Proceedings of the 15th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 7-10, 2018, Nagaoka, Japan

PASJ2018 WEP034

共振器モデルによるコヒーレント放射の解釈
UNDERSTANDING OF COHERENT RADIATION MECHANISMS BY A CAVITY
EXCITATION MODEL
本田洋介 ∗A)A)

Yosuke Honda∗ A)
High Energy Accelerator Research Organization

Abstract
Excitation of a cavity mode by a relativistic charged particle beam can be calculated by integrating the field of themode along the beam trajectory. The method can be applied for calculating radiation in a free space by considering thelimit of moving the cavity boundary to infinite distance. We give two examples, transition radiation from a metal target
and vortex radiation from a helical undulator.

1.

はじめに相対論的電子ビームからは、様々な放射が発生する。
例えば、シンクロトロン放射である。これは、ビーム (荷電粒子) が磁場により曲げられる際、その横方向の加速運動により双極子放射が発生し、それがローレンツブーストして観測される、と説明される。通常は、電磁気学の教科書にあるように、ビームの軌道に沿って遅延ポテンシャルの計算を行なうことで、任意の位置において観測される電磁波を求めることができる。
一方、加速器の教科書では、RF 空洞にビームが通過する際に、ビームによって空洞に励起される電磁波が議論される。この場合は、まず空洞の固有モードを決め、ビーム軌道に沿ってその電場を積分する。その固有モードにたいしてビームがする仕事が計算でき、空洞に励起される電磁波が得られる。
これらは、ビームが放射すると見るか、あるいは、電磁波が励起されると見るか、の違いであって、基本的には同じ現象のはずである。モード励起の考え方は、とくに、系の対称性によりモードが制限される場合や、興味あるモードがあらかじめ決まっている場合は、電場の空間的形状を想像することで、放射が起こるかを判断でき、計算の見通しが良い。
モード励起の考え方で、自由空間への放射を計算できることを 2 つの例によって示す。RF 空洞のように、境界条件が閉じていて離散的な固有モードがある状況とは異なる。しかし、光子を調和振動子の励起状態として扱うのが、場の考え方である。自由空間も、様々な固有モードが連続に分布しているだけで、RF 空洞の場合と違いは無い。

2.

Figure 1: Layout of transition radiation.

Ginzburg-Frank の式
dWq2
β 2 sin2 θ=dωdΩ4π 3 0 c (1 − β 2 cos2 θ)2(1)で記述されることは良く知られている。1/γ の角分布のドーナツ型の強度分布である。
これを、モード励起の手法で再現する。系の円筒対称性のため、励起されるモードは円筒対称なものに制限されることは明らかである。ひとまず便宜的に、Fig. 2 に示すように、距離 L の位置にも導体境界があり、空洞を構成している状況を考える。空洞のモードと、ビームによる励起を計算できる [1]。そのうえで、L → ∞ とすることにより、自由空間の状況に戻ることができる。

遷移放射

Figure 1 に示すレイアウトで、完全導体平面にビームが突き抜ける場合に、前方に放射される電磁波を計算する。遷移放射と呼ばれるもので、放射の角分布は∗ yosuke@post.kek.jp

Figure 2: Cavity to be considered.
ここでは電磁波モードは近軸近似で考える。ビームによって励起されるのは、z 方向に電場成分を持つモードのみであるから励起される最低次のモードは 1 次であ- 381 -Proceedings of the 15th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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る。簡単のため、x 偏光成分の TEM10 モードのみを考える。一般にはより高次のモードも考える必要がある。(対称性より、y = 0 平面上の計算を行えば十分である。)
このモードの電場は、
xE10=

A
xx2exp(− 2 ) exp[i(ωt − kz + 2ζ(z))]w(z) w(z)w (z)(2)

ここで、

πw02
λpw(z) = w0 1 + (z/z0 )2z0 =ζ(z) = tan−1(z/z0 )(3)(4)(5)である。このとき z 方向の電場は、

∂E x
∂x(6)

