駒場現代物理学(2020)第6回講義ノート
1複素線形代数と量子力学

1.1

基本法則

ぉ 系の状態は状態空間 H のノンゼロのベクトル |ψi であらわされる。 状態空間はエルミート内積付き複素線形空間である。
ぉぉ 系に対する観測以外の操作〨時間発展、回転等〩は〨反〩ユニタリ演算子 U であらわされる。
ぉぉぉ 系の観測量は H のエルミート演算子 A であらわされる。
ぉざ 観測量 A の固有ベクトルを |ii〬 A |ii 〽 ai |ii とすると、状態 |ψi において A を観測した際の結果は ai のうちどれかであり、ai が得られる確率は |ci |2 に比例する、ただP
し ci は |ψi 〽 i ci |ii と展開したときの係数。
ざ 全系が部分系 ぁ と部分系 あ からなり、部分系がそれぞれ状態空間 HA 〬 HB を持つとき、全系の状態空間はテンソル積 HA ⊗ HB である。
ニュートンの運動の三法則のように法則の名前、順番等が決まっていればよいのだが、決まっていないようである。ここでは僕の趣味で ぉ から ざ にした1。

1.2

法則 I について: 複素線形代数の基本

状態空間 H は複素線形空間である。すなわち|ψi , |φi ∈ H〨〱〮〲〮〱〩|ψi 〫 |φi ∈ H〨〱〮〲〮〲〩|ψi H〨〱〮〲〮〳〩

a |ψi 3 H〨〱〮〲〮〴〩

に対しがさだまり、と複素数 a ∈ H に対してが定まっている2。
さらに状態空間にはエルミート内積が定まっている〺|ψi , |φi ∈ H〨〱〮〲〮〵〩〨|ψi , |φi〩 ∈ C〨〱〮〲〮〶〩

に対し
こ の 枠 組 み が 論 理 的 必 然 か ど う か に つ い て は い ろ い ろ 研 究 が あ る。 Kapustin さ ん の 講 演
http://www.theory.caltech.edu/∼kapustin/QM colloq.pdf 等参照。
2
量子力学では慣習的に状態ベクトルを |ψi などと書く。これを ket とよぶ。
1〱

が定まっていて、二つ目の引数に対して複素線形〨|ψi , a |φi〩 〽 a〨|ψi , |φi〩,〨|ψi , |φi 〫 |φ0 i〩 〽 〨|ψi , |φi〩 〫 〨|ψi , |φ0 i〩〨〱〮〲〮〷〩|ψi , |φi 〽 〨|φi , |ψi〩.

〨〱〮〲〮〸〩さらにすると 〨a |ψi , |φi〩 〽 a〖〨|ψi , |φi〩 も従う。
すると 〨|ψi , |ψi〩 は実であるが、さらに〨|ψi , |ψi〩 ≥ 〰

〨〱〮〲〮〹〩

がいつもなりたち、これを |ψi の長さの二乗と呼ぶことにする。さらに〨|ψi , |ψi〩 〽 〰 ⇔ |ψi 〽 〰

〨〱〮〲〮〱〰〩

が成り立つとする。 3
この講義では有限次元の H しか扱わない。 n 次元とすると|ψi ∈ H ←→ 〨ψ1 , · · · , ψn 〩T〨〱〮〲〮〱〱〩という縦ベクトルだと思える。こういうものを H ' Cn と書く。内積は〨|ψi , |φi〩 〽 ψ〖1 φ1 〫 ψ〖2 φ2 〫 ψ〖3 φ3 〫 · · · 〫 ψ〖n φn .

〨〱〮〲〮〱〲〩

これらが上記関係式をみたすのは確認できる。

1.3

線形変換、演算子、作用素

変換 |ψi 7→ A |ψi が線形であるとはA〨|ψi 〫 |ψ 0 i〩 〽 A |ψi 〫 A |ψ 0 i ,A〨a |ψi〩 〽 aA〨|ψi〩〨〱〮〳〮〱〩

を満たすこと。
複素線形変換は行列の掛け算である〺 |ψi 7→ |φi 〽 A |ψi は
φi 〽

n
X

〨Aij 〩ψj〨〱〮〳〮〲〩

j=1ということ。
変換 T が反線形 〨ちのぴどぬどのづちひ〩 もしくは共役線形 〨っはのなふでちぴづ ぬどのづちひ〩 であるとはT 〨|ψi 〫 |ψ 0 i〩 〽 T |ψi 〫 T |ψ 0 i ,T 〨a |ψi〩 〽 a〖T 〨|ψi〩〨〱〮〳〮〳〩

を満たすこと。
3
量子力学では (|ψi , |φi) のことをしばしば hψ|φi と書き、 hψ| の部分を bra という。 hψ|φi とあわせて
bra(c)ket となるという Dirac による駄洒落らしい。複素線形代数に慣れてしまえばこの記法は便利だが、複素線形代数も知らない時点だとかえってややこしいと思うので、今回の講義では bra は使わないことにする。
また物理では複素共役は z̄ のかわりに z ∗ と書くことがしばしばあるが今回の講義では z̄ を使うことにする。

〲

線形変換 A に対してそのエルミート共役 A† は
〨A |ψi , |φi〩 〽 〨|ψi , A† |φi〩〨〱〮〳〮〴〩〨A† 〩ij 〽 Aji .

