リーマン曲率テンソル・ビアンキの恒等式

一般相対性理論で主な計算対象となるリーマン曲率テンソルを定義します。ついでに、ビアンキの恒等式も求めています。
ギリシャ文字とローマ文字両方使いますが、両方とも 0 ∼ 3 です。
まず空間がミンコフスキー計量 (+1, −1, −1, −1) を持っている場合を考えます。この空間においてはクリストッフェル記号はあらゆるところで 0 です。これは共変微分がαAα||β = A|βとなることを言っています。これは何階の微分であろうとも成り立つので

αAα||β||γ = A|β|γから

αAα||β||γ − A||γ||β = 0とできます。これを満たしていれば。その空間はミンコフスキー計量を持つことになり、テンソル形式で書かれているので、あらゆる座標系で成立します。これは大事なことで、一般相対論を考えていく上では、ミンコフスキー計量は局所的にどこでも成り立っているということを反映させています。
この関係が成立しない、つまり共変微分の添え字の順序を入れ替えたときに差が 0 でなくなる場合を考える必要があります。
空間をリーマン空間として、テンソル tαβ の共変微分を{ααtαβ = Aα||β = A|β +}Aηβη(1)と与えます。これのさらに共変微分をとり{
αtαβ||γ = Aα||β||γ = t β|γ +}α
γµ{tµβ −}

νtαν

γβ

これに (1) を入れて

Aα||β||γ =({Aα|β +}A

βη{= Aα|β|γ +ααβη

η{)|γ+}
ηA +|γα}γµ{}αβη

(Aµ|β +{Aη|γ +{αµβη}

γµ1}
Aη)

{−{Aµ|β +αν}

γβ}{γµtανµβη}{A −ηνγβ}tανβ と γ を入れ替えた Aα||γ||β は{}

ααAα||γ||β = A|γ|β +{A +γη}

αη

γη

|β{}

αAη|β +{Aµ|γ +βµ}{α}µβµ{A −γη}

νηβγtα ν

この 2 つの差を取ると{{− Aα|γ|β −{=== −}{|γαA −γηα{−{−|γα}βη|γ{}

αγη}{α}−|βαγµαγµ}{Aµ|γ −}

αµ}{{−µβη}{αβµ}{+µ}{A −νγβ}{ηA +µ}{µ})}
tανν}

βγ}
Aηγηγηαβµ{ηγηβµ|β{}{α}µβηβµA −}}{αηγηβη{{Aµ|β +βµ{A −}αηγµ|β{+{+γη}βη}ααγµAη|β −µγµ|γ}}{α{Aη|γ +γη|β{}αηA +βη(A +αβηηβη
({η}

α{}

αβη

ααAα||β||γ − A||γ||β = A|β|γ +Aηµγη})Aη

= − Rαηβγ Aη下から二行目の ( ) 部分は商定理よりテンソルになり、この部分をリーマン曲率テンソル (Riemann curvaturetensor)Rαηβγ と呼び、
{Rαηβγ =α}ηγ{−|βαηβ}{−α}{γµ|γµηβ}{+αβµ}{µ}ηγと定義されます。わざわざ符号を反転させて定義しているのは、こっちの方で定義している場合が多いからです。
リーマン曲率テンソルをリーマンテンソルと呼んでいきます。
見て分かるように、リーマンテンソルはクリストッフェル記号で構成されているので、アフィン接続と思えばそのままアフィン空間でも使用可能です。ただし、Rαηβγ のように添え字を下げると計量が出てくるのでアフィン空間では使用できなくなります。というわけで、共変微分の添え字をひっくり返したものの差は、リーマンテンソルによって

ααη
Aα||β||γ − A||γ||β = −R ηβγ A(2)となり、リーマン空間においてミンコフスキー計量を持つためにはRαηβγ Aη = 0 ⇒ Rαηβγ = 0であればいいことになります。ミンコフスキー計量では平坦な空間になるので、リーマンテンソルが 0 のとき平坦な空間になります。

