Le paradoxe Banach-Tarski
Le but de ce papier est de démontrer le résultat suivant :Paradoxe. Si B et B0 sont deux boules, n’ayant pas nécessairement la même taille, il est possible dedécouper B en un nombre fini de morceaux, et réarranger ces morceaux (par des isométries directes) defaçon à ce qu’ils forment B0 .
Dans une version fantaisiste, il est possible de découper un petit pois en morceaux et réarranger ces
morceaux pour obtenir une boule de la taille du soleil.
Les connaissances mathématiques requises sont assez limitées : un bon élève de math. sup. devrait
pouvoir lire cette démonstration.
Pour commencer, je vais faire quatre remarques afin de rendre le résultat moins paradoxal, et d’expliquer
un peu l’“astuce” utilisée.
• En premier lieu, le Paradoxe utilise l’Axiome du Choix, qui, bien qu’affirmant quelque chosed’intuitivement évident (à savoir que pour tout ensemble E, si on appelle P(E) l’ensemble des parties
de E, il existe une application ϕ: P(E) \ {∅} → E telle que pour tout X ∈ P(E) \ {∅} on ait ϕ(X) ∈ X,
c’est-à-dire une application ϕ qui “choisit” un élément de chaque partie de E), n’est ni démontrable(Cohen) ni réfutable (Gödel). Et certaines de ses conséquences sont horriblement gênantes (comme leparadoxe de Banach-Tarski, justement, ou la possibilité de “bien-ordonner” les réels, c’est-à-dire de lesordonner de manière que chaque sous-ensemble de R ait un plus petit élément). Certains mathématiciens
ont d’ailleurs choisi de le refuser, comme Henri Lebesgue.
• Deuxièmement, il est totalement impossible de réaliser la “décomposition paradoxale de la boule”
physiquement, ni même de l’imaginer. Par comparaison à la forme des morceaux utilisés, l’ensemble
des points rationnels de l’espace est très agréable et très facile à se représenter.
• Troisièmement, il faut signaler que le raisonnement suivant ne tient pas : “Le volume de la boulede départ doit être égal à la somme des volumes des morceaux, qui doit être égal au volume de laboule d’arrivée”. En effet, les morceaux ont une forme si étrange qu’on ne peut même pas parler deleur volume. Ils sont dits non-mesurables. Les fonctions qu’il faudrait intégrer pour déterminer leurvolume ne sont, justement, pas intégrable, ni au sens (classique) de Riemann, ni au sens (généralisé)de Lebesgue. La fonction caractéristique des rationnels (qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs) est
intégrable au sens de Lebesgue (et son intégrale vaut 0) mais non au sens de Riemann. Un exemple defonction non-mesurable serait une fonction f (qui existe, si, si) qui prend toutes les valeurs réelles sur
n’importe quel intervalle, aussi petit soit-il, non-vide et non réduit à un point. Ce genre de monstresmathématiques, que certaines écoles (Brouwer, Borel, Kronecker, Poincaré, etc.) ont tenté d’éliminer
peuplent malheureusement l’univers platonique...
• Enfin, on peut avoir une petite idée de la méthode en considérant l’exemple suivant qui est plus simple :il est possible de découper la boule-unité B en deux morceaux, A0 et A1 , et de trouver un déplacement
ϕ tel que A0 ∪ ϕ(A1 ) soit la boule unité privée, disons, d’un point. Autrement dit, en déplaçant une
des parties de la boule, on a retiré un point. Pour cela, soit O le centre de la boule B, et I un pointtel que OI = 21 . On appelle ϕ une rotation de centre I et d’un angle θ tel que θ/π soit irrationnel.
Alors O0 = O, O1 = ϕ(O), O2 = ϕ(O1 ), etc., sont tous distincts (car si on avait Om = On avec m > nalors on aurait Om−n = O0 , donc (m − n)θ = 2kπ, ce qui contredit l’irrationnalité de θ/π). On appelle
A1 l’ensemble de tous ces points (il est d’ailleurs dénombrable) : A1 = {Oi | i ∈ N}. On a clairementϕ(A1 ) = {O1 , O2 , . . .} = A1 \ {O}. Et on prend pour A0 le complémentaire de A1 dans la boule. Cecivérifie bien ce qui était annoncé. Et il est assez facile de voir que ce même raisonnement permet de fairedisparaı̂tre un segment ou même une partie de plan (disons, un disque). Alors, on peut bien supposer
que le même genre d’astuces marchera pour faire apparaı̂tre un petit volume... Certes, il y a bien desdifférences fondamentales, et notamment justement la question de la mesurabilité (A1 est mesurable etde mesure nulle), mais l’idée y est.
