芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175

FFD 法を用いた３次元足部モデルの解剖学的特徴点の位置推定における誤差要因の分析
矢原弘樹†，水野一徳†，福井幸男†，西原清一†，持丸正明‡，河内まき子‡，†筑波大学 システム情報工学研究科 コンピュータサイエンス専攻，つくば市‡産業技術総合研究所デジタルヒューマン研究センター，東京都
あらまし 本稿では３次元スキャナ等で計測された身体形状データから，製品設計に用いるための解剖学的特徴点情報を持った身体モデルを自動生成する手法について述べる．解剖学的特徴点は３Ｄスキャナによって得られた身体の表面形状から自動抽出することは非常に困難である．我々は以前の報告で，FFD法を用いて解剖学的特徴点のテンプレートを推定対象の形状に変形させることで，解剖学的特徴点位置を自動推定する手法を提案した．しかし，この手法で推定された解剖学的特徴点は，まだ実用的な精度で推定できていなかった．そこで，この手法における誤差の要因を分析し，その対策をすることで誤差を減少させることを試みた．足部モデルの中でも特に表面形状に解剖学的特徴が現れにくく，自動推定が難しいくるぶしの解剖学的特徴点の推定に注目する．
キーワード

身体モデリング，解剖学的特徴点，自由形状変形，重回帰分析

Analysis of Error Factors in Estimation of Anatomical Landmarks from 3D
Foot Model using Free-Form Deformation
Hiroki YAHARA†, Kazunori MIZUNO†, Yukio FUKUI†, Seiichi NISHIHARA†,
Masaaki MOCHIMARU‡, Makiko KOUCHI‡†Department of Computer Science, University of Tsukuba, Japan‡Digital Human Research Center, National Institute of Advanced Industrial Science and Technology, Japan
Abstract In order to design industrial products fitting well to the human body, it is necessary to make full use ofinformation of human anatomical landmarks. These landmarks however cannot be extracted automatically frompoint cloud data of human body surface obtained by a 3D scanner. In our previous report, we proposed the methodof extracting the landmarks automatically by deforming the template of point cloud form data with known
landmark positions using Free Form Deformation (FFD) method. In this method, it is possible to estimate
positions of the landmark by deforming the template model with the anatomical feature retained. However,estimation error in the method was more than permissible amount. This paper discusses an analysis of the factorsof estimation error, and proposes revised method of reduced estimated errors for landmarks around the ankle.
Key words: human body modeling, anatomical landmarks, Free-Form Deformation, multiple regression analysis{yahara@npal. | mizuno@npal. | fukui@ | nishihara@}cs.tsukuba.ac.jp{m-mochimaru | m-kouchi}@aist.go.jpかかるため，あまり手軽ではなかった．そこで，
３Ｄスキャナで計測された個人の表面形状データから製品設計に必要とされる身体モデルをコンピュータ上で生成する研究が注目されている[1]．このような製品設計システムに必要な身体モデルは，製品と身体との対応を取るために，解剖学的特徴点を持った身体モデルが必要とされる．
この身体モデルの生成方法に関して様々な研究が行われている[2-8]．しかし，所要時間やコスト

１．
はじめに店頭で売られている身につける製品は，大まかな形状分類によって設計される大量生産されているため，平均的な体型から大きく外れた身体の特徴を持つ人に対しての適合性があまり良くなかった．そこで，従来はオーダーメイドにより個性の強い体型の人でも，ぴったりフィットする製品を手に入れることが出来ていた．しかし，オーダーメイドによる製品設計は，コストや時間等が168

芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175が大きく，精度の要求される製品設計に十分応えられる誤差でのモデル生成手法の提案はされていなかった．
このような背景を受けて，３Ｄスキャナ等により計測された形状点データから解剖学的特徴点の位置を自動抽出することを研究の目的とする．
我々は以前の報告[9-11]で，Free-Form Deformation
法[12]（以下 FFD 法と表記する）を用いて解剖学
図 2 FFD 形状変形の例的特徴点のテンプレートを推定対象の形状に解剖学的特徴を保持したまま変形させることで，３って形状をなめらかに変形することができる．
次元足部モデルの解剖学的特徴点位置を自動推FFD を用いた形状変形の例を図 2 に示す．本手法
定する手法を提案した．しかし，この手法で推定では，この FFD を用いることで対象形状を目的形された解剖学的特徴点は，まだ実用的な精度で推状に一致させるような変形(相同変形)を行う．
定できていなかった．そこで，この手法におけるオリジナルの FFD では区間多項式として Bezier
誤差の要因を分析し，その対策をすることで誤差曲線を利用しているが，Bezier 曲線では格子点のを減少させることを試みた[13]．本稿では足部モ局所的な移動が形状全体に影響するため，局所的デルの中でも特にくるぶしの解剖学的特徴点のな変形操作が困難であるという問題があった．こ推定に注目する．の問題を解決するために，ここでは Bezier 曲線を２．
本手法で用いる基本事項
２．１ ３次元足部モデル
本研究で扱う３次元足部モデルは，形状点，解剖学的特徴点，基準点の３種類の点群で構成されている（図 1）．形状点は足の表面形状を表現する数万の点群で，３Ｄスキャナで計測したものである．解剖学的特徴点は足の骨格情報に基づいて定義された点で，各足間で対応の取るために用いられる点である．本研究では 372 個の解剖学的特徴点で定義された足モデルを用いた[14-16]．基準点
は足モデルの座標系を定義するための点で解剖学的特徴点のうちの３点であり，踵点，MT，MFで構成されている．
２．２ Free-Form Deformation
Free-Form Deformation は，Computer Graphics で用いられる３次元形状の変形手法である．これは，形状点を，Bezier 曲線パラメータを媒介変数とした区間多項式によって，形状の周囲に設定した変形制御格子点位置の関数として再定義するものである．この変形制御格子点を移動することによ
形状点

3 次 B-spline 曲線に置き換えることにより局所的な変形を実現した．また，ノットベクトルが等間隔に定義された一様な B-spline 曲線式を，等間隔に配置された制御格子点群で用いることで，初期格子を適用した時点で形状の変形が全く生じない特長を持っている[17,18]．
この変形制御格子点を移動させることにより内部の対象形状を変形し，対象形状と目標形状のそれぞれの特徴点が一致するような相同変形を実現できる．このような相同変形を行う変形制御
格子の配置について，本手法では文献[3]で提案された形状同士を一致させる変形制御格子の算出
手法を用いて求める．
すべての格子点の 3 軸方向の移動量を未知数とし，式(1)の評価量 E を最小にするような格子点移動ベクトルを，共役勾配法[19]によって計算する．

E=I
J K
1
∑∑∑ B(i, j ,k )I × J × K i =1 j =1 k =1w N(Po(n ) − Pt(n ) )2 ,∑(1)
N n =1B(i , j , k ) = ((C(i , j , k ) − C(i −1, j , k ) ) − ( D(i , j , k ) − D(i −1, j , k ) )++ (C(i , j , k ) − C(i +1, j , k ) ) − ( D(i , j , k ) − D(i +1, j , k ) )解剖学的特徴点
基準点+ (C(i , j , k ) − C(i , j −1, k ) ) − ( D(i , j , k ) − D(i , j −1, k ) )踵点

MT+ (C(i , j , k ) − C(i , j +1, k ) ) − ( D(i , j , k ) − D(i , j +1, k ) )+ (C(i , j , k ) − C(i , j , k −1) ) − ( D(i , j , k ) − D(i , j , k −1) )+ (C(i , j , k ) − C(i , j , k +1) ) − ( D(i , j , k ) − D(i , j , k +1) )), (2)MF

ただし，I,J,K

図 1 3D 足部モデル

169

それぞれ X，Y，Z 軸方向の格子点の数，

芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175

図 3 ３次元足部モデル生成の処理手順

C(i,j,k)D(i,j,k)
N
Po(n)
Pt(n)
w

i，j，k 番目の移動後の制御格子点座標，
制御格子点の初期位置，モデルの特徴点数，
n 番目の変形対象形状の特徴点座標，n 番目の変形目標形状の特徴点座標，
重み係数．

座標には x，y，z の 3 軸成分があるが，それぞれについて式(1)の評価量 E を計算し，独立に最適解を求めた．右辺第一項は，6 近傍に隣接する制御格子点との間隔を初期状態のまま保持しようとする項で，第 2 項は 2 つの形状を一致させる項である．すなわち，制御格子をできるだけ歪ませることなく，対象形状を目標形状に一致させるよ
うな制御格子点移動ベクトルを求めることになる．
３．

