数理解析研究所講究録 1292 巻 2002 年 1-11

1

Flat Fronts in Hyperbolic 3-space

3 次元双曲型空間$H^{3}$

梅原雅顕

國分雅敏

山田光大郎

広島大学

東京電機大学

九州大学の平坦な曲面に対して, それを正則なデータで表現する Weierstrass

型表現公式が知られている (G\’alvez, Martinez, Mil\’an [GMM]). ただし, 曲面の複素構造
は, 第 2 基本形式 (ガウス方程式より定値になる) が定める共形構造によって与えられる.
一方,の完備平坦な曲面は horosphere と, 測地線から等距離にある点がなす曲面に限る [Vla 市而 rova, Sasaki]. L, たがって, 平坦曲面の大域的な理論は意味をなさない.
を考えれば, 表現公式を通して
しかし, ある種の特異性を許す平坦曲面一 flat front$H^{3}$–

豊かな幾何学を考えることができる.

13 次元双曲型空間の平坦な曲面と Legendrian curve
Legendrian curve:の有理型写像とは,
(1.1)

リーマン面

$M^{2}$

から複素り一群 PSL$E=(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})=\sqrt{h}(\begin{array}{ll}\hat{A} \hat{B}\hat{C} \hat{D}\end{array})$と表される $E$ のことである.

$(2, C)=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)/\{\pm \mathrm{i}\mathrm{d}\}$へ$(\begin{array}{lllllll}\hat{A}h, \hat{B} \hat{C} \hat{D} \text{は }M^{2} \text{上の有理型関数}AD-BC=1 \end{array})$への有理型写が有理型関数ならば $E$ は像を与えるが,が上で 2 価をもつ場合でも, 正負の符号を同一視することによって $E$ は PSL $(2, C)$ 上に値をもつと考えられる. (1.1) の $E$ が$\sqrt{h}$もし$\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$$M^{2}$$AdD-CdB=0$(1.2)
を満たすとき,$\sqrt{h}$$E$は Legendrian curve とよばれる.

Legendrian curve $E$ [こ対して(1.3)
を満たす有理型微分形式$E^{-1}dE=(\begin{array}{ll}0 \theta\omega 0\end{array})$$\theta,$$\omega$が存在する.

このとき$A$$E=\{$$dC/\{vdA/\omega)$$C$と表すことができる.

2
表現公式
曲型空間

ここでは,

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$H^{3}$$H^{3}$の平坦な曲面に対する表現公式 [GMM] を紹介する. 3 次元双は$H^{3}=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)/\mathrm{S}\mathrm{U}(2)=\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)/\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{U}(2)=\{aa^{*}|a\in \mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)\}$と表される. ただし PSL$(2, C)=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)/\{\pm \mathrm{i}\mathrm{d}\}$, PSU(2)$=\mathrm{S}\mathrm{U}(2)/\{\pm \mathrm{i}\mathrm{d}\},$$a^{*}={}^{t}\overline{a}$である.

向きづけられた 2 次元多様体
たとしよう. すると,

$M^{2}$の $H^{3}$ への平坦なはめ込み $f:\Lambda f^{2}arrow H^{3}$

ガウス方程式より $f$ の第 2 基本形式

$h$

が与えられ

は定値になるから,

これに

上
の普遍被覆
にリーマン面の構造を与えることができる. このとき,が存在して $f=EE^{*}$ と表さで定義された正則な Legendrian curve$E$を $f$ のリフトとよぶ. このとき, $f$ の第 1 基本形式, 第 2 基本形式はれる. このより$M^{2}$$M^{2}$$\overline{M}^{2}$$E:\overline{M}^{2}arrow \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$(1.4)$ds^{2}=Q+\overline{Q}+(\omega\overline{\omega}+\theta\overline{\theta})$と表される. ただし

2 次微分

$Q$

$\theta$$\omega,$,$h=\omega\overline{\omega}-\theta\overline{\theta}$

は (1.3) で与えられる微分形式,$Q=\omega\theta$

である.

