数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 220-226220
局所テータ対応と R 群
市野篤史 (ICHINO,ATSUSHI)*

1. INTRODUCTION

保型形式の構或法のひとつにテータ対応がある. これは, テータ関数を核関数として積分することで, ふたつの古典群の間に保型表現の対応を組織的に与えるものである. 例えば, 数体 上定義された直交を考えよう. 但し
群 $G=O_{Q}$ とシンプレクティック群は非退化 $m$ 次対称行列で, 簡単のため $m$ は偶数と仮定する. このとき,が,上の保型形式上の保型形式 に対して,
$k$

$Q$

$G’=\mathrm{S}\mathrm{p}(2n)$$\theta(f)$$G’(\mathrm{A})$$f$$G(\mathrm{A})$$\theta(f)(g’)=\int_{G(k)\backslash G(\mathrm{A})}\Theta(g,g’)f(g)dg$のアデール環,上の保型形式) である.

によって (積分が収束すれば) 定義される. 但し A ははテータ関数 (これはさて, 最初に問題となるのは$G(\mathrm{A})\cross G’(\mathrm{A})$$k$$\Theta$$\theta(f)\neq 0$かどうかを判定することである. この問題は一般には未だに難し \mbox{\boldmath $\nu$}‘状
況にあり, Arthur 予想 [Ar] に基づいて予想を立てようと思っても, そのために不可欠な (局所体上の代数群の) 表現論も十分に分かつているとは言難い.
我々は, このような背景のもとで局所テータ対応について考察する.
もちろん, 上で述べたように問題意識は保型表現にあるのだが, 進代$p$数群の表現論としてもそれ自身非常に興味深い現象が起きている. この稿では,$p$

進体上の reductive dual pair $(G, G’)=(U(n, n),$ $U(n, n))$について, テータ対応をある種の緩増加表現に対して精密に記述する.

2. 局所テータ対応
21. 記号.
た$\delta\in E^{\mathrm{x}}$$p$で進体, $E$ を $F$ の二次拡大とする. まを満たすものを固定する. $2n$ 変数 quasi-split

を奇素数として, $F$ を$\mathrm{t}\mathrm{r}_{E/F}(\delta)=0$*大阪市立大学大学院理学研究科.

$p$

221
ffiff
$\mathrm{J}_{--\text{タ}^{}-}|j$ffi$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}\mathfrak{B}$$G=G’=U(n, n)\text{を^{}\backslash },\lambda \text{の}X\grave{\eta}l_{arrow}^{\sim}\text{し}.T\text{実}\neq R\text{する}$:$G=\{g\in GL_{2n}(E)|{}^{t}\overline{g}(\delta 1_{n} -\delta 1_{n})g=(\delta 1_{n} -\delta 1_{n})\}$$G’=\{g’\in GL_{2n}(E)|g’(-1_{n} 1_{\mathrm{n}}){}^{t}\overline{g}’=(-1_{n} 1_{n})\}$,.

実際に $G=G’$ であることは容易に分かる. さて,は自然に reductive dual pair になり, 今の場合は標準的な splittingが存在する [K2]. 但し,$G\mathrm{x}G’\subset \mathrm{S}\mathrm{p}(8n^{2})$$G\cross G’\mathrm{C}arrow \mathrm{M}\mathrm{p}(8n^{2})$$1arrow \mathbb{C}^{1}arrow \mathrm{M}\mathrm{p}(8n^{2})arrow \mathrm{S}\mathrm{p}(8n^{2})arrow 1$

は metaplectic extension とする.の Weil 表現
また, $F$ の自明でない指標を固定すると,$G\crossG’$が定まり, 制限することによりの表現が定まる. これも で表すことにする. ここで $G\cross G’$ の表現 はだけでなく にも依存することに注意する.
$\mathrm{M}\mathrm{p}(8n^{2})$$\psi_{F}$$\omega$$\omega$$\omega$$\delta$$\psi_{F}$22. 局所テータ対応. 次の定理は, Howe によって予想され, Waldspurgerにより $p\neq 2$ の仮定のもとで一般に証明された.
Theorem 2.1
容表現$\pi’$$([\mathrm{H}],[\mathrm{W}])$

.