FFD 法を用いた解剖学的特徴点の推定法
FFD 法を用いた解剖学的特徴点の推定法[9-11]について，概略をここで触れておく．
３．１ 処理手順
標準モデルをサンプルモデルに一致させるよ
うに相同変形する FFD の変形制御格子の推定式算出手順を図 3 の左半分に，推定対象モデルの解剖学的特徴点推定手順を図 3 の右半分に示す．
３．２ 足部モデル
３．２．１
サンプルモデル
本手法ではあらかじめ解剖学的特徴点位置を人手で計測した複数の足部モデルを用意し，重回帰分析で変形制御格子の推定式を算出する際のサンプルモデルとして用いる．サンプルモデルは，形状点，解剖学的特徴点，基準点から構成される．
170

３．２．２
推定対象モデル
解剖学的特徴点位置を推定して足部モデルを生成する対象となる形状点群を推定対象形状モデルと呼ぶ．推定対象モデルは前述の形状点，基準点から構成される．
３．３ 相同変形する変形制御格子の算出
標準モデルを各サンプルモデルの形状に相同変形する FFD の変形制御格子の算出手順について説明する．
３．３．１
標準モデル
標準モデルとは，各サンプルモデルの解剖学的特徴点の平均位置を解剖学的特徴点，基準点の平均位置を基準点とするモデルである．
３．３．２
相同変形する変形制御格子の算出
FFD を用いて 3.3.1 節で述べた標準モデルを各サンプルモデルの形状に相同変形させる変形制御格子を算出する．ここで相同変形を，互いの解剖学的特徴点位置が一致するような変形として定義する．
３．４ 幾何学特徴量の抽出
表面形状の曲率極大点／極小点や，表面形状断面における Z 軸方向への最大値を取る点など幾何学的特徴を持つ点の座標値を幾何学特徴量と定義すし，変形させるときのキーポイントとする．
図 4 に示す足部モデルを足長方向に１０等分した時の断面上の点の座標値や，図 5 に示す甲の移行点等を幾何学特徴量として扱う．
３．５ 変形制御格子の推定式の算出
標準モデルを各サンプルモデルに相同変形する変形制御格子と，各サンプルモデルの幾何学特徴量を用いて，幾何学特徴量から変形制御格子を推定する式を重回帰分析によって算出する．この

芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175
ルの幾何学特徴量抽出する．
第一断面最高点
それから，この幾何学特徴量を 3.5 節で算出した変形制御格子の推定式に代入して，標準モデルが最外点推定対象モデルと一致するような相同変形を行う変形制御格子を求める．最後に，標準モデルをこの変形制御格子を用いて変形させる．
３．６．２
形状点上への投影
3.6.1 節で得られた変形後の標準モデルと等比変形をした推定対象モデルを，元のサイズとなるように等比変形する．次に，変形後の標準モデル
第九断面最内点の各解剖学的特徴点について，ユークリッド距離でもっとも近くにある推定対象モデルの形状点を求め，それを推定対象モデルの解剖学的特徴点とする．
図 4 幾何学特徴量（断面の最内点・最外点・最高点）

