Géométrie euclidienne

Université Claude Bernard–Lyon I
Licence 3 de Mathématiques : Géométrie élémentaireAnnée 2012–2013

I Plutôt des préliminaires
1○ Fonction scalaire de Leibniz
En guise de transition entre barycentres et géométrie euclidienne, on étudie la fonction scalairede Leibniz. Étant donné une famille finie de points (A1 , . . . , An ) dans un espace affine euclidien
E – très souvent, un plan – et une famille finie de scalaires (λ1 , . . . , λn ), on considère la fonctionf ∶ E Ð→ R,

nM z→ ∑ λi M A2i .
i=1a) En introduisant, s’il existe, le barycentre idoine, donner une valeur simple de f (M ).
b) Application. Étant donnés deux points dans le plan et un réel k > 0, déterminer l’ensemble
des points M tels que M A = k ⋅ M B.
2○ Le sens de quelques expressionsa) Produits de mesures algébriques
On a vu que si A, B et M sont trois points alignés, avec disons M distinct de B, alors le rapport
M A/M B ne dépend que des points et pas du choix d’un repère affine de la droite. Expliquer
pourquoi, dans un contexte euclidien, il est raisonnable de dire que
1. une mesure algébrique est bien définie au signe près ;2. le produit de deux mesures algébriques M A ⋅ M B est canoniquement défini.
b) Déterminants
Dans un espace vectoriel de dimension n, le déterminant d’une famille de n vecteurs v =(v, . . . , vn ) relativement à une base e = (e1 , . . . , en ) est le déterminant de la matrice A dontla j e colonne est la colonne des coordonnées de vj dans e. On le note dete (v).
1. Rappeler la relation entre dete (v) et dete′ (v) lorsque e et e′ sont deux bases de l’espace.
2. Expliquer comment, dans un contexte euclidien, on peut choisir e pour que dete (v) soit
bien défini (resp. bien défini au signe près).

II Géométrie plane : back to the future
Dans ce paragraphe, on retrouve dans le contexte d’un plan euclidien (orienté s’il faut mesurerdes angles), des propriétés géométriques bien connues mais admises depuis le collège ou le lycée.
1○ Triangle rectangle et demi-cercles
Soit ABC un triangle non aplati. Montrer que ABC est rectangle en A si et seulement si A
appartient au demi-cercle de diamètre [BC].
En notant I le milieu de [BC], on calculera AI 2 ou on prouvera l’égalité de la médiane, valable
pour tout A : AB 2 + AC 2 = 2AI 2 + BC 2 /2 (cf. I1○ ).
2○ Relations métriques dans un triangle rectangle
Soit ABC un triangle non aplati dans un plan affine euclidien. On note H le projeté orthogonalde A sur la droite (BC) (sens ?). On suppose 1 que H ≠ B et on construit (comment ?) unÐÐ→repère orthonormé (H, i, j) avec i = HB/HB. On note b (resp. c) l’abscisse de B (resp. C) et al’ordonnée de A. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :1. Quitte à échanger B et C, cela se fait sans perte de généralité.

1(i) les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires ;(ii) on a : a2 + bc = 0 ;(iii) on a : AB 2 + AC 2 = BC 2 (nom ?) ;(iv) on a : AI 2 = BC 2 /4 (interprétation ?) ;(v) on a : AB ⋅ AC = AH ⋅ BC ;(vi) on a : AH 2 = ⋅ HC (sens ?) ;111(vii) on a : AH
2 = AB 2 + AC 2 ; etc.

3○ Un zeste de trigonométrie
Soit un plan affine euclidien orienté. Montrer que si A, B, C sont trois points distincts, on a :Ð→ Ð→̂Ð→Ð→⟨AB, AC⟩cos(AB, AC) =,AB ⋅ ACÐ→ Ð→
̂Ð→Ð→det(AB, AC)sin(AB, AC) =.
AB ⋅ AC

4○ Applications conformes
Soit un plan affine euclidien orienté et f une bijection affine qui préserve les angles orientés.
Montrer que f est une similitude directe, c’est-à-dire la composée d’une isométrie directe etd’une homothétie.
5○ ≪ Cas d’égalité des triangles ≫Dans un plan affine euclidien, on se donne deux triangles non aplatis ABC et A′ B ′ C ′ . On
suppose que ces deux triangles ont :– soit trois côtés égaux (AB = A′ B ′ , etc.) ;– soit deux côtés égaux et les angles correspondants égaux (AB = A′ B ′ et AC = A′ C ′ et̂
ÐÐ→ÐÐ→
̂Ð→Ð→(AB, AC) = ±(A′ B ′ , A′ C ′ ) [2π]) ;̂ÐÐ→ÐÐ→̂Ð→Ð→– soit deux angles égaux et les côtés adjacents égaux ((AB, AC) = ±(A′ B ′ , A′ C ′ ) [2π] et̂ÐÐ→ÐÐ→
̂Ð→Ð→(BA, BC) = ±(B ′ A′ , B ′ C ′ ) [2π] et AB = A′ B ′ ).
Montrer qu’il existe une isométrie du plan qui envoie un triangle sur l’autre.
Adapter les arguments pour le cas des ≪ trois côtés égaux ≫.
(À suivre...)2