Voici un bref plan de la démonstration :◦ On commence par donner quelques définitions, comme celle d’équidécomposabilité dans l’espace qui
traduit le fait que deux ensembles peuvent être décomposés en morceaux isométriques, ou, plus
précisément, qu’on peut découper l’un en morceaux (en nombre fini), déplacer les morceaux, et obtenirl’autre. Le problème est alors de montrer que deux boules quelconques sont équidécomposables, ou
1encore qu’une boule est équidécomposable à deux boules. Ou encore, qu’il existe deux parties disjointes
de la boule, chacune équidécomposable à la boule entière. Pour montrer ces équivalences, on utilise
un théorème fondamental, le théorème de Banach-Schröder-Cantor-Bernstein-Zermelo-Tarski (ou tout
sous-ensemble de ces noms), qui dit que si A est équidécomposable à une partie de B et B à une partie
de A, alors A et B sont équidécomposables. On définit aussi une partie “paradoxale” de l’espace comme
une partie qui peut se décomposer en deux sous-ensembles disjoints chacun équidécomposable au tout
(c’est ce qu’on veut montrer de la boule).
◦ Ensuite, on montre le théorème de Hausdorff, qui affirme qu’il y a deux rotations, φ et ρ de l’espace qui
engendrent un “groupe libre”, c’est-à-dire qu’aucun des déplacements φ, φρ, φρρ, φρ−1 φ−1 , φφφρ−1 ρ−1 ,ou n’importe quoi d’autre dans le genre, n’est l’identité. Ceci se fait par des moyens d’arithmétique(oui!) élémentaire.
◦ On déduit du théorème de Hausdorff, en utilisant l’Axiome du Choix, et une méthode qui se rapprochede celle que j’ai mentionnée dans mon petit exemple ci-dessus, que la sphère-unité, privée d’un nombre
dénombrable de points, est paradoxale.
◦ Enfin, on rajoute un peu de vernis au tout : on élimine le problème du nombre dénombrable de points àretirer, puis on passe de la sphère à la boule, et on généralise au plus haut point. Cette dernière partie
est, d’ailleurs, la plus amusante.
Il est à noter que cinq morceaux suffisent à transformer une boule en deux boules, et quatre pour une
sphère en deux sphères (nous ne montrerons pas cette borne inférieure, qui est du reste la meilleure possible).
Deuxièmement, le Paradoxe n’est pas valable dans le plan, ni dans la droite (c’est le théorème de Hausdorff
qui cesse d’être valable) ; il l’est dans toutes les dimensions supérieures à 3. Troisièmement, il existe un petit
livre de S. Wagon appelé “The Banach-Tarski Paradox”, qui explique tout ceci très bien ; c’est d’ailleurs ma
source.
Mais venons-en au cœur de la matière en cours. Je commence par donner quelques définitions, certaines
extrêmement classiques et naturellement connues, mais cela ne fait jamais de mal de les réécrire.
Un ensemble D est dit (au plus) dénombrable ss’il existe une surjection N → D, ou, ce qui revient aumême, une injection D → N. Ainsi, N est dénombrable. Tout sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est
dénombrable. L’union d’une famille dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable (on se ramèneà montrer que N2 est dénombrable, et c’est bien le cas car (m, r) 7→ 2r (2m + 1) définit une injection de N2dans N).
Un groupe est un ensemble G muni d’une loi ? de composition interne associative et possédant unélément neutre (i.e. un élément e tel que e ? a = a ? e = a pour tout a ∈ G), et dans lequel tout élément
admet un symétrique (i.e. pour tout a il existe a0 tel que a ? a0 = a0 ? a = e). Dans la suite, on notera ab
plutôt que a ? b l’image du couple (a, b) par ?, et 1 l’élément neutre, si cela ne crée pas d’ambiguı̈tés. Et andésignera a ? a ? · · · ? a (n fois), a−1 le symétrique de a, et a−n = (an )−1 .
