Level one Weyl modules for toroidal Lie algebras
小寺諒介
神戸大学 大学院理学研究科

1 イントロダクション
g を有限次元複素単純 Lie 代数とする．g ⊗ C[s±1 , t±1 ] の普遍中心拡大をトロイダルLie 代数と呼ぶ．
トロイダル Lie 代数およびその q 変形の表現論の研究は 90 年代に始まり，頂点作用素による表現の構成（Moody-Eswara Rao-横沼 [MEY]，斉藤 [S1]），ダブルアファイン

Hecke 代数との間の Schur-Weyl 型双対性（Varagnolo-Vasserot [VV]），箙多様体の同変K 群への作用（中島 [Nak]）など，さまざまな結果が得られた．さらに，近年 AGT 対応や可積分系との関連（Feigin-神保-三輪-Mukhin [FJMM] など）で再び研究が活発になってきた（盛り上がっているのは主に q 変形の方だが）．
トロイダル Lie 代数の表現論を研究するにあたって，アファイン Lie 代数に対して成功を収めた理論をトロイダルの場合に拡張しようとするのは自然である．ここでは，Chari-Pressley [CP] による Weyl 加群の理論の拡張を考える．
Weyl 加群は，アファイン Lie 代数のある三角分解に関して最高ウェイト条件を満たし，可積分な表現の中で普遍的なものとして定義される．ここで，三角分解は通常のKac-Moody Lie 代数としてのものではなく，単純 Lie 代数の三角分解をアファイン化したものを使う．同様の構成はトロイダルの場合にも可能で，Weyl 加群の定義自体はパラレルにできる．

[Ko] では，アファインの場合に知られている Weyl 加群のウェイト空間の有限性がトロイダルの場合にも成り立つことを示した．一般の Weyl 加群の構造をさらに詳しく解析することはできていないが，最高ウェイトがレベル 1 基本ウェイト Λ0 の場合には，Weyl加群を既知の表現と同定した．系として，この場合の Weyl 加群の指標がわかる．

Website: http://www2.kobe-u.ac.jp/˜kryosuke/

1アファインの場合，Weyl 加群の指標は Macdonald 多項式の特殊化や，格子模型に由来するフェルミ公式と関係している（Fourier-Littelmann [FL]，直井 [Nao]，Lenart-内藤佐垣-Schilling-Shimozono [LNSSS]）．トロイダル Lie 代数の Weyl 加群の指標はそのアファイン版にあたり，特殊函数論や組合せ論的観点からも興味深い．（より正確には，カレント Lie 代数 g ⊗ C[t] の次数付き Weyl 加群の次数付き指標を考えた方がはっきりと関係がつく．[Ko] ではトロイダル Lie 代数のカレント版についても考察しているが，ここでは省略する）

2 トロイダル Lie 代数
g を C 上の有限次元単純 Lie 代数とし，g 上の非退化な対称不変双線型形式 ( , ) を固定する．A を単位元を持つ可換 C 代数とする．g と A の C 上のテンソル積 g ⊗ A を[x ⊗ a, y ⊗ b] = [x, y] ⊗ ab(x, y ∈ g, a, b ∈ A)

によって C 上の Lie 代数とみなし，その中心拡大を考える．ΩA を A の微分加群，

d : A → ΩA を微分とする．次の式で，g ⊗ A ⊕ ΩA /dA に Lie 代数の構造を定義する．
()[x ⊗ a, y ⊗ b] = [x, y] ⊗ ab + (x, y) (da)b mod dA (x, y ∈ g, a, b ∈ A),ΩA /dA は中心定理 1（Kassel [Ka]） g ⊗ A ⊕ ΩA /dA は g ⊗ A の普遍中心拡大を与える．
以下では A = C[s±1 , t±1 ] とし，ΩA /dA において mod dA を省略する．

ΩA = C[s±1 , t±1 ]ds ⊕ C[s±1 , t±1 ]dtであり，ΩA /dA においてksk tl (s−1 ds) = −lsk tl (t−1 dt)(k, l ∈ Z)が成り立つ．ΩA /dA の基底を固定しておく．cs := s−1 ds, ct := t−1 dt とし，(k, l) ∈Z2 \ {(0, 0)} に対して{c(k, l) :=sk tl−1 dt
s−1 tl ds

2(k ̸= 0),(k = 0)

