令和 5 年度東北大学大学院理学研究科博士課程前期２年の課程入学試験

物 理 学 専 攻

筆

記

試

験

問

題

基礎数学

解答には結果だけでなく，考え方や計算の経過を記すこと．
（別に指示がある場合を除く．）《令和４年８月２３日（火）》数-1/2

問題 1 (基礎数学)[1], [2] と [3], [4] はそれぞれの解答用紙に解答せよ．
[1] 以下の行列 A を考える．
!
A=

2
3
−1 −2

1) A の固有値 λ1 ，λ2 および対応する固有ベクトル u1 ，u2 を求めよ．ただし，λ1 < λ2とする．
!
2) x =x1x2とする．微分方程式

d2 x= Ax について，初期条件 x1 (0) = 1，
dt2

dx1
dx2
(0) = 0，(0) = 0 をみたす解 x1 (t)，x2 (t) を，問 1) の結果を用dt
dt
いて求めよ．
x2 (0) = 3，

[2] f (x) = |x| (−π ≤ x < π) で定まる周期 2π の周期関数 f (x) を∞
a0 X{an cos(nx) + bn sin(nx)}+f (x) =2n=1のように表すことを考える．ただし，a0 および an ，bn (n = 1, 2, 3, ...) は定数とする．

1) 区間 −π ≤ x < π における f (x) を含む積分として，a0 および an ，bn (n = 1, 2, 3, ...)
を表せ．(答のみでよい．)
2) a0 および an ，bn (n = 1, 2, 3, ...) を求めよ．
Z π
∞
X
1
3)
f (x)2 dx を考えることにより，
を求めよ．
4
(2n
−
1)
−π
n=1

数-2/2[3] 2 変数関数 u(x, t) に関する偏微分方程式
∂u
∂ 2u
=
∂t
∂x2

(0 ≤ x ≤ L,

0 ≤ t． ただし，L は正の実数．)について，以下の問いに答えよ．

1) u(x, t) = X(x)T (t) と変数分離することにより，次の境界条件を満たす解を求めよ．
∂u∂u(0, t) =(L, t) = 0∂x∂x2) 問 1) の境界条件に加えて，次の初期条件を満たす解を求めよ．
u(x, 0) = sin2

I

πx
L

1

[4] 複素関数の積分C

z6 + 1dz を用いて，以下の積分 I の値を求めよ．ただし，Cは複素平面上で図に示すような扇形の積分経路である．結果は，虚数単位 i を含まない
形で表せ．
Z ∞
1
Im[z]
I=
dx
6
x +1
0

C
π

O

R

Re[z]

令和 5 年度東北大学大学院理学研究科博士課程前期２年の課程入学試験

物 理 学 専 攻

筆

記

試

験

問

題

力学

解答には結果だけでなく，考え方や計算の経過を記すこと．
（別に指示がある場合を除く．）《令和４年８月２３日（火）》力-1/2問題 2 (力学)[1] と [2] はそれぞれの解答用紙に解答せよ．
()[1] 図のように，x = a (θ + sin θ), y = a (1 − cos θ) −π ≤ θ ≤ π, a は正の定数 で表される曲線 C に沿って，なめらかに運動する質量 m の質点を考える．時刻 t における質点の位置は θ = θ (t) で表されるものとし，質点に対して y 軸の負の向きに重力がはたらくとして，以下の問いに答えよ．ただし，重力加速度の大きさを g とする．

y
曲線 C

P

2a

Q

a

g

m
(
)
a − π2 − 1

O

x
aπ

1) 質点の運動エネルギー K が，K = ma2 θ̇2 (1 + cos θ) と書けることを示せ．
θとするとき，|s| が原点 O から質点までの曲線 C に沿った長さとなる2
ことを示せ．

2) s = 4a sin3) 質点のラグランジアン L を，問 2) で定義した s，および ṡ, m, g, a を用いて表せ．
4) 問 2) で定義した s に関する運動方程式を求め，その一般解 s (t) を与えよ．
5) 時刻 t = 0 に，質量 m の質点 1, 2 をそれぞれ図に示す曲線 C 上の点 P, Q から，
同時にしずかにはなしたところ，質点 1, 2 は曲線 C 上のある点で衝突した．衝突
した点の座標を求めよ．

