SOCIETÀ NAZIONALE DI SCIENZE, LETTERE E ARTI IN NAPOLIMEMORIE DELL’ACCADEMIADI SCIENZE FISICHE E MATEMATICHE
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SOCIETÀ NAZIONALE DI SCIENZE, LETTERE E ARTI IN NAPOLI

Orizzonti Matematici
tra didattica e divulgazione

a cura di
Salvatore Cuomo - Salvatore Rionero - Carlo Sbordone© 2016 Giannini Editore
ISBN 978-88-7431-857-5
Giannini Editore
Via Cisterna dell’Olio 6/B - 80134 Napoli
www.gianninieditore.it
Questa pubblicazione è stata realizzata con il contributo di
Università degli Studi di Napoli “Federico II”
Regione Campania
Istituto Banco di Napoli Fondazione
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”

Orizzonti Matematica

Un ponte tra la didattica e la divulgazione
Prefazione
Lo sviluppo armonico di una società che contempli la valorizzazionedelle conoscenze derivanti dalle Scienze e dalla Tecnologia si basa sullacomprensione delle informazioni scientiﬁche e del loro impatto sulla
quotidianità e sui modelli di vita.
L’educazione a un corretto atteggiamento verso le Scienze Matematiche avviene soprattutto durante la Scuola e, nella Scuola, attraverso
una eﬃcace valorizzazione delle professionalità degli insegnanti anche
attraverso l’incentivazione del lavoro collaborativo e costruttivo degli
studenti, soggetti attivi della loro formazione. Questo volume raccoglie alcuni contributi raccolti nelle attività del progetto Orizzonti Matematici del Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”(DMA) dell’Università degli Studi di Napoli Federico II. Tale progetto
ha tra i propri obiettivi quello di promuovere un percorso basato sul
binomio esplorazione-argomentazione, utilizzando le metodologie
proprie di un laboratorio di matematica, inteso non solo come luogo
ﬁsico fatto di aule e strutture attrezzate di spazi per l’apprendimento,
ma soprattutto come momento in cui lo studente, guidato dal docente,
attraverso lavoro di gruppo ed il Cooperative Learning, impari a progettare e condurre osservazioni sperimentali sugli oggetti. L’obiettivo
è quello di sapere interpretare risultati, formulare semplici previsioni
e congetture ed avviarsi all’argomentazione logica, basata prima sulla concentrazione e successivamente sulla discussione proﬁcua con icompagni e con i docenti.
Nella presente opera contenuti di alta valenza didattica e discussioni
di natura scientiﬁca s ono t rattate al ﬁne di f ornire al lettore uno strumento per la riﬂessione e l’approfondimento di tematiche che riguardano le Scienze Matematiche in contesti relativi all’insegnamento e alla
divulgazione.

Gli autori
Salvatore Cuomo
Salvatore Rionero
Carlo Sbordone

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Le attività di terza missione
Il Dipartimento di Matematica e Applicazioni (DMA) “R. Caccioppoli” da numerosi anni é impegnato nelle attività di terza missione. Tale compito istituzionale
prevede l’apertura del Dipartimento verso il contesto socio-economico mediante lavalorizzazione e il trasferimento delle conoscenze. In tale contesto il DMA hapartecipato con successo a numerose iniziative di carattere culturale e di divulgazione scientifica. Tra queste ad esempio l’iniziativa Laboratori per le Hard
Science, ovvero avvicinare i cittadini e i nativi digitali alle Scienze Matematiche,alla Biologia ed alla Chimica nell’ambito di diverse edizioni della manifestazione
Futuro Remoto. Il DMA, inoltre, prende parte alle attività del Piano Lauree Scientifiche (PLS) nel campo della Matematica e Statistica sin dalla sua istituzione
risalente al 2005. PLS rappresenta il principale programma di orientamento universitario in ambito scientifico operante in Italia, rivolto a studenti iscritti agli
ultimi anni delle scuole superiori. Le attività svolte in ambito PLS sono frutto diuna stretta collaborazione tra numerose scuole del territorio e l’Ateneo federiciano.
Attraverso PLS, il Dipartimento coinvolge ogni anno circa 300 studenti di oltre 20
istituti superiori della provincia di Napoli in percorsi laboratoriali di 20 ore
finalizzati a presentare temi e metodologie proprie della matematica; tali percorsi
sfociano poi in una manifestazione aperta dove gli studenti presentano lavori svolti
in autonomia. Numerosi docenti del Dipartimento, infine, collaborano con
associazioni di insegnanti e i docenti della scuola italiana di ogni ordine e grado alfine di innovare la didattica trasferendo la loro esperienza universitaria e di ricerca.
Il direttore del DMA
Gioconda Moscariello7

Indice
Loredana Biacino

Qualche considerazione sulle prove OCSE-PISAMATEMATICA
Lavoro eseguito nell’ambito del progetto
Orizzonti matematici

Barbara Brandolini,
Con la Matematica si può anche giocare
Guido Trombetti
Aniello Buonocore,
Luigia Caputo

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità:
Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

Francesco
de Giovanni

Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato:
un delitto contabilmente riconoscibile

Margherita Guida,
Carlo Sbordone

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola
secondaria

Serafina Pianese,
Piera Romano

Il grafico della funzione quadratica: artefatto
matematico per lo studio delle equazioni e
disequazioni di II grado al biennio del Liceo
Scientifico

Salvatore Rionero

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali:
uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita
a tutt’oggi

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QUALCHE CONSIDERAZIONE SULLE PROVE OCSE-PISA-MATEMATICA

Lavoro eseguito nell’ambito del progetto Orizzonti matematici
Loredana Biacino

1. Introduzione
Le prove OCSE-PISA Matematica 2003 qui prese in considerazione rappresentano un’opportunità per ripensare e discutere sull’insegnamento della matematica nelle scuole, soprattutto tenendo conto della necessità che esso vada evolvendosi così come radicalmente e velocemente si
sta evolvendo la società. Esse rappresentano di fatto un effettivo interlocutore che formula chiaramente le sue proposte: è evidente che ogni
insegnante può modulare la sua risposta individuale a seconda delle
sue idee e della sua formazione, ma non può non tenerne conto.
Scopo della prova è verificare quanto i ragazzi siano idonei a risolvere
problemi in ambiti non strettamente previsti dai programmi scolastici,
la cui risoluzione ha a che fare a volte col buon senso, a volte con l’intuizione, a volte con nozioni elementari, ma spesso calate in situazioni
inusuali per i ragazzi. Si tratta di saggiare una capacità di utilizzare
esperienze e conoscenze, e forse più abilità che conoscenze (dove perabilità deve intendersi una conoscenza che è diventata pratica di vita),
di cui si vorrebbe che gli studenti fossero in possesso, per affrontare
situazioni problematiche quali quelle che potrebbero presentarsi nellavita reale.
Ora si vorrebbe che quella abilità si fosse costituita in precedenza: il
nostro compito di educatori consiste appunto nel creare i presupposti
per cui tali capacità di inquadrare le proprie conoscenze in un campo
tanto vasto che possa comprendere nuovi stimoli ed eventualmente
spunti provenienti dal mondo extramatematico possano emergere econsolidarsi.
Come ottenere ciò? Ci sono ovviamente molti modi ed ogni insegnantepotrà portare la propria esperienza e il proprio contributo. Un possibile inquadramento del problema consiste nell’individuare in alcunedelle prove precedentemente assegnate quanto possa giocare l’intuizione e quanto invece sia strettamente legato ad una precedente presadi consapevolezza su alcuni temi fondamentali e quindi sia legato ad
argomenti già trattati e studiati (ma, come mostrano i risultati, spesso
non assimilati in modo effettivo e fecondo, ma, al più, formale).
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L. Biacino

A tal fine può essere molto utile tenere presente, una volta che si sia
preso atto della natura delle prove assegnate, spesso consistenti inproblemi presi dalla vita reale e dall’esperienza quotidiana dei ragazzi,
quali suggerimenti se ne possano trarre circa i contenuti, quali sono gli
argomenti trattati e con quali modalità: ad esempio può essere interessante osservare che solo 5 delle 25 prove rilasciate di Matematica del2003 è a risposta multipla, invece spesso è richiesta motivazione dei
risultati ottenuti, a volte anche in più modi; e bisogna anche sottolineare i criteri attenti con cui si richiede di correggere le prove, predisposti
relativamente agli obiettivi da raggiungere.
È un nuovo modo di procedere che viene additato agli insegnanti dimatematica. Ovviamente con la speranza che non si irrigidiscano in unaddestramento o in un nuovo tipo di tecnicismi, ma tengano sempre
presente che lo scopo reale di ogni intervento educativo deve essere laformazione della persona. Infatti avere una buona capacità di indagare
matematicamente la realtà dovrebbe avere come corollario anche lacapacità di analizzare i propri sentimenti e tenere in mano saldamente
e liberamente le redini della propria vita, senza farsi trasportare dagli
eventi, capacità che più di tutte è importante per i nostri giovani.
2. Alcune delle possibili aree di intervento

Si possono raggruppare i diversi quesiti che sono simili allo scopo diinquadrarli in un ambito di discorso più generale, teorico, ma con attenzione alle possibili interpretazioni e applicazioni, che si suppone osia già stato trattato e quindi ci si può limitare ad esemplificazioni e arisoluzione di situazioni problematiche, o sia da trattare ex novo: questo deve deciderlo il docente della classe.
1- L’interpretazione e la rappresentazione grafica di situazioni o dati, la raccolta e la resa grafica di informazioni.
2- La nozione di funzione. Per i punti 1 e 2 si può far riferimento alle prove
Lago Ciad, La crescita, Esportazioni, Rifiuti, Velocità di un’auto da corsa,
L’automobile migliore, etc…
3- Il movimento, moti uniformi, velocità media, unità delle misure: misuradelle lunghezze e del tempo, problemi di conversione, rappresentazione
grafica della velocità e sua interpretazione. Per questo punto si può far
riferimento alle prove Andatura, Velocità di un’auto da corsa, etc…
4- Numeri, naturali, interi, razionali, reali: confronto e rappresentazione sulla retta, rappresentazione dei punti del piano mediante un sistema di coordinate cartesiane etc.. (Dadi, Meli, Motivi a scaletta, Scala, etc..).

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Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

5- Proprietà geometriche delle figure: criteri di eguaglianza e di similitudine,
misura delle aree etc..(Dadi da gioco, Carpentiere, Area di un continente,
Triangoli, etc…)
6- Probabilità e statistica: rappresentazione di dati mediante istogrammi e
grafici, valutazione probabilistica di eventi (Caramelle colorate, Verifica diScienze, Rifiuti, Terremoti, Scelte, Popolarità del presidente).

3. Interpretazione e rappresentazione grafica di situazioni e dati,
funzioni, attraverso uno sguardo alle prove assegnate

Cominciamo con l’analizzare e trarre suggerimenti da Lago Ciad, unadella prove rilasciate di lettura diversamente da tutte le altre qui presein considerazione. La spiegazione degli obiettivi che si prefigge è resa
nel testo proposto per gli insegnanti; si tratta di:- integrare le informazioni di un testo e di un grafico accluso;- individuare semplicemente informazioni che il testo contiene in forma esplicita;- integrare le informazioni che provengono da due diverse figure.
Si tratta pertanto di un esercizio che richiede, oltre la comprensione
letterale del testo, di carattere non matematico, l’interpretazione, piùche quantitativa, qualitativa, di un grafico e l’interpretazione di uno
schema che non è un grafico, ma una tabella: è chiesto quindi di ricavare informazioni che provengono dal confronto del testo e dal grafico e
dal confronto del grafico e la tabella.
Ora in molti libri di testo si procede (come avviene un po’ nella pratica)
studiando e producendo grafici senza aver prima parlato della nozione
di funzione: ovviamente si suppone nota la rappresentazione dei numeri reali sulla retta e la rappresentazione cartesiana dei punti del piano.
Il sistema di riferimento che poi si usa non è quasi mai monometrico,
inoltre gli elementi di un asse a volte non sono nemmeno numeri, ma
ad esempio, nomi di città, nomi di persone, etc..
Leggendo i giornali in classe, pratica molto utile e da raccomandare,accanto a grafici veri e propri troviamo spesso istogrammi ed areogrammi. Nella prova Esportazioni compare un areogramma accantoad un istogramma: nell’istogramma sono descritte le esportazioni, in
milioni di zed, avvenute in determinati anni, l’areogramma riporta invece in percentuale le merci esportate da Zedlandia in uno degli anni
che compaiono nell’istogramma. Sono abbastanza ovvie le domandeche si possono formulare al riguardo, ritenendo addirittura banali le13

L. Biacino

risposte. Eppure alla Domanda 2 della prova in questione, dove é richiesto il confronto tra le due rappresentazioni e il semplice calcolo di
una percentuale, solo il 37,1% dei ragazzi italiani risponde correttamente rispetto a una media OCSE del 46,9%. Se i ragazzi sono coinvoltiin uno studio di questo o un analogo problema, dopo aver insegnato
loro a consultare tabelle e a calcolare facilmente percentuali, si può
chiedere di costruire schemi simili che riguardino ad esempio l’Italia,
ricavando le informazioni dall’insegnante di lettere, da un atlante geografico o telefonando a qualche giornale che si occupi di economia. Un
lavoro di questo genere, oltre alla sua componente interdisciplinare,può essere molto interessante dal punto di vista matematico. Infatti
una volta ottenuti i dati, si tratta di rappresentarli nel cerchio mediante settori: gli archi di tali settori debbono essere proporzionali ai dati.
Ma le lunghezze degli archi sono proporzionali agli angoli al centro, equindi 360° vanno ripartiti in parti proporzionali ai dati. Come si può
ottenere ciò? Una via possibile consiste in una suddivisione del cerchio
con l’aiuto di un goniometro…
Spesso si rappresentano i dati mediante punti isolati che poi vengonocollegati con spezzate (grafici per spezzate): ad esempio si possono
rappresentare le temperature di un malato in diverse ore del giorno,intervallate in generale da quattro ore, e per diversi giorni: congiungendo i punti del piano che si ottengono in questo modo con dei segmenti si può avere una spezzata che fornisce una chiara idea del decorso della malattia. Spesso poi invece di spezzate si usa collegare ivari punti con curve che presentino meno asperità. Se si è abituati ainterpretare semplici grafici di questo tipo, l’interpretazione del grafico di Fig.1 di Lago Ciad non dovrebbe presentare difficoltà e le rispostea Domanda 2 e Domanda 3A dovrebbero essere immediate, contro una
percentuale veramente bassa del 38,6% degli studenti italiani alla seconda di esse.
Troviamo due istogrammi raccolti in una sola figura in Risultati di una
verifica, dove è richiesta, oltre che un’attenta lettura dei dati, una loro
valutazione, che è del tutto extramatematica, ma fa riferimento ad un
giudizio di carattere morale: è meglio che la maggior parte dei ragazzi
ottenga la sufficienza, anziché un numero ristretto di ragazzi raggiunga
vette elevate mentre un gran numero di loro é al di sotto della sufficienza? Si tratta di dare un giudizio che potrebbe essere trasportato anche ad
altri campi, ad esempio in campo economico. Che ne pensano i ragazzi?
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Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

Le risposte al quesito mostrano una forte difficoltà, forse più nel leggere
gli istogrammi e confrontarli che nella valutazione extramatematica, conuna punta dell’8,8% al Sud (15,3% It, OCSE 31,3%).
Una semplice tabella compare poi in L’automobile migliore: è relativa
a diversi tipi di auto nuove, con punteggi diversi da attribuirsi a diverse caratteristiche delle auto stesse (sicurezza, aspetto esteriore, etc…).
Questi dati vanno usati per valutare un determinato tipo di auto con
un punteggio complessivo che si costruisce a partire da una formulaassegnata. Fin qui tutto bene, l’argomento è di gradimento dei ragazzi,
sicuramente ne hanno sentito parlare in famiglia o se ne sono personalmente interessati, i punteggi sono molto alti (65,4% It., 56,2% Sud,
71,6% OCSE). Ma quando si passa alla Domanda 2 la situazione precipita: ed infatti si richiede addirittura di scrivere una formula, diversa dalla precedente, che permetta alla macchina già considerata nella
prima domanda, di ottenere un punteggio superiore a tutte le altre. Èun modo di guidare la fantasia dei ragazzi e di portarli a ragionare inmodo un po’ più astratto: prima si mostra loro come può essere fatta
una regola, poi si chiede di inventarne un’altra, che però risponda alben preciso requisito di massimizzare il punteggio. Ovviamente, è ingioco la creatività, i punteggi sono bassi (It. 16,6%, Sud 8,8%, OCSE
24,9%). Anche in Skateboard troviamo una situazione simile, ma più
facilmente gestibile da parte dello studente: infatti Enrico in un negozio ha la possibilità di comprare uno skateboard già confezionato o può
comprare separatamente i quattro pezzi che lo compongono: alcuni ditali pezzi si possono trovare a due prezzi diversi: Enrico possiede 120
zed e vuole comprarsi lo skateboard più costoso che può permettersi. Quanto può permettersi di spendere Enrico per ognuno dei quattro
pezzi? Anche qui bisogna mettere in campo una capacità diversa daquella che in genere viene richiesta a scuola, ma, non essendo richiesto
di scrivere una formula, il problema è più pratico, meno astratto delprecedente e i risultati sono molto senz’altro migliori: Sud 32,5%; Italia 43,1%; OCSE 48,9%.
Nel quesito La crescita é proposto un grafico, costituito da due curve, in cui è rappresentata l’altezza media rispettivamente dei ragazzi edelle ragazze olandesi nel 1998, in riferimento alla loro età, che variadai 10 ai 20 anni. È naturale porsi la seguente domanda: come è stato
costruito tale grafico? si può pensare che si siano calcolate le medie
dei ragazzi e separatamente delle ragazze olandesi (con qualche siste15

L. Biacino

ma statistico) per gruppi di età ad esempio con intervalli di tre mesi eche tali dati siano poi stati collegati con una curva quanto più possibile
morbida. Le curve che si presentano nella pratica sono quasi sempre
ben diverse da quelle che si studiano in matematica, partendo da una
loro formulazione analitica: spesso infatti nella pratica si tenta di fareil contrario, partendo da una serie di dati studiare se sia possibile ottenere una funzione già nota che li contempli. La Domanda 1 è molto
semplice, richiede una semplice sottrazione. Ma già la Domanda 2, che
presuppone solo la capacità di lettura del grafico, vede un forte calodelle risposte a punteggio pieno (35,1% contro una media OCSE del53%). La risposta alla Domanda 3 (Spiega in che modo il grafico mostra che, in media, la crescita delle ragazze è più lenta dopo i 12 anni?)è invece più difficile in quanto presuppone che sia chiara la nozione
di pendenza di una curva o in senso matematico o anche solo in senso intuitivo (infatti risponde correttamente solo il 28,9% degli italiani
contro una media OCSE del 43,5%).
In questo caso, come in molti altri simili, ci si può porre il problema diapprossimare i due grafici dati, ottenuti sperimentalmente, con i grafici di funzioni note, per una migliore descrizione del fenomeno. Ad
esempio, in relazione al grafico che rappresenta l’altezza media dei
ragazzi, possiamo considerare la retta che passa per i punti (10,142)e (20,185). Si ottiene y=4,3x+99. Si vede però che l’approssimazione
tanto buona non è, in quanto ad esempio si ricava per x=15, y=163,5,
mentre il grafico dato fornisce per x=15 il valore molto più alto di cm
174. Si può allora pensare di approssimare almeno una parte del grafico con una parabola. Si può ad esempio scegliere la parabola che passa
per il punto (13, 160) e ha vertice nel punto (20, 185). Si verifica immediatamente che tale parabola deve avere equazione del tipo y=a+185,
da cui imponendo il passaggio per (13, 160), si trae a=-25/49, che
si può approssimare con a=-1/2. In tal modo, sostituendo si trae y=+20x-15, che fornisce una discreta soluzione del problema che ci siamo
posti. Infatti, ponendo x=15 si ricava da tale equazione il valore dellacorrispondente altezza cm 172,5, abbastanza vicino al valore cm 174.
Ancora, per x=16 si trova il valore accettabilissimo y=177.
La prova Velocità di un’auto da corsa è una delle poche prove a risposta
multipla, metodo che, molto poco usato altrove, qui stranamente si ripete nelle varie domande: viene proposto un grafico che rappresenta
la velocità variabile di un’auto da corsa mentre percorre il secondo giro
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Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

di un circuito pianeggiante lungo 3km., riferita alla distanza dalla linea
di partenza. Presuppone quindi che si sappia che: poiché il circuito è
pianeggiante le variazioni nella velocità sono da attribuirsi esclusivamente a curve, nei tratti rettilinei la velocità diventa costante e massima. Quindi dal grafico si trarrà, (sapendolo interpretare!) che ci sonotre curve e tre tratti rettilinei, non tutti della stessa lunghezza, la porzione di tratto rettilineo percorso all’inizio essendo molto corta. Però,contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, le percentuali delle risposte alle prime domande che richiedono di aver ben compreso
come la velocità sia funzione della distanza dalla linea di partenza sonotutte molto più alte che nelle prove precedenti, con punte del 71,7% edel 77,4% per i ragazzi italiani. In questo caso infatti si possono fare lestesse considerazioni circa l’argomento fatte per L’automobile migliore
e forse gioca anche un ruolo la possibilità di scegliere tra varie risposte.
La percentuale di risposte corrette si abbassa però spaventosamente(14,6% media degli italiani con una punta del 9,8% al Sud contro la
media OCSE del 28,1%) nell’ultima domanda dove è chiesto di dire aquale di 4 piste disegnate i ragazzi pensano che il grafico proposto risulti calzante. Questo è molto strano, perché a questo punto, a dispetto dei risultati precedenti, sembra che i ragazzi non siano entrati nel
meccanismo della prova. Forse però gioca in modo negativo il fatto che
tre figure siano un po’ troppo simili e richiedano considerazioni abbastanza raffinate.
4. Interpretazione e rappresentazione grafica di situazioni e dati,
funzioni: qualche definizione, problemi, domande, esercizi

Passiamo a formulare una serie di problemi e domande che, oltre aquelli proposti nelle prove cui si è accennato, possano aiutare i ragazzi
ad impadronirsi in modo non formale delle nozioni di cui stiamo parlando. Innanzi tutto osserviamo che può essere utile avvicinarsi a untale percorso portando gli studenti all’acquisizione del concetto di funzione con considerazioni fatte quasi per gioco: un esempio al riguardo
è fornito dall’articolo di Maria Gabriella Sgueglia: Un percorso didattico
di insegnamento/apprendimento sul concetto di funzione, Per. Mat. n.3,
2015, dove è esposto un cammino che partendo da semplici esperienze- un confronto tra scenette prese da strip e semplici grafici che possono essere ad esse accostati come una loro interpretazione- porta alla
formalizzazione del discorso e alla sua interpretazione matematica.
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L. Biacino

Matematica e emotività, matematica e pubblicità. Se in un istogrammasi pongono le voci cui i dati si riferiscono più vicini e si dilatano gli
spazi relativi ai dati, pur conservando le relative proporzioni, si ottienel’effetto di enfatizzare le differenze contenute nell’informazione. Ovviamente se si vuol fare passare sotto silenzio tali differenze si procede
al contrario.
Problema 4.1. Nelle quattro città di Zed, Dan, Fri e Lir, che hanno approssimativamente lo stesso numero di abitanti, nell’ultimo anno sono
avvenute rispettivamente 639, 831,742 e 227 rapine. Tu vivi nella città di Dan: manda a un tuo caro amico una lettera che rappresenti ilnumero di rapine avvenute nell’ultimo anno nelle 4 città in modo da
invogliarlo a farti visita. Se temi invece per lui (ti trovi in una zona particolarmente pericolosa) inviagli una lettera con un istogramma che lo
dissuada dal farti visita.

Esercizio 4.2. Rappresentare con un istogramma la seguente situazione: nell’anno 2000 alla visita di leva si sono riscontrate le seguenti altezze (Dati presi dal testo di Villani-Gentili, Matematica, 2012)
Alt=h (in cm.)
150h<1552
155≼h<1604160≼h<16516165≼h<17040
170≼h<17563
175≼h<18047
180≼h<18520
185≼h<1906
190≼h<1950
195≼h<200
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Ovviamente si può costruire un simile istogramma partendo dai datidelle altezze degli studenti della classe o di più classi.
Problema 4.3. Supponiamo che le mele costino 1,5 euro al kg, l’uva
costi 2,5 euro al kg, il prosciutto 20 euro al kg, descrivere come varia
il costo di ciascuna di queste merci in relazione al peso, rappresentare
graficamente tali variazioni, verificare che i grafici sono rette,che queste rette passano per l’origine, confrontarne la pendenza, scriverne l’e18

Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

quazione generale, da questa dedurre il termine che dà informazioni
sulla pendenza. Precisare le precedenti risposte osservando che in generale, come conseguenza delle nozioni sulla similitudine dei triangoli,il grafico dell’equazione y=mx è una retta.
Si può forse a questo punto passare a un approccio più approfondito
alla nozione di funzione, come legge di corrispondenza fra due insiemi, alla nozione di variabile indipendente e di variabile dipendente. Riprendiamo ad esempio il Lago Ciad: qual è la funzione rappresentata infigura? certo, per come è data, non è possibile descriverla con simboli
matematici. Possiamo però notare che la variabile indipendente è il
tempo t, varia nell’intervallo 9000 a.C., 2000 d.C. circa (che è per definizione il dominio della funzione, o insieme di definizione) e a ogni
valore di t corrisponde un valore ben preciso della profondità del lago
in quel tempo (desunto sicuramente con metodi extramatematici). Osservazione: nei test OCSE-PISA i sistemi di riferimento sono normalmente non monometrici! Il numero che esprime la profondità si dice
immagine della t. L’insieme costituito da tutte le possibili immagini
al variare della variabile indipendente nel suo insieme di definizione è
detto codominio. La funzione è abbastanza varia, non si notano simmetrie, ripetizioni etc…, ma picchi e avvallamenti (che corrispondonoa?); inoltre ovviamente (?) non assume valori negativi.
Molte delle attività che si svolgono quotidianamente sono regolate dafunzioni. I ragazzi ricordano senz’altro il Problema 3.3 con il prezzodelle merci che dipende dalla quantità della merce comprata o venduta. Torniamo su quel caso: quel tipo di dipendenza la chiamiamo lineare. Tra le funzioni lineari rientra la funzione percentuale. Ad esempio
se in un negozio si pratica lo sconto del 20% su un certo tipo di merce,questo vuol dire che se il prezzo di una merce di quel tipo era x allora
quello che si paga effettivamente è 80/100 x, cioè la funzione che stiamo considerando è y=80/100 x.
Domanda 4.4. Cosa vuol dire che i tagli della spending review non
debbono essere lineari?

Domanda 4.5. Se un individuo ha bevuto in un giorno 1,5 litri d’acqua
Levissima contenente 1,9 mg di sodio per litro, quanti grammi di sodio
ha ingerito? Si ricorda che sono consigliati g 3,5=3500 mg. al giorno(dato desunto dal testo di Carlo e Francesco Sbordone, Matematica per
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L. Biacino

le Scienze della Vita, 2014). Ogni ragazzo può verificare quanto sodio
ingerisce (con l’acqua minerale) controllando il quantitativo di sodio
che contiene l’acqua che beve sull’etichetta della bottiglia. Più in generale è forse anche utile saper rispondere alla domanda: Quanto sodio
contiene l’acqua del rubinetto? A chi si può chiedere?

Problema 4.6. Aumento dello stipendio di un lavoratore per effetto
degli scatti di anzianità. Sia S=S(0) lo stipendio base di un lavoratore,cioè lo stipendio all’atto dell’assunzione. Supponiamo che il contratto
preveda uno scatto annuale dell’1,5% sullo stipendio base. Quale saràlo stipendio dopo 10 anni?
Dopo il primo anno lo stipendio sarà S(1)=S(0)+1,5S(0)= S(0)(1+1,5/100);
dopo il secondo anno
S(2)=S(1)+1,5S(0)=S(0)(1+2x1,5/100)
dopo n anni
S(n)=S(n-1)+1,5S(0)=S(0)(1+nx1,5/100).
Quindi dopo 10 anni lo stipendio sarà S(10)=S(0)(1+1,5/10)=1,15S(0),e quindi, se ad es. S(0)=2000 euro, dopo 10 anni lo stipendio sarà 2300
euro.
L’espressione generale di una funzione lineare è y=ax+b. Tutte le funzioni lineari considerate finora sono particolari funzioni lineari, cioè
funzioni del tipo y=ax. Nella forma generale notiamo che tutte le quantità ax, al variare di x, sono aumentate della quantità fissa b, quindi il
diagramma in questo caso é ancora una retta, traslata della retta diequazione y=ax, che, se b non è 0, non passa per l’origine, ma per ilpunto (0,b). Ad esempio il prezzo indicato sulla bolletta della luce è
funzione lineare del consumo in kw/ore dell’elettricità, ma anche se il
consumo è nullo si paga una quota fissa, sia b. L’importo y della bolletta
è dato allora dal prezzo a di un kw/ore moltiplicato per il numero x dei
kw/ore consumati più l’importo fisso b, cioè y=ax+b.
Così se l’importo fisso è di 10 euro e se ogni kw/ore costa 30 centesimi,allora, se ho consumato x kw/ore in un mese, la bolletta mensile sarà diy euro, dove y=10+0,30x.
Tutti i costi di cui stiamo parlando sono funzioni invertibili della quantità della merce presa in considerazione. Cosa significa questo? Se conosco il prezzo delle mele al kg (ad esempio euro 1,5) e so che ho speso
3 euro, so anche che ho comprato 2 kg di mele. Allo stesso modo se soche ho pagato 60 euro per la bolletta della luce, quanti kw/ore ho consumato? Basta considerare 70-10 =60 euro. 60euro=6000cent. e poi
6000:30=200 kw/ore.
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Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

Una funzione invertibile è tale che comunque si assegni un valore alla
y nel suo codominio si può determinare uno ed un solo valore della x
che abbia quel valore assegnato della y come immagine. Non tutte lefunzioni sono invertibili. Ad esempio consideriamo la funzione che adogni ragazzo della scuola associa la sua altezza in centimetri. Per avere
una funzione è indispensabile che a ogni valore della variabile indipendente, in questo caso uno dei vari ragazzi della scuola, resti associato
uno ed un solo valore, in questo caso la sua altezza. Ed è di questo tipo
la situazione che stiamo analizzando. L’insieme dei ragazzi della scuola è il dominio della funzione, cioè l’insieme laddove essa si applica, inumeri in centimetri ad esempio da 150 a 200 che sono misure dellealtezze dei ragazzi della scuola è il codominio. La corrispondenza assegnata è quindi una funzione, ma non è invertibile, perché non è dettoche assegnato un numero del codominio, esso sia l’altezza di un soloragazzo, ma potrebbe essere l’altezza di più ragazzi della scuola.
Consideriamo ora la funzione (della geometria) A: r ⇾πr2 che forniscel’area del cerchio in funzione del raggio r che va ovviamente supposto
positivo o al più nullo. Quale è il dominio? Quale é il codominio? La
funzione è invertibile perché ogni volta che è assegnato un numero positivo o nullo A, esiste un unico numero positivo o nullo che è il raggiodel cerchio la cui area è data da A.
Invece la funzione che a ogni numero reale x associa il suo quadratonon è invertibile. Perché?
Consideriamo la funzione T: h⇾ T(h)=temperatura di ebollizione
dell’acqua all’altezza h sul livello del mare. Qual è il dominio?, Quale il
codominio? Quanto vale T(0)?

Problema 4.7. Aumento di uno stipendio per effetto degli scatti dianzianità. Sia S=S(0) lo stipendio base di un lavoratore; supponiamo
che il contratto di lavoro preveda uno scatto di anzianità pari all’1,5%dell’anno precedente. A quanto ammonterà lo stipendio dopo 10 anni?
Per il lavoratore è più conveniente questo contratto o quello previsto
nell’Esercizio 3.6?
Dopo un anno lo stipendio sarà eguale a S(1)=S+1,5%S= S(1+1,5/100);
dopo due anni
S ( 2 ) = S ( 1 ) + 1 , 5 % S ( 1 ) = S ( 1 )(1+1,5/100)=S(1+1,5/100)2;
dopo 3 anni S(3)=S(2)+1,5%S(2)=S(2)(1+1,5/100)=S(1+1,5/100)3;
quindi dopo 10 anni … S(10)=S(1+1,5/100)10=(1,015)10S= 1,160S.
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L. Biacino

Se ad es. S=2000, dopo 10 anni lo stipendio sarà di 2320 euro, quindi
il secondo tipo di contratto è più conveniente per il lavoratore. Fattointeressante: il metodo che abbiamo usato serve pure per calcolare la
crescita dopo dieci anni di un capitale investito al tasso fisso di interesse annuo i=1,5%.
In generale la formula che fornisce quanto é cresciuto il capitale iniziale C dopo n anni che sia stato investito al tasso annuale fisso i è data da
C(n)=C(1+i)n. Sapresti spiegarla? (Questo e il precedente Problema 6
sono desunti dal testo Villani- Gentili, Matematica, Comprendere e interpretare fenomeni delle scienze della vita, 2012).

Esercizio 4.8. Secondo te x2 cresce più o meno velocemente di 2x, alvariare di x? Sapresti trovare una giustificazione di quanto affermi?
La legge di proporzionalità inversa.

Esercizio 4.9. Dato un rettangolo di area fissa K>0, determinare comevaria l’altezza y al variare della base x.
Deve risultare xy=K, quindi y=K/x. Sapresti interpretare graficamente
questa corrispondenza?
5. Il movimento, moti uniformi, velocità media, unità delle misureCominciamo con il considerare la prova Andatura. Uno dei motivi della scelta è dato dal fatto che solo il 15,8% di studenti italiani risponde correttamente alla prima domanda, contro il 35,9% media OCSE,
con una punta dell’11,6% per il Sud. Data la definizione di passo di unuomo che cammina, nella prova è fornita una formula, precisamente èdato come noto il fatto che il rapporto tra il numero di passi n al minuto di un individuo che cammina e la lunghezza p del suo passo in
metri sia costante, eguale a 140, cioè n/p=140. La prima domanda è
semplicissima ed è questa: se Enrico fa 70 passi al minuto, qual è lalunghezza del suo passo? Si richiede di eseguire i passaggi che portano
alla risposta. Si tratta quindi di ricavare p dalla formula, conoscendon. Qui probabilmente gioca fortemente la comprensione del testo, laformulazione essendo data in modo esplicito; ma anche il calcolo di p,che compare a denominatore, può forse essere risultato per alcuni unostacolo insuperabile.
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Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

Se passiamo poi alla domanda successiva c’è un calo nelle risposte davvero sbalorditivo (2,1% di risposte valide per l’Italia, 1,2% per il Sud,
contro una media OCSE del 7,9%). La domanda è questa:
Bernardo sa che la lunghezza del suo passo è di 0,80 metri. La formula
viene applicata all’andatura di Bernardo. Calcola la velocità a cui cammina Bernardo esprimendola in metri al minuto e in chilometri all’ora.
Scrivi i passaggi che fai per arrivare alla risposta.
Si tratta innanzi tutto di calcolare i passi al minuto, ciò che si ottiene dalla formula: n=px140=0,80x140=112 passi al minuto. Una volta che siano noti il numero di passi al minuto e la lunghezza di tali
passi in metri si dovrebbe ricavare immediatamente quanti metri fa
Bernardo al minuto, e cioè la velocità espressa in metri al minuto:
112x0,80=89,6m/min; da qui si ricava moltiplicando per 60 numeratore e denominatore 5376m/ora. Ma il quesito richiede che la velocità
sia espressa in km/ora, quindi, convertendo i metri in chilometri, siottiene il risultato finale 5,376km/ora.
Il secondo quesito rispetto al primo richiede che per pervenire al risultato si debbano eseguire non una ma due operazioni, innanzi tutto calcolare il numero di passi al minuto che fa Bernardo, con le difficoltà dicomprensione del testo che si è visto affiorano già dalla prima domanda, anche se in questo caso è più semplice ricavare il valore incognito.
Solo in un secondo momento si può passare alla soluzione, per lo meno
nella prima forma, tenendo presente come si passa dai m/min ai m/ora; una conversione analoga porta alla risoluzione anche del quesito
che chiede di esprimere la velocità in km/ora.
Il secondo quesito, come abbiamo constatato, è più complicato delprimo: spesso i quesiti che hanno maggior attinenza con la vita
quotidiana presentano un grado più elevato di difficoltà: prendiamo
ad esempio il quesito seguente dello stesso tipo di quelli ora analizzati.

Problema 5.1. Claudio ha un passo lungo m.0,40 e deve percorrere untratto di strada lungo km1,2. Quanti passi farà al minuto? Quanti passifarà complessivamente? Quanto tempo impiegherà?
Qui la domanda che ha un valore pratico è la terza, ma porla senza averprima fatto le precedenti richieste avrebbe forse comportato uno sforzo
effettivamente un po’ troppo grande. Quindi è stata preceduta da domande che in sé non rivestono un particolare significato pratico, masono di aiuto per la risoluzione del problema posto dalla terza domanda.
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L. Biacino

La difficoltà che presentano tali quesiti, e anche quello di natura abbastanza diversa e però superato in modo di gran lunga migliore, Velocità
di un’auto da corsa, è la difficoltà concettuale degli strumenti teorici
che ne sono alla base. Cos’è la velocità? Una distanza si vede, un tempo
si afferra nel suo scorrere, ma la velocità è un rapporto, più complicato
da cogliere teoricamente (ma non forse in modo intuitivo, fin da piccoli
i bambini giocano con le macchinine e simulano la loro velocità, sviluppando una forma di sagacia a livello intuitivo). Già la velocità media
presenta questa difficoltà, figuriamoci la velocità istantanea, che per la
sua logica comprensione richiede l’appello a strumenti di carattere teorico decisamente superiore, l’infinitamente piccolo, il rapporto di infinitesimi… Molto allora nelle precedenti domande si affida all’intuito.
Ancora un’osservazione: nei quesiti Andatura è data la legge n/p=140.
Ora ci sono leggi tali che il volerne saggiare la validità è impossibile inun’aula o richiede uno sforzo davvero impegnativo. Ma questa leggeè veramente semplice da verificare e potrebbe essere una conquistadella classe, anziché una formula caduta dall’alto.
La prova offre lo spunto anche per una serie di riflessioni sul sistema decimale correntemente usato per misurare lunghezze, aree, volumi, pesi,
capacità etc… Si può anche osservare che ci sono altri sistemi non decimali per compiere misurazioni analoghe, come quello anglosassone…
Nella prova Velocità di un’auto da corsa sono rappresentati con molta
cura i numeri da 0 a 3, con passo di 2/10; questo può essere lo spunto per una riflessione sulla rappresentazione dei numeri sulla retta,
ma anche per il confronto tra numeri razionali o tra reali; per eseguire operazioni coi razionali; per rappresentare i numeri ad esempio inbase 2, etc…

Problema 5.2. Sapendo che la terra dista dal sole 1,5 .108 e che la velocità della luce nel vuoto è di circa 300.000 km/sec, esprimi in ore,minuti, secondi il tempo che la luce del sole impiega per raggiungere laterra. (Risp. 8’20”).
Problema 5.3. Un atleta corre i 200 metri in 19,8s. Calcolane la velocità media. Calcola la lunghezza del suo passo. (Risp. 10,1m/s e circa
m.2,1).

24

Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

6. Numeri e relazioni
Nella prova Meli un contadino pianta dei meli in modo da formare unquadrato e li protegge dal vento piantando delle conifere attorno ad
essi. Segue lo schema utilizzato dall’agricoltore supponendo che i filari
dei meli siano in numero di n con n=1 o n=2 o n=3 o n=4. La prima domanda, valutata di grado medio di difficoltà, chiede di completare una
tabella riportando il numero dei meli e delle conifere per n=1,2,3,4,5.
Per i casi con n=1,2,3,4 la risposta si ottiene semplicemente contando i
puntini dello schema dato, quindi il problema consiste nell’immaginare come può essere costruito lo schema per n=5 e nel trarne una regola
possibilmente, anche se ciò non è esplicitamente richiesto. Le risposte,
come quasi sempre avviene, vedono una grande diversificazione tranord e sud Italia, con Nord Est al 48,2% e Sud al 32,2% (media OCSE
49,2%). Nella seconda domanda sono fornite le formule che danno rispettivamente il numero di meli e il numero delle conifere per ogni
fissato n e si richiede di determinare il valore di n per cui i meli sonotanti quante le conifere. Per studenti abituati a equazioni di primo esecondo grado dovrebbe essere una domanda semplice e invece solo il
20,8 degli studenti in Italia risponde correttamente (Sud 17,1%, OCSE
24,5% Nord Est 33,8%). Si passa poi alla terza domanda, di dichiarato
elevato grado di difficoltà. Man mano che l’agricoltore ingrandisce ilfrutteto aumenta più velocemente il numero dei meli o delle conifere?
Motivare la risposta. Si tratta di confrontare l’ordine di grandezza din2 e di 8n: come fare? per induzione, aiutandosi con una calcolatrice?
con un disegno dove evidenziare la relazione che intercorre tra i grafici delle funzioni y=x2 e y=8x? risolvendo la diseguaglianza n2>8n? Maquestioni di questo tipo intervengono nello svolgimento delle lezioni
in modo non astratto ma calate nella realtà? sono poi così importanti
al biennio o possono essere rinviate ad anni successivi? Le risposte leotteniamo guardando la media veramente bassa di soluzioni corrette:
Sud 1,5%; Italia 3,6; OCSE 7,9 (ma Nord Est 8,3%). Lo scopo di una
simile domanda può forse essere quello di saggiare quanti ragazzi hanno una spiccata capacità di affrontare questioni nuove e di un elevato
grado di difficoltà, sfruttando le conoscenze in loro possesso. Esistono,
per fortuna, anche loro, e forse è bene non dimenticarcene. Però questo
non spiega la notevole differenza tra Sud e Nord Est e quindi fa capire
che il problema è più complesso. Ad esempio si potrebbe osservare che
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L. Biacino

quando le statistiche sono state fatte il Nord Est era in piena fioritura
economica… ma non solo.
Un semplice conto, fatto con un minimo di metodo, richiede Libreria,
dove, con un certo arsenale di materiali, un operaio si chiede quante
librerie potrà costruire, una volta fissate con precisione le quantità diogni componente necessarie per una libreria. Come è da aspettarsi c’è
una buona percentuale di risposte corrette, 50,6% al Sud; 55,3% Italia;
59,8% OCSE. Ma la percentuale è bassa se si tiene conto della semplicità della domanda e soprattutto del fatto che ragionamenti di questo
tipo rientrano spesso nella vita dei ragazzi.
Nello stesso ordine di idee, ma con una struttura logica molto più semplice, rientra anche la prova Scala, dove è richiesto di stabilire l’altezza
dei gradini di una scala, conoscendone il numero e conoscendo l’altezza complessiva della scala. Nonostante un elemento perturbatore,è data anche la profondità della scala, inessenziale per la soluzione delproblema, il numero delle risposte esatte è elevato, oltre il 70% in tutte
le sezioni.
In Motivi a scaletta un ragazzo, Roberto, costruisce una serie di scalettecon dei quadrati, di cui sono forniti i primi tre passi: si chiede di determinare quanti quadrati dovrà usare per il passo successivo. Il quesitoè semplice e risponde all’idea chiave dichiarata di quantità, ma ha anche una componente visiva, di natura geometrica molto forte. È vero
che dello stesso quesito c’è anche la versione a albero capovolto, ma inquel caso il computo nei vari passi risulta forse più facile. Nonostante la semplicità votazioni abbastanza basse: 46,7% Sud; Italia 49,8%;
OCSE 63,7%; Nord Est 60,7%.
Problema 6.1.
A quanto é eguale la somma di tutti i numeri della tavola pitagorica?

a) 1000,b) 54;c) 3025.
Sapresti spiegare come sei pervenuto al risultato?

