数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 33-49

33

MOTIVES AND SIEGEL MODULAR FORMS
吉田敬之 (京大理)Motive と保型形式の広大な分野を survey することは私の に余ることである. ここでは私の論[Y3] によって解説を試みたい.
Motive の理論により周期とゼータ函数の特殊値につぃてがなりの見通しを得ることができる. たとえば二つの motive $M,$ $N$ につぃて $M\otimes N$ の Deligne の周期を表すことは基本的な重要性をも
つ. (型の convolution を想起されたい ) このためには Deligne の周期のみでは不十分であり, motive の基本周期として十分な周期不変量を導入しておく必要がある. そしてこの考察を Siegel modular form に適用する. これは [Y2] で行ったことである.
しかし motive 理論のみでは予想に止まっていて, 実際の証明には保型形式を用いなければならな$7\mathrm{J}$

文 [Y2] と$\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}$[Y2] と保型形式の側での志村による強 7] な道具を解説した [Y3] をがらませた理由である.
このような状況が遠い将来に変わることがあるかは私には分からない. motive 理論の側からは, Tate
予想, standard 予想等の困難な問題が解決すれば相当程度保型形式の利用を節約できると思ゎれるけい. これがれども.

\S 1. Critical values
ゼータ函数の critical value についての 1977 年までの主要な歴史的事件を要約してみょう.
$1-1/3+1/5-1/7+ \cdots=\frac{\pi}{4}$ ,$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$,Leibnitz, 1670 年頃.

Euler, 1735, 実験的に発見したものと思われる.

$\zeta(2n)/\pi^{2n}\in \mathrm{Q}$$\sum_{z}z^{-4n}/\varpi^{4n}\in \mathrm{Q}$,$1\leqq n\in \mathrm{Z}$,$1\leqq n\in \mathrm{Z}$,Euler, 1742.

,

Hurwitz, 1899.

ここに $z$ は 0 でない Gauss 整数全体の上を走り, $\varpi=2\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}$ である.

この結果は勿論

Euler の定理の類似を狙ったものである.
$\frac{L(n,\Delta)}{(2\pi i)^{n}c^{\pm}(\Delta)}\in \mathrm{Q}$,$1\leqq n\leqq 11$,$\pm 1=(-1)^{n}$,

Shimura, 1959.

ここに$\Delta(z)=\sum a_{n}q^{n}\infty=q\prod(1\infty-q^{n})^{24}$

$n=1$

$n=1$

,

$q=\exp(2\pi iz)$34
は $SL(2, \mathrm{Z})$ に関する weight 12 の cusp form であり,$c^{\pm}(\Delta)\in \mathrm{R}^{\mathrm{x}}$同様に primitive Hecke eigenform $f\in S_{k}(\Gamma_{0}(N), \psi)$ と$( \frac{L(n,f)}{(2\pi i)^{n}c^{\pm}(f)})^{\sigma}=\frac{L(n,f^{\sigma})}{(2\pi i)^{n}c^{\pm}(f^{\sigma})}$$1\leqq n\leqq k-1$

が威り立つ. ここに$c^{\pm}(f^{\sigma})\in \mathrm{C}^{\mathrm{x}}([\mathrm{S}\mathrm{h}4])$

,

.
に対して

$\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$,$\pm 1=(-1)^{n}$,

Shimura, 1977.

これらの結果により, ゼータ函数の criticalue はアーベル積分の周期に関係していることが予期される訳である. これをはっきりした形にしたのが Deligne の予想であるが, これについては後で述べよう. 現在使われている critical value の定義は (幾分曖昧に言うと) 次のように述べられる. 良
いゼータ函数 $Z(s)$ にその gamma factor $G(s)$ をかけたものが, reflexion $sarrow v-s$ について標準的な函数等式をみたしていると仮定しよう. このときで, $G(n)$ かつ $G(v-n)$ が有限であれば $Z(n)$ はゼータ函数 $Z(s)$ の criticalue であると呼ばれる.
$n\in \mathrm{Z}$\S 2. 志村の方法
この節ではゼータ函数の積分表示から critical value についての情報を引き出す志村の方法 ([Sh3])について解説しよう.
を
正整数 $N$ に対して $SL(2, \mathrm{Z})$ の合同部分群$\Gamma_{0}(N)$によって定義する.

$\Gamma_{0}(N)=\{(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in SL(2, \mathrm{Z})|c\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N\}$

$0\leqq\lambda\in \mathrm{Z},$$z=x+iy\in \mathfrak{H}$とのときに収束する.

$\gamma=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})$は複素上半平面を表す.

について Eisenstein series $E_{\lambda}(z, s)$ を$s\in \mathrm{C}$$E_{\lambda}(z, s)= \sum_{\gamma\in\Gamma_{\infty}\backslash \Gamma_{0}(N)}(cz+d)^{-\lambda}|cz+d|^{-2s}$によって定める. ここに$\mathfrak{H}$は$\Gamma_{\infty}\backslash \Gamma 0(N)$,$\Gamma_{\infty}=\{\pm(\begin{array}{ll}\mathrm{l} m0 \mathrm{l}\end{array})|\dot{m}\in \mathrm{Z}\}$の完全代表系を走る. この和は $\Re(2s)>2-\lambda$の解析的性質は良く知られている. それは全 平面に有理型に解析接続される. また $\lambda>0$ ならば $\Re(s)\geqq 1/2-\lambda/2$ においての正則函数である.
微分作用素とその iterations を$E_{\lambda}(z, s)$

$s$

$s$

$\delta_{\lambda}=\frac{1}{2\pi i}(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{\lambda}{2iy})$,$y=\Im(z)$ ,$\delta_{\lambda}^{(r)}=\delta_{\lambda+2r-2}\cdots\delta_{\lambda+2}\delta_{\lambda}$,$\delta_{\lambda}^{(0)}=1$

は weightのによって定める.
-保型形式を weight $\lambda+2$ の C\otimes -保型形式に写す微分作用
素である.
$\lambda>0$ と仮定して $E_{\lambda}(z)=E_{\lambda}(z, 0)$ とおく.
このとき$\delta_{\lambda}$(2.1)$\lambda$$C^{\infty}$$E_{\lambda+2r}(z, -r)= \frac{\Gamma(\lambda)}{\Gamma(\lambda+r)}(-4\pi y)^{r}\delta_{\lambda}^{(r)}E_{\lambda}(z)$が成り立つ.
$f= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}q^{n},$ $g= \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}q^{n}$form とする.

を $\Gamma_{0}(N)$ に関するそれぞれ weight $k,$$l$の正 」を mo 小 ulax$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{I}$(簡単のため方法は trivial character の modular form につぃて述べることにす

35
る. また

と仮定する)Dirichlet 級数を $D(s, f, g)= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}n^{-s}$ にょって定義する.

$a_{n}\in \mathrm{R}$$k>l$ かつ $f$ は cusp form であると仮定する. Rankin-Selberg の方法によって(2.2)$(4 \pi)^{-s}\Gamma(s)D(s, f, g)=\int_{\Gamma_{0}(N)\backslash \mathfrak{H}}\overline{f(z)}g(z)E_{k-l}(z, s+1-k)y^{s}$を得る.