とすれば，cs , ct , c(k, l) ((k, l) ∈ Z2 \ {(0, 0)}) は ΩA /dA の C 基底を与える．g ⊗C[s±1 , t±1 ] の普遍中心拡大に，次を満たす元 ds , dt を付け加える．
[ds , x ⊗ sk tl ] = kx ⊗ sk tl ,[dt , x ⊗ sk tl ] = lx ⊗ sk tl ,[ds , c(k, l)] = kc(k, l),[dt , c(k, l)] = lc(k, l),[ds , cs ] = [ds , ct ] = [dt , cs ] = [dt , ct ] = [ds , dt ] = 0
この Lie 代数⊕gtor := g ⊗ C[s±1 , t±1 ] ⊕Cc(k, l) ⊕ Ccs ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt(k,l)∈Z \{(0,0)}2をトロイダル Lie 代数と呼ぶ．次数作用素 dt を除いた部分 Lie 代数を⊕

g′tor := g ⊗ C[s±1 , t±1 ] ⊕Cc(k, l) ⊕ Ccs ⊕ Cct ⊕ Cds(k,l)∈Z \{(0,0)}2(s)(t)とする．gtor は変数 s, t に関する二つのアファイン Lie 代数 gaﬀ , gaﬀ を部分 Lie 代数として含む．

gaﬀ = g ⊗ C[s±1 ] ⊕ Ccs ⊕ Cds ,gaﬀ = g ⊗ C[t±1 ] ⊕ Cct ⊕ Cdt(s)(t)である．次数作用素を除いたアファイン Lie 代数をそれぞれ((s)gaﬀ)′±1= g ⊗ C[s(] ⊕ Ccs ,(t)gaﬀ)′

= g ⊗ C[t±1 ] ⊕ Cctとする．gtor はこれらのアファイン Lie 代数のアファイン化とみなせる．つまり，ベクトル空間としては次のようになっている．

()′⊕(s)Cc(k, l) ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt
gtor = gaﬀ ⊗ C[t±1 ] ⊕(1)k̸=0l∈Z( )′⊕(t)= gaﬀ ⊗ C[s±1 ] ⊕Cc(k, l) ⊕ Ccs ⊕ Cds ⊕ Cdt(2)k∈Zl̸=0(s)次節では (1) の見方を使って，gaﬀ 加群から gtor 加群をつくる方法を述べる．また，(1)と (2) は gtor の自己同型で移り合う．このことについては最後の節で述べる．
(s)

ここで，以降で使う概念と記号を導入しておく．アファイン Lie 代数 gaﬀ の基本ウェイ
トを Λi (i ∈ Iaﬀ ) とする．ドミナント整ウェイトは，ここではΛ=∑mi Λi ,i∈Iaff

3mi ∈ Z≥0(s)の形のものだけを考える．最高ウェイト Λ の既約な可積分最高ウェイト gaﬀ 加群を L(Λ)
で表す．

3 表現の構成
この節では，庵原-斉藤-脇本 [ISW] と Eswara Rao [E] によるトロイダル Lie 代数の表
現の構成を振り返る．（[ISW] の結果や動機に関しては，[S2], [S3] を参照してください）D を δ(k) (k ∈ Z<0 ) で生成される多項式環とし，C[τ ±1 ] を τ を変数とする Laurent
多項式環とする．D および C[τ ±1 ] の次数付けを deg δ(k) = k および deg τ = 1 によって定め，次数を量る作用素をそれぞれ d(D) , d(τ ) とする．

x ∈ g に対して，x(u) =∑k −kとする．また，∆l (u) (l ∈ Z) をk∈Z (x ⊗ s )u(∆l (u) = exp∑ lδ(−k)k>0k)
ukによって定義する．
定理 2（庵原-斉藤-脇本 [ISW] Lemma 2.1，Eswara Rao [E] Theorem 4.1） M(s)をスムーズな gaﬀ 加群とすれば，∑(x ⊗ sk tl )u−k 7→ x(u) ⊗ ∆l (u) ⊗ τ l(x ∈ g),k∈Z∑{k−1 l(s−kt ds)uk −17→ cs ⊗ ∆l (u) ⊗ τ ,ls tk∈Z

ds 7→ ds ⊗ id ⊗ id + id ⊗d(D) ⊗ id,dt 7→id ⊗δ(k) ⊗ id (k < 0),0(k ≥ 0),

dt 7→ id ⊗ id ⊗d(τ )によって M ⊗ D ⊗ C[τ ±1 ] は gtor 加群となる．
注意 3[ISW] は，より大きな空間 M ⊗ D̃ ⊗ C[τ ±1 ] に，gtor よりも大きな Lie 代数の加群の構造を与えている．ここで D̃ は

