数理解析研究所講究録 1292 巻 2002 年 162-178

162
フレッドホルム部分多様体の平均曲率ベクトル&
アンチケーラーフレッドホルム部分多様体の複素フォーカル半径
小池直之 (Naoyuki Koike)

東京理科大 (Science University of Tokyo)

1. 序
本稿では、 ヒルベルト空間はすべて可分なものとする。 リーマンヒルベルト多様体の基本的な研究は 1960 年代になされた。 (を参照のこと)。 しかしながら、 無限次元リーマン幾何学は単独ではその後しばらく発展しなかった。 その主な理由として、 興味深い研究対象の欠如があげられる。 その後、 1980 年代後半に$[\mathrm{L}],[\mathrm{P}],[\mathrm{S}1],[\mathrm{S}2]$. Terng ([Te2]) によってヒルベルト空間内で興味深い部分多様体のクラスとして
固有フレッドホルム部分多様体という概念が次の 2 条件 (F),(P) を満たす余次元有限な部分多様体として定義された。
(F) その法指数写像の各点での微分はフレッドホルム作用素になる。
(P) その法指数写像の勝手な半径の法ボールバンドルへの制限は固有写像になる。
条件 (F) は各法方向の形作用素がコンパクト作用素になることを保証し、 条件
は外の点からの 2 乗距離関数がパレ. スメール条件を満たすことを保証する。 それゆえ、 そのフォーカル状況が比較的良い状態にあり、 また、モース理論によりその位相を調べることができる。 さらにそのクラスのサブクラスとして等径部分多様体を有限次元の場合と同様に定義した。 また、 コンパクト半単純リー群 $G$ に対し、 parallel
接続の空間
transport 写像と呼ばれる、 白明な $G$ バンドル $[0, 1]\cross G$ ののリー代数) から $G$ へのリーマンサブマージョンを定義した。 このサブマー(佳 :ジョンを と表す。 ここで、 $G$ には両側不変なリーマン計量を与え、には、 $G$ のリーマン計量を誘導する佳の Ad(G) 不変な内積に関する内積を与える。
固有フレッドホルム部分多様体の例は現在までのところそれほど豊富には構成されていないが、. Terng と G. Thorbergsson([TeTh]) はコンパクト型対称空間内の固有にはめ込まれた部分多様体から次のように固有フレッドホルム部分多様体を構成から $G/K$ への自できることを示した。 $N=G/K$ をコンパクト型対称空間、 を然な射影、 :([0, 1], 佳)\rightarrow G を parallel transport 写像とする (parallel transportをと表す。 このとき、写像の定義については第 5 章を参照のこと)。 さらに、
$N$ 内の固有にはめ込まれた部分多様体 $M$ に対し、
は
内の固有
$M$
が固有にはめ込まれていなくても、
フレッドホルム部分多様体になる。 ここで、はフレッドホルム部分多様体 (条件 (F) のみを満たす部分多様体) になるこ$\mathrm{C}.\mathrm{L}$$(\mathrm{P},)$$H^{0_{-}}$$H^{0}([0,1], \text{佳})$$G$$H^{0}([0,1], \text{佳})$$\phi$$L^{2}$$\mathrm{C}.\mathrm{L}$$\pi$$\phi$$G$$H^{0}$$\pi\circ\phi$$\tilde{\phi}^{-1}(M)$$\overline{\phi}^{-1}(M)$とを注意しておく。

$\overline{\phi}$$H^{0}([0,1], \text{佳})$163
空間内の固有フレッドホルム部分多様体とする。 1993 年、 C.Kingの法ベクトル に対し形作用素.Terng([KiTe]) は、のスペクトラムをー\mu 1$\overline{hI}$をヒルベル$1\backslash$$\overline{M}$$\mathrm{C}.\mathrm{L}$$A_{v}$$v$$-/l_{2},‘\leq\cdots<0<\cdots$$\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{1}$確定する) ときその極限値を$A_{v}$

として$\lim_{sarrow 1-0}(\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_{i}^{s}-\sum_{i=1}^{\infty}$の (正則化された)$1\backslash$\mu 科が存在する (有限レースとよび、 D3Aゎと表した。 ここで、 A。のスペクトラムが有限個のとき大きいる。 各法ベクトル I こ対し$\leq$$i$に対し $\lambda_{i}=\mu_{i}=0$ とすを
が存在するとき、 その平均曲率ベクトル場を (–jE 則$v>$ $(\forall v\in T^{[perp]}M)$ によって定義し、 $H_{\zeta}=0$ となるときが一定のとき $M$ をが超曲面で化可能な) 極小部分多様体と呼んだ。 また、
超曲面と呼んだ。 さらに、 コンパク 半単純り一群 $G$ 内の固(正則化可能な)$H_{\zeta}$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{\zeta}A_{v}$$\overline{M}$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{\zeta}A_{v}=<H_{\zeta},$$\overline{M}$$||H_{\zeta}||$$\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{C}$$|\backslash$

有にはめ込まれた部分多様体 $M$ に対し、 $M$ が極小であることと $\phi^{-1}(M)$ が極小であることが同値であること、 および、 $M$ が超曲面の場合、 $M$ が CMC であることと$\phi^{-1}(M)$ が CMC であることが同値であることを示した。 ここで、は上述の paralleltransport 写像を表す。
のスの法ベクトル に対し
最近、 筆者 ([K1]) はフレッドホルム部分多様体
ペク
ラムを $\{\lambda_{i}|i=1,2, \cdots\}$ (or $\lambda_{i}=-\lambda_{i+1}>0$ ) とし、 各 の重複$\phi$$\overline{M}$$v$$|\lambda_{\mathrm{i}}|>|\lambda_{i+1}|$$|\backslash$

度を m。としてとよび、 Tr対し$\lambda_{i}=0$$\sum_{i=1}^{\infty}$$A_{v}$$\lambda_{i}$mi\lambda 。が存在する (有限確定する) ときその級数値を A。のトレースと表した。 ここで、とする。

$A_{v}$$A_{v}$のスペクトラムが有限個のとき、 大きい(注) このトレースのとり方は、 フーリエ展開$i$に$e_{\lambda}>e_{\lambda}(\{e_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$$x= \lim_{karrow\infty}\sum_{\lambda\in\Lambda_{k}}<x,$:正規直交基底, $\Lambda_{k}=\{\lambda\in\Lambda||<x, e_{\lambda}>|>\frac{1}{k}.\})$ に類似している。
各法ベクトル$v$

に対し Tr $A_{v}=0$ となるとき、に対し Tr$\overline{M}$を (形式的) 極小部分多様体と呼んが存在するとき、 その平均曲率ベクトル場$H$を–[KiTe] にならって 1 $A_{v}=<H,$ $v>(\forall v\in T^{[perp]}M)$ によって定義することがでの CMC 性を $||H||$ が一定という条件により定義すること
き、 $M$ が超曲面のとき、だ。 ここで、 各法ベクトル$v$$A_{v}$$\overline{M}$ができることを注意しておく。 コンパクト型対称空間 $G/K$ 内の curvature adaptedの形作用素のスペクトラムを $M$ の主曲率らと $G/K$
部分多様体 $M$ に対し、
(0 以外は点スペクトル) にのルートらを用いて明確に記述し、 また、 各スペク
対する固有空間を $M$ の主曲率に対する固有空間と $G/K$ のルート空間を用いて明確が極小である
に記述した。 そしてその記述を用いて $M$ が極小であることと$\overline{\phi}^{-1}(M)$$|\backslash ’\mathrm{s}$$\overline{\phi}^{-1}(M)$ことが同値であることを示した。
一方、 最近、 E.Heintze-X.Liu-C Olmos([HLO]) は、 フレツドホルム部分多様体の法ベクトノレとして$\sum\infty$(\lambda 。

$v$のスペクトラムをー\mu 1 $\leq-\mu_{2}\leq\cdots<0<\cdots\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{1}$) が存在する (有限確定する) ときその級数値を Aゎの (正則化され(こ対し$-\mu_{i}$$\overline{M}$$A_{v}$$i=1$のスペクトラムが有限個のとき大が存在するとき、 そ
きい に対し $\lambda_{i}=\mu_{i}=0$ とする。 各法ベクトル に対し$v>(\forall v\in T^{[perp]}M)$ によって定義し、をの平均曲率ベクトル場
た)$|\backslash$

レースとよび、$D_{r}A_{v}\text{と}$表した。 ここで、$i$$A_{v}$$v$$H_{r}$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{r}A_{v}=<H_{r},$$\mathrm{T}\mathrm{r}_{r}A_{v}$$H_{r}$

164の CMC 性を定義した。
が超曲面のときに、$V$
さらに、 ヒルベルト空間から有限次元リーマン多様体 $N$ への極小ファイバーをもつリーマンサブマージョン に対し、 $N$ 内の部分多様体 $M$ の極小性と $\psi^{-1}(M)$ の極小性が同値であること、 および、 $N$ 内の超曲面 $M$ の CMC 性と $\psi^{-1}(M)$ の CMC性が同値であることを示した。

を用いて$\overline{M}$の極小性、 および、$\overline{M}$$\overline{M}$$\psi$(注) コンパク$|\backslash$

作用素 $A$ で$\mathrm{T}\mathrm{r}_{\zeta}A\neq \mathrm{T}\mathrm{r}A$または$\mathrm{T}\mathrm{r}_{\zeta}A\neq \mathrm{T}\mathrm{r}_{r}A$となる例を構成できる。

問題フレッドホルム部分多様体
で、 丑,るような法ベクトル を許容するものが存在するか$\overline{M}$$A_{v}\neq \mathrm{H}A_{v}$または$\mathrm{T}\mathrm{r}_{\zeta}A_{v}\neq \mathrm{T}\mathrm{r}_{r}A_{v}$

