読めば必ずわかる

分散分析の基礎第 2 版 2003 年 12 月 5 日
小野 滋

'

$

この解説書は，分散分析の基礎について，

可能な限りわかりやすく，かつ詳しく説明することを目的としています。
簡潔さは犠牲にし，長くてくどいかわりに，

読めばわからずにはいられない

説明を目指したいと思います。
なお，説明中に用いる記号は，後藤ほか (編)「心理学マニュアル 要因計画法」(北大路書房) に準じています。
&

%

2

目次

目次
第 I 部 はじめに

3

1 予備知識3

2 なぜ分散には 2 種類あるのか?

6

3 平方和，自由度，平均平方114 なぜ分散分析が必要か?

12

第 II 部 基礎編

14

5 構造モデル15

6 分散分析の前提

16

7 分散分析の発想

17

8 平方和の分解

19

9 平均平方の算出

21

10 平均平方の意義

22

11 F 検定25

12 まとめ: 1 要因の分散分析

26

3

第I部

はじめに
1

予備知識

'

$

この解説書では，全くの初学者を念頭において，できるかぎり易しい説明を試みます。
それでも，説明の都合上，データ解析と実験研究について，ある程度の知識が必要です。
そこで，読み進めるのにどうしても必要だと思われる予備知識を，17 項目にまとめてみました。以下のリストに目を通して，もし理解できない箇所があったら，その箇所を復習してから，先に進んで下さい。

&%■量的データの記述

1.1 量的データの全体的な大きさをあらわす指標として，平均が用いられることが多い。データ
x1 , x2 , . . . , xn の平均 x̄(「エックス・バー」) は，
n

1X
x̄ =
xi
n i=1
として求められる。

1.2 量的データのばらつきをあらわす指標として，分散と標準偏差(SD ともいう) が用いられることが多い。データ x1 , x2 , . . . , xn の 分散 s2 は，
n

1X
s =
(xi − x̄)2n i=12として求められる。また標準偏差 s は，

s=

√

s2

として求められる。

■母集団と標本2.1 ある変量について，分析者が関心を持っている値の全体を，母集団 と呼ぶ。
2.2 いっぽう，手元にあるデータの集まりを，標本 と呼ぶ。標本のなかに含まれている値の数を，標本のサイズと呼ぶ。

2.3 標本はいわば，母集団から取り出した (抽出した) 値の集まりである，と考えることができる。標本の性質をもとに，母集団の性質を推測するためには，標本は次の 2 つの性質を備えていなければならない:4

1 予備知識不偏性 : 母集団から偏りなく抽出されていること
独立性 : 個々のデータが，互いに影響を及ぼしていないこと
これらの性質を備えている標本のことを，無作為標本と呼ぶ。

■確率分布

3.1 とりうる実現値にそれぞれ確率が割りふられている変数のことを，確率変数という。また，それぞれの実現値に確率が割りふられているようすのことを，確率分布という。

3.2 重要な確率分布のひとつに，正規分布がある。平均 0, 分散 1 の正規分布を，とくに標準正規分布と呼ぶ。

■母集団特性の推定
サイズ n の無作為標本から，母集団の性質について推定するとき，

4.1 母平均 µ (「ミュー」) の推定のためには，標本平均 x̄ を用いるとよい。
4.2 母分散 σ 2 (「シグマの二乗」) の推定のためには，標本分散 s2 を少し大きめに修正した不偏
分散

u2 =

n
1 X
(xi − x̄)2
n − 1 i=1を用いるとよい。

■仮説検定

5.1 仮説検定と呼ばれる手法は，次の 4 つの段階からなる。
1. 帰無仮説(H0 ) を設定する。
2. 検定統計量を定める。
3. 決められた有意水準のもとでの棄却域を定める。
4. 標本から検定統計量の値を求め，棄却域と比較して，帰無仮説の棄却の有無を決定する。
5.2 有意水準は，「帰無仮説が真のとき，誤って帰無仮説を棄却してしまう」確率をあらわしている。5% ないし 1% がよく用いられる。

■実験研究の基礎概念

6.1 実験とは，いくつかの変数の値を研究者が操作し，それが別の変数にどう影響するか，を調べる研究のことである。

6.2 したがって実験研究では，変数は次の 3 つのどれかに分類されることになる。
従属変数 測定される変数。“原因-結果” という文脈でいえば，結果の側。
独立変数 研究者が操作する変数。要因, 処理, 説明変数, などともいう。
剰余変数 従属変数に影響を与えるかもしれないのに，研究者が操作していない変数。

6.3 独立変数のとる値は，いくつかに限られるのがふつうである。このとき，それぞれの値を水
準という。

5
6.4 独立変数が複数ある実験の場合，水準と水準の組み合わせのことをセルという。
6.5 あるセルのなかにある測定値の数のことを，繰り返し数と呼ぶ。
6.6 心理学での実験研究においては，独立変数 (要因) の操作のしかたを，つぎの 2 種類におおまかにわけることができる。
被験者間要因 : 要因の各水準ごとに，異なる被験者が用意される場合
被験者内要因 : 各被験者が，その要因のすべての水準の下で実験を行う場合

6

2

2 なぜ分散には 2 種類あるのか?

