数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 160-168

160

Shintani ffinctions and Rankin-Selberg Convolution
II. Global Theory(Atsushi Murase)
京都産業大・理 村瀬篤
菅野孝史 (Takashi Sugano)
広島大・理

このノートでは,て,Rankin-Selberg convolution を新谷関数を用いて表示することによっ古典群上の保型形式に付随する標準的$\mathrm{L}$関数を行列サイズについて帰納的にとらえる.

完全に閉じた形で求められている定値直交群の場合を中心に述べ, 最後にユニタリ群の場
合に触れることにする (定値直交群の場合, 詳しくは [5] を参照されたい).

\S 1. Local Theory 補足
帰納的な議論の為に, Part I で扱った split case を少し–般化しておく. たを p-進体,
が $m$ 次偶対称行列 $S\in M_{m}(0)$ に関し, 極大 o-integral lattice
を の整数環とする.
となるとき,
を単に -maximal と呼ぶことにする. これは, $S[g^{-1}|={}^{t}gS-1g-1$ が任意

$0$

$k$

$\mathit{0}^{m}$$S$$\mathfrak{p}$の $g\in M_{m}(0)\cap GL_{m}(k)-GL_{m}(0)$$G$

を $S$ の直交群,に対して偶対称行列でないということと同値.
とし,$K=G\cap GL_{m}(\mathit{0})$$I\acute{\mathrm{t}}$の指数有限正規部分群$IC^{*}$

を,$K^{*}=\{u\in K|(u-1)S-1\in GL_{m}(\mathit{0})\}$と定義する. 商群 $E=K/K^{*}$ は, 単位群, 位数 2 の巡回群, 位数 $2(q+1)$ の二面体群のに関する Hecke 環の位数). $G$ のは剰余体いずれかに同型となる (ここで,$\mathcal{H}(G, K^{*})=^{\mathrm{e}}\mathrm{d}\mathrm{f}\{\phi:Garrow C|\emptyset(u_{1g}u2)=\phi(g)$については, 通常 $\mathcal{H}(G, K)$ の場合 (cf. [8])$k^{\mathrm{x}}$

の

$\nu$

$\mathcal{H}(G, K^{*})$の中心$\mathcal{H}^{+}$$W_{\nu}$)$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\phi$:$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{P}^{\mathrm{a}\mathrm{c}}\}}\mathrm{t}$と同様にして構造が調べられる. 特に,
$\nu$

から,

個の不分岐指標の組 (modulo$\forall_{u_{1},u_{2}\in K^{*}},$( : Witt index of $S,$$\mathcal{H}(G, K^{*})\cong c[E][X_{1}\pm 1, \ldots,X_{\nu}\pm 1]^{W_{\nu}}$を知る. また,$K^{*}$$|0/\mathfrak{p}|$

$q$

$C$

$W_{\nu}$: Weyl group)

への algebra homomorphism$\lambda=(\lambda_{1}, \ldots,.\lambda_{\nu})$$\lambda$(指標) よ,と, 有限群 $E=K/K^{*}$ の既の Satake parameter と呼ぶ.
で記述される. これをの対約表現 (の同型類)に対して, その標準的 関数を次の様に定義する.
の指標$\lambda$$\rho$$(\lambda, \rho)$$\mathrm{L}$$\lambda$$\mathcal{H}^{+}$,$L_{\mathfrak{p}}(\lambda;s)$$=$$L_{\mathfrak{p}}^{0}(\lambda;S)$$= \prod_{j=1}\{(1-\lambda j(p)q-s)(1-\lambda-1(jp)q-s)\nu\}^{-}1$$L_{\mathfrak{p}}^{0}(\lambda;S)A_{\rho,\mathfrak{p}(S})$

