Sci.Rep. KanazawaUniv.，
Yol.20No・1，pp7‑
13June1975On Indices ofUnitGroups
Related to theGenus Numberof Galois Extensions

Norikata NAKAGOSHI*

Detartment01Mathen
ωtics，Faculty01Science，KanazawaUniversity(Recei
四 d~arch 26，1975)

1. Let Kjk beaGalois extensionoffinitedegree，overafinite algebraicnumberenotebyK地 thegenusfieldofK overk.A formulao
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*Presentaddress:
Departmentof~athematics ， Collegeo
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iberalArts，ToyamaU
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4. Example札.Put k=Q and K=Q(干havingprimef
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R(T)キ 1mod1.
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3小 7・11)andK=k(3何 百 了 )•(c). Letk=Q(O，(=exp(21riLetTlandT
2betheprimediv
isorsofk，lyingabove7，11，respectiv
ely.Thenr3，fori=l，(2・3小 7・11，叱主と)L‑ J(2・3・5・7.
1
1， lR(t~-I)- 5，fω i=2，land(e:可):=0mod3・5.

5. Notationsbeingasabove，wehavethefollowing
THOREM. Let1beanoddtrimeand(oeaprimitiveI‑throot01unity. Weμet
k=Q(0andK=k(!
/t:)， where4isanI‑thpoωerfreeratio
加 1integer. LetToea

yingaoovea rat仰 zalprimepand toeanumoerofr
ami
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isor ofk，lprimediv
isor
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rpof4and1i
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lar prime，then(o:71)=1andgKIk =h k ・ 1 1 - 1 •(ii)1/IR(T)年 1mod[2forsomeprimefacto
rpof4 and.
4l‑1=1 mod[2， then1(e:71)=1andg
Kfk=hk・1‑2Prω，if.(A)Letp beaprimitive(lR(t)‑I)‑throotofunityfortheprime div
isorpof4 (ρキ1).
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asewhere沢(t)キ 1mod[2.
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e. (ε )=( 7Jp)=(e)n(N!R~xH~) by(1)and(2)，then (EN!R~. S附x2N % =〈ρ1)防 (3)and仰 )=1，(IR(担)‑1)//三 omod1.Therefore，if 附)"，， 1mod 1，then(ε:7J~) 手 1 and($N!R~ ・f.fence wehave(ε:7Jp)= 1by(i)oft
he lemma.
Moreover，(e) con
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hecasewhereIR(約三 1mod12and1isaregularprime.
Letμ， キ 1mod1μ+1μ ミ2.
IR(T)=1mod1

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ikataNAKAGOSHI

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roulうsRelated10 theGe抑usN，
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固whert' kis the absoluteclassfiel
d of 1<.

K(ぺ )/K are unramifiedextensionsby [1 (i=1，.
.
.
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古I((τコl)=kCV
五1 ，・・・ ，v五t ) isanunramifiedAbelianextensiGl1 overof degree lt‑1.
In particular，if li
s a regularprirneand，
1t = t，areprimesmentionedas above， then，(e .η) = 1 and p ar企 ali prirnesin k Mence gK0'，=hk • [1‑1 andl{':<グ五ア3・・.，Y-~).

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vomP
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lin，
1
963，
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回fSl Hasse，H.
，収

B巴richt"，Physi
む晶画V号rlag，1965固[6J KUfocla，S‑N.，
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roc.JapanAkad.，XL(1964)，623‑
62
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44.