Problema 6.2 (trasformazione di formule)È noto che la somma dei primi n numeri naturali è eguale a n(n+1)/2,
cioè 1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2. Sapresti dire in base a tale formula aquanto è eguale la somma dei primi 1000 numeri naturali? Usando questa formula sapresti scrivere una formula che fornisca la somma dei pri26

Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

mi n numeri pari, cioè sapresti dire a quanto è eguale 2+4+6+8+…+2n?
E, in maniera analoga, sapresti calcolare la somma dei primi n numeri
dispari, cioè la somma 1+3+5+7+…+2n-1?
7. Proprietà geometriche delle figure

Prendiamo in considerazione la prova Carpentiere. Vi si tratta di un
carpentiere che ha a disposizione 32 metri di tavole di legno con cuivuole recintare il suo giardino: per il recinto prende in considerazione diversi progetti con forme diverse e le misure relative. Lo studente
deve dire, caso per caso, se sia possibile recintare quella figura con letavole a disposizione. Un’osservazione, che mi sembra naturale, è innanzi tutto relativa all’effettiva grandezza e forma del giardino, il testo
avrebbe dovuto chiarire subito che le tre forme sono tutte compatibili con le dimensioni reali del giardino! Questa osservazione, che puòapparire oziosa, mette in evidenza come sia effettivamente difficile
proporre delle questioni di geometria pura (più che di aritmetica o digeometria analitica) che siano realmente analoghe ai problemi dellavita di ogni giorno; perché nella realtà il problema principale per il carpentiere sarebbe di seguire quanto più possibile la forma del suo giardino, che quasi mai coincide con una figura geometrica tra quelle noteallo studente, indipendentemente dalle tavole che ha a disposizione. A
meno che non si tratti di un’aiuola.
Per quanto le domande, in ognuno dei casi presentati, siano molto
semplici anche da un punto di vista intuitivo, la percentuale delle risposte esatte a tutte e quattro è molto bassa: 19,5% media OCSE; 12,3%
Italia; 10,5% Sud. Però, se si passa a 3 su 4 risposte corrette, mentre
la media OCSE passa al 30%, il Sud passa al 27,1% quasi in media con
l’Italia, al 27,9%. Per due delle figure in questione il fatto che abbianolo stesso perimetro, lungo m.32, del rettangolo si può verificare usando
semplicemente dei fiammiferi; l’equivalenza delle aree del rettangolo edel parallelogramma si verifica con carta e forbici, che in un triangolo
rettangolo l’ipotenusa sia maggiore dei cateti è intuitivo. È ben vero
che l’intuito può ingannarci (ci sono esempi al riguardo, forse è il caso
qualche volta di proporne qualcuno), perciò si usano le dimostrazioni
e i teoremi che su esse si basano, e c’è ad esempio un teorema che diceche in un triangolo ad angolo maggiore si oppone lato maggiore… Perciò, anche per l’equivalenza precedente, potremmo non fidarci com27

L. Biacino

pletamente della nostra spiegazione con carta e forbici e ricorrere al
criterio di eguaglianza dei triangoli.
È vero che le figure geometriche della realtà sono in generale molte dipiù e molto più complicate di quelle di cui può disporre uno studentedel biennio, però quanto l’intuizione geometrica può aiutarci a capire e
a ricordare formule matematiche! Ad esempio come si interpreta facilmente la regola del quadrato del binomio con una figura: se poi ne facciamo un modello di carta, possiamo dal quadrato di lato a+b ritagliare
i due quadrati di lato a e lato b e i due rettangoli uguali aventi le due
dimensioni coincidenti con a e b … Allo stesso modo si interpreta bene
la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e
volendo, ci si possono procurare dei cubi predisposti per l’interpretazione del cubo di un binomio etc…
Di natura diversa, con una accentuata attenzione al linguaggio, è il quesito Triangoli, dove sono proposte 5 figure di triangoli e la descrizione dettagliata di uno di essi. Il ragazzo deve individuare il triangolo descritto. Èquindi un interessante problema che consiste nel cogliere la corrispondenza che il linguaggio stabilisce tra mondo mentale e una determinata
situazione reale, di tipo geometrico. Richiede pertanto una attenta capacità di lettura e comprensione delle parole usate nella descrizione in uncontesto che è abbastanza familiare ai ragazzi e la loro immediata interpretazione geometrica. I risultati non sono molto negativi, forse perché
il quesito, valutato di media difficoltà, si colloca nell’ambito della routine
scolastica (Sud 49,8%; Italia 54,8%; OCSE 55,3%).
Questo quesito offre lo spunto per un’attività didattica sul riconoscimento delle figure geometriche e sul linguaggio che si può mettere inpratica di quando in quando: proporre una figura geometrica ad unallievo e chiedergli di descriverla dettagliatamente ad un altro, che può
ascoltare quello che il primo dice ma non vedere quello che lui vede,
finché l’altro riesca a disegnarla a sua volta. Questa attività si rivela utile perché il ragazzo che vede e descrive si trova impegnato in una prova
in cui deve ricercare le parole giuste che corrispondano esattamente
alle proprietà geometriche della figura. Ma anche chi ascolta deve capire i termini usati e tradurli nel disegno.
Sempre nell’ambito dei programmi scolastici e sempre nell’ambitodel riconoscimento di una figura geometrica si colloca Fattorie, doveil tetto di una fattoria si suppone sia stata rappresentata mediante un
modello matematico costituito da una piramide retta a base quadrata.
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Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

Una percentuale alta (ma non altissima) di risposte corrette, tra il 52
e il 60% circa per Sud e Ocse con Italia al 58% circa, si ottiene alla
prima domanda che richiede il calcolo dell’area di un quadrato di lato
assegnato, il pavimento della soffitta, mentre la percentuale di risposte
esatte alla seconda domanda, che richiede il calcolo di uno degli spigoli
di un blocco che appare nel modello, si abbassa molto (Sud 33,2%; Italia 36%; OCSE 54,1%). Entra in questo caso in gioco la similitudine dei
triangoli, argomento scolastico che dovrebbe essere familiare ai ragazzi. O, più semplicemente, il riconoscimento del fatto che i triangoli inquestione sono tutti equilateri. Il risultato è scoraggiante, perché, anche nell’ambito dei programmi attualmente svolti, la maggior parte degli studenti non raggiunge la sufficienza, addirittura i due terzi al Sud,con difficoltà anche su una domanda di tipo elementare, quale l’area diun quadrato, cui quasi la metà degli studenti non sa rispondere. E nonpuò essere una spiegazione sufficiente il fatto che la figura geometrica in questione, la piramide, sia stata immaginata come sostegno deltetto di una fattoria e che questo, invece di far volare la fantasia, abbia
inibito la capacità di mettere in moto meccanismi di riconoscimento di
proprietà matematiche che dovrebbero essere ben note.
Molto diversa dalle prove che generalmente si utilizzano con gli alunni
è Area di un continente: in essa viene mostrata una cartina geografica
dell’Antartide con relativa scala. Si richiede una stima dell’area dell’Antartide utilizzando l’annessa scala e la spiegazione del modo in cui talestima è stata fatta; l’alunno può anche aiutarsi tracciando dei segni odei disegni sulla carta. Le indicazioni per la correzione, che in tutte leprove sono molto accurate e a cui gli insegnanti dovrebbero ispirarsi
per la valutazione dei compiti dei loro allievi, in questo caso sono veramente tante e molto articolate. È interessante la nota che si trova
dopo la descrizione dei vari modi in cui la prova può essere valutata. In
essa c’è la raccomandazione, nel caso di assenza di una soddisfacente
spiegazione a parole, di andare a guardare i segni/disegni sulla carta
geografica per cercare di individuare in quale modo lo studente è arrivato alla sua risposta. Infatti, è detto, lo scopo non è una verifica dellacapacità lessicale dello studente, ma della sua capacità di ragionamento. Non mi sembra che in Italia si utilizzino in generale prove a questo
scopo, anche se la questione non è trascurata dagli insegnanti e quindi
la prova ha un valore fortissimo di ricerca e di esperimento. Spesso si
dice che se le parole non vengono sono anche i concetti che mancano,29

L. Biacino

cioè si tende ad assimilare il linguaggio con la effettiva comprensione,bollando in senso negativo la confusione delle parole o la loro assenza.
Ora a livello intuitivo si possono avere conoscenze, magari confuse e
incomplete, non ancora mature tanto da potere indossare l’abito delleparole giuste: in generale a scuola questo non è accettato e il motivo è
semplice: come si fa a capire cosa c’è veramente nella testa del ragazzo, se non è in grado di comunicarlo? Questa prova è interessante peril tentativo di accettare, in presenza di un quesito veramente difficile,anche una comunicazione extra-linguistica. Percentuale degli studenti
che hanno dato risposte corrette comunque paurosamente bassa 2,1%
Sud; 3,9% Italia; 9,4 % OCSE. Anche il Nord Est in questo caso si situa
al di sotto della media OCSE con l’8,6%.
Con la chiave spazio e forma è anche presentata la prova Dadi, dove èdata una serie di 6 dadi che mostrano una faccia. Bisogna in un apposito schema indicare quale numero compare sulla faccia opposta, sapendo che la somma delle facce opposte è sempre sette. La difficoltà inquesto caso è minima in sé, basta effettuare una sottrazione per avere
il risultato per ogni faccia; ma forse la vera difficoltà sta nell’intendere
quanto richiesto e come inserirlo nello schema assegnato. Solo così si
spiega la percentuale, veramente bassa in relazione alla semplicità della domanda (41,2% Sud; 49,3% Italia ; 53,2% OCSE con la solita puntadel 65,4% del Nord Est).
Problema 6.1
È dato un poligono regolare di 8 lati inscritto in una circonferenza diraggio 1. A quanto è eguale il suo lato?

Problema 6. 2
Luisa ha di fronte a sé un edificio, alto circa m.16,50 e un albero. Sapendo che l’edificio è a m.25 dai piedi di Luisa, e l’albero a m. 5, che Luisa èalta circa m.1,50 e da tale altezza vede allineate la sommità dell’edificioe la cima dell’albero, sapresti dire approssimativamente quanto è alto
l’albero?
Problema 6.3
Mario e Gino si trovano su un tratto rettilineo di strada alla distanza di
km.5. Mario scorge perpendicolarmente alla strada due torri. Gino pertelefono gli comunica che anche lui vede le torri sotto un angolo di 45°
l’una e di 60° l’altra. Quale distanza intercorre tra le due torri?
30

Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

Problema 6.4
Un gruppo di amici si trova in un casolare di campagna; di fronte alcasolare, alla distanza di km.3, c’è una collina con una torre di avvistamento: a destra di essa si vede una rupe con un castello. I ragazzi vorrebbero recarvisi, ma non sanno a quale distanza essa si trovi. Sannoperò che:1- la retta torre-castello è perpendicolare alla retta casolare-torre;
2- la retta casolare-torre forma un angolo di 60° con la retta casolare-castello.

Qual è la distanza casolare-castello?
7. Probabilità e statistica

Le domande relative all’incertezza e alla raccolta dati sono tutte molto semplici, ma ciò nonostante il numero delle risposte corrette a livello OCSE e ancora di più in Italia e soprattutto al Sud é molto basso. Una spiegazione forse
risiede nel fatto che tali discipline sono da poco entrate nella pratica d’insegnamento e molti insegnanti non sono disposti a rivedere la loro formazione
impegnandosi nel lavoro che la didattica delle nozioni ad esse connesse,nuove anche per loro, comporta. Ad esempio il quesito estremamente elementare, Caramelle colorate, sebbene a livello OCSE, sia risolto correttamente
dal 49,7% degli studenti, in Italia é risolto solo dal 33,7%, con una punta al
Sud addirittura del 23,9%. Tra l’altro in questo quesito dovrebbe essere diaiuto la possibilità di scegliere tra più risposte. Si nota infatti nell’ambitodelle questioni relative all’incertezza un maggior uso delle domande a risposta multipla, 2/6 (contro una media generale di 5/25).

In Verifica di scienze una ragazza vuol fare la media delle votazioni allesue cinque interrogazioni, sapendo che per le prime quattro la media
era di 60 e la quinta interrogazione è stata valutata con 80. In questo
caso c’è una piccola difficoltà in più rispetto al caso precedente, perchési pone il problema di come fare una media: si può essere ad esempio
tentati dal sommare 60 e 80 e dividere per 2, ma è anche un problemache gli studenti affrontano di continuo e a cui hanno imparato a darsi
risposte indipendentemente dalla teoria; e infatti c’è un lieve miglioramento nelle risposte esatte: 34,2% Sud; 47,5% Italia; 44,7% OCSE.
Nella prova Rifiuti bisogna indicare perché un certo numero di dati (relativi ai tempi di decomposizione di diversi tipi di rifiuti) che si suppone siano stati raccolti dagli studenti di una classe, non possono essere
rappresentati con un istogramma. L’ambito di discorso è di attualità,può diventare altamente educativo per il suo significato ecologico equindi potenzialmente coinvolgente: la ricerca (non richiesta ovvia31

L. Biacinomente nella prova, ma data per effettuabile) può addirittura essere
contagiosa. La risposta però (anche in questo caso molto bassa tra i
ragazzi italiani, 34,9% contro una media OCSE del 50,5%) presuppone
un po’ di pratica con simili strumenti: è chiaro che chi non ha mai costruito o almeno commentato un diagramma a colonne possa trovarsi
in difficoltà.
In Terremoti i ragazzi debbono semplicemente scegliere tra quattro
possibili risposte (è l’altra prova a risposta multipla nella classe dell’incertezza) quale è il reale significato delle parole di un geologo che haprevisto un terremoto a Zedopoli con probabilità 2 su 3. Ora stime diquesto tipo non dovrebbero essere del tutto nuove per buona partedei ragazzi, e quindi il loro significato non dovrebbe poi essere molto
oscuro: ed infatti le risposte esatte sono nel caso OCSE del 44,8%; Italia
42,6%; Sud 39,1%.
Anche il quesito di Scelte è abbastanza semplice e non lontano dall’esperienza quotidiana dei giovani: in una pizzeria si può richiedere una
pizza con due ingredienti base e si può richiedere l’aggiunta di altri
ingredienti scelti tra 4 possibili. Riccardo ne vuole aggiungere due: traquante combinazioni diverse può scegliere? È chiaro che il problema èrisolubile anche senza andare a scomodare la formula che dà le combinazioni di 4 elementi a due a due, si può fare ad esempio un rapido
calcolo di tutte le possibilità … Media OCSE 48,2%; Italia 44,4%; Sud
36,7%.
8. Conclusioni

Uno degli scopi fondamentali nella formazione matematica dei giovani
è la capacità di formalizzare in termini di numero e quantità o di forma e spazio, o ancora di relazione gli oggetti del discorso scientifico
e l’educazione a tal fine può avvenire solo attraverso un lungo e difficile processo di successive astrazioni. Il grado di difficoltà incontrato
dal ragazzo è legato alla maggiore o minore attitudine che egli ha aconfrontarsi con situazioni di cui sia stimolato a chiarire la generalità,
attitudine che si sviluppa o meno sin dai primi anni in ambito familiare
e ambientale. La scuola ha precisamente questo grande e delicato compito di far crescere e a volte nascere da questo punto di vista i ragazzi,
sopperendo molto spesso alle carenze culturali dell’ ambito familiare
e/o sociale. Questo compito, che non è assolutamente di natura tecnica,
32

Qualche considerazione sulle prove ocse-pisa-matematica

si può svolgere con i mezzi più disparati, trasversalmente, ad esempio
con buone lezioni di storia, di filosofia o di letteratura. Ma coloro chesono chiamati in prima persona alla sua esecuzione sono soprattutto
gli insegnanti di matematica: partendo dal basso, come ci fanno vedere
le prove OCSE-PISA, prendendo le mosse da un livello estremamenteelementare e non troppo lontano dalla quotidianità si incomincia unlento e lungo viaggio verso la formalizzazione e la determinazione diregole da interiorizzare completamente, finché diventino pratica corrente di ragionamento.
Ecco cosa suggeriscono tali prove: innanzi tutto una grande cura è
rivelata nella correzione tenendo conto anche dei risultati parziali e
cercando in alcuni casi di afferrare anche le idee non completamente
esplicitate, nulla è dato per scontato, banale; più che domande a risposta multipla ci sono domande che chiedono di motivare la risposta, avolte anche in più modi; grande appello è fatto all’intuizione, all’interesse suscitato dagli argomenti, in definitiva al gusto. Ad esempio nonpuò lasciare che stupiti vedere che risultati relativamente buoni sono
stati ottenuti con la prova Velocità di un’auto da corsa, dove su questioni in cui i ragazzi erano teoricamente disarmati, ma sicuramenteinteressati si sono avute alte percentuali di risposte corrette. E vien da
chiedersi: lo scopo di un buon insegnamento non è forse di accendere
nei ragazzi lo stesso tipo di interesse anche verso concetti astratti eapparentemente più lontani dalla realtà, andandone a indagare il significato profondo, le motivazioni che ne sono all’origine, i collegamenti avolte in un ambito multidisciplinare, le possibili applicazioni?
La semplice lettura di grafici e istogrammi dà pure risultati discreti. Ma
nel complesso le prove danno risultati complessivamente molto deludenti sia per quanto riguarda l’Italia nel confronto con gli altri paesi
dell’OCSE, sia soprattutto per il Sud, che ne esce veramente male. E
non si può pensare che tale situazione dipenda esclusivamente dalle
condizioni economiche svantaggiate di questa terra, gli insegnanti dovrebbero sentirsi in qualche modo responsabili di un tale disastro.
Le perplessità maggiori che nascono dalla lettura dei risultati sono comunque le seguenti: è molto carente nei ragazzi il confronto dei dati
(vedi ad es. La crescita), spesso la semplice comprensione del testo anche nel caso di quesiti facilmente abbordabili (vedi Dadi, Carpentiere,
Caramelle colorate, etc..), la conoscenza di elementari proprietà geometriche delle figure (Carpentiere, Fattorie etc..), l’abilità nel manipolare33

L. Biacino

facilissime formule (Andatura) e soprattutto la capacità di formalizzare e ragionare in astratto (vedi Meli), fatto quest’ultimo che sorprende
un po’ meno, tenendo conto delle maggiori difficoltà che presenta per
ragazzi ancora alle prime prove con ragionamenti di questo tipo.

34

Con la matematica si può anche giocare
di Barbara Brandolini1 , Guido Trombetti2

Dalle nostre scuole escono studenti poco preparati in matematica. Che fare?
La risposta non è facile. Innanzitutto, occorrerebbe intervenire sull’insegnamento.
Troppo spesso si preferisce concentrare la didattica su un formalismo paralizzante e trasformare la matematica in una successione di operazioni meccaniche, dacatena di montaggio. Il che ovviamente non affascina e, meno che mai, stimola
la fantasia. Troppi “conti” non motivati e senza alcun legame con problemi reali. Già alcuni decenni fa, il grande matematico pisano Giovanni Prodi affermava:“Eppure quanto sono profondi i legami della matematica con l’economia, l’architettura, l’ingegneria, la biologia, l’arte, la letteratura! Praticamente con tutto. C’è
una struttura matematica persino nella Divina Commedia. Nei semi di girasole...
La matematica, prima di essere un corposo insieme di metodi, tecniche e teoremi,è un modo di guardare il mondo. E perché non collegare mai la nascita dei grandi
capitoli della matematica alla temperie socio-culturale in cui hanno visto la luce?
La prospettiva è l’invenzione delle nuove rappresentazioni pittoriche dell’umanesimo. I limiti e gli infinitesimi hanno consentito a Newton di trovare il linguaggiodella nuova fisica che andava inventando. Il calcolo delle probabilità nasce dalgioco d’azzardo. I numeri, dopo secoli di eclisse, tornano in auge nel ’200 con
Fibonacci anche (se non principalmente) per soddisfare esigenze di contabilità inattività commerciali. Il problema è immaginare percorsi che consentano di attrarre
l’attenzione dei giovani.”Dunque uno strumento utile potrebbe essere la buona divulgazione scientifica. E,
perché no, i giochi matematici. Alcune delle più affascinanti teorie matematicheaffondano le loro origini nel gioco. Nel gusto di trovare la soluzione di un rom1 Università degli Studi di Napoli “Federico II”, Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Complesso Monte S. Angelo - Via Cintia, 80126 Napoli, Italia. e-mail:brandolini@unina.it
2 Università degli Studi di Napoli “Federico II”, Dipartimento di Fisica, Complesso Monte S.

Angelo - Via Cintia, 80126 Napoli, Italia. e-mail: guido.trombetti@unina.it

43

B. Brandolini - G. Trombetti

picapo. Mescolando in modo indissolubile l’aspetto ludico ricreativo con quellopuramente speculativo, i giochi matematici potrebbero rivelarsi uno strumento utile per suscitare l’interesse dei giovani. Il gioco non deve essere visto come pausa
tra le cose serie, come purtroppo una cultura bacchettona ci ha abituato a pensare.
Il gioco è la serissima attività che fanno i bambini per esplorare il mondo e permettere a punto le proprie capacità. È il modo più efficace per imparare, perché
coinvolge non solo le proprie capacità intellettuali, ma anche le capacità sociali, ed
infine mobilita le proprie capacità emotive. Senza emozione, è bene sottolinearlo,
non c’è apprendimento. Il nostro cervello impara in modo efficace e duraturo solo se prova emozioni. Senza la colla dell’emozione, qualsiasi ricordo è destinato
a scomparire. Basterà riflettere su cosa ricordiamo della nostra vita per averne
immediata conferma. E l’unico modo per insegnare efficacemente la matematica è trasformarla da un’arida sequenza di astratte proposizioni in coinvolgimento,
sfida, storia, vita, gioco, cioè emozioni.
Un buon gioco matematico deve essere presentato usando il più possibile il linguaggio comune, rinviando l’introduzione del linguaggio tecnico-specialistico.
Che essendo a sua volta importante va recuperato più innanzi.
I giochi matematici hanno avuto sin dall’antichità una grande importanza nello
sviluppo del pensiero. Potremmo compiere un viaggio attraverso tutte le epoche ele civiltà umane solo inseguendo giochi matematici. Dall’antico Egitto alle civiltà
greca e romana, dall’antica Cina alla cultura islamica a cavallo dell’anno 1000,
fino ad arrivare al Rinascimento italiano ed alle scoperte che hanno cambiato il
volto della scienza tra il XVII ed il XVIII secolo. In tempi recenti, propositore e risolutore di giochi matematici è stato Paul Erdös, uno dei più eccentrici ed
originali matematici contemporanei (noto a molti come protagonista de “L’uomoche amava solo i numeri”, scritto da P. Hoffman [16]). In ogni epoca, da un latoil gioco ha avuto la potenza di avvicinare le “menti incolte” alle meraviglie della matematica, dall’altro ha consentito la formulazione da parte dei matematici
di nuove teorie. Per esempio, molti storici della matematica fissano la nascitadel moderno calcolo delle probabilità nel fitto epistolario datato 1654 tra Pascal
e Fermat sui quesiti posti dal Cavaliere de Méré a Pascal circa il gioco d’azzardo(“Esiste la stessa probabilità di vincere scommettendo che esca almeno un 6 su 4
tiri consecutivi, lanciando un dado alla volta, oppure scommettendo che escanoalmeno due 6 su 24 tiri, lanciando due dadi alla volta?”) In effetti già Luca Pacioli, che avremo il piacere di incontrare di nuovo più tardi, nel suo “Summa dearitmetica” datato 1494, aveva trattato l’argomento insieme al cosiddetto problema delle parti che consiste nel calcolo di come deve essere divisa la posta di una
certa partita se essa viene interrotta prima che vi sia un vincitore. I primi studi
conosciuti su questioni di probabilità si riferiscono al gioco dei dadi e compaiono nel libro “De ludo aleae” di Girolamo Cardano (1501-1576), celebre medico,appassionato di meccanica, matematica, a sua volta accanito giocatore. Cardano
scrisse sul gioco dei dadi intorno al 1525, ma il libro fu pubblicato postumo nel

44Con la matematica si può anche giocare

1663; egli amava molto questo tipo di gioco, nel quale, da una parte dissipò moltedelle sue sostanze, dall’altra trovò qualche volta un modo per incrementare le sueentrate, vincendo più di quanto perdesse, anche se era solito affermare che “..l’unico vantaggio deriva dal non giocare per niente...”. Nella speranza di aumentare
le sue possibilità di vittoria, egli studiò a fondo il gioco a tal punto che può essere
considerato il primo ad aver gettato le basi del moderno Calcolo delle probabilità.
Anche Galileo Galilei, qualche anno più tardi, intorno al 1630, si occupò di probabilità ed il suo contributo fu notevole. Nella sua opera “Sulla scoperta dei dadi”,
come Pascal fece il calcolo dei casi favorevoli all’avverarsi di un evento rispetto
a tutti quelli possibili. Su richiesta di un gruppo di nobili fiorentini che volevano
capire come mai nel gioco a tre dadi detto zara uscissero con una frequenza maggiore il 10 e l’11 rispetto al 9 o al 12, Galileo calcolò che esistono 27 modi perottenere il 10 e l’11 da tre dadi contro i soli 25 per il 9 e il 12.
Nessuno dei giochi, problemi o paradossi che presentiamo in questa nota è
originale. Esiste un numero consistente di libri o di siti internet che si occupano
di tali questioni (cfr. bibliografia da [1] a [28]) e dai quali abbiamo attinto abbondantemente. Uno fra tutti il celebre testo di Martin Gardner [12]. Noi proponiamo
un doppio percorso al lettore. Innanzitutto un percorso di tipo storico con la descrizione di quattro celebri giochi matematici risalenti a quattro epoche differenti
della storia umana. Quindi un percorso di tipo contenutistico con la descrizione
di dieci giochi che affondano le radici in diverse aree della matematica tuttora
oggetto di ricerche. La nostra intenzione è quella di convincere il lettore che il
gioco non è un’attività banale né inutile. Men che mai irriverente verso la regina
delle scienze. Tutt’altro. Forse l’utilizzo di giochi potrebbe (forse!) contribuire asuscitare nei giovani un maggiore interesse verso la matematica. Quell’interesseche si va estinguendo nella foresta di formule di prostaferesi e di parentesi quadre
o graffe cosı̀ impenetrabile per i ragazzi.
Cominciamo il nostro viaggio a spasso nel tempo.
1) Il papiro di Rhind
Uno dei primi giochi matematici risale al secondo millennio avanti Cristo.
Siamo nell’antico Egitto intorno al 1650 a.C. ed uno scrivano riporta su un papiro(oggi noto come papiro di Rhind dal nome dell’antiquario scozzese che lo acquistò
nel 1858 a Luxor, e conservato al British Museum di Londra) vari problemi dinatura aritmetica, algebrica e geometrica. Ecco uno dei quesiti:“Ciascuna delle sette case contiene sette gatti; ogni gatto mangia sette topi ed
ogni topo aveva mangiato sette spighe di grano. Ciascuna spiga di grano avrebbe
prodotto sette stai di farina. Di quante cose abbiamo complessivamente parlato?”45

B. Brandolini - G. Trombetti

19607 risponde prontamente il matematico che passa per caso accanto allo scrivano. Lo scrivano alza occhio interrogativo ed il matematico spiega:
7 case + 7 · 7 gatti + 7 · 7 · 7 topi + 7 · 7 · 7 · 7 spighe di grano+ 7 · 7 · 7 · 7 · 7 stai di farina.

In sostanza lavoriamo con due numeri: 7 e 5 (le categorie di oggetti: case, gatti,
topi, spighe di grano, stai di farina). Sommiamo in maniera semplice
7+7·7+7·7·7+7·7·7·7+7·7·7·7·7= 7 · (1 + 7 + 7 · 7 + 7 · 7 · 7 + 7 · 7 · 7 · 7)

= 7 · (1 + 7 + 72 + 73 + 74 )7=
· (1 + 7 + 72 + 73 + 74 ) · (7 − 1)
7−1
7
= · (75 − 1) = 19607.
6
Questo ragionamento può essere ripetuto assumendo che invece di 7 venga considerato un numero naturale n ed invece di 5 un numero naturale k. Alla fine:n + n2 + ... + nk−1 =n· (nk − 1).
n−1

Otteniamo la soluzione al quesito iniziale posto dallo scrivano scegliendo n = 7 e
k = 5.
2) Il problema dei buoi di Trinacria
Passano i secoli e ci ritroviamo nella Magna Grecia. Archimede (Siracusa
287 a. C. circa-212 a. C.), uno dei pensatori più famosi di tutti i tempi, propone ilseguente quesito al suo fedele amico Eratostene da Cirene:“Calcola, o amico, il numero dei buoi del Sole, operando con cura, tu che
possiedi molta scienza; calcola in quale numero pascolavano un giorno sulle pianure dell’isola sicula Trinacria, distribuiti in quattro gruppi di vario colore: uno diaspetto bianco latteo, il secondo splendente di color nero, il terzo poi di un bruno
dorato ed il quarto screziato. In ogni gregge i tori erano in quantità considerevole, distribuiti secondo i rapporti seguenti: ritieni i bianchi come eguali alla metà
ed alla terza parte di tutti i neri ed ai bruni; i neri poi eguali alla quarta parte edalla quinta degli screziati e a tutti i bruni; i restanti screziati considerali poi comeeguali alla sesta ed alla settima parte dei tori bianchi e di nuovo a tutti i bruni. Le
giovenche invece erano distribuite nei rapporti seguenti: le bianche erano eguali
precisamente alla terza e quarta parte di tutto il gregge nero; le nere alla quarta
parte insieme alla quinta delle screziate prese assieme ai tori; le screziate eranoprecisamente eguali alla quinta parte ed alla sesta di tutti gli animali del gregge

46

Con la matematica si può anche giocare

bruno; le brune poi vennero valutate eguali alla metà della terza parte ed alla settima parte del gregge bianco. Quando, o amico, avrai determinato esattamentequanti erano i buoi del Sole, avrai distinto quanti erano di ciascun colore, non ti
si chiamerà certamente ignorante né inabile nei numeri, però non ti si ascriverà
peranco fra i sapienti. Ma ora bada bene a questi altri rapporti fra i buoi del Sole. Quando i tori bianchi mescolavansi ai neri formavano una figura equilatera, levaste pianure della Trinacria erano allora tutte piene di buoi; invece i bruni e gli
screziati costituivano una figura triangolare. Quando avrai trovato tutto questo el’avrai esposto sotto forma intelligibile e avrai anche trovato il numero totale dei
buoi, allora, o amico, va superbo per quanto hai fatto come un vincitore e sta sicuro di venire considerato come ricco di quella scienza” (traduzione di Gino Loria,
1929).
Qual era la composizione della mandria? Diamo la formulazione precisa del problema con il linguaggio “moderno” dei sistemi lineari. Indichiamo con A, B,C, D
il numero dei tori dei rispettivi quattro colori, bianco, nero, fulvo, pezzato. Indichiamo con a, b, c, d il numero delle giovenche dei rispettivi quattro colori (sicché
A + a = totale degli animali costituenti la mandria bianca, B + b = totale degli
animali costituenti la mandria nera, etc.). Otteniamo il seguente sistema di 7
equazioni nelle 8 incognite A, B,C, D, a, b, c, d:A = 12 + 13 B +C







 B =  1 + 1  D +C


4
5








 D = 1 + 1 A +C

6
7






a = 13 + 14 (B + b)




1 1



 b = 4 + 5 (D + d)




1 1



c
=

6 + 7 (A + a)








d = 15 + 16 (C + c)che ammette infinite soluzioni. Al sistema vanno poi affiancate le due equazioni
A + B = numero quadrato
C + D = numero triangolare,
dove con numero quadrato intendiamo un numero che può essere scritto nella forma n2 , n ∈ N, mentre con numero triangolare intendiamo un numero della forma
1 + 2 + ... + k = k(k+1)
2 , k ∈ N. Come scrive Thomas Heath nel suo libro “History of Greek Mathematics” (1921): “Questo è un difficile problema di analisi
547B. Brandolini - G. Trombetti

indeterminata”. La sua soluzione conduce alla seguente equazione di Pell-Eulero
x2 − 4729494 · y2 = 1,
la cui soluzione minima y è rappresentata da un numero di oltre duecentomila
cifre ed è stata trovata solo nel 1981 da Harry L. Nelson con l’uso di un supercalcolatore. Sorprendente come mandria di buoi!
Il nostro interesse in questa sede non risiede nella risoluzione numerica del sistema, bensı̀ nella sua formulazione moderna (non potrebbe essere uno dei quesiti
proposti dalla Susy ogni giovedı̀ sulla settimana enigmistica?). Tra l’altro, molti
studiosi ritengono che le conoscenze aritmetiche dell’epoca non fossero sufficienti per risolvere il sistema e pertanto si schierano su due diversi fronti. Da un latoc’è chi sostiene che Archimede volesse farsi beffa dei matematici suoi contemporanei, dall’altro c’è chi propone una diversa formulazione del problema, più
semplice da risolvere in quanto coinvolge numeri più piccoli.
Noi concludiamo riportando le considerazioni critiche sollevate dallo storico Gino Loria, al termine dell’analisi del problema: “Da quanto precede risulta che il
problema di Archimede merita di essere ascritto fra i più belli che annoveri laletteratura aritmetica, cosı̀ bello che non ci sovviene alcuno che lo superi per eleganza di forma e valore di sostanza. Esso è difficile assai, ma chi può arrogarsi il
diritto di negare ad un genio originale e potente, qual era il Siracusano, la capacità
di concepirlo e risolverlo?”3) Un gioco matematico indiano
Non solo nel mondo occidentale troviamo interessanti spunti di riflessione
sulla matematica a partire da giochi. Spostiamoci verso est. Siamo in India, intorno all’anno 1100, ed incontriamo il grande matematico ed astronomo Bhaskara
Acharya, il quale non è un poeta anche se talvolta esprime i suoi quesiti in forma poetica e, come molti matematici indiani, scrive le sue regole matematiche inversi:“Un quinto di uno sciame di api si posa su un fiore di kadamba, un terzo su
un fiore di silindha. Tre volte la differenza tra i due numeri volò sui fiori di un
kutuian, e rimase solo un’ape che si librò qua e là per l’aria, ugualmente attratta
dal profumo di un gelsomino e di un pandamus. Dimmi tu ora, donna affascinante,qual era il numero delle api”.
Nessuno oggi assegnerebbe l’equazione


1
1
1
1
x+ x+3·x− x +1 = x
53
3
5(dove x è il numero delle api) partendo da questa presentazione poetica. Peròche fascino, forse i ragazzi la risolverebbero con più interesse. Chiaramente lasoluzione è x = 15.
648

Con la matematica si può anche giocare

4) Il problema del vino
In pieno Rinascimento fra’ Luca Pacioli, illustre matematico ed amico di Leonardo da Vinci, riconosceva la validità dei giochi come strumenti di avvicinamento alla matematica. Intorno all’anno 1500 ne raccolse un po’ in un libello dedicato ad Isabella d’Este, intitolato “De ludis”, da lui chiamato anche Schifanoia.
Segnaliamo il seguente testo:“Doi ànno a partire una bote de vino che tene some 8 e si ne deve ciaschuno
avere some 4 in sua parte, e non ànno altri mesure né instrumenti de poderlo
partire se non do’ altre botti voite, che l’una tiene some 5 e l’ltra tiene some 3.
Dimando commo lo partiranno giustamente”.
Due persone devono dividere il vino contenuto in una botte da 8 some in mododa averne 4 some ciascuno, e non hanno misure o strumenti di cui servirsi se nonaltre due botti vuote, una da 5 some e l’altra da 3. Come fanno a ottenere parti
uguali?
Inutile dire che un indovinello del genere può essere posto ad un qualunque amico
non matematico che venga a trovarci all’ora di cena (sperando che ciononostante torni a trovarci). Non c’è bisogno di alcuna conoscenza matematica profonda
per risolverlo. Ed infatti un problema appartenente a questa famiglia è salito alla
ribalta della cronaca cinematografica. Nel film “Die Hard 3”, i nostri eroi John
McClane (Bruce Willis) e Zeus Carver(Samuel L. Jackson), alla mercé del cattivo
di turno Simon Gruber (Jeremy Irons), devono risolvere in pochissimi secondi un
rompicapo per evitare l’esplosione di una bomba nascosta in una scuola elementare. Sono al parco presso una fontana ed, avendo a disposizione solamente una
tanica da tre galloni e una da cinque galloni, devono riuscire a preparare quattro
galloni d’acqua. I nostri eroi, probabilmente appassionati di giochi matematici,
risolvono l’enigma giusto in tempo.
Riportiamo la soluzione fornita da fra’ Pacioli al problema iniziale, la cui rappresentazione grafica è riportata in Figura 1 (in bianco il numero di some di ciascun
contenitore):“Empi quella da 3 e voitala in quella da 5, e poi empi un’altra volta quellada 3 e con essa fornesci de empire quella da 5, e avrai in quella da 8 some 2 e inquella da 3 some una e quella da 5 sirà piena. Ora voita quella da 5 in quella da 8 esiranci some 7, e poi voita quella da 3 in quella da 5: arai in quella da 5 some una
e in quella da 8 some 7; poi rempi quella de 3 un’altra volta e remaran in quellada 8 some 4, e poi voita questa da 3 in quella da 5, che ci n’era una e sirancine 4,e cosı̀ arai 4 some in qua e 4 some in là, e fia partita per altro modo”.
Il percorso storico attraverso i più celebri giochi matematici potrebbe andare
avanti e coinvolgere altri illustri personaggi come Alcuino di York, a cui si deve la
prima formulazione in occidente del celebre problema del lupo, della capra e delcavolo (siamo alla fine dell’VIII secolo); Leonardo Pisano, noto come Fibonacci,a cui si deve la formulazione del celebre problema dei conigli (siamo a Pisa a
749

B. Brandolini - G. Trombetti

8
8

5
0

3
0

5
5

0
3

3
0

2
2
7
7
4
4

3
5
0
1
1
4

3
1
1
0
3
0

Figura 1: La soluzione del problema del vino proposta da Luca Pacioli
cavallo tra il XII ed il XIII secolo); Leonardo da Vinci, Piero della Francesca,
Tartaglia, Pascal, Cartesio, Fermat, ... fino ad Erdös. Pur essendo convinti chela storia della matematica andrebbe studiata nelle scuole, interrompiamo il nostro
viaggio nel tempo per iniziarne uno nei contenuti: primo argomento il calcolodelle probabilità.
5) La probabilità, due casi estremi: evento certo ed evento impossibile
Forse niente è più scivoloso dei concetti del calcolo delle probabilità. Vannomaneggiati con estrema cura. In fondo sono concetti che usiamo tutti i giorni,
anche per prendere le decisioni più banali. Innanzitutto, che cos’è la probabilità?
È un numero compreso tra 0 e 1. A cosa si applica la probabilità? Ad un insiemedi eventi. Facciamo qualche semplice esempio. Pensiamo ad un comune dado,
con le facce numerate da 1 a 6, perfettamente bilanciato, cioé non truccato (in un
lancio tutte le facce hanno la stessa probabilità di uscire). Per evento intendiamoogni situazione che sia riferita ad un lancio del dado. “Esce 3” è un evento. “Esce
un numero pari” è un evento. “Esce un numero più grande di 2” è ancora un
evento. Chiunque risponderebbe che la probabilità dell’evento “esce 3” è 61 , laprobabilità dell’evento “esce un numero pari” è 36 , mentre quella dell’evento “esceun numero più grande di 2” è 46 . In questo contesto in cui l’insieme degli eventielementari è finito, per ottenere questi risultati basta fare il rapporto tra il numero
di casi favorevoli alla realizzazione dell’evento ed il numero di casi possibili.
Certo le cose si complicano un po’ se giochiamo con due dadi, anche se la definizione di probabilità come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili permane. Per
esempio, qual è la probabilità che, lanciando due dadi, escano due numeri uguali?
Qual è la probabilità che, lanciando due dadi, escano due numeri la cui somma è850Con la matematica si può anche giocare

9? Elenchiamo tutti i casi possibili come in figura ed evidenziamo in rosso i casifavorevoli. Otteniamo che
6= 16 ;• la probabilità che, lanciando due dadi, escano due numeri uguali è 36• la probabilità che, lanciando due dadi, escano due numeri la cui somma è 94= 19 .
è 36(1,1)(1,2) (1,3)(1,4) (1,5) (1,6)(1,1)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(1,2) (1,3)(1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P = 6/36 = 1/6

P = 4/36 = 1/9

In ogni caso, finché giochiamo con i dadi (numero finito di casi possibili),
tutto è facile. Quasi ovvio. Eppure le nozioni di evento certo ed evento impossibile possono diventare insidiose, sul piano semantico addirittura paradossali. Per
superare queste difficoltà, se un evento ha probabilità 0 parliamo di evento quasi impossibile, mentre parliamo di evento quasi certo se esso ha probabilità 1.
Chiaramente, l’evento impossibile (quello che non si realizza mai) ha esso stesso
probabilità 0 e l’evento certo (quello che si realizza sempre) ha probabilità 1. Nelcontesto precedente del lancio di un unico dado è certo (impossibile) l’evento “Sirealizza un punteggio appartenente (non appartenente) all’insieme costituito dai
primi 6 numeri naturali”; non esistono eventi quasi certi (quasi impossibili).
Un evento quasi certo non è detto che si verifichi certamente, cosı̀ come nonpossiamo escludere che un evento quasi impossibile non si verifichi per davvero! Facciamo un esempio. Pensiamo ad un bidone con base circolare di area 1.
Lanciamo a caso nel bidone una pallina tanto piccola da poter essere assimilata
ad un punto. Qual è la probabilità che la pallina si fermi in una determinata regione A del cerchio? È più che ragionevole assegnare ad un evento di questo tipo
la probabilità “area di A”. Più grande è A, più grande sarà la probabilità che lapallina si fermi in A. Adesso fissiamo un singolo punto P nel cerchio di base delcilindro. Qual è la probabilità dell’evento “La pallina si ferma in P”? Poiché l’area di un punto è 0, la probabilità dell’evento è 0. Si tratta cioé di un evento quasi
impossibile. Eppure potrebbe verificarsi che la pallina si fermi proprio in P, anche
perché la pallina in qualche punto è pur vero che si fermerà. Cosı̀ la probablità
dell’evento “La pallina si ferma in un punto del cerchio diverso da P” è 1 poiché
l’area del cerchio privato di un punto è uguale all’area del cerchio e cioé ad 1.
951

B. Brandolini - G. Trombetti

Quindi l’evento “La pallina si ferma in un punto del cerchio diverso da P” è un
evento quasi certo... che ovviamente non è certo che si verifichi! È chiaro che dal
punto di vista del giocatore d’azzardo l’evento “La pallina si ferma in un punto delcerchio diverso da P” merita qualunque scommessa, salvo poi imprecare contro ildestino cinico e baro.
6) Il problema di Monty Hall
Nella rivista americana “Parade” sin dal 1986 viene pubblicata una rubrica
fissa dal titolo “Ask Marilyn”. È scritta da Marilyn vos Savant che si dice abbia
uno dei quozienti d’intelligenza più alti al mondo. In questa rubrica Marilyn risponde a quesiti di matematica e logica inviati dai lettori. Nel settembre del 1990
il signor Craig F. Whitaker di Columbia, Maryland, le spedı̀ il seguente quesito
tratto da una puntata dello show televisivo “Let’s make a Deal” (il cui conduttore
si chiamava Monty Hall):“Un uomo partecipa ad un quiz televisivo. Può vincere una Ferrari. Il presentatore gli mostra tre porte e gli dice che dietro ad una delle porte c’è l’auto inpalio mentre dietro alle altre due ci sono due capre. Gli chiede di sceglierne una.
La porta indicata non viene aperta. Il presentatore invece apre una delle porte che
il concorrente non ha scelto e mostra una capra (lui sa cosa sta dietro ad ognunadelle porte). A questo punto il presentatore dà al concorrente un’ultima possibilità
prima che si spalanchino tutte le porte e vinca un’auto o una capra. Gli domanda
se vuole cambiare idea e scegliere una delle porte ancora chiuse. Che cosa gli
suggerisci di fare?”Marilyn vos Savant rispose che bisogna sempre cambiare e scegliere la porta finale
poiché ci sono due possibilità su tre che ci sia un’auto dietro quella porta. Ma
l’intuito ci spingerebbe a pensare che le probabilità che dietro a ognuna delle due
porte si trovi l’auto siano identiche. Molti lettori scrissero alla rivista dicendoche Marilyn aveva torto, anche se aveva fornito spiegazioni molto dettagliate sulle
motivazioni della sua scelta. Il 92% delle lettere sostenevano che si era sbagliata,
e molte provenivano da matematici e scienziati.
Ecco alcune delle frasi contenute in queste lettere:La generale e assoluta mancanza di competenza matematica mi sconcerta. Per
favore dia un contributo alla causa confessando il suo errore.
Robert Sachs, Ph.D., George Mason University
Sono allibito all’idea che dopo essere stata corretta da almeno tre matematici,
lei continui a non riconoscere il suo errore.
Kent Ford, Dickinson State University
Sono convinto che riceva molte lettere da studenti liceali e universitari. Forse
dovrebbe conservare qualcuno di questi indirizzi per le prossime rubriche.
W. Robert Smith, Ph.D., Georgia State University
Anche Paul Erdös cadde in errore! Marilyn vos Savant però aveva ragione e daldiagramma in figura capiamo immediatamente perché.
1052Con la matematica si può anche giocare

Ti viene chiesto discegliere una porta
Scegli una porta che
nasconde una capra

Scegli una porta che
nasconde una capra

Scegli una porta che
nasconde un’auto

Non
cambi

Cambi

Non
cambi

Cambi

Non
cambi

Cambi

Vinci una
capra

Vinci
un’autoVinci una
capra

Vinci
un’autoVinci
un’autoVinci una
capra

Quindi, se cambiamo porta, 2 volte su 3 vinciamo un’auto. Se invece manteniamo
la nostra decisione, vinciamo solo 1 volta su 3.
Questo dimostra che qualche volta l’intuito può portare all’errore. E che l’intuitoè ciò che usano le persone nella vita di tutti i giorni per prendere le decisioni. Ma
la logica può essere utile per elaborare la risposta giusta.
7) Probabilità ed ambiguitàDa quanto abbiamo prima scritto, appare chiaro che di fronte al calcolo della
I due esserebambiniprobabilità di un evento occorre
molto cauti. Consideriamo la seguente
situazione.
Il sig. Smith ha due bambini. Qual è la probabilitàmaschi?
Il sig. Mario Rossicheha entrambi
due figli.siano
La probabilità
che entrambi siano maschi è 14 .
Casi favorevoli
P=1/4
Casi possibili

Anche il sig. Francesco Rossi ha due figli. La probabilità che entrambi i figli
siano femmine è 14 (vedi Figura 2).
Il sig. Giuseppe Rossi ha due figli. Il più grande è maschio. La probabilità che
entrambi i figli siano maschi è allora 21 poichè, come si evince dalla Figura 3, il
numero di casi possibili si riduce a 2 con un unico caso favorevole.
Infine il sig. Vincenzo Rossi ha due figli, di cui almeno uno è maschio. Qualè la probabilità che entrambi siano maschi? Dalla Figura 4 appare chiaro che larisposta è 13 .