$\pi$

を $G$ の既約許容表現とする.

$G’$の既約許で,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}c\cross G’(\omega,\tilde{\pi}\otimes\pi’)\neq 0$を満たすものが存在すると仮定する. 但し,
この時, \pi ’(の同型類) は一意的に定まる.

$\tilde{\pi}$

は$\pi$の反傾表現を表す.

これより, 写像$\theta$: $\Pi(G)arrow\Pi(G’)\cup\{0\}$が定まる. 但し $\Pi(G)$ は $G$ の既約許容表現の同型類全体の集合とする.
この写像 を分かりやすい形で記述したいわけだが, Waldspurger による証明からはそれは不可能に思われる. しかし, Adams による次の予想が知られている.
$\theta$

を $F$ の Weil-Deligne 群とする. 局
Conjecture 2.2 ([Ad],[HKS]).
所 Langlands 予想を仮定する. つまり, Langlands parameter (の同値類): $W_{F}’arrow LG$ に対して, $\Pi(G)$ の有限部分集合 , が定まり ( パケットと呼ばれる),$W_{F}’$$L$$\varphi$$\Pi(G)=\prod\Pi$,$\varphi$が成立していると仮定する. この時,$\pi\in\Pi_{\varphi}\Rightarrow\theta(\pi)\in\Pi_{\varphi}\cup\{0\}$.

222$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{f}\mathrm{f}\overline{\tau}-f\lambda.\mathrm{f}\Gamma_{\mathrm{L}^{-}}^{\backslash }\backslash kR\#$

この予想を仮定すると, 写像$\theta:\Pi_{\varphi}arrow\Pi_{\varphi}\cup\{0\}$が定まる. よって, この写像を記述することが問題となるわけだが, これについては D. Prasad による精密な予想がある [P].

Remark 23. Adams の予想で本質的なのは, 一般にテータ対応においては関手性が成り立たないので, その記述のために Arthur parameterを用いていることである. しかし, 今は $G=G’$ の場合を考えているので関手性は成り立っていると思われる. また が緩増加の場合は パケット , の構造を考えることができるが, ここでは無視する.
$L$$\varphi$

3.
3.1. 設定. 以下,
$P$

$\pi$

$R$

群は緩増加と仮定する. つまり,の Levi 或分 $L$ の離散系列表現$\sigma$で,$\pi$$G$が誘導表現約或分として実現されるものが存在する. ここでの放物型部分群 $P$ と,$I(\sigma)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}(\sigma)$$I(\sigma)$の既はユニタリ表現であることに注意する. 我々は, さらにと仮定する. 但し $n_{1}+\cdots+n_{t}=n$ である. この場合 $\theta(\pi)\neq 0$ で,の既約或分となることが, (結果として) 分か$G’$の放物型部分群とみなした. この事実は, がる. 但し $P’=P$ をsupercuspidal ならぼ Kudla による induction principle から従うが [K1],$L\simeq GL_{n_{1}}(E)\cross\cdots\cross GL_{n_{t}}(E)$$\theta(\pi)[]\mathrm{h}I’(\sigma)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G’},(\sigma)$$\sigma$

既約或分の対応を精密に与えるまでには至っていない.の既約或分全体がひとつの パケットをRemark 31. 今の場合は,なすと考えられている. つまり, 上の事実は Adams の予想を満たして$L$$I(\sigma)$いる.

32. Intertwining operators.
に対し,指標を$\sigma$$\sigma=\sigma_{1}\otimes\cdots\otimes\sigma_{t}$と表す. 但し $1\leq i\leq t$, 中心とおく. 特に,. の表現空間を: は $GL_{n:}(E)$ の離散系列表現である.

