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Cardinality of quasi symmetric equivalent classes ofCantor metric spaces
筑波大学 大学院数理物質科学研究科 伊敷 喜斗
Yoshito Ishiki

Graduate School of Pure and Applied Sciences,
University of Tsukuba

1

はじめに
距離空間の擬対称性の概念は,測度距離空間上の幾何解析 (例えば [4, 7] を参照) や共形次元論 (例えば [6] を参照) など様々な分野において,重要な応用を提供している.同相写
像 \eta : [0, \infty)arrow[0, \infty) に対して,距離空間の間の同相写像 f : Xarrow Y が \eta ‐擬対称であるとは,任意の t\in[0, \infty) と任意の x, y, z\in X に対して d_{X}(x, y)\leq td_{X}(x, z) であるなら

ば d_{Y}(f(x), f(y))\leq\eta(t)d_{Y}(f(x), f(z)) を満たすときに言う.ここで, d_{X} はXの距離を表し, d_{Y} は Y の距離を表す.距離空間の問の同相写像が,ある \eta について \eta ‐擬対称であるとき,単に擬対称であると言う.二つの距離空間の間に擬対称写像が存在するときにそれらの距離空間は擬対称同値であると言う.擬対称写像の逆写像も擬対称であり,二つの擬対称写像の合成は擬対称である.よって擬対称同値性は距離空間の問の同値関係になっている.擬対称写像になっているような古典的な写像のクラスとして,双リプシッツ同型

写像や,双ヘルダー同型写像が挙げられる.
二つの距離空間がいつ擬対称同型になるのかという一意化の問題は興味深いものである.例えばTukia‐Väisaalä [8] は,距離空間が標準的な単位区間及び,標準的な円周と擬対称同型になるための必要十分条件を与えている.ここでは David‐Semmes [3] によるカントール集合に対する一意化定理に注目する.彼らはコンパクトな距離空間 (X, d) が二倍性
質,一様不連結性,そして一様完全性の三つの擬対称不変な性質を満たすならば 距離空間

(X, d) は三進カントール集合に擬対称同型であることを示した (これら三つの性質の定義については2節参照) . 一般に,三進カントール集合と同相な距離空間をカントール距離57
空間という.David‐Semmes の一意化定理は Brouwer によるカントール空間の位相的特徴付けの擬対称版になっている.Brouwer による特徴付けは,コンパクトな距離付け可能空間が,完全不連結で,完全ならばカントールその空間はカントール空間になるという定理である.ここで,位相空間が完全であるとは,孤立点を持たないという意味である.これと比較すると,David‐Semmes の定理に現れる一様不連結性と一様完全性は,それぞれ完
全不連結性と完全性に対応しているのだが,二倍性質には対応するものが Brouwer の特徴付けには現れておらず,二倍性質をその否定に置き換えても,David‐Semmes のような定理が成り立つのかどうか筆者は興味を持った.より一般に筆者は [5] において,三進カントール集合と擬対称同値ではないカントール距離空間は存在するのか,また存在するのであれば,どの程度に豊富に存在するのか,という David‐Semmes の一意化定理を補完する研究を行った.

研究成果を述べる前に記号の準備をする.距離空間 (X, d) が性質 P を満たすときに

T_{P}(X, d)=1 と表し,そうでない場合 T_{P}(X, d)=0 とする.つまり T_{P}(X, d) は (X, d)
が性質 P を満たすかどうかの真理値を表している.三つ組 (u, v, w)\in\{0,1\}^{3} に対して,距離空間 (X, d) が (u, v, w) 型であるとは,
T_{D}(X, d)=u, T_{UD}(X, d)=v, T_{UP}(X, d)=wを満たすときに言う.ここで, D は二倍性質,

UD は一様不連続性,UP は一様完全性を表す.カントール距離空間がスタンダードであるとは,それが (1, 1, 1) 型を持つときに言い,そうでないときエキゾチックと言う.例えば,三進カントール集合はスタンダードである.
距離空間 (X, d) の擬対称同値類を \mathcal{G}(X, d) で表し,距離空間 (X, d) の共形ゲージと呼ぶ.距離空間に対する共形ゲージは,共形次元論における基本概念である.三つ組(u, v, w)\in\{0,1\}^{3} に対して,共形ゲージからなるクラス \mathcal{M}(u, v, w) を
\mathcal{M}(u, v, w)= { \mathcal{G}(X, d)|(X, d) は (u, v, w) 型のカントール距離空間である }で定める.先に述べた David‐Semmes の一意化定理 ([3]) によれば, \mathcal{M}(1,1,1) は一元集合である.このこととは対照的に,主な研究成果として,次の定理を証明した.

