経路積分

量子力学での結果を利用して場の理論での経路積分を構成します。おそらく混乱は起きないと思うので演算子と c数を区別せずに書いています。
実数スカラー場としています。
ラグランジアンとハミルトニアンはそれぞれ密度を使うので∫L=∫
3d xL , H =d3 xH

そして、変数は q, p の代わりに ϕ(x), π(x) を使い (π = ϕ̇, ϕ̇ = ∂0 ϕ)、同時刻での正準交換関係[ϕ(x, t), π(x′ , t)] = iδ 3 (x − x′ )を満たさせます。場の演算子 ϕ(x) の固有状態を |ϕ(x)⟩ とすれば

ϕ(x)|ϕ(x)⟩ = ϕ(x)|ϕ(x)⟩演算子の時間発展はハミルトニアン演算子 H によってϕ(x, t) = eiHt ϕ(x)e−iHt
なのでeiHt ϕ(x)|ϕ(x)⟩ = eiHt ϕ(x)|ϕ(x)⟩eiHt ϕ(x)e−iHt eiHt |ϕ(x)⟩ = eiHt ϕ(x)|ϕ(x)⟩ϕ(x, t)eiHt |ϕ(x)⟩ = ϕ(x)eiHt |ϕ(x)⟩右辺の ϕ(x) は演算子じゃないので eiHt と交換できます。よって固有状態 |ϕ(x)⟩ の時間依存性を

eiHt |ϕ(x)⟩ = |ϕ(x), t⟩と定義しϕ(x, t)|ϕ(x), t⟩ = ϕ(x)|ϕ(x), t⟩
ハイゼンベルグ描像の演算子 ϕ(x, t) の固有状態になっているとします。|ϕ(x), t⟩ はいわゆるヒルベルト空間での動く基底 (moving basis) です。これは通常のハイゼンベルグ描像での作用の仕方とは異なっていることに注意してください。この ϕ(x, t) の作用の仕方を見れば、ハイゼンベルグ描像での演算子が時間 t に瞬間的に現れた固有状態 |ϕ(x), t⟩ に作用していると解釈できます。なので、|ϕ(x), t⟩ の時間依存性はシュレーディンガー描像的でなく、このように捉えるべきで、本質的な依存性は ϕ(x) が持っています。
|ϕ(x)⟩ の完全性は∫ ∏dϕ(x, t)|ϕ(x)⟩⟨ϕ(x)| = 1

x1

x の位置を離散化して i で区別するなら∫dϕ(xi , t)|ϕ(xi )⟩⟨ϕ(xi )| = 1と書けます。
共役量 π(x) の固有状態 |π(x)⟩ も同様でπ(x)|π(x)⟩ = π(x)|π(x)⟩左辺の π(x) は演算子で右辺は c 数です。これの完全性は∫∆V
2πdπ(x, t)|π(x)⟩⟨π(x)| = 1∆V は分割された 3 次元空間の微小体積です。微小体積はハミルトニアンをハミルトニアン密度に離散的に変えるときにH(ϕ(x1 ), · · · , ϕ(xn ); π(x1 ), · · · , π(xn )) = ∆Vn∑

H(ϕ(xi ), π(xi ))i=1として出てきます。これは後で触れています。
場の演算子としての ϕ(x, t = 0) の時間発展

ϕ(x, t) = eiHt ϕ(x, 0)e−uHt
そして、ϕ(x) の固有状態 |ϕ(x), t = 0⟩ の時間依存性|ϕ(x), t⟩ = eiHt |ϕ(x), 0⟩を踏まえることで、|ϕ, t⟩ から |ϕ′ , t′ ⟩ への遷移振幅に対しては (ϕ(x) を単に ϕ と書いていきます)⟨ϕ′ , t′ |ϕ, t⟩ = ⟨ϕ′ | exp[−iH(t′ − t)]|ϕ⟩
ここまでくれば、量子力学での経路積分の式をどうすればいいか予想できて∫⟨ϕf , tf |ϕi , ti ⟩ =∫Dϕ[ ∫ tf ∫]Dπ exp idt d3 x (π∂0 ϕ − H(π, ϕ))ti