2tαν

これは何階のテンソルでも成立し、2 階テンソルの場合は

αραρ
T||β||γ− T||γ||β= −Rατ βγ T τ ρ − Rρτ βγ T ατとなります。また、添え字を下げれば

Aα||β||γ − Aα||γ||β = −Rαηβγ Aηとなり、これは計量が定義された空間（計量空間）で成り立ちます。
今は反変ベクトルから求めましたが、共変ベクトルで行えばAα||β||γ − Aα||γ||β = Rηαβγ Aη
として出てきます。
このようにして求められたものを曲率テンソルと呼ぶ理由を少し説明しておきます。今したことは、2 階共変微分の添え字をひっくり返したものの差を取るというものでした。これは、ベクトル Ai を点 P0 から出発させ点 P1を経由して点 P2 へと平行移動させたものと、点 P0 から出発して点 P1′ を経由して点 P2 へと平行移動させたものとの差に相当します (平行四辺形上を違う経路で移動させたときの差)。

Ai を P0 から P2 へ動かすためには、まず P0 から P1 への平行移動

A′i (P1 ) = Ai (P0 ) − Γikl (P0 )Al (P0 )dxk1
を行います。どの点かをはっきりさせるために変数に P0 , P1 を書いています。dxk1 は P0 と P1 の微小距離です。
そして、これを P1 から P2 への平行移動 (dxk2 は P1 から P2 への微小距離)

A′i (P2 ) = A′i (P1 ) − Γikj (P1 )A′j (P1 )dxk2に入れて、P1 は P0 から dx1 離れているので、Γikj (P1 ) を dx1 で展開してA′i (P2 ) = Ai (P0 ) − Γikl (P0 )Al (P0 )dxk1)()(− Γikj (P0 ) + Γikj|d (P0 )dxd1 Aj (P0 ) − Γjab Aa (P0 )dxb1 dxk2
= Ai − Γikl Al dxk1 − Γikj Aj dxk2+ Γikj Γjab Aa dxb1 dxk2 − Γikj|d Aj dxd1 dxk2 + Γikj|d Γjab Aa dxd1 dxb1 dxk2)(= Ai − Γikl Al (dxk1 + dxk2 ) + Γikj Γjab Aa dxb1 dxk2 − Γika|b Aa dxb1 dx2k= Ai − Γikl Al (dxk1 + dxk2 ) + (Γikj Γjab − Γika|b )Aa dxb1 dxk2
途中で dx の三次は無視しています。そして、P0 から P1′ にいき P2 に到達する経路でも同様にし、差をとればリーマンテンソルが出てきます。差は3(Γiak|b − Γiab|k + Γil b Γlak − Γil k Γlab )Aa dxb1 dxk2 = Ri abk Aa dxb1 dxk2となっており、( ) 部分はそのままリーマンテンソルの定義と一致しています。
このことから、違う経路をとったものが共変微分の添え字をひっくり返したものに相当するために、上でのようにして導出されています。行ったことは、平行移動を使って違う経路で同じ地点を目指すというものなので、空間が平坦であるならその差は 0 になっているはずです (ただの平行四辺形上を動いていると思えばいい)。平坦でないなら 0 でないので、そこに現れるリーマンテンソルを曲率として与えています。
ちなみに、同じ発想で場の量子論ではゲージ場に対する共変微分を作ります (場の量子論の「電磁場〜ゲージ不変性〜」参照)。
リーマンテンソルはクリストッフェル記号とその微分で書かれているので、計量の 2 階微分になっています。このことは計量を使ってクリストッフェル記号を書き換えれば直接見れて

Rαβρλ = gαµ Rµβρλ= gαµ (Γµβλ|ρ − Γµβρ|λ − Γµλν Γνβρ + Γµρν Γνβλ )
(1 ∂)
∂gνβ
∂gβλ
1 ∂ µν ∂gνρ∂gνβ∂gβρµµν ∂gνλνµνg(+−)−g(+−)−ΓΓ
+ΓΓ
ρν βλ
λν βρ
2 ∂xρ
∂xβ
∂xλ
∂xν
2 ∂xλ
∂xβ
∂xρ
∂xν
( 1 ∂g µν ∂g
∂gνβ
∂gβλ
1 µν ∂ 2 gνλ∂ 2 gνβ∂ 2 gβλνλ= gαµ
(+−)
+g
(+−)
2 ∂xρ ∂xβ∂xλ∂xν2∂xρ ∂xβ∂xρ ∂xλ∂xρ ∂xν
= gαµ

