数理解析研究所講究録
1059 巻 1998 年 40-5040関数の積の評価について

MIYACHI, AKIHIKO (東京女子大学文理学部)

宮地晶彦

Euclid 空間上の関数の各点毎の積に関連した双線型または多重線型作
用素の適当な関数空間での有界性について,

2 つの結果を報告する.

最大関数を用いて定義される ALGEBRA

Sobolev 空間が関数の各点毎の積に関して algebra になる場合はよくがの有界領域で Lipschitz 境界を持つ
調べられている. 例えば,
上の
場合に,
階ま
関数 $(1 \leqq P<\infty)$ で distribution の意味のとし, これに通常に属すものの全体をでの導関数がすべてのノルムをいれると,が関数の各部毎の積に関して algebra になるのは, $1<p<\infty$ かっ $k>n/P$ , または $p=1$ かつ $k\geqq n$ の場合
で, $1<p<\infty$ かつ $k\leqq n/P$ のときには algebra にならな . (例えば,$\Omega$$\mathrm{R}^{n}$$k$$L^{p}$$\Omega$$L^{p}$$W_{p}^{k}(\Omega)$$W_{p}^{k}(\Omega)$$\mathrm{A}\mathrm{a}$.

.

Adams [1; Chapt. V] 参照.).
.
.の $1<p<\infty$ の場合には critical の $k=n/P$ のSobolev 空間のかわりに
ときは algebra にならないのだが, $0<p\leqq 1$ の場合に,を用いて Sobolev 空間と同様に関数空間を定義するど,
Hardy 空間$k=n/p$ のときにも各点毎の積に関して algebra になる関数空間が得られることが知られている (Dhalberg [11], J. Marschall [16], Strichartz [23],$\cdot$$\cdot$$\cdot$$W_{p}^{k}(\Omega)$$L^{p}$$H^{p}$.

宮地 [21] 等).
のかわ今回, 報告したいのは, $1<p<\infty$ で $k=n/P$ のときに,りに Lorentz 空間 $L^{(p,r)}(0<r\leqq 1)$ を用いれば algebra が得られること, また同様の結果が Hardy-Lorentz 空間を用いて $0<p\leqq 1$ の場合に) を使って,も成り立つこと, である. 計る最大関数.(maximal$L^{p}$$\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}_{\iota}\mathrm{i}_{\circ \mathrm{n}}$が整数でない場合も含めて Sobolev 空簡の–般化にあたる関数空間を定義して, このことを示そう.
は以下では, 基礎領域全体とする. 関数の延長の議論をするこ$k$$\Omega$

とによって
述べない.

$\Omega$が$\mathrm{R}^{n}$$\mathrm{R}^{n}$の部分領域の場合も扱うことができるが,$\mathrm{T}^{\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}}\mathrm{t}$

by

ここでは

$A_{h\mathrm{t}}\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{E}\mathrm{X}$41
Lorentz 空間の定義から始めよう.

’の Lebesgue 測度を $|E|$可測) 部分集合の可測 (を上の可測関数 $f$ に対して, $f$ の分布関数で表す.
$\mathrm{R}^{n}$$E\subset$$=\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{e}$$\mathrm{R}^{n}$$\lambda_{f}$$\lambda_{f}(\mathit{8})=|\{X\in \mathrm{R}^{n}||f(X)|>s\}|$$(0<S<\infty)$

も値に含める) の単調の区間 $(0, \infty)$ 上の非負実数値 (で定義する.
で, すべての $0<s<\infty$ に対して.
非増大かつ右連続な関数$\mathrm{R}$$\infty$$f^{*}$$|\{t\in(0, \infty)|f^{*}(t)>S\}|=\lambda_{f}(s)$をみたすものが唯–つ存在する.
いう.

