数理解析研究所講究録
第 1596 巻 2008 年 38-41

38
摂動と不動点

山形大・大学院理工学研究科 高橋眞映 (Sin-Ei Takahasi)
山形大・大学院理工学研究科 三浦 毅 (Takeshi Miura)

始めに古田不等式 20 周年を記念したこの RIMS 研究とご本人にお祝いを申し上げます。

思えば 1986 年、 芳賀義則先生の主催する日立関数解析 学セミナーにおいて、藤井正俊さんが、 所謂 「古田不等式」 を紹介し、 古田先生の開発された例の連続的帰納法を用いてその証明を見せて頂いた事が、 昨日のように思い出されます。 あれ
から 20 余年、 歳月の流れを感ぜずにはいられません。
$\text{と_{}}^{}6\text{て_{}\backslash }^{\backslash }$どうでも良い事は流行に従う
大事な事は道徳に従う
芸術の事は自分に従うは小津安二郎の座右の銘ですが、 ここで芸術を数学に変換しても立派な銘になると思っています。 古田先生は正にこの「数学の事はご自分に従った」
私達は本当に尊敬の念を禁じ得ません。
,た信念の人であります。
つまりご自分の最近。の論文にinsPaire され、 それに従った感
Kim-Jun-Rassiasのあるものです。 摂動と不動点は全く相反するものですが、 これをうまく調和させると、 素晴らしい世界が開けます。 実際、 浅田真央に代表されるスケートの世界があります。 スケーターの回転の妙技は常にある一点を見つめる事に依ってなされると聞いた事があります。 これは正に摂動と不動点の調和であります。 これと同じ事が数学の世界でも起こると言うのが、 本論の主題であります。

さてり本ご論分の$\ulcorner_{\mathfrak{k}}^{\wedge}=,$$1^{\backslash }\backslash$$\ovalbox{\tt\small REJECT}*A|h$

1. 概念1940 年 . $M$ . ulam は「距離群の -準同型の近くに真の準同型が存在するか ? 」 という問題を提出した (cf. $l9],$ $[10]$ ). これは「近似解の近くに真の解があるか ? 」と言う精神である。 所で, 数学の世界を支えるものは可換性であると信じている。 例
えば前出の準同型とは群演算と可換な写像の事である。 この\hslash で行けば, ulam の問$S$$\epsilon$$ffl\#h$「近似可換図の近くに真の可換図 (commutative diagram) が存在するか ? 」と一般化される。 この問題を解決するとき, 何故か摂動と不動点の相性の良さが問題となる。 実際 1941 年 . . Hyers [41 は「 つの Banach 空間 $X,$の間の近似加法的写像 $f:Xarrow Y$ の近くには唯一の加法的写像 が存在する」$D$$H$$Y$

$2$

$T$

事を示し, ulam の問題の部分的肯定解を与えている。 彼は $T(x):=_{l}|ig2^{-n}f(2’’ x)$と定義することにより, 摂動と不動点の相性の良さから上の定理を証明している。 しかし, これが Picard の逐次近似法の一種であると看破し, この種の問題に不$(x\in X)$動点定理が関与することを明確に述べたのは, Kim-Jun-Rassias [ 」による最近の論文であろう。 彼等はある種の 2 項演算と写像の可換性を謳った Euler-Lagrange 関数方程式 : $f(a\kappa+by)+f(a\kappa-by)+2af(-x)=0$ に関する Hyers-Ulam-RassIas 安定性を考察した際, Margolis-Diaz [61 による一般化された完備距離空間上の不動点定理を用い$5$ている。

さて我々は次のような 2 つの可換図を考える。

39$0$$\sigma$

$X$

(I)

$g$

XxX

$X$

$arrow$(II)$\downarrow f$$\downarrow$$Y$$arrow$$gxg$$\downarrow f$$\downarrow$

$YxY$

$Y$

$X$

$arrow$$Y$$arrow$$\Delta$$\tau$

もし$Y$が距離空間であれば, これ等に対する近似可換図が考えられるが, このとき,これ等の近似可換図の近くに真の可換図が存在するかという Ulam の精神にのっとった問題を考える。 勿論 Hyers [41 や KIm-Jun-Rassias [51 等の論文は (II) 型に属するが,もっと一般的に扱ったものとしては G.-L. Forti $|1,2$ ] 等がある。
ここでは我々は直接 (I) 型を考察するのではなく, (II) 型を考察し, その特別な場合として (I) 型の部分的肯定解を得ると言う形を取る。
以下 $X$ を集合,を完備距離空間, $f,$ を $X$ からへの写像とする。 またをそれぞれ $X,$上の自己写像とする。 更に $0,$ をそれぞれ $X,$上の 2 項演算とする。
$(Y, d_{\gamma})$$\sigma,$

$Y$

$g$

$Y$

$\tau$$Y$$\Delta$

2. Banach の不動点定理の例
集合 $x$ 上の非負実数値関数$\Delta_{f,\varphi}=$を考え,$\varphi${$g:Xarrow Y|d_{\gamma}(f(x),$ $g(x))\leq K_{s}ux)$ for all $x\in X$ and some $K_{e}z0$}と置く。 このとき距離$d_{f.\varphi}(g, h)= \inf\{K\geq 0:d_{Y}(g(x), h(x))\leq K\varphi(x)(\forall x\in X)\}$のもとで,は完備距離空間を作る。 次に各 $h:Xarrow Y,$ $x\in X$ に対して,$(Th)(x)=\tau h(\sigma x))$ と置くと, 条件$(\Delta_{f.\varphi}, d_{f.\varphi})$$\beta$.