,

161

$(n_{0}, \partial)=(0,0)$or $(1, 0)$$(n_{0}, \partial)=(1,1)$$(n_{0}, \partial)=(2,0)$$(n_{0}, \partial)=(2,1)$$=$$A_{\rho,\mathfrak{p}}(s)$$(n_{0}, \partial)=(2,2)$$|11\lambda_{0}\mathrm{t}^{s-}12)(1-q)(1\lambda 0q^{-S}(1-\lambda 0q^{-})^{-1}(1^{-}-\lambda_{0q_{S^{-(_{S}1}}}-(s+1/2))(1-\lambda_{0}^{-}q)(1-\lambda 0q^{-S^{-1^{/}}})(1^{+q^{-}}-q^{-2})-)2ss+/2)1--11(1+\lambda 0(1-\lambda 0q^{-\langle_{S})})^{-1}-1-1(1q-\mathrm{t}S1)))+\lambda_{0}^{-}q-_{\mathrm{t}^{s}/}-12)+1$$(n_{0}, \partial)=(3,1)$$(n_{0}, \partial)=(3,2)$

and$(n_{0}, \partial)=(4,2)$ and$(n_{0}, \partial)=(4,2)$

ここで,$n0=m-2\mathcal{U},$$L’=\{x\in S^{-1}\cdot \mathit{0}^{m}|^{t}xSx\in 2\mathfrak{p}^{-1}\}$$\partial=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}/\mathfrak{p}L’/0^{m},$$\lambda_{0}\neq 0$$\lambda_{0}=0$

であり,

.

$p$

で

$\mathit{0}$が trivial 表現のとき 1 を, $E$ の指数 2 の部分群の釜元を表した. また,
) は,
. .
.
を表す.
上 trivial な表現の場合には $-1$ を, それ以外は$m+1$ 次の -maximal 偶対称行列でその左上 $m\cross m$ ブロックが $S$ となる$\lambda_{0}=\lambda_{\mathrm{o}(\rho}$$\rho$$0$$\underline{S}=$$\mathfrak{p}$を旦に $\iota_{0}(g)=[_{0}^{g}(1-g)\alpha 1]$ により埋め込むと,$\iota_{0}(K^{*})=\underline{K}^{*}\mathrm{n}\iota_{0}(G)$が成立する. なお,については–般には成り立たないことに注意 (これが Hecke algebraをとった主な理由). Hecke 環の中心が非可換となるにもかかわらずこの関係は $K$ と$\underline{I\acute{\mathrm{t}}}$$\mathcal{H}^{+}=\mathcal{H}(G, K*)^{+}$$K^{*}$の指標と,$\lambda$$\underline{\mathcal{H}}^{+}=\mathcal{H}(\underline{G}, \underline{I\mathrm{f}^{*}})+$の指標$\Lambda$

に対し,local Shintani functions の空間が,$\mathrm{S}\mathrm{h}(\lambda, \Lambda)^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}=\{W:K^{*}\backslash \underline{c}/\underline{I\mathrm{t}^{\prime*}}arrow C|\phi*W*\Phi=\lambda(\phi)\Lambda(\Phi)W$と定義される.

,$\phi\in \mathcal{H}^{+},$$\Phi\in\underline{\mathcal{H}}^{+}\}$

ここで,$\phi*W*\Phi(g)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\int_{G}\int_{\underline{G}}\phi(x)\Phi(y)W(xgy^{-1})dxdy$

Part I にあるように,$G,\underline{G}$,がともに split していて,$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(K^{*})=\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\underline{I\zeta}^{*})=1$$2^{-1}\det s\det\underline{S}\in 0\mathrm{x}$の空間は 1 次元であり, その explicit formula も分かっている (cf. [1]).

.

ならば,

Witt index をこ$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

つ上げた

1

$\lceil$$\rceil$$S$$S_{1}=|$の直交群を$G_{1}$とし, その部分群$I\mathrm{t}_{1,1}’\mathrm{A}’*$1

を同様に定義する.

の固定化部分群となるように定める. また$G_{1}$$\iota$:$\underline{G}arrow G_{1}$の岩沢分解を,$g=$$u(g)$,$u(g)\in \mathrm{A}_{1}’*$を, 像が $\eta=$

162と書くことにする. 次の命題はProposition 1$\mathrm{L}$$W\in \mathrm{S}\mathrm{h}(\lambda, \Lambda)$

関数の–つの積分表示を与えている.
に対し,

1$\int_{G\backslash \underline{G}}W(\beta(h)-1h)|\alpha(h)|s+\mathrm{t}m-1)/2dh=W(\mathfrak{p}1)\frac{L_{\mathfrak{p}}(\Lambda,s)}{L_{\mathfrak{p}}(\lambda\cdot s+1/2)},\cdot\cross\{$$1-q^{-2s}$$\mathrm{S}2$:even
mm:odd.
$m$. Rankin-Selberg convolution

をその整数環とする. $m$ 次の総正定値偶対称行列
は maximalに於いて前 \S の意味で -maximal であるとき, 単にが, 全ての有限素点で表し, 前 \S 導入した開コンパクの直交群 $G$ の素点 での完備化をであるという.
と解釈すで表す (アルキメデス的素点 に対しては,
ト部分群を以下, たを$n$

次の総実代数体,$S$$\mathit{0}_{k}$$S$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$S$$K_{v},$

る).

