Accademia Pontaniana

Società Nazionale
di Scienze, Lettere e Arti

La Relatività Generalea cento anni dalla sua formulazione
Convegno tenuto nell’ambito delle attività congiuntedella Società Nazionale di Scienze, Lettere e Artie dell’Accademia Pontaniana
Anno accademico 2016-2017

a cura diLeonardo Merola

GIANNINI EDITORENAPOLI 2018© 2018 Società Nazionale di Scienze, Lettere e Arti e Accademia Pontaniana.
ISBN 978-88-7431-923-7

Il presente volume è stato pubblicato con il contributo diRegione Campania

MiBACT

Università di Napoli Federico II

SALUTO

Siamo lieti di rinnovare, qui congiuntamente, i saluti augurali che, nella nostra qualità, rendemmo ai Relatori del convegno “La Relatività Generale a cento anni dalla sua formulazione”
organizzato dal collega prof. Leonardo Merola.
Il problema della relatività è tal tema di rivoluzionaria incidenza da dover lambire anche
studiosi, quali entrambi siamo, di altro ambito disciplinare, quello della storia della filosofia. E
qui non possiamo ignorare, come infatti non ignoriamo, almeno il grande libro di Ernst Cassirer, Zur Einstein’schen Relativitätstheorie del 1921, che è parte di una grande trilogia – gli altri
due lavori sono Substanzbegriff und Funktionsbegriff (1910) e Determinismus und Indeterminismus in der modernen Physik (1937) –, la quale affronta le conseguenze della liquidazionedel determinismo classico conseguita dalla nuova fisica sub-atomica sul sistema delle categoriedella logica trascendentale. Dunque un gran problema che fa rilevare come, nella nostra età piùche mai, si debba riflettere sulla interazione dei saperi positivi, che ci appare il livello determinante della ricerca scientifica, quali che siano gli ambiti specificamente investigati con piena
consapevolezza della rilevanza delle questioni affrontate. Ma di certo non è questa la sede, né
è il nostro compito qui, per andare avanti sulla linea della filosofia e della storiografia filosofica
del Cassirer. Ci piace tuttavia richiamare un’altra rilevante presenza della teoria della relatività
nei nostri studi, in quelli da noi due filologicamente trattati, che ci appare di non poco momentoin sé e per la possibilità che offre di sottolineare quanto siano interagenti gli ambiti disciplinari,la cui specificità è data dai criteri filologici con cui specificamente si coltivano, senza nulla
concedere a cippi confinari, sempre meno eloquenti nella ricerca scientifica.
In una importante opera di filosofia, Der Historismus und seine Probleme di Ernst Troeltsch(edita nel 1921, in parte rielaborando scritti anche precedenti), si legge una pagina di non poco
momento, che ricordiamo anche per togliere ogni convenzionalità al nostro doveroso saluto accademico e perché davvero indica quella che abbiamo chiamato l’interazione dei saperi, senzapalme di precedenza da riconoscere a questo o a quello. In questa pagina la relatività storica dei
valori si ritiene che abbia una qualche analogia con la dottrina fisica della relatività quando questa con Einstein dissolve il principio di inerzia e afferma il principio di una crescente velocità
dei movimenti, tanto da inserire anche la “posizione”, la stabilità dell’esistere in un movimento
reciproco e mutevole. Tuttavia senza con ciò negare il principio dell’assoluto affidato al carattere calcolabile del sistema di riferimento della realtà naturale. Il che è tendenzialmente messo
in discussione dallo storicismo che fa centro sull’idea di individualità storica della “posizione”
dell’ esistere. Queste tesi furono poco più tardi (1927) riprese da un grande storico come Otto
Hintze proprio in una articolata discussione del libro di Troeltsch. E si potrebbe ancora ricordare un altro saggio, stavolta di un autorevole studioso spagnolo, Ortega y Gasset, che nel libro
El tema del nuestro tiempo, con la eleganza sintetica del gran scrittore che era, sostiene, efficacemente, che se prima del principio di relatività in filosofia e in fisica si partiva dal presuppostoche la realtà è assoluta e la conoscenza relativa, dopo la situazione si inverte: la realtà è relativa

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domenico conte - fulvio tessitore

e la conoscenza è assoluta. In altre parole siamo vicini a un’altra analogia tra la fisica (questa
volta dei “quanta”) e la filosofia storica, quella del principio di “indeterminazione”, tanto centrale nelle riflessioni filosofiche di Max Weber.
Abbiamo ricordato, pur tanto sommariamente, questi momenti del nostro sapere contemporaneo soltanto per ribadire l’importanza di quella che abbiamo chiamato la interazione dei
saperi positivi, che, almeno tendenzialmente, serve a negare, se non altro, ogni logica degli“horti conclusi”.
Tale logica fu senz’altro superata anche da uno dei maggiori scrittori del Novecento, Thomas Mann, che, oltre a essere molto interessato alle scienze, fu amico di Einstein, di cui scrisse
un necrologio commosso all’indomani della morte, avvenuta nell’aprile del 1955 (Mann lo
avrebbe seguito soltanto pochi mesi dopo, nell’agosto dello stesso anno). Si tratta di un testo
breve e profondo, che dall’esaltazione della grande personalità di Einstein trascorre anche ai
pericoli dell’applicazione tecnico-pratica di quella scienza – la fisica teorica – di cui Einstein
era ormai divenuto come un rappresentante mitico. Con Einstein – scrive Mann – era scomparso «un paladino dell’onore umano». Finché egli era stato in vita, si era potuto sperare, forse irrazionalmente, che la sua «mitica autorità» sarebbe stata sufficiente a scongiurare, dopo
Hiroshima e Nagasaki, la «spaventosa minaccia» che derivava dal padroneggiamento tecnicodell’atomo. Ma adesso, chissà…
Auguri di buon lavoro.

Domenico Conte

Fulvio Tessitore

PRESENTAZIONE DEL CONVEGNO

A cento anni dalla sua formulazione, la Relatività Generale può considerarsi una delle teorie
concettualmente più proficue e prolifiche della Fisica Moderna. Essa è in grado di influire sui più
svariati aspetti della ricerca, partendo dalla concezione stessa dello spaziotempo fino all’astrofisica,
alla cosmologia e alle teorie di grande unificazione.
Pur avendo un secolo di storia, il paradigma proposto da Einstein e le previsioni ad esso
connesse continuano a fornire una mole strabiliante di risultati teorici e sperimentali, culminata
quest’anno con la scoperta delle onde gravitazionali e l’evidenza definitiva dell’esistenza dei
buchi neri.
Il convegno, di cui il presente volume riporta gli interventi dei relatori, è stata organizzata
dal Dipartimento di Fisica “Ettore Pancini” dell’Università degli Studi di Napoli Federico IIe dalla Società Italiana di Relatività Generale e Fisica della Gravitazione (SIGRAV), con la
collaborazione e il patrocinio dell’Accademia Pontaniana e della Società Nazionale di Scienze,
Lettere e Arti. Si è svolto il 9 dicembre 2016 presso la sede delle accademie napoletane in via
Mezzocannone, 8 in Napoli.
In questo incontro, ci siamo proposti, senza pretesa di completezza, di tracciare un percorso
nella teoria. L’idea è quella di fornire una chiave di lettura non specialistica sugli aspetti fisici,
matematici, filosofici e storici della Relatività Generale. In particolare, è stato presentato l’impatto della teoria sulla Fisica Moderna (Salvatore Capozziello), la sintesi matematica operata
da Einstein (Roberto Giambò), la nuova concezione cosmologica (Vincenzo Fano) e la storia
di una ricerca, quella delle onde gravitazionali, che cento anni fa sembrava impossibile (Adele
La Rana).
Scopo finale della conferenza è quello di fornire un quadro coerente in cui vengono sottolineati non solo i risultati acquisiti, ma, soprattutto, le prospettive per una ricerca futura che, visti
i risultati, sembra appena agli inizi.

Leonardo Merola e Salvatore CapozzielloDipartimento di Fisica “Ettore Pancini”
dell’Università degli Studi di Napoli Federico II

Inseguendo la verità.
Il lungo viaggio di Albert Einsteinalla ricerca delle equazioni della Relatività Generale
ROBERTO GIAMBÒ

Sezione di Matematica della Scuola di Scienze e Tecnologie – Università di Camerino

GIULIO MAGLI

Dipartimento di Matematica – Politecnico di Milano

1. Dopo la relatività speciale
All’indomani della pubblicazione, nel 1905, di diversi lavori tra cui quello1“Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”, Albert Einstein era definitivamente uscito da quel limbo che fino a quel momento aveva caratterizzato
il suo rapporto con il mondo accademico. La fama internazionale del 26enne
impiegato all’Ufficio Brevetti di Berna crebbe in modo rilevante proprio daallora, e questo fu reso possibile anche – e forse soprattutto – grazie all’endorsement di uno dei più eminenti scienziati dell’epoca, Max Planck. Il fisico
di Berlino, infatti, fu in pratica il primo accademico di rilievo a interagire
con Einstein dopo la pubblicazione del saggio del 1905, il quale conteneva i
principi di quella che oggi chiamiamo relatività speciale o ristretta, per distinguerla dalla relatività generale che ancora era di là da venire. Planck convinse
diversi colleghi ad interessarsi ed appassionarsi alle ricerche sulla relatività,
e in breve tempo il nome di Einstein circolò negli ambienti scientifici di tutta
Europa, tanto che a partire dal 1910 egli venne sistematicamente candidato al
Premio Nobel per la Fisica, premio che, come è ben noto, vinse nel 1921 –
assegnato in realtà nel 1922 per l’anno precedente, in cui era rimasto vacante.
Proprio riguardo a questo punto è curioso osservare che, secondo la motivazione ufficiale, il premio fu assegnato ad Einstein “per i suoi contributi alla
fisica teorica e specialmente per la scoperta della legge dell’effetto fotoelettrico”, scoperta che risale ad un lavoro2 anch’esso del 1905, decisamente il suo“Zur Elektrodynamik bewegter Körper“, Annalen der Physik 17, 891-921 (1905).
“Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt”, Annalen der Physik, 17, 132-148 (2005): “Un punto di vista euristico sulla produzione e la trasformazione della luce”.
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ROBERTO GIAMBÒ, GIULIO MAGLI

annus mirabilis [AP]. Nessun accenno esplicito si fa quindi, nelle motivazioni
dell’Accademia delle Scienze di Svezia, alla relatività generale, e ciò è senza
dubbio dovuto ad un iniziale atteggiamento di grande cautela degli ambienti
scientifici nei confronti di questa teoria. Torneremo su questo aspetto nelle
conclusioni.
La relatività speciale, invece, aveva degli indubbi pregi che le permettevano di far breccia nelle menti degli scienziati più diffidenti. Anzitutto, la matematica necessaria per svilupparla era abbastanza semplice, tanto che lo stesso
Einstein – le cui conoscenze matematiche non erano poi, intorno al 1905, cosìavanzate – reinventò inconsapevolmente le trasformazioni di coordinate trasistemi di riferimento inerziali, già scoperte qualche anno addietro dal fisicoolandese Hendrik Lorentz, il quale forse non ne aveva compreso appieno laportata – oggi, tuttavia, queste leggi sono note proprio come trasformazioni
di Lorentz3. Un altro pregio della relatività speciale era senza alcun dubbio
la semplicità costitutiva dei suoi principi: il principio di equivalenza per sistemi inerziali, già cardine della meccanica galileiana, e quello di invarianzadella velocità della luce in sistemi inerziali, che risolveva in modo ingenuo egeniale al tempo stesso le incongruenze tra le leggi della meccanica classica
e le evidenze sperimentali. Il pegno da pagare era, come ben sappiamo, larinuncia al concetto di tempo assoluto (e di spazio assoluto): una rinuncia ben
accettabile, se la contropartita era la possibilità di spiegare in modo semplicee privo di incongruenze le equazioni dell’elettromagnetismo che James Clerk
Maxwell aveva formulato 40 anni prima.
2. Dal pensiero alla forma
L’opera di promozione della relatività speciale da parte di Planck ne aumentò, come già detto, l’interesse presso i circoli accademici. Molti lavori diquel periodo servirono a migliorare e semplificare il formalismo matematico:nozioni oggi familiari per i relativisti, come quelle di vettori di tipo tempo(timelike) o di cono-luce (lightcone), furono inventate in quegli anni dal ma3
Si veda ad esempio [DI], cap. 2, per una esposizione, basata su una matematica
elementare, in cui le trasformazioni di Lorentz vengono ricavate dai principi della relatività speciale. L’unico passo su cui in [DI] – e in verità in molti altri autori – si sorvola, èl’assunzione che queste leggi siano lineari. In effetti, anche questo fatto, cruciale per determinare le trasformazioni di Lorentz, è dimostrabile – seppur in modo meno immediato– a partire dai principi della relatività, si veda [VF], par. I.8.

INSEGUENDO LA VERITÀ

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tematico di origine lituana Hermann Minkowski. Einstein, invece, praticamente si disinteressò di questo lavoro di sgrossamento matematico e formale,e com’era nella sua natura di curioso, cercò di andare oltre la sua stessa teoria, intravedendo nella distinzione tra sistemi di riferimento “inerziali” e “noninerziali” una criticità da superare. Da sempre affascinato dalla possibilità dispiegare le leggi dell’universo in modo semplice, Einstein comprese, intorno
al 1907, che gli effetti della forza di gravità sono localmente indistinguibili daquelli di un osservatore accelerato e quindi non inerziale. Esiste davvero una
forza che ci spinge verso il centro della terra, o il nostro è il punto di vista di
un osservatore accelerato uniformemente nella direzione opposta? Einsteinrisolve il dualismo “osservatore inerziale – non inerziale” semplicemente rimuovendolo: le leggi della Fisica devono essere scritte in modo indipendenteda chi le osserva!
Nel momento in cui occorre tradurre il pensiero in forma, Einstein capì lanecessità di dover trovare una formulazione delle leggi di gravitazione che
fosse in accordo con il nuovo postulato di equivalenza, esteso a tutti gli osservatori. L’equazione di Poisson∆𝜙𝜙 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 = 4𝜋𝜋𝜋𝜋 𝜌𝜌(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) (2.1)(2.1)

che esprime il potenziale gravitazionale che si trova dalla legge di gravitazione
universale di Newton in funzione della densità di massa ρ, non soddisfa questo
requisito: il potenziale gravitazionale, e lo stesso operatore differenziale

∆=

𝜕𝜕 0
𝜕𝜕 0
𝜕𝜕 0
+
+
𝜕𝜕𝜕𝜕 0 𝜕𝜕𝜕𝜕 0 𝜕𝜕𝜕𝜕 0– detto operatore di Laplace o laplaciano – agendo solo sulle coordinate spaziali, presuppone la scelta di uno specifico osservatore, in evidente contrasto
con i principi di relatività. Occorreva quindi generalizzare questa equazione
ad una legge, da cui la “vecchia” equazione potesse scaturire come approssimazione newtoniana, proprio come le trasformazioni di Galileo scaturisconoda quelle di Lorentz come approssimazione per osservatori che si muovono divelocità non comparabile con quella della luce. Questa era la strategia per attaccare il problema. Ma nonostante i propri sforzi, il generale Einstein dovetteben presto rendersi conto di non disporre delle truppe necessarie per poter vincere la battaglia: non aveva ancora le conoscenze matematiche adeguate per

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ROBERTO GIAMBÒ, GIULIO MAGLI

affrontare la questione. Inoltre, Einstein in questo periodo entra stabilmentenell’accademia: a Berna nel 1908, per passare poi a Zurigo l’anno successivo
e a Praga nel 1911, con conseguente aumento dell’attività didattica, che egliprobabilmente sopportava appena, ritenendola una fonte di distrazione dalle
proprie ricerche. Infine, il crescente interesse dei circoli scientifici attorno alla
teoria quantistica aveva contagiato anche Einstein, che a causa di tutti questi
motivi smise per qualche anno di pensare seriamente alla teoria della gravitazione.
Il nuovo attacco al problema avvenne in coincidenza col ritorno, nell’estatedel 1912, di Einstein a Zurigo, dove egli prestò servizio presso il Politecnico
Federale per un paio di anni, prima di trasferirsi a Berlino – invogliato anche,
probabilmente, dalla promessa di esonero da carichi didattici. Questo nuovo
soggiorno in Svizzera è cruciale per la scoperta della relatività generale, e ilmerito va ascritto in gran parte ad un suo vecchio amico di studi, di origine
ungherese: Marcel Grossmann.
Marcel e Albert si conoscono dai tempi della scuola: avevano frequentato
insieme il Politecnico a Zurigo, ed Albert si era trovato così bene lì – complice forse anche qualche affare… di cuore – che cercò di trovarsi un lavoro in
Svizzera. Fu il padre di Marcel a raccomandare l’amico del figlio al direttore
dell’Ufficio Brevetti di Berna, ufficio presso il quale il giovane Einstein lavorò a partire dal 1902, fino alla nomina come professore universitario. Anni
dopo Grossmann, divenuto nel frattempo Preside della Facoltà di Matematica
e Fisica al Politecnico di Zurigo, convinse il suo vecchio amico, in quel momento a Praga, a tornare in Svizzera. Grossmann era esattamente il collega diricerca che in quel momento serviva ad Einstein: un matematico scrupoloso,
se necessario disposto – a differenza sua – a “sporcarsi le mani” con meticolose ricerche bibliografiche, ma anche un amico fidato pronto a collaborare.
Ora, come abbiamo detto prima, Einstein era alle prese con il problema che
l’estensione del principio di equivalenza a tutti gli osservatori implicava chele leggi cercate dovevano essere indipendenti dalla scelta del sistema di coordinate. Occorreva quindi un modo intrinseco di descrivere lo spazio – piùprecisamente, lo spaziotempo – ed Einstein aveva un vago ricordo degli anni
in cui, da studente, aveva appreso delle ricerche che Gauss aveva condotto
circa un secolo prima sulla descrizione delle superfici nello spazio per mezzo
di invarianti, cioè di quantità intrinseche alle superfici stesse. Einstein chiese
dunque a Grossmann di aggiornarlo sui progressi da Gauss in avanti: si dice

INSEGUENDO LA VERITÀ

11che, preso dalla disperazione, egli abbia implorato4: «Grossmann, aiutami altrimenti impazzisco!».
Ripercorriamo allora brevemente i quasi 100 anni che, da Gauss, hanno
condotto alla progressiva scoperta della matematica che Einstein avrebbe usato per le equazioni della relatività generale.
3. Le ricerche di Grossmann
Intere generazioni di matematici avevano per secoli cercato di dimostrare che il quinto postulato di Euclide, quello delle parallele, fosse in realtà
conseguenza dei primi quattro, senza ovviamente riuscirci. I contributi deltedesco Carl Friedrich Gauss, così come quelli del russo Nikolaj Ivanovič
Lobačevskij e dell’ungherese János Bolyai, avevano cambiato radicalmente laprospettiva: era dunque possibile costruire una geometria nella quale il quinto
postulato non fosse valido. Anche se non era molto chiaro all’epoca a cosa
servisse tutto ciò dal punto di vista pratico (la geometria del nostro spazio,
dopotutto, è ovviamente euclidea, no?), le idee di Gauss appassionarono il
giovane matematico tedesco Bernhard Riemann, che nella dissertazione [⌡⌡]
che tenne nel 1854 di fronte alla Facoltà di Filosofia di Gottinga per ottenere l’abilitazione come privatdozent, gettò le basi per la geometria moderna.
Riemann generalizzò le idee di Gauss sulle superfici nello spazio a varietà
di dimensione qualunque – il che a dire il vero entusiasmò poco i matematici
dell’epoca: il nostro spazio, dopotutto, è tridimensionale, no? – ma andò oltre,
distinguendo tra l’analisi qualitativa delle proprietà di una varietà e la struttura
quantitativa che serve per determinare la distanza tra due punti della varietà:
come diremmo oggi, tra la struttura topologica di una varietà e la sua struttura
metrica. Questo costituì un significativo passo in avanti rispetto all’opera diGauss il quale, pur avendo avuto il merito di introdurre gli strumenti del calcolo differenziale per studiare le superfici, prendeva in considerazione solo la
struttura metrica che esse ereditano in quanto immerse nello spazio euclideo(i geometri oggi la chiamano prima forma fondamentale). Riemann invece
introduce il concetto, che si rivelerà decisivo per l’analisi einsteiniana, che unente geometrico, una varietà, può essere dotata di diverse definizioni di distanza tra loro distinte, e intuisce che la curvatura – che Gauss definì come pro4
La frase «Grossmann, Du mußt mir helfen, sonst werd‘ ich verrückt!» è riportata nel
lavoro di L. Kollros, “Albert Einstein en Suisse: souvenirs”, Helvetica Physica Acta, 29
271-281 (1956), che ricostruisce gli anni svizzeri di Einstein.

