断片的なプローブ軌跡の接合による区間旅行時間の期待値と分散の推定*
Estimation of Expectation and Variance for a Section Travel Time based on Fragmentary Probe Trajectories*
上杉友一**，井料隆雅***，小根山裕之****，堀口良太*****，桑原雅夫******
By Yuichi UESUGI**, Takamasa IRYO***, Hiroyuki ONEYAMA****, Ryota HORIGUCHI*****, Masao KUWAHARA******

1.

はじめにれた交通状況において，対象区間を完全に通過するプローブ軌跡を用いて，対象区間全体の旅行時

本稿は，プローブ車両から得られるリンク旅行時間の期待値と分散を推定した場合と，対象区間を間情報を用いて，ある対象区間の旅行時間を推定部分的に通過するプローブ軌跡も加えて，対象区する際の，対象とするプローブ軌跡の選択方法と間全体の旅行時間の期待値と分散を推定した場合期待値・分散の推定精度の関係を検証するものでで，どの程度の違いがあるかを検証した．さらに，ある．

断片的なプローブ軌跡を利用する際に，後の２章現在のプローブデータを用いた旅行時間推定ので述べる交通工学的な解釈・処理を加えることに可否は，プローブ車両の台数に大きく依存していより，区間全体の旅行時間期待値と分散の推定精ると言える．特に，旅行時間の推定対象となる区間が長い場合には，対象時間内に区間全体を完全度がどの程度向上するか，という点についても検に通過するプローブ車両の台数は，必然的に減少

対象区間全体証を行った．

してしまう．
一方，情報利用者のニーズで決定される情報提供②①

区間と，自由意志に基づいて行動するプローブ車③

両の通過区間は，必ずしも一致しない．また，タクシーのようにある属性をもった車両をプローブ④

プローブカー①：（86, 25, 96, 36, 51）
プローブカー②：（--, 30, 94, --, --）プローブカー③：（89, 32, --, --, --）プローブカー④：（--, --, --, 32, --）車両として採用する場合，プローブ軌跡にもある…

…

程度の偏りが生じると考えられる．そのため，ニーズに基づく対象区間を完全に通過するプローブ※ 破線矢印は区間全体を通過するプローブ軌跡．
実線矢印は対象区間を部分的に通過する軌跡．
番号が同じ軌跡と旅行時間情報は対応する．

軌跡は，ごく少数しか存在しない，あるいは全く存在しない，という状況が容易に想像できる．
そのため，対象区間を完全に通過する車両だけで※※ カッコ内の数字はリンク旅行時間 ’--’ はそのリンクの旅行時間情報を持たないことを意味する

なく，対象区間を部分的に通過する車両（図１参図１：
完全又は断片的な旅行時間情報を持つプローブ軌跡照）の旅行時間も推定に利用することで，推定に利用可能な旅行時間データの数を増やすことが望2.

複数リンク間の旅行時間と分散の推定方法

まれる．
また，ユーザーへ提供すべきサービスという側面から考えると，対象区間全体の旅行時間の期待値

ンクの旅行時間と分散から，区間全体の旅行時間だけではなく，旅行時間の変動幅や信頼区間のよの期待値と分散を算出する方法について述べる．

うな情報も提供すべきであると考えられる．
そこで本稿では，シミュレーションにより再現さ*キーワーズ：交通情報，ITS，プローブ**学生員, 東京大学大学院工学系研究科
連絡先：〒153-8505 東京都目黒区駒場 4-6-1
東京大学生産技術研究所 桑原研究室***正会員,工博, 東京大学国際産学共同研究センター****正会員, 東京大学生産技術研究所*****正会員, 工博, 株)アイ・トランスポート・ラボ******正会員, Ph.D. , 東京大学生産技術研究所

本章では，対象区間内の複数リンクにおける各リ（１）リンク旅行時間からの区間旅行時間の推定
対象区間内の各リンク旅行時間から，対象区間全体の旅行時間の期待値と分散を求める際には，次に示す式(1)，(2)を用いる事ができる．

1ここで， α, β は，統計量を不偏推定量とするた

lµ = ∑ µii =1l……(1)ls 2 = ∑ si + 2∑ sii′
2i =1……(2)めの補正項であり，その必要性及び導出の詳細については巻末の付録に付す．
また，前述の数式の補足をすると，式(1)におけるi >i′δ ik の意味は，車両 k がリンク i の旅行時間情報をµ ：対象区間全体の旅行時間の期待値µ i ：リンクiにおける旅行時間期待値

