ノート
バリュー・アット・リスクの
ヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析
岩本菜々*☨
2015
2014 年 1
8 月 31
1 日投稿2015 年 2 月 18 日受理

概要
バリュー・アット・リスク (VaR) は様々な推定手法があるが，事前にリターンの分布を仮定
しないヒストリカル・シミュレーション法 (HS 法) は銀行の市場リスク計測に広く使用されており，重要度が高い手法である．しかし，HS 法はリターンの直近の変動傾向を反映せず，観測期間が短い場合に精度の高い推定結果が得らないという欠点が指摘されている．前者を改良した手法としてハイブリッド法が，後者はカーネル平滑化法が提案されている．本稿では両者の利点を併せ持つ手法を提案し，15 ヵ国の主要株式指数を用いたバックテストにより，提案法の優位性を示した．
キーワード：VaR，市場リスク，ヒストリカル・シミュレーション法，*DUPDQ.ODVV 推定量，カーネル密度推定法1はじめに
金融機関において市場リスク管理は必須である

自己資本比率を規定するバーゼル規制に採用されており，また非金融機関でも広く使用されているため重要性が高い．

ため，その推定精度の向上は非常に重要である．

9D5 は -3モルガンにより開発された，単一資市場リスクの推定手法は多種存在するが，特にバ産や資産ポートフォリオの一般的なリスク推定手

リュー・アット・リスク 9D5 は国際的な銀行の法である．9D5 の定義は，
過去一定期間 観測期間 の価格変動から，ある資産を一定期間保有した場

*
大阪市立大学大学院経営学研究科

〒558-8585 大阪府大阪市住吉区杉本 3-3-138
email: iwamotonana@gmail.com
☨
本稿の作成にあたり，高田輝子准教授（大阪市立大学）
から多くの指導を受けた．また，匿名の査読者から有益なコメントを頂いた．ここに記してこれらの方々に感謝の意を示したい．ただし，本文中に含まれる誤りは全て著者の責任であることは言うまでもない．

合 保有期間 ，定めた確率の範囲内 信頼水準 で起こると推測できるその資産の損失の最大値である．つまり，観測期間を𝑇𝑇日，保有期間を𝑡𝑡日，
信頼水準を1 − 𝛼𝛼とした場合，観測期間中の𝑇𝑇個のリ タ ーン𝑹𝑹 の 𝛼𝛼 分 位 点 が観 測期間 か ら 𝑡𝑡 日 間 のリスクと保険97𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑹𝑹)であり，以下の式で計算される．
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑹𝑹) = inf⁡{𝑥𝑥|𝐹𝐹(𝑥𝑥) ≥ 𝛼𝛼}る．両手法は +6 法と同様に，事前にデータの分布を仮定しない手法であるため，不適切なモデルのここで，𝐹𝐹(𝑥𝑥)は𝑹𝑹より求めた累積密度，inf⁡(𝑥𝑥|𝐴𝐴)は仮定から生じるリスクを避けることができる．

以下𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑹𝑹)を簡単に 9D5 と記す．

直近のリターンの変動傾向を反映しない．つまり事象𝐴𝐴が成立する条件のもとでの𝑥𝑥の下限である．

また，+6 法はすべてのリターンを等加重で扱い，分位点の推定手法が複数存在するため 9D5 推定+6 法は  日前のリターンと  日前のリターンを手法は多種存在する．主要な手法は，分散共分散

等しく扱い 9D5 を推定する．この欠点を補う手法

法 9&9 法 ，ヒストリカル・シミュレーション

がハイブリッド法と呼ばれる手法があり，

法 +6 法 ，モンテカルロ・シミュレーション法

%RXGRXNKHWDO>@ %5: 法 と +XOODQG:KLWH

0&6 法 の  手法である ．初期の 9D5 はリターン>@ +: 法 がそれぞれ提案している．%5: 法

が正規分布に従っていると仮定する 9&9 法である．

は 9D5 の推定日と過去のリターンの観測日との距

しかし，金融リターンの多くは正規分布よりも裾離に関して，+: 法はボラティリティの推定に関しが厚い分布であることが知られており，その場合て指数型加重移動平均法を用いている．そのため，

9&9 法はリスクを過小評価する．この問題を解消す

両手法は減数係数と呼ばれるパラメータを必要とる手法として，事前にリターンの分布を仮定しな

す る．その 最適なパ ラメータ の推定に ついて

い +6 法が広く使用されるようになった ．

ŽLNRYLćDQG$NWDQ>@，&KDQJFKLHQHWDO

しかし，+6 法は観測期間の長短と 9D5 の推定精>@がそれぞれ言及している．ŽLNRYLćDQG

度との間にトレードオフの関係があることが知ら$NWDQ>@は /RSH]>@が提案した損失関れている +HQGULFNV>@ ．+6 法は推定値に

数 の 最 小 化 を ， &KDQJFKLHQ HW DO >@ は

一部のリターンのみを反映する手法であるため，*DUPDQDQG.ODVV>@による *DUPDQ.ODVV 推

観測期間が短い場合に精度の高い推定結果が得ら

定量を用いた *. 法 ．

れず，逆に観測期間が長い場合に推定値の変動が本稿では，これら +6 法に関する  手法，9&9 法，

少なくなるという問題がある．この欠点を補う手

そして新たに提案する *. 法と .+6 法の利点を持つ法として，(IURQ>@によるブートストラップ.*. 法の全  手法についてリスク推定の精度比較法を用いた手法，その期待値に一致する +DUUHOO

分析を行う．+6 法は広く使用されている 9D5 推定

DQG'DYLV>@による +DUUHOO'DYLV 推定量を手法であるため，その問題点を補った手法の精度用いた手法 +' 法 ，*RXULHURX[HWDO>@

比較を行うことは重要であると考えられる．特に

によるカーネル平滑化法 .+6 法 がある ．+' 法.*. 法は +6 法の複数の欠点を改良する手法であるは順序統計量の  次結合である /推定量に属する

ため，高い推定精度を示す可能性がある．しかし，手法であり，.+6 法はカーネル密度推定法から推定同様の手法を提案した研究は現在存在せず，それした非常に滑らかな累積密度を使用する手法であ以前に .+6 法を用いた比較研究は非常に少ない．
 カ国の主要株価指数の日次リターンを用いて，

