数理解析研究所講究録
第 891 巻 1995 年 54-63

54

進行波解 : 渦なし流れと渦あり流れ
東海林まゆみ (Mayu 血 Shoji)

日本大学理工学部

1

はじめに非粘性, 非圧縮流体,2 次元流れの進行波を考える。 これは自由境界問題であり, 支配方程式は下記のようになる。

(1)$-\triangle\psi$(2)$\psi$(3)$\frac{1}{2}|\nabla\psi|^{2}+G(\psi)+gy-\frac{T}{m}K$(4)$\frac{\partial\psi}{\partial x}$(5)$\lim_{yarrow-\infty}(\frac{\partial\psi}{\partial y},$

ここで $m,$ $g,$ $T,$$c$

: $Rarrow R$ は$in$$=0$

on $y=h(x)$$=$constant$\psi$$\Omega$on $y=h(x)$
on

$=0$

$x= \pm\frac{L}{2}$$=(c, 0)$ .

は各々, 密度, 重力加速度 表面張力係数, 波の伝播速度に対応す

また $K$ は自由境界 y $=$ h(のの曲率,る正定数である。
$F,$ $G$$- \frac{\partial\psi}{\partial x}I$$=F(\psi)$の関数で,$G(\psi)$$\psi$

は流れ関数である。

は $F(\psi)$ の原始関数, つまり$G’(\psi)=F(\psi)$である。

流体の深さは無限であるものとする。
期 L) なものを考えることにする。

ある。

波形は

$y$

軸に関し対称で,したがってん (x) は偶関数,$x$方向に周期的 (周$\psi(x, y)=\psi(-x$ ,のでこの対称性と周期性の条件により, 流体域は$\Omega=\{(x, y);-\infty<y<$ ん$(x), -L/2<x<L/2\}$で考えればよい。
更に関数 $F$ に対し,$\lim_{\etaarrow-\infty}F(\eta)=0$を仮定する。のである。

これは (5) 式が与えている, 無限遠で一様流である,という条件に従うも

55(1) 式は渦度方程式でり, したがって関数 $F\equiv 0$ の場合渦なし流れの問題になる。
このとき問題 (1-5) は, 重力と表面張力に対応する 2 つの分岐パラメーターを持つ分岐
我々は- の渦なし流れの分岐問題に対し, 種々の分岐解形状や分岐構造を数値シミュレーションによって調べてきた。 ([1], [2])問題になる。

$\check$

一方関数 $F\neq 0$ の場合は渦あり流れとなる。
る Gerstner の研究が有名である。 ([3])

渦あり流れの問題に関しては, 後述すGerstner は厳密解を与えたが、表面張力$q$を無視した場合のものである。
我々の今後の研究目標は, 渦度に対応するもう一つの分岐パラメーターを考え 3 つのパラメーター空間での大域的分岐構造を調べることである。 そこでまずは Gerstner 波と我々が数値計算した渦なしの分岐解との関連を調べることから始めたい。
つまり例えば $s=0$ のとき渦なし $s=1$ のとき Gerstner 波に対応するような, あるもうひとつのパラメーター $s(0\leq s\leq 1)$ を考える。
を変化させたときの分岐構造の変化を調べることは, 水の波の分岐構造の理解をより深めることにつながるはずである。
$s$

ここでは,渦あり流れの問題に対する数値計算アルゴリズムと計算結果を紹介する。
この問題を計算する際に工夫すべき点は, 自由境界をいかにして扱うかである。 渦なし流れの場合は, 正則関数を用いて固定境界領域での問題に定式化し直すことが出来たが 渦あり流れの場合には正則関数の理論を適用できない。

しかし Zeidler([4]) に従って, 疑似ポテンシャルを導入することにより固定境界領域での問題に書き直すことができる。

以下に渦あり流れの場合の定式化を示す前に、 比較の意味で渦なし流れの場合の概略も示しておく 62

渦なし流れ
渦なし流れの場合は良く知られているように, 流れ関数

度ベクトル$\phi$を定義することが出来る。

$\psi$に共役な調和関数である速つまり $f=\phi+i\psi$ とおくと $f(z),$ $z=x+iy$$(x$ ,は正則関数である。のが領域 $\Omega=\{(x, y);-L/2<x<L/2, -\infty<y<$ ん $(x)\}$
しを動くとき,は $D^{*}=\{(\phi, \psi);-cL/2<\phi<cL/2, -\infty<\psi<0\}$ を動く。
$(\phi, \psi)$

