発見的手法による鋼管杭の組み合わせ最適化
Optimal design of steel pipe piles by metaheuristic method◦ 森友 義弥 ∗1 ，藤田 慎之輔 ∗2
Yoshiya Morimoto∗1 ，Shinnosuke Fujita∗2∗1 北九州市立大学 国際環境工学部 学士課程
Under Graduate School, Faculty of Environmental Engineering, The University of Kitakyushu∗2 北九州市立大学大学院 国際環境工学研究科 講師 工博
Lecturer, Graduate School of Environmental Engineering, The University of Kitakyushu, Dr. Eng.
キーワード
キーワード：構造最適化 メタヒューリスティクス 基礎杭

Keywords：Structural optimization metaheuristics pile foundations

1. はじめに2.1. 基礎杭の許容支持力

一般に建築物の基礎杭は，杭位置に支点を設けた上基礎杭の許容支持力は杭体で決まる支持力と地盤で決部構造の解析から得られた反力により設計が行われる．

まる支持力のいずれか小さい方で決定される．基礎杭の従って上部構造の設計が終わらないと基礎杭の詳細な設種類や工法によって支持力の算定式は異なるが，鋼管杭計は行うことができない．一方で建設現場において最初の場合には次式によって支持力が算定される．に行われる躯体工事は杭工事である．このことは基礎杭に対して堅牢な設計を行うという要求を困難にしている．本研究ではこの問題を解決するために，設計の一助となるツールとして，実際に想定される地盤や建物条件に対して発見的手法を用いた基礎杭の最適設計手法を考案する．鋼管杭を対象として同手法を適用し，条件の違いによる結果を比較・検討する．実務で一般に使用される工法・断面種別に対して，杭本数が 4 本の場合と 6 本の場合について最適設計を行い，問題の規模の違いによる計算コストの大小や，得られる最適解の妥当性について検証を行い，最適化手法の有効性を明らかにする．

2. 基礎杭の構造設計
基礎杭の構造設計では，各杭に作用する長期/短期の設NaL = min {NaL1 , NaL2 }NaS = min {NaS1 , NaS2 }{}NaL1 = αN Ap + (βN s Ls + γq u Lc )ψ /3
NaL2 = F · A · (1 − α1 − α2 )/1.5
NaS1 = 2NaL1(1)
NaS2 = 1.5N
( aL2){2.5ttF · 0.8 +· · · if
≤ 0.08F̄ =B/2
B/2
F· · · otherwise{0· · · if l/B ≤ 100
α1 =l/B − 100· · · otherwise
100
NaL ,NaS : 長期／短期許容支持力
B, t, l, Dw , ψ :杭の軸径，板厚，全長，先端径, 軸部周長
A, Ap : 杭の軸断面積，先端部面積N̄
: 先端から上下 1Dw の平均 N 値
N̄s: 基礎杭周囲の地盤のうち砂質地盤の平均 N 値
Ls: 基礎杭周囲の地盤のうち砂質地盤に接する有効長さの合計

q¯u: 基礎杭周囲の地盤のうち粘土質地盤の一軸圧縮強度の平均値

1. 基礎杭の許容支持力 ≥ 基礎杭に作用する軸力

Lc: 基礎杭周囲の地盤のうち粘土質地盤に接する有効長さの合計

2. 基礎杭の許容応力 ≥ 基礎杭に作用する応力のいずれか小さい方の値が，長期および短期の設計軸力

F, F̄ , α1 : 鋼材 F 値, 低減 F 値, 長さ／径比による低減率
α: 杭先端支持力係数β: 砂質地盤における杭周面摩擦力係数
γ: 粘土質地盤における杭周面摩擦力係数以下に設計する．2 について，地震時の曲げモーメント

長期及び短期の軸力に対し次式を満足する必要がある．

計軸力ならびに地震時に作用するせん断力を既知量として，以下の項目を満たすことを確認する．

1 について，杭体で決まる支持力と地盤で決まる支持力と軸力の合応力及びせん断力に対して許容応力度設計を行う．なお，地盤の塑性化は考慮しないものとする．本
研究では，1，2 をともに満足し，鋼材重量が最小となる