ϕf と ϕi は ϕi (x) = ϕ(x, ti ), ϕf (x) = ϕ(x, tf ) です。これは場に対する境界条件を表わし、ϕ(x) の初期値と最後の値を与えます (時間の初期値と最後の値は ti , tf )。H(π, ϕ) と π と ϕ に依存するように書いていますが、∂i π, ∂i ϕ (i = 1, 2, 3) にも依存するようにすれば、ラグランジアンでの L(ϕ, ϕ̇) は L(ϕ, ∂µ ϕ) と書けます。
これが場の量子論版の経路積分の式です (ここでの ϕ, π は演算子ではないです)。Dϕ, Dπ は測度で、場 ϕ、π はx, t を変数に持っています。Dϕ と Dπ をばらせば

limlimM →∞ N →∞N (∫ ∏M∏
k=0dϕ(xj , tk )j=1

2

∆V dπ(xj , tk ) )2π

となっています (分母の π は円周率です)。exp 内も和の形にすれば、xj , tk を変数に持つ形になります。この形から分かるように、場を使った経路積分は時空における場の配置の全てを選ぶように作られています。
∆V が出てくる理由を簡単に触れておきます。ラグランジアン密度 L とハミルトニアン密度 H は連続極限をとる前では∫
d3 xL ⇒ L = ∆V

L=M∑

L[ϕ(0, xj ), ϕ̇(0, xj )]

j=1

∫
H=

d3 xH ⇒ L = ∆VM∑

H[ϕ(0, xj ), ϕ̇(0, xj )]j=1のようになっており、共役な運動量が∂L= ∆V π(xj )∂ ϕ̇(xj )となります。このとき ∆V π(xj ) = πj′ と書けば、完全性は∫dπj′ |πj′ ⟩⟨πj′ | = 1を満たし、⟨ϕ(xj , tk )|π ′ (xj , tk )⟩ は (ϕ(xj , tk ) = ϕjk のように書きます)1′′⟨ϕjk |πjk⟩ = √ exp[iπjkϕjk ]2π
このようにして ∆V が入ってくるために、最後の dπj′ において ∆V dπj と置き換わり、exp 内ではハミルトニアン密度によって ∆V が現われ、極限において三次元の微分演算子に変わります。
ハミルトニアンの形が自由粒子の場合と同じように共役量が二乗の格好をしているようならば (2 次形式)、共役量の積分は実行できます。実数スカラー場なのでラグランジアンをL=

1∂µ ϕ∂ µ ϕ − V (ϕ)
2として実行してみます。このときのハミルトニアンは定義からH(π, ϕ) = π∂0 ϕ − L
1= π∂0 ϕ − (∂0 ϕ)2 − ∂i ϕ∂ i ϕ + V (ϕ)
21= π 2 − π 2 − ∂i ϕ∂ i ϕ + V (ϕ)
2=1 2π − ∂i ϕ∂ i ϕ + V (ϕ)
2

これを使い、変数変換として π ′ = π − ∂0 ϕ をすることで3(π = ∂0 ϕ)

∫∫Dϕ[ ∫ tf ∫()]
Dπ exp i
dt d3 x π∂0 ϕ − H(π, ϕ)ti∫∫

[ ∫ tf ∫()]
1Dπ exp i
dt d3 x π∂0 ϕ − π 2 + ∂i ϕ∂ i ϕ − V (ϕ)
2ti∫[ ∫ tf ∫()]
1Dπ exp i
dt d3 x (π ′ + ∂0 ϕ)∂0 ϕ − (π ′ + ∂0 ϕ)2 + ∂i ϕ∂ i ϕ − V (ϕ)
2ti

