第 26 回数値流体力学シンポジウム
講演番号 C05-2

スパン方向進行波状壁面変形を用いた抵抗低減の直接数値シミュレーション
Direct Numerical Simulation of Drag Reduction by means of Spanwise Traveling Wave-Like Wall Deformation⃝富山

暢仁，慶大院, 神奈川県港北区日吉 3-14-2, E-mail：tomiyama@fukagata.mech.keio.ac.jp

深潟康二，慶大, 神奈川県港北区日吉 3-14-2, E-mail：fukagata@mech.keio.ac.jp

Nobuhito TOMIYAMA, Keio University, 3-14-1 Hiyoshi, Kohoku-ku, Yokohama 223-8522
Koji FUKAGATA, Keio University, 3-14-1 Hiyoshi, Kohoku-ku, Yokohama 223-8522
Drag reduction eﬀect in turbulent ﬂow in a channel with spanwise traveling wave-like wall deformation, i.e.
moving riblets, is investigated by means of direct numerical simulation (DNS). This control method is expected
to have larger drag reduction eﬀect than that of the ordinary riblets. Regardless of the parameters of the wave,
drag reduction of several percents was obtained: maximum drag reduction of 11% and maximum net energy savingof 10%. In order to analyze the contribution of the spanwise-periodic component, phase averaging was taken anddiscussed. The decreases of the turbulent kinetic energy and streamwise vorticity ﬂuctuation are observed andthe peak of them was shifted away from the wall at every phase of the wave. These observations indicate that thequasi-streamwise vortex in the region near the wall is weakened and moved away from the wall due to the wave.

緒言
将来のエネルギー利用の効率化へ向けて，乱流における抵抗を低減する手法が数多く提案されてきた．流れに沿って壁面に溝を入れるリブレット (1) や界面活性剤の添加 (2) のような受動的な手法だけでなく、近年では能動的な制御手法が注目されている．例えば，Nakanishi etal.(3) は平行平板間乱流において流れ方向に両側壁面を進行波状に変形させることで再層流化が起こることを確認し，最大で抵抗低減率として約 70% ，エネルギー削減率として約 65% を達成した．また，壁面の摩擦応力に基づいたフィードバック制御則による壁面変形 (4) や，スパン方向への定在波状壁面変形 (5) などでも数% の抵抗低減が報告されている．これらは壁面変形による抵抗低減効果の可能性を大きく支持するものである．
壁乱流の準秩序構造が明らかになるにつれて，特に能動的な制御では壁面近傍の渦の生成運動を抑制あるいは安定化することによって抵抗低減が達成されている．この考え方に基づけば，例えばこれまで受動制御とされていたリブレットでも，その溝をスパン方向へ動かすことによってより積極的に渦運動にアプローチできればさらに高い抵抗低減の可能性を有していると考えられる．リ
ブレットでは渦が入り込めない溝によって壁面へ向かう高速流体の渦運動 (スイープ運動) が生じる面積を制限することで抵抗低減を実現しているが，さらに壁面運動を付与することで渦生成サイクルの抑制などといったリブレットとは違う乱流構造の変化を期待できる．
以上の背景を踏まえて，本研究ではスパン方向への進行波状壁面変形チャネルにおける完全発達乱流を直接数値シミュレーション (DNS) で再現し，抵抗低減の可能性を調査する．また同時に壁面変形による流れ場の影響を検討することを目的をする．

1.

2.

Fig. 1: The schematic of wall deformation
ぞれ上側，下側の壁面変形量である．チャネル内の領域
は 0 + ηd ≤ x2 ≤ 2 + ηu で変化するが，ξi 座標系では0 ≤ x2 ≤ 2 で固定される．すなわち ξi 座標系で固定値の計算格子を切ることで，xi 座標系では壁面変形に従って計算格子が伸縮するようにした．支配方程式は非圧縮のNavier-Stokes 方程式および連続の式である．座標変換による ξi 座標系でのこれらの支配方程式は，∂ui∂ (ui uj )∂p1 ∂ 2 uidP=−−+−δi1 + Si , (2)∂t∂ξj∂ξiReb ∂ξj ∂ξjdξ1∂ui= −S,(3)∂ξiとなる．ここで局所圧力勾配 ∂p/∂ξi に対し，dP/dξ1 は駆動力となる平均圧力勾配である．支配方程式の変数t, xi , ui , p などは全て壁面変形がないときのチャネル半幅 h，バルク平均速度 2Ub ，および動粘性係数 ν で無次元化されている．また，壁面変形による付加項 Si , S は，∂(ui uj )∂p∂(ui uj )− ϕj− ϕjδij∂ξ2∂ξ2∂ξ2}{1∂ 2 ui
1 ∂(ϕj ϕj ) ∂ui∂ 2 ui++ ϕj ϕj 2 + 2ϕj,Reb 2 ∂ξ2 ∂ξ2∂ξ2∂ξj ∂ξ2

