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数理解析研究所講究録第1186巻 2001年 145-150

Conditional Expectations とSampling Functions を巡る函数解析
東京工業大学名詮教授

梅垣壽春 (HISAHARU UMEGAKI)

表記の Conditional Expectations という概念は, 本来は確率論に於ける基本的な部分を形成している. この概念を1953年以来,非可換解析を念頭に置いて展開してきたが, 今回遡ってその構成の—端を振り返りながら, 新たな構成に論を進めたいと思う.

§1. 確率空間上の Conditional Expectations\Omega=(\Omega, \mathcal{L}_{\Omega}, P) を確率空間とし,Bを \mathcal{L}_{\Omega} 上の σ部分集合体とする. 先ず,Bを制限し, 有限な部分集合体とし, その ‘atoms’ 全体をB_{0}=\{B_{12_{l}}B\triangle,\cdots, B_{n}\}としP(A/B_{0})= \triangle\sum_{B\in B0}1_{B}\cdot P(A\cap B)/P(B)(1.1)と置き, これを A\in \mathcal{L}_{\Omega} の条件付確率 (relative to e_{0} ) という. 藪で 1_{B} は B の定義函数である.

更に (複素数値) 確率変数 f に対してE(f/ \beta_{0})=\sum_{0}\triangle B\in B(1_{B}( .)/P(B) \int_{B}f(\omega) P(d\omega)と置き, これを ‘conditional expectation’ of f relative to B_{0} という. 特に f=1_{A}とおくとE(f/B_{0})=P(A/B_{0})となる.

Conditional Expectation E(f/B) に関する基本式は,\forall B\in B に対して

\int_{B}E(f/B)(\omega)P(d\omega)=\int_{B}f(\omega)P(d\omega)(12)であり, この等式 (1.2) が conditional expectation の特性方程式なのである. —般に, B を \mathcal{L}_{\Omega} の— つの \sigma‐部分集合体とする. このとき, \forall f\in L^{1}(\Omega) に対して,

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等式 (1.2) を満たす \mathcal{B}‐可測な確率変数 E(f/B) が—意に存在する (これの証明は
Radon‐Nikodym 定理を用いて行う).

Conditional Expectation に関する基本的性質は次の定理によって与えられる.
定理1.1.

函数空間 L^{p}(\Omega)=L^{p}(\Omega, \mathcal{L}_{\Omega}, P)(1\leq p<+\infty) とし, σ‐部分集合体

B\subset \mathcal{L}_{\Omega} を与える \Rightarrow\exists_{1}E(f/B)\in L^{p} ; 等式 (1.2) を満たす.

定理12.

変換 farrow E(f/B) はL^{p}(\Omega)arrow L^{p}(\Omega, B, P) である射影変換で1^{O} .

||E(f/B)||_{p}\leq||f||_{p}2^{O} .

E(\overline{f}/B)=\overline{E(f/B)}, E(1/B)=13^{O} .

E(fg/B)=E(f/B)\cdot g4^{O}

E(\alpha f+\beta g/B)=\alpha E(f/B)+\beta E(g/B).

,,(g\in L^{\infty}(\Omega)),.

特に, この定理に於いて, p=1 or 2の場合が重要で, 数学的興味が引かれる.

§2. Banach 空間値確率変数
確率空間 (\Omega, \mathcal{L}_{\Omega}, \mu) 上で定義され, Banach 空間 B に値をとる確率変数 f, g,\ldotsを考える. \Omega の有限可測分割 \{A_{j}\}(\subset \mathcal{L}_{\Omega}) と B の元の有限列 \{\xi_{j}\}(\subset B) に対して
\Omega 上の函数

f : f( \omega)=\sum 1A_{j}(\omega)\xi_{j}(a .e. \omega\in\Omega) を simple random variable という.

更に, この様な函数列 \{f_{n}\} によって||f_{n}(\omega)-f(\omega)||arrow 0(a .e. \omega\in\Omega)

である函数 f を strong random variable という.

注. strong convergence の代わりに weak convergence を採用しても同様に定義され (weak random variable), B が可分の場合, 両者 (両可測性) は—致する.
上記の事柄を base にしてstrong random variables f_{)}g,\ldotsの構成する LP‐空間 (1\leqp<\infty) が定義される:| f| _{p}= \triangle(\int_{\Omega}| f(\omega)| p(\mu d\omega) ^{1/}p<+\inftyとし,L^{p}(\Omega;B)=Lp(\Omega, \mathcal{L}_{\Omega}, \mu;B)
とおくと, L^{p}(\Omega;B) はBanach 空間となり ( p=\infty の場合は, ||||_{\infty}=eSssuP||f(\omega)||<\infty) , 次の Tensor 積構成によって表される:

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有限列の対 \{x_{j}\}\subset L^{p}(\Omega) と \{\xi_{j}\}\subset B に対して

