山梨大学教職大学院

令和３年度

教育実践研究報告書

数学の問題解決における「着想」や「見通し」についての研究－高等学校での授業実践において深い学びの実現を目指す－

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 植原孝仁

1. 研究の背景と目的・ねらい

ど，解決の糸口を見つけることに工夫や試行

高等学校の現場で数学を指導していると，錯誤が求められ，「着想」や「見通し」はます

考え方や根拠を意識せず，ただ解法や手順をます重要となる。重要な要素であるが，永井暗記しようとする生徒の存在に気づく。数学(2019)の「数学それ自身は非常に論理的に組の学びが，手続きを覚える学習になってしまみ立てられているにもかかわらず，数学のっている生徒が少なくない。原因として考え『アイデア』はとらえどころがなく，言葉でられることの 1 つとして，中学までの算数・もって完全に説明するのは難しい。たとえア

数学は少ない手続きで解までたどり着くこと

イデア自体を言葉で説明することはできても，が多く，根拠や着想，見通しの重要性に気づ

どうやってそのアイデアに到達できたのか，

きづらいことがあげられる。解法や手順の暗あるいはそのアイデアの必然性といったよう

記の学習習慣が定着してしまうと，そこから脱却することは非常に難しい。ただ自力解決

なことは説明しがたい。」の通り，着想や見通
しは説明しづらい要素であり，簡単には力がを促すだけでは，どのように頭を働かせればつかないことで，センスや才能だと考えてしいいのか，特に解決の糸口を見つけることやまう生徒も少なくない。

解決に向けての見通しをもつことに困難さを数学の問題解決の場面では，着想や見通し

感じ，ますます数学に苦手意識をもつ結果との根底となる解決の手立てを既習事項や過去なりかねず，指導の難しさを感じる。また，の経験をもとに見出していくことが必要とな生徒から受ける質問は，「なぜそのような考える。この場合の経験は，高等学校の数学であに至るのか」が多い。特に受験期になると，っても，小学校や中学校で学習したことの他，

問題解決の考え方が「思いつかない」や「見これまでの日常生活で考えた経験も含まれる。

通しが持てない」等の悩みが後を絶たない。

解決の手立ては，経験の積み重ねにより身にたとえ解答を見て根拠は理解できたとしても，ついていくことが望ましいが，これらの経験

問題解決における「着想」や「見通し」が分からないままになってしまうと，次回に類似は高等学校入学の時点で大きな個人差となっている。また，数学が得意な生徒の多くは，の局面に当たっても解決の糸口を見つけられこれまでの経験からあまり自覚することなくずに終わってしまう可能性がある。
「着想」や解決の手立てを身に着けており，無意識にそ「見通し」は問題解決の場面で重要であるにの手立てを使っている場合が多い。一方，数もかかわらず，問題集の解答には，理由や根学を苦手としている生徒の多くは，問題を解

拠の記述はあっても，着想や見通しは書かれ決するための手立てにどのようなものがあるていない場合が多い。生徒が試験の解答欄に，

かを知らなかったり，知っていたとしても意

着想や見通しを書く場面も必要性もなく，そ識して使うことができていなかったりする。

れを知る機会も少ないので，問題解決に至ら

自力解決を困難にしている原因の１つがこのない原因をつかめないままとなってしまう恐

ようなことに存在している。前述のセンスやれがある。また，難しい問題になればなるほ

才能だと考えてしまう原因は，実感すること－ 406 －

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令和３年度

教育実践研究報告書の難しい経験の積み重ねの差と，数学が得意

今，学んでいることが大学進学後の学びにどな生徒は無意識に手立てを使っており，しかのようにつながるかをイメージすることで，も無意識に使っている手立てが言葉で説明し学びに向かう力の向上が期待できるのではな

づらい点にあると考える。しかし，時間はか

いかと考えた。今回は，出題頻度が高く，慣かるものの，経験の積み重ねにより少しずつれないと見通しが立てにくい問題も多いと気身につく能力である。そこで，ねらいとして，になっていた数学Ⅲ「複素数平面」の１次分

