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二次元リボン結び目のもろて型
安田智之*

Amphicheirality of ribbon ２-knots
Tomoyuki Yasuda*

二次元リボン結び目の対称性については，以下の様な事実が知られている。まず，四次元ユークリッド空間内において，三次元ユークリッド空間に対して対称な位置［１］
ま た，（−）も ろ て 型 で あ る こ と がに お け る。
［１］Marumoto によって示されている。
従って二次元リボン結び目に関しては，（＋）もろて型であることと可逆的であることとは同義となる。そこで，（＋）もろて型に関してであるが，まず，（＋）もろて型でない，即ち非可逆な二次元リボン結び目の存在することは，Kinoshita によ［１］って示されている。
自明な二次元リボン結び目を除くと，最も単純な（＋）もろて型でない，即ち非可逆な二次元リボン結び目は，最小交差数が２である２２二次元リ［２］［，３］ボン結び目である。
因みに一次元結び目で，自明な結び目を除いた最も単純な非可逆結び目は，最小交点数が［４］８である８１７結び目であることがよく知られている。
一方，スパン結び目と呼ばれる二次元結び目は二次元リボン結び目であるが，スパン結び目は（＋）もろて型であ［５］［，６］る。
さて，ここでは二次元リボン結び目の（＋）もろて型をリボン表示の観点から考えてみる。リボン表示の最も基本的なクラスは２ベースリボン表示であるので，特にこれに注目したい。２ベースリボン表示をもち（＋）もろて型であるようなものに，二橋結び目のスパン結び目［７］［，８］がある。
その２ベースリボン表示は今のところ各二次［８］
元リボン結び目に対し高々２種類しか知られていない。
ところが，それらはいずれも二橋結び目の Schubert 標準形から自然に得られる２ベースリボン表示であり，これらを含め既知の（＋）もろて型である２ベース二次元リボン結び目の２ベースリボン表示はすべて，（＋）もろて型リボン表示なるリボン表示に属するものであった。
従って（＋）もろて型である２ベース二次元リボン結び目の２ベースリボン表示は（＋）もろて型リボン表示に限るということが予想されてきた。このことに関し本論
文では次のことを主張し証明を行う。
定理 （＋）もろて型である二次元リボン結び目であっても，（＋）もろて型リボン表示でない２ベースリボン表示をもつようなものが存在する。
＊奈良工業高等専門学校

１．準備

１．１ 定義
１，２，…，を互いに交わらない四次元
2
ユークリッド空間  内の三次元球体の族とする。また，
１，２，2
2 とおく。一方，  :  → （…， −１； ， ＝１，２，…， ）を，像が互いに交わらない埋め込みの族とし，かつ，次の性質（１），（２）を 満 た す も の と す る。但 し  は 二 次 元 球 体， ＝［０，１］である。

+ -20,%  ( % 06 0  (*20 (+, （02） (+, （02）4（その他）
&
8  () 8 2は連結。
（２）
020
ここで  を二次元球面8 2)&
8  6(&200
&
8  (6であり  は  の内とする。但し 0 0部を表す。この時， のことを二次元リボン結び目と呼（１） ぶ。

8 2， 0&
8  (とおくとき 0200（，）のことを二次元リボン結び目  に対する 
ベースリボン表示（或いは単にリボン表示）と呼ぶ。また  をベース， をバンドと呼ぶ。更に，二次元リボン結び目  に対するすべてのリボン表示を考えた上でのベース数の最小数のことを  のベース指数と呼びで表す。このとき  は ベース二次元リ
１．２ 定義ボン結び目であるという。
１．３ 定
義（｛０｝× ）（ ＝１，２，…， −１）とおく。
但し｛０｝は  の中心点である。ここで各 が に0 平成１３年９月２８日受理１４６弓削商船高等専門学校 紀要 第２４号（平成１４年）

有限個の点で垂直に交わるとしてよい。これらの点を各の方向に従って ， ，…， ! とし（ ， ）のリボン交差と呼ぶ。但し各 の方向は  から  へ向か&う方向とする。この時をリボン表示（ ， ）0のリボン交差数と呼び，（ ， ）は 交差リボン表示であるという。そうして  に対する総てのリボン表示を考えた上でのリボン交差の最小数のことを  の最小交差数（或いは単に交差数）と呼び （ ）で表す。

    70 !
   




１．４ 定
義， ，…， ! に対応して， 個の文字からなる語を つ く る。つ く り 方 は が 2 に 点 "（ ＝１，２，…， ）で正の側から交わるとき， の 番目の文字を 2，負の側から交わるときは同様 2& とするものとする。つくられた語 ， ，…， & を利用して の結び目群 の群表示を次の様に構成で
きる。

 #

$!
 !