1153

I due bambini
B. dueBrandolini- G. èTrombetti
Il sig. Jones ha
figli. Qualla probabilità che entrambi
i figli siano femmine?

P=1/4
Casi possibili

I due bambini

Casi favorevoli

Il sig. Jonesha 2:
dueFigli
figli.delIl più
è un maschio.
Figurasig.grandeFrancesco
Rossi Qual è laprobabilità che entrambi i figli siano maschi?
Casi favorevoli

Casi possibili

P=1/2

I due bambini

Il sig. Smith ha due bambini. Almeno uno di essi è maschio. Qual èFigura3: Figli delsig.
Giuseppe Rossi
la probabilità
che entrambi
siano
maschi?
Casi favorevoli
P=1/3

Casi possibili

Figura 4: Figli del sig. Vincenzo Rossi

1254

Con la matematica si può anche giocare

Si potrebbe obiettare però che: se fosse il primo figlio ad essere maschio allora
la probabilità varrebbe 12 ; se fosse il secondo figlio ad essere maschio allora laprobabilità varrebbe 12 . Dunque, indipendentemente da quale figlio è noto a priori
essere maschio, la probabilità dovrebbe essere 12 . Qual è la risposta corretta? 13 o
1
2 ? Potremmo ambiguamente rispondere che le risposte sono entrambe corrette!
L’ambiguità risiede nel fatto che non è specificata la maniera in cui viene acquisita
l’informazione che uno dei figli è maschio. Il punto è che ci sono problemi diversi
che hanno la stessa formulazione. Si chiede al sig. V. Rossi di scegliere a caso uno
dei suoi due figli svelando se si tratta di un maschio o di una femmina. Il signor V.
Rossi dice maschio. In questo caso la probabilità che anche il secondo sia maschioè 12 . Consideriamo tutte le coppie di fratelli, escludendo quelle coppie in cui nonvi siano maschi. Se sappiamo che la coppia di figli del sig. V. Rossi è tra queste,
allora la probabilità che entrambi i figli siano maschi è 13 . I due problemi hanno
la stessa formulazione:“Il sig. Vincenzo Rossi ha due bambini. Almeno uno di essi è maschio. Qual è laprobabilità che entrambi siano maschi?”8) I tre pistoleri
Siamo nel Far West (o magari semplicemente sul set di un film di Sergio Leone) e stiamo per assistere ad un combattimento tra tre pistoleri. Il cattivo colpisce
ogni volta che spara. Il buono anche. Il brutto colpisce una volta su due. La disfida seguirà le seguenti regole: si stabilisce a caso un turno per sparare ed ognunoè libero di sparare a chi vuole. Ogni pistolero spara al massimo delle proprie
possibilità al fine di uccidere.
Quale sarà l’esito del combattimento?
1/6

il brutto vince
il brutto spara

il buono spara
per primo
e uccide il cattivo

il brutto muore
il brutto vince

il cattivo spara
per primo e uccide il
buono

1/3

il brutto spara per
primo

1/6

il brutto spara
il brutto muore
1/2

il brutto colpisce ma poi muore!!!

Il brutto sbaglia.
Il cattivo uccide il buono(o viceversa)

il brutto vince
il brutto spara
il brutto muore

13

55

1/12

B. Brandolini - G. Trombetti

Dal grafo riportato in figura risulta che la probabilità di vittoria del brutto è
1
5
1 1
+ +
= .
6 6 12 12
La probabilità di vittoria del buono è ovviamente uguale a quella del cattivo ed èpari a
5
7
< .
24 12
Paradossalmente il pistolero meno abile ha maggiori speranze rispetto ad ognuno
degli altri due.
Cosa succede se i pistoleri ignorano le abilità dei loro avversari? È lecito
supporre che ciascuno sceglierà un bersaglio a caso. La probabilità di vittoria del5. Quelle del buono e del cattivo diventano 19
brutto si dimezza e diventa 24
48 . Questa
19
5
volta 48 > 24 . Nel Far West è meglio non fingere di essere un buon pistolero!
Cosa possono fare il buono e il cattivo? Possono ignorare di sapere che il brutto èun pistolero scarso? Possono fare comunella! Una simile strategia in economia sichiamerebbe “fare cartello”. Ma nessuno dei due può migliorare la propria posizione cambiando la propria strategia in maniera unilaterale. Queste considerazioni
sono alla base di una branca della matematica nota come teoria dei giochi, uno dei
cui padri fondatori è il celebre John Nash che cosı̀ descrive l’idea di equilibrio in
un’intervista a Piergiorgio Odifreddi: “Un gioco può essere descritto in termini distrategie, che i giocatori devono seguire nelle loro mosse: l’equilibrio c’è quando
nessuno riesce a migliorare in maniera unilaterale il proprio comportamento. Per
cambiare, occorre agire insieme.”
9) Il paradosso dei corvi
Ogni volta che guardiamo un corvo osserviamo che è nero. Quindi tutti i corvi
sono neri.
Questo tipo di ragionamento è noto come induzione statistica ed è alla basedi tutte le discipline sperimentali: su di esso si basano le diagnosi mediche, laraccolta di prove nei processi, le indagini statistiche. Esso ha però dei limiti comeè stato osservato da Carl Gustav Hempel negli anni ’40.
Dal punto di vista logico la proposizione “tutti i corvi sono neri” equivale alla
proposizione “tutti i non neri sono non corvi”. Ciò significa che verificare la validità della prima proposizione è logicamente equivalente a verificare la validitàdella seconda. Pertanto, dopo ogni osservazione di un corvo nero, la teoria chetutti i corvi siano neri diviene ai nostri occhi sempre più probabilmente vera, coerentemente col principio induttivo. Pare ogni volta sempre più corretto registrarel’affermazione “tutti i corvi sono neri” come probabilmente vera. D’altro cantol’osservazione di una mela rossa conferma la validità della proposizione “tutti i
non neri sono non corvi”. Ma la mela rossa è anche non bianca: la mela rossa è
non bianca e non corvo. L’osservazione di una mela rossa è dunque una conferma
14

56

Con la matematica si può anche giocare

che tutti i corvi sono bianchi? Il problema risiede nel riuscire a quantificare il
potere induttivo dell’osservazione della mela rossa per dimostrare che tutti i corvi
sono neri. Per fare ciò bisognerebbe conoscere il numero di corvi esistenti, cosı̀
come il numero totale di tutti gli altri oggetti esistenti al mondo. Per cercare dismitizzare il paradosso di Hempel consideriamo il seguente esempio. Siano datedue scatole, la numero 1 e la numero 2. Una biglia è nascosta dentro una delle
due scatole ma noi non sappiamo in quale sia. Vogliamo verificare la validità della seguente proposizione “la scatola numero 1 contiene la biglia”. È chiaro che
ci sono due modi per farlo, aprire la scatola numero 1 o la scatola numero 2. Il
primo è una verifica diretta dell’affermazione “la scatola numero 1 contiene la biglia”, il secondo verifica la proposizione equivalente “la scatola che non contiene
la biglia non è la numero 1”. Le due proposizioni sono equivalenti ed entrambi i
metodi ci consentono di verificare immediatamente la veridicità della nostra ipotesi. Supponiamo ora di avere mille scatole numerate e che due, e solo due, diesse nascondano una biglia. Vogliamo verificare la veridicità della proposizione“le prime due scatole contengono ciascuna una biglia”. Una proposizione equivalente è “le scatole che non contengono le biglie non sono la numero 1 e la numero
2”. Ora è chiaro che aprire la scatola numero 1 e scoprire che dentro c’è una biglia
corrobora la prima proposizione, ma anche aprire la terza scatola e scoprire che èvuota corrobora la seconda proposizione, e dunque la prima. Il trucco è però chela cosiddetta induzione statistica è molto più forte nel primo caso piuttosto chenel secondo, e ciò è dovuto essenzialmente all’elevato numero di scatole vuote
rispetto a quelle piene. Andando avanti nel processo induttivo, nel primo caso,
dopo aver aperto la prima scatola, mi basta aprire la seconda scatola per avere omeno la certezza della veridicità della nostra affermazione. Nel secondo caso, invece, dopo aver aperto la terza scatola dobbiamo andare avanti ed aprire la quarta
scatola, la quinta, etc. eventualmente fino alla millesima. Ogni volta che apriamo
una scatola e la troviamo vuota aumenta la fiducia che abbiamo nella seconda proposizione, ma solo dopo aver aperto tutte le scatole avremo la certezza della sua
veridicità. Tornando ora ai corvi neri, osservare che la mela è rossa è come aprire
una scatola vuota. Ma gli oggetti al mondo che sono non corvi non si limitano alla
mela rossa. Essi sono innumerevoli e, pertanto, ogni osservazione vera fatta sui
non corvi corrobora in maniera insignificante la proposizione “tutti i corvi sononeri”.
10) Le noci di cocco e l’ultimo teorema di Fermat
Proponiamo ora un famoso problema pubblicato da Ben Ames Williams su“The Saturday Evening Post” nel 1926.
Su un’isola deserta cinque naufraghi ed una scimmia passano una giornata a
raccogliere noci di cocco. Mentre tutti dormono, uno dei naufraghi si sveglia e
divide le noci in 5 mucchi uguali. Rimane una noce che egli dà alla scimmia, poi
nasconde il suo mucchio e mette tutto il resto assieme. Subito dopo un secondo
1557

B. Brandolini - G. Trombetti

uomo si sveglia e fa la stessa cosa. Cosı̀ il terzo, il quarto, il quinto. Alla mattina inaufraghi dividono in parti uguali le noci rimaste. Ne avanza solo una, che danno
alla scimmia. Qual è il minimo numero di noci che hanno raccolto i naufraghi?
Indichiamo con N il numero totale di noci; con A, B,C, D, E il numero di noci
nascoste dal primo, secondo, terzo, quarto, quinto naufrago, rispettivamente; con
F il numero di noci che ciascun naufrago riceve nell’ultima divisione al mattino.
Impostiamo il seguente sistema lineare, in cui tutte le incognite sono numeri interi
e N > F:N = 5A + 1
4A = 5B + 1
4B = 5C + 1
4C = 5D + 1





4D = 5E + 1

4E = 5F + 1.
Sostituendo all’indietro ricaviamo la seguente equazione
1024N = 15625F + 11529.

(1)

Questa equazione ha infinite soluzioni, ma a noi basta conoscere la più piccola
soluzione intera. Paul Dirac (1902-1984), brillante matematico e vincitore delpremio Nobel per la fisica nel 1933, propose un’interessante idea per risolvere ilquesito dei naufraghi. Dirac introdusse l’idea dell’anticocco!
Supponiamo di avere 4 noci di cocco negative (anticocchi): N = −4. Il primo
naufrago dà una noce alla scimmia (le noci diventano −5), prende la sua quota(−1) e lascia le rimanenti −4. Cosı̀ il secondo, il terzo, il quarto, il quinto. Alla
mattina si ritrovano con −4 noci. Una va alla scimmia. Ciascun naufraugo ha un
anticocco.
Dunque N = −4, F = −1 risolvono l’equazione (1):1024N = 15625F + 11529 ⇐⇒ 1024 · (−4) = 15625 · (−1) + 11529.
Quello appena visto è un esempio di soluzione perfettamente corretta dal punto di vista matematico, ma (visto che non possiamo realizzare gli anticocchi) irrealizzabile in pratica (d’altra parte, si dice che questa soluzione negativa abbia
avuto una certa influenza sul pensiero di Dirac, che poi avrebbe introdotto il concetto di antimateria). In questo caso, però, è facile trovare un criterio che elimini
la soluzione di Dirac, in quanto non realistica. Osserviamo infatti che se N risolve l’equazione, anche N + 56 = N + 15625 risolve l’equazione e tutte e sole lesoluzioni intere si scrivono in questa forma. Pertanto−4 + 15625 = 15621
è il numero di noci che cerchiamo.
16

58

Con la matematica si può anche giocare

L’equazione (1) è un esempio di equazione diofantina, cioè di equazione con
coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere. A Diofanto di Alessandria,
padre dell’algebra, vissuto tra il III e IV secolo, si deve un famoso problema cheegli scelse come epitaffio sulla sua tomba:“Questa tomba rinchiude Diofanto. Oh, meraviglia! Essa dice matematicamente quanto egli ha vissuto. Dio gli accordò il sesto della sua vita per l’infanzia;
aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza; inoltre per un settimo fece brillare per lui la fiamma d’Imene e dopo
cinque anni di matrimonio gli diede un figlio, ahimè! Unico ed infelice bambino
al quale la Parca non permise di vedere che la metà della vita di suo padre. Durante quattro anni ancora consolando il suo dolore con lo studio delle cifre, Diofantoraggiunse alfine il termine della sua vita”.
Quanto visse Diofanto? Se indichiamo con x il numero di anni vissuti da Diofanto,
otteniamo la seguente equazionexxxx+ + + 5 + + 4 = x,
6 12 72
la cui soluzione è x = 84.
La più celebre equazione diofantina è sicuramente
xn + yn = zn ,per la quale Fermat congetturò la non esistenza di soluzioni intere x, y, z se n >2. Solo nel 1994, dopo sette anni di dedizione completa al problema, Andrew
Wiles, affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, è riuscito
finalmente a dimostrare la validità di tale congettura.
11) Matematica segreta
L’esigenza di scambiare messaggi privati, incomprensibili per un estraneo non
autorizzato che in un modo o nell’altro ne venga in possesso, sembra essere antica
quanto la scrittura. Esempi di testi volutamente cifrati, cioè trasformati in mododa non essere intellegibili se non dopo essere stati decifrati, sono giunti a noi dallepiù antiche civiltà dotate di lingua scritta. La crittografia può essere definita come la disciplina che studia le diverse possibili tecniche di cifratura, allo scopo divalutarne l’effettiva sicurezza e di introdurne di più efficaci. Se per secoli, e forse
tuttora nella percezione di molti, la pratica della crittografia è stata strettamente
associata ad aspetti lontani dalla vita ordinaria, come lo spionaggio (militare, diplomatico, industriale), al giorno d’oggi, in era telematica, ciascuno di noi ne fa
uso quotidianamente e probabilmente inconsapevolmente ogni volta che utilizza
servizi come il bancomat, la posta elettronica o il commercio on-line, o magari
quando assiste a programmi televisivi a pagamento.
I metodi crittografici più tradizionali, quelli a chiave privata, gli unici in uso
sino a tempi molto recenti, si possono descrivere come il proteggere un messaggio
1759

B. Brandolini - G. Trombetti

chiudendolo in un cofanetto munito di lucchetto; il mittente ed il destinatario (enessun altro) sono in possesso di una chiave che permette di chiudere (cifrare) ed
aprire (decifrare) il lucchetto. Uno dei punti deboli di questo tipo di crittografia è
che in una certa fase iniziale, mittente e destinatario hanno dovuto scambiarsi la
chiave (segreta) di cifratura, cosa che non è sempre possibile realizzare in mododel tutto sicuro. Inoltre, in un sistema con molti utenti, ciascuno dei quali voglia
poter comunicare in modo riservato con ciascun altro (cosa spesso necessaria intante moderne applicazioni), è necessario un altissimo numero di chiavi: il calcolo combinatorio mostra che servono N(N−1)
chiavi distinte per un sistema con N
2
utenti (ad esempio, quasi due milioni di chiavi per 2000 utenti). Produrre e gestiretante chiavi può creare grandi, talvolta insuperabili, difficoltà pratiche. La crittografia a chiave pubblica permette di eliminare il problema alla radice, facendodel tutto a meno di chiavi segrete condivise. Illustriamone l’idea con un esempio
semplice e quindi necessariamente approssimativo.
Supponiamo che Paolo e Francesca siano innamorati ma che il loro amore sia
ostacolato e pertanto tenuto segreto. Paolo però vuol far sapere a Francesca diamarla. Le manda cosı̀ un cofanetto contenente un messaggio segreto e chiuso
con un lucchetto. Francesca riceve il cofanetto, applica un altro lucchetto e rispedisce il cofanetto a Paolo. Paolo riceve il cofanetto ed apre il lucchetto da lui
applicato all’inizio, quindi rimanda il cofanetto a Francesca. Francesca riceve il
cofanetto con il solo lucchetto da lei applicato. Può finalmente aprirlo e leggere ilmessaggio segreto di Paolo (vedi figura).
Codici d’amore
Paolo

Francesca
Ti amoTi amoTi amoTi amoTi amoTi amoTi amoTraduciamo in termini matematici l’idea del messaggio d’amore e del lucchetto.
Paolo vuole inviare a Francesca il numero 345. Lo moltiplica per il numero P
segreto (noto solo a lui) ed invia il risultato a Francesca, la quale a sua volta
moltiplica il numero ricevuto per il numero F segreto (noto solo a lei). Francesca
invia quindi a Paolo il numero 345 × P × F. Paolo divide quanto ricevuto per P
ed invia il risultato a Francesca, la quale dividendo tutto per F, potrà finalmente
leggere il numero 345 che Paolo voleva trasmetterle (vedi Figura 5). Per inciso, inumeri P e F sono scelti primi e grandi. Da cui l’interesse per la ricerca di numeri
18

60

Con la matematica si può anche giocare

primi sempre più grandi.
Paolo
345

Codici d’amore

Francesca

345xP

345xP

345xPxF

345xPxF

345xF

345xF
345

Figura 5: Messaggio segreto matematico
L’esempio che abbiamo appena visto si fonda sul fatto che le operazioni dimoltiplicazione e divisione sono l’una inversa dell’altra. I moderni sistemi crittografici usano chiaramente funzioni matematiche più complesse, ma l’idea di baseè la stessa: bisogna trovare una funzione invertibile f (da usare per la cifratura) in modo tale che, dato un qualunque messaggio m, sia semplice il calcolo dim = f (m) (il messaggio cifrato) ma, viceversa, qualunque algoritmo che permetta
di ricavare m da m senza disporre di un’informazione extra (la chiave segreta) richieda troppe risorse e tempo di esecuzione troppo lungo per essere effettivamente
utilizzabile. Esistono diversi sistemi crittografici a chiave pubblica, quasi tutti basati sulla matematica discreta e molti ricercatori in matematica sono attualmente
impegnati nel cercare di dimostrare (o smentire) la sicurezza di sistemi crittografici a chiave pubblica, nel renderli più efficienti, nell’inventarne di totalmentenuovi.
12) Il problema dei ponti di Königsberg
La città di Königsberg, famosa per aver dato i natali al filosofo Immanuel Kant
(1724-1804), è percorsa da due rami confluenti del fiume Pregel e presenta due
estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città dasette ponti. Nel corso dei secoli è stata più volte proposta la questione se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversi ogni ponte una e una
volta soltanto e tornare al punto di partenza. Nel 1736 Leonhard Euler affrontò
tale problema, dimostrando che la passeggiata ipotizzata non era possibile.
Eulero rimpiazza ogni area urbana con un punto, chiamato vertice o nodo, ed ogni
ponte con un segmento di linea, chiamato arco o collegamento. Ad ogni nodo èassociato un grado pari al numero di archi che arrivano al nodo. Nasce la teoria
dei grafi.

1961

ponti. Nel corso dei secoli è stata più volte proposta la questione se sia possibile
con una passeggiata seguire un percorso che attraversi ogni ponte una e una volta
soltanto e tornare al punto di partenza[1]. Nel 1736 Leonhard Euler affrontò taleB. la
Brandolini- G.ipotizzata
Trombetti non era possibile.
problema, dimostrando che
passeggiata

Hello Kitty e i ponti di Königsberg

ro rimpiazza ogni area urbana con un punto, chiamato vertice o nodo e ogni
te con un segmento di linea, chiamato arco o collegamento.

ogni nodo è associato un grado pari al numero di archi che arrivano al nodo. Un
o può essere di grado pari o di grado dispari.

Nasce la teoria dei grafi

Un nodo può essere di grado pari o dispari. Eulero dimostra il seguente risultato:
un qualsiasi grafo connesso è percorribile se e solo se tutti i suoi nodi sono diema di Eulero: Un
qualsiasi
è percorribile
se Ile grafo
solo diseKönigsberg
tutti i
grado
pari o segrafo
vi sono“connesso”
solo due nodi
di grado dispari.
hanodi sono di grado
pari
o
se
vi
sono
solo
due
nodi
di
grado
disparitutti i nodi dispari quindi non è un grafo percorribile.

3
5

3

3
Hello kitty e i ponti di Königsberg
A questoQuantipunto ponti
ci possiamo
chiedere(inquantibisogna costruire(oltrepossibile
bisogna costruirepiù a ponti
quelli esistenti)
perché diventipercorrerela passeggiata
di Könisgberg?
quelli esistenti)
perché diventi
possibile
percorrere la passeggiata di Könisgberg.
Grazie al teorema di Eulero la risposta è un gioco da ragazzi. È infatti sufficiente
Grazie al Teorema di Eulero ormai è un gioco da ragazzi.
costruire un solo
ponte!
E’ infatti sufficiente costruire un solo ponte.
3

4
5

3

5
3

4
3

Tutti i nodi sono digrado dispari

Solo due nodi sono digrado dispari

Eulero dimostra anche che, se non vi sono nodi di grado dispari, si può cominciare da un qualunque nodo, percorrere l’intero grafo e tornare al nodo dipartenza. Se invece vi sono due nodi di grado dispari, è necessario partire da uno
di essi e terminare nell’altro. Quest’ultima considerazione ci permette di risolvere
un vecchio giochino noto a tutti sin dalle scuole elementari: tracciare il seguente
disegno senza mai sollevare la penna dal foglio o ricalcare quanto già disegnato.

20

62

Hello kitty e i pointi di Königsberg
Un vecchio giochino:tracciare
seguente
disegnoCon lamatematicailsi può
anche giocare
senza mai sollevare la penna dal foglio o ricalcare
quanto già disegnato.
Ci sono solo due punti da cui è
possibile iniziare: i due nodi dispari.

13) L’albergo infinito
La città di Königsberg è anche famosa per aver dato i natali ad uno dei piùeminenti ed influenti matematici a cavallo tra XIX e XX secolo: David Hilbert(1862-1943).
In un famoso paradosso Hilbert immagina un hotel con infinite stanze (quied in seguito parleremo di infiniti numerabili!), tutte occupate, ed afferma chequalsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungano, sarà sempre possibile
ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito. Nel caso semplice, arriva unsingolo nuovo ospite. Il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera
successiva (l’ospite della 1 nella 2, quello della 2 nella 3, etc.); in questo modo,
benché l’albergo fosse pieno, è comunque possibile sistemare il nuovo ospite nella
camera 1.
Un caso meno intuitivo si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe
possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite
volte gli ospiti (già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene allora Hilbert che la soluzione sta semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza
con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, etc.),
lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti, risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono tutti dunque sistemati,
benché l’albergo fosse pieno.
Ancora più difficile: ci sono infiniti alberghi con infinite stanze tutti al completo. Tutti gli alberghi chiudono, tranne uno. Tutti gli ospiti vogliono alloggiare
nell’unico albergo rimasto aperto. Sarebbe possibile procedere come prima, masolo scomodando infinite volte gli ospiti, invece? Possiamo pensare di assegnare
ad ogni ospite una coppia di numeri (n, m) in cui n indica l’albergo di provenienza

2163

B. Brandolini - G. Trombettie m la relativa stanza. Gli ospiti sono quindi etichettati nel modo seguente:(1, 1) (1, 2) · · ·(2, 1) (2, 2) · · ·
.
.
.
.
.
.
(n, 1) (n, 2) · · ·
.
.
.
.
.
.

(1, m) · · ·(2, m) · · ·.
.
.
(n, m) · · ·.
.
.

A questo punto basterà assegnare le nuove stanze agli ospiti secondo un criterio
ordinato, ad esempio per diagonali:(1, 1) → 1; (2, 1) → 2; (1, 2) → 3; (3, 1) → 4; (2, 2) → 5(1, 3) → 6; (4, 1) → 7;...
Il merito di questo paradosso, nonostante sia piuttosto elementare, è quello di avercontribuito all’epoca a far comprendere ai matematici (e ancora oggi ai non addetti
ai lavori) la differenza profonda e sostanziale tra gli insiemi finiti e infiniti. E sesiamo stati abbastanza chiari nella nostra esposizione, a questo punto ogni lettore
sarà in grado di rispondere al seguente quesito:“È stata organizzata una festa per gli infiniti ospiti. Ad ognuno è stato assegnato un posto a tavola. E non sono rimasti posti vuoti. Il cuoco ha preparato
esattamente una porzione di gelato a testa. Eppure ogni ospite ne ha avute due.
Come mai?”Concludiamo la nostra breve nota con due famosi problemi, i cui sviluppi incampo matematico ancora oggi occupano i giorni (e le notti) di molti ricercatori,
noi compresi.
13) Il taglio della tortaÈ sabato e la signora Rossi ha preparato una torta di forma quadrata per ladomenica. La famiglia Rossi è composta da quattro persone e dividere la torta
in quattro parti uguali è un gioco da ragazzi. Ma a casa Rossi quel sabato sera
sopraggiunge la nonna. “Poco male” pensa il signor Rossi “dividere la torta incinque parti uguali non è una cosa ardua”. Non aveva però fatto i conti con la
golosità della nonna che durante la notte non resiste alla tentazione di mangiare
una porzione di torta. “Come possiamo fare ora?” (vedi Figura 6)
Nello stesso ordine di idee rientra il seguente quesito: qual è il taglio più cortoche divide una figura piana in due parti di ugual misura?

22

64

Con la matematica si può anche giocare

Figura 6: A destra la forma geometrica della torta privata della fetta mangiata
dalla nonna
In tutti gli esempi riportati in Figura 7 il taglio più corto è sempre ortogonale albordo! Nel caso di un triangolo equilatero (vedi Figura 8) il taglio più corto non è
un segmento, bensı̀ un arco di cerchio ortogonale al bordo.
Esistono poi insiemi speciali, detti insiemi di Zindler, in cui tutti i tagli dritti che
bisecano l’insieme hanno uguale lunghezza, indipendentemente dalla direzione
scelta (vedi Figura 9). Il taglio più corto che biseca l’insieme è ancora una volta
un arco di cerchio ortogonale al bordo. Ma la speciale proprietà degli insiemi di
Zindler prima citata comporta una serie di sorprese per i non addetti ai lavori. Per
esempio, sappiamo che un tronco d’albero a sezione circolare che galleggia permetà fuori dall’acqua è in equilibrio in ogni posizione. Esistono altre sezioni oltre
quella circolare per cui è vero lo stesso? Sı̀! Ogni volta che prendiamo comesezione un insieme di Zindler il tronco sarà in equilibrio indipendentemente dalla
posizione.
14) Disuguaglianza isoperimetrica
Cosa hanno in comune le mappe di Capua, Shanghai, Mosca, Bruxelles, Gerusalemme (vedi Figure 10-11)? Cosa accade in presenza di una riva a Colonia,
Amsterdam o Parigi (vedi Figura 12)? Ed in casi più complicati, come a Dresda,
Costantinopoli o New York (vedi Figura 13)?
La questione alla base di tutte le mappe che abbiamo visto è la stessa: quale forma deve assumere un nucleo urbano in modo da avere estensione massima
a parità di perimetro (e dunque di cinta muraria)? Tutti ricordiamo la leggenda di Didone sulla fondazione di Cartagine cosı̀ come è raccontata nel Libro I
dell’Eneide di Virgilio:“Devenere locos ubi nunc ingentia cernis
Moenia sergentemque novae Karthaginis arcem,
mercatique, solum, facti de nomine Byrsam,
taurino quantum possent circumdare tergo.
Sed vos qui tandem? quibus aut venistis ab orisquove tenetis iter?”
23

65

Qual è il taglio più corto che divide in due
parti di ugualB. Brandolini
misura?
- G. Trombetti

OSSERVIAMO:

Qualpiù
è ilcorto
tagliopiùdivide
corto
che
divideQual è il taglio
duetagliopiù corto inè du
In tuttichequestiesempi ilin
ortogonale al bordo!
parti
di ugualsempre
misura?
parti di ugual
misura?
Figura 7: Il taglio più corto

tagliopiùcaso
cortoè in
Il taglio più cortoIlin
questounquestoarco dicaso
cerchioortogonale al bordo!
cerchio ortogonale
al bordo!

Esistono
insiemidetti insiemi
Figura 8: Ilpoi
tagliopiù cortospecialiè sempre ortogonale
al bordo di
Zindler
Tutti i tagli dritti che lobisecano hanno uguale
lunghezza,
indipendentemente dalladirezione scelta

Il taglio più corto che biseca èancora una volta un arco di
cerchio ortogonale al bordo

Figura 9: Un insieme di Zindler

24

66

Con la matematica si può anche giocare
Capua

ShanghaiCosa hanno incomune queste
Capua
Shanghaimappe?
Cosa hanno in
Gerusalemme
Mosca
Bruxelles
comune queste
mappe?
Figura 10: Da sinistra a destra: Capua, Shanghai
Mosca

Bruxelles

GerusalemmeColonia

Cosa accade inpresenza
di unariva?
Figura 11: Da sinistra
a destra:Mosca,
Bruxelles, GerusalemmeColonia

Amsterdam

Parigi

ccade innza di una riva?
Amsterdam

ParigiFigura 12: Da sinistra a destra: Colonia, Amsterdam, Parigi

DresdaDresdaE in casi piùEcomplicati
in casi più complicati
Costantinopoli

Costantinopoli
New York

New York

Figura 13: Da sinistra a destra: Dresda, Costantinopoli, New York
25

67

B. Brandolini - G. Trombetti“Giunsero in questi luoghi, ov’or vedrai
sorger la gran cittade e l’alta ròcca
de la nuova Cartago, che dal fatto
Birsa nomossi, per l’astuta merceche, per fondarla, fèr di tanto sito
quanto cerchiar di bue potesse un tergo.” (traduzione di Annibal Caro, XVI
secolo)Alla base della fondazione di Cartagine è la celebre disuguaglianza isoperimetrica
che nel piano può essere scritta come segue. Detti A l’area di una regione piana
limitata e P il suo perimetro, allora
P2 ≥ 4πA.

(2)

Chiaramente se la regione piana è un cerchio di raggio r, allora A = πr2 e P = 2πr,sicché la disuguaglianza vale come uguaglianza P2 = 4πA. Ciò significa che tra leregioni piane di perimetro fissato il cerchio ha area massima o, equivalentemente,
tra le regioni piane di area fissata il cerchio ha perimetro minimo.
La disuguaglianza (2) è solo il primo esempio di una ricca serie di disuguaglianze cosiddette isoperimetriche: si tratta di massimizzare (o minimizzare) una
fissata quantità geometrica o fisica con un vincolo dimostrando che tale massimo(o minimo) è raggiunto quando il dominio è circolare o sferico. Probabilmente la
manifestazione fisica più famosa della disuguaglianza isoperimetrica tridimensionale è la forma di una bolla di sapone. Una bolla ha tipicamente forma sferica.
Poiché la quantità di aria racchiusa dalla bolla è fissa (il che significa dal puntodi vista matematico che il volume dell’insieme è fissato), la tensione superficiale
spinge la bolla ad assumere la forma che minimizza la superficie della bolla (cioé
l’area della superficie dell’insieme), e quindi la forma sferica.
La validità delle proprietà isoperimetriche di cerchio e sfera erano note sin
dall’antichità, ma la loro dimostrazione rigorosa ed esauriente dal punto di vista
matematico è molto recente. Basti pensare che per avere una nozione di perimetro valida per insiemi molto frastagliati abbiamo dovuto aspettare fino al secolo
scorso, finché non è comparso sulla scena internazionale un genio napoletano dinome Renato Caccioppoli. E quindi un genio leccese di nome Ennio de Giorgi.
Ma questa è un’altra storia.

Riferimenti bibliografici[1] A. Beutelspacher, Le Meraviglie della matematica. Sessantasei esperienze
spiegate attraverso i numeri, Ponte alle Grazie, Milano, 2008.
[2] C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1980.

26

68

Con la matematica si può anche giocare[3] M. Clark, I paradossi dalla A alla Z, Raffaello Cortina Editore, Milano,
2004.
[4] G. Cohen (a cura di), Pitagora si diverte 1. 77 giochi matematici, Bruno
Mondadori, Milano, 2002.
[5] G. Cohen (a cura di), Pitagora si diverte 2. 73 giochi matematici, Bruno
Mondadori, Milano, 2006.
[6] G. Cohen (a cura di), Pitagora continua a divertirsi. 70 giochi matematici,
Bruno Mondadori, Milano, 2006.
[7] G. Cohen (a cura di), Le sfide di Pitagora, Bruno Mondadori, Milano, 2007.
[8] R. Courant - H. Robbins, Che cos’è la matematica?, Bollati Boringhieri,
Torino, 1985.
[9] L. Cresci, I numeri celebri, Bollati Boringhieri, Torino, 2000.
[10] M. Danesi, Labirinti, quadrati magici e paradossi logici. I dieci più grandi
enigmi matematici di tutti i tempi, Edizioni Dedalo, Bari, 2004.
[11] F N. Falletta, Il libro dei paradossi, Longanesi, Milano, 2003.
[12] M. Gardner, Enigmi e giochi della Matematica, Rizzoli, Milano, 2001.
[13] N. Geronimi, Giochi matematici del medioevo, Bruno Mondadori, Milano,
2006.
[14] D. Guedj, Il teorema del pappagallo, Longanesi, Milano, 2011.
[15] M. Haddon, Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte, Einaudi, Torino,
2003.
[16] P. Hoffman, L’uomo che amava solo i numeri, Mondadori, Milano, 1999.
[17] F. Honsell, L’algoritmo del parcheggio, Mondadori, Milano, 2007.
[18] T. Pappas, Le gioie della Matematica, Franco Muzzio Editore, Padova, 1995.
[19] I. Stewart, Come tagliare una torta e altri rompicapi matematici, Einaudi,
Torino, 2008.
[20] I. Stewart, L’assassino dalle calze verdi e altri enigmi matematici,
Longanesi, Milano, 2006.
[21] G. Trombetti - G. Zollo, I segreti di Pitagora, Bruno Mondadori, Milano,
2010.
27

69

[22] D. Welles, Personaggi e paradossi della matematica, Mondadori, Milano,
B. Brandolini - G. Trombetti
2002.
[23] Il Mattino, articoli vari.
[24] G. Trombetti, Probabilmente, Ambiente Rischio Comunicazione 4 (2012),
pp. 12–15.
[25] Progetto
Polymath:polymath/

http://areeweb.polito.it/didattica/[26] Rudi Mathematici: http://www.rudimathematici.com/[27] MaddMaths: http://maddmaths.simai.eu[28] Base 5, appunti di matematica ricreativa: http://utenti.quipo.it/
base5/

28

70

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità:
Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo
Aniello Buonocore e Luigia Caputo

1

Introduzione

Nel 1949, Nicholas C. Metropolis e Stanislaw Ulam pubblicarono sul Journal of theAmerican Statistical Association un articolo dal titolo “The Monte Carlo Method”.
Roger Eckhardt ricorda come Ulam abbia avuto l’idea del metodo.
I primi ragionamenti e i primi tentativi che ho svolto per mettere a punto [il metodo Monte Carlo] sono stati suggeriti da una domanda che misovvenne nel 1946 mentre ero convalescente a causa di una malattia e [,per trascorrere il tempo,] giocavo al solitario. La domanda che mi posi
riguardava la probabilità di riuscita del solitario di Canfield [Richard A.
Canfield, proprietario di una sala da gioco] eseguito con 52 carte.1 Dopo
aver trascorso molto tempo a cercare di determinare tale probabilità utilizzando esclusivamente il calcolo combinatorio, mi sono chiesto se un
metodo più pratico, alternativo al pensiero astratto, potesse essere quellodi eseguire il solitario cento volte e semplicemente contare il numero diquelli riusciti.
Un quarto di secolo dopo, il matematico russo Ilya M. Sobol nella prefazione di unsuo libro avente lo stesso titolo dell’articolo di Metropolis e Ulam scrisse la seguente
osservazione.
Il termine “Monte Carlo” trae origine dal nome della città del Principato
di Monaco, famosa per il suo casinò. Uno dei dispositivi meccanici più
semplici per ottenere quantità casuali è quello della roulette. < : : : >Forse vale la pena di rispondere qui ad una domanda frequente: il metodo
Monte Carlo è di aiuto per vincere alla roulette? La risposta è che non ècosı̀, e non è nemmeno un tentativo di farlo.
Ancora, nel primo capitolo del libro Lezioni sul Metodo Monte Carlo di Rodolfo
Rosa si legge la seguente precisazione.
1 Per intenderci quelle di un mazzo francese con i quattro semi cuori, quadri, fiori e picche.

171

A. Buonocore - L. Caputo

E che, in spirito, coloro che l’inventarono fossero ben lontani dall’atmosfera di un casinò appare evidente se si pensa, dove, quando, e perchétale metodo fu messo a punto: a Los Alamos, durante la guerra. Fu làche il metodo Monte Carlo trovò la prima applicazione < : : : >.2
Appurata, allora, la finalità prettamente scientifica del metodo bisogna dire ad
onor del vero che, sebbene a Los Alamos fu Ulam a suggerire il metodo Monte Carlo per il calcolo di complicati integrali presenti nella teoria delle reazioni nucleari,
Enrico Fermi ed altri avevano già utilizzato un metodo simile in precedenza. Infatti, nell’articolo “The beginning of the Monte Carlo Method” pubblicato sulla rivista
Los Alamos Science nel 1987, Metropolis racconta la nascita del metodo ad opera di
Enrico Fermi.
Fermi ideò, non dandogli un nome, quello che attualmente viene chiamato metodo Monte Carlo durante i suoi studi romani sulle tecniche peril rallentamento dei neutroni.
Metropolis cita “From X-Rays to Quarks” di Emilio Segré ma per maggiori dettagliconviene riferirsi al rapporto del Los Alamos Scientific Laboratory dal titolo “Fermi
invention rediscovered at LASL” pubblicato sulla rivista The Atom nel 1966.
Dal punto di vista della didattica della matematica ci sembra opportuno riportare
uno stralcio dall’articolo “Experiments and models for the Monte Carlo method” di
Alwin Walther pubblicato sugli atti del Symposium on Monte Carlo methods edito
nel 1954 da Herbert A. Meyer. Qui, per chiarezza si fa notare che la parola “modelli”
presente nel titolo si riferisce all’accezione di dispositivi (fisici o elettronici) atti a
produrre il “caso”.
Il lavoro di docente all’Institute for Practical Mathematics di Darmstadt... è caratterizzato da quattro principi:
1) Sintesi tra matematica pura e applicata.
2) Messa in rilievo e approfondimento delle idee di base. In altri termini: lo studente dovrebbe comprendere i fondamenti semplici elavorare il più possibile con essi.
3) Far leva sull’intuito.
4) I problemi sono più importanti delle lezioni.
In accordo ai principi 2) e 3) la matematica appare permeata di buon
senso. Essa si apprende non solo con il ragionamento logico, ma anche
attraverso gli occhi e le mani. Per questi motivi spesso illustriamo icontenuti e i metodi matematici con l’aiuto di esperimenti e modelli.
2 L’applicazione a cui fa riferimento Rosa era una delle finalità del Progetto Manhattan. La direzione

scientifica del progetto era affidata al fisico statunitense Robert Oppenheimer che aveva “reclutato”, oltre a Metropolis e Ulam, lo scienziato di origine ungherese John von Neumann che fu uno dei principali
sviluppatori del metodo Monte Carlo.

