数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 118-122

118

曲面の貼り合わせに伴う写像類群上の類関数
東京大学大学院数理科学研究科 佐藤正寿 (Masatoshi Sato)

Graduate school of Mathematical Sciences,
the university of Tokyo

1

はじめに曲面を底空間とし, 境界の連結成分が 2 つであるコンパクトな曲面をファイバーにもつ 2 つの束について, 各ファイバーの境界に沿って貼りあわせた場合の符号数の変化を考える. 閉曲面の写像類群上には Meyer コサイクルと呼ばれる 2- コサイクルが知られており, これは曲面上の閉曲面束の符号数を用いて定義される. 特に 1 つの曲面束に関して, 自明な垣 i2$=1D^{2}$ 束, 自明な $S^{1}\cross[0,1]$ 束の貼り付けに伴う符号数の変化を表すコサイクルは, Meyer コサイクルを用いて表すことができるが, これが写像類群上のある類関数により記述されることがわかった. 本稿ではこの類関数について述べる.と種数が であり, 境界の連結成分を 個もつ向き付けられたコンパクト曲面をの写像類群と略記する. 曲面表す.とは, 境界上の各点を固定する,ののイソトピー類向きを保つ微分同相写像全体なす群として定義される.
Meyer [5] において, 任意の種数 $g\geq 1$ について, Meyer コサイクルとよばれる 2-コサイクルが定義された. 第 11 節において定義するが, これは曲面上の閉曲面束における符号数を用いて定義される. 特に種数 1, 2 においては Meyer コサイクルはコバウンダリに入ることが知られており, そのコバウンドする関数が知られている (Meyer[5],Atiyah[l], Kasagawa[4], Iida[3]). 種数が 3 以上においては写像類群上ではこのコサイク
ルはコバウンドされないが, 写像類群への準同型をもつ群 $G$ において, Meyer コサイクルの準同型による引きもどしはコバウンドされることがある. このとき, 群 $G$ においてMeyer コサイクルの引き戻しをコバウンドする関数を計算することは, 符号数との関わ
$r$

$g$

$\Sigma_{g}$$:=\Sigma_{g,0}$$\Sigma_{g,r}$$\mathcal{M}_{g,r}$$\Sigma_{g,r}$$\pi_{0}(Diff_{+}\Sigma_{g,r}, \partial\Sigma_{g,r})$$Diff_{+}(\Sigma_{g,r}, \partial\Sigma_{g,r})$$\tau_{g}$りから低次元トポロジーを調べる上で重要である. 特にこれは, 四次元ファイバー空間における符号数の局所化と呼ばれる現象との関係から広く研究されている. その一例として, 群 $G$ として, 超楕円的写像類群を考えた場合の Meyer コサイクルの引き戻しをコバウンドする関数が計算されている (Endo[2], Morifuji[6]).に 2 つの円板
以下では, 単位区間を $I=[0,1]$ と表す. 曲面にアニュラスをはりつける写像, 曲面
れらの写像は写像類群上にそれぞれ準同型$\Sigma_{g,2}$$\Sigma_{g,2}arrow\Sigma_{9}$$\Sigma_{g,2}$$S^{1}\cross I$$\theta:\mathcal{M}_{g,2}arrow \mathcal{M}_{g},$$D^{2}$をはりつける写像を考える. こ$\Sigma_{g,2}arrow\Sigma_{g+1}$$\eta:\mathcal{M}_{g,2}arrow \mathcal{M}_{g+1}$を誘導する. これらの準同型は第 12 節で詳しく説明する. これらによる Meyer コサイ

119のコバウンダリに入ることが知られの引きもどしの差は, 写像類群ている. これをコバウンドする関数を求めることは上記と同様の意味において重要である. この関数は $QP^{1}$ 上のある類関数の符号と呼ぶべきものと一致することがわかるが,本稿ではこの類関数を写像トーラスの一次ホモロジー群の情報を用いて記述する.
第 2 節においては類関数 $m$ を構成し, いくつかの性質を述べる. 第 3 節においては,この関数の符号が Meyer コサイクルの引き戻しの差をコバウンドすることを述べる. 我々の構成する類関数 $m$ を用いてこの符号数の差を表すことを考える.
クル$\tau_{g},$$\mathcal{M}_{g,2}$$\tau_{g+1}$$\eta^{*}\tau_{g+1}-\theta^{*}\tau_{g}$1.1

