津波工学研究報告第 41 号（2024）／ Research Report of Tsunami Engineering Vol.41（2024）97 ～ 10297

底面の水平移動に伴う津波の数値解析

柿沼１．序太郎＊・帖佐育彦＊＊

ここで，式（1）及び式（2）は，それぞれ，論連続方程式及び Bernoulli の式であり，η，b
海底地震に伴う津波の伝播解析は，通常，及び ϕ は，それぞれ，水面変動，底面位置推定された断層運動によって生じる海底地震及び速度ポテンシャルである。重力加速度 g

後の地盤の永久変位を算出し，この変位を初は，9.8 m/s2 とする。また，∇ =（∂/∂x, ∂/∂y）は，期水面形と仮定して開始する。ところが，津水平方向の微分演算子である。ここでは，簡1）

波は，時間に依存する過程を経て生成される 。

単のために，摩擦を無視する。

従って，海底面の永久変位が等しくても，異本研究では，x 軸方向に 1 次元伝播する津なる水面形が形成される可能性がある．ま波を対象とする。底面変動を式（1）の底面た，2024 年能登半島地震で発生したような位置 b に与える。そして，空間に中央差分を横ずれ断層地震によって津波が生成される場適用し，前進差分を用いた陽解法により，式合，どのような津波が生成されるかは，不明（1）及び式（2）を解いた。ここで，Δx= 1 mな点が多い。これまで，モデル地形の水平移及び Δt = 0.01 s とした。

動に伴う津波に関して，基礎研究が行なわれている2）-6）

横ずれ断層による地形変化，または，海底。また，実際に発生した横ずれ断地すべりを想定し，海底斜面が水平方向に移層地震に伴う津波に関しても調べられてきた動する場合の津波生成過程を考える。一様勾7）-12）

配斜面を有する海底面の形状を図 1 に示す。

。更に，津波波源が岸に近い場合，津波到達時間が短くなる。そのため，沿岸域の横ずれ断層地震による可能性津波の評価も行なわれている 13）。
そこで，本研究では，水平方向成分を有する底面変動による津波の生成・伝播過程に関

図 1 において，海底斜面より岸側の浅い水して，速度ポテンシャルに関する非線形浅水モデルを用いた数値解析によって調べた。ここでは，一様な勾配の海底斜面が，沖向きや岸向きに水平移動する場合を対象とした。

２．数値解析の手法及び条件

図1

水平移動する海底面

次式のような，速度ポテンシャルに関する域の静水深を hon，沖側の深い水域の静水深

非線形浅水方程式系を適用し，津波の生成・を hoﬀ，また，斜面勾配を β とし，これらが，伝播過程の数値計算を行なった。

それぞれ，一様かつ一定であるとする。そして，（1）

この海底斜面が，速度 v で水平に移動する場（2）合を対象とする。ここで，v > 0 のとき，斜面が沖向きに張り出され，逆に，v < 0 のと＊＊＊鹿児島大学学術研究院理工学域

き，斜面が岸向きに引き込まれる。また，斜西日本高速道路株式会社

面の水平方向の長さを λ とし，水平方向の移98

津波工学研究報告第 41 号（2024）動量の最大値を L とする。なお，tan β =（hoﬀ

なお，速さ |v| の比較的大きな値は，地盤表-hon）/λ である。これらのパラメタを表 1 に層部の局所的破壊や，地すべり等が起きれば，まとめる。また，各ケースの数値解析条件を生じ得るであろう。

表 2 に記す。
表1

斜面を含む海底地形の諸元

３．海底斜面の沖向き移動に伴う津波に対する斜面勾配の影響
まず，Case A における水面形の時間変化を図 2 に示す。ここで，η は，水面変動である。
図 2 より，海底斜面の移動に伴い，比較的短時間に津波が生じていることがわかる。これは，斜面の水平移動速度と比較して，津波の位相速度が大きいためである。斜面は，急に移動し始め，急に停止した。そのため，津波は，分散性衝撃波（dispersive shock wave）のように，多くの波を示している。ただし，こ表2

