Cosmological constraints on scalar-tensor gravity
and the variation of the gravitational constant

⼤場 淳平1, 市來 淨與1, 千葉 剛2, 杉⼭ 直1
1名古屋⼤学, 2⽇本⼤学

Ooba et al. (2016), Phys. Rev. D 93, 122002
Ooba et al. (2017), PTEP, 2017, no. 4, 043E03
2017年10⽉24⽇

観測的宇宙論ワークショップ＠弘前⼤学

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ2

導⼊/22

⼀般相対性理論の拡張

多種の修正重⼒理論

scalar-tensorf(R)Galileon
Horndeski
GLPV …

精密観測から制限

宇宙マイクロ波背景放射など

Planck我々の宇宙を⽀配している重⼒理論

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ

3⽬次/220.

導⼊

1. スカラーテンソル理論
2. 観測量への影響 (CMB, BAO)
3. 結果
4. まとめ0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ

4vBrans-Dicke theory
作⽤:S=

116 G0d4 x/22g

R()2 + Sm

Jordan (1959), Brans and Dicke (1961)Ø：⼀般相対性理論(GR)に帰着

太陽系実験からの制限:> 43000 at 2Bertotti et al. (2003), Will (2014)Ø より⼀般的な理論へ拡張の余地がある
Ø 宇宙論的スケールの観測から制限する必要がある

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ5vScalar-tensor theory (harmonic attractor model)
作⽤:

1S=16 G0

4d xg

R

カップリングパラメータ:2 ( )+3=02Ø0 : 現在のスカラー場の値

Ø0 ,ln( / 0 )( )(/22)2 + Sm

1: ポテンシャルの現在の勾配と曲率

0 ==0→ GR(アインシュタインフレーム)

Damour and Nordtvedt (1993)
Nagata et al. (2002)

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ

6/22vBackground equations
エネルギー保存:+ 3H( + p) = 0

フリードマン⽅程式:

28 G0 2
H +K =
a32H

スカラー場の運動⽅程式:
1+ 2H =
2 +3

Ø H+

68 G0 a2 (3p)2dda: ハッブルパラメータaØ (T µ ) =0000p0000p0000p: エネルギー運動量テンソル

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ7/22vGravitational constant
キャベンディッシュの実験で測定される重⼒定数:

G( ) =

G0 2 ( ) + 42 ( )+31

要請 : G( 0 ) = G0
(2 ( )+3=02ln( / 0 )1)

現在のスカラー場の値:

20 =20+40+3=1+

0

2Damour and Esposito-Farèse (1996)

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ8vTime variation of the scalar field+ 2H

1+2 +3摩擦項

2dd/221
8 G0 a2 (=2 +33p)=0:=0Ø RD ( pr =r /3 ) :Ø MD ( pm0)

現在で、0 =

220+40+3=1+02

Ø 過去に遡るほど
Φ0 より⼩さい

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめvTime variation of the gravitational constantG( ) =G0 2 ( ) + 4
2 ( )+31 Ø スカラー場の値に反⽐例

9/22

Ø 過去に遡るほど G0 より⼤きい要請 :G( 0 ) = G0

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ

10

⽬次/22

0.

導⼊

1. スカラーテンソル理論
2. 観測量への影響 (CMB, BAO)
3. 結果
4. まとめ0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめv The cosmic microwave background (CMB)

11/22

Ø z ~ 1100 (380,000 yr)Ø 2.725 K, Black-body radiation
Ø ΔT/T ~ 10-5, linear perturbation theory
Ø Cosmological scales observable

ESA

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ12v The locations of the acoustic peaks
8 G0 2H2 =a3
⼩スケール/22

2

H+6H

Ø H はGRに⽐べて⼤きくなるØ ピークの位置は H に反⽐例
Ø ⼩スケール側にずれる
CLASS(class-code.net)

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ13v Damping/22減衰

Ø ピークの位置 ( H 1 ), 拡散減衰が効く位置 (H 1)
Ø H が⼤きくなると両者が近づくØ GR(⻘)に⽐べてより強く減衰の効果を受ける(シアン)0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめv The baryon acoustic oscillation (BAO)

14/22

Ø We use the data of z < 0.6
Ø The imprints of the acoustic oscillation in the early epochØ Standard ruler calibrated by the CMB fluctuations
Ø Distance-redshift relationship can be measuredSDSS

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ15v BAO data/22z
2DV (z) = (1 + z)2 DA(z)
H(z)

1/3

(zbao )

(zbao )

(zdrag )(zdrag )DVH

1rdragH1

Ø rdrag がGRに⽐べて⼩さくなるØ DV /rdrag はGRに⽐べて⼤きくなる0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ

16

⽬次/22

0.

