数理解析研究所講究録
第 802 巻 1992 年 122-127

122

ベア部分平面の分割と射影線型変換(株) 東芝システム・ソフトウェア技術研究所

筑波大学社会工学系

1.

上村秀一* (Shuichi Kamimura)

藤原良(RyohFuji-Hara)序
有限射影平面 $PG(2, q^{2})$ の 1 つのベア部分平面$1)^{3}(q+1)/3$ 個の要素からなる.

意の 1 つの (に,$B$$q^{2}$–$B$$1\mathcal{P}$と排反なベア部分平面全体の集合 $B$ は $q^{4}(q-$を $q^{3}(q-1)^{2}(q+1)/3$ 個の $(q^{2}-q)$ -部分集合 2 に分けたとき, 任

妊部分集合に属する任意の異なる 2 つの要素 (ベア部分平面) が排反になるようを分けることを $B$ を $(q^{2}-q)$ -部分集合に分解するという.

$B$を分解できることはまだ証明さしかしながら, ベア部分平面 P 上のサイクリック 3 な射影線型変換 4 全体の集合を使うれていない.と, ある仮定のもとで $B$ を (q2–q) 部分集合に分解できることが証明できる.

サイクリックな射影線型変換全体の集合を共役 5 という同値関係で共役類と呼ばれる同値類に分けたとき, 同じ仮定のもとで 1 つの共役類しか使わなくとも $B$ を分解できることを示す. それゆえ,1 つの共役類に対してその仮定がいつでも成り立つことを示せば問題が肯定的に解決する.
点集合 $V$ をベア部分平面 に属さない $PG(2, q^{2})$ の点全体の集合とする. そのとき, 結合関係$\mathcal{P}$(V, $B$ ) から水準数が素数巾ではない直交配列 6 を構成できることがわかっている [8].

$B$が $(q^{2}-q)-$

部分集合に分解可能ならば, 結合関係 (V, $B$ ) から水準数が素数巾ではなくかつ分解可能 7 な直交配列を構成できる.
計算機実験によって, $q=2,3$ の場合, ベア部分平面と射影線型変換のすべての場合を尽くして,$B$を分けられることを確認した. ここでは, 第 6 節に $q=2$ の場合のみ分解と直交配列の例を載せる.

2.

ベア部分平面オーダー$r$の有限射影平面 $PG(2, r)$ の真の部分平面 $PG(2,q)$ が次の 2 条件を満たすならばベア部分平面である.

1. $PG(2, r)$ のすべての線は $PG(2, q)$ の少なくとも 1 点と結合している.
2. $PG(2, r)$ のすべての点は $PG(2, q)$ の少なくとも 1 線と結合している.
’Baer subplane2 要素数が $q^{2}-q$ である部分集合. 後に分割クラスと呼ぶ.

3cyclic4projectivity
5conjugate
6orthogonal array

7resolvable123$PG(2, r)$ に部分平面 $PG(2, q)$ が存在するとき, $PG(2, q)$ がベア部分平面であることと $r=q^{2}$ は同値である [2] [5].
$\mathcal{P}$を $PG(2, q^{2})$ のベア部分平面とする. そのとき,$\mathcal{P}$と排反なベア部分平面の数 $|B|$ は$q^{4}(q-1)^{3}(q+1)/3$であることを Bose, Freeman, Glynn [1] が示した.

3.

射影線型変換
この節では Hirschfeld [3] [4] が示した結果を紹介する. Hirschfeld の結果は, 平面だけでなく一般次元の射影幾何について述べていたが, ここでは射影平面しか扱わないので彼の結果を平面に限って述べる.

射影線型変換は結合関係を保存する $PG(2, q)$ からそれ自身への全単射であり, 行列で表せる写像である. 射影線型変換 $A$ が $PG(2, q)$ のすべての点を 1 サイクルで巡るとき, その射影線型変換 8 はサイクリックであると言う. そのとき,$\mathcal{A}^{i}=I$となる最小の正整数 は $PG(2, q)$ の点の数 $(q^{2}+q+1)$$i$である.
$PG(2, q)$ のサイクリックな射影線型変換の数は,$q^{3}(q-1)^{2}(q+1)\phi(q^{2}+q+1)/3$であることを Hirschfeld [3] [4] が示した. ただし,$\phi$,$\cdot$はオイラー関数である.