数値解析条件こで適用した数値モデルでは，波の分散性が考慮されていない。

図2Case A における水面形の時間変化

また，図 2 において注意すべきこととして，斜面進行方向である沖向きに伝播する津波のみならず，岸向きに進む津波も生成されていることが挙げられる。岸向き及び沖向きに進む津波の t = 3 s における津波高さは，そ各場合の条件を Case A における条件と比れぞれ，約 2.4 m 及び約 2.8 m であり，とも較すると，Case B では，海底斜面の斜面勾に斜面の高さの半分程度となっている。ここ

配 β が Case A と異なる。Case C では，斜面で，津波高さは，図中に現れた岸向き及び沖の水平移動速度 v が Case A と異なる。Case

向きに進む各津波の最大水位とする。また，

D では，斜面岸側の静水深 hon，または，斜第 1 峰の波長は，沖向きに進行する津波の方面沖側の静水深 hoﬀ が Case A より深い。Caseが，岸向きに進む津波より長い。

E では，斜面の水平移動量の最大値 L が Case

次に，Case B-1 における水面形の時間変A の 2 倍である。そして，Case F では，v <化を図 3 に示す。Case B-1 の斜面は，Case A0 m/s であり，斜面が岸に向かって移動する。の斜面と比較して，高さが等しいが，緩勾配

底面の水平移動に伴う津波の数値解析

99であり，水平方向の長さ λ が長い。そのため，

いて，Case A のそれより約 4 m 先行してい沖向きに進行する津波の波長が，Case B-1る。しかしながら，岸向きに進む津波の速度において，Case A より大きくなっている。

は，両者の場合で，殆ど違いがなかった。

図3

図5

Case C-1 における水面形の時間変化

図6

Case C-2 における水面形の時間変化

Case B-1 における水面形の時間変化

逆に，Case A の斜面よりも急勾配の斜面が移動する Case B-2 における水面形の時間変化を図 4 に示す。この場合，特に，沖向きに進行する津波に着目すると，津波の波長が短い。そして，津波高さは，上記の二つの場合ほど大きくなっていない。

５．海底斜面の沖向き移動に伴う津波に対する静水深の影響
Case D-1 における水面形の時間変化を図7 に示す。Case D-1 では，海底斜面沖側の
図4

Case B-2 における水面形の時間変化

静水深 hoﬀ が Case A より大きく，斜面の高さが Case A の 2 倍である。Case D-1 の斜面は，

４．海底斜面の沖向き移動に伴う津波に対する斜面の水平移動速度の影響

tan β も Case A の 2 倍であり，より急勾配であるが，岸向き及び沖向きに進む津波の t =Case C-1 及 び Case C-2 に お け る 水 面 形の時間変化をそれぞれ図 5 及び図 6 に示す。
Case C-1 で は， 斜 面 の 水 平 移 動 速 度 v がCase A の 1/10 と遅く，津波高さが Case A ほど大きくならなかった。他方，Case C-2 では，v が Case A より大きく，特に，沖向きに進む津波の津波高さが大きくなり，Case A の約 1.9 倍であった。そして，Case C-2 における沖向きに進む津波のピークは，t = 3 s にお図7

Case D-1 における水面形の時間変化

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津波工学研究報告第 41 号（2024）

3 s における津波高さが，ともに Case A の約2.1 倍となった。
他方，Case D-2 における水面形の時間変化を図 8 に示す。Case D-2 では，hon 及び hoﬀの両者が Case A より大きいが，斜面の高さと勾配は，Case A と等しい。この場合，CaseA とほぼ等しい大きさの津波高さが現れている。なお，ここでは，波の分散性を考慮していないため，同一の地形変化に対して，静水深が大きいほど，生成される津波の津波高さ