導⼊

1. スカラーテンソル理論
2. 観測量への影響 (CMB, BAO)
3. 結果
4. まとめ0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ

17vMethod/22

計算コード: Ø CLASS (class-code.net)

ボルツマンコード：CMB揺らぎの計算
Ø Monte Python (montepython.net)
マルコフ連鎖モンテカルロ法によるパラメータ推定

パラメータ: Ø (α0, β) + 6つのΛCDMモデルパラメータ：base model
観測データ: Ø Planck 2015
Temperature and polarization anisotropies (TT, EE),
their cross-power spectrum (TE),the lensing potential power spectrum.

Ø BAO measurements
6dF Galaxy Survey (z = 0.106)
BOSS; LOWZ, CMASS (z = 0.32, 0.57)
SDSS main galaxy sample (z = 0.15)

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめvResult

18

カップリングパラメータ

G の時間変化2

範囲 :( 6, 0.5),(0, 0.4)

log10(↵02)

log10 ( 0 )1

PlanckPlanck+BAO

3=3Planck
Planck+BAO

再結合期の重⼒定数45GrecG( rec )

10−1

10−2

610−37
800.1

0.2

0.3

10.4

制限結果 :
2 ( )+3=/221.005

制限結果 :
02ln( / 0 )Planck + BAO(青)1を⽤いて

Planck only（赤）

3224
303

> 3254 (95.45%)> 307 (99.99%)
先⾏研究 :

Nagata et al. (2004): WMAP data

> 1000 (50) at 2 (4 )Bertotti et al. (2003), Will (2014): 太陽系実験> 43000 at 2(灰色実線)

1.01

Grec/G0

Planck + BAO

Grec /G0 < 1.0019 (95.45%)
Grec /G0 < 1.0055 (99.99%)

Planck only

1.00211.0060✔BAOのデータを加えることで10％向上
先⾏研究 :

Nagata et al. (2004): WMAP data

Grec /G0 < 1.05 at (2 )Li et al. (2013): Planck 2013 data, β = 0 model

Grec /G0 < 1.029 at (1 )

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ19v Planck vs. WMAP

/22

⼩スケール
Ø GRからのずれは
high- で顕著

Ø Planckデータを用いることでWMAPに比べより強い制限が得られた
Ø さらに、Planck2015では偏光の観測データも制限に寄与する

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめvResult: w/ 宇宙の曲率
カップリングパラメータ2

範囲 :( 6, 0.5),(0, 0.4)
K( 0.5, 0.5)log10(↵02)

log10 ( 0 )/22

G の時間変化1

Planck(nonflat)
Planck+BAO(nonflat)

3=320Planck (nonflat)
Planck+BAO (nonflat)

再結合期の重⼒定数45GrecG( rec )10−110−26
10−3

780

0.1

0.2

0.3

10.4

制限結果 :

1.005

制限結果 :
nonflat casenonflat case (青)base model> 3124 (95.45%)> 258 (99.99%)

3254
307

1.01

Grec/G0

Grec /G0 < 1.0019 (95.45%)
Grec /G0 < 1.0062 (99.99%)

base model

1.00191.0055

曲率パラメータ :base model :(α0, β) + 6つのΛCDMモデルパラメータ
Planck + BAO

K = 0.0019 ± 0.0020

K =Planck + BAO

0.0013 ± 0.0078 Planck(68.27% C.L.)0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめvResult: w/ ニュートリノ有効世代数
カップリングパラメータ/22

G の時間変化2

範囲 :13log10 ( 0 )( 6, 0.5),(0, 0.4)(1, 5)

log10(↵02)=3Neff21

再結合期の重⼒定数45GrecG( rec )Planck (with Neff )Planck+BAO (with Neff )10−110−2

610−3

7
80

0.1

0.2

0.3

10.4

制限結果 :

1.005

制限結果 :
with N eff

with N eff (青)base model> 2917 (95.45%)> 177 (99.99%)

3254
307

1.01

Grec/G0

Grec /G0 < 1.0025 (95.45%)
Grec /G0 < 1.0068 (99.99%)

base model

1.00191.0055

ニュートリノ有効世代数 :base model :(α0, β) + 6つのΛCDMモデルパラメータ
Planck + BAO

Neff = 3.035 ± 0.170
Neff = 3.010 ± 0.175(68.27% C.L.)

