数理解析研究所講究録 1273 巻 2002 年 178-196

178

Adecision-theoretic approach with someloss functions to ahypothesis testing
problem舞原寛祐 (Hirosuke Maihara)
赤平昌文 (Masafumi Akahira)

筑波大・数理物質科学
筑波大・数学

1. はじめに古典的な統計的仮説検定問題を決定論的観点から考えると, Neyman-Pearson (N-P) の基本定理の設定においては, 第 1 種およひ第 2 種の過誤の確率を 0-1 損失関数にょるリス
クとして捉えることができる (Lehmann [Le86]).
かし, 最近, 応用分野において良く用いられている 値のような概念を 0-1 損失によるリスクとして考えるには無理がある. そ$\mathrm{I}_{\vee}$$\mathrm{p}$こで, 0-1 損失とは別の適当な損失関数, 特に 2 乗損失関数にょるリスクを用いて, 仮説を母数の集合と見なした上で, その定義関数を推定する問題に置き換えて考える試みが行ゎ
れ, 特に, 正規分布
, 1 戸こおける片側仮説検定問題において, 値, N-P 検定, Bayes 決
定関数のリスクの比較が行われている (たとえば, Hwang et $.al$ [HCRWF92] 参照).
本論では, 2 乗損失によるリスクのミニマックス値を一様に越えることができないリス
クをもつ決定方式は存在しないことを示し, また, 指数分布, 両側指数分布の場合に 値のリスクを求める. さらに, 荷重 2 乗損失関数を提案し, それにょるリスクを, 正規分布の場
合に, Bayes 決定方式, 値, N-P 検定について求めて比較検討を行う. 特に, 正規分布の平均の片側検定問題において, ベイズ決定方式のリスクに関するミニマックス解を数値的に$N(\theta$$\mathrm{p}$$\mathrm{p}$$\mathrm{p}$

求める.

2. 設定
確率ベクトル $X$ が確率密度関数 (p.d.f.) $f(x, \theta)(\theta\in\ominus)$ をもっ分布に従うとする.

ま,おいて, \ominus 。の定義関数$\Theta_{0},$$\Theta_{1}\subset \mathrm{R}^{1},$$\ominus_{0}\cap\Theta_{1}=\emptyset$$\chi \mathrm{e}_{0}(\theta)$

として, 仮説, 対立仮説の推定を行う. その際, 損失関数を$\mathrm{H}:\theta\in\ominus_{0}$$L_{k}(\theta, d):=|\chi \mathrm{e}_{0}(\theta)-d|^{k}$とし, $0\leq\varphi(x)\leq 1$ となる可測関数$\varphi$,を決定方式とい$\mathrm{K}:\theta\in\ominus_{1}$の検定問題に$k=1,2$$\mathrm{A}$$\mathrm{a},$$\varphi$

い

(2.1)

のリスクを

$E_{\theta}[|1-\varphi(X)|^{k}]$$(\theta\in\ominus_{0})$$E_{\theta}[\{\varphi(X)\}^{k}]$$(\theta\not\in\ominus_{0})$$R_{k}(\theta, \varphi):=E_{\theta}[L_{k}(\theta, \varphi)]=\{$,

Hwang et . [HCRWF92] は, 正規分布の場合に, 平均の片側検定問題において,$k=2$ として Neyman-Pearson 検定, 値, Bayes 方式等のリスクの数値計算を行い, そしてそれらを図示して比較した. 本論では, 母数 に関する片側検定問題において のリス
クの最大値はリスクのミニマックス値より必す大きくなることを示す. また, 指数分布, 両
とする.

$al$

$\mathrm{p}$$\theta$$\varphi$

側指数分布の場合にリスクを求める.

179
次に, 仮説$\mathrm{H}:\theta\leq\theta_{0}$, 対立仮説$\mathrm{K}:\theta>\theta_{0}$の検定問題において, 損失関数

$L^{(\gamma)}(\theta, d):=|\theta-\theta_{0}|^{\gamma}\{\chi_{\ominus 0}(\theta)-d\}^{2}$である. これは, 損失関数 (2.1) と異なって, 仮説の境の近傍では損失が敏感に反応するようにしてある. このとき, 決定方式 のリスを考える. ただし,界$(\gamma>0)$$\Theta_{0}=(-\infty, \theta_{0}]$$\varphi$$\theta=\theta_{0}$クを$R^{(\gamma)}(\theta, \varphi):=E_{\theta}[L^{(\gamma)}(\theta, \varphi)]=|\theta-\theta_{0}|^{\gamma}E_{\theta}[\{\chi_{\ominus_{0}}(\theta)-\varphi(X)\}^{2}]$検とし, 正規分布の平均の検定問題において, $\gamma=2$ として Bayes 方式, Neyman-Pearson
方式
定, 値のリスクを求めて, 数値計算を行 , それらを図示して比較する. また, Bayes$\mathrm{a}$$\mathrm{A}$$\mathrm{p}$のミニマックス性についても考える.
さらに, $\theta(>0)$ が尺度母数の場合に, 仮説として損失関数
おいて,$\mathrm{H}:\theta\leq\theta_{0}$, 対立仮説$\mathrm{K}:\theta>\theta_{0}$の検定問題}こ$\Theta_{0}=(0, \theta_{0}]$$\tilde{L}^{(\gamma)}(\theta, d):=(\theta/\theta_{0})^{\gamma}\{\chi_{\ominus 0}(\theta)-d\}^{2}$を考える. このとき, 決定方式$\varphi$$(\gamma\geq 0)$のリスクを$\tilde{R}^{(\gamma)}(\theta, \varphi):=E_{\theta}[\tilde{L}^{(\gamma)}(\theta, \varphi)]=(\theta/\theta_{0})^{\gamma}E_{\theta}[\{\chi_{\ominus 0}(\theta)-\varphi(X)\}^{2}]$とし, 正規分布の標準偏差の検定問題において, $\gamma=0,2$ として決定方式のリスクの比較
および Bayes 方式のミニマツクス性について考える.

