領域ごとにH0 や ⌦mが異なる宇宙
(1)

長谷川清峰

(1)

葛西真寿

(1) 弘前大学大学院理工学研究科

(2)

二間瀬敏史

(2) 京都産業大学理学部

第６回観測的宇宙論ワークショップ
10/23(月)-25(水) ＠弘前大

「ハッブル (非)定数 問題」

「ハッブル (非)定数 問題」「CMBの観測」と「超新星の観測」
でハッブル定数の値が異なる

CMBの観測H0 = 67.8 ± 0.9 km s

1

Mpc

1

P.A.R.Ade et al.(2016).

超新星の観測H0 = 73.24 ± 1.74 km s

1

Mpc

1

A. G. Riess et al.(2016).

大域的CMBの観測→超新星の観測→局所的

大域的な領域と局所的な領域

でハッブル定数の値に10%程度の不一致

「ハッブル (非)定数 問題」

「ハッブル(非)定数問題」に関する先行研究
K. Ichiki et al.(2016) .
局所的にボイドの存在を仮定
Z. Berezhiani et al.(2015) .
decaying dark matterの存在を仮定
K. Tomita (2017) .
摂動量の２次の効果をパラメータにくりこみなど

我々の方針
特定のトイモデルや未知の物質の存在を仮定せず

一般相対論的非一様宇宙の(線形)摂動論的取り扱いという一般的な枠組みでハッブル(非)定数問題を解決したい

基本の式

Part1.

線形摂動

Part2.

体積平均

Part3.

番外編.「ハッブル(非)定数問題」と加速膨張（注）今回は光速c=1

Part1.基本の式

物質: 渦なしダスト（宇宙定数なし）

Tµ⌫µ ⌫= ⇢u u

⇢ :物質の(エネルギー)密度 uµ:物質の４元速度

物質: 渦なしダスト（宇宙定数なし）

Tµ⌫µ ⌫= ⇢u u

⇢ :物質の(エネルギー)密度 uµ:物質の４元速度

座標系:synchronous comoving22(3)ijds = dt + gij dx dxµwith u = (1, 0, 0, 0)背景時空→曲率ゼロの一様等方宇宙(=アインシュタイン-ド・ジッター宇宙)（以下の議論は曲率ありでも同様に成り立つ
曲率なしで宇宙定数ありは計算中）

背景時空→曲率ゼロの一様等方宇宙(=アインシュタイン-ド・ジッター宇宙)（以下の議論は曲率ありでも同様に成り立つ
曲率なしで宇宙定数ありは計算中）

2ds =

2

2idt + a (t) ij dx dxµjwith u = (1, 0, 0, 0)背景時空→曲率ゼロの一様等方宇宙(=アインシュタイン-ド・ジッター宇宙)（以下の議論は曲率ありでも同様に成り立つ
曲率なしで宇宙定数ありは計算中）

2ds =

2

2idt + a (t) ij dx dxµjwith u = (1, 0, 0, 0)
uµ T µ⌫ ;⌫ = 0 はȧ⇢˙ b + 3 ⇢b = 0a

背景時空→曲率ゼロの一様等方宇宙(=アインシュタイン-ド・ジッター宇宙)（以下の議論は曲率ありでも同様に成り立つ
曲率なしで宇宙定数ありは計算中）

2ds =22idt + a (t) ij dx dxµjwith u = (1, 0, 0, 0)
uµ T µ⌫ ;⌫ = 0 はȧ⇢˙ b + 3 ⇢b = 0
aG00 = 8⇡GT00 はフリードマン方程式✓ ◆2ȧ
a8⇡G=⇢b3

背景時空→曲率ゼロの一様等方宇宙(=アインシュタイン-ド・ジッター宇宙)（以下の議論は曲率ありでも同様に成り立つ
曲率なしで宇宙定数ありは計算中）

2ds =22idt + a (t) ij dx dx

jµwith u = (1, 0, 0, 0)
uµ T µ⌫ ;⌫ = 0 はȧ⇢˙ b + 3 ⇢b = 0aG00 = 8⇡GT00 はフリードマン方程式✓ ◆2ȧa8⇡G=⇢b3⇢b :背景時空の密度