$G_{v}$

$v$

全ての素点

$v$

$I\acute{\mathrm{t}}_{vv}=I\mathrm{f}_{v}^{*}=G$$v$$I\mathrm{A}_{v}’*$についての驚の直積$\mathfrak{S}(I\mathrm{f}_{A}^{*})^{\mathrm{d}\mathrm{f}}=^{\mathrm{e}}\mathrm{t}f$:$I\mathrm{t}_{A}’*$に保型形式の空間$G_{k\backslash /\{}G_{A}I’*Aarrow C\}$を考える. この空間には, convolution によわおり, 同時固有関数からなる基底を持つ.

$\mathcal{H}_{\mathfrak{p}}^{+}=\mathcal{H}(G_{\mathfrak{p}}, I\mathrm{f}*)^{+}\mathfrak{p}$$f\in \mathfrak{S}(IC_{A}^{*})$

が,$\otimes_{\mathfrak{p}}^{J}\mathcal{H}_{\mathfrak{p}}+$が可換正規に作用しての同時固有関数 (Hecke

eigen form)$f*\phi=\lambda_{J}(\emptyset)f$であるとき, 大域的な$\mathrm{L}$$(^{\forall}\phi\in\otimes’\mathfrak{p}\mathrm{P}\mathcal{H}^{+})$

関数 $L(f;s)$ 及び gamma factor $L_{\infty}(f;s)$ を$L(f;s)$$=$$L_{\infty}(f;s)$$=$$\prod_{\mathfrak{p}<\infty}L_{p}(\lambda f;s)$,$|d_{k}|^{1}m/2]s((2 \pi)^{-[m}/2]s\prod_{=}^{[m/2]}\tau(s-j+m/2)\mathrm{I}^{n}j1$$(N_{k/Q}(\det s))S/2$$m$$(N_{k/\Omega}(2^{-1}\det s))s/2$$m$$\cross\{$

: {回数
: 奇数

んの絶対判別式).
で定義する (
我々の目標は, $\xi(f;s)=L_{\infty}(f;s)L(f;s)$ の解析接続・関数等式についての次の定理に$d_{k}l\mathrm{h}$ある.

を Hecke eigen form とする. このとき,Theorem 1(1) $\xi(f;s)$ は全 -平面に有理型関数として解析接続され, $sarrow 1-s$ で不変.
(2) $\xi(f;s)$ は $s=2/m-j(0\leq j\leq m-1)$ で高々 simple pole をもつ他では正則.
が定数関数であること.
(3) $\xi(f;s)$ が $s=m/2\text{で本当に極をもつ必要十分条件は},$.
$f\in \mathfrak{S}(IC_{A}*)$

$s$

$f$

(3) において $\xi(f;s)$ の最大 possible pole $(s=1/m)$ の特徴付けが与えられているが, その他の possible poles での挙動は不明. これらの点における正則性またはpole の意味付けを与えることは興味深い問題と思われる.

Remark 1$m+1$ 次の直交群を,に,新谷関数を用いて $m$ 次の直交群と (大域的に) 関連付ける為-つ準備を行う. 証明は, 良く知られた二元二次形式による数の表示についての事実

163(これは二次拡大体の $L$ 関数の $s=1$ での挙動からの帰結) と, 特殊線型群に対する強近似定理から従う.

Proposition 2 $T\in M_{m+1}(0_{k})$ を $m+1$ 次の総正定値 maximal 偶対称行列とする.
のとき,
と,
で,
次 maximal 偶対称行列
$S$

$m$

こ

$\gamma\in SL_{m+1}(\mathit{0}_{k})$$t\gamma T\gamma=\underline{S}=$となるものが存在する.
次の場合に Theorem 1 が成立しているとする. 上の命題より, $m+1$ 次の総正定値 maximal 偶対称行列 $T$ の直交群上の Hecke eigen form $F$ に対する主張を確かめるためには,
及び $F(1)\neq 0$ として-般性を失わない. このとき, Hecke eigen form
で Petersson 内積となるものが存在する.
.
上の ( $f$ に付随した) Eisenstein 級数を$m+2$ 次の直交群
以下,

$m$

.