$r\in \mathrm{Z}$を$0\leqq r,$

dxdy$l+2r<k$ ととる. (2.2) において $s=k-1-r$ とし, (2.1) を$\lambda=k-l-2r$ として用いて(2.3)$D(k-1-r, f,g)=c\pi^{k}\langle f,g\delta_{\lambda}^{(r)}E_{\lambda}(z)\rangle$を得る. ここに (,“-保型形式$C$$h_{1},$$\rangle$$h_{2}$,$c\in \mathrm{Q}^{\mathrm{x}}$は正規化された Petersson 内積を表す. 即ちに対して, 積分が収束する限りにおいて$\Gamma_{0}(N)$に関する weight$k$の$\langle h_{1}, h_{2}\rangle=\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma_{0}(N)\backslash \mathfrak{H})^{-1}\int_{\Gamma_{0}(N)\backslash \mathfrak{H}}\overline{h_{1}(z)}h_{2}(z)y^{k-2}dxdy$

とおく.

(2.3) においては一般には正則ではない weightの保型形式である. しかしその非正則性は near holomorphy の概念によって制御できる. 一変数の場合$g\delta_{\lambda}^{(r)}E_{\lambda}(z)$

(2.4)

$k$

$g \delta_{\lambda}^{(r)}E_{\lambda}(z)=\sum_{m=0}^{t}\delta_{k-2m}^{(m)}h_{m}$,$t=r$ または $r+1$と $\Gamma_{0}(N)$ に関する weight $k-2m$ の正則な modular form $h_{m}$ によって分解される. さらに(2.5)$\langle h,g\delta_{\lambda}^{(r)}E_{\lambda}(z))=\langle h, h_{0}\rangle$

が weight $k$ の任意の正則 cusp form $h$ に対して成り立つ.

の正則 cusp formの空間への orthogonml projection を与えている訳である.
いまひとつの重要な点はを Fourier 係数の作用との compatibility である.
への作用によって modular form に作用させる. 即ちとに対しては $\Gamma_{0}(N)$ に関する weight
おくとの modular form である. 分解 (2.4) はの作用と compatible に行うことができる. さて $f$ は normalized Hecke eigenform としよう. このとき

(2.4) は weight$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$$f^{\sigma}= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{\sigma}q^{n}$$\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$$k$$f^{\sigma}$$( \frac{\langle f,h\rangle}{\langle f,f\rangle})^{\sigma}=\frac{\langle f^{\sigma},h^{\sigma}\rangle}{\langle f^{\sigma},f^{\sigma}\rangle}$が任意の正則 modular form

(2.7)$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$

,

(2.6)

$h$

$k$

$\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$に対して成り立つ. これらの事実を用いれば (2.3) から$( \frac{D(k-1-r,f,g)}{\pi^{k}\langle f,f\rangle})^{\sigma}=\frac{D(k-1-r,f^{\sigma},g^{\sigma})}{\pi^{k}\langle f^{\sigma},f^{\sigma}\rangle}$,$0\leqq r<(k-l)/2$

が任意のに対して成り立つことがわかる. $L$ 函数 $L(s, f)= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}n^{-s}$ についてので述べた志村の 1977 年の結果は (2.7) をを適当な Eisenstein 級数にとって適用することで得られる.
まとめとしてこのようにして得られる定理を二つ記しておこう. Dirichlet 指標に対して$L(s, f, \varphi)=\sum_{n=1}^{\infty}\varphi(n)a_{n}n^{-s}$ とおく.
$\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$

51

$g$

$\varphi$

36
Theorem 2.1 ([Sh4], Theorem 1). primitive Hecke eigenformと Dirichlet 指標について$A\mathrm{u}t(\mathrm{C})$$f\in S_{k}(\Gamma_{0}(N), \chi),$$\sigma\in$$\varphi$.

(1)$( \frac{L(n,f,\varphi)}{(2\pi i)^{n}g(\varphi)c^{\pm}(f)})^{\sigma}=\frac{L(n,f^{\sigma},\varphi^{\sigma})}{(2\pi i)^{n}g(\varphi^{\sigma})c^{\pm}(f^{\sigma})}$

ここに$n\in \mathrm{Z},$$1\leqq n\leqq k-1,$ $\pm 1=(-1)^{n}\varphi(-1)$

(2)

であり,

$g(\varphi)$

は Gauss 和である.

$( \frac{i^{1-k}\pi g(\chi)\langle f,f\rangle}{c^{+}(f)c^{-}(f)})^{\sigma}=\frac{i^{1-k}\pi g(\chi^{\sigma})\langle f^{\sigma},f^{\sigma}\rangle}{c^{+}(f^{\sigma})c^{-}(f^{\sigma})}$$g\in G_{l}(\Gamma_{0}(N), \psi)$.

に対して$\mathcal{D}(s, f,g)=L_{N}(2s+2-k-l,\chi\psi)D(s, f,g)$

とおく. これは 4 次の Euler 積であり $L(s, f)$ と $L(s, g)$ の tensor 積とみなし得る.

($L_{N}$

は $N$ をわる素数 $p$ について Euler $p$-factor を省くことを表す)

Theorem 2.2([Sh4], Theorem 4). $l<k$ と仮定する.

$\sigma\in A\mathrm{u}t(\mathrm{C})$と $l<n\leqq k,$$n\in \mathrm{Z}$に対して$( \frac{D(n,f,g)}{(2\pi i)^{l-1-2n}g(\psi)c^{+}(f)c^{-}(f)})^{\sigma}=\frac{D(n,f^{\sigma},g^{\sigma})}{(2\pi i)^{l-1-2n}g(\psi^{\sigma})c^{+}(f^{\sigma})c^{-}(f^{\sigma})}$が成り立つ.

この論文 [Sh3] は特殊値の研究に大きな影響を及ぼした. 特殊値を調べるための最も重要な要素を挙げると (i) 保型形式の算術性 (arithmeticity). 即ち少な とも上有理的な保型形式の概念が必$L$要である. (\"u) 研究対象となる函数の explicit な積分表示. (iii) 積分表示に現れる Eisenstein 級
数についての詳しい研究. (iv) 微分作用素, n\mbox{\boldmath $\alpha$}『 holomorphy の概念と orthogonal projection の
適当な表示, となる.
これらの道具立てがあれば $L$ 函数の特殊値は深く研究できる. S 石 mura’s machine と呼んでもよいであろう.
$\langle$$\overline{\mathrm{Q}}$\S 3. Fundamental periods of amotive
まず motive の概念を見ておこう. [JKS] に詳しい解説があるが, ここでは Jannsen [J] によって手早く説明する.
は体, $E$ は標数が 0 の体とする. 目標とするのは, $E$ に係数をもつ 上の motive の categoryを定義することである.
上定義された projective smooth mlgebraic variety (これを単にvariety と呼ぶ, comected とは仮定しない) $X$ に対し, $Z^{j}(X, E)$ は 次元の $E$-linear mlgebraic
で $Z^{j}(X, E)$ を割っ
cycles の群を表す. $A^{j}(X)=A^{j}(X, E)$ は適当な equi lenceてえられる $E$ 上の vector space とする. ここでは考えをはっきりさせるためには numericalを variety とすると, algebraic correspondence の合或
equivalence であるとする .1に対応する双線型写像
$k$

$k$

$k$

$\mathcal{M}_{k}$$j$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\sim$$\sim$$X_{1},$$X_{2},$$X_{3}$$A^{\dim X_{1}+r}(X_{1}\cross X_{2})\cross A^{\dim X_{2}+\epsilon}(X_{2}\cross X_{3})arrow A^{\dim X_{1}+r+s}(X_{1}\cross X_{3})$$1_{\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}1}$

equivalence が homological equivalence と一致するという有名な予想がある. これは以下では仮定しない.