$\sigma_{1}$$\mathcal{V}_{1}.$に対し,で表す.
$I(\sigma)=I(\sigma, 0)$ である.
$W$ を $L$ の中心の極大分裂トーラスに関する $G$ の Weyl 群とする. すある部分群と同型である. $W$ の元の代
なわち, $W$ はの holomorphic sectionに対し, intertwining
表 $w\in G$ と,$\lambda\in \mathbb{C}^{t}$$I(\sigma, \lambda)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P}^{G}(\sigma||^{\lambda})$$\omega_{\sigma:}$$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{t}x6_{t}\sigma)$$I(\sigma, \lambda)$$f^{(\lambda)}$operator を$M(w, \sigma, \lambda)f^{(\lambda)}(g)=\int_{U\cap wUw^{-1}\backslash U}f^{(\lambda)}(w^{-1}ug)$

duによって定義する. 但し $U$ は $P$ の unipotent radical とする. この積分は0 ならば絶対収束して, 上に有理型に\gg Re(\lambdaで解析接続できることが知られている. さらに の有理関数$\mathbb{C}^{t}$${\rm Re}(\lambda_{1})\gg\cdots$$\lambda$

次を満たすものが存在する.

$r(w, \sigma, \lambda)$

223$\hslash \mathrm{f}\mathrm{f}- \mathrm{E}|\cdot \mathfrak{B}$(i) normalized intertwining operator$N(w, \sigma, \lambda)=r(w, \sigma, \lambda)^{-1}M(w, \sigma, \lambda)$は$\sqrt{-1}\mathbb{R}^{t}$上正則である.

(ii) $W$ の元の代表 $w,$ $w’\in G$ に対して, cocycle condition$N(ww’, \sigma, \mathrm{O})=N(w, w’\sigma, \mathrm{O})N(w’, \sigma, 0)$が成り立つ.

に対して $r_{i}\in W$ をchange とする. の代表として$1\leq i\leq t$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$の$i$

番目の或分に関する sign$r_{i}$$1_{k}$:$1_{n}$$1_{m}$::$w_{i}=(\begin{array}{llllll}1_{k} 1_{n} 1_{m} 1_{k} -1_{n_{i}} 1_{m}\end{array})\in G$$1_{k}$:$-1_{n_{i}}$$1_{m}$:

をとる. 但し $k_{i}=n_{1}+\cdots+n_{i-1},$ $m_{i}=n_{i+1}.+\cdots+n_{t}$ とおいた.の既約分解は Harish-Chandra[S2], Knapp-Stein[KS],33. $R$ 群.
Silberger[Sl] による $R$ 群を用いて記述することができる. 今の場合,群は Goldberg によって計算されている [G].
0 を $\{1, \ldots, t\}$ の部分集合で, 次の条件を満たす 全体からなるもの$I(\sigma)$$R$$i$とする.

$\bullet\sigma_{i}\simeq{}^{t}\overline{\sigma}_{i}^{-1}$$\bullet j>i$$\bullet$$R$を$r_{\dot{l}}$.

ならば$\sigma_{j}\not\simeq\sigma_{i}$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{c}_{L_{n}}(n.\cdot n_{E}.2\mathrm{j}_{()}(\sigma_{i})$

.

は可約.

たちで生或される $W$ の部分群とする.となる. 各 $i\in 2$ に対し, 同型写像:$(i\in 2)$$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\# 0$$A_{i}$

特に, $R\simeq$
で次を満$\mathcal{V}_{i}arrow\sim \mathcal{V}_{i}$たすものを固定する.
$\bullet A_{i}^{2}=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

・任意の $a\in GL_{n}(:E)$ に対して,$A_{i}\sigma_{i}(a)={}^{t}\overline{\sigma}_{i}^{-1}(a)A_{i}$.

