グラディエントフロー厳密くりこみ群
鈴木博（九州大学）

2022 年 1 月 12 日 @ 京大理学部（オンライン）

Hidenori Sonoda and H.S., PTEP 2021, 023B05 (2021) [arXiv:2012.03568]
Yuki Miyakawa and H.S., PTEP 2021, 083B04 (2021) [arXiv:2106.11142]
Yuki Miyakawa, Hidenori Sonoda and H.S., arXiv:2111.15529, to appear in PTEP
Hidenori Sonoda and H.S., in preparation

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ウィルソンの厳密くりこみ群 (ERG)

スケール変換のもとでの応答を教える：
n/2⟨ϕ(x1 ) · · · ϕ(xn )⟩Sτ ∼ eτ n(D−2)/2 Zτ⟨ϕ(eτ x1 ) · · · ϕ(eτ xn )⟩Sτ =0 .

（非摂動論的にも）場の量子論を構成する唯一の方法 “A theory of theories”

D = 4 での非自明な固定点？
多フレーバー非可換ゲージ理論 (Banks–Zaks fixed point)；テクニカラーシナリオ？
漸近的安全（くりこみ可能）重力？
これらの素粒子論で興味ある理論では、ゲージ対称性が基本的

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ERG の具体形：スカラー場理論での Polchinski 方程式
なめらかな運動量カットオフ、例えば
22K (p/Λ) = e−p /Λを導入

運動量が Λ 以上のモードを integrate out して、Wilson 作用 SΛ [ϕ] を得る：

SΛ を Λ で微分し、Λ を単位として全てを無次元化（Λ を 1 に置くことに対応）
Polchinski 方程式（τ = − ln Λ）：)∫ [(∂ Sτ [ϕ]D+2δe=− γτ + p · ∂p ϕ(p) ·2p2 +∂τ2δϕ(p)p]δ2+ (2p2 + 1 − γτ )eSτ [ϕ] .
δϕ(p)δϕ(−p)（ここでは K (p)[1 − K (p)] → p2 と一般化し、異常次元 γτ も導入した）
非摂動論的なくりこみ群を定義

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ERG とゲージ対称性

Polchinski 方程式はスカラー場理論ではうまく働く
しかし、局所ゲージ変換∫Aaµ (k ) → Aaµ (k ) − kµ χa (k ) − i∫

qf abc χb (q)Acµ (k − q).

χa (k )T a ϕ(p − k ),ϕ(p) → ϕ(p) − ikは異なった運動量のモードを混ぜるため、運動量カットオフは通常のゲージ対称性を壊してしまう
通常の ERG は通常のゲージ対称性を保てない

ERG には変形されたゲージ対称性が存在する (Becchi, Ellwanger,Bonini–D’Attanasio–Marchesini, Reuter–Wetterich, Igarashi–Itoh–Sonoda) が、それは Sτ 自身に依存している
通常の ERG のゲージ不変な、特に非摂動論的な近似は極めて難しい（不可能？）
非自明固定点での臨界指数がゲージに依存、など
明白にゲージ不変な ERG は作れないか？

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場の拡散による Wilson 作用の表示
一つ目の表示：∫eSτ [ϕ] = ŝ[dϕ′ ])∏ (′δ ϕ(x) − eτ (D−2)/2 zτ ϕ′ (t; xeτ ) ŝ−1 eSτ =0 [ϕ ] .
x

ここで、ŝ は “scrambler” (Sonoda, arXiv:1503.08578)[ ∫]1δ2Dŝ ≡ exp
d x,2
δϕ(x)δϕ(x)で、ϕ′ (t; x) は拡散方程式∂t ϕ′ (t; x) = ∂ 2 ϕ′ (t; x).

ϕ′ (t = 0; x) = ϕ′ (x),t ≡ e2τ − 1,の解（ϕ′ が初期値）。γτ = ∂τ ln zτ .
二つ目の表示：{∫∫]2 }[′1eSτ [ϕ] = [dϕ′ ] exp −d D x ϕ(x) − eτ (D−2)/2 zτ ϕ′ (t; xeτ )ŝ−1 eSτ =0 [ϕ ] .
2