所持しているかいないかを，1 or 0 で確定する確率

s 2：対象区間全体の旅行時間の分散
2
si ：リンクiにおける旅行時間分散
sii：対象区間内のリンクiとi’の旅行時間共分散′変数で表したものである．つまり， δ ik の k に関する総和は，リンク i を通過するプローブ車両台数 niに等しくなる．すなわち式(3)は，サンプリングされたプローブ車両のうち，リンク i の旅行時間情報

また，図１に示すように，多くのプローブ車両は，を所持するものだけを用いて，リンク i の旅行時間対象区間内のすべてのリンクに対して，完全な旅の期待値の推定を行うものである．

行時間情報を所持しているわけではない．

式(3)についても同様の考え方で，サンプリングさそこで，断片的な旅行時間情報しか持たない車両

れたプローブ車両のうち，リンク i とリンク j の両について，あたかもそれらの車両が対象区間を完方の旅行時間情報を所持するものだけを用いて，全に通過したようにみなし，偶発的に対象区間中リンク i とリンク j の旅行時間共分散の推定を行うの部分的な旅行時間が欠落したと考えることで，ものである．

全車両が対象区間を完全に通過した場合と同様に（２）ケース設定推定を行うことができる．
以下には，断片的なプローブ旅行時間データを用

以下では区間全体の旅行時間の期待値 µ と分散いた場合における，各リンクの旅行時間の期待s 2 を推定する３つのアプローチを考える．

値・分散・共分散の計算方法を記す．

µˆ i =（a）ケース 11 m∑ δ ikTik
ni k =1……(3)µ̂ i ：リンクiにおける旅行時間期待値の推定値
ni ：リンクiを通過するプローブ車両台数

ケース１では，サンプリングされた車両の中から，対象区間を完全に通過する車両だけを抜き出して，推定を行う．

Tik：リンクiにおける車両kの旅行時間，k=1,2,…,m2
 1 m1 m
 2sˆi = α ⋅  ∑ δ ik Tik −  ∑ δ ik Tik   ni k =1
 ni k =1
 N − 1 niα=⋅
：補正項
N ni − 12（b）
ケース 2……(4)

ケース２では，サンプリングされた車両の中から，対象区間を完全に通過する車両に加え，対象区間を部分的に通過する車両も考慮して推定を行う．

N ：サンプリングを行う母集団の車両数
2sˆi ：リンクiにおける旅行時間分散の推定値（c）
ケース 3mmδ ik：0 or 1の確率変数  ni = ∑ δ ik , nij = ∑ δ ik δ jk 
k =1k =1
mmm
 11 sˆij = β ⋅  ∑ δ ikTikδ jk T jk − 2  ∑δ ikTik ∑δ ikT jk nij  k =1
 nij k =1k =1


ケース３では，ケース２に交通工学的な解釈・処理を加えたものを考える．具体的には，ケース２の手法に基づいて，断片的な旅行時間情報を利用する際に，系統的に異なる旅行時間データを排除する作業を行う．

……(5)

β=

N − 1 nij：補正項⋅
N nij − 1

ケース３を考慮する交通工学的な視点についてŝij ：リンクiとリンクjの旅行時間共分散の推定値

多少述べると，図２のように右左折で対象区間に

n ij：リンクiとjの旅行時間を共に持つ車両台数

流入し，右左折で対象区間から流出する車両の旅
2行時間は，対象区間内において，そのターンの直散の分布形状を求め，その分布形をもとに最終的前・直後の旅行時間には，系統的な差異が生じるな旅行時間期待値と分散を算出する．
STEP1 ランダムサンプリングでプローブ車両を抽出

よるオフセットのずれやターンの際の遅れ時間などが考えられる．そのため，このような系統的なSTEP2

差異を含む旅行時間は，推定には用いるべきでは

ケース１ or ケース２ or ケース３で抽出された車両データを用いて，対象区間全体の旅行時間の期待値と分散を算出繰り返し計算と考えられる．その原因としては，右左折流入に繰り返し計算終了ないと考える．
STEP3

各試行の結果より，対象区間全体の旅行時間の期待値と分散の分布形を確定

図４：計算機実験による検証手順

図４には，検証方法の手順の概略を示す．
対象区間全体
図２：ケース２とケース３の違い（ケース３では○の旅行時間だけを使用）（ケース２では△と○の両方を使用）

以上の３つのアプローチの概略を図３に示す．
車両全体からランダムサンプリング

対象区間を完全に通過する車両のみPick Upケース1

対象区間を完全に通過する車両＋
対象区間を部分的に通過する車両

ケース2

対象区間内においてターンを含むリンク
旅行時間を排除

ケース 3の時間に出発し，かつ，対象時間内に区間全体を通過した車両の旅行時間の期待値 µ と分散 s 2 であるが，これらを推定するのは困難であるため，
ケース１のサンプル率 100%時の区間全体の旅行時間の期待値と分散をリファレンスとして，本検証を行うものとする．
結果及び考察4.

