数理解析研究所講究録
第 721 巻 1990 年 32-4332

ClassFormation の高次元化

東工大理

小屋良祐 (Yoshihiro Koya)

0. 序
本稿の目的は、 2 次元局所体の類体論が Class formation のの公理系を構成することにより証明される過程の概略を述べることにある。
まず最小限必要な定義と、 ここで別証明を与えようとする、 2 次元局所体の同型定理を簡単に述べる。詳しくは、加藤 [2] および [3] を参考していただきたい。

定義 (2 次元局所体). 体 $K$ が 2 次元局所体であるとは、 $K$ が完備な離散賦値体であり、剰余体として「通常の意味での」局所体を持つことである。 ここで、 「通常の意味での」局所体とは、有限体を剰余体に持つ完備な離散賦値体のことを意味する。
定理 (2 次元局所類体論の同型定理).
ア拡大体とすれば、$K$を 2 次元局所体とし、 $L$ を $K$ の有限次ガロ$\Psi_{K}:K_{2}(K)arrow Ga1(K^{ab}/K)$なる準同型写像が存在して、 これは$K_{2}(K)/N_{L/K}K_{2}(L)\simeq Ga1(L/K)$

なる同型写豫を誘導する。
注意. 上述の定義にしろ定理にしろ、本稿で必要であるのは 2 次元の局所体の場合のみであるので、特に限定した形で述べたが、一般の非負整数 $N$ に対して、 $N$ 次元局所体が加藤 [2] および [3] において定義され、 また同型定理もより一般の形で N- 次元局所体に対して証明されている。
-

最後になったが、 なぜ我々の class fromation 公理系が複体係数のコホモロジーの言葉で記述されていることについて触れなければならない。 だれしも、例えば、通常の G- 加群について 2 次元の局所体についても、 類体論の同型定理が証明できれば、 それが最良の選択と認めるであろう。 そして、 もっとも自然な $Ga1(L/K)$ 加群の候補は$IK_{2}(L)$ であるように思われるが、 この場合良く知られているように、-$K_{2}(L)^{Ga1(L/K)}\simeq K_{2}(K)$.

は成り立たない。 さらに、 $L/K$ が巡回拡大であったとしても、$\hat{H}^{1}(Ga1(L/K)K_{2}(L))=0$が成立することすら期待できないのである。本稿の定式化が、最良のものでないにしろ単に、群の作用する加群を考えただけでは駄目であると言っても良いと思う。

1

33

1.Class Formation の公理系
$G$を profinite $group$$A^{\cdot}$、を有界な $G$ 加群の複体であって、 $n\geq 0$ なる任意のに対して $A^{n}=0$ なる条件を満たすものであるとする。 このとき\mbox{\boldmath $\tau$}profinite group$n$$G$の対 $(G, A)$ を formation と呼び、 さらに以下に掲げる公理を満足するときに、対 $(G, A)$ を class formation と呼ぶことにする。
公理 1.
$H$ を $G$ の任意の開部分群、を $q\geq 2$ なる任意の整数とすれば、と $G$ 加群の複体$A^{\cdot}$$q$$H^{q}(HA^{\cdot})=0$,が成り立つ。
公理 2.
$H$ を $G$ の任意の開部分群とするとき、$H^{q}(HA^{\cdot})=0$,が成り立つ。 (Hilebert の定理 90 の類似)
公理 3.
$H$ を $G$ の任意の開部分群とするとき、各 $H$ に対して次のような同型写像 inv $H$ が存在する。 :inv $H:H^{2}(HA^{\cdot})\simeq Q/Z$ .
公理 4.

