数理解析研究所講究録 1250 巻 2002 年 1-8

1$\mathbb{Z}^{2}$極小系から生じる接合積$\mathrm{A}\mathrm{F}$$C^{*}$

環の埋め込み性について松井宏樹

1

序埋め込み性について考えます。 この方面での最も大事な結果のひとにつにピムズナーの定理があります。 $X$ がコンパクト距離空間のとき、よって定まる 作用による $C(X)$ の接合積を、 $C^{*}(X, T)$ と書くことにします。
接合積$C^{*}$

環の$\mathrm{A}\mathrm{F}$$T\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(X)$$\mathbb{Z}$定理 1([Pi]). コンパクト距離空間 $X$ と$T\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(X)$

埋め込み可能である。
(i) $C^{*}(X, T)$ が(ii) $C^{*}(X, T)$ が quasi-diagonal である。
(iii) $C^{*}(X, T)$ が安定有限である。
(iv) $T$ が擬非遊走的である。つまり、に対して次は同値。

$\mathrm{A}\mathrm{F}$$T(\overline{U})\subseteq U$となるような開集合 $U\subset X$ は存在しない。

埋め込み可能であるた
つまり、可換な環の 作用による接合積については、作用の場合は今のところめの必要十分条件が既にわかっているわけです。 ところがほとんど何もわかっていません。 コンパクト距離空間 $X$ 上に二つの交換する同相写像$T,$があるとき、 $(X, T, S)$ を力学系と呼ぶことにします。そして、この作用による $C(X)$ の接合積を、 $C^{*}(X, T, S)$ と書くことにします。
ボアクレスクは quasi-diagonal 性に関する論文の中で、次のような問題をあげています。
$C^{*}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}^{2}$$\mathbb{Z}^{2}$$S\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(X)$$\mathbb{Z}^{2}$

問題 2([V2]). $(X, T, S)$ を$\mathbb{Z}^{2}$

力学系とするとき、接合積$C^{*}$

環 $C^{*}(X, T, S)$ はいつ$\mathrm{A}\mathrm{F}$

埋め込み可能となるか ?
論文 [M] において、 $(X, T, S)$ が極小であってさらにある特殊な条件を満たす場合に、この問題に対する解答が与えられました。このノートではその結果を報告したいと思います。

2AT 環の Z 接合積
まず最初に AT 環の$\mathbb{Z}$接合積の$\mathrm{A}\mathrm{F}$埋め込み性を考察する必要があります。

2
ブラウンは [B] において、接合積が埋め込み可能であるための必要十分条件を与えました。このブラウンの手法を真似することにより、次の定理を示すことが出来ます。
定理 3($[\mathrm{M}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$, Theorem 3.3]).とする。すると任意の環の$A$$\mathbb{Z}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$が単位元を含む単純な AT 環であって実階数ゼロである
はに対して、接合積埋め込み可能である。
$A\nu_{\alpha}\mathbb{Z}$$\alpha\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A)$$\mathrm{A}\mathrm{F}$

この定理の証明の鍵となるのは、 ロホリン性と呼ばれる環の自己同型の性質です。
ブラウンの環の時の証明と違うのは、このロホリン性から stability という性質を導く際にある種のホモトピー補題が必要になるという点です。以下に証明の概略を述べたいと思います。
次の命題が定理 3 の証明の実質的な部分です。
$C^{*}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$

命題 4(, Proposition 3.2]). $A$ が単位元を含む単純な実階数ゼロの AT 環であって、$B$ が単位元を含む単純な環であるとする。単位元を保つ準同型 : $Aarrow B$ ととが与えられて、かつが漸近的ユニタリ同値であるとす
Aut(A) 及びる。 さらに がロホリン性を持つとする。すると、ユニタリ $w\in B$ と単位元を保つ準同型 : $Aarrow B$ が存在して、を満たす。
$[\mathrm{M}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\alpha\in$$\varphi$$\beta\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B)$$\varphi\alpha$$\beta\varphi$$\beta$$\psi\alpha=\mathrm{A}\mathrm{d}w\beta\psi$$\psi$

