Proceedings of the 15th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 7-10, 2018, Nagaoka, Japan

PASJ2018 THP089

Head-tail フィードバックによるモード結合不安定性抑制の検討

CHALLENGE TO HEAD-TAIL FEEDBACK FOR MODE COUPLING INSTABILITY
中村 剛##Takeshi Nakamura
Japan Synchrotron Radiation Research Institute

Abstract

Mode-coupling instability, or strong head-tail instability, is the single bunch instability that limits stored bunch
current of electron storage rings. The instability is controlled by conventional transverse feedback that controls centerof-mass motion of bunches, and the bunch current reached by the feedback up to several times more. However, theincrease of the gain of feedback leads to the instability of feedback itself and further increase of the bunch current is noteasy. To overcome this situation, we propose the head-tail feedback that controls head-tail motion of bunches with ahead-tail kicker that proposed by the author before, and a head-tail position detector that proposed in this report.

1.

はじめにこの状況を乗り越えるため、バンチの前半・後半について、それぞれ異なるキックを与える head-tailフィードバックを提案し、Fig. 2 のように重心振動のフィードバックに加えたシステムを検討する。ここでは、head-tail の文言を、バンチの前半部と後半部で異なるパラメータを持つものという意味で用いている。Head-tail 振動は、バンチの前半部と後半部の相対振動、head-tail キッカーは、バンチの前半部と後半部に異なるキックを与えるキッカーである。

蓄積リングにおいて、横方向、すなわちベータトロン振動を励起するシングルバンチ不安定性はバンチ電流を制限する大きな要素であり、従来、この抑制には、高いクロマティシティがもたらす head-tail減衰が用いられて来た。しかし、top-up 入射の際には高クロマティシティに伴うダイナミックアパチャの狭小化による入射効率の低下を避けるため、低クCM feedback
ロマティシティ運転が必須となっている。この場合、シングルバンチ不安定性のうち、モード結合不安定
DACFPGAADC性 (strong head-tail 不安定性) が顕著となり、発生のDACしきい値電流の低下が見られる。
これに対して、従来の重心振動のフィードバック
CM Kicker
BPMSingletを用いて、しきい値電流を、数倍に引き上げていたgapが[1]、さらなる引き上げはフィードバックゲインのHead-tail
Storage Ring
BPM
上昇だけでは難しい状況となっている。
Kicker
これは、モード結合不安定性は、バンチの前方がSinglet
gap
Bunch train
Pulsed発生するウェーク場がバンチの後方をキックするこAmpとで発生し、そのため、Fig. 1 のように、不安定性DAC
ADC
は、バンチの前半と後半の振動の位相が異なって振FPGADAC
動するが、重心フィードバックでは、前半と後半のHead-tail feedback
位置の平均についてのみの抑制となり、その効率が低減していることに起因する。一方、フィードバッ Figure 2: Center-of-mass (CM) feedback and head-tailクのゲインを上げて抑制効果を高めようとした場合、 feedback for hybrid filling.
今度は、フィードバック自体が不安定となり、不安定性抑制の前に、フィードバックがビームの振動を 2. ビームの head-tail 振動の検出励起する状況に陥る[2]。
Head-tail 振動、すなわちバンチの前後の傾きを直CM kickhead-tailhead-tail
接観測するための回路を検討する。
kickkickBunch
議論の簡略化のため Fig. 3 のように、BPM は対向する２つの電極 A および B からなるとし、
180deg. Hybrid により、電極 A および B からの信
head-tailCM kick
号の、和信号( Fig. 3 の A+B)および差信号 ( Fig. 3kick
CM kickの A-B)を得ているとする。
Figure 1: Head-tail motion, center of mass (CM) kick, and
ボタン型ビーム位置モニタ(BPM)電極からの信号
head-tail kick.の MAFIA による計算結果を Fig. 4 に示す。計算に用いたバンチ長は𝜎𝜎# =3.3ps(r.m.s.) であり、電極構造_________________________________________
は、SPring-8 のものを仮定している。この信号を#nakamura@spring8.or.jp- 1068 -Proceedings of the 15th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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𝐺𝐺(𝑡𝑡)とし、これ以降に検討するバンチの長さは、𝜎𝜎#と比較して十分に長いことから、𝐺𝐺(𝑡𝑡)をグリーン関数として用いる。
CM position detection

A180 Hybrid
BPM

AA-B

B

A+B

B

3C

Mixer
LPF-1となり、重心位置の項：

BPM signal

3𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡 0 ) 0
𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)
= −𝑥𝑥# . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡 04390となり、𝜌𝜌(𝑡𝑡)として Gaussian

