サイナビ！ブックレット

Vol. 8

ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ岡田 謙介
2016 年 4 月 18 日発行（Ver. 1.0）● 発行元：ちとせプレス

いま，心理学の中でベイズ統計学を用いた研究が増えています。長年「傍流」とされてきたベイズ統計学が，最近になってなぜ見直されてきたのでしょうか。また，作りつけの大型のタイプで，ダイヤル型のスイッチを回して切らない限り，いつまでも電源が入りっぱなしになってしまうのです。

ベイズ統計学とはいったいどういった特徴をもつのでこうしたことで気をもんだ経験があるのは，おそら

しょうか。「ベイズ統計学って聞いたことはあるけれど

く私だけではない……と思うのですが，いかがでしょ……」，そんな人に向けた，専修大学の岡田謙介准教授

う。家を出るときに玄関の鍵を閉めたかどうか，エアによる「ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ」。

コンの電源を切ったかどうか，ふとしたはずみに気になって，思い出そうとしてもよく覚えていなくてモヤ

Section 1
あれ，家を出る前にオーブンの電源ス
イッチ，切ったかな？

モヤすること。そして，実際には習慣化された行動として無意識のうちに鍵を閉めたり電源を切ったりしており，杞憂に終わることが多いこと。もしもこれが慢性化すると，強迫とよばれるような臨床的な症状に数えられてしまうかもしれません。ですが，頻繁にではないにしてもこれに類する経験が思い当たる方は，少なからずいらっしゃるのではないでしょうか……？
今回も，結局のところオーブンの電源スイッチは切ってありました。このヒヤリとした朝を反省しながら，
私はふと，こうした思考はもしかすると，心理学でいわれている基準率無視の認知バイアスの観点からとらえることもできるかもしれない，と思いました。この
認知バイアスは，比率や確率についての一般的な情報と，より個別的・特定的な情報が与えられたとき，多くの人が合理的な解よりももっと前者の情報を軽視し，後者を重視しがちになってしまうことを指します。
2002 年にノーベル経済学賞を受賞したダニエル・カ

お気に入りのレーズンベーグルとチーズベーグル。この原稿を書いている今日も食べました。

ーネマンと，エイモス・トヴェルスキーによる研究でよく知られており，心理学を学んだ方は「タクシー問題」や「感染者問題」といった代表的なカバーストー

私は現在，米国カリフォルニア州で在外研究をしてリーを耳にしたことがあると思います。近年でも日本います。近くのスーパーマーケットで安くて美味しい発の研究の貢献も多い，面白い分野だと感じています。

ベーグルが買えるので，朝食に焼いて食べるのが好き

基準率無視は，「確率計算によって求められる合理です。つい先日の朝，職場に着いてから，ベーグルを的な解」と「人間による直観的な認知」とが食い違っ焼いた後にちゃんとオーブンの電源を切ったかどうか，てしまう，という意味で，認知バイアスの 1 つである

ふと心配になりました。うちのオーブンはアパートにと考えられています。進化の過程で獲得されてきた人

ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）…… 1

間の直観的な認知は，私たちにとって有利に機能することが多くありますが，一方で合理的な答えからずれていることも少なくありません。このずれが系統的に観察される場合，それは認知バイアスと呼ばれます。
もっとも，今回私が注目したいのは，認知バイアスについてではなく，むしろ「合理的な」解を与えるた
めの確率計算についてです。基準率無視の文脈における合理的な「正しい」解は，ベイズの定理を用いた確率計算によって求められます。ベイズの定理は，条件付き確率に関する，基本的な数学の定理です。そして，
ベイズ統計学という名は，このベイズの定理の原型を発見した，18 世紀イギリスの牧師にしてアマチュア

ベイズ（Thomas Bayes, 1701-1761）の肖像画としてこの数学者，トーマス・ベイズに由来します。ベイズの定画像が使われることが多いのですが，実際にはおそら

理について，少し歴史を紐解いてみることにしましょくこれは別人の画であろうと考えられています。残念う。

ながら，たしかなベイズ本人の肖像画は現代に伝わっていません。（1）

ベイズの定理の発見

科学が因果関係をどのように扱えるのかに関心が集まっていた，という時代背景が背後にあると考えられてベイズは，18 世紀の主に前半に生きたイギリスの，います。

数学好きの牧師さんでした。もっともこれはイギリス

もっとも，ベイズの論文が出版された当時，残念な国教会がそれ以外の教派への弾圧を強めていた時代でがら研究者の間ではこの論文の重要性はほとんど顧みあり，ベイズの属する長老派教会の信者の大半は大学られることはなかったようです。ベイズの発見が広くの公職に就くことができませんでした。そのため当時，知られるようになったのは，後に数学をはじめさまざ

非国教徒の数学者や科学者は，牧師などで生計を立て

まな分野で業績を挙げた高名な研究者ピエール ＝ シ

つつ趣味として研究を続けることも少なくなかったの

モン・ラプラス（5） が独力でベイズの定理を再発見し，だそうです。統計学の中で非主流派の時代が続いてき

さらに体系化して発表してからです。ラプラスはベイたベイズ統計学の系譜が，やはり非主流派の宗教家にズの定理を再発見しただけでなく，当時流行していた由来することは面白い偶然ですね。

賭けトランプの問題から惑星の運行に関する問題まで，彼が考えたのは，試行の回数と，ある結果が生じた

さまざまな不確かさを伴う推論の問題にベイズの定理（生じなかった）回数がわかっているときに，将来の試を用いた推論が利用できることを示し，いわばベイズ

行においてその結果が生じる確率を推論する問題です。 の定理を実用化しました。これが，ベイズの定理を用
例えば，当たりつきのお菓子をいくつか購入し，そのいて，不確実性を伴う現実の問題についての推論に取うち当たりだったものの個数がわかっている状況におり組む，ベイズ統計学が最初に確立したときだと見る

