RENATO CACCIOPPOLISOCIETÀ NAZIONALE DI SCIENZE, LETTERE E ARTI IN NAPOLIMEMORIE DELL’ACCADEMIADI SCIENZE FISICHE E MATEMATICHERENATO CACCIOPPOLI×

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a cura di
LUCIANO CARBONE, GIAMPIERO ESPOSITO,
LUCA DELL’AGLIO, GIUSEPPE TOMASSINI

SOCIETÀ NAZIONALE DI SCIENZE, LETTERE E ARTI IN NAPOLIMEMORIE DELL’ACCADEMIADI SCIENZE FISICHE E MATEMATICHE
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SOCIETÀ NAZIONALE DI SCIENZE, LETTERE E ARTI IN NAPOLIRENATO CACCIOPPOLI×

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a cura di
LUCIANO CARBONE, GIAMPIERO ESPOSITO,
LUCA DELL’AGLIO, GIUSEPPE TOMASSINI© 2022 by Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche
Tutti i diritti sono riservati
Collana Memorie dell’Accademia di Scienze Fisiche e MatematichePrima edizione italiana
Finito di stampare in Italia nel mese di novembre 2022
da Officine Grafiche Francesco Giannini & figli S.p.A. - Napoli

Giannini Editore
via Cisterna dell’olio, 6b - Napoli
ISBN 978-88-6906-250-6
DOI: 10.32092/1084
Il presente volume è stato pubblicato con il contributo di
Ministero per i Beni e le Attività Culturali

Regione Campania(Progetto finanziato con la L.R. n. 7/2003,
contributo per la promozione culturale)

Università di Napoli “Federico II”

INDICEPRESENTAZIONE
Carlo Sbordone e Guido Trombetti

VII

INTRODUZIONE
Luciano Carbone, Giampiero Esposito, Luca Dell’Aglio

IX

RENATO CACCIOPPOLI: UN CORSO DI TEORIA DELLE FUNZIONIGiuseppe Tomassini

XXVII

Appendice A

XXXVII

Appendice B

XXXVIII

Appendice C

XLIIAppendice D

XLV

Nota EditorialeXLVIITEORIA DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI COMPLESSE
Renato Caccioppoli

V

1Presentazione

Caccioppoli fu un genio matematico. Celebri e profonde le sue ricerche in vari campi. Dall’analisi funzionale alla teoria delle equazioni ellittiche, dalla teoria della misura a quella delle funzioni analitiche. Alcuni dei suoi risultati sono entrati nella storiadella matematica. Molte delle sue idee hanno influenzato profondamente generazioni
di ricercatori. L’importanza della sua attività scientifica può essere colta nelle parole
di Carlo Miranda, altro grande matematico napoletano: “Se la matematica italiana
riuscì a mantenere il passo ed a volte a precorrere la matematica europea, nonostantel’isolamento imposto dal fascismo, fu in gran parte per merito di Renato Caccioppoli”.
L’attività scientifica di Caccioppoli è contenuta in un’ottantina di pubblicazioni che
rivelano una originalità ed una creatività assolutamente eccezionali. Caccioppoli nonamava il lavoro di lima, preferiva cambiare spesso argomento di ricerca e con l’intuito
del genio era in grado di aprire nuove strade al progresso della matematica. Viene
subito in mente la metafora di Grothendieck sulla possibilità che il pensiero ha di scegliere tra l’abitare in una casa già costruita dalle generazioni precedenti, magari riverniciando le pareti e facendo un po’ di bricolage, o in un’area ancora vergine, dovelentamente costruire la propria dimora. Edoardo Vesentini scrisse:
Molti di quei lavori sono di lettura difficile, ed alcuni susciterebbero oggi le riservedi più di un referee. Ma, a chi voglia e sappia comprenderli, essi offrono spesso la sensazione inebriante di partecipare – a fianco di un ingegno raffinato – alla costruzione
di un nuovo capitolo della scienza.
Caccioppoli fu anche un didatta affascinante: generazioni di matematici, fisici, ingegneri sono state segnate dalle sue lezioni indimenticabili, sempre tese a chiarire laportata di un’idea e poco inclini alla noia del tecnicismo. Ed anche i testi delle suelezioni (ormai una rarità) sono così, raccontati (come si può raccontare la matematica). D’altro canto Caccioppoli aveva con la scienza, a tutti i livelli, questo rapporto:molta attenzione alla bellezza delle idee, meno al tecnicismo ed al noioso lavoro di rifinitura.
Risulta pertanto pregevole l’iniziativa di “restaurare” il Corso di Teoria delle funzioni di più variabili complesse da lui tenuto nell’anno accademico 1947/48 e il cui
testo dattiloscritto è stato fortunosamente di recente ritrovato. Ciò sia per il valore ditestimonianza storica a 75 anni da quando fu tenuto sia per fornire un esempio dellasua originalità nel trattare un argomento ostico e di assoluto rilievo.

Carlo Sbordone

Guido Trombetti

VII

INTRODUZIONELUCIANO CARBONE, GIAMPIERO ESPOSITO, LUCA DELL’AGLIO

1- I CORSI SUPERIORI DI RENATO CACCIOPPOLIÈ difficile sottovalutare l’importanza del ruolo svolto nella matematica italiana da
Renato Caccioppoli, sia come ricercatore sia come guida di un gruppo numeroso diallievi destinati a brillanti carriere. Si è anche detto più volte che solo grazie alla sua
opera la matematica italiana è rimasta agganciata a quella mondiale negli anni che vanno dalla metà degli anni Trenta alla metà degli anni Cinquanta (cfr., e.g., Toma 1992,
Gatto e Toti Rigatelli 2009, Foschini 2022). Insieme a Carlo Miranda costituì e capeggiò una scuola di analisi matematica a Napoli che primeggiò in Italia dalla seconda
metà degli anni Trenta alla prima metà degli anni Cinquanta del secolo passato.
La sua influenza si manifestò nelle classiche forme di lavori personali, ricerche suggerite ad allievi, conferenze e corsi.
Tracce abbondanti della sua attività personale rimangono nella raccolta delle opere(Caccioppoli 1963) ed è facile individuare stimoli forniti alle ricerche dei suoi allievi
sfogliando i loro lavori. Si hanno anche esempi di qualche sua conferenza (cfr., e.g.,
Caccioppoli 1963; Carbone et al. 1997).
Dei corsi superiori invece poco si è salvato. Un’eco lo si può ritrovare in una monografia di Cafiero del 1953 (Cafiero 1953) e in quella, sempre sua, ben più ampia, profonda e dettagliata del 1959 (Cafiero 1959, cfr., e. g., pp. 222, 283). In entrambe si
rinvia in più punti alle Lezioni di Analisi superiore tenute presso l’università di Napoli
nell’anno accademico 1950-1951, lezioni dedicate alla teoria della misura.
I corsi comunque erano naturalmente i luoghi nei quali poteva esporre in maniera
approfondita le sue idee. Essi erano tenuti nell’ambito degli insegnamenti, svolti per lo
più per incarico, di Teoria delle funzioni e, parzialmente, di Analisi superiore. Erano
nominalmente destinati a studenti del corso di laurea in matematica dell’università napoletana. In realtà finivano con l’essere frequentati, soprattutto il primo, da giovani ricercatori e si affiancavano a quelli tenuti da Carlo Miranda, l’altro maestro in quegli
anni attivo nella matematica non solo napoletana, spesso in sinergia con Renato. Talora
venivano dati anche presso altre strutture universitarie come la Scuola Normale Superiore di Pisa. A Pisa fu pubblicato ad esempio un volume di Carlo Miranda basato su uncorso tenuto prima a Napoli e poi proprio alla Scuola (Miranda 1949).
Di questi corsi rimane un vivido ricordo di uno dei frequentatori, Renato Fiorenza.

IX

In una stanza dell’Istituto di Analisi Superiore in via Mezzocannone c'era al centro
un tavolo rettangolare che, al posto del panno verde dei tavoli da gioco, aveva una lastra
di ardesia, una vera e propria lavagna. Eravamo tutti seduti attorno a tre lati del tavolo/
lavagna, mentre al quarto lato sedeva Caccioppoli, munito di gesso e cassino.
La lezione era trisettimanale, il corso annuale: credo fosse svolta come "incarico
d'insegnamento" e perciò rispettava gli orari istituzionali. Si effettuava, diceva lui, "allavia delle quattro" del pomeriggio, ma in realtà passeggiavamo sul corridoio ad aspettarlo fin quasi alle cinque. Non era una lezione cattedratica, perché era svolta come una
chiacchierata da salotto, ma molto raramente c'erano interventi. Chiaramente non era
una lezione preparata: rifletteva ad ogni passaggio, e questo consentiva anche a noi diriflettere; il discorso era strettamente rivolto all'argomento della lezione, e non c'eranodivagazioni di alcun tipo: era davvero un piacere ascoltarle. Le battute erano una caratteristica del personaggio, ma non avvenivano durante la lezione: come se avesse detto:ora parliamo seriamente.

Raramente gli ascoltatori, osserva Fiorenza, ponevano domande o facevano osservazioni e queste rare interruzioni non sembravano gradite quasi fossero interruzioni nel
flusso dei pensieri del maestro.
Ma il corso non si esauriva in aula e veniva il momento delle discussioni. Ancora
Fiorenza narra quanto spesso accadeva dopo le lezioni.
Ricordo le lunghe passeggiate anche a tarda sera, una pizza in una traversa di piazza dei Martiri, dove presi una multa per sosta vietata che volle pagare lui (definì un"pesce immane" quello che ci mostrò il cameriere), una passeggiata in via Diaz in cui lui
camminava avanti con Gagliardo e noi tutti dietro (il giorno dopo Gagliardo mi confidò
che nella notte aveva scritto un teorema, suggerito dai discorsi con Caccioppoli).

Silvano Matarasso, da giovane studente, frequentò proprio nell’anno del suicidio di
Renato quell’insegnamento di Analisi superiore che rimase interrotto. Aveva anche intenzione di seguire un suo corso monografico e fu presente ad alcune lezioni. Ne conferma il carattere quasi iniziatico, nel senso che era pensato essenzialmente per ricercatori. Ricorda poi come Caccioppoli tendesse a scrivere molto poco e a mettere
soprattutto in luce legami spesso molto riposti tra argomenti diversi.
Di un corso in particolare si parlò molto quando venne dato e se ne auspicava la
pubblicazione.
Francesco Severi, matematico di alto valore e fondatore dell’Istituto Nazionale di
Alta Matematica, che nel corso degli anni Trenta aveva ottenuto profondi risultati sulla
variabile complessa (cfr., eg., Fichera 1999, Tomassini 2011), in occasione di un convegno svoltosi a Parma il 4 giugno 1949, commentando una conferenza tenuta da Caccioppoli, osservava:
Ora io so che il prof. Caccioppoli ha fatto un magnifico corso sulle funzioni analitiche a Pisa, ma egli sollecitato a pubblicare se ne è schermito. Io rinnovo a lui la preghiera di voler pubblicare questo corso che ci sarà senz’altro utile.

X

D’altro canto i risultati ottenuti da Caccioppoli negli anni Trenta erano talmente
rilevanti da indurre Paul Montel, uno dei massimi esperti in questo settore di ricerca, ascrivere nella Encyclopédie Française:
La théorie des familles normales de fonctions de plusieurs variables complexes est
dominée par le théorème de Caccioppoli: une famille normale par rapport à chaquevariable est normale par rapport à l’ensemble de ces variables.

In effetti questo risultato coniuga profondità, semplicità, eleganza e riproduce unfenomeno già messo in evidenza dal teorema di Hartogs sull’olomorfia delle funzioni
separatamente olomorfe (cfr., e.g.,Tomassini 2011 p. 14).
Riemerge ora, in maniera fortunosa, proprio un dattiloscritto concernente questo
corso o meglio la sua versione data all’Università di Napoli nell’anno accademico
1947-1948 e che qui presentiamo.
2 - IL RITROVAMENTO E IPOTESI SUI POSSIBILI AUTORI DEL DATTILOSCRITTO
2.1 - Il primo affioramento
Ecco di seguito come è stato ritrovato questo dattiloscritto contenente più precisamente il testo di un corso di più variabili complesse svolto da Renato Caccioppoli durante l’anno accademico 1947-1948 nell’ambito del corso di Teoria delle Funzioni, da lui
tenuto per incarico, nel racconto di chi tra i curatori lo ha ritrovato (Giampiero Esposito):
Nel gennaio 2020 avevo bisogno di un libro di analisi complessa in piùdimensioni per le mie ricerche sulla diffusione da potenziale. Il libro
era disponibile presso la biblioteca Miranda del dipartimento di matematica della mia stessa
università, la Federico II di Napoli. Una bibliotecaria gentilmente fotocopiò le pagine cheerano di mio interesse. Tuttavia, ad un esame attento, nelle fotocopie non era visibile l'ultimo
rigo di ogni pagina.
Per evitare di mortificare la bibliotecaria che era stata comunque molto gentile, in data 24
gennaio 2020 mi recai personalmente presso la biblioteca, per completare a mano, sulle fotocopie, le righe mancanti.
Tuttavia, il libro non era più nella posizione indicata nel cartellino del vecchio schema diclassificazione, e dovetti dunque attendere che la bibliotecaria lo trovasse per altra via. Ebbi
dunque il tempo di guardarmi attorno. C'era l'armadio dove si poggiano i numeri doppi dialcune riviste. Accanto a questo, un secondo armadio, ove erano disponibili alcuni libri (forse
copie doppie). Mi sembrava di averli tutti, ma all'estrema sinistra dello scaffale si stagliava lacopertina di un libro antico, con copertina rigida elegante, color verde sul davanti e color
avorio sul dorso, che resta ben aperto se solo lo si apre, una virtù che molti libri moderni nonconoscono. Per giunta, il dorso recava scritto: CACCIOPPOLI.

XI

Apertolo, lessi che si trattava degli appunti delle lezioni tenute dal Professor R. Caccioppoli nell'anno accademico 1947-48, sul tema "TEORIA DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI COMPLESSE" per il corso di Teoria delle Funzioni. Lo sfogliai, il testo mi appariva chiaro
e molto interessante, il continuo confronto tra il punto di vista dell'analisi e quello della geometria mi pareva illuminante. Dunque lo presi in prestito. Con l’idea di riproporlo per il suo interesse storico e pedagogico all’attenzione degli studiosi iniziai a trascriverlo in Plain Tex.

Sul perché quel testo dattiloscritto fosse lì è possibile solo, al momento, fare qualche
congettura.
Va osservato che recentemente Elena Miranda, figlia di Carlo Miranda, ha voluto
donare al dipartimento di matematica filiazione di quell’istituto policattedra del quale suo
padre è stato, si può senz’altro affermare, il creatore, buona parte dei libri e l’intera collezione di estratti paterni.
E’ molto probabile allora che il dattiloscritto fosse inserito tra i libri, ma che mancando una qualsivoglia indicazione editoriale non sia stato catalogato e, un po’ disattentamente, inserito, come solitamente accade per gli estratti e per le pubblicazioni preventive
in esubero, tra i materiali a disposizione libera.
Il dattiloscritto consiste di cinque capitoli detti “parti’’, per complessive 181 pagine,più una di frontespizio. Le equazioni sono quasi tutte scritte a mano. La calligrafia delle
equazioni sembra restare la stessa lungo i cinque capitoli. In particolare, la lettera “d”
usata per la misura di integrazione è scritta con un lieve vezzo, ovvero tra il cerchietto inbasso e il segmento verticale si nota un tratto di curva, tangente al cerchietto, che ritaglia
una minuscola area. Ci sono anche sei figure ed una tabella. Il dattilografo (o dattilografa)
non sembra essere stato un matematico, perché scrisse in modo errato i nomi di matematici famosi come Cauchy e Liouville, e scrisse male alcune parole, il che indica la mancata comprensione del significato di una affermazione matematica. Ad esempio, all’iniziodel quarto periodo del Capitolo 2, nel dattiloscritto compare la frase: “Vogliamo dal significato al singolo”, laddove era da intendersi: “Vogliamo dare significato al simbolo”, einfatti subito dopo si scrive il simbolo matematico dell’integrale di superficie di una funzione di tre variabili, e si definisce con cura tale concetto. Ci sono inoltre molti refusi, ad
esempio: inversione dell’ordine relativo delle lettere in una parola, spazi vuoti all’interno
di una parola o parole adiacenti scritte senza spaziatura, lettere cancellate.
Per quanto concerne l’effettiva attribuzione a Caccioppoli del testo vanno segnalati
vari indizi.
Talvolta si fa un uso estroso di alcune parole, ad esempio, nel capitolo quinto viene
utilizzato il termine “inferiori” a significare “ulteriori” , con evidente allusione al classico“vedi infra”. Questo fenomeno sembra essere coerente con una certa predilezione di Caccioppoli per quelle invenzioni linguistiche delle quali sono piene le sue lettera a MariaDel Re (Carbone et al. 2010), spesso fondate proprio sull’utilizzo del latino.
Ricorrono, pur se in pochi casi, periodi eccezionalmente lunghi, ai quali Caccioppoli
era incline nei suoi scritti.
Appaiono anche alcune caratteristiche costanti del suo modo di scrivere matematica: dare gli enunciati dei teoremi, quasi mai presentati esplicitamente come tali, alla

XII

fine delle considerazioni che portano alla loro dimostrazione; fare un uso molto ridottodelle formule; cercare di mettere in evidenza legami tra teorie in apparenza lontane.
In un caso appare una sobria citazione di un suo importante risultato sulla distribuzione delle singolarità delle funzioni di due variabili complesse.
Va precisato peraltro che la grafia che compare, sempre uguale, nel completamentodelle formule è sembrata subito non corrispondere a quella di Caccioppoli stesso, bennota ad esempio dalle lettere prima menzionate. Dunque va immaginato che qualcuno
che ha partecipato al corso abbia redatto le note poi consegnate al (o alla dattilografa)
per una versione dattiloscritta.
Un’analisi filologica è stata allora eseguita da Edoardo Esposito, professore associato di filologia presso l’università di Avignone ora in pensione, confrontando il testodel dattiloscritto e varie pagine delle Lezioni di Analisi matematica Parte prima diCaccioppoli. L’analisi ha stabilito una compatibilità della tesi della identità degli autori
dei due testi. Naturalmente la forte stilizzazione del linguaggio matematico non ha
potuto consentire di pervenire ad un risultato più preciso.
2.2 - Il secondo affioramento
Ritrovato questo testo e richiamata l’attenzione su di esso, si è cercato di trovare
traccia di altre eventuali copie. Si è scoperto così che Pasquale Zecca, un’analista appassionato di variabile complessa, possedeva un dattiloscritto dallo stesso titolo.
È stato effettuato allora un confronto in dettaglio tra i due dattiloscritti.
Questo secondo dattiloscritto ha una copertina più sottile, non dura, ma i testi sono
risultati identici, come identici sono risultati gli interventi e gli errori del dattilografo eil completamento a mano delle formule. Tali verifiche sono state svolte alle pagine 1, 2,
4, 6, 8, 16, 18, 22, 23, 26, 27, 28, 80, 90, 100, 106, 128, 144, 145, 147, 149.
Anche in questo caso si pone il problema dell’origine di questo secondo dattiloscritto.
Lo Zecca ricordava trattarsi di un dono verso la metà degli anni Sessanta da partedi Silvano Matarasso, che conosceva bene il suo amore per la teoria delle funzioni divariabile complessa, ma quest’ultimo non ha potuto confermare la circostanza.
Un’ipotesi simile a quella formulata per l’apparizione del primo dattiloscritto sipuò comunque formulare anche per questo secondo.
In effetti poco dopo la scomparsa di Renato Caccioppoli il fratello Ugo donò all’allora istituto di matematica la quasi totalità dei suoi libri ed estratti. Solo i primi furono
catalogati, mentre i secondi, come accade di solito, furono lasciati a disposizione. Il
dattiloscritto, privo di indicazioni editoriali, deve essere stato inserito tra questi ultimi.
2.3 - Il terzo affioramento
Confermata la convinzione che si era di fronte ad un corso tenuto da Caccioppoli erielaborato da un allievo, l’attenzione si è concentrata sull’identificazione dell’allievo,

XIIIche andava prioritariamente cercato all’interno del gruppo di giovani ricercatori che
contornava il maestro in quegli anni: Federico Cafiero, Carlo Ciliberto, Donato Greco,
Guido Stampacchia.
Renato Fiorenza, sentito sulla questione, ha ricordato che Greco talora gli aveva
accennato di come Caccioppoli lo avesse stimolato a pubblicare una monografia dedicata alle funzioni di più variabili complesse. Qualche altro indizio spingeva a considerare Greco come estensore del dattiloscritto: il suo interesse, ben noto, per la variabile
complessa; la particolare attenzione data nel suo testo per il corso di Istituzioni di analisi superiore alle funzioni di più variabili complesse, argomento generalmente appena
accennato (Greco 1965) . Così le prime ricerche si sono concentrate su di lui. Tuttavia
il figlio Luigi ha ritenuto di poter escludere che la grafia dei completamenti delle formule fosse di suo padre.
Analogamente l’analisi di campioni di grafie di Cafiero, forniti da Carlo Sbordone,
e di Ciliberto, in possesso di uno dei curatori (Luciano Carbone), ha portato ad escludere una attribuzione a loro. Rimaneva dunque Stampacchia, la cui grafia effettivamente sembrava compatibile.
Recentemente i figli di Stampacchia hanno donato al dipartimento matematico napoletano quanto era in loro possesso delle carte matematiche paterne, rispettando unsuo desiderio.
La ricerca si è spostata dunque su questo fondo, appena riordinato e descritto (Carbone et al. 2019).
Dopo un’accurata revisione si sono ritrovati due quaderni manoscritti che si riferiscono proprio al corso tenuto da Caccioppoli. In un primo momento, nel riordino delfondo, questi due quaderni erano stati erroneamente catalogati come parti di un corso
tenuto dallo stesso Stampacchia.
Si tratta di due quaderni dalla copertina nera lievemente rugosa e di circa una quarantina di facciate ciascuno. Sono scritti con grafia molto chiara e sono sostanzialmente privi di correzioni, segno quest’ultimo di una attenta rielaborazione.
I quaderni coprono solo il materiale nei capitoli primo e terzo del dattiloscritto. Il
confronto tra le due versioni del capitolo primo è sufficientemente indicativo: le equazioni sono identiche in numero e contenuto, e scritte con la stessa calligrafia. Ma il
quaderno numera tre equazioni in più rispetto al dattiloscritto (in totale, 28 anziché 25).
Nel testo, lievi variazioni di parole sono state effettuate. Ad esempio, all’inizio del capitolo 1 il quaderno scrive: “Iniziamo con l’introdurre qualche simbolo e col dare alcune definizioni preliminari.” Mentre il dattiloscritto scrive: “Iniziamo col dare qualchesimbolo e alcune definizioni preliminari.” Appena più avanti, il quaderno scrive: “Volendo far uso di un linguaggio geometrico non potremo più naturalmente riferirci ad un
piano complesso. Ci riferiremo bensì ad uno spazio complesso a 2n dimensioni reali,…” mentre il dattiloscritto si esprime come segue: “Volendo far uso di un linguaggio
geometrico non potremo riferirci ad un piano complesso bensì ad uno spazio complesso a 2n dimensioni reali”. Inoltre, nel quaderno viene inserita una nota a pié pagina perdefinire gli insiemi perfetti, che invece nel dattiloscritto sono definiti nel corpo del testo

XIV

principale. Nel quaderno si inserisce anche un sottoparagrafo sulle funzioni biarmoniche, che invece nel dattiloscritto sono definite senza sottoparagrafo. Dunque si nota uncerto sforzo di ulteriore rifinitura, nel passaggio dal quaderno al dattiloscritto.
Si è avuta così la definitiva conferma che a rielaborare con molta cura il corso diCaccioppoli fosse stato proprio Stampacchia. Molto probabilmente aveva dato a Caccioppoli e Miranda due copie del dattiloscritto, ma di una terza copia, che avrebbe
presumibilmente conservato, nel fondo non vi è traccia. Bisogna peraltro ricordare cheparte delle sue carte matematiche sono conservate presso una biblioteca universitaria
pisana ed anche in questa parte non vi è traccia del dattiloscritto. Infine una terza quotadelle sue carte fu donata immediatamente dopo la sua scomparsa alla biblioteca della
Scuola Normale Superiore di Pisa, ultima sua sede di insegnamento e di ricerca, ma
questa parte al momento non sembra reperibile.
Sembra anche evidente che vi fosse l’intenzione di arrivare a qualche monografia
a stampa, intenzione caduta per motivi forse legati all’impetuoso sviluppo che la disciplina ebbe in quegli anni.
2.4 - Un quarto affioramento?
Si è dunque individuato in Stampacchia colui che aveva rielaborato le lezioni di
Renato, ma è stato un lavoro solitario?
Le note tratte dai corsi hanno diverse formazioni: registrazioni (o, un tempo almeno, versioni stenografate), rielaborazioni di appunti rivisti o meno da chi aveva tenuto
il corso, rielaborazioni di più versioni di appunti…
Potrebbero le note di questo corso ricadere, ad esempio, in quest’ultimo caso?
In effetti nel fondo Stampacchia non sono stati ritrovati i quaderni relativi agli altri
capitoli.
Argomento questo senz’altro debole per congetturare la presenza di un altro rielaboratore; e silentio rerum dunque, schiacciato ad esempio dall’osservazione della continuità e stabilità della grafia nel completamento delle formule.
Tuttavia il fondo Stampacchia stesso e i pochissimi documenti del fondo Caccioppoli presenti nel dipartimento di matematica napoletano riservano una sorpresa che
induce a riflettere.
Il fondo Stampacchia contiene anche alcuni quaderni manoscritti riferibili al celebre corso di Analisi superiore tenuto da Renato nell’anno accademico 1950-1951 delquale abbiamo fatto cenno mentre nel fondo Caccioppoli è presente un dattiloscritto
riferentesi ad un capitolo dello stesso corso. Sul foglio che racchiude il dattiloscritto èannotato che la stesura del capitolo è a cura di Guido Stampacchia e…Federico Cafiero.
La nota è scritta con la grafia quasi inconfondibile proprio di Cafiero.
Nella rielaborazione dunque delle note potrebbe essere intervenuto effettivamente
qualche altro frequentatore del corso stesso e l’ipotesi Donato Greco, uscita dalla porta
potrebbe come si usa dire rientrare dalla finestra.

XV3 – QUALCHE CONSIDERAZIONE SULL’ELABORAZIONE DEL
DATTILOSCRITTO
Comunque stia la questione riguardante gli autori del dattiloscritto, certamente vi èstato, come si evince ad esempio dal confronto del dattiloscritto con i quaderni di Stampacchia e dallo stesso livello di precisione di questi quaderni, del quale si è già fatto
cenno, un intenso lavoro di rielaborazione. E’ quanto accade di frequente in queste situazioni. Le modalità stesse nelle quali veniva svolto il corso impedivano, come osserva ancora Fiorenza, che fossero presi appunti scritti molto dettagliati. Di questi eventuali appunti al momento non è stata rinvenuta traccia e ignoriamo se la stesurapresente dei quaderni di Stampacchia sia stata frutto anche di ulteriori colloqui con
Caccioppoli.
È possibile formulare qualche ipotesi attendibile almeno sulla tipologia dell’elaborazione? Ragionamenti analogici inducono a formulare una risposta.
Le intuizioni matematiche di Renato spesso rimanevano al livello di baluginii con
ipotesi di validità non ben chiarite e mere indicazioni di massima sui metodi dimostrativi. La cura dei dettagli era assai modesta e spesso sacrificata alla brillantezza dell’esposizione. Questo modo di far matematica aveva determinato vari scontri con recensori che talora avevano dovuto ammettere in un secondo momento di non averafferrato le implicazioni delle idee esposte.
È noto che lavori di Stampacchia, di Cafiero, di Ciliberto sono certamente fondati
su intuizioni di Renato, ma, attraverso un lavorio intenso, la formulazione dei risultati
risulta precisa e le dimostrazioni sono logicamente consistenti. Lo stesso lavorio può
essere stato messo in atto per questo corso.
4 – GUIDO STAMPACCHIA, RENATO CACCIOPPOLI E CARLO MIRANDA
E’ opportuno ora lumeggiare i rapporti tra Guido Stampacchia, Renato Caccioppoli e Carlo Miranda, i due affiatati capiscuola napoletani.
Tali rapporti furono intensi e ricchissimi, coinvolgenti sia sul piano umano che su
quello scientifico. Diamo qui solo qualche testimonianza della stima che circondava
Guido all’interno della scuola napoletana e dei rapporti umani che intercorrevano.
Un cenno ai legami scientifici sarà dato nel seguito in un contesto preciso.
Stampacchia, napoletano di nascita, era uno studente della Scuola Normale diPisa agli inizi degli anni Quaranta del Novecento. I casi della guerra lo riportarono a
Napoli dopo l’armistizio e entrò in contatto con Caccioppoli e Miranda. Qui si svolsela sua carriera e diede vita ad una ventina di lavori fino al 1952, anno nel quale vinse
un concorso di professore ordinario.
Probabilmente è da considerarsi uno dei frutti più maturi di quella scuola.
Ad esempio Ennio De Giorgi (1978) nella sua commemorazione all’Accademia
dei Lincei di Stampacchia ricorda una sua permanenza a Napoli, ove si era recato su

XVIsuggerimento di Mauro Picone, suo maestro, come a suo tempo lo era stato di Caccioppoli e Miranda, e scrive:
Perciò mi inviò [sc. Picone n.d.c.] per alcuni giorni a Napoli, ove parlando
con Caccioppoli, Stampacchia e Carlo Miranda, potei sperimentare tutta la ricchezza di idee espressa dalla loro vivida voce, maggiore ancora di quella espressa dai loro scritti più geniali.
Livio Clemente Piccinini (2016), quando Caccioppoli era ormai scomparso da una
decina di anni, ebbe Carlo Miranda come presidente della commissione giudicatrice
per conferirgli il perfezionamento in scienze matematiche presso la Scuola Normale
Superiore. A conclusione dei lavori invitò a cena, come si usava, Miranda e gli altri
componenti la commissione, De Giorgi e Stampacchia. In quell’occasione Miranda gli
disse indicando proprio De Giorgi e Stampacchia:
Vedi, io l’ho sempre detto che questi due ragazzi avrebbero fatto molta strada.
Naturalmente i ragazzi avevano rispettivamente solo 10 e 16 anni in meno del “vecchio” maestro.
Il figlio di Guido, Mauro racconta come nello studio di suo padre fosse sempre
presente un ritratto di Caccioppoli.
Uno degli estensori di questa introduzione (Luciano Carbone) nel 1978, allora
giovane ricercatore presso la Scuola Normale pisana e di provenienza napoletana comeStampacchia, ebbe il compito di comunicare a Carlo Miranda la notizia della repentina
scomparsa di Guido. Ricorda ancora vividamente l’ incredulità, lo sbigottimento e lacommozione che provò il vecchio maestro.
Nel fondo Stampacchia, infine è stato ritrovato un appunto nel quale, forse in occasione di qualche discorso che Guido stava preparando in ricordo di Renato, si legge:
La Sua figura, il Suo insegnamento, trascendendo gli ideali scientifici, rimangono inme e negli altri Suoi allievi come modello e norma di vita.
Una fine prematura accomunerà allievo e maestro, l’uno scomparso a 56 anni, l’altro a 55.
5 - IL CONTENUTO DEL DATTILOSCRITTO E LA SUA COLLOCAZIONE NELLOSTUDIO DELLE FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA

5.1 - I prerequisiti al corso
È possibile ricostruire con una certa precisione i prerequisiti che chi seguiva il corso sulle funzioni di più variabili complesse doveva possedere.

XVIIIn una prima edizione del testo Lezioni di analisi matematica Parte prima Caccioppoli (Caccioppoli s.d.) dedicava uno spazio notevole in confronto a testi analoghi adargomenti di variabile complessa.
Il materiale contenuto nel capitolo terzo dal titolo Numeri complessi era piuttosto
consueto: venivano introdotti i numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica,
veniva studiata l’operazione di estrazione di radice e venivano definite le radici primitive dell’unità; unica piccola variazione era costituita dalla introduzione delle potenzead esponente razionale.
Nel capitolo settimo dal titolo Serie venivano già introdotte le serie multiple (paragrafo undicesimo).
Nei paragrafi undicesimo e dodicesimo del capitolo undicesimo rispettivamente dai
titoli Funzioni complesse e Funzioni di più variabili venivano discussi i concetti di limite e di continuità delle funzioni di variabile complessa e introdotta la nozione di derivabilità.
La vera novità era contenuta in alcuni paragrafi del capitolo dodicesimo dal titolo
Serie di funzioni. Nel paragrafo undicesimo utilizzando le serie di potenze nel campo
complesso veniva introdotta la funzione esponenziale di base e ad esponente complesso, nel paragrafo dodicesimo le funzioni trigonometriche e iperboliche ad argomento
complesso, nel paragrafo tredicesimo potenze e logaritmi, nel paragrafo quattordicesimo le inverse delle funzioni trigonometriche con cenni agli sviluppi in serie di log(1+z), arctg z, (1+z)p con p complesso. Lo studente veniva così addestrato molto presto
all’uso di funzioni a più valori.
In una edizione successiva questo capitolo veniva omesso (Caccioppoli 1950) e
nella sua interezza veniva riproposto come capitolo primo nel testo Lezioni di analisi
matematica Parte seconda (Caccioppoli 1951).
Veniva ampliata invece la discussione dei limiti e della continuità delle funzioni divariabile complessa presentata, come accennato, nel paragrafo undicesimo del capitolo
undicesimo: si esaminavano infatti il comportamento del modulo e dell’anomalia, curiosamente appaiono però in questa ulteriore trattazione delle imprecisioni.
È possibile anche ricostruire quanto Caccioppoli ritenesse essenziale conosceredella teoria delle funzioni di una variabile complessa, argomento generalmente affrontato nel corso di Analisi Superiore. In effetti Caccioppoli aveva dato queste indicazioni
ad un suo studente reduce di guerra, Vito Aiello, attraverso delle annotazioni sull’indice di un classico testo di variabile complessa, il Sansone (Sansone 1947), da lui consigliato. Questo indice è stato messo a disposizione da Fausto Acanfora, analista napoletano nipote acquisito ed erede delle carte matematiche dell’Aiello.
Gli argomenti individuati erano i seguenti.
(I) Piano complesso e sfera complessa; funzioni continue; derivata e condizioni dimonogeneità; funzioni olomorfe; raggio e cerchio di convergenza delle serie dipotenze; teorema di Cauchy-Hadamard per la determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze; derivabilità termine a termine delle serie di potenze;
le serie di potenze come funzioni olomorfe nel cerchio di convergenza; le funzioni

XVIII

elementari: esponenziale, seno, coseno, logaritmo, elevamento a potenza, arcoseno, arcocoseno, arcotangente.
(II) Integrale curvilineo di una funzione complessa; proprietà degli integrali curvilinei
di funzioni complesse; integrali di funzioni complesse dipendenti da parametri,continuità e derivabilità rispetto ai parametri; teorema integrale di Cauchy, e sua
estensione alle aree più volte connesse; la formula integrale di Cauchy; formule
dell’incremento definito e della derivata, derivazione sotto il segno di integrale,
formula generale delle derivate; teorema di Morera; la serie di Cauchy-Taylor; zeri
di una funzione olomorfa e principio di identità; teorema di Cauchy-Liouville;
funzioni armoniche in due variabili e problema di Dirichlet; serie di Laurent; elementi analitici e funzioni analitiche secondo Weierstrass; serie di funzioni analitiche e teorema di Weierstrass.
(III) Punti regolari e ordine degli infinitesimi; singolarità isolate; poli e singolarità essenziali isolate; comportamento di una funzione nell’intorno di un punto singolare
isolato; punti singolari non isolati e punti di addensamento; residui integrali; il teorema integrale di Cauchy per una regione con un numero finito di punti singolari;derivata logaritmica e formula dell’indicatore logaritmico; il teorema fondamentale dell’algebra.
(IV) Il teorema di Mittag-Leffler per la determinazione delle funzioni uniformi con prescritte singolarità in un insieme di punti avente un unico punto di accumulazione.
La fattorizzazione di Weierstrass delle trascendenti intere dedotta dal teorema di
Mittag-Leffler.
Le notizie fornite da questo indice sono confermate dal recente ritrovamento di un dattiloscritto (Caccioppoli 1949), nel quale sono riportati appunti dalle lezioni di un corso
di Analisi superiore tenuto da Caccioppoli proprio in quegli anni, appunti peraltro dei
quali non si può affermare che siano stati da lui revisionati.
Questi dunque erano i prerequisiti che l’ascoltatore doveva possedere necessariamente.
D’altro canto i frequentatori del corso erano ricercatori e dunque Renato poteva
immaginare che avessero anche una qualche conoscenza, almeno di massima, dei risultati da lui già ottenuti nel settore.
5.2 - Un breve sommarioÈ possibile ora dare un breve sommario del materiale contenuto nel dattiloscritto.
Il primo capitolo tratta argomenti che fanno da raccordo col materiale di un primo
corso di analisi complessa: il concetto di funzione analitica di due variabili complesse,la formula integrale di Cauchy, il teorema di Goursat, le serie di Taylor e di Laurent, ilteorema di Liouville, le funzioni biarmoniche, il teorema di Weierstrass sulle successioni di funzioni analitiche, la forma di Poincaré delle condizioni di analiticità, campo
ristretto e campo totale di convergenza di una serie di potenze, prolungamento analitico, le serie doppie e il loro campo di convergenza. Nel secondo capitolo viene definita

XIXl’operazione di integrazione per le funzioni di due variabili complesse e si fa uso con
taglio pedagogico di concetti topologici. Nel terzo capitolo vengono esposti metodi
escogitati per introdurre nello spazio delle n variabili complesse i punti all’infinito e per
definire una funzione analitica in tali punti. Appare molto chiaro e formativo il confronto tra il punto di vista dell’analisi e quello della geometria per realizzare tale programma. Nel quarto capitolo vengono studiate le funzioni implicite, mentre il quinto è dedicato alle singolarità. Vengono dunque studiate, tra l’altro, le singolarità delle funzioni
meromorfe di due variabili, i problemi di riassorbimento delle singolarità da parte delcampo di olomorfia, e la caratterizzazione analitica della pseudoconvessità di una superficie dovuta ad Eugenio Elia Levi.
6 – ALCUNE CONSEGUENZE DEL CORSO E QUALCHE CONCLUSIONE

Il corso sembra dunque essere un profondo ripensamento di quanto già provato da
Renato nel corso degli anni Trenta, soprattutto in relazione al campo di validità del teorema di estensione di Hartogs (cfr., e.g., Tomassini 2011, p. 14) sia al caso olomorfo
che al caso meromorfo (Vesentini 1991), e un punto di partenza per i risultati che
avrebbe conseguito nel 1949 nell’ultimo suo lavoro dedicato alle più variabili complesse e per talune ricerche che avrebbe ispirato a Scorza Dragoni e ai suoi allievi.
Scrive infatti Scorza Dragoni (1949):
In questa nota inizio lo studio di una questione topologica suggerita a Caccioppoli
dal così detto teorema di continuità per l’insieme dei punti singolari di una funzione divariabile complessa.

Si tratta in effetti di studiare le proprietà di “continuità” (cioè di chiusura e di indecomponibilità in due chiusi a intersezione disgiunta) di insiemi di punti singolari in piùdimensioni, a partire dallo studio delle intersezioni di tali insiemi con varietà lineari didimensione inferiore, individuate da opportuni parametri, e da deboli proprietà di dipendenza di tali intersezioni dai parametri.
Sulla stessa tematica indirizza Giorgio Trevisan (1949) e soprattutto Enrico Magenes (1948-1949, 1949, 1950).
Anni dopo (1988) Scorza Dragoni tornerà sulla questione e scriverà:
Non è molto facile fare congetture su una congettura di Caccioppoli, specialmente
quando l’unico dato a disposizione sia quello in un certo qual senso negativo dovuto a
Magenes non aveva indotto Renato a disarmare e e a rinunciare alle sue idee circa eventuali conseguenze del teorema di continuità per l’insieme dei punti singolari delle funzioni olomorfe di due variabili complesse. Purtroppo, quando me ne parlò non gli chiesi
maggiori chiarimenti e ora mi vedo costretto a brancolare nel buio.
Comunque, la mia impressione si è che egli ritenesse di avermi proposto, per il Suo
problema, una schematizzazione eccessivamente drastica.

XXAnche Magenes, nella sua nota biografica su Scorza Dragoni (1997), quasi cinquant’anni dopo, ricorderà quei lontani eventi.
Le riflessioni sulle formule integrali che appaiono nel corso e che porteranno alla
memoria del 1949 (Caccioppoli 1949) sono probabilmente anche legate ai risultati diMartinelli (e.g. 1937, 1946), che Caccioppoli aveva apprezzato fin dal 1937 quando,
come membro della commissione giudicatrice, aveva contribuito ad assegnare proprioa Martinelli il premio Torelli, bandito dall’Accademia di Scienze fisiche e matematichedi Napoli.
Di tale memoria Edoardo Vesentini (Vesentini 1991) dà un’analisi profonda.
In essa, date due funzioni olomorfe in un dominio del piano di due variabili complesse, Caccioppoli considera l’integrale di Didon (che estende l’indicatore logaritmico di
Cauchy ed era già presente nel trattato di analisi di Picard) e dimostra, in condizioni diragionevole generalità, che il numero delle intersezioni dei luoghi degli zeri delle due
funzioni è espresso dall’integrale di Didon esteso ad un ciclo che “separa” i due luoghi.
Ma qui l’inadeguatezza dello strumento algebrico-topologico, che presiede alla costruzione di quel ciclo, appesantisce la trattazione ed offusca quel lampeggiare di idee e diintuizioni geniali che contraddistingue i lavori di Caccioppoli.

L’accenno all’inadeguatezza dello strumento algebrico topologico è un riferimento,
peraltro esplicitato, a quanto accadeva in quegli anni nel panorama internazionale: l’utilizzo di nuovi strumenti algebrici e topologici, forgiati a cavallo del secondo conflitto
mondiale, stavano sostituendo i metodi della cosiddetta hard analysis (cfr., e.g., Rudin
1980) e rivoluzionando l’approccio allo studio delle funzioni di più variabili complesse ad opera soprattutto di Oka, Cartan, Serre.
Proprio nell’anno accademico 1951-1952 si tiene quel celebre Séminaire Cartan
che in genere viene considerato uno dei momenti fondamentali di quella rivoluzione(cfr., e.g.,Tomassini 2011) che, come accennato, forse contribuì a far cadere l’idea di
una pubblicazione del nostro corso.
E’ probabile infine che in questo rinato interesse di Renato per la variabile complessa indicato dal nostro corso si debba individuare anche il germe per le ricerche che di lìa qualche anno lo porteranno a introdurre il concetto di funzione pseudoanalitica.
Rimane ancora aperta almeno una questione: Guido Stampacchia, l’attento estensore delle note di questo corso trae da esso qualche ispirazione?
Stampacchia non ha mai prediletto la variabile complessa e lo stesso Caccioppoli
nel fargli pervenire un estratto proprio della memoria del 1949 appone su di esso una
dedica arguta, forse anche cenno di ringraziamento:
A Guido Stampacchia, duro realista, dall’equivocamente complesso Renato Caccioppoli.

Per trovare traccia di qualche ispirazione occorre allora cercare altrove, più precisamente nell’altro tema, oltre quello del calcolo delle variazioni, che ha sempre colti-

XXIvato: le equazioni differenziali ordinarie e al quale dedicherà un volume che verrà
pubblicato proprio nell’ultimo anno della sua vita (Piccinini et al. 1978)
In effetti in questo settore, per equazioni per le quali non vi è unicità di soluzione inrelazione a qualche valore iniziale appare un fenomeno (il cosiddetto baffo di Peano)che consiste proprio nel sussistere della continuità di determinati insiemi. Alla studio diquesto fenomeno in un contesto analitico funzionale Stampacchia dedica una sua brevenota ancora del 1949 (Stampacchia 1949). Essa dovette colpire nella sua brevità (è diappena quattro pagine), semplicità, generalità per la sua forza chiarificatrice quanti lavoravano nel campo.
Trent’anni dopo, nella sua nota biografica dedicata a Stampacchia (Magenes 1978),ne dà una descrizione precisa il già citato Enrico Magenes, compagno di studi di Guido
alla Scuola Normale Superiore di Pisa, vincitore con lui nel concorso a cattedra di professore ordinario nel 1956 e suo collega in questo ruolo all’università di Genova:
La nota si collega con le equazioni differenziali ordinarie perché prende spunto dalcosiddetto «fenomeno di Peano» per darne una formulazione astratta per trasformazioni tra spazi di Banach che siano continue e tali che ogni successione trasformata da T in
una successione convergente sia relativamente compatta, e mettere in evidenza che insostanza il «fenomeno di Peano» ( cioè la proprietà che se T-1(y) contiene più di un
punto è un «continuo») dipende dal fatto che la trasformazione T sia approssimabile dauna successione di trasformazioni Tn invertibili.

E non a caso il presentatore della nota all’Accademia dei Lincei è proprio Renato
Caccioppoli, il cui pensiero sembra quasi far capolini in quelle poche pagine.
Miranda, nella sua qualità di commissario nel concorso a cattedra già citato chevide vincitori Stampacchia e Magenes non potrà fare a meno di sottolineare il valore
proprio questa nota (Bollettino 1953).
7 - UN AUGURIO

Al termine di questa introduzione vogliamo augurarci che il lettore di questo corso
possa condividere con noi le sensazioni espresse da Edoardo Vesentini (1991) a proposito della lettura degli articoli di Renato Caccioppoli:
Molti di quei lavori sono di lettura difficile, ed alcuni susciterebbero oggi le riservedi più di un referee. Ma, a chi voglia e sappia comprenderli, essi offrono la sensazione
inebriante di partecipare – a fianco di un ingegno raffinato - alla costruzione di un nuovo capitolo della scienza.
8 - BIBLIOGRAFIA

Elementi biografici delle persone citate si possono rinvenire per quanto concerne

XXII

Federico Cafiero (1914-1980) in (Miranda 1980/81), Carlo Ciliberto (1923-2005) in(Carbone et al. 2007), Donato Greco (1923-1995) in (Sbordone 2020), Ennio De Giorgi (1928-1996) in (Parlangeli 2015), Emilio Gagliardo (1930-2008) in (Magenes 2009),
Carlo Miranda (1912-1982) in (Palladino 2011), Paul Montel (1876-1975) in (Dieudonné), Mauro Picone (1885-1977) in (Guerraggio 2018), Giovanni Sansone (18881964) in (Rogora 2017), Giuseppe Scorza Dragoni (1908-1996) in (Magenes 1997),
Francesco Severi (1879-1961) in (Rogora 2018), Guido Stampacchia (1922-1978) in(Mazzone, 2019) e Magenes (1978). Di Enrico Magenes (1923-2010) manca ancora
una biografia soddisfacente; si può far riferimento comunque alla voce presente su
Wikipedia.
La bibliografia su Caccioppoli (1904-1959) è molto vasta e varia. Consiste di numerosi articoli su periodici e quotidiani di carattere generale, di libri dedicati alla sua figura,di ricordi personali, di articoli sulla sua produzione scientifica. A lui sono stati dedicati
anche un film (Morte di un matematico napoletano, 1992, per la regia di Mario Martone)e alcuni documentari.
A titolo orientativo si può rinviare, oltre alla voce del Dizionario Biografico degli
Italiani (Figà Talamanca 1973) e al più recente Dell’Aglio (2013), alle opere monografiche a lui dedicate e più precisamente (Alvino et al.1999), (Chiacchio et al. 2009), (Fergola 1994), (Foschini 2022) (Gatto e Toti Rigatelli 2009) (Toma 1992) e alla bibliografia ivi
contenuta, ricordando che Alvino et al. 1999) (Chiacchio et al. 2009 ), (Fergola 1994)
sono raccolte di interventi sulla figura di Caccioppoli. Il testo di una conferenza scientifica di Caccioppoli a suo tempo stenografata è contenuto in (Carbone et al.1997) mentre
un significativo corpus di sue lettere è contenuto in (Carbone e Talamo 2010).
Alvino A., Carbone L,. Sbordone C. Trombetti G. (curatori) (1999), In ricordo di Renato Caccioppoli, Giannini Editore, Napoli.
Bollettino (1953), Relazione dell commissione giudicatrice del concorso per professore
straordinario alla cattedra di analisi matematica (algebrica e infinitesimale)dell’Università di Palermo, Bollettino ufficiale del Ministero della Pubblica Istruzione, Parte II Atti di Amministrazione, 28, 2193-2202.
Caccioppoli R. (1949), I fondamenti della teoria delle funzioni analitiche, appunti delcorso di analisi superiore, s.n.., Napoli. L’unica copia nota di quest’ opera è custodita presso la Biblioteca Tecnica della Direzione Centrale per la Prevenzione e laSicurezza Tecnica del Corpo Nazionale dei Vigili del Fuoco di Roma, (codice SBN:
RML55), Fondo Salvatore Cuomo.
Caccioppoli R. (s.d.), Lezioni di Analisi matematica. Prima parte. Libreria Internazionale Treves, Napoli, edizione in stereotipia a dispense, senza data, ma anteriore al1950.
Caccioppoli R. (1950), Lezioni di Analisi matematica. Parte prima, Libreria Internazionale Treves, terza edizione in stereotipia a dispense, Napoli.
Caccioppoli R. (1951), Lezioni di Analisi matematica. Parte seconda, Libreria Interna-

XXIIIzionale Treves, edizione in stereotipia a dispense, Napoli.
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Le edizioni delle Lezioni di Analisi matematica Caccioppoli s.d., Caccioppoli 1950,
Caccioppoli 1951 non sono presenti sul sito OPAC catalogo SBN. Le copie consultate
sono appartenute ad alcuni studenti dei corsi di Caccioppoli della fine degli anni Quaranta: la prima, attualmente di proprietà del nipote Fausto Acanfora, a Vito Aiello, laseconda e la terza, attualmente di proprietà del nipote Giampiero Esposito, a Giovanni
Smacchia.
È infine un piacere per noi ringraziare le bibliotecarie Maria Rosaria Bellavita, Ivana Stazio e Anna Colucci, le prime due del Dipartimento di Fisica “Ettore Pancini”, laterza del Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” dell’Università di Napoli “Federico II” per il prezioso aiuto nelle ricerche bibliografiche. Lo
stesso caldo ringraziamento va ai dottori Emmanuele Battista e Vito Flavio Bellino.
Segnaliamo esplicitamente che il testo di questa introduzione riprende in buona
misura un articolo degli autori pubblicato nel volume 88 del Rendiconto dell’Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche, pp. 103-117 (2021).

