数理解析研究所講究録
第 1793 巻 2012 年 22-29

22

$D$

加群の積分アルゴリズムと近似零化イデアル
中山 洋将
NAKAYAMA HIROMASA神戸大学大学院理学研究科/JST CREST
DEPARTMENT OF MATHEMATICS, GRADUATE SCHOOL OF SCIENC E, KOBE UNIVERSITY*Abstract
パラメータつき積分の満たす微分方程式系を計算するアルゴリズムとして、 $D$ 加群の積分アルゴリズムがある。 このアルゴリズムを実行するには、被積分関数の満たす holonomic な微分方程式系が必要であるが、一般にはこの計算は困難であることが多い。被積分関数が有理関数の場合について、被積分関数の近似零化イデアルを使うことで計算を高速に行うことが可能になった。その適用例として、 smooth Fanopolytope に付随する周期積分の満たす微分方程式系を計算した。

1

Smooth Fano Polytope とそれに付随する周期積分

この論文では、 2,3 次元 smooth Fano polytope に付随する周期積分の満たす微分方程式系について、 $D$加群による積分アルゴリズムを用いた計算方法について考察する。
次元 smooth Fano polytopeとは次の条件を満たす polytope である$d$1.

$’\rho$$d$。

次元の lattice polytope

2. 内部に原点を含む

3. dual polytope$\prime p^{s}$が lattice polytope

4. 各 face が simplex
5. 各 facet の頂点が$Z^{d}$の$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

基底

また、 (1) $-(3)$ の条件を満たすものを reflcxive polytope、$(4)$の条件を満たすものを simplicial polytopeと呼ぶ。
により 7 次元 smooth Fano polytope まで同型類のリストが与えられている。 2, 3 次元 smoothFano polytope の同型類のリストは次の通りである。 (次のリストは bro([11]) に付属のプログラムの出力$\emptyset bro([11])$$\emptyset$

結果である。)’nakayama@math.kobe-u.ac.jp

23

$n$

次元

$k$

ffi- 目の smooth Fano polytope$P_{n,k}$に付随する周期積分とは$F_{n,k}(x)= \int_{C}f_{n,k}(x, t)^{-1}t_{1}^{-1}\cdots t_{n}^{-1}dt_{1}\cdots dt_{n}$である。ここで $f_{n,k}(x,t)$ は、 Smooth Fano Polytope:$f_{n,k}(x,t)=\Sigma_{i=1}^{m+1}x_{i}t^{a}$は$H_{n}(T_{x},\mathbb{C})$のように定める。

$x$$P_{n,k}$を固定し、の頂点 $\{a_{1},\cdots,a_{m}\}$ と原点 $a_{m+1}=O$ から、とおく。積分路 $c$$\tau_{x}=\{t\in(\mathbb{C}^{*})^{n}|f(t,x)\neq 0\}$の cycle とする。

Example 1 (smooth Fano polytope に付随する周期積分)

3 次元

$0$

番目 smooth Fano polytope$P_{3,0}$に付随する周期積分は、$P_{3,0}$の頂点が $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(-1,-1,-1)\}$

より$F_{3,0}(x)= \int_{C}(x_{1}t_{1}+x_{2}t_{2}+x_{3}t_{3}+x_{4}t_{1}^{-1}t_{2}^{-1}t_{3}^{-1})^{-1}t_{1}^{-1}t_{2}^{-1}t_{3}^{-1}dt_{1}dt_{2}dt_{3}$である。この積分は、行列 $A$ を$(\begin{array}{lllll}1 1 1 1 11 0 0 -1 00 l 0-1 00 0 1-1 0\end{array})$