とな

$v$

$\mathrm{C}.\mathrm{L}$. Terng と G. Thorbergsson([TeTh]) は一般の対称空間内で equifocal 部分多様体という概念を定義した (この定義に関しては第 2 章を参照のこと)。 これはユーク

リッド空間内の等径部分多様体および球面、 双曲空間内の等径超曲面を一般化した概念である。 彼らは次の結果を示した。
定理

をコンパクト型対称空間内の大域的平坦かつアーベル的な法
バンドルをもっコンパクト部分多様体とする。 このとき、 $M$ が equifocal 部分多様$M$$\mathrm{A}([\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{T}\mathrm{h}])$体であることと$\tilde{\phi}^{-1}(M)$

このように、 コンパクの各連結成分が等径部分多様体であることは同値である。
$|\backslash$型対称空間内の equifocal 部分多様体の研究は、 ヒルベル

空間内の等径部分多様体の研究に還元できる。 E. Heintze と X.
は、 (無限次元) ヒルベルト空間内の余次元 2 以上のフルかつ既約な等径部分多様体が (外在的に) 等質であることを示した。 これは、 有限次元の場合の G. Thorbergsson の結果の無限次元版である。 ただし、 有限次元の場合は余次元 3 以上でなければならないことを注意しておく。 U. Christ([C]) は、 コンパクト型対称空間内の余次元 2 以上の既約な equifocal 部分多様体が等質であることを、 parallel transport 写像を通じて$|\backslash$$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{u}([\mathrm{H}\mathrm{L}2])$

Hcintze-Liu の結果を用いて示した。
[TeTh] のオープンプロブラムの 1 つに次の問題があった。
Terng-Thorbergsson の問題非コンパク$|\backslash$型対称空間内の equifocal 部分多様体に対し、 類似した理論を展開することができるか ?

最近、 筆者 ([K2]) はこの問題に取り組みいくつかの結果を得た。 $N=G/K$ を
非コンパク 型対称空間とする。 コンパク 型対称空間の場合を模倣して、 parallel$|\backslash$$|\backslash$([0, 1], 9)(こを、 自明な $G$ バンドル $[0, 1]\cross G$ のある種の接続の空間
れは擬ヒルベル 空間になる) から $G$ への擬リーマンサブマージョンとして定義しtransport 写像$H^{0}$$\phi$$|\backslash$

を $G$ から $G/K$ への自然な射影として、と表す。 また、 擬ヒルベル空間内で、 フレッドホルム部分多様体、 実等径部分多様体、 複素等径部分多様体
およびプロパー複素等径部分多様体という概念を定義した。 複素等径部分多様体お
た。

$\pi$

$\pi\circ\phi$を$\tilde{\phi}$$|\backslash$

よびプロパー複素等径部分多様体という概念を定義する必然性は、 擬ヒルベルト空間内のフレッドホルム部分多様体の形作用素はその (実) 固有ベク 1\’ からなる正規165
直交基底をもつとは限らず、 それゆえ、 より一般にその複素化のスペクトラムを取り扱う必要があるからである。 各 (複素) スペクトルの逆数を複素フオーカル半径と呼ぶことにした。 さらに、 非コンパクト型対称空間内で、 複素 equifod 部分多様体という概念を定義した。 この概念を定義する必然性は、 一般に完備な負曲率多様体

内の部分多様体の形作用素の各固有値に対しそれに対応すべきフオーカル点が無限の彼方へ消えてしまう、 つまり、 対応すべきフオーカル半径が実数の範囲では実在しないことがあり、複素数の範囲に広げてフォーカル半径 (これを複素フオーカル半径と呼ぶことにした) を定義しなければならないからである。 [K2] において、 次の結果を得た。

([K2]) $M$ を非コンパクト型対称空間内の大域的平坦かつアーベル的な法バのンドルをもつ部分多様体とする。 このとき、 $M$ が equifocal であることと定理$\mathrm{B}$$\overline{\phi}^{-1}(M)$

各連結成分が実等径的であることは同値である。
また、 非コンパクト型対称空間 $N$ 内の curvature adapted 部分多様体 $M$ に対し、の複素化された形作用素のスペクトラムを $M$ の形作用素のスペクトラムと$\overline{\phi}^{-1}(M)$$N$の (制限) ルート系を用いて明確に記述した。 その応用として次の結果を得た。

([K2]) $M$ を非コンパクト型対称空間 $G/K$ 内の大域的平坦かつアーベル的な法バンドルをもつ curvature adapted 部分多様体とする。 このとき、の各連結成分が複素等径的であるこ(i) $M$ が複素 equifocal であることと定$\not\in \mathrm{g}$$\mathrm{C}$$\overline{\phi}^{-1}(M)$とは同 (直である。

(ii) $M$ が複素 equifocal で、 かつ、各単位法ベクトル ( の基点を $gK$ とする) に対し、となるルート) らが 方向の主曲率でないことと、( :$v$$\pm\alpha(g_{*}^{-1}v)$$\overline{\phi}^{-1}(M)$$\alpha$$\alpha(g_{*}^{-1}v)\neq 0$

$v$

$v$

の各連結成分がプロパー複素等径的であることは同値である。

また、擬ヒルベルト空間内のフレッドホルム部分多様体に対し、 (形式的) extremalityを定義し、非コンパクト型対称空間 $G/K$ 内の curvature adapted 部分多様体 $M$ が極が (形式的)extremal であることが同値であることを示した。
小であることと複素等径部分多様体と複素 equifocal 部分多様体は、 前述の如く共に複素フオーカ
ル半径という概念 ([K2] で定義した) をベースにして定義される。 複素フオーカル半$\overline{\phi}^{-1}(M)$

径はそれに対応すべきフオーカル点が実在しないので仮想的な概念である。 そこで、
複素フォーカル半径の幾何的実質を掴む必要がある。 その実質を掴むためには外の空間である擬ヒルベルト空問および非コンパクト型対称空間のある種の複素化を定
義し、 それに伴ってそれらの複素化された空間内で元の空間内の部分多様体の複素化を定義すべきと筆者は考え、 今回、 擬ヒルベル 空間 $V$ の複素化として、 無限次を、 非コンパクト型対称空間 $G/K$ の複素化として、 アン
元アンチケーラー空間を考え、 $V$ および $G/K$ 内の (外在的) 等質な部分多様
チケーラー等質空間
内の等質な部分多様体) を定義し
体 $M$ に対し、 その複素化 Mc(これはた。 (有限次元) アンチケーラー多様体内のアンチケーラー部分多様体および無限次
元アンチケーラー空間内のアンチケーラーフレツドホルム部分多様体に対し、 複素$|\backslash$$V^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$V^{\mathrm{c}},$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$166
フォーカル半径の概念をそのフォーカル点と 1 対 1 対応する概念 (っまり、 幾何学的に実質的な概念) として定義した。 そして、 $M$ の複素フォーカル半径 ([K2] で定義しの複素フォーカル半径 (今回定義したもの) が一致することを示した。
たもの) とこのように $M$ の仮想的であった複素フォーカル半径の幾何学的実質をのフォ–カル点として掴むことができるのである。
$M^{\mathrm{c}}$$M^{\mathrm{c}}$問題 $V$ および $G/K$ 内の等質でない部分多様体 $M$ に対し、 その複素化を定義する
ことができるのか

さらに、無限次元アンチケーラー空間内で複素等径部分多様体、および、 プロパー複素等径部分多様体という概念を定義し、また、上述のアンチケーラー等質空間内で複素 equifocal 部分多様体の概念を複素フォーカル半径を用いて定義した。 非コンパクト型対称空間 $G/K$ に対し、 parallel transport 写像
を、 自明な Gc-バンド
ル $[0, 1]$のある種の接続の空間([0, 1], 佳 c)(これは([0, 1], 佳) の複素化であへのアンチケーラーサブマージョン
り無限次元アンチケーラー空間となる) からと自然な射影との合成をとして、 次の結として定義した。
:$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$\phi^{\mathrm{c}}$$H^{0}$$\cross G^{\mathrm{c}}$$H^{0}$$G^{\mathrm{c}}$$\pi^{\mathrm{c}}$$\phi^{\mathrm{c}}$$\overline{\phi}^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}arrow G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$

果を得た。

([K3]) $M$ を非コンパクト型対称空間内 $G/K$ の複素化内の大域的平坦かつアーベル的な法バンドルをもつアンチケーラー部分多様体とする。 このとき、の各連結成分が複素等径的である(i) $M$ が複素 equifocal であることと定理$\mathrm{D}$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$(\overline{\phi}^{\mathrm{c}})^{-1}(M)$ことは同 (直である。

(ii) $M$ が curvature adapted であるという条件下で、 $M$ が複素 equifocal で、 かつ、ととする) に対し、各単位法ベクトル ( の基点を:の各連結成分がプロパーなるルート) らが 方向の 主曲率でないことと、
$v$

$J$

$v$

$\pm\alpha(g_{*}^{-1}v)(\alpha$$gK^{\mathrm{c}}$$v$$\alpha(g_{*}^{-1}v)\neq 0$$\tilde{\phi}^{\mathrm{c}-1}(M)$

複素等径的であることは同値である。
この応用として、 次の結果が得られる。
$\mathrm{E}([\mathrm{K}3])M\text{を非コンパクト型対称空間内}$ $G/K$ 内の大域的平坦かつアーベル的
定–$\mathrm{I}\Sigma$

