数理解析研究所講究録
1129 巻 2000 年 87-94

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Poisson 方程式と静磁場方程式の外部境界値問題に対する領域分割型結合解法
繁田岳美

原山卓也

茨城大学大学院理工学研究科〒 310-8512 茨城県水戸市文京 2-1-1$\mathrm{E}$-mail:shigeta@mito .ipc.ibaraki$.\mathrm{a}\mathrm{c}$.jp

概要
2 次元 Poisson 方程式と静磁場方程式の外部境界値問題の数値解法を考えることを目的とする. 外部領域を, ソース項あるいは電流密度の台を含むような有界部分領域と,の外側に広がる外部無限領域とに分割する. 有限要素法と境界要素法を, 領域とにおける問題にそれぞれ適用する.
$\Omega$$\Omega_{0}$$\Omega_{1}$$\Omega 0$$\Omega_{0}$$\Omega_{1}$Dirichlet-Neumann 交代法に基づく反復解法を適用する. この反復解法の収束性と最適なパラメータの選択法を理論的に示し, 数値計算を通して理論的結果の正当性を確認する.

1

はじめに無限領域問題は, 工学上よく遭遇する問題の 1 つである. 本論文では, 2 次元無限領域における Poisson方程式の境界値問題ならびに静磁場問題を, 領域を分割して数値的に解く近似解法を述べる.
平面における滑らかな閉曲線の外部領域をとする. まず, 最初に扱う問題は, 次の Poisson
方程式の外部境界値問題である:$R^{2}$$\Omega$$\mathrm{r}_{0}$問題 1 既知関数 $f\in L^{2}(\Omega)$ と $g\in H^{1/2}(\Gamma 0)$ に対して, 以下を満たす $u\in H^{1}(\Omega)$ を求めよ:

ここに, 台$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f$$-\Delta u=f$

in$u=g$

on$\Omega$,$\Gamma_{0}$.

はコンパクトと仮定する.

さらに, 第 2 の問題を考える. 2 次元ベクトル値関数 $v=(v_{x}, v_{y})T$ に対して

rot

$v= \frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\frac{\partial v_{x}}{\partial y}$,$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}v=\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\frac{\partial v_{y}}{\partial y}$である. 以下の関数空間を定義する:$H(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}, \Omega):=${$v\in L^{2}(\Omega)^{2}$; rot$v\in L^{2}(\Omega)$},$H(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}, \Omega):=\{v\in L^{2}(\Omega)^{2} ; \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}v\in L^{2}(\Omega)\}$領域の内部を左側に見るように方向付けられた境界.に沿った単位接線ベクトルを で表し, 磁場 $H$ と磁束密度の間に関係式 $B=\mu H$ を仮定する. また, 電流密度の台はコンパクトとし, 透磁率は, 簡単のため正定数と仮定する. このとき, 次の外部静磁場問題を考える:$\Gamma_{0}$$\tau$$B$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}J$$\mu$

問題 2 既知の電流密度 $J\in L^{2}(\Omega)$ と磁場の接線成分を求めよ:$\overline{H}_{\tau}\in H^{-1/2}(\Gamma_{0})$$H\in H(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}, \Omega)\cap H(\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{V}}, \Omega)$

rot $H=J$,$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}B=0$

in$H\cdot\tau=\overline{H}_{\tau}$on$\Omega$,$\Gamma_{0}$.

に対して, 以下を満たす磁場

882Dirichlet-Neumann 交代法とそれに基づく定式化
問題 1 や問題 2 の外部領域

で, 人工境界として$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f$

や$\Omega$を有界領域で打ち切り, 有界領域内での解を求めることにする. そこ$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}J$を内部に含む閉曲線

距離 dist $(\Gamma 1, \Gamma 0)>0$ となるようにする. こうすることで,$\Omega_{1}:=\Omega\backslash \overline{\Omega_{0}}$とに分割される. ここで, $i=0,1$ に対し,$n_{i}$$\Gamma_{1}$$\Omega$を与える. ただし, 境界

は$\Gamma_{1}$によって, 内部領域

, \tau 詠それぞれ$\Gamma_{1}$

上の$\Omega_{i}$と$\Omega_{0}$と外部領域を求めることである.
問題 1 の解法として, 次の Dirichlet-Neumann 交代法 (D-N 法) を考える [9]:$u|_{\Omega_{\mathrm{O}}},$$H|_{\Omega_{\mathrm{O}}}$Step 1. 初期推定境界値
Step 2. 外部領域$\Omega_{1}$$\lambda^{(0)}\in H^{1/2}(\Gamma_{1})$与え, $k:=0$ とおく.

