SOCIETÀ NAZIONALE DI SCIENZE LETTERE E ARTI IN NAPOLIRENDICONTO
DELL’ACCADEMIA DELLE SCIENZEFISICHE E MATEMATICHESERIE IV - VOL. LXXXVI - ANNO CLVIII(2019)GIANNINI EDITORELa pubblicazione è stata resa possibile grazie ai contributi- della Regione Campania- della Fondazione Banco di Napoli- del Ministero per i Beni Culturali- dell’Associazione “Amici della Società Nazionale di Scienze Lettere e Arti in Napoli”- del Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”

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N. 86 - Dicembre 2019O

ISSN 0370-3568

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l’autorizzazione scritta dell’Editore.

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Ap

Direttore responsabile: Carlo Sbordone
Volume a cura di Carmine ColellaA© 2020 by Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche
Tutti i diritti sono riservati

A

Prima edizione italianaAb

Finito di stampare in Italia nel mese di giugno 2020
da Officine Grafiche Francesco Giannini & figli S.p.A. - Napoli

M

Autorizzazione del Tribunale di Napoli n. 780 del 14/08/1954
ISBN 978-88-6906-124-0

LIndice
Parte A – Scienze Naturali
A. M. Guarino – YB-1 protein is secreted as consequence of oxidative stress andinduces G2/M phase block in receiving cells

7

O. Affinito, L. Chiariotti, S. Cocozza – Single molecules methylation analysis

25

M. Di Lorenzo, V. Laforgia, M. de Falco – Xenobiotics involvement on humanprostate cells functionality

39

J. Casalino, M. Prisco, S. Valiante, M. Crispino, A. Giuditta, – Brain metabolic
DNA is reverse transcribed by mitochondrial telomerase

55

A. Di Donato, A. Di Maro – Le RIP (proteine inattivanti i ribosomi): struttura epotenziali applicazioni biotecnologiche

61

rgParte B – Scienze Matematiche
A. Fiorenza – Categories of results in variable Lebesgue spaces theory

79

A. Carlotto – Free boundary minimal surfaces: a survey of recent results

103

A. Corbo Esposito, C. Tirelli – A review about public cryptography protocols
based on RSA or elliptic curves

123

M. Guida, E. Romano, C. Sbordone – L’importanza delle definizioni in Matematica

147

L. Carbone, M. R. Enea, N. Palladino – Il fondo Stampacchia

165

3

Appendice
N. Scafetta, R. Di Cristo, R. Viola, A. Mazzarella – L’Osservatorio Meteorologico
di San Marcellino Napoli Centro: i dati dell’anno 2019201

Istruzioni e modello

251

Parte A
Scienze Naturali

Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 7-23
DOI 10.32092/1015

YB-1 protein is secreted as consequence of oxidative stress andinduces G2/M phase block in receiving cells
Nota di Andrea Maria Guarino1(Adunanza del 15 marzo 2019)

Keywords: YB-1, Stress Granules, Cell proliferation, Secretion
Abstract - Cell signalling is the complex network of connections between cells and inside
the single cell. Protein trafficking is deeply involved in cell signalling. Different proteins
are ordered in clusters of receptors of extracellular signals, transducers, sensors and biological response effectors. Together, they are arranged in molecular pathways that are
required for the maintenance of cell homeostasis. Protein secretion is a relevant component of eukaryotic cell signalling. The prototype cold-shock Y-box binding protein 1 (YB1) is a multifunctional protein which regulates a variety of fundamental biological processes. Among them, cellular stress response and cell proliferation. Recently YB-1 has
been found in human extracellular fluids and shown to be secreted by different cell types.
My recent research activity was focused on YB-1 protein secretion to investigate on its
role as a potential paracrine signal to elicit changes or responses in nearby cells, altering
their behaviour. Low amounts of extracellular YB-1 are released by HEK293T cells inphysiological condition. Interestingly, YB-1 secretion was enhanced following oxidative
insults. In parallel, the assembly of YB-1 in stress granules (SGs), cytoplasmic foci where
untranslated mRNAs are sorted or processed for re-initiation, degradation, or packaging
into mRNPs was verified. Purified recombinant human YB-1 (rYB-1) and enriched fractions of YB-1 from HEK293T cell culture medium (CCM-YB-1) were produced. Bothforms of YB-1 protein have anti-proliferative activity on different recipient cell lines,
including HaCaT cells. In particular, inhibition of human keratinocytes proliferation by
extracellular YB-1 was associated to a G2/M cell cycle arrest, induction of p21WAF andreduction of Np63 protein level. The obtained results suggest that sustained release offull length YB-1 protein, by stress stimuli acts as paracrine/autocrine signal stimulatingcell cycle arrest.

Vincitore del Premio “Lisa De Conciliis” per il 2018. Dipartimento di Biologia, Università Federico II di Napoli, Complesso Universitario di Monte S. Angelo, via Cinthia,
80126 Napoli

17

Riassunto - I meccanismi ed i processi che regolano la vita ed il comportamento di una
cellula sono profondamente interconnessi ed interdipendenti. Tale interconnessione richiede un continuo scambio di informazioni nella forma di molecole solubili, lipidi e proteine. La proteina YB-1, ampiamente studiata nel panorama scientifico, svolge diversi
ruoli all’interno della cellula. Recentemente è stato proposto un duplice ruolo per la proteina, in condizioni di stress cellulare: la proteina risponde allo stress ossidativo con laformazione di Granuli da Stress venendo al contempo secreta. La forma secreta induce,in cellule riceventi, blocco della proliferazione cellulare.
1 – INTRODUCTION

1.1 - Cell Signalling
Cell signalling is at the basis of cellular homeostasis and has to be intended
as a complex network of connections between cells and inside the single cell.
Simplifying, signalling machineries act as highly dynamic two-components system, composed by a sensor, which senses the internal or external change, and an
effector, which execute the best response to the variation experienced.
All cells communicate with each other and with the surroundings (Uings andFarrow 2000).

Fig. 1 – General representation of cellular signalling pathway.

8

Eukaryotic cell communication takes places basically thanks to the trafficking and exchange of soluble molecules, proteins, lipids and also through mechanical contacts (Fig. 1).
Signalling can adopt different mechanisms, protein secretion among themplays a major role. Accordingly, the analysis of protein secretory pathways has
been the focus of many research fields throughout the years.
This trafficking route is a linear movement of cargoes, which traverse distinct
organelles in a membrane-bound way (Szul and Sztul 2011); starting from therough endoplasmic reticulum (RER), where newly synthetized proteins are concentrated in transport vesicles which travel along the cell to the Golgi Apparatus(GA), then to the trans-Golgi network (TGN) and then fuse with the plasma membrane (Tartakoff, Vassalli, and Détraz 1978).
A first definition of the collection of proteins secreted through Conventional
Protein Secretion (CPS) was secretome; nowadays the definition encompasses
proteins shed from the cell surface and intracellular proteins released throughnon-classical (or unconventional) secretion pathway or exosomes.
Less, indeed, is known about Unconventional Protein Secretion, also known
as ER/Golgi-independent protein secretion although it was discovered more than
20 years ago (Cleves 1997) (Fig. 2).

Fig. 2 – Schematic representation of the two major secretory pathways.

Beyond solving a fundamental problem in current cell biology, the molecular analysis of these processes is of major importance as these export routes aretaken by viral proteins, angiogenic growth factors, inflammatory cytokines andcomponents of the extracellular matrix.
1.2 - The Y-box binding protein 1
YB-1 is a member of the evolutionarily conserved cold shock domain (CSD)
proteins and was first identified as a DNA/RNA binding protein (Kohno et al.

92003) involved in the control of gene expression both at transcriptional and translational level (Eliseeva et al., 2011; Matsumoto et al., 2012).
Human YB-1 is made up of three domains: A/P rich N- terminal domain, ahighly conserved CSD domain and a large C-terminus (Fig. 3).The Cold Shock
Domain is composed by five β-barrel strands connected by a long flexible loop;
it contains the RNA binding motifs RNP1 and RNP2, which mediate the interaction with nucleic acids, both specific and unspecific (Eliseeva et al. 2011). The
Alanine/Proline domain is involved in protein-protein interaction and, according
to the literature, enhances and stabilizes the CTD specific binding with RNAs.
The CTD domain includes alternating basic and acid clusters and is implicated in
DNA/RNA binding and protein-protein interaction. Except the CSD, which owns
a precise secondary structure, the protein shows no ordered three-dimensional
structure (Fig. 3); this gives YB-1 the possibility to modulate its structure gaining
different fixed organizations through the interaction with several distinct partners(Lyabin et al., 2014).
YB-1 subcellular localization is finely regulated. Specific nuclear localization(NLS) and cytoplasmic retention signals (CRS), all localized in the CTD domain,
contribute and direct the multifunctional tasking of YB-1 (Di Costanzo et al.
2012).

Fig. 3 – Schematic representation of human YB-1 protein.

10

Combining its structural flexibility and the possibility to move from a cellular
district to another, derives that YB-1 is involved in the control of several biological processes including cell proliferation, migration, DNA damage, RNA sortingand many others. In normal resting cells, YB-1 localizes to cytoplasm where it isa major component of P-body and messenger ribonucleoproteins (mRNPs) acting, predominantly, as a RNA binding protein (Guarino et al. 2018; Yang et al.
2011). Furthermore, YB-1 activates translation of specific transcripts via its ability to bind UTRs of target mRNAs (low YB-1/mRNA ratio); at high YB1/mRNA ratio, instead, it functions as a component of translationally inactivemRNPs, and directly blocks the initiation of translation inhibiting mRNA degradation (Evdokimova et al. 2001).
Mitogens and stress stimuli can trigger YB-1 nuclear translocation where it
acts as a transcription factor, at the G1-S transition of the cell cycle, for instance(Kim et al. 2013; Ohga et al. 1998).
Recent studies link YB-1 to the cellular response to oxidative stress and DNA
repair mechanisms, leading to the concept of YB-1 as a stress sensor. Indeed,following acute oxidative stress, YB-1 localizes to cytoplasmic Stress Granules(SGs), organelle-like structures devoid of membranes, engaged in mRNA sortingand pro-survival translational reprogramming (Anderson and Kedersha, 2008;
Somasekharan et al., 2015).
In particular, YB-1 is recruited in TIA-containing Stress Granules (SGs)where it functions as a component of translationally inactive mRNPs to directly
block translational initiation of highly expressed transcripts (Lyons et al. 2016).
1.3 - Stress Granules
Eukaryotes respond to detrimental conditions by activating a set of conserved
processes that aim to re-establish cellular homeostasis. This multifaceted response is critical for cell survival (Mahboubi and Stochaj 2017). It is characterized by stress-dependent changes in the transcriptome and down-regulation of
global translation (Morimoto 2011; Thomas et al. 2011). At the same time, theproduction of molecular chaperones is enhanced to promote the refolding or degradation of damaged proteins (Morimoto 2011).
After exposure to distinct environmental insults, such as oxidative stress, hypothermia or extreme heat, eukaryotic cells relocate proteins and messenger RNA
into transient, dynamic structures known as Stress Granules (SGs).
Stress granules are dynamic cytosolic aggregates composed by ribonucleoproteins, induced during cellular stress when protein synthesis is inhibited(Khong and Jan 2011).
In response to environmental stress such as oxidative stress or heat shock,cells respond by shutting down overall protein synthesis. This results in the disassembly of polyribosomes, leading to stalled initiation complexes that are dy-

11namically recruited to cytoplasmic foci called, hence, stress granules. Stress granules biology is very complex; they somehow evolve from Processing Bodies(PBs) which are linked to exosomes, by sharing proteins and RNAs (Kedersha etal. 2005; Khong and Jan 2011). YB-1 performs a role in SGs formation, in particular in sodium arsenite response, by activating translation of HSP70 and
G3BP1 protein, which is a well characterized SGs nucleator and recruiting tRNAs
generated by angiogenin cleavage (Lyons et al. 2016).
1.4 - YB-1 secretion
A newly identified YB-1 feature is its ability to be secreted in cell culture
media and human body fluids (Hanssen et al. 2013). YB-1 secretion is particularly active in association with malignancies, bacterial infections and inflammatory diseases (Kang et al. 2014).
The precise molecular mechanisms through which YB-1 is secreted is still
under investigation, but it is generally accepted that YB-1 is secreted through non
canonical pathways (Frye et al. 2009) and there are evidences about different
proteins and molecular machineries involved. One of the most recently proposedmechanism, indicates that YB-1 is secreted via exosome vesicles following a specific ubiquitination process (Palicharla and Maddika 2015); this seems to be incontrast with other mechanisms proposed so far, for instance acetylation-dependent secretion (Brandt et al. 2012). In exosomes YB-1 is believed to sort RNA bytype and quantity in a cell specific manner (Shurtleff et al. 2017).
Moreover, it is still not clear if YB-1 protein is secreted as a sum of multiple
fragments and what are the effects of secreted YB-1 on distinct target cells. As amatter of fact, bioinformatic analysis of YB-1 aminoacidic sequence predict thatit may represent a precursor for bioactive paracrine molecules; interactions between secreted YB-1 and some extracellular receptor domains, for instance Notch
3, have been proposed (Rauen et al. 2009). Due to its simultaneous presence inP-bodies, Stress Granules (SGs) and exosomes YB-1 is thought to function as aregulator of peptides/RNAs trafficking in and outside the cell.
My recent research activity was aimed to investigate on this phenomenon.
2 - YB-1 IS INVOLVED IN CELLULAR STRESS RESPONSE

Human embryonic kidney 293T (HEK293T) cell line is a popular, heterologous expression system for producing recombinant proteins in mammalian cells(Thomas et al. 2011) and it is also widely used for production of secreted proteins(Aydin et al. 2012). For these reasons it has been chosen as a good cell model
system to analyse YB-1 response to stress.
First, I analysed YB-1 subcellular distribution in normal conditions: immunofluorescence and confocal microscopy revealed that YB- 1 was abundant and12almost exclusively cytoplasmic. Interestingly, observed small cytoplasmic aggregates that appeared to be randomly distributed throughout the cell (Fig. 4, whitearrows).

Fig. 4 – Confocal immunofluorescence of HEK293T stained with -YB-1 (green), nuclei
are stained with DAPI (blue); arrows indicate YB-1 aggregates.

Knowing that YB-1 has been found in P-bodies in many mammalian celllines, for example in Hep-2 and Hela cells (Anderson, Kedersha, and Ivanov
2015; Yang et al. 2011), I evaluated the possibility that also HEK293T have YB1 positive P-bodies.
Therefore, I performed double immunofluorescence with antibodies against
YB-1 (abcam) and GW182 (Santa Cruz Biotechnology), and as shown in Fig. 5,
YB-1 and GW182 co-localize in cytoplasmic aggregates, confirming that they are
P-bodies.

Fig. 5 – Confocal immunofluorescence of HEK293T stained with -GW182 (green) and-YB-1 (red), nuclei are stained with DAPI (blue); white, yellow and red arrows indicate
respectively, YB-1, GW182 and YB-1/GW182 aggregates.

13

Once defined the subcellular distribution of YB-1 protein in normal conditions I treated cells with different stressors. Following heat shock or treatment
with 250 μM sodium arsenite (Na Ars) or 500 μM hydrogen peroxide (H2O2),
YB-1 was found to co-localize with PABP1, a canonical SGs marker (Kedersha
and Anderson 2007), in cytoplasmic stress granules (Fig. 6). Interestingly, SGs
size and overall number per cell were different depending on the type of stimulus
applied confirming previous finding indicating stress-specific differences in composition and assembly of stress granules (Aulas et al. 2017).

Fig. 6 – (a) confocal immunofluorescence of un-treated (control) HEK293T and treatedwith different stressors, stained with -YB-1 (green) and -PABP1 (red), nuclei arestained with DAPI (blue); yellow arrows indicate YB-1 positive P-bodies; withe arrows
indicate YB-1 and PABP1 positive stress granules; (b) (upper panel) size of granules and(lower panel) number of granules after treatments compared to control; statistical analysis
was performed using 1-way ANOVA followed by Dunnett’s multiple comparisons test.
Levels of significance are indicated (***p<0.001, *p = 0.001).

YB-1 protein was immunoprecipitated from extracts of untreated or sodium
arsenite treated HEK293T cells. As show in Fig. 7a PABP1 was detectable in
YB-1 immunocomplexes exclusively from cells treated with arsenite thereby indicating that YB-1 and PABP1 association occurs predominantly in SGs. To assess the relevance of YB-1 in SGs assembly, I depleted HEK293T cells of YB-1
using a specific siRNA pool against endogenous YB-1 mRNA (siYB1). By immunoblot and densitometric analysis I found that the expression level of YB-1
protein was reduced to 55% of control (Fig. 7b). YB-1 knock-down consistently

14

impaired the assembly of arsenite-induced PABP1-positive stress granules by reducing their size and number (Figs. 7c and d). Interestingly, in YB-1 depleted
cells, PABP1 showed a more nuclear localization both in resting condition andunder stress stimuli (Fig. 7c) suggesting that YB-1 can influence PABP1 subcellular distribution.

Fig. 7 – (a) co-immunoprecipitation of HEK293T total protein extracts treated (+) or not(-) with 250 μM Na Ars for 30’. Input samples immunorevealed with -PABP1 and YB-1 are shown; (b) western blot of total extract from control (siNC) or 100 nM YB-1
silenced (siYB-1) HEK293T; the degree of reduction of YB-1 protein siRNA-treated cells
compared with control is indicated beneath each band in the western blot (where the relative unit 1.0 represents YB-1 levels in cells transfected with the control siRNA). β-tubulin was used as loading control; (c) confocal immunofluorescence of control (siNC) andsilenced (siYB-1) HEK293T cells, treated or not with 250 μM Na Ars for 30’, stainedwith -YB-1 (green) and -PABP1 (red); (d) (left panel) size of granules and (rightpanel) number of granules in YB-1 silenced cells treated with Na Ars compared to siNC
(control) cells; statistical analysis was performed using unpaired t-test with Welch’s correction (**p = 0.010 and *p = 0.02).
3 - YB-1 IS SECRETED AFTER STRESS

Despite the apparent enrichment of YB-1 in SGs, I observed a significant reduction of intracellular YB-1 protein level in total extracts of Na Ars and H2O2treated HEK293T (Figs. 8a and b). The observed decrease of YB-1 was notcaused by cell death and subsequent leakage of cell contents as the level of
GAPDH and actinin proteins, used as control, remained unaffected (Figs. 8a and15b). By immunoblot analysis of nuclear and cytoplasmic subcellular fractions I
found that the reduction of YB-1 protein level induced by sodium arsenite was
exclusively at the expense of the cytoplasmic pool, while nuclear YB-1 was totally unaffected (Fig. 8c).
Moreover, after 30’ and 60’ treatment with 250 μM sodium arsenite or 500
μM hydrogen peroxide, cell viability was only slightly reduced (90% and 94%,
respectively) compared to control cells (Fig. 8d), further indicating that extracellular accumulation of YB-1 was not due to cell injury.
Thus, I hypothesized that oxidative stress would enhance YB-1 protein
secretion.

Fig. 8 – Western blot of total protein extracts from HEK293T treated with 250 μM
Na Ars (a) or 500 μM H2O2 (b) for 30’ and 60’; GAPDH and actinin were used asloading control. The degree of reduction of YB-1 protein levels in treated cells compared with controls is indicated beneath each band in the western blot (where therelative unit 1.0 represents YB-1 levels in control cells); c) western blot of total extract and nuclear/cytoplasmic fractionation of Na Ars treated and untreated
HEK293T. GAPDH and PARP were used as loading control for cytoplasm and nucleus respectively; d) cell viability assay of HEK293T cells treated with 250 μM Na
Ars and 500 μM H2O2 for 30’ and 60’, ns indicate no statistically significance (ordinary 1-way ANOVA and Dunnett’s multiple comparison; ns means no statistical significance).

16

4 - SECRETED YB-1 AFFECTS CELL PROLIFERATION

To analyse the effects of extracellular YB-1 on receiving cells, an enriched
YB-1 fraction from HEK293T conditioned cell culture medium (CCM-YB-1) byammonium sulphate precipitation followed by HPLC purification was prepared.
Furthermore, a recombinant YB-1 from E. coli, was produced (data not shown).
We have previously demonstrated that intracellular YB-1 is implicated in
keratinocyte proliferation and survival to oxidative stress (Ciani et al. 2018; diMartino et al. 2016). To get an insight into the function of secreted YB-1, theproliferative response of HaCaT cells, human immortalized keratinocytes, to theaddition of recombinant YB-1 and purified YB-1 from HEK293T cell culture
medium (CCM-YB-1) was evaluated.
HaCaT cells were incubated for the indicated time with increasing amounts(5.0, 7.5 and 10 μg/ml) of rYB-1 protein, CCM-YB-1 or Bovine Serum Albumin(BSA) as control in serum supplemented culture medium. As shown in Fig. 9,
treatments with CCM-YB-1 or rYB-1 reduced the rate of proliferation of HaCaT
cells while equivalent amounts of BSA were ineffective (data not shown).

Fig. 9 - Cell proliferation profile of HaCaT cells incubated with indicated concentrationsof CCM-YB-1 (a), rYB- 1 (b); statistical analysis was performed using 2-way ANOVA
followed by Dunnett’s multiple comparisons test. Levels of significance are indicated(***p<0.001).

YB-1 is normally released in the culture medium by HEK293T cells but not
by HaCaT or CaCo2 (human colon adenocarcinoma) cells even though all thesecell lines express high level of endogenous YB- 1. This may depend on a particular pathway constitutively activated in HEK293T cells or may rely on specificpost-translational modifications occurring in HEK293T and possibly other cell
contexts facilitating YB-1 extracellular release.

17This effect was not cell type specific since it was also observed using
HEK293T and CaCo2 as receiving cells (Fig. 10).

Fig. 10 – Cell proliferation profile of HEK293T (a) and CaCo2 (b) incubated with indicated concentrations of CCM-YB1 (upper panels) and rYB-1 (lower panels). Statisticalanalysis was performed using 2-way ANOVA followed by Dunnett’s multiple comparisons test (***p<0.001, **p = 0.003, *p = 0.03, ns indicates no statistical significance).

Remarkably, compared to rYB-1, CCM-YB-1 exerted a stronger inhibitory
effect on all cell lines tested (Figs. 9, 10a and b).
Flow cytometry analysis of HaCaT cells treated with extracellular YB-1 revealed that cell proliferation slowdown was due to a G2/M cell cycle arrest (Fig.
11a). Finally, to explore the molecular mechanism underlying inhibition of cellproliferation by extracellular YB-1, I analysed by quantitative PCR the mRNAlevel of p21waf and np63 in rYB-1 or CCM-YB-1 treated HaCaT cells.
p21WAF is a relevant cell cycle marker that induces G1 and G2/M cell cycle
arrest by inhibiting the kinase activity of CDK-cyclin complexes (Abbas andDutta 2009) while np63 maintains the proliferative capacity of keratinocytes(McDade et al., 2011).

18

Fig. 11 – (a) cell cycle profile of HaCaT cells treated with 7.5 μg/ml of CCM-YB-1, rYB1, BSA or left untreated for 48 hours. Statistical analysis was performed using 2-way
ANOVA followed by Dunnett’s multiple comparisons test. Levels of significance are indicated (***p<0.001, *p = 0.01); (b) western blot of total extracts of HaCaT cell treatedwith rYB-1 and CCM-YB1 and revealed with the indicated antibodies. GAPDH and βtubulin were used as loading control; c-d) RT-qPCR analysis of p21waf and np63 in
HaCaT cells treated with 7.5 μg/ml of CCM- YB-1, rYB-1, BSA or left untreated (Ctrl)
for 48 hours. Statistical analysis was performed using 1-way ANOVA followed by Dunnett’s multiple comparisons test. Levels of significance are indicated (***p<0.001, *p =0.01).

p21waf was strongly induced by both rYB-1 and CCM-YB-1 while np63
was significantly downregulated only by treatment with CCM-YB-1 (Fig. 11 cand d). By western blot analysis we also confirmed reduction of np63 andinduction of p21WAF at protein level (Fig. 11b). Moreover, according to the observed cell cycle arrest the level of cyclin A2 and cyclin D1 were also reduced(Fig. 11b).
5 - CONCLUSION

In my recent activity I have reported evidences that the extracellular release
of YB-1 by HEK293T is not the result of a passive mechanism, but follows arationale. In other cell types, such as CaCo2 and HaCaT cells, even if the general
YB-1 behaviour is conserved and the protein is abundant as in HEK293T cells

19

(Ciani et al. 2018; Di Costanzo et al. 2012; di Martino et al. 2016), no YB-1
secretion occurs.
Based on all these observations I can reasonably conclude that secretion of
YB-1 upon oxidative and inflammatory stimuli is cell-type dependent and thatenhanced level of YB-1 in the extracellular environment is a clear sign of cellularstress. The production of a recombinant form of the protein and the purificationof a fraction from conditioned culture medium, allowed me to have two tools toperform functional studies on receiving cells. Referring to the major molecularpathway in which YB-1 is involved (Lyabin et al., 2014) I decided to verify possible effects on cell proliferation and inflammation. As receiving cells, after different preliminary tests, I choose HaCaT cells which offer a well-studied andsimplified model of the skin (di Martino et al. 2016). Treatments were performed
mostly with a fixed concentration of exYB-1 (7.5 μg/ml) as indicated in the text,
because, among all concentration tested, was the one which gave reproducible
and consistent results.
Both extracellular YB-1 forms seem to negatively control cell proliferationinducing a G2/M phase arrest. The effect of CCM-YB-1 is stronger compared tothat of rYB-1, perhaps as a consequence of the post-post-translational modifications as discussed above.
To summarize, it can be said that treatment with exYB-1 produce effect oncell proliferation in immortalized keratinocyte. The same effect on cell proliferation was observed also in HEK293T cells, which have a complex karyotype, with
two or more copies of each chromosome, including three copies of the X chromosome, and in CaCo2, cells of human adenocarcinoma. Those findings could
represent a starting point to verify if secreted YB-1 could work not only as signal,
but also as effector molecule. Further investigations should be extended to untransformed cell lines, to verify the potential role of YB-1 as anti-proliferative
agent for cancer cells.
6 - REFERENCES
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Nature Revision, 9(6): 400-414.
Anderson P. and Kedersha N. (2008) Stress Granules: The Tao of RNA Triage. Trends in
Biochemical Sciences, 33(3):141-150.
Anderson P., Kedersha N., and Ivanov P. (2015) Stress Granules, P-Bodies and Cancer.
Biochimica et Biophysica Acta - Gene Regulatory Mechanisms, 1849(7):861–870.
Aulas A., Fay M.M., Lyons S.M., Achorn C.A., Kedersha N., Anderson P., and Ivanov
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Granules and Related Foci. Journal of Cell Science, 130(5):927-937.
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Convenient and General Expression Platform for the Production of Secreted
Proteins from Human Cells. Journal of Visualized Experiments, 65 e4045.

20

Brandt Sabine, Ute Raffetseder, Sonja Djudjaj, Anja Schreiter, Bert Kadereit, Melanie
Michele, Melanie Pabst, Cheng Zhu, and Peter R. Mertens. (2011) Cold Shock YBox Protein-1 Participates in Signaling Circuits with Auto-Regulatory Activities.
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Ciani Francesca, Simona Tafuri, Annaelena Troiano, Alessio Cimmino, Bianca S.
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Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 25-37
DOI 10.32092/1016

Single molecules methylation analysis
Nota di Ornella Affinito1*, Lorenzo Chiariotti1,2, Sergio Cocozza1(Adunanza del 15 marzo 2019)

Keywords: DNA methylation; qualitative analysis; methylation class; epialleles; methylation/demethylation dynamics; brain DNA methylation
Abstract - DNA methylation is involved in a broad range of biological processes. Traditional quantitative approach summarizes DNA methylation data as average percentage
of methylated CpGs in specific genomic regions, or as methylation percentage for single
CpG site. Such kind of approach gives important information on the general relationships between methylation and expression but might be not able to describe the complex
epigenetic structure and dynamics within a cell population. In order to better decode epigenetic data, the analysis of DNA methylation from a qualitative point of view canprovide an added value to the quantitative one. The qualitative approach allows methylation profiles of cell populations to be studied at the single molecule level and can be
successfully applied in a broad range of biological systems, both physiological andpathological ones. In this way, it is possible to describe the methylation and demethylation dynamics, to investigate the epialleles distribution, to follow their evolution and to
gain insight on epigenetic heterogeneity degree at specific loci. The tracking of themethylation profiles is more faithful to the epigenetic state of different loci and allows amore detailed overview of the methylation landscape in a tissue, which is composed bya mosaic of epigenetically different cells.
Riassunto - La metilazione del DNA gioca un ruolo fondamentale in molti processi biologici. Con l'approccio quantitativo tradizionale, la metilazione del DNA viene espressa
come percentuale media di siti CpGs metilati in specifiche regioni genomiche, o comepercentuale di metilazione per singolo sito CpG. Questo tipo di approccio fornisce importanti informazioni sulle relazioni generali tra metilazione ed espressione ma non è
Department of Molecular Medicine and Medical Biotechnology, University of Naples“Federico II”, 80131, Naples, Italy.
2
Endocrinology and Molecular Oncology Institute (I.E.O.S.), National Research Council (C.N.R.), 80131, Naples, Italy.
*Vincitrice del Premio “Lisa De Conciliis” per il 2018.
125

sufficiente a descrivere la complessa struttura epigenetica all'interno di una popolazione
cellulare. Al fine di decodificare meglio i dati epigenetici, l'analisi della metilazione delDNA da un punto di vista qualitativo può fornire un valore aggiunto a quello quantitativo. L'approccio qualitativo consente di studiare i profili di metilazione delle popolazioni
cellulari a livello di singola molecola e può essere applicato con successo in differenti
sistemi biologici, sia fisiologici che patologici. In questo modo, è possibile descrivere ledinamiche di metilazione e demetilazione, studiare la distribuzione di epialleli, seguirela loro evoluzione e ottenere informazioni sul grado di eterogeneità epigenetica in specifici loci. L’analisi dei profili di metilazione è più fedele allo stato epigenetico dei diversi
loci e consente una panoramica più dettagliata del landscape di metilazione in un tessuto, che è composto da un mosaico di cellule epigeneticamente differenti.
1 - INTRODUCTION

Epigenetics is referred to changes in gene expression, which are heritablethrough multiple cell division cycles. These changes result from a set of reversible modifications that occur without alterations in the DNA sequence andinclude nucleic acid modification, chromatin remodelling and histone modifications. Regarding nucleic acid modification, DNA methylation is a common epigenetic mark in many eukaryotes, involved in the regulation of gene expression(Suzuki and Bird, 2008; Law and Jacobsen, 2010). DNA methylation has beenrecognized to play an important role in many biological processes, such as cellular differentiation (Khavari et al., 2010), development (Smith and Meissner,2013), disease (Robertson, 2005), aging (Fraga and Esteller, 2007), Xinactivation (Sharp et al., 2011), imprinting (Li et al., 1994), silencing of repetitive DNA (Slotkin and Martienssen, 2007) and chromosomal stability (Rizwana
and Hahn, 1999).
In mammals, the most studied form of DNA methylation occurs on cytosine
residues of CpG dinucleotides, by the addition of a methyl group at the C5 position. DNA methylation is mediated by the DNA methyltransferase (DNMT)
family: DNMT3A and DNMT3B, responsible for the de novo methylation, and
DNMT1, mainly involved in maintaining methylcytosine marks during DNA
replication (Smith and Meissner, 2013). On the other side, DNA demethylation
can take place through two mechanisms: passive and active demethylation. In
the passive demethylation, 5-methylcytosine (5mC) can be lost or erased during
cell division, while the active demethylation is mediated by Ten-11 translocation enzymes (TETs) (Kriaucionis. and Heintz, 2009).
In the human genome, both the CpG sites and their degrees of methylation are
unevenly distributed in the genome (Bird et al., 1985; Ehrlich et al., 1982). Two
fractions with distinct properties are distinguishable: a major fraction (~98%), in
which CpGs are relatively infrequent (on average 1 per 100 bp) but highly
methylated (approximately 70%–80% of all CpG sites), and a minor fraction26

(<2%) that comprises short stretches of DNA (approximately 1 kb in length andlonger than 200bp) in which CpG sites are frequent (~1 per 10 bp; CpG- richregions), G+C base content is high (above 50% G+C content) and the observedto-expected CpG ratio is greater than 60 %. The latter are known as CpG islands(CGIs) and they are usually methylation- free. They are found within the promoters of ~60-70% of human genes (Larsen et al., 1992; Saxonov et al., 2006).
Due to their unmethylated status, CGI- promoters are characterised by a transcriptionally permissive chromatin state and are indeed generally associatedwith constitutively expressed genes in all cell type (housekeeping genes), but a
subset of them may be subject to tissue- specific gain of methylation (Song etal., 2005) or during the development (Li 2002), resulting in a stable transcriptional repression. However, CGI hypermethylation is required for the long-termsilencing of genes located on the inactive X chromosome (Sharp et al., 2011) or
associated with imprinted loci (Li et al., 1994), germline-specific genes (DeSmet et al., 1999) and pluripotency-associated genes (Mohn et al., 2008).
Aberrant DNA methylation is associated with many human diseases and is ahallmark of cancer (Robertson, 2005). These epigenetic changes impact the biological activity of cells through their modification of transcriptional states andregulatory machinery. Hypermethylation of CGI promoters may contribute tocarcinogenesis by inactivating tumor suppressor genes or DNA repair genes,
while hypomethylation contributes to carcinogenesis by activating oncogene orpromoting genomic instability.
2 - SINGLE MOLECULES METHYLATION ANALYSIS

DNA methylation has been extensively analysed from a genomic point ofview both in normal and in pathogenic tissues (Bergman and Cedar, 2013;
Shames et al., 2007; Robertson and Wolfe, 2000), but the dynamics that form,
maintain and reprogram differentially methylated regions are still not well- defined. Also, little is known about genome-wide variation of DNA methylation
patterns.
Genome-wide techniques are unbiased relative to the sequence representation, but limited in the coverage/single locus. This limitation is essentially due
to the fact that genome- wide methylomes cannot detect methylation profiles
below a certain frequency. As a consequence, the vast majority of studies on
DNA methylation used a quantitative approach, namely they took in consideration the average methylation level, summarizing data into average percentage ofmethylated CpGs in specific genomic regions, or the methylation percentage forsingle CpG site, or looking at CpGs genome-wide distribution with an only relatively high resolution (Ammerpohl et al., 2016; Hannum et al., 2013; Hua et al.,2011; Woodfine et al., 2011; Vaissière et al., 2009; Shaw et al., 2006). Suchkind of approach is useful when methylation status is uniform in the population27

of cells under study, but fails to dissect and recognise different DNA methylation patterns when a heterogeneous population is investigated. Indeed, percentage methylation described in most DNA methylation studies hides importantpattern and positional information of DNA methylation with potential functional and regulatory relevance (Mikesa et al., 2010).
In order to better decode epigenetic data, it could be useful to analyse DNA
methylation with a qualitative approach. The qualitative approach allows methylation profiles of cell populations to be studied at the single molecule level,thus providing an added value to the quantitative one.
The key feature of the qualitative approach is to perform an in-depth methylation analysis and to obtain a very high coverage (about 200.000-300.000
reads/sample) of selected loci by means of the Deep Bisulfite Amplicon Sequencing (Deep- Bis). This technique leads to observations that are not achievable with the low coverage of the genome- wide techniques and allows to conduct DNA methylation analysis at single base resolution with high speed andhigh throughput.
The qualitative approach is based on the following idea. Each CpG site in an
individual molecule may exist in a binary state (methylated or unmethylated)and each individual DNA molecule, containing a certain number of CpGs, is acombination of these states. Nevertheless, in many studies on DNA methylation(Ammerpohl et al., 2016; Hannum et al., 2013; Hua et al., 2011; Woodfine etal., 2011; Vaissière et al., 2009; Shaw et al., 2006), the methylation status of acytosine is described as the average value of many different molecules. As aconsequence, this kind of analysis does not take into account the combination of
the binary states of CpG sites in each single molecule. On the contrary, a highresolution approach, which specifically looks at the individual methylation conformation of single molecules, could provide additional information. Indeed, inprinciple each cell may bear a specific combination of methylated CpGs at specific loci (epiallele) that may reflect the origin of the cell and/or the functional
state of a given gene in that cell. These epialleles differ in their pattern of methylated and unmethylated CpG positions. These molecules (epialleles) can begrouped in methylation classes, defined as number of methylated cytosines permolecule, independently of their position. This introduces the concept of
epipolymorphism, by means that cells of a tissue may be considered a population of epigenetically heterogeneous cells in which each combination of mCpG
at a given locus represent a specific epiallele. Considering that a single molecule corresponds to the configuration of a single epiallele in a single cell of thecomplex cell mixture present in an analysed tissue, such qualitative approach
could be useful to recognise different methylation profiles inside a heterogeneous cell population (i.e., tissues). Furthermore, this approach could help to better understand the mechanisms underlying the changes of methylation state ofthese cells during methylation and demethylation processes and to evaluate the28stochastic and /or deterministic components of these phenomena.
Conceptual differences between quantitative and qualitative methylation
analysis are shown in the Fig. 1.

Fig. 1 – Scheme of the distributions of methylation profiles (epialleles) in two cell
populations (A and B) and the corresponding methylation classes to which they belong.
Empty and filled circles represent unmethylated and methylated CpGs, respectively.
Each line represents a single molecule (epiallele). It should be noted that it is impossible
to distinguish the DNA methylation scenarios of cell populations A and B by methodologies (e.g., pyrosequencing) that can quantify methylation at individual CpG sites.

Let’s consider a locus composed by 4 CpG sites. By a quantitative point ofview, both cell populations (A and B) have the same methylation value for each
CpG site. However, from a qualitative point of view, DNA methylation scenarios in A and B are very different: in A two main epiallelic forms are present,
while in B there is a great epiallelic diversity. In particular, as shown in B, these
4 CpGs can give arise to 16 possible methylation states or epialleles (2 nCpGs; 24)
belonging to different methylation classes, including 1 unmethylated, 4 monomethylated, 6 bi- methylated, 4 tri- methylated, 1 fully (tetra) – methylated.
Thus, the methylation profiles inside the cell population B are very different andeach one of the possible epialleles can have different frequency.
Qualitative approach allows to analyse DNA methylation at two different
levels: i) methylation classes, defined as the number of methylated cytosine permolecule, independently of their position; 2) epialleles, defined as different
combination of methylated CpG sites (mCpGs) at a given locus.
Some applications of the qualitative approach are reported in the following
paragraphs.

29

3 - MODELING DNA METHYLATION AND DEMETHYLATION DYNAMICS

DNA methylation has been extensively analyzed from a genomic perspective in both normal and pathological tissues (Bergman and Cedar, 2013; Shames
et al., 2007; Robertson and Wolffe, 2000), but the dynamics underlying themethylation and demethylation processes are still not well defined. The qualitative approach was applied to describe methylation and demethylation dynamics
of Ddo (D-aspartate oxidase) genes occurring at various mouse developmental
stages in 3 different tissues (brain, lung, and gut). Ddo is a flavin-adenine dinucleotide-containing enzyme that catalyzes the oxidative deamination of bicarboxylic D-amino acids, such as D-aspartate (D-Asp), N-methyl D-aspartate(NMDA) and D-glutamate (Still et al., 1949; Van Veldhoven et al., 1991,
D’Aniello A et al., 1993). During development, this gene undergoes methylation in lung and gut (Affinito et al., 2016) and demethylation in brain (Punzo etal., 2016).
The complexity of the methylation and demethylation dynamics was markedly simplified by introducing the concept of methylation classes (MCs), defined as the number of methylated cytosines per molecule, irrespective of theirposition. The MC concept smooths the stochasticity of the system, allowing amore deterministic description. In this framework, it has been proposed a mathematical model based on the Markov chain (Fig. 2), which aims to identify thetransition probability of a molecule from one MC to another during methylationand demethylation dynamics (Affinito et al., 2016). This model suggests thatthese dynamics are ruled by a dominant class of phenomena, namely, the gain
(loss) of one methyl group at a time for lung and gut (brain). Furthermore, theprobability that a CpG becomes methylated or demethylated seems to dependon the existing methylation status of the whole molecule (Affinito et al., 2016).
Regarding the methylation process, in the range from unmethylated to trimethylated, the lower is the existing methylation status and the lower is theprobability for a molecule to become more methylated. Indeed, in the model,
the class transition from an unmethylated to a monomethylated state occurs withvery low probability. Upon proceeding toward a fully methylated state (from trito tetra-, from tetra- to penta- and from penta- to hexa-methylated MCs), thetransition probability decreases. In the case of demethylation dynamics, themodel shows a gradual decrease of the transition probability from an unmethylated class to a fully methylated one. In other words, the less methylated a molecule is, the higher the probability of it being further demethylated (Affinito etal., 2016).

30

Fig. 2 – Transition probability during methylation and demethylation processes for the 3
tissues (violet = brain; green = gut; blue = lung) (Affinito et al., 2016).
4 - TRACKING THE EVOLUTION OF EPIALLELES IN BRAIN CELL POPULATION

DNA methylation landscape is dynamically remodelled during the mammalian life cycle through distinct phases of reprogramming and de novo methylation (Hackett and Surani, 2012). This remodelling occurs through an establishment of a globally demethylated state during early embryogenesis. Then, at latestages of embryonic development and early post- natally, a lineage-specificmethylome that maintains cellular identity is shaped (Mohn et al., 2008; Liu etal., 2015; Tanaka et al., 2014; Ji et al., 2010). Once such reconfiguration comesto end, it may be maintained throughout the life. Appropriate patterns of DNA
methylation in the brain play an important role in neurodevelopment and neuropsychiatric conditions (Tsankova et al., 2007; Mill et al., 2008; Akbarian and
Nestler, 2013; Nestler et al., 2015), pointing out to the importance of correct
formation and preservation of DNA methylation patterns in brain cells.
By performing an ultra-deep methylation analysis at single molecule level,
it has been studied the promoter region of developmentally regulated DAspartate oxidase (Ddo) taking into account cell-to- cell heterogeneity andquantifying the frequency of each methylation pattern (epiallele) present in31

mixed and pure populations during brain development and embryonic stem cellneural differentiation (Florio et al., 2017). In this framework, an epiallele is defined as a specific combination of methylated CpG within Ddo locus and canrepresent the epigenetic haplotype revealing a cell-to-cell methylation heterogeneity. Using this approach, it has been found a high degree of polymorphism of
methylated alleles (epipolymorphism) evolving in a remarkably conserved fashion during brain development. The different sets of epialleles mark developmental stage, brain areas, and cell type and unravel the possible role of specific
CpGs in favoring or inhibiting local methylation (Florio et al., 2017). Spatially
specific methylation patterns emerge, by means that some CpGs are particularly
sensitive to changes in methylation, creating an initiation point for methylationthat then spreads over the region. This means that methylation profiles takeorigin by the spreading from susceptible sites that, when methylated, become
able to influence nearby CpGs.
Undifferentiated embryonic stem cells show non-organized distribution of
epialleles that apparently originated by stochastic methylation events on individual CpGs. Upon neural differentiation, the epiallele distribution is profoundly different, gradually shifting toward an ordered, non-stochastic, and less polymorphic epiallele profile (Fig. 3) (Florio et al., 2017).
Overall, epiallele composition dynamics in brain cell population are very
finely tuned and strikingly conserved. Moreover, tracking epiallele profiles mayhelp get insight into the mechanisms underlying DNA methylation establishment, changes and, potentially, alterations of these processes that occur in neurodevelopmental diseases, which may not be revealed by conventional analysesof (gene-specific or genome-wide) average methylation.
5 - DNA METHYLATION LANDSCAPE OF DDO GENE IN POST-MORTEM
BRAIN FROM CONTROLS AND SUBJECTS WITH SCHIZOPHRENIA

The spatio-temporal regulation of the D-aspartate oxidase (Ddo), a gene involved in the degradation of D-aspartate, plays a pivotal role in determining thecorrect levels of this D-amino acid in the human brain. Perturbation of D-Asp
metabolism has been implicated as a contributor to the pathogenesis of this devastating mental illness (Balu and Coyle, 2015; Errico et al., 2015). Epigenetic
mechanisms could drive the appropriate spatio-temporal modulation of thesegenes in human brain. Therefore, it could be envisaged that altered epigenetic
profiles at the Ddo gene may be associated with human brain disorders, including schizophrenia.
To finely map cell to cell methylation differences in specific brain areas andto evaluate whether methylation profiles may distinguish brain areas withineach individual and/or be associated to schizophrenia diagnosis, it has been performed an ultra-deep analysis of DNA methylation of Ddo gene in three different post-mortem brain areas (hippocampus, dorsolateral prefrontal cortex, and32

cerebellum) of patients with schizophrenia and non-psychiatric controls. DNA
methylation analysis was performed at an ultradeep level, measuring individual
epialleles frequency by single molecule approach (Keller et al., 2018). Singlemolecule methylation approach demonstrated that analysis of epiallele distribution of the Ddo gene was able to detect differences in DNA methylation representing area-specific methylation signatures, which are likely not detectablewith targeted or genome-wide classic methylation analyses.

