講 座

地すべり解析における有限要素法の利用 第２回

Finite element method for landslide analysis No.２

２．FEMによる地すべり解析の基礎理論
Fundamental theories of FEM for landslide analysis
鵜飼恵三／群馬大学工学部
Keizo UGAI／Faculty of Engineering, Gunma University
キーワード：有限要素法，地すべり，弾塑性，基礎理論
Key words：finite element method, landslide, elasto-plastic, fundamental theory

２．
１ 弾塑性FEMの考え方（前編）

方程式を与えられた境界条件のもとで解くことにより，ここでは弾塑性FEMの概略的な考え方を記述する。

変位や応力の分布を得ることができる。非線形問題では，紙数の関係で，他の多くの文献を引用せねばならなかっ連立一次方程式を使って繰り返し計算を行うことで，解た。ご容赦願いたい。

が得られる。

２．
１．
１ 弾塑性とは斜面を四辺形要素で分割した例を図−２に示す。斜面

円筒形に整形した土の供試体を一軸または三軸試験のには最初自重が作用しておらず（つまり最初は無重力状ように軸方向に圧縮したとき，軸応力と軸ひずみの関係態），そこに自重が作用して斜面が変形したとする。こが図−１のように得られたとする。なお土質力学の慣例のような自重の作用とそれによる斜面の変形は，解析上に従って，圧縮応力と圧縮ひずみを正と仮定する。今，の仮想的なものであり，実際の斜面で起こる現象ではな

小さな応力値である点Ａ（図−１）まで載荷した後，除い（なお遠心力載荷実験ではこのような現象が起こる）。

荷（応力をゼロに戻す）したところ，ひずみもゼロに戻っしかしながら，自重が作用した結果として生じる斜面内たとする。この性質を弾性と呼ぶ。次に点Ｂまで載荷後，の応力分布は，実際の（同じような条件下にある）斜面除荷したところ残留ひずみOB’が生じたとする。この性内の応力状態をある程度表現していると考えられる。

質を塑性と呼ぶ。点Bの状態では，供試体に弾性ひずみ

２．
１．
３ 弾性FEMについてと塑性ひずみの両方が生じており，この性質を弾塑性と簡単な例から始めよう。図−３のような二次元の弾性トラス構造が自重などの外力を受けて，変形する場合を呼ぶ。
２．
１．
２ FEMとは考える。部材の結合点（三角形の頂点）はヒンジである

図−２のような仮想的な均質斜面（二次元）に自重がとし，これを節点と呼ぼう。構造力学の知識を借りると，作用したときの応力状態を，FEMで計算する問題を考

トラス構造全体の節点の変位ベクトル {U} と節点に作用える。簡単のため斜面内の間隙水圧はゼロとする。FEMD

では，斜面を多数の小さな要素（三角形か四角形）に分E割し，要素の辺上にいくつかの節点を定める。各要素内8ｍで変位の近似式を定義して，節点での変位の値を未知数とする。各要素内で，力とモーメントのつりあい式，変B

C

位とひずみの関係式，及び応力とひずみの関係式が，近似的に満たされるように定式化して，これを斜面全体に10 ｍ重ね合わせ，連立一次方程式を作成する。この連立一次AF

応力B6ｍ

816 ｍ

図−２ 仮想的な斜面とメッシュ分割例

・AOB’’

ひずみ

図−１ 円筒形供試体を軸方向に圧縮したときの応力ひずみ関係

図−３ 弾性トラス構造の例

９４J. of the Jpn. Landslide Soc., Vol.40, No.194 (2003)

鵜飼恵三：地すべり解析における有限要素法の利用 第２回する外力ベクトル {F} の間には次のような関係が得られる。
[K] {U}＝{F} ………………………………………………
ここで，マトリクス [K] はトラス部材の剛性を表す。節点の境界条件を式

２．
１．
４ 間隙水圧の取り扱いについて
斜面の変形や崩壊は，斜面内の間隙水圧が上昇して生じることが多いため，FEMにおいても間隙水圧の取り扱いが重要になる。その取り扱い方法を以下に説明しよう。
土のせん断強度 τ fは，次の有効応力規準によって定義に代入して，連立一次方程式を解くことにより，未知の節点変位が計算される。