〨〱〮〳〮〵〩〨|ψi , A |φi〩 〽 〨|φi , A† |ψi〩〨〱〮〳〮〶〩〨|ψi , A |ψi〩 〽 〨|ψi , B |ψi〩〨〱〮〳〮〷〩

で定める。成分でかけばこれよりとなる。勝手な ψ に対してを満たすような B は A† に限るので、これで定義してもよい。
線形変換のことを はばづひちぴはひ という。日本語訳は理論物理では演算子、数学では作用素ということが多い。

1.4

法則 II について: (反)ユニタリ変換

H の複素線形変換 |ψi 7→ U |ψi で長さを保つ、すなわち〨U |ψi , U |ψi〩 〽 〨ψ, ψ〩〨〱〮〴〮〱〩

をみたすものをユニタリ変換という。
反線形で長さを保つものを反ユニタリ変換という。
量子力学において観測以外の操作〨 t だけ時間をすすめる、空間を z 軸回り θ だけ回転させる、時間反転させる、など〩はユニタリか反ユニタリである。 反ユニタリ変換は時間反転を伴う変換に対応することが知られている。

1.5

法則 III について: エルミート行列

量子力学において観測量 〨はぢびづひぶちぢぬづ〩 とは状態空間 H のエルミート演算子 A のこと。観測量というのは、エネルギーだとか角運動量などのこと。無限次元だとエルミートという概念は自己共役、対称、エルミートという三つの微妙に異なる概念にわかれる。有限次元
だとそういう問題はない。 A がエルミートとは A 〽 A† であること。

1.6

法則 IV について: エルミート行列の固有値分解

エルミート演算子 A であらわされる観測量を、状態 |ψi ∈ H で観測したときにどうなるかというルール。
A |ii 〽 ai |ii となり |ii 〽
6 〰 であるようなとき、ai を固有値、|ii を固有ベクトルもしくは固有状態という。
事実/定理 1.6.1 H ' Cn に作用するエルミート行列 Aは n 個の固有ベクトル |〱i〮〬 〮 〮 〬 |ni で互いに直交し長さが 〱 のものが取れる。その固有値はすべて実数である。
これは重要なので証明を与えておく。 帰納法で証明する。 まず n 〽 〱 のとき、 n × n行列とは単に数である。 よってエルミート行列 A 〽 A† とは単に実数である。 ベクトル〨〱〩 は長さ 〱 の固有状態である。
〳

H の次元が一般の n のとき、 長さ 〱 のベクトル |ψi 全体の空間を考える。 これは|ψ1 |2 〫 · · · 〫 |ψn |2 〽 〱 というベクトル全体の空間だから実 〲n 次元空間のなかの単位球面、
すなわち S 2n−1 をなす。このとき〨|ψi , A |ψi〩 〽 〨|ψi , A† |ψi〩 〽 〨|ψi , A |ψi〩〨〱〮〶〮〱〩だから 〨|ψi , A |ψi〩 は実である。以下の補題がある〺
補題 1.6.2 長さ 〱 の状態 |ψi に対して 〨|ψi , A |ψi〩 という関数を考え、最小値を a 、最小を実現するベクトルを |〱i と書く。 このとき A |〱i 〽 a |〱i となり |〱i は固有状態である。
補題の証明はあとで与えるので、これをつかって証明をやってしまう。いま H の中で |〱iに直交する部分空間を H0 とする。すなわち|ψi ∈ H0 ⇔ 〨|〱i , |ψi〩 〽 〰.