# #
3 % & 



（１．５）

$ 

#

 "
# "
$

$22055'''5-$5#$&#
055'''5&［９］
但し各 2 は 2 のメリディアン生成元とする。
以上の様な構成法でリボン表示（ ， ）から得られた群表示（１．５）のことを（ ， ）に関連したリボン群表示と呼ぶ。また各のことをこのリボン群表示の語と呼ぶ。一方，リボン群表示（１．５）からは，逆の手順でリボン表示（ ， ）を定められるので（ ， ）のことをリボン群表示（１．５）に関連したリボン表示と呼ぶ。

#    １．６ 定義
内において ＝０， ≧０によって定義さ/をれ る  の 上 半 空 間 と し， & を  内 に お い て ＝０， ≦０によって定義される  の下半空間とする。
ここで / を 方 程 式， ′＝ ， ′＝ ， ′＝ −， ′＝ ＋ に従って回転させる。この時  を ＝ ＝０と定めれば / は  について回
転 す る こ と に な る。今，  内 の 一 次 元 結 び 目  を & がプロパーに埋め込まれた自明な弧であるように置いておく。この時，  / を上述の回転の方程式に従って回転させた時に構成される二次元結び目を  のス
［１］［，１０］［，１１］
パン結び目と呼び，spun（k１）で表す。

% %$ $%% %$%$%$ $ $ $ $ $ 1$ 1 $ $ 1 $ 1% $$% %%*%*%
１．７ 定義
二次元リボン結び目  に対しその鏡像を（ ）＊ととし，結び目に入れられた方向を逆転したものをするとき 〜（ ）＊ならば  は（＋）もろて型であるといい， 〜−（ ）＊ならば（−）もろて型であると
 ならば可逆的であるという。
いう。また 〜  
 &

&

１．８ 定
義
リボン表示（ ， ）に関連したリボン群表示をとする。ベースの各成分に対応するの生成元 ， ，…，  の名前の適当な入換えや，バンド各成分の方向逆転を適当に行ってそれに対応するリボン群表示 ′ をつくる。その上で ′ の語を構成する文字  を一斉に& にするという操作でリボン群表示 ″ をつくる。
以上の構成で新たにつくられるリボン群表示 ″ をと同一にできるとき， は（＋）もろて型リボン群表示であるという。

 



$$





$


$$

２．定理の証明（＋）もろて型の定義（１．７）と（＋）もろて型リボン群表示の定義（１．８）により次のことはすぐ分る。
２．１ 補
題（＋）もろて型リボン群表示に関連したリボン表示をもつ二次元リボン結び目は（＋）もろて型である。
２．２ 例
３１結び目［１２］に対し spun（３１）則ち２１二次元リボン結び目［２］［，３］のリボン表示として次のリボン群表示に関連したリボン表示（ ， ）をとる。

 
0 $5$-$$$$&$&$&（，）の二つのベースに対応する生成元の名前を入れかえると次のリボン群表示を得る。

0 $5$-$$$$&$&$& 

これに関連したリボン表示を（ ， ）とする。（ ，）のバンドの方向を逆にすると次のリボン群表示に関連したリボン表示（ ， ）を得る。

 
0 $5$-$$&$&$&$$
 の語 $&$& において $& を $ にて $& を $ にかえたリボン群表示は次のようになる。

0 $5$-$$$$&$&$&
これは  と同一のリボン表示である。従って spun（３ ）１は（＋）もろて型である。
２．３ 定理の証明
次のリボン群表示は（＋）もろて型リボン表示でない。

0 $5$-$$$&$&$$$$&$$$&$&$&$$
$&$&$&$$$$&$&$$&$&$&$$$&
ところが  に関連したリボン表示を（，），このリボン表示をもつ二次元リボン結び目を  とおくと，実はこの２ベース二次元リボン結び目  は（＋）もろて二次元リボン結び目のもろて型（安田）  型である。何故なら（ ， ）に６回の安定同値変形［７］を施すことにより（＋）もろて型リボン群表示 ′ に関連したリボン表示（ ′， ′）を得るからである。安
定同値変形は結び目型を変えないので，（ ′， ′）は のリボン表示であり，従って補題（２．１）より が（＋）もろて型であるといえる。以下（ ， ）から（ ′， ′）に至る６回の安定同値変形を，それに対応するリボン群表示の同型変形で示す。ここで は群の同型を表す。

 
 
 .

. $5$5$$$$&$&$$$$&$$$&$&$&$$$&$&$$&$&$$$$&$&$$&$&$&$$$&5$$$&$&$&$$$&$&$$&$&$$$$&. $5$5$-$$$&$&5$$$&$&$&$$$&$&$$&$&$$$$&. $5$5$5$-$$$&$&5$$$&$&$&$$$&$&$$&$&$$$$&$$$$&$&$$&$&. $5$5$5$-$$$&$&5$$&$&$5$$$$&$&$$&$&. $5$5$5$5$-$$$&$&5$$&$&$5$$$$&$&$$&$&5$$&$&$. $5$5$5$5$-$$$&$&5$$&$&$5$$$&$&5$$&$&$（証了）0′参考文献［１］Suzuki, S., Knotting problems of ２-spheres in ４-sphere, Math. Sem. Notes Kobe Univ. ４（１９７６），
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