3. 損失関数
まず, 損失関数$L_{2}$$L_{2}$

によるリスクによる決定方式

値以下となるリスクをもつ決定方式
立仮説
定方式$\mathrm{K}:\theta>\theta_{0}$$\varphi$$\varphi$について, 一様にミニマツクスの,対は存在しないことを示す. いま, 仮説のリスク$R_{2}(\theta, \varphi)$$\mathrm{H}:\theta\leq\theta_{0}$$\varphi$の検定問題において$E_{\theta}(\varphi^{2})$が$\theta$の連続関数とする. このとき, 任意の決について$\sup_{\theta}R_{2}(\theta, \varphi)\geq 1/4$であり, $\varphi_{0}(x)=1/2a.e$ . となる$\varphi_{0}$(まミニマツクス (こなり, その (直 [ま$\sup_{\theta}R_{2}(\theta, \varphi_{0})=1/4$である. また, $\varphi(x)\neq 1/2a.e$ . ならば$\sup_{\theta}R_{2}(\theta, \varphi)>1/4$

である. 実際に, まず,$\sup_{D}R_{2}(\theta, \varphi)\geq\max\{E_{\theta_{0}}[(1-\varphi)^{2}], E_{\theta_{0}}(\varphi^{2})\}$

(3.1)

180
$\geq\frac{1}{2}\{E_{\theta_{0}}[(1-\varphi)^{2}]+E_{\theta_{0}}(\varphi^{2})\}$$=E_{\theta_{0}}[( \varphi-\frac{1}{2})^{2}]+\frac{1}{4}$$>\underline{1}$

(3.2)

-4
[こなる. また, $\varphi_{0}(ae)=1/2a.e$ . とすれば$\inf_{\varphi}\sup_{\theta}R_{2}(\theta, \varphi)=\sup_{\theta}R_{2}(\theta, \varphi_{0})=\frac{1}{4}$となるから,

はミニマックスとなる. さらに, (3.2) より, $\varphi(x)\neq 1/2a.e$ . のとき [こは$\varphi_{0}$$\sup_{\theta}R_{2}(\theta, \varphi)>1/4$になる.

次に, 確率ベクトル $X$ に基づく統計量 $T(X)$ の仮説$\mathrm{H}:\theta\in\ominus_{0}$の下での累積分布関数(c.d.f.) を$F_{T(X)}^{\mathrm{H}}(t):=P_{\mathrm{H}}\{T(X)\leq t\}$とし,$\mathrm{p}$,$t\in \mathrm{R}^{1}$

値を$r(t):=P_{\mathrm{H}}\{T(X)>t\}$とする. このとき, 仮説であるから,$r$の$L_{2}$$\mathrm{H}$,$t\in \mathrm{R}^{1}$の下で, $U:=F_{T(X)}^{\mathrm{H}}(T)$ は一様分布 $U(0,1)$ に従によるリスクは,$\theta\in\ominus_{0}$のとき, すなわち仮説$\mathrm{H}$$\mathrm{A}$$\mathrm{a},$$r(T)=1-U$の下で$R_{2}( \theta, r)=E_{\theta}[\{\chi \mathrm{e}_{0}(\theta)-r(T)\}^{2}]=E_{\theta}[\{1-r(T)\}^{2}]=\int_{0}^{1}u^{2}du=\frac{1}{3}$となり,$\theta\in\ominus_{1}$のとき, すなわち対立仮説$\mathrm{K}$の下で$R_{2}(\theta,r)=E_{\theta}[\{\chi \mathrm{e}_{0}(\theta)-r(T)\}^{2}]=E_{\theta}[\{r(T)\}^{2}]$となる. いま,$\mathrm{K}$

(3.3)

の下で

$G_{\mathrm{K}}(a):=P_{\mathrm{K}}\{r(T)\leq a\}=P_{\mathrm{K}}\{1-F_{T(X)}^{\mathrm{H}}(T)\leq a\}$,$a\in \mathrm{R}^{1}$とすれば, (3.4) は,$R_{2}( \theta, r)=E_{\theta}[\{r(T)\}^{2}]=\int_{-\infty}^{\infty}a^{2}dG_{\mathrm{K}}(a)$$\theta\in\ominus_{1}$

(3.4)

181
例 3.1 (指数分布). 確率変数 $T$ が p.d.f.
$\frac{1}{\theta}e^{-t/\theta}$$(t>0)$ ,$f_{T}(t;\theta)=\{$

0$(t\leq 0)$の検定問題を, 対立仮説をもつ指数分布に従うとする. このとき, 仮説
考える. いま, 値は $r(t)=P_{1}\{T>t\}=e^{-t}(t>0)$ となり, (3.4) より, $\theta>1$ につ ‘て$\mathrm{K}:\theta>1$$\mathrm{H}:\theta=1$$\mathrm{A}$$\mathrm{p}$(3.5)$R_{2}( \theta, r)=E_{\theta}[\{r(T)\}^{2}]=\frac{1}{\theta}\int_{0}^{\infty}e^{-(2+\frac{1}{\theta})t}dt=\frac{1}{2\theta+1}$となる. よって, (3.3), (3.5) より,$\mathrm{p}$値のリスクは$(\theta=1)$$\frac{1}{3}$,$R_{2}(\theta, r)=\{$$\frac{1}{2\theta+1}$$(\theta>1)$になる. なお, (3.1) よりミニマツクス値は 1/4 である.

例 32(両側指数分布). 確率変数 $T$ が p.d.f.
$(-\infty<t<\infty)$$f_{T}(t; \theta)=\frac{1}{2}e^{-|t-\theta|}$をもつ両側指数分布に従うとする. このとき, 仮説
題を考える. いま, 値は$\mathrm{H}:\theta=0$, 対立仮説$\mathrm{K}:\theta\neq 0$の検定問$\mathrm{p}$$r(t)=P_{0} \{|T|>|t|\}=\int_{|t|}^{\infty}e^{-x}dx=e^{-|t|}$となり, (3.4) より,$\theta\neq 0$について$R_{2}( \theta, r)=E_{\theta}[\{r(T)\}^{2}]=E_{\theta}[e^{-2|T|}]=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}$となる. よって, (3.3), (3.6) より,$\mathrm{p}$$\frac{1}{3}$。-2|t|-|t-\mbox{\boldmath $\theta$}|dt

値のリスク [ま$(\theta=0)$,$R_{2}(\theta, r)=\{$$\frac{1}{3}(2e^{-|\theta|}-e^{-2|\theta|})$$(\theta\neq 0)$になる. なお, (3.1) よりミニマツクス{直 [ま 1/4 である.

