駒場現代物理学(2020)第9回講義ノート
今回は突然毛色のかわった話をします。 これまでの話との関係は次回以降明らかになるはず。

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臨界現象とユニバーサリティ

まず水の相図を思い出す。すごいいいかげんには〨〱〮〱〩の左図のようになっている。 気体と液体の境界線はある所で消失することが知られている。 ここを臨界点 〨っひどぴどっちぬ ばはどのぴ〩 という。 〨〳〷〴◦ ぃ〬 〲〲きぐち ∼ 〲〱〷ちぴね だそうである。 〩 上の右図は磁石の相図を示す。 H は外部磁場で、T < Tc だと外から磁場をかけなくても磁化をもっているが、 T > Tc だと磁荷を失って磁石でなくなってしまう。 H 〽 ±〰 のときの磁化のグラフをそれぞれ青と緑で書くといいかげんには〨〱〮〲〩という感じになる。
両者とも臨界点近傍では相図はおおよそ同じ形をしている。 それだけではない。 臨界点よりすこし低い温度を考え、t 〺〽 |T − Tc | とすると、t → 〰 で比熱 C は発散するが、それは冪にしたがう〺C ∼ |t|−α .
〨〱〮〳〩また、 磁石の場合は磁化 M 〬 水の場合は密度 ρ を考えると、 T < Tc だと相転移線上でM および ρ がジャンプする。その差を 、 と書くとこれは今度は t → 〰 で冪でゼロにむかう〺、 ∼ |t|β〨〱〮〴〩
これらを臨界指数 〨っひどぴどっちぬ づへばはのづのぴび〩 というが、これは水の場合も磁石の場合もα ∼ 〰.〱〱,β ∼ 〰.〳〲〨〱〮〵〩とほぼ同じ値を示す。
その他にも、相図上で同じ形状の臨界点をもって、同じ臨界指数をもつ全く異なった物理系が沢山ある。これをユニバーサリティという。勿論全ての臨界点が同じ臨界指数を持つわけではないが、ある特定の臨界指数のセットをもつ系がそれぞれ沢山あり、それら〱をユニバーサリティクラスという。 上記の臨界指数を持つ系は 〳 次元のイジングユニバーサリティクラス 〨ぉびどので ふのどぶづひびちぬどぴべ っぬちびび〩 と呼ばれる。 1
非常にいいかげんには、臨界点近くの相図の構造はつぎのように考えられる。磁化 Mの値は 〨以下、水の場合は M は密度 ρ とよみかえ、H は P と読み替えること。〩 自由エネルギー F 〨M 〩 を最小化することによってもとまる。 F 〨M 〩 は T と H に依存する。 これがおおよそF 〨M 〩 〽 aM 4 〫 〨T − Tc 〩M 2 − HM〨〱〮〶〩
で与えられるとする。関数形は T − Tc の正負で大きく変わる〺〨〱〮〷〩
そうすると T < Tc では H が 〫〰 か −〰 かによってふたつのうちのどちらかの極小値が選ばれるので相転移線になるが、 T > Tc ではそれは消失する。 しかしこれでは√|M | ∼ Tc − T となり、β 〽 〱/〲 になってしまう。この雑な解析を平均場近似 〨ねづちの 「づぬつちばばひはへどねちぴどはの〩 という。もっと詳細な理論が必要である。

イジング模型とそのシミュレーション

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そこで登場するのがイジング模型 〨ぉびどので ねはつづぬ〩 である。 d 次元の正方格子を考える。その各点 ~x に s〨~x〩 〽 ±〱 を取る古典的自由度があるものとする。二次元の場合の絵は〨〲〮〱〩というかんじ。
ある配位 {s〨~x〩} が得られる確率はYY∝
eJs(~x)s(~y)
ehs(~x) 〽〺 e−SJ,h [{s(~x)}]~x, ~y は隣り合う〨〲〮〲〩~xであたえらえるものとする。 正のパラメタ J は逆温度とよばれ J 〽 〱/T と思うのが良い。 〨逆温度は β と書くこともよくある。臨界指数と混乱しますが。〩 J が大きい、すな
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レビューは例えば Pelisetto-Vicari, “Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory”, Phys.
Rept. 368 (2002) 549-727 [arXiv:cond-mat/0012164 [cond-mat.stat-mech]] を見よ。 3次元イジングユニバー
サリティクラスの実験データはそこの Sec. 3.2.2 にまとまっている。

〲わち T が小さいと、s〨~x〩s〨~y 〩 が 〫〱、すなわち s の向きがそろっているほうが起こりやすい。一方で J がゼロに近い、すなわち T がとても大きいと、隣り合う s の間をそろえようという気がなくなる。 h は外部磁場。そうすると h > 〰 だと s 〽 〫〱 のほうが s − 〱 より起こりやすく、h < 〰 だと s 〽 −〱 のほうが s 〽 〫〱 より起こりやすくなる。
すると、T が小さく J が十分おおきければ、h 〽 ±〰 で s は ±〱 に揃ってしまう。しかし T が大きく J を十分ゼロに近くすると、どこかで s が揃わなくなる。これよりおおよそ相図の構造がわかった。
臨界指数はどうなるか。d 〽 〱 では後でやるようにそもそも臨界にならない。d > 〱 では次のようになることが知られている〺

