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材料強度数値シミュレーション教育の実践
木下 つる代*・政家 利彦**・鶴 秀登***

Practice on the simulation by a numerical analysis ofstrength of materials
Tsuruyo Kinoshita* , Toshihiko Masaie** and Hideto Tsuru***
AbstractSimulations by some numerical analyses have come to be used in various industrial fields with thedevelopment of computer and software. Therefore, it is important for students in advanced course toeducate simulating technique. This paper presents an education of the simulation on strength of materials
by a numerical analysis in the production system engineering course. Analyses are done on basic problems
to understand the Finite Element Method and to examine the accuracy of the results. Moreover, somenumerical calculations on one problem are carried out under different boundary conditions. This paper isuseful for students and engineers in beginning to learn the simulation on strength of materials by meansof Finite Element Method.

値解析には，市販の有限要素法を用いた汎用プログラムソフト Marc を用いる。
本演習は，材料挙動の可視化を通して強度評価の理コンピュータ技術の発展とともに数値シミュレーシ
ョンは航空宇宙，自動車，建築，医療などさまざまな産 解を深めてもらうことと，数値結果の精度を吟味する業分野において広く利用されるようになった。そのた という手順を経験させることが主目的であり，そのため，専門的知識と技術を要求される高等専門学校生へ めに適宜各種問題を用意して数値解析を実行できるよの数値シミュレーション教育は，実験解析の教育とと うに配慮している。なお，学生の演習時間は限られてもに重要である。本論文は，本校専攻科生産システム いるためソフトの基本的使用方法については「Marc工学専攻の生産システム工学演習（週 1 コマ，15 週） Mentat 2011 (classic)簡易マニュアル」を用意する[1][2]。
で行っている材料強度評価のための数値シミュレーシ
ョン教育についてまとめたものである。
２． 有限板の一様引張り
まず材料力学や強度設計で学んだ理論を数値解析で検証する。一例として一様な板の引張りによって生じ ２.１ 有限板の一様引張りる応力と伸びを求める中で，二次元弾性問題の解析に有限板の二次元弾性解析を行う。解析対象は図 1 におけるソフトの使用法，境界条件の与え方および結果 示す幅 2W =100[mm]，長さ h =200[mm]および板厚 tの考察方法などを学ぶ。また中実丸棒の引張りや内外 =1[mm] の軟鋼製（ヤング率 E =206×103[N/mm2]，圧を受ける円筒問題などは軸対称問題であり，軸対称 ポアソン比ν= 0.3）の有限板で，y 方向に一様引張り要素を選択して二次元問題と同様に扱い解析する。そ σ0 を与える問題である。垂直応力をσ，せん断応力をして，軸対称問題の応用例として丸棒が円周切欠きを τ，ひずみをεとすると，この問題の解は式(1)で与えもつ問題を取扱う。その際，応力集中問題の弾性解析 られる。添字は定義に従った x，y 成分である。
における要素分割と数値結果の関係について学ぶ。
このように x 軸と y 軸に対称な問題の場合，図 2 に次に，弾塑性解析として，切欠きをもつ板の切欠き底 示す 1/4 形状の解析モデルを用いる。その際，境界条からの塑性降伏現象について解析をする。これらの数 件として x 軸，y 軸上が軸と垂直方向に変位しないこ
１．緒言*技術支援センター**電子機械工学科***非常勤講師

平成 29 年 11 月 30 日受理

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第 40 号（平成 30 年）とを与えれば良い。理論的には全体モデルの中央 1 点 表 1 境界条件（図 1 の問題）
（座標の原点）を 0 で固定して解析することと同じでパターン 1あるが，数値解析では理論と差異が生じる。そのこと
原点の x 方向変位 u0を経験し，そして 1/4 モデルを用いることの妥当性を 原点の y 方向変位 v0確認する。
z 軸まわりの回転 w
端辺の圧力[N/mm2]応力-10パターン 2000-10𝜎𝑥 = 0𝜎
{ 𝑦 = 𝜎0𝜏𝑥𝑦 = 0𝜎