$M^{2}$

上の正則

は $f$ の Hopf 微分とよばれる.

ここで

(1.5)

$G_{*}= \frac{B}{D}=\frac{dA}{dC}$$G= \frac{A}{C}$

とおき,これらを $f$ の双曲的ガウス写像とよぶ. ただし, $A,$ $B,$ $C,$ $D$ はリフトを (1.1) のように表したときの成分である. 曲面 $f$ 上の点 $f(p)(_{p}\in M^{2})$ における単位法線ベクの測地線の漸近類を考えると, これらは
トルを $\nu(p)$ とおき, $\pm\nu(p)$ を初速度にもつ$H^{3}$

H3 $=C\cup\{\infty\}$ 上の 2 点 $(G(p), G_{*}(p))$ を定める. このようにして得られるから $C\cup\{\infty\}$ への写像がこれら 2 つの双曲的ガウス写像である.
逆に, リーマン面から PSL $(2, C)$ への正則な Legendrian curve が与えられたとき, もし (1.4) のが正定値ならば f=EE*l よ平坦なはめ込みを与える. しかし, 一般に $E$
が PSL $(2, C)$ へのはめ込みを与えていたとしてもははめ込みを与えるとは限らない.

$H^{3}$の理想境界$M^{2}$$ds^{2}$

$f$

実際

(1.6)

$|\rho|=1$$(\begin{array}{l}\theta\rho\cdot.=\overline{\omega}\end{array})$となる点では第 1 基本形式が (同時に第 2 基本形式も) 退化する.

緒公式: 平坦な曲面を調べる上で重要な役割を果たす公式を紹介する. 以下,をみたす Legendrian curve とする.
このとき $M^{2}$ 上の多価有理型関数 $g,$(1.7)

$g_{*}$$dg=\omega$

,

をそれぞれ
$dg_{*}=\theta$

を満たすようにとると,(1.8)$S(g)-S(G)=S(g_{*})-S(G_{*})=2Q=2\omega\theta$,$E$を (1.3)3が成り立つ [GMM]. ただし$S(\cdot)$

は

の複素座標

$\Lambda I^{2}$$z$に対して次で与えられる Schwarz

微分である :
$S(g):=[( \frac{g’’}{g’})$可一$(’= \frac{d}{dz})$$\frac{1}{2}(\frac{g’’}{g’})^{2}]dz^{2}$.

Schwarz 微分は複素座標のとりかたに依存するが, それらの差は正則 2 次微分として座標のとりかたによらない.

Legendrian curve $E$ は微分方程式 (1.3) を満たすが, このことから,
独の 2 階線形常微分方程式を満たすことがわかる [GMM]. 実際,$E$の各成分が単$E=(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})$

とおくと,

$A,$

は (E.1) の,$C$$B,$ $D$

は (E.2) の解である :,$(\mathrm{E}.1)$$X”- \frac{\hat{\omega}’}{\hat{\omega}}X’-\hat{\omega}\hat{\theta}X=0$(E.2)$\mathrm{Y}’’-\frac{\hat{\theta}’}{\hat{\theta}}X’-\hat{\omega}\hat{\theta}X=0$

ただし, ’ は$M^{2}$

表現公式 (2):

の複素座標

$z$

に関する微分,.

$\omega=\hat{\omega}dz,$$\theta=\hat{\theta}dz$である.

微分方程式 (1.3) は Legendrian curve の表現公式と解釈できるが, 以下

では 「微分方程式を解く」 必要がない表現公式を紹介する.

定理 1J([KUYI]).
$G$と$G_{*}$

をリーマン面,は恒等的に一致しないものとする.

(1) 1 形式

(2)

$M^{2}$$M^{2}$$\frac{dG}{G-G_{*}}$

(1.9)

と

$G_{*}$

を $M^{2}$ 上の定数でない有理型関数でさらに次を仮定する :の極の位数はすべて 1 である.