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prietà intrinseca di una superficie che misura quantitativamente quanto essa
si discosti dall’essere piana – dipende in realtà dalla struttura metrica, cioè
dalla distanza, che si considera sulla varietà. Ancora oggi, in onore di queste
bellissime scoperte, chiamiamo le strutture metriche su una varietà strutture
Riemanniane, e parliamo di curvatura di Riemann.
Purtroppo, nonostante l’entusiasmo del vecchio Gauss, le idee di Riemannnon furono capite immediatamente, come del resto tutto ciò che atteneva al
mondo delle “nuove geometrie”, e l’opera del matematico tedesco ebbe bisogno di una lunga fase di sedimentazione, durata decenni, per far breccia nei
circoli scientifici. In quest’opera di diffusione (dissemination, come la chiameremmo oggi) ebbero un ruolo importante diversi matematici italiani [AB].
Proprio a Napoli, per esempio, Giuseppe Battaglini fonda nel 1867 il Giornale
di Matematiche che divenne ben presto il punto di riferimento dei sostenitoridelle geometrie non euclidee in Italia e non solo, ospitando i contributi di matematici illustri come il cremonese Eugenio Beltrami ed il tedesco Felix Klein.
Ma l’opera dei matematici italiani andò anche nella direzione di migliorare gli
strumenti dell’analisi matematica necessari per descrivere la geometria di Riemann, e in questo senso in particolare si distinsero i due amici-rivali emiliani
Luigi Bianchi e Gregorio Ricci Curbastro, e l’allievo di quest’ultimo, Tullio
Levi-Civita, che nel 1900 pubblicò sulla rivista Mathematische Annalen assieme al suo maestro il trattato sul Calcolo Differenziale Assoluto. Il calcolo
tensoriale [DI, VF, CF], come oggi lo chiamiamo, è un potente strumento che
generalizza agli spazi tangenti a una varietà il calcolo sugli spazi vettoriali, eche costituisce il modo per descrivere le varietà Riemanniane in termini di quei
campi tensoriali che oggi prendono i nomi di questi illustri matematici: la stessa curvatura di Riemann è un tensore, da cui si costruisce un ulteriore tensore
che oggi chiamiamo curvatura di Ricci. Quest’ultimo tensore, così come lacurvatura scalare che da questo si ottiene, entrerà direttamente, come vedremo,
nelle equazioni determinate da Einstein. La potenza del calcolo tensoriale è
duplice: da un lato, esso permette la definizione degli invarianti in modo intrinseco, cioè indipendente dal sistema di coordinate; dall’altro, una volta scelto un
comodo sistema di riferimento, le equazioni tensoriali si scompongono in unsistema di equazioni scalari, rendendo i conti relativamente più agevoli.
Il calcolo tensoriale sulle varietà aveva avuto sviluppi importanti nella
stessa epoca, arrivando a introdurre, grazie ad un lavoro del 1869 ad opera deltedesco Erwin Bruno Christoffel, il concetto di connessione su una varietà topologica, che permette di definire una nozione di derivata tra campi vettoriali(la derivata covariante) che può essere data a prescindere dall’esistenza di una

INSEGUENDO LA VERITÀ

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struttura metrica Riemanniana, e che quindi permette una nozione di curvatura
di Riemann indipendente dalla metrica – tant’è che il tensore di curvatura èanche denotato da alcuni come tensore di Riemann-Christoffel. La dipendenzadella curvatura dalla struttura metrica, teorizzata da Riemann, viene ristabilita
in modo brillante da un potente risultato matematico che afferma che una
struttura Riemanniana su una varietà induce in modo naturale una connessione, che oggi chiamiamo connessione metrica o di Levi-Civita, in onore delmatematico padovano. L’esistenza di connessioni non metriche è tuttavia divitale importanza per gli sviluppi odierni della relatività generale, per quantoriguarda le cosiddette teorie estese della gravitazione, modelli alternativi5 alla
relatività che tentano di inglobarla, spiegando altresì alcuni fenomeni tuttora
poco chiari come quello della materia oscura dell’universo.
4. Verso le equazioni della Relatività
Grossmann, dunque, nell’agosto del 1912 comunica ad Einstein che molto
probabilmente lo strumento teorico che a lui serve è il calcolo sulle varietàdi Riemann e lo aggiorna sui risultati di Christoffel, Ricci e Levi-Civita. Le
dimensioni dell’universo non sono solo tre, c’è anche il tempo, indivisibile
dallo spazio, come l’esperienza della prima teoria della relatività insegnava,
per cui forse quelle complicate ricerche su spazi con dimensione maggiore ditre servono a qualcosa, finalmente. Einstein dunque si mette alla ricerca dellasoluzione del suo problema: generalizzare l’equazione classica della gravitazione newtoniana. Non si tratta di un cammino semplice: i manoscritti con i
suoi conti, giunti fino a noi, raccontano di un viaggio tortuoso, lungo diversi
anni, e pieno di errori, che via via si diradano fino ad arrivare alla conclusione
che tutti conosciamo [AP, DT].
Il primo e decisivo passo corretto che Einstein compie è quello di congetturare che il potenziale gravitazionale va sostituito con il tensore metrico dello spaziotempo, modellato da una varietà 4-dimensionale. Una volta scelto un sistema
di riferimento sullo spaziotempo, cioè una maniera comoda per rappresentarne
il generico elemento x per mezzo di 4 coordinate, che denoteremo d’ora in poicon (x0, x1, x2, x3), l’espressione in coordinate6 del tensore metrico g èPer un’introduzione sulle motivazioni alla base delle teorie estese della gravitazione, siveda [CF]. La rassegna [CD] fa riferimento anche a teorie basate su connessioni non metriche.
6
Nell’equazione (4.2) si sottintende il simbolo di sommatoria da 0 a 3 sugli indici
α e β, usando una notazione, d’uso ormai comune, che proprio Einstein introdusse, ma
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ROBERTO GIAMBÒ, GIULIO MAGLI

𝑔𝑔 = 𝑔𝑔34 𝑑𝑑𝑥𝑥 3 ⨂𝑑𝑑𝑥𝑥 4 ,(4.1)

e dovendo tale tensore essere simmetrico – come è giusto che sia per una distanza – i potenziali effettivi, funzioni di x, diventano 4+3+2+1=10, in questa
nuova formulazione. Occorre ora generalizzare la (2.1) e anche qui la congettura di Einstein è esatta: una tale generalizzazione deve essere del tipo

Θ34 = 𝑘𝑘 𝑇𝑇34 , (4.2)(4.2)

dove le quantità ai due membri sono le componenti di due tensori di rango
2 (cioè con due indici, proprio come le componenti gαβ nel tensore metrico(4.1)). A sinistra Θ, deve essere un operatore differenziale del second’ordine(cioè definito per mezzo di derivate seconde, proprio come il laplaciano nella(2.1)) applicato al tensore metrico. A destra c’è la generalizzazione della densità di materia ρ incontrata nella equazione di Poisson (2.1), cioè un tensore(che oggi chiamiamo tensore di energia-momento) il quale descrive la sorgentedel campo gravitazionale: in altre parole, come la materia è distribuita nello
spaziotempo. La costante k va determinata in modo tale che, quando di questa
equazione se ne calcoli il limite newtoniano (velocità ed energie deboli), si
ritrova la (2.1). A questo punto una considerazione erronea porta fuori strada Einstein e Grossmann, inducendoli in alcuni errori formali. In particolare,
ritenendo necessario generalizzare il potenziale newtoniano classico ϕ con la
metrica g, e l’operatore di derivata parziale con quello di derivata covariante,essi si scontrarono con la ben nota proprietà di compatibilità della connessione
di Levi-Civita, secondo la quale la derivata covariante della metrica stessa èidenticamente nulla. La generalizzazione del membro di sinistra della (2.1) che
avevano inizialmente congetturato, quindi, li conduceva ad un vicolo cieco.
Fortunatamente, Einstein incontrò alcune persone che lo misero sulla buona strada. Una di queste fu l’olandese Adriaan Daniel Fokker, che aveva conseguito il dottorato con Lorentz, e in seguito lavorò con Einstein, poco prima che quest’ultimo si spostasse da Zurigo a Berlino. La collaborazione con
Fokker portò Einstein a fare il passo decisivo, congetturando che il membro disinistra nella (4.3) dovesse essere la curvatura di Ricci. Ancora non siamo alla
forma definitiva delle equazioni, ma questo momento è cruciale, perché finalmente Einstein realizza il ruolo fondamentale della curvatura come espressiosolo a partire dal 1916. Il simbolo ⊗ è l’operatore di moltiplicazione tra tensori (prodotto
tensoriale).

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INSEGUENDO LA VERITÀ

ne geometrica della forza di gravità: un tale passo non sarebbe stato possibile
senza aver compreso in modo finalmente profondo le basi della geometria differenziale e del calcolo tensoriale. Lo capiamo direttamente dalle sue parole,
scritte in un’altra corrispondenza7 di quel periodo: “Una cosa è certa, in tutta
la mia vita non ho mai lavorato tanto duramente, ed ora ho nell’animo un
grande rispetto per la matematica, la parte più sottile della quale avevo considerato, nella mia ingenuità, un puro lusso. In confronto a questo problema,l’originaria teoria della relatività è un gioco da bambini”.
Nella primavera del 1914 Einstein si trasferì a Berlino, dove finalizzò lericerche sulla teoria della relatività generale. In questa parte finale del cammino fu proprio Levi-Civita che, a partire dall’inizio del 1915, revisionò criticamente le sue ricerche, permettendogli di correggere alcuni errori sulla partematematica – Einstein infatti soleva intrattenere fitte corrispondenze epistolari
nelle quali si mostrava per nulla geloso ma anzi impaziente di esporre i risultati che via via andava trovando, e il matematico padovano fu uno dei pochi,
o forse l’unico, che lo incoraggiò lungo questa strada irta di difficoltà, dovute
soprattutto alla necessità di imparare, ed applicare correttamente, una matematica ostica anche per molti specialisti suoi contemporanei. Finalmente, il 25
novembre 2015, Einstein presentò all’Accademia Prussiana le equazioni8 in
una forma che possiamo considerare equivalente alle equazioni della relatività
generale così come le conosciamo oggi: le cosiddette equazioni di Einstein<

R 34 − 𝑔𝑔34 =
0

=>?
@A

𝑇𝑇34 ,

(4.3)

(4.3)

dove R è il tensore di Ricci ed S è la curvatura scalare, che da esso si ottiene
attraverso l’operazione di contrazione di un tensore, indotta dalla metrica [DI,aa destra è proprio (c è la velocità della luce nel vuoVF, CF]. Il coefficiente =>?
@to) il k che sta nella equazione (4.2), cioè la costante di proporzionalità“giusta” che permette di riottenere la (2.1) come approssimazione newtoniana.
Una curiosità da osservare è che la (4.3) ha come conseguenza che l’operatore
differenziale di divergenza – la sua generalizzazione ad una geometria curva, inA

7“Aber das eine ist sicher, dass ich mich im Leben noch nicht annähernd so geplagt
habe, und dass ich grosse Hochachtung für die Mathematik eingeflösst bekommen habe,die ich bis jetzt in ihren subtileren Teilen in meiner Einfalt für puren Luxus ansah! Gegen
dies Problem ist die ursprüngliche Relativitätstheorie eine Kinderei”, dalla lettera a Arnold Sommerfeld del 29 Ottobre 2012.
8
successivamente da lui consolidate nella celebre memoria “Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie”, Annalen der Physik 49, 769-822 (1916): “Il fondamento della teoria generale della Relatività”.

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ROBERTO GIAMBÒ, GIULIO MAGLI

realtà – applicato al tensore T si annulla. Oggi sappiamo bene che questo fatto,
fisicamente interpretabile come una legge di conservazione locale dell’energia,
segue dalle cosiddette identità di Bianchi, che valgono per qualsiasi struttura
Riemanniana. Ma Einstein non si accorse di ciò ed impose, nei primi lavori
contenenti la (4.4), l’inutile ulteriore vincolo che T fosse a divergenza nulla.
Ancor più curiosamente va ricordato che pochissimi giorni prima della comunicazione di Einstein, il matematico tedesco David Hilbert aveva sottomesso all’Accademia delle Scienze di Gottinga il lavoro9 “Sui fondamenti della
Fisica”. Questo lavoro contiene le stesse equazioni della Relatività Generale
trovate da Einstein. La qual cosa non deve stupire, se si pensa che i due ebbero
una fitta corrispondenza epistolare proprio nei mesi precedenti, ed Hilbert, dasempre alla ricerca di assiomi universali per spiegare le leggi dell’Universo,
si era appassionato al problema, giungendo alla soluzione in contemporanea
con Einstein. Certamente questo “arrivo al fotofinish” creò tra i due scienziati
qualche accenno di screzio, che venne ben presto superato grazie anche alla
reciproca stima che li legava. Oggi possiamo sicuramente affermare che il
merito della forma finale delle equazioni di Einstein va ascritto in modo indipendente anche a Hilbert, ma le idee e i principi che ad esse hanno condotto,
per giunta nel modo così travagliato che abbiamo discusso sopra, sono senza
dubbio frutto della mente geniale di Einstein, al quale oggi intitoliamo il tensore le cui componenti sono rappresentate dal membro di sinistra della (4.3).
5. Conclusioni
Come promesso, torniamo all’osservazione fatta all’inizio di questo viaggio: Einstein non vinse il premio Nobel per merito della relatività generale. A
cosa si deve tanta apparente miopia? Sicuramente, non vi fu da parte dei circoli scientifici lo stesso entusiasmo che accompagnò la nascita della relatività
che oggi chiamiamo speciale.
Questo è dovuto principalmente a due fattori. Il primo lo abbiamo abbondantemente richiamato nel corso di queste note: la matematica che sta dietro
alla relatività generale è difficile, perché ha bisogno di una geometria curva,
che abbandoni i postulati euclidei, per di più applicata a spazi di dimensioni
superiori a tre, e quindi non facilmente rappresentabili con l’intuizione. Anche
9“Die Grundlagen der Physik”, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1915, 395-408 (1915).

INSEGUENDO LA VERITÀ

17

oggi, quando cerchiamo di rappresentare graficamente l’idea alla base del rapporto tra curvatura e gravità, ci affidiamo a immagini come quella in figura10,

che può condurre a facili malintesi, producendo la falsa impressione, in un
neofita, che a curvarsi sia un ente esterno alla sorgente di gravità. In realtàtale rappresentazione si basa sull’unico esempio facilmente intuibile di ente
curvo, e cioè quello di una superficie bidimensionale immersa nello spazio.
Praticamente, è l’idea iniziale di Gauss. Ma qui è tutto l’ambiente, cioè lospaziotempo, ad essere curvo – nel senso matematicamente ben specificato
da Christoffel, Ricci e Levi-Civita: un’idea non facile da accettare, all’iniziodel XX secolo, anche per un matematico navigato. La materia, attraverso lagravità, modifica la curvatura e quindi la geometria dello spaziotempo di cuiessa stessa è parte, ma anche viceversa: la curvatura, attraverso la gravità, agisce dinamicamente sulla distribuzione della materia nello spazio. E questo ci
porta al secondo aspetto che giustificò una certa “impopolarità” iniziale dellateoria di Einstein: la forza di gravità, definitivamente inglobata nelle proprietà geometriche dello spaziotempo, produce una nuova dinamica, deformando
anche i cammini dei corpi, luce compresa, che ora si muovono lungo linee nonnecessariamente rettilinee, le cosiddette geodetiche. Non solo: come detto,
la dinamica ora influenza l’evoluzione stessa dello spaziotempo, originando
perfino regioni ad alta densità di materia – e quindi ad alta curvatura – in cui
la luce stessa rimane intrappolata e non riesce ad uscire: i buchi neri. Cominciamo quindi a capire la cautela degli accademici del premio Nobel, e degli
10
https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ASpacetime_lattice_analogy.svg (immagine copyright free consultata il 26.3.2017). Un altro esempio del genere, ricorrentenelle presentazioni divulgative sulla cosmologia relativistica, è quello del palloncino che
si gonfia, usato per descrivere l’espansione dell’universo e il progressivo allontanamentodelle galassie.

18

ROBERTO GIAMBÒ, GIULIO MAGLI

ambienti scientifici in generale, ad accettare il complesso della nuova teoria
di Einstein: i fenomeni da essa previsti non erano tutti facilmente osservabili,
e quelli che lo erano – come la deflessione della luce, o la precessione del perielio dell’orbita di Mercurio – erano soprattutto serviti ad Einstein per accrescere la sua fiducia nella propria “creatura”, ma non ancora perché il mondo
scientifico assegnasse alla relatività generale quella patente di credibilità che
lui stesso considerava indispensabile, e per la quale provò a spendersi neglianni successivi in un opera di divulgazione e convincimento a più livelli. Il
grande sviluppo della relatività, e il numero di scienziati che vi lavoravano,crebbe di pari passo col progresso tecnologico a partire dagli anni ’50 e ’60 delsecolo scorso, quando i risultati delle osservazioni astronomiche cominciarono a trovare una plausibile spiegazione nelle equazioni di Einstein. Lo stesso
fenomeno delle onde gravitazionali, osservato per la prima volta nel settembre del 2015 dalla collaborazione sperimentale internazionale LIGO-Virgo,
era stato predetto proprio dallo stesso Einstein, attraverso un procedimento diapprossimazione lineare dell e sue equazioni, in una comunicazione11 all’Accademia Prussiana delle Scienze.
Oggi, la teoria della Relatività fa parte di quel sapere che il pensiero umano condivide come un momento d’imprescindibile progresso. Einstein, morto
nel 1955 a Princeton, non visse abbastanza da poter godere appieno di questo
successo. Ma che egli fosse convinto di essere arrivato a un punto fermo, perla determinazione delle Leggi della Natura, ne è testimonianza un passaggio
di una conferenza che tenne nel 1933 a Glasgow, in Scozia, di fronte a 1500
persone12: “Anni di oscure ed ansiose ricerche, con l’ansia di arrivare, l’alternarsi di fiducia e smarrimento, fino a giungere alla chiarezza: solo coloro
che l’hanno provato possono capirlo”.

11“Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation”, Königlich
Preußische Akademie der Wissenschaften (Berlin). Sitzungsberichte, 688–696 (1916):“Integrazione approssimata delle equazioni di campo della gravitazione”.
12“The years of anxious searching in the dark, with their intense longing, their alternation of confidence and exhaustion and the final emergence into the light – only those
who have experienced it can understand that.”, da Notes on the Origin of the General Theory of Relativity, pubblicato nella raccolta Ideas and Opinions by Albert Einstein, Crown
Publishers (1954).