XXVI

RENATO UNCACCIOPPOLI:RENATO CACCIOPPOLI:CORSO DI TEORIA DELLE
UN CORSO DI TEORIADELLE FUNZIONIFUNZIONI
GIUSEPPE TOMASSINI
GIUSEPPETOMASSINI

Introduzione
Il fenomeno cruciale che diversifica la teoria delle funzioni olomorfe in più variabili da quella delle funzioni in una variabile è, come noto, espresso dal Teorema
di estensione di Hartogs. Menzionato da Osgood nel suo libro 1 come “uno dei
fatti più stupefacenti della teoria”, esso afferma che se K è un compatto di un
dominio D di Cn , n ≥ 2, e D\K è connesso, allora ogni funzione olomorfa su
D\K si estende con una funzione olomorfa su D.
Il “fenomeno di Hartogs” per le funzioni olomorfe e più generalmente per
gli oggetti analitici – quelli definiti mediante le funzioni olomorfe – diviene cosìuno dei temi centrali delle ricerche in analisi complessa, con una portata che va
ben oltre la teoria delle funzioni di più variabili. Notevole è, ad esempio, la sua
generalizzazione ai sistemi di equazioni lineari alle derivate parziali e a coefficienti costanti in Rn dovuta a Ehrenpreis 2, così come il legame con il sistema di“Cauchy-Riemann tangenziale” 3 che diventerà un prototipo importante nello
studio dei sistemi sovradeterminati di equazioni differenziali lineari del primo
ordine 4.
Al teorema di Hartogs e alle sue applicazioni è dedicata l’ultima partedel corso: quella, a mio avviso, più interessante. Interpretandolo suggestivamente come un Teorema della continuità delle singolarità, Caccioppoli ne fa lo
strumento principale per lo studio delle singolarità delle funzioni olomorfe, lapseudoconvessità di Eugenio Elia Levi, l’olomorfia e la meromorfia separata ele funzioni meromorfe sullo spazio proiettivo.
Date: November 22, 2022.
2010 Mathematics Subject Classification. 32Q99, 32C35.
1W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie II.1, B. G. Teubner, Leipzig 1924.
2L. Ehrenpreis, A new proof and an extension of Hartogs’ theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 67 (1961),
507–509.
3crf.: F. Severi, Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse, Cedam-Casa editrice dott. Antonio Milani, Padova 1958. Tenute nel 1956-1957 all’Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma; E.
Martinelli, Sulla determinazione di una funzione analitica di più variabili complesse in un campo, assegnatane la traccia sulla frontiera, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 55 (1961), 191–202.
4H. Lewy, On the local character of the solutions of an atypical linear differential equation in three variables
and a related theorem for regular functions of two complex variables, Ann. of Math. (2) 64 (1956), 514—522.

XXVII

GIUSEPPE TOMASSINI

È un metodo geometrico che viene seguito sistematicamente, sia nell’impostazione
dei problemi sia nelle dimostrazioni: forse il merito principale di queste suelezioni.
Ne risulta complessivamente un corso di non facile lettura ma denso dimateriali ed elementi originali, che permettono di esplorare, a volte con fatica
per la mancanza di un linguaggio algebrico-geometrico adeguato, i principali
fatti di un corso base sulla teoria delle funzioni di più variabili complesse.
Mi piace pensare che l’analisi dei vari capitoli che faremo più avanti possa
confermare nel lettore questo giudizio.
Qualche riflessione sui singoli capitoli
Volendo conservare lo spirito delle lezioni, gli enunciati principali del corso
sono qui riportati con le stesse parole usate da Caccioppoli, salvo usare ove
necessario la simbologia divenuta oggi di uso comune.
Il corso si articola in cinque parti. Dopo aver esteso alle più variabili i primi
teoremi classici di una variabile (formula di Cauchy, teoremi di Goursat, diWeierstrass, ecc.), si dimostrano alcuni interessanti risultati sui campi di convergenza delle serie di potenze in n variabili complesse z1 , z2 , . . . , zn .
La seconda parte riguarda l’integrazione, ma senza usare il linguaggio delle
forme differenziali la trattazione risulta un po’ macchinosa.
La terza parte riguarda lo studio dei punti all’infinito che vengono trattati
in due modi distinti: usando le parole di Caccioppoli, secondo il punto di vista
dell’analisi, cioè compattificando C2 con P × P o secondo il punto di vista dellageometria, cioè compattificando C2 con P2 .
Allo scopo di stabilire analogie con il caso di una variabile, viene introdotta
la varietà di Segre che nel caso delle due variabili rappresenta P2 × P2 nello
spazio proiettivo P8 . Di tale varietà si mettono in evidenza varie proprietà,
nello stile e con il linguaggio dell’epoca, che conducono Caccioppoli a stabilire
una corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra i punti del piano proiettivo
complesso e i punti reali della varietà di Segre. Pertanto:la varietà di Segre, con i suoi punti reali rappresenta per una
coppia di variabili complesse ciò che la sfera, con i suoi punti
reali rappresenta per una sola variabile complessa. Dal puntodi vista geometrico si ha così la naturale estensione della sfera
complessa nel campo delle due variabili complesse 5.
5R. Caccioppoli, Teoria delle funzioni di più variabili complesse, a.a. 1947-48, p. 65.

XXVIIIone

RENATO CACCIOPPOLI: UN CORSO DI TEORIA DELLE FUNZIONI

Sono considerazioni che troverebbero la loro collocazione naturale nel capitolodelle varietà complesse, argomento che esulava dai corsi universitari dell’epoca.
La parte contiene inoltre l’enunciato che segue e per la cui dimostrazione
occorre usare il teorema di estensione di Hartogs che verrà dimostrato in seguito:
indipendentemente dal modo di definire i punti all’infinito nello
spazio delle più variabili complesse, può essere enunciato nei
seguenti termini: se una funzione analitica è regolare all’infinito
allora è costante 6.
La quarta parte tratta inizialmente del teorema delle funzioni implicite. Dopo
aver introdotto, nell’intorno dell’origine, i rami di una funzione olomorfa
definita implicitamente da un’equazione f (x, y) = 0 con f olomorfa e f (0, 0) =0, si arriva alla dimostrazione del classico teorema della funzione inversa nel
caso olomorfo. Sorprende un po’ il fatto che, nonostante venga citato, l’analogo
differenziabile del teorema della funzione inversa non venga usato per dedurre
direttamente il teorema nel caso olomorfo.
Si studiano poi le applicazioni olomorfe e si dimostra la proprietà che ildifferenziale di un’applicazione olomorfa è conforme su ogni retta complessa.
Le dimostrazioni sono svolte con mezzi analitici elementari, ma, come giàosservato, la mancanza di un quadro algebrico-geometrico appropriato rende
tutto un po’ macchinoso.
Infine, dopo aver dimostrato il teorema di preparazione di Weierstrass, si
studia il problema della divisibilità per le funzioni olomorfe.
Il teorema di Hartogs e le singolarità
È il tema che occupa la quinta parte del corso, decisamente la più interessante. Essa contiene la dimostrazione del teorema di estensione di Hartogs,
lo studio delle singolarità, la pseudoconvessità di Levi e il teorema di Hartogs
sull’olomorfia separata.
La definizione di punto singolare viene data mimando la situazione di una
variabile. Se f è olomorfa in C  S dove C è un campo (o dominio) di Cne S un chiuso di C, ‘par abus de langage’ S è chiamato l’insieme dei punti
singolari di f . Un punto a ∈ S si dice una singolarità apparente o eliminabile
se localmente in a, f si prolunga su S. In generale, S è un insieme magroo soddisfa particolari ipotesi (compattezza, convessità, ecc.). I problemi di
6Ivi, p. 73.

XXIX

GIUSEPPE TOMASSINI

eliminazione delle singolarità sono chiamati problemi di riassorbimento delle
singolarità da parte del campo di olomorfia 7.
Lo studio esposto in questa parte sfrutta in modo sistematico quello che
Caccioppoli chiama Teorema della continuità delle singolarità.
Esso poggia su uno dei vari risultati di Hartogs sull’estensione di funzioni
olomorfe che richiamiamo esplicitamente.
Consideriamo per semplicità il caso bidimensionale e denotiamo con Cx e
Cy i piani delle variabili complesse x e y. Siano C1 ⊂ Cx , C2 ⊂ Cy , H ⊂ C2
campi, dove C1 ha frontiera F C1 regolare. Allora:
Se una funzione f verifica le condizionia) è olomorfa in C1 × H e continua sulla frontierab) per ogni x ∈ F C1 , f (x, y) è olomorfa rispetto a y ∈ C2

allora f è olomorfa nel campo prodotto C = C1 × C2 8.

La dimostrazione di questo enunciato è uno dei piccoli miracoli della formuladi Cauchy.
Consideriamo infatti la funzione f definita dall’integrale di Cauchy1f (ξ, y)f (x, y) =dξ.
2πi ξ∈F C1 ξ − xCome si constata subito, dalle ipotesi fatte segue che f è olomorfa in C e, perla formula di Cauchy, coincide con f su C1 ×H. Dunque f è un prolungamento
olomorfo di f .
Si osservi che il complementare di (C1 ×H)∪(F C1 ×C2 ) non è compatto cioè“le funzioni olomorfe in più variabili possono colmare lacune non compatte”.
Il Teorema della continuità delle singolarità deriva dal risultato precedente
come semplice applicazione:
Se sulla retta complessa y = y0 la funzione f = f (x, y) presenta
singolarità costituenti un compatto interno ad un campo C1 di
Cx allora esiste un intorno U del punto y0 in Cy tale che, pery  ∈ U la funzione presenti ancora singolarità interne a C1 .

Un enunciato analogo vale in Cn .
Una prima applicazione del precedente teorema fornisce un criterio abbastanza generale “sull’assorbimento delle singolarità”:
7Ivi, p. 100.
8Ivi, p. 103.

XXX

RENATO CACCIOPPOLI: UN CORSO DI TEORIA DELLE FUNZIONI

Una funzione f , olomorfa in un campo C di Cn privato di una
sottovarietà regolare S, si prolunga su C in modo olomorfo sevale una delle seguenti condizioni:
1) f è continua e S ha dimensione 2n − 12) f è limitata e S ha dimensione 2n − 23) S ha dimensione ≤ 2n − 3 9.

Come seconda applicazione si dimostra il celebre teorema di Hartogs, già citato
nell’Introduzione, che negli Appunti viene enunciato così:Se, nello spazio a quattro dimensioni, una varietà [connessa
n.d.a.] V , tridimensionale, è la frontiera di una porzione T ,limitata di spazio, e se su [un intorno connesso di n.d. a] di V
la funzione f (x, y) è olomorfa, essa è prolungabile in tutto T 10.
Fatte le precisazioni necessarie sulla connessione, per la dimostrazione si applica
il teorema della continuità delle singolarità, osservando preliminarmente chepossiamo supporre V regolare. Allora, poiché V è compatto, esiste una retta
complessa, che possiamo supporre di equazione x = 0, con almeno un punto
sulla varietà, ma nessun punto in comune con T . Detto I ⊂ T l’insiemecompatto dove f non è olomorfa, si considerino rette complesse di equazione
x = ε con ε reale. Se per assurdo fosse I ≡ ∅ verrebbe violato il teorema dicontinuità delle singolarità.
L’estensione al caso n-dimensionale è immediata.
Il teorema di Hartogs, oltre che nel già citato libro di Osgood, ha avuto nel
corso degli anni varie dimostrazioni (cfr. ad esempio Severi 11, Ehrenpreis 12,
Fichera 13, Martinelli 14, Hörmander 15).
Negli Appunti viene ricordato, senza dimostrarlo, un teorema di Caccioppoli
sull’insieme S delle singolarità di una funzione olomorfa di due variabili inaperti dello spazio proiettivo 16. Esso afferma che, sotto ipotesi di regolarità,S è un continuo o equivalentemente
9Ivi, p. 106.
10Ivi p. 107.
11F. Severi, Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse, CEDAM, Padova 1958.
12L. Ehrenpreis, A new proof and an extension of Hartogs’ theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 67 (1961),

507–509.
13G. Fichera, Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di più
variabili complesse, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 22 (1957), 707–715.
14E. Martinelli, Op. cit.
15L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, D. Van Nostrand Co., Inc.,
Princeton, N.J.-Toronto, Ont.-London 1966.
16Ivi, p. 108.

XXXI

GIUSEPPE TOMASSINI

per una funzione olomorfa di due variabili risulta connesso nonsolo il campo di esistenza, ma anche il campo complementare 17.
Curiosamente, negli appunti non appare mai una definizione di campo di esistenza di una funzione olomorfa che, come noto, deve tener conto della polidromia.
Il Caso Meromorfo
Il teorema di Hartogs è stato generalizzato da Levi alle funzioni meromorfe. La
dimostrazione segue la stessa linea del caso olomorfo.
Il primo passo è la generalizzazione del risultato dimostrato all’inizio delparagrafo. Conservando le stesse notazioni, si ha:
Se una funzione f verifica le condizionia) è meromorfa in C1 × H e continua sulla frontierab) per ogni x ∈ F C1 , f (x, y) è olomorfa rispetto a y ∈ C2

allora f è meromorfa nel campo prodotto C = C1 × C2 18.

Per l’ipotesi b) l’integrale

1
2πi



f (ξ, y)dξξ∈F C1 ξ − xdefinisce una funzione olomorfa su C. Si considera allora la differenzaf (ξ, y)1dξF (x, y) = f (x, y) − f (x, y) =2πi ξ∈F C1 ξ − xe si dimostra che F (x, y) è meromorfa nel campo prodotto C.
Questo risultato permette di enunciare un teorema di continuità delle “singolarità essenziali” 19 che, applicato come nel caso olomorfo, conduce al teorema
di estensione per le funzioni meromorfe:
Se C è un campo di Cn , n ≥ 2 e K un compatto tale che C \ K
sia connesso, una funzione meromorfa in C \K ha un’estensione
meromorfa su C.
17R. Caccioppoli, Sulla distribuzione delle singolarità delle funzioni di due variabili complesse, Atti del I
Congresso dell’U.M.I. (1937) 183-186; Opere Scelte, U.M.I., 2, 174-177.
18R. Caccioppoli, Teoria delle funzioni di più variabili complesse, cit., p. 109.
19Ivi, p. 112.

XXXIIRENATO CACCIOPPOLI: UN CORSO DI TEORIA DELLE FUNZIONINe segue che una funzione meromorfa nell’intorno di un iperpiano proiettivo
di Pn , n ≥ 2, si estende su Pn .
Seguono poi altre considerazioni sulle singolarità essenziali delle funzioni
meromorfe sempre sfruttando il teorema di continuità.
La Pseudoconvessità di Levi
L’altro tema annunciato all’inizio del paragrafo è quello della pseudoconvessitàdi Levi, concetto legato alla descrizione delle ipersuperfici in C2 che possono
essere frontiere di campi di esistenza di funzioni olomorfe o meromorfe. È il
problema considerato da Levi nel secondo dei suoi due fondamentali lavori sulla
teoria delle funzioni olomorfe di più variabili 20.
Seguendo le idee di Levi, si danno preliminarmente, in modo geometrico, lenozioni di pseudoconvessità di una ipersuperficie regolare Σ.
Sia p ∈ Σ. Σ divide localmente lo spazio in due regioni rispettive U e
V , tali che F U ∩ F V ∩ Σ sia un intorno di p in Σ. L’ipersuperficie viene
detta pseudoconvessa in senso stretto in p verso U (rispettivamente verso V )se esiste una curva olomorfa locale per p che giace tutta (escluso il punto p)
in U (rispettivamente in V ). L’ipersuperficie si dice pseudoconvessa in senso
largo in p verso U (rispettivamente verso V ) se ogni curva complessa per p ha
punti in comune con U (rispettivamente con V ).
Applicando ancora una volta il teorema di continuità si dimostrano i due
principali teoremi di Levi 21:
Condizione necessaria affinché Σ divida localmente lo spazio in
due regioni di cui una sia dominio di esistenza di una funzione
olomorfa è che essa sia pseudoconvessa in senso largo in ogni
suo punto.
Se Σ è strettamente pseudoconvessa in un punto p allora localmente in p divide lo spazio in due regioni di cui una è dominio
di esistenza di una funzione olomorfa.
Viene successivamente data la caratterizzazione analitica della pseudoconvessità mediante l’espressione differenziale L = L(φ) di Levi 22.
20E. E. Levi, Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabiili complesse,Ann. di Mat. pura e applicata, Tomo XVII, s. III (1909), 61–88; Sulle ipersuperficie dello spazio a 4
dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabilicomplesse, Ann. di Mat. pura e applicata, Tomo XVIII, s. III (1911), 69–79.
21R. Caccioppoli, Teoria delle funzioni di più variabili complesse, cit., p. 119.
22Ivi, p. 119.

XXXIII

GIUSEPPE TOMASSINI

Da segnalare che negli enunciati 1) e 2) di pagina 119 degli Appunti andrebbe precisato che, se L(φ) ≥ 0, la regione che può essere dominio d’esistenza
di una funzione olomorfa è quella definita da φ < 0.
Se L(φ) ≡ 0 su Σ, si dice che Σ è un iperplanoide e si può allora dimostrare
che esso è un luogo di curve olomorfe disgiunte e divide localmente lo spazioin due regioni che possono essere entrambe domini di esistenza di funzioni
olomorfe.
La nozione di pseudoconvessità così come la condizione di Levi si generalizzano ai campi di Cn .
I teoremi di Levi hanno dato luogo a numerose ricerche aventi per oggetto
le seguenti questioni, note in letteratura come Problema di Levi:i) un dominio D ⊂ Cn a bordo differenziabile e pseudoconvesso in senso
largo è dominio di esistenza?
ii) un dominio D ⊂ Cn che sia localmente di esistenza nei punti del bordoè di esistenza?
Esse hanno avuto risposta positiva all’inizio degli anni ’50, grazie ai lavori diOka, Bremermann, Grauert, Norguet.
Il problema di Levi ha avuto una grande influenza nelle ricerche in analisi
complessa; nella categoria più ampia delle varietà complesse con singolaritàesso costituisce tuttora un problema aperto.
Olomorfia e Meromorfia Separata
Segue la dimostrazione di un altro fondamentale teorema di Hartogs sull’olomorfia
separata 23. Limitandoci alle due variabili esso recita:
Una funzione di due variabili complesse f (x, y), analitica separatamente, rispetto alla x in un campo A1 del piano delle x erispetto alla y in un campo A2 del piano delle y, è una funzione
analitica nelle due variabili nel campo A, prodotto di A1 e A2 24.
La dimostrazione è di per sé tecnicamente molto complicata 25. Negli Appunti si
utilizzano due risultati intermedi: un lemma di Osgood che dimostra il teorema
23F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondereüber die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veränderlichen fortschreiten, Math.
Ann., 62 (1906), 1–88.
24R. Caccioppoli, Teoria delle funzioni di più variabili complesse, cit., p. 124.
25R. Narasimhan, Several Complex Variables, Chicago Lectures in Mathematics, The University of Chicago
Press, Chicago, Ill.-London 1971.

XXXIV

RENATO CACCIOPPOLI: UN CORSO DI TEORIA DELLE FUNZIONI

nell’ipotesi aggiuntiva che la funzione sia limitata 26, e un lemma di Hartogs
secondo cui:ogni prolungamento olomorfo effettuato rispetto ad una sola variabile equivale a un prolungamento rispetto al complesso dellevariabili 27.
La dimostrazione data da Caccioppoli non è di facile lettura. Anche se sono
messi in evidenza i due punti principali, le considerazioni tecniche sono espressein un flusso continuo che non rende semplice comprendere la dimostrazione.
Il teorema di Hartogs sopra enunciato è stato esteso da Caccioppoli allefunzioni separatamente meromorfe di due variabili 28.
Funzioni Meromorfe sullo Spazio Proiettivo
Gli Appunti si concludono con la dimostrazione del teorema di Weierstrass sulla
razionalità delle funzioni meromorfe sullo spazio proiettivo:
Una funzione meromorfa in tutto lo spazio, infinito compreso, è
una funzione razionale.
Diamo un cenno della dimostrazione. Si fissa un’origine per le coordinate x, y
in cui la funzione f in questione sia olomorfa e si suppone, come lecito, che perogni x (rispettivamente y) di un intorno C1 (rispettivamente C2 ) dell’origine
del piano delle x (rispettivamente del piano delle y) la funzione f (x, y) dellasola y (rispettivamente della sola x) sia regolare all’infinito. Pertanto:f (x, y) =a0 (x)y m + a1 (x)y m−1 + · · · + am (x).
y n + b1 (x)y n−1 + · · · + bn (x)Procedendo come nella dimostrazione del teorema di Levi sull’estensione delle
funzioni meromorfe, si vede che le funzioni ai , bj sono olomorfe nella x. Scambiando i ruoli di x e y si ha analogamente:f (x, y) =c0 (y)xp + c1 (y)xp−1 + · · · + cp (y)xq + d1 (y)xq−1 + · · · + dq (y)26R. Caccioppoli, Teoria delle funzioni di più variabili complesse, cit., p. 129.
27Ivi, p. 125.
28R. Caccioppoli, Un teorema generale sulle funzioni di due variabili complesse, Rend. Acc. Lincei, 19(1934), 699–703.

XXXV

GIUSEPPE TOMASSINI

dove le funzioni ch , dk sono olomorfe. Sviluppando in serie di potenze le funzioni
ai , bj , ch , dk e tenendo conto che per (x.y) ∈ C1 × C2 le due frazioni devono
coincidere, si ha subito che le funzioni ai , bj , ch , dk sono polinomi e quindi chef è razionale.
Dal teorema di Weierstrass, tenuto conto del teorema di Levi sull’estensionedelle funzioni meromorfe, si ottiene:
Una funzione meromorfa su una retta complessa è razionale.
Come altra applicazione si dimostra che le trasformazioni pseudoconformidel piano proiettivo complesso sono proiettive.

XXXVIAPPENDICE A
Articoli di R. Caccioppoli sulla analisi complessa
Le Opere Scelte, a cura dell’U.M.I., furono pubblicate nel 1963 da Ed. Cremonese, Roma

[1] Caccioppoli R. (1932), Sui funzionali lineari nel campo delle funzioni analitiche, Rend.
Acc. Naz. Lincei, (6), 15, 713-714; Opere Scelte, 2, 30-33.
[2] Caccioppoli R. (1933), Sulle funzioni meromorfe di due variabili complesse, Boll. U.M.I.,(1), 12, 309-313; Opere Scelte, 2, 84-87.
[3] Caccioppoli R. (1933), Sulle famiglie normali di funzioni analitiche di due variabili,
Rend. Sem. Mat. Padova, 44, 111-121; Opere Scelte, 2, 88-97.
[4] Caccioppoli R. (1934), Sui teoremi di esistenza di Riemann, Rend. Acc. Sc. Fis. Mat.
Napoli, (4), 4, 49-54; Opere Scelte, 2, 106-112.
[5] Caccioppoli R. (1934), Un teorema generale sulle funzioni di due variabili complesse,
Rend. Acc. Naz. Lincei, (6), 19, 699-703; Opere Scelte, 2, 113-117.
[6] Caccioppoli R. (1934), Intégrales doubles de Cauchy et fonctions monogènes généralisées, C. R. Ac. Sci. Paris, 198, 2227-2229; Opere Scelte, 2, 118-120.
[7] Caccioppoli R. (1934), Le funzioni monogene generalizzate definite mediante integrali
doppi di Cauchy, Rend. Sem. Mat. Padova, 5, 122-147; Opere Scelte, 2, 121-142.
[8] Caccioppoli R. (1934), Sul prolungamento analitico delle funzioni di due variabili complesse, Bol. U.M.I., (1), 13, 209-212; Opere Scelte, 2, 143-145.
[9] Caccioppoli R. (1937), Sulla distribuzione delle singolarità delle funzioni di due variabilicomplesse, Atti del I Congresso dell’U.M.I., 183-186; Opere Scelte, 2, 174-177.
[10] Caccioppoli R. (1938), Sui teoremi di esistenza di Riemann, Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa, (2), 7, 177-187; Opere Scelte, 2, 178-191.
[11] Caccioppoli R. (1949), Residui di integrali doppi e intersezioni di curve analitiche,
Ann. Mat. Pura Appl., (4), 29, 1-14; Opere Scelte, 2, 246-262.

XXXVIIAPPENDICE B
Autori italiani di lezioni o libri di analisi complessa, in ordine cronologico, dal 1860 alla
data della morte di R. Caccioppoli (8 maggio 1959).
[1] Betti E. (1860), La teorica delle funzioni ellittiche, Ann. Mat. Pura Appl., 3, 65-159;(1860), ibid., 3, 298-310; (1861), ibid., 4, 26-45; (1861), ibid., 4, 57-70; (1861), ibid.,4, 297-336.
[2] Rubini R. (1863), Teoria delle funzioni ellittiche, Giornale di Matematiche, 1, 33-40,
118-122, 140-147, 291-304.
[3] Brioschi F. (1864), Lezioni sulla teoria delle funzioni Jacobiane ad un solo argomento,
Giornale di Matematiche, 2, 8-12, 33-39, 129-134.
[4] Casorati F. (1868), Teorica delle funzioni di variabili complesse, Fratelli Fusi, Pavia.
[5] Pincherle S. (1880), Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche
secondo i principi del Prof. C. Weierstrass compilato dal dott. S. Pincherle, Benedetto
Pellerano, Napoli.
[6] Pascal E. (1896), Teoria delle funzioni ellittiche, Hoepli, Milano.
[7] Bianchi L. (1898), Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complessa e delle funzioni ellittiche, Edizione litografica, Spoerri, Pisa; (1901), Edizione a stampa, Spoerri,Pisa.
[8] Pincherle S. (1899), Lezioni sulla teoria delle funzioni analitiche dettate nella R. Università di Bologna dal professore Salvatore Picherle, raccolte per cura del dottor Amerigo
Bottari, Litografia Sauer e Borigazzi, Bologna.
[9] Vivanti G. (1901), Teoria delle funzioni analitiche, Hoepli, Milano.
[10] Pincherle S. (1902), Gli elementi della teoria delle funzioni analitiche, parte seconda,
appunti della signorina Maria Sittignani, s.n., Bologna.
[11] Vivanti G. (1906), Elementi della teoria delle funzioni poliedriche e modulari, Hoepli,
Milano.
[12] Fubini G. (1908), Introduzione alla teoria dei gruppi discontinui e delle funzioni automorfe, Spoerri, Pisa.

XXXVIII[13] Pincherle S. (1922), Gli elementi della teoria delle funzioni analitiche, Zanichelli, Bologna.
[14] Bagnera G. (1927), Lezioni sopra la teoria delle funzioni analitiche, raccolte dal dottor
Giovanni Ricci, Tenconi, Milano.
[15] Vivanti G. (1928), Elementi della teoria delle funzioni analitiche e delle funzioni
trascendenti intere, Hoepli, Milano.
[16] Pincherle S. (1931), Le funzioni analitiche da un punto di vista elementare, s.n., Milano.
[17] Severi F. (1931), Risultati, vedute e problemi nella teoria delle funzioni analitiche didue variabili complesse, Rend. Sem. Mat. Milano 5, 1-58.
[18] Enriques F. (1934), Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni
algebriche pubblicate per cura del dottor Oscar Chisini, Vol. 4, Funzioni ellittiche edabeliane, Zanichelli, Bologna.
[19] Tricomi F. G. (1936), Funzioni analitiche, Zanichelli, Bologna.
[20] Tricomi F. G. (1937), Funzioni ellittiche, Zanichelli, Bologna.
[21] Conforto F. (1942), Funzioni abeliane e matrici di Riemann, Libreria dell’Università
di Roma nella Città Universitaria, Roma.
[22] Cipolla M. (1947), Lezioni sulle funzioni analitiche, tenute da Michele Cipolla e compilate da Giuseppe Mignosi, Arti Grafiche A. Renna, Palermo.
[23] Sansone G. (1947), Lezioni sulla teoria delle funzioni di una variabile complessa, Voll.
1, 2, prima edizione, CEDAM, Padova.
[24] Severi F. (1947), Funzioni quasi abeliane, Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta
Varia, Ex Aedibus Academicis in Civitate Vaticana.
[25] Ascoli G. (1949), Lezioni sulla teoria delle funzioni analitiche, Società Generale perl’Industria Minerale e Chimica, Gruppo per lo Studio della Fisica, Montecatini.
[26] Caccioppoli R. (1949), I fondamenti della teoria delle funzioni analitiche, appunti dianalisi superiore, s.n., Napoli.
[27] Spampinato N. (1950), Lezioni di geometria superiore, Vol. 7. Elementi di geometria
algebrica e corpogeometria sopra una varietà. Le superficie di Riemann e gl’integrali
abeliani, Raffaele Pironti, Napoli.

XXXIX

[28] Amerio L. (1951), Funzioni analitiche e trasformazioni di Laplace. Lezioni di complementi di analisi matematica tenute nel Politecnico di Milano, redatte da Giuseppina
Pregnolato, Tamburini, Milano.
[29] Conforto F. (1951), Funzioni abeliane modulari, raccolte dal dott. Mario Rosati, DOCET Edizioni Universitarie, Roma.
[30] Tricomi F. G. (1952), Lezioni sulle funzioni ipergeometriche confluenti, Corso di Analisi Superiore 1951-1952, Gherardoni, Torino.
[31] Tricomi F. G. (1954), Funzioni ipergeometriche confluenti, Cremonese, Roma.
[32] Severi F. (1957), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse, CEDAM,
Padova.
[33] Fichera G. (1959), Funzioni analitiche di una variabile complessa, a cura di Luciano
De Vito, Libreria Eredi Virgilio Veschi, Roma.
L’opera [1] è una monografia relativa alle lezioni di Analisi Superiore tenute da E. Betti
nella R. Università di Pisa nell’anno 1859-1860, pubblicata secondo l’uso del tempo
in più riprese sulla rivista indicata. Non abbiamo trovato parti successive alla quinta
da noi riportata.
L’opera [2] fu concepita dall’autore con intenti pedagogici, ma, alla data della pubblicazione, non era ancora stata usata in corsi regolari. L’opera [3] si basava invece
su lezioni date nell’anno 1860-61 nell’Università di Pavia, con modifiche e aggiunte
dell’autore.
L’opera [7] fu ripubblicata, in due parti, dall’editore Zanichelli fra il 1928 e il 1930, ma ilcontenuto dei paragrafi fu identico.
L’opera [17] è un vasto e profondo articolo di rassegna sul quale si è basata molta ricerca
italiana sulle più variabili complesse. L’autore dell’opera [21] la chiama monografia.
L’unica copia dell’opera [26] è custodita presso la Biblioteca Tecnica della Direzione Centrale per la Prevenzione e la Sicurezza Tecnica del Corpo Nazionale dei Vigili delFuoco di Roma, codice SBN: RML55.
L’opera [27] apparve dapprima in una edizione di inizio anni Quaranta del Circolo Matematico di Catania, con un numero minore di volumi e di argomenti.

XL

Non sono stati inseriti testi che non fossero dedicati prevalentemente all’analisi complessa.
Dopo la morte di R. Caccioppoli, la letteratura italiana più moderna sulle funzioni dipiù variabili complesse può ritenersi iniziare con
Andreotti A. (1961), Quelques points de théorie élémentaire des fonctions analytiques deplusieurs variables complexes, rédigés par Philip Artzner, Strasbourg; Andreotti Selecta, Tomo 2, Vol. 1, 383-432, UMI, Bologna.

XLI

APPENDICE C
Autori citati da R. Caccioppoli nei suoi articoli sulla analisi complessa[1] Ascoli G. (1932), Sugli spazi lineari metrici e le loro varietà lineari, Ann. Mat., (4),10, 33-81.
[2] Behnke H., Thullen P. (1934), Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen, Springer, Berlin.
[3] Bochner S., Martin W. T. (1948), Several complex variables, Princeton University Press,
Princeton.
[4] Borel E. (1912), Les séries de fonctions analytiques et les fonctions quasi-analytiques,Comptes Rendus Heb. Acad. Sci., 154, 1491-1493.
[5] Borel E. (1917), Leçons sur les fonctions monogènes uniformes d’une variable complexe,
Gauthier-Villars, Paris.
[6] Bouligand G. (1928), Ensembles impropres et nombre dimensionnel, Bull. Sci. Math.,
52, 320-344; ibid. 361-376.
[7] Cimmino M. (1938), Sulle equazioni lineari alle derivate parziali del secondo ordine ditipo ellittico sopra una superficie chiusa, R. Acc. Sc. Fis. Mat. Napoli, (4), 7, 73-96.
[8] Fantappié L. (1930), I funzionali analitici, Atti R. Acc. Naz. Lincei, Mem. Cl. Sc. Fis.
Mat. Nat., (6), 3, 455-683.
[9] Fantappié L. (1931), I funzionali delle funzioni di due variabili, Mem. R. Acc. d’Italia
Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 2, Matematica: (4).
[10] Hadamard J. (1910), Sur quelques applications de l’indice de Kronecker, in Tannery
J. (1910), Introduction à la théorie des fonctions d’une variable, avec une note de M.
Hadamard, Tome II, Hermann, Paris, 437-477.
[11] Hahn H. (1927), Über lineare Gleichungssystem in linearen Räumen, Journ. für Math.,
157, 214-229.
[12] Hartogs F. (1906), Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger
Verändlichen, insbesondere über die Darstellung derselben durch Reihen, welche nachPotenzen einer Veränderlichen fortschreiten, Math. Annalen, 62, 1-88.

XLII

[13] Julia G. (1926), Sur les familles de fonctions analytiques de plusieurs variables, Acta
Math., 47, 53-115.
[14] Klein F. (1882), Über Riemann’s Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, Teubner, Leipzig.
[15] Kneser H. (1932), Der Satz von dem Fortbestehen der wesentlichen Singularitäten einer analytischen Funktion zweier Veränderlichen, Jahresbericht der Deutschen Math.
Ver., 41, 164-168.
[16] Levi E. E. (1910), Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due
o più variabili complesse, Ann. Mat., 17, 61-68.
[17] Levi E. E. (1911), Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere
frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse,Ann. Mat., 18, 69-80.
[18] Martinelli E. (1937), La formula di Cauchy per le funzioni analitiche di due variabilicomplesse, Atti Acc. Naz. Lincei Rend. Cl. Sc. Fis. Mat. Nat., (6), 25, 33-36.
[19] Martinelli E. (1946), Formule integrali e topologia nella teoria delle funzioni di piùvariabili complesse, Pontific. Acad. Sci. Acta, 9, 235-250.
[20] Montel P. (1927), Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leursapplications, recueillies et rédigées par J. Barbotte, Collection de monographies sur laThéorie des fonctions publiées sous la direction de M. Emile Borel, n. 42, GauthierVillars, Paris.
[21] Osgood W. F. (1899), Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen,
Math. Annalen, 52, 462-464.
[22] Osgood W. F. (1913), Selected topics in the theory of analytic functions of several
complex variables, The Madison Colloquium, Vol. IV of the AMS Colloquium Series.
[23] Osgood W. F. (1929), Lehrbuch der Funktionentheorie II, Teubner, Leipzig.
[24] Picard E. (1926), Traité d’Analyse, Tome II, Gauthier-Villars, Paris.
[25] Picone M. (1922), Sopra alcuni problemi d’Analisi Matematica posti dalla Fisica, Esercitazioni Matematiche, 2, 183-205.
[26] Poincaré H. (1887), Sur les résidus des intégrales doubles, Acta Math., 9, 321-380.

XLIII

[27] Saxer W. (1931), Sur les familles de fonctions méromorphes de plusieurs variables,
Comptes Rendus Heb. Acad. Sc., 193, 479-480.
[28] Segre B. (1937), Sull’estensione della formula integrale di Cauchy e sui residui degli
integrali n-pli, nella teoria delle funzioni di n variabili complesse, Atti del I Congresso
dell’U.M.I., 174-180.
[29] Severi F. (1927), Conferenze di geometria algebrica, Stabilimento Tipolitografico delGenio Civile, Roma.
[30] Severi F. (1933), Lezioni di Analisi, Zanichelli, Bologna.
[31] Valiron M. G. (1938), Familles normales et quasi-normales de fonctions méromorphes,
Mem. Sc. Math., 38, 1-54.
[32] Weyl H. (1923), Die Idee der Riemannschen Fläche, Teubner, Leipzig.

XLIVAPPENDICE D
Opere dedicate prevalentemente all’analisi complessa presenti nel Fondo Caccioppoli esistente presso il Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” dell’Università degli Studi di Napoli “Federico II”.

Va ricordato che subito dopo la scomparsa di Renato Caccioppoli il fratello Ugo donò
all’allora Istituto di Matematica dell’Università di Napoli i libri di contenuto matematico
appartenuti a Renato. L’Istituto, proprio allora intitolato a Renato Caccioppoli, confluı̀
negli anni Ottanta del Novecento nell’attuale Dipartimento di Matematica e Applicazioni“Renato Caccioppoli” dell’Università degli Studi di Napoli “Federico II”.
Del fondo fu fatto subito dopo la donazione un primo sommario inventario che non ha
subito nel seguito modifiche significative.

Nel fondo sono contenute le opere presenti nell’Appendice B e ivi indicate con i numeri 9,
11, 15, 19, 20, 22, 23, 28, 30.
Sono altresı̀ contenute le opere presenti nell’Appendice C e ivi indicate con i numeri 2, 24(il fondo Caccioppoli contiene invero l’edizione del 1922 dell’opera [24] in Appendice C).
Sono infine presenti le opere di seguito indicate:[1] Jordan C. (1909), Cours d’Analyse, Tome I, Terza Edizione, Gauthier-Villars, Paris;(1913), Tome II, Terza Edizione, Gauthier-Villars, Paris.
[2] Burkhardt H. (1920), Elliptische Funktionen. Dritte vollständig umgearbeitete Auflage
besorgt von Dr. George Faber, Walter de Gruyter, Berlin und Leipzig.
[3] Burkhardt H. (1921), Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer
komplexer Verändlichen. Fünfte vollständig umgearbeitete Auflage besorgt von Dr.
George Faber, Walter de Gruyter, Berlin und Leipzig.
[4] Caratheodory C. (1932), Conformal Representation, The University Press, Cambridge.

XLV

[5] Saks S., Zygmund A. (1952), Analytic functions, Instytut Matematyczny Polskiej
Akademii Nauk, Warsaw-Wroclaw.

XLVI

NOTA EDITORIALE(i) Sono stati omessi i simboli di correzione presenti nel dattiloscritto originale (delle x
apposte sulle singole lettere) ed è stata data direttamente la forma corretta.
(ii) Gli errori di battitura presenti nel dattiloscritto originale (inversione dell’ordine dellelettere in una parola, parole consecutive senza separazione, parole separate in due parti,
nomi scritti con refusi) sono stati corretti senza che venissero indicati.
(iii) In caso di forme erronee presenti nel dattiloscritto originale la forma corretta è stata
data racchiusa tra parentesi quadre seguita dall’espressione sic.
(iv) Nella equazione non numerata che segue l’equazione indicata col numero (12) della
Parte II nel dattiloscritto originale l’espressione dt1 dt4 è stata modificata in dt2 dt4 . Nellaequazione non numerata che segue l’equazione indicata col numero (2) della Parte III
l’espressione z0′ = az +bz0 è stata modificata in z0′ = az0 +bz1 , e l’espressione z1′ = cz +dz1
in z1′ = cz0 + dz1 . Nella seconda equazione non numerata che segue l’equazione indicata
col numero (9) della Parte IV è stato aggiunto il segno − dopo il simbolo di eguaglianza.
In tali casi non sono state date indicazioni di modifica.
(v) Le rare aggiunte dei curatori sono racchiuse tra parentesi quadre seguite dall’espressione
n.d.c.
(vi) La punteggiatura è stata riportata dopo la chiusura delle virgolette.
(vii) La tabella riportata è una scansione di quella presente nel dattiloscritto originale,
mentre le sei figure, fedeli all’originale, sono state ricreate dalla Dott. Giulia Giannini con
l’ausilio delle tecniche moderne per renderle visibili.

XLVII

R. CACCIOPPOLITEORIA DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI COMPLESSE

Appunti del corso di teoria delle funzioni
tenuto dal Prof. R. CACCIOPPOLI nell’anno
accademico 1947-48.-

PARTE I

Iniziamo col dare qualche simbolo e alcune definizioni preliminari. Per indicare n variabilicomplesse useremo in generale i simboli: z1 , z2 , ......zn con zk = xk + iyk (k = 1, 2, ..., n)
volendo far uso di un linguaggio geometrico non potremo riferirci ad un piano complessobensı̀ ad uno spazio complesso a 2n dimensioni reali, cioè all’iperspazio il cui punto avrà
per coordinate i 2n numeri reali che si ottengono prendendo, nello ordine, la parte reale eil coefficiente dell’immaginario di ciascuna variabile (x1 , y1 , ....xn, yn ). In un primo studiosupporremo le coordinate dei punti essenzialmente finite. Vedremo poi come la nozione diinfinito può essere introdotta in vari modi. Apparrà allora in che cosa differiscono lo spazioa 2n dimensioni immagine delle n variabili complesse e l’S2n proiettivo reale. Per ora resta
inteso che ci riferiremo costantemente a punti di uno spazio euclideo a 2n dimensioni.
Supponiamo note tutte le principali nozioni sugli insiemi di punti di uno iperspazio, comela nozione di intorno, dominio rettangolare circolare etc. Supponiamo per esempio che in
uno spazio a 2n dimensioni nel quale indichiamo con (ξ1 ...ξ2n) le coordinate di un punto
generico, dicesi: dominio rettangolare di centro nel punto (ξ¯1 , ...ξ¯2n) e semidimensioni(d1 , d2 , ....d2n) essendo dk , 2n numeri reali positivi lo insieme dei punti le cui coordinate
soddisfano alle relazioni ξk − ξ¯k  ≤ dk (k = 1, 2, ...., 2n). Come si vede si ottiene undominio rettangolare imponendo una limitazione a ciascuna variabile. Naturalmente nulla

vieta di prendere in considerazione nel nostro studio siffatti domini. Siccome però lecoordinate dei punti del nostro iperspazio sono essenzialmente accoppiate, dipendendo
ogni coppia da una variabile complessa, è più conveniente considerare domini ottenuti
imponendo limitazioni separate non alle singole coordinate, bensı̀ alle coppie, imponendo
in altri termini, limitazioni separate alle singole variabili complesse. Cosı̀ per esempio, se
A1 è un insieme del piano della variabile z1 , A2 un insieme del piano di z2 , ..., ed An un
insieme del piano di zn , possiamo considerare l’insieme A dei punti (x1 y1 ....xnyn ) dellospazio a 2n dimensioni per cui (x1 , y1 ) è in A1 , (x2 , y2 ) è in A2 , ..... (xn , yn ) è in An .
Un tale insieme viene chiamato “prodotto” degli insiemi A1 , A2 , .....An. In particolare secon c1 , c2 , ...cn , indichiamo n domini (ricordiamo che “dominio” è un insieme perfetto,1

privo di punti che siano di accumulazione di soli punti frontiera) nei piani rispettivamentedelle variabili z1 , z2 ....zn , l’insieme prodotto, ossia l’insieme dei punti (x1 y1 , ......, xnyn )per cui z1 ≡ (x1 , y1 ) è in c1 , z2 ≡ (x2 y2 ) è in c2 , ..... zn ≡ (xn yn ) è in cn , costituisce
evidentemente un dominio del nostro spazio a 2n dimensioni, dominio che chiameremo“policilindro”. Si trae cosı̀ il “bicilindro” come l’insieme dei punti (x1 y1 x2 y2 ) dello spazioa quattro dimensioni per i quali (x1 y1 ) varia in un certo dominio c1 e (x2 y2 ) in unaltro dominio c2 . Se i domini c1 , c2 , ....cn sono cerchi il policilindro prodotto prende piùspecificatamente il nome di policilindro circolare; secondo tale definizione, l’insieme dei
punti, dello spazio a quattro dimensioni per cui è
|z1 | =

x21 + y12 ≤ r1 ;|z2 | =

x22 + y22 ≤ r2

essendo r1 ed r2 due numeri reali positivi è un “bicilindro circolare”. Ciò premesso, avvertiamo che, in quel che segue ci riferiremo costantemente alle funzioni di due variabilicomplesse.
L’estensione dei risultati alle funzioni di più di due variabili è, generalmente, immediata. I pochi casi nei quali ciò non è, verranno volta per volta rilevati e l’estensione sarà
allora esplicitamente effettuata.
FUNZIONE ANALITICA: sia w = f (z1 , z2 ) = u+iv una funzione di due variabilicomplesse definita per z1 variabile in un certo insieme A1 e z2 in un certo altro insieme
A2 dei loro rispettivi piani complessi. Evidentemente la parte reale u, ed il coefficiente
dell’immaginario v, della funzione w sono ambedue funzioni reali delle quattro variabili
reali
u = u(x1 y1 x2 y2 );v = v(x1 y1 x2 y2 )definite nell’insieme A dello spazio a quattro dimensioni dei punti (x1 y1 x2 y2 ) ottenuto alvariare di (x1 y1 ) in A1 e di (x2 y2 ) in A2 insieme che abbiamo chiamato prodotto dei due
insiemi A1 A2 ; supponiamo che A sia un campo. (Si definisce campo un insieme aperto,cioè un insieme al quale non appartiene nessun punto frontiera. Un campo è dunquedotato di soli punti interni) Se (z1′ , z2′ ) è un punto di A, si può parlare di continuità dellafunzione rispetto a ciascuna variabile. Ma si può anche parlare di limite della funzione per2

(z1 , z2 ) tendente a (z1′ , z2′ ) e di continuità della funzione nel punto (z1′ , z2′ ). Le definizioni
si formulano facilmente e perciò non ci fermiamo su di esse. Notiamo soltanto che lacontinuità delle due funzioni u e v importa la continuità della funzione w e viceversa. Allostesso modo si può parlare di derivabilità parziale della funzione w rispetto a ciascuna delle
due variabili z1 z2 . Si dirà per esempio che la w nel punto (z1′ , z2′ ) di A è parzialmentederivabile rispetto a z1 se la funzione complessa f (z1 , z2′ ) della sola variabile complessa z1 èderivabile nel punto z1′ . Si può dunque parlare di analiticità in A della funzione w rispetto aciascuna delle variabili. È evidente che l’analiticità della funzione rispetto ad una variabile
importa il verificarsi delle condizioni di Cauchy, relative alla variabile stessa in tutto A dimodo che l’analiticità di w rispetto ad ambedue le variabili importa il verificarsi in A dellerelazioni di Cauchy per ambedue le variabili:
∂v
∂u
=
∂x1
∂y1

∂u
∂v
=
∂x2
∂y2

∂v
∂u
=−
∂y1
∂x1

∂v
∂u
=−
.
∂y2
∂x2

(1)

Orbene diremo che una funzione delle due variabili complesse z1 , z2 è analitica in un campo,
se, in esso, la funzione è continua e se è analitica in ogni punto del campo rispetto a ciascunadelle variabili separatamente, cioè dotate di derivate parziali ciascuna continua rispetto alla
variabile di derivazione. Vedremo in seguito che l’ipotesi della continuità è superflua.
FORMULA DI CAUCHY: la funzione w sia analitica in un campo A, risultante, al
solito, come prodotto dei due campi, A1 del piano di z1 e A2 del piano z2 . Sia ancora(ξ1 , ξ2 ) un punto di A e con c1 e c2 indichiamo due cerchi di centri rispettivamente inξ1 e ξ2 e totalmente interni rispettivamente ad A1 e A2 di modo che la w è analitica nel
bicilindro prodotto di c1 e c2 . Indicheremo con c1 e c2 anche le due circonferenze dei cerchi.
Alla funzione w si può applicare la formula di Cauchy relativa a z1 . Sia:1f (ξ1 , z2 ) =2πif (z1 , z2 )dz1 .
c1 z1 − ξ1(2)

Si ottiene in tal modo una funzione palesemente analitica della sola z2 alla quale pertanto3è ancora applicabile la formula di Cauchy1f (ξ1 , ξ2 ) =2πif (ξ1 , z2 )dz2
c2 z2 − ξ2la quale tenendo conto della (2) diventa la seguente:f (ξ1 , ξ2 ) =1(2πi)21(2πi)2 

f (z1 , z2 )dz1
c1 z1 − ξ1

(3)

f (z1 , z2 )dz1 dz2.
c2 (z1 − ξ1 )(z2 − ξ2 )

(4)

dz2
c2 z2 − ξ2che può anche scriversi:f (ξ1 , ξ2 ) =c1È questa la formula di Cauchy per le funzioni di due variabili complesse. L’estensione a piùvariabili è immediata. Si noti bene che l’integrale doppio al secondo membro della formula(4) ha soltanto il senso che gli deriva dalla (3); esso cioè viene formalmente definito con due
integrazioni semplici successive. Le due circonferenze c1 e c2 possono essere sostituite dadue qualsiasi curve chiuse, purchè naturalmente detti c1 e c2 i domini dei quali essi sono lefrontiere, risulti totalmente interno ad A il bicilindro prodotto di c1 e c2 . La (4) continua asussistere ancora se ai due cerchi si sostituiscano due corone circolari oppure un cerchio ed
una corona circolare, purchè il bicilindro prodotto dei due domini limitati piani sia tutto
interno al campo A, e con l’avvertenza che al posto di ciascuna circonferenza o di una sola,vanno sostituite le due circonferenze che limitano la relativa corona, tenendo naturalmente
conto che, per l’integrazione, la circonferenza interna della corona va percorsa nel verso
opposto di quella esterna. Più in generale a ciascuna delle due curve c1 e c2 si possono
sostituire più curve chiuse in modo che una comprenda le altre, le quali poi siano due diloro una esterna all’altra ed in modo che esse formino la frontiera di un dominio connesso
interno al campo di analiticità della funzione. La (4) continua sempre a sussistere tenuto
conto che per l’integrazione il verso su ciascuna delle curve interne è opposto al verso sulla
curva esterna.
TEOREMA DI GOURSAT: data l’analiticità della funzione w e quindi la continuità
della funzione e delle derivate parziali è lecito nella (4) la derivazione sotto il segno di
integrale.
4

Si possono allora trarne dalla (4) tutte le conseguenze che per le funzioni di una
variabile si traggono dalla formula di Cauchy. In particolare se ne trae il teorema di
GOURSAT relativo all’esistenza ed all’analiticità delle derivate di qualsiasi ordine. Si
deduce facilmente la formula:r!s!
∂ r+s f (ξ1 , ξ2 )=∂ξ1r ∂ξ2s(2πi)2 
c1

f (z1 , z2 )dz1 dz2 .
(z−ξ1 )r (z2 − ξ2 )s
1
c2

(5)

Anche qui, è inutile fermarsi sulla estensione alle funzioni di più di due variabili la qualeè immediata. Dall’analiticità delle derivate della funzione complessa f (z1 , z2 , ...zn ) segue
evidentemente l’esistenza delle derivate di ogni ordine delle due funzioni di variabili reali,u e v, parte reale e coefficiente dell’immaginario della funzione f (z1 , z2 , ....zn).
SERIE DI TAYLOR E DI LAURENT: ragionando in modo del tutto analogo aquanto si fa per le funzioni di una variabile si deduce che, internamente ad un bicilindro
circolare di centro nel punto (z1′ , z2′ ) e tutto interno al campo di analiticità la funzione
f (z1 , z2 ) è sviluppabile in una serie doppia di potenze di punto iniziale (z1′ , z2′ )f (z1 , z2 ) =

0...∞


1 ∂ n f (z1′ z2′ )(z1 − z1′ )r (z2 − z2′ )s .
r z′ ∂ sz′
r!s!
∂
1
2
r+s=n

Riservandoci di trattenerci più avanti sulla convergenza di una serie doppia, occorre però
avvertire almeno che per convergenza di una serie doppia di potenze∞anm (z1 − z1′ )n (z2 − z2′ )mn,m=0

intendiamo la convergenza assoluta, nel senso che una tale serie è almeno convergente seconvergente la serie dei moduli dei suoi termini. Per semplicità da questo momento in
poi parlando di serie doppia supporremo sempre che il punto iniziale sia l’origine, cio chè,
come è superfluo avvertire, non rappresenta restrizione di sorta. Partendo dalla formuladi Cauchy relativa a due corone circolari si ottiene facilmente uno sviluppo in serie analogo a quello di LAURENT per le funzioni di una variabile, uno sviluppo cioè del tipo:
5

∞

n m
n,m=−∞ anm z1 z2 con

anm =

1
(2πi)2 
c1

f (z1 , z2 )n+1 m+1 dz1 dz2
z2
c2 z1

dove c1 è una circonferenza interna alla corona circolare del piano di z2 potendo c1 e c2
essere anche le due circonferenze esterne delle corone. Può accadere che la funzione sia analitica in un cerchio relativamente ad una variabile ed in una corona relativamente all’altra
variabile. Partendo allora dalla formula di Cauchy si ottiene una serie di LAURENT relativamente ad una variabile, serie che ha i termini funzioni analitiche dell’altra variabilesviluppabili in serie di Taylor. In definitiva si otterrà una serie doppia che contiene le solepotenze positive di una variabile, mentre dell’altra variabile contiene le potenze positive ele negative.
TEOREMA DI LIOUVILLE: per le funzioni di una variabile sussiste il seguente teorema di Liouville: “una funzione analitica in tutti i punti del piano e limitata in moduloè costante” tale teorema, per le funzioni di più variabili è un caso particolare di un teorema più generale che dice: “una funzione analitica esternamente ad una regione ed ivi
superiormente in modulo limitata, è costante”. Sia f (z1 , z2 ) analitica esternamente ad una
regione dello spazio a quattro dimensioni. Esisterà allora un numero positivo M tale che
la funzione è analitica esternamente alla regione definita dalla limitazione:|z1 | + |z2 | > M.