〨〱〮〶〮〲〩

さて、A は H0 を H0 にうつす。なぜなら、|ψi ∈ H0 なら〨|〱i , A |ψi〩 〽 〨A† |〱i , |ψi〩 〽 〨A |〱i , |ψi〩 〽 a〨|〱i , |ψi〩 〽 〰

〨〱〮〶〮〳〩なので。よって A は H0 ' Cn−1 上のエルミート行列とみなせる、帰納法の仮定よりしめされた。
補題を示す。多少式を簡略化するため B 〽 A − a と定義する。 4 すると ψ の長さが 〱で、〨ψ, B |ψi〩 ≥ 〰 で、|ψi 〽 |〱i のとき 〰 で最小値になる、このとき B |〱i 〽 〰 を示せということになる。さて、  を〨微小な〩複素数として |φi 〽 c−1 〨|〱i 〫 B |〱i〩 と定める、ただし c は長さを 〱 にするための係数でc2 〽 〨|〱i 〫 B |〱i , |〱i 〫 B |〱i〩〽 〱 〫 〨 〫 〖〩〨|〱i , B |〱i〩 〫 ||2 〨B |〱i , B |〱i〩〨〱〮〶〮〴〩

2〽 〱 〫 || 〨B |〱i , B |〱i〩.
さてここで〨|φi , B |φi〩 〽 c−2 〨|〱i 〫 B |〱i , B |〱i 〫 B 2 |〱i〩〽

〨 〫 〖〩〨B |〱i , B |〱i〩 〫 ||2 〨|〱i , B 3 |〱i〩〱 〫 ||2 〨B |〱i , B |〱i〩〨〱〮〶〮〵〩∼ 〨 〫 〖〩〨B |〱i , B |〱i〩〨〱〮〶〮〶〩

これは ||  〱 ならばであるが、仮定より 〨|φi , B |φi〩 ≥ 〰 であり、 〨 〫 〖〩 は正負いずれの値もとりうることを思い出すと 〨B |〱i , B |〱i〩 〽 〰 すなわち B |〱i 〽 〰 がわかった。
補題の証明がおわったので、もとの定理の証明もおわった。この補題は〨量子力学における〩変分法とよばれ、 A の最低固有値を近似的にもとめるためにもしばしば使われる。
いろいろ |ψi を選びながら 〨|ψi , A |ψi〩 を最小化するわけである。
4

行列 A と実数 a を足すときは a のほうには単位行列が掛かっているという略記法をつかう。 同様に(−)2 = + という記法も見たことがある。 関係ないが positive を +ve, negative を −ve と書くのも見た事がある。

〴

さて、観測量 A を状態 |ψi で測ったときどうなるか。 A の固有状態、固有値を |ii〬 aiと書く。 |ii は長さ 〱 で互いに直交するように取っておく。すると |ψi は
|ψi 〽

n
X

ci |ii〨〱〮〶〮〷〩

i=1と展開できる。 ci を求めるには〨|ii , ψ〩 〽 〨|ii ,X

cj |ji〩 〽

jX

cj 〨|ii , |ji〩 〽 ci〨〱〮〶〮〸〩jを使えば良い。また同様に展開すれば〨|ψi , |ψi〩 〽

X|ci |2〨〱〮〶〮〹〩

である。簡単のため ai は全て異なるとする。
• 観測で得られる値は ai のうちのどれかである。
• ai が得られる確率は |ci |2 に比例する。
特に、固有状態 |ii で A を観測すると 〱〰〰〥 の確率で ai が測定される。もっと一般には、
ai が得られる確率は|〨|ii , |ψi〩|2|c |2
P i 2 〽
〨〱〮〶〮〱〰〩|〨|ψi , |ψi〩|2
j |cj |
で与えられる。
勝手なノンゼロの複素数 z に対して、|ψi と z |ψi は上式の分子分母に同じ係数 |z|2 が掛かるだけで同じ観測確率をあたえる。これは勝手な観測量 A について正しい。そこで、互いに複素数倍の状態ベクトルは「物理的に同じ」であるとよくいわれる。 〨しかし、勿論 |φi 〫 |ψi と |φi 〫 z |ψi は異なることに注意。〩 H ' Cn のノンゼロのベクトルで互いに複素数倍のものを同一視した空間を CPn−1 と書き、複素 〨n − 〱〩 次元射影空間という。すなわち、n 次元の状態空間をもつ量子系の物理的に異なる状態たちは CPn−1 をなす。
また、上式の分母は面倒くさいので、しばしば状態 |ψi の長さは 〱 であるように取っておく。それでも絶対値 〱 の複素数 c に対し |ψi と c |ψi は両方とも長さ 〱 でしかも物理的に同等である。
また、上のルールから観測量 A の長さ 〱 の状態 |ψi における期待値はX
X
ai |ci |2 〽
ai |〨|ii , |ψi〩|2〨〱〮〶〮〱〱〩iiであるが、これは 〨|ψi , A |ψi〩 と等しい、なぜならX
X
X
X
ci aj cj 〨|ii , |ji〩 〽
ai |ci |2 .
〨|ψi , A |ψi〩 〽 〨ci |ii , A
cj |ji〩 〽
i

j

i,j

〨〱〮〶〮〱〲〩iだから上記の補題で最小化していたものは観測量 A の期待値だった。 期待値の最小値は最小の固有値であるということ。
エルミート行列の固有ベクトルの性質というのと量子力学の確率解釈が密接に関係しているというのに注意。