力-2/2[2] 図のように，半径 R の中空円筒 A が，中心軸を水平にして固定しておかれている．
密度が一様な剛体小球 B（質量 m，半径 r）が円筒 A の内面に接して，すべることなく運動する場合について考える．ただし小球 B は，円筒 A の中心軸に垂直な平面内で運動するものとする．円筒 A の最下点 P で円筒 A に接する小球 B 上の点は，小球 B が点 Q
で円筒 A に接しているとき，点 P′ に移動している．このとき，円筒 A の最下点 P を基準として，小球 B の中心 O′ の振れ角 ∠POO′ を ϕ，回転角 ∠QO′ P′ を θ とすると，静止系から見た小球 B の回転角は χ = θ − ϕ と表される．小球 B が円筒 A から受ける摩擦力の大きさを f ，重力加速度の大きさを g として，以下の問いに答えよ．ただし，小球
2
B の重心を通る回転軸のまわりの慣性モーメントは， mr2 で与えられる．
5

円筒 A

O
<latexit sha1_base64="Gy4SdVu6sgzb38NzNRLe2xn8cY8=">AAACZ3ichVFNSwJBGH7cvu1DK4igiyVGJxkjKjoFdehomhqkyO425uB+sbsKJf2BDl0NOhVERD+jS3+ggz9BOhp06dC760KUVO8wM8888z7vPDOjWJpwXMbaIWlgcGh4ZHQsPD4xORWJTs/kHbNuqzynmpppHyqywzVh8JwrXI0fWjaXdUXjBaW24+0XGtx2hGkcuKcWL+nyiSEqQpVdjypaVVGOxlmS+RHrB6kAxBFE2ozeo4hjmFBRhw4OAy5hDTIcakdIgcEiroQmcTYh4e9znCNM2jplccqQia3ReEKro4A1aO3VdHy1Sqdo1G1SxpBgL+yBddkze2Qd9vFrraZfw/NySrPS03KrHLmYz77/q9JpdlH9Uv3p2UUFm75XQd4tn/Fuofb0jbNWN7uVSTSX2S17Jf83rM2e6AZG40292+eZa4TpA1I/n7sf5FeTqfXk2v5afHs3+IpRLGAJK/TeG9jGHtLI0blVXKKFq1BHikhz0nwvVQoFmll8C2nxE7aDi0Y=</latexit>

R<latexit sha1_base64="oZt18LJCtb6aWCA6jgKGpjZ4ZJQ=">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</latexit>

小球 B
m
O0
r
<latexit sha1_base64="3E3TcpViwBO39Vz9t5qxRltoXx4=">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</latexit>

P0<latexit sha1_base64="iDZ1h4+LhobpqVsVPwnAhtu/Zw0=">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</latexit><latexit sha1_base64="Mw964bG4RMGcXMp+xE5CqyYKu/Q=">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</latexit><latexit sha1_base64="n3h7gInmRETqgFpYcOhRxY1ke5g=">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</latexit>✓<latexit sha1_base64="YACS6HM71z+45E8eEbdUFPp5Muc=">AAACaXichVG7SgNBFD1Z3/GRRBvRJhgiVmEiQcVK0MIyD/OAJITddaJrNrvL7iQQgz9gZSdqpSAifoaNP2DhJ0jKCDYW3mwWRIN6h5k5c+aeO2dmFEvXHMHYi08aGh4ZHRuf8E9OTc8EgqHZnGM2bJVnVVM37YIiO1zXDJ4VmtB5wbK5XFd0nldq2739fJPbjmYae6Jl8XJdPjC0qqbKgqhcSRxyIVeCERZjboQHQdwDEXiRNIN3KGEfJlQ0UAeHAUFYhwyHWhFxMFjEldEmziakufscJ/CTtkFZnDJkYms0HtCq6LEGrXs1HVet0ik6dZuUYUTZM7tnXfbEHtgr+/i1Vtut0fPSolnpa7lVCZzOZ97/VdVpFjj8Uv3pWaCKDderRt4tl+ndQu3rm8fn3cxmOtpeZjesQ/6v2Qt7pBsYzTf1NsXTV/DTB8R/PvcgyK3G4muxRCoR2drxvmIci1jCCr33OrawiySydO4RznCBS19HCknz0kI/VfJ5mjl8CynyCa8ljC8=</latexit><latexit sha1_base64="RuRUgtEtGCLKL2aUvW4Z1mgDWXI=">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</latexit>gQ<latexit sha1_base64="n5vnYlV4j3186mo8e3ohS747xNQ=">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</latexit>