37がある. とくに $A$とするとは環になる. (例えば $X$ が curve, $J$ が $X$ の jacobianの object をEnd(J)\otimes z $E$ である) そこで

riety$(X\cross X)$$A^{1}(X\cross X)\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathcal{M}_{k}$$\mathrm{O}\mathrm{b}(\mathcal{M}_{k})=\{(X,p, m)\}$とする. ここに $X$ は variety, $p\in A^{\dim X}(X\cross X),$ $p^{2}=p,$$m\in \mathrm{Z}$である. 即ち idempotent $p$ を考えることにより, variety を更に仮想的に分解していることになる. (curve の例でぃえば, jacobiam
variety の factor を考えていることに対応する) $m$ は Tate twist に対応する整数である. 次に
objects の間の morphism を$J$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}((X,p, m), (\mathrm{Y}, q, n))=qA^{\dim X-m+n}(X\cross \mathrm{Y})p$で定める. 以上の定義により$\mathcal{M}_{k}$1 よ semi-simple abelian category になる. Tensor 積を$(X,p,m)\otimes(\mathrm{Y}, q, n)=(X\cross \mathrm{Y},p\cross q, m+n)$は tensor category になる.
とおくことによりを numerical$Xarrow H(X)$ を cohomology theory としよう.
の代わりに homological equivalence を用いて定義した環とする. 環準同型$A^{\dim X}(X\cross X)$ がある. $M=(X,p, m)\in \mathrm{O}\mathrm{b}(\mathcal{M}_{k})$ とする. $p$ の逆像$\mathcal{M}_{k}$$A_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}}^{\dim X}(X\cross X)$$\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{v}\sim \mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$$A_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}}^{\dim X}(X\cross X)arrow$$p’\in A_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}}^{\dim X}(X\cross X)$

があって $p^{\prime 2}=p’$ をみたす (Murre).
$H^{i}(M)=p’H^{i-2m}(X)$#こまで cohomology theory を拡張できる.
の全てのdiagonal とする. ある Weil cohomology theory にたいしてK\"unneth 或分が algebraic と仮定する. (所謂 standard conjectures の一部 ) このときよ$E$
semi-simple -linear Tannakian category になる.
Deligne [D] による absolute Hodge cycle を用いる motive の定義では, standard conjectureを仮定せずに motive の category は semi-simple $E$ -linear Tannakian category になるが, motiveの -adic cohomology について仮定を導入する必要が生ずる.
要するに motive の category M\sim よなんらの仮定をせずとも定義できるが, より深い理論をについて展開しようとすると, 何らかの仮定が必要になるのが現状である.

とおくことにより,$\Delta\subset X\cross X$$\mathcal{M}_{k}$を$\Delta$$\mathcal{M}_{k}$$l$$\mathcal{M}_{k}$そこで本節の主題に入る. 以下に述べることは motive の定義としていずれを採用しても関係しな
い. しかし明確のため Deligne の定義によるとしておく. 代数体 $E$ を固定する.
により $E$ からとおく.
の中への同型全体の集合とする.
$M$ を $E$ に係数をもつ上の motive とする. $E$ の finite placeに対して $M$ は -adic
realization $H_{\lambda}(M)$ をもつ. $H_{\lambda}(M)$ は variety の -adic etale cohomology を拡張したものであがその上に作用する. これから標準的な手順で $R$ に値をもつ $M$ の $L$ 函数 $L(M, s)$り,が定義される ([D], [Y1], \S 2.1 参照).
これは variety $X$ にたいする topological$H_{B}(M)$ を $M$ の Betti realization とする.
は $H_{B}(M)$ にを複素共役写像とする.
cohomology $H(X(\mathrm{C}), E)$ を拡張したものである.
$E$-linear に作用するから$J_{E}$$\mathrm{C}$$R=E\otimes {}_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}\cong \mathrm{C}^{J_{E}}$$\lambda$$\mathrm{Q}$$\lambda$$l$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{Q}/\mathrm{Q})$$F_{\infty}$(3.1)$H_{B}(M)=H_{B}^{+}(M)\oplus H_{B}^{-}(M)$$F_{\infty}$

38と $E$ 上の vector space の直和に分解される. ここにす.

$d\ovalbox{\tt\small REJECT} d(M)\ovalbox{\tt\small REJECT}\dim_{E}H_{B}(M),$$H\ovalbox{\tt\small REJECT}(M)$は固有値$\pm 1$

とおく.

$d^{\pm}\ovalbox{\tt\small REJECT} d^{\pm}(M)\ovalbox{\tt\small REJECT}\dim_{E}H\ovalbox{\tt\small REJECT}(M)$に対する固有空間を表$d$を $M$ の rank という. さらに $H_{B}(M)$ は Hodge 分解をもつ.

(3.2)$H_{B}(M)\otimes {}_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}=\oplus_{p,q\in \mathrm{Z}}H^{pq}(M)$.

ここに $H^{pq}(M)$ は free $R$-module である. もし $p+q\neq w$ ならば $H^{pq}(M)=\{0\}$ が成り立つと

き $M$ は pure weight $w$ であるという. 以下 $M$ は pure weight であると仮定する.

注意. Hodge 分解により $L(M, s)$ の函数等式の gamma factor を予想することができる. ([D] 参
照. root mmber については誤植がある) 逆に $L(M, s)$ の函数等式の gunma factor が与えられれば $M$ の Hodge 分解が回復される.

Deligne は周期一 (M)$\in R^{\mathrm{x}}$を定義し (以下参照), critical$\mathrm{u}\mathrm{e}L(M, n)$に対して$L(M,n)/(1\otimes 2\pi i)^{d^{\pm}(M)n}c^{\pm}(M)\in E$

を予想した. ここに $\pm 1=(-1)^{n}$ . 我々はなぜ Deligne の予想が成り立つのかを問うてもよい. その部分的説明は以下で与えられるであろう.
$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M)$を $M$ の de Rhun realization とする. これは variety に対する微分形式の層から得られる hypercohomology group (所謂 mlgebraic de Rham cohomology group) を拡張したもの

である.

$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M)$は $E$ 上の $d$-次元 vector space である.

(3.3)

spectral sequence$E_{1}^{p,q}=H^{q}(M, \Omega^{p})\Rightarrow H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^{p+q}(M)$がある. この spectral sequence から得られる
であるから
という.

$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^{p+q}(M)$上の filtration $\{F^{p}\}$ を Hodge filtration$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^{w}(M)=H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M)$$F^{\mathrm{p}}(H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^{w}(M))/F^{p+1}(H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^{w}(M))\cong E_{\infty}^{p,w-p}$が成り立つ. 周知のように, この spectral sequence は

(3.4)
を得る.

$E_{1}$,$p\in \mathrm{Z}$-terms で退化する. 従って$F^{p}(H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M))/F^{p+1}(H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M))\cong E_{1}^{p,w-p}=H^{w-p}(M, \Omega^{p})$$F^{p}(H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M))$

を $F^{p}(M)$ または単に$I$:$F^{p}$,$p\in \mathrm{Z}$と書く.

