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投稿■

内惑星の華麗なダンス～驚くような軌道傾斜の妙味～
加藤
1. はじめに賢一（星学館）

水星位置(2020年1月－6月）
10動がとり上げられることがある。筆者もその一つの試みとして火星の位置データから軌道黄緯差高等学校レベルで扱える教材として惑星運

0

要素を求める手法を本誌に紹介したことがあ-10る[1]。

-20
東-100
黄経差

1020

西30

この種の教材の対象には火星が選ばれることが多く、水星や金星に注目する場合は最大

図1離隔を使う場合がほとんどで、内惑星に正面水星、2020 年 1 月～6 月

太陽に対する相対的な位置切って取り組むような教材が少ないように感じられる。プトレマイオスやコペルニクスが金星位置(2019-2020年）

水星には手を焼いたことが知られているから、10らも、少し気になった。そこで、水星と金星の運行を少し調べてみたので、教材開発の試

黄緯差

きっと教材には向かないのだろうと思いながみとしてご報告したい。

0-10-40-20東2. 太陽からの離角

図2

水星と金星の位置データは理科年表などの
暦 に あ る が 、 こ こ で は [1] と 同 様 に Van
Flandern & Pulkkinen（1979）[2]の手法を用いて計算することにした。これは計算精度が数分と、精度は低いが、一応、惑星間の摂動も考慮されている。
これで太陽との黄経差と黄緯差を求めた結果を図示しておこう。天文年鑑等で毎年紹介されているようなものと同じである。図 1 と図 2 に短期間の変化を示したが、これからでもいろいろなことを考えさせられる。2000 年
前、これを提示されたらどのような系を考えるだろうか。
図 3 と図 4 はもう少し長い期間（2001 年から 2020 年まで）の様子を計算した結果である。

020黄経差40西金星、2019 年～2020 年

いかがだろうか。何とも複雑で、しかも、いとも華麗な動きを見せている。初めて見た時、間違いではなかろうかと思ったほどである。
これをどのように解釈したら良いか。惑星軌道と地球軌道との組み合わせである。ある面上を動きまわる１点からもう１つの面上の点を見ているだけで、こんな複雑な軌跡ができるものだろうか。
水星図 3 を見ると、まず黄道面に対し非対称で、黄緯差は-5°から+4°に分布している。
しかし、水星の軌道面は黄道面と太陽で交差しているのだから、短期間ではそのように見えることがあったとしても長期間では平均化

天文教育 2020 年 9 月号（Vol.32 No.5）

奇数ページのヘッダーは原稿タイトルされて対称的になるべきではなかろうか。

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外れで（太陽で交差しなければならない）、うまくいくわけはなかった。

水星位置

それはさておき、円軌道上を巡る惑星と地(2001年－2020年）

球の組み合わせでこうした動きをどこまで説

黄緯差5明できるだろうか。
03. モデル計算の手続き-5-30-20-100201030

黄経差

図3

ここで、簡単化のため軌道を円で近似し、それが傾斜しているとして黄経、黄緯を求めてみることにした。

水星、2001 年～2020 年

金星位置 (2001-2020年）

黄緯差

100-10-40-2002040

図5

軌道の概念図黄経差

図4金星、2001 年～2020 年

金星図 4 では軌跡の系列が２つあるように見える。どのような視点の移動を考えればこうなるのだろうか。
1900 年前、プトレマイオスは惑星運行論を作る時、ヒッパルコスらが行った西方、東方最大離隔時のデータ（図 1－4 で言えば両端点のデータ）だけを用いて、途中の軌跡を想像しながらそのメカニズムを考えた。さすがの彼にも十分難しく、この問題がアルマゲス
ト[3]の最後の 13 巻に残されたことから推察されるように、残念ながら、素直に納得できような理論は作れなかった。プトレマイオスの地球中心説における惑星軌道は誘導円とその上に乗っている周転円の２つから成っていて、誘導円は地球を含む軸で黄道面と交差するとした（地球中心なるがゆえに他に選択肢がなかった）から、今から見れば根本的に的