甲の移行点

図 5 幾何学特徴量（甲の移行点）

とき重回帰式として，予備実験を行った結果，最も推定精度の高かった(3)式を用いることとした．
n()y = ∑ ai xi + aconst
i =12(3)ここで変形制御格子の制御格子点の各座標値を目的変数 y とし，3.4 節で抽出した幾何学特徴量を説明変数 xi とした．ai は偏回帰係数，aconst は定数項である．
３．６ 推定対象モデルの解剖学的特徴点の算
出
３．６．１
推定対象モデルに対する標準モデルの相同変形
はじめに，推定対象モデルの足長が標準モデルの足長と同じになるように，推定対象モデルを等比変形する．次に，3.4 節で述べた推定対象モデ
171４．
誤差要因の分析
４．１ 誤差要因の仮説
この手法で推定された解剖学的特徴点は，まだ実用的な精度で推定できていなかった．特に，個人差が強く現れる爪先や，解剖学的特徴が表面形状に現れにくいくるぶし等の解剖学的特徴点の誤差が大きかった．発生する可能性のある誤差の要因として以下のようなものが考えられる．
A) FFD 相同変形時の各モデルの形体間距離が大きい
標準モデルをサンプルモデルに各々の解剖学的特徴点を一致させるように，FFD 相同変形させた時の一致度が低い．
B) サンプル数不足
重回帰分析のサンプル数不足による重回帰式の偏りが存在する．
C) 幾何学特徴量の質と量が不足
幾何学特徴量と解剖学的特徴点との相関が高いという前提で処理を行っているが，幾何学特徴量が解剖学的特徴点の位置を十分説明できていない．
D) 手法的に限界がある
もし仮に，理想的な幾何学特徴量を抽出する事ができたとしても，多段の処理を経ることで誤差が蓄積され，実用範囲を超えるような誤差が生じてしまう．
４．２ 検証実験
前節で挙げた要因がそれぞれどれくらい最終的な解剖学的特徴点の推定誤差に影響するか以下のような検証実験を行った．なお，複合的に影響が出るために，必ずしも前述の誤差要因と次の実験が一対一に対応している訳ではない．
実験1. 標準モデルをサンプルモデルに FFD 法で相同変形させた時の各モデル間の解剖学的特徴点間の距離を求める．
実験2. 重回帰分析に使用するサンプル足モデ

8x4x412 wx6x6w
16x8x8w

8x4x412x6x616x8x8

形体間距離 (mm)

芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175に 4，Z 軸方向に 4 分割したことを示す．w は解ルの数を変化させる．
剖学的特徴点の重みを変化させたことを示す．こ実験3. 幾何学特徴量の数を変化させて重回帰の結果より，平均誤差が 1mm 前後であることか分析を行う．
ら十分な誤差で形状は一致していることが分か実験4. 重回帰分析の説明変数に求めるべき解る．特に格子の分割数を増やせば増やすほど，ま剖学的特徴点を使用する．
た解剖学的特徴点の重みを変化させた方がより４．２．１
実験１形状がよく一致する結果になった．
この実験は FFD 法を用いて標準モデルを推定
次に，この FFD 変形制御格子を使って重回帰分
対象モデルに互いの解剖学的特徴点が一致する析を行い，得られた推定式で推定された FFD 変形ように相同変形させた時の両形状の一致度を検制御格子で標準モデルを変形させたところ．その証することを目的とする．実験条件として，格子時の誤差は図 7 のようになった．これより，あまの分割数を変化させ，重要度に基づき一致させる
り格子の分割数を増やしすぎると FFD 変形の際解剖学的特徴点の重みを変化させた．に局所的に大きな変形等が起こってしまい，その実験の結果を図 6 に示す．横軸は格子の分割数ような変形制御格子をうまく推定することがでを示す．例えば，8x4x4 は X 軸方向に 8，Y 軸方向きていないことがわかる．これは，標準モデルの解剖学的特徴を維持しないような変形が起こっ2.50ていることが原因であると考えられる．このことから，格子の分割数は，ただ増やせばよいという2.00ことではないことが分かる．
４．２．２
実験２1.50
この実験は重回帰分析に使用するサンプルモデルの数が十分であるか検証することを目的と1.00する．実験条件として，サンプルモデルの数を変化させた時に，重回帰分析で得られた推定式で推0.50定した変形制御格子が推定誤差にどのような影0.00響を与えているか調べた．この時，重回帰分析の説明変数に使用する幾何学特徴量は 33 個の項目とした．この 33 個の幾何学特徴量は前回の報告の時に使用していた 41 個から，モデル間であま変形制御格子の分割数り対応の取れていない 8 つの項目を省いたものに
図 6 実験 1 の結果 (標準モデルをサンプルモなる．
実験の結果を図 8 に示す．サンプル数を増やしデルに FFD 法で相同変形させた時の各モデルた時の誤差はある値に収束している．このことか間の形体間距離)
ら，現在の実験条件では十分なサンプル数である
4.50
ことが分かった．
3.50

8.00

3.00

7.00

2.50

平均推定誤差 (mm)

2.00
1.50
1.00
0.50

8x4x412 w
x6x6w
16x8x8w

5.00
4.00
3.00
2.00
1.00

変形制御格子の分割数

000121440

制御格子を用いて標準モデルを変形させた時100.00

図 7 実験 1 の結果 (推定式で推定された変形80

8x4x412x6x6
16x8x80.00

6.0060

平均推定誤差 (mm)4.00

サンプル数の推定対象モデルとの誤差)
図 8 実験 2 の結果

172芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175

平均推定誤差 (mm) .

