Einstein の総和規約について
飯盛浩司

2019 年 9 月 5 日

1 ベクトルの内積と Einstein の総和規約
ベクトル a, b ∈ Rd に対して、

a · b :=d∑ai bi(1)i=1を内積 (inner product) という。次元 d が前後の文脈などから明らかなときには (1) に現れる

∑di=1 は省略しても差し支えないように思える。そこで、以降、

a · b = ai bi(2)と書くことにする。つまり、同じ項において添え字が二度現れる場合には、その添字について和をとると約束する。このように重なった添字をダミーインデックスと呼ぶ (なお、同じ項で一度しか現れない添字はフリーインデックスと呼ぶ)。このような記法は Einstein が初めて用いたことから、Einstein の総和規約などと呼ばれる。なお、ダミーインデックスに i を選ぶことは本質的ではなく、a · b = aj bj = aℓ bℓ などと書いても良い。
ただし、同じ項において同じ添字が 3 度以上現れてはいけない。

2 Kronecker のデルタと交代記号
ここで、2 つの記号を導入する。1 つめは Kronecker のデルタであり、{
δij :=

1 if i = j
0 if i ̸= j(3)と定義される (ここに 1 ≤ i, j ≤ d)。
問: δii の値は?
答: 前節で導入した Einstein の総和規約のため、

δii =d∑i=1である。δii = 1 としないように気をつけよう。

1

δii = d(4)

2 つめは交代記号と呼ばれ、
1 if (i, j, k) = (1, 2, 3) or (2, 3, 1) or (3, 1, 2)
eijk = −1 if (i, j, k) = (2, 1, 3) or (3, 2, 1) or (1, 3, 2)
0 otherwise(5)と定義される。
交代記号を使うと、R3 のベクトル a, b の外積の第 i 成分は以下のように簡単に表現できる。

(a × b)i = eijk aj bk(6)

ここで、i はフリーインデックス、j, k はダミーインデックスであることに注意すれば上の式が外積を表すことは明らかであろう。分からなければ、例えば、(a × b)1 = e1jk aj bk =3 ∑3∑

e1jk aj bk(7)

j=1 k=1を計算してみると良い。

Kronecker のデルタと交代記号の間には次の恒等式が成り立つ。
eijk eipq = δjp δkq − δjq δkp(8)

この恒等式は記憶する価値がある。なぜなら、この式さえ記憶していれば、ベクトル解析の種々の公式を導出できるからである。
例: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c を Einstein の総和規約と上の恒等式 (8) を用いて証明する。
左辺の第 i 成分 = eijk aj (b × c)k(9)= eijk aj ekpq bp cq(10)= ekij ekpq aj bp cq(11)= (δip δjq − δiq δjp )aj bp cq(12)= aj cj bi − aj bj ci = 右辺の第 i 成分

(13)

例: (a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (b · c)(a · d)
左辺 = (eijk aj bk )(eipq cp dq )(14)

= eijk eipq aj bk cp dq(15)= (δjp δkq − δjq δkp )aj bk cp dq(16)= aj bk cj dk − aj bk ck dj = 右辺(17)3 微分演算子 ∇微分演算子 ∇ を、偏微分作用素 ∂/∂xi を成分にもつベクトルと解釈することにしよう。ただし、∇ は演算子 (あるいは作用素) なので、作用する順序には注意する必要がある。例えば、∇ · a と a · ∇ の表すものは異2なる (前者はスカラー、後者は微分作用素)。ここで、例えばスカラー関数 f の xi (i = 1, 2, 3) による偏微分を、以降

f,i :=∂f∂xi(18)と書くことにする。この時、勾配、発散、回転は以下のように書くことができる。

• スカラー値関数 f の勾配 (の第 i 成分)： (gradf )i := (∇f )i = f,i• ベクトル値関数 a の発散： diva := ∇ · a = ai,i
• ベクトル値関数 a の回転 (の第 i 成分)： (rota)i = (curla)i := (∇ × a)i = eijk ak,j∂
ここで、回転が eijk aj,k ではないことに注意しよう。k, j という順になることが分かりにくければ、eijk ∂xakjと書いてみると良いだろう。
勾配、発散、回転をこのように表記することで、やはり、ベクトル解析の公式を簡単に導出することができる。
例: ∇ × (∇ × a) = ∇(∇ · a) − ∇2 a (ここに、∇2 は Laplacian である)
左辺の第 i 成分 = eijk (∇ × a)k,j(19)= eijk (ekpq aq,p ),j(20)= ekij ekpq aq,pj(21)= (δip δjq − δiq δjp )aq,pj(22)= aj,ij − ai,jj(23)= (aj,j ),i − ai,jj = 右辺の第 i 成分

(24)

ここで導入した添字記法、Einstein の総和規約を用いることで、力学や電磁気学の記述が簡単になり、計算の見通しが格段に良くなるので、ぜひ習得して欲しい。これらを用いてベクトル解析の教科書に載っている演習問題を片っ端から解いてみることをお薦めする。卒業研究を開始する研究室の四年生にはまずこれを習得してもらうが、だいたい 3 日から 1 週間も練習すれば使いこなせるようになるようである。

4 練習問題
以下の多くは C·R· ワイリー著 (富久泰明訳)『工業数学 (下)』からの引用である。

1. 恒等式 (8) が成り立つことを確認せよ。
2. a, b, c ∈ R3 はベクトルとする。
（a）a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c を示せ。
（b）(a × b) × c = (c · a)b − (c · b)a を示せ。
（c）(a × b) × c × d をベクトル a と b の線形結合で表わせ。

3. p : R → R3 をベクトル値関数、a, b を t に依存しない定ベクトルとする。
（a）p(t) = a cos kt + b sin kt のとき、p × dp/dt、d2 p/dt2 + k 2 p を計算せよ。ただし、k ∈ R は t に依存しない定数である。
（b）d(p × dp/dt)/dt = p × d2 p/dt2 を示せ。

3

（c）p · dp/dt × d2 p/dt2 の t に関する微分を求めよ。
（d）p × (dp/dt × d2 p/dt2 ) の t に関する微分を求めよ。
（e）p · dp/dt = |p|(d|p|/dt) を示せ。

4. ϕ : R3 → R をスカラー値関数、u, v : R3 → R3 をベクトル値関数とする。以下を示せ。
（a）∇ · (ϕv) = ϕ∇ · v + v · ∇ϕ（b）∇ × (ϕv) = ϕ∇ × v + v × ∇ϕ（c）∇ · (u × v) = v · ∇ × u − u · ∇ × v（d）∇ × ∇ϕ = 0（e）∇ · ∇ × v = 0

5. r を xi を第 i 成分に持つベクトル、r = |r| をその長さとする。また、a を定ベクトルとする。
（a）∇ × r = 0 を示せ。
（b）∇ · r を求めよ。
（c）∇(a · r) を計算せよ。
（d）(a · ∇)r を計算せよ。
（e）(a × ∇) · r を計算せよ。
（f）∇ · (a × r/r) を計算せよ。
（g）∇ × (a × r/r) を計算せよ。

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