Dϕ=
∫Dϕ=
∫∫
Dϕ=′

Dπ ′[ ∫ tf ∫)](1× exp i
dt d3 x π ′ ∂0 ϕ + (∂0 ϕ)2 − (π ′2 + (∂0 ϕ)2 + 2π ′ ∂0 ϕ) + ∂i ϕ∂ i ϕ − V (ϕ)
2ti∫[ ∫ tf ∫)]( 1Dπ exp idt d3 x − π ′2 + (∂0 ϕ)2 + ∂i ϕ∂ i ϕ − V (ϕ)
2ti∫[ ∫ tf ∫)]( 1Dπ exp idt d3 x − π ′2 + ∂µ ϕ∂ µ ϕ − V (ϕ)
2ti∫[ ∫ tf ∫( 1)]Dπ exp i
dt d3 x − π ′2 + L(ϕ, ϕ̇)
2ti

Dϕ=
∫Dϕ=
∫=

∫Dϕ′′′

これで π ′ が分離されたので π ′ 積分を行えます。行うには量子力学の「経路積分での計算」で示した関数でのガウス積分∫[ ∫]Dx exp i dt1 dt2 x(t1 )O(t1 , t2 )x(t2 ) = C(det O)−1/2を使えばいいです (Dx = dx1 · · · dxn (n → ∞))。C は定数です。これを今の場合に合わせれば (Dπ は ∆V /2π を省いて dπ のみだとして)∫[iDπ exp −2
∫
=
∫=

∫ tf

∫d3 x π(x)π(x)

dt]

ti

[iDπ exp −2[ iDπ exp −2

∫ tf

∫ tf
dttidt′∫]d3 xd3 y π(x)δ 4 (x − y)π(y)

ti

∫ tf

∫ tf
d4 x

ti

d4 y π(x)δ 4 (x − y)π(y)]ti∝ (det[δ 4 (x − y)])−1/2
係数の 1/2 は定数にしか寄与しません。デルタ関数は x = y のときに値を持つことから行列での単位行列の関数版になっているので (x, y を行列成分と思えばいい )det[δ 4 (x − y)] = 1となります。
よって π 積分は定数になり、省いた積分測度 Dπ が持っている定数部分も含めて N とすれば∫
⟨ϕf , tf |ϕi , ti ⟩ = N[ ∫ tf]∫3Dϕ exp idτ d xL(ϕ, ϕ̇)
ti4となります。
源 J(x) を含ませたものは[ ∫ tf]∫()
3Dϕ exp idτ d x L + J(x)ϕ(x)∫⟨ϕf , tf |ϕi , ti ⟩J = N

ti

Z[J] は、ハミルトニアンに減衰項を持たせて、tf → ∞, ti → −∞ とすれば∫Z[J] = ⟨ϕf , ∞|ϕi , −∞⟩J = N[ ∫])(42Dϕ exp i d x L(ϕ, ϕ̇) + J(x)ϕ(x) + iϵϕ

無限大の時間で始状態と終状態が真空 |0⟩ になるとすれば、∫Z[J] = ⟨0|0⟩J = N[ ∫]()
42Dϕ exp i d x L(ϕ, ϕ̇) + J(x)ϕ(x) + iϵϕ

源 J がなければ真空から真空への振幅になるために Z[J = 0] = ⟨0|0⟩ = 1 となり、これが規格化の条件になります。また、このように書けることから真空-真空遷移 (vacuum to vacuum transition) とも呼ばれます (下の補足も参照)。
n 点相関関数 ⟨0|T (ϕ̂(x1 ) · · · ϕ̂(xn ))|0⟩ は1δ n Z[J]⟨0|T (ϕ̂(x1 ) · · · ϕ̂(xn ))|0⟩ = ( )ni δJ(x1 ) · · · δJ(xn ) J=0
または、⟨0|T (ϕ̂(x1 ) · · · ϕ̂(xn ))|0⟩==⟨0|T (ϕ̂(x1 ) · · · ϕ̂(xn ))|0⟩
⟨0|0⟩
[ ∫]
∫Dϕ ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn ) exp i d4 xL(ϕ, ϕ̇)[ ∫]∫Dϕ exp i d4 xL(ϕ, ϕ̇)収束させる方法としてここではハミルトニアンに減衰項を持たせるようにしましたが、時間軸を回転させて回避させる方法を応用した方法を示しておきます。
回転させる角度 δ は微小でなければならない理由がないということを利用します。ミンコフスキー空間において、時間軸 x0 を x0 の複素平面上で δ = π/2 回転させて時間を純虚数とします。これは

