錯視立体を用いたトーラス状不可能図形のアニメーション手法
中 津 加 奈† 森 谷 友 昭††（正会員） 高 橋 時 市 郎††,‡（正会員）†株式会社 NTT データ，††東京電機大学，‡UEI リサーチ

Animating Toroidal Impossible Figure by Using Optical Illusion Object
Kana NAKATSU†， Tomoaki MORIYA†† (Member)， Tokiichiro TAKAHASHI††,‡ (Member)†NTT DATA Corporation, ††Tokyo Denki University, ‡UEI Research〈あらまし〉 不可能図形とは，一見すると，実現可能なように見えるが，実際には人間の視覚が解釈した通りには実現不可能な錯視図形のことである．錯視立体とは，ある特定の視点から投影したときのみ，不可能図形として成立するように作られた立体のことである．錯視立体が成立したときの視点を錯視視点と呼ぶ．錯視立体は，錯視視点から視点が移動すると，不可能図形として知覚されなくなる．我々は錯視視点に合わせた形状モデリング手法によって，不可能図形の一種である四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形のアニメーション手法を提案する．さらに，不可能図形の立体視と，提案手法の拡張によりペンローズの階段を不可能図形として表示できたので併せて報告する．
キーワード：不可能図形，錯視立体，錯視視点，立体視<Summary> An impossible figure is a figure which looks realizable at first glance, but is not actually realizable as perceived by
the human eyes. Optical illusion object is a three dimensional object made to be an impossible figure when viewed from a specificviewpoint. The viewpoint that realizes an optical illusion is called as an illusion viewpoint. An optical illusion object is not perceived
as an impossible figure when a viewpoint moves away from an illusion viewpoint. We have proposed a shape modeling method
and an animating method for an optical illusion object that shapes an impossible rectangle twisted torus figure, which is a kind of
impossible figures, according to the illusion viewpoint. This paper proposes the stereoscopic representation of impossible figures
by applying the methods. Further, we have realized the stereoscopic representation of the interactive animation of an impossible
figure and expressing Penrose stairs as impossible figures by expanded our proposed method.
Keywords: impossible figures, optical illusion objects, illusion viewpoint, stereoscopic

1.

まえがき

不可能図形とは，一見すると，実現可能なように見えるが，しか形という性質(不可能性)が損なわれてしまうためである．
し，近年では CG によって不可能図形を表現することで，様々な視点から見ることを可能にする研究が行われている．

実際には人間の視覚が解釈した通りには実現不可能な錯視図

その一つに，錯視立体を用いる手法がある．錯視立体とは，形のことである．不可能図形をモチーフにした芸術作品は，ある特定の視点から投影したときのみ，不可能図形として成Maurits Cornelis Escher1)を代表とする多くの芸術家たちによっ立するように作られた立体のことである．錯視立体が成立してつくられ，人々を魅了している．

たときの視点を錯視視点と呼ぶ．錯視立体は，錯視視点からまた，不可能図形を数学的に解析する研究も盛んに行われ視点が移動すると，不可能図形として知覚されなくなる．

ている．Huffman2)は，線画の不可能図形に対してラベリング

不可能図形の一部の種類では，錯視視点の移動範囲をあるを施すことで不可能図形の解析を行った．杉原 3)は，2 次元の程度まで広げることが可能となった 4-9)が，狭い範囲に限定さ

線画から 3 次元モデルに復元する手法を元に，不可能図形がれている.

実現可能立体かどうかを判定する手法を考案した．

本論文では，代表的な不可能図形である，四角いひねりを不可能図形の実現可能立体は，ある特定の視点からしか，加えたトーラス状不可能図形 3)を扱う．同図形を扱った従来

不可能図形として，見ることができない．なぜならば，特定

研究 8),9)では実現できなかった，錯視立体を見るときの錯視視の視点から動いてしまうと，実際に存在しえない矛盾した図

点の範囲を大きく拡張し，錯視立体を包む包含球の極点近傍

(a) 0°(b) 15°(e) 60°(c) 30°(f) 75°(d) 45°(g) 90°

図 1 従来研究による不可能図形の回転 8),9)
Figure 1 Rotating impossible object by previous method8),9)を除く任意の視点から見ても，自然な印象を与える不可能図

以上紹介した手法では，錯視視点の範囲が大きく制限され形を表示する手法を提案する．なお，「自然な印象を与える不ている．例えば，錯視視点が，不可能図形の周りを連続的に可能図形」の定義については次章で述べる．

一回転する表現は実現されていない．

また，本手法を応用し，不可能図形の立体視も実現した．

一方，Chi ら 7)は，回転する不可能図形を，U 字型の実現可

さらに，より複雑な形状をした不可能図形であるペンロー

能立体オブジェクトの組み合わせで表現する手法を提案した．

ズの階段へ適用したところ，不可能図形として表示すること

この提案手法では，オブジェクト間の接続部分が，錯視視点ができたので，併せて報告する．

角度が変化しても成立するようにモデリングすることで，不

2.

