講座
プラズマ理論の技法
支援論文

B．流れと非エルミート性
龍野智哉（東京大学大学院新領域創成科学研究科）

Flow and its Non-Hermiticity
TATSUNO Tomoya
Graduate School of Frontier Sciences, University of Tokyo, Tokyo 113-0033, Japan(Received 10 April 2002)
Abstract
A complete spectral analysis of a non-Hermitian generator has been shown for a surface-wave model describing the Kelvin-Helmholtz instability. The canonical form of the generator contains a Jordan block in the continuous spectrum, which represents resonant interaction of a surface wave and ambient shear flow due to theoverlapping of their frequencies. Secular amplification (or a long-term modulation) of oscillations is inducedby the resonant (or near resonant) interactions.
Keywords:
linear stability, Kelvin-Helmholtz instability, spectral resolution, degenerate frequency, secularity

流れのない MHD プラズマの線形安定性に関しても，乗可積分な固有モードが存在するか否かという問題に帰多次元問題などまだまだ残された課題は多いが，生成作着する．固有モードは全て直交した独立なものであるた

用素がエルミート（自己随伴）であるため von Neumannめ，もし異なる固有モード間で周波数が縮退していたとのスペクトル分解定理が適用できる［１］．したがって基しても問題は起きない．

本的には固有値問題を解けばよいということがわかってところが流れのあるプラズマでは，生成作用素がエルおり，得られた固有値を全て集めれば一般的な系の線形ミートでなくなり，一挙に問題の難しさが増す．我々が運動は記述される．例えば状態ベクトル "に関する時間取り扱う問題は偏微分方程式であり，無限次元の問題で発展方程式がエルミート作用素（Hermitian operator）"あるが，完成された理論をもつ線形代数とのアナロジーによってで議論するとわかりやすい．まず Schrödinger タイプの!
#""#""（１）#""#!""!とおきかえた固有値問題と与えられたとき，#"$ !"!!!$#"$

方程式（２）の解をすべて集めてくれば一般解が構築できるのであ（３）を考える．ここで "は ! 次元ベクトル，!は !"! 行列である．行列作用素に関するスペクトル理論は完成しており，Fig. 1 のように分類がなされている．これらのう!

る．したがってこの系の線形安定性は，! が負になる２

ち，半単純（semi-simple）行列までは固有値分解が完全

author’s e -mail: tatsuno@k.u-tokyo.ac.jp
９３０

J. Plasma Fusion Res. Vol.7８, No.9 (2002)９３０‐９３４

Lecture Note

Flow and its Non-Hermiticity

T. Tatsuno

B．
１ 定式化
ここでは Kelvin-Helmholtz 不安定性
［２‐４］を記述する
Rayleigh 方程式に周波数縮退が存在することを示し，その挙動について［２］議論する．中性流体に関する Euler方程式)""$!)'$!
(("""#（７）をとり，２次元の非圧縮流れについて考える．線形化して（７）の回転をとれば，-成分は渦度に関する時間発展方程式を与える．平衡流としてデカルト座標（ +'!）においてFig. 1

Classification of finite dimension operators from the view
-point of spectral theory.

"#$+!
)
+"!
#!
#,

（８）

をとると，Rayleigh 方程式［２］であるため，安定性は固有値問題%)$"))//!
)!
+"#"&((#$&+"(##（４）

を得る．ただしここで # は摂動渦度の -成分であり， /は +微分，#$!"!$はを解いて " 個の独立な固有ベクトルを求めることで判定できる．もし同一の周波数に縮退した２つの固有ベク

"&

$(+"!
!
# $"

トルがあったとしても，行列が対角化できるため，解は!&"$' #%!
!('!
(")%%%("#"'*)!