指導の工夫により生徒が「着想」や「見通し」

数変換（メビウス変換）等に焦点化し，表１の重要さを理解し，すぐには身につかない力のような計画で，１次分数変換等の理論を伝なりにも着想する力や見通す力をつけるため

え，それらを背景とする問題を扱う授業を実に粘り強く継続的に考え続けようとするきっ

践してみることとした。

かけづくりはできるのではないかと考えた。
本研究では，甲府市内の高等学校普通科にて，問題解決の着想や見通しを得るための力を育

表１ 1 次分数変換等の指導計画と内容
1 時間目
9/27(月)小テスト（変換の教科書レベルの基本的な問題）
基本を確認後，図形的な意味にも触れる。
発問：１点を除いたものになるときはどのような場合か。
リーマン球面，直線は半径∞の円，１次分数変換（反転は 1 次分数変換の特殊な場合）の話，変換は図形を図形に移す。

２時間目
9/28(火)

1 次分数変換の基本とアポロニウスの円の問題を考える。
円円対応の説明。アポロニウスの円，補足として，直径の両端を求める考え方の説明。分母を 0 にする点は満たさないことに注意。答えが 1 点を除いたものになるときとならないときの違い。類題演習

3 時間目
9/30(木)

１次分数変換を背景とする複素平面上の漸化式の問題。
複素数平面上といわれて複素平面の性質を考えられるか。1 次分数変換の問題に気づけるか。すべての自然数ｎに関する命題の証明→数学的帰納法を検討。類題演習

4 時間目
10/5(火)非調和比（複比）を扱った問題を考える。
非調和比についての説明。1 次分数変換で非調和比は不変。円周角や円に内接する四角形の性質をもとに説明する。

5 時間目
10/6(水)いろいろな変換（ここではジューコフスキー変換）を扱う。ジューコフスキー変換は逆変換を考えるのが難しいことなどからｚを極形式，w を x+yi とおくのが基本となる。1 次分数変換やジューコフスキー変換
は等角写像。

6 時間目
10/7(木)

ここまでのまとめリーマン球面，1 次分数変換，反転，円円対応，非調和比，ジューコフスキー変換などを確認。
問題演習（2019 九州大）

７時間目
10/11(月)入試問題演習，問題演習（2020 東北大）
質問紙調査

成することを目的に，数学的背景，逆算思考，
主体的・対話的な学びを主題とした授業実践を行った。その結果を OPP シートの記述やア
ンケート調査によって検証することとした。
2. 授業実践内容
以下の 3 つの授業実践を行った。
(1)数学的背景(2)逆算思考(3)発表や説明し合う活動(1)数学的背景について
2021 年 1 月，初の大学入学共通テストにおいて数学ⅡB で「双曲線関数」を背景とする問題が出題された。双曲線関数を背景とすることが分かっていた受験生にとっては，見通
しをもつことができたのではないかと想像する。数学は「階梯的である」とか「積み上げ式の学問」とよくいわれる。数学の階梯性についてしばしば躓きの原因として問題となるが，階梯性がゆえに高等学校で学んだことの多くは大学数学へとつながっており，逆に言えば，大学数学やその先の大きな理論を背景として高校の数学が存在している。そこで，すべての問題がそうというわけではないが，着想や見通しにつながる多くのことの１つとして，数学的背景を知ることで，見通しをもって数学の問題を考えることのきっかけとな
ったり，深い学びにつながったり，さらには，－ 407 －

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令和３年度(2)逆算思考について

教育実践研究報告書とから１つずつ逆向きにたどり，思考を構造

PISA や TIMSS 等の，国際的な学力調査に化する方法をいう。最終的なゴールから逆算

おいて優秀な成績を収めているシンガポール

して道筋を作っていくのでゴール思考とも呼では，「数学的問題解決」の枠組みの中で「数ばれる。また，日本の小学校の算数教育では，

学的プロセス」能力の育成を重視している。

思考ツールを用いて思考の構造化を図る取り「数学的プロセス」の中に，数学的問題解決

組みが多くなされているが，その中に図１のに用いられる「思考スキル」と「発見的手法」

ようなステップチャートといわれるものがあが含まれており，「発見的手法は単純作業ではる。逆算思考はこのステップチャートを求め解けない問題を解決するためのストラテジー

たいものや証明したいことから逆にたどりなである。
（MOE，2020）」とし，ストラテジー

がら作っていくイメージである。

を問題解決過程に位置付けている。
表 2 思考スキルと発見的手法（MOE(2020)から筆者が作成）

数
学
的
プ
ロ
セ
ス

思考スキル
・分類する
・比較する
・分析する
・パターンと関係を見分ける
・一般化する・演繹的に考える・視覚化する
発見的手法
・表現する（e.g. 図をかく，表にする）
・推測する（e.g. 試行錯誤する，仮説をたてる）
・過程を構造化する（e.g. 逆算して考える）
・問題を置き換える（e.g. 問題を単純化する，特定の場合について考える）