P<latexit sha1_base64="S/o0IArx+/ZsUrfqQzumd4QgUws=">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</latexit>

1) 小球 B の重心運動に関する運動方程式（ϕ に関する微分方程式）を書け．解答は結果のみ示せばよい．
2) 小球 B の回転運動に関する運動方程式（χ に関する微分方程式）を書け．解答は結果のみ示せばよい．
小球 B を ϕ = ϕ0（0 < ϕ0 < π/2）となる位置におき，しずかにはなすと，−ϕ0 ≤ ϕ ≤ ϕ0において，円筒 A の内面をすべることなく往復運動した．

3) はじめに，ϕ0 が微小である場合を考える．小球 B の往復運動の周期を R, r, m, gのうち，必要なものを用いて表せ．
4) 次に，ϕ0 が微小でない場合を考える．
a) ϕ = 0 における小球 B の重心の速さ v1 を求めよ．
b) 小球 B がすべることなく運動を始めるためには，ϕ0 がある値 α 以下でなければならない．小球 B と円筒 A の間の静止摩擦係数を µ としたとき，tan α を求めよ．

令和 5 年度東北大学大学院理学研究科博士課程前期２年の課程入学試験

物 理 学 専 攻

筆

記

試

験

問

題

電磁気学

解答には結果だけでなく，考え方や計算の経過を記すこと．
（別に指示がある場合を除く．）《令和４年８月２３日（火）》電-1/4

問題 3 (電磁気学)[1] と [2] はそれぞれの解答用紙に解答せよ．
[1] 図 1 のように，電荷 Q(> 0) が半径 R の球内に一様に分布している帯電球を考える．
帯電球の中心は原点 O に固定されている．原点 O からの位置ベクトルを r = (x, y, z)，
原点 O からの距離を r = |r|，真空の誘電率を ε0 とするとき，以下の問いに答えよ．

1) 帯電球の内側 (r ≤ R) と外側 (r > R) の位置 r における電場 E(r) をそれぞれ求めよ．
2) 帯電球の内側 (r ≤ R) と外側 (r > R) の静電ポテンシャル ϕ(r) をそれぞれ求めよ．
ただし，無限遠で ϕ → 0 とする．
上記の帯電球の中心に点電荷 −Q を配置し，外部から一様な電場 E0 = (−E0 , 0, 0) を印
加したところ，図 2 のように，点電荷 −Q は位置 d = (d, 0, 0) でつりあった．ここで，
E0 > 0， 0 < d < R とする．外部電場および点電荷 −Q により帯電球の電荷分布は変化しないものとして，以下の問いに答えよ．

3) 原点 O から点電荷 −Q までの距離 d を，E0 , Q, ε0 , R を用いて表せ．
4) 帯電球の外側の位置 r = (x, y, z)(ただし r ≫ d) での，帯電球と点電荷 −Q がつく
る静電ポテンシャル ϕ(r) を d の 1 次の項まで求めよ．ただし，無限遠で ϕ → 0 とする．

図1(次ページに続く)

図2

電-2/4
次に，図 3 のように外部電場をゼロにして，帯電球のまわりに原点 O を中心とする厚さの無視できる導体球殻を設置した．導体球殻の全電荷はゼロであり，導体球殻により帯電球の電荷分布は変化しないものとする．

図35) 点電荷 −Q を点 (d′ , 0, 0) に固定したとき，導体球殻の外側の位置 r = (r, 0, 0) における電場 E(r) を求め，その理由を説明せよ．ここで，0 < d′ < R，r > R とする．

電-3/4[2] 真空中の透磁率を µ0 として，電流がつくる磁場に関する，以下の問いに答えよ．

図1

図21) 図 1 のように，z 軸を中心軸とする xy 平面にある半径 a の円形回路 C1 に，一定の電流 I （向きは z 軸の正の方向から見て反時計回り）が流れている．回路 C1 に流れる電流 I が z 軸上につくる磁束密度 B(0, 0, z) を求めよ．

2) 図 2 のように，一様な磁束密度 B 0 = (0, 0, B0 ) の中で，回路 C1 を x 軸のまわりに角度 α だけ回転させた．このとき，回路 C1 を含む平面の単位法線ベクトルはn = (0, sin α, cos α) である．回路 C1 には，一定の電流 I （向きは n に沿って進む
右ねじの回転する向き）が流れている．

a) 回路 C1 が，磁束密度 B 0 から受ける力 F を求めよ．
b) 回路 C1 に沿った積分を行うことにより，回路 C1 が磁束密度 B 0 から受ける
原点 O のまわりのトルク N を求めよ．

