Université Claude Bernard Lyon 1
L3 - Mathématiques pour l’enseignement – Géométrie élémentaire 2015-2016

Contrôle no 1 : 7 mars 2015
Durée : 1 heure 30— Les documents, calculettes et téléphones portables ne sont pas autorisés.
— Aucun point ne sera attribué aux réponses non justifiées.
— On traitera les exercices dans l’ordre que l’on voudra et on pourra utiliser librement lesrésultats d’un exercice dans un autre.

Exercice 1.
Soit E un espace affine de dimension 1 (c’est-à-dire une droite) et soit f : E → E une application
affine qui possède deux points fixes distincts A et B. Que peut-on dire de f ?
On pourra par exemple choisir un repère et travailler en coordonnées.
Exercice 2. Projections et symétries
On se place dans l’espace affine R3 où l’on note (x, y, z) les coordonnées.
1. Sur un dessin, placer les pointsÖ èA0 =
ÖA4 =

11
1

1
1−1

Ö

, A1 =
èè−111

Ö

−11−1, A5 =

Ö1−11, A2 =èÖ

, A6 =

èÖ, A3 =
è

1−1−1

è

−1−11

Ö

, A7 =−1−1−1,è.

2. Soit D le sous-espace affine défini par le système(2x − 2y + z = 1x − y + 3z = 3.

(a) Déterminer une représentation paramétrique de D.
(b) Quelle est la nature de D ? Représenter D sur le dessin précédent.
3. Soit P le plan d’équation x + y = 0. On note p la projection sur P parallèlement à Det s la symétrie par rapport à P parallèlement à D.
(a) Lesquels des points Aj (0 6 j 6 7) appartiennent à P ? Représenter P sur le dessinprécédent.
(b) Déterminer les coordonnées de l’image d’un point M = (x, y, z) par p.
(c) Déterminer les coordonnées de l’image d’un point M = (x, y, z) par s.
4. Quelles sont les coordonnées de l’image de M = (x, y, z) par la projection sur le pland’équation z = 0 parallèlement à l’axe (Oz) (contenant O et dirigé par le vecteur (0, 0, 1)).

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Exercice 3. Homothéties-translations→−
Soit E un espace affine de dimension finie de direction E . On appelle homothétie-translation
toute application de E dans E qui est une homothétie ou une translation.
1. Soit f : E → E une application affine. Comment est définie l’application linéaire associée ?
2. Étant donnés un point A ∈ E et un réel k ∈ R∗ , on note hA,k l’homothétie de centre A et→−de rapport k. Étant donné un vecteur v ∈ E , on note tv la translation de vecteur v.
(a) Est-il possible d’avoir la relation hA,k = tv ?
(b) Quelle est l’application linéaire associée à hA,k ? et à tv ?
−1(c) Montrer que les bijections réciproques h−1
A,k et tv sont des homothéties-translations.

3. On fixe un repère (O, e1 , . . . , en ) de E . En introduisant clairement les notations nécessaires,déterminer les coordonnées de l’image d’un point par une homothétie hA,k et par une
translation tv .
4. On veut montrer que la composée de deux homothéties-translations est une homothétietranslation.
Dans chaque cas, on pourra au choix raisonner vectoriellement ou en coordonnées.
(a) Soient A et A0 deux points de E et k et k 0 deux réels non nuls. Soit f = hA,k ◦ hA0 ,k0 .
On suppose que kk 0 6= 1. Montrer que f admet un unique point fixe A00 qui appartientà la droite (AA0 ). Montrer que f = hA00 ,kk0 .
(b) Soient A et A0 deux points de E et soit k un réel non nul. Soit f = hA,k ◦ hA0 ,1/k .
Montrer que f est une translation et préciser son vecteur.
→−(c) Soit A ∈ E , k ∈ R∗ , v ∈ E . Déterminer hA,k ◦ tv .
(d) Identifier et traiter de même les derniers cas.
5. (a) Soit A un point de E . On dit que sA = hA,−1 est une symétrie centrale. Justifier ceterme en déterminant deux sous-espaces affines F et G tels que sA est la symétrie
par rapport à F parallèlement à G .
(b) Soient A1 , . . . , An des points de E . Déterminer la nature de sA1 ◦ · · · ◦ sAn .
Commencer par les cas n = 1 et n = 2.

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