−
= gαµ

( 1 ∂g µν
2 ∂x−= gαµ=)1 ∂g µν ∂gνρ
∂gνβ
∂gβρ
1 µν ∂ 2 gνρ∂ 2 gνβ∂ 2 gβρ
µ
ν
µ
ν
(+−)
−g
(+−)
−ΓΓ
+ΓΓρν βλλν βρ2 ∂xλ ∂xβ∂xρ∂xν2∂xλ ∂xβ∂xλ ∂xρ∂xλ ∂xνg ην (ρ)
1 ∂g µν η ∂gηρ∂gηβ∂gβρ
1 µν ∂ 2 gνρ∂ 2 gβρ
µ
ν
µ
ν
g
(+−)
−
g
(−)
−
ΓΓ
+
Γ
Γ
νβρ
ρν
βλ
λν
2 ∂xλ
∂xβ
∂xρ
∂xη
2∂xλ ∂xβ∂xλ ∂xν( ∂g µν
∂x

∂gηλ
∂gηβ
∂gβλ
1 µν ∂ 2 gνλ∂ 2 gβλg(+−)+−)∂xβ∂xλ∂xη
2∂xρ ∂xβ∂xρ ∂xνΓ−ρ νβλ)∂g µν
1 µν ∂ 2 gνλ∂ 2 gβρ∂ 2 gβλ∂ 2 gνρµνµν
Γ+g(+−−)−
ΓΓ+Γ
Γ
νβρ
βρ
ρνβλλν
∂xλ2∂xρ ∂xβ∂xλ ∂xν∂xρ ∂xν∂xλ ∂xβ∂ 2 gβρ∂ 2 gβλ∂ 2 gαρ∂g µν∂g µν
1 ∂ 2 gαλ( ρ β +−−)+g(Γ−Γνβρ ) − gαµ (Γµλν Γνβρ − Γµρν Γνβλ )αµνβλ2 ∂x ∂x∂xλ ∂xα∂xρ ∂xα∂xλ ∂xβ∂xρ∂xλ

ここでgαµ∂g µν∂gαµ= −g µνλ∂x∂xλという関係を使えばgαµ (∂g µν
∂gαµ µ∂gαµ µ∂g µν
Γ−Γνβρ ) = −(Γ −Γ )
νβλ
∂xρ
∂xλ
∂xρ βλ∂xλ βρ

さらにdgµν= gµλ Γλνα + gνλ Γλµαdxαを使うことで4−(()∂gαµ µ∂gαµ µΓβλ −Γβρ ) = − (gαη Γηµρ + gµη Γηαρ )Γµβλ − (gαη Γηµλ + gµη Γηαλ )Γµβρρλ∂x∂x= − (gαη Γηµρ Γµβλ + gµη Γηαρ Γµβλ − gαη Γηµλ Γµβρ − gµη Γηαλ Γµβρ )= − (gαη Γηµρ Γµβλ + gµη Γηαρ Γµβλ − gαη Γηµλ Γµβρ − gµη Γηαλ Γµβρ )よって−gαµ (Γµλν Γνβρ − Γµρν Γνβλ ) − (gαη Γηµρ Γµβλ + gµη Γηαρ Γµβλ − gαη Γηµλ Γµβρ − gµη Γηαλ Γµβρ )= − gαµ (Γµλν Γνβρ − Γµρν Γνβλ ) − (gαµ Γµνρ Γνβλ + gµη Γηαρ Γµβλ − gαµ Γµνλ Γνβρ − gµη Γηαλ Γµβρ )= − (gµη Γηαρ Γµβλ − gµη Γηαλ Γµβρ )というわけでRαβρλ =

∂ 2 gβρ∂ 2 gβλ∂ 2 gαρ1 ∂ 2 gαλ( ρ β +−−) − gµν Γναρ Γµβλ + gµν Γναλ Γµβρλαρα2 ∂x ∂x∂x ∂x∂x ∂x∂xλ ∂xβとなって、計量の 2 階微分とクリストッフェル記号の積という形をしています。
リーマンテンソルの関係をいくつか見ていきます。

• 添え字の対称性
リーマンテンソルの添え字の入れ替えを見ていきます。すぐわかるのは、リーマンテンソル Rαηβγ は三番目と四番目の添え字 β, γ に対して反対称です。他の対称性を見ていくために、内積

ϕ = gµν Aµ Aνを使います。ϕ はスカラーなのでϕ||β = ϕ|βこれをもう一回微分したものを反対称化すると (「テンソルの対称、反対称」参照)

ϕ{|β|γ} =11(ϕ||β||γ − ϕ||γ||β ) = (ϕ|β|γ − ϕ|γ|β ) = 022

これより、ϕ||β||γ − ϕ||γ||β = 0 が分かります。そして、ϕ||β は (3) からϕ||β = gµν Aµ||β Aν + gµν Aµ Aν||β = 2gµν Aµ Aν||β計量の共変微分は 0 というのを使ってます。これのさらに共変微分をとると