における Laplace 方程式の Dirichlet 問題を解く :$\Delta u_{1}^{(k)}=0$$u_{1}^{(k)}=\lambda^{(k)}$Step 3. 内部領域$\Omega_{0}$inon$\Omega_{1}$$\Gamma_{1}$,.

における Poisson 方程式の混合境界値問題を解く :$-\Delta u_{0^{k)}}^{(}=f$in$\Omega_{0}$,on$\Gamma_{1}$$\frac{\partial u_{0}^{(k)}}{\partial n_{0},(k)}=-\frac{\partial u_{1}^{(k)}}{\partial n_{1}}$

$=g$

on

$\Gamma_{0}$$u_{0}$,.

Step 4. 境界値を更新する:$\lambda^{(k+1)}=\alpha_{k}u_{0}^{(}k)-\alpha_{k})\lambda^{(}k)+(1\text{ノ}$

ここに, パラメータ$\alpha_{k}$は適切に選ばれた実数である.

Step 5. $k:=k+1$ とし, Step 2 へ戻る.

on$\Gamma_{1}$.

$\mathrm{r}_{0}$に対する外向き単位法線ベクトルと単位接線ベクトルとする (図 1). 我々の目的は, 問題 1 と 2 の解 $u,$ $H$ の

図 1: 領域分割との$\Gamma_{1}$$\Omega_{0}$への制限

89

次に, 問題 2 の解法を考える. 外部領域

では,$\Omega_{1}$rot $H=0$ ,が成立する. スカラー値関数$\mu H=B=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}^{*}A$$\varphi=(\frac{\partial\varphi}{\partial y},$$\Gamma_{1}$に注意する. 関数 $A$ の勾配のみを必要とし,$|x|arrow\infty$$- \frac{\partial\varphi}{\partial x})^{T}$in$\Omega_{1}$上における関係式$H \cdot\tau_{1}=-\frac{1}{\mu}\frac{\partial A}{\partial n_{1}}$問題に対して,(1)$\Omega_{1}$により関数 $A\in H^{1}(\Omega_{1})$ を導入すると, 式 (1) は Laplace 方程式$\Delta A=0$に帰着される. さらに, 境界

inに対する$\varphi$rot’を用いて,$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mu H)=0$のとき,$A$$|A(x)|arrow 0$,$B \cdot n_{1}=\frac{\partial A}{\partial\tau_{1}}$.の値そのものは必要としないので, 上記 Laplace 方程式のとなる条件を課してもよい.

D-N 法を静磁場問題に応用して, 問題 2 を解くために, 次の手法が考えられる:
Step 1’. 初期推定境界値

Step 2’. 外部領域$\Omega_{1}$$\lambda^{(0)}\in H^{-1/2}(\Gamma_{1})$を与え, $k:=0$ とおく.

における Laplace 方程式の Neumann 問題$\Delta A_{1}^{(k)}=0$$- \frac{1}{\mu}\frac{\partial A_{1}^{(k)}}{\partial n_{1}}=-\lambda^{(k\rangle}$$|A_{1}^{(k)}(_{X)|}arrow 0$

を解き,$\partial A_{1}^{(k)}/\partial_{\mathcal{T}_{1}}|\mathrm{r}_{1}$Step 3’. 内部領域$\Omega_{0}$

inon
as

$\Omega_{1}$,$\Gamma_{1}$,$|x|arrow\infty$を求める.

における静磁場問題

rot $H_{0}^{(k)}=J$,$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mu H_{0}^{(})k)=0$$(\mu H_{0^{k}}^{()})\cdot$$no=- \frac{\partial A_{1}^{(k)}}{\partial_{l}\sim_{1}}$$H_{0\mathcal{T}}^{\langle k)}.\tau=\overline{H}$を解き,

Step$4^{J}$$H_{0}^{(k)}\cdot r_{0}$in$\Omega_{0}$on$\Gamma_{1}$

on

,

,

$\Gamma_{0}$を求める.

. 境界値を更新する:$\lambda^{(k+1)}=\alpha_{k}(H_{0^{k)}}^{(}\cdot\tau 0)+(1-\alpha k)\lambda^{(k})$

ここに, パラメータ$\alpha_{k}$on$\Gamma_{1}$.

は $0<\alpha_{k}<1$ を満たす実数である.

Step 5’. $k:=k+1$ とし, Step 2’ へ戻る.
この手法を, ここでは静磁場 D-N 法と呼ぶことにする.

Poisson 方程式の D-N 法については, 以下の性質が成り立つことが知られている [8]:命題 1(Yu, 1995) もし $0<\alpha_{k}<1$ を満たすならば, D-N 法により求められる
束する.