関連研究

可能図形を回転させるアニメーションを作成している．
しかし，Chi らの手法 7)では，オブジェクトを接続する際，

篠原ら 4)は，共面性を乱し，かつ遠近関係を逆転させること接続する 2 つのオブジェクトの側面と上面の幅を同じにしなで生じる不可能図形を，制限された範囲内で視点をある程度ければならないという制約がある．この制約を守るため，錯動かして表現する手法を実現した．彼らは，実現可能立体を視視点によっては，3 次元立体であるはずの立体が，厚みのな構成するオブジェクト間の遮蔽関係を入れ替えてレンダリン

い面に見えるほど薄くなってしまう．その結果，本来の不可グする手法を提案した．この手法では，本来であれば手前に能図形が与える印象と大きく異なってしまうという問題点が位置する物体に遮られて見えなくなる面を，新しく面を作成

ある.

して上書きする．また，この処理によって隠れてしまう，本藤木ら 8),9)は，錯視立体を立方体の集合として与えることに来は手前にあった面を描画しない．これにより，遠近関係をした．トーラス状の不可能図形は，実はトーラス状に立方体逆転させた不可能図形をレンダリングできる．遮蔽関係の入を配置しているのではなく，終点となっている立方体同士はれ替えには，レイによる当たり判定を行う．

離れている．離れている立方体同士が接続しているように見

吉川ら 5)は，篠原らの手法 4)を発展させ，リアルタイムで不せかける部分を，不可能ブロックという．各不可能ブロック

可能図形をレンダリングする手法を実現した．彼らは，画像の中央を通り，X，Y，Z 軸ベクトルに平行な直線を引き，そ処理によって，オブジェクト間の遮蔽関係を入れ替える手法

れらの交点を求める．次に，求めた交点を通り，視線方向ベを提案した．この手法では，実現可能立体を構成するオブジ

クトルと平行な各軸ベクトルとの交点を求める．その交点にェクトごとのレンダリング結果を重ね合わせる．重なった領接するように不可能ブロックを伸縮させることで，視点に対域の色を塗り替えるときに，遠近関係を逆転させることによ応した不可能図形のモデリングを行った．

って，不可能図形を高速に描画可能とした．
Wu ら

6)は，視点位置が変化しても図形の平行関係を維持し，しかし，藤木らの手法 8),9)では，水平方向に視点が移動すると，垂直方向にも面が移動するため，元の不可能図形が与え不可能図形としての性質を損ねないように，Thin-Plate Spline

る印象とは異なる形状になってしまう．例を図 1 に示す．図を用いる手法を提案した．この手法によって，ひねりを加え

1 では，(a)から(g)へと物体の周囲を水平に視点が移動していたトーラス状の不可能図形や，階段状の不可能図形を，3DCG

る．図形は平行投影で描かれている．図 1(a)～(d)は，すべてで表現した．また，視点をある限定された範囲で動かすこと同じ不可能図形と知覚できるが，図 1(e)～(g)では図形の形状も実現した．

が大きく変化していることがわかる．例えば，図 1(a)と(f)を比較すると，図 1(a)の図形を構成する各パーツの縦横比や寸でなくなる．このように，ある特定の視点から投影したとき法が図 1(f)では大きく変化しているため，同じ図形であるとのみ，不可能図形として成立するように作られた立体を錯視知覚することが困難である．一方，変化の少ない図 1(a)～(d)立体と呼ぶ．錯視立体が成立したときの視点を錯視視点と呼ぶ．錯視立体は，錯視視点から視点が移動すると，図 3(b)にまでの図形は同じ図形であると知覚される．
本論文では，(1)視点を変えてもトーラス状不可能図形が回示すように，不可能図形として知覚されなくなる．

転していると知覚される図形で，かつ，(2)それを構成する各不可能図形の一部の種類は，錯視視点をある程度，移動で四角柱の寸法の変化が少ないと知覚される図形を，「自然な印

きる 4)-9)が，その範囲は限られている．本論文では，視点が広象を与える不可能図形」と定義する．本論文では，錯視立体

い範囲を自由に移動したときも，不可能図形を連続的に表現を包む包含球の極点近傍を除く任意の位置に視点が移動して可能とする手法を提案する．

も，自然な印象を与える不可能図形のアニメーション手法を

4.

提案する．

3.