$= \frac{1}{3}(2e^{-|\theta|}-e^{-2|\theta|})$

(3.6)

182
4. 損失

$L^{(\gamma)}$によるリスクまず, が位置母数の場合について考える. 確率変数 $X$ が (Lebesgue 測度に関する)p. .
$f(x$ 一のをもっとし,の (Lebesgue 測度に関する) 事前密度をとする. いま, 仮説 :, 対立仮説の検定問題において, $\Theta 0=(-\infty, \theta 0]$ として, 決定方式 のBayes リスク, すなわち のリスク$\theta$$\mathrm{d}.\mathrm{f}$$\theta$$\pi$$\theta\leq\theta 0$$\mathrm{H}$$\mathrm{K}:\theta>\theta 0$$\varphi$$\varphi$$R^{(\gamma)}(\theta, \varphi):=E_{\theta}[L^{(\gamma)}(\theta, \varphi)]=|\theta-\theta_{0}|^{\gamma}E_{\theta}[\{\chi_{\Theta_{0}}(\theta)-\varphi(X)\}^{2}]$

の

$\pi$

による期待値$r_{\pi}(\varphi):=E_{\pi}[R^{(\gamma)}(\theta, \varphi)]$を考える. いま,$\theta_{0}=0$と仮定して一般性を失ゎない. このとき,$\varphi$の Bayes リスクは

$r_{\pi}( \varphi)=\int_{-\infty}^{\infty}|\theta|^{\gamma}\pi(\theta)\{\int_{-\infty}^{\infty}\{\chi \mathrm{e}_{\mathrm{o}}(\theta)-\varphi(x)\}^{2}f(x-\theta)dx\}d\theta$$= \int_{-\infty}^{\infty}[\{1-\varphi(x)\}^{2}\int_{-\infty}^{0}|\theta|^{\gamma}\pi(\theta)f(x-\theta)d\theta+\varphi^{2}(x)\int_{0}^{\infty}\theta^{\gamma}\pi(\theta)f(x-\theta)d\theta]dx$(4.1)となるから, Bayes 決定方式, すなわちすべての について (4.1) の被積分関数$r_{\pi}(\varphi)$$x$$[\cdots]$$A:= \int_{-\infty}^{0}|\theta|^{\gamma}\pi(\theta)f(x-\theta)d\theta$,を最小にするを最小にする$\varphi$$\varphi$を求めるためには, ほとんどを求めればよい. そこで,

$B:= \int_{0}^{\infty}\theta^{\gamma}\pi(\theta)f(x-\theta)d\theta$

とおいて$[\cdots]=A(1-\varphi)^{2}+B\varphi^{2}=(A+B)\varphi^{2}-2A\varphi+A$を最小にする$\varphi$は$\varphi_{\pi}^{*}(x)=\frac{A}{A+B}=\frac{\int_{-\infty}^{0}|\theta|^{\gamma}f(x-\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int_{-\infty}^{\infty}|\theta|^{\gamma}f(x-\theta)\pi(\theta)d\theta}$となり, これが Bayes 決定方式になる. また, $X=x$ を与えたときの$\theta$の事後密度は$p( \theta|x)=\frac{f(x-\theta)\pi(\theta)}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x-\theta)\pi(\theta)d\theta}$になるから$\varphi_{\pi}^{*}(x)=\frac{\int_{-\infty}^{0}|\theta|^{\gamma}p(\theta|x)d\theta}{\int_{-\infty}^{\infty}|\theta|^{\gamma}p(\theta|x)d\theta}$

(4.2)

183
を正規分布 $N(\theta, 1)$ からの無作為標本とし, の事
例 4.1 (正規分布の平均).
を $N(0, \sigma^{2})$ の p.d.f. とする. このとき, $\overline{X}=(1/n)\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ は $N(\theta, 1/n)$ に従う
前密度を与えたときの の事後分布は正規分布から,$\theta$$X_{1},$$\cdots,$$X_{n}$$\pi_{\sigma}$$\overline{X}=\overline{x}$$\theta$$N( \frac{n\sigma^{2}\overline{x}}{n\sigma^{2}+1},$$\frac{\sigma^{2}}{n\sigma^{2}+1})$になる. ここで, $\gamma=2$ として, (4.2) から Bayes 決定方式は$\varphi_{\pi_{\sigma}}^{*}(\overline{x})=\frac{\int_{-\infty}^{0}\theta^{2}p(\theta|\overline{x})d\theta}{\int_{-\infty}^{\infty}\theta^{2}p(\theta|\overline{x})d\theta}=1-\frac{\int_{0}^{\infty}\theta^{2}p(\theta|\overline{x})d\theta}{\int_{-\infty}^{\infty}\theta^{2}p(\theta|\overline{x})d\theta}$となる. また$\mu:=\frac{n\sigma^{2}\overline{x}}{n\sigma^{2}+1}$,$v^{2}:= \frac{\sigma^{2}}{n\sigma^{2}+1}$

とおくと,$\int_{-\infty}^{\infty}\theta^{2}p(\theta|\overline{x})d\theta=v^{2}+\mu^{2}$

(4.3)

,

(4.4)

$\int_{0}^{\infty}\theta^{2}p(\theta|\overline{x})d\theta=(v^{2}+\mu^{2})\Phi(\frac{\mu}{v})+\frac{\mu}{v}(2v^{2}+\mu^{2})\phi(\frac{\mu}{v})$$\}$

こなる. ただし,$\phi,$$\Phi$

よって, (4.2)\sim (4.4) から[ま $N(0,1)$ のそれぞれ p.d.f., c.d.f. とする.

$\varphi_{\pi_{\sigma}}^{*}(\overline{x})=1-\Phi(\frac{n\sigma\overline{x}}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})-\frac{n\sigma\overline{x}\sqrt{n\sigma^{2}+1}}{n^{2}\sigma^{2}\overline{x}^{2}+(n\sigma^{2}+1)}\emptyset(\frac{n\sigma\overline{x}}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})$になる.

そこで, 値, N-P 検定のリスクとともに, この Bayes 決定方式
示し, 比較してみる. まず, 値, N-P 検定は, それぞれ$\varphi_{\pi_{\sigma}}^{*}$$\mathrm{p}$のリスクの挙動を図$\mathrm{p}$$p(\overline{x})=P_{0}\{\sqrt{n}\overline{X}\geq\sqrt{n}\overline{x}\}--\Phi(-\sqrt{n}\overline{x})$1,$(\sqrt{n}\overline{x}\leq u_{\alpha})$,$\varphi \mathrm{N}\mathrm{P}(\overline{x})=\chi(-\infty,u_{\alpha}](\sqrt{n}\overline{x})=\{$