図 1 ステップチャート

すぐには答えにたどり着かない問題に対して，求めたいものから逆算して思考を構造化することにより解決への見通しがよくなる場合がある。また，手順を覚えるのではなく，逆算して自分で手順を見つける意識にもつながると考えられる。本実践では数学Ⅰ「図形と計量」を題材として選び，単元の後半で扱われる三角形の面積や内接円の半径を求める
問題等で，複数の手続きを経て解答に至る問
題に対し「逆算思考」を用いることを意識させる授業を行った。
表 3 逆算思考で構造化した例
問 3 辺の長さが次のような△ABC の面積を求めよ。

また，塚原(2004)は，「ノンルーチンな問題を前にしてどう取り組んでよいかわからない

𝑎 = 5, 𝑏 = 7, 𝑐 = 8

sin 𝐴を求める必要がある。

という困難を解決するための 1 つの方策とし(面積の公式𝑆＝てストラテジーという考え方がある」とし，方や考え方が問題解決能力の向上につながるとしている。今回はこれらを参考に，数学に限らず問題解決の場面でよく使われる「逆算「working backwards」を「逆算して考える」と訳したが，「逆算思考」は数学の問題解決の場面でもよく用いられるストラテジーである。
逆算思考とは，求めたいものや証明したいこ

２

𝑏𝑐 sin 𝐴から)↓相互関係によりcos 𝐴からsin 𝐴を求める。
↓
cos 𝐴 を求めるには余弦定理を用いる。

ストラテジーとしての問題に対する取り組み

思 考 」 に 着 目 し実 践 を行 っ た 。表 1 で は

１(3)発表や説明し合う活動について
高等学校学習指導要領により，「主体的・対話的で深い学びの実現に向けた授業改善を進めること（文部科学省，2018）」が示されているが，対話的な学びで着想する力や見通す力－ 408 －

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教育実践研究報告書をつけることができるであろうか。言語力育確保するために，教師側の説明時間を短縮す

成協力者会議（第 1 回）清水委員説明資料にることを目的に指導用のデジタル教科書を投「説明を分かりやすくするために「なぜ」に影して説明する形式を採用した。生徒の発表

応えることも必要である。
「根拠となることをは下の画像のように，図形を投影した上から明らかにしそれに基づいて述べること（第一ホワイトボードマーカーで補助線や必要な記の「なぜ」）」，「着想や方法に気づいたきっか述を加えながら説明する形式で行った。

けや動機を明らかにすること（第二の「なぜ」）」であり，自分の考えを他者に受け入れてもらうために必要である。」（文部科学省，
2006）との記述がある。根拠の他，着想や方法に気づいたきっかけや動機が説明において他者を納得させる上で必要であると説き，重要性を伝えている。また，礒田(2008)は「他者の立場の理解とは，具体的には，相手がなぜそのようなことを言ったのかなど相手の目生徒による発表の様子

的・意図がわかること，どうしてそのようになるのか，そのようにするのか，そうするこ

3. 授業後の OPP シートの記述との発言の裏に隠された推論の前提としての(1) 数学的背景の授業後の OPP の記述

根拠やそう考える必要がわかることに相当す

問題演習を始めた当初の記述からは，過去る。
」と述べ，内容の理解とともに他者の立場に取り組んだ内容を忘れてしまっていることの理解を通して納得は進むとしている。さらへの気づきが多数見受けられた。また，０でに，「数学の問題の解答は，根拠の記述のみが割ってはいけないことや必要条件で絞ってい求められ，なぜそのように考える必要がある

たにも関わらず十分性の確認を怠ったことなのか，そもそもなぜ，そのようなことを問題

どの注意点も多かった。その中で，「除く点ににしたのか（目的，意図）は記されなくなっ注意する」や「無限遠点が変換される点が除た。
」と述べ，意図や必然性がわからないと納外点になる」，「非調和比が実数であることと得や真の理解につながらないとしている。この場合の「そう考える目的や意図，必然性」

向かい合う角の和が180°であることが結びついて面白かった」，「1 次分数変換の性質を知っは「着想」や「見通し」につながった経緯やていたので見通しが立ち分かりやすかった」