D̃ = C[δs (k) (k ∈ Z<0 )] ⊗ C[δt (l) (l ∈ Z<0 )]である．[ISW] では，D̃ ⊗ C[τ ±1 ] の部分が Fφ と書かれている．D の δ(k) を D̃ の δs (k)と対応させることで，D ⊂ D̃ とみなす．[ISW] で定義された作用を M ⊗ D ⊗ C[τ ±1 ] に制限すると，上で述べたものになる．

4

もう少し補足すると，[ISW] では g を ADE 型としているが，この仮定は上で述べた構成には不要である．実際，[E] は g が単純 Lie 代数の場合（および，あるクラスのスーパーLie 代数の場合）に証明を与えている．ただし，[E] には [ISW] の結果との関係が書いていない．そのため，g が単純 Lie 代数の場合，gtor 加群を考える限り両者が同じであることに，しばらく気づかなかった．

4 Weyl 加群(s)g の Chevalley 生成元を ei , fi , hi (i ∈ I) とし，これを延長した gaﬀ の Chevalley 生成
元を ei , fi , hi (i ∈ Iaﬀ ), ds とする．I は g の単純ルートの添字集合で，Iaﬀ = I ⊔ {0} で(s)ある．gaﬀ の部分 Lie 代数 naﬀ , n̄aﬀ , haﬀ を

naﬀ := ⟨ei (i ∈ Iaﬀ )⟩,n̄aﬀ := ⟨fi (i ∈ Iaﬀ )⟩,haﬀ := ⟨hi (i ∈ Iaﬀ ), ds ⟩(s)で定義する．gaﬀ を Kac-Moody Lie 代数として見たときの三角分解は(s)gaﬀ = n̄aﬀ ⊕ haﬀ ⊕ naﬀである．次に()′⊕(s)
Cc(k, l) ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt
gtor = gaﬀ ⊗ C[t±1 ] ⊕k̸=0l∈Z(s)の見方を元に，gaﬀ の三角分解をアファイン化して gtor の三角分解を考える．gtor の部分

Lie 代数 ntor , n̄tor , ator を
ntor := naﬀ ⊗ C[t±1 ] ⊕⊕n̄tor := n̄aﬀ ⊗ C[t±1 ] ⊕Cc(k, l),k>0l∈Zator := h ⊗ C[t±1 ] ⊕⊕Cc(k, l),k<0l∈Z⊕

Cc(0, l) ⊕ Ccs ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdtl̸=0で定義する．ベクトル空間として

gtor = n̄tor ⊕ ator ⊕ ntorである．この三角分解に関する最高ウェイト加群として，Weyl 加群を導入する．

5

定義 4

ドミナント整ウェイト Λ ∈ h∗aﬀ に対し，最高ウェイト Λ の大域 Weyl 加群

Wglob (Λ) とは，vΛ で生成され次の関係式で定義される gtor 加群である．
ntor vΛ = 0,hvΛ = ⟨h, Λ⟩vΛ (h ∈ haﬀ ),⟨h ,Λ⟩+1fi i

ct vΛ = dt vΛ = 0,vΛ = 0 (i ∈ Iaﬀ )

以下では，haﬀ 作用の同時固有空間をウェイト空間として考える．Wglob (Λ) の各ウェ
イト空間は Endg′tor (Wglob (Λ)) 加群になる．
命題 5（小寺 [Ko] Proposition 3.6, 3.9）(i) Λ =∑i∈Iaff mi Λi (mi ∈ Z≥0 ) とする．C 代数として

Endg′tor (Wglob (Λ)) ∼=⊗±1±1 SmiC[zi,1, . . . , zi,m]ii∈Iaffである．

(ii) Wglob (Λ) の各ウェイト空間は，Endg′tor (Wglob (Λ)) 加群として有限生成である．
′A(Λ) := Endgtor(Wglob (Λ)) の各極大イデアル m に対して