与えられた $A$ と に対して、 もし上の命題の仮定を満足する $B$ と そして を見つけることが出来れぼ、定理 3 は証明されたことになります。なぜなら上の命題により、接合は積を通してに埋め込まれたことになり、後者の環は埋め込み可能であることがわ[Vl, Theorem 36] もしくは [ , Corollary 4.10] によってかるからです。この命題 4 はほとんど [ , Proposition 28] と同じです。唯一の違いは、近似的ユニタリ同値よりも強い漸近的ユニタリ同値という仮定を置いているという点です。
から AT になったという事に起因しています。具体的には、この違いはもちろん、環が環の場合には単に 乗根を取るという操作で良かったところが、 AT 環になったがために [BEEK] のホモトピー補題を使わなけれぼならなくなったのです。 この辺りの事情は、岸本先生による AT 環の自己同型の分類 [ , Theotem 5.1] の時と全く同じです。つまり命題 4 は、 2 つの論文 [B] と [K] のアイデアをつなぎ合わせるだけで証明できます。 (もう少し細かいことを言うと、 もう一つだけ問題があります。それは、 $A$ から $B$ への 2 つの準同型がいつ漸近的ユニタリ同値になるのかを判定しなけれぼいけない、 という点です。 しかしこの点も、 [KK] の結果を比較的容易に拡張することができるので、大丈夫です。)
さらに、定理 3 とリンによる TAF 環の分類定理 ([L]) をあわせることにより、次が系と$\beta$$\alpha$$A\mathrm{x}_{\alpha}\mathbb{Z}$$\psi$$\varphi$$B\mathrm{x}_{\mathrm{A}\mathrm{d}w\beta}\mathbb{Z}\cong Bx_{\beta}\mathbb{Z}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$n$$\mathrm{K}$して得られます。
系 5 (, Corollary 3.4]). $A$ が単位元を含む単純な実階数ゼロの核型 TAF 環であって、かつ普遍係数定理を満たすとする。すると任意のに対して、接合積は埋め込み可能である。
$[\mathrm{M}$$\alpha\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A)$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$A\mathrm{x}_{\alpha}\mathbb{Z}$3
証明はとても簡単です。 に適当な UHF 環をテンソルすれば、 の $K$ 群のねじれ元がぜんぶ消えてくれるので、 リンの分類定理によりそのテンソル積は AT 環だということがわかります。 UHF 環の上では恒等写像であるという自己同型を考えれば、 これで定理 3に帰着できたことになります。
$A$

$A$

3

$\mathbb{Z}^{2}$極小系

力学系とします。$T$ 不変かつ 不変な閉集合が存在しないとき、 $(X, T, S)$に対を極小系ならぼ、任意の極小系と呼ぶことにします。 $(X, T, S)$ が埋
環 $C^{*}(X, T, S)$ はしてが擬非遊走的であることがわかりますから、接合積め込み可能ではないかと強く推定されます。実際、定理 3 より次が容易に示せます。
$(X, T, S)$ を$S$$\mathbb{Z}^{2}$$(n, m)\in \mathbb{Z}^{2}$$\mathbb{Z}^{2}$$\mathbb{Z}^{2}$$C^{*}$$T^{n}S^{m}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$

命題 6(, Proposition 4.1]). $(X, T, S)$ が 極小系であるとする。 もし、 $X$ がカントール集合であり、かつ $T$ が極小写像であれぼ (つまり $T$ 不変な閉集合が存在しなければ) $\text{、}C^{*}(X, T, S)$ は埋め込み可能である。
$\mathbb{Z}^{2}$$[\mathrm{M}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$に対して、接合積 $C^{*}(X, T)$ がカントール集合 $X$ とその上の極小写像
実階数ゼロの単純な AT 環になるというパットナムの定理 ([Pu]) を使えぼ、定理 3 から命
題 6 が従うことは明らかです。
この命題 6 は、 $T$ 自身が極小であるという極めて特殊なケースにしか適用できませんか
ら、 より一般の場合をこの命題 6 に帰着させることを考えます。条件 $(\#)$ を次で定義し$T\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(X)$ます。