On dit qu’un groupe G opère sur un ensemble E si on se donne une application α: G × E → E, parlaquelle l’image d’un couple (g, x) (avec g ∈ G et x ∈ E) sera notée gx, vérifiant d’une part 1x = x pour
tout x ∈ E et d’autre part (gg 0 )x = g(g 0 x) pour tous g et g 0 de G et x de E. On note alors que chaqueapplication αg : E → E, x 7→ gx est bijective de réciproque αg−1 . Par exemple, le groupe (noté SO(3)) desrotations de centre 0 de R3 opère sur R3 . Le groupe des isométries, des déplacements, des similitudes, opèresur l’espace affine de dimension 3. Le groupe S(E) de toutes les bijections de E sur E, où E est un ensemble
quelconque, opère sur E. Un exemple plus important est le suivant : tout groupe opère sur lui-même “partranslation” si l’application α est justement la loi de composition interne, en autres mots si gx a le même senscomme opération dans le groupe ou comme opération de l’élément g du groupe sur l’élément x de l’ensemble
correspondant.
On appelle groupe non-abélien libre de rang 2 l’ensemble des chaı̂nes de caractères (éventuellement
vides) constitués des quatres symboles a, b, a−1 et b−1 dans lesquelles les symboles a et a−1 , ou b et b−1
ne sont jamais côte à côte. Par exemple, aaa ou ababab−1 ou aba−1 b−1 , etc. La chaı̂ne vide sera notée 1
par commodité. La loi de composition est celle qui consiste à écrire deux chaı̂nes A et B côte à côte, puisà retirer toutes les occurrences de aa−1 , a−1 a, bb−1 ou b−1 b. Par exemple, (aabbab−1 )(ba−1 bba) = aabbbba.
On notera évidemment, comme dans tout groupe, a2 = aa, a3 = aaa, etc. Il est clair que ce groupe, noté
C∞ ∗ C∞ , est infini, puisque l’application n 7→ an est injective de N dans C∞ ∗ C∞ .
Si E est un ensemble et G un groupe opérant sur E, dit que deux sous-ensembles A et B de E sont G2

équidécomposables ss’il existe une partition (Ai )1≤i≤n de A (c’est-à-dire une suite finie (Ai )1≤i≤n de parties
non-vides de E deux-à-deux disjointes dont l’union soit A) et une partition (Bi )1≤i≤n de B toutes deux
finies et ayant le même nombre n de morceaux, et n éléments de G, (gi )1≤i≤n tels que Bi = gi Ai pour tout
1 ≤ i ≤ n, en désignant naturellement par gi Ai l’ensemble
gi Ai = {gi x | x ∈ Ai }On notera A ∼ B. Si A ∼ B 0 où B 0 ⊆ B, on dira que A est subdécomposable à B, et on notera A ¹ B, ou
B º A.
Un ensemble A ⊆ E est dit G-paradoxal ss’il existe A0 et A00 deux parties de A avec A0 ∩ A00 = ∅ telles
que A ∼ A0 et A ∼ A00 .
On omettra de mentionner le groupe G s’il est évident, ou bien s’il s’agit du groupe des déplacements
de l’espace. Ainsi, nous désirons prouver que la boule est paradoxale, à partir de quoi on pourra prouver que
deux boules quelconques sont équidécomposables.
On peut à présent citer le premier résultat qui sera l’une des pierres essentielles de la démonstration duParadoxe :Proposition. Si G désigne le groupe C∞ ∗ C∞ non-abélien libre de rang 2, alors G est paradoxal quand il
opère sur lui-même par translation.
Démonstration : Soit A0 l’ensemble de toutes les chaı̂nes de G commençant par a, A00 par
a−1 , B 0 par b et B 00 par b−1 . Alors a−1 A0 est l’ensemble des chaı̂nes ne commençant pas par a−1(puisqu’un élément de A0 ne peut pas avoir un a−1 juste après le a), donc a−1 A0 ∪ A00 = G. On
pose A = A0 ∪ A00 , nous venons de montrer A ∼ G. De même, si on pose B = B 0 ∪ B 00 , on a B ∼ G.
Comme A ∩ B = ∅, on a montré que G est paradoxal.
On peut presque dire que cette proposition est l’étape essentielle de la démonstration et que le resten’en est que commentaire.
Nous procédons à présent à l’étude du théorème de BSCBZT (Banach-Schröder-Cantor-BernsteinZermelo-Tarski). Il s’agit de montrer :Théorème de BSCBZT. Si A ¹ B et A º B alors A ∼ B.