いて，次にお菓子を買って当たりが出る確率を推論すことができると思います。

るような場合です。
ベイズは大学の職業研究者ではなかったので，発見

ベイズの定理とベイズ統計学

した定理について書き残しはしたものの，特にそれを対外的に発表はしませんでした。ベイズの死後，そのベイズの定理は，確率の更新についての定理です。

数学関係の遺稿を整理していたリチャード・プライス

データ（情報）を得る前から得た後で，不確実性のあがこの発見の重要性に気づき，彼の手により 20 年

る事象や変数についての確率がどのように更新される。もっとのかについて，ベイズの定理はその答えを与えてくれも，このプライスが世に出したベイズの論文には，あます。データを得る前の確率を事前確率，データを得

まり現実場面での具体的な例は書かれていません。した後でベイズの定理によって更新された確率を事後確たがってベイズ自身がどのような問題意識でベイズの率とそれぞれよびます。

（2）

近くを経てやっと論文が公刊されました（3）定理を着想したのか，その詳細はわからないのですが，
デイヴィッド・ヒューム（4）の提起した懐疑論により冒頭で挙げたオーブンの例は，ベイズの定理を説明するうえで適切だと胸を張って言えるものではありま

2 ……ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）来るごとに，不確実な事柄についての確率を更新していこう。不確実性を伴うどんな問題に対しても，このようにベイズの定理を用いてデータから確率を更新していこう。これが，ベイズ統計学の考え方です。
ベイズ統計学の 2 大原則を紹介しましょう。それは，①現実問題の「不確実さ」を確率で表現すること，②
データに基づきベイズの定理によって確率を更新することです。確率は，0 から 1 の間の値をとり，独立事象であれば足し算ができるなど，数学的な取り扱いの英国ケンブリッジの Autonomy 社にある，ネオンサインになったベイズの定理。（6）

仕方がくわしくわかっています。私たちが日々向き合う，さまざまな世の中の不確実さを定量的に扱うにあたって，確率を使うことは最も自然な方法といえるでせんが，私の冷や汗経験の反省かたがた，この例を引しょう。また，ベイズの定理は容易に証明できる，新き続き使わせていただくことにしましょう。このとたな情報に基づく確率の更新の仕方についての定理でき，私が新しく入手した（……というか，入手してします。しがって，このベイズ統計学の 2 大原則は，おそった） 情報は，「私は今朝オーブンの電源スイッチをらく多くの方に納得してもらえる，自然な考え方だと切ったか，切らなかったか」という不確実性のある変いうことができると思います。

数について，「今朝は切らなかったのではないか」と

ベイズ統計学はほぼ 20 世紀を通して，主流という考えたことです。これが今回のデータに対応します。

よりはむしろ傍流，場合によっては異端の扱いでした。

一方，私は日々の生活の中で，使い終わったオーブン

中には，あまりよく知らないけれど，ベイズ統計学はに特別な注意を払うことなく電源スイッチを切ってい主観的で，あまり科学的とはいえないのではないかとます。これはデータを得る前に私がもっている，事前感じている人もいるかもしれません。しかし，これは確率に対応します。そして，今回のデータを得たことむしろ逆なのです。ラプラスがさまざまな分野の問題

によって，オーブンの電源を実際に切らなかった確率に一貫してベイズの定理を用いて取り組んだように，が合理的にはどのように更新されるのかを，ベイズのベイズ統計学は，2 つの自然な原則を，どんなデータ

定理は教えてくれるわけです。

分析場面にも一貫して適用していき，認知バイアスの使い終わったオーブンのスイッチを切らないというような非合理的な推論を避けることのできる，私の師

事前確率がそもそも小さいため，「今朝は」切らなか

匠の言葉を借りれば「骨太」で一貫した体系なのです。

ったかも，というデータを得た後でも，スイッチを実

それでは，そんなベイズ統計学が，どうして長らく際に切らなかった合理的な事後確率は依然としてそう傍流に甘んじていたのでしょうか。そして，なぜ現代，

大きくはなりません。それにもかかわらず，基準率無再び注目され利用されてきているのでしょうか。次回

視の認知バイアスをもつ人間（私です）は，事前確率

はこのあたりの話題を，心理学との関連にも焦点をあを軽視し，今朝はスイッチを切り忘れたかもしれないてつつ，見ていくことにしたいと思います。

と必要以上に心配になってしまうのです。
ところで「今朝オーブンの電源スイッチを切らなかった確率」は，「オーブンの電源スイッチを切らなかった確率」に対して，それが「今朝」であるという条件を付加したものです。このように，特定の条件が付

文献・注（1）Wikipedia「Thomas Bayes」より。
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes（2）プライス（Richard Price：1723-1791）。ウェールズの哲学者，数学者。

け加えられたもとでの確率のことを，条件付き確率と（3）Bayes, T., & Price, R. (1763). An essay towards solving a problem

いいます。そして，条件付き確率をその意味を考えて

in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal

自然な形で数学的に定義すると，ベイズの定理はそこから容易に導くこと，つまり証明することができます。
新しいデータが得られたときに，事前確率を事後確率にどう更新したらよいのか。その数学的で合理的な答えは，ベイズの定理を使うことなのです。そこで，
このベイズの定理を使って，新しいデータ（情報）がSociety of London, 53, 370-418.
（4）ヒューム（David Hume：1711-1776）。スコットランド，エディンバラ出身の哲学者。
（5）ラプラス（Pierre-Simon Laplace：1749-1827）。フランスの数学者，物理学者，天文学者。
（6）Wikipedia「Bayesʼ theorem」より。
https://en.wikipedia.org/wiki/Bayes%27_theorem

ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）…… 3

Section 2

判したのかについてです。

確率のアップデート

ベイズ統計学の冬の時代
下の図は，ベイズ統計学に基づく推論を模式的に示したものです。

ベイズの定理事後分布
posterior

尤度
likelihood

事前分布
prior

p(θ | X) ∝ p(X | θ) × p(θ)
データ

冬といえばクリスマス。当地では，こんなふうに車にトナカイの角と赤鼻をつけるのが流行していました。

この原稿を書いているいまは 1 月末。冬真っ盛りの

－4

－2

図

0

2

4

ベイズ統計学による推論の模式図

はずの時期ではありますが，西海岸の南カリフォルニ
アは温暖です。晴れの日が大半なこともあり，半袖で例を挙げましょう。A さんは，海外のはじめて住む

川沿いのサイクリングロードを毎朝気持ちよく通勤し土地に引っ越してきたばかりです。家の最寄りのバスています。もっともカリフォルニアでは水不足が深刻

停に，定刻では 8 時着の路線バスがあるとします。こで，川といっても水はほとんど流れていないのですがのバスが実際にはいつ来るのか，についての推論を考……。

えてみます。

さて，前回は 18 世紀にベイズ牧師がベイズの定理

図の横軸は定刻の 8 時を基準とした時間（分）を表を発見し，ラプラスがそれを広く普及させる形で発表

すとします。青線で描かれているのは，バスの到着時した，というベイズ統計学の誕生についてお話ししま間について，データを得る前に分析者がもっている確した。ベイズ統計学は，現実世界の不確実性を確率と率分布，すなわち事前分布です。ここでは，この土地いう単一の尺度に落とし込んで表現し，データに基づの路線バスがどのぐらい遅れるか，もしくは早く来いて確率を更新していきます。この更新に，ベイズのるかについての情報がほとんどなく，0 を中心とした定理を用います。ベイズ統計学の考え方は，そのシン「つぶれた」事前分布になっています（4）。緑のヒスト

プルさと汎用性の高さから，19 世紀にはいろいろなグラムは，実際に 1 カ月の間このバス停で収集した，分野で応用されるようになりました。しかし，広まる

到着時刻のデータを表します。そして，ベイズの定理

につれ，この枠組みに対する批判も見られるようにな

は，事前分布にデータのもつ情報を表す尤度の項をかりました。

け合わせて，事後分布を導きます。なお，「∝」は左20 世紀の大部分は，ベイズ統計学にとって冬の時

辺が右辺に比例する，という意味の記号です。

代でした。これを決定づけたのは，現代統計学の祖とこうして事前分布とデータから，ベイズの定理を適いって過言ではない R. A. フィッシャー（1）と，ジェジ

用して得られた事後分布が，1 カ月間の観測を経た後ー・ネイマン（2），エゴン・ピアソン（3） らの，1920 ～で，バスの到着時刻についての確率を表す事後分布に

30 年代を中心とした仕事です。フィッシャーは，ベなります。事後分布は赤線で示されています。

イズ統計学とは異なる，頻度論的統計学の枠組みを確

赤線の事後分布は，青線の事前分布よりも分布が釣立しました。ネイマンとピアソンはこれを推し進め，り鐘型に引き締まっており，到着時刻について，より

仮説検定という統計的意思決定法を確立しました。今

豊かな情報をもっています。具体的には，事後分布

回のテーマは，彼らがなぜベイズ統計学の枠組みを批のピークは 2 より少しだけ小さいところにあり，定刻

4 ……ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）

の 8 時よりも 2 分弱ほど遅れてバスが来る可能性が一率を設定することになります。しかし，いくらデータ

番大きいことがわかります。また，事後分布のほとんがまだないとはいえ，この設定は妥当なものでしょう

どの領域は 0 から 4 の間にありますから，8:00 ～ 8:04

か。どんなに情報がなくても，定刻 8 時のバスが 7：の間にバスが来ると思っていれば，ほぼ間違いなさそ

55 ～ 8：05 の間に来る確率は，8：55 ～ 9：05 の間にうなこともわかります。この確率を具体的な値として来る確率よりもよほど大きいと考えるのが自然ではな得たい場合には，図の 0 から 4 までの事後分布の面積いでしょうか？ こうした考え方は，次回お話しする，

を求めればよいのです。このように，ベイズ統計学はより情報のある事前分布の利用につながります。

データのもつ情報によって，事前から事後へと，ベイ

さらにいえば，じつは「－∞から＋∞までの範囲

ズの定理を用いて確率をアップデートしていく枠組みで一様である」という事前分布は，厳密な意味でのです。

「確率」の性質を満たしていません。確率の数学的な定義では，すべての場合について足し合わせると 100

ベイズ統計学への批判点％，つまり 1 になることが要請されています。しかし，「－∞から＋∞までの範囲で一様」の分布は，この要

こうしたベイズ統計学の枠組みにはいろいろ優れた請を満たすことができないのです。こういったおかし

点があるのですが，お楽しみは次回にまわして，今回な確率分布のことを，非正則（improper） な分布といは批判のお話です。ベイズの定理を用いて確率の更新います。

ができること自体は，証明できる数学の結果ですから，

じつは，非正則な事前分布を用いても，多くの応用

特に批判される点はありません。批判を受けうるのは，場面では事後分布は通常の（正則な）分布になります。

ベイズの定理を現実のデータ分析に応用する，その仕ですので，非正則な事前分布の利用は，ある 1 つの統方についてです。

計モデルのもとでの推論を考える限りは問題にならな

ベイズ統計学に対する批判のポイントは，大別していことが多いです。しかし，2 つの統計モデルの間で事前等確率の設定についてと，確率の主観的解釈につどちらがより適切かを考えるような場合には，非正則

いての 2 点があります。

な事前分布を使うとしばしば，答えが 1 つに定まらな
くなる，といった大きな問題が生じます。このように，事前等確率の設定は，意味的な問題点だけでなく，モ

事前等確率の設定
1 点目から見ていきましょう。ベイズ統計学はデーデル選択においては数学的な問題点を抱えています。

タに基づいて確率をアップデートしていく枠組みです

この問題を解決する方法は，機械的な事前等確率のので，データが得られる前の確率を表す，事前分布を設定を避けることです。しかし，そうした理論の体系

設定しなければなりません。素朴に考えると，特に事が作られるようになったのは 20 世紀のフィッシャー

前情報がない場合には，「すべてのとりうる値についらの時代以降のことでした。長い間にわたって，ベイて，確率は等しい」という，事前等確率の設定が妥当

ズ統計学で事前等確率の設定を用いるのは半ば当然のに感じます。事実，ベイズもラプラスも，事前等確率

ことと考えられ，またそれに由来する批判を受けてきの設定を利用していました。この設定は「理由不十分たのです。

の原則」とよばれることもあります。特に理由がなければ，事前分布に等確率を設定しよう，ということです。
もし関心があるのが「コインの表（裏） が出る確率」であれば，可能な結果は「表」と「裏」だけですから，事前等確率の設定を利用し，データを見る前には表が出る確率も裏が出る確率もそれぞれ 0.5 である，と考えることに特に問題はなさそうです。しかし，バスの時刻の例ではどうでしょうか？ 机上の空論的ですが，バスが着く時刻は非常に遅く，もしくは早くなってしまう可能性だってあるかもしれません。事前等確率の考え方に基づくなら，－∞（マイナス無限大）から＋∞（プラス無限大） までの範囲に，一様な事前確アメリカではフィッシャーといえば，イタチのようなこの動物のことを指します。その名に反して，魚はあ
まり食べないのだそうです（5）ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）…… 5