x0 ⇒ x4 = ix0とすることで、置き換え後を x4 とします。ここでユークリッド空間の内積x2E = x21 + x22 + x23 + x24(xµE = xEµ = (x, x4 ))とミンコフスキー空間の内積x2 = x20 − x21 − x22 − x23を比べると、ix0 = x4 (x4 は実数) として、符号を反転させれば対応が取れていることが分かります5x2 = x20 − x21 − x22 − x23 = −(x24 + x21 + x22 + x23 ) = −x2E
つまり、ミンコフスキー空間における x0 の複素平面での虚軸は、ユークリッド空間での x4 の複素平面の実軸に対応しているということです。このことから、x0 の虚軸を x4 の実軸だとみなしてしまおうというのがユークリッ
ド化の発想です。このような実軸を虚軸に解析接続させる回転をウィック回転 (Wick rotation) と呼びます。このユークリッド化された 4 次元ベクトル xµE を使って経路積分を作ることが出来ます。このときの時間はユークリッ
ドでの時間 x4 に沿って作られます。
ユークリッド化 (ウィック回転) に伴なう変更をまとめると−x2 = −xµ xµ = x21 + x22 + x23 − x20 = x21 + x22 + x23 + x24 = x2E

id4 x = d3 xdx4

ds2 = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 = −(dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 − (dx4 )2 = −ds2E

dd dx4d==idx0
dx4 dx0
dx4∂µ ∂ µ ϕ = −(∂ϕ 2) − ∇2 ϕ
∂x4となります。見て分かるように、ミンコフスキー空間での時間的 x2 > 0 と空間的 x2 < 0 は、ユークリッドでは時間的が x2E < 0、空間的が x2E > 0 となります。これがユークリッド化の方法で、ユークリッド化することで経路積分を数学的に定義された積分にすることができます (Wiener 積分)。また、ユークリッド化の方法は発散する積分を正則化するときにも用いられます。
ミンコフスキー空間からユークリッド空間への変更は ix0 = x4 と置き換えることで出来ますが、x4 の積分範囲には注意してください。x0 積分∫ ∞−∞dx0を ix0 = x4 と変更すれば、x4 の範囲は −i∞ から i∞ であるように見えます。しかし、x4 は実数であるように取ります。これは、x0 の複素平面上で x0 の実軸を虚軸に接続したものを、x4 の複素平面での実軸に対応させることによります。つまり ix0 は実数に置き換わります。これを踏まえれば積分範囲の対応は∫ −i∞

dx0 ⇔i∞∫ ∞−∞dx4となっていればいいです。こうすれば x0 の範囲を i 倍することで、x4 の実軸上で −∞ から +∞ の範囲になります。そして、この積分範囲を取るには、x0 の実軸を時計回りで虚軸に接続させればいいことが分かります。というわけで、簡単に言ってしまえば、ix0 = x4 としてユークリッド空間に変更するには、ix0 = x4 と置き換えて、積分範囲を −∞ から ∞ のままにすればいいです。
運動量に対しては、p4 = −ip0 として

d4 p = d3 pdp0 = id3 pdp4 = id4 pE

p2 = p20 − p2 = −p24 − p · x = −p2E6

p · x = p0 x0 − p · x = p4 x4 − p · x = pE · xE
このとき、p0 の複素平面上での実軸は反時計周りに虚軸に接続させます。これは p4 = −ip0 のように時間の場合とは符号を逆に取っていることから簡単に予想できることだと思います。反時計周りに回転させることで、p4積分も −∞ から +∞ の経路を持つことになります (p0 での −i∞ から +i∞ が対応するということです)。また、
p4 = −ip0 のようにしているのは、p · x を見て分かるように、ミンコフスキー空間での内積 p · x と形を変えさせないためです (ユークリッド空間での内積の形にしたければ、p4 = ip0 とすればいいだけです)。
最後に汎関数微分の性質を示しておきます。基本的には