ERG と拡散方程式：Abe–Fukuma, Carosso–Hasenfratz–Neil,
Matsumoto–Tanaka–Tsuchiya

5 / 18これをゲージ共変な拡散方程式で置き換えたらどうなるか
グラディエントフロー方程式 (Narayanan–Neuberger, Lüscher)：a∂t Aaµ (t; x) = Dν Fνµ(t; x) = ∂ 2 Aaµ (t; x) + 非線形項,Aaµ (t = 0; x) = Aaµ (x),フェルミオンの拡散方程式 (Lüscher)：∂t ψ(t; x) = Dµ Dµ ψ(t; x),←− ←−∂t ψ̄(t; x) = ψ̄(t; x) D µ D µ ,ψ(t = 0; x) = ψ(x),ψ̄(t = 0; x) = ψ̄(x),つまりeSτ [A,ψ,ψ̄]∫)∏ (τ≡ ŝ [dA′ dψ ′ d ψ̄ ′ ]δ Aaµ (x) − eτ gτ−1 A′aµ (t; xe )x()× δ ψ(x) − eτ (D−1)/2 zF τ ψ ′ (t; xeτ )()′′′× δ ψ̄(x) − eτ (D−1)/2 zF τ ψ̄ ′ (t; xeτ ) ŝ−1 eSτ =0 [A ,ψ ,ψ̄ ]とする。ここで scrambler は[∫][ ∫−→−→ ]δδ
δ2D 1Dŝ ≡ expd xexp −id x.
2 δAaµ (x)δAaµ (x)δψ(x) δ ψ̄(x)6 / 18グラディエントフロー厳密くりこみ群（GFERG と呼んでいます）
実際には、ゲージモードも拡散するように
a∂t Aaµ (t; x) = Dν Fνµ(t; x) + α0 Dµ ∂ν Aaν (t; x),∂t ψ(t; x) = [Dµ Dµ − α0 ∂µ Aµ (t; x)] ψ(t; x)[←]− ←−∂t ψ̄(t; x) = ψ̄(t; x) D µ D µ + α0 ∂µ Aµ (t; x) .
τ 発展のもとで、明白なゲージ対称性が保存される：Sτ =0 がAaµ (x) → Aaµ (x) + i∂µ χa (x) + igτ f abc Abµ (x)χc (x),
ψ(x) → ψ(x) − igτ χa (x)T a ψ(x),ψ̄(x) → ψ̄(x) + igτ χa (x)ψ̄(x)T a ,の τ = 0 のもとで不変ならば、Sτ も不変である。

τ 発展のもとで、変形されたカイラル対称性が保存される：Sτ =0 が{←−←−−→−→∫δδδδDd x Sτγ5 ψ(x) + ψ̄(x)γ5Sτ − 2Sτ
γ5Sτ
δψ(x)δψ(x) δ ψ̄(x)δ ψ̄(x)[]}−→←−δδ
+ 2 tr γ5= 0,Sτδψ(x)δ ψ̄(x ′ )の τ = 0 を満たすなら、Sτ も満たす。これは Ginsparg–Wilson 関係式の一般化
7 / 18グラディエントフロー厳密くりこみ群 (GFERG)

明白なゲージ対称性と変形されたカイラル対称性を保つ
良いことばかりのようだが. . .
運動量カットオフを使わないので、汎関数積分の有限性が自明ではない：∫[dAµ dψd ψ̄] eSτ [Aµ ,ψ,ψ̄] Aµ1 (x1 ) · · · Aµn (xn )ψ(y1 ) · · · ψ(ym )ψ̄(z1 ) · · · ψ̄(zl ) < ∞?
スカラー場理論では有限性が言える
ゲージ理論でも、グラディエントフローされた場の相関関数の有限性(Lüscher–Weisz) を用いて（少なくとも Gauss 固定点の周りでは）有限性が議論できるのではと思っているが、まだ詰めていない。今後の課題

8 / 18GFERG での Polchinski 方程式
定義式の τ 微分から、∂τ ln gτ = (4 − D)/2 − γτ と ∂τ ln zF τ = γF τ として∂ Sτe∂τ∫=dDx

δgτ δAaµ[() ]D−2∂
a× −2Dν Fνµ− 2α0 Dµ ∂ν Aaν −+ γτ + x ·AaµeSτ
2∂xA→gτ (A+δ/δA)
()
∫D−1
∂
+ d D x Tr 2Dµ Dµ − 2α0 ∂µ Aµ ++ γF τ + x ·2
∂x A→gτ (A+δ/δA)
(−→)
←
−
δδ
× ψ+ieSτδψδ ψ̄(←−)−→∫δδ Sτeψ̄ + i+ d D x Trδψδ ψ̄()
←−
←
− ←−
D−1
∂
× 2 D µ D µ + 2α0 ∂µ Aµ ++ γF τ +·x.
2∂x←−A→gτ (A+ δ /δA)