な法バンドルをもつ等質部分多様体とする。 このとき、 $M$ が複素 equifocal である
こととの各連結成分が複素等径的であることは同値である。
$\overline{\phi}^{-1}(M)$

このように、 非コンパクト型対称空間内の複素 equifocal 部分多様体の研究は、–

般に、 無限次元アンチケーラー空間内の複素等径部分多様体の研究に還元されることが期待される。 複素等径部分多様体について、 次の事実が示される。
$\mathrm{F}([\mathrm{K}3])(M, J)\text{を無限次元アンチケ^{ー}ラ^{ー}空間}$
定–$\mathrm{I}\mathrm{E}$分多様体とし、分布とし、 をのとき、 大きい$v_{i}$$\{\lambda_{i}|i\in I\}$$\lambda_{i}$

$i$

に対し

$J$

$E_{i}$$E_{i}$$\lambda_{i}$$\lambda_{i}=0$(i) $(M, x)$ のフォーカル点の全体は、 複素超平面の和(ii)

内のプロパー複素等径部をに対する J-主曲率-主曲率の全体とし、主曲率法ベクトルとする。 ここで、 J-主曲率が有限個とする。 このとき、 次の (i), (ii) が成り立つ。

をそのに対する $J$$(V,\tilde{J})$$\infty\bigcup_{i=1}(x+\lambda_{i}(x)^{-1}(1))$

は、 $M$ 上全測地的 (それゆえ積分可能) であり、 その各葉は、となる。

$(V,\overline{J})$

内の半

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(これは $M$ 上一定) の複素球面になる。 このようにをもつ複素球面からなる ( $M$ 上の) 葉層構造を定める。

径$\ovalbox{\tt\small REJECT}.\varphi$$E_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$|\lambda_{7}(v_{7})|$は、 互いに同じ半径

2. Equifocal 部分多様体および複素 equifocal 部分多様体
この章では、 対称空間内のいくつかの部分多様体のクラスを紹介する。 $M$ を対称
空間 $G/K$ 内のはめ込まれた部分多様体とする。 $M$ が curvature adapted であるとは、 その各法ベク$|\backslash ’\mathrm{s}v$に対し、 $R(\cdot, v)v$ が $M$ の接空間を保ち、 形作用素 A。と可換であることを意味する。 ただし、 $R$ は $G/K$ の曲率テンソルを表す。 この概念は 1993
年に J. Berndt と L. Vanhecke によって定義された。 実空間形内の任意の部分多様体、 複素空間形内のケーラー部分多様体および generic(特に、 ラグランジュ) 部分多様体、 任意の対称空間内のイソトロピー表現の主軌道らは、 curvature adapted である。 また、 curvature adapted 部分多様体の (半径一定の) チューブは再び curvature

adapted である。 次に、 部分多様体 $M$ の equifocal を説明することにする。 $M$ がequifocal であるとは、 次の 2 条件が成り立つことである。
$\prime \mathrm{E}$の法バンドルは大域的平坦かつアーベル的である。
(E-i)
方向のフォーカル半径ら(E-ii) $M$ の各平行単位法ベク |‘’ 場 に対し、$M$が各々 によらず (つまり、上で) 一定である。
$\Lambda,I$$\tilde{v}_{x}(x\in M)$$\tilde{v}$$x$

この概念は 1995 年 (こ. Terng と G. Thorbergsson([TeTh]) (こよって定義された。
次に、 複素フォーカル半径の定義を述べることにする。 を $M$ の点 $x=gK$ におけ$\mathrm{C}.\mathrm{L}$$v$

る法ベクトルとし、 \gamma ゎを$Y(\mathrm{O})=X(\in T_{x}M),$$\gamma_{v}’(\mathrm{O})=v$を満たす測地線とする。

に沿うヤコビ場 $Y$ で、$\gamma_{v}$$Y’(0)=-A_{v}X$ を満たすものは$Y(s)=(P_{\gamma_{v}1_{[0,s]}}\circ(D_{sv}^{co}-sD_{sv}^{si}\circ A_{v}))(X)$

によって与えられる。 ここに、(はに沿う平行移動を表し、 また、
れる $T_{x}.M$ の線形変換である。
$Y’(0)=\overline{\nabla}_{v}Y,$$P_{\gamma_{v}1_{[0,s]}}$$\gamma_{v}|[0,s]$(ad : 佳$\gamma_{v}$: $G/K$ のリーマン接続) であり、

$D_{sv}^{co},$$D_{sv}^{\mathrm{c}o}=g_{*}\circ\cos(\sqrt{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}(sg_{*}^{-1}v))\circ g_{*}^{-1}$

このように、$\overline{\nabla}$

は各々次式によって定義さ$D_{sv}^{si}=g_{*} \circ\frac{\sin(\sqrt{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}(sg_{*}^{-1}v))-}{\sqrt{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}(sg_{*}v)}\circ g_{*}^{-1}$$:=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}G$に沿うフオーカル半径は$D_{sv}^{si}$の随伴表現)$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(D_{sv}^{co}-sD_{sv}^{si}\circ A_{v})\neq\{0\}$

となる実数

$s$

として捕らえられる。 $G/K$ が非コンパク 型の場合、となる複素数 も幾何学的量として取り扱うべきであると筆者 ([K2]) は考え、 そのおよびは、 各々、量を複素フオーカル半径と名づけた。 ここに、,$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(D_{zv}^{co}-zD_{zv}^{si}\mathrm{o}A_{v}^{\mathrm{c}})\neq\{0\}$$|\backslash$$z$$D_{zv}^{\mathrm{c}o}$$D_{zv}^{si}$$(g_{*}\circ\cos(\sqrt{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}(zg_{*}^{-1}v))\circ g_{*}^{-1})|_{T_{x}M}(:T_{x}Marrow(T_{x}G/K)^{\mathrm{c}}),$$A_{v}^{\mathrm{c}}$$(g_{*} \mathrm{o}\frac{\sin(\sqrt{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}(zg_{*}^{-1}v))-}{\sqrt{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}(zg_{*}v)}\mathrm{o}$の複素化を表す。 $G/K$ がコンパクト型のとき、複素フオーカル半径はすべて実数となり、 フオーカル半径以外のものはないことを注意しておく。 (店 ) を $G/K$ の直交対称リー代数とし、$g_{*}^{-1})|_{T_{x}M}$$(:T_{x}Marrow(T_{x}G/K)^{\mathrm{c}})$$\sigma$および$A_{v}$$\mathfrak{p}:=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\sigma+\mathrm{i}\mathrm{d}),$$\mathrm{f}:=$

168
とする。

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\sigma-\mathrm{i}\mathrm{d})$$\mathfrak{p}$は、 $T_{eK}G/K$ と同一視される。 また、を含むある極大アーベル部分空間の事実が成り立つ。

p=h+\mbox{\boldmath $\alpha$}\in \Sigma \triangle +p。を、$v$に関するルート空間分解とする。 このとき、 次$\mathfrak{h}$補題 2.1([K2]) $A_{v}X=\lambda X$ かつ g*-1X\in p。となる $X(\neq 0)$ が存在するとする。 このが成り立つ。
(i) $|\lambda|>|\alpha(g_{*}^{-1}v)|=0$ ならば、とき、 次の$(\mathrm{i})\sim(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$は$\frac{1}{\lambda}$の場合にも、 同様のことが言える。
(ii) $|\lambda|>|\alpha(g_{*}^{-1}v)|>0$ ならば、$\gamma_{v}$に沿うフォーカル半径である。

– 7$g_{*}^{-1}X\in \mathfrak{h}$$( \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\tanh\frac{\alpha(g_{*}^{-1}v)}{\lambda}+j\pi\sqrt{-1})(j\in \mathrm{Z})$に沿う複素フォーカル半径である。
-l)(iii) $|\lambda|<|\alpha(g_{*}^{-1}v)|$ ならば、 – I-(arctanh\mbox{\boldmath $\alpha$}(g\lambda *-L)+(j+D\pi $\sqrt$$(j\in \mathrm{Z})$はは$\gamma_{v}$$\gamma_{v}$に沿う複素フオーカル半径である。

複素フォーカル半径を用いて次の概念を定義した。 前述の条件 (E-i) と次の条件(CE) を満たす非コンパクト型対称空間内の部分多様体を複素 equifocal 部分多様体と呼ぶことにした。

(CE)の各平行単位法ベクトル場 に対し、 $\tilde{v}_{x}(x\in M)$ 方向の複素フォーカル半
径らが各々 によらず (つまり、 $M$ 上で) 一定である。
$\mathit{1}1l$$\tilde{v}$$x$3. ヒルベルト空間内の等径部分多様体
この章では、 ヒルベルト空間内のいくつかの部分多様体のクラスを紹介する。 $M$ を
ヒルベルト空間 $V$ 内の固有フレッドホルム部分多様体とする。序章で述べた通り、 固有フレッドホルム部分多様体の形作用素 Aゎは、 コンパク
そのスペク$|\backslash$

作用素になる。 それゆえ、

ラムは $\{0\}\cup\{\lambda_{i}|i=1,2, \cdots\}(|\lambda_{i}|>|\lambda_{i+1}|$ また (ま $\lambda_{i}=-\lambda_{i+1}>0$$(i=1,2, \cdots))$$v$$|\backslash$という形で与えられ、 しかも、 各$\lambda_{i}$の重複度は有限である。

$\lambda_{i}$を方向の第 主曲率と呼ぶ。
$i$(注) 0 が$A_{v}$の唯一の連続スペクトルであり、他は点スペクトル (つまり、 固有値) である。

