数理解析研究所講究録 1293 巻 2002 年 144-149

144
擬等角写像と$\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}$の $p$ 葉非有界被覆面のミニマルなマルチン境界

瀬川重男 (Shigeo Segawa)
正岡弘照 (Hiroaki Masaoka)

大同工大 (Daido Institute of Technology)

京都産大 (Kyoto Sangyo University)\S 1.

の $p$ 葉非有界被覆面とし,の上への射影とするでを考察する. $R$ の Martin 境界を(cf. [AS], [F] etc ). $R$ の Martin コンパクト化のミニマルな表すことにする. また $R$ のミニマルな Martin 境界 (すなわち, すべてので表すことにする. 次の結果はよく知られている.
点の全体) を$R$を$\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}$を $R$ から$\pi$$\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}$$\Delta^{R}$$R^{*}$$\Delta^{R}$$\Delta_{1}^{R}$及び {0} と同一視される.
及びはそれぞれ,(i)
上に連続的に拡張される (この拡張を同じ文字 で書くことにす(ii) 射影 は一意にをみたす.
る). さらに,$(\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\})^{*},$$\Delta^{\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}}$$\Delta_{1}^{\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}}$$\hat{\mathrm{C}},$$\{0\}$$R^{*}$

$\pi$

$\pi$

$\pi(R^{*})=\hat{\mathrm{C}}$主定理.
$p=2,3$ とする. $R$ 及ひ $R’$ をへの擬等角写像とする. このとき,ある.

葉非有界被覆面とし, $f$ を$p$$\#\Delta_{1}^{R}=\#\Delta_{1}^{R’}$\S 2.

がなりたつ. ここで,$\#\Delta_{1}^{R}$$R$

はから $R’$ の上$\Delta_{1}^{R}$の濃度で

この節では, いくつかの既知の結果を与える.

を \S 1 で用いた記号と同じものを表すものとする. $D_{0}=\{z\in \mathrm{C}|0<$と及ひ及びがそれぞれ,$|z|<1\}$ 及び九 $=\pi^{-1}(D_{0})$ とおく.
$R,$ $\Delta^{R},$$\Delta_{1}^{R}$

及ひ

$\pi$

$\Delta^{R_{0}}$$\Delta^{R}\cup\partial D$$\Delta_{1}^{R_{0}}$$\Delta_{1}^{R}\cup\partial D$

同一視されることは, よく知られた事実である. ここで, $\partial D=\{|z| =1\}$ は $D=\{|z|<1\}$
を及ひ及びの境界である. それゆえ, 以下では,の代わりに, それぞれ,$\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}$考えることにする.

$g_{0}$$R$$D_{0}$

を $D$ 上の 0 で極をもつ Green 関数とする.

もし
定義 2.1(cf. [B]).
はであるという. ここで,の部分集合 $E$ が 0 で thin
がなりたつならば,の $E$ 及ひ $D$ に関する掃散 (balayage) である.
$D_{0}$$D\hat{\mathrm{R}}_{g0}^{E}\neq g_{0}$$D\hat{\mathrm{R}}_{g0}^{E}$$E$$R_{0}$$g_{0}$

が $D$ の閉部分集合であるときは, $E$ が $0\in\partial(D\backslash E)$ で thin であることと 0 が Dirichlet

問題の意味で,$D\backslash E$の非正則境界点であることとは互いに必要十分であることが知られている.

定義 2.2.

上の実数値可測関数する. 線形偏微分作用素 $L=$
及ひがとれて, すべてのが一様楕円型であるとは 2 つの正定数に対して,$a_{k,:}(k, i\in\{1,2\})$$\Sigma_{k=1}^{2}.\cdot,\partial_{k}(a_{k,i}\partial_{i})$を$\mathrm{C}$$\kappa_{1}$$v=(v_{1}, v_{2})\in \mathrm{R}^{2}\backslash \{(0,0)\}$$\kappa_{1}.\cdot\sum_{=1}^{2}v_{i}^{2}\leq.\sum_{*,k=1}^{2}a_{k,i}v_{k}v\dot{.}\leq\kappa_{2}\sum_{i=1}^{2}v^{2}.\cdot$がなりたつことである.

次の定理は [LSW] から導かれる.

$\kappa_{2}$145の境界点とし,\partial k(ak,i魄賤の部分領域とし, をの非正楕円型線形偏微分作用素とする. このとき, が通常の Dirichlet 問題の意味で,の非則境界点であることと が線形偏微分作用素
に関する Dirichlet 問題の意味で,
正則境界点であることとが互いに必要十分である.
定理 21.