Avant de commencer la démonstration, quelques remarques s’imposent. Tout d’abord, ce théorème est
parfaitement naturel, puisque après tout A ¹ B signifie quelque chose comme “A est plus petit que B”. Mais
il n’est pas trivial : il va après tout falloir mettre en évidence une manière de découper A en petits morceauxpour obtenir exactement B.
Le résultat, naturellement, ne dépend pas de l’ensemble E dans lequel on se place, ni du groupe G qui
opère dessus.
Ce théorème est fortement lié à un résultat classique de la Théorie des Ensembles :Théorème de SCBZ. S’il existe une bijection de A sur une partie de B et une bijection de B sur une
partie de A, alors il existe une bijection de A sur B.
(Il est toutefois à noter que SCBZ n’est pas un corollaire immédiat de BSCBZT. Nousdémontrerons les deux ensemble.)
On a aussi le corollaire immédiat, qui pourtant utilise l’Axiome du Choix, contrairement aux deuxrésultats ci-dessus :Corollaire. S’il existe une injection de A vers B et une surjection de A sur B, alors il existe une bijection
entre A et B.
Démonstration (du corollaire) : Soit f l’injection de A vers B, et B 0 son image. Soit g lasurjection de A sur B : on utilise l’axiome du choix pour produire une partie A0 de A telle que g
restreinte à A0 soit bijective (il faut pour cela “choisir” un antécédent et un seul de chaque élémentde B). Alors on a une bijection de A sur une partie (B 0 ) de B et une bijection de B sur une partie(A0 ) de A. Le théorème de SCBZ donne donc une bijection entre A et B.
Remettons les choses en place. Dans le cas de BSCBZT, nous avons une relation ∼ (d’équidécomposabilité), et dans le cas de SCBZ, on lui donne le sens d’existence d’une bijection (A ∼ B ss’il existe une
3

bijection entre A et B). ∼ est dans les deux cas une relation d’équivalence, c’est-à-dire qu’elle est réflexive,symétrique et transitive (tout ceci est évident, sauf peut-être la transitivité dans le cas de BSCBZT, maismême cela n’est pas très dur à montrer).
Par ailleurs, on a défini une relation ¹ par A ¹ B ssi A ∼ B 0 où B 0 ⊆ B. Dans le cas de SCBZ, ¹
signifie qu’il existe une bijection sur une partie (A ¹ B signifie qu’il existe une bijection de A sur une partiede B).
Les deux propriétés de ∼ qu’on utilisera dans la démonstration sont :a) Si A ∼ B, alors il existe une bijection g de A sur B telle que C ∼ g(C) pour tout C ⊆ A. (Pour SCBZ,
c’est trivial ; pour BSCBZT, cela signifie seulement qu’on peut décomposer une partie de A en son
image dans B, et c’est évident...)b) Si A1 ∩ A2 = B1 ∩ B2 = ∅ et A1 ∼ B1 et A2 ∼ B2 , alors A1 ∪ A2 ∼ B1 ∪ B2 . (Dans les deux cas, c’est
plutôt évident...)Si on a A ∼ B 0 avec B 0 ⊆ B et A0 ∼ B avec A0 ⊆ A, on cherche en fait à envoyer tous les éléments
de A sur tous les éléments de B (en donnant au verbe “envoyer” un sens assez vague qui soit valable tantdans BSCBZT que dans SCBZ ; le mieux est d’essayer d’imaginer seulement ce second cas). Les éléments
de A \ A0 ne peuvent clairement être envoyés que sur B 0 en utilisant la bijection fournie par A ∼ B 0 . Plusprécisément, si on appelle f la bijection donnée par la propriété a) appliquée à A ∼ B 0 , il faut clairement
envoyer A \ A0 sur f (A \ A0 ) = B 0 \ f (A0 ). Si on appelle g la bijection correspondant à A0 ∼ B, on a lapossibilité d’utiliser f ou g sur les éléments de A0 . Ni l’une ni l’autre ne convient, puisque si on prend f ,certains éléments de B (ceux de B \B 0 ) n’auront pas d’antécédent, et si on prend g, les éléments de B 0 \f (A0 )auront deux antécédents. Toute l’astuce du théorème consiste à “bricoler” notre bijection finale en utilisantf par endroits et g par endroits. Procédons à présent à la démonstration rigoureuse.