Part2.線形摂動

gµ⌫ =(b)gµ⌫ + hµ⌫⇢ = ⇢b (1 + )(b)gµ⌫ : 背景時空の計量hµ⌫ : 計量の摂動成分: 密度揺らぎgµ⌫ =(b)(b)

gµ⌫ + hµ⌫>>⇢ = ⇢b (1 + )>>gµ⌫ : 背景時空の計量hµ⌫ : 計量の摂動成分

摂動量は十分小さい: 密度揺らぎgµ⌫ =(b)gµ⌫ + hµ⌫⇢ = ⇢b (1 + )(b)gµ⌫ : 背景時空の計量hµ⌫ : 計量の摂動成分: 密度揺らぎ

synchronous comoving
なゲージ固定で摂動時空におけるアインシュタイン方程式を線形近似で解く

2ds =

2dt + a2✓ij

4a23H0,ij

103µij◆idx dxjwith u = (1, 0, 0, 0)

2ds =

2dt + a2

✓

ij

4a2
3H0,ij103µij◆idx dxjwith u = (1, 0, 0, 0)

ポアソン方程式= 4⇡G⇢b a2

2ds =

2dt + a2

✓

ij

4a,ij
2̲̲̲
3H0

◆

10ij
ij dx dx3̲
µwith u = (1, 0, 0, 0)

ポアソン方程式= 4⇡G⇢b a2

2ds =

2dt + a2✓ij

4a,ij2̲̲̲
3H0◆10ijij dx dx
3̲µwith u = (1, 0, 0, 0)

ポアソン方程式
2

̲̲̲= 4⇡G⇢b a̲̲̲2

ds =2dt + a2✓

ij

4a,ij2̲̲̲
3H0

◆

10i
j
ij dx dx3̲
µwith u = (1, 0, 0, 0)

ポアソン方程式
2

̲̲̲= 4⇡G⇢b a̲̲̲= (~x)/ a(t)

Part3.体積平均

そもそも
背景時空の密度⇢bとは何か？

すぐに思いつくのは一様等方宇宙における密度のこと（説明になっていませんが…）

つまり背景時空の密度⇢b とは一様等方な密度しかし現実の宇宙は非一様

非一様な宇宙における一様等方な密度？
非一様な宇宙における一様等方な密度背景時空の密度の定義

松原隆彦先生の『現代宇宙論ー時空と物質の共進化』（東京大学出版）によると

松原隆彦先生の『現代宇宙論ー時空と物質の共進化』（東京大学出版）によると「空間平均した宇宙の全質量密度」

松原隆彦先生の『現代宇宙論ー時空と物質の共進化』（東京大学出版）によると「空間平均した宇宙の全質量密度」
式で表現すると・・・⇢b ⌘ lim R p
D!⌃t

D

1(3)gd3 xZ⇢
Dp(3)gd3 x

M. Kasai (1993).

⇢b ⌘ lim R p
D!⌃t

D

1(3)gd3 xZ⇢
Dp(3)gd3 x

M. Kasai (1993).

この式の説明のため
いくつか定義D⌃t⌃：時間一定の超曲面t
D：⌃t に含まれる有限の領域 D ⇢ ⌃tある有限の領域 D において以下の量を定義する

体積平均密度V ⌘g :(3)

D1h⇢iD ⌘Vgij の行列式

Z(3)gd3x⇢DpV̇
ȧD3⌘
aD
V

体積膨張率(3)Z p(3)(3)g = det gij(3)gd3xある有限の領域 D において以下の量を定義する

体積平均密度V ⌘Z pD1h⇢iD ⌘VZ(3)gd3x⇢
Dp(3)gd3xV̇
ȧD3
⌘
aD
V

体積膨張率aD :領域Dにおけるスケールファクター
(3)

g :

(3)

gij の行列式(3)(3)

g = det gij⇢b ⌘ lim h⇢iDD!⌃t= lim R p
D!⌃t

D

1(3)gd3 x⌃：時間一定の超曲面t
D：⌃t に含まれる有限の領域⌃tDZ⇢p(3)gd3 x

DM. Kasai (1993).

