57

だ円孔を有する有限板の一様引張り
鶴 秀登＊・濱中 敬司＊＊・秦 昂平＊＊

On the Tension of a Finite Plate Having
a Central Elliptic Hole
Hideto Tsuru＊, Keiji Hamanaka＊＊, Kohei Hata＊＊
Abstract
The finite element method (FEM) is applied to calculate stress concentration factors of a finite plate having
a central elliptic hole under tension. Numerical calculations are done for various combinations of the size ofelliptic hole and for three types of applied load by using the commercial FEM software MSC.Nastran andMSC.Patran. Moreover, the elastic-plastic problems are analyzed by FEM using MSC.Marc-Mentat. The
obtained results of stress concentration factors and plastic zone near the notch root are shown in the figures sothey can be used in design.

１．緒

２．解析条件言

Fig.１に示す中央にだ円孔（長径 2a，短径 2b）を機械や構造物における応力集中現象を知ること［1］有する有限板（板幅2w，長さ2L）の引張り問題を取は，破壊の起点を求める上で重要である 。また多り扱った。負荷様式は（a）一様応力型，（b）せん断のくの金属材料では，弾性変形後に降伏現象が現れ破ない一様変位型（ローラー型），（c）クランプによる壊へといたるため，応力集中現象のみならず降伏領一様変位型の３種を用いた。だ円孔形状b/aとだ円域での塑性挙動を知ることも重要となる。弾塑性解
孔の大きさと板幅の比a/wを種々変化させて，応力析を行うことでより精度の高い破壊原因のシミュレ
集中係数への板幅比a/wと形状比b/aの影響についーションができ，部材の破壊，破損による事故を防て検討した。なお数値解析はその対称性から1/4の止するのに役立つ。
領域で解析でき（Fig.２），弾性問題における応力集
本研究では，有限要素法を用いた市販のソフトを中については汎用解析ソフトであるプリ・ポストプ使用し，だ円孔を有する有限板の一様引張り問題のロセッサMSC.Patran，ソルバーMSC.Nastranを用解析を行った。使用するFEMソフトはコンピュータ
い，応力集中部に生じる降伏域については汎用解析の発達とともに幅広い問題に精度良い結果をもたらソフトMSC.Marc-Mentatで弾塑性解析を行った。本
すようになっている。しかし，汎用性をもたせてい計算で用いた材料特性は，Fig.３に示す弾硬化塑性るため，前処理，後処理ともに多くの手順を必要と,体（加工硬化率H /E=0.1）で，ポアソン比 ν =0.3，している。また，複雑な形状などの解析を行うには多くの経験と専門知識が必要となる。そこで，だ円
初期降伏応力σs=196MPa，初期降伏ひずみεs=0.001
孔を有する有限板の引張り問題を弾塑性問題として （縦弾性係数E=196000MPa）とし，平面応力問題と取り扱う中で，利用技術の習得と専門知識を学ぶこして取扱った［2］。とを目的とした。数値計算はだ円孔の大きさを変化
また結果の整理には次式で示される２つの応力集させ，孔縁に生じる最大引張応力に着目し，破損の中係数を用いた。ここでσ0は応力型の端面一様応力一次因子となる応力集中係数についてまとめ，さらである。に切欠き底の降伏域についても検討した。その際，(σy ) max…(1)K ｔ=
負荷様式による応力集中係数や降伏域への影響につσ0いても調べた。
K’t=＊電子機械工学科＊＊専攻科生産システム工学専攻１年(σy ) maxσ0W⎛⎞σ0 ⎟ …(2)⎜σ 0 =Wa<⎝⎠

平成19年９月28日受理58

弓削商船高等専門学校 紀要 第30号（平成20年）

なおローラー型負荷およびクランプ型負荷における変位V0は次式で換算した。

σ0LE(ローラー型)(1 <ν2 )σ0LE(クランプ型)

V0=

V0=Fig.3

材料特性

３．数値解析結果と検討
３．１ 要素分割と解の精度
まず，要素分割と解の精度について検討した。
Table１に示す形状寸法と負荷応力を用い，端面の応力一様型でだ円孔と板幅の比a/w=0.4，だ円孔の形状比b/a=0.6の場合について計算を行い，1/4切欠き縁の分割数とKtの関係を求めTable２示す。分割数40程度で安定した結果が得られることがわかる。
この結果から，以後の計算は孔の大きさに関係なく切欠き縁の分割数を40分割として解析した。なお，
Fig.４にこの計算で用いた切欠き縁分割数40の場合の要素分割を示す。
Table 1