VaR ではデータに収益を用いる場合と収益率を用いる場
合がある．そのため本稿では表記をリターンと統一する．
ほかにも，極値理論，条件付自己回帰 9D5 &$9LD5 ，
そしてストレス・テスト等がある．詳しい 9D5 のサーベイに関しては -RULRQ>@，&KHQDQG/X>@参照．
3 年  月時点では，三菱 8)- フィナンシャル・グル
ープ>@，三井住友フィナンシャルグループ>@，りそなホールディングス>@によると市場リスクの計測に +6 法を採用している．みずほフィナンシャルグループ>@によると 9&9 法と 0&6 法を採用している．
4 .+6 法により +6 法の欠点を改善できると示した研究は&KHQDQG7DQJ>@である．
1

98

9D5 の精度比較手法として一般的であるバックテ
ストにより精度比較を行った結果，本稿で提案した .*. 法が最良の推定精度を示した．
以下に本稿の構成を記す．第  章では各手法の詳細について説明し，第  章では比較分析に用いるリターンとバックテストについて述べ，9D5 推定手法に使用した各パラメータを詳細に説明したの
ち，分析結果を示す．そして最後に第  章でまとバリュー・アット・リスクのヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析

めと今後の展望を述べる．

である．

29D5 推定手法

 +' 法 は 経 験 分 布 𝐹𝐹𝑇𝑇 (𝑥𝑥) を 用 い た 順 序 統 計 量

𝑅𝑅⁡((𝑇𝑇+1)𝛼𝛼) の期待値⁡𝐸𝐸(𝑅𝑅⁡((𝑇𝑇+1)𝛼𝛼) )であるため，(IURQ

2.1 分散共分散法

>@が提案したブートストラップ法を用いた分散共分散法 9&9 法 は観測期間を𝑇𝑇日，保有

9D5 推定手法による推定値と一致する 6KHDWKHU

期間 W 日，信頼水準を1 − 𝛼𝛼とすると，過去⁡𝑇𝑇日間

DQG0DUURQ>@ ．ブートストップ法による手のリターン𝑹𝑹⁡が正規分布に従っていると仮定し，法は，7 個のデータから復元抽出により大きさ 7

その𝛼𝛼分位点を 9D5 とする手法である．リターンのの標本を抽出し，標本分位点を求める作業を多数

平均をμ，標準偏差をσ，標準正規分布の𝛼𝛼分位点回繰り返し，
その期待値を 9D5 とする手法である．

を∅−1 (𝛼𝛼)とすると，以下の式で求められる．

計算量が多い手法であるが，+' 法を使用すること

𝑡𝑡⁡𝜎𝜎⁡∅−1 (𝛼𝛼) + 𝜇𝜇𝑡𝑡

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = √ 

2.2 ヒストリカル・シミュレーション法

でその問題を回避できる．
2.4 カーネル平滑化法

ヒストリカル・シミュレーション法 +6 法 は*RXULHURX[HWDO>@によるカーネル平滑

リターンの経験分布𝐹𝐹𝑇𝑇 (𝑥𝑥)の𝛼𝛼分位点を 9D5 とする

化法 .+6 法 はカーネル密度推定法により求め手法であり，以下の式から算出する．

た滑らかな確率密度，累積密度を 9D5 の推定に使

𝐻𝐻𝐻𝐻 = inf⁡{𝑥𝑥|𝐹𝐹𝑇𝑇 (𝑥𝑥) ≥ 𝛼𝛼}

用する手法である．カーネル密度推定法はヒスト

𝐹𝐹𝑇𝑇 (𝑥𝑥) =𝑇𝑇

1∑ 𝐼𝐼⁡(𝑅𝑅𝑖𝑖 ≤ 𝑥𝑥)⁡𝑇𝑇 

グラム法を一般化した手法であり，以下の式で確率密度が求められる．

𝑖𝑖=1

𝑇𝑇

ただし，𝐼𝐼(・)は指示関数である．

1𝑥𝑥 − 𝑅𝑅𝑖𝑖
ƒ𝑘𝑘 (𝑥𝑥) =∑ 𝑘𝑘 ()𝑇𝑇ℎℎ +6 法による 9D5 推定値は標本分位点と呼ばれ，一部のリターンを推定値に反映する手法であり，観測期間が短い場合に精度の高い推定結果が得られないという欠点を持つ．しかし，この問題は+DUUHOODQG'DYLV>@による +DUUHOO'DYLV

 

𝑖𝑖=1

このとき，𝑥𝑥は評価点，𝑅𝑅𝑖𝑖 は𝑖𝑖番目のデータ，𝑘𝑘(・)は∫ 𝑘𝑘(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1，∫ 𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0，∫ 𝑡𝑡 2 𝑘𝑘(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 ≠ 0を満

たすカーネル関数，⁡ℎはバンド幅と呼ばれるカー
ネル関数の幅を規定するパラメータである．

統計量を用いた 9D5 推定手法，*RXULHURX[HWDO

カーネル密度推定法の最大の論点はバンド幅の>@によるカーネル平滑化法により改善でき選択である．なぜなら，バンド幅ℎが大きすぎる

る．

と推定したい確率密度を過剰に平滑化し，小さす

2.3 +DUUHOO'DYLV 統計量を用いた手法

ぎるとノイズに過剰に反応するからである．また，+DUUHOO'DYLV 統計量を用いた 9D5 推定手法

カーネル関数による推定値の差は非常に小さい．

+' 法 は，順序統計量に対し標本分位点に近づく
につれ大きい重みを与える /推定量により求めら

そして，  式を積分すると累積密度が求めら
れる．

れる．
𝑇𝑇

𝑤𝑤⁡𝑖𝑖𝛼𝛼 =HD = ∑ 𝑤𝑤⁡𝑖𝑖𝛼𝛼 𝑅𝑅⁡(𝑖𝑖) 
𝑖𝑖=1

1× ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝛽𝛽⁡(⁡(𝑇𝑇 + 1)𝛼𝛼, (𝑇𝑇 + 1)⁡(1 − 𝛼𝛼))⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡∫

𝑖𝑖/𝑇𝑇(𝑖𝑖−1)𝑇𝑇

𝛽𝛽⁡(⁡𝑘𝑘, 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 + 1) = (𝑘𝑘 − 1)! (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)!/𝑛𝑛!である．
標本数が𝑛𝑛である経験分布𝐹𝐹𝑛𝑛 (𝑥𝑥)を用いた順序統計量𝑋𝑋(𝑘𝑘) の期待値𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑘𝑘) )は以下の式より計算できる．
1
1
 𝐸𝐸(𝑋𝑋(𝑘𝑘) ) =∫0 𝐹𝐹𝑛𝑛 (𝑦𝑦)−1 𝑦𝑦 𝑘𝑘−1 (1 − 𝑦𝑦)𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦 (𝑇𝑇+1)𝛼𝛼−1 (1 − 𝑦𝑦)(𝑇𝑇+1)(1−𝛼𝛼)−1 ⁡𝑑𝑑𝑑𝑑

このとき，𝑅𝑅⁡(𝑖𝑖)は𝑅𝑅を昇順に並び替えた順序統計量，𝛽𝛽(・, ・)はベータ関数，𝑤𝑤⁡𝑖𝑖𝛼𝛼 は𝑅𝑅⁡(𝑖𝑖) に対応する重み

𝛽𝛽(𝑘𝑘,𝑛𝑛−𝑘𝑘+1)
1

= ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1

∫

𝑖𝑖/𝑛𝑛

𝛽𝛽(𝑘𝑘,𝑛𝑛−𝑘𝑘+1) (𝑖𝑖−1)/𝑛𝑛

𝑦𝑦 𝑘𝑘−1 (1 − 𝑦𝑦)𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑⁡𝑋𝑋(𝑖𝑖) 最適なバンド幅の選択については議論が行われている．
たとえば -RQHVHWDO>@や +HLGHQUHLFKHWDO
>@参照．
8 詳しくは 6LOYHUPDQ>@参照．

リスクと保険99

𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑅𝑅𝑖𝑖∑ 𝐾𝐾 ()𝑇𝑇ℎ𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝑥𝑥) =/RSHV>@による損失関数は，9D5 が保有期間

𝑖𝑖=1

このとき，𝐾𝐾(・)は𝑘𝑘(・)を積分した関数である．
.+6 法は⁡α = 𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝑥𝑥)⁡となる⁡𝑥𝑥⁡を 9D5 とする手法であるため，以下の式を解くことで推定値を求めることができる．𝑇𝑇

1𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 − 𝑅𝑅𝑖𝑖
∑ 𝐾𝐾 () = 𝛼𝛼 
𝑇𝑇
ℎ

 

𝑖𝑖=1

2.5 ハイブリッド法

ハイブリッド法は直近のリターンの変動傾向を反映した 9D5 推定手法であり，%RXGRXNKHWDO

W 日内にリターンを下回った場合の損失を求める関数であり，以下の式で表される．
𝜏𝜏

1
𝐶𝐶(𝜌𝜌⁡) = ∑ 𝐶𝐶𝑖𝑖 (𝜌𝜌⁡)𝜏𝜏
𝑖𝑖=1

1 + (𝑟𝑟𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉)2 ⁡⁡,   𝑟𝑟𝑖𝑖 ≤ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉⁡𝐶𝐶𝑖𝑖 (𝜌𝜌⁡) = {   ⁡⁡0   ⁡,   𝑟𝑟𝑖𝑖 > 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 

ただし，⁡𝐶𝐶𝑖𝑖 (𝜌𝜌⁡)⁡は損失関数，𝜏𝜏⁡は全 9D5 推定値の個数，𝑟𝑟𝑖𝑖 は翌𝑡𝑡日間のリターン[𝑅𝑅𝑖𝑖+1 , 𝑅𝑅𝑖𝑖+𝑡𝑡 ]の最小値である．ŽLNRYLćDQG$NWDQ>@は， 種の金融>@による提案法 %5: 法 ，+XOODQG:KLWH

リターンの全期間，分割した期間のそれぞれにお>@による提案法 +: 法 がある．%5: 法はいて推定した最適な⁡𝜌𝜌⁡はいずれも  から  の間

9D5 の推定日と過去のリターンの観測日との距離であると示した．

に応じて指数型加重移動平均法を適用しており，

2.5.2+XOODQG:KLWH>@による手法

+: 法は指数型加重移動平均法で推定したボラティ
リティと経験分布により修正したリターンを使用している．
2.5.1%RXGRXNKHWDO>@による手法
%5: 法は，まず各リターン𝑅𝑅𝑖𝑖 に対応する重み付け

パラメータ𝜔𝜔𝑖𝑖 を算出する．
𝜔𝜔𝑖𝑖 =1－𝜌𝜌

1－𝜌𝜌𝑇𝑇𝜌𝜌𝑇𝑇－𝑖𝑖 ⁡ +: 法は，まず指数型加重移動平均法による推定
ボラティリティ𝜎𝜎𝑖𝑖+1 を算出する．
2
𝜎𝜎𝑖𝑖+1= 𝜌𝜌𝜎𝜎𝑖𝑖2 + (1 − 𝜌𝜌)𝑅𝑅𝑖𝑖2  

た だ し 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑇𝑇，0 < 𝜌𝜌 < 1 で あ り ， +XOO DQG:KLWH>@では⁡𝜌𝜌⁡を  とした．*$5&+ モデ

ル等では，リターンを推定ボラティリティと標準正規分布に従う互いに独立な誤差項ϵとの積として推定するが，+: 法はϵを使用せず，経験分布を使

ただし1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑇𝑇，0 < 𝜌𝜌 < 1であり，%RXGRXNKHW

DO>@では減数係数⁡𝜌𝜌を ， とした．

用する．具体的には，𝑅𝑅𝑖𝑖 を対応する推定ボラティ

そして，𝑅𝑅を基準に𝑅𝑅と𝜔𝜔を昇順に並び替えた𝑅𝑅⁡(𝑖𝑖)

ラティリティ𝜎𝜎𝑇𝑇+1 との積を修正リターン𝑅𝑅𝑖𝑖∗ とし，と𝜔𝜔⁡(𝑖𝑖) を求め，経験分布の代わりに𝜔𝜔⁡(1) から𝜔𝜔⁡(𝑖𝑖) ま

での総和𝑠𝑠⁡(𝑖𝑖) を累積分布として線形補間法により9D5 を推定する．つまり，𝛼𝛼 ≤ 𝑠𝑠⁡(1) では𝑅𝑅⁡(1)⁡ を 9D5とし，𝑠𝑠⁡(𝑖𝑖) < 𝛼𝛼 ≤ 𝑠𝑠⁡(𝑖𝑖+1) では以下の式から 9D5 を算出する．

  𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝜌𝜌 

𝑅𝑅⁡(𝑡𝑡)⁡ ⁡(𝑠𝑠⁡(𝑖𝑖+1)⁡ − α) + 𝑅𝑅⁡(𝑡𝑡+1) ⁡(𝛼𝛼 − 𝑠𝑠⁡(𝑖𝑖)⁡ )  =𝑠𝑠⁡(𝑖𝑖+1)⁡ − 𝑠𝑠⁡(𝑖𝑖)⁡ 

リティ𝜎𝜎𝑖𝑖 で除した値と観測期間の最終日の推定ボ
その𝛼𝛼分位点を 9D5 とする．

𝐻𝐻𝐻𝐻 = inf⁡{𝑥𝑥|𝐹𝐹 𝑇𝑇,𝑅𝑅𝑖𝑖∗ (𝑥𝑥) ≥ 𝛼𝛼}𝐹𝐹 𝑇𝑇,𝑅𝑅𝑖𝑖∗ (𝑥𝑥) =𝑇𝑇

1∑ 𝐼𝐼⁡(𝑅𝑅𝑖𝑖∗ ≤ 𝑥𝑥)⁡𝑇𝑇
𝑖𝑖=1

このとき𝑅𝑅𝑖𝑖∗ は以下の式で求められる．
𝑅𝑅𝑖𝑖∗ =

 

𝑅𝑅𝑖𝑖
𝜎𝜎 
𝜎𝜎𝑖𝑖 𝑇𝑇+1 

つまり +: 法は各リターンを直近の推定ボラティ

 また，%5: 法の最適なパラメータを推定した研究

リティで標準化する手法である．推定ボラティリに ŽLNRYLćDQG$NWDQ>@がある．ŽLNRYLćDQG

ティはリターンの変動度合いを示す指標であるた$NWDQ>@は /RSH]>@が提案した /RSH]

め，𝑇𝑇期のリターンを𝑅𝑅 𝑇𝑇 ，推定ボラティリティを𝜎𝜎𝑇𝑇

9

この計算法は安藤>@を参照しており，原文とは異なる．詳しくは安藤>@の S 注  参照．

100

スコア𝐶𝐶(𝜌𝜌⁡)を最小化する⁡𝜌𝜌⁡を最適な⁡𝜌𝜌⁡とした．

とするとき，𝑅𝑅𝑇𝑇−100 ，𝑅𝑅𝑇𝑇 を𝜎𝜎𝑇𝑇−100 ，𝜎𝜎𝑇𝑇 を用いて標準化することでより正しい比較が可能である．な
ぜなら𝜎𝜎𝑇𝑇−100 ＜𝜎𝜎𝑇𝑇 ，𝑅𝑅𝑇𝑇−100 ＝𝑅𝑅 𝑇𝑇 である場合，𝑅𝑅𝑇𝑇−100 

バリュー・アット・リスクのヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析

表 㻌 9D5 推定手法の概要

略名

手法の説明

9&9

リターンが正規分布に従っていると仮定し，その𝛼𝛼分位点を 9D5 とする手法．式  より算出．

+6

経験分布の𝛼𝛼分位点を 9D5 とする手法．式  より算出．

+'+DUUHOODQG'DYLV>@で提案され，順序統計量に対応する重みを掛けて得られた⁡𝛼𝛼分位点を9D5 とする手法．ブートストラップ法で求めた⁡𝛼𝛼分位点の期待値に等しい．式  より算出．

.+6

*RXULHURX[HWDO>@で提案され，カーネル密度推定法を用いて求めた累積密度の⁡𝛼𝛼分位点%5:

%RXGRXNKHWDO>@で提案され，観測日に応じて指数型加重移動平均法で修正したリターン

を 9D5 とする手法．式  より算出．
の𝛼𝛼分位点を 9D5 とする手法．%RXGRXNKHWDO>@は減数係数を ， とした．式  ， より算出．最適な減数係数はŽLNRYLćDQG$NWDQ>@に従い式  より推定．
+:+XOODQG:KLWH>@で提案され，指数型加重移動平均法により推定したボラティリティで修正したリターンの𝛼𝛼分位点を 9D5 とする手法．
リターンの修正には標準正規分布に従う乱数ではな
く経験分布を使用する．+XOODQG:KLWH>@は減数係数を  とした．式  ，  ，  より算出．

*.

&KDQJFKLHQHWDO>@で提案され，+: と *DUPDQDQG.ODVV>@の *DUPDQ.ODVV 推定量を組み合わせた手法．*DUPDQ.ODVV 推定量により推定したボラティリティと経験分布で修正した
リターンの𝛼𝛼分位点を 9D5 とする．式  ，  ，  より算出．

.*.

本論文で提案する，*. と .+6 を組み合わせた手法．*DUPDQ.ODVV 推定量により推定したボラティ
リティと経験分布で修正したリターンについて，カーネル密度推定法を用いて求めた累積密度の⁡𝛼𝛼分位点を 9D5 とする．式  ，  ，  より算出．

注) 信頼水準を 1-𝛼𝛼とする．

2
𝜎𝜎𝐺𝐺𝐺𝐺,𝑖𝑖=

1
𝐻𝐻𝑖𝑖 2𝐶𝐶𝑖𝑖 2(log ) − (2 log 2 − 1)2 (log ) 
2
𝐿𝐿𝑖𝑖
𝑂𝑂𝑖𝑖

 

と𝑅𝑅𝑇𝑇 を単純比較すると𝑅𝑅𝑇𝑇−100 を過小評価するからである．

このとき，𝐻𝐻⁡は高値，L⁡は安値，C⁡は終値，O⁡は始 また，+: 法の最適なパラメータを推定した研究値である．

は無いが，&KDQJFKLHQHWDO>@はボラティ

2.6 ハイブリッド法とカーネル平滑化法の融合

リティの推定に *DUPDQDQG.ODVV>@による 本稿ではこうした先行研究を参考として，ハイ*DUPDQ.ODVV 推定量を使用し，+: 法と同様に式

ブリッド法，カーネル平滑化法の両者の利点を持 ，  より9D5 を算出する手法 *. 法 をつ手法を提案する．具体的には，*DUPDQ.ODVV 推

提案し，+: 法でのパラメータの推定を避けた．

定量を用いた推定ボラティリティ 式  を*DUPDQ.ODVV 推定量は，終値だけでなく，始値，

使用し，経験分布を用いて修正リターンを求め

高値，安値を使用しボラティリティを推定する手式  ，カーネル密度推定法による分位点推法であり，+: 法に比べ使用する情報量が多いため，定を行い 式  9D5 を算出する手法である．