Fig. 3 – Epiallele frequency distribution in 3 independent ESCs differentiation experiments (I, II, and III). The line plots represent the frequency distribution of each epialleles (blue: undifferentiated ESC; red: differentiated ESCs). D) Comparison between
average frequency distribution of each Ddo epialleles, from 3 independent experiments,
in undifferentiated (blue line) vs. differentiated (red line) ESCs. The specific methyl
CpG combinations of each epialleles are indicated on the x-axis (Florio et al., 2017).

Average methylation is very low in cerebellum (about 5%) with no significant differences between schizophrenia and control groups (Fig. 4A). The average Ddo promoter methylation is significantly higher in the DLPFC than in the
HIPP, both within control and schizophrenia groups. Moreover, there is a mild
but significant increase in Ddo methylation levels in the HIPP of schizophreniaaffected patients, compared to control group, while no differences between diagnoses were found in the DLPFC (Nuzzo et al., 2017; Keller et al., 2018) (Fig.
4A). As expected by the lower average methylation, epialleles classes analysis
shows that cerebellum displayed a clearly different pattern compared to HIPP

33

and DLPFC (Fig. 4B). However, although sharing a similar average methylation, DLPFC and hippocampus displayed significant differences in epiallelesclasses distribution (Fig. 4B) (Cramer test, p < 0.05). The PcoA plot confirmedthat the CB clearly differed in terms of epialleles distribution from HIPP and
DLPFC indicating that epiallelic patterns strongly typified CB cells with respect
to the other two areas (Fig. 4C). Although schizophrenia-related patterns were
not detected, the ability to detect brain region specific profiles in terms of individual cell methylation patterns, demonstrates the feasibility for an epiallelicapproach to distinguish disease-related profiles at relevant loci in psychiatricconditions (Keller et al., 2018).

Fig. 4 – Methylation and Epiallele composition analyses in Ddo gene. A) Ddo average
methylation is shown for both groups (non-psychiatric controls = CTRL and patients withschizophrenia = SCZ) and in each brain area (hippocampus = HIPP, dorso-lateral prefrontal cortex = DLPFC and cerebellum = CB) (Nuzzo et al., 2017; Keller et al., 2018). B)
Heatmaps show the epiallelic classes abundance in HIPP, DLPFC and CB and for CTRL
and SCZ groups. The color scale (from red to violet) indicates the frequency of each epiallelic class. On the top of the graph, the average methylation for CTRL and SCZ groups isreported for each brain area (Keller et al., 2018). (C) DDO epiallelic composition is reported in Bray Curtis-based 2D Principal Coordinate Analysis (PCoA) plot. PC1 and PC2
in PCoA plot explained the percentage of the observed variance (Keller et al., 2018).

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Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 39-53
DOI 10.32092/1017

Xenobiotics involvement on human prostate cells functionality
Nota di Mariana Di Lorenzo1*, Vincenza Laforgia1, Maria De Falco1(Adunanza del 17 maggio 2019)

Keywords: EDCs, phthalates, alkylphenols, prostate.
Abstract - Alkylphenols and phthalates belong to the family of Endocrine Disruptor
Chemicals (EDCs), a heterogeneous group of ubiquitous synthetic or natural substances
which can affect multiple endocrine pathways, hormonal and homeostatic system. They
particularly influence and perturb the reproduction since most of their effects are exerted through disturbance of estrogen or androgen-mediated processes. In prostate gland,
both androgens and estrogens play a significant role in development and differentiation
as well as in the maintenance of adult gland homeostasis. Therefore, even small changes
in estrogen levels, including those of estrogen-mimicking chemicals, can lead to changes in prostate development, differentiation and function, but less is known about molecular pathways involved in the actions of these compounds in prostate models. Thus, theeffects of two compounds with different action: the estrogenic nonylphenol (NP) andthe antiandrogenic dibutylphthalate (DBP) have been investigated on human prostate
non tumorigenic epithelial cells (PNT1A) and on adenocarcinoma prostate cells(LNCaP), respectively. Moreover, their effects have been compared with 17-β-estradiol(E2) action in order to investigate possible mimetical behaviour.
Riassunto - Gli alchilfenoli e gli ftalati appartengono alla famiglia dei distruttori endocrini (EDCs), un gruppo eterogeneo di sostanze sintetiche o naturali presenti in manieraubiquitaria nell’ambiente ed in grado di influenzare il sistema endocrino a più livelli. In
particolare, gli EDCs sono sostanze capaci di influenzare ed alterare la riproduzione inquanto possono interferire con i pathways degli estrogeni e degli androgeni. Nella
ghiandola prostatica, sia gli androgeni che gli estrogeni giocano un ruolo significativo
nello sviluppo e nella differenziazione, nonché nel mantenimento dell'omeostasi dellaghiandola adulta. Pertanto, anche piccoli cambiamenti nei livelli di estrogeni, compresi
quelli determinati da sostanze chimiche che mimano gli estrogeni, possono portare acambiamenti nello sviluppo, nella differenziazione e nella funzione della ghiandola
Dipartimento di Biologia, Università Federico II di Napoli, Complesso Universitario
di Monte S. Angelo, via Cinthia, 80129 Napoli*Vincitrice del Premio “Umberto Pierantoni” per il 2018.

139

stessa. Per tale ragione, sono stati valutati gli effetti di due composti con diversa azione:
il nonilfenolo (NP), dotato di attività estrogenica, ed il dibutilftalato (DBP), dotato di
attività antiandrogenica, rispettivamente su cellule epiteliali non tumorali di prostataumana (PNT1A) e su cellule di adenocarcinoma prostatico (LNCaP). Inoltre, i loro effetti sono stati confrontati con l'azione dell’ormone endogeno 17β-estradiolo (E2).
1- INTRODUCTION

In recent years, a growing number of studies has associated the worrisome
trends in the incidence of reduced fertility rate observed in industrialized countries, with human exposure to specific chemicals identified as endocrine disruptors (EDCs).
EDCs are described as “exogenous chemicals or mixtures of chemicals thatalter function(s) of the endocrine system and consequently cause adverse healtheffects in an intact organism, or its progeny, or (sub)populations” (World HealthOrganization, 2012).
EDCs are a heterogeneous group of compounds and they may be divided into anthropogenic and natural chemicals or classified based on your chemical
properties, origin and applications.
EDCs can interfere with the endocrine system at multiple levels, by agonizing or antagonizing the target receptors or by disrupting the synthesis of thehormones or hormonal release, transport, metabolism and excretion (Giulivo etal., 2016). The more frequent EDC targets are nuclear receptors such as thyroid
receptors (TR), progesterone receptors (PR), estrogen receptors (ER), androgen
receptors (AR) but they can also interact with membrane receptors, nonsteroidal receptors and orphan receptors (Yang et al., 2015). Moreover, several
studies have demonstrated the ability of these substances to act on hormone metabolizing enzymes including aromatase, 5-reductase, 3-β-hydroxysteroid dehydrogenase (3βHSD), 11-β-hydroxysteroid dehydrogenase (11βHSD) (Guo et al.,2012). Furthermore, EDCs can also act through epigenetic mechanisms which
are particularly useful to understand how EDC exposure during the development can cause adverse effects in adulthood (Prusinski et al., 2016). It is important to note that EDC responses do not follow the classical monotonic dose
responses typically used in toxicological risk assessments. Experimental studies
investigating EDC effects frequently detect non monotonic dose-response(NMDR) relationships (Lagarde et al., 2015), indicating that Paracelsus principle of “the dose makes the poison” is not valid to assess their toxicity. NMDR
relationship can result from multiple mechanisms and often presents a bellshaped profile. U-shaped profiles are characterized by the highest response at
low and high exposure levels; instead, inverted U-shape is characterized by response at intermediate dose(s) and a decrease response or no response at low
and high exposure levels (Vandenberg et al., 2013; Vandenberg, 2014).

40

EDCs are lipophilic compounds and thus they are persistent in the environment. They may biomagnificate and bioaccumulate during their production, use
and disposal. The main source of human exposure to EDCs is estimated to be
the diet, particularly ingestion of contaminated food and water (Rudel et al.,2011), but they can be also exposed through indoor environment and skin contact (Nappi et al., 2016).
The epidemic increase of male reproductive disorders, which cannot be explained by genetic changes, has occurred contemporaneously with cumulative
exposures to various environmental factors through modern lifestyle. Increasing
evidences demonstrate that males appear to be particularly vulnerable to exposure of certain compounds (Hauser et al., 2015). Androgens are the most important hormones involved in the normal development and homeostasis of themale reproductive tract (Knez, 2013) but recently it has been proposed an equalrole for estrogens (Zhang et al., 2014). Specifically, both androgens and estrogens play a pivotal role in prostate gland development, differentiation and homeostasis, so in vivo and epidemiological studies suggest a relationship among
EDC exposure and prostate diseases (Alavanja et al., 2003).
Several compounds such as phthalates and alkylphenols belonging to EDCs.
Phthalates (PAEs) are widely used in the manufacture of PVC and are considered to be one of the major groups of antiandrogenic substances and among
these, di-2-ethylhexyl phthalate (DEHP) and dibutylphthalate (DBP) are themost commonly found in the environment (Chen et al., 2011; Knez, 2013). Alkylphenols (AP), which include bisphenol A (BPA), nonylphenol (NP) and octylphenol (OP) are widely used in plastic formulation as non-ionic surfactants,
in agricultural products, in personal care products and they also have beenfound in rivers, lakes, sea and sediments as surfactants (Careghini et al., 2015).
Considered this background, in our studies we evaluated the effect of two
different compound with different activities: the estrogenic nonylphenol (NP)and the antiandrogenic dibutylphthalate (DBP) on human prostate cells.
2- METHODSThe effects of NP and DBP were investigated on human prostate non tumorigenic epithelial cells (PNT1A) and on adenocarcinoma prostate cells(LNCaP)and were compared with 17-β-estradiol (E2).
Cell viability was evaluated using MTT assay. PNT1A cells were treated for
24 h with NP or E2 from 10-12M to 10-6 M, with or without 10-5M of the Estrogen selective antagonist ICI182780. LNCaP cells were treated with DBP and E2from 10−5 M to 10–13 M for 24 h. MTT assay allowed us to establish NP, DBP
and E2 concentration to use for the further experiments.
Then, the expression of genes and proteins involved in the cell cycle regulation was evaluated after 24h of exposure. Moreover, in order to investigate a41

possible interaction between NP, DBP and E2 with estrogen and androgen receptors, immunofluorescence and western blot experiments were performed after different time of exposure.
Each experiment was carried out in triplicate. Data reported in graphs are
expressed as mean values ± SEM for the indicated number of independent determinations. The statistical significance was calculated by the one-way ANOVA with Bonferroni’s multiple comparison test, and differences were considered statistically significant when the P value was at least <0.05.
3 - RESULTS

In order to determine E2 and NP effects on cellular proliferation, PNT1A
cells were treated with increasing concentration of E2 and NP (from 10-12M to
10-6M) for 24 h. The same experiments were also carried out in presence or absence of 10-5M ICI.

Fig.1 – MTT assay after 24 h of exposure to nonylphenol (NP) and 17β-estradiol (E2)
alone or in combination with ICI 182, 780 (+I). In graph is reported the absorbancemeasured at 570 nm which correlates with the number of living cells. a, response significantly different than the vehicle control (P < 0.05); a’, response significantly different
than the vehicle control (P < 0.01); b, response significantly different than cells without
ICI (P < 0.05).

42

Fig. 2 – Localization of ERα
after 2 and 6 h of exposure to
NP and E2. E2 promotes
translocation of ERα to the
nucleus at both time of treatment, while NP at 6 h. ERα(Alexa Fluor 488) and nuclear
staining (Höechst) were analyzed by immunofluorescence. Scale bar 10 mm.

E2 stimulated PNT1A cells proliferation from 10-9M to 10-6M, with thegreatest effect showed at 10-6M (Fig. 1b). E2 induced proliferation is strongly
inhibited by adding ICI. NP stimulated PNT1A cells proliferation at the highest
concentration of10-6M (Fig.1a). At lower concentrations, we did not observe
any significant effects when compared to control group. 10-5M ICI inhibited theproliferation induced by 10-6M NP. In the graph in Fig.1c is also possible tonote that E2 has a greater effect compared to NP onPNT1A cells proliferation.
Using immunofluorescence and western blot, we studied the localization andexpression of ERα and ERβ after 2h and 6h of exposure to NP and E2 at 10-6M.
Immunofluorescence showed that after 2 h of treatment, NP did not affect ERα
cellular localization, that was localized in the cytoplasm as in control cells. On
the contrary, in E2 treated cells for 2 h, ERα is localized predominantly in the
nucleus (Fig.2). After 6 h of exposure, in PNT1A cells treated with NP and E2,

43ERα shifted from the cytoplasm to the nucleus that appeared to be strongly
positive, with a weak cytoplasmic fluorescence if compared to control (Fig.2).
ERβ after treatment with 10-6M NP and 10-6M E2 for both 2 h and 6 h was localized in the cytoplasm (data not shown).

Fig. 3 – Western blot analysis and nuclear and cytoplasmic quantification of ERα andERβ after 2 h of exposure to 10-6M NP and E2. a, response significantly different thanthe cytoplasmatic control (P < 0.05); b’, response significantly different than the nuclear
control (P < 0.01).

Fig. 4 – Western blot analysis and nuclear and cytoplasmic quantification of ERα andERβ after 6 h of exposure to 10-6M NP and E2. a, response significantly different thanthe cytoplasmatic control (P < 0.05); b’, response significantly different than the nuclear
control (P < 0.01).

44

In order to confirm immunofluorescence data, after separation of cytoplasmic and nuclear proteins we performed a translocation study of ERα and ERβ
with western blot analysis. Densitometric analyses were normalized for cytoplasmic and nuclear extracts with β-tubulin (55 KDa) and HDAC2 (55 KDa),
respectively. After 2 h of exposure (Fig. 3) we found ERα protein (66 KDa) in
the cytoplasm of NP treated and non-treated PNT1A cells whereas optical density values were significantly lower in E2 treated cells (Fig. 3 a,b). Moreover,after 2 h nuclear proteins revealed a signal only in E2 treated cells (Fig. 3a).
ERβ (56 KDa) after 2 h of treatment was found only in cytoplasmic fractions(Fig. 3a,c). After 6 h of exposure (Fig. 4) we observed a nuclear translocation of
ERα both in NP and E2 treated cells (Fig. 4a,b). However, densitometry did notreveal significant differences in nuclear extracts between NP and E2 treatedcells (Fig. 4 b). In contrast, values were significantly lower in the cytoplasm intreated cells compared to control (Fig. 4 b). ERβ was found only in cytoplasmatic fractions (Fig. 4a,c) and there were not significant differences in opticaldensity between treated and non-treated cells (Fig. 4c).

Fig. 5 – Western blot analysis and nuclear and cytoplasmic quantification of ERα after
pre-treatment with 10-5 M ICI 182,780 (+I).

Western blot for ERα localization performed in presence of 10-5M ICI after 2(Fig. 5a,b) and 6 h of treatment (Fig. 5c,d) revealed ERα exclusively in the cytoplasm, with a weak signal in the nuclear extracts after 6 h of exposure (Fig. 5c).
In order to investigate if NP is able to affect gene expression, RT-qPCR
analysis of genes involved in cell cycle regulation and in pathological states of
prostate was performed after 24 h of exposure. NP enhanced mRNA levels of
Cyclin D (Fig. 6a), Cyclin E (Fig. 6b), Ki67 (Fig. 6c) and IL1-b (Fig. 6e) while
it did not affect p53 expression (Fig. 6d). Interestingly, ICI reduced gene ex-45

pression of Cyclin D (Fig. 6a) and Ki67 (Fig. 6c) in PNT1A cells treated withNP, while it did not inhibit gene expression of Cyclin E (Fig. 6b) or IL1-b (Fig.
6e). E2 significantly affected gene expression up-regulating Cyclin D (Fig. 6a)and Ki67 (Fig. 6c). This induction was strongly inhibited by ICI (Fig. 6a,c).

Fig. 6 – RT-qPCR analysis after 24 h of exposure to 10-6 M NP and E2, alone or in
combination with 10-5M ICI (+I). Cyclin D (a), Cyclin E (b), Ki67 (c), p53 (d) and IL1b(e) relative mRNA levels were normalized using GAPDH as housekeeping gene. a, response significantly different than the vehicle control (P< 0.05); a’,response significantly different than the vehicle control (P < 0.01); a”, response significantly different thanthe vehicle control (P < 0.001) b, response significantly different than cells without ICI(P < 0.05); b’, response significantly different than cells without ICI (P < 0.01).

In order to investigate the effects of an antiandrogenic compound, LNCaP
cells were exposed to DBP and E2 range from10−5 M to 10–13 M. After 24 h of
exposure, E2 increased LNCaP viability with the higher effect showed at 10−9
M (Fig. 7b). Instead, DBP induced a decreased cells viability with the greatest
effect at 10−8 M (Fig. 7a).
In order to investigate a possible interaction among DBP with estrogen andandrogen receptors in the cells, we performed immunofluorescence after 30
minutes, 2 h and 4 h of exposure to DBP 10−8 M and E2 10− 9M. After 30 min oftreatment, control cells and treated with DBP and E2 showed ERα in the cytoplasm. After 2 h DBP did not affect ERα localization, that was localized in thecytoplasm as in control cells. ERα shifted from cytoplasm to nucleus after 4 hof treatment with DBP. On the contrary, both after 2 h and 4 h, E2 induced ERαtranslocation from the cytoplasm to the nucleus that appeared to be strongly46

positive (Data not shown). DBP did not affect ERβ localization at any time of
exposure: ERβ was localized in the cytoplasm of LNCaP cells with no fluorescent signal in cell nuclei as in control cells. Instead E2 translocated ERβ fromthe cytoplasm to the nucleus after 4 h (Data not shown). AR localization was
also investigated, and data showed that DBP did not interfere with AR localization which was perinuclear in both control and treated cells after 30′, 2 h and 4 hof exposure. Only after 4 h of treatment E2, AR translocated from the cytoplasm to the nucleus (Data not shown).

Fig. 7 – MTT assay after 24 h of exposure to DBP and E2 from 10−5 M to 10–13 M. In
graphs are reported the absorbencies measured at 570 nm which correlates with numberof living cells. (**p<0,01; ***p<0,001).

Western blot analysis was performed after 24 h of exposure with DBP 10 −8
M and E2 10−9 M in order to evaluate the expression of MCT4 and Cyclin D1
involved in cell cycle regulation, the expression of pro-apoptotic proteins suchas Bax and Bak and protein expression of estrogen and androgen receptors.
Densitometric analysis was normalized with β-actin (42 kDa). The densitometric analysis revealed higher levels of MCT4 and Cyclin D1 proteins in E2 treated cells (Figs. 8 b, c) compared to DBP treated and control cells. Treatment
with DBP significantly enhanced both Bax (Fig. 8 d) and Bak (Fig. 8 e) protein
expressions, instead treatment with E2 significantly decreased Bax expression(Fig. 8 d) and didn’t interfere with Bak expression (Fig. 8 e). ERα protein expression was drastically reduced by DBP treatment (Fig. 8 f), in contrast E2
strongly increased its expression (Fig. 8 f). Regarding to ERβ and AR only thetreatment with E2 induced a significant increase of their expressions (Fig. 8 g, h).

47

Fig. 8 – Western blot analysis after 24 h of exposure to DBP 10 −8 M and E2 10−9 M.
The graphs represented the optical density (O.D.) ratio of MCT4 (b), cyclin D1 (c), Bax(d), Bak (e), ERα (f), ERβ (g), AR (h) normalized on β actin. (*p<0,05; ** p<0,01;***p<0,001).

Fig. 9 – RT-qPCR analysis after 24 h of exposure to DBP 10−8 M and E2 10−9 M.
(*p<0,05; ** p<0,01; ***p<0,001).

48

Finally, after 24 h of exposure with DBP 10−8M and E2 10−9M, RT-qPCR
was performed to evaluate expression of genes involved in cell cycle regulationsuch as MCT4, Ki67 and Cyclin D1. DBP didn’t interfere on mRNA levels of
MCT4 (Fig. 9a); on the contrary DBP strongly decreased expression of Ki67
(Fig. 9b) and Cyclin D1 (Fig. 9c) of 50% and 40% respectively. Conversely, E2enhanced MCT4 expression of 30% (Fig. 9a), and it didn’t significantly interfere on Ki67 (Fig. 9b) and Cyclin D1 expression (Fig. 9c).
4 - CONCLUSIONS

Prostate gland plays a key role in male fertility. Its main function is to produce secretion (20–30% of the total ejaculation) that provides essential components for sperm quality and survival. Androgens have a significant function in
prostate development and differentiation. Also estrogens have been demonstrated to have direct effects on prostate gland development and adult homeostasis
but small changes in their levels might play a role in the aetiology of prostatic
diseases (McPherson et al., 2008; Prins, Korach, 2008). Several epidemiological studies reveal that chronic or intermittent exposure to different classes of
EDCs may affect the development and progression of prostate disorders (Van
Maele-Fabry et al., 2006).
Hence the aim of our project was to evaluate the effect of nonylphenol (NP)and dibutylphthalate (DBP) on human prostate cells. To better understand exogenous and endogenous compounds involvement in prostate gland and to investigate possible mimetical behaviour by NP and DBP, cells were also treatedwith the endogenous hormone 17 β-estradiol (E2).
Regarding NP, obtained results suggest that NP was able to stimulate
PNT1A cells proliferation after 24 h of exposure at 10-6M as well as E2 did.
However, E2 affected PNT1A cells proliferation also at lower concentrations.
Interestingly, ICI reverted NP and E2 proliferative stimuli indicating that bothcompounds were able to bind ER receptors. We studied the localization and theexpression of estrogen receptors demonstrating that E2 induced cytoplasmnucleus translocation of ERα at both 2h and 6h, while NP only after 6h. Surprisingly, both E2 and NP did not affect ERβ localization. ICI inhibited the ERαtranslocation observed with NP and E2 alone. Both proliferation and localization data confirm the estrogenic activity of NP. However, the greatest biologicalresponses showed by E2 can be explained by its best binding affinity with ERs
compared to NP (Laws, 2000). To assess if the presence of ERα in the nucleus
led to the activation of transcription, we analysed gene expression of E2 genetargets also known to be deregulated in pathological state of the prostate. We
demonstrated that NP was able to upregulate Cyclin D, Cyclin E, Ki67 and IL1b gene expression whereas E2 induced upregulation only of Cyclin D and Ki67. Moreover, we showed that up-regulation of Cyclin D and Ki67 is mediated49

by estrogen signaling pathways, while the induction of Cyclin E and IL1-b involved an estrogen independent pathways, since ICI did not revert this induction. These results of gene expression were in agreement with the showed induced proliferation caused by NP and E2. In this regard, it is well known that
Cyclin D and Cyclin E promoting G1/S phase transition of cell cycle (Kastan
and Bartek, 2004) and are often used to screening the carcinogenic potential of
EDCs (Diamanti-Kandarakis et al., 2009).
Differently DBP act on LNCaP cells with different effects than E2. DBP reduces LNCaP cellular viability at 10−8 M; on the contrary E2 at 10−9 M stimulated cellular viability of prostate cell line. Then, in order to evaluate expressionof genes and proteins involved in cellular proliferation and in cell cycle regulation, after 24 h of treatment with DBP 10−8 M and E2 10−9 M, we performed
two different approaches: RT-qPCR and western blot analysis. DBP treatment
did not interfere with MCT4 gene and protein expression, instead E2 enhanced
both of them. MCT4 belongs to the family of the monocarboxylate transporterand it is thought to be involved in the cellular efflux of lactic acid/H+; highly
MCT4 expression has been associated in cancer progression by promoting several oncogenic processes (Sanità et al., 2014). Gene expression of Ki67, a wellknown marker of cell proliferation, is decreased after treatment with DBP but
not after E2 treatment. Some studies have shown that estrogens might play adecisive role in some processes such as the development of prostate cancer (Susa et al., 2015). DBP was able to decrease gene and protein expression of cyclin
D1, on the contrary E2induced a strongly increase of cyclin D1 protein expression. Cyclin D1 is an estrogen response target and it promotes G1/S phase transition of cell cycle (Kastan, Bartek, 2004). To better understand trough which
pathway DBP induced a decreased cell viability, we evaluated protein expression of two different pro-apoptotic proteins involved in intrinsic apoptosis
pathway: Bax and Bak. DBP, contrarily to E2, strongly enhanced their expression, suggesting a DBP involvement in programmed cell death processes.
Moreover, to assess estrogen (ER) and androgen (AR) receptors participation,
we evaluated the expression of ERs and AR with western blot. We showed a reduced expression of ERα after treatment with DBP and a significant increase of
its expression after E2 treatment. It has been demonstrated that ERα appears to
be involved in cellular proliferation and carcinogenesis of prostate (Prins, Korach, 2008). Furthermore, DBP did not interfere with ERβ and AR expression,
instead E2 increased the expression of both of them. The E2 action on both ERs
and AR expression is in agreement with Susa et al. (2015) that showed E2 involvement in the activation of AR pathway (Susa et al., 2015). Finally, we studied ERα, ERβ and AR localization after 30 min, 2 h and 4 h of treatment. DBP
induced ERα cytoplasm-nucleus translocation only after 4 h of treatment; conversely E2 affected ERα localization after 2 h and 4 h. ERα nuclear transloca-

50

tion is linked to its activation and it was not surprising that E2 had highest effects than DBP.
DBP did not interfere with ERβ and AR localization indicating that its effects on LNCaP cells are not linked with AR interaction as also reported by
Hrubá et al. (2014). On the contrary E2 was able to induce ERβ and surprisingly also AR cytoplasm-nucleus translocation after 4 h. It has been demonstrated
that AR might be activated by other steroid hormones and E2 shows affinity for
its LBD domain so it can be able to activate transcription of AR target genes(Susa et al., 2015).
In conclusion, we demonstrated that NP and DBP acts on PNT1A and
LNCaP cells through the activation of ERα pathway and they may be involvedin a deregulation of cell cycle which in turn may contribute to pathologicalstates of prostate gland.
However, more cellular and in vivo models will be needed in order to best
characterize the risk of NP and DBP exposure for prostate diseases.
Alkylphenols and phthalates are only two of the components of the mixtureof EDCs which human population is non-stop exposed. Thus, it is very important to compare the effects of environmental compounds with anti-estrogenic
and anti-androgenic properties in order to explore the crosstalk between different hormonal signaling pathways.
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53

Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 55-59
DOI 10.32092/1018

Brain metabolic DNA is reverse transcribedby mitochondrial telomerase
Joyce Casalino1, Marina Prisco1, Salvatore Valiante1, Marianna Crispino1 andAntonio Giuditta2
Presentata dal socio Antonio Giuditta(Adunanza del 21 giugno 2019)

Keywords: mtDNA, BMD, telomerase, mitochondria, reverse transcription.
Abstract - Brain metabolic DNA is synthesized by a cytoplasmic RNA-dependent DNA
polymerase present in synaptic regions. Preliminary immunofluorescence analyses
suggest that BMD reverse transcription is catalyzed by mitochondrial telomerase. The
data are in agreement with additional observations.
Riassunto - Il DNA metabolico del cervello è sintetizzato da una DNA polimerasi RNA
dipendente presente nelle regioni sinaptiche. Analisi preliminari di immunofluorescenza
suggeriscono che la trascrizione inversa del BMD è catalizzata dalla telomerasi
mitocondriale. Tale dato concorda con diverse altre osservazioni.
1 - INTRODUCTION

In experiments made in the early seventies the distribution of brain metabolic
DNA (BMD) in subcellular fractions indicated its prevalence in mitochondrial
fractions (Rutigliano and Giuditta, 2015; Giuditta et al., 2017), thus raising thepossibility that it could be related to mitochondrial DNA. The possibility of adirect connection with mtDNA replication was discarded in view of theconsiderably faster rate of BMD synthesis. In any case, the distribution of BMD----------------------1
Dipartimento di Biologia, Università Federico II di Napoli; 2giuditta@unina.it.

55

and mitochondrial cytochrome-oxidase in subcellular fractions turned out to becompletely different, thus negating any indirect connection (Rutigliano andGiuditta, 2015). It should however be mentioned that at that time cytochromeoxidase and the entire electron transport chain were assumed to be exclusively
present in mitochondria while in recent studies they have been identified inseveral different locations of the nervous system, including myelin and retinal
photoreceptors (Ravera et al., 2011; Calzia et al., 2014). Hence, earlier resultscannot be considered to have invalidated the possible connection between BMD
and mitochondria.

Fig. 1 – Purified brain synaptosomes from an adult rat. Left panel, dsDNA is visualizedwith Hoechst; right panel, dsDNA is almost completely lost after DNase treatment.

Previous experiments have also demonstrated that newly synthesized BMD
originates from a cytoplasmic reverse transcriptase eliciting the synthesis of a
DNA-RNA hybrid eventually attaining the double stranded configuration
before being partly transferred to nuclei (Giuditta and Rutigliano, 2018). The
initial presence of the hybrid configuration was subsequently confirmed by thecolocalization of BrdU-labeled BMD with DR hybrids (Prisco et al., 2019)
which allowed to use anti-DR-hybrid antibodies as markers of newly
synthesized BMD. Additional experiments have shown that BrdU-labeled
BMD colocalizes with synaptophysin and GFAP (Prisco et al., 2019), thus
implying its localization in presynaptic and astroglial synaptosomes. BMD isalso present in a variety of squid optic lobe synaptosomes, including thosederived from the large nerve terminals of retinal photoreceptors (Cefaliello etal., 2019).
The recent discovery that telomerase is not exclusively localized in
mammalian nuclei but it is also exerting its reverse transcription in mitochondria(Sharma et al., 2012; Saretzki G. 2014; Eitan et al., 2016) has suggested that
BMD might be synthesized by the mitochondrial telomerase. The possibility has
been evaluated by determining the colocalization of synaptosomal DR hybrids
with mitochondrial telomerase.

56

2 - METHODS

Purified brain synaptosomes were prepared from an adult male Wistar rat anda young male C57 mouse by using a standard protocol (Eyman et al., 2007). The
presence of synaptosomal dsDNA was established by treating rat synaptosomeswith Hoechst (1 µg/ml, 5 min) and exposing a different synaptosomal aliquot
with 1U DNase (Thermo Fisher, 1U/µl; 37 °C, 30 min).
The rabbit anti-telomerase antibody (Abcam) was identified by the anti-rabbit
green fluorescent Alexafluor 488 secondary antibody (Abcam), while the mouseanti-DR hybrid antibody (Kerafast) was identified by the anti-mouse red
fluorescent Alexafluor 594 secondary antibody (Abcam).

Fig. 2 – Colocalization of DNA-RNA hybrids (red fluorescence) with telomerase (green
fluorescence) in a purified synaptosomal fraction from a young mouse.
3 - RESULTS

The first experiment aimed at visualizing double stranded DNA in purified
brain synaptosomes by treating them with Hoechst. The wide distribution of
Hoechst generated blue fluorescence is clearly shown in Fig. 1, left panel; itsalmost complete disappearance after DNase treatment further confirmed its
nature (Figure 1, right panel). Comparable data were previously obtained bycesium gradient analyses of rat BMD (Giuditta and Rutigliano, 2018) andimmunofluorescence experiments with mice BMD (Prisco et al., 2019).
The possible colocalization of DR hybrids with the mitochondrial telomerase
was examined in purified synaptosomes from a young mouse. As shown in Fig.
2, the green fluorescent anti-telomerase antibody colocalized with the red
fluorescent anti-DR-hybrids antibody, thus indicating that mitochondrial
telomerase colocalized with DR hybrids previously shown to originate fromnewly synthesized BMD (Prisco et al., 2019).

57

The latter result was confirmed by an additional visualization of the purified
synaptosomes in a Zeiss Axioskop fluorescence microscope and a Zeiss Z.1 Lightsheet microscope (Fig. 3).

Fig. 3 – Colocalization of DNA-RNA hybrids (red fluorescence) with telomerase (green
fluorescence) in purified synaptosomes from a young mouse.
4 - DISCUSSION

The involvement of mitochondrial telomerase in the reverse transcription of
BMD is suggested by the colocalization of anti-telomerase and anti-DR hybrids
antibodies in purified brain synaptosomes. While this result is encouraging,
additional evidence will be needed to further support this conclusion.
Nonetheless, it may be worth mentioning that this suggestion is in full agreementwith a number of observations that have recently been made or have been
erroneously interpreted in the past.
One observation regards the chromosomal alignment of BMD sequences
obtained from learning and control mice (Angelini et al., 2018). Values of aligned
sequences, duly standardized to chromosome size and sequencing depth, wereclosely comparable in most chromosomes, with the exception of chromosomes 2
and 9 in which values doubled, and chromosomes X e Y in which values halved.
The only substantial exception regarded mitochondria which exhibited values
several orders of magnitude larger than in all other chromosomes. This uniqueextremely high concentration of BMD sequences is likely to indicate the crowed
mitochondrial origin of all sequences.
An additional indication was provided by the considerably higher BMD
content of purified mitochondria with respect to synaptosomes of adult rats
(Giuditta and Rutigliano, 2018). These surprising data were however attributed
to tissue fragments contaminating the mitochondrial fraction since at that time(early seventies) the different subcellular distribution of BMD and cytochromeoxidase excluded any connection between mitochondria and BMD, as alreadymentioned in the Introduction.

58

The third stronger indication concerned the electrophoretic mobility ofcytoplasmic BMD purified from learning and control mice. In all mice itcorresponded to about 17 kbp (Giuditta et al., in preparation), that is essentiallythe same of mtDNA (16,660 bp). Provided this result will not turn out to be amere coincidence, BMD reverse transcription should be attributed tomitochondrial telomerase using as RNA template the polycistronic mtDNA
transcript clearly endowed with the same size of mtDNA.
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59

Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 61-75
DOI 10.32092/1018

Le RIP (proteine inattivanti i ribosomi): struttura e potenziali
applicazioni biotecnologiche
Nota del socio Alberto Di Donato1 e di Antimo Di Maro2(Adunanza del 20 dicembre 2019)
Keywords: immunotoxins, ribosome inactivating proteins, ricin.
Abstract - Ribosome inactivating proteins (RIP), found in many plants, are able to alter
28S rRNA, by depurinating a single adenine (N-β-glycosidase activity) and making ribosomes unable to operate protein synthesis. They include type 1 RIP, consisting of a single
chain, and type 2, consisting of an A chain with N-glycosidase activity bound to a lectin
B chain able to bind glycidic chains with galactosyl residues. B chain binds receptors oncell surface, allowing A chain to enter cytoplasm and exert its enzymatic activity. For thisreason, many type 2 RIP are powerful toxins (e.g.: ricin), whereas type 1 RIP are lesstoxic because of their difficulty to enter the cell. Due to their properties, RIPs can be used
for different biotechnological applications such as: i) possible antiviral agents in bothplants and animals; ii) conjugated to carrier molecules in biomedical applications.
Riassunto – Le proteine inattivanti i ribosomi (ribosome inactivating proteins, RIP), isolate da numerose piante, alterano l’rRNA 28S, depurinando una specifica adenina (attività
N-β-glicosidasica), rendendo i ribosomi incapaci di operare la sintesi proteica. Le RIP
possono essere di tipo 1, costituite da una sola catena, o di tipo 2, costituite da una catena
A con attività N-β-glicosidasica unita ad una catena B lectinica capace di legare catene
glucidiche con residui di galattosio. La catena B si lega a recettori sulla superficie cellulare, permettendo l’entrata nel citoplasma della catena A, dove esercita la sua attività enzimatica. Per questo motivo, molte RIP di tipo 2 sono potenti tossine (es., la ricina); mentre le RIP di tipo 1 penetrano con difficoltà nelle cellule e di conseguenza sono relativamente poco tossiche. Per le loro proprietà, le RIP possono essere utilizzate per possibili
1

Dipartimento di Biologia, Università Federico II di Napoli, Complesso Universitario diMonte S. Angelo, via Cinthia, 80126 Napoli e Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche della Società Nazionale di Scienze, Lettere e Arti in Napoli, via Mezzocannone 8,80134 Napoli.
2
Dipartimento di Scienze e Tecnologie Ambientali Biologiche e Farmaceutiche, Università degli Studi della Campania Luigi Vanvitelli, Via Vivaldi 43, 81100 Caserta.

61applicazioni biotecnologiche come: i) possibili agenti antivirali sia in piante che animali;ii) coniugati a molecole vettrici in applicazioni biomediche.
1 - INTRODUZIONE

Le tossine di origine vegetale sono molecole prodotte e secrete dalle piante
superiori per difendersi dai predatori. Esse includono molecole che hanno un effetto tossico sugli organismi bersaglio, siano essi microbi, insetti, animali o piante
parassite. Le tossine vegetali possono essere sia piccole molecole organiche (metaboliti secondari) che macromolecole complesse, come proteine/enzimi che riconoscono peculiari bersagli in grado di arrestare la crescita dei parassiti o provocarne la morte. Tra queste, le RIP ‘ribosome inactivating proteins’ sono le tossine più studiate date le loro peculiarità strutturali ed enzimatiche alla base diinteressanti applicazioni, sia nel settore farmaceutico che in campo agricolo. Lo
studio delle RIP prosegue da decenni, poiché è importante comprenderne il ruolo
biologico nelle piante e i meccanismi struttura/funzione alla base della loro citotossicità. D’altro canto la loro tossicità è nota da oltre un secolo, quando fu isolata
la prima RIP dai semi di ricino, una proteina tossica, poi chiamata ricina.
2 - ATTIVITA’ ENZIMATICA, STRUTTURA E DISTRIBUZIONE

Le proteine inattivanti i ribosomi conosciute con l’acronimo di RIP, appartengono a una classe di enzimi (EC 3.2.2.22) ampiamente distribuita in piante,
funghi (Girbes et al. 2004) e ritrovata fino ad ora in un’unica alga (Liu et al.
2002). Le RIP presentano un’attività rRNA N-β-glicosidasica, che porta alla scissione di un singolo residuo di adenina in un sito conservato dell’rRNA 28S denominato Loop α-Sarcina Ricina (SRL) (Endo e Tsurugi 1987). In particolare,l’adenina scissa nell’rRNA 28S di ratto è la numero 4324 (Fig. 1).
La scissione del singolo legame N-β-glicosidico è irreversibile e l’assenzadella singola adenina, impedisce l’associazione dei fattori di allungamento con il
ribosoma (EF-G e EF-2 in procarioti ed eucarioti, rispettivamente) portando alblocco della sintesi proteica, provocando la morte cellulare per apoptosi(Montanaro et al. 1975). Oltre agli effetti citotossici alcune RIP hanno effetti biologici specifici su differenti linee cellulari e/o su organismi in toto. Tuttavia, queste attività aggiuntive possono in alcuni casi non dipendere direttamente dall’attività N-β-glicosidasica. Inoltre, in letteratura è riportato che alcune RIP sono attive su substrati differenti dall’rRNA (Barbieri et al. 1994). In alcuni casi si è
riscontrata la capacità di alcune RIP di agire su DNA, lipidi, chitina e ione superossido, esibendo quindi attività DNasica, fosfatasica, chitinasica e superossido
dismutasica (Stirpe 2013).

62

Fig. 1 – Struttura secondaria dell’rRNA 28S di ratto nel quale il residuo di adenina (evidenziato in grassetto) viene eliminato dall’azione delle RIP.

La maggior parte delle RIP può essere classificata in due gruppi, che si distinguono in base all’assenza (RIP di tipo 1) o alla presenza (RIP di tipo 2) di una
catena lectinica (la catena B) legata ad una catena “tossica” (catena A) tramite
interazioni idrofobiche e un ponte disolfurico intracatena (Fig. 2) (Barbieri et al.
1993). La catena enzimatica A promuove il rilascio del residuo di adenina equindi possiede l’attività rRNA N-β-glicosidasica tossica. La catena lectinica B,
dove presente, si lega in modo specifico a recettori galattosil terminali presenti
sulla superfice cellulare dei mammiferi, promuovendo l’ingresso della catena A
nelle cellule (IC503 sulla linea cellulare Hela 0,0003-1,7 nM) (Stirpe e GilabertOriol 2017). L’assenza della catena lectinica B limita in modo significativo l’accesso delle RIP di tipo 1 nelle cellule, determinando una loro minore citotossicità(IC50 sulla linea cellulare Hela 170-3300 nM) (Stirpe e Gilabert-Oriol 2017). Oltre ai due principali gruppi, alcune RIP come la b-32 isolata dal mais presentano
una struttura risultante dall’unione di due polipeptidi (di circa 15 e 9 kDa) dotati
di attività N-β-glicosidasica. Queste RIP costituiscono secondo alcuni autori il
gruppo delle RIP di tipo 3, mentre per altri rappresentano soltanto un singolaresottogruppo di RIP di tipo 1 (Hey et al. 1995; Chaudhry et al. 1994).
Le RIP di tipo 1 sono proteine a catena singola di circa 30 kDa con un punto
isoelettrico basico e un IC50 in vitro minore di 0,01 - 4,0 nM (Stirpe e GilabertOriol 2017). Tra le più note vi sono la PAP (da Phytolacca americana L.), la
Concentrazione di inibitore (farmaco, enzima, tossina o veleno) necessaria ad inibire il
50% del bersaglio in esame (enzima, cellula, recettore o microrganismo).
363tricosantina (da Trichosanthes kirilowii L.), la gelonina (da Gelonium multiflorum L.), le PD-S/PD-Ls (da Phytolacca dioica L.), e le saporine (da Saponaria
officnalis L.).
La maggior parte delle RIP di tipo 2 provenienti da piante superiori ha una
struttura dimerica (circa 60 kDa), un punto isoelettrico compreso tra 6 e 8 e valori
di IC50 in vitro compresi tra 43 e 88 nM (Stirpe e Gilabert-Oriol 2017). Tra le piùnote vi sono la ricina (da Ricinus communis L.), l’abrina (da Abrus precatorius
L.) e l’ebulina (da Sambucus ebulus L.).
Alcune RIP di tipo 2 sono costituite da una singola catena A con attività Nβ-glicosidasica che interagisce con più catene B capaci di legare differenti recettori glicosil terminali sulla superficie cellulare. Esempi di tali proteine, dotate di
struttura quaternaria complessa includono, RIP tetrameriche e ottameriche isolate
dal genere Sambucus (Girbes et al. 1993).

Fig. 2 – Rappresentazione delle RIP di tipo 1 e di tipo 2 (con catena enzimatica A e
lectinica B). Per la catena B lectinica è messa in evidenza l’organizzazione in domini e
motivi alla base del riconoscimento degli zuccheri.