なぜ分散には 2 種類あるのか?

'$

予備知識 4.2 として挙げた「不偏分散」については，多くの人が納得のいかない思いをするようです。なぜ，本来の分散 (標本分散) のほかに，不偏分散が必要なのでしょうか?
この 2 つはどのように使いわければ良いのでしょうか?
そこで，以下に 3 通りの説明 (梅，竹，松) を用意しました。先に進むほど，突っ込んだ議論になります。
すくなくとも，梅コースの内容については，きちんと理解してください。竹コース・松コースは，読み飛ばしてもかまいません。

&%

2.1 梅コース
データ x1 , x2 , · · · , xn について，全体的な大きさをあらわす指標としては，平均n

平均 x̄ =

1X
x
n i=1

がよく用いられる。
また，値のばらつきをあらわす指標としては
n1X
標本分散 s =(x − x̄)2
n i=1
2

n
1 X
不偏分散 u =(x − x̄)2
n − 1 i=1
2の 2 種類がよくもちいられる。
データについて述べる際，標本分散 s2 (ないし標本標準偏差 s) を用いるべきか，それとも不偏分
散 u2 (ないし不偏標準偏差 u) を用いるべきかは，記述の目的によって決まる問題である。

• 手元のデータそのものについての要約に重点がある場合には，標本分散を• 母集団についての推測に重点がある場合には，不偏分散を用いるのが理にかなっている。もっとも，どちらを使ってもおかしくないケースも多い。

2.2 竹コース

72.2 竹コース
手元にあるデータ x1 , x2 , · · · , xn が，ある母集団からの無作為標本だとみなせる場合について考える。母集団のなかには無限個の (ないし，非常に多くの) 値が含まれていると考えられるが，それら無限個の値にも，平均や分散があると考えることができるだろう。ここで，母平均 (母集団の平均) を µ，母分散 (母集団の分散) を σ 2 と表記することにする。
では，手元にあるデータから，母集団の性質を推測する方法について考えてみよう。

■母平均の推定量 まず，母平均 µ を推定するためには，標本のどのような性質に着目すればよいだろうか。いろいろな考え方がありうるが，一般的にいって，標本平均 x̄ に着目するやり方が，一番優れていることがわかっている。そこで，母平均 µ の推定のためには，標本平均 x̄ を用いる。

■母分散の推定量

ところが，母分散 σ 2 の推定という問題は，さほど簡単ではない。標本の分散

s2 は，一般的にいって，σ 2 よりも少し小さめの値になってしまう。なぜか?
もともと分散とは，「それぞれの値と平均との距離 (偏差) の二乗の平均」をあらわすものである。
だから，σ 2 の推定量としては，本来は n1P(xi − µ)2 がふさわしいのである。

しかし現実には，母平均 µ の値はわからないので，標本平均 x̄ で代用せざるを得ない。ところPP(xi − x̄)2 は，本来の推定量 n1 (xi − µ)2 よりも，少し小さめになってしまう。なぜなら，P
いま任意の値 c について (xi − c)2 を求めることにすると，その値が一番小さくなるのは，c がが n1x̄ に一致するときだからである。
そこで，s2 を少し大きめに修正したものを，σ 2 の推定量にすればいい，という考え方が登場する。この修正された分散を「不偏分散」と呼んでいる。ここで，不偏分散 u2 =n
1 X(xi − x̄)2
n − 1 i=1であるということがわかっている (2.3 参照)。母分散 σ 2 の推定のためには，この不偏分散 s2 を用いる。なお，不偏分散と区別するために，本来の分散を「標本分散」と呼ぶことがある。

8

2 なぜ分散には 2 種類あるのか?

2.3 松コース
では，なぜ不偏分散 u2 の分子は n − 1 なのだろうか? どうしても気になってしかたがないあな
たのために，徹底的な説明をお送りしよう。

2.3.1 確率変数と期待値
まず，期待値という概念を導入する。少し抽象的な話になるので，ゆっくり読み進めてほしい。
数学の世界では，取りうる値 (実現値) に確率が割り振られているような変数のことを，確率変数と呼んでいる。ある確率変数 Y について，その確率分布の平均を，Y の期待値 E(Y ) と呼ぶ。
たとえば，「サイコロを振ったときに出る目」という変数 X は，実現値 (1, 2, 3, 4, 5, 6) に確率が割り振られているので (すべて 1/6)，確率変数だということができる。その期待値 E(X) は，サ
イコロを無限回振って手にはいる，無限個の目 (1, 1, 1, . . . , 2, 2, 2, . . . , 6, 6, 6) の平均値，すなわち3.5 である。

■ある変量の期待値 いま手元に，ある変量についての n 個のデータ x1 , x2 , · · · , xn があるとしよう。これらのデータは，いわば X という謎のサイコロを n 回振って手に入れた値だ，とみなすことができる。つまり，変量 X は，確率変数だとみなすことができるわけである。
その期待値 E(X) とは，「データサイズ n が無限大にまで大きくなったときに，そこから得られる平均」のことである。手元のデータがなんらかの母集団の無作為標本であるならば，「無限大の大きさの標本」とは，すなわち母集団のことになる。だから，これは母平均 µ をあらわしている。
すなわち，E(X) = µ■ある変量のばらつきの期待値(1)

