数理解析研究所講究録
1129 巻 2000 年 60-72

60

H-J 法を用いた 3 次元渦電流計算

九大

機械

金山

寛

(Hiroshi Kanayama)

東大

数理

菊地

文雄

(Fumio Kikuchi)

1. はじめに
ここでは我々が考案に寄与した 3 次元渦電流計算の 1の手法に関心がある。 通常の選択として、
ポテンシャルで流$\mathrm{J}\mathrm{e}$$\mathrm{A}-\phi$$\phi$つ3 次元渦電流計算では、 未知関数法を採用する。 ここに A は磁気ベク トル

は電位を表す。 これとは別に磁場自身を未知関数とする

H-J 法を$\mathrm{A}-\oint$$\mathrm{H}$と渦電法と同様の考え方で考案したが、 最後に紹介するような数値計算結果を示すのにずいぶん時間がかかった。 ここでは

H-J 法による 3 次元渦電流の計算方法を示し、 最後にその計算例を示す。 なお、 本稿
での渦電流問題は、 Maxwe 11 方程式で電束密度の時間微分 (変言
位電流と言う) が十分小さ く無視できる場合のみを考える。 この仮定は $-$ 般に低い周波数領域でのみ許されることを注意しておく。変位電流は長らく無視された後に$\text{、}$Maxwe 11 自身によって付加された項である。
ここに示す 3 次元渦電流の有限要素法計算に際し、 非対

61

称行列を係数に持つ大次元の疎な連立 1 次方程式を効率よ く
解く反復法が望まれている。 我々は GMRES ( he Genera1 zed$\mathrm{i}$$\mathrm{t}$mum RES$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}$me$\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{a}1$$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{d}$)[1] に焦点を絞り

その有効性を$\text{、}$

調べた。

PETSc [2] を用いた非対称係数行列

本稿では、 ライブラリト問題として、 約のテス

2000 自由度の 3 次元渦電流解析モデ

H-J 法 [3] , [4] で計算した結果を掲載している。

ルを

2. H-J 法による 3 次元渦電流問題の定式化

H-J 法による渦電流問題の定式化は、出発し、 変位電流を無視し、 多面体領域${\rm Max} \mathrm{w}\mathrm{e}$$\Omega$

$11$

方程式から

全体での磁場の方

程式と導体部分のみの電場の方程式を適切に考慮することにより

次式のように書ける。

$\text{、}$rot$\mathrm{H}=\mathrm{J}_{0}+\mathrm{J}\mathrm{e}$rot$\mathrm{H}=$Jo(($\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}$[([$1/\sigma\rangle$

Je ) $=-$$\partial/\partial \mathrm{t}$Je $=0$$\mu$

H)$\mathrm{H}\cross \mathrm{n})$

Je

.

. n)
$\S=0$$\mathrm{R}\cross(0,\mathrm{T})$

,

(1)

in

$\mathrm{S}\cross(0,\mathrm{T})$

,

(2)

in

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mu \mathrm{H})=0$$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}$

in

$\S$

$=0$

(

$\mu$

H)

$\Omega$X$(0,\mathrm{T})$(3),$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{R}\cross(0, \mathrm{T})$

,

(4)

in

,

(5)

on
On

$\mathrm{n}=0$$\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{R}\cross(0,\mathrm{T})$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$X$(0,\mathrm{T})$,(6)$\cross(0,\mathrm{T})$

,

(7)

X

,

(8)

$(0, \mathrm{T})$62$(\mu \mathrm{H})$.

on$\mathrm{n}=0$$\partial\Omega \mathrm{X}(0,\mathrm{T})$

.

$(9)$

初期条件の記述は省略。
ここに多面体領域
成り

$]\S$

は領域

を意味する。
える。
$\mathrm{H}$$\mathrm{H}$$\partial\Omega$

は磁場、$\mathrm{S}$は$\Omega$$\mathrm{J}\mathrm{o}$$\mathrm{T}$$\Gamma$と不導体領域$\mathrm{R}$$\mathrm{S}$からで境界条件 (6) $-(8)$ を満たす。

の境界値から領域$\mathrm{R}$の境界値を引くことの境界を表し、 そこで境界条件 (9) を考, Je は強制電流密度、 渦電流密度を表し、とともに未知関数である。

分的正定数関数とする)
の

は導体領域

2 つの領域の境界$\text{、}$

$[$

Je は

$\Omega$、$\sigma$

$\mu$

は導電率

は時間の上限を表す。 また$\mathrm{n}$は透磁率(簡単のため区(正定数とする)、$(0,\mathrm{T})$は境界における外向き単位

法線ベク トルを表す。

ここでは正弦波状の交流場に関心があるので、 時間微分$\partial/\partial \mathrm{t}$を$-\mathrm{i}\omega$(.