(6)

Sia ancora f (z1 , z2 ) limitata in modulo in tale regione; esista cioè un numero N positivo
tale che per z1 e z2 soddisfacenti alla (6) risulti: |f (z1 , z2 )| < N .
Posto: |z2 | > M la funzione f (z1 , z2 ) risulta analitica qualunque sia z1 e in modulo limitata.
Se la si considera come funzione della sola z2 essa risulta sviluppabile in una serie di Laurent∞bn z2nn=−∞nella quale i coefficienti sono tutti funzioni di z1 analitiche in tutto il piano e limitate inmodulo, perciò tutte costanti. Ma lo stesso si può dire relativamente a z2 , poichè la (6)6è simmetrica rispetto a z1 e z2 . Dunque la funzione è costante rispetto ad ambedue levariabili.
FUNZIONI ARMONICHE: dalle condizioni di olomorfia delle funzioni di una solavariabile si deduce per derivazione che: “la parte reale ed il coefficiente dell’immaginario
di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche coniugate”. Esaminiamo le (1) e vediamo
quali conseguenze per le funzioni di due variabili se ne possono trarre. Derivando la primadelle (1) rispetto ad x1 e la seconda rispetto ad y1 indi sommando, e derivando la terzarispetto ad x2 e la quarta rispetto ad y2 e sommando si ottengono le relazioni:∂ 2u ∂ 2u+ 2 =0∂x21∂y1∂ 2u ∂ 2u+ 2 =0∂x22∂y2

analoghe relazioni si ottengono per la v. Dunque: “le due funzioni u e v parte reale e
coefficiente dell’immaginario di una funzione analitica sono funzioni armoniche rispetto aciascuna coppia di variabili x1 y1 e x2 y2 , anzi sono funzioni armoniche coniugate perchè
soddisfano alle (1)”. Derivando ancora la prima delle (1) rispetto ad x2 e la quarta rispettoad y1 indi sommando e analogamente derivando la prima rispetto ad y2 e la terza rispettoad y1 indi sottraendo si ottengono le altre due relazioni seguenti:
∂ 2u
∂ 2u
+
=0
∂x1 ∂x2∂y1 ∂y2

∂ 2u
∂2u
−
= 0.
∂x1 ∂y2∂x2 ∂y1

Le stesse relazioni si ottengono facilmente per v. Una funzione delle quattro variabili
x1 y1 x2 y2 che, oltre le precedenti condizioni di armonicità rispetto a ciascuna dellecoppie x1 y1 e x2 y2 soddisfa ancora alle ultime relazioni vien detta “biarmonica” (daalcuni anche “iperarmonica”). Dunque: “la parte reale ed il coefficiente dell’immaginario
di una funzione analitica di due variabili complesse sono funzioni biarmoniche coniugate”
nel caso generale delle funzioni di n variabili complesse:
w = f (z1 , z2 , ...., zn) = u(x1 y1 .....xnyn ) + iv(x1 y1 .....xnyn )le relazioni di Cauchy risultano in numero di 2n
∂v
∂u
=
∂xk
∂yk

∂v
∂u
=−
.
∂yk
∂yk
7

(7)

Operando una derivazione su queste relazioni come si è fatto nelle (1) si ottengono lerelazioni
∂ 2u
∂ 2u
+
=0
∂xh ∂xk∂yh ∂yk

∂ 2u
∂ 2u
−
=0
∂xh ∂yk∂xk ∂yhe quelle omologhe per v. Si noti che il secondo gruppo di queste relazioni per k = h da luogo′

ad n identità. Tenuto conto di ciò si vede subito che le relazioni sono in numero di n2 .(1 )Esse sono caratteristiche della parte reale e del coefficiente dell’immaginario delle funzioni
analitiche, nel senso che non soltanto la parte reale ed il coefficiente dell’immaginario
di una funzione analitica sono funzioni biarmoniche coniugate, ma ancora, due funzioni
biarmoniche coniugate sono sempre la parte reale ed il coefficiente dell’immaginario di
una funzione analitica. Anzi si può affermare di più ed infatti se si ha una funzioneu(x1 , y1 , x2 , y2 ) biarmonica in un campo connesso, la forma differenziale:
−

∂u
∂u
∂u
∂u
dx1 −
dx2 +
dy1 +
dy2
∂y1
∂y2
∂x1
∂x2

risulta localmente un differenziale esatto e l’integrale curvilineo esteso ad una qualsiasi
curva dell’S4 , congiungente un punto fisso (x′1 y1′ x′2 y2′ ) col punto (x1 y1 x2 y2 ) variabile in
un intorno del punto fisso, intorno che si potrà sempre supporre rettilineo, è una funzione
biarmonica e coniugata con u. Dunque: “Assegnata una funzione biarmonica in un campodello spazio a quattro dimensioni, esiste, almeno localmente definita e determinata a meno
di una costante, un’altra funzione biarmonica e coniugata alla prima”. Di modo che:“esistono infinite funzioni analitiche di due variabili che hanno come parte reale (comecoefficiente dell’immaginario) una assegnata funzione biarmonica. Tali funzioni analitichedifferiscono tra di loro per una costante immaginaria (per una costante reale)”.
TEOREMA DI WEIERSTRASS: Anche per le funzioni di più variabili complesse
sussiste il teorema di WEIERSTRASS sulle successioni di funzioni analitiche. “Se una(1′ )Difatti potendo gl’indici h e k assumere indipendentemente l’uno dall’altro tutti ivalori interi da 1 ad n, ogni gruppo contiene tante relazioni quante sono le combinazioni
con ripetizioni di n elementi a 2 a 2, cioè 12 n(n+1). I due gruppi contengono allora n(n+1)
relazioni. Sottraendo le n identità contenute nel secondo gruppo si hanno n2 relazioni non
identiche.
8

successione di funzioni analitiche converge uniformemente la funzione limite è anch’essa
analitica”. La dimostrazione del tutto analoga a quella che si fa per le successioni difunzioni di una sola variabile. Sia
f1 (z1 , z2 ), f2 (z1 , z2 ), ....., fn(z1 , z2 ).....
una successione di funzioni, tutte analitiche in un campo A ivi uniformemente convergenti
alla funzione f (z1 , z2 ). Per ciascuna funzione della successione sussiste la formula di Cauchy

fn (ξ1 , ξ2 ) =1(2πi)2 
c1

fn (z1 , z2 )dz1 dz2c2 (z1 − ξ1 )(z2 − ξ2 )qualunque sia il punto (ξ1 , ξ2 ) di A. Data l’uniforme convergenza è lecito il passaggio al
limite sotto il segno d’integrale. Si ha allora qualunque sia il punto (ξ1 , ξ2 ) di A

f (ξ1 , ξ2 ) =1(2πi)2 
c1

f (z1 , z2 )dz1 dz2(z−ξ1 )(z2 − ξ2 )1c2ciò che ci assicura l’analiticità della funzione limite in A. Da questo teorema segue: “Unaserie di funzioni analitiche uniformemente convergente (in particolare una serie di potenze)ha per somma una funzione analitica nel suo campo di convergenza”. L’estensione allefunzioni di più variabili non presenta difficoltà.
FUNZIONI ANALITICHE NEL CAMPO REALE: Ricordiamo che se una funzione
f (x) di una variabile reale è analitica, cioè localmente sviluppabile in serie di potenze:f (x) =∞
a n xnn=0essa è ancora prolungabile nel campo complesso giacchè se la serie precedente converge per|x| < r, la serie complessa∞an z nn=0

9

converge nel cerchio di raggio r. La serie complessa prolunga la funzione nel campo complesso. Possiamo dire lo stesso per le funzioni di più variabili. Siaf (x, y) =∞

anm xn y m

n,m=0

una funzione sviluppabile in serie di Taylor. Se la serie è convergente per |x| < r, |y| < r,la serie doppia complessa∞

anm z1n z2mn,m=0risulta anch’essa uniformemente convergente nel policilindro prodotto dei due cerchi dicentro nell’origine e raggio r, uno nel piano z1 , l’altro nel piano z2 . Tale serie prolunga
la funzione nel campo complesso. L’estensione alle funzioni di più variabili è semplice, dimodo che: “ogni funzione di più variabili reali localmente sviluppabili in serie di potenzeè prolungabile nel campo complesso”. Per tale ragione una funzione di più variabili reali
sviluppabile in serie di potenze si dice “funzione analitica”. È opportuno ancora ricavare
il seguente teorema, noto dall’analisi delle funzioni di variabili reali: “Se una funzione èsviluppabile in serie di potenze, tale serie non può essere che la serie di Taylor”. Questo
teorema si enuncia più concisamente nei seguenti termini: “Lo sviluppo in serie dipotenze è unico”. Sia:f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
una funzione di una variabile complessa olomorfa nell’intorno di un punto, che al solito,
identificheremo con l’origine.
Essa risulta sviluppabile in serie di Taylor in un certo cerchio c, di centro nell’origine
e del quale diremo r il raggiof (z) = u(x, y) + iv(x, y) =∞an z n =n=0∞(αn + iβn )(x + iy)n .

n=0Tale serie converge assolutamente nel cerchio c, cioè converge la serie∞|αn + iβn | · |x + iy| per |x + iy| < r.

n=0

10

(8)

Risulta allora convergente anche la serie∞|αn + iβn | (|x| + |y|)n per |x| + |y| < rn=0

questa serie perciò converge nel quadrato Q interno al cerchio c ed avente i vertici nei puntid’intersezione del cerchio con gli assi. Avendosi inoltre|αn | + |βn |√< |αn + iβn |2converge in Q anche la serie∞n
|αn | + |βn | √|x| + |y| .
2
n=0

Potendosi prescindere dal fattore √12 che moltiplica tutti i termini della serie risulta in Q
convergente la serie
∞ 

n

|αn | + |βn | |x| + |y| .

n=0

Orbene i termini di questa serie non sono altro che i moduli dei corrispondenti termini
della (8) quando però sviluppate tutte le potenze (x + iy)n , si siano eseguiti anche tutti i
prodotti (αn + iβn )(x + iy)n ; cioè quando la (8) si considera come una serie in x ed in y,la quale perciò risulta assolutamente ed uniformemente convergente nel quadrato Q. Essa
rimane pertanto convergente quando si muta in un modo qualsiasi l’ordine dei termini.
Si possono allora separare i termini che non contengono a fattore l’unità immaginaria daquelli che la contengono. La serie in tal modo si scompone nella somma di due serie inx ed y, delle quali una è moltiplicata per l’unità immaginaria. Dovendo essere sempre
uniformemente convergente, tali debbono risultare ambedue le serie. D’altra parte queste11′

due serie non sono altro che serie di potenze in x ed y.(1 ) Si ha dunque nel quadrato Q:
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) =∞pm,n xm y n + i

m,n=0

∞


qm,n xm y nm,n=0e quindiu(x, y) =∞pm,n xm y nv(x, y) =∞

qm,n xm y n .

m,n=0

m,n=0

La parte reale ed il coefficiente dell’immaginario di una funzione olomorfa risultano sviluppabili in serie di potenze, che per la unicità dello sviluppo in serie, sono le relative serie di
Taylor cioè le due funzioni sono entrambe funzioni analitiche di due variabili reali e perciò
prolungabili nel campo complesso.
L’estensione di questo risultato alle funzioni di più variabili si fa ripetendo lo stesso
procedimento. Vi accenniamo appena limitandoci al caso di due variabili. Sia:f (z1 , z2 ) = u(x1 , y1 , x2 , y2 ) + iv(x1 , y1 , x2 , y2 )una funzione analitica nell’intorno della origine (0, 0), perciò sviluppabile in una serie
doppia:∞

anm z1m z2nm,n=0convergente nel campo costituito dai punti interni al bicilindro circolare prodotto di due
cerchi c1 , c2 , che possiamo anche porre dello stesso raggio, che diremo r. Posto
amn = αmn + iβmn
essendo convergente la serie∞|amn ||z1 |m |z2 |n per |z1 | < r e |z2 | < r

m,n=0
(1′ )

Difatti l’espressione (x + iy)n è un polinomio omogeneo di grado n in x ed y; perciò ilprodotto (αn + iβn )(x + iy)n , quando si dice separato il reale dall’immaginario, da luogo
a due polinomi in x ed y.
12la serie seguente
∞ 

m 
n

|αmn | + |βmn | |x1 | + |y1 ||x2 | + |y2 |m,n=0risulta convergente per|x1 | + |y1 | < r|x2 | + |y2 | < rcioè nel campo interno al bicilindro, non più circolare, ma prodotto dei quadrati Q1 Q2interni rispettivamente a c1 e c2 ed aventi i vertici nei punti di incontro dei cerchi con gli
assi. I termini della serie ultima sono i moduli dei termini della serie∞(αmn + iβmn )(x1 + iy1 )m (x2 + iy2 )nm,nqualora in ogni termine si siano effettuate le potenze ed eseguito il prodotto. Come si vede
ora non c’è altro da fare che ricalcare il ragionamento precedente per concludere: “La partereale ed il coefficiente dell’immaginario di una funzione analitica sono funzioni analitichee perciò prolungabili nel campo complesso”. Se con (x1 ....xn ) indichiamo le coordinate
correnti in uno spazio ad n dimensioni reali eϕi (t1 , t2 , ...., tr )(i = 1, 2, ...., n)sono n funzioni di r variabili reali definite tutte in un insieme A dell’Sn le equazioni
xi = ϕi (t1 , t2 , ...., tr )(i = 1, 2, ...., n)rappresentano una varietà ad r dimensioni dell’Sn , varietà regolare se le funzioni ϕi soddisfano alle condizioni:a) :- sono continue e dotate di derivate parziali prime in A
1 ...ϕn )b) :- la matrice iacobiana ∂(ϕ∂(t1 ...tr ) contiene almeno un minore di ordine massimo non nullo

in A. La varietà è localmente regolare se, non essendo verificata in tutto A la condizioneb) esiste però, per ogni punto di A un minore di ordine massimo della matrice iacobiana
13

diverso da 0 nel punto stesso. Se le funzioni ϕi sono localmente, cioè nell’intorno di ogni
punto di A, sviluppabili in serie di potenze, la varietà è una “varietà analitica”. Si parlacosı̀ di curve analitiche, di superficie analitiche, ecc.. Le curve analitiche sono le varietà ad
una dimensione, definite da un’equazione del tipo:
xi = ϕi (t) (i = 1, 2, ..., n)con ϕi funzioni analitiche della variabile reale t, cioè delle funzioni localmente sviluppabili
in serie di potenze.
NUOVA FORMA DELLE CONDIZIONI DI ANALITICITÀ: il risultato ottenuto nel paragrafo precedente ci permette di dare una nuova forma, dovuta al Poincaré,
alla condizione di analiticità. Indicando al solito con ā il coniugato del numero complessoa, si vede subito che:xk =1
(zk + z̄k ); yk = (+i2)−1 (zk − z̄k ).
2

Dal fatto che due funzioni u(x1 y1 ...xn yn ) v(x1 y1 ...xn yn ) parte reale e coefficiente dell’immaginario di una funzione analitica f (z1 ..zn ) sono funzioni analitiche e perciò prolungabili
nel campo complesso, ne segue che, per le (9), possiamo considerare queste due funzioni
come funzioni delle 2n variabili z1 ...zn , z̄1 ....z̄n . Dopo di che si vede subito che le condizioni′

di Cauchy si possono scrivere:(1 )′[(1 ) Tenendo presente le (9) e le (7) si ha:∂u∂u ∂xk∂u ∂yk1=+=∂zk∂xk ∂zk∂yk ∂zk
2



∂u
1 ∂u
+
∂xk
i ∂yk



.





−

Inoltre:∂ 2u∂=∂zk ∂ z̄h
∂xh



∂u
∂zk



∂xh
∂
+
∂ z̄h
∂yh



∂u
∂zk



∂yh
1 ∂
=
∂ z̄h
2 ∂xh

∂u
∂zk

1 ∂
2i ∂yhper le ( ):∂ 2u1=∂zk ∂ z̄h
4



∂ 2u
1 ∂2u
+
∂xk ∂xhi ∂yk ∂xh
14



−

1
4i



∂ 2u
1 ∂2u
+
∂xk ∂yhi ∂yk ∂yh





∂u
∂zk



1
=
4



∂ 2u
∂ 2u
+
∂xk ∂xh∂yk ∂yh



1
+
4i



∂ 2u
∂ 2u
−
∂yk ∂xh ∂xk ∂yhdonde si vede che le (10) equivalgono alle (7).]
∂ 2u
= 0.
∂zk ∂ z̄h(10)Esse dunque si presentano sotto forma di equazioni iperboliche. Sono evidentemente innumero di n2 , giacchè sono tante quante le disposizioni con ripetizione di n elementi a due
a due.
CAMPO RISTRETTO E CAMPO TOTALE DI CONVERGENZA DI UNA
SERIE DI POTENZE: avvertiamo ancora una volta che per semplicità ci riferiamo
sempre a serie di punto iniziale nell’origine. Si è convenuto di dire convergente una serie
multipla di potenze se tale è la serie dei moduli dei suoi termini, se cioè essa converge
assolutamente, e quindi anche incondizionatamente. Si vede subito allora che se la serie
doppia:∞

amn z1n z2m

(11)

m,n=0

converge nel punto (ξ1 , ξ2 ) converge ancora in ogni altro punto (z1 , z2 ) tale che sia: |z1 | <|ξ1 |; |z2 | < |ξ2 |. D’altra parte se la serie converge per |z1 | ≤ |ρ1 |, |z2 | ≤ |ρ2 | convergerà
ancora per z1 e z2 entrambi in modulo minori del più piccolo dei due numeri ρ1 e ρ2 .
Consideriamo allora l’insieme dei numeri non negativi ρ tali che la serie converge per|z1 | ≤ ρ, |z2 | ≤ ρ e diciamo r l’estremo superiore di questo insieme. La serie convergerà
per |z1 | < r; |z2 | < r e non convergerà per z1 e z2 entrambi in modulo maggiori di r, nulla
potendosi in generale affermare quando z1 o z2 oppure entrambi sono in modulo uguali ad
r. In altri termini la serie converge in ogni punto interno al bicilindro determinato dalle
limitazioni |z1 | ≤ r, |z2 | ≤ r. Tali punti costituiscono un campo che prende il nome di“campo ristretto” di convergenza della serie. Il numero r a sua volta si chiama “raggio
ristretto” di convergenza. Non è escluso che sia r = ∞ oppure r = 0. Nel primo caso la serie
convergente in ogni punto dell’S4 nel secondo il campo ristretto si riduce alla sola origine.
Dal modo stesso di definire il raggio ristretto appare chiaro che la serie può convergere
15quando una delle due variabili è maggiore in modulo di r e l’altra minore. L’insieme ditutti i punti dell’S4 nei quali la serie converge è in generale più ampio del campo ristretto.
Detto allora A l’insieme di tutti i punti dell’S4 nei quali la serie converge, l’insieme dei
punti interni ad A costituisce il campo totale di convergenza della serie. L’estensionedelle precedenti definizioni alle serie multiple, cioè a più di due variabili, si presenta come
immediata, basta estendere all’Sn le precedenti considerazioni fatte sull’S4 .
PROLUNGAMENTO ANALITICO: il prolungamento analitico per le funzioni di piùvariabili si può operare allo stesso modo che per le funzioni di una sola variabile. Diremo′

che una serie di potenze, dotata di un effettivo campo di convergenza,(1 ) costituisce unelemento analitico di una funzione analitica. Per ottenere il prolungamento analitico basta
operare su un elemento con lo stesso metodo adoperato per le funzioni di una variabile.
Si possono anche dedurre tutte le conseguenze tratte allora, come quelle relative alla monodromia e polidromia delle funzioni analitiche. Si può anche parlare di prolungamento
lungo una curva. All’uopo si tenga conto della definizione precedentemente data di curva
e di curva analitica. Si noti che, nell’operare il prolungamento analitico di un elemento è
perfettamente indifferente considerare come campo di convergenza il ristretto oppure il totale, giacchè è evidente che, partendo dal ristretto, si riesce ad invadere, per prolungamenti
analitici mediante campi ristretti, il campo totale. È stato affermato che il caso generale
non è quello delle funzioni prolungabili, bensı̀ quello delle funzioni non prolungabili oltre
il loro campo totale di convergenze.
SULLE SERIE DOPPIE: faremo ora una lunga digressione sulle serie doppie allo
scopo di studiare il campo di convergenza. Data una serie doppia:∞

amn z1m z2n

m,n=0
(1′ )

Come si è detto il campo ristretto può venire a mancare, ma la serie può essere priva

anche di effettivo campo totale di convergenza, nel qual caso l’insieme dei punti nei quali
la serie converge è privo di punti interni. Ciò avviene quando la serie converge solo pervalori nulli di almeno una variabile.
16

abbiamo già definito ciò che deve intendersi per campo ristretto e ciò che è il campo
totale di convergenza. Vogliamo ora meglio caratterizzare questo secondo campo. Dato
un numero r1 > 0, consideriamo l’insieme dei numeri positivi ρ, tale che la serie converga
per |z1 | < r1 , |z2 | < ρ. Se tal’insieme non è vuoto diciamo r2 l’estremo superiore di taleinsieme. In altri termini, ad ogni numero reale positivo r1 associamo, se esiste, quel valore
r2 , pure positivo, tale che la serie (12) converge per |z1 | < r1 |z2 | < r2 e diverge per|z1 | > r1 , |z2 | > r2 . I due numeri si chiamano “raggi associati di convergenza”. Il raggio
ristretto non è altro che il raggio associato a se stesso. Ad ogni valore di r1 preso entro certi
limiti, corrisponde un valore per r2 . Abbiamo detto preso entro certi limiti, giacchè può ad
un valore di r1 maggiore di zero non corrispondere alcun valore per r2 . Anzi può accadereche non esiste alcun valore di r1 maggiore di zero al quale ne corrisponda uno di r2 maggiore
di zero in modo che r1 ed r2 siano raggi associati, nel qual caso la serie converge soltanto
per z1 = 0. Analogamente si dica scambiando r2 con r1 , addirittura può accadere che laserie converge soltanto per r1 = r2 = 0. In tutti i modi consideriamo gli insiemi nei qualivariano r1 ed r2 e diciamone R1 ed R2 rispettivamente gli estremi superiori, ciascuno dei
quali potendo risultare anche infinito. È evidente che quando r1 descrive l’intervallo (0, R1 )crescendo, r2 descrive decrescendo l’intervallo (0, R2 ), risultando cosı̀ funzione decrescente
di r1 : r2 = ϕ(r1 ). Il raggio ristretto è quel valore r per il quale è r = ϕ(r). Dopo ciòrisulta chiaro che, se un punto (z1 , z2 ) appartiene al campo totale di convergenza, esistono
due raggi associati r1 ed r2 tali che si ha: |z1 | < r1 , |z2 | < r2 . Si vede facilmente chel’insieme dei punti di convergenza della (12) non è un campo, ma un insieme privo di puntiinterni, soltanto nel caso, già messo in rilievo, che uno almeno dei due insiemi descritti da r1
ed r2 è vuoto. Intendiamo escludere queste eventualità dalle nostre considerazioni, perciò
supporremo che la serie sia dotata di un effettivo campo di convergenza. Il raggio ristretto′

di convergenza è determinato per il teorema di Cauchy-Hadamard, dalla relazione:(1 )′[(1 ) Il teorema di Cauchy-Hadamard afferma che il raggio di convergenza di una serie∞
semplice n=0 an z n è definito dalla relazione:
′′

lim

n→∞


n

|an | =

1.
r

Da questa relazione si deduce immediatamente la (13) qualora si rifletta che determinare17

il raggio ristretto di convergenza della serie doppia (12) equivale a determinare il raggio diconvergenza della serie semplice∞

amn z m+nm,n=0ottenuta dalla (12) ponendo z1 = z2 = z.]
′′

lim



n+m

m,n→∞

|anm | =1rdove il simbolo del primo membro designa il massimo limite o estremo superiore di indeterminazione. La relazione vale qualunque sia tale massimo limite con la convenzione chese esso è infinito, r = 0, cioè il campo ristretto viene a mancare, mentre se il massimo
limite è 0 (zero) è r = ∞, cioè la serie è convergente comunque si prendano z1 e z2 . Per i′

raggi associati di convergenza sussiste la relazione:(1 )′[(1 ) La relazione si deduce facilmente dalle proprietà caratteristiche del massimo limite.
Poniamo:′′|amn |r1m r2n = l

m+n

lim

m,n→∞

e facciamo vedere che non può essere nè l > 1, nè l < 1,a) se fosse l > 1, per qualsiasi numero positivo ε < l − 1 sarebbe ancora l > 1 + ε. Ciò
importa per la proprietà del massimo limite, che comunque si prende un intero positivo νesistono sempre indici, m ed n, ambedue maggiori di ν, per i quali èm+n|amn |r1m r2n > 1 + εcioè |amn |r1m r2n > (1 + ε)m+n . Si prende allora un punto (z1 , z2 ) per il quale è
11|z1 | = r1 [1 + ε]− 2 < r1 , |z2 | = r2 [1 + ε]− 2 < r2
in tal punto la serie converge. D’altra parte risulta:|amn | · |z1 |m · |z2 |n = |amn |r1m r2n (1 + ε)−
18

m+n
2

e pertanto, stante la formula precedente, comunque si fissa un intero ν > 0 esistono coppie
m, n ambedue maggiori di ν, per cui è:|amn | |z1 |m |z2 |n > (1 + ε)m+n2

risultato questo che contraddice alla convergenza della serie.
b) supposto ora l < 1, per qualunque numero positivo ε < l − 1, risulta l < 1 − ε. Per laproprietà caratteristica del massimo limite, la quantità m+n |amn |r1m r2n risulta definitivamente minore di 1 − ε. Cioè esiste un intero positivo ν tale che, per ogni coppia di indici
m, n, ambedue maggiori di ν si ha: m+n |amn |r1m r2n < 1 − ε ossia:
r1m r2n |amn | < (1 − ε)m+n .

Sia (z1 , z2 ) un qualunque punto per il quale è:|z1 | = √r2
r1
> r1 ; |z2 | = √
> r2
1−ε
1−ε

punto nel quale la serie non converge. Si ha però|amn | |z1 |m |z2 |n = |amn |r1m r2n (1 − ε)−m+n2e quindi per m ed n ambedue maggiori di ν|amn | |z1 |m |z2 |n < (1 − ε)m+n2

relazione questa che importerebbe la convergenza della serie nel punto (z1 , z2 ).]′′lim m+n |amn |r1m r2n = 1.
m,n→∞la quale per r1 = r2 = r si riduce alla (13). Posto t1 = log r1 e t2 = log r2 si ha−∞ < t1 < log R1 per 0 < r1 < R1−∞ < t2 < log R2 per 0 < r2 < R219

ad ogni valore di t1 corrisponde un valore di t2 , in modo che a due valori di t1 : t′1 e t′′1 ,con t′1 < t′′2 corrispondono due valori di t2 : t′2 e t′′2 con t′2 ≥ t′′2 . Poniamo ancora:σ = (m + n)−1 log |amn | + m(m + n)−1 t1 + n(m + n)−1 t2 .

(15)

La (14) importa: lim′′ σ = 0. Da questa relazione per la proprietà caratteristica delmassimo limite, si deduce che, qualunque sia la coppia t1 , t2 e comunque si fissi ε > 0 si
ha sempre σ < ε, ed inoltre esistono infinite coppie di indici m ed n per le quali è anche|σ| < ε. Consideriamo i tre valori di t1 : t1 < t′1 < t′′1 i corrispondenti tre valori dit2 : t2 ≥ t′2 ≥ t′′2 ed i valori di σ corrispondenti a ciascuna coppia:(m + n)−1 log |amn | + m(m + n)−1 t1 + n(m + n)−1 t2 = σ(m + n)−1 log |amn | + m(m + n)−1 t′1 + n(m + n)−1 t′2 = σ ′(m + n)−1 log |amn | + m(m + n)−1 t′′1 + n(m + n)−1 t′′2 = σ ′′ .
Consideriamo queste tre relazioni come tre equazioni lineari nelle tre incognite:(m + n)−1 log |amn | , (m + n)−1 m , (m + n)−1 n
esaminiamo i due determinanti: 1 t1 σ 
A1 =  1 t′1 σ ′  = σ(t′′1 − t1 ) + σ ′ (t1 − t′′1 ) + σ ′′ (t′1 − t1 )
 1 t′′ σ ′′ 11A2 =  1
1

σ
σ′
σ ′′


t2 
t′2  = σ(t′2 − t′′2 ) + σ ′ (t′′2 − t2 ) + σ ′′ (t2 − t′2 ).
t′′2 

Supponiamo m ed n abbastanza grandi, assegnato comunque ε > 0 è certamente σ < ε,σ ′′ < ε. Essendo t′′1 − t1 ≥ 0, si ha:σ(t′′1 − t1 ) + σ ′′ (t′1 − t1 ) < ε(t′′1 − t1 ).
D’altra parte per un’osservazione fatta precedentemente esistono infinite coppie m, n con
n ed m opportunamente grandi, tali che è |σ ′ | < ε e perciò è:A1 < ε(t′′1 − t1 ) + ε(t′′1 − t1 ) = 2ε(t′′1 − t1 )20

dunque A1 si può rendere in valore relativo minore di un numero positivo arbitrario. Lo
stesso si può affermare e dimostrare per A2 . Posto:1A =  1
1

t1
t′1
t′′1


t2 
t′2 t′′ 
2risolvendo con la regola di Cramer (il sistema) si ha:m(m + n)−1 = A1 A−1n(m + n)−1 = A2 A−1 .

n
m
, m+n
Se dunque fosse A2 > 0, dovrebbe risultare anche A1 > 0, allora le due quantità m+n

potrebbero rendersi piccole a piacere, ciò che è assurdo perchè la loro somma è l’unità.
Dunque deve essere:


1

1

1

t1
t′1
t′′1


t2 
t′2  ≤ 0.
t′′ 

(16)

2

Questa è una proprietà dei raggi associati: (r1 , r2 ) (r1′ , r2′ ) (r1′′ , r2′′ ) tali che r1 < r1′ < r1′′
soddisfano sempre alle relazioni (16), ossia alla seguente: 1 log r1 1 log r1′ 1 log r ′′1


log r2 
log r2′  ≤ 0.
log r ′′ 

(17)

2

Vedremo poi che questa proprietà è caratteristica dei raggi associati. Vediamo ora che cosa
si può dedurre dalla (16). Essendo r2 funzione decrescente di r1 , risulta anche t2 funzione
decrescente di t1 : t2 = g(t1 ). Esaminiamo il diagramma di tale funzione nel piano (t1 , t2 ).
Se:T ≡ (t1 , g(t1 )), T ′ ≡ (t′1 , g(t′1 )), T ′′ ≡ (t′′1 , g(t′′1 ))sono tre punti della curva con t1 < t′1 < t′′1 in virtù della (16) si ha:

1

1

1

t1
t′1
t′′1


g(t1 ) g(t′1 )  ≤ 0.
g(t′′1 ) 

21

Cioè è negativo o nullo il determinante che esprime l’area del triangolo T T ′ T ′′ . Dunqueseguendo la curva da T a T ′′ l’area del triangolo, quando questo non è degenere, viene
percorsa in senso negativo e pertanto la retta discendente T T ′′ dividendo il piano indue parti lascia T ′ nel semipiano superiore. Ciò ci assicura che la curva è convessa verso
l’alto. Si tratta allora di una curva decrescente. Si deduce da ciò che la funzione g(t) è
continua. Ed infatti, come funzione monotona, non può avere che discontinuità di primaspecie. Se t fosse un punto di discontinuità basterebbe prendere due valori t′ < t e t′′ > te prossimi a t per vedere che la corda congiungente i due punti di ascissa rispettivamentet′ e t′′ non lascia la curva tutta dalla stessa parte, ciò che non può sussistere col fatto chela convessità è costantemente verso l’alto. Per esaminare meglio l’andamento della curva
dobbiamo distinguere diversi casi:
I) I due numeri R1 ed R2 e quindi anche log R1 e log R2 sono finiti.
a) - nè t1 assume mai valore uguale a log R1 nè t2 diventa mai uguale a log R2 . Si haallora:lim

t1 →log R1

g(t1 ) = −∞lim g(t1 ) = log R1 .

t1 →∞La curva risulta dotata di due asintoti, uno orizzontale nella retta di equazione
t2 = log R2(18)

l’altro verticale nella retta di equazione:
t1 = log R1 .

(19)

Essa è sempre decrescente con la convessità volta verso l’alto e situata tutta al di sottodello asintoto orizzontale e tutta a sinistra dello asintoto verticale.
22b) - risultando dunque sempre:
lim

t1 →log R1

g(t1 ) = −∞esiste però un particolare valore di t1 diciamo t̄1 per cui si ha R2 = g(t̄1 ). In tal caso non
potendo t2 acquistare valori superiori a log R2 la curva che risulta asintotica alla retta diequazione (19) nel punto di ascissa t̄1 si unisce alla retta di equazione (18).
c) - risulta limt2 →∞ t1 = log R1 mentre è finito il valore di t2 per t1 = log R1 . La curva èdecrescente dotata di un asintoto orizzontale nella retta di equazione (18) e si unisce poi
alla retta di equazione (19).

t1d) - infine può accadere che esista un particolare valore di t1 per cui si ha: t1 = log R1
nel qual caso la curva è costituita da un tratto decrescente che si unisce alle due rette (18)(19).
II) è infinito uno dei due numeri R1 o R2 , oppure sono infiniti entrambi.
a) - se è R2 = ∞ e R1 finito, risulta: limt1 →∞ g(t1 ) = ∞, cioè la curva non soltanto
non ha l’asintoto orizzontale, ma non è affatto limitata superiormente. Proviene da +∞decrescendo e poi si comporta come la precedente, ossia o tendendo a −∞ asintoticamente
alla retta (19) oppure unendosi in un certo punto con tale retta.
b) - analogamente se è R1 = ∞ e R2 è finito, si ha limt1 →∞ g(t1 ) = −∞ e la curva nonè limitata inferiormente. A sinistra si comporta in uno dei modi detti, cioè o è asintotica
alla retta (18) o si unisce con essa, mentre a destra l’ordinata tende a −∞ senza essere
limitata da alcuna retta reale.
c) - infine se è R1 = R2 = ∞ la curva è certamente decrescente senza essere limitatanè da semirette orizzontali nè da semirette verticali. Riassumendo possiamo affermare:“tra i raggi associati di convergenza di una serie doppia di potenze sussiste un legame23caratterizzato dalla (17), legame che subordina tra i logaritmi dei raggi una funzione
monotona continua, avente per diagramma una curva convessa che può avere o no due
asintoti, uno verticale e l’altro orizzontale, e può addirittura essere completata da una odue semirette”.
Naturalmente non è affatto detto che la curva sia ovunque dotata di tangente. Come
conseguenza della convessità si ha che essa è dotata di retta radente discendente. Da
quanto si è detto scaturisce una rappresentazione del campo totale. La curva di equazione:t2 = g(t1 ) completata opportunamente da una o due semirette divide il piano (t1 , t2 ) indue parti: verso una la curva volge la convessità, verso l’altra la concavità. La serie doppia:1...∞|amn | r1m r2nm,nconverge se i due numeri sono tali che nel piano (t1 , t2 ), il punto di coordinate(log r1 , log r2 )è situato nella regione verso la quale la curva volge la concavità. Ne segue che nello
spazio a quattro dimensioni delle due variabili z1 e z2 il campo totale di convergenza dellaserie doppia (12) è costituito dallo insieme dei punti (z1 , z2 ) tali che nel piano (t1 , t2 ) i
punti: (log |z1 |, log |z2 |) sono situati nella regione suddetta. Si ha cosı̀ una rappresentazionedel campo totale nel piano (t1 , t2 ). Se si vuole una rappresentazione nel piano dei raggi
associati (r1 , r2 ) occorre riferirsi al diagramma della funzione r2 = ϕ(r1 ).
La funzione è decrescente ma non necessariamente convessa o concava. Se è R1 = R2 = ∞il diagramma è una curva decrescente che ha due asintoti uno verticale e l’altro orizzontale,asintoti che possono coincidere con gli assi.

24

Se uno solo dei due estremi R1 o R2 è infinito, la curva possiede un solo asintoto. Se infine
i due numeri R1 ed R2 sono ambedue finiti, il diagramma si riduce ad un tratto di curva
decrescente limitato dalle due rette r1 = R1 , r2 = R2 .

Si ha in tal modo una rappresentazione del campo totale nel piano (r1 , r2 ). Infatti il campo
totale e l’insieme dei punti (z1 , z2 ) dello spazio a quattro dimensioni, tali che nel piano(r1 , r2 ) i punti (|z1 |, |z2 |) non formano il campo limitato dagli assi della curva è (nel caso
che uno o entrambi i numeri R1 ed R2 sono finiti), [limitato n.d.c.] da una o ambedue lesuddette rette parallele agli assi.
R2
Rx

R1

R1

Abbiamo asserito che la (17) è caratteristica dei raggi di convergenza associati. Perchèciò sia completamente dimostrato occorre far vedere che: “ogni relazione fra due variabili
che sia continua convessa nei logaritmi è atta a definire il campo totale di una serie dipotenze”. Possiamo ora accennare alla dimostrazione di questa proposizione. Cominciamo
da un caso particolare. Supponiamo che si tratti di una relazione lineare nei logaritmi.
Per quanto abbiamo detto il diagramma della funzione t2 = g(t1 ) nel caso che sia lineare,si può presentare sotto le forme seguenti:a) - una retta discendente.
b) - una semiretta obbliqua discendente completata da un’altra semiretta orizzontale overticale.
25c) - un segmento di retta obbliqua discendente completato da due semirette una orizzontale
e l’altra verticale.
Cominciamo dal sotto-caso a), che corrisponde al fatto che ambedue i raggi hanno comeestremo superiore l’infinito. Sia dunque:
αt1 + βt2 + γ = 0(20)l’assegnata relazione lineare tra i logaritmi. Possiamo supporre α ≥ 0. Dovendosi avere
una retta discendente, cioè t2 funzione decrescente di t1 , deve essere β > 0. Per ogni intero
positivo n diciamo α(n) il numero intero immediatamente seguente αn, β (n) , il numero
intero immediatamente seguente nβ. Si ha dunque:α(n) > αnβ (n) > nβ.

Consideriamo la serie di potenze:∞

enγ z1α

(n)

z2β

(n)

(21)

n=0

per il modulo del termine generale di questa serie si ha:enγ |z1 |α(n)|z2 |β(n)= enγ+α(n)log |z1 |+β (n) log |z2 |

.

(22)

Ciò posto consideriamo la serie di termini positivi:∞

en[γ+α log |z1 |+β log |z2 |]

(23)

n=0

che differisce dalla serie dei moduli della (21) per avere nα ed nβ al posto rispettivamentedi α(n) e β (n) . Ne risulta evidentemente che i termini della (21) differiscono in modulo dai
termini della (23) per un fattore limitato s, pertanto, la convergenza assoluta della (21)discende senz’altro dalla convergenza della (23). Ma questa è una serie geometrica la qualeconverge soltanto se è verificata la disuguaglianza:
α log |z1 | + β log |z2 | + γ < 0.
26

Questa disuguaglianza d’altra parte è verificata soltanto se, il punto di coordinate(log |z1 |, log |z2 |)è al di sotto della retta discendente (20). Segue da ciò, tenendo presente quanto abbiamo
precedentemente conseguito, che la regione al di sotto di tale retta rappresenta nel piano(t1 , t2 ) il campo totale di convergenza della (21) e pertanto la relazione lineare (20) è atta
a definire il campo totale di convergenza di una serie di potenze. Tralasciando i sottocasib) e c) che come apparirà da un’osservazione alla fine non presentano difficoltà, passiamo
senz’altro al caso generale. Sia: t2 = g(t1 ) l’assegnata funzione che stabilisce il legame trat1 e t2 , legame tale che la curva risulti discendente e connessa, completata o no da due
tratti rettilinei nel modo già illustrato. Prendiamo sulla curva una infinità numerabile di′punti tali che costituiscano un insieme denso sulla curva(1 ) .
Consideriamo in ciascuno di tali punti la retta radente o, se esiste, la retta tangente alla
curva:
αi t1 + βi t2 + γi = 0.
Tale retta è discendente e perciò si trova nelle condizioni della retta (20). Ripetendo perquesta retta la costruzione precedente abbiamo la serie:
Pi (z1 , z2 ) =

∞


α

(n)

enγi z1 i

β

(n)

z2 i

n=0

che converge quando il punto (log |z1 |, log |z2 |) trovasi al di sotto della retta. Si ottiene cosı̀
un’infinità numerabile di serie che, combinate linearmente, danno luogo ad un’altra serie:∞ci Pi (z1 , z2 ).

i=1

La combinazione lineare può farsi in modo che la serie risultante conservi ancora la con∞vergenza; all’uopo basta scegliere ci in modo che sia convergente la serie i=1 ci , eviden-

temente la serie risultante converge soltanto per z1 e z2 tali che il punto di coordinate(1′ )Un insieme è denso sulla curva se ogni punto della curva è punto di accumulazione

dell’insieme. Essendo la curva decrescente un insieme numerabile e denso sulla curva è
dato per esempio dallo insieme dei punti della curva che hanno ascissa razionale.
27

(log |z1 |, log |z2 |) sia al di sotto di tutte le rette radenti. Ora data la densità dell’insieme
dei punti presi sulla curva, qualora un punto (log |z1 |, log |z2 |) trovasi nella parte del piano
dove la curva volge la convessità, esiste certamente una retta radente che lascia tale punto′

al di sopra.(1 ) Dunque l’insieme dei punti nei quali la nostra serie converge non è altro chel’insieme dei punti (z1 , z2 ) tali che nel piano (t1 , t2 ) i punti di coordinate (log |z1 |, log |z2 |)sono situati sulla concavità della curva. Ciò in base ai risultati ottenuti porta ad affermare che la regione piana situata nella concavità della curva rappresenta nel piano (t1 , t2 )′il campo totale di convergenza della serie.(2 ) Se la curva data risulta completata a destra da una retta verticale basterà aggiungere alla serie ottenuta una serie P0 (z1 ) dellasola z1 che abbia come raggio di convergenza R1 . Avvertiamo che tutto ciò che abbiamo
detto sulle serie doppie non sempre è stato completamente esteso alle serie multiple. La
convergenza di una serie doppia è stata finora riguardata soltanto come una convergenza
assoluta. Osserviamo ora che la serie doppia si incontra per la prima volta in analisi comeserie di Taylor, la quale è una serie che viene sommata in modo speciale, per diagonali,
cioè aggregando i termini dello stesso grado:
a00 + (a01 · z1 + a10 · z2 ) + (a02 · z12 + a11 z1 z2 + a20 z22 ) + ... .
Orbene questo modo di sommazione conduce in generale alla definizione di campo di convergenza più esteso del totale. Come esempio, consideriamo nel campo reale, la serie(1′ )Mentre il punto è certamente al di sotto di tutte le rette radenti se è situato sulla

concavità della curva, giacchè questa è convessa e perciò ogni retta radente la lascia tutta
da una parte.
(2′ )Nella dimostrazione precedente ci siamo serviti del cosiddetto principio di condensazione, introdotto per la prima volta in analisi da Hankel, il quale, ispirandosi a un’idea
di Riemann, dimostrò che, data una funzione con una singolarità in un punto, per esempio
nell’origine, se ne può costruire un’altra avente l’analoga singolarità nei punti di ascissarazionale. Cantor diede poi un principio generale partendo da una funzione ϕ(x) avente∞
una singolarità nell’origine e costruendo la funzione n=1 cn ϕ(x, αn ) dove αn costituiscono un insieme numerabile e le cn sono scelte in modo da assicurare la equiconvergenzadella serie considerata. Con ciò si ha una maggiore generalità e si evita una possibile
condensazione delle singolarità.
28

geometrica:∞1=(x + y)n .
1 − x − y n=0

Riguardando la convergenza della serie come convergenza assoluta, questa serie converge
per |x + y| < 1. Il suo campo di convergenza è costituito cioè dai punti interni al quadrato
limitato dalle rette parallele x + y = 1, x + y = −1 e dalle rette parallele x − y = −1,
x − y = 1. Se invece sciegliamo tutte le parentesi e consideriamo la serie doppia ottenuta
sommando per diagonali, cioè aggregando i termini di ugual grado, la serie converge per:|x| + |y| < 1. Ora si vede subito che il nuovo campo di convergenza non coincide colprecedente ed è più esteso, essendo precisamente la striscia limitata dalla prima dellesuddette coppie di rette parallele. Se invece di variabili reali si tratta di una serie di due
variabili complesse si può dire lo stesso considerando i moduli in luogo dei valori assoluti.
Cambiando dunque il metodo di sommazione varia il campo di convergenza di una serie
doppia di potenze. Vogliamo definire un’altra specie di campo di convergenza. Partiamo da
una serie di una variabile che converge in un campo circolare. Operando una sostituzione
lineare si ottiene una serie nella nuova variabile la quale è ancora convergente in un campo
circolare, che è il trasformato del primitivo campo mediante la sostituzione. Si dice che ilcampo di convergenza è invariante rispetto alle sostituzioni lineari. Ciò non affatto vero
per le serie doppie, per le quali il campo totale non è invariante. Se si opera cioè nel pianodelle due variabili una sostituzione lineare, la nuova serie non ha in generale come campo diconvergenza il trasformato del campo di convergenza della serie primitiva. Si pone perciò
il problema di definire per le serie doppie il campo invariante di convergenza, cioè il campoche risulta invariante rispetto alle sostituzioni lineari. Tale campo in generale è più estesodel campo totale. Esso coincide col campo ottenuto mediante la sommazione per diagonali,
ma può essere anche definito direttamente nel modo seguente. Sia data la serie:∞an,m z1m z2nn,m=0

per la quale definiamo la convergenza come convergenza assoluta. Siano ancora:z1 = αz1′ + βz2′ ; z2 = γz1′ + δz2′29

′le equazioni di una trasformazione lineare che conserva l’origine(1 ) . La serie, in virtù dellasostituzione si trasforma in un’altra in z1′ , z2′∞bm,n z1′

m

z2′

n

m,n=0

la quale, come si è detto converge in un campo che non è, in generale, il trasformato delprimitivo. Come esempio si consideri la serie:

∞ 

1
m+n
z1m z2n=n
1 − z1 − z2 n,m=0
la quale converge per:|z1 | + |z2 | < 1.

(24)

Operando la sostituzione lineare:z1′ = z1 + z2
la serie si trasforma nella seguente:z2′ = z1 − z2

∞

′n
′
n=0 z1 la quale converge per |z1 | < 1 ossia per|z1 + z2 | < 1, relazione questa che definisce un campo più ampio del campo definito dalla(24). Orbene si definisce “campo invariante di convergenza” di una serie doppia l’insiemesomma di tutti i campi di convergenza delle serie trasformate, in modo che in ogni punto
di tale campo invariante converge una delle serie trasformate. Ritorniamo ora al metodo
di sommazione per diagonali per sommare i campi che vengono definiti da tale metodo.
Poniamoz1 = λt ; z2 = µt.

