数理解析研究所講究録
第 713 巻 1990 年 134-142

134

Graded CM modules の分類理論
吉野雄二 (名大・理)(Yuji Yoshino)

以下では、 $R=\Sigma_{n\geq 0}R_{n}$ は次数付き CM 整閉整域であるとする。 また、 $R_{0}=k$ は代数閉体であると仮定する。更に、本質的でない仮定として、 $\{n|R_{n}\neq 0\}$ の最大公約数は 1 であるとしておく。 $K$ で $R$の次数付きの商体とする。上の仮定によって、 $K$ には次数 1 の斉次な元が存在するので、それをことにする。

$K_{0}$

で

$K$

の次数が

$0$

$t$

と書く

の部分を表すことにすると、良く知られているように、$K=K_{0}[t, t^{-1}]$(Laurent polynomial ring)となる。

$X=Proj(R)$ と置くと、このときには、$X$$K_{0}$

は $X$ の関数体 $k(X)$ に等しいことに注意する。 Demazure によると、上に有理数係数の Weil 因子 (ample Q-Cartier) $D$ が存在して、最初に与えた次数付

き環 $R$ は次のように書くことが出来る。

補題 1.
$R=R(X, D)= \sum_{n\geq 0}H^{0}(X, \mathcal{O}_{X}(nD))t^{n}$但し、一般的に因子 $D$ が $D=\Sigma_{i}(q_{i}/p_{i})D_{i}(p_{i}, qi\in Z)$ と書けているときには、 $[D]=\Sigma[q_{i}/p_{i}]D_{i}$(但し、 $r\in Q$ のとき、 $[r]= \max\{n\in Z|n\leq?\cdot\}$ ) と表し、 $\mathcal{O}_{X}(D)=\mathcal{O}_{X}([D])$ と定義する。また、 以下では、 各点の stalk として $K_{0}$ をもっ定数層を$\mathcal{K}$と書いて、上記の$\mathcal{O}_{X}(D)$はすべて$\mathcal{K}$の部分層として見ておく。
本稿の目的は $R$ 上の次数付き CM 加群の圏を $(X, D)$ を使って記述することにある。以下ではいつでも $(X, D)$ は上のようにして与えられたものであるとしておく。すなわち、$X=$ Proj $(R)$ で、 $D$ は$X$

上の ample Q-Cartier Q-Weil 因子である。 さらに、 この $D$ を次の様に書くことに約束しておく。

(1.1)
但し、

$D= \sum_{x}(q_{x}/p_{x})[x]$$\lambda$

は $X$ 上の余次元 1 の点をすべて動く。 ここで、 もちろん殆ど全ての $x$

る。 さらに約束として、 $Px$ は常に正の整数とし、 もし伽がり、

$q_{x}$

が

$0$

$0$

に対しては $q_{x}=0$ であでないときには、 $Px$ と伽は互いに素であのときに}ま $Px$ は常に 1 であると仮定しておく。 また、 $r_{x}=q_{x}/Px$ と書く。

よく知られたことであるが一応次の事に注意しておこう。

1

135
補題 2.

$x$

を $X$ の余次元が 1 の点であるとする。このと書くことにする。 $R$ の$p$

における斉次局所化$R_{(\mathfrak{p})}=$

局所環$\mathcal{O}_{X,x}$$R_{(\mathfrak{p})}$$x$に対応する $R$ の高さ 1 の斉次な素イデアルをは次のように定義される。

{ $b/a|b\in R,$ $a\in R-\phi,$の極大イデアルを$m_{x}$$p$$a$

is homogeneous}とするとき、次の等式が成立する。

$R_{(\mathfrak{p})}= \sum_{n\in Z}\mathfrak{n}\iota_{x}^{-[nr_{x}]}t^{n}$余次元が 1 とは限らない点にっいては次の事が成立する。
補題 3.