$\omega$は角周波数、$\mathrm{i}$は虚数単位) で置きかえ、 複

素数表示による定式化を考える。
rot
rot

rot
rot

$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}=$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}}=$Jo$\mathrm{r}+\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}$$\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{i}}+\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}=\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{r}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}}=\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{i}}$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}})=0$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}})=0$

rot$((1/\sigma)\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}})=-\omega\mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}}$in$\mathrm{R}$

,

(10)

in

$\mathrm{R}$

,

(11)

in

$\mathrm{S}$

,

(12)

in

$\mathrm{S}$

,

(13)

in

$\Omega$

,

(14)

in

$\Omega$

,

(15)

in

$\mathrm{R}$

,

(16)

63

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}$$((1/\sigma)\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}})=\omega\mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}}$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}=0$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}}=0$

[

(

. n)

$\S=0$. n)$\S=0$

,

(17)

in

$\mathrm{R}$

,

(18)

in

$\mathrm{R}$

,

(1-9)
,

(20)

$\Gamma$,(21)$\Gamma$

,

(22)

on

$\Gamma$,(23)$\mathrm{n}=0$on$\Gamma$,(24)$\mathrm{n}=0$on$\Gamma$

,

(25)

on

$\partial\Omega$

,

(26)

$\partial\Omega$

.

(27)

$(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}})$$[\mathrm{H}_{\mathrm{r}}\cross_{\mathrm{n}}]$$[_{\mathrm{H}_{\mathrm{i}}\cross \mathrm{n}}1$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}}$$\mathrm{R}$$\Gamma$$(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}})$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}$in$\mathrm{o}\mathrm{n}$on$\S=0$$\mathrm{o}\mathrm{n}$$\S=0$$(\mu \mathrm{H}_{1}.)\cdot \mathrm{n}=0$$(\mu \mathrm{H}_{i})\cdot \mathrm{n}=0$$\mathrm{o}\mathrm{n}$さらに実部、 虚部それぞれの弱形式を考え、 静磁場と同様の方法で計算する。

ここで弱形式の記述に必要な関数空間を準備する。

L2$(\Omega)$

わち、で実 2 乗尺積分空間、$(, )\Omega$

でL2$(\Omega)$$||\Omega$$||$でそのノルムを表す。 すなの内積を表すとき、書ける。 また、 位置ベク トル$\mathrm{L}_{2}(\Omega, \mu)=\{\mathrm{v}\in \mathrm{L}_{2}.(\Omega)\}$$\mathrm{x}$の 3 成分を$||\mathrm{v}||\Omega 2=$$\mathrm{H}$(rot;$\Omega,$(rot;$\Omega$

$\mu$

)

)

$=$

$=\mathrm{H}${equipped with$\mathrm{v}\in \mathrm{L}_{2}(\Omega,$(rot;$\Omega$, 1),$\mu)^{3}$; rot$\mathrm{v}$$\mathrm{x}=(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3})$the norm $||\mathrm{v}||\mu=||\mu 1/2\mathrm{v}||\Omega$ ,$\mathrm{H}$( , v)$\mathrm{v}\in \mathrm{L}_{2}(\Omega)^{3}$},$\Omega$

と

と表す。

64

,

$\mathrm{H}^{1}(\Omega)=\{\mathrm{v}\in \mathrm{L}_{2}(\Omega); \partial \mathrm{v}/\partial \mathrm{x}_{\mathrm{I}}\in \mathrm{L}_{2}(\Omega)\}$$\mathrm{T}=\mathrm{H}$(rot; R),$\mathrm{V}=\mathrm{H}$$\mathrm{U}=\mathrm{H}^{1}(\mathrm{R}),$

準備ができたので、(rot;$\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{r}}\in$

L2$\Omega,$

),

$\mu$

$(\Omega)^{3}$,$\mathrm{W}=\mathrm{H}^{1}(\Omega)$$\mathrm{J}_{0_{\mathrm{i}}}\in$