つぎに，変量 X のあるひとつのデータと，その母平均 µ とのずれの大きさについて考えてみたい。そのためには，ずれの絶対値 |X − µ| ついて考えればよいだろう。しかし，絶対値は数学的に扱いが面倒なので，そのかわりに，ずれの二乗 (X − µ)2 について考えることにする。
その期待値 E[(X − µ)2 ] とは，「無限大のサイズの標本について，すべてのデータからそれぞれの (X − µ)2 を求めた，その平均」のことである。さきにみたように，「無限大の大きさの標本」は

2.3 松コース

9

母集団に相当するから，結局これは母分散 σ 2 のことである。すなわち，E[(X − µ)2 ] = σ 2■データの平均の期待値(2)では，上の n 個のデータから求める統計量，たとえば平均 X̄ について考えてみよう。この値は，その値が確率的に決まるという意味で，いわば X̄ という謎のサイコロを 1 回振って手に入れた値だ，とみなすことができる。つまり，標本平均 X̄ もまた，確率変数だとみなすことができる。
その期待値 E(X̄) とは，「もし標本抽出を無限回繰り返し，標本平均が無限個手に入ったら，それらの平均はなにか」を意味する。当然それは，母平均 µ に一致する。すなわち，E(X̄) = µ

(3)

である。
ところでこの式は，「標本平均 X̄ は母平均 µ の不偏推定量 (偏りのない推定量) だ」ということに対応している。このように，「標本から得られる統計量○○は，母集団の特性××の不偏推定量だ」ということを，E(○○) = ×× とあらわすことができる。

■データの平均のばらつきの期待値 さて，標本平均 X̄ は，母平均 µ からさほど遠くない推定を与えてくれることもあれば，大きく外してしまうこともあるだろう。そのばらつきの程度について考えてみたい。そのためには，推定のずれの絶対値 |X̄ − µ| の期待値について考えればよいだ
ろう。しかし，絶対値は数学的に扱いが面倒なので，そのかわりに，推定のずれの二乗の期待値

E[(X̄ − µ)2 ] について考えることにしよう。
証明は省くが，次の式が成り立つことがわかっている。

E[(X̄ − µ)2 ] =

σ2
n

(4)

この式は，
「母平均 µ を，標本平均 X̄ を用いて推定するとき，その推定のずれは，母集団の値のばらつき σ 2 が大きいときに大きく，標本サイズ n が大きいときに小さい」という，ごくあたりまえの事柄に対応している。

10

2 なぜ分散には 2 種類あるのか?

2.3.2 なぜ n − 1 かでは，いよいよ本題に戻ろう。まず， u2 の分子の部分を変形する。

XX(xi − x̄)2[(xi − µ) + (µ − x̄)]2
XX
X=(xi − µ)2 + 2(xi − µ)(µ − x̄) +(x̄ − µ)2
XX=
(xi − µ)2 − 2(x̄ − µ)(xi − µ) + n(x̄ − µ)2XX=(xi − µ)2 − 2(x̄ − µ)(xi − nµ) + n(x̄ − µ)2X=(xi − µ)2 − 2(x̄ − µ)(nx̄ − nµ) + n(x̄ − µ)2X=(xi − µ)2 − 2n(x̄ − µ)2 + n(x̄ − µ)2X=(xi − µ)2 − n(x̄ − µ)2
=

第1項

P
(xi − µ)2 の期待値は，
X
E[ (xi − µ)2 ] =E[(x1 − µ)2 ] + E[(x2 − µ)2 ] + · · · + E[(xn − µ)2 ]=σ 2 + σ 2 + · · · + σ 2 ←式 (2)=nσ 2

第 2 項 n(x̄ − µ)2 の期待値は，

E[n(x̄ − µ)2 ] =n × E[(x̄ − µ)2 ]=n ×σ2←式 (4)
n

=σ 2

従って

E
·
E

hX

1
n−1

i
(xi − x̄)2 = nσ 2 − σ 2 = (n − 1)σ 2¸
X2(xi − x̄) = σ 2であり，不偏分散 u2 が母分散 σ 2 の不偏推定量であることがわかる。

11

3

平方和，自由度，平均平方
今後の説明の都合上，いくつかの用語を紹介しておく。

■平方和

2 種類の分散n1X
標本分散 s =(xi − x̄)2n i=12

不偏分散 u2 =
は，分子

n
1 X
(xi − x̄)2
n − 1 i=1

P
(x − x̄)2 が共通している。この部分は，偏差の平方 (二乗のこと) の合計なので，偏差平方和と呼んだり，単に平方和(SS と略記する) と呼んだりする。変動と呼ぶこともある。

■自由度 いっぽう，不偏分散の分子の部分 n − 1 を，この平方和の自由度(df と略記する) と呼ぶ。
自由度とは，自由に値をとることができる変数の数を指す用語である。たとえば，3 つの変数