とおいた時の $A$ -超幾何積分であり、列ベクトル $\beta=(-1,0,0,0)^{T}$ として、 $A$ -超幾何微分方程式系を満たすことがわかる。

$H_{A}(\beta)$

242加群による積分アルゴリズム$D$

ここでは $D$ 加群の積分アルゴリズム ([9], [10], [12]) を復習し、周期積分の満たす微分方程式系の計算に用いることができることを説明する。

多項式係数微分作用素環を$D=\mathbb{C}\{x_{1}, \ldots,x_{m},x_{m+1}, \ldots x_{n},\partial_{1}, \ldots, \partial_{m},\partial_{m+1}, \ldots,\partial_{n}\}$$D’=\mathbb{C}\{x_{m+1},$ $\ldots,x_{n},\partial_{m+1},$ $\ldots,\partial_{n}\rangle$とおく。ここで、holonomic 左についての微分作用素である。
イデアル の $x_{1},\cdots,x_{m}$ についての積分イデアル$\partial_{i}$$D$

は$x_{i}$

$I$

$J$とは

$J=(I+\partial_{1}D+\cdots+\partial_{m}D)\cap D’$なる左 $D’$ イデアルである。大阿久氏により積分イデアルを計算するアルゴリズムが与えられている ([9],[10], \’i12] 。そこでは、 $D$ におけるグレブナー基底、 generic 関数、加群のグレブナー基底が用いられる。
特にが被積分関数の満たす微分方程式系の場合、その積分イデアルは、積分路がサイクルである積分の満たす微分方程式系を与える。例えば、積分$b$$)$$I$$\int_{C}f(x_{1},\cdots,x_{m},x_{m+1}, \cdots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}$( $C$ は適切な m-cycle) の満たす微分方程式系を求めるには、 $f(x)$ を零化する holonomic 左 $D$ イデアルを求めて、 の $x_{1},\cdots,x_{m}$ についての積分イデアルを計算する。積分イデアルの元 $P$ は、
$I$

$J$

$P=P_{0}+\partial_{1}P_{1}+\cdots\partial_{m}P_{m}$

$I$

$J$

$(P_{0}\in I,P_{1}, \cdots, P_{m}\in D)$と表される。この $P$ を積分に作用させれば$P \cdot\int_{C}f(x)dx_{1}\cdots dx_{m}=\int_{C}(P\cdot f(x))dx_{1}\cdots dx_{m}(P\in D’$ より$)$$= \int_{C}(P_{0}+\partial_{1}P_{1}+\cdots\partial_{m}P_{m})\cdot f(x)dx_{1}\cdots dx_{m}$$= \int_{c}(\partial_{1}P_{1}+\cdots+\partial_{m}P_{m})\cdot f(x)dx_{1}\cdots dx_{m}(P_{0}\in I$より$)$$= \int_{\partial C}f(x)dx_{1}\cdots dx_{m}=0$となって、確かに積分を零化する。よって、積分イデアルの元たちが積分の満たす微分方程式系にあたる。

ExamPle 2 (2 次元 smooth Fano polytope に付随する周期積分)に 随する周期積分
2 次元 smooth Fano polytope$P_{2,0}$$\langle J\backslash$$F_{2,0}(x)= \int_{C}(x_{1}t_{1}+x_{2}t_{2}+x_{3}t_{1}^{-1}t_{2}^{-1}+x_{4})^{-1}t_{1}^{-1}t_{2}^{-1}dt_{1}dt_{2}$の満たす微分方程式系を $D$ 加群による積分アルゴリズムにより計算するには、

1. 被積分関数$f_{2},o(x,t)=(x_{1}t_{1}+x_{2}t_{2}+x_{3}t_{1}^{-1}t_{2}^{-1})^{-1}t_{1}^{-1}t_{2}^{-1}$の零化イデアル計算できる。

$I$を計算する。 $D$ 加群による多項式の零化イデアルの計算アルゴリズム ([8]) により

25
2. 零化イデアル$I$に対して、$t_{1},t_{2}$についての積分イデアル$J=(I+\partial_{t_{1}}D+\partial_{t_{2}}D)\cap D’$を計算する。ここで、$D=\mathbb{C}\langle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},$ $t_{1},t_{2},$$\partial_{x_{1}},\partial_{x_{2}},$$\partial_{x_{3}},\partial_{x_{4}},\partial_{t_{1}},\partial_{t_{2}}\rangle,$$D’=\mathbb{C}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\partial_{x_{1}},$ $\partial_{x_{2}},\partial_{x_{3}},$$\partial_{x_{4}}\}$である。