Meyer コサイクル

まず, Meyer コサイクルを定義する. $i=1,2,3$ について,とする. Pants を $P=S^{2}-\coprod_{i=1}^{3}$ Intとして定義し,$D_{i}$されるホモトピー類とする. Pants$P$$\alpha,$

上の$\Sigma_{g,r}$束$E_{g,r}^{\varphi,\psi}$$D_{i}\subset S^{2}$を disjoint な円板を以下の図 1 で表を次のように定義する. 向き付$\beta,$$\gamma\in\pi_{1}(P)$

図 1:

けられたコンパクト四次元多様体に沿うモノドロミーとして,き, Meyer コサイクルは$\tau_{g}$$\varphi,$:$\gamma\in\pi_{1}(P)$束であり,を, Pants $P$ 上のをもつものとして定義する. このと$\Sigma_{g,r}$$E_{g,r}^{\varphi,\psi}$$\psi,$$\mathcal{M}_{g}$$\alpha,$$\beta,$$(\psi\varphi)^{-1}\in \mathcal{M}_{g,r}$$\mathcal{M}_{g}$$\cross$$(\varphi , \psi)$$arrow$$\vdasharrow$

,

$Z$

Sign

$E_{9}^{\varphi,\psi}$として定義される. ただしここで, Signは向き付けられたコンパクト四次元多様体
は $g\geq 3,$ $r\geq 0$ において自明の符号数を表す. 特に PowelI[7] によりをコバウンドする関数であることが知られており, 普遍係数定理によっては一意であることがわかる.
$E_{9}^{\varphi,\psi}$$H_{1}(\mathcal{M}_{g,r};Z)$$E_{g}^{\varphi,\psi}$$\eta^{*}\tau_{g+1}-\theta^{*}\tau_{g}$1.2準同型

次に準同型とにより, 曲面$\theta,$$\theta,$$\eta$$\Sigma_{9}$$\eta$

について述べる. 曲面を得る. 微分同相$\Sigma_{g,2}$の境界に沿って, 2 枚の円板を貼り付けるこに対して, 円板上に identity と$h\in Diff_{+}(\Sigma_{92}, \partial\Sigma_{g,2})$

120上の微分同相写像を得る. この写像をの境界の二つの連結成分それぞれに沿っを曲面と表す. 同様にアニ $f$ ラスに対しを得る. 微分同相て貼り合わせることにより, 曲面上の微分同相て, アニ $jI$ ラス上に identity として を拡張することによって, 曲面
して $h$ を拡張することにより, 曲面$hUid_{u_{i=1}^{2}D^{2}}$$\Sigma_{g}$$S^{1}\cross I$$\Sigma_{g,2}$$h\in Diff_{+}(\Sigma_{g,2}, \partial\Sigma_{g,2})$$\Sigma_{g+1}$$h$$\Sigma_{g+1}$

写像を得る. これにより, それぞれ対応する 2 つの写像類群間の準同型$\theta$:$\mathcal{M}_{g,2}$$arrow$$[h]$$-\neq$を得る. Meyer コサイクル
クト四次元多様体$h\cup id_{IJ}$

器x,$D^{2]}$$[h]$$rightarrow$$\mathcal{M}_{g+1}$.

$[h\cup id_{S^{1}xI}]$

は, それぞれコンパの定義により,の符号数に一致することに注意する.
$\eta^{*}\tau_{g+1}(\varphi, \psi),$$\tau_{g}$$E_{g+1}^{\eta(\varphi),\eta(\psi)},$2[$arrow$$\eta:\mathcal{M}_{g,2}$$\mathcal{M}_{g}$$\theta^{*}\tau_{g}(\varphi, \psi)$$E_{g}^{\theta(\varphi),\theta(\psi)}$