提案手法

本章では，先ず，錯視立体によって錯視が可能となる仕組

四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形（定義，扱う対象）

みと，錯視立体の形状モデルについて説明する．ただし，本文献 3)によれば，長方形の断面をもった四角柱を環状に組

錯視のみを扱うこととする．次に，錯視視点について述べる．

み合わせてつくるトーラスに，ひねりを加えることでつくら

最後に，視点が移動したとき，錯視立体の形状モデルを変形れる不可能図形のグループがある．図 2(a)～(c)に 3 種類のトさせて，錯視を可能とする手法を述べる．

ーラス状不可能図形の例を示す．

4.1

図 3(a)に示した形状モデルは，ある特定の視点から見たと章では，四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形による

錯視立体のための 3 次元形状モデル

きにのみ，四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形のよ

錯視立体のひとつである，四角いひねりを加えたトーラス

うに見えるが，視点を移動すると図 3(b)のように不可能図形

状不可能図形の 3 次元形状モデルは，図 4 に示すように，正四角柱を組み合わせて構成される．形状モデルは，本来はリング状になる．不可能図形を実在する立体としてモデリングしているために，リングを途中で切り離したような形状をしている．切り離された箇所を起点にして，四角柱に番号を付与する．図 4 の例では，形状モデルは全部で 4 本の四角柱で構成されている．四角柱には，1～4 まで番号を付与する．

(a)

(b)

(c)

図 2 ひねりを加えた四角いトーラス状不可能図形
Figure 2 Twisted toroidal square impossible object(a) 錯視視点から見た錯視立体(b)

錯視視点外から観察した錯視立体(a)

初期錯視視点から観察した錯視立体(b) 錯視視点外から見た錯視立体

図 3 視点による錯視立体モデルの見え方の違い

図 4 錯視立体モデルの例

Figure 3 Different appearances of an optical illusion object
model depending on view points

Figure 4 An example of an optical illusion object

本来接続しているはずである 2 つの四角柱を，それぞれ発端四角柱，終端四角柱と呼ぶ．図 4 の例では，四角柱 1，4 がそれぞれ発端四角柱，終端四角柱である．四角柱 1 と四角柱
4 とは接続しておらず，その間にすき間がある．
発端四角柱を除く全四角柱を，伸縮四角柱と呼ぶ．図 4 の例では，四角柱 2, 3, 4 が伸縮四角柱である．与えられた視点に応じて，不可能図形になるように，伸縮四角柱 2, 3, 4 を伸縮して，形状モデルを錯視立体に変形する．
4.2

補助球

錯視視点と投影法

錯視視点から見た形状モデルは，平行投影により描画する
ものとする．錯視立体を包含する球を包含球と呼ぶ．錯視視
点は， 包含球上を移動する．錯視視点は，常に球の中心を見ているものとする．錯視視点は，球面上の緯度 ϕ，経度 θ で与えられる．錯視視点は(ϕ, θ)と書くことにする．
ここで，包含球の極座標と直交直線座標との関係は図 3 に示す通りである．すなわち，Y 軸とのなす角度を ϕ，Z 軸となす角度を θ とする．
4.3

錯視立体のモデリング

補助

形状モデルを任意の錯視視点(ϕ, θ)から見たとき，錯視立体に見えるようにするために，奥行方向もしくは水平方向へ，
形状モデルの伸縮四角柱を伸縮する．本節では，図 5，図 6 を用いて，錯視立体に見せるために，形状モデルを変形させる
手法を，具体的に説明する．図 5，図 6 は，図 4 の錯視立体の

図 5 視点移動による G(θ)の変化
Figure 5 Variation of G(θ) by moving view point

形状モデルを X-Z 平面に投影した図である．
図 5，図 6，後掲の図 7 に赤線で描かれている球(円)は解説を補助するための球(円)であり，包含球ではない．ここではこの球を補助球と呼ぶ．本手法では平行投影を用いているので，補助球上の視点も錯視視点(ϕ, θ)となる．
経度が θ=0 である錯視視点，すなわち，視点(ϕ, 0)を，初期
錯視視点と呼ぶ．初期錯視視点(ϕ, 0)から形状モデルを見たとき，錯視立体として見えていることとする．このとき，形状補助

モデルを錯視視点に向かって平行投影すれば，発端四角柱の天井の面を構成する頂点 F(ϕ, θ)と，これに対応する終端四角柱の頂点 G(ϕ, θ)は，投影面上で同じ値となり，両者は接続しているように見える(図 5)．
錯視立体の伸縮箇所は，発端四角柱と終端四角柱からなるトーラスの接続部と，終端四角柱と四角柱 2，3 から構成される四角柱(L 字四角柱と呼ぶ)の接続部の 2 箇所である．以下の(1)，(2)で述べるように，伸縮箇所ごとに幾何計算式が異なる．
(1)