X1 , X2 , X3 があるとしよう。これらの変数の値について，平均と平方和を求める式は，
X1 + X2 + X3
3
平方和 SS = (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + (X3 − X̄)2
平均 X̄ =となる。さて，平方和の式の右辺には，3 つの変数が登場するが，X̄ が決まっているとすると，自由に動ける変数は 2 つしかない (もし X̄ = 10, X1 = 9, X2 = 10 ならば，X3 の値は 11 に決まってしまう)。このことを指して，この平方和の自由度は 2 である，と言う。

■平均平方

平方和を自由度で割ったもののことを，平均平方と呼ぶ (M S と略記する)。従って，

2 章で示したのは，「標本の平均平方は母分散の不偏推定量である」ということであった，といいかえることができる。

12

4

4 なぜ分散分析が必要か?

なぜ分散分析が必要か?

4.1 水準が 3 つ以上のときに必要だ
たとえば，次のような問題について考えてみよう。
例題 1 (後藤ほか編, p.30)
生徒の学習形態のちがいが，課題の達成に影響するかどうかを調べるために，あらか
じめ学力の等しい生徒をランダムにわけて，3 つのグループを構成した。グループ 1 では一斉指導，グループ 2 では体験学習，グループ 3 では仲間による討議学習をおこなった。授業終了後，課題の到達度テストを実施したところ，次の得点 (略) が得られた。3つの学習形態のあいだに差はあるか。
この例題について検討する際には，2 つの路線がある。

■多重比較

ひとつの路線は，この問題を，次の 3 つの問題と，それに対応する帰無仮説 (H0 ) に分割する考え方である。

• 一斉指導と体験学習のあいだで，得点のちがいはあるか? (H0 : µ1 = µ2 )• 体験学習と討議学習のあいだで，得点のちがいはあるか? (H0 : µ2 = µ3 )• 一斉指導と討議学習のあいだで，得点のちがいはあるか? (H0 : µ1 = µ3 )これらの帰無仮説 (H0 ) のそれぞれについて，仮説検定の手法を用いて検討すればよい。
この路線はわかりやすいし，アイデアそれ自体はまちがっていない。しかし，この路線に沿って，単純に t 検定を繰り返すのは，統計学的にみて，深刻な誤りである (コラム参照)。このような場合には，多重比較と呼ばれる手法を用いなければならない。

■分散分析

もうひとつの路線は，• 3 種類の学習形態の間に, 得点のちがいはあるか? (H0 : µ1 = µ2 = µ3 )という問題ひとつだけについて，仮説検定の手法を用いて検討することである。これを可能にしてくれるのが分散分析である。
たいていの場合，多重比較よりも分散分析のほうが簡単だし，結果も解釈しやすい。

4.2 要因が 2 つ以上あるときに必要だ■分散分析から多重比較へ

13

分散分析路線の欠点は，仮に「3 つの学習形態の間に 得点のちがいがある」という結果が得られたとしても，それではどれとどれの間にちがいがあるのかはわからな
い，という点である。
そこで，まず分散分析をおこない，「3 つの学習形態の間に 得点のちがいがあるか」という点を調べ，ちがいがあることがわかったら，こんどは多重比較によって，「どれとどれの間にちがいがあるか」を調べる，という方法が広く用いられている。このとき，後半の多重比較のことを，とくに下位検定と呼ぶ。

4.2 要因が 2 つ以上あるときに必要だ
この例題では，要因がひとつしかない。しかし，実験研究では，複数個の要因を同時に制御することも多い。そのような場合には，分散分析の考え方がどうしても必要になる。

コラム：なぜ検定を単純に繰り返してはいけないのか
有意水準 5% で検定をおこなうとする。いま帰無仮説 H0 が真であるとすると，誤って H0 を棄却する確率 (タイプ I エラーの確率) は 0.05 である。さて，ひとつの論文のあちこちで，いろいろな問題について別々のデータ解析がおこなわれているとする。検定が 3 回おこなわれているとしよう。いま，検討されている 3 つの H0 がすべて真であるときに，「論文のなかのどこか 1 箇所以上でタイプ I エラーを犯す確率」は, 1 − 0.953 = 0.14 と，意外に高くなる。10 回のときには，実に0.40 である。
さらに，異なる検定が同じデータに基づいている場合には，より深刻な問題が生じる。たとえば，A, B, C の 3 群間で，A vs. B, B vs. C, C vs. A の 3 つの t 検定をおこなったとしよう。いま，A の標本平均が，運悪く真の平均よりもずっと高かったとすると，その場合，A vs. B の t 検定でも，A vs. C の t 検定でも，H0 が棄却されやすくなる。従って，検討されている 3 つの H0 がすべて真であるときに，「どこか 1 箇所以上でタイプ I エラーを犯す確率」は，1 − 0.953 = 0.14 よりも高くなり，予想がつかなくなる。
このように，単純に検定を繰り返すと,• 全体を通じたタイプ I エラーの確率が高くなる。
• データが独立でない場合，タイプ I エラーの確率がわからなくなる。
このような場合には，多重比較のための特別な検定手法を用いなければならない。