$V$を$\mathrm{C}$$V$$\zeta$$L \ovalbox{\tt\small REJECT}\sum?,k\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$$V$$\zeta$定義 23.
あるならば,$k_{\zeta}$

$V$

$L$

$\zeta$の部分集合 $U$ が 0 を含むとする. このとき, もし$U$ は
0 の細近傍 (fine neighborhood) と ゝう.
$D$$D\backslash U$

が 0 で thin で$\mathrm{A}$を九上ので極をもつ Martin 関数とする.

$\zeta\in\Delta^{R}$を
定義 2.4.
$E$はたつならば,の一点とし, $E$ を九の部分集合とする. もしで minimally thin であるとう.

$\Delta_{1}^{R}$$\zeta$$\zeta$$R_{0}\hat{\mathrm{R}}_{k_{\zeta}}^{E}\neq^{-k}\zeta$

がなり$\mathrm{A}\mathrm{a}$がをの部分集合とする. もし九の一点とし,う.
の minimal fine neighborhood であるとはminimaly thin あるならば,

定義 2.5.

を$\zeta$$U$$\Delta_{1}^{R}$$U\cup\{\zeta\}$

次の定理により,定理 2.2([MS]).
とおく. このとき,$\#\Delta_{1}^{R}$$\backslash U$$R_{0}$$\zeta$で$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\zeta$は細位相によって, 特徴づけられる.

$\mathcal{M}=${ $M|M$ は$D_{0}$の部分領域であって, $M\cup\{0\}$ は $z=0$ の細近傍である}$\#\Delta_{1}^{R}=\max n_{R}(M)M\in\lambda 4^{\cdot}$

ここで, $n_{R}(M)$ は $\pi^{-1}(M)$ の或分の個数であり,

\S 3.

$\pi$

は $R$ から$\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}$の上への射影である.

$p=2$ の場合の主定理の証明.

この節では, $p=2$ の場合の主定理の証明を与える. $R,$ $R’$ 及ひ $f$ を主定理の記号と同じとがなりたつ. よって,記号を表すものとする. [H1] より,とが互いに必要十分であることを証明すれば, 十分である. このことを示すためを示せ
が $R’$ からのとき,には,の上への擬等角写像であるので,の部分領域の場合を考察する. 定理 22 を用いると, 適当なば, 十分である.
が 0 で thin で,の成分が滑らかな Jordan 閉曲線からなり,がとれて, 各$f(\pi^{-1}(U))$ はの部分集合であって, $n_{R}(U)=2$ がなりたつようにできる. $U_{j}(j=1,2)$
を $\pi^{-1}(U)$ の成分とするとき, 各はのコピーと考えられる. gwf(Ujゝ $(j=1,2)$ を $f(Uj)$ととを同上ので極をもつ Green 関数とする. 以後の議論では, 各に対して,をと記すことにする.
はの中に埋め込まれているものとする. この一視して,&こ対して,$\#\Delta_{1}^{R}=2$$1\leq\#\Delta_{1}^{R},$ $\#\Delta_{1}^{R’}\leq 2$$\#\Delta_{1}^{R’}=2$$R$$f^{-1}$$\#\Delta_{1}^{R}’=2$$\#\Delta_{1}^{R}=2$$\#\Delta_{1}^{R}=2$$U$$D_{0}$$U\backslash \{0\}$$D_{0}\backslash U$$R_{0}’$$U_{j}$$U$$w$$U_{j}$$U_{j}$$\mathrm{C}$$\mathrm{C}$$U_{j}$$U$$\mathrm{C}_{j}$$x\in \mathrm{C}_{j}$$\Sigma_{i,k=1}^{2}\partial_{k}(J_{f}(x)(f’(x)^{-1}f’(x)^{-1*})_{k\mathrm{j}}\partial_{j})$$L_{j}=L_{j,x}=\{$$\sum_{=1}^{2}\dot{.}\partial_{i}^{2}$$f’(x),$ $f’(x)^{-1}$ が共 [こ存在するとき,,上の場合以外のときとおく. ここで, $f$ は各 $U_{j}(j=1,2)$ に制限して, 各を内の領域と見なすことによから内の部分領域の中への写像とみなされる $f$ の点 $(x_{1}, x_{2})(x=$
り, $f’(x)$ は$U_{j}$$\mathrm{R}^{2}$$U_{j}$$\mathrm{R}^{2}$$\mathrm{R}^{2}$