アルゴリズムより得られた積分イデアル$J$の生成元は$(x_{4}^{3}+27x_{1}x_{2}x_{3})\partial_{x_{4}}^{2}+3x_{4}^{2}\partial_{x_{4}}+x_{4},9x_{2}x_{3}\partial_{x_{4}}^{2}-x_{4}^{2}\partial_{x_{1}}\partial_{x_{4}}-x_{4}\partial_{x_{1}},9x_{1}x_{3}\partial_{x_{4}}^{2}-x_{4}^{2}\partial_{x_{2}}\partial_{x_{4}}-x_{4}\partial_{x_{2}}$$-9x_{1}x_{2}\partial_{x}^{2}4+x_{4}^{2}\partial_{x_{3}}\partial_{x_{4}}+x_{4}\partial_{x}3,$$-\partial_{x_{4}}^{3}+\partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}},$$-3x_{3}\partial^{2}x_{4}-x_{4}\partial_{x_{1}}\partial_{x}2,$$x_{4}\partial_{x_{4}}+3x_{1}\partial_{x_{1}}+1,$$-3x_{2}\partial_{x_{4}}^{2}-x_{4}\partial_{x_{1}}\partial_{x_{3}},$$-x_{4}\partial_{x_{4}}-3x_{2}\partial_{x_{2}}-1,$

最後の行の 4 つの元は、 -超幾何微分方程式系$A$$H_{A}(\beta)$$($,$-3x_{1}\partial_{x_{4}}^{2}-x_{4}\partial_{x_{2}}\partial_{x_{3}}$,$x_{4}\partial_{x_{4}}+3x_{3}\partial_{x}3+1$

ここで、 $A=(\begin{array}{llll}1 1 1 11 0 -l 00 1 -1 0\end{array}),\beta=(-1,0)^{T})$の生成するイデアルに入るが、それ以外の元は入らない。

3

計算結果と近似積分アルゴリズム

31

積分アルゴリズムによる計算結果

積分アルゴリズムを対象の周期積分に適用したタイミングデータは次のようになった。 (計算機環境$CPU;XeonX5470(3.33GHz),$ $Memory:3.6GB$ , 数式処理ソフト $Risa/Asir([14])$ , package: $nk_{-}restriction.rr$ )$Ann$ は、被積分関数の零化イデアルの計算 (大阿久氏の $D$ 加群による多項式の零化イデアルの計算アルゴリズム ([8]) にかかった時間であり、残りの 3 列が積分アルゴリズムにかかった時間を表している (各列$)$は積分アルゴリズムの各ステップに対応している)。ここで時間の単位は秒である。

$|$

3$|$

17$|-|$$-$$|$$-$$|$$-$$|$

26
このアルゴリズムのボトルネックの 1 つとして、零化イデアルの計算部分 $(Ann)$ が挙げられる。 3 次元
12 番目以降のデータについては零化イデアルの計算部分で、もはや計算が困難である。そこで、零化イデアルの計算を近似に置き換えて、さらに計算を行うことを考える。

32

近似零化イデアルと近似積分アルゴリズム

有理関数の零化イデアルについて、近似零化イデアルを導入する。

Definition 1(近似零化イデアル)
多項式 $f,g$ について、有理関数 の階数$\angle g$が$i$

次以下 (すなわち $(0,1)$ 重みが$i$$i$

次近似零化イデアルとは、零化イデアル$Ann_{D_{g}}\angle$の元で、階数次以下) のもの全体が生成する $D$ のイデアルのこととし、$Ann_{Dg}^{(i)f}$で表す。

有理関数の近似零化イデアルの計算を、多項式の syzygy を使って計算する方法が知られている。

Algorithm 1 (近似零化イデアルの計算 [3])入力 : 有理関数 , 近似階数$i$$1g\zeta$

出力 :

1.