0(その他)
を標準 jE 規分により与えられる\‘if l). ただし, $0<\alpha<1$ を N-P 検定の有意水準とし,る. この N-P 検定は一様最強力 (UMP) 検定になる. 次に,
布 $N(0,1)$ の上側 100\mbox{\boldmath $\alpha$}% 点と$u$$\text{す}$の定義関数であって, 通常, 検定関数としてとる棄却域の定義関数ではないことに注意. 検定論では, 仮説 を棄却することを目的とし, 棄の推定について却域や棄却確率が 目される. 一方, 本論では, 仮説 に対応した集合 の定義関数に近 ニとに近く, 仮説 の下で 0考えていて, 推定量の期待値が仮説 の下で 1すなわち任意のが望ましい. そこで, 通常の検定関数の場合とは 0, 1 を逆にすることで, 仮説 の下で,
注$1)_{\mathrm{N}- \mathrm{P}}$検定$\varphi \mathrm{N}\mathrm{P}$は採択域$\{x|\sqrt{n}\overline{x}<$$\{x|\sqrt{n}\overline{x}\leq u_{\alpha}\}$$\mathrm{H}$$u_{\alpha}\}^{c}=\{x|\sqrt{n}\overline{x}\geq u_{\alpha}\}$$\mathrm{H}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{H}$$(=\chi\ominus_{\mathrm{o}}(\theta))$$\chi-_{0}(\theta)$$\ominus_{0}$$(=\chi-\mathrm{o}(\theta))$$\mathrm{K}$$\theta\leq 0$$\mathrm{H}$(こついて$\mathrm{a}$$\mathrm{A}$$E_{\theta}[\varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}}(\overline{x})]=P_{\theta}\{\sqrt{n}\overline{x}\leq u_{\alpha}\}=P_{\theta}\{\sqrt{n}(\overline{x}-\theta)\leq u_{\alpha}-\sqrt{n}\theta\}=\Phi[u_{\alpha}-\sqrt{n}\theta]\geq\Phi[u_{\alpha}]=1-\alpha$となり, 水準 は 0.1 や 005 など 」 さい値をとるので, この期待値は 1 に近くなる. 一方, 対立仮説 の下となり, 大きい値の に対してこで, すなわち任意の $\theta>0$ についても同様にの期待値は 0 に近くなる.
$\mathrm{K}$$\alpha$$’$$\mathrm{a}$$\theta$$E_{\theta}[\varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}}(\overline{x})]=\Phi[u_{\alpha}-\sqrt{n}\theta]$

184
Bayes 決定方式,

値, N-P 検定それぞれのリスクを求めよう. まず, Bayes 決定方式のリ
スクは任意の $\theta<0$ について$\mathrm{p}$$R^{(2)}(\theta,\varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$$= \theta^{2}\int_{-\infty}^{\infty}\{\Phi(\frac{n\sigma x}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})+\frac{n\sigma x\sqrt{n\sigma^{2}+1}}{n^{2}\sigma^{2}x+(n\sigma^{2}+1)}\phi(\frac{n\sigma x}{\sqrt{n\sigma+1}})\}^{2}\sqrt{n}\phi(\sqrt{n}(x-\theta))dx$$=\theta^{2}E_{Z}[\{$(4.5)$\Phi(\frac{\sqrt{n}\sigma(Z+\sqrt{n}\theta)}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})+\frac{\sqrt{n}\sigma(Z+\sqrt{n}\theta)\sqrt{n\sigma^{2}+1}}{\{\sqrt{n}\sigma(Z+\sqrt{n}\theta)\}^{2}+(n\sigma^{2}+1)}\phi(\frac{\sqrt{n}\sigma(Z+\sqrt{n}\theta)}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})\}^{2}]$になる. ただし, $Z$ は $N(0,1)$ に従う確率変数とする. また, 任意の $\theta>0$ につぃても同様にして$R^{(2)}(\theta,\varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$$=\theta^{2}E_{Z}[\{$(4.6)$\Phi(\frac{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}\theta)}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})+\frac{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}\theta)\sqrt{n\sigma^{2}+1}}{\{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}\theta)\}^{2}+(n\sigma^{2}+1)}\phi(\frac{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}\theta)}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})\}^{2}]$となる. よって, (4.5), (4.6) より, 任意の$\theta\in \mathrm{R}^{1}$につぃて$R^{(2)}(\theta,\varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$$=\theta^{2}E_{Z}[\{$$\Phi(\frac{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}|\theta|)}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})+\frac{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}|\theta|)\sqrt{n\sigma^{2}+1}}{\{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}|\theta|)\}^{2}+(n\sigma^{2}+1)}\phi(\frac{\sqrt{n}\sigma(Z-\sqrt{n}|\theta|)}{\sqrt{n\sigma^{2}+1}})\}^{2}]$(4.7)となる. (4.7) より, この Bayes 決定方式のリスクは原点 $\theta=0$ に関して対称であることに注意.
次に, N-P 検定のリスクは, 任意の$\theta\leq 0$につぃて$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})=\theta^{2}E_{X}[\{1-\chi(-\infty,u_{\alpha}](\sqrt{n})\}^{2}]=\theta^{2}E_{X}[\{\chi_{(u_{a’}\infty)}(\sqrt{n})\}^{2}]$$=\theta^{2}E_{X}[\chi_{(u_{\alpha},\infty)}(\sqrt{n})]=\theta^{2}P_{X}\{\sqrt{n}\overline{X}>u_{\alpha}\}$$=\theta^{2}P_{X}\{\sqrt{n}(\overline{X}-\theta)>u_{\alpha}-\sqrt{n}\theta\}=\theta^{2}\Phi(-(u_{\alpha}-\sqrt{n}\theta))$になる. 一方, 任意の $\theta>0$ につぃて$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})=\theta^{2}E_{\overline{X}}[\{\chi(-\infty,u_{\alpha}](\sqrt{n}\overline{X})\}^{2}]=\theta^{2}\Phi(u_{\alpha}-\sqrt{n}\theta)$となる. よって, 任意の$\theta\in \mathrm{R}^{1}$につぃて$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})=\theta^{2}\Phi(sgn(\theta)(u_{\alpha}-\sqrt{n}\theta))$となる. ただし, $sgn(\theta)$ [ま最後に,$\mathrm{p}$の符号とする.
値のリスクは, 任意のにつぃて$\theta$$\theta\leq 0$$R^{(2)}(\theta,p)=\theta^{2}E_{\overline{X}}[\{1-\Phi(-\sqrt{n}\overline{X})\}^{2}]=\theta^{2}E_{X}[\Phi(\sqrt{n}\overline{X})^{2}]$$=\theta^{2}E_{Z}[\Phi(Z+\sqrt{n}\theta)^{2}]=\theta^{2}E_{Z}[\Phi(Z-\sqrt{n}|\theta|)^{2}]$

(4.8)

185
になる. また, 任意の $\theta>0$ について$R^{(2)}(\theta,p)=\theta^{2}E_{\overline{X}}[\Phi(-\sqrt{n}\overline{X})^{2}]=\theta^{2}E_{Z}[\Phi(Z+\sqrt{n}\theta)^{2}]=\theta^{2}E_{Z}[\Phi(Z-\sqrt{n}|\theta|)^{2}]$となる. よって, 任意の$\theta\in \mathrm{R}^{1}$

について

(4.9)

$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})=\theta^{2}E_{Z}[\Phi(Z-\sqrt{n}|\theta|)^{2}]$となる. ここで, (4.9) より, Bayes 決定方式のリスクと同様に,$\mathrm{p}$に関して対称であることに注意.