および $V$ を $G$ の開部分群とし、 これらの間には $V\subset U$ かつ $[U;V]=n$ なる関係があるとする。 このとき次の図式は可換である。
$U$$H^{2}(U, A^{\cdot})arrow^{{\rm Res}}H^{2}(UA^{\cdot})$

inv

inv

$V\downarrow$2$U\downarrow$

34

2. $Modified$$Hypercohomo1ogy$ について

まず、 我々の class formation の公理系は複体係数の hypercohomology の言葉で記述されているので、 それにみあうよう様 1Tate のコホモロジー群に対応するものを構成しなくてはならない。 その後、 それらのコホモロジー群の簡単な性質を述べは次数正の項が全て であるよる。以下、特に断わらない限り、 $G$ は有限群とし、うな、有界な $G$ 加群の複体であるものとする。
$0$$A^{\cdot}$-

一般に次のような完全系列が存在し、次の条件を満たす。 :.. . $arrow X^{-2}arrow X^{-1}arrow X^{0}arrow X^{1}arrow X^{2}arrow\cdots$は有限個の基底を持つ自由 $Z[G]$ 加群である。
(1) 各々の項(2) 次の完全系列$X^{n}$-. $..arrow X^{-n}arrow X^{-(n-1)}arrow\cdotsarrow X^{-1}arrow X^{0}arrow Zarrow 0$
は、実は G-module$Z$の射影的分解である。

この様な完全系列を $G$ の complete resolution と呼ぶことにする。 (詳しいことは、例
えば [1, Chap. XII, \S 3] を参照のこと。) このとき、 G- 加群 $M$ に対して複体. . . $arrow Hom_{G}(X^{1}, M)arrow Hom_{G}(X^{0},M)arrow Hom_{G}(X^{-1}, M)arrow\cdots$のコホモロジーをとれば、 それが Tate のコホモロジー $\hat{H}^{*}(GM)$ である。
上のように複体.. . $arrow X^{-2}arrow X^{-1}arrow X^{0}arrow X^{1}arrow X^{2}arrow\cdots$ .
をとれば、任意の有界な G- 加群の複体$A^{\cdot}$に対して、次のような、 2 重複体$Y^{i,j}$を構成することができる。
$Y^{i,j}=Hom_{G}(X^{-i}, A^{j})$,に付随する
ここで、微分写像の符号は、何等かの形で決めておく。 この 2 重複体(シング な) 複体のコホモロジー群を $H^{q}(G A^{\cdot})$ と書いて、 これを $G$ のを係数とする modified hypercohomology と呼ぶことにする。
次の命題は、 定義から容易に導かれるものである。 :$Y^{i,j}$$A^{\cdot}$$J\triangleright$. 1 . もしが通常の $G$ 加群と一致するのであれば、 その modified hypercohomology は Tate の群のコホモロジーと一致する。

命題 1$A^{\cdot}$-

他にも、 Tate のコホモロジー群と類似な性質を持っている。 例えば、

3

35

命題 1.2.

(1),$\tilde{H}^{0}(GA)\simeq Coker(?t^{0}(A^{\cdot})arrow H^{0}(GN_{G} A))$

ただし $N_{G}$ は群の hypercohomology のノルム写像である。

(2)$q\geq 1$なる任意の整数に対して、$\tilde{H}^{q}(G,A)\simeq H^{q}(GA)$.

証明. いま$xi=(\cdotsarrow X^{-2}arrow X^{-1}arrow X^{0}arrow 0arrow\cdots)$,$X_{2}=(\cdotsarrow 0arrow X^{1}arrow X^{2}arrow\cdots)$とおく。 これより、次のような複体の完全系列を得る。 :.

$0arrow X_{2}arrow Xarrow xiarrow 0$

各 $X$

は自由な有限生成の $Z[G]$ 加群であるので、次のような複体の完全系列を得る。
-$0arrow Hom_{\dot{G}}(Xi, A^{\cdot})arrow Hom_{G}(X, A^{\cdot})arrow Hom_{G}(X_{2}, A^{\cdot})arrow 0$.

各項のコホモロジーをとって得られる長い完全系列より命題は容易に導かれる。
証明終
次の定理は、 他のコホモロジー論と同様にして証明できる。
$C$$B$定理 1.3.
等を有界で正の項が全てるとする。 さらに、 これらが G- 加群の複体の triangle$A^{\cdot}$、になっているような複体であ$0$、$A^{\cdot}arrow Barrow C^{\cdot}arrow A^{\cdot}[1]$.