δϕ(x)= δ(x − y)δϕ(y)となっており、関数 g(ϕ(y)) による∫
d4 y g(ϕ(y))

F [ϕ] =に対しては

δF [ϕ]=
δϕ(x)∫d4 y∂g∂g
δ(y − x) =∂ϕ
∂x

連鎖則は

δ=
δJ(y)
δ
δJ(y)

∫d4 x

δϕ(x) δδJ(y) δϕ(x)∫d4 xJ(x)ϕ(x) = ϕ(y)汎関数の ϕ′ の ϕ 周りでのテーラー展開はF [ϕ′ ] = F [ϕ] +1+2=∫d4 x1∫
d4 x1 d4 x2∑ 1 ∫n=0δF(ϕ′ (x1 ) − ϕ(x1 ))δϕ′ (x1 ) ϕ′ =ϕn!

δ2 F(ϕ′ (x1 ) − ϕ(x1 ))(ϕ′ (x2 ) − ϕ(x2 )) + · · ·δϕ′ (x1 )δϕ′ (x2 ) ϕ′ =ϕd4 x1 · · · d4 xn

δn F
δϕ′ (x1 ) · · · δϕ′ (xn ) ϕ′ =ϕ( ′) ()ϕ (x1 ) − ϕ(x1 ) · · · ϕ′ (xn ) − ϕ(xn )ついでに言葉の使い方ですが汎関数 (もしくは関数) のトレースと言ったときは∫
tr[F (x, y)] =∫d xd yF (x, y)δ (x − y) =444d4 xF (x, x)とすることを指します。これは F (x, y) を x, y 成分を持つ行列と見れば意味が分かりやすいです。
・補足
減衰項を入れた話をもう少し詳しくしておきます。そのために、経路積分

7

∫

∫
[ ∫ tfDϕ exp idτ d3 xL(ϕ, ϕ̇)]

⟨ϕf , tf |ϕi , ti ⟩J = Ntiの両端をより一般的に |ψi , ti ⟩、|ψf , tf ⟩ という状態を始状態、終状態として⟨ψf , tf |ψi , ti ⟩に置き換えます。この変更による置き換えは単純で⟨ψf , tf |ψi , ti ⟩ =∫ ∏dϕf (x, tf )∫ ∏dϕi (y, ti )⟨ψf , tf |ϕf , tf ⟩⟨ϕf , tf |ϕi , ti ⟩⟨ϕi , ti |ψi , ti ⟩yxというように両端に新しい内積とそれによる積分が出てくるだけなので⟨ψf , tf |ϕf , tf ⟩ = Ψf [ϕf ] , ⟨ϕi , ti |ψi , ti ⟩ = Ψi [ϕi ]とすれば⟨ψf , tf |ψi , ti ⟩ =∫ ∏dϕf (x, tf )∫ ∏xdϕi (y, ti )Ψ∗f [ϕf ]Ψi [ϕi ]∫Dϕ exp[iとなります。ここで新しく出てきた積分測度も Dϕ の中に含めて∫DϕΨ∗f [ϕf ]Ψi [ϕi ] exp[i∫ tfd4 xL]
tiと書くことにします。これによって、n 点相関関数をG(n) (x1 , x2 , . . . , xn ) =d4 xL]tiy⟨ψf , tf |ψi , ti ⟩ =∫ tf⟨ψf , tf |T (ϕ̂(x1 )ϕ̂(x2 ) · · · ϕ̂(xn ))|ψi , ti ⟩⟨ψf , tf |ψi , ti ⟩と定義します。
ハミルトニアンの固有値と固有状態をH|n⟩ = En |n⟩と与えます。そして、ハミルトニアンをH ⇒ e−iϵ H8として、最後に ϵ = 0 として元に戻すことを考えます。そうすると時間発展|ψi , ti ⟩ = exp[e−iϵ Hti ]|ψi ⟩に対して完全性を挟むことで|ψi , ti ⟩ =∑exp[e−iϵ Hti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n=∑exp[e−iϵ En ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n= exp[e−iϵ E0 ti ]|0⟩⟨0|ψi ⟩ +∑exp[e−iϵ En ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n̸=0