理由ととれる。これらのことから，問題集のなど，今回の授業の趣旨に沿った形の記述も解答を見て学ぶことからは得られない「着想」

多くみられた。また，ただ問題を解くだけでや「見通し」について，教師のファシリテー

終わってしまうと味わえない数学的背景の面

トは当然前提となるであろうが，説明や対話

白さや，意識することはないであろうメビウ

を通しての学びの場を設定することにより，

ス変換やジューコフスキー変換，リーマン球

他者から得ることができると考え，発表や説面，無限遠点等の名称は，生徒によっては興明し合う活動を主とする授業実践を行うこと

味を掻き立てる一因となったことを感じさせとした。実践は「着想」や「見通し」が，視る記述，難関大学の問題を解くことができた

覚的にとらえることで理解しやすくなること

ことで自信につながった記述も見られた。一をねらい，数学 A「図形の性質」を題材として選んだ。話す側の生徒も聞く側の生徒も方で，「実際に使うとなると難しそう」や「難しかった」という記述も多く，数学的背景ま「着想」や「根拠」を意識して説明したり聞で学ぶことに負担を感じる生徒も少なくなかいたりするように促した。生徒の発表時間をったようだ。

－ 409 －

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教育実践研究報告書てました」，「話しながら考えるのは楽しかっ

表４ 生徒の OPP シートの記述の一部分(数学的背景)た」，「周りの人と考えるのはとても楽しいと思った」，「みんなの解き方を聞けて刺激になった」など，発表や説明し合う活動を好意的に受け止める生徒は多かった。実際に授業を(2) 逆算思考の授業後の OPP の記述行った際に，様々な生徒が教師の想定を越え「逆算，すごい分かりやすかった」や「大た考えを次々に出してくることもあった。
「図変だけど楽しかった」，「過程がたくさんある形の性質」の単元であったこともその要因と問題は解いていて楽しかった」，「難しかった

して大きいと思うが，身近な仲間が発した解けど自分で考えて解けると楽しかった」など，答がゆえに，自分の解答と異なる場合，自分逆算して考える楽しさや自力解決したときのの考えも伝えてみたいと思い至るのではない

うれしさを記述した生徒が非常に多く，予想かと感じさせられた。教師が説明した場合は以上の手応えを感じた。今までは，手順が少別の考えを持っていたとしても自分の考えをし複雑になるとやる気をなくす生徒が少なく伝えようとする生徒は少ない。それは教師のなかったように思うが，「逆算して考える」と

説明は絶対的な解答である印象を与えてしまいう具体的な手立てがあると，取り組んでみって，自分の考えを発言しづらくさせてしまようとすることが OPP シートから読み取れるっているのかもしれない。また，「説明する言ことがしばしばあった。その結果，「意外と解葉が出てこない」，「前に出て説明するときにけた」につながる。楽しさやうれしさは容易上がってしまう」，「説明をもっとしっかりでに解けない（もしくは解けないと思い込んできるようにしたい」など，説明することの難いる）問題であればあるほど増す。そして，しさを実感する生徒も多かった。説明に自信

その喜びは次も頑張ろうとする原動力となるのない生徒と説明することを厭わない生徒でようである。また，「逆算意識の大切さを知っ

大きな差が生じてしまい，バランスよく発表た」，「パターンを丸暗記しようとせず，ゴーの機会を設けることの難しさを感じた。

ルに向かって逆算する力が必要だとわかった」，

表６ 生徒の OPP シートの記述の一部分(発表や説明)「今までやり方を覚えようとしていたので，逆算して考えたい」など，具体的にどのように頭を働かせればよいか分からなかった生徒
にとって，「逆算して考える」というストラテ
ジーが意識できるきっかけになったことは間違いなさそうである。

4. アンケート結果

表５ 生徒の OPP シートの記述の一部分(逆算思考)(1) 数学的背景の授業後のアンケート結果
数学的背景の授業後アンケートは最後の第７回目の授業で質問紙によって調査を行った。
調査当日は出席停止の生徒が多数であったことで，対象者３１名に対し回答数が１７と大幅に少なくなってしまい，信頼性の面で残念な結果となってしまった。集計結果は表７の(3) 発表や説明し合う活動後の OPP の記述

とおりである。
「見通し」や「着想」につなが「○○(生徒の名前)の解き方が分かりやすかった」や「教えることができて少し自信が持り，深い学びが達成できているように思う。
数学的背景を学ぶことは，特に「見通し」を－ 410 －