⇢b ⌘ lim h⇢iDD!⌃t= lim R pD!⌃tD1(3)gd3 x⌃：時間一定の超曲面t
D：⌃t に含まれる有限の領域

Z⇢

p(3)gd3 x

D
M. Kasai (1993).

D ! ⌃t の極限で⌃tD

⇢b = h⇢iD⇢b ⌘ lim h⇢iDD!⌃t= lim R pD!⌃t

D

1(3)gd3 x⌃：時間一定の超曲面t
D：⌃t に含まれる有限の領域

Z⇢

p(3)gd3 x

D
M. Kasai (1993).

D ! ⌃t の極限で⌃tD

⇢b = h⇢iD

有限の領域では一般に⇢b 6= h⇢iD

背景時空の密度

平均密度⇢b 6= h⇢iD

ちなみにPart.1の復習をすると

背景時空の密度⇢b によって膨張がドライブされる宇宙背景時空の密度⇢b によって膨張がドライブされる宇宙↓
曲率ゼロの一様等方宇宙(=アインシュタイン-ド・ジッター宇宙)平均密度h⇢iD によって膨張がドライブされる宇宙平均密度h⇢iD によって膨張がドライブされる宇宙↓?

これを調べるために

平均化したアインシュタイン方程式

平均化したアインシュタイン方程式
その前に・・・

体積膨張率の定義などから領域 Dと背景時空の体積膨張率の関係式ȧDȧ=aDa2ȧh29H0iD

体積膨張率の定義などから領域 Dと背景時空の体積膨張率の関係式ȧDȧ=aDa2ȧh29H0iD

体積平均したポアソン方程式

h2iD = 4⇡G⇢b a h iD
hiD = const.

体積膨張率の定義などから領域 Dと背景時空の体積膨張率の関係式ȧDȧ=aDa2ȧh29H0iD

体積平均したポアソン方程式

h2iD = 4⇡G⇢b a h iD
hiD = const.

この２つの式を使って平均化したアインシュタイン方程式

huµ T µ⌫ ;⌫ iD = 0 はdȧDh⇢iD + 3 h⇢iD = 0 (exact)dtaD

huµ T µ⌫ ;⌫ iD = 0 はdȧDh⇢iD + 3 h⇢iD = 0 (exact)
dtaD

hG00 iD = 8⇡GhT00 iD は領域 D のフリードマン方程式✓ȧDaD◆2Ke↵
8⇡G+=h⇢iD
2aD
3whereh⇢iD = ⇢b (1 + h iD )huµ T µ⌫ ;⌫ iD = 0 はdȧDh⇢iD + 3 h⇢iD = 0 (exact)
dtaD

hG00 iD = 8⇡GhT00 iD は領域 D のフリードマン方程式✓ȧDaD◆2Ke↵
8⇡G+=h⇢iD2aD
310Ke↵ =h9whereh⇢iD = ⇢b (1 + h iD )iD = const.

huµ T µ⌫ ;⌫ iD = 0 はdȧDh⇢iD + 3 h⇢iD = 0 (exact)
dtaD

hG00 iD = 8⇡GhT00 iD は領域 D のフリードマン方程式✓ȧDaD◆2Ke↵
8⇡G+=h⇢i
D2aD
310Ke↵ =h9whereh⇢iD = ⇢b (1 + h iD )iD = const.