$y$

が $X$ の既約な点のとき、generalization となっている

$X$

$q$

を Proj $(R)$ の対応する斉次素イデアルとする。 $\Omega(y)$ で$y$のの余次元 1 の点の集合を表すことにする。 このとき、$R_{(q)}= \sum_{n\in Z}(\bigcap_{x\in\Omega(x)}m_{x}^{-[nr_{x}]})t^{n}$

さて、$\mathcal{K}[t, t^{-1}]$の部分 Ox-代数 $A$ を次のように定義する。

定義 4.
$A= \sum_{n\in Z}\mathcal{O}_{X}(nD)t^{n}\subset_{\backslash }\mathcal{K}[t,t^{-1}]$( $[nD+mD]\geq[nD]+[mD]$ であるからこれは環になる。)

補題 3 の系として次を得る。
系 5. 補題 3 の記号のもとで、 $A_{y}=R_{(q)}$ である。特に、 $R_{(q)}$ が非特異ならば、等式 gl.dim $(A_{y})=$$codim(y, X)$ が成立する。

注意 6. 一般に $R$ 上の次数付き加群 $M$ に対応する $X$ 上の quasi-coherent sheaf を$\overline{M}$と書くことにする。 このとき、補題 3 によって次の事が成立することが分かる。

$R\overline{(n})=O_{X}(nD)t^{n}$

定義 7.

(7.1)

$R$

上の次数付き加群とそれらの間の次数が$0$の斉次な準同型からなる圏を $Gr(R)$ と書く。また、同様に $Gr(A)$ で $A$ 上の斉次な quasi-coherent modules とそれらの間の次数が の斉次 $A$ 準同型写$0$像からなる圏を表すことにする。

(7.2) 関手$(^{*})$$\Delta$: $Gr(R)arrow Gr(A)$ を次のように定義する。
$\Delta(M)=\sum_{n\in Z}M\overline{(n})$

2

136
この

が well-defined であることなどは容易に確かめられる。

$\Delta$

補題 8.

(8.1)
(8.2)

$\Delta(R)=A$$\Delta$は完全関手である。

定義 9. 関手$\Gamma$: $G?\cdot(A)arrow Gr(R)^{-}$ を次のように定義する。

$\mathcal{F}=\Sigma_{n\in Z}\mathcal{F}_{n}$にたいして、$(^{**})$$\Gamma(\mathcal{F})=\sum_{n\in Z}H^{0}(X, \mathcal{F}_{n})$次の事に注意しておく。
補題 10

は左完全関手である。

$\Gamma$にたいして ‘-Gr(R) の充満部分圏でその対象が斉次な n-th syzygy 全体からが n-th syzygy であるとは、 $R(a)(a\in Z)$と書くことにする。但し、 R-加群

定義 11 . 勝手な自然数成るものを$gr^{n}(R)$$n$$\lambda l$のかたちの加群の有限個の直和であるような加群 $\{F_{0}, F_{1}, \ldots F_{n-1}\}$ とそれらの間の次数が写像$\phi_{i}$

$0$

の準同型

があって、次のような完全列が存在することである。
$\phi_{n-1}$$\phi_{1}$$0arrow Marrow F_{n-1}arrow F_{n-2}arrow\cdotsarrow F_{1}arrow F_{0}$まったく同様にして、$gr^{n}(\mathcal{A})$と書いて、ら成るものを表す事にする。 但し、 A-加群

加群の有限個の直和であるような加群の充満部分圏でその対象が斉次な n-th syzygy 全体か$G\uparrow\cdot(\mathcal{A})$$\mathcal{F}$が n-th syzygy であるとは、 $A(a)(a\in Z)$ のかたちの$\{\mathcal{G}0, \mathcal{G}_{1}, \ldots \mathcal{G}_{n-1}\}$とそれらの間の次数が$0$の準同型写像$\psi_{i}B_{i^{\backslash }}$あって、次のような完全列が存在することである。
$\psi_{n-1}$

次の事は$\Delta$の完全性と$\Gamma$. . $arrow \mathcal{G}_{1}arrow C_{J0}$$\psi_{1}$$0arrow \mathcal{F}arrow C_{Jn-1}arrow \mathcal{G}_{n-2}arrow.$の左完全性から容易に出る。

補題 12.