14

第 II 部

基礎編
それではいよいよ，分散分析の考え方についての説明をはじめよう。次の例題を用いて説明することにする。
例題 1 (後藤ほか編, p.30)
生徒の学習形態のちがいが，課題の達成に影響するかどうかを調べるために，あらかじめ学力の等しい生徒をランダムにわけて，3 つのグループを構成した。グループ 1 では一斉指導，グループ

2 では体験学習，グループ 3 では仲間による討議学習をおこなった。授業終了後，課題の到達度テストを実施したところ，次の得点が得られた。3 つの学習形態のあいだに差はあるか。
学習形態

一斉指導

体験学習

討議学習

平均
サイズ

5
4
6
3
3
7
6
5
3
5
4.7
10

8
4
3
3
7
9
8
7
3
4
5.6
10

7
6
8
9
10
9
8
9
7
8
8.1
10

全平均 6.1

実際の数値を書いているとわかりにくいので，説明文中では下の記号を用いることにする。
要因 A

平均
サイズ

水準 A1

水準 A2

水準 A3

x11
x21
x31
..
.

x12
x22
x32
..
.

x13
x23
x33
..
.

xn1
T̄1
n

xn2
T̄2
n

xn3
T̄3
n

全平均 Ḡ

15

5

構造モデル
まず，例題 1 の特徴を確認しておこう。独立変数(要因) はひとつ，3 水準，水準間にデータの対応がない (いわゆる被験者間要因)。各水準での標本サイズ (繰り返し数) は等しい。
例題 1 のデータについて，「一斉指導群 1 番さんの得点 (5) は，一斉指導を受けた被験者が本来示す得点 (µ1 ) に，なんらかの影響 (ε11 ) が加わったものだ」というふうに考えてみよう。ここでいう “なんらかの影響” とは，学習形態とは無関係な要因すべて，つまり，(この被験者の努力といった) 剰余変数がもたらす影響や，測定の誤差，偶然に生じる値のばらつきなどが含まれる。これをひとことで，誤差と呼ぶことにする。
一斉指導群 1 番さんの得点 (5) = 一斉指導群の母平均 (µ1 ) + 誤差 (ε11 )一斉指導群 2 番さんの得点 (4) = 一斉指導群の母平均 (µ1 ) + 誤差 (ε21 )..
.
体験学習群 1 番さんの得点 (8) = 体験学習群の母平均 (µ2 ) + 誤差 (ε12 )..
.
討議学習群 1 番さんの得点 (7) = 討議学習群の母平均 (µ3 ) + 誤差 (ε13 )..
.
もっと簡潔に表現してみよう。水準 j(j = {1, 2, 3}) の母平均を µj とすると，水準 j の i 番目の測
定値 Xij は Xij = µj + εij とあらわすことができる。
さて，各水準の母平均 µ1 , µ2 , µ3 の平均を µ とあらわすことにし，µ1 = µ + τ1 , µ2 = µ + τ2 ,µ3 = µ + τ3 とする。ここで µ は，すべての得点の母平均，つまり，学習形態によるちがいを除去
した得点の母平均をあらわしている。また τ1 , τ2 , τ3 は，3 種類の学習形態が持っている，得点への(プラスないしマイナスの) 効果をあらわしている。すると，上の式は次のように書き直すことができる。
全体の母平均を µ, 水準 j の効果を τj とする。水準 j の i 番目の測定値 Xij は

Xij = µ + τj + εij

この数式を，分散分析の構造モデルという。

16

66 分散分析の前提

分散分析の前提
さて，分散分析では， 誤差 εij が平均 0 の正規分布に従い，その分散は等しい，と仮定する。
いいかえれば，• {x11 , x21 , · · · , xn1 } は，平均 µ + τ1 の正規分布に従う• {x12 , x22 , · · · , xn2 } は，平均 µ + τ2 の正規分布に従う• {x13 , x23 , · · · , xn3 } は，平均 µ + τ3 の正規分布に従う• この 3 つの正規分布の分散は等しいと仮定する。
この仮定は，データの性質としては• 各水準の内側でのデータの分布が，正規分布に近いこと (正規性)• 各水準の内側でのデータの分散が，だいたい同じであること (等分散性)に対応する。
例題 1 のデータについてみると• 3 枚のヒストグラムは，どれもおおまかにいって，左右対称な山形であり，• 3 群の標準偏差は 1.35, 2.29, 1.14 であり，あまり大きな差はない。
したがって，誤差についての仮定には無理がなさそうだ。

17

7

分散分析の発想■分散の分析とは? さて，いま知りたいのは，ガソリンによって燃費に差があるかどうかである。
仮説検定の枠組みに従えば，帰無仮説 H0 : τ1 = τ2 = τ3 を棄却できるかどうか，を検討することになる。
この問題について検討するためには，τ1 , τ2 , τ3 のそれぞれについて推定値を求め，その差を調べればいいのではないか? . . . という方向に話を進めないのが，分散分析の面白いところである。分散分析では，τ1 , τ2 , τ3 そのものについての推定をおこなうのではなくて，この 3 つの効果の分散を推定しようとする。これが「分散分析」という名前の由来である。
ここで，構造モデルの各項の分散について，呼び名と表記を決めておこう。