L2$(\Omega)^{3}$.
を仮定して弱形式を書く。

Find Je$\mathrm{p}_{\mathrm{i}}\in$,$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}$rot$(\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{r}}$, rot$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}*)_{\Omega}+(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}$,rot

for anyrot

and$\mathrm{H}_{\mathrm{f}^{*}})_{\Omega}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}_{\mathrm{r}}, \mu \mathrm{H}_{\mathrm{f}^{*}})_{\Omega}$

$=$

$($

$\mathrm{p}_{\mathrm{r}}\in \mathrm{W}$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}}\in \mathrm{V},$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}\in \mathrm{V},$$\mathrm{q}_{\mathrm{i}}\in \mathrm{U},$such that

[

rot

$($

$\mathrm{q}_{\mathrm{r}}\in \mathrm{U},$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}}\in \mathrm{T},$$\mathrm{r}\in \mathrm{T},$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}}$, rot$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}*)_{\mathrm{R}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}*$

$\in$

.

V,

(28)

V,

(29)

,

(30)

,

(31)

$\mathrm{H}_{\mathrm{i}^{*}})_{\Omega}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}, \mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}^{*}})_{\Omega}$$=$$(\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{i}}$,rot$\mathrm{H}_{\mathrm{i}^{*}})_{\Omega}+(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}}$,rotfor any$\mathrm{H}_{\mathrm{i}^{*}})_{\mathrm{R}}$$\in$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}^{*}}$$(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}}, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}_{\mathrm{f}^{*}})_{\Omega}-\tau \mathrm{p}(\mathrm{P}_{\Gamma}, \mathrm{p}_{\mathrm{f}^{*}})\Omega=0$

for any$\in$$\mathrm{W}$$\in$$\mathrm{W}$$\mathrm{p}_{\mathrm{f}^{*}}$$(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}}, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}_{\mathrm{i}^{*}})_{\Omega}-\tau \mathrm{p}(\mathrm{P}\mathrm{i}’ \mathrm{p}_{\mathrm{i}^{*}})_{\Omega}=0$

for any$($rot(($1/\sigma$)$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}$), rot Je$=$($\mathrm{P}_{\mathrm{i}^{*}}$$\mathrm{r}*)_{\mathrm{R}}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{r}}, \mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}*)_{\mathrm{R}}$$-\omega\mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}}$,rot Je ’)$\mathrm{R}$for any Je ’
$($

rot

$((1/\sigma)\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}})$,rot$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}^{*}})_{\mathrm{R}}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{i}}, \mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}^{*}})_{\mathrm{R}}$$\in$$\mathrm{T}$

,

(32)

65

$=(\omega\mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}}$, rot$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}^{*}})_{\mathrm{R}}$for any$\in$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}^{*}}$$\mathrm{T}$

,

(33)

$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{f}^{*}})_{\mathrm{R}}-\tau \mathrm{q}(\mathrm{q}_{\Gamma}, \mathrm{q}_{\mathrm{f}^{*}})_{\mathrm{R}}=0$

for any

and$\mathrm{q}_{\mathrm{r}}*$

$\in$

,

(34)

U.

(35)

$\mathrm{U}$–$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}}, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{i}^{*}})_{\mathrm{R}}$$\tau \mathrm{q}(\mathrm{q}_{\mathrm{i}}, \mathrm{q}_{\mathrm{i}^{*}})_{\mathrm{R}}=0$

for any$\mathrm{q}_{\mathrm{i}^{*}}$$\in$

上記の弱形式において、 非負のパラメータによりLagrange の未定乗数とみなせる。 実際、$\mathrm{H}_{\Gamma^{*}}=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}_{\mathrm{r}}$,$\mathrm{P}_{\mathrm{r}},$$\mathrm{P}_{\mathrm{i}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}^{*}}=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{P}_{\mathrm{i}}$$\mathrm{P}_{\mathrm{r}},$$\mathrm{P}_{\mathrm{i}},$$\mathrm{q}_{\mathrm{r}},$に (32), (33) 式にそれぞれ(34), (35) 式で$\mathrm{q}_{\mathrm{f}^{*=}}\mathrm{q}_{\mathrm{i}^{*=}}1$$\tau_{\mathrm{q}}$を代入し、 さらに (30), (31) 式でJe$\mathrm{f}^{*_{=}}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{r}},$$\mathrm{q}_{\mathrm{r}},$$\mathrm{q}_{\mathrm{i}}$$0$$\mathrm{P}_{\mathrm{r}}*$についても同様$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}^{*}}=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{i}}$を代入し、と置くことにより確認できる。
$\mathrm{H}_{\mathrm{r}}$,$\mathrm{H}_{\mathrm{i}}$並びに$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}}$,$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}}$は4 面体 1 次要素で近似し、 (3) 式を制約条件とする