272

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

A parere degli autori, è notevole l’analogia con quella che con linguaggio attuale viene chiamata “metodologia laboratoriale” una cui connotazione precisa si può
trovare, ad esempio nell’articolo “Insegnamento e apprendimento della matematica
e delle scienze sperimentali con metodologia laboratoriale” di Anna Maria Ferluga
pubblicato sul numero 3 dei quaderni CIRD nel 2011.
Si tratta di un significato che si può far risalire ai principi fondamentali
con cui è andato definendosi il movimento della pedagogia innovatrice
tra la fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento, che aveva contrapposto al modello autoritario prevalente nella scuola pubblica sia in Europa
che negli Stati Uniti un ideale educativo che, molto sinteticamente, si può
definire di rivendicazione dell’iniziativa e libertà di chi apprende, delle
sue motivazioni genuine o interessi. Che si parlasse di pedagogia attiva
o progressiva o di scuole nuove, si esprimeva comunque una esigenza
fondamentale che è anche alla base della metodologia laboratoriale: èbene che gli allievi siano attivi e protagonisti della situazione educativa.
Chi apprende, pertanto, è opportuno si trovi in una situazione di protagonista attivo e non di recettore passivo delle idee di chi insegna. A questa
esigenza in alcune di quelle correnti di pensiero educativo si aggiungeva
un altro elemento che si ritrova nella metodologia laboratoriale, e cioè
il valore della interazione tra pari accanto a quella dell’allievo con l’insegnante. All’esigenza della massima concentrazione attiva nei processi
di apprendimento da parte dell’allievo si accompagna la complementarizzazione, se non la sostituzione, del rapporto insegnante-allievo con ilrapporto tra i pari, e quindi il lavoro di gruppo. Si richiede, in altre parole, che gli allievi abbiano con l’insegnante un rapporto tale da diventare
protagonisti attivi, laddove l’insegnante diviene un appoggio al processo
di apprendimento dell’allievo e della sua collaborazione con il gruppo.
Prima di mostrare un possibile schema generale del metodo Monte Carlo e alcune
sue istanze di applicazione,3 si è preferito soffermarsi a lungo, per la sua importanza nell’ambito della didattica della probabilità, sullo schema di Bernoulli. Infatti,
lo scopo precipuo del presente articolo è quello di mostrare che l’accoppiata schema di Bernoulli e metodo Monte Carlo può fornire numerosi spunti e contesti perpercorsi didattici atti a sviluppare, ad esempio, i punti focali relativi alla probabilità
che compaiono nelle varie tavole degli apprendimenti elaborate negli ultimi anni dagruppi numerosi di docenti della Scuola Secondaria Superiore in collaborazione conla MATHESIS.4
3 Relativamente allo schema generale, alcune definizioni e importanti risultati teorici devono essere

richiamati e ciò è fatto, per non appesantire la lettura, in fondo all’articolo.
4 Esse, si possono trovare sul portale dell’Associazione.

373

A. Buonocore - L. Caputo

2

Schema di Bernoulli

Lo schema di Bernoulli (o delle prove ripetute) riveste notevole importanza nell’ambito del metodo Monte Carlo. Esso, consiste nella ripetizione, un numero indefinito
di volte e in condizioni di indipendenza, di un esperimento aleatorio E e l’interesse èposto nella verifica della occorrenza di un prefissato evento S che è detto successo. A
parere degli autori, ci sono almeno altri due punti di forza dello schema di Bernoulli
che vale la pena di mettere in evidenza:(a) svariate applicazioni, attinenti a contesti molto distanti tra loro, sono in realtàtutte riconducibili a tale modello probabilistico;(b) in esso, con l’utilizzo di una strutturazione matematica di base, è possibile
introdurre alcuni notevoli numeri aleatori discreti per i quali la determinazionedelle rispettive leggi potrebbe essere utilizzata per la didattica della probabilità
in condizioni di indipendenza stocastica.
Inoltre, alcuni problemi che hanno caratterizzato l’evoluzione del percorso culturale
fino a raggiungere l’attuale forma assiomatica del calcolo delle probabilità,5 trovano
nello schema di Bernoulli la loro naturale sistemazione.
In questa sezione si utilizzeranno le posizioni della Sezione 9 e le definizioni (48)(media di ordine r ) e (49) (varianza).
Definizione 1. Indicata con 0 < p < 1 la probabilità dell’evento successo S , ilnumero X che assume il valore 1 se, in seguito ad una sola effettuazione di E , sipresenta S oppure il valore 0 se si presenta il suo negato SN , è chiamato prova e si
dice che esso ha legge di Bernoulli:
N D 1  p;
PX .f0g/ WD P.X D 0/ D P.S/

PX .f1g/ WD P.X D 1/ D P.S / D p:

In breve si scrive che X  B.p/; si osservi che SX D f0; 1g.
Il caso p D 1 si riferisce ad un numero aleatorio che assume quasi certamente ilvalore 1; si dice che X ha legge degenere e si scrive X  D.1/. Analogamente si
tratta il caso p D 0: X  D.0/.6
G
Dal fatto che
8r 2 N; 
E X r D 0  P.X D 0/ C 1r  P.X D 1/ D p;

5 Il problema della ripartizione della posta per il quale si consiglia la lettura dell’articolo “Il Problema delle Parti: Prassi Didattica e Storia della Matematica” di Domingo Paola; il problema del cavaliere
De Méré per il quale si consiglia la lettura di “Il calcolo della Probabilità e la Teoria dei Giochi - Parte2” di Maria Maddalena Bovetti (che si può trovare sul sito PRISTEM): in esso viene messo in luce
l’errore di ragionamento in media commesso dal giocatore; il problema del collezionista.
6 Più in generale D.x / designa un legge degenere corrispondente ad un numero aleatorio che
0assume quasi certamente il valore x0 .

474

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlosegue, in particolare, cheE ŒX  D peh iD2 ŒX  D E X 2  E2 ŒX  D p  p 2 D p.1  p/:(1)

Definizione 2. Indicata con 0 < p < 1 la probabilità dell’evento successo S e con n
un intero positivo, la somma delle prime n prove
Sn WD X1 C X2 C    C Xn
ha legge binomiale:
8k 2 f0; 1; : : : ; ng  SSn ;PSn .fkg/ WD P.Sn D k/ D n kp .1  p/nk : (2)kIn breve si scrive che Sn  B.n; p/. Ovviamente B.1; p/  B.p/.

G

RisultaE ŒSn  D E ŒX1 C X2 C    C Xn D E ŒX1  C E ŒX2  C    C E ŒXn  D np;e, tenendo conto dell’indipendenza delle prove,D2 ŒSn  D D2 ŒX1 C X2 C    C Xn 

D D2 ŒX1  C D2 ŒX2  C    C D2 ŒXn  D np.1  p/:Osservazione 1. Per ottenere la (2) basta ragionare al seguente modo. In primo luogo
si ricordi che la probabilità dell’unione di un numero finito di eventi a due a due
incompatibili è uguale alla somma delle rispettive probabilità; in particolare se tali
eventi risultano avere la stessa probabilità allora la probabilità dell’unione è data dal
prodotto del numero degli eventi per la probabilità del primo di essi. Dopo di ciò, sia
k 2 SSn ; per la realizzazione dell’evento fSn D kg sono necessari k successi e n  kinsuccessi. Si consideri l’evento E che nelle prime k prove si è osservato il successo
N Per l’asserita indipendenza
S e nelle restanti n  k si è osservato l’insuccesso S.
delle prove e per la (1) si ha:
P.E/ D P .fX1 D 1g \    \ fXk D 1g \ fXkC1 D 0g \    \ fXn D 0g/
D P.X1 D 1/    P.Xk D 1/  P.XkC1 D 0/    P.Xn D 0/

D p k .1  p/nk :D’altra parte, è facile rendersi conto che la probabilità di un qualsiasi altro eventoche per la sua realizzazione vuole k successi ed n  k insuccessi vale p k .1  p/nk .
Ognuno di questi m eventi è individuato da una k-pla di elementi distinti dell’insieme
f1; 2; : : : ; ng che specifica quali sono le prove che valgono 1. Dal momentoche l’ordine degli elementi nella k-pla non è rilevante si conclude che m D kn . Resta in
tal modo spiegata la (2).
575

A. Buonocore - L. Caputo

Definizione 3. Indicata con 0 < p < 1 la probabilità dell’evento successo S , ilnumero T che conta il numero delle ripetizioni dell’esperimento fino ad osservare S
per la prima volta ha legge geometrica:
8n 2 f1; 2; : : : ; g  ST ;PT .fng/ WD P.T D n/ D p.1  p/n1 :In breve si scrive che T  G.p/.
Dal momento che

1
X

nD1

(3)
G

.1  p/n1 D

1;psi ha:
E ŒT  D1
X

np.1  p/n1

nD1
1
X

Dp

nD1

.1  p/n1

C p.1  p/2

C p.1  p/

1
X

1
X

.1  p/n1nD1.1  p/n1 C   

(4)

nD1

p
p.1  p/ p.1  p/2
C
C
C
p
p
p
1
X
1
.1  p/n1 D :
D
p

D

nD1

Più articolata è, invece, la dimostrazione cheh i2p
E T2 D;p2(5)

dalla quale si ottiene:D2 ŒT  D

1
1p
2p

D
:
p2
p2
p2

(6)

Osservazione 2. Per ottenere la (3) basta ragionare al seguente modo. Sia n 2 ST ;per la realizzazione dell’evento fT D ng sono necessari n  1 successi nelle primen  1 ripetizioni di E e il successo nella prova successiva. Quindi:
P.T D n/ D P .fX1 D 0g \    \ fXn1 D 0g \ fXn D 1g/
D P.X1 D 0/    P.Xn1 D 0/  P.Xn D 1/

D .1  p/n1  p D p.1  p/n1 :Resta in tal modo spiegata la (3).
676Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

Definizione 4. Indicata con 0 < p < 1 la probabilità dell’evento successo S e
con k un intero positivo, il numero Wk che conta il numero delle ripetizioni dell’esperimento fino ad osservare il k-mo successo per la prima volta ha legge di
Pascal:8n 2 fk; k C 1; : : : ; g  SWk ;PWk .fng/ WD P.Wk D n/ D
In breve si scrive che Wk  BN .k; p/.7




n1 k
p .1  p/nk :
k 1

(7)
G

Ora, si indichi con T1 il numero delle ripetizioni di E contate a partire da 1
necessarie ad osservare S per la prima volta, con T2 il numero delle ripetizione di E
contate a partire da T1 necessarie ad osservare nuovamente S per la prima volta, con
T3 il numero delle ripetizione di E contate a partire da T2 necessarie ad osservarenuovamente S per la prima volta e, cosı̀ via, con Tk il numero delle ripetizione di
E contate a partire da Tk1 fino ad osservare nuovamente S per la prima volta. Da
queste posizioni, è agevole verificare che:
Wk WD T1 C T2 C    C Tk I
quindiE ŒWk  D E ŒT1 C T2 C    C Tk  D E ŒT1  C E ŒT2  C    C E ŒTk  D

k;pe, tenendo conto dell’indipendenza delle prove,D2 ŒWn  D D2 ŒT1 C T2 C    C Tn  D D2 ŒT1  C D2 ŒT2  C    C D2 ŒTn 1p
Dk 2 :
p
Osservazione 3. Per ottenere la (7) basta ragionare al seguente modo. Sia n 2 SWk ;dire che si è verificato l’evento fWk D ng equivale a dire che il k-mo successo siè presentato per la prima volta alla n-ma ripetizione di E . Ne discende che si èverificato l’evento successo alla n-ma ripetizione e contestualmente fino alla .n  1/ma ripetizione si sono osservati .k  1/ successi: fXn D 1g e fSn1 D k  1g. In
definitiva:
fWk D ng D fXn D 1g \ fSn1 D k  1g:
Dopo di ciò, tenendo conto che la prova Xn è indipendente dalle prove precedenti equindi anche da Sn1 , si ha:
P.Wk D n/ D P .fXn D 1g \ fSn1 D k  1g/

D P .Xn D 1/  P .Sn1 D k  1/n  1 k1
n1 k
Dp
p
.1  p/nk D
p .1  p/nk :
k 1
k 1

7 BN sta per Binomiale Negativa che è un altro modo per denominare la legge di Pascal.

777

A. Buonocore - L. Caputo

3

Schema generale del metodo Monte Carlo

Per l’esigenza di leggibilità di questa sezione si è deciso di rimandare nelle sezioni 9
e 10 le posizioni, le definizioni e i risultati teorici necessari alla descrizione delloschema generale di una qualsiasi applicazione del metodo Monte Carlo.
1. Una quantità m deve essere approssimata con contestuale determinazione dell’accuratezza.
2. Bisogna individuare un numero aleatorio X con i seguenti requisiti: (i) X èosservabile (mediante un apposito dispositivo fisico oppure utilizzando un programma di calcolo) un numero indefinito di volte X1 ; X2 ; : : : ; Xn ; : : : e queste osservazioni sono tali che ciascuna di esse è indipendente dalle precedenti;(ii) E ŒX  DW m; (iii) D2 ŒX   v 2 < C1. Nel seguito ci si riferirà a X comealla genitrice delle osservazioni e a x come alla realizzazione di essa in seguito
all’effettuazione dell’esperimento sottostante.8
3. L’approssimazione di m è fornita dalla media campionaria delle prime n osservazioni di X ,
n
1X
XNn D
Xn ;
n
iD1

in quanto la legge forte dei grandi numeri garantisce che,
P lim XNn D m D 1:
n!1

4. Risultando  v2D2 XNn D ;nin virtù del teorema centrale di convergenza, dell’Osservazione 10 e della (47),si ha:
ˇˇv
8n > 30; P ˇXNn  mˇ < p z˛=2  1  ˛:9(8)n
8n 2 N; 
E XNn D m;

In sintesi, per ogni n intero e per ogni ˛ reale compreso tra 0 e 1, la media campionaria XNn fornisce un’approssimazione per la quantità m e con fiducia pari 1  ˛ si hache il massimo errore che si può commettere è pari a pvn z˛=2 .
Osservazione 4. Relativamente alla determinazione dell’errore massimo nasce l’esigenza di stimare la varianza v 2 della genitrice. A tale scopo, posto
8n; k 2 N;

1
XNn.k/ WDnnX

Xik ; 10(9)iD1

8 La stessa convenzione è adottata per tutti i numeri aleatori considerati; ad esempio, x indica una
3
realizzazione di X3 e xN n una realizzazione di XNn .
9 Si osservi che l’approssimazione è dovuta al fatto che, per ogni n finito, il numero aleatorio .XN npm/=.v= n/ ha solo approssimativamente legge normale standard.
10 Il numero aleatorio XN .k/ è la media campionaria di ordine k. Si osservi che XN .1/  XN .
n
n
n

8

78

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlosi può utilizzare la varianza campionaria:
Sn2 ŒX  WD

n
2
1 X
n h N .2/  N 2 i
:Xi  XNn 
X n  Xn
n1
n1

(10)

iD1

La seconda formulazione di Sn2 ŒX  è più comoda dal punto di vista computazionale in quanto, man mano che le osservazioni vengono prodotte, si può accumularecontemporaneamente sia la loro somma che la somma dei loro quadrati.
G
Osservazione 5. Se X  B.p/, risulta

XNn.k/  XNn :8n; k 2 N;
Quindi,





 2
XNn 1  XNnSn2 ŒX 
.2/
N
N
N
N
X n  Xn D Xn 1  X n )
D
;
n
n1
cosicché è sufficiente accumulare solo la somma delle osservazioni.

(11)
G

L’individuazione della genitrice X rappresenta la maggiore difficoltà per la costruzione di un metodo Monte Carlo. Inoltre, dalla (8) si evince che per incrementarel’accuratezza dell’approssimazione di m, a parità del numero di osservazioni, si puòagire solo sulla varianza della genitrice. Le tecniche, nell’ambito del metodo Monte
Carlo, note come di riduzione della varianza sono finalizzate appunto alla ricerca di
una genitrice con varianza minore di quella correntemente utilizzata.11 Nulla vieta
che la genitrice rimanga la stessa e che la riduzione delle varianza sia dovuta solo ad
una differente modalità di ottenere le osservazioni (ovvero la procedura di campionamento): in un certo senso è come pensare di rendere più efficienti le osservazioni.
D’altra parte, la stessa (8) mostra che l’accuratezza dipende anche dal numero delle osservazioni. Ogni osservazione, però, comporta un costo e quindi nel valutarel’efficienza di un metodo Monte Carlo quello che conta è il prodotto tra il costo unitario di una osservazione e la varianza della genitrice: rendendo opportunamente
adimensionali le quantità coinvolte, un metodo con varianza della genitrice pari a 2
e costo di una osservazione pari a 1 è da preferire ad un altro metodo con varianzadella genitrice pari a 1 e costo di una osservazione pari a 3.
Osservazione 6. Dal punto di vista del problema didattico la giustificazione della (8)può essere fornita calibrando argomentazioni intuitive e dimostrazioni formali in relazione all’età e al grado degli studenti. Agli allievi del biennio della secondaria
superiore, ad esempio, sulla base delle esperienze fatte in laboratorio di fisica relative
alla misurazione strumentale di una stessa grandezza, dovrebbe già essere familiare il fatto che la media campionaria xN n dei dati ottenuti x1 ; x2 ; : : : ; xn approssima
la misura vera x della grandezza con una accuratezza fornita dalla stima dell’errore
11 Alcuni autori nell’accezione “Monte Carlo sofisticato” richiedono che sia utilizzata anche una
tecnica di riduzione della varianza.

979

A. Buonocore - L. Caputo

standard:vuux  xN n ˙ tnX1.xi  x/N 2:
n.n  1/

(12)

iD1

A questo livello si potrebbe giustificare su basi esclusivamente intuitive che la fiducia
sulla (12) è pari solo al 68%. Invece, per gli studenti delle quarte e quinte classi
potrebbe essere obiettivo formativo la comprensione delle tavole riportanti i valoridella funzione di distribuzione normale standard.
G
Volendo procedere ad una classificazione possiamo avere situazioni nelle quali unelemento di aleatorietà è insito nel contesto (Monte Carlo naturale) e situazioni doveil contesto è prettamente deterministico (Monte Carlo sofisticato). Nelle successive
sezioni si prenderanno in considerazioni istanze di questo secondo tipo.

4

Area di una figura piana

Si desidera approssimare l’area di una figura piana A.12 Per costruire un metodo
Monte Carlo in questa situazione dove non ci sono indicazioni di carattere aleatorio
procediamo al seguente modo.
Sia R un rettangolo di base b e altezza h, contenente la figura A. La probabilità
pA dell’evento
SA WD “un punto scelto a caso nel rettangolo R appartiene alla figura A”; 13
che rappresenta il successo in questo contesto, è uguale al rapporto tra l’area di A el’area di R:
area.A/pA D P.SA / D:
bh
Indicata con Y la generica prova dello schema di Bernoulli con successo SA , ossia
Y  B.pA /, si consideri come genitrice il numero aleatorio
X D bhY:(13)

Dalla (13) e dalla (1) si ottiene che
area.A/
D area.A/;bh
D2 ŒX  D .bh/2  D2 ŒY  D .bh/2  pA .1  pA / < C1;EŒX  D bhEŒY  D bh  pA D bh
1
XNn D
n

n
X
iD1

(14)

n

Xi D bh1X
Yi D bhYNn :
n

(15)

iD1

12 In questo articolo per figura piana si intende una figura del piano euclideo, limitata e con contorno
costituito da una curva chiusa.
13 In questa e nella successiva sezione il pedice di S è il simbolo che individua la figura piana.

1080Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

Esempio 1. La procedura descritta nella Sezione 3 può essere eseguita, ad esempio,
riportando la figura A sul fondo di una scatola rettangolare, di base b e altezza h, e
inserendo all’interno di essa un numero n di granelli aventi dimensioni confrontabili
con il tratto di matita usato per delineare il contorno di A. Dopo aver chiuso la scatola
con il proprio coperchio, basta agitarla per qualche secondo allo scopo di ottenerela casualità nella dislocazione dei granelli e successivamente contare il numero deiPgranelli niD1 yi presenti in A.14
G
Dopo di ciò, tenendo conto delle (8), (11), (15) e (47) si ha:r
yNn .1  yNn /area.A/  bh yNn ˙ bh
 z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:n1

Per quanto riguarda la riduzione della varianza, si osservi che,area.A/
area.A/v 2 D Œarea.R/2  pA .1  pA / D Œarea.R/2 
1
area.R/
area.R/
D area.A/Œarea.R/  area.A/:

(16)

(17)

Dalla (17) si vede che la varianza della genitrice si può ridurre al minimo scegliendo

R1

R

R2

A

A

A

Figura 1: Il grafico illustra come si ottiene la riduzione della varianza nel problemadel calcolo dell’area di una figura piana limitata.
un rettangolo che circoscrive la figura A. La Figura 1 illustra lo stesso concetto dal
punto di vista dell’efficienza della procedura di campionamento: la generica osservazione consiste nella scelta di un punto casuale interno al rettangolo R e verificare
se esso appartiene alla figura A: quindi è del tutto inutile generare punti che giacciono su segmenti paralleli all’altezza (alla base) di R aventi intersezione vuota con
A. D’altra parte, il costo unitario per ottenere una osservazione non dipende dalrettangolo che contiene la figura.
Una istanza particolarmente interessante è fornita da una figura B avente areametà di quella del rettangolo che la circoscrive. Infatti in tale situazione, dalla (17) si
14 Nel caso in cui un granello si trova sul contorno di A si può adottare il seguente criterio: esso viene
incluso nel conteggio se non è visibile una sua parte esterna al contorno di A.

11

81

A. Buonocore - L. Caputo

ottiene che la varianza della genitrice valearea.R/
area.R/Œarea.R/2
v D D ŒX  D
area.R/ 
D
;
2
2
4
2

2

cosicché l’errore massimo nell’approssimazione di area.B/ è dato da:vbhp z˛=2 D p  z˛=2 ;n
2 nda cuibh
area.B/  bh yNn ˙ p  z˛=2 ;2 n

con fiducia 1  ˛:(18)Non è superfluo rimarcare il fatto che, sia nella (16) che nella (18), yNn rappresenta il
rapporto tra il numero dei granelli contenuti nella figura e il numero complessivo dei
granelli presenti nella scatola.
Esempio 2 (Continuazione Esempio 1). Alcune indicazioni per la costruzione diattività didattiche sono le seguenti:a) la determinazione di n per rendere praticabile il procedimento;b) la scelta della modalità del conteggio;c) l’uso di figure di vario tipo per familiarizzare con la (16) con z˛=2 D 1;d) il ridimensionamento del fondo della scatola nel senso della base;e) il ridimensionamento del fondo della scatola nel senso dell’altezza;f) il riconoscimento della ottimalità del fondo della scatola come il rettangolo R2della Figura 1;g) il significato e la scelta di z˛=2 .
Il punto g) del precedente elenco è in stretta connessione con la (18).

5G

Ancora sull’area di una figura piana

La messa in pratica della procedura descritta nella precedente sezione con l’ausilio
di una sequenza di punti pseudo-casuali (nel qual caso si parla di metodo pseudo
Monte Carlo) generati con un opportuno programma di calcolo ha una criticità dovuta
al riconoscimento della localizzazione del punto generato (problema del dentro ofuori). Ci sono però due tipi di contorni di figure piane per i quali il problema inquestione è facilmente risolvibile: (i) i luoghi geometrici, (ii) tratti limitati del grafico
di una funzione h./ continua e non negativa (l’area corrispondente è quella di unrettangoloide).
1282

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

Nell’ambito del caso (i) è la stessa equazione del luogo a fornire le indicazioni
per risolvere il problema del dentro o fuori. Qui si illustra come procedere per determinare l’area racchiusa da un’ellisse E avente lunghezza dei semiassi maggiore eminore, rispettivamente, a e b.
Nel sistema di riferimento cartesiano avente per assi i prolungamenti dei semiassi
dell’ellisse, scelto come rettangolo R quello avente vertici nei punti.a; b/; .a; b/; .a; b/; .a; b/;un punto di coordinate indipendenti U1  U .a; a/ e U2  U .b; b/ appartiene a
E, se e solo se:15
U12
U22
C
 1:
(19)
a2
b2
La generazione del punto .U1 ; U2/ deve essere eseguita n volte e ogni volta, mediantela (19), si determina se è avvenuto o meno il successo SE ottenendo in tal modo yNn .
Dopo di ciò, si ha:r
yNn .1  yNn /area.E/  4ab yNn ˙ 4ab(20)
 z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:n1Esempio 3. Dalla (20) si ottiene un’approssimazione per . Infatti, da essa e dal fattochearea.E/ab
area.E/
DD” D;
area.R/4ab
4ab
si ottieneryNn .1  yNn /  4yNn ˙ 4(21) z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:
n1Nella (20) e nella (21), ovviamente, yNn rappresenta il rapporto tra il numero dei punti
casuali che verificano la (19) e il numero complessivo dei punti generati.
G
Relativamente al caso (ii) è la stessa funzione integranda h./ a fornire il criterio per stabilire se il punto appartiene o meno alla figura in questione. Più precisamente, sia .c; d / (con c < d ) la restrizione considerata del dominio di h./,
M WD max f .x/, Rh il rettangoloide di h./ su .c; d / e, infine, R il rettangolo dix2.c;d /base .d  c/ ed altezza M . Un punto di coordinate indipendenti U1  U .c; d / eU2  U.0; M / appartiene al rettangoloide Rh se e solo se:h.U1 /  U2 :(22)

La generazione del punto .U1 ; U2/ deve essere eseguita n volte e ogni volta, mediantela (22), si determina se è avvenuto il successo SRh ottenendo in tal modo yNn . Dopodi ciò, si ha:r
yNn .1  yNn /area.Rh/  .d  c/M yNn ˙ .d  c/M z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:n1(23)15 La generazione dei due numeri U e U simula la scelta a caso di un punto in R.
1
2

13

83

A. Buonocore - L. Caputo

Nella (23), yNn fornisce il rapporto tra il numero dei punti casuali che verifica la (22)e il numero complessivo dei punti generati.
Esempio 4. L’applicazione della (23) consente, ad esempio, di verificare il Teorema
di Archimede dell’area sotto un segmento di parabola scegliendo la funzione g.x/ D
x 2 in .0; 1/:r
1
yNn .1  yNn /D area.Rg /  yNn ˙ z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:
3n1
Nella precedente formula yNn fornisce, al solito, il rapporto tra il numero dei punti
appartenenti al rettangoloide Rg ed il numero dei punti generati nel rettangolo .0; 1/
.0; 1/.
Relativamente a questo rettangoloide, nel già citato articolo di Alwin Walther èillustrata un’attività laboratoriale per una determinazione manuale di yNn . La classe
viene divisa in terne di studenti. In ciascuna terna, due studenti hanno un sacchetto
e l’altro un foglio per la registrazione dei risultati (ovviamente, nulla vieta che ci sia
un’alternanza nei ruoli); le terne di studenti si ripartiscono il numero n delle osservazioni da produrre. Entrambi i sacchetti contengono 99 dischetti che si differenziano
per il colore, ad esempio, rosso e blu, ma anche per le etichette riportate. Infatti, per
k 2 f1; 2; : : : ; 99g, i dischetti di colore rosso recano su una faccia (fronte) i numeri
k=100 scritti in decimale e sull’altra (dorso) il relativo quadrato mentre i dischetti dicolore blu recano solo sul fronte i numeri k=100 scritti con quattro numeri decimali(ad esempio, 1/100 è scritto come 0;010 0/. Dopo essere stati agitati per bene, daciascun sacchetto è estratto un dischetto e lo studente incaricato registra nella prima
e nella seconda colonna di una riga del suo foglio il risultato, rispettivamente, deldorso del dischetto rosso e quello del dischetto blu; nella terza colonna appone 1 seil valore della seconda colonna è minore o uguale di quello della prima colonna e 0
nel caso contrario. Alla fine del procedimento yNn viene calcolata come la somma dei
valori riportati nella terza colonna di tutti i fogli rapportata ad n.
G6

Il problema dell’ago di Buffon

Probabilmente questo problema rappresenta il contesto nel quale si innesta il progenitore del metodo Monte Carlo. Infatti, prima di Fermi e di Ulam era stato Laplacea dire nel 1812 che con la legge dei grandi numeri, applicata al problema dell’ago
di Buffon, era possibile stimare . Il matematico italiano Mario Lazzarini realizzò
l’esperimento dell’ago di Buffon nel 1901 con 3408 osservazioni, ottenendo per  lanota approssimazione 355/113.16
Il problema fu proposto da Georges-Louis Leclerc conte di Buffon nel Essaisd’Arithmétique morale che fa parte della sua enciclopedica opera L’Histoire naturelle, générale et particulière composta da 36 volumi (di cui 8 postumi realizzati grazie
16 Con una buona dose di fortuna, evidentemente.

14

84

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carloal lavoro di Bernard Lacépède) apparsi dal 1749 al 1789. Su un pavimento sono disegnati segmenti di rette parallele a distanza d l’uno dall’altro e su di esso si fa caderecasualmente una bacchetta (ago) di lunghezza l  d . Viene richiesto di determinare
la probabilità dell’evento SaB che la bacchetta interseca uno dei segmenti di retta.
(a)

c

(b)

d
l

.

d - sen( ) l /2



C

T

d


l

.

C

sen( ) l /2

0





Figura 2: Nella parte (a) sono mostrate due situazioni nelle quali la bacchetta noninterseca alcuno dei due segmenti di retta consecutivi fra i quali essa si colloca; sonoanche indicati il centro C della bacchetta e l’angolo ˚ che essa forma con la direzionedelle rette parallele. Nella parte (b) è mostrato il dominio normale T costituito datutte le coppie .˚; C / che danno luogo a posizioni della bacchetta come nella parte(a).
Da un punto di vista analitico il problema può essere risolto al seguente modo.
La casualità del lancio fa sı̀ che detti C e ˚ , rispettivamente, il centro della bacchetta
e l’angolo che essa forma con la direzione delle rette parallele, risulta C  U .0; d /e ˚  U.0; /; ovviamente C e ˚ sono anche indipendenti tra loro. Come si puòosservare nella parte (a) della Figura 2, la distanza della bacchetta dai due segmenti diretta consecutivi tra i quali essa si colloca è data da min fsin.˚ /l=2; d  sin.˚ /l=2g.
Pertanto la probabilità dell’evento BN è data dalla misura del dominio normale T
mostrato nella parte (b) della Figura 2 rispetto alla distribuzione congiunta di C e ˚ .
QuindiZ d sin./l =2
Z
1 1 
1 1
d
dc
 dc d D d  0sin./l =2
T d 
Z 


1
2l
D
d  l sin./ d D 1 
;
d 0
d

PŒSN aB  D

da cui si ricava:

ZZ

2l 1
 :
(24)
d 
Per approssimare 1=, basta allora considerare come genitrice il numero aleatod
rio X DY con Y  B.paB / prova dello schema binomiale con successo SaB .
2l
paB WD PŒSaB D

1585

A. Buonocore - L. Caputo

Infatti, risulta:dd1 EŒY  D paB D ;
2l
2l



d2
d2
1 d
1
2
2
D ŒX  D 2  D ŒY  D 2  paB .1  paB / D< C1;
 2l 
4l
4l
n
n
1X
d 1X
d N
XNn D
Xi D
Yi D

 Yn :n2l n2lEŒX  D

iD1

(25)

iD1

Per quanto riguarda la riduzione della varianza, dalla (25) si evince che bisogna rendere il fattore in parentesi tonde il più piccolo possibile. Tenendo conto del vincolol  d la migliore scelta è l D d ; essa conduce a paB D 2= e X D Y =2,17 per cui
r1
1 yNn .1  yNn /1(26)
 yNn ˙
 z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:

2
2
n1
In essa, yNn è il rapporto tra il numero delle intersezioni bacchetta-segmento ed il
numero n dei lanci.
Osservazione 7. Lazzarini utilizzò la spaziatura adimensionale d= l pari a 1;2 e conquesta determinò  prendendo il reciproco di .0;6  yNn /. In tal modo, però, si perde
il controllo sull’ampiezza dell’errore massimo e questo non rientra nei canoni delmetodo Monte Carlo nell’accezione moderna.
GUn’approssimazione di  nell’ambito del problema dell’ago di Buffon come metodo Monte Carlo si ottiene considerando una genitrice geometrica. Infatti, a tale sco2lpo, basta considerare come genitrice il numero aleatorio Q D T con T  G.paB/dche conta il numero dei lanci della bacchetta necessari ad osservare SaB per la prima
volta. Infatti, per la (4) e la (6) risulta:
2l
2l d
2l 1
D
 EŒT  D  D ;
d
d paB
d 2l


4l 2
d
1
4l 2 .1  paB/222 2l
D ŒQ D 2  D ŒT  D 2 

< C1;
D
2
d 2l ddpaBEŒQ D

Nn D 1
Q
n

n
X
iD1

(27)

n

Qi D

2l 1 X
2l N
Ti D Tn :d n
diD1

Per quanto riguarda la riduzione della varianza, dalla (27) si evince che la migliore
scelta è l D d che implica, di nuovo paB D 2=, ma anche Q D 2T essn2 ŒT   2tNn ˙ 2
 z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:(28)nNella (28), tNn è il rapporto tra il numero complessivo dei lanci della bacchetta e ilnumero n delle osservazioni di T mentre sn2 ŒT  è la stima della varianza di T ottenuta
mediante la (10).
17 Di solito, nell’illustrazione del metodo si sceglie d= l pari a 2.

1686Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

7

Numero degli elementi distinti di una lista

Sia L D .l1 ; l2; : : : ; lm/ una lista di elementi di lunghezza m. Si vuole stimare il
numero d degli elementi distinti di L.
A tale scopo si ponga SU D f1; 2; : : : ; mg e per u 2 SU si indichi con k.u/
il numero delle volte che l’elemento di posto u si presenta in tutta la lista L; non èdifficile rendersi conto che
m
X
1
dD
:
(29)
k.u/
uD1

Infatti, ad esempio, si consideri il primo elemento di L; in L ci sono k.1/ elementi
uguali e ciascuno di essi porta come contributo 1=k.1/ alla somma a secondo membro della (29): in totale essi apportano un contributo unitario. Allo stesso modo si
ragiona con tutti gli altri elementi distinti di L. Dopo di ciò, indicato con U un numero uniforme discreto su SU (ossia che assegna la probabilità 1=m ad ogni elemento
di SU ), il numero aleatorio
m
X D
(30)
k.U /
è la genitrice desiderata. Infatti, per la (48) scritta per r D 1, risulta:

 X
m
m
X
m
m
1
1
E ŒX  D E
D

D
D d:
(31)
k.U /
k.u/ m
k.u/
uD1

uD1

La finitezza della varianza di X è garantita dal fatto che essa è maggiorata da d.m 
d /. Infatti, indicando con u1 ; u2 ; : : : ; ud indici corrispondenti alle d lettere distinte,
si ha che
"
#
m
m
h i
X
X
m2
m2
1
1
2
E X DE
D
m
D

2
2
2
k .U /
k .u/ m
k .u/
uD1
uD1


k.u1 /
k.u2 /
k.ud /Dm 2
C 2
C 2
k .u1 / k .u2 /k .ud /


1
1
1
Dm
C
C
 md;
k.u1 / k.u2 /k.ud /
per cui
D2 ŒX  D EŒX 2   E2 ŒX   md  d 2 D d.m  d / < C1:(32)

Esempio 5. Sia L D ŒA; B; R; A; C; A; D; A; B; R; A; quindi m D 11 e ci sono
5 lettere A, 2 lettere B, 2 lettere R, 1 lettera C e 1 lettere D. In definitiva d D 5.
D’altra parte,k.1/ D 5;

k.6/ D 5;
k.11/ D 5;

k.2/ D 2;

k.7/ D 1;

k.3/ D 2;

k.8/ D 5;

17

87

k.4/ D 5;

k.9/ D 2;

k.5/ D 1;

k.10/ D 2;

A. Buonocore - L. Caputo

cosicché

11
X

uD1

1
5
2
2
1
1
D C C C C D 5 D d:18
k.u/
5
2
2
1
1

(33)

Per ottenere le osservazioni della genitrice X basta inserire nel cestino della tombola
napoletana solo i pezzi numerati da 1 a 11 e estraendone uno di essi a caso. Il pezzo estratto individua una lettera della lista e, procedendo dal primo all’ultimo posto
bisogna contare quante essa volte compare nella lista; dopo di ciò, il reciproco delrisultato del conteggio moltiplicato per 11 è il valore assunto da X . Ad esempio,
1. L D .A; B; R; A; C; A; D; A; B; R; A/;
2. m D 11;
3. dal cestino, dopo una energica mischiata, esce il pezzo con il numero 6 ) u D
6;
4. LŒ6 D A;
5. si contano 5 lettere A ) k.6/ D 5;
6. x D 11=5.
Ovviamente, e questo vale in generale, il simbolo LŒu individua l’elemento di postou in L.
G
Con n osservazioni della genitrice X , indicato al solito con
1
XNn D
n

n
X

iD1

n

Xi D

mX 1
;
n
k.Ui /iD1

1
XNn.2/ D
n

n
X
iD1

n

Xi2 D

m2 X 1nk 2 .Ui /iD1e tenendo conto della (10) per ottenere una stima della varianza di X , si ha:ssn2 ŒX d  xN n ˙ z˛=2 ; con fiducia 1  ˛:19n(34)

Osservazione 8. Si osservi che scegliendo un valore di n per il quale l’errore massimo
minore risulti minore di 0;5 la (34) diventad D bxN n e;

con fiducia 1  ˛;

per il fatto che la quantità d da determinare è un numero intero.

(35)
G

18 Infatti, l’addendo 1=5 compare 5 volte (per la lettera A), l’addendo 1=2 compare 2 volte (per lalettera B) e 2 volte (per la lettera R) e l’addendo 1=1 compare 1 volta (per la lettera C ) e 1 volta (per lalettera D).
19 Il simbolo be indica l’operazione di arrotondamento: il numero intero più vicino al suo argomento.

18

88Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte CarloIl procedimento appena descritto è molto dispendioso: per ogni osservazione bisogna scorrere tutta la lista per contare quante volte in essa è presente il simbolo
individuato da U . Si descriverà ora un altro metodo Monte Carlo che richiede, aparità del numero delle osservazioni, un costo minore. Con lo stesso significato assegnato a U nella corrente sezione, si definisca dapprima il numero aleatorio Y alseguente modo:(
1; se j < U W LŒj  D LŒU ;Y D(36)0; altrimenti.
In altri termini Y , che ha legge di Bernoulli, assume il valore 1 solo se l’elemento
individuato da U non è preceduto altri elementi uguali. Per determinare la probabilità
dell’evento successo, si supponga dapprima che sia assegnato il valore u a U ; risulta
P.Y D 1jU D u/ D

1 20
;
k.u/

in quanto i k.u/ elementi uguali tra loro nella lista L hanno la stessa probabilità diessere individuati dal numero aleatorio U . Dal momento che U ha legge uniforme
discreta in SU , la formula delle alternative insieme alla (29) consente di ottenere:P.Y D 1/ D
D

m
X

uD1

P.Y D 1jU D u/  P.U D u/ D

m
1 X

m

uD1

m
X

uD1

1
1

k.u/ m
(37)

1
d
D :
k.u/
m

In definitiva, Y  B.d=m/ e le sue osservazioni sono prove di uno schema diBernoulli in quanto dall’indipendenza delle osservazioni relative alla variabile U
scaturisce l’indipendenza delle osservazioni relative alla variabile Y .
Esempio 6 (Continuazione dell’Esempio 5). Alcuni casi particolari possono servirea chiarire come si determina il valore assunto dal numero aleatorio Y ; dal cestino,
dopo una energica mischiata, esce il pezzo con il numero:4 )u D 4;

5 )u D 5;

6 )u D 6;

LŒ4 D A;

LŒ5 D C;

LŒ6 D A;

y D 0; (la lettera A si trova già in prima posizione)Iy D 1; (prima comparsa della lettera C )Iy D 0; (la lettera A si trova già in prima posizione):

Inoltre,1
P.Y D 1jU D 6/ D P.Y D 1j“è stata individuata la lettera” A/ D ;5
dal momento che in L ci sono 5 lettere A e solo una di esse può essere quella che
precede tutte le altre. Infine, si osservi che, per la verifica del successo, non c’ènemmeno bisogno di scorrere la lista fino al posto U D u; ad esempio, nel caso di
u D 6 la verifica si esaurisce già sulla prima posizione in quanto LŒ1 D A.
G
20 Il simbolo j sta a ricordare che è noto che si è verificato l’evento fU D ug.