伸び（y 方向） 𝜀𝑦 ℎ = 0 ℎ(1)𝐸𝜎

縮み（x 方向） 𝜀𝑥 ∙ 2𝑊 = 𝜈𝜀𝑦 ∙ 2𝑊 = 𝜈 0 ∙ 2𝑊𝐸

まず，解析モデルの要素分割を行う。Marc Mentat
を用いて解析モデルを自動で四角形要素に分割する場
合 ， ①QUADRIL ATERALS (OVERLAY) と②QUADRIL ATERALS(ADV FRNT)の 2 種類の平面要素(2D PLANAR)がある。長方形モデルの形状を分割すると，図 3 に示すように直角の隅が①では要素形状がいびつになる。そこで，ここでは要素分割には②を使用することにする。そして解析を表 1 に示す 2 つのパターンの境界条件で行う。ここで w は x，y 軸に垂直な軸（z 軸）まわりの回転(ROTATION)である。
パターン 1 では全体モデルの中央 1 点（原点）のみ
x 軸方向変位(DISPLACEMENT) u および y 軸方向変位 v を 0 で固定する。また y 軸方向の等分布引張荷重として単位長さ当り 10[N/mm]を端辺（エッジ）に負荷する。解析モデルの板厚が 1[mm]であるので，この等分布荷重は 10[N/mm2]の作用応力に相当する。入力は圧力(PRESSURE)で与えるようになっているのでマイナスの値を入力する。解析の結果，パターン 1 の条件では変位などに回転したようなコンター図が得られる。そこで次に回転固定も必要と考え，パターン 2 の変位固定と回転固定の両方の拘束条件で解析を行う。
結果は回転を 0 で固定したにもかかわらず，パターン1 と同様に正しい解が得られない。全体で要素分割する場合，対称である点が要素分割後に対称節点とは必ずしもならず，対称性による似た係数をもつ連立方程式となり，解の安定性を欠いたためと考えられる。図 4
は 1/4 モデルで解析した場合の y 軸方向変位のコンター図で，式(1)と一致する。これらの結果から，対称性をもつ問題ではその片側のみを解析領域として解析する必要があることを確認できる。

図 1 解析対象（長方形板）① OVERLAY

図 2 解析モデル② ADV FRNT

図 3 要素の自動分割（直角近傍の要素）

図 4 y 軸方向変位 v のコンター図（1/4 領域）

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図 5 解析対象図 6 解析モデル（切欠きをもつ長方形板）

3.175𝛼=3.15𝜎max
𝜎0α

２.２ 中央に円孔を有する板の引張り
図 5 に示す直径(2a)=20[mm]の円孔を中央に有する
幅 2W =100[mm]，長さ h =200[mm]および板厚 t =1[mm]の有限板の一様引張り問題を取扱う。荷重条件および形状の対称性を考慮して，解析は図 6 に示す全体領域の 1/4 で行う。その際，境界条件として図 6 に示すように y 軸上の x 方向変位 u と x 軸上の y 方向変位v を 0 で固定する。また，y 軸方向の一様引張応力σ0= 100[N/mm2]を端辺に負荷する。
円孔などの切欠きを有する板が引張りなどの負荷を受けている場合，切欠き近傍には応力集中現象が生じる。図 5 の問題では切欠き底の点 A で最大応力が発生し，その近傍での応力変化が大きいので点 A 付近の要素分割は細かくする必要がある。また，要素形状は高アスペクト比や鋭角・鈍角をもつ四角形では精度に悪い影響を与えるので，正方形に近い形状が望まれる。
これらのことを考慮に入れて円孔縁の 1/4 の分割数 nを 10，20，30 と変化させて解析を行う。なお，その他の辺の分割数は要素形状が正方形に近づくようにそれぞれ設定する。最大応力をσmax ，公称応力をσ0 とす
ると応力集中係数α=σmax /σ0 で定義され，この問題の厳密解は式(2)[3]に本解析の a =10，W =50 を代入してα=3.15 が得られる。図 7 に分割数 n による応力集中係数αの収束状況を示す。