E0 は真空 |0⟩ のエネルギーなので E0 = 0 となって
|ψi , ti ⟩ = |0⟩⟨0|ψi ⟩ +∑exp[e−iϵ En ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n̸=0

第二項は∑exp[e−iϵ En ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩ =∑exp[(cos ϵ − i sin ϵ)En ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n̸=0n̸=0=∑eEn ti cos ϵ e−iEn ti cos ϵ |n⟩⟨n|ψi ⟩n̸=0となるので、ti を −∞ に持っていくと消えます。なので、ti → −∞ において

lim |ψi , ti ⟩ = |0⟩⟨0|ψi ⟩ti →−∞⟨ψf , tf | に対しても同様にすることでlim ⟨ψf , tf | = ⟨ψf |0⟩⟨0|tf →∞これらの極限で ϵ の依存性はなくなっています。
これらを n 点相関関数の式に使うと

lim

lim G(n) (x1 , x2 , . . . , xn ) =ti →−∞ tf →∞limti →−∞⟨ψf , tf |T (ϕ̂(x1 )ϕ̂(x2 ) · · · ϕ̂(xn ))|ψi , ti ⟩⟨ψf , tf |ψi , ti ⟩=⟨ψf |0⟩⟨0|T (ϕ̂(x1 )ϕ̂(x2 ) · · · ϕ̂(xn ))|0⟩⟨0|ψi ⟩⟨ψf |0⟩⟨0|0⟩⟨0|ψi ⟩=⟨0|T (ϕ̂(x1 )ϕ̂(x2 ) · · · ϕ̂(xn ))|0⟩⟨0|0⟩9となって、上での n 点相関関数の定義と同じものが出てきます。このように始状態と終状態を任意の状態だとしても、ti → −∞、tf → ∞ の極限で真空 |0⟩ で挟んだものと一致します。
この結果はハミルトニアンをH ⇒ H − iϵϕ2としても同じように導けます。最初の置き換えを

e−iϵ H ≃ H − iϵHと書けば、同じことをしているのが分かると思います。
例えば (ϕ2 は演算子)|ψi , ti ⟩ =∑exp[i(H − iϵϕ2 )ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n=∑exp[iEn′ ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩nEn′ は En に −iϵϕ2 からの寄与を加えたもので、ϕ2 部分が c 数 λn になっているとすれば|ψi , ti ⟩ = exp[iE0′ ti ]|0⟩⟨0|ψi ⟩ +∑exp[iEn′ ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n̸=0= exp[i(E0 − iϵλ0 )ti ]|0⟩⟨0|ψi ⟩ +∑exp[i(En − iϵλn )ti ]|n⟩⟨n|ψi ⟩n̸=0= eϵλ0 ti |0⟩⟨0|ψi ⟩ +∑eiEn ti eϵλn t |n⟩⟨n|ψi ⟩n̸=0

第一項は真空による λ0 、第二項は真空からの励起状態 |n⟩ による λn なので、真空による λ0 の方が値が小さいと考えます。そうすると ti → −∞ を取ったとき、第一項の寄与が主になるのでlim |ψi , ti ⟩ =ti →−∞lim eϵλ0 ti |0⟩⟨0|ψi ⟩ti →−∞ここでは eϵλ0 ti が余計に出てきていますが、分母にも当然これは出てくるので、n 点相関関数の式からは消えます。よって、ハミルトニアンに減衰項を入れることでも真空 |0⟩ で挟まれた形になります。

10