トーラスの接続部

図 4 に示したように，発端四角柱 1 の天井の面を構成する
頂点を F，終端四角柱の頂点を G とする．視点が(ϕ, θ)に移動

補助球

したとき，形状モデルが錯視立体として見えるためには，視点(ϕ, θ)からみた頂点 F(ϕ, θ)，G(ϕ, θ)が同じ値となるように形状モデルを変形すればよい．つまり，図 5 に示すように，頂点 G(ϕ, θ)の位置が

図 6 視点移動による G’(φ, θ)の変化
Figure 6 Variation of G’(φ, θ) by moving view pointG X (φ ,θ ) = r sin θ + FX (φ ,0)(1)は閾値である．

π
GY (φ ,θ ) = r tan − φ  + FY (φ ,0)
2


(2)

(2)

GZ (φ ,θ ) = − r cos θ + FZ (φ ,0)(3)

図 6 は，図 4 の錯視立体の形状モデルの，L 字四角柱の全頂

L 字四角柱図 6 を用いて L字四角柱のモデリングを具体的に説明する．
点 G’(ϕ, 0)の座標変化について， X-Z 平面に投影した図であとなるように，終端四角柱 4 を平行移動させた後，伸縮る．L 字四角柱の頂点 GX’(ϕ, 0)を式(4)を用いて伸縮させる．

させればよい．このとき，GX(ϕ, θ)，GY(ϕ, θ)，GZ(ϕ, θ)はそれぞ

このとき，GY’(ϕ, θ)，GZ’(ϕ, θ)は前項の GY(ϕ, θ)，GZ(ϕ, θ)と同

れ頂点 G (ϕ, θ)の，FX(ϕ, 0)，FY(ϕ, 0)，FZ(ϕ, 0)はそれぞれ θ=0 の値であるので，式(5)，(6)となる．

ときの頂点 F (ϕ, θ)の X 座標，Y 座標，Z 座標である．𝑟𝑟は初期

G X ' (φ ,θ ) =錯視視点のときの形状モデルにおいて，GZ(ϕ, 0)と FZ(ϕ, 0)とのr
sin θ + G X ' (φ ,0 )k

GY ' (φ ,θ ) = GY (φ ,θ )距離である．式(2)から，包含球の極点(ϕ=0, π)では GY が無限

GZ ' (φ ,θ ) = GZ (φ ,θ )大となってしまう．本手法では，極点近傍を除いた範囲，す

(4)
(5)
(6)

なわち，δ < ϕ < π – δ (δ > 0)を視点が移動可能な範囲とする．δ
ここで，係数𝑘𝑘は，伸縮する度合いを調整する係数で伸縮制御係数と呼ぶ．𝑘𝑘の値が 0 に近づくほど，大きく伸縮する．

5.
5.1

ペンローズの階段への適用

ペンローズの階段

ペンローズの階段は，階段が直角に折れ曲がって配置されており，階段の最上段と最下段が接続しているため，上昇と下降を無限に続ける性質を持つ．文献 6)によると，ペンローズの階段は，図 8 に示すように，四角いひねりを加えたトーラ
ス状不可能図形をより複雑な形状にした図形である．
ペンローズの階段の錯視立体に，4 章で述べたトーラス状
不可能図形に対する手法をそのまま適用しても，自然な印象を与える回転アニメーションを作成することができない．なぜならば，トーラス状不可能図形の錯視立体は，発端四角柱と終端四角柱からなるトーラスの接続部と，終端四角柱と L
字四角柱の接続部の 2 箇所を，錯視をつくり出すために形状変形させる箇所として使うことができる．
ペンローズの階段の場合も，後掲の図 10 と図 11 に示す 2
箇所を，錯視をつくり出すために形状変形させる箇所として使うことができる．しかし，階段の四隅の角柱の大きさを変えず，階段の四隅の四角柱の間を一列に四角柱を階段状に並べる必要がある．これら四角柱は底面積が等しくなるように太さをそろえる必要がある．このため，変形拘束条件が厳しくなる．さらに，視点によっては，階段の幅が消失してしまうため，不可能図形としての性質を保つことができない．そこで，以下で述べるように前章で述べた手法を拡張する．
5.2

ペンローズの階段の錯視立体モデル

ペンローズの階段の 3 次元形状モデルは，図 9 に示すように，同一平面上に高さの異なる四角柱を並べて，階段を構成する．上から見ると，四辺形の辺にそって四角柱を並べる．
四辺形の各辺を N1，N2，N3，N4 と呼ぶ．辺同士は直角に折
図 7 本手法における錯視視点