900.51Time [ns]1.5電極 A, B それぞれからの信号𝑆𝑆) (𝑡𝑡)、𝑆𝑆* (𝑡𝑡)は、バンチの BPM 通過時間 𝑡𝑡 でのスライスの平均位置
𝑥𝑥(𝑡𝑡)と、電荷量 𝜌𝜌(𝑡𝑡) から Fig. 4 のグリーン関数
𝐺𝐺(𝑡𝑡)を用いて3𝑆𝑆) (𝑡𝑡) = . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑑𝑑′

31+ 𝐷𝐷 . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝑥𝑥(𝑡𝑡 0 )𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑑𝑑′ (1)2 43

3𝑆𝑆* (𝑡𝑡) = . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑑𝑑′

31− 𝐷𝐷 . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝑥𝑥(𝑡𝑡 0 )𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑡𝑡 0 (2)2 43と置くことができる。ここで、𝐷𝐷は、電極の配置に依存する定数である。これから、差信号𝑆𝑆9:; (𝑡𝑡) =𝑆𝑆) (𝑡𝑡) − 𝑆𝑆* (𝑡𝑡)は、
3

𝑆𝑆9:; (𝑡𝑡) = 𝐷𝐷 . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝑥𝑥(𝑡𝑡 0 )𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑡𝑡 043(3)となる。以降は、この絶対値については議論しない
ため、D=1 とする。
バンチは、𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥# + (𝑥𝑥# /𝜎𝜎 )𝑡𝑡、すなわち、重心位置𝑥𝑥# をもち、それと同等のスケールのバンチの傾き (𝑥𝑥# /𝜎𝜎 )𝑡𝑡 を 持 つ と す る 。 こ こ で 、 𝜎𝜎 は 𝜌𝜌(𝑡𝑡) のr.m.s. である。このバンチからの𝑆𝑆9:; (𝑡𝑡)は、
3
𝑥𝑥#𝑆𝑆9:; (𝑡𝑡) = . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 ) >𝑥𝑥# + > ? 𝑡𝑡 0 ? 𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑡𝑡 0𝜎𝜎43(4)4FG

𝜌𝜌(𝑡𝑡) = 𝜌𝜌# 𝑒𝑒 HIG

2Figure 4: Signal from a BPM electrode for bunch length
3.3ps (r.m.s.).

43(6)43の和となる。一方、𝑆𝑆# (𝑡𝑡)の微分𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑は、部分積分をもちいて、

BPM electrode signal for 3.3ps (rms)43𝑥𝑥# 3. 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝑡𝑡 0 𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑡𝑡 0𝜎𝜎 43

𝑆𝑆B (𝑡𝑡) =Figure 3: Head-tail motion detection circuit.

-5 x 10(5)と、傾きの項：

LPF-2

Differentiator (HPF)

5 x 10𝑆𝑆# (𝑡𝑡) = 𝑥𝑥# . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑡𝑡 0を仮定すると、Eq. (7) は、𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡) 𝑥𝑥# 3= H . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝑡𝑡 0 𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑡𝑡 0𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜎𝜎 43(7)(8)(9)となって、𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑は、𝑆𝑆B (𝑡𝑡)に相似であることがわかり、これから、𝑆𝑆B (𝑡𝑡)は、𝑆𝑆# (𝑡𝑡)に比べて高周波成分を持つと期待される。そのため、𝑆𝑆B (𝑡𝑡)の𝑆𝑆# (𝑡𝑡)に対する相対強度を大きく取るには、高い周波数での検出が望ましい。しかし、ビームパイプ内の他の場所で発生した余計な電磁波の影響を受けないためには、検出周波数は、ビームパイプの cut-off 周波数以下であることが望ましいので、この cut-off 周波数を特性周波数とする low pass filter (Fig. 3 の LPF-1)通すこととする。ここで、電荷分布 𝜌𝜌(𝑡𝑡) を Gaussian とし、その𝜎𝜎 を SPring-8 の 6mA/bunch の時のバンチ
長 24ps (r.m.s.)、LPF-1 の特性周波数を SPring-8 での cut-off 周波数 2 GHz とした場合の波形を Fig. 5に示す。LPF-1 は、波形の乱れを抑えるため、４次のベッセル型としている。
この信号では、𝑆𝑆０ (𝑡𝑡)の成分の信号が大きいので、ここから、𝑆𝑆B (𝑡𝑡)の成分を抽出する方法を考える。
Figure 3 の 180 deg. Hybrid からの和信号𝑆𝑆KLM (𝑡𝑡) =𝑆𝑆) (𝑡𝑡) + 𝑆𝑆* (𝑡𝑡)は、3