146
る微分を表わし, $f’(x)^{-1*}$ は $f’(x)$ の逆行タリ $f’(x)^{-1}$ の転置行タリであり, $(f’(x)^{-1}f’(x)^{-1*})_{k,i}$ は $f’(x)^{-1}f’(x)^{-1*}$ の $(k, i)$ -成分である. また, $J_{f}(x)$のはにおける $f’(x)$ の行列式である.
が擬等角であるので, この線形偏微分$g_{z}^{f(U_{j})}\mathrm{o}f(j=1,2)$[
ま一様楕円型である.
作用素
は $U_{j}(j=1,2)$ 上の $f^{-1}(z)$ で一方,極をもつ線形偏微分作用素
に関する Green 関数である. 0 が通常の Dirichlet 問題の意味で,の一様楕円型であることと 定理 2.1 を用いるの非正則境界点であるので,に関する Dirichlet 問題の意味で,と, 0 がの非正則境界点であることがゎがる.
方, 以下の事実に注意しよう.
$x_{1}+ix_{2},$$f$$(x_{k}\in \mathrm{R}, k=1,2))$&こお$\#^{\backslash }\ddagger$$(x_{1}, x_{2})$$f$$L_{j}$$L_{j}$$U_{j}$$L_{j}$$L_{j}$

によって導かれる harmonic sheaf$L_{j}$$\bullet$–$U_{j}$$\mathcal{H}$を有する$\mathrm{C}_{j}$は Brelot 空間 (Brelot の意味の調和空間) になる ([He 1] 及び [He 2] より, したがう).
$\bullet$

上の通常の細位相とたがう).

$\mathrm{C}_{j}$$\mathrm{C}_{j}$上のよって, x\mapsto gff((xU)jゝ $of(y)(y\in U_{j})$ は$L_{j}$

に関する細位相が同一である (定理 2.1 より, しに関する正値調和関数であり, 任
意の の閉近傍 $U(y)\subset U_{j}$ が対して,は上で, 有界であるので, 上の注意及び [Fu, Theorem 9.15] を用いると, 各 $y\in U_{j}$ に対して,は 0 で, 細極限
上のこの極限関数を
で
をもち,
表すと,
に関して, $(Uj\cup\{0\})\backslash \{y\}$ 上の局所有界な細調和関数である. また,に関する Green 関数の対称性と掃散の特性により, 任意の正数 と任意の
$U_{j}\backslash \{y\}$上の$L_{j}$$x\vdasharrow g_{f(x)}^{f(U_{j})}\mathrm{o}f(y)$$y$$U_{j}\backslash U(y)$$x\vdasharrow g_{f(x)}^{f(U_{\mathrm{j}})}\mathrm{o}f(y)$$F- \lim_{xarrow 0}g_{f(x)}^{f(U_{\mathrm{j}})}of(y)$$g_{f(0)}^{f(U_{j})}of(y)$$U_{j}$$x\mapsto tg_{f(x)}^{f(U_{j})}\mathrm{o}f(y)[]\mathrm{h}L_{j}$$L_{j}$$r$$x\in U_{j}\backslash U_{f}(y)(U_{f}(y)=\{\xi\in \mathrm{C}_{j}||\xi-y|<r\})$

.

$(*)$

$R\mathrm{o}\hat{\mathrm{R}}^{U_{j}\backslash U_{\mathrm{r}}(y)}(z)=\hat{\mathrm{R}}^{U_{j}\backslash U_{r}(y)}R_{0}(x)=g_{f(z)}^{f(U_{\mathrm{j}})}\mathrm{o}f(x)=g_{f(x)}^{f(U_{j})}\mathrm{o}f(z)g_{f(x)}^{f(U_{j})}\mathrm{o}fg_{f(z)}^{f(U_{J})}\mathrm{o}f$$x\vdasharrow g_{f(x)}^{f(U_{j})}\mathrm{o}f(y)$た論法と$L_{j}$

及ひ任意の $z\in U_{f}(y)$ [こ対して,が $(Uj\cup\{0\})\backslash \{y\}$ の上への細連続拡張をもっことを示した論法を少々修正しに関する Green 関数の対称性を用いると,$x\vdash+R_{0}\hat{\mathrm{R}}^{U_{j}\backslash U_{r}(y)}(y)g_{f(x)}^{f(U_{j})}\mathrm{o}f=R_{0}\hat{\mathrm{R}}^{U_{j}\backslash U_{r}(y)}(x)g_{f(y)}^{f(U_{j})}\mathrm{o}f$