定理1.1 ([5]). (1,1,1) ではないすべての (u, v, w)\in\{0,1\}^{3} に対して,
card(\mathcal{M}(u, v, w))=2^{\aleph_{0}}が成り立つ.ここでcard は濃度を表す.

定理1.1は,David‐Semmes の一意化定理 ([3]) を補完しており,スタンダードなカン
トール空間が特別であることを主張する.すなわち,(1, 1, 1) 型以外の各型については,ス58
タンダードな場合と違い,各型について擬対称同値でないカントール距離空間が連続体濃度個存在する.

距離空間に関する性質 P と距離空間 (X, d) に対して,その任意の近傍が性質 P を満たさないようなX の点全体を S_{P}(X, d) で表す.一般に,距離空間の性質 P が擬対称不変であるとは,二つの距離空間 (X, d ) と (Y, e) が擬対称同値で,(X, d ) が性質 P を満たすならば (Y, e) も性質 P を満たすときに言う.もしも

P が擬対称不変性質であるならば,

S_{P} は擬対称不変になっている.つまり, (X, d) と (Y, e) が擬対称同値ならば S_{P}(X, d) と

S_{P}(Y, e) もそうである.すなわち,この S_{P}(X, d) は距離空間に値をとる不変量である.定理1.1の証明の要点の一つは.この不変量が連続体濃度個の異なる値をとるように空間の族を構成することである.

二つ目の研究成果を紹介する.エキゾチックな型 (u, v, w) に対して,距離空間 (X, d) が
全エキゾチックな (u, v, w) 型を持つとは, (X, d) が (u, v, w) 型を持ち, T_{P}(X, d)=0 を満たす P\in { D, UD, UP} に対して S_{P}(X, d)=X であるときに言う.つまり、各点の任意の近傍が性質 P を満たさないということである.全エキゾチック性に関して以下の定理を得た.

定理1.2 ([5]). 任意のエキゾチックな型 (u, v, w) に対して,全エキゾチックな (u, v, w)
型を持つカントール距離空間が存在する.

定理1.2は定理1.1とは異なる形でエキゾチックなカントール距離空間の豊富さを主張している.定理1.2を証明するために列距離付けカントール距離空間 (4節参照) と万華鏡
空間 (5節参照) という二つの概念を導入した.
距離空間 (X, d) に対して,そのハウスドルフ次元を市 m_{H}(X, d) で表し,アソー次元を\dim_{A}(X, d) で表す (アソー次元の定義については6節参照).一般に,アソー次元 \dim_{A}はハウスドルフ次元 \dim_{H} 以上であることに注意する.

今回の研究で導入した概念を組み合わせることにより,与えられた2つの非負拡張実数をそれぞれハウスドルフ次元,アソー次元として持つ距離空間の構成に成功した.

定理1.3 ([5]). 任意の組 (a, b)\in[0, \infty]^{2} が a\leq b を満たすとする.このときカントール
距離空間 (X, d) が存在して \dim_{H}(X, d)=a および市 m_{A}(X, d)=b が成り立つ.

2二倍性質 , 一様不連結性,一様完全性
この節では,二倍性質,一様不連結性,一様完全性を定義し,基本的な性質を紹介する.

59

2.1

二倍性質

自然数 N\in \mathbb{N} について,距離空間 (X, d) が N ‐二倍であるとは任意のa\in X について有限点列 a_{1}, a_{2} , .

a_{N}

r>0

と任意の

が存在し,

B(a, r) \subset\bigcup_{i=1}^{N}B(a_{i}, r/2)を満たすときに言う.ここで B(a, r) で点 a を中心とする半径 r の閉球を表し,点列a_{1}, a_{2} , . . . , a_{N}には重複を許す.ある N\in \mathbb{N} について,距離空間 (X, d) が N ‐二倍である

ときに (X , のを単に二倍である,または二倍性質を持つという.
二倍性質は擬対称不変である.距離空間が二倍性質を満たすことは,後に定義するアソー次元の有限性と同値である.次に述べる定理によって,二倍性質がある種の有限次元性を表していることが端的にわかる.