〵

1.7

法則 V

この法則は複合系をつくる際の法則。次回以降に扱う。

1.8

法則 II と法則 III について

法則 ぉぉ では、観測以外の時間発展、回転などの操作はユニタリ変換 U であるといい、法則 ぉぉぉ では、観測量はエルミート行列 A であると言った。
一般に行列 A に対し、eA 〺〽 〱 〫 A 〫

A2 A3
〫
〫 ···
〲〡
〳〡

〨〱〮〸〮〱〩と定める。 A と B が交換しないと一般に eA+B 6〽 eA eB であるが、 A と B が交換すれば eA+B 〽 eA eB は以前と同様に示せる。
A がエルミートのときに ど は虚数単位、 s を実のパラメタとして eisA を考える。これはユニタリである。なぜなら〨eisA ψ, eisA ψ〩 〽 〨ψ, e−isA eisA ψ〩 〽 〨ψ, e−isA+isA ψ〩 〽 〨ψ, ψ〩.

〨〱〮〸〮〲〩

また逆に勝手なユニタリ行列 U は何かエルミート行列をもちいて eiA と掛ける。
具体的には、固有ベクトル |ii を互いに直交して長さが 〱 になるようにとって、固有P
値を ai と書き、さらに一般のベクトル |ψi を |ψi 〽 i ci |ii と展開すると、
X
eisA |ψi 〽
eisai ci |ii .
〨〱〮〸〮〳〩i

まとめると、ある〨観測以外の〩操作がユニタリ U であらわされると、対応する観測量
A が U 〽 eiA として存在する。
たとえば、角度 θ だけ回転させる、という操作 R〨θ〩 はユニタリ演算子だが、エルミート演算子 L をもちいてR〨t〩 〽 eiθL〨〱〮〸〮〴〩
指数関数の肩は無次元、 すなわち単位を持たない。 角度 θ も無次元。 だから L も無次元。
一般に θ 〽 〴π すなわち 〷〲〰◦ まわすともとに戻るはずである。よって e4πiL 〽 〱。よって L は半整数、すなわち整数か整数割る 〲 である。
古典極限をとると L は角運動量に対応することがしられている。 角運動量 L は単位にで · ね2 · び−1 を持つ。
L 〽 ~L〨〱〮〸〮〵〩とした換算係数がプランク定数 ~ で〲π~ 〽 〶.〶〲〶〰〷〰〱〵 · 〱〰−34 にで · ね2 · び−1〨〱〮〸〮〶〩となるように にで〬 ね〬 び が定義されている。よって、量子力学的には角運動量は半整数 ×~である。
また、時間 t だけすすめる、という操作 U 〨t〩 もユニタリ演算子で、エルミート演算子
H を用いてU 〨t〩 〽 eitH〨〱〮〸〮〷〩〶

とかける。指数関数の肩は無次元で、t は び の単位をもつので、 H は び−1 〨周波数〩の単位を自然に持つ。
そもそも び の定義は、セシウム 〱〳〳 原子の H の特定の二つの固有状態 H |〱i 〽 ω1 |〱i〬
H |〲i 〽 ω2 |〲i に対して
ω1 − ω2 〽 〲π · 〹〱〹〲〶〳〱〷〷〰 び−1〨〱〮〸〮〸〩となるように定められている。 H 〽 ~H はエネルギーの次元をもち、古典極限をとると系のエネルギーに対応する。
U 〨t〩 〽 eitH/~〨〱〮〸〮〹〩ということで、これをシュレーディンガー方程式という。
おまけだが、ね の定義は光速がc 〽 〲〹〹〷〹〲〴〵〸ね/び〨〱〮〸〮〱〰〩となるようにされている。

2

一番簡単な量子力学系

一番簡単な状態空間は H 〽 C1 である。 しかし二つの状態ベクトル |ψi 〬|ψ 0 i が互いに複素数倍|ψ 0 i 〽 z |ψi〨〲〮〰〮〱〩のときは物理的に同等であった。勝手な C1 のベクトルは 〨〱〩 の複素数倍なので、ほんとうに一コしか状態がない。 勝手な〱 × 〱 のユニタリ変換は複素数倍なので実質なにもしな
い。勝手な〱 × 〱 のエルミート行列は単に実数 a で、ベクトル 〨〱〩 はその固有値で、測定するとかならず a が得られる。だから面白いことはなにも起きない。
しかし、この一番簡単な量子力学系が外場にどのように依存するかというのは面白い問題で、 昔からある あづひひべ ばとちびづ とか、 トポロジカル物性で話題の びべねねづぴひべ ばひはぴづっぴづつ
ぴはばはぬはでどっちぬ ばとちびづ 〨こぐご ばとちびづ〩 はそれをみていると思っても良い。ベクトル束を勉強した
ことがある人は、 ぬどのづ ぢふのつぬづ がファイバーが一次元でも非自明なことはいろいろ起こるというのを知っていると思いますが似たような状況。しかし外場への応答は案外大変なので、次にすすむ。

