分散関係

光子と電子の自己エネルギーの HTL 近似の結果を使って分散関係 (dispersion relation) を求めます。
分散関係は一般的に遅延グリーン関数の極として求められます。そのことを最初に簡単に見ておきます。
分散関係が遅延グリーン関数から求められることを見ていきます。そのために「線形応答理論」で示した関係∫
δ⟨ϕ(t, x)⟩ = −d4 x1 DR (t, x; t1 , x1 )J(t1 , x1 )を使います。ここで外場 J(t, x) の形をJ(t, x) = δ(t)eip·x J0 (p)とします。これは系にパルス的な影響を与える摂動となります (デルタ関数がいるから)。これを使うことで∫δ⟨ϕ(t, x)⟩ = −d4 x1 DR (t, x; t1 , x1 )J(t1 , x1 )∫=−d4 x1 DR (t, x; t1 , x1 )δ(t1 )eiq·x1 J0 (q)∫=−∫d4 x1 δ(t1 )∫=−∫d4 x1 δ(t1 )∫=−d4 p −ip(x−x1 )eDR (p0 , p)eiq·x1 J0 (q)(2π)4d4 p i(q−p)·x1 −ip0 (t−t1 ) ip·xeee
DR (p0 , p)J0 (q)(2π)4d4 p(2π)3 δ 3 (q − p)e−ip0 (t−t1 ) eip·x DR (p0 , p)J0 (q)
(2π)4

∫

dp0 −ip0 t iq·xee
DR (p0 , q)J0 (q)(2π)∫dq0 −iq0 tiq·x=−eJ0 (q)e
DR (q0 , q)
(2π)=−

そして、遅延グリーン関数 DR (q0 , q) なんですが、q0 = ω(q) − iγ(q) (γ(p) ≥ 0) で留数 R(q0 , q) となる極を持つと仮定して近似的にDR (q0 , q) ≃iR(q0 , q)q0 − ω(q) + iγ(q)とします。関数 F (z) に対する留数 a は、a がlim (z − z0 )F (z) = az→z0によって有限に求められるときです。また、積分による

e−iq0 t DR (q0 , q)部分がexp[−iq0 t] = exp[−i(Req0 + iImq0 )t]としたとき、Imq0 < 0 で急激に減少するために、実軸で極付近という制限がかかっています。
これを入れることで∫δ⟨ϕ(t, x)⟩ = − eiq·x J0 (q)dq0 −iq0 tiR(q0 , q)e(2π)
q0 − ω(q) + iγ(q)= − J0 (q)R(q0 = ω(q) − iγ(q), q)e−i(ω(q)−iγ(q))t eiq·x= − J0 (q)R(q)ei(−ω(q)t+q·x) e−γ(q)t留数定理によって積分を実行しています (下半円によって極 q0 = ω(q) − iγ(q) を拾っています)。δ⟨ϕ(t, x)⟩ は外場の影響による変化を表わすので、部分から外場に対する応答は進行波 (traveling wave) として出てきていると考えられ、この進行波は分散関係 ω(q) と減衰率 γ(q) を持っていることになります。ここで知りたいことは線形応答に関する細かい話ではなくて、分散関係 ω(q) と減衰率 γ(q) が遅延グリーン関数の極として求められるという点なので、この話はここで終わりにします。
このことを光子の伝播関数に適用させて、光子に対する分散関係を求めます。光子の場合、縦波成分と横波成分があるので分けて考えます。
有限温度での光子の伝播関数 (温度グリーン関数) はDµν =11α kµ kνTLPµν+Pµν+ 2 222G−kF −kk kと書けて、これを k0 = k0′ + iϵ と解析接続すれば、遅延グリーン関数になるので、横波成分の極はk2 − G = 0k02 = |k|2 + G(k0 , k)で求められます。で、k0 = ω(k) − iγ(k) なのでk02 = ω 2 (k) − γ 2 (k) − 2iω(k)γ(k)減衰率 γ(k) は ω(k) に比べて小さいと仮定し、γ 2 (k) を無視すれば、実部と虚部に分けることでωT2 (k) = |k|2 + ReG(k0 = ωT (k), k)
γT (k) = −1ImG(k0 = ωT (k), k)2ω(k)ここでの添え字の T は横波成分であることを表わしています。G に虚部がなければ減衰率は 0 になるということが、この式から分かります。しかし、「光子の自己エネルギー」では触れませんでしたが、光子の自己エネルギーにはちゃんと虚部が存在してます。