図３：３つのアプローチの概略

3.

また，ここで推定すべき値は，対象時間内の任意計算機実験による検証

本章では前章の手順と手法に基づいて，プローブ車両の混入率を変化させて，対象区間全体の旅行時間および旅行時間分散についての計算機実験を行った結果を示す．さらにその結果に対し，的中

本章では，前章で述べた推定方法を用い，シミュ率という指標を定義し，この指標を用いて各推定レーションで再現された交通状況に対して旅行時手法を評価し，考察を行うものとする．

間推定を行う手順について説明を付す．
まず，街路網の交通シミュレーション AVENUE
累積確率密度を用いて，10 リンク 9 交差点から成る直線幹線道路により構成されるネットワーク上で非飽和交通流を再現した．
ネットワーク中の各 OD では，プローブ車両はランダムに分布していると考え，全車両データからプローブ車両の混入率に対応するサンプル率でランダムサンプリングを行い，プローブ車両を抽出する．この抽出されたプローブ車両の旅行時間情報を，前章で示した３つの手法を用いて，1 回の試行における対象区間全体の旅行時間の期待値と分散を推定する．
そして，前記の計算を十分な回数（1000 回）だけ

1
混入率2％
0.90.8
ケース３0.7
ケース１0.6
ケース２
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0447 457 467 477 487 497 507 517 527 537 547

図５：混入率 2%時の区間全体の旅行時間期待値分布

まず，プローブ混入率が 2%および 10%の時に，繰り返し試行 1000 回について，試行毎の対象区間全体の旅行時間期待値をソートして，累積確率密度の分布として表した図５，図６を示す．

繰り返し，対象区間全体の旅行時間の期待値と分3

累積確率密度1
混入率10％
0.9
0.8
ケース３0.7
ケース１0.6
ケース２
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0447 457 467 477 487 497 507 517 527 537 547

図６：混入率 10%時の区間全体の旅行時間期待値分布

次に，図７，図８に示される区間旅行時間の分散値に注目すると，ケース２が最も大きく，次いでケース３，ケース１の順である．この結果から，ターンを含む旅行時間を排除した方が，区間旅行時間の分散を小さく出来ることがわかる．また図 7に注目すると，ケース２およびケース３において対象区間全体の旅行時間分散を推定した場合，混入率が低い時のごく僅かな試行において，負の区間旅行時間分散が推定されている．この理由は，
ケース２およびケース３において，本来，不完全な旅行時間情報しか所持していないプローブ軌跡

象区間全体の旅行時間分散値の累積確率密度分布に関しても，あたかも対象区間全体の完全な旅行を示したものが図７，図８である．

時間情報を所持しているかのように推定を行った

累積確率密度

また，混入率が 2%および 10%の時，試行毎の対10.90.8
0.7
0.6
0.50.40.3
0.2
0.10-300為である．そのため，旅行時間情報が完全な場合
混入率2％に比べて，各共分散の推定値を負側に大きく見積もってしまうと，式(2)により，分散共分散行列のケース１
ケース２成分の線形和で表現される区間分散推定値は結果的に負になる可能性が生じると考えられる．旅行

ケース３

時間情報が完全となるケース１の場合には，分散推定値が負になることは無い．
0

また，区間旅行時間の期待値と分散の両者につい300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400て，プローブ混入率が 2%の時と 10%の時を比較す
図７：混入率 2%時の区間全体の旅行時間分散分布

ると，2%の累積分布形は 10%のそれに比べ，なだ

累積確率密度らかである．このことは，混入率が低いと，提供
10.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.10-300できる区間旅行時間の変動幅が大きくなることを混入率10％意味している．
次に，各ケースの評価として，的中率という指標

ケース１
ケース２
ケース３を考える．的中率とは，例えば区間旅行時間期待値の推定値について，ケース１におけるプローブ混入率 100％時の区間旅行時間期待値を基準値とし，各ケースにおける 1 回の試行の推定値が，全0300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400

図８：混入率 10%時の区間全体の旅行時間分散分布

試行回数中において，どの程度の割合で，基準値から±10(s)の範囲に収まるか，ということを示す

図５，図６の区間旅行時間の期待値に注目すると， 指標であると定義する．また，区間旅行時間分散についても同様に，ケース１におけるプローブ混
ケース１が最も大きく，次いでケース３，ケース２の順である．今回再現された交通状況では，右入率 100％時の区間旅行時間分散を基準値とし，各左折を含む旅行時間を排除した方が旅行時間期待