そこで, 求めた (4.7), (4.8), (4.9) をもとに, Bayes 決定方式,$\mathrm{p}$値のリスクも原点 $\theta=0$
値, N-P 検定のリスクのグラフを描く (図 1, 2).

図 1Bayes 決定方式,$\mathrm{p}$値, N-P 検定のリスク $(n=1)$で極端に小さ , 対立仮説 K&こ対に対応する領域
で極端に大きいグラフが N-P 検定のリスクであり, 有意水準
応する領域
が大きくなるにつれて $(\alpha=0.01,0.05,0.1)$ , 最大リスクが小さくなる. 左右対称で全体[まにわたって低いグラフが Bayes 決定方式と 値のリスクである. N-P 検定のリスク
図 1 において, 仮説$\mathrm{H}$$\text{く}$$\ominus_{0}=\{\theta|\theta\leq 0\}$$\Theta_{1}=\{\theta|\theta>0\}$$\alpha$$\Theta_{0}$$\mathrm{p}$においてはそのリスク [ま大変大きくなっにおいては大変小さく好ましいのだが, 逆にてしまう. これは, N-P 検定が 0 が 1 しか取らず, 滑らかでな ことと, 仮説 を支持する
ことに重点を置いている決定方式であることに起因していると思われる (注 1) 参照). 検
定論の立場から見れば, Neyman-Pearson の基本定理より導かれる検定{ま, UMP 検定, もま, 考えてしくは UMPU(一様最強力不偏) 検定を与える好ましい決定方式なのだ力 ,の推定問題においては, 通常の N-P 検定における仮説 [こ固執する影響力 出てる$\Theta_{1}$$\mathrm{H}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\grave{\grave{1}}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\grave{\grave{1}}$$\mathrm{H}$$\chi\ominus_{0}(\theta)$

しまう. 一方, 値や Bayes 決定方式のリスクは全体的にリスクが低く,
クが大きくなる N-P 検定よりも好ましいといえる.
$\mathrm{p}$$\Theta_{1}$で極端 [こリス

186

値のリスク $(n=1)$ . 実線が 値のリスク $R^{(2)}(\theta,p)$ であり, 破線がBayes 決定方式のリスクである. 破線幅の小さい方がら順に, 事前 (分布の)図 2Bayes 決定方式,$\mathrm{p}$$\mathrm{p}$$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$

分散 $\sigma^{2}=0.3^{2},0.5^{2},1^{2},2^{2}$ とする.

また, 図 2 のように, 事前分散の値にょっては, 図 2 の場合には $\sigma^{2}=0.3^{2},0.5^{2}$ のときに, Bayes 決定方式の最大リスク
は 値の最大リスクを下回るので, Bayes 決定方式がこの 3 っの決定方式の中では好ましいといえる. これは, リス$\sigma^{2}$$\sup_{\theta}R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$$\sup_{\theta}R^{(2)}(\theta,p)$$\mathrm{p}$を積分し, リスクを平均した Bayes リスク
がら Bayes 決定方式が導きだされるために, Bayes 決定方式のリスクが全体的に低くなるということであろう. そこで,決定方式を Bayes 決定方式に限って, その中で, リスクのミニマックス方式, すなゎちク

$R(\theta, \varphi)$$r_{\pi}(\varphi)$$\varphi_{\pi_{\sigma}}^{*}$$\inf_{\sigma}\sup_{\theta}R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})=\sup_{\theta}R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma_{0}}}^{*})$, すなわちミニマックス解にょる方式を求めよう. ここで, Bayes 決定
方式のリスクが原点 $\theta=0$ に関して対称であることから, 上の式での $\sup$ はについて考えればよい. しかし, Bayes 決定方式のリスクの式 (4.7) を見てもゎがる
ように, このようなミニマックス解を解析的に求めることは難しいので数値的に考察する. 図 2 からわかるように, を小さくするに従って Bayes
決定方式の最大リスクが単調に下がっていくというわけでもない. これは, 事前分散 の値を小さくして, 極端に言えば,として, を中心 $\theta=0$ の周りに集中させたいのだが, ある程度以上の値を小さくすると, 中心 $\theta=0$ の近傍の外で逆にリスクが上がってしまう. ある程度 の値の大きさを保っておいて, その事前分布の設定に遊ひを持たせておいた方が良いのである.
を数値的に考察する手法としては, の値をいくっがとってグラフを図示し, 最大リスとなる事前分散$\sigma_{0}^{2}$$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$$\theta\geq 0$$\sigma_{0}$$\sigma$$\sigma^{2}$$\sigma^{2}arrow 0$$\theta$$\sigma^{2}$$\sigma^{2}$$\sigma_{0}$$\sigma$クをとる点を結んで曲線を書いたときにその曲線の極小値点となるに, 先ほどよりも細かい間隔でその点第 4 位で四捨五入して$\sigma$$\sigma$の値を見っけて, 次の値の前後の値をとって, 同じことを繰り返し, 小数の値を求めた.

$\sigma$187

およびミニマツクス解$(n=1, \sigma=1.1850(0.0002)$ $1.1870)$ .

図 3Bayes 決定方式のリスク

図 4Bayes 決定方式のリスク$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$. $1.186$$\sigma_{0}.=$およびミニマツクス解. $0.530$$\sigma_{0}.=$$(n=5, \sigma=0.5295(0.0001)$ $0.5305)$ .

図 5Bayes 決定方式のリスク$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$

およびミニマツクス解$(n=10, \sigma=0.3745 (0.0001) 0.3755)$ .

. $0.375$$\sigma_{0}.=$188

図 6Bayes 決定方式のリスク$R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma}}^{*})$

およひミニマックス解. 0.265$\sigma_{0}.=$$(n=20, \sigma=0.2645 (0.0001) 0.2655)$ .

グラフを見て判断するしかないが, 標本数 $n=1,5,10,20$ のときのミニマックスリスクとその \sigma 。に対する Bayes 決定方式
がとる最大リスクはそれ$\hslash\not\in\sigma_{0}$$\sup_{\theta}R^{(2)}(\theta, \varphi_{\pi_{\sigma_{0}}}^{*})$$\varphi_{\pi_{\sigma_{0}}}^{*}$

ぞれ. 1.186,$n=1$ のとき,$\sigma_{0}.=$$n=5$ のとき,$\sigma_{0}.=$$n=10$ のとき,$\sigma_{0}.=$$n=20$ のとき,$\sigma 0^{\cdot}=$$R(1.228,$. $0.530$ , $R(0.549,$. $0.357$ ,$R(0.388,$. $0.265$ ,$R(0.275,$となる. このことから, 当然ではあるが, 標本数$n$. 0.11988,$\varphi_{\pi_{\sigma_{0}}}^{*}).=$. $0.02398$ ,$\varphi_{\pi_{\sigma_{0}}}^{*}).=$. $0.01199$ ,$\varphi_{\pi_{\sigma_{0}}}^{*}).=$. 0.00599$\varphi_{\pi_{\sigma_{0}}}^{*}).=$

を大きくすれば, 事前分布の分散$\sigma^{2}$を小さくしてよいと言える.