G は HTL 近似より

G=

e2 T 2 k0 [ 1 (k2 )k0 + |k|k0 ]1 − 02 log+6 |k| 2|k|k0 − |k| |k|として求められていて、k0 < |k|、つまり、k 2 が空間的であるとき対数部分は複素数になります (「電子の自己エネルギー」と同じです)。対数 log z は、z = −x (x は x > 0 の実数 ) のとき

log z = log |z| + iπと表わすことが出来るのでlog(k0 − |k|) = log |k0 − |k|| + iπ

(k 2 < 0)

このようにして虚部が現われます (k0 と |k| は実数)。なので、減衰率は出てきます。ただし、ωT において、ωT > |k|という性質があるために、結局横波成分においては減衰率は 0 になります。
ここでは分散関係を扱うので、減衰率のことは無視します。ちなみに、ゲージ場の自己エネルギーに現われる虚部は、プラズマ物理でランダウ減衰 (Landau damping) と呼ばれる現象と同じものを起こします。
縦成分に対しても同様にすれば分散関係は2
ωL(k) = |k|2 + ReF (k0 = ωT (k), k)となります。
横波と縦波の分散関係の式に「光子の自己エネルギー」の結果を入れれば

ωT2 = |k|2 + m2b

ωT [ 1 (ω2 )ωT + |k|ωT ]1 − T2 log+|k| 2|k|ωT − |k||k|2
ωL= |k|2 − 2m2b2
ωLωL + |k| )ωL− |k|2 (1−log|k|22|k|ωL − |k|(m2b =e2 T 2 )6

これが解ければ分散関係は求まります。しかし、厳密に解くことはできません。なので、適当な極限を取ってみます。分散関係 ωT,L (k) は |k| による変化をみるので、|k| が大きい場合と小さい場合を考えます。
まず |k| → 0 の場合を考えます。対数部分の展開はlogを使って、|k|2 まで拾うようにして

x3x5x71+x= 2(x ++++ ···)
1−x357ωT2 = |k|2 + m2bωT2 (1 −

ωT + |k|ωT ]ωT [ 1 (ω2 )+1 − T2 log|k| 2|k|ωT − |k||k|= |k|2 + m2b1 |k|5ωT ]ωT [ω 2 |k| 1 |k|3+)+(1 − T2 )(+35|k||k| ωT
3 ωT
5 ωT|k|= |k|2 + m2b

ωT ( |k| 1 |k|31 |k| 1 |k|3 )+−−3|k| ωT
3 ωT
3 ωT
5 ωT3= |k|2 + m2b2 |k|3 )ωT ( 2 |k|+|k| 3 ωT15 ωT3=2 22|k|2mb + m2b 2 + |k|2315
ωT=2 21 |k|2mb (1 +) + |k|2
35 ωT21 |k|22 21 |k|22)=m)+|k|(1−b5 ωT235 ωT2
ωT2 =2 2 6 2
m + |k|3 b 5

6= m2P + |k|25(m2P =2 2e2 T 2mb =)392
同様にしていけば ωLは2
ωL= |k|2 − 2m2b2
ωLωL + |k| )ωL− |k|2 (1−log2|k|2|k|ωL − |k|= |k|2 − 2m2b2
ωL− |k|2 (ωL |k| 1 |k|3
1 |k|5 )1−(++)|k|2|k| ωT3 ωT35 ωT5= |k|2 − 2m2b2
ωL− |k|2 (1 |k|21 |k|4 )1−1−−22|k|3 ωT
5 ωT4

2= |k|2 + 2m2b (ωL− |k|2 )(1 11 |k|2+)
23 ωT
5 ωT4

1 1 |k|21 |k|2= |k|2 + 2m2b ( +−)23 5 ωT
3 ωT2
22 |k|2= |k|2 + m2b (1 −)35 ωT22ωL(1 +2 |k|22) = m2b + |k|25 ωT2332ωL= m2P + |k|25となります。特に、|k| = 0 で ωT = ωL = mP なので、横成分と縦成分が一致することが分かります。
次に |k| → ∞ の場合ですが、この場合は単純に