（９）

!!
+!
&"
$!
&"
&&,!&*+!&*$'!!
+!
&"

（５）

%$$

&%

（１０）
（１１）のように " 個の指数的な時間発展の和で表される．とこである．,方向の波数 &は良い量子数となる．以下では，

ろが"がJordan行列であった場合，周波数縮退はJordan)//!
+"を )!
+"とは独立な，ある実関数 *!
+"で置き換え細胞を生み，モード間の除去できない相互作用を伴う．

$#
ることによって（９）を一般化して考える．つまり &(モード間の相互作用はとして，!
% $ #%%# % $%%!＝%1 2 2%%# 0 ### 0 #"#&#&&&
1&&% $&
$
# %

003*!
+")!
+"
#"&
((#$&(##（１２）$)//!
+"+"となるときが物理的なRayleighを考える．*!
方程式（９）を表す．境界条件は +. %& で #- #であ（６）る．

B．
２ 作用素の性質
B．
２．
１ 対流のように一つずつのカップリングの形で計算され，（３）$#と仮定し，連続な実関数+"
ここで，（１２）式中で *!の時間発展は)!
+"について' !(0!
((' %('!(%(!
'!(%(!

)!
+"#((#$&(（１３）といった因子を含むことがわかる．したがって，もしたとえすべての固有値 %が実数であったとしても，不安定を考える．（１３）の生成作用素の形式的な固有値と対応す性（非有界な振動の増幅）が存在する．振幅の代数的なる固有関数は，'成長（因子 (）を secularity と呼ぶ．

)!
+")%)$&$'!(%()）とおくことで("（すなわち #!
９３１Journal of Plasma and Fusion Research Vol.78, No.9 September 2002'!
$"%#&)!$"， '##!
，となり，この行列の固有値は Kelvin-Helmholtz 不安定性

（１４）を与える．ここで $ は Doppler シフトの大きさを表し，と表される．ここで，$は任意の実数，#は Dirac のデル!#$""とした．

'!
)"のスペクトルはタ関数である．したがって作用素 &B．
３ 冪零と共鳴連続であり，対応する固有関数は特異である．

さて，速度プロファイルを!
$)"
"!
)!""
#$'!
)"
"
$!
"%)"
$
#

B．
２．
２ 表面波モデル)"について，これを連続（１２）式右辺第２項の関数 (!
関数として計算を進めることは困難であるため，表面波

（２２）

#'++!
)"
)"と 取 ろ うと 与 え，辻 褄 が 合 う よ う に (!

##とし，(!
)")"をモデルを導入する．'!

（Fig. 2）．

##' !%#!
)!"%"
(!
)"

このプロファイルは )#"にデルタ関数で表される表

（１５）

%#$

#!
)"
$"
""
#!
)!""を伴う．)#!"に反対
面波成分 '++!

とおいて作用素の離散化を行う．ここで導入した表面波)"を置けば )!!"での速度が一定になり，こ向きの '++!

（デルタ関数）は，もともとの物理量に戻ると，文献［２］

れは文献［２］で扱われている Kelvin-Helmholtz 不安定性で用いられている区分的線形なプロファイルにおけるを与える速度プロファイルである［成長率は（２１）の行列++'!
)"に相当する．の固有値で与えられる］．

ここでは ##%として固有値方程式は#!)
!#!
*
(!
)"
#!
)!""
)"""

（１６）

#!'!
%'!
)"
)"
'( (!&()!&('!
#&! $ #!
)!""
&"'!
)"
'!
)"
'&
"
%!'を考える．固有値問題は!#!
*
#!! )
#!
)!""
)"""
%'!
)"
%であるが，この系には２種類の固有関数が存在する．一つは表面波に相当する点スペクトルであり，固有値は'( (!&()!&('!
&"'& （１７）!'である．固有値と対応する固有関数はそれぞれ!
%#$ )$!(!&&",%$! $ ,%$#&"%
対応する固有関数は

（１８）

'$##!
)!""

および##!
!!
'!
)")""")!""(%&"#!
$$)$!(!&&""（１９）と求められる．
(!
)"
ここで離散化された作用素 &"を行列で表すこと)!""と #!
)"""にとるを考える．基底ベクトルを #!
(!
)"と，作用素 &"は形式的に!$ !(!%&"& ! # !%&"&(!
)"$% ($（２３）（２０）'!
)"による Doppler シフトを対と表すことができる．&
角成分に加えると，&"!$ !(!%&"$ %"&&'!
)"(!
)"% !%&"& （２１）"& %" (!!
&"!$"
%
９３２

Fig. 2

Piece-wise linear velocity profile.