図9Case E-1 における水面形の時間変化が低減するという特性 1） は，表現されてい条件が Case E-1 と等しいが，大きな津波高ない。

さが，特に，沖向きに進行する津波に現れている。Case E-2 の沖向きに進む津波の t = 3 s
における津波高さは，Case A の約 2.7 倍に達している。そして，この津波高さは，v が等しく，L が半分の長さである Case C-2 よりも大きい。Case C-2 及び Case E-2 において，v = 12 m/s であるが，であり，斜面の水平移動速度が，斜面沖側における線形浅水波の位相速度に近い。従って，これらの場合，Proudman 共鳴 14）に類似した増幅
図8

Case D-2 における水面形の時間変化効果が大きくなり，L が大きいほど，沖向きに伝播する津波の津波高さが大きくなった。

また，図 2 と図 8 を比較して，静水深が大きい Case D-2 では，水平床上における津波の伝播速度が大きくなっている。従って，斜面岸側の水域が深い場所では，浅い場所よりも，岸向きに進む津波の海岸到達時刻が早くなることに注意する必要がある。

６．海底斜面の沖向き移動に伴う津波に対する斜面の水平移動量の最大値の影響
海底斜面の水平移動量の最大値 L が Case A

図 10

Case E-2 における水面形の時間変化

７．海底斜面の岸向き移動に伴う津波の 2 倍である Case E-1 における水面形の時間変化を図 9 に示す。L 以外の条件が等しい

海底斜面が岸に向かって移動する場合の津Case E-1 と Case A の 結 果， す な わ ち， 図 9波生成過程を調べる。Case F-1 における水面と図 2 を比較すると，両者に有意な差が認め形の時間変化を図 11 に示す。Case F-1 におられない。これは，津波が短時間で生じておいても，Case A と同程度の津波高さを有すり，L の影響が殆ど現れなかったためである。

る岸向き及び沖向きの津波が生成された。た他方，Case E-2 における水面形の時間変だし，特に，t = 0.5 s において，岸向き及び化を図 10 に示す。Case E-2 では，v 以外の沖向きの津波の間の水面が，Case A より僅

底面の水平移動に伴う津波の数値解析

図 11

Case F-1 における水面形の時間変化

図 13101

Case F-3 における水面形の時間変化

なお，図 13 において，岸向きに進行するかに低下している。
また，斜面が移動する速さを Case F-1 よ津波では，引き波が先行している。逆に，沖り大きくした Case F-2 における水面形の時向きの津波では，押し波が先行し，その後ろ間変化を図 12 に示す。この場合の津波高さに長波長の谷が続いている。

は，Case F-1 ほど大きくならなかった。そし更に，Case F-4 における水面形の時間変化て，Case F-2 では，t = 0.5 s において見られを図 14 に示す。この場合，斜面の水平移動るように，津波の生成過程において，比較的速度が，斜面沖側における線形浅水波の位相大きな津波の谷が形成されたが，これは，特速度に近いが，沖向きに進行する津波の津波筆すべきことである。

高さは，Case F-3 と殆ど違いがない。

図 12

図 14

Case F-2 における水面形の時間変化

一 方， 斜 面 の 水 平 移 動 量 の 最 大 値 L が８．結Case F-4 における水面形の時間変化

論

Case F-2 の 2 倍である Case F-3 における水面形の時間変化を図 13 に示す。両者の場合，
v = -10 s であり，速度ポテンシャルに関する非線形浅水モデであるかルを適用し，一様勾配の海底斜面が水平移動

ら，斜面の水平移動速度が，斜面岸側におけする場合における，津波の生成・伝播過程のる線形浅水波の位相速度に近い。従って，こ数値解析を行なった。沿岸域に存在する斜面れらの場合の結果に L の大きさの違いが現れ，が水平移動する場合，津波が沖向きのみなら

図 13 では，岸向きに進行する津波において，ず，岸向きにも伝播し，海岸にも，数多くの谷の増幅が顕著である。ただし，t = 3 s にお津波が到達し得る。

いて，岸向きに進む津波の峰は，それほど高斜面が沖向きに移動する場合，斜面勾配がくなっていない。また，沖向きに伝播する津大きいと，津波が発生しにくいが，斜面の高波の津波高さは，両者の場合で違いが殆ど見さが大きいと，岸向き及び沖向きに進行するられない。

両者の津波の津波高さが大きくなる。更に，

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津波工学研究報告第 41 号（2024）

斜面の水平移動速度が，斜面沖側の線形浅水

by moving seabed deformation, Journal of

波の位相速度に近いと，沖向きに伝播する津Fluid Mechanics, 937, A8, 2022.