2x2x2i A(1 − 2 ) exp(− 2 )2k w (z)w (z)w (z)· exp[i(ωt − kz + 2ζ(z))](7)

ikE z =より、
zE10=−となる。速度 βc で中心軸上を通過するビームは、ωt −kz = k(1/β − 1) + const. であるから、ここで、p = z/z0 、α = πz0 /λ とおいた。z 方向にウェストのずれたモードも考慮すべきなので、積分の始点は一般に s とおいた。s についても積分する必要がある。
同じ TEM10 モードでも、任意のレイリー長 z0 のモードがあるので、これをさらに z0 について積分する必要がある。(積分は適切な重み付けが必要である。)
位相因子のついた積分なので、位相が大きく回ってしまうと、積分に効かなくなる。位相第 1 項は、ビームが光速度より遅いために位相が遅れてしまう効果である。位
相第 2 項は、モードの発散によって位相がずれてしまう効果である。これらが同等になる条件が、z0 の上限を与える。このことから、∼ 1/γ の角分布の特性が得られる。
このような計算を、より高次の TEMl,m モードに一般化すると、結局、次の積分の計算に帰着することが分かる。

Z ∞1αexp[i( p + (l + m + 1) tan−1 (p))]dp
21+pγs(13)この p に関する積分が 0 → ∞ でどのように足し合わされ、定値に収束するかを計算した一例を Fig. 3 に示す。
ビームエネルギー γ と、モードのレイリー長に対応するα を決めると、そのモードがどれだけの強さで励起されるかが分かる。α が大きくなるに従って、収束値が小さくなり、放射に効かなくなることが分かり、α についてPl,m =の総和が角分布を表す。

A
kzzE10=exp[i( 2 z + 2 tan−1 ( ))]2z0 (1 + (z/z02 ))2γz0(8)をビームは感じる。
モードの励起エネルギーは、q2Uexc =4UZ2zE10dz(9)で計算できる。ここで、U はモードの全エネルギーU=

02Zx 2|E10| dV(10)である。
便宜上の空洞を考えるとき、ある一つのモードの励起強度は L に依存する結果になる。励起パワーが L → ∞で定値になることを考察する。長さ L の空洞の縦モード間隔は、∆ω =2πcL(11)であるから、モードの密度はその逆数である。角振動数あたりの励起エネルギー dU/dω は、モード密度とあるモードの励起の大きさの積なので、上の計算をあらわに書くと、

Z LdULq21=×|dω
2πc 0 πL 0 z0 (1 + (z/z0 )2 )kzexp[i( 2 + 2 tan−1 ( ))]dz|22γz0Z ∞1α∼|exp[i( p + 2 tan−1 (p))]dp|21 + p2
γs(12)

Figure 3: Integration along the beam trajectory.
また、モードのウェスト位置の依存性をみるために、積分の始点 s を変えてビーム軌道に沿った積分の発展を1 次モードについて計算した一例を Fig. 4 に示す。標的位置にウェストが一致する場合の寄与が最も大きく、ずれに応じて寄与が減少する様子が分かる。
横モードの次数に依存して位相の変化が異なり、積分の収束値が異なる。Figure 5 に、モード次数 (l + m) を変えて積分を行なった例を示す。最も寄与が大きいのは1 次モードで、α = 0 の場合は 4n − 1 次はゼロになる。
また、モード次数が上がるにつれて寄与は減少する。
この計算を、あらゆるレイリー長 α について、あらゆるモード l, m について、あらゆる始点 s について、行い総和をとると、遷移放射の電磁波が得られる。角分布を計算した結果を Fig. 6 に示す。角分布は概ね G-F の式と一致した。数値計算上、あらゆる、というのはどこかで打ち切らざるを得ない。ずれは、このためのと思われる。

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速度は、

βr = 0K
βφ =γ(17)(18)βz = 1 −Figure 4: Excitation strength depending on the waist position.

1 + K22γ 2(19)と書ける。γ はローレンツ因子、ku = 2π/λu 、λu はアンジュレータの周期長である。K はアンジュレータの K値である。つまり、一定の半径 ρ で螺旋運動する。
ラゲールガウシアンビームとして知られる近軸波動方程式の解の振幅は、以下のように書かれる。(波面の曲がりの因子は無視した。) モードの次数を (p, l) 次と表す。
径方向の位相因子 exp(ilφ) があるのが特徴で、1 光子あたり 1 h̄ の軌道角運動量を持つことが知られている。

u(r, φ, z) ∼√A r 2 |l|r2
2r2() exp(− 2)L|l|)p ( 2w(z) w(z)w (x)w (z)· exp(ilφ) exp[i(2p + |l| + 1)ζ(z)](20)|l|Lp は、ラゲール陪多項式である。ここで、z0 ,w(z),ζ(z)Figure 5: Excitation strength depending on the mode order.

は前節と同じである。
簡単のため、ここでは p = 0, l = −1 のモードを扱うことにする。

u(r, φ, z) ∼ A(rw2 (z)) exp(−r2w2 (z))(21)

exp(−iφ) exp[i2ζ(z)]と書ける。
円偏光とし、このモードの φ 方向の電場を円筒座標系で書くと次のようになる。

E φ = A(Figure 6: Calculation of angular distribution.