れ曲がるように配置する．このとき，辺 N1 から辺 N4 を構成

Figure 7 Optical illusion view point in our method

する四角柱の本数に差を持たせることで，無限に上昇と下降

を続ける不可能図形の性質をつくる．ここでは，初期錯視視
点での全四角柱は，断面の 1 辺が r の正方形をした正四角柱とする．辺 N4 のみ四角柱の数が少ないものを取り扱う．辺
N1，N2，N3 を構成する四角柱の数をいずれも n，辺 N4 を構成する四角柱の数を𝑛𝑛 − 𝑚𝑚(ただし𝑛𝑛 > 𝑚𝑚)とする．

ペンローズの階段は，環状であるので， N1 と N4 が接続しているように並べて見せる必要がある．不可能図形を実在する立体として実現するために，N1 と N4 を途中で切り離した形状とする(図 9(b))．
つまり辺 N1 と N4 の間にすき間がある．
形状モデルの辺 N1 の発端となる四角柱を N10，辺 N1 の終端となる四角柱を N1n とする．同様に，階段の最上段にあたる辺 N4 の終端四角柱を N4n-m とする．
これら四角柱 N10，
N1n，N4n-m を伸縮起点四角柱と呼ぶ．与えられた視点に応じて，不可能図形になるように四角柱 N10～N1n を平行移動させ，四角

5.3

提案手法の適用

前節で述べた錯視立体形状モデルの四角柱 N4n-m の頂点をF(ϕ, θ)，四角柱 N10 の頂点を G(ϕ, θ)，四角柱 N1n の頂点を G’(ϕ,θ)，初期錯視視点(ϕ, 0)のときの形状モデルの頂点 Gz (ϕ, 0)と頂点 Fz (ϕ, 0)との距離を r とする．
図 10，図 11 は伸縮起点四角柱 N10，N1n の頂点 G (ϕ, θ)の変形の様子を X-Z 平面に投影したものである．
視点が(ϕ, θ)に移動したとき，頂点 F(ϕ, θ)，G(ϕ, θ)が投影面上で同じ値となるように形状モデルを，前出の式(1)～式(3)を用いて変形する．G’(ϕ, θ)についても，同じく式(4)～式(6)を用いて変形する．さらに，四角柱 N10 と四角柱 N1n の間の四角柱の幅が均一になるように変形する．処理の詳細を次節で述べる．

柱 N1，N2 を伸縮させる．さらに，錯視視点のとき，ペンローズの階段の性質を保つため，伸縮起点四角柱 N4n-m を X 軸
方向に平行移動した後，辺 N4 を構成する他の四角柱を X 軸方向に沿って伸縮させる．

(a)

(b)
図 8 トーラス状不可能図形とペンローズの階段
Figure 8 Toroidal impossible object and Penrose stairs

N1n

N1n

(a) 錯視視点から見た(b) 錯視視点外から見た

錯視立体

錯視立体

図 9 ペンローズの階段の錯視立体モデル

図 10 伸縮起点四角柱 N10 の G(ϕ, θ)の変形

Figure 9 Optical illusion object model of Penrose stairs

Figure 10 Transforming G(ϕ, θ) of flexible starting quadrangle
N10

5.4

ペンローズの階段のための拡張手法(1) 終端起点四角柱のモデリング
伸縮起点四角柱 N4n-m の頂点 F(ϕ, θ)，N10 の頂点 G(ϕ, θ)を式
(1)～式(3)，N1n の頂点 G’(ϕ, θ)を，式(4)～式(6)を用いて変形する．しかし，π/2 < θ < 3π/2 のとき，終端起点四角柱 N10 の各頂点 G(ϕ, θ)の Z 座標値は，式(3)によって，Gz(ϕ, θ) = -rcosθ

+ Fz(ϕ, 0)となる．π/2 < θ < π のとき，cosθ < 0 であるので，四角柱 N10 の頂点は，N4n-m よりも錯視視点から見て奥に配置されてしまう．加えて，辺 N2 が非常に短くなってしまい，自然な印象が損なわれてしまう(図 12)．
そこで，π/2 < θ < 3π/2 のとき，不可能図形の性質を保つた

めに，次式(3)’を適用して，伸縮起点四角柱 N4n-m と辺 N1 の
Z 座標値をそろえると同時に，辺 N2 の長さが短くなることを避ける．

GZ (φ ,θ ) = −r cos

π2+ FZ (φ ,0 )(3)’

しかしながら，式(3)'を用いただけでは，辺 N1 と辺 N4 の接続部が離れて見えるようになってしまうため，さらに辺 N4を伸縮し，環状を保つ．そのために，伸縮起点四角柱 N10 の頂点の Z 座標値 GZ(ϕ, θ)を式(7)より変形させる．

GZ (φ ,θ ) = r cos θ + GZ (φ ,0 )(7)(2) 錯視面の生成
錯視視点の経度 θ が π/2 < θ < π のとき，階段を構成する四角柱の底面の位置を全て同じ高さに揃えると，底面が同じ高図 11 伸縮起点四角柱 N1n の変形