• Xij の分散，すなわち母集団全体の分散 (全分散) を，σT2 otal と表記する。
2• τj の分散 (つまり {τ1 , τ2 , τ3 } の分散) を，要因分散と呼ぶ。σAと表記する∗1 。
2• ²ij の分散を，誤差分散と呼ぶ。σErrorと表記する。

測定値

Xij
↓

全平均

=

µ

要因の効果

+

τj
↓

誤差

+

²ij
↓

全分散

要因分散

誤差分散

σT2 otal

2σA

2σError

さて，
2• もし学習形態によって得点に差がないならば，τ1 = τ2 = τ3 = 0 なので，σA= 0 である。
2• もし学習形態によって得点に差があるならば，τ1 , τ2 , τ3 がなんであれ，σA
6= 0 である。
2だから，τ1 , τ2 , τ3 についての推定をおこなわなくても， 要因分散 σAが 0 かどうかを判断すれば，用が足りるのである。

■要因分散についての検討とは?

2
ところが，σAの大きさについての検討は，一筋縄ではいかない。

まず，構造モデルの各項について，標本から推定する方法を考えてみると• 全平均 µ の推定量は Ḡ∗122
後藤ほか (編) では σTreat と表記している。なお，σA =Pn τjと定義しておく。
3−1

18

7 分散分析の発想• 各水準の効果 τj の推定量は (T̄j − Ḡ)• 誤差 εij の推定量は (xij − T̄j )以上の推定量を用いて，手元のデータに構造モデルをあてはめると

xij = Ḡ + (T̄j − Ḡ) + (xij − T̄j )
となる。
母集団

Xij

=

µ

+

標本

xij

=

⇑ 推定
Ḡ

+

τj

+

⇑ 推定
(T̄j − Ḡ) +

²ij
⇑ 推定
(xij − T̄j )ところで，(a) 測定値 xij の平均平方 (平方和を自由度で割ったもの) は，全分散 σT2 otal の不偏推定量となる (3 章参照)。
ならば，
2(b) (T̄j − Ḡ) の平均平方は，要因分散 σAの不偏推定量となるのではないか?
2の不偏推定量になるのではないか?
(c) (xij − T̄j ) の平均平方は，誤差分散 σError

母集団

標本

Xij
= µ+
τj
+8
↓
↓
2
σT2 otalσA⇑ 推定 (a)⇑ 推定?(b)M ST otal
M SA
↑
↑
xij
= Ḡ+ (T̄j − Ḡ)
+

εij
↓
2
σError⇑ 推定?(c)M SError↑(xij − T̄j )

先に結論を紹介しておくと，(c) は正しいが，(b) は正しくない。しかし，この発想じたいは優れているので，このまま話を先に進めてみよう。

19

8

平方和の分解
まず，各項の平方和を求めてみよう。
n3 X
X(xij − Ḡ)2

全体の平方和 SST otal =j=1 i=1

要因の平方和 SSA =

3 X
n
X

3
X
{(T̄j − Ḡ) − 0} = n(T̄j − Ḡ)22

j=1 i=1

誤差の平方和 SSError =

j=1

3 X
n
X

2

{(xij − T̄j ) − 0} =j=1 i=1

3 XnX(xij − T̄j )2

j=1 i=1

ここで，SST otal = SSA + SSErrorという関係が成り立っている (コラム参照)。つまり，ここでおこなっているのは，測定値の平方和を分解する作業なのである。
例題 1 の場合。わかりやすいように，全平均 Ḡ を左辺に移項している。

(得点 − 全平均)
(xij − Ḡ)(5 − 6.1)(4 − 6.1)..
.
(8 − 6.1)(4 − 6.1)..
.
(7 − 6.1)(6 − 6.1)
..
.
⇓

=
=
=
=
=
=
=

(水準の平均 − 全平均)(T̄j − Ḡ)(4.7 − 6.1)
(4.7 − 6.1)..
.
(5.6 − 6.1)
(5.6 − 6.1)..
.
(8.1 − 6.1)
(8.1 − 6.1)
..
.
⇓

+
+
+
+
+
+
+

(得点 − 水準の平均)(xij − T̄j )(5 − 4.7)(4 − 4.7)..
.
(8 − 5.6)(4 − 5.6)..
.
(7 − 8.1)(6 − 8.1)..
.
⇓

二乗して合計

二乗して合計

二乗して合計SST otal = 145.47

SSA = 62.07

SSError = 83.4

ここで行ったのは，得点のばらつき 145.47 を，学習形態に由来するばらつき 62.07 と，それ以外のばらつき 83.4 とに分解する作業であった，ということができる。

20

8 平方和の分解

コラム: なぜ平方和は分解できるのか

構造モデル

xij = Ḡ + (T̄j − Ḡ) + (xij − T̄i )の Ḡ を左辺に移項して

xij − Ḡ = (T̄j − Ḡ) + (xij − T̄i )両辺を 2 乗して(xij − Ḡ)2 = (T̄j − Ḡ)2 + (xij − T̄i )2 + 2(T̄j − Ḡ)(xij − T̄i )
合計して