を成しているならば、$...arrow\tilde{H}^{q-1}(GC)arrow\overline{H}^{q}(GA^{\cdot})arrow\tilde{H}^{q}(G, B)arrow\tilde{H}^{q}(GC)arrow\cdots$.

なる長完全系列を得る。
命題 1.4.
は有界な $G$ 加群の複体であり、正の項が全てる。 このとき、次のようなスペクトル系列が存在する。
$A^{\cdot}$-$\hat{H}^{p}(G\mathcal{H}^{q}(A^{\cdot}))\Rightarrow\tilde{H}^{p+q}(GA^{\cdot})$$0$になっているとす.

は 2 重複体 $Y^{i,j}=Hom_{G}(X^{-i}, A^{j})$ の証明. この節の最初に見たように、
ところが\mbox{\boldmath$\tau$}[1,Chap.
コホモロジー群である。
XV, \S 6] によれば、求めるスペクトル系$\overline{H}^{n}(GA^{\cdot})$436

列として、 この 2 重複体のスペクト J 系列をとればよいことがわかる。 なお、 スペクト] より保証される。
ル系列の収束性については Y [1, Chap. XV, \S 5, Case
証明終$D^{k}$

系 1.5. 複体
は前の命題の仮定を満たし、 さらに第 項と第 $(-1)$ 項を除いては全てであるとする。すると、次のような完全系列を得る。
$0$$A^{\cdot}$$0$. . . $arrow\hat{H}^{n+1}(GH^{-1}(A))arrow\tilde{H}^{n}(GA^{\cdot})arrow\hat{H}^{n}(GH^{0}(A^{\cdot}))$$arrow\hat{H}^{n+2}(G\mathcal{H}^{-1}(A^{\cdot}))arrow\overline{H}^{n+1}(GA^{\cdot})arrow\cdots$

このほかに、 カップ積の存在等の事実も知られている。 ほとんど、 ほかのコホモロジー論と同じである。詳しいことは、小屋 [4] を参考のこと。

2.

$T$

a$t$

e–Na

a$k$

$y$

ama の定理の一般化

ここでは、次の定理を証明する。次の定理は、 Tate-Nakayama の定理を若干一般化したものであり、係数の複体が通常の G- 加群であるときには、 これは、従来の TateNakayama の定理に他ならない。
$A^{\cdot}$$G$
を $G$ 加群の複体であり第を有限群、定理 2.1.
は、全て になっている様なものであるとする。 をに対して、の各 p-Sylow 部分群$A^{\cdot}$

-$0$

$a$

$0$項と第 $(-1)$ 項を除いて$\tilde{H}^{2}(G A^{\cdot})$の元とし、 さらに $G$$G_{p}$(1)(2)$\overline{H}^{1}(G_{p}A^{\cdot})=0$.

は ${\rm Res}_{G/G_{p}}(a)$ で生成され、 その位数はと等しい。
そうすると、すべての $q\in Z$ と任意の $G$ の部分群 $H$ に対して、$\overline{E}^{2}(G_{p}A^{\cdot})$$|G_{p}|$$\tilde{H}^{q}(HA^{\cdot})\simeq\hat{H}^{q-2}(HZ)$.

が成り立つ。
これを証明するために、 いくつかの補題を証明しなければならない。

補題 2.2.
$0$

$0$

$G$

を有限群、$A^{\cdot}$

を $G$ 加群の複体で第-$0$であるようなものとする。 さらに、各 p-Sylow 部分群項と第 $(-1)$ 項を除いては全て$G_{p}$に対して、 $\tilde{H}^{n}(G_{p} A^{\cdot})=$

かつ $\tilde{H}^{n+1}(G_{p} A^{\cdot})=0$ なる条件が満たされているなら ‘.