$i$

$i$

階近似零化イデアル階以下の微分作用素

し、$a_{\alpha}$の生成元$\partial^{\alpha}(\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}\leq i)$を全て生成。微分作用素$P=\Sigma a_{\alpha}\partial^{\alpha}$とおく。ただは未知の多項式。

2. 上で生成した微分作用素
多項式$Ann_{Dg}^{(i)\zeta}$$a_{\alpha}$に作用させて得られる有理関数の分子が になるように未知のを決める。それには、多項式環における syzygy 計算を用いればよい。 (詳しくは例にて述
$P$を、

$0$

$\angle g$

べる)

Example 3 (近似零化イデアルの計算例)に付随する周期積分の被積分関数
2 次元 smooth Fano polytope$P_{2,0}$$f_{2,0}(t,x)= \frac{1}{x_{1}t_{1}^{2}t_{2}+x_{2}t_{1}t_{2}^{2}+x_{3}+x_{4}t_{1}t_{2}}$の 1 階近似零化イデアルを計算する。

1.

$P=a_{1}\partial_{t_{1}}+a_{2}\partial_{t_{2}}+a_{3}\partial_{x_{1}}+a_{4}\partial_{x_{2}}+a_{5}\partial_{x_{3}}+a_{6}\partial_{x_{4}}+a_{7}$($a_{i}$は未知の多項式) を $f_{2,0}(t,x)$ に作用させると、その分子 $n(t,x)$ は$n(t,x)=(-t_{2}x_{4}-t_{2}^{2}x_{2}-2t_{1}t_{2}x_{1})a_{1}+(-t_{1}x_{4}-2t_{1}t_{2}x_{2}-t_{1}^{2}x_{1})a_{2}-$$t_{1}^{2}t_{2}a_{3}-t_{1}t_{2}^{2}a_{4}-a_{5}-t_{1}t_{2}a_{6}+(t_{1}t_{2}x_{4}+x_{3}+t_{1}t_{2}^{2}x_{2}+t_{1}^{2}t_{2}x_{1})a_{7}$2. $n(t,x)=0$ となるようにの各係数をを決める。それには次のような計算を行う。 $n(t,x)$ のの生成元を多項式環のグレブナ基底計算をであるSyzとする。多項式環における syzygy$a_{i}$$a_{i}$$C_{\dot{2}}$$(c_{1}, \cdot\cdot\cdot,c_{7})$使って計算すると、$(-1,0,0,0,t_{2}x_{4}+t_{2}^{2}x_{2},2x_{1},0),$ $(0, -1,0,0,t_{1}x_{4}+t_{1}^{2}x_{1},2x_{2},0),$ $(0,0, -1,0,0,t_{1},0)$$(0,0,0,0,-t_{1}t_{2},1,0),(0,0,0,0,x_{3},x_{4}+t_{2}x_{2}+t_{1}x_{1},1)$ ,$(0,0,0,0,0,t_{1}t_{2}x_{4}+x_{3}+t_{1}t_{2}^{2}x_{2}+t_{1}^{2}t_{2}x_{1},t_{1}t_{2})(0,0,0,-1,0,t_{2},0),$,27
これに対応する微分作用素$-\partial_{t_{1}}+(t_{2}x_{4}+t_{2}^{2}x_{2})\partial_{x_{3}}+2x_{1}\partial_{x_{4}},$$-\partial_{x_{2}}+t_{2}\partial_{x_{4}},$$-\partial_{t_{2}}+(t_{1}x_{4}+t_{1}^{2}x_{1})\partial_{x_{3}}+2x_{2}\partial_{x_{4}},$$-\partial_{x_{1}}+t_{1}\partial_{x_{4}}$,,$-t_{1}t_{2}\partial_{x_{3}}+\partial_{x_{4}},x_{3}\partial_{x_{3}}+(x_{4}+t_{2}x_{2}+t_{1}x_{1})\partial_{x_{4}}+1$$(t_{1}t_{2}x_{4}+x_{3}+t_{1}t_{2}^{2}x_{2}+t_{1}^{2}t_{2}x_{1})\partial_{x_{4}}+t_{1}t_{2}$が 1 階近似零化イデアルの生成元になっている。