$H_{B}(M)\otimes {}_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}\cong H_{DR}(M)\otimes {}_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}$を comparison isomorphism とする. このとき

(3.5)

$I(\oplus_{p’\geqq p}H^{p’q}(M))=F^{p}(M)\otimes {}_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}$が成り立つ. 関係 (3.5) は例えば二つの motives $M,$ $N$ に対して $M\otimes N$ の Hodge ffltration を決めるとき大切な役割をはたす.

39
次に $M$ の period matrix を定義しよう.
れ $H_{B}^{+}(M)$ との$H_{B}^{-}(M)$

(3.6)

$E$

$\{v_{1}^{+}, v_{2}^{+}, \ldots, v_{d^{+}}^{+}\}$と$\{v_{1}^{-}, v_{2}^{-}, \ldots, v_{d^{-}}^{-}\}$

をそれぞ上の基底とする. Hodge filtration を$H_{DR}(M)=F^{i_{1}}\neq\supset F^{i_{2}}\neq\cdot\cdot\neq\supset\cdot\supset F^{i_{m}}\neq\supset F^{i_{m+1}}=\{0\}$とかく. ここに続く項の間には異なる ffltrations はないようにしておく. filtration
を与えたと$1\leqq\mu\leqq m$ は最大になるようにとっておくきは必ずしも一意的には決まらない. 簡単のためことにする.
$F^{i_{\mu}}$$i_{\mu}$$i_{\mu},$,$s_{\mu}=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(H^{i_{\mu},w-i_{\mu}}(M))$$1\leqq\mu\leqq m$

とおく. ここに rank は free $R$-module としての rank を表す. このとき+i。+l-c $=w$ ,が成り立ち, また partion(3.7)$1\leqq c\leqq m$$i\text{。}$(3.8)$d=s_{1}+s_{2}+\cdots+s_{d}$も成り立つ.

,$s_{\mu}=s_{m+1-\mu}$,$s_{\mu}>0$,,$1\leqq\mu\leqq m$$1\leqq\mu\leqq m$.

(3.5) により

$s_{\mu}=\dim_{E}F^{i_{\mu}}-\dim_{E}F^{i_{\mu+1}}$,$\dim_{E}F^{i_{\mu}}=s_{\mu}+s_{\mu+1}+\cdots+s_{m}$,$1\leqq\mu\leqq m$.

を得る. $H_{DR}(M)$ の $E$ 上の基底 $\{w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{d}\}$ を $\{w_{s_{1}+s_{2}+\ldots+s_{\mu-1}+1}, \ldots, w_{d}\}$ が $1\leqq\mu\leqq$ 。
について$F^{i_{\mu}}$の基底になるようにとる.

(3.9)$I(v_{j}^{\pm})= \sum_{i=1}^{d}x_{ij}^{\pm}w_{i}$,$x_{ij}^{\pm}\in R$,$1\leqq j\leqq d^{\pm}$

とかいて行列 $X^{\pm}=(x_{ij}^{\pm})\in M(d, d^{\pm}, R)$ を得る. $P_{M}$ を分割 (3.8) に対応する $GL(d)$ の lowerのparabolic subgroup とする. このとき$X^{\pm}$$P_{M}(E)\backslash M(d, d^{\pm}, R)/GL(d^{\pm}, E)$

における coset は基底のとりかたに依存しない. $X=(X^{+}X^{-})\in M(d, d, R)$ とおき, これを $M$の周期行列とよぶ. $X$ の$P_{M}(E)\backslash M(d, d, R)/(GL(d^{+}, E)\cross GL(d^{-}, E))$における coset は well defined である. ここに $GL(d^{+}, E)\cross GL(d^{-}, E)$ は $GL(d)$ に diagonal
上有理的な多項式でblocks として埋め込まれているとする. そこで $M(d, d)$ 上の$\mathrm{Q}$$(*)$

をみたすものを考える.
れる指標とする.

$\lambda_{1}$for all $p\in P_{M},$ $\gamma\in GL(d^{+})\cross GL(d^{-})$ .

$f(px\gamma)=\lambda_{1}(p)\lambda_{2}(\gamma)f(x)$

((

$**$

$p_{22}0**$$\cdot*\cdot$.

ここに$\lambda_{1}$and$\lambda_{2}$はそれぞれ $P_{M},$ $GL(d^{+})\cross GL(d^{-})$ の次の式で与えら$p_{mm}00..\cdot))=\det(p_{11})^{a_{1}}\det(p_{22})^{a_{2}}\cdots\det(p_{mm})^{a_{m}}$$\lambda_{2}((\begin{array}{ll}a 00 b\end{array}))=(\det a)^{k^{+}}(\det b)^{k^{-}}$

多項式 $f$ は type
$f$

全体は

$\mathrm{Q}$$(\lambda_{1}, \lambda_{2})$, または type,$\{(a_{1}, a_{2}, .

$a\in GL(d^{+}),$.

.

, a_{m});(k^{+}, k^{-})\}$,$p_{ii}\in GL(s_{i})$$b\in GL(d^{-})$.

であるという. このような上の次数付環を生或する.

$f(X)\in R$ は$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} E^{\mathrm{x}}$で well defined になる. $f(X)$ を$M$,の周期不変量とよぶことにする.

40
Theorem 3.1. $(*)$ をみたす

$f$全体のなす次数付環は多項式環に同型である. 生或元を explicitに与えることができる. また各次数或分は高々 1 次元である.

$P=P(M)$ により $s_{1}+s_{2}+ \cdots+s_{p}<\min(d^{+}, d^{-})$ となる正整数 $p$ の集合を表わす. $q=m-p$とおく. このとき (3.7) により $p<q,$ $s_{1}+s_{2}+\cdots+s_{q}=d-(s_{1}+\cdots+s_{p})$ がわかる.

Theorem 3.2. 各 $p\in P$ に対して,が存在する. $(*)$(non-zero) 多項式$f_{p}$$p\in P$の単項式として一意的に書ける.

motive $M$ の基本周期とよぶ.
Theorem 32 により, $M$ の任意の周期不変量は基本周期の単項式として書ける. Deligne の予想
は 0 が critical value のとき $L(M, 0)/c^{+}(M)\in E$ を主張する. $c^{+}(M)$ 以外の周期不変量は$M$ に tensor product, exterior power 等の様々な代数的操作を行うと現れてくる.
Deligne はを示した. 他の周期不変量もの可逆元であることを証明できる. Deligne の予想は
$c_{p}(M)=f_{p}(X)$ とおく.

$\delta(M),$$c^{\pm}(M),$$c_{p}(M),$$p\in P$を$R$

$c^{\pm}(M)\in R^{\mathrm{x}}$$L(M, 0)$ が最も簡単な基本周期でかけることを意味する. 以下周期不変量の間の等式は$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} E^{\mathrm{x}}$で解することにする.

motive に代数的操作を施したときの基本周期の変化を調べる原理を説明しよう. 例としての場合を考える. ここに全ての motive は上に定義されていて, 係. の周期行列, $X$ を $M$ の周期行列とする. 次
を
数は $E$ にもつとする. $1\leqq i\leqq n$ に対して

$M=M_{1}\otimes M_{2}\otimes\cdots\otimes M_{n}$$\mathrm{Q}$$X_{\dot{l}}$$M_{1}$

ぎのことがわかる.