$u_{0}^{(k)}$は真の解 u|\Omega 。に収90特に, 境界$\Gamma_{0}$と$\Gamma_{1}$がそれぞれ半径系 1(Yu, 1995) 最適なパラメ一タと$R_{0}$$R_{1}$のとき, 次の系が成り立つ.

は$\alpha_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}$$\alpha_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\frac{R_{1}^{2}+R^{2}0}{2R_{1}^{2}+R^{2}0}$で与えられる.

がそれぞれ半径馬と次の結果を得ることができる:
境界$\Gamma_{0}$と$\Gamma_{1}$$R_{1}$の円のとき, 上記命題の証明に習い, 静磁場 D-N 法について,

定理 1 もし $0<\alpha_{k}<1$ を満たすならば, 静磁場 D-N 法は収束する.
系 2 最適なパラメ一タ$\alpha_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}$は$\alpha_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\frac{R_{1}^{2}+R^{2}0}{2R_{1}^{2}+R_{0}2}$で与えられる.

3

有限要素法と境界要素法の適用

数値計算において, Step 3 の内部問題を三角形 1 次節点要素を用いた有限要素法で解く. また, Step $3’$の内部静磁場問題を, 主角形 1 次辺要素を適用した混合型有限要素法で解く [1], $[3]-[5]$ . 三角形 1 次辺要素

$y$$\llcorner x$

図 2: 辺要素
は, 面積が$\Delta$の三角形要素 $K$ において (図 2) , 次式で与えられる:$H|_{K}= \frac{1}{2\Delta}\sum_{(i,j,k)}$hijlij

ここに, 総和記号の添字は $(i,j, k)=(1,2,3),$ $(2,3,1),$ $(3,1,2)$ をすべてとる. また, 節点$i$の座標をで表す.
長さ砺の辺 $ij$ での $H$ の辺方向成分をの外部問題と2の外部
Step2’
Neumann 問題を, 境界要素法を用いて解StepDirichlet$(x_{i}, y_{i})$,$h_{ij}$

問題の領域$\Omega_{0}$の有限要素分割と整合するように, 境界

静磁場 D-N 法において,$x_{i+1}$$\partial A_{1}^{(k)}/\partial\tau_{1}$を端点とする長さらの辺上の点を, 境界要素解$x$$\Gamma_{1}$. 内部の差分で近似する. すなわち, 2 節点において,とする.
$H_{0}^{(k)}\cdot\tau_{0}$$[6]$を線形境界要素を用いて分割する.

$A_{1}^{(k)}(x_{i})$$\frac{\partial A_{1}^{(k)}(_{X)}}{\partial\tau_{1}}\simeq\frac{A_{1}^{(k)}(X_{i}+1)-A_{1}(k\prime)(_{X_{i}})}{l_{i}}$接線成分$\text{く}[2],$は, (符号の違いを除いて) 辺方向成分$h_{i\mathrm{j}}$そのものに他ならない.

$x_{i}$,

914

数値計算例
本節では, 数値実験を通じて,Poisson 方程式や静磁場方程式に対する D-N 法の有用性を確認する. 有用性の確認のためには, 斉次方程式を扱ってよいので, 簡単のため $f=0,$ $J=0$ とする.
数値例題として, 原点を中心とする半径 1 の円の外部領域における以下の Laplace 方程式と静磁$\Omega$$\Gamma_{0}$場方程式の境界値問題を考える:$\Delta u=0$

$u=\cos\theta$

rot $H=0$ ,in$\Omega$on

ここに,$\mu=1$とし,$(r, \theta)$

は$\Gamma_{0}$.

in$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}B=0$$H\cdot\tau=-\cos\theta$,.

on$\Omega$,$\Gamma_{0}$.の極座標を表す.

$R^{2}$

原点を中心とする半径 3 の人工境界$\Gamma_{1}$を用いて, 領域$\Omega$を内部領域 $\Omega_{0}=\{(r, \theta);1<r<3,0\leq\theta<2\pi\}$と外部領域 $\Omega_{1}=\{(r, \theta);r>3,0\leq\theta<2\pi\}$ とに分割する (図 3 参照).
図 4 に示されるように, 領域$\Omega_{0}$と境界$\Gamma_{1}$を, それぞれ三角形有限要素と境界要素とに分割する.

パラメータを $\alpha_{k}=0.5(k=0,1,2, \ldots)$ とし, 初期推定値として, 円$\Gamma_{1}$に沿って $\lambda^{(0)}=0$ とする.