定理2.1 (Assouad の埋め込み定理 [1]). 距離空間 (X, d) は二倍性質を満たすとする.このとき,任意の \varepsilon\in(0,1) に対して,ある自然数 N が存在し, (X, d^{\varepsilon}) から (\mathbb{R}^{N}, e) への双リプシッツ埋め込みが存在する.ここで, d^{\varepsilon} は d^{\varepsilon}(x, y)=(d(x, y))^{\varepsilon} で定義される距離関数であり, e は \mathbb{R}^{N} 上の標準的な距離である.

2.2

一様不連結性

次に一様不連結性を定義する.実数 \delta\in(0,1) に対して距離空間 (X, d) 内の有限点列\{z_{i}\}_{i=0}^{n} が \delta ‐鎖であるとは, d(z_{i}, z_{i+1})\leq\delta d(z_{0}, z_{n}) を満たすときに言う.また,距離空間(X, d) が \delta ‐一様不連結であるとは,X 内の任意の \delta ‐鎖が自明になるときに言う.すなわ
ち,X 内の \delta ‐鎖は常に一点のみからなるということである.ある \delta が存在して, (X, d) が\delta ‐一様不連結になるときに(X, d) を単に一様不連結という.

一様不連結性は擬対称不変になり,一様不連結な空間は完全不連結になる.一様不連結性はある種の 「等分点」 が存在しないことを述べている.例えば \mathbb{R} など等分点が豊富に存在する空間は一様不連結になり得ない.この 「等分点」 がない空間が一様不連結空間であるという考え方は後でエキゾチックなカントール空間の構成で用いる.一様不連結性には
以下のような特徴付けもある.

命題2.1 ([3]). 距離空間 (X , のが一様不連結であることと, (X, d) が超距離空間と双リ
プシッツ同型であることは同値である.

60
よって一様不連結性は,距離空間が,双リプシッツ同型程度の誤差を許して,超距離空間になるための幾何学的な条件であると考えることができる.

2.3

一様完全性

実数 c\in(0,1] に対して,距離空間 (X, d) が c‐一様完全であるとは,任意の x\in X と任意の T\in(0, diam(X)) に対して,集合 B(x, \tau)\backslash U ( x , cr) が空でないときに言う.ここでU(a, r) で点 a を中心とする半径 r の開球を表し,diam(X) でXの直径を表す.ある c について (X, d) が c‐一様完全のとき,(X, のを単に一様完全という.
一様完全性は擬対称不変になり,一様完全な距離空間は完全になる.また,一様完全な距

離空間の空でない任意の開集合のハウスドルフ次元は,開集合に依らない正の定数で下から抑えられる.

2.4

タイプと直和と直積

二つの数 u, v\in\{0,1\} について u \wedge v=\min\{u, v\} とする.距離空間の直和によって型がどう変化するかについて次のことがわかる.

命題2.2. 有界距離空間 (X, のと (Y, e) がそれぞれ (u_{1}, v_{1}, w_{1}), (u_{2}, v_{2}w_{2}) 型を持つな
らば,その直和距離空間 (X\sqcup Y, d\sqcup e) は (u_{1}\wedge u_{2}, v_{1}\wedge v_{2}, w_{1}\wedge w_{2}) 型を持つ.ここで直和距離 d\sqcup e はX とY の上ではそれぞれ d とeに一致するように定め,

x\in Xと y\in Y

については (d \sqcup e)(x, y)=\max\{diam(X), diam(Y)\} と定めた距離関数とする.

次に直積について考えよう.ここでは,二つの距離空間 (X, d), (Y, e) が与えられたとき
X\cross Y 上の距離 d\cross e を(x, y), (z, w)\in X\cross Y に対して

(d \cross e)((x, y), (z, w))=\max\{d(x, z), e(y, w)\}と定義する.直積によって二倍性質と一様不連結性は次のように変化する.

命題2.3. 記号 P は二倍性質 D かもしくは一様不連結性 UD を表すとする.このとき二つの距離空間 (X , のと (Y, e) について T_{P}(X\cross Y, d\cross e)=T_{P}(X, d)\wedge T_{P}(Y, e) である.
一様完全性については次のことがわかる.

命題2.4. 二つの距離空間 (X, d) と (Y, e) が一様完全ならば,その直積空間 (X\cross Y, d\cross e)
も一様完全である.