(i) $X$ の各或分はの或分の有理数係数の多項式として表わされる.
を $P_{M}.\cdot(E)X:(GL(d^{+}(M_{1}.), E)\cross GL(d^{-}(M_{\dot{l}}), E))$ に属する行列でおきかえれば, $X$ は(ii)$\mathrm{x}_{:}$$X_{:}$$P_{M}(E)X(GL(d^{+}(M), E)\cross GL(d^{-}(M), E))$ に属する行列でおきがわる.
(i) と (ii) はの各或分を変数とみなしたときにも成り立つ. 今 $p\in P(M),$ $c_{p}(M)=f_{p}(X)$ を$X_{:}$$M$の基本周期とする. ここにり$c_{p}(M)=f_{p}(g(X_{1}, \ldots, X_{n}))$$f_{p}$

は $M(d(M), d(M))$ 上の多項式である.

となる.

(i) により, 多項式. を $M(d(M_{\dot{\iota}}), d(M_{1}.))$ 上の変数行列とみなす.

$X_{1}$$g$にょ(ii) に. として (或るの (或分の) 多項式, :. . ,より, $f_{p}(g$ () はにつぃて) $(*)$ をみたす. Theorem 3.1 の 1 次元性により, $c_{p}(M)=f1(X_{1})\cdots f_{n}(X_{n})$ と分解する. 同じ議論は$c^{\pm}(M)$ , $\delta(M)$ にも適用される. よって $M$ の基本周期は$1\leqq i\leqq n$ の基本周期の単項式として表わされる. $M$ の基本周期の計算は . の type を決めるという組み合わせ論的な問題に帰着される.
以上の議論で興味深いのは Theorem 3.1 は (この定理の証明は難しくはないが) motive の考察
から apriori に予見できることである (証明できるという意味ではない) .
$X_{1}$$X_{n}$$)$$f_{1}$$\mathrm{x}_{:}$$M_{1}.,$$f_{1}$$(\lambda_{1},$$\lambda_{2})$41
4. Review of Shimura “Arithmeticity in the theory of automorphic forms”
この本 [ShlO] は [Sh9] の続編であるが, かなりの部分は独立に読むことができる. まずどのような保型形式を考えるかを説明する.
$F$ は総実代数体, $K$ は $F$ の総虚 2 次拡大体 (CM 体) とする.
をの生或元とする.
$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/F)$$\rho$(Case Sp),

$G=Sp(n, F)$
$G=$

{a

$\in GL_{2n}(K)|\alpha\eta_{n}\alpha^{*}=\eta_{n}$$G=\{\alpha\in GL_{n}(K)|\alpha T\alpha^{*}=T\}$

と

},

,

3 通りの場合にわけて群を定義する.

(Case$\eta_{n}=\{\begin{array}{ll}0 -1_{n}1_{n} 0\end{array}\}$

(Case
$G$

$\mathrm{U}\mathrm{B}=\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$$\mathrm{U}\mathrm{T}=\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$tube),ball),

を $F$ 上定義された代数群とみなす. ここに$\alpha^{*}={}^{t}\alpha^{\rho}$,$T\in GL_{n}(K),$ $T^{*}=-T$ である.

しばらく

$F=\mathrm{Q}$としよう. $G$ の real points の群 G。は附随する対称空間 $H$ の上に作用する.

(Case Sp),
),
(Case
).
(Case

$\{z\in M(n, n, \mathrm{C})|{}^{t}z=z, \Im(z)>0\}$(4.1)$H=\{$ $\{z\in M(n, n, \mathrm{C})|i(z^{*}-z)>0\}$$\mathrm{U}\mathrm{T}$$\{z\in M(p, q, \mathrm{C})|1_{q}-z^{*}z>0\}$

ここに $(p, q),$ $p+q=n$ は iT の符号である. また$z^{*}={}^{t}\overline{z}$$\mathrm{U}\mathrm{B}$で $>0$ は hermite 行列が正定値であること意味する.

にとる標準的な保型因子 $M(g, z),$ $g\in G_{\infty}$ ,の$z\in H$ がある.
を上の有限次元ベクトル空間 $X$ における表現とする.
$X$
$G$
$H$
上の
を
に値をとる正則函数 $f$ はの合同部分群とする.

Case UB を考えよう. 値を$\omega$$GL_{p}(\mathrm{C})\cross GL_{q}(\mathrm{C})$$GL_{p}(\mathrm{C})\cross GL_{q}(\mathrm{C})$$\mathrm{C}$$\Gamma$$f(\gamma z)=\omega(M(\gamma, z))f(z)$for a$\gamma\in\Gamma,$$z\in H$の正則保型形式であるという. ( $n=2$ のときはさらに cusp でに関する weight
をみたすとき,の場合も同様である.
および有理型保型形式も同様に定義する.
の条件をつける)
一般の $F$ については対称領域 $H$ は (4.1) の形の領域の積になる. また保型形式としては adele
群上の保型形式も考えるが, これは $H$ 上の保型形式の (ある条件をみたす) 有限個の集まりを考えていることと同等である.
の場合は $H$ が tube domain となり, 保型形式は標準的な Fourier 展開をもつ.
Sp,$\Gamma$$\omega$$C^{\infty}$$\mathrm{S}\mathrm{P},$$\mathrm{U}\mathrm{T}$$G_{A}$$\mathrm{U}\mathrm{T}$$f(z)= \sum_{h}a_{h}\exp(2\pi i\mathrm{t}\mathrm{r}(hz))$

これが Case$\mathrm{U}\mathrm{T}$は Case$\mathrm{U}\mathrm{B}$,$z\in H$,$a_{h}\in X$.

の特別な場合であるが, とくに別に詳しく調べられている理由である.

次に保型形式の arithmeticity を定義する. 背景にあって基礎を提供するのは canonical modelは projective algebraic variety の Zariski open
を $G$ の合同部分群とする.
の理論である.
はsubset になる (Bailey-Borel-Satake). canonical model の理論により次のことがわかる .
上有理的な保型函数の概念を得る.
の上に定義された model をもつ. したがって
ある代数体
$H$
上の CM-point における値は代数的であり, explicit reciprocity law を
このような保型函数の$\Gamma$$\Gamma\backslash H$$\Gamma\backslash H$$k_{\Gamma}$$k_{\Gamma}$

42
により
と仮定し
-structure をもつ, すなわち 上のベクトル空間て一般性を失わない. Case SP またはの場合を考える. 保型形式が arithmetic であることを,その Fourier 係数がに属することとして定義する. この定義を有理型保型形式の場合にも拡張してお . Fourier 係数による aritluneticity のこの定義は簡単すぎるようにみえるが次のような深い$X$は$\overline{\mathrm{Q}}$$X_{0}$$\overline{\mathrm{Q}}$$X=X_{0}\otimes_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}$$\mathrm{U}\mathrm{T}$$X\mathit{0}$$\langle$

性質をもつ.

1) weight が 0(i.e., すなわち$\omega$が trivial) の場合 arithmeticity は canonical model の理論

におけるが同じ weight の scalar 値の aritlunetic な保型形式な上の有理性と一致する. $f$ とらば $f/g$ は arithmetic な保型函数である. CM-points では, そこで有限であるかぎり代数的な値をとる.
$\overline{\mathrm{Q}}$$g$

CM-point で $f(w)$ が有限ならばはその或分が CM-period により explicit に表わされるある

2) $f$ が arithmetic な保型形式であり$\omega(\mathfrak{p}(w))^{-1}f(w)\in X_{0}$. ここに$\mathfrak{p}(w)$

$w$

が

$H$

上の

行列である.

