博士（理学）柳澤 卓
学位論文題名ON THE INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEMSFOR IDEAL MAGNETO ‑ HYDRO ‑ DYNAMICS（理想磁気流体力学に対する初期値境界値問題について）

学位論文内容の要旨

磁気流体 力学（Magneto‑Hltdro‑Dynamics，HHO）の方程式系は、電気伝導性の流体が磁場のもとで行 なう運動を記述する数理モデ ルのーつである。実在のプ ラズマに対しても、流体力学的取 扱いが可能な限りにおいては 、そのマクロな挙動をよく 表現するものとして、
天 体の 諸現 象の 解 析や MHD発電 など に応 用さ れ てい る。この方程式 系において、特に電気 抵 抗 を 0と お い た も の を 理 想 磁 気 流 体 力 学 （ Ideal HHD） の 方 程 式 系 と よ ぷ 。
本論文で は、この理想磁気流体力学の 方程式系に対する固定境界 値問題を考察する。具体 的には、2種類の境界条件を提出し、そ の下で、この方程式系に対 する初期値境界値問題の時間的 局所古典解が一意的に存在す るという、いわゆる解の存 在定理を示すことを目的とする。
この存在 定理を我々は、適当な反復法 を通して近似解を構成する ことにより証明する。
証明におい ては、反復・法に付随する線形化問題に対する解の存在定理と、この存在定理をもとに構成 された近似解に対する一様評 価式を、非線形項を取り扱 うのに十分な形で導くこ とが最も重 要となる。ところで、この 線形化問題は上記2種類のい ずれの境界条件の下でも、線形 対称双曲系に対する、境界が特性的な初期値境界値問題とみなすことができる。
一方、フリ ―ドリックス、ラックス―フ ィリップス等に始まる、一 般論の立場からの線形対称双曲系 に対する研究があるが、これ らの線形化問題には、その いずれの結果も直接には適用でき ないことがわかる。そこで、 以下に述ぺる様に、磁気流 体力学の方程式系の持つ 特殊 性を十 分に考慮しつつ、既存の理論の見直しと新たな工夫が必 要となる。
各章の構成 は次の通りである。第1章に おいては、以後の各章で使 われる関数空間を定義し、一様 評価式の導出において基礎と なる関数積、合成関数に関 する幾っかの基本的不等 式を挙げる 。次に、第2章では、磁場ベ クトルの接線方向成分が既 知の値をとり、速度ペ クトルの法 線方向成分を0とする境界条 件の下での、理想磁気流体 力学の方程式系に対する初期値 境界値問題の時間的局所古典 解の一意的存在定理を示す 。この章は、更に以下の 4つ の小 節に 分け られ る 。2‑1節 では 問題 設定 を行 い 、得 られ た結 果を 定 理の形にまと める 。2‑2節 では 、線 形 化問 題を 非特 性化 し た初 期値 境界 値 問題 につ いて 調ぺる。2・ 3節 で は 、 前 節 の 結 果 を も と に 非 特 性 化 し た iteration schemeを 定 義し、これを 通して近似解を構成する。更 に、得られた近似解に対す る一様評価式を導く。
このとき、 この章で考察している境界条 件の下での、磁気流体力学 の方程式系の特殊性を用 いることに より、通常のソボレフ空間 における一様評価式が得られ る事に注意する。2・ 4節におい ては、この一様評価式をもと にして近似解の収束性を検 討し、その極限をもって求める 解の存在を示す。
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第3章で倣、境界が完全導体壁よ りなる場合に適当と思われ る境界条件を提出し、その境界条 件下での、理想磁気流体力 学系に対する初期値境界値問題の時間的局所古典解の一意 的存 在 定理 を示 す。 この 章 は、 次の 6つ の小 節に 分け ら れる。まず3‑1節では、問題設 定を 行 い、 定理 の主 張を 述 ぺる 。3‑2節は 、境界が完全導体壁よりな る場合の境界条件を数 学的に厳密に導出すること を目的とする。そして、以下の節では、この完全導体壁の境界 条件において、特に磁場ペ クトルの法線方向成分が常に 0となる場合の存在定理を証明す る。即ち、3・3節でiま、こ の境界条件の下での線形化 問題に対する存在定理を、あるア ・プリオりな一様評価式を 仮定した上で証明する。このとき、この線形化問題は次に挙げ る2つの特徴．を持つことに注意する。第一の特徴は、磁場ペクトルの法線方向成分が0で あるという条件を、境界条件 とは見なさずに初期値のみ に対する制限と見なせることであ る。この事実より、境界条 件の極大非負性が従い、線形化問題のLz一適切性が示される。 第二の特徴は、この線形化 問題の境界行列が、境界上で強く退化しているので、第2章で 扱った問題の様に通常のソボ レフ空間における一様評価 式を得ることが困難と思われる点 である。言い換えれば、こ の線形化問題においては、「解の法線方向成分の滑らかさの欠 落」が起っているものと思 われる。そこで、我々は新たに接線微分のオーダーが法線微分 のオーダ―の2倍となる重み 付きソボレフ空間を導入し 、この空間の中で従来と異なるエ ネルギ―評価法を行なうこ とにより上で述べた困難を切 り抜ける。具体的には、3・4節 において、この新しいエネル ギ―評価法を用いて、前節 で仮定したア・プリオりな
一 様評 価 式の 証明 を行 う。 続 いて 3‑5節では 、前節までに得られた結果 を使い、求める理想磁 気流体力学の方程式系に対 する初期値境界値問題の解の存在を、反復法を通して証明する 。ただし、ここでは解の時 間変数に関する強連続性は、まだ示されていない。この強 連続 性 につ いて は、 3‑6節に おい て、ラウ チによって導入された接線 方向変数に対するモリ ファイア―を本質的に用い ることによって証明される。 以上で第3章の主定理の証
明を終 わる。