が条件 $(\#)$ を満たすとは、定義 7. コンパクト距離. 間上の自己同相写像となることを任意の $T$ 不変な開集合 $U$ に対してある $T$ 不変開集合 $V$ が存在して言う。
$\mathrm{B}*$$T\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(X)$$\overline{V}\subset U$

人に訊いたり本を調べたりしてみたのですが、 この条件には名前は付いていないようです。どういう意味があるのかちょっと掴みにくい定義なんですが、大事なことは、 この埋め込みが可能なのか不条件はあまり本質的なものではないという点です。つまり、可能なのかを、 この条件 $(\#)$ が決めるというわけでは全くありません。そうではなくて、埋め込み可能であることを証明するのに (現段階で) 必要な、技術的な仮定です。 したがって、将来なにか別の方法なりアイデアなりが出てくれぼ、 この条件は全く無用になってしまうと思われます。
次が主定理です。
$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$定理 8(

して $T^{n}S^{m}$, Theorem 48]). $(X, T, S)$ がに対極小系であって、ある埋め込み可能である。
が条件 $(\#)$ を満たすとする。すると、 $C^{*}(X, T, S)$ は$[\mathrm{M}$$(n, m)\in \mathbb{Z}^{2}\backslash 0$$\mathbb{Z}^{2}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$

どうやって定理 8 を命題 6 に帰着させるのか、以下で説明したいと思います。
条件 $(\#)$ を使うと、次の補題を示すことが出来ます。

4
補題 9.

力学系とする。 $T$ が条件 $(\#)$ を満たすとする。すると、 カントーと連続写像が存在して、次で定まるの上の同相写像$(X, \ovalbox{\tt\small REJECT} S)$

ル極小系が極小になる。
$(\ovalbox{\tt\small REJECT}\psi)$を$\mathbb{Z}^{2}$$X\cross \mathrm{Y}$$f\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{Y}arrow \mathbb{Z}$$\gamma$$\gamma(x, y)=(TS^{f(y)}(x), \psi\{y))$このようにして構或された力学系

for all$(x, y)\in X\mathrm{x}\mathrm{Y}$の斜積拡大と呼ぼれたりします。どうやってこの補題を示すのか、条件 $(\#)$ はなぜ必要なのか、 といった点を後回しにして、 まず先に、 この補題さえ示されれば定理 8 が証明できるということを説明します。
まず定理 8 の仮定どおり、あるに対してが条件 $(\#)$ を満たすとしましょう。同相写像が条件 $(\#)$ を満たすことと、そのある巾乗が条件 $(\#)$ を満たすということとが同値になるので、はじめから と $m$ は互いに素であるとして構いません。 さ$(X\cross \mathrm{Y},\gamma)$

は、$(\mathrm{Y}, \psi)$$T^{n}S^{m}$$(n, m)\in \mathbb{Z}^{2}\backslash 0$$n$

らに、生或元を取り替えることによって、 $T$ が条件 $(\#)$ を満たすとしても構いません。任意のコンパクト距離空間はカントール集合からの全射連続写像による像として書ける、 というのは良く知られた事実ですが、 作用を込みにした形で同様のことが証明できるので、最初から $X$ はカントール集合であると仮定することが出来ます。
さて、この $(X, T, S)$ に対して補題 9 を使いましょう。すると、カントール極小系と連続写像 :が得られ、それによって上の極小写像 が定義されました。
$X$ ももカントール集合でしたから、はカントール極小系であることになり$\mathbb{Z}^{2}$$(\mathrm{Y}, \psi)$$f$$X\mathrm{x}\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}arrow \mathbb{Z}$$\gamma$$\mathrm{Y}$$(X\cross \mathrm{Y}, \gamma)$