（次ページに続く）

電-4/4電流 I が流れている回路 C1 は，磁気双極子モーメント m = πa2 In をもつ磁気双極子とみなすことができる．ここで，n は図 3 のような回路 C1 を含む平面の単位法線ベク
トルである．原点 O に置かれた磁気双極子モーメント m をもつ磁気双極子が，位置 rにつくる磁束密度 B d (r) が次式で与えられることを用いて，以下の問いに答えよ．
[]µ0 3(m · r)r
B d (r) =
−m
4πr3
r2

3) 図 3 のように，半径 a の回路 C1 と半径 b の回路 C2 が設置されている．回路 C1 は，中心が原点 O に位置し，単位法線ベクトルが n = (0, sin α, cos α) となるようにおかれている．回路 C1 には，一定の電流 I （向きは n に沿って進む右ねじの回転する向き）が流れている．回路 C2 は，中心が (0, 0, d) に位置し，xy 平面に平行である．回路 C2 には電流は流れていない．ここで，a ≪ b, d とする．

図3a) 回路 C2 を境界とする面を貫く磁束 Φ2 を求めよ．
b) 回路 C1 を，角度 α を保ったまま，z 軸の正の向きに一定速度 v0 で移動させた場合を考える．時刻 t における，回路 C2 に流れる電流 I2 (t) を求めよ．ただし，回路 C1 の中心が原点 O を通過する時刻を t = 0 とし，電流 I2 (t) の向きは z 軸の正の方向から見て反時計回りを正とする．また，回路 C2 の電気抵
抗を R とし，自己インダクタンスは無視できるものとする．

令和 5 年度東北大学大学院理学研究科博士課程前期２年の課程入学試験

物 理 学 専 攻

筆

記

試

験

問

題

量子力学

解答には結果だけでなく，考え方や計算の経過を記すこと．
（別に指示がある場合を除く．）《令和４年８月２３日（火）》量-1/3

問題 4 (量子力学)[1] と [2] はそれぞれの解答用紙に解答せよ．
以下では Planck 定数を 2π で割ったものを ℏ とする．

[1] 1 次元ポテンシャル中を運動する質量 m の粒子を考える．この粒子のハミルトニ
アンは次のように記述される．

H=

p2
1
+ mω 2 x2
2m 2∂であり，ω を正の定数とする．
∂x
互いにエルミート共役な演算子 a, a† を以下のように定義する．
√
√
(
)
(
)
mω
mω
ip
ip
†
a=
x+
,
a =
x−
2ℏ
mω
2ℏ
mω

ここで x は位置演算子，p は運動量演算子でp = −iℏ

また，必要であれば以下の公式を用いてよい．
√
∫ ∞
π
2
exp(−Aξ )dξ =(A は正の定数)A−∞
この系の基底状態と第一励起状態の規格化された波動関数をそれぞれ φ0 (x), φ1 (x) とする．このとき以下の問いに答えよ．

1) a, a† の交換子 [a, a† ] = aa† − a† a を求めよ．
2) ハミルトニアン H を演算子 a, a† を用いて表せ．
3) φ0 (x) は aφ0 (x) = 0 を満たす．φ0 (x) のエネルギー固有値 E0 を求めよ．
4) 規格化されていることに注意して，φ0 (x) を求めよ．ただし位相は φ0 (0) > 0 となるように選べ．
5) φ1 (x) は C を正の定数として φ1 (x) = Ca† φ0 (x) とかける．このとき C を求め，第一励起状態における粒子の確率密度の概形をグラフに図示せよ．
（ただし軸上に数値を書く必要はない．
）
6) 時間 t に依存する波動関数 ψ(x, t) を考える．ψ(x, t) が t = 0 において ψ(x, 0) =√1 [φ0 (x) + φ1 (x)] を満たすとき，ψ(x, t) を φ0 (x), φ1 (x) を用いて表せ．
27) 問 6) の波動関数 ψ(x, t) で表される状態について，期待値 ⟨x⟩ を求めよ．