全ての整数の部分群 $H$ に対して$\overline{H}^{q}(HA^{\cdot})=0$が成り立つ。
証明. 系 1.5 と補題の仮定から、$\hat{H}^{n-1}(G_{p}H^{0}(A))arrow\hat{H}^{n+1}(G_{p}Tt^{-1}(A))$

は全射であり、$\hat{H}^{n}(G_{p}-.

Tt^{0}(A^{\cdot}))arrow\hat{H}^{n+2}(G_{p}Tt^{-1}(A^{\cdot}))$5$q$と全ての $G$

37

は全単射、

:

$\mathfrak{l}^{\backslash }$.

:$\hat{H}^{n+i}(G_{p}?t^{0}(A^{\cdot}))^{\iota}arrow\hat{H}^{n+3}(G_{p}H^{-1}(A^{\cdot}))$は単射である。 [9, Chap. IX, \S 7, Th\’eor\‘em 12] より各 $m\in Z$ と全ての $G$ の部分群 $H$に対して、$\hat{H}^{m-2}(H?t^{0}(A^{\cdot}))arrow\hat{H}^{m}(H , \mathcal{H}^{-1}(A^{\cdot}))$.

は同型写豫である。再び、系 1.5 を用いれば全ての $q\in Z$ と $G$ の全ての部分群 $H$ に対して、$\overline{H}^{q}(H\lrcorner A^{\cdot})=0$.

が成り立つ。
:.

補題 2.3. 複体$A^{\cdot}$,

証明終を..

$\backslash \backslash$$\backslash \backslash$.

$A^{\cdot}=(\cdotsarrow 0arrow 0arrow A^{0}arrow 0arrow\cdots)$

なるようなものとし、複体$B^{\cdot}$,

を$\tau$$B^{\cdot}=(\cdotsarrow 0arrow B^{-1}arrow B^{0}d_{B}arrow 0arrow\cdots)$.

をなるようなものとする。 さらに、 $f$ を複体 $A$ から複体のとき、 ある整数 $n$ が存在して、$B^{\cdot}$への複体の射とする。 こ$f^{n}:\tilde{H}^{n}(GA^{\cdot})arrow\tilde{H}^{n}(GB^{\cdot})$

は全射。
$.-$

.

$\cdot$$f^{n+1}:\tilde{H}^{n+1}(GA^{\cdot})arrow\tilde{H}^{n+1}(GB)$は全単射。
$f^{n+2}$: $\tilde{H}^{n+2}(GA^{\cdot})arrow\tilde{H}^{n+2}(GB)$は単射であると仮定すれば、任意の整数$q$に対して、$f^{q}:\tilde{H}^{q}(GA^{\cdot})arrow\tilde{H}^{q}(GB)$は同型写像である。
証明. 補題の仮定と定理 1.3 より$\tilde{H}^{n}(GC(f\cdot))=0$,かつ、$\tilde{H}^{n+1}(GC(f\cdot))=0$6,,

38である。 ここで、 $C(f\cdot)$ は $f$
から.の mappingcone である。すると補題 22 と定理 1.3 と$f^{q}:\tilde{H}^{q}(GA^{\cdot})arrow\overline{H}^{q}(GB)$が同型写像であることが分かる。
証明終定理 2.1 の証明
カップ積のベアリングから、次のような双線形写像を得る。
$\tilde{H}^{p}(HZ)\cross\tilde{H}^{2}(HA^{\cdot})arrow\overline{H}^{p+2}(HA^{\cdot})$

ここで、次のような性質を持つ複体$I^{\cdot}$.