Fig.1

解析に用いた形状寸法と負荷応力
板幅W

長さL

負荷応力50mm100mm

100MPa有限板の引張りTable 2 分割数によるKtの安定性
応力型引張り（a/w=0.4，b/a=0.6）

Fig.2

解析領域

切欠き縁分割数

204080160 ［Ref.３］

Kt

5.05

5.125.145.145.12

３．２ 従来の結果との比較
Fig.５にFig.１（a）の場合のだ円孔を有する有限板の一様引張応力問題の解析結果を示す。だ円孔の形状比b/aを横軸にとり，だ円孔の大きさを示すa/w,をパラメータとして式（2）の応力集中係数K tを用い［4］［5］と比較して示す。この結果から従来の結果［3］
本研究におけるFEM計算結果の精度が高いことがわかる。なおTable３にFEMによる数値結果を示す。

59

だ円孔を有する有限板の一様引張り（鶴・濱中・秦）

Fig.6
Fig.4,応力型と変位型引張りによるK tの比較

要素分割例（a/w=0.4，b/a=0.6）

次に一様応力型とローラー型負荷の比較を行った。ローラー型は対称の条件となるので，周期的なだ円孔問題に相当する。そのためLを長くしていくと干渉効果がなくなり応力型に近づいていくことになる。そこで板の長さLを種々変化させたローラー型の計算を行いTable４に示す。Fig.７はTable４の結果を横軸に1/（L/W）をとり，示したものである。
ローラー型では板の長さをかなり長くしてもだ円形状によってはその干渉効果が残るようである。本計算でも応力型に近づけるために板の長さを長くしても４％程度の違いが生じている。
,
Table 4 一様応力型とローラー型負荷におけるK tの比較
（a/w=0.4，b/a=0.6）

Fig.5

だ円孔をもつ有限板の一様引張り
Table 3b/a2468

ローラー型（b）

2.452.782.85

2.93

応力型（a）

3.05

数値結果

0.20.40.60.8

1.00.29.04

5.03

3.622.94

2.53

0.4

7.20

4.20

3.07

2.55

2.25

0.6

5.68

3.48

2.70

2.30

2.140.8

4.18

2.84

2.38

2.18

2.00a/w

L/W

３．３ 応力集中係数への負荷様式の影響
Fig.６に応力（stress）型（Fig.１（a））と変位（clamp）型（Fig.１（c））引張りによる応力集中係数の結果を横軸にだ円孔形状比b/a，パラメータにだ円孔の大きさを示すa/wをとり比較して示す。だ円孔形状が偏平になると負荷様式による差が大きくなるが，小さい形状の切欠きで円孔に近くなると負荷様式に無関係となるようである。

Fig.7

一様応力型とローラー型負荷の比較（a/w=0.4，b/a=0.6）

60

弓削商船高等専門学校 紀要 第30号（平成20年）

４．結言

３．４ 塑性降伏域の広がり
Fig.８〜10にFig.１（a），（b），（c）の負荷様式におけるだ円孔切欠き底に生じる塑性降伏域を示す。だ円孔の形状比b/a=0.6に固定しだ円孔の大きさを示
すa/wを種々変えて解析を行った。使用解析ソフト
はMSC.Marc-Mentatである。なお，応力型についてはL/W=８の場合の結果で近似した。また，降伏の条件としては，Von-Misesの降伏条件を適用し［6］，σ0/σs＝0.25，0.35，0.5，0.75における降伏域を示す。

有限板にだ円孔切欠きをもつ弾性問題と弾塑性問題を取り扱い，切欠き底の応力集中係数と塑性降伏域を負荷様式ごとに求めた。
応力集中係数と塑性降伏域が負荷様式で異なることが定量的に得られた。

(a) a/w=0.2，b/a=0.6(c) a/w=0.6，b/a=0.6(b) a/w=0.4，b/a=0.6(d) a/w=0.8，b/a=0.6
Fig.8

塑性降伏域（応力型）

だ円孔を有する有限板の一様引張り（鶴・濱中・秦）(a) a/w=0.2，b/a=0.6(c) a/w=0.6，b/a=0.6(b) a/w=0.4，b/a=0.6(d) a/w=0.8，b/a=0.6
Fig.9

塑性降伏域（ローラー型）（L/W=２）61

62

弓削商船高等専門学校 紀要 第30号（平成20年）(a) a/w=0.2，b/a=0.6(c) a/w=0.6，b/a=0.6(b) a/w=0.4，b/a=0.6(d) a/w=0.8，b/a=0.6
Fig.10塑性降伏域（クランプ型）（L/W=２）

参考文献［1］西谷 弘信：日本機械学会論文集（A編），48巻， ［4］石田 誠：日本機械学会論文集，第21巻，第447号，PP.1353〜1359，（昭58-11）
107号，PP.514〜518，（昭30）［2］西谷 弘信，野口 博司：日本機械学会論文集 ［5］村上 敬宜：応力集中の考え方（2005.7）（A編），51巻，467号，PP.1717〜1725，（昭60-7） ［6］西谷 弘信，陳 玳 ：日本機械学会論文集［3］石田 誠：日本機械学会論文集，第21巻，第（A編），51巻，465号，PP.1471〜1476，（昭60-5）107号，PP.507〜513，（昭30）