ことにより現れる Lagrange の未定乗数$\mathrm{p}_{\mathrm{r}},$$\mathrm{P}_{\mathrm{i}}$並びに (5) 式を制約条件とすることにより現れる Lagrange の未定乗数
通常の

の導入

については、 (28), (29) 式にそれぞれ

有限要素法近似においては、の,はいずれも恒等的にと置くことにより確認できる。

$=\mathrm{p}_{\mathrm{i}^{*}}=1$

Nedelec$\mathrm{q}_{\mathrm{i}}$$\tau_{\mathrm{p}}$$\mathrm{q}_{\mathrm{r}},$$\mathrm{q}_{\mathrm{i}}$4 面体 1 次要素で近似する。 いつものように添え字

で有限要素法近似を表すことにする。

は$\mathrm{h}$

66

Find

$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}\in \mathrm{T}_{\mathrm{h}},$and$\mathrm{W}_{\mathrm{h}}$

$($

rot

$\mathrm{p}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}\in \mathrm{W}_{\mathrm{h}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}$, rot$\mathrm{q}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}\in \mathrm{U}_{\mathrm{h}},$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}\in \mathrm{T}_{\mathrm{h}},$$\mathrm{q}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}\in \mathrm{U}_{\mathrm{h}},$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}$, rot$\mathrm{p}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}\in$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{P}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}, \mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}$$(\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{r}}$, rot$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}+(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}$,rot

for anyrot$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}\in \mathrm{V}_{\mathrm{h}},$such that

$=$

$($

$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}\in \mathrm{V}_{\mathrm{h}},$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}}$$\in$$\mathrm{V}_{\mathrm{h}}$

,

(36)

$\mathrm{V}_{\mathrm{h}}$

,

(37)

$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{P}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}, \mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}$$=$$(\mathrm{J}\mathrm{o}_{\mathrm{i}}$,rot$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}+(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}$, rot

for any$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}}$$\in$$(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}_{\mathrm{r}1_{1}^{*}})\Omega-\tau \mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{r}(\mathrm{h}’ \mathrm{p}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}=0$

for any$\mathrm{P}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}}$$\in$$\mathrm{W}_{\mathrm{h}}$

,

(38)

,

(39)

$(\mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})\Omega-\tau \mathrm{P}(\mathrm{P}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}, \mathrm{p}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\Omega}=0$

for any$($rot$((1/\sigma)\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}})$

,

rot

, rot

Je.

$\mathrm{h}^{*})_{\mathrm{R}}$for anyrot$((1/\sigma)\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}})$,rot$\mathrm{W}_{\mathrm{h}}$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{r}\mathrm{h}} ,\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}$$=(-\omega\mu \mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}$

$($

$\in$
$\mathrm{p}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}}$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}}$$\in$$\mathrm{T}_{\mathrm{h}}$

,

(40)

,

(41)

$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}+(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}, \mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}$$=(\omega\mu \mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}},$rot$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}$for any$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}}$$\in$$\mathrm{T}_{\mathrm{h}}$$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{1\mathrm{h}}., \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})\mathrm{R}^{-}\tau \mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{r}(\mathrm{h}’ \mathrm{q}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}=0$

for any
and$\mathrm{q}_{\mathrm{r}\mathrm{h}^{*}}$$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{q}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})\mathrm{R}^{-}\tau \mathrm{q}\mathrm{i}(\mathrm{q}\mathrm{h}’ \mathrm{q}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}})_{\mathrm{R}}=0$$\in$$\mathrm{U}_{\mathrm{h}}$

,

(42)

67

for any$\mathrm{q}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{*}}$$\in$$\mathrm{U}_{\mathrm{h}}$

.