しかし，フィッシャーはこうした利点に目を配らず，確率の主観的解釈

主観確率がもちうる主観性を強く批判しました。彼は頻度論の枠組みで，有意性検定という，データによっ

ベイズ統計学の枠組みに対するもう 1 つの批判点は，て理論や仮説を定量的に評価する枠組みを作りました。

確率の解釈についてです。フィッシャーをはじめ，ネ

また，ネイマンとピアソンは帰無仮説検定という，2

イマン，ピアソンらは，データを何度でも繰り返し得

つの仮説から 1 つを選ぶ枠組みを確立しました。こうられる状況を考え，その極限，つまり繰り返し回数をして完成した頻度論に基づく仮説検定の枠組みが，20

限りなく大きくした場合の確率を，考慮の対象としま

世紀の，心理学をはじめ諸科学のデータ分析を支配しした。例えば，さいころを振るという試行は，何度でたのです。

も同じように行うことができそうです。そこで，「さいころを振って 1 の目が出る確率」とは，10 回，100「不死身の理論」

回，1000 回……とさいころを振る回数をどんどん増やしていったときの，1 の目が出る頻度の極限である

しかし，ベイズ統計学は息絶えてはおらず，その研と考えたのです。これを確率の頻度論的解釈といいま究は脈々と続けられていました。そして，特に 20 世

す。頻度，つまり多数回繰り返したうちにそのことが紀の終わり頃から，再び息を吹き返し，大きな盛り上生じる割合の極限として，確率を理解するのです。

がりを見せました。このような経緯から，ベイズ統計

しかし，確率の頻度論的解釈の問題点は，多くの現実場面で実際には使えないことです。理想的なさいこ学のことを不死身の理論（The theory that would not die）とよぶ人もいます。

ろの状況と違い，現実世界で起きていることの大半は，

なぜこの再興が生じたのか。そして，再興したベイ

一度きりなのです。例えば，「明日の東京での降水確

ズ統計学は上記 2 点の批判を，どのように解決したの率」を考えてみましょう。降水確率は天気予報などでか。こうした点を，次回は見ていきたいと思います。

おなじみですが，明日という日はこれまでのどの日とも違う，ただ 1 回限りの日です。「明日と同じ日を何

文献・注度も繰り返す」ことはできないでしょう。したがって， （1）フィッシャー（Ronald Aylmer Fisher：1890-1962）。イギリス
頻度論の立場からは，明日の降水確率という量は，解釈することが困難になってしまいます。降水確率だけ
でなく，現実に私たちの関心がある多くの問題は，同じことを何度も反復することが難しい，もしくはできないのです。
一方，多くのベイズ統計学者は，確率を単に「確かの統計学者。

（2）ネイマン（Jerzy Neyman：1894-1981）。数理統計学者（3）エゴン・ピアソン（Egon Sharpe Pearson：1895-1980）。イギ
リスの数理統計学者。父は統計学者のカール・ピアソン。
（4）特に海外では，定刻より早くバスが来てしまうこともあるようです。要注意ですね。
（5）http://www.ForestWander.com より。

さ」を数量化したもの，別のいい方をすれば「信念のSection 3

度合い」だと解釈します。これを，頻度論的確率と対比して，主観確率といいます。「信念の度合い」というと非常に個人的で科学とは相容れないものに感じられるかもしれません。しかし，これは応用の仕方に依存し，たしかに「A さんが固有にもつ信念」として利用することもできますが，より広く「私たちが一般にもつ確かさの度合い」として利用することもできます。
そして，後者の使われ方が実際には大半です。主観確率の考え方のポイントは，多数回の繰り返しが想定できない場面においても，確かさを量的に表す共通の単位として確率を使おう，ということなのです。これにより，一回性の事象に対しても，多数回の繰り返しができる状況と同様に，統計学が扱うことができるようになります。統計学の適用範囲が，現実の問題へと大2 月のアーバインは連日，最高気温が 25 度を超える夏

きく広がるのです。

日。短い冬でした。

6 ……ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）

世紀末，という言葉は，ともすると終末論的な意味合いで語られがちです。しかし，実際の 20 世紀末に前提として，帰無仮説が正しいという仮定をおく

は，恐怖の大王がどこからか降臨することはありませんでした。それどころか 1990 年代に入って，心理学を始めとする実証的な学問分野ではベイズ統計学再興の機運がにわかに高まりました。長かったベイズ統計学の冬が終わり，春がやってきたのです。
その原動力は 2 つあります。1 つは頻度論に基づく
帰無仮説検定・有意性検定に科学の仕組みが依存しすぎたことに対する反動であり，もう 1 つは計算機の発展と軌を一にしたマルコフ連鎖モンテカルロ法の発展

データを収集する
帰無仮説が正しいとき，今回のようなデータが得られる確率（p 値）を求める
その確率は基準より小さいか？

NO

YES
前提は間違いだったのだろうと判断
帰無仮説を棄却し対立仮説を採択する

前提は間違いとはいえないと判断
帰無仮説を保持（採択）するです。
今日は特に前者のお話を，そして次回に後者のお話を書きたいと思います。

ここからわかる通り，仮説検定で検討するのは帰無仮説が正しいという前提のもとでの話だけなのです。
仮説検定では，帰無仮説が正しいときに，いま手元に従来の仮説検定の問題点あるようなデータが手に入る確率（1），すなわち p 値を求めます。もし p 値が事前に定めた基準（典型的にフィッシャーとネイマン，ピアソンらが確立した頻は 0.05） よりも小さい場合には，帰無仮説が正しいと度論に基づく仮説検定は，20 世紀の大半を通じ，統いう前提のもとではめったに得られないデータが得ら計的データ分析の主役でした。「平均値の差の t 検れたことになります。ですので，そもそもの前提，す定」や「クロス表のカイ二乗検定」といった検定は，