よりデータの特性を反映できると考えられる．

*DUPDQ.ODVV 推定量を使用するため %5: 法や +:*DUPDQ.ODVV 推定量はリターンの自然対数がブラ法のように最適な減数係数の推定は不要である．

ウン運動に従うと仮定しており，以下の式で求めまた，ハイブリッド法とカーネル平滑化法はそられる．

れぞれ異なる +6 法の欠点を改良しているため，その両者を用いる .*. 法はさらに推定精度が向上す

リスクと保険101表 㻌 株価指数の略名と概説
正式名称

略名

国名

./&,

マレーシア )76(%XUVD0DOD\VLD./&,,QGH[

60,

スイス

6ZLVV0DUNHW,QGH[)7

イギリス

)76(,QGH[

1<6(

アメリカ

1<6(&RPSRVLWH,QGH[

76;

カナダ

6 376;,QGH[723,;

日本

7RN\R6WRFN3ULFH,QGH[%2/6$

メキシコ

0H[LFDQ%ROVD,3&,QGH[

&$&

フランス

&$&,QGH[

'$;

ドイツ

'$;,QGH[+$1*6(1* 中国

+RQJ.RQJ+DQJ6HQJ,QGH[

6+$1*+$, 中国

66(&RPSRVLWH,QGH[

6(16(;

インド

%RPED\6WRFN([FKDQJH6HQVLWLYH,QGH[.263,

韓国

.RUHD&RPSRVLWH6WRFN3ULFH,QGH[

1$6'$4

アメリカ

1DVGDT&RPSRVLWH,QGH[%29(63$

ブラジル

%RYHVSD,QGH[注 略名は本稿での株価指数の略名を，国名は株価指数の市場を代表する国名を，正式名称は株価指数の正式名称をそれぞれ示している．いずれも 7KRPVRQ5HXWHUV'DWD6WUHDP から日次リターンを入手した．使用期間は  年から 年までである．株価指数の表示は本稿で使用した期間における標準偏差について昇順とした．

表 㻌 各株価指数の基礎統計量
略名

データ数

最小値

最大値

平均

標準偏差

歪度

尖度

./&,

㻞㻣㻝㻜㻌

㻙㻜㻚㻜㻥㻥㻤㻌

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から  年までの各株価指数の終値の日次変化率から算出した．株価指数は標準偏差について昇順に表示している

102

バリュー・アット・リスクのヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析

ると考えられる．しかし，ハイブリッド法とカー

値を下回る回数，𝐼𝐼(・)は指示関数である．9D5 が

ネル平滑化法を組み合わせた手法を用いた比較分 式を満たす場合，保有期間内のリターンが析は本稿が初めてである．

9D5 推定値を下回る事象の分布は二項分布B⁡(𝜏𝜏, 𝛼𝛼)⁡ 次章では実際のリターンを用いて，本章で詳細に従うため，  式を帰無仮説として尤度比検定

を説明し，表  で概要を示した  手法のうち，最を行う手法が .XSLHF>@のバックテストであも推定精度が良い 9D5 推定手法を提示する．

る．尤度比検定統計量𝐿𝐿𝐿𝐿は  式で表され，自3実証研究

由度  のカイ二乗分布χ2 ⁡(1)⁡に従う．

本章では 9D5 推定精度の比較分析の詳細を記述している．第  節では実証研究に使用したリター

𝑁𝑁 𝜏𝜏−𝑁𝑁 𝑁𝑁 𝑁𝑁
𝐿𝐿𝐿𝐿＝ 2 log {(1 − ⁡ ⁡)(⁡ ⁡) }
𝜏𝜏
𝜏𝜏

 

− 2log{⁡(1 − 𝛼𝛼)⁡𝜏𝜏−𝑁𝑁 𝛼𝛼 𝑁𝑁 }

ンと 9D5 の推定精度比較手法として最も一般的にこの検定では 9D5 の推定結果が適切である場合使用されているバックテストについて説明し，第 に帰無仮説は棄却されない．したがって，S 値が高

節では 9D5 推定手法の詳細を示す．そして第  節

いほど推定精度が良いことを示す．

では実証研究の結果とその考察について述べる．

3.2 9D5 の推定

3.1 リターンと精度比較手法

本稿では観測期間  日，信頼水準 ％，保有

本稿で使用するリターンは  年から  年

期間  日とし 9D5 を推定した．このとき，初めのまでの  カ国の日次主要株価指数であり，

 営業日は観測期間として使用するため， 営

年当初から始値，安値，高値，終値を入手できる

業日目から 9D5 の推定値を得ている．9D5 推定手法

ものに限定した．リターンの詳細は表 ，基礎統計は 9&9 法，+6 法，+' 法，.+6 法，%5: 法，+: 法，

量は表  を参照してほしい．いずれも 7KRPVRQ*. 法，.*. 法の  種を用いた．ただし，%5: 法につ

5HXWHUV'DWD6WUHDP から入手した．

いは減数係数を  種使用している．以下本稿では9D5 の精度比較分析には 9D5 の精度評価方法と%5: 法，%5:RSW 法と記述する．前者は減数して良く使用される .XSLHF>@のバックテス

係数を %RXGRXNKHWDO>@で使用した トと，9D5 が保有期間内のリターンを下回った場合とし，後者は ŽLNRYLćDQG$NWDQ>@と同様にの平均損失値を表し式  で求められる /RSH]

式  で求められる /RSH]>@の /RSH] スコ>@の /RSH] スコアを用いた．バックテストはアを最小化する減数係数を使用した．具体的には，保有期間内のリターンの実測値が 9D5 推定値を下各リターンについて，重複せずに  分割した期間回った超過回数から推定精度を測る手法であり，と全期間の  期間に対し得られた最適な減数係数

バーゼル規制で採用されている．

の平均値を精度比較に使用した．その詳細を記し

観測期間が𝑇𝑇日，保有期間が𝑡𝑡日，信頼水準がた表  より，全てのリターンにおいて最適な減数

1 − 𝛼𝛼である場合，定義より 9D5 は翌𝑡𝑡日間に𝛼𝛼の確係数は  に近い値を示したことがわかる．
また，率で発生する損失の最大値を示している．そのた+: 法は +XOODQG:KLWH>@に倣い減数係数をめ，翌𝑡𝑡日間のリターンが 9D5 を下回る確率の期待 とした．