Le strutture tridimensionali delle RIP di tipo 1 sono accumunate da uno stesso
ripiegamento, noto come ‘RIP fold’. In particolare, il ‘RIP fold’ è costituito da
un dominio N-terminale risultante dall’unione di α-eliche e β-foglietti e un dominio C terminale dove sono presenti prevalentemente α-eliche (Monzingo et al.
1993). Un residuo di glutammato, di arginina e di triptofano sono strutturalmenteconservati nel sito catalitico e la specificità enzimatica delle diverse RIP è determinata da piccole variazioni conformazionali della struttura delle singole catene
polipeptidiche, in particolare in regioni circostanti il sito catalitico, che influenzano il legame enzima-substrato (Di Maro et al. 2014). Ciò è confermato da studi

64strutturali effettuati utilizzando analoghi dei substrati. Tali studi indicano che laspecificità enzimatica di ogni singola RIP dipende dalla stabilità degli stati ditransizione durante il processo di legame substrato-enzima e durante la catalisi(Ghosh e Batra 2006; Guo et al. 2003). Questi studi indicano che differenti valori
di pH ottimali per l’attività enzimatica e diverse modalità di legame degli analoghi dei substrati originano da differenze strutturali che riguardano il sito attivo(Gu e Xia 2000; Watanabe et al. 1994).
Per quanto riguarda le caratteristiche strutturali delle RIP di tipo 2, la catenaA è strutturalmente simile alla struttura delle RIP di tipo 1, mentre la catena B è
una proteina globulare con due domini (domino 1 e 2) omologhi presenti all’Ne al C terminale, ciascuno costruito da tre motivi omologhi, chiamati α, β e γ, cheprobabilmente derivano da eventi di duplicazione genica da un motivo ancestrale
di riconoscimento dei carboidrati (Rutenber et al. 1987). Ciascun dominio è costituito da circa 40 residui amminoacidici. Sebbene i sottodomini α, β e γ abbianola stessa conformazione di base, solo i motivi 1α e 2γ, alle estremità della catena
B, hanno la capacità di legare monosaccaridi facenti parte di catene glicidiche
complesse legate a proteine di membrana (Fig. 3). La catena B, che non influenza
in alcun modo l’attività N-β-glicosidasica delle RIP di tipo 2, riveste un ruolo
rilevante nella capacità di rendere le RIP di tipo II altamente tossiche nei confronti
di determinate linee cellulari dato che i motivi 1α e 2γ possono riconoscere recettori contenuti nelle strutture glicidiche contenenti galattosio, mannosio o acido
sialico con differente capacità di legame. Inoltre, sostituzioni amminoacidiche nei
motivi 1α e 2γ, che ne compromettono la struttura, rendono alcune RIP di tipo 2
poco tossiche perdendo la capacità di interagire con le catene glicidiche complesse (Iglesias et al. 2018).
Il maggior numero di RIP è stato isolato dalle Angiosperme, in particolare inalcune famiglie (Caryophyllaceae, Sambucaceae, Cucurbitaceae, Euphorbiaceae,
Phytolaccaceae e Poaceae) mentre non sono state isolate RIP dalle Gimnosperme(Di Maro et al. 2014). Molti di questi enzimi sono generalmente espressi in differenti tessuti della pianta (ad esempio le saporine sono presenti in foglie, semi eradici di Saponaria officinalis L.) (Ferreras et al. 1993) sebbene siano noti esempi
di piante che ne mostrano la presenza solo in tessuti specifici (ad es. la ricina nei
semi di Ricinus comunis L.). La loro espressione è strettamente correlata
all’omeostasi, essendo la risposta a condizioni di stress abiotico e biotico comecalore, stress osmotico, freddo, salinità, o in seguito all’attacco di virus, microrganismi, insetti e funghi patogeni (Stirpe et al. 1996).
La maggior parte delle RIP è risultata citotossica nei confronti di differenti
linee cellulari tumorali in vitro ed in vivo (Gilabert-Oriol et al. 2014). Da quantoriportato in letteratura, sembra che la citotossicità sia dovuta alla loro attività enzimatica di danneggiare i ribosomi nel citoplasma, ma è anche fortemente correlata al percorso di internalizzazione cellulare. Infatti, la loro entrata nel citoplasma promuove l’inattivazione dei ribosomi con conseguente morte cellulare per65

apoptosi (Lord e Spooner 2011). Ciò è confermato dall'esistenza di RIP di tipo 2
non tossiche, identificate in alcune piante (ad es. Sambucus), che pur possedendo
attività rRNA N-β-glicosidasica, non sono tossiche perché sono degradate a seguito di un’internalizzazione con percorsi intracellulari non ancora del tutto
chiari, differenti dalle RIP di tipo 2 tossiche (Girbes et al. 1993; Tejero et al.
2015).
Tuttavia, la possibilità di dirigere selettivamente le RIP verso specifici bersagli cellulari da eliminare, come indicato dai diversi percorsi di internalizzazione,
mette in risalto le grosse potenzialità di questi enzimi per possibili applicazioni
in campo biomedico, come dimostrato da numerosi studi preclinici e clinici(Gilabert-Oriol et al. 2014). Sulla base di tali osservazioni e tenendo conto delletecniche biotecnologiche ad oggi disponibili, che permettono di scegliere selettivamente le popolazioni cellulari da eliminare con specifici vettori, le RIP sono
sempre più utilizzate (Polito et al. 2016). In parallelo, l’ingegneria proteica sta
migliorando nel contempo il meccanismo di ingresso cellulare di questi preparati
tossici, la loro specificità, così come la loro emivita nel plasma e la loro resistenza
alle proteasi nei liquidi extracellulari o nel citoplasma, riducendone la loro antigenicità.
3 - POTENZIALITA’ APPLICATIVE DELLE RIP

La citotossicità delle RIP è stata studiata in vivo e in vitro su un ampio numero
di linee cellulari cancerose e non, mostrando che ogni RIP è in grado di danneggiare (azione citostatica) o uccidere (azione citotossica) differenti linee cellulari.
Queste azioni richiedono l’entrata delle RIP di tipo 1 o della catena A delle RIP
di tipo 2 nel citoplasma delle cellule bersaglio per esplicare l’attività rRNA N-βglicosidasica sui ribosomi. Il passaggio dall’esterno all’interno della cellula è uno
dei punti nevralgici alla base della differente citotossicità delle RIP di tipo 1 e ditipo 2, ed è strettamente correlata con il percorso intracellulare, una volta attraversata la membrana plasmatica. Tale percorso può variare sia in base alle caratteristiche strutturali delle RIP, sia in base all’ultrastruttura delle cellule in esame,e dipende: i) dai ligandi sulla superficie cellulare; ii) dall’indirizzamento dei complessi RIP-recettore nella cellula bersaglio; e iii) dal numero di catene integre(RIP di tipo 1 o catena A delle RIP di tipo 2) capaci di esplicare la loro azione
enzimatica nel citoplasma (de Virgilio et al. 2010).
In generale, i macrofagi e i trofoblasti sono risultati le cellule con maggioresensibilità alle RIP, probabilmente a causa della loro capacità di interagire con un
vasto numero di molecole esterne, data la presenza di un elevato e diversificato
numero di recettori o strutture recettoriali sulla loro superficie (Barbieri et al.
1993). In genere, le RIP entrano nella cellula legandosi prima a recettori o strutture della superficie cellulare, dopodiché attraversano la membrana plasmatica

66

mediante endocitosi ed infine, vengono traslocate nel citoplasma, fluendo attraverso un determinato compartimento intracellulare (che di preferenza è il Golgi)(de Virgilio et al. 2010). Le RIP di tipo 2 (ad es. la ricina) interagiscono con la
membrana plasmatica, dopo essersi legate a strutture contenenti galattosio, riconosciute dalla catena lectinica B, attraversano la membrana plasmatica per endocitosi e arrivano alle vescicole dell’apparato del Golgi. Il contenuto delle vescicole viene quindi rilasciato e trasportato mediante un successivo trasporto vescicolare retrogrado fino al reticolo endoplasmatico (RE). Una volta nel lume delRE, le catene A e B delle RIP di tipo 2 subiscono un processo di dissociazione,
ed infine, una minima quantità di catena A trasloca nel citoplasma dove, esplicando la sua attività rRNA N-β-glicosidasica, danneggia i ribosomi (SowaRogozinska et al. 2019).
Al contrario, data la loro struttura monomerica, le RIP di tipo 1 mancano dellacatena lectinica B, mostrando una maggiore difficoltà ad entrare nelle cellule(motivo per cui sono meno tossiche). Tuttavia, la maggior parte degli studiosiconcorda sul fatto che le RIP di tipo 1 necessitano di specifici meccanismi diaccesso, ancora poco noti o sconosciuti. Una volta internalizzate, le RIP di tipo 1
vengono rilasciate nel citoplasma attraverso un percorso diverso da quello utilizzato dalla catena A della ricina, indipendente dalla via del Golgi, che ne limita latossicità, portando ad un inefficiente rilascio nel citoplasma (Polito et al. 2013).
4 - UTILIZZO DELLE RIP IN CAMPO BIOMEDICO (IMMUNOTOSSINE E CONIUGATI)

Un approccio ipotizzato da Paul Ehrlich all’inizio del 1900 per lo sviluppo difarmaci mirati (‘magic bullet’ in inglese) volto a migliorare l'efficacia terapeutica
di nuovi farmaci, utili a bloccare o eliminare cellule dannose dell’organismo (adesempio le cellule cancerose), è la combinazione di molecole capaci di riconoscere uno specifico bersaglio cellulare con un’altra/altre capace/i di attività citotossica nei confronti delle cellule che presentano tale bersaglio (Strebhardt e
Ullrich 2008). Un esempio è rappresentato dalle immunotossine, macromolecole
chimeriche ottenute combinando un anticorpo (vettore) con una tossina. Queste
macromolecole chimeriche si basano sulla capacità della tossina legata all’anticorpo di entrare nelle cellule bersaglio e di esplicare, dopo internalizzazione,
l’azione citotossica sulle cellule bersaglio. La specificità del bersaglio è data
dall’affinità dell’anticorpo selezionato nei confronti di uno specifico bersaglio(recettore, proteina di membrana o specifici polisaccaridi o lipidi complessi).
Queste molecole bifunzionali hanno una potente azione citotossica in vitro, ma illoro uso in vivo è spesso limitato o presenta problemi, data la capacità di indurre
la risposta immunitaria, tossica per il fegato, così come la capacità di danneggiare
i vasi sanguigni e bassa attività sui tumori solidi dati i problemi di diffusione nei
tessuti.

67

Negli ultimi anni, i progressi dell’ingegneria proteica, per la produzione di
anticorpi ricombinanti e delle tecniche biochimiche, per ottenere proteine di fusione, hanno portato ad un rapido aumento di biomolecole capaci di riconoscerespecifici bersagli, avendo maggior affinità per il bersaglio e di cui è più facile
studiare la farmacocinetica. In particolare, si sono ottenuti progressi nel diminuire
sia la grandezza delle molecole chimeriche, sia la loro antigenicità. Oggi le immunotossine sono considerate potenti ‘immunofarmaci’ specifici contro cellule
cancerose e utili per il trattamento di malattie virali o parassitarie.
Tale processo di evoluzione molecolare in vitro, ha portato le RIP di tipo 1 ele catene A delle RIP di tipo 2, ad essere attori di primo piano per un ampio spettro
di applicazioni. Infatti, tra le prime immunotossine prodotte, ci sono molecole
chimeriche basate sulle RIP generate accoppiando le RIP di tipo 1 o la catena A
delle RIP di tipo 2, con un anticorpo nativo (inizialmente da topo) attraverso leganti covalenti, generalmente ponti disolfurici, tra le due molecole (Fig. 3)(Vitetta et al. 1982).
Inoltre, le iniziali immunotossine basate sulle RIP, prevedevano l’utilizzo ditossine deglicosilate, al fine di ridurre legami non specifici o reazioni aspecificheo per diminuirne l’antigenicità che comprometterebbe l’azione di questi immunoconiugati. In particolare, tra le prime immunotossine ottenute vi è quella basata
sulla catena A della ricina deglicosilata legata ad un anticorpo monoclonale antiCD22 murino (un recettore presente sulle cellule tumorali della maggior parte deipazienti con leucemia linfoblastica acuta) (Ghetie et al. 1988). Successivamente,
avendo a disposizione un numero sempre maggiore di RIP di tipo 1, che evitano
procedure di separazione della catena A dalla catena lectinica B, sono state prodotte nuove immunotossine. Inoltre, la loro purificazione da piante differenti (lasaporina da S. officinalis, la PAP da P. americana e la tricosantina da T. kirilowii),
permetteva in linea di principio di poter avviare cicli di cure in cui gli immunoconiugati erano realizzati con RIP di tipo 1 differenti e quindi in grado di sfuggire
alla risposta anticorpale del paziente (Stirpe 2013).
Nonostante i risultati incoraggianti ottenuti, questi primi approcci sperimentali misero in evidenza svariati problemi per queste prime immunotossine, definite di prima generazione (Fig. 3). Tra i principali problemi riscontrati c’erano: i)scarsa stabilità dovuta al legame tra anticorpo e tossina; ii) composizione eterogenea e ridotta affinità di legame, causata da una non specifica coniugazione chimica; iii) scarsa penetrazione nella massa tumorale solida per le grosse dimensioni delle macromolecole (circa 100 kDa); iv) immunogenicità; e v) difficoltà diproduzione su larga scala.

68Fig. 3 – Evoluzione schematica delle immunotossine basate sulle RIP.

Per migliorare la farmacocinetica e ridurre gli effetti collaterali di queste immunotossine, sono stati fatti grandi sforzi per produrre una nuova generazione diimmunotossine basate sulle RIP, mediante l’utilizzo di tecniche del DNA ricombinante e ottimizzazione dei sistemi di espressione che utilizzano lievito, batteri,cellule di ovaio di criceto o cellule di insetto. Lo sviluppo di queste nuove immunotossine basate sulle RIP comporta due passaggi critici: i) progettazione e costruzione di frammenti di anticorpi come i frammenti Fab’ (seconda generazione
di immunotossine) e poi i mini anticorpi (svFc; terza generazione) ottenuti con
metodi ricombinanti, con peso molecole ridotto; ii) sviluppo di metodologie perla produrre anticorpi umanizzati; e iii) miglioramento dell’espressione e delle metodologie di purificazione di questi costrutti chimerici in sistemi eterologhi diespressione. In tale contesto, le RIP si sono rivelate uno strumento adatto a validare le ipotesi alla base di queste nuove idee e per mettere a punto gli iniziali
protocolli per lo sviluppo di nuove generazioni di immunotossine (Antignani eFitzgerald 2013).
Come esempio, ricordiamo lo sviluppo di immunoconiugati costruiti utilizzando la saporina S6, RIP di tipo 1, utilizzata in molecole chimeriche differenti,
in cui veniva cambiato l’anticorpo selettivo (anticorpo o parte di esso) rendendolacapace di divenire tossica per differenti tipi di cellule maligne o tumori solidi. La
scelta della saporina S6, è dovuta alle sue intrinseche caratteristiche strutturali e
funzionali, come un’alta resistenza alla denaturazione e alla proteolisi, nonché

69

alla sua forte efficacia catalitica accoppiata a una citotossicità meno accentuata
su cellule non cancerose. Nel 1985, la saporina S6, fu coniugata per la prima volta
all’anticorpo monoclonale murino anti-Thy 1.1 e al suo frammento Fab’ (Thorpe
et al. 1985). Da allora, la saporina S6 è stata ampiamente utilizzata come partetossica in una varietà di immunoconiugati che colpiscono le molecole della superficie cellulare (marcatori CD, o marcatori dei gruppi di differenziazione) didiverse cellule ematiche maligne e tumori solidi. La maggior parte dei marcatori
CD riconosciuti da immunotossine saporina S6/anticorpo sono recettori o molecole di adesione cellulare o specifici ligandi. Successivamente, al fine di eliminare la risposta anticorpale umana nei confronti degli anticorpi murini (mAB),
sono stati sviluppati nel tempo nuovi immunoconiugati chimerici, sostituendo domini costanti degli anticorpi murini con domini costanti umanizzati. Negli ultimi
anni, infine, sono stati utilizzati parti variabili di anticorpi ricombinanti, in cui
solo la parte ipervariabile era murina (anticorpi umanizzati) diminuendo ancora
di più la grandezza molecolare e l’antigenicità di tali immunotossine.
Per evitare l’eterogeneità, migliorare la penetrazione nel tumore e aumentare
la complessità della produzione, le tecniche del DNA ricombinante sono state
applicate per produrre l’ultima generazione di immunotossine formate dalla saporina S6 e frammenti variabili a catena singola (noti come mini anticorpi) (Fig.
3). In questi costrutti il dominio di legame cellulare della tossina viene sostituito
con la porzione Fv dell’anticorpo in cui si trovano i suoi frammenti variabili acatena leggera e pesante collegati con peptidi. I costrutti sono realizzati mediante
sintesi proteica utilizzando un’unica molecola di RNA messaggero (GilabertOriol et al. 2014).
Diverse RIP e la saporina S6 sopra descritta, sono state usate per costruire
immunotossine contro diversi bersagli in molti studi preclinici, portando a risultati promettenti nella maggior parte dei casi. La grande efficacia di questo approccio è stata riportata in particolare nella cura di diversi modelli tumorali ematologici. Negli esperimenti condotti su topi, i trattamenti con le immunotossine
basate sulle RIP, sono stati in grado di ridurre fortemente la dimensione dei tumori trapiantati in tutti i casi e in diversi modelli sperimentali si è arrivati alla
totale eliminazione delle masse tumorali.
Oltre ad essere utilizzati per la produzione di immunotossine, alcune RIP
sono state coniugate (sia chimicamente o mediante tecniche di ingegneria proteica) con molecole diverse da un anticorpo, ottenendo specifici agenti bifunzionali, citotossici e selettivi per una determinata popolazione cellulare, come ad
esempio ligandi di recettori cellulari, inibitori di proteasi, ormoni, ecc. La prima
RIP utilizzata a tale scopo è stata la saporina S6 fusa con l’urochinasi (uPA) una
proteasi in grado di degradare sia la fibrina che il fibrinogeno esercitando cosìun’azione fibrinolitica. Il prodotto chimerico ottenuto si è dimostrato molto efficace su cellule che esprimevano il recettore per uPA (noto come uPAR), mentre70

le linee cellulari prive di uPAR non erano influenzate dal coniugato (Cavallaro etal. 1993).
La transferrina è una proteina coinvolta nell’assorbimento del ferro da partedelle cellule, con la capacità, in seguito al legame con uno specifico recettore dimembrana, di trasportare all’interno della cellula due ioni ferro nella forma ferrica (Fe3+). Il recettore della transferrina, ampiamente distribuito in diversi tipi
cellulari, è di solito iperespresso in cellule maligne. Pertanto, la transferrina èstata utilizzata per costruire coniugati contenenti RIP, come la saporina S6 e lacatena A della ricina (Polito et al. 2013). Gli studi condotti su entrambi i coniugati
hanno dimostrato un’alta selettività di questi coniugati su varie linee cellulari tumorali che esprimevano il recettore della transferrina, con differenti meccanismi
di indirizzamento intracellulare.
Un approccio simile è stato usato con la curcina, una RIP di tipo 1 isolata dai
semi di Jatropa curcas L., in grado di inibire la proliferazione delle cellule tumorali, portando alla morte cellulare per apoptosi. Poiché la citotossicità della curcina non è selettiva essa è stata fusa ad uno specifico peptide molto affine al recettore per la transferrina (TfRBP) rendendo altamente selettiva la molecola chimerica nei confronti di popolazioni cellulari iperesprimenti il recettore dellatransferrina, ottenendo anche una notevole riduzione del peso molecolare del costrutto chimerico (Zheng et al. 2013).
Un approccio alternativo per la costruzione di coniugati basati sulle RIP prevede il potenziamento della loro resistenza alla proteolisi. Infatti, è stato ampiamente dimostrato che la citotossicità delle RIP dipende non solo dal modo con
cui entrano nelle cellule ed arrivano al citoplasma, ma anche dalla loro intrinseca
resistenza agli agenti proteolitici durante il percorso cellulare (Santanche et al.
1997). Infatti, vari coniugati basati sulle RIP di tipo 1 fusi con inibitori di proteasi,
hanno mostrato un aumento della loro citotossicità in vitro rispetto alle RIP ditipo 1 non coniugate (Tamburino et al. 2012).
Infine, negli ultimi anni, sono stati compiuti notevoli sforzi nello sviluppo dinanosistemi in grado di migliorare il riconoscimento e il rilascio di farmaci in
specifiche cellule bersaglio, nella terapia antitumorale. Diversi nanomateriali sintetici sono stati sintetizzati basandosi su liposomi, polimeri organici e nanoparticelle inorganiche (Minko et al. 2013; Uddin et al. 2016). Inoltre, vale la penaanche evidenziate che le diverse nanoparticelle sono in grado di attraversare labarriera emato-encefalica, aprendo nuove prospettive per il trasporto di farmaci
al cervello. Le dimensioni nanometriche delle particelle consentono anche un accesso facilitato nella cellula e in vari compartimenti cellulari, incluso il nucleo.
Una alternativa ai coniugati contenenti esclusivamente anticorpi è la costruzione
di nanoconiugati delle RIP che contengono nanomateriali4 (Pizzo e Di Maro
I nanomateriali sono sostanze chimiche o materiali composti da particelle con dimensioni comprese tra 1 e 100 nanometri (nm).
4712016). Ad esempio, la curcina, una RIP di tipo 1, è stata utilizzata con successo
nella costruzione di nanoparticelle d’oro coniugate con l’acido folico e l’anticorpo antitransferrina, per ottenere una doppia e mirata nanoformulazione diretta
verso i gliomi (Mohamed et al. 2014b). In questo costrutto, la proteina è stata
coniugata in nanoparticelle tramite legami sensibili al pH per minimizzare la diffusione sistemica non specifica della tossina durante la circolazione e massimizzare l’efficienza del trasporto mirato dei farmaci alla zona invasa dal tumore. Un
altro esempio sono i nanosistemi colloidali ibridi, costituiti da componenti polimerici lipidici altamente compatibili con le cellule endoteliali e neuronali umane.
Quando queste nanoparticelle a base lipidica sono coniugate alla curcina, la nanoformulazione ottenuta si è dimostrata settivamente attiva contro le cellule digliomi (Mohamed et al. 2014a).
5 - CONCLUSIONILe proteine inattivanti i ribosomi rappresentano una classe di enzimi, ampiamente distribuita nelle piante ed in misura minore, in altri organismi. Finora,
molte informazioni strutturali e funzionali su queste proteine sono state accumulate; tuttavia, come di regola nella ricerca scientifica, le nuove domande poste dai
risultati, probabilmente superano le risposte ottenute finora. Probabilmente la domanda più importante riguarda la funzione delle RIP in natura. Sono state avanzate diverse ipotesi ma predomina l’ipotesi della loro presenza per la difesa contro
predatori, parassiti e virus. È possibile che le RIP di tipo 2 possano dissuadere gli
animali dal mangiare piante in cui sono presenti, ma ciò non è facilmente verificabile per le RIP di tipo 1. Queste ultime, verosimilmente possono prevenire leinfezioni virali, ma questa regola non è valida per tutti gli organismi che producono RIP di tipo 1. Il fatto che l’espressione delle RIP aumenti in condizioni distress, porta a supporre che siano d’aiuto per le piante in condizioni ambientali
sfavorevoli.
Comunque, dalla scoperta della ricina (Stillmark, 1888 e 1889), molto è stato
compreso sulla struttura e sui meccanismi di questi enzimi. Inoltre, le loro attività
antivirali e citotossiche sono da sempre al centro dell’interesse da parte della comunità scientifica, sia per applicazioni in campo biomedico, che in campo agricolo. Infatti, la moderna medicina non si focalizza solo sull’ottenimento di ‘piccoli farmaci’ ma anche su chemioterapici selettivi e senza effetti genotossici,come i differenti coniugati antitumorali delle RIP prodotti dallo sviluppo di metodi efficaci per ottenere specifici coniugati usando anticorpi, ormoni o nanostrutture hanno messo in evidenza che le RIP possono essere utilizzate nella terapia
antitumorale mirata.

72

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Parte B
Scienze Matematiche

Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 79-102
DOI 10.32092/1019

Categories of results in variable Lebesgue spaces theory
Nota del socio Alberto Fiorenza1, 2(Adunanza del 18 gennaio 2019)
Key words: Classical Lebesgue spaces, variable exponents, measurable functions.
Abstract – Variable (exponent) Lebesgue spaces represent a relevant research area
within the theory of Banach function spaces. Much attention is devoted to look forsufﬁcient conditions on the variable exponent to establish the assertions within the theory. In this Note we try to show the beauty of the research in this ﬁeld, mainly quotingsome known results organized into “categories", each of them characterized by a common typology of conditions on the variable exponent. New results involve the failure of
rearrangement-invariant property, the rearrangement of the exponent, and a generalization of a formula known for constant exponents.
Riassunto – Gli spazi di Lebesgue con esponente variabile rappresentano un settore dirilievo nell’ambito della teoria degli spazi funzionali di Banach. Di notevole interesse é laricerca di condizioni, da imporre alla funzione esponente, sufﬁcienti ad assicurare il veriﬁcarsi di determinate affermazioni. In questa Nota ci proponiamo di mostrare il fascinodella ricerca in questo settore, segnalando essenzialmente alcuni noti risultati organizzati
in “categorie", ognuna delle quali caratterizzata da una comune tipologia di condizioni
sulla funzione esponente. I risultati originali sono relativi alla non invarianza per riordinamento, al riordinamento dell’esponente e ad una generalizzazione di una formula nota
per esponenti costanti.

1 - A SHORT HISTORY OF VARIABLE LEBESGUE SPACES

The introduction of a number of topological spaces, among which some families of Banach function spaces, contributed indubitably to the development of
1 Dipartimento di Architettura, Università di Napoli Federico II, via Monteoliveto,3, 80134 Napoli e Istituto per le Applicazioni del Calcolo “Mauro Picone", sezione diNapoli, Consiglio Nazionale delle Ricerche, via Pietro Castellino, 111, 80131 Napoli e
Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche della Societá Nazionale di Scienze, Letteree Arti in Napoli, via Mezzocannone 8, 80134 Napoli. e-mail: ﬁorenza@unina.it
2 This Note contains an updated and enlarged revision of the introduction of the talk,given by the author, at the AMS-EMS-SPM International Meeting 2015, 10-13 June,
Porto, Portugal, entitled On “essentially variable" variable Lebesgue space problems.

79the Functional Analysis. The continuous need to improve and reﬁne mathematical models gave the opportunity to extend to more general frameworks several
classical results of Mathematical Analysis. In this order of ideas a fruitful research area is that one of variable exponent Lebesgue spaces (variable Lebesgue
spaces, in short), actually available through several references (see, for instance,
Antontsev and Shmarev [10], Cruz-Uribe and the author [27], [31], Diening,
Harjulehto, Hästö and Růžička [39], Edmunds, Lang and Méndez [46], Izuki,
Nakai and Sawano [72], Kokilashvili, Meskhi, Rafeiro and Samko [76, 77], Langand Edmunds [85], Meskhi [95], Pick, Kufner, John and Fučík [104], Rădulescu
and Repovš [106], Růžička [111]).
Strictly speaking, variable Lebesgue spaces were born in a paper by Orlicz [103] in 1931, where in a remark about functions f such that | f (x)| p(x) ∈L1 (0, 1), 1 < p(x) < ∞, he established essentially a kind of sharpness of Hölder’sinequality. However, Orlicz is actually known for the spaces called Orlicz spaces,
which he also introduced in 1931 in a joint paper with Birnbaum [16] (for the
early history of these spaces, see Krasnosel� skiı̆ and Rutickiı̆ [84]; for treatmentson Orlicz spaces, see e.g. also Maligranda [91], Rao and Ren [108], Harjulehtoand Hästö [68]).
An important step in the development of the variable Lebesgue spaces cametwo decades later in the work of Nakano [98, 99] who originated the theory ofmodular spaces, sometimes referred to as Nakano spaces. A modular space is a
topological vector space equipped with a “modular”: a generalization of a norm.
An important example of a modular space is the function space consisting of all
functions f on a (Lebesgue) measurable set Ω ⊂ Rn (in the following we willassume that Ω has positive measure) such that for some λ > 0,
| f (x)|Φ x,
dx < ∞,
λΩ

where Φ : Ω × [0, ∞) → [0, ∞] is a function such that for almost every x ∈ Ω,
Φ(x, ·) behaves like a Young function (i.e., roughly speaking, a convex function
whose graph has the shape “similar" to that one of a power having constant exponent greater or equal than 1). These spaces are referred to as Musielak-Orlicz
spaces or generalized (or variable) Orlicz spaces (see e.g. Musielak [97], Harjulehto and Hästö [68]). They contain a number of function spaces as special
cases. If Φ(x,t) = Φ(t) is just a function of t, they are the Orlicz spaces, and if
Φ(x,t) = t p w(x), they become the weighted Lebesgue spaces. In [98], Nakano
introduced the variable Lebesgue spaces as speciﬁc examples of modular spaces:if Φ(x,t) = t p(x) , where 1 ≤ p(x) < ∞ is a measurable function on Ω, they are
the variable Lebesgue spaces L p(·) (Ω), which are therefore deﬁned as the set of
all measurable functions f on Ω such that for some λ > 0,
 p(x)  f (x) dx < ∞ .
(1)
 λ 
Ω

L p(·) (Ω) becomes a Banach function space (i.e. a Banach space, whose elements
are measurable functions and whose norm veriﬁes some further conditions; see80

e.g. Bennett and Sharpley [15]) when equipped with the Luxemburg norm
 p(x)
 

f
(x)


dx ≤ 1 .
� f �L p(·) (Ω) = inf λ > 0 :
 λ 
Ω

(2)

When p(·) ≡ p, p being a constant greater or equal than 1, then L p(·) (Ω) = L p (Ω)
and (2) reduces to the classical norm on L p (Ω). This notion can be simply
adapted to allow p(x) = ∞ for a.e. x in a set Ω∞ ⊂ Ω (see Kováčik and Rákosník [83]), replacing the left hand side in (1) (and the corresponding term in (2))
by





 f (x)  f (x)  p(x)dx + 
.
 λ 
λ  ∞
Ω\Ω
∞

L (Ω∞ )

A different way to allow the case p(x) = ∞ on some subset of Ω, nicer fromthe formal point of view, has been suggested in Diening [38] (see also Diening,
Harjulehto, Hästö, Mizuta and Shimomura [44]): the positions (1) and (2) canremain as they are, the trick is just to make the
0 if 0 < t ≤ 1+∞;(3)convention : t =
+∞ if
t >1

the resulting norm is slightly different, but the resulting space L p(·) (Ω) is thesame, up to equivalence of norms.
The variable Lebesgue spaces appeared independently in the Russian literature, where they were studied as spaces of interest in their own right. They wereintroduced by Tsenov [123] in 1961, in the study of a minimization problem.
In 1979, Sharapudinov [119] begun to develop the function space theory of thevariable Lebesgue spaces on intervals on the real line, introducing the Luxemburg norm (drawing on ideas of Kolmogorov [78]), and showing that when p(·)
�
is bounded, L p(·) ([0, 1]) is separable and its dual space is L p (·) ([0, 1]), where p� (·)
�denotes the variable exponent p (·) = p(·)/(p(·) − 1). In [120] he was the ﬁrst
to consider questions that involved the regularity of the exponent function p(·),
and introduced the local log-Hölder continuity condition,|p(x) − p(y)| ≤C0,− log(|x − y|)1∀ x, y : |x − y| < ,2(4)that has proved to be of critical importance in the theory of variable Lebesgue
spaces. The most inﬂuential work is due to Zhikov, who, starting from [124],
begun to apply the variable Lebesgue spaces to problems in the Calculus of Variations.
The “modern” period in the study of variable Lebesgue spaces begun with thefoundational paper of Kováčik and Rákosník [83] from 1991.
In the early 1990’s, Samko and Ross [118, 109] (see also Samko [113, 116])
introduced a Riemann-Liouville fractional derivative of variable order and the81corresponding variable Riesz potential. Investigating the behavior of these operators led naturally to the study of convolution and potential operators on thevariable Lebesgue spaces: see Samko [114, 115] and Edmunds and Meskhi [48].
In the mid 1990’s, functionals with non-standard growth and the p(·)-Laplacian were studied by Fan [54, 55], Fan and Zhao [58, 59], Marcellini [92, 93].
Partial differential equations with non-standard growth conditions have been
considered, among others, in Fan [56], Harjulehto, Hästö, Lê and Nuortio [69],Mingione [96], Antontsev and Shmarev [10].
Interest in the variable Lebesgue spaces has increased since the 1990’s because of their use in a variety of applications. Foremost among these is the mathematical modeling of electrorheological ﬂuids, namely, ﬂuids whose viscosity
changes when exposed to an electric ﬁeld: see Růžička [111, 112], Diening andRůžička [40, 43, 41, 42], Acerbi and Mingione [1, 2, 3].
The variable Lebesgue spaces have also been used to model the behavior ofother physical problems. Some examples include quasi-Newtonian ﬂuids (seeZhikov [125]), the thermistor problem (see Zhikov [126]), ﬂuid ﬂow in porous
media (see Amaziane, Pankratov and Piatnitski [6], Antontsev and Shmarev [11]),magnetostatics (see Çekiç, Kalinin, Mashiyev and Avci [22]), and the study ofimage processing (see Blomgren, Chan, Mulet and Wong [17]).
2 - A LIST OF CATEGORIESRoughly speaking, from the pure mathematical point of view, the attempts togeneralize known classical statements to the variable exponent context lead in anatural way to the problem of looking for sufﬁcient conditions on the variable
exponent to establish the assertions within the theory. In the following we will
quote some known results organized into “categories", each of them characterized by a common typology of conditions on the variable exponent; their number
shows the richness of the phenomena encountered by researchers in the theory.
Before the beginning of our presentation, we recall that a kind of exposition
into categories appears in Section 1.3 of the book by Diening, Harjulehto, Hästö
and Růžička [39]; even if the present Note has some overlap with such reference,
the reader here ﬁnds a discussion on the results considered and a ﬁner classiﬁcation, rather than just few collections of results.
This Note is based on the following observation: statements in terms of classical Lebesgue spaces (hence, say, true for constant exponents) may(i) ... remain true for variable exponents and the extension is trivial(ii) ... remain true for variable exponents but the proof needs some more effort(iii) ... remain true only for certain variable exponents(iv) ... are never true when exponents are not constant
The theory of variable Lebesgue spaces admits also another category of results,
which do not come from the classic theory and their main feature is based speciﬁcally on the variability of the exponents:82

(v) ... have no interest when exponents are constant
In Section we will shortly describe each of the above categories: we will treat(i)-(v) in paragraphs 4.1-4.5, respectively. For the completeness of the exposition,
we need few prerequisites, which are the object of next Section .

3 - SOME STATEMENTS INVOLVING CLASSICAL LEBESGUE SPACES

For further needs, let us recall few deﬁnitions and results. Lebesgue spaces
are part of standard knowledge in Mathematical Analysis and are presented inmany textbooks and tracts, see e.g. Brezis [18, 19], Castillo and Rafeiro [21],DiBenedetto [35], Okikiolu [102], Pick, Kufner, John and Fučík [104], Rudin[110]. We will use also the notion of decreasing rearrangement, which is e.g. in
Bennett and Sharpley [15], Kawohl [73], Korenovskii [81], Leoni [86], Rakotoson [107].
The well known formula (see e.g. DiBenedetto, p.149 [35], Stein p.7 [121],
Lieb-Loss p.26 [90], Ambrosio, Fusco and Pallara p.34 [7], Okikiolu p.236 [102])Ω| f (x)| p dx = p ∞0

t p−1 |{x ∈ Ω : | f (x)| > t}| dt(5)shows that classical Lebesgue spaces are rearrangement-invariant Banach function spaces (see e.g. p.59 in Bennett and Sharpley [15]): in fact, the key property
needed to deﬁne these spaces is that the norms of every pair of functions f , gequimeasurable, i.e. such that|{x ∈ Ω : | f (x)| > t}| = |{x ∈ Ω : |g(x)| > t}|∀t ≥ 0 ,coincide. As a further consequence of this formula, the norm of every function fin every rearrangement-invariant Banach function space coincides with that oneof its decreasing rearrangement, which we denote by f∗ . The importance of thisclass of spaces is the characterization given through the fundamental interpolation theorem: on one hand every rearrangement-invariant Banach function space
is an interpolation space between L1 and L∞ , and on the other every Banach function space which is an interpolation space between L1 and L∞ is rearrangementinvariant. Being interpolation space implies, in turn, the boundedness of a wideclass of operators acting on them (see e.g. Ch.3 in Bennett and Sharpley [15] fordetails).
However, even without involving directly the machinery of interpolation theory, (5) can be used directly for proving a result which is a milestone in real1 (Rn ), the (uncentered)variable Harmonic Analysis. Given a function f ∈ Lloc
Hardy-Littlewood maximal function M f is deﬁned by1
M f (x) = supQ�x |Q|Q| f (y)|dy83∀ x ∈ Rn ,

where the supremum is taken over all cubes Q ⊂ Rn containing x and whose
1 (Ω), then M f is deﬁned bysides are parallel to the coordinate axes. If f ∈ Llocnextending f to be identically 0 on R \ Ω. The following boundedness result
holds (see e.g. Stein [121, 122]):
Theorem 1. If f ∈ L p (Rn ), with 1 < p ≤ ∞, then M f ∈ L p (Rn ) and�M f �L p (Rn ) ≤ C� f �L p (Rn )(6)where C depends only on p and the dimension n.
It would be impossible to describe in few lines the importance of this classical result, which is a fundamental tool for proving, sometimes in a direct way,
the boundedness of many operators in Harmonic Analysis (see e.g. Cruz-Uribe,
Martell and Pérez [33], Duoandikoetxea [45], Kokilashvili and Krbec [75], Kokilashvili, Meskhi, Rafeiro and Samko [76, 77], Stein [121, 122]); for our goals
we observe that since it provides an alternative proof of the classical Sobolev
inequality and its consequences (see e.g. Ziemer [128]), its versions for otherBanach function spaces, including variable Lebesgue spaces (see e.g. next Theorem 3), became a tool for extensions of the Sobolev inequality and several otherclassical results.
Incidentally, even if it is not among the goals of this Note, we notice that
Theorem 1 is someway involved also to get packing results in Geometry of fractal
sets (see Section 7.5 p. 109 in Falconer [53]).
4 - THE CATEGORIES IN DETAIL

The straightforward generalizations
When making research in Mathematics, sometimes the generalizations of theorems can be proved without any effort: one discovers that a certain argument
can work “as it is" because it has in fact a greater validity. Of course formallysuch new theorems are “better" than the original ones, however, they can be classiﬁed as simple remarks, because no new ideas are needed to get the proofs. Thisis the case, for instance, of the proof of the completeness of variable Lebesgue
spaces:
Theorem 2. If Ω ⊂ Rn and p(·) : Ω → [1, ∞] is a measurable function, thenL p(·) (Ω) is complete: every Cauchy sequence in L p(·) (Ω) converges in norm.
The proof of Theorem 2 can be found, for instance, in Cruz-Uribe and the author [27] (see Theorem 2.71 therein). It is nice to observe that formally replacingp(·) by p in any line of this reference, one gets the original proof which works
for classical Lebesgue spaces.
This kind of results occupies a minor part of the theory of variable Lebesgue
spaces; the proofs which can be written almost automatically have, of course, notso much interest.

84

The case of longer proofs
The existence of much literature involving variable Lebesgue spaces (see e.g.
the enormous references list in the book by Cruz-Uribe and the author [27] orin the book by Diening, Harjulehto, Hästö and Růžička [39]) is justiﬁed by thefact that the majority of the results cannot be proved as Theorem 2. Maybe theﬁrst reason is that the formal substitution of p into p(x) does not work alreadysince the beginning of the theory, namely, with the expression of the norm: the“transformation"
1

 1

p
p(x)
p
p(x)
| f (x)| dx→| f (x)|
dx
(7)
Ω

Ω

does not give, as “output", a number, but a function. Note also that homogeneity
is lost: multiplying, for instance, f by 2 in the expression on the right, one does
not get the double.
However, the expression of the norm in (2) has been obtained using exactly
the formal substitution of p into p(x), which works ﬁne if one, previously, writes


p

Ω

in the different form

| f (x)| dx

1

p

 



f (x)  p
inf λ > 0 : λ  dx ≤ 1 .
ΩThis trick, which is successful also in the case of Orlicz spaces and more generally in the context of modular spaces (see e.g. Maligranda [91]), has a deep
topological validity (see Kolmogorov [78]); however, it reveals once more theusual way to construct generalizations, which is to use some characterization andto “discover" that the equivalent form is adapt to a new framework. A much more
known example in this sense is the notion of weak derivative to deﬁne Sobolev
spaces (see e.g. Brezis [18]).
In some cases the characterization leads to a signiﬁcant change of the expression which is just apparent. Generalizations follow using the same ideas of theclassical argument: just some small extra effort is needed.
For instance, let 1 < p < ∞ and consider the classical Hölder’s inequalityΩ| f (x)g(x)| dx ≤



Ω

p

| f (x)| dx

 1 pΩq|g(x)| dx

1
q

1 1
+ = 1. Its standard proof (see e.g. Brezis [18]) starts from the conp q
cavity of the logarithm, from which one gets the Young’s inequality
where

ab ≤

1 p 1 q
a + b
p
q

85

∀a ≥ 0, b ≥ 0.

Then one replaces a with | f (x)|, b with |g(x)|, and integrate. The conclusion|g(x)|, λ being a positive
follows applying the previous argument to λ | f (x)| andλparameter, and ﬁnally choosing the “best" λ .
Looking at the corresponding result in the variable case (see e.g. Theorem
2.26 in Cruz-Uribe and the author [27]), when 1 < p(x) < ∞ the method does notchange: the Young’s inequality is applied pointwise and therefore one getsab ≤1 q(x)
1 p(x)
+
a
b
p(x)
q(x)

∀a ≥ 0, b ≥ 0, x ∈ Ω,

11+
= 1 and, as before, one integrates over Ω.
p(x) q(x)It is clear that we are not in the same situation as in the previous paragraph:the proof does not work word by word, because integrating, now, one does not
ﬁnd immediately the norm. The fact that the expression of the norm is different
makes the proof a little bit longer (see details in [27]), and some small extra effort
must be spent to get the statement in the variable exponent case.
In some applications the effort to pass from the constant case to the variablecase must be much higher, even when the exponent is relatively “nice". For
instance, this may happen for exponents being continuous until the boundary ofthe domain: see e.g. El Hamidi [50], where existence results to elliptic systems
involving the p(x)−laplacian are obtained.

where

The heart of the theory
Maybe the nicest feature of variable Lebesgue spaces theory is that the extension of results involving classical Lebesgue spaces does not hold for all variable
exponents, but just for a certain class of exponents. It may be a hazard to makegeneral assertions about mathematical theories, but, at least starting from our experience, this category of results includes the majority of the literature in thisﬁeld. The main features of a result in this category are:
• The result holds for constant exponents• The result does not hold for all possible variable exponents (and therefore
an example is given)• The result holds for some “really variable" (= not constant) exponents• The class of exponents is studied: it is larger than the classes of exponents,
previously known, involved in sufﬁcient conditions for the validity of certain assertions, or it is smaller than the classes of exponents, previously
known, involved in necessary conditions. The “full" result characterizes
the class of exponents for which a certain assertion holds

A consequence of the features above is that several results do not admit justone variable version, but each of them may admit various “not full" extensions.

86An entire “community" may work on the same assertion, producing results which
may improve (or simply overlap with) already existing ones.
Let us draw our attention to an example of result in this category. We choose,because of its importance highlighted in Section , Theorem 1: the central problem
is therefore that one to study conditions on an exponent p(·) so that the HardyLittlewood maximal operator is bounded on L p(·) (Rn ). The ﬁrst major result inthis direction was due to Diening [36], who showed that it is sufﬁcient to assume
that p(·) satisﬁes the local log-Hölder condition (4), is constant outside of a largeball, and, ﬁnally, is bounded (i.e. ess supp(·) < ∞) and bounded away from 1(i.e. ess infp(·) > 1). This result was generalized by Cruz-Uribe, Neugebauer
and the author in [29] (see also Capone, Cruz-Uribe and the author [20] for a
simpler proof), where a nearly optimal sufﬁcient condition on the exponent p(·)
is given: it was shown that it is sufﬁcient to assume (besides the boundedness andthe boundedness away from 1) that (4) holds and p(·) is log-Hölder continuous
at inﬁnity, namely, there exist constants p∞ and C∞ such that|p(x) − p∞ | ≤C∞log(e + |x|)∀ x ∈ Rn .

(8)

A generalization which includes the constant case p(·) ≡ +∞ taking into accountof the1= 0,(9)convention :+∞and involves the log-Hölder continuity both locally (see (4)) and at inﬁnity (see(8)), is the following:
Theorem 3. Given an open set Ω ⊂ Rn , if p(·) : Ω → [p− , +∞] is such thatp− > 1 and such that 1/p(·) is log-Hölder continuous both locally and at inﬁnity,
then M is bounded on L p(·) (Ω):
�M f �L p(·) (Ω) ≤ C� f �L p(·) (Ω) .