方向の主曲率の個数 (も可) が $x\in M$ によ
方向の第 主曲率を対応させることにより $M$
上の関数が得られる。 この関数を $M$ の 方向の第 主曲率関数と呼ぶことにする。
次の 2 条件が成り立つとき、 $M$ は等径部分多様体と呼ばれる。
の単位法ベク トル場 に対し、らず一定であるとき、 各 $x\in M$ に$M$$\tilde{v}$$\tilde{v}_{x}$$i$$\tilde{v}_{x}$$i$$\tilde{v}$(I-i) $M$ の法バンドルは大域的平坦である。
(I-ii) $M$ の各平行単位法ベクトル場 に対し、方向の主曲率の個数が $x\in M$ によ
方向の各主曲率関数が $M$ 上で一定である。
$\tilde{v}$らず一定であり、$\tilde{v}$$\infty$$\tilde{v}_{x}$ここで、 条件 (I-ii) は次の条件と同値であることを注意しておく。

169(I-ii’) $M$ の各平行単位法ベクトル場$\tilde{v}$に対し、 $A_{\overline{v}_{x}}(x\in M)$ らが直交的に同値で

ある。
$M$

を等径部分多様体とする。 $M$ の 1 点$x_{0}$

を固定する。

$T_{x_{0}}M=\overline{\bigoplus_{i\in I}E_{i}^{x_{0}}}$を $A_{v}(v\in$上の線形関数らの共通固有空間分解とする。 このとき、らがはの恒によって定義される。 ここに、を等変換を表す。
を満たすの平行切断とする。 このとき、$M$ の任意の点に対し、 $T_{x}M$ の分解
で、$T_{x}^{[perp]}M)$$\lambda_{i}^{x_{0}}(i\in I)$$T_{x_{0}}^{[perp]}M$$\mathrm{i}\mathrm{d}$$A_{v}|_{E_{i}^{x_{0}}}=\lambda_{i}^{x_{0}}(v)\mathrm{i}\mathrm{d}(v\in T_{x_{0}}^{[perp]}M)$$T^{[perp]}M^{*}$$\lambda_{i}(x_{0})=\lambda_{i}^{x_{0}}$$\lambda_{i}$$E_{i}^{x_{0}}$$x$$T_{x}M=\overline{\bigoplus_{i\in I}E_{i}^{x}}$$A_{v}|_{E_{i}^{x}}=(\lambda_{i}(x))(v)\mathrm{i}\mathrm{d}(v\in$となるものが存在する。 $E_{i}(x)=E_{i}^{x}$ によって定義される $M$ 上の接分布
はは全測地的となる。 $\lambda_{i}(i\in I)$ らは等径部分多様体 $M$ の主曲率と呼ばれ、に対する主曲率分布と呼ばれる。 $M$ の点 におけるフォーカル集合 (フォーカ
の超平面
となる。
ル点の全体) は、 超平面の和$T_{x}^{[perp]}M)$$E_{i}$$E_{i}$$x$$\lambda_{i}$$\lambda_{i}(x)^{-1}(1)$$T_{x}^{[perp]}M$$\bigcup_{i\in I}(x+\lambda_{i}(x)^{-1}(1))$

に関するリフレクション $R_{i}^{x}(i\in I)$ らによって生成される群は固有不連続群になり、
ィ$M\mathit{0}\supset \text{アフ}$$\nearrow^{\text{、}}$$\text{コクス}\ovalbox{\tt\small REJECT}-\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{\backslash }$(f、 77 ィ$\text{ある}\mathrm{A}^{\mathrm{a}}$$\nearrow^{\text{、}}$

本質的に $x\in M$ のとり方によらない。 ここで、$(j\in I)$$U\triangleleft’J\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{\backslash }$) と呼ばれる。 この群は、$R_{j}^{x}( \bigcup_{i\in I}\lambda_{i}(x)^{-1}(1))=\bigcup_{i\in I}\lambda_{i}(x)^{-1}(1)$が成り立つことを注意しておく。

4. 擬ヒルベルト空間内の複素等径部分多様体
この章において、 [K2] で定義した擬ヒルベルト空間、 擬リーマンヒルベルト多様体、 擬ヒルベルト空間内のフレッドホルム部分多様体および複素 (および実) 等径部

分多様体の概念を紹介する。 $V$ を無限次元実ベクトル位相空間とし、 $<,$ $>$ を $V$ の非退化内積で連続なものとする。 $V$ の直交分解, >lv-x いが負定値、 $<,$ $>|_{V\cross V}++$ が正定値であるようなものを、 $V$ の直交時空分解と呼ぶことをにする。 $V$ の直交時空分解 $V=V_{-}\oplus V_{+}l-$ 対し、 $V$ の (正定値) 内積 $<,$
は、 $V$ から$<,$ $>_{V}:=-\pm\pi_{V_{-}}^{*}<,$ $>+\pi_{V_{+}}^{*}<,$ $>$ によって定義する。 ここで、がヒルベルへの直交射影を表す。 $V$ の直交時空分解
ト空間になり $<,$の定める距離位相が $V$ の元の位相と一致するようなものが存在するとき、 $(V, <, >)$ を擬ヒルベルト空間と呼ぶ。 次に、 擬リーマンヒルベルト多様体の定義を述べることにする。 $M$ を、 ヒルベルト空間 $(V, <, >_{V})$ をモデル空$(k \geq 1)$ ヒルベルト多様体とする。 $M$ の各点における接空間 $T_{x}M$ は間とする$V$ と同一視され、の定める距離位相をもつ。 $<,$ $>$ を、 $M$ の $(0, 2)$
それゆえく,が非次テンソルバンドル $T^{*}M\otimes T^{*}M$ の切断で、 $M$ の各点 に対し、 $<,$
退化内積で連続になっているようなものとする。 もし、 $M$ の各点 に対し、 のある近傍 $U$ 上の 2 つので次の条件を満たすものが存在するとき、接分布$(\Lambda/I, <, >)$ を
擬リーマンヒルベルト多様体と呼ぶ。
$V=V_{-}\oplus V_{+}\text{て^{}\backslash }\backslash <$”$>_{V}\pm$$V_{\pm}$$\pi v_{\pm}$$V=V_{-}\oplus V_{+}\vee C_{\text{、}^{}\backslash }\backslash (V, <, >_{V_{\pm}})$$>_{V}\pm$$C^{k}$$x$$>_{V}$$C^{k}$$x$$>_{x}$$x$$C^{k}$$W_{+},$$x$$W_{-}$$C^{k}$

(PRH)

$U$

内の各点

$(T_{?/}M, <, >_{y,W})\pm\nu$

$y$

に対し、

$W_{\pm y}$

が $(T_{y}M, <, >_{y})$ の直交時空分解を与え、が $(V, <, >_{V})$ に等長的である。

170
擬リーマンヒルベルト多様体とみなされる。
ヒルベルト多様体 $M$ から擬ヒルベルト空間 $(V, <, >_{V})$ への

擬ヒルベル
$f$

を

$C^{k}$$|\backslash$

空間は$C^{\omega}$$C^{k}$

はめ込

擬リーマンヒルベルト多様体になっているとき、みとする。 $(M, f^{*}<, >_{V})$ が$(V, <, >_{V})$ 内 0)
れ
) (あるいは、 単に $M$ ) を(nI, $f^{*}<,$.
$C^{k-1}$
擬リーマンヒルベルト部分多様体と呼ぶ。 以下、 $k=\infty$ とする。 さらに、
\text{フレ}}$ッ
codilllM $<\infty$ で次の条件が成り立つとき、 $M$ を $\underline{(V,<,>_{V})\text{内}\mathit{0}\supset$C^{k-1}$$_{arrow}’$$f\#arrowarrow \text{よっ^{}-}Tl2;\text{め^{}\backslash }\mathrm{J}\underline{\wedge}\text{ま}$$>_{V}$$\text{ト^{}\backslash ^{\backslash }},\tau_{\text{、}J\mathrm{s}\text{ム}^{}-}$

部分多様体と呼ぶ。

(F) 直交時空分解 $V=V_{-}\oplus V_{+}$ で、 $(V, <, >v_{\pm})$ がヒルベルト空間になり、 かつ、の各法ベクトル に対し形作用素
るようなものが存在する。

$M$

$v$

$A_{v}$が $f^{*}<,$$>v_{\pm}$

に関しコンパクト作用素にな

以下、 $M$ を擬ヒルベルト空間 $(V, <, >v)$ 内のフレッドホルム部分多様体とする。

その形作用素

$A_{v}$のスペクトラム (ま $\{0\}\cup\{\lambda_{i}|i=1,2, \cdots\}(|\lambda_{i}|>|\lambda_{i+1}|$ または$\lambda_{i}=-\lambda_{i+1}>0(i=1,2, \cdots))$と呼ぶ。 また、$A_{v}$また (ま$|\mu_{i+1}|$

えられる。

$\mu_{i}$

”

を

$v$

の複素化

$A_{v}^{\mathrm{c}}$$|\mu_{i}|=|\mu_{i+1}|$という形で与えられる。

$\lambda_{i}$を$v$方向の第 主曲率$i$のスペクトラムは、 $\{0\}\cup\{\mu_{i}|i=1,2, \cdots\}(|\mu_{i}|>$
かつ $\arg\mu_{i}<\arg\mu_{i+1}$ ” $(i=1,2,$$\cdots)$) と$|_{\sqrt}\mathrm{a}$う形で与方向の第 複素主曲率と呼ぶ。 次の条件が成り立つとき、 $M$ を$i$

実等径部分多様体と呼ぶ。
の法バンドルが大域的平坦であり、 $M$ の各平行単位法ベク |‘’ 場 l こ対し、方向の実主曲率の個数が $x(\in M)$ によらず一定であり、 方向の各実主曲率関数(RI)$\Lambda I$$\tilde{v}$$\tilde{v}$$\tilde{v}_{x}$が $M$ 上で一定である。