3) arithmetic な保型形式の空間は$G$の作用で stable であ$\text{り}$, 保型形式の空間の ($\mathrm{C}$上の) 基底を与える.
例として Eisenstein 級数$E_{k}(z)= \sum_{(\mathrm{c},d)}(cz+d)^{-k}’$,$z\in fl$を考えよう. ここにであり, 和は $(0, 0)$ を除く全ての整数の組 ( $c,$ ci) にわたる. \S 2 の
Eisenstein 級数とは $N=1$ ととって $E_{k}(z)=2\zeta(2k)E_{k}(z, 0)$ の関係がある. 周知のように $E_{k}(z)$は weightの正則な modular 形式であり $\pi^{-k}E_{k}(z)$ の Fourier 係数は有理数である. CM-pointとなる. したがって 2) から$w=i$ についてはを得るが, これは \S 1
で述べた Hurwitz の定理と consistent である.のexplicit reciprocity law は arit 石 etic な有理型保型形式の空間におけるは simffitude の群作用を記述する定理として定式化される. ここにのある部分群である. この定理は虚数乗法論の相互法則を実質的に全て含み, 非常に強力である.
Case UB では, 保型形式は一般には標準的な Fowier 展開をもたない. このときは 2) をarithmeticity の定義として採用する. 1) と 3) はこのときも成立する.
$4\leqq k\in \mathrm{Z}$$k$$\mathfrak{p}(w)=\pi^{-1}\varpi$$\varpi^{-k}E_{k}(i)\in\overline{\mathrm{Q}}$$\mathcal{G}_{+}\cross \mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})$$\tilde{G}_{A}$$G_{A}\subset \mathcal{G}_{+}$

つぎに微分作用素と near holomorphy の概念を説明しよう.

この本で扱われている微分作用素を一般に書くのは複雑すぎるので, 典型的な場合を述べよう. 簡
単のため $F=\mathrm{Q}$ とする. G。の極大コンパクト部分群の複素形をとする. $T$ を $H$ のある点に$T$$T$
おける tangent space とする. K\dashv よに作用する. $S_{p}(T)$ により上の $p$ 次の斉次多項式全体$K^{c}$のなすベクトル空間を表わす. $S_{p}(T)$ の既約部分空間 $Z$ に対して微分作用素
は weightのの保型形式を weight
保型形式に写す.
例として $G=Sp(n, \mathrm{Q})$ としよう. このとき$\omega$$C^{\infty}$$\omega\otimes Z$$T=\{z\in M(n,n, \mathrm{C})|{}^{t}z=z\}$である.

$K^{\mathrm{c}}\ni a$$D_{‘ v}^{Z}$が定義される.

$D_{\omega}^{Z}$$C^{\infty}$,$K^{c}=GL(n, \mathrm{C})$は $T$ に $zarrow az^{t}a$ により作用する. 表現 $xarrow\det(x)^{2}$ は $S_{n}(T)$ に重複度 1 で現は weight を 2 上げる作用素である.

れる. 対応する部分空間を $Z,$ $\omega(x)=(\det x)^{k}$ とすると

$D_{\omega}^{Z}$$n=1$ のとき, この作用素はである (\S 2 参照). contragredient な作用 $zarrow {}^{t}a^{-1}za^{-1}$ をとると weight を 2 下げる作用素を得る.
$2\pi i\delta_{k}$43Nearly holomorphic function は一般に K\"ahler manifold にたいして定義される. $W$ を $N$
を K\"ahler form とする. $U\subset W$ は $W$ の局所座標系を選べる open

次元 K\"ahler manifold,subset とする. このとき$\Omega$$\Omega=i\sum_{p,q=1}^{N}h_{pq}dz_{p}\Lambda\overline{d}z_{q}$とかけるが,$\varphi\in C^{\infty}(U)$が存在して$\Omega=i\sum_{p,q=1}^{N}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z_{p}\partial\overline{z}_{q}}dz_{p}\wedge\overline{d}z_{q}$が成り立つ.

$r_{q}= \frac{\partial\varphi}{\partial z_{q}}$とおく. 可換なベクトル場$\frac{\partial}{\partial r_{1}},$$\frac{\partial}{\partial r_{2}},$$\frac{\partial}{\partial r_{N}}$$\ldots,$を$\frac{\partial}{\partial\overline{z}_{q}}=\sum_{q=1}^{N}\frac{\partial r_{q}}{\partial\overline{z}_{p}}\cdot\frac{\partial}{\partial r_{q}}$が成り立つように定義できる.
$N^{e-1}(U)= \{f\in C^{\infty}(U)|(\frac{\partial}{\partial r_{1}})^{e_{1}}\cdots(\frac{\partial}{\partial r_{N}})^{e_{N}}f=0, e_{1}+\cdots+e_{N}=e\}$とおく. 各 $U$ に対して $N^{e}(U)$ に属する $W$ 上の$C^{\infty}$

函数を $W$ 上の$e$

次の nearly holomorphic

function と呼ぶ. この概念は座標系のとりかたに依存しない. 微分作用素を調べることにより函数のnear holomorphy を確定できることは大きな利点である.
$W=H$ の場合 $H$ 上の nearly holomorphic function は正則函数を係数とするの$r_{1},$

多項式と一致する.

ここに$r_{i}$$\ldots,$$r_{N}$

は $(^{t}z-\overline{z})^{-1}$ の或分である.

Nearly holomorphic automorphic form の arithmeticity は条件 2), 3) によって定義する.
の形の微分作用素は near holomophy と arithmeticity を保存する.

$\pi^{-e}D_{\omega}^{Z},$$0\leqq e\in \mathrm{Z}$最後にこの本の主眼であるゼータ函数の積分表示と critical value についての結果を述べよう. この部分では保型形式は scalar 値をとると仮定する. まず Case Sp と Caseのとき, $G$ の maximal$\mathrm{U}\mathrm{T}$parabolic subgroup に対応する Siegel 型の Eisenstein 級数 $E(z, s)$ の解析的性質とどのようなに対して nearly holomorphic になるかをを詳しく調べる. 典型的な結果は次の通り.
$P=\{(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in G|c=0\}$を Siegel parabolic とする. 簡単のため $F=\mathrm{Q}$ とする.
$\eta(z)=i(z^{*}-z)$$\delta(z)=\det(2^{-1}\eta(z))$(Case$\mathrm{U}\mathrm{T}$),$\eta(z)=i(\overline{z}-z)$(Case Sp),

とおく.

$E(z, s)=E(z, s;k)= \sum_{\gamma\in(\Gamma\cap P)\backslash \mathrm{r}}\delta(z)^{s-k/2}||_{k}\gamma$

$s$

44
によって Eisenstein 級数を定義する.
$\mathrm{C}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{e}$Sp のとき$((f||_{k}\gamma)(z)\ovalbox{\tt\small REJECT}\det(M(\gamma, z)^{-1}f(\ovalbox{\tt\small REJECT}),$$M(\gamma, z)$は保型因子)

とおくと$\lambda\ovalbox{\tt\small REJECT}(n+\mathfrak{y}/2$$\mu\geqq\lambda\Rightarrow E(z,\mu/2;\mu)\in M_{\mu}(\mathrm{Q}_{ab})$.