(25)

Sostituendo nella serie e raccogliendo tutte le potenze uguali di t si ottiene una serie semplice di potenze nella variabile t, serie il cui campo di convergenza è un cerchio. La serie
dunque converge e rappresenta una funzione analitica in tutti i punti (z1 , z2 ) ottenuti ponendo: z1 = λt, z2 = µt, quando t è nel suddetto cerchio. Ora le (25) sono le equazioni(1′ )Non è il caso di soffermarsi a verificare l’invarianza del campo rispetto ad una sosti-

tuzione che muti l’origine.
30′di un piano caratteristico dell’S4 (1 ) . Sopra tale piano abbiamo anche un cerchio di convergenza. Al variare di λ e µ varia il piano e quindi il cerchio. L’insieme dei punti internia questi cerchi costituisce un campo che chiamasi circolare. È un campo dotato di centro
e tale che ogni piano caratteristico lo taglia in un cerchio. Come si vede si ha una specie
di prolungamento alla Mittag-Leffler. Invece di considerare la serie in tutto lo spazio si
considera su di un piano caratteristico per l’origine. In questo piano si trova il cerchio diconvergenza della serie sommata per diagonali allo stesso modo che Mittag-Leffler considera la serie su di una retta per l’origine e su questa il segmento sul quale converge laserie stessa. Dopo si fa variare il piano caratteristico per la origine e si ottiene il campo
allo stesso modo che Mittag-Leffler facendo variare la retta ottiene la stella. Questa considerazione ci fa pensare [che n.d.c.] volendo ancora generalizzare il metodo su ogni piano
caratteristico si potrebbero considerare le rette per l’origine e su ogni retta il segmento diconvergenza. Si avrebbe cosı̀ una stella su ogni piano caratteristico e verrebbe infine un
campo che si potrebbe chiamare, invece di circolare, stellare, in quanto risulta tagliato in
una stella da ogni piano caratteristico. Ma non è il caso di fermarci più oltre su questo
argomento. Occorre far vedere che il campo circolare ora definito coincide col campo invariante e cioè un punto nel quale converge una serie trasformata appartiene a detto campo
e viceversa, in ogni punto del campo circolare converge una serie trasformata.

(1′ )Un piano dello spazio a quattro dimensioni è rappresentato da due equazioni lineari

nelle coordinate (x1 , y1 , x2 , y2 ) dello spazio. Ora le (25) danno luogo a due equazioni
lineari nelle suddette variabili ma non a due relazioni generiche. Esse danno luogo ad una
relazione del tipo: az1 + bz2 + c = 0, che risulta equivalente a due equazioni reali nelle
quali i coefficienti delle variabili x1 , y1 , x2 , y2 non sono indipendenti. I piani dello spazio aquattro dimensioni definiti da una simile equazione si chiamano piani caratteristici.
31

PARTE II - L’INTEGRAZIONE

Ci proponiamo di definire l’operazione d’integrazione per le funzioni di due variabili complesse. È necessario all’uopo premettere alcune nozioni sugli integrali di superficie nel
campo reale. Poniamoci nello spazio ordinario a tre dimensioni, nel quale, al solito indicheremo con x, y, z le coordinate di un punto generico. Vogliamo dal [dare sic] significato
al singolo [simbolo sic] S f (x, y, z)dx dy dove f (x, y, z) è una funzione che, per ora non oc-

corre precisare, ed S è una superficie dello spazio definita mediante equazioni parametrichedel tipo:x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (u, v) ∈ Dessendo D un dominio del piano (u, v) con frontiera regolare. In D supponiamo definite

le tre funzioni x(u, v); y(u, v); z(u, v), che inoltre supporremo generalmente regolari ed arapporti incrementali limitati anche nei punti nei quali mancano le derivate parziali, punti
costituenti al più una linea regolare di equazione v = q(u), oppure u = ψ(v). Porremo per
definizione:f (x, y, z)dx dy =Sf (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

D∂(x, y)du dv.
∂(u, v)L’espressione:∂(x, y)du dv∂(u, v)
rappresenta la proiezione dell’elemento di superficie S sul piano (x, y). Se con dσ designiamo l’elemento di superficie, con γ l’angolo della normale orientata con l’asse z, l’integrale
suddetto si può indicare col simbolo:
f (x, y, z) cos γ dσ.
S

Il verso della normale è fissato dalla rappresentazione parametrica, una volta che sia statoorientato il piano (u, v). Al solito si assume come verso positivo di rotazione sul piano(u, v) il verso che porta il semiasse positivo u sul semiasse positivo v. Si tenga dunque ben
32presente che il verso della normale e perciò il segno dell’integrale dipende essenzialmente
dalla rappresentazione parametrica adottata per la superficie. Se con α e β indichiamo
gli angoli che la normale orientata alla superficie forma rispettivamente con l’asse x e conl’asse y, si ha ancora, in base alla precedente definizione:












∂(y, z)du dv =f (x, y, z)dy dz =f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
∂(u,
v)
S
D

∂(z, x)du dv =f (x, y, z)dz dx =f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))∂(u, v)SDf (x, y, z) cos α dσSf (x, y, z) cos β dσ.

S

Abbiamo cosı̀ definito gli integrali di superficie mediante gli integrali doppi estesi ad undominio piano. Da tale definizione si potrebbero ricavare le condizioni da imporre alla
funzione f (x, y, z) perchè si possa assicurare l’esistenza dell’integrale. Per quanto riguarda
il nostro scopo questa ricerca non ha interesse, giacchè le funzioni che intervengono nella
integrazione complessa, che dovremo definire, sono addirittura analitiche nel campo reale,ciò che rappresenta una condizione più ampia della semplice continuità che è sufficiente.
Si possono estendere agli integrali di superficie tutte le proprietà degli integrali doppi, inparticolare la proprietà additiva. A tale proprietà si fa ricorso per parlare di integrali estesi
a superficie che non si lasciano esprimere mediante un solo sistema di equazioni parametriche, quale ad esempio, la sfera. È evidente infatti che se una superficie, come la sfera,si può rappresentare mediante due o più sistemi di equazioni parametriche, cioè se si può
considerare composta di due o più porzioni distinte, ciascuna delle quali si rappresenta mediante un sistema di equazioni parametriche, si può definire l’integrale esteso alla superficie
come somma degli integrali estesi a ciascuna porzione di superficie. Qui però occorre tenerconto di un’osservazione già fatta, che cioè il segno di integrazione dipende dalla rappresentazione parametrica adottata; pertanto è necessario adottare per le varie, porzioni dellasuperficie rappresentazioni parametriche coerenti: questa necessità analitica si riconnette
alla necessità geometrica di definire ciò che si chiama il verso o la faccia positiva della superficie. Limitandoci alle superfici per le quali si possono definire due facce, prendiamo in
considerazione un caso particolare, la sfera. Per rappresentare questa superficie non basta
un solo sistema di equazioni parametriche; due sistemi sono sufficienti, essendo la sfera
33

divisibile in due calotte, ciascuna delle quali è rappresentabile da un sistema di equazioni.
Allo scopo di far si che le due rappresentazioni siano tra loro coerenti, notiamo che le due
calotte hanno in comune il bordo, una curva cioè che indicheremo con Γ. Sul piano (u, v)
indichiamo con D il dominio base della rappresentazione di una delle due calotte e con
D′ il dominio base della rappresentazione dell’altra calotta. Essi sono due domini semplicemente connessi. Le rappresentazioni parametriche mediante due terne di equazioni,
pongono una corrispondenza tra D e la prima calotta ed una corrispondenza tra D′ e laseconda calotta, in modo che la curva Γ corrisponde ad F D per la prima rappresentazione
ed a F D′ per la seconda. Ne segue che resta definita una terza corrispondenza tra F D
ed F D′ , chiamando corrispondenti due punti, uno di F D e l’altro di F D′ , ai quali, perle equazioni poste corrisponde lo stesso punto di Γ. Orbene questa corrispondenza subordinata alle prime due deve essere tale che, mentre il punto variabile su F D percorre F D
in un certo verso, il punto corrispondente percorre F D′ nel verso opposto. Ciò, in altri
termini equivale a dire che le due corrispondenze poste dalle equazioni tra D e la prima
calotta e tra D′ e la seconda calotta debbano essere tali che, mentre la prima fissa un
verso su Γ corrispondente al verso positivo su F D, la seconda in corrispondenza del verso
positivo su F D′ fissa su Γ il verso opposto a quello fissato sulla prima. È evidente che leconsiderazioni precedenti non sono affatto peculiari della sfera, ma si adattano a qualsiasi
superficie divisibili in due parti, ciascuna delle quali è rappresentabile mediante una terna
di equazioni parametriche su un dominio piano semplicemente connesso. A tale categoria
di superficie non appartiene, per esempio, il toro. Questa superficie può, mediante due
meridiani essere divisa in due parti, ciascuna delle quali, a modo di un cilindro aperto,
trova rappresentazione su una corona circolare. Si vede allora facilmente, come per il toro,
possano essere fatte considerazioni analoghe alle precedenti, tenendo conto che la frontieracompleta di ciascun dominio base è costituita da due circonferenze, alle quali corrisponde
il bordo comune alle due porzioni di superficie, bordo costituito anch’esso da due distinte
curve. Si vede anzi che le considerazioni possono, senza difficoltà, essere estese ad una qualsivoglia superficie che sia divisibile in due parti, ciascuna delle quali sia rappresentabile
su un dominio piano connesso con un numero qualsiasi di contorni, purchè il numero dei
contorni sia lo stesso per entrambi i domini. In base a queste considerazioni si può dare34

una definizione generale nei seguenti termini: dati, nel piano (u, v), due domini connessi D
e D′ , con lo stesso numero di contorni, sia definita in ciascuno dei due domini una terna difunzioni x(u, v); y(u, v); z(u, v), generalmente regolari e tali che le due terne di equazioni:x = x(u, v);

y = y(u, v);

z = z(u, v)

fissino una corrispondenza fra i domini ed un insieme dello spazio (x, y, z), tale che nonvi sia coppia alcuna di punti, non appartenenti entrambi allo stesso dominio e non situati entrambi sulle frontiere, ai quali corrisponda lo stesso punto, mentre ad F D e ad
F D′ corrisponda lo stesso insieme; di modo che resta subordinata una corrispondenza
tra F D ed F D′ , la quale sia tale che mentre F D viene percorsa in un certo verso, il
punto corrispondente percorra F D′ nel verso opposto. L’insieme dei punti dello spazio
corrispondente, mediante le terne di equazioni, ai due domini piani, si chiama “superficie
chiusa” generalmente regolare. Se la corrispondenza definita dalle equazioni è biunivoca
relativamente ai punti interni di D e D′ , la superficie si dice anche “a punti semplici”.
Daremo il nome di “superficie aperta” alla superficie che si rappresenta mediante un solo
sistema di equazione parametrica su un dominio piano connesso con un numero qualsiasi
di contorni. Passando all’Sn la definizione di “superficie aperta” si estende formalmente.
Sia D un dominio connesso, che supporremo ancora a frontiera regolare del piano (u, v) exi (u, v) (per i = 1, 2....n) siano n funzioni definite e generalmente regolari in D. Chiamiamo“superficie aperta” la varietà a due dimensioni dell’Sn che, mediante le equazioni xi =xi (u, v) (per i = 1, 2..., n) corrisponde al dominio D. Per definire una superficie chiusa
dell’Sn procediamo nel modo seguente: In uno spazio a tre dimensioni, nel quale indichiamo
con X, Y, Z le coordinate correnti, sia assegnata una superficie Σ chiusa, mediante due terne
di equazioni:
X = X(u, v);

Y = Y (u, v);

Z = Z(u, v)con (u, v) variabile in due domini piani, D, D′ , tra le frontiere dei quali le equazioni
pongono la corrispondenza già precedentemente specificata. Indicando con P il punto
variabile sulla superficie poniamo:
xi = ϕi (P )i = 1, 2, ...., n35

le funzioni ϕi (P ) del punto P , risultano funzioni di u e v, definite in D e D′ mediante
le due terne di equazioni (1). Supporremo le funzioni ϕi dotate di derivate generalmente
continue. Le (2) definiscono una varietà a due dimensioni dell’Sn , varietà che diremo“superficie chiusa”. Vogliamo accennare alla definizione di superficie dal punto di vistadella topologia. Non è però il caso di porsi nelle più generali ipotesi di questa modernabranca della Matematica, dove alla parola “punto” non si da il significato che comunemente
le si attribuisce in analisi, ma si definiscono “punti” enti sui quali si fa l’unica ipotesi che
si possa dare per essi una nozione di “intorno”. La definizione di superficie non è piùlegata all’immagine intuitiva che si ha delle comuni superfici note dalla geometria e si
parla perciò di “superficie astratte”. Le nostre considerazioni saranno limitate ai punti diuno spazio euclideo. Cominciamo da alcune considerazioni relative al piano. Per curva
piana continua, in analisi, si definisce, come è noto, l’insieme dei punti (x, y) del piano,che corrispondono ai punti di un intervallo (t0 , T ), mediante due equazioni parametriche:x = x(t); y = y(t) per t ∈ (t0 , T ) essendo x(t) ed y(t) funzioni continue di t in (t0 , T ). Se
si ha: x(t0 ) = x(T ) e y(t0 ) = y(T ) la curva è “chiusa”. Se a due valori distinti di t e noncoincidenti entrambi con gli estremi, non corrisponde mai lo stesso punto la curva si chiama“semplice”, nel qual caso la corrispondenza tra la curva ed i punti del segmento di estremi
t0 e T è biunivoca. Comunemente si ritiene come acquisita dall’intuizione la verità della
proposizione seguente: “una curva piana, semplice e chiusa, divide il piano in due regioni
connesse, aventi per comune frontiera la curva e delle quali una sola è limitata e dicesi“interna”, mentre l’altra non è limitata e dicesi “esterna” ”. Tale proposizione però viene
dimostrata rigorosamente in base ai postulati della geometria. Essa costituisce l’enunciato,
non completo, del “teorema di Jordan”. Due domini piani limitati ciascuno da una o piùcurve chiuse si dicono “topologicamente equivalenti” se si può stabilire una corrispondenza
biunivoca e continua tra i loro punti. Una tale corrispondenza associa il contorno di un
dominio al contorno dell’altro. Questa definizione di equivalenza topologica traduce l’altra
intuitiva secondo la quale i domini vengono detti equivalenti se uno si può ridurre all’altro
con deformazioni continue senza strappi. Ogni poligono semplice, nel senso della geometria
elementare, è equivalente ad un cerchio. Più in generale, ogni dominio piano connesso, lacui frontiera è una curva semplice e chiusa, è equivalente ad un cerchio. Ogni dominio
36

piano connesso a due contorni, costituito da due curve semplici e chiuse è equivalente ad
una corona circolare. Passiamo allo spazio a tre dimensioni. Sia D un dominio connesso
ad unico contorno del piano (u, v) e sianox = x(u, v);

y = y(u, v);

z = z(u, v)(u, v) ∈ D

tre equazioni che pongano una corrispondenza tra i punti di D ed un insieme dell’S3 .
Supponiamo le tre funzioni x(u, v); y(u, v); z(u, v) continue in tutto D ed inoltre tali chele (3) risultino invertibili, nel senso che permettono di esprimere u, v in funzione di x, y, z.
Le (3) definiscono allora una corrispondenza biunivoca e continua tra D e l’insieme dell’S3
che è una “superficie aperta semplice”.
Diremo che tale “superficie aperta semplice” è equivalente al dominio D. Possiamo
allora affermare: “una superficie aperta semplice, rappresentabile in un dominio ad unicocontorno, è equivalente ad un cerchio o ad un qualsiasi poligono semplice”. Analogamente si ha: “una superficie aperta semplice rappresentabile su un dominio connesso a
due contorni è equivalente ad una corona circolare”. Ad ogni curva piana contenuta in D
corrisponde nell’S3 una curva sghemba tracciata sulla superficie. Si vede facilmente che:“una superficie aperta semplice è connessa” nel senso che due qualsiasi suoi punti possono
essere congiunti con una linea continua appartenente tutta alla superficie. Basta all’uopo
considerare la curva corrispondente ad una curva piana congiungente i due punti corrispondenti del dominio connesso D e contenuta in D. Se la superficie non è semplice possono
farsi delle ipotesi sulle funzioni in modo che le (3) siano invertibili localmente. Una superficie rappresentata dalle (3) è allora tale che, per ogni punto di essa si può determinare un
intorno che risulta equivalente ad un cerchio e quindi anche ad un triangolo e che perciò sipuò biunivocamente rappresentare su un triangolo piano. Questa osservazione suggerisce
un modo di introdurre il concetto di superficie dal solo punto di vista topologico, senza far
ricorso alla rappresentazione parametrica. Senza limitare le nostre considerazioni all’S3
supponiamo però di operare sempre in uno spazio euclideo. Se un insieme dell’Sr è taleche per ogni punto di esso esiste un intorno equivalente ad un triangolo piano, chiameremo ogni tale intorno un “triangolo elementare” e diremo che l’insieme è decomponibile intriangoli elementari. Non c’è bisogno di fermarci a spiegare che cosa debba intendersi per37

lati, vertici, punti interni di un triangolo elementare. Chiameremo “catena” un insieme
numerato di triangoli elementari tali che ognuno di essi abbia un lato, e soltanto uno, incomune col precedente. Se l’insieme è finito la catena si dirà “semplice”. Se inoltre l’ultimo
triangolo ha un lato in comune col primo la catena semplice si dirà “chiusa”. Ciò premesso
diciamo “superficie” un insieme decomponibile in triangoli elementari soddisfacenti alleseguenti ipotesi:a) ogni punto che appartiene ad un triangolo senza appartenere ad un lato non appartiene
ad alcun altro triangolo insieme a tutto il suo intorno.
b) un punto che appartiene ad un lato di un triangolo, senza essere vertice, appartiene
ancora ad un lato di un altro triangolo. I due triangoli hanno in comune tutto e solo il lato
al quale appartiene il punto, il quale poi, insieme a tutto un suo intorno, non appartiene
ad alcun altro triangolo.
c) se un punto è vertice di un triangolo, è vertice di una catena semplice e chiusa di triangoli
ed, insieme ad un suo intorno non appartiene ad altri triangoli oltre quelli della catena.
Se le ipotesi si modificano stabilendo che:d) la catena di triangoli determinata da un vertice sia semplice, ma non necessariamentechiusa e che, di conseguenza, vi possono essere lati “scoperti” che appartengono cioè ad
un solo triangolo la superficie si dice “orlata” e l’insieme dei lati scoperti ne costituiscono“l’orlo” o il “bordo”.
Quando un insieme sia stato decomposto in triangoli elementari soddisfacenti alle poste
ipotesi si dice che ne è stata eseguita una “triangolazione”. Faremo l’ulteriore ipotesi
che la “superficie definita per triangolazione sia connessa”. Potendosi allora congiungere
due punti appartenenti a due triangoli differenti con una linea tutta sulla superficie, cioè
composta di punti, ciascuno dei quali appartiene almeno ad un triangolo segue che: “duequalsivoglia triangoli della triangolazione sono congiunti da una catena di elementi”. Anzi′

non è difficile far vedere che: “la catena è necessariamente semplice”.(1 ) Si deduce da ciò
che: “se una triangolazione consta di infiniti triangoli si tratta necessariamente di una in(1′ )Se infatti gli elementi della catena sono infiniti si può congiungere un punto di uno

dei triangoli con un punto dell’altro mediante una curva che attraversi tutti i triangoli38

finità numerabile”. Partendo infatti da uno qualsiasi dei triangoli, △, si possono numerare
prima quelli, in numero finito, che hanno un lato o un vertice in comune con esso, indi perognuno di questi, nell’ordine già posto, procedere allo stesso modo, tralasciando via via
i triangoli già numerati. Nessun triangolo resta escluso dalla numerazione, giacchè ogni
triangolo è congiunto con △ attraverso una catena semplice di triangoli. Si hanno dunquedue specie di superficie secondo che la triangolazione consta di un numero finito o di una′

infinità numerabile di triangoli.(1 ) A noi interessano soltanto le superficie la cui triangolazione consta di un numero finito di elementi e perciò alle ipotesi poste sulla triangolazione
aggiungeremo ancora l’altra: “che la triangolazione cioè, consti di, un numero finito di triangoli”. Si può costruire, ed [in n.d.c.] infiniti modi, un’immagine topologica piana di
una superficie, designando sul piano tanti triangoli quanti sono i triangoli elementari dellatriangolazione e con gli stessi legami. Naturalmente ciò non può farsi senza ripetere alcuni
lati. Se dopo aver disegnato sul piano un’immagine topologica di una superficie, la si taglia
della catena e sia tutta sulla superficie, costituendo perciò un insieme chiuso di punti dellasuperficie. In ogni triangolo si può scegliere un punto che sia anche sulla curva, ottenendosi
un insieme infinito di punti della curva. Un punto di accumulazione di tale insieme è sulla
curva, quindi sulla superficie e pertanto in un triangolo. D’altra parte in ogni suo intorno
vi sono infiniti punti dell’insieme e cioè punti appartenenti ad infiniti triangoli, ciò che ècontro l’ipotesi della triangolazione.
(1′ )Se una triangolazione consta di infiniti triangoli, preso in ognuno di essi un punto, si
ha un insieme di infiniti punti della superficie, i cui punti di accumulazione non possono
appartenere alla superficie, giacchè un punto di accumulazione contiene in ogni suo intorno
punti di infiniti triangoli e, come tale, non può appartenere a nessun triangolo. Viceversa
se alla superficie appartiene un insieme, A, di punti i cui punti di accumulazione nonappartengono alla superficie, questa non può essere triangolata con un numero finito ditriangoli. Ed infatti ogni triangolo, non potendo contenere punti di accumulazione di A,
non può contenere che un numero finito di punti di tale insieme e quindi un numero finito ditriangoli potranno contenere soltanto un numero finito di punti di A. Dunque: “condizione
necessaria e sufficiente perchè una superficie, definita per triangolazione, sia formata da un
numero finito di triangoli è che ogni insieme di infiniti punti della superficie sia chiuso”.
39

e, contorcendola e piegandola opportunamente, si fanno coincidere i lati che sul piano si son
dovuti disegnare distinti, ma che invece rappresentano lo stesso lato della triangolazione, si
ha una superficie che si può ritenere come l’immagine più semplice dell’S3 della superficie
in questione. Un esempio di superficie non orlata è dato dalla superficie totale di un ottaedro. Si vede infatti immediatamente come può farsi la decomposizione della superficie
in otto parti, rappresentate dalle sue stesse otto facce. Anche una sfera si può decomporrein otto triangoli elementari. Basta considerare un ottaedro elementare che abbia lo stesso
centro e proiettare dal centro sulla sfera i punti della superficie dell’ottaedro. Anche peril toro è facile immaginare una triangolazione. Il toro si può considerare partendo da un
rettangolo piegandolo, senza contorcerlo, in modo da fare coincidere i lati più lunghi e dafar sı̀ che i lati più corti diano luogo a due circonferenze. Piegando ancora il cilindro cosı̀
ottenuto in modo da far coincidere i due orli circolari, si ha il toro.

È facile dividere il rettangolo in triangoli in modo che una volta eseguite le operazioni
suddette i triangoli sul toro soddisfino alle ipotesi della triangolazione. Basta operare
come nella figura, la quale da un’immagine topologica piana del toro qualora i due latidei due triangoli situati nella stessa striscia, verticale od orizzontale, e su due lati oppostidel rettangolo si pensino come coincidenti sulla superficie. Dunque: l’ottaedro, la sfera, il
toro, sono superficie non orlate. Esempi di superficie orlate sono dati dal quadrato, dallasemisfera o da una calotta sferica, dalle due porzioni che si ottengono dal toro dividendolo
in due parti mediante due meridiani. Un esempio di superficie orlata è offerto anche
dal “Nastro di Möbius”. Si ottiene da un rettangolo saldando i due lati opposti più
corti, dopo aver contato una sola volta il rettangolo stesso. Senza dilungarci in troppe
considerazioni particolari, assumiamo come intuitiva l’idea che una superficie piana comeil rettangolo sia dotata di due parti tali che non si può passare dall’una all’altra senza
attraversare o la superficie stessa o il bordo. Prendiamo ora un rettangolo, distinguiamone
le due parti, per esempio, colorandole con due colori differenti, indi operiamo con esso40

in modo da ottenere il toro. Ottenuta questa superficie, partendo da un punto su unadelle due facce precedentemente segnate e seguendo un cammino chiuso ci [si sic] rimane
sempre sulla stessa faccia, a meno di non attraversare la superficie. La stessa circostanza
si verifica per la sfera e la semisfera. Per quest’ultima si passa da una faccia all’altra o
attraverso la superficie o attraverso il bordo. Le cose non procedono allo stesso modo per lasuperficie di Möbius. Se, dopo, aver distinte le due facce del rettangolo, operiamo in mododa ottenere tale superficie, partendo da un punto di una faccia e seguendo un cammino
chiuso che attraversi una sola volta il lato dove il rettangolo è stato saldato, senza però
attraversare l’orlo della superficie, si ritorna al punto si [di sic] partenza trovandosi sull’altra
faccia del rettangolo. La sfera, la semisfera, il toro e le superficie che si comportano allo
stesso modo si dicono “bilatere”, mentre quelle sulle quali, come sul nastro di Möbius,
non è possibile distinguere le due facce, si dicono “unilatere”. Le superficie unilatere si
dicono anche “ad indicatrice invertibile”. Con la denominazione “indicatrice” si designa
un piccolo cerchio di centro in un punto della superficie ed orientato in un certo verso.
Orbene se al punto, centro di un’indicatrice, si fa percorrere un cammino chiuso sulla
superficie, il cerchio non muta mai in verso se ritorna alla posizione di partenza con lo
stesso verso, qualunque sia il cammino, se la superficie è bilatera, mentre sulle superficie
unilatere esistono cammini chiusi che fanno cambiare il verso all’indicatrice, che, dopo
che il suo centro ha percorso un tale cammino, ritorna sul cerchio di partenza col verso
cambiato. Anche per la normale avviene qualcosa di simile. Si consideri una superficie oun modello topologico nell’S3 . In un punto si orienti la normale, indi si faccia percorrere
al punto un cammino chiuso sulla superficie, che non attraversi nè la superficie stessa nè
il bordo se la superficie ne è dotata. Se la superficie è bilatera, il verso della normale
non cambia, qualunque sia il cammino, mentre sulla superficie unilatera esistono camminiche fanno cambiare il verso della normale, che ritorna al punto di partenza, dopo aver
percorso uno di tali cammini, col verso opposto a quello di partenza. A noi interessano lesole superficie bilatere. Restringendo pertanto ad esse soltanto le nostre considerazioni ledistingueremo in “aperte” e “chiuse”, secondo che sono dotate o no di orli, secondo che cioèla triangolazione presenta o no lati scoperti. Essi coincidono con le superficie aperte e chiusegià definite analiticamente. Si dimostra cioè che ogni superficie aperta può rappresentarsi
41

analiticamente su un sol dominio piano connesso avente tanti contorni quanti sono gli orlidella superficie; mentre ogni superficie chiusa può rappresentarsi analiticamente su due
domini piani nel modo precisato. Una proprietà delle superficie chiuse è data dal fatto cheessa può venir divisa in due superficie aperte mediante tagli praticati su di essa seguendo
linee chiuse. La sfera, mediante un taglio chiuso, si riduce a due calotte sferiche, che sonodue superficie aperte, ciascuna ad un sol bordo, che è comune ad ambedue ed è la curva
lungo la quale si pratica il taglio. Il toro, mediante due tagli lungo due meridiani, si riduce
a due superficie aperte, ciascuna con due bordi, che sono gli stessi per entrambe. Questa
circostanza topologica trova corrispondenza nella diversa rappresentazione analitica dei due
tipi di superficie. Una superficie chiusa risulta difatti sempre composta di due superficie
aperte aventi lo stesso bordo. Segue ancora da ciò che da due superficie aperte [con n.d.c.]gli stessi orli se ne può ottenere una sola chiusa. Dal punto di vista topologico ciò si ottiene
mediante triangolazioni della superficie che abbiano gli stessi lati scoperti sugli orli comuni.
Dal punto di vista analitico occorre che le rappresentazioni analitiche delle due superficie
su due domini piani siano coerenti nel modo spiegato. Qualora dunque nella definizione disuperficie non si tiene conto di tale coerenza, se cioè si ripete la definizione data di superficie
chiusa senza però imporre la corrispondenza tra le frontiere dei due domini piani, si viene adefinire una superficie che consta di due superficie aperte, ma è anch’essa aperta. Abbiamo
già parlato della proprietà delle superficie consistente nella conservazione del verso dellanormale. Per le superficie chiuse a punti semplici sussiste però un teorema che permette didistinguere le due facce in “interna” ed “esterna” e che corrisponde al teorema di Jordan
relativo alle curve chiuse semplici:“ogni superficie chiusa a punti semplici divide lo spazio in due regioni connesse, chehanno per comune frontiera la superficie stessa e delle quali una sola è limitata e dicesi“interna” mentre l’altra, non limitata, dicesi “esterna””. Si consideri allora la retta

normale in un punto della superficie. Essa è divisa dal punto stesso in due semirette, dellequali una, almeno in un tratto limitato da un conveniente intorno del punto, è contenuta
nella regione esterna, l’altra nella regione interna. Il verso della prima semiretta è il verso
esterno della normale. Diamo qualche semplice esempio di superficie dell’S4 . Siano C1 e C2
due curve, semplici e chiuse, situate in due piani, nei quali indicheremo rispettivamente con
42(x1 , x2 ) e (x3 , x4 ) le coordinate correnti. L’insieme di tutti i punti (x1 , x2 , x3 , x4 ) ottenuti
al variare di (x1 , x2 ) su C1 e di (x3 , x4 ) su C2 , indipendentemente l’uno dall’altro, cioèl’insieme prodotto di C1 e C2 è evidentemente una varietà a due dimensioni dell’S4 . Si
vede facilmente che si tratta di una superficie. Essa è infatti equivalente ad un toro nell’S3 ,giacchè si può porre una corrispondenza biunivoca e continua tra essa e il toro nel modo
seguente: ciascuna delle due curve C1 e C2 essendo semplice e chiusa, è equivalente ad una
circonferenza. Fissato allora sul toro un parallelo si può porre in corrispondenza biunivoca
una delle due curve, per esempio la C1 ad ogni punto P di C1 corrisponde un punto P ′ sulparallelo. L’insieme dei punti (x̄1 , x̄2 , x3 , x4 ) della varietà, dove (x̄1 , x̄2 ) sono le coordinate
del punto P mentre il punto (x3 , x4 ) varia su C2 , è equivalente a C2 e come tale, si può
porre in corrispondenza biunivoca col meridiano del toro passante per P ′ . Al variare di P
su C1 il meridiano descrive il toro. Se invece di due curve chiuse si considerano su uno dei
piani, per esempio sul piano (x1 , x2 ) un arco, L, di curva semplice, e sull’altro piano una
curva semplice e chiusa C2 , l’insieme, Σ, prodotto è ancora una varietà a due dimensioni
dell’S4 ma si vede facilmente che si tratta di una superficie aperta a due bordi, equivalente
ad un cilindro aperto, cioè, per intenderci, ad una botte senza fondi. L’arco L difatti èequivalente ad un segmento e quindi si può porre in corrispondenza col segmento staccato
dagli orli del cilindro su una generatrice del cilindro stesso. Poichè la corrispondenza sia
biunivoca e continua occorre far corrispondere agli estremi di L gli estremi del segmento.
All’insieme dei punti di Σ che si ottengono accoppiando un punto, P , di L con i punti diC2 si può far corrispondere sul cilindro la circonferenza generatrice del cilindro passante
per il punto P ′ , corrispondente del punto P sul segmento di generatrice. Al variare di P su
L la circonferenza descrive il cilindro. I bordi, di Σ sono due e precisamente uno costituito
dall’insieme dei punti dell’S4 ottenuto accoppiando un estremo di L con i punti di C2 ,l’altro formato dall’insieme che si ottiene accoppiando ai punti di C1 l’altro estremo di L.
Consideriamo allora la varietà costituita dai punti dell’S4 che si ottengono accoppiando
un estremo di L con i punti del dominio limitato che ha per frontiera la curva C2 e l’altra
varietà che si ottiene accoppiando l’altro estremo di L con i punti dello stesso dominio. Esse
sono evidentemente due superficie aperte, ciascuna delle quali è equivalente ad un cerchio
e ciascuna avente per bordo uno dei bordi di Σ. Esse equivalgono quindi ai due fondi
43

della botte, immagine topologica di Σ. Le due superficie, cioè Σ ed i due suddetti fondi,
costituiscono una superficie chiusa topologicamente equivalente ad un cilindro chiuso, ossia
ad una botte completa, con i due fondi. È facile persuadersi che questa superficie, come uncilindro chiuso, si divide in due superficie aperte aventi un unico bordo comune ad entrambee rappresentabili in un cerchio. Ritornando ora all’integrazione, teniamo presente che, inbase alla proprietà additiva, l’integrale esteso ad una superficie chiusa è la somma di due
integrali doppi estesi ai due domini base della rappresentazione parametrica. Si chiama“forma bilineare” in tre variabili un’espressione del tipo:
A(x, y, z)dy dz + B(x, y, z)dx dz + C(x, y, z)dy dx.
La relazione:(A dy dz + B dz dx + C dx dy) =

S

=




 
∂(z, x)∂(x, y)∂(y, z)
+B
+C
du dv
A
∂(u, v)∂(u, v)∂(u, v)D(A cos α + B cos β + C cos γ)dσSdefinisce l’integrale di una forma bilineare esteso ad una superficie aperta S, di dominio
base D. La definizione di integrale di una forma bilineare esteso ad una superficie chiusa
si definirà, in base all’osservazione precedente, come somma di due integrali estesi ai due
domini base della rappresentazione parametrica della superficie. Qui però è necessaria
un’osservazione di carattere formale: l’integrale di una forma bilineare dipende dagli jaco∂(x,y)
è di segno opposto a quellobiani. Orbene un determinante jacobiano, per esempio ∂(u,v)∂(y,x)∂(u,v)

che si ottiene scambiando le due funzioni che intervengono a formarla. Dunquel’integrale dipende dall’ordine delle funzioni nei singoli determinanti jacobiani. Al fine ditogliere questa ambiguità, in una forma bilineare considereremo come essenziale l’ordine
dei differenziali nei singoli termini. Una tale forma la diremo “forma bilineare simbolica”
e parleremo, di conseguenza, dell’integrale di superficie di una forma bilineare simbolica,
intendendo che l’ordine delle funzioni negli jacobiani sia lo stesso dell’ordine dei rispettivi
differenziali nella forma. Alla forma bilineare simbolica può essere data un’espressionepiù simmetrica se si fa la convenzione di riguardare come non identici, bensı̀ opposti due
44

prodotti del tipo dy dz e dz dy. Con tale convenzione, il termine A dy dz può considerarsicome proveniente dalla somma: 21 A dy dz − 21 A dz dy. Questa ultima convenzione ci permette di poter definire una forma bilineare simbolica in n variabili mediante l’espressione
simmetrica:
1...n

con Aik = −Aki ;Aik dxi dxk

Akk = 0.

ik

Conveniamo una volta per sempre che parlando di forma bilineare senz’altra aggiunta,
intendiamo parlare di forma bilineare simbolica. Data una forma bilineare in n variabili larelazione:n

Aik dxi dxk =



n


Aik

D i,k=1

S i,k=1∂(xi , xk )du dv∂(u, v)dove D è un dominio connesso, ad uno o più contorni, base della rappresentazione parametrica della superficie S, definisce l’integrale della forma bilineare esteso ad una superficie
aperta dello spazio ad n dimensioni. Come si vede si estende formalmente la definizione
data nel caso di tre sole variabili. Analogamente si estende all’Sn la definizione di integraledi una forma bilineare esteso ad una superficie chiusa. Tenendo presente la definizione data
di superficie chiusa e perciò il significato dei due domini D e D′ , si comprende il significatodella relazione:n

Aik dxi dxk =S i,k=1



D+D′

n


Aik

i,k=1

∂(xi , xk )du dv.
∂(u, v)

Torniamo ora all’S3 e consideriamo l’integrale di una forma bilineare esteso ad una superficie Σ, chiusa e semplice:

A dy dz + B dx dz + C dx dyΣvogliamo vedere come è possibile trasformare questo integrale in un integrale di volume
mediante una formula analoga a quella di Green. Indichiamo con V il dominio limitatodell’S3 racchiuso dalla superficie Σ e consideriamo l’integrale triplo:∂Cdx dy dz.
V ∂z45

Le note formule di riduzione danno, con evidente significato dei simboli:∂Cdx dy dz =
V ∂z



dx dy

Vxy



∂C
dz.
Z(X,Y ) ∂z′

Essendo:(1 )si ha:

dx dy
Vxy



∂C
dz =
Z(X,Y ) ∂z∂Cdx dy dz =
V ∂z





C dx dy =ΣC cos γ dσ

ΣC dx dy =ΣC cos γ dσ.

Σ

Si ottiene cosı̀ l’estensione della formula di Gauss. Applicando lo stesso procedimento agli
altri due integrali∂Bdx dy dz
V ∂y



;

∂A
dx dy dzV ∂x

si ottengono relazioni analoghe. Sommando le tre relazioni si ha infine la formula:(A cos α + B cos β + C cos γ)dσ =

Σ

 
V

∂C
∂A ∂B
+
+
∂x
∂y
∂z



dx dy dz.

Si ricordi che l’espressione in parentesi nell’integrale a secondo membro prende il nome di“divergenza” del vettore che ha per componenti A, B, C. La formula ottenuta ci permette
di enunciare il teorema: “Se le tre funzioni A, B, C sono continue nel dominio V limitato
da una superficie, Σ, semplice e chiusa, generalmente regolare, e sono dotate di derivate
generalmente continue e limitate in V − Σ, se inoltre è nulla in V la divergenza del vettore
che ha per componenti le funzioni A, B, C:
∂C
∂A ∂B
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(1′ )

(4)

La relazione si ottiene facilmente nel caso particolare che la superficie Σ sia incon-

trata in due punti da ogni perpendicolare al piano (x, y) in un punto interno al dominio
Vxy proiezione della superficie stessa sul piano. Basta, una volta effettuata l’integrazione
semplice, operare il cambiamento di variabili u e v. Si passa poi al caso generale colsolito procedimento di dividere la superficie in porzioni, ognuna delle quali si trovi nelle
condizioni precedenti.
46

risulta nullo anche l’integrale della forma bilineare
A dy dz + B dx dz + C dx dy(5)esteso alla superficie Σ”. Si osservi che, nel teorema cosı̀ enunciato, figura una ipotesi
sovrabbondante sulle derivate, essendo sufficiente che soltanto le tre derivate parziali che
figurano nella (4) siano continue in V − Σ, oppure generalmente continue e limitate anche
nei punti di discontinuità. La superficie Σ essendo chiusa, l’integrale esteso ad essa equivale
alla somma di due integrali estesi ciascuno ad una superficie aperta, quando naturalmente
si tenga conto delle osservazioni essenziali sul verso del percorso nel bordo comune alle due
superficie aperte in corrispondenza del verso positivo sul piano (u, v). Si ha in sostanza,
indicando con Σ⋆ e Σ⋆⋆ le due superficie aperte che compongono Σ(A cos α + B cos β + C cos γ)dσ =Σ(A cos α + B cos β + C cos γ)dσ

Σ⋆

+



(A cos α + B cos β + C cos γ)dσ.

Σ⋆⋆

Questa osservazione ci permette di dare al precedente teorema la seguente forma: “Se nel
dominio limitato da due superficie aperte aventi lo stesso bordo le tre funzioni A, B, C
sono continue e nell’interno del dominio stesso sono generalmente continue le funzioni che
ottengonsi derivando A rispetto ad x, B rispetto ad y, C rispetto a z e queste ultime
risultando ivi limitate e se inoltre nel dominio è verificata la (4), i due integrali dellaforma bilineare (5) estesa alle due superficie sono uguali”. Nel teorema è contenuta una
condizione perchè l’integrale di una forma bilineare esteso ad una superficie non dipenda
dalla superficie, ma soltanto dal bordo, analoga alla nota condizione perchè l’integrale
curvilineo di una forma lineare non dipenda dalla curva ma solo dagli estremi. Il teorema
infatti equivale al seguente: “Se [in n.d.c.] un dominio, V , dell’S3 euclideo le funzioni
A, B, C sono continue e soddisfano alla (4), essendo generalmente continue le derivate
che compaiono nella (4) ed in V limitate, l’integrale della forma bilineare (5), esteso ad
una superficie aperta interna a V , non dipende dalla superficie, ma soltanto dal bordo”.
Passando all’Sn non è lecito estendere formalmente il risultato ottenuto, giacchè nell’Sn
47

una superficie chiusa non limita una porzione di spazio come una superficie dell’S3 . Sia S
una superficie dell’Sn definita mediante le equazioni:
xi = ϕi (P )per i = 1 2.....n(6)

con P (X, Y, Z) variabile su una superficie, Σ, dell’Sn , definita mediante due terne diequazioni del tipo:
X = X(u, v)

Y = Y (u, v)

Z = Z(u, v)(7)variando il punto (u, v) in due domini, D, D′ , tra le frontiere dei quali, per le (7) sussiste lacorrispondenza che fa di Σ una superficie chiusa dell’S3 . Consideriamo l’integrale di una
forma bilineare ad n variabili esteso alla superficie S, integrale definito dalla relazione:n

Aik dxi dxk =S i,k=1



n


Aik

D+D′ i,k=1∂(xi , xk )du dv.
∂(u, v)(8)

Le (6) sono funzioni di u e v mediante X, Y, Z, perciò è:∂(xi , xk ) ∂(Y, Z) ∂(xi , xk ) ∂(Z, X) ∂(xi , xk ) ∂(X, Y )∂(xi , xk )
=
·
+
·
+
·
∂(u, v)∂(Y, Z) ∂(u, v)∂(Z, X) ∂(u, v)∂(X, Y ) ∂(u, v)
sostituendo le espressioni cosı̀ ottenute nell’integrale del secondo membro della (8), si
ottiene, come è facile verificare, l’integrale della forma bilineare:
n


Aik

i,k=1

n

n

i,k=1

i,k=1



∂(xi , xk )∂(xi , xk )∂(xi , xk )dY dZ +dZ dX +
dX dY
Aik
Aik
∂(Y, Z)∂(Z, X)∂(X, Y )esteso alla superficie Σ dell’S3 , di cui S rappresenta un modello nell’Sn . Si ha cioèn

Aik dxi dxk =S i,k=1

n  ∂(xi , xk )∂(xi , xk )∂(xi , xk )dY dZ + Aik
dZ dX + Aik
dX dY .
Aik∂(Y, Z)∂(Z, X)∂(X, Y )
Σ

i,k=1

48

Le condizioni di annullamento dell’integrale a primo membro si riportano quindi alle condizioni di annullamento dell’integrale a secondo membro, condizioni che facilmente si deducono dal risultato precedentemente ottenuto nell’S3 . La condizione (4), quando in luogo
della (5), si consideri la (9), diventa:
n
n
n
∂ 
∂ 
∂(xi , xk )∂(xi , xk )∂(xi , xk )
∂ 
+
+
= 0.
Aik
Aik
Aik
∂X
∂(Y, Z)∂Y∂(Z, X)∂Z∂(X, Y )
i,k=1

i,k=1

i,k=1

Eseguendo le derivate con la regola delle funzioni composte e tenendo conto dell’identità
elementare:∂ ∂(xi , xk )∂ ∂(xi , xk )∂ ∂(xi , xk )++=0
∂X ∂(Y, Z)∂Y ∂(Z, X)∂Z ∂(X, Y )si ha:
n
∂Aik ∂(xi , xk ) ∂xl

i,k,l=1∂xl∂Aik ∂(xi , xk ) ∂xl∂Aik ∂(xi , xk ) ∂xl+·+·∂(Y, Z) ∂X∂xl∂(Z, X) ∂Y∂xl ∂(X, Y ) ∂Z



= 0.

Condizione questa che, come si vede, si riduce alla seguente:n∂Aik ∂(xi , xk , xl )=0
∂xl ∂(X, Y, Z)

i,k,l=1

la sommatoria essendo estesa alle disposizioni senza ripetizioni a tre a tre dei, numeri
1, 2, ....., n. Tenendo conto che, permutando tra loro gli indici i, k, l, il determinante funzionale cambia soltanto di segno e che anche Aik cambia di segno permutandone gli indici,si vede facilmente che la condizione si riduce alla seguente:

n

∂Aik

i,k,l=1

∂Akl
∂Ali
+
+
∂xl
∂xi
∂xk



∂(xi , xk , xl )∂(X, Y, Z)

dove la sommatoria è estesa alle combinazioni a tre a tre senza ripetizioni degli indici
1, 2, ...n. Se ora prendiamo tutte le xi costanti, ad eccezione di tre sole, concludiamo che,per tutte le superficie, per le quali le tre coordinate sono variabili, la condizione perchè siannulli l’integrale della forma bilineare è:
∂Aik
∂Akl
∂Ali
+
+
= 0.
∂xl
∂xi
∂xk
49

(10)

Queste relazioni, ripetute per tutte le terne, (combinazioni semplici) di variabili, costituiscono la condizione necessaria e sufficiente (localmente) perchè si annulli l’integrale esteso
ad una superficie chiusa. Abbiamo detto che la condizione è anche localmente sufficiente,
supposta cioè verificata la condizione, in una regione sufficientemente [piccola n.d.c.], dove
le funzioni Aik sono continue e dotate di derivate continue, l’integrale è nullo. La condizione
diventa sufficiente in grande quando al variare di (X, Y, Z) su Σ il punto (x1 , x2 , ...., xn)
non esce da un campo in cui le funzioni sono dotate di derivate generalmente continue elimitate, cioè quando la superficie S è il contorno di una varietà a tre dimensioni tutta
interna al campo dove le funzioni Aik soddisfano alle suddette proprietà. Quando una
superficie chiusa, S, si trova in tali condizioni rispetto alla forma bilineare si dice che èomologa a zero e si indica col simbolo: S ∼ 0. Dunque si può enunciare il teorema: “Le(10), verificate per tutte le terne di variabili, sono condizioni necessarie e sufficienti pernl’annullarsi dell’integrale della forma bilineare i,k=1 Aik dxi dxk esteso ad una superficie

chiusa dell’Sn , quando la superficie chiusa è omologa a zero”. Di qui si può ricavare lacondizione perchè l’integrale di una forma bilineare esteso ad una superficie aperta non
dipenda dalla superficie stessa ma soltanto dal contorno. Consideriamo due superficie, S ′ ,S ′′ , aventi lo stesso contorno. Rappresentiamole sopra un certo dominio del piano in modoche tra i contorni vi sia corrispondenza biunivoca con conservazione del verso del percorso.
È evidente che si ottiene una superficie chiusa, S, ponendo S = S ′ − S ′′ , e quindi è:n

Aik dxi dxk =S ′ i,k=1

n

Aik dxi dxk

S ′′ i,k=1

quando è S ∼ 0 cioè S ′ − S ′′ ∼ 0 ciò che si indica anche col simbolo S ′ ∼ S ′′ . Si
possono considerare superficie chiuse costituite da più superficie aperte. La condizione
per l’annullamento dell’integrale è che risulti omologa a zero tale superficie complessa.
Naturalmente, messi su questa via, acquistano significato anche i simboli 2S ∼ 0, nS ∼ 0
con n intero. E più in generale simboli del tipo nS +mS ′ +qS ′′ ∼ 0, che esprimono relazioni
di carattere gruppale e commutativo. Si noti che, in generale, dalla relazione nS ∼ 0 nonè lecito dedurre S ∼ 0. Se una superficie, S, è tale che risulti 2S ∼ 0, mentre non è
S ∼ 0 si dice che è divisore dello zero. Comunemente, da un punto di vista intuitivo, si
50descrive come omologa a zero una superficie che si può ridurre ad un punto o ad una curva
senza abbandonare il campo dove sono verificate le condizioni d’integrabilità della forma.
Avvertiamo infine che abbiamo preso in considerazione soltanto le superficie, perchè sonole varietà che ci interessano per lo scopo prefissoci, ma nozioni analoghe a quelle date nelpresente capitolo si possono avere partendo da altre varietà. Ritorniamo ora alle funzioni
analitiche per definire cosa debba intendersi per integrale di una funzione di due variabilicomplesse [esteso n.d.c.] ad una superficie S. Prendiamo in considerazione una funzione
di due variabili complesse:f (z1 , z2 ) = u(x1 , y1 , x2 , y2 ) + iv(x1 , y1 , x2 , y2 )si ha:f (z1 , z2 )dz1 dz2 = (u + iv)(dx1 + idy1 )(dx2 + idy2 ) = u(dx1 dx2 − dy1 dy2 )+−v(dx1 dy1 + dx2 dy2 ) + i {v(dx1 dx2 − dy1 dy2 ) + u(dx1 dy2 + dx2 dy1 )} .
Poniamo allora per definizione:f (z1 , z2 )dz1 dz2 ={u(dx1 dx2 − dy1 dy2 ) − v(dx1 dy2 + dx2 dy1 )}
S

S

+i



{v(dx1 dx2 − dy1 dy2 ) + u(dx1 dy2 + dx2 dy1 )} .