Planck + BAO
Planck0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

まとめ

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめOoba et al. (2016), Phys. Rev. D 93, 122002
Ooba et al. (2017), PTEP, 2017, no. 4, 043E03

22/22

ØスカラーテンソルΛCDMモデルに対して、CMB及びBAOの観測データを用いて制限を行った
Ø 結果は以下の通り> 3254 (95.45%)> 307 (99.99%)

Grec /G0 < 1.0019 (95.45%)
Grec /G0 < 1.0055 (99.99%)

ØG rec / G 0への制限はBAOのデータを加えることで10%厳しい制限結果が得られた
ØΩ kやN eff との縮退は見られない (robustな制限)

2017年10⽉24⽇

観測的宇宙論ワークショップ＠弘前⼤学

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ23

BackupBrans-Dicke/22

This work

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ24

BackupBrans-Dicke/22

This work

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ25vCoupling parameter (in the Einstein-frame)
1
Action: S =
16 G0

4d x

transformed as, gµ =3( )+2ḡ R̄

1ḡµWe introduce the normalized scalar field;
and we have, 2 + 3 =2+ Sm [ , e2a ḡµ ]e2a ḡµCoupling parameter:dad( ¯ )2/223( )+2(d )22= 2(d )22, using “Φ” and “a” relation.

Since the normalized scalar field’s EoM is, ¨ + 3H̄ ˙ = 4 G0 (da/d )(¯
we can regard “a” as the effective potential of the scalar field.

3p̄)Then perform Taylor expansion around present time up to quadratic order,a( ) = a0 +0(0) +1(220)

we can see the correspondence with the Jordan-frame’s coupling parameter.

Damour and Nordtvedt (1993)

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ26v Two point correlation function/22(r) =(x) (x + r)

k 2 dk sin kr
P (k)
22kr

=Again,rdragH

1(zdrag )1Gdrag

Ø The BAO peak scale is proportional to r drag.
Ø The location moves to smaller scale as G drag becomes larger.

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめ27vDegeneracy/22Ø The effect of the scalar-tensor theory on the CMB fluctuations
may degenerate with following effects.
Spatial curvature:Ø The acoustic peaks shift toward small scales
could be compensated with the positive curvature

But, the damping effect could notNASA

Effective number of relativistic DOF:
Ø A larger Hubble parameter value in the past
could be compensated with a smaller N eff

R71 + Neff
8But, only before recombination epoch

These degeneracy should be broken

4114/3

0. 導⼊1. スカラーテンソル理論

2. 観測量への影響

3. 結果

4. まとめvResult: Choice of the prior
Coupling parameters

0(0, 0.5),(0, 0.4)

Black dashed:log(α0) case.

PlanckPlanck+BAO

10 310 4↵02=3/22G at the recombination epoch

10 2Prior:

281Black solid line:log(α0) case.

10 5

Cyan dashed:linear α0 case.

710 80Planck + BAO

10−1

10−2

10 610Log priorLinear prior

0.1> 2009 (95.45%)> 907 (99.99%)

0.2

0.3

0.4

Planck only

2000790✔The distributions of the prior differ
depending on the choice of variable.
✔P(α0) = const. corresponds to apreference for large log(α0) in P(log(α0)).

10−311.005

1.01

Grec/G0Planck + BAO

Grec /G0 < 1.0052 (95.45%)
Grec /G0 < 1.0089 (99.99%)

Planck only

1.00561.0115✔These are 7% (95.45%) or 20% (99.99%)
improvements.
✔The statistical merit of including BAO ismore significant in the linear-prior case.
✔These constraints are more relaxed in thelinear-prior case shown in the above figure.