INSEGUENDO LA VERITÀ

19

Bibliografia
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[AP] Abraham Pais, “Sottile è il Signore…” - La scienza e la vita di
Albert Einstein, Bollati-Boringhieri (2012)[DI] Ray D’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, Clarendon Press(1992)[VF] Vladimir A. Fock, The Theory of Space, Time and Gravitation,
Pergamon Press (1964)[JJ] Jürgen Jost, ed., Bernard Riemann - On the Hypotheses Which Lieat the Bases of Geometry, Birkhäuser (2016)[AB] Antonio Bernardo, La geometria di Bernhard Riemann, Cultura escuola, 122, 252-269 (1992); online su matematicamente.it[CF] Salvatore Capozziello e Maria Funaro, Introduzione alla Relatività Generale, Liguori (2006)[CD] Salvatore Capozziello e Mariafelicia De Laurentis, Extended Theories of Gravity, Physics Reports, 509(4-5), 167-321 (2011)[DT] David R. Topper, How Einstein Created Relativity out of Physics
and Astronomy, Springer (2013)

Einstein, la Relatività Generale e la Cosmologia.
VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

Dipartimento di scienze pure e applicate, Università di Urbino

Ripercorriamo brevemente il contributo dato da Einstein alla cosmologia
nel suo famoso scritto del 1917, soffermandoci invece lungamente sullo statuto epistemologico di quello che, in questo campo, è stato forse il suo contributo più importante: il principio cosmologico, ossia l’ipotesi che l’universo
sia omogeneo e isotropo. Analizziamo alcune delle riflessioni che scienziati di rilievo hanno riservato a questo principio lungo l’intero secolo di vitadella cosmologia moderna, sottolineando come di fatto vi sia stata una consapevolezza metodologica piuttosto altalenante e deficitaria, che del resto è
andata di pari passo con quella di un altro principio altrettanto cruciale, quellocopernicano, in base al quale noi non occupiamo una posizione privilegiata
nel cosmo. Discutiamo anche lo statuto epistemologico di questo principio,
concludendo che l’alveo naturale al quale entrambi andrebbero ricondotti èquello del metodo ipotetico-deduttivo delle scienze empiriche.
Introduzione
L’8 febbraio 1917 l’Accademia Prussiana delle Scienze di Berlino pubblica un articolo di Albert Einstein intitolato Kosmologische Betrachtungen zur
allgemeinen Relativitätstheorie (Considerazioni cosmologiche sulla teoria
generale della relatività). È la prima applicazione della sua recente teoria – laRelatività Generale (RG), pubblicata il 25 novembre 1915 – all’universo nel
suo complesso. Nasce l’era moderna della cosmologia, detta anche cosmologia relativistica. Lo studio del cosmo, fino ad allora piuttosto filosofico-speculativo, acquista in tal modo sia una solida struttura fisico-matematica (appunto quella della RG), e quindi una rinnovata dignità scientifica prima non
goduta appieno, sia un basilare approccio metodologico che ha reso possibile
considerare l’universo come un oggetto scientifico: è il cosiddetto principio
cosmologico (PC), sul quale ci soffermeremo estesamente a partire dal par. 2.
Tale innovativo impulso dato da Einstein allo studio del cosmo non brilla,
per così dire, di luce propria: a monte vi è proprio il portato rivoluzionario della
RG, mentre quello cosmologico ne è solo una straordinaria propaggine, natu-

22

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

rale ma non scontata. Naturale, se si pensa sia che la RG è una teoria della gravitazione, cioè dell’interazione dominante fra gli oggetti celesti, sia che essa,
possedendo caratteristiche della massima generalità, e stravolgendo il modo
di concepire spazio, tempo, materia e causalità, ben si prestava a fornire prescrizioni riguardanti gli aspetti generali dell’universo. Non scontata, in quantoandava ammesso che la particolare branca della geometria utilizzata nella RG
si potesse applicare alle proprietà strutturali dell’universo su larga scala.
Per cogliere il passaggio dalla “vecchia” cosmologia (pre-RG) a quella relativistica, basti pensare che mentre la prima, fondandosi sulla fisica classica,
si riduceva essenzialmente allo studio di come la materia possa distribuirsi nel
solo spazio piatto newtoniano, la seconda, incorporando la nozione di spazio
curvo, negli anni ha fatto proliferare, in un numero potenzialmente infinito, legeometrie associabili alle varie distribuzioni di materia. In pratica, l’universo
à la Einstein non è più soltanto dato dall’insieme delle regioni visibili delcielo, ma è “il tutto”: la totalità degli eventi nello spaziotempo dal quale dipendono e lo spaziotempo stesso da questi dipendente. Si parla così di modellod’universo, in senso stretto, per indicare ogni soluzione delle equazioni della
RG (dunque ogni geometria, o metrica, compatibile con una certa distribuzione di materia-energia), e, in senso più ampio, per includere anche scenariche descrivono la storia e l’evoluzione del cosmo, e la formazione delle sue
strutture (galassie, ecc.).
Prima di affrontare il PC, è utile ripercorrere brevemente le tappe significative dell’approccio einsteiniano allo studio del cosmo1, ed è quello che faremo
nel paragrafo 1. Nel 2 vedremo alcuni momenti del dibattito che si scatenò negli anni Trenta attorno al PC, mentre nel 3 proseguiremo la sua analisi, soffermandoci sulle posizioni più recenti di alcuni autorevoli studiosi, introducendoanche il principio copernicano, e sollevando dubbi sulle presunte ragioni asuo favore. Quest’ultimo sarà al centro del paragrafo 4, dove ribadiremo la
sua natura ipotetica, e accenneremo a quali rivoluzioni l’immagine del cosmo
andrebbe incontro nel caso tale ipotesi fosse smentita. Infine le nostre conclusioni nel paragrafo 5.

1

Per una più ricca disamina si veda Smeenk (2014).

EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA

23

1. Einstein apre la strada verso il cosmo
Poco dopo la pubblicazione della RG nell’autunno del 1916, Einstein cominciò a discuterla con l’astronomo olandese Willem de Sitter, incaricato,dalla Royal Astronomical Society, di scrivere tre articoli in inglese per presentarla al mondo anglosassone. Questo scambio di idee spinsero Einstein a lavorare all’articolo del 1917, dunque a considerare una prospettiva cosmologica
nell’ambito della RG.
Einstein credeva che la RG fosse una naturale conseguenza di quello cheegli chiamò principio di Mach (in onore del fisico e filosofo austriaco Ernst
Mach), in base al quale, per citare l’articolo del 1917, «non vi può essere inerzia a carattere spaziale, ma solo un’inerzia di masse le une rispetto alle altre».
In altri termini, in ottemperanza alla filosofia machiana e al suo dar credito
ai soli oggetti osservabili piuttosto che a entità puramente teoriche, l’inerzia
di un corpo non va ascritta allo spazio assoluto, come voleva Newton, ma
alla distribuzione della totalità dei corpi materiali presenti nell’universo e allaloro mutua interazione. Lo stesso Einstein, d’altronde, giudicava contraria al
modo di pensare della scienza l’assolutezza dello spazio-tempo (il suo agire
sui corpi senza però subirne influenze) che derivava dalla Relatività Speciale.
E dunque, in ciò credendo, quale dominio migliore di un sistema grandecome l’universo egli aveva per verificare che le proprietà metriche non sonodate a priori ma indotte dalle masse?
Date le scarsissime conoscenze astronomiche dell’epoca, si pensava che
probabilmente la Via Lattea esaurisse l’universo intero. Ovviamente, Einstein, non poteva certo prendere in considerazione tutti i suoi corpi celesti,
la cui distribuzione irregolare rendeva ulteriormente impossibile determinare
la metrica. Da fisico geniale, adottò allora una fecondissima approssimazione: decise di trascurare le concentrazioni locali di materia, considerandola, su
grandi scale, come un fluido omogeneo di densità costante. In altri termini,
nonostante la Via Lattea avesse una struttura manifestamente non omogenea,
fece l’audace ipotesi che la materia a grandi scale lo fosse, ossia che in ogni
regione dell’universo il numero di stelle (oggi diremmo galassie e ammassidi galassie) è in media lo stesso. Questa rappresentazione della materia come
distribuita in modo continuo diverrà un assunto standard nei seguenti sviluppidella cosmologia, e sarà qualche anno dopo codificato nel già menzionato
principio cosmologico. Questo principio afferma che l’universo su vasta scala
ha lo stesso aspetto da qualsiasi luogo lo si osservi e da qualsiasi direzione (siparla, rispettivamente, di omogeneità e isotropia spaziale). Ciò fissa una pro-

24

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

prietà globale dell’universo, dando accesso a una cosmologia propriamente
detta, cioè a un “discorso” sul cosmo come un tutto, come un singolo oggetto.
Oltre al principio di Mach, Einstein assunse, dandola pressoché per scontata, come tutti all’epoca, la staticità dell’universo: l’idea dell’espansione, scrisse a de Sitter, lo irritava, poiché implicava un inizio dell’universo, fatto che
gli appariva senza senso.
Staticità e principio di Mach, però, risultarono subito incompatibili con
le equazioni della RG. Queste, infatti, ci dicono che l’universo collasserebbe
per la reciproca forza attrattiva gravitazionale delle sue masse. Inoltre, queste
equazioni hanno una soluzione in assenza di materia, cioè uno spaziotempo
piatto, mentre il principio di Mach richiede che non si possa determinare la
struttura di uno spaziotempo vuoto. Questo problema è evidente nel caso di
un insieme di corpi, come una galassia, in uno spaziotempo altrimenti vuoto e
infinito: per Einstein, solo un’imposizione gratuita, e contravveniente al principio di Mach, consentiva di affermare che lo spazio è piatto a distanze infinite
dalla galassia.
Il suo escamotage fu di introdurre nelle equazioni della RG un termine,detto costante cosmologica, il cui valore non era fissato dalla teoria, ma lo si
poteva scegliere in modo che tale costante rappresentasse una sorta di forza
repulsiva in grado di opporsi all’attrazione fra le masse, ristabilendo la staticità. Inoltre, così facendo si metteva al bando quella soluzione “piatta” indesiderata: anzi, le nuove “equazioni cosmologiche” (quelle della RG con talecostante) davano come soluzione uno spazio sferico che, essendo spazialmente finito, eludeva i problemi all’infinito spaziale. Dunque, contrariamente alla
comune credenza dell’epoca nell’infinità dello spazio, nel modello d’universodi Einstein lo spazio tridimensionale risultava essere una sfera (chiusa e illimitata, con raggio, volume e massa definiti) immersa in uno spazio euclideo
quadridimensionale. In linea invece con tale credenza, il suo universo esisteva
da sempre, statico e immutabile.
Einstein sapeva che il suo modello, fortemente idealizzato, dal punto divista astronomico era solo un «gran castello in aria», come scrisse a de Sitter,ma credeva che fosse l’unica soluzione possibile delle “equazioni cosmologiche” della RG. Tuttavia, le sue pretese di unicità, staticità e principio di Machavranno vita breve, come presto dimostreranno lo stesso de Sitter, e poi lascoperta dell’espansione dell’universo.
Tutto ciò non scalfì però il trionfo, negli anni sempre più evidente, della
RG e dell’opportunità che essa aveva fornito alla scienza moderna di descrivere formalmente, per la prima volta, l’universo nella sua totalità, per mezzo

EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA25

di relazioni funzionali tra la sua massa, raggio e costante cosmologica. Da
allora la RG non solo diverrà il fondamento della cosmologia moderna, ma
si arricchirà anche dei risultati di quest’ultima, usati dai relativisti per meglio
comprendere il portato concettuale della teoria.
Proprio a partire da quell’originario articolo del 1917, la storia ormai centenaria della cosmologia si è sviluppata attorno a quell’idea einsteiniana del
PC: i vari modelli d’universo elaborati nei decenni seguenti – ovviamentesottoposti a un continuo vaglio critico, teorico ed empirico, attuato sfruttando
le conoscenze offerte anche dalle altre teorie fisiche e matematiche, nel tempo enormemente accresciutesi – hanno prevalentemente assunto la validità ditale principio. Noi crediamo, però, che, nonostante questo suo ruolo centrale,
il suo statuto epistemologico sia stato trascurato, poco analizzato e frainteso,anche dagli stessi scienziati, per buona parte della sua storia.
2. Il dibattito negli anni Trenta
Nel suo scritto del 1932, Einstein, tornando sulla questione cosmologica,sarà più esplicito, meglio evidenziando le due “assunzioni” del suo articolodel ’17: 1) «tutte le posizioni dell’universo hanno ugual valore»; 2) «la struttura dello spazio e la densità devono restare costanti nel tempo» (p. 235; trad.
nostra). Egli manterrà la prima, ma naturalmente non potrà che respingere laseconda, sotto la spinta dei nuovi dati astronomici prodotti da Hubble a favore
dell’espansione dell’universo.
Sarà comunque l’astrofisico e matematico inglese Edward A. Milne aintrodurre formalmente, e chiamare, il «principio cosmologico di Einstein»(Milne 1935, pp. 24 e 68). Come già detto, dal punto di vista strettamente
fisico, tale principio afferma che lo spazio-tempo è omogeneo e isotropo, cioèche rispetto a qualsiasi punto la distribuzione della materia è più o meno lastessa – come nell’acqua del mare – e che ogni direzione è equivalente – comeper lo spruzzo di un innaffiatoio da giardino in una situazione stazionaria.
Va, però, sottolineato che la formulazione di Milne del principio differisce daquella di Einstein. Milne lo formula così: due particelle-osservatori A e B si
dicono equivalenti se quello che osserva A di B è uguale a quello che osserva
B di A. Un sistema di particelle-osservatori soddisfa il PC se due particelleosservatori equivalenti ottengono, in tutte le loro misurazioni riguardanti il sistema, lo stesso risultato. Allora il PC afferma che nel nostro universo tutte lecoppie di particelle-osservatori equivalenti trovano gli stessi risultati in tutte

26

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

le misurazioni che eseguono. Questo in realtà non è ciò che aveva detto Einstein, il quale aveva fornito una definizione ontologica e non epistemologicadel principio. L’assunzione che sta alla base dei modelli cosmologici non è dinatura operazionistica, ma è sulla realtà fisica. Ovvero il PC non afferma chetutti gli osservatori equivalenti hanno gli stessi risultati, ma che i punti dellospazio-tempo sono equivalenti. D’ora in poi ci riferiremo sempre a questa
forma ontologica del principio, poiché la scienza non è interessata a che cosa
si osserva, ma a come stanno le cose, anche se, ovviamente, cerca di stabilire
come stanno le cose sulla base delle osservazioni.
Negli anni Trenta il PC, mentre la cosmologia relativistica stava muovendo
i primi passi, subì un attacco frontale da parte di autorevoli fisici sostenitori
di una forma radicale di empirismo. Tali critiche culminarono in un enfaticointervento su Nature, intitolato Modern Aristotelianism, da parte di Herbert
Dingle (1937). L’articolo dell’autorevole scienziato e filosofo inglese provocò un’ampia messe di risposte da parte di studiosi molto noti. A distanza diottanta anni è divertente vedere i pregiudizi storiografici che agivano e purtroppo agiscono ancora nella cultura scientifica. Aristotele, fondatore dell’empirismo, veniva considerato l’alfiere dei razionalisti, contro Galileo, ben noto
platonico! A parte questo folklore, nella risposta ulteriore di Dingle (1937a, p.
1011) appare la fonte del suo pensiero, cioè Newton, che dichiara di “dedurre
dall’esperienza” e di “non fare ipotesi”2.
È ben noto che né Newton3, né Galileo4 erano consapevoli del metodoche stavano inventando, adeguatamente espresso invece da Christian Huygens
all’inizio del Trattato sulla luce:
Vedremo alcune dimostrazioni che non producono una certezza cosìgrande come quelle della geometria, che inoltre differiscono molto daqueste ultime, poiché mentre i geometri provano le loro proposizioni
da principi certi e incontestabili, qui i principi si verificano sulla basedelle conclusioni che se ne traggono; la natura di queste cose non accetta che si faccia diversamente. È tuttavia possibile arrivare a un gradodi verosimiglianza che spesso non è da meno dell’evidenza completa.
Cioè quando le cose, che si sono dimostrate dai principi supposti, si
rapportano perfettamente ai fenomeni che l’esperienza ha messo in riSull’intero dibattito si veda Gale (2015).
Koyré (1965, pp. 27ss.) nota che Newton è stato interpretato come empirista più diquanto egli stesso lo fosse.
4
Si veda ad esempio Geymonat (1969, pp. 267ss).
2
3

EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA

27

salto; soprattutto quando ce ne è un gran numero, e ancor di più quando
si formano e si prevedono fenomeni nuovi, che devono seguire dalle
ipotesi che si usano, e si trova che in quel caso l’effetto corrisponde alle
nostre attese. (1690, p. X, trad. nostra)

Questo brano non è altro che una lucida e straordinariamente precorritricedescrizione di quello che verrà detto “metodo ipotetico-deduttivo”, che ancora
nella seconda metà dell’Ottocento faceva fatica ad affermarsi, tranne importanti eccezioni5.
Tra le risposte a Dingle, l’unico che sembrò avere le idee chiare fu l’astronomo e matematico irlandese William McCrea:
Dingle ha semplicemente riaperto la questione della relazione fra
fisica matematica e fisica sperimentale, nella misura in cui egli afferma
di aver riscontrato un punto di vista nuovo e perverso nella prima. Ora,
un sistema di fisica matematica, al di là della presunta perversione, èl’elaborazione delle conseguenze matematiche di certe ipotesi. Il valore
di una teoria è giudicato da un lato dal basso numero e dalla semplicitàdelle ipotesi, e dall’altro dalla vicinanza dell’accordo delle sue predizioni con i risultati dell’osservazione. (1937, p. 1002, trad. nostra)

Negli anni Trenta il dibattito epistemologico sui fondamenti delle scienze
era molto ampio6, tanto che dopo la migrazione di molti studiosi europei negli Stati Uniti, venne fondata a Chicago la rivista Philosophy of science. Sul
primo numero troviamo un bell’articolo di Einstein, “On the Method of Theoretical Physics”, dove si legge:
La struttura del sistema è compito della ragione; i dati dell’esperienza e le loro mutue relazioni devono corrispondere esattamente alle conseguenze della teoria. Soltanto nella possibilità di tale corrispondenza
sta il valore e la giustificazione dell’intero sistema, e specialmente dei
suoi concetti fondamentali e delle sue leggi di base. Se così non fosse,questi ultimi sarebbero semplicemente libere invenzioni della mente
A tutt’oggi, a nostra conoscenza, non esiste una storia del metodo ipotetico-deduttivo nel pensiero scientifico moderno. Vedi però Losee (1993, capp. 9 e 10). Non è nostra
intenzione contrapporre metodo induttivo e ipotetico-deduttivo, che sono complementari
nella pratica scientifica, ma notare come molti fisici sono particolarmente rassicurati dal
primo e diffidenti nei confronti del secondo, almeno a parole.
6
In particolare sulla rivista Erkenntnis, fondata nel 1930 da Carnap e Reichenbach.
5

28

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

umana che non possono essere giustificate a priori, né dalla natura diquesta, né in qualsiasi altro modo. (Einstein 1934, p. 165; Trad. nostra)

Sulla stessa rivista McCrea torna a discutere, nel 1939, il problema dellastoria e dello statuto delle teorie cosmologiche, allorché egli difende l’approccio di Milne, attribuendogli una procedura ipotetico-deduttiva. Ovvero,
assunzione a priori del PC e controllo a posteriori della sua validità sulla basedella comparazione «del modello di universo così costruito con l’universo
dell’esperienza» (p. 151, trad. nostra). In realtà, benché McCrea abbia chiara
la natura del metodo ipotetico-deduttivo che forse aveva evinto anche dall’articolo di Einstein di cinque anni prima, l’affermazione secondo cui lo stesso
Milne ne sarebbe stato consapevole, è dubbia. Infatti quest’ultimo, nel suo
celebre libro del ’35, afferma:
Se dobbiamo aspettarci o meno che l’universo sia rappresentabile
mediante un sistema che soddisfa il principio cosmologico è una questione metafisica. […] La mia opinione è che l’universo deve soddisfare il principio cosmologico, perché sarebbe impossibile per un atto dicreazione ottenere qualcosa di diverso. […] Con Dio non tutto è possibile. (p. 69, trad. nostra)

Milne, dunque, pone il PC come una sorta di uniformità valida a priori,
essenziale per fare cosmologia.
3. Alcune posizioni più recenti e il Principio Copernicano
Gli anni Quaranta e Cinquanta di certo non sono stati molto vivaci sia
per la RG7 che per la cosmologia8. Agli inizi degli anni Cinquanta, però, cominciò a diffondersi la teoria dello stato stazionario di Bondi, Gold e Hoyle,che negava l’evoluzione dell’universo, ipotizzandone l’infinità e l’eternità, ela creazione continua di nuova materia. La posizione di Bondi, così come èricostruita da Gale e Urani (1999), sarebbe stata influenzata dal falsificazionismo di Popper e rispetterebbe in pieno il metodo ipotetico-deduttivo. Bondi
assunse il PC perfetto, cioè la tesi secondo cui non solo l’universo è omogeneo
e isotropo, ma uguale nel tempo, esattamente come Einstein aveva ipotizzato
78

Si veda Eisenstaedt (1989).
Si veda Macchia (2016).

EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA

29

nel ’17 e negato nel saggio già citato del ’32, spinto da Hubble. Di fatto anche
Bondi sarà costretto ad abbandonare il suo punto di vista, anche a seguitodella scoperta della radiazione di fondo nel 1965 da parte di Penzias e Wilson,
che confermò, invece, la teoria del big bang e quello che diventerà il modellocosmologico standard.
Gli anni Sessanta e Settanta sono un momento di rinascita per la RG e perla cosmologia. In uno dei più importanti e classici trattati su queste due discipline, il fisico teorico Steven Weinberg si sofferma sul PC:
La ragione effettiva per la nostra adesione al Principio Cosmologiconon è perché esso sia sicuramente corretto, ma piuttosto perché ci permette di fare uso dei dati estremamente limitati forniti alla cosmologia
dall’astronomia osservativa. Se facciamo una qualsiasi assunzione piùdebole, come nei modelli anisotropi o gerarchici, allora la metrica conterrebbe così tante funzioni indeterminate (sia se usiamo che se non
usiamo le equazioni di campo) che i dati sarebbero insperabilmente inadeguati per determinare la metrica. D’altra parte, adottando la cornicematematica piuttosto restrittiva descritta in questo capitolo, abbiamo
una effettiva possibilità di confrontare la teoria con le osservazioni. Se i
dati non si adattano a questa cornice, potremo concludere o che il Principio Cosmologico, o che il Principio di Equivalenza, è sbagliato. Nulla
potrebbe essere più interessante. (Weinberg 1973, p. 480, trad. nostra)

Qui Weinberg sottolinea l’utilità “pratica” del PC, ma in un approccio ipotetico-deduttivo ben chiaro, che consente all’ipotesi teorica, nel caso in cuiessa non combaci con le osservazioni, non solo di essere accantonata senza
drammi, ma di costituire, anche in tal modo, un ulteriore motivo di conoscenza e dunque di fecondo interesse.
Negli ultimi quaranta anni, a seguito della raccolta di dati sempre più ampia9sulla radiazione cosmica di fondo (CBR), che hanno confermato la sua isotropia
fino a una precisione di 1 parte su 105, il punto di vista induttivista o radicalmente empirico, alla Dingle, che di fatto non era mai morto, ha ripreso fiato.
Abbastanza paradigmatico del nuovo atteggiamento è il ragionamento proposto da Ellis, autorevole cosmologo, nella sua voce dell’Handbook of philosophy of physics (2007, pp. 1220ss.). L’universo visibile è di circa 10 miliardi
di anni luce. D’altra parte noi, guardando lontano nello spazio, di fatto stiamo
anche osservando nel nostro cono luce passato, ovvero, da un lato non abbia9

Si veda il recentissimo Saddeh et Al. (2016).