(11)

S

In tal modo l’integrale di una funzione di due variabili complesse, esteso ad una superficie
S, chiusa o aperta, dell’S4 , si pone uguale ad un numero complesso, di cui la parte reale edil coefficiente dell’immaginario sono due integrali di forme bilineari estesi alla superficie.
Determiniamo le condizioni perchè sia nullo l’integrale di una funzione di due variabilicomplesse esteso ad una superficie chiusa, oppure, ciò che è lo stesso, perchè l’integrale,esteso nella superficie aperta non dipenda dalla superficie, ma soltanto dal contorno. Dalladefinizione si deduce che perchè sia nullo l’integrale esteso ad una superficie chiusa S
occorre e basta che siano nulli entrambi gli integrali di forme bilineari estesi ad S, cheformano il secondo membro della (11). Poniamo per semplicità:x 1 = t1 ;y 1 = t2 ;x 2 = t3 ;51

y 2 = t4 ;(12)

la forma bilineare sotto il segno del primo integrale si scrive:u dt1 dt3 − v dt1 dt4 − v dt2 dt3 − u dt2 dt4 ,quindi, riferendosi ai simboli usati precedentemente è:

A12 = 0; A13 =1
1
1
1
u; A14 = − v; A23 = − v; A24 = − u; A34 = 0.
2222

Le condizioni (10), per n = 4, sono 4, cioè quante sono le combinazioni semplici dei quattro
indici 1, 2, 3, 4, a tre a tre. Esse sono precisamente:
∂u
∂v
+
=0
∂t1
∂t2

∂u
∂v
+
=0
∂t4
∂t3

−

∂u
∂v
+
=0
∂t1
∂t2

∂v
∂u
−
=0
∂t4
∂t3

le quali, tenendo conto delle (12) si riducono alle seguenti:
∂u
∂v
+
=0
∂x1 ∂y1

∂u
∂v
+
=0
∂y2
∂x2

−

∂u
∂v
+
=0
∂x1
∂y1

∂v
∂u
−
=0
∂y2
∂x2

che sono le condizioni di analiticità. Allo stesso risultato si perviene se si ricerca la forma
che assumono le (10) relativamente alla forma bilineare che compare nel secondo integrale
al secondo membro della (11). In definitiva, perchè la superficie S sia omologa a zero
relativamente alle due forme bilineari in questione occorre e basta che lo sia relativamente
alla funzione analitica f (z1 , z2 ) e cioè che sia il contorno di una varietà a tre dimensioni
tutta interna al campo di analiticità di questa funzione. Si deduce allora il teorema di
Cauchy-Poincaré: “condizione perchè l’integrale di una funzione analitica esteso ad una
superficie chiusa sia nullo è che la superficie sia omologa a zero, sia cioè il contorno di una
varietà a tre dimensioni interna al campo di analiticità della funzione”. Questo teoremaè l’estensione del teorema fondamentale di Cauchy per le funzioni olomorfe. Prendiamo
in considerazione una superficie della quale già abbiamo parlato precedentemente. Consideriamo cioè la curva, C1 nel piano delle z1 e C2 nel piano delle z2 , e diciamo C1 C2 lasuperficie costituita dall’insieme prodotto dei due insiemi C1 e C2 , superficie che, come abbiamo visto, è equivalente al toro. Orbene l’integrale esteso ad una tale superficie equivale52

a due integrali euclidei successivi, estesi alle due curve chiuse. Si ha cioè, come è facile
verificare:f (z1 , z2 )dz1 dz2 =

C1 C2



dz1

C1



f (z1 , z2 )dz2 .

(13)

C2

Ora teniamo presente che il campo di analiticità di f (z1 , z2 ) è un campo prodotto di un
campo A1 del piano z1 e di un campo A2 del piano z2 . La funzione f (z1 , z2 ) è analitica in
A se risulta analitica rispetto a z1 in A1 e rispetto a z2 in A2 . Di modo che, affinchè lasuperficie C1 C2 sia omologa a zero, occorre e basta che C1 sia il contorno di un dominio
tutto interno ad A2 . La (13) mostra allora che il teorema di Cauchy-Poincaré applicato
alla superficie chiusa C1 C2 non ci apprende niente di nuovo, giacchè anche prescindendoda questo teorema, l’integrale esteso alla superficie C1 C2 , se essa è omologa a zero, è nullo,
essendo nullo l’integrale curvilineo esteso a C2 che compare nel secondo membro della (13),in virtù del teorema fondamentale di Cauchy relativo alle funzioni di una sola variabile
complessa. Anzi possiamo dire addirittura che è nullo l’integrale esteso ad una superficie
aperta costituita dall’insieme prodotto di una curva chiusa, C, in uno dei piani delle z1
o delle z2 , e di un arco, L, di curva semplice nell’altro piano, qualora la curva C sia lafrontiera di un dominio tutto interno al campo di analiticità di f (z1 , z2 ) nel primo piano.
Si ha infatti, nell’ipotesi che C sia nel piano delle z2 ed L nel piano delle z1 :f (z1 , z2 )dz2 dz1 =
LC



L

dz1



f (z1 , z2 )dz2 .

C

OSSERVAZIONE:
Diciamo S una superficie chiusa S già precedentemente esaminata e che abbiamo visto
essere equivalente ad un cilindro chiuso ossia, volendo conservare l’immagine già adottata,ad una botte completa dei due fondi. Una tale superficie si ottiene sommando alla superficie
aperta LC di cui sopra, che è equivalente al cilindro aperto, alla botte senza fondi, i due
insiemi che sono equivalenti ai fondi, ossia i due insiemi di punti (z̄1 , z2 ) essendo z̄1 uno
degli estremi di L e z2 variabile in tutto il dominio limitato racchiuso da C. Siccome su
ciascuna di queste superficie aperte che si aggiungono ad LC è costante z1 si ha: dz1 = 0
53

per cui è:

f (z1 , z2 )dz1 dz2 =Sf (z1 , z2 )dz1 dz2 =

LC



dz1
L



f (z1 , z2 )dz2 .

(14)

C

Naturalmente se L si prende nel piano z2 e C nel piano z1 si ha la stessa relazione doveperò nel terzo membro della (14) si scambia dz1 con dz2 . Quest’ultima osservazione ci èutile per estendere alle funzioni di due variabili il teorema di Morera: “Se l’integrale diuna funzione di due variabili complesse, continua in un campo A esteso ad una qualsiasi
superficie chiusa omologa a zero, cioè contorno di una varietà a tre dimensioni tutta internaad A, è nullo, la funzione è analitica in A”. Indichiamo rispettivamente con A1 ed A2 i due
campi dei piani z1 e z2 , il cui prodotto da il campo A dello spazio a quattro dimensioni.
Supposto verificata l’ipotesi del teorema, prendiamo in considerazione la superficie chiusa
S di cui nell’osservazione precedente.
Qualunque sia una tale superficie, purchè omologa a zero, ossia purchè L sia in A1 , e C2
sia il contorno di un dominio connesso tutto interno ad A2 , si ha, in virtù della ipotesi:e quindi, per la (14):Lf (z1 , z2 )dz1 dz2 = 0S
dz1 C f (z1 , z2 )dz2 = 0: Fissata C in A2 questa relazione sussiste

qualunque sia L in A1 quindi è:

f (z1 , z2 )dz2 = 0

C

e cioè comunque si fissi C in A2 in modo che il dominio limitato che essa racchiude sia
interno ad A2 . Dunque, in virtù del teorema di Morera per le funzioni di una variabile
complessa la funzione f (z1 , z2 ) è analitica in A2 rispetto a z2 . Considerando invece lesuperficie S che si ottengono prendendo L in A2 e C in A1 si deduce ancora che la funzione
f (z1 , z2 ) è analitica in A1 rispetto a z1 , donde si conclude che la funzione f (z1 , z2 ) èanalitica nel campo A.

54

PARTE III - PUNTI ALL’INFINITO

Ci proponiamo di esporre i metodi escogitati per introdurre nello spazio delle n variabilicomplesse (z1 , z2 , ......, zn) i punti all’infinito e per definire una funzione analitica in tali
punti. Ricordiamo come si procede, nel caso delle funzioni di una variabile, per definire
l’olomorfia all’infinito. Il piano complesso, a differenza del piano proiettivo, si suppone
dotato di un sol punto all’infinito. Si fa cioè l’ipotesi che il punto z tenda ad un’unica
posizione limite comunque |z| tenda all’infinito. L’immagine topologica del piano complessoè la sfera, sulla quale un punto, polo della proiezione stereografica, corrisponde al punto
all’infinito del piano. Per definire il comportamento all’infinito di una funzione f (z) si
considera la trasformazione:
z′ =

1
z

(1)

mediante la quale f (z) si trasforma in una funzione, ϕ(z ′ ), della variabile z ′ . Si ha inoltre:
lim |z ′ | = 0.

|z|→∞

Se la funzione ϕ(z ′ ) risulta olomorfa e limitata nell’intorno dell’origine si dice che f(z) è olo′morfa all’infinito e come valore all’infinito le si attribuisce il valore di ϕ(z ′ ) nell’origine(1 ) .
Sinteticamente si può dire che il carattere olomorfo all’infinito viene definito come invariante rispetto alla trasformazione (1), nel senso che la funzione, mediante la (1) si trasforma
in una funzione olomorfa all’infinito. In luogo della trasformazione (1) si può prendere in(1′ )Si tenga presente qui il teorema di Riemann, diciamo che una funzione F (z), [oven.d.c.] con z indichiamo una o più variabile complessa, è olomorfa nell’intorno di un puntoz, se tale è in un intorno del punto, privato del punto stesso. Il teorema di Riemann per
le funzioni di una variabile è il seguente: “Se una funzione f (z) è olomorfa e limitata in
un intorno del punto z 0 , privato del punto stesso, e olomorfa in tutto l’intorno, nel senso
che esiste il limite di f (z) per z tendente a z 0 tale limite può assumersi come valore dif (z) in z 0 risultando la funzione cosı̀ prolungata olomorfa”. Il teorema sussiste anche perle funzioni di più variabili.
55considerazione la più generale sostituzione lineare:z′ =az + bcz + d(2)

e definire l’olomorfia all’infinito mediante l’invarianza rispetto alla (2). Avvertiamo subito
che la maggiore generalità che offre questa definizione rispetto alla prima, che si riferisce
alla particolare sostituzione (1) è soltanto apparente. Tuttavia questa nuova definizione
si presta ad un’interpretazione geometrica. Si può considerare z come l’ascissa di un
punto variabile nella retta proiettiva complessa. Mediante il noto metodo delle coordinate
proiettive omogenee (z, z1 ) si introduce nella retta il punto all’infinito (z, 0). La (2) èl’equazione della proiettività sulla retta. Essa, in coordinate omogenee equivale alle due
equazioni:z0′ = az0 + bz1

z1′ = cz0 + dz1

geometricamente il risultato precedente equivale a dire che l’olomorfia all’infinito di una
funzione f (z) si riguarda come invariante rispetto alle proiettività sulla retta proiettiva
complessa. Nel cercare di estendere le precedenti considerazioni alle funzioni di più variabili si vede subito che si possono seguire varie vie. Ci si può riferire alle trasformazioni
applicate o separatamente alle singole variabili o al complesso delle variabili come coordinate proiettive dello spazio proiettivo complesso ad n dimensioni. Si hanno cosı̀ due punti
di vista: quello dell’analisi e quello della geometria, ciascuno dei quali porta ad un risultato logicamente accettabile. Esaminiamo separatamente. Punto di vista dell’analisi:
questo punto di vista risale a Weierstrass e da luogo al seguente metodo di introdurre i
punti all’infinito dello spazio delle n variabili complesse. Limitandoci per ora al caso didue variabili, consideriamo le due trasformazioni:
z1′ =

1
;
z1

z2′ =

1
.
z2

(3)

Indichiamo con ϕ1 (z1′ , z2 ) la trasformata della funzione analitica f (z1 , z2 ) per effetto dellaprima delle (3). Se tale funzione nello intorno del punto (0, z2 ) è analitica e limitata diremo
che la funzione f (z1 , z2 ) è analitica nel punto all’infinito (∞, z2 ). Analogamente detta56ϕ2 (z1 , z2′ ) la funzione trasformata della f (z1 , z2 ) mediante la seconda delle (3), chiameremo
analitica la funzione f (z1 , z2 ) nel punto all’infinito (z1 , ∞), se la funzione ϕ2 (z1 , z2′ ) èanalitica e limitata nell’intorno del punto (z1 , 0). Infine indichiamo con ϕ(z1′ , z2′ ) la funzione
nella quale si trasforma la f (z1 , z2 ) quando si applicano entrambe le (3). Se tale funzione èanalitica e limitata nell’intorno dell’origine (0, 0) si dirà che la f (z1 , z2 ) è analitica nel punto
all’infinito (∞, ∞). Cosı̀ operando si definiscono infinite posizioni limiti del punto (z1 ; z2 ),che si ottengono quando |z1 | o |z2 | tendono ad un limite, uno almeno dei quali è infinito.
Più precisamente, quando si considera |z1 | → ∞ e z2 variabile nel proprio piano si vienea definire un piano di punti impropri, al quale naturalmente appartiene il punto posizione
limite per |z2 | → ∞, cioè il punto (∞, ∞). Tale piano ha per immagine topologica una
sfera sulla quale un punto, che chiameremo polo corrisponde al punto improprio suddetto(∞, ∞). Analogamente si ha un altro piano di punti impropri per |z2 | → ∞. A tale
piano appartiene ancora il punto (∞, ∞). In definitiva i punti all’infinito costituiscono
due piani, un insieme topologicamente equivalente a due sfere con punto comune. Taleinsieme chiude lo spazio S4 delle due variabili complesse (z1 , z2 ); da questo punto di vista
questo spazio chiuso all’infinito, differisce dall’S4 proiettivo, che all’infinito è chiuso da
un S3 . Le definizioni di punto all’infinito e di analiticità della funzione in tale punto si
può [possono sic] opportunamente compendiare dicendo che per una funzione f (z1 , z2 )l’analiticità nell’insieme dei punti all’infinito dello spazio S4 delle due variabili complesse(z1 , z2 ) si riguarda come invariante rispetto alle due trasformazioni definite dalle (3), siainsieme che separatamente applicate. Anche qui, invece delle (3), si possono prendere inconsiderazione le più generali sostituzioni lineari rispetto alle singole variabili:z1′ =a1 z1 + b1
c1 z1 + d1z2′ =a2 z2 + b2
c2 z2 + d2

ma, ancora una volta, la maggiore generalità è soltanto formale. Come si vede z1 e z2 vengono considerate separatamente su due rette proiettive complesse, in ciascuna delle quali,
mediante le coordinate omogenee, sia stato introdotto il punto all’infinito. Un metodopiù moderno per introdurre i punti all’infinito nello spazio delle due variabili complesse si
ha considerando le due variabili come coordinate correnti del piano complesso proiettivo.
Tale metodo deriva dal: punto di vista della geometria: consideriamo dunque z1 e z2
57

come le coordinate di un punto del piano proiettivo complesso. Mediante le coordinate
omogenee (z0 , z1 , z2 ) introduciamo nel piano i punti all’infinito, che si definiscono come ipunti la cui prima coordinata, z0 , è nulla. Si tenga presente che le coordinate omogenee
sono determinate a meno di un fattore di proporzionalità e che le coordinate non omogenee
corrispondenti sono: ( zz01 , zz20 ) consideriamo le trasformazioni omografiche del piano siffatto,
trasformazioni definite dalle equazioni in coordinate non omogenee:z1′ =a10 + a11 z1 + a12 z2
a00 + a01 z1 + a02 z2z2′ =a20 + a21 z1 + a22 z2
a00 + a01 z1 + a02 z2(5)

equazioni che, in coordinate omogenee, equivalgono alle tre seguenti:zi′ = ai0 z0 + ai1 z1 + ai2 z2 per i = 0, 1, 2

(6)

diremo allora che la funzione f (z1 , z2 ) è analitica anche nei punti all’infinito se la sua
analiticità è invariante rispetto alle omografie del piano proiettivo complesso. In altri
termini, applicando le (5) la f (z1 , z2 ) si trasforma in una funzione g(z1′ , z2′ ) che deve essere
analitica. Più precisamente dovrebbe dirsi: la funzione f (z1 , z2 ), con l’introduzione delle
coordinate omogenee si trasforma in una funzione F (z0 , z1 , z2 ). Applicando le (6) questa
si trasforma in un’altra G(z0′ , z2′ , z2′ ), cui corrisponde g(z1′ , z2′ ) mentre i punti (z0 , z1 , z2 )si trasformano nei punti (1, z1′ , z2′ ) nei quali la funzione g(z1′ , z2′ ) risulta analitica. I punti
all’infinito del piano proiettivo complesso sono una semplice infinità complessa, insieme
topologicamente equivalente ad una sfera. Ne segue che i punti all’infinito dello spazio
reale S4 delle due variabili complesse sono una doppia infinità. Lo spazio delle due variabilicomplesse, al metodo testè esposto, viene dunque chiuso da un piano-sfera e differisce perciò
dall’S4 proiettivo che è chiuso da un S3 . Un’illustrazione intuitiva di ciò si ha dalle seguenti
considerazioni, alle quali ora accenniamo, riservandoci di ritornarci su. Nello spazio aquattro dimensioni da noi preso in considerazione i piani sono dati da una equazione deltipo az1 + bz2 + c = 0 o dalle due reali che se ne ricavano. Tali piani non costituiscono tutti
i piani dell’S4 , non potendo variare indipendentemente i coefficienti delle quattro variabili.
Sono dunque dei piani speciali, che vengono chiamati piani caratteristici. Quindi: nello
spazio a quattro dimensioni delle due variabili complesse v’è una doppia infinità complessa58

di piani caratteristici dell’S4 . Ognuno di essi ha una retta all’infinito dal punto di vista
geometrico, un solo punto se ci poniamo dal punto di vista del piano complesso. Dunque:∞2 piani e perciò ∞2 rette improprie, ciascuna delle quali si deve immaginare contrattain un punto solo, donde segue che si ha una doppia infinità di punti che costituiscono il
piano-sfera dei punti all’infinito. Dalla esposizione fatta dei due metodi si vede la differenza
dei risultati. I due punti di vista, quello dell’analisi e quello della geometria, i quali, nelcaso di una sola variabile portano allo stesso risultato, nel caso di due variabili portanoa risultati differenti. Il secondo metodo si estende naturalmente al caso di più variabili,
considerando lo spazio proiettivo complesso ad n dimensioni, in esso si introducono i punti
all’infinito mediante le coordinate omogenee (z0 , z1 , ..., zn) e postulando l’analiticità dellafunzione rispetto alle omografie di tale spazio, omografie le cui equazioni sono del tipo:

aki ziper k = 1, 2, ...., nzk′ = a0i zied equivalgono alle n + 1 seguenti in coordinate non [
zk′ =

n


sic] omogenee

aki zi per k = 0, 1, ...., n.

i=0

Se si vuole estendere il metodo derivante dal punto di vista dell’analisi bisogna considerare
una sostituzione lineare per ogni variabile e poi supporre applicate tali sostituzioni sia
separatamente che a due a due, a tre a tre ecc.
Il punto di vista geometrico è il più comodo e perciò ci atterremo ad esso. Intuitivamente,
infatti, il punto di vista dell’analisi sembrerebbe meno artificioso e più conveniente. Con
esso non si fa altro che considerare i due piani delle variabili complesse, ciascuno col proprio punto all’infinito, ed accoppiare ogni punto del piano della prima variabile con ciascun
punto del piano della seconda, ottenendosi un punto all’infinito quando almeno uno dei
due punti è all’infinito del proprio piano. Tenendo presente inoltre che un piano complesso
si rappresenta su di una sfera, se ne deduce che i punti dello spazio a quattro dimensionidelle due variabili complesse trovano rappresentazione come una varietà, tutta al finito,
semplice e regolare, cioè due sfere. Ad ogni punto del suddetto spazio a quattro dimensioni corrisponde una coppia di punti, di cui uno sulla prima sfera, l’altro sulla seconda.
59

L’introduzione dei punti all’infinito dal punto di vista della geometria sembra invece presentarsi come meno naturale e meno convincente. Ed infatti, mentre l’S4 proiettivo ha
all’infinito un S3 nello spazio a quattro dimensioni delle due variabili complesse abbiamo
sostituito l’S3 con un piano-sfera, e non abbiamo ancora visto come lo spazio, cosı̀ chiusoall’infinito, si possa riportare tutto al finito, si possa cioè rappresentare su di una varietà,semplice e regolare, tutta al finito. Ci proponiamo ora di occuparci precisamente di questo
argomento, di far vedere cioè come lo spazio delle variabili complesse trova rappresentazione su di una varietà semplice e regolare, la quale si presenta come la più naturale
estensione alle due variabili della sfera complessa sulla quale si rappresenta il piano di una
variabile complessa. Teniamo presente che lo spazio a quattro dimensioni reali delle due
variabili complesse corrisponde, nel modo precedentemente illustrato, al piano proiettivo
complesso, nel quale le due variabili complesse sono le coordinate correnti non omogenee.
Prendiamo in considerazione due piani proiettivi complessi. Indicheremo con z un puntodel primo piano e con (z0 , z1 , z2 ) le sue coordinate, mentre designeremo con z ′ un puntodel secondo piano, nel quale (z0′ , z1′ , z2′ ) sono le coordinate correnti. Dati due punti, z e z ′ ,facciamo tutti i nove prodotti che si possono effettuare tra una coordinata di z e una diz ′ . Poniamo quindi:
Zhk = zh zk′ per h, k = 0, 1, 2.

(7)

Le nove quantità Zhk sono, come le zh e le zk′ , definite a meno di un fattore di proporzionalità. Esse perciò si possono interpretare come le coordinate di un punto, Z, dello spazioa otto dimensioni. Alla coppia di punti z e z ′ corrisponde dunque mediante le (7) un puntodell’S8 proiettivo complesso. Al variare di z e z ′ rispettivamente nel proprio piano, il punto
Z, descriverà nell’S8 una varietà quadrimensionale, giacchè sia z che z ′ variano ciascunasu di un piano, cioè in un ente a due dimensioni complesse. Le (7) rappresentano pertanto
una varietà V4 a quattro dimensioni nell’S8 proiettivo complesso. Essa chiamasi la “varietà
di Segre”. Esaminiamo qualche proprietà di questa V4 . Se nel primo piano complesso si
fissa il punto (z0 , z1 , z2 ) le (7) diventano equazioni lineari omogenee nelle zk′ e, come tali
rappresentano un piano dell’S8 . Quindi ad ogni punto del primo piano corrisponde un
piano sulla V4 . La varietà di Segre contiene allora una doppia infinità complessa di piani.
Analogamente un’altra doppia infinità di piani della V4 corrisponde alla doppia infinità di60

punti del secondo piano, ottenendosi un piano di questa seconda infinità fissando un puntoz ′ nel secondo piano e facendo variare il punto z nel primo piano. Ognuno di questi sistemi∞1 di piani è una schiera, data la corrispondenza tra gli elementi del sistema e di punti diun piano. Dunque “la varietà di Segre contiene due schiere di piani”. Due piani della stessa
schiera non hanno punti comuni, mentre due piani appartenenti a schiere diverse hanno un′

sol punto in comune.(1 ) Da questo punto di vista la varietà di Segre si presenta come una(1′ )Questa asserzione è di facile verifica: due piani della stessa schiera, per es. dellaprima, corrispondono a due punti distinti ξ(ξ0 , ξ1 , ξ2 ) η(η0 , η1 , η2 ) nel piano delle z. Le
loro equazioni sono quindi Zhk = ξh zk′ ; Zhk = ηh zk′ . Poichè due piani abbiano un
punto comune dovranno esistere due sistemi di valori delle zk′ , cioè due punti del piano z ′ ,ξ ′ (ξ0′ , ξ1′ , ξ2′ ) η ′ (η0′ , η1′ , η2′ ) tali da risultare:ξh ξk′ = m ηh ηk′ .

(8)Nell’ipotesi che le ηh e ξh sono tutte non nulle, queste relazioni ci assicurano che anche leηk′ e ξk′ devono essere non nulle. Inoltre è:ξk′ /ηk′ = m ηh /ξhe ciò per tutti i valori di h, k indipendentemente, cioè deve essere:
ξk′
η0
η1
η2
=m =m =m
ηk′
ξ0
ξ1
ξ2
ossia: η0 = aξ0 , η1 = aξ1 , η2 = aξ2 , ciò che è contro l’ipotesi che i punti ξ ed η siano
distinti. Il risultato non cambia se una delle ξk o delle ηh è nulla. Le (8) infatti mostrano
che qualora una delle ηh è nulla, tale deve risultare anche la corrispondente ξh e viceversa.
Supposto ηh = 0 nelle (8) si hanno le relazioni ξh ξi′ = 0 i = 0, 1, 2 le quali non potendo
essere ξ0′ = ξ1′ = ξ2′ = 0 importano ξh = 0. Due piani di diverse schiere corrispondono a due
punti ξ(ξ0 , ξ1 , ξ2 ) η ′ (η0′ , η1′ , η2′ ) di piani differenti, ed hanno allora le equazioni Zhk = ξh zk′ ;Zhk = zh ηk′ e si vede subito che si può avere ξh zk′ = zh ηk′ solo ponendo a meno di un
fattore zk′ = ηk′ zh = ξh di modo che si ha l’unico punto comune di coordinate Zhk = ξh ηk′ .
61′estensione ben naturale delle quadriche dell’S3 .(2 ) Sia ora fissato il punto z ed il punto z ′vari, invece che su tutto il piano, su di una retta di questo. In corrispondenza si avrà sulla
V4 una V1 , cioè una curva. Se z e z ′ descrivono ciascuno una retta al proprio piano, si avrà
in corrispondenza sulla V4 una V2 , cioè una quadrica. Ad ogni coppia di rette corrispondedunque una quadrica. Essendo ∞2 le rette di un piano le quadriche della V4 sono ∞4 . “Lavarietà di Segre contiene una quadruplice infinità complessa di quadriche”. Ricerchiamo
ora l’ordine della V4 . Ricordiamo che se Vm , [è n.d.c.] ad m dimensioni nell’Sn , il suo
ordine è dato dal numero delle sue intersezioni con una varietà lineare che abbia n − mdimensioni. Pertanto l’ordine di una varietà quadrimensionale dell’S8 è il numero delle sueintersezioni con una varietà lineare quadrimensionale. Una varietà lineare k-dimensionale
nell’Sn si rappresenta mediante n − k equazioni lineari. Nel nostro caso una varietà linearequadrimensionale dell’S8 si assegna mediante le quattro equazioni:
8

ahk Zhk = 0 per h = 0, 1, 2, 3.

(10)

k=0

Per calcolare l’ordine di una varietà è lecito, in virtù di un principio di geometria algebrica,
detto “principio della conservazione dell’ordine”, riferirci ad una varietà lineare di forma
particolare, opportunamente scelta, ansichè ad una generica. Orbene noi ci riferiremo alle(2′ )Siano date due rette proiettive complesse ed indichiamone rispettivamente con (z0 , z1 ),(z0′ , z1′ ) le coordinate correnti. Mediante le relazioni:′= zh zk′ per h, k = 0, 1
Zhk

(9)

ad ogni coppia di punti, presi uno sulla prima retta l’altro sulla seconda, corrisponde un
punto Z dell’S3 . Le (9) sono dunque le equazioni di una varietà, V2 , bidimensionale dell’S3 .
Fissati il punto (z0 , z1 ) le (9) rappresentano una retta. Analogamente se si fissa il punto(z0′ , z1′ ). Dunque la V2 contiene due sistemi semplicemente infiniti di rette. Due rette si
incontrano in un punto solo se appartengono a sistemi differenti. La varietà è dunque una
quadrica ed i suddetti sistemi di rette sono il sistema delle direttrici ed il sistema delle
generatrici.
62varietà per le quali nelle equazioni (10) che la rappresentano, si ha: ahk = αh α′k . Si tratta
dunque di determinare il numero delle intersezioni della V4 con:8αh α′k Zhk = 0 h = 0, 1, 2, 3.

(11)

k=0

Il sistema da prendersi in considerazione è quello formato dalle equazioni (7) ed (11).
Eliminando le Zhk si ha k αh α′k zh zk′ = 0 ossia: αh zh k α′k zk′ = 0. Si hanno quattro

equazioni, ciascuna delle quali ha a primo membro il prodotto di due fattori. Ad ogni
equazione si può pertanto soddisfare annullando l’uno o l’altro dei due fattori. Le zhsono tre ma compaiono in forma omogenea, quindi per determinare un sistema delle zh
occorrono due equazioni. Analogamente occorrono due equazioni lineari per determinare,
sempre a meno di un fattore, un sistema di zk′ . Ne segue che per risolvere il suddetto
sistema di equazioni lineari nelle zh , zk′ si annullano in due equazioni i fattori contenenti
le zh e nelle altre due i fattori nelle zk′ , ottenendosi in tal modo due sistemi di equazioni
lineari, in tre incognite, le quali risultano in tal modo determinate a meno di un fattore di

proporzionalità. Si hanno allora tante soluzioni quante sono le combinazioni delle quattro
equazioni a due a due. Dunque: “la varietà di Segre è di ordine sei”. Riassumendo: “lavarietà di Segre è una varietà quadrimensionale, di ordine sei, nell’S8 proiettivo complesso,
contenente due schiere di piani complessi, tali che due piani si incontrano in un punto
soltanto se non appartengono alla stessa schiera, contenente inoltre un sistema ∞4 diquadriche”. I punti di tale varietà sono in corrispondenza biunivoca con le coppie di puntidi due piani proiettivi complessi, corrispondenza che ne subordina altre tre, due tra i pianidelle due sudette schiere ed i punti dei due piani proiettivi, la terza tra le ∞4 quadrichedella varietà e le coppie di rette dei due piani. Evidentemente nella corrispondenza tra i
punti della varietà di Segre e le coppie dei punti dei due piani proiettivi nulla vieta che idue piani siano sovrapposti. Si può parlare cioè di corrispondenza tra i punti della V4 ele coppie dei punti di un piano proiettivo complesso. Vediamo ora quali sono i punti dellavarietà di Segre che corrispondono ad alcune particolari coppie di punti dei due piani,
sovrapposti o no; cioè alle coppie che si ottengono associando ad ogni punto del piano z il
punto del piano z ′ che ha per coordinate i complessi coniugati delle coordinate del punto di63

z. Basta porre nelle (7) zh′ = z̄h . Si ottiene allora che le coordinate dei punti corrispondenti
sulla varietà di Segre alle suddette coppie di punti sono: Zhk = zh z̄k ovverosia Zhk = Z̄kh .
Dunque: “ad ogni coppia di punti coniugati corrisponde sulla varietà di Segre un punto lecui coordinate sono a due a due coniugate, risultando naturalmente autoconiugate, e perciò
reali, le coordinate ad indici uguali”. Viceversa dato sulla varietà di Segre un punto le cui
coordinate ad indici distinti sono a due a due coniugate, mentre sono reali le corrispondenti′

coordinate ad indici uguali, a tale punto corrisponde una coppia di punti coniugati.(1 )′[(1 ) La verità di tale affermazione risulta senz’altro dalla verità dell’inverso e dal fatto chela corrispondenza che sussiste tra i punti delle varietà e le coppie dei punti è biunivoca.
Tuttavia si può anche dimostrarla direttamente. Siano:
Zhk = zh zk′(12)

le coordinate di un punto della varietà V4 e supponiamo che sia:Z̄hk = Zkh Zhh = numero reale(13)

dobbiamo far vedere che deve essere:zh = z̄h′ per h = 0, 1, 2.

(14)

Poniamo: zh = xh + iyh , zk′ = x′k + iyk′ . Le seconde delle (13) importano che risultino
reali i numeri (xh + iyh )(x′h + iyh′ ) per h = 0, 1, 2. Ciò equivale a dire che risultano
nulli i coefficienti dell’immaginario xh yh′ + x′h yh = 0, da cui deduciamo che deve essere:x′h = Ah xh , yh′ = −Ah yh . Trattandosi di coordinate omogenee, le (14) risultano verificate
se è A0 = A1 = A2 . Per due distinti valori si ha:
Zhk = zh zk′ = Ak (xh xk + yh yk ) + i(xk yh − xh yk ) ;
Zkh = zk zh′ = Ah (xk xh + yk yh ) + i(xh yk − xk yh )(15)

e dovendo risultare Zhk = Z̄kh come richiedono le prime delle (12) ciò si può ottenere
soltanto se è: Ak = Ah .]64

Da queste corrispondenze se ne deduce un’altra mediante un opportuno cambiamento
immaginario di coordinate. Prendiamo un punto avente le coordinate Zhk a due a due
coniugate e chiamiamo Xhh le coordinate autoconiugate, cioè reali poniamo cioè Zhh =Xhh . Consideriamo inoltre le coppie di coordinate coniugate Zhk e Zkh . Per prenderetutte le coppie una sola volta basta evidentemente prendere tutte le Zhk con h < k.
Chiamiamo Xhk ed Xkh rispettivamente la parte reale ed il coefficiente dell’immaginario
di Zhk . Poniamo cioè:
Xhk =



1
1
Zhk + Zkh ; Xkh =Zhk − Zkh ; Xhh = Zhh h, k = 0, 1, 2 h < k.
22i

Si hanno cosı̀ nove numeri reali, determinati a meno di un fattore, cioè le coordinate di un
punto dell’S8 , il quale appartiene ancora alla varietà di Segre. In tal modo ad ogni coppia
di punti coniugati z e z̄ corrisponde un punto reale della varietà di Segre. Inversamente,[sia n.d.c.] dato un punto reale della varietà di Segre mediante le sue coordinate Xhk perh, k = 0, 1, 2. Operiamo il cambiamento immaginario di coordinate:
Zhk = Xhk + iXkh , Zkh = Xhk − iXkh , Zhh = Xhh per h = k. Si ha un punto della varietà
di Segre, le cui coordinate ad indici diversi sono a due a due coniugate, mentre sono reali
quelle ad indici uguali. A tale punto corrisponde una coppia di punti coniugati. Pertanto
ad ogni punto reale della varietà di Segre corrisponde una coppia di punti coniugati. In
conclusione, riguardandosi due piani proiettivi complessi come coincidenti, riguardandocioè le (z0 , z1 , z) come le coordinate di un punto di un piano proiettivo complesso, e le(z̄0 , z̄1 , z̄2 ) come coordinate di un altro punto dello stesso piano, punto che diremo coniugato
al precedente il risultato ottenuto ci autorizza ad affermare: “tra i punti del piano proiettivo
complesso ed i punti della varietà di Segre sussiste una corrispondenza biunivoca senzaeccezioni”. La varietà di Segre, con i suoi punti reali rappresenta per una coppia divariabili complesse ciò che la sfera, con i suoi punti reali rappresenta per una sola variabile
complessa. Dal punto di vista geometrico si ha cosı̀ la più naturale estensione della sfera
complessa nel campo delle due variabili complesse. Perchè l’analogia appaia più evidente
esaminiamo ancora la varietà di Segre con i suoi punti reali. Ricaviamo che, fissato un
punto z e facendo variare z ′ si ottiene un piano della varietà di Segre, piano complesso, checontiene però il punto che corrisponde sulla varietà alla coppia di punti ottenuti quando z ′65è il coniugato del fissato punto z. Esso è l’unico punto reale contenuto nel piano, giacchèogni altro punto reale della varietà non può corrispondere allo stesso z. Analogamente
se si fissa il punto z ′ e si fa variare z si ottiene sulla V4 un piano, contenente un sol
punto reale. Dunque per ogni punto reale della V4 passano due piani complessi coniugati,
aventi quel unico punto in comune. La varietà di Segre, con i suoi punti reali, risulta
dunque come il luogo dei punti intersezioni dei piani di due schiere complesse. Essa perciò
si presenta nell’S8 come l’analoga delle quadriche ellittiche dell’S3 . Pertanto: la varietà
di Segre, che si assume come immagine reale dei punti del piano proiettivo complesso è
una varietà ellittica come lo è la sfera che si assume l’immagine reale dei punti della retta
complessa. La varietà contiene inoltre un sistema di quadriche ellittiche, ognuna delle qualisi ottiene facendo variare il punto z su di una retta ed il punto z ′ sulla retta coniugata.
La sfera rappresentativa dei punti di una retta complessa è tutta al finito. Per mezzo diun’opportuna trasformazione omografica possiamo ridurre la varietà di Segre tutta al finito.
In tal modo le quadriche ellittiche in essa contenute si trasformano tutte in ellissoidi. Per
determinare una trasformazione omografica adatta allo scopo prefissoci ricordiamo quantosi fa per le curve nel piano. Per trasformare una curva piana avente punti all’infinito in
un’altra tutta al finito si opera con una trasformazione omografica che trasforma in retta
all’infinito una retta che non ha punti reali in comune con la curva. Analogamente, per
trasformare una varietà dell’Sn in un’altra tutta al finito basta scegliere una trasformazione
omografica che porta all’infinito un Sn−1 che non ha punti comuni con la varietà. Venendo
al nostro caso, la varietà di Segre si trasforma in una varietà tutta al finito mediante un
S7 dell’S8 che non ha in comune con la varietà alcun punto reale. Consideriamo l’S7 di2equazione h,k=0 ahk Zhk = 0 con ahk = ākh e determiniamo i coefficienti in modo che nonvi siano intersezioni tra l’S7 e la varietà di Segre reale, le cui equazioni sono Zhk = zh z̄k .
2Eliminiamo le Zhk , si ha:h,k=0 ahk zh z̄k = 0. Il primo membro di questa relazione è

costituito da una forma hermitiana. Basta porre ahk = 0 per h = k e ahk = 1 per h = k
2perchè la forma diventi: h,k=0 zh z̄k che è definita positiva e, come tale non nulla. Basta

perciò prendere l’S7 definito dalle equazioni:2

Zhk = 0h=066

come spazio limite dell’omografia perchè la V4 reale si trasformi in una V4 che non ha punti
di intersezione con l’S7 all’infinito. Otteniamo in tal modo una varietà tutta al finito, cherappresenta i punti del piano complesso proiettivo. Mostriamo ancora che la varietà diSegre è priva di punti singolari. Se applichiamo un’omografia al piano delle z ed un’altra
al piano delle z ′ , si otterrà nell’S8 una trasformazione che trasforma la varietà di Segre in sestessa. Anzi è evidente che si possono scegliere le due omografie in modo da far corrispondere ad un dato punto un altro punto scelto ad arbitrio: Se poi consideriamo i soli punti
reali della varietà, possiamo ottenere ugualmente una trasformazione della varietà reale
in se stessa applicando alle zk una trasformazione omografica ed alle zk′ la trasformazione
coniugata. A zk corrisponderà cosı̀ il coniugato del trasformato di zh . Ad un punto realedella V4 corrisponde un punto egualmente reale e si vede subito che la trasformazione è, diconseguenza, la sua coniugata. [Le trasformazioni n.d.c.] possono essere scelte in modo daportare un determinato punto in un qualsiasi altro punto. Si tratta di trasformazioni dellavarietà di Segre in se stessa, trasformazioni, le quali, come le omografie piane, formano
gruppo, risultando un gruppo transitivo. Potendosi trasformare un punto in un qualsiasi
altro e non essendo, d’altra parte, possibile trasformare un punto singolare in un altro non
singolare, ne segue che la varietà di Segre è priva di punti singolari. Esaminiamo un pò letrasformazioni che trasformano la varietà di Segre in se stessa. Come si è detto, alle trasformazioni proiettive nei due piani, delle zh e delle zk′ corrispondono nell’S8 trasformazioni
proiettive che trasformano in se la varietà di Segre. Le trasformazioni che mutano la varietà reale in se si ottengono assoggettando i punti z del primo piano ad un’omografia ed i
punti z ′ del secondo piano alla omografia coniugata. I parametri, cioè i coefficienti, di una
omografia sono nove, ma intervengono in forma omogenea, perciò sono otto non omogenei,e, di conseguenza, sedici reali. Si hanno pertanto ∞16 trasformazioni che mutano la varietà
di Segre in se stessa e che corrispondono alle trasformazioni proiettive nel piano proiettivo
complesso. Si tratta dunque proprio di quelle trasformazioni del piano delle due variabilicomplesse, rispetto alle quali abbiamo postulato la invarianza dell’analiticità delle funzioni
quando abbiamo introdotto i punti all’infinito. La varietà di Segre contiene due schierecomplesse di piani. Un piano della prima schiera si ottiene fissando le zh e facendo variare
le zk′ nel proprio piano, un piano della seconda schiera si ottiene facendo variare soltanto le67

zh . Le trasformazioni suddette sono tali da trasformare ogni piano di una delle due schierein un piano della stessa schiera. Esse infatti risultano dal prodotto di due omografie, unadelle quali trasforma in se il piano delle zh , l’altra trasforma in se il piano delle zk′ . Vi sono
altre trasformazioni che mutano la varietà di Segre in se stessa. Si possono assoggettare
le zh ad un’omografia e le zk′ ad un’altra omografia, indi scambiare le variabili. Alle zk′
si fanno corrispondere altre variabili ξk′ , analogamente le zh si trasformano in altre nove
variabili, indi si poneτk = ξk′τk′ = ξk .

Mediante trasformazioni di questa specie la varietà di Segre si muta in se stessa, ma èevidente che i piani della prima schiera si trasformano nei piani della seconda schiera eviceversa. Si hanno due tipi di trasformazioni della varietà di Segre in se stessa. Essi
corrispondono ai due noti tipi di trasformazioni di una quadrica in se stessa: un primo
tipo che trasforma ogni generatrice in una generatrice ed ogni direttrice in una direttrice,un secondo tipo che muta le generatrici in direttrici e viceversa. Se consideriamo soltantola varietà di Segre reale, il primo tipo di trasformazione corrisponde alle trasformazioni
che portano il piano in sè, il secondo tipo di trasformazioni corrisponde alle omografie
che trasformano il piano in sè, indi scambiando ogni punto col proprio coniugato, una
omografia cioè accompagnata da coniugio. La trasformazione che porta ogni punto delpiano nel coniugato non è analitica. Si ricordi che nel caso di una sola variabile, ponendo
w = f (z) si definisce una trasformazione conforme diretta, mentre ponendo w = f (z̄), si
viene a definire una trasformazione conforme inversa, una trasformazione cioè che conserva
gli angoli, ma non il verso. Sulla sfera complessa si hanno due tipi di trasformazioni,
che mutano la sfera in sè, una trasformazione conforme che conserva il verso, ed una,che diciamo anticonforme, che non conserva il verso. Il primo tipo di trasformazione
corrisponde alle proiettività del piano definite dall’equazione:ζ=

az + bcz + dche si ottiene ponendo la nuova variabile come funzione razionale dell’antica. Il secondo
68

tipo corrisponde all’antiproiettività cioè ad una proiettività ed un coniugio; si ha ponendo:ζ=az̄ + b.
cz̄ + dIn coordinate omogenee il primo tipo è definito dalle equazioni: ξ0 = cz1 + dz0 ; ξ1 = az1 +bz0 ; il secondo: ξ0 = cz̄1 + dz̄0 ; ξ1 = az̄1 + bz̄0 . Analogamente nel piano delle due variabilicomplesse si ha la proiettività rappresentata dalle equazioni ξk = ak0 z0 + ak1 z1 + ak2 z2 ,per k = 0, 1, 2; e l’antiproiettività, prodotto di una proiettività e di un coniugio le cui
equazioni sono: ξk = ak0 z̄0 + ak1 z̄1 + ak2 z̄2 , per k = 0, 1, 2. Si hanno dunque due sistemi di
trasformazioni, ciascuno ∞16 , alle quali corrispondono due sistemi ∞16 di trasformazionidella varietà di Segre in sè. Le trasformazioni del primo sistema sono tali da conservarel’analiticità delle funzioni. Vogliamo ora parlare di un modello di rappresentazione delle
due variabili complesse per un verso più intuitivo del precedente, e per un altro verso,più astratto, tale però da non portarci fuori dall’S4 , a differenza del modello precedente
che ci porta nell’S8 . Prendiamo in considerazione lo spazio a quattro dimensioni delle
due variabili complesse, le cui coordinate correnti sono (x1 , y1 , x2 , y2 ) che, qualche volta,
indicheremo con (t1 , t2 , t3 , t4 ). In tale spazio consideriamo l’equazione:
λ1 z1 + λ2 z2 + µ = 0(16)

con λ1 , λ2 e µ numeri complessi. Questa equazione, nel campo reale, equivale a due
equazioni nelle variabili reali: x1 , y1 , x2 , y2 , e perciò rappresenta un piano dell’S4 . Anzi
per λ1 , λ2 e µ indeterminati, rappresenta tutti i piani dello spazio a quattro dimensionidelle due variabili complesse, ma non rappresenta tutti i piani dell’S4 non essendo indipendenti i coefficienti delle variabili reali x1 , y1 , x2 , y2 . Tali piani, assegnati mediante una
equazione complessa, si chiamano, come già più di una volta abbiamo detto, piani caratteristici dell’S4 . Ogni piano ha una retta all’infinito. Un piano caratteristico va assimilato
ad un piano complesso ordinario e, come tale, possiede un solo punto all’infinito. Dunquela retta all’infinito di un piano caratteristico, cioè di un piano di equazioni complesse deltipo (16) va contratta in un punto. Consideriamo allora l’S3 all’infinito dell’S4 reale. Delle
rette appartenenti a tale S3 dobbiamo considerare soltanto quelle che appartengono ai piani caratteristici, ed ognuna di queste rette deve essere immaginata come contratta in un69

punto solo. Si ha cosı̀ l’insieme dei punti all’infinito dello spazio a quattro dimensioni delle
due variabili complesse z1 , z2 . Per caratterizzare meglio le rette reali all’infinito dell’S4
appartenenti a piani caratteristici procediamo ancora nelle nostre considerazioni. Ricordiamo ancora una volta che non prendiamo in considerazione tutti i piani dell’S4 reale,piani che si assegnano mediante due equazioni lineari nelle quattro variabili, bensı̀ i soli
piani caratteristici, le cui equazioni reali provengono da una equazione complessa. Di tali
piani consideriamo soltanto i punti all’infinito, comuni a tutti i piani della stessa giacitura. Possiamo pertanto limitare le nostre considerazioni ai piani caratteristici passantiper l’origine. L’equazione:
λ1 z1 + λ2 z2 = 0(17)

rappresenta appunto tali piani. Dal punto di vista reale tale equazione non differisce dalla
seguente:
λ̄1 z̄1 + λ̄2 z̄2 = 0(18)

dove, al solito, col soprasegno si indica il coniugato di un numero. Le due equazioni
rappresentano allora lo stesso piano caratteristico dell’S4 reale. Per comodità chiameremo
ora t1 , t2 , t3 , t4 le coordinate correnti dell’S4 ponendo:
t1 = x 1 ; t 2 = y 1 ;t 3 = x 2 ; t4 = y 2(19)

ed indichiamo con t0 , t1 , t2 , t3 , t4 le coordinate omogenee dell’S4 . Ciò posto, ricerchiamo i
punti all’infinito, evidentemente non reali, comuni a tutti i piani caratteristici. Le coordinate di tali punti debbono soddisfare alla (17) oppure alla (18) comunque si prendono λ1
e λ2 . Per soddisfare alla (17) comunque si prendano λ1 e λ2 dobbiamo porre z1 = z2 = 0
cioè, x1 + iy1 = 0 e x2 + iy2 = 0 e, per le (18) invece: x1 − iy1 = 0 e x2 − iy2 = 0. Questi
due sistemi di equazioni con le posizioni (19) diventano
t1 + it2 = 0; t3 + it4 = 0; t1 − it2 = 0; t3 − it4 = 0.