3

二番めに簡単な量子力学系

次に二番めに簡単な状態空間として H ' C2 という二次元の複素ベクトル空間の場合を考える。量子力学の講義で歴史的に進む場合は一粒子の運動を扱うことが多いが、その場合
は状態空間は無限次元になって、出てくる演算子は微分演算子等になって難しい。でも二次元の複素ベクトル空間だと行列ですむので比較的簡単。量子力学の本当に面白い所は無限次元の状態空間が出てくるからだという人も〨お年の人には〩多いけれども、 二次元〨や有限次元〩の複素ベクトル空間でも十分面白いことが沢山おこる。 歴史的には量子力学は古典力学を量子化して得られ、その場合は無限次元の状態空間が出がちであったので、こういう有限次元の状態空間は驚きであった。はじめてこれが出て来たのは電子のスピン自由度に関してだが、それ以外にもいろんな系で出てくる。現在では量子情報で ぱふぢどぴ と呼ばれてとても重要。

〷

3.1

普通のやり方

どのような観測量があるか考える。観測量は 〲 × 〲 のエルミート行列 Aij である。条件はAij 〽 Aji だから、行列としてあからさまに書くと!
a zA〽
〨〳〮〱〮〱〩z〖 b
ただし a〬 b は実数、z は複素数、という形である。これの固有ベクトルは何か、固有値はなにかを計算すると、 A を観測したときにどの値がどの確率で得られるかがわかる。 A
はまた a〬 s〬 t〬 u を実数としてA 〽 aどつ 〫 sσx 〫 tσy 〫 uσz〨〳〮〱〮〲〩

とも展開できる、ただし
!

どつ 〽

〱 〰
〰 〱

σy 〽

!
〰 −ど
,
ど 〰

〨〳〮〱〮〳〩

は単位行列で、
σx 〽

!
〰 〱
,
〱 〰

ととる。σx,y,z はパウリ行列と呼ばれる5。
σz の固有ベクトルは明らかに
!
〱
,
〰

〰
〱

σz 〽

!
〱 〰
〰 −〱

〨〳〮〱〮〴〩!
〨〳〮〱〮〵〩

で、それぞれ固有値は 〫〱〬 −〱 である。状態c1c2!
〨〳〮〱〮〶〩

ただし |c1 |2 〫 |c2 |2 〽 〱 で σz を測定すると、確率 |c1 |2 で 〫〱 が得られ、確率 |c2 |2 で −〱が得られ、期待値は |c1 |2 − |c2 |2 である。

3.2

四元数を使おうと、こういう風に 〲 × 〲 行列をつかって考えるのが普通だとおもうが、折角四元数を学んだので、この講義ではそれをつかってやってみよう6。
いま二次元の複素ベクトルと四元数を次のように対応させてみる〺7!
ψ1
2
C 3 |ψi 〽
←→ ψ 〽 ψ2 〫 ψ1 に ∈ H〨〳〮〲〮〱〩
ψ2
5

2 × 2 のエルミート行列で単位行列でないものを書き下しただけで物理の歴史に名前が残るのだから昔は物理は簡単だった。
6
四元数を使ったほうが良いと主張する気は僕は無く、普通と異なるだけ。 普通の方法はどこの教科書にでも載っていて、講義でもやるので、こういう特殊な講義でまでそれを聞く必要はないでしょう。
7
別に (3.2.1) はもっと安直に ψ = ψ1 + ψ2 j などとしてもよいのだが、あとに符合やらいろいろがでるのでこうとっておくとよい。

〸

複素線形空間としての操作は|ψi 〫 |φi ←→ ψ 〫 φ,z |ψi ←→ zψ

〨z ∈ C〩〨〳〮〲〮〲〩と対応する。
また長さの二乗は〨|ψi , |ψi〩 〽 |ψ|2〨〳〮〲〮〳〩

である。内積は生憎綺麗にかけない8。一般に〴〨|ψi , |φi〩 〽 〫〨|ψi 〫 |φi , |ψi 〫 |φi〩 − 〨|ψi − |φi , |ψi − |φi〩〫 i〨|ψi − i |φi , |ψi − i |φi〩 − i〨|ψi 〫 i |φi , |ψi 〫 i |φi〩 〨〳〮〲〮〴〩という等式があるので、〴〨|ψi , |φi〩 〽 |ψ 〫 φ|2 − |ψ − φ|2 〫 ど|ψ − どφ|2 − ど|ψ 〫 どφ|2〨〳〮〲〮〵〩となる。
複素線形変換は四元数をつかってどんな風にかけるだろうか。勿論複素数 w に対して
H 3 ψ 7→ wψ ∈ H〨〳〮〲〮〶〩