上の任意の)–

このとき $M^{2}$ の基点$G$$z_{0}$$\text{フ^{}\mathrm{O}}$$\gamma$に対して$\int_{\gamma}\frac{dG}{G-G_{*}}\in\pi iZ$が成り立つ.

をひとつ固定して$\xi(z):=\mathrm{c}\exp$ $\int_{z_{0}}^{z}\frac{dG}{G-G_{*}}$$(c\in C\backslash \{0\})$とおくと,(1.10)$E:=(\begin{array}{ll}G/\xi \xi G_{*}/(G-G_{*})1/\xi \xi/(G-G_{*})\end{array})$である. 点は定数でない有理型 Legendrian curve でその双曲的ガウス写像は $G$ と$p\in M^{2}$ が $E$ の極であるのは $G(p)=G_{*}(p)$ のときでそのときに限る.
逆に, PSL $(2, C)$ の有理型 Legendrian curve でその双曲的ガウ入写像が定数でないも$G_{*}$のはこのようにして得られる.

4
このように, 与えられた $(G, G_{*})$ を双曲的ガウス写像にもつ Legendrian curve は定数$c$だけの自由度をもつ.

とくに

$c$

を $e^{iu}(u\in R)$ (音しても $EE^{*}$ は変わらないので, 与えられた双曲的ガウス写像をもつ平坦な曲面は実数 1 次元分の自由度をもつ. この自由度はあとで述べる平行曲面に対応する.
式 (1.10) で与えられる $E$ に対して $E^{-1}dE$ を計算すれば $\omega=-dG/\xi^{2}$ を得る. このことから, 次が成り立つことがわかる:

系 L2 ([KUYI]). リーマン面上の定数でない有理型関数 $G$ と恒等的には 0 でない

1 次微分形式$\omega$$M^{2}$

に対して,(1.11)$E=(\begin{array}{ll}A dA/\omega C dC/\omega\end{array})$$(C:=G\sqrt{\frac{\omega}{dG}},$$A:=GC)$

は $M^{2}$ 上で定義された PSL $(2, C)$ の有理型 Legendrian curve である. 逆に, 定数でない

双曲的ガウス写像をもつ有理型 Legendrian curve はこのようにして得られる.
この表現公式は, 積分を含まない. すなわち,て$\omega$が $M^{2}$ 上で well-defined ならば対上で定義される. 一方, 定理 1.1 の条件 (2) は上で 1 価であることを要求する 「周期条件」 である.

応する $E$ も$M^{2}$$G,$$M^{2}$

平坦なはめ込み $f:M^{2}arrow H^{3}$ に対して, そのリフト $E$ はない. 実際, 普遍被覆上の任意の被覆変換$\overline{M}^{2}$$\tau$が存在することが $f=EE^{*}$ がる. これは, 表現公式 (定理 11) においては$M^{2}$$u_{\tau}$(1.12)$M^{2}$

が符号の任意性を除い
上 1 価になるとは限らに対して$(u_{\tau}\in R)$$E\circ\tau=E(\begin{array}{ll}e^{iu_{\tau}} 00 e" iu_{\tau}\end{array})$

となる実数

$\xi$

上 1 価になるための必要十分条件であ$\int_{\gamma}\frac{dG}{G-G_{*}}\in iR$が任意のループ$\gamma$に対して成立することに対応し, 系 12 においては, 任意の被覆変換$\tau$

に対して(1.13)$\omega\circ\tau=e^{2iu_{\tau}}\omega$が成立することに対応する.