また、 次の条件が成り立つとき、 $M$ を複素等径部分多様体と呼ぶ。

(CI) $M$ の法バンドルは大域的平坦であり、 $M$ の各平行単位法ベクトル場 に対し、方向の複素主曲率の個数が $x(\in M)$ によらず一定であり、 方向の各複素主曲率$\tilde{v}$$\tilde{v}$$\tilde{v}_{x}$関数が $M$ 上で一定である。

さらに、 次の条件が成り立つとき、 プロパー複素等径部分多様体と呼ぶ。

(PCI)の各単位法ベクトル に対し、の基点) の擬正規直交基底が存在する。
$M$

ここで、

$v$

$T_{x}M^{\mathrm{c}}$の擬正規直交基底とは、$A_{v}^{\mathrm{c}}$の固有ベクトルからなる$T_{x}M^{\mathrm{c}}$の

1 次独立系$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$$T_{x}M^{\mathrm{c}}(x$:$v$

で次の 2 条件を満たすもののことである。
(こ対し、 $|<f_{*}e_{i},$ $f_{*}e_{j}>_{V}^{H}|=\delta_{\hat{i}j}(j=1,2, \cdots)$ となる(i) 各
は $<,$の定めるエルミート内積を表す。
する。 ただし、 $<,$
$i\in \mathrm{N}$$>_{V}^{H}$

(ii)
$M$

を

$2\in \mathrm{N}$が存在$>_{V}$$\bigoplus_{i=1}^{\infty}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}11\{e_{i}\}=T_{x}M^{\mathrm{c}}$をプロパー複素等径部分多様体とする。 $M$ の 1 点$A_{v}^{\mathrm{c}}(v\in T_{x}^{[perp]}M)$$\mu_{i}^{x_{0}}(i\in I)$

らが$x_{0}$

を固定する。

$T_{x_{0}}M^{\mathrm{c}}=\overline{\bigoplus_{i\in I}E_{i}^{x_{0}}}$らの共通固有空間分解とする。 このとき、上の線形関数によって定義される。 ここに、 id$A_{v}^{\mathrm{c}}|_{E_{i}^{x_{0}}}=\mu_{i}^{x_{0}}(v)\mathrm{i}\mathrm{d}(v\in T_{x_{0}}^{[perp]}M)$$T_{x_{0}}^{[perp]}M^{\mathrm{c}}$171は$E_{i}^{x_{0}}$の恒等変換を表す。

を $\mu_{i}(x_{0})=\mu_{i}^{x_{0}}$ を満たす (TlMc 戸 の平行切断とす$\mu_{i}$る。 このとき、 $M$ の任意の点

$x$

に対し、

$T_{x}M^{\mathrm{c}}$の分解$T_{x}M^{\mathrm{c}}=\overline{\bigoplus_{i\in I}E_{i}^{x}}$で、$Aarrow|_{E_{i}^{x}}=$となるものが存在する。 $E_{i}(x)=E_{i}^{x}$ によって定義される $M$
は、全測地的となる。 $\mu_{i}(i\in I)$ らはプロパー複素等径部分多様体$(\mu_{i}(x))(v)\mathrm{i}\mathrm{d}(v\in T_{x}^{[perp]}M^{\mathrm{c}})$上の複素接分布$kI$$E_{i}$の複素主曲率と呼ばれ、$E_{i}$

は$\mu_{i}$に対する複素主曲率分布と呼ばれる。

5. Parallel transport 写像
$G$

をコンパク

$|\backslash$

半単純リー群とし、 佳を $G$ のリー代数とする。

$\text{佳}$には$\mathrm{A}\mathrm{d}(G)$不変

な内積を与え、 $G$ にはその内積から導かれる両側不変なリーマン計量を与える。 自の接続の空間([0, 1], 佳) から $G$ への写像 を次の明な $G$ -バンドル $[0, 1]$$\cross G$$H^{0}$$H^{0}-$$\phi$

ように定義する。

$(\begin{array}{lllll}g_{u} .

. . . . . . $(*)$$(u\in H^{0}([0,1], \text{佳}))$$\phi(u):=g_{u}(1)$g_{u}(0)=e k_{\mathrm{c}}^{\mathrm{Y}}[\mathrm{O}^{\backslash ^{\backslash }} \epsilon_{\grave{\{}ffi 7_{\sim}’Tg_{u*}^{-1}g_{u}’=u}\backslash \mathrm{k}J\triangleright\wedge^{\backslash ^{\backslash }}J\triangleright|\backslash |J -ffl^{\backslash }H^{1}([0,1],G)\mathit{0}\supset\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }\end{array})$(まの単位元、 (ま g。の速度ベクトノレ場、transportの要素を表す。 は–G$(t\in[0,1])$ によって定義される

ここで、 は$e$$\mathrm{G}$$(g_{u*}^{-1}g_{u}’)(t)=L_{g_{u}(t)_{*}}^{-1}(g_{u}’(t))$$g_{u*}^{-1}g_{u}’$$g_{u}’$$H^{0}([0,1], \text{佳})$$\phi$$\mathit{0}\supset \mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}$写像と呼ばれる。

補題$\underline{5.1([\mathrm{K}\mathrm{i}\mathrm{T}\mathrm{e}])}\phi$はリーマンサブマージョンになる。

ヒルベルトリー群 $H^{1}([0,1], G)$ は$g*u:=\mathrm{A}\mathrm{d}(g)u-g’g_{*}^{-1}$$H^{0}$( $[0,1]$ , 佳) に次のように作用する。

$(g\in H^{1}([0,1], G), u\in H^{0}([0,1], \text{佳}))$この作用はいわゆるゲージ変換の接続への作用であることを注意しておく。 $\Omega_{e}(G):=$$\{g\in H^{1}([0,1], G)|g(0)=g(1)=e\},$ $P(G, e\cross G):=\{g\in H^{1}([0,1], G)|g(0)=e\}$とおく。 このとき、 次の事実が成り立つ。

補題$\underline{5.2([\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{T}\mathrm{h}])}(\mathrm{i})H^{1}([0,1], G)$の $H^{0}([0,1], \text{佳})$ への上述の作用は等長的である。

に推移的かつ自由に作用する。
(ii) 上述の作用の下、 $P(G, e\cross G)$ は(iii) $\phi(g*u)=g(0)\phi(u)g(1)^{-1}(g\in H^{1}([0,1], G),$ $u\in H^{0}$ ( $[0,1]$ , 佳) が成り立つ。
バンドルとみなされる。
(iv) 上述の作用の下、 : $H^{0}([0,1], \text{佳})arrow G$ は
$x_{1}\in G$ ) ならば、 $u=g*$( ) もし、 $\phi(u)=x_{0}\phi(v)x_{1}^{-1}$ ( $u,$ $v\in H^{0}$ ([0, 1], 佳),$H^{0}([0,1], \text{佳})$$\Omega_{e}(G)$$\phi$$x_{0},$$v,$$g(0)=x_{0}$ および $g(1)=x_{1}$を満たす $g\in H^{1}([0,1], G)$ が存在する。 特に、 任意の([0, 1], 佳) はある $g\in P(G, e\cross G)$ を用いて $u=g*\hat{0}$ と表されることがわかる。 ここで、 は佳の零元 0 における停留曲線を表す。

$u\in H^{0}$$\hat{0}$また、 次の事実が成り立つ。

172
補題 5.3([Kl])$T_{u}H^{0}([0,1], \text{佳})$

の元

$v$

に対し、 次式が成り立つ。

$\phi_{*u}(v)=(\int_{0}^{1}\mathrm{A}\mathrm{d}(g^{-1})vdt)g(1)_{*}^{-1}$ここで、 $u=g*\hat{0}$ であり、 \phi *。はと$H^{0}$$\phi$の $u$ (こお$\#^{-}\ddagger$

る微分を表し、 また、 $T_{u}H^{0}([0,1], \text{佳})$([0, 1], 佳) を同一視する。

は $X$ における停留が成り立つ。 ここで、
(注) 特に、 $X\in$ 佳に対し、曲線を表す。 また、 は ( に関して) 水平ベクトルであることが示される。 従って、は $X$ ( 佳 $=T_{e}G$ ) の への水平リフトである。
$\hat{X}$$\phi_{*\hat{0}}(\hat{X})=X$$\hat{X}$$\phi$$\hat{X}$$\hat{0}$$\in$

最近、 筆者 ([K2]) は、 より一般に半単純リー群 $G$ に対し、 parallel transport 写像
を次のように定義した。 佳を $G$ のリー代数とし、 佳には、 Ad(G)-不変な非退化な内積 $<,$ $>$ を与え、 $G$ にはその内積から導かれる両側不変な擬リーマン計量を与える。
をカルタン分解: 負定値, $<,$
: 正定値) とする。 便利十佳とする。 $<,$ $>_{9\pm}:=-<,$
のため、
, 佳-:
積分可能な $[0, 1]$ を定義域とする
に関し
および佳- 内の曲線の全体を各々およびをと表す。簡単のため、([0, 1], 佳),$v>_{0}:=\int_{0}^{1}<u(t),$をく $u,$の非退化内積 $<,$
$v(t)>dt$ にと表す。
は() の直交時空分解を与え、 $(H^{0}([0,1], \text{ })$ ,([0, 1], 佳), $<,$
よって定義する。
はヒルベルト空間になる。 それゆえ、 $(H^{0}([0,1], \text{佳}), <, >_{0})$ は擬ヒルベ$<,$([0, 1], 佳)\rightarrow G を $(*)$ を模倣して定義
ルト空間になる。 parallel transport 写像 :する。 このとき、 次の事実が成り立つ。
$=\mathrm{f}$$(<)>|_{\mathrm{f}\cross \mathrm{f}}$$\mathfrak{p}$$>|_{\mathfrak{p}\cross \mathfrak{p}}$$>|_{9-\cross \mathrm{g}-}+<,$$=\mathrm{f}$$\text{佳}+:=\mathfrak{p}$$>|_{9+^{\mathrm{X}}9+}$$L^{2}$$\text{佳},$$H^{0}$$H^{0}([0,1], \text{佳_{}+})$$H^{0}([0,1], \text{佳_{}-})$$H^{0}([0,1], \text{佳})$$H_{\pm}^{0}$$H_{\pm}^{0}$$\text{佳}+$$H^{0}([0,1], \text{佳_{}\pm})$$>_{0}$$H^{0}$