さにそろっているように見えない．これは，形状モデルの辺

Figure 11 Transforming flexible starting quadrangle N1n

N1 と辺 N4 との間にすき間があるためである．そこで，底面が一直線に揃っているように見せるために，新たな面を生成
N10する．この面を錯視面と呼ぶ．
図 13(a)に示すように，四角柱 N1n の底面の頂点を A，四角N1

柱 N4n-m の底面の 2 頂点を B，D，その上面の頂点を C とする．
錯視面は 3 頂点 A’，B’，C’からなる三角形で，錯視視点(ϕ,θ)から頂点 A，B，C を見たときの投影面上の点である．つまN4n-mり，ΔABC と ΔA’B’C’は，投影面上で一致する．ただし，頂点 B≡B’，C≡C’とする．正角柱の底面の 1 辺の幅を r としたとき，錯視視点(ϕ, θ)から見たときの頂点 A’を A’ (ϕ, θ)と書く．
その X, Y, Z 座標値(AX’, AY’, AZ’)は，式(8)～式(10)で求まる．

AX ' (φ ,θ ) = −r cosθ + AX (φ ,θ )

(8)

π

AY ' (φ ,θ ) = r tan − φ  + AY (φ ,θ )
2


(9)

AZ ' (φ ,θ ) = AZ (φ ,θ )(10)

また，図 13(b)に示すように，錯視面で遮れなかった N4n-mの底面の頂点 D は，+Y 軸方向に移動させて，錯視面の裏に隠れるようにする必要がある（図 13(d)）．

図 12 四角柱 N4n-m と N10 の奥行調整のない錯視立体
Figure 12 Optical illusion object without depth control offlexible starting quadrangles N4 and N10(3) 底面の＋Y 軸方向への移動
前項で，錯視面を生成し，底面同士を接続することで，奥行にギャップがあることを隠すことができた．しかし，錯視
視点経度 θ が π に近づくにつれて，錯視面 ΔA’B’C’の底辺 A’B’
が投影面の水平軸となす角度大きくなり，真横から見た階段の形状として不自然な印象を与えてしまう．
そこで，θ=π のときに，N4 の底面の Y 座標値を頂点 A の
Y 座標値と同じ値となるように，底面を+Y 軸方向へ平行移動させる．

図 14(a)は，底面を移動しなかった結果である．
一方，
図 14(b)

図 15 に，提案手法による不可能図形の生成結果を示す．錯は底面を移動した結果である．図 14(a)に比べて同図(b)の方が， 視視点の経度 θ を 0～2π まで変化させたとき，すなわち経度
底面の不自然さが改善されていることが分かる．

6.

本手法を用いたアプリケーションと生成結果方向に一周したとき，四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形とペンローズの階段をアニメーション表示した結果である．ここで，四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形

提案手法によって，視点に応じて，図 2 の 3 種類の四角いの錯視視点の緯度は ϕ=30°とし，ペンローズの階段の錯視視

ひねりを加えたトーラス状不可能図形とペンローズの階段を

点の緯度は ϕ=40°とした．また，極点近傍の閾値は両者ともモデリングし，リアルタイムで表示することが可能となった．

δ=20°とした．
次に，両眼視差を錯視視点の経度差として扱うことにより，不可能図形が立体視可能かどうか試みた．図 16 に本手法で生成したステレオ画像を示す．右目用と左目用とで，錯視視点の経度が異なる錯視立体をモデリングし，それぞれの錯視視点から見た結果をステレオ表示することで，不可能図形の立体視が可能となった．

7.
7.1(a) 錯視視点外から見た
頂点 A,B,C,D(b) 錯視視点から見た錯視
面 ΔA’B’C’

評価実験

主観評価実験

杉原によれば，「不可能図形は，立体として実現することが可能かどうかという問題に対する答えがノーであるにも関わらず，人の心に引き起こす立体構造に関する印象である」3)．
つまり，不可能図形として感じるかどうかは，個人差があり，主観的なものである．そこで，アンケートを用いた主観評価実験を行い，提案手法の妥当性を検証した．
7.1.1 主観評価実験方法
実験は，被験者に提案手法で作成した不可能図形の回転ア
ニメーションの動画を見せ，被験者が抱いた印象に最も近いものを回答させた．

(c) 錯視視点外から見た錯視面 ΔA’B’C’(d) 頂点 D を+Y 軸方向に移動した結果図 13 錯視面の生成
Figure 13 Generating an optical illusion plane