図５で中心が太陽、点線で描いた円が水星、金星の軌道で、中心 C が太陽からずれた離心円とする。E が地球で、黄道面上の円軌道を回る。黄道面上に xy 座標軸をとり、図のように z 軸を考える。それぞれは一様回転するとし、距離は天文単位で計る。
・軌道と位置初め、太陽を原点とする。
地球の位置（𝑥𝑥𝐸𝐸 , 𝑦𝑦𝐸𝐸 ,𝑧𝑧𝐸𝐸 ）：偏角は𝜔𝜔0 𝑡𝑡と、時間 t に比例する。𝜔𝜔0 = 360°/𝑃𝑃（𝑃𝑃 = 365.25 日)である。
𝑥𝑥𝐸𝐸cos 𝜔𝜔0 𝑡𝑡
�𝑦𝑦𝐸𝐸 � = � sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 �𝑧𝑧𝐸𝐸0(1)惑星の原点位置（𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 ,𝑧𝑧0 ）：太陽からの距

離を𝑟𝑟0 、偏角（近日点黄経）を𝜃𝜃0 とする。
𝑥𝑥0𝑟𝑟0 cos 𝜃𝜃0
�𝑦𝑦0 � = �𝑟𝑟0 sin 𝜃𝜃0 �𝑧𝑧00

天文教育 2020 年 9 月号（Vol.32 No.5）

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これで惑星の黄経𝜆𝜆、黄緯𝛽𝛽が得られる。
惑星の位置（𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ,𝑧𝑧1 ）：原点から惑星までの距離を𝑟𝑟、偏角を𝜔𝜔𝑝𝑝 𝑡𝑡としておく。𝜔𝜔𝑝𝑝 = 360°/

𝑃𝑃で、水星では𝑃𝑃 = 88 日、金星で𝑃𝑃 = 225 日。
𝑥𝑥0𝑟𝑟 cos 𝜔𝜔𝑝𝑝 𝑡𝑡
𝑥𝑥1
�𝑦𝑦1 � = � 𝑟𝑟 sin 𝜔𝜔𝑝𝑝 𝑡𝑡 � − �𝑦𝑦0 �𝑧𝑧0𝑧𝑧10(3)・太陽の黄経と惑星との差
太陽の黄経は−𝜔𝜔0 𝑡𝑡であることから、黄経差𝜆𝜆 + 𝜔𝜔0 𝑡𝑡、黄緯差𝛽𝛽を求めることができる。

4. モデル計算の結果－水星

以上の手続きにより、計算を行った例を図6、図 7 に掲げる。軌道長半径は 0.39、離心・昇交点まで座標回転（𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ,𝑧𝑧2 ）率は 0.21、傾斜角は7°、近日点黄経77°、昇交

軌道面が傾斜する軸となる交点まで向くよ点黄経48°というパラメータを考慮した。

うに軌道面を回転させることとし、その角度ように、 z 軸の周りに𝜆𝜆0 だけ回転させる座標回転で行う。

𝑥𝑥2
cos 𝜆𝜆0�𝑦𝑦2 � = � sin 𝜆𝜆0
𝑧𝑧20−sin 𝜆𝜆0
cos 𝜆𝜆000 𝑥𝑥10� �𝑦𝑦1 �1 𝑧𝑧1

水星位置 (モデル計算）
10

黄緯差を𝜆𝜆0 （昇交点黄経）とする。それは、以下の(4)0-10-30

図6-20

昇交点・降交点を結ぶ交点線で軌道傾斜角𝑥𝑥20− sin 𝑖𝑖 � �𝑦𝑦2 �𝑧𝑧2
cos 𝑖𝑖(5)0-20-100

102030

黄経差ことにし、(5)式から(1)式を引く。

図7

水星、10 年間のモデル計算

細部を除き、ほぼ図 1、図 3 の雰囲気を再(6)現している。図 3、図 7 に見られる２重構造は離心の効果で、最大離角に大きな差がある

以 上で(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)座 標 系で の位置 が 得ら れ たので、次の操作によってこれを極座標系
𝑥𝑥4
𝑅𝑅 cos 𝛽𝛽 cos 𝜆𝜆𝑦𝑦� 4 � = � 𝑅𝑅 cos 𝛽𝛽 sin 𝜆𝜆 �𝑧𝑧4
𝑅𝑅 sin 𝛽𝛽30