NL ≤ NaL ,NL , N E

NL + |NE | ≤ NaS(2): 長期荷重時／地震時の軸力ような鋼管杭の断面の組み合わせを求めることを目的と本研究では，先端翼付回転貫入鋼管杭を想定し，実務でする．

使用されている工法の中で，α = 150(砂質) or 184(粘土日本建築学会情報システム技術委員会
第 42 回情報･システム･利用･技術シンポジウム論文集， 256-259 ， 2019 年 12 月，東京
Proceedings of the 42nd Symposium on Computer Technology of Information ，Systems and Applications ， AIJ ， 256-259 ， Dec. ， 2019 ， Tokyo－ 256 －質), β = 0, γ = 0 となる工法を対象とする．
jeB =2.2. 基礎杭の許容応力
地震時の応力に対しては通常の鉄骨造の断面算定の場

MS maxQS maxZfs::::

 B̄

np···..
.
···

if xej = 1(9)
if xej = np

そ の 他 の 断 面 性 能 も 同 様 に 与 え ら れ る ．一 方 で 杭 長合と同様に次式を満足する必要がある．

MS maxNL + |NE |+≤ F̄
ZA
2QS max≤ fs
A B̄1は y に よ っ て 選 択 さ れ る ．例 え ば ，杭 長 の リ ス ト を(3)

L1 , · · · , LnL とすると，i 番目の基礎杭の上から j 番目(4)の杭の杭長は次式で与えられる．

杭体の短期荷重時曲げモーメントの最大値
杭体の短期荷重時せん断力の最大値
杭体の断面係数√
鋼材の短期許容せん断応力度で F/ 3とする

jeL = L̄1 L̄

nL···..
.
···

if xej = 1(10)
if xej = np

後述の最適化問題の定式化の簡略化のために (3),(4) 式

以上のルールを踏まえ，以上のルールより基礎杭に対し，を次式に変形する．

x,y を設計変数とする以下の最適化問題を考える．

MS max (≤ MaS)
NL + |NE |MaS = F̄ −·ZA
QS max ≤ QaS
A · fsQaS =2(5)minimize

j +1m n∑∑jjeA · eL(11a)e=1 j=1(6)subject to

片土圧を受けるような建物を除き，せん断力及び曲げモーメントは地震荷重に対してのみ発生するので，短期許容応力度設計のみがおこなわれる．鋼管杭の長さはある程度規格化されており，杭長が現場に運搬可能なサイズよりも長い場合は継手が必要となる．上杭と下杭は施工性を考慮して径をそろえるのが原則であるが，板厚に関しては上杭よりも杭体曲げモーメントが小さい下杭を薄くすることがある．従って，(5), (6) 式は各杭について継手の数 +1 個存在する（鋼材の断面ごとに分けた領e = 1, · · · , m
j = 1, · · · , nj + 1
e= 1, · · · , mjje NS ≤ e NaS j = 1, · · · , n + 1je=1,···,mjje MS ≤ e MaS j = 1, · · · , n + 1je = 1, · · · , mjjQ≤
Qe Se aS j = 1, · · · , n + 1je=1,···,mii+1e B = e B i = 1, · · · , njel≤
130jeBjje NL ≤ e NaL

(11b)
(11c)
(11d)
(11e)
(11f)
(11g)

j

ここで，i L は i 番目の基礎杭の上から j 番目の杭体の杭長であり，基礎杭の全長 l とは i l =nj∑
ji L の関係にj=1域で立式される）．

ある．また短期軸力 je NS ，長期軸力 je NL ，短期曲げモーメント je MS ，短期せん断力 je QS は伝達マトリクス法を

3. 最適化問題の定式化用いた多層地盤解析によって求める 1) ．この最適化問

最大継手数を nj とし，各基礎杭の断面を上杭から順

題は，杭断面と杭長の組み合わせを設計変数とし支持力に 1, · · · , nj+1 とする．基礎杭の番号を左下添字，各杭及び応力の制約条件下で，基礎杭の総体積を最小化するの断面を上杭から順に数えた番号を左上添字とする．例j