30

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

mo informazioni su ciò che capita al di fuori del nostro cono luce, dall’altro,
ciò che veniamo a sapere sugli oggetti astronomici riguarda come erano e noncome sono. Ciò malgrado abbiamo serie di dati che ci fanno pensare che a livello di 300 milioni di anni luce da noi, a differenza di quanto capita nel nostro
sistema solare, nella Via Lattea e nell’ammasso di galassie di cui facciamo
parte, la distribuzione della materia sia omogenea. Non solo, come abbiamo
già detto, la radiazione di fondo è fortemente isotropa.
Questi dati osservativi non sono sufficienti, però, a giustificare empiricamente l’assunzione dell’isotropia e dell’omogeneità. Ricordiamo che l’omogeneità non implica l’isotropia, tuttavia l’isotropia rispetto a tutti i punti implica l’omogeneità. Inoltre teniamo conto che per noi è impossibile ottenere dati
osservativi da un altro punto dell’universo. Visto che stiamo parlando di uncono luce di 10 miliardi di anni luce, anche se ci spostassimo per 20mila annialla velocità della luce non saremmo in un (significativamente) altro luogo
dell’universo.
Per passare dai nostri limitati dati osservativi, che ci suggeriscono l’isotropia e l’omogeneità, al PC dobbiamo assumere quello che viene chiamato“principio copernicano”: noi non ci troviamo in una posizione privilegiata
dell’universo.
Il principio copernicano viene spesso legittimato mediante due argomenti
storico-filosofici.
In base al primo, Copernico, Bruno e Cusano hanno sgretolato l’immaginedel cosmo tolemaico-aristotelica, in accordo alla quale la Terra e l’uomo sarebbero al centro dell’universo. Non bisogna quindi ritenere che noi siamo in
una posizione particolare dell’universo, dunque vale il principio copernicano.
In realtà questo argomento è basato su una quaternio terminorum: infatti
il termine “privilegiato” può voler dire due cose differenti: 1) essere al centro; 2) non essere in una posizione tipica, cioè da cui si osserva (nella media)
qualcosa di speciale. La storia dell’astronomia ha dimostrato solo che la prima affermazione è sbagliata, non la seconda. Per capirci: siamo nel deserto
del Sahara, in un punto qualsiasi: benché la probabilità che ci troviamo esattamente al centro geometrico della regione sia molto piccola, la probabilità
che ci troviamo in un punto in cui si vedono (in media) cose che da un altro
punto non si possono osservare è molto più alta. Infatti è chiaro che se siamo
al centro del deserto vediamo solo sabbia, ma se ci troviamo non lontano dai
limiti del deserto il paesaggio sarà molto più variegato. In altre parole, c’è unsolo punto che è il centro geometrico del deserto, ce ne sono molti dai quali lavisione è omogenea e molti dai quali la visione è disomogenea. Quindi anche

EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA

31

se la probabilità di trovarsi al centro dell’Universo è quasi nulla, quella di trovarsi in un punto che vede un particolare tipo di prospettiva è molto più alta.
Il secondo argomento afferma che non abbiamo ragioni per ritenere la nostra prospettiva diversa dalle altre. Anche questa è una fallacia. Non bisogna
confondere il “non avere ragioni per credere che…” dall’“avere ragioni percredere che non…”. Non avere ragioni non è una buona giustificazione. A
meno che non assumiamo già l’omogeneità e l’isotropia in tutti i punti dellospazio-tempo10.
Non siamo riusciti a trovare buoni argomenti a favore del principio copernicano se non un aprioristico desiderio di simmetria, desiderio, tra l’altro, piuttosto improbabile da soddisfare, almeno dal punto di vista statistico. Infatti, se si
considera l’insieme di tutti i possibili modelli cosmologici deducibili dalla RG,
quelli così fortemente simmetrici occupano uno spazio pressoché di misura nulla in quell’insieme, in pratica avrebbero probabilità zero di realizzarsi.
Dunque la giustificazione semi-empirica proposta da Ellis e da molti altrinon è convincente. Lo stesso Ellis si rende conto in fondo di questa situazionee conclude: “La geometria di Robertson-Walker [cioè l’omogeneità e l’isotropia dello spazio-tempo] per l’universo poggia su una plausibile assunzione
filosofica. La deduzione dell’omogeneità dello spazio non segue direttamente
dai dati astronomici” (p. 1226). Inoltre, per ora non abbiamo dati su che cosa
stia dietro alla CBR, cioè su che cosa sia accaduto prima del disaccoppiamento fra materia e radiazione avvenuto circa 380mila anni dopo il big bang11.
Infine, l’isotropia al momento del disaccoppiamento non implica l’isotropia in
un qualsiasi altro momento della storia dell’universo.12
Bisogna comunque sottolineare che negli ultimi anni, almeno a nostra conoscenza, non si registrano atteggiamenti prettamente aprioristici, come quello, per intenderci, di uno dei più eminenti cosmologi e astrofisici italiani, Livio
Gratton, che in uno scritto del 1975 per l’Accademia Nazionale dei Lincei
affermava:
Questo è il famoso “principio di ragion insufficiente” o “principio di indifferenza”,
discusso nel calcolo delle probabilità da Laplace e Keynes. Si veda Strevens (1998).
11
Forse la recente rilevazione diretta delle onde gravitazionali renderà possibile infuturo un’astrofisica basata su di esse in grado di ottenere informazioni sullo stato dell’universo prima del disaccoppiamento.
12
Alcuni modelli di Bianchi, per esempio, hanno una geometria omogenea e isotropa
soltanto per definiti periodi di tempo (si vedano Ellis, Maartens & MacCallum 2012, cap.
18).
10

32

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA...la posizione del principio cosmologico (copernicano) nel pensiero
scientifico moderno: come il principio della conservazione dell’energia esso è un principio epistemologico; perciò non possiamo metterloin discussione a seguito di risultati sperimentali, come nessun risultato sperimentale può mettere in dubbio il principio della conservazione
dell’energia. (Gratton 1975, p. 119)

Piuttosto, si trovano affermazioni di cosmologi che, muovendo da una prospettiva induttivista, alla fine sono sì costretti a cadere in un certo apriorismo,ma senza quelle connotazioni nette alla Gratton che appunto arrivano addirittura ad annullare il potere dirimente delle osservazioni. Paradigmatico è il
caso di Wolfgang Rindler, che dopo pagine molto belle sulle basi empirichedella cosmologia e in particolare del PC, conclude:La richiesta a priori dell’omogeneità di un modello cosmologico
si chiama principio cosmologico – sebbene un nome migliore sarebbe‘assioma cosmologico’. Esso è talvolta formulato in modo impreciso
dicendo che ogni galassia è equivalente a ogni altra. Esso elimina modelli di per sé ragionevoli come gli universi isola, nei quali le galassie diconfine sono atipiche, oppure universi ‘gerarchici’ dove le galassie formano ammassi, gli ammassi formano super-ammassi e così via all’infinito, perché allora nessuna regione sarebbe abbastanza ampia da essere
tipica. L’omogeneità è un’ipotesi semplificatrice di grande potenza.
Mentre i modelli di universo non omogenei ci coinvolgono in questioni
globali, la bellezza dei modelli omogenei è che essi possono essere studiati per lo più localmente: ogni loro parte è rappresentativa del tutto.
L’assunzione dell’anisotropia in ogni punto è anche più forte. Comeabbiamo visto nella sezione precedente essa implica l’omogeneità. Noi
la accettiamo come un’ipotesi di lavoro sostenuta dalle evidenze empiriche. (Rindler, 2006, p. 358; traduz. nostra)È evidente come il grande fisico teorico oscilli fra apriorismo ed empirismo, senza aver chiaro il carattere ipotetico-deduttivo del PC.
Molto più condivisibile per noi è la posizione di un altro grande cosmologo, Jim Peebles, che proprio ribattendo a Ellis, osserva nel suo classico testodel 1993:
Noi dobbiamo convivere con il fatto che le osservazioni a grande
distanza saranno sempre schematiche. […] La consolazione, se ce ne èuna, è che l’immagine del mondo messa assieme dai soli dati non è un

EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA

33

modello realistico per nessun ramo della fisica. È passato molto tempo
da quando la gente affermava con Newton che non si formulano ipotesi. Cioè che essi lavoravano muovendo dall’empiria verso la teoria.
Questa non è mai stata l’intera verità ed è molto lontano dal modo in
cui procede oggi la scienza. […] Abbiamo imparato da questa [la meccanica quantistica] scienza fisica straordinariamente riuscita la tatticadella convalida mediante controllo indiretto. Questo è il modo in cui si
fa scienza e il modo in cui la cosmologia opera. (Peebles, 1993, p. 9;
traduz. nostra)

La critica di Peebles all’empirismo è senza mezzi termini, così come il suo
ribadire il metodo scientifico di fatto seguito dagli scienziati, appunto quelloipotetico-deduttivo.
4. Presente e futuro
Proviamo a fare, brevemente, il punto della situazione. I modelli cosmologici omogenei e isotropi, detti modelli di Friedmann-Lemaȋtre-RobertsonWalker (FLRW), date le loro simmetrie, non sono di fatto modelli realistici
visto che non rappresentano le disomogeneità che osserviamo (la materia concentrata in sistemi planetari, stelle, galassie...). I modelli standard usati oggi
in cosmologia sono modelli di FLRW perturbati, ossia modelli quasi isotropi
in ogni punto, e dunque quasi spazialmente omogenei (disomogenei a piccole
scale, omogenei a grandi scale). La ragione per assumere queste simmetrie è
la notevole isotropia che misuriamo attorno a noi, dopo aver mediato su scalesufficientemente più grandi di quelle degli ammassi di galassie (e dopo avertenuto anche conto della nostra velocità peculiare rispetto alla CMB). Poichél’isotropia si applica a tutte le osservazioni, risulta che nella regione osservabile dell’universo sia la struttura dello spaziotempo che la distribuzione dimateria sono altamente isotrope. Ma questo risultato osservativo può scaturire
da due stati di cose opposti: 1) una reale isotropia dell’universo in ogni sua
regione, il che comporta anche un’effettiva omogeneità spaziale, e rende il nostro punto di osservazione del tutto tipico; 2) un’isotropia “fittizia”, nel senso
che l’universo è in realtà spazialmente anisotropo e disomogeneo, ma noi nonce ne accorgiamo poiché non ci rendiamo conto di essere situati in un punto
particolare che ci fa apparire l’universo sfericamente simmetrico. Come detto,
solitamente si tende a preferire la prima opzione, sulla base, appunto, della presunta validità di un principio copernicano. Ma di fatto l’isotropia della

34

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

CMB, e delle altre sorgenti, noi la misuriamo soltanto da una linea d’universo,
quella della nostra galassia, e tale isotropia non è compatibile soltanto con imodelli di FLRW, ma anche con modelli spazialmente disomogenei (sempre
in espansione), sfericamente simmetrici riguardo a un centro (che nel nostro
caso potrebbe coincidere con la Via Lattea), i più semplici dei quali sono dettimodelli di Lemaȋtre-Tolman-Bondi (LTB).
Uno degli aspetti forse meno noti ma non per questo meno significativi èche, in uno scenario del tipo delineato dai modelli di LTB, l’immagine che ora
abbiamo dell’universo potrebbe cambiare drasticamente. Si pensi, infatti, chele osservazioni riguardanti le supernovae che nel 1998 hanno portato a concludere che l’espansione dell’universo sta accelerando a causa della cosiddetta
energia oscura, in uno scenario LTB potrebbero essere anche compatibili con(nel senso di essere l’effetto di) un universo disomogeneo a vaste scale, nelquale noi saremmo situati al centro di una grande regione vuota. Si mostra cheanche altri dati cosmologici risulterebbero compatibili con tali modelli, dunque cadrebbe l’accelerazione e la conseguente ipotesi dell’esistenza dell’energia oscura, ma il nuovo scenario resterebbe in un quadro di coerenza e sintonia
il cui portato generale, però, non è ancora stato studiato13.
Insomma, il principio copernicano è un perno centrale dell’attuale visionedel cosmo, e spesso ci si dimentica che le osservazioni, senza presupporne lavalidità, sarebbero molto più ambigue e “aperte” di quanto si pensa. La questione chiave è allora se tale principio veramente è affidabile all’interno dellaregione osservabile dell’universo. Negli ultimissimi anni sono stati approntati
almeno 4 tipi di tests che i cosmologi sperano siano in grado di controllarlo.
Non possiamo entrare qui nei dettagli14, ciò che però registriamo con piacereè appunto il fatto che la ricerca si sta ponendo il problema di come mettere
in discussione il principio copernicano. Lo stesso Ellis, prendendone atto nel
recente trattato sulla cosmologia relativistica del 2012, fa in un certo senso
ammenda rispetto a quanto scritto nel succitato Handbook del 2006, dove riteneva non controllabile il principio copernicano. Ciò non significa che abbia
assunto un approccio ipotetico-deduttivo, ma nell’estendere, per così dire, ilsuo empirismo anche al principio copernicano, lo rende pienamente ipotetico, schivando almeno la tipica fallacia probabilistica vista poc’anzi. Vediamo,
infatti, cosa scrive, con gli altri due coautori, rispondendo a coloro i quali
giudicano gli universi di LTB poco probabili:
13
14

Si vedano Ellis, Maartens & MacCallum (2012, cap. 15).
Si rimanda a Ellis, Maartens & MacCallum (2012, par. 15.6).

EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA

35

Qualunque sia la loro posizione filosofica, essi dovranno cedere il
passo ai dati empirici. Se i succitati test mostreranno che l’universo è
spazialmente disomogeneo, filosofi e cosmologi allo stesso modo dovranno accettarlo come un dato di fatto. Qualsiasi teoria sulla probabilità dovrebbe essere adattata a questo fatto empirico. [...] In cosmologia, ciò che è verificabile, e ciò che non lo è, è una questione chiave:pregiudizi teorici sulla geometria dell’universo, e sul posto che in esso
occupiamo, devono sottomettersi a tali test osservativi. [...] In generale,
la validità o meno del Principio Copernicano è una questione fondamentale che non sarà eliminata. Dovrebbe essere soggetta a continui
esami e verifiche. (Ellis, Maartens & MacCallum 2012, p. 415)

5. Conclusioni
L’osservazione di Gale (2015) secondo cui oggi è ovvio che la fisica procede mediante un metodo ipotetico-deduttivo non è scontata. Tale metodo,
nonostante sia stato formulato per la prima volta da Huygens addirittura nel‘600, è spesso poco presente nella mentalità degli scienziati, perlopiù invece
legati agli slogan di Newton “non faccio ipotesi” e “dedurre dall’esperienza”.
Va ribadito con forza che lo statuto epistemologico del PC è appunto quellodi un’ipotesi molto audace che assieme all’applicazione della RG all’universo come sistema fisico produce conseguenze sperimentalmente controllabili,
come la CBR e le quantità dei diversi tipi di atomi presenti nell’universo.
D’altronde, la logica inferenziale che sovraintende alla cosmologia contemporanea è in realtà molto semplice, benché audace: dalla validità universale della
RG assieme al PC si deduce il modello standard, che per ora, almeno in certi
ambiti, è confermato. Ne segue che attualmente non dobbiamo abbandonare
nessuna di queste due assunzioni. È chiaro che ulteriori scoperte sperimentalie teoriche potranno convincerci a respingere, per modus tollens15, questa deduzione, eliminando l’uno o l’altro dei due presupposti, o persino entrambi.

Ricordiamo che il modus tollens ha in generale la forma “A e B e… implicano Z,
non Z, quindi o non A oppure non B, oppure….”.
15

36

VINCENZO FANO, GIOVANNI MACCHIA

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EINSTEIN, LA RELATIVITÀ GENERALE E LA COSMOLOGIA

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La Relatività Generale: un nuovo paradigma per la Fisica
SALVATORE CAPOZZIELLO

Dipartimento di Fisica “Ettore Pancini”, Università di Napoli Federico II
Società Italiana di Relatività Generale e Fisica della Gravitazione

Introduzione
La Relatività Generale è una teoria della gravitazione, formulata da Albert
Einstein tra il 1905 e il 1916, dove la geometria dello spazio-tempo è trattata
come una grandezza dinamica. Il fondamento fisico di tale teoria è il Principio
di Equivalenza.
Essa è da considerarsi uno dei maggiori eventi concettuali del XX secolo.
Per la prima volta, grazie a questa teoria, lo spazio ed il tempo sono considerati come entità dinamiche alla stregua delle altre grandezze fisiche.
Già nella Relatività Ristretta, formulata da Einstein nel 1905, spazio e tempo erano considerati relativi all’osservatore e, la loro intima connessione, aveva portato Minkowski alla concezione del cosiddetto cronotopo, una struttura
cinematica e geometrica in cui l’unico ente assoluto era la velocità della luce,
cioè la velocità massima delle interazioni fisiche.
La Relatività Generale va ben oltre. Einstein si pone il problema della ricerca di equazioni di campo la cui soluzione sia lo spazio-tempo stesso, data
una certa distribuzione di materia. La rivoluzione concettuale che ne deriva èenorme, se si pensa al senso comune di spazio e di tempo e a come questi concetti siano stati trattati in tutto il pensiero scientifico e filosofico precedente.
È bene ricordare alcuni punti salienti della storia dei concetti di spazio e ditempo per capire l’entità della svolta relativistica [1].
Durante il Rinascimento, si intuisce che la percezione e la concezione dispazio e tempo sono ben diverse e potrebbero essere disgiunte da ogni eventuale connotato metafisico. In particolare, Galileo, Cartesio e Giordano Bruno
capiscono che spazio e tempo possono essere oggetti di indagine scientifica:essi acquistano un carattere operativo divenendo l’ambiente in cui formulare
le teorie fisiche. Nelle rappresentazioni di Cartesio, spazio e tempo sono concetti astratti e matematici ma ancora con retaggi metafisici come l’ extensio,
definita come lo spazio della substantia.