(10)The proof of Theorem 3 borrows ideas from several papers. Expositions,
eventually with small variants in the assumptions, are e.g. in Diening, Harjulehto, Hästö, Mizuta and Shimomura [44] (see Theorem 1.2 therein), in Cruz-Uribeand the author [27] (see Theorem 3.16 therein), in Cruz-Uribe, Diening and theauthor [24], in Izuki, Nakai and Sawano [72], in Harjulehto and Hästö [68] (seeCorollary 4.5.5 therein), in Diening, Harjulehto, Hästö and Růžička [39] (seeTheorem 4.3.8 and Remark 4.3.10 therein). The condition p− > 1 for the maximal operator to be bounded is known to be necessary: this was ﬁrst proved in
Cruz-Uribe, Neugebauer and the author [29, 30] with the additional assumption that p(·) is upper semi-continuous. This hypothesis was removed by Diening [38] (see also Diening, Harjulehto, Hästö, Mizuta and Shimomura [44]). The
same references have to be quoted for the case when ess supp(·) = ∞ and theidea of the requirement of the log-Hölder continuity imposed to 1/p(·). A very
different proof of this theorem when ess supp(·) < ∞, gotten by viewing L p(·)

87

from the perspective of abstract Banach function spaces, was given by Lernerand Pérez [89]. Independently, Nekvinda [100] showed that it was sufﬁcient toassume that p(·) satisﬁes a somewhat weaker integral decay condition. The logHölder conditions are the sharpest possible pointwise conditions (see Pick andRůžička [105] and Cruz-Uribe, Neugebauer and the author [29, 30]) but they
are not necessary: see Nekvinda [101], Kopaliani [79] and Lerner [88]. Diening [37] has given a necessary and sufﬁcient condition that is difﬁcult to check
but has important theoretical consequences. The importance of these results was
reinforced by the work in Cruz-Uribe, Martell, Pérez and the author [28], CruzUribe and Hästö [32], where it was shown that the theory of Rubio de Francia
extrapolation could be extended to the variable Lebesgue spaces and generalized
Orlicz spaces. This allows the theory of weighted norm inequalities to be used
to prove the boundedness of a multitude of operators (such as singular integrals)
whenever the maximal operator is.
Of course, especially when full results are missing, in plenty of papers which
need the boundedness of the maximal operator, the authors assume it directly(just to quote an example, see Kopaliani and Chelidze [80], where a GagliardoNirenberg inequality with norms having variable exponents is obtained). This solution is reasonable as soon as from the literature it is known at least a set of sufﬁcient conditions for such boundedness, because this way, in principle, any future
result giving sufﬁcient conditions can provide a new good set of assumptions.
Such policy appears frequently in literature. As a further example, some resultsin the 2002 paper by the author [61] (see Hästö and Ribeiro [71], Ferreira, Hästö
and Ribeiro [60], Harjulehto and Hästö [68] as other references dealing with thesame topic) hold assuming the density of smooth functions in variable Sobolev
spaces and even actually - in spite of various papers on this subject, for instanceCruz-Uribe and the author [26], Edmunds and Rákosník [49], Fan, Wang andZhao [57], Hästö [70], Samko [117], Zhikov [127], the latest being Kostopoulos
and Yannakakis [82] - a full result is still missing (while a full result exists forvariable Lebesgue spaces, see Edmunds, Lang and Nekvinda [47]). Another paper where density of smooth functions in variable Sobolev spaces plays a key role
is by Giannetti [67], who proved a modular version of the Gagliardo-Nirenberg
inequality.
We mention now a “full" result in the sense above, due to Diening ([38]): inthis case there is no sequence of papers trying to ﬁnd the exact class of exponents,
because it has been found already in the ﬁrst reference on the topic. Consider the
problem to establish the embedding between classical Lebesgue spaces. The
result is simple to state and to be proved (see e.g. Theorem 3.10 in Castillo andRafeiro [21]): for Ω of ﬁnite measure, if 1 ≤ r ≤ p ≤ ∞, then L p (Ω) ⊂ Lr (Ω)(note that the inclusion as sets is equivalent to the continuous embedding because
they are particular Banach function spaces over the same measure space, see
Theorem 1.8 in Bennett and Sharpley [15]). Whatever proof of the result forclassical Lebesgue spaces is chosen (one may split Ω into the sets where | f | ≤ 1
and | f | > 1, or one may use Hölder’s inequality), the extension can be done
without too much effort. The surprise is that while for classical Lebesgue spaces
this result solves completely the problem to characterize the embedding (because88when Ω has not ﬁnite measure, two classical Lebesgue spaces over Ω cannot becompared), in the case of variable Lebesgue spaces this is not true. Namely, theembedding can hold in the case of exponents which become close each other,very fast at inﬁnity, in a sense we are going to make precise. This can never
happen for different, constant exponents: their distance is always constant. The“full" result for variable Lebesgue spaces (whose proof is quite technical) is thefollowing (see Theorem 2.45 in Cruz-Uribe and the author [27], which is from
Diening [38])Theorem 4. Given Ω ⊂ Rn and p(·), q(·) : Ω → [1, ∞], then Lq(·) (Ω) ⊂ L p(·) (Ω)
and there exists K > 1 such that for all f ∈ Lq(·) (Ω), � f � p(·) ≤ K� f �q(·) , if andonly if:
1. p(x) ≤ q(x) for almost every x ∈ Ω;
2. there exists λ > 1 such thatD

λ −r(x) dx < ∞,(11)

where D = {x ∈ Ω : p(x) < q(x)} and r(·) is the defect exponent deﬁned by
1
1
1
=
+
.
p(x) q(x) r(x)In the same order of ideas we recall the following extension of (6): the inequalityRn

M f (x) p dx ≤ c1

Rn

| f (x)|q dx + c2

holds for every f ∈ Lq (Rn ) and for some positive constants c1 , c2 independent off if and only if 1 < p = q. We stress that it is an extension: in fact, if 1 < p = q,
from the existence of some positive constants c1 , c2 such that


p

Rn

M f (x) dx ≤ c1

Rn

| f (x)| p dx + c2

∀ f ∈ L p (Rn )(12)

one gets that also (6) is true, applying (12) to λ f , dividing both sides by λ p , andletting λ → ∞. We remark that such homogeneization procedure can be appliedin a general context (see e.g. D’Aristotile and the author [34]). The proof ofsuch extension is a consequence of the following “full" result (see Cruz-Uribe,
Di Fratta and the author [25])
Theorem 5. Let p(·), q(·) : Rn → [1, ∞[. The inequalityRn

M f (x)p(x)dx ≤ c1Rn| f (x)|q(x) dx + c2

holds for every f ∈ Lq(x) (Rn ) and for some positive constants c1 , c2 independentof f if and only if Lq(·) (Rn ) ⊂ L p(·) (Rn ) and p(·) and q(·) “touch at inﬁnity",
namely, for every E ⊂ Rn having inﬁnite measure,ess sup p(·) = ess supp(·) = essRinfq(·) = essEinf q(·) .
n
n
E

R

89

Let us close this paragraph with one more result, where again the class ofp(·)
exponents has been fully characterized. Here the symbol Lw (Ω) stands for theweighted version of L p(·) (Ω), built as in Section using f (x)  p(x)
 f (x)
w(x)dx + 
,
w(x)



 ∞
λ
λ
Ω\Ω∞
L (Ω∞ )



1 (Ω).
where w is a weight, i.e. w : Ω →]0, ∞[, w ∈ Lloc

Theorem 6. Let Ω ⊂ Rn , and let p(·) : Ω → [1, ∞] be such that ess sup p(·) < ∞.
Ω\Ω∞

p(·)
The weight w is noneffective, i.e. L p(·) (Ω) = Lw (Ω), if and only if w ≈ constant.

For the proof and the details about the optimality of the condition ess sup p(·) <Ω\Ω∞∞ see Krbec and the author [64].

Classic statements are the best ones
One of the features of the previous category of results is that the generalization to the variable setting holds for some non-constant exponents. However,there are results which, if written in terms of variable exponents, hold if andonly if the exponents are constant. A collection of results in this category appears explicitly in Section 1.3 of the book by Diening, Harjulehto, Hästö andRůžička [39] already quoted above, and an overlapping collection is someway“hidden" in the Subject Index of the book by Cruz-Uribe and the author [27] (seenon-constant vs. constant in p. 306 therein).
It is not our goal to make one, maybe more complete, list of results in thiscategory. Just to give an idea of the category, we state and prove the following
Theorem 7. Let Ω ⊂ Rn and p(·) : Ω → [1, ∞]. The space L p(·) (Ω) is rearrangement-invariant if and only if p(·) is constant.
Its proof is in Kováčik and Rákosník [83], where an extra assumption of continuity of the exponent appears, and another proof, where the exponent is assumed
just measurable, is in Cruz-Uribe and the author [27] (see Example 3.14 p. 87
therein), but it is wrong. In the case Ω = Rn , Theorem 7 can be seen as a corollary of Proposition 3.6.1 p. 95 in Diening, Harjulehto, Hästö and Růžička [39],where it is shown that if an exponent p(·) is such that every translation operator maps L p(·) (Rn ) to L p(·) (Rn ), then it must be constant. In fact, suppose that
L p(·) (Rn ) is rearrangement-invariant. Since every translation of any f ∈ L p(·) (Rn )is equimeasurable with f , its norm equals that one of f . Therefore every translation operator maps L p(·) (Rn ) to L p(·) (Rn ) from which, by the proposition above,p(·) must be constant.
Here we are going to show a direct argument.

90

Proof.
Fix E ⊂ Ω of ﬁnite measure on which p(·) is non-constant, so thatp+ := ess supE p(·) > ess infE p(·) =: p− .
Let p∗ (·) be the decreasing rearrangement of the restriction of p(·) to E, p∗ (·)
being deﬁned in (0, |E|). Let p ∈ (p− , p+ ). Since p∗ (·) is a decreasing function,then it is limit a.e. of an increasing sequence of step functions, therefore there
exists s1 (·) step function such thatK1s1 (t) = ∑ αi χ (1) (1) ≤ p∗ (t) ,
i=1

(1)

(1)

(1)

t0 = 0 < t1 < · · · < tK1 = |E| ,(ti−1 ,ti )

(1)

(1)

and such that p∗ (t) > α1 > p for t ∈ (t0 ,t1 ); arguing analogously on −p∗ (·),
we can get s2 (·) step function such thatK2s2 (t) = ∑ β j χ (2)
j=1

(2)

(t j−1 ,t j )(2)≥ p∗ (t) ,

(2)

(2)

t0 = 0 < t1 < · · · < tK2 = |E| ,
(2)

(2)

and such that p∗ (t) < βK2 < p for t ∈ (tK2 −1 ,tK2 ). Set(1) (2)(2)
ε = min t1 ,tK2 − tK2 −1 ,and setg1 (t) = t

− α1

1

− 1

g2 (t) = (|E| − t) α1∀t ∈ (0, ε)∀t ∈ (|E| − ε, |E|) .

Of course g1 (·) and g2 (·) are equimeasurable.
By Ryff’s theorem (see e.g. Theorem 7.5 p. 82 in Bennett and Sharpley [15]),p = p∗ ◦ σ where σ : E → (0, |E|) is a measure-preserving transformation, i.e.
a map such that the measure of any subset in (0, |E|) equals the measure of the
pre-image in E. Set f1 = g1 ◦ σ and f2 = g2 ◦ σ . By Proposition 7.2 p. 82 inBennett and Sharpley [15], f1 (·) and g1 (·) are equimeasurable and, analogously,
f2 (·) and g2 (·) are equimeasurable. Since g1 (·) and g2 (·) are equimeasurable,
also f1 (·) and f2 (·) are as well.
On the other hand, for any λ > 0 the function (λ f1 (·)) p(·) = (λ g1 ◦ σ ) p∗ ◦σ =[(λ g1 ) p∗ ] ◦ σ is not integrable, because again by the proposition above, it isequimeasurable with (λ g1 ) p∗ which is not integrable (because for t small we− 1have that (λ g1 (t)) p∗ (t) > (λt α1 )α1 = λ α1 t −1 ), while the function ( f2 (·)) p(·) =(g2 ◦ σ ) p∗ ◦σ = [(g2 ) p∗ ] ◦ σ is integrable, because it is equimeasurable with (g2 ) p∗
βK

− 2which is integrable (because (g2 (t)) p∗ (t) < (|E| − t) α1 for t close to |E|, andβK2 < p < α1 ). The conclusion is that if p(·) is non-constant, there exist two

91

equimeasurable functions f1 (·) and f2 (·) such that f1 ∈/ L p(·) (Ω), f2 ∈ L p(·) (Ω),
and the theorem is proved.

One more result in this category is a consequence of Theorem 5 above (seeCorollary 1.22 in Cruz-Uribe, Di Fratta and the author [25]), which generalizes
a result by Lerner [87]:Theorem 8. Let p(·) : Rn → [1, ∞[. The inequalityRn

M f (x) p(x) dx ≤ c1

Rn

| f (x)| p(x) dx + c2

holds for every f ∈ L p(x) (Rn ) and for some positive constants c1 , c2 independentof f if and only if p(·) equals a constant p > 1 almost everywhere.
We may insert in this category also another result, which holds if and only
if the exponent is constant because it seems that it cannot even be stated in thevariable setting. The result is formula (5) above, which we recall here:


Ω

 ∞

| f (x)| p dx = p0t p−1 |{x ∈ Ω : | f (x)| > t}| dt .

Its generalization to the variable case seems “forbidden": in the book by Diening,
Harjulehto, Hästö and Růžička [39] (see the Warnings! in p.9; see also p. 4 inHarjulehto and Hästö [68]) it is written that it has no variable exponent analogue,
because of course the formulaΩ| f (x)| p(x) dx = p

 ∞0t p(x)−1 |{x ∈ Ω : | f (x)| > t}| dt

has no interest at all: similarly as in the case of (7), on the right hand side one has
a function and not a number. Note that since (5) governs the proof of Theorem
1, the proofs of Theorem 3 must be done with much different arguments (and infact they use Theorem 1).
In spite of the considerations above, we wish here to record the following
simple formulas.
Proposition 1. If Ω ⊂ Rn and p(·) : Ω → [1, ∞[, then for all measurable functions f in Ω the following equalities hold, the ﬁrst one with the extra assumption
f (x) �= 0 for a.e. x ∈ Ω:Ω

| f (x)|



p(x)

dx =

p(x)



(13)



(14)

R

Ω

| f (x)|Ω| f (x)| p(x) dx =et |{x ∈ Ω : p(x) log | f (x)| > t}| dt

dx =

t

et |{x ∈ Ω : | f (x)| > e p(x) }| dt

R
 +∞
0

1

|{x ∈ Ω : | f (x)| > t p(x) }| dt

92

(15)

Proof.
Proof of (13): for any measurable g : Ω → R we may apply (5) to the positive
function exp(g(x)), in the case p = 1. After the substitution logt = s, we getΩ

exp(g(x)) dx =Res |{x ∈ Ω : g(x) > s}| ds .

If f : Ω → R is a.e. nonzero, setting g(x) = p(x) log | f (x)| in the above equality
we get the assertion.
Proof of (14): immediate after (13) for functions f such that f (x) �= 0 for a.e.
x ∈ Ω. If f (x) = 0 in a set Ω0 ⊂ Ω, equality (14) holds with Ω replaced by Ω\Ω0 ;however, the same equality is equivalent to the ﬁnal assertion because the pointsof Ω0 do not affect both members.
Proof of (15): apply the substitution et = s in (14).

1

We note that, in the case p(·) constant, the substitution t p = τ in (15) gives
back (5).
Finally, we remark that making the conventions in the spirit of (3), (9), one
can extend the validity of (13): for instance, writing
convention :log 0 = −∞ ,one can remove the assumption f (x) �= 0 for a.e. x ∈ Ω made for (13): in fact,
the set Ω0 ⊂ Ω where f = 0 a.e. does not inﬂuence both sides of (13) (note thatin the right hand side, for any given t ∈ R, any x such that f (x) = 0 would neversatisfy the inequality p(x) log | f (x)| = p(x) log 0 = −∞ > t).

Essentially variable results
This last category concerns results which – in some opposite sense with respect to the previous category – have no interest or no meaning at all when the
exponent is constant.
Let us state and prove the following proposition, where the problem of comparability in the sense of inclusion (or, equivalently, the continuous embedding)is considered for two variable Lebesgue spaces whose exponents are linked by
the decreasing rearrangement operator.
Proposition 2. Let p(·) : (0, 1) → [1, ∞[. The spaces L p(·) (0, 1) and L p∗ (·) (0, 1)
are never comparable, unless p(·) = p∗ (·), i.e. unless p(·) is decreasing.
Proof.
Let us assume that they are comparable. By condition 1. in Theorem 4, it mustbe p(·) ≤ p∗ (·) or p(·) ≥ p∗ (·). If the ﬁrst option holds and the second one does

93

not, it would exist a set E, |E| > 0, where p(·) < p∗ (·). As a consequence, sincep(·) ≤ p∗ (·), it must be �p(·)�L1 (0,1) < �p∗ (·)�L1 (0,1) , which is absurd because
by Theorem 7 the space L1 (0, 1) is rearrangement-invariant. In the other case
we can argue similarly, and the conclusion is that both options are true, hence
p(·) = p∗ (·).
As in the previous result, next one (see Theorem 3 in Rakotoson and theauthor [65]) involves, for a function f , the notion of decreasing rearrangement(denoted by f∗ ). Denoting by f ∗ the increasing rearrangement of f , all the norms
in next chain of inequalities (16) coincide in the case of constant exponents:
Proposition 3. If Ω ⊂ Rn , p(·) : Ω → [1, ∞[ and f ≥ 0 in Ω, then1� f∗ �L p∗ (·) ≤ � f �L p(·) ≤ 2(1 + |Ω|)� f∗ �L p∗ (·) .
2(1 + |Ω|)(16)

Other results involving rearrangement of exponents are in Rakotoson, Sbordone and the author [66].
The crucial notion of the last result (see Krbec and the author [62]) is the
exponential summability: a function g measurable on Ω ⊂ Rn , |Ω| < ∞, is said
to belong to the Orlicz space EXPa (Ω), a > 0, if for some λ > 0Ω

exp (λ |g(x)|a ) dx < ∞ .

Theorem 9. Let Ω ⊂ Rn be bounded and p(·) ∈ EXPa (Ω) for some a > 0. If
f ∈ L p(·) (Ω), f �≡ 0, then p(·) log(M f ) ∈ EXPa/(a+1) (Ω).

It is clear that if p(·) is constant and ﬁnite, it is in particular in L∞ (Ω) whichis contained in every EXPa (Ω), a > 0. In this case Theorem 9 tells that if
f ∈ L p (Ω), f �≡ 0, then log(M f ) ∈ EXPa/(a+1) (Ω), for every a > 0. Note thata/(a + 1) < 1, hence the result is weaker than log(M f ) ∈ EXP1 (Ω), which istrue because, since Ω is bounded, M f is bounded below by a positive number,and therefore by Theorem 1Ω

exp (p| log(M f )|) dx < ∞ .

The weakness of the thesis is readily explained: it is the “price" to pay becauseof the assumption p(·) ∈ EXPa (Ω), which includes a class of non-constant exponents (in fact, not bounded ones).
We close this Section pointing out that there exist essentially variable results which in the case of constant exponents have interest and meaning, but
phenomena are new, the novelty being due exactly to the variability of the exponent. This happens for instance in Mercaldo, Rossi, Segura de León and Trombetti [94], where the authors consider an exponent having just two values, one ofthem being 1, in a Dirichlet problem involving the p(x)−laplacian.

94

5 - CONCLUSION AND NEW PERSPECTIVES

The categories of results in variable Lebesgue spaces theory presented in thisNote could never pretend to be complete or rigorous. Moreover, even if nowadays the ﬁeld is still very active, recently some new directions of research arebecoming of interest among researchers. Just to quote a few of them, the interestin Musielak-Orlicz spaces is actually increasing, especially for their applications,because they are also the natural framework to generalize the conditions comingfrom variable Lebesgue spaces theory (see e.g. Ahmida, Chlebicka, Gwiazda
and Youssﬁ [4], Baruah, Harjulehto, and Hästö [14], Cruz-Uribe and Hästö [32],Harjulehto and Hästö [68], Hästö[51, 52]); some special Musielak-Orlicz spaces,
which are also generalizations of variable Lebesgue spaces, are generated by thefunctions Φ(x,t) = t p + a(x)t q , p < q, which give raise to the double phase functional (see e.g. Baroni, Colombo and Mingione [12, 13], Colombo and Mingione [23]); there exist a huge development of variable variants of classical function spaces, for instance the Lorentz spaces with variable exponents (see Kempka
and Vybíral [74]), grand variable Lebesgue spaces and their weighted version(see e.g. Kokilashvili, Meskhi and the author [63] and references therein) or thevariable exponent Besov and Triebel-Lizorkin spaces (see e.g. Almeida, Dieningand Hästö [5]).
Finally, let us mention that in principle, there are even papers where variable exponents appear, but the topic has no connections at all with variable
Lebesgue spaces: for instance, in Anatriello, Chill and the author [8] (see also
references therein), the norm � · �L p(x) which, for a given x, is a norm in the classical Lebesgue spaces, is considered. In Anatriello, Vincenzi and the author [9],starting from a variable exponent which is a simple function (i.e. with a ﬁnite
number of values), the function spaces themselves “vary", and norms on productof quasinormed spaces which are roots of polynomials are considered.
Acknowledgment: The author thanks David Cruz-Uribe for the discussions
about the proof of Theorem 7.
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95

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DOI 10.32092/1020

Free boundary minimal surfaces: a survey of recent results
Nota di Alessandro Carlotto 1
Presentata dal socio Luciano Carbone(Adunanza del 15 febbraio 2019)
Key words: free boundary minimal surfaces, Steklov eigenvalues, Morse index, effective
estimates.
Abstract – We present a wide-spectrum overview of some recent developments in thetheory of free boundary minimal surfaces, with special emphasis on the problem of compactness under mild curvature conditions on the ambient manifold.
Riassunto – Presentiamo un ampio resoconto di alcuni sviluppi recenti nella teoria delle
superﬁci minime a frontiera libera, con particolare riferimento al problema della compattezza sotto deboli ipotesi sulla curvatura sulla varietà ambiente.

1 - INTRODUCTION

Let Σ be a smooth manifold of dimension k ≥ 2, let (X, g) be a smooth Riemannian manifold of dimension d ≥ 3, and let ϕ : Σ → X be a proper immersion satisfying ϕ(Σ) ∩ ∂ X = ϕ(∂ Σ) (i. e. the boundary of Σ is contained in theboundary of X, and there is no interior point of ϕ(Σ) touching ∂ X): we say thatϕ : Σ → X is a free boundary minimal immersion if it is a critical point for thek-dimensional area functional in the category of relative cycles, namely under allcompactly supported variations (ϕt ) subject to the constraint that ϕt (∂ Σ) ⊂ ∂ X.
Considering the ﬁrst-variation formula it is easily seen that this happens if andonly if ϕ(Σ) has zero mean curvature and meets the ambient boundary orthogonally. We shall mostly be interested in the case when the map ϕ is an embedding,in which case we shall be talking about free boundary minimal submanifolds, and(with some abuse of language) identify the map in question with its image ϕ(Σ).
Besides the self-evident geometric signiﬁcance, which can be traced back at
least to Courant [23, 24], free boundary minimal hypersurfaces also naturally
arise in partitioning problems for convex bodies, in capillarity problems for ﬂuids and, as has signiﬁcantly emerged in recent years, in connection to extremal
1 ETH - Department of Mathematics, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Switzerland; Institute for Advanced Study, 1 Einstein drive, 08540 Princeton, United States of America.
e-mail: alessandro.carlotto@math.ethz.ch, alessandro.carlotto@ias.edu.

103metrics for Steklov eigenvalues for manifolds with boundary (see primarily theworks by Fraser-Schoen [33, 34, 36] and references therein).
A good point to start our discussion is provided by the unit ball in R3 : in thiscase we have, modulo isometries, two simple examples of free boundary minimal
surfaces. On the one hand, we have ﬂat disks passing through the origin, whileon the other we have the so-called critical catenoids, which are deﬁned as the
only catenoids centered at the origin and meeting the unit sphere orthogonally.
Going beyond these classical examples, and producing free boundary minimal
surfaces of topological type different from that of the disk or the annulus turns
out to be a rather delicate task, that was only accomplished in recent years. In
that respect, we mention the work by Fraser and Schoen [36] (genus zero and any
number of boundary components), by Folha, Pacard and Zolotareva [29] (genus
zero or one and any sufﬁciently large number of boundary components), by Ketover [50] and Kapouleas and Li [43] (arbitrarily large genus and three boundary
components) and by Kapouleas and Wiygul [44] (arbitrarily large genus and one
boundary component). In higher dimension, namely for Bn ⊂ Rn+1 with n ≥ 4,
inﬁnite families of examples have been found, via equivariant methods, by Freidin, Gulian and McGrath [37].
For general Riemannian manifolds, possibly subject to additional curvature
conditions, in addition to older works mostly appealing to the parametric approach (cf. [23, 24, 30, 38, 47–49, 76, 78] and references therein) we have witnessed the implementation, for relative cyles, of powerful constructions like themin-max à la Almgren-Pitts or the degree-theoretic approach à la White: in that
respect one should mention the work by Li [51], Li-Zhou [52], De Lellis-Ramic[25] and Maximo-Nunes-Smith [61]. In fact, there is good reason to believe thatthe min-max theory by Marques and Neves (see in part. [45,54,56,58,60]) shouldbe pushed to the same impressive summits that have been achieved in the closed
case, so to lead to a Weyl law for the (free boundary) volume spectrum, and to
general density and equidistribution results.
Motivated by this variety of existence results, one is naturally lead to investigate some fundamental geometric questions which have to do with (what might
be called) the ensemble of free boundary minimal surfaces inside a given Riemannian manifold (X, g):
1. When (X, g) is a space form, can one classify all free boundary minimal
immersions having a pre-assigned topological type (namely: for ﬁxed Σ)?
2. Under what curvature conditions (X, g) is the class of its free boundary
minimal embeddings having a pre-assigned topological type compact inthe sense of smooth, graphical one-sheeted convergence?
3. Are there universal bounds, only depending on the ambient manifold, relating the topological invariants of any free boundary minimal surface to its
geometric data like e. g. area, spectral invariants, Morse index?
Each of these questions is already highly meaningful in the aforementioned special case of the unit ball in R3 . To ﬁx the ideas, one could ask, for instance,

104whether (1)’ the ﬂat (equatiorial) disks are, in fact, the only contractible freeboundary minimal surfaces in B3 , whether (2)’ the space of free boundary minimal surfaces of genus ﬁve and three boundary components is strongly compact inthe sense above, and whether (3)’ the Morse index of any free boundary minimal
surface is bounded from above and/or below by a linear function of its relativeﬁrst Betti number.
The scope of this article is to describe various recent results related to thethree questions above (and ramiﬁcations thereof), informally present some key
ideas that come up in the corresponding proofs, and suggest a few related open
problems.
Acknowledgements: This survey was written on the occasion of the conferral toits author of the Riccardo De Arcangelis prize in Mathematical Analysis by the
Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche of the Società Nazionale di Scienze,
Lettere ed Arti in Napoli. The author is partly supported by the National Science
Foundation (through grant DMS 1638352) and by the Giorgio and Elena Petronio
Fellowship Fund.
2 - TOPOLOGICAL UNIQUENESS RESULTS

The ﬁrst general problem we wish to discuss has to do with classifying special
geometric objects: when (X, g) is a simple model space, like e. g. the unit ball
3 can we produce a complete list of all free boundary
B3 or the hemisphere S+
minimal immersions of ﬁxed topological type? Besides the ‘cheap’ results one
can obtain, in very special cases, via reﬂection methods (hence by reduction to
the complete, or to the compact case), this question turns out to be very subtle.
The ﬁrst signiﬁcant result, addressing the most basic of all such problems, wasobtained by J. Nitsche [64] relying on a Hopf differential argument:
Theorem 1. The only free boundary minimal immersions of a disk in the Euclidean unit ball are totally geodesic.
The proof of this statement clearly resembles the one proposed by Almgren in
1966 [3] in the closed setting, in order to prove that the only minimally immersed
two-spheres in the round three-sphere must be equatorial. This correspondence,i. e. the parallel between the theory of closed minimal surfaces in round S3 andof free boundary minimal surfaces in B3 , turns out to be extremely rich, andsurprisingly inspirational in the development of the subject. Within this framework, a fundamental conjecture was proposed in 2014 by Fraser and Li [32],to be thought in analogy with the theorem by Brendle [10] classifying the Clifford torus as the only minimally embedded torus in the sphere (as predicted by
Lawson in 1970).
Conjecture 2. The only free boundary minimal embeddings of an annulus in
the Euclidean unit ball are, modulo isometries, reparametrizations of the criticalcatenoid.

105

This result has very recently been claimed by Nadirashvili and Penskoi [63],and is currently under scrutiny. Although there are some serious concerns about
the correctness of the proposed argument, it is interesting to remark that the authors show how conﬁrming this conjecture would allow to prove a classiﬁcation
result for overdetermined elliptic boundary value problems on spherical domains,
namely to determine all couples (Ω, v) for Ω ⊂ S2 a smooth simply-connecteddomain and v a smooth function solving a problem of the form⎧
⎨Δv = −λ v in Ω,
v=αon ∂ Ω,⎩|∇v| = βon ∂ Ω
for constants λ , α, β ∈ R. A similar result for scaling-invariant domains in R3
and degree one homogeneous functions, related to earlier work by Caffarelli,
Jerison and Kenig [12], would also follow.

A different task concerns, instead, the generalization of Nitsche’s theorem tohigher dimension and/or codimension. If we stick to k = 2 (notation as in the
Introduction) but allow for any d ≥ 3, the question has been very satisfactorily
addressed in yet another contribution by Fraser and Schoen [35]: the only freeboundary minimal immersions of a disk in the Euclidean unit n-dimensional ball
are totally geodesic.
This may sound like a very plausible and expected statement, but it is quite
remarkable that, on the other hand, for any d ≥ 4 there is plenty of non-trivial
minimal immersions ϕ : S2 → Sd (see Calabi [13]). Thereby, we face an interesting broken symmetry with respect to the parallelism described above.
Remark 3. In B4 there are free boundary minimally embedded Möbius bands,
hence free boundary minimally immersed annuli. Thus the conclusion of theconjecture above cannot possibly hold in higher codimension (at least not without
additional assumptions).
Remark 4. The uniqueness results above, for disk-type free boundary minimal
surfaces, actually holds true in the larger category of branched free boundary
minimal immersions.
On the other hand, in the codimension one case i. e. if we take k = d − 1and let d ≥ 4 then the uniqueness problem for free boundary minimal immersions of simply-connected domains is completely open. Based on the analogy
with the closed case, and speciﬁcally on the (abundant) existence of minimal hyperspheres in round S4 that are not totally geodesic [41, 42], we are inclined tobelieve that rigidity should not hold. More precisely, there may be a chance ofsuitably desingularizing the cone, centered at the origin, over a non-equatorial
minimal (d − 2)-dimensional minimal hyperpshere in Sd−1 to obtain a smooth
free boundary minimal disk with the desired properties, at least for certain values of the integer d.
Remark 5. For an extension of Theorem 1 to the case of capillary surfaces, i. e.
surfaces with constant mean curvature and a constant contact angle (not necessarily π/2) the reader may wish to consult Ros and Souam [70].

106Remark 6. We still do not know whether for any (topological type of) compact
surface with boundary Σ there exists a minimal immersion ϕ : Σ → B3 . This is aninteresting and challenging gap in the existence theory. For instance, it would begood to know whether there exist examples of free boundary minimal surfaces in
B3 with one boundary component and positive, but low genus.
3 - COMPACTNESS RESULTS

As a straightforward consequence of the classiﬁcation result presented in theprevious section, we notice that in B3 the space of free boundary minimal disks
is parametrized by a group of isometries (in fact by SO(3)) and, therefore, iscompact with respect to the appropriate notion of convergence. The purposeof this section is to study such a problem in general Riemannian domains, whereclassiﬁcation results cannot be expected. For the sake of simplicity and notational
convenience, we will now restrict to free boundary minimal embeddings andwork in codimension one.
Generalizing to the free boundary setting a foundational result by Choi and
Schoen, Fraser and Li proved the following theorem:
Theorem 7. [32] If (X, g) is a compact three-dimensional Riemannian manifoldof non-negative Ricci curvature and convex boundary, then the spaceMγ,ρ = {Σ ∈ M(X) : genus(Σ) = γ, #boundary components(Σ) = ρ}is strongly compact, in the sense of subsequential smooth graphical convergencewith unit multiplicity.
In higher dimension, a conclusion of type cannot possibly hold because of thefollowing two classes of counterexamples:i) Given m, n ≥ 2 such that m + n < 8, by work of Freidin-Gulian-McGrath[37], there exists an inﬁnite family of distinct, free boundary minimal hypersurfaces in the Euclidean unit ball of dimension m + n, all having the
topological type of Dm × Sn−1 and converging (in the sense of varifolds) toa singular limit.
ii) The ‘second principal family’ constructed by Hsiang in 1983 provides inﬁnite examples of free boundary minimal hypersurfaces all with the same
4 , but the
topology (namely that of D2 × S1 ) inside the upper hemisphere S+
limit of these hypersurfaces is singular.
Therefore, we have counterexamples both in the case when either the Ricci tensor
vanishes on the interior and the boundary is strictly convex, or the Ricci tensor
is positive on the interior and the boundary is weakly convex. This evidence
being provided, our idea (which goes back to [74] and [6]) was to approach thecompactness problem from a somewhat different perspective, with less emphasison the topological type and more on analytic bounds.

107In order to introduce the fundamental notion of Morse index of a free boundary minimal hypersurface, let us consider a normal section v ∈ Γ(NΣ) and compute the second variation of the area functional: II∂ X (v, v)|∇⊥ v|2 − (RicX (v, v) + |A|2 |v|2 ) +
Σ
∂Σ

 

= − g(v, LΣ (v)) +g(v, ∇⊥τ v) + II∂ X (v, v)

QΣ (v, v) : =

 

Σ

∂Σ

⊥
2
for LΣ v := Δ⊥
Σ v + RicX (v, ·) + |A| v. If we consider the eigenvalue problemon Σ,LΣ (v) + λ v = 0(∗)⊥
�∇τ v = −(II∂ X (v, ·))on ∂ Σ.

standard analytic results ensure the existenceof a discrete spectrum: we havea complete
basis of L2 normal sections, say v j , and an associated sequence
λ j with λ j → +∞ solving (∗). Thereby, one deﬁnes the Morse index of Σ asindex(Σ) = # λ j eigenvalue : λ j < 0 ,and the Morse nullity asnullity(Σ) = # λ j eigenvalue : λ j = 0 .

We shall say that Σ is stable if it has zero Morse index, and is unstable otherwise.
These deﬁnitions being given, one can informally rephrase the argument by
Fraser-Li as follows: on the one hand a bound on the topology implies a uniform
area bound, hence a weak form of convergence (as encoded in the context ofGeometric Measure Theory), while on the other hand a bound on the topology
implies a uniform bound on the Morse index, hence a subsequential convergencein the sense of laminations (cf. Colding-Minicozzi [22]). Roughly speaking,the combination of the two things allows to gain convergence to a smooth, freeboundary minimal hypersurface, in the sense of smooth graphical convergence(possibly with multiplicity) away from ﬁnitely many points where necks may
form, and whose number is controlled by the (uniform) index bound in question.
This form of subsequential convergence for classes of the formM p (Λ, μ) := {Σ ∈ M(X) : λ p (Σ) ≥ −μ and H n (Σ) ≤ Λ}.
(which include, as a special case, sets of free boundary minimal hypersurfaces
with uniformly bounded area and index) is the content of Theorem 2 and Theorem 5 in [8]. A fundamental point of our analysis was then the construction of
Jacobi ﬁelds for the limit object, which in fact have a sign in the case when thelimit is two-sided (i. e. when it has trivial normal bundle) and convergence happens with multiplicity m ≥ 2. As a result of our study, we obtained the following
strong compactness theorem:

108

Theorem 8. Let 2 ≤ n ≤ 6 and (X n+1 , g) a compact Riemannian manifold satisfying either of the following two assumptions
1. RicX ≥ 0 with ∂ X strictly convex, or

2. RicX > 0 with ∂ X weakly convex and strictly mean convex.

Then the corresponding class M p (Λ, μ) is sequentially compact for geometric convergence and thus M p (Λ, μ) consists of ﬁnitely many diffeomorphisms
classes.
Here and below, we have employed the convenient phrase ‘geometric convergence’ to refer to smooth, graphical convergence with multiplicity one.
In the so-called bumpy case, by which we mean that all free boundary minimal hypersurfaces (in the given ambient manifold (X, g)) do not have non-trivial
Jacobi ﬁelds and the same is true for any ﬁnite covering thereof, one actually getsa much stronger ﬁniteness result:
Theorem 9. Let 2 ≤ n ≤ 6 and (X n+1 , g) a compact Riemannian manifold such ∈ M(X)that ∂ X is stricly mean convex. Suppose that for all Σ ∈ M(X) and Σ Then |M p (Λ, μ)| < ∞.
there exist no non-trivial Jacobi ﬁelds over Σ or Σ.

Remark 10. This fact has a very interesting consequence: in the setting above
the whole class M(X) of free boundary minimal hypersurfaces is countable. The
corresponding assertion in the closed case (which follows from [6, 74]) plays a
key role in the proof of the density theorem in [45], which ﬁrst settled Yau’s 1982
conjecture in the generic case.
Obviously, this result poses the problem of understanding how restrictive thenon-degeneracy assumption actually is. This is the object of the following bumpy
metric theorem in the free boundary context:
Theorem 11. Let X n+1 be a smooth, compact, connected manifold with nonempty boundary, and q denote a positive integer ≥ 3, or ∞.
Let B q be the subset of metrics g in Γq deﬁned by the following property:
no compact smooth manifolds with boundary that are Cq properly embedded as
free boundary minimal hypersurfaces in (X, g), and no ﬁnite covers of any such
hypersurface, admit a non-trivial Jacobi ﬁeld. Then B q is a comeagre subset ofΓq .
The statement above is the free boundary counterpart of the bumpy metrictheorem obtained by B. White in 1991 (for ﬁnite q) and in 2015 (for q = ∞). In
simple terms, this theorem ensures that the notion of bumpyness given above is
indeed generic in a set-theoretic sense (cf. Baire’s category theorem).
Remark 12. B. White also proved, see [79] that if ∂ X is mean convex then:X contains no closed smooth and embedded minimal hypersurface if and only ifthere exists some C = C(X) such that for all free boundary minimal hypersurfaces
Σ it holds that
H n (Σ) ≤ CH n−1 (∂ Σ).

109

Motivated by this result, one can deﬁneM∂p (Λ, μ) := {Σ ∈ M(X) : λ p (Σ) ≥ −μ and H n−1 (∂ Σ) ≤ Λ}.
If 2 ≤ n ≤ 6 and (X n+1 , g) is a compact Riemannian manifold with mean convex
boundary and contains no closed minimal hypersurface, then Theorem 8 andTheorem 9 hold for the class M∂p (Λ, μ) as well (hence also under a uniform
index bound together with a uniform bound on the boundary mass).
4 - BUBBLING ANALYSIS AND QUANTIZATION

If one weakens the curvature condition that the Ricci curvature be positive,
the conclusion of the compactness theorem by Choi-Schoen [19] is no longer
true: indeed, Colding and De Lellis have constructed in [21] examples of threedimensional manifolds (of positive scalar curvature) containing sequences ofclosed minimal surfaces of any pre-assigned ﬁxed genus but arbitrarily large
Morse index (and with a lamination limit). Although not yet in the literature,
there is little doubt that a similar phenomenon (i. e. a similar lack of compactness, in spite of ﬁxing the topological type) holds in the free boundary case as
well: thus one cannot expect an unconditional result to hold. In this section, we
will instead describe how conditional compactness results can be recovered, andhow degenerations can be understood and described.
Embracing the same perspective as in the previous section, let us consider in
a compact (X 3 , g) a sequence of free boundary minimal surfaces with uniform
bounds on the area and the Morse index (the topological type will come later
into play). We already described how, at this level of generality (and without any
curvature condition assumption) the sequence in question will subsequentiallyconverge to a smooth limit, the convergence being smooth and graphical (withinteger multiplicity m ≥ 1) away from ﬁnitely many points where necks may
form. The simplest local model to keep in mind is provided by the homothetic
rescalings of a catenoid in R3 (in the free boundary case other basic examples
are given by free boundary half-catenoids, either vertically or horizontally cut).
The way to proceed, and reﬁne the global analysis described in the previous
section, is to get a precise, qualitative and quantitative, understanding of what
happens during the convergence process near the points where curvature concentration occurs. This has been done in [5] (which follows the study of the closed
case, that was previously done in [4, 11]). The ﬁrst result there is a quantization
identity for the total curvature functional A (·), the integral of the n-th power ofthe length of the second fundamental form.
Theorem 13. Let 2 ≤ n ≤ 6 and (X n+1 , g) be a compact Riemannian manifoldwith strictly mean convex boundary. For ﬁxed Λ, μ ∈ R≥0 and p ∈ N≥1 , supposethat {Σk } is a sequence in M p (Λ, μ). Then there exist a Σ ∈ M p (Λ, μ), m ∈ N
and a ﬁnite set Y ⊂ X with cardinality |Y | ≤ p − 1 such that, up to subsequence,Σk → Σ locally smoothly and graphically on Σ \ Y with multiplicity m. Moreover
there exists a ﬁnite number of non-trivial bubbles or half-bubbles {Γ j }Jj=1 with110J ≤ p − 1 andJ

A (Σk ) → mA (Σ) + ∑ A (Γ j ), (k → ∞).
j=1

For k sufﬁciently large, the hypersurfaces Σk of this subsequence are all diffeomorphic to one another (hence the class M p (Λ, μ) is ﬁnite modulo diffeomorphisms).
Remark 14. The statement above is somewhat less general than what we provedin [5]: the assumption that the boundary of the ambient manifold be strictly
mean convex is un-necessary, but avoids a digression on possibly improper limit
surfaces.
Theorem 13 has a few straightforward geometric implications, which we
present here as a list of remarks:• In ambient dimension three (corresponding to n = 2), the total curvatureof any bubble is an integer multiple of 8π (cf. [65, 66]) and thus the total
curvature of any half-bubble is an integer multiple of 4π: hence Theorem
13 implies that for a sequence of surfaces that eventually satisfy A (Σk ) ≤4π − δ for some δ > 0, the set Y must be empty and the convergence to Σis smooth and graphical everywhere (but possibly with higher multiplicity,which however will not happen if the limit is two-sided);• In the very setting of the theorem, there exist:– a constant C = C(p, Λ, μ, X, g) such that the total curvature of any
element in M p (Λ, μ) is bounded from above by C.
– a constant I = I(p, Λ, μ, X, g) such that the Morse index of any elementin M p (Λ, μ) is bounded from above by I.

The very last assertion in Theorem 13, about the unconditional ﬁniteness ofthe diffeomorphisms types represented in M p (Λ, μ) is justiﬁed by the following
ﬁne local description result:
Theorem 15. With the setup as in Theorem 13, for each y ∈ Y there exist a
Jywhere ∑y∈Y Jy ≤ p − 1 withﬁnite number of point-scale sequences {(pik , rki )}i=1iiΣk � pk → y, rk → 0, and ﬁnite numbers of non-trivial bubbles and half-bubbles
Jy{Γi }i=1, such that the following is true.
• For all i �= j, we haverkj distg (pik , pkj )++→ ∞.
rkj rkirki + rkjrki

i := Σik converges loTaking normal coordinates centered at pik , then Σkrkcally smoothly and graphically, away from the origin, to a disjoint union of111

ﬁnitely many (half-)hyperplanes and at least one non-trivial bubble or halfbubble. The convergence to any non-trivial component of the limit occurs
with multiplicity one.
• Given any other sequence Σk � qk and ρk → 0 with qk → y andmini=1,...Jyρrki
distg (qk , pik ) 
k
→∞
+
+
ρk
rki
ρk + rkik := Σk converges tothen taking normal coordinates at qk , we obtain that Σρka collection of parallel (half-)hyperplanes.

i is always connected. The convergence isWhen n = 2, any blow-up limit of Σklocally smooth, and of multiplicity one. Moreover we always have(†)

distg (pik , pkj )rki + rkj

→ ∞.