(rearrangement) とを $f$ の再配列

$f^{*}$$0<p<\infty,$ $0<\sigma\leqq\infty$ に対して,$||f||_{L^{(p,\sigma)}}=( \int_{0}^{\infty}(t^{1/}p.f*(t))^{\sigma}t^{-1}dt\mathrm{I}^{1/\sigma}$と定義する. 分布関数を用いると,$||f||_{L^{()}}p, \sigma=(p\int_{0}^{\infty}(\lambda_{f}(_{S))^{\sigma}d)}1/p1g\mathit{8}^{-}S1/\sigma$と書ける. ただし,$\sigma=\infty$のときは上記の積分は, それぞれ,$\mathrm{S}\mathrm{u}^{\mathrm{p}\{tf^{*}}1/p(t)|0<t<\infty\}$

でおきかえる.
Lorentz 空間$L^{(p,\sigma)}$

とは

または

$||f||_{L^{(\mathrm{p}}},\sigma$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{\lambda_{f}(g)^{1/}p_{g}|0<s<\infty\}$$<\infty$)

なる $f$ の全体のことである.

Lorentz 空間の簡単な性質を述べておく.
(a) $L^{(p,p)}=L^{p},$
のときは,
(b)

$||f||_{L^{(}\mathrm{p},P)}=||f||_{L^{p}}$$p\neq\sigma$“.

$||f||_{L^{(})}p, \sigma<\infty\Leftrightarrow\int_{\mathbb{R}^{n}}\Phi(|f(X)|)dX<\infty$”

をは存在しない. 従って上記 (a) の場合を除いてはみたす単調増大関数
は Orlicz 空間ではない.
ノルムとは(C) 変数の相似変換 $x\vdash\Rightarrow ax(a>0)$ に対して同じ斉次性をもつ, すなわち,$\Phi$$L^{(p,\sigma)}$$||f||_{L^{(.)}}\mathrm{p},\sigma$$||f(a\cdot)||L(p,\sigma)=$ $a^{-n/p}||f||_{L(\sigma}p,)$(d) $p>q$ ならば$L^{(p,\sigma)}\subset L_{1\circ \mathrm{C}}^{q}$.

.

$L^{p}$

42

次にフラット最大関数を定義する.
より真に小さい最大の整数を
正の実数 に対して,$\alpha$$\alpha$.

で表す, すなわ$(\alpha)$は整数で $(\alpha)<\alpha\leqq(\alpha)$ である. $Q= \{(x_{i})\in \mathrm{R}^{n}|\max|x_{i}-a_{i}|\leqq$の部分集合を立方体と呼ぶ.
の形のと $0<r\leqq\infty$$f$ を上の可測関数とする. 立方体 $Q$ と非負整数
とに対して

ち

$(\alpha)$$\mathrm{R}^{n}$

$t\}$

$k$

$\mathrm{R}^{n}$$v_{r}^{k}(f, Q)= \inf${ $|Q|^{-1}/r||f-P||_{L^{r}(Q)}|$

$P$

は

上の次数

$\mathrm{R}^{n}$( $||\cdot||_{L^{r}(Q)}$ は LebeSgue 測度に関する $Q$ 上の$L^{r}$$\leqq k$

ノルム)

の多項式}

とし,

$f$

のフ

ラット最大関数 $f_{\alpha r}^{\mathrm{b}},(0<\alpha<\infty, 0<r\leqq\infty)$ を$f_{\alpha,r}^{\mathrm{b}}(x)= \sup${$|Q|-\alpha/n(\alpha)v_{\mathrm{r}}(f,$$Q)|Q$ : 立方体, $Q\ni x$ }$(x\in \mathrm{R}^{n})$で定義する.

フラット最大関数を用いて Lipschitz クラスの関数を特徴づける次の命) :題は, 古くから知られている (Campanato [3], [4], N. G.
$\mathrm{M}\mathrm{e}^{\mathrm{y}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}[17]$

命題 1.
して,

$f_{\alpha,\mathrm{r}}^{\mathrm{b}}\in L^{\infty}$

かつ $0<r\leqq\infty$ のとき,上の可測関数 $f$ に対が成り立っための必要十分条件は, 零集合の上で $f$ の$0<\alpha<\infty$

値を変更すると $f$ が$C^{(\alpha)}$$\mathrm{R}^{n}$級の関数になりかつ$|f|_{\mathrm{L}\mathrm{i}_{\mathrm{P}^{\alpha}}}= \sum_{(|\nu|=\alpha)}\mathrm{s}x\neq \mathrm{u}\mathrm{p}\frac{|\partial^{\nu}f(X)-\partial^{\nu}f(y)|}{|x-y|^{\alpha^{-(\alpha}})}y<\infty$となることである. 更に, そのような $f$ に対して$||f_{\alpha,r}^{\mathrm{b}}||_{L^{\infty}}\approx|f|_{\mathrm{L}\mathrm{i}^{\mathrm{p}}\alpha}$

この命題の条件をみたす関数を Lip$\alpha$.