40

SALVATORE CAPOZZIELLO

Nei Principia di Newton, lo spazio ed il tempo sono degli assoluti, costituiscono il sensorium Dei attraverso il quale Dio trasmette il moto a tutta lamateria che riempie l’Universo.
È interessante la posizione di Leibniz che nega la realtà assoluta dello spazio e del tempo definendoli solo relazioni tra gli oggetti ed i fenomeni. Per
esempio, il tempo è l’ ordo mutationis generalis, quindi l’ordine di fenomeni
successivi, mentre lo spazio è l’ordine di oggetti e fenomeni coesistenti. In
altre parole, c’è l’ affermazione implicita che senza oggetti e fenomeni nonabbiano né spazio e né tempo. Detto in termini moderni, lo spazio e il tempo
sono definibili solo rispetto ad un osservatore e ad un sistema di riferimento.
Questa posizione è in completo disaccordo con quella di Newton, per il qualespazio e tempo sono esistenti di per sé.
Come sappiamo, il punto di vista di Newton prevalse e la fisica classica haconsiderato lo spazio ed il tempo come concetti assoluti. La situazione cambia radicalmente nel XX secolo, e, in qualche modo, le idee di Leibniz sonorecuperate. Einstein evade tutte le congetture metafisiche di spazio e tempo
partendo dalla seguente radicale affermazione:
Tutte le grandezze della fisica devono essere definite inmodo univoco tramite un processo di misura.
Si giunge alle conclusioni che:• Il tempo è ciò che misuriamo con un orologio.
• Lo spazio è ciò che misuriamo con un sistema di determinazione delledistanze (es. raggi di luce).
• Due eventi, contemporanei per un osservatore, possono non essere tali
per un altro.
• Eventi che accadono nello stesso tempo, ma in luoghi diversi, possono essere giudicati accadere in tempi diversi da un osservatore esterno in moto.
A partire da queste posizioni, Einstein realizza prima che lo spazio e il
tempo sono relativi ad un osservatore (la Relatività Ristretta) e poi che lospazio-tempo stesso è dato da un’unica grandezza fisica (la metrica) che evolve, si deforma e può essere singolare, cioè non definibile quantitativamente, incerte situazioni (la Relatività Generale). Il risultato di queste considerazioni,
sviluppate assumendo la gravitazione come l’interazione che esprime la strut-

Si giunge alle conclusioni che:••••Il tempo è ciò che misuriamo con un orologio.
Lo spazio è ciò che misuriamo con un sistema di determinazione delle distanze (es. raggi diluce).
Due eventi, contemporanei per un osservatore, possono non essere tali per un altro.
Eventi che accadono nello stesso tempo, ma in luoghi diversi, possono essere giudicati
accadere in tempi diversi
da unGENERALE:
osservatore
esternoin moto.
LA RELATIVITÀ
UN NUOVO
PARADIGMAPER LA FISICA
41

A partire da queste
posizioni,
Einsteinporta
realizza
prima dichelo spazio
il temposono
sonotura dellospazio-tempo,
a equazioni
campo
le cui esoluzioni
le relativi ad un
osservatore (la possibili
Relatività
Ristretta)
e poi che lo spazio-tempo stesso è dato da un’ unica grandezzametrichespazio-temporali.
fisica (la metrica)che evolve,
si deformae puòessere singolare,
Le conseguenze
di questi
ragionamenti
sono molteplici.
L’Universocioè
stesso,non definibile
con ladistribuzione
massa,
la sua estensione
la suadurata,dipuò
essereconsiderazioni,
quantitativamente,
insua
certe
situazionidi(laRelatività
Generale).e Il
risultatoquestetrattato lacome
un sistemacome
dinamico.
La presenzadi massalaauto-gravitantesviluppate assumendo
gravitazione
l’interazione
che esprime
struttura delloè spazio-tempo,
in grado
di incurvarelo spazio-tempo
in generale,
la forma
globale delloporta a equazioni
di campo
le cui soluzioni
sono lee,possibili
metrichespazio-temporali.
spazio-tempoèdeterminata
dalla
distribuzione
degli
oggetticelesti,comein- distribuzione
Le conseguenze di questi ragionamenti sono molteplici. L' Universo stesso, conla suada Riemanncirca
60 anni[2].trattato
Gli sviluppi
idee
hanno La presenzadi massa, la suatuito
estensionee la suadurata,puòprima
esserecome diunquestesistemadinamico.
condotto,
comevedremo,alla
scoperta
delle
ondegravitazionalieaduna
for- globale dellodi massa auto-gravitante è in grado di incurvare lo spazio-tempo e, in generale, la forma
mulazione
scientificadelProblema
Cosmologico.
spazio-tempo è determinata dalla distribuzione degli oggetti celesti, come intuito da Riemann circa
60 anni prima [2]. Gli sviluppi di queste idee hanno condotto, come vedremo, alla scoperta delle onde
gravitazionali e ad una formulazione scientifica del Problema Cosmologico.
Il ruolo della gravitazione

Il ruolo della gravitazione
Molto spesso, anche da parte di persone di cultura elevata, la Relatività
Generale viene semplicemente classificata come una mera estensione della

Ristretta.
non è vero
Relatività laGenerale
implica,
Molto spesso,Relatività
anche daparte Questo
di persone
di poiché
culturala elevata,
Relatività
Generale viene
oltreaconsiderazioni
suisistemidiriferimento
accelerati,anche
latrattazione
semplicemente classificata come una mera estensione della Relatività Ristretta. Questo non è verodel campo
gravitazionale
legato alla
spaziopoiché la Relatività
Generale
implica,comeoltreintimamente
a considerazioni
sui struttura
sistemi dellodi riferimento
accelerati,
tempo
[3].
anche la trattazione del campo gravitazionale come intimamente legato alla struttura dello spazioProprio questa è la vera rivoluzione introdotta da Einstein in questa teoria:
tempo [3].
riconoscere che il campo gravitazionale, lo spazio-tempo e la distribuzione
Proprio questa è la vera rivoluzione introdotta da Einstein in questa teoria: riconoscere che il campodella materia-energia sono quantitativamente connessi e governati dalle stesse
gravitazionale, lo spazio-tempo e la distribuzione della materia-energia sono quantitativamenteequazioni.
connessi e governati
dalle stesse equazioni.
Per intuire la portata di questo concetto, consideriamo la meccanica newPer intuire la portata
questoconcetto,
consideriamo
la meccanica
newtoniana.
toniana.diDato
lo spazio
e il tempo
assoluti, cioè
identici e immutabili
perDatotutti lo spazio e il
tempo assoluti,glicioè
identicie
immutabili
per
tutti
gli
osservatori,
l'interazione
osservatori, l’interazione gravitazionale è descritta dalla ben nota legge gravitazionale èdescritta dalla ben nota legge
𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑮𝑭𝑭 =𝒓𝒓𝟐𝟐
che stabilisce che due masse m ed M, separate da una distanza r, sono soggetteche stabilisce che
duemutua
masse
m ed M,
separate dauna
r, gravitazione
sono soggettead unaattrazione
gravitazionale
F. Gè ladistanza
costante diuni-ad una mutua
attrazione gravitazionale
F.misurata
G è la con
costante
di accuratezza
gravitazione
oggi
misurata con estrema
versale, oggi
estrema[4].universale,
A partire dallaprecedente
accuratezza [4].equazione,
A partire desunta
dalla precedenteequazione,
desunta
dalle
leggi
di
Keplero,dalle leggi di Keplero, le previsioni sui moti dei pianeti, le previsioni
sui moti dei pianeti,
di una precisione
impressionante.
generale,tutta laMeccanica Celestesono disono
una precisione
impressionante.
In generale,Intutta
la Meccanica
Celestepuò essere consistentemente
formulata a partire
dalla
teoriadalla
di Newton.
può essere consistentemente
formulataa partire
teoria di Newton.
L'altro cardine di questa teoria è il fatto che, dato un corpo di massa m, la sua massa inerziale e lasua massa gravitazionale coincidono grazie al Principio di Equivalenza di Galileo.
Malgrado la generalità delle previsioni e l'accuratezza dei riscontri sperimentali, la teoria di Newtonpresenta delle inesattezze che possono essere messe in evidenza solo se essa viene sottoposta ad una
critica serrata e scevra da pregiudizi come fece Einstein nei primi anni del XX secolo.
Per prima cosa, la gravitazione newtoniana è indipendente dal tempo e questo significa chel’interazione gravitazionale può propagarsi istantaneamente (cioè a velocità infinita) a tutte ledistanze. Questo fatto è in palese contraddizione con la Relatività Ristretta, per la quale la massima

42

SALVATORE CAPOZZIELLO

L’altro cardine di questa teoria è il fatto che, dato un corpo di massa m, lasua massa inerziale e la sua massa gravitazionale coincidono grazie al Principio di Equivalenza di Galileo.
Malgrado la generalità delle previsioni e l’accuratezza dei riscontri sperimentali, la teoria di Newton presenta delle inesattezze che possono essere
messe in evidenza solo se essa viene sottoposta ad una critica serrata e scevra
da pregiudizi come fece Einstein nei primi anni del XX secolo.
Per prima cosa, la gravitazione newtoniana è indipendente dal tempo equesto significa che l’interazione gravitazionale può propagarsi istantaneamente (cioè a velocità infinita) a tutte le distanze. Questo fatto è in palese
contraddizione con la Relatività Ristretta, per la quale la massima velocità dipropagazione delle interazioni è la velocità della luce. Solo assumendo questo
limite finito, l’Elettromagnetismo (e, quindi, le equazioni di Maxwell) puòessere trattato come una teoria consistente in accordo con i dati sperimentali.
Altro pregiudizio della teoria di Newton è il fatto che lo spazio ed il tempo sono strutture rigide, non influenzabili dalla distribuzione delle masse. In
quest’ottica, il concetto di attrazione (ovvero di azione a distanza) da parte di
una massa gravitazionale diviene difficilmente giustificabile.
Geometrizzando il campo gravitazionale, cioè legando intimamente la
struttura dello spazio-tempo con le sorgenti gravitazionali e considerando
anche la gravitazione come un’interazione che si propaga a velocità finita,
Einstein scopre che curvatura e materia sono legate nella stessa struttura dinamica. In altre parole, il concetto fisico di forza può essere sostituito con quellodi curvatura. Lo strumento matematico per questa realizzazione è il calcolo
differenziale assoluto, sviluppato nei decenni precedenti da Gauss, Riemann,
Bianchi, Ricci-Curbastro, Christoffel e Levi-Civita.
Il pregio fondamentale di questo approccio matematico è che tutte le nozioni del calcolo differenziale possono essere definite su varietà qualsiasi (cioè su
spazi-tempi comunque curvi) e per tutte le trasformazioni di coordinate (purché non singolari). Il vantaggio è notevole poiché lo spazi-tempo non deveessere necessariamente piatto, le traiettorie estremali dei corpi possono essere
geodetiche qualsiasi (non solo rette) e la curvatura delle traiettorie dei corpi èrelativa alle sorgenti gravitazionali che incurvano lo spazio-tempo. Una misura della curvatura diventa una misura del campo gravitazionale. A sua volta,
la curvatura fornisce equazioni differenziali le cui soluzioni sono le metrichespazio-temporali. In questo senso, gravitazione e struttura dello spazio-tempo
sono intimamente connesse.

LA RELATIVITÀ GENERALE: UN NUOVO PARADIGMA PER LA FISICA

43

Il Principio di Equivalenza come fondamento della teoria
Il Principio di Equivalenza è alla base di ogni teoria metrica della gravitazione. La prima formulazione del principio nasce dalla teoria della gravitazione di Galileo e Newton; tale formulazione, detta Principio di Equivalenza informa debole, asserisce che la massa inerziale mi e la massa gravitazionale mg
di un qualsiasi oggetto massiccio sono equivalenti. Nella fisica newtoniana, la
massa inerziale mi è il coefficiente che appare nella seconda legge di Newton:
F = mia dove F è la forza esercitata su una massa mi avente accelerazione a;
nella Relatività Ristretta (senza gravitazione) la massa inerziale di un corpo appare essere proporzionale all’energia a riposo del corpo: E = mi c2. Tenendo contodell’attrazione gravitazionale newtoniana, si introduce la massa gravitazionale mg: la forza di attrazione gravitazionale tra due corpi con massa gravitazionale mg e M è, come visto, F = G mg M/r2 dove G è la costante gravitazionale
newtoniana e r la distanza tra i due corpi. Diversi esperimenti dimostrano che
mi = mg. L’attuale accuratezza di questa relazione è dell’ordine di 10-14 [4]. Si
noti che M è considerata la massa che “genera” il campo gravitazionale mentre mg è la massa della particella di prova.
Il Principio di Equivalenza in forma debole implica che è impossibile distinguere gli effetti di un campo gravitazionale da quelli del moto in un sistema uniformemente accelerato usando la semplice osservazione del comportamento di una particella in caduta libera. Il Principio di Equivalenza in forma
debole può essere allora formulato come segue:
Se un corpo di prova non carico è posto in corrispondenza di un
evento iniziale nello spazio-tempo con velocità assegnata, allora la suaconseguente traiettoria sarà indipendente dalla sua struttura interna e
dalla sua composizione.

Una generalizzazione del Principio di Equivalenza in forma debole asserisce che la Relatività Ristretta è sempre localmente valida. Il concetto di massa
perde parte del suo carattere di unicità: la massa è semplicemente una manifestazione dell’energia e della quantità di moto.
Secondo Einstein, è impossibile distinguere localmente gli effetti di un’accelerazione uniforme e di un campo gravitazionale esterno, non solo per particelle in caduta libera, ma per qualsiasi esperimento. Questo principio è chiamato Principio di Equivalenza di Einstein e può essere formulato come segue:44

SALVATORE CAPOZZIELLO• Il Principio di Equivalenza in forma debole è valido;• il risultato di un qualsiasi esperimento localmente non gravitazionale è
indipendente dalla velocità dell’apparato in caduta libera;• il risultato di un qualsiasi esperimento localmente non gravitazionale è
indipendente da dove e quando viene effettuato.
Con il termine “esperimento localmente non gravitazionale” si intende unesperimento effettuato in un “piccolo” laboratorio in caduta libera, così da evitare le possibili non omogeneità spazio-temporali. Dal Principio di Equivalenza di Einstein, segue che l’interazione gravitazionale dipende dalla curvaturadello spazio-tempo, cioè i postulati di qualsiasi teoria metrica della gravità
devono essere soddisfatti, cioè:• lo spazio-tempo è caratterizzato da una metrica;• le linee di mondo seguite dai corpi di prova sono le geodetiche della metrica;• nei sistemi localmente in caduta libera, detti sistemi locali di Lorentz,
le leggi non gravitazionali della Fisica sono quelle della Relatività Ristretta.
Una delle predizioni di questo principio è il cosiddetto red-shift gravitazionale, verificato sperimentalmente da Pound e Rebka nel 1960 [5].
È bene sottolineare che le interazioni gravitazionali sono escluse dal Principio di Equivalenza in forma debole e da quello di Einstein. Per classificare
teorie della gravitazione alternative alla Relatività Generale, sono stati introdotti i Principi di Equivalenza in forma gravitazionale debole e in forma forte.
Quest’ultimo estende il Principio di Equivalenza di Einstein includendo tutte
le leggi fisiche nella sua formulazione:• Il Principio di Equivalenza in forma debole è valido per i corpi autogravitanti così come per i corpi di prova (Principio di Equivalenza informa gravitazionale debole);• il risultato di un qualsiasi esperimento locale è indipendente dalla velocità dell’apparato in caduta libera;• il risultato di un qualsiasi esperimento locale è indipendente da dove eda quando viene effettuato.
Pertanto, il Principio di Equivalenza in forma forte contiene quello di Einstein quando si ignorano le forze gravitazionali. Molti autori affermano che

LA RELATIVITÀ GENERALE: UN NUOVO PARADIGMA PER LA FISICA

45

l’unica teoria coerente con il Principio di Equivalenza in forma forte è la Relatività Generale, ma questa affermazione deve essere ancora completamente
dimostrata [6].
Riassumendo, possiamo dire che la Meccanica Classica è fondata sull’uguaglianza della massa inerziale e di quella gravitazionale; questo concetto, accettato assiomaticamente da Galileo e Newton, fu provato sperimentalmente da
Eötvös all’inizio del secolo scorso, con una precisione di una parte su 109 e,
più recentemente, da Dicke e dai suoi collaboratori, intorno al 1960, con una
precisione di una parte su 1011. Oggi siamo arrivati a precisioni di una parte su
1014 [4]. Einstein fu molto colpito da queste misure ed osservò che, da questa
uguaglianza, discende direttamente il fatto che gli effetti di un campo gravitazionale sono annullati all’interno di un ascensore in caduta libera che si comporta proprio come un sistema di riferimento inerziale. Infatti, il moto di caduta
libera della particella di prova è un moto uniforme nel sistema dell’ascensore.
Dunque, dato un campo gravitazionale qualunque, è possibile annullarne
localmente gli effetti ponendosi in un sistema di coordinate opportuno: viceversa, in assenza di campo gravitazionale, è possibile simularne gli effetti
istituendo un sistema di coordinate non inerziali, cioè mettendosi in moto accelerato rispetto al sistema di riferimento inerziale. Assumendo la validità delPrincipio di Equivalenza, segue che, dato un campo gravitazionale qualunque,è sempre possibile trovare un sistema di coordinate che è localmente inerziale.
Il Principio di MachA questo punto, sono necessarie alcune considerazioni di carattere epistemologico per evidenziare come i risultati della Relatività Generale contrastino
con le nozioni di spazio e tempo assoluti proprie della Meccanica Classica.
Come detto, la Meccanica Classica assume l’esistenza di uno spazio assoluto
asserendo che le leggi della dinamica sono valide, nella loro forma elementare, solo in particolari sistemi di riferimento, detti inerziali. Alla richiesta di
una definizione di tali riferimenti privilegiati, la Meccanica Classica rispondein modo tautologico dicendo che essi sono, appunto, quelli in cui valgono leleggi della dinamica. È ben noto, tuttavia, che il problema non sorge sul piano
pratico, dal momento che sappiamo bene come costruire riferimenti inerziali:
secondo il grado di accuratezza del nostro esperimento, il riferimento inerziale
sarà definito dal laboratorio stesso, oppure sarà solidale con il Sole, avendo gli
assi orientati verso le stelle fisse e così via.

46

SALVATORE CAPOZZIELLO

L’esistenza di riferimenti privilegiati, coincidenti con lo spazio assoluto,
non era un concetto gradito a tutti. A cominciare, come detto, da Leibniz,
alcuni studiosi non potevano accettare che lo spazio vuoto, sede dei fenomeni
fisici, fosse dotato di proprietà così concrete da influenzare i fenomeni meccanici generando le forze inerziali; sembrava più ragionevole che queste ultime
fossero generate dal moto accelerato rispetto alla materia vicina piuttosto che
dal moto accelerato rispetto allo spazio assoluto vuoto. L’esperienza del secchio
di Newton pose fine, per qualche tempo, a queste speculazioni finché Berkeley
prima e Mach poi la reinterpretarono osservando che, nella realtà, lo spazio assoluto della meccanica newtoniana non è vuoto, ma riempito da quantità enormi
di materia, rispetto alla quale, stati di moto uniforme o accelerato sono ben distinguibili: precisamente, secondo un ragionamento che oggi viene accreditato a
Mach ed è noto con il nome di principio omonimo, è durante il moto accelerato
rispetto a questa materia distante che si generano, in modo peraltro indefinito,
le forze inerziali. Questa visione machiana delle forze inerziali, storicamente,influenzò molto Einstein nella formulazione della Relatività Generale; l’equivalenza tra la massa inerziale e quella gravitazionale, infatti, non è in disaccordo
con l’accettazione dell’idea che le forze inerziali siano generate da una sorta diazione gravitazionale delle masse lontane dell’Universo quando siano presenti
stati di moto accelerato, come già intuito da Riemann.
Immaginiamo, per essere concreti, di schematizzare l’intero Universo con
un guscio sferico di materia ed immaginiamo il nostro laboratorio al centro e
in rotazione rispetto al guscio. In queste condizioni, l’esperienza ci dice chesorgono le forze inerziali. Poiché la situazione descritta non è distinguibile,
operativamente, dall’altra in cui si immagina che il laboratorio sia fisso ed il
guscio sferico sia in rotazione attorno ad esso (almeno fino a quando non sono
implicate velocità maggiori della velocità della luce), se la teoria della Relatività Generale è in accordo con il principio di Mach, essa deve contenere formalmente il risultato che masse in rotazione generano campi di forze inerziali:
questo è qualitativamente vero anche se, quantitativamente, l’effetto tende adessere piccolissimo. Quest’ultimo fatto potrebbe essere la spiegazione del risultato nullo di un esperimento, condotto dallo stesso Mach, che, in accordo
con la sua visione delle forze inerziali, voleva rivelare il campo delle forze
centrifughe e di Coriolis generate all’interno di un volano in rotazione. La
discussione di come e quanto l’interazione gravitazionale sia in accordo con
il Principio di Mach è tuttora aperta. Basti pensare che molte teorie alternative del campo gravitazionale sono state formulate per cercare una maggioreconsistenza con tale principio. Di particolare rilievo sono le teorie scalar-ten-

LA RELATIVITÀ GENERALE: UN NUOVO PARADIGMA PER LA FISICA

47

soriali, tra cui la teoria di Brans Dicke, in cui si suppone che l’accoppiamento
gravitazionale sia variabile e dipendente dalla distanza di interazione [6].
Le Equazioni di Einstein