いくつかの互いに排反なベア部分平面が有限射影平面 $PG(2, q^{2})$ を覆っているとき, そのベア部分平面の集合をタイリング 9 と呼ぶ. 1 つのタイリングは $q^{2}-q+1$ 個 1 のベア部分平面を持つ.

Hirschfeld [3] [4] が次の定理を示した.

定理
有限射影平面 $PG(2, q^{2})$ の射影線型変換 $A$ がベア部分平面 $PG(2, q)$ 上でサイクリックならば,1. $PG(2, q^{2})$ 上のサイクリックな射影線型変換 T のうち$\mathcal{T}^{q^{2}-q+1}=A$

する.

2.

$\mathcal{A}$の軌道 11 はそれぞれ $PG(2, q^{2})$ のベア部分平面である.

3.

$A$の軌道全体の集合はタイリングである$\square$

8 恒等変換を で表わす.
$I$9tiling$10|PG(2, q^{2})|/|PG(2, q)|=(q^{4}+q^{2}+1)/(q^{2}+q+1)=q^{2}-q+1$

11orbitであるようなものが存在124
4.

ベア部分平面による分割クラスへの分解前節の Hirschfeld の定理から,$PG(2,q^{2})$の 1 つのベア部分平面 P を固定したとき, P 上のサイクリックな射影線型変換に対応する数だけ, タイリングが同じものを含めて存在する.

$\mathcal{P}$は $PG(2, q)$であるから, つまり延べ $q^{3}(q-1)^{2}(q+1)\phi(q^{2}+q+1)/3$ 個のタイリングが存在し, それらはすべて固定したベア部分平面 $P$ を含んでいる.
延べ $q^{3}(q-1)^{2}(q+1)\phi(q^{2}+q+1)/3$ 個のタイリングのうち同一のものが\phi (q2+q+1) 個ずつある. なぜなら, 2 つのサイクリックな射影線型変換 $A,$

ならば,ので$i$$A$と$\mathcal{B}$の軌道は同一であり,$\mathcal{B}$に対して$\mathcal{B}=A$吃なる整数 が存在する$i$と B が作るタイリングは同じである. B がサイクリックな$\mathcal{A}$は $q^{2}+q+1$ と互いに素である.

よって固定したベア部分平面を$\mathcal{P}$を含むタイリングの数は$R=q^{3}(q-1)^{2}(q+1)/3’= \frac{q^{3}(q-1)^{2}(q+1)\phi(q^{2}+q+1)/3}{\phi(q^{2}+q+1)}$である.

PG(2, qq2) の点集合の部分集合 V を, 固定したベア部分平面 P に属さない点全 W2 とする. ベア部分平面の集合 B を P と排反なベア部分平面全体とする. q2–q 個の B のベア部分平面が V を覆う 13 とき, この $q^{2}-q$ 個のベア部分平面を $V$ の分割という.

$B$を $V$ の分割に分解できるとき, その分割を分割クラスと呼ぶ.
$P$を含むタイリングの 1 つがベア部分平面 $P$ を除いた$\{\mathcal{P},\mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2}, \ldots, \mathcal{P}_{q^{2}-q}\}$$\{\mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2}, \ldots,\mathcal{P}_{q^{2}-q}\}$であるとき, このタイリングから固定したは $V$ の分割になる.

$\mathcal{P}$を含むタイリングの数,$R$個だ

け, B の分割が見つかる.

$R$

分割 1

$R_{1}$$=$$\{\mathcal{P}_{1^{1}}, \mathcal{P}_{2^{1}}, \ldots,\mathcal{P}_{q^{1_{2}}-q}\}$

分哨 12$R_{2}$$=$$\{\mathcal{P}_{1^{2}}, \mathcal{P}_{2^{2}}, \ldots,P_{q^{2}-q}^{2}\}$

.

.