2.862.842.822.802.78252627 28

29 30313233

幾何学特徴量の数
図 9 実験 3 の結果

図 11 追加した幾何学特徴量

４．２．３
実験３
この実験は重回帰分析で説明変数として使用する幾何学特徴量が十分であるか検証することを目的とする．実験条件として，最初に現在使用している 33 個の幾何学特徴量と求めるべき解剖学的特徴点とのそれぞれの座標値の相関係数を計算した．次に，相関係数の大きさを元に使用する幾何学特徴量の数を変化させて推定誤差にどのような影響を与えているか調べた．サンプルモ
デルは 150 個とし，検証用に 40 個のモデルを使用した．
実験の結果を図 9 に示す．幾何学特徴量を減らすと推定誤差は増えていることがわかる．このことから，まだ幾何学特徴量の数を増やせば推定誤差が減る可能性があることが言える．
４．２．４実験４
この実験はもし仮に理想的な幾何学特徴量を抽出できた時に，提案手法での推定精度がどの程度の誤差に収まるか検証することを目的とする．

理想的な幾何学特徴量とは，各モデル間で対応がとれており，解剖学的特徴点の位置を十分に説明できることが条件である．そこで，実験条件として，重回帰分析の説明変数に，理想的な幾何学特徴量として解剖学的特徴点を使用した．
実験の結果を図 10 に示す．実験１の結果と照らし合わせると，もし仮に理想的な幾何学特徴量が抽出できた場合，この手法での推定誤差は十分低く抑えることが可能であることを確認した．
５．
改善
検証実験の結果から，現時点では幾何学特徴量の質と量が不足していることが，解剖学的特徴点の推定誤差に大きく影響を与えていると結論付けられる．ここで言う幾何学特徴量の質とは，どのようなモデルに対しても安定して対応した部位を抽出することができ，解剖学的特徴点の位置を十分に説明できることである．

3.50
12.00

2.50

平均

平均推定誤差(mm)