何階まで近似零化イデアルを計算すれば、本当の零化イデアルに等しくなるかということが問題になるが、例えば、 [2] では、 2 変数の多項式 $f$ が weighted homogeneous であれば、$Ann_{D}^{(1)}\frac{1}{f}=Ann_{D^{\frac{1}{f}}}$を示している。

零化イデアルを大阿久氏のアルゴリズムを使い完全に計算するのに比べて、 1, 2 階の近似零化イデアルの計算は高速である。 被積分関数の零化イデアルの代わりに近似零化イデアルを使い、積分アルゴリズムを適用する。得られる積分イデアルは、本当の零化イデアルを使った場合よりも小さくなる可能性がある。
これを近似積分アルゴリズムと呼ぶことにする。
Algorithm 2 (近似積分アルゴリズム)

入力 :

出力 :

$\angle g$を有理関数、 $m$ を自然数

$Ann_{D_{9}}\angle$の積分イデアルの部分イデアル

1. $marrow 1$

2. $J=Ann_{Dg}^{(m).\zeta}$ を計算 $(Algor\dot{v}thm1)$
3.

$J$が holonomic なら $J$ に積分アルゴリズムを適用し、その積分イデアルを返す。

$J$が holonomic でなければ $m$ を 1 増やして step 2 へ。

有理関$\ovalbox{\tt\small REJECT}$すれば、は holonomic 関数であるから、零化イデアル$Ann_{D^{\frac{f}{g}}}$は holonomic であり、 $m$ を $+$ 分大きくとなり holonomic となるので、上の手続きは有限回で終了する。

$Ann_{D_{\dot{9}}}^{(m)\zeta\angle}=Ann_{D_{g}}$Example 4 (積分イデアルと近似積分イデアルに差が出る例)
Castro, Ucha $([2/)$ からの{F 」より、 2 変数多項式 $f=x^{4}+y^{5}+xy^{4}$ (Reiffen curves) について、有理関数の近似零化イデアルと零化イデアルには$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\frac{1}{f}$$Ann_{D}^{(1)}\frac{1}{f}\subseteq Ann_{D}^{(2)}\frac{1}{f}=$Ann$D^{\frac{1}{f}}$のような差がある。

そこで、有理関数 ，と、正確な積分イデアル$x$についての 1 階の近似積分イデアル」(1) げなわち

$J$を計算すると、$J^{(1)}=D\cdot\{yP\},$$Ann_{D}^{(1)}\frac{1}{f}$の積分イデアル)$J=D\cdot\{P\}$

ただし、$P=(-27y^{4}+256y^{3})\partial_{y}^{3}+(-432y^{3}+3456y^{2})\partial_{y}^{2}+(-1896y^{2}+12336y)\partial_{y}-2184y+10920$

この場合、積分イデアルは 1 階近似積分イデアルより真に大きくなる。

2833

近似積分アルゴリズムによる計算結果

対象としている周期積分 (3 次元 5 番目以降の smooth Fano polytope に付随する周期積分) に対して、近似積分アルゴリズム (Algorithm 2) を適用した結果は次の通りである。 AppAnn の列が 1 階の近似零化イデアルの計算にかかった時間であり、それ以降の列が積分アルゴリズムにかかった時間である。

$|3|$

17$|$

0.21$|$$-$$|-|-|$

1 階の近似零化イデアルの計算にかかる時間は一瞬であるが、それ以降の積分アルゴリズムの計算部分にかなり時間がかかるようになることがわかる。零化イデアルをそのまま使った場合に比べて、計算は高速に行えるようになったことがわかる。しかし、 3 次元 12 番目以降の計算はこの工夫を使ってもまだ計算は困難であり、これらの計算を如何にして行うかは今後の課題である。
これらの計算結果とその実行プログラムは、 http: $//www.$ math. kobe-u. ac.jp $/0penXM/Math/$ sfano にて download 可能である。

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