1989

A. Buonocore - L. Caputo

Allora, V D mY è la genitrice ricercata in quanto:EŒV  D mEŒY  D d;
e

2d



d
D ŒV  D m D ŒY  D m
1
m
m
2

2

2



D d.m  d / < C1:(38)

con fiducia 1  ˛:(39)Con n osservazioni di Y , indicato al solito con
1
YNn D
n

n
X

Yi ;

iD1

e tenendo conto della (11), si ha:ryn .1  yn /d  myNn ˙ m z˛=2 ;n1

In virtù dell’Osservazione 8, la formula precedente si modifica ind D byNn e;

con fiducia 1  ˛;(40)nel caso in cui si sceglie un valore di n per il quale l’errore massimo minore risultiminore di 0;5.
Osservazione 9. Come osservato alla fine dell’Esempio (6) con la genitrice V si
riduce di molto il numero dei controlli da effettuare sulla lista rispetti a quelli eseguiti
con la genitrice X ovvero, indicando con C il costo unitario medio per ottenere una
osservazione, risulta CV < CX . D’altra parte, però, dalla (32) e dalla (38) si evinceche D2 ŒX   D2 ŒV . In questo caso, quindi, occorre verificare se risulta
CX > CV 

D2 ŒV 
;D2 ŒX 

nel qual caso è conveniente preferire V rispetto a X . Questo fatto può essere accertato
con una elaborazione preliminare di entrambi i metodi con un numero di osservazioni
piccolo rispetto a n.
Con 100 osservazioni sia per X che per V e considerando come costo il numero
dei confronti per osservazione, relativamente agli Esempi 5 e 6, risulta CX D 11 
100 D 1100 e D2 ŒV  D 5  6 D 30, mentre, approssimativamente, la media di CV e
D2 ŒX  sono stimate, rispettivamente, 150 e 10. Dopo di ciò, si ha1100 > 150 e quindi V è da preferire a X

30
D 450;
10
G

20

90

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo8

Calcolo di un integrale definito

Sebbene la presente esposizione riguarderà il caso degli integrali ad una dimensione, la forza del metodo Monte Carlo per approssimare un integrale definito risiedenel fatto che esso prescinde dalla dimensione del dominio. Con h./ funzione continua nell’intervallo .a; b/, si vuole approssimare, con contestuale determinazione
dell’accuratezza, la quantità:ID

Z bh.x/ dx:aA tale scopo, se W è un numero aleatorio assolutamente continuo avente funzione didensità di probabilità g./ non nulla solo nell’intervallo .a; b/, il numero aleatorio
X D

h.W /
g.W /

(41)

rispetta il requisito fondamentale che
E ŒX  D E



 Z b
Z b
h.W /
h.w/
h.w/ dw D I:
Dg.w/ dw Dg.W /a g.w/
aOvviamente, per utilizzare X come genitrice è necessario assicurarsi anche che
"
# Z
Z b 2
h i
b 2
h .w/
h2 .W /h .w/
2
E X DEdw < C1:
D
g.w/
dw
D
2 .w/
g 2 .W /gaa g.w/
Dopo di ciò, con n osservazioni di W , e quindi di X , posto
1
XNn D
n

n
X

iD1

n

Xi D

1 X h.Wi /;ng.Wi /iD1

1
XNn.2/ Dne tenendo conto della (10), si ha:ssn2 ŒX I  xN n ˙ z˛=2 ;
n

n
X
iD1

n

Xi2 D

1 X h2 .Wi /;n
g 2 .Wi /con fiducia 1  ˛:

iD1

(42)

Il grado di libertà lasciato a W è utile ai fini della riduzione della varianza. Infatti, si
potrebbe essere in grado di determinare una funzione di densità di probabilità g./ che“segua”, almeno in qualche tratto dell’intervallo .a; b/, l’andamento della funzione
integranda. In altri termini, con un’opportuna scelta di g./ si potrebbe assegnare
maggiore importanza ai sottointervalli di .a; b/ nei quali si trovano i massimi relatividel grafico di h./. In sostanza, è la procedura di campionamento, che viene detta
a importanza, che dovrebbe portare a ridurre la varianza. L’esempio seguente può
essere utile a chiarire il ragionamento svolto.
2191

A. Buonocore - L. Caputo

3

3

2,5

2.5

(a)

2

(b)

2

1.5

1,5

g1(x)= 111h(x) / g2(x)
0,5

0.5

0
0

0,2

0,4

0,6

0,8

x

0

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

1

Figura 3: Nella parte (a) è mostrato il grafico della funzione integranda considerata
nell’Esempio 7, ossia h.x/ D e x  1, e i grafici delle funzioni di probabilità delle
prime 3 leggi di potenza nell’intervallo .0; 1/. Si noti che la funzione g2 .x/ è quella che meglio segue l’andamento della funzione h.x/. Tale fatto è maggiormente
evidenziato nella parte (b) dove sono riportati i grafici di h.x/=g1 .x/; h.x/=g2 .x/
e h.x/=g3 .x/: il grafico del rapporto h.x/=g2 .x/ è quello che maggiormente si
avvicina a un segmento orizzontale.
Esempio 7. Si vuole approssimare l’integrale della funzione h.x/ D e x  1 sull’intervallo .0; 1/ e quindi I D 0;718 3 con arrotondamento sulla quarta cifra decimale.
Si considerino le funzioni di densità di probabilità delle prime 3 leggi di potenze,
g1 .x/ D 1; g2.x/ D 2x e g3 .x/ D 3x 2 , i cui grafici sono riportati nella parte (a) della Figura 3. Nella parte (b) della stessa figura, invece, sono riportati, per
k D 1; 2; 3, i grafici dei rapporti h.x/=gk .x/: da essa si evince che il grafico delrapporto h.x/=g2 .x/ è quello che più si avvicina ad un segmento parallelo all’asse orizzontale e pertanto è la seconda legge di potenza a seguire meglio la funzione
h.x/. Numerose ripetizioni della (42) con n D 10000 e ˛ D 0;05, confermano lariduzione della varianza quando si passa da g1 .x/ a g3 .x/ e da g3 .x/ a g2 .x/. Latabella seguente riporta i risultati di una di queste elaborazioni.
ssn2 .X /k
xN n
sn2 .X / z˛=2n
10;717 60;237 50;031 9320;713 20;718 6

0;051 60;007 90;014 80;005 8

Le elaborazioni sono state eseguite con Excel utilizzando i numeri pseudo casuali
forniti dalla funzione casuale() e la (46) con a D 0; b D 1 e per k D 2 e k D 3.
Nei tre casi considerati, il costo unitario per ottenere una osservazione è pressappoco
lo stesso.
G

22
92

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

9

Posizioni e definizioni

Qui si assume conosciuta dal lettore la descrizione in termini di uno spazio di probabilità .˝; A; P/ di un esperimento aleatorio E .
Indicata con B la sigma-algebra degli insiemi di Borel di R,21 un numero aleatorio (o una variabile aleatoria) reale X è una applicazione di ˝ in R per la qualerisulta
8B 2 B; X 1 .B/ 2 A;e la sua legge (o distribuzione) PX è definita mediante la posizione:
8B 2 B;PX .B/ WD P .X 2 B/ :Qui P.  / è la probabilità dell’evento (un qualsiasi elemento della sigma-algebra A)
racchiuso dalle parentesi tonde.
La famiglia S costituita dalle semirette sinistre chiuse di R da sola è sufficiente a
generare la sigma-algebra di Borel B. Dal momento che ciascuna di esse è individuata
esclusivamente dalla sua origine, la legge di un numero aleatorio X ristretta a S è una
funzione reale di variabile reale
8x 2 R;FX .x/ WD PX .   1; x /  P.X  x/;che prende il nome di funzione di distribuzione di X . La legge PX ./ di X è ricostruibile mediante opportuna integrazione a partire dalla funzione di distribuzione
FX ./.
Definizione 5. Un numero aleatorio X la cui funzione di distribuzione FX ./ si scrivecome
Z x
8x 2 R;FX .x/ WD

fX ./ d ;

1

con fX ./ funzione definita in R, non negativa e normalizzata ad 1, si dice essere
assolutamente continuo. La funzione fX ./ prende il nome di funzione di densità diprobabilità di X .
GPer un numero aleatorio X assolutamente continuo, la posizione
Z C1
r
8r 2 N; EŒX  WD
x r fX .x/ dx;
1definisce la sua media di ordine r .22 Ovviamente, la media di X è la sua media delprimo ordine; invece, la quantità
Z C1

2
2
D ŒX  WD
x  EŒX  fX .x/ dx  EŒX 2   E2 ŒX ;
1

21 In altri termini, la sigma-algebra generata dagli intervalli di R.

22 Per maggiore precisione si fa notare che per dare senso alla definizione di ordine r è richiesta

l’esistenza dell’integrale che in essa compare.

23

93

A. Buonocore - L. Caputoè la varianza di X . Se X ha varianza finita, si dice che la trasformazione
X  EŒX 
Y D p;
D2 ŒX 

standardizza X : il numero aleatorio Y ha media nulla e varianza unitaria.
Esempio 8. Con a e b numeri reali tali che a < b, un semplice ma, ai fini del metodo
Monte Carlo, importante esempio di funzione di densità di probabilità è fornito da:8< 1 ; a < x < b;fV .x/ D b  a(43):0;altrove;in tal caso si dice che V ha legge uniforme nell’intervallo .a; b/ oppure, in breve, V 
U .a; b/. I numeri reali a e b fungono da parametri per la legge uniforme; comunqueai fini delle caratteristiche probabilistiche è sufficiente riferirsi esclusivamente ad un
numero aleatorio U  U .0; 1/ in quanto:
V D a C .b  a/U:

(44)

Per U è agevole verificare che
8r 2 N;EŒU r  D

1
1) EŒU  D
r C1
2

e

D2 ŒU  D

1 1
1
 D :
3 4
12

Quindi, per V si ha:EŒV  DaCb
2

D2 ŒV  De.b  a/2:
12

I linguaggi di programmazione scientifici (MATLAB, Linguaggio R, Fortran, Excel,ecc.) mettono a disposizione funzioni di libreria che forniscono i cosiddetti numeri
pseudo-casuali: realizzazioni di U  U.0; 1/ ottenute con una procedura matematica. Mediante la (44) è immediato ottenere una realizzazione di V ; ad esempio, in
Excel, supponendo che a sia memorizzato nella cella B1 e b nella cella B2, basta
inserire in una qualsiasi cella vuota la formula:=B1 + (B2-B1)*casuale().
G
Esempio 9. La legge uniforme è un caso particolare della famiglia delle leggi dipotenza che hanno, scegliendo per semplicità di esposizione l’intervallo .0; 1/, perfunzione di densità di probabilità:(kx k1 ; 0 < x < 1;
8k 2 N; fU.k/ .x/ D(45)0;
altrove;
Infatti, per k D 1 si ha che U.1/  U .0; 1/. Inoltre, è agevole verificare che risulta
8k; r 2 N;rEŒU.k/
D

Z 1
0

24

94

x r kx k1 dx D

k
;
k Cr

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

per cui
EŒU.k/ D

k
k C1

e

D2 ŒU.k/ D

k
k
k2
D
:

2
k C 2 .k C 1/
.k C 2/.k C 1/2

Le precedenti relazioni generalizzano quelle mostrate per la legge uniforme. In simboli, si scrive che U.k/  LP.k; .0; 1//. D’altra parte, con a < b, la trasformazione
V.k/ D a C .b  a/U.k/porta l’intervallo .0; 1/ nell’intervallo .a; b/ ma non modifica la legge di probabilità che pertanto resta legge di potenza e si dice che V.k/ ha legge di potenza
nell’intervallo .a; b/; in simboli V.k/  LP.k; .a; b//.
I numeri aleatori con legge di potenza sono semplici da generare con procedura
numerica: se u è un numero pseudo-casuale il generatore desiderato per un numero
V.k/  LP.k; .a; b// è il seguente:pv.k/ D a C .b  a/ k u:
(46)
Ad esempio, in Excel, supponendo che a sia memorizzato nella cella B1, b nella cellaB2 e k nella cella B3, basta inserire in una qualsiasi cella vuota la formula:= B1 +(B2-B1)*(casuale())ˆ(1/B3).
G

Esempio 10. Un’altro esempio notevole di funzione di densità di probabilità è fornito
dalla funzione il cui grafico è noto come curva a campana:
8x 2 R;fZ .x/ D

1 x 2 =2:e2Si dice allora che Z ha legge normale o di Gauss di parametri 0 e 1 oppure, in breve,Z  N .0; 1/; qui i parametri 0 e 1 assumono, rispettivamente, il ruolo di media e divarianza di Z e pertanto Z ha legge normale standard. Ogni altro numero gaussiano
X può essere ottenuto da Z mediante la trasformazione inversa della standardizzazione: X D  C Z. Per indicare la legge di X si scrive X  N .;  2/ con iparametri  e  2 che assumono, rispettivamente, il significato di media e di varianza
di X .
Relativamente a Z, si definisce quantile superiore di ordine ˛ 2 .0; 1/ il numero
reale z˛ per il quale:
P.Z > z˛ / D ˛:
Tenendo conto della simmetria rispetto all’asse verticale della curva a campana è
abbastanza agevole verificare che:P.jZj  z˛=2 / D 1  ˛:(47)In particolare, con arrotondamento sulla seconda cifra decimale, risulta:
z0;16 D 1;

z0;05 D 1;64;

z0;025 D 1;96ez0;005 D 2;58:
G

25

95

A. Buonocore - L. Caputo

Definizione 6. Un numero aleatorio X per il quale esiste un sottoinsieme SX  R
al più numerabile e tale che PX .SX / WD P.X 2 Sx / D 1 è detto discreto. Pertantoesso è individuato dalla funzione(
P.X D x/; se x 2 SX ;8x 2 R; fX .x/ WD
0;altrimenti:
La funzione fX ./ prende il nome di funzione di probabilità di X .

G

Esempio 11. Sia m 2 N e SU D fu1 ; u2 ; : : : ; um g  R. Il numero aleatorio U che
assume con probabilità 1=m ciascun valore di SU si dice uniforme discreto e si scrive
U  Ud .SU /. Per esso, la funzione di probabilità è costantemente uguale a 1=m su
SU e si annulla sugli altri valori reali.
G
Altri esempi di numeri aleatori discreti sono stati mostrati nell’ambito dello schema
di Bernoulli.
Per un numero aleatorio X discreto, posto SX D fxn gn2N , la posizione
8r 2 N;EŒX r  WD

1
X

xnr fX .xn /;

(48)

nD1

definisce la sua media di ordine r.23 Anche nel caso discreto sussiste la relazione
D2 ŒX  D EŒX 2   E2 ŒX :(49)

Si completa questo riepilogo con due esempi di spazi di probabilità associati ad unesperimento aleatorio: la scelta di un punto a caso in un intervallo Œa; bŒ R e lascelta di un punto a caso in un rettangolo R D Œa; bŒŒc; d Œ. Nel primo caso è ovvio
che ˝  Œa; bŒ, la qual cosa suggerisce la scelta F  BŒa;bŒ , con BŒa;bŒ la sigmaalgebra degli insiemi di Borel di R contenuti nell’intervallo Œa; bŒ. Infine, assegnando
ad ogni intervallo Œa; xŒ la probabilità .x  a/=.b  a/ si ottiene una premisura che
si prolunga in maniera univoca su BŒa;bŒ : la misura di Lebesgue Œa;bŒ dell’intervallo
Œa; bŒ.In definitiva, la scelta
 di un punto a caso nell’intervallo Œa; bŒ è descritta dalla
terna Œa; bŒ; BŒa;bŒ; Œa;bŒ .
L’estensione al caso bidimensionale si ottiene con la sostituzione degli intervalli con
i rettangoli e della lunghezza con l’area: quindi un modello per l’esperimento consistente nella scelta casuale di un punto nel rettangolo R  R2 è fornito dallo spazio
di probabilità .R; BR ; R /. In tale contesto R è l’estensione della premisura che su
un qualsiasi rettangolo del tipo Œa; xŒŒb; yŒ contenuto in R vale il rapporto tra l’area
del rettangolo e l’area di R; inoltre, per una figura A del tipo considerato in questa
sezione e contenuta in R risulta:
area.A/ 24
P.A/  R .A/ D:
area.R/
23 Per maggiore precisione si fa notare che per dare senso alla definizione di ordine r è richiesta laregolarità delle serie che in essa compare.
24 Si osservi, che al di la del formalismo utilizzato, il risultato estende la definizione classica diprobabilità relativa ad esperimenti con un numero finito di esiti tra i quali vige una perfetta simmetria.

26

96

Insegnamento-Apprendimento della Probabilità: Schema di Bernoulli e Metodo Monte Carlo

In altri termini, la probabilità che un punto scelto a caso nel rettangolo R stia nella
figura A è uguale al rapporto tra l’area di A e l’area di R.

10

Risultati di convergenza

Si forniscono gli enunciati dei due importanti teoremi di convergenza che forniscono
il substrato teorico del metodo Monte Carlo.
Teorema 1 (legge forte dei grandi numeri). Sia .˝; A; P/ uno spazio di probabilità
e sia X un numero aleatorio definito su esso tale che E˚ŒjXj < C1 (pertanto, Xè dotato di media finita: E ŒX    2 R). Sia, inoltre, Xi i2N una successione dinumeri aleatori aventi la stessa legge di X e indipendenti tra loro. Posto
8n 2 N;si ha:P1
XNn WD
n

n
X

Xi ;

(50)

iD1


lim XNn D  D 1:

n!1

La legge forte dei grandi numeri afferma, quindi, che la successione avente cometermine generale la media campionaria, XNn , dei primi n numeri aleatori della successione considerata converge quasi certamente alla loro comune media, qualunque sia
la legge di X .
Si consideri ora la successione delle prove indipendenti dello schema di Bernoulli. Per ogni n 2 N, XNn rappresenta la frequenza relativa dei successi nelle prime nprove. Quindi, nello schema di Bernoulli, la legge forte dei grandi numeri assume ilseguente significato: la successione avente come termine generale la frequenza relativa del successo nelle prime n effettuazioni dell’esperimento aleatorio converge quasi
certamente alla probabilità del successo.
Teorema 2 (centrale di convergenza).25 Sia .˝; A; P / uno spazio di probabilità e sia
X un numero aleatorio definito su esso tale che E X 2 < C1 (pertanto X è dotato˚ di media E ŒX  D  e varianza D2 ŒX  D  2 entrambe finite). Sia, inoltre, Xn n2N
una successione di numeri aleatori aventi la stessa legge di X e indipendenti tra loro.
Posto
XNn  ZQ n WDp ;= nsi ha:
8x 2 R;lim FZQ n .x/ Dn!1

25 Esistono numerose formulazioni di tale risultato.

27

97

Z x

1
2
p e z =2 dz:
2
1

(51)

A. Buonocore - L. Caputo  
Dal momento che 8n 2 N risulta E XNn D  e D2 XNn D  2 =n, il teorema˚ centrale di convergenza afferma che la successione ZQ n n2N avente come termine
generale la standardizzata della media campionaria converge in distribuzione ad un
numero normale standard, qualunque sia la legge di X .
Osservazione 10. Una regola empirica ampiamente riconosciuta afferma che la legge della standardizzata della media campionaria è ben approssimata da quella di un
numero aleatorio Z  N .0; 1/ già a partire da n D 30, qualunque sia la legge di X .
G

28

98

Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato:
un delitto contabilmente riconoscibile
Francesco de Giovanni *“Che cosa è l’uomo nella natura? Un nulla di contro all’infinito,
un tutto di contro al niente, un mezzo tra niente e tutto.
Infinitamente lontano dal comprendere gli estremi,
la fine delle cose e il loro principio sono per lui invincibilmente
nascosti in un segreto impenetrabile, ugualmente incapace
di vedere il niente da dove è venuto come l’infinito in cui è inghiottito”– Blaise Pascal –1Introduzione

Chi dovesse iniziare la lettura di queste pagine aspettandosi un racconto poliziesco o qualcosa del genere rimarrebbe sicuramente deluso. Avrebbe infatti
probabilmente confuso “cardinali” con “canarine” oppure l’autore col suo
cugino narratore. Non incontrerà infatti alti prelati barbaramente uccisi,
magari in luoghi silenziosi destinati al culto e alla meditazione, non dovrà
cercare moventi o individuare colpevoli in ambienti per loro natura pocopropensi ad aprire armadi polverosi. Ma in fondo il titolo è davvero soltanto
un ingannevole pretesto, scelto per attrarre lettori e poter raccontare la
storia della scoperta dell’infinito attuale e della sua affermazione.
Infatti i cardinali di cui si parlerà sono soltanto enti matematici, e inquanto tali astratti; sono soltanto numeri, anche se grandi, molto grandi,
incredibilmente grandi.
Ma andiamo per ordine. Per capire di quali cardinali si tratti, e in qualesenso uno di loro possa eliminarne un altro, occorre raccontare una storia che
comincia moltissimo tempo fa, un racconto matematico il cui personaggio
principale è l’infinito, e che inevitabilmente dovrà descrivere il tentativo dinegarne l’esistenza, la sua affermazione e la scoperta della sua molteplicità.
E nella narrazione la scelta è stata quella di privilegiare la chiarezza rispetto
al rigore, e lo scopo quello di dare volto e umanità a quanti si sono spesso
combattuti su questi temi, senza esclusione di colpi.
L’infinito: uno, nessuno e centomila, e ancora, ancora di più.
* Dipartimento di Matematica e Applicazioni dell’Università di Napoli Federico II

Complesso Universitario Monte S. Angelo, via Cintia, Napoli
e-mail: degiovan@unina.it
Lavoro realizzato nell’ambito del progetto ADV-AGTA

199

F. de Giovanni

2

L’infinito e i numeri cardinali

Ritengo del tutto implausibile che l’infinito possa essere ritrovato nella realtà
sensibile, e a sostegno di questa affermazione sembra opportuno ricordare
qui le parole pronunciate da David Hilbert (1862–1943) nel 1925:“Abbiamo già visto che, nella realtà, l’infinito è qualcosa di irreperibile,
quali che siano le esperienze, le osservazioni e il sapere cui si fa ricorso. Ma
può il pensiero sulle cose essere tanto differente dalle cose stesse? E i processidel pensiero possono essere tanto diversi dagli effettivi processi delle cose?
In breve: può il pensiero essere tanto lontano dalla realtà?”D’altra parte anche Bertrand Russell (1872–1970), nel 1919 affermava:“Non si può dire che sia sicuro che esista in realtà un qualsiasi insieme
infinito nel mondo. L’ipotesi che esista è quello che noi chiamiamo l’assiomadell’infinito”.
Filosofi e matematici hanno dovuto affrontare, fin dai tempi antichi, il
problema dell’infinito, della sua realtà e della sua comprensione, dei suoi
intrecci con la teologia. L’affermazione di Aristotele (384–322 a.C.) secondo la quale “l’infinito come totalità compiuta, l’infinito in atto, non esiste”
ha ostacolato lo sviluppo della ricerca sulle possibilità dell’infinito per oltre duemila anni. E si può dire che ancora prima, intorno al 500 a.C., lacomparsa dell’infinito aveva portato, direttamente o indirettamente, ad undelitto, un omicidio reale, con una vittima in carne ed ossa, e per di più in
un ambiente in qualche senso sacerdotale.
È ben noto che Pitagora di Samo (570–495 a.C.) ed i suoi discepoli avevano misticamente posto il numero al centro della loro filosofia, considerandolo
essenza stessa della natura; i numeri pitagorici erano tutti razionali, e la prova dell’esistenza di entità irrazionali (e quindi di numeri decimali illimitati
non periodici), come la misura della diagonale del quadrato di lato unitario,
aveva avuto un effetto sconvolgente.
Ritenendo che tale scoperta avrebbe potuto colpire in modo irreparabile i fondamenti stessi della sua teoria, Pitagora vincolò
al silenzio assoluto su questo punto i partecipanti alla riunione (ristretta agli iniziati)
in cui era stata annunciato l’incredibile risultato. La leggenda racconta però che Ippaso di Metaponto, uno dei principali esponenti della scuola pitagorica, rivelò ad altri il segreto dell’irrazionalità, e per questo
fu strangolato (o affogato) da Pitagora inpersona o da sicari da questo inviati.

2100

fig.1 – Ippaso di Metaponto

Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato: un delitto contabilmente riconoscibileÈ opportuno osservare che Ippaso sembra sia stato, dopo il fondatore, il
personaggio di maggior rilievo della scuola pitagorica, e che a lui vengono
attribuite varie scoperte matematiche. Inoltre, alcune fonti indicano Ippasocome il maestro di Eraclito di Efeso (535–475 a.C.), uno dei maggiori pensatori presocratici, le cui idee hanno influenzato profondamente larga partedella filosofia occidentale.
Per molti secoli l’idea di infinito rimase confinata ad un impreciso aspetto potenziale, ma già Zenone di Elea (489–429 a.C.) con i suoi paradossi aveva evidenziato come l’infinito costituisse un serio problema per laspeculazione matematica e filosofica. L’utilizzo di quantità infinitesimali (cioè piccole quanto si vuole) fu implicito nei metodi per il calcolo diaree e volumi sviluppati da Eudosso di Cnido (408–355 a.C) e da Archimede di Siracusa (287–212 a.C.), e si propagò nel tempo fino all’opera fondamentale di due matematici, che sul finire del XVII secolo segnarono inmodo indelebile il pensiero scientifico e filosofico: Isaac Newton (1643–1727)
e Gottfried von Leibniz (1646–1716). Nella sua definizione di flussione, Newton spiegava che l’ultima ratio di due quantità evanescenti “è da intendersicome il rapporto delle quantità, non prima che esse svaniscano, né dopo che sono svanite, ma con il quale esse svaniscono”. Meno comprensibili (e piùdiscutibili) appaiono le spiegazioni fornite da Leibniz dell’uso di quantità infinitamente piccole. Comunque, questi tentativi primordiali di formalizzare
l’infinito provocarono numerose reazioni, tra le quali ad esempio quella irridente del filosofo irlandese George Berkeley (1685–1753), che nel suo scritto“L’analista: discorso a un matematico infedele” (1734) affermava: “E cosasono queste flussioni? Le velocità di incrementi evanescenti? Non sono néquantità finite, né quantità infinitamente piccole, ma nemmeno un nulla.
Non potremmo chiamarle fantasmi di quantità defunte?”.
Fu Galileo Galilei (1564–1642) il primo ad esplorare la possibilità delpassaggio dall’infinito potenziale all’infinito attuale. Infatti, in un punto dei“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze” (1638),
il grande scienziato pisano fa costruire dal suo alter ego Salviati una corrispondenza biunivoca tra tutti i numeri naturali e i loro quadrati, concludendo che “ci sono tanti quadrati quanti sono i numeri”. In tal modo, Galilei
si riferisce alla collezione dei numeri naturali (ed ovviamente anche a quelladei quadrati) come ad un oggetto in sé, considerando quindi l’infinito nella
sua attualità, e non più solo nella sua potenzialità. Il paradosso galileiano
di un insieme in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio
fu in seguito trasportato dal discreto al continuo ad opera di Bernard Bolzano (1781–1848), il quale provò che l’intervallo dei numeri reali compresi
tra 0 e 1 può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’intervallo dei
numeri reali compresi tra 0 e 2.

3101

F. de Giovanni

Nella seconda metà del XIX secolo l’esigenza di rigore e formalizzazionedella matematica ebbe infine il sopravvento. Karl Weierstrass (1815–1897),
considerato da molti il fondatore dell’analisi moderna, fu in grado di rendere
precisi i concetti fondamentali dell’analisi infinitesimale, mentre è all’opera
geniale e rivoluzionaria (e perciò controversa) del suo allievo Georg Cantor(1845–1918) che si deve la grande costruzione della teoria degli insiemi ela scoperta dell’infinito attuale nella sua molteplicità. Cantor introdusse inumeri cardinali, e sviluppò le sue idee utilizzando il confronto tra insiemi.

fig.2 – Georg Cantor con la moglie Vally Guttmann

Ma come confrontare gli insiemi? La prima idea, quasi istintiva, è quelladi usare come metodo di confronto tra insiemi l’inclusione, cioè ritenere uninsieme S più piccolo di un insieme T se ogni elemento di S è anche elemento di T . Ma questa scelta si rivela immediatamente inefficace, in quantonel confronto mediante l’inclusione la maggior parte delle coppie di insiemi
risultano inconfrontabili. E allora la procedura giusta può forse essere quella di contare gli elementi degli insiemi, e ritenere un insieme più grande di
un altro se è costituito da più elementi. Immaginando grossolanamente gli
insiemi come contenitori di oggetti, il modo più semplice per confrontarne
due con questo metodo quantitativo consiste nell’estrarre da ciascuno degli
insiemi, come da un’urna, un oggetto alla volta, in modo alternato, finoa che uno dei due, a parità di operazioni effettuate, non si svuota mentre
l’altro contiene ancora degli ogg etti; in tal caso il primo è l’insieme più
piccolo. Può però accadere che gli insiemi da confrontare si svuotino simultaneamente, ed in tal caso essi si possono ritenere equivalenti dal punto divista quantitativo. Certamente occorre formalizzare questo discorso, e soprattutto rendersi conto che un metodo cosı̀ elementare può funzionare nel

4102Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato: un delitto contabilmente riconoscibile

caso degli insiemi finiti, o comunque in qualche senso piccoli, mentre occorre molta cautela qualora si intendano confrontare insiemi che siano grandi
o addirittura infiniti. Ad esempio, come si possono contare i punti di unsegmento o quelli di un quadrato, e come si possono confrontare gli insiemi
costituiti da tali punti?
Nel processo di formalizzazione è necessario in primo luogo stabilire quali
insiemi debbano essere considerati equivalenti dal punto di vista quantitativo: due insiemi (non vuoti) S e T si dicono equipotenti se è possibile stabilire
tra essi una corrispondenza biunivoca, cioè se è possibile far corrispondere
in modo univoco ad ogni elemento di S un elemento di T , con la condizione aggiuntiva che ad elementi distinti di S corrispondano elementi distinti
di T e che tutti gli oggetti di T siano coinvolti in tale corrispondenza. La
collezione di tutti gli insiemi equipotenti all’insieme S è una classe (non uninsieme) che chiameremo numero cardinale di S. A voler essere precisi ilnumero cardinale di S andrebbe definito come un particolare oggetto dellasua classe di equipotenza (il più piccolo numero ordinale in tale classe), maqui si è preferito procedere in modo ingenuo, evitando qualunque accenno aquestioni assiomatiche.
Con tali premesse, diremo che un insieme (non vuoto) S è meno potente
di un insieme (non vuoto) T se esiste una funzione iniettiva di S in T ,cioè se è possibile far corrispondere univocamente ad ogni elemento di S
un elemento di T , in modo tale che ad elementi distinti di S corrispondano
elementi distinti di T . È facile provare che l’insieme S è meno potentedell’insieme T se e soltanto se esiste una funzione suriettiva di T in S,
ovvero una corrispondenza che associ ad ogni elemento di T un elemento
di S in modo tale che ogni elemento di S provenga da qualche elemento
di T . In questo caso diremo anche che l’insieme T è più potente di S. Si
ha allora ovviamente che due insiemi equipotenti risultano ciascuno meno
potente dell’altro.
Il confronto (quantitativo) appena introdotto tra gli insiemi permette diordinare i numeri cardinali, ritenendo il numero cardinale di un insieme S
più piccolo del numero cardinale di un insieme T se esiste una funzione
iniettiva da un elemento del cardinale di S ad un elemento del cardinale di T ,ovvero se è possibile trovare un’applicazione iniettiva di S in T . Infatti, perprovare che in questo modo si ottiene un ordinamento dei numeri cardinali,
quel che occorre verificare è che per il confronto quantitativo sussiste una
forma di asimmetria. Tale proprietà è garantita dal cosiddetto teorema
di Cantor-Bernstein:
Siano S e T insiemi non vuoti tali che esistano una funzione iniettiva di S
in T ed una funzione iniettiva di T in S. Allora S e T sono equipotenti.

5103F. de Giovanni

Cantor enunciò questo risultato nel suo famoso lavoro “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre” (1896), ma proponendone una dimostrazione non soddisfacente; in quel periodo Felix Bernstein (1878–1956),
ancora studente liceale, partecipava al seminario che Cantor teneva
ad Halle, e si offrı̀ di correggere lebozze del lavoro, accorgendosi della necessità di ritoccare la prova
cantoriana, e ottenendone una corretta nel 1897. La dimostrazione
di Bernstein fu pubblicata l’anno
succesivo nelle “Lezioni sulla teoria delle funzioni” di Èmile Borel(1871–1956). In seguito Bernsteinsi laureò sotto la guida di Hilberta Göttingen, e in quella univerfig.3 – Felix Bernsteinsità insegnò fino a quando le vergognose leggi razziali promulgate dalregime hitleriano non lo costrinsero ad emigrare negli Stati Uniti.
È di estrema importanza osservare che l’ordinamento tra numeri cardinali ottenuto mediante il confronto quantitativo di insiemi è totale, nel senso
che due qualunque numeri cardinali sono confrontabili. Evidentemente, questa proprietà equivale al seguente enunciato, noto come teorema di Hartogs
o teorema di tricotomia.
Qualunque siano gli insiemi non vuoti S e T , esiste una funzione iniettiva
di S in T oppure esiste una funzione iniettiva di T in S.
Anche questo risultato fu enunciato, senzadimostrazione, da Cantor nel 1895. In seguito, in una lettera del 28 luglio 1899, indirizzata a Richard Dedekind (1831–1916),
Cantor scrisse che esso può essere ottenuto come conseguenza del principio del buonordinamento. Fu solo nel 1915 che Friedrich Hartogs (1874–1943), allora professore straordinario all’università di München,riuscı̀ a provare che il teorema di tricotomia è di fatto equivalente al principiodel buon ordinamento, e quindi all’assiomadella scelta.

6104

fig.4 – Friedrich Hartogs

Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato: un delitto contabilmente riconoscibile

Anche Hartogs era di origine ebraica e, dopo la notte dei cristalli (10 novembre 1938), fu internato per alcune settimane nel campo di concentramento di Dachau. Dopo il rilascio dal lager fu costretto a subire gravi
umiliazioni, che lo spinsero infine al suicidio nell’agosto 1943.
È facile capire che il numero cardinale di un insieme finito può essere
identificato con l’ordine dell’insieme. Ma quali e quanti sono i numeri cardinali degli insiemi infiniti? Il primo che si incontra è ℵ0 , il numero cardinaledell’insieme dei numeri naturali (e quindi di un qualunque insieme numerabile, ed in particolare dell’insieme dei numeri interi e di quello dei numeri
razionali), che è più piccolo di ogni altro numero cardinale infinito. Ma Cantor riuscı̀ a dimostrare che l’insieme dei numeri reali non può essere messoin corrispondenza biunivoca con quello dei numeri naturali (cioè non è numerabile), e quindi il suo numero cardinale è strettamente più grande di ℵ0 .
Che tale numero cardinale sia oppure no consecutivo ad ℵ0 è il problema(ipotesi del continuo) che ha ossessionato Cantor per lunghi tratti della suavita, senza che egli riuscisse a risolverlo. Oggi sappiamo, grazie ai fondamentali contributi di Kurt Gödel (1906–1978) e Paul Cohen (1934–2007),
che tale questione non ammette soluzione, cioè essa è indecidibile all’internodella teoria degli insiemi ZF C, costruita usando il sistema assiomatico introdotto da Ernst Zermelo (1871–1953) e Adolf Fraenkel (1891–1965), conl’aggiunta dell’assioma della scelta.
Proseguendo nella sua ricerca di numeri cardinali sempre più grandi,
Cantor osservò che l’insieme dei punti di un segmento ha lo stesso numero cardinale dell’insieme dei punti di un quadrato, stupendosi egli stesso
di tale risultato: “Je le vois, mais je ne le crois pas”, scrisse in francese
il 29 giugno 1877 in una lettera a Dedekind. Con un argomento semplicema brillante, Cantor fu infine in grado di provare che esiste una gerarchia
illimitata di numeri cardinali infiniti. La sua dimostrazione è molto breve einteressante, ed è perciò il caso di raccontarla.
Si supponga che esista una funzione suriettiva ϕ da un insieme S all’insieme P (S) costituito da tutte le parti di S, e si consideri il sottoinsieme X0
di S costituito da tutti gli oggetti x che non appartengano alla propria
immagine ϕ(x). Esiste quindi un elemento x0 di S tale che ϕ(x0 ) = X0 .
Ma allora, per la definizione stessa dell’insieme X0 , si ha che da x0 ∈ X0
segue x0 ∈/ X0 mentre da x0 ∈/ X0 si deduce x0 ∈ X0 . Questa evidente
contraddizione prova che una siffatta funzione ϕ non può esistere, per cui
il numero cardinale di P (S) è necessariamente più grande di quello di S.
Pertanto la sequenza di insiemi S, P (S), P P (S) , P P (P (S)) , . . .
7105

F. de Giovanni

determina una sequenza di numeri cardinali sempre più grandi, e quindi
per ogni numero cardinale ℵ è possibile trovare una sequenza strettamente
crescente di numeri cardinali maggiori di ℵ.
È opportuno osservare come il tipo di dimostrazione proposto da Cantor per questo risultato è sostanzialmente un αντιστρέφον, argomento logico già in uso nella Grecia classica, che porta a stabilire l’equivalenza traun’affermazione e la sua negazione, e conduce quindi ad una contraddizione
insanabile.
Un esempio significativo di αντιστρέφον è riportato da Aulo Gellio (125–180)
nelle “Noctes Atticæ”, dove viene narrata la disputa tra il sofista Protagora
di Abdera (486–411 a.C.) ed il suo allievo Euathlos. Quest’ultimo infattirifiutava di pagare al grande filosofo il compenso pattuito per le lezioni
di retorica ricevute, ed allora Protagora gli propose di provvedere al pagamento se avesse vinto nella prima causa in cui si sarebbe dovuto difendere.
Euathlos accettò, e il giorno seguente Protagora lo citò in tribunale per far valere lesue ragioni, ritenendo che in tal modo, qualunque fosse stata la decisione del tribunale,
avrebbe ottenuto il pagamento. Ma Euathlos, rivolgendosi ai giudici, e dimostrando
di avere ben assimilato gli insegnamenti delmaestro, osservò che, al contrario, in nessun caso e per le stesse ragioni, egli avrebbe dovuto pagare. I giudici, non riuscendoin nessun modo ad uscire da questa impasfig.5 – Protagora di Abdera
se logica, rinviarono indefinitamente ogni
decisione.
Le idee di Cantor avevano irrimediabilmente squarciato il velo polverosoche da tanto, troppo tempo copriva l’infinito e impediva l’evoluzione dellaconoscenza. Da quel momento la matematica non poteva essere, e nonsarebbe stata più, la stessa.
Ma è ben noto che i sistemi di potere (che siano di natura sociale, politica, economica o culturale) non tollerano la trasgressione all’ordine costituito e tendono a reprimerla con durezza spesso inaudita. E il sistema
accademico-scientifico non fa eccezione, basti pensare alle storie emblematiche di Évariste Galois (1811–1832), padre dell’algebra moderna, del biologo
austriaco Paul Kammerer (1880–1926) e del medico ungherese Ignác Semmelweis (1818–1865). E anche nel caso delle innovative teorie cantoriane la8106Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato: un delitto contabilmente riconoscibile

reazione del potere conservatore non si fece attendere, e fu durissima. Matematici di grande prestigio attaccarono in modo esplicito le nuove idee. Ad
esempio, Henri Poincaré (1854–1912) affermò di ritenere la teoria di Cantor“una malattia, un bizzarro stato di malessere da cui un giorno la matematica
sarebbe guarita”. La previsione e la speranza di Poincaré si rivelarono però
errate, e la guarigione da questa brutta malattia sembra per fortuna ancora
molto lontana.
L’aggressione più violenta e concreta nei confronti di Cantor e delle
sue teorie fu sicuramente quella di Leopold Kronecker (1823–1891), il
quale occupava una posizione di grande prestigio all’università di Berlino e fu un precursore dell’intuizionismo. Kronecker dichiarò più volteche “Dio ha creato i numero interi, e tutto il
resto è opera dell’uomo”, e questa posizione
radicale lascia capire perché egli ritenesse
inammissibile l’uso dei numeri irrazionali eancor di più l’indagine sull’infinito. Al punto di definire Cantor un “corruttore dellagioventù” e ritenere vuoto il suo contributo matematico. Egli evitò con tutti i mezzi
che Cantor potesse ottenere una cattedra a
Berlino, costringendolo di fatto a svolgere
tutta la sua attività a Halle, in una sedeche Cantor considerò sempre come periferica rispetto al mondo della ricerca matematica. Kronecker cercò di impedire, o almeno rallentare, la pubblicazione dei lavori diCantor su riviste di grande rilevanza quali il “Journal für die reine und angewandte
fig.6 – Leopold Kronecker
Mathematik” (il famoso Crelle’s journal);in più, con un meschino espediente ottenne che si incrinasse il rapporto di amicizia tra Cantor e il matematico svedese Gustaf Mittag Leffler(1846–1927), uno dei pochi che aveva sostenuto ed incoraggiato le ricerche
di Cantor, pubblicando alcuni dei suoi più importanti contributi nella sua
rivista “Acta Mathematica”. Lo scopo di Kronecker era appunto quello dichiudere al suo avversario le porte anche del prestigioso periodico svedese.
L’ottusa ostilità di Kronecker ebbe un effetto dirompente sulla fragilità
psichica di Cantor. Egli ebbe la prima grave crisi depressiva nel 1884, cheriuscı̀ a superare dopo alcuni mesi senza uno specifico aiuto terapeutico.
In seguito le condizioni mentali di Cantor peggiorarono, rendendo necessari
diversi ricoveri nella clinica psichiatrica dell’università di Halle, dove infinemorı̀ il 6 gennaio 1918. Oggi sappiamo che la patologia di Cantor era plausibilmente dovuta sia a fattori ambientali che genetici, ma non è possibile
9107

F. de Giovanni

stabilire quanto la persecuzione perpetrata da Kronecker nei suoi confronti
abbia contribuito ad alienare una delle più prodigiose menti matematiche efilosofiche di tutti i tempi.
D’altra parte, la posizione arrogante e intransigente di Kronecker nei
confronti dei numeri irrazionali e dell’uso dell’infinito (anche potenziale) lo
aveva già portato ad una profonda divergenza anche con Weierstrass, che si
inasprı̀ in seguito ai continui attacchi a Cantor. Potrebbe sembrare il canonico conflitto tra eminenti esponenti di due discipline vicine ma rivali, dauna parte l’algebra e il discreto, rappresentati da Kronecker, e dall’altra l’analisi e il continuo, incarnati da Weierstrass. Si trattava invece dello scontro
tra concezioni filosofiche profondamente diverse della matematica, che non
dipendevano dalle tematiche coinvolte. In più, tale scontro era aggravato dagli aspetti caratteriali di Kronecker, che aveva certamente eccellenti capacitàmatematiche, ma a cui mancavano le qualità umane necessarie per essere un
grande matematico: la grandezza di un matematico (o di uno scienziato nel
senso più ampio) non può prescindere dalla sua grandezza umana.
Anche il matematico italiano Federigo Enriques (1871–1946) espresse una valutazione negativa sul lavoro di Cantor, argomentando cosı̀ in un suo scritto del 1912: “Il
tentativo di superare il campo delle matematiche cosı̀ determinato in rapporto alla
possibilità effettiva della costruzione mentale ha condotto Giorgio Cantor a porre come dati alcuni concetti che gli spiriti critici
non possono ritenere in alcun modo definiti;
tale per esempio il numero alef-uno che corrisponde al concetto della totalità delle serie
numerabili. La debolezza della posizione diquei pochi matematici [. . .] che considerano
effettivamente dati siffatti concetti, si rivela nei cosiddetti paradossi della teoria degli
insiemi”.

fig.7 – Federigo Enriques

La critica di Enriques fu rivolta anche agli altri matematici impegnati
nella costruzione del mirabile edificio della teoria degli insiemi. In particolare, a proposito del principio del buon ordinamento di Zermelo, egli dichiarò
nel 1924: “Ebbene, il meno che si possa osservare è che questa legge non èlegge per tutte le menti. Onde accade in fatto che le dimostrazioni con cui si
dovrebbe rispondere al dubbio se il continuo possa essere ben ordinato non
hanno forza di convincere nessuno di quelli che veramente ne dubitano”.

10108Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato: un delitto contabilmente riconoscibile

Naturalmente non mancarono matematici di grande carisma che presero
le difese di Cantor e delle sue idee. Oltre al già citato Weierstrass, anche Hilbert ebbe una posizione chiarissima in difesa della nuova teoria dichiarando
che “nessuno ci caccerà dal paradiso che Cantor ha creato per noi”. Mi
sembra anche significativo menzionare un brano del discorso pronunciato
dallo stesso Hilbert il 4 giugno 1925, in occasione del congresso organizzato
dalla Società Matematica della Westfalia in onore di Weierstrass.
“L’analisi da sola, però, non ci offre la migliore comprensione della natura dell’infinito: a fornircela è, piuttosto, una disciplina
che si avvicina maggiormente a un pensiero filosofico generale, e che è stata ideata
per gettare nuova luce sull’intero complesso di questioni relative all’infinito. Questa
disciplina, creata da Georg Cantor, è l’insiemistica. Qui ci interessa solamente quella parte unica e originale dell’insiemisticache rappresenta il nocciolo della dottrina
di Cantor, e cioè la teoria dei numeri transfiniti: una teoria che, a mio avviso, costituisce il frutto più squisito dello spirito
matematico, nonché una delle somme conquiste dell’attività puramente intellettualedell’uomo”.

fig.8 – David Hilbert

Nello stesso discorso, Hilbert celebrava la grandezza della costruzione
cantoriana con la frase: “Cosı̀, grazie alla titanica collaborazione tra Frege,
Dedekind e Cantor, l’infinito fu glorificato e visse un’epoca di grande trionfo.
Spiccando un volo audace, l’infinito aveva raggiunto l’apice vertiginoso delsuccesso”.