ます。

上の同相写像 を $\tau=S\cross id$ で決めます。明らかにこの とは交換しますから、はカントール集合の上の極小系です。 が既に極小ですから命題 6 よはり、接合積環埋め込み可能であると結論できます。 この接合積と環の中での作用を implement ている 2 つのユニタリをそれぞれ と としま
しょう つまり、任意の $g\in C(X\cross \mathrm{Y})=C(X)\otimes C(\mathrm{Y})$ に対して、$X\cross \mathrm{Y}$$\tau$$\tau$$\mathbb{Z}^{2}$$(X\cross \mathrm{Y}, \gamma, \tau)$$C^{*}$$C^{*}$$\gamma$$\gamma$$C^{*}(X\cross \mathrm{Y}, \gamma, \tau)$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\llcorner$$\tau$$u$$v$$\text{。}$$ugu^{*}=g\gamma^{-1},$となっています。いま$C^{*}(X\cross \mathrm{Y}, \gamma, \tau)$$vgv^{*}=g\tau^{-1}$のユニタリ $w$ を、$w= \sum_{k\in \mathrm{Z}}uv^{-k}1_{X\mathrm{x}f^{-1}(k)}$で定めます。というのは $X\cross f^{-1}(k)$ という集合 (これは開かつ閉です) の特性関数のことです。関数 $f$ が連続なのでは有限集合になり、 したがって上の総和は実際には有限和にしかなりません。 このユニタリ $w$ がどういう働きをしているのかと言う.と、 それはちょっと考えてみれぼ明らかで、要するに に適当な $S$ の巾をかけてやって、という同相写像にしてやっているわけです。 したがって $w$ は、任意の $g\in C(X)$ に対して、$1_{X\mathrm{x}f^{-1}(k)}$$f(\mathrm{Y})$$\gamma$$T\cross\psi$$w(g\otimes 1)w^{*}=gT^{-1}\otimes 1$

5と合わせると、 これで、を満たすことになります。既に得ている埋め)は$C\sim X,$ $LS)$ から) への準同型が得られました。
埋め込み可能であるということになり、証明が込み可能でしたから、 $C\sim X,$ $LS$ ) も完或しました。
$v(g\otimes \mathfrak{y}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} gS^{-1}\otimes 1$$C\sim X\cross\ovalbox{\tt\small REJECT}\gamma,$$C \sim X\cross\sum\gamma,$$\tau$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\tau$$\mathrm{A}\mathrm{F}$では次に補題 9 について少し説明したいと思います。補題 9 は、何らかの都合のよいを構或することが出来ると述べているわけですが、実際にこのカントール極小系を作ろうとすると、「順序の入ったブラツテリ図式」 というやつを扱う必要が出てきます。 しかし、「順序の入ったブラツテリ図式」 というのをここでまともに扱うのは割と大変なので、 もっと大雑把に説明したいと思います。
$(\mathrm{Y}, \psi)$$(\mathrm{Y}, \psi)$$(\mathrm{Y}, \psi)$

や $f$ :$\mathrm{Y}arrow \mathbb{Z}$がどんな条件を満たさなけれぼならないのか、逆に考えてみることにしましょう。 が極小写像になるようにしたいわけですが、 が極小であるとは、$\gamma$$\gamma$$n\in \mathrm{N}\cup\gamma^{n}(O)=X\cross \mathrm{Y}$が任意の開集合$O\subset X\cross \mathrm{Y}$に対して成り立つことと同値です。ですから、任意に開集合や を) 構或でが与えられたとして、上の式が成り立つように、 を (ひいてはもカントール集合でしたから、 開かつ閉な集合きないか、考えることにします。 $X$ も$U\subset X$ とがあって、 $O=U\cross V$ となっているとして構いません。 の定義を見る$O$$(\mathrm{Y},$$\gamma$$f$$\psi)$$\mathrm{Y}$$V\subset \mathrm{Y}$$\gamma$と、 $X$ 或分のほうは $TS^{k}$ がかかるわけですが、 $S$ の何乗がかかるのかは$\mathrm{Y}$或分によっています。それはもちろん $f$ という関数によっているわけですが、 ここでは簡単のために、各 に対し $\psi^{n}(V)$ という集合の上で $f$ は一定であるとしましょう (本当はこのような事はは、期待できません。あくまでも、簡単のために、です) 。すると
$n$$\gamma(O),$ $\gamma^{2}(O),$ $\gamma^{3}(O),$$TS^{2}(U)\cross\psi(V),$$T^{2}S^{-1}(U)\cross\psi^{2}(V),$$T^{3}S^{3}(U)\mathrm{x}\psi^{3}(V),$$\ldots$$\ldots$などとなっていると思えるわけです。いま私は $S$ の巾を 2 とか -1 とか 3 などと書きましたが、 もちろんこれは適当な数字です。これらの数字は実際には関数 $f$ によって決まります。ただし $f$ は連続写像であって はコンパクトですから、 $f$ が取ることの出来る値は有限個しかないことに注意しましよ ‘う。 ( $T$ の巾のほうは の定義から規則正し 1, 2, 3,となっています。)
が極小な同相写像になるためには、 これらの開かつ閉な集合たちのにならなければなりません。 ここで、 さらにもつと激しく大雑把な議論を和が、$\mathrm{Y}$$\langle$$\gamma$$\gamma$$X\cross \mathrm{Y}$することにします。 これらの集合の和が$X\cross \mathrm{Y}$全体を覆うためには、最低限、$TS^{2}(U)\cup T^{2}S^{-1}(U)\cup T^{3}S^{3}(U)\cup\cdots=X$