61
61
二倍性質や一様不連結性のように一様完全性について, \tau_{uP}(X\cross Y, d\cross e) を \tau_{uP}(X, d)と \tau_{uP}(Y, e) で書き表すことはできない.実際,一様完全ではない二つの距離空間の直積
は,一様完全になる場合もあるし,ならない場合もある.このような現象が起こるのは,二倍性質や一様不連結性と違って,一様完全性が部分距離空間に遺伝的でないことが関係し
ている.

3

望遠鏡空間
この節では,望遠鏡空間の概念を導入し,定理1.1の証明の概略を説明する.その準備として以下の概念を導入する.

3.1

望遠鏡空間と尖的空間

定義3.1. 距離空間の性質 P に対して,距離空間 (X, d) が P ‐尖的であるとは S_{P}(X, d)が一点になるときに言う.

記号 P が D, UD, UP を表しているときに, P ‐尖的空間の存在を示すために,望遠鏡空間という新しい空間構成法を用いた.この望遠鏡空間は可算個の空間をだんだん小さくなるようにスケーリングして,可算直和をとることによって得られる.

定義3.2 (望遠鏡空間).三つ組 \mathcal{B}=(B, d_{B}, b) が望遠鏡底であるとは, (B, d_{B}) が可算離散空間の一点コンパクト化と同相な距離空間で,さらに b : \mathbb{N}\cup\{\infty\}arrow B が全単射写像
で, b_{\infty} が B のただ一つの集積点になっているときに言う.また,

R_{n}( \mathcal{B})=\sup\{r\in(0, \infty)|U(b_{n}, r)=\{b_{n}\}\}と置く.そして \mathcal{X}=\{(X_{i}, d_{i})\}_{i\in \mathbb{N}} を距離空間の可算族とし, \mathcal{B}=(B, d_{B}, b) を望遠鏡底とする.このとき \mathcal{P}=(\mathcal{X}, \mathcal{B}) が両立対であるとは,任意の n\in \mathbb{N} について
diam (X_{n})\leq R_{n}(\mathcal{B}) が成り立つこととする.両立対 \mathcal{P}=(\mathcal{X}, \mathcal{B}) に対してT(\mathcal{P})=(\coprod_{i\in \mathb {N} X_{i})\sqcup\{\infty\}

62と定義し, T(\mathcal{P}) 上の距離 d_{\mathcal{P} を

d_{\mathcal{P}}(x, y)=\{d_{i}(x, y)d_{B}(b_{i}, b_{j})d_{B}(b_{\infty}, b_{i})d_{B}(b_{i}, b_{\infty})

ある i について x, y\in X_{i} のとき,
ある i\neq j について x\in x_{iy}\in X_{j} のとき,ある i について x=\infty, y\in X_{i} のとき,ある i について x\in x_{iy=\infty} のときで定義する.このとき距離空間 (T(\mathcal{P}), d_{P}) を \mathcal{P} の望遠鏡空間という.

両立対 \mathcal{P} をうまくととることによって尖的空間の存在を証明することができる.次の二つの望遠鏡底が鍵を握る.まず, R=\{0\}\cup\{2^{-n}|n\in \mathbb{N}\} と定め, d_{R} で \mathbb{R} から誘導される

R の距離を表す.そしてr: \mathbb{N}\cup\{\infty\}arrow R を r(\infty)=0, r_{n}=2^{-n} と定義すると,\mathcal{R}=(R, d_{R}, r) は望遠鏡底になっている.また, V=\{0\}\cup\{1/n!|n\in \mathbb{N}\} と定め, dv で\mathbb{R} から誘導される V の距離を表す.そしてv: \{\infty\}\cup \mathbb{N}arrow V を v(\infty)=0, v(n)=1/n!