クラスの関数ということにする.

上の可測関数, $0<p,$を定義しよう.. $f$ を$0<r\leqq\infty$ かつ$0<\sigma\leqq\infty$ とするとき,
擬ノルム$\mathrm{R}^{n}$$|f|_{C_{p,\sigma}^{\alpha}}$(1)
なる$\frac{1}{r}+\frac{\alpha}{n}>\frac{1}{p}$$r$を–つとって$|f|c_{p,\sigma}^{\alpha}=||f\alpha,r\mathrm{b}||L^{(}p,\sigma)$と定義する.

$\alpha<\infty$,43は次のような性質を持つ.
を (1) の範囲で取り換えても同値な大きさの

擬ノルム

(e)
(

$r$

$|f|c_{p,\sigma}^{\alpha}$$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}^{- \mathrm{S}\mathrm{h}}.\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{e}^{\mathrm{y}}[10$(f)(g) $a>0,$
擬ノルム$|f|c_{p,\sigma}^{\alpha}$

,

が得られる

; Theorem 4.3] 参照).

$|f|c_{p,\sigma}^{\alpha}=0\Leftrightarrow f$$u\in \mathrm{R}^{n}$$|f|_{C_{p}^{\alpha_{\sigma}}}$

が次数

のとき,

$\leqq(\alpha)$の多項式.

$|f(a\cdot+u)|_{C_{p,\sigma}^{\alpha}}=a^{\alpha-n/}p|f|_{C_{\mathrm{p}}}\alpha,\sigma$.

は Sobolev 空間のセミノルム$\sum\cdot||\partial^{\nu}f||_{L}p$$|\nu|=k$の–般化になっている. このことを $p\leqq 1$ の場合も含めて言うために
Hardy-Lorentz 空間を導入しよう.
.
$\int\varphi(x)dX\neq
0$
なるものを
–
で
級関数
上のコンパクト台の上の distribution $f$ [こつとり, $\varphi_{t}(x)=t^{-n_{\varphi}}(t^{-}1x)(t>0)$ と書く.
を.
対して, 最大関数’$C^{\infty}$$\mathrm{R}^{n}$$\varphi$$\mathrm{R}^{n}$$f^{+}$$f^{+}(.x)=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\{|(f*\varphi_{t})(x)||0<t<\infty\}$で定義する.

$(X\in \mathrm{R}^{n})$$0<p<\infty,$ $0<\sigma\leqq\infty$ に対して,$||f||_{H^{(})}p,\sigma=||f^{+}||_{L^{(})}p,\sigma$と定義し, これが有限になる distribution $f$ の全体を$H^{(p,\sigma)}$と定義する.

を取り換えても同値な大きさのものになり,はの取り方に依らない. このことは通常の Hardy 空間の場合 (下のと同様に証明できる.
.
(i) $H^{(p,p)}=H^{p}$ ( $=$ Hardy 空間).
).
(j) $1<p<\infty$ のときは $H^{(\sigma)}p,=L(p,\sigma)$ で.