たがって (1-5) を $f$ を用いて書き表すと,

次に変換

固定領域

$D^{*}$

での問題に帰着できる。

.
$\{\begin{array}{ll}( =\exp(-\frac{2\pi if}{cL}) \equiv\rho e^{i\sigma},\omega =\theta+i\tau \equiv i\log(\frac{1}{c}\frac{df}{dz})\end{array}$を施し$(\rho, \zeta)$によって書き表すと下記のように単位円盤 $D=\{(\rho, \sigma);|\zeta|<1\}$ 上での問題として記述できる。

56

afunctionand satisfies$fFind$$\omega=\omega(()w$$\omega(0)=0$

ん ich is continuous on $\{|\zeta|\leq 1\}$ , is analytic in $\{|\zeta|<1\}$and ん following:
$t$

$e$

on

$\frac{d}{d\sigma}(\frac{e^{2\tau}}{2})-pe^{-\tau}\sin\theta+q\frac{d}{d\sigma}(e^{\tau}\frac{d\theta}{d\sigma})=0$$w$

ん $ere$$\rho=1$$p= \frac{gL}{2\pi c^{2}}$$(0\leq\sigma<2\pi)$,,$q= \frac{2\pi T}{mc^{2}L},$,

正則関数は境界での値が決まれば内部の値も一意に決定されるという事実を考慮すれば更に, 単位円周上での問題に書き直すことが出来て”Find a$2\pi$periodic function$\theta$such that,$(0\leq\sigma<2\pi)$$\frac{d}{d\sigma}(\frac{e^{2H\theta}}{2})-pe^{-H\theta}\sin\theta+q\frac{d}{d\sigma}(e^{H\theta}\frac{d\theta}{d\sigma})=0$”

ただしここで $H$ は次のような Hilbert 変換である。となる。

$H( \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\sin n\sigma+b_{n}\cos n\sigma))=\sum_{n=1}^{\infty}(-a_{n}\cos n\sigma+b_{n}\sin n\sigma)$

結局渦なし流れの場合は, 上記問題を解いて奇関数$\theta(\sigma)$を求めれば良いわけである。

自由境界形状は次式から計算できる。

$\{\begin{array}{ll}\frac{dx}{d\sigma} = -\frac{L}{2\pi}e^{-H\theta\langle\sigma)}\cos\theta(\sigma)\frac{dy}{d\sigma} = -\frac{L}{2\pi}e^{-H\theta(\sigma)}\sin\theta(\sigma)\end{array}$

3

渦あり流れ
流れ関数

$\psi$

に対して,疑似ポテンシャル$\phi$を次のように定義する。

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial\phi}{\partial x} = W\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial y} = -W\frac{\partial\psi}{\partial x}\end{array}$57(6) は正則関数に対するコーシー・リーマンの関係式にな

ここで $W\equiv 1$ とおくと,つまり前節の渦なし流れの場合に帰着されることになる。 関数 $W$ を適当に選べが定まるが, 一般にば 1 価関数が存在するための十分条件はる。

$\phi$$\phi$(6)$\frac{\partial W}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x}-WF(\psi)=0$

式 (6) を $\lim_{yarrow-\infty}W=1$ の条件のもとで解くことによりである。

(1-5) をこの疑似ポテンシャル
まず$\psi$$\phi$と流れ関数$\psi$にそって一定値 $\pm cL/2$ になることがわかる。

(複合同順) である。

結局$z$が領域$\Omega$が得られる。

を用いて書き表すことを考えてみる。

に対する対称性から $\phi(x,$ $y)=-\phi(-x,$ $y)$ が言える。

$x=\pm L/2$$\phi$また (4) 6 式により$($つまり$)$$\phi(\pm L/2,$$\phi$は$y)=\pm cL/2$を動くとき $\phi+i\psi$ は固定領域$D^{*}=\{(\phi, \psi);-cL/2<\phi<cL/2, -\infty<\psi<0\}$を動くことになる。