(22)

ビームとモードの結合の計算で求める積分は、

Z

3.

rr2)
exp(−) exp(−i2φ)w2 (z)w2 (z)· exp[i2ζ(z)] exp(i(ωt − kz))

光渦

この手法を応用して、ヘリカルアンジュレータから光渦が放射されることも簡単に理解できる。
ヘリカルアンジュレータのビーム軌道を円筒座標系(r, φ, z) で記述すると、

Z1ρ2AKρexp(−)
βφ E dz =γw2 (z)w2 (z)· exp[i(−2ku z + kz(1 − βz ) + 2ζ(z))]dz
φ(23)である。この積分が有意に大きくなるためには、z に従って位相が回らない条件でなければならない。ζ の z 依存性をひとまず無視すると、−2ku + k(1 − βz ) = 0(24)

より、

K
r=
≡ρ
γku βzφ = ku z
1 + K2z = ct(1 −)2γ 2λ=(14)(15)(16)

1 1 + K2
λu
22γ 2(25)が得られる。つまり、ヘリカルアンジュレータの 2 次光の共鳴で、角運動量 1 h̄ の光渦が出る、という結果が得られる。

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積分が常に足し合わせに働く、つまり、モードに共鳴することは、Fig. 7 に示すように z 方向のビーム運動に乗った系で、ビーム軌道と光渦モードの電場の空間的重なりを描いてみれば理解できる。今、2 次光を考えているので、ビームの円運動 1 周期の間に電場は 2 周期変化する。確かに、どの時点においてもビーム進行方向と電場方向が合っており、積分が足し合わされることが分かる。

で、φ 方向の電場を円筒座標系で書くと

Eφ =Ar2) exp(− 2 ) exp(−iφ)w(z)w (z)· exp[iζ(z)] exp(i(ωt − kz))

(30)

ビームとモードの結合の計算で求める積分は、

ZZAK
1ρ2exp(− 2 )γw(z)w (z)· exp[i(−ku z + kz(1 − βz ) + ζ(z))]dz

βφ E φ dz =(31)

今度は、位相が回らない条件から、

λ = λuFigure 7: Field of vortex mode and the beam motion.

1 + K22γ 2(32)が得られ、ヘリカルアンジュレータの基本光でガウスモードが出ることが分かる。また、同様の計算で、励起の大きさは、次の積分の計算に帰着することが分かる。

Z αQ(α) =−α1p1 + p22−1

exp[i tan(p)]dp(33)Figure 8 には Q(α) も示した。
ビーム軌道とガウスモードの電場の空間的重なりはFig. 9 のように理解できる。確かに 1 次光が共鳴することが分かる。

Figure 8: Functions representing excitation strength.
この共鳴条件のもとで、アンジュレータの長さを L とし、積分を具体的に書く。ρ << w の近似をすると、ZAKρβφ E dz =γφAKρ=γλZ L2−L2L2z0Z−L2z0exp[i2ζ(z))]
dzw2 (z)exp[i2 tan−1 (p)]dp (27)
1 + p2となる。ここで、p = z/z0 とおいた。励起の大きさは、次の積分の計算に帰着する。

Z α
P (α) =1
exp[i2 tan−1 (p)]dp1+p2−α4.

まとめ

ビームの通過による空洞の電磁波モードの励起の考え方を拡張して、自由空間での放射を理解することができる。問題によっては見通しが良く、理解の助けになる。

2(28)

これは、前節で扱った遷移放射で登場した表式と全く同じである。高次モード放射として共通した特性があることが分かる。この関数 P (α) は、Fig. 8 に示すように、
α = 1 で最大となり、α → 0 および α → ∞ でゼロになる。z0 ∼ L/2 のモードで放射される、つまり、レイリー長がアンジュレータ長程度となることが分かる。
比較のため、光渦ではない、通常のガウスモードの場合も計算する。p = 0, l = 0 の場合である。振幅はu(r, φ, z) ∼Figure 9: Field of gauss mode and the beam motion.

(26)

r2Aexp(− 2 ) exp[iζ(z)]w(z)w (z)謝辞
本研究は JSPS 科研費 16H05991 および 18H03473 の助成を受けたものです。

参考文献[1] Y. Honda et al., “cERL に お け る 共 振 器 型 CDR に よる THz 光 源 の 検 討”, 第 12 回 加 速 器 学 会 年 会, 敦 賀(2015),WEP022.

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