(h)$||f||_{H^{(})}p,\sigma$は$H^{(p,\sigma)}$$\varphi$$\varphi$$(\mathrm{i}))$$||f||_{H^{(})}p,\sigma\approx||f||_{L^{(}}p,\sigma$

が Sobolev 空間のセミノルムの–般化になっているこ
擬ノルムとは, 次の命題 2 の通りである.
$|f|_{C_{p}^{\alpha}},\sigma$

が $k+n>n/p$ なる正の整数のと命題 2. $0<p<\infty,$ $0<\sigma\leqq\infty$ でき, 次の 2 つの条件 (7) と (イ) は互いに同値である ; 詳しく言うと, $f$上の局所可積分関が 2 つの条件のうちいずれ力\vdash 方をみたせば, $f$ は. .
数となりもう -方の条件をもみたす :.
;上の可測関数で(7) $f$ は$k$$\mathrm{R}^{n}$$\mathrm{R}^{n}$$|f|_{C_{p,\sigma}^{k}}<\infty$44(イ) $f$ (は$\mathrm{R}^{n}$

上の distribution でついて $\partial^{\nu_{f\in}}H(p,\sigma)$

しかも,$|\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}|=k$.

なるすべての多重指数$l\ovalbox{\tt\small REJECT}$に

この条件をみたす $f$ について,$.|f|_{C_{p,\sigma}^{k}} \approx\sum||\partial^{\nu}f||_{Hp,)}(\sigma\cdot$$|\nu|=k$

この命題は, $p=\sigma>1$ の場合は A. P. Calder\’on [ $2,$ Theorem 4 とLemma 7] (Christ [6; Lemma 22], DeVore–Sharpley [10; Theorem 62]
も参照),の場合は Dura\’an [12], 宮地 [20] による.
合も同様に証明できる.
さて,$p=\sigma\leqq 1$$p\neq\sigma$

の場

を使って
め場合に
,
次以下の多
algebra が定義されるのだが, その前に, この擬ノルムが) を片づけて置く
項式を mod とした擬ノルムでしかない不便 (上記. . .
必要がある.
上の連続関数 $f$ で $|X|arrow\infty$ のとき $f(X)arrow 0$ となる $f$ 全体をにで表す.
に属す関数とほとんどいたるところで–致する関数も属すとみなす.
$0<\alpha<\infty,$ $0<\sigma\leqq 1,$ $\alpha=n/p$$|f|_{C_{p}^{\alpha_{\sigma}}}$$(\alpha)$$(\mathrm{f})$$\cdot$$C_{0}$$\mathrm{R}^{n}$$C_{0}$$C_{0}$

命題 3.

$0<\alpha<\infty_{f}0<\sigma\leqq 1$のとき,をみたすならば, 次数以下のをみたすものが唯– つ存在し,$(\alpha)$$\infty$上の可測関数 $f$ が$\mathrm{R}^{n}$$\mathrm{R}^{n}$上の多項式$\pi_{f}$$|f|c_{n}^{\alpha}/\alpha,\sigma<$

で $f-\pi_{f}\in C_{0}$$||f-\pi_{f}||_{\infty}\leqq c|f|_{C}n\alpha/\alpha,\sigma$が成り立つ.
そこで,$0<\alpha<\infty,$ $0<\sigma\leqq 1$に対して, 関数空間,

$C_{n/\alpha\sigma}^{\alpha}$

うに定義する :$C_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}=\{f\in C0||f|_{C_{n/\alpha\sigma}}\alpha,<\infty\}$

命題 3 により,$C_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}$は,$|f|c_{n}^{\alpha}/\alpha,\sigma<\infty$のうち, $\pi_{f}=0$ なるものの全体である.
であるから,
上の可測関数 $f$ が$C_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}$$<\infty$$|f|_{C^{\alpha}}$.
$\mathrm{R}^{n}$上の可測関数 $f$になりさえすればよいのに属するための条件は, 例え$\pi_{f}=0$$\mathrm{R}^{n}$

ば,

をみたす

を次のよ

かつすべての $s>0$ に対して $\lambda_{f}(S)<\infty$ であること,ということもできる.
$|f|c_{n/\alpha\sigma}\alpha$,を$C_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}$

における擬ノルムと定義する. これはては mod $0\text{の擬^{ノ}ルムである},$ . すなわち,となるのは $f=0$ のときに限る.

$f\in C_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}$

かつ$C_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}$におい$|f|c_{n}^{\alpha}/\alpha,\sigma=0$45
次が目的の定理である.
定理 1.