領域 D は曲率 Ke↵ を持つ一様等方宇宙

ここまでの事を用いて今回の本題

ここまでの事を用いて今回の本題「ハッブル (非)定数 問題」

領域 D における宇宙論パラメータを定義

3.体積平均

ハッブルパラメータȧDȧH̃0 ⌘6= H0 ⌘a D t0a t0
密度パラメータ8⇡Gh⇢(t)i8⇡G⇢(t)0Db0
˜ m0 ⌘⌦=6⌦⌘m0223H3H̃00

3.体積平均

ハッブルパラメータȧDȧH̃0 ⌘6= H0 ⌘a D t0a t0
密度パラメータ8⇡Gh⇢(t)i
8⇡G⇢
(t)
0Db0
˜ m0 ⌘⌦=6⌦⌘
m0223H
3H̃00

一般に領域 D と背景時空でパラメータの値が異なる

もう少し具体的に…

領域 Dと背景時空の体積膨張率の関係式

ȧDȧ
=aD
a2ȧh29H0iD

体積平均したポアソン方程式

h2iD = 4⇡G⇢b a h iD

ȧDȧ
=aDah2ȧh29H0iD
2iD = 4⇡G⇢b a h iD

ȧDȧ
=aDah2ȧh2
9H0iD2iD = 4⇡G⇢b a h iD

上の２式からȧDȧ=aDa✓11h iD3◆ȧDȧ=aDah2ȧh2
9H0iD
2iD = 4⇡G⇢b a h iD

上の２式から✓ȧDȧ
=1aDa ✓, H̃ = H 1◆1h iD3◆1h iD3

ȧDȧ
=aDah2ȧh2
9H0iD
2iD = 4⇡G⇢b a h iD

上の２式から✓ȧDȧ
=1aDa ✓◆

1h iD3◆1h iD, H̃ = H 13✓◆
現在時刻 t = t0 で
1
H̃0 = H0 1h (t0 )iD3✓1h (t0 )iD3˜⌦m0 = ⌦m0

51 + h (t0 )iD
3

H̃0 = H0 1✓◆◆

✓H̃0 = H0 1
˜
⌦m0 = ⌦m0
もし h (t0 )iD =✓1h (t0 )iD
3◆51 + h (t0 )iD
30.3 であれば◆✓H̃0 = H0 1
˜
⌦m0 = ⌦m0
もし h (t0 )iD =✓1h (t0 )iD
3◆51 + h (t0 )iD
30.3 であれば

H̃0 = 1.1H0◆✓H̃0 = H0 1
˜
⌦m0 = ⌦m0
もし h (t0 )iD =✓1h (t0 )iD3◆

51 + h (t0 )iD
30.3 であれば

H̃0 = 1.1H0

領域によってハッブル定数が10%異なる◆

「ハッブル(非)定数問題」
は解決可能ここまでやってきたこと

背景時空は一様等方宇宙↓

計量と密度の摂動↓

摂動時空でアインシュタイン方程式を解く↓⇢b 6= h⇢iD↓

aD で 平均化したアインシュタイン方程式を書く↓

˜ m0
領域ごとに異なる H̃0や ⌦特定のトイモデルや未知の物質の存在を仮定せず

一般相対論的非一様宇宙の(線形)摂動論的取り扱いという一般的な枠組み

「ハッブル(非)定数問題」
は解決可能

番外編.
「ハッブル(非)定数問題」と加速膨張

Perlmutter et al. (1999)は0.014  z  0.830 のIa型超新星の見かけの明るさの観測データを調査
宇宙の加速膨張を発見
そしてダークエネルギーの存在を主張

これとは異なる観測データの解釈

M . Kasai (2007)の研究では0.014  z  0.2 と 0.3  z  0.830 でハッブル定数が10%程度異なればダークエネルギーなしで（見かけの）加速膨張は説明可能

現在

観測から領域によってハッブル定数が10%程度異なること（「ハッブル（非）定数問題」）が指摘されている「ハッブル（非）定数問題」（見かけの）加速膨張

「ハッブル（非）定数問題」k（見かけの）加速膨張

２つの問題は同等！？

おわり