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もって問題解決にあたることができるとみて「積み上げ式の学問」であることを改めて思良さそうである。感想をみても概ね肯定的でい知らされる結果であった。

あり，良好な結果であると受け止めて良さそうだが，中には，数学的背景まで学ぶことを負担に感じた生徒もいた。
表７

数学的背景を学ぶことに対するアンケート

表８

非常にそう思う

ややそう思う

度数

8

11

4

2

0

25

％

32.0%

44.0%

16.0%

8.0%

0.0%

100.0%

全く思わない

合計①問題を解く際に、見通しが良くなったか。
ややそう思うどちらともいえない

あまり思わない

全く思わない

合計

度数

4

11

2

0

0

17

％

23.5%

64.7%

11.8%

0.0%

0.0%

100.0%

ややそう思うどちらともいえない

あまり思わない

全く思わない全く思わない合計

非常にそう思う

ややそう思う

度数

10

9

6

0

0

25

％

40.0%

36.0%

24.0%

0.0%

0.0%

100.0%

全く思わない合計

非常にそう思う

ややそう思う

度数

8

10

7

0

0

25

％

32.0%

40.0%

28.0%

0.0%

0.0%

100.0%

2

10

5

0

0

17

％

11.8%

58.8%

29.4%

0.0%

0.0%

100.0%

全く思わない合計

非常にそう思う

ややそう思う

度数

5

9

8

3

0

25

％

20.0%

36.0%

32.0%

12.0%

0.0%

100.0%③深い学びに繋がったか。
非常にそう思う

ややそう思うどちらともいえない

あまり思わない

全く思わない

合計

度数

6

10

1

0

0

17

％

35.3%

58.8%

5.9%

0.0%

0.0%

100.0%

どちらともいえない あまり思わない④主体的に学習に取り組む態度の向上に繋がったか。

合計

度数

どちらともいえない あまり思わない③深い学びに繋がったか。

②問題を解く際に、着想に繋がったか。
非常にそう思う

どちらともいえない あまり思わない②問題を解く際に、着想に繋がったか。

数学的背景（1次分数変換の性質等）を知ることで、非常にそう思う

逆算思考に対するアンケート

逆算思考で手順を考えたことで、①問題を解く際に、見通しが良くなったか。

どちらともいえない あまり思わない⑤他の単元でも、逆算思考で手順を考えてみようと思うか。
非常にそう思う④主体的に学習に取り組む態度の向上に繋がったか。

ややそう思うどちらともいえない あまり思わない

全く思わない

合計

度数

6

14

4

1

0

25

％

24.0%

56.0%

16.0%

4.0%

0.0%

100.0%⑥逆算思考で手順を考える授業の感想

非常にそう思う

ややそう思うどちらともいえない

あまり思わない

全く思わない

合計

度数

4

7

6

0

0

17

％

23.5%

41.2%

35.3%

0.0%

0.0%

100.0%

わかりやすかった。
とてもいい。
逆算してみることで意外と問題が解けるようになったのでよかった。

⑤他の単元でも、数学的背景を学んでみたいと思うか。

いつもより簡単に問題を解くことができた。

非常にそう思う

ややそう思うどちらともいえない

あまり思わない

全く思わない合計

何を求めればいいのかが分かりやすくなった。

度数

8

5

4

0

0

17

まず何からすればいいかが分かりやすくなったのでよかった。

％

47.1%

29.4%

23.5%

0.0%

0.0%

100.0%

考え方が明確になりやすいのでいいと思う。
答えを導くために、こうするという考えを立てることで、遠回りをせずに、解決できると思った。

⑥今回の授業の感想など

逆算思考で自力で解いた解答によく満足しています。

分かりやすかったり、初めて知る解き方などもあって面白かった。

1つ1つの手順を考えるのは良いと思った。

学びが深まってよかった。
最初、忘れ過ぎて全然できなかったけど、最後の方は自力で解けるものもあって良かった。

難しそうな問題でもやる気が出た。

今まで知らなかった数学的背景に触れることができ、より理解度の向上を得ることができたと思う。

難しかったけど考えるのは楽しかったです！これからも身につけたことをやっていきたいです。