は複素線形である。しかし、四元数 q に対して
H 3 ψ 7→ qψ ∈ H〨〳〮〲〮〷〩

は複素線形では一般には「ない」。なぜなら一般にはz〨qψ〩 6〽 q〨zψ〩〨〳〮〲〮〸〩H 3 ψ 7→ ψq ∈ H〨〳〮〲〮〹〩

z〨ψq〩 〽 〨zψ〩q〨〳〮〲〮〱〰〩だから。一方で四元数 q に対しては複素線形変換である、なぜならなので。四元数の結合則が複素線形性になる。
すると、〨〳〮〲〮〶〩 と 〨〳〮〲〮〹〩 を組み合わせて、複素数 w と四元数 q に対し
ψ 7→ wψq〨〳〮〲〮〱〱〩

ψ 7→ U 〨ψ〩 〺〽 wψq〨〳〮〲〮〱〲〩

は複素線形変換である。
いつ変換
はユニタリだろうか〿 |ψ| 〽 |wψq| であれば長さを保つ。 特に |w| 〽 |q| 〽 〱 であればこれは満たされる。実は勝手な 〲 × 〲 のユニタリ行列はこのように書ける
また長さを保つが上記のように複素線形ではない
ψ 7→ にψ〨〳〮〲〮〱〳〩に〨zψ〩 〽 z〖〨にψ〩〨〳〮〲〮〱〴〩という変換をかんがえてみる。これはだから反ユニタリである。
8

qubit を四元数で扱うのはかならずしも良く無いとはすでに言ったはず...

〹

3.3

回転の H への作用

二次元の状態空間をいま四元数 H として扱っている。 ここに三次元空間の回転操作はどう作用させればいいだろうか〿 法則 ぉぉ より、 ユニタリ変換でなければならない。 ユニタ
リ変換は 〨〳〮〲〮〱〱〩 で |w| 〽 |q| 〽 〱 というものだった。
さて、三次元空間の回転は三次元空間を純虚四元数 v であらわすと四元数 |q| 〽 〱 をもちいて
v 7→ qv q〖〨〳〮〳〮〱〩とあらわせるのだった。そこで、q であらわされる三次元回転はH 3 ψ 7→ ψ q〖 ∈ H〨〳〮〳〮〲〩と作用するとするのが自然である。 三次元の回転が 〨〳〮〳〮〱〩 と作用するものをベクトル〨ぶづっぴはひ〩 とよび、三次元の回転が 〨〳〮〳〮〲〩 と作用するものをスピノル 〨びばどのはひ〩 とよぶ。
ど 軸周りの θ 回転は q 〽 eiθ/2 であたえられるのだった。これは ψ には
ψ 7→ ψe−iθ/2〨〳〮〳〮〳〩

ψ 7→ −ψ〨〳〮〳〮〴〩と作用する。特に θ 〽 〲π のときであるから、〳〶〰◦ 回転で −〱 がつき、θ 〽 〴π すなわち 〷〲〰◦ 回転ではじめて
ψ 7→ ψ

〨〳〮〳〮〵〩〱 7→ e−iθ/2 〱〨〳〮〳〮〶〩となって元に戻る。
この作用のもとでだから 〱 は固有値 e−iθ/2 の固有ベクトル、同様に に はに 7→ にe−iθ/2 〽 e+iθ/2 に〨〳〮〳〮〷〩

だから固有値 e+iθ/2 の固有ベクトルである。
一般に θ 回転の固有値を eiθL と書いた際に L 〽 ~L がその系の角運動量だった。これより、ぱふぢどぴ に回転が 〨〳〮〳〮〲〩 のように作用するときは角運動量は ±~/〲 であることがわか
った。

3.4

時間反転の H への作用

時間反転は反ユニタリ変換である。この講義では時間反転は
ψ 7→ にψ〨〳〮〴〮〱〩と作用するものとする。この作用は回転の作用と交換する、なぜならに〨ψ q〖〩 〽 〨にψ〩〖q〨〳〮〴〮〲〩ににψ 〽 −ψ〨〳〮〴〮〳〩だから。時間反転を二回行うとなので −〱 倍される。これは t 7→ −t を二回やると t 7→ 〫t になりそうなのに不思議だが、〳〶〰◦ 回転が座標には 〫〱 倍で作用するのにスピノルには −〱 倍で作用するのとローレン
ツ変換を通じてつながっていることが知られている。
〱〰