XX
j

X

(xij − Ḡ)2 =in(T̄j − Ḡ)2 +

XX

j

j

XX

(xij − T̄j )2 +ij

2(T̄j − Ḡ)(xij − T̄j )

i

第三項は

XX
j

2(T̄j − Ḡ)(xij − T̄i ) = 2i

X{(T̄j − Ḡ)

X

j

=2

X

(xij − T̄i )}i{(T̄j − Ḡ) × 0}

j

=0
従って，

XX
j

i

(xij − Ḡ)2 =X

n(T̄j − Ḡ)2 +

j

XX
j

(xij − T̄j )2i

SST otal = SSA + SSError
であることがわかる。
なお，構造モデルがもっと複雑なものになっても，上記と同じように，全体の平方和を各項の平方和の和に分解することができる。

21

9

平均平方の算出
次に，それぞれの平方和が持つ自由度について考えておこう。自由度とは，自由に動くことができる値の数なので (3 章参照)，• 全体の平方和 SST otal の自由度 =(値の個数 −1) = 3n − 1• 要因の平方和 SSA の自由度 =(T̄j の個数 −1) = 3 − 1• 誤差の平方和 SSError の自由度 = 水準数× (水準内の値の個数-1) = 3(n − 1)となる。ここで(3n − 1) = (3 − 1) + 3(n − 1)
であり，自由度もまた，平方和と同じように分解されている。
それでは，各項の平均平方 (平方和を自由度で割った値) を求めよう。
全体の平均平方 M ST otal = SST otal /(3n − 1)
要因の平均平方 M SA = SSA /(3 − 1)
誤差の平均平方 M SError = SSError /3(n − 1)

例題 1 の場合:(得点 − 全平均)
(xij − Ḡ)⇓=(水準の平均 − 全平均)(T̄j − Ḡ)+⇓(得点 − 水準の平均)(xij − T̄j )⇓二乗して合計

二乗して合計

二乗して合計SST otal = 145.47⇓

SSA = 62.07⇓

SSError = 83.4
⇓

自由度は

自由度は

自由度は

3n − 1 = 29
⇓

3−1=2
⇓

3(n − 1) = 27
⇓

わり算して

わり算して

わり算して

M ST otal = 5.02

M SA = 31.03

M SError = 3.08

22

10 平均平方の意義

10

平均平方の意義¾»

この章も，少し面倒な内容を含んでいるので，3 通りの説明 (梅，竹，松) を用意しました。先に進むほど，突っ込んだ議論になります。すくなくとも，梅コースの内容について
は，きちんと理解してください。竹コース・松コースは，読み飛ばしてもかまいません。

½

10.1

¼

梅コース

2
さて，いま私たちが目指しているのは，要因分散 σAが 0 かどうかの判断である。そのためには，
2
M SA だけを調べていては不十分である。なぜなら，誤差分散 σError
が大きいときにも，M SA は大きくなってしまうからである。
そこで，M SA を M SError で割った量F = M SA /M SError
を調べる。
例題 1 の場合は，

F = 31.03/3.08 = 10.0422
F 値は，要因分散 σAが 0 のときに 1 に近くなり，σAが 0 でないとき (すなわち，要因の水準によって差があるとき) には 1 よりも大きな値になる。

10.2 竹コース

10.2

23

竹コース

以上の内容を，別の角度から説明しよう。
図 1 は，例題 1 のデータを縦に並べ，プロットしたものである。図の上・中・下が，3 種類の学習形態に対応している。黒丸は測定値を，中央の縦の点線は全平均 Ḡ を，太線は各水準の平均

T̄1 , T̄2 , T̄3 を示している。M ST otal は黒丸のばらつき，M SA は太線のばらつき，M SError は黒丸
から太線までの垂線の長さのばらつきに相当する。
この図をみるだけで，被験者の属する群によって黒丸の位置が異なっていること，したがって要因の効果がみられることが，直感的にわかるだろう。
では，もしデータが図 2 のようであったらどうだろうか。この図の太線は，図 1 の太線とまった
く同じである。しかしこの図の黒丸の布置をみても，要因の効果がみられるとはとても思えない。
なぜなら，測定値のばらつきが大きいからである。たしかに，太線にもばらつきはみられるものの，それは単に測定値のばらつきのせいではないか，つまり，もうすこし測定値を増やせば，太線のかたちは簡単に変わってしまうのではないか — という気がするだろう。
このように，要因の効果があるかどうか (σA 6= 0 かどうか) の判断は，誤差 eij のばらつきと 比べて 水準の平均 T̄j のばらつきが大きいかどうか，に基づいておこなわれるべきである。そ

図 1: 例題 1 のデータ

図 2: もしこんなデータなら. . .