次に,が尺度母数の場合について考える. 確率変数 $X$ が (Lebesgue 測度に関する)p. .
$(1/\theta)f(x/\theta)(\theta>0)$ をもっとし,の (Lebesgue 測度に関する) 事前密度をとする. いま,仮説, 対立仮説の検定問題において,として, 損失関数$\theta$$\mathrm{d}.\mathrm{f}$$\theta$$\pi$$\mathrm{H}:\theta\leq\theta_{0}$$\mathrm{K}:\theta>\theta_{0}$$\tilde{L}^{(\gamma)}(\theta, d):=(\frac{\theta}{\theta_{0}})^{\gamma}\{\chi_{\Theta_{0}}(\theta)-d\}^{2}$を考える. これは, 位置母数の場合と同様に, 仮説の境界$\ominus_{\mathrm{o}}=(0, \theta_{0}]$$(\gamma>0)$の近傍では損失が敏感に反応するようにしてある. 特に, $\gamma=0$ とすれば, この損失関数は通常の 2 乗損失になる.
一般に, 決定方式 のリスクは$\theta=\theta_{0}$$\varphi$$\tilde{R}^{(\gamma)}(\theta, \varphi):=E_{\theta}[\tilde{L}^{(\gamma)}(\theta,\varphi)]=(\frac{\theta}{\theta_{0}})^{\gamma}E_{\theta}[\{\chi_{\Theta_{0}}(\theta)-\varphi(X)\}^{2}]$189となる. いま, $\theta_{0}=1$ と仮定して一般性を失わない. このとき, Bayes 決定方式は, 位置母数の場合と同様にして$\varphi_{\pi}^{*}(x)=\frac{\int_{0}^{1}\theta^{\gamma}\frac{1}{\theta}f(\frac{x}{\theta})\pi(\theta)d\theta}{\int_{1}^{\infty}\theta^{\gamma}\frac{1}{\theta}f(\frac{x}{\theta})\pi(\theta)d\theta}$となる. また, $X=x$ を与えたときの$\theta$の事後密度は$p( \theta|x)=\frac{\frac{1}{\theta}f(\frac{x}{\theta})\pi(\theta)}{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\theta}f(\frac{x}{\theta})\pi(\theta)d\theta}$になるから(4.10)$\varphi_{\pi}^{*}(x)=\frac{\int_{0}^{1}\theta^{\gamma}p(\theta|x)d\theta}{\int_{0}^{\infty}\theta^{\gamma}p(\theta|x)d\theta}$と表わせる.
例 42(正規分布の標準偏差).

$X_{1},$$\cdots,$$X_{n}$

を正規分布 $N(0, \sigma^{2})$ からの無作為標本とし,の事前密度 \pi 。を共役分布であるガンマ分布 $G(a, b)(a>1, b=2a-2)$ のp.d.f. とする ff 2), すなわち, $\pi_{a}(\tau)=b^{a}\tau^{a.-1}e^{-b\tau}/\Gamma(a)$ とする. 変換 $\tau=1/(2\sigma^{2})$ のヤコビの事前密度は
アンは $|d\tau/d\sigma|=1/\sigma^{3}$ になるから,$\tau:=1/(2\sigma^{2})$$\sigma$$b_{-2\mathrm{a}-1---^{\mathrm{b}}7,\sigma e2\sigma}^{a}\propto\sigma^{-2a-1}e^{-\mathrm{H}\mathrm{I}}$$\pi_{a}(\sigma)=\frac{b^{a}}{\Gamma(a)}(\frac{1}{2\sigma^{2}})^{a-1}e^{-_{2}=_{\sigma}^{b}}$$\sigma^{3}1=$––、$2^{a-1}\Gamma(a)$になる. このとき,の分布の$\mathrm{Y}:=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}$

とおくと,$\mathrm{Y}/\sigma^{2}$

は自由度

$n$

のカイ 2 乗分布$\chi_{n}^{2}$に従$\mathrm{Y}$$\mathrm{A}$$\mathrm{a},$.は$\mathrm{p}.\mathrm{d}.\mathrm{f}$$f_{Y}(y; \sigma)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma}(\frac{y}{\sigma^{2}})^{(n/2)-1}e^{-(y/\sigma^{2})/2_{\frac{1}{\sigma^{2}}}}$$= \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)\sigma^{n}}y^{(n/2)-1}e^{-_{2}4_{\sigma}}\propto\frac{1}{\sigma^{n}}e^{--*}2\sigma$になるから,$\mathrm{Y}=y$を与えたときの$\sigma$$(y>0)$の事後密度は$p( \sigma|y)=\frac{f_{Y}(y,\sigma)\pi_{a}(\sigma)}{\underline\int_{0}^{\infty}f_{\mathrm{Y}}(y,\sigma)\pi_{a}(\sigma)d\sigma}..=\frac{\frac{1}{\sigma^{n}}e^{-_{2\sigma}}\sigma^{-2a-1}e^{-_{2\sigma}}*-^{b}\tau}{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sigma^{n}}e^{2\sigma}-*\sigma-2a-1e^{2\sigma}--^{b}Id\sigma}=\frac{\sigma^{-(n+2a+1)}e^{-_{2\sigma}^{\mathrm{H}}\#}}{\int_{0}^{\infty}\sigma-(n+2a+1)e^{-\mathrm{H}}2\sigma d\#\sigma}$

2 つのパラメータを変化させて Bayes 決定方式のリスクを考えるのは煩雑 [こなるので,に対応する $\tau=1/(2\cdot 1)=1/2$ を最頻値にするために, 2 つの\nearrow くラメータにこのような関係を持たせた. 実際, ガンマ分布 $G(a, b)(a, b>0)$ の p.d.f. $f(x|a, b)$ を微分すると,
注 2) ガンマ分布の$\sigma^{2}=1$$\frac{df(x|a,b)}{dx}=-\frac{b^{a}}{\Gamma(a)}\{bx-(a-1)\}x^{a-2}e^{-bx}$となり, $a>1$ かつ $b=2(a-1)$ ならば, $x=1/2$ が最頻値 [こなる.