\sum_{j=1}^{n}X_{j}\xi_{j}=\sum_{=}\triangle j1nxj(\omega)\xi j(mod \mu)とおく. これは L^{p}(\Omega;B) の要素であり, この形の函数の全体を L^{p}(\Omega)B で表す. これは Banach 空間の対 L^{p}(\Omega) と B の問の pre‐Tensor 積であり, またそれはL^{p}(\Omega;B) の dense 部分空間であり, 且つ L^{p}(\Omega;B) のノルム [|\cdot|]_{p} はcross‐norm になり:[|x\xi|]_{p}=||x| _{p}\cdot||\xi||, x\in L^{p}(\Omega), \xi\in B (cf. Schatten [6]).
これより L^{p}(\Omega)B のノルム [|\cdot|]_{p} に関する完備化が L^{p}(\Omega) と B 問の Tensor

Product Banach 空間 L^{p}(\omega)\otimes B である. 従って 1\leq p<+\infty のとき

L^{p}(\Omega, B)=Lp(\Omega)\otimes Bであり, \forall f\in L^{p}(\Omega;B) は Bochner 可積分である, i.e., 積分値 \int f(\omega)P(d\omega) が Bの要素として—意に存在する. また, indentify \xi=1\xi(\xi\in B, 1=1_{\Omega}.) によって空間 B は L^{p}(\Omega;B) の閉部分空間と見なされ, 写像

f arrow\int f(\omega)P(d\Omega)は norm‐one projection L^{p}(\Omega, B)arrow B (onto) となる.
本論で特に必要且つ有用なのは空間 L^{1}(\Omega;B) と L^{\infty}.(\Omega;B) である. これらに於ける norm は Schatten Tensor 積, ノ)レムの対 N_{\gamma}, N_{\lambda} の記号によって表される:

N_{\gamma}(n \sum_{i=1}x_{i}\xi_{i}I=\inf\sum_{j=1}|y_{j}|\cdot|m|\eta_{j}|N_{\lambda}(_{i1} \sum_{=}^{n}xi\xi_{i}I=\sup\sum_{i=1}^{n}\langle xi, X^{*} \rangle\langle\xi , \xi*\rangle\ovalbox{\t smal REJ CT} に,

inf はi=1}^{n}Xi\xi i=\sum_{j=}^{m}1yj\eta j\},\{\foral y_{j}\in L1(\Omega), \forall\eta j\in B;\sum_{についてとる.

L^{\infty}(\Omega),\forall\xi^{*}\in B(||x^{*}| _{\infty}\leq 1, | \xi^{*} | \leq 1)\}
N_{\gamma}, N_{\lambda} はノルム [|\cdot|]_{p} ( p=1 or \infty ) と—致する:L^{1}(\Omega;B)=L^{1}(\Omega)\otimes_{\gamma}B
L^{\infty}(\Omega)\otimes_{\lambda}B\subset L\infty(\Omega;B)\supは \{\forall x^{*}\in148§3. Conditional Expectations of Strong Random Variables f,g\in L^{1}(\Omega, B)

前 § の記号をそのまま用いる. Strong random variable f,g, \ldots\in L^{1}(\Omega, B),\sigma-subfield B(\subset \mathcal{L}_{\Omega}) とし, f の B に関する B ‐valued conditional expectation \mathcal{E}(f/B)
は次の様に定義される:(i) \mathcal{E}(f/B) は B に関して強可測で, 且つ可積分である, i. e., \mathcal{E}(f/B)\in.‐\cdot

L^{1}.(\Omega, B)\sim

\cdot

.

(ii)

\int_{B}\mathcal{E}(f/B)(\omega)\mu(\omega)=\int_{B}f(\omega)\mu(d\omega) for\forall B\in B .

ただし, (ii) の積分はBochner‐Integral である. この vector valued f の Conditional
Ex’pectation の存在と構成法が問題となる.

これは次の様に示される.
\mathcal{E}(f\xi/B)=E-(f/B)\xi, Jf\in L^{1}(\Omega), \xi\in B
r_{つまり} ,,f=f\xi の場合に (i), (ii) を適用, これを linear‐hull に拡大し, 更にSchatten ノルム N_{\gamma} の性質を用いて, 一般の f\in- L^{1}(\Omega, B) に対して ConditionalExpectation \mathcal{E}(f/B) が構成される.

以上のように,B ‐valued

f に対して通常の Radon‐Nikodym 定理と Tensor 積を組み合わせることによって, vector‐valued な conditional expectation \mathcal{E}(\cdot/\cdot) が構成される.