（２４）

Lecture Note

Flow and its Non-Hermiticity

T. Tatsuno

である．もう一つは流れによる連続スペクトルであり，固有値と対応する固有関数はそれぞれ
'% $)
$%，
#（２５）

$ &
$#
"&$!
+"+&$!
)#"#"(!)'$+,
$%!
#'(%

（３４）

$&%!
+"&%!
#"
(!)'$+（３５）(!)'$+にしたがって secularと求められる．表面波 &$ は +および!)!
#!%"" ((% $$!
$!
,!#",!%"!$)!
#!%"%に成長する．
（２６）

B．
４ プロパゲータの表現

で あ る．こ こ で 注 意 し な け れ ば な ら な い の は% %#&$#!$%$")になることである．なぜなら %$%#%

前節での形式的な計算を数学的に定式化しよう．ヒルベルト空間をのとき，固有関数（２６）の第２項が発散し，連続スペクト#"%$!&"%!

ルに属する固有関数は点スペクトルに対応する固有関数（３６）（２４）に縮退するからである．同時に固有値（２５）も点スペとして，% の要素をクトルのもの（２３）に縮退する：'%# $'$.

（２７）,!%#"の自由度が失われしたがってこれらだけでは $!てしまい，完全解が得られたとは言えない．Jordan 行列と 書 く こ と に す る．こ の と き２種 類 の 固 有 関 数 は，%$%#も含めて次のように書ける．の場合と同じように，縮退した周波数スペクトルに隠れた自由度（広義固有関数）が存在するのである．

$$! $ ，($$!"，'$$)#%#

作用素!の広義固有関数として発見的に
(%$$!
,!%#"

&!
+"
( #!
$&!
"'!
#$%
,!
+"
+"
$!
,!#"
,!
+"３７）
&
（'!
,!
+"

（３８）

（２８）と取ってみると，'% $'$!!"!
(%$ $ (!)!#!%#"($,
#%

（２９）

%'$!!"!
(%$#.

（３０）（２８）が確かに広義固有関数になっていることがわかる．
形式的に (%に点スペクトルの自由度を与え，初期値を(%に取って時間発展を追ってみよう．渦度 # を ($ と)
!"!
#!
%")
$%，(*% $%
&#*!
%"
$!
,!%"

（３９）

ただし!
$
$$&!
%"
"#$#

（'%!'$$#）$#）（'%!'$%$'%!'$"&!
*!
%"%"

（４０）
（４１）

である．

(%に分けて線形代数理論とのアナロジーから，変換行列%$+ &(!
#!
,!
+"+"
((!
,"

（３１）

($$とし，これを発展方程式（９）に代入すると'&$$!)'$&$") $ &%,'+#'(%（３２）'&%$!)
'$&%.
'+

（３３）

したがって解は*%'%$
#!
$!
,!%"
(($,!
"
" $#
'
(,)
#!
"!
#!
,,
$"')
*
$
*!
,"
#
によって生成作用素は標準形#'$ ,&!
,"',&"−1!" $%',#に変形され，プロパゲータは

９３３（４２）（４３）

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.78, No.9 September 2002

−1'!('"'!('!＝" %%#!$(!
#"#'!('!"!
"!
(!
'".

!"

%'!(%$'##$# '!(%('（４６）（４４）

参考文献と表現される．ただし，%&!"!
#!
("'!(%('!'!(%$'&%#%!
("!
$!$!
"
%(!%$!(
"'!"!
#!
("$!
("(４５）'!(%$'&&（"で あ る．こ の プ ロ パ ゲー タ を 用 い て，任 意 の 初 期 値"!
(!
#"（$$）に関する初期値問題が解ける：

９３４［１］K. Yosida, Functional Analysis (Springer-Verlag, Berlin,1995).
［２］J.W.S. Rayleigh, Proc. London Math. Soc. 9, 57 (1880).
［３］G.I. Taylor, Proc. Roy. Soc. London A 132, 499 (1931);
S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic
Stability (Clarendon, Oxford, 1961).
［４］神部 勉，P.G.ドレイジン：流体力学安定性と乱流（東京大学出版会，１９９８）．