四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形及びペンロー
ズの階段が，実際には人間の視覚が解釈した通りには実現不可能な錯視図形であると理解していることを被験者に事前に確認した．被験者は，男性 16 人，女性 4 人，計 20 人の大学生である．
まず，動画を再生する前に，被験者へ，これから再生する
動画内で回転アニメーションする不可能図形の種類を伝えた．
次に，提案手法で作成した不可能図形のアニメーションの動画を再生し，被験者に見せた．そして，被験者に，動画に表示されているアニメーションが，不可能図形の回転アニメー
ションに「はっきりと見える」「やや見える」「やや見えない」「見えない」の選択肢から，最も抱いた印象に近いものを選択させた．このとき，回答は動画再生が終了するまでとし，制限時間を設けた．制限時間は 20 秒である．動画は 30fps で
20 秒の間に図形は 3+1/3 回転している．動画再生が終了して(a) 底面を移動しなかった結果(b) 底面を移動した結果も回答をできなかったときは，回答を「わからない」とした．
この実験には，図 2(a)で示す四角いひねりを加えたトーラ

図 14 N4 の底面を+Y 軸方向へ移動した結果

ス状不可能図形とペンローズの階段の 2 種類の不可能図形を

Figure 14 Raising the base of N4 along +Y axis

用いた．

0°

30°

60°

90° 120°

150°

180°

210°

240°

270°

300°

330°

図 15 提案手法による不可能図形の生成結果
Figure 15 Impossible figures generated by our method

実験に使用したアニメーションの錯視視点の緯度は ϕ=40°，
極点近傍の閾値は δ=20°とした．四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形の伸縮係数は k=3 とし，ペンローズの階段の各辺を構成する四角柱の数は，辺 N1，N2，N3，N4，それぞれ 4, 4, 4, 3 とした．
7.1.2

主観評価実験結果

表 1 に実験結果を示す．
(1) 四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形「はっきり見える」「やや見える」の 2 評価を合わせて 20
人中 18 人が「見える」としていることから，提案手法は不可能図形のアニメーション手法として有効であるといえる．

図 16 生成されたステレオ画像(平行法用)
Figure 16 Generated stereo images (Parallel view)(2) ペンローズの階段には提案手法による不可能図形を表示する．被験者はマウス「はっきり見える」「やや見える」の 2 評価を合わせて 20操作により，視点を変更することができる．被験者がそれぞ

人中 17 人が「見える」としていることから，提案した拡張手れの不可能図形をマウス操作により視点を変更し見比べても法はペンローズの階段のアニメーション手法として有効であらう．その後に評価用紙を渡し，評価を記入してもらう．こるといえる．

のとき，見比べる時間に制限時間はない．また，左右のモニ

7.2

ターに表示された不可能図形がどのような手法によるものか，
従来研究との比較評価実験

事前知識のない被験者を採用した．被験者は男性 18 名，女性

2 章で述べたように，本提案手法は視点を変えても，不可能

2 名，計 20 人の大学生である．

図形の性質を保ちつつ，トーラス図形を構成する各四角柱の評価は，視点を変えた際，不可能図形の寸法が変化してい寸法が可能な限り同じであると知覚できるように変形するこると感じたかを 5 段階で記入してもらった．5 に近いほど，とで，従来手法よりもより自然な印象を与える不可能図形の不可能図形の寸法が変化していると感じたことになる．

表示を可能にしている．本節では，従来手法との比較評価実

7.2.2 比較評価実験結果験を行ったので，その実験方法と結果について述べる．

20 人の評価の平均点を表 2 に示す．評価は 5 段階評価で行7.2.1 比較評価実験方法った．
従来研究は平均 4.45，
本提案手法は平均 2.35 であった．

1 台の PC に同型の 2 台のモニターを接続した．左のモニタ

この結果から，錯視視点を変更した際，従来手法に比較して，

ーには従来手法 8),9)による不可能図形を表示し，右のモニター提案手法の方が，不可能図形の寸法の変化が少ないと感じる
ことがわかった．

表 1 主観評価実験結果
Table 1

不可能図形
はっきり見える
やや見える
やや見えない見えない
わからない

Results of subjectivity evaluation
トーラス状
ペンローズの階段
8人
10 人
1人
0人
1人

6人
11 人
2人
0人
1人

従来手法により生成された図 1 と近い錯視視点から，提案
手法によって生成された不可能図形を図 17(a)～(g)下段に示す．同図(a)～(g)の上段は図 1 に示した従来手法による生成結果である．図からも，提案手法は，視点を変更した際も，不可能図形の寸法が大きく変化していると感じることなく，従来手法よりも自然な印象を与える不可能図形を表示可能であることがわかった．

8.