このようにして渦ありの流れの場合も,おすことが出来る。

ここでさらに変換$( \phi, \psi)arrow\frac{cL}{2\pi}(\phi, \psi)$によって無次元化操作を行えば最終的に,,固定領域での問題に書きな$(u, v)arrow c(u, v)$ ,$F arrow\frac{c}{L}F$

固定領域$D=\{(\phi, \psi);-\pi<\phi<\pi, -\infty<\psi<0\}$での定式化が下記のように得られることになる。
$[\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathfrak{o}}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{B}\ovalbox{\tt\small REJECT}]$

以下を満たすような関数 $u,$ $v,$ $W$ を求める$\circ$(7)$W \frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial v}{\partial\psi}=\frac{-vF(\psi)}{u^{2}+v^{2}}$

伽

$D$

(8)

$W \frac{\partial v}{\partial\phi}-\frac{\partial u}{\partial\psi}=\frac{uF(\psi)}{u^{2}+v^{2}}$

痂

$D$

$on$

$\psi=0$$on$$\phi=\pm\pi$(9)$\frac{\partial}{\partial\phi}(\frac{u^{2}+v^{2}}{2}I+p\frac{v}{(u^{2}+v^{2})W}$$-q \frac{\partial}{\partial\phi}[\frac{W}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}(u\frac{\partial v}{\partial\phi}-v\frac{\partial u}{\partial\phi})]=0$

(10)

(11)

(12)

$v=0$

$\lim_{\psiarrow-\infty}(u, v)=(1,0)$$(u^{2}+v^{2}) \frac{\partial W}{\partial\psi}=WF(\psi)$

58

ただし$p= \frac{gL}{2\pi c^{2}}$,$q=\ovalbox{\tt\small REJECT}$

ここで 式 (7)(8) は Rg 方程式 (1) と非圧 $\Re$ #の条件

(6) 式から得られる。

である$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$\circ$から, 式 (12) 1 は

自由境界形状は$\{\begin{array}{l}x =\int_{-\infty}^{0}\frac{u}{W(u^{2}+v^{2})}d\phi y \text{イ_{}\infty}\frac{v}{W(u^{2}+v^{2})}d\phi\end{array}$で得られる。

4

Gerstner 波と数値計算
Gerstner は,

深さ無限で $q=0$ かっ(13)$F(\psi)$$=$$-2 \nu^{2}\frac{e^{2\beta(\psi)}}{1-\nu^{2}e^{2\beta(\psi)}}$

ただし$\psi=\beta-\frac{\nu^{2}}{2}(e^{2\beta}-1)$のとき, 厳密解が次式で与えられることを示した。

$\{\begin{array}{l}x = \alpha+\nu e^{\beta}\sin\alpha,y = \beta-\nu e^{\beta}\cos\alpha+\nu\end{array}$

ここで $\nu\in[0,1),$$\alpha\in(-\pi, \pi),$$\beta\in(-\infty, 0)$ 。

これは等圧線がトロコイドをなす波であGerstner の厳密解に対する疑似ポテンシャル は具体的に求めるしたがって Gerstner 波をで表わすことはできない。とが出来ない。
1 節で述べたように, この Gerstner 波がパラメーターの変化とともにどのようる。 (図 1)

この$\vee$$\phi$$(\phi, \psi)$$p,$ $q$に変化するかを調べることが当面の目標であるが,を示す。

ここでは $q=0$ の場合の数値結果のみ

しかしまず言えることは関数 $F(\psi)$ が (13) 式で与えられるとき, 任意の $p,$に対して常に$(u, v, W)$$=$$(\sqrt{-2G(\psi)},$ $0,1/\sqrt{-2G(\psi)})$$=$$(\sqrt{2}\nu e^{\beta\langle\psi)}, 0,1/(\sqrt{2}\nu e^{\beta\langle\psi)}))$,

ただし$G’(\psi)=F(\psi)$$q$

59が自明解として存在することである。

これは波形としては水平な波である。

以下は流体の深さが有限であるものとして, 差分法を用いて数値計算した結果である。
深さ有限の場合を扱うので, 水底での境界条件として$\psi=-a$ ( $a$ は正定数)を与したがって無次元化操作を行えば領域は長方形える。

$D=$ $\{(\phi, \psi);-\pi<\phi<\pi, -\psi_{0}<\psi<0\}$

ただし$\psi_{0}=\frac{2\pi a}{cL}$.