$T=\underline{S}$$\langle F|_{G_{A}},\overline{.f}\rangle_{G}\neq 0$$f\in \mathfrak{S}(I\mathrm{f}^{*})A$$G_{1}$$E(g, f;S)^{\mathrm{d}}=, \sum_{k}\mathrm{e}\mathrm{f},s\gamma\in P_{1}k\backslash G_{1}f(\beta(\gamma g))|\alpha(\gamma g)|_{A^{+}}m/2$により定義する. ここで,$\text{での}$$G_{1.v}$$P_{1}$

は$G_{1}$の極大コンパクト部分群$(g\in G_{1,A})$の上三角型の放物部分群であり, アルキメデス素点$K_{1,v}^{*}$$v$&U $\text{て}\eta=$ の固定化部分群をとった岩沢分

解 $G_{1,A}=P_{l,A}K_{1}^{*},A$ を$g=$$u(g).\cdot(g\in G_{1,A})$で表した. 記述を簡単にするため, normalizing factor$d(f;s)=|N_{k/Q(a}+S[\alpha]/2)|^{s}/2\xi(.\mathrm{f};s+1)\cross\{$1$\xi_{k}(2s+1)$(

は,$\xi_{k}(s)$を乗じた $E^{*}(g, f;\cdot s)=d(f;s)E(g, .f;S)$ を用いる.
接続され, 関数等式

$E^{*}$$k$:even$m$ : odd$m$の completed Dedekind zeta 関数)

は全 s-平面に有理型関数として解析$E^{*}(g, ; f;s)= \frac{\xi(f,s)}{\xi(\backslash f\cdot 1-S)},\cdot E*(g, f;-s)$を満たすことが分かる (帰納法の仮定より, 右辺の最初の因子は 1 となる).

Proposition 3(Basic Identity)$F\in \mathfrak{S}(\underline{I\mathrm{t}^{\Gamma*}}_{A}),$$f\in \mathfrak{S}(I\iota^{\Gamma})A*$に対し,$\int_{\underline{G}_{k}\backslash \underline{G}_{A}}F(h)E^{*}(\iota(h), f;s-1/2)dh=d(f;s-1/2)\int_{G_{A}\backslash \underline{G}_{A}}W_{F},f(\beta(h)^{-1}h)|\alpha(h)|_{A}s+(m-1)/2dh$164が成立する. ここで,は次の global 新谷関数

$W_{F,f}$$(h\in Q_{A})$$W_{F,f}(h)= \int_{G_{k\backslash }}G_{A}\overline{F}(\iota_{0}(g)h)f(g)dg$$F*\Phi=\lambda_{F}(\Phi)F(\Phi\in\underline{\mathcal{H}}_{\mathfrak{p}}^{+}),$$f*\phi=\lambda!(\phi)f(\phi\in \mathcal{H}_{\mathfrak{p}}^{+})$.

を満たすならば,$W_{F,j}$に属する. 従って,上の関数として, 前 \S で導入した局所新谷関数の空間
が Hecke eigen form ならば, Proposition 1 と Proposition 3 により,$\mathrm{S}\mathrm{h}(\lambda_{f}, \lambda_{F})$は$\underline{G}_{\mathfrak{p}}$$F,$ $f$$\langle F,\overline{E^{*}(*,f\cdot,s-1/2)}\rangle_{\underline{G}}=\xi(F;s)\cdot\langle F|c_{A},\overline{f}\rangle c$の Petersson 内積. 仮定よ, , $)c$ は, それぞれが成立する. ここでゆえ, $\xi(F;s)$ の解析接続解析接続が Eisenstein 級数のそれから得らり, (れ, 証明が終わる.
$(, )\underline{c}$$\mathfrak{S}(\underline{I\mathrm{A}^{\prime*}})A’ \mathfrak{S}(\mathrm{A}’A)*$$\langle$$F|_{G_{A}},\overline{f}\rangle_{G}\neq 0$

Remark 2$\underline{S}=.\in M_{m+1}(0_{k})$ とし,eigen form とする.