かつ$n\in \mathrm{N}\cup\psi^{n}(V)=\mathrm{Y}$$\ldots$

6
でなければなりません (本当に最低限度こうでなくてはならない、 という程度の話ですが)は極小系ですから (というより極小系になるように作るんですから) 2 番目のほうの式は問題ないとして、 1 番目のほうの式が成り立っものかどうか気になります。
$\text{。}(\mathrm{Y}, \psi)$の取る値を適当に並べることによって、本当に上の和が $X$ 全体を覆うようにできるでしようか。つまり、問題として定式化するなら次のようになります。

$f$

問題 10. $(X, T, S)$ が$\mathbb{Z}^{2}$

極小系であるとする。任意の開集合 $U\subset X$ に対して、$\phi_{0}(U)\cup\phi_{1}(U)\cup\cdots\cup\phi_{k}(U)=X$

かつ$\phi_{0}=id$,となるような同相写像の列$\emptyset:\emptyset_{\dot{l}-1}^{-1}=TS^{-1}$$\phi_{0},$$\phi_{1},$$\phi_{k}$$\ldots,$or$T$

or $TS$ for $i=1,2,$$k$$\ldots,$が取れるだろうか。

連続写像 $f$ の値域が有限集合にしかなり得ないことを考慮して、上の問題では $f$ の値域が {-1, 0, 1} であるという制約を設けています。 $(X, T, S)$ が極小系であることは、$\mathbb{Z}^{2}$$n,m\in \mathrm{N}\cup T^{n}S^{m}(U)=X$が任意の開集合 $U$ に対して成り立つことと同値ですから、そのことを考えると上の問題は肯定的に解決できそうな気がします ( や $m$ は自然数全体を走るとしてぃますが、 $X$はコンパクトですから実際には有限和で覆えることにも注意して下さい)。事実、上の問.
題でが取りうる 「値」 として、 もしもや $S$ が許されるのであれば、明らかに問題は解決されます。 ところが定理 8 を証明するには、 という同相写像の形はどうしても $(TS^{f(y)}(x), \psi(y))$ といった感じでないといけませんから、そうすると上の問題が成り立$n$$T^{-1}$$\phi_{:}\phi_{1-1}^{-1}$$\gamma$つかどうか微妙になって来るのです。
この点を回避するために私は条件 $(\#)$ を導入しました。
補題 1L もしも $T$ が条件 $(\#)$ を満足すれば、問題 10 は肯定的に解決される。

証明は簡単です。いま勝手に $X$ の開集合 $U$ を取りましょう。
開集合ですから、条件 $(\#)$ より$\bigcup_{n\in \mathrm{Z}}T^{n}(U)$は $T$ 不変な$\overline{V}\subset\cup T^{n}(U)n\in \mathrm{Z}$となる $T$ 不変開集合 $V$ が存在します。