計算手法

Si = −φt2.1 座標変換
壁面変形するチャネルを扱えるように，デカルト座標系 xi に対して以下の座標変換 (6) を行った座標系 ξi ，x1 = ξ1 ,x2 = ξ2 (1 + ηu ) + ηd ,x3 = ξ3 ,(1)(4)を考える．ここで下付文字 1〜3 はそれぞれ流れ方向，壁垂直方向およびスパン方向を表す．また，ηu , ηd はそれ

S = ϕj1∂uj,∂ξ2(5)

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講演番号 C05-2

λ + = 141.4
0.11
0.1
0.09

λ + = 70.1
6.52%

λ + = 35.1

11.40%

9.63%
9.94%

η + /λ +

0.08
0.07
0.06
0.05

4.58% 9.81% 9.52% 7.92% (λ+=70.7)
10.1% (λ+=141.1)
6.79%
6.32%

7.37%
4.42% (λ+=70.7)
5.69% (λ+=141.1)

0.04

10.28%

2.00%

Fig. 3: Each phase where statistic is taken on crosssection, y − z plane

7.02%

4.69%

0.03
0.02
050100T+150200を示す．ここで P は平均圧力勾配の時間平均 P =−dP/dξ1 で，Pu は壁面変形がないときの平均圧力勾配である．横軸は進行波周期 T + = 2π/k + c+ ，縦軸は進行波波長と壁面変形量の比 η + /λ+ = a+ /2πc+ とした．なお，(+ ) は壁面変形がないときの摩擦速度 uτ で定義される粘性スケールを表す．
図 2 に示すようにスパン方向への進行波状壁面変形では，抵抗低減率は数% から 10% 程度であるが，各パラメータに依存することなく抵抗が低減した．これはパラメータに依らず壁面変形が流れ場に同じような影響を及ぼすためだと考えられる．そこで以降では最大抵抗低減を達成したケース (T + , λ+ , η + ) = (45, 70, 6.75)(図 2 中赤枠) について詳細に解析を行った．まず，250

Fig. 2: Drag reduction rate due to parameters for walldeformationとなる．ここで ϕj , φj , φt は，

ϕj = φj − δj2 ,()
1∂ηu
∂ηd

−
ξ+,2
∂ξ2
1 + ηu∂ξj∂ξjφj ==1∂xi
,
1 + ηu(6)
for j = 1, 3for j = 2()1∂ηu∂ηd∂ξ2=−
ξ2+,
φt =
∂t
1 + ηu∂t∂t(7)RS =(8)2.2 境界条件
壁面における速度境界条件は下側壁面において，u2 =∂ηd= a cos (k (ξ3 − ct)) ,∂t(12)で定義されるエネルギー削減率 RS を計算した．ここでW0 , Wp はそれぞれ壁面変形がないときとあるときの駆動エネルギー，Wa はアクチュエーションのエネルギーである．取り上げたケースでは約 9.7% のエネルギー削減率を得た．これは壁面変形量が比較的小さく，また位相速度も主流に対して十分小さいために壁面変形に必要なエネルギーを抑えることができたためだと考えられる．

である．本計算では，流れ方向の壁面変形の計算を行った Nakanishi et al.(3) の計算コードにスパン方向への壁面変形寄与項を付加して開発した．空間離散化には二次中心差分，時間積分には三次ルンゲクッタ法およびクランク・ニコルソン法を用いた．壁面変形量 ηu , ηd に関する項は次節で示す境界条件から式 (10) を代入した．

u1 = u3 = 0,

W0 − (Wp + Wa )× 100 [%],
W0

3.2 乱流統計量
進行波状壁面変形が流れ場に及ぼす影響を調査するた
め，同じケースについて乱流統計量を考察した．壁面変形によるスパン方向への周期的な要素とそれ以外のラン(9)とし，図 1 に示すように進行波はチャネル中心で上下対称 (ηd = −ηu ) とした．ここで a は変形速度振幅，k は z
方向長さ π 中の波数，c は進行波の位相速度であり，これら 3 変数をパラメータとした．なお，式 (9) を時間積分することで壁面変形量，a(10)ηd = − sin (k (ξ3 − ct)) ,kc

crest to troughtrough to crestが得られる．計算領域は壁面変形がないときで Lx × Ly ×
Lz = 2π × 2 × π である．格子数は Nx × Ny × Nz =128 × 96 × 256，レイノルズ数は Reb = 5600 と設定した．
計算は流量一定の条件で行い，平均圧力勾配の増減で抵抗値を評価した．
3. 結果

3.1 抵抗低減効果
図 2 に各パラメータにおける抵抗低減率 RD ,RD =Pu − P× 100 [%],
Pu

Fig. 4: Distribution of random-Reynolds shear stress+−u′′ v ′′ at each phase.

(11)

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講演番号 C05-2(a)crest to trough400

trough to crest

32300

y+

1200

0100−1−20Fig. 5: Random turbulent kinetic energy k ′′phase.