(20)

Se a ciascuno di questi sistemi si associa l’equazione:t0 = 070[21]

si ottengono due sistemi lineari nelle coordinate omogenee dell’S4 proiettivo reale. Ciascuno dei sisteṁi rappresenta nell’S4 una retta, retta all’infinito ed immaginaria. Dunque: “i punti all’infinito dell’S4 comuni a tutti i piani caratteristici formano due rette
immaginarie”. Tali rette sono sghembe e coniugate. Ogni piano dell’S4 ha all’infinito una retta reale che si appoggia alle due rette immaginarie predette. Ne segue chele rette all’infinito dei piani caratteristici sono tutte le rette che si appoggiano alle due
rette coniugate sghembe che sono comuni a tutti i piani. Le rette che si appoggiano adue rette sghembe immaginarie coniugate formano una congruenza ellittica. Per ogni
punto passa una ed una sola retta di questa congruenza. Dall’S3 all’infinito dell’S4 si
stacca dunque una congruenza ellittica di rette, le quali però non costituiscono ancoral’insieme dei punti all’infinito dello spazio delle due variabili complesse. Per ottenere
quest’insieme occorre sostituire ad ogni retta della congruenza un punto solo. A ciascuno
dei sistemi (20) si soddisfa ponendo: t21 = −t22 ; t23 = −t24 , ossia t21 + t22 = 0; t23 + t24 = 0.
I punti delle due rette sostegno della congruenza appartengono al luogo di equazioni:
t21 + t22 + t23 + t24 = 0; t0 = 0, che è la sfera assoluta dell’S4 . Pertanto: “le due rette sghembecomuni a tutti i piani caratteristici dell’S4 appartengono alla sfera assoluta dell’S4 ”. Ciòanalogamente a quanto avviene nell’S2 e nell’S3 . Nell’S2 lo assoluto è formato dai due
punti ciclici, intersezione di tutti i cerchi del piano. Nell’S3 l’assoluto è un cerchio, luogo
dei punti immaginari impropri comuni a tutte le sfere dello spazio. Nell’S4 tutte le ipersfere
hanno in comune punti allo infinito e immaginari formanti una sfera, la sfera assoluta. Trai piani caratteristici e le rette sostegno della congruenza sussistono le seguenti relazioni:
ogni piano ha due punti ciclici, uno su una delle rette l’altro sulla seconda retta. Le due
rette sono il luogo dei punti ciclici dei piani caratteristici. I piani caratteristici sono i
piani i cui punti sono sulle due rette. Ciò ci assicura che se un piano caratteristico lo
facciamo variare nell’infinità a quattro dei piani caratteristici in modo da ritornare su se
stesso i punti ciclici non si potranno mai scambiare tra di loro perchè appartengono a
due rette sghembe. Questo fatto importa che, orientato il piano, l’orientazione si conserva
quando il piano varia con continuità. Questa della conservazione del verso è una proprietà
caratteristica degli spazi proiettivi complessi. Se si orienta una delle rette dell’S2 realee si fa variare con continuità, essa può cambiare verso; basta, per esempio, farla rotare71di 180o perchè ritorni su se stessa col verso cambiato. Ciò invece non avviene nell’S2
complesso. Le rette del piano proiettivo complesso conservano l’orientazione. Tali rette,
dal punto di vista reale, sono delle superficie (ellissoidi). Ad ogni retta del piano complesso
corrisponde sulla varietà di Segre reale un ellissoide, che limita una porzione di spazio (nonappartenente alla varietà). Un ellissoide ha due facce, l’interna e l’esterna, e non si può
passare dall’una all’altra. La proprietà della conservazione del verso ci assicura che èpossibile dare un’orientazione simultanea a tutte le rette complesse del piano proiettivo
complesso in modo da rispettare la continuità. Ricordiamo la definizione proiettiva diangolo mediante il birapporto. Se a e b sono due rette del piano consideriamo con esse le due
rette isotrope i1 , i2 del piano uscenti dal punto di incontro. Con l’espressione (a, b, i1 , i2 )1log(a, b, i1, i2 ) si definisce l’angolo
indichiamo al solito, il birapporto. Con l’espressione 2iproiettivo delle due rette, determinato in verso (col segno) ed in valore a meno di un
multiplo di π. Quando il piano si muove rigidamente le due rette isotrope non si possono
scambiare, quindi il birapporto non cambia e l’angolo resta lo stesso. Non si può far siche a venga in b e b in a. Come abbiamo parlato di piani caratteristici, si può anche
parlare di superficie caratteristiche dell’S4 . Si chiama “superficie caratteristica dell’S4 ”
ogni superficie rappresentata da un legame analitico tra le due variabili complesse del tipo:
z1 = ϕ(z2 ) oppure z2 = ψ(z1 ). Parleremo più avanti di superficie caratteristica di equazioni
implicite f (z1 , z2 ) = 0. Per tale argomento non possediamo ancora gli elementi che ci sononecessari. Le superficie caratteristiche godono della stessa proprietà dei piani caratteristici,
cioè sono orientabili. Per orientare una superficie basta orientare il piano tangente. I
piani tangenti ad una superficie caratteristica sono evidentemente piani caratteristici. Per
ottenere il piano tangente in un punto alla superficie caratteristica di equazione
z2 = ϕ(z1 )(21)basta evidentemente considerare z1 e z2 come variabili reali, la (21) come l’equazione di una
curva e scrivere l’equazione della tangente a tale curva. Si ottiene cosı̀ un legame analitico
lineare tra z1 e z2 , legame che rappresenta un piano caratteristico. Dunque, allo spazio aquattro dimensioni delle due variabili complesse, cioè nell’S4 reale modificato all’infinito nel
modo sufficientemente illustrato e rappresentabile biunivocamente sulla varietà di Segre, si72

può dare un’orientazione caratteristica che si ottiene orientando i piani caratteristici. La
precedente trattazione sui punti all’infinito è stata fatta riferendoci sempre alle funzioni
di due variabili complesse. L’estensione alle funzioni di più di due variabili complesseè semplice e non c’è che da ripetere ciò che si è detto, modificando opportunamente laterminologia. Già abbiamo detto che per introdurre i punti all’infinito nello spazio a 2ndimensioni delle n variabili complesse: z1 , z2 , ......., zn, si considera lo spazio proiettivo
complesso ad n dimensioni, nel quale le suddette variabili sono le coordinate correnti nonomogenee. Analogamente a quanto si fa nel piano proiettivo complesso, si introducono
nel suddetto spazio i punti all’infinito mediante le coordinate omogenee: z0 , z1 , ...., zn, esi considera l’analiticità all’infinito di una funzione delle n variabili mediante l’invarianza
rispetto alla omografia dello spazio. Si può, con procedimento del tutto analogo a quelloseguito nel caso di due variabili, introdurre la varietà di Segre. Si considerano due spaziproiettivi complessi ad n dimensioni, chiamandone le coordinate correnti rispettivamente(z0 , z1 , ...., zn) e (z0′ , z1′ , ...., zn′ ). Si considerano poi le equazioni Zkh = zk zh′ per h, k =0, 1...., n. I prodotti zk zh′ sono (n + 1)2 , cioè il numero delle disposizioni con ripetizioni
di n + 1 elementi a due a due. Interpretando le Zkh come coordinate omogenee di uno
spazio ad (n + 1)2 − 1 = n(n + 2) dimensioni, le suddette equazioni rappresentano una
varietà a 2n dimensioni sull’Sn(n+2) . Ragionando sempre in modo perfettamente analogo
 2nrappresenta le dimensioni della varietà.
a quanto già fatto si trova che il numeron
Per ottenere i punti reali della varietà si pone zk′ = z̄k e si ha cosı̀ una corrispondenza
biunivoca senza eccezioni tra i punti dell’Sn complesso ed i punti della varietà reale diSegre nell’Sn(n+2) . Ricordiamo di aver già dimostrato il teorema: “se una funzione di piùvariabili complesse è analitica esternamente ad una regione e se inoltre è limitata è una
costante”. Ora questo teorema, indipendentemente dal modo di definire i punti all’infinito
nello spazio delle più variabili complesse, può essere enunciato nei seguenti termini: “seuna funzione analitica è regolare all’infinito è costante”. Tale teorema non sussiste per lefunzioni di una variabile. Esso infatti non richiede l’analiticità in tutto lo spazio, mentre perle funzioni di una variabile il teorema analogo è quello di Liouville: “Una funzione olomorfa
in tutto il piano e regolare all’infinito è costante”. Si rifletta che la definizione di funzione
73analitica all’infinito importa l’invarianza dell’analiticità rispetto alle omografie. Ora, dalpunto di vista proiettivo, nell’S2 qualsiasi retta può essere omograficamente trasformata
nella retta all’infinito; e nell’Sn qualsiasi Sn−1 può essere trasformato nell’Sn−1 all’infinito.
Ciò importa che per avere la regolarità di una funzione all’infinito bisogna averla su unqualsiasi Sn−1 . Perciò: “Una funzione di due variabili che si, mantiene regolare su una
qualsiasi fetta complessa dell’S2 proiettivo complesso è costante”. In generale:“Una funzione di n variabili complesse che si mantiene regolare su di un qualsiasi
Sn−1 dell’Sn proiettivo complesso è costante”. Ritornando alle funzioni di due variabili
e ricordando che ad una retta complessa del piano proiettivo complesso corrisponde sulla
varietà di Segre un ellissoide, si traduce anche nei seguenti termini: “Una funzione cherisulta analitica su un ellissoide della varietà di Segre è costante”. Per le funzioni diuna variabile sussiste il seguente teorema: “Dato un qualsivoglia insieme aperto del piano
esiste una funzione analitica che ha come insieme di esistenza tale insieme”. Tale teorema,
contrariamente ad una affermazione di Weierstrass, non sussiste per le funzioni di piùvariabili. I precedenti risultati ci dicono infatti che il campo di esistenza delle funzioni dipiù variabili, ottenuto anche per prolungamento, non si può assegnare ad arbitrio. Bastaconsiderare che non esiste una funzione analitica, non costante, il cui campo di esistenza
sia la regione esterna ad un dato dominio dell’Sn .

74

PARTE IV - FUNZIONI IMPLICITE

Nell’argomento che ora incominciamo a trattare non ci interessa far ricorso alla partereale ed al coefficiente dell’immaginario della variabile e delle funzioni, perciò useremo
gli stessi simboli che, comunemente, si usano nella trattazione delle funzioni implicite
reali. Cosı̀ indicheremo con x ed y variabili complesse. Sia F (x, y) una funzione di due
variabili complesse, analitica in un campo A quale ad esempio, l’insieme dei punti internidi un bicilindro. Supponiamo ancora che tale funzione non sia identicamente nulla in A, econsideriamo la equazione:
F (x, y) = 0.

(1)

Sia (a, b) un punto di A, nel quale si abbia:
F (a, b) = 0.

(2)

Supponiamo ancora che non sia identicamente nulla la funzione della sola yϕ(y) = F (a, y)(3)la quale ha uno zero nel punto b. Diciamo n l’ordine di questo zero. Il teorema dell’indicatore logaritmico dà:
1
2πi



ϕ′ (y)
dy = nC ϕ(y)(4)

dove C è un contorno semplice nel piano della y, racchiudente il punto b e nessun altro
zero di ϕ(y). L’esistenza di un tale contorno si deduce dal fatto che la funzione ϕ(y), nonessendo identicamente nulla, ha in b uno zero isolato. La (4), in virtù della (3), si scrive
1
2πi



∂F (a,y)∂y
C F (a, y)dy = n.

(5)

La funzione F (x, y), non identicamente nulla ha uno zero nel punto (a, b) e non è mainulla per x = a e y compreso nell’intorno di C e distinto da b. Ne segue, per la continuità
di F (x, y) rispetto ad x, che nel piano delle x, esiste un intorno, Γ, di a tale che per x
75

compreso in tale intorno ed y compreso nell’intorno di C, la funzione F (x, y) non è nulla.
Allora l’espressione:


1
2πi

∂F (a,y)∂y

C F (a, y)dyè una funzione continua della x nel suddetto intorno, Γ, di a. D’altra parte essa non puòassumere che valori interi, quindi deve essere costante e perciò, in virtù della (5) è:

1
2πi



∂F (x,y)∂y
C F (x, y)dy = n.

(6)

Ciò porta che l’equazione in y
F (x, y) = 0(7)

per ogni valore di x nell’intorno Γ, presenta n radici interne al dominio limitato dal contorno
C. Non ci interessa individuare tali radici, che sono funzioni continue della x. Di esse ciinteressano soltanto le funzioni simmetriche elementari. Per via abbiamo accertato che sel’equazione (4), ha per x = a, n radici uguali a b, per x compreso in un conveniente intorno
di a, avrà n radici comprese in un intorno di b. Ricaviamo che, se g(y) è una funzione
avente n zeri internamente ad un intorno C e ψ(y) è una funzione continua nel dominio
limitato da C, la quantità
1
2πi



ψ(y)
C

g ′ (y)dyg(y)è uguale alla somma degli n valori che la ψ(y) assume negli zeri della g(y). Si deduce daciò che l’espressione:g ′ (y) ky dy
C g(y)

12πirappresenta la somma delle potenze k-me delle n radici dell’equazione in y (7) interne aC, per x contenuto in Γ, e data da:
1
2πi



∂F (x,y)∂y

C F (x, y)76

y k dy.

Ma l’integrale è una funzione analitica di x, dunque: “le cosiddette somme di Newtondelle radici della equazione (7) in y sono funzioni analitiche di x in un opportuno intorno
di a”. Se ne deduce che anche le funzioni simmetriche elementari sono funzioni analitichedi x, giacchè esse si esprimono razionalmente mediante le somme di Newton. Indichiamo
con A1 (x), A2 (x), ...., An(x) tali funzioni simmetriche elementari. Precisamente con Ak (x)indichiamo la somma dei prodotti a k a k delle radici. Dal risultato ottenuto discende che lesuddette radici della (7) sono radici dell’equazione algebrica: y n +A1 (x)y n−1 +....+An (x) =0. Per x = 0 coincidendo tutte le radici in b, l’equazione algebrica si riduce a (y − b)n = 0.
La risoluzione dell’equazione (7) in y, localmente, cioè in un opportuno intorno di a, si
riconduce alla risoluzione di un’equazione algebrica. Per semplificare le notazioni poniamo:
a = b = 0, ciò che non lede la generalità, potendoci sempre ridurre a questo caso senzaalterare l’analiticità della funzione. Inoltre chiamiamo “funzione algebroide” una funzione
di x che è radice di una equazione algebrica con i coefficienti funzioni analitiche di x.
Il risultato ottenuto si traduce nel seguente teorema: “se la funzione di due variabilicomplesse F (x, y) è analitica e non identicamente nulla in un campo contenente l’origine,se nell’origine è
F (0, 0) = 0(8)se, inoltre, non è identicamente nulla la funzione F (0, y) della sola y, se infine l’equazionein y:F (0, y) = 0(9)ha n radici coincidenti nello zero, allora si possono determinare due numeri, “r” e “ρ”,
positivi e sufficientemente piccoli, tali che, per ogni x compreso nell’intorno dell’origine diraggio r, nel piano delle x, |x| < r, l’equazione (7) in y, ha n radici comprese nell’intorno
dell’origine di raggio ρ, nel piano delle y. Esse sono funzioni algebriche, perchè sono radici
di un’equazione algebrica: y n + a1 (x)y n−1 + ....... + an (x) = 0, dove le ai (x) sono funzioni
analitiche di x, tutte nulle per x = 0”. Se è n = 1, se cioè la radice che l’equazione(9) ha nel punto zero è semplice, la equazione algebrica è lineare: y + a1 (x) = 0, e dà
y = −a1 (x). Cioè “l’equazione (7), per ogni x contenuto in un opportuno intorno dellozero, ammette una sola radice in y, anch’essa contenuta in un intorno dello zero, la quale77

inoltre risulta funzione analitica di x. In altri termini, si possono trovare un intorno dellaorigine nel piano delle x e un intorno dell’origine nel piano delle y in modo che ad ogni x
del primo intorno corrisponde un valore di y contenuto nel secondo intorno e tale che lacoppia numerica (x, y) cosı̀ ottenuta soddisfa alla (7)”. Tale corrispondenza definisce una
funzione analitica, y(x) tale da aversi identicamente F (x, y(x)) = 0. Questo caso, come siè detto, si presenta quando è verificata la (8) e lo zero è radice semplice della (9); si hacioè quando, insieme alla (8) è Fy (0, 0) �= 0. Si vede allora che il risultato ottenuto estende
al campo complesso il teorema fondamentale delle funzioni implicite nel campo reale. Taleenunciato si può esprimere col seguente teorema che coincide con l’enunciato del suddetto
teorema del campo reale: “se F (x, y) è una funzione di due variabili complesse analitica in
un campo contenente l’origine ed ivi non identicamente nulla, se è F (0, 0) = 0 e Fy (0, 0) �= 0
allora esiste un intorno dell’origine, nel quale la equazione (7) definisce y come funzione
analitica della x”. È facile persuadersi che, dal risultato cosı̀ ottenuto, si possono ricavaretutte le conseguenze che si deducono dal teorema fondamentale delle funzioni implicite diuna variabile. Cosı̀, ad esempio, essendo F (x, y) analitica ed essendo ancora analitica lafunzione y(x), definita localmente dall’equazione (1), risulta anche analitica localmente la′funzione F (x, y(x)) della sola x.(1 ) Allora, derivando l’identità F (x, y(x)) = 0, con laregola delle funzioni composte, si ottiene:
∂F ′
∂F
+
y (x) = 0∂x∂yda cui si ha l’espressione della derivata:y ′ (x) = −

∂F ∂F
:
.
∂x ∂y

Teniamo ora presente che, nel campo delle funzioni di variabili reali, tutti [i n.d.c.] teoremi sulle funzioni implicite di più variabili e quelle dei sistemi di funzioni implicite si(1′ )Veramente questa affermazione, come pure la regola di derivazione delle funzioni com-poste, della quale ci serviremo appresso, non sono affatto dimostrate. Ma le dimostrazioni
non presentano difficoltà di sorta, essendo perfettamente identiche a quelle che si fanno
per le funzioni di variabili reali.
78dimostrano ricalcando la dimostrazione del teorema fondamentale e, nel caso dei sistemi,
procedendo funzione per funzione. Lo stesso può farsi per le funzioni di più variabili complesse, deducendo in tal modo l’estensione di tutti i teoremi sulle funzioni implicite di piùvariabili e sui sistemi di funzioni implicite. Ci limiteremo a dare il solo enunciato di alcuni
di questi teoremi. Le dimostrazioni non sono affatto difficili, non differendo da quelle fattenel campo reale, purchè all’ipotesi di continuità si sostituisca l’ipotesi di analiticità: “SeF (y, x1 , x2 , ...., xn) è una funzione di n + 1 variabili complesse, analitica nel campo A dellospazio a 2n + 2 dimensioni, ivi non identicamente nulla; se in un punto (ȳ, x̄1 , x̄2 , ....., x̄n)di A risulta:
F (ȳ, x̄1 , x̄2 , ..., x̄n) = 0
mentre in tale punto la derivata di F rispetto ad y è diversa da zero, allora l’equazione:
F (y, x1 , x2 , ....., xn) = 0 è atta a definire localmente la y come funzione analitica dellevariabili xi ; nel senso che si possono determinare due numeri r e ρ, positivi ed opportunamente piccoli, in modo che ad ogni punto (x1 , x2 , ...., xn) dello spazio a 2n dimensioni,
avente ciascuno le coordinate complesse in modulo minori di r, cioè ad ogni punto interno
al policilindro definito dalle limitazioni: |x1 | ≤ r; |x2 | ≤ r; .... ; |xn | ≤ r, corrisponde
un valore di y di modulo minore di ρ”. Tale corrispondenza definisce y come funzionedelle variabili xi : y(x1 , x2 , ...., xn) analitica nell’interno del suddetto policilindro e tale darisultare identicamente: F (y(x1 , ..., xn), x1 , ..., xn) = 0. Le derivate si ottengono facilmentederivando questa identità con la regola delle funzioni composte. Si ha:
∂F ∂F
∂y
=−
:
∂xi
∂xi ∂yper i = 1, 2, ....n.

Con l’avvertenza che, per i determinanti e le matrici jacobiani valgono gli stessi simboli
noti dall’analisi delle funzioni nel campo reale, si può parlare di sistemi di funzioni implicite ed enunciare il teorema: “Siano assegnate n funzioni di n + m variabili complesse:
Fk (y1 , y2 , ...., yn, x1 , x2 , ....., xm) per k = 1, 2.., n analitiche in un campo, A, dello spazio a2(n + m) dimensioni, ivi non identicamente nulle, sia inoltre (y1 , y2 , ..., yn, x1 , ..., xm) un
punto di A, nel quale le funzioni risultino nulle, mentre nello stesso punto si abbia:∂(F1 , F2 , ...., Fn)
�= 0.
∂(y1 , y2 , ....., yn)
79

Allora, in un opportuno intorno di tale punto, le equazioni:
Fk (y1 , y2 , ....yn, x1 , x2 , ..., xm) = 0 per k = 1, 2, ...., ndefiniscono n funzioni analitiche nelle variabili x1 , x2 , ..., xm yi = yi (x1 , x2 , ..., xm) per
i = 1, 2, ...., n; in modo da risultare identicamente:
Fk (y1 (x1 , ..., xm), .., yn(x1 , .., xm); x1 , x2 , .., xm) = 0
per k = 1, 2, ..n”. Per ottenere le derivate delle funzioni yi (x1 .., xm ) basta derivare l’ultima
identità. Volendo per esempio, la derivata della y1 rispetto alla xr si derivano tutte leidentità rispetto ad xr , si hanno cosı̀ le altre identità:∂Fk∂Fk ∂y1∂Fk ∂yn++ .... +=0∂xr∂y1 ∂xr∂yn ∂xr∂y1 ∂y2n, ∂xr , ...... ∂y∂xn−1, ∂yche si possono riguardare come equazioni lineari nelle incognite ∂x
∂xr .
r
r

Risolvendo tali equazioni si ottiene∂y1∂(F1 , F2 , .....Fn)∂(F1 , F2 , .......Fn−1, Fn )
:
.
=−
∂xr
∂(y1 ....yr−1 , xr , yr+1 , ....yn) ∂(y1 , y2 , .....yn)
Come caso particolare del precedente teorema si ha: “Date n equazioni
yk = fk (x1 , x2 , .., xn) per k = 1, 2, ..nle quali, nello spazio a 2n dimensioni, definiscono una trasformazione, se le funzioni fk
sono analitiche in un campo A e se, in un punto (x̄1 , ...x̄n ) di A risulta:∂(f1 , f2 , .., fn)
�= 0∂(x1 , x2 , .., xn)
allora, localmente, cioè in un intorno del suddetto punto, le precedenti equazioni sono
atte a definire le xi come funzioni analitiche delle yk ”. In altri termini la trasformazione
definita dalle equazioni date risulta “invertibile”. Trasformazioni di questo genere sonostate definite “analiticamente”. Tale denominazione non è veramente la più adatta. Una
80

denominazione più indicata si ha chiamandole “trasformazioni pseudoconformi”. Nel caso
di una sola variabile, le trasformazioni invertibili nel piano complesso sono le trasformazioni
conformi. Nel caso di più variabili non si possono chiamare conformi, perchè, in generale,
non conservano gli angoli. Si chiamano pseudoconformi perchè conservano gli angoli appartenenti ad alcune particolari giaciture, come ora vogliamo vedere, limitandoci al casodi due variabili. Consideriamo le due equazioni:
ξ = α(x, y)η = β(x, y)(10)

con α e β funzioni analitiche di x ed y in un certo campo A. Nell’intorno di ogni punto(x, y) nel quale risulta: ∂α∂(ξ, η)  ∂x=  ∂β∂(x, y)
∂x

∂α 

∂y 
∂β 
∂y

(11)

le (10) risultano invertibili potendosi ottenere da esse:x = λ(ξ, η)

y = µ(ξ, η)(12)con λ e µ funzioni analitiche di ξ ed η in un certo intorno del punto (ξ, η) corrispondente al
punto (x, y) mediante le (10). Si ha cosı̀ una corrispondenza biunivoca tra i due intorni. Le(11) qualora ad x ed y si sostituiscano i secondi membri delle (12) diventano due identità.
Derivando entrambe queste identità una volta rispetto ad ξ ed un’altra volta rispetto adη si ha:∂λ∂α ∂µ1 = ∂α∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ∂β ∂µ∂λ0 = ∂β∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ



∂λ
∂α ∂µ
0 = ∂α∂x ∂η + ∂y ∂η∂β ∂µ∂λ1 = ∂β∂x ∂η + ∂y ∂η.

Da questi due sistemi, sussistendo le (11), si ricava:∂λ∂β ∂(ξ, η)=:∂ξ∂y ∂(x, y)∂λ∂α ∂(ξ, η)=−:∂η∂y ∂(x, y)∂β ∂(ξ, η)
∂µ
=
:
∂ξ
∂x ∂(x, y)∂α ∂(ξ, η)
∂µ
=
:
.
∂η
∂x ∂(x, y)E pertanto risulta:−2  ∂β∂(x, y)∂(ξ, η)=·  ∂y∂(ξ, η)∂(x, y)
− ∂β
∂x
81



− ∂α
∂y 
.
∂α 
∂x

(13)

Se ne deduce che, se in un punto (x, y) è verificata la (11), nel punto (ξ, η) corrispondentemente risulta anche:∂(x, y)�= 0.
∂(ξ, η)Sia ora (x0 , y0 ) un punto nel quale supponiamo sia verificata la (11) ed:a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0(15)

sia l’equazione di un piano caratteristico per tale punto. Diciamo (ξ0 , η0 ) le coordinate
complesse del punto corrispondente, poniamo cioè per semplicità: ξ0 = α(x0 , y0 ); η0 =β(x0 , y0 ). Se del punto (x0 , y0 ) consideriamo un intorno abbastanza piccolo, dalle (10)∂β∂β∂αabbiamo: ξ − ξ0 = ∂α∂x (x − x0 ) + ∂y (y − y0 ); η − η0 = ∂x (x − x0 ) + ∂y (y − y0 )dove, naturalmente, le derivate si intendono calcolate nel punto (x0 , y0 ).

Risolvendo

rispetto ad (x − x0 ) ed (y − y0 ) ciò che, in virtù delle (11) è lecito, sostituendo nella−1∂(ξ,η)
si ottiene:(15) e prescindendo dal fattore non nullo ∂(x,y)




∂β
∂β
∂α
∂α
a
−b
(ξ − ξ0 ) + b−a(η − η0 ) = 0
∂y
∂x
∂x
∂y

(16)

che è la equazione di un piano caratteristico per il punto (ξ0 , η0 ). Dunque: “La corrispondenza determinata dalla (10) tra gli intorni di due punti trasforma piani caratteristici, in
piani caratteristici, restringendo opportunamente i due intorni”. Allo stesso risultato si
può pervenire riferendoci alle equazioni parametriche del piano caratteristico. Un piano
caratteristico per il punto (ξ0 , η0 ) può essere rappresentato anche da due equazioni deltipo:
x = x0 + ht;

y = y0 + kt

(17)

con t parametro complesso. I corrispondenti punti si hanno operando nelle (10) la sostituzione definita dalle (17)ξ = α(x0 + ht, y0 + kt)η = β(x0 + ht, y0 + kt).

(18)

I punti di un intorno di (x0 , y0 ) nel piano si hanno in corrispondenza dei valori di t in un
intorno dell’origine nel piano delle t. Mediante le (18) a tale intorno della t corrisponde82ancora un intorno del punto (ξ0 , η0 ). Se l’intorno dell’origine nel piano delle t è sufficientemente piccolo, negli sviluppi in serie delle (18) si possono trascurare i termini di grado
superiore al primo in t. Si ha cosı̀:


∂α
∂α
+k
t
ξ = ξ0 + h
∂x
∂y



∂β
∂β
η = η0 + h
+k
t
∂x
∂y

(19)

che sono le equazioni di un piano caratteristico. Possiamo in definitiva enunciare il teorema:“Se α(x, y) e β(x, y) sono due funzioni analitiche in un certo campo A, ad jacobiano nonnullo per ogni punto (x0 , y0 ) di A possono determinarsi due numeri, r e ρ, positivi e
sufficientemente piccoli, in modo che tra i due policilindri, determinato uno dalle relazioni:|x − x0 | ≤ r; |y − y0 | ≤ r e l’altro dalle limitazioni: |ξ − α(x0 , y0 )| ≤ ρ, |η − β(x0 , y0 )| ≤ ρ,
le equazioni (10) definiscono una trasformazione invertibile che trasforma una giacitura
caratteristica in una altra pure caratteristica”. Si può ora far vedere che su due giaciture
caratteristiche corrispondenti la trasformazione è conforme. Per semplificare diciamo π il
piano caratteristico di equazione (17) e π ′ il piano caratteristico corrispondente di equazioni(19). La corrispondenza (locale) tra i due piani è posta dalle (17) e (19), mediante lavariabile complessa t. Quindi, due direzioni, una di π e l’altra di π ′ sono corrispondenti
se corrispondono alla stessa direzione del piano delle t. D’altra parte notiamo ancora chele quattro equazioni (17) e (19) definiscono quattro trasformazioni conformi tra il pianodelle t ed i singoli piani delle x, delle y, delle ξ, delle η. Ciò posto, diciamo d e δ due
direzioni uscenti dall’origine nel piano delle t. Indichiamo poi con r e ρ le due direzioni
corrispondenti nel piano π e con r′ e ρ′ le due direzioni corrispondenti nel piano π ′ . Si
tratta di far vedere che gli angoli delle due coppie r, ρ e r ′ , ρ′ sono uguali. Mediante la
prima equazione delle (17), alle due direzioni d e δ corrispondono due direzioni nel pianodelle x, delle quali diciamo rispettivamente (α′ , α′′ ) e (β ′ , β ′′ ) i coseni direttori, e notiamo
che la corrispondenza è conforme. Mediante la prima delle (19) le due direzioni d e δsi trasformano in due direzioni del piano delle ξ delle quali diciamo (α′1 , α′2 ) e (β1′ , β2′ )rispettivamente i coseni direttori. Anche questa trasformazione è conforme. Segue allora
che l’angolo delle due direzioni del piano delle x e l’angolo delle due direzioni del pianodelle ξ sono uguali e perciò è:α1 β1 + α2 β2 = α′1 β1′ + α′2 β2′ .
83

Quello che si è detto prendendo in considerazione le sole prime equazioni delle due coppie(17) e (19) si può ripetere prendendo in considerazione le seconde equazioni. Detti allora(α3 , α4 ) e (β3 , β4 ) i coseni direttori delle due direzioni del piano delle y [che n.d.c.] corrispondono a d e δ, e (α′3 , α′4 ), (β3′ , β4′ ) i coseni direttori corrispondenti a d e δ nel pianodelle η, si ha:α3 β3 + α4 β4 = α′3 β3′ + α′4 β4′ .
Si consideri infine che i coseni direttori delle due direzioni r ed ρ nel piano π dello spazioa quattro dimensioni sono evidentemente (α1 , α2 , α3 , α4 ) e (β1 , β2 , β3 , β4 ), ed i coseni direttori delle conseguenti direzioni r ′ e ρ′ nel piano π ′ sono (α′1 , α′2 , α′3 , α′4 ) (β1′ , β2′ , β3′ , β4′ ).
Dalle due relazioni si ricava:
α1 β1 + α2 β2 + α3 β3 + α4 β4 = α′1 β1′ + α′2 β2′ + α′3 β3′ + α′4 β4′ciò che dimostra il nostro asserto. Per continuare con le analogie nel campo delle funzioni
di variabili reali ricordiamo che nel campo reale l’equazione:
f (x, y) = 0(20)

definisce una curva localmente regolare, se le due derivate parziali della funzione f nonsono mai simultaneamente nulle. Sotto tale ipotesi, dalla (20) si può ottenere una rappresentazione locale esplicita della curva o mediante una equazione del tipo:y(x) = y(21)x = x(y).

(22)

o mediante una del tipo:

Se un punto (x0 , y0 ) appartiene alla curva, se cioè risulta:
f (x0 , y0 ) = 0

(23)

∂f
∂f
(x − x0 ) +(y − y0 ) = 0
∂x
∂y

(24)

l’equazione:84

dove le derivate si intendono calcolate nel punto (x0 , y0 ) è la equazione della tangente alla
curva nel punto (x0 , y0 ). Nel campo complesso, nelle ipotesi che la funzione f (x, y), delle
due variabili complesse x e y, sia analitica in un campo A e che le due derivate parziali
non siano mai simultaneamente nulle:    ∂f   ∂f  + > 0
 ∂x   ∂y 

(25)

un’equazione del tipo (20) rappresenta una varietà a due dimensioni, localmente regolare
ed esplicabile, cioè rappresentabile, o mediante una equazione del tipo (21) o medianteuna del tipo (22). Si tratta dunque di una superficie caratteristica dello spazio a quattro
dimensioni. L’equazione (24), qualora è verificata la (23), è l’equazione di un piano caratteristico per il punto della superficie (x0 , y0 ), piano tangente alla superficie. Pertanto: “Ipiani tangenti ad una superficie caratteristica sono piani caratteristici”. Consideriamo ora
la trasformazione definita dalle (10). Supponiamo che in ogni punto (x, y) della superficie
sia verificata la (11). La (20), mediante le (12) diventa: F (ξ, η) = f (λ(ξ, η), µ(ξ, η)) = 0.
Si ha:∂f ∂x ∂f ∂y
∂F
=
+
;
∂ξ
∂x ∂ξ
∂y ∂ξ

∂F
∂f ∂x ∂f ∂y
=
+
.
∂η
∂x ∂η
∂y ∂η

(26)

∂F
Sussistendo la (25), la (14) ci assicura che non può essere: ∂F∂ξ = ∂η = 0 simultaneamente,cioè nello stesso punto. L’equazione:
F (ξ, η) = 0(27)

rappresenta dunque una superficie caratteristica al pari della (20). “Le trasformazioni pseudoconformi trasformano superficie caratteristiche in superficie caratteristiche”. Diciamo al
solito (ξ0 , η0 ) le coordinate del punto corrispondente mediante la trasformazione definita
dalle (10), al punto (x0 , y0 ). L’equazione del piano tangente alla superficie trasformata, diequazione (27), nel punto (ξ0 , η0 ), è:∂F∂F(ξ − ξ0 ) +(η − η0 ) = 0.
∂ξ
∂η
85

(28)

L’equazione del piano trasformato del piano (24), tangente alla superficie (20) nel punto(x0 , y0 ) è, come si deduce dalla (16):


∂f ∂β
∂f ∂β
−
∂x ∂y
∂y ∂x



(ξ − ξ0 ) +∂f ∂α ∂f ∂α−∂y ∂x ∂x ∂y(η − η0 ) = 0.

∂(ξ,η)
Tenendo conto della (13) e prescindendo dal fattore non nullo ∂(x,y)
la precedente equazione

diventa:∂f ∂λ ∂f ∂µ
−
∂x ∂ξ
∂y ∂ξ



(ξ − ξ0 ) +∂f ∂λ ∂f ∂µ
+
∂x ∂η
∂y ∂η



(η − η0 ) = 0

equazione questa che, in virtù delle (26) coincide con la (25) ciò che ci assicura che il piano tangente alla superficie trasformata in un punto corrispondente al punto (x0 , y0 ) dellasuperficie (20) coincide col piano trasformato del piano tangente alla superficie (20) nel
punto (x0 , y0 ). Dunque: “Una trasformazione pseudoconforme trasforma superficie caratteristiche in superficie caratteristiche e piani tangenti in piani tangenti”. Questo risultato
ci autorizza ancora ad asserire, qualora si tenga conto del risultato già precedentementeconseguito, che anche sulle superficie caratteristiche la trasformazione definita dalle (10)è una trasformazione conforme. Prima di chiudere questo argomento vogliamo fare un
accenno alle equazioni implicite delle varietà ad un numero qualsiasi di dimensioni. In
generale, equazioni del tipo:
xk = ϕk (t1 , t2 , .., tr ) per k = 1, 2, .., n(29)

definiscono, nello spazio [a n.d.c.] 2n dimensioni delle n variabili complesse xk , una varietà ad r dimensioni, cioè a 2r dimensioni reali, qualora le ϕk (t1 , t2 , .., tr ) sono funzioni
analitiche delle r variabili complesse ti in un campo T ; tale varietà si dice regolare se la
matrice jacobiana∂(x1 , x2 , ..xn)∂(t1 , t2 , ..tr )ha caratteristica massima in T . Le (29) sono le equazioni parametriche della varietà.
Si noti però che, mediante equazioni parametriche del tipo (29), non si viene a definire
una generica varietà a 2r dimensioni dello spazio a 2n dimensioni, giacchè è vero che le86

(29) assegnano le 2n coordinate reali dello spazio in funzione di 2r parametri reali, ma levincolano ad essere a due a due la parte reale ed il coefficiente dell’immaginario di una
funzione analitica di r parametri complessi. Le varietà definite da sistemi di equazioni
del tipo (29) sono le “varietà caratteristiche” dello spazio a 2n dimensioni. Una varietà
caratteristica ad r dimensioni complesse si può anche rappresentare [esprimendo n.d.c.]comunque n − r coordinate complesse in funzione delle altre r, con l’ipotesi che le funzioni
siano analitiche. Cosı̀ le equazioni yk = yk (x1 , x2 , .., xr ) per k = 1, 2, .., n − r, con le yk
funzioni analitiche delle x1 , x2 , .., xr sono le equazioni, che diremo esplicite, di una varietà
caratteristica a 2r dimensioni nello spazio a 2n dimensioni. Per la regolarità si fa la solita
ipotesi sulla matrice jacobiana. Anche le varietà caratteristiche possono essere definite daequazioni implicite. Ciò si deduce dal teorema sulle funzioni implicite di più variabili e daquello sui sistemi di funzioni implicite, già precedentemente enunciati. Cosı̀ una equazionedel tipo: f (x1 , x2 , .., xn) = 0, nella ipotesi che la funzione sia analitica, rappresenta una
varietà a 2(n − 1) dimensioni nello spazio a 2n dimensioni, e nella ipotesi che le derivateparziali non siano tutte contemporaneamente nulle. Più in generale, siano date m funzioni
in n variabili, con m < nfk (x1 , x2 , .., xn) = 0

k = 1, 2, .., m(30)

sotto le ipotesi che le funzioni fk siano tutte analitiche in un campo A e che la matricejacobiana:∂(f1 , f2 , .., fm)∂(x1 , x2 , .., xn )abbia un minore di ordine massimo non nullo, le (30) definiscono n − m delle variabili infunzione delle altre m e, pertanto rappresentano una varietà regolare ad n − m dimensioni
complesse, ossia a 2(n − m) dimensioni reali. La varietà è localmente regolare in A, se lasuddetta matrice jacobiana è in A di caratteristica massima, se, cioè per ogni punto [din.d.c.] A esiste un minore di ordine massimo non nullo nel punto. In tal caso nell’intorno
di ogni punto di A, le (30) permettono di ricavare m variabili in funzione delle altre n − m.
Può accadere che le (30) definiscono anche una varietà avente un numero di dimensioni
minore di n − m.
87

In altri termini, ciascuna delle (30) definisce una varietà ad n−1 dimensioni complesse.
Tutte le varietà definite dalle (30) hanno, in generale, in comune una varietà ad n − mdimensioni, ma può accadere che, oltre di questa, abbiano in comune una altra varietà
di dimensioni minori, di modo che le (30) non sono sufficienti a rappresentare la solavarietà ad n − m dimensioni. Ciò analogamente a quanto avviene nello spazio reale a tre
dimensioni, dove una curva generalmente si rappresenta mediante due superficie alle qualiappartiene; ma può accadere che due superficie non siano sufficienti. Ne possono occorrere
fino a quattro. Non è però il caso di fermarsi a lungo su tale argomento. Applicando
ai punti dello spazio a 2n dimensioni una trasformazione invertibile si possono fare sulle
varietà caratteristiche considerazioni analoghe a quelle fatte sulle superficie caratteristiche
nello spazio a quattro dimensioni. Ritorniamo alle funzioni implicite e precisamente alrisultato generale ottenuto col primo teorema, risultato che da Weierstrass per primo fu
ottenuto come conseguenza di un altro teorema che dicesi “Teorema preliminare”, il qualeva però oltre la portata del suddetto risultato. All’enunciato di tale teorema preliminare
ci proponiamo ora di pervenire. Ricordiamo brevemente il teorema già stabilito.
“Se nell’origine la funzione analitica f (x, y) è nulla se l’ordine che la radice ha nell’equazione in yf (0, y) = 0
per y = 0 è m, esistono due numeri positivi r e ρ, tali che per x in modulo minore di r,l’equazione
f (x, y) = 0
ha m radici, ciascuna in modulo minore di ρ, le quali radici sono funzioni algebroidi,
essendo anche radici di un’equazione algebricay n + a1 (x)y n−1 + .... + an (x) = 0
a coefficienti funzioni analitiche di x e tutte nulle per x = 0”. Diciamo
y1 (x), y2 (x), ...., yn(x)tali radici ed avvertiamo di nuovo che non occorre individuarle aggiungendo anzi che ciònon è addirittura possibile, perchè esse non si possono isolare tra di loro, nel senso che, al88

variare di x, una si può scambiare con l’altra. Si ha in tutti i modi(y − y1 )(y − y2 )...(y − yn ) = y n + a1 (x)y n−1 + ... + an (x).
Ricordiamo ora che, se la funzione ψ(y) è olomorfa in un certo dominio D ed ha ivi gli zeri
y1 , y2 , ..., yn, la funzione
ψ(y)(y − y1 )(y − y2 )....(y − yn )è olomorfa in D ed ivi priva di zeri.
Segue da ciò che la funzione
ϕ(x, y) =f (x, y)(y − y1 )(y − y2 )...(y − yn )(= 31)

per ogni valore di x minore in modulo di r, risulta funzione olomorfa di y e priva di zeri inogni, dominio del piano delle y interno al dominio circolare di centro nell’origine e raggio
ρ. Indicando allora con C il contorno di uno di tale dominio, la formula di Cauchy dàϕ(x, y) =

1
2πi



ϕ(x, η)dη.
C η−yEssendo η su C ed y interno al dominio di cui C è il contorno, l’integrale rappresenta una
funzione analitica di x e di y. Concludiamo pertanto che la funzione ϕ(x, y), definita dalla
posizione (31) è funzione analitica delle due variabili in ogni dominio interno a cilindri
determinati dalle limitazioni|x| ≤ r|y| ≤ ρ.

Dopo di che è lecito dalla (31) dedurre la relazione
f (x, y) = (y − y1 )(y − y2 )...(y − yn ) ϕ(x, y)ossia:

f (x, y) = y n + a1 (x)y n−1 + .... + an (x) ϕ(x, y).

Questa relazione esprime il teorema preliminare di Weierstrass: “Se una funzione f (x, y)è nulla nell’origine e non è identicamente nulla la funzione f (0, y), nell’intorno dell’origine89

la f (x, y) si può esprimere come prodotto di una funzione mai nulla per un polinomio in yi cui coefficienti sono funzioni analitiche di x, il primo uguale all’unità e gli altri tutti nulli
per x = 0”. Weierstrass da questo teorema trasse la conseguenza immediata che gli zeridella funzione in y, f (x, y), per ogni x di un opportuno intorno dell’origine, sono gli zeridel polinomio. Il teorema è stato stabilito nell’ipotesi che, in un intorno dell’origine, non
sia identicamente nulla la funzione f (0, y). Supponiamo invece che risulti f (0, y) = 0 senzaperò che sia identicamente nulla la funzione f (x, y). Essendo la funzione f (x, y) analitica in
un campo contenente l’origine, e sviluppante in serie di Taylor col punto iniziale nell’origine.
L’essere identicamente nulla la funzione f (0, y) importa che, nello sviluppo di Taylor, tutti
i termini debbono avere a fattore una potenza di x, di modo che può porsi:
f (x, y) = xk g(x, y)dove la funzione g(x, y) non si trova affatto nelle medesime condizioni. Non si ha, cioèg(x, y) = 0. Si può quindi applicare alla funzione g(x, y) il precedente teorema. In tal
modo per la f (x, y) si ha la decomposizione
f (x, y) = xk y n + a1 (x)y n−1 + .... + an (x) ϕ(x, y).
Volendo dunque prescindere dall’ipotesi che la f (0, y) non sia identicamente nulla, il teorema può enunciarsi nella forma generale che ora abbiamo:“Se la funzione f (x, y) è analitica in un campo contenente l’origine senza essere identicamente nulla, e però nulla nell’origine, in un opportuno intorno dell’origine èf (x, y) = a0 y n + a1 y n−1 + .. + an ϕ(x, y)dove la ϕ(x, y) è una funzione mai nulla nel detto intorno dell’origine ed i coefficienti delpolinomio sono funzioni analitiche della x, le quali sono tutte nulle per x = 0, tranne alpiù la prima a0 , che può risultare non nulla”.
Dal teorema preliminare stabilito da Weierstrass per le funzioni di due variabili, fu tentata
dall’Osgood l’estensione alle funzioni di più variabili. In una conferenza questo autore
enunciò il teorema esteso alle funzioni di n variabili, aggiungendo che, dopo averci molto
90pensato su, non aveva potuto dimostrarlo nella forma più generale, ma d’altra parte, nonaveva trovato niente che vi contraddicesse. Qualche anno più tardi, egli stesso pubblicava
un esempio, nel quale il teorema, nella forma più generale dell’ultimo enunciato, cade in
difetto.
Per le funzioni di più di due variabili il teorema sussiste perciò soltanto sotto la forma
ristretta del primo enunciato:“Se f (x1 , x2 , ..., xn, y) è una funzione di n + 1 variabili complesse, analitica in un campo
contenente l’origine e se non è identicamente nulla la funzione f (0, 0, ...0, y), allora, in un
opportuno intorno dell’origine èf (x1 , x2 , ..., xn, y) = y n + a1 y n−1 + ... + an ϕ(x1 , x2 , ..., xn, y)dove la ϕ(x1 , x2 , ..., xn, y) è una funzione mai nulla nel suddetto intorno e i coefficientidel polinomio, ad eccezione del primo che è l’unità, sono funzioni analitiche del [delle sic]
x1 , x2 , ..., xn, tutte nulle per x1 = x2 = ... = xn = 0”.
L’esempio pubblicato dall’Osgood fa vedere che il teorema non sussiste nemmeno nella
forma modificata, se nell’intorno dell’origine la funzione della sola y, f (0, 0, ..., 0, y), è
identicamente nulla. In tal caso però nell’ipotesi che non sia identicamente nulla la funzione
f (x1 , x2 , ..., xn, y), è sempre possibile operare un cambiamento di variabili in modo che lafunzione trasformata nelle nuove variabili sia tale da non verificarsi più la suddetta identità
a zero. Pertanto, nella forma più generale per le funzioni di più di due variabili, il teoremapuò essere dato nei seguenti termini:“Una funzione di più variabili, analitica in un campo e non identicamente nulla nell’intorno
di un punto del campo, nell’intorno di tale punto, pur di operare un cambiamento divariabili, può essere posta sotto la forma il prodotto di una funzione mai nulla per unpolinomio in una delle variabili, i cui coefficienti sono funzioni analitiche delle altre variabili,
tutti, ad eccezione del primo, nulli per valori nulli delle variabili”.
N.B. che il suddetto cambiamento di variabili sia possibile è presto visto. L’esseref (0, 0, ..., 0, y) = 0
91

significa che la funzione f (x1 , x2 , .., xn, y), pur non essendo identicamente nulla, lo è però
sul piano della y. Si tratta dunque di operare un cambiamento di variabili tali che ilpiano delle y sia un altro nel quale [la n.d.c.] deprecata circostanza non si verifica più.
Il piano delle y è un piano caratteristico. Non essendo identicamente nulla la funzione
f (x1 , x2 , ..xn , y), vi saranno dei punti, nell’intorno dell’origine, nei quali la f (x1 , ..xn , y)non è nulla. Basta allora fissare uno di tali punti e prendere come nuovo piano delle y il
piano caratteristico che congiunge tale punto con l’origine. Un procedimento analogo si
usa nel campo reale. Se è identicamente nulla f (0, y) e non lo è f (x, y), si prende un punto(x, y) nel quale è f (x, y) = 0 e si assume come nuovo asse y la retta che congiunge questo
punto con l’origine. In modo poi del tutto analogo si opera nel caso che le variabili sianopiù di due.
Dal teorema preliminare di Weierstrass segue che lo studio delle radici dell’equazione
f (x, y) = 0
nell’intorno dell’origine può essere fatto sostituendo alla suddetta equazione l’altra più
semplicey n + a1 (x)y n−1 + ... + an (x) = 0.

(32)

Nel caso che risulti identicamente nulla la funzione della sola y, f (0, y), si prende in considerazione un’equazione del tipoa0 (x)y n + a1 (x)y n−1 + ... + an (x) = 0.
Qualora si tratti di una equazione il cui primo membro è una funzione di più di due variabilif (x1 , x2 , ..., xn, y) = 0
dopo un eventuale cambiamento di variabili, ci si riconduce ad una equazione del tipo (32),dove però i coefficienti sono funzioni analitiche delle n variabili x1 , ..., xn.
Si dà il nome di “pseudopolinomio” di grado n ad ogni funzione del tipo a0 y n + a1 y n−1 +... + an dove a0 , a1 , ..., an sono funzioni di una o più variabili, analitiche in un certo campo.
92

Ai [Agli sic] pseudopolinomi del tipo
y n + a1 y n−1 + ... + an
soddisfacenti alle condizioni del teorema preliminare di Weierstrass e pertanto con
a1 , a2 , ...an,funzioni di una o più variabili, analitiche in un campo contenente l’origine e tutte nulle
nell’origine si dà il nome di “pseudopolinomi specializzati”. Relativamente ai [agli sic]
pseudopolinomi si può svolgere una teoria analoga alla teoria algebrica dei polinomi. Nelle
pagine che seguono facciamo qualche cenno dell’argomento, limitandoci a poche considerazioni fondamentali e prendendo in esame, per semplicità, soltanto gli pseudopolinomi indue variabili, cioè gli pseudopolinomi, i cui coefficienti sono funzioni analitiche di una solavariabile. Avvertiamo una volta per sempre, che in questa teoria non hanno importanzale costanti additive e perciò quando si parla di equivalenza, eguaglianza, ecc. ... si deve
intendere sempre [a n.d.c.] meno di una costante additiva.
Due pseudopolinomi f (x, y) e g(x, y), li diremo identici se risulta per ogni valore di yf (x, y) = g(x, y).
Uno pseudopolinomio si dice “identicamente nullo”, se per ogni particolare valore di y,risulta identicamente nulla la funzione della sola x alla quale esso si riduce.
È facile dimostrare il seguente teorema:“condizioni necessarie e sufficienti perchè uno pseudopolinomio sia identicamente nullo è
che siano identicamente nulli i suoi coefficienti”.
Che la condizione sia sufficiente è fuori dubbio. Mostriamo che è anche necessaria. Supponiamo che lo pseudopolinomio
F (x, y) = a0 (x)y n + a1 (x)y n−1 + ... + an (x)sia identicamente nullo. Dovendo risultare
F (x, 0) = 0
93

deve essere an (x) = 0 dopo di che deve risultare identicamente nullo lo pseudopolinomio
a0 (x)y n−1 + a1 (x)y n−2 + ... + an−1 (x)per ogni y �= 0 e, perciò, anche il limite per y → 0, ciò che importa an−1 (x) = 0.
Cosı̀ continuando si perviene alla conclusione che i coefficienti sono tutti identicamente
nulli.
Conseguenza immediata del teorema è che “uno pseudopolinomio specializzato non può
essere identicamente nullo”; ciò del resto si deduce dalla stessa definizione di pseudopolinomio specializzato. Segue pure, come è facile dimostrare il teorema sulla identità di due
pseudopolinomi:“Condizione necessaria e sufficiente perchè due pseudopolinomi siano identici è che sianodello stesso grado e coincidano i coefficienti delle potenze omonime della y”.
In base a questo ultimo teorema e procedendo in modo del tutto analogo a quanto si fa
in algebra per i polinomi si dimostra agevolmente il teorema: “Se f (x, y) e g(x, y) sonodue pseudopolinomi specializzati di grado rispettivamente n ed m, con n ≥ m esistono,
univocamente determinati altri due pseudopolinomi specializzati, uno, q(x, y), di gradon − m l’altro, r(x, y), di grado non superiore ad m − 1 e tali da risultare
f (x, y) = g(x, y)q(x, y) + r(x, y). ′′Se f (x, y) e g(x, y) non sono pseudopolinomi specializzati, detto A il comune campo dianaliticità dei loro coefficienti, il procedimento algebrico indicato porta all’esistenza dei
due pseudopolinomi q(x, y) e r(x, y), in ogni campo, contenuto in A e nel quale il primocoefficiente di g(x, y) è privo di zeri. Non vogliamo però insistere su tale argomento, per
il nostro scopo è sufficiente dare la nozione di divisibilità di due pseudopolinomi. Uno
pseudopolinomio f (x, y), di grado n, lo diremo divisibile, dal punto di vista algebrico, per
un altro pseudopolinomio g(x, y), di grado m ≤ n, se esiste un terzo polinomio, q(x, y), di
grado n − m tale che sia identicamentef (x, y) = g(x, y)q(x, y).
94

Abbiamo aggiunto l’espressione “dal punto di vista algebrico” giacchè si dà anche un’altra
nozione di divisibilità.
In generale, se F (x, y) e G(x, y) sono due funzioni, simultaneamente analitiche in un campo
contenente l’origine, nulle entrambe nella origine cioè F (0, 0) = G(0, 0) ma nessuna delle
due identicamente nulla si dice che una, ad esempio F (x, y) è divisibile per l’altra G(x, y)
localmente cioè in un intorno dell’origine, se esiste una terza funzione Q(x, y) analitica in
un tale intorno, non nulla nell’origine
Q(0, 0) �= 0e tale da risultare identicamente
F (x, y) = G(x, y)Q(x, y).
Essendo la funzione analitica Q(x, y) non nulla nell’origine, esiste tutto un intorno, nelquale essa è diversa da zero; in tale intorno la funzione
P (x, y) =1
Q(x, y)è analitica e non nulla e si haG(x, y) = F (x, y)P (x, y).
Donde segue che l’essere la F (x, y) divisibile per G(x, y), importa che anche G(x, y) èdivisibile per F (x, y).
Due funzioni analitiche divisibili nel senso ora definito si dicono “equivalenti” rispetto alla
divisione.
È facile persuadersi che, se F (x, y) e G(x, y) sono due pseudopolinomi qualsiasi non specializzati, possono risultare equivalenti; cioè divisibili nel senso analitico secondo l’ultima
definizione di divisibilità, senza che risultino divisibili nel senso algebrico.
Può esistere cioè una funzione analitica Q(x, y) in modo da soddisfare localmente alla
precedente identità senza che essa sia uno pseudopolinomio. Cosı̀ ad esempio lo pseudopolinomio
F (x, y) = y − x95non è affatto divisibile per lo pseudopolinomio
G(x, y) = xy 2 − (x2 + 1)y + x = (xy − 1)(y − x)mentre lo è dal punto di vista analitico nell’intorno dell’origine determinato dalle limitazioni|x| < 1|y| < 1.