2Flat Fronts
平行曲面:

曲面

$f_{t}$

曲面 $f:M^{2}arrow H^{3}$ から単位法線ベクトル 方向に距離 だけ移動した平行もまた平坦がはめ込みを与えるなら,を考える. とくに $f$ が平坦な曲面で,な曲面となる. このとき,

$t$

$\nu$

$f_{t}$$f_{t}$$f$のリフトを $E$ とすると

$f_{t}$$E_{t}=E(\begin{array}{ll}e^{-t/2} 00 e^{t/2}\end{array})$のリフト$E_{t}$

は

5で与えられる. とくに, 双曲的ガウス写像
あり,

0$e^{t/2}$0は平行曲面をとることにょって不変で$(G, G_{\ovalbox{\tt\small REJECT}})$00$e^{\ovalbox{\tt\small REJECT}/2}$$\theta$$e’\theta$$E\ovalbox{\tt\small REJECT} dE_{t}$00$e\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{w}$0$e^{t/2}$$e^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$

’

となる.

Legendrian curve $E$ が与えられたとき, $f=EE^{*}$ は (1.6) を満たす点ではめ込みを与えない (誘導計量が退化する). しかし平行曲面 $f_{t}=E_{t}E_{t}^{*}$ を考えるとであるから, そのような点は一般に特異点でなくなる.

$|\rho_{t}|=|\theta_{t}/\omega_{t}|=e^{2t}|\rho|$

定義 2.1. 正則な Legendrian curve $E$ によって与えられる写像 $f=EE^{*}:$ $M^{2}arrow H^{3}$ に
おいて $p\in M^{2}$ が特異点であるとは $p$ で $f$ の第一基本形式が退化することである.
に $p$ が見かけの特異点であるとは,その点で$\omega$と$\theta$

さらが同時に 0 とならないことである.

すると, 次が成り立つ :定理 22. リーマン面に対して次は同値である.

$M^{2}$

上で定義された正則な Legendre curve$E:M^{2}arrow \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$(1) $E$ ははめ込みである.
(2) $f=EE^{*}$ の特異点はすべて見かけの特異点である.

(3) $f$ の第一基本形式 (1.4) の $(1, 1)$ -part, すなわちリーマン計量を与える.

$\omega\overline{\omega}+\theta\overline{\theta}$

は $M^{2}$ 上の (非退化な)(4) $E$ の双曲的ガウス写像 $(G, G_{*})$ を写像$(G, G_{*}):M^{2}arrow \mathrm{C}P^{1}\cross \mathrm{C}P^{1}$とみなすと,

これははめ込みである.

Legendrian immersion と flat front:$T^{*}N$

一般に,

$n$

次元リーマン多様体 $N$ の余接束

上には $N$ の局所座標系 $(x^{1}, \ldots, x^{n})$ から標準的な座標系 $(x^{1}, \ldots, x^{n}; p_{1}, \ldots,p_{n})$ が定義されるが, 微分形式$\beta:=\sum p_{j}dx^{j}$の単位余接束への写像$T_{1}^{*}N$$L$への制限は,の接触構造を与える. $n-1$ 次元多様体 $M$ から: $Marrow T_{1}^{*}N$ が Legendrian であるとは, $L^{*}\beta=0$ が成立することで$T_{1}^{*}N$$T_{1}^{*}N$

ある.
いま,

$N$

のリーマン計量により単位余接束と単位接束 $T_{1}N$ を同一視し, 標準的な射影を $\pi:T_{1}Narrow N$ と書くことにする.
$\nu\in T_{x(p)}N)$る.

このとき, 写像 $L=(f, \nu):Marrow T_{1}N$が Legendrian であるための必要十分条件はもし $f:Marrow N$ がはめ込みなら,$\nu$$\langle df, \nu\rangle=0$$(f=\pi \mathrm{o}L$,が成り立つことであはその単位法線ベクトル場を与えている.

6
一般に Legendrian はめ込み

意の実数

$L\ovalbox{\tt\small REJECT}(f, \nu)$の射影 $f$ を (wave) front とよぶ. このとき, 任

こ対して$f_{t}(p)=\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}_{f(p)}t\nu$$\nu_{t}(p)=\nu(p)$,を初速とする測地線にそって $\nu(p)$ を $f_{t}(p)$ まで平行移動したものとおくと $L_{t}=(f_{t}, \nu_{t})$ はまた Legendrian immersion を与える.