24

10 平均平方の意義

こで，「水準の平均のばらつき M SA が，誤差 eij のばらつき M SError の何倍あるか」，つまり

F = M SA /M SError を求めるのである。もし要因の効果がなければ，M SA と M SError は同程度となり，F は 1 に近くなるだろう。もし要因の効果があるのなら，F はもっと大きな値になる
だろう。

10.3

松コース

®

©

以下の説明は，2 章の松コース (2.3) を読了した人向けに書かれています。

­ª

3 章で述べたように，データの平方和を自由度で割ると，母分散の不偏推定量が手にはいる。これを期待値という概念を用いてあらわせば，E(M ST otal ) = σT2 otal
さて，要因の平均平方 M SA の期待値は2
2
E(M SA ) = σError
+ nσA
2
2
2
となる∗2 。つまり，M SA は σAの不偏推定量ではなく，σAと σErrorの両方を反映する統計量なのである。
いっぽう，誤差の平均平方 M SError の期待値は2
E(M SError ) = σError
2
であり∗3 ，M SError は誤差分散 σErrorの不偏推定量である。

さて，
2• もし要因の効果がないならば (H0 が真ならば)，M SA と M SError とは，ともに σErrorの不偏推定量だから，近い値になるはずである。

• いっぽう，要因の効果があるならば (H0 が偽ならば)，それがどのような効果であれ，M SA
は大きくなるはずである。
2
そこで，F = M SA /M SError を検定統計量として，H0 : σA
= 0 についての仮説検定をおこなう
2わけである。(σAの大きさの推定や，τ1 , τ2 , τ3 の推定には，もはや関心が持たれていないことに注目してほしい。)∗2 高校までの数学で導出できる。お試しあれ。
∗3 同上。

25

11 F 検定
それでは，F を検定統計量として，要因の効果の有無についての仮説検定をおこなうことにしよう。
予備知識 5.1 に挙げたように，仮説検定は 4 つの段階からなる。

■1. 帰無仮説 (H0 ) を設定する

帰無仮説は:

2
H0 : 要因の効果はない (τ1 = τ2 = τ3 = 0, σA= 0)■2. 検定統計量を定める

すでに説明したように，検定統計量としては F を用いる。

■3. 決められた有意水準のもとでの棄却域を定める

さて，誤差の正規性と等分散性という仮定が成り立っているときに限り (6 章参照)，F には以下の性質がある。帰無仮説が真である場合には，F は「自由度 (要因の自由度, 誤差の自由度) の F 分布」と呼ばれる確率分布に従う。いっぽう，帰無仮説が偽の場合には，F は大きくなる。
そこで，F 分布の右 α% の範囲を，有意水準 α% の棄却域と定めることにする。
例題 1 では: 自由度 (2, 27) の F 分布を用いる。1% 棄却域は F > 5.49 である。

■4. 棄却の有無を決定する F 値が棄却域に含まれていた場合は，帰無仮説は棄却される。
例題 1 では: F = 10.04 は棄却域に含まれているので，棄却域は 1% 有意水準で棄却される。従って，学習形態という要因の効果が認められたと判断される。
ここで，F 値の大きさは効果の大きさをあらわしているわけではない，という点に注意してほしい。前章でみたように，F は効果の大きさ (σT2 otal ) をあらわす指標ではない。

26

12 まとめ: 1 要因の分散分析

12

まとめ: 1 要因の分散分析

どのようなデータであれ，分散分析を用いたデータ分析は，6 つの段階からなっている。

1. データの構造についてよく考え，構造モデルを構築する。
2. 誤差の分布についての仮定が，データにあてはまっているかどうか検討する。
3. 平方和を分解し，各項の平均平方を求める。
4. 検討したい要因について，F を求め，帰無仮説の棄却の有無を判断する。
5. それがなにを意味しているのか考えるために，グラフに戻ったり，下位検定に進んだりする。
この解説書では，このうち 1-5 の段階について，いわゆる被験者間 1 要因計画の実験データを例に挙げて，詳しく検討してきた。
ここまでの内容をまとめておこう。1 要因 (k 水準, 水準間にデータの対応なし) の実験の結果，測定値 xij を得た。ただし，i は各水準内での測定値の番号 (1 ∼ nk )，j は水準の番号 (1 ∼ k) とする (下表)。
要因 A

水準 A1

水準 A2

x11
x21
x31
..
.

x12
x22
x32
..
.

xn1 1
T̄1
n1

xn2 2
T̄2
n2

平均
サイズ

···
···
···
···

水準 Ak

···
···
···
···

x1k
x2k
x3k
..
.
xnk k
T̄k
nk

全平均Ḡ

このとき，誤差の正規性と等分散性という仮定の下で，分散分析をおこなうことができる。
分散分析の計算過程は，下のような書式の表にまとめることが多い。これを分散分析表という。

変動因
要因 (A)

1 要因 (水準間にデータの対応なし) の分散分析表
平方和 (SS)
自由度 (df ) 平均平方 (M S)kX
SSAnj (T̄j − Ḡ)2
k−1
k
−1
j=1
nj
k X
X

誤差 (Error)(xij − T̄j )2

j=1 i=1
nj
k X
X

全体
j=1 i=1(xij − Ḡ)2kX

(nj − 1)

j=1
k
X

F
M SA
M SError

SSErrorPk
j=1 (nj − 1)

nj − 1j=1

つづく . . . かも