波が共鳴によって増幅される。

7） 阿部邦昭，岡田正実: 横ずれ断層地震によまた，斜面が岸向きに移動する場合，斜面る津波の励起－ 1990 年 2 月 20 日伊豆の水平移動速度が斜面岸側の線形浅水波の位

大島近海地震津波－，地震，2（46），相速度に近く，斜面の水平移動距離が大きい

25-34，1993.と，特に，岸向きに進行する津波の谷が増幅される。
本研究の数値解析では，短時間に生成される，比較的短波長の津波が現れた。今後，波8） Tanioka, Y., Satake, K.: Tsunami generation
by horizontal displacement of ocean bottom, Geophysical Research Letters, 23（8）,861-864, 1996.の分散性等も再現するために，速度ポテン

9） 韓 世燮，
河田恵昭，
岡村 真，
松岡裕美 :

シャルの高次成分を導入し，底面の変形の影

海底横ずれ断層での津波ポテンシャル

響をより正確に考慮して，現地条件を想定しについて，海岸工学論文集，49，261-た数値解析を行ないたい。

265，2002.
10） Tony Song, Y., Fu, L.-L., Zlotnicki, V.,

参考文献

Ji, C., Hjörleifsdóttir, V., Shum, C.K., Yi,Y.: The role of horizontal impulses of the1） 柿沼太郎，
秋山 実: 海底面の変動に伴うfaulting continental slope in generating the

津波発生過程の数値解析，土木学会論26 December 2004 tsunami, Ocean Model-

文集 B，62，388-405，2006.

ling, 20（4）, 362-379, 2008.

2） Wu, T.Y.: Generation of upstream advanc-11） Nosov, M.A., Kolesov, S.V., Levin, B.W.:

ing solitons by moving disturbances, Jour-Contribution of horizontal deformation ofnal of Fluid Mechanics, 184, 75-99, 1987.

the seafloor into tsunami generation near3） Kakinuma, T., Akiyama, M.: Numerical analy-

the coast of Japan on March 11, 2011,

sis of tsunami generation due to seabed

Doklady Earth Sciences, 441, 1537-1542,

deformation, In Smith, J.M., Ed.: Coastal

2011.

Engineering 2006, World Scientific Pub-12） Suleimani, E., Freymueller, J.: Near-fieldlishing Co., Pte. Ltd., Singapore, 1490-

modeling of the 1964 Alaska tsunami: The1502, 2007.

role of splay faults and horizontal displace-4） Dalphin, J., Barros, R.: Optimal shape of anments, Journal of Geophysical Research:underwater moving bottom generating sur-Solid Earth, 125（7）, e2020JB019620,

face waves ruled by a forced Korteweg-2020.

de Vries equation, Journal of Optimization

13） 山下 啓，
今村文彦，
サッパシーアナワッ

Theory and Applications, 180, 574-607,ト，林

2019.

可能性津波の評価解析，東北大学災害

5） Hu, C., Wu, Y., An, C., Liu, H.: A numerical
study of tsunami generation by horizontal

晃大，菅原大助，岩間俊二 :科学国際研究所編 : 平成 28 年熊本地震
に関する報告書，80-90，2017.

displacement of sloping seafloor, Journal14） Proudman, J.: The effects on the sea ofof Earthquake and Tsunami, 14（4）,changes in air pressure, Geophysical Jour-2050018, 2020.

nal International, 2（s4）, 197-209, 1929.

6） Michele, S., Renzi, E., Borthwick, A.G.L.,
Whittaker, C., Raby, A.C.: Weakly nonlinear theory for dispersive waves generated