Wloc (Λ, m) := Wglob (Λ) ⊗A(Λ) (A(Λ)/m)
を局所 Weyl 加群と呼ぶ．上の命題によって Wloc (Λ, m) の各ウェイト空間は有限次元であることがわかり，指標が意味を持つ．
アファイン Lie 代数の Weyl 加群に対しては，命題 5 (i), (ii) は Chari-Pressley [CP]が証明した基本的な性質である．また，Chari-Le [CL] は g′tor を c(k, l) (k ̸= 0, l ∈ Z) で生成されるイデアルで割った Lie 代数，すなわち((s)gaﬀ)′⊗ C[t±1 ] ⊕ Cct ⊕ Cds

に対して局所 Weyl 加群を導入し，ウェイト空間が有限次元であることを証明している．
量子トロイダル代数の Weyl 加群に対しては，命題 5 (i), (ii) の性質は知られていない（と思う）．

Λ がレベル 1 基本ウェイト Λ0 の場合には，Weyl 加群の構造が具体的にわかる．次が主結果である．
定理 6（小寺 [Ko] Theorem 4.10） gtor 加群として

Wglob (Λ0 ) ∼= L(Λ0 ) ⊗ D ⊗ C[τ ±1 ]6である．さらに，左辺への A(Λ0 ) = Endg′tor (Wglob (Λ0 )) ∼= C[z ±1 ] の作用は，右辺のC[τ ±1 ] に対応する．
特に，Wglob (Λ0 ) の商として得られる局所 Weyl 加群は，ベクトル空間としては L(Λ0 )⊗D と同型で，その指標が具体的にわかる．

5 トロイダル Lie 代数の自己同型
前節では，トロイダル Lie 代数の二つの表示(gtor =(=(s)gaﬀ(t)gaﬀ)′)′⊗ C[t±1 ] ⊕⊕Cc(k, l) ⊕ Cct ⊕ Cds ⊕ Cdt(1)

Cc(k, l) ⊕ Ccs ⊕ Cds ⊕ Cdt(2)

k̸=0l∈Z⊗ C[s±1 ] ⊕⊕k∈Zl̸=0のうち (1) に基づいて Weyl 加群 Wglob (Λ) を定義した．この節では，この加群を改めて(s)(t)

Wglob (Λ) と書き，(2) に基づいて定義した Weyl 加群を Wglob (Λ) と書くことにする．こ(s)(t)

こで，本当は gaﬀ と gaﬀ のウェイトは違うものだが，区別せず同じ記号 Λ を使っている．

C[s±1 , t±1 ] には，SL2 (Z) が()a b· (sk tl ) = sak+bl tck+dl
c dによって作用する．この作用は自然に gtor の自己同型を誘導する．

(S=01−10)に対応する自己同型を同じ記号 S で表すと，gtor 加群の同型()(s)(t)∗Wglob (Λ) ∼SW(Λ)=globが存在する．
(t)[Ko] では，Weyl 加群としては (2) の表示に基づいて Wglob (Λ0 ) を考え，主結果を()(t)
Wglob (Λ0 ) ∼= (S −1 )∗ L(Λ0 ) ⊗ D ⊗ C[τ ±1 ]の形で述べた．この理由を説明しよう．

7

g が ADE 型のとき，(2) の表示から Heisenberg 代数を読み取り，頂点作用素を使ってgtor の表現を構成すると（Moody-Eswara Rao-横沼 [MEY]），(1) の表示に関する最高ウェイト加群ができる．この表現を V(0) と書くと，具体的には

V(0) ∼= L(Λ0 ) ⊗ D ⊗ C[τ ±1 ](t)となる．この構成は (2) の表示からスタートするため，Weyl 加群としては Wglob (Λ0 ) をとるのが自然であり，二つの表現を比較すると()(t)
Wglob (Λ0 ) ∼= (S −1 )∗ V(0) ∼= (S −1 )∗ L(Λ0 ) ⊗ D ⊗ C[τ ±1 ]となる．

謝辞
ALTReT2019 での講演後，佐藤僚さんから Eswara Rao の論文 [E] について教えてもらい，続けて庵原-斉藤-脇本 [ISW] の結果との関係について議論したところ，主結果がADE 型から任意の型に拡張できました．佐藤さんに感謝します．
筆者は科研費（課題番号：17H06127, 18K13390）のサポートを受けています．

参考文献
[CL]

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