場の 4 階までの汎関数微分を含んでいる（通常の ERG は 2 階まで）
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摂動論的解析

Gauss 固定点の周りで gτ に関する摂動展開ができる
D = 4 非可換純ゲージ理論で O(gτ2 ) までの解析を行った結果、ゲージ場の波動関数異常次元として
βτ1 7γτ = − 2 = −CA gτ22gτ(4π)2 2を得た（CA > 0 は adjoint 表現の Dynkin index）(Sonoda–H.S., unpublished)。これは、期待される値βτ
1 11γτ = − 2 = −CA gτ22gτ
(4π)2 3とは異なっている。
初期値 Sτ =0 にゲージ固定と Faddeev–Popov ゴーストが必要に思われる：[()]∫⟩
22kµ kνkµ kν
1δµν −e−2tk + ξ 2 e−2α0 tk .
Aaµ (x)Abν (y ) ∼ δ abeik (x−y ) 220kkkk⟨

ゲージ固定なし → ξ = ∞10 / 18

ゲージ固定を伴う GFERG：まずは量子電磁力学 (QED)
ゲージ固定と Faddeev–Popov ゴーストを導入する
拡散方程式は BRST 変換

δAµ (t; x) = η∂µ c(t; x),δc(t; x) = 0,
δ c̄(t; x) = η1∂µ Aµ (t; x),ξτδψ(t; x) = ieτ ηc(t; x)ψ(t; x),δ ψ̄(t; x) = −ieτ ηc(t; x)ψ̄(t; x),と consistent になるように（変換が引き継がれるように）∂t Aµ (t; x) = ∂ 2 Aµ (t; x),∂t c(t; x) = ∂ 2 c(t; x),∂t c̄(t; x) = ∂ 2 c̄(t; x),[]∂t ψ(t; x) = ∂ 2 − 2ieτ Aµ (t; x)∂µ − eτ2 Aµ (t; x)Aµ (t; x) ψ(t; x),[]∂t ψ̄(t; x) = ∂ 2 + 2ieτ Aµ (t; x)∂µ − eτ2 Aµ (t; x)Aµ (t; x) ψ̄(t; x),とする（これらは α0 = 1 に対応している）

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ゲージ固定を伴う GFERG：量子電磁力学 (QED)
あとの構成は先ほどと parallel
ゴーストの scrambler は[ŝ ≡ · · · exp −∫dDx−→−→ ]δδ
δc(x) δ c̄(x)とする
明白なゲージ対称性の代わりに、明白な BRST 対称性
{
[−→ ]
∫δ
δ
d D x −∂µ c(x) +eSτδ c̄(x) δAµ (x)[] −→1δδ−∂µ Aµ (x) +eSτξτδAµ (x) δ c̄(x)[−→ ]−→
δδ+ ieτ c(x) +ψ̄(x)eSτδ c̄(x)δ ψ̄(x)[}−→ ]←−δδ− ieτ c(x) +eSτψ(x) = 0,δ c̄(x)δψ(x)Ward–Takahashi (WT) 恒等式を保つ
ただし、∂τ ξτ = 2γτ ξτ12 / 18変形されたゲージ対称性
QED ではゴーストセクターは完全に decouple しており、E(k ) を任意関数として一般解は∫k2
Sghostτ = −c̄(−k )c(k ).
−τE(e k )e−2k 2 + k 2k
これを WT 恒等式に代入すると
2

ξτ E(e−τ k )e−2k + k 2
ξτ E(e−τ k )e−2k 2kµ(0)ここで SIτ ≡ Sτ − Sτ
作用Sinv τ = Sτ +12δSI= eτδAµ (k )∫ [ψ̄(−p − k )
p]
−→
←−δ
δ
S−Sψ(p) ,δψ(p + k )δ ψ̄(−p)は相互作用部分。これは、ゲージ固定項を除いた Wilson∫
Aµ (k )Aν (−k )kkµ kν
k2− Sghostτ2−τk ξE(e k )e−2k 2 + k 2が次の変形されたゲージ変換のもとで不変であると言っている：2

δAµ (k ) = −ξE(e−τ k )e−2k + k 2

ξE(e−τ k )e−2k 2∫δψ(p) = −eτχ(k )ψ(p − k ),kkµ χ(k ),∫χ(k )ψ̄(−p − k ).

