Université Claude BernardLyon IApplicationLicence 3 de Mathématique : Géométrie é lémentaireaf fine,barycentreAnnée 20122013

IPré liminaire : mesure algé briqueDan un espace af fine E , soit D une droite af fine dirigée par une droite vectorie l le D . Soit−−→u une base de D et A, B deux point de D . On note AB le scalaire te l que AB = AB · u.
a) SoitO un point de D et xA , xB le abscisse de A et B dan le repère (O, u) de D . Établirque lon a :b) SoitxB − xA = AB .

(O , u ) un autre repère de D . Que l le re lation a-t-on entre le abscisse de A et B00dan le repèrec) Soient0(O, u) et (O0 , u0 ) ? entre le mesure algé brique AB et AB ?

NM , N , P , Q quatre point, avec P 6= Q. Montrer que le rapport MPQpa du choix d'un repère deIIne dépendD ou d'une base de D.

Homothétie-translationOn appe l le homothétie-translation une application af fine qui est soit une homothétie, soitune translation...

1◦I ncursionmétriqueDan cette question, on se place dan un plan af fine euc lidien. Montrer que limage d'uncerc le par une homothétie-translation est un cerc le ; préciser le nouveau centre, le nouveaurayon. [Il y a un petit piège !]On se donne deux cerc le C et C0de centre O et O

00non nul. Montrersur

C 0 ; le décrire enet de rayon r et rqu'il existe toujour deux homothétie-translation qui envoientCfonction de donnée (centre et rapport ou vecteur). [On distinguera le ca r = r
2◦Le

homothétie-translationa) Montrercomme00
et r 6= r .]groupeque la composée de deux homothétie-translation en est une. Déterminer soncentre et son rapport ou son vecteur.
b) Endéduire quec) Décrire,HTest un groupe.

avec de notation évidente (ou pa) :d) CommenthO,k tu h−1O,k .

se représentent le homothétie-translation en coordonnée ? Reprendre lequestion précédente en coordonnée.
3◦Théorème

deMene laüDan un plan af fine, soit ABC un triang le non aplati (une base af fine...). Soit P un pointde la droite(BC), Q un point de (CA) et R un point de (AB). On suppose B distinct deR et P .
1a) Onsuppose quegénéralité, quede centreP , Q et R sont aligné. Pourquoi peut-on supposer, san perte de

Q 6= B ? Soit h3 lhomothétie de centre R qui envoie B sur A ; h2 lhomothétieQ qui envoie A sur C ; h1 lhomothétie de centre Premarquant quequi envoieCsur

B . EnB est fixe par la composée h1 ◦ h2 ◦ h3 , montrer la re lation
RA P B QC= 1.
RB P C QAb) Ondesuppose que la re lation ci-dessu est satisfaite et que0RARA0(P Q) et (AB). Montrer que lon a : R= RB, et en déduire que R = R .
0Ble ca dégénéré (B égal àc) Traiter

III
1

◦

P 6= Q. Soit R0 lintersectionR ou P , P et Q égaux...).

Application af fine (encore)
U neSoitsituationc lassique

ABC un triang le non aplati dan un plan af fine. Soient M0 un point de la droite(AB) et :M1 le projeté de M0 sur (AC) paral lè lement à (BC) ;M2 le projeté de M1 sur (BC) paral lè lement à (AB) ;M3 le projeté de M2 sur (AB) paral lè lement à (AC) ;M4 le projeté de M3 sur (AC) paral lè lement à (BC) ;M5 le projeté de M4 sur (BC) paral lè lement à (AB) ;M6 le projeté de M5 sur (AB) paral lè lement à (AC).
−−→ −→En calculant le coordonnée de point Mk dan le repère (A, AB, AC), montrer que M6 = M0 .
2◦Groupedutriang leOn fixe, dan un plan af fine, un triang leABCtransformation af fine bijective qui préserventa) Combienb) Décrired'é lément contientnon aplati. On noteABC .

G ? Rappe ler pourquoi en utilisant le cour.

tou le é lément de G en donnant le coordonnée de limage d'un point que lconquedu plan en fonction de coordonnée du point dan le repère
repère
3◦G le groupe de−−→ −→(A, AB, AC), pui dan le−→ −−→(O, OA, OC) où O est le centre de gravité du triang le.

GroupedutétraèdreOn reprend le même question avec un tétraèdre ABCD dan un espace af fine de dimension

3. On se contentera de décrire en coordonnée lapplication qui permute A et B etfixe

C et D et ce l le qui permute circulairement A, B , C et D (A 7→ B 7→ C 7→ D 7→ A).

2

IV1

◦BarycentreMesurealgé brique(bi)ASi M est le barycentre de λ2◦ThéorèmedeB, que l le re lation entre λ et AM ? entre λ et M A ?
ABMB1−λThalèÉnoncer le théorème de Thalè dan le plan et dan lespace. Le démontrer en utilisantla préservation du barycentre par une projection af fine. Démontrerlaréciproque danle plan. Quid dan lespace ?
3◦U nesituationc lassique(bi)◦On reprend le notation de III.1 . Vérifier quepointde
4◦M0 peut 'écrire comme barycentre deA et B . Exprimer M1 comme un barycentre de A et C , M2 comme un barycentreB et C , etc. Redémontrer ainsi san calcul que M6 = M0 .

Préservationdubarycentreetapplicationaf fineOn sait qu'une application af fine préserve le barycentre. Soitmension

n, (A0 , . . . , An ) une base af fine de EetEun espace af fine de di-F un autre espace af fine. Soit f : E → F

une application qui préserve le barycentre (sen ?). On veut montrer quef est af fine.

λ0 , . . . , λn de rée l dont la somme n'est pa nul le et soit M le barycentre de−−−→−−−→{(Ai , λi )}06i6n . Calculer le coordonnée de M dan le repère (A0 , A0 A1 , . . . , A0 An ).
a) Soientb) EnV1◦utilisant le point

A0i = f (Ai ) (0 6 i 6 n), montrer que f est af fine.

ConvexitéSoit f une fonction rée l le dé finie sur un interval le I de R. On rappe l le que f est convexesi, pour toutx, x0 ∈ I et tout t ∈ [0, 1], on a : f (tx + (1 − t)x0 ) 6 tf (x) + (1 − t)f (x0 ).

Montrer quef est convexe si et seulement si son épigraphe est convexe, c'est-à-dire si

{(x, y) ∈ I × R, y > f (x)} est une partie convexe de R2 .
2◦ThéorèmedeGaus-Luca2On identifie C à R . Soit P ∈ C[X] un polynôme. On note α son coe f ficient dominant, z1 , . . . , zrse racine,

m1 , . . . , mr le multiplicité correspondante, de sorte que P =a) Décomposerb) Montrerlun de
3◦Pointla fraction rationne l leque toute racineQr

k=1 (X − zk )mk.

F = P 0 /P en é lément simple.

w de P 0 est dan lenve loppe convexe de zk . [Si w n'est pa

zk , on partira de légalité F (w) = 0.]extrémaux

d'untétraèdreOn rappe l le (ou pa) qu'un point M appartenant à un ensemble convexe C est un pointextrémal si, pour tout couple de point (A, B) ∈ C

32te l que M appartient au segment [AB],on a :M = A ou M = B .

a) Montrerb) SoitTque

M est un point extrémal SSI C \ {M } est convexe.

un tétraèdre, c'est-à-dire lenve loppe convexe de quatre point non coplanaire A,B , C et D. Montrer que le point extrémaux de Tc) MontrersontA, B , C et D.

qu'une partie convexe est lenve loppe convexe de se point extrémaux.

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