(12.1) 任意の自然数$n$にたいして、$\Delta$$\Delta_{n}$($12.2\rangle$$\Gamma$は関手$\Gamma_{2}$

はっぎのような関手を導く。

: $gr^{n}(R)arrow gr^{n}(A)$: $gr^{2}(R)arrow gr^{2}(A)$ を導く。

重要なことは次の命題が成立することである。

命題 13$\cdot n$

が 2 以上の整数の時、$\Delta_{n}$: $gr^{n}(R)arrow gr^{n}(A)$ は圏同値を与える。

証明: まず、命題を $n=2$ のときに示す。 このときには、する o 最初に、次の事に注意する: 任意の整数

$a$

と

$b$

$\Delta_{2}$と$\Gamma_{2}$が互いに逆になっていることを証明

に対して、$Hom_{Gr(A)}(A(a), A(b))=H^{0}(A_{b-a})=H^{0}(\mathcal{O}_{X}((b-a)D))t^{b-a}$$=R_{b-a}=Hom_{Gr(R)}(R(a), R(b))$

3137
任意の $\mathcal{F}\in gr^{2}(A)$ は定義によって、次のような表示を持つ。
$(fjj)$$0arrow \mathcal{F}arrow\Sigma_{i}A(a_{i})arrow\Sigma_{j}A(b_{j})$ここで、上で見たことによって $f_{ij}\in R_{(b_{j}-a;)}$ である。 この完全列に左完全関手$\Gamma$を施して、次の完全列を得る。
$0arrow\Gamma(\mathcal{F})arrow\Sigma_{i}R(a_{i})arrow^{(f_{ij})}\Sigma_{j}R(b_{j})$これに$\triangle$

を施し、次もまた完全である。
$(f_{ij})$$0arrow\Delta(\Gamma(\mathcal{F}))arrow\Sigma_{i}A(a_{i})arrow\Sigma_{j}A(b_{j})$結局、$\mathcal{F}\simeq\Delta(\Gamma(\mathcal{F}))$が得られた。まったく同様にして、 $M\in gr^{2}(R)$ に対して、 $M\simeq\Gamma(\Delta(M))$ も得られる。 これによって、$\Delta_{2}$は対象の同型類の集合において全単射を与えることが分かる。あと

fully faithfull であることを証明すればよい。すなわち、 $M,$ $N\in gr^{2}(R)$ に対して、次の写像 :$\Delta_{2}$$\Delta_{2}$がから導かれる$Hom_{gr^{2}(R)}(M, N)arrow Hom_{gr^{2}(A)}(\Delta(M), \Delta(N))$

が全単射であることを証明すればよい。 しかし、 これは上記とまったく同じ議論で証明できるのでここでは省略する。実際、から導かれる写像が逆写像になっている。従って、$\Gamma_{2}$$\Gamma_{2}\cdot\Delta_{2}\simeq 1_{gr^{2}(R)^{\text{、}}}\Delta_{2}\cdot\Gamma_{2}\simeq 1_{gr^{2}(A)}$である。
さて、 $n>2$ の場合を考える。

$\Gamma_{2}$は上で見たように完全関手なので、全関手であることに注意する。従って、は互いに逆であったから、注意.

$n\leq 1$$\Gamma_{n}$と$\Delta_{n}$のときには、必ずしも$\Gamma_{2}$は$\Gamma_{n}$$\Gamma_{2}$の $gr^{n}(A)$への制限もまた完: $gr^{n}(A)arrow gr^{n}(R)$ を導くことが分かる。

$\Gamma_{2}$と$\Delta_{2}$についてもそうである。 I$\Delta_{n}$: $gr^{n}(R)arrow gr^{n}(A)$ は圏同値ではない。

記号 14. 以下では 3 $l(\geq 1)$ を $lD$ が integral Cartier divisor になるように取って固定しておく。更
に、 $E=lD$ と書いておく。

注意 15.

$A$の中には $\mathcal{O}_{X}(-E)t^{-l}$ と$\mathcal{F}=\Sigma_{n\in Z}\mathcal{F}_{n}$$\mathcal{O}_{X}(E)t^{l}$が現れることに注意する。特に、 $gr^{1}(A)$ の対象に対して、$\mathcal{F}_{n+l}\simeq \mathcal{F}_{n}\otimes_{O_{X}}\mathcal{O}_{X}(E)$となることに気を付けよう。
定義 16.