$0<\alpha<\infty$

かつ $0<\sigma\leqq 1$ のとき,積に関して algebra になる, すなわち,
数 $c\text{があ_{っ}て}$ , すべての $f,$,$C_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}$と次元 $n$に対して$\alpha,$$g\in C_{n/\sigma}^{\alpha}\alpha$$\sigma$は関数の各点毎ののみに依存する定$|fg|_{C_{n}}\alpha/\alpha,\sigma\leqq c|f|_{C^{\alpha}}n/\alpha,\sigma n|g|_{C^{\alpha}}/\alpha,\sigma$が成り立つ.
前に述べた Strichartz らの結果は上の定理の $\sigma=n/\alpha\leqq 1$ の場合に相当する.

定理 1 の証明について少し述べておく. 証明には次の命題に述べるアトム分解を用いる.
命題 4 $\cdot 0<\alpha<\infty$ かつ $0<\sigma\leqq 1$ とする.

(I)$\{\varphi_{j}\}$が Lipクラスの関数の列,$\alpha$$\{Q_{j}\}$が$\mathrm{R}^{n}$の立方体の列,$\{\lambda_{j}\}$が非負実数の列で,(2)$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi_{j}\subset Q_{j}$ならば, 級数$\sum_{j}\varphi_{j}$,は$|\varphi_{j}|_{\mathrm{L}\mathrm{i}_{\mathrm{P}}\alpha}\leqq\lambda_{j}$$C_{0}$,$\sum_{j}\lambda_{jx_{Q_{j}}}\in L^{(n/\alpha,\sigma)}$

で無条件収束し,$| \sum_{j}\lambda_{j\chi Q}j|$$|_{L^{(n/\sigma)}}\alpha$$| \sum_{j}\varphi_{j}$$\leqq c|$,$C^{\alpha}$$n/\alpha,\sigma$

かっ$\sum_{j}\varphi_{j}||^{\sum_{j}\lambda_{j\chi Q}}j||_{L(n/)}\alpha,\sigma$(II) 逆に,
たす列

$f$

が

$\mathrm{R}^{n}$上の可測関数で$\{\varphi_{j}\}_{f}\{Q_{j}\}_{f}\{\lambda_{j}\}$$|f|c_{n/\alpha,\sigma}^{\alpha}<\infty$が存在して,$f= \pi f+\sum\varphi jj$

をみたせば, (2) をみ46
かつ$|| \sum_{j}\lambda_{j\chi_{Q}}j||_{L^{(n/,\sigma)}}\alpha\leqq c|f|c_{n}^{\alpha}/\alpha,\sigma$と書ける.

この命題のように$|\cdot|c_{n/\alpha\sigma}^{\alpha}$,が$|\cdot|_{\mathrm{L}\mathrm{i}^{\mathrm{p}}\alpha}$と関連が付くのは命題 1 の事のアトム
実があるからである. 命題 3 の証明は [22] にある関数空間分解と同様の方法でできる.
クラスの関数同士の積はのようなコンパクト台の命題 3 のまた同様の関数であるから, 命題 3 を使って定理 1 を示すのは容易である$C_{p}^{\alpha}$$\mathrm{L}\mathrm{i}^{\mathrm{p}}\alpha$$\varphi_{j}$( $[21]$ 参照) .

特異積分の積の$H^{p}$

評価

上の実関数論的な Hardy 空間のことである.
)
すなわち, 前節の Hardy-Lorentz 空間の記号で $H^{p}=H^{(}p,p$ $(0<p<\infty)$である.
以下の目的は, Coifman らが扱った特異積分の積の形の双線型または評価を, 分数階積分作用素を含む形にまで–般化
多重線型作用素のし,. 同時に結果を改良することである.
ここで $H^{p}$ というのは,$\mathrm{R}^{n}$$H^{p}$

に対して,$0\leqq\lambda<\infty$$G(\lambda)$

を$G(\lambda)=\{m\in C^{\infty}(\mathrm{R}^{n}\backslash \{\mathrm{o}\})||\partial^{\alpha}m(\xi)|\leqq c_{\alpha}|\xi|^{-\lambda-}|\alpha| (\forall\alpha)\}$と定義する.