190になる. ここで , $t=(b+y)/\sigma^{2}$ という変数変換を用いれば, (4.10) から Bayes 決定方式は$\varphi_{\pi_{a}}^{*}(y)=\frac{\int_{0}^{1}\sigma^{\gamma}p(\sigma|y)d\sigma}{\int_{0}^{\infty}\sigma^{\gamma}p(\sigma|y)d\sigma}=1-\frac{\int_{1}^{\infty}\sigma^{\gamma}p(\sigma|y)d\sigma}{\int_{0}^{\infty}\sigma^{\gamma}p(\sigma|y)d\sigma}=1-\frac{\int_{1}^{\infty}\sigma^{-(n+2a-\alpha+1)}e^{-_{2}*_{d\sigma}}}{\int_{0}^{\infty}\sigma^{-(n+2a-\alpha+1)}e^{-_{2}^{b}*_{\sigma}}d\sigma}$$=1- \frac{\int_{0}^{b+y}t^{(n+2a-\alpha)/2-1}e^{-t/2}dt}{\int_{0}^{\infty}t^{(n+2a-\alpha)/2-1}e^{-t/2}dt}=1-F(b+y;(n+2a-\alpha)/2,1/2)$$=Q(b+y;(n+2a-\alpha)/2,1/2)$(4.11)となる. ただし, $F(\cdot ; (n+2a-\alpha)/2,1/2),$ $Q(\cdot ; (n+2a-\alpha)/2,1/2)$ はそれぞれガンマ分
布 $G((n+2a-\alpha)/2,1/2)$ の累積分布関数 (c.d.f.), 上側確率とする. 特に, $n+2a-\alpha$ がの値をとれば, $G((n+2a-\alpha)/2,1/2)\}$ま自由度 $n+2a-\alpha$ のカに等しいから, (4.11) は

自然数となるよう [こ $a,$
イ 2 乗分布$\chi_{n+2a-\alpha}^{2}$$\alpha$\mbox{\boldmath $\varphi$}\pi *。 $(y)=1-F_{n+2a-\alpha}(b+y)=Q_{n+2a-\alpha}(b+y)$と書き直される. ただし,
する.

そこで, 仮説失$\tilde{L}^{(0)}$$Q_{n+2a}$$F_{n+2a-\alpha},$(4.12)-。はそれぞれ\chi :+2a-。分布の c.d.f., 上側確率との検定問題において, $\gamma=0$ , すなゎち通常の 2 乗損を損失関数に用いたときに 値, N-P 検定のリスクとともに, この Bayes 決定方式$\mathrm{H}:\sigma\leq\sigma_{0},$$\mathrm{K}:\sigma>\sigma_{0}$$\mathrm{p}$\mbox{\boldmath $\varphi$}\pi *。のリスクの挙動を図示し, 比較してみる.

$\mathrm{p}$値, N-P 検定は, それぞれ

$p(y)=P_{1}\{\mathrm{Y}\geq y\}=P_{1}\{\mathrm{Y}/1^{2}\geq y/1^{2}\}=1-F_{n}(y)=Q_{n}(y)$$\varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}}$1(y)=\chi (-\infty ,\chi 9,。](y)により与えられる. ただし,

$F_{n},$$Q_{n}$$(y\leq\chi_{n,\alpha}^{2})$$\mathrm{p}$

,

$=\{$

0(その他)
はそれぞれ$\chi_{n}^{2}$

分布の c.d.f., 上側確率とし, $0<\alpha<1$

を N-P 検定の一様最強力 (UMP) 検定の有意水準とし,する. 次に, Bayes 決定方式,
定方式 \mbox{\boldmath $\varphi$}\pi *。のリスクは任意の,分布の上側 100\mbox{\boldmath $\alpha$}% 点と値, N-P 検定それぞれのリスクを求めよう. まず, Bayes 決$\sigma\leq 1$$\chi_{n,\alpha}^{2}$を$\chi_{n}^{2}$につぃて$\tilde{R}^{(0)}(\sigma, \varphi_{\pi_{a}}^{*})=E_{Z_{n}}[\{F(b+\sigma^{2}Z_{n};(n+2a)/2,1/2)\}^{2}]$になる. ただし,$Z_{n}$

は$\chi_{n}^{2}$(4.13)

分布に従う確率変数とする. また, 任意の $\sigma>1$ につぃても同様にして$\tilde{R}^{(0)}(\sigma, \varphi_{\pi_{a}}^{*})=E_{Z_{n}}[\{Q(b+\sigma^{2}Z_{n};(n+2a)/2,1/2)\}^{2}]$となる.

次に, N-P 検定のリスクは, 任意の$\sigma\leq 1$につぃて$\tilde{R}^{(0)}(\sigma, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})=E_{\sigma}[\{1-\chi(0,\chi_{n.\alpha}^{2}](\mathrm{Y})\}^{2}]=E_{\sigma}[\{\chi(x_{n.\alpha}^{2},\infty)(\mathrm{Y})\}^{2}]$(4.14)

191$\ovalbox{\tt\small REJECT} E_{\sigma}$[\chi。’\sim )$(Y)]\ovalbox{\tt\small REJECT} P_{7}\{Y>\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha},\}$(4.15)$\ovalbox{\tt\small REJECT} P_{7}\{\mathrm{Y}/\sigma^{2}>\mathrm{x}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha},/\sigma^{2}\}\ovalbox{\tt\small REJECT} Q_{n}(\mathrm{x}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha},/\sigma^{2})$になる. 一方, 任意の $\sigma>1$ について

(4.16)$\tilde{R}^{(0)}(\sigma, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})=E_{\sigma}[\{\chi(0,\chi_{n,\alpha}^{2}](\mathrm{Y})\}^{2}]=F_{n}(\chi_{n,\alpha}^{2}/\sigma^{2})$

となる.

最後に,

$\mathrm{p}$値のリスクは任意の$\sigma\leq 1$

について(4.17)$\tilde{R}^{(0)}(\sigma,p)=E_{Z_{n}}[\{F_{n}(\sigma^{2}Z_{n})\}^{2}]$になる. ただし,$Z_{n}$

は$\chi_{n}^{2}$分布に従う確率変数とする. また, 任意の $\sigma>1$ [こつ$\mathrm{A}\mathrm{a}$

ても同様

にして

(4.18)$\tilde{R}^{(0)}(\sigma,p)=E_{Z_{n}}[\{Q_{n}(\sigma^{2}Z_{n})\}^{2}]$となる.
そこで, 求めた (4.13)\sim (4.18) をもとに, Bayes 決定方式,

フを以下に図示する. まず, N-P 検定と$\mathrm{p}$$\mathrm{p}$値, N-P 検定のリスクのグラ

値のリスクを比較してみると次のよう G こなる.

(@, N-P 検定のリスク $(n=5)$ . 実線が 値のリスクであり, 破線の幅が狭くなる順に有意水準のリスクとしている (図 10, 12, 14 も同様).