なわち帰無仮説が間違いだったのだと結論づけ，代わ大学でデータを扱う分野を専攻すれば，一度は触れる

りに対立仮説を採用します。これが仮説検定のロジッ機会があるでしょう。科学者コミュニティの中でデークです。はじめにわざと言いたいのとは逆の仮定をし，タ分析が認められ，論文として世に出るためには，仮データがそれが整合的ではないと示すことによって言説検定を行い「p ＜ 0.05」という結果を出す必要があ

いたいことを主張する，という点で，このロジックはる。それが，「統計学的有意性」を示したことになる。 数学の証明で使う背理法と似ています。
心理学を始め多くの分野で，こうした考え方が主流の時代は長く続きました。

このロジックを 2 つの仮説の間での選択に使ううえで，問題点は何でしょうか。それは，帰無仮説を積極

しかし，仮説検定のアイディアはたしかに有用なの的に支持できないことです。もし p 値が事前に定めたですが，科学の仕組みがあまりに従来の検定に依存し基準より大きい場合，それはデータが帰無仮説のもとたために，その弊害が表面化するようになりました。

でめったに生じないわけではないことを意味します。

特にロジックの観点から，今回は 2 つの問題点に注目ですが，このことは，帰無仮説を積極的に支持するわ

しましょう。

けではありません。実際，ほかの仮説のもとでは，もっと得られやすいデータかもしれないのです。仮説検定は帰無仮説を前提としたもとで話を進めており，対問題点その 1――仮説の非対称性点
仮説検定では，帰無仮説と対立仮説という 2 つの仮立仮説を含むほかの仮説については直接考えないので，説が登場します。例えば，血圧を下げる薬の効果を調枠組み上，帰無仮説を積極的に支持することができな

べるために薬を飲む前後で血圧を測定する状況を考えいのです。

ましょう。このとき，帰無仮説は薬を飲む前後で測定値に「差がない」という仮説，対立仮説は「差がある」という仮説です。

問題点その 2――仮説の確率が求められない
ところで，先に「p 値」が登場しました。p 値は，仮説検定には 2 つの仮説が登場するので，公平に 2

統計用語としては知名度がある用語です。しかし，そつを天秤にかけるのだと思われるかもしれません。しの意味は誤まって理解されていることも多いです。p

かしじつはそうではなく，仮説検定で考えるのは，帰値の値は，いったい何を表すのでしょうか？

無仮説が正しい状況だけなのです。仮説検定の流れは，簡略化して書くと次のチャートのようなものです。

答えはすでに先ほど（より正確には注に） 書きましたが，よくある誤解に，p 値は「帰無仮説が正しい確

ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）…… 7

率」であるというものがあります。これは，クジラは魚である，とかオーストラリアの首都はシドニーである，などと同じように，よくある誤解です。

注意すべき点が 2 つあります。
第 1 に，ある仮説の確率とは，それ単独では考える
ことはできない相対的なものです。ほかにどんな仮説

p 値は「帰無仮説が正しい確率」である，という考が候補としてありうるのか，ほかの候補がいくつある

えが誤りなのは，頻度論における確率の考え方に由来のかなどによって，仮説の確率は変わります。このこします。統計学では，データ生成の背後に確率的なメとは，すべての場合について合計すると 1（100%） にカニズムを考えます。前回お話ししたように頻度論でなる，という確率の重要な性質に由来します。

は，試行を繰り返したときの頻度の極限として確率を第 2 に，単にある仮説の確率よりも，データによっ

解釈するのでした。ある仮説が正しいときに，データて仮説を支持する証拠の大きさがどれだけ変化したのを繰り返し得ることは，少なくとも概念的に可能でか，の方が実際的にはより重要なことが多いです。例

す。しかし，あるデータが与えられたときに，そこか

えば，明日の天気は晴れか雨かを考えましょう。ここら「仮説」についての繰り返しを想定することはでき

南カリフォルニアは，冒頭に示した青空とヤシの木のないでしょう。あるデータを生じたメカニズムについ写真でイメージされる通りの乾燥した気候で，特に夏ての仮説は，正しいか，もしくは間違っているかのどの間は普通，ほぼまったく雨が降りません。ですので，ちらかです。たとえそのどちらなのかが不確実であっ予報士が夏のある日，気象データに基づいて「明日はても，仮説を繰り返す？ということが考えられない以

晴れでしょう」という予報を出したとしても，もとも上，仮説についての確率は考えることができないのでと晴れの事前確率が高かったですので，それほど価値す。「帰無仮説が正しい確率」は，頻度論ではそもそのある情報が得られたとは言い難そうです。一方，気も考えることができない量だったのです。

象データに基づいて「明日は雨でしょう」という予報

そこで従来の検定では，帰無仮説が正しい確率を考を出した場合はどうでしょう。今度はデータ分析をすえる代わりに，帰無仮説が正しいことを前提としたとる前後で支持される仮説が大きく変わったのですから，

きに手元にあるようなデータが得られる確率を考え

データ分析から得られた情報の価値は高いといえるでることにしました。これが p 値です。p 値の考え方は， しょう。このように，単に仮説の確率だけではなく，多分に頻度論的なものだったのです。
しかし，しつこくて恐縮ですが，p 値を「帰無仮説

事前から事後へと仮説の確率がどう変わったのかを評価することは大切なのです。

が正しい確率」であると思ってしまうことは，私の講

こうしたことから，S. H. ジェフェリーズ（2）はベイ

義での経験からもとても多い誤解です。データ分析はズファクター（3） という量を使って 2 つの仮説の間で仮説が支持されるかどうかを検証するために行っていの相対的なよさを測ることを提案しました。ベイズフ