3

Cardinali eliminabili

Ma è arrivato il momento di tornare a quello che sembrava, e doveva essere, l’argomento di questo articolo. Perché, anche se - come ho già detto cercavo solo un pretesto per parlare a ruota libera di Cantor e dell’infinito,
qualche parola andrà pur spesa per giustificare il titolo che ho dato al lavoro. Ebbene, ci sono problemi in matematica in cui l’analisi di insiemi con
una certa cardinalità elevata ℵ può essere omessa, purché sia chiaro quel che
avviene per insiemi con cardinalità minore di ℵ, ed in tal senso ℵ può essere“ucciso” dai cardinali che lo precedono. Situazioni di questo tipo possono
verificarsi nello studio di strutture matematiche di varia natura. Si cercherà
qui di illustrare brevemente questa tematica nel caso della teoria dei gruppi;
11109

F. de Giovannila scelta di questa struttura è ovviamente legata in modo esclusivo al gusto personale dell’autore, ma non dovrebbe limitare la comprensione dellaproblematica.
Nel 1962 Reinhold Baer (1902–1979), uno dei
più importanti algebristi del ventesimo secolo, introdusse il concetto di contabile riconoscibilità per i gruppi: una proprietà P relativa ai gruppi si dice contabilmente riconoscibile se essa è verificata da un qualunquegruppo (non numerabile) G tale che P valga
per ogni sottogruppo contabile (cioè finito onumerabile) di G. Il primo banale esempio
di proprietà contabilmente riconoscibile è lacommutatività, ma più in generale tale è ogni
proprietà locale, cioè trasmissibile dai sottofig.9 – Reinhold Baergruppi finitamente generati all’intero gruppo;
questa osservazione discende dal fatto che in un qualunque gruppo isottogruppi generati dalle parti finite sono contabili.
Se una proprietà gruppale P è contabilmente riconoscibile, allora, nell’ambito della teoria dei gruppi e relativamente allo studio di tale proprietà,
possiamo dire che il comportamento dei numeri cardinali infiniti e non numerabili (cioè quelli maggiori di ℵ0 ) è trascurabile. In tale senso si può
allora affermare che, nella situazione che abbiamo delimitato, il primo numero cardinale infinito ℵ0 (con la complicità dei numeri cardinali finiti, cioè
dei numeri naturali) elimina tutti gli altri cardinali infiniti. Baer riuscı̀ aprovare che molte importanti proprietà gruppali (in particolare la risolubilità
e la nilpotenza), pur non essendo locali, sono contabilmente riconoscibili.
Ma già venti anni prima, Sergei N. Černikov(1912–1987), uno dei maggiori esponenti della scuola sovietica di teoria dei gruppi, aveva per primo forzato ℵ0 ad uccidere gli altri
cardinali infiniti in un’importante situazione,
provando che l’ipercentralità di un gruppo ècontabilmente riconoscibile. Dopo i pionieristici contributi di Černikov e di Baer, numerose altre proprietà gruppali contabilmente riconoscibili sono state scoperte, ed infine una classificazione ragionevolmente completa di tali proprietà è stata recentemente
ottenuta dalla scuola algebrica napoletana.

12
110

fig.10 – Sergei N. Černikov

Georg Cantor e il caso del cardinale assassinato: un delitto contabilmente riconoscibile

Vorrei infine menzionare che esistono situazioni duali in cui sono i numeri cardinali più grandi ad eliminare i più piccoli. È ad esempio possibile
provare che se ℵ è un numero cardinale sufficientemente regolare e maggiore
di ℵ0 , e G è un gruppo di cardinalità ℵ i cui sottogruppi propri di cardinalità ℵ sono nilpotenti, allora G stesso è nilpotente (almeno in assenza diquozienti semplici infiniti). Pertanto in questa situazione il comportamento
dei sottogruppi di cardinalità minore di ℵ è trascurabile, e quindi ℵ è ingrado di eliminare tutti i cardinali che lo precedono.

13111Sull’insegnamento delle frazioni nella
scuola secondaria
di Margherita Guida∗, Carlo Sbordone†

Le frazioni rappresentano, per gli allievi della scuola secondaria di primo
grado, la prima occasione impegnativa di ricorso all’astrazione, ed è proprio
in questa fase che si verificano, su larga scala, fenomeni di incomprensione.
La matematica che si insegna a scuola viene sı̀ dai pensatori del passato
ed è perfettamente collaudata, ma la sua trasmissione ai giovani ha molti
gradi di libertà e risente dell’evoluzione del mondo, non solo per le continue
scoperte fatte nei laboratori e nei centri di ricerca, ma anche per le novità
messe a disposizione dalla tecnologia. Spesso la matematica è concepita come un insieme di tecniche risolutive, l’idea della matematica come edificio
coerente e strutturato della conoscenza non sempre viene comunicata allo
studente. Per trasferire il senso della struttura organizzata della matematica agli studenti una delle occasioni migliori è quella di fornire un quadro
chiaro e coerente del sistema dei numeri, spiegare in modo semplice come si
passa dall’insieme dei numeri naturali all’insieme dei numeri interi, e quindi
all’insieme dei numeri frazionari.
In genere, quando si presenta il sistema dei numeri, la definizione di “frazione”
non sempre appare chiara, anche perchè spesso si attribuiscono tre significati alla parola “frazione”: parte di un tutto, quoziente, rapporto.
Quando si definisce una “frazione”come:mParte di un tutto: la frazione
sta ad indicare che un “tutto”è staton2
partizionato in n parti uguali e ne sono state considerate m. Ad esempio,
3
di un biscotto è la parte di biscotto costituita da 2 pezzi, quando il biscottoè diviso in 3 parti uguali. In particolare, se m = 1, e se il “tutto”può essere
1
diviso in n parti uguali, allora del “tutto”coincide con una di quelle parti.
n∗
I.S.I.S. “Elena di Savoia”, Largo S. Marcellino 15, 80138 Napoli, Italia. Email:maguida@unina.it†
Universitá degli Studi di Napoli “Federico II”. Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Complesso Monte S. Angelo - Via Cintia, 80126 Napoli, Italia.
Email: sbordone@unina.it

1113

M. Guida - C. Sbordone

mdel “tutto”è costituita da m (di quellen1parti) cioè da m parti ognuna delle quali è del “tutto”.
nmQuindi, il numeratore m della frazionedel “tutto”ci dice il numero dellenparti, mentre il denominatore n della frazione ci dice che tipo di parti sonostate considerate (mezzi, terzi, quarti, quinti, . . .);In generale, se m ≥ 1 la frazionemsi considera come m : n (anche qui c’è l’idea dinpartizione). Ad esempio, 2 : 3 è la quantità di biscotto che ciascuno riceve
se 2 biscotti identici sono ripartiti equamente tra 3 persone;m
Rapporto: la frazioneè letta come un rapporto (ci sono m oggetti ogninn oggetti). Ad esempio, dire che il rapporto tra uomini e donne in un ufficioè 3 a 2 significa dire che se U è il numero di uomini e D è il numero di donne,
3
allora il rapporto tra U e D è .
2
Quoziente: la frazione

Tuttavia, questi significati attribuiti alla parola “frazione”non sono sempre
soddisfacenti e generano molte perplessità negli studenti:• Quando si parla di parte di un “tutto”non è chiaro cos’è un “tutto”, ad
esempio, nella figura in basso (Fig.1) la parte tratteggiata rappresenta
4 4
o ?
3 6

Figura 1: Frazioni come parte di un tutto

Non è possibile rispondere a questa domanda se non si precisa qual’è“il tutto”.
44
La parte tratteggiata è del rettangolo di sinistra, ma è anche del3
6complesso dei due rettangoli, cioè dell’unione dei due rettangoli;2
114

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria• Quando si parla di “rapporto”non sempre gli studenti sanno già cos’è
un rapporto, e non comprendono il legame con parte di un “tutto”;• Quando si fa m : n si ha l’idea di una divisione quando m è multiplo
di n, ma non si sa ancora cosa significa m : n in caso contrario;• Non è chiaro cosa significa addizionare, sottrarre, moltiplicare e dividere parte di un “tutto”, un quoziente o un rapporto.
Da questa breve analisi appare evidente che occorre dare una definizione
chiara ma allo stesso tempo rigorosa di “frazione”.

1

Frazioni: punti della retta dei numeri

L’esplorazione iniziale di frazioni può consistere in una raccolta di dati occorre però ad un certo punto mettere i dati in un contesto teorico. Le pizze
e le torte, con cui per anni sono state spiegate le frazioni, possono essere
utili ai primissimi livelli per apprendere il vocabolario, diventano inadeguate per rappresentare frazioni maggiori di 1 o per moltiplicare. Le frazioni
rappresentano per un bambino la prima visita nella matematica astratta,
quanto e come apprendono i ragazzini in questa fase gli resterà dentro pertutta la vita. Pertanto, vediamo ora come presentare, a studenti della scuola
secondaria di primo grado, le frazioni come punti della retta dei numeri, introducendo prima la retta dei numeri e dando poi la definizione di frazione.

La retta dei numeri
Considerata una retta r, fissiamo un suo punto e indichiamolo con 0 (zero):Figura 2: Retta dei numeri

3115

M. Guida - C. Sbordone

Scegliamo a destra di 0 un altro punto della retta e indichiamolo con 1 (uno):

Figura 3: Retta dei numeri

La distanza tra 0 e 1 costituisce l’unità di misura per localizzare altri punti,
chiamiamo segmento unitario il segmento avente per estremi 0 e 1 (Fig.3).
Per disegnare altri numeri a destra di 1, spostiamo il segmento unitario verso
destra finchè il punto 0 vada a coincidere con il suo estremo destro (ossia 1)
e indichiamo con 2 (due) il nuovo estremo destro cosı̀ ottenuto (Fig.4):

Figura 4: Retta dei numeri

procedendo in modo analogo otteniamo 3, 4, . . .
Definizione 1.1 Un numero naturale è uno dei punti indicati sulla retta
dopo lo zero. La retta con l’insieme dei numeri naturali si chiama retta dei
numeri.
Un numero naturale è cosı̀ definito in maniera concreta ed esplicita: è uno
dei punti disegnati sulla retta dei numeri.
Osservazione 1.2 Questa definizione non è l’ideale ma è accessibile a chiunque e facilita lo studio dei numeri frazionari.

4116

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

Le frazioni come punti della retta dei numeri
Definiamo ora le frazioni come punti della retta dei numeri partendo dallasequenza dei terzi.
Se a e b sono due punti sulla retta dei numeri, con a alla sinistra di b

Figura 5: Segmento di estremi a e b
con [a, b] indichiamo il segmento di estremi a e b.
Dato il segmento di estremi 0 e 1 ossia [0, 1] che sarà il segmento unitario,la sua lunghezza è il “tutto”, il punto 1 è l’unità.
Per costruire la sequenza dei terzi, dividiamo il segmento unitario [0, 1] intre parti di uguale lunghezza:

Figura 6: Costruzione sequenza dei terzi

la lunghezza del segmento in grassetto (Fig.6) è indicata dall’estremo destro
1
di tale segmento, in questo caso è ossia un terzo del tutto.
3
Analogamente, dividiamo in tre parti di uguale lunghezza tutti i segmenti[1, 2], [2, 3], . . . e cosı̀ otteniamo la sequenza dei terzi:

Figura 7: Sequenza dei terzi

5117

M. Guida - C. Sbordone

Ogni punto della sequenza (Fig.7) misura la sua distanza da zero, ad esempio
7771
è la lunghezza di [0, ], ma è anche 7 volte la lunghezza di [0, ], e inoltre
3
3
3
3
7
è la settima frazione, nella sequenza dei terzi, a destra di zero.
3m
1
I numerisono i multipli di al variare di m ∈ N.
3
3
Definizione 1.3 Dati i numeri naturali m ed n, costruiamo la sequenza
1 2 3
degli n-simi:, , , . . ., dividendo i segmenti [0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . in nn n n
parti uguali.
m
La frazioneè l’m-simo punto, nella sequenza degli n-simi, a destra dinzero.

Notiamo che fissato n ∈ N, al variare di m ∈ N ∪ {0}, si ottengono tuttim
1
i multipli interi positividie zero. Esattamente come per n = 1 alnnvariare di m ∈ N ∪ {0}, si ottengono tutti gli interi positivi m e zero.

Osservazione 1.4 Questa definizione di frazione, confrontata con quellatradizionale che si basa su un pezzo di pizza o una fetta di torta è più facile
da applicare: abbiamo scelto di ripartire un segmento in n parti di uguale
lunghezza piuttosto che un cerchio in n parti congruenti.

Osservazione 1.5 Possiamo suddividere il segmento unitario con il metodo classico delle proiezioni parallele, basato sul Teorema di Talete, oppure
con il metodo ricorsivo illustrato di seguito. Tale metodo è una versione
semplificata dell’algoritmo scoperto in classe da due ragazzi americani, Daniel Litchfield e Dave Goldenhein, che con l’aiuto dell’insegnante Charles
Dietrich pubblicarono nel 1997 un articolo su Mathematics Teacher ([1]).

6118Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

Versione semplificata algoritmo C.Dietrich, D.Goldenhein, D.Litchfield.
Sia AB il segmento unitario [0;1], per determinare la posizione di 31• Costruiamo il quadrato ABCD
• Tracciamo le diagonali DB e AC
• Detto V il punto di incontro delle diagonali, indichiamo con M laproiezione ortogonale di V su AB• Il punto M sarà il punto medio di AB e quindi M corrisponderà ad 21

Figura 8: Determinazione posizione di 12 del segmento unitario
Per determinare la posizione di 13• Congiungiamo il punto D con il punto M• Detto G il punto di incontro di DM con AC, indichiamo con H laproiezione ortogonale di G su AB e con F la proiezione ortogonale diG su CD

Figura 9: Determinazione posizione di 13 del segmento unitario

7119

M. Guida - C. Sbordone

Per la similitudine dei triangoli AGM e CGD (vedi Fig.9) otteniamo:
GH : GF = AM : CD
posto AH = x abbiamo
11: 1 =⇒ x =2
3
1 1
Con analogo procedimento si determinano , , . . ..
4 5
x : (1 − x) =Osservazione 1.6 Uno dei vantaggi di avere una definizione precisa di frazione è che si può facilmente introdurre una definizione di ordine (stretto).
′mmm
Definizione 1.7 La frazioneè minore di ′ , se e solo se,è a sinistra
n
n
n
′
m
di ′ sulla retta dei numeri.
n′mm< ′ , si deve calcolare unnn23
comune denominatore, ad esempio per provare che<
si deve usare
3
4
8
9
<
.
12
12

Si noti che tradizionalmente, per decidere se

Frazioni decimali
Si chiamano frazioni decimali le frazioni con denominatore potenze positive
3619 12200
di 10, ad esempio:,, . . ..
102
104
Notiamo, che tali numeri si possono scrivere rispettivamente come 36.19, 1.2200,
facendo uso del punto decimale che tiene conto della potenza di 10 che figura
al denominatore.
Nel numero 1.2200 si possono eliminare gli zeri finali pervenendo a scrivere:
1.2200 = 1.22
ma questo equivale a verificare che:
12200
122
=
4
10
102
e ciò richiede una dimostrazione.

8120

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

Teorema 1.8 (sulla semplificazione di frazioni)
Dati m, n, l ∈ N risulta:
m
lm
=
n
ln
Dim. Proviamo il teorema in un caso particolare, consideriamo m = 3,
3
4×3
n = 2, l = 4, ossia: =.
2
4×2
Sulla retta dei numeri consideriamo la sequenza dei mezzi:

Figura 10: Sequenza dei mezzi

Dividiamo in 4 parti uguali ciascun segmento tra punti consecutivi dellasequenza dei mezzi, in tal modo ognuno dei segmenti [0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . ècosı̀ ripartito in 8 parti uguali e si ottiene la sequenza degli ottavi:

Figura 11: Confronto sequenza dei mezzi e degli ottavi

3
che è il terzo punto nella sequenza dei mezzi è ora il dodice2
12
4×3
simo punto nella sequenza degli ottavi, ossia
=
.
8
4×2

La frazione

Mediante il Teorema sulla semplificazione di frazioni si può giustificare
l’uguaglianza:
1.2200 = 1.22
9121

M. Guida - C. Sbordone

Ricordando che per definizione
1.2200 =

12200
104

si ha
1.2200 =122 · 102122
= 2 = 1.22
102 · 102
10

Pertanto si possono aggiungere o togliere zeri all’estrema destra del punto
decimale, lasciando inalterato il numero decimale.
Osservazione 1.9 Abbiamo preso atto del fatto che l’uguaglianza
(∗)

ml
m
=
nl
n

equivale a dire che le due frazioni al primo e secondo membro corrispondono
allo stesso punto della retta dei numeri.
ml m
Quindi, mentre di solito si caratterizza (*) dicendo cheesono frazioni
nl nequivalenti, per noi esse sono uguali.
Da queste considerazioni, appare chiaro che due applicazioni del Teorema
sulla semplificazione di frazioni che si utilizzano spesso sono le seguenti:
1) gli zeri finali dopo il punto decimale si possono sopprimere;ac2) due frazioniebdtore bd , cioè:

possono essere ridotte allo stesso denomina-

a
ad
=
,
b
bd

c
bc
= .
d
bd

Ciò vuol dire che posto n = b · d, allora le due frazioni

a
ad
=
,
b
n

c
bc
=
fanno parte della sequenza degli n-simi, rispettivamente nelladnposizione ad-sima e bc-sima.
adbc
Pertanto, si può dire che se ad < bc alloraè a sinistra di
cioè
n
n
c
a
< .
b
d
10

122

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

Teorema 1.10 (sulle frazioni ridotte ai minimi termini)
Per ogni frazione, ne esiste un’unica, ad essa uguale, che sia ridotta ai
minimi termini.
Dim. La dimostrazione non è banale, si basa sull’Algoritmo di Euclide.
Osservazione 1.11 Per le considerazioni fatte appare chiaro che preferire
4 16aè una questione di gusti e non una necessità matematica.
3 12
Operazioni con le frazioni
Introduciamo le operazioni tra frazioni usando la retta dei numeri.
Nel caso dell’addizione di frazioni partiamo dal seguente esempio.
Esempio 1.12 La somma dei numeri interi 3 e 5 ossia 3 + 5 è la lunghezza dell’unione che chiamiamo concatenazione dei due segmenti adiacenti dilunghezza rispettivamente 3 e 5

Figura 12: Somma di 3 e 5Tenendo conto del fatto che i numeri interi corrispondono a particolari frazioni, concettualmente la definizione di somma di frazioni non potrà essere
diversa da quella illustrata nell’Esempio 1.12.
mkm k
Definizione 1.13 Date due frazionie, la loro somma
+
n
l
n
l
è la lunghezza della concatenazione dei due segmenti adiacenti di lunghezzamkrispettivamente
e
.
n
l

11
123

M. Guida - C. Sbordonekm
Esempio 1.14 La somma delle frazionieè la lunghezza del segnlmento in figura:k
Figura 13: Somma di m
n e l

m k
+ è la lunghezza della concatenazione di due segmenti adiacenti,nlmk
uno di lunghezza
e l’altro di lunghezza .
n
l

cioè

k m
Dalla definizione di somma di due frazioni esegue che valgono la prol nprietà associativa:
k m
p
k
m p
( + )+ = +( + )
l
n
q
l
n
q

Figura 14: Proprietà associativa

12

124

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

e la proprietà commutativa:

Figura 15: Proprietà commutativa

Teorema 1.15 (sull’ addizione di frazioni)k mDate due frazioniela loro somma è data da:lnk mkn + lm+=lnln
Dim. Dalla definizione di somma segue:k1
1= + ... +
l
l
l

k − volte
e quindi nel caso particolare (l = n)

(∗∗)

k m
k+m
+
=
l
l
l

In generale, se i denominatori l ed n sono diversi, per eseguire l’addizione di
k
m
con :
l
n
k m
+
l
n

13
125

M. Guida - C. Sbordone

k
kn m
lm
come
e
come
, usando il Teorema sulla “semllnnlnplificazione di frazioni”, poi usiamo (**):

prima riscriviamo

k m
kn lm
kn + lm
+
=
+
=
l
n
ln
ln
ln
.

Esempio 1.16
5 3
5·7 6·3
5·7+6·3
53
+ =
+
=
=
6 7
6·7 6·7
6·7
42

Moltiplicazione di frazioni
Esaminiamo la moltiplicazione di frazioni partendo dal seguente esempio:

Esempio 1.17 Dati i numeri interi 3 e 5 il prodotto di 3 per 5 ossia
3 × 5 = 5 + 5 + 5 sulla retta dei numeri è:

Figura 16: Retta con unità di misura uguale a 5

3×5 è il punto 3 sulla retta con unità di misura uguale a 5 e cioè: 3×5 = 15.
A differenza del caso dei numeri interi, la moltiplicazione di frazioni non è
3 1
1
addizione ripetuta, ad esempio × non può voler dire “addizionare a
5 4
43
se stesso volte”.
53
di un numero a come la totalità di 3 parti, quando a è diviso
5
3
1
in 5 parti uguali, allora
di si ottiene dividendo il segmento [0, 41 ] in 5
5
4

Definendo

14126

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

parti uguali e prendendo la lunghezza dell’unione di 3 di tali parti:

Figura 17: Sequenza dei ventesimi

Inoltre, se dividiamo il segmento [0, 1] in 20 parti uguali, come si può os3
1
3
servare dalla Figura17, si ha chedicorrisponde a
di 1.
5
4
20

m k
m k
m
Definizione 1.18 Date due frazioni
e , il prodotto× ossia
di
n
l
n
l
n
k
è uguale alla totalità di m parti, quando il segmento [0, kl ] è diviso in nlparti uguali.

Teorema 1.19 (sulla moltiplicazione di frazioni)m kDate due frazioni
e il loro prodotto è dato da:
n
l
m k
mk
× =
n
l
nl
Dim. Per il Teorema sulla “semplificazione di frazioni”
mml
m + ... + m
m
m
=
=
=
+ ... +
nnl
nl
nl  nllmm
è la lunghezza dell’unione di l parti ciascuna lunga. Allora, la lunnnlghezza dell’unione di k di quelle parti è
15
127

mk
.
nl

M. Guida - C. Sbordone

La divisione di frazioni
Talvolta la definizione di divisione di frazioni viene data utilizzando il Teorema sulla semplificazione di frazioni:
k
k
kln
kn
k n
l
l × ln
l
=
=
= ·
=
m
m
mln
lm
l m
n
n × lnnk

Tale modo di procedere per definire ml , spesso sintetizzato dall’espressionen“Inverti e Moltiplica”, non è corretto, perchè si basa su operazioni e su
enti non ancora definiti.
k

Non possiamo coinvolgere nei calcoli il 1◦ membro ml se non è stato ancorandefinito. Inoltre, il Teorema sulla semplificazione di frazioni afferma cheaam=purchè a, b, m ∈ N e a, b non siano frazioni.
bbm

Esempio 1.20 Per comprendere, nel caso della divisione

k
l
m
n

l’algoritmo“inverti e moltiplica ”, consideriamo in una situazione concreta la divi2 5sione tra e .
3 7Domanda: Un ragazzo spende ogni giorno esattamente la stessa quantità
2
di soldi dalla sua paghetta settimanale. Se condella paghetta arriva da
3
5
lunedı̀ a venerdı̀, cioè sostiene i delle spese settimanali, che frazione della7
paghetta spende ogni settimana?
Risposta: la risposta è f = (2/3) : (5/7).
La quantità x che si cerca è data dalla proporzione
2 5: =x:13 7
cioè
2

x = 35 =?
7

16
128

2 7
×
3 5

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

2
Le spese per 5 giorni si coprono con della paghetta, quindi le spese per 1
3giorno si coprono con
1 2· della paghetta
5 3cioè con2
2
14della paghetta. Moltiplico per 7 ed ottengo
×7=
15
15
15

Figura 18: Divisione tra 23 e 57

La divisione tra frazioni è resa possibile dal seguente teorema:
Teorema 1.21 .
k mDate due frazioni
e , con m �= 0, esiste un’unica frazione C tale che:
l
n
k
m
=
×C
l
n
nk
Dim. Per provare l’asserto basta scegliere C =. Se D fosse un’altraml
frazione tale che:
(1)

k
m
=
×D
l
n

17

129

M. Guida - C. Sbordone

Moltiplicando la (1) ad ambo i membri per

n
si ha
m

n
k
n
m
× =
× ( × D)mlmnossia:nknm=( × )×Dmlmnda cui
D=

nk
=C
ml

Analizziamo ora il significato geometrico della divisione di frazioni.
A
Date due frazioni A e B, con B �= 0, il quozienteè la lunghezza dell’altro
BA
lato del rettangolo la cui area vale A =× B e uno dei lati ha lunghezza
BB.
Nel caso della divisione tra numeri interi positivi m ed n, la divisione esattam : n viene interpretata come il numero di gruppi che si formano quando moggetti vengono ripartiti in gruppi di n oggetti ciascuno.
Ad esempio, nel caso di 15 : 5 si tratta di ripartire 15 oggetti in gruppi di 5
oggetti ciascuno:

Figura 19: Ripartizione di 15 oggetti in gruppi da 5

Alla domanda “Quanti gruppi da 5 stanno in 15?”si risponde : 3.

18
130

Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

Consideriamo ora le due corrispondenti interpretazioni della divisione con
resto tra due interi positivi qualsiasi m, n ∈ N:
1) m : n è il massimo numero intero di gruppi che si possono formare quando
m oggetti sono ripartiti in gruppi di n oggetti ciascuno:

Figura 20: Ripartizione di 16 oggetti in gruppi da 5

Nel caso di 16 : 5 ci chiediamo Quanti gruppi da 5? La risposta è 3,quindi abbiamo che il quoziente della divisione è 3 ed il resto è 1.
2) m : n è il massimo numero intero di oggetti che sono in ciascun gruppo
quando m oggetti sono ripartiti equamente in n gruppi

16 : 5 = 3 con resto R=1

Figura 21: Ripartizione di 16 oggetti in gruppi da 5

2 5
Se adesso riprendiamo l’esempio 1.20 e consideriamo la divisione : nel
3 7contesto “Quanti in un gruppo? ”, corrisponderà al problema:2<< Quanti oggetti ci saranno in un gruppo se distribuisco
di oggetto
35
equamente fra di un gruppo?>>
7

19
131

M. Guida - C. Sbordone

Si cerca di determinare la frazione di un oggetto in un gruppo sapendo che
52i di un oggetto riempiono i di un gruppo.
3
7
Nell’esempio della paghetta, supposto che un ragazzo abbia sempre la stessa
2
5
spesa giornaliera, se con di paga settimanale egli copre di spese setti3
77manali, con quale frazione della paga ne copre i , cioè copre l’intera spesa
7
settimanale?
1
Dall’ipotesi segue che le spese per di settimana (per 1 giorno) si coprono
7
1
2
2
14
con di di paga cioè con, moltiplicando per 7 giorni si ottiene
.
5
3
15
15
14
Dunque con idella paga il ragazzo copre le sue spese settimanali e gliene
15
1
resta
per mettere da parte.
15
Osservazioni. Una delle difficoltà che gli studenti manifestano, quando studiano le frazioni, è di accettare che “complessivamente”l’insieme dei numeri
razionali, sebbene ovunque denso, non riempia un segmento. Intuitivamente
sembra impossibile che in un segmento possano coesistere un insieme infinito (di cardinalità numerabile, cioè l’insieme dei suoi punti razionali) ed un
altro insieme infinito disgiunto dal primo, anzi infinito di un livello maggiore( ha cardinalità maggiore del numerabile, cioè l’insieme dei suoi punti irrazionali).
Lo studio meno approfondito dei numeri irrazionali nel percorso scolastico èforse dovuto al fatto che la pratica matematica a scuola è purtroppo ridotta
spesso ad apprendimento ed uso di tecniche di calcolo. E se invece provassimo finalmente a presentare la nostra disciplina come il risultato dellacostruzione di un grosso edificio logico? Un edificio, che si è realizzato finqui (ed ancora si evolve) a seguito di riflessioni atte a rendere la matematica
via via più adeguata a rispondere alle necessità umane. Probabilmente intal modo meglio potremmo dare un’idea degli insiemi numerici e della loro
collocazione gerarchica come sistema organico di conoscenze. I numeri irrazionali entrano in scena a seguito di sgradevoli sorprese: il lato del quadrato
non è frazione della diagonale; le altezze di un triangolo equilatero non sono
frazioni del lato, ecc. Dunque le frazioni non bastano a risolvere problemi
geometrici ed equazioni di secondo grado. Al pari di come i numeri naturali
non bastano a studiare problemi con sottrazioni , per cui si è convenuto di
ampliare il campo numerico fino a introdurre i numeri negativi e lo zero equindi i numeri interi relativi. Al pari di come i numeri interi non bastanoa risolvere equazioni di primo grado, per cui si è convenuto di ampliare il
campo numerico fino alle frazioni.
Dunque, un edificio che cresce, insiemi di numeri, non solo numeri singoli con
20
132Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria

le loro identità specifiche: N=Insieme dei numeri naturali o interi positivi,
Z=Insieme degli interi relativi, Q=Insieme dei numeri razionali, R=Insieme
dei razionali unito a quello dei numeri irrazionali ovvero insieme dei numeri
reali.
Questo ultimo insieme è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, anzi è del tutto isomorfo a tale retta, al punto che possiamo identificare
R con tale retta. Qui invochiamo il supporto dell’algebra moderna con le sue
nozioni di isomorfismo. Dal punto di vista della quantità dei loro elementi,
gli insiemi N, Z e Q sono alla pari, cioè, come si dice con linguaggio preciso,sono “equipotenti”ovvero sono tra loro in corrispondenza biunivoca. Questo
si può mostrare agli allievi di scuola secondaria con il procedimento diagonale di Cantor. Inoltre, tra due punti di una retta cade sempre un numero
razionale (Q è denso in se).
Qui sembra opportuno segnalare il Teorema di McKay, apparso in un articolo di L. Sherzer, pubblicato sulla rivista americana Mathematics Teacher del1973 ([3]), che mostra come date due frazioni positive ridotte ai minimi teracmini < , la frazione ottenuta con somma dei numeratori al numeratorebde somma dei denominatori al denominatore è compresa fra le due :a(a + c)c<<b(b + d)dQuesto teorema fornisce un metodo per calcolare date due frazioni una frazione compresa tra esse, e nella pratica è molto più agevole di quello tradizionale che ricorre alla media aritmetica:a+cac< b d <
b
2
d

.
1 1
Esempio 1.22 Per determinare una frazione compresa tra e in genere
6 5
si ricorre alla media aritmetica tra le due frazioni, ovvero si considera il
1 1
punto medio del segmento di estremi e .
6 5
Si eseguono le seguenti operazioni:( 61 + 15 )
11
=
2
60
e si osserva che
1
10
11
12
1
=
<
<
=
6
60
60
60
5
21
133

.

M. Guida - C. Sbordone

Invece, usando il Teorema di McKay, per determinare una frazione compresa
1 1
tra e basta eseguire la seguente operazione:
6 5
1+1
6+5
e osservare che
1
55
2
60
1
66
=
<
=
< =
6
330
11
330
5
330
.
Da questo esempio appare chiaro che nella pratica il metodo fornito dal
Teorema di McKay fornisce in modo immediato una frazione compresa tradue frazioni assegnate. La cosa sorpendente è che questo Teorema sia stato
scoperto in classe, infatti McKay era uno studente di scuola superiore e
Sherzer il suo insegnante di matematica.

Riferimenti bibliografici[1] D.C. Litchfield, D. A. Goldenheim, C. H. Dietrich, Euclid Fibonacci
Sketchpad, The Mathematics Teacher, Vol. 90, N.1(1997), 8–12.
[2] M. Saul, H. Bass, H. Wu, B. Jacob, W. Bishop, R. Howe, and G. Harel,
Response to the Elizabeth Green Article , Notices of the AMS, Vol. 62,
N.5(2015), 508–514.
[3] L. Sherzer, McKay’s Theorem, Mathematics Teacher, Vol. 66,(1973),
229–230.
[4] H. Wu, Understanding Numbers in Elementary School Mathematics,
American Mathematical Society, 2011

22

134

Il grafico della funzione quadratica: artefatto
matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico
Serafina Pianese*, Piera Romano**

Introduzione
In Italia, da diversi anni, c’è grande attenzione verso l’insegnamento della
Matematica. Gli esiti delle prove internazionali OCSE PISA richiamano l’attenzione
dei media nazionali che sottolineano i risultati negativi, sia in lettura che inmatematica, degli studenti quindicenni italiani rispetto alla media europea. Gli
studenti italiani,a partire dalle prime rilevazioni nel 2003, hanno spesso mostrato
maggiori difficoltà nei quesiti aperti, inseriti in situazioni problematiche con
riferimento alla realtà, tipologia ben frequente nelle prove PISA, considerato che ilquadro di riferimento PISA per la matematica definisce la mathematical literacy
come an individual’s capacity to formulate, employ, and interpret mathematics in avariety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematicalconcepts, procedures, facts and tools to describe, explain and predict phenomena. It
assists individuals to recognise the role that mathematics plays in the world and to
make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged andreflective citizens. (OECD, 2012). Nella definizione di competenza sono
fondamentali i verbi formulate, employ e interpret che individuano i processi che gli
studenti dovrebbero mettere in atto quando risolvono problemi legati ad un contesto,
e la valutazione dei test PISA viene effettuata proprio in funzione di questi tre
processi. In Italia, nel settennio 2007/2013, è sostanzialmente cambiato quanto viene
richiesto agli insegnanti nell’attività curricolare attraverso l’abbandono del concetto
dei programmi e il passaggio alle Indicazioni Nazionali, puntando ad una
progettazione per competenze che privilegi la valutazione dei processi di cui sopra e,a tal fine, ci sono state diverse azioni di formazione rivolte ai docenti di matematica
in servizio finalizzate al miglioramento del processo di insegnamento-apprendimentodella matematica. Si ricordi in particolare il piano di formazione M@tabel, a cura del
MIUR e dell’INDIRE, rivolto ai docenti di Matematica in servizio presso la Scuola
Secondaria di I Grado e al biennio della Scuola secondaria di II grado, i cui materiali
didattici sono attualmente raccolti in un repository pubblico, liberamente fruibile da*Liceo Pluricomprensivo “R.Cartesio” – Giugliano (NA) – email: sara.pianese@gmail.com
Liceo Scientifico Statale “Mons. B. Mangino”, Pagani (SA) – email: peraromano@libero.it

**

135

S. Pianese - P. Romano

ciascun docente all’indirizzo http://www.scuolavalore.indire.it/superguida/matabel/ .
Nelle pagine che seguono ci proponiamo di illustrare un percorso didattico che trae
spunto da diverse attività proposte nel progetto M@tabel, in particolare “Aree epavimentazioni: esploriamo le funzioni quadratiche” e “Rettangoli e Fontane”,
relativo allo studio delle funzioni polinomiali di II grado e alla risoluzione equazioni
e disequazioni di II grado, parte integrante della programmazione per il biennio delLiceo Scientifico. Riportiamo, in merito, alcuni stralci delle Indicazioni Nazionalidel 2007, in cui, tra gli obiettivi di apprendimento da raggiungere al termine delbiennio del Liceo Scientifico, si fa riferimento alla “capacità di eseguire calcoli con
le espressioni letterali per rappresentare un problema (mediante equazioni,
disequazioni o sistemi) e risolverlo”, si richiede ai docenti di far “acquisire il
linguaggio degli insiemi e delle funzioni (…) per costruire semplici rappresentazioni
di fenomeni e come primo passo all’introduzione del concetto di modellomatematico” e, a proposito della risoluzione delle equazioni e disequazioni di II
grado, si legge: “lo studio delle funzioni del tipo 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 e larappresentazione delle rette e delle parabole nel piano cartesiano consentiranno diacquisire i concetti di soluzione delle equazioni di primo e secondo grado in una
incognita, delle disequazioni associate e dei sistemi di equazioni lineari in due
incognite, nonché le tecniche per la loro risoluzione grafica e algebrica,
specificando peraltro che “lo studente sarà in grado di passare agevolmente da unregistro di rappresentazione a un altro (numerico, grafico, funzionale), anche
utilizzando strumenti informatici per la rappresentazione dei dati.”.
In linea con il Quadro di riferimentodell’INVALSI per la Matematica(https://invalsi-areaprove.cineca.it/docs/file/QdR_Mat_II_ciclo.pdf), il percorso hal’obiettivo di migliorare la competenza degli allievi in riferimento ai seguenti
processi:•••

conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico,geometrico,...);
conoscere e padroneggiare diverse forme di rappresentazione e saper passare dauna all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, ...);
saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuaree collegare le informazioni utili, confrontare strategie di soluzione, individuare
schemi risolutivi di problemi).

La nostra esperienza didattica ha evidenziato diversi nodi concettuali e
problematiche relative all’argomento in questione, ovvero:• frequenti errori da parte degli studenti nella risoluzione di equazioni e
disequazioni di secondo grado cosiddette pure (𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 = 0, 𝑎𝑎𝑎𝑎 & + 𝑐𝑐 >0), soprattutto nel caso in cui i coefficienti 𝑎𝑎 e 𝑐𝑐 sono numeri reali concordi;• frequenti errori degli studenti nel gestire le equazioni e le disequazioni nel
caso di discriminante negativo o nullo;136

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

utilizzo meccanico della formula risolutiva delle equazioni di II grado,anche in casi in cui non vi è la effettiva necessità.
Molteplici studi nel campo dell’educazione matematica (ad es. Arcavi,1994,
Bloedy-Vinner, 1995) hanno analizzato le conseguenze della diffusa abitudine daparte degli insegnanti a proporre l’insegnamento del calcolo algebrico come uninsieme di tecniche e procedure, trascurando l’altro aspetto, forse più importante,
non solo dell’algebra in particolare, ma della matematica in generale, che è l’aspetto
strutturale. Diversi autori (Skemp, 1971; Sfard, 1991; Iannece & Romano, 2008),
utilizzando definizioni diverse, descrivono quest’ultimo aspetto come quello checonsente di cogliere le relazioni tra diversi oggetti matematici, di utilizzare il
linguaggio per generalizzare proprietà osservate in casi particolari, di proporresoluzioni per risolvere problemi in situazioni interne alla matematica, ma ancheesterne.
•Per ovviare ad alcuni dei problemi suddetti, che possono essere ricondotti ad un
approccio allo studio della matematica di tipo prevalentemente procedurale, risulta
molto efficace proporre agli studenti attività di modellizzazione che richiedano l’uso
del linguaggio matematico per la descrizione di una situazione e per la risoluzione di
problemi. In tal modo vengono potenziate alcune delle competenze matematiche
definite in (Niss, 2003), in particolare il mathematically modelling1 e il representing
mathematical entities2. E’ inoltre necessario coinvolgere gli allievi in attività cherichiedono la trasformazione tra rappresentazioni semiotiche differenti (sianell’attività di conversione da un registro semiotico ad un altro, sia nella funzione ditrattamento di due diverse rappresentazioni in un medesimo registro), per favorirel’interazione con le strutture matematiche per loro natura astratte (Duval, 2006) e lacostruzione di complessi concetti matematici attraverso un processo di risonanza
cognitiva: “Learning through understanding […] requires, at any level, also
resonance between various “dimensions” of natural thinking: perception, language,
action, representation, planning, interpretation, etc.” (Guidoni, Iannece & Tortora,
2005).

1

Mathematically modelling (i.e., analysing and building models),such as:• analysing the foundations and properties of existing models, including assessing their range and validity;• decoding existing models, i.e., translating and interpreting model elements in terms of the reality modelled;and• performing active modelling in a given context, i.e., structuring the field, mathematizing, working with(in)the model (including solving the problems the model gives rise to); validating the model, internally andexternally; analysing and criticizing the model (in itself and vis-a`-vis possible alternatives); communicating
about the model and its results; monitoring and controlling the entire modelling process.
2

Representing mathematical entities, such as:• understanding and utilizing (decoding, interpreting, and distinguishing between) different sorts ofrepresentations of mathematical objects, phenomena, and situations;• understanding and utilizing the relations between different representations of the same entity, including
knowing about their relative strengths and limitations; and• choosing and switching between representations

137

S. Pianese - P. Romano

In queste pagine illustriamo solamente alcuni punti salienti del percorso. A partireda proposte di attività di modellizzazione, la funzione quadratica viene studiata da
un punto di vista tipico dell’analisi matematica, estrapolandone le principali
caratteristiche e proprietà (segno, intersezioni, monotonia, concavità) dal grafico
cartesiano della funzione, ottenuto, inizialmente, per punti e, successivamente,
attraverso l’utilizzo di un foglio di calcolo e/o di un software di geometria
dinamica(come ad esempio Excel e GeoGebra). L’uso del foglio di calcolo èparticolarmente efficace per far emergere il legame tra le variabili in gioco e
promuovere l’utilizzo del linguaggio simbolico, mentre un software di geometria
dinamica dà la possibilità di esaminare di esaminare, attraverso la funzione ditrascinamento, le proprietà di un grafico al variare dei parametri. L’attività diesplorazione, resa più potente dagli strumenti tecnologici, consente di far emergere
caratteristiche comuni a classi di funzioni che pertanto divengono un modello dastudiare, modello matematico che potrà poi essere utilizzato per descrivere
situazioni varie in contesti differenti. Nel proporre questo tipo di attività, durante lelezioni di matematica agli allievi viene richiesto di affrontare in gruppo alcune
situazioni problematiche, interne o esterne alla matematica. Durante le discussioni,
ciascuno è incoraggiato ad esprimere la propria opinione in merito alla soluzionedel problema, “the time is used to talk together, to compare one to another, to learn
to ask questions, to another one and to oneself” (Postman, 1973), e anche le risposte
sbagliate sono occasione di riflessione e fungono da generatore di idee corrette(Mellone & Tortora, 2015).
Ciascuna delle attività proposte porta con sé numerose ed interessanti considerazioni
di tipo didattico sulla base del quadro teorico qui accennato, ma l’intento di queste
pagine è meramente illustrativo dell’attività didattica, pertanto tali considerazioni
saranno affrontate successivamente a partire dall’analisi dei protocolli delle attività
di classe. Ovviamente i contenuti disciplinari e i risultati esposti sono ben noti agli
addetti ai lavori; ciò che si vuole evidenziare è la possibilità di creare un percorso
didattico che non segua le tappe che storicamente hanno portato ai ben noti risultati
relativi agli argomenti trattati, tappe secondo cui sono peraltro organizzati i libri ditesto per la scuola secondaria, ma che piuttosto vuole essere una proposta dirivisitazione di argomenti classici, attraverso lo studio del grafico cartesiano di una
funzione. Il grafico cartesiano della funzione quadratica, ottenuto mediante l’utilizzo
di software diviene in tal modo artefatto matematico per promuovere negli studenti
lo studio delle equazioni e disequazioni di II grado che solitamente sono trattate inmaniera prevalentemente algebrica, cosicché le tecniche risolutive vengono
giustificate analizzando le proprietà della funzione quadratica. Il grafico diventa“strumento di mediazione semiotica (…) usato intenzionalmente dall'insegnante per
mediare un contenuto matematico attraverso un intervento didattico pianificato
intenzionalmente” (Bartolini Bussi & Mariotti, 2009).