3.125𝛼=𝜎max𝑎 2
𝑎 4= 3 + 3.5469 ( ) + 6.5859 ( )𝜎0𝑊
𝑊𝑎 6𝑎 8+ 2.4298 ( ) − 0.5339 ( ) (2)𝑊𝑊

3.11020n30

図 7 孔縁の分割数 n と応力集中係数α孔縁の分割数を増やして解析するにつれて数値結果が厳密解に近づくことが確認できる。分割数 30 では，厳密解とほぼ一致し，十分な精度で解が得られること の対称性を考慮して，図 9 に示す丸棒材の 1/4 部分をがわかる。この項では，切欠きの大きさを種々変化さ 解析領域とし，その部分を軸対称要素で分割する。弾せて応力集中への影響を調べる場合，切欠き縁の分割 性解析の場合，解析に必要な材料定数はヤング率 E数と結果の関係を良く検証しなければならないことが =206×103[N/mm2]およびポアソン比ν=0.3 の 2 つでわかる。
ある。この問題の変位は次式で与えられる。
３． 丸棒や円筒の問題
３.１ 一様引張り
丸棒や円筒の一様引張り問題は，軸対称要素を用いることで二次元問題と同じように取扱える。軸対称要素を使用する場合には，全体座標系の xy 平面(0≦y,z=0)でモデルを作成し，軸対称軸を x 軸にする必要がある。図 8 に長さ L =40[mm]，直径 d =10[mm]の軟鋼製丸棒の引張り問題を示す。端辺に軸方向の引張応力σ0を圧力-100 [N/mm2]で負荷する。荷重条件および形状

𝑢 = 𝜀𝑥𝑥 𝐿 (𝜀𝑥𝑥 =𝜎𝑥𝑥)
𝐸𝑣 = 𝜀𝑦𝑦 𝑑 (𝜀𝑦𝑦 = −𝜈𝜀𝑥𝑥 )

(3)
(4)

数値解析は表 2 に示す 2 つのパターンで行う。パターン 1 の境界条件は，図 9 に示すように丸棒中心軸である x 軸上の y 軸方向の変位 v および y 軸上の x 軸方向の変位 u を 0 で固定する。そして x 軸方向の一様引張応力σ0 =100[N/mm2]を端辺に負荷する。端面における x 軸方向の変位 u および y 軸方向の変位 v は式(3)お78
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紀要

第 40 号（平成 30 年）

よび(4)に本解析のデータを代入して u =0.0194，v =-0.00146 が得られる。数値結果は，分割数に関係なくこれらの値と一致する。なお，解析モデルを考えると得られる数値はそれぞれ 1/2 の値となる。
次に，パターン 2 の条件として x 軸上の y 方向変位v を拘束しない場合で解析する。数値結果 u,v はパターン 2 でも理論値と一致する。また応力のコンター図に
図 11 中実丸棒の y 方向変位 v のコンター図
もパターン 1 との差が見られないことから，軸対称問題の弾性解析では対称軸である x 軸上の拘束は必要ないということが確認できる。なお図 10，11 にこの問題の変位 u および v のコンター図を示す。
３.２ 半円環状切欠きをもつ丸棒の引張り
図 12 に示す長さ L =20[mm]，直径 d =10[mm]の丸棒に，切欠き半径 r =1[mm]の半円環状切欠きを有する問題を取扱う。端辺に軸方向の一様引張応力σ0 =100[N/mm2]を負荷する。この問題も軸対称問題であり，軸対称要素を用い，荷重および形状の対称性を考慮して図 13 に示す丸棒縦断面の 1/4 領域で解析できる。境界条件は y 軸上の x 軸方向変位 u =0 と端辺の x 軸方
図 8 解析対象（中実丸棒）
向引張応力 100[N/mm2]の負荷である。
図 14 に切欠き縁を 5 等分するような自動分割で数値計算して得られた x 軸方向の垂直応力σxx (Comp 11of Stress)のコンター図を示す。切欠きで最大応力σmax=332.3 [N/mm2]が得られる。式(2)で示す定義では応力集中係数α=3.32 となるが，応力集中係数α’ を次式(5)を用いて定義するとα’ =σmax /σn=2.13 となる。こ
図 9 解析モデル
こで，式(5)の公称応力σn は，切欠き底最小断面積が全体の荷重を一様に受けもつと考えた場合の応力である。
表 2 境界条件（図 9 の解析モデル）