分割 R

$R_{R}$.
$=$$\{P_{1}^{R}, \mathcal{P}_{2}^{R}, \ldots,\mathcal{P}_{q-q}^{R_{2}}\}$

個の分割に $B$ のベア部分平面が延べ\Sigma iR $|k|$ 個現れている.
$\sum_{i}^{R}|k|=R\cdot(q^{2}-q)=q^{4}(q-1)^{3}(q+1)/3$

この数はちょうど $B$ の要素数と一致している. 任意の分割. は $B$ の部分集合であるので, 「 $R$ 個の分$R_{\triangleleft}$

割のうちどの異なる 2 つも互いに排反である」 と仮定すれば,$R$個の分割に $B$ のすべてのベア部分であり,$B$は分割クラスに分解される. しか平面が現れている. すると,しながら,5.

$r_{R}$$B=R_{1}\cup R_{2}\cup\ldots\cup R_{R}$個の分割のうちどの異なる 2 つも互いに排反である」かどうかは未証明のままである.

射影線型変換の共役類
射影線型変換 $A,$$\mathcal{B}$に対して,$\mathcal{A}=\mathcal{H}^{-1}\mathcal{B}H$となる射影線型変換 H が存在するならば,$\mathcal{A},$$\mathcal{B}$は共役であるという. 共役は同値関係であるので, 同値類に分けられる. この同値類を共役類と呼ぶ.
$12|V|=(q^{4}+q^{2}+1)-(q^{2}+q+1)=q^{4}-q$$13|V|/(q^{2}-q)=q^{2}+q+1=$ [ つのベア部分平面の大きさ]
$1$

125
共役な射影線型変換 A,$\mathcal{B}$を表わす行列が $A,$ $B$ であるとき, $A=H^{-1}BH$ であるような行列 $H$が存在する. 行列 $A,$ $B$ の特性多項式は同じである. Hircshfeld [4] と Room, Kirkpatrick [7] が示した事実を用いると, 2 つのサイクリックな射影線型変換を表わす行列の特性多項式が一致するな
らば, それらの射影線型変換は共役であることがわかる.
$\mathcal{A}$をサイクリックな射影線型変換とする. そのとき,を表わす行列が A であるとき,$A$と$A^{q}$も,を表わす行列は$A^{q}$$A^{q}$$A^{q}$

もサイクリックな射影線型変換である.

である.

は同じ固有値を持ち, 特性多項式が一致する. つまり, $A,$$\mathcal{A}$$q$は有限体の標数なので, 行列 A$A^{q},$$A^{q^{2}}$は同じ共役類にある. しかの巾乗に関してはこれらしか同じ共役類にない 14.

任意の軌道に対してそれを決定するサイクリックな射影線型変換は A\sim (素) であり,$\phi(q^{2}+q+1)$ 個ずつあるので$i$は $q^{2}+q+1$ と互いに, $\phi(q^{2}+q+1)$ 個ずつ同じ分割クラスが出てくる. サイクリックな射影線型変換を表わす行列の性質から, $\phi(q^{2}+q+1)$ 個の射影線型変換$A^{i}$の 3 つずつ 15 が同一の共役類に属しており, 共役類の数は\phi (q2+q+1)/3 個である.

例えば, $q=3,$ $A$ を P 上のサイクリックな射影線型変換とする. そのとき,$A^{7},$$A^{8},$$\mathcal{A}^{9},$$\mathcal{A}^{10},$$A^{11},$$A^{12}$$\mathcal{A}^{2},$$A^{3},$$\mathcal{A}^{4},$$\mathcal{A}^{5},$$A^{6}$,

もサイクリックな射影線型変換であり, 次のように共役類に属している.
共役類 1$\ni \mathcal{A},\mathcal{A}^{3},$$\mathcal{A}^{9}$共役類$2\ni A^{2},\mathcal{A}^{6},$共役類$3\ni \mathcal{A}^{4},\mathcal{A}^{12},\mathcal{A}^{10}$共役類 4$\mathcal{A}^{5}$$\ni A^{7},$ $A^{8},$ $\mathcal{A}^{11}$

前節で $B$ を分割クラスに分解するとき, ベア部分平面 P 上のサイクリックな射影線型変換全体を使い, それらの軌道から分割クラスを得ていた. 任意の軌道に対して, それを決定する\phi (q2+q+1)

個のサイクリックな射影線型変換はすべての共役類にまんべんなく散らばっているので, $B$ の分割クラスを得るために P 上のサイクリックな射影線型変換全体を使わなくとも, 1 つの共役類で十分である. 共役類の大きさはサイクリックな射影線型変換の集合より小さく$(3/\phi(q^{2}+q+1))$

扱いやすいと考えられる. また, 共役類は, 特性多項式が同一であるという条件の付いた射影線型変換の集合でもある. これらの理由から, 共役類の上に限って考えると, 未証明のままである仮定を見通しよく証明できるようになると考える.