138

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

1

Funzioni quadratiche del tipo 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐

Per funzione quadratica s'intende una funzione polinomiale il cui polinomio
associato ha grado 2. Essa si presenta nella forma: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, con 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐
numeri reali e 𝑎𝑎 ≠ 0. Introdurremo, al variare dei coefficienti 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ciascuno dei casi
da studiare con qualche problema/situazione problematica descrivibile con lafunzione in esame e richiameremo le definizioni e le proprietà matematiche chepossono emergere nella discussione in classe con gli studenti.
Problema 1 Dalle progressioni aritmetiche alle funzioni quadratiche.
Presi 4 numeri naturali consecutivi, si calcoli la differenza tra il prodotto dei valori
medi e quello dei valori estremi. Si ripeta l’esercizio con differenti quaterne dinumeri consecutivi alla ricerca di eventuali regolarità, e si fornisca una
dimostrazione della eventuale regolarità osservata. Si ripeta l’esercizio con 4
numeri interi in progressione aritmetica di ragione k. Esprimere la eventuale
regolarità osservata.
Considerazioni didattiche in merito alle potenzialità del suddetto problema sono
riportate in (Mellone & Tortora, 2015). Il problema ben si presta all’esplorazione, inquanto, attraverso ripetuti tentativi, si cercano eventuali regolarità. Esso può essere
utilizzato già in una classe prima per introdurre gli studenti all’utilizzo dellinguaggio algebrico. Per l’obiettivo che ci siamo posti in queste pagine, però, siamo
maggiormente interessati alla regolarità che emerge al variare della ragione dellaprogressione aritmetica. La generalizzazione attraverso il linguaggio algebrico èquella di seguito descritta.
Detti 𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , 𝑎𝑎3 , 𝑎𝑎4 i quattro termini della progressione, si ha:

𝑎𝑎& = 𝑎𝑎5 + 𝑘𝑘, 𝑎𝑎7 = 𝑎𝑎5 + 2𝑘𝑘, 𝑎𝑎4 = 𝑎𝑎5 + 3𝑘𝑘,

e i prodotti richiesti sono 𝑃𝑃5 = 𝑎𝑎5 ∙ 𝑎𝑎4 e 𝑃𝑃& = 𝑎𝑎& ∙ 𝑎𝑎7 . Si ricava:

𝑃𝑃& − 𝑃𝑃5 = 𝑎𝑎5 ∙ 𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎& ∙ 𝑎𝑎7 = 𝑎𝑎5 𝑎𝑎5 + 3𝑘𝑘 − 𝑎𝑎5 + 𝑘𝑘 𝑎𝑎5 + 2𝑘𝑘 = 2𝑘𝑘 &Problema 2 Un problema di pavimentazione (adattato dall’attività M@tabelreperibile all’indirizzo web http://www.scuolavalore.indire.it/nuove_risorse/aree-epavimentazioni-esploriamo-le-funzioni-quadratiche/).
Bisogna pavimentare alcune aule di una scuola, tutte quadrate. E’ stata scelta la
ditta Pavin che ha presentato un preventivo per una pavimentazione che costa 7 € al
m2 compresa la messa in opera. Quanto si spende per ogni aula, al variare della
lunghezza l del lato delle aule?
Anche in questo caso il legame è esprimibile attraverso una funzione quadratica:𝐴𝐴(𝑙𝑙) = 7𝑙𝑙 & , dove 𝐴𝐴 𝑙𝑙 rappresenta la spesa per ogni aula. L’esercizio, piuttosto

139

S. Pianese - P. Romano

banale, nel seguito sarà opportunamente modificato al fine di studiare la funzione
quadratica, al variare dei parametri.
Le situazioni proposte nei problemi 1 e 2 sono differenti l'una dall'altra, sia per ilcontesto, prettamente matematico nel primo caso, con riferimento a situazioni direaltà nel secondo, sia perché è diverso il dominio delle variabili con cui i problemi
vengono tradotti. Infatti, se è vero che in entrambi i casi la modellizzazione
matematica conduce ad una funzione quadratica del tipo 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & con 𝑏𝑏 = 0, = 𝑐𝑐 =0, nel primo caso si tratta di una successione, definita nell’insieme 𝑁𝑁, mentre nel
secondo il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali. Questa fondamentale
differenza è di rilevante importanza anche per far emergere la differenza tra i grafici
corrispondenti alle due situazioni, mostrati nella Figura 1, ottenuti con Excel, ma che
gli allievi potrebbero anche essere in grado di disegnare procedendo per punti.

Figura 1. Funzioni di proporzionalità quadratica

Il confronto tra i due grafici è l’occasione per affrontare con gli studenti ladiscussione sulla possibilità di “unire” i punti, nonché sull’importanza dell’insieme didefinizione della variabile indipendente. In entrambi i casi, infatti, c’è il vincolo sulla
non negatività della variabile indipendente, ma la funzione di proporzionalità
quadratica che traduce entrambi i problemi, generalizzabile in funzioni tipo 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑥𝑥 & , una volta introdotta, viene studiata in quanto funzione matematica, svincolata
dal contesto, pertanto le considerazioni seguenti vengono fatte con 𝑥𝑥 ∈R. In ogni caso
preme sottolineare ancora una volta che entrambi gli esercizi vengono proposti solocome situazioni "stimolo" per introdurre gli allievi allo studio delle funzioni
quadratiche, non escludendo che ad essi se ne possono aggiungere altri, anche incontesti differenti.
Una volta posta la necessità di esaminare funzioni che esprimano relazioni diproporzionalità quadratiche tra le variabili in gioco, si rende necessaria una strategia
didattica per fare in modo che allievi del biennio di scuola superiore siano in gradodi esaminarne in modo qualitativo le proprietà, nonostante non posseggano gli
strumenti del calcolo infinitesimale e differenziale dell’analisi matematica con cui si
studiano le funzioni non elementari. E’ utile rivolgere agli studenti le seguenti
domande:140

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

●
●
●
●
●
●

Come incide il valore del parametro 𝑎𝑎 sul grafico della funzione?
Qual è il segno della funzione?
Il grafico della funzione presenta simmetrie?
Ci sono intersezioni con gli assi cartesiani?
La funzione è crescente?
Esiste un punto speciale? Se sì, perché? E in che senso?

Figura 2. Funzioni di proporzionalità quadratica al variare di a>0

Nel seguito descriviamo le possibili osservazioni che si possono condurre con gli
studenti.
Analisi del grafico. Si richiede agli allievi di rappresentare nello stesso riferimento
cartesiano diverse funzioni quadratiche, al variare del parametro 𝑎𝑎 > 0, ad esempio
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 & e 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 & ,mediante l’utilizzo di un foglio di calcolo, come riportato in
Figura 2. In questo modo si intuisce che, al crescere di a, la curva viene ad essere
sempre più “schiacciata” verso l’asse delle ordinate; si potrà far notare agli allievi
che ciò è dovuto alla rapidità con cui, al variare di 𝑎𝑎, a parità di ascissa, aumenta ilvalore dell’ordinata. Al variare di 𝑎𝑎, si possono anche osservare ulteriori
caratteristiche: per 𝑎𝑎 > 0 la curva rivolge la concavità verso l’alto e per 𝑎𝑎 < 0 lacurva rivolge la concavità verso il basso. In tal caso è il docente a suggerire l’utilizzo
del termine concavità, tipicamente usato nello studio della parabola come luogo
geometrico, tralasciando intenzionalmente di fornire precisa definizione di funzioni
concave e convesse. A discrezione del docente, si può guidare la classe
all’esplorazione delle differenze prime e seconde, come suggerito nei percorsi
M@tabel, facendo emergere, attraverso il confronto con la rappresentazione grafica,
il legame tra le differenze prime e le proprietà di monotonìa della funzione e ledifferenze seconde, costanti, e le proprietà di convessità/concavità.
Intersezioni con gli assi. Non è difficile convincere gli studenti, guardando il grafico,che vale la seguente proprietà: 𝑎𝑎𝑥𝑥 & = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 0, in considerazione del fatto che, al141

S. Pianese - P. Romano

variare del parametro 𝑎𝑎, l’unico punto di intersezione della curva con gli assi
coordinati è costituito dall’origine (0,0).

Segno della funzione. L’osservazione dei grafici, unita alle conoscenze pregresse diteoria sul segno di una potenza pari, consente anche di rispondere alla domanda
relativa al segno della funzione, che si collega direttamente alla posizione del grafico
nel piano cartesiano. Ci aspettiamo che, in base al fatto che una potenza pari èsempre non negativa, si possa concludere che:•se 𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & ≥ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, dunque il grafico della curva si trova nel I e II
quadrante;•

Se a< 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & ≤ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 e dunque il grafico della curva si trova nel III e
IV quadrante.

Simmetrie. E’ noto che la funzione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & è simmetrica rispetto all’asse delle
ordinate; è interessante chiedere agli allievi di provare ad dimostrare tale proprietà disimmetria. Gli allievi, assegnato un valore al paramentro 𝑎𝑎, ad esempio 𝑎𝑎 = 1, sono
invitati a scegliere punti di ascisse opposte, ad esempio 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = −1, 𝑥𝑥 = 2,
𝑥𝑥 = −2,…, e, a calcolarne l’immagine corrispondente. Quest’unico esempio saràtrattato come esempio generico, che apre la via alla generalizzazione valida per
ciascun valore di 𝑎𝑎. Non è affatto difficile pervenire alla conclusione che,al variare di𝑎𝑎 , si ha: 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 −𝑥𝑥 & = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
È altrettanto facile riconoscere, ancora una volta come esempio generico, che pervalori opposti del parametro 𝑎𝑎, ad esempio 𝑎𝑎 = 2 e 𝑎𝑎 = −2, le funzioni
corrispondenti sono l'una simmetrica dell'altra rispetto all'asse delle ascisse.
L’informazione potrà risultare molto utile nel seguito, nello studio delle disequazioni
di II grado.
Si coglierà pertanto in classe l’occasione per dare le seguenti definizioni, che disolito non vengono formalizzate durante biennio.
Definizione 1.1 Una funzione reale 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , definita in un insieme 𝐷𝐷 ⊆ ℝ, è detta pari
se:
1)
2)

∀𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷, −𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷;∀𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷, 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Si farà osservare che, da un punto di vista geometrico, una funzione pari èsimmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
Definizione 1.2 La simmetria rispetto all'asse delle ascisse è una trasformazione delpiano che ad un punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) fa corrispondere il punto 𝑃𝑃 O (𝑥𝑥 O , 𝑦𝑦 O ) in maniera tale𝑥𝑥 O = 𝑥𝑥che:𝑦𝑦 O = −𝑦𝑦142

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

Monotonia della funzione, massimi e minimi. Dall’osservazione del grafico, si
porteranno agli allievi a riflettere sul significato di crescenza e decrescenza. Non èraro infatti che allievi del biennio abbiano la convinzione errata che il grafico dellafunzione in esame, per 𝑎𝑎 > 0, abbia andamento crescente perché il grafico rivolge laconcavità verso l’alto; tale conclusione è addirittura talvolta accompagnata damovimenti delle braccia ad indicare che i due rami di curva “salgono” verso l’alto.
E’ pertanto questa una buona occasione per cominciare a riflettere sulla nozione difunzione crescente. Per lo studio della monotonia, è utile, essenzialmente distinguere
il caso 𝑎𝑎 > 0 da quello 𝑎𝑎 < 0.

Si coglie l’occasione per dare le seguenti definizioni.

Definizione 1.3 Una funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) è crescente in un intervallo ]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ se e solo se,
comunque scelti due valori 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥5 ∈]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ , 𝑥𝑥5 < 𝑥𝑥& ⇒ 𝑓𝑓 𝑥𝑥5 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥& ) .

Definizione 1.4 Una funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) è crescente in un intervallo ]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ se e solo se,
comunque scelti due valori 𝑥𝑥5 , 𝑥𝑥5 ∈]𝑎𝑎, 𝑏𝑏[ 𝑥𝑥5 < 𝑥𝑥& ⇒ 𝑓𝑓 𝑥𝑥5 ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥& ).

Definizione 1.5 Assegnata una funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥), definita in un intervallo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] e unpunto 𝑥𝑥S ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , f ammette minimo assoluto in 𝑥𝑥S se 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 𝑓𝑓 𝑥𝑥S ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 .

Definizione 1.6 Assegnata una funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , definita in un intervallo 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , preso
un punto 𝑥𝑥S ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , f ammette massimo assoluto in 𝑥𝑥S se 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑓𝑓 𝑥𝑥S ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 .

Si sottolinea che gli allievi del biennio non conoscono la parabola né come conica né
come luogo geometrico, pertanto è l’insegnante a suggerire in questa fase dichiamare parabola il grafico della funzione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & e vertice il suo punto
estremale (minimo o massimo), in previsione di quanto successivamente gli allievi
studieranno.

1.1

Equazioni di II grado del tipo: 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒄𝒄

Introduciamo lo studio delle equazioni di II grado del tipo 𝑎𝑎𝑥𝑥 & = 𝑐𝑐 mediante ilseguente problema, che fa riferimento al contesto introdotto con il problema 1.2.
Problema 2.1 Costo di una pavimentazione.
La scuola deve rinnovare la pavimentazione della palestra. Sapendo che lapavimentazione costa 7 euro al metro quadrato e che il costo complessivo è di 3500
euro, calcolare la misura del lato della palestra, sapendo che anch’essa è a piantaquadrata.
Il problema porta con sé questioni relative all’ammissibilità delle soluzioni,
considerato che l’equazione risolvente 7𝑥𝑥 & = 3500 ammette, nel nostro caso, comesoluzioni solo valori di 𝑥𝑥 positivi, questione non banale che consente di riflettere143

S. Pianese - P. Romano

sull’importanza di specificare il dominio per la variabile indipendente, soprattutto
quando il modello matematico descrive una situazione contestualizzata.
Evidentemente lo scopo di tale quesito è quello di fare emergere la necessità dirisolvere equazioni del tipo 𝑎𝑎𝑥𝑥 & = 𝑐𝑐, al variare di 𝑎𝑎 e di 𝑐𝑐. Una volta introdotta lanecessità di risolvere questo tipo di equazioni, è opportuno che ci si soffermi sulle
strategie di risoluzione in un contesto prettamente matematico, invitando
esplicitamente gli allievi a tralasciare temporaneamente il problema proposto, erinviandone la risoluzione ad un momento successivo all’acquisizione di competenze
per la risoluzione di siffatte equazioni.
E’ questo il momento in cui l’insegnante può cominciare ad utilizzare il grafico
cartesiano per dare significato ai vari metodi risolutivi, considerato che questo tipo diequazioni fa registrare diversi errori da parte degli studenti, in particolare quando 𝑎𝑎 ∙𝑐𝑐 < 0. Di solito un primo approccio alla risoluzione di questo tipo di equazione può
essere quello proposto di seguito.
Interpretazione funzionale-numerica La risoluzione dell’equazione 𝑎𝑎x & = 𝑐𝑐, alvariare di 𝑎𝑎 e di 𝑐𝑐, è equivalente alla determinazione delle anti-immagini dellafunzione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & , in corrispondenza del valore 𝑐𝑐. Bisogna perciò individuare, seesistono, i valori della variabile x che soddisfino l’uguaglianza, in base a
considerazioni che tengano conto del segno dei parametri in gioco e della possibilità
di invertire l’operazione di elevamento a potenza ricorrendo, ove possibile, alla
funzione radice quadrata. Ovviamente si giungerà alle ben note conclusioni, diseguito riportate:••

Se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 > 0, esistono due anti-immagini del valore 𝑐𝑐, rappresentate
rispettivamente da 𝑥𝑥5 = −

X

Y

X

Y

.

Se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 0, non esistono in 𝑅𝑅 anti-immagini di 𝑐𝑐, pertanto l’equazione nonammette soluzioni in 𝑅𝑅.

Alcuni semplici esempi.
1) 𝑥𝑥 & = 4 ⇔ 𝑥𝑥 = 2 ∨ 𝑥𝑥 = −2;2)

e 𝑥𝑥& =

4

3𝑥𝑥 & = 4 ⇔ 𝑥𝑥 & = ⇔ 𝑥𝑥 = −747∨ 𝑥𝑥 = +47;3) 𝑥𝑥 & = −4 non ammette soluzioni reali
Tale metodo è esaustivo per la risoluzione delle equazioni, ma può generare diversi
errori (si pensi al non raro caso in cui, alla richiesta di risolvere l’equazione 𝑥𝑥 & =−25, si ottiene come risposta 𝑥𝑥 = ±5), dovuti ad imperizia nella trattazione dei
segni, ad una momentanea seppur inesorabile perdita di significato od anche
all’attivazione di automatismi che precedono l’attribuzione di significato. Può essere
pertanto efficace chiedere agli allievi di affrontare la risoluzione dell’equazione
attraverso il confronto dei grafici, come illustrato di seguito.

144

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

Interpretazione grafica La risoluzione di un’equazione del tipo 𝑎𝑎𝑥𝑥 & = 𝑐𝑐, al variare di𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 &𝑎𝑎 e di 𝑐𝑐, diventa equivalente alla risoluzione del sistema
𝑦𝑦 = 𝑐𝑐che da un punto di vista geometrico è a sua volta equivalente a determinare leintersezioni tra la curva di equazione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & e una retta orizzontale. Si invitano gli
studenti a riflettere sui due casi possibili:• se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 > 0 allora, dalla rappresentazione grafica delle due curve, si deduceche esse si intersecano in due punti di ascissa opposta;• se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 0 allora, dalla rappresentazione grafica delle due curve, si deduceche le due curve non si intersecano, pertanto l’equazione quadratica nonammette soluzioni nel campo dei numeri reali.
Vale la pena di osservare che invece questo approccio esaustivo non è, dal momento
che la determinazione delle ascisse dei punti di intersezione, laddove ci sono, va
comunque fatta sfruttando l’interpretazione funzionale/numerica. Questo approccio èutile per sostenere l’allievo nella risoluzione, dal momento che si vede dal confronto
dei grafici se le curve si intersecano ed in quanti punti lo fanno. Il grafico diviene
uno strumento di controllo e può favorire la corretta esecuzione del compito. E’questo il momento in cui il docente agisce come mediatore, richiedendo
intenzionalmente l’utilizzo di diverse rappresentazioni semiotiche, di esplorarne lepotenzialità, in modo da promuovere negli allievi la competenza nell’attività diconversione tra i differenti registri. Il docente decide in questo modo di potenziare lautilizzando
loro competenza cognitiva di scelta rappresentazionale, nonesclusivamente nozioni di tipo algebrico; in una fase successiva lascerà che ciascuno
studente affronti la risoluzione delle equazioni assecondando il proprio stile
cognitivo.
Osservazione 1.1 Interpretazione grafica dell’equivalenza tra due equazioni. Si
consideri l’equazione −𝑥𝑥 & = −4. E’ ben noto che essa è algebricamente equivalenteall’equazione 𝑥𝑥 & = 4, in virtù di uno dei principi di equivalenza delle equazioni.
L’utilizzo della rappresentazione grafica, per ciascuna delle due equazioni, potrebbeperò generare conflitto, dal momento che i sistemi, algebricamente equivalenti, fanno
riferimento a curve differenti, come mostrato in Figura 3. Vale perciò la pena far
osservare che l’equivalenza delle due equazioni si esprime graficamente col fatto chele due diverse coppie di parabola-retta si intersecano in punti che hanno la stessa
ascissa. Questo tipo di osservazione è di nuovo finalizzata a facilitare l’attività diconversione tra rappresentazioni semiotiche, ma vuole anche potenziare la capacitàdi trattamento di due rappresentazioni differenti nell’ambito dello stesso registro.

145

S. Pianese - P. Romano

Figura 3 Le coppie di punti A e A’, B e B’ hanno la stessa ascissa,
che corrispondono alle soluzioni delle equazioni corrispondenti

1.2

Disequazioni di II grado del tipo 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 > 𝒄𝒄 e 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 < 𝒄𝒄

La rappresentazione grafica dell’equazione 𝑎𝑎𝑥𝑥 & = 𝑐𝑐 porta naturalmente a chiedersi
per quali valori della variabile 𝑥𝑥 risulta 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 > 𝑐𝑐, oppure 𝑎𝑎𝑥𝑥 & < 𝑐𝑐. Bisogna, in tal
caso, individuare per quali valori della variabile 𝑥𝑥 il grafico della curva di equazione
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & si trova al di sopra o al di sotto della retta orizzontale di equazione 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐.

E’ necessario distinguere due casi a seconda del segno di 𝑎𝑎 e di 𝑐𝑐 . Sia inizialmente
𝑎𝑎 > 0. E’ possibile riflettere sui seguenti casi:•

se 𝑐𝑐 > 0, una volta individuati i due punti di intersezione
𝑥𝑥5 = −•XY

e 𝑥𝑥& =

𝑎𝑎𝑥𝑥 & > 𝑐𝑐 ⇔ 𝑥𝑥 < −

X

X

Y

Y

, si può dedurre cheX∨ 𝑥𝑥 >

Ye 𝑎𝑎𝑎𝑎 & < 𝑐𝑐 ⇔ −XY< 𝑥𝑥 <XY.

Se 𝑐𝑐 < 0, tenuto conto che dal confronto della mutua posizione dei grafici
si evince che le due curve non hanno punti di intersezione, si può
concludere che:𝑎𝑎𝑥𝑥 & > 𝑐𝑐, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 ed invece 𝑎𝑎𝑥𝑥 & < 𝑐𝑐 non ammette soluzioni reali.

Alcuni semplici esempi:
1. 𝑥𝑥 & > 4 ⇔ 𝑥𝑥 < −2 ∨ 𝑥𝑥 > 2;
2. 3𝑥𝑥 & < 4 ⇔ −47< 𝑥𝑥 < +

4
7

;

146

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

3. 𝑥𝑥 & < −4 non ammette soluzioni reali.

In maniera del tutto analoga si potrà procedere per il caso 𝑎𝑎 < 0.
Osservazione 1.2 Simmetria e insieme delle soluzioni L’utilizzo dellarappresentazione grafica per la risoluzione delle disequazioni (che può e deverichiedere tempi piuttosto lunghi di esercitazioni, discussioni, approfondimenti) e il
continuo riferimento alle proprietà di simmetria della parabola favorisce negli
studenti la consapevolezza che l’insieme delle soluzioni delle equazioni e delledisequazioni, in assenza di vincoli legati alla natura delle variabili in gioco come nel
caso del problema della pavimentazione, sono anch’essi simmetrici rispetto allo 0.
Ciò può divenire strumento di controllo per evitare errori tipici e automatismi tipo
𝑥𝑥 & > 4 ⇒ 𝑥𝑥 > 2 oppure, ancora peggio, 𝑥𝑥 & > 4 ⇒ 𝑥𝑥 > ∓2.
Si può anche proporre una variazione al Problema 2.1, chiedendo per quali valori di𝑥𝑥 la spesa complessiva supera i 3500 euro, sempre sottolineando il vincolo cherisulti 𝑥𝑥 > 0 e facendo notare che è solo in virtù della limitazione sulla variabile 𝑥𝑥che si deroga alla simmetria dell’insieme delle soluzioni.

2

Funzioni quadratiche del tipo 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒄𝒄

Sia 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, una funzione quadratica con 𝑏𝑏 = 0, 𝑐𝑐 ≠ 0. Ancora una volta
potrebbe risultare motivante introdurre lo studio di questa funzione attraverso una
leggera modifica al Problema 2, così come suggerito nel percorso M@tabel già
citato.
Problema 2.2. La ditta Pavin, che aveva vinto l’appalto per la pavimentazione delleaule, comunica che c’è anche da pagare una spesa fissa per trasporto che ammonta
a 50 €. Come si modifica la funzione che esprime la spesa complessiva?
Evidentemente la funzione che esprime la spesa complessiva è 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 7𝑥𝑥 & + 50,
con 𝑥𝑥 che indica la lunghezza del lato di un’aula. Dopo aver risposto alla domanda,
specificando che il problema richiede che la variabile 𝑥𝑥 risulti positiva, l’insegnanteconcentrerà l’attenzione della classe sul grafico della funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 7𝑥𝑥 & + 50,
con 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅. In primo luogo, si chiede ai ragazzi di rappresentarne il grafico sullo
stesso piano cartesiano della funzione 𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥 & . Ovviamente si potrà poi richiederedi generalizzare le osservazioni per tutte le coppie di funzioni del tipo 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & e 𝑦𝑦 =𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐.

Come suggerito nel percorso M@tabel “Aree e pavimentazioni”, si può utilizzare
un’applet costruita con GeoGebra per esaminare la posizione del grafico al variare di𝑐𝑐, assumendo inizialmente, per fissare le idee, che sia 𝑎𝑎 > 0. Più semplicemente si
può richiedere di disegnare il grafico per diversi valori dei parametri 𝑎𝑎 e 𝑐𝑐. In
entrambi i casi si potrà osservare che:147

S. Pianese - P. Romano••

la funzione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 gode, al variare di c, delle stesse proprietà disimmetria, crescenza e decrescenza della funzione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & ;la funzione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 ha come estremo il punto 𝑉𝑉 0, 𝑐𝑐 , che risulta poi
punto di massimo se 𝑎𝑎 < 0 e punto di minimo se 𝑎𝑎 > 0.

Si coglierà a questo punto l’occasione per studiare la traslazione in termini ditrasformazione geometrica. Si riportano per comodità alcune definizioni utili dariprendere in aula.
Definizione 2.1 La traslazione di vettore 𝒗𝒗 è una trasformazione geometrica tra i
punti del piano che ad un punto P fa corrispondere il punto 𝑃𝑃’ in modo che il vettore
𝑃𝑃𝑃𝑃’ sia equipollente al vettore 𝒗𝒗.

In un sistema di riferimento cartesiano monometrico ortogonale, un vettore può
essere descritto attraverso le sue componenti e una trasformazione geometrica è una
applicazione biiettiva del piano in sé. Pertanto si può dare la seguente definizione.
Definizione 2.2 Assegnato un vettore 𝒗𝒗 = 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 & , la traslazione di vettore 𝒗𝒗 èl’applicazione 𝑇𝑇: 𝑅𝑅 & → 𝑅𝑅 & che ad un punto 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 fa corrispondere il punto
𝑥𝑥 O = 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎.
𝑃𝑃 O 𝑥𝑥 O , 𝑦𝑦 O in maniera tale che: O
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 + 𝑏𝑏

Tornando alla funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, il suo grafico si può ritenere ottenuto daquello della funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & per effetto di una traslazione di vettore 0, 𝑐𝑐 . Inbase a questa considerazione, è molto efficace focalizzare l’attenzione degli studenti
sul ruolo del parametro 𝑐𝑐, in maniera da educare a guardare ai parametri in manierasignificativa.

2.1

Equazioni di II grado del tipo 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎

Diventa a questo punto interessante richiedere agli studenti di risolvere l’equazione
𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 = 0, nell’ambito dello studio della funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐.

Come nel paragrafo precedente, tale equazione può essere affrontata ed interpretata
in diversi modi, ma è molto interessante, alla luce della mediazione semiotica che il
docente può opportunamente condurre, indirizzare intenzionalmente gli studenti ad
usare il grafico per le considerazioni che seguono.
Interpretazione grafica La risoluzione di un’equazione del tipo 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 = 0, alvariare di 𝑎𝑎 e di 𝑐𝑐, da un punto di vista geometrico, è equivalente a determinare leintersezioni del grafico della funzione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 con l’asse delle ascisse, ed è
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐
equivalente alla risoluzione del sistema
𝑦𝑦 = 0148

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

Gli studenti di una classe seconda potrebbero essere già a conoscenza del legame trai tre concetti: zeri di una funzione, risoluzione delle equazioni, intersezioni di una
curva con gli assi, ma è bene nuovamente richiamare la seguente definizione.
Definizione 2.3. Assegnata una funzione 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , definita in 𝐷𝐷 ⊆ 𝑅𝑅 si chiama zerodella funzione un valore 𝑥𝑥S ∈ 𝐷𝐷: 𝑓𝑓 𝑥𝑥S = 0.

Da tale definizione immediatamente segue che uno zero della funzione corrisponde
sul grafico cartesiano al punto di coordinate (𝑥𝑥S , 0) e che gli zeri di una funzione
sono le soluzioni dell’equazione non lineare 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0.
Facilmente si otterrà la seguente classificazione:• se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 > 0, la funzione quadratica rappresenta parabole di equazione 𝑦𝑦 =𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 che non intersecano l’asse delle ascisse;• se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 0, tali parabole di equazione 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 intersecano l’asse delleascisse in due punti di ascisse opposte.

Questo tipo di interpretazione, come nel caso precedente, non è esauriente, dal
momento che dal solo esame del grafico cartesiano non è in generale possibile
ricavare l’ascissa dei punti di intersezione, se non in casi particolari. Occorre
nuovamente abbinare all’interpretazione grafica tecniche risolutive di altra natura.
Ma stavolta, piuttosto che un’interpretazione funzionale/numerica, che richiederebbe
la determinazione delle anti-immagini di 0 per 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, è molto più
efficace ai fini della risoluzione ricorrere agli strumenti del calcolo algebricoricorrendo al seguente ben noto teorema di algebra.
Teorema 2.1 Se un polinomio 𝑃𝑃(𝑥𝑥) di grado 𝑛𝑛 a coefficienti reali ammette 𝑚𝑚 zeri reali
𝑐𝑐5 , 𝑐𝑐& , … 𝑐𝑐h , con 𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛, se e solo se il polinomio è multiplo di 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐5 ∙ 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐& ∙ … ∙ (𝑥𝑥 −𝑐𝑐h ).

Interpretazione algebrica La risoluzione di un’equazione quadratica del tipo 𝑎𝑎x & +𝑐𝑐 = 0, al variare di 𝑎𝑎 e di 𝑐𝑐, è facilitata dalle conoscenze degli studenti in merito alla
fattorizzazione del binomio 𝑎𝑎x & + 𝑐𝑐.
Facilmente si ottiene la seguente classificazione:••

se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 > 0, il binomio 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 è irriducibile, pertanto l’equazione 𝑎𝑎𝑥𝑥 & +𝑐𝑐 = 0 non ammette soluzioni;
se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 0, il binomio 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 si presenta come differenza di due
quadrati, pertanto l’equazione 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 = 0 ammette 2 soluzioni reali edistinte.

Posto 𝑥𝑥5 = − −

X

Y

X

e 𝑥𝑥& = + − , si ha: 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥5 ) ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥& ),Y

149

S. Pianese - P. Romano

da cui, applicando la legge di annullamento del prodotto, si ricava che 𝑥𝑥5 e 𝑥𝑥& sonole due soluzioni.
Esempi:
1. 𝑥𝑥 & − 4 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = −2 ∨ 𝑥𝑥 = 2
2. 3 𝑥𝑥 & − 4 = 0 ⇔3𝑥𝑥 − 2

3𝑥𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = −3. 𝑥𝑥 & + 4 = 0 non ammette soluzioni reali&

7∨ 𝑥𝑥 =&

7

Osservazione 2.1 Interpretazione grafica di equazioni equivalenti. Algebricamente
le equazioni quadratiche 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 = 0 e 𝑎𝑎𝑥𝑥 & = −𝑐𝑐 sono equivalenti: esse infatti siottengono l’una dall’altra per semplice applicazione del primo principio diequivalenza delle equazioni. Esse però hanno una differente interpretazione grafica,
come abbiamo precedentemente descritto. Ancora un volta è molto interessantestimolare la riflessione sul significato di equazioni equivalenti nel registro dirappresentazione grafica, in modo da rendere gli studenti maggiormente capaci dioperare trasformazioni nello stesso registro e tra registri semiotici, in modo da poter,successivamente, scegliere con consapevolezza, a seconda dei contesti e degli
obiettivi, la rappresentazione più efficace.
Nella figura 4 sono rappresentati i sistemi equivalenti alle equazioni 𝑥𝑥 & − 4 = 0 e
𝑥𝑥 & = 4, attraverso le funzioni 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 & , y = 4 e 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 & − 4.

Figura 4 Le coppie di punti A, A’ e B, B’ hanno le stesse ascisse, che corrispondono alle soluzioni delle due
corrispondenti equazioni

2.2

Disequazioni del tipo 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒄𝒄 > 𝟎𝟎 e 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒄𝒄 < 𝟎𝟎

Evidentemente disequazioni del tipo 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 > 0 e 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 < 0 sono equivalenti aquelle studiate nel paragrafo 1.2, ma vale la pena sottolineare come in questo caso la

150

16

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

formulazione della disequazione può essere ricondotta allo studio del segno dellafunzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, al variare di 𝑎𝑎 e di 𝑐𝑐. Come è stato già specificato inprecedenza l’analisi del grafico cartesiano della famiglia avviene attraverso l’utilizzo
di un software di geometria dinamica che consente la variazione dei parametri 𝑎𝑎 e 𝑐𝑐,
cosicché risulta possibile dedurre qualitativamente le caratteristiche della famiglia difunzioni in esame. In questa fase è ancora maggiormente determinante il ruolo
dell’insegnante che ha, oramai, a disposizione più di uno strumento di mediazione. In
maniera opportuna il docente dovrà dosare tra gli aspetti algebrici e grafici,
utilizzando ora gli uni ora gli altri a sostegno reciproco. Gli studenti hanno lapossibilità di risolvere tali disequazioni sulla base di considerazioni di natura
algebrica, ma anche in questo caso l’interpretazione grafica rende maggiormente
efficace l’azione didattica, anche perché come vedremo a breve, si rende possibile lacostruzione di un modello riutilizzabile per lo studio delle funzioni quadratiche deltipo 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, con 𝑏𝑏 ≠ 0.

Nel caso 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 0 sono note la soluzioni 𝑥𝑥5 = − −XXe 𝑥𝑥& = + − ,YYdell’equazione associata e, mediante la fattorizzazione del binomio, la disequazione
può essere affrontata algebricamente lo studio del segno dei due fattori della
scomposizione; Graficamente, lo studio del segno della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 è
reso possibile in base alle proprietà della funzione e all’analisi di grafici generici,
assunti a modello, come in figura 5, in cui si è assunto 𝑎𝑎 > 0, dal momento che nei
paragrafi precedenti è stato stabilito che, al variare di 𝑎𝑎 e 𝑐𝑐, funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & +𝑐𝑐 interseca l’asse orizzontale in due punti di ascissa 𝑥𝑥5 = − −

X

Y

X

e 𝑥𝑥& = + − , .

In entrambe le interpretazioni si può arrivare alle ben note seguenti conclusioni:Y• se 𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 > 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥5 ∨ 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥& e 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 < 0 ⇔ 𝑥𝑥5 < 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥&• se 𝑎𝑎 < 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 > 0 ⇔ 𝑥𝑥5 < 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥& e 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 < 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥5 ∨ 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥&

Figura 5 Rappresentazione grafica della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, 𝑎𝑎 > 0, 𝑐𝑐 < 0

151

17

S. Pianese - P. Romano

Invece se 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 > 0, la trattazione algebrica della disequazione richiederebbe da partedegli studenti uno spiccato symbol sense, nel senso di (Arcavi,1994), checonsentirebbe loro di riconoscere che il binomio ha segno costante. Anche in questo
caso il modello di rappresentazione grafica della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, in figura
6 rappresentato nel caso in cui 𝑎𝑎 > 0, può essere di grande aiuto per concludere che,essendo il grafico privo di intersezioni con l’asse delle ascisse, la funzione mantiene
costante il suo segno, ovvero••

3

se 𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 > 0 ∀𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 e ∄𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥: 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 < 0
se 𝑎𝑎 < 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 < 0 ∀𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 e ∄𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥: 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐 > 0

Figura 6 Rappresentazione grafica della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, 𝑎𝑎 > 0, 𝑐𝑐 > 0

Funzioni quadratiche del tipo 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒃𝒃

Sia 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏, funzione quadratica con 𝑏𝑏 ≠ 0, 𝑐𝑐 = 0. Di nuovo può risultare
motivante introdurre lo studio di questa funzione attraverso una leggera modifica alproblema 2.1, così come suggerito nel percorso M@tabel già citato.
Problema 3.1. Alla ditta Pavin viene chiesto di completare la pavimentazione delle
singole aule con un battiscopa, il cui costo è di 5 euro al m. Come si modifica lafunzione che esprime la spesa complessiva per ciascuna aula, al variare dellamisura del lato dell’aula?
Evidentemente la funzione che esprime la spesa complessiva è 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥 & + 20𝑥𝑥,
con 𝑥𝑥 che indica la lunghezza del lato delle aule, con il vincolo 𝑥𝑥 > 0. La
rappresentazione grafica della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥 & + 20𝑥𝑥, ottenuta con un software
di geometria dinamica, dapprima con 𝑥𝑥 > 0, e poi, tralasciando nuovamente il
problema che ha consentito l’introduzione di tale funzione, con 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, mostra chel’andamento della funzione è qualitativamente identico a quello di 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥 & , senon per l’evidente cambiamento dell’asse di simmetria.

18

152

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

Per convincere gli studenti che il grafico di una funzione del tipo 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏
ha lo stesso andamento del grafico della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & , si farà loro scriverel’equazione della trasformazione che consente di passare dal grafico di 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & ,parabola con vertice nell’origine O degli assi, a quello di 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏, paraboladi vertice V è una traslazione di vettore 𝑶𝑶𝑶𝑶. si rende perciò necessario individuare lecoordinate del vertice 𝑉𝑉 della parabola, pertanto è utile sottoporre agli studenti iseguenti quesiti:●●●●C’è un punto fisso per tutte le parabole, al variare di 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏?
Sei in grado di determinare l’ascissa dei punti di intersezione della parabola
con l’asse delle ascisse al variare di 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏?
Dove si trova il vertice della parabola, al variare di 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏?
Sei in grado di determinare l’ascissa del vertice, al variare di 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏?

Ci si aspetta che gli studenti, attraverso l’esplorazione dei grafici effettuata con
GeoGebra, software di geometria dinamica, si accorgano che ciascuna curva passa
per l’origine degli assi e che, in virtù delle proprietà di simmetria, per individuare
l’equazione dell’asse, occorre trovare i due punti di intersezione della parabola conl’asse delle ascisse. È pertanto qui di fondamentale importanza risolvere
algebricamente l’equazione 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0, mediante la fattorizzazione del binomio el’applicazione della legge di annullamento del prodotto, che gli studenti già
conoscono al secondo anno di liceo scientifico:
𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 0 ∨ 𝑥𝑥 = −Le soluzioni 𝑥𝑥 = 0 e 𝑥𝑥 = −

p

𝑏𝑏
𝑎𝑎

sono da interpretare poi come ascisse dei punti diYpintersezione con l’asse 𝑥𝑥, 𝐴𝐴 0,0 e 𝐵𝐵 − , 0 . In risonanza con quanto osservatoY

per le funzioni 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & e 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑐𝑐, ci si aspetta che gli studenti
individuino l’asse di simmetria passante per il punto medio 𝑀𝑀 del segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 (edunque per il punto M −p&Y, 0 ), nella retta verticale di equazione 𝑥𝑥 = −questo punto, calcolando 𝑓𝑓 −parabola: 𝑉𝑉 −

p

&Y

,−

ps

4Y

p

&Y

p

&Y

. A

si ricavano le coordinate del vertice 𝑉𝑉 della, da cui segue che il vettore 𝑂𝑂𝑂𝑂 ha componenti −

p

&Y

,−

ps

4Y

.

In base alla definizione 2.1, si individua la traslazione di vettore 𝑂𝑂𝑂𝑂 che consente di&&ottenere 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 a partire da 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 :𝑥𝑥 O = 𝑥𝑥 −𝑦𝑦 O = 𝑦𝑦 −

p

&Y
.
ps
4Y

Chiaramente non aggiungeremo altro relativamente alla risoluzione delle equazioni
di II grado del tipo 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 0.

153

19

S. Pianese - P. Romano

Disequazioni di II grado 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 > 𝟎𝟎, 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 < 𝟎𝟎

3.1

Per la risoluzione di disequazioni di questo tipo, gli studenti potranno attivare sia
competenze di natura algebrica, in merito al confronto dei segni dei fattori della
scomposizione del binomio 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏, sia competenza di analisi del segno a partire
dal grafico cartesiano delle funzioni del tipo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏, come descritto nel
paragrafo 2.2, opportunamente determinando i valori delle soluzioni 𝑥𝑥5 = 0 e 𝑥𝑥& =−p

e giungere alle stesse conclusioni descritte nel paragrafo 2.2, variandoYopportunamente il valore delle radici 𝑥𝑥5 e 𝑥𝑥& .

4

Funzioni del tipo 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒃𝒃+c

Infine sia 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐, funzione quadratica con 𝑏𝑏 ≠ 0, 𝑐𝑐 ≠ 0. Essa puòessere introdotta con un’ulteriore modifica al problema 3.1.
Problema 4.1. Esprimi la spesa complessiva per la pavimentazione di una singola
aula, comprensiva di battiscopa e delle spese di trasporto, in funzione della misura
x del lato dell’aula.
Evidentemente, la funzione che esprime la spesa complessiva è 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 7𝑥𝑥 & +20𝑥𝑥 + 30. Come nel paragrafo 3, dall’esame del grafico di tale funzione, confrontato
questa volta con quello della funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 7𝑥𝑥 & + 20𝑥𝑥, si intuisce che si passa
dall’uno all’altro con una traslazione di vettore 0,30 . Si generalizzerà il risultato,
dpo averlo verificato attraverso attraverso l’utilizzo di GeoGebra variando iparametri, per concludere che il grafico di una funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐,
tenendo fissi i parametri 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 si ottiene dal grafico di 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 con una
traslazione di vettore 0, 𝑐𝑐 . Ciò comporta che la funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
gode delle stese proprietà di simmetria della funzione di cui è la traslata, pertantol’asse di simmetria è ancora la retta di equazione 𝑥𝑥 = −calcolando 𝑓𝑓 −

𝑉𝑉 −

p

&Y

,−

∆

4Y

p

&Y

p

&Y

. A questo punto,si ricavano le coordinate del vertice V della parabola:, avendo posto ∆= 𝑏𝑏 & − 4𝑎𝑎𝑎𝑎.

Assumendo inizialmente 𝑎𝑎 > 0, cosicché al variare dei parametri 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 la parabolarivolge la concavità verso l’alto, e focalizzando l’attenzione sul vertice dellaparabola, dall’analisi qualitativa del grafico (si farà riferimento a grafici modellocome in figura 7) e si guidano gli studenti alle seguenti conclusioni:•

se ∆< 0, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ha il vertice nel semipiano positivo delle
ordinate e rivolge la concavità verso l’alto se 𝑎𝑎 > 0, nel semipiano negativo
con la concavità verso il basso se 𝑎𝑎 < 0, pertanto il grafico non ha punti diintersezione con l’asse delle ascisse e il suo segno è costante;

154

20

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico••

se ∆= 0, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ha il vertice sull’asse delle ascisse, il grafico
ha un unico punto di intersezione con l’asse delle ascisse, che coincide con ilvertice, e altrove ha segno costante;se ∆> 0, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ha il vertice nel semipiano negativo delle
ordinate e rivolge la concavità verso l’alto se 𝑎𝑎 > 0, nel semipiano positivo
con la concavità verso il basso se 𝑎𝑎 < 0, pertanto il suo grafico ha due punti
di intersezione con l’asse delle ascisse (sarà cura del docente stabilire, inbase al livello medio della classe, l’opportunità o meno di far riferimento,
qualitativamente, al concetto di continuità di una funzione e al teorema deglizeri), e il suo segno è variabile.

.