類関数 $m:\mathcal{M}_{g,2}arrow QP^{1}$上の $QP^{1}$ に値をもつ類関数を定義
この節では, Introduction で述べた写像類群する. 特に (コ) ホモロジー群は指定のない限り有理係数とする.
「$p:q$], $[r:s]\in QP^{1}$ に対して, $QP^{1}$ 上の加法を$\mathcal{M}_{g,2}$$[p : q]+[r : s]=\{\begin{array}{ll}br:ps+qr], if [p:q]\neq[0 :1 ] or [r :s]\neq[0 :1 ][0:1], if [p:q]=[r:s]=[0:1]\end{array}$により定義する. 射影直線 $QP^{1}$ はこの加法により零元 1: $0]$ をもつモノイドをなす.
に対して, 写像トーラスを$[$$\varphi=[h]\in \mathcal{M}_{g,r}$$X_{g,r}^{\varphi}:=\Sigma_{g,r}\cross I/\sim$$(x, 1)\sim(h(x),0)$ ,,の代表元 の取り方によはにより定める. なお, ここで微分同相を除いてから自然に定まる向きを定める.
について, 直積らない. 写像トーラスとすの 2 つの境界の連結成分をを包含写像とする. 曲面:: $S^{1}arrow S_{2}$ をとり, 特異コチェイン: $S^{1}arrow S_{1}$ andる. 向きを保つ微分同相写像$X_{g,r}^{\varphi}$$\Sigma_{g,r}\cross I$$X_{g,r}^{\varphi}$$i_{\varphi}$; $Iarrow$ ($S_{1}$垣$S_{2}$$S_{1},$$\Sigma_{g,2}$$\partial X_{g,r}^{\varphi}arrow X_{g,r}^{\varphi}$$S_{2}$$\iota_{2}$$\iota_{1}$$f_{k}$$h$$\mathcal{M}_{g,r}$) $\cross S^{1}=\partial X_{g,2}^{\varphi}(k=1,2,3,4)$ をそれぞれ$f_{1}(t)=(\iota_{1}(t),p)$,$h(t)=(\iota_{2}(t),p)$,$f_{3}(t)=(p_{1},t)$,$f_{4}\{t$) $=(p_{2},t)$ ,により定める. ここで, $p_{1}\in S_{1},$ $p_{2}\in S_{2},$ $p\in S^{1}$ とする. このとき, $f_{k}(k=1,2,3,4)$ のの基底をなす.
はと表すと,ホモロジー類をの核は $p,$ $q\in Q$ を用いてこのとき, 準同型
$e_{k}\in H_{1}(\partial X_{g,2}^{\varphi})$$i_{\varphi_{*}}:$$\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\}$$H_{1}(\partial X_{g,2}^{\varphi})$$H_{1}(\partial X_{g,2}^{\varphi})arrow H_{1}(X_{g,2}^{\varphi})$

Ker $i_{\varphi_{*}}=Q(e_{1}+e_{2})\oplus Q(p(e_{3}-e_{4})+qe_{1})$と記述できることがわかる. 類関数を次のように定義する.

121

定義 2.1.
に対し, $p,$ $q\in Q$ として F Ker $i_{\varphi*}=Q(e_{1}+e_{2})\oplus Q(p(e_{3}-e_{4})+qe_{1})$を満たすものをとる. このとき類関数 $m$ を$\varphi\in \mathcal{M}_{g,2}$$m$:$\mathcal{M}_{g,2}$$arrow$$QP^{1}$$\varphi$$=$$[p:q]$により定める.
関数 $m$ は次の性質をもつ. 特に $m$ は類関数である.
命題 2.2. $g>0$ とする. $m$ は全射であり, $k>0,$$\varphi,$$\psi\in \mathcal{M}_{g,2}$$m(\psi\varphi\psi^{-1})=m(\varphi)$$m(\varphi^{k})=km(\varphi)$

に対し,,.