条件式 (11) は次式でおき変える。になる。

(11)’$(u, v)=(1,0)$$\psi=\psi_{0}$$on$を仮定する。 数値計算において、が計算機イプシロン以下をとっておく。になるように対称性の条件から, $D$ の左半領域だけで計算すれば十分なので、 方向を $m$ 等分,等分し, $\phi_{j}=-\pi+jh_{1}$ $(h_{1}=\pi/m),$ $\psi_{k}=-\psi_{0}+kh_{2}$ $(h_{2}=\psi_{0}/n),$ $uJ,k\equiv$
方向をまた$F(\psi_{0})=0$$F(\psi_{0})$$\psi_{0}$

$x$

$y$

$n$

$u(\phi_{j}, \psi_{k}),$$vj,k\equiv v(\phi_{J}, \psi_{k}),$$W_{j,k}\equiv W(\phi_{j}, \psi_{k})$とおく。

条件式 (10), (11) より$v_{j_{t}0}=0,$$v_{0_{2}k}=v_{m_{2}k}=0$

ノ or$0\leq j\leq m,$ $0\leq k\leq n$$u_{j,0}=1,$$W_{j_{?}0}=1$

伽$0\leq j\leq m$

よって未知数はが与えられる。

$(0\leq j\leq m, 1\leq k\leq n)$$u_{j,k}$$W_{j,k}$,$(0<j<m, 1\leq k\leq n)$ ,$v_{j,k}$$(0\leq j\leq m, 1\leq k\leq n)$の $(3mn-n)$ 個の節点値であり,これらを (7–9, 12) 式を解いて求めれば良い。

まず (12) 式より$W( \phi, \psi)=\exp(\int_{-\psi_{0}}^{\psi}\frac{F(\xi)}{u(\phi,\xi)^{2}+v(\phi,\xi)^{2}}d\xi)$であるから、 $uj,k,$ $vj,k$ が与えられているとき$W_{j,k}$はこれを台形則による数値積分をおこなった次式により計算する。

(14).

$W_{j_{2}k}$$=$$\exp(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{h_{2}}{2}(\frac{F(\psi_{i})}{u_{j,i}^{2}+v_{j,i}^{2}}+\frac{F(\psi_{i+1})}{u_{j,i+1}^{2}+v_{j,i+1}^{2}}I)$for$uj,k,$ $vi_{r}k$$0\leq j\leq m,$ $1\leq k\leq n$は以下の差分近似式を解いて求める。

領域内部の点 $(1\leq i<m, 1\leq k<n)$ に対して,$W_{j,k} \frac{u_{\dot{j}+1,k}-u_{j-1,k}}{2h_{1}}+\frac{v_{j,k+1}-v_{j,k-1}}{2h_{2}}$$=- \frac{v_{j_{l}k}}{u_{j,k}^{2}+u_{j,k}^{2}}F(\psi_{k})$$W_{j,k} \frac{v_{j+1,k}-v_{j-1,k}}{2h_{1}}-\frac{u_{j,k+1}-u_{j,k-1}}{2h_{2}}$$= \frac{u_{j,k}}{u_{j,k}^{2}+u_{j,k}^{2}}F(\psi_{k})$60