+0at each100200(b)

300
z+

400

500

400

3crest to trough2300

trough to crest

−3y+

1200

0100−1−200Fig. 6: Random streamwise vorticity fluctuation ωx′′
at each phase.

100200300z+400500−3Fig. 7: Distribution of instantaneous streamwise vorticity ωx and velocity vector (v, w) on the cross section:(a) no control (b) wall deformation.

+

ダムな要素を区別して考えるために位相平均，+ui (x, y, z, t) = ⟨ui (ϕ, y)⟩ + u′′i (x, y, z, t),に流れ方向の渦度変動のランダム成分の位相平均値 ωx′′を示す．レイノルズせん断応力と同様に，それぞれのところで渦度変動が抑えられ，かつそのピークが壁面から離れていることが分かる．壁面変形ないチャネルの場合，流れ方向の渦度変動のピーク y + ≈ 20 と平均的な渦中心位置はほぼ一致することが知られている (7) が，壁面変形によって渦中心が壁面から遠ざかったことが抵抗低減につながったと考えられる．

(13)を用いた． ここで，⟨·⟩ は位相平均成分を，()′′ はランダム成分を示す．位相 ϕ は ϕ + 2nπ = k(z − ct) で定義した．また局所的な流れ場の影響を調べるために，図 3 に示すように下側壁面の山 (crest)，谷 (trough)，y = 0 かつ山へ進行するところ (trough to crest) および y = 0 かつ谷へ進行するところ (crest to trough) の 4 箇所について統計量を取った．なお計算座標である ξi 系から xi 系に戻した座標系で評価を行った．図 4 にレイノルズせん断+応力のランダム成分の位相平均値 −u′′ v ′′ を示す．それぞれの箇所においてレイノルズせん断応力が小さくなっており，抵抗低減に寄与していると考えられる．図 5 に+乱流運動エネルギーのランダム成分の位相平均値 k ′′ ，k ′′ =)1 ( ′′ ′′u u + v ′′ v ′′ + w′′ w′′
23.3

瞬時場の可視化

図 7 に同様のケースにおける y − z 断面での瞬時の流れ方向の渦度 ωx と速度ベクトル (v, w) を可視化した．図7(a) と (b) を比較すると，壁面変形のときの方が特に壁面近傍での渦の強度が弱まっており，渦中心が壁面から離れていることが分かる．これは図 5 と図 6 での考察を支持するものであり，さらに抵抗低減のメカニズムにおいてリブレットとは違うということが言える．リブレッ
トでは渦が溝に入り込めないことによって摩擦抵抗低減を実現するが，スパン方向への壁面変形では進行波によって渦を壁面から遠ざけることによってそれを実現していると考えられる．

(14)を示す．いずれの箇所でもわずかにそのピークが壁面から離れていることが分かる．また，y = 0 かつ山へ進行する箇所を除いて乱流運動エネルギーの生成が抑制されているおり，抵抗低減の要因であると考えられる．図 63Copyright© 2012 by JSFM

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結言
チャネル乱流におけるスパン方向進行波状壁面変形の抵抗低減効果を調べるため直接数値シミュレーションを行い，以下の結論を得た．

4.

・ 壁面変形速度や壁面変形量を決めるパラメータに依らず抵抗低減を達成し，最大で抵抗低減率 11.4%，エネルギー削減率 9.4% を得た．
・ リブレットでの抵抗低減のメカニズムとは違い，壁面変形によって乱流運動エネルギーや渦の生成する位置を壁面から遠ざけることで抵抗低減を実現したと考えられる．
参考文献(1) Choi, H., Moin, P., and Kim, J., “Direct numerical simulation of turbulent channel flow over theriblets”, J. Fluid Mech., 255 (1993), 503-539.

(2) White, C. M. and Mungal, M. G., “Mechanismand prediction of turbulent drag reduction withpolymer additives”, Annu. Rev. Fluid Mech.,
40 (2008), 235-256.
(3) Nakanishi, R., Mamori, H., and Fukagata, K. “Relaminarization of turbulent channel flow using traveling wave-like wall deformation”, Int. J. Heat
Fluid Flow, 35 (2012), 152-159.
(4) Endo, T., Kasagi, N., and Suzuki, Y.,“Feedback
control of wall turbulence with wall deformation”,
Int. J. Heat Fluid Flow, 21 (2000), 568-575.
(5) Mito, Y. and Kasagi, N., “DNS study of turbulence modification with streamwise-uniform sinusoidal wall-oscillation”, Int. J. Heat Fluid Flow,
19 (1998), 470-481.
(6) Kang, S. and Choi, H., “Active wall motions
for skin-friction drag reduction”, Phys. Fluids,
12 (2000), 3301-3304.
(7) Kim, J., Moin, P., and Moser, R., “Turbulence
statistic in fully developed channel flow at low
Reynolds number”, J. Fluid Mech., 177 (1987),133-166.

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