は $(Uj\cup\{0\})\backslash \{y\}$ 上で, 細連続になる. 等式 $(*)$ で, $x=0$ における細極限をとると,に関する) $z\in U_{f}(y)$ と関する における Dirac 測度の掃散測度の定義 (関する $U_{f}(y)$ 上の における調和測度) より,$U_{j}\backslash U_{\Gamma}(y)$$z$$L_{j}$$(L_{j}$に$z$$g_{f(0)}^{J(U_{j})} \mathrm{o}f(z)=\hat{\mathrm{R}}^{U_{\mathrm{j}}\backslash (y)}R_{0}U_{r_{\mathrm{o}f}}(z)=g_{f(0)}^{f(U_{j})}\int_{\partial U_{r}(y)}$をうる. ここで, 必$zU_{r}(y),L_{j}$は$L_{j}$

に関する$U_{r}$(y) 上のgff((5ゝ$z$$\mathrm{o}fd\omega_{z}^{U_{r}(y),L_{\mathrm{j}}}$における調和測度を表わすものと$\text{す^{る}.-\text{の式}\#=\text{より},g_{f}^{f(U_{\mathrm{j}})}\mathrm{o}f(y)|\mathrm{h}L_{j}|_{arrow}^{}\text{関}1_{\vee}\text{て},U_{j}\text{上て^{}\theta},\mathrm{j}\mathrm{E}\{\mathrm{E}^{\Rightarrow}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\text{和て}*\text{ある}-\text{と}\mathrm{B}_{>\mathrm{I}_{\vee}_{}^{-\mathrm{B}_{1}^{\theta}}}^{\theta}}\overline{9}.\text{よ}\vee\supset \text{て},g_{0}^{f(U_{j})}=(g_{f(0)}^{f}\mathrm{o}f)\mathrm{o}f^{-1}\text{と}k^{\backslash }\text{くと},g_{0}^{f(U_{j})}\dagger\mathrm{h}f(U_{j})\text{上},$$\mathrm{j}\mathrm{E}\mathrm{f}\mathrm{H}\text{調和^{}-}\mathrm{C}\text{ある}.f(U_{j})\{_{U_{j})}^{0)}$上の正値調和関数肩こ対して,{$S_{j}(h)(x):= \inf$ $s(x)|s$とお$\text{く}$はRa 上で, 正値優調和で, $f(U_{j})$ 上, $s\geq h$ をみたす}. Perron-Wiener-Brelot の手法を用いると,さら [ニ,$f(U_{j}\sim)$$S_{j}(g_{0}^{f(U_{\mathrm{j}})})$

は罵上で, 正値調和である.

上で,$(**)$$S_{j}(g\mathrm{o}(U_{J}))-\mathrm{R}_{\acute{0}}\mathrm{i}_{s_{j}(g_{0}^{f(U_{J})})}^{R_{\acute{0}}\backslash f(U_{j})}=g_{0}^{f(U_{j})}$147
がなりたつ. この等式 $(**)$ の証明は後ほど, 示めすことにして, $p=2$ の場合の主定理の証がなりたつことから, 高々 2 つのミニマルな関
上のミニマルな関数 $h_{j,k}(k=1,2)$
数が存在するので, Martin の表現定理を用いると,上によって,上, $S_{j}(g_{0}^{f(U_{J})})=h_{j,1}+h_{j,2}$ と表される. よって, 等式 $(**)$ を用いると,’上の Green potential であることがわかはのミニマノレな関数がとれて,[まる. したがってに対応するミニマノレな Martin 境界点で, minimally thinである. よって, $f(U_{1})\cap f(U_{2})=\emptyset$ であるので,がなりたつ.
明を続けることにする.

$1\leq\#\Delta_{1}^{R},$ $\#\Delta_{1}^{R’}\leq 2$$R_{0}’$$R_{0}’$$R_{0}’$$R_{0}’$$R_{0\hat{\mathrm{R}}_{h_{\mathrm{J}}}^{R_{\acute{0}}\backslash f(U_{J})}}$$h_{j}$$R_{0}’\backslash f(U_{j})$$h_{j}$$\#\Delta_{1}^{R’}=2$

ここで, 等式 $(**)$ を証明しておく. まず,$f(U_{j})$上で, 次式がなりたつことを注意する.

.