真の解は, それぞれ $u(r, \theta)=\cos\theta/r,$ $H(r, \theta)=(-\sin 2\theta/r^{2}, \cos 2\theta/r^{2})$ である. 真の gb の等値線と真の解 $H$ のベクトルを図 5, 6 に, 数値解を図 7, 8 にそれぞれ示す. 真の解と数値解を比較することで,良い数値結果が得られていることがわかる.
初期推定値$\lambda^{(0)}$$u(3, \theta)=\cos\theta/3$をや,$0$$H$と$\sin\theta$としたときの$\lambda^{(k)}(\theta)$

を,中心角$\theta$に対して,$u$に対する真のの図から, 初期推定値の取り方によらず,$\lambda^{(k)}$は真の$\lambda$に収束することがわかる. また, パラメータが 0.5 付近のとき, 収束は速いことがわかる. なお, 最適なパラメータは図 13, 14 より

これは系 1, 系 2 の$\alpha_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}$$\lambda(\theta)=$に対する真の $\lambda(\theta)=H(3, \theta)\cdot \mathcal{T}0=\cos\theta/9$ と共に図示する (図 9-12). これら$\alpha_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=0.6$の選び方と –致する.

図 3: 領域分割

図 4: 有限要素と境界要素(512 有限要素, 32 境界要素)$\alpha_{k}$である.

92

図 5: 真の解

図 7: 数値解

図 6: 真の解 $H$$u$

図 8: 数値解$u_{0}^{(3)}$$H_{0}^{(4)}$$\underline{\mathrm{B}\alpha\Phi\in}$

図 9:$\lambda^{(k)}$と $\lambda(\lambda^{(0)}=0)$

図 10:$\lambda^{(k\rangle}$と $\lambda(\lambda^{(0)}=0)$93$\underline{\S 5}$

図 11:

図 13: 各

5$\lambda^{(k)}$$\alpha_{k}$と $\lambda(\lambda^{(0)}=\sin\theta)$に対する反復回数 $k(u_{0}^{(k)})$

図 12:

図 14: 各$\alpha_{k}$$\lambda^{(k)}$と $\lambda(\lambda^{(0)}=\sin\theta)$に対する反復回数 $k(H_{0}^{(k)})$結論Poisson 方程式の外部境界値問題の数値解法に基づき, 静磁場方程式の外部問題の数値解法をも考えた.

人工境界を用いて, 外部領域を 2 っの領域に分割し, 人工境界上の真の境界条件を反復法で求める手法を採用した. 2 つの領域における問題を, それぞれ境界要素法と, 節点要素や辺要素を用いた有限要素法で解いた. 境界要素法は Laplace 方程式の外部問題の数値解法に向いている. また, 辺要素は磁場の近似に適した要素である. このように各々の問題に適した既存の数値解法を流用していることが, 本手法の利点である. また, 数値計算を通じて, 理論と数値結果は–致し, 本手法は少ない反復回数で真の解に収束し, 無限領域問題の数値計算法として有用であると考えられる.
今後の課題は, Steklov-Poincar\’e 作用素 [7] を用いた議論を基に, 境界 Fo と$\Gamma_{1}$が共に円でない場合における収束性の証明と, 最適なパラメータの理論的な選び方を決定することである.

参考文献[1] Girault, V. and Raviart, P.-A.: Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations, Theory andAlgorithms, Springer-Verlag (1986).

[2] 神谷紀生, 大西和榮: 境界要素法による計算力学, 森北出版株式会社 (1985).

94[3] Kikuchi, F.: Mixed formulations for finite element analysis of magnetostatic and electrostatic problems, Japan J. Appl. Math., 6, 209 (1989), pp. 209-221.
[4] 菊地文雄: 有限要素法の数理, 培風館 (1994).

[5] Nedelec, J. C.: Mixed finite elements in$R^{3}$, Numer. Math., 35 (1980), pp. 315-341.

[6] 登坂宣好, 中山司: 境界要素法の基礎, 日科技連 (1987).

[7] Yu, D.: On relationship between Steklov-Poincare operators and natural integral operators and Greenfunctions (in Chinese), Math. Numer. Sinica, 18, 4 (1995), pp. 331-341.
[8] Yu, D., Xue, W., and Huang, H.: A Dirichlet-Neumann alternating method in infinite domain: algorithm and convergence analysis, Research Report ICM-95-31, Institute of Computational Mathematics
Computing, Chinese Academy of Sciences (1995).
and$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{C}/\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$[9] Yu, D.: Discretization of non-overlapping domain decomposition method for unbounded domains andits convergence, Chinese J. Num. Math. &Appl., 18, 4 (1996), pp. 93-102.