5(3)ϕ||β||γ = 2gµν Aµ||γ Aν||β + 2gµν Aµ Aν||β||γというわけで

ϕ||β||γ − ϕ||γ||β = 2gµν Aµ||γ Aν||β + 2gµν Aµ Aν||β||γ − 2gµν Aµ||β Aν||γ − 2gµν Aµ Aν||γ||β= 2gµν Aµ (Aν||β||γ − Aν||γ||β ) = 0( ) 部分は、(2) からリーマンテンソルによる部分なのでϕ||β||γ − ϕ||γ||β = −2gµα Aµ Rαηβγ Aη = −2Aα Rαηβγ Aη

ϕ||β||γ − ϕ||γ||β は 0 なので−2Rαηβγ Aα Aη = 0というわけで

Rαηβγ Aα Aη = 0(4)となります。ここでリーマン空間のある点をとって、Aα が単位ベクトルで、i 成分だけが 1 で他の成分は 0とすると (i の和は取らない)

Riiβγ = 0なので、1 番目と２番目の添え字による行列では対角成分が 0 です。また、(4) は添え字の付け替えから

Rαηβγ Aη Aα =1(Rαηβγ + Rηαβγ )Aη Aα = 02

ここで、Aα の成分のうち２つだけが 1 として、それを Aa , Ab = 1 とすればRαηβγ Aη Aα = Raaβγ Aa Aa + Rabβγ Aa Ab + Rbaβγ Ab Aa + Rbbβγ Ab Ab

対角成分は 0 なので、第一項と第四項は消えることから、(5) は6(5)Rabβγ + Rbaβγ = 0

よって、対角成分は 0、入れ替えで符号が変わることから

Rαηβγ = −Rηαβγとなり、添え字の 1 番目と 2 番目に対して反対称です。
「テンソルの対称、反対称」の最後に出てきた{{Aα||β }||γ } =11({Aα||β||γ } − {Aβ||α||γ }) = {Aα||β||γ − Aβ||α||γ }22を持ってきます。{ } は反対称化の記号です。これは 0 なので{Aα||β||γ − Aβ||α||γ } = 0
第二項の添え字を動かせば{Aα||β||γ − Aα||γ||β } = 0
これと (2) を比べれば{Aα||β||γ − Aα||γ||β } = −{Rαηβγ Aη } = 0となります。よって{Rαηβγ Aη }(α,β,γ) = 0(α, β, γ) は反対称化する添え字を表し、この場合では η は含まれていません。展開すれば{Rαηβγ Aη }(α,β,γ) =1(Rαηβγ Aη − Rβηαγ Aη + Rβηγα Aη − Rγηβα Aη + Rγηαβ Aη − Rαηγβ Aη )3!

見て分かるように Aη は無関係なので{Rαηβγ }(α,β,γ) Aη = 0として外に出せます。よって、Aη は任意なので、リーマンテンソルは反対称化に対して7{Rαηβγ }(α,β,γ) = 0
これは、リーマンテンソルの対称性によって{Rαηβγ }(α,β,γ) ==1(Rαηβγ − Rβηαγ + Rβηγα − Rγηβα + Rγηαβ − Rαηγβ )61(2Rαηβγ + 2Rβηγα + 2Rγηαβ ) = 06なので

Rαηβγ + Rβηγα + Rγηαβ = 0(6)となります。添え字を変えて{Rηαβγ }(η,β,γ) = 0とした場合では、同様に

Rηαβγ + Rβαγη + Rγαηβ = 0(7)(6) と (7) の差はRαηβγ + Rβηγα + Rγηαβ − Rηαβγ − Rβαγη − Rγαηβ = 2Rαηβγ + Rβηγα + Rγηαβ − Rβαγη − Rγαηβ = 0

１番目と２番目の添え字の反対称性を使って

0 = 2Rαηβγ − Rηβγα − Rηγαβ − Rαβηγ − Rαγβη= 2Rαηβγ − (Rηβγα + Rαβηγ ) − (Rηγαβ + Rαβηγ )( ) 部分は{Rαβηγ }(α,η,γ) = 0 ⇒ Rηβγα + Rαβηγ = −Rγβαη