Se, invece, ci limitiamo agli pseudopolinomi specializzati, le due definizioni di divisibilità
vengono a coincidere.
Si dimostra cosı̀ il teorema:“Se f (x, y) e g(x, y) sono due pseudopolinomi specializzati, rispettivamente di grado n ed
m, con n ≥ m, si ha:1) se f (x, y) è divisibile per g(x, y) lo è necessariamente nel senso algebrico, ossia, se [sic] esiste una funzione q(x, y), analitica in un intorno dell’origine e tale da verificare intale intorno l’identità:f (x, y) = g(x, y)q(x, y)(33)

ossia è necessariamente uno pseudopolinomio specializzato di grado n − m;2) lo pseudopolinomio g(x, y) non può essere in alcun modo divisibile per f (x, y)”. Dimostriamo la prima parte del teorema. Poniamo:
f (x, y) = y n + a1 (x)y n−1 + .. + an (x); g(x, y) = y m + b1 (x)y m−1 + .. + bm (x)e supponiamo che esista una funzione q(x, y), analitica in un certo intorno dell’origine, nelquale verifica l’identità (33). Per fissare le idee supponiamo che tale intorno sia determinato
dalle limitazioni |x| < r; |y| < ρ; risulta allora dalla (33)q(x, y) =y n + a1 y n−1 + .. + anf (x, y)= m.
g(x, y)y + b1 y m−1 + .. + bm

(34)

I due pseudopolinomi specializzati f (x, y) e g(x, y) soddisfano alle condizioni del teorema preliminare di Weierstrass e, indi, per x contenuto in un intorno dell’origine nel
piano dell’origine, lo pseudopolinomio g(x, y) ha m radici, contenute tutte in un intorno
dell’origine nel piano delle y. Si può allora determinare un numero positivo ε < r e piccolo
96

in modo che, per |x| < r, gli zeri dello pseudopolinomio siano tutti nell’intorno della origine
di raggio ρ nel piano delle y. Ne segue che per |x| < ε ed |y| > ρ la funzione g(x, y) è
analitica e priva di zeri. Di conseguenza, dalla (34) si deduce che q(x, y), supposta analitica
per |x| < r ed |y| < ρ lo è anche per |x| < ε < r ed |y| > ρ. In definitiva q(x, y) è una
funzione analitica per |x| < ε ed y qualunque. Essa dunque risulta sviluppabile in una
serie di potenze in y:q(x, y) = γ0 (x) + γ1 (x)y + γ2 (x)y 2 + ..
convergente in tutto il piano delle y, i cui coefficienti sono funzioni della x, analitiche nel
cerchio di centro nell’origine e raggio ε. I coefficienti dei due polinomi f (x, y) e g(x, y),essendo funzioni analitiche di x, sono, nel suddetto cerchio, limitate in modulo. Segue
allora dalla (34) che, nel punto all’infinito del piano delle y la funzione q(x, y) ha un
infinito di ordine n − m e pertanto la funzione di y: q(x,y)
y n−m risulta regolare all’infinito. Ciòci assicura che lo sviluppo di q(x, y) in serie di potenze di y si arresta al termine di gradon − m, e pertanto q(x, y) è uno pseudopolinomio di grado n − m. Poniamo alloraq(x, y) = q0 (x)y n−m + q1 (x)y n−m−1 + .. + qn−m (x).
Sostituendo nella identità (33), eseguendo il prodotto indicato al secondo membro ed
uguagliando i coefficienti dello pseudopolinomio che si ottiene con i coefficienti corrispondenti dello pseudopolinomio f (x, y) nel primo membro, si ha prima di tutto q0 (x) = 1,
dopo di che si hanno le relazioni:
ak = bk + bk−1 q1 + bk−2 q2 + .. + b1 qk−1 + qk
per k = 1, 2, .., n −m; dalle quali essendo: a1 (0) = a2 (0) = .. = an (0) = 0 e b1 (0) = b2 (0) =.. = bm (0) = 0, si deduce che deve ancora risultare: q1 (0) = q2 (0) = .. = qn−m (0) = 0, cioè
la funzione q(x, y) è uno pseudopolinomio che ha per primo coefficiente l’unità, ed ha gli
altri coefficienti funzioni analitiche della x, tutte nulle per x = 0. Resta cosı̀ dimostrata la
prima parte del teorema. La seconda parte è di dimostrazione pressocchè immediata. Cheg(x, y) non possa essere divisibile per f (x, y) nel senso algebrico è più che evidente, ma nonlo può essere nemmeno dal punto di vista analitico. Supponiamo infatti che possa esistere97

una funzione, ϕ(x, y), analitica in un intorno dell’origine, ma non nulla nell’origine:ϕ(0, 0) = 0(35)

e tale ancora da verificare identicamente nel suddetto intorno la relazione
g(x, y) = f (x, y) ϕ(x, y).
Essendo verificata la (35), restringendo opportunamente l’intorno dell’origine si può farein modo che nell’intorno, insieme alla (35), risulti ancora ϕ(x, y) = 0. Allora, in tale1
intorno, la funzione q(x, y) = ϕ(x,y)
risulta analitica e priva di zeri. Dalla (35) si hainoltre f (x, y) = g(x, y)q(x, y), relazione che non può sussistere, giacchè, in virtù dellaprima parte del teorema già dimostrato, essa può essere verificata soltanto con q(x, y)
pseudopolinomio specializzato, pertanto nullo nell’origine. Data la nozione di divisibilitàper gli pseudopolinomi si possono facilmente estendere ad essi i concetti di pseudopolinomi
primi, di decomposizione in fattori primi, di discriminante, di risultante, ecc.ecc.

98PARTE V - LE SINGOLARITÀ

Usando la terminologia nota dalla teoria delle funzioni di una variabile complessa, diremo“Olomorfa” nell’intorno di un punto P , o, più semplicemente, olomorfa nel punto P , una
funzione di più variabili se è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale P . Una
funzione si dirà poi olomorfa in un campo se tale è nell’intorno di ogni punto del campo.
È opportuno mettere bene in rilievo fin dal principio che il carattere olomorfo noncompete ai singoli punti, bensı̀ agli intorni. Pertanto, quando, ad esempio, si afferma che
una funzione f (x, y) è olomorfa per x variabile in un certo campo C del piano della x oper y = y0 , deve intendersi che essa è olomorfa nel campo quadrimensionale prodotto di C
e di un altro campo costituito da un intorno del punto y0 nel piano della y. Analogamentedire che la funzione f (x, y) è olomorfa per x variabile su un arco di curva del piano della x′

equivale ad ammettere che sia olomorfa per x variabile in un certo intorno della curva.(1 )Dopo di che si comprende che cosa debba intendersi quando, qualche volta, si parlerà difunzione olomorfa in un dominio. Diremo “meromorfa” in un punto una funzione, chenell’intorno del punto, si può esprimere come rapporto di due funzioni olomorfe. Se si
tratta di un rapporto effettivo, nel senso che la funzione non sia olomorfa, nè, mediantela eliminazione di un fattore, possa ridursi ad una funzione olomorfa, la funzione ha nel
punto una singolarità (non essenziale). Il rapporto di due funzioni, ambedue olomorfe in
un campo, si dice meromorfo nel campo, ed è evidentemente una funzione olomorfa in ogni
punto del campo nel quale non si annulla la funzione al denominatore. I punti del campo,
nei quali una tale funzione non è olomorfa sono “punti singolari”. I punti, di olomorfia li
diremo anche punti regolari ed useremo la espressione: funzione regolare in un punto, in
un campo, in luogo dell’altra “funzione olomorfa”. Come è noto una funzione di una solavariabile che è meromorfa in un campo, può avere, nel campo stesso, soltanto singolaritàpolari. Invece per le funzioni meromorfe di due variabili, possono distinguersi due specie(1′ )Non è qui il caso di precisare il concetto di tale intorno. Ci si può contentare dell’idea

intuitiva, secondo la quale “intorno di un arco di una curva piana” si può chiamare un
campo piano, al quale ogni punto dell’arco è interno.
99

di singolarità (non essenziali): singolarità di prima specie o polari e singolarità di seconda
specie. Nell’intorno di un punto singolare di prima specie o polo, la funzione è in modulo divergente. Nell’intorno di un punto singolare di seconda specie o punto di indeterminazione,
la funzione non è in modulo limitata, ma non è neanche divergente, potendo, in un intorno
comunque ristretto, assumere qualsiasi valore assegnato ad arbitrio. Punto di indeterminazione è, per esempio, l’origine per la funzione di due variabili y/x. Ci siamo già occupatidel problema del prolungamento analitico. Vogliamo ora ritornare su tale argomento. Precisamente, il problema sul quale vogliamo ora intrattenerci, nei termini più generali, si può
cosı̀ enunciare: “data una funzione, olomorfa o meromorfa, in un campo C, contenuto in
un altro campo γ, definire un’altra funzione, olomorfa o meromorfa in γ, la quale in C
coincida con la data”. Si parlerà allora di prolungamento olomorfo e di prolungamento
meromorfo. In un primo tempo ci occuperemo del prolungamento olomorfo e cominceremoda alcuni teoremi che riflettono ed estendono teoremi sussistenti per le funzioni di una solavariabile. Precisando ancora il nostro compito, diremo che i problemi seguenti consistono
nel partire da una funzione olomorfa in un campo, privato di un insieme di dimensioni
minori di quello del campo e, sotto opportune ipotesi, prolungare detta funzione in tutto
il campo. Problemi simili si possono anche chiamare di riassorbimento delle singolarità daparte del campo di olomorfia. Li diremo anche problemi di eliminazione delle singolarità eparleremo perciò di singolarità eliminabili od apparenti. Attraverso i problemi di riassorbimento saremo portati ad una analisi della distribuzione delle singolarità non apparenti
in un campo. Nella dimostrazione dei teoremi ci riferiremo, per semplicità, alle funzioni
di due variabili. Le estensioni al caso generale di n variabili non presentano difficoltà disorta, e pertanto ci contenteremo di dare gli enunciati dei singoli teoremi. Per indicare
due variabili complesse useremo in generale, i simboli x ed y come nel capitolo precedente.
Qualche volta però ritorneremo ai vecchi simboli z1 , z2 , avendo bisogno di far ricorso alla
parte reale ed al coefficiente dell’immaginario delle singole variabili. Ricordiamo il teorema
di Weierstrass per le funzioni di una variabile: “Se una funzione è limitata in un campo
C ed è olomorfa in C privato di un insieme finito di punti, essa è olomorfa in tutto C”.
Nell’ipotesi che sia limitata la funzione si lascia perciò prolungare in tutto C, o, come si
dice, si lascia, per continuità, definire olomorfa in tutto C, nel senso che in ogni punto
100

dell’insieme finito eccettuato, la funzione ha limite determinato ed, in modulo, finito, chele si attribuisce come valore nel punto, risultando la funzione, cosı̀ prolungata, olomorfa in
C. Nel capitolo IIIo ci siamo serviti dell’estensione di questo teorema alle funzioni di piùvariabili per introdurre il concetto di analiticità di una funzione in un punto all’infinito.
Vedremo poi che il teorema per le funzioni di più variabili sussiste anche senza l’ipotesi che
la funzione sia limitata in C. Per ora ci basti fare osservare che cosı̀ come enunciato e esteso
formalmente alle funzioni di due variabili il teorema è un caso particolare del seguente:“Se una funzione, f (x, y), è limitata in un campo C, prodotto di un campo, C1 , del pianodelle x e di un campo, C2 , del piano delle y, ed è continua su F C ed olomorfa generalmente
in C nel senso che, per ogni fissato valore di y in C2 , risulta funzione della sola x, olomorfa
in C1 , fatta eccezione di un insieme finito, variabile con y, essa è olomorfa in tutto C”.
Fissato y in C, la f (x, y), funzione della sola x è limitata in tutto C1 ed è olomorfa in C1 ,privato di un insieme finito di punti. In virtù del citato teorema di Weierstrass relativo
alle funzioni di una variabile, tale funzione è olomorfa in C1 . Essa inoltre è continua su
F C1 e, pertanto qualunque sia x in C1 è uguale a:f (x, y) =

1
2πi



f (ξ, y)dξ.
F C1 ξ − x

Il secondo membro di questa relazione è una funzione di x ed y, evidentemente olomorfa intutto C. La relazione dunque dimostra il teorema. Le modifiche da apportare all’enunciatodel teorema se si prende in considerazione il caso generale delle funzioni di n variabilisono evidenti. Abbiamo detto che nel suddetto teorema è contenuta l’estensione formale
del teorema di Weierstrass. A giustificazione dell’attributo “formale” si rifletta che, nelteorema di Weierstrass si suppone la olomorfia della funzione in un campo a due dimensioni
privato di un insieme a zero dimensioni, cioè di un insieme chiuso avente due dimensionimeno del campo. Sotto questo aspetto, volendo estendere il teorema alle funzioni di due
variabili, bisogna postulare l’olomorfia in un campo, a quattro dimensioni, ad eccezione di
un insieme chiuso a due dimensioni. Ed infatti sussiste il teorema: “Se una funzione di due
variabili, f (z1 , z2 ), è limitata in un campo C dello spazio a quattro dimensioni, è olomorfa
in C ad eccezione di un insieme chiuso, contenuto in C, e costituente una superficie regolare,101nel senso ordinario, ed infine è continua su F C, essa è olomorfa in tutto C”. Una superficie
regolare nello spazio a quattro dimensioni viene assegnata o mediante una sola equazione
complessa, la quale dà una delle due variabili in funzione dell’altra, oppure mediante due
equazioni reali, dando cioè due delle quattro variabili reali in funzione delle altre due; peresempio da due equazioni del tipo: x1 = ϕ(x2 , y2 ) y1 = ψ(x2 , y2 ) con (x2 , y2 ) ∈ D2 e ϕ e ψdefinite in D2 , del piano delle z2 , interno a C2 , ivi dotate di derivate continue, come già piùvolte spiegato. Le ipotesi del teorema ci assicurano che, per ogni z2 , contenuto in C2 , lafunzione f (z1 , z2 ) è olomorfa in C, ad eccezione di un punto solo, qualora z2 è in D2 , cioè delpunto (ϕ(x2 , y2 ), ψ(x2 , y2 ), x2 , y2 ) della superficie. Inoltre la funzione, per ipotesi, è ancora
limitata. In virtù del teorema precedente essa è olomorfa in tutto C. L’ipotesi essenziale
per la precedente dimostrazione è che la superficie eccettuata sia tale che ad ogni punto,
z2 , di C2 sia associato un numero finito di punti di essa superficie. Tale numero finito si
riduce ad uno, nell’ipotesi nella quale ci siamo posti, che, cioè, la superficie sia regolare, nelsenso spiegato, oppure che sia addirittura una superficie caratteristica avente equazione
esplicita del tipo z1 = g(z2 ). Il teorema si estende facilmente al caso generale delle funzioni
di n variabili e si enuncia come segue: “Se una funzione di n variabili complesse è limitata
in un campo C dello spazio a 2n dimensioni ed è olomorfa in C, ad eccezione di un insiemechiuso di punti, costituenti una varietà regolare a 2(n − 1) dimensioni, ed è infine continua
su F C, essa è olomorfa in tutto C”. Per le funzioni di una variabile sussiste il teorema:“Se una funzione è continua in un campo C ed è olomorfa in C, ad eccezione dei punti diuna curva regolare interna a C, essa è olomorfa in tutto C”. In questo teorema si postula
la olomorfia della funzione in tutto un campo, privato di un insieme chiuso, costituente
una curva regolare, ossia un insieme avente una dimensione di meno del campo. Per lefunzioni di n variabili il teorema è pertanto il seguente: “Se una funzione di n variabili ècontinua in un campo C a 2n dimensioni ed è olomorfa in C ad eccezione dei punti di uninsieme chiuso costituente una varietà regolare a 2n−1 dimensioni, essa è olomorfa in tutto
C”. Al solito limitiamo le nostre considerazioni alle funzioni di due variabili, per le quali
il campo C è quadrimensionale e la varietà eccettuata è tridimensionale. Si tenga presenteche, nello spazio a quattro dimensioni, l’intersezione di un piano con una varietà regolarea tre dimensioni, è una varietà ad una dimensione, cioè una curva regolare. Se dunque102

(x0 , y0 ) è un punto della varietà eccettuata il piano caratteristico y = y0 interseca il campo
C in un campo piano, nel quale la funzione è olomorfa, ad eccezione che nei punti dellacurva intersezione del piano con la varietà. Essa dunque, in virtù del precedente teorema
sulle funzioni di una variabile, si lascia, per continuità, definire olomorfa in tutto il campo
piano. Lo stesso dicesi per il campo di intersezione del campo C col piano caratteristico
di equazione x = x0 . In tal modo, facendo variare i piani caratteristici, mantenendoli però
paralleli alle prime posizioni, la funzione si prolunga in tutto il campo C. Veniamo ora
al teorema di Hartogs: “Se, essendo C1 e C2 due campi nei piani rispettivamente dellex e delle y, ed H un campo contenuto in C2 , la funzione soddisfa alle seguenti ipotesi:(funzione = f (x, y))a) è olomorfa nel campo prodotto CH e continua sulla frontiera.
b) per ogni x di F C1 è funzione olomorfa di y in tutto C2 ,essa è olomorfa in tutto il campo C prodotto di C1 e C2 ”.
In virtù della prima ipotesi si ha nel campo C1 H:
f (x, y) =

1
2πi



F C1

f (ξ, y)
dξ.
ξ−x

(ξ,y)
Per la seconda ipotesi, la funzione: fξ−x
per ξ su F C1 , è funzione olomorfa di x ed y intutto C. Il secondo membro della precedente relazione rappresenta dunque una funzione
olomorfa in tutto C, la quale coincide con la data nel campo a quattro dimensioni C1 H,
contenuto in C, ne è il prolungamento in tutto C. Come conseguenza di questo teorema
si deducono le prime considerazioni sulla distribuzione delle singolarità non apparenti. Siaf (x, y) una funzione olomorfa per y = y0 ed x contenuto in un certo campo C1 , escluso
un insieme chiuso totalmente interno a C1 , nei punti del quale la funzione presenti delle
singolarità. Diciamo D1 un dominio contenuto in C1 e contenente nell’interno il suddetto
insieme di punti singolari, dominio certamente esistente. Posto C 1 = C1 − D1 , la funzione
f (x, y) risulta olomorfa per y = y0 ed x variabile nel campo C 1 . Il carattere olomorfo,
come già abbiamo notato, è un carattere locale e compete perciò a tutto un intorno aquattro dimensioni. Esisteranno pertanto dei valori, ε, tali che la funzione f (x, y) risulta
ancora olomorfa per y = y0 + ε ed x variabile in C 1 , frontiera di D1 inclusa. Diciamo r103

l’estremo superiore dei moduli di tali numeri ε. Orbene una funzione f (x, y), per y = y0 +ε,
essendo ε un qualsiasi numero minore in modulo di r, non può essere olomorfa in tutto
C1 , ma dovrà necessariamente presentare delle singolarità internamente a tale campo. E
difatti, una volta fissato ε, di modulo minore di r, diciamo ρ un qualsiasi numero positivo
compreso tra |ε| ed r: |ε| < ρ < r e chiamiamo D2 il dominio circolare di centro y0 e raggio
ρ nel piano delle y. La funzione è olomorfa per y ∈ D2 ed x variabile in C 1 + F D1 , giacchè
i punti singolari sono interni a D1 . Se per y = y0 + ε la funzione fosse olomorfa anche nel
campo dei punti interni a D1 cioè in tutto C1 , lo stesso dovrebbe avvenire per y contenuto
in un opportuno dominio circolare di centro nel punto y0 + ε ed interno a D2 . Diciamo H
un tale dominio. Dunque la funzione risulta olomorfa nel dominio prodotto di D1 ed H.
D’altra parte, essa è ancora olomorfa per y ∈ D2 ed x variabile sulla frontiera di D1 comegià abbiamo osservato. Ne segue che, relativamente al campo dei punti interni al dominio
prodotto D1 D2 la funzione soddisfa alle ipotesi del teorema di Hartogs. Essa pertanto èanalitica in tutto il campo, ciò che è contro l’ipotesi della presenza di punti singolari internia D1 per y = y0 . Possiamo dunque enunciare il teorema: “Se la funzione f (x, y) per y = y0
presenta singolarità costituenti un insieme chiuso interno ad un certo campo C1 del pianodelle x, singolarità cioè interne a C1 insieme ai loro eventuali punti di accumulazione,
esisterà tutto un intorno del punto y0 nel piano delle y tale che, per y contenuto in tale
intorno, la funzione presenta ancora singolarità interne a C1 ”. In altri termini, se nel
piano caratteristico di equazione y = y0 la funzione presenta delle singolarità, facendo
variare con continuità il piano, mentenendolo però sempre parallelo, le singolarità non
scompaiono istantaneamente, ma si conservano per tutto un intorno di y0 . Per questa
ragione il teorema si chiama: “Teorema della continuità delle singolarità”. Da esso segue
immediatamente che: “Se ε1 , ε2 , ..., εn.... è una successione di numeri complessi tendenti azero, e se, per yi = y0 + εi per i = 1, 2, .., n.. la f (x, y) non presenta singolarità, non ne
potrà presentare neanche per y = y0 ”. Se ne deduce che: “L’insieme delle singolarità è
per lo meno bidimensionale”. Il teorema della continuità delle singolarità ci permette di
impostare ancora un altro teorema sulla eliminazione delle singolarità apparenti giacchè daesso si deduce facilmente che: “Le singolarità non apparenti di una funzione di due variabili
non possono distribuirsi lungo una curva”. In altri termini sussiste il teorema: “Se una
104

funzione f (x, y) è olomorfa in un campo fatta eccezione dei punti di una curva, tutta
interna al campo, essa è olomorfa in tutto il campo”. Per persuadersi che questo teoremaè un corollario immediato del teorema della continuità delle singolarità basta considerareche se un piano caratteristico y = y0 ha un punto in comune con la curva non esiste affatto
un intorno di y tale che, qualunque sia il piano caratteristico y = y0 + ε esso interseca′

ancora la curva.(1 ) Si noti che l’unica ipotesi del teorema è che la funzione sia olomorfa
nel campo privato dei punti della curva. L’insieme dei punti della curva è un insieme avente
numero di dimensioni minore di tre del numero di dimensioni del campo. Il teorema non
ha riscontro nel campo delle funzioni di una sola variabile. Passando al caso generale delle
funzioni di n variabili il teorema si estende con facilità. L’ipotesi da farsi è che le singolarità
formino un insieme di dimensioni uguali o minori di 2n − 3. Ponendoci sempre nell’ipotesi
che l’insieme eccettuato formi una varietà regolare, il teorema si enuncia: “Se una funzione
di n variabili è olomorfa in un campo a 2n dimensioni, privato dei punti di una varietà
regolare a 2n − k dimensioni, con k > 3, totalmente interna al campo, essa è olomorfa
in tutto il campo”. Come caso particolare si ha il seguente teorema: “Una funzione dipiù variabili non può ammettere singolarità isolate”. Cioè: “Una funzione olomorfa in un
campo privato di un numero finito di punti è olomorfa in tutto il campo”. Come dunque(1′ )Indichiamo con z1 e z2 le due variabili. Una curva dello spazio a quattro dimensioniè rappresentata da un sistema di quattro equazioni parametriche: x1 = x1 (t); y1 = y1 (t);x2 = x2 (t), y2 = y2 (t). Poniamo: z20 = x02 + y20 i, ε = ε′ + iε′′ . L’avere il piano caratteristicoz2 = z20 un punto comune con la curva importa l’esistenza di un valore, t0 , del parametrot, per il quale si ha:x2 (t0 ) = x02 ; y2 (t0 ) = y20 .
Ammettere l’esistenza di un certo numero positivo, r, tale che qualunque sia ε, minore inmodulo di r, il piano caratteristico z2 = z20 + ε abbia un punto di intersezione con la curva
equivale ad ammettere, per ogni valore di ε l’esistenza di un valore, tr , del parametro t
tale da aversi
x2 (tr ) = x02 + ε′ ; y2 (tr ) = y20 + ε′′ciò che evidentemente è un assurdo.
105

avevamo annunziato il teorema da noi applicato nel terzo capitolo per definire una funzione
analitica all’infinito, sussiste in ipotesi più generali, senza cioè l’ipotesi che la funzione sia
limitata. Ricapitoliamo nel seguente quadro tutti i precedenti teoremi di riassorbimento:

Ritornando al teorema della continuità delle singolarità e comprendendo nelle nostre considerazioni anche l’infinito; in luogo dei piani caratteristici di equazione:y = y0(oppure x = x0 )(1)

possiamo parlare di retta del piano proiettivo complesso, oppure, volendo riportare tutto
al finito sulla varietà di Segre, parleremo di ellissoide sulla varietà di Segre.
Il teorema di continuità afferma dunque che se sulla retta del piano proiettivo complesso
di equazione (1) la funzione f (x, y) ha punti singolari, essa avrà punti singolari su ogni
retta prossima e parallela cioè su ogni retta di equazione y = y0 + ε con ε opportunamente
piccolo in modulo. Se invece di rette parallele consideriamo rette prossime ma di equazione
generica y = y0 + ε + σx, con ε e σ sufficientemente piccoli in modulo, basta considerareche ogni retta di tale tipo ha con la retta di equazione (1) un punto comune. Se questo
punto è regolare per la funzione, si può, con una trasformazione opportuna, mandare
tale punto all’infinito. Con tale trasformazione le due rette si trasformano in due rette
sempre prossime, ma parallele e, pertanto, ad esse è applicabile il risultato del teorema
di continuità. In definitiva, riferendoci alla rappresentazione del piano complesso sulla
varietà di Segre tutta al finito, possiamo in generale affermare: “Se sopra un ellissoide dellavarietà di Segre cade un insieme, I, di punti singolari di una funzione, sopra ogni ellissoide106sufficientemente prossimo, cadrà un insieme di punti singolari, la cui distanza dallo insieme
I è arbitrariamente piccola”. A questo risultato se ne può aggiungere un altro che ci dà
un’idea più precisa sulla struttura dell’insieme dei punti singolari di una funzione di piùvariabili. Nella teoria delle funzioni analitiche di una variabile si è visto come sia possibile
l’esistenza di funzioni aventi delle lacune, come si possa cioè costruire una funzione chesia singolare in tutti i punti di un dominio limitato da una curva regolare e chiusa, tutta
al finito. Siamo in grado ora di dimostrare che ciò non è possibile affatto per le funzioni
analitiche di più variabili? Possiamo cioè dimostrare che una funzione di più variabili, nonsoltanto non può avere singolarità isolate, oppure un insieme di punti singolari formanti una
curva regolare, ma addirittura non può ammettere un insieme di punti singolari isolato;
isolato, cioè, come insieme, nel senso che possa venire racchiuso in una varietà tutta alfinito e sulla quale la funzione sia regolare. La verità di questa affermazione si deduce
dal seguente teorema di Hartogs: “Se, nello spazio a quattro dimensioni, una varietà
V , tridimensionale, è la frontiera di una porzione, T , limitata di spazio, e se su V lafunzione f (x, y) è olomorfa, essa è prolungabile in tutto T ”. Richiamiamo l’attenzione
ancora una volta sul fatto che dire una funzione di due variabili olomorfa su una varietà
tridimensionale equivale ad affermare l’olomorfia in un intorno della varietà, ossia in un
certo campo quadrimensionale, al quale la varietà sia totalmente interna. Tenendo contodi ciò, possiamo supporre la varietà regolare e prendere un piano caratteristico che abbia
almeno un punto sulla varietà, ma nessun punto comune con T . Inoltre senza ledere
la generalità, possiamo supporre che un tale piano sia di equazione del tipo x = x0 .
Consideriamo allora i piani caratteristici di equazione:x = x0 + ε(2)con ε tale che il piano corrispondente abbia i punti nel campo T . Si rifletta anzi che a questo
scopo basta supporre ε reale, cioè basta far subire al piano spostamenti reali in un certo
verso. Se in T esistesse un insieme, I, di punti singolari per la funzione f (x, y), dovrebbe
esistere per lo meno un valore di ε tale che il piano relativo incontra tale insieme in I.
D’altra parte I è tutto interno al campo T limitato dalla varietà V , sulla quale la funzioneè supposta regolare. Esso poi è un insieme necessariamente chiuso. Se quindi diciamo r107

l’estremo superiore dell’insieme dei moduli dei numeri ε tali che i piani caratteristici (2)non abbiano punti comuni con I, insieme certamente non vuoto esisterà un numero, ε0 ,con |ε0 | = r, tale che il piano:x = x0 + ε0(3)

abbia punti comuni con I. Ora ciò è palesemente contro il teorema della continuità,perchè sul piano caratteristico di equazione (3) esisterebbero punti singolari per la funzione,
mentre ogni piano di equazione (2) con |ε| > |ε0 | sarebbe privo di tali punti. Il teorema
si estende immediatamente al caso generale delle funzioni di n variabili. Le modificheda apportare all’enunciato in tal caso sono evidenti, perciò ci dispensiamo dal ripeterequi l’enunciato completo. Osserviamo ora che, perchè un dominio dello spazio a quattro
dimensioni abbia per contorno una varietà, V , tutta al finito è necessario e sufficiente cheesista una retta del piano proiettivo complesso la quale non abbia punti comuni. In tal
caso infatti si può operare una trasformazione che porta tale retta all’infinito. Il dominio
resta tutto al finito. Possiamo dunque dire: “Se una funzione è olomorfa [in n.d.c.] una
varietà tridimensionale, limite di una porzione, T , di spazio a quattro dimensioni, nonavente punti comuni con una retta del piano proiettivo complesso, essa è olomorfa intutto il campo T ”. Ne segue: “l’insieme di singolarità di una funzione ha punti comuni
con ogni retta del piano proiettivo complesso”. Riferendoci alla varietà di Segre tutta alfinito, il risultato si traduce nelle seguenti proposizioni: “Se una funzione è olomorfa sul
contorno di un campo della varietà di Segre non avente punti comuni con un ellissoidedella varietà, essa è olomorfa in tutto il campo”. “L’insieme dei punti singolari di una
funzione sulla varietà di Segre ha punti comuni con ogni ellissoide della varietà”. Comesi vede questo teorema ci dà effettivamente un’idea molto più precisa sulla struttura delloinsieme delle singolarità. Una ulteriore precisazione è contenuta in un risultato dovuto
al Caccioppoli [R. Caccioppoli, Sulla distribuzione delle singolarità delle funzioni di due
variabili complesse, Atti del I Congresso dell’U.M.I. (1937) 183-186; ripubblicato in Opere
Scelte, U.M.I., articolo 60, pp. 174-177 n.d.c.], secondo il quale l’insieme delle singolarità
costituisce un continuo. Ma per giungere a questo risultato occorrerebbero strumenti ben
più elevati e potenti, che purtroppo noi non possediamo. Come conseguenza del teorema
di Hartogs si deducono le prime considerazioni sulla distribuzione delle singolarità non108

apparenti. Sia f (x, y) una funzione olomorfa per y = y0 ed x variabile in un certo campo
C1 , escluso un insieme chiuso, totalmente interno a C1 nei punti del quale la funzione
presenti delle singolarità. Diciamo D1 un dominio contenuto in C1 e al quale il suddetto
insieme di punti singolari è completamente interno, dominio certamente esistente. Posto
allora C 1 = C1 − D1 , la funzione f (x, y) risulta olomorfa per y = y0 ed x variabile in
C 1 + F D1 . Il carattere olomorfo, come abbiamo già fatto notare, è un carattere locale e
compete a tutto un intorno quadrimensionale. Si potrà pertanto determinare un intorno di
y0 , diciamolo γ, tale che la funzione risulta olomorfa per y ∈ γ ed x ∈ C 1 + F D1 . Dunqueteniamo presente che:a) per x contenuto su F D1 la f (x, y) è olomorfa in tutto γ.
Vogliamo ora far vedere che come la f (x, y) non è olomorfa in tutto C1 per y = y0 ,altrettanto deve accadere per ogni y di γ. Supponiamo infatti che, essendo il punto y0 + ε
in γ, la funzione sia olomorfa, per y = y0 + ε, ed x variabile in tutto C1 , quindi anche in
D1 , che è compreso in C1 . Dato il carattere locale dell’olomorfia si determinerà un intorno
H, del punto y0 + ε, tutto interno a γ, e tale che la funzione è olomorfa per x ∈ D1 edy ∈ H. Si ha dunque ancora:b) la f (x, y) è olomorfa nel campo prodotto D1 H.
Le due proposizioni a) e b) esprimono, che rispetto al campo prodotto D1 γ sono verificate
le ipotesi del teorema di Hartogs. La f (x, y) è dunque olomorfa in tutto D1 H, ciò cheè contro l’ipotesi della presenza dei punti singolari interni a D1 per y = y0 . Possiamo
dunque enunciare il teorema ..... ecc.ecc..
Veniamo ora alle funzioni meromorfe e cominciamo dal teorema di Hartogs la cui estensione è contenuta nel seguente teorema di Levi: “Sia C un campo dello spazio a quattro
dimensioni, prodotto di due campi, C1 del piano della x e C2 del piano della y; sia inoltre
H un campo piano interno a C1 . Se la funzione f (x, y) soddisfa alle seguenti ipotesi: a) èmeromorfa nel campo prodotto HC2 . b) È olomorfa per y contenuto in F C2 ed x variabile
in C1 , essa è meromorfa in tutto il campo C”. In virtù della seconda ipotesi la funzione(x,η)
di x ed y F C2 fη−ydη è olomorfa in tutto il campo C. Prendiamo in considerazione la109differenza:
f (x, y) −

1
2πi



f (x, η)dη ≡ F (x, y).
F C2 η − yTeniamo presente che la seconda ipotesi del teorema importa l’olomorfia di f (x, y) nel
campo quadrimensionale prodotto di C1 e di un intorno di F C2 . Una volta determinato
un tale intorno indichiamo con I la parte di esso interna a C2 , parte che costituisce evidentemente un campo. La suddetta funzione F (x, y) risulta allora olomorfa nel campo
C1 I, meromorfa nel campo HC2 . Perchè il nostro teorema risulti dimostrato basta far
vedere che la F (x, y) ammette il prolungamento meromorfo in tutto il campo C. Intanto,
pur di restringere opportunamente H, possiamo supporre che questo campo sia tale che laf (x, y), meromorfa in HC2 , risulti, per ogni fissato valore di x in H, funzione meromorfa
della sola y in C2 . D’altra parte, dalla teoria delle funzioni di una sola variabile, è noto
che la differenza che definisce la F (x, y), per x fissato, equivale alla somma delle parti
caratteristiche della funzione della sola y, F (x, y) relative ai poli contenuti in C2 . Pertantopossiamo affermare che la F (x, y), per ogni x fissato in H, è uguale alla somma di frazioni
semplici e quindi ad una frazione razionale:

F (x, y) =a0 y n + a1 y n−1 + ... + an.
y m + b1 y m−1 + ... + bm

Naturalmente i coefficienti dei due polinomi sono funzioni della x in H. Supponiamo lafunzione irriducibile in ogni x. Dobbiamo considerare variabili con la x anche i due numeri
m ed n. Essi possono però assumere soltanto valori interi. La coppia (m, n) varia perciò
in un insieme numerabile al variare della x in un continuo. Si deduce da ciò l’esistenza
di almeno una particolare coppia (m, n) che deve corrispondere ad un insieme, H ′ ⊂ H,
di infiniti valori della x. Possiamo sempre supporre che i punti di accumulazione di H ′′siano contenuti in H.(1 ) Per x variabile in H ′ i due numeri interi m ed n risultano dunquecostanti ed i coefficienti a0 , a1 , ...., an, b1 , b2 , ...., bn, funzioni della x, e sussiste l’identità:a0 y n + a1 y n−1 + .... + an = F (x, y)(y m + b1 y m−1 + ... + bm )(1′ )Si può addirittura supporre che H sia un dominio.
110

(4)

la quale permette di determinare i coefficienti. Si potranno infatti assumere, in C2 , n+m+1
valori della y tali che il sistema di equazioni nelle ai e bi , che si deducono dalla (4),permettono di determinare tali quantità in funzione della x. Qualora ciò non fosse possibile
sussisterebbe tra i coefficienti della (4) una relazione lineare a coefficienti indipendenti
dalla y, e per ogni x, ciò che è contro l’ipotesi della irriducibilità della frazione. I suddettin + m + 1 valori della y: y1 , y2 , ...., yn+m+1, li possiamo anzi scegliere nel campo I. I
coefficienti ai e bi vengono ad essere determinati come funzioni razionali di F (x, yi ). Ma
questa quantità, per la particolare scelta delle yi sono funzioni della x, olomorfe in tutto C1 ,dunque i suddetti coefficienti sono razionalmente determinati mediante funzioni olomorfe
in tutto C1 , a0 = a0 (x), a1 = a1 (x), ..., an = an (x), b1 = b1 (x), b2 = b2 (x), ...., bm = bm (x);e l’identità (4) supposta verificata per x ∈ H ′ ed y ∈ C2 , risulta verificata per x ∈ C1 edy ∈ C2 . Pertanto la relazione:

F (x, y) =a0 (x)y n + a1 (x)y n−1 + .... + an (x)y m + b1 (x)y m−1 + .... + bm (x)definisce F (x, y) come funzione meromorfa in tutto C. Da questo teorema si possono dedurre conseguenze analoghe a quelle dedotte dal teorema di Hartogs nel caso delle funzioni
olomorfe. Cominciamo con l’osservare che anche il carattere meromorfo è un carattere locale, giacchè una funzione meromorfa non è altro che il rapporto di due funzioni olomorfe.
Supponiamo allora che f (x, y) sia una funzione meromorfa per y = y0 ed x variabile in
un campo C1 , fatta eccezione di un insieme chiuso di punti, tutto interno a C1 , punti
che naturalmente costituiscono singolarità essenziali. Si può far vedere che le singolaritàci saranno anche internamente a C1 per y = y0 + ε, con ε opportunamente piccolo in
modulo. Intanto osserviamo che essendo la funzione meromorfa in C1 per y = y0 si può
sempre supporre regolare su F C1 . Qualora ciò non fosse si può sostituire al campo C1 un
altro campo, contenuto in C1 , e tale che la sua frontiera non contenga poli della funzione
F (x, y). Diciamo D1 un dominio totalmente interno a C1 , e comprendente nel suo internol’insieme dei punti singolari, e pertanto poniamo C 1 = C1 − D1 . Nel campo C 1 la f (x, y)risulta allora meromorfa, e quindi, dato il carattere locale, esisterà un intorno del punto
y0 , nel piano della y tale che essa è ancora meromorfa per y in tale intorno ed x in C 1 .
111

Inoltre, essendo la funzione, per y = y0 regolare su F C1 , si può facilmente vedere cheesisterà un intorno di y0 tale che la funzione è ancora regolare per x ∈ F C1 e y variabile intale intorno. Orbene, dei due intorni di y0 , cosı̀ determinati, prendiamo in considerazione
quello di raggio più piccolo e diciamolo C2 . Dunque la nostra funzione è meromorfa in
C 1 C2 ed è olomorfa per x variabile su F C1 e y in C2 .
Sia ε un numero tale che il punto y0 +ε risulti interno a C2 . Vogliamo far vedere che, per y =y0 +ε, la funzione f (x, y) non può risultare meromorfa in tutto C1 . Se risultasse meromorfa
in tutto C1 , dato il sopranotato carattere locale, esisterebbe un intorno, diciamolo H, di
y0 + ε, totalmente interno a C2 e tale che, per y ∈ H, la funzione risulterebbe olomorfa
in tutto C1 . La funzione pertanto verrebbe a soddisfare alle seguenti ipotesi: meromorfa
nel campo C1 H, olomorfa per x ∈ F C1 ed y in C2 . In virtù del teorema di Levi essa
risulterebbe olomorfa in tutto il campo C1 C2 , ciò che è contro la ipotesi della presenza delle
singolarità essenziali sul piano caratteristico y = y0 . Abbiamo cosı̀ esteso alle singolarità
essenziali un teorema della continuità:Se la funzione f (x, y), per y = y0 , ha un insieme chiuso di singolarità essenziali, insieme ad
un campo C1 esiste un intorno di y0 tale che per y contenuto in tale intorno, la funzione
presenta ancora singolarità essenziali insieme a C1 . Tale teorema con linguaggio geometrico
si può anche enunciare come segue:“se sul piano caratteristico y = y0 esiste un insieme I chiuso di singolarità essenziali
per la funzione f (x, y), sopra ogni piano caratteristico prossimo, ossia sopra ogni pianoy = y0 + ε con ε sufficientemente piccolo in modulo, esisterà un insieme di singolarità′

essenziali arbitrariamente prossimo all’insieme I”.(1 )(1′ )Ricordiamo la definizione di distanza di due insiemi. Se A e B sono due insiemi dellospazio ad n dimensioni prendiamo un punto X in A ed uno Y in B e consideriamo la loro
distanza XY . Essa è un numero non negativo e pertanto al variare di X in A ed Y in B,
indipendentemente l’uno dall’altro essa descrive un insieme di numeri H limitato inferiormente. L’estremo inferiore di tale insieme numerico dicesi distanza dei due insiemi A e B.
Se questi due insiemi sono chiusi evidente che risulterà chiuso interiormente [inferiormentesic] anche l’insieme numerico H e pertanto la distanza di A e B è data dal minimo di H.
112

Da questo teorema si deduce che una funzione non può avere singolarità essenziali isolate,
oppure costituenti una linea regolare. Ragionando allo stesso modo che nel caso olomorfo
tenendo soltanto conto di un’osservazione precedente, che cioè se una funzione f (x, y) èmeromorfa per y = y0 e se in un certo campo C1 si può sempre supporre regolare su F C1 ,si deduce che “le singolarità essenziali non possono formare un insieme chiuso tutto al
finito”.
Cioè: “Se una funzione è meromorfa su una varietà a tre dimensioni, frontiera di una
porzione T limitata di spazio essa è meromorfa in tutta T ”.
Le funzioni meromorfe non possono perciò avere delle lacune. Da questo risultato si deduceche è errata un’affermazione di Weierstrass, il quale opinò che un qualsiasi campo a quattro
dimensioni potesse essere il campo di esistenza di una funzione meromorfa e che perciò lesingolarità essenziali potessero costituire un insieme chiuso qualunque.
Alle singolarità essenziali possono ancora estendersi tutti i risultati precedentemente ottenuti sulle singolarità non essenziali e perciò si può affermare: “L’insieme delle singolarità
essenziali di una funzione ha necessariamente punti comuni con ogni retta del piano proiettivo complesso o ciò che è lo stesso, con ogni piano caratteristico o anche, se si vuole, conogni ellissoide della varietà di Segre”. Segue: “Una funzione meromorfa su un piano caratteristico è meromorfa in tutto lo spazio”. Il teorema di continuità che come ora abbiamo
dimostrato vale anche per le singolarità essenziali e suscettibili di un’estensione degna diessere posta in rilievo per gli inferiori [ulteriori n.d.c.] sviluppi della teoria. Si è dunquestabilito per ogni genere di singolarità non apparenti il teorema:“Se sopra un piano caratteristico y = y0 esiste un insieme I di punti singolari per la funzione
f (x, y), sopra ogni piano caratteristico prossimo, ossia sopra ogni piano caratteristico y =y0 + ε con ε sufficientemente piccolo in modulo, esiste un insieme di punti singolari, avente
distanza arbitrariamente piccola dall’insieme I”. Tale teorema sussiste in generale perle funzioni di n variabili. L’estensione alla quale ci riferivamo si ottiene considerando
varietà caratteristiche in luogo di piani caratteristici. Supponiamo di avere un insieme
semplicemente infinito di varietà caratteristiche dipendenti linearmente da un parametro
λ. Sussiste il seguente teorema:113

“Se sopra una varietà caratteristica corrispondente ad un valore λ0 del parametro, esiste
un insieme di punti singolari per una certa funzione, esisterà un insieme di punti singolari,avente distanza arbitrariamente piccola dal detto insieme, sopra una varietà caratteristica
prossima ossia sopra ogni varietà caratteristica che corrisponde al valore λ0 + ε del parametro, con ε sufficientemente piccolo in modulo”.
Avendo enunciato il teorema in questa forma cosı̀ generale, vogliamo ora illustrarlo riferendoci alle superficie caratteristiche dello spazio a quattro dimensioni e limitandocia considerare la presenza di un punto singolare anziché di un insieme. Consideriamo
la schiera semplicemente infinita di superficie caratteristiche di equazione g(x, y) = λessendo λ un parametro e g(x, y) una funzione olomorfa. Indichiamo con Sλ la superficie
corrispondente al valore λ del parametro. Supponiamo che [su n.d.c.] una delle superficie,
per esempio sulla S0 , esista un punto singolare della funzione f (x, y), punto che, senzaledere generalità possiamo identificare con l’origine.
Supponiamo ancora che l’origine sia un punto regolare per la superficie, secondo le nozioni
acquisite nel capitolo precedente nel senso cioè che almeno una delle due derivate parziali∂g ∂g,
sia diversa da zero nel punto. Per fissare le idee supporremo che la derivata rispetto∂x ∂yalla x non sia nulla. Sotto questa ipotesi, la trasformazione
X = g(x, y) e Y = y(5)che conserva le origini è nell’intorno di questo punto una trasformazione pseudoconforme.
Si ha infatti




 
∂(X, Y )∂g== 0.
∂(x, y) x=0,y=0∂x x=0,y=0

Dalle (5) si possono ottenere x e y in funzione di X ed Y :x = ϕ(X, Y ) , y = ψ(X, Y )con ϕ e ψ funzioni olomorfe. Mediante tale trasformazione, alla f (x, y) corrisponde una
funzione di X ed Y
F (X, Y ) = f [ϕ(X, Y ), ψ(X, Y )]114

la quale, data l’olomorfia di X ed Y , risulta regolare o meno in un punto (X, Y ) secondo che il punto (x, y) corrispondente è regolare o singolare per la f (x, y). Dunque, la
trasformazione invertibile definita dalla (2) trasforma superficie caratteristiche in superficie
caratteristiche, punti singolari di f (x, y) in punti singolari per la funzione trasformata e
viceversa. La superficie S0 si trasforma evidentemente nel piano caratteristico di equazione
X = 0 nel quale perciò viene a trovarsi un punto singolare per F (X, Y ), la origine. Ne
segue che questa funzione ha almeno un punto singolare prossimo all’origine per ogni
piano caratteristico X = ε con ε sufficientemente piccolo in modulo. Ma tale piano è il
trasformato della superficie Sε del [e il sic] suddetto punto singolare per F (X, Y ) ha per
corrispondente un punto di S, prossimo all’origine e singolare per f (x, y), dunque sussistela tesi affermata dal teorema. Siamo ora in grado di dire qualche parola su di un importante
problema.
Ci si pone la domanda se una ipersuperficie può essere la frontiera naturale del campo
di esistenza di una funzione analitica, olomorfa o meromorfa, nel senso che essa risultacomposta di punti singolari della funzione la quale sia definita in un campo avente per
frontiera la ipersuperficie e non possa essere prolungata oltre. Accenneremo alla soluzionedel problema in piccolo, cioè localmente, nell’intorno di [un n.d.c.] punto della ipersuperficie, giacchè il problema in grande attende ancora la soluzione. Ci riferiremo a ipersuperficie
doppiamente regolari. Cioè, se indichiamo con ϕ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0 l’equazione della ipersuperficie, avendo postox = x1 + ix2

y = y1 + iy2

faremo l’ipotesi che la funzione ϕ(x1 , x2 , x3 , x4 ) sia dotata di derivate prime e seconde ele derivate prime non siano simultaneamente nulle. Osserviamo subito che nell’intorno
di [un n.d.c.] punto della ipersuperficie si possono distinguere due campi, che hanno per
comune frontiera la ipersuperficie, il campo dei punti nei quali è y > 0 e quello dei punti
nei quali è y < 0. Ci si domanda dunque se può esistere in uno dei due campi una funzione
analitica della quale non sia possibile effettuare il prolungamento nell’altro campo. Per
ben comprendere come il problema sia stato risolto riferiamoci ad un esempio. Prendiamo
in esame una ipersfera; questa ipersuperficie si può chiamare convessa. Più precisamente
115

essa divide lo spazio in due regioni una esterna e l’altra interna. Consideriamo una calotta
che forma l’intorno di un punto P della ipersfera. L’iperpiano tangente in P ha in comune
con la calotta (anzi con tutta la ipersfera) soltanto questo punto e giace poi per intero inuna delle due regioni determinate dalla ipersfera, la regione esterna. Si dice perciò cheverso tale regione la ipersfera è convessa, verso la altra invece concava. Si consideri ora
che l’iperpiano tangente contiene un piano caratteristico. Identificando per semplicità il′punto P con l’origine sia ax + by = 0 l’equazione di un tale iperpiano caratteristico.(1 )′[(1 ) Nell’ipotesi che il punto P sia l’origine e la ϕ sia l’equazione della ipersfera, l’equazione
dell’iperpiano tangente è
x1

∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
+ x2
+ y1
+ y2
=0
∂x1
∂x2
∂y1
∂y2

(6)

dove le derivate sono calcolate nell’origine.
Consideriamo un generico piano caratteristico per l’origine e ax+by = 0 ne sia l’equazione.
Questa equazione complessa, postoa = a1 + ia2

b = b1 + ib2(7)si risolve nelle due equazioni reali:α(x1 , x2 , x3 , x4 ) = a1 x1 − a2 x2 + b1 y1 − b2 y2 ;β(x1 , x2 , x3 , x4 ) = a2 x1 + a1 x2 + b2 y1 + b1 y2 .
I punti che soddisfano a queste due equazioni fanno certamente parte del luogo dei punti
di equazioni α + β = 0, cioè(a1 + a2 )x1 + (a1 − a2 )x2 + (b1 + b2 )y1 + (b1 − b2 )y2 = 0.
Questa equazione coincide con la (6) se è




1 ∂ϕ
∂ϕ
1 ∂ϕ
∂ϕ
a1 =
; a2 =
;
+
−
2 ∂x1
∂x2
2 ∂x1
∂x2




1 ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
1 ∂ϕ
; b2 =
.
+
−
b1 =
2 ∂y1
∂y2
2 ∂y1 ∂y2116

(8)

Dunque l’iperpiano di equazione (5) contiene certamente il piano caratteristico di equazioneax + by = 0 se i coefficienti della ax + by = 0 sono determinati dalle posizioni (8) e (7).]Questo piano caratteristico, come l’iperpiano tangente ha in comune con la calotta ilsolo punto P e giace poi sulla regione verso la quale la superficie è convessa. Diamo
allora un piccolo spostamento a tale piano caratteristico nel verso della normale esterna,consideriamo cioè un qualunque pianoax + by + kε = 0(9)essendo k, un numero opportunamente fissato ed ε reale, comunque piccolo, purchè di segno
opportuno, in modo che il piano risulti spostato rispetto al piano (4) nel verso della normale
esterna. Il piano di equazione (9) viene a giacere tutto nella regione esterna. Questo fattoalla luce del teorema di continuità delle singolarità, ci dice che non può la regione esterna
essere il campo di esistenza di una funzione avente la ipersfera come frontiera naturale.
Se infatti ciò non fosse possibile si avrebbe che mentre il [sul sic] piano di equazione (9), con
ε = 0 esisterebbe un punto singolare, tali punti mancherebbero su ogni piano caratteristico
di equazioni (9), con ε �= 0 e di un certo determinato segno, ciò che è contro il teorema
di continuità. La ipersfera può bensı̀ essere la frontiera naturale del campo di esistenza
di una funzione analitica, ma tale campo può coincidere soltanto con la regione interna,verso la quale la ipersfera è concava. Teniamo ora presente che il teorema di continuità
sussiste anche quando ai piani caratteristici si sostituiscono superficie caratteristiche, nelsenso sopra precisato, e badiamo al caso che si tratti di una ipersuperficie generica diequazione ϕ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0. È evidente che, se una delle due regioni determinate dalla
superficie per esempio quella nella quale è ϕ > 0 è il campo di esistenza di una funzione
ed ha per frontiera naturale la ipersuperficie, nell’intorno di un certo punto di essa, ogni
superficie caratteristica passante per questo punto deve necessariamente avere punti nella
regione dove è ϕ < 0, giacchè, qualora ciò non fosse, basterebbe un piccolo spostamento per
portare la superficie completamente nel campo di esistenza della funzione. Se g(x, y) = 0è l’equazione della superficie caratteristica in questione darle uno spostamento lungo la
normale, equivale a considerare la famiglia di superficie di equazioni g(x, y) − kλ = 0,
dove k è un numero complesso fisso, opportunamente scelto e λ è un parametro reale,117

e dare inoltre a λ valori, comunque piccoli in grandezza, ma di segno scelto in modoche la superficie si muova verso la regione dove è ϕ > 0. Come si vede si ha allora che,mentre la superficie della famiglia corrispondente al valore nullo del parametro, ha un punto
singolare della funzione, ciò non avviene per ogni superficie della famiglia corrispondente
a valori di λ comunque piccoli, ciò che è contro il teorema della continuità. Orbene, se
una ipersuperficie, nell’intorno di un punto, è tale che, dividendo lo spazio in due regioni,
qualunque superficie caratteristica passante per il punto ha sempre punti in una delle due
regioni, si dice che verso l’altra regione la ipersuperficie è pseudoconvessa in senso largo.
Dalle considerazioni precedenti discende il teorema: “Condizione necessaria perchè una
delle due regioni determinate da una ipersuperficie, nell’intorno di un suo punto sia il campo
di esistenza di una funzione avente la ipersuperficie come frontiera naturale è che questa
sia pseudoconvessa in senso largo verso la altra regione”. Si dice poi che una ipersuperficie,
nell’intorno di un suo punto, è pseudoconvessa in senso stretto verso una delle due regionidello spazio da essa determinate, se esiste una superficie caratteristica che passa per il punto
e giace tutta in tale regione in modo che un piccolo spostamento lungo la normale la possa
portare completamente nella regione stessa. Si estende in tal modo la nozione di convessità,
una curva infatti, è, in un suo punto, convessa verso una regione quando esiste una rettache passa per il punto e giace poi tutta in una regione. Ciò naturalmente in un intorno delpunto. Analoga definizione si dà per le superficie nello spazio ordinario, riferendosi ai piani,
anzichè alle rette. Orbene sussiste il teorema: “Condizione sufficiente perchè, nell’intorno
di un suo punto, una ipersuperficie sia la frontiera naturale del campo di esistenza di una
funzione analitica è che abbia, nell’intorno del punto, la proprietà della convessità in senso
stretto. Se ciò si verifica, delle due regioni dello spazio, che hanno per comune frontiera
la ipersuperficie, può essere campo di esistenza di una funzione soltanto quella verso laquale la ipersuperficie non è pseudoconvessa”. È spontaneo ora domandare come possa
essere caratterizzata la pseudoconvessità dal punto di vista analitico. Il problema, sempre
in piccolo è stato risolto da E.E. Levi. Riportiamo qui il risultato al quale questo autore è
pervenuto. Supposto che la ipersuperficie sia doppiamente regolare e la sua equazione sia
ϕ = 0, poniamo:
L = △′1 ϕ · △′′2 ϕ + △′2 ϕ · △′′1 ϕ
118

−2
−2





∂ϕ ∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
+
∂x1 ∂y1∂x2 ∂y2
∂ϕ ∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
−
∂x1 ∂y2∂x2 ∂y1




∂ 2ϕ
∂2ϕ
+
∂x1 ∂y1∂x2 ∂y2∂2ϕ∂ 2ϕ−∂x1 ∂y2∂x2 ∂y1




.