水星位置 (10年間）-30

視点を地球に置くため、原点を地球に移す(𝑅𝑅, 𝜆𝜆, 𝛽𝛽)へ変換する。

20-5・原点を地球に移動（𝑥𝑥4 , 𝑦𝑦4 ,𝑧𝑧4 ）𝑥𝑥3𝑥𝑥𝐸𝐸𝑥𝑥4
�𝑦𝑦4 � = �𝑦𝑦3 � − �𝑦𝑦𝐸𝐸 �𝑧𝑧3𝑧𝑧4𝑧𝑧𝐸𝐸

105黄緯差𝑥𝑥310�𝑦𝑦3 � = �0 cos 𝑖𝑖
𝑧𝑧30 sin 𝑖𝑖

0
黄経差

水星、半年分のモデル計算

・軌道の傾斜（𝑥𝑥3 , 𝑦𝑦3 ,𝑧𝑧3 ）𝑖𝑖だけ回転させることにしよう。

-10ことに符合していて、これはこれまで知られてきたことである。また、黄経差の上下幅の大きさは軌道傾斜角によるもので、これも予想通りであった。顕著に目立っていた黄緯の(7)上下の非対称性は近点離角と昇交点黄経の効果であった。昇交点黄経を0°に設定した場合の結果を図 8 に示しておいた。

天文教育 2020 年 9 月号（Vol.32 No.5）

奇数ページのヘッダーは原稿タイトル

6. おわりに

水星位置 (公転離角＝0°）5

黄緯差－5－このような複雑な運行となるのは惑星の摂動の影響があるからではないか、と当初疑っ0たが、豈図らんや、２つの惑星の単純な組み合わせの結果に過ぎなかった。軌道面が傾斜-5-30-20-100102030黄経差

図8しているだけでこれだけのバラエティが生じるのである。幾何学的な効果の華やかなこと

水星、昇交点黄経を0°に設定した場に今更ながら驚いてしまった。
プトレマイオス[3]は金星が図２のように合のモデル計算

波打つかのように動くことから、軌道面が振動するとして運行論を作っていった。地球は5. モデル計算の結果－金星
金星の軌道長半径は 0.72、離心率は 0.07、動かないとしているから、運行の原因を各惑

傾斜角は3.4°、近日点黄経132°、昇交点黄経77°星が全て担うことになり、複雑な運行論になとなっている。これらに基いた計算結果が図った。私たちには太陽中心という見方があっ9、図 10 である。て、この複雑な動きを造作なく再現できたことを確認したい。

金星位置 (2年分のモデル計算）

ここで用いた数学は三角関数、極座標表示、

10黄緯差座標回転、行列などである。座標回転は少し高級かもしれないが、その他は高校数学の範0囲である。数値計算には表計算ソフトが使え-10-40-2002040たいと思っている。

黄経差

図9るだろうし、教材化を図って戴ければありが金星、２年分のモデル計算

最後に、原稿の改善に大変有益なコメントをお寄せくださいました査読者中串孝志氏に感謝申し上げます。

金星位置 (10年のモデル計算）

黄緯差

10文

献

[1]加藤賢一（2019）、天文教育普及研究会 会
誌 161 号、p.5．

0[2]Van Flandern, T. C., & Pulkkinen, K. F.（ 1979）-10ApJS, 41:391．
-40-2002040

黄経差

図 10

金星、10 年間のモデル計算

金星の振る舞いも水星に同じで、軌道要素が異なることで結果に違いが生じているだけ[3]薮内清訳（1982）プトレマイオス著『アルマゲスト』、恒星社厚生閣．
加藤賢一

keirumba@aria.ocn.ne.jpのことである。
天文教育 2020 年 9 月号（Vol.32 No.5）