𝑆𝑆KLM (𝑡𝑡) = 2 . 𝐺𝐺(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 0 )𝜌𝜌(𝑡𝑡 0 )𝑑𝑑𝑡𝑡 043(10)であるので、𝑆𝑆# (𝑡𝑡) に相似となる。これを微分回路(例えば、RC による 1 次の high pass filter (Fig. 3 のHPF) ) に通して微分波形𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑 を作り、𝑆𝑆# (𝑡𝑡)および𝑆𝑆B (𝑡𝑡)のそれぞれと掛け算回路であるミキサーを用いて掛け合わせて Fig. 6 に示す波形𝑆𝑆# (𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑)、𝑆𝑆B (𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑) を つ く り 、 こ れ を low passfilter (Fig. 3 の LPF-2、特性周波数 500MHz) に通す- 1069 -Proceedings of the 15th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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31𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 = [𝑓𝑓 H (𝑡𝑡)]343 = 0243 𝑑𝑑𝑑𝑑.

バンチ長が短くなるが、同時に、強い磁石を用いるためにビームパイプのサイズが小さくなり cut-off 周波数の上昇が見込まれる。たとえば、バンチ長さ10ps (r.m.s.)に対して、特性周波数 4GHz の LPF-1 を用いた場合を Figs. 8-10 に示す。先程の例と同調に重心位置の信号に比べて相対的に大きな傾き信号が得られている。
8position_and_angle_24ps 2GHz

1 x 10BPM signalと、Fig. 7 の信号( 〈𝑆𝑆# (𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑)〉, 〈𝑆𝑆B (𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑)〉と記載する)となる。ここでも、LPF-2 は、４次のベッセル型としている。LPF-2 の特性周波数を500MHz としたのは、信号をバンチごとに分離するために、一つのバンチの生成する信号波形が SPring8 のバンチ間範囲 ±2𝑛𝑛𝑛𝑛 に収めるためであり、バンチ間隔がより長ければ、より低周波の LPF を用いることにより、重心信号をさらに減衰させて傾き信号をより明確に取り出すことが可能となる。
この処理により、𝑆𝑆# (𝑡𝑡)に起因する信号を低減することができる。これは、𝑓𝑓 H (𝑡𝑡 → ±∞) → 0となる関数に対して、(11)

5 x 10angleposition70-5 x 10

7-1 x 10801
Time [ns]BPM signal

BPM signal

BPM signalとなることを用いている。ここで、積分器として用いているのは LPF (Fig. 3 の LPF-2) であるが、積分 Figure 5: Position and angle (head-tail) signals at “A” in
器としての理想特性を持っているわけではないので、 Fig. 3.
残留信号が生じている；ただし Fig. 6 の波形の積分
25 diff_x_position_and_angle_24ps 2GHz
5 x 10を取れば 0 となっている。一方、𝑆𝑆B (𝑡𝑡)の波形は前
dif_x_angle
述の通り Gaussian の場合にはちょうど𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑 とdif_x_position相似となるので、ミキサーの出力𝑆𝑆B (𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑)は0自分自身の積となり、積分により 0 でない信号として取り出すことができる。実際のバンチの電荷分布
𝜌𝜌(𝑡𝑡) は 、 縦 方 向 ウ ェ ー ク に よ る Potential well25-5 x 10
distortion により、Gaussian 分布から変形するが、01
それでも〈𝑆𝑆B (𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑)〉について 0 でない信号がTime [ns]得られることは期待できる。
重心の信号と傾きの信号の切り分けは、時間の Figure 6: Signals at “B” in Fig. 3; dif_x_position:
𝑆𝑆# (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑, dif_x_angle: 𝑆𝑆B (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑.
偶奇性が異なることを利用して、フィードバックのタイミングとしてよく用いられている RF クロック
diff_x_position_and_angle_24ps
2GHz 500MHz
244 x 10
信号とのミキシングでも抽出することは可能である。
dif_x_angle
しかし、ミキサーへの２つの信号の入力タイミング
dif_x_position
242 x 10を高精度で合わせる必要がある一方、RF クロック
信号とバンチのタイミングは、バンチのウェーク場0によるエネルギー損失や、挿入光源のパラメータ変動による放射損失、RF 加速電圧の変更などによる24-2 x 10
シンクロナス位相の変動や、残留シンクロトロン振-2-10
123動などによりズレが生じ調整が困難であることが予Time [ns]想される。一方、和信号を用いればタイミングは常に一定となり調整は不要であることが期待される。 Figure 7: Signal at “C” in Fig. 3; dif_x_position: <𝑆𝑆# (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑> , dif_x_angle: < 𝑆𝑆B (𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑆𝑆# (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑 >.
ただし、RF クロックとは異なり和信号にはバンチ電流依存性が伴うので、その信号レベル、ゲインのposition_and_angle_10ps 4GHz8補正などを行う必要がある。
4 x 10
こうして得られた Fig. 7 の波形を、フィードバッ
angle
8position
2 x 10
ク用信号処理装置の ADC で、ちょうど、位置信号が 0 となり、かつ、傾き信号が最大点に近いタイミ0ングでサンプルすることにより、傾き情報のみが検出可能となる。ここで、ADC のサンプリングタイミ
8-2 x 10ングの時間精度は、周波数帯域が低減されている分、01ミキサーの入力タイミングと比べて許容範囲が数倍、Time [ns]緩和されているので、RF クロックを用いることは可能と考えられる。
Figure 8: Signal for bunch length 10ps (r.m.s.) with 4GHz
また、低エミッタンス化されたリングの場合、そLPF-1; corresponding to Fig. 5.
れに伴うコンパクションファクターの低減によって、- 1070 -Proceedings of the 15th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 7-10, 2018, Nagaoka, JapanBPM signal