るのですから，仮説についての確率を評価したいといァクターはデータをとる前と，とった後とで，一方のうのは，むしろ自然に考えることなのだと思います。

仮説が他方に比べて，よりどれだけ支持されるように

じつはこれ，ベイズ統計学ならできるんです。

なったかを確率の比（オッズといいます）の尺度で表す量です。帰無仮説に対して対立仮説を評価する場合にベイズ統計学では？

は，ベイズファクターが 1 より大きければ，データの情報によって対立仮説の事後オッズが事前オッズより

ベイズ統計学の立場からは，従来の検定の 2 つの問
題点はどうなるでしょうか？

も大きくなったこと，つまりデータが対立仮説をより支持したことがわかります。ベイズファクターが大き

まず 2 つめの，仮説の確率についてから見ていきまければ大きいほど，支持の度合いは大きくなります。

しょう。ベイズ統計学では，確率は不確実性の度合い

一方，ベイズファクターが 1 より小さい場合には，デを表す量だと理解します。これにより，多数回の繰りータが帰無仮説をより支持することになり，その度合返しが考えられない状況でも，確率的な議論ができる

いも小さければ小さいほど大きくなります。

ようになるのでした。したがってベイズ統計学の立場

ベイズファクターは，2 つの確率についての確率のからは，手元のデータの生成メカニズムとして帰無仮比であり，どちらの仮説も平等に扱われています。し説が正しい確率を考えることが，問題なくできます。

たがって，帰無仮説が正しい状況しか考えていない，

繰り返しが可能かどうかは，ベイズの立場からは問題という従来の仮説検定の 1 つめの問題も，ベイズ統計ではないのです。

学のアプローチでは解消されることになります。

ただし，仮説の確率を実際に求めるにあたっては，

8 ……ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）

を用いて再分析をすると「超能力」の証拠はむしろ乏客観事前分布しいことが報告され（5），ほとぼりが冷めました。この事件は多くの注目を浴びたぶん，多くの心理学者に，

ただし，ベイズファクターを従来の仮説検定と同じ文脈で使うにあたっては，やはり注意点があります。
それは，対立仮説のもとでの事前分布をどう設定する
かということです。

従来の仮説検定の問題点をあらためて気づかせるのに一役かったように思います。
次回は世紀末に始まるもう 1 つ動きである，計算機
統計学的なベイズ統計学の再興と，心理学への応用に

平均を 0 に制約する帰無仮説と，制約をおかない

ついて見ていきたいと思います。

（0 ではないという） 対立仮説を考えましょう。このとき，対立仮説のもとでは平均にどんな事前分布を設定するのがよいでしょうか？ 平均は理論上どんな大きな・小さな値もとりうるということで，－∞から＋∞までの一様事前分布を設定したくなるかもしれません。
しかし，前回少し触れたように，2 つの仮説を比較する文脈で非正則な事前分布を使うと，ベイズファクタ
ーの値を 1 つに定められなくなってしまいます。
そこで，発想を転換します。ジェフェリーズは，事前分布がもつべきよい性質をまず挙げ，それを満たす
ような事前分布を導出して使うことを提案しました。
彼はその事前分布に必要とされる性質として，変数変換をしても結果が変わらないことを重視しました。m
を cm に直す場合のように，単に単位・尺度を変換しただけで分析結果が変わってしまうのは望ましくないですよね。ですので，そうした事態を避けられる事前

文献・注（1）p 値の意味を自然言語で正確に表現するのはなかなか厄介です。本文とチャートではやや端折った表現をしましたが，より正確性を高めると，p 値が意味するのは「帰無仮説が正しいことを前提としたときに，今回得られたのと同じか，またはそれ以上に帰無仮説と整合的でないデータが得られる確率」，となります。
（2）ジェフェリーズ（Sir Harold Jeffreys）。現代ベイズ統計学の基礎を築いた，フィッシャーと同じ時代に生きた統計学者。
（3）ベイズ比，ベイズ因子，ベイズ因数などと訳されることもあります（4）Bem, D. J. (2011). Feeling the future: Experimental evidence foranomalous retroactive influences on cognition and affect. Journal of
Personality and Social Psychology, 100(3), 407-425.
（5）Wagenmakers, E.-J., Wetzels, R., Borsboom, D., & van der Maas,
H. L. J. (2011). Why psychologists must change the way they analyze
their data: The case of psi: Comment on Bem (2011). Journal of
Personality and Social Psychology, 100(3), 426-432.

分布を使おう，というアイディアです。そうしてジェ

Section 4

フェリーズは，分析結果が変数変換の影響を受けない
事前分布を導きました。その後，彼のアイディアに端を発し，さまざまな状況のもとで望ましい性質をもつ
事前分布を導く研究が進みました。現代では，平均の差，相関，クロス表といったように，よく使われる統計モデルでの典型的な仮説検定に対応するベイズファクターを求める際には，客観事前分布とよばれる，汎用的な分布を利用することができるようになっていま
す。

ま と め
今回見てきたように，本来の守備範囲を超えて使われるようになってしまった頻度論的な仮説検定への反アーバインを走る高速道路の 1 つ，I-405。アメリカで動は，ベイズ統計学への注目を高める大きな要因の 1も最も交通量の多い高速道路であり，車社会のロサン

つになりました。近年，ヒトの予知的超能力の証拠がゼルス都市圏を象徴しています。

実験で示されたと，D. J. ベムという心理学者が報告して（4） 大きな議論をよぶ事件がありました。しかしそロサンゼルスはアメリカ第 2 の都市ですが，鉄道網の後，この結果は，今回お話した問題点その 1 のようが発達しておらず車移動が中心の，先進国では一風変な従来型の仮説検定の特性のために得られた結果，とわった都会です。少し前までは，自家用車を使わずにいう側面が大きいようであること，ベイズファクター

目的地に行くには，不便なバスを乗り継ぐか，高い料

ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）…… 9

金を払ってタクシーを呼ぶしかありませんでした。で（1）。彼らのアイディアは，困難な多次元の積分演算をすが，Uber や Lyft といったスマートフォン上で配車行う代わりに，1 次元ずつの分布から発生させたランから支払いまで完結するライドシェア・サービスが登ダムな数（乱数）をたくさん集めることで，実用上十場し，学生も大学教員もいまでは日常的に使っていま分な精度で事後分布について知ることができるというす。私も何度も利用しましたが，こうしたサービスのものです。この方法を使えば，例えばあるパラメータ