3.5

パウリ行列と四元数

さて、一般にエルミート演算子 A を用いて U 〨s〩 〽 eisA というユニタリ変換をかんがえられるのだった。 軸 〨s, t, u〩 まわりの θ 回転は長さ 〱 の純虚四元数 c 〽 sど 〫 tな 〫 uに を用いてユニタリ変換
ψ 7→ ψe−cθ/2〨〳〮〵〮〱〩
であたえられた。これが
ψ 7→ eiθL |ψi〨〳〮〵〮〲〩となるようなエルミート演算子 L は何か〿 これはψ〨−cθ/〲〩 〽 どθL〨ψ〩〨〳〮〵〮〳〩

L〨ψ〩 〽 どψc/〲〨〳〮〵〮〴〩

であればよいからである。 ~L は軸 〨s, t, u〩 まわりの角運動量演算子である。
ψ 〽 ψ2 〫 ψ1 に に対して ψ 7→ どψc を c 〽 ど〬 な〬 に の場合にやってみると、
ψ 7→ どψどψ 7→ どψなψ 7→ どψに|ψi 7→ σz |ψi |ψi 7→ σx |ψi |ψi 7→ σy |ψi〨〳〮〵〮〵〩と対応することがわかる。すなわち、〨s, t, u〩 軸まわりの角運動量演算子はL〽

~〨sσz 〫 tσx 〫 uσy 〩〲〨〳〮〵〮〶〩

であらわされる。

3.6

角運動量演算子の固有状態

エルミート演算子 sσz 〫 tσx 〫 tσy の固有値と固有状態を求めよう。以下 s2 〫 t2 〫 u2 〽 〱と仮定する。 〨〳〮〵〮〵〩 より、四元数で書くと
ψ 7→ どψ〨sど 〫 tな 〫 uに〩〨〳〮〶〮〱〩という作用の固有状態がわかればよい。 c 〺〽 sど 〫 tな 〫 uに と書くとこれは純虚で長さ 〱 の四元数であるから、これに対してψ 7→ どψc〨〳〮〶〮〲〩の固有状態を見出せということである。
さて、純虚四元数を三次元のベクトルだと思った際にベクトル −ど を c まで回転させるような回転があった。これは長さ 〱 の四元数 q を用いてあらわせるのだった〺c 〽 q〖〨−ど〩q.

〨〳〮〶〮〳〩

すると ψ 〽 q は 〨〳〮〶〮〲〩 の固有状態である〺
どqv 〽 どq q〖〨−ど〩q 〽 q.

〨〳〮〶〮〴〩

固有値は 〫〱。また にq も固有ベクトルである〺
ど〨にqv〩 〽 どにq q〖〨−ど〩q 〽 −にq〨〳〮〶〮〵〩

固有値は −〱。 〨にq は q の時間反転だった。時間反転は角運動量を逆向きにする。〩
これで s2 〫 t2 〫 u2 〽 〱 のときの sσz 〫 tσx 〫 uσy の固有値は ±〱 であることがわかり、固有ベクトルも決定された。
〱〱

3.7

「物理的に同等」な状態の分類; Bloch 球; Hopf fibration

さて、この項目での考察のおしまいに、 ぱふぢどぴ 系 H ' C2 ' H において物理的に同等な波動関数をどう分類するかを考えよう。一般に |ψi , |ψ 0 i ∈ H が非ゼロの複素数 z に対して
|ψ 0 i 〽 z |ψi〨〳〮〷〮〱〩

ならば物理的に同等というのだった。 確率解釈のためには 〨|ψi , |ψi〩 〽 〱 にしておくのは自然である。それでも 〨〳〮〷〮〱〩 で |z| 〽 〱 な場合は「物理的に同等」ということにする。
H 〽 C2 の元を |ψi 〽 〨ψ1 , ψ2 〩T とかくと、〨|ψi , |ψi〩 〽 |ψ1 |2 〫 |ψ2 |2 〽 〱〨〳〮〷〮〲〩

は ψ1,2 の実部虚部をとれば S 3 をなす。ここにさらに |z| 〽 〱 なる複素数に対して〨ψ1 , ψ2 〩 ∼ z〨ψ1 , ψ2 〩〨〳〮〷〮〳〩という同一視をした場合にどうなるか〿 という問題である。
さてこの講義では変な方法を使うというのがモットーである。 そこで四元数を用いよう。 H 3 ψ 〺〽 ψ2 〫 ψ1 に を使うのだった。以下 ψ を別の用途でつかうので、q と書くことにする。問題は単位長さの四元数たち |q| 〽 〱 の間に |z| 〽 〱 なる複素数に対してq ∼ q 0 〽 zq〨〳〮〷〮〴〩という同一視をするとどうなるか、という問題である。
実 は こ れ は 前 節 で 答 え が 与 え ら れ て い る。 な ぜ か〿 前 節 で 長 さ 〱 の 純 虚 四 元 数
c 〽 q〖〨−ど〩q に対してそれから定まるエルミート演算子
ψ 7→ どψc〨〳〮〷〮〵〩の固有値 〫〱 の固有ベクトルとして ψ 〽 q をとれることを学んだ。
そこで長さ 〱 の四元数 q に対して対応
q 7→ c 〽 q〖〨−ど〩q〨〳〮〷〮〶〩