自由境界上の点 $(0<j<m)$ に対して,$W_{j_{2}n} \frac{v_{j+1,n}-v_{j-1,n}}{2h_{1}}-\frac{3u_{j,n}-4u_{j,n-1}+u_{j1n-2}}{2h_{2}}=\frac{u_{j_{1}n}}{u_{j,n}^{2}+u_{j,n}^{2}}F(\psi_{k})$$\frac{z_{j+1,n}-z_{j-1,n}}{4h_{1}}+p\frac{v_{j,k}}{W_{j,k}z_{j,k}}$$-q( \frac{W_{j+1,n}}{\sqrt{z_{j+1,n}}}-\frac{W_{j-1,n}}{\sqrt{z_{j-1_{r}n}}})(u_{j,n}(v_{j+1,n}-v_{j-1,n})-v_{j,n}(u_{j+1,n}-u_{j-1,n}))/4h_{1}^{2}$$-q \frac{W_{j,n}}{\sqrt{z_{j,k}}}(u_{j,n}(V_{j+1,n}-2v_{j,n}+v_{j-1,n})-v_{j,n}(u_{j+1,n}-2u_{j,n}+u_{j-1,n}))/h_{1}^{2}$$=0$

ただしここで $z_{j,k}=u_{j,k}^{2}$ 十$v_{j,k}^{2}$

とおいた。

境界 $\phi=-\pi,$ $\phi=0$ 上の点 $(1\leq k<n)$ に対して,$W_{0,k} \frac{v_{1,k}}{h_{1}}-\frac{u_{0,k+1}-u_{0_{2}k-1}}{2h_{2}}=\frac{u_{0,k}}{u_{0,k}^{2}+u_{0,k}^{2}}F(\psi_{k})$$-W_{m,k} \frac{v_{m-1,k}}{h_{1}}-\frac{u_{m,k+1}-u_{m,k-1}}{2h_{2}}=\frac{u_{m,k}}{u_{m,k}^{2}+u_{m,k}^{2}}F(\psi_{k})$自明解を初期値として、 あとは (16) 式と上記差分近似式を収束するまで繰り返し計算する。

このようにして計算した結果を図 2 に示した。

$\psi_{0}=12$にとっている。

分割は$m=32,$ $n=10$ で計算した。 ワークステーションでの計算のため分割数をあまり大きくとれず, $\nu>0.4$ ではやや分割不足の影響が見られる。
しかし $\nu<0.4$ 付近の結果をみると,Gerstner 波に近い波形を得ることが出来ている。

ターにより,$\psi_{0}$今後スーパーコンピュ $-$をもう少し大きくとり, 分割数を増やして計算してみるつもりである。

今回の計算はまだ不十分なものではあるが, 将来, 渦度に対応するパラメーターを含めた分岐構造シミュレーションを行う際のアルゴリズムの第一歩を確認できたと思う。

[謝辞]
本研究を含む水の波の分岐問題に関する一連の研究は, 京都大学数理解析研究所の岡本久教授との共同研究によるものです。 ここにそのおことわりと, 岡本教授の多大なる御協力に対し深く感謝の意を表させていただきます。

61

参考文献
[1] H. Okamoto and M. Shoji, The resonance of modes in the problem of capillarygravity waves, submitted to Physica .
$D$[2] H. Okamoto and M. ん , Secondary and tertiary bifurcations of capillary-gravity
waves, to appear in Advances in Mat ん ematical Sciences and Applications.
$S$$\overline{o}ji$[3] H. Lamb, Hidrodynamics (Sixth Edition, Dover, New York, 1945).
[4] E. Zeidler, Existenzbeweis f\"ur permanente Kapillar-Schwerewellen mit allgemeinen
Wirbelverteilungen, Arc ん. Rat. Mech. Anal. 50, 1973, 34-72.

62$\mathring{\dot{\circ}}1$$11$$\approx$$-$$\otimes$.
$u\circ\triangleright\dot{\circ}$

$11$

$1$

63

$\overline{\triangleright}$$\mathring{\dot{\circ}}\iota$$11$$\circ$$\mathring{\dot{\circ}}1^{\wedge}$

$11$

$b$

$c\backslash J$$H$$\mathring{\dot{o}}(\triangleright r\sim$$\underline{\circ i\infty}-$

$11$

$11$

$\Phi$$\circ\backslash$$t\hat{O}$$\dot{o}\triangleleft\hat{\{}$$\overline{\dot{o}}$

$11$

$11$

$1$

$\approx$