−1Démonstration : On pose C0 = A \ A0 , et par récurrence
S Ck+1 = g ◦ f (Ck ). Alors 0on af (Ck ) = g(Ck+1 ), comme on le vérifie aussitôt. On pose C =¡S k∈N Ck . ¢Alors, puisque C0 ∩ A = ∅et Ck ⊆ A0 pour k ≥ 1, on a C ∩ A0 = C \ C0 . Or f (C) = g k∈N Ck+1 = g(C \ C0 ) = g(A0 ∩ C).
Par ailleurs, on peut vérifier g(A \ C) = B \ f (C) (Si x ∈ A \ C, x ∈ A0 donc g(x) existe,g(x) ∈ B et g(x) 6∈ f (C) car f (C) = g(A0 ∩ C). On vient de montrer g(A \ C) ⊆ B \ f (C), et on
montre de manière semblable l’inclusion contraire.)
Le fait que f (C) = g(A0 ∩ C) montre C ∼ g(A0 ∩ C), et le fait que g(A \ C) = B \ f (C) montre
A \ C ∼ B \ f (C) = B \ g(A0 ∩ C). On applique la propriété b), et on trouve A ∼ B. Ce qu’il fallaitdémontrer.
Pour récapituler, on a pris l’ensemble C sur lequel on doit utiliser f , et on a utilisé g sur son
complémentaire.
Dans le cas qui nous intéresse, on a des applications immédiates. On avait par exemple défini un ensemble
A comme paradoxal ss’il existe deux parties, A0 et A00 de A, disjointes, telles que A0 ∼ A et A00 ∼ A. On peut
se demander s’il est possible de rajouter la condition supplémentaire A0 ∪ A00 = A. Le théorème de BSCBZTrépond affirmativement à cette question. En effet, on a A \ A0 ¹ A trivialement, et A \ A0 º A00 ∼ A donc
A \ A0 º A. Alors BSCBZT donne A \ A0 ∼ A. Et on n’a qu’à remplacer A00 par A \ A0 , ce qui donne bien
A0 ∪ A00 = A et A0 ∩ A00 = ∅.
Le même théorème nous permettra, une fois démontré qu’une boule est paradoxale, de conclure que
deux boules quelconques sont équidécomposables. En effet, si on note B la boule-unité, et B0 une autre
boule, disons plus grande, on a clairement B ¹ B 0 . Mais d’autre part, si on note nB un ensemble constituéde n boules-unité, disons côte-à-cote, on aura montré nB ∼ B. Et il est clair qu’en prenant n assez grand,on aura B0 ¹ nB, donc B0 ¹ B. Le théorème de BSCBZT donnera alors B0 ∼ B.
Maintenant, il n’y a plus qu’à montrer B ∼ 2B !
En fait, ce que je démontre à présent est bien la partie la moins intéressante du Paradoxe ; ce n’est ni laplus technique, ni la plus astucieuse, ni celle qui utilise l’Axiome du Choix. Il s’agit simplement de montrer
que deux rotations de l’espace engendrent un groupe non-abélien libre de rang 2.
Pour cela, on considère les rotations φ et ρ (dont les axes passent par l’origine) déterminées par les
matrices :√ 1
∓232 03√1
φ±1 =  ± 2 2
0
3
3
0
0
1
4

et



1
±1

ρ = 0
0

0
1
3√
±232



0√
∓232 
1
3(C’est parce que les axes passent par l’origine que les rotations n’ont qu’une composante linéaire et pas determe constant qui correspondrait à une translation.)
Il est à la charge de tous ceux qui ne le croiraient pas de vérifier que φ et ρ sont bien des rotations, etque φ−1 et ρ−1 en sont bien les inverses respectives. Il est assez clair que φ est une rotation d’angle arccos 13
autour de (Oz) et ρ de même angle autour de (Ox).
Nous voulons montrer que le groupe engendré par ces rotations, c’est-à-dire le groupe de tous lesdéplacements qui peuvent s’écrire comme une composée d’un nombre quelconque de φ, φ−1 , ρ et ρ−1 , est ungroupe non-abélien libre de rang 2. Cela semble plus compliqué que ce ne l’est en réalité. Pour y arriver, on
suppose que w est un “mot” de φ, φ−1 , ρ et ρ−1 (c’est-à-dire une suite finie quelconque de ces symboles),non-triviale (non-vide) et réduite (c’est-à-dire dans laquelle suite on ne trouve jamais φφ−1 , φ−1 φ, ρρ−1 ouρ−1 ρ). Il est clair que w peut être interprété comme une rotation, dont nous voulons montrer qu’elle n’est
pas l’identité ; attention toutefois, il ne faut pas définir w comme une rotation dès le départ, sans quoi on
n’a rien à montrer !
