偏微分方程式の計算数理（共立出版，2023 年）
正誤表と補足コメント齊藤 宣一

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最新更新日：2024 年 8 月 9 日 (← 2023.10.25)

1 正誤表頁/行

訂正前

訂正後

更新日

15/ − 5となる．となる．ただし，I ∈ R

36/9 ∼ 11

un−1+θ ，un−1u(n−1+θ) ，u(n−1)

′′′′

N ×N

は単位行列である．

′2023.11.02
2023.10.25

36/9k⟨Ah u ，Ah u ⟩ (2 つ目の がボールド体)k⟨Ah u ，Ah u ⟩2023.11.04

68/ − 5

実際に代入することで代入することで（“実際に” を削除）

2024.04.04

69/110≤x≤x+ε0≤x≤ε2023.10.25

79/1w = w(x)RLJ(w) = 0 G(w, wx ) dxGu(n−1) − iτ H −1 (1 − θ)f (u(n−1) ) + θf (u) + g (n−1+θ)u = u(x)RL
J(u) = 0 G(u, ux ) dx
Gu − iτ H −1 (1 − θ)f (u) + θf (u) + g (n−1+θ) （2 箇所の2023.11.09

79/2
97/ − 52023.11.09
2023.12.13(n − 1) を削除）
97/ − 3

確かめられる．ただし，F(u) は，(2.51) で定めたものである． 2023.12.13

確かめられる．

(2.52) も見よ．

198/3|||u(n−1) ||| + τ (1 − θ)|||f (u(n−1) )||| + τ θ|||f (u)||| + τ R

98/4|||u|||u||| + τ (1 − θ)|||f (u)||| + τ θ|||f (u)||| + τ R （2 箇所の (n − 1)

2023.12.13を削除）(n−1)||| + τ (1 − θ)C1f (|||u(n−1)|||) + τ θC1f (|||u|||) + τ R|||u||| + τ (1 − θ)C1f (|||u|||) + τ θC1f (|||u|||) + τ R （2 箇所の2023.12.13(n − 1) を削除）
140/13, 15, 16∥B∥ (3 箇所)∥E∥ (3 箇所)

2023.11.19

140/16

det B

det E

2023.11.19

144/ − 2凸多角形ならば凸多角形領域ならば2023.11.02

212/4

Bu + ρf∥T x∥Yinfx∈X ∥x∥XBv + ρf
∥T v∥Yinfv∈X ∥v∥X

2024.04.04

276/14

R(A) (2 箇所)

R(T ) (2 箇所)

2023.11.03

287/ − 7∥p − ph ∥V∥p − ph ∥Q

2023.12.13

302/ − 6C9 |(u, p)∥X

C9 ∥(u, p)∥X

2024.01.16304/6が成り立つ．

が，任意の T ∈ Th に対して，成り立つ．

2023.10.25

304/11|||(v, q)||||||(v, q)|||Th

2024.01.16

275/ − 7

305/5
329/14supinfBh ((uh , ph ), (vh , qh ))2023.11.04

supinfBh ((uh , ph ), (vh , qh ))(uh ,ph )∈Xh (vh ,qh )∈Xh ∥(uh , ph )∥Th ∥(vh , qh )∥Th(uh ,ph )∈Xh (vh ,qh )∈Xh |||(uh , ph )|||Th |||(vh , qh )|||Th1≤p≤∞

1 ≤ p < ∞ （2◦ は 2 つの空間が同一視できるという主張で2024.01.16
2023.12.06す）

371/6
434/ − 9∥(A−1 )∗ Eh (t)∗ ∥Z[∇ · (bu)]v dxΩ|{z}∥Eh (t)∗ (A−1 )∗ ∥Z−(bu) · ∇v dx
Ω
|{z}

=I=I2

2023.11.05
2024.01.26

435/2 − 4I≈==N+BX

ZZ

i=1
N+BX

I=DiZ

(bm · ni )uh dx

vh (Pi )

i=1+B
N
XZ
[∇ · (bm u)]v dx − (bm · n)uv dSΩΓ
ZZN+BN+BX
X
m≈vh (Pi )∇ · (b uh ) dx −vh (Pi )∇ · (bm uh ) dx

vh (Pi )∂Di

vh (Pi )

i=1

XZ
j∈Λi

=(bm · nij )uh dx
Γij

=pi=1
N+B
X
i=1
N+B
X

Z

440/6r(x, y) =444/ − 1

質量保存性則∗(bm · ni )uh dx−vh (Pi )∂Divh (Pi )i=1(x − 1/4)2 + (y − 1/4)2

Di∂Di ∩Γ

(bm · ni )uh dSZvh (Pi )i=N +1XZj∈Λii=N +1N+BX

2024.01.26∂Di ∩Γ

(bm · ni )uh dS(bm · nij )uh dx
Γijr(x, y) = (x − 1/4)2 + (y − 1/4)2

2024.01.26

質量保存則（性を削除）

2023.10.25∗

450/11(T u, v)X = (u, T v)Y(T u, v)Y = (u, T v)X

2024.08.09

468/2, 5(q, ∇ · v)