学位論文審査の要旨
主 査

教 授

上 見 練 太 郎

副 査

教 授

久 保 田 幸 次

副 査

教 授

儀 我 美 一副 査

教 授

岡 部 靖 憲副 査

教 授

岸 本 晶 孝学位論文

題On the In t tial boun.dar ytor

ideal

名value probleis

ia8net o‑hyd ro‑ dyna:ic s（理想 磁気流体力学に対 する初期値境界値問題について）

理想磁気流体の磁場、速度、圧力、密度を未知関数とする連助方程式系は古くから確立 されていたが、物理的にも自然な完全導体壁を境界とする初期境界値問題の時間
局 所 解 の 一 意 存 在 ． と い う 最 も 基 本 的 な事 実が 今ま で証 明さ れて いな かっ た。 磁場 を 考
慮に 入れない比較的簡単なオイラ―方程式に対して、速度の法線成分が境界上零となる と い う 自 然 な 境 界 条 件 の 下 で 同 様 の 問 題 の 解 決 が 成 さ れ た の が 約 10年 前 で あ る 。
流 体 の 運 動 、 方 程 式 系 の 多 く 拭 数学 的に は一 階の 準 線型 対称 双曲 型方 程式 系の 理論 の枠組の中にある。

こ の 対 称 双 曲 型 方 程 式 系 に 対 す る 初 期境 界値 問題 の組 織的 研究 憾1

960年 代 か ら 始 ま り 、 解 の 存 在 は エ ネ ル ギ ― 不 等 式 と 線 形 化 さ れ た 方 程 式 系 の 解 のソ ボ レ フ 空 間 で の 一 様 評 価 に よ り 証 明 さ れ た 。 一 様 評 価 を 得 る た め に は 「境 界行 列」が童要な役割を果す。今までは、「 境 界行 列」 の階 数が 境界 上退 化し ない 場合 か 、退化 して も境界の近傍で一定の階数をもつ場合に一様評価が得られていた。理想磁気流体 の 運 動 方 程 式 に 対 す る 初 期 境 界 値 問 題 は上 に述 ぺた 枠組 に入 らず 、

「境 界行 列 」が境 界 上 の み で 退 化 し て お り 、 困 難な 問題 とし て残 され てい た。
本研 究で、申請者は二種類の境界条件の下で理想磁気流体の運動方程式に対する初期 境 界 値 問 題 の 時 間 局 所 解 の 存 在 を 証 明 し て い る 。 第 一 は 速 度 に 関 す る 境 界 条 件 は 上で 述 べ た オ イ ラ 一 方 程 式 と 同 じ で 、 磁 場 に 関 す る 境 界 条 件 は 境 界 上 磁 場 の 接 線 成 分 を与 え る と い う も の で あ る 。

こ の 場 合 は「 境界 条件 」の 退化 の構 造が 比較 的取 扱い や すく 、 磁 場 の 発 散 が 零 で あ る と い う 関 係 式 で 法 線 ベ ク ト ル 場 を 支 配 し て 、 線 形 化 方 程 式系の通常 のソボレ フ空間での 一様評価 を得た。第二は物理的にも自然な完全導体壁を境界とするものである。 この場合で最も困難ナょ境界条件は速度にっいてはオイラ一方
程式の境 界条件と 同じで、磁 場にっい ては磁場の法線成分が境界上消えているというものである。

申請者絃この困難さを克服するためにまず新しいウェイト付きソボレフ空間を導入した。

この関数空間での特長は、接ベクトル場の仲間に通常の接ベクトル場の外に 境界上で 零となる法 ベクトル 場も入れ、また接ベクトル場の階数が法ベクトル場の2倍 になって いることで ある。次 に、磁気 圧を含む 新らたな 未知関数を導入し「境界条 件」の退 化の構造を 明らかに した。更に、磁場に関する境界条件を境界条件に組込むのは境界値問題の理論上数学的無理があるが、この困難さを線形化方程式を改良することによって解決した。 これらによって、 線形化された方程式系の解のウェイト付きソボレフ空間での一様評価を得た。
以上、申 請者は、 理想磁気流 体の運動 方程式に対する初期境界値問題の上に述べた研究成果 を通して 、一階準線 形対称双 曲型方程式系に対する初期境界値問題の構造解
明 に著 しい寄与をなした。
こ の 学 位 論 文 の 内 容 は 既 に 国 際 誌 、 Corn:unicationsl） （ 松 村 明 孝 氏 と の 共 著 ） 及 び HokkaidoMathematicalJournal（ 1987） に 掲 載 さ れ 、国 際的に評価 されている。

審査員一同は、認める。

申請者が博士（理学）の学位を受けるに十分な資格を有するものと