Tout d’abord, si w se termine par ρ ou ρ−1 , on considère w0 = φ−1 wφ (naturellement, si w commençait
par φ, il faut supprimer le φ−1 φ initial de w0 ). Montrer que w 6= 1 (1 est l’identité) revient à montrer w0 6= 1.
On peut donc se limiter à l’étude des cas où w se termine par ³φ ou √φ−1 . ´a b 2 cNous affirmons tout d’abord que w(1, 0, 0) est de la forme 3k , 3k , 3k , où a, b et c sont des entiers et k
un naturel. Ceci se fait par récurrence sur la longueur de w, en autres mots on montre que c’est le cas si w est
de longueur 1 (c’est-à-dire, moyennant la supposition faite plus haut, si w = φ±1 ) et√que si on compose w àgauche par une des quatre rotations on cela √reste vrai. Si w = φ±1 , w(1, 0, 0) = (1, ±2√ 2, 0)/3 a bien la forme
±1 0
0
0 0
voulue. Si w = φ w où w (1, 0, 0) = (a , b 2, c0 )/3k−1 , on trouve w(1, 0, 0) = (a, b 2, c)/3k√où a = a0 ∓ 4b0 ,b = b0 ± 2a0 et c = 3c0 , donc
w vérifie bien la propriété. Si w = ρ±1 w0 où w0 (1, 0, 0) = (a0 , b0 2, c0 )/3k−1 , on√trouve w(1, 0, 0) = (a, b 2, c)/3k où a = 3a0 , b = b0 √∓ 2c0 et c = c0 ± 4b0 , donc w vérifie bien la propriété. On
a donc montré par récurrence que w(1, 0, 0) = (a, b 2, c)/3k .
Nous montrons à présent que (si w est non-trivial), b n’est jamais divisible par 3. On procède de nouveau
par récurrence mais en ajoutant deux symboles à la fois.
Pour démarrer la récurrence, il faut montrer la propriété si w est de longueur 1 ou 2, c’est-à-dire si
w vaut φ±1 , ρφ±1 , ρ−1 φ±1 ou φ±2 : dans le premier des cas, b = ±2 donc c’est vrai. Dans le second et letroisième, b = ±2, donc c’est encore vrai. Dans le quatrième, b = ±4, donc c’est toujours vrai.
Ensuite, on étudie les différents cas w = φ±1 ρ±1 v, w = φ±1 ρ∓1 v, w = ρ√±1 φ±1 v et w = ρ±1 φ∓1 v,
où v est un mot vérifiant l’hypothèse de récurrence, i.e. v(1, 0, 0) = (a00 , b00 2, c00 )/3k−2 avec b00 nondivisible par 3. Nous√ traitons seulement le premier de ces cas, les autres procédant de même.
√ On a
ρ±1 v(1, 0, 0) = (a0 , b0 2, c0 )/3k−1 avec a0 = 3a, donc a0 est multiple de 3. Et w(1, 0, 0) = (a, b 2, c)/3k
avec b = b0 ± 2a0 . Cependant, l’hypothèse de récurrence ne s’applique pas seulement à v mais aussi à ρ±1 v,
donc b0 n’est pas multiple de 3. Donc b non plus, car 2a0 est un multiple de 3.
Les deux cas √restant à traiter sont w = φ±2 v et√w = ρ±2 v. Nous considérons le√premier. On écrit
00 00v(1, 0, 0) = (a , b 2, c00 )/3k−2 , φ±1 v(1, 0, 0) = (a0 , b0 2, c0 )/3k−1 et w(1, 0, 0) = (a, b 2, c)/3k . Alors onvérifie b = 2b0 − 9b00 , donc, b0 n’étant pas√
divisible par 3, b non plus.
On a donc montré w(1, 0, 0) = (a, b 2, c)/3k où b n’est pas multiple de 3, donc en particulier b 6= 0,
donc w(1, 0, 0) 6= (1, 0, 0). Donc w n’est pas l’identité. Ce qui est le résultat recherché : tout mot réduit
non-trivial de φ±1 et ρ±1 est différent de l’identité, donc le groupe engendré par ces quatre rotations est le(est isomorphe au) groupe non-abélien libre de rang 2.