佳$>_{0}$$>_{0,H_{\pm}^{0}})$$\phi$

補題 5.4([K2])$\phi$$H^{0}$

は擬リーマンサブマージョンになる。

また、 補題 5.2,5.3 と同様の事実が成り立つ。

6. 非コンパクト型対称空間の複素化
この章において、 [K3] で定義したアンチケーラー全謄的部分多様体、 アンチケー

ラー等質空間内の複素 equifocal 部分多様体の概念およびそれらに関するいくつかの結果を述べることにする。 $(M, <, >)$ を (有限次元) 擬リーマン多様体とし、 を $M$ の概複素構造とする。 が次の 2 条件を満たすとき、 $(M, <, >, J)$ をアンチケーラー多様体
$J$

$J$

と呼ぶ。

(i) $<JX,$ $JY>=-<X,$ $Y>(\forall X, Y\in TM)$のレビ. チビタ接続)(ii) $\nabla J=0$ ( $:<,$$\nabla$$>$をアンチケーラー多様体 $(M, <, >, J)$ からアンチケーラー多様体 $(N, <, >,\tilde{J})$ へのを満たすとき、 $f$ をアン
等長はめ込みとする。 $\dim_{\mathrm{R}}M=2n$ とする。 $f$ が$\overline{J}\circ f_{*}=f_{*}\circ J$

チケーラーはめ込みと呼び、 $(M, <, >, J)$ を $(N, <, >,\tilde{J})$ 内のアンチケーラー部分多様体と呼ぶ。 exp， $(M, <, >, J)$ の法指数写像とする。 $\exp^{[perp]}(av+bJv)(a, b\in \mathrm{R})$173
が $(M, <, >, ])$ のフオーカル点であるとき、 $a+b\sqrt{-1}$ をと呼ぶことにする。

$h$方向の複素フオーカル半径

を $(M, <, >, J)$ の第 2 基本形式、 $H$ をその平均曲率ベクト$h$ル、 つまり、 $H_{x}:= \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}<e_{i},$ $e_{i}>h(e_{i}, e_{i})$ (

る。

$v$

$\{e_{i}\}_{i=1}^{2n}$: $T_{x}M$ の正規直交基底) とす

が $h(X, Y)=<X,$ $Y>H-<JX,$ $Y>\overline{J}H(\forall X, Y\in TM)$ を満たす

とき、 $(M, <, >, J)$ をアンチケーラー全謄的部分多様体と呼ぶことにする。

,$(\mathrm{R}^{2m},$$<$をアンチケーラー空間とする。 つまり、 $(\mathrm{R}^{2m}, <, >)$ は擬ユークリッド空間
で、 あるアフィン座標系 $(x_{1}, \cdots, x_{2m})$ に関して$>,\overline{J})$$< \frac{\partial}{\partial x_{i}}$$\frac{\partial}{\partial x_{j}}>=(-1)^{i+1}\delta_{ij}$$\overline{\mathcal{J}}(\frac{\partial}{\partial x_{2i-1}})=\frac{\partial}{\partial x_{2i}}$が成り立つとする。

$\mathrm{R}^{2m}$$(i=1, \cdots, 2m)$ ,$\overline{\mathcal{J}}(\frac{\partial}{\partial x_{2i}})=-\frac{\partial}{\partial x_{2i-1}}(i=1, \cdots, m)$は、 対応 $z_{i}:=x_{2i-1}+\sqrt{-1}x_{2i}(i=1, \cdots, m)$ の下に$\mathrm{C}^{m}$と同一視する。 $z_{1}^{2}+\cdots+z_{m}^{2}=\kappa^{2}(\kappa\in \mathrm{C})$ によって定義される複素超曲面を
半径 の複素球面と呼び、と表すことにする。 複素球面は内のアンチケーラー部分多様体となる。
定$(\mathrm{R}^{2m}, <, >,\tilde{J})$$S_{\mathrm{c}}^{m-1}(\kappa)$$\kappa$$\mathrm{I}\mathrm{E}6.1$([K3]) 複素球面は、 アンチケーラー全謄的部分多様体であり、 逆に、 アン

チケーラー空間内の任意の完備なアンチケーラー全謄的部分多様体は、 あるアンチ
ケーラー部分空間内の複素球面になる。
$G/K$ を非コンパクト型対称空間、 佳を $G$ のリー代数 (これは半単純リー代数) とを標準分解とする。 佳 ,の複素化とする。 $G/K$ のリーマン計量を誘導する佳の Ad(G) 不変な内積から決まる佳 の複素不変な非退双線形形式の実部を考える。 この実部をく, $>$ と表す。 これはの-不変な擬リーマン計量を定める。この計量もく, $>$ で表す
化内積で
し、 佳

十

$=\mathrm{f}$$\mathrm{c}$$\mathfrak{p}$$\mathrm{f}^{\mathrm{c}},$$\mathfrak{p}^{\mathrm{c}},$$G^{\mathrm{c}},$$K^{\mathrm{c}}$を各々、 店$\mathrm{f},$$\mathfrak{p},$$G,$ $K$$\mathrm{c}$$\mathrm{A}\mathrm{d}(G^{\mathrm{c}})$$G^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$はと同一視され、 $<,$
は、 $<,$ $>$ に関して直交している。
は負定値、 との $J_{eK^{\mathrm{c}}}(X+\sqrt{-1}Y)=-Y+\sqrt{-1}X(X, Y\in \mathfrak{p})$ を満たす Gc-不変

ことにする。 接空間

正定値、 $<,$$\overline{J}$を、$T_{eK^{\mathrm{c}}}(G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}})$は$\mathfrak{p}^{\mathrm{c}}(=\mathfrak{p}+\sqrt{-1}\mathfrak{p})$$>|_{\mathfrak{p}\mathrm{x}\mathfrak{p}}$$\sqrt{-1}\mathfrak{p}$$>|_{\sqrt{-1}\mathfrak{p}\cross\sqrt{-1}\mathfrak{p}}-$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$な概複素構造とする。
$G/K$ \emptyset 複素化と呼ぶ。

$\mathfrak{p}$$(G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}, <, >,\overline{J})$は、 アンチケーラー多様体となる。 これを内のアンチケーラー部分多様体 $(M, <, >, J)$ で、 次の条件を満たすものを複素 equifocal 部分多様体と呼ぶ。
$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$(AKE) $(M, <, >, J)$ の法バンドルは大域的平坦かつアーベル的であり、 各平行単位法ベクトル場 に対し、 $\tilde{v}_{x}(x\in M)$ 方向の複素フォーカル半径らは、 各々、
よらず (つまり、 $M$ 上で) 一定である。
$\tilde{v}$$x$にへの写像 を $\iota(gK)=gK^{\mathrm{c}}(gK\in G/K)$ によって定義する。 は全測地的はめ込みになる。 $G/K$ 内の等質な部分多様体 $M$ に対し、 $M$ の複素化として$G/K$ から$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$G)$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$\iota$$\iota$を次のように定義する。 $M=G’x_{0}(G’\subset$
内の等質なアンチケーラー部分: $G’$ の複素化) は、

内のアンチケーラー部分多様体

として$G^{\prime_{\mathrm{C}}}\iota(x_{0})$($G^{\prime \mathrm{c}}$$M^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$174$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}.\ovalbox{\tt\small REJECT}$($*\iota_{-}^{\tau}rx$)$\sim-\mathcal{X}\mathrm{b}kM^{\mathrm{c}}k\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{b}_{\backslash }MU$

$7\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }4\mathrm{b}k\mathrm{D}^{\backslash \prime}\mp\lambda^{\backslash }\backslash _{\mathrm{O}}\backslash \simarrow(Dk\doteqdot\backslash \mathit{1}^{\backslash }R\sigma)\ovalbox{\tt\small REJECT}\not\equiv\hslash\grave{\grave{>}}ffi^{\backslash }V)$$\circ$立つ。

定理 62. (i) $M$ の単位法ベクトル 方向の複素フオーカル半径の全体 (第 2 章で述の方向の複素フォーカル半径の全体 (この章で述べたもの) とべたもの) は、$v$

$M^{\mathrm{c}}$$\iota_{*}v$

重複度を込めて一致する。 ここで、

$v$

は自然に

$M^{\mathrm{c}}$の単位法ベクトルとみなされることを注意しておく。

(ii) $M$ が複素 equifocal であることと$M^{\mathrm{c}}$の例$-1\},$$M^{\mathrm{c}}$が複素 equifocal であることは同値である。