Figura 7 Rappresentazione grafica della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, 𝑎𝑎 > 0, al variare del ∆A seguito di tale classificazione, solo nel caso in cui ∆> 0 si rende necessaria la
determinazione delle ascisse dei punti di intersezione, che gli allievi sono già ingrado di determinare, in base al teorema 2.1, solo nei casi in cui la funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ammette zeri razionali. E’ questo il momento in cui può,significativamente, essere proposta la formula risolutiva delle equazioni di secondo
grado, notoriamente ottenuta come illustrato di seguito.
Osservato che
𝑏𝑏 &
∆
− & ,
𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 +2𝑎𝑎
4𝑎𝑎
si ha:
𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 ⟺ 𝑎𝑎

da cui si ottiene 𝑥𝑥 +

p

&Y

=−

∆

4Ys

𝑥𝑥 +

p

&Y

&

−

∆

4Ys

oppure 𝑥𝑥 +p&Y

= 0 ⟺ 𝑥𝑥 +

=

∆

4Ys

p

&Y

&

=

∆

4Ys

,

Pertanto, le soluzioni dell’equazione sono, come si ritrova sulla maggior parte dei
libri di testo in adozione nella scuola secondaria di II grado, sono:
𝑥𝑥5 =

wpw ∆
&Y

e 𝑥𝑥& =

wpx ∆
&Y

.

Si farà osservare agli studenti che le conclusioni ottenute attraverso l’analisi
qualitativa dei grafici sono compatibili con le soluzioni così determinate, in

155

21

S. Pianese - P. Romano

considerazione delle condizioni di realtà delle radici quadrate. In effetti la cosiddetta
formula risolutiva delle equazioni di II grado, che viene scritta nella forma:
𝑥𝑥5,& =

wp± ∆&Y

non solo è strettamente necessaria solo nel caso in cui ∆≥ 0, ma

addirittura ha senso solo in questo caso.
Lo studio del segno della funzione 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 può a questo punto essere
richiesto facendo leva sulle competenze degli allievi, algebriche e/o grafiche,
acquisite durante lo svolgimento delle attività descritte nei paragrafi precedenti, e si
conclude che:• se 𝑎𝑎 > 0 e ∆> 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 > 0 ⇔ 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥5 ∨ 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥& e
𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 < 0 ⇔ 𝑥𝑥5 < 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥&••

se 𝑎𝑎 > 0 e ∆= 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 > 0 ⇔ ∀𝑥𝑥: 𝑥𝑥 ≠ −&∄𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅: 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 < 0
se 𝑎𝑎 > 0 e ∆< 0, 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 > 0 ⇔ ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 e
∄𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅: 𝑎𝑎𝑥𝑥 & + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 < 0

p

&Y

e

In maniera del tutto analoga si affronterà il caso 𝑎𝑎 < 0.

5

Conclusioni

Abbiamo illustrato un percorso didattico progettato per la seconda classe del Liceo
Scientifico, che trae spunto da due attività inserite nel progetto M@tabel, inparticolare “Aree e pavimentazioni: esploriamo le funzioni quadratiche” e“Rettangoli e Fontane”, relativo allo studio delle funzioni polinomiali di II grado ealla risoluzione equazioni e disequazioni di II grado, parte integrante dellaprogrammazione per il biennio del Liceo Scientifico. Tale percorso è stato
sperimentato con diverse classi e interessanti sono le considerazioni possibili in
merito alle risposte ricevute dagli studenti, della cui analisi in questo contributo non
ci siamo occupati. Il grafico della funzione quadratica è divenuto artefatto, utilizzato
intenzionalmente da parte del docente per veicolare nuovi contenuti curricolari,attraverso attività di esplorazione, argomentazione e dimostrazione dei risultati
ottenuti, anche con l’ausilio di strumenti digitali che consentono di creare modellimatematici validi. La proposta didattica qui presentata potrebbe essere reinterpretata
anche per altri tipi di funzioni elementari, con le opportune e necessarie modifiche.

Bibliografia e sitografia––

Per le attività M@tabel proposte:
http://risorsedocentipon.indire.it/offerta_formativa/f/index.php?action=copertina_percor
so&lms_id=236;
AAVV, Matematica 2003. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove diverifica per un nuovo curriculo di matematica. Ciclo secondario.

156

22

Il grafico della funzione quadratica: artefatto matematico per lo studio delle equazioni e disequazioni
di II grado al biennio del Liceo Scientifico

http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/matematica2003.html–––

Quadro di riferimento dell’INVALSI:
http://www.invalsi.it/snv2012/documenti/QDR/QdR_Matematica.pdf
OECD, 2012: www.oecd.org/pisa/pisaproducts/PISA%202012%20framework%20ebook_final.pdf
Per le Indicazioni Nazionali per il Liceo Scientifico:
http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20scientifico.pdf–

Arcavi, A.(1994), Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics. For thelearning of Mathematics, 14, 3, 24-3––

Bloedy-Vinner, H.(1995), Analgebraic Interpretation of Algebraic Expression:
Function or Predicates? Proc. of PME XIX , Recife, 2-42.

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Bartolini Bussi, M. G., Mariotti, M. A. (2009). Mediazione semiotica nella didatticadella matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij, in L’insegnamentodella Mat. e delle Sci. Integrate, vol. 32 A-B, pp. 270 294.

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Duval, R. (2006). Trasformazione di rappresentazioni semiotiche e prassi di pensiero inmatematica. La matematica e la sua didattica, 20(49, 585-629.

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for a teacher? A reflection. In M. Kourkoulos & C. Tzanaki (Eds.), Proc. of 5thintern.
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S. Pianese - P. Romano
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Skemp, R. R.: 1971, The Psychology of Learning Mathematics. Penguin Books,
Harmondsworth, England.

24

158

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno
sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita atutt’oggi
Salvatore Rionero∗

1

Introduzione

La nascita della Scienza Moderna risale al sorgere della Rivoluzione Scientifica, il cui inizio si puó collocare intorno al 1543, anno della stampa a
Norinberga del ” De revolutionibus orbium coelestium” di N. Copernico ed
il cui completamento si puó fissare intorno al 1687, anno della stampa a Londra del ”Philosophiae naturalis Principia mathematica” di I. Newton. Nei
Principia Newton formula le leggi della Dinamica tutt’ora applicate nella descrizione dei fenomeni in cui non entrano in gioco velocitá confrontabili conquella della luce (Meccanica Classica o Newtoniana) e della cui validitá ne
facciamo continua quotidiana esperienza. In particolare la messa in orbita
di satelliti artificiali, il viaggio dell’uomo sulla Luna, l’esplorazione di Marte,sono tutti successi della Meccanica Classica. Con la Rivoluzione Scientifica
inizia un modo nuovo di fare Scienza. Al posto delle disquisizioni puramenteteoriche - alla luce e nel rispetto dei maestri classici (Aristotele) e degli Scolastici medievali - la sperimentazione inizió ad avere un ruolo fondamentale
nella costruzione e nello sviluppo delle teorie scientifiche. La Rivoluzione
Scientifica mette in dubbio la Scienza precedente, subordinando la validitá
degli sviluppi teorici alla loro concordanza con i dati sperimentali: il nuovo
scienziato deve controllare, e piú volte, le affermazioni teoriche dei maestri
attraverso la sperimentazione e la misurazione ( ”Provando e riprovando”
G. Galilei). In piú emerge la necessitá di esprimere i risultati scientifici attraverso formule matematiche, le sole che consentono una scrittura formale
e rigorosa delle leggi che reggono un fenomeno naturale ( ”la natura é scrittain termini matematici ” G. Galilei).
Numerosi scienziati, in vario modo, hanno contribuito alla Rivoluzione Scientifica. Ma i suoi pilastri sono Niccolo Copernico, Galileo Galilei, Giovanni Keplero. Isacco Newton nei ”Principia” completó le ricerche sulla∗
Universitá degli Studi di Napoli ”Federico II”. Dipartimento di Matematica e Applicazioni ”R. Caccioppoli”. Via Cinzia, Napoli. Email: rionero@unina.it. Accademia
Nazionale dei Lincei. Via della Lungara 10, Roma. rionero@soci-anl.it

1159

S. Rionero

dinamica dei suoi predecessori enunciando in modo completo e definitivo
il modello matematico ipotetico - deduttivo della Dinamica. Egli era ben
conscio del contributo fondamentale dei suoi predecessori e in una letteradel 1676 ad Hooke scrive: ”Se ho visto piú lontano é perché stavo sulle
spalle di giganti ”. Nei due secoli successivi al 1687 il successo della Meccanica Classica e delle sue generalizzazioni ( fluidodinamica, termodinamica, ...) ed applicazioni ingegneristiche (macchine a vapore) consentirono
la cosidetta Rivoluzione Industriale che fece fare un salto qualitativo e sociale alle popolazioni. Ad essa va associata la formalizzazione rigorosa delle
leggi dell’elettromagnetismo e le loro applicazioni (le cittá , intorno alla finedel 1800 ed all’inizio del 1900, cominciarono ad essere elettricamente illuminate!). Con l’avvento dell’elettromagnetismo ed in particolare con l’avventodella proprietá di isotropia (nel vuoto) della propagazione delle onde elettromagnetiche e dell’invarianza della velocitá della luce rispetto a riferimenti inmoto (invarianza non consentita dalla legge di composizione delle velocitádella Meccanica classica), apparvero le difficoltá della Meccanica classica di
incamerare nel suo modello i fenomeni elettromagnetici. Per quasi due secoli
i fenomeni meccanici ed i fenomeni elettromagnetici camminarono su modellidistinti ed inconciliabili. Molti scienziati, nel corso degli anni - verso la finedel 1800 ed inizio del 1900 - tentarono di formulare un modello unificante.
La difficoltá fondamentale era che in Meccanica classica é ammessa l’azione
a distanza immediata (implicita sia nella legge di gravitazione Universale chenel principio di azione e reazione di Newton) mentre in elettromagnetismo
le azioni si propagano con velocitá finita anche se elevatissima quale é quelladella luce (300.000 Km/sec).
Solo nel 1905 apparve il primo modello unificante la Meccanica classica el’elettromagnetismo. In tale anno, uno sconosciuto giovane impiegato di
26 anni dell’ufficio brevetti di Berna, Albert Einstein, pubblicó sul giornale(tedesco) Annali di Fisica, il modello della cosiddetta Relativitá Ristretta oSpeciale, in cui vengono formulate le nuove leggi della dinamica. Tali leggi si
riducono a quelle di Newton per velocitá piccole rispetto a quella della luce, e
non sono in contraddizione con l’elettromagnetismo. L’aggettivo ristretta ospeciale, si riferisce al fatto che la teoria prende in esame solo riferimenti che
si muovono di moto traslatorio uniforme l’uno rispetto all’altro. Va detto
che il modello della Relativitá Ristretta non ammette azioni a distanza immediata e la velocitá della luce é un limite invalicabile per ogni trasmissione
di informazioni o azioni, legate da causa ed effetto. Ció lascia fuori la legge
di gravitazione universale!
Einstein impiegó 10 anni per inglobare anche la gravitá in un unico modelloe, riconosciuta l’equivalenza tra accelerazione e gravitá, formuló nel 1915 leleggi della Relativitá Generale che inglobano in un solo modello le leggi diNewton, dell’elettromagnetismo di Maxwell, della gravitazione universale,consentendo anche il moto accelerato ai riferimenti in moto traslatorio traloro (escludendo al momento solo la meccanica quantistica).
2160

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

Figure 1: Riferimento dell’osservatore O
Nelle pagine che seguono ci proponiamo di illustrare brevemente, qualitativamente e con qualche dettaglio matematico, il percorso scientifico prima
esposto, mettendo in evidenza le idee fondamentali ed unificanti che hanno
portato alla Scienza Moderna tra cui il fondamentale Principio di Invarianza:
Le leggi che regolano i fenomeni devono avere forma matematica invariante
dal passaggio da un riferimento ad un altro in moto traslatorio (uniforme omeno) tra loro.
La presente esposizione – rapida rassegna panoramica – é rivolta ad un pubblico non specialista ed é dedicata a giovani studenti1 .

2Richiami e principali assiomi della Fisica Classica

Ricordiamo che1) la quiete, il moto, la velocità e l’accelerazione di un punto (materiale)
P non sono grandezze assolute ma variano al variare dell’osservatore.
2) Ogni osservatore O per descrivere il moto si serve di una terna diriferimento3) v (velocità di P rispetto ad O): misura la rapidità con cui varia (nell’unitádi tempo) la posizione di P; a (accelerazione di P rispetto ad O): misurala rapidità con cui varia (nell’unitá di tempo) la velocità di P;
4) diconsi coordinate spazio-tempo di un evento, le coordinate (x, y, z, t)
che associano alla posizione P=(x,y,z) dello spazio in cui avviene l’evento,
l’istante t in cui esso avviene;5) in ogni riferimento vale la geometria euclidea;
1
In particolare agli allievi del Liceo ”Giosué Carducci” di Nola (NA), liceo che hofrequentato nella seconda metá degli anni ’40.

3

S. Rionero

Figure 2: Invarianza della lunghezza al variare dell’osservatore

Figure 3: Riferimenti in moto traslatorio relativo uniforme
6) esiste un tempo unico per tutti gli osservatori qualunque sia lo statodi quiete e di moto dell’uno rispetto all’altro (assioma del tempo assoluto);
7) la distanza tra due punti P e Q, misurata da O, coincide con quella
misurata da O1 ( assioma di invarianza delle distanze).
8) la legge di composizione della velocitá ed accelerazione rispetto a due
riferimenti in moto (di trascinamento) traslatorio uniforme dell’uno
rispetto all’altro sonova = vr + V ,(2.1)
a a = arcon v a , aa velocitá ed accelrazione rispetto ad O1 e v r e ar velocitá eaccelerazione rispetto ad O, V velocitá di O rispetto a O1 ;9) la trasformazione (di Galilei)
x1 = x + vt,y = y,1z1 = z,t = t
1
4
162

(2.2)

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

Figure 4: Riferimento solare (inerziale)
lega le coordinate spazio-temporali (x1 , y1 , z1 , t1 ) e (x, y, z, t) di uno
stesso evento rispetto a due osservatori O ed O1 in moto traslatorio
uniforme dell’uno rispetto all’altro.

3

Niccoló Copernico (1473-1543): eliocentrismo

Il grande merito di Copernico é di aver riconosciuto che per gli osservatoridella Terra, nello studio della dinamica del sistema solare conviene prenderecome riferimento un riferimento ortogonale con origine nel Sole e due degli
assi diretti verso due stelle fisse (detto riferimento inerziale). Ovviamente
non ha senso porsi il problema: é il Sole che gira intorno alla Terra o é la
Terra che gira intorno al Sole? Per un osservatore terrestre, la Terra é ferma
ed il Sole vi gira intorno mentre l’inverso avviene oer un osservatore fisso
sul Sole. L’eliocentrismo riconosce che per gli osservatori terrestri conviene
riferire il moto ad un riferimento con l’origine nel Sole giacché si hanno cosı́
leggi piú semplici e non complicate come quelle che si ottengono scegliendocome terna di riferimento la Terra. La scelta dell’eliocentrismo – che tantoé stata discussa e che ha causato processi (G.Galilei) e morte (G.Bruno)
solo per motivi religiosi – non é altro che una scelta di convenienza per ladescrizione piú semplice possibile del moto dei corpi del Sistema Solare.

4

Giovanni Keplero (1571-1630) e le sue leggi

Per descrivere il movimento planetario, Keplero enunciò tre leggi empiriche.
Le prime due furono presentate nel 1609, mentro l’ultima fu pubblicata nel
1618• Prima legge: l’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Soleoccupa uno dei due fuochi (fig. 5);• Seconda legge: il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il
centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali (fig. 5);• Terza legge: i quadrati dei periodi d rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite. In forma
5163

S. Rionero

Figure 5: Prima e Seconda Legge di keplero
algebrica si ottiene che se la distanza media è r e il periodo orbitale èT2T, si ha 3 = costante.
r

5

Galileo Galilei (1564-1642): metodo scientifico

Galilei è il primo scienziato in senso moderno. Ecco il riconoscimento
di A. Einstein “Tutto ciò che conosciamo della realtà inizia e finisce conl’esperienza. Dato che fu Galilei a rendersene conto, è lui il padre dellafisica moderna, a dire il vero, lo è di tutta la scienza moderna”
Galilei propugnava un nuovo concetto di scienza basata su sperimentazionee razionalismo matematico (l’Universo è scritto in lingua matematica). É
stato il primo a rivolgere il cannocchiale verso il cielo. Sua é la scoperta dei
satelliti di Giove. Sostenitore dell’eliocentrismo subı́ un processo religioso
che lo costrinse a far marcia indietro. É suo il Principio di Relativitá della
Meccanica Classica: Non esiste alcun fenomeno meccanico capace di mettere in evidenza il moto traslatorio uniforme di un riferimento rispetto ad
un altro. Il Principio di relatività è enunciato nel “Dialogo sopra i massimi
sistemi del mondo” (1632). Egli fa dire a Salviati (che rappresenta l’opinione
di Galilei)“Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto copertura di una grande nave, e supponete che vi siano mosche, farfalle e simili
animaletti volanti; vi sia sospeso inoltre in alto un secchiello che versi agoccia a goccia dell’acqua in un vaso sottostante di angusta bocca. Fatemuovere la nave con quanta si voglia velocità (purché il moto sia uniforme e
non fluttuante di quà e di là), allora le goccioline cadranno come prima nelvaso inferiore, le farfalle e le mosche continueranno il loro volo indifferentemente verso tutte le parti... ”
Ci limitiamo poi a ricordare che a lui é dovuta la prima formulazione del6164Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

principio di inerzia e, tra l’altro, la legge di caduta dei gravi nel vuoto. Infatti nei suoi Discorsi, Galileo descrive con minuzia uno degli esperimentiche progettò e che gli permise di affrontare il problema della caduta dei
pesi a partire dallo studio di un moto su di piano inclinato. A conclusionedell’esperimento, Galileo afferma che lo spazio percorso è proporzionale alquadrato del tempo. Attualmente tale proporzione si presenta nel modo
1
seguente: s = gt2 , dove g è la costante di gravitazione, il cui valore sul
2livello del mare é 9.81 m/s2 .
Terminiamo osservando che il principio di relativitá di Galilei é un principio
di invarianza delle leggi del moto rispetto a due osservatori in moto traslatorio uniforme dell’uno rispetto all’altro. Per essere sicuri che sia rispettato
occorre e basta che le leggi abbiano la stessa forma matematica quando si
passa da un riferimento all’altro tramite le trasformazioni di Galilei. Si diceche devono essere ”Galilei invarianti”.

6

Isacco Newton (1642-1727): la Meccanica Classica

Newton é il fondatore della Meccanica Classica come modello ipoteticodeduttivo per la descrizione del moto e delle sue leggi. Per tale motivo
l’equazione del moto di un punto P di massa m, rispetto a un riferimento
solare (inerziale)ma = F(6.1)
prende il nome di equazione della meccanica di Newton. In essa compaiono:m, costante positiva dipendente dalla qualità e quantità della materia contenuta in P ma non dalla sua velocità detta massa inerziale; a, accelerazione
di P nel riferimento inerziale; F, forza che il mondo esterno a P esercita su
P.
Essa è ottenuta nei Principia partendo dalle seguenti tre leggi:
1) In assenza di forza, ogni corpo persevera nel suo stato di quiete o dimoto uniforme (Principio di inerzia);
2) In presenza di forze, l’accelerazione è proporzionale alla forza e si
esercita lungo la direzione di questa;
3) Le azioni che si scambiano due corpi sono uguali e contrarie (Principiodi Azione e Reazione).
Servendosi poi della terza legge di Keplero riuscı̀ a determinare che: il SoleS esercita su ogni pianeta P la forza attrattiva da P verso S di grandezza
mg M
F = G 2 , con M massa del Sole, G costante universale e mg costanter
7165

S. Rionero

Figure 6: Campo gravitazionale del Soledetta massa gravitazionale di P. Ammesso che mg = m (esperienza diEotvos), egli poi generalizzó la legge come segue:“Due corpi qualsiasi si attraggono con una forza che è proporzionale alprodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato delladistanza tra loro”.
m1 m2
F =G 2 .
(6.2)
r
Osservazione 1: la (6.1), essendo la distanza r invariante (in Meccanica
Classica) quando si passa da un riferimento ad un altro in moto traslatorio
uniforme (come del resto la sua direzione ed il verso) è invariante.
Osservazione 2: La (6.1), con F forza di gravità, essendo a invariante nel
passaggio da un riferimento ad un altro in moto traslatorio uniforme, è essa
stessa invariante in forma.
Osservazione 3: La (6.1), quando F è assegnata dà l’accelerazione delpunto P in moto, ma per poter determinare come variano le sue coordinate nel tempo (e quindi la traiettoria e tutti gli altri elementi) occorre ...
conoscere un bel pò di Analisi Matematica. Ma questo Newton lo sapeva
fare giacchè (insieme a Leibnitz) introdusse il Calcolo Differenziale ed Integrale.
Osservazione 4: Da (6.1), segue a = 0 ⇔ F = 0: l’accelerazione nulla
equivale a forza nulla.
Osservazione 5: Aristotele riteneva (errando) che la legge del moto fosse
mv = Fe quindi che in assenza di forza (F = 0) non fosse possibile il moto (v = 0),
in contrasto col principio di inerzia. Tutti verifichiamo che se smettiamo dipedalare ... la bicicletta – per inerzia – continua a muoversi per un pó!
Osservazione 6 (Azione a distanza immediata) É da tener presente chel’azione esercitata dal campo gravitazionale é immediata a qualunque distanza. In altri termini, una particella materiale (particella di prova) che
entra nel campo gravitazionale di un corpo, immediatamente risente della
sua attrazione. Si presuppone che tutto avviene come se la velocitá di8166

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

propagazione dell’azione del corpo fosse infinita.
Osservazione 7 La leggenda della mela
Newton – soprattutto negli ultimi anni della sua vita – aveva la tendenzaa mettere in evidenza il suo lato di genio visionario rispetto a quello piùprosaico di lavoratore instancabile. È in tal senso che va vista la storia dellacaduta della mela che – come l’eureka di Archimede – ha avuto indubbio
ruolo propagandistico. Newton lo raccontava – verso i 70 anni – ai suoi
visitatori. William Stakely nel 1752 scrissse un libro biografico intitolato“Life of Newton” e per questo spesso andava in visita da Newton. Eccocome racconta la leggenda della mela: “ Dopo pranzo andai in giardino aprendere il tè con Sir Isaac all’ombra di alcuni meli. Mi disse che la nozione
di gravitazione gli era venuta in mente in una situazione uguale a quella incui ci trovavamo. Venne suggerita dalla caduta di una mela mentre era seduto. Perchè la mela cade sempre perpendicolarmente al terreno? Si chiese.
Perchè non cade verso un altro lato o verso l’alto? Sicuramente la ragione èche la Terra la attira. Ci deve essere una potenza di attrazione nella materiadella Terra...”.

7

Albert Einstein (1879-1955): la relativitá ristretta

La conoscenza scientifica all’inizio del XX secolo si era arricchita notevolmente per l’avvento di nuove teorie e delle loro applicazioni: 1) Elettromagnetismo (Faraday, Maxwell, Hertz,...); 2) Meccanica Quantistica (Planck,
Schroedinger, Heisenberg, Born, Dirac,...).
La prima portò, attraverso le sue applicazioni (radio, illuminazione, ...) ad
un enorme miglioramento della vita e delle relazioni sociali ed industriali.
La seconda aprı̀ la strada alla conoscenza del mondo subatomico ed i suoi
benefici vanno aumentando di giorno in giorno (elettronica ed applicazioni).

7.1

Difficoltá della Fisica Classica

Dalle equazioni dell’elettromagnetismo (Maxwell) si deduce che esiste almeno un riferimento in cui la luce (nel vuoto) si propaga in tutte le direzioni
con la stessa velocità (che indicheremo con c). Un tale riferimento si chiama
riferimento otticamente isotropo.
Nella meccanica di Newton, si vede subito che può esistere un unico riferimento otticamente isotropo. Infatti, se consideriamo i due riferimenti O1 x1 y1 z1
ed Oxyz in moto traslatorio uniforme l’uno rispetto all’altro sappiamo chela relazione tra le velocità è
v a = V + vr .
Se le velocitá hanno tutte la direzione dell’asse x, detto i il versore dell’assex, si hava i = V i + vr i.
9167

S. Rionero

Figure 7: Moto relativo traslatorio uniforme visto da O1Allora proviamo che se si suppone Oxyz otticamente isotropo, non lo è
O1 x1 y1 z1 . Rifacciamoci alla natura corpuscolare della luce e consideriamo
un fotone che si muove nella direzione e verso dell’asse x. Allora si ha
vr i = ci,

va i = V i + ci,|va | = |c + V |.

Nella direzione di verso opposto si ha
vr i = −ci,

va i = V i − ci,|va | = |V − c|.

Ovviamente i fisici prerelativistici ritenevano che il riferimento otticamente
isotropo, previsto dall’elettromagnetismo, vista la sua unicità non poteva
essere che il riferimento Principe della Meccanica, cioè quello con l’origine
nel Sole e gli assi orientati verso le stelle fisse. Ma diverse esperienze nonriuscirono a dimostrare che la Terra non fosse un riferimento otticamente
isotropo e si era dunque portati ad ammettere che la Terra potesse essere
l’unico riferimento otticamente isotropo esistente. Tale scelta però suscitava
perplessità, giacchè la Terra ritornava ad essere un riferimento privilegiato
nell’universo (una specie di ritorno al geocentrismo). Osserviamo subito che
se si vuole rinunciare a tale privilegio e si vuole che se uno spazio è otticamente isotropo lo è anche ogni spazio in moto traslatorio uniforme, allora
ne segue che – almeno per i fenomeni ottici – occorre rinunciare alle traformazioni di Galilei.
Per non rinunciare a tali trasformazioni e per creare una teoria unificantela meccanica e l’elettromagnetismo, furono effettuati diversi esperimenti.
In particolare con esperienze ottiche eseguite in un laboratorio terrestre,
dovrebbe essere possibile far risultare che la Terra non è un riferimento otticamente isotropo. Come giá detto, ogni esperimento (ad esempio l’esperienza
di Michelson) per mettere in evidenza la non isotropia dei riferimenti terrestri
ha dato esito negativo. Quindi nella Meccanica di Newton non si possono
inglobare i fenomeni elettromagnetici! Allora se vogliamo costruire la teoria
che inglobi la Meccanica Newtoniana e l’elettromagnetismo occorre abbandonare lo schema della meccanica newtoniana e crearne uno nuovo in cui
vi siano infiniti sistemi otticamente isotropi – in moto traslatorio uniforme
l’uno rispetto all’altro – rinunciando quindi alle trasformazioni di Galilei.
Occorre quindi fissare i cardini di una nuova scienza che superi le incompatibilitá tra meccanica newtoniana ed elettromagnetismo.
10168

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

Nel 1905, sulla prestigiosa rivista scientifica tedesca “Annali di Fisica” apparve un lavoro di 31 pagine, “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”,
di uno sconosciuto impiegato di 26 anni dell’Ufficio Brevetti di Zurigo, Albert Einstein, che suggeriva come superare le contraddizioni.
Assioma 1: Esiste almeno uno spazio otticamente isotropo.
Assioma 2: Se e solo se uno spazio è in quiete o in moto traslatorio uniforme in uno spazio otticamente isotropo, nessuna esperienza fisica (meccanica, elettromagnetica,...) è capace di mettere in evidenza lo stato di quieteo di moto traslatorio uniforme di un riferimento rispetto all’altro (Principio
di relatività ristretta).
L’assioma 2 implica che se O é otticamente isotropo, anche O – in mototraslatorio uniforme rispetto ad O – é otticamente isotropo. Infatti, secosı́ non fosse, esisterebbe un fenomeno fisico (velocitá della luce in O noncostante al variare della direzione) che metterebbe in evidenza il moto traslatorio uniforme di O rispetto ad O.

7.2

Trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz sono il legame tra le coordinate spazio-tempo
di un vento E individuato da (x, y, z, t) in O e da (x , y  , z  , t ) in O cheprende il posto della trasformazione di Galilei (fig. 7)x = x  + V t  , y = y  , z = z  , t = t .
Dal principio di relativitá segue subito che la velocitá della luce é la stessa
2
¯ 2
O¯ P
OP

2
=
se
rispetto ad O e rispetto ad O . Questo implica c =
t2
t 2

pensiamo di far partire da P un raggio luminoso all’istante t = t = 0, cioé
x2 + y 2 + z 2
x 2 + y  2 + z  2=. Ne segue
c2 =
t2
t 2
2

2

2

2

x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0 ⇔ x + y  + z  − c2 t = 0.
Allora partendo da
x = ax + by  + cz  + dt , y = y  , z = z  , t = αx + βy  + γz  + δt ,con a, b, c, d, α, β, γ, δ costanti da determinare, sfruttando la costanza dellavelocitá della luce si trovat − (V /c2 )xx + V t, y = y  , z = z  , t = 
x= 
V2
V2
1− 2
1− 2
c
c
che costituiscono le trasformazioni (di Lorentz) della relativitá ristretta.
11169

S. Rionero

7.3

Conseguenza delle trasformazioni di Lorentz

1) Contrazione delle lunghezze (nella direzione del moto)La lunghezza l dei segmenti di O x y  z  ortogonali alla direzione delmoto non varia e si ha l = l , con l lunghezza misurata in Oxyz.
La lunghezza dei segmenti di O x y  z  paralleli al moto, misurata in
Oxyz, risulta essereV2
l = l 1 − 2 < lc2) Dilatazione dei tempi
Consideriamo un fenomeno avvenuto in un punto A dell’asse x di ascissa xA , che é durato un intervallo di tempo τ  , iniziando nell’istantet1 e finendo nell’istante t2τ  = t2 − t1 ,A = (xA , 0, 0).

ct1 + 2 xA
V,
Vediamo quando é iniziato per O e quando é finito. Da t1 = 
V2
1− 2
c
c
t2 + 2 xAt − t1
t2 =  V, segue τ = t2 − t1 =  2, cioé
V2
V2
1− 2
1− 2
c
c
τ=

τ

V2
1− 2
c

> τ

Dilatazione dei tempi

3) Paradosso dei gemelli: Il tempo scorre piú lentamente per ilgemello in moto.
Se per l’osservatore O é passato ilperiodo τ = 50anni, per l’osservatore


V2
1V2
anni. AdO é passato il periodo di τ  = τ 1 − 2  50 1 −
2
c
2 c

1
11

esempio, per V = c = 150000km/s, si ha τ  50 1 −

2
24


1
7
50 1 −
 50 anni  43.75anni. Se O ed O sono due gemelli,88
per O il tempo scorre piú lentamente e ... invecchia meno di O.
4) Relativitá della contemporaneitá ed inversione dell’ordine degli
eventi12170

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

Siano EA ed EB due eventi che si verificano in O x y  z  rispettivamenti in (xA , tA ) ed (xB , tB ) con tB ≥ tA . Allora in Oxyz si verificanot + (V /c2 )xBt + (V /c2 )xA
e tB = B 
ne segue
negli istanti tA = A 
V2
V2
1− 2
1− 2
c
c
tB − tA =tB − tA + (V /c2 )(xB − xA )

.
V2
1− 2
c

Segue che due eventi contemporanei in O (tA = tB ), sono contemporanei anche in O se xA = xB , cioé solo se avvengono nello stesso posto.
Si puó avere l’inversione dell’ordine degli eventi? Si! Ció avviene per
eventi non legati da causa ed effetto solo se tB − tA <tempo impiegato
dalla luce, nel vuoto, per andare da A a B.

7.4

Legge di composizione delle velocitá

Al posto della legge v = V + v  della Meccanica Classica, in Meccanica dellarelativitá ristretta si trova
V + v.
v=
V 
1 + 2vc
Mettiamo subito in evidenza la enorme differenza tra le due leggi. In Meccanica Classica non vi é limite per la velocitá composta v. In particolare v
puó superare la velocitá della luce. Infatti si ha


3
3
3
V = c, v  = c
⇒ v = c > c.
4
42
Nella meccanica della relativitá ristretta non si hanno (per fenomeni legati
da causa ed effetto) velocitá superiori a quella della luce 2 . Infatti anche per
V = v  = c si ha
2c
v=
= c.
1 + c2 /c2

7.5

Equazione del moto della relativitá ristretta

L’equazione di Newton si puó scrivere
variazione di mv= F.
nell’unitá di tempo
2

(7.1)

P1 , P2 , · · · , Pn siano osservatori disposti sull’asse x. Se, per loro scelta, agli istanti
P 1 Pn(n = 1, 2, · · · ), P1 , P2 , · · · , Pn , accendono un lume, la successione
t1 = 0 e tn =2cdelle accensioni avviene con velocitá 2c.

13171

S. Rionero

Nella relativitá ristretta si trova
variazione di (mv)


= F,

nell’unitá di tempo
variazione di (mc2 )= potenza di Fnell’unitá di tempo
ove m = 

m0

V2
1− 2
c

(7.2)

, con m0 massa di riposo. La quantitá

E = mc2 = 

m0 c 21−

V2
c2

prende il nome di energia relativistica di un corpo di massa di riposo m0
in moto con velocitá V (in un riferimento inerziale). In una reazione in cui
scompare la quantitá 10−10 m0 della massa di riposo, avviene la (enorme )variazione di energia
m0 (1 − 10−10 )c2

>
V2
1− 2
c
−10
5
2
> m0 (1 − 10 )(310 ) = 9m0 (1010 − 1).

V ariazione di energia =8

Relativitá generale

La forza di gravitazione universale rientra tra le forze della relativitá ristretta?
Certamente no! E questo per due motivi:mM1) F = G 2 é invariante solo se lo é r2 , cioé rispetto a trasformazionirche conservano la distanza. Ma ció non avviene nelle trasformazioni
di Lorentz (contrazione di Lorentz);
2) La legge di gravitazione prevede azione a distanza ed immediata, azione
cioé che si esercita con velocitá infinita, il che é in contrasto con lalegge di composizione delle velocitá della relativitá ristretta in cui non
possono esistere velocitá maggiori di quella della luce.
Si era caduti dalla padella nella brace: con la relativitá ristretta si erano
guadagnati i fenomeni elettromagnetici ma si era persa la Legge di Gravitazione Universale! Restava inoltre da togliere la restrizione che i due osservatori O ed O fossero in moto traslatorio ed uniforme, consentendo anche
il moto traslatorio accelerato (o ritardato).
Einstein impiegó 10 anni (dal 1905) e nel 1915 presentó la prima formulazione della Relativitá Generale.
14172

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

Egli si mosse per via geometrica. Occorre infatti ricordare che le trasformazioni di LorentzVt + 2 xx  + V tx= , y = y, z = z, t =  c
,
V2
V2
1− 2
1− 2
c
c
si possono interpretare come un cambiamento di coordinate in uno spazio aquattro dimensioni (spazio di Minkowski). In tale passaggio di coordinate
si conserva la quantitá x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 essendo, per la costanza dellavelocitá della luce
2

2

2

2

x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t2 = x + y  + z  − c 2 t .

(8.1)

Se poniamo
x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = ict
con i unitá immaginaria, allora abbiamo che nello spazio di Minkowski si
conserva la distanza al quadrato
l2 = x21 + x22 + x23 + x24 ,avendosi
l2 = l

2

(8.2)
(8.3)

La (8.1) si puó scrivere sinteticamente


1
 0
2
2
2
2 2
x +y +z −c t =
 0
0

0
1
0
0

  2 x
0 0 2 
0 0 

 y 

1 0   z2 
2
0 −c
t 2

ove si intende che va effettuato il prodotto di ogni riga della matrice
1 0 0 0
 0 1 0 0 gαβ =  0 0 1 0 
0 0 0 −c2 2 x 2  y rispettivamente per gli elementi della colonna   2  . Gli elementi della
 z 
t 2
matrice che vanno da 1 a 4 sono indicati con gαβ e la matrice dicesi metrica di Minkowski della relativitá ristretta. Nello spazio di Minkowski letrasformazioni di Lorentz non coinvolgono le coordinate y e z.
15

173

S. Rionero

Come avviene nello spazio tridimensionale, anche in uno a 4 dimensioni laparte di esso in cui variano solo 2 coordinate é un piano.
L’idea di fondo della relativitá generale poggia su
1) se voglio rappresentare i fenomeni soggetti a forza gravitazionale o ad
accelerazione relativa tra due osservatori, allora la trasformazione nello
spazio-tempo non avverrá piú su un piano ma su superfici incurvate:
per effetto della gravitá o accelerazione il piano di Minkowski dellarelativitá ristretta si incurva.
2) equivalenza tra accelerazione e gravitá1’) Ma come fare incurvare lo spazio-tempo? E cosa é la curvatura per una
superficie dello spazio-tempo? Einstein degli spazi a piú di tre dimensioni ne sapeva poco! Questi spazi dai matematici erano ben conosciuti
ed in particolare da Ricci-Curbastro e Levi-Civita (due famosi scienziati italiani) dei cui risultati A. Einstein si servı́ per la formalizzazionedelle sue equazioni di campo della relativitá generale. Per far incurvarelo spazio-tempo basta far variare la metrica introducendo un’arbitraria
g11 g12 g13 g14
 g21 g22 g23 g24 
gαβ =  g31 g32 g33 g34 
g41 g42 g43 g44
e poi esprimere in termini di gαβ la curvatura.

2’) L’equivalenza tra accelerazione e gravitazione, nasce dal seguente esperimento mentale di Einstein: cosa prova una persona in caduta libera
in un campo gravitazionale?
Ecco un’altra leggenda. Un imbianchino, caduto da un’alta scala,avrebbe detto ad Einstein (secondo il racconto di Einstein) che durante la caduta non sentiva il peso. Questo episodio avrebbe ispirato
ad Einstein l’equivalenza tra accelerazione e gravitazione universale.
Vediamo perché.
Con riferimeno alla figura 7, se O si muove di moto accelerato rispetto
ad O , detta aτ l’accelerazione di O rispetto a O , l’accelerazione di P
rispetto a O é
aa = aτ + ar .
16
174

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

Figure 8: Moto sul piano deformato (incurvato) di Minkowski in Relativitá
Generale
Allora da
maa = Fcon F forza di gravitazione, segue
mar + maτ = F.
Se P é in quiete in Oxyz, ar = 0 e quindi si ha|aτ | =GMGM
⇔ |aτ | − 2 = 0
2rr

cioé equivalenza tra accelerazione relativa tra due riferimenti e forza
gravitazionale: Le deformazioni dello spazio-tempo dovute a motoaccelerato sono dunque equivalenti alle deformazioni provocate dalla
gravitazione.
Nella figura 8 si descrive il movimento ideale in un campo gravitazionale,secondo la Relativitá Generale. Si immagini il piano di Minkowski della Relativitá Ristretta come un piano teso, metallico, elastico e a maglie strette.
Poggiando su tale piano due sfere pesanti, il piano si incurva nei punti diappoggio. Se una delle due sfere é molto piú pesante dell’altra, la forza digravitá fa si che la sfera meno pesante si muove verso quella piú pesante.
Questo movimento genera oscillazioni del piano elastico (onde gravitazionali )3 . Riportiamo ora, solo a titolo di completezza, le equazioni che reggono
la dinamica della Relativitá Generale (Equazioni di campo). Esse sono
18πG
Rαβ − gαβ R + Λgαβ = 4 Tαβ , α = 1, 2, 3, 4, β = 1, 2, 3, 4,
2
c

(8.4)

3
Ovviamente nella realtá non esiste alcun piano elastico. Ma tutto avviene come seesistesse!

17
175

S. Rionero
R11 R12 R13 R14g11 g12 g13 g14
 R21 R22 R23 R24  g21 g22 g23 g24 
ove Rαβ =  R31 R32 R33 R34  , gαβ =  g31 g32 g33 g34  ,R41 R42 R43 R44g41 g42 g43 g44

T11 T12 T13 T14
 T21 T22 T23 T24 Tαβ = 
 T31 T32 T33 T34  sono rispettivamente i tensori curvatura
T41 T42 T43 T44
di Ricci, il tensore metrico ed il tensore energia-impulso, G =costante gravitazionale, Λ =costante cosmologica, c =velocitá della luce, R = curvatura1,4g αβ Rαβ ). Le (8.4) sono dunque 16 equazioni ove Rαβ ed R
scalare (

αβdipendono non linearmente da gαβ (e dalle sue derivate prime e seconde). Il
sistema é iperbolico e quindi ammette soluzioni ondose.

1) La teoria prevede deviazione dei raggi luminosi in vicinanza di un
corpo celeste. J.G. Solder (1776-1833) aveva, molto prima della teoriadella R.G., dterminato la deviazione servendosi della teoria corpuscolare di Newton, trovando una deviazione di 0.84 secondi di arco. Nel
1915 Einstein, a partire dall’equazione di campo, aveva dedotto uno
spostamento di 1.7 secondi d’arco. La verifica avvenne il 29 maggiodel 1919 e la misura fu effettuata dalla spedizione scientifica organizzata dall’Universitá di Cambridge e dalla regia Societá Astronomica
inglese, spedizione diretta da A. Eddington direttore dell’Osservatorio
di Cambridge durante un’ eclissi solare, all’isola del Principe, davantialla costa della Guinea. La previsione di Einstein risultó esatta.
2) Oscillazioni del perielio del pianeta Mercurio. Il perielio di Mercurio– attraverso osservazioni sperimentali – risulta avere delle oscillazioni
inspiegabili con la teoria newtoniana della gravitazione. Attraverso leequazioni di campo, si trova la presenza di oscillazioni coincidenti conquelle misurate sperimentalmente.
3) Correzione della posizione calcolata dai GPS. I satelliti adoperati simuovono alla velocitá 14000 km/h e quindi per R.S. si ha un ritardo
di 6 microsecondi al giorno. Per effetto della R.G. si trova 45 microsecondi di anticipo. La correzione da effettuare é dunque di 39
microsecondi di anticipo al giorno.
4) Onde gravitazionali.
Lo scorso 11 Febbraio 2016, in una conferenza stampa congiunta da
Washington e da Cascina (Pisa) è stato annunciato ufficialmente che iricerctori del progetto U.S.A. LIGO (Laser Interferometer GravitationalWave Observatory) e del progetto VIRGO di eGO (European Gravitational Observatory) con interferometro realizzato a Cascina (nella
18176

Dalla mela di Newton alle onde gravitazionali: uno sguardo sulla Scienza Moderna dalla nascita a tutt’oggi

frazione Santo Stefano a Macerata) operanti rispettivamente dal 2002 e
2003, hanno comunicato che il 14 settembre 2015 alle ore 10.50 minuti
45 secondi (ora italiana) in un intervallo di tempo di una frazione disecondo (10 millesimi di secondo) hanno rilevato onde gravitazionali
prodotte dalla fusione di due stelle di neutroni (buchi neri) di massa
rispettivamente di 36 e 29 volte quella solare, producendo un buco
nero di massa 62 volte quella solare e che nella fusione si è trasformata
in energia la massa tripla di quella solare, energia che ha dato origine all’onda gravitazionale rilevata e che si è propagata con la velocitàdella luce (la massa del Sole è più grande di trecentomila volte quelladella Terra). L’arrivo di una ”seconda onda gravitazionale ” é stata
registrata da LIGO in USA il 26 dicembre 2015 (battezzata onda diSanto Stefano). Tale onde é nata dallo scontro di due buchi neri dimassa 18 e 8 volte quella del Sole. Dalla fusione é nato un buco nerodi massa pari a 21 Soli. La fusione é avvenuta 1,4 miliardi di anni fa.
Durante la fusione é scomparsa la massa di un Sole e l’energia natada questa scomparsa ha generato l’onda gravitazionale arrivata il 26
Dicembre scorso sulla Terra.
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Finito di stamparenel mese di dicembre 2016presso le Officine grafiche Francesco Giannini e Figli S.p.A
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