量-2/3[2] 中心力ポテンシャル中の粒子に関する以下の問いに答えよ．
1) 中心力ポテンシャル V (r) の中の粒子（質量 µ）を考える．粒子の位置を r = (x, y, z)√で表し，r = x2 + y 2 + z 2 とする．ハミルトニアンは運動量ベクトル p = (px , py , pz )を用いて次の式で与えられる．
H=

p2+ V (r)2µ∂と表される．py , pz についても∂x同様である．中心力ポテンシャルは a を正の定数として次の形とする．
{
0 (r ≤ a)
V (r) =(1)
∞ (r > a)px は座標 x に共役な運動量演算子で，px = −iℏ

極座標を (x, y, z) = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) とする．極座標表示でのラプラシアンは次のように与えられる．
(
)
∂2
1 ∂2
1
∂
∂
1
∆=
r
+
sin
θ
+
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
以下では球面調和関数 Yℓm (θ, φ)（ℓ は 0 以上の整数，m は −ℓ ≤ m ≤ ℓ を満たす整数）が次の式を満たすことを用いてよい．

L2 Yℓm (θ, φ) = ℏ2 ℓ(ℓ + 1)Yℓm (θ, φ)
Lz Yℓm (θ, φ) = ℏmYℓm (θ, φ)
ここで L = (Lx , Ly , Lz ) = r × p は角運動量演算子であり，次の式が成り立つ．
[
(
)
]
1 ∂
∂
1 ∂2
2
2
L = −ℏ
sin θ+
sin θ ∂θ∂θ
sin2 θ ∂φ2∂
Lz = −iℏ∂φ
このとき以下の問いに答えよ．

χℓ (r)Yℓm (θ, φ) と表す．エネr
ルギー固有値を E として，χℓ (r) が満たす微分方程式を導け．

a) エネルギー固有状態の波動関数を Φ(r, θ, φ) =b) (ℓ, m) = (0, 0) の状態について，問 1)a) で求めた微分方程式を解き，最低エネルギー状態のエネルギー固有値を求めよ．その際，原点での境界条件に留意せよ．
（次ページに続く）

量-3/3

2) 次に，式 (1) で与えられる中心力ポテンシャル中の荷電粒子に対して，z 軸方向に一様な静磁場 B = (0, 0, B) を加えた場合を考える．荷電粒子の電荷を e として，
この系のハミルトニアンは次の式で与えられる．
H=(p − eA)2+ V (r)2µここでベクトルポテンシャルは A = (−yB/2, xB/2, 0) とする．加えた磁場は十分弱いとして，B の１次の範囲で以下の問いに答えよ．

a) 磁場を加える前の (ℓ, m) = (1, 1), (1, 0), (1, −1) のそれぞれの状態に対して，磁場を加えたことによるエネルギーの変化 ∆Em を求めよ．
b) 磁場を加えたことにより問 2)a) のようなエネルギーの変化が生じる理由を，H と L の交換関係に基づいて説明せよ．

令和 5 年度東北大学大学院理学研究科博士課程前期２年の課程入学試験

物 理 学 専 攻

筆

記

試

験

問

題

熱・統計力学

解答には結果だけでなく，考え方や計算の経過を記すこと．
（別に指示がある場合を除く．）《令和４年８月２３日（火）》熱-1/3問題 5 (熱・統計力学)[1] と [2] はそれぞれの解答用紙に解答せよ．
[1] 図に示すように，固定された多孔質壁で仕切られたシリンダーに気体が入っている．多孔質壁には小さな穴が多数開いていて気体が通り抜けられる．左右のピストンにそれぞれ一定の力を加えて，気体を多孔質壁の始状態
P1 , T1 , V1 ,U1 , H1

多孔質壁

左側から右側に押し出す Joule-Thomson 過程を考える．左右におけるシリンダー内部の気体の圧力は，それぞれ P1 ，P2 (ただし，

P1

P1 > P2 ) で一定に保たれているものとする．

P2

ここで，ピストンはなめらかに動き，ピスト
ンやシリンダーは熱を通さないとする．始状態，終状態における気体の圧力，温度，体

終状態

積，内部エネルギー，エンタルピーを，それぞれ P1 ，T1 ，V1 ，U1 ，H1 および P2 ，T2 ，V2 ，

P2 , T2 , V2 ,U2 , H2U2 ，H2 として，以下の問いに答えよ．
1) 始状態と終状態の内部エネルギーの差 ∆U = U2 − U1 を，P1 ，V1 ，P2 ，V2 を用いて表せ．