(43)

弱形式の場合と全く同様な議論で、 Lagrange の未定乗数$\mathrm{p}_{\mathrm{r}\mathrm{h}},$$\mathrm{P}_{\mathrm{i}\mathrm{h}},$$\mathrm{q}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}$,$\mathrm{q}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}$はいずれも恒等的に$0$とみなせる。

3. モデルの説明
本モデルは、 参考文献 [5]216–219頁のモデルを 3 次元問題としたものである。
図

1 はソレノイド中に置かれた半径 a の無限半導体を示している。 現象はすべて正弦波状に変化するものとする。

このモデルに対し、 図 2 に示すように中心角

20

$0$

の扇形

領域を要素分割した。 総自由度は 2180 である。 基本境界条件
については、 上面、 下面及び円柱側面に相当する面で$=0,$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{h}^{=0},$$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}\cross \mathrm{n}=0,$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}\cross \mathrm{n}=0,$$\mathrm{q}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}=0$$\mathrm{p}_{\mathrm{i}\mathrm{h}^{=}}0$とし、導体の両側面で Je$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}\cross \mathrm{n}$$\mathrm{r}\mathrm{h}^{\cross}\mathrm{n}=0,$$\mathrm{q}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}=0$とした。 その他の境界では自然境界条件を課した。物性値については、透磁率 $\mu=4\pi\cross 10^{-7}[\mathrm{H}/\mathrm{m}]$ (全領域)
導電率$\sigma=7.7\cross 10^{6}[\mathrm{S}/\mathrm{m}]\text{、}$

制電流密度

,

$|\mathrm{J}_{0\mathrm{r}}|=$

周波数 $\mathrm{f}=60$ [Hz]$50[\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}]$,$|\mathrm{J}_{0\mathrm{i}}|=0[\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}]$$(\omega=2\pi \mathrm{f})_{\text{、}}$

を与えた。

強

、

68

図 1 無限長ソレノイド中の導体

図2 要素分割図

4. 結果
以下に示す図 3 $-$ 図

5 は$\tau_{\mathrm{p}}=T_{\mathrm{q}}=10^{4}$とし、 非対称係数行列の連立 1 次方程式を LU 前処理付き GMRES (30) を用いて計算した結果得られたものである (反復 4 回)のは、 今回のモデルは。

LU 前処理を使った

H-J 法のプログラムのデバッグ的な意

味を含んでいるため、 まずは確実に計算結果を得たかったからである。

図 3 は導体部分 (場$\mathrm{H}_{\mathrm{h}}$の$\mathrm{z}$$\theta=10^{\mathrm{o}}$方向成分の実部,$\mathrm{z}=0.05\mathrm{m}$$(\mathrm{H}_{\mathrm{z}\mathrm{r}\mathrm{h}})$と虚部の位置) における磁$(\mathrm{H}_{\mathrm{z}\mathrm{i}\mathrm{h}})$を半径方向に表したグラフである。 文献 [5] の理論解と $-$ 致している。 文献[3], [4] によれば、 H-J 法は$\mathrm{A}-\oint$

法よ りも数値計算結果を出すのに工夫がいるが、 今回小さいモデルではあるが我々 としては初めて結果を出すことができた。 図 4 はル図である。 図

5 は渦電流の実部$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}})$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}$と虚部と$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}$$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}})$

のベク

ト

のべク

ト

69

ル図である。

5. おわりにH-J 法とほぼ同様の結果を与える$\mathrm{A}-\oint$

法を簡単に比較してみる。 有限要素法近似の段階で比較すると域の$\mathrm{J}\mathrm{e}$H-J 法ではの自由度分だけ未知数が増加する。利点は$\partial \mathrm{t}-\sigma \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\oint$が$\mathrm{g}$rad$\phi$$\mathrm{R}$領$\mathrm{J}\mathrm{e}=-\sigma\partial \mathrm{A}/$のような空間微分を含まずに直接求められることである。 他方、 文献 [6] の数値計算結果から大雑把な各項のオーダー評価をしてみると、$\mathrm{A}-\phi$

法が対角優位な状況で離散化されているのに比べ、 (40), (41) が、 制約条件として扱われる (42), (43) に比べて、 相対的に値が小さ くなる状

態で離散化されていることが予想される。 これはH-J 法では最終的な大次元の疎な非対称連立 1 次方程式を解く際により慎重な対応が必要なことを示唆していると思われる。 実際、
文献 [7] の発表当時、 特別な工夫を しないで計算したところ、理解に苦しむ数値計算結果が出てきたことを記憶している。
本稿では約2000 自由度のモデルを扱っているが、 現在

より高自由度の問題に取り組んでいる。

70$. \frac{\overline\gg^{\mathrm{s}}}{x\prime\frac{\not\subset}{\aleph}}$$\mathrm{a}\dot{\mathrm{e}}\dot{B}$