6.

$q=2$ の場合
点集合 V をベア部分平面 P に属さない PG(2, q2) の点全体の集合, ベア部分平面の集合 B を P と排反なベア部分平面全体の集合とする. そのとき, 結合関係 (V, $B$ ) から水準数が素数巾ではない直交配列 16 を構成できることが示されている [8]. ベア部分平面の集合 $B$ を分割クラスへ分解できる
ならば, 結合関係 (V, $B$ ) から水準数が素数巾ではなくかつ分解可能な直交配列を構成できる.
14 行列 A の特性多項式の根の数が 3 だから$15A^{t},$ $A^{iq},$$A^{iq^{2}}$i6orthogonal array

126$PG(2,2^{2})$ の点集合を $\{0,1,2, \ldots, 20\}$ とする.

ベア部分平面 $PG(2,2)$ を $\mathcal{P}=\{0,3,6,9,12,15,18\}$とする. そのとき, $PG(2,2)$ と排反なベア部分平面の数は 16 個である. これらは次のように 8 つの分割クラスに分解される.
分割クラス 114710分割クラス 2

17分割クラス 341316分割クラス 4分割クラス 77101316分割クラス 819101316191410131619147分割クラス 5分割クラス 619147101311141720
258165811141720
219228115811141720

次の直交配列は $OA[16,7,2,2;4]^{17}$ である. これは上の141720
25$\mathcal{P}$5141720
2581181720
2581114111420
245811141710131619171719
147101316と排反な 16 個のベア部分平面と2016191471013$\mathcal{P}$に属さない 14 個の点の結合関係によって構成される. この例では 16 個のベア部分平面が 8 つの分割クラスに分解されているので, 直交配列も分解できている.

1111111
分割クラス 211
1
分割クラス 31
1
1
分割クラス 41
1
1
分割クラス 51
1
1
分割クラス 61
1
1
分割クラス 71
1
1
分割クラス 81
1
1
分割クラス 1

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

1

$0$

1

1
1

1
1
1

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

1

$0$

$0$

$0$

1

$0$

$0$

1$0$

$0$

1

1$0$$0$

1$0$

1

1

1

1$0$$0$

1$0$$0$

1

1

1$0$$0$

1

1$0$

1

1

1$0$$0$$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

1
1$q=3$ の場合も計算機実験によって分解可能であることを確かめた. ベア部分平面の数が多いため割愛する. このとき, 分解可能な水準数が素数巾ではない直交配列 $OA[864,13,6,2;24]$ が得られる.

参考文献[1] R. C. BOSE, J. W. FREEMAN AND D. G. GLYNN: On the intersection of two Baer subplanes

in a finite projective plane, Utilitas Math. 17, 1980, 65-77.
[2] J. COFMAN: Baer subplanes in finite projective and affine planes, Can. J. Math. 24, 1972,

90-97.
[3] J. W. P. HIRSCHFELD: Cyclic projectivities in $PG(n, q)$ , Teorie Combin a torie (Rome, 1973)
1, Accad. Naz. dei Lincei, 1976, 201-211.
17 パラメーターは順にサイズ,制約数, 水準数, 強さ, インデックスと呼ばれる.

127[4] J. W. P. HIRSCHFELD: Projec $tive$ Geometries over Fin $ite$ Fields, Oxford University Press,

New York, 1979.
[5] D. R. HUGHES AND F. C. PIPER: Projecti $ve$ Planes, Springer-Verlag, New York, 1973.

[6] 永尾汎: 群とデザイン, 岩波書店, 東京, 1974.
[7] T. G. ROOM AND P. B. KIRKPATRICK:$Mi$

niquat ern ion Geometry, Cambridge University

Press, London, 1971.
[8] 上村秀一: A construction of orthogonal arrays from Baer subplanes, 筑波大学社会工学研究科

修士論文, 1991.