値は  式で表されるように，理論上𝛼𝛼である．
𝑁𝑁
𝐸𝐸 (⁡ ⁡) = 𝛼𝛼𝜏𝜏𝜏𝜏また，.+6 法と .*. 法の推定に 1HZWRQ5DSKVRQ
法を用いて式  より 9D5 推定値を算出した．初 

𝑁𝑁 = ∑ 𝐼𝐼⁡(𝑟𝑟𝑖𝑖 < 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖 )
𝑖𝑖=1

このとき，⁡𝜏𝜏⁡は全 9D5 推定値の個数，𝑟𝑟𝑖𝑖 は翌𝑡𝑡日間のリターン[𝑅𝑅𝑖𝑖+1 , 𝑅𝑅𝑖𝑖+𝑡𝑡 ]の最小値，Nは𝑟𝑟𝑖𝑖 が 9D5 推定

期値は +6 法による推定値等を使用したため，収束が早く計算量は少ない．カーネル関数は次式で表されるガウスカーネル関数を用いた．𝑘𝑘∅ (𝑡𝑡) =

1

√2𝜋𝜋

1
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(− 𝑡𝑡 2 )2

リスクと保険103

104

バリュー・アット・リスクのヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析㻌㻌㻜㻚㻥㻥㻤㻌

60,㻌㻜㻚㻥㻥㻤㻌

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723,;
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㻜㻚㻥㻥㻌

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㻜㻚㻜㻜㻥㻣㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻥㻟㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻤㻢㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻣㻠㻌 㻜㻚㻜㻝㻞㻣㻟㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻣㻥㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻟㻟㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻝㻡㻌 㻜㻚㻜㻜㻢㻢㻤㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻣㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻥㻤㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻠㻥㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻟㻞㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻝㻠㻌㻜㻚㻥㻥㻥㻌

㻌㻜㻚㻜㻜㻥㻣㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻥㻟㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻜㻣㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻣㻠㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻡㻠㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻞㻜㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻥㻟㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻝㻡㻌 㻜㻚㻜㻜㻣㻠㻢㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻣㻢㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻢㻠㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻢㻤㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻟㻞㻌 㻜㻚㻜㻜㻥㻡㻠㻌㻜㻚㻥㻥㻝㻌

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㻜㻚㻜㻜㻤㻥㻟㻌

㻜㻚㻥㻥㻌㻌㻜㻚㻜㻜㻤㻥㻟㻌

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㻜㻚㻥㻥㻌

./&,

表 㻌 %5: 法の最適パラメータの推定結果



注 %5: 法の最適なパラメータを推定するために，各株価指数の  年から  年の日次変化率を使用し，各期間において，観測期間  日，信頼水準 ％，保有期
間  日の 9D5 を算出した．各市場の詳細は表  参照．第  期，第  期，第  期は，全期間を重複せずに  分割した期間を表している．ρは %5: のパラメータを表し，式 で示される /RSH]>@の損失関数の平均 /RSH] スコア を最小にするρを RSWLPDOρとした．平均 RSWLPDOρは全  種の期間の RSWLPDOρの平均値を示している．

平均 RSWLPDOρ/RSH] スコアRSWLPDOρ

全期間

/RSH] スコアRSWLPDOρ

第  期

/RSH] スコアRSWLPDOρ

第  期

/RSH] スコアRSWLPDOρ

第  期



)76(


リスクと保険

105

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超過割合

/5

ｐ値

/RSHV スコア 㻜㻚㻜㻝㻜㻢㻌

超過割合



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（つづく）

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106

バリュー・アット・リスクのヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析

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注 各株価指数の  年から  年の日次変化率を使用し， 種の 9D5 推定手法を用いて観測期間  日，信頼水準 ％，保有期間  日の 9D5 を算出した．手法は9D5 推定に使用した手法を，精度比較は 9D5 の精度比較手法を指す．各市場の詳細は表 ，推定手法の詳細は表  を参照．%5: 法の ，RSW は減数係数を指し，RSW は式  で示される /RSH]>@の損失関数の平均 /RSH] スコア が最小値をとるときの減数係数を表し，表  に記した平均 RSWLPDOρである．超過割合は翌日のリターンが 9D5 を下回った割合を示し， が理想値である．/5 は  式で求めた .XSLHF>@の尤度比検定統計量である．S 値はχ2 (1)分布に従う /5 に対する S
値を指し，その値が高いほど推定精度が良いことを表す．

㻜㻚㻣㻣㻤㻢㻌

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/RSHV スコア 㻜㻚㻜㻜㻥㻠㻌㻜㻚㻣㻠㻟㻝㻌

ｐ値㻜㻚㻝㻜㻣㻠㻌

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RSW

㻜㻚㻜㻜㻥㻟㻌

超過割合

%5:

表 㻌 各市場の 9D5 推定精度 つづき

表  各手法による 9D5 推定精度

手法

超過割合

絶対誤差 二乗誤差
平均
平均
平均

/5

S 値



平均

平均

標準偏差 平均㻜㻚㻜㻞㻝㻤㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻣㻡㻜㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻝㻠㻡㻢㻢㻌 㻞㻢㻚㻥㻢㻝㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻟㻌㻜㻚㻜㻝㻟㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻟㻡㻣㻜㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻝㻡㻡㻢㻌 㻟㻚㻠㻟㻜㻌 㻜㻚㻝㻤㻣㻥㻌+'㻜㻚㻜㻝㻜㻥㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻝㻥㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻜㻝㻤㻠㻌 㻜㻚㻠㻠㻝㻌 㻜㻚㻡㻣㻠㻤㻌.+6㻜㻚㻜㻝㻞㻜㻌 㻜㻚㻜㻜㻞㻜㻠㻥㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻜㻡㻢㻥㻌 㻝㻚㻟㻜㻣㻌 㻜㻚㻟㻥㻡㻞㻌%5: 㻜㻚㻜㻝㻜㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻝㻝㻣㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻜㻞㻟㻟㻌 㻜㻚㻡㻥㻞㻌 㻜㻚㻢㻟㻞㻠㻌%5:RSW 㻜㻚㻜㻝㻜㻜㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻜㻝㻤㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻜㻝㻣㻣㻌 㻜㻚㻠㻢㻡㻌 㻜㻚㻢㻠㻣㻜㻌+:㻜㻚㻜㻝㻝㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻡㻣㻜㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻜㻞㻥㻥㻌 㻜㻚㻣㻜㻢㻌 㻜㻚㻠㻣㻜㻟㻌*.㻜㻚㻜㻝㻝㻡㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻡㻡㻤㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻜㻞㻥㻢㻌 㻜㻚㻢㻥㻣㻌 㻜㻚㻠㻣㻠㻜㻌.*.㻜㻚㻜㻝㻜㻡㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻣㻡㻝㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻜㻜㻜㻤㻝㻌 㻜㻚㻝㻥㻥㻌 㻜㻚㻣㻝㻤㻢㻌