αβd〽〲d〽〳〰
〰.〱〱〰 · · ·〱/〸 〰.〳〲〶 · · ·d≥〴〰
〱/〲〨〲〮〳〩d ≥ 〴 ではイジングモデルの結果は平均場近似と一致することが知られている。 d 〽 〲 ではイジングモデルは くのびちでづひ により 〱〹〴〴 に厳密に解かれた。 2 臨界指数はその厳密解からでも、 その後発展した二次元の共形場理論の一般論をつかってももとまり、 有理数になる。 d 〽 〳 は長らくシミュレーション結果や近似計算しかなかったが、 ここ十年ほどっはのてはひねちぬ ぢははぴびぴひちば という理論手法が非常に発展して精密な数値がもとまるようになった。 3 しかし臨界指数が有理数か代数的数かなどはまったくわかっていない。
厳密に解こうなどというたいそれた野望を抱く前に、 シミュレーションをしてみよう。 問題は配位 {s〨~x〩} を確率 〨〲〮〲〩 に従ってどう生成するかということである。 一番安
直な方法は きちひにはぶ〭っとちどの きはのぴづ ぃちひぬは 〨きぃきぃ〩 法、きづぴひはばはぬどび 法と呼ばれる。
まずは配位 {s0 〨~x〩} をひとつランダムにつくる。 さて、 {si 〨~x〩} が与えられたときに{si+1 〨~x〩} をつぎのように作る。
• まず、ランダムに格子点 ~x0 を選ぶ。
• いま si 〨~x0 〩 のみをフリップした配位を s0i と書く。すなわち(−si 〨~x〩 ~x 〽 ~x0 ,si 〨~x〩 〽
〫si 〨~x〩 ~x 6〽 ~x0 .

〨〲〮〴〩• すると確率比は
0e−S[{si }]0R 〺〽 −S[{s }] 〽 ehsi (~x0 )/si (~x0 )ieY0eJsi (~y)si (~x0 )/si (~x0 )〨〲〮〵〩~yは~x0 に隣接となる。R は局所的に計算できるので計算コストが低い。
• 乱数 x ∈ せ〰, 〱そ を生成し、ほ ここで x < R ならば、s0i を採用して si+1 〽 s0i とする。
2Onsager, “Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition” Phys.
Rev. 65(1944)117.
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原論文は El-Showk, Paulos, Poland, Rychkov, Simmons-Duffin, Vichi, “Solving the 3D Ising Model with
the Conformal Bootstrap,” Phys. Rev. D 86 (2012) 025022 [arXiv:1203.6064 [hep-th]] . 日本語の教科書がありとても勉強になる: 中山優「高次元共形場理論への招待 – 3次元臨界 Ising 模型を解く–」(SGC ライブラリ153) サイエンス社。挑戦してみてはいかがでしょう。

〳ほ ここで x > R ならば、s0i を採用せず si+1 〽 si のままとする。
こうすると、長期的に {s} がでる確率 P 〨{s}〩 は欲しいものになる。 というのは、一0ヶ所のフリップでつながる配位 {s} と {s0 } に対し、 e−S[{s }] /e−S[{s}] 〽 R < 〰 とすると、{s} から {s0 } へは確率 R で移行し {s0 } から {s} へは確率 〱 でかならず移行する。 よってP 〨{s0 }〩 〽 RP 〨{s}〩〨〲〮〶〩が出るので、これは 〨〲〮〲〩 そのものである。
シミュレーションは自分で書いてみるのが勉強になる。 二次元の場合、 ブラウザ内で動くのは とぴぴばび〺〯〯ねちぴぴぢどづひぢちふね〮でどぴとふぢ〮どは〯どびどので〮なび〯 というのがある、 ソースコードはとぴぴばび〺〯〯でどぴとふぢ〮っはね〯ねちぴぴぢどづひぢちふね〯どびどので〮なび〯。 きちっ 用のシミュレーションは以前僕が書いたのが ぁばばこぴはひづ にある。ソースコードは とぴぴばび〺〯〯でどぴとふぢ〮はひで〯べふなどぴちっと〯どびどのでぇがぃが〯。何かの方法で遊んでみると良い。
臨界点は厳密解より√〱〨〲〮〷〩
Jc 〽 ぬはで〨〱 〫 〲〩 〽 〰.〴〴〰〷 · · ·〲これより高温で J < Jc だと図はすっかりぐちゃぐちゃ、 J > Jc だとスピンはそろって塊ができる〺

〨〲〮〸〩

高温相

低温相

臨界

ちょうど臨界のときはもやもやであって、拡大してみると−→−→〨〲〮〹〩

いろいろなサイズの塊が混在している。 スケールの変換に対して不変な理論になっていて、臨界点直上では共形場理論になっている。このため
hs〨~x〩s〨~y 〩i ∼ |~x − ~y |−η〨〲〮〱〰〩となるはず、ただし hAi は A の期待値。理論的に η 〽 〱/〴 だと知られている。

二次元イジング模型の双対性

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さて、 二次元イジング模型を解くのは難しいが、 かひちねづひび と しちののどづひ による臨界点が〨〲〮〷〩 で与えられる気がとてもしてくる議論をみてみよう。 4 イジングモデルでは配位 {s}4H. A. Kramers and G. H. Wannier, Phys. Rev. 60 (1941) 252.