の関数 $f$ のうち Fourier 変換と書く.
となる $f$ の全体を近傍でを$m\in G(\lambda)(0\leqq\lambda<\infty)$ に対して,
作用素

Schwartz クラス

$S$

$0$

$f.(\xi)\wedge$

が $\xi=0$ のある$S_{0}$$T_{m}$$T_{m}$: $S_{0}\ni f-(mf)^{\vee}\wedge\in S_{0}$で定義する ( は Fourier 逆変換を表す). $m\in G(\lambda)$ に対する作用素と書く.
全体の集合を$A$ を有限添字集合,
を 2 以上の整数とし, 各 $\sigma\in A$ と $j=1,2,$が与えられているものとする.
ととに対して,$\vee$$T_{m}$$\mathcal{K}(\lambda)$$k$$0\leqq\lambda_{j}^{\sigma}<\infty$$\cdots,$$k$$T_{j}^{\sigma}\in \mathcal{K}(\lambda_{j}\sigma)$$(S_{0})^{k} \ni(f_{1}, \cdots , f_{k})\mapsto\sum(T_{1}^{\sigma_{f1}})\cdots(T^{\sigma_{f_{k})}}k\in S$$\sigma\in A$という多重線型写像を考える. この多重線型写像を簡単ににする.

$\Lambda^{k}$

と書くこと

47
次の仮定が成り立っている場合を考える :(3)$p_{1},$$\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}\sigma=\lambda$$\cdots,$

$Pk$

と

$q$

$. \infty>\frac{1}{p_{j}}>\frac{\lambda_{j}^{\sigma}}{n}$(5)に依らない.

$(\forall\sigma\in A, \forall j)$,$\sum_{j=1}^{k}(\frac{1}{p_{j}}-\frac{\lambda_{j}^{\sigma}}{n})=\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{p_{j}}-\frac{\lambda}{n}=\frac{1}{q}$をみたすものとする.
よく知られているように,きる .

$\sigma$

(は,

(4)

かつ

が

$1$

.

$m\in G(\lambda)$$/p-1/q=\lambda/n$ のとき$1/q_{j}^{\sigma}=1/pj-\lambda\sigma/jn$$H^{p}$

から

と書くと,

に対する
$H^{q}\wedge$$T_{j}^{\sigma}$

は$T_{m}$

は,$0<p\leqq q<\infty$の有界線型作用素に拡張で有界であるか$H^{p_{j}}arrow H^{q_{j}^{\sigma}}$ら, H\"older 不等式により,(6)$|| \Lambda^{k}(f_{1}, \cdots, f_{k})||_{L^{q}}\leqq c\sum||T_{1}^{\sigma}f_{1}||L^{1}q||T^{\sigma}k^{f_{k^{1}}}|Lqk\sigma\cdots\sigma$$\sigma\in A$$\leqq c\sum_{\sigma\in A}||T_{1}\sigma$

八$||_{H^{q^{\sigma}}}1\ldots||T_{k}^{\sigma_{f}}k^{1}|Hq^{\sigma}k\leqq c||f_{1}||_{H}p1\ldots||fk||_{Hk}p$という評価が成り立つことは明らかである. ところが,がメントに関する簡単な条件の下で, 上の評価のるのである.
$L^{q}$$q\leqq 1$$H^{q}$のとき,

モー

こ置き換えられ

一般に, 関数 $f\in S$ と非負整数 $m$ について,$\int_{\mathbb{R}^{n}}f(X)xd\nu x=0$

for$|l\text{ノ}|\leqq m$が成り立つとき, $f$ は $m$ 次までのモーメントが消えるということにする.
$0<q\leqq 1$ のときは, $S\subset H^{q}$ は成り立たず, $f\in S$ がに属すための必要十分条件は $f$ の $[n/q-n]$ 次までのモーメントが消えることである.
がで置き換えられるためには, $\Lambda^{k}(f1, \cdots, f_{k})$従って, 評価 (6) のの $[n/q-n]$ 次までのモーメントが消えることが必要である.
が\iota こ替えられる
次の定理は, この必要条件の下で, 評価 (6) のことを主張する.
$H^{q}$$L^{q}$$H^{q}$$L^{q}$$H^{q}$