B‐valued Conditional Expectation が定義されると, strong Random variables が構成する Martingale 解析が展開される. Martingales は Conditional Expectationsの有向系によって構成きれ, これの収束定理が B ‐valued \sigma‐additive測度に対するRadon‐Nikodym 定理の特性化に発展する.
§4. Sampling Functions S_{\lambda} と空間 BL_{\lambda}

表記の函数 S_{\lambda} は Entropy 論と共に Shannon 情報理論の支柱と云われる.
Fix された実数 \lambda>0 に対して, 函数

S_{\lambda}(t)=\{ begin{ar ay}{l 2\lambda\frac{sin2\pi\lambdat}{2\pi\lambdat}(\neq0,-\infty<t \infty) 2\lambda(t=0) \end{ar ay}
が Sampling Function である. これの Fourier 変換は\ovalbox{\t \small REJECT}(\omega)=1_{1^{-\lambda},\lambda]}(\omega) (=区間 [-\lambda, \lambda] の定義函数)\hat{S}_{\lambda}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2i\omega t}S\pi(\lambda t)dt

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この Sampling function は様々な, 数学的に興味ある性質をもっている. 例えば

S_{\lambda}*S_{\lambda}(t)= \int S_{\lambda}(t-S)S_{\lambda}(S)dS=S_{\lambda} (t)=S_{\lambda}(-t)=S_{\lambda}^{*}(t),\varphi_{n}(t)=\triangle(2\lambda)^{-1}S\lambda(t-n(2\lambda)^{-1})\{\varphi_{n}\}=\{\varphi_{n}(\cdot);n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\} は Sampling 函数系という. Hilbert 空間 BL_{\lambda}(=\{f\in L^{2}(-\infty, '\infty);\hat{f}(\omega)=0(|\omega|>\lambda)\}) に於いて, \{\varphi_{n}\} `は CONS (完全正規直交系) となる. この CONS \{\varphi_{n}\} を用いて Fourier 展開すると, Shannon の Sampling
展開定理が得られる.

§5. Sampling Functions A l\lrcorner Conditional Expectation ノ\\forall\lambda>0 に対して,Hilbert 空間 L^{2}(R) との射影作用素 P_{\lambda} が対応する:

P_{\lambda}f=S_{\lambda^{*}}f(\lambda>0).

これを用い, \forall A\in \mathfrak{U}(L^{2}) ( L^{2} 上の bounded operators の全体) に対しA^{P_{\lambda}}=\triangle E[A/P_{\lambda}]=\triangle P_{\lambda}AP_{\lambda}+(1 -P_{\lambda})A(1-P_{\lambda})\mathfrak{U}_{\lambda}=\{A^{P_{\lambda} ; A\in \mathfrak{U}\}\triangle
とおくと, operation Aarrow A^{P_{\lambda}} , i.e.

A\in \mathfrak{U}(L^{2})ar ow A^{P_{\lambda}}\in \mathfrak{U}_{\lambda}が得られるが, これに関して次の関係式が成立する:(A^{P_{\lambda}}B)^{P_{\lambda}}==

P_{\lambda}(A^{P}\lambda B)P_{\lambda}+(1-P_{\lambda})(AP_{\lambda}B)(1- P_{\lambda})
P_{\lambda}(P_{\lambda}AP\lambda B)P_{\lambda}+P_{\lambda}(1-P_{\lambda})A(1-P_ {\lambda})BP_{\lambda}+(1-P_{\lambda})(P_{\lambda}AP_{\lambda}+(1-P_{\lambda})A(1-P\lambda)B(1- P_{\lambda})=

A^{P_{\lambda}}B^{P_{\lambda}}==

P_{\lambda}AP_{\lambda}BP_{\lambda}+O+O+(1-P_{\lambda})A(1-P\lambda)B(1- P_{\lambda})(P_{\lambda}AP_{\lambda}+(1-P_{\lambda})A(1-P_{\lambda}))(P\lambda BP\lambda+(1 -P_{\lambda})B(1-P_{\lambda}))P_{\lambda}AP_{\lambda}BP_{\lambda}+(1-P_{\lambda})A(1-P\lambda)B(1-P_{\lambda} )(A^{P_{\lambda}}B)^{P_{\lambda}}=A^{P_{\lambda}}B^{P_{\lambda}}= (AB^{P_{\lambda}})^{P_{\lambda}}(A^{*})^{P_{\lambda}}=(A^{P_{\lambda}})^{*},(\alpha A+\beta B)^{P_{\lambda}}=\alpha A^{P_{\lambda}}+\beta B^{P_{\lambda}}が成立する. 実は, これはvon Neumann Algebras に於ける conditional expectationの典型的な model である, i.e.,A^{P_{\lambda}}=E[A/P_{\lambda}]=E[A/\mathfrak{U}_{\lambda}]
である.

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付記

von Neumman algebras 上の Conditional Expectations の—般的構成は論文 [11]の I で導入したが, 2つの New‐Concept を発展して [11] の II, III, IV などと共に,非可換確率や, von Neumann 観測理論情報理論などを目標とした展開がなされている. Reference に列記した論文は何れもそれに関わるものである.

これにより, 作用素系 \{A^{P_{\lambda}} ; \lambda\in R, \lambda>0\} の martingale の論述に関与していくテーマが予想される.

References

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[13] 梅垣壽春, 情報数理の基礎, サイエンス社, 1995年.

[14] 梅垣壽春, Sampling functions の Fourier Spectral 解析, 京都大学数理解析研究所, 1999
年6月.