$R_{\acute{0}\hat{\mathrm{R}}^{R_{\acute{0}}\backslash f(U_{j})}=H^{f(U_{j})}}$がなりたつ. したがって, Perron-Wiener定義によって, $f(U_{j})$ 上で,Brelot の意味の一般化された Dirichlet 問題の定義によって, $f(Uj)$ 上で,$S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})\geq g_{0}^{f(U_{\mathrm{J}})}$$S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})-g_{0}^{f(U_{\mathrm{j}})}$$\geq H_{s_{j(g_{0}^{f(U_{j})})}}^{f(U_{J})}$

がなりたつ.
$S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})(x)$$x\in R_{0}’\backslash f(U_{j})$$P(g_{0}^{f(U_{\mathrm{j}})})(x)=\{$$H^{f(U_{\mathrm{j}})}(x)s_{j(g_{0}^{f(U_{j})})}$$x\in f(U_{j})$及び0$V(x)=\{$$g_{0}^{f(U_{j})}(x)$$x\in R_{0}’\backslash f(U_{j})$$x\in f(U_{j})$とおく. このとき, $V$ は罵上の連続な劣調和関数である. よって,

で, 優調和で,$R_{0}’$$S_{j}(g_{0}^{f(U_{\mathrm{j}})})-V$

は罵上

上で,
$S_{j}(g_{0}^{J(U_{j})})\geq V+P(go(U_{j}))$がなりたつ.

この不等式の逆向きの不等式を証明すれば, 等式 $(**)$ を得る. まず, $V+$が上で, 優調和であることをチェックしよう. $V+P(g_{0}^{f(U_{j})})$ は罵上で連続で,上で, $V+P(g_{0}^{f(U_{j})})=$
上で, 調和であることが容易にわかる.
がなりたつ. $f(U_{j})$ 上で,がなりたつので, 任意の$z\in\partial f(Uj)$ に対して, あるを中心とする局所円板がとれて, すべての を中心とする局所円板 $B’(\subset B)$ に対して,$P(g_{0}^{f(U_{j})})$$R_{0}’$$Ra\backslash f(Uj)$$Ra\backslash \partial f(Uj)$$V+P(g_{0}^{f(U_{j})})\leq S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})$$S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})$

$B$

$z$

$z$

$(V+P(g_{0}^{f(U_{j})}))(z)=S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})(z)= \int_{\partial B’}S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})d\mu_{z}^{B’,\overline{B}’}\geq\int_{\partial B’}(V+P(g_{0}^{f(U_{\mathrm{j}})}))d\mu_{z}^{B’,\overline{B}’}$

がなりたつ. ここで,ははにおける通常の位相に関する $B’$ の閉包であり,$V+P(g_{0}^{f(U_{j})})$
及ひ $B’$ に関する通常の意味の調和測度である. したがって,
は $R’$ 上で, 優調$\overline{B}’$$\mu_{z}^{B’,\overline{B}’}$$R_{0}’$

和である. $f(U_{j})$ 上で, $V+PO_{0}^{f(U_{J}}$ゝ)$\geq g_{0}^{f(U_{j})}$がなりたつので,$V+P(g_{0}^{f(U_{j})})\geq S_{j}(g_{0}^{f(U_{j})})$$S_{j}$$z$の定義により, 罵上で,148がなりたつ. したがって,

上で, SR(g (ら))$R\mathrm{a}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} V+P(g\ovalbox{\tt\small REJECT} 4^{(U_{\mathrm{y}})})$がなりたつ. よって, 所求の結果を得る.

\S 4.

$p=3$ の場合の主定理の証明.

$p=2$ の場合の主定理の証明と同じ議論を用いることにより, $\#\Delta_{1}^{R}=3$ の場合は, $\#\Delta_{1}^{R’}=3$がなりたつことがわかる. したがって, 主定理の主張を証明するためには,の場を仮定する. 定理 22 を用及びを示せば, 十分である.
合に,$\#\Delta_{1}^{R}=2$$\#\Delta_{1}^{R’}=2$$\#\Delta_{1}^{R’}=1$$\#\Delta_{1}^{R}=2$がとれて, 各が 0 で thin で, $f(\pi^{-1}(U))$ が線からなり,
みたすようにできる. したがって, $\pi^{-1}(U)$ の成分
いると, 適当な$D_{0}$