ケースにおける試行の推定値が，全試行回数中で値は長くなっているが，これはシミュレーション基準値から±300(s2)の範囲に収まる割合，と定義中のオフセット設定の関係で，直進でリンクを通する．

過するよりも，系統の途中で従道路から右左折し図９には，±10(s)範囲の区間旅行時間の的中率をて主道路へ進入してくる車両の方が，当該リンク示す．

を短い時間で通過してしまうためである．
4

的中率(%)

ス３では，系統誤差が推定値に与える影響を相対

100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0.1% 0.3% 0.5% 1%
Case1
Case2
Case3

的に無視できなくなり，推定精度が低下する．
また図１０における計算不能率に注目すると，プローブ混入率が低い場合，計算不能となる確率はケース１が最も高い．
この理由は，ケース１では，対象区間を完全に通2% 3% 5% 10%
プローブ混入率(%)

図９：±10(s)範囲の区間旅行時間の期待値的中率

過するプローブ車両の旅行時間情報のみを用いて推定を行っているが，プローブ混入率が低い場合には，プローブ車両の絶対数の不足により対象区間を完全に通過する車両が皆無もしくは１台しか存在しない，という状況が容易に生じる．そのたなる確率を示す．ここで計算不能になる確率につめ，前述の計算不能率の定義に従うと，プローブいて述べる．プローブ混入率が低い場合，各ケー混入率が低い時には計算不能率が高くなる．しかスにおいて，絶対プローブ車両数の少なさのため，しながら，今回の計算機実験においては，プロー

対象区間の特定リンクを通過する車両が 1 台も存ブ混入率が 3％を超えると，各ケースにおいて計算在しない，という状況が存在する．このようなリ不能となることは無くなる．このことは，ある程ンクが対象区間内に 1 リンクでも存在する場合，度以上のプローブ混入率においては，ケース１の区間旅行時間期待値の推定は不可能であると判断推定精度が高くなる，という前述の結果に対応しし，計算不能として処理する．ている．

計算不能率(%)

図１０には区間旅行時間の期待値が計算不能に

すなわち，プローブ混入率が低い時は，計算不能

100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0.1% 0.3% 0.5% 1%
Case1
Case2
Case3

を回避するため，ケース２およびケース３の手法が有効であるが，混入率がある程度高くなると，その的中率から判断して，ケース 1 の手法がもっとも適当であると考えられる．
同様に，図１１には±300(s2)範囲の区間旅行時間2% 3% 5% 10%
プローブ混入率(%)

分散の的中率を，図１２には区間旅行時間分散の計算不能率を示す．

図１０：区間旅行時間期待値が計算不能となる確率

的中率(%)

図９において，プローブ混入率が低い場合（1％以下の場合）には，ケース２とケース３の的中率が上回っている．しかしながら，混入率が 3％を超えると，ケース 1 の的中率が上回ることが分かる．
この理由としては，ケース１では，混入率が低い

100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%

時にはプローブ車両の絶対サンプル数が少ないた
Case1

め，精度の高い推定を行うことが難しくなる，と0.1% 0.3% 0.5% 1%
Case2
Case3

2% 3% 5% 10%
プローブ混入率(%)

いう点が挙げられる．しかしながら，プローブ混

図１１：±300(s2)範囲の区間旅行時間分散的中率入率がある程度上昇すると，プローブ車両数を確

区間旅行時間分散の的中率に関して，プローブ混保することができるようになり，ケース１での推入率が低い時には，各ケースとも大きな差異は見定精度が向上する一方で，部分的な区間しか通過られない．しかし，混入率が上昇すると，ケースしないプローブ車両の旅行時間情報を用いて区間１が最も高い的中率を示し，それに続いてケース旅行時間期待値と分散を推定するケース２とケー３の的中率が高い値を示す．
5この理由は，プローブ混入率が低い場合には計算ンサーで計測した旅行時間を繋げる際にも有効で不能率の高さからケース毎の差異はほとんど無いあるといえる．

が，混入率が上昇すると，計算不能となる確率が【参考 URL】の推定値が，結果的に最も的中率が高くなると考

街路網交通シミュレーションモデル AVENUE

えられる．

http://www.i-transportlab.jp/products/avenue

計算不能率(%)

低くなるため，系統的な誤差を含まないケース１

100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0.1% 0.3% 0.5% 1%
Case1
Case2
Case3