(16.1)$\mathcal{K}$

上の

次行列環

$l$

$M_{l}(\mathcal{K})$における$\mathcal{O}_{X}$-order$\Lambda$を次のように定義する。

$\Lambda=(\mathcal{O}_{X}((j-i)D))_{1\leq i,j\leq n}\subset M_{l}(\mathcal{K})$更に、 mod$(\Lambda)$(16.2) 関手$\Phi$

で:coherent 右 A-加群と A-準同型写像からなる圏を表すことにする。

$gr^{1}(A)arrow mod(\Lambda)$

を、$\mathcal{F}=\Sigma_{n\in Z}\mathcal{F}_{n}$に対して、$\Phi(\mathcal{F})=(\mathcal{F}_{0}, \mathcal{F}_{1} , \ldots \mathcal{F}_{l-1})\subset \mathcal{K}^{l}$4

138と定義する。

$\mathcal{F}$が次数付き A-\not\supset \Phi であることから、 これが関手として well-defined であることは容易に分かる。

(16.3) 関手$\Psi$て、 OX-加群: mod $(\Lambda)arrow Gr(A)$ を次のように定義する。任意の $M\in mod(\Lambda)$ と $n\in Z$ に対し$\mathcal{F}_{n}$を$\mathcal{F}_{n}=\mathcal{O}_{X}(aE)\otimes o_{X}Me_{e_{b}}$(但し、 $n=al+b,$$a,$$b\in Z,$

$0\leq b<l$ で、$e_{b}$

は $b+1$ 行 $b+1$ 列成分のみが 1 で他は全部

$0$

という

べき等行列を表す) と置き、$\Psi(M)=\sum_{n\in Z}\mathcal{F}_{n}t^{n}$と定義する。 この時、各整数 $m$ について、自然な写像 :$\mathcal{F}_{n}\otimes_{\mathcal{O}_{X}}\mathcal{O}_{X}(mD)arrow \mathcal{F}_{n+m}$があって、 $\Psi(M)$ は次数付き A-加群になることが分かる。

(16.4) 1 以上の整数$n$について、右 A-加群 $M$ が n-th syzygy であるとは、次のような A-71[11 群の完全列が存在するときをいうことにする。
$0arrow Marrow P_{n-1}arrow P_{n-2}arrow\cdotsarrow P_{0}$

但し、各乃は $\mathcal{O}_{X}(-aE)\otimes o_{X}e_{b}\Lambda(0\leq b<l, a\in Z)$ という形の加群の有限個の直和である。更に、 mod$(\Lambda)$

で、 n-th syzygies のすべてからなる

mod$(\Lambda)$の充満部分圏を表す。

次の事は上記の定義により殆ど明かである。

補題 17.

(17.1)$Z,$$\Phi$

は完全関手で、 $\Phi(A(-n))=\mathcal{O}_{X}(-aE)\otimes_{\mathcal{O}_{X}}e_{b}\Lambda$ が成立する。但し、 $n=al+b,$ $a,$ $b\in$$0\leq b<l$ である。

(17.1)$\Psi$

は完全関手で、$\Psi(\mathcal{O}_{X}(-aE)\otimes_{\mathcal{O}_{X}}e_{b}\Lambda)=A(-(al+b))$$(a\in Z, 0\leq n<l)$が成立する。
系 18. 1 以上の整数

$n$

について、

$\Phi$と$\Psi$

はそれぞれ次のような関手を導く :$gr^{n}(A)arrow?nod^{n}(\Lambda)-$$mod^{n}(\Lambda)arrow gr^{n}(A)$

実際はこれらの関手は圏の同値を与えることが分かる。

5

139
命題 19. 1 以上の整数

$n$

に対して、

$\Psi$$\Phi$、

は圏の同値 :

$gr^{n}(A)\simeq\uparrow nod^{n}(\Lambda)$を与える。

証明: $n=1$ のときに証明すればよいことは明かである。 $M\in mod^{1}(\Lambda)$ に対して、$\Phi\Psi(M)=(Me_{0}, Me_{1}, \ldots Me_{l-1})=M$

に対して、$\mathcal{F}\in gr^{1}(A)$$\Psi\Phi(\mathcal{F})=\sum_{nn\in Z,=al+b}(O_{X}(aE)\otimes_{\mathcal{O}_{X}}\mathcal{F}_{b})t^{n}$$= \sum_{n\in Z,n=al+b}\mathcal{F}_{al+b}t^{n}=\mathcal{F}$となるから、対象同士の対応はよい。射にっいても同様に確かめることが出来る。 I
命題 13 と 19 を併せて次のような定理を得る。
定理 20 .