$\{g_{i}|1\leq i\leq h=h(S)\}$ を$F\in \mathfrak{S}(\underline{K}_{A}^{*}),$$G_{k}\backslash G_{A}/I\mathrm{t}_{A}’*$,$W_{F,J(1)=\langle|_{G},\overline{f}\rangle}FA= \sum_{i=1}^{h}\frac{1}{e_{i}}F(gi)f(gi)$を Heckeの完全代表系とするとき,$e_{i}=\neq(Gk\mathrm{n}Ji\mathrm{A}^{7*}g_{i}A)-1$

上つねに 1 となる関数にとれば,である. 特に, $f=1$ を関数となる. 従って [3, \S 1.13] より, $W_{F,1}(1)\neq 0$ のとき,
$G_{A}$$L(F;s)=L’(S) \prod_{=}^{2}mj-1\zeta_{k}(s-(m-1)/2+j)\cross\{$$f\in \mathfrak{S}(\mathrm{A}_{A}’*)$$W_{f,1}$

は左$G_{A}$

不変な新谷$L(\chi_{K}; S)$$m+1$ : even1

$m+1$ : oddの Dedekind zeta 関数, $L(\chi_{K};S)$ はるの 2はと分解されることがわかる. ここで,関数であり, $L’(s)$ は
次拡大 $K=k(\sqrt{(-1)1^{m+}1)/2\det S})$ に対応する Dirichlet 指標の関数が (本質的に parameter が 1 個にまで) 大幅に
殆ど 2 次の Euler 積. 即ち, $F$ の退化する. 特に, $h(S)=1$ ならば $F(1)\neq 0$ なる任意の $F$ はこの形となる.
$\zeta_{k}$

$k$

$L$

$L$

$Q$ 上の 5 次の正定値偶対称行列で,行列式が 74 であるもExample1(cf. 立川 [10])のを考える. これは, maximal で唯-つの genus からなる. この genus の $GL_{5}(Z)$ 同値

類の–つの完全代表系は,$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$T_{4}$

$=$

$=$

$,$

$T_{2}=,$ $T_{3}=$ ,,$T_{5}=$

165

で与えられる. $S=T_{1}$ の直交群を $G$ で表す. 今の場合, $\#(G_{Q\backslash G_{A}}/\mathrm{A}_{A}’*)=\#(G_{Q}\backslash G_{A}/K_{A})$ゆえ, $\dim c\mathfrak{S}(K_{A}^{*})=5$ . Hecke eigen basis は,{ $F_{0}=1$ , 凡$|\alpha^{4}-18\alpha^{3}+107\alpha^{2}-220_{\alpha}+66=0$}であることが分かり, 上の Remark より,で与えられる. $F_{0}(1)\neq 0$ , 凡 (1)
全て退化している. $p=2,3$ のときの local factor は,$\neq 0$$(1-2^{-s-1/2})(1-2-s+1/2)\cross\{$$=$$L_{3}(F;s)^{-}1$$(1-3^{-S-}1/2)(1-3-s+1/2)\cross\{$$=$となる. ここで,$\beta=\{\alpha^{3}-9\alpha^{2}+26\alpha-26\}/8$

で,

1

関数は

$2^{-S-3/2})(1-2-s+3/2)$$F=F_{0}$$1+(6-\alpha)2^{-}S-3/2+2^{-2s}$$F=F_{\alpha}$$(1-3^{-}s-3/2)(1-3-s+3/2)$$F=F_{0}$$1+\beta 3^{-S-}3/2+3^{-}2S$$F=F_{\alpha}$$($$L_{2}(F;s)^{-}1$

$L$

–

これは,

$\beta^{4}-11\beta 3+6\beta 2+89\beta+23=0$の根.
$\mathrm{S}3$. unitary 群の場合のユを非退化な $m$ 次の skew hermitian matrix とし, $G$ をにおいて,がニタリ群とする. 全ての有限素点に関して maximal integralが定義され, local Hecke algebralattice であると仮定する. \S 1 と同様に,に対して, localの構造が決定される. また, その中心の指標の $2m$ 次式).
が定義される (殆ど全ての に対して, 分母がstandard 関数$G_{\infty}=G_{R}$ の極大コンパクト群をとすると, 良く知られているようにのは hermitian symmetric domain となる.
への作用に関する自然な正則保型
因子を $J_{G}(g, X)$ $(g\in G_{\infty},X\in \mathcal{X})$ で表し, $\chi_{h_{\infty}’}(u)=\det J_{G(}u,$の固定化部分群) とおく. $IC_{A,f}^{*}=\Pi p<\infty Kp*$ に関する weight $l\in N$ の正則尖点形式の空$k$を虚 2 次体,$S$$S$$(0_{k,p})^{m}$