ただし $F=\mathrm{Q},$ $\lambda+1/2\leqq\mu\leqq\lambda+1$ の場合を除く.
$F=\mathrm{Q},$$\mu=\lambda+1\Rightarrow E(z,\mu/2;\mu)\in N_{\mu}^{n}(\mathrm{Q}_{ab})$.

これらの事実は微分作用素を含む (2.1) と同様な関係を示し, また [Sh5] による tube domain 上の超幾何函数論を用いて Fourier 係数を解析することにより証明される.
の mlgebraic Hecke character とする.
をを上の Hecke eigenform とする.のときは(Case Spに対してゼータ函数$K=F$ とする).
を定義する. $F$ の素 idealの上にわたる Euler 積として各 Euler 因子の次数は (有限個の素 ideal を除き) Case Sp のとき$G_{A}$$\mathrm{f}$$\chi$$\mathrm{f},$$2n+1$ , Case$\mathrm{U}\mathrm{T}$のとき $4n$ , Case

$K_{A}^{\mathrm{x}}$$Z(s, \mathrm{f}, \chi)$$\chi$$\mathrm{U}\mathrm{B}$のとき $2n$ である. このゼータ函数は所謂 standard $L$ 函

たものにほぼ近いが, unitary case ではこれよりも一般的である.
のときに説明しよう. $T$ を前と同様に size $n$ の skew hermitian matrix とする. ユニ
Case
タリー群を $G=U(T)$ とかく.
により対応する対称領域を表す. $q\geqq 0$ をとって $T_{q}=T\oplus\eta_{q}$ と
おく. これは $T$ とを diagonml blodoe においた size $n+2q$ の行列である. $U(T_{q})$ は Levi paxt
が $U(T)\cross GL_{q}(K)$ に同型な parabolic subgroup をもつ. 上のように $U(T)_{A}$ 上の cusp formと Hecke characterをとる.
をに associate上の函数とみなす (簡単のため).
した Eisenstein 級数 $E(z, s;\mathrm{f}, \chi)$ を導入する. この函数は上に定義され Langlands[L] とKlingen による cusp form に associate
Eisenstein 級数と類似である. $\tilde{T}=T_{q}\oplus(-T)$ ,$H_{n+q}=H^{\eta_{n+q}}$ とおく. このとき $U(T_{q})\cross U(T)\subset U(\tilde{T})\cong U(\eta_{n+q})$ であり, 対応する対称領域の埋め込み $H^{T_{q}}\cross\prime H^{T}arrow H_{n+q}$ を得る. $H_{n+q}$ 上の Siegel 型の Eisenstein 級数の pu数を$\chi$

で twist$\llcorner$$\mathrm{U}\mathrm{B}$$H^{T}$$\eta_{q}$$\mathrm{f}$$\mathrm{f}$$\chi$$H^{T}$$(\mathrm{f}, \chi)$$\mathcal{H}^{T_{q}}$$\text{し}.\cdot$$E(\tilde{z}, s)$back(restriction) を $H(z, w;s),$(4.2)$z\in\prime H^{T_{q}},$$w\in H^{T}$とする. このとき$c(s)Z(s, \mathrm{f},\chi)E(z,.s;\mathrm{f}, \chi)=\Lambda(s)\int_{\Gamma\backslash H^{T}}H(z,w;s)\mathrm{f}(w)\delta(w)^{k}dw$

は $F$ の $L$ 函数の積であが成り立つ. ここに $c(s)$ は explicitly に与えられるガンマ factor,
る.
はの weight であり,は $w$ の虚部の determinant である. $q=0$ のとき, (4.2) は$\Lambda(s)$$k$$\delta(w)$$\mathrm{f}$(4.3)$c(s)Z(s, \mathrm{f}, \chi)\mathrm{f}(z)=\Lambda(s)\int_{\Gamma\backslash H^{T}}H(z,w;s)\mathrm{f}(w)\delta(w)^{k}dw$となる. (4.2), (4.3) が基礎となる $L$ 函数の積分表示である.
さては nearly holomorphic かつ arithmeticが或有限区間にあるとき,$\sigma\in 2^{-1}\mathrm{Z}$$E(\tilde{z}, \sigma)$である. よって $H(z, w;\sigma)$ を explicit にわかる CM 周期でわると $?t^{T}$ 上の arithmetic nearly
holomorphic functions の積の有限 1 次結合になる. これから主結果が従う. ゼータ函数の criticalvalue について
(4.4)

,

$Z(\sigma, \mathrm{f}, \chi)\in\pi^{A}P\langle \mathrm{f}, \mathrm{f}\rangle\overline{\mathrm{Q}}$$A\in \mathrm{Z}$の正規化された Petersson norm である. (半整数が現れる訳はゼータ函数の変数が適当に shift されているからで深い理由はない ) 次にこの結果をの arit 石 eticity と near holomorphy が得られる.
(4.2) に適用してとなる. ここに $P$ は CM-周期,$E(z, \sigma;\mathrm{f}, \chi)$$\langle \mathrm{f}, \mathrm{f}\rangle$

は$\mathrm{f}$$\sigma$45
同様の結果は Case SP と Case$\mathrm{U}\mathrm{T}$のときも $P=1$ として成り立つ. 特に著しいのは, CaseSp のときには half integral weight の保型形式についても平行な結果が得られていることである.

\S 5. Siegel modular forms$\Gamma$を $Sp(m, \mathrm{Z})$ の合同部分群とする.

$S_{k}^{(m)}(\Gamma)$

により$\Gamma$に関する weight$k$cusp forms の空間を表す. Petersson norm を$\langle f, f\rangle=\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash fl_{m})^{-1}\int_{\Gamma\backslash \mathrm{f}\mathrm{l}m}|f(z)|^{2}(\det y)^{k-m}$のSiegel modular

dxdyと正規化しておく. ここに $fl_{m}$ は degree $m$ の Siegel 上半空間を表し, 実対称行列 $x,$

$y$

によっ

をとる. このときに対し$z=x+iy$ とかいた. non-zero Hecke eigenformと呼ばれる, spinor 函数
standard 函数
Euler 積が構或できてよく調べにられている. 簡単のため $\Gamma=Sp(m, \mathrm{Z})$ とする. 以下 $w=mk-m(m+1)/2$ とおく. 素数を eigenformに attach した Satake parameter とする. このとき対して,の Eulerとである.
因子はそれぞれて$f\in S_{k}^{(m)}(\Gamma)$$\mathrm{L}$$L$$L_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(s, f)$$f$$L_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(s, f)$$p$$\alpha_{0},$$\alpha_{1},$$\ldots,$$\alpha_{0}^{2}\alpha_{1}\cdots\alpha_{m}=p^{w}$$f$$\alpha_{m}$$L_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(s, f)$$L_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(s, f)$$p$$[(1-p^{-s}) \prod_{i=1}^{m}(1-\alpha_{i}p^{-\epsilon})(1-\alpha_{i}^{-1}p^{-\epsilon})]^{-1}$,$[[(1- \alpha_{0}p^{-s})\prod_{r=1}^{m}\prod_{1\leqq i_{1}<\ldots<i_{r}\leqq m}(1-\alpha_{0}\alpha_{i_{1}}\cdots\alpha_{i_{r}}p^{-s})]^{-1}$である. 一般性を失わずに $f$ の Fourier 係数は総実代数体 $E$ に属すると仮定できる.
でと係数をもつ motives$M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)$$\mathrm{Q}$

上の $E$ に$M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f)$$L(M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f), s)=(L_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(s, f^{\sigma}))_{\sigma\in J_{E}}$,$L(M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f), s)=(L_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(s, f^{\sigma}))_{\sigma\in J_{E}}$をみたすものの存在を仮定する. Euler 積の次数を考えれば

rank$M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)=2m+1$

,

rank

$M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)=2^{m}$

でなければならない.