性質を知ることで解法について、より理解できたが、１から自分で解くのはまだ厳しいと感じている。

自分の知識をフルに使うことによって問題を楽しく解くことができ、解けた時は達成感があった。

自分が知らないことを知ることができてよかった。

逆算して考えることで新しい考えを見つけることができたとおもう。

最後の東北大入試問題は、ほぼ完答できたので成長を感じられた。

色々な考えが知れて良かった。

自分の勉強不足故ではあるのだが、数学的背景まで学ぶのは少し負担が大きかった。

ほかにも活用できるところがあると思います。

入試問題が前より解けるようになったように感じられました。

図形の問題でとても役立ちそうだと思った。

少し見通しが立てられるようになった。

逆算で考えることの大切さをしれたが、自分で逆算で考えるのはなかなか難しいなとも思った。

複素数平面を深く学ぶことができて良かった。

難しい。

問題の解き方は１つではないことを頭に入れて取り組むことで視野が広がる。

逆算しても何を求めればいいか分からない。

困ったとき違うアプローチをすることで問題を解けたときはうれしかった。

より詳しい説明が欲しいと思った。

リーマン球面の話は大学的で面白かった。

(2) 逆算思考の授業後のアンケート結果(3) 発表や説明し合う活動後のアンケート結果

逆算思考の授業後アンケートは，授業内で発表や説明し合う活動の授業後アンケート

調査の時間がとれず，アンケート作成ツールを用いての任意回答となり，対象者５４名には，アンケート作成ツールを用いたが当日の出席者で端末を持っている生徒については授対し有効回答数が２５と少なくなってしまっ

業内で回答する時間を確保した。対象者５３た。集計結果は表８の通りである。「見通し」，

名に対し有効回答数が４０であった。集計結「着想」とも「非常にそう思う」，「ややそう果は表９の通りである。
「見通し」，「着想」と思う」を合わせた回答割合は，全体の８割近も「非常にそう思う」，「ややそう思う」を合くに上る。感想からも，「逆算思考」が考える

わせた回答割合は全体の９割を超え，対象生

上での１つの手立てとして受け入れられてい徒は異なるものの３つの授業実践の中で最もると感じとれる結果となった。ただ，逆算し肯定的な結果であった。感想の中で「数学がて考えることで必ず解答に結びつくわけでは得意な生徒がどこに目をつけているのかを見なく「難しい」との本音を吐露する生徒もいることができて，いい発見がいくつもあった」

た。実際の授業の場面で解答できていないとが象徴するように，解決につながった見方・思われる生徒は，公式に当てはめる等の基本的な操作ができていない場合が多い。「逆算思

考え方が，生徒の目線で語られることで，聞く側の生徒の理解が「発見」という言葉で綴考」は 1 つ 1 つの既習事項が習得できていてられているのは，本来「受け身」にように受こそ初めて役に立つ手立てである。数学がけ取れる生徒の「聞く」態度が，「能動的に聞－ 411 －

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く」であり，生徒が自覚しているかどうかはケート結果からは，当初のねらい通りの結果

分からないが，主体性につながっているようとなった。

に感じられた。
表９

5. まとめと考察

発表や説明しあう活動に対するアンケート(1)数学的背景についての授業として，１次発表や説明しあう活動を行ったことで①問題を解く際に、見通しが良くなったか。
非常にそう思う

ややそう思うどちらともいえない あまり思わない

全く思わない分数変換等を背景とする問題を扱い，指導を

合計

度数

19

18

3

0

0

40

％

47.5%

45.0%

7.5%

0.0%

0.0%

100.0%

全く思わない合計する立場として非常に楽しく行うことができ②問題を解く際に、着想に繋がったか。
非常にそう思う

ややそう思うどちらともいえない あまり思わない

度数

18

19

2

1

0

40

％

45.0%

47.5%

5.0%

2.5%

0.0%

100.0%

た。生徒にとってはやや難しい内容もあっただろうが，難しい理論だからこその楽しさを③深い学びに繋がったか。
非常にそう思う

ややそう思う

全く思わない

合計

度数

21

14

4

1

0

40

％

52.5%

35.0%

10.0%

2.5%

0.0%

100.0%

どちらともいえない あまり思わない味わった生徒も多かったと感じる。その証拠に，授業後に熱心に質問に来る生徒も少なく④主体的に学習に取り組む態度の向上に繋がったか。
非常にそう思う