9&9
+6

/RSH] スコア
標準偏差㻜㻚㻜㻜㻜㻥㻌 㻜㻚㻜㻞㻝㻤㻌 㻜㻚㻜㻜㻞㻤㻡㻟㻌㻜㻚㻞㻠㻢㻟㻌 㻜㻚㻜㻝㻟㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻣㻟㻡㻌㻜㻚㻞㻜㻥㻥㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻥㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻜㻣㻠㻌㻜㻚㻞㻤㻥㻣㻌 㻜㻚㻜㻝㻞㻝㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻞㻢㻟㻌㻜㻚㻟㻝㻟㻜㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻠㻣㻝㻌㻜㻚㻞㻡㻡㻤㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻜㻌 㻜㻚㻜㻜㻝㻟㻣㻣㻌㻜㻚㻝㻤㻥㻣㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻢㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻣㻠㻤㻌㻜㻚㻞㻝㻜㻣㻌 㻜㻚㻜㻝㻝㻡㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻣㻣㻣㻌㻜㻚㻝㻤㻡㻟㻌 㻜㻚㻜㻝㻜㻡㻌 㻜㻚㻜㻜㻜㻣㻤㻥㻌注) 表 5 をもとに作成．超過割合の平均は，各手法における全市場の超過割合の平均である．また，絶対誤差平均，二乗誤差平均は各市場の超過割合とその理想値である 0.01 との誤差を示している．LR の平均は全市場の LR の平均を示す．p 値，Lopez スコアの平均，標準偏差は全市場の p 値，Lopez スコアの平均，標準偏差をそれぞれ示す．


ま た ， バ ン ド幅 の 推 定に は 次 式 で 表 さ れる
6LOYHUPDQ の経験則を使用した．
ℎ = 0.9𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝜎𝜎,𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼)
1.34

ことが分かった．
また，上記とほぼ同様の結果が全リターンの 9D5
推定精度をまとめた表  でも示された．表  では
超過割合の平均値，各リターンの超過割合とそのこのとき𝜎𝜎はデータ𝑅𝑅の標準偏差，𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼は四分位範

理想値である  との誤差を絶対誤差平均と二乗

囲，𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚⁡⁡(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)⁡は𝑎𝑎と𝑏𝑏を比較して低い値を返す関誤差平均でそれぞれ示した．また，式  で求数である．このバンド幅の決定方法はデータの分められる尤度比検定統計量 /5 の平均値，S 値の平布がどのような場合でも良い推定精度を示し，実

均値，
標準偏差，
そして式  で求められる /RSH]

務で最も使用されている．

スコアの平均値，標準偏差を記載している．S 値の3.3 結果と考察

平均値は高く，/RSH] スコアの平均値は低いほど推まず観測期間  日，信頼水準 ％，保有期間

定精度が高いことを示している．また，標準偏差 日とした各リターンについての 9D5 推定精度をが低い場合，どのリターンにおいても安定した水表  に示す．表中の超過割合は翌日のリターンが準でリスクを推定していると考えられる．

9D5 推定値を下回った割合を示し， が理想値

超過割合の誤差，S 値においては .*. 法が最良のである．/5 は  式で求めた .XSLHF>@の推定精度を示した．次いで %5:RSW 法が高い推定

尤度比検定統計量を示しており，加えて⁡χ2 ⁡(1)⁡分

精度を示した．/RSH] スコアにおいては反対に %5:布に従う /5 の S 値を記述している．
「超過割合がRSW 法は .*. 法より高い推定精度を示したが，その理想値の  である」が /5 の帰無仮説であるの標準偏差は .*. 法が低い．つまり損失の平均値でで，帰無仮説が棄却されない確率を示す S 値が高は %5:RSW 法が良い値を示したが，その変動のばいほど推定精度が良いことを示す．また，式  

らつきは .*. 法が低い値を示したため，.*. 法はで求められる /RSH]>@の /RSH] スコアは，そ%5:RSW 法より損失値において安定的であると言の値が低いほど推定精度が良いことを表す．以上

える．一方，いずれの尺度においても最低の推定の結果から，%5: 法，%5:RSW 法，.*. 法，+'

精度を示した手法は 9&9 法であり，次いで +6 法が法は高い推定精度を示す傾向があり，一方，9&9

低い推定精度を示した．

法はすべてのリターンにおいて特に低い S 値を示.*. 法は *. 法と .+6 法の利点を併せ持つ手法でし，次いで +6 法が低い推定精度を示す傾向がある

あるため，上記の手法では最も推定精度が高いとリスクと保険107

考えられるが．上記の結果を総合すると，本稿では想定通りの結果が得られたと言える．しかし，.*. 法は /RSH] スコアの平均値においては %5:RSW
法より僅かに低い推定精度を示した．そのため，
9D5 推定には .*. 法，%5:RSW 法の両方を使用し，複合的に判断すると良いと考えられる．

4おわりに
本稿では 9D5 の中でも +6 法に関する  手法の精度比較分析を行った．9D5 の推定手法は多数存在す

1R， 頁
三井住友フィナンシャルグループ>@「ディスクロージャー誌」
三菱 8)- フィナンシャル・グループ>@「ディスクロージャー誌」
みずほフィナンシャルグループ>@「
年ディスクロージャー誌」
りそなホールディングス>@「ディスクロー
ジャー誌」

るが，中でも +6 法は銀行の市場リスク測定に広く%RXGRXNK-05LFKDUGVRQDQG5:KLWHODZ

使用されている手法であり，重要度が高い手法で>@, “The Best of Both Worlds,” 5LVN9

ある．加えて，本稿では +6 法の直近のリターンのROSS

変動傾向を全く反映しないという欠点を補った&KDQJFKLHQ&&&+/LQDQG+&3<DQJ

&KDQJFKLHQHWDO>@の提案法である *. 法[2012], “Improving Hull and White’s Methodと，データ数が少ない場合精度が悪くなるというRI (VWLPDWLQJ 3RUWIROLR 9DOXHDWRisk,”