A ce moment, d’après la proposition énoncée précedemment, le groupe G de déplacements engendré
par φ et ρ est paradoxal. Nous expliquons maintenant comment utiliser le fameux Axiome du Choix pourdémontrer le paradoxe de Hausdorff, duquel on déduit facilement le paradoxe de Banach-Tarski.
Pour récapituler ce que nous avions fait, nous avions montré que deux rotations φ et ρ d’axes passant parl’origine engendraient un groupe non-abélien libre de rang 2, que nous notons G. En particulier, si on note A0
l’ensemble de tous les éléments de G qui commencent par φ (“commencent” lorsqu’on les écrit comme une
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chaı̂ne de caractères ; en fait, le φ est la dernière rotation effectuée), A00 l’ensemble de ceux qui commencent
par φ−1 , B 0 par ρ et B 00 par ρ−1 , on a G = A0 ∪ A00 ∪ B 0 ∪ B 00 ∪ {1} = φ−1 A0 ∪ A00 = ρ−1 B 0 ∪ B 00 . C’est-à-direque G est paradoxal ; nous allons utiliser cela pour démontrer que, à “peu de choses” près, la sphère est
paradoxale.
Le groupe G est un groupe de rotations d’axes passant par l’origine O, et on peut donc le considérercomme opérant sur la sphère-unité que nous noterons S. Or une rotation (différente de l’identité) admet
deux points fixes sur S ; on appellera D l’ensemble des points laissés fixes par un élément de G différent del’identité.
On peut facilement voir que G est dénombrable : une manière de procéder est de remplacer φ par 1,
φ−1 par 2, ρ par 3 et ρ−1 par 4 ; alors chaque élément de G se voit associer un entier naturel de manièreunique, ce qui montre que G est dénombrable. D l’est donc aussi.
On appellera orbite (par G) de x ∈ S l’ensemble G(x) des images de x par tous les éléments de G,
c’est-à-dire Or (x) = {y ∈ S | ∃g ∈ G(x = gy)}. Si x 6∈ D, et si g et g 0 sont des éléments distincts de G,
on a g −1 g 0 x 6= x (car x 6∈ D) donc gx 6= g 0 x, c’est-à-dire que l’application “canonique” g 7→ gx de G vers
Or (x) est bijective (alors que si x ∈ D elle est seulement surjective). Cette dernière remarque sera appelléela remarque 1, quand j’en aurai besoin plus tard.
Soit O l’ensemble de toutes les orbites par G dans S \ D ; il est à noter que tous les éléments de O sontnon-vides et que deux éléments distincts de O sont disjoints. Soit 0] un ensemble qui contient (qui “choisit”)
un élément et un seul de chacun des éléments de O, autrement dit, 0] contient un élément de chaque G-orbite
dans S \ D. (C’est à ce niveau qu’on utilise l’Axiome du Choix, mais il est inutile de s’apesantir dessus pourl’instant.)
On considère à présent A0] = A0 (0] ), c’est-à-dire l’ensemble des éléments de S \ D de la forme gx oùg ∈ A0 et x ∈ 0] . On pose de même A00] = A00 (0] ), B]0 = B 0 (0] ) et B]00 = B 00 (0] ). Alors premièrement A0] , A00] ,B]0 et B]00 sont deux-à-deux disjoints car A0 , A00 , B 0 et B 00 le sont et par la remarque 1 (et aussi parce que
deux éléments distincts de 0] sont dans deux orbites disjointes). En effet, supposons x ∈ A0] et x ∈ A00] ; alors
x = gy avec g ∈ A0 et x = g 0 y 0 avec g 0 ∈ A00 ; donc y = g 0−1 gy 0 donc y est dans l’orbite de y 0 donc y = y 0 , etalors y = g 0−1 gy, et on en déduit g = g 0 car y 6∈ D.
On pose alors A] = A0] ∪ A00] et B] = B]0 ∪ B]00 : on a A] ∩ B] = ∅. Mais φ−1 A0] ∪ A00] = S \ D car−1 0
φ A ∪ A00 = G et de même ρ−1 B]0 ∪ B]00 = S \ D. Ceci montre que A ∼ B ∼ S \ D. Mais alors S \ D est
paradoxal ! C’est le paradoxe de Hausdorff : on a deux parties disjointes A] et B] de S \ D, telles qu’endécoupant chacune en deux morceaux et en faisant tourner l’un de ces morceaux, on retrouve S \ D.