登場以前に当地で暮らすのは，もう少し簡単でなかっの事後平均を知りたい場合には，単純に，そのパラメただろうなと思います。

ータについて何千個も発生させた乱数の平均を計算す

Uber や Lyft が当地の人たちの生活を便利にしたよ

ればよいのです。

うに，今回紹介するマルコフ連鎖モンテカルロ法といこうした方法はいまでは，マルコフ連鎖モンテカ

う技術，そして BUGS に代表されるそれを実装した

ルロ（Markov chain Monte Carlo: MCMC）法と総称されま

ソフトウェアは，ベイズ統計学を用いたデータ分析を，す。MCMC 法の特長の 1 つは，その汎用性の高さです。

便利で実用的にすることに大きく貢献しました。

以前のように，統計モデルごとに個別に開発されたア
ルゴリズムを使うのではなく，基本となるアルゴリズ

積分計算の困難

ムを非常に幅広い統計モデルの推論に適用できるのです。また，MCMC 法は分布の全体から発生させた乱

ベイズ統計学は，ベイズの定理を用いて事前から事数を利用するので，単に点推定だけでなく，任意の確後へと確率を更新していく枠組みでした。ここで，ベ率を与えての区間推定をすることもでき，さらにモデイズの定理の式の分母は，エビデンスとよばれる，デル選択のために拡張することもできます。MCMC 法

ータについての確率です。この項はパラメータのすべの登場によって，ベイズ推論が実用的なものになったての可能な値を考慮して求めるため，連続変数の場合のです。

にはそれについて積分する必要があります。特にパラメータが複数ある場合には，多重積分が必要になりま

BUGS と Stan

す。
また，複数のパラメータを含む統計モデルを考えてまた，統計手法が普及するにあたっては，ソフトいる場合でも，第一義的な関心は，各パラメータにつウェアの存在が不可欠です。汎用性の高さといういて個別の点推定値（例えば事後平均）やばらつきの大MCMC 法の特長を生かせば，さまざまなモデルを柔きさ（例えば事後標準偏差）であることが多いです。こ軟に推定できるソフトウェアをつくることができそうの計算にもやはり，事後分布をほかのパラメータにつです。

いて多重積分する必要があります。
こうした確率分布の積分計算は，事前分布をかなり

1990 年代初頭から，こうした期待に最初に応えたのが BUGS プロジェクト（2） です。BUGS はスミスの工夫して設定しない限り，一般に容易ではありません。 もとで学んだ D. シュピーゲルハルターらのグループ
少し複雑な統計モデルになると，事実上この積分計算が開発した，MCMC 法を用いたベイズ推定を行うたは解析的に行えなくなってしまうのです。

めのソフトウェアです。BUGS の大きな特徴は，ユー

ベイズ統計学は直感にも合い，一貫して合理的な枠

ザーはモデルを記述しさえすれば，ソフトウェアがそ組みでした。ですが，1980 年代まではこの積分計算のモデルについて MCMC 法を用いた推定を実行しての困難さによって，単純な統計モデル以外では，求めくれ，ユーザーが細かい計算アルゴリズムをプログラ

たい事後確率を実際に計算することができませんでし

ミングしなくてよいことです。利用する確率分布や変た。このために，ベイズ統計学は理想論であって現実数の数，変数間の依存関係などを応用場面に合わせてに合っていない，「考え方はわかるけれども実際に使自由に研究者が指定できることになり，統計モデリン

えない」という状況が生じてしまっていました。

グがますます便利になりました。特に Windows 版のWinBUGS は長い間，幅広いユーザーに利用されてきマルコフ連鎖モンテカルロ法ました。その後 21 世紀に入って，BUGS プロジェク
トはオープンソース版の OpenBUGS に移行しました。

この大きな問題に対し，A. E. ゲルファンドと A. F.
M. スミスは 1990 年の論文で，困難な積分計算を数値的なサンプリングで置き換える方法を提案しました

また M. プラマーによって独立に開発され，安定さに定評のある JAGS（3）の開発にもつながりました。
一方，コロンビア大学の A. ゲルマンらのグループ

10 ……ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）

だ統計モデルを構築できるのです。よいモデルは，データからより多くの情報・知見を教えてくれます。そしてモデルのよさは，前回紹介したベイズファクター
や，予測の観点から評価をすることができます。有意性検定から，統計モデリングへ――これは現在の統計学の応用における大きな潮流と言ってよいと思います。

私も参加した，昨夏の世界最大規模の統計学の学会（JSM（5））で披露された映画のような Stan のトレイラー。
講演の最初に流され，会場は大きく盛り上がりました。
https://www.youtube.com/watch?v=pWow8Qe1snQ

色覚の認知モデリングの例
筆者が関わった一例を挙げてみましょう（6）。心理学は古くから色の見え方の研究に取り組んできました。
色相を決めるのはおもに光の波長です。可視光の範囲

は近年，新しい MCMC 法を実装したソフトウェア

で，物理的に波長の長い光は赤く見え，波長が短い光を公開しました。この中で利用されているハは紫色に見えます。しかし，人が主観的に感じる色は，

ミルトニアン・モンテカルロ法という MCMC のアル

赤と紫を両極とした 1 次元的な感覚ではありませんね。

ゴリズムは，階層性や潜在変数を含むような複雑なモ

むしろ，可視光の範囲で一番波長の長い赤と，一番波

デルでも，サンプリングを効率よく行えることが特徴

長の短い紫とは比較的近い色に感じられると思います。

です。Stan の開発チームは精力的に開発を進めており，

C. E. ヘルム（7）は実験参加者に 2 つの色を提示し，新しい機能もどんどん実装されていて，いま最も活発

その色のペアがどのぐらい似ているかを尋ねて回答をな MCMC ソフトウェアのコミュニティとなっていま記録しました（8）。10 種類の色が用意されたので，可す。

能なペアの組み合わせは 45 通りあり，そのすべてに

Stan

（4）

なお，ここで述べたソフトウェアはいずれも無償でついて参加者たちから主観的な色ペアの類似度データが得られました。このデータを用いて，人間の色の感公開されています。

覚をどのようにモデリングできるでしょうか。

統計モデリングの重要性

こうした場合に利用できる統計モデルに，多次元尺度法があります。多次元尺度法モデルでは，観測されMCMC 法の登場，そして，それを実装した BUGS

た類似度データの背後に，少数の次元によって張られや Stan のようなソフトウェアの隆盛により，私たちる心理的空間を想定し，そこで近くに布置される対象はもっぱらデータに合ったよい統計モデルをつくるこはより似ている，遠い対象はより似ていない，というとに集中できるようになりました。統計モデルとは，評定が観測されやすくなると考えます。観測される評データがどのようにして得られたのか，その背後にあ