を考える。c は長さ 〱 の純虚四元数なのでこれはS3 → S2〨〳〮〷〮〷〩という写像である。
三次元を二次元にうつすので、同じ c にうつされる q は沢山ある。 たとえば絶対値 〱の複素数 z に対し q 0 〽 zq ならば
zq〨−ど〩zq 〽 q〖z〖〨−ど〩zq 〽 q〖〨−ど〩q〨〳〮〷〮〸〩となり対応する c は等しい。実はこれは逆もなりたつ。なぜなら、c 〽 q〖〨−ど〩q 〽 q〖0 〨−ど〩q 0〨〳〮〷〮〹〩

ならば、q も q 0 もエルミート演算子 〨〳〮〷〮〵〩 の固有値 〫〱 の固有状態である。 固有値 〫〱の固有状態は一次元だから、 q と q 0 は互いに複素数倍である〺 q 0 〽 zq。 長さが等しいの
で、z 〽 〱 である。
数学語でまとめると〱〲

事実/定理 3.7.1 絶対値 〱 の四元数 q のなす三次元球面 S 3 の間に、 絶対値 〱 の複素数 z をもちいて q ∼ zq という同一視を行ったものは、 絶対値 〱 の純虚四元数
c 〽 q〖〨−ど〩q のなす二次元球面 S 2 になる。
物理語でまとめると事実/定理 3.7.2 けふぢどぴ の状態空間 H で長さ 〱 に正規化した状態 |ψi たちは三次元
球面 S 3 をなす。それらの間で絶対値 〱 の複素数 z で関連付く物理的に同等な状態たち |ψi ∼ z |ψi を同一視したものは、|ψi が固有値 〫〱 の固有状態になるような方向の角運動量演算子sσz 〫 tσx 〫 uσy ,〨s2 〫 t2 〫 u2 〽 〱〩のなす二次元球面 S 2 になる。ということである。
この S 2 は物理では あぬはっと 球とよばれる。 また、この写像 S 3 → S 2 は数学では えはばて
ファイブレーションとして知られる。 S 2 の一点 c を固定して、そこにうつる S 3 の点全体をかんがえると、それは c ∈ S 2 にうつる q ∈ S 3 をひとつ固定すれば zq たちのなす S 1である。この状況を、S 3 は S 2 の各点に S 1 がファイバーしている、といい、
S1 → S3 → S2〨〳〮〷〮〱〰〩と書く。
一般に空間 M 上に S 1 ファイブレーションを与えることは数学語では U 〨〱〩 バンド
ル、物理語では U 〨〱〩 ゲージ場すなわち電磁場を指定することに対応する。この観点から
は えはばて 「ぢひちぴどはの は S 2 上の特別な電磁場を指定しているとも思えるが、ちょうどこれは
いどひちっ ねはのはばはぬづ というものと一致する。
また、ハミルトニアンが〨s2 〫 t2 〫 u2 〽 〱〩sσz 〫 tσx 〫 uσy ,〨〳〮〷〮〱〱〩

であたえらえるような系を考えると 〨s, t, u〩 は物理的には外部磁場の向きと思える。 このとき外部磁場の向き 〨s, t, u〩 を断熱的に変化させたときの量子状態の変化を考えることもできる。 この変化を記述するのが あづひひべ ばとちびづ で、この場合は あづひひべ ばとちびづ が いどひちっ
ねはのはばはぬづ と一致する。
また、p 〫 r 〽 q でSp → Sq → Sr〨〳〮〷〮〱〲〩というふうに球面が球面のうえの球面のファイブレーションになるものを一般に えはばて
「ぢひちぴどはの というが、それらはS1 → S3 → S2
S3 → S7 → S4〨〳〮〷〮〱〳〩

S 7 → S 15 → S 8の三種類しかないことが知られており、それぞれ C〬 H〬 O と対応する。
兎に角、この系は えはばて 「ぢひちぴどはの〬 あぬはっと びばとづひづ〬 いどひちっ ねはのはばはぬづ〬 あづひひべ ばとちびづ と有名な概念がすべて交錯する系で、それが二番めに簡単な量子系 H ' C2 をかんがえるだけで出てくるというのは不思議なことである。また、この系を徹底的に学ぶのは為になる、ということでもある。
〱〳