えば，i Z は i 番目の基礎杭の上から j 番目の杭の断面係数となる．また，杭長はあらかじめ与えられたリスト問題である．またこの最適化では施工上の制約として継手が存在する場合は上杭と下杭の径が同一となるように(11f) 式を課している．

から選択するものとし，杭断面の種類数を np ，杭長の種類数を nL とする．ベクトル x ∈ [1, · · · , np ] とベクトルy ∈ [1, · · · , nL ] を次のように定義する．
x = [x11 , · · · , x1nj +1 , x21 , · · · , xmnj +1 ]⊤y = [y11 , · · · , y1nj +1 , y21 , · · · , ymnj +1 ]⊤4. 数値解析
基礎杭が 4 本の場合と 6 本の場合を比較するための数

(7)
(8)

値解析を行う．基礎杭の本数による比較を行うため，本杭断面は x によって選択されるものとする．例えば，杭1. 杭に作用する地震時せん断力は Q = 195kN とする．

断面リストにおける杭の軸径の値を B 1 , · · · , B np とす

2. 継手は 1 箇所 (nj = 1) とする．

ると，i 番目の基礎杭の上から j 番目の杭の軸径は次式

3. 杭長（全長ではない）は 0.0m, 1.5m, 3.0m, 4.5m, 6.0mで与えられる．

報告 H51

数以外の共通条件を以下のように定める．のいずれかとする．

－ 257 －

4. 杭の断面種類は全 22 種類とし（表 1 参照），地盤デー

5. 結果
図 3，4 にそれぞれ基礎杭 4 本,6 本における最適化のタは図 1 を用いる．

5. 杭の F 値は 325N/mm ，ヤング係数は 210GPa とする．

繰り返し計算回数 20 万回、100 万回時点での最適化結果

2, 3 より杭の全長は 0m ≤ l ≤ 12m となる．4 より断を示す．それぞれの図において左が軸力図，中央が曲げ面積 A 及び断面係数 Z は径 B と板厚 t により決定されモーメント図，右がせん断力図となっており，各杭の応る．また同一層内の N 値は一定とする．

力の値及びそれらの比である検定比を記述している．軸

杭 6 本の地盤データおよび軸力は実際に施工された建力図において，赤の棒グラフはそれぞれ杭にかかる長期築物のデータを引用している．杭 4 本では地盤データは軸力と短期軸力を表しており，緑とオレンジの破線はそ

杭 6 本と同様にし，軸力は杭 6 本の軸力を分配するこ

れぞれ長期許容軸力と短期許容軸力を表している．各図とによって定めている．杭の本数が 4 本の場合の軸力において，赤線および青線は短期荷重時の杭にかかる曲

NL , NS は表 2 の通りに与え，6 本の場合の軸力 NL , NS

げモーメント／せん断力を表しており，矩形範囲がそれは表 3 の通りに与える．また本解析では引き抜きは生じぞれ上杭と下杭の短期許容曲げモーメント／せん断力をないと設定する．各解析において，杭頭レベルは全て同表している．また，選択された杭番号も記入している．

一とし，深度は杭頭レベルを 0.0m として原点にとる．

図 2 には，目的関数の収束履歴を示す.

2解 析 プ ロ グ ラ ム は Python で 記 述 し ，最 適 化 ア ル ゴ

基礎杭 4 本において，軸力に対する検定比は 0.85〜

リズムは Mixed Integer Distributed Ant Colony Optimiza-0.99，曲 げ モ ー メ ン ト 図 に 対 す る 検 定 比 は 0.76〜0.91

tion (MIDACO) を用い，繰り返し計算回数 200000 回ととなっており，合理的な断面が選択されている．選択

1000000 回の 2 ケースについて解析を行った．使用した

断 面 の 組 み 合 わ せ も H-G と 同 一 径 の 断 面 が 選 択 さ れ

計算機は intel(R)Core(TM)i7-6700@3.40GHz の CPU をているため制約条件を満たした解となっている．図 2もつものを使用する.