3

二つの Meyer コサイクルの引き戻し

3.1

主定理

$\eta^{*}\tau_{g+1},$$\theta^{*}\tau_{g}$:を正の整数とする. 第 12 節において, 準同型 :に対し, アニ $f$ ラス, 2 枚の円板をそれぞれ貼り合わせることにより誘導さを, 曲面れる写像として定義した. 主定理を述べるために, ): $qI\in QP^{1}$ の符号を$g$$\eta$$\mathcal{M}_{g,2}arrow \mathcal{M}_{9+1,0},$$\theta$$\mathcal{M}_{g,2}arrow \mathcal{M}_{g0}$$\Sigma_{g,2}$

sign$([p:q]):=\{\begin{array}{ll}1 if pq>0,0 if pq=0,-1 if pq<0.\end{array}$により定義する. 主定理は以下のものである.
定理 31. $g\geq 1$ とする.
$\tilde{\phi}_{g}$$:=signm:\mathcal{M}_{g,2}arrow\{\pm 1,0\}$は 2 つの Meyer コサイクルと定めると, 関数に対し,まり,$\tilde{\phi}_{g}$$\varphi,$$\eta^{*}\tau_{g+1},$$\theta^{*}\tau_{g}$の差をコバウンドする. つ$\psi\in \mathcal{M}_{g,2}$$(\eta^{*}\tau_{g+1}-\theta^{*}\tau_{g})(\varphi,\psi)=\delta\tilde{\phi}_{9}(\varphi,\psi)$$=si\cdot gn(m(\varphi))+sign(m(\psi))+sign(m((\varphi\psi)^{-1}))$

.

122

上の定理は, Pants 上のを曲面をに対して, その各ファイバー分割しない 1 つの単純閉曲線の開管状近傍で切断し, 円板で各ファイバーの境界にふた束をつくるときの符号数の変化を, 類関数 $m$ の符号を用いて表すこをし,とができるということを意味している. 定理と同様にして, 特に曲面を分割する 1 つの単純閉曲線で各ファイバーを切断すると次が得られる.
$\Sigma_{g+1}$

束$E_{g+1}^{\eta(\varphi),\eta(\psi)}$$\Sigma_{g+1}$$E_{9}^{\theta(\varphi),\theta(\psi)}$$\Sigma_{9}$注意 3.2.

について, 各ファイバーにおいて曲面を分割する 1 つの単純閉曲線の開管状近傍を取り除き, 二枚の円板を貼り付けることを考える.

$E_{g+1}^{\eta\varphi),\eta(\psi)}$$P\sigma nts$

上の$\Sigma_{g+1}$

束$E_{g+1}^{\eta(\varphi),\eta(\psi)}$の符号数と, この操作でできる二つのコンパクト四次元多様体の符号数の和は一致する.

さらに類関数 $m$ を用いて , 他の曲面束の符号数の差についても次の命題が成り立つ.
命題 3.3. $g\geq 1$ に対して,Sign $(E_{g}^{\theta(\varphi),\theta(\psi)})-Sign(E_{g,2}^{\varphi,\psi})=-Sign(m(\varphi)+m(\psi)+m((\varphi\psi)^{-i}))$Sign $(E_{g+1}^{\eta(\varphi),\eta(\psi)})-Sign(E_{g,2}^{\varphi,\psi})=Sign(m(\varphi))+Sign(m(\psi))+Sign(m((\varphi\psi)^{-1}))$$-Sign(m(\varphi)+m(\psi)+m(\langle\varphi\psi)^{-1}))$.

参考文献[1] M. Atiyah, The logarithm of the dedekind -function, Mathematische Annalen 278(1987), no. 1, 335-380.
$\eta$[2] H. Endo, Meyer’s signature cocycle and hyperelliptic fibrations, Mathematische Annalen 316 (2000), no. 2, 237-257.
[3] S. Iida, Adiabatic limit of -invariants and the Meyer function of genus two, Master’s
thesis, University of Tokyo, (2005).
$\eta$[4] R. Kasagawa, On a function on the mapping dass group of a surface of genus 2,Topology and its Applications 102 (2000), no. 3, 219-237.
[5] W. Meyer, Die Signatur von Flachenbundeln, Mathematische Annalen 201 (1973),
no. 3, 239-264.

[6] T. Morifuji, On Meyer’s function of hyperelliptic mapping class groups, J. Math.
Soc. Japan 55 (2003), no. 1, 117-129.
[7] J. Powell, Two Theorems on the Mapping Class Group of a Surface, Proceedings ofthe American Mathematical Society 68 (1978), no. 3, 347-350.