Sci.Rep.KanazawaUniv・Vol.1
1，No. 1，pp.9‑123June1
966

Lebesgue‑Stieltjes Integrablity of Xn with
Respect to Unbounded Monotone Functions

SaburoNAKATA

Deρartment0f1
1
1{ath
回 目atics，FacultyofS
cience，Kanazaw
aUniv
ersity(R巴ceiv
ed31M
arch1966)

1. Introduction.
B.Sz.‑Nagy[1J showedthefollow
ingtheorem.
Theorem A. If0 く T豆 1， f(x)decreaseson(0，π)，f( π~ 0)>ー ∞ and1rr1ム￨く∞ ωhxf(x)ε L(0，π)，thenx‑ f(x)E L(0，11:)i
fandonlyifL;n‑ereb"=b‑11;fM)山 nxdx
Itiseasytocheckthatthes
tatementofTheorem A for 1く 7く 2 isstilltrue.
Butwhen r= 0，th巴 theorem fails;asanexamplewemaytake f(x)= ~ x，thenx‑1f(x)E L (0，1:)， 1b"1=2n‑1 and L; 1bη1=∞. Recently as a replacementfor
fTheoremA，R.P.Boas [2Jshowedthecaser= 0oTheoremB. Iff(x) decreaseson(0，π)andL ， x2Idf(x)1く∞ ，thenf(x)J(0，πisboundedi
fand onl
y ifn‑1 L; kbk= 0(1) whereb"= 2π‑1 Lf(x)sinkxdx.
k=1JIJMoreoverhe[2J gavethefollowingtwotheorems.

Theorems'. lff(x)decreaseson (0，π) and¥.

2 1d，xf(x)1く∞ ，thenf(x)J(0，π rnisboundedi
fandonlyi
fn‑1 L; ak= 0(1) ωherea
k= ‑‑ 2π‑1 ¥.̲ ，(1~ coskx);:‑1J(0，π〕
df(x).
TheoeemC.lfg(x)孟 oon(0，11:) andx3g(約三 L(0，π)， thenxg(x)EL(O，π)
ifandonlyi
fn‑1 L; k‑1bk= 0(1) ωherebinkx)g(x)dx.
k= ~ 2π‑1 ¥̲(kx~ sJD

k=1Itisev
iden
tbyNagy'slemma ([1J，p.119)that Theorem B'isequiv
alentto巴seresult
sbeing
TheoremB. Theaimofthispaperi
stogiv
eageneralizationoft
hduet
oBoas.

2. Theorems.
Theorem 1. Letm beanon‑negativ
eintegerandf(x)beafu
nctionofb
OUl
十ーヲーSaburdNA玄ATA

10[ ，π]dedv
ariationon ε(2.1)

ever
y ε>0， (i)lf

L Z2mldf(M)lく∞，い〕︒

旬(2，2)

山川一伊

ZM

n1一thenwehave

where(2.
3)

ak ニ ~2~ (︑︑・市〆
Ft¥l
ノ・14，7c J(0 π)lf~coskx̲ さ(‑l)
j立 空 白 df(x) k=1，2，"'，H' .
/ (2j)!)

lLo，rc) x(2.
4)

伊+1Idf(x)Iく∞

pthenwehave

す員同十li=o山(2.
5)

where=(2.
6) bkニ

fi(kX)2i+1 L
df(x)MM‑EJ(‑I)j一一寸ト!j
二日いj+lノ刑

πJ(0，πl~...

"00

k= 1，2・，，/l¥

1ノ︑・1Theorem2. Letm bx)deu non
‑ne
gativ
eiecreaseonte.
gerandf(n (0，π).
(2.
7)df(x)I白，川 … I
L

(2.
8)

1)，」
ァ，.
二土品一=0(く∞τ1and1

尚一

where a2.
3)，t2.
1).Oredefined品':
sahenωehave(i) 1f
Y(jい(29)
島OLdf(x) Iく∞I一山町

円

(2.
10)

"Znl一andX2m+3

where bredefinedb
y (2.6)，thenwehave(2.4).
:
sa
Thec
asesm ニ oinTheorem1(i)旦ndTheorem2(ieldTheoremB'.Similarlyi)ythec
asesm = 0inTheorem 1(ii)yieldTheoremCii) andTheorem2 (.
i).Theprooffii)
NowweproveTheorem 1(or Theorem 1(i) andTheorem2 (ii)willb巴 proceededqrly.
andTheorem2(auitesimi1

ProofofTheorem 1(i).
2.
1) and (By(2.
3)フ wehave(kX)2
叫"
2;豆一;akI‑
L
1γ
Idf(同￨一一.
J(0，，，)
円一…ノ4

ロ伊一一一~ L~ ，x2mI・，df( 刈 =C k2m， k= 1，2(2m)! J(0，π)

9Lehesgue‑StieltjesIntegrabiilty01x"withRespecttoUnh
仰 ndedMon
Ot01
鉛 F
W1Ctions

Hence

1:::;;c.
n k=i辺ι0云 土 す1n= 1，2，…
.

I?~ 川一'ProofofTheorem2(i).

Firs
tofallletm = O. Then+
Lo，

ak=s…
，kx)1df(x)1ミ 0， k= 1，2，π)(1一∞n>:c.

O三三一一‑.三nk=iaー ，ーn=1，2，・・・，and

子一ι土 ak"' .
，. k=l与.
， k~C=l、(1ー cos kx)1df(x)~\o ， 1t)

f1m(n+4)z‑si41

P=し、 )
1一三2…川、日M

2sin='‑‑(1df(x).
1

ζ‑c孟
¥
. .1df(x)1byFatou'slemma.
Z‑ J(0Letti
ngn→∞， wehave，1t)

Secondlyletm ミ 1. Thenl
す率か￨孟 c， n ， ，…，c
団付会(一叩努jfL)dfω
片主主与す Li〈寸ω {=12{伝子 z伊ーす率五五 (mhz‑Z(‑l)2得子)}dfω=Lo，，，)

1Therefore(‑mfす皇かi(一1)i生、
竿1df(x).~ ~斗に (cos MEj
2jノ.
i=oC. ， ~7~.~.~=J(0，I ‑，，)t(2m)!
nt;‑iーAndweknow~ ( ‑ 1 ) 隅 隅4(hz)23(COS kx‑t2J"(-1)
2m
一寸~)
2j
J一三一¥
2
jノk百nt.
o i、~~~..~=土(一1)明記守主一室仁立当包含(2j)!
tj k2mn tjk2(1i)→ O~同一and2m(hz)
2j~ (‑1)問問 1 jO
2(‑1)
2j‑Ekr2m‑(cosMー?「)註
一
一一 ‑n t(2m)!
ノ.
~円J\~~~becauselMkx‑ j2J一‑O(..~1)
‑、ノ4
I
一J

2j側2m

〈==' 一 一(2m)!

(n→ ∞ )

1
1

SaburoNAKATA

主2

HencebyFatou'slemma

互 C:2=ー‑LiM
2~ == (2m)! J(0，π〉

隅I
df(x)トReferences[lJ B.SZ.‑NAGY，Seriesetint
邑grales de Fourierdesfonction
smonotonesnonbornees，ActaSci.Math.13(1949)，
118‑135.
[2J R.，P.BOAS，Jr.，Integrabilityofnon‑negativ
etrigonometricserie
s11，Tohoku Math.Journ.
16(19臼)， 36
8‑373.