ややそう思う

全く思わない

合計

度数

12

19

7

2

0

40

％

30.0%

47.5%

17.5%

5.0%

0.0%

100.0%なかった。もちろん，受験を見据えて入試問

合計

題を解く力をつけたいという思いもあっただ

どちらともいえない あまり思わない⑤他の単元でも、発表や説明しあう活動をしてみたいか。
非常にそう思う

ややそう思うどちらともいえない あまり思わない

全く思わない

度数

12

13

10

5

0

40

％

30.0%

32.5%

25.0%

12.5%

0.0%

100.0%

ろうが，教科書には書いてない教科書の裏側⑥発表や説明しあう活動の授業の感想にある理論を学ぶことに，学問としての数学

みんなの考えを聞くことができて良かった。
わかりやすいところもあった。

の楽しさを味わえたのではないだろうか。少

教え合うことができて良かった。
近くの人と協力して難しい問題を解いた時に達成感があってよかった。

なくとも数学の魅力を伝える結果にはなりえ

静かに取り組むよりも周りの人と相談したり誰かの考えを聞いたりする方が、色々な考え方などを知ることができるということだけでなく自分の意志をみんなと共有できるからいいと思う。
発表が緊張した。

たと思う。(2)逆算思考については，予想以上

自分の考えた答えを、相手に分かるように伝える事で自分の理解も深まったので良かった。
たまに、わかりづらい説明があって理解しきれない所があった。

に授業の感触が良かった。数学の理論とは異たのしかった。
他の人の考えを知ることができて良かった。

なり，ただの手立てに過ぎない「逆算して考色々な意見が聞けるので面白かった。
他の人と交流することで他の人の意見が分かって良かったし楽しかった。
発表があると、先生だけの説明ではなく色々な人の考えが聞けるので違った考え方を知ることができた。

える」は，それまで数学の学習が解法の暗記

色々な人の意見を聞いて考え方を深められたと思う
受け身の授業よりも頭が働いて､おもしろかったであった多くの生徒にとって，自ら手順を考

自分が発表するのは好きではないが、他の人の説明を聞くことは楽しいし学びが深まると思った。
理解が深まっていいと思います。

え自力解決に至った経験を経て自信をつかむ

周囲との会話がしやすく、説明をしあったりなどができたため、発表もしやすかった。
もっとやりたい。

ことにつながった。また，普段生活する上で友達の意見を聞いたり、説明したりすると、学びが深まるのでいいと思う。
納得できる。
発表することで理解しやすくなる。

も目標から逆算して現在の行動を決定してい主体的になれるので良いと思う。
自分では思いつかなかった考え方を知り、学びが深くなるのでとても良いです。

ることは多いことから，現実の世界で使われ新しい解き方の糸口などを見つけることもでき楽しかった。
様々な着眼点が共有できて新しく知ることも多かった。

ている思考法が数学の世界でも使えることに気づくことができたのではないか。実社会で友達の考えを知れるのでいいと思う。
新しい発見や、考えや、頭のいい人の考え方、色々な考え方など知れて楽しかった。
色んな考え方があるから、ひとつの視点からだけじゃなくて様々な角度から考えることが大切だと思えた。
他の人(数学が得意な人)がどこに目をつけているのかを見ることができて、いい発見がいくつもあった。図形
は着目点がいくつもあるから面白かった。

も数学の場面でも，共通の頭の働かせ方があ

他人に自分の考えを説明できる能力がつくと思うのでいいと思う。
会話が増えて発表をする練習になる。

ることに，改めて数学を学ぶ意義を見いだせ

他人の考えと自分の考えが比べられると同時に演説の練習になるいい機会だと思います。
これからの学習は考え方が重要視されると思うので、とても良い取組みだと思う。

るのだと思う。(3)発表や説明し合う活動につ発表してると時間がかかって、あんまり進まない。

いては，アンケートの感想の言葉を引用する(4)尺度得点の平均比較と，聞く側は，「どこに目をつけているか」や

表１０

尺度得点の平均比較「解き方の糸口」，「様々な角度から考えるこ(１)数学的背景(2)逆算思考(3)発表や説明

①見通し

4.1

4.0

4.4

②着想

3.8

4.2

4.4

③深い学び

4.3

4.0

4.4

④主体性

3.9

3.6

4.0

⑤持続性

4.2

4.0

3.8

と」，「様々な着眼点」等を学び，発表する側
も，「相手に分かるように伝える事で自分の理解も深まった」というように自分の考えを深める機会としている。第１章で述べた「無意「非常にそう思う」を 5 点，……，「全く思わない」を 1 点として得点化し 1 人当たりの識に手立てを使っている」状態が発表を通して認知に変化したといえよう。今回の発表で平均得点を比較したものが表１０である。
「見