図3

磁場の

$\mathrm{z}$方向成分の実部と虚部$\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}$

図4

磁場の実部

$(\mathrm{H}_{\mathrm{r}\mathrm{h}})$と虚部$(\mathrm{H}_{\mathrm{i}\mathrm{h}})$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}}$$\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}}$図5

渦電流の実部$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{r}\mathrm{h}})$と虚部$(\mathrm{J}\mathrm{e}_{\mathrm{i}\mathrm{h}})$

71

参考文献
[1]

A. V. Dorupa;

大次元の疎な非対称

連立 1 次方程式の反復解法の試み,

計算力学講演会論文

金山寛,

上村昌己,

集第 3 巻第 1 号,

[2] S.

$\mathrm{B}$a1$\mathrm{a}\mathrm{y}$$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}$Manua 1,$\mathrm{U}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}$

[3]

W.

,

金山寛,

$\mathrm{P}\mathrm{P}$. 39-42, .1998 年 5 月.

L. C. Mc 1,$\mathrm{h}\mathrm{t}_{\mathrm{L}\mathrm{P}:}^{L}//\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}$$\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}$.

$\mathrm{m}\mathrm{c}$and B. Sm

s. an 1.

$\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}$; PETSc 2.

$0$

c.

$\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{v}/\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{s}$菊地文雄 ;3 次元渦電流解析における未知関数の選択について,日本シミ$\text{ュ}$レーシ$\text{ョ}$

18 回計

ン学会第

算電気電子工学シンポジウム論文集, pp. 137-140,

1997

年 11 月.
$[3 \mathrm{a}]$

金山寛,

塩谷隆二,

名切健,

斎藤雅浩,

解析における非対称行列用反復法の適用,$-$

シ

pp. 195-198,[4] H. Kanayama and F.

$\mathrm{C}$$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$ompu a$\mathrm{t}$$[4 \mathrm{a}]$$\mathfrak{W}$ompu a$\mathrm{t}$,$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{n}$,Sec

H. Kanayama$\mathrm{c}$$\text{ュ}$レ$\mathrm{t}\mathrm{i}$on1998 年 11 月.

$\mathrm{K}\mathrm{i}$kuch ; Some$\mathrm{i}$$\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}$$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{S}$$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}1$

S. R. Ide 1
PART

日本シミ

ン学会第 19 回計算電気電子工学シンポジウム論$\text{ョ}$

文集,

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; 磁場

荻野正雄

MechanE. Ona$\mathrm{t}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s}$$\mathrm{t}\mathrm{e}$

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and E. N. Dvo$\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}$$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}3-\mathrm{D}$$\mathrm{i}\mathrm{c}$(Eds. ),emena$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}$$\mathrm{C}$,$\mathrm{t}\mathrm{s}$

,

IMNE,

on 2, 5, pp. 1-9, May 1998.
F.

and$\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}$ng$\mathrm{t}$$\mathrm{K}\mathrm{i}$kuch ;he Nede 1ec

eddy$3-\mathrm{D}$$\mathrm{i}$$\mathrm{e}\mathrm{l}$emen$\mathrm{t}\mathrm{s}$,$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}$en$\mathrm{t}$INFORMAT ION,

72

Vol.2, No. 1, pp.37-45, January[5] 中田高義,
北出版,[6] H.

高橋則雄

en[7] 金山IkeguchS.

$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}$$\mathrm{t}$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{e}.\mathrm{d}\mathrm{i}$; 電気工学の有限要素法

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寛,

$\mathrm{o}\mathrm{f}$本山$\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{i}$$\mathrm{i}$and F.

ng$\mathrm{t}$he$\mathrm{K}\mathrm{i}$kuch

ICES’ 97, pp. 277-282,
浩,菊地$\mathrm{i}$Nede 1ec

文雄 ;Nede 1次元磁界解析, 数理解析研究所講究録[8]

第 2 版,

森

pp. 216-219.

Kanayama,$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}$1999.

$\mathrm{e}\mathrm{c}$,$3-\mathrm{D}$$\mathrm{e}\mathrm{l}$

eddy

emen

$\mathrm{t}\mathrm{s}$

,

1997.
要素を用いた三717– 数値解析と科1990.

学計算 –,

pp. 118-126,

菊地文雄;

有限要素法の数理–, 培風館,

1994.

–

数学的基礎と誤差解析