より計算ステップが約 110000 回時点で杭の総体積は2)

表 1 杭断面の種類と諸量
杭番号 B[mm] t[mm] Ap[mm2 ] Dw[mm] A[mm2 ] Z[mm3 ]A114.3 4.5 51400
256.91552 41001
B114.3 651400
256.9
2041 52530
C 139.8 4.5 78000
314.7
1913 62686
D 139.8 6.6 78000
314.7
2762 87842
E165.2 5108900 372.3
2516 97827
F165.2 7.1 108900 372.3
3526 133662
G 190.7 5.3 156200
446
3087 139219
H 190.7 7156200
446
4040 178976
I216.3 8.2 199300 503.7
5361 268743
J216.3 10.3 199300 503.7
6666 327761
K216.3 12.7 199300 503.78123 390712
L267.4 8288400
6066519 410527
M 267.4 9.3 288400
6067541 470261N 267.4 12.7 288400
60610162 617871
O 318.5 10.3 405800 729.99973 744390
P318.5 12.7 405800 729.9 12201 897109
Q 355.6 9.5 422800
74510329 870530
R 355.6 12.7 422800
74513681 1132478
S
400
9510500 818.6 11055 1056897
T400
12 510500 818.6 14627 1377595
U 406.4 9.5 510500 818.6 11846 1148555
V406.4 12.7 510500 818.6 15708 1499298
表2設計用軸力 (杭 4 本)
表 3 設計用軸力 (杭 6 本)
2 3 4 杭番号 i 1 2 3 4 5 6
NL [kN] 324 326 421 411 NL [kN] 201 201 245 249 298 286
NS [kN] -163 156 -198 206 NS [kN] -105 93 -115 125 -140 143
04.0
層厚 L[m] N 値 α 土質
5.0
1
4 150 粘性3.0
1
5 150 粘性3.0
1
3 150 粘性4.0
1
3 150 粘性
5 3.0
1
4 150 粘性5.0
1
3 150 粘性6.0
1
5 150 粘性34.4
16 150 粘性
51.2
134.4 184 砂質
1050.4151.2 184 砂質
60.0
150.4 184 砂質
53.4
160 184 砂質
60.0
153.4 184 砂質
60.0
15160 184 砂質
60.0
160 184 砂質
60.0
160 184 砂質
60.0160 184 砂質
60.0
160 184 砂質
60.020160 184 砂質
60.0
160 184 砂質
60.0
160 184 砂質
160 184 砂質
0204060N value
160 184 砂質
図 1 地盤データと柱状図
depth [m]

杭番号 i 1

報告 H51

V=0.135[m3 ] となっており，計算回数が 200000 回を超えても最適解を上回る解が出なかったため，本解析による解が概ね大域解であると推察される．110000 回時点での計算時間は 3163[sec]（1 時間弱）である．杭 4 本においては曲げモーメントの大きい上杭部分では同一径の鋼管の中では板厚の厚い杭が選択されており曲げモーメントの小さな下杭部分では同一径の中で板厚が最も薄い鋼管が選択されている．曲げモーメントで杭種が決まっているため上杭の長さは 1.5 ｍとしたほうが経済的になるが支持層までの長さが杭 1,2 は 9 ｍ，杭 3,4 は 10.5 ｍであるため，制約条件より上杭の長さが 3 ｍおよび 4.5mとなったと考えられる．
基礎杭 6 本では杭 6 を除いて曲げモーメントの検定比が 0.9 に到達しておらず，曲げモーメントに対して は 余 裕 の あ る 解 を 示 し た ．ま た 選 択 さ れ た 断 面 は

E − E, G − G と同一断面となっているため，シームレスな杭となっている．したがって，杭 6 本においてはどの位置で継手を設けてもよいことがわかる．繰り返し計算回数 820000 回段階時点で杭の総体積は V=0.1523[m3 ]となっており，計算ステップ上限の 1000000 回まで変化がなかった. また，この時点での計算時間は 36673[sec]（約 10 時間）である．杭の曲げモーメントは許容曲げモーメントまで余裕があるためより優良な解が存在すると考え, 計算時間の上限を 1 日として最適化計算を行っ－ 258 －1000