$P$

$S$

$G_{p}\supset I\acute{\mathrm{t}}_{p}\triangleright I\mathrm{t}_{p}’*$$\mathcal{H}_{P}=\mathcal{H}(G_{p}, I\mathrm{f}_{p}^{*})$$L$$\lambda_{P}$$\mathcal{H}_{p}^{+}$$L_{p}(\lambda_{p}, s)$$p^{-S}$$P$$\mathcal{X}=G_{\infty}/\mathrm{A}_{\infty}’$$I\mathrm{t}_{\infty}’$$G_{\infty}$$\mathcal{X}$$(u\in \mathrm{A}_{\infty}’=$$X_{0})$$X_{0}$

間を$\mathfrak{S}_{l}(I\zeta^{*}A,f)=\{f$:$G_{Q\backslash }G_{A}/I\zeta^{*}A,farrow C|\mathrm{b}_{\mathrm{o}\mathrm{u}}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}f(gu)=,\chi_{\mathrm{A}_{\infty}}’(\mathcal{X}4\mathrm{i}^{-l}\text{て正}u)f(g)^{\forall}u\in Ic\mathrm{E}1\rfloor\infty\}$の倍数とする).
で定義する ( は以下,の不分岐量指標$l$$\#(\mathit{0}_{k})\cross$$\omega=\Pi_{v}\omega_{v}$$I\mathrm{t}_{A^{\cross}}’$る.

Hecke eigen form

で,$\omega_{\infty}(x)=(x/|x|)^{l}$$f\in \mathfrak{S}(I\mathrm{t}’)*A,f’ f*\emptyset=\lambda f(\emptyset)f$となるものを–つ固定すに対し, 次の global$L$$(\phi\in\otimes’\mathcal{H}_{p}^{+})$

関数$L(f \otimes\omega;s)\mathrm{e}1=^{\mathrm{e}}\prod 1Lp<\infty p(\lambda f\otimes\omega_{p}; s)$の Satake parameter をで twist して得られは,を考える. ここで,る local関数である (cf. [9], [2]).
有限素点での新谷関数については, 直交群の場合と同様の結果が得られる. 特に split). 無限素点
prime では, $G_{p}\cong GL_{m}(Q_{p})$ であり, 存在と–意性が分かっている (cf.
$L_{p}(\lambda_{f}\otimes\omega_{p};s)$$\lambda_{f}$$\omega_{p}$

$L$

$p$

$[4|$

166

に関して簡単に述べよう.
$\mathcal{H}_{l}^{\infty}(G_{\infty\infty}, I\mathrm{f})^{\mathrm{d}\mathrm{f}}=^{\mathrm{e}}\{f$

とおくと,

となる
$\omega_{G,l}$:$G_{\infty}arrow C|\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{u}f(gu)=\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{a}\supset \mathcal{X}\chi(u_{\vee})^{-l}f(g)4_{\mathrm{i}}\mathrm{j}\mathrm{E}\forall \mathrm{E}|\mathrm{J}u\in I1_{\infty}’\}$\subset H 鉾であり, 十分大なる$\mathfrak{S}(\mathrm{A}_{A,f}’*)$

に対しては,$l$$\omega c,l(u1gu2)$$=$$\chi_{K_{\infty}}(u_{1})-\iota\iota xK_{\infty}(u_{2})^{-}\omega_{g},\iota(g)$$f(g)$$=$$\int_{G_{\infty}}f(X)\omega c,\iota(x^{-1}g)d_{X}$$(\forall u_{1},u_{2}\forall\in I\acute{\iota}_{\propto)})$$(\forall f\in \mathcal{H}\iota\infty)$

上の C-値関数が唯–つ存在する. 我々の扱う正則尖点形式の場合には,$G_{\infty}$

このが Bergman 核関数として具体的に分かるため, 有限素点に平行な議論によって, 必要な結果を得ることになる.