Conjecture 5.1. もし motives
する保型表現は tempered ではない. このとき
lifting として得られる.
$M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f),$$M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f)$$f$の一つが pure weight でなけれぼ, $f$ に対応は次数の下がった SJegel modulax forms からのは pure weight であると仮定する.
函数の函数等式により,
andののときは予想にの函数等式は$m>3$を確定できる.
[Boc2] motives
Hodge typesについては止まっている) まず以下$M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)$$L$$M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f)$$(L_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(s, f)$$)$$M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)$$\wedge^{2m+1}M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)\cong T(0)$,$(([\mathrm{A}]$46$H_{B}(M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f))\otimes_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}=H^{0,0}(M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f))$$\oplus_{1=1}^{m}\cdot(H^{-k+:,k-1}.(M_{8\mathrm{t}}(f))\oplus H^{k-i,-k+1}.(M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)))$

さらに$F_{\infty}$$M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f)$は$H^{0,0}(M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f))$.

(右辺の第一因子) 上に $(-1)^{m}$ で作用すると仮定する.

については$\wedge^{2^{m}}M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f)\cong T(2^{m-1}(mk-\frac{m(m+1)}{2}))$$H_{B}(M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f))\otimes_{\mathrm{Q}}\mathrm{C}=\oplus_{p},{}_{q}H^{p,q}(M_{\epsilon \mathrm{p}}(f))$,,$(p,q)$ は$p=(k-i_{1})+(k-i_{2})+\cdots+(k-i_{r})$ ,$r+s=m$ ,$1\leqq i_{1}<\ldots<i_{r}\leqq m$$q=(k-j_{1})+(k-j_{2})+\cdots+(k-j_{\epsilon})$,$1\leqq j_{1}<\ldots<j_{s}\leqq m$

,

,

,

$\{i_{1}, \ldots,i_{r}\}\cup\{j_{1}, \ldots , j_{\epsilon}\}=\{1,2, \ldots,m\}$( $r=0$ または $s=0$ の場合も含めて) をみたす全ての pair の上にわたる. さらに $w=mk-m(m+1)/2$のにおける固有値 +1 と -1 は同じ重複度で現れると仮定する.
が偶数ならば,$F_{\infty}$$H^{pp}(M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f))$

Proposition 5.2. Deligne の予想を仮定する. $k>2m$ ならば.

$c^{\pm}(M_{\epsilon \mathrm{t}}(f)=\pi^{mk}((f^{\sigma}, f^{\sigma}\rangle)_{\sigma\in J_{E}}$の critical value を B\"ocherer [Bocl],
この命題は Deligne の予想から予言されるは $sarrow 1-s$ について函数の結果と比べて得られる.
Mizumoto [M], Shimura [ShlO]
等式をもつ. 右半分にある critical valuae は $1\leqq n\leqq k-m,$である. B\"ocherer$1\leqq
n\leqqm$のととなる $n$ を coverていない. Mizumoto の結果はの結果はき全ての critical value を cover する. Shimura の結果は一般的で任意の level の Hilbert-Siegel$L_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(n, f)$$L_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(s, f)$$n\equiv m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2$$m\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4$$\llcorner$

でのみ与えられている. また現在の case に特form に適用できるが, 結果は殊化すると $k>(3m/2)+1$ のとき全ての critical value を cover するが, 例外があって $n=1$ ,の場合は除外される. 志村先生によると, このときは Eisenstein series が nearly
holomorphic にならないのであるが, この場合を含めることができればかなりの意味があるだろう.

mo 小$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \overline{\mathrm{Q}}^{\mathrm{x}}$$\sim \mathrm{a}\mathrm{r}$$m\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2$$M_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(f)$と$M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f)$に対して独立な周期がどれだけ存在するかは興味のあるところである.

とおき $x\in R\cong \mathrm{C}^{J_{E}}$ を $x=(x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(l)}),$
とかく. $x\in E$ については $x^{(i)}=x^{\sigma}$ : としてよい.

$J_{E}=\{\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{l}\},$

Theorem 5.3.
予想). このとき
本周期$c\in R^{\mathrm{x}}$$\mathrm{Q}$$p_{1},$$l=[E:\mathrm{Q}]$$x^{(:)}\in \mathrm{C}$上の二つの motives が同一の $L$ -function をもてば同型であると仮定する$p_{2},$

に対して$p_{r}\in \mathrm{C}^{\mathrm{x}},$$\ldots,$$1\leqq r\leqq m+1$$c^{(1)}=\alpha\pi^{A}p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{r}^{a_{r}},$があって,$\alpha\in\overline{\mathrm{Q}}^{\mathrm{X}}A,$$M_{\epsilon \mathrm{t}}(f)$$a:\in \mathrm{Z},$と$M_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(f)$$1\leqq i\leqq r$

(Tate

の任意の基

となる.

証明については [Y2] を参照されたい.
この理論により symplectic Shimura variety の zeta 函数についてある洞察をすることができる.
の zeta 函数は保型形式の spinor $L$ 函数を用いて表わすことができると信じられている.
( $m>2$ のとき実質的な結果は殆ど知られていない)zeta 函数の形は概略$\Gamma\backslash \mathfrak{H}_{m}$.

$\zeta(s,\Gamma\backslash \mathfrak{H}_{m}).=$$\prod_{-}L_{\mathrm{s}\mathrm{p}}(s, f)$.

47であると予想される.
最後の member は$M\ovalbox{\tt\small REJECT} M\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{P}}(f)$$F^{1}$

である. $F^{w}$

とおく. $M$ の weight は $w$ であり,は 1 次元であり (34) により$F^{w}(H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M))\cong H^{0}(M, \Omega^{w})$$B_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M)$のffltration の.

となる.
$\langle$,$\rangle$: $M\otimes Marrow U$

を $M$ の polarization とする. ここに $U$ はある rank 1 の motive を表わす. $0\neq\omega\in F^{w}(H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}(M))$
をとる. このとき$\langle\omega, F_{\infty}\omega\rangle=c_{1}(M)\delta(M)^{-1}$を示すことができる. 左辺は微分形式
である.

$\omega$の.

norm と解釈できるが, 次ぎの命題はこの事実と consistent

Proposition 5.4. 定理 53 と同じ仮定のもとで, $k>2m$ ならば$(c_{1}(M)\delta(M)^{-1})^{2}=(\pi^{mk}\langle f^{\sigma}, f^{\sigma}\rangle)_{\sigma\in J_{E}}^{2}$が成り立つ.
を注意. 定理 53 において
でおきかえた形に精密化することは可能である.
Proposition 5.4 において, 等式は両辺の平方をとることなく成り立つと思われる.
$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \overline{\mathrm{Q}}^{\mathrm{X}}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} E^{\mathrm{X}}$

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