$n$

注意 21.

$y\in X$が 2 以上の整数の時、 $gr^{n}(R)$ と mod
を $X$ の点、

$q$

を

$y$

は圏同値である。

$(\Lambda)$に対応する $R$ の斉次素イデアルとする。補題 3 の記号の元で、$I_{n}= \bigcap_{x\in\Omega(y)}m_{x}^{-[nr_{x}]}$とおくとき、 A の$y$$(n\in Z)$

における stalk は、$\Lambda_{y}=(I_{j-i})_{0\leq ij<l}$であり、 また、$A_{y}= \sum_{n\in Z}I_{n}t^{n}$となる。 ここで、 $I_{-l}=\mathcal{O}_{X}(-E)_{y}=\mathcal{O}_{X}(E)_{y}^{-1}=I_{l}^{-1}$ であるから、$A_{y}$

は$I_{l}t^{l},$$I_{-l}t^{-l}$を含むことに注意する。そこで、関手 :$\Phi_{y}$: $gr^{1}(A_{y})arrow mod^{1}(\Lambda)$ ;$\sum_{i\backslash }M_{i}t^{i}rightarrow(M_{0}, M_{1}, \ldots M_{l-1})Y$と定義することによって、 命題 19 の証明と全く同じようにして、$\Phi_{y}$は圏同値を与えることが分かる。 この事実と系 5 によって、次の事が証明できる。

補題 22. 上の記号の元で、 もし $R_{(q)}$ が非特異ならば、次の等式が成立する。

gl.dim $(\Lambda_{y})=codim(y, X)$
特に、 $x\in X$ が $X$ の余次元 1 の点であるときには、

6$\Lambda_{x}$はいつでも hereditary である。

140
記号. 以下では、 $d=\dim(X)(\geq 1)$ と書くことにする。 $\dim(R)=d+1$ であることに注意しておく。
また、 mod $(A)$ の充満部分圏で、 Ox-加群としては局所自由であるような右 A-加群全体を対象として持っような圏を $bdl(\Lambda)$ と書くことにする。すなわち、 $bdl(A)$ の対象は右 A-加群としての構造を持っ $X$
上の vector bundle である。

次の事は定義より直ちに出る。
補題 23.

(23.1) もしが孤立特異点を持っならば、 mod $(A)\subset bdl(A)$ である。
(23.2) 一般的には、 $bdl(A)\subset mod^{2}(A)$ である。
$R$

特に、 次の事が分かる。
系 24.
$d=1$

、

または、 $d=2$ で $R$ が孤立特異点を持つならば、$bdl(\Lambda)=mod^{2}(A)\simeq gr^{2}(R)$記号.

上の CM 加群全部からなる $Gr(R)$ の充満部分圏を$R$$\mathfrak{g}\mathfrak{r}\mathbb{C}(R)$で表す。

次の事はよく知られている。
補題 25.

$R$

が孤立特異点を持っ CM 環である場合、次の等式がある。
$\mathfrak{g}rC(R)=gr^{d+1}(R)$系 24 とこれをあわせて、系 26. 補題 25 の仮定の元で、(26.1)(26.1)

もし $d=1$ ならば、

$d=2$ の場合には、$\mathfrak{g}\mathfrak{r}C(R)\simeq bdl(\Lambda)$$\mathfrak{g}\mathfrak{r}C(R)\subset bdl(\Lambda)$

となる。
となる。

これによって、 $X$ が 1 次元の時には、 $R$ 上の次数付き CM 加群の分類は $bdl(\Lambda)$ における分類論に帰着する。
補題 22 で、$\Lambda$は余次元 1 の点においては hereditary であることを見たが、その分岐指数を求めることもできるので、それを注意しておこう。
命題 27 .

$x\in X$ が余次元 1 の点であるとき、$\Lambda_{x}$の$\mathcal{O}_{X,x^{-}}order$

としての分岐指数は、 $Px$ に等しい。

( $Px$ については (1.1) を見よ。)

証明: 簡単のために$\Lambda_{x}=\Lambda_{x}^{0}\otimes\Lambda_{x}^{1}$$m=m_{x}\subset A=\mathcal{O}_{X,x\text{、}}p=Px$ 、 $q=q_{x}$&. 書くことにする。 このとき、と表すことができる。但し、$\mathfrak{n}\iota_{A}^{-[q/p]}$. ..