48

定理 2. $k=2$ とし,を上記の双線型写像とする. $\lambda_{j}^{\sigma,}p_{j}(j=1,2)$$f_{2}\in S_{0}$ に対してと $q\leqq 1$ が仮定 (3), (4), (5) をみたし, すべてのの $[n/q-n]$ 次までのモーメントが消えると仮定する. このとき, すべてのに対して$\Lambda^{2}$$f_{1},$$\Lambda^{2}(f1, f_{2})$$f_{1)}f_{2}\in S_{\mathit{0}}$$f2^{)}||_{H^{q}}\leqq c||f1^{|||}H^{p1}|f_{2}||_{H^{P}2}$$||\Lambda^{2}(f_{1},$が成り立つ.
この定理を $k\geqq 3$ の場合へ–般化するために, 作用素を斉次のものに$0\leqq\lambda<\infty$ ,が斉次の作用のとき,制限する. ただし,素というのは, multiplier $m$ が斉次関数であること, すなわち,$T_{m}$$T_{m}\in \mathcal{K}(\lambda),$$m(t\xi)=t^{-\lambda}m(\xi)$$(\forall t>0, \forall\xi\in \mathrm{R}^{n}\backslash \{0\})$が成り立つことである.
$p_{j}(j=$を前記の多重線型写像とする.
$k)$ と $q\leqq 1$ が仮定 (3), (4), (5) をみたし,
すべてのの $[n/q-n]$ 次までのモーメントが消えるとに対して仮定する. 更に,の中のがすべて斉次の作用素であるとする. こ

定理 3.
$1,$

$k\geqq 3$とし,$\Lambda^{k}$$\lambda_{j}^{\sigma},$$f_{1},$$\cdots,$$S_{0}$$\cdots,$$f_{k}\in$$\Lambda^{k}(,f_{1}, \cdots, f_{k})$$\Lambda^{k}$$T_{j}^{\sigma}$のとき, すべての$f_{1},$$||\Lambda^{k_{(}}f_{1},$$f_{k}\in S_{\mathit{0}}$$\cdots,$$\cdots$,に対して$f_{k})$ $||_{H^{q}}\leqq C||f_{1}||_{H^{p}}1\ldots||f_{k^{||_{H^{p}}}}k$が成り立つ.
次元 $n=1$ のとき,$\mathrm{R}$

上の Hilbert 変換を$\tilde{f}$で表すと,

A 2 $(f, g)=f\tilde{g}+\tilde{f}g$ ,A 2 $(f, g)=fg-\tilde{f}\tilde{g}$のときすべての次数のモーメントが消え, 定理 2 の条件をみたす最も簡単な例である. この 2 つのについては, 実関数論的な$H^{p}=Hp(\mathrm{R})$ が–変数正則関数の古典的な Hardy 空間と対応がっくことから, -変数正則関数の性質を使って容易に定理 2 の結論の不等式を示すことができる. 一般の次元の場合は, . 初め,
かつ $q=1$ の場合が特殊なによって, 定理 2 のについて証明され, その後, 内山明人 [24], [25], Chanillo [5], 小森康雄 [14], [15], 宮
地 $[18],$ $[19]$ , Coifman-Grafakos[7], Grafakos $[13]$ らによって次第に–般の大きい場合や定理 3 は, 筆者の知る限り, これ化された. 定理 2 のは,$f,$ $g\in s_{0}$$\Lambda^{2}$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}-\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}-\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{S}[9]$$\Lambda^{2}$$\lambda_{j}^{\sigma}--0$$\lambda_{j}^{\sigma}$

らの既知の結果よりもよくなっている.
定理 2, 3 の不等式の偏微分方程式への様々の応用については, COifmanに詳し .
,$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}- \mathrm{M}\mathrm{e}^{\mathrm{y}}\mathrm{e}\mathrm{r}- \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}[8]$$\mathrm{A}\mathrm{a}$49
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