されるのが普通である。

二次元弾性体を対象とする弾性FEMからも式と同じ形の式が最終的に得られる。
いま図−２の斜面が均質・等方の弾性体（二次元平面ひずみ状態）であると仮定し

τ f＝c’+ σ ’tanφ ’ ……………………………………



従って τ fを計算するには，すべり面上の有効垂直応力 σ ’て，自重が作用したときの変形と応力分布を求めてみよを求めねばならない。 σ ’は，全応力 σ から間隙水圧uをう。計算の考え方と方法は，ウェ ブ サ イ ト（http : //引いて得られる。すなわち，geotech.ce.gunma-u.ac.jp/ga/のFEMの い ろ はを参照1））と文献２）に示した。このウェブサイトには，二次元弾性FEMの基礎理論からFEMプログラムまでの説明がなされている。三次元弾性FEMについては文献３）を参照されたい。

式σ ’＝ σ −u ……………………………………………

{σ ’}＝{σ }−{u} ………………………………………



をベクトル表示するとｘ，ｙ座標を用いると式

図−２の弾性斜面に自重が作用したときの変位と最小主応力の分布を図−４に示す。ヤング率E＝200000kPa，る。右肩添え字のT

の各項は，次のように表されはマトリクスもしくはベクトルの転置（行と列を置き換える）を表す。

ポアソン比ν＝０．
２５，単位体積重量 γ ＝２０kN/m３とした。

T{σ ’}＝（ σ ’xx σ ’yy τ xy）…………………………（５．
１）

最小主応力は斜面内各点での垂直応力の最小値を表し，

T{σ }＝（ σ xx σ yy τ xy）………………………………（５．
２）

負値であると引っ張り応力が生じていることを意味する。

T{u}＝（u u 0）……………………………………（５．
３）

図−４より，自重が作用すると変形は鉛直下向きに生じ，引っ張り応力は生じていないことがわかる。しかし斜面が破壊状態に近いときは，これとは異なる状況が生じる。
詳細は２．
１（後編）で説明する。

有効応力ベクトル{σ ’}に対する等価節点力ベクトルは[B]  {σ ’}dxdy ………………………………

Tとなる（文献１）参照）。積分は有限要素の面積内で行う。[B] は有限要素の節点変位ベクトルをひずみベクト(a) 傾斜部付近ルに変換するマトリクスである（文献１）参照）。従って，の変位分布

間隙水圧ベクトル {u} に対する等価節点力ベクトルは，[B]T{N} T {u}dxdy …………………………………となる。{N} は形状関数からなるベクトルである（文献１），２）参照）。
なお，全応力ベクトル{σ }に対する等価節点力ベクト
ルは，式と同様に

[B]T{σ }dxdy ………………………………………となる。式(b) 傾 斜 部 付 近 のは，外力（たとえば重力や斜面表面に作用する外力）によって生じる節点力に等しい。式，，

は，１つ１つの有限要素に関するものである。斜面を最小主応力分布構成するすべての要素についてこれらを足し合わせることにより，斜面全体に対する等価節点力が得られる。以0上に示した記号と数式の詳しい説明は，各箇所に示した

204020

参考文献

40

単位 kPa60

図−４ 図−２の斜面に自重が作用したときの変位と最小主応力分布（弾性解析）

J. of the Jpn. Landslide Soc., Vol.40, No.1

文献に記述されているので，ぜひ参照されたい。

95 (2003)１）http : //geotech.ce.gunma-u.ac.jp/ga/の FEMのいろは
２）田中忠次他（２０００）：地盤工学における数値解析入門，pp.75−94，地盤工学会．
３）田中忠次，鵜飼恵三，河邑眞，阪上最一，大津宏康（１９９６）：
地盤の３次元弾塑性有限要素解析，丸善．
（原稿受付２００３年２月２７日，原稿受理２００３年３月５日）

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