δ ψ̄(−p) = eτk13 / 18O(eτ2 ) までの摂動的解析
τ → ∞ で理論が落ち着く部分空間 S∞ 上の Wilson 作用を摂動論で求めた
(0)

(1)

(2)

Sτ = Sτ + eτ Sτ + eτ2 Sτ + · · · .
O(eτ0 ) 次は1(0)Sτ = −

2[(∫Aµ (k )Aν (−k )k∫−ψ̄(−p)pO(eτ1 ) 次は
(1)

Sτ

kµ kν
δµν −
k2

p/ + imτe−2p2 + i (p/ + imτ )

∫)

k2

kµ kν
k2+222−2k2−2kke+kξτ e+ k2]

ψ(p) + Sghostτ .

eµ (p, k )ep Ψ(p)ek Aµ (k ),Ψ̄(−p − k )e(p+k ) V
2=22p,k

ここでAµ (k ) = e−2kΨ(p) =2)][(1ξτkµ kνkµ kν
+Aν (k ),δµν −k2k 2 ξτ e−2k 2 + k 2
e−2k 2 + k 2e−2pe−2p22+ i(p/ + imτ )ψ(p),Ψ̄(−p) = ψ̄(−p)

e−2pe−2p22+ i(p/ + imτ ),14 / 18O(eτ2 ) までの摂動的解析
頂点部分はeµ (p, k ) = γµ + 2(p/ + k/ + im)pµ F ((p + k )2 − p2 − k 2 )V+ 2(p/ + im)(p + k )µ F (p2 − (p + k )2 − k 2 ),でF (x) ≡ex − 1.
xO(eτ2 ) の項は、あまりに複雑なので省略します
この解析から 1 ループまでの異常次元

β1 4 2=e ,2e2(4π)2 36βm =e2 ,(∂τ m = (1 + βm )m)(4π)23γF =e2 ,(4π)2γ=−を得た。前者二つは QED（電子一種）での正しい値、最後の電子の波動関数異常次
元は、グラディエントフローさせたフェルミオン場のそれ (Lüscher) になっている

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1PI 作用 Γτ の GFERG (Sonoda-H.S., in preparation)
通常 ERG の非摂動論的応用には、いわゆる 1PI 作用 Γ に対する ERG 方程式(Nicoll–Chang, Wetterich, Morris, Bonini–D’Attanasio–Marchesini) を用いる

GFERG でも対応するものが作れるか？
少なくとも可換ゲージ理論の場合には、とてもうまい Legendre 変換が定義できる(Sτ , Aµ , ψ, ψ̄) ↔ (Γτ , Aµ , Ψ, Ψ̄).
特に、ゲージ変換

δAµ (x) = ∂µ χ(x),δΨ(x) = ieτ χ(x)Ψ(x),δ Ψ̄(x) = −ieτ χ(x)Ψ̄(x).のもとでの不変性を（Γ のゲージ固定項を除いて）保つ
カイラル変換δΨ(x) = αγ5 Ψ(x),δ Ψ̄(x) = αΨ̄(x)γ5 ,のもとでの不変性を（アノマリーの効果を除いて）保つ
これらの変換は素朴な形！ 非摂動論的 ansatz はこれらを原理に作ればよい

GFERG 方程式が複雑なことが欠点

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まとめ

厳密くりこみ群 (ERG) と場の拡散の関係に着目して、ゲージ対称性を保つ拡散方程式、グラディエントフローに基づくゲージ理論での ERG、GFERG を提案した
これは明白なゲージ対称性と変形されたカイラル対称性を保つ

D = 4 非可換ゲージ理論での摂動論的解析から、（少なくとも摂動論では）ゲージ固定が必要に思われる
可換ゲージ理論 (QED) で明白な BRST 対称性を保つ GFERG を定式化した

1 ループレベルの異常次元が正しく再現される対応する 1PI 作用に対する GFERG を構成した。ここでは、ゲージ対称性とカイラル対称性が通常のものと同じ形を取る
この性質は、可換ゲージ理論での非自明な固定点の解析に有用なはず

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今後の課題

1PI GFERG を用いた可換ゲージ理論での非自明固定点の解析。過去の研究（Aoki–Morikawa–Sumi–Terao–Tomoyose, Gies–Jaeckel,
Igarashi–Itoh–Pawlowski, Gies–Ziebell など）との比較
ゲージ固定、Faddeev–Popov ゴーストを含んだ非可換ゲージ理論への拡張。
Nakanishi–Lautrup 場が消去できるか？
非可換ゲージ理論での 1 ループレベルでの摂動論的解析
汎関数積分の有限性の議論
非可換ゲージ理論での非摂動論的応用
重力理論？

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