$G/K=H^{m}(-1)(=\{(x_{1}, \cdots, x_{m+1})\in \mathrm{R}_{1}^{m+1}|-x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{m+1}^{2}=$$M=S^{m-1}(1)(=\{(x_{1}, \cdots, x_{m+1}) \in H^{m}(-1)|x_{1}=\sqrt{2}\}$ のとき、$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}=$,$\{(z_{1}, \cdots, z_{m+1})\in \mathrm{C}^{m+1}=\mathrm{R}_{m+1}^{2m+2}|-z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots+z_{m+1}^{2}=-1\}(=:H^{nl}(-1)^{\mathrm{c}})$$M^{\mathrm{c}}=\{(z_{1}, \cdots, z_{m+1})\in \mathrm{C}^{m+1}|z_{1}=\sqrt{2}, z_{2}^{2}+\cdots+z_{m+1}^{2}=1\}$となる。

非コンパクト型対称空間 $G/K$ の双対 $G^{*}/K$ (これはコンパクト型) に対してとはアンチ等長的でが考えられる。
も、 同様にその複素化

注意$G^{*\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$G^{*\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$ある。

7. 無限次元アンチケーラー空間内の複素等径部分多様体
この章において、 [K3] で定義した無限次元アンチケーラー空間、 アンチケーラー
ヒルベル 多様体、 アンチケーラーフレッドホルム部分多様体、 および、 無限次元$|\backslash$

アンチケーラー等径部分多様体の概念を紹介する。 を無限次元実ベクトル位相空を $V$ の非退化内積で連続なものとし、 を-id となる $V$ の間とし、 $<,$
連続線形作用素とする。 $V$ の直交時空分解 $V–V_{-}\oplus V_{+}$ で、 $(V, <, >v_{\pm})$ がヒル$V$$J^{\tilde{2}}=$$\tilde{J}$$>$となるようなものが存在するとき、 $(V, <, >,\tilde{J})$ を
無限次元アンチケ– ラ 空間と呼ぶ。
次に、 アンチケーラーヒルベルト多様体の定義を述べることにする。 $M$ をヒル
ベルト空間 $(V, <, >_{V})$ をモデル空間とするヒルベルト多様体とし、 $M$ の $(0, 2)$ 次が非退テンソルバンドル $T^{*}M\otimes T^{*}M$ の (C 勺切断で $M$ の各点 に対しく,$M$の$(1, 1)$ 次テンソルバンドル
化内積で連続になっているようなものとし、 をがの (C 勺切断で $M$ の各点を満たす連続線形作
に対し用素になっているようなものとする。 もし $M$ の各点 で のある近傍 $U$ 上の 2 つベルト空間となり、$\tilde{J}V_{\pm}=V_{\mp}$–$x$$>_{x}$$J$$T^{*}M\otimes T\Lambda I$$x$$J_{x}$$J_{x}^{2}=-\mathrm{i}\mathrm{d}$

$x$

$x$

の $(C^{\infty})$ 接分布 $W_{+},$ $W_{-}$ で次の条件を満たすものが存在するとき、 $(M, <, >, J)$ を

アンチケーラーヒルベルト多様体と呼ぶ。

(AKH)

$U$

内の各点

$(T_{l/}M, <, >_{y,W})\pm v$

$y$

に対し、

$W_{\pm y}$

が $(T_{y}M, <, >_{y})$ の直交時空分解を与え、が $(V, <, >_{V})$ に等長的で、 $J_{y}W_{\pm y}=W_{\mp y}$ が成り立つ。

無限次元アンチケーラー空間は、 アンチケーラーヒルベルト多様体とみなされる。 $f$をヒルベル 多様体 $M$ から無限次元アンチケーラー空間 $(V, <, >_{V},\overline{J})$ へのはめ込みで $\overline{J}(f_{*}T_{x}M)\subset f_{*}T_{x}M(x\in M)$ を満たすものとする。 $(M, f^{*}<, >v)$ が、$|\backslash$$(C^{\infty})$175
擬リーマンヒルベルト多様体になり、 $\mathrm{c}\mathrm{o}\dim M<\infty$ で次の条件が成り立つとき、$(M, <, >, ])$ (ただし、 $<,$ $>:=f^{*}<,$,
内のアンチケーラーフレッドホルム部分多様体とよぶ。

(AKF) 直交時空分解$J\Leftrightarrow f_{*}\circ J=\overline{J}\circ f_{*}$$>_{V}$$V=V_{-}\oplus V_{+}\vee C_{\text{、}^{}\backslash }\backslash (V, <, >_{V_{\pm}})$) を $(V, <, >_{V},\overline{J})$がヒルベル$|\backslash$

空間になり、 かに対し形作用素 Aゎ

つ、 $JV_{\pm}=V_{\mp}$となるようなもので、 さらに $M$ の各法ベクが $f^{*}<,$

に関してコンパクト作用素になるようなものが存在する。

$>v_{\pm}$$|\backslash \mathrm{K}\mathrm{s}v$

以下、 $(M, <, >, J)$ をアンチケーラー空間 $(V, <, >_{V},\overline{J})$ 内のアンチケーラーフレツ
を 方向
ドホルム部分多様体とする。 を $(M, <, >, J)$ の単位法ベク ルとし、$a+b\sqrt{-1}$をの形作用素とする。 $A_{v}X=aX+bJX$ となる $X(\neq 0)$ が存在するとき、$a+b\sqrt{-1}$のに対する 固有ベクトル
固有値または 方向の 主曲率とよび、 $X$ を
固有ベク トルの全体は、 不変な部分空間となる。
とよぶ。 各 固有値に対する
この部分空間をその 固有値に対する 固有空間とよぶ。 任意の 2 つの 固有空間
$A_{v}$$|\backslash$

$v$

$v$

$A_{v}$

$J$

$J$

$J$

$v$

$J$

$J$

$J$

$J$

$J$

$J$

は互いに直交することが示され、 また、$A_{v}$

の

0 以外の

$J$

固有値の全体は$\{\lambda_{i}|i=1,2, \cdots\}$(or$|\lambda_{i}|>|\lambda_{i+1}|$”$|\lambda_{i}|=|\lambda_{i+1}|\ \arg\lambda_{i}<\arg\lambda_{i+1}$”)

を 方向の第 $iJ$ 主曲率とよぶ。
という形で与えられることが示される。 上述の次の条件が成り立つとき、 $(M, <, >, J)$ を複素等径部分多様体とよぶ。
$v$$\lambda_{i}$(AKCI) 法バンドルが大域的平坦でり、 各平行単位法ベクトル場の $J$ 主曲率の個数が $x\in M$ によらず一定であり、$\tilde{v}$$\tilde{v}$に対し、$\tilde{v}_{x}$方向方向の各 $J$ 主曲率関数が $M$ 上

で一定である。
さらに、 次の条件が成り立つとき、 プロパー複素等径部分多様体とよぶ。

(AKPCI)の各単位法ベクトル
基底が存在する。
$\Lambda I$の

1 点

き、 $T_{x_{0}}M$$M$

に対し、 A。の $J$ 固有ベク I‘’ からなる正規直交を固定する。 $(M, <, >, J)$ がプロパー複素等径部分多様体であるとは $A_{v}(v\in T_{x}^{[perp]}M)$ らの共通固有空間らの直和に分解される。 それをとする。 このとき、$x_{0}$$J$$A_{v}|_{E_{i}^{x_{0}}}={\rm Re}(\lambda_{i}^{x_{0}}(v))\mathrm{i}\mathrm{d}+{\rm Im}(\lambda_{i}^{x_{0}}(v))J(v\in T_{x_{0}}^{[perp]}M)$$T_{x_{0}}M=\overline{\bigoplus_{i\in I}E_{i}^{x_{0}}}$によって $T_{x_{0}}M$ 上の複素線形関数

より複素線形空間とみなし、す複素ベクトルバンドル

の任意の点

$x$

が定義される。 ここに、 $T_{x_{0}}M$ は、 月こ
を満たを
はの恒等変換を表す。
の平行切断とする。 このとき、の双対バンドル$\mathrm{i}\mathrm{d}$$T^{[perp]}M$

$M$

$v$

$\lambda_{i}^{x_{0}}(i\in I)$$\lambda_{i}$$E_{i}^{x_{0}}$に対し、 $T_{x}M$ の分解$\lambda_{i}(x_{0})=\lambda_{i}^{x_{0}}$$T^{[perp]}M^{*}$$T_{x}M=\overline{\oplus E_{i}^{x}}$で、$A_{v}|_{E_{i}^{x}}={\rm Re}((\lambda_{i}(x))(v))\mathrm{i}\mathrm{d}+$$i\in I$

Im((\lambda 。(x))(v))J

らはプロパー複素となるものが存在する。
等径部分多様体 $(M, <, >, J)$ の $J$ 主曲率と呼ばれ、 $E_{i}(x)=E_{i}^{x}$ によって定義され\yen 、– と呼ばれる。 $(M, <, >, J)$ のフオー
る $M$ 上の接分布はカル集合および $E_{i}(i\in I)$ について、 序章で述べた定理 が成り立つ。
$(v\in T_{x}^{[perp]}M)$$E_{i}$$\lambda_{i}$$l_{arrow}’\text{対}\backslash \text{する}J$$\lambda_{i}(i\in I)$’$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{\sigma}’\neq_{J\mathrm{J}}^{t_{\underline{\backslash }}/\backslash \text{布}}$$\mathrm{F}$176
8. 擬ヒルベルト空間の複素化$G$

この章において、 [K3] で定義した擬ヒルベルト空間の複素化、および、半単純り一群に対して (第 5 章で) 定義した parallel transport 写像 :( $[0,1]$ , 佳)\rightarrow G の複素化
$H^{0}$$\phi$