{Rαγβη }(α,β,η) = 0 ⇒ Rηγαβ + Rαγβη = −Rβγηα8

として添え字を新しく書き換えて出てくるものに対応しているので

2Rαηβγ + Rγβαη + Rβγηα = 0

第二項と第三項で添え字の 1 番目と 2 番目、3 番目と 4 番目が反対称であることを使うと2(Rαηβγ + Rγβαη ) = 0

また、第二項で 1 番目と２番目の反対称性を使うと2(Rαηβγ − Rβγαη ) = 0
よってRαηβγ = Rβγαηとなり、1,2 番目と 3,4 番目を入れ替えに対して対称です。というわけでリーマンテンソルに対する対称、反対称は Rαηβγ の添え字 αη, βγ の組の中での交換が反対称となり、αη, βγ ごとの交換では対称なので

Rαηβγ = −Rηαβγ
Rαηβγ = −RαηγβRαηβγ = Rβγαη

さらに、反対称化させたとき{Rαηβγ }(α,β,γ) = Rαηβγ + Rβηγα + Rγηαβ = 0
もしくは、α と η をひっくり返して{Rηαβγ }(α,β,γ) = Rηαβγ + Rηβγα + Rηγαβ = 0とも書けます。
リーマンテンソルの独立成分を数えます。対称性を何も考えないリーマンテンソル Rαηβγ の成分の数は4 × 4 × 4 × 4 = 256 個です。これに、まず 1 番目と 2 番目は反対称になっていることを使えば、対角成分の 4 つが消え、残りも半分決めれば残りの半分が決まるので、最初の 4 × 4 =16 成分であるものが (4 × 4 − 4)/2 = 69成分までおちます。この時点で 6 × 4 × 4 = 96 個まで減ります。3 番目と 4 番目での反対称性を使えば、同様に 6 成分までおちるので 6 × 6 = 36 個まで減ります。さらに、36 個の成分は 6 × 6 行列と考え、αη, βγの交換で対称なので対角成分の 6 個と残りの (36 − 6)/2 = 15 個を足した 6 + 15 = 21 個になります。そして、最後の {Rαηβγ }(α,β,γ) = 0 よりさらに 1 個減って 20 個になります。

• ビアンキの恒等式
リーマンテンソルの対称性を使ってリーマンテンソルの共変微分の関係を導きます。リーマンテンソルは

Aα||β||γ − Aβ||α||γ = −Rαηβγ Aη
で与えられるので、これの共変微分をとって(Aα||β||γ − Aβ||α||γ )||ν = −Rαηβγ||ν Aη − Rαηβγ Aη||ν
これを β, γ, ν に対して反対称化すると{Aα||β||γ||ν − Aβ||α||γ||ν }(β,γ,ν) = −{Rαηβγ||ν }(β,γ,ν) Aη − {Rαηβγ Aη||ν }(β,γ,ν)β, γ, ν についての偶置換であるなら入れ替えて問題ないので{(Aα||ν )||β||γ − (Aα||ν )||γ||β }(β,γ,ν) = −{Rαηβγ||ν }(β,γ,ν) Aη − {Rαηβγ Aη||ν }(β,γ,ν)と書き換えます。

2 階のテンソル Aα||ν に対してのリーマンテンソルの式(Aα||ν )||β||γ − (Aα||ν )||γ||β = −Rαηβγ Aη||ν − Rνηβγ A||ηαを反対称化すると{(Aα||ν )||β||γ − (Aα||ν )||γ||β }(β,γ,ν) = −{Rαηβγ Aη||ν }(β,γ,ν) − {Rνηβγ }(β,γ,ν) A||ηα
これの左辺が (8) の式と等しいので{Rαηβγ||ν }(β,γ,ν) Aη + {Rαηβγ Aη||ν }(β,γ,ν) = {Rαηβγ Aη||ν }(β,γ,ν) + {Rνηβγ }(β,γ,ν) A||ηα{Rαηβγ||ν }(β,γ,ν) Aη = {Rνηβγ }(β,γ,ν) A||ηα

そして、反対称化したとき

10(8){Rνηβγ }(β,γ,ν) = 0から{Rαηβγ||ν }(β,γ,ν) = Rαη{βγ||ν} = Rαηβγ||ν + Rαηνβ||γ + Rαηγν||β = 0
これをビアンキの恒等式 (Bianchi identities) と呼んでいて、重要な式です。重要なことが分かりやすい例
は、アインシュタインテンソルとの関連です。これは「リッチテンソル」で示します。

11