Maintenant, il n’est plus difficile de terminer la démonstration. Le plus important est de retirer ce D qui
nous gêne. Pour cela, ce n’est guère difficile : soit P un point quelconque de S \ D (il en existe un car D est
dénombrable et S ne l’est pas), et soit P 0 son symétrique par rapport à O. On appelle %θ la rotation d’axe
orienté (P 0 P ) et d’angle θ. Pour chaque M de D, soit A(M ) l’ensemble des angles θ tels que %θ (M ) ∈ D :cet ensemble est dénombrable car D l’est. Donc l’union de tous les A(M ) pour M décrivant D est aussi
dénombrable. Et on peut alors prendre θ0 qui ne soit pas dans aucun de ces A(M ). Alors on pose % = %θ0 :on a %(M ) 6∈ D pour tout M ∈ D, donc %(D) ⊆ S \ D. On pose alors E = D ∪ %(D) ∪ %2 (D) ∪ · · · : on a%(E) = E \ D, donc E ∼ E \ D, et, en ajoutant S \ E de part et d’autre, S ∼ S \ D. Mais comme on aA] ∼ S \ D, on a A] ∼ S et de même B] ∼ S. Donc S est paradoxale.
Passer de la sphère à la boule est très simple : il suffit de remplacer chaque point M de la sphèrepar le segment ]OM ] ouvert en O et fermé en M , ce qui donne le fait que la boule fermée privée de O
est paradoxale. Pour rajouter le point O, il n’y a plus qu’à utiliser la remarque que j’ai faite avant ladémonstration (la quatrième remarque précédée de •).
On a donc montré qu’une boule est paradoxale : on peut la découper en un nombre fini de morceaux,déplacer ces morceaux, et obtenir deux boules de même taille.
Maintenant, soient A et B deux parties quelconques de l’espace, bornées et d’intérieur non-vide, c’està-dire que A est contenu dans une boule BA (A est borné) et contient une boule bA (A est d’intérieur
non-vide) ; et de même pour B. Il est clair que l’on peut recouvrir B par un ensemble E constitué d’unnombre suffisant de copies de bA ; comme bA est une boule donc est paradoxale, on a bA ∼ E ; et d’autrepart, B ¹ E, et bA ¹ A. Donc B ¹ A. Et de même A ¹ B. Alors, BSCBZT donne A ∼ B. C’est-à-dire que
deux ensembles bornés d’intérieur non-vide quelconques de l’espace sont équidécomposables.
En fait, on a fait mieux : donné un nombre fini (Ai )1≤i≤n de parties bornées d’intérieur vide de l’espace,6

il existe un “puzzle” dont les morceaux peuvent être arrangés pour donner chacun des (Ai ).
En revanche, il faut noter que dans le plan, ce genre de choses antipathiques n’arrive pas. Banach amontré le résultat suivant :Théorème. Si P désigne le plan euclidien, il existe une application µ: P(P) → [0; +∞] définie³S sur toutes´
les parties du plan, telle que si (Ai )1≤i≤n sont des parties disjointes du plan alors µA=1≤i≤n iP1≤i≤n µ(Ai ), que si A est une partie du plan et ϕ une isométrie alors µ(A) = µ(ϕ(A)), et enfin que
si C est un carré de côté 1, alors µ(C) = 1.
En autres mots, il existe une façon de mesurer (de définir l’aire de) toutes les parties du plan, ce qui
empêche que le paradoxe de Banach-Tarski ne se produise dans le plan. Il en va de même de la droite.
J’ai également mentionné l’Axiome du Choix, dont voici un énoncé :Axiome du Choix. Si C est un ensemble dont les éléments sont non-vides et deux-à-deux disjoints, alors
il existe une application ϕ sur C (à valeurs dans l’union de tous les éléments de C) telle que pour tout x ∈ C
on ait ϕ(x) ∈ x.
En autres mots, ϕ “choisit” un élément de chacun des éléments de C. Cet énoncé équivaut à celui que
j’ai cité dans ma première lettre. Bien qu’intuitivement “évident”, cet axiome ne peut être ni démontré
ni réfuté. Il est utilisé à peu près partout en mathématiques, ne serait-ce que pour montrer qu’une uniondénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable, ou pour montrer que tout espace vectoriel admet
une base, ou encore pour montrer qu’un produit d’espaces topologiques compacts est compact (théorème de
Tychonoff). Le paradoxe de Banach-Tarski ne peut pas être démontré sans l’aide de l’Axiome du Choix, celaa été démontré.

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