Notice that condition (†) ensures that one can separate the bubble regions, sothat in a certain sense there is no interaction between different regions of highcurvature.
Let us focus on the case of ambient dimension three: in that case, one can relyon the Gauss-Bonnet theorem, and on the varifold convergence of the boundaries
to rewrite the quantization identity in the formJχ(Σk ) = mχ(Σ) + ∑ (χ(Γ j ) − b j ),j=1

where χ(Γ j ) denotes the Euler characteristic of Γ j and b j denotes the number of
its ends.
Let us now see a simple application of this machinery. Since one can fullyclassify bubbles and half-bubbles of Morse index less than two, we were able toobtain novel geometric convergence results for sequences of free boundary minimal surfaces of low index. To shorten the statement it is convenient to introduce
the following notation:M(Λ, I) := {Σ ∈ M(X) : index(Σ) ≤ I and H n (Σ) ≤ Λ}.
Theorem 16. Let (X 3 , g) be a compact Riemannian manifold, with non-empty
boundary ∂ X. Assume that:a) either the scalar curvature of (X, g) is positive and ∂ X is mean convex withno minimal component;b) or the scalar curvature of (X, g) is non-negative and ∂ X is strictly mean
convex.
Then, for any Λ > 0 the following assertions hold:112

1. The class M(Λ, 0) is sequentially compact in the sense of smooth multiplicity one convergence. Similarly, any subclass of M(Λ, 1) of ﬁxed topologicaltype is sequentially compact, in the sense of smooth multiplicity one convergence, for all given topological types except those of the disk and of theannulus. In particular, we obtain unconditional sequential compactness forany class of non-orientable surfaces of given topological type.
2. Let {Σk } be a sequence of disks (respectively: annuli) in M(Λ, 1). Then:either a subsequence converges smoothly, with multiplicity one, to an embedded minimal disk (respectively: annulus) of index at most one or there
exists a subsequence converging smoothly, with multiplicity two and exactly one vertically cut catenoidal half-bubble (respectively: exactly one
catenoidal bubble), to a properly embedded, free boundary stable minimal
disk. As a result, if X contains no stable, embedded, minimal disks thenstrong compactness holds.
All conclusions still hold true without assuming any a priori upper area boundif X is simply connected and, in case b), if moreover there is no closed minimal
surface in X.
Remark 17. It would be interesting to know if the degenerations listed above
actually occur, i. e. to provide a construction of degenerating disks or annuli
of Morse index one (and uniformly bounded) area with a point of bad convergence. There is a chance this may be achieved via a (rather subtle) gluing/desingularization scheme.
We refer the reader to [5] for a list of other interesting applications of thequantization identity.
5 - ESTIMATES INVOLVING THE MORSE INDEX

An interesting aspect of our analysis of the limit behaviour of sequences ofindex one free boundary minimal surfaces (Theorem 16) is that, in many interesting cases, an a priori area estimate is not needed for one can prove it using
a variation of the Hersch trick. In fact, one gets an effective estimate: if we setρ := inf R and σ := inf H, both assumed to be non-negative numbers, then any
index one, orientable free boundary minimal surface Σ satisﬁesρ 2
H (Σ) + σ H 1 (∂ Σ) ≤ 2π(8 − #boundary components(Σ)) ≤ 16π.
2
An estimate of this type is not known for surfaces of higher index, i. e. for freeboundary minimal surfaces whose Morse index is bounded from above by a given
integer k. Nevertheless, an ineffective estimate can be proven via reﬁned surgery
techniques following the work by Chodosh-Ketover-Maximo for the closed case[17]. These results, and their applications, are the object of a forthcoming article
by the author and Franz. However, such a priori area estimate are only oneof the two key ingredient needed to extend Theorem 16 to the case of higher

113index. The second one, which compensates for a lack of classiﬁcation results
for bubbles of index ≥ 4, is a general index-topology inequality for complete
minimal surfaces in R3 due to Chodosh-Maximo [18]. Their work ﬁts in a very
active area of research, which we shall now brieﬂy describe with special focus
on the free boundary setting. We will present a network of results in this spirit,
which ﬁt in a general program of the author of comparing different notions ofcomplexity for minimal submanifolds.
Except in very few, special circumstances (including the critical catenoid,see [26, 62, 75]) the Morse index of a free boundary minimal hypersurface is unlikely to be computable, or even to be effectively estimated. Thus, it is of some
importance to develop more general methods to bound it, from above and/or frombelow, in terms of other data of the surface in question, like e. g. its topology. We
shall describe the topology of a manifold with boundary by means of its (real)
homology groups. As it is well-known, in the most basic case of orientable surfaces with boundary the topological type can be completely described by meansof two numbers, namely the genus and the number of boundary components ofthe surface in question.
There are some general results about the geometry and topology of stable andindex one compact free boundary minimal surfaces in general three-manifolds
whose boundary satisﬁes some convexity assumption. For example, by a variation of the Schoen-Yau rearrangement trick it is known that stable compact
two-sided free boundary minimal surfaces in mean convex domains of threemanifolds with non-negative scalar curvature must be topological disks or totally geodesic annuli. Moving one step further, Cheng, Fraser and Pang showedin [16] that there exists an explicit upper bound on the genus and the number ofboundary components of index one compact two-sided free boundary minimal
surfaces in such manifolds. Related results about the topology of free boundary
volume-preserving stable CMC surfaces in strictly mean convex domains of thethree-dimensional Euclidean space were obtained by Ros in [69]. Going beyond
the low index regime, but adding suitable curvature assumptions on the ambientmanifold, in [9] we obtained general linear inequalities for the Morse index. For
the sake of simplicity, anad to avoid an unnecessary digression on the methods
we had introduced in [8] for the closed case, we shall simply stick to the special
case of compact, regular domains in R3 .
Theorem 18. Let Ωn+1 be a strictly mean convex domain of the (n+1)-dimensional
Euclidean space, n ≥ 2. Let Σn be a compact, orientable, properly embedded freeboundary minimal hypersurface in Ω. Then
index(Σ) ≥2
dimH1 (Σ, ∂ Σ; R).
n(n + 1)The dimension of the homology group H1 (Σ, ∂ Σ; R) can be explicitly computed in terms of the homology groups of Σ and ∂ Σ. In particular, we can obtainan estimate for the index in terms of the number of boundary components. Furthermore, in the special case of free boundary minimal surfaces (n = 2), the114

estimate also involves the genus of the surface and can in fact be upgraded to themore general scenario when the ambient domain is only weakly mean convex.
This requires an ad hoc argument, and relies on a result of Ros [68].
Theorem 19. Let Ω3 be a mean convex domain of the three-dimensional Euclidean space. Let Σ2 be a compact, orientable, properly embedded free boundary minimal surface in Ω with genus γ and ρ ≥ 1 boundary components. Then1
index(Σ) ≥ (2γ + ρ − 1).
3
The conclusion of this theorem coincide with the one obtained by Ros andVergasta [71] in the special case of index one free boundary minimal surfaces instrictly convex domains of R3 (which contain no stable free boundary minimal
surfaces).
Remark 20. In the case of the unit ball in R3 , one should be able to improvethe estimate above in analogy with Theorem 1.3 in [72], concerning the index
of closed minimal surfaces in the round three-dimensional sphere. In terms ofabsolute lower bounds (i. e. estimates not brining topology into play) Fraser andSchoen [36] have proven that if Σn ⊂ Bn+1 (a free boundary minimal hypersurface in the unit ball of Rn+1 ) then either Σn is a ﬂat disk (whose index is one) or
its Morse index is at least n + 2.
Remark 21. The above theorem can be used to understand the behaviour of theindex of some known examples of free boundary minimal surfaces constructedin the unit ball in R3 . In particular, it implies that the examples in any of thefamilies of free boundary minimal surfaces obtained in [36], [29], [43] and [44]have arbitrarily large Morse indices.
Remark 22. All the main results in [5] actually hold for properly immersed freeboundary minimal hypersurfaces. The necessary modiﬁcations to our proofs areof purely notational character.
Remark 23. For (strictly) two-convex domains of the Euclidean space one canactually improve the estimate in Theorem 18 replacing, in the right-hand side,
dim H1 (Σ, ∂ Σ; R) by means of max {dim H1 (Σ, ∂ Σ; R), dim Hn−1 (Σ, ∂ Σ; R)}.
The ideas behind the proof of Theorem 18 (hence Theorem 19) have theirroots in earlier work by Ros [68], Savo [72] and, as mentioned above, by Ambrozio, Sharp and the author [8] in the study of a well-known conjecture by
Schoen on the index of closed minimal hypersurfaces inside three-dimensional
manifolds of positive Ricci curvature. Let us explain it, very brieﬂy, in the simpler case of Theorem 19.
Roughly speaking, given a harmonic one-form ω ∈ HT1 (Σ, g) subject to suitable boundary conditions, one considers its projections with respect to some orthonormal basis {θi } of R3 and proves, via a direct calculation, an identity forthe mean value ∑ QΣ (ui , ui ) where QΣ is the Jacobi form arising in the second
variation of the area of Σ and ui = �ω, θi �. Thereby, the geometric assumptionthat the domain be strictly mean convex ensures that this sum must be negative.

115

2
Now, let us assume that Σ2 has index k, and denote by {φq }∞q=1 an L -orthonormal
basis of eigenfunctions of the Jacobi operator of Σ satisfying the Robin boundary
conditions (∗) (see Section ). Let then Φ denote the linear map deﬁned byΦ : HT1 (Σ, g) →  R3kω�→ [ Σ �ω, θi �φq ] ,where q varies from 1 to k. Clearly, by linear algebra

dimHT1 (M, g) ≤ dimKer(Φ) + 3k
Since HT1 (Σ, g) � H1 (Σ, ∂ Σ; R), and thus both spaces have dimension 2γ +ρ −1,
the result will follow once we prove injectivity of the map Φ.
Let then ω be an element of the kernel of the map Φ. This means that allfunctions ui are orthogonal to the ﬁrst k eigenfunctions, namely φ1 , . . . , φk . Since
index(Σ) = k, we must haveQ(ui , ui ) ≥ λk+1

Σ

u2i d H 2 ≥ 0,

for i = 1, 2, 3,

by the variational characterization of the eigenvalues for problem (∗). On theother hand, we have already observed that the assumption H ∂ Ω > 0 implies thatthe above inequality can only possibly hold if |ω| vanishes identically on ∂ M.
But then ω = 0 on Σ by suitably applying the maximum principle. Hence, if thedomain is strictly mean convex, Φ has trivial kernel, and the conclusion follows.
General estimates of the type above are not known in higher codimension, or
under weaker curvature assumptions. However, we remark that some interesting
results on the index of free boundary minimal submanifolds of higher codimension have been proven in [31] and [36], Theorem 3.1.
Besides the index estimates provided above, we further know, thanks to recent
work [53] by V. Lima, extending to the free boundary setting the results by EijiriMicallef [28] and Cheng-Tysk [15], that a uniform bound both on the area and on
the topology of a sequence of orientable free boundary minimal surfaces implies
a uniform bound on the Morse index. We note that when n = 2 and one considers
convex domains in Euclidean space the theorem by V. Lima can be regarded as apartial converse to Theorem 19 above.
Lastly, let us mention some very recent work by Aiex and Hong [1] presenting
index estimates in the spirit of [8, 9] for constant mean curvature surfaces inthree-dimensional manifolds, both in the closed and in the free boundary case(see [14] for earlier contributions in the case of mean convex domains in R3 ).
Of course, in the stable case these estimates recover much more basic results
concerning the topology of isoperimetric surfaces in Euclidean bodies.

116

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121

Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 123-146
DOI 10.32092/1021

A review about public cryptography protocols based on RSA or
elliptic curves
Nota di Antonio Corbo Esposito1 , Cristian Tirelli1
Presentata dal socio Antonio Corbo Esposito(Adunanza del 15 novembre 2019)
Key words: RSA, Difﬁe-Hellman, Discrete Logarithm, Elliptic Curve, ECDSA
Abstract – We provide the basic deﬁnitions regarding computational complexity theory
and review some basic cryptography protocols based on RSA or elliptic curves. These
protocols summarize the history of the last ﬁfty years in cryptography and are actually
ubiquitous in applications, as for example SSL (secure socket layers), smartcards, creation of a bitcoin wallet etc. Since it is known they are in the polynomial class for the
Shor’s algorithm, the possible development of quantum computers, needed to run suchalgorithm, will represent a dramatic shift in cryptography research and in applications.
Riassunto – In questa nota forniamo le deﬁnizioni di base relative alla teoria della complessitá computazionale ed esaminiamo alcuni semplici protocolli crittograﬁci basati su
RSA e curve ellittiche. Questi protocolli riassumono la storia degli ultimi cinquant’annidella crittograﬁa e sono onnipresenti nelle applicazioni, come ad esempio SSL (securesocket layers), smartcards, creazione di portafogli per bitcoin etc. Poiché é noto che rientrano nella classe di problemi polinomiali per l’algoritmo di Shor, un possibile sviluppo
dei computer quantistici, necessari per eseguire questi algoritmi, rappresenterebbe undrammatico cambiamento nella ricerca crittograﬁca e nelle applicazioni.

1 - INTRODUCTION

In this review we summarize the basic concepts about complexity theory andprovide an overview of main public cryptography protocols actually used for awidespread range of applications, from the protections of money transactions
over internet to the creation of a bitcoin wallet to the digital signature of documents.
While these algorithms are ubiquitous in the present ICT world they all share acommon feature: they are all vulnerable to the Shor’s algorithm, meaning that if
Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’ Informazione "Maurizio Scarano", Università degli studi di cassino e del Lazio meridionale, Via G. Di Biasio 43, 03043,
Cassino, Italia. e-mail: corbo@unicas.it, cristiantirelli@gmail.com
1123

a "quantum computer" is ever realized managing a suitable number (i.e. >128)
of qubits, the complexity to solve these problems will fall into the polynomialclass.
The only problems present in this review which will resist to "quantum computers" are NP-complete problems, as MQ problem. However MQ problem, as other"post quantum" cryptographic problems has failed so far to provide adequate andpractical public cryptography protocols. This review therefore provides an outlook directed to the recent history of cryptography: this history has provided
exceptionally beautiful topics in mathematics, as RSA algorithm or the theoryof elliptic curves, while the fate of the protocols based upon these algorithms isalready sealed.
The world of cryptography is actively preparing for the upcoming paradigm shift.
New algorithms are proposed and NIST (National Institute of Standards andTechnology) has already started the selection for the next generation of protocols that will resist even attacks running on "quantum computers".
The present situation and perspectives will be addressed in an upcoming report.
2 - COMPUTATIONAL COMPLEXITY THEORY

Computational complexity theory is a tool that help us to classify and analyze
computational problem to their inherent difﬁculty.
Information Theory tells us that every cryptographic algorithm is insecure, butwith the study of computational complexity we can tell after how much time thisalgorithm can be broken.
2.1 - Algorithms complexity
The complexity of an algorithm is deﬁned like the power needed to compute
it. Usually it’s measured considering two variables: T the time complexity and
S the spatial complexity. The complexity of an algorithm is expressed using the
Big O notation, that allow us to approximate the result using a superior limit.

Figure 1: Big O notation

124

Deﬁnition 1. f (n) = O(g(n)) means that k · g(n) is the superior limit of f (n).
So there exists a constant k such that f (n) ≤ k · g(n) for values bigger enough ofn
Deﬁnition 2. f (n) = Ω(g(n)) means that k · g(n) is the inferior limit of f (n). So
there exists a constant k such that f (n) ≥ k · g(n), for values bigger enough of n

Deﬁnition 3. f (n) = Θ(g(n)) means that k1 · g(n) is the superior limit of f (n)and k2 · g(n) is the inferior limit for each n ≥ n0 . So there exists some constants
k1 and k2 for which f (n) ≤ k1 · g(n) and f (n) ≥ k2 · g(n) with this we can sayg(n) is a good approximation of f (n).
This notation is usefull to group in the same class of complexity different
algorithm. The most common class of complexity are:• Constant functions: f (n) = 1 when we don’t have a dependence of n
• Logarithmic functions: f (n) = log n• Linear functions: f (n) = n• Superlinear functions: f (n) = n log n• Quadratic functions: f (n) = n2
• Cubic functions: f (n) = n3

• Exponential function: f (n) = cn
• Factorial functions: f (n) = n!

Figure 2: Execution time

To have a better gasp of the running time associate to each complexity function
we can read the following table:

125

Classes
Constant
LinearQuadratic
Cubic
Exponential

Complexity
O(1)
O(n)
O(n2 )O(n3 )
O(2n )#operation for n = 106
1
106
1012
1018
10301030

Time
1 μsec.
1 sec.
11.6 days
32000 yrs.
10301006 y.u.

We can see that bruteforce attack for problems of exponential complexity are
not practically possible, since they will require enormous amount of time, in fact
this is the strengths of cryptographic algorithms.
2.2 - Complexity class
Cryptography is a science that was developed together with writing, in fact
there are numerous example of "secret writing" in the history. In the past all
the algorithm used to communicate secretly where based on the secrecy of thealgorithm itself, but right know it’s the complete opposite. Modern cryptography
made possible for two strangers to communicate securely using a channel securedby the application of some mathematical problems and everything is done withpublic algorithms.
Computational complexity theory classify not only the complexity of algorithms,
but also the complexity of problems in general. The objective is to ﬁnd, using
less time and space possible , the solution to a problem on a theoretic computer
called Turing machine. Problems are divided in various class of complexity,
determinated on the base of their difﬁculty. In the following image we can see
various class and their relation, however mathematical a lot of topics still need to
be demonstrated.

Figure 3: Diagram of the complexity class

2.3 - P vs NP
Deﬁnition 4. The class P contains all the problem that can be solved in a polynomial time.

126

Deﬁnition 5. The class NP contains all the problem of which the solution can be
veriﬁed in a polynomial time.
Like we can guess from the deﬁnitions the membership to a class NP requireless then the memebershipt to the class P. The class NP contains P because
every problem that can be resolved in polynomial time can also be veriﬁed inpolynomial time. It seems easy to prove that NP problems are more difﬁcult of
P problems, but right now a mathematical demonstration still has to be made.
If NP = P will be demonstrated, a lot o cryptographic algorithms could become
useless. Some of this NP problems are more difﬁcult than others and are called
NP − complete.
Deﬁnition 6. A P problem is called NP − complete is every other problem Q,
contained in NP, can be reduced to P in a polynomial time
Example 1. NP-complete problems:• The knapsack problem. Given a set of items, each with a weight and avalue, determine the number of each item to include in a collection so thatthe total weight is less than or equal to a given limit and the total value is
as large as possible• Graph coloring problem. Given n colors, ﬁnd a way to color the vertex ofa graph such that two adjacent vertex doesn’t have the same color.
• Travelling salesman problem. A traveler need to visit n different cities following the shortest route possible.

If at least one of this problems would be veriﬁed with an algorithm that run
in polynomial time, then we can say that NP �= P. All this problems are easy toverify, but hard to solve. They complexity is exponential, but that doens’t meanthat every NP problem is exponential and this is what brings us to ask ourselves
if P = NP. Nowday no mathematical demonstration has succeeded in giving us
an answer.
2.4 - Boolean satisﬁability problem
Boolean satisﬁability problem (SAT) is a fundamental problem in the mathematical logic and in the theory of computational complexity. In practice it’s atool used for a variety of problems, for example there are numerous applicationof it for solving design problem of integrated circuits.
Given a set of n variables: x1 , . . . , xn , a set of literals (a literals is a variable Q = x),a set of distinct rules C1 , . . . ,Cn , and each rules is a set of literals bound together
by the logic operation or (∨).
The objective of SAT problems is to ﬁnd the value that associate to the literals,
make the following formula true.
C1 ∧C2 ∧ ... ∧Cm

1272.5 - Multivariate quadratic polinomial (MQ) problem
Another importan NP−Complete problem is the Multivariate Quadratic polinomial (MQ) problem that sees its application in the public key cryptography. A
system of this kind have a set of quadratic polynomials on a ﬁnite ﬁeld and solving this problems on a ﬁnite ﬁeld is not easy. This kind of problem is considered
to be one of the few that could resist to a quantic computer. The public key
cryptosystem depends on the existance of a class of function called trapdoor;
this function are easy to calculate, but very difﬁcult to invert (for example themultiplication between two prime numbers). In the PKV (public key cryptosystem) that uses MQ systems, the trapdoor function is a polynomial equation withmore then one boolean variables. Usually the key is generated with a system ofquadratic polynomials:
P = (p1 (ω1 , . . . , ωn ), . . . , pm (ω1 , . . . , ωn ))where pi is a non linear quadratic polynomial system over w = (ω1 , . . . , ωn ):pk (w) := ∑ Pik ωi + ∑ Qik ωi2 + ∑ Ri jk ωi ω j
i

i

i> j

in which each coefﬁcient and each variable is in Fq .
3 - CRYPTOGRAPHIC PROTOCOLS

Sharing data and information on a secure channel between two endpoint was
something needed also during the egyptian times and only with the evolution ofsociety and the improvement in technologies was possible to create more sophisticated methodologies to communicate. The real breakthrough there was in the
1976 with the publication of the Difﬁe-Hellman algorithm which got us a secure
way to exchange information on an insecure channel and after a few years, inthe 1978 another important algorithm, RSA(from it’s creators Rivest, Shamir eAdleman) was born. The publication of this algorithms helped to develop and research new area of math, contributing with the improvement of the general cryptography technique. We can divide cryptographic protocol in two big branches:
symmetric and asymmetric cryptography. In the symmetric cryptography the
key used to encrypt the data is also used to decrypt it, meaning that the two partneed to share the same key. However with asymmetric cryptography we don’t
have this problem since it uses two different keys, one to encrypt and one todecrypt. Usually this is used only to exchange the key and then use symmetric
cryptography, since asymmetric cryptography it’s not so efﬁcient when dealing
with large quantities of data.
3.1 - Prime number generation
Prime number play an important role in cryptography, but generating thosenumber in a deterministic way and in a small amount of time is not possible;
what we can to is do generate random number and then check if they are prime
with a probability test.

128

Theorem 1. Prime number theorem
This theorem describe the asymptotic distribution of prime number and gives
use an approximation of how many prime exists under a certain integer n.
Let π(x) be the prime-counting function then
lim

π(x)

x→∞

=1
x
log(x)x
That can be approximated like this π(x) ≈ log(x)Algorithms like RSA and D-H use prime number of 512 bit that, using theprevious theorem, gives us around 10150 prime number that we can pick. Generating prime number is not easy, we could pick a random number and then try tofactorize it, but with number of 512 bit this is not possible since this operation
while require too much time. We need to use some probabilistic algorithms likethe following one.
Lehmann Algorithm
1. Pick a random number a less then p
p−1

2. Compute a 2 (mod p)
p−1

p−1

3. If a 2 �= (mod p) or a 2 �= −1 (mod p) then p is not prime
p−1

p−1

4. If a 2 ≡ 1 (mod p) or a 2 ≡ −1 (mod p) then the probability that p is
not prime doesn’t exceed 50%
Repeating this algorithm decrease the probability of p to not be prime.
Rabin-Miller Algorithm Let’s pick a random number p. Compute b that is
the number of times that 2 divide p − 1 e let’s compute m so that p = 1 + 2b m.
1. Pick a random number a less then p
2. j = 0 and z = am (mod p)
3. If z = 1 or z = p − 1 then p is probably prime
4. If j > 0 and z = 1 then p is not prime
5. j = j + 1
6. If j < b and z �= p − 1 then z = z2 (mod p) and repeat from the third point.
If z = p − 1 then p is probably prime.
7. If j = b and z �= p − 1 then p is not prime.

This is the most used algorithm because the probability of a number to not
be prime decrease faster than other algorithms, since it’s about 41t where t is thenumber of iteration.

1293.2 - RSA
The security of this particular algorithm is based on the difﬁculty to factorize
large number. There are some technique developed trying to break this algorithm,
but right now nobody found a solution that can be run on polynomial time.
RSA is not so difﬁcult to understand, there are just three main step:
1. Generation of the public and private key• Generate two big number p and q both with the same lenght in bit.
• Compute n = pq and φ = (p − 1)(q − 1)
• Pick a random integer e such that 1 < e < φ and gcd(e, φ ) = 1• With the extended Euclidean algorithm compute d such that 1 < d < φand ed ≡ 1 (mod φ )• The public key is given by the pair (n, e), while the private key is d

2. Data Encryption• The part interested in the communication get the public key (n, e)• Represented the message like a big integer m ∈ [0, n − 1]
• Compute c = me (mod n)• The encrypted message to send is c

3. Data Decryption• The receiver, who provided the public key and who recived the encrypted text c, can get the original text use its private key d to get
m = cd (mod n).

Demonstration
Since ed ≡ 1 (mod φ ) exist a value k such that ed = q + kφ . If gcd(m, p) = 1
then for Fermat’s last theorem we have:m p−1 ≡ 1 (mod p)
raising for k(q − 1) and multiplicand for m we get:m1+k(p−q)(q−1) ≡ m (mod p)
Else if gcd(m, p) = p then the last congruency hold since its congruent to 0
modulo p. So we always have that:med ≡ m (mod p)

med ≡ m (mod q)
med ≡ m (mod n)
So it holds that:cd ≡ (me )d ≡ m (mod n)

130

The encryption phare used in RSA can be speed up if we choose e equal to 4,
16 or 65537 since are more easy to calculate and they choice don’t make weak,from a secuirty prospective, the algorithm.
3.3 - Difﬁe-Hellman
The ﬁrst public key protocol was published in 1976 by Whitﬁeld Difﬁe e
Martin Hellman and its the ﬁrst example of public key exchange. Usually asecure communication required a key exchange on a physical channel, but with
the introduction of D-H it become possible to exchange a secret key on a public(insecure) channel.
Conceptually the algorithm is represented in the following image

Figure 4: Difﬁe-Hellman key exchange

Mathematically we deﬁne D-H algorithm on a multiplicative group of a ﬁnete

131set of prime number. The two part Alice (A) and Bob(B) choose a big prime
number n and g such that g is a primitive element of G. The values n and g must
be kept secret and can be shared on a public channel following this procedure:• A Pick a big integer x and sends to B X = gx (mod n)• B Pick a big integer y and sends to A Y = gy (mod n)• A Compute k0 = Y x (mod n)• B Compute k1 = X y (mod n)

Since (gx )y = (gy )x = gxy we have that k = k0 = k1 . Knowing only n, g, X and Y
is not possible ﬁnd x or y without ﬁrst solving a discrete logarithm problem.
3.4 - Man in the middle
One thing that D-H cannot do is to protect ourself from MITM attack.

Figure 5: Difﬁe-Hellman MitM

Looking at the image is easy to notice that Alice cannot know if she is communicating with Eve or Bob, the only way to know the other interlocutor is tomeet him physically, same thing for Bob.
3.5 - Discrete logarithm problem
The D-H algorithm is the application of a mathematical problem called discrete logarithm.
Deﬁnition 7. Let (G, ◦) be a cyclic group of order n and let g be a generator of
G. Having y = gx = g ◦ g... ◦ g ﬁnd x.

132

We basically need to calculate x = logg y (discrete logarithm). One thing to
notice is that the solution to this problem is not unique. If G is a cyclic group withg as generator then gx = gz ⇔ x ≡ z (mod n). The difﬁculty in solving a discrete
logarithm problem depends also from the chosen group and from the operation
deﬁned in it. In fact solving the DLP on additive group modulo n is a lot easierthat solving DLP on multiplicative group(like in D-H).
4 - ELLIPTIC CURVE
A lot of public key algorithms, protocols and cryptocurrency (recently born)are based on elliptic curve that allows to have a security level comparable withthe one offered by RSA and D-H, but with faster encryption and decryption time.
Deﬁnition 8. An elliptic curve E on a ﬁeld K written as E/K is given by the
Weierstraβ equation:
E : y2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
with a1 , a2 , a3 , a4 , a6 ∈ K such that for every point (x1 , y1 ) with coordinate in
K satisfy E and its partial derivatives 2y1 + a1 x1 + a3 and 3x12 + 2a2 x1 + a4 − a1 y1
do not become null.
Another condition to satisfy is that of non-singularity. A point of a curve issingular if both the partial derivatives are null. More formally we can write:
Deﬁnition 9. Let:b2 = a21 + 4a2
b4 = a1 a3 + 2a4
b6 = a23 + 4a6
b8 = a21 a6 − a1 a3 a4 + 4a2 a6 + a2 a23 + a24
Using the transformation y → y − (a1 x + a3 )/2 we get an isomorphic curvey2 = x 3 +b2 2 b4
b6
x + x+
42
4

whose cubic polynomial have the roots in the closure of K if and only if thediscriminant is not null.
The equation is useful to ﬁnd out if a curve is elliptic or not.
Deﬁnition 10. Let E a curve deﬁned over K. The discriminant of E denoted by
Δ satisﬁes
Δ = −b22 b8 − 8b34 − 27b26 + 9b2 b4 b6
The curve is not singular and so its elliptic if and only if Δ is not null. That
assure the existence of one unique tangent for each point on the curve.

133

Figure 6: Curve y2 = x3 with a singular pointof cusp y2 = x3 − 3x + 2

Figure 7: Curve y2 = x3 − 3x + 2 with anode(singular point)

4.1 - Group law
The set of point described by the curve together with a group operation deﬁnea group on R. Since we are in an abelian group we can write P + Q + R = Θlike P + Q = −R. This allows us to derive a geometric way to sum two points
P(x1 , y1 ) and Q = (x2 , y2 ). The result of the operation can be obtained by drawing
a straight line that pass on the two points P and Q, the third point R is given by
the intersection of the straight line with the curve. The result of the sum is thepoint R with its y coordinate multiplied by −1.

Figure 8: Curve over R

Figure 9: Curve over F

134

Figure 11: Doubling over F

Figure 10: Sum over R

From the Weierstraβ equation we can obtain different kind of curve and eachcurve have a different group law which depends on the group.
Group law on a ﬁeld K = F p with p>3
y2 = x3 + ax + b
1. Identity: P + Θ = P for every P on the curve
2. Opposite: Let P = (x, y) then (x, y) + (x, −y) = Θ. The point (x, −y) is
written as −P

3. Addition: Let P = (x1 , y1 ) and Q = (x2 , y2 ) points on the curve with P �=
±Q. Then R = P + Q = (x3 , y3 ) with:
y2 − y1 2x3 =− x1 − x2x2 − x1y2 − y1(x1 − x3 ) − y1y3 =x2 − x1
4. Doubling: Let P = (x1 , y1 ) a point on the curve and P �= −P. Then R =P + P = (x3 , y3 ) with:2
 2
3x1 + a
− 2x1
x3 =
2y1


3x1 + ay3 =(x1 − x3 ) − y1
2y1
Group law of super singular curve over K = F2m
y2 + cy = x3 + ax + b

135

1. Identity: P + Θ = P for every P on the curve�

2. Opposite: Let P = (x, y) ∈ E, the point P = (x, x + c) be on the curve and��
P + P = Θ. P is the opposite of P and is written as −P
3. Addition: Let P = (x1 , y1 ) and Q = (x2 , y2 ) points on the curve, P �= ±Q.
Then R = P + Q = (x3 , y3 ) where:
y2 + y1 2x3 =+ x1 + x2
x2 + x1
y2 + y1y3 =(x1 + x3 ) + y1 + c
x2 + x1

4. Doubling: Let P = (x1 , y1 ) a point on the curve and P �= −P. Then R =P + P = (x3 , y3 ) with: 2
2
x1 + ax3 =c
 2x1 + ay3 =(x1 + x3 ) + y1 + ccGroup law of non super singular curve over K = F2m
y2 + cy = x3 + ax + b
1. Identity: P + Θ = P for every P on the curve�

2. Opposite: Let P = (x, y) ∈ E the point P = (x, x + c) is a point on the curve��and P + P = Θ. P is the opposite of P witten as −P
3. Addition: Let P = (x1 , y1 ) and Q = (x2 , y2 ) points on the curve, P �= ±Q.
Then R = P + Q = (x3 , y3 ) where:
x3 = λ 2 + λ + x1 + x2 + ay3 = λ (x1 + x3 ) + x3 + y1
with λ = (y1 + y2 )/(x1 + x2 )4. Doubling: Let P = (x1 , y1 ) a point on the curve and P �= −P. Then R =P + P = (x3 , y3 ) with:bx3 = λ 2 + λ + a = x12 + 2
x1

y3 = x12 + λ x3 + x3
where λ = x1 + y1 /x2

136

Observation 1. From the group law we can obtain another operation i.e. thescalar multiplication:n·P = P
 +P+
... + Pn times

Looking at the formula we can notice that if n have k bit then the sum would
spend about O(2k ), that’s practically not feasible. What we can to do speed up
this operation is to use a technique similar to the Square and Multiply.
Example 2. Let n = 151, in binary becomes 100101112 that we can write like:
151 = 1 · 27 + 0 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20

and in our case:

151 · P = 27 P + 24 P + 27 P + 22 P + 21 P + 20 P

That’s a lot easier to calculate and take only O(log n) to be computed.
4.2 - Order of a group
In general is not easy to calculate how many points are on a EC, what we canto is to write and approximation of it using the following theorem:
Theorem 2. Hasse-Wail theorem
Let E an elliptic curve deﬁne over Fq . Then√with |t| ≤ 2 q|E(Fq )| = q + 1 − t

4.3 - Discrete logarithm problem
Deﬁnition 11. Let (G, ⊕) a cyclic group of order p, with p prime. Let P, Q ∈ G
and let P be a generator of G.
The DL in G of Q respect to P is n = logP Q so that:Q = n·P = P ⊕P⊕... ⊕ Pn times

We need to ﬁnd n, modulo p, knowing only P and Q.
The security of a system that uses a DLP on elliptic curve depends also fromthe group operation ⊕ and from the choice of G.
In our case we have:
Q=P
... + P = n · P
 +P+
n times

4.4 - Elliptic curve over ﬁnite ﬁelds
We only talked about elliptic curve deﬁned over R but real application uses
only ﬁnite ﬁelds.
Deﬁnition 12. An elliptic curve on F p with p > 3 is the set of all the point(x, y) ∈ Fp
y2 ≡ x3 + ax + b (mod p)
together with an imaginary point at inﬁnity and with a, b ∈ F p and 4a4 + 27b2 �=
0 (mod p)

137

5 - STUDY OF A CURVE

Let’s take for example the curve y2 = x2 − 5x + 11 over F317 . Graphically on
the set of real number and in the ﬁnite set we have:

Figure 12: Curve over R

Figure 13: Curve over F

Graphically representing the sum and the doubling we get:Figure 14: Sum over R

Figure 15: Sum over F

Applying the formulas deﬁned in the group law we get:138• Real ﬁeld:

P = (3, 4.7958)
Q = (−2.9054, 1)
R = P + Q = (x3 , y3 )4.7958 − 1 2− 3 + 2.9054 = 0.3186
x3 =2.9054 − 3
1 − 4.7958(3 − 0.3186) − 4.7958 = −3.0723
y3 =−2.9054 − 3
R = (0.3186, −3.0723)• Finite ﬁeld:

P = (36, 34)
Q = (90, 27)
R = P + Q = (x3 , y3 )34 − 27 2− 36 − 90 = 227 (mod 317)x3 =90 − 36
27 − 34y3 =(36 − 227) − 34 = 161 (mod 317)
90 − 36
R = (227, 161)
For the doubling:

Figure 16: Doubling over R

Figure 17: Doubling over F

139

• Real ﬁeld:

P = (2, 3)
R = 2 · P = (x2 , y2 )23 · 22 − 5x2 =− 2 · 2 = −2.6388
2·3
3 · 22 − 5y2 =(2 + 2.6388) − 3 = 2.4120
2·3
R = (−2.6388, 2.4120)• Finite ﬁeld:

P = (63, 43)
R = 2 · P = (x2 , y2 )23 · 632 − 5x2 =− 2 · 63 = 153 (mod 317)
2 · 43
3 · 632 − 5y2 =(63 − 153) − 43 = 292 (mod 317)
2 · 43R = (153, 292)
To estimate the order of the curve we use the Hasse-Weil theorem and we getthat :
282 ≤ |E(Fq )| ≤ 353

Calculating the exact order of a curve is not an easy task, to get a precise
result we could calculate and the count every point in the group, but this is not
feasible we using group with a big prime number.
In our case since p is very small this approach can be used and after calculating
and counting every point we get 312.
6 - ELLIPTIC CURVE APPLICATION IN CRYPTOGRAPHY

A lot of the algorithms deﬁned on ﬁnite ﬁeld can be readapted to be used ongroup build upon elliptic curve. In the following section we will see two application of it, just to have an idea and to see how much they differ from theycorresponding deﬁned only on ﬁnite ﬁled.
6.1 - Difﬁe-Hellman
Compared to the original algorithm, the basic principle is the same we only
need to change the group and its operations.
Let’s considere the curve y2 ≡ x3 + ax + b (mod p) with p > 3. Alice (A) andBob (B) choose a primitive elements P of G then:• A and B generate their private key dA and dB

140

• A and B generate their public key QA = dA P and QB = dB P, with P ∈ Gpublic• A and B exchange QA and QB• A compute S = nA QB and B compute S = nB QA

Since P is know by multiplying with they private key the message of the otherthey get a common key to use to encrypt data and after that they can start to communicate.
6.2 - ECDSA
A digital signature is a mathematical scheme used to verify the authenticity
of a message. It guarantees to the receiver that the sender is authentic and thatthe message didn’t change on the communication channel.
There are numerous DSA (Digital Signature Algorithm) based, for example, on
elliptic curve, but the overall procedure is the same.
Algorithm
Let’s suppose that Alice wants to send a signed message to Bob, the ﬁrst thingthat they have to do is decide the parameters of the curve, (C, G, n) where:• C is the equation of the elliptic curve and it include the ﬁeld on which isdeﬁned• G is a generatore of the curve with order n• n is an integer that’s the order of G and that verify: nG = 0

Then Alice generate a private key dA ∈ [1, n − 1] and a public key QA = dA · G.
Since the parameters QA and G are public in theory it’s possible to ﬁnd the secretkey dA and so impersonate Alice.
In practice this is not possible, since ﬁnding dA means solving a discrete logarithm problem on elliptic curve. In the following chapter we will see somecommon algorithm that try to solve the DLP and they execution time.
6.3 - Signature
Alice can sign a massage m by following this steps:
1. Compute e = HASH(m) with an hashing function (like SHA)
2. Let z composed by the Ln leftmost bit of e where Ln is the length in bit of
the order of the group n.
3. Pick a random integer k ∈ [1, n − 1]

4. Compute the point (x1 , y1 ) = k · G

5. Compute r = x1 (mod n). If r = 0 go back to 3
6. Compute s = k−1 (z + rdA ) (mod n). If s = 0 go back to 3

141

7. The digital signature is the pair (r, s)
The parameter k doesn’t have to be private, but it’s important that it’s different
every time that we sign a message else we can compute dA with the informationof two signed message.
Veriﬁcation of the signature
To verify the signature of Alice, Bob must have the point QA then checks if thepoint is on the curve:• Check that QA is not the identity• Check that QA is on the curve• Check that n · QA = 0

Next he verify the digital signature.

1. Checks that r and s are both integer in [1, n − 1]. If this is not the case thenthe signature is not valid.
2. Compute e = HASH(m) where the hashing function is the same used forthe signature
3. Compute w = s−1 (mod n)
4. Compute u1 = zw (mod n) and u2 = rw (mod n)
5. Compute a point on the curve (x1 , y1 ) = u1 · G + u2 · QA . If (x1 , y1 ) = Θ thenthe signature is not valid
6. The signature is valid if r ≡ x1 (mod n) else is not validIt’s easy to verify that the algorithm gives the correct result.
C = u1 · G + u2 · G = (u1 + u2 dA ) · G= zs−1 + rdA s−1 · G = (z + rdA ) s−1 · G −1·G= (z + rdA ) (z + rdA )−1 k−1= k·G

7 - COMPUTING THE DISCRETE LOGARITHM

The best algorithms√ to solve discrete logarithm problem on cyclic group havea complexity of O( n) and they are called square root algorithms. In general
those algorithm use the birthday paradox as main idea, trying to exploit the collision during the execution. The most famous are: giant-step, baby-step andPollard-ρ.

142

7.1 - Baby-step, giant-stepThis algorithm use as main idea the following remark:Observation 2. Let x a positive integer. We can write x like :x = am + b
with a, m, b integer
We can deﬁne the DLP on elliptic curve such as:
Q = xP
Q = (am + b)P
Q = amP + bP
Q − amP = bP
The steps that we need to follow to execute our algorithm are:√• Compute m = n• For each b in 0...m compute bP and save the result into an hash table• For each a in 0, ..., m compute:– amP– Q − amP
– Check if in the hash table exist a point such that Q − amP = bP
– If it exist then we found x = am + b

The points bP are the baby step (computed with small increments), while inthe second part of the algorithm we calculate the giant step (computed with big
increments) A more direct way to explain the overall algorithm is the following.
Let’s take the equation Q = amP + bP and consider the case:• When a = 0 we check that Q is equal to bP with b in 0, ..., m. So we arecomparing Q with the points ranging from 0P to mP• When a = 1 we check that Q is equal to mP + bP. So we are comparing Q
with all the points ranging from mP to 2mP• When a = 2 we are comparing Q with all the points ranging from 2mP to
3mP
• ...

• When a = m − 1 we are comparing Q with all the points ranging from(m − 1)mP to m2 P = nP

143

7.2 - Pollard-ρThis algorithm use as main idea the birthday paradox.
Deﬁnition 13. Birthday paradox
Given a set of n random people we need to ﬁnd a pair of person with the samebirthday. For the pigeonhole principle we have a probability of 100% if n is 367,
but we can get to 99.9% only with 70 people.
This algorithm have the same time complexity of baby-step giant-step, but it
doesn’t require large amount of space since its spatial complexity is negligible.
We divide a group G in three subset S1 , S2 , S3 of approximately the same order.
Let’s also suppose that 1 ∈/ S2 and deﬁne the sequence x0 , x1 , ..., xh , ... with x0 = 1
and⎧⎨β · xi , if xi ∈ S1
xi+1 = f (xi ) = xi2 ,if xi ∈ S2⎩
α · xi , if xi ∈ S3

with i ≥ 0, ord(G) = n, α generator of G and β in G. This sequence, in turn,deﬁnes another two sequence a0 , a1 , . . . and b0 , b1 , . . . that fulﬁll xi = α ai β bi for
i ≥ 0. Then deﬁning a0 = 0, b0 = 0 for i ≥ 0 we get:⎧if xi ∈ S1
⎨ai ,ai+1 = 2ai (mod n),
if xi ∈ S2⎩
ai + 1 (mod n), if xi ∈ S3⎧
⎨bi + 1 (mod n),bi+1 = 2bi (mod n),⎩bi ,if xi ∈ S1
if xi ∈ S2
if xi ∈ S3

We can now use the Floyd’s algorithm to ﬁnd two elements on the group, xi
and x2i , such that xi = x2i . So we obtain α ai β bi = α a2i β b2i that we can write as
β bi −b2i = α a2 i−ai . After doing the logarithm in base α on both side, we get:(bi − b2i ) · logα β ≡ (a2i − ai ) (mod n)
Considering bi �≡ b2i (mod n) (the probability that they are equal is very low
so we can neglect it).
On elliptic curve the problem is the same. We need to ﬁnd an x that satisfy
Q = xP, to do so we use some integer a, b, A, B such that aP + bQ = AP + BQ.
In short we have:aP + bQ = AP + BQ
aP + bxP = AP + BxP(a − A)P = (B − b)xP

144

Then:
a − A ≡ (B − b)x (mod n)

x = (a − A)(B − b)−1 (mod n)
where n is the order of the cyclic group G that we are using.
There are different versions of this algorithm but the overall behavior is the same.
7.3 - Baby-step giant-step vs Pollard-ρ vs bruteforce
In this ﬁnal section we report some execution times of the previous algorithms
run on PC for some quite small groups:
Example 3. Low order curve
Curve order: 10331
Using bruteforce
Computing all logarithms: 100.00% done
Took 2m 31s (5193 steps on average)
Using babygiantstep
Computing all logarithms: 100.00% done
Took 0m 6s (152 steps on average)
Using pollardsrho
Computing all logarithms: 100.00% done
Took 0m 21s (138 steps on average)
Example 4. High order curve
Curve order: 123779
Using bruteforce
Computing all logarithms: 100.00% done
Took 5h 51m 31s (61866 steps on average)
Using babygiantstep
Computing all logarithms: 100.00% done
Took 3m 56s (527 steps on average)
Using pollardsrho
Computing all logarithms: 100.00% done
Took 14m 11s (481 steps on average)
The worst algorithm is the brute force one, like we expected and we can noticethat Baby-step Giant-Step is three times faster then Pollard-ρ.
To understand this result we must remind that the advantage of Pollard-ρ over
BS-GS is the requirement in terms of memory. One require a huge amount ofmemory(which depends on the order of the group) the other require a negligible
amount of memory and so can be used with larger group.
The last thing to notice is the number of steps that each algorithm took to run;we can see that the square root methods needed about half of the step of the brute
force, in according with the theory.

145

8 - REFERENCES
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Schneier B. (1996), Applied Cryptography. John Wiley & Sons, pp. 238-241, 233-263
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Silverman J. H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, pp. 137-139

146

Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 147-164
DOI 10.32092/1022

L’importanza delle definizioni in Matematica
Nota di Margherita Guida1, Emanuela Romano2 e del socio Carlo Sbordone3(Adunanza del 20 dicembre 2019)

Keywords: Theorems, proofs, definitions in Mathematics
Abstract - The purpose and nature of definitions, theorems and mathematical proofs are
considered. It is our duty as teachers to support students to overcome the difficulties
when accepting a “hundred percent precise” definition or recognizing the difference between an empirical argument and the rigorous proof. It is very important to avoid anexcess of unnecessary notions in the presentation of single chapters of Mathematics.
Riassunto: Si considerano alcuni aspetti dell’insegnamento della matematica ritenuti
essenziali per consentire agli allievi una migliore comprensione della materia. Dalla necessità di dare definizioni precise “al cento per cento”, all’opportunità di limitare un eccesso di definizioni (per evitare il rischio di nozionismo matematico). Si raccomanda la
massima cura da parte dell’insegnante per un corretto passaggio da considerazioni empiriche, basate su esempi particolari, alle dimostrazioni complete e rigorose.
1 - INTRODUZIONE

Una delle critiche comunemente rivolte alla Matematica ed agli insegnantidi Matematica è che tale disciplina si possa ridurre ad una lista di teoremi traloro non chiaramente collegati. Tale critica in parte è dovuta alle presentazionidella nostra materia che non si preoccupano di dare definizioni precise delle no1
I.S.I.S. “Elena di Savoia”, Largo S. Marcellino 15, Napoli, Università degli Studidi Napoli Federico II, Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”,
Complesso Monte S. Angelo, via Cintia, 80126 Napoli, maguida@unina.it.
2
Scuola Secondaria di I grado “San Tommaso”, Piazza Ettore Imperio 4, Mercato
San Severino (SA), emanuela.romano3@istruzione.it.
3
Università degli Studi di Napoli Federico II, Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R. Caccioppoli”, Complesso Monte S. Angelo, via Cintia, 80126 Napoli, sbordone@unina.it.