とく [こ$f_{t}$

は $f$ の平行曲面である.
以下 $N=H^{3}$ とする.
$L^{4}\oplus L^{4}$$H^{3}$

をミンコフスキー空間の部分多様体として実現される. そこで,

$L^{4}$$T_{1}H^{3}$の超曲面と見なせばの元を$(x, e)\in L^{4}\oplus L^{4}$$T_{1}H^{3}$

は

と表せば

$d\tilde{s}^{2}:=|dx|^{2}+|de|^{2}$

によって$T_{1}H^{3}$にリーマン計量を定めることができる. Legendre はめ込み
$L=(f, \nu):M^{2}arrow T_{1}H^{3}$で引き戻した計量(2.1)$L^{*}d\tilde{s}^{2}=|df|^{2}+|d\nu|^{2}$を考える.

命題 23. Legendre はめ込み $L:M^{2}arrow T_{1}H^{3}$ の射影 $f=\pi\circ L$ が平坦なはめ込みを与えているなら, その第二基本形式は (2.1) で与えられる計量と比例する.

したがって, 平坦な曲面 $f$ に対しては, 計量 (2.1) は [GMM] の表現公式で考えたのと同じ共形構造を与える.
定義 24. Legendrian immersion $L=(f, \nu):M^{2}arrow T_{1}H^{3}$ の射影 $f$ が (適当な平行曲面をとれば) 誘導計量に対して平坦な曲面を与えるとき, $f$ を flat front という.
定理 25. 単連結な 2 次元多様体上で定義された flat front $f$ は, (2.1) で与えられるによりの自然な共形構造に対して正則 Legendre はめ込み上で定義された正則 Legendre はめ込み $E$ に$f=EE^{*}$ と表される. 逆にリーマン面の共形構造と同じ共形構造を与対して f=EE*よ flat front を与え, 計量 (2.1) は$M^{2}$$M^{2}$$E:M^{2}arrow \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$$M^{2}$$M^{2}$

える.

したがって,

flat front は定理 1.1, 系 12 のような正則なデータによる表現公式をもつ

ことがわかる.

双対性: Flat front の表現公式では,, 二つの双曲的ガウス写像 $G,$

二つの 1 次微分形式$\theta$$\omega,$(または (1.7) の$g$との対が重要な役割をはたしている. これらの間は
次のように双対性を考えることができる : 正則な Legendre はめ込み $E$ に対して

$g_{*})$$G_{*}$$\overline{E}=E(\begin{array}{ll}0 ii 0\end{array})$

7
とおくと,

も Legendre はめ込みを与えている.

$\tilde{E}$$\gamma_{\mathrm{X}}\iota_{\supset}^{\wedge}\mathrm{Y}\mathrm{f}^{\backslash }$$E=(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})$であるから,$E$の双曲的ガウス写像を $G,$

$G_{*}$

とくに$\overline{E}=(\begin{array}{ll}B AD C\end{array})$とすると$\overline{E}$の双曲的ガウス写像$\overline{G},\overline{G}_{*}$

はそれぞれ$\overline{G}=G_{*}$

となる.

,

$\tilde{G}_{*}=G$

また,$E^{-1}dE=(\begin{array}{ll}0 \theta\omega 0\end{array})$,$\tilde{E}^{-1}d\tilde{E}=(\begin{array}{ll}0 \overline{\theta}\overline{\omega} 0\end{array})$,とおけば\mbox{\boldmath $\omega$}-=\mbox{\boldmath $\theta$}フ
となり,

と

$E$

$\tilde{E}$では $G$ と($G_{*}$$\omega$と$\theta$$\tilde{\theta}=\omega$) が入れ替わることがわかる.