$\Lambda_{x}^{0}=(_{ttt^{[-(}}\iota \mathfrak{n}_{p}^{A_{-1)q/p]}}[q/p]$7$\mathfrak{n}t^{-[(p-2)q/p]\}}\mathfrak{n}\iota^{-[(p-.1)q/p]}A$

$A_{x}^{1}=(\begin{array}{llll}A |\mathfrak{n}^{-q} \cdots \mathfrak{m}^{-lq/p}\mathfrak{m}^{q} A \mathfrak{m}^{-(l-p)q}/p\cdots \backslash \cdots \cdots A\end{array})$$\Lambda_{x}^{1}$

1g{\acute T-列環 $M_{l/p}(A)$ と同型であるから、であるから、それは直既約な projective

idempotents$\{e_{1}, e_{2}, .

.

:, e_{p}\}$の分岐指数は\Lambda x0 のそれに等しい。

$\Lambda_{x}$$\Lambda_{x^{-}}^{0}$加群の同型類の個数に等しい。そこでを取ったときに、 もし $i\neq i$ なちば、を証明すればよい。 もし、 $i<j$ について、$e_{i}\Lambda_{x}^{0}\simeq e_{j}\Lambda_{x}^{0}$$e_{i}A_{x}^{0}$はもまた hereditary$\Lambda_{x}^{0}$$\Lambda_{x}^{0}$の

orthogonalに同型でないこと$e_{j}\Lambda_{x}^{0}$と仮定すると、整数 $r(0<r<q)$ があって、とならなくてはならない。 しかし、 これはっぎの補題に矛盾することが容易に確かめら$m^{f}e_{i}\Lambda_{x}^{0}=e_{j}A_{x}^{0}$れる。

補題 28. 既約分数 $q/p(p, q\in Z)$ について、関数$\rho$:$Zarrow \mathbb{N}$を次のように定義する。

$\rho(n)=\#\{\nu\in \mathbb{N}|[\nu r]=n\}$このとき、$\rho$(絶対値が最小の) 周期は

の

$q$

に等しい。

証明: 演習問題 I
さて、 以下では常に $X$ は 1 次元 (従って、 $R$ は 2 次元の整閉整域) であると仮定する。 このときに、 圏$bdl(\Lambda)$

いまを解析したい。 この場合には、$\Lambda$を含む

自明なので、$M_{l}(\mathcal{K})$は$\Gamma$$\mathcal{O}_{X}$の$\Lambda$は各点で hereditary であることに注意しておこう (補題 22)。

maximal orderを一っ固定しておく。 このとき、$\Gamma$$\Gamma$Brauer class はのと森田同値である。 すなわち、 次の圏同値がある。
$bdl(\Gamma)\simeq bdl(\mathcal{O}_{X})$

この同値で $X$ 上の vector bundle

定義 29 . 関手$\phi_{\Gamma}$:に対応する $bdl(\Gamma)$ の対象を$\mathcal{F}\in bdl(\mathcal{O}_{X})$$bdl(\Lambda)arrow bdl(\mathcal{O}_{X})$$\mathcal{F}’$を次のように定義する。 $bdl(\Lambda)$ の対象$\mathcal{G}$と書くことにする。
に対して、$\phi_{\Gamma}(\mathcal{G})’=\mathcal{G}\otimes_{\Lambda}\Gamma$$\Gamma$

は A-加群として locally projective なので、であることがわかる。 また、同様の理由で$\mathcal{F}\in bdl(\mathcal{O}_{X})$に対して、$\phi_{\Gamma}^{-1}(\mathcal{F})$\in bdl(r) 、従って、この$\emptyset r$

は well-definedは完全関手である。

$\phi_{\Gamma}$

で、$\mathcal{G}\otimes_{\Lambda}\Gamma$$\phi_{\Gamma}(\mathcal{G})\simeq \mathcal{F}$となる$\mathcal{G}$からなる $bdl,(\Lambda)$ の充満部分圏を表すことにする。