むすび

形状モデリング手法を提案した．提案手法に基づいて，錯視
視点の位置に応じて錯視立体をモデリングし，不可能図形を

本論文では，代表的な不可能図形である四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形とペンローズの階段を対象として，錯視視点に応じて， 3 次元形状モデルが錯視立体となるように，自動的にモデリングする手法を提案した．すなわち，錯視立体を包む包含球の極点近傍を除く任意の位置に錯視視点を自由に移動しても，不可能図形を生成できる，錯視立体の表示するプログラムを開発した．本プログラムは従来手法よりも不可能図形本来の形状を損ねることなく表示することが可能である．
錯視立体によって作成されたアニメーションが，不可能図
形の回転として知覚されるかどうかを，主観評価実験を行った．その結果，被験者 20 人中 17～18 名(85～90%)の人が，不可能図形が回転しているように見えたという評価結果を得た．

表 2 従来手法との比較評価実験結果

また，従来手法との比較実験を行ったところ，従来手法より

Table 2 Comparison between the previous method

も自然な印象を与えるような不可能図形の表示となっている

平均

分散

ことが示された．これにより，提案手法は，任意の視点から

従来手法 8),9)

4.45

0.55

見た不可能図形として，四角いひねりを加えたトーラス状不

提案手法

2.35

1.33

(a) 0 度可能図形とペンローズの階段を表示できたといえる．
さらに，四角いひねりを加えたトーラス状不可能図形のア(e) 60 度(d) 45 度(c) 30 度(b) 15 度(f) 75 度(g) 90 度

図 17 従来研究と提案手法による不可能図形の回転 8),9)
Figure 17 Rotating impossible figures by the previous method and our method8),9)

ニメーション手法を応用し，不可能図形の立体視を実現した．

中 津 香 奈

また，本手法を応用し，インタラクティブな不可能図形のア

2012 年，東京電機大学未来科学部情報メデ
ィア学科卒業．2014 年，同大学院未来科学
研究科情報メディア学専攻修士課程修了．
コンピュータグラフィックスと錯視画像，
映像生成の研究に従事．同年 NTT データ入社．現在に至る．

ニメーションの立体視表示を実現した．
今後は，より複雑な形をした四角いひねりを加えたトーラ
ス状不可能図形や，それらを組み合わせた不可能図形について，検討を進める．また，別の種類の不可能図形についても
検討する．

参考文献
1) Escher, M. C., http://www.mcescher.com
2) D. A. Huffman: “Impossible objects as nonsense sentences,” MachineIntelligence, Vol.6, pp.295-323 (1971).
3) 杉原 厚吉: 不可能物体の数理, 森北出版株式会社 (1993).

森 谷 友 昭（正会員）
2007 年東京電機大学大学院先端科学技術研究科情報通信メディア工学専攻博士課程
入学，2010 年修了．同年同大 未来科学部情報メディア学科 助教，現在に至る．コンピュータグラフィックスの研究に従事．ACM
SIGGRAPH，映像情報メディア学会，画像電子学会，電子情報通信学会各会員．

4) 篠原 祐樹, 宮下 芳明: “不可能立体の写実的表現手法の提案”, 研究報告ヒューマンコンピュータインタラクション (HCI), Vol.2009,No.28, pp.96-102 (2009).
5) 吉川 祐輔，宮下 芳明: “不可能立体の拡張現実感表現”, 第 10 回
NICOGRAPH 春季大会 予稿集，pp.162–163 (2011).
6) T. P. Wu, C. W. Fu, S. K. Yeung, J. Jia, C. K. Tang: “Modeling and
Rendering of Impossible Figures”, ACM Trans. On Graphics, Vol.29,
No.2 (2010).
7) C. W. Khoh, P. Kovesi: “Rotating the Impossible Rectangle”, Leonardo,
Vol.34, No.3, pp.197 – 198 (2001).
8) J. Fujiki, S. Owada: “theRelativity”, ACM SIGGRAPH ASIA 2008 Art
Gallery (2008).
9) 藤木 淳, 大和田 茂: “theRelativity 一人称視点と三人称視点の見え方の違いを互いに反映するだまし絵表現技法”, 第 4 回デジタル
コンテンツシンポジウム (2008).

（2016 年 2 月 28 日 受付）（2016 年 7 月 21 日 再受付）

高 橋 時 市 郎 （正会員）
1977 年新潟大学工学部卒業．同年電電公社
入社．NTT 基礎研究所，ヒューマンインタ
フェース研究所，サイバーソリューション
研究所において，パタン認識，コンピュータ
グラフィックス，学習科学の研究開発に従事．2003 年より東京電機大学工学部教授．
2007 年同大未来科学部教授．ビジュアルコ
ンピューティングの研究に従事．現在に至る．2016 年より同大研究推進社会連携セン
ター長．2013 年より UEI リサーチ客員研究員．博士(工学)．