2000

Number of times[seconds]
3000
4000

5000

6000

Total Volume[m3]

00500

0.6

NaS=459.5400

0.401E2

Mmax=15.1
MaS=19.91Mmax
=0.76
MaS

2025000

05000010000

75000 100000 125000 150000
Number of steps
Number of times[seconds]
20000
30000

175000200000

N[kN]

300

0.2

200

Total Volume[m3]0.4H33445

Mmax=2.4
MaS=23.3

G6Mmax=0.1
MaS

709950

NaS=659.1

1600

Mmax
=0.76
MaS

2500

3
depth[m]482.0400NaL=329.6
326.04
Mmax=2.4
MaS=23.5

GMmax
=0.1
MaS780M[kNm]2

Mmax=27.8
MaS=30.7

HMmax
=0.91
MaS

N[kN]

depth[m]800619.0NaL=482.8
421.0

46

Mmax=0.2
MaS=17.3
Mmax=0.01
MaS8200

10
NL
NL= 0.87NaL

NS
NS= 0.64
NaS

500M[kNm]

2H

Mmax
=0.9
MaS411.0

depth[m]617.06Mmax=0.2
MaS=17.4
Mmax
=0.01
MaS

10

図3

Qmax=48.8
QaS=379.0

HQmax
=0.13
QaS0M[kNm]

507

Mmax
=0.0
MaS825

Qmax=0.1
QaS=236.1

250

Mmax
=0.85
MaS360.04

Qmax
=0.0
QaS

20
Q[kN]

250E

Qmax=31.6
QaS=236.1

E

Qmax=0.1
QaS=236.1

Qmax
=0.13
QaS

46

Mmax=0.2
MaS=17.8
Mmax
=0.01
MaSE
8106

Qmax
=0.0
QaS

810

NS
NS= 0.53
NaS

NL
NL= 0.73
NaL200
M[kNm]

Qmax
=0.0
QaS

Mmax=15.1
MaS=17.3

2

NaL=336.6

Mmax
=0.88
MaS

374.0

46500

2008E

Mmax
=0.0
MaS10NL
NL= 0.74
NaLH

Qmax=0.13QaS20NaS=659.1

1500
438.0
NaL=329.6

Qmax
=0.0
QaS8298.00
Q[kN]

500(d) 杭 4 の選択断面と応力状態
基礎杭 4 本の最適化結果 (計算回数 200000 回)

700

回る優良解が獲得できなかった．杭 6 本ではすべての杭

Qmax
=0.0
QaS

1Mmax
=0.78
MaS

20
Q[kN]

250

G

Qmax=37.0
QaS=289.6

G

Qmax=2.0
QaS=289.6

Qmax
=0.13
QaS

45

Mmax=1.4
MaS=25.5

GMmax
=0.06
MaS

56

Qmax
=0.01
QaS

7899500
M[kNm]

50500

0
Q[kN]

500

NaS=673.3
Mmax=15.1
MaS=15.12EMmax=1.0MaS500
429.0
NaL=336.6
286.0468E

Mmax
=0.0
MaS10NLNL= 0.85
NaL

図4NSNS= 0.64NaSE

Qmax=31.6
QaS=236.1

E

Qmax=0.1
QaS=236.1

2Qmax
=0.13
QaS

46

Mmax=0.0
MaS=15.1

1000

Qmax=0.1
QaS=236.1(e) 杭 05 の選択断面と応力状態
0200

その時点で繰り返し計算回数 820000 回時点での解を上Mmax=19.9
MaS=25.58NSNS= 0.66NaSNL
NL= 0.9NaL300

たが，計算回数が 1976987 回で計算時間の上限に達し，

8250

47400

EQmax
=0.13
QaS

36600500G200

Qmax=0.6
QaS=289.6

Qmax=31.6
QaS=236.1

4203100G0M[kNm]2300

E2(d) 杭 04 の選択断面と応力状態
0700

025010NSNS= 0.56NaS400

Qmax=48.8
QaS=379.0

0
Q[kN]

6
Mmax=0.0
MaS=17.3

249.0

600
0Q[kN]