が構成できる。 :$\tilde{H}^{q}(HI^{\cdot})\simeq\tilde{H}^{q+2}(HA^{\cdot})$,

この様な複体の存在と、上の同型写豫がカップ積と可換である事に注意すれば、$\hat{H}^{q}(HZ)\simeq\tilde{H}^{q}(HI^{\cdot})$を証明すれば十分である。 しかし$\alpha_{p}$なる$\tilde{H}^{0}(G_{p}, I^{\cdot})$.の元は ${\rm Res}_{G/G_{p}}(a)$ に対応しており、 それは$\otimes\alpha_{p}:Zarrow I^{\cdot}$,を誘導するので、補題 2.3 と定理の仮定から、望む結果を得ることができる。
証明終7

39

$Form$ a Ion からの若干の帰結
この節では、 class formation の公理系と今まで調べたことから、何が分かるかを述べ

3. CIa $ss$$t$

る。
$\Gamma(G, *)$を G- 加群のカテゴリーからアーベル群のカテゴリーへの関手で $\Gamma(G, M)=M^{G}$ と定義されるものとする。 また桶\Gamma (G, ) はその関手の導来関手とする。
$*$

$G$ を
を 2 項のみから成る $G$ 加群の複体で、第profinite $group$
命題 3. 1.
が項と第 $(-1)$ 項を除いてはすべて であるようなものとする。 foramtion$dass$ formation の公理を満たすならば、の任意の正規開部分群 $H$ に対して、複体と有限群 $G/H$ のペアは定理 2.1 の仮定を満たす。
$A^{\cdot}$

-、

$0$

$0$$(G, A^{\cdot})$$G$$\tau\leq o(R\Gamma(H, A^{\cdot}))$証明 . まず、次のような $G/H$ 加群の triangle が存在することに注意する。
-$\tau_{\leq 0}(R\Gamma(H, A))arrow R\Gamma(H,A)arrow H^{2}(HA^{\cdot})[-2]arrow\tau_{\leq 0}(R\Gamma(H,A^{\cdot}))[1]$.

この triangle より、$...arrow\tilde{H}^{q}(G/H\tau_{\leq 0}(R\Gamma(H, A^{\cdot})))arrow\overline{H}^{q}(G/HR\Gamma(H, A^{\cdot}))$$arrow\tilde{H}^{q}(G/HH^{2}(HA^{\cdot})[-2])arrow\cdots$.

なる長完全系列を得る。 公理 1 と公理 2 とから、$\tilde{H}^{1}(G/H\tau_{\leq 0}(R\Gamma(H, A^{\cdot})))\simeq\tilde{H}^{1}(G/HR\Gamma(H, A^{\cdot}\rangle)=0$,

であり、完全系列$0arrow\tilde{H}^{2}(G/H\tau\leq o(R\Gamma(H, A^{\cdot})))arrow\tilde{H}^{2}(G/HR\Gamma(H, A^{\cdot}))$$arrow\tilde{H}^{2}(G/HH^{2}(HA^{\cdot})[-2])$.

を得る。 これらの事実と、公理 3 と公理 4 とから、命題が得られる。

証明終

つぎの定理も、上の命題から得ることができる。
定理 3. 2.
豫を得る。

$G$、

$H$

$A^{\cdot}$、などは命題 3.1 の通りとする。 すると次のような、 同型写$(G/H)^{ab}\simeq Coker(H^{0}(HA^{\cdot})^{N_{G/H}}arrow H^{0}(GA^{\cdot}))$.

古典的な理論との関係(1)$A^{\cdot}=(:\cdot\cdotarrow 0arrow^{-}Zarrow 0arrow^{\backslash }$を有限体とする。 $G=Ga1(\overline{F}_{q}/F_{q})$等のようにおけば、 ペア $(G, A^{\cdot})$ は class formation の公理系を満たす。 この事から、次元局所体の類体論の同型定理を得ることができる。
$F_{q}$、$)$$0$ -840をとすれば、(2) $F$ を通常の意味での局所体、 $G$ は $F$ の絶対ガロア群とする。
も我々の class formation の公理系を満たす。やはり、 これも今までの我々の方法を使うことで、局所類体論を得ることができる。
$A^{\cdot}$$G_{m}$$(G, A^{\cdot})$(3) $K$ を代数体とする。 また、はそれの絶対ガロア群であるとする。複体を第項にイデール類群が来るような複体で、残りの項が全て になっているようなものであるとすれば、 $(G, A^{\cdot})$ は我々の意味での class formation のの公理系を満たす$G$$A^{\cdot}$