147

zioni matematiche. Per definizione precisa, qui si intende “precisa al cento per
cento”. Trattare il tema delle “definizioni precise” significa pensare alle difficoltà che gli studenti possono incontrare nell’apprendimento di certe nozioni
matematiche, analizzando gli errori e i fraintendimenti più comuni. In particolare, se l’insegnante sceglie di indicare particolari rappresentazioni di ciò che è
oggetto di definizione, quali rappresentazioni può scegliere per la nozione oggetto di studio e come può evitare che l’allievo identifichi l’oggetto con una sua
rappresentazione?
La soluzione rigorosa di tale problema si ottiene scegliendo di dare comedefinizione uno dei possibili enunciati e poi dimostrando mediante teoremi che
gli altri enunciati sono a loro volta veri, secondo il metodo naturale della matematica che si sviluppa per teoremi.
È ovvio che queste questioni dipendono sia dalla nozione da definire che daaltre condizioni, come ad esempio, l’età degli studenti, il percorso didattico seguito, le esperienze matematiche vissute. È anche evidente che, dal punto di vista didattico, nessuna delle precedenti questioni può essere sottovalutata e che,in generale, tali problematiche coinvolgono aspetti di carattere logico, cognitivo
ed epistemologico. In mancanza del requisito della precisione nelle definizioni èdifficile, anche per uno studente dotato, dare delle spiegazioni logiche, fare ragionamenti corretti.
La matematica è un libro aperto. È accessibile a chiunque sia disposto a rispettare le regole esplicite del gioco. Gli studenti devono acquisire questa consapevolezza prima di impegnarsi a studiarla. Perché ciò accada, gli insegnanti dimatematica dovrebbero per primi avere tale convinzione.
Qui di seguito consideriamo due esempi: la nozione di frazione, la nozione
di area di una figura piana e, più in generale, descriviamo alcune questioni digeometria.
La nozione di frazione
Dal punto di vista della matematica di livello universitario, la definizione difrazione (o di numero razionale) è la seguente:frazione = classe di equivalenza
tra coppie ordinate di interi rispetto ad un’opportuna relazione binaria.
Non si può pretendere di presentare a livello così astratto le frazioni in una classe di scuola secondaria di primo grado.
Infatti, i ragazzi concepiscono le frazioni come “parte di un tutto” e questa giusta concezione intuitiva è molto lontana dal mondo delle coppie ordinate e dellerelazioni di equivalenza.
La nozione di area di una figura piana
Dal punto di vista della matematica di livello universitario, la definizione diarea di un poligono del piano è la seguente:148

area = classe di equivalenza
tra poligoni rispetto alla relazione di congruenza fra insiemi misurabili.
Non si può presentare in modo così astratto la nozione di area in una classe discuola secondaria di primo grado.
Infatti, i ragazzi percepiscono che l’area di un rettangolo con lati di lunghezza intera (ad esempio 4 cm e 3 cm) intesa come numero di quadrati unitari
necessari a ricoprire il rettangolo completamente e senza sovrapposizioni, misura 12 centimetri quadri (Fig. 1).

Fig. 1 – Rettangolo di lati di lunghezza 3 cm e 4 cm.

Le definizioni devono esser precise, ma possono avere diversi gradi di accuratezza e completezza a seconda dei destinatari. Una cosa sono gli studenti universitari, altra cosa sono gli allievi di una secondaria di primo grado. Per questi
ultimi è opportuno inizialmente limitare ai poligoni le definizioni di area perché, per tali figure geometriche, l’area può essere calcolata esattamente, una
volta nota l’area dei rettangoli (base per altezza).
Il riferimento poi alle figure circolari va fatto menzionando procedimenti diapprossimazione (basati sulla nozione di limite). Si perviene così ad una definizione incompleta di area, ma almeno la definizione è del tutto corretta. Spesso
occorre fare scelte didattiche tra due situazioni del tipo di quella appena descritta. Da un lato la massima correttezza e completezza e dall’altro la necessità dimettere l’ascoltatore in condizioni di capire.
Quali sono i problemi che incontrano i docenti di matematica nelle scuole?
Proveremo ad analizzare questo quesito, ponendo l’accento sulle definizioni dinozioni e sulle dimostrazioni di teoremi.
2 - IL RUOLO DELLE DEFINIZIONI

La maggior parte degli insegnanti deve risolvere autonomamente il problema di colmare il divario tra ciò che viene insegnato loro durante il percorso universitario e ciò che essi insegnano agli studenti nelle scuole. Probabilmente va
dedicato maggior impegno per consentire ai futuri insegnanti di valorizzare le149

caratteristiche essenziali della matematica: la sua precisione, l’importanza delragionamento logico e la sua coerenza come disciplina. La matematica dovrebbe essere per sua natura un argomento di grande chiarezza. Eppure, essa viene
spesso presentata agli studenti delle scuole in modo confuso. Riteniamo auspicabile una solida condivisione delle seguenti caratteristiche della matematica:
1) le definizioni precise costituiscono la base di qualsiasi spiegazione matematica e senza spiegazioni la matematica diventa difficile da imparare;2) il ragionamento logico è l’essenza della matematica;3) nozioni ed enti della matematica sono organizzati come parte di un insieme coerente, in modo che la comprensione di qualsiasi nozione richieda anche la comprensione di tutti i legami con altre nozioni ed enti.
Come già accennato, talvolta gli insegnanti non si soffermano con sufficiente enfasi ed efficacia sulle definizioni. Per esempio, nell’introdurre un nuovo
ente matematico, a volte gli insegnanti ricorrono ad una presentazione discorsiva e troppo articolata soprattutto se scelgono di descrivere tutte insieme le diverse prestazioni del nuovo ente. La procedura corretta è invece quella di dareuna sola definizione e poi di ottenere attraverso teoremi le proprietà che individuano le altre prestazioni. In altre parole, occorre che solo una di esse sia adottata come definizione e quindi usata per spiegare perché anche le altre siano valide. Qui consideriamo con attenzione l’insegnamento delle frazioni e dellageometria nelle scuole secondarie di primo grado.
Una frazione viene spesso presentata come un ente matematico con diverse
identità allo stesso tempo:
1) Una frazione è parte di un tutto (la frazione

rappresenta due parti,

quando il tutto è diviso in tre parti uguali e poiché non è chiaro cosa intendere per “il tutto”, spesso si fa riferimento alla metafora della “pizza”);
2) Una frazione è un rapporto (la frazione

rappresenta una situazione: vi

sono due banchi per ogni terzetto di studenti);
3) Una frazione corrisponde ad una divisione tra due numeri interi di cui ilsecondo diverso da zero (la frazione

rappresenta l’operazione “2 di-viso 3”).
La terza interpretazione può generare un equivoco. Infatti, gli allievi si apprestano allo studio delle frazioni subito dopo aver appreso la divisione fra numeri interi m : n con n diverso da zero. Pertanto, sono portati ad interpretare la150

frazione come suddivisione in gruppi uguali solo se m è multiplo di n. In caso
contrario, la divisione m : n è da riguardarsi come divisione con resto e quindi
coinvolge due numeri: il quoziente q ed il resto r.
Ad esempio, riguardare 2:3 come un solo ente numerico e tentare di definire
come 2:3 è fuorviante.
In realtà l’uguaglianza
m:n =è frutto di un Teorema.
Alle volte si trova anche scritto che il termine “frazione” si riferisce ad un“operatore” per esempio la frazione

corrisponde all’operatore che dimezza

gli oggetti. Altre volte si dice che la frazione rappresenta una certa forma di
scrittura di numeri. In questo senso una frazione è una coppia di numeri interi ae b scritti nella forma, con la condizione che il numero al denominatore deveessere diverso da zero.
Alla luce di queste difficoltà è matematicamente più appropriato utilizzare
la retta dei numeri per definire una frazione come punto su questa retta, comesegue. Sulla retta dei numeri fissato un punto origine detto zero ed indicato con0, per esempio

è il primo punto di suddivisione a destra di zero, quando ilsegmento da 0 a 1 è diviso in tre segmenti di uguale lunghezza (Fig. 2):

Fig. 2 – Costruzione sequenza dei terzi

Analogamente, se dividiamo in tre parti di uguale lunghezza tutti i segmenti[1,2], [2,3], [3,4], … otteniamo la sequenza dei terzi:

Fig. 3 – Sequenza dei terzi.

151

Ogni punto della sequenza (Fig. 3) misura la sua distanza da zero, ad esempio

è la lunghezza di [0, ], maè anche 5 volte la lunghezza di [0, ], e

inoltre è la quinta frazione, nella sequenza dei terzi, a destra di zero.
I numerisono i multipli dial variare di.

A partire da questo esempio appare chiaro che è possibile dare la seguente definizione di frazione:
Definizione 2.1 Dati i numeri naturali m ed n, costruiamo la sequenza degli nsimi: , , , …, dividendo i segmenti [0,1], [1,2], [2,3], … in n parti uguali.
La frazione

è l'm-simo punto, nella sequenza degli n-simi, a destra di zero.

In questo modo, fissato n in N, al variare dimultipli interi positividisi ottengono tutti ie zero. Esattamente come per n=1 al variare, si ottengono tutti gli interi positivi m e zero.
Questa definizione di frazione, confrontata con quella che si basa su un pezzo di torta è più facile da applicare: abbiamo scelto di dividere un segmento in nparti di uguale lunghezza piuttosto che un cerchio in n parti congruenti.

diOsservazione 2.2 Per dividere il segmento unitario in un dato numero di parti
uguali possiamo usare o il metodo classico delle proiezioni parallele, basato
sul Teorema di Talete, oppure il metodo ricorsivo illustrato di seguito (Guida,
Sbordone, 2016), che è una versione semplificata dell’algoritmo scoperto inclasse da due ragazzi americani, Daniel Litchfield e Dave Goldenheim, che con
l’aiuto del loro insegnante Charles Dietrich pubblicarono nel 1997 un articolo
sulla rivista Mathematics Teacher (Litchfield et al.,1997).
Versione semplificata algoritmo C. Dietrich, D. Goldenhein, D. Litchfield
Sia AB il segmento unitario [0;1], per determinare la posizione di:

Costruiamo il quadrato ABCD e tracciamo le diagonali DB e AC. Detto
V il punto di incontro delle diagonali, indichiamo con M la proiezione
ortogonale
di V su AB, il punto M sarà il punto medio di AB e quindi
g
;

152



Congiungiamo il punto D con il punto M. Detto G il punto di incontro
di DM con AC, indichiamo con H la proiezione ortogonale di G su AB.
.
Per la similitudine dei triangoli AGM e CGD otteniamoCon analogo procedimento si determinano ,, . . . del segmento unita-

rio.

Fig. 4: Determinazione posizione di. . . del segmento unitario.

3 - ADDIZIONE DI FRAZIONI

Quando si definiscono le operazioni di addizione e moltiplicazione di due
frazionie, è ingannevole dare tali definizioni usando rispettivamente leformuleeche sono frutto di teoremi.
L’allievo attento che si vedesse presentare le formule precedenti come definizioni di addizione e moltiplicazione, noterebbe subito che quella perl’addizione è più elaborata ed artificiosa di quella della moltiplicazione. Il che èin stridente contrasto con ciò che viene detto a proposito della moltiplicazione e
cioè che essa è un’operazione più complessa dell’addizione che a volte viene
presentata come un’addizione ripetuta. Gli studenti si domanderebbero: perché
non adottare una formula analoga a quella della moltiplicazione (numeratore =153

prodotto dei numeratori e denominatore = prodotto dei denominatori) anche perl’addizione e cioè:? (FORMULA ERRATA!)
La risposta corretta è che la definizione di somma di due frazioni va data diversamente e deve avere il requisito che, quando le due frazioni da addizionare
hanno denominatore uguale a 1, la definizione deve coincidere con quella precedentemente studiata di addizione tra interi.
Vogliamo segnalare che il secondo membro di tale formula (somma dei
numeratori fratto somma dei denominatori), come notato da McKay (Sherzer,
1973), tuttavia ha un significato interessante, in quanto a partire da due frazioni
positive ridotte ai minimi terminietale secondo membro costituisce una

frazione compresa tra esse, che nella pratica è molto più agevole da calcolare
rispetto alla media aritmetica tra i due addendi.
Tornando alla definizione di addizione, ci serviamo ora della rappresentazione dei numeri come punti della retta reale.
Il primo caso che esamineremo, nel seguente esempio, è quello più semplice, ossia quello della somma di frazioni con lo stesso denominatore.
Esempio 3.1: La somma

può essere interpretata come la lunghezza dellaconcatenazione di due segmenti adiacenti, aventi rispettivamente lunghezzaedel segmento unitario [0, 1]. Infatti, se dividiamo in 9 parti uguali il seg-

mento [0, 1] e su di esso evidenziamo in rosso prima itri

del segmento e poi al-otteniamo che la lunghezza della concatenazione delle due frazioni è laloro somma (Fig. 5).

154

Fig. 5 – Somma delle frazioni:

Da ciò risulta chiaro che in generale la definizione di somma deve essere
compatibile con quella illustrata nell’Esempio 3.1.
Definizione 3.2 Date due frazionie, la loro somma

è la lun-gghezzadella concatenazione dei due segmenti adiacenti di lunghezze rispettivee.

Introdotta tale definizione, usando il Teorema sulla semplificazione di frazioni si ottiene che per l’addizione di frazioni vale la formula illustrata nel seguente Teorema:
Teorema 3.3 Date due frazioni

e

, con

ed

, al-

lora vale la seguente formula per l’addizione:

4 – MOLTIPLICAZIONE DI FRAZIONI

Esaminiamo ora il caso del prodotto di due frazioni partendo da un esempio.

155

Esempio 4.1: Consideriamo il prodottoche è definito comeed è la lunghezza di una parte del segmento [0,] quando tale segmento è divi-

di,so in 4 parti di uguale lunghezza (Fig. 6).

Fig. 6: Prodotto delle frazioni:.

Precisamente, sulla retta dei numeri a partire dal segmento [0, 1] si disegna
il punto

e poi si divide il segmento [0,] , in 4 segmenti di uguale lunghez-za, il primo segmento evidenziato nella figura 3 è

di [0,1] cioè(Fig. 6).
Osservazione 4.2 Si potrebbe anche presentare la moltiplicazione in quattrofasi:
 prima fase: eseguire il prodotto dei denominatori delle frazioni che sivanno a moltiplicare; seconda fase: suddividere l’unità per tale prodotto; terza fase: eseguire il prodotto dei numeratori;
 quarta fase: addizionare un numero di parti dell’unità frazionaria ottenuta pari al prodotto dei numeratori.
I primi due passaggi possono allora riconnettersi a quella che generalmente
viene chiamata frazione di frazione.
Nella definizione (Guida, Sbordone, 2016, Definizione 1.18) si potrebbe allora
dire:
Date due frazioni

e

, con

ed

, il prodottoè uguale alla totalità di km parti, quando il segmento [0, 1] è diviso in ln partidi uguale lunghezza, come da utile suggerimento del Prof. Luciano Carbone,
che ringraziamo.
In generale, si ha quindi la seguente definizione di prodotto di due frazioni.

156

Definizione 4.3 Date due frazioni
il prodotto

ossia

e

di

, con

ed

,

è dato dalla totalità di km parti, quando ilsegmento [0, 1] è diviso in ln parti di uguale lunghezza.
Osservazione 4.4 Dalla Fig. 3 risulta chiaro che se utilizziamo

come unitàdi misura sulla retta dei numeri, otteniamo una nuova retta dei numeri dovel’unità èe rispetto a questa nuova unità

è la lunghezza di una partequando il segmento [0, ] è ripartito in 4 parti di uguale lunghezza. Tale parteha lunghezza, quindi.

in termini della nuova unità è

Usando la definizione, si dimostra che il prodotto di due frazioni è dato dalla formula illustrata nel Teorema 4.5.
Teorema 4.5 Date due frazioni

e

, con

ed

lora vale la seguente formula per il prodotto:

5 – DIVISIONE DI FRAZIONI

Esaminiamo ora la divisione di due frazioni partendo da un quesito:
Domanda:Come giustificare l’uguaglianza

brevemente soprannominata “inverti e moltiplica”?

157

, al-

Consideriamo il caso concretoche schematizza la situazione seguente:
Un tale ha un certo budget per acquistare un pezzo di terreno. Gli viene dettoche condi quel budget potrà acquistaredel terreno.

Domanda: “Quale frazione del budget servirà per acquistare l’intero pezzo diterreno?”Risposta: impostiamo la proporzione

Allora si avrà che x è uguale al rapporto considerato.
D’altra pparte, riflettendo sul fatto che egli acquisisce 3 parti su 4 dell’intero
terreno condel budget (Fig. 7)

Fig. 7 – Divisione tra158

eper determinare la frazione del budget che serve a comprare ciascuna di quelleparti, si deve1) dividere

per 3, ottenendo

2) moltiplicare per 4 quanto appena trovato,in quanto si vogliono comprare tutte e 4 le parti.
Gli esempi precedenti mostrano come sia possibile dare una sola definizione
di frazione e ottenere attraverso teoremi le proprietà che individuano le altre
prestazioni. Questa procedura migliora la comprensione della nozione in questione, perché sottolinea l’interazione logica dei diversi significati. Infatti, è generalmente riconosciuto che l’attuale crisi di educazione matematica deriva
dall'assenza di ragionamento logico nelle aule di matematica. È importante anche presentare ogni argomento nuovo di matematica partendo da qualche problema concreto e applicativo, che ne giustifichi l’utilità e lo studio. Generalmente, per conoscere l’utilità della matematica basterebbe un solo esempio significativo per indicare il motivo per cui è importante per poi passare subito alla
definizione rigorosa.
In particolare, lo studio della geometria nella scuola merita una considerazione a parte. Il problema principale riguarda l’approccio universitario: se nel
corso degli studi universitari la geometria non viene insegnata adeguatamente,
l’unica esperienza di “geometria per la scuola” che gli insegnanti di matematicadella secondaria di primo grado hanno nel loro bagaglio culturale è la loro stessa esperienza di ex allievi di scuola superiore.
Si può osservare quindi come le questioni riguardanti le frazioni e quelle riguardanti la geometria euclidea abbiano un elemento in comune: un loro insegnamento inadeguato diverrà responsabile del rifiuto dello studio matematica daparte degli studenti per tutto il successivo percorso di studi.

159

6 - DIMOSTRAZIONI EMPIRICHE E DIMOSTRAZIONI MATEMATICHE

La geometria è fondamentale come studio e comprensione dello spazio che
ci circonda ed è uno dei più complessi edifici concettuali sviluppati dall’uomo.
La crisi della Geometria dipende dalla difficoltà che presentano le dimostrazioni
nella pratica di tale ramo della matematica. A differenza di quanto avviene inaritmetica o in algebra, le dimostrazioni geometriche presentano la caratteristicadell’interazione tra immagine visive e aspetti analitici. È molto difficile arrivare
ad una autonoma capacità dimostrativa in mancanza di esperienza di geometria
sperimentale. Inoltre, senza una buona dose di intuizione geometrica non c’è
verso di portare a termine una dimostrazione. Non sembra possibile, da varistudi eseguiti da matematici professionisti, che l’intuizione geometrica si possaacquisire attraverso animazioni ottenute al computer. Nonostante le animazioni
contengano importanti ed innovativi elementi di apprendimento, sembra fondamentale per acquisire sicurezza in geometria (specialmente dello spazio) la costruzione a mano di modelli e l’uso di riga e compasso. Sin dalla scuola primaria occorre una frequente esperienza geometrica. Le dimostrazioni geometriche
non si basano su un insieme di tecniche e algoritmi. Per tale ragione, in molte
circostanze lo studente non sa da dove cominciare il processo dimostrativo. È
opportuno apprendere e ripetere più volte le dimostrazioni in geometria. Obiettivo importante dell’insegnante è quello di comunicare correttamente la naturadelle dimostrazioni in Matematica, far comprendere gli enunciati dei teoremi ele loro dimostrazioni agli allievi. La difficoltà che si incontra sta nelle differenze che sussistono tra contesto matematico e realtà quotidiana. Infatti, nella vita
quotidiana la nozione di “ragionamento corretto” non è ovvia, perché partendo
dalle stesse premesse si può arrivare a conclusioni diverse. In matematica, invece, un “ragionamento matematico corretto” porta ad un’unica conclusione. In
molti casi, l’azione di dimostrazione intrapresa dagli studenti è quella di partireda esempi particolari in cui il teorema funziona per poi dedurre l’universale.
Sebbene tale approccio abbia i suoi lati positivi, perché se non altro semplifica
la situazione, deve esser ben chiaro a tutti che un enunciato è vero se lo è in tutti
i casi possibili, senza eccezione alcuna. Dunque, bene partire dal particolare percongetturare l’universale, in quanto è come aver fatto una “dimostrazione empirica”. Nel seguito mostriamo come sia diverso il concetto di “dimostrazione”
quando si fa Matematica da quando si fa Fisica.
In Matematica, se proviamo a scomporre un numero pari (maggiore di 2)
nella somma di una coppia di numeri dispari, notiamo che fra queste coppie è
sempre possibile trovarne una o più d’una costituita da due numeri primi:

10 = 3+7

28 = 11+17

160



100 = 53+47 = 59+41 = 71+29 = 83+17 = 89+111000 = 491+509 = 479+521 = 443+557 = 431+569 = 383+617 =
359+641 = 353+ 647 = 347+653 = 317+683 = 281+719 = 257+743 =
239+761 = 227+773 = 191+809 = 179+821 = 173+827 = 137 + 863 =
113+887 = 89+911 = 71+929 = 59+941 = 53+947 = 47+953 = 29+971=
23+977 = 17+983 = 3+997

Se si effettuano moltissime prove su numeri pari, si controlla che ciò è verosenza nessuna eccezione. In altre parole, non è stato mai trovato un numero pariche non sia scomponibile nella somma di due numeri primi. Quindi, è naturale
dire che:A) OGNI NUMERO PARI (MAGGIORE DI 2) È SCOMPONIBILENELLA SOMMA DI DUE NUMERI PRIMIIn Fisica, analogamente, cioè eseguendo moltissime prove, si controlla lavalidità della legge della caduta libera dei gravi nel vuoto. Perciò i fisici dicono:B) OGNI GRAVE CADE LIBERAMENTE NEL VUOTO CON MOTO
UNIFORMEMENTE ACCELERATO, E OGNUNO CON LA STESSAACCELERAZIONE
La proposizione B) viene ritenuta vera perché dimostrata sperimentalmente,la proposizione A) per i matematici è solo una congettura (la congettura di
Goldbach).
Per i matematici non basta aver fatto un enorme quantità di verifiche per
avere la certezza che essa valga sempre (cioè per tutti i numeri pari), dato chel’insieme dei numeri pari è infinito, mentre le prove che noi possiamo fare sono
sempre in numero finito.
La circonferenza della matematica ha una perfezione irraggiungibile mediante i modelli che di volta in volta possiamo realizzare.
Siamo in presenza di un fenomeno interessante: gli enti geometrici vengono
definiti e trattati con un linguaggio astratto, ma noi non siamo in grado di concretizzare questi enti nel nostro mondo sensibile.
La Matematica a volte viene sviluppata indipendentemente dalle sue applicazioni agli altri rami del sapere e spesso i suoi risultati trovano riscontro sensibile solo in epoche successive.
Il Teorema di Pitagora, ad esempio, secondo il quale: “il quadrato costruito
sull’ipotenusa c di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti a e b” è stato talvolta concretamente presentato in qual-161che “Science Centre”, realizzando un dispositivo del tipo in nella Fig. 8 e facendolo ruotare adeguatamente.

Fig. 8 – Teorema di Pitagora con liquidi

Il liquido, che inizialmente riempie il recipiente a forma di quadrato costruito sulla ipotenusa, previa una rotazione, va a riempire i due recipienti quadrati
costruiti sui cateti. Si ottiene così una prova “tangibile” del teorema di Pitagora:Prima di passare ad approfondire tale “prova sperimentale” e di mostrarne i limiti, presentiamo una ben nota dimostrazione rigorosa e semplice, relativo alcaso particolare che il triangolo rettangolo sia anche isoscele, cioè che abbia i
cateti uguali (Fig. 9).

Fig. 9 – Teorema di Pitagora per triangolo rettangolo isoscele162

Il quadrato costruito sull’ipotenusa c viene scomposto in quattro triangoliequivalenti a quello dato, mentre ciascuno dei due quadrati costruiti sui cateti èscomponibile in due triangoli equivalenti a quello dato. Ne segue il teorema.
Eppure, il dispositivo non funziona perfettamente. Si vede chiaramente che
spostando il liquido dal quadrato grande in quelli piccoli, ve ne è una piccola
quantità che avanza (Fig. 10):

Fig. 10 – Teorema di Pitagora (dimostrazione con liquidi)

Il motivo è il seguente. Un qualsiasi contenitore di liquido deve avere delle
pareti con certo spessore. Dunque anche i contenitori a sezione quadrata costruiti nel dispositivo avranno uno spessore e se le loro pareti esterne misurano a, b,
c con a2+b2=c2, le loro pareti interne misureranno per lati non a, b, c ma a-, b, c-.
Si verifica subito che a fronte dell’uguaglianza pitagorica a2+b2=c2 si ha invece la disuguaglianza(a-)2+(b-)2 < (c-)2per  sufficientemente piccolo.
Per convincerci con un esempio di questo fatto, immaginiamo di partire dalla terna pitagorica a=3, b=4, c=5 (32+42=52) e supponiamo che sia =1.
Si ha:a- =3-1=2, b- = 4-1 = 3, c- =5-1=4
dunque22 + 32 = 13 <16 = 42163

Dunque la terna 2,3,4 non è una pitagorica e la somma delle aree dei quadrati di lato 2 e 3 è inferiore all’area del quadrato di lato 4.
In sostanza il dispositivo non riproduce una dimostrazione esatta del Teorema di Pitagora, ma ne costituisce una prova sperimentale approssimativa, chesuscita anche interesse, perché mette in luce un’ulteriore proprietà delle terne
pitagoriche.
In conclusione, per quel che concerne la matematica non possiamo non rilevare un dato estremamente positivo per la scuola italiana: con il corso di laurea
in Scienze della formazione primaria lo spazio di crediti (CFU) di matematica è
notevole, raggiungendo il numero di 20 in molte sedi. In tale contesto, si riesce
a dare una buona formazione sulle nozioni matematiche ai futuri insegnanti della scuola primaria.
7 - BIBLIOGRAFIA
Guida M., Sbordone C. (2015) La Matematica e le sue attrattive per i giovani, Quale
Scuola? Le proposte dei Lincei per l’italiano, la matematica, le scienze. Introduzione di Tullio De Mauro. A cura di F. Clementi, L. Serianni, Collana: Sfere (105),
Casa editrice Carocci, Roma, pp.85–101.
Guida M., Sbordone C. (2016) Sull’insegnamento delle frazioni nella scuola secondaria,
Orizzonti Matematici. Tra didattica e divulgazione. A cura di S. Cuomo, S. Rionero, C. Sbordone, Società Nazionale di Scienze, Lettere e Arti in Napoli, Memoriedell’Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche, Giannini Editore, Napoli,pp.105-126.
Litchfield D.C., Goldenheim D.A., Dietrich C.H. (1997) Euclid Fibonacci Sketchpad,
The Mathematics Teacher, Vol. 90, N.1, 8–12.
Sherzer L. (1973) McKay’s Theorem, Mathematics Teacher, Vol. 66, 229–230.
Wu H. (2011) Understanding Numbers in Elementary School Mathematics, American
Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 551 pp.

164

Rend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 165-198
DOI 10.32092/1023

Il Fondo Stampacchia
Nota di Luciano Carbone12*, Maria Rosaria Enea3 e Nicla Palladino4(Adunanza del 20 dicembre 2019)

Keywords: History of Mathematics, Guido Stampacchia.
Abstract - In this work, we want to describe documents that the heirs of the mathematician Guido Stampacchia donated to the Department of Mathematics and Applications“Renato Caccioppoli” of the University of Naples “Federico II”. The archive consists, e.
g., of Stampacchia’s papers and preliminary versions of papers, conference reports, letters with more than 300 correspondents, documents concerning his activities within organizations as U.M.I., C.I.M.E., I.A.C and his university career.
Riassunto - In questa nota, descriviamo i documenti acquisiti dal Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” dell’Università “Federico II” di Napoli
appartenuti al matematico Guido Stampacchia. Il fondo, donato dagli eredi del matematico, consiste prevalentemente di lavori e versioni preliminari di lavori, relazioni a congressi, lettere con più di 300 corrispondenti, documenti riguardanti le sue attività
all’interno di organismi quali l’U.M.I., il C.I.M.E., l’I.A.C. e la sua carriera.
1 - INTRODUZIONE

Guido Stampacchia (1922-1978) è stato senza dubbio uno degli studiosi dianalisi matematica più influenti nel terzo quarto del Novecento. Nato a Napoli
da famiglia ebrea per parte di madre e protestante per parte di padre, frequentò
Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”, Università degliStudi di Napoli “Federico II”, Complesso Universitario di Monte Sant’Angelo, Via Cintia, Napoli.
*
Corrispondenza a luciano.carbone@unina.it.
3
Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia, Università degli Studi della
Basilicata, Macchia Romana, via dell’Ateneo Lucano, Potenza.
4
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Perugia, Via Vanvitelli 1
Perugia.
1

165

il liceo Giambattista Vico, ove ebbe come docente di filosofia un giovane Giuseppe Martano, che avrebbe lasciato una traccia importante nella sua formazione. Entrato nella Scuola Normale Superiore di Pisa nel 1940, ebbe come maestro Leonida Tonelli dal quale attinse interesse per i metodi diretti nel calcolodelle variazioni.
I casi della guerra lo riportarono a Napoli e presso l’Università di Napoli
completò gli studi in matematica nel 1944 sotto la guida di Carlo Miranda, grazie ai cui insegnamenti imparò a maneggiare con maestria le tecniche di teoriadel potenziale e, soprattutto, di Renato Caccioppoli che lo introdusse ad una visione analitico-funzionale. A Napoli rimase fino al 1952, anno nel quale vinse
un concorso di professore straordinario. Si trasferì allora all’università di Genova, ove divenne ordinario. Nel 1960 passò all’università di Pisa, nel 1968 aquella di Roma e nel 1970 infine fu di nuovo a Pisa ma alla Scuola Normale. La
morte lo colse a Parigi, ove si trovava per un periodo di ricerca, ad appena 56
anni. Per suo espresso desiderio è stato sepolto a Napoli nel cimitero britannico.
Tra le varie importanti funzioni svolte vale la pena di menzionare almeno
quella di presidente dell’Unione Matematica Italiana dal 1967 al 1973.
Nella sua vasta attività scientifica vanno segnalati almeno i contributi dati
da un lato alla soluzione del diciannovesimo problema di Hilbert, sia direttamente sia come stimolo all’attività di Renato Caccioppoli e di Ennio de Giorgi(al quale ultimo viene correntemente attribuito il passo finale nella soluzione ditale problema), dall’altro alla fondazione della teoria delle disequazioni variazionali. Va inoltre esplicitamente segnalata la vasta rete di importanti collaborazioni scientifiche internazionali che egli costruì a partire dagli anni Sessanta delNovecento e della quale poterono godere anche i suoi numerosi allievi.
Alla figura di Guido Stampacchia sono dedicati numerose biografie e variricordi (cfr. De Giorgi 1978, 1980; Garroni 2005; Kinderlehrer 1988; Lions
1978; Magenes 1978a, 1978b, 2005, 2018; Mancino 2005; Mazzone 2005,
2019; Moscariello, Sbordone 2018; Nirenberg 1996-97, 2005; Sbordone 2005;
Stampacchia Giulia 2005, ai quali rinviamo per approfondimenti. Le sue opere
sono state raccolte per conto dell’Unione Matematica Italiana in due volumi:
Stampacchia 1996-97, a cura di L. Boccardo, G. Da Prato, U. Mosco, V. Murthy, M. G. Platone, C. Sbordone e, per conto del Dipartimento di Matematica e
Applicazioni “Renato Caccioppoli” dell’Università di Napoli “Federico II”, acura di G. Moscariello e C. Sbordone (Moscariello, Sbordone 2018b).
I materiali conservati nel suo studio presso la Scuola Normale furono donati
dalla famiglia subito dopo la sua morte a questa istituzione; i materiali invece
custoditi presso la sua abitazione accompagnarono nel corso degli anni sua moglie Sara Naldini. Alla scomparsa di quest’ultima, i figli Mauro, Renata, Giulia
e Franca in considerazione anche dei profondi legami che il loro genitore aveva
con la sua città natale e con il suo maestro Renato Caccioppoli hanno ritenuto
opportuno farne dono proprio al Dipartimento di Matematica “Renato Cacciop-

166poli” dell’Università degli Studi di Napoli “Federico II”. Recentemente infine
un nucleo di circa trecento volumi a stampa, appartenuti a Stampacchia, è stato
individuato presso la Biblioteca di Matematica, Fisica ed Informatica
dell’Università degli Studi di Pisa.
2 - PRINCIPI DI RIORDINO E CATALOGAZIONE DEL FONDO

Va innanzi tutto osservato che il fondo, costituito da sette plichi voluminosi,è stato parzialmente ordinato da Mauro Stampacchia che ha cercato di conservare quelle unità in qualche modo già costituite da suo padre. Va anche notato chela documentazione è stata precedentemente esplorata in maniera approfondita
da Silvia Mazzone che l’ha utilizzata nel comporre le biografie prima menzionate e ha dato un contributo alla riorganizzazione di parte dei materiali stessi.
Nel riordinare e catalogare il fondo, si è cercato in qualche modo di contemperare due esigenze tendenzialmente in contrasto, quella cioè di dar contodell’attività di Guido Stampacchia e quella invece di offrire a studiosi di altre
tematiche e altre figure la possibilità di verificarne la presenza nel fondo stesso.
A tale scopo si sono costituiti, ad esempio, dei fascicoli tematici, utilizzando illavoro già svolto, e contemporaneamente dei repertori per la corrispondenza ed ilavori. Un opportuno sistema di rinvii consente di integrare i fascicoli con i repertori e viceversa.
Diamo qui di seguito una descrizione del fondo articolata in varie sezioni.
3 - DESCRIZIONE DEL FONDO

3.1 - Versioni preliminari di libri di Stampacchia• Equations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus. 1966.
• (con Kinderlehrer) An introduction to variational inequalities and their applications. Ed. Academic Press.
• (con J. Cecconi) Lezioni di Analisi matematica. Vol. I, ed. Liguori, Napoli
1966.
• (con J. Cecconi) Lezioni di Analisi matematica. Vol. II, ed. Liguori, Napoli
1980.
3.2 - Minute di corsi e cicli di conferenze tenuti da Stampacchia• Appunti del corso di Analisi superiore, Università di Pisa 1963/64. Ne esistono una versione dattiloscritta, una manoscritta in italiano ed una manoscritta in inglese.
• Appunti del corso di Analisi superiore (teoria della misura), Università di
Genova prima del 1960. Ne esistono una versione dattiloscritta e una manoscritta.

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Equazioni differenziali ellittiche del secondo ordine, Università di Pisa
1963/64.
Appunti per le ultime lezioni in Francia, 28 febbraio e 2 marzo 1978.
Théorie de inéquations variationnelles. Collège de France (Parigi) 1976.
Second order elliptic differential equations. Università del Minnesota 1962.
Some regular variational problems. Courant Institute (New York) 1962.
Teoria delle funzioni di più variabili complesse. Quaderno manoscritto. Forse parte di un corso di Istituzioni di analisi superiore.
I punti all’infinito. Quaderno manoscritto. Forse parte di un corso di Istituzioni di analisi superiore.
Corso sulle equazioni a derivate parziali. Dattiloscritto con correzioni manoscritte. Forse parte di un corso di Istituzioni di analisi superiore.

3.3 - Corsi e conferenze seguiti da Stampacchia (appunti manoscritti)• Algebra complementare. Corso tenuto da L. Giuliano presso la Scuola Normale di Pisa presumibilmente tra il 1940 e il 1943.
• Equazioni differenziali nel campo reale (1943).
• Matematiche complementari. Corso tenuto da F. Cecioni presumibilmente
tra il 1940 e il 1943.
• Complementi alle lezioni di Analisi matematica, 2a parte. Corso risalente
presumibilmente agli anni 1940-1943.
• Quaderno di appunti di corsi su similitudini, frazioni continue, prodotti infiniti, risalenti presumibilmente agli anni 1940-1943.
• Conferenza tenuta da A. Andreotti (1965).
• Conferenza tenuta da di F. E. Browder.
• Congetture relative a una conferenza tenuta da De Giorgi (probabilmente
risalente agli inizi degli anni Sessanta).
• Corso tenuto da J. Dieudonné (probabilmente seguito a Grenoble intorno al1965).
• Conferenza tenuta da L. Nirenberg• Corso tenuto da L. Schwartz.
3.4 - Cicli di seminari (note dattiloscritte)• The coerciveness problem for integro-differential forms. Di S. Agmon, Jerusalem 1958.
• Questioni di Analisi funzionale. Lezioni tenute da L. Amerio, Roma 1954.
• On moduli of Riemann surfaces. Lectures di L. Bers, Zurigo 1964.
• Problemi matematici della teoria delle particelle e dei campi. Corso direttoda A. Borsellino, Varenna 1958.
• Lectures on potential theory. Lezioni tenute da M. Brelot, Bombay 1960.

168

• Appunti sulla teoria delle superficie continue. Lezioni tenute da L. Cesari,
Roma 1955.
• Appunti sulla teoria delle superficie continue e questioni connesse. Lezioni
tenute da L. Cesari, Varenna 1954.
• Appunti sulla teoria degli spazi lineari topologici e delle distribuzioni. Lezioni tenute da E. Magenes, Saltino di Vallombrosa 1961.
• Lecture Notes on the theory of elliptic partial differential equations. Lezioni
tenute da C.B. Morrey, Chicago 1960.
• Matematica y fisica quantica. Lezioni tenute da L. Schwartz, Buenos Aires
1958.
• Su alcuni problemi della teoria delle equazioni differenziali lineari di tipo
ellittico. Lezioni tenute da L. Schwartz, Genova 1957.
• Problèmes de Cauchy et problèmes mixtes en theorie des distibutions.
Lezioni tenute da F. Trèves, Berkeley 1959.
• Lectures on linear partial equations with constant coefficients. Lezioni tenuteda F. Trèves, Rio de Janeiro 1961.
• Lezioni sulle equazioni alle derivate parziali. (di autore non identificato).
3.5 - Lavori e versioni preliminari di lavori di Stampacchia e materiali adessi correlati
1. Sulle condizioni che determinano gli integrali di un sistema di due equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Atti Accad. Naz. Lincei. Rend.
Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 2, (1947) pp. 411-418.
2. Sulla definizione assiomatica dell'area di una superficie rettificabile. Atti
Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 2, (1947) pp. 542-546.
3. Sulla semicontinuità degli integrali doppi, in forma ordinaria, nel calcolodelle variazioni. Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 3,(1947) pp. 247-253.
4. Alcuni teoremi sull'estremo assoluto degli integrali doppi del calcolo dellevariazioni dipendenti dalle derivate del secondo ordine. Giorn. Mat. Battaglini (4) 1(77), (1947) pp. 36-54.
5. Un teorema di calcolo delle variazioni ed applicazioni a problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali del tipo iperbolico. Giorn. Mat. Battaglini (4) 2(78), (1948) pp. 81-96.
6. Un'osservazione su un problema ai limiti per l'equazione: y(n)=λf(x, y, y′,⋯,y(n−1)). Boll. Un. Mat. Ital. (3) 4, (1949) pp. 235-239.
7. Sulle successioni di funzioni continue rispetto ad una variabile e misurabilirispetto ad un'altra. Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.
(8) 6, (1949) pp.198-201.
8. Le trasformazioni funzionali che presentano il fenomeno di Peano. Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 7, (1949) pp. 80-84.

169

9. Il problema di Goursat per un'equazione alle derivate parziali del secondo
ordine di tipo iperbolico. Giorn. Mat. Battaglini (4) 3(79), (1950) pp. 66-85.
10. Gli integrali doppi del calcolo delle variazioni in forma ordinaria. Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (8) 8, (1950) pp. 21-26.
11. Criteri di compattezza per gli insiemi di funzioni continue rispetto alle variabili separatamente. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 19, (1950) pp. 201213.
12. Sopra una classe di funzioni in due variabili. Applicazioni agli integrali
doppi del calcolo delle variazioni. Giorn. Mat. Battaglini (4) 3(79), (1950)
pp. 169-208.
13. Problema di Dirichlet e proprietà qualitative della soluzione. Giorn. Mat.
Battaglini (4) 4(80), (1951) pp. 226-237.
14. Sopra una classe di funzioni in n variabili. Ricerche Mat. 1, (1952) pp. 27–
54.
15. Sopra una classe di funzioni in n variabili e su alcune questioni di calcolodelle variazioni. Atti IV congr. Un. Mat. Ital. Ed. Cremonese, Roma vol.II(1953) pp. 232-238.
16. Problemi al contorno per equazioni di tipo ellittico a derivate parziali e questioni di calcolo delle variazioni connesse. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 33,(1952) pp. 211-238.
17. Approssimazione di una funzione su una superficie. Rend. Accad. Sci. Fis.
Mat. Napoli (4) 19 (1952) pp. 90-97.
18. Sistemi di equazioni di tipo ellittico a derivate parziali del primo ordine e
proprietà delle estremali degli integrali multipli. Ricerche Mat. 1, (1952) pp.
200-226.
19. Problemi variazionali per gli integrali multipli in forma non parametrica.
Univ. e Politec. Torino. Rend. Sem. Mat. 13, (1954) pp. 19-29.
20. Sopra una generalizzazione dei problemi ai limiti per i sistemi di equazioni
differenziali ordinarie. Ricerche Mat. 3, (1954) pp. 76–94.
21. Problèmes de Neumann relatifs aux équations du calcul des variations. Proc.
intern. Math. Cong. Amsterdam 1954, vol. II p. 172.
22. Problemi al contorno misti per equazioni del calcolo delle variazioni. Ann.
Mat. Pura Appl. (4) 40 (1955) pp. 193-209.
23. Osservazioni sull'esistenza e sull'unicità della soluzione dei problemi al contorno misti per equazioni a derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico. Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli (4) 22 (1955) pp. 144–148.
24. Proprietà differenziali delle estremali degli integrali multipli del calcolo delle variazioni. Atti V Congr. Un. Mat. Ital. Ed. Cremonese, Roma (1956) p.
183.
25. Problemi ai limiti per i sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Le Matematiche Catania 11 (1956) pp. 121-134.

170

26. Su un problema relativo alle equazioni di tipo ellittico del secondo ordine.
Ricerche Mat. 5 (1956) pp. 3-24.
27. Recensione a P.S. Alexandroff Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen. Boll. Un. Mat. Ital. (3) 11, (1956) pp. 4-5.
28. Completamenti funzionali ed applicazione alla teoria dei potenziali di dominio. Rend. Mat. e Appl. (5) 16 (1957) pp. 415-429.
29. Risposta a quesito di M. Rionero “conduttori e superfici unilatere”. Giornale
di Fisica (1957) pp. 299-300.
30. Recensione a G. Sansone, R. Conti, Equazioni differenziali non lineari.
Boll. Un. Mat. Ital. (3) 12, (1957) pp. 6-8.
31. (con E. Magenes) I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 12 (1958) pp. 247-358.
32. Contributi alla regolarizzazione delle soluzioni dei problemi al contorno per
equazioni del secondo ordine ellittiche. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 12(1958) pp. 223-245.
33. I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico. Atti VI
Congr. Un. Mat. Ital. Ed. Cremonese, Roma (1960) pp. 1-24.
34. I problemi di trasmissione per le equazioni di tipo ellittico. Confer. Sem.
Mat. Univ. Bari No. 58 (1960) pp. 1-12.
35. Sur des espaces de fonctions qui interviennent dans les problèmes aux limites elliptiques. Colloque sur l'Analyse Fonctionnelle, Centre Belge Rech.
Math. (1961) pp. 81-89.
36. Problemi al contorno ellittici, con dati discontinui, dotati di soluzioni hölderiane. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 51 (1960) pp. 1-37.
37. Regolarizzazione delle soluzioni di problemi ai limiti ellittici a dati discontinui. Versione italiana del lavoro Régularisation des solutions de problèmes
aux limites elliptiques à données discontinues. Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (1961) pp. 399-408.
38. Équations elliptiques à coefficients discontinus. Sem. Schwartz, 5 n.4(1960-61) pp. 1-16.
39. Recensione a L. Tonelli, Opere scelte. Boll. Un. Mat. Ital. (3) 16, (1961) pp.
3-4.
40. Second order elliptic equations and boundary value problems. Proc. Internat. Congr. Mathematicians, Stockholm, Inst. Mittag-Leffler, Djurshojm(1962) pp. 405-413.
41. On some regular multiple integral problems in the calculus of variations.
Comm. Pure Appl. Math. 16 (1963) pp. 383-421.
42. Some limit cases of Lp-estimates for solutions of second order elliptic equations. Comm. Pure Appl. Math. 16 (1963) pp. 505-510.
43. (con W. Littman e H.F. Weinberger) Regular points for elliptic equations
with discontinuous coefficients. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 17 (1963)
pp. 43-77.