定データの背後に，直接観測できない心的次元を考える規則や生成メカニズムを，確率分布を使って数学的る点で，多次元尺度法は認知モデルと考えることがでに表現したものです。表現するモデルのベイズ推定は， きます。
基本的にソフトウェアに任せることができるからです。

下の図は私たちがベイズ階層モデルに拡張した多次

このため，現代ではよい統計モデルを構築することの元尺度法によって，この色の類似度データを分析した重要性が，これまでに以上に重要になっています。

結果です。黒の点は，それぞれの色の事後平均を表

前回の話とも一部重なりますが，一昔前の典型的なします。また，灰色の点は事後分布から取り出した統計分析とは，「○○検定」や「○○分析」といった，

MCMC サンプルであり，各色の事後分布の範囲を視

いくつかの定型的な方法があらかじめ組み込まれたソ

覚的に表現しています。この中で一番波長が長いのはフトウェアにデータを読み込み，数回クリックして分

赤紫（red-purple） で，波長が短いのは紫（purple-1） で析を実行することでした。実験心理学でいえば，分すが，物理的な波長が 1 次元的なのに対し，人が感じ散分析モデルによる F 検定と，その後の下位検定（多る色の類似 ― 非類似関係は，2 次元の空間で円環状に重比較）という流れが典型的でした。しかし現代では，なっていることがよくわかります。また，事後分布の柔軟なモデルのベイズ推定ができるのですから，デー

広がりからそれぞれの色の不確実性はそう大きくない

タがどのような機序で観測されたのか，その生成メカ

こともわかります。

ニズムを，そして背後の理論や集団差などを組み込ん

さらに，このベイズモデルでは 2 つの次元をそれぞ

ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）…… 11http://mcmc-jags.sourceforge.net/（4）Stan のサイト
http://mc-stan.org/（5）アメリカ統計学会の Joint Statistical Meeting のサイト
http://www.amstat.org/meetings/jsm.cfm（6）くわしくは Okada, K., & Lee, M. D. (2016). A Bayesian approach
to modeling group and individual differences in multidimensional
scaling. Journal of Mathematical Psychology, 70, 35-44 をご参照ください（7）Helm, C. E. (1959). A multidimensional ratio scaling analysis
of color relations: A Technical Report. Psychology Department,
Princeton University and Educational Testing Service.
（8）実際には色の三つ組を用意した，もう少し複雑なデータ収集法がとられています。くわしくは元論文をご覧ください。

図

色ペアの類似度データを，個人差を考慮したベイズ多次元尺度法によってモデリングし推定した色の
心理的空間

著

者

れどのぐらい重視するかに個人差を想定しており，2

岡 田 謙 介（お か だ・ け ん す け）：

つの次元にも意味があります。ここでは左右方向が赤

専修大学人間科学部准教授。主要著― 緑，上下方向が青 ― 黄色の次元になっています。同

作・ 論 文 に，A Bayesian approach to

じ方法を赤 ― 緑型の色覚異常のある参加者の評定にも適用したところ，想定される通り第 1 次元への重みがとても小さくなり，赤 - 緑の違いが色の類似度判断に影響を与えなくなっていると解釈できました。
このように，単なる色のペアごとの類似度評定デー
タだけからでも，ベイズモデリングによって，評定のmodeling group and individual differencesin multidimensional scaling.（Journal of
Mathematical Psychology, 2016，共著），『伝えるための心理
統 計 ―― 効 果 量・ 信 頼 区 間・ 検 定 力』（勁 草 書 房，2012
年， 共 著） な ど。web サ イ ト : http://www3.psy.senshu-u.
ac.jp/~ken/，Twitter: @kenmetrics。

背後にある心理メカニズムや個人差について単純にデータを眺めたり平均を計算したりするだけではわからない，新たな知見を得ることができるのです。

おわりに4 回にわたって，心理学への応用を念頭においた，
ベイズ統計学の紹介をしてきました。この連載の終わりとともに，私も日本に戻ります。専修大学の私たちの研究室や，心理学科のメンバーでは，これからます
ますベイズ統計学を活用した心理学研究を進めていく
計画でいます。短い連載でしたが，統計分析・統計モ
デリングをこれまでよりももっと有効に利用する，何かのきっかけになったら嬉しいな，と思います。ご愛
読どうもありがとうございました。
文献・注（1）Gelfand, A. E., & Smith, A. F. M. (1990). Sampling-based
approaches to calculating marginal densities. Journal of the American
Statistical Association, 85(410), 398-409.
（2）BUGS プロジェクトのサイト＊サイナビ！（URL 参照）に連載された記事をもとに作成しています。
http://chitosepress.com/category/psychology-navigation/＊記載された内容の著作権等の知的財産権は，著者または著者に権利を許諾した者に帰属します。
＊購入者・利用者は印刷・配布して使用することができます。
＊ CC BY-ND ラ イ セ ン ス に よ っ て 許 諾 さ れ て い ます。 ラ イ セ ン ス の 内 容 を 知 り た い 方 は https://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/deed.ja でご確認ください。

http://www.mrc-bsu.cam.ac.uk/software/bugs/（3）JAGS のサイト

12 ……ベイズ統計学による心理学研究のすゝめ（サイナビ！ブックレット Vol. 8）