$0$

$0$

$\circ$以上述べた通り、我々の class formation は従来のそれを完全に包含していることが分かる。次の節で、 2 次元の局所体類体論の同型定理を我々の意味での class formation による定式化のもとに証明してみる。

4. 2 次元局所類体論の同型定理の証明
この節では、加藤 [3] の証明を class formation を用いて証明してみる。即ち、次の定理を証明する。
定理 4. 1. $K$ を 2 次元局所体、 $L$ を $K$ の有限次ガロア拡大体とする。 すると、次の同型写像が存在する。
$K_{2}(K)/N_{L/K}K_{2}(L)\simeq Ga1(L/K)^{ab}$.

そのために、 次の定理を証明する。

2.

は上述のとおりとする。複体 $Z(2)[2]$ と profinite grou$pGa1(K_{s}/K)$のなす formation は class formation の公理系を満たす o定理 4.

$K$

まず、 Lichtenbaum の複体 $Z(2)$ を証明に用いるので、簡単にその説明をする。

[5] において $Lichtenb_{\lambda}aum$ は複体 $Z(n)$ の存在を予想し、 さらに下に掲げるようないくつかの期待される性.. を指摘した。 ここで、$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$X$

は正則 noether スキームとする。

(0) $Z(0)=Z$ であり $Z(1)=G_{m}[-1]$ である。
(1) $Z(n)$ は $[1, n]$ の外では非輪状である。
を site の問の自然な射とすると、(2)$\alpha:X_{\acute{e}t}arrow X_{Zar}$$R^{n+1}\alpha_{*}Z(n)=0$が成り立つ。

(3-1) 任意の正の整数 $m$ で $X$ 上で inversible となるようなものをとると、次の triangleが存在する。
$Z(n)arrow^{m}Z(n)arrow Z/mZ(n)arrow Z(n)[1]$ ,は、 1 の $m$ 乗根の層である。
が標数 $p>0$ のスキームならぱ、 triangle

ここで、 $Z/mZ(n)=\mu_{m}^{\otimes n}$ であり

(3-2)

$X$

$\mu_{m}^{\otimes}$$Z(n)arrow p^{m^{:}}Z(n)arrow.Z/p^{m}Z’arrow Z(n)[1]$941が、 任意の $m$ に対して存在する。 ここで、 $Z/p^{m}Z(n)$$=$$\nu_{m}(n)[-n|$ であり、は全ての対数的微分で生成される de Rham-Witt 複体 WWm\Omega 災の $add_{!}tive$$\nu_{m}(n)[-n]$subsheaf である o (cf.

[8]).
(4) $m,$ $n\geq 0$ なる整数に対して、 product map$Z(n)\otimes Z(m)\llcornerarrow Z(n+m)$が存在する。
(5) は (2) に現われるものと同じものとする。すると、$\alpha$$R^{n}\alpha_{*}Z(n)=\mathcal{K}_{n}^{M}$

は Milnor $K-$ 群の $X_{Zar}$ 上での層である。
[6] と [7] において、 Lichtenbaum は $Z(2)$ が少なくとも体のスペクトラムに対しであり、 ここで$\mathcal{K}_{n}^{M}$ては存在して、 上に記した諸性質を満たすことを示した。 詳しいことについては、[5][6] や [7] を参照のこと。

さて、定理 4.2 の証明に戻る。 [6] と [7] のなかで、 Lichtenbaum は公理 2 は全ての体に対して成り立つことを示している。 公理 1 と公理 2 については、 斎藤氏が [8] のなかで証明している。従って、公理 3 が成り立つかどうかだけを証明すれば良いが、 そのために、次の命題 4.3 と命題 4.4 を証明する。
命題 4. 3.
$P$を 2 次元局所体とし、 をそれの有限次ガロア拡大体とする。 また、は $K$ の標数どは異なる素数とすれば、次の図式は可換である。
$K$

$L$

$H^{4}(K,Z(2))(l)arrow^{{\rm Res}}H^{4}(L$$\downarrow$$Q/Z$, Z(2) (科$)$$-\downarrow$$arrow^{[L:K]}$$Q/Z$

ここで、図式の縦の写豫は inv により誘導されたものである。
証明.