171

44. L(p,λ)-spaces and interpolation. Comm. Pure Appl. Math. 17 (1964) pp. 293306.
45. Un problema di interpolazione. Atti VII Congr. Un. Mat. Ital. Ed. Cremonese, Roma (1963) p. 347.
46. Équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus. Sem.
Equat. Derivées Part., Collège de France (1963-64), III pp. 1-77.
47. Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes. C. R. Acad. Sci.
Paris 258 (1964) pp. 4413-4416.
48. Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre à
coefficients discontinus. Ann. Inst. Fourier 15 (1965) fasc. 1 pp. 189-258.
49. Il principio di minimo nel calcolo delle variazioni. Atti Convegno Lagrangiano Atti Accad. Sci. Torino (1964) pp. 1-20.
50. The spaces L(p,λ), N(p,λ) and interpolation. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3)19 (1965) pp. 443-462.
51. (con E. De Giorgi) Sulle singolarità eliminabili delle ipersuperficie minimali. Atti del Convegno su le Equazioni alle Derivate Parziali. Cremonese,
Roma (1965) pp. 55-58.
52. (con J.L. Lions) Inéquations variationnelles non coercives. C. R. Acad. Sci.
Paris 261 (1965) pp. 25-27.
53. Équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus. Les presses
de l’université de Montréal (1966) pp. 1-326.
54. (con P. Hartman) On some non-linear elliptic differential-functional equations. Acta Math. 115 (1966) pp. 271-310.
55. Note sull’insegnamento della matematica. Boll. Un. Mat. Ital. (3) 21, (1966)
pp. 186-190.
56. (con J.L. Lions) Variational inequalities. Comm. Pure Appl. Math. 20(1967) pp. 493-519.
57. The Lp,λ-spaces and applications to the theory of partial differential equations. Equadiff II Acta Fac. rerum Natur. Univer. comemanae, Math., XVII(1967) pp. 129-141.
58. Su un problema di disequazioni variazionali. Atti del VIII Congresso
dell’U.M.I. Trieste 1867, (1968).
59. (con M.K.V. Murthy) Equazioni ellittiche che degenerano. Atti del Convegno sulle Equazioni alle Derivate Parziali, Edizioni Cremonese, Roma
(1965) pp. 90-96.
60. (con M.K.V. Murthy) Boundary value problems for some degenerateelliptic operators. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 80 (1968) pp. 1-122.
61. Discorso del prof. Stampacchia presidente dell’U.M.I. Atti dell’VIII congr.
dell’Unione Matematica Italiana, Trieste 1967. Bologna (1968) pp. 17-19.
62. Variational inequalities. In Theory and Applications of Monotone Operators(Proc. NATO Advanced Study Inst., Venice, 1968), Edizioni Oderisi, Gubbio (1969) pp. 101-192.

172

63. (con H. Lewy) On the regularity of the solution of a variational inequality.
Comm. Pure Appl. Math. 22 (1969) pp. 153-188.
64. Regularity of solutions of some variational inequalities. In Nonlinear Functional Analysis. Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, Part 1, Chicago, Ill.,(1968) pp. 271-281.
65. Discorso del prof. Stampacchia presidente dell’U.M.I. Atti del IX congr.
dell’Unione Matematica Italiana, Bari 1971. (1974) p. 6.
66. On the regularity of solutions of variational inequalities. Proc. Internat.
Conf. on Functional Analysis and Related Topics, Tokyo (1969) pp. 285289.
67. (con O.G. Mancino) Convex programming and variational inequalities. J.
Optimization Theory Appl. 9 (1972) pp. 3-23.
68. (con H. Lewy) On the smoothness of superharmonics which solve a minimum problem. J. Analyse Math. 23 (1970) pp. 227-236.
69. (con H. Lewy) On existence and smoothness of solutions of some noncoercive variational inequalities. Arch. Rational Mech. Anal. 41 (1971) pp.
241-253.
70. (con M.K.V. Murthy) Errata corrige del lavoro Boundary value problems
for some degenerate-elliptic operators'”. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 90 (1971)
pp. 413-414.
71. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales e inecuaciones variacionales. Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas e
Ingenieria (1971).
72. (con A. Vignoli) A remark on variational inequalities for a second ordernonlinear differential operator with non Lipschitz obstacles. Boll. Un. Mat.
Ital. (4) 5 (1972) pp. 123-131.
73. On a problem of numerical analysis connected with the theory of variational
inequalities. Symposia Mathematica, Vol. X (1972) pp. 281-293.
74. (con H. Brézis) Une nouvelle méthode pour l'étude d'écoulements stationnaires. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. 276 (1973) pp. 129-132.
75. Le disequazioni variazionali nella dinamica dei fluidi. In Metodi valutatitidella Fisica matematica, Acc. Lincei, Quaderno n. 217, Roma (1975) pp.
169-180.
76. Programmazione convessa e disequazioni variazionali. Ist. di Calcolo delle
probabilità, Univ. Roma (1973).
77. On the filtration of a fluid through a porous medium with variable cross section. Russian Math. Surveys, 29 (4), (1974) pp. 89-102.
78. (con D. Kinderlehrer) A free boundary value problem in potential theory.
Collection of articles dedicated to Marcel Brelot on the occasion of his 70thbirthday. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 25 (1975), no. 3-4, xvii pp. 323-344.

173

79. (con H. Brézis) The hodograph method in fluid-dynamics in the light of variational inequalities. Archive for Rational Mechanics and Analysis, Volume
61 (1), (1976) pp. 1-18.
80. Hilbert’s twenty-third problem: extensions of the calculus of variations.
Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proc. Sympos.
Pure Math., XXVIII (1976) pp. 611-628.
81. (con H. Brézis) Remarks on some fourth order variational inequalities. Ann.
Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 4 (1977), no. 2 pp. 363-371.
82. (con H. Brézis e D. Kinderlehrer) Sur une nouvelle formulation du problème de l'écoulement à travers une digue. C. R. Acad. Sci. Paris Sér.
(1978), no. 9 pp. 711-714.
83. Relazioni per Zentralblatt.
3.6 - Lavori e conferenze di Stampacchia di incerta pubblicazione non perfettamente identificabili
Conferenze di Stampacchia non perfettamente identificabili dal titolo noto
• Equazioni a derivate parziali di tipo ellittico negli spazi hilbertiani, conferenza tenuta a Genova il 17 maggio 1954.
• Les inéquations variationnelles pour un operateur différentiel non linéaire
de deuxième ordre avec des obstacles non lipschitziens, conferenza tenuta
dopo il 1964.
• Su alcuni sviluppi recenti dell’analisi matematica. Anche le Scienze applicate devono utilizzare la matematica moderna.
• L’analisi moderna.
• La nozione di infinità in matematica.
Conferenze di Stampacchia non perfettamente identificabili dal titolo non conosciuto
Si tratta dei testi di due conferenze, che sono state contrassegnate con le sigle A e B. Un breve cenno del contenuto è dato di seguito.
A In essa viene trattato il tema di una possibile definizione della matematica.
Dal testo è possibile dedurre la data nella quale la conferenza è stata tenuta:
17 settembre 1966.
B Si tratta del testo di una conferenza espositiva sull’esistenza e la regolarità
di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico di ordine qualsiasi in spazi
di Sobolev. I riferimenti bibliografici sembrano collocare la data della conferenza nella prima metà degli anni Sessanta del Novecento.
Lavori non perfettamente identificabili e di incerta pubblicazione, dal titolo noto
Si tratta di 12 manoscritti. È possibile che i contenuti siano, almeno parzialmente, in lavori pubblicati. I titoli sono dati qui di seguito.

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Un teorema di confronto per l’esistenza della soluzione di un sistema diequazioni differenziali ordinarie, 1944.
Sulle rappresentazioni quasi conformi di una superficie quadrabile (risale
forse al 1947 circa).
Generalizzazione delle disuguaglianze di Sobolev.
Il principio di minimo per il problema di Dirichlet generalizzato.
La formula di Stokes nell’Analisi Generale - Applicazioni.
Le funzioni biassolutamente continue in due variabili ed il potenziale logaritmico.
Problemi al contorno per equazioni del calcolo delle variazioni.
Solutions continues de problèmes aux limites elliptiques avec données discontinues.
Su un lemma di Caccioppoli.
Sul potenziale logaritmico di densità in L2.
Sull’equilibrio delle piastre incastrate all’interno.
Sulle funzioni hölderiane in due variabili.

Lavori o stralci di lavori attualmente non identificabili, di incerta pubblicazione, senza titolo né data
Sono presenti cinque manoscritti che sono stati individuati con le sigle A, B,
C, D, E. Un breve cenno del contenuto è dato di seguito.
A Viene affrontato “lo studio di un’equazione differenziale non linearez’’=f (x,z,z’)
considerando come elemento differenziale la derivata totale pensata comelimite di un rapporto incrementale superficiale.
Sia z(x,y) una funzione di due variabili definita nel rettangolo R; se (x0,y0) èun punto del rettangolo R, si chiama incremento totale la quantità dipendente da h e k
Δz= z(x+h,y+k)-z(x+h,k)-z(x,y+k)+z(x,y)
Se esiste il limite del rapporto incrementale Δz/h,k per h e k tendenti indipendentemente a 0, tale limite si chiama derivata totale e si indica conz’(x,y),”.
B Viene studiata sotto opportune ipotesi la regolarità di una funzione somma
di un potenziale di singolo strato e di un potenziale di doppio strato in due
variabili nei punti angolosi della curva su cui giacciono le distribuzioni dicarica. Più esattamente si determina “l’esistenza del limite delle derivate
quando il punto si avvicina alla frontiera”.
C Si tratta di un manoscritto di 11 pagine all’apparenza incompleto. Vengono
stabilite delle stime per le soluzioni del sistema ellittico del primo ordine nel

175

quale si può riformulare un’equazione ellittica del secondo ordine lineare informa variazionale in assenza di ipotesi di regolarità sui coefficienti.
Una prima stima consiste nel controllare l’energia della soluzione sulla sferadi centro P e raggio ρ con l’integrale del quadrato dei termini noti sulla stessa sfera moltiplicato per un’opportuna potenza del raggio e l’integrale delquadrato della differenza tra la soluzione e una qualsivoglia costante sulla
corona circolare di raggi ρ ed R diviso per (R- ρ)2.
Segue poi l’attacco ad una seconda stima per la quale la soluzione u viene
decomposta in una funzione u0 , armonica, ed un resto u1 . Al primo addendo viene applicata una stima del tipo precedente mentre il secondo addendo
viene trattato con la teoria del potenziale.
D Si tratta di un manoscritto costituito da tre pagine indicate con numeri arabi
e da due pagine indicate con le lettere A e B, che sembra incompleto.
Nelle pagine indicate con numeri arabi viene stabilita una diseguaglianza
per soluzioni di equazioni ellittiche lineari del secondo ordine in forma variazionale. Il quadrato del gradiente della soluzione viene moltiplicato per
una funzione del raggio ω (r). L’integrale di tale nuova funzione sulla sferadi centro P e raggio ρ viene controllato utilizzando da un lato gli integrali
sulla superficie sferica della funzione stessa moltiplicato per ρn-1 , del quadrato della soluzione e dei quadrati dei termini noti moltiplicati per ρn-1 e ω(ρ) e dall’altro gli integrali sulla sfera ancora dei quadrati dei termini noti
moltiplicati per ω (r) e del quadrato della differenza tra la soluzione e una
funzione arbitraria u- del solo raggio moltiplicato per il rapporto tra il quadrato della derivata di ω (r) e ω (r) stessa.
Nelle pagine indicate con A e B si sceglie come funzione u- la media dellasoluzione sulla superficie sferica.
E Viene studiata la regolarità (continuità e derivabilità) di soluzioni di disequazioni variazionali. I riferimenti bibliografici sembrano collocare la datadella nota nella seconda metà degli anni Sessanta del Novecento.
3.7 - Epistolario
MITTENTI
1

ABBATI MARESCOTTI

1

10.5.1977

2

AGMON

2

26.6.1960; 16.8.1973

3

ALBERTONI

2

24.7.1964; 12.12.1972

4

AMBROSETTI

1

14.4.1978

5

AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

3

1.2.1974; 11.5.1975; 10.5.78

176

6

AMERIO

1

Vedi Tricomi

7

ANDREOTTI

6

19.10.1962; 5.11.1963; 18.1.1964;
16.5.1964; 1.6.1964; 18.10.1973

8

ANDREW1

1.6.1964

9

ARONSSON

1

30.6.1965

10

ARUFFO2

9.5.1964 1.5.1965

11

ATTOUCH

1

23.3.1978

12

ÁVILA

1

21.3.1973

13

BAIADA

2

19.11.1952; telegramma con data illeggibile

14

BALABAN1

17.6.1963

15

BALL

2

12.5.1973; 23.11.1977

16

BARNER1

22.12.1977

17

BARSOTTI

3

29.4.1964; 8.5.1964; 13.5.1964

18

BATEMAN4

30.10.1973; 19.12.1973; ?.01.1974;
26.4.197419BEIRÃO DA VEIGA

1

7.3.1973

20

BENCI

2

7.12.1977; 28.3.1978

21

BENJAMIN

2

17.8.1973; 22.10.1976

22

BERESTYCKI

1

Cartolina s.d.

23

BERNARDINI

1

14.7.1966

24

BLAIRE2

7.5.1976; 3.1.1977

25

BLIC (DE)1

30.11.1964

26

BOCCARDI

1

Vedi Togliatti

27

BOCCARDO

1

18.4.1978

28

BOLELLI1

17.5.1966

29

BOLYAI JANOS MATHEMATICAL SOCIETY

1

s.d.

30

BOMPIANI

4

10.4.1964; 23.5.1964; 25.5.1965;
24.5.1966

31

BORSELLINO

1

17.5.1968

177

32

BRELOT4

17.11.1961; 17.1.1974; 19.1.1974;
s.d.

33

BREZIS4

29.5.1967; 11.3.1970; 14.2.1974;
28.11.1977

34

BRITISH COUNCIL

1

15.11.1973

35

BROWDER

4

20.11.1964; 11.2.1965; 22.2.1965;
27.5.1965

36

BRUNSWICK

130.4.196437

BUCKLAND1

1.11.1971

38

CAFIERO2

31.7.1950; 18.5.1966

39

CALVERT3

5.2.1973; 26.2.1973; 12.5.1973

40

CAMPANATO2

19.6.1964; s.d.

41

CAMPEDELLI

1

14.3.1968

42

CAPRIOLI

1

Vedi Pagni

43

CAPRIZ2

14.12.1972; vedi Tricomi

44

CARBONE A.

1

7.12.197745

CARBONE L.

1

9.4.197846

CARLESON4

18.3.1965; 14.6.1973; 20.8.1973;
15.10.1973

47

CASEY

5

21.3.1974; 12.9.1974; 14.9.1974;
25.9.1974; 21.10.1974

48

CATTABRIGA

1

Telegramma con data illeggibile

49

CATTANEO

1

Vedi Segre

50

CAUSA

1

18.5.?

51

CECCHI-MORANDI

1

15.3.1977

52

CECCONI2

26.5.1964; vedi Baiada

53

CESARI4

31.12.1952; 17.2.1964; 20.3.1964;
16.5.1964

54

CHERUBINO

1

28.11.1952

55

CHOQUET1

22.3.1974

56

CHRISTOFFERSON

1

14.1.1966

178

57

CILIBERTO

2

9.5.1977; 7.3.1978

58

CIME

1

11.6.196459

CIMMINO6

28.5.1965; 31.12.1965; 15.1.1966;
28.1.1966; 14.2.1966; 19.2.1966

60

CINQUINI

2

20.11.1952 (cartolina); 3.9.1964

61

CNR

3

18.4.1974; 12.6.1974; 18.6.1974

62

COLLEGE DE FRANCE

1

Invito s.d.

63

COLUCCI

1

18.11.1952 (telegramma)

64

COMITATO DIRETTIVO

1

30.10.1946

CELLULA COMUNISTA
UNIVERSITARIA

65

CONLEY

1

6.2.1974

66

CONTI F.

2

21.10.1971; 20.3.1978

67

CONTI R.

10

12.11.1952; 15.1.1961; 26.4.1964;
9.7.1964; 22.9.1964; 6.1.1965;
2.5.1965; 15.5.1965; 26.5.1965;
26.1.1978

68

COOPER1

7.8.1973

69

CORAZZIARI

1

15.5.196670

COTTLE2

9.12.77; 3.1.1978

71

DABONI1

20.11.1972

72

DAINELLI

4

23.1.1971; 1.2.1971; 7.2.1971;
4.1.1972

73

DANTONI1

2.6.1964

74

DA PRATO

1

Vedi Campanato

75

DAS

1

22.3.1971

76

D'AURIA1

15.5.1966

77

DE AGOSTINI ISTITUTOGEOGRAFICO

1

27.12.1973

78

DE FAZI

1

S.d.

79

DE FINETTI

2

28.11.1972; vedi Segre

179

80

DE LERMA1

8.5.1964

81

DE MENNA

1

23.7.1976

82

DENY

3

16.5.1964; vedi Choquet; s.d.

83

D'ERASMO

1

6.11.1954

84

DE SOCIO

1

15.11.1973

85

DOU

2

10.7.1973; 22.10.1973

86

DUGAC

1

11.4.197387

ECKMANN1

17.6.1977

88

EDMUNDS89.8.1971; 10.9.1971; 15.3.1973;
1.5.1973; 21.5.1973; 15.1.1974;
6.1.1975; 10.10.1975

89

EINAUDI

4

2.9.1975; 25.9.1975; 2.10.1975;
2.3.1977

90

ELCI

1

8.5.1973

91

ELLIOTT1

15.11.1971 (contiene una minuta di
Stampacchia)

92

ENRIQUES

1

28.12.1972

93

EQUADIFF 78

1

gennaio 197894

EVERITT2

28.6.1971 (contiene una minuta di
Stampacchia); 16.8.1971

95

FADNIS1

19.11.1977

96

FAEDO

8

19.5.1964; 22.6.1964; 21.7.1964;
20.11.1964; 9.2.1964; 6.6.1966;
10.9.1973; 6.2.1976

97

FANTAPPIÈ

1

16.11.1952

98

FANTOZZI

1

15.5.1956

99

FAVILLI

1

S.d.

100

FICHERA8

27.12.1952; 23.12.1960; 12.1.1961;
4.7.1964; 4.11.1966; 12.10.1967;
2.12.1967; s.d. (telegramma)

101

FISHEL2

10.7.1964; 24.6.1965

102

FONTONI1

5.4.1977

180

103

FREHSE6

19.3.1974; 17.10.1975; 27.4.1976;
26.10.1977; 26.10.1977; 14.4.1978

104

FRIDMAN1

3.2.1978105

FROSTMAN

1

29.11.1961

106

GAGLIARDO

3?.?.1961 (cartolina); 3.1.1966;
22.10.1973107GÅRDING1

1977 (?)

108GARIBALDI

1

Vedi Gagliardo

109

GARZANTI

1

24.2.1978110

GHEORGHIEV

1

12.12.1964

111

GHIZZETTI

3

21.11.1972; 16.7.1974; vedi Tricomi

112

GIACOSA

1

3.3.1970

113

GIANNESSI

1

Cartolina con data illeggibile

114

GIANNI1

30.11.1966

115

GILBARG

1

10.6.1964

116

GIULIANO

2

21.3.1946; s.d. (biglietto)

117

GIUSTI1

Vedi Campanato

118

GOLDBERG

2

14.10.1964; 29.4.1973

119

GÖRANSSON1

5.2.1974

120

GRAFFI2

16.7.1952; 26.9.1964

121

GRASSILLI

2

31.10.1967; 2.1.1968

122

GRECO

7

9.9.1953; 13.11.1953; 21.11.1953;
7.12.1953; 12.4.1954; 24.10.1954;
vedi Cafiero

123

GRISVARD

421.4.1965; 1.6.?; 27.10.?; s.d.

124

GUGLIELMINO

3

15.11.1973; 25.11.1973; 23.4.1974

125

GUSSI

1

1.11.1959

126

HAIMOVICI

1

Vedi Gheorghiev

127

HAMENDE

1

10.5.1974

128

HAMPSHIRE

1

29.10.1971

181

129

HARTMAN6

26.9.1965; 9.11.1965; 29.11.1965;
29.11.1965; 6.1.1966; 19.1.1966

130

HAY

2

19.3.1964; 20.3.1964

131

HELLWIG1

1.12.1972

132

HEMÈ

3

15.9.1964; 14.101964; 25.12.1964

133

HERSTEIN

1

12.1.1973

134

HILDEBRANDT

1

10.10.1977

135

HOWARD2

4.11.1971; 26.11.1971

136

IANNELLI

1

10.2.1971

137

IMBÒ

1

15.6.1966

138

INFORMAZIONE SCIEN-

1

18.5.1966

TIFICA139

ISTITUTO DI MATEMATICA DI PISA

1

13.5.1966 (telegramma)

140

JACQUJNOT

1

29.4.1964

141

JAROSZEWSKA

1

21.9.1978

142

JOHN SIMON GUGGHEN- 1
HEIM MEMORIAL FOUN-

S.d.

DATION143

JOSEPH1

31.7.?

144

JUBERG

2

16.9.1964; 14.5.1965

145

KANNAI

1

S.d.

146

KAPLAN

1

S.d.

147

KAPLANSKY

1

23.3.1965

148

KATZNELSON

1

12.4.1973

149

KAUFMANN-BÜHLER

2

7.6.1974; 18.3.1975

150

KERIMOV

1

S.d.

151

KILCREASE

127.1.1978 (busta)

152

KINDERLEHRER

1130.1.1974; 13.9.1976; 30.11.1976(con foto allegata); 8.11.1977;
20.1.1978; 28.1.1978; 27.3.1978;

182

31.3.1978; 2.4.?; 13.5.?; vedi Vergara
Caffarelli
153

KIRWAN

1

12.7.1977

154

KLEE

1

22.6.1964

155

KLEIN

1

14.6.1965

156

KUSUNOKI

1

28.5.1964

157

LADYZHENSKAYA

1

9.5.1964

158

LAX

2

16.4.1976; ?.3.1978

159

LAZZARINO

1

19.5.1966160

LEAVITT

1

7.8.?

161

LEDERMANN

2

4.5.1973; 17.8.1973

162

LERAY

9

?.02.1964; ?.02.1964; 15.3.1965;?.3.1965; 7.4.1965; 4.5.1965;
22.12.1976 (biglietto); 20.12.1977;
s.d.

163

LEWIS

3

16.4.1964; 1.6.1964; 18.6.1964

164

LEWY

20

15.6.1964; 14.8.1964; 17.5.1965;
17.3.1967; 10.4.1967; 14.4.1967;
19.4.1967; 2.5.1967; 25.5.1967;
5.10.1967; 25.3.1968; 13.5.1968;
20.10.1973; 3.5.1975; 26.5.1975;
19.12.1976; 19.4.1978; s.d. (3)165

LIGUORI (EDITORE)

13

15.1.1962; 13.2.1962; 5.11.1962;
20.11.1962; 6.12.1962; 25.5.1963;
10.10.1963; 18.12.1975; 31.5.1976;
10.6.1976; 21.7.1976; 23.6.1977;
26.10.1977

166

LIONS

10

25.3.1964; 28.4.1964; 30.7.1964;
2.7.1966; 12.6.1973; 5.3.1974; s.d.
(ma 2.4.1978); s.d. (3)167

LOHWATER

1

21.2.1964

168

LOMBARDO

1

Vedi Segre

169

LORCH

1

28.12.1972

170

MAGENES9

16.11.1952 (telegramma); 24.11.1952

183

(telegramma); 12.1.1961 (cartolina);
31.5.1964; 29.1.1973; 6.4.1974;?.4.1974; 23.6.1974; s.d.
171

MAJORANI

1

10.7.1973

172

MAMBRIANI

1

19.11.1952 (telegramma)

173

MANDILI1

14.11.1972

174

MANGERON

4

9.2.1959; 2.11.1959; 29.10.1964;
24.9.1967

175

MARINESCU

1

S.d.

176

MARTANO1

16.5.1966

177

MARTINELLI

2

16.11.1967; 15.5.1970 (telegramma)

178

MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT ZÜRICH

1

S.d. (ma 1977) (invito)

179

MATTHES1

1.2.1973

180

MAUGERI

1

Vedi Giannessi

181

MAZZONE2

15.11.1971; vedi Vergara Caffarelli

182

MERLIN1

2.5.1964

183

MEYER

1

Vedi Choquet

184

MILLER1

28.9.1973

185

MINTY

1

23.12.1966

186

MIRANDA7

28.11.1945; 29.11.1960; 20.4.1964;
7.5.1965; 27.5.1965; s.d.; vedi Cafiero

187

MOKOBODSKI

1

Vedi Choquet

188

MONASTERIO

1

26.5.1966

189

MONTEVERDI

1

29.11.1966

190

MORREY

1

7.5.1973

191

MOSCO

2

28.5.1966; 31.3.1978

192

MOSER

2

29.11.1959; 10.5.1965

193

MURAKAMI

1

24.3.1955

184

194

MURTHY5

16.12.1972; 20.3.1973; 14.2.1974;
27.11.1975; 20.9.1976

195

MUSSA

2

5.5.1964; 13.5.1964 (telegramma)

196

NACHBIN1

21.12.1964

197

NALDINI M.

1

24.11.1952

198

NANNIPIERI

1

28.12.1977

199

NARASIMHAN

2

5.3.1964; 11.8.1964

200

NEČAS

1

3.11.1977201

NEVANLINNA

1

12.4.1978

202

NEWTON1

18.2.1974

203

NEW YORK UNIVERSITY 1

S.d.

204

NICOLESCU

1

20.2.1965

205

NICOTRA1

Vedi Conti F.

206

NIRENBERG

24

7.10.1964; ?.?.1964; 6.6.1966;
1.2.1974; 12.3.1975; 28.12.1976;
5.1.1977; 13.12.1977; 15.1.1978;
23.1.1978; 30.1.1978; 12.4.1978;
7.1.?; 21.1.?; 23.1.?; 24.3.?; 1.4.?;
13.4.?; 16.6.?; 21.6.?; 7.7.?; 14.8.?;
25.9.?; s.d.

207

NOOR

1

27.11.1973

208

NUNZIANTE CESARO

2

26. 11.1962; 29.5.1966

209

OLEINIK

4

17.12.1964; 11.6.1973; 9.10.1973;
s.d. (cartolina)

210

ONO

2

22.5.1976; s.d.

211

ORLANDO

1

S.d.

212

ORTIZ

2

16.11.1973; 6.6.1975

213

ORTNER1

22.3.1977

214

PAGNI

6

26.5.1967; 12.2.1971; 22.2.1971;
29.9.1971; 8.8.1971; s.d.

215

PANELLI1

16.5.1966

216

PANNWITZ

1

20.1.1955

185

217

PEETRE2

28.5.1964; 24.7.1964

218

PEREIRA1

5.7.1978219

PETTINEO2

13.10.1964; 21.12.1964

220

PICONE1

19.5.1968221

POLVANI1

7.9.1962

222

PROCURANTI

1

21.5.1964

223

PRODI

1

Vedi Magenes

224

PUCCI

11

17.11.1960 (contiene una lettera collettiva a Schwartz); 14.5.1964;
30.9.1964; 3.3.1965; 3.4.1965;
16.5.1966; 31.12.1970; 25.2.1971;
15.11.1977; s.d.; vedi Togliatti

225

PULVIRENTI

1

15.11.1973

226

RABINOWITZ

1

S.d. (minuta)

227

RADICATI

1

10.4.1964

228

RAMIS

1

14.3.1977

229

RICCI

2

1.6.1964; 3.11.1972

230

RINALDI

1

S.d.

231

RIVIÈRE1

3.4.1973

232

RIVISTA DI MATEMATI-

1

9.3.1978CA233

RIZZITELLI

2

31.5.1977; 24.9.1977

234

ROFMAN

1

S.d.

235

ROSATI1

27.4.1964

236

ROSSI

1

S.d.

237

ROTA

2

20.1.1974; 15.3.1974

238

RUSSO

1

10.5.1946

239

SACERDOTI

1

23.5.?

240

SANSONE

920.1.1961; 10.7.1961; 20.12.1961;
26.6.1962; 7.6.1964; 20.11.1965;
7.12.1965; 7.12.1965; 17.5.1966

186

241

SANTAGATI

1

Vedi Pulvirenti

242

SCHWARTZ

3

17.11.1960; 7.10.1964; 16.11.1964

243

SCORZA4

17.3.1964; 1.12.1964; 18.10.1971;
vedi Fantappiè

244

SCUOLA NORMALE SUPERIORE (DIREZIONE)

4

19.6.1964; 29.11.1977; 14.12.1977;
s.d.

245

SEGAL

1

4.12.1973246

SEGNI (MINISTRO DELLA 1
PUBBLICA ISTRUZIONE)

19.1.1953

247

SEGRE B.

4

14.5.1966; 14.5.1966; 16.6.1966;
30.10.1967

248

SEGRE F.

1

Vedi Lewy

249

SERRIN2

12.12.1976; s.d.

250

SIBONY1

2.2.1966

251

SIMS

1

27.10.1971

252

SINGH

1

25.7.1973

253

SMITH

2

18.8.1978; 22.11.?

254

SOCIETÀ NAZIONALE DI 1
SCIENZE LETTERE E AR-

1.1.1978TI

255

SOLOMON1

25.7.1966

256

SPAGNOLO

1

27.2.1978

257

SPRINGER-VERLAG

1

14.2.1974

258

STAMPACCHIA L.

1

15.5.1966

259

STANLEY

2

5.12.1963; 29.7.1964

260

STEBBINS

2

12.6.1964; 25.6.1964

261

STOPPELLI

1

Vedi Cafiero

262

STRANG1

6.4.1977

263

STREBEL3

13.5.1977; 8.7.1977; 13.10.1977

264

SWANSON

5

Vedi Swanson a Kinderlehrer

265

TALENTI

1

Vedi Pucci

187

266

TARELLO

20

9.10.1971; 29.11.1971; 29.12.1971;
18.1.1972; 11.2.1972; 17.4.1972;
16.1.1973; 30.1.1973; 7.2.1973;
22.2.1973; 14.3.1973; 18.5.1973;
23.5.1973; 16.7.1973; 11.1.1974;
7.2.1975; 19.2.1975; 19.5.1975;
1.7.1975; 5.11.1975

267

TARTAGLIONE

1

20.5.1966

268

TATA INSTITUTE

1

16.12.1972

269

TAUTZ

1

30.5.1964270

TAYLOR

1

30.3.1973

271

TEMAN

1

12.3.1977

272

TEODORESCU

2

30.9.1959; 16.11.1959

273

TOGLIATTI

2

19.8.1972; vedi Pucci

274

TOLOTTI

1

20.5.1966

275

TRAPANI1

S.d. (cartolina)

276

TREVES2

10.11.1964; 23.9.1967

277

TRICOMI1

20.11.1972

278

TRUESDELL

1

14.3.1974

279

UNIVERSITÀ DI PISA

2

11.6.1964; 26.5.1972

280

UNIVERSITE’ PIERRE ET
MARIE CURIE

1

28.3.1978

281

UNIVERSITY OF CHICA-

1

3.3.1978

GO

282

VALLI

1

Vedi Carbone L.

283

VENEMA1

13.12.1973

284

VERGARA CAFFARELLI

1

Cartolina con data illeggibile

285

VESENTINI

3

3.5.1964; 4.1.1968; 29.12.?

286

VIDAV

1

29.1.1973

287

VIDOSSICH

4

19.3.1973; 21.5.1973; 19.11.1976;
22.10.1976

288

VILLA

2

10.6.1964; 16.5.1966

188

289

VILLAGGIO

2

21.12.?; vedi Pucci

290

VINCIGUERRA

1

31.7.1950 (foglio allegato alla lettera
di Cafiero)

291

WAELBROECK

1

19.1.1974

292

WALKER1

21.3.1974

293

WASSERMANN

1

S.d.

294

WEINBERGER

2

13.3.1964; 22.6.1964

295

WELLAND

1

20.6.1973

296

WILEY INTERSCIENCE

2

8.2.1974; 15.3.1976

297

WILSON1

8.7.1971

298

YOUZHONG

1

12.8.1982

299

ZACHER

2

S.d. (telegramma); s.d. (telegramma)

300

ZAINI

3

13.2.1973; 9.6.1973; 1.8.1975

301

ZICHICHI

1

4.6.1974 (telegramma)

302

ZITAROSA

1

Vedi Cafiero

303

ZITO

2

8.1.1964; 8.6.1964

304

ALD[...] N[…]1

16.5.1966

305

DEYEN DE LA FACULTÈ
DE SCIENCE DI ALGERI

1

20.10.1964

306

DICK

1

6.4.1973

307

DON A[...]

1

17.8.1964

308

FRANCOISE SCH[...]

1

26.1.?

309

HUGH L.Z.

2

12.1.1964; 17.4.1965

310

JAY

1

s.d. (ma venerdì)311

KOSAKY

1

18.4.1964

312

MARCH[...]

1

15.12.1973 (biglietto di auguri)

313

R. F.

1

s.d.

314

R[...]

1

13.5.1965315

SA[...]

1

s.d.

316

SE[...]

1

24.1.?

189

317

UGO BA[...]

1

22.11.1952

318

1

20.1.1951 da Napoli

319

1

18.5.1964 da Pisa

Si osservi che ai numeri 304-319 corrispondono mittenti al momento non
identificati. Delle relative lettere sono stati forniti gli elementi identificativi reperibili.
DESTINATARI
1

ACCADEMIA DEL- 1
LE SCIENZE DI TO-

8.5.65RINO

2ALBERTONI

1

Vedi Tricomi

3

AMERIO

1

Vedi Tricomi

4

BERTOLINI

1

6.2.1976

5

BOERO

2

11.1.1973; 23.1.1973

6

BROWDER

1

19.2.1965

7

BUCKLAND

1

3.11.1971

8

CAPRIZ

1

Vedi Tricomi

9

CARLESON

2

13.5.1965; 9.6.1965

10

CASEY

2

11.10.1974; 9.11.1974

11

CHRISTOFFERSON

1

19.1.1966

12

CIMMINO1

7.1.1966

13

DABBONI

1

Vedi Tricomi

14

DE FINETTI

1

Vedi Tricomi

15

DENTON1

22.8.1971

16

EINAUDI2

16.9.1975; 18.2.1977

17

FICHERA5

10.1.1961; 25.7.1964; 14.4.1967; 1.12.1969;
23.2.1966 (minuta)

18

GARRONI1

2.4.197819

GIANNARELLI

1

3.3.1968

190

20

GHIZZETTI

1

Vedi Tricomi

21

IMAZ

1

17.12.1962

22

KINDERLEHRER

1

7.2.1977

23

LERAY

1

19.2.1964 (minuta)

24

LEWY

4

3.4.1967; 15.4.1967; 20.4.1967; 4.4.1968

25

LIGUORI

7

4.7.1974; 23.7.1975; 6.2.1976; 18.10.1977;
3.12.1977; 5.12.1977; 5.12.1977

26

LIONS

2

16.1.1973; 28.6.1973

27

NEČAS

1

7.9.1977

28

NITSCHE1

13.6.1977

29

ONO

1

12.6.1976

30

ONORATO3

16.10.67; s.d. (minuta) (2)31

PICONE1

29.10.1949

32

POLVANI1

19.6.1962

33

PUCCI

2

18.4.1971; 16.1.197334

RIVIÈRE1

11.5.1973

35

ROSE

1

S.d. (minuta)

36

SANSONE1

23.11.1965

37

SCHWARTZ

1

8.12.1964

38

SPRINGERVERLAG

1

29.2.1974

39

STREBEL1

1.6.1977

40

TARELLO

9

17.10.1971 (minuta); 2.12.1971; 1.2.1972;
5.4.1972; 19.2.1973; 12.5.1975; s.d. (ma fine'71, minuta); s.d. (minuta) (2)41

TRICOMI1

16.11.1972

42

UFFICIO ITALIANO 1
CAMBI

14.1.1977

43

UNIVERSITÀ DI PI- 1

1.2.1965

SA44

VIGNOLI1

2.6.1971 (minuta)

191

45

WEIZMANN SCI1ENCE PRESS OF IS-

30.12.1972

RAEL

46

WILEY INTER-

1

S.d. (minuta)

SCIENCE47

WILSON1

30.7.1971 (minuta)

48

ZICHICHI

1

14.2.1973

49

BERNARD

1

S.d. (forse 1964; minuta)

Nel precedente elenco, al n. 49 corrisponde un destinatario non identificato.
ALTRI CORRISPONDENTI
1

BELLMANKINDERLEHRER

1

17.3.1977

2

BOMPIANIEVANGELISTI

1

2.2.1967

3

BOMPIANI

PAGNI

1

16.3.1968

4

CARDILLO

MONROY1

4.1.1965

5

CECCHILIGUORI

1

22.2.1977

6

D'ATRIBERNARDINI

1

18.4.1973

7

FAEDO

PUCCI

1

24.12.1963

8

FAEDO

PRODI

1

S.d.

9

FIGÀTALAMANCASBORDONE1

18.1.1994

10

FRANCHETTACORONATO

1

26.11.1952

11

GEHRINGKINDERLEHRER

1

21.1.1977

12

ITALICA SOCIETÀ DI ASSICURAZIONINALDINI STAMPACCHIA

1

29.11.1960 (cartolina
postale)13

Jolanda, Giulio,
Dionigi

DE ROSA

1

19.11.1952 (telegramma)

14

KAUFMANNBÜHLER

KINDERLEHRER

3

8.2.1977; 10.3.1977;
11.5.1977

15

KINDERLEHRER

BELLMAN1

23.3.1977

16

KINDERLEHRERGEHRING1

18.1.1977

192

17

KINDERLEHRER

KAUFMANNBÜHLER

2

3.2.1977
20.5.1977

18

KINDERLEHRERMC GRATH

1

3.9.1981

19

KINDERLEHRERNALDINI STAMPAC-

2

9.2.1984; 25.5.1984

CHIA

20

KINDERLEHRERSWANSON3

20.5.1977; 1.12.1977;
23.1.197821

LIGUORISTRANG

115.3.1977

22

MAZZONENALDINI STAMPAC-

2

2.2.2004; 2.11.2009

CHIA

23

MAZZONE

STAMPACCHIA M.

1

6.3.2003

24

MC GRATHLIGUORI

1

7.6.1976

25

MICOL

NALDINI STAMPAC-

130.3.1983

CHIA

26

MITROVICH

KINDERLEHRER

1

24.5.1977

27

MONROY

FAEDO

1

9.1.1965

28

NICOTRAOWUSU-ANSAH

1

22.9.1978

29

NICOTRA

SMITH

1

22.9.1978

30

PAGNI

BUZANO1

18.12.1967

31

PALLADINOMAZZONE1

31.3.2003

32

PRODI

GAGLIARDO

1

18.12.1957

33

PUCCI

LIONS

1

28.12.1972

34

SCHMITZ

KINDERLEHRER

1

31.1.1977

35

SHUBE

KINDERLEHRER

3

10.2.1977; 18.2.1977;
15.4.197736

STEBBINS

ANDREOTTI

2

4.5.1964; 11.5.1964;

37

STRANGLIGUORI

1

9.2.1977

38

SWANSONKINDERLEHRER

5

22.4.1977; 26.5.1977;
28.11.1977; 7.12.1977;
27.1.1978

Si fa notare che al n. 13 appaiono corrispondenti non meglio identificati.

1933.8 - Fascicoli tematici
FALDONE 1••

Documenti ufficiali relativi a vita e carriera di Guido Stampacchia
Raccolta di articoli di giornale eseguita da Guido Stampacchia

FALDONE 2••••

Commemorazioni e biografie di Guido Stampacchia
Articoli e necrologi su giornali relativi alla scomparsa di Guido Stampacchia
Premi e convegni in memoria di Guido Stampacchia
Partecipazioni al lutto in occasione della scomparsa di Stampacchia: Agmon; Albertoni; Amerio; Antonsiewicz e Lions; Are; Arias; Aruffo; Aruffo
e Bottao; Augugliaro; Baiada, Boni e Cavazzuti; Baiocchi; Benci; Binni;
Boccardo, Dolcetta e Marcellini; Borsellino; Brezis; Budinich (Budini); Cafiero; Calvi e Parisetti; Campanato; Carbone, Colombini, Conti F., Franzoni,
Pratelli e Ricci; Carrelli; Cattaneo; Chiffi; Chipot; Ciampa; Cecconi; Ciliberto; Cimmino; Cinquini; Conti F.; D’Amato; Da Prato; Da Veiga; De
Giorgi; Dolcher; Edmunds; Einaudi; Faedo; Favilli; Fichera; Foa; Focarelli;
Galafassi, Serini e Andreatta; Garding; Gatteschi e Lerda; Ghiara; Giuliano;
Goldberg; Gomez Paloma; Graffi; John; Kinderlehrer; La Penna; Lax; Lazzarino; Letta e Marino; Lewy Hans; Lewy Helen; Liguori; Littman e Weinberger; Luisi; Mannelli; Marchionna Tibiletti; Marianelli; Martano; Masettie Milano; Mazzone; Mac Grath; Milani Sciry (?) Sepe; Mini; Miranda C.;
Miranda M.; Morawetz; Mosco; Murthy e Narasimhan; Nirenberg; Pagni;
Papi; Picasso; Picotti; Predonzan; Procesi; Prodi; Pucci; Pugliese Carratelli;
Radicati; Reinhart; Remorini; Thomas Richard; Rizza; Roux; Salam; Salmon; Salvini; Santagati; Schwartz; Serrin; Skof; Torrigiani; Treves; Truesdell; Vaccaro; Vergara; Vesentini; Vidossich; Vinciguerra; Vinti; Webb;
Zappa; Zichichi; Zitarosa; corrispondenti non individuati (3).
Vi sono poi partecipazioni al lutto collettive individuate esclusivamente attraverso il nome di una istituzione; esse sono: Centro scientifico IMB di Pisa; Department of mathematics of the University of Maryland; Istituto matematico dell’Università di Bologna; Istituto matematico dell’Università di
Camerino; Istituto matematico dell’Università di Ferrara (2); Istituto matematico dell’Università di Napoli; Istituto matematico dell’Università di Pavia; Istituto matematico dell’Università di Pisa; Laboratorio di analisi numerica del C.N.R. di Pavia; Mathematics faculty of the California institute oftechnology; studenti del terzo e quarto anno della Scuola normale superiore;
personale non docente della Scuola normale superiore. Si osservi che alcuni

194

•

dei partecipanti al lutto scrivono in quanto rappresentanti di istituzioni e talora anche individualmente.
Lavori di S. Mazzone sul fondo Stampacchia.

FALDONE 3• Istituzioni: C.I.M.E.; Facoltà di architettura di Milano; International center
Ettore Majorana; I.A.C.; U.M.I.
• Persone: R. Caccioppoli; B. Levi; M. Picone

FALDONE 4
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Partecipazione di Guido Stampacchia a commissioni di concorso a cattedra,
1958-60.
Partecipazione al convegno “International Symposium”, Gerusalemme
1960.
Una controversia tra Guido Stampacchia e Fichera, 1961.
Partecipazione di Guido Stampacchia alla commissione del Premio Caccioppoli, 1964.
Conferimento a Guido Stampacchia del Premio Feltrinelli, 1966.
Chiamata alla facoltà di scienze dell’Università di Roma di Guido Stampacchia, 1967.
Tensione politica a Roma, 1970.
Testi William Lowell Putnam Mathematical Competition, 1978.
Pubblicazione del volume di Guido Stampacchia e David Kinderlehrer “Anintroduction…”, 1977-78.
Bibliografie e schede bibliografiche utilizzate da Guido Stampacchia.
Recensioni tratte da Zentralblatt e American mathematical review da partedi Guido Stampacchia.
Notizie relative a convegni.
Miscellanea.

3.9 - Versioni preliminari e fotocopie di testi e capitoli di testi• Analisi I. (di S. Campanato).
• Several complex variables. (di L. Bers).
• Equazioni alle differenze finite. (di autore non identificato, forse capitolo di
un corso istituzionale o di un libro).
• Parte di un volume sulla meccanica dei continui. (di autore non identificato).
• Testo non identificato (forse di Istituzioni di analisi superiore).
• Capitolo di testo non identificato.