パターン 1パターン 2y 軸上の x 方向変位 ux 軸上の y 方向変位 v

00

端辺の圧力[N/mm2]-1000-100

図 12 解析対象（環状切欠きをもつ丸棒）

図 10 中実丸棒の x 方向変位 u のコンター図

図 13 解析モデル

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𝜎𝑛 =𝑑2𝜎 =(𝑑 − 2𝑟)2 01(1 −2𝑟)𝑑2 𝜎0(5)20による肉厚内部の垂直応力σyy のコンター図を比較して示す。
この項では，境界条件の充足度から結果の精度が推定できることを示している。

環状切欠き材の応力集中係数の厳密解はα’ =2.196[4]であり，本計算結果は誤差 3.0%と良い結果を得ている。
なおこの応力集中係数の定義を 2.2 項の円孔問題に用いるとα’ =2.52 となる。このように応力集中係数は定義によって数値が異なり，どの定義を用いるかは現象を説明しやすくするように選択すれば良い。

図 15 解析対象（中空円筒）

図 14

半円環状切欠きの方向の垂直応力σxx のコンター図

３.３ 中空円筒の内外圧問題
３.３.１ 外圧問題
図 15 に示す長さ L =20[mm]，内径 2a =8[mm]，外径 2b =10[mm]で肉厚 1[mm]の中空円筒に，外圧 p o=10[N/mm2]，内圧 p i =0 を負荷した場合を解析する。
荷重および形状の対称性を考慮して，軸対称要素を用い図 16 に示す中空円筒縦断面の 1/4 領域で解析する。
境界条件として y 軸上の x 軸方向の変位 u を 0 で固定し，外周端辺に外圧 p o =10[N/mm2]を負荷する。
まず数値結果が内周と外周における境界条件を満たしているかどうかを検討する。y 軸方向の垂直応力σyyはそれぞれ 0[N/mm2]と-10[N/mm2]であるが，肉厚の分割数 n=8 での数値結果は 1.410 と-9.924 となり，境界条件を十分に満たしていない。原因は肉厚方向の応力変化に対して分割が粗いことが考えられる。そこで要素分割の粗密が解析精度に与える影響を調べるため，肉厚の分割数 n を 10 と 20 で同様の解析を行い，
図 17に分割数 n での内外円周上のσyy を示す。分割数が大きくなるにつれて精度の向上が見られる。数値結果は分割数 20 で外周の応力誤差が 3.0%であり，精度の良い解析が実行できている。今後は肉厚の分割数 20 を目安に解析を行うことにする。図 18 に分割数 8 および

図 16 解析モデル

図 17 肉厚分割数 n での境界のる垂直応力σyy(p i =0，p o =10[N/mm2])

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Von Mises Stress)のコンター図を示す。両方とも切欠き底に高い応力が生じているが，応力分布は大差ないことがわかる。なお，この時の相当ひずみεY (Comp 22of Total Strain)のコンター図を図 23 に示す。A1050 アルミニウム材では，ひずみの集中域が小さく孔の影響が局所的であるが，S35C 軟鋼材では孔近傍に大きいひずみ集中域が生じていることが確認できる。
この項で弾塑性解析の基本を学び，弾性解析における応力とひずみ関係とは異なる材料挙動を知ることができる。
図 21 垂直応力σyy のコンター図( p i =p o =10[N/mm2])