$\overline{V}$はコンパクトですから、ある$U\cup T(U)\cup\cdots\cup T^{n-1}(U)\supset V$$n$が存在して7となります。すると$ST^{n}(U)\cup ST^{n+1}(U)\cup\cdots\cup ST^{2n-1}(U)\supset ST^{n}(V)=S(V)$が得られます。 ここで $V$ が $T$ 不変であることを使いました。 これを繰り返すと次々には $T$ 不変かつ $S$ 不変な開集合ですから、$V,$ $S(V),$ $S^{2}(V),$が得られますが、極小性より $X$ に一致してしまいます。 これで、 問題 10 に合うような形で $X$ 全体を覆うことが出来ました。 さらにさかのぼって考えると、条件 $(\#)$ の仮定のもとに、補題 9 が或$\bigcup_{k\in \mathrm{N}}S^{k}(V)$$\ldots$.

り立つことが言えます。
もしも問題 10 を (条件 $(\#)$ を仮定せずに) 証明できたなら、任意の極小系に対して埋め込みが言えることがわかります。いまのところ問題 10 に対する反例は見つかつて極小系の例自体が少ないこともあり、 一般的にはどういないのですが、知られているかというと私には何ともわかりません。
$\mathbb{Z}^{2}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\mathbb{Z}^{2}$4

例
定理 8 を適用できる例を最後にあげたいと思います。

が 2 つの 極小系であるとし(1) まずはくだらない例から説明します。 $(X, T)$ と極小系であることになります。明らかにます。すると当然 $(X\cross \mathrm{Y}, T\cross id, id\cross S)$ は埋め込み性が証明できます。 しかし
T i 占よ条件 $(\#)$ を満たしますから、定理 8 より$\mathbb{Z}$$(\mathrm{Y}, S)$$\mathbb{Z}^{2}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\cross$

この場合の接合積$C^{*}$

定理 8 を使わなくても環は、 明らかに $C^{*}(X, T)$ と$\mathrm{A}\mathrm{F}$$C^{*}(\mathrm{Y}, S)$のテンソル積ですから、何も埋め込み性は明らかです。

が極小な流れであるとします。任意(2) $X$ をコンパクト距離空間とし、 :は条件 $(\#)$ を満たすことがわかります。 したがって、 $t\in R$に対して、の実数が 上独立な 2 つの実数であるとき、 ( $X,$鰐世蕕 に 極小系になりますが、この, \phi埋め込み可能であることになります。
環は定理 8 より極小系から出来る接合積$\phi$$t\in \mathbb{R}$$\mathbb{R}\cross Xarrow X$$s,$$\phi_{t}$$\mathbb{Z}^{2}$$\phi_{s}$$\mathbb{Q}$$C^{*}$$\mathbb{Z}^{2}$(3) $(X, T, S)$ と$(\mathrm{Y}, T’, S’)$$\mathrm{A}\mathrm{F}$が 2 つの$\mathbb{Z}^{2}$極小系であって、連続写像

$\pi$

:

$\mathrm{Y}arrow X$

が $\pi T’=T\pi$

かつ $\pi S’=S\pi$ であるとします。 このようなとき $(\mathrm{Y}, T’, S’)$ は $(X, T, S)$ の拡大であると言われたりします。いま、 がある軌道の上で 1 対 1 になっている (つまり $\pi^{-1}\pi(y)=\{y\}$がある) か、 もしくは が局所同相写像になっていると、仮定します (応用となる$\pi$$y\in \mathrm{Y}$上は、力学系の拡大を与える写像

$\pi$

$\pi$

は、 この 2 つのタイプのうちのいずれかであることがこのとき、 $T$ が条件 $(\#)$ を持てぼ $T’$ も条件 $(\#)$ を持つということが、証明で埋め込み可能であることが、結論でがきます。 したがって定理 8 より、きます。上に述べた例 (1) $(2)$ から出発して、ある軌道の上で 1 対 1 になっているようなで、次々に拡大していけぼ、定理 8 を適用する
か、 もしくは局所同相写像になっている多いです)$\text{。}$$C^{*}(\mathrm{Y}, T’, S’)$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\pi$$\pi$ことの出来る自明でない例が次々に得られることになります。

8
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[V2]

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京都市左京区北白川追分町
京都大学理学研究科数学教室
松井宏樹