250

NaS=673.3

300

Qmax=0.6
QaS=289.620(c) 杭 03 の選択断面と応力状態
0500

01050EQmax
=0.13
QaS

4

Mmax=0.0
MaS=20.4

Mmax=15.1
MaS=17.8

E100500

68NSNS= 0.64NaS500

400

840M[kNm]

E0Q[kN]

G4G20025600

62Qmax=31.6
QaS=236.1

9245.070050050

Mmax=27.8
MaS=30.8800

NaL=482.8

NaL=336.6Qmax=0.01
QaS7(c) 杭 03 の選択断面と応力状態
0600

Qmax=3.0
QaS=289.6

G62E6E2200

35500

0510NaS=965.7

1000

5NaS=673.3300

250

1004GNL
NL= 0.85NaL

Qmax
=0.13
QaS

0Q[kN]

2(b) 杭 02 の選択断面と応力状態
0700

400

250Mmax
=0.74
MaS

4950

NaS=965.7600

500

Qmax=48.7
QaS=379.0H(b) 杭 02 の選択断面と応力状態
01000

0Q[kN]

89NS
NS= 0.73NaSNL
NL= 0.99
NaL1E9NSNS= 0.64
NaS60050025017NLNL= 0.87
NaLQmax=0.01
QaS

7406456100

Qmax
=0.01
QaS

3200

N[kN]

50

Mmax=27.8
MaS=36.8

H

Qmax=3.0
QaS=289.6

G(a) 杭 01 の選択断面と応力状態
0700

N[kN]

0M[kNm]201.0

depth[m]NSNS= 0.74
NaS020

Mmax=15.1
MaS=20.4878200100

68294.0
NaL=229.8Qmax
=0.13
QaS

5100
NLNL= 0.98
NaL

Qmax=48.7
QaS=379.0H0M[kNm]

2depth[m]

26920

1

depth[m]NaL=329.6
324.0

1Mmax
=0.76
MaS

NaS=459.5

depth[m]depth[m]487.0Mmax=27.8
MaS=36.6

Qmax=1.3
QaS=236.1

5840

depth[m]12000Mmax=0.03
MaS(a) 杭 01 の選択断面と応力状態
0300

02400

400

E3N[kN]

NaS=659.1

5000Mmax=0.6
MaS=19.99400

N[kN]

0600

400

1000000

目的関数の収束履歴 (上:４本杭, 下:6 本杭)

700

N[kN]

800000N[kN]400000600000
Number of steps

N[kN]200000N[kN]

0EQmax=0.13QaS

456NSNS= 0.67NaS500

図2047NLNL= 0.87NaL

Qmax=31.6
QaS=236.1

3800.6300

201.0

1000.8300

306.0
NaL=229.8

40000

1.00.2depth[m]

3E8

Qmax
=0.0
QaS

10200M[kNm]

20250

0Q[kN]

250(f) 杭 6 の選択断面と応力状態
基礎杭 6 本の最適化結果 (計算回数 1000000 回)の上杭と下杭が同じであり使用する鋼管は同断面のうち一番板厚が薄いものが選ばれていることから，軸力によって杭の種類が選択された可能性が高い．曲げモーメントで杭種が決定される場合，上杭は杭 1 から杭 6 まで1.5 ｍとしたほうが経済的であるが，制約条件より上杭[参考文献]
1） 藤田慎之輔. 混合整数計画問題として定式化された基礎杭の最適設計法. 第 58 回日本建築学会九州支部研究発表会, 2019.3.
2） M. Schlueter, J. A. Egea, and J. R. Banga. Extended ant colony optimization for non-convex mixed integer nonlinear programming. Computers & Operations Research, Vol. 36, No. 7, pp. 2217–2229, 2008.8.と下杭の長さの上限はそれぞれ 6 ｍであるため今回の解析結果になったと考えられる．

報告 H51－ 259 －