を定義することにする。 $(V, <, >)$ を擬ヒルベルト空間とする。
を線形位相空間$V$ の複素化(つまり、 $V^{\mathrm{c}}=V\oplus\sqrt{-1}V$ ) とし、 $<,$ $>’$ をく, $>$ から決まる
上の複$V^{\mathrm{c}}$$\phi^{\mathrm{c}}$$V^{\mathrm{c}}$素双線形形式の実部とする。また、の連続線形作用素 を $\tilde{J}X=\sqrt{-1}X(X\in V^{\mathrm{c}})$によって定義する。 このとき、は無限次元アンチケーラー空間となを $(V, <, >)$ の直交時空分解で $(V, <)>_{\pm})$ がヒルベルト空間になるる。 実際、$\overline{J}$$V^{\mathrm{c}}$$(V^{\mathrm{c}}, <, >’,\tilde{J})$$V_{\pm}$

ようなものとするとき、 $V_{+}^{\mathrm{c}}:=V_{+}+\sqrt{-1}V_{-},$の直交時空分解を与え、が成り立つ。

$(V^{\mathrm{c}}, <, >_{V_{\pm}^{\mathrm{c}}}’)$$(V^{\mathrm{c}}, <, >’,\tilde{J})$$V_{-}^{\mathrm{c}}:=V_{-}+\sqrt{-1}V_{+}$

は $(V^{\mathrm{c}}, <, >’)$

はヒルベルト空間になり、 かつ、$\overline{J}V_{\pm}^{\mathrm{c}}=V_{\mp}^{\mathrm{c}}$を $\underline{(V,<,,>)}$\emptyset 複素化と呼ぶ。 $(V, <, >)$ 内の等質なフレッドホルム部分多様体 $M$ に対し、 $M$ の複素化として内のアンチケーラーフレッドホルム部分多様体
を次のように定義することができる。
$(V^{\mathrm{c}}, <, >’,\tilde{J})$$M^{\mathrm{c}}$( $G’$ : $(V,$ $<,$ $>)$ の等長変換からなるヒルベルトリー群、) とし内の等質なアンチケーラーフレッド:の複素化) は、(

$M=G’u_{0}$て$G^{\prime \mathrm{c}}u_{0}$$V$$u_{0}\in$$(V^{\mathrm{c}}, <, >’,\tilde{J})$$G$$G^{\prime \mathrm{c}}$ホルム部分多様体となる。 これを$M^{\mathrm{c}}$と表し、 $M$ の複素化と呼ぶ。 このとき、 次の事実が成り立つ。
定理 8.1. (i) $M$ の単位法ベクトルの方向の複素フォーカル半径の全体は、方向の複素フォーカル半径の全体と (重複度を込めて) 一致する。 ここで、 は自然にの単位法ベクトルとみなされることを注意しておく。
が複素等径的であることは同値である。
(ii) $M$ が複素等径的であることと$M^{\mathrm{c}}$

$v$

$v$

$v$

$M^{\mathrm{c}}$$M^{\mathrm{c}}$を半単純リー群とし、 佳をそのリー代数とする。 佳の Ad(G) 不変な非退化内をカルタ積 $<,$ $>$ から決まる両側不変擬リーマン計量を $G$ に与える。 佳$G$$=\mathrm{f}+\mathfrak{p}$ン分解 ( $<,$$\mathfrak{p}+\sqrt{-1}\mathrm{f},$: 負定値, $<,$$>|_{\mathrm{f}\cross \mathrm{f}}$$\text{佳_{}-}^{\mathrm{c}}:=\mathrm{f}+\sqrt{-1}\mathfrak{p}$$>|_{\mathfrak{p}\cross \mathfrak{p}}$とおく。 $<,$

$>’$

し、

積分可能な $[0, 1]$ を定義域とする$H^{0}$$L^{2}$([0, 1], 佳 ),$>_{\mathrm{g}_{\pm}^{\mathrm{c}}}’:=-<,$$\mathrm{c}$

$>$

と表す。

$H^{0}([0,1], \text{佳^{}\mathrm{c}})$とする。 $<$ , >’gc\pm [こ関および佳 内の曲線の全体を、 各々、と表す。簡単のため、( $[0,1]$ , 佳 ) を$>’|_{9_{-^{\mathrm{X}}\mathfrak{g}_{-}^{\mathrm{c}}}^{\mathrm{c}}}+<,$$\text{佳^{}\mathrm{c}},$$\mathrm{c}$$H^{0}([0,1], \text{佳_{}+}^{\mathrm{c}}),$$=$$\text{佳}$をく,とし、 $<,$: 正定値)、 佳 を の複素化とし、 佳 c+:から決まる佳 上の複素双線形形式の実部$\mathrm{c}$$H^{0}([0,1], \text{佳_{}-}^{\mathrm{c}})$の連続な非退化内積く,$>’|_{\mathrm{g}_{+}^{\mathrm{c}}\cross \mathfrak{g}_{+}^{\mathrm{c}}}$$\mathrm{c}-$$\text{佳_{}+}^{\mathrm{c}}$$H^{0}$$>_{0}$$H_{\pm}^{0,\mathrm{c}}$$\mathrm{c}\pm$

をく $u,$ $v>_{0}’:= \int_{0}^{1}<u(t),$ $v(t)>’ dt$(7) 直交時空分解を与え、 (はによって定義する。
( $[0,1]$ , 佳 c),
はヒルベルト空間になる。 それゆえ、
は擬ヒル
$<,$
$H_{\pm}^{0,\mathrm{c}}$$H^{0}$$(H^{0}([0,1], \text{佳^{}\mathrm{c}}), <, >_{0}’)$$(H^{0}([0,1], \text{佳^{}\mathrm{c}}), <, >_{0}’)$$>_{0,H_{\pm}^{0,\mathrm{c}}}’)$

ベルト空間になる。 また、([0, 1], 佳 c) の連続線形作用素([0, 1], 佳 ) によって定義する。 は$H^{0}$$\tilde{J}$を $\overline{J}u:=\sqrt{-1}u(u\in$を満たす。 それゆえ、 () は無限次元アンチケーラー空間となる。 この空間は、([0, 1], 佳 c), $<,$
擬ヒルベルト空間 () (第 5 章で述べたもの) の前述の意味の複([0, 1], 佳), $<,$
は、
素化とみなされる。 $<,$の両側不変な佳 の非退化内積なので、不変な擬リーマン計量を導く。 また、 $JX=\sqrt{-1}X(X\in \text{佳^{}\mathrm{c}})$ によって定義され$H^{0}$$\tilde{J}$$\mathrm{c}$$J^{\tilde{2}}=-\mathrm{i}\mathrm{d},\overline{J}H_{\pm}^{0,\mathrm{c}}=H_{\mp}^{0,\mathrm{c}}$$)$$H^{0}$$>_{0},\overline{J}$$H^{0}$$>_{0}$$\mathrm{c}$$>^{J}$$\mathrm{A}\mathrm{d}(G^{\mathrm{c}})$$G^{\mathrm{c}}$177の線形変換 Gi
れらの構造に関し、の両側不変な概複素構造を導く。 こは、 アンチケーラー多様体になる。 parallel transport 写像
を、 $(*)$ (第 5 章を参照) を模倣して定義することができる。
:
はアンチケーラーサブマージョンになる。 非コンパクト型対称空間 $G/K$ の複素の合成と自然な射影:に対し、([0, 1], 佳 ):化
内の部分多様体の複素 equifocal ’ 院に関を考える。 このとき、る$J$$\text{佳^{}\mathrm{c}}$$\mathrm{A}\mathrm{d}(G^{\mathrm{c}})$不変なので、$G^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}$$\phi^{\mathrm{c}}$$H^{0}([0,1], \text{佳^{}\mathrm{c}})arrow G^{\mathrm{c}}$$\phi^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$\phi^{\mathrm{c}}$$H^{0}$$\mathrm{c}$$arrow G^{\mathrm{c}}$$\overline{\phi}^{\mathrm{c}}:=\pi^{\mathrm{c}}\circ\phi^{\mathrm{c}}$して、 序章で述べた定理$\mathrm{E}$$\pi^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}arrow G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$\mathrm{D}$が成り立つ。 定理 62, 8.1 および定理$\mathrm{D}$を用いて、 定理を次のように示すことができる。

定理 の証明 $M$ を $G/K$ 内の大域的平坦かつアーベル的な法バンドルをもつ等質([0, 1], 佳) $arrow G/K$ とアンチな部分多様体とする。 擬リーマンサブマージョン :に対し、ケーラーサブマージョン([0, 1], 佳 ):が成り立つことが示される。 この事実と定理 $6.2,8.1,\mathrm{D}$ から以下のように結論を得る$\mathrm{E}$$\overline{\phi}$$\overline{\phi}^{\mathrm{c}}$$H^{0}$$\mathrm{c}$$H^{0}$$arrow G^{\mathrm{c}}/K^{\mathrm{c}}$$\tilde{\phi}^{-1}(M)^{\mathrm{c}}=\overline{\phi}^{\mathrm{c}-1}(M^{\mathrm{c}})$

ことができる。
$M$: 複素 equifocal$\Leftrightarrow M^{\mathrm{c}}$宜埋: 複素 equifocal$l_{\backslash }2$$(\dot{\mathrm{i}_{\mathfrak{l}}}J$$\Leftrightarrow\tilde{\phi}^{\mathrm{c}-1}(M^{\mathrm{c}})$の各連結戒分 : 複素等径的之埋レ$\Leftrightarrow\tilde{\phi}^{-1}(M)$の各連結成分 : 複素等径的之埋月$r-|\mathrm{M})^{f}=\tilde{p}^{\zeta-1}U\mathrm{t}^{t}\mathit{1}$

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