$:= \sup_{y_{1}\cdot y_{2}}\frac{d_{\gamma}(\tau y_{1},\tau y_{2})}{d_{\gamma}(\mathcal{Y}_{1},\mathcal{Y}_{2})}<\infty,$$\beta_{\varphi}$$:= \sup_{\propto x)\cdot 0}\frac{\varphi(\sigma x)}{\varphi(x)}<\infty$

and$\tau f\sigma\in\Delta_{f,\varphi}$のもとで,$T(\Delta_{f.\varphi})\subseteq\Delta_{f.\varphi},$$d_{f,\varphi}(Tg, Th)\leq\beta_{t}\beta fl_{f,\varphi}(g, h)(\forall g, h\in\Delta_{f,\varphi})$が成り立っ。 このとき, 仮定の不動点を持つ。 更に$\beta_{\tau}\beta_{\varphi}<1$のもとで, Banach の不動点定理から,$T$は唯一$f_{\infty}\in\Delta_{f.\varphi}$$d_{f.\varphi}(f, f_{\infty}) \leq\frac{d_{f,\varphi}(f,Tf)}{1-\beta_{t}\beta_{\varphi}}$and $\lim_{narrow\infty}d_{Y}((T^{n}f)(x), f_{\alpha}(x))=0(\forall x\in X)$が成り立っ。

我々はこの不動点定理を用いて次の節の安定定理を証明することができる。

3. Hyers-Ulam Rassias 型安定定理
先ず (II) 型の安定定理の概略を述べる。 $XxX$ 上の非負実数値関数 及び 上の非負実数値関数 を与えると, 2 項演算に関する適当な条件のも及び関数とで, 次の安定性定理が成り立つ :$x\in X$ ,If
and $d_{Y}(f(x), g(x))\leq\delta(x)$ for all,then there exists a unique maPping : $Xarrow Y$ such that$x\in X$
and $d_{\gamma}(g(x), f_{\Phi}(x))\leq A\epsilon(x, x)+c\alpha x)$ for all
and for some positive constants $A,$ and .
$x_{2}\in X$ に対して,
次に (I) 型の安定定理の概略を述べる。 先ず各$y_{2}\in Y$ に対して,と定義する。 また各は全単と定義する。 次に射と仮定し,を上の定理のだと思い,を与えると,上の非負実数値関数$X$$\epsilon$$\delta$$\delta$$\Delta$$\circ,$$\epsilon,$$d_{\gamma}(f(x_{1}\circ x_{2}), g(x_{1})\Delta g(x_{2}\rangle)\leq\epsilon(x_{1}, x_{2})$$x_{1},$$f_{\infty}(x_{1}\circ x_{2})=f_{\infty}(x_{1})\Delta f_{\epsilon}(x_{2})$$f_{\infty}$$d_{\gamma}(f(x), f_{\infty}(x))\leq A\epsilon(x, x)+B\alpha x)$$x_{1},$$B$$x_{1}\circ x_{2}=\sigma(x_{1})$$y_{\downarrow\Delta}y_{2}=\tau(y_{1})$$y_{1},$$\sigma$$x_{2},$$C$$x_{1},$$\sigma^{-1}$$x_{2},$$X$$\sigma$$\delta$$\epsilon,$40
やはり適当な条件のもとで, 上の定理は次の (I) 型安定定理を導く :If
and $d_{\gamma}(f(x), g(x))\leq\delta(x)$ for all $x\in X$ , then there exists a$d_{Y}(f(x), f_{\infty}(x))sA\epsilon(x)+B\delta(x)$ andunique maPPing: $Xarrow Y$ such that$d_{\gamma}(g(x), f_{\infty}(x))\leq A\epsilon(x)+C\delta(x)$ for all$x\in X$ and for some positive constants $A,$$d_{\gamma}(f(\sigma x), \tau g(x))\leq\epsilon(x)$$f_{\infty}(\sigma x)=\tau f_{\infty}(x),$$f_{\infty}$$x_{1},$and$C$$B$$x_{2},$.