このとき,$N(r_{i}, \sigma)=\omega_{\sigma:}(\delta)A_{i}N(w_{i}, \sigma, 0)$

は $I(\sigma)$ の self-intertwining operator で,$N(r_{i}, \sigma)^{2}=\mathrm{i}\mathrm{d}$の $r=r_{i_{1}}.\cdots r_{i_{k}}\in R$ (こ対しては,$N(r, \sigma)--N(r_{i_{1}}, \sigma)\cdots N(r_{i_{k}}, \sigma)$を満たす. 一般

224$\mathrm{R}_{\mathrm{p}}\pi\overline{\tau}-fT\backslash \mathrm{f}T_{\mathrm{L}\backslash }^{\backslash }kR\#$

とおく. 但しの既約分解はると,$\{i_{1}, \ldots, i_{k}\}\subset 2$である. このとき, $R$ の指標群を$\hat{R}$とす$I(\sigma)$$I(\sigma)=\oplus\pi_{\kappa}\kappa\in\hat{R}$の形で与えられ, しかもこの分解は multiplicity free である. 但し$\pi_{\kappa}=\{f\in I(\sigma)|N(r, \sigma)f=\kappa(r)f, \forall r\in R\}$.

である. 実際, 準同型写像$\mathbb{C}[R]arrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{G}(I(\sigma))$$r\mapsto N(r, \sigma)$

は $R$ 群の一般論と Goldberg の計算により同型であることが分かる. この既約分解は標準的ではないので, $G$ の極大 unipotent 部分群の非退化に対応する表現 が -generic となる
指標 を固定し, 自明指標ようにしておく.の既約分解は同様に,$1\in\hat{R}$$\pi_{1}$$\chi$$\chi$$I’(\sigma)$,$I’(\sigma)=,\oplus\pi_{\kappa}’\kappa\in\hat{R}’$の形で与えられる. 但し, $R’=R$ 等とおいた. 特にある.

$\pi_{1}’$も$\chi$-generic で

4. 主結果
今の場合, 局所テータ対応を記述するためには, $R$ 群の指標の関係を調べればよい. これを記述したのが次の定理である.

Theorem 4.1.

$\kappa\in\hat{R}$$\kappa’$$\kappa,$の間とする. このとき, $i\in$ ? に対して$\theta(\kappa)(r:)=\kappa(r:)\cdot\epsilon(1/2, \sigma_{*}., \psi_{F}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{r}_{E/F})\omega_{\sigma:}(\delta)^{-1}$

により$\theta(\kappa)\in\hat{R}’$が定まり,$\theta(\pi_{\kappa})=\pi_{\theta(\kappa)}’$が成り立つ. 但し
number である.

$\epsilon(1/2, \sigma_{i}, \psi_{F}\circ \mathrm{t}\mathrm{r}_{E/F})$は$\sigma$:の$\psi_{F}\circ \mathrm{t}\mathrm{r}_{E/F}$に関する root

よって, 局所テータ対応が定める写像$\theta:\Pi_{\varphi}arrow\Pi_{\varphi}$は恒等写像ではなく, 捻じれが起きている. 注目に値すべきは, その捻じれが数論的な量である root number を用いて記述されることである.
もちろん, 我々の結果は D. Prasad の予想 [P] を満たしている.

225
ffiff

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}\mathfrak{B}$4.1. 証明の方針. 簡単にアイデアだけ述べる. 我々は$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{G\mathrm{x}G’}(\omega\otimes I(\sigma, \lambda),$$I’(\sigma, \lambda))$の元 $T$ で, 次の条件を満たすものを構或する.

(i) 任意の $f\in I(\sigma)$ に対して,$T(\Phi, f)\neq 0$となる(ii)$\Phi\in\omega$$i\in?,$が存在する.

$\Phi\in\omega,$$f^{(\lambda)}\in I(\sigma, \lambda)$に対して,$M(w_{\dot{l}}’, \sigma, \lambda)T(\Phi, f^{(\lambda)})$.

$=|\delta|^{n.\lambda}..\cdot\omega_{\sigma:}(\delta)^{-1}\epsilon(-\lambda_{i}+1/2, \sigma:, \psi)T(\Phi, M(w_{i}, \sigma, \lambda)f^{(\lambda)})$が成り立つ.

これらの性質から, 定理は容易に導かれる.

Remark 42. 最近, 我々の構或法は一般の放物形部分群に対して適用できることが分かった. このことから, 緩増加表現に対して Plancherel 測度の対応が得られ, さらに supercuspidal 表現に対しては first occurence
index に関する情報を得ることができる [I2].
REFERENCES
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