【付録】２章，式(4)，式(5)中の補正項について
プローブ車両のサンプリング抽出は，本質的には非復元抽出であるため，プローブ車両から得られる区間旅行時間の分散の推定量を不偏推定量として計算する場合には，復元抽出を前提としている一般的な公式とは異なった式を考慮す

2% 3% 5% 10%
プローブ混入率(%)

図１２：区間旅行時間分散が計算不能となる確率

区間旅行時間分散の計算不能率について，各ケーる必要がある．
いま N 台の車両から非復元抽出で n 台の車両をサンプリングし，分散を算出することを考える．
その際の区間全体の旅行時間分散の真値 σ 2 と，ス間で混入率の違いによる差異は見られなかった． 全プローブ車両における分散値 s 2 は次のように
p

また，ケース２における区間旅行時間期待値およ書ける．

び分散の的中率に関して，プローブ混入率が一定

1 N

1 N2σ ≡ ∑ Xi −  ∑ Xi N i =1
 N i =1 以上になると的中率が低下している．この理由は，系統的に大きな差異を含む旅行時間も利用して区間全体の旅行時間期待値と分散を推定しているたsp

め，推定値に偏りが生じているためと考えられる．
以上をまとめると，プローブ混入率が低い時は，ケース３の手法が有効である．混入率がある程度

2n∑δ = ni =1iここで s p の期待値を考慮し数式を展開すると，( ) = n1 ∑ E (δ )X −  n1 ∑ ∑ E (δ δ )X X と）計算不能に陥る可能性がなくなるため，ケーE sp

ス 1 の手法を用いるのが有効であると言える．

N222i

本稿では，対象区間に対して断片的なプローブ軌跡から，対象区間全体の旅行時間の期待値と分散を推定する方法を検討した．その結果，プローブ軌跡を用いる推定手法が有効であることが確認さ

Niji

j

i =1 j =1=1
1 N
1  n −1  N
2
1 −  ∑ X i −∑ X i X jNn  i =1Nn  N − 1  i ≠ j=N  n −1  2σn  N − 1∴ σ2 =

車両の混入率が低い場合には，断片的なプローブ

Nii =1

結論( )n  N −12E s pN  n −1 ( )上記のように，E s p から σ 2 を推定することが2れた．
ず，AVI やビーコンといった車両を追跡できるセ1 N
1 N
2= ∑ (δ i X i ) −  ∑ δ i X i n i =1
 n i =12

高くなると（今回の計算機実験では 3%を越える

また，本稿における推定手法は，プローブに限ら

2

X i ：車両 i の旅行時間
δ i ：0 or 1 の確率変数

区間旅行時間期待値と分散の推定にはケース２と5.

22でき，これに補正項

n  N − 1 を加えることによN  n −1 り， σ 2 の推定値を得ることができる．
6

断片的なプローブ軌跡の接合による区間旅行時間の期待値と分散の推定*
上杉友一**，井料隆雅***，小根山裕之****，堀口良太*****，桑原雅夫******
本研究は，プローブ車両から得られるリンク旅行時間情報を用いて，ある対象区間の旅行時間を推定する際の，対象とするプローブ軌跡の選択方法と区間旅行時間の期待値・分散の推定精度の関係を検証するものである．すなわち，プローブ車両の混入台数と区間旅行時間の期待値・分散の推定精度の関係について，(1)「対象区間を完全に通過する車両の旅行時間情報だけを用いる場合」，(2)「(1)に加え，対象区間を部分的に通過する車両の旅行時間情報も考慮する場合」，(3)「(2)において，系統的な旅行時間の差異を含むリンク旅行時間を排除する場合」の3ケースを設定し，計算機実験を行うことで，各ケースの推定精度の考察を行うものである．

Estimation of Expectation and Variancefor a Section Travel Time based on Fragmentary Probe Trajectories*
By Yuichi UESUGI**, Takamasa IRYO***, Hiroyuki ONEYAMA****, Ryota HORIGUCHI*****, Masao KUWAHARA******

This paper discusses how to estimate the expectations and the variances of section travel times with sample vehicle
trajectories, such as probes. Since the individual travel time of a section may differ from each other, an advanced
travel information service (ATIS) should provide not only the accurate expectations of travel times but also theaccurate variances. The accuracy of that information depends on the number of available probe trajectories. However,
especially in low penetration ratio of probes, it is difficult to expect sufficient samples which traverse the wholesection. Therefore, we should consider utilizing fragmentary trajectories which traverse some part of the section. In
this paper, we describe the methodology of travel time estimation with fragmentary probe trajectories. Then theaccuracy of the estimation is validated with computational experiment by changing sample ratio and samplingstrategies.

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