４． 弾塑性解析
2.2 項で弾性解析を行った中央に円孔を有する板の一様引張り問題を，材料の塑性降伏を考慮して弾塑性解析をする。弾塑性解析では材料定数としてヤング率
E，ポアソン比ν，降伏応力σY および応力σとひずみεの関係が必要となる。ここでは式(9)の加工硬化則(5)を用いる。なお使用する解析ソフトでは，入力する真応力σと真ひずみεの関係には弾性ひずみ成分εe を除いた塑性ひずみεp の値を用いなければならない。
𝜎 = 𝜎Y + 𝐾𝜀 𝑛

A1050

S35C

図 22 切欠き近傍の塑性相当応力分布（負荷応力 1.0σY）(9)

ここで K は塑性係数，n は加工硬化指数(n 値)である。また，降伏応力σY に達するまでは当然弾性ひずみεe のみで塑性ひずみεp は 0 である。
数値計算はアルミニウム(A1050)と軟鋼(S35C)を想定して行い，加工硬化則の違いが降伏挙動に与える影響を比較する。表 4 に材料の機械的性質を示す。

表 4 アルミニウムと軟鋼の機械的性質[6][7][8]

E
A1050

N/mm272×103

S35C

206×103

単位σYK

N/mm2

N/mm20.3301600.30.3

305

10000.2νnA1050

S35C

図 23 相当ひずみ分布（負荷応力 1.0σY）５．結言
数値解析における解析モデルと境界条件は前項の弾性計算と同じであるが，負荷応力は降伏応力σY の 1.2倍までを 12 ステップで行う。2 つの材料挙動が絶対値では大きく異なるため，降伏応力σY を基準に比率を合わせて降伏挙動を比較する。図 22 に負荷応力 1.0σYにおける切欠き近傍の塑性相当応力σvon (Equivalent

さまざまな産業分野において広く使用されるようになった数値シミュレーション技術を学び，身につけておくことは大切なことである。本論文では，学生が材料強度に関する知識を数値シミュレーションを通して習得できるように配慮した。試行錯誤しながら問題を

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弓削商船高等専門学校

紀要

解く中で解析ソフトの使用法を学び，与える境界条件の重要さを知り，可視化された現象で材料挙動の理解を深めることができたと考える。疑問を持つ形状と材料についての応力と変形を知るために，解析モデルを作成し，数値実験を行う基本的なことはできるようになったと思う。またその結果の見方，精度評価法を学習でき，例えば分割数による結果の変動を知ることで評価したり，似た問題の厳密解との比較によって推定したりする方法などを学んできた。本論文で取扱ったこれらの問題は材料強度の初歩的な内容であるが，数値解析の初心者が Marc を用いて強度解析を行う上で大変参考になると考えている。
参考文献[1] 坂根 政男：例題で学ぶ Marc 有限要素法解析入門，〈平成 23 年〉[2] 木下 つる代：Marc Mentat2011(classic)簡易マ
ニュアル （実習用テキスト），〈平成 26 年〉[3] 石田 誠：日本機械学会論文集，第 21 巻，第 107号，だ円孔を有する帯板の引張り（第 1 報） ，pp507-513 ，〈昭和 30 年〉[4] 西谷・他 2 名：機論，49-441，A，pp602-610，＜昭和 58 年＞[5] 益田 森治・室田 忠雄：工業塑性力学（改訂），＜平成 6 年＞
[6] 大西 清：JIS にもとづく機械設計製図便覧（第10 版） ，p4-4 ，〈平成 13 年〉[7] JIS 規格：アルミニウム及びアルミニウム合金の板及び条 JIS H 4000 ，〈平成 26 年〉[8] JIS 規格：機械構造用炭素鋼鋼材 JIS G 4051，〈昭和 54 年〉

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