の部分領域

$U$

の成分が滑らかな Jordan 閉曲$U\backslash \{0\}$の部分集合であって, $n_{R}(U)=2$ をはのコピーとみなせがとれて,上の で極をもつ Green 関数とする. $p=2$ の場合の主定
る.
を
に関する
に関する Dirichlet 問題の意味で ,の非理の証明と同じ議論を用いることにより, 0 は正則境界点であるので, 細極限
of が存在する. この 上の極限関数を$D_{0}\backslash U$$R_{0}’$$\tilde{U}$$\tilde{U}$$U$$\tilde{U}$$g_{f(z)}^{f(\overline{U})}\mathrm{o}f$$z$$L_{j}$$\tilde{U}$$L_{j}$$\tilde{U}$$\mathcal{F}-\lim_{zarrow 0}g_{f(z)}^{f(\overline{U})}$

gfJ((0U-)ゝ

[こよって表し,
値調和である.
上の正値調和関数$f(\tilde{U})${$S(h)(x):= \inf$ $s(x)|s$ はとお$\text{く}$は$g_{0}^{f(\overline{U})}=(g_{f(0)}^{f(\overline{U})}\mathrm{o}f)\mathrm{o}f^{-1}$$\mathrm{o}f$$R_{0}’$$h$$f(\tilde{U})$とおくと,上で, 正値優調和で,$f(\tilde{U})$がなりたつので,$R_{0}’$$R_{0}’\backslash f(\tilde{U})$上で, 正値調和である.
上で,$R_{0}’$$f(\tilde{U})$$S(g_{0}^{f(\overline{U})R})-\text{\’{o}}\hat{\mathrm{R}}_{s(g_{0}^{f(\acute{U})})}^{R_{\acute{0}}\backslash f(\overline{U})}=g_{0}^{f(\overline{U})}$

上で,は上で, $s\geq h$ をみたす}
は$S(g_{0}^{f(\overline{U})})$$p=2$ の場合の主定理の証明と同じ考察をすることにより,なりたつ. 仮定によって,上で, 正$f(\tilde{U})$に対して,. Perron-Wiener-Brelot の手法を用いると,$(***)$

ゝは$g_{0}^{f(\overline{U}}$$S(g_{0}^{f(\overline{U})})$$S(g_{0}^{f(\overline{U})})$

はただ 1 つのミニマルな調和関数であり, $(***)$に対応するただ 1 つのミニマノレな Martin 境界点

で minimally thin であることがわかる.

0 に到達するの始点 に対しをみたす を考える.
をとる.
て,が非有界であるので, を始点とする のリフト がとれる. このとき,は $\pi^{-1}(U)$ の成分であるので,内にある. また,
ははは九の部分集合であって, は理想境界まで到達する. したがって, これらのことから, 以下のことがなりたつ.
$U$

内の曲線

$\tilde{a}\in\pi^{-1}(a)\backslash \tilde{U}$$\gamma$で,$f(\pi^{-1}(\gamma))\subset R_{0}’$$R_{0}$$\gamma$$\tilde{\gamma}$$\gamma$$\tilde{U}$$\tilde{\gamma}$$R_{0}’$

i)$a$$\gamma$$\tilde{a}$$\tilde{U}$$\backslash \tilde{U}$$f(\tilde{\gamma})$$\tilde{\gamma}$の部分集合である;[ま $R’$ から
は 0 で thin でな 1 , ここで,の上への射影である.
は
事実 i) によって,に対応するミニマルな Martin 境界点で, minima 垣 yはthin である. 他方, 事実 ) 及ひ [MS, Propositon 31] を用いることにより,に対応するミニマルな Martin 境界点で, minimally thin でない. これは矛盾である. よって, 所求の結果を得る.
$\mathrm{i}\mathrm{i})$$f(\tilde{\gamma})$は$R_{0}’\backslash f(\tilde{U})$$\mathrm{a}$$\pi’(f(\tilde{\gamma}))$$f(\tilde{\gamma})$$\pi’$$\hat{\mathrm{C}}\backslash \{0\}$$S(g_{0}^{f(\overline{U})})$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$f(\tilde{\gamma})$

参考文献$S(g_{0}^{f(\overline{U})})$

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瀬川重男

Department of Mathematics
Daido Institute of Technology
Nagoya 457-8530
Japan-mail:segawa@daido it.ac.jp$\mathrm{e}$正岡弘照

Department of Mathematics
Faculty of Science
Kyoto Sangyo University
Kyoto 603-8555
Japan-mail masaoka@cc.kyoto su.ac.jp$\mathrm{e}$