4. 応用を可換 Banach 環, $X,$る。 また $p,$ $q\in R,$ $a,$ $b\in A,$
き次の系を得る。
$A,$ $B$$Y$をそれぞれ Banach A-module, Banach B-module とすを任意に固定し,を正の定数とする。 このと$c,$ $d\in B$$\theta$

系 1 . 元 $a+b$ は可逆かつ $|c+d| \max\{|(a+b)^{-l}|^{p}, |(a+b)^{-1}|^{q}\}<1$ と仮定する。
もし$|f(ax_{1}+bx_{2})-cf(x_{1})-df(x_{2})|\leq\theta(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{q})(\forall x_{1}, x_{2}\in X)$

であれば, 次の性質を持つ唯一の写像ん: $Xarrow Y$ が存在する :$f_{\infty}(ax_{1}+bx_{2})=cf_{\infty}(x_{1})+df_{\infty}(x_{2})(\forall x_{1}, x_{2}\in X)$

and$|f(x)-f_{\infty}(x)|_{1-\Vert c+d|\max\{|(a+b)^{-1}|^{p},|(a+b)^{-1}|^{q}\}}^{\theta\max\{|(a+b)^{-1}|^{p},|(a+b)^{-I}|^{q}\}(|x|^{p}+|x|^{q})_{(\forall x\in X)}}\leq\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

系 2. 元 $c+d$ は可逆かつ $|(c+d)^{-1}| \max\{\# a+b|^{\rho}. |a+b|^{q}\}<1$ と仮定する。
もし$|f(ax_{1}+bx_{2})-cf(x_{1})-df(x_{2})|\leq\theta(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{q})(\forall x_{1}, x_{2}\in X)$

であれば, 次の性質を持つ唯一の写像孟: $Xarrow Y$ が存在する :$f_{\infty}(ax_{1}+bx_{2})=cf_{\infty}(x_{I})+df_{\infty}(x_{2})(\forall x_{l}, x_{2}\in X)$

and$|f(x)-f_{\infty}(x)| \leq\frac{\theta|(c+d)^{-1}|(|x|^{\rho}+|x|^{q})}{1-|(c+d)^{-1}|\max\{|a+b|^{p},|a+b|^{q}\}}(\forall x\in X)$.

注意。 $A=B=C,$ $a=b=c=d=1,$ $p=q$ とする。 このとき系 1 は乙 Gajda の結果[3]:$p>1$ and $|f(x_{1}+x_{2})-f(x_{1})-f(x_{2})|\leq\theta(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p})(\forall x_{1}, x_{2}\in X)$$\Rightarrow\exists$!

$f_{\infty}$: $Xarrow Y$ ;$|f(x)-f_{\infty}(x)| \leq\frac{2\theta}{2^{\rho}-2}|x|^{p}(\forall x\in X)$を導く。
また系 2 は D. H. Hyers [ 」 ( $p=0$ の case), Th. M. Rassias の結果 [8] ( $0<p<1$ のcase) 及び Miura-Hirasawa-Takahasi の結果 [7] ( $p<0$ の case) :$4$

and $|f(x_{1}+x_{2})-f(x_{1})-f(x_{2})|\leq\theta(|x_{1}|^{\rho}+|x_{2}|^{\rho})(\forall x_{1}, x_{2}\in X)$$p<1$$\Rightarrow\exists$を導く。

!

$f_{\infty}$: $Xarrow Y$ ;$|f(x)-f_{\infty}(x)| \leq\frac{2\theta}{2-2^{p}}|x|^{p}(\forall x\in X)$

41
References

1. G.-L. Forti, An existence and stability theorem for a class of functional equations,
Stochastica, 4(1980), 23-30.
2. G.-L. Forti, Comments on the core of the direct method for proving Hyers-Ulam stabilityof functional equatIons, J. Math. Anal. Appl. 295(2004), 127-133.
3. Z. Gajda, On stability of additive mappings, Internat. J. Math. Math. Sci., 14(1991),
431 $A34$.

4. D. H. Hyers, On the stability of the linear functional equation, Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 27(1941), 222-224.
5. H. M. Kim, K. W Jun and J. M. Rassias, Extented stability problem for altemaitive
Cauchy-Jensen mappings, submitted.
6. B. Margolis and J. B. Diaz, A fixed point theorem of the altemative for contractions on ageneralized complete metric space, Bull. Amer. Math. Soc., 74(1968), 305-3W.
7. T. Miura, G. Hirasawa and S. Takahasi, Stability of multipliers on Banach algebras,
Internat. J. Math. and Math. $Sc1.$ , 4548(2004), 2377-2381.
$- E_{;}$

8. Th. M. Rassias, On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc. Amer.
Math. Soc., 72(1978), 297-30.

9. S.

$M_{:}$Ulam, A coolection of mathematical problems, Interscience Tracts in Pure andMathematics, no. 8, Interscience, New York-London, 1960.

$App1_{1}ed$

10. S. M. Ulam, Sets, Numbers, and Selected Works, Mit Press, Cambridge, MA, 1974.