一方$\overline{E}\overline{E}^{*}=EE^{*}$

であるから,

3$E$と$\tilde{E}$は同じ flat front を与える.

完備な flat front
一般に flat front は特異点をもつが, それ以外の部分での完備性を次のように定義する.

定義 3.1. Flat front $f:M^{2}arrow H^{3}$ は, 適当な平行曲面をとることにより, $f$ の特異点集
合 $K$ をコンパクトにすることができて, $K$ を除いた部分で完備な曲面を定めるとき, 完
備であるという.

命題 32. Flat front $f:M^{2}arrow H^{3}$ が完備ならば,$M^{2}$

はコンパクトなリーマン面から有限個の点 (end) を除いたものに正則同値である.
とくに,各 end において次が成り立つ :命題 33([GMM]). Hopf 微分 $Q$ は end$p$に高々極をもつ.

命題 34. 次は同値である.

(1) $Q$ は$p$に高々 2 位の極をもつ.

(2) 双曲的ガウス写像$G$(3) 双曲的ガウス写像$G_{*}$

は

$p$

は

$p$

に高々極をもつ.
に高々極をもつ.

とくに命題 3.4 の条件が成り立つ end を regular end という.
双曲的ガウス写像 $(G, G_{*})$ は曲面の単位法線ベクトルを初速とする測地線の両端であるから, 曲面上の点ではつねに $G\neq G_{*}$ が成り立つ. 一方 $G=G_{*}$ が成り立つならば, それは必然的に end になる. 逆に, 正則な end においては $G(p)=G_{*}(p)$ が成り立つ.
$p$

さらに,

end が埋め込みとなるための条件が次であたえられる :8

図 1: 測地線からの等距離曲面

命題 35. 完備な flat front の end
ウス写像

$G$

と

$G_{*}$

が埋め込みであるための必要十分条件は, 双曲的ガの少なくとも一方がその点で分岐しないことである.
$p$極小曲面の Osserman 不等式は, 全曲率 (すなゎちガウス写像の次数) と曲面の位相型の関係式であったが, flat front に対しては次の不等式が成り立っ
定理 36([KUY2]).

$\overline{M}^{2}$

をコンパクト・リーマン面,
$f$

: 五

$2\backslash \{p_{1}, \ldots,p_{n}\}arrow H^{3}$を完備な flat front, $(G, G_{*})$ をその双曲的ガウス写像とする. このとき,$\deg G+\deg G_{*}\geq n$が成り立つ. 等号は, すべての end が regular がっ埋め込みとなることである.

次の節で紹介する例 4.1, 4.2, 4.3 および 47 の end はすべて regular かっ embedded だから,

いずれもこの不等式の等号を満たす例である.

4Flat front の例
例 4.1 (測地線からの等距離曲面). リーマン面 $M^{2}=C\backslash \{0\}$ 上で$G=z$ ,$\omega=\frac{e^{-t}}{2z}dz$$t\in R$に対して, 系 12 を適用すると, 正則 Legendre はめ込み

$E= \frac{i}{\sqrt{2}}(\begin{array}{ll}e^{-t}/2 00 e^{t/2}\end{array}) (\begin{array}{ll}\sqrt{z} \sqrt{z}\frac{1}{\sqrt{z}} -\frac{1}{\sqrt{z}}\end{array})$を得る. 対応する flat front は,の測地線から等距離の点がなす平坦な曲面である (図1). 特異点をもたない完備平坦な曲面は, horosphere と, この曲面 (平行曲面族) に限る.
$H^{3}$

9$\mu=0.5$$\mu=1.5$$\mu=1.5$

図 2: 回転面

例 42(回転面). リーマン面 $M^{2}=C\backslash \{0\}$ 上で

and$G=\sqrt{\frac{\mu-1}{\mu+1}}z$$\omega=\frac{\sqrt{1-\mu^{2}}}{2}z^{\mu-1}dz$$(\mu\in R_{+}\backslash \{1\})$.