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1 x 10275 x 1026

diff_x_position_and_angle_10ps 4GHz

Input

dif_x_angle
dif_x_position

0-5 x 1026-1 x 102701

HOM dampers

Time [ns]Figure 11: Example of Head-tail kicker [4].

Figure 9: Same as Fig. 8; corresponding to Fig. 6.
dif_x_angle
dif_x_position25

2 x 10

BPM signal

Kick Voltage [V]diff_x_position_and_angle_10ps 4GHz 500MHz

25

1 x 100-1 x 10

25-2-10
1Time [ns]2330
20100-10-20-30

H-T kick by single pulse

0102030 40
Time [ns]

5060

70

Figure 12: Kick response for single wave of 2W power.
Kick Voltage [V]Figure 10: Same as Fig. 8; corresponding to Fig. 7.

3.

HOM damper

Head-tail キッカー

300
200
100
0-100-200-300

H-T kick by 60 pulses

Positoin [a.u.]

次に、バンチの前半部、後半部で、異なるキックを head-tail キ ッ カ ー は 、 キ ッ ク の 時 間 勾 配
010 20 30 40 50 60 70
𝑑𝑑𝑉𝑉\ (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑が大きい必要があるが、重心へのキックTime [ns]に対して従来から用いられている strip-line 型のキッカーでは、キック力を増強するためにキッカー
Figure 13: Kick driven by 60 pulse train.の長さを伸ばすと、キッカーの時定数が、キッカーの長さに比例して大きくなり、結局、キックの時間 4. 重心振動のフィードバック勾配を大きくすることはできない。そこで、縦方向キッカーとして SPring-8 で提案した縦方向キッカー 4.1 重心振動フィードバック自身の不安定性の構造 [3] をもとに、Fig. 11 の共振型の head-tailSPrig-8 蓄積リングを例として、そのウェーク場キッカーを提案した[4]。ビーム不安定性が問題とな をもとにした不安定性のシミュレーションを行った。
る大電流シングルバンチは、Fig. 2 のように通常、 用いたコードは、SPring-8 で開発した SISR [5] であ
その前後には、バンチが蓄積されていないギャップ る。リングの小数チューンは 0.35、バンチ電流はが設けられるので、このギャップの間に、共振をも 6mA である。キッカーでのキックと重心振動との位ちいてキック力をビルドアップし、また、減衰させ 相差は、-90 度としている。まず、重心フィードることとする。このキッカーに対して、入力として バックの高ゲインによる不安定化について、低バン単一周期のパルスを用いた場合のキック力の時間変 チ電流領域 (1uA)でウェークが無視できる状況にお化を Fig. 12 に示す。また、入力を 60 周期とした いて、フィードバックのゲイン、すなわち期待されものを Fig. 13 に示す。単一周期に比べて一桁大き る減衰時間を短縮していった場合を Fig. 14 に示す。
いキック力が得られていることがわかる。ここでは、
3パワーアンプのパワーと価格のトレードオフから、
5T
3T
2T
1.9T2キャビティの共振周波数を、RF 加速周波数の 2 +11/3 倍の 1.2 GHz としているが、高い周波数で安価0なパワーアンプが得られれば、高周波数化により-1
𝑑𝑑𝑉𝑉\ (𝑡𝑡)/𝑑𝑑𝑑𝑑を稼ぐことも可能と考えられる。
-22090Turn2100

2110

Figure 14: Bunch motion with CM feedback at high gain
(shown with damping time). Bunch motions for damping
time less than 2T (two turns) shows growth of half-integer
like oscillation while original tune is 0.35.