$\underline{S}=$ を $m+1$ 次の非退化 skew hermitian matrix で

さて,

と同様

$S$

な maximality condition を満たし, 左上 $m\cross m$ 行列が $S$ であるものをとり, ユニタリ群の極大コンパクト部分群で,を,を考える.
なるものとする. 無限素点での local Shintani function の空間が,$\underline{G}=U(\underline{S})$$G_{\infty}\cap\underline{I\acute{\mathrm{t}}}\infty\infty=I\mathrm{t}^{r},$$\underline{G}$$\underline{I\acute{\mathrm{t}}}$$\chi_{\underline{\mathrm{A}’}_{\infty}}|_{K_{\infty}}=$$\chi_{h^{r}}\infty$$\mathrm{S}\mathrm{h}_{\infty}(l)=^{\mathrm{f}}\mathrm{d}\mathrm{e}\{W:\underline{G}arrow C|W(u_{1}W\in \mathcal{H}l(\infty\underline{G}_{\infty},\underline{I\mathrm{t}}hu2)=\overline{\chi R_{\infty\prime}^{r}(u1)}x_{0}\underline{h’}(),W\iota x\in \mathcal{H}l\infty u2)^{-^{\iota}}W\infty(h)$により定義される. ここで,

$x_{0}\in\underline{G}_{\infty}$

に対し,$\forall_{u_{1},u_{2}}\}$$W_{x\text{。}}(y)=\overline{W(x0y-1)}(y\in G_{\infty})$

とおいた.

$-1$

$S_{1}=[1$とおき,$S_{1}$のユニタリ群を

Proposition 4$l$$G_{1}$$S$に $G$ を’$\eta$

を十分大とするとき,$\eta=$の固定化部分群として埋め込む.
$W\in \mathrm{S}\mathrm{h}_{\infty}(l)$に対し,$\int_{G_{\infty}\backslash \underline{G}_{\infty}}W(\beta(h)-1h)\omega_{S+m}/2(\alpha(h)/|\alpha(h)|)^{\iota_{\chi}}1(u(h))\iota_{dh}$$\Gamma(s+(l-n_{0)}/2)^{-1}$$i\det\underline{S}/\det S>0$$\Gamma(s+(l+n_{0})/2)^{-1}$$i\det\underline{S}/\det S<0$$=W(1)\mathrm{r}(s+(\iota-m)/2)\cross\{$

ここで,$\alpha(h),$ $\beta(h),$$u(h)$

は, \S 1 と同様にの指標
コンパクト群
とおいた.
$K_{1,\infty}$$\chi_{h_{1,\infty}’}$$G_{1}$の岩沢分解に現れる量であり,を上と同様に定義した. また,$x\in k_{A}^{\cross}$.

$G_{1,\infty}$

に対し,

の極大

$\omega_{s}(x)=$$\omega(x)|x|_{k_{A}}^{S}$

最後に Eisenstein 級数を導入して,$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}_{\mathrm{C}\mathrm{I}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$を述べよう. $g\in G_{1,A},$に対して,$E(g, \overline{f};s)^{\mathrm{d}\mathrm{f}}=\sum_{\in}\mathrm{e}\overline{f(\beta(\gamma g))}\omega_{S+(1)/}m+2(\alpha(\gamma g))\chi_{K_{1,\infty}}(u(\gamma\gamma P1,q\backslash G1,Qg))$$f\in \mathfrak{S}\iota(I\iota’A,f*)$167

とおく. さらに, $f$ が Hecke eigen form の場合に, normalizing factor を乗じたものを,で表す.

$E^{*}(g, \overline{f};s)$gamma factor$\text{を}$$L_{\infty}(f;s)=(2 \pi)^{-mS}|\det s|^{s}|d_{k}|[m/2]_{S}\prod_{j=1}\mathrm{r}(s-j\nu+(l-n_{0}+1)/2)\prod_{1j=}\Gamma(s-jn\mathrm{o}+\nu+(l+n_{0}+1)/2)$として,completed

Theorem 2
しておく.

$L$

関数を,

$F\in \mathfrak{S}(\underline{I\mathrm{t}^{r_{A,J}}})*,$$\xi(.f;s)=L\infty(f;s)L(f;S)$$f\in \mathfrak{S}(I\mathrm{t}_{A,f}’)*$

で定める.

をともに Hecke eigen form とし,

$l$

を+分大と

このとき,

.