〴

の起こる確率は 〨〲〮〲〩 で与えられたが、 比例定数 Z −1 が決まっていない。 どれかはかならず確率 〱 で起こるので、
XYY0〱 〽 Z〨J, h〩−1eJsse−hs〨〳〮〱〩s{s} 隣接する s と s0

よって
Z〨J, h〩 〽

X0YeJssYe−hs〨〳〮〲〩s{s} 隣接する s と s0を決めるのが大切である。これを分配関数という。以下簡単のため h 〽 〰 とおいてXY0Z〨J〩 〽
eJss
〨〳〮〳〩
{s} 隣接する s と s0を考える。
これからする操作を絵にまとめておく〺

→→→
〨〳〮〴〩

〨ち〩
〨ち〩から〨ぢ〩〺〨ぢ〩〨っ〩〨つ〩

さて、ss0 〽 ±〱 だから、0XeJss 〽 っはびと J〨ss0 ぴちのと J〩t〨〳〮〵〩t=0,1である5。よって、
Z〨J〩 〽 〨っはびと J〩2NXXY〨ss0 ぴちのと J〩t〨〳〮〶〩{s} {t} 辺である、ここで {t} は各辺に 〰, 〱 が割り振られたもので、 N は格子点の数。図〱〨ぢ〩 にはt 〽 〱 であるところを太線で示した。
〨ぢ〩から〨っ〩〺

さてXX

s1,3,5,... 〽 〰,s=±1

s2,4,6,... 〽 〲s=±1

をつかうと、先にスピン変数 sについて和が取れ、
XZ〨J〩 〽 〨〲 っはびと J〩2N

〨ぴちのと J〩L

閉曲線をなす{t}となる、但し和は太線のなす閉曲線について取り、L は閉曲線の長さ 〨図〱〨っ〩〩。
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〨〳〮〷〩

cosh t = (et + e−t )/2, sinh t = (et − e−t )/2, tanh t = cosh t/ sinh t。

〵〨〳〮〸〩〨っ〩から〨つ〩〺 閉曲線なので、その中は −〱、外は 〫〱 という規則でスピン変数 µ を割り振ることが出来る 〨図〱〨つ〩〩。 µ は、もとのスピン変数 s 四つのなす正方形の中に書かれていることに注意しよう。各太線は隣り合う µ、µ0 で µµ0 〽 −〱 となるものに対応すること
を使うと、
XY
10
〨ぴちのと J〩 2 (1−µµ )Z〨J〩 〽 〨〲 っはびと J〩2N〨〳〮〹〩{µ} 辺0〽 〨〲 っはびと J びどのと J〩NXY10〨ぴちのと J〩− 2 µµ〨〳〮〱〰〩

0{µ} 辺となる。ここで積は µ 同士をつなぐ全ての辺について取る。
結論〺

0

さて、 〨〳〮〳〩 と比較すると、 e−2J 〽 ぴちのと J で J 0 を導入すれば
Z〨J〩 〽 〨びどのと 〲J〩N Z〨J 0 〩〨〳〮〱〱〩がわかった。 J と J 0 の関係は、もっと対称的にびどのと 〲J びどのと 〲J 0 〽 〱〨〳〮〱〲〩とも書ける。 これより、 びどのと 〲Jc 〽 〱 は特殊な点であろうと予想がつく。 これは e2Jc −e−2Jc 〽 〲 ということなので、√〱〨〳〮〱〳〩Jc 〽 ぬはで〨〱 〫 〲〩〲が特別な点であることがわかる。
びどのと は単調増加関数だから、関係 〨〳〮〱〲〩 は J > Jc を J < Jc にうつす。すなわち、高温領域を低温領域に、低温領域を高温領域にうつす。これを かひちねづひび〭しちののどづひ 双対性6 という。
次回使うので、縦方向と横方向の結合が異なる場合も考えておく。分配関数は
XYY00Z〨J横 , J縦 〩 〽
eJ横 sseJ縦 ss〨〳〮〱〴〩{s} 横隣縦隣とする。上の双対性変換をやりなおすと、
N

N00Z〨J横 , J縦 〩 〽 〨びどのと 〲J横 〩 2 〨びどのと 〲J縦 〩 2 Z〨J横, J縦〩〨〳〮〱〵〩0びどのと 〲J横 びどのと 〲J縦〽〱〨〳〮〱〶〩

ただし0びどのと 〲J縦 びどのと 〲J横〽〱となる。

6相対性(そうたいせい)と音で区別する為に双対性(そうついせい)と呼ぶ。

〶