2) 問 1) の結果を用いて，Joule-Thomson 過程が等エンタルピー過程 (H1 = H2 ) であることを示せ．ここで，気体の圧力，体積，内部エネルギーをそれぞれ P ，V ，Uとするとき，エンタルピーは H = U + P V と定義される．

3)a) 気体のエントロピーを S ，温度を T とするとき，Gibbs の自由エネルギー
G(T, P ) の全微分が dG = −SdT + V dP と与えられることを用いて，Maxwell
の関係式
(

を示せ．

∂S
∂P

)

(
=−
T

(

∂V
∂T

)
P

)
∂S
b) 定圧熱容量 CP = Tと問 3)a) の関係式を用いて，次式を示せ．
∂T P
(
)
{ (
)
}
∂T
1
∂V
=
T
−V
∂P H
CP
∂T P

熱-2/3()4) 状態方程式 P + a/V 2 (V − b) = RT に従う 1 mol の van der Waals 気体について，Joule-Thomson 過程を考える．ここで，R は気体定数，a および b は正の定数である．以下では，この状態方程式が，

V =

RT
a
abP
+b−
+
P
RT
(RT )2と近似される場合を考える．

(
a) Joule-Thomson 係数 µJT を µJT =

∂T
∂P

)
によって定義する．µJT を求めよ．
H

5
R とせよ．
2b) ∆P = P2 − P1 が十分に小さいとする．Joule-Thomson 過程の前後で温度変化
ただし，定圧熱容量を CP =が生じないときの温度を T0 としたとき，圧力 P1 を T0 , a, b, R を用いて表せ．

c) 問 4)b) の結果を用いて，Joule-Thomson 過程で気体が冷却される領域を，温度 T1 を横軸，圧力 P1 を縦軸とするグラフに図示せよ．

熱-3/3[2] 質量 m の粒子からなる古典理想気体を考える．粒子の運動量とエネルギーをそれ
ぞれ p = (px , py , pz ) と ε(p) と表すとき，体積 V ，温度 T における一粒子の分配関数は，

V
z= 3
h

∫ ∞
−∞

∫ ∞
dpx

−∞

∫ ∞
dpy

−∞

−

ε(p)

dpz e kB T

p2
で与えられる．一粒子エネルギーが ε(p) =と与えられる場合に，以下の問いに答え
2mよ．ただし，Boltzmann 定数を kB ，Planck 定数を h とする．
√
∫ ∞
π
−αx2
dx =
1) 一粒子の分配関数 z を計算せよ．ここで，公式e(α は正の定α−∞数) を用いてよい．
2) 温度 T の熱浴および化学ポテンシャル µ の粒子浴と接して平衡状態にある体積 Vの古典理想気体を，大正準集合を用いて考える．このとき，大分配関数 Ξ は，一粒子の分配関数 z を用いて，

Ξ=

∞
∑
1
n=0

n!

µn

z n e kB Tと表される．グランドポテンシャル Ω = U − T S − µN は，Ω(T, V, µ) = −kB T ln Ξ
で与えられる．ここで，U ，S ，N は系の内部エネルギー，エントロピー，平均粒子数である．

a) グランドポテンシャル Ω(T, V, µ) を求めよ．
b) 圧力 P を求めよ．
次に，古典理想気体が底面積 A で高さ無限大の円筒 (中心軸は鉛直方向) に封入されているとして，粒子にはたらく一様な重力の影響を考える．この円筒は温度 T の熱浴に接していて気体は平衡状態にある．位置エネルギーの原点を円筒の下端に取ると，高さy にある粒子にはたらく重力による位置エネルギーは，重力加速度の大きさを g として
u(y) = mgy である．円筒中の区間 [y, y + ∆y] (∆y は微小量) に含まれる薄い円柱状の領域 Λ を考える．領域 Λ に含まれる気体の圧力および粒子数密度は高さ y に依存するが，化学ポテンシャル µ は高さに依存せず円筒内で一定である．以下の問いに答えよ．

3) 領域 Λ に含まれる気体の一粒子の分配関数 z(y) を求めよ．
4) 領域 Λ に含まれる気体の圧力 P (y) を求めよ．
5) 領域 Λ に含まれる気体の粒子数密度を ρ(y) としたとき，ρ(y)/ρ(0) を求めよ．
6) 円筒に含まれる気体の一粒子あたりの位置エネルギーの平均値 ū を求めよ．