各点 $x\in X$ において、$\Lambda_{x}$が hereditary order であることから、$m_{x}\Gamma_{x}\subset A_{x}\subset\Gamma_{x}$となることが分かる。また、補題 27 によって、 $p_{x}=1$ のときには、
きには $p_{x}=1$ と約束したことを思いだそう。)と、 ($M_{l}(\mathcal{K})$$\Lambda_{x}=\Gamma_{x}$である。 ( $q_{x}=0$ のとそこで、 ideal sheaf $3=\mathcal{O}_{X}(-\Sigma_{p_{x}\neq 1}[x])$ を考えるの中での) 次の包含関係があることが分かる。
$3\Gamma\subset\Lambda\subset\Gamma$

8

142
今、

$\phi_{\Gamma}^{-1}(\mathcal{F})$の対象$\mathcal{G}$をとる。定義と上の事によって、次の包含関係と等式が成立しなくてはならない。

(29.1)$3\mathcal{F}’\subset \mathcal{G}\subset \mathcal{G}\otimes_{\Lambda}\Gamma=\mathcal{F}’$

逆に (29.1) の条件を満たす$\mathcal{G}$はすべて$\phi_{\Gamma}^{-1}(\mathcal{F})$に属する。

$\overline{\Lambda}=A/3\Gamma$

として、さらに modで、$(\overline{\Lambda}, \mathcal{F})$$\{\overline{\Lambda}-module\overline{\mathcal{G}}|\overline{\mathcal{G}}\otimes_{\overline{\Lambda}}\Gamma/3\Gamma\simeq \mathcal{F}’/3\mathcal{F}^{/}\}$を対象として持ち、射としては vector bundleの自己準同型から導かれるものの全体を取ったような$\mathcal{F}$圏とする。結局、次の圏同値が存在することが分かった。

(29.2)$\phi_{\Gamma}^{-1}(\mathcal{F})\simeq mod(\overline{\Lambda}, \mathcal{F})$A は本質的に有限次元多元環であるであるから、 次の定理が得られる。
定理 30 .

$X$

様な圏 rep

rep{

上の vector bundle$(\mathcal{F}, D)$$(\mathcal{F}, D)$$\mathcal{F}$と (1.1) のようにして与えられた $X$ 上の因子 $D$ に対して、次のを考える。

の対象は次のような vector spaces の組である。

$\{V_{x_{t}i}\}|x\in X,$$0\leq i<p_{x}$, 各$V_{x,i}$は $\kappa(x)$ 上の vector space で$V_{x,i}\subset V_{x,i-1}(0<i\leq p_{x})$二っの対象 $\{V_{x,i}\}$ と$\{V_{x,i}’\}$, 更にについてそれらの間の射は、次の条件を満足する$\mathcal{F}\otimes 0_{X}\kappa(x)=V_{x,0}$$\mathcal{F}$の自己準同型$\varphi$}であると定義する。
$(\varphi\otimes\kappa(x))(V_{x,i})\subset V_{x,i}’$(rep$(\mathcal{F}, D)$

は因子 $D$ の係数の分母$p_{x}$と$\mathcal{F}$$(x\in X, 0\leq i<p_{x})$のみによって決まり、 その分子$q_{x}$にはよらないことに注意せよ。) 上記のように定義すると次のような圏同値が存在する。

$\phi_{\Gamma}^{-1}(\mathcal{F})\simeq rep(\mathcal{F}, D)$

証明:Hereditary order の一般論と命題 27 によって、 各点 $x\in X$ において、$\overline{\Lambda}_{x}$は $\kappa(x)$ 上$p_{x}$

次の上半三角行列環と森田同値である。 このことと、上で注意した事によって定理は明かである。 1
最後に、 この定理を使うと次のようなことも証明できるので注意しておく。
系 31. $d=1$ のとき、
$X=\mathbb{P}^{1}$$\mathfrak{g}\mathfrak{r}\mathbb{C}(R)$が (次数のずれを除いて) 有限表現型であるための必要十分条件は、

かっ $P=\{x|p_{x}\neq 1\}$ は高々 3 点で、 もし丁度 3 点ならば次の不等式が成立することである。

$\sum_{x\in P}\frac{1}{p_{x}}>1$$\prime i^{}j$