- 1071 -Proceedings of the 15th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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重心振動フィードバックでの抑制

Oscillation Amplitude [a.u.]

重心フィードバックによる不安定性の抑制を試みたのが Fig. 15 となる。フィードバック自身が不安定となる直前 (2T) までフィードバックの減衰力を強めても、不安定性は抑制できていない。
0.01

6.

0.0001
10-55T
3T
2T

2T
2000

2500

3000
Turn

3500

Figure 15: Amplitude growth of bunch motion with CM
feedback. Bunch current increases begins at 1670 turn andends at 3340 turn.

5.

重心振動検出・head-tail キック

Phase difference [deg]5.1 重心振動と head-tail 振動の位相不安定性が発生している場合には、バンチの重心振動と、傾きの振動が、Fig. 16 のように、ある位相関係にあることが、simulation で判明した。
zeta_ave_angle_phase_vs_Ib

27090

012345
Bunch current [mA]67

Figure 16: Phase of head-tail oscillation relative to centerof mass oscillation.
5.2

0.05T
0.1T

2000

3000

Turn4000

5000

head-tail 振動検出・head-tail キック

重心振動を検出し head-tail キックを与える
フィードバック

Figure 16 の重心振動と head-tail 振動の位相差をもちいて、重心振動を検出し、それをもとに headtail キックを与えるフィードバックの結果を Fig. 17に示す。キッカーでの重心振動に対する head-tailキックの位相差は -180 度としている。また、重心振動のフィードバックは減衰時間 10T で同時に可動している。ある程度の抑制効果が見られている。
Head-tail キックは、重心振動のキックと同様の計算によるキック力 K、スライスの前後位置 z、そのバンチ平均 𝑧𝑧# を用いて𝐾𝐾(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧# ) としている。

Ib-6mA 10T aaveabs
0.001

20T

1.7T

0.0001

10T-5106T-610-7

2T

10-8

10

2000

3000

4000

5000

TurnFigure 18: Amplitude growth for head-tail motion tohead-tail kick.

7.

180

00.2T

Figure 3 の head-tail 振動検出系を用いて head-tail振動から head-tail キックを発生するフィードバックの結果を Fig. 18 に示す。キッカーでの両者の位相差は-90 度としている。重心振動のフィードバックも減衰時間 10T で同時に可動させている。明確な抑制効果が得られていることがわかる。

0.001
5T

0.01
0.001
0.0001-510-610-7
10-810Figure 17: Amplitude growth for CM motion to head-tailkick feedback.

Oscillation Amplitude [a.u.]

4.2

Oscillation Amplitude [a.u.]

この図で “nT” は、期待される (フィードバックの減衰時間)/(周回時間)が、n ターンであることを示し てい る。減 衰時間 が 2T 以下と なった 場合 、チューンが 0.5 の振動が励起され、フィードバック自体が不安定となっていることがわかる [2] 。

まとめHead-tail 振動のフィードバックによるモード結合不安定性の抑制について、head-tail 振動の検出法、head-tail キッカーを提案し、シミュレーションにより、従来の重心振動だけのフィードバックを超える抑制が示唆された。なお、ここでの議論は、理想的な条件をもとにしたものとなっているため、実際の適用には、さらなる検討が必要と考えられる。

参考文献[1] T. Nakamura, K. Kobayashi et al., “Filling of High Current
Singlet and Train of low bunch current in SPring-8 StorageRing”, Proc. of EPAC08, THPC127.
[2] T. Nakamura, “Transverse and Longitudinal Bunchby-bunch Feedback for Storage Ring ” , Proc. ofIPAC18, TUZGBD2.
[3] T. Nakamura, “Resonant Strip-line Type
Longitudinal Kicker”, Proc. of IPAC11, MOPO007.
[4] T. Nakamura, “Head-tail 不安定性フィードバックを目指した head-tail キッカーの提案”, Meeting Abstracts ofthe Physical Society of Japan 70.1(0), 547, 2015.
[5] T. Nakamura, “SPring-8 でのビーム不安定性シミュレーション”, Workshop SAD2006, KEK (2006) ;- 1072 -http://acc-physics.kek.jp/sad/SAD2006/Doc/Slide/Nakamura.pdf