1953.10 - Tesi di laurea e di dottorato• D. Chenais, Identification d’ouverts lipschitziens et de variétés à bord lipchitziennes dans des équations aux dérivées partielles. Université de Nice
1977.
• M. Giordano, Alcuni teoremi di esistenza in analisi funzionale. Università diPisa 1965-66.
• M.J. Gobert, Opérateurs matriciels de dérivation elliptiques et problèmes
aux limites. Université de Liège 1960-61.
• R.M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel. Université de Paris 1961.
• P.L. Lions, Problèmes de type Bellman. Université Pierre et Marie Curie
1978.
• R. Poncini, Introduzione e confronto delle diverse teorie dei numeri reali.
Università di Genova 1958-59.
• L.C. Piccinini, Proprietà di inclusione e interpolazione tra spazi di Morrey eloro generalizzazioni. Scuola Normale Superiore di Pisa 1969.
3.11 – Estratti e versioni preliminari
Si tratta di circa 500 tra estratti e versioni preliminari. Sono da segnalarecorpose raccolte di estratti di C. Severini, di R. Caccioppoli e di L. Tonelli. Su
alcuni degli estratti di Caccioppoli vi sono delle dediche ed è inoltre presente
quello che sembra essere un manoscritto originale di questo autore.
3.12 - Volumi a stampa• Annuari di accademie.
• Fascicoli di riviste.
• Fascicoli illustrativi di istituzioni accademiche.
• Libri (una trentina circa; va segnalata la presenza di vari testi utilizzati verosimilmente da Stampacchia durante i suoi studi universitari, come ad esempio numerosi manuali Hoepli).
• Miscellanea (si tratta di pochi fascicoli di varia natura e di dimensioni ridotte).
3.13 - Materiale frammentario di natura matematica
Gli appunti manoscritti di natura matematica sono stati raccolti in un faldone ad essi dedicato. Molti di essi sono certamente collegati a lavori pubblicati diStampacchia, ma data la natura frammentaria è difficile stabilire l’esatta connessione.
3.14 - Materiale fotografico
Si tratta di alcune fotografie di gruppo scattate in un convegno matematico.
Altre poche fotografie, che ritraggono alcuni matematici, sono contenute in al-196cuni fascicoli tematici come ad esempio quelli relativi a R. Caccioppoli e M. Picone.
4 - BIBLIOGRAFIADe Giorgi E. (1978) La scomparsa a Parigi di Guido Stampacchia. La Nazione, 4 maggio, p. 4.
De Giorgi E. (1980) Guido Stampacchia. Commemorazione tenuta nella seduta del 26
giugno 1980. Accademia nazionale dei Lincei, Rendiconti della classe di Scienze
fisiche, matematiche e naturali. Ser. VIII, vol. LXVIII, fasc. 6. Ripubblicato in
Moscariello, Sbordone (ds) (2018) pp. 45-51.
Garroni M.G. (2005) In Memory of Guido Stampacchia. In Giannessi, Maugeri (eds)(2005) pp. 31-32.
Giannessi F., Maugeri A. (eds) (2005) Variational Analysis and Applications. Springer
US.
Kinderlehrer D. (1988) Un uomo che pensava agli altri. L’Unità, 26 aprile, p. 18.
Lions J.L. (1978) The Work of G. Stampacchia in Variational Inequalities. Conferenza
tenuta al Centro “E. Majorana” di Erice a giugno 1978. Pubblicato in Boll. UMI, v.
15-A, n. 3, pp. 736-753. Ripubblicato in Cottle R.W., Giannessi F., Lions J.L.,
Wiley J. (eds) (1980) “Variational inequalities and complementarity problems.
Theory and applications”, pp. 1-24. Ripubblicato in Stampacchia (1996-97) vol.
II, pp. XXXIII-L. Ripubblicato in Giannessi, Maugeri (eds) (2005) pp. 3-30. Ripubblicato in Moscariello, Sbordone (eds) (2018) pp. 27-44.
Magenes E. (1978a) Guido Stampacchia (1922-1978). Boll. UMI, v. 15-A, n. 3, pp.
715-736. Ripubblicato in Stampacchia (1996-97) vol. I, pp. XI-XXXII. Ripubblicato in Moscariello, Sbordone (eds) (2018) pp. 5-26.
Magenes E. (1978b) Pubblicazioni scientifiche di Guido Stampacchia. Boll. UMI, v. 15A, n. 3, pp. 753-756. Ripubblicato in Stampacchia (1996-97) vol. I, pp. XXXIIXXXV. Ripubblicato in Moscariello, Sbordone (eds) (2018) pp. 52-55.
Magenes E. (2005) The Collaboration between Guido Stampacchia and Jacques-Louis
Lions on Variational Inequalities. In Giannessi, Maugeri (eds) (2005) pp. 33-38.
Magenes E. (2018) Apertura dei lavori. Convegno “Recent trends in nonlinear partial
differential equations” a tribute to Guido Stampacchia. In Moscariello, Sbordone(eds) (2018) pp. 57-58.
Mancino, O. G. (2005) In Memory of Guido Stampacchia. In Giannessi, Maugeri (eds)(2005) pp. 39-46.
Mazzone S. (2005) Guido Stampacchia. In Giannessi, Maugeri (eds) (2005) pp. 47-77.
Ripreso in forma abreviata in Matapli Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles. Bullettin n.72, (2003), pp. 71-88.
Mazzone S. (2019) Stampacchia Guido. Dizionario Biografico degli Italiani. Vol. 94, ad
vocem.
Mazzone S. Stampacchia G. mathematica.sns.it/media/volumi/466/biografia-italiano.pdf
Moscariello G., Sbordone C. (2018a) Presentazione. In Moscariello, Sbordone (eds)(2018b), pp. VII-X.
Moscariello G., Sbordone C. (eds) (2018b) Guido Stampacchia. Opere scelte (19471965). Giannini Editore, Napoli.

197

Nirenberg L. (1996-97) Preface. In Stampacchia (1996-97) vol. I, pp. IX-X. Ripubblicato in Moscariello, Sbordone (eds) (2018) pp. 3-4.
Nirenberg L. (2005) Memories of Guido Stampacchia. In Giannessi, Maugeri (eds)(2005) pp. 79-80.
Sbordone C. (2005) In Memory of Guido Stampacchia. In Giannessi, Maugeri (eds)(2005) pp. 81-82.
Stampacchia Giulia (2005) Guido Stampacchia, My Father. In Giannessi, Maugeri (eds)(2005) pp. 83-86.
Stampacchia G. (1996-97) Opere scelte, a cura dell'Unione Matematica Italiana con ilcontributo del Consiglio Nazionale delle Ricerche, a cura di L. Boccardo, G. Da
Prato, U. Mosco, V. Murthy, M.G. Platone, C. Sbordone, 2 volumi, Cremonese, Firenze.

198

AppendiceRend. Acc. Sc. fis. mat. NapoliVol. LXXXVI, (2019) pp. 201-250
DOI 10.32092/1024

L’Osservatorio Meteorologico di San Marcellino
Napoli Centro: i dati dell’anno 2019
Nota di Nicola Scafetta1*, Raffaele Di Cristo2, Raffaele Viola1,
Adriano Mazzarella3
Presentata dal socio Giuseppe Marrucci(Adunanza del 17 gennaio 2020)
Keywords: Air temperature, atmospheric pressure, rainfall, solar radiation, wind intensity-direction, UV index.
Abstract - The analysis of all meteorological parameters of the year 2019 shows that: (a)the monthly mean pressure ranges between 1010.5 hPa of November and 1022.2 hPa of
February, with an annual mean of 1015.7 hPa, with an absolute minimum of 987.1 hPa
measured on 12 December at 18:50 and with an absolute maximum of 1033.4 hPa measured on 14 February at 9:00; (b) the monthly mean air temperature ranges from 8.7°C of
January and 28.2°C of August, with an annual mean of 18.6°C, with an absolute minimumof 1.4.°C measured on 4 January at 6:30 and with an absolute maximum of 35.7 °C measured on 31 August at 15:40; (c) the monthly mean relative humidity ranges from 64.4%
of June and 79.6% of November, with an annual mean of 69.3%, with an absolute minimum of 21.0% measured on 29 June at 16:50 and with an absolute maximum of 95.0%
measured on 22 December at 2:40; (d) The mean monthly global solar radiation ranges
between 156.7 W/m2 of November and 436.6. W/m2 of August, with an annual mean of
323.5 W/m2 and with an absolute maximum of 1304.0 W/m2 measured on 30 May at
12:30; (e) the mean monthly UV Index ranges from 3.0 of August to 8.2 of September,with an annual average of 4.3 and with an absolute maximum of 11.5 measured on 6 Juneat 14.20; (f) the monthly mean wind intensity ranges between 0.8 m/s of October and 2.3
m/s of February, with an annual mean of 1.4 m/s and with most intense gust of 25.0 m/s
measured on 23 February at 10:30; (g) the wind direction shows a mode from the North
Osservatorio Meteorologico. Dipartimento di Scienza della Terra, dell’Ambiente e delle
Risorse, Università degli Studi Federico II, Largo S. Marcellino 10, 80122 Napoli.
*Autore al quale va indirizzata la corrispondenza.
2
Liceo “Don Carlo La Mura”, Angri (SA).
3
In pensione dall’1.11.2018.
1

201

in February, November, December, from North-East in January, from South in June, fromSouth-West in March, April, May, July, August, September; (h) the monthly cumulative
rainfall ranges from 0.0 mm of August to 376.0 mm of November, with a cumulative
annual value of 1012.5 mm and with an absolute maximum of 54.0 mm measured on 19
December.
Riassunto - Dall’analisi di tutti i parametri meteo dell’anno 2019 emerge quanto segue:(a) la pressione atmosferica media mensile oscilla fra 1010.5 hPa di novembre e 1022.2
hPa di febbraio, con una media annua di 1015.7 hPa, con un minimo assoluto di 987.1
hPa registrato il 12 dicembre alle ore 18.50 e con un massimo assoluto di 1033.4 hPa
registrato il 14 febbraio alle ore 9.00; (b) la temperatura media mensile dell’aria oscilla
fra 8.7°C di gennaio e 28.2°C di agosto, con una media annua di 18.6°C, con un minimo
assoluto di 1.4°C registrato il 4 gennaio alle ore 6:30 e con un massimo assoluto di 35.7°C
registrato il 31 agosto alle ore 15:40; (c) l’umidità relativa media mensile oscilla fra
64.4% di giugno e 79.6% di novembre, con una media annua di 69.3%, con un minimo
assoluto del 21.0% registrato il 29 giugno alle ore 16:50 e con un massimo assoluto di
95.0% registrato il 22 dicembre alle ore 2:40; (d) la radiazione solare globale media mensile oscilla fra 156.7 W/m2 di novembre e 436.7 W/m2 di agosto, con una media annua di323.5 W/m2 e con un massimo assoluto di 1304.0 W/m2 registrato il 30 maggio alle ore
12.30; (e) l’indice UV medio mensile oscilla fra 3.0 di agosto e 8.2 di settembre, con una
media annua di 4.3 e con un massimo assoluto di 11.5 registrato il 6 giugno alle ore 14:20;(f) l’intensità media mensile del vento oscilla tra 0.8 m/s di ottobre e 2.3 m/s di febbraio,
con una media annua di 1.4 m/s e con la raffica più intensa di 25.5 m/s registrata il 29
ottobre alle ore 16:40; (g) la direzione del vento presenta un’orientazione da Nord in febbraio, novembre, dicembre, da Nord-Est in gennaio, da Sud in giugno , da Sud-Ovest in
marzo, aprile, maggio, luglio, agosto, settembre; (h) la pioggia cumulata mensile oscillatra il valore 0 mm di agosto e i 376.0 mm di novembre, con un valore annuale cumulato
di 1012.5 mm e con un massimo giornaliero assoluto di 54.0 mm registrato il 19 dicembre.
1 - INTRODUZIONE

I dati meteo sono attualmente rilevati da una centralina automatica sita sulla
torretta dell’edificio di San Marcellino (lat. 40°50’50” N; long. 14°15’29” E;quota 50 m slm), sede attuale del Dipartimento di Scienze della Terra, dell’Ambiente e delle Risorse a meno di 50 m dall’Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche della Società Nazionale di Scienze, Lettere ed Arti in Napoli.
La stazione gestisce i seguenti sensori: temperatura dell’aria (°C), pressione
atmosferica (hPa) (normalizzata a livello del mare), umidità relativa (%), velocitàdel vento (m/s), direzione del vento (Nord), precipitazione (mm), radiazione solare globale (W/m2), indice UV (scala da 0 a 16).
Per ogni mese i valori estremi giornalieri sono evidenziati in grassetto.
I dati sono acquisiti con cadenza di 10 minuti ed i valori, fatta eccezione perla pioggia che viene registrata come cumulata, sono quelli istantanei; i dati gior-202

nalieri di radiazione globale ed indice UV sono mediati sulla loro effettiva durata.
La direzione del vento è calcolata come moda sia a scala di 10 minuti per i
grafici orari che a scala giornaliera per i grafici mensili. È considerata variabile(--) quando la direzione non è stata registrata su uno stesso quadrante per più di
8 ore.
L’assenza del dato indica sensore fuori uso.
2- MATERIALI E METODI

Il bollettino meteorologico dell’anno 2019 è così organizzato: un breve rapporto meteorologico per ogni mese; una catalogazione delle medie orarie mensili (00 -23 h) e dei relativi grafici
per ogni mese; una catalogazione dei valori medi giornalieri e dei relativi grafici, per ogni
mese, con l’indicazione dei valori estremi registrati;
 un riepilogo mensile di tutti i parametri meteo relativo all’anno in corso;
 un riepilogo mensile delle frequenze di precipitazione, temperature minime emassime distinte per soglia.
È possibile accedere via web alla consultazione dei dati rilevati in tempo reale
all’indirizzo: http ://www.meteo.unina.it.
3 – RAPPORTI METEO MENSILIGENNAIO 2019

Gennaio 2019 si pone al 15 posto nella speciale classifica delle temperature
massime più basse registrate a Napoli centro dal 1872. Il motivo è da cercarsi
nell’anomalo riscaldamento della stratosfera (80°C a 40 chilometri di altezza) che
ha causato la scissione del vortice polare in due lobi gelidi, uno dei quali ha raggiunto l’Appennino centro-meridionale attraverso la porta della Bora. La neve èstata presente sul cono del Vesuvio per ben 20 giorni dal 3 al 13 e dal 23 al 31.
La media della temperatura minima è stata di 6.3°C (mezzo grado in meno dellamedia secolare) e la media della massima è stata di 11.3°C (un grado e mezzo inmeno) e con punte di freddo di 1.4°C e 2.0°C nei giorni 3 e 4. Venti di 50 chilometri orari, più volte, hanno messo a dura prova la navigazione nel golfo e accentuato la sensazione del freddo. La pioggia è caduta in 17 giorni (ininterrottamente
per 14 giorni dal 18 al 31) con una quantità di 113 mm, 20 mm in più di quellache cade normalmente a gennaio.
FEBBRAIO 2019

Un potente anticiclone delle Azzorre si è posizionato sul Mediterraneo ininterrottamente per i primi 22 giorni e gli ultimi due di febbraio ed ha determinato203

il blocco della circolazione atmosferica con assenza di vento e di nuvole, elevate
escursioni termiche fra il giorno e la notte e problemi di inquinamento da polveri
sottili nelle aree metropolitane. Solo nei giorni 23, 24 e 25, l’anticiclone si è allungato verso il Nord Europa e la presenza simultanea di un potente anticiclone
sui Balcani di 1040 hPa e di una profonda area ciclonica sullo Ionio di 1000 hPa
ha permesso l’ingresso in Italia di aria gelida siberiana. Questo episodio ha determinato in Campania una netta diminuzione della temperatura, neve sulle zone
interne, fiocchi di neve sulle colline di Napoli e venti forti da Nord Est che a
Napoli centro, il giorno 23, hanno raggiunto i 100 chilometri orari e a Castel
Sant’Elmo i 150. La notevole ventilazione ha causato intense mareggiate, valori
percepiti di temperatura al di sotto dello zero (per effetto del cosiddetto Wind
Chill) e la caduta di alberi secolari costringendo diverse amministrazioni comunali a chiudere scuole, parchi e cimiteri. Un vento di 100 chilometri orari, infatti,
è in grado di determinare, su ogni metro quadrato di oggetto investito, una spinta
di 40 chili che, se sufficientemente prolungata nel tempo, può determinarne lacaduta improvvisa. Le medie delle temperature minime e massime dell’intero
mese a Napoli centro sono state, perciò, rispettivamente, di 8.7°C e 14.6°C, due
gradi e un grado in più delle medie stagionali. Il giorno più freddo è stato il 23
febbraio, con una temperatura minima di 3.6°C e con neve sul Vesuvio nei giorni
11, 25 e 26. La quantità di pioggia di 15 mm rappresenta l’80% in meno di quellache cade normalmente a febbraio.
MARZO 2019

Marzo 2019 è stato caratterizzato da una notevole variabilità atmosferica legata al passaggio dall’inverno alla primavera quando masse d’aria calda meridionali si scontrano con masse d’aria fredda preesistenti. Questo comportamento non
deve sorprendere come ben recita la poesia Marzo di Salvatore Di Giacomo: “Monu cielo celeste, mo n’aria cupa e nera: mo d’ ’o vierno ’e tempeste, mo n’aria’e primmavera”. I giorni più freddi si sono concentrati intorno a metà mese (ilcono del Vesuvio è stato ricoperto di neve dal 12 al 14) e a fine mese quando forti
venti di libeccio e maestrale hanno messo a dura prova la navigazione nel golfo.
La media delle temperature massime è stata di 17.0°C, un grado più alta dellamedia del periodo mentre la media delle minime è stata di 11.3°C, due gradi emezzo in più. La pioggia, caduta è stata di 20 mm, un terzo di quella che cadenormalmente a marzo.
APRILE 2019

Il meteo di aprile 2019 può essere sostanzialmente diviso in due parti. Nella
prima metà del mese, ripetute aree di bassa pressione hanno agevolato l’ingresso
sul Mediterraneo di perturbazioni atlantiche con temperature 1-2°C al di sottodella media. Nella seconda metà, un’estesa area anticiclonica tropicale ha determinato temperature 2-3°C al di sopra della media. La media delle temperature204

minime è stata così di 13.1°C, due gradi in più della media stagionale mentre
quella delle temperature massime è stata di 19.0°C, in linea con la media. La
pioggia caduta nell’intero mese è stata di 23 mm, il 60% in meno di quanto piove
normalmente ad aprile. Il giorno più caldo è stato il 25, alle 16.50, con 29.8°C,
lontano dai record di temperatura massima giornaliera dell’8 aprile 1886 (32.3°C)
e del 18 aprile 1940 (32.5°C). Questo ad indicarci che siamo ancora in primavera
con i suoi continui e classici alti e bassi, capace di proporci, da un giorno all’altro,
periodi di freddo e di caldo. La temperatura del mare nel golfo nell’intero mese èschizzata da 14.6°C a 17.0°C.
MAGGIO 2019

L’analisi dell’archivio storico meteorologico dell’Università Federico II ha
assegnato a maggio 2019 la palma di mese di maggio più freddo in assoluto apartire dal 1872 anche se in perfetto pareggio con maggio 1991. È da sottolineare,
infatti, che il record di maggio 2019 è più significativo in quanto, nel corso degli
ultimi 28 anni, l’isola di calore urbana si è sempre più estesa ai confini del centro
storico verso la periferia rendendo sempre più alte le temperature minime notturne. La media delle massime è stata di 19.2°C, quattro gradi al di sotto dellamedia, mentre quella delle minime è stata di 14.3°C, mezzo grado in meno. La
pioggia caduta in 12 giorni è stata pari a 119 mm, il 160% in più di quella che
cade di norma a maggio. La temperatura del mare nel golfo è di 19°C, tre gradiin meno della media. Con l’arrivo della primavera si ritiene che sia passato l’inverno e arrivata finalmente l’estate che a Napoli è chiamata ’a stagiòn. Ma
quest’anno maggio non ha seguito questa regola in ossequio al detto antico: “Avecchia a ’e trenta maggio iettaie ’o laganaturo a ’o fuoco” vale a dire: a finemaggio, la vecchia non avendo più legna da ardere, fu costretta a bruciare il matterello, arnese indispensabile per lavorare la pasta. Masse d’aria gelida provenienti dalla frantumazione del Vortice Polare hanno costretto la circolazione atmosferica a non seguire i soliti movimenti da ovest ad est ma quelli lungo i meridiani, con scambi di masse d’aria fredda da nord a sud. Attraverso questo meccanismo la Natura ha così provveduto a recuperare il deficit di pioggia e le temperature sopra media di febbraio, marzo e aprile scorsi. L’atmosfera non segue
ritmi precisi come un’equazione ma ha sempre la capacità di recuperare i suoi
fisiologici squilibri.
GIUGNO 2019

Dal punto di vista termico, i primi sei giorni di giugno 2019 sono stati al disotto della media stagionale di circa 3°C per i ripetuti arrivi di flussi atlantici sul
Mediterraneo. A seguire, i giorni sono stati al di sopra della media di circa 5°C
per la presenza di un potente e bollente anticiclone di matrice nord-africana. Questo scenario barico molto disomogeneo ha determinato una media delle temperature massime di 29.9°C, due gradi e mezzo in più di quella stagionale, e una media

205

delle temperature minime di 22.7°C, quattro gradi in più. Il giorno più caldo è
stato il 27 giugno con 35.2°C. La pioggia è caduta solo nel primo giorno ed è stata
pari a 11 mm, un terzo di quella che cade normalmente a giugno. La temperaturadel mare nel golfo è schizzata nell’intero mese da 19°C a 25°C. È da sottolineare,però, che il caldo di questo giugno non è da record. L’analisi dell’archivio ultrasecolare dell’Osservatorio Meteorologico dell’Università di Napoli Federico II
mostra che il 1945 è stato il mese di giugno più caldo con 30.7°C e che il 27
giugno del 1947 è stato il giorno di giugno più caldo con ben 40.2°C.
LUGLIO 2019

Luglio 2019 ha sorpreso i climatologi per la sua intensa variabilità dovuta
all’alternanza di masse d’aria bollente ed umida africana e masse d’aria atlantica
più mite. Questo è il bilancio termico dettagliato: nei primi 6 giorni, la temperatura dell’aria è stata di 2°C al di sopra della media; fino al giorno 19, la temperatura è diminuita di 2°C; fino al 25, la temperatura è aumentata di 3°C e finalmente
la temperatura è diminuita di nuovo di 2°C. Tali differenti scenari barici hanno
determinato, a Napoli centro, una media delle temperature massime di 30.7 °C,
un grado in più della media stagionale, e una media delle temperature minime di
24.6°C, tre gradi più elevata. Il giorno più caldo è stato il 23 luglio con 35.3°C e
37.2° percepiti. Il catalogo meteorologico dell’Osservatorio di San Marcellino a
Napoli centro mostra, comunque, valori di temperatura massima del mese di luglio ben più elevati: il 21 e il 22 del 1939 con 38.8°C e 38.0°C, il 30 del 1901 e
il 18 del 2015 con 36.7°C e tanti altri. Le precipitazioni sono state pari a 18 mm,
in linea con la pioggia che cade normalmente a luglio, e concentrati nei rovesci
dei giorni 9 e 10 e soprattutto del 28 che ha fatto molto bene ai campi in onore aldetto “Si chiove a Sant’Anna, l’acqua addeventa manna”. La temperatura delmare nel golfo è schizzata nella prima decade da 24.5°C a 28.5°C per poi stabilizzarsi intorno a 27°C.
AGOSTO 2019

Bollenti ed umidi anticicloni subtropicali di origine africana in successione
hanno invaso il Mediterraneo al posto del più mite anticiclone delle Azzorre perl’intero mese di agosto. Tale scenario barico ha determinato per tutto il mese valori di temperatura dell’aria ed umidità al di sopra delle medie con notevole disagio notturno nella popolazione. La media delle temperature minime è stata di
25.4°C, quattro gradi in più della media, quella delle temperature massime di
32.0°C, un grado e mezzo in più. Il giorno più caldo è stato l’11 agosto con una
temperatura massima di 35.8°C. Ma questi valori non sono da record: il 6 agostodel 1885 con 39.2°C, il 19 agosto del 1946 con 39.0, il 9 agosto del 1956 con
39.1°C e tanti altri. Anche la media dell’intero mese non è da record: agosto del1947 con 32.7°C, del 1952 con 32.5°C, del 1943 con 32.4°C, del 1971 con
32.4°C, e tanti altri. La pioggia è stata assente in tutto il mese che normalmente206è uno dei mesi più asciutti dell’anno. È interessante ancora una volta osservare
che la media della temperatura massima di agosto del lontano 1956, ricordato perla rigidità del suo inverno alla pari di questo 2019, ha superato i 32°C con piùgiorni che hanno superato i 39°C, a conferma della validità del principio di “autosomiglianza” secondo il quale un’estate bollente segue quasi sempre un inverno
rigido. La temperatura del mare nel golfo in tutto il mese è aumentata progressivamente fino a metà agosto da 25.6°C a 28.4°C per poi stabilizzarsi sui 27°C.
SETTEMBRE 2019

Settembre 2019 è stato un mese dai due volti: nella prima metà del mese latemperatura dell’aria è stata di 2-3°C al di sopra della media stagionale, nella
seconda metà di 1-2°C al di sotto. A livello mensile, la media delle temperature
minime è stata così di 21.4°C, due gradi e mezzo in più della media stagionale,
mentre quella delle temperature massime è stata di 27.7°C, mezzo grado in più.
Scenari così diversi sono stati determinati dalla presenza sul Mediterraneodell’anticiclone africano nella prima metà del mese e poi di aree cicloniche chehanno attratto masse d’aria fredda direttamente dal Nord Europa. Il giorno più
caldo è stato il 13 settembre con 31.1°C mentre la temperatura del mare nel golfo,
vero termometro ambientale, ha raggiunto i 27 °C nella prima decade e i 25 °C a
fine mese che è una temperatura ancora buona per un bagno a mare. La pioggia èstata pari a 82 mm, 12 mm in più di quella che cade normalmente a settembre equasi tutta concentrata negli eventi del 23 e 26 che hanno messo a dura prova la
viabilità in città e la navigazione nel golfo.
OTTOBRE 2019

La temperatura dell’aria di ottobre a Napoli centro ha superato sistematicamente di circa 1-2°C la media stagionale con l’eccezione del giorno 7 e degli
ultimi quattro giorni. La media delle temperature minime dell’intero ottobre 2019è stata, perciò, di 17.4°C, due gradi in più della media stagionale, mentre quelladelle temperature massime è stata di 24.1°C, un grado e mezzo in più. Le precipitazioni sono state pari a 109 mm, in linea con quanto piove normalmente adottobre e questo grazie all’energia termica immagazzinata dalla troposfera adagosto e settembre. Notevoli sono stati i rovesci del 2 e del 3 che hanno messo adura prova il traffico in città e la navigazione nel golfo. Il giorno più caldo è statoil 23 ottobre con 27.2°C. La mitezza di questo mese, tipica delle cosiddette ottobrate napoletane, è stata determinata dalla presenza quasi costante sul Mediterraneo di un’area di alta pressione di origine tropicale. Solo negli ultimi giorni delmese, una profonda depressione sul mar Ligure ha risucchiato aria umida e più
fredda dal Polo con una diminuzione della temperatura ed una maggiore instabilità atmosferica. La temperatura del mare nel golfo è passata dal valore quasi
estivo di 25°C degli inizi del mese al valore finalmente autunnale di 22°C.

207

NOVEMBRE 2019

La pioggia è caduta a Napoli per tutto novembre con l’eccezione dei giorni
26 e 30. Questo mese rimarrà negli annali dell’Osservatorio Meteorologico Federiciano, operativo dal 1872, come record sia come numero di giorni consecutivi
di pioggia, pari a 26, sia come quantità di pioggia caduta, pari a 376 mm. È statosuperato il record di 21 giorni consecutivi di novembre 1901 e quello della quantità di pioggia di novembre 1893, pari a 325 mm. Notevoli i danni all’agricoltura
lungo il litorale domizio, ridotto a una palude come negli anni 30, per l’effetto
congiunto della pioggia e dell’esondazione dei Regi Lagni e del Lago Patria. La
ventilazione, per lo più proveniente da sud-est (il cosiddetto Scirocco), è stata
sempre sostenuta con punte di 90 km/ora nei giorni 11, 16 e 17 che hanno causato
la caduta di alberi, il blocco della navigazione nel golfo e la chiusura delle scuole.
A causa dello Scirocco, le temperature medie minime e massime sono state paria 14.0°C, due gradi e mezzo in più della media stagionale, e a 19.0°C, un gradoe mezzo in più. La temperatura del mare nel golfo è passata da 22°C degli inizi
di novembre a 19°C per fine mese. La causa della piovosità di questo novembre
è da ricercarsi nella presenza costante dell’anticiclone delle Azzorre a sud-ovestdel golfo di Biscaglia e dell’anticiclone Russo-Siberiano sull’Europa orientale.
Questa configurazione barica ha causato un blocco della circolazione normale daovest verso est e creato un corridoio preferenziale lungo il quale masse d’aria
atlantica, fresca ed instabile hanno raggiunto a ripetizione la nostra penisola con
tutte le drammaticità che ben abbiamo conosciuto. L’orografia del territorio e il
surplus di caldo dei mari hanno poi agito congiuntamente per conferire alle precipitazioni di novembre le peculiarità tipiche dei cosiddetti “flood alert”, mettendo a nudo la fragilità di alcune aree il più delle volte imputabile all’uomo.
DICEMBRE 2019

La temperatura dell’aria di dicembre 2019 è stata costantemente al di sopradella media con l’eccezione dei giorni dal 10 al 12 e dal 28 al 31. Le medie mensili sono state così di 10.7°C per la temperatura minima e di 16.1°C per la massima, due gradi in più delle rispettive medie secolari. Questo a causa di una ventilazione quasi sempre proveniente dai quadranti meridionali e con punte di 90km/ora nei giorni 13 (con vento di libeccio) e 30 (con vento di grecale) che hanno
determinato caduta di alberi, blocchi della navigazione e chiusure delle scuole.
La pioggia è stata pari a 127 mm, circa 10 mm in più di quella che cade normalmente a dicembre. La temperatura del mare nel golfo è passata da 20°C degli inizi
di dicembre a 16°C per fine mese. Solo negli ultimi giorni, l’espansione verso
Nord dell’anticiclone delle Azzorre ha favorito l’irruzione di aria fredda direttamente dai Balcani con una notevole diminuzione della temperatura. A chiusura
d’anno risulta utile riportarne il bilancio termo-pluviometrico. Le medie delletemperature massime e minime del 2019 sono state, rispettivamente, di 21.7°C e208

di 15.8, entrambe tre decimi di grado in meno di quelle del 2018. In particolare,
gennaio e maggio sono state sotto media di 2-3°C e i rimanenti mesi sopra media
di 1-2°C. La pioggia caduta è stata di 1013 mm, 150 mm in più di quella che cadenormalmente a Napoli centro, con surplus nei mesi di maggio, novembre e con
deficit a febbraio, marzo.

209

TABELLE E GRAFICI

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Riepilogo mensile delle precipitazioni

Mese

Pioggia
Totalemm.

GennaioFebbraio
Marzo
AprileMaggioGiugnoLuglioAgostoSettembre
OttobreNovembre
Dicembre
Totali

112.9
14.7
19.7
22.7
119.3
10.6
18.3
0.0
82.2
109.3
376.0
126.7
1012.5Mese

GennaioFebbraio
Marzo
AprileMaggioGiugnoLuglioAgostoSettembre
OttobreNovembre
Dicembre
TotaliN. giorni N. giorni N. giorni
N. giorni
N. giorni
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N. Totale
con
con
con
con pioggia con pioggia
giorni con pioggia pioggia da pioggia da
pioggiada 20.1, a da 40.1 a 60
fino ad 1 1.1 a 10 10.1 a 20
pioggiamaggiore
40 mm
mm
mm
mm
di 60 mm
mm
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6
10
13
1
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0
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10
109

1
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1
3
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0
2
0
1
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14

11
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6
0
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60

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7
3
21

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0
0
0
0
0
0
0
2
1
7
1
12

0
0
0
0
0
0
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0
0
1
0
1
2

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Riepilogo mensile delle Tmax

Riepilogo mensile delle Tmin

N. giorni N. giorni N. giorni N. giorni
con Tmax > con Tmax > con Tmax con Tmax
> 35°C> 30°C
20°C
10°C

N. giorni
N. giorni
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10°C
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30
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31
330

0
0
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9
10
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31
22
30
30
10
0
175

0
0
0
0
0
16
16
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4
0
0
0
57

0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
3

Mese

GennaioFebbraio
Marzo
AprileMaggioGiugnoLuglioAgostoSettembre
OttobreNovembre
Dicembre
Totali

250

31
28
31
23
16
0
0
0
0
0
22
30
181

31
22
4
0
0
0
0
0
0
0
0
12
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N. giorni
N. giorni
con
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0
0
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0
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Istruzioni e modello

ISTRUZIONI PER LA REALIZZAZIONE DEI DATTILOSCRITTIIl Rendiconto pubblica le comunicazioni fatte dai soci in una delle adunanzeordinarie dell’Accademia. I soci possono presentare anche lavori di altri autori.
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253

Rigo vuoto.
Presentatore: centrato, TNR 10. (“Presentata dal socio…”)
Data adunanza: centrato, in parentesi, TNR 10. La data dell’adunanza va posta
direttamente sotto gli autori, ovvero sotto il presentatore, senza lasciare spazi.
Due righi vuoti.
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Abstract: in inglese, TNR 10. Rigovuoto.
Riassunto: in italiano, TNR 10. Due righi vuoti.
1 - INTRODUZIONE, TNR 10, grassetto maiuscolo Rigovuoto.
Testo, TNR 11, giustificato, indentatura paragrafi 6 mm Rigovuoto.
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Altro testo, TNR 11, giustificato, indentatura paragrafi 6 mm Rigovuoto.
Bibliografia (numerata in sequenza), TNR 10, grassetto maiuscolo
Testo della bibliografia, TNR 10. Primo rigo intero, secondo ed altri: indentatura 6 mm
Rigo vuoto Ringraziamenti, TNR 10.

254

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\oddsidemargin = 2 cm255

\begin{document}\vspace*{20 mm}\pagestyle{empty}\begin{center}{\fontsize{13}{14}\selectfont \textbf{Titolo}\\}\bigskip\fontsize{12}{11}\selectfont
Nota di Autore \footnote{\fontsize{10}{10}\selectfont Dipartimento di ...,
Universit\`a di ..., Via..., cap, Citt\`a, Nazione. e-mail: ...@...}\\\vspace{11pt}{\fontsize{10}{10}\selectfont Presentata dal socio ... \linebreak (Adunanzadel ...)}\end{center}\vspace{11pt}\fontsize{10}{10}\selectfont \noindent \emph{Key words:} Qui bisogna
mettere le parole chiave\\\fontsize{10}{11}\selectfont \noindent\textbf{Abstract -- }qui bisogna mettere il riassunto in inglese\\\fontsize{10}{11}\selectfont \noindent\textbf{Riassunto -- }e qui il riassunto in italiano\vspace{11pt}\section{\fontsize{10}{12}\selectfont \bf 1 -INTRODUCTION}{\fontsize{11}{12} \selectfont256\section{\fontsize{10}{10}\selectfont \bf2-}{\fontsize{11}{12}\selectfont\section{\fontsize{10}{10}\selectfont \bf 3 - REFERENCES}\noindent Il primo rigo di ciascuna referenza non deve rientrare, gli altri s\`i.
{\fontsize{10}{11}\selectfont\noindent\noindent\end{document}

SEGUE MODELLO DI TESTO(riprodotto in word sul sito web dell’Accademia)

257Un breve ricordo di Guido Barone (1937-2016)
e dei suoi cinquant’anni di vita accademica
Nota del socio Lelio Mazzarella 1(Adunanza del 16 giugno 2017)

Keywords: Proprietà termodinamiche, macromolecole, Società Chimica, effetto idrofobico, ambiente, clima, effetto serra.
Abstract - Guido Barone graduated in Industrial Chemistry in 1961 and has carried out
research activity in the field of thermodynamics of synthetic and biological macromolecules, paying particular attention to the hydrophobic effect. He has promoted new andinteresting scientific initiatives and contributed to the dynamic of the university politics.
In the final part of his activity, he got deeply interested in the environmental risks and in
the human impact on the climate, with particular emphasis on the release of greenhousegases.
Riassunto - Laureato in Chimica Industriale nel 1961, Guido Barone ha svolto attività diricerca nel campo della termodinamica delle soluzioni di macromolecole sintetiche e biologiche, con particolare riferimento all’effetto idrofobico, promuovendo iniziative scientifiche di grande prestigio. Ha anche dato contributi fondamentali nella dinamica dellapolitica universitaria e del rapporto docenti-studenti. Nella parte finale della sua attività
di docente si è estesamente interessato ai rischi ambientali ed all’impatto antropico sul
clima, con particolare riferimento agli effetti della potenziale liberazione di grosse massedi gas serra.
1 - INTRODUZIONE

Mi è stato affidato il compito di delineare, alla distanza di un anno dalla sua
scomparsa, un breve ritratto di Guido Barone (Fig. 1), socio di questa Accademia,
Dipartimento di Scienze Chimiche, Università Federico II di Napoli, Complesso Universitario di Monte S. Angelo, via Cinthia, 80129 Napoli e Accademia di Scienze Fisichee Matematiche della Società Nazionale di Scienze, Lettere e Arti in Napoli, via Mezzocannone 8, 80134 Napoli
1259

alla cui vita ha contribuito con la pubblicazione di diversi lavori sui Rendiconti,
e con la partecipazione attiva alle riunioni mensili ed alle discussioni sui temipresentati dai vari relatori (vedi i primi 14 titoli della Bibliografia). Compito che
ho assunto con tristezza, unita a nostalgia, per la lunga comunanza che mi halegato a Guido sul piano umano e familiare e sul piano degli interessi culturali escientifici, anche se non abbiamo mai pubblicato insieme, a parte, negli ultimi
tempi, alcune ricostruzioni storiche riguardanti figure e avvenimenti che appartengono ai nostri anni giovanili.

Fig. 1 – Guido Barone nel suo studio.

Il ritratto non scorre però facile dalla mia penna, perché Guido è stato tutt’altro che una persona monocorde, ma, al contrario, è stato capace di adattarsi, interpretare, partecipare attivamente alle complesse evoluzioni del mondo scientifico e del mondo accademico, nei suoi aspetti organizzativi, politici e sociali.
Questa ricostruzione della sua figura non vuole essere puramente e vanamente
agiografica, ma far conoscere la persona, e, soprattutto, porre l’accento sull’importanza di un impegno a partecipare e contribuire con idee e lavoro allo sviluppo

260

della nostra società; impegno di cui Guido è stato un luminoso esempio. È perquesto che cercherò di ripercorrere alcuni degli avvenimenti occorsi nel trascorrere della sua vita accademica che ritengo importanti per lo sviluppo della sua
personalità.
2 - GLI ANNI DELLA FORMAZIONE

Guido Barone era nato ad Avellino il 14/04/1937 da una famiglia della media
borghesia, che si era trasferita a Napoli, dove il padre lavorava in banca e dove
Guido aveva conseguito la licenza liceale nel Liceo classico Gian Battista Vico.
Si era iscritto all’Università di Napoli in Chimica Industriale nel 1955. È lì che cisiamo incontrati per la prima volta, verso il terzo anno, nelle aule dei corsi afferenti alla laurea in Chimica Industriale, che a noi pareva all’epoca quella che fornisse migliori prospettive e sbocchi professionali.
Erano anni in cui seguire un corso di laurea, di per sé non facile, era un’impresa non proprio trascurabile. Da un lato si richiedeva una frequentazione assidua, dall’altra si era quasi respinti dalle strutture universitarie. I meno motivati
spesso ci rinunciavano. Il rapporto tra docenti e studenti era del tutto carente. Lo
sviluppo del corso di studio era ostacolato da regolamentazioni estremamente rigide: bastava una sciocchezza, una non accorta pianificazione degli studi, un impedimento imprevisto perché si perdesse un anno; e i professori non facevano
sconti. Fu quello che successe a Guido, che però ne approfittò per capire a fondo
l’ambiente in cui si trovava ed acquisire un’esperienza ed una sensibilità verso la
condizione studentesca che gli risulterà utile per comprendere le istanze che saranno poi sollevate dagli studenti nelle agitazioni, che avrebbero di lì a poco preso
il via. Ci trovammo a seguire insieme i corsi del triennio applicativo della Chimica Industriale allora svolti insieme agli ingegneri chimici. Essi a loro volta stavano vivendo un profondo rivolgimento, catalizzato dall’arrivo di Leopoldo Massimilla prima e, poco dopo, di Gianni Astarita, due giovani e brillanti ricercatori,
freschi dei loro studi all’estero. Fummo così coinvolti nella progettazione
dell’impiantistica chimica: i reattori catalitici, i processi a letto fluido in fase eterogenea, un po’ a disagio rispetto agli iscritti in ingegneria chimica, che venivano
da una preparazione più specifica. Ci riunivamo in gruppo per affrontare le difficoltà ed è lì che incominciò ad emergere la figura di Guido, favorita anche, fisicamente, da una aspetto imponente e da un vistoso paio di baffi che lo rendevano
subito riconoscibile da lontano, carico al solito di una quantità enorme di carte.
Incominciò subito a stendere la sua rete socializzante, prodigo di consigli perquelli più giovani ma anche di grosso aiuto per quelli molto più anziani. Allora
era facile che gli studenti impiegassero otto-dieci anni per laurearsi: si risentivano ancora gli sconquassi della guerra, i soldi erano pochi, molti venivano dasedi lontane - in quell’epoca il triennio applicativo della Chimica Industriale diNapoli era l’unico in tutto il CentroSud - e soggiornavano a Napoli in condizioni261

6 – CONCLUSIONI

Guido faceva parte di numerosi gruppi di discussione, non c’era riunione in cui
non intervenisse: di fronte a problemi nuovi in cui si cercava di valutare quale posizione prendere, il suo intervento, di solito lucido e ben ponderato, apriva spesso
una via.
Negli ultimi anni avevamo avviato assieme un’attività di tipo storico riguardante la chimica napoletana: abbiamo così pubblicato insieme a Pietro Greco(Greco et al., 2014) un libro su quella irripetibile stagione scientifica che aveva
caratterizzato Napoli agli inizi degli anni sessanta del secolo scorso, e di cui ho fatto
un fugace cenno all’inizio di questo mio intervento. Abbiamo anche insieme preparato due note, presentate ai convegni sulla storia dell’Ingegneria, riguardanti lanascita e sviluppo dell’Elettrochimica a Napoli nel corso della prima metà del secolo scorso (Barone e Mazzarella, 2016), e la figura di Francesco Giordani (Barone
e Mazzarella, 2016), un personaggio importante non solo nell’ambito delle vicende
scientifiche italiane ma anche, e forse soprattutto, per il suo contributo alla rinascita
economica italiana del dopoguerra. Altre iniziative erano in programma, inesorabilmente chiuse dalla sua improvvisa dipartita.
Guido è intervenuto più volte anche sul Blog di Climalteranti e quello dellaChimica, un sito quest’ultimo organizzato e condotto sul web da Claudio della
Volpe, un suo antico studente da tempo all’Università di Trento. Il sito è sede didibattito politico, culturale, scientifico di grande interesse. Tempo fa tra i partecipanti nacque il vezzo di identificarsi con l’elemento chimico avente il medesimo
numero atomico dell’età di chi aveva scelto di parlarne, per richiamarne succintamente storia e proprietà. Così nel 2015 Guido divenne … Platino:
Quest’anno sono.... Platino.
Visto che nessun Collega si è fatto ancora sentire, ho pensato che toccasse ame celebrare il Platino il cui numero atomico corrisponde per quest’anno alla
mia età. In verità non sono riuscito a trovare una qualche mia caratteristica che
possa associarsi a questo nobile metallo. La mia è solo una aspirazione al color
grigio, per di più opaco; sono fragile poco malleabile e facilmente attaccabile daogni agente chimico La mia densità media è di poco inferiore all’unità, infattigalleggio in acqua.
Ma tant’è bisogna pur parlare di questo importante elemento: il nome deriva
dallo spagnolo platìna...
7 – BIBLIOGRAFIA
Barone G (2010) I fattori che regolano il clima seguono differenti scale temporali. Acc. Sc.
Fis., Mat. di Napoli. Conversazione del 5 /3.
Barone G., (2011) A new hole in the stratospheric ozone on Arctic Ocean, Rend. Acc. Sc.
Fis., Mat. di Napoli, LXXVII, 293-298.
Barone G. (2012) Estrazione di gas mediante fratturazione idraulica delle rocce scistose:262

prospettive di sviluppo e pericoli ambientali. Rend. Acc. Sc. Fis., Mat. di Napoli,
LXXIX, 5-10.
Barone G. (2012) Inquinamento atmosferico: il Progetto Regionale sulla Qualità dell’Aria
in Campania; il contributo della Modellistica numerica. Rend. Acc. Sc. Fis., Mat. di
Napoli, LXXIX, 11-18.
Barone G. (2012) Recente accumulo di metano in atmosfera: origini, influenza sul clima.
Acc. Sc. Fis., Mat. di Napoli. Conversazione del 9/12.
Barone G. (2013) Formazione e preservazione di molecole organiche nelle condizioni
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