欠点を補った *RXULHURX[HWDO>@の提案法-RXUQDORI)RUHFDVWLQJYROSS

である .+6 法の両方の利点を兼ね備えた .*. 法を&KHQ 6 ; DQG & < 7DQJ >@

提案した．
 カ国の日次主要株価指数を用いて，.XSLHF

“Nonparametric Inference of ValueDW5LVN
IRU'HSHQGHQWFinancial Returns,”-RXUQDORI>@によるバックテスト，/RSH]>@によ)LQDQFLDO (FRQRPHWULFV

る /RSH] スコアを使用した精度比較分析の結果，SS

9RO

1R

+6 法に関する  種の 9D5 推定手法の中で最も推定&KHQ < DQG - /X >@, “Value at Risk

精度が高い手法は .*. 法と %5: 法であり，/RSH]

Estimation,” In J&'XDQ:.+äUGOH

スコアについては %5: 法が良い推定制度を示し，

DQG - ( *HQWOH

それ以外では .*. 法がより安定して高い推定精度&RPSXWDWLRQDO)LQDQFH6SULQJHUSS

を示した．そのため，リスク推定には %5: 法，.*.

(IURQ%>@“%RRWVWUDS0HWKRGV$QRWKHU

法の両者使用し，複合的に判断することにより，/RRN DW WKH -DFNNQLIH” 7KH $QQDOV RI

さらに精緻なリスク管理が可能であると推測できる．

(GV  +DQGERRN RI

6WDWLVWLFVYROSS
*DUPDQ0%DQG0-.ODVV>@“2QWKH

しかし，いずれの手法も過去のリターンの傾向(VWLPDWLRQ RI 6HFXULW\ 3ULFH 9RODWLOLWLHV

から算出する手法であるので，より安全なリスク

IURP+LVWRULFDO'DWD”-RXUQDORI%XVLQHVV

管理を行うためにはストレス・テストを行う必要

YRO,VVXHSS

があると考えられる．本稿で提案した手法とスト*RXULHURX[&-3/DXUHQWDQG26FDLOOHW

レス・テストの利点を併せ持った手法の開発を今>@“6HQVLWLYLW\$QDO\VLVRI9DOXHVDW

後の課題としたい．

5LVN”-RXUQDORI(PSLULFDO)LQDQFHYRO

参考文献
安藤美孝>@「ヒストリカル法によるバリュ
ー･アット･リスクの計測：市場価格変動の非定

108

常性への実務的対応」，『金融研究』，9RO，SS
+DUUHOO)(DQG&('DYLV>@“$1HZ
'LVWULEXWLRQ)UHH :XDQWLOH (VWLPDWRU”

%LRPHWULNDYRO1RSS

バリュー・アット・リスクのヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析

+HLGHQUHLFK 1 % $ 6FKLQGOHU DQG 6

SS

6SHUOLFK>@“%DQGZLGWK6HOHFWLRQIRU
.HUQHO'HQVLW\(VWLPDWLRQD5HYLHZRI)XOO\$XWRPDWLF

6HOHFWRUV”

$GYDQFHVLQ

6WDWLVWLFDO$QDO\VLV9ROSS
+HQGULFNV ' >@,“EvaOXDWLRQ RI

9DOXHDWRisk Models Using Historical Data,”(FRQRPLF 3ROLF\ 5HYLHZ 9RO 1R
SS
+XOO-DQG$:KLWH>@, “Incorporating
9RODWLOLW\ 8SGDWLQJ LQWR WKH +LVWRULFDO
Simulation Method for Value at Risk,”-RXUQDORI5LVN9ROSS
-RQHV0&-60DUURQDQG6-6KHDWKHU>@,“A

Brief

SurveyofBandwidth

Selection for Density Estimation,”-RXUQDO

RI WKH $PHULFDQ 6WDWLVWLFDO $VVRFLDWLRQ
9ROSS-RULRQ3>@9DOXHDW5LVNUGHG7KH

1HZ%HQFKPDUNIRU0DQDJLQJ)LQDQFLDO5LVN
0F*UDZ+LOO.XSLHF 3 + >@,“Techniquesfor

9HULI\LQJWKH$FFXUDF\RI5LVN0HDVXUHPHQWModels,” -RXUQDO RI 'HULYDWLYHV 9ROSS
/RSH]-$>@“0HWKRGVIRU(YDOXDWLQJ
9DOXHDW5LVN(VWLPDWHV” )HGHUDO5HVHUYH

%DQNRI6DQ)UDQFLVFR(FRQRPLF5HYLHZ,VVXH
SS
6KHDWKHU 6 - DQG - 6 0DUURQ >@“.HUQHO4XDQWLOH(VWLPDWRUV” -RXUQDORI

WKH$PHULFDQ6WDWLVWLFDO$VVRFLDWLRQYRO
SS
6LOYHUPDQ%:>@'HQVLW\(VWLPDWLRQIRU

6WDWLVWLFV DQG 'DWD $QDO\VLV &KDSPDQ DQG+DOO
Žiković, S. DQG % $NWDQ  [2011], “Decay)DFWRU 2SWLPLVDWLRQ LQ 7LPH :HLJKWHG
6LPXODWLRQ–Evaluating VaR Performance,”,QWHUQDWLRQDO-RXUQDORI)RUHFDVWLQJYRO

リスクと保険109

A Comparative Study of Value-at-Risk Estimation
Methods Related to the Historical Simulation Approach
Nana Iwamoto
Doctoral Course, Graduate School of Business, Osaka City University
3-3-138 Sugimoto, Sumiyoshi-ku, Osaka-shi, Osaka, 558-8585, JAPANemail: iwamotonana@gmail.com

Abstract
Among various Value-at-Risk (VaR) methods, the historical simulation (HS) approach has no
assumption of the return distribution and is commonly adopted for risk measuring market risk. The
shortcomings of the HS approach are that 1) it ignores the time-varying volatility and that 2) it reduces
estimation accuracy in short observation periods. This paper aims at proposing new method whichsolves the problems by combining kernel smoothing and a hybrid approach. Based on daily returns on
15 stock market indices, we compare the backtesting results of several major VaR estimation methods
related to the HS approach. Our results show that the proposed method outperforms other VaR
methods.

110

バリュー・アット・リスクのヒストリカル・シミュレーション法に関する比較分析