近，（〃αγ（J芳））を縦軸にとった場合の剛こ当てはめた回帰

ON／OFFソースを束ね介わせることにより，フラク直線から得られる斤を求めたのが表4である．

タル時系列が生成できることが理論的に示され，この表4より分かるように，ケース3，4を除いてLANなどのトラヒック解析に利別されている［5，8］．

は時系列にはフラクタル性が見られない．すなわち，

ON／OFFソースとは，ON区間とOFF［ズ問が交互に［￣l々の需要値はGaussianであり，週単位の集計値も現れるモデルであり，ONlズ間では一定の間隔でパケIii】様の性質を示すが，日々の需要を最低8日間累計しット系列が発生している．てその［Iの伯とした場今には，フラクタルとみなすこ

パケット系列はLANなどの通信においてはネットとができる．なお，表4では平均値を示しているが，ほとんどの建材で，ケース3，4について顕著なフラクタル性を示していることが分かる（斤の分散は表3 〃∂時刻先の先測誤差（％）

銘柄0．013であり極めて小さい）．この現象は，需要の時

mむ＝28 56 84 112 140

系列がフラクタルであることを示しており，予測を従

富士電機

4．0

4．7 4．3

5．46．2日立工機

4．4

4．1 5．5

5．6

6．6

来の線形予測によ牛求めることができない理由を間接6，6的に示している．

極洋

4．5

4．6

5．2

5．6

ラサ工業

5．9

4．6

6．7

6．2

平均4．2

4．5644（42）7．0

5．1 5．56．5© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

表4 建材ぷ要の時系列の〟ケース

0．118

4321月の応用が考えられる．

0．053 0．019

参考文献

0．011

【1］r）aubechies．Ⅰ． Orth（）nOrmalbases of compactly
SuPPOrtedwavelets

表5 建材需要のわ咋別先のr・洲．鉄芳（〝＝2）41，11（）．7，Pp．909−996（1988）．
【2］．1．フェダー苦（松卜l−i，早川美枇，佐藤信一訳）：ほ」フラ

rl＝200 300 400
1．21

予測誤差

，Commun．PureAppl．Math，VOl．

クタル』，甘、ハ里版．

1．39 1．17

Lニう］池川欽一，咋永杵三： スケール伸長変枚を川いたフラ

クタルム1両の推定とその応川

表6 娃材ぷ要の77わ帖別先のr・測敲昔（〟＝2），イ∴′、告諭（A），VOl．J81−A，

IlO．8，PP．1127−11（1997）．
71む＝1020

5．76．9

予測誤差

3040「41池‖欽一，峠ノk作三： フラクタル時系列の㌢測手法を

7．2 15．6

川いた株価r測とその応＝J，‖本オペレーションズリサーチ′、ト会論文．i志，VOl．40，110．1，pp．18一二il（1999）．
「51小沢利久： いろいろな人力過柑モデル（講雌−けち寺J・

9．フラクタル表面の推定への応用

列研究の新しい潮流（4）），オペレーションズリサーチ，VOl．43，110．12，pP．68（卜686（1998）．

ここでは，フラクタル岬系列のト測f▲法をフラクタ

し6］高安秀樹：汀】フラクタル．』，朝倉非情（1986）．

ル衣面（3次ノ亡フラクタルぃり・）に拡張するノバよをホ〔7］竹林漣＼植村≠：維1時虻祥三： フラクタル時系列の件

す［3］．モテルとしてはごの分イIJの推定などがある．

質を川いた1ブ．；安r・測の寸はいま，一般的な線形人目カシステム（線形推定式），ll本オペレーションズリ

サーナ、iご：全品20（）0隼2J川，IlO．2，pp．5卜59（200肛言（∫，〟）＝J■r J加′〜（J・，lヱ・r，…−′∠）

L射M．S．Taq〔1u，W．WillingerandR．Sherman：Proof（）f a fし1ndamentalresultillSelトsimilar traffic model−×z（㌻，／ノ）〟r（みJ（20）をそ察する［3］．ここで，J。と帥はz（J，〝）を推定す

る咋にガ座腰，y座標のどの範川まで川いるかをホすもので，0く．ユー。＜．r，0く帥く〟の仙をとる．インパル
ス応答関数ル（J，㌻，〟，〃）の推定において，カ（J，㌻，佑〃）がスケール関数￠（りを川いて次のように展開されると仮定する．

1堀，Computer Communication Review27，pp．5▼23（1997）．

［91時′k祥三：『裡雑系による経済モデル分析』，九州人・、〜：＝版会（2（）り0）．

［101B．Mandelbrot：The fractalgeometry of nature，Freeman，San Francisc（）（1982）．
［11］岬′k祥三，森保洋∴項岬≠肛島津㍍之： 時系列のフ∞カ（J，㌻，〝，〃）＝∑／〜〜二′々′￠〃〜（J）￠〃ノ（㌃）！，ノ，ゐ，J

VOl．J79−A，nO．11，pp．1793L18（）0（1996）．

X如た（〟）如′（〃）「12］畔永祥三，森保洋，宮山糾一維，島津音之： スケール仲

ただし，

1主変換およびウェーブレソト変換によるパラメータ推定如∫（′）＝2【〃′2￠（2〃仁一オ）

・，1り−

ラクタル件を川いた巨測手法とその応川 ，イii一、告諭（A），を川いた時系列（測1，0くJ≦1；0，Otherwise，信，？：論（A），VOl．J79A，nO．12，PP．20542062（1996）．

［13］R．F，Voss： 11hefractaldimensionofpercolation

この場合には，インパルス応答関数の推定は係数

Clusterhulls ，J・Phys・A・Math．Gen．，VOl．17，nO．1，pP．

ん潮の推定とIii】等となる．

373377（1984）．

詳しい計算結果はれ略するが，フラクタル表面の推［14］（；．W．Wornell： Waveletbased representation

定洪芳は，長而の最人振幅に対して0．5％杵度であり，f（）l・thel／ffami1yoffractalprocess ，Proc．IEEE，VOl．

糠めて小さい．今後，雲の移動，集11I衷lこトけ測などへ

81，110．10，Pp．1428−1450（1993）．

2001年11‖り一© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（43）645