Le Equazioni di EinsteinLamassimasintesidelle riflessioni
è realizzata
da Einsteinnella
La massima
sintesidelle riflessioni
precedenti èprecedenti
realizzata da Einstein
nella scritturadelle equazioni
dicampo,
dovel’interazione
gravitazionaleè
identificata
conlacurvaturadello
spazio-tempo:
scrittura delle equazioni di campo, dove l’interazione gravitazionale è identificata con la curvatura dello spazio-tempo:1Rµν − gµν R = −8π G Tµν
2Queste sono dieci equazioni tensoriali, non lineari, alle derivate parziali dove,a sinistra, compare un tensore (detto tensore di Einstein) derivato da
Queste sono dieci equazioni tensoriali, non lineari, alle derivate parziali dove, a sinistra, compare un
un’opportunadel derivato
tensoredadi
di Riemanne a destra
il tentensore (detto contrazione
tensore di Einstein)un’curvatura
opportuna contrazionedel tensore
di curvatura
diRiemanneadestrailtensoreenergia-impulso,cherappresentalasorgente
materialedello
spaziosore energia-impulso, che rappresenta la sorgente materiale dello spazio-tempo
tempo in esame. Il numero di tali equazioni è il risultato di considerazioni di simmetria sulla struttura
in esame.
Il numeroequazioni è(siilveda
risultato
considerazioni
di simmetria
dei tensori
di curvaturadie tali
di energia-impulso
anche ildi
contributodel Prof. Giambò
in questo
Si dimostra
che, considerando
nel sistema
le leggi di conservazionedellamateriasullavolume).
strutturadei tensori
di curvatura
e dianche
energia-impulso(si vedaanche
ilenergia, le equazioni di Einstein indipendenti si riducono a sei. Le equazioni precedenti sono scritte
contributo
del
Prof.
Giambò
inquestovolume).
Sidimostrache,considerando
in regime relativistico e in unità “naturali”, quindi si assume che la velocità della luce sia c=1,
nel altrimenti
sistema ilanche
leggi diconservazione
materia-energia,
secondolemembro
deve
essere diviso per dellac4 . A causa
di questo fattore,lela equazioni
gravitazione
risultalapiùdeboletratutteleinterazioni.
di Einstein indipendenti si riducono a sei. Le equazioni precedenti sono scritte
Tali equazioni furono pubblicate negli Annalen der Physik nel 1916 [7]. Furono desunte da Einsteinin regime
unitàdel“naturali”,
assumeche la velocitàfuronodella
partendorelativisticodalle identità edi inBianchitensore di quindi
Riemann.siQuasi
contemporaneamente,da Hilberta partireda un principio
variazionale
lo scalareR, cioè dila. A causa
lucericavate
sia c=1,
altrimenti
il secondo
membrodevecontenenteessere diviso
perdic4Ricci
contrazione del tensore di Riemann, nell’azione [8].
questofattore, la gravitazione risulta la più debole tra tutte le interazioni.
La generalità di queste equazioni è davvero stupefacente. Esse si applicano ad oggetti astrofisiciTaliequazioni
furonopubblicate
negli
Annalender Physik
nel che1916[7].
compatticome le stelledi neutroni
o i buchi nerifino all’intero
Universo,
se assumiamo
il Cosmo
sia un desunte
sistema dinamico
in grado dipartendo
evolvere. E’dalleinteressantenotaredi
che,Bianchi
nel limite delleenergie
Furonoda Einstein
identitàdel basse
tensoredie delle basse velocità (v<< c) si recuperano tutti i risultati della meccanica newtoniana e, addirittura,
Riemann.
Quasi
contemporaneamente,furonoricavatedaHilbertapartiredasi spiegano alcune sue anomalie come la precessione al perielio di Mercurio e la deflessione dei raggi
luminosi. Comesostenuto dacontenentevari autori, taliequazionidipossono
definirsi
tra le più alte
un principio
variazionale
lo scalare
Ricci benR, cioèla contrazione
realizzazioni dello Spirito Umano.
del tensore di Riemann, nell’azione [8].
Ladi queste equazioni è davvero stupefacente. Esse si applicano
Le generalità
prove sperimentali
ad oggetti astrofisici compatti come le stelle di neutroni o i buchi neri fino
Subito dopo
la pubblicazionedella teoria, partì
attivitàvalidità comeall’intero
Universo,
se assumiamo
cheun’intensa
il Cosmo
siaperunconfermarne
sistema la
dinamicoinestensione della meccanica newtoniana. Malgrado questo, la Relatività Generale venne considerata
gradodievolvere.
Èinteressantenotareche,nellimitedelle
basse
energie
per anni una teoria “difficile” che trovava la sua collocazione naturale in corsi di studio avanzati diee Fisica Teorica.
E’ interessantenotare tutti
che il primo
corso diRelatività,
come appendicedelleMatematica
basse velocità(v<< c)si recuperano
i risultatidellameccanica
newdi un corso di Calcolo Differenziale Assoluto, fu tenuto presso la Regia Università di Napoli nell’anno
tonianae,addirittura,sispiegano
alcunesueanomaliecomelaprecessione
accademico 1919-1920 da Roberto Marcolongo [9], cioè non appena le tre prove “classiche” dellaal perielio
di Mercurio
e ladideflessione
dei raggi
luminosi.
Cometeoria (precessione
al perielio
Mercurio, spostamento
verso
il rosso dellelineesostenuto
spettrali edeflessione
gravitazionaledella luce)
avevanoben
trovatoun riscontro
corso fu tenuto ada vari
autori,tali equazioni
possonodefinirsi
tra osservativo.
le più alteIl realizzazioni
Matematica, non a Fisica, poiché la Relatività, soprattutto quella Generale, era ritenuta qualcosa didello
Spiritomolto
lontanoUmano.
dalla Fisica Sperimentale standard.
In questa sede, accenneremo brevemente ai cosiddetti test classici della teoria, rimandando alla
abbondante letteratura specialistica per una trattazione dettagliata di essi (si veda ad esempio [10]).
La prima prova della validità della Relatività Generale, come estensione diretta della meccanica

48

SALVATORE CAPOZZIELLO

Le prove sperimentali
Subito dopo la pubblicazione della teoria, partì un’intensa attività per confermarne la validità come estensione della meccanica newtoniana. Malgrado questo, la Relatività Generale venne considerata per anni una teoria “difficile” chetrovava la sua collocazione naturale in corsi di studio avanzati di Matematica e
Fisica Teorica. È interessante notare che il primo corso di Relatività, come appendice di un corso di Calcolo Differenziale Assoluto, fu tenuto presso la Regia
Università di Napoli nell’anno accademico 1919-1920 da Roberto Marcolongo[9], cioè non appena le tre prove “classiche” della teoria (precessione al perielio
di Mercurio, spostamento verso il rosso delle linee spettrali e deflessione gravitazionale della luce) avevano trovato un riscontro osservativo. Il corso fu tenuto
a Matematica, non a Fisica, poiché la Relatività, soprattutto quella Generale, era
ritenuta qualcosa di molto lontano dalla Fisica Sperimentale standard.
In questa sede, accenneremo brevemente ai cosiddetti test classici dellateoria, rimandando alla abbondante letteratura specialistica per una trattazione
dettagliata di essi (si veda ad esempio [10]).
La prima prova della validità della Relatività Generale, come estensione
diretta della meccanica newtoniana, fu la spiegazione della precessione al perielio di Mercurio. Questo punto dell’orbita del pianeta avanza di 574 secondi
di arco al secolo. Di questi, ben 531 sono spiegati tramite la teoria delle perturbazioni gravitazionali dovute principalmente a Venere, Terra e Giove. La
differenza di 43 secondi d’arco al secolo è spiegata dalla teoria delle orbite
planetarie, ottenuta tramite la Relatività Generale. È interessante riportare un
passo della lettera che Einstein scrisse a Sommerfeld subito dopo il conseguimento del risultato:“L’ultimo mese è stato uno dei più intensi della mia vita. Quello che
mi rende così felice non è solo il fatto che la teoria di Newton si ottiene come prima approssimazione, ma che la precessione del perielio di
Mercurio si ottiene come seconda approssimazione”

In altre parole, Einstein intuisce subito che la sua descrizione geometricadel campo gravitazionale è fisicamente fondata.
La seconda verifica avviene nel 1919. Durante un’eclissi totale di Sole,l’equipe guidata da Arthur Eddington osservò che la luce delle stelle nei pressidel disco solare era leggermente deviata, dato che le stelle apparivano in posizioni spostate rispetto a quelle in cui erano osservate usualmente.

LA RELATIVITÀ GENERALE: UN NUOVO PARADIGMA PER LA FISICA

49

Newton e Laplace avevano già previsto un effetto simile, ma il calcolo
basato sulla Relatività Generale era quello in accordo preciso con le osservazioni. Era la nascita di quella branca dell’Astronomia detta lensing gravitazionale, che è l’insieme di tutti quei fenomeni caratterizzati dalla deflessionedella radiazione emessa da una sorgente luminosa a causa della presenza di un
corpo massiccio posto tra la sorgente e l’osservatore. In altre parole, il campo
gravitazionale si comporta come un mezzo otticamente attivo.
Un’ulteriore prova della teoria, verificata sperimentalmente più di recente,
è lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali di un sistema atomico. Tale
effetto era stato previsto da Einstein già nel 1907, partendo da considerazioni
sul Principio di Equivalenza. L’effetto consiste in uno spostamento relativo
in frequenza di un’onda elettromagnetica dovuto al campo gravitazionale. La
verifica sperimentale, già citata sopra, fu ottenuta nel 1960 da Pound e Rebka
che misurarono lo spostamento relativo verso il rosso di due sorgenti situatesulla cima e alla base della Torre Jefferson all’Università di Harvard. Fu utilizzato l’effetto Mössbauer su atomi di ferro [5].
Altre prove sperimentali possono essere ricondotte al limite di campo debole ma, in ogni caso, la Prova Regina della Relatività Generale è stata trovata
esattamente cento anni dopo la sua formulazione.
Il 14 Settembre del 2015, sono state osservate, per la prima volta, onde gravitazionali provenienti dal collasso di due buchi neri tramite misure effettuate
con gli interferometri LIGO situati negli Stati Uniti. Questa può considerarsi
la prima prova full glory della Relatività Generale, poiché il concetto di onda
gravitazionale è totalmente assente nella meccanica newtoniana e perché unbuco nero è un oggetto genuinamente relativistico in cui nessuna approssimazione di campo debole deve essere fatta. La discussione di come si è arrivati
alla scoperta delle onde gravitazionali è riportata, in questo volume, nel contributo della Dr. La Rana.
La Cosmologia
Dal punto di vista concettuale, l’applicazione più eclatante della Relatività
Generale è la Cosmologia. Per la prima volta, nella storia del pensiero umano,tale teoria permette di trattare il Cosmo in sé da un punto di vista genuinamente scientifico, evitando qualsiasi legame con la Filosofia o la Religione.
Le asserzioni fondamentali di questo approccio sono: i) il Cosmo è un sistema
dinamico “misurabile”, ii) le equazioni del campo gravitazionale danno luogo

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SALVATORE CAPOZZIELLO

a modelli cosmologici confrontabili con le osservazioni astronomiche a larga
scala. Nel contributo del Prof. Fano, sono illustrati i dettagli e la genesi delprimo modello cosmologico einsteiniano. Qui ci preme solo inquadrare brevemente la Cosmologia nello schema della Relatività Generale.
A questo scopo, è bene fare un passo indietro per stabilire cosa si intendesse per Problema Cosmologico prima di Einstein.
In tutte le epoche, ogni cultura si è posta domande fondamentali come quali siano la natura, la struttura ed il fine dell’Universo. In particolare, uno degli
obiettivi più alti di molti sistemi filosofici è stato quello di cercare le relazioni
tra Uomo ed Universo.
Queste relazioni possono essere di tipo oggettivo (ad esempio l’Uomo è
una componente “cosciente” dell’Universo) o di tipo soggettivo (come l’Uomo percepisce e concepisce l’Universo, in altre parole cosa l’Uomo, soggetto,
intende per “Universo”). È chiaro, da queste premesse, che scindere il Problema Cosmologico dalla Filosofia e dalle domande “ultime” dell’Uomo rischia
di rendere questa ricerca un mero esercizio intellettuale, non collocabile nel
quadro più esteso di una più generale antropologia culturale [11]. In altre parole, l’indagine cosmologica diventa paradigmatica per qualsiasi sistema diconoscenze che si pone il problema “Uomo” e viene affrontata con gli strumenti culturali specifici di una data epoca. Sorge allora il dubbio se si possa
parlare di “Cosmologia come Scienza”, nel senso galileiano del termine, ose si debba collocare la Cosmologia nell’alveo delle dottrine filosofiche, non
immediatamente correlate alle discipline scientifiche.
Quest’ultimo punto di vista risale alla fine del Settecento, quando la Cosmologia era considerata una disciplina “metafisica” con i connotati negativi
attribuiti a questo termine dal pensiero positivista. Infatti, con l’estendersi delmetodo scientifico e con la mentalità scientista di tipo ottocentesco, le domande “ultime” dell’indagine cosmologica sembravano prive di senso poiché
irrisolvibili (si pensi alle antinomie di Kant): la Cosmologia veniva confusa
con la filosofia della Natura e, quindi, di scarso valore epistemologico.
La situazione inizia a mutare nella seconda metà dell’Ottocento e nel primo Novecento, quando le ricerche astronomiche progrediscono, si estendono
alla nostra Galassia e ci si pone il problema se le “nebulose” siano interne od
esterne al nostro sistema stellare (il problema dei cosiddetti “universi isola”).
Per definire un inizio della Cosmologia moderna e considerare quest’ultima come “la scienza che studia la forma, le leggi fisiche e l’origine dell’universo”, dobbiamo giungere al 1917. In questa data, Einstein presenta una
memoria all’Accademia delle Scienze di Berlino in cui sviluppa le sue con-

LA RELATIVITÀ GENERALE: UN NUOVO PARADIGMA PER LA FISICA

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siderazioni cosmologiche servendosi della Relatività Generale. L’Universo è
trattato come un sistema dinamico, descritto da equazioni del moto, le cui
soluzioni definiscono la geometria, l'evoluzione e il contenuto di materia. Potremmo parlare di rivoluzione culturale e di una certa estremizzazione del metodo scientifico. Il Problema Cosmologico viene affrontato non a partire da unsistema filosofico più o meno generale, ma è considerato applicazione di una
teoria scientifica che può avere un riscontro osservativo. In altre parole, unmodello di Universo non proviene da una particolare visione del mondo, ma
è, invece, la soluzione di un sistema di equazioni differenziali che prescindono
da una qualsiasi visione filosofica. A partire da questo esordio einsteiniano, imodelli cosmologici proposti sono stati molteplici e spesso contraddittori, ma
il metodo è sempre lo stesso: data una teoria della gravitazione (e delle altre
interazioni fondamentali), da essa si deduce un sistema di equazioni “cosmologiche”, cioè un sistema dinamico descrivente un Universo. Se tale modello
è confrontabile con le osservazioni, se ne ricava un modello fisico.
Nello specifico, tra il 1917 ed il 1930, grazie ai lavori di Einstein, Hubble,
de Sitter, Friedmann, Lemaître e molti altri, si capisce chiaramente che occuparsi dell’Universo in toto è possibile tramite modelli fisico-matematici daconfrontare con le osservazioni.
In particolare, Edwin Hubble dimostra che le galassie sono sistemi esternialla Via Lattea ed in recessione da noi. Friedmann, Lemaître, Robertson e
Walker trovano una soluzione delle equazioni di Einstein compatibile, da unlato, con il Principio Cosmologico, cioè col fatto che l’Universo appare omogeneo e isotropo a larga scala, e in espansione, dall’altro, quindi in accordo
con lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali delle galassie comerivelato da Hubble.
Il resto è storia recente. La scoperta della radiazione di fondo cosmico daparte di Penzias e Wilson nel 1965, il calcolo ed il riscontro osservativo delle abbondanze degli elementi primordiali (H, He, Li) tra gli anni Sessanta e
Settanta, lo spettro delle perturbazioni cosmologiche come possibili sorgentidella struttura a larga scala, negli anni Ottanta e Novanta, la scoperta di una
componente oscura del fluido cosmologico (costante cosmologica o energia
oscura), con cui si è aperto il Ventunesimo secolo, sono tutti tasselli che stanno
contribuendo via via ad una sempre più precisa e coerente visione scientificadel Cosmo. In altre parole, il riscontro con le osservazioni dei modelli fisicomatematici scaturiti dalla Relatività Generale ha reso alla Cosmologia il suo
giusto valore epistemologico, facendola assurgere definitivamente al ruolo discienza adatta a descrivere globalmente l’Universo come sistema fisico.

52

SALVATORE CAPOZZIELLO

Attualmente, la Cosmologia è un campo di ricerca attivissimo che può essere collocato all’intersezione di varie discipline come la Fisica Teorica, laMatematica, l’Astronomia Extragalattica e addirittura la Chimica e la Biologia. In più, il fatto che i metodi di misura e di analisi sono diventati sempre più
accurati, ci porta oggi a parlare di Precision Cosmology.
Conclusioni
Queste brevi considerazioni sulla nascita e lo sviluppo della Relatività Generale portano alla conclusione che, effettivamente, questa teoria possa considerarsi un punto di svolta, un paradigma con cui confrontarsi per formulare
una visione coerente della realtà fisica. È indubbio che il discorso iniziato da
Einstein più di cento anni fa sta divenendo sempre più strutturato e denso dirisultati. In qualche modo, la Relatività Generale ha cambiato la concezionedel Mondo ed il modo di rapportarsi con realtà che, prima di Einstein, eranoalquanto scontati e non suscettibili di cambiamento. Ragionare su spazio etempo in termini scientifici, geometrizzare le interazioni fisiche, aspirare ad
una Teoria del Tutto che spieghi, con le stesse equazioni, tutta la realtà fisica
sono concetti divenuti “patrimonio comune” dopo Einstein. Oggi, ad esempio, i metodi di indagine, teorici e sperimentali, sviluppati per le particelleelementari sono applicabili all’Astrofisica o alla Cosmologia: tale approccio
era impensabile prima di Einstein. Parlare di confini dell’Universo, origine
del tempo, viaggi nel tempo, multiversi e altri concetti altamente speculativi
fino a qualche tempo fa, sono divenuti addirittura popolari. Dopo la scopertadelle onde gravitazionali, si parla di “Astronomia Gravitazionale”, i buchi nerisono diventati oggetti “osservati” e ci sono evidenze “sperimentali” per il Big
Bang iniziale.
Questo però non significa che abbiamo trovato la chiave per spiegare tutto.
Qualcuno ha detto: “le teorie scientifiche sono come gli imperi; prima o poi
crollano”. Io direi invece che, se sono vere, si perfezionano, come è accaduto per la meccanica newtoniana che è ancora validissima malgrado la critica
einsteiniana.
Venendo al caso della Relatività Generale, pur con i suoi successi recenti epassati, appare sempre più chiaro che dovrà essere rivisitata ed estesa per trattare la gravitazione alla stregua delle altre interazioni fondamentali. Infatti, laformulazione di Einstein presenta problemi alle scale infrarosse (astrofisiche ecosmologiche) e ultraviolette (scale quantistiche). Il fatto che il 95% del con-

LA RELATIVITÀ GENERALE: UN NUOVO PARADIGMA PER LA FISICA

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tenuto dell’Universo sia dovuto a non ben precisate forme di materia oscura
ed energia oscura è forse solo l’indizio del fatto che la Relatività Generale
presenta problemi alle grandissime scale pur ben rappresentando l’evoluzione
coarse grained dell’Universo. D’altro canto, la difficoltà di formulare una
teoria consistente della Gravità Quantistica, a partire dalla Relatività Generale, indica che la gravitazione non può essere semplicemente trattata come lealtre interazioni quantistiche. Comunque, tutto questo indica che il paradigma
relativistico funziona pur se non abbiamo ancora risposte ultime e definitive.
Voglio chiudere queste riflessioni citando Roger Cotes, un allievo di Newton, che, nel 1713, scrisse una prefazione alla seconda edizione dei Principia.
Egli dice:“Ci sono quelli che inventano fluidi occulti per capire le leggi della
natura. Giungono a conclusioni che non sono altro che sogni e chimere, trascurando la vera costituzione delle cose …... Ma ci sono quelliche, dalla semplice osservazione della natura, sono in grado di dedurre
nuove leggi”

Chi scriveva si riferiva alla teoria del flogisto, usata per spiegare il passaggio di calore tra i corpi ma non condivisa da Newton. Il fluido occulto si rivelò
essere niente altro che l’energia che viene scambiata termodinamicamente trai corpi, ma si dovette aspettare molto tempo prima che Ludwig Boltzmann
capisse la vera natura del calore. Per tornare alla Relatività Generale, Einstein
ha aperto una strada che ora deve essere percorsa fino in fondo formulando
una teoria della gravitazione coerente a tutte le scale e consistente con tutte lealtre interazioni fondamentali.