$\langle F,\overline{E^{*}(*,\overline{f},\cdot\omega_{S}-1/2)}\rangle\underline{G}=\xi(F\otimes-\omega;s)\langle F|_{G}A’ f)_{G}$Example 2$S=$

平面白上の関数とみたで,$f^{\mathrm{d}\mathrm{m}}(z)$

虚二次体たの類数が 1 だとする.

を上半は, 通常の–変面面型形式に他ならない.

$f^{\mathrm{d}\mathrm{m}}(z)=n \sum_{=1}^{\infty}a(n)e^{2i}\pi z$と Fourier 展開し,$f\in \mathfrak{S}(K_{A,f}^{*})$$(_{\mathcal{Z}\in \mathfrak{H}})$

Mellin 変換による Dirichlet 級数$\Lambda(f^{\mathrm{d}\mathrm{m}};s)$$=$$(2 \pi)^{-s_{\Gamma}}(S)\sum_{1n=}a\infty(n)n^{-}s$$\Lambda(f^{\mathrm{d}\mathrm{m}}\otimes\chi_{k;}S)$$=$$(2 \pi)^{-S}|d_{k}|^{S}\mathrm{r}(S)\sum n=1\infty a(n)\chi k(n)n-s$

は $k/Q$ に対応する Dirichlet 指標).
を考える (が通常の意味で Hecke 作用素の同時固有関数であるならば, $f$ は上の Hecke eigen form であり, 上で定義した$f^{\mathrm{d}\mathrm{m}}$$\chi_{k}$$\xi(f\otimes\omega;s)$$G_{A}$

は定数倍を除き,

Example 3$\Lambda(.^{\mathrm{d}\mathrm{m}};s+(l-1)/2)\Lambda(f^{\mathrm{d}\mathrm{m}}\otimes\chi_{k};s+(l-1)/2)$

た $=Q(i),$ $\underline{S}=$とする.

に–致する.

$F\in \mathfrak{S}\iota(\underline{I\iota})’*A,f$は, 領域 $\{(z, w)\in$の正則尖点形式と同–視される. [7] において graded ring の構造が決定されており, $l=8$ の場合,となることが分かる. 即ち, Theorem
関数の情報を取り出すには, 定値直交群に対して
2 の右辺の内積が消える. . 従って,
Proposition 2 で行ったように, form を取り替える必要がある. なお, $l=12$ の場合に$F^{\mathrm{d}\mathrm{m}}$$\mathfrak{h}\cross C|\mathrm{I}\ln Z>|w|^{2}\}$$F^{\mathrm{d}\mathrm{m}}(z, 0)=0$$L$$\underline{S}$は, 少なくとも–つの Hecke eigen form に対しては内積が消えないことも [7] から分かる.

References[1] S. Kato and A. Murase : in preparation.

168[2] S. Kudla: On certain Euler products for $SU(2,1)$ , Comp. Math. 42 (1981), 321-344.
[3] A. Murase and T. Sugano : Shintani function and its application to automorphic Lfunctions for classical groups : I. The orthogonal groups case, Math. Ann. 299 (1994),

17-56.
[4] A. Murase and T. Sugano : Shintani functions and automorphic$GL(m)$ , to appear in T\^ohoku Math. J.
[5] A. Murase and T. Sugano: On standard
on definite orthogonal groups, preprint.

[6] A. Murase and T. Sugano:

$L$

$L$

$L$

-functions for-functions attached to automorphic forms-functions of holomorphic cusp forms on $U(2,1)$ , preprint.

[7] Resnikoff and Tai : On the structure of a graded ring of automorphic forms on 2dimensional complex ball, Math. Ann. 238 (1978), 97-117.
[8] I. Satake : Theory of spherical functions on reductive algebraic groups over -adic
fields, I.H.E.S. Publ. Math. 18 (1963), 5-69.
$\mathfrak{p}$[9] T. Shintani : On automorphic forms on unitary groups of order 3, preprint.
$[10]\perp\iota lrightarrow||\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$:$\mathrm{j}\mathrm{E}\text{定}1\mathrm{E}\mathrm{B}\llcorner^{\overline{\prime}}\backslash _{\mathrm{x}}\text{群}\backslash \lrcorner:\text{の}\Re 2^{1}\mathrm{J}*\prime \text{式と}L\text{関数},$$\Gamma \text{ム}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{大}g\{/\not\in\pm\betaarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}=\mathrm{x},$$1995$.