(q, ∇ · v)L2 (Ω)

2024.04.02

472/4

λ∈Rµ∈R

2023.10.25

476/ − 9∥Jvk − Jvn ∥2,Ω

∥Jvk − Jvm ∥2,Ω

2023.10.25

515[69] Y. Chiba and N. Saito. Nitsche’s method for a Robin[69] Y. Chiba and N. Saito. Nitsche’s method for a Robin2024.04.02

boundary value problem in a smooth domain.

boundary value problem in a smooth domain.

Numer.

Methods Partial Diﬀerential Equations, 掲載予定

Numer.

Methods Partial Diﬀerential Equations, Vol. 39, No. 6,p.p. 4126–4144, 2023.

535[390] M. Tabata. A numerical algorithm for an upwind-type[390] M. Tabata. Conservative upwind ﬁnite element ap-ﬁnite element method using exponential functions. Theo-proximation and its applications. In Analytical and numer-retical and Applied Mechanics, Vol. 34, pp. 371–376, 1986.

ical approaches to asymptotic problems in analysis (Proc.

2023.12.13

Conf., Univ. Nijmegen, Nijmegen, 1980), pp. 369–381
North-Holland Math. Stud., 47. Amsterdam-New York,1981
539/右 −14 ∼Galerkin Least Square (GLS) 安定化 408 Galerkin Least-−17Square (GLS) 安定化 303

540/左 − 5P2 /P1
3Galerkin Least Square (GLS) 安定化 303, 408

2024.05.10

P2 /P1 要素

2023.10.25

540/右 − 4Taylor-Hood

Taylor-Hood 要素

2023.10.25

544/ − 7(macro elements)

削除

2023.10.25

2 補足コメント
1. しばしば，“次のノルムを導入する：∥ · ∥2 = · · · ” という表現をしているが，これは，“∥ · ∥2 = · · · ，すなわち，∥ · ∥ =√· · · で定められるノルム ∥ · ∥ を考える” という意味である．あまり良い習慣ではないが，しばしば，専門的な論文の中でこのように表現することがある．(2023.10.25, 2023.11.12)

2. 研究課題 2.2 と研究課題 2.3 は，私が学部 4 年生の時に，藤田宏先生から出された課題である．ただし，中川の可変時間刻み幅の技巧を使えとは言われなかったし，文献も直接は教えてはもらえなかった．その代わりに，（質問に行った際に）陳蘊剛，田端正久，俣野博の名前だけ教えてもらった．その後，以下の論文や記事を見つけ，これらが私が初めて読んだ数学の論文となった．夏休み明けから，冬休みまでかかったと記憶している．幸いなことに，この三人の先生とは，その後長く（現在に至るまで）交流を持てることになった．

[66] Y. G. Chen. Asymptotic behaviours of blowing-up solutions for ﬁnite diﬀerence analogue of ut = uxx + u1+α . J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math.,Vol. 33, No. 3, pp. 541–574, 1986.
[388] M. Tabata. A ﬁnite diﬀerence approach to the number of peaks of solutions for semilinear parabolic problems. J. Math. Soc. Japan, Vol. 32, No. 1, pp.
171–192, 1980.
[397] 田端正久. もう一つの数値解析—離散問題から連続問題へのフィードバック—. 数値解析と非線型現象（山口昌哉 [編]）, pp. 17–53. 日本評論社, 1996.
[281] H. Matano. Nonincrease of the lap-number of a solution for a one-dimensional semilinear parabolic equation. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math.,Vol. 29, No. 2, pp. 401–441, 1982.
陳先生のことは，今となっては，ご存知ない方が多いかもしれない．

• Y. G. Chen, Y. Giga, and S. Goto, Uniqueness and existence of viscosity solutions of generalized mean curvature ﬂow equations, J. Diﬀerential Geom. Vol.
33, No. 3, pp. 749–786, 1991.
この論文の Chen さんと同一人物である．(2023.11.02)

3. [390] の参照ミスは，BIBTEX からの拾い違いが原因です．(2023.12.13)
4. 定義 4.36 で述べた，多角形領域，多面体領域の定義は，“本書ではこのように扱う” という意味であるので，くれぐれも注意されたい（なので，“多面体とは · · · ” という言い方はしなかった）．そして，有限要素法の数学理論の分野では，このように解釈されている，と筆者は理解している．(2023.12.19)

5. 楕円型，放物型という用語を，あまり深く考えずに使ってしまったと反省しています．あまり良い用語ではないと思うのですが，他にどう言えば良いのか分からなかったため，惰性で使ってしまいました．(2023.12.19)

4

— 以上 —

5