(10)

I simboli △1 e △2 si riferiscono ai noti operatori differenziali, primo e secondo, e gli apici
stanno per indicare la coppia delle variabili rispetto ai [alle sic] quali si applicano tali
operatori. Precisamente è:△′1 ϕ =



∂ϕ
∂x1

2

△′′1 ϕ =



∂ϕ
∂y1

2

+



+



2

; △′2 ϕ =∂2ϕ ∂2ϕ
+
∂x21
∂x22

2

; △′′2 ϕ =∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+
.
∂y12
∂y22

∂ϕ
∂x2

∂ϕ
∂y2

La (10) è l’espressione differenziale di Levi. Il risultato di Levi si può compendiare cosı̀:1)- Condizione perchè verso una regione la ipersuperficie sia pseudoconvessa in senso largoè che risulti L ≥ 0. Se dunque la condizione non è verificata, ma è invece L < 0 si puòaffermare che, nemmeno localmente la ipersuperficie può essere la frontiera naturale delcampo di esistenza di una funzione analitica, cioè non è possibile definire in una delle due
regioni una funzione analitica che non sia prolungabile nell’altra.
2)- Condizione sufficiente per la pesudoconvessità in senso stretto è che risulti L > 0. Se talecondizione è verificata, la [nella sic] regione verso la quale la ipersuperficie è pseudoconcava
si può definire una funzione che ha tale regione come campo di esistenza e non può essere
prolungata nella regione della pseudoconvessità.
3)- Se infine risulta identicamente L = 0 la ipersuperficie è un iperplanoide, cioè il luogo
di una semplice infinità di superficie caratteristiche. Si ha in tal caso la pseudoconvessità
verso ambedue le regioni. Come ben si vede, c’è una certa analogia con le rette del pianoe di piani dello spazio. Un iperplanoide può essere la frontiera naturale di due campi,
cioè in ciascuna delle due regioni dello spazio da esso determinato si può definire una
funzione non suscettibile di prolungamento nell’altra. Abbiamo soltanto enunciato il teorema che afferma l’esistenza di una funzione avente come campo naturale di esistenza la119

regione verso la quale una ipersuperficie è pseudoconcava, senza potersi prolungare nella
regione verso la quale una superficie è pseudoconvessa. Senza entrare nelle sottigliezze
della dimostrazione, vogliamo soltanto fare un rapido e superficiale accenno senza alcun
rigore analitico, alla maniera di costruire una simile funzione. Si invoca il principio dicondensazione che abbiamo già una volta citato. Data la ipersuperficie S, supposta pseudoconvessa in senso stretto nell’intorno di pun [un sic] punto, P , diciamo C la regione ditale intorno verso la quale è pseudoconvessa, e Γ la regione verso la quale è pseudoconcava.
Esiste dunque una superficie caratteristica passante per P e giacente tutta in C. Lo stesso
avviene naturalmente per i punti dell’ipersuperficie nell’intorno di P . Prendiamo allora
in tale intorno un insieme di punti della ipersuperficie, che sia numerabile, e nello stesso
tempo, denso sulla ipersuperficie. Siano: P1 , P2 , ....., Pn, ..... i punti di un tale insieme.
Indicheremo con gi (x, y) = 0 l’equazione di una superficie caratteristica passante per Pi
e giacente tutta in C. La gi (x, y) è una funzione olomorfa, nulla soltanto nei punti della1
si ottiene una funzione avente persuperficie caratteristica. Ponendo: ϕi (x, y) = gi (x,y)

punti singolari tutti e soli i punti della superficie caratteristica. Quindi, in particolare il
punto Pi della ipersuperficie S. La ϕi (x, y) è dunque regolare in tutta la regione Γ. Consi∞
deriamo allora la serie di funzioni analitiche: i=1 γi ϕi (x, y). Scegliendo opportunamente
la successione delle costanti γ1 , ...., γn, .... si può far sı̀ che la serie converga uniformemente

in tutto Γ. L’operazione non presenta eccessive difficoltà e lo studioso può cimentarsi con
le sue forze nel problema. Si viene a formare in tal modo una serie di funzioni, analitiche in
Γ, uniformemente convergente verso una funzione ϕ(x, y), la quale sarà pur essa analiticain Γ. Siccome poi ogni punto della ipersuperficie è punto di accumulazione dell’insieme dei
punti Pi ciascuno dei quali è singolare per una delle ϕi (x, y), si può concludere che tutta
la ipersuperficie, localmente, è singolare per la funzione ϕ(x, y), purchè però, è il puntodelicato di tutta l’operazione descritta, nel formare la serie si faccia sı̀ che le singolarità
non vengano a compensarsi, pertanto a scomparire nella somma. Ma a noi basta l’avere
semplicemente accennato al modo di risolvere il problema. Osserviamo infine che nel caso
di un iperplanoide la scelta della infinità numerabile di superficie caratteristiche è enormemente facilitata potendo effettuarsi nella semplice infinità di superficie caratteristiche che
costituiscono l’iperplanoide stesso. Sia f (x, y) una funzione olomorfa per y = y0 ed x
120

variabile in un certo dominio D del piano delle x. Si tenga presente il carattere locale
dell’olomorfia, si rifletta che, per ogni x di D, la funzione sarà olomorfa in un certo intorno
dell’origine del piano delle y. Indichiamo con Rx il raggio del massimo cerchio, Cx, di centro nell’origine, nel piano delle y, entro il quale la funzione è olomorfa. Tale raggio risulta
funzione reale della variabile complessa x e si chiama la “Funzione di Hartogs” relativa
alla funzione olomorfa f (x, y) ed al dominio D. Essa è una funzione sempre positiva; seall’aggettivo olomorfa si sostituisce l’altro: meromorfa, si ottiene egualmente una funzione
Rx che si chiama la “Funzione di Levi”. Quel che diremo vale tanto per la funzione diHartogs che per quella di Levi, anche se, riferendoci alla f (x, y), parleremo di funzione
olomorfa. La funzione log Rx gode di due proprietà che vogliamo mettere in evidenza:a)- è semicontinua inferiormente in D.
b)- è superarmonica in D.
Diamo ora un cenno sulla semicontinuità: sia f (x) una funzione reale della variabile realeo complessa x, o anche, in generale, del punto x di uno spazio a quante si vogliono dimensioni. Sia x0 un punto di accumulazione dell’insieme di definizione di f (x). Detto ρ
un numero positivo, consideriamo l’intorno di x0 di raggio ρ e diciamo E ′ (ρ) ed E ′′ (ρ)
rispettivamente l’estremo inferiore e l’estremo superiore di f (x) in tale intorno. I due numeri sono evidentemente funzioni di ρ, la prima non crescente, la seconda non decrescente.
Trattandosi dunque di funzioni monotone esistono i loro limiti per ρ → 0, ciascuno potendo
essere finito od infinito. Poniamo: l′ = limρ→0 E ′ (ρ); l′′ = limρ→0 E ′′ (ρ). I due numeri l′ed l′′ cosı̀ ottenuti si chiamano limiti di indeterminazione di f (x) in x0 , e, particolarmente,
prendono il nome di minimo limite e massimo limite di f (x) nel punto x0 , e si indicano
con i simboli lim′x→x0 f (x); lim′′x→x0 f (x). Dalla definizione si deduce che i due limiti diindeterminazione esistono sempre; anche se la funzione non ha limite nel punto x0 , ed è:lim′x→x0 f (x) ≤ lim′′x→x0 f (x), la differenza l′′ − l′ si chiama “oscillazione della funzione
in x0 ”. Si ha inoltre evidentemente: “Condizione necessaria e sufficiente perchè esista illimite di f (x) in x0 è che sia: lim′x→x0 f (x) = lim′′x→x0 f (x), nel qual caso il limite, finito
od infinito, coincide col valore comune dei due limiti di indeterminazione”. I due limiti diindeterminazione godono di due proprietà:1211)- Comunque si assegni ε > 0 arbitrario, la funzione f (x) è in x0 definitivamente compresa
tra l′ − ε ed l′′ + ε. Cioè per ogni ε > 0 si può trovare un intorno di x0 tale che, per ogni
x di tale intorno è: l′ − ε < f (x) < l′′ + ε.
2)- Comunque si assegna ε > 0, la funzione in x0 non è mai definitivamente maggiore dil′ + ε, nè mai definitivamente minore di l′′ − ε. Cioè, dato ε > 0 e qualunque sia l’intorno
di x0 si troveranno in esso sempre punti x per i quali è f (x) < l′ + ε ed altri punti x
per i quali è f (x) > l′′ − ε. Queste due proprietà sono caratteristiche del minimo e delmassimo limite e si possono assumere come loro definizione. Ciò premesso, diremo che
una funzione, definita in x0 , è ivi semicontinua inferiormente se è f (x0 ) = lim′x→x0 f (x).
Analogamente diremo che in x0 è semicontinua superiormente se è f (x0 ) = lim′′x→x0 f (x).
Il concetto di semicontinuità fu introdotto per la prima volta in Analisi da Baire: Leçons
sur les fonctions discontinues. Paris, Gauthier-Villars Pag. 71. Confronta anche: Picone:
Lezioni di Analisi infinitesimale. Catania 1923 pag. 87, no 30.
Dimostriamo, che log Rx è semicontinua inferiormente. Osserviamo che per questo basta
dimostrare che è semicontinua inferiormente la funzione Rx. Per questo facciamo vedereche se x̄ è un punto di D, risulta: Rx̄ = lim′x→x̄ Rx, cioè la funzione Rx è semicontinua
inferiormente in D. Poniamo per semplicità lim′x→x̄ Rx = l′ . In virtù delle proprietà
caratteristiche dei minimi limite, comunque si fissa un numero positivo ε > 0, e comunquesi prenda un intorno di x̄, vi sono in esso punti per i quali è Rx < l′ + ε. In altri termini,
detto Cε il cerchio di centro y0 e raggio l′ + ε nel piano delle y, in un qualsiasi intorno di x̄,nel piano delle x, esiste almeno un punto x al quale corrisponde un punto y di Cε tale che(x, y) è singolare per la f (x, y). Ne segue che esiste un punto (x̄, y), con y in Cε , che è punto
di accumulazione di punti singolari e pertanto è anch’esso singolare. Ciò equivale a direche non può essere Rx̄ > l′ + ε, qualunque sia ε. Ora se fosse Rx̄ = l > l′ , sarebbe ancora
Rx̄ > l′ + ε con ε < l − l′ , quindi è Rx̄ ≤ l′ . Sempre per le proprietà caratteristiche delminimo limite, comunque si fissa ε, si può determinare un intorno di x̄ tale che, per ogni x ditale intorno è: Rx̄ > l′ −ε. Detto allora Cε′ il cerchio di centro in y0 e raggio l′ −ε nel pianodelle y, si potrà determinare un intorno I di x̄ nel piano delle x tale che nel campo ICε′ nonesistono punti singolari di f (x, y) con x �= x̄. Ma ciò mostra che non se ne possono avere
122nemmeno con x = x̄, altrimenti sul piano caratteristico x = x̄ vi sarebbero punti singolaricontenuti in Cε′ , mentre poi non ve ne sarebbero su ogni piano caratteristico x = x̄ + ε
con ε tale che il punto x̄ + ε sia in I. Ne segue che non può essere Rx̄ < l′ + ε qualunquesia ε, e pertanto non può essere Rx̄ < l′ . In definitiva, non potendo essere nè Rx̄ < l′ , nè
Rx̄ > l′ deve essere: Rx̄ = l′ . Veniamo ora alla dimostrazione della seconda proprietà dellafunzione log Rx. Una funzione si chiama superarmonica in un dominio D quando [se n.d.c.]gode la proprietà di essere maggiore o uguale ad una funzione armonica sulla frontiera diun qualsiasi dominio contenuto in D, lo è altresı̀ nei punti interni. Supponiamo quindi diavere una funzione armonica in D, i cui valori sulla frontiera di un qualunque dominio, △,contenuto in D, non superano quel di log Rx. Possiamo sempre porre tale funzione sotto laforma log p(x), con p(x) positiva in tutto △. Si ha allora: Rx = p(x) su F △. Se facciamo
vedere che è Rx ≥ p(x) in tutto △, la proprietà sarà dimostrata, perchè la stessa relazione
sussisterà tra i logaritmi. Chiamiamo q(x) la funzione armonica coniugata di log p(x), dimodo che la funzione: log ϕ(x) = log p(x) + iq(x), è una funzione olomorfa della variabile
x. Essendo: ϕ(x) = p(x)eiq(x) se ne deduce che il modulo di ϕ(x) è proprio p(x). Poniamo
ancora: ψ(x) = eϕ(x) . Abbiamo cosı̀ una nuova funzione, definita in tutto △. Teniamo
ora presente che la funzione f (x, y) è olomorfa per x ∈ D ed y = 0. Inoltre essa è perogni x di D e quindi di △, olomorfa per |y| < Rx. Ne segue l’olomorfia per |y| < p(x) ed
x ∈ F △ giacchè, quando x è su F △ è Rx ≥ p(x). Operiamo la trasformazione: X = x;
Y = y. La funzione F (X, Y ), nella quale si trasforma la f (x, y) risulta olomorfa per Y = 0
ed X ∈ △ ed inoltre risulta ancora olomorfa per |X| < 1 ed X ∈ F △. Ci troviamo perciò
proprio nelle condizioni del teorema fondamentale di Hartogs, essendo la F (X, Y ) olomorfa
per X in △ ed Y in un intorno dell’origine, ed inoltre per X su F △ ed Y nel cerchio diraggio unitario. Essa è dunque olomorfa per Y in tale cerchio ed X in △, cioè per |Y | < 1
ed X ∈ △. Passando alla f (x, y), questa sarà olomorfa per |y| < ψ(x) ed x ∈ △ ossia|y| < p(x) ed x ∈ △. Ma, per ogni x di △ il raggio di convergenza del piano delle y èRx, quindi è Rx ≥ p(x) per ogni x ∈ △. c. v. d. Si potrebbe ancora dimostrare, e può
darsi che sia stato già dimostrato, che le due proprietà sono caratteristiche della funzionelog Rx. Ciò naturalmente in senso molto esteso, con molta latitudine di scelta. Vogliamo
ora accennare ad una dimostrazione, sostanzialmente non diversa dalla precedente della123

proprietà a), che si ottiene facendo ricorso al noto teorema:“Condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione ϕ(x) sia semicontinua inferiormente in un dominio D è che, comunque si assegni a > 0, l’insieme E ϕ(x) ≤ a cioè′l’insieme dei punti di D nei quali è ϕ(x) ≤ a, sia chiuso”.(1 )Facciamo dunque vedere che l’insieme E Rx ≤ a che indicheremo, per semplicità con E, èchiuso. L’essere, per i punti x di E, Rx ≤ a, ci assicura che ad ogni punto x di E è associatoalmeno un punto y nel dominio circolare Ca, nel piano delle y, tale che il punto (x, y) èsingolare per f (x, y). Diciamo allora H l’insieme di tutti questi punti singolari, (x, y) con
x in E ed y corrispondente nel modo detto in Ca. Se x̄ è un punto di accumulazione di E
ci sarà in H almeno un punto di accumulazione (x̄, y) con y in Ca. Tale punto, essendo
punto di accumulazione di punti singolari di F (x, y) è anche esso singolare. Ciò dimostra
che Rx̄ ≤ a, e cioè che l’insieme E è chiuso.
Siamo finalmente venuti in possesso degli strumenti acconci per affrontare la dimostrazione
di un risultato enunciato fin dalla prima lezione. Affermammo infatti allora essere l’ipotesi
della continuità, nella definizione di funzione analitica di più variabili, del tutto superflua.
Avvertiamo ancora una volta che, unicamente allo scopo di semplificare il simbolismo nella
dimostrazione, ci limiteremo a considerare il caso delle funzioni di due variabili, là dove irisultati che enunceremo sono affatto generali e le dimostrazioni possono ripetersi per lefunzioni di n variabili, fatte le poche evidentissime modifiche del caso. Ci proponiamo dunque di dimostrare il seguente teorema: “Una funzione di due variabili complesse, f (x, y),analitica separatamente, rispetto alla x in un campo A1 del piano delle x, e rispetto alla y
in un campo A2 del piano della y, è una funzione analitica nelle due variabili nel campo A,
prodotto di A1 ed A2 ”. Questo teorema rappresenta una estensione del teorema di Goursat relativo alle funzioni di una sola variabile: “Una funzione derivabile in un campo è ivi
olomorfa”. Supposto infatti acquisito tale teorema è dedotta la conseguenza che una funzione di due variabili, derivabile rispetto ad y, per ogni fissato x in A1 è olomorfa rispetto
ad y, analogamente nei riguardi della x, il teorema si può anche tradurre nei seguenti
termini: “Una funzione di due variabili, derivabile rispetto ad una variabile in un campo(1′ )Si veda: Saks- Théorie de l’Integrale. Varsavie 1933124

A1 e rispetto all’altra in un campo A2 , è olomorfa nel campo prodotto A”. Perverremo
alla dimostrazione del teorema attraverso due lemmi: il lemma di Hartogs ed il lemma diOsgood. Supponiamo che una funzione di due variabili, F (x, y), olomorfa o meromorfa
nell’intorno di un punto, sia suscettibile del prolungamento analitico, olomorfo o meromorfo, rispetto ad una delle due variabili, ci si domanda: effettuato il prolungamento, lafunzione che si viene a definire nel campo ampliato è olomorfa, o meromorfa, come funzione delle due variabili? Alla domanda risponde affermativamente il lemma di Hartogs
per quanto riguarda il prolungamento olomorfo, ed una ricerca effettuata dal Caccioppoli
ci autorizza a rispondere affermativamente anche nel caso del prolungamento meromorfo.
Sussiste cioè il lemma di Hartogs-Caccioppoli: “Ogni prolungamento, olomorfo o meromorfo, effettuato rispetto ad una sola variabile equivale ad un prolungamento rispetto alcomplesso delle variabili”. Per quel che a noi occorre è sufficiente limitarci al solo prolungamento olomorfo e dimostrare perciò il solo lemma di Hartogs. Supponiamo dunque che
F (x, y) sia una funzione olomorfa nell’intorno di un punto, che identificheremo senz’altro
con l’origine. Per operare il prolungamento rispetto ad una sola variabile, per esempio
rispetto alla y, occorre considerare la funzione come funzione della sola y e svilupparla inserie di Taylor. Orbene un tale sviluppo in serie si può effettuare anche sviluppando lafunzione in serie doppia, indi ordinare la serie secondo le potenze della y. Si ottiene in tal
modo una serie di potenze:
f0 (x) + f1 (x)y + .... + fn (x)y n + .....

(11)

i cui coefficienti sono funzioni olomorfe della x in un certo intorno dell’origine. Per ogni
fissato x, la serie in y sarà convergente entro un certo cerchio e rappresenterà una funzione
olomorfa della y. Indichiamo con Γ il cerchio di centro nell’origine, nel piano della x, nelquale la x può fissarsi in modo che la serie (11) in y converga e con C2 indichiamo il cerchio,nel piano delle y, nel quale la serie (11) converge per ogni x di Γ. Orbene faremo vedere chepuò determinarsi un dominio circolare C1 ⊂ Γ tale che la serie (11) converge uniformemente
per x ∈ C1 ed y contenuto in un qualsiasi dominio circolare interno a C2 . Ne segue allora
che la (11), non solo, per ogni valore della x in C1 , rappresenta una funzione analitica dellay in C2 , ma, in base al teorema di Weierstrass sulle serie di funzioni analitiche, rappresenta
125una funzione olomorfa di x ed y in C1 C2 . Con ciò il lemma si potrà ritenere dimostrato,
giacchè, per effettuare il prolungamento analitico rispetto ad y, si parte dalla serie (11) edin un punto P0 , di C2 , si sviluppa in serie di y la funzione rappresentata dalla (11), alla
nuova serie si può applicare, come vedremo, il risultato ottenuto per la (11). Se ne deduceche, detto C2′ il nuovo cerchio di convergenza di centro P0 , nel piano della y, la nuova
serie rappresenta una funzione analitica di x ed y in C1 C2′ , risultato questo che dimostra illemma. Occorre dunque far vedere che la (11) converge uniformemente per x contenuto in
un certo dominio circolare C1 ed y in un qualsiasi dominio circolare interno a C2 . La serie(11) converge in C2 per ogni x fissato in Γ. Diciamo ρ il raggio di C2 . Se η è un qualsiasi
numero in modulo minore di ρ, si ha che per ogni fissato x in Γ, si potrà trovare un intero′

ν tale che per ogni n > ν risulti:(1 )fn (x) =

1
.
η

(12)

L’indice n dipende dalla x. Osserviamo però che, nello intorno dell’origine, cioè per x ed yopportunamente piccoli in modulo, la serie (11) converge uniformemente, perchè ottenuta
da una serie doppia, che nell’intorno della origine rappresenta una funzione analitica. Ne
segue che pur di restringere opportunamente il campo di variabilità della x, esiste un
numero positivo k tale che si ha:|fn (x)| < k n per x > µ

(13)

′

con µ indipendente dalla x.(1 ) Possiamo perciò dire che si può determinare un dominio
circolare C1 ⊂ Γ di centro nell’origine tale che, per x variabile in C1 , è verificata la (12),con ν dipendente dalla x e la (13) con µ indipendente dalla x. La funzione reale di variabile(1′ )
La relazione segue immediatamente dalla relazione lim′′n→∞ n fn (x) = ρ−1 , vera per1> ρ−1 .
ogni fissato x in Γ e nell’ipotesi |η| < ρ, da cui segue: |η|′(1 )Detti r1 ed r2 due numeri positivi, opportunamente piccoli, e certamente esistenti, tali
che la serie (11) converge uniformemente per |x| ≤ r1 ed |y| ≤ r2 , si ha: lim′′n→∞ n fn (x) =r1−1 e ciò uniformemente rispetto alla x. Quindi, qualunque sia ε > 0 si può determinare
un’indice µ, indipendente dalla x tale che: n fn (x) < r1−1 + ε donde la (13).
126

complessa, definita dalla posizione: ϕn (x) = ϕn (x1 , x2 ) = n−1 log |fn (x)| è una funzione
armonica di x1 ed x2 nel dominio C1 , ivi necessariamente regolare, potendo fn (x) annullarsi
in alcuni punti, poli per ϕn (x) che in tali punti, tende a meno infinito. Anche la funzione
ϕn (x) + log |y|(14)è armonica, con singolarità, comunque si fissi y. Decomponiamo tale funzione in due parti,
nel modo seguente. Chiamiamo gn (x) la funzione armonica, regolare in tutto C1 , che su
F C1 coincide con la (14) ove questa è positiva, sia invece nulla ove la (14) è negativa, cioèsu F C1 equivalga alla funzione (14), inferiormente troncata da zero, ciò che si esprime colsimbolo:gn (x) = ϕn (x) + log |y| x ∈ F C1 .
0

L’esistenza della funzione gn (x) ci è assicurata dal fatto che il problema di Dirichlet peril cerchio è risolubile e la soluzione è data dal noto integrale di Poisson, che ci dà i valoridella funzione armonica nell’interno del cerchio mediante i valori sulla frontiera. La gn (x)è una funzione costantemente positiva o nulla sulla frontiera F C1 . Inoltre, essendo ugualeo maggiore della (14) su F C1 non ne può risultare minore nell’interno di C1 . Ponendo
allora hn (x) = ϕn (x) + log |y| − gn (x), la funzione hn (x) cosı̀ definita, risulta armonica
negativa, con singolarità, in tutto C1 , e negativa o nulla su F C1 . Inoltre nei punti singolari
di ϕn è −∞. Se infatti consideriamo un cerchietto che contiene uno di questi punti, lafunzione sulla circonferenza risulta negativa e quindi anche nell’interno e, pertanto, nonpuò tendere che a −∞. È necessario ora far ricorso ad un teorema della teoria di funzioni
di variabile reale, teorema che ci limiteremo a richiamare supponendolo già dimostrato. Su
F C1 la gn (x) o è nulla o prende i valori della (14), qualora questa sia positiva. Ma, dalla(12) si deduce che si ha definitivamente ϕn (x) + log |y| < 0, in tutto il dominio C1 , quindi
anche su F C1 . La suddetta relazione non sussiste però uniformemente cioè per ogni x si
può determinare un’indice, ν, dipendente dalla x, tale che la relazione sussiste per ognin > ν. Ciò dimostra che la gn (x), su F C1 , tende a zero al tendere di n all’infinito, ma
non uniformemente rispetto ad x. Teniamo però presente che, nel dominio C1 , sussiste
ancora la (13), e questa uniformemente rispetto alla x in C1 . Da essa si deduce che:
127



ϕn (x) > log k, e quindi ϕn (x) + log |y| > log yk −1 , e ciò uniformemente rispetto alla x.

Ne segue che qualunque sia x in C1 , si potrà determinare un’indice, ν, indipendente dallax e tale che si ha: |gn (x)| < log yk −1 . Dunque la successione g1 (x), g2 (x), ...., gn(x), .... èequilimitata e ciò uniformemente rispetto ad x in C1 . Sotto queste condizioni, il teorema
al quale abbiamo accennato ci assicura che è lecito il passaggio al limite sotto il segno
di integrale. Passando allora al limite sotto il segno d’integrale, nell’integrale di Poisson,che ci dà il valore di gn (x) in un punto interno a C1 mediante i valori sulla frontiera, si
ha: limn→∞ gn (x) = 0 e ciò uniformemente rispetto alla x in tutto il campo interno a C1 .

Dunque, dato comunque ε > 0, si può determinare un’indice ν indipendente da x e taleda aversi gn (x) < ε, in tutto il campo interno a C1 , o, ciò che è lo stesso in ogni dominio
 ε neinterno a C1 . Se ne deduce: ϕn (x) + log |y| < ε, da cui fn (x) < |y|. La quantità

eε si può ritenere arbitrariamente prossima all’unità, di modo che, qualunque sia y ′ con n|y ′ | < |y| si ha: fn (x) < |y1′ | . Da ciò segue che la serie (11) converge uniformemente perx nel campo dei punti interni a C1 e per y interno al cerchio di raggio |y ′ |. Ora osserviamo
che dire: nel cerchio di raggio |y ′ |, equivale a dire in ogni dominio circolare interno a C2 .
Ed infatti dato che un dominio circolare, interno a C2 , di raggio r, si potrà prendere:r < |y| < ρ = raggio di C2 , indi r < |y ′ | < y, donde segue l’asserto. Dunque, la serie, difunzioni analitiche in x ed y, (11) converge uniformemente e, pertanto, rappresenta una

funzione analitica di x ed y nel campo C1 C2 . Passiamo ora al prolungamento analitico
rispetto alla y si ha:
f¯0 (x) + f¯1 (x)(y − y0 ) + .... + f¯n (x)(y − y0 )n + ....

(11′ )

Diciamo C2′ il cerchio di convergenza di centro y0 dove la (11′ ) è convergente per x ∈ C1 .
D’altra parte, la (11′ ) rappresenta certamente una funzione analitica di x ed y per x ∈ C1′
ed y in un certo campo circolare di centro y0 ed interno a C2 . Quindi, la (11′ ) si trova
nelle identiche condizioni della (11) e pertanto per essa si possono stabilire due relazioni
del tipo (12) e (14) sulle quali è basata tutta la dimostrazione precedente. Anche per la(11′ ) possiamo dunque arrivare alle identiche conclusioni ed affermare che essa rappresenta
una funzione analitica di x ed y nel campo C1 C2′ . Ciò dimostra effettivamente che il
128

prolungamento effettuato rispetto alla sola variabile y, si è risolto in un prolungamentonel complesso delle due variabili. Passiamo ora al lemma di Osgood: “Se una funzione,
F (x, y) è analitica separatamente rispetto alla x in un campo A1 e rispetto alla y in un
campo A2 , ed inoltre è in modulo limitata nel campo A, prodotto di A1 ed A2 , è altresı̀analitica in A”. L’ipotesi che F (x, y) sia in modulo limitata in A importa l’esistenza di un
numero positivo k tale da risultare:
F (x, y) < k; (x, y) ∈ A(15)

essendo inoltre F (x, y) analitica in A2 rispetto alla y, in ogni punto P di A è sviluppabile
in serie di Taylor della sola y. Tenendoci pertanto nella posizione semplificata ma nonlimitativa, che P sia l’origine, si ha nell’intorno di tale punto:
F (x, y) = f0 (x) + f1 (x)y + ..... + fn (x)y n + ....

(16)

Diciamo R il raggio di un cerchio, C2 , nel piano della y tale che in esso la (16) converga
qualunque sia x in un certo intorno, C1 , dell’origine nel piano della x. Si ha qualunque sia′

x, ed indipendentemente dalla x in C1 :(1 )|fn (x)| >

k
.
Rn

(17)

Questa relazione mostra che la serie (16) riguardata come una serie di funzioni in x ed yy ilè, nel campo C = C1 C2 , maggiorata in modulo dalla serie geometrica di ragione  R

cui primo termine è k, quindi è uniformemente convergente. Da ciò non è affatto lecito

dedurre, invocando il teorema di Weierstrass che la serie rappresenta in C una funzione
analitica, giacchè per ora niente ci autorizza ad asserire che le singole funzioni della serie(1′ )Difatti la (16) per ogni x di C1 , è assolutamente convergente in C2 , ed è evidente che,per la (15), si ha:k > |f0 (x)| + |f1 (x)y| + ..... + |fn (x)y n | + ....
da cui si ottiene, qualunque sia x: |fn (x)y n | < k per y ∈ C2 ed essendo in C2 : |y| < R,segue la (17).
129

sono funzioni analitiche in x ed y. Ciò apparirà quando avremo fatto vedere che le funzionifi (x) per i = 0, 1, ....., n, .... sono tutte analitiche in C1 . Che la f0 (x) sia analitica appare
immediatamente quando si riflette che, dalla serie (16), si ha: F (x, 0) = f0 (x), e si tengapresente l’ipotesi che la F (x, y) è analitica in x per ogni valore di y in A2 . Ciò assicurato,
consideriamo la funzione:
F (x, y) − f0 (x)= ϕ1 (x, y).
yEssa è palesemente olomorfa rispetto alla x in C1 e rispetto alla y in C2 , qualora però siprescinda dal valore y = 0. Si ha, per y �= 0: ϕ1 (x, y) = f1 (x)+f2 (x)y+....+fn(x)y n−1 +....
Pertanto la funzione è limitata in C2 e quindi si lascia prolungare in tutto C2 . Posto allora:
ϕ1 (x, 0) = limy→0 ϕ1 (x, y) si viene a definire una funzione analitica separatamente rispetto
alla x in C1 e rispetto alla y in C2 . Anche la funzione in x, ϕ1 (x, 0), è allora analitica.
Ma è: ϕ1 (x, 0) = f1 (x), dunque anche la funzione f1 (x) è analitica in C1 . Poniamo allora
n−1 (x)in generale: ϕn (x, y) = F (x,y)−f0 (x)−...−yfe si ragioni su questa funzione come suyn

ϕ1 (x, y). Si ha una funzione analitica rispetto alla x in tutto C1 e rispetto alla y in tutto C2 ,escluso il punto y = 0. Essa pertanto, essendo altresı̀ limitata in C2 , si lascia prolungare
in tutto C2 . Inoltre è: limy→0 ϕn (x, y) = fn (x), quindi la fn (x) è analitica in C2 . Le
funzioni fi (x) sono dunque funzioni analitiche rispetto alla x in C1 e, pertanto la serie (16)rappresenta nell’intorno, C, dell’origine una funzione analitica in x ed y. Ma l’origine si
può ritenere un punto generico di A. Ciò che si è detto si è potuto dire nella sola ipotesi
che l’origine sia un punto di A. Dunque la F (x, y) è analitica nell’intorno di ogni punto[di n.d.c.] A e di conseguenza, in tutto A. Possiamo infine passare alla dimostrazionedel teorema, per il quale abbiamo premesso i due lemmi precedenti. Supponiamo quindi
che f (x, y) sia analitica rispetto alla x in A1 e rispetto alla y in A2 . Sia C un bicilindrocontenuto completamente in A, prodotto di due domini, che, unicamente per semplicità,supporremo circolari, C1 nel campo A1 e C2 nel campo A2 . Per ogni x fissato in C1 laf (x, y) è analitica rispetto ad y in C2 e come tale, continua e limitata in tale dominio. Il
massimo del suo modulo dipende evidentemente da x. Chiamiamo perciò In l’insieme dei
punti, x, di C1 , tali che per ognuno di essi si abbia: |F (x, y)| ≤ n. Tale insieme è chiuso,
essendo C1 un dominio e la F (x, y) analitica e pertanto, continua rispetto ad x in C1 .
130

Consideriamo allora gli insiemi I1 , I2 , ..., In, ... Essi esauriscono C1 , cioè ogni punto di C1
appartiene necessariamente ad uno di questi insiemi, come è più che evidente. Si ha inoltre:
I1 ⊂ I2 ⊂ .... ⊂ In ⊂ ..... Sotto queste condizioni si fa vedere molto facilmente che uno′

di questi insiemi deve necessariamente contenere un dominio, C1′ , interno a C1 .(1 ) Esistedunque un tale dominio, C1′ ⊂ C1 tale che si può determinare un numero, N > 0, in modoche si ha: |F (x, y)| < N ; x ∈ C1′ ed y ∈ C2 . Nel dominio prodotto C = C1′ C2 , interno ad
A, la funzione F (x, y) soddisfa pertanto alle ipotesi del lemma di Osgood. Essa è quindi
analitica in tale campo nel complesso delle due variabili. D’altra parte, essa per ipotesi,è analitica separatamente rispetto alla y in A2 , quindi la nostra funzione, analitica nelle
due variabili in C ⊂ A, si lascia prolungare rispetto alla y in tutto A2 . In virtù del lemma
di Hartogs è dunque analitica nel complesso delle due variabili nel campo prodotto C1′ A2 .
Tale funzione si lascia ancora prolungare rispetto ad x in tutto A1 e quindi, sempre inbase al lemma di Hartogs, è analitica in tutto A. Ci proponiamo di dimostrare il seguente
teorema di Weierstrass: “Una funzione meromorfa in tutto lo spazio, infinito compreso, è
una funzione razionale”. Sia f (x, y) una funzione meromorfa in tutto lo spazio, infinito
compreso. Fissiamo un punto, nel quale sia olomorfa, punto, che, al solito, identifichiamo
con l’origine, di modo che possiamo affermare:(1′ )Cominciamo col mostrare che: “Se un insieme chiuso, I, contenuto in un dominio D,

non esaurisce D, deve necessariamente esistere in D tutto un dominio che non contiene
alcun punto di I”. E difatti, siccome I non esaurisce D, esiste almeno un punto, P , di D che
non appartiene ad I e, di conseguenza, non è nemmeno punto di accumulazione, essendo I
chiuso. Esiste pertanto un intorno di P che non contiene alcun punto di I. Ogni dominio
contenuto in tale intorno esclude I. Ciò posto, veniamo alla successione degli insiemi Ik .
Vogliamo far vedere che uno degli insiemi della successione deve necessariamente contenere
tutto un dominio interno a C1 . Supponiamo infatti che ciò non si verifichi. In tale ipotesi,
I1 non esaurisce C1 e pertanto esiste un dominio D1 interno a C1 che non contiene alcun
punto di I1 . L’insieme I2 non conterrà tutto D1 , e quindi in D1 esiste un dominio che
non contiene punti di I2 . Il procedimento è indefinitivamente iterabile e mostra che deve
esistere in C1 almeno un punto, che non appartiene ad alcuno degli insiemi Ik , contro il
fatto, già acquisito, che la successione degli Ik esaurisce C1 .
131a) in un opportuno intorno dell’origine, poniamo per x ∈ C1 e y ∈ C2 , la funzione èolomorfa. Prescindendo dal metodo di introdurre i punti all’infinito, sia esso quello che si
ispira al punto di vista dell’analisi oppure a quello che prende le mosse dal punto di vistadella geometria, possiamo sempre, mediante un’opportuna trasformazione (omografica se
si parte dal secondo metodo, lineare nelle due variabili separatamente se invece si partedal primo metodo), ridurci al caso che siano regolari all’infinito sia la funzione f (0, y) dellasola y, sia la funzione f (x, 0) della sola x. Dato il carattere locale dell’olomorfia, sussistono
le altre due seguenti proposizioni:b) per ogni x fissato in un certo intorno dell’origine del piano delle x, intorno che possiamo
identificare con C1 , è regolare all’infinito la funzione della sola y, f (x, y);c) la f (x, y) è ancora regolare all’infinito, riguardata come funzione della sola x, per ogni
y fissato in un opportuno intorno dell’origine, nel piano della y, intorno che possiamo
identificare con C2 . In virtù della proposizione b), per ogni x di C1 , la f (x, y) è meromorfa
in y, e regolare all’infinito, e quindi è una funzione di y razionale. Possiamo allora porre:f (x, y) =a0 (x)y m + a1 (x)y m−1 + ... + am (x)y n + b1 (x)y n−1 + ........ + bn (x)(18)

per x ∈ C1 , ed y qualunque. Nulla però ci autorizza ad asserire che i coefficienti dei due
polinomi in x figuranti nella (18) sono funzioni analitiche della x. Ma ciò, qualora si tiene
conto della proposizione a), si può dimostrare facilmente seguendo la stessa via seguita
per dimostrare il teorema di Levi. Dunque: la funzione f (x, y), meromorfa per x ∈ C1
ha l’espressione (18) con i coefficienti ai e bi funzioni olomorfe della x. Partendo dalla
proposizione c), ragionando allo stesso modo si perviene al risultato che, per y ∈ C2 ed x
qualunque la funzione f (x, y) ha l’espressione:

f (x, y) =c0 (y)xp + c1 (y)xp−1 + .... + cn (y).
xq + d1 (y)xq−1 + .... + dq (y)(19)

Il campo a quattro dimensioni ove sussiste la (18) e quello ove sussiste la (19) hanno incomune il campo C1 C2 , nel quale la f (x, y) è olomorfa. In tale campo le espressioni debbono
coincidere. I coefficienti ai , bi , ci , di , sono funzioni analitiche della rispettiva variabile di132

cui sono funzioni, e quindi sono sviluppabili in serie. Eseguito lo sviluppo, nell’espressione(19) vengono a comparire soltanto le potenze della x non superiori ad un certo numero,
mentre nell’espressione (18), qualora le ai e bi dessero luogo a serie effettive, si avrebbero
potenze della x ad esponente comunque alto. Lo stesso dicasi scambiando x con y e
scambiando ancora i ruoli delle due espressioni (18) e (19). Ora è evidente che, se cosı̀
stessero le cose, nessuna identità potrebbe sussistere tra le due suddette espressioni dellastessa funzione. Si deve allora necessariamente concludere che i coefficienti dei polinomi
figuranti nelle (18) e (19) sono dei polinomi nella rispettiva variabile da cui dipendono.
Come tali risultano definiti per ogni valore della variabile e l’identità fra le due espressioni
che sussiste in C1 C2 , continua a sussistere in tutto lo spazio. Segue da ciò che la funzione
F (x, y) ha un’espressione razionale, cioè rapporto di due polinomi in tutto lo spazio. Conciò il teorema è dimostrato. Ricordiamo ora una conseguenza che abbiamo tratto dalteorema di Levi: “Una funzione meromorfa su un piano caratteristico è meromorfa intutto lo spazio”. Questa proposizione ci permette di dedurre dal precedente teorema di
Weierstrass, il corollario: “Una funzione meromorfa su un piano caratteristico, ivi regolare
all’infinito, è una funzione razionale”. Accenniamo ora, senza però dilungarci minutamente
nella dimostrazione analitica, ma limitandoci a qualche considerazione geometrica ad una
notevole conseguenza del testè dimostrato teorema di Weierstrass. È noto che nella teoriadelle funzioni di una sola variabile, le uniche trasformazioni invertibili in grande, cioè intutto il piano complesso, sono le sostituzioni lineari: Z = az+b
cz+d . Possiamo ora far vedereche, per le funzioni di più variabili, le sole trasformazioni invertibili o, come abbiamo
chiamato, pseudoconformi, in grande sono quelle delle quali ci siamo serviti per introdurre
i punti all’infinito. Siano dunque:
X = F (x, y);

Y = G(x, y)(20)

le equazioni di una trasformazione, supposta invertibile in grande. Si è visto che perl’invertibilità in piccolo si richiede che, nel punto considerato, sia: ∂(F,G)∂(x,y) = 0. È evidente
che allora questa condizione dovrà essere considerata in tutto lo spazio. Servendoci diconsiderazioni di carattere geometrico-intuitive, facciamo ora vedere:1)- Le due funzioni F (x, y) e G(x, y) sono due funzioni razionali.
1332)- Sono rapporto di due polinomi lineari.
3)- I denominatori dei due rapporti coincidono.
Dopo di che non ci sarà dubbio sulla conclusione. Le (20) per ipotesi, definiscono una
trasformazione biunivoca senza eccezioni in tutto lo spazio. Nell’intorno di un punto (x, y)che per corrispondente ha un punto al finito si ha evidentemente l’olomorfia delle due
funzioni F (x, y) ed G(x, y). Se invece al punto (x, y) corrisponde un punto all’infinito, si
può operare una trasformazione omografica nelle variabili in modo da riportare il punto al
finito. Le funzioni vengono ad essere espresse razionalmente mediante funzioni olomorfe
e pertanto, sono funzioni meromorfe. Ne concludiamo: le due funzioni F (x, y) e G(x, y)analitiche nelle due variabili sono meromorfe in tutto lo spazio, e, pertanto razionali.
Passiamo ora al secondo punto. Poniamo:X=

P (x, y)Q(x, y)Y =R(x, y)S(x, y)(21)

avendo indicato con P, Q, R, S, quattro polinomi in x ed y. La corrispondenza tra i punti(x, y) ed i punti (X, Y ) è biunivoca. Se dunque prendiamo nello spazio (X, Y ) un punto(α, β) le due equazioni in x ed y: P − αQ = 0 e R − βS = 0 hanno una sola soluzione
comune. Orbene le (21) rappresentano due curve algebriche, le quali hanno quindi un solo
punto comune. In virtù del teorema di Bezout, esse sono due rette, e, di conseguenza iquattro polinomi sono lineari nelle due variabili x ed y. Basta infine far vedere che devenecessariamente essere Q = S. Supponiamo invece che sia Q �= S. Le due equazioni lineari
Q = 0 ed S = 0 avranno allora una sola soluzione comune, indichiamola con (x0 , y0 ). IlSè del tutto indeterminato e dipende dal modo come (x, y) tende
limite: lim(x,y)→(x0 ,y0 ) Q

al punto (x0 , y0 ). Le (21) per (x, y) tendente ad (x0 , y0 ) danno X tendente ad infinito ed
PS= RQ. Ora si rifletta che il limite delY tendente ad infinito, e per il rapporto si ha: X
Yrapporto PR è determinato, mentre come abbiamo osservato, non è affatto determinato ilSlimite del rapporto Q. Ciò ci assicura che viene a mancare la biunivocità nella corrispon-

denza tra i punti (x, y) ed i punti (X, Y ), avendosi il punto di indeterminazione (x0 , y0 )corrispondendo ad esso un sol punto all’infinito. Questo inconveniente si toglie senz’altroe soltanto supponendo che sia Q = S, giacchè allora il rapporto è ben determinato e perciò
134dato un punto per cui è Q = R = 0 è perfettamente individuato il punto all’infinito che
gli corrisponde.

135

INDICEPARTE PRIMA:
Funzione analitica
Formula di CAUCHY
Teorema di GOURSAT
Serie di TAYLOR e di LAURENT
Teorema di LIOUVILLE
Funzioni biarmoniche
Teorema di WEIERSTRASS
Funzioni analitiche nel campo reale
Nuova forma delle condizioni di analiticitàCampo ristretto e campo totale di convergenza
di una serie di potenze

Prolungamento analitico
Sulle serie doppie

PARTE SECONDA - L’integrazione
PARTE TERZA - Punti all’infinito
PARTE QUARTA - Funzioni implicite
PARTE QUINTA - Le singolarità

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RENATO CACCIOPPOLISOCIETÀ NAZIONALE DI SCIENZE, LETTERE E ARTI IN NAPOLIMEMORIE DELL’ACCADEMIADI SCIENZE FISICHE E MATEMATICHERENATO CACCIOPPOLI×

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a cura di
LUCIANO CARBONE, GIAMPIERO ESPOSITO,
LUCA DELL’AGLIO, GIUSEPPE TOMASSINI