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SALVATORE CAPOZZIELLO

Bibliografia
L. Geymonat, Storia del pensiero Filosofico e scientifico, Garzanti Editore, Milano (1988).
[2] B. Riemann, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, Bollati
Boringhieri, Torino (1994).
[3] E. Schrödinger, Space-Time structure, Cambridge Univ. Press., Cambridge (1960).
[4] C.W.F. Everitt et al., Physical Review Letters, 106, 221101 (2011).
[5] R.V. Pound, G.A. Rebka, Physical Review Letters, 4, 337 (1960).
[6] S. Capozziello, M. De Laurentis, Physics Reports, 509, 167 (2011).
[7] A. Einstein, Annalen der Physik, 49(4) 769 (1916).
[8] D. Hilbert, Die Grundlagen dr Physik, Nachr. Königl. Gesellsh. Wiss.
Göttingen, 395 (1915).
[9] M. Merola, Calcolo Differenziale Assoluto e Teoria della Relatività,
Bibliopolis, Napoli 2006[10] C.M. Will, Theory and experiment in gravitational physics, Cambridge
Univ. Press, Cambridge (1981).
[11] E. Cassirer, Saggio sull’Uomo, Armando Editore, Roma (1968).
[1]

L’inarrestabile propagazione della gravità:
le onde gravitazionali, dall’ipotesi alla misura
ADELE LA RANA
Fondazione TERA & Università di Roma “Sapienza”«Considerate una distanza pari a 100 miliardi di volte la circonferenza terrestre (un totale di circa 4 milioni di miliardi di chilometri o un milione di volte la distanza da Nettuno). Immaginate due punti separati da questa distanza
totale. Ebbene, il passaggio di un’onda gravitazionale forte provocherà in tale
distanza una rapida variazione, grande meno dello spessore di un capello. Per
misurare questo cambiamento non avremo più di pochi decimi di secondo. E
non sappiamo se questo evento infinitesimale capiterà il mese prossimo, l’anno venturo o nei prossimi trent’anni.»
Il 13 Marzo 1991, il fisico dei Bell Laboratories J. Anthony Tyson pronunciava queste parole davanti ai membri della Camera dei rappresentanti degli
Stati Uniti d’America1, per dissuaderli dall’investire 200 milioni di dollari
nella costruzione di due nuovi grandi apparati per la rivelazione di onde gravitazionali: una coppia di interferometri gemelli chiamati LIGO (Laser Interferometer Gravitational Observatory), dai bracci lunghi ben 4 km.
Ventiquattro anni dopo, il 14 Settembre 2015, i due LIGO – portati a termine nonostante i loro iniziali detrattori – hanno captato per la prima volta
nella storia un segnale gravitazionale: una flebile vibrazione durata meno didue decimi di secondo e con un’ampiezza dell’ordine di 10-18 m, grande cioèla millesima parte del diametro di un protone!
A generare l’onda è stato un evento astrofisico sorprendente, previsto dai
modelli teorici ma mai osservato prima: la fusione di due giganteschi buchi
neri, con masse pari a trenta volte quella del nostro Sole. La catastrofica collisione ha generato una perturbazione gravitazionale che ha viaggiato ben 1.3
miliardi di anni, prima di giungere sulla Terra.
A differenza di quanto prospettato nel discorso di Tyson, fenomeni di questo tipo non si stanno dimostrando tanto rari. A distanza di pochi mesi dalla
prima rivelazione, un secondo evento ha investito i due LIGO, il 26 Dicembre
2015, provocando una nuova ondata di entusiasmo nella comunità scientifica
1
H. Collins, Gravity’s Shadow. The Search for Gravitational Waves, University of
Chicago Press, Chicago & Londra; 2004, p.2.

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ADELE LA RANA

internazionale. Meno intenso del primo, questo secondo segnale – soprannominato il «regalo di Natale di Einstein» – ha costituito un’ulteriore significativa conferma di un fenomeno sfuggito molto a lungo all’osservazione diretta.
La caccia alle onde gravitazionali è durata, infatti, più di mezzo secolo,da quando all’inizio degli anni ’60 il fisico americano Joseph Weber ideò erealizzò all’Università del Maryland le prime barre risonanti, gli antenati ditutti gli attuali rivelatori.
Nel corso della sua storia, la ricerca delle onde gravitazionali si è scontrata
con l’acceso scetticismo – e spesso l’aperta ostilità – di una buona fetta della
comunità scientifica internazionale. Non sono state solo le speranze a lungo
disattese a provocare le dispute. Quando Weber propose per la prima volta
l’idea di un apparato in grado di vibrare al passaggio di radiazione gravitazionale e di misurare l’entità della vibrazione, l’esistenza stessa di tale radiazione
era una questione teorica ancora dibattuta. Non solo gli effetti del passaggio
di un’onda gravitazionale erano tanto piccoli da far sembrare impossibile una
loro misura: era addirittura in dubbio che tali effetti esistessero davvero. Weber ebbe il grande merito di portare la discussione sulle onde gravitazionali
dal piano strettamente teorico a quello empirico.
La prime previsioni delle onde di gravità
Poco dopo aver completato la sua teoria della gravitazione – la Relatività
Generale – Albert Einstein si dedicò a cercare di risolvere, in casi particolari,le sue equazioni di campo2. Ipotizzando di trovarsi in presenza di un campo
gravitazionale debole (per esempio, a grande distanza da una sorgente di gravità), egli trovò che le equazioni ammettevano soluzioni approssimate sotto
forma di onde, in grado di propagarsi alla velocità della luce3. La natura diqueste onde appariva, però, sfuggente: erano effettive vibrazioni dello spaziotempo, che mettevano in oscillazione i suoi punti, o si poteva farle scomparire
cambiando i sistemi di coordinate? In altre parole: si trattava di enti puramente matematici – un artefatto legato alla scelta delle coordinate di riferimento
Le equazioni di campo della Relatività Generale descrivono la mutua influenza tra la
massa-energia e la struttura dello spazio-tempo. Parafrasando il fisico teorico John Wheeler: la massa e l’energia dei corpi determina la struttura dello spazio-tempo, mentre la
struttura dello spazio-tempo determina il moto dei corpi.
3
A. Einstein, Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation (Soluzione approssimata delle equazioni del campo gravitazionale), in Sitzungsberichte derKöniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin; 1916, p. 688–696.
2

L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

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nelle equazioni di campo – o possedevano una realtà fisica e, in quanto tale,
misurabile?
Se reali, queste onde rispondevano a una questione lasciata irrisolta dalla
teoria della gravitazione universale di Newton: il problema di come l’azione
gravitazionale si propaghi da un punto a un altro dello spazio.
Una delle ipotesi alla base della teoria di Newton, infatti, è che la forza diattrazione gravitazionale si trasmette istantaneamente tra i corpi. Newton stesso era ben consapevole delle criticità sollevate dall’azione a distanza, comescrisse in una lettera al filologo e teologo Richard Bentley, nel 1692:
Che un corpo possa agire a distanza su di un altro attraverso il vuoto, senza la mediazione di qualcosa che convogli l’azione e la forzadell’uno sull’altro, è per me un’assurdità tanto grande che credo nessun
uomo in grado di ragionare di filosofia possa pensare di sostenerla.

I tempi erano ancora molto acerbi per intravedere, però, una soluzione.
Prima di Einstein, almeno due precursori illustri avevano preso in considerazione l’ipotesi della propagazione non istantanea del fenomeno della gravità.
Il primo era stato il matematico e astronomo francese Pierre Simon Laplace(1749-1827). Nel suo trattato Sur le Principe de la Gravitation Universelle, pubblicato nel 1776, egli affrontò tra le diverse questioni astronomiche
il problema della graduale diminuzione del periodo orbitale della Luna, osservato nel corso del tempo prendendo in considerazione i dati relativi a ben
documentate eclissi4. Laplace osservava che la lenta accelerazione del motolunare non sembrava spiegabile dal solo principio di gravitazione universale.
Egli allora ipotizzò per assurdo che la gravità fosse dovuta a un fluido, emanato dal centro di gravità a una certa velocità finita: l’attrito tra il fluido e laLuna avrebbe dovuto causare una graduale riduzione dell’orbita del satellite(e quindi del suo periodo). Laplace calcolò, però, che la riduzione del raggio
orbitale sarebbe avvenuta molto rapidamente e, poiché ciò non corrispondeva alle osservazioni, argomentò che la velocità di propagazione della gravità avrebbe dovuto essere molto grande, ben superiore alla massima velocità
mai misurata, la velocità della luce. Nel limite di velocità infinita, infatti, si
ritornava all’ipotesi di Newton, che non prevede riduzioni dell’orbita e delperiodo orbitale. Come ha sottolineato il fisico americano Bernard Schutz,
uno dei maggiori esperti nell’ambito della rivelazione di onde gravitazionali,
4P. S. Laplace (1776); Sur le Principe de la Gravitation Universelle, in Ouevres complètes de Laplace VIII, Gauthiers-Villars et fils, Parigi; 1891, p. 201-275.

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ADELE LA RANA

Laplace aveva precorso i tempi, mettendo in relazione la velocità finita di
propagazione della gravità con il decadimento del periodo orbitale, un legame
che la Relatività Generale avrebbe sviluppato con successo solo a partire da
un secolo e mezzo dopo.
Francese era anche il secondo matematico precursore di Einstein, Henri
Poincaré, che riprese l’argomento di Laplace nell’ambito di quella che diventerà la teoria della Relatività Ristretta e sostenne l’esistenza di quelleche chiamò ‘ondes gravifiques’. In un articolo del 1905 Poincaré scrisse che
per Laplace “l’introduzione di una velocità finita di propagazione era la sola
modifica alla legge di Newton da lui presa in considerazione”; ciò lo aveva
portato a concludere erroneamente che tale velocità dovesse essere, se non
infinita, almeno molto superiore a quella della luce5. Secondo Poincaré, lateoria della gravitazione classica necessitava di una revisione ben più radicale,alla luce degli studi di Lorentz e delle sue leggi di trasformazione (1904), chegeneralizzavano il principio di relatività galileiana e lo estendevano ai fenomeni elettromagnetici. Affinché la forza gravitazionale si trasformi secondo
le trasformazioni di Lorentz nella stessa maniera delle forze elettromagnetiche (invarianza sotto trasformazioni di Lorentz) – osservava Poincaré – eranecessario introdurre nella legge di gravitazione universale delle modifiche,
assumendo per la gravità una velocità di propagazione finita e inferiore alla
velocità della luce nel vuoto. Quest’ultima era infatti postulata nelle trasformazioni di Lorentz come la massima raggiungibile da un ente fisico.
Poincaré ipotizzò che, in analogia all’elettrodinamica – dove particelle
elettricamente cariche accelerate emettono onde elettromagnetiche – i corpi
dotati di massa generano, al variare della loro distribuzione di materia nello
spazio, onde gravitazionali. Egli suggerì che l’emissione delle onde avvenga
a scapito dell’energia della sorgente: in un sistema a due corpi celesti, per
esempio, l’orbita planetaria e il suo periodo si riducono, man mano che lacoppia vortica emettendo radiazione gravitazionale6. Si trattava dunque di unprocesso dissipativo, in cui il sistema perde energia per irraggiamento gravitazionale.

H. Poincaré, Sur la dynamique de l’électron, Academie des Sciences, Séance du 5
Juin 1905, Parigi; 1905, p. 1504-1508.
6
H. Poincaré (1908), La dynamique de l’électron, in Oeuvres de Henri Poincaré vol.
IX, Gauthiers-Villars et fils, Parigi; 1916, p. 551-586.
5

L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

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La trascurabile interazione delle onde gravitazionali con la materia
Meno di dieci anni dopo, nel novembre del 1915, Einstein presentò alla
Reale Accademia Prussiana delle Scienze la Teoria Generale della Relatività – la nuova teoria della gravitazione – e pochi mesi dopo, nella primaveradel 19167, la prima previsione delle onde. Nel suo secondo articolo sulla radiazione gravitazionale, pubblicato nel 1918, Einstein corresse alcuni erroricommessi nel primo lavoro e ricavò la cosiddetta formula quadrupolare. Eglimostrò che, per grandi distanze dalla sorgente emittente, la radiazione gravitazionale dipende al primo ordine dalle variazioni del momento di quadrupolo della sorgente, a differenza della radiazione elettromagnetica, che dipende
dalle variazioni del momento di dipolo8. Si tratta di una conseguenza dellaconservazione della massa totale e del momento angolare del sistema. Nella
pratica, questo implica che un corpo a simmetria sferica che si muova o che si
contragga mantenendo la propria simmetria, non emette onde gravitazionali,
poiché il suo momento di quadrupolo è costante; al contrario, una sfera carica
accelerata produce onde elettromagnetiche. Questa profonda differenza tra laradiazione gravitazionale e quella elettromagnetica implica che per emettere
onde gravitazionali sono necessari sistemi dinamici che si discostano dallasimmetria sferica, come nel caso di una coppia di stelle che si muovono l’una
intorno all’altra.
La formula quadrupolare esprime l’ampiezza della radiazione gravitazionale in funzione delle grandezze che caratterizzano la sorgente; in particolare,si evince che l’ampiezza della radiazione è tanto maggiore quanto maggiorisono la massa-energia e la velocità del sistema radiante. L’ampiezza è, inoltre,
inversamente proporzionale alla distanza dalla sorgente.
In sintesi, le sorgenti di onde gravitazionali di maggiore intensità vanno
cercate tra i sistemi astrofisici aventi velocità relativistiche, alte densità dimassa-energia e un alto grado di asfericità.
Fin dai primi anni della loro previsione nell’ambito della Relatività Generale era chiaro che nessun manufatto umano avrebbe mai potuto generare
7
Il matematico padovano Tullio Levi Civita (1873-1941) identificò in questo primo
articolo alcuni errori, che discusse con l'autore attraverso un intenso scambio epistolare eche Einstein corresse nel lavoro successivo pubblicato nel 1918.
8
L’ampiezza dell’onda gravitazionale è proporzionale, per l’esattezza, alla derivata seconda rispetto al tempo del momento di quadrupolo
è la costante digravitazione universale, c la velocità della luce, r la distanza dalla sorgente emittente. Il
momento di quadrupolo dipende a sua volta dalla geometria e dalla distribuzione dellamassa del sistema.

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ADELE LA RANA

onde gravitazionali di entità apprezzabile e che persino il passaggio di un’onda gravitazionale proveniente da una sorgente astrofisica relativistica avrebbe
provocato nella materia effetti del tutto trascurabili. Misurare tali effetti fu alungo ritenuto impossibile.
A fattore del termine di quadrupolo, infatti, compare la quantità (G/c 4),che ha un valore estremamente modesto, dato che la costante di gravitazione
universale G è molto piccola e la velocità della luce c è molto grande. Questo
numero tanto esiguo implica che la radiazione gravitazionale è estremamente
debole e determina la sua scarsissima interazione con la materia. Non solo
con la materia presente nello spazio, ma anche con quella appositamente studiata per rivelarle, come le barre risonanti di Weber. Le onde gravitazionali
cedono al rivelatore una minima parte della propria energia, attraversandolo
praticamente indisturbate e provocandovi un effetto tanto piccolo da risultare
immisurabile per più di mezzo secolo.
I ripensamenti di Einstein
L’esistenza e la misurabilità delle onde gravitazionali furono per diverse
decadi oggetto di discussione teorica. Einstein stesso mise in dubbio la realtà
fisica delle onde, in un articolo scritto nel 1936 con il suo collega Nathan Rosen. Il lavoro originario aveva un titolo emblematico, “Do gravitational waves
exist?”, e arrivava a rispondere negativamente alla domanda. Einstein e Rosen
avevano cercato, infatti, di trovare soluzioni esatte nella forma di onde pianealle equazioni di campo, ma si erano scontrati con l’impossibilità di procederesenza introdurre delle singolarità nell’ampiezza della radiazione, cioè punti in
cui l’ampiezza non è definita. Questo risultato li aveva portati a dedurre chele equazioni di campo non ammettevano soluzioni periodiche e regolari nella
forma di onde.
Il risultato, in contrasto con i primi lavori di Einstein sull’argomento, puòsorprendere, ma era attribuito dallo scienziato alla non-linearità delle equazioni di campo. Come spiegava in una lettera coeva al fisico Max Born, le equazioni non-lineari della Relatività Generale possono riservare sorprese quando
si calcolino soluzioni usando ordini di approssimazione diversi9.
Per tutta la vicenda relativa alla pubblicazione del citato articolo di Einstein e Rosen,vedere: D. Kennefick, Controversies in the History of the Radiation Reaction problem inGeneral Relativity, Humanities Working Paper, N° 164; Pasadena, CA: California Instituteof Technology; 1996.
9

L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

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L’articolo fu inviato per la pubblicazione alla rivista scientifica americana
Physical Review e l’editore, secondo il sistema della peer review (revisione
dei pari), ne inviò copia a un referee segreto (un esperto del campo in gradodi valutare la correttezza del contenuto scientifico). Questi trovò un errore che
ne inficiava il risultato e lo segnalò all’editore, che rispedì il lavoro all’illustre mittente con la preghiera di tener conto delle osservazioni dell’anonimo
referee. Einstein reagì negativamente, tanto da scrivere nella sua lettera dirisposta: «Gentile Signore, il Sig. Rosen e io vi abbiamo inviato il nostro manoscritto per la pubblicazione e non vi abbiamo autorizzato a mostrarlo agli
specialisti prima che fosse stampato. Non vedo nessuna ragione per rispondere ai commenti – per altro sbagliati – del vostro anonimo esperto. Sulla base diquesto incidente preferisco pubblicare l’articolo altrove». In seguito, Einsteintornò sul suo lavoro in collaborazione con Leopold Infeld e corresse i calcoli,cambiando le conclusioni dell’articolo e pubblicando la nuova versione sul
Journal of the Franklin Institute di Philadelphia. Nonostante avesse riconosciuto l’errore, Einstein non si rivolse mai più a Physical Review per la pubblicazione dei suoi lavori. Il referee anonimo, come si venne a sapere in seguito,
era il noto cosmologo e relativista statunitense Howard Percy Robertson.
L’inizio della ricerca sperimentale delle onde gravitazionali
Il dibattito sull’esistenza delle onde gravitazionali, sul calcolo dell’energia
che trasportano e sugli effetti del loro passaggio attraverso la materia divenne
particolarmente intenso a cavallo tra gli anni ’50 e gli anni ’60, nell’ambito della cosiddetta Rinascita della Relatività Generale. Gli storici della fisica
chiamano così quel rigoglioso periodo di fermento scientifico, in cui la teoria
di Einstein divenne, da materia di ricerca prettamente teorico-matematica, una
teoria fisica a tutti gli effetti. Essa si rivelò fondamentale per descrivere epredire i nuovi straordinari fenomeni astrofisici che si andavano via via scoprendo negli anni ’60: le quasars, la radiazione cosmica di fondo, le pulsar.
Nasceva, di fatto, l’astrofisica relativistica. È in questo contesto vivace e dinamico che si sviluppò l’interesse per le onde gravitazionali, grazie ai contributi
di teorici come Herman Bondi, Felix Pirani, Richard Feynman, Subrahmanyan Chandrasekar, John Wheeler10. Tuttavia, a dare il maggiore impulso alla
10
D. Kennefick, Traveling at the Speed of Thought: Einstein and the Quest for Gravitational Waves, Princeton University Press, Princeton & Oxford; 2007.

62

ADELE LA RANA

ricerca sulla radiazione gravitazionale fu sicuramente il lavoro sperimentale
di Joseph Weber.
Una barra risonante alla Weber è un cilindro metallico opportunamente
sospeso in modo da ridurre al minimo il rumore sismico cui è sottoposto. Al
cilindro è connesso un trasduttore che trasforma le sue vibrazioni meccaniche
in segnali elettrici amplificati e misurabili. L’idea di base di un rivelatore abarre ricorda un fenomeno comune relativo alle onde sonore: quando un suono di opportuna frequenza investe un tamburello, la sua membrana comincia avibrare. Se l’onda gravitazionale che investe il rivelatore ha frequenze vicine
a quella di risonanza del cilindro, ne provoca la vibrazione. Isolando sufficientemente il cilindro dalle sollecitazioni esterne e spurie, in linea di principio è
possibile distinguere la vibrazione indotta dall’onda gravitazionale da quelle
dovute ad altre cause. In realtà, per quanto siano ottimizzati i sistemi di isolamento della barra risonante, l’effetto cercato è molto inferiore ai disturbi
esterni e sono necessarie sofisticate tecniche di analisi dei dati per estrarre il
segnale utile dal rumore. Per identificare il segnale gravitazionale nel rumore
in cui è immerso, è necessario formulare modelli quanto più accurati possibile
sia dei diversi disturbi agenti sul rivelatore sia della forma d’onda cercata. Al
tempo dell’ambiziosa proposta di Weber, la modellizzazione della radiazione
gravitazionale emessa da sorgenti astrofisiche era a uno stadio ancora del tutto
embrionale.
1969: il prematuro annuncio di una scoperta
Il 16 Giugno del 1969 la rivista scientifica Physical Review Letters pubblicò un articolo dal titolo trionfale “Evidence for discovery of gravitationalradiation”, firmato da Joseph Weber. Questi riportava l’analisi dei segnali registrati in coincidenza da sei rivelatori a barra a temperatura ambiente, uno
posizionato nell’Argonne National Laboratory (vicino Chicago) e cinque nel
dipartimento di fisica dell’Università del Maryland, dove Weber era professore. Gli apparati, uno dei quali posto a circa 1000 km di distanza dagli altri,
mostravano nei dati raccolti durante i primi mesi dell’anno alcuni picchi incoincidenza, che superavano il valore di soglia stabilito per la rivelazione.
L’articolo cominciava con le seguenti parole:L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

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The probability that all of these coincidences were accidental isincredibly small. Experiments imply that electromagnetic and seismic
effects can be ruled out with a high level of confidence. These data areconsistent with the conclusion that the detectors are being excited bygravitational radiation11.