とおくと, 系 12 により対応する Legendre はめ込みは$E= \frac{i}{\sqrt{2}}(\begin{array}{ll}z^{(\mu+1)/2} (\mu+1)z^{-(\mu-1)/2}z^{(\mu-1)}/2 (\mu-1)z^{-(\mu+1)/2}\end{array})$

となる.

の普遍被覆
が整数でなければ $E$ はに対して回りのループに対応するの被覆変換$M^{2}$$\overline{M}^{2}$$\mu$

上でしか定義されないが, 原点の$\overline{M}^{2}$$\tau$$E\circ\tau=E(\begin{array}{ll}-e^{\pi i\mu} 00 -e^{-\pi i\mu}\end{array})$が成り立つので,

f=EE*V よ$M^{2}$

上で定義された flat front になる.

$f$の特異点集合はである (図 2).

$\{|z|=1\}$

例 43(Jorge-Meeks 型の曲面). 整数 $n\geq 2$ に対して,$M^{2}:=C\cup\{\infty\}\backslash \{1, \zeta, \ldots, \zeta^{n-1}\}$

とおく.

$( \zeta=\exp\frac{2\pi i}{n})$

.

このとき,

(4.1)

$G=z$

とおけば, 系 12 を通して得られる.

とくに対応するand$M^{2}$$\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{a}\grave{\mathrm{t}}$$\omega=k(z^{n}-1)^{-2/n}dz$$(k>0)$ ,の普遍被覆上で定義された正則 Legendre はめ込み $E$ が個の対称な regular上で定義されており,
front は$M^{2}$

embedded ends をもつ (図 3). この曲面の双曲的ガウス写像は$(G, G_{*})=(z, z^{1-n})$

$n$

10

$k=1.\mathrm{O}$$k=1.2$

図 3: Jorge-Meeks 型の曲面 $(n=3)$

例 44(Trinoids). リーマン面 $M^{2}=C\backslash \{0,1\}$ 上で$G=z$ ,と定める. ただし $k,$$\mu_{1},$$\mu_{2}$$\omega=kz^{\mu_{1}}(z-1)^{\mu 2}dz$は任意の実数である.

このとき, 対応する正則 Legendre はめ込みから得られる flat front は 0, 1, oo に embedded regular end をもつ.

定理 45([KUY2]). Embedded regular ends をもつ genus 0trinoid は, 双対を除いて
例 4.4 にあげたものに限る.

例 43 の $n=3$ の場合は適当に座標変換を行えば, 例 4.4 に含まれることがわかる.

例 46( $n$-noids). 例 4.4 と同様にして$M^{2}=C\backslash \{p_{1}, \ldots,p_{n-1}\}$とすると,$p_{1},\ldots,p_{n-1},$$\infty$,$G=z$ ,$\omega=k(z-p_{1})^{\mu 1}\ldots(z-p_{n-1})^{\mu_{n}-1}dz$に embedded regular ends をもつ flat front が得られる.

例 47(種数 1 で embedded end をもつ例 [KRUY]). }ラスを考えはる. ただしとで生成される $C$ の格子で, 正方形格子でないものとする.
$\backslash -$$\Gamma$

Weierstrass の$2\gamma_{1}$$\wp$$2\gamma_{2}$関数を用いて$G:=\wp$ ,とおく. ただし

の分岐点

$a$

$\overline{M}^{2}=C/\Gamma$は定数で,$(0, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{1}+\gamma_{2})$flat front を定める.

$\omega:=\frac{\wp’(z-a)\wp’(z)}{\{\wp(z)\}^{2}}dz$$\gamma_{j}+a\not\in\Gamma(j=1,2)$と$\omega$,となるよう [ことる. すると,

これは $G$の零点 (6 個ある) に regular embedded end をもつ

11
参考文献
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$H^{3}$$H^{3}$

in prepration.
$a$