10.00

2.00
1.50
1.00
0.50

最大8.00
6.00
4.00
2.00

0.00

0.00

8x4x4w
12x6x6w
16x8x8w

8x4x4
12x6x616x8x8

平均推定誤差 (mm)3.00

変形制御格子の分割数

内果端点 外果端点

内果端点 外果端点

追加前

追加後

図 12 幾何学特徴量追加前と追加後の推定誤差

図 10 実験 4 の結果

173

芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175
surface images", Scanning 2000 Proceedings, 2000．
これらの結果をふまえて，誤差の主要因である[6] 青木義満，寺嶋雅彦，中島昭彦，橋本周司，
幾何学特徴量の質と量の改善のための実験を行"X 線規格画像を用いた 3 次元頭部物理モデルのう．今回はくるぶしにある 2 つの解剖学的特徴点
構築とその臨床応用"，電子情報通信学会論文誌，に注目して，図 11 に示すように，くるぶし付近
vol.J84-D-II，no.2，pp.390--399，2001．に 15 個の幾何学特徴量をこれまで使用していた[7] B.Allen, B.Curless, Z.Popovic "Articulated Body
33 個に追加した．そして，48 個の幾何学特徴量
Deformation
from
Range
ScanData",
を重回帰分析の説明変数として使用することで
SIGGRAPH'2002, vol.21, no.3, pp.612--619, Feb.
推定誤差を求めた．その結果を図 12 に示す．く2002.
るぶし付近の幾何学特徴量を追加したことによ[8] D.DeCarlo, D.Metaxas, and M.Stone, "Anり推定誤差が減少していることを確認した．
anthropometric face model using variationaltechnique", SIGGRAPH'98, pp.67--74, July, 1998.
６．
むすび[9] M. Mochimaru, M.Kouchi, H.Yahara, and Y.Fukui,
本稿では FFD 法を用いた解剖学的特徴点の位“Automatic landmarking based on 3-D foot database
置推定における誤差要因の分析を行った．その結
using the FFD method”, SAE Digital Human果，重回帰分析の説明変数として用いる，幾何学
Modeling for Design and Engineering, 2004,
特徴量の質と量が不足していることが主要因でpp.2004-01-2197.
あることを確認した．そして，この要因を取り除[10] 矢原弘樹, 日隈直紀, 福井幸男, 西原清一,くことにより，誤差を改善させることができるこ
持丸正明, 河内まき子，"FFD を用いた 3 次元足部とを確認した．
モデルの解剖学的特徴点抽出", 電子情報通信学
今後の課題はより質の良い幾何学特徴量の抽会論文誌 D-II, Vol.J87-D2 No.4, pp.967-977, Apr.
出を行うことで推定誤差を実用的な水準まで落2004.とす予定である．そのためには，より多くの幾何[11] Hiroki Yahara, Naoki Higuma, Yukio Fukui,
学特徴量を抽出し，どのようなモデルに対してもSeiichi Nishihara, Masaaki Mochimaru, Makiko
安定して抽出できる，手法を考える必要がある．
Kouchi, "Estimation of anatomical landmark positions
また，解剖学的特徴点の位置をよく説明できる幾from model of 3-dimensional foot by the FFD
何学特徴量を発見することが必要となる．
method," Systems and Computers in Japan, Vol.36,
No.6, pp26-38, Apr. 2005.
謝辞[12] T.W.Sederberg, "Free-form deformation of solid
株式会社アイウェアラボラトリー木村幸三代
geometricmodels",ProceedingsofACM
表取締役他には，データの提供をはじめ本研究分
SIGGRAPH'86 in Computers & Graphics, vol.20,
野に関する有用な助言を賜りました．心から感謝
no.4, pp.151--160, 1986．
致します．
[13] Hiroki Yahara, Kazunori Mizuno, Yukio Fukui,
Seiichi Nishihara, Masaaki Mochimaru and Makiko
参考文献
Kouchi, "Analysis of Error Factor in Estimation of[1] 日本皮革産業連合会，"イージーオーダーシス
Anatomical Landmarks from 3D Foot Model using
テム研究報告書"，日本皮革産業連合会，1989．
Free-Form Deformation," Proc. NICOGRAPH[2] 西田典了，福嶋茂信，美濃導彦，"部分計測デInternational 2005, pp.89-94, Apr. 2005.
ータへの標準人体モデル当てはめによる人体形[14] E.Tsutsumi, M.Kouchi, "Geometrical modeling状推定法"，電子情報通信学会論文誌，vol.J84-D-II，of the foot", 5th ASEE International Conferenceno.7，pp.1310--1318，2001．
ECGDG, pp.171--174, 1992．
[3] 持丸正明，河内まき子，福井幸男，堤江美子，[15] 土肥麻佐子，持丸正明，河内まき子，"足部"FFD 法による形態間距離に基づく足部三次元形計測値に基づく 3 次元形態特性の分布推定"，人間態の特徴分類"，人間工学，vol.33，no.4，pp.229--234， 工学，vol.36，no.2，pp.73--80，2000．
1997．
[16] 人間生活工学研究センター，"新規産業育成[4] L.Dekker, I.Douros, B.F.Buxton ， P.Treleaven,
即効型国際標準開発事業 身体形態特性データの"Building Symbolic Information for 3D Human Body
計測・データベース化手法に係る標準化"，pp.21，
Modeling from Range Data", 3DIM99 Proceedings,2000．
pp.388--397, 1999．
[17] Hsu, W. H., Hughes, J. F., Kaufman, H., "Direct[5] B.F.Buxton, L.Dekker, I.Douros, T. Vassilev,
Manipulation of Free-Form Deformations", Comput.
"Reconstruction and interpretation of 3D whole bodyGraphi. vol.26, no.2, pp.177--184, 1992.
174

芸術科学会論文誌 Vol.4 No.4 pp168-175[18] 持丸正明，河内まき子，福井幸男，"体形変換のための局所的形態操作手法"，第 10 回ヒューマ ン イ ン ター フ ェ ー ス・ シ ン ポ ジウ ム ， 10，pp.173--176，1994．
[19] 矢部博，八巻直一，"非線形計画法"，朝倉書店，1999．

175