Courbes de BézierUniversité Claude Bernard–Lyon I
Licence 3 de Mathématiques : Géométrie élémentaireAnnée 2012–2013

1○ Rappels
Polynômes de Bernstein : Bk,n (t) = (nk)tk (1 − t)n−k si 0 ⩽ k ⩽ n, Bk,n (t) = 0 sinon. En général, on
prend t ∈ [0, 1].
Dans le plan, on choisit jusqu’à la fin de la fiche un entier n ⩾ 1 et une famille de points(P0 , . . . , Pn ). On définit la courbe de Bézier sur les points de contrôle (P0 , . . . , Pn ), notéeM[P0 ,...,Pn ] (t) ou plus simplement M (t), par la formule suivante, indépendante du choix d’unpoint O du plan :∀t ∈ [0, 1],nÐÐ→M (t) = O + ∑ Bk,n (t)OPk ,ou bien M (t) = (k=0P0⋯Pn).
B0,n (t) ⋯ Bn,n (t)○2 Propriétés des courbes de Béziera) ≪ Invariance affine ≫Soit f ∶ R2 → R2 une application affine. Montrer que l’image par f de la courbe de Bézier sur lespoints de contrôle P0 , . . . , Pn est la courbe de Bézier sur les points de contrôle f (P0 ), . . . , f (Pn ).
b) Enveloppe convexe
Montrer que la courbe est tout entière contenue dans l’enveloppe convexe des points de contrôle.
c) Influence de l’ordre des points
Montrer sur un exemple (disons avec n = 4) que l’ordre des points de contrôle est important.
Déterminer une permutation non triviale des points de contrôle qui ne modifie jamais la courbede Bézier.
d) Contrôle pseudo-localVérifier que si on bouge un et un seul des points de contrôle Pj , la courbe entière est modifiés(sauf éventuellement ses extrémités si j ∉ {0, n}).
Justifier qualitativement que si l’on bouge le point Pj , la courbe est modifiée ≪ surtout ≫ pourles valeurs de t au voisinage de j/n.
e) Interpolation aux extrémitésVérifier que M (0) = P0 , que M (1) = Pn .
Montrer que la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la demidroite [P0 P1 ) ; montrer la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige lademi-droite [Pn Pn−1 ).
3○ Autour de l’algorithme de Casteljau
Algorithme de Casteljau : à t ∈ [0, 1] fixé, on définit Mj,0 = Pj pour 0 ⩽ j ⩽ n puis, à l’étape` ∈ {1, . . . , n} :M(t) Mj+1,`−1 (t)Mj,` = Mj,` (t) = ( j,`−1)
1−tt(0 ⩽ j ⩽ n − `).

Alors, on a : M0,n (t) = M (t).
a) Justification (vue en cours)Vérifier la relation fontamentale :⋯PnP1⋯Pn+1 ⎞⎛( P0⋯
Pn+1) ()
B0,n (t) ⋯ Bn,n (t) ⎟ .
() = ⎜ B0,n (t) ⋯ Bn,n (t)B0,n+1 (t) ⋯ Bn+1,n+1 (t)
⎠
⎝
1−tt
P0

En déduire la validité de l’algorithme de Casteljau, c’est-à-dire que M0,n (t) = M (t).
1b) Construction effective
Observer le tableau suivant, le commenter, l’implémenter (par exemple avec Geogebra)...
M0,0

M1,0
M0,1

M2,0
M1,1

M0,2

Mn−1,0⋯Mn−2,1

⋯
M2,2

Mn,0
Mn−1,1

Mn−2,2⋱⋰⋱⋰M0,n(On pourra l’utiliser pour démontrer que l’algorithme de Casteljau est correct, c’est-à-dire quel’on a bien : M0,n (t) = M (t) pour tout t.)c) Recollement
Observer la figure ci-dessus (tirée de wikipedia) et montrer que la courbe de Bézier de points decontrôle P0 , . . . , Pn s’obtient en concaténant (≪ recollant ≫) deux courbes de Bézier bien choisies.

Voici l’identité à démontrer : pour u ∈ [0, 1], on note N (u) le point courant de la courbe deBézier associée à M0,0 (t), M0,1 (t), . . . , M0,n (t), c’est-à-dire :nn
N (u) = ∑ ( )(1 − u)n−k uk M0,k (t)k=0 kknkn= ∑ ( )(1 − u)n−k uk ∑ ( )(1 − t)k−` t` P`
`=0 `
k=0 k

Il s’agit de montrer que l’on a :nn
N (u) = ∑ ( )(ut)` (1 − ut)n−` P` .
`=0 `d) Application : tangente
En déduire en particulier que la tangente à la courbe de Bézier en M (t) est la droite passantpar M0,n−1 (t) et M1,n−1 (t)).
4○ Points de contrôle pour une courbe polynômialea) Soit n ∈ N. Montrer que la famille (Bk,n )0⩽k⩽n est une base de l’espace Rn [t] des polynômesde degré ⩽ n.
b) On se donne une courbe polynomiale M (t) = (x(t), y(t)) (t ∈ [0, 1]), où x et y sont deux
polynômes de degré inférieurs ou égaux à un entier x donné. Montrer que M est une courbe deBézier pour un choix convenable de points de contrôle P0 = M (0), P1 , . . . , Pn = M (1).

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