も説明の難しさを感じた生徒は多い。「わかり通し」，「着想」とも高い得点率であり，アン

づらい説明もあった」というアンケートの記－ 412 －

山梨大学教職大学院

令和３年度

教育実践研究報告書述もあった。しかし，生徒は，教師からの説のような短時間で結果が出る方法を望んでい明よりも，他の生徒からの説明の方が大きくる印象を受ける。しかし，ユークリッドがエ刺激を受けることができるのだと感じた。勉

ジプトの王に「幾何学に王道なし」と言った

強を頑張るきっかけは様々であろうが，身近ように，昔も今も，数学を簡単に身につけるな仲間の頑張る姿も自分を頑張らすきっかけ

方法はない。増田(2021)は，「試験も現実の問につながっている。

題として大事であるが，『わかりたい』という３つの実践とも，OPP シートの記述やアン

好奇心が萎えていては何も始まらない」に続

ケートの結果から肯定的に受け止めてよいデ

けて，「数学を楽しみながら学ぶという姿勢がータが得られたと考えている。すなわち，ね

必要」と述べている。数学に限らず，得意とらいに掲げた「実践によって，生徒が着想すなるためには，たとえ勉強であっても，そのる力や見通す力をつけるためのきっかけづく

中から楽しみを見つけていく姿勢が大事であり」は概ね達成できた。但し，「着想や見通しる。今回の研究で最も大きかった成果は，何を得るための力を育成する」という目的達成

人かの生徒の OPP シートの記述にあった「楽のためには，今後も継続して，生徒自らが意しい」という言葉だったようにも思う。数学

識して考え続ける必要がある。教員という立に向かう上で，「数学を楽しむ力」を育てるこ

場でできることは，今回のようにそのためのとが最も重要で，私たちも数学を楽しみなが仕掛けを用意し続けることであり，サポート

ら指導し，数学の楽しさを伝えていくことがする立場で関わりながら，生徒自身の自律を必要なのではないかと感じ，それは，「学問の促していきたい。

原点に戻れ」と言われている思いがした。

課題もいくつか浮き彫りになった。数学的背景を知っていることは強みにはなるものの，【引用・参考文献】

必要性が必ずしもあるというわけではない。

礒田正美(2008)「アーギュメンテーションにそもそも，数学的背景をやみくもに考えればよる問題解決の指導」磯田正美・笠一生編著

きりがなく，それを説明する側の力量も問わ『思考・判断・表現による学び直しを求めるれることとなる。逆算思考ですべてが解決す

数学の授業改善』(pp.19-41)明治図書

るわけではなく，高校数学で身につけておき増田哲(2021)「『なぜ数学を学ぶのか』と迷ったいストラテジーは他にもいくつか存在する。
また，推論の方法も，帰納，類推，演繹，ア

たら」『数学セミナー』2021 年 4 月号(pp.811),日本評論社

ブダクションなど必要に応じて考えなくてはならない。発表や説明し合う活動は時間がか

Ministry of Education Singapore(2020)「MATHEMATICS SYLLABUS Pre-かる。今回デジタル教科書を投影しての授業

University」を行い教師側の説明時間の短縮を試みたが，文部科学省(2006）「算数・数学の学びと言語

それでも，他のパートに比べて進度が大きく力の育成－「筋道を立てて説明する力」に焦遅れてしまった。トレードオフの関係にあた

点を当てて－」言語力育成協力者会議（第 1

る課題もあるが，これらの課題は今後の研究回）清水委員説明資料に活かしていきたい。また，今回の取り組み

文部科学省(2018)「高等学校学習指導要領の中で最も困難さを感じたのは，考えること（平成 30 年公示）」が苦手で好きではない生徒の存在である。そ永井保成(2019)「大学数学とどう付き合うか」のような生徒は「着想」や「見通し」を考える段階以前の状態であり，対応は難しく，全『数学セミナー』2019 年 5 月号(pp.8-11),日
本評論社

体指導ではその場しのぎになっていると感じ

塚原成夫(2004)『新・高校数学による発見的る。そして，数学が苦手な生徒は，暗記学習

問題解決法-ストラテジー入門-』現代数学社－ 413 －