ωT2 = |k|22
ωL= |k|2

これで十分です。もう一段近似をよくすることもできますが、それは省略します。数値計算を用いて近似なしに解いた結果からは、ωT では ωL に比べて ωT = |k| に近づくのが遅いことが分かります。これは近似を上げることで分かることですが、ωT は ωT2 = |k|2 + m2b となっているために、|k|2 ≫ m2b でないと ωT = |k| と近似しきれないからです (HTL 近似を取っていることを踏まえると、|k| の大きさは eT ≪ |k| < T の範囲だと考えられる)。
数値的に求めた結果を載せておきます。ωT,L , |k| は mP によって規格化しています。

点線は ωT,L = |k| の線を表わしています。見て分かるように、|k| の極限を取った時の結果と一致しています。ωTに関しては上で言った近似の結果と同じで、ωT = |k| には ωL ほど近づきません。
次に電子の自己エネルギーの場合も求めてやります。電子の場合では、今度は横縦成分がない代わりに、plasminoがいます。
電子の遅延グリーン関数の極は、「電子の自己エネルギー」ですでに求めていて

0 = A0 ± AS p0 ± |p| −(Q(]m2f [p0p0(1 ±)Q( ) ∓ 1|p||p||p|p0
1p0 + |p|e2 T 2 )) = log, m2f =|p|2
p0 − |p|8

これが 0 になるときの p0 が ω± (p) となります。なので、これを計算してやればいいです。ここでも厳密に解けないので、近似を取ります。A0 − AS のときが ω+ で、A0 + AS のときが ω− です (正エネルギーの方だけを見ます)。

|p| → 0 の場合では、|p| の一次までを拾うようにして

0 = ω∓ ± |p| −]m2f [ 1ω∓ω∓ + |p|(1 ±) log
∓1|p| 2|p|ω∓ − |p|= ω∓ ± |p| −]m2f [ω∓ |p|
1 |p|3+)∓1(1 ±)(3|p||p| ω∓
3 ω∓= ω∓ ± |p| −)m2f ( |p|1 |p|3
1 |p|2±1+±3
2 ∓1|p| ω∓
3 ω∓
3 ω∓

= ω∓ ± |p| −m2f ( |p|1 |p|2
1 |p|3 )±+23|p| ω∓
3 ω∓
3 ω∓

= ω∓ ± |p| −m2f
1 |p|m2f
1 |p|2 m2f
∓
−23
ω∓
3 ω∓
3 ω∓

ω∓ = ∓|p| += ∓|p| +ω∓ (1 ∓

m2f
1 |p|m2f
1 |p|2 m2f±+23
ω∓
3 ω∓
3 ω∓
m2f
1 |p|
1 |p|2(1 ±+2 )
ω∓
3 ω∓
3 ω∓

m2f
1 |p|
1 |p|2−)=∓|p|+2
3 ω∓
3 ω∓
ω∓
m2f
1
ω∓ = ∓|p| ± |p| +3
ω∓m2f
2= ∓ |p| +3
ω∓

22
ω∓
± |p|ω∓ − m2f = 03
解の公式を使うことでω∓ =∓ 32 |p| +√4229 |p| + 4mf21= mf ∓ |p|3解の公式においてルートの前の符号は ± ですが、プラスの方の解 (正エネルギー解) だけを取り出せばいいということでプラスだけにしています。電子の場合でも、|p| = 0 で ω+ (0) = ω− (0) となっています。これはヘリシティが |p| = 0 では定義できないことを考えれば、当然の結果です。

ω− = mf − |p|/3 となっていることから、plasmino に対する一つの解釈が出てきます。それは、mf = 0 のとき、負のエネルギー状態に対応していることから、plasmino の起源は負エネルギー状態にあるというものです。
つまり、ゼロ温度の負エネルギー −|p| の状態から、正エネルギーの状態 ω− へ移行したという考えです。

|p| → ∞ は光子の場合と同じように、大雑把には

ω± = |p|と近似できます。電子の場合では ω+ の方が ω− に比べて |p| にあまり近づきません。これも光子の場合と同じで、近似を上げた時に ω+ = |p| + m2f /|p| のような格好をするためです。

電子の場合での数値的な結果を載せておきます。

ω± と |p| は mf によって規格化しています。これも |p| の極限に対する振る舞いを再現しています。