Avere più rivelatori posti a una certa distanza l’uno dall’altro e funzionanti incoincidenza è un’esigenza fondamentale nella ricerca delle onde gravitazionali.
Se due o più rivelatori sono lontani l’uno dall’altro, i rumori agenti sulle barre saranno in buona parte scorrelati. Un’onda gravitazionale proveniente da una sorgente astrofisica investirà i rivelatori quasi contemporaneamente, inducendovi
una vibrazione caratteristica. La probabilità che si abbiano coincidenze casuali
si riduce al crescere del numero di rivelatori utilizzati e l’analisi in coincidenza
dei dati permette, in linea di principio, di identificare per confronto i rumori
locali spuri e non controllabili cui sono soggetti i singoli apparati.
Diversi esperimenti analoghi a quello di Weber furono rapidamente allestiti in vari laboratori del mondo, ma nessuno confermò i risultati ottenuti
dal padre dei rivelatori a barre: anche esperimenti realizzati con apparati più
sensibili e con analisi più sofisticate non furono in grado di evidenziare coincidenze significative, che indicassero la rivelazione di un’onda gravitazionale.
Nonostante le mancate conferme da parte di tutti gli esperimenti delle decadi successive, Weber rimase fermo nella convinzione di aver rivelato il primo segnale gravitazionale e continuò a sostenere le sue ragioni scientifiche
fino alla morte, nel 2000.
La marcia verso la prima rivelazione diretta delle onde gravitazionali èstata lunga, ardua e tempestata di insuccessi, falsi allarmi, illusioni, scontri inseno alla comunità scientifica internazionale12. Come Weber, altri pionieri delcampo hanno rischiato o addirittura intaccato lungo il cammino la propria credibilità scientifica, sostenendo in buona fede di aver rivelato un segnale, cheperò non ha mai trovato conferma nei risultati di esperimenti successivi, com«La probabilità che tutte queste coincidenze siano accidentali è incredibilmente bassa. Gli esperimenti effettuati implicano che i rumori elettromagnetici e sismici possano
essere esclusi con un alto livello di confidenza. I dati sono consistenti con la conclusioneche i rivelatori siano stati eccitati da radiazione gravitazionale.»
12
Questo percorso accidentato ed emblematico è stato seguito per diverse decadi dalsociologo della scienza inglese Harry Collins, che ha raccolto numerose testimonianze
dei ricercatori coinvolti in una delle più ambiziose imprese scientifiche di tutti i tempi. Il
testo di riferimento è: H. Collins; Gravity’s shadow. The Search for Gravitational Waves,
University of Chicago Press, Chicago & Londra; 2004.
11

64

ADELE LA RANA

presi quelli ottenuti dai rivelatori di seconda generazione, le barre risonanti atemperature criogeniche, cioè a pochi gradi sopra lo zero assoluto.
La nascita della ricerca sulle onde gravitazionali in Italia
È significativo che la prima collaborazione internazionale per la rivelazione di onde gravitazionali sia nata in Italia, nel 1971, all’Università di Roma.
Tra il 1970 e il 1971 Edoardo Amaldi13 e il suo giovane collaboratore Guido
Pizzella stabilirono accordi con due gruppi negli Stati Uniti: il team dell’Università di Stanford, diretto da William Fairbank e quello di William Hamilton
alla Louisiana State University. La collaborazione prevedeva la costruzione ditre antenne gravitazionali criogeniche, da far funzionare in coincidenza nei tre
diversi laboratori.
Durante gli anni ’60 Edoardo Amaldi aveva più volte progettato di fondare
un gruppo di ricerca sulle onde gravitazionali a Roma. Il suo interesse per gli
esperimenti sulla gravità era incominciato alla fine degli anni ’50, sull’onda
della Rinascita della Relatività Generale, ed era cresciuto con il fiorire dell’astrofisica relativistica negli anni successivi14. Il suo programma poté concretizzarsi soltanto grazie al rientro dagli Stati Uniti del giovane Pizzella, chedivenne a tutti gli effetti il leader della nuova attività di ricerca.
Lo sviluppo delle tecnologie necessarie a portare una barra di alluminio
di diverse tonnellate a temperature vicine allo zero assoluto richiese diverso
tempo. La costruzione dell’antenna romana fu completata durante gli anni
’80 al CERN, dopo un periodo di sviluppo iniziale ai laboratori della SNAMProgetti a Monterotondo15. Explorer, come venne chiamato il rivelatore, fu la
13
All’epoca Edoardo Amaldi aveva poco più di sessant’anni e rappresentava la massima personalità scientifica nel panorama italiano. Allievo e collaboratore di Enrico Fermi, aveva fatto parte del glorioso gruppo dei ragazzi di via Panisperna, contribuendo alla
scoperta della radioattività indotta da neutroni lenti. Unico dei ragazzi a rimanere in Italia
durante i difficili anni della guerra, divenne uno dei più attivi promotori della ricostruzionedella fisica in Italia e in Europa nel Dopoguerra. Tra i padri fondatori del Cern, ne fu ilprimo Segretario Generale. Ad Amaldi è intitolato uno degli appuntamenti internazionali
più importanti nel campo delle onde gravitazionali: la Edoardo Amaldi Conference On
Gravitational Waves, che si tiene ogni due anni in una diversa città del mondo.
14
L. Bonolis, A. La Rana, The beginning of Edoardo Amaldi’s interest in gravitation
experiments and in gravitational wave detection, in Proceedings of the Fourteenth Marcel
Grossman Meeting on General Relativity. Rome 12-18 July 2015, ed. Massimo Bianchi,
Robert T. Jantzen, Remo Ruffini; World Scientific Singapore; 2016.
15
I laboratori della SNAM-Progetti di Monterotondo facevano parte del Gruppo ENI

L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

65

prima antenna criogenica a raggiungere la sensibilità di progetto e la stabilità
necessaria a funzionare per lunghi periodi. Erano gli anni ’90, l’epoca d’oro
dei rivelatori a barre a basse temperature. Il cilindro d’alluminio di Explorer
pesava 2300 kg, era lungo 3 m, con un diametro di 60 cm, ed era raffreddato
con elio liquido fino alla temperatura di 2.6 K. Come per tutti i rivelatori abarre, la sua frequenza di risonanza si aggirava attorno a 1kHz.
Secondo i modelli teorici, i segnali gravitazionali attesi per le esplosioni disupernova hanno frequenze di picco dell’ordine del kHz; le supernovae erano
le sorgenti gravitazionali cui si puntava con le barre criogeniche.
Successivamente, le esplosioni di supernova hanno ceduto il posto a sorgenti più promettenti: coppie di stelle di neutroni o di buchi neri (entrambi tipi
di oggetti molto densi e compatti), che spiraleggiano attorno al comune centro
di massa, fino a fondersi insieme in un corpo unico. Durante gli ultimi istanti
precedenti la collisione (fase di coalescenza del sistema binario) e durante
la collisione stessa (fase di merger), il sistema irraggia un’enorme quantità
di energia sotto forma di onde gravitazionali. Le frequenze della radiazione
emessa variano a seconda del valore delle masse coinvolte, e possono andare dai mHz alle decine di Hz. Poiché un rivelatore a barre è sensibile inuna banda di frequenze molto ristretta, centrata attorno alla sua frequenza dirisonanza, esso non è adatto a rivelare e a seguire i segnali emessi da sistemi
binari coalescenti, la cui ampiezza e frequenza crescono nel tempo. È qui che
entrano in gioco i rivelatori interferometrici, le antenne gravitazionali di terza
generazione, che possono raggiungere sensibilità elevata su un ampio intervallo di frequenze.
Le onde gravitazionali esistono: lo dicono le stelle
A dare nuovo impulso alla ricerca delle onde gravitazionali, dopo le molte
speranze disattese degli anni ’70, fu un’inaspettata scoperta in campo astrofisico.
Nel 1974 i fisici statunitensi Russell Hulse e Joseph Taylor scoprirono il
primo sistema binario composto da una stella di neutroni e una radio-pulsar(chiamato PSR B1913+16). Il segnale radio emesso dalla pulsar e visualizzato a intervalli regolari dalla Terra permetteva di calcolare con precisione il
periodo orbitale del sistema e seguire le sue variazioni nel corso degli anni.
ed erano espressamente dedicati alla ricerca. Ne era direttore Giorgio Careri, fisico dellebasse temperature all’Università di Roma.

66

ADELE LA RANA

Una binaria del genere costituiva, come si espresse Hulse16, uno straordinario
laboratorio astrofisico per testare la teoria della Relatività Generale. Nel 1982,
dopo alcuni anni di osservazioni, Taylor e il collega più giovane Joel Weisberg
furono in grado di verificare che il periodo orbitale diminuiva progressivamente nel tempo, seguendo con altissima precisione la curva prevista nell’ambito della Relatività Generale dal modello di emissione di onde gravitazionali.
Il problema affrontato prematuramente da Laplace e Poincaré aveva trovato finalmente una spiegazione coerente suffragata da accurate osservazioni
astrofisiche: man mano che le due stelle ruotano attorno al centro di massa, ilsistema perde energia per emissione di onde gravitazionali aventi la velocità
della luce e le orbite dei due corpi celesti si restringono sempre più, mentre illoro periodo orbitale diminuisce17 (Fig. 1).

Fig. 1. Diminuzione del periodo orbitale del sistema binario PSR B1913+16 nel corso di 30 anni diosservazioni, a partire dalla scoperta del sistema nel 1974. I punti rappresentano il risultato delle misureeffettuate, mentre la linea continua indica la curva di decadimento orbitale teorica predetta dalla Relatività
Generale per emissione di onde gravitazionali da parte di un sitema binario (J. Weisberg, J. Taylor,
Relativistic Binary Pulsar B1913+16: Thirty Years of Observations and Analysis, in Binary Radio Pulsars,
eds. F.A. Rasio & I.H. Stairs, ASP Conference Series, San Francisco; 2005, p. 25.)

Nel ricevere il premio Nobel assieme a Hulse nel 1993, Taylor spiegò18:
R. Hulse, Nobel Lecture, 1993.
Per la conservazione del momento angolare.
18
Taylor, Nobel Lecture, 1993.
16
17

L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

67«L’esperimento di confronto temporale per il sistema PSR1913+16
fornisce una verifica sperimentale diretta del fatto che le variazionidella gravità si propagano alla velocità della luce, creando di conseguenza un meccanismo dissipativo in un sistema orbitante. Ne seguenecessariamente che la radiazione gravitazionale esiste e ha una natura
quadrupolare.»Il cerchio non si era, però, ancora chiuso. Si trattava pur sempre di una
conferma indiretta dell’esistenza delle onde, fatta osservando il moto orbitaledelle stelle, e non di una misura diretta dei loro effetti, realizzata attraverso un
apparato di rivelazione.
I risultati di Hulse, Taylor e Weisberg contribuirono fortemente a convincere gli enti di ricerca competenti a finanziare i costosi progetti dei grandi
rivelatori di terza generazione, negli anni ‘90: gli interferometri statunitensi
LIGO (uno a Hanford, Washington e l’altro a Livingston, Louisiana), sostenuti dalla National Science Foundation, e l’italo-francese Virgo (a Cascina,
vicino Pisa), appoggiati dall’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN) e
dal Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS).
I rivelatori di terza generazione: gli interferometri
Tutti i rivelatori di onde gravitazionali si fondano su un ben determinato
effetto fisico. Un’onda gravitazionale che investa due piccole biglie (massetest) sospese nello spazio e soggette alla sola gravità – cioè in caduta libera –produce un periodico contrarsi e dilatarsi della loro distanza (Fig. 2).

Fig. 2. Effetto del passaggio di un’onda gravitazionale su due masse test in caduta libera. L’effetto è
estremamente esagerato nel disegno.

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Più in generale, se consideriamo un anello di masse test in caduta libera e immaginiamo un’onda gravitazionale che si propaghi ortogonalmente al piano deldisegno, l’effetto sarebbe quello illustrato in Fig. 3, dove è enormemente magnificato. Per osservare un’onda gravitazionale è necessario, in definitiva, misurare
una minuscola variazione di distanza che evolve periodicamente nel tempo.

Fig. 3. Cerchio di masse test in caduta libera, investite da un’onda gravitazionale che si propaga
ortogonalmente al piano del disegno.

In un rivelatore interferometrico terrestre la distanza tra le masse test è dialcuni chilometri e la variazione di distanza da misurare è dell’ordine di undecimillesimo del diametro di un protone (10-19 m). È come se sulla distanza
Terra-Sole volessimo misurare una variazione di lunghezza pari allo spessore
di un capello. Questa è la sorprendente impresa dei rivelatori LIGO e del loro
fratello italo-francese Virgo!
Le masse test sono costituite da specchi sospesi nel vuoto a sofisticatissimi sistemi di attenuazione dei rumori, in grado di isolarli dalle sollecitazioni
esterne e realizzare meglio possibile la condizione di caduta libera lungo due
direzioni ortogonali (Fig. 4). In Virgo, gli specchi – posti alle estremità dei due
bracci dell’interferometro – distano 3 km, nei due LIGO 4 km.
Un fascio laser viene diviso in due da un beam-splitter (divisore di fascio);i due fasci ottenuti sono inviati sugli specchi lungo i due bracci ortogonali. Riflessi molteplici volte lungo i cammini tra gli specchi sospesi, si ricombinano
in uscita in un unico fascio, rivelato da un sensore. Le variazioni di distanza
tra gli specchi provocano uno sfasamento tra i due fasci che interferiscono edè questo sfasamento ad essere misurato attraverso il sensore. Dallo sfasamento
si risale alla variazione di distanza.

L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

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Fig. 4. L’interferometro italo-francese Virgo, situato a Cascina, in provincia di Pisa.
(Courtesy of the Virgo Collaboration)

Fig. 5. Schema semplificato di un rivelatore interferometrico per le onde gravitazionali.

Il primo segnale rivelato
L’11 Febbraio 2016, ben cento anni dopo la prima previsione fatta da Einstein,
i fisici della collaborazione internazionale LIGO-Virgo hanno annunciato al mondo la prima rivelazione diretta di un’onda gravitazionale. Dei tre grandi rivelatori

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di terza generazione esistenti al mondo (i due rivelatori interferometrici LIGO el’italo-francese Virgo), soltanto i due statunitensi erano in funzione il 14 settembredel 2015. In quella data un segnale gravitazionale particolarmente intenso ha investito la Terra, provocando negli interferometri LIGO una vibrazione finalmente
misurabile. Per analizzare i dati raccolti e identificare con sicurezza la natura delsegnale, sono occorsi diversi mesi di febbrile lavoro da parte dei circa 1000 ricercatori della collaborazione LIGO-Virgo.
Il segnale misurato ha un andamento caratteristico, come si nota da Fig. 6.

Fig. 6. I segnali captati dai due LIGO e analizzati dalla collaborazione LIGO-Virgo. Sulle ordinate
è riportato il rapporto tra la variazione di distanza tra gli specchi dell’interferometro indotta dall’onda
gravitazionale e la lunghezza di un braccio dell’interferometro, pari in entrambi i casi a 4 km. Si vede chel’ordine di grandezza delle variazioni di distanza misurate è: 10-21x103 m = 10-18 m. Per confrontare le due
ampiezze, il segnale di Hanford è stato traslato nel tempo di 6.9 ms, corrispondente all’intervallo temporaleintercorso tra la rivelazione del segnale a Hanford e la rivelazione a Livingston (dovuto alla finitezza dellavelocità di propagazione dell’onda); al segnale è stato anche invertito il segno, a causa dell’orientamento
opposto dei bracci dell’interferometro di Hanford rispetto a quello di Livingston. (Courtesy of the LIGOVirgo Collaboration)

Nelle primissime frazioni di secondo la frequenza e l’ampiezza crescono rapidamente nel tempo. L’equivalente sonoro di questo segnale assomiglierebbe alverso di alcuni uccelli e per questo è chiamato dai fisici chirp.
Questo tipo di andamento – a frequenza e ampiezza rapidamente crescenti nel
tempo – caratterizza le onde gravitazionali emesse nella fase finale della vita dicoppia di un sistema binario. I corpi celesti spiraleggiano uno intorno all’altro
sempre più rapidamente, emettendo un’onda gravitazionale che ha una frequenza

L’INARRESTABILE PROPAGAZIONE DELLA GRAVITÀ

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istantanea pari a due volte la frequenza istantanea orbitale. Nel segnale osservato,
la frequenza della radiazione cresce dai 35 Hz ai 250 Hz19.
Il segnale captato da LIGO è stato emesso ben 1.3 miliardi di anni fa daun sistema di due buchi neri, in rapidissima rotazione l’uno intorno all’altro,
nelle fasi di coalescenza e di fusione, durate appena due decimi di secondo.
Una volta formatosi il buco nero finale, a simmetria sferica, il segnale rapidamente si azzera; l’emissione gravitazionale cessa. In base alla forma del segnale ricevuto e ai modelli teorici calcolati a partire dalla Relatività Generale,si è riusciti a stabilire che i due buchi neri originari avevano masse pari a 29
e 36 masse solari, concentrate in due sfere di diametro inferiore ai 200 km.
Muovendosi a una velocità sorprendente – la metà della velocità della luce – sisono uniti a formare un buco nero finale di 62 masse solari. La massa mancante, ben 3 masse solari, è stata emessa sotto forma di energia di radiazione
gravitazionale.
L’era dell’astronomia gravitazionale
Le onde gravitazionali possono attraversare enormi ammassi di materia
quasi indisturbate, cedendo lungo il cammino una parte infinitesimale della
propria energia, come se viaggiassero attraverso spazi vuoti. Questa caratteristica che le ha nascoste all’osservazione per più di cinquant’anni, costituisce
anche il motivo del loro enorme interesse in campo astrofisico e cosmologico.
Interagendo così fievolmente con la materia, esse possono percorrere distanze
enormi senza perdere informazioni sulle sorgenti che le hanno generate. Sono,
in definitiva, preziosissime messaggere di oggetti astrofisici molto remoti nel
tempo e nello spazio.
Fino ad ora, l’immagine del cosmo che la scienza ha ricostruito si è basataprevalentemente sulle informazioni trasportate dalle onde elettromagnetiche.
Man mano che nuove porzioni di spettro sono state esplorate, si sono dischiuse nuove frontiere scientifiche. Le onde gravitazionali sono in grado di fornire
una descrizione del tutto inedita e complementare a quella elettromagnetica,
19
Notiamo che le onde sonore percepibili dal nostro orecchio hanno frequenze comprese nell’intervallo 20 Hz- 20 kHz. Le onde gravitazionali rivelabili hanno frequenze dai
10 kHz in giù: c’è quindi una sovrapposizione di intervalli di frequenza, che fa sì che lesimulazioni sonore della radiazione gravitazionale forniscano un modo naturale per i fisici
di “percepire” le onde gravitazionali (in modo analogo, una foto in falsi colori evidenzia laradiazione X emessa da una sorgente astrofisica).

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in particolare di quei fenomeni che non hanno un corrispettivo elettromagnetico, come, per esempio, i sistemi binari di buchi neri. Lo dimostra il fatto
che il primo segnale gravitazionale osservato costituisce anche la prima prova
diretta dell’esistenza dei buchi neri e in assoluto la prima osservazione di unsistema binario costituito da questi mostri del cosmo.
È l'alba dell'astronomia gravitazionale!
Note Biografiche
Adele La Rana ha lavorato per il progetto di interferometria spaziale LISA, perla rivelazione delle onde gravitazionali. Come storica della fisica nell’ambito
della ricerca delle onde gravitazionali, collabora con il gruppo Virgodell’Università Sapienza di Roma e il Max Planck Institute for the History of
Science a Berlino. Lavora con Ugo Amaldi presso la Fondazione TERA ed è
autrice di numerosi testi a carattere storico, divulgativo e didattico.

INDICE
SalutoDomenico Conte, Fulvio Tessitore

3

Presentazione del convegno
Salvatore Capozziello, Leonardo Merola

5Inseguendo la verità. Il lungo viaggio di Albert Einsteinalla ricerca delle equazioni della Relatività Generale
Roberto Giambò, Giulio Magli

7

Einstein, la Relatività Generale e la Cosmologia
Vincenzo Fano, Giovanni Macchia

21

La Relatività Generale: un nuovo paradigma per la Fisica
Salvatore Capozziello39

L’inarrestabile propagazione della gravità: le onde gravitazionali,
dall’ipotesi alla misura
Adele La Rana

55

Finito di stamparenel mese di marzo 2018presso le Officine Grafiche Francesco Giannini & Figli S.p.A.