図8$\tilde{R}^{(0)}(\sigma,p)$$\mathrm{p}$$\mathrm{p}$$\tilde{R}^{(0\rangle}(\sigma, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})$$\alpha$で, 破線力$\grave{\grave{1}}$N-P 検定を $\alpha=0.01,0.05,0.1$

図 8 のように, 正規分布の平均の場合と同様に, やはり, N-P 検定は仮説$\mathrm{H}$に対応する領域

で極端に小さく, 対立仮説 に対応する領域 $\Theta_{1}=\{\sigma|\sigma>1\}$ で極端に大きくなってしまう. なお, リスクが 025 のところに直線を引 て る力 , これ [ま, 損$\Theta_{0}=\{\sigma|0<\sigma\leq 1\}$$\mathrm{K}$$\grave{\grave{\backslash }}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$失関数として 2 乗損失を用いた場合に存在するミニマツクス決定方式 $\varphi_{0}(=1/2a.e.)$[こなる.
定数リスク 025 である. 次に, Bayes 決定方式, 値比較してみると次のよう$\mathrm{p}$

の

192

図 9Bayes 決\not\in 方式,

検定のリスク$\mathrm{p}$値のリスク $(n=5)$ . 実線が$\tilde{R}^{(0)}(\sigma, \varphi_{\mathrm{N}\mathrm{P}})$$\mathrm{p}$値のリスクであり, 破線の幅が広くなる順にいる (図垣, 13, 15 も同様).

$a$

やはり, 正規分布の場合と同様に Bayes 決定方式のリスクはわたって安定している.

$\tilde{R}^{(0)}(\sigma,p)$

で, 破線が N-Pの値を $a=2,3,4,5$ として$\mathrm{p}$値のリスクに近く, 全体にさらに, $\gamma=2$ とした荷重 2 乗損失を損失関数として用いたときの決定方式のリスクを考える. N-P 検定と 値のリスクは, 通常の 2 乗損失を用いた場合のそれぞれの$\tilde{L}^{(2)}$$\tilde{L}^{(0)}$$\mathrm{p}$リスク (4.15)\sim (4.18) に単に(4.11) より$\sigma^{2}$を乗じたものになる. Bayes 決定方式は, $\gamma=2$ のとき,$\varphi_{\pi_{a}}^{*}(y)=1-F(b+y;(n+2a-2)/2,1/2)=Q(b+y;(n+2a-2)/2,1/2)$となる. よって, そのリスクは, (4.13), (4.14) と同様にして, 任意の$\sigma\leq 1$につぃて$\tilde{R}^{(2)}(\sigma, \varphi_{\pi_{a}}^{*})=\sigma^{2}E_{Z_{n}}[\{F(b+\sigma^{2}Z_{n};(n+2a-2)/2,1/2)\}^{2}]$になる. ただし,$Z_{n}$

は$\chi_{n}^{2}$(4.19)(4.20)

分布に従う確率変数とする. また, 任意の $\sigma>1$ につぃても同様にして$\tilde{R}^{(2)}(\sigma, \varphi_{\pi_{l}}^{*})=\sigma^{2}E_{Z_{n}}[\{Q(b+\sigma^{2}Z_{n};(n+2a-2)/2,1/2)\}^{2}]$(4.21)となる. このとき, Bayes 決定方式, 値, N-P 検定のリスクのグラフを描く (図10\sim 15). まず, N-P 検定と 値のリスクを比較してみると次のようになる.
$\mathrm{p}$$\mathrm{p}$

193

図 10

$\mathrm{p}$値, N-P 検定のリスク $(n=5)$

図 10 のように, 正規分布の平均の推定の場合と同様に, やはり, N-P

検定 [ま仮説$\mathrm{H}$[こ対応す$\Theta_{1}=\{\sigma|\sigma>1\}$
る領域 $\Theta_{0}=\{\sigma|0<\sigma\leq 1\}$ で極端に小さ , 対立仮説 に対応する領域
で極端に大きくなってしまう. 次に, Bayes 決定方式, 値比較してみると次のよう {こなる.
$\mathrm{K}$$\text{く}$$\mathrm{p}$図 11 Bayes 決定方式,

標本数

$n$

$\mathrm{p}$値のリスク $(n=5)$を変えて同様にリスクを比較してみる.

194

図 14

$\mathrm{p}$値, N-P 検定のリスク $(n=20)$

195

図 15 Bayes 決定方式,$\mathrm{p}$値のリスク $(n=20)$を大きくすることで 3 つの決定方式のリスクはともに下がるが, やはりその中でも Bayes 決定方式の良さは際立っている. しかし, 正規分布の平均の場合とは違い, Bayes

標本数

$n$

決定方式の中でのミニマツクス解を求めることは容易でないし, ミニマツクス解が存在す
るのも確かではない. これは, 平均の場合は対称な正規分布に基づいていたが, いま考えている分散の場合は非対称なカイ 2 乗分布 (ガンマ分布) に基づいているからである.

5.

おわりに

本論においては, 正規分布の母数に関する検定について, 荷重 2 乗損失を用いて, Bayes
決定方式, N-P 検定, 値のリスクについて考察した. また, 正規分布の平均の片側検定問
題において, 正規分布を事前分布として, Bayes 決定方式のミニマツクス解を数値的に求めることができた. しかし, 正規分布の分散の片側検定問題においては, 事前分布として$\mathrm{p}$共役分布のガンマ分布をとったが, これは非対称な分布のためにミニマツクス性につ$\mathrm{A}\mathrm{a}$て考えることは容易でないことが分かった. 事前分布として他の分布を考える余地もあると考えられるが, これについては今後の課題としたい.

参考文献[BS87] Berger, J. 0. and Selleke. T. (1987). Testing apoint null hyphothesis :The Irreconcilability of values and evidence (with discussion). J. Amer. Statist. Assoc.,
82, 112-139.
[CB87] Casella, G. and Berger, R. L. (1987). Reconciling evidence in the one-sided testing
problem (with discussion). J. Amer. Statist. Assoc., 82, 106-139.
[De73] DeGroot, M. H. (1973). Doing what comes naturally: Interpreting atail area as
aposterior probability or as alikelihood ratio. J. Amer. Statist. Assoc., 68, 966-969.
[Di77] Dickey, J. M. (1977). Is the tail area useful as an approximate Bayes factor? .
$p$

$J$

Amer. Statist. Assoc., 72, 138-142.

196[

RWF92] Hwang, J. T., asella, G., Robert, C., Wells, M. T. and Farrell, R. H. (1992).
Estimation of accuracy in testing. Ann. Statist., 20, 490-509.
[Le86] Lehmann, E. L. (1986). Testing Statistical Hyphotheses, 2nd ed. Wiley, New$\mathrm{H}\mathrm{C}$$\mathrm{C}$York.
[Li57] Lindley, D. V. (1957). Astatistical paradox. Biometrika, 44, 187-192.