$n$

を任意の自然数とする。 motivic cohomology の Kummer theory より$0arrow H^{3}(K\mu_{l^{n}}^{\otimes 2})arrow H^{4}(KZ(2))arrow^{l^{n}}H^{4}(KZ(2))arrow 0$.

なる長完全系列を得る。 これと、 [2, \S 5, Theorem 1, Cor. 2.] にある図式の可換性とから、命題が出る。
証明終命題 4. 4. $K$ や は上の命題のとおりとする。 さらに、であるとする。個のとき次の図式は可換である。
$L$

$p$

は $K$ の標数と等しい素数${\rm Res}$$H^{4}(K\downarrow Z(2))(p)arrow H^{4}(L;’\downarrow Z(2))(p)$$Q/Z$$arrow^{[L:K]}$

10$Q/Z$42

図式中の縦の写豫は inv から誘導されたものである。
証明.

$n$を任意の自然数とする。 [7, \S 1] により次のような、完全系列を得る。

.

$0arrow H^{1}(K \nu_{m}(2))arrow H^{4}(KZ(2))arrow p^{m}H^{4}(KZ(2))arrow 0$

従って、次の図式の可換性が示されれぱよい。
${\rm Res}$$H^{1}(K\nu_{m}(2))arrow H^{1}(L , \nu_{m}(2))$

1$\frac{1}{p^{m}}Z/Z$$\downarrow$$arrow^{\iota_{.}.L:K].}$.

$\frac{1}{p^{m}}Z/Z$

しかし\mbox{\boldmath $\tau$} それは [3, \S 3, Proposition 1, (2)] のなかで証明されている。

証明終定理 4.1 の証明の完結$|$

定理 4.2 と命題 3.1 より有限群 $Ga1(L/K)$ と $Ga1(L/K)$ 加群の複体$\tau_{\leq 0}(R\Gamma(H, Z(2)[2]))$ は定理 21 の仮定を満たしていることが分かる。従って、-$\tilde{H}^{0}(L/K,\tau\leq o(R\Gamma(H, Z(2)[2])))=Ga1(L/K)^{ab}$.

を得るが、 $\overline{H}^{0}(L/K\tau\leq 0(R\Gamma(H, Z(2)[2])))$ が $K_{2}(K)/N_{L/K}K_{2}(L)$ と同型になってしまう。従って、定理の証明を得る o証明終References[1] Cartan, H.-Eilenberg, S.: Homological Algebra, Princeton Univ. Press[2] Kato, K.: Generaliz ation of local class feld theory by using K-groups , J.
Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 27, (1979), 303-376.
[3] Kato, K.: Generalization of loca 1 class field theory by using K-groups II, J.
Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 27, (1980), 603-683.
[4] Koya, Y.: A generaliza tion of class formation by using hypercohomology, toappear in Invent. math.
[5] Lichtenbaum, S.: Values ofzeta functions at non-negative integers, in “NumberTheory”, Lecture Note in Math. 1068, (1984), 127-138, Springer.
[6] Lichtenbaum, S.: The construction of weight-two aritbmetic cohomology, Invent. Math., 88, (1987), 183-215.
$I$

11

43

[7] Lichtenbaum, S.: New results on weight-t
motivic cohomology, preprint,(1988).
[8] Saito, S.: Arithmetic duality on wo-dimensional henselian rings, preprint,(1988).
[9] Serre, J.-P.: Corps Locaux, Hermann, Paris.
$1VO$

$t$

12