と定義すると, \mathcal{V}= ( V, dv, v) は望遠鏡底になっている.
まずは二倍性質 D について考えよう.三進カントール集合 (\Gamma, d_{\Gamma}) と任意の n\in \mathbb{N} に対して Z_{n} を Z_{n}=\square _{i=1}^{n}\Gamma と定義する.つまり \Gamma の n 個の直和である.また, Z_{n} 上の距
離 z_{n} を各直和成分の上では d_{\Gamma} に一致するように定め,違う成分に属する元同士の距離は1と定める.そして \mathcal{Z}=\{(Z_{i}, 2^{-i-1}z_{i})\}_{i\in N} と定義すると \mathcal{A}=(\mathcal{Z}, \mathcal{R}) は両立対になっており,次のことが成り立つ.
補題3.1. (T(\mathcal{A}), d_{\mathcal{A} ) は D ‐尖的で (0,1,1) 型を持つカントール距離空間である.
証明の概略.距離空間 (T(\mathcal{A}), d_{\mathcal{A} ) が D ‐尖的であることの証明の概略を述べる.型については省略する.構成の仕方から, (T(\mathcal{A}), d_{\mathcal{A} ) の中で \infty の任意の近傍に対して,十分大きい M\in \mathbb{N} について n\geq M ならば n 個の元からなる離散距離空間を,部分距離空間として含んでいる.このことと,Assouad の埋め込み定理2.1から \infty の任意の近傍は二倍性質を満たさないが, \infty 以外の任意の点は三進カントール集合と相似な近傍を持つので、

S_{D}(T(\mathcal{A}, d_{\mathcal{A}}))=\{\infty\} となる.

\square

次に一様不連結性 UD について考える. F_{n}\subset \mathbb{R} を

F_{n}= \frac{2^{-n-1} {2n-1}(\bigcup_{i=0}^{n-1}(2i+\Gamma)と定義し, f_{n} を \mathbb{R} から誘導される瑞の距離とし, \mathcal{F}=\{(F_{i}, f_{i})\}_{i\in \mathbb{N}} とする.このとき\mathcal{B}=(\mathcal{F}, \mathcal{R}) は両立対である.そして次のことが成り立つ.

63
補題3.2.

(T(\mathcal{B}), d_{\mathcal{B} ) は UD ‐尖的で (1, 0,1) 型を持つカントール距離空間である.

証明の概略.距離空間 (T(\mathcal{B}), d_{\mathcal{B} ) が UD ‐尖的であることのみ説明する.型についての議論は省略する.空間 F_{n} は\{2^{-n-1}/(2n-1), 2\cdot 2^{-n-1}/(2n-1), . (2n-1)\cdot 2^{-n-1}/(2n-1)\}を含んでいるので,

2n-1 等分点が存在する.特にこれは1/(2n-1) ‐鎖になっている.空間 (T(\mathcal{B}), d_{\mathcal{B} ) の中で \infty の任意の近傍 U に対して, M\in \mathbb{N} が存在して n\geq M ならば,
F_{n}\subset U である.よって U は一様不連結ではない.一方で, \infty 以外の点は三進カントール

集合と相似な近傍をもつので, S_{uD}(T(\mathcal{B}), d_{B})=\{\infty\} である.

\square続いて,一様完全性 UP について考える.集合 G_{n}\subset \mathbb{R} を G_{n}= (1/(n+1)!)\Gamma と定義

し, g_{n} を \mathbb{R} から誘導される G_{n} の距離とする.このとき \mathcal{C}=(\mathcal{G}, \mathcal{V}) は両立対であり,次が成り立つ.

補題3.3. (T(C), d_{C}) はUP‐尖的で ( 1, 1, 0) 型を持つカントール距離空間である.
証明の概略.空間 (T(C), d_{\mathcal{C}}) がUP‐尖的であることを見よう.型についての説明については省略する.任意の c\in(0,1 ] に対して n\in \mathbb{N} が存在して 1/(n+1)!<c/n! を満たす.
よって集合 B(\infty, 1/n!)\backslash U(\infty, c/n!) は空集合になる.また, \infty 以外の点はカントール集
合と相似な近傍を持つので S_{uP}(T(\mathcal{C}), d_{C})=\{\infty\} となる.

\square以上をまとめて次の補題を得る.

補題3.4.

(1) (0,1,1) 型を持つ D ‐尖的なカントール距離空間が存在する.

(2) (1, 0,1) 型を持つ UD ‐尖的なカントール距離空間が存在する.
(3) ( 1, 1, 0) 型を持つ UP‐尖的なカントール距離空間が存在する.
また,この補題と命題2.2から次のことがわかる.
命題3.1. 任意の (u, v, w)\in\{0,1\}^{3} について, (u, v, w) 型を持つカントール距離空間が
存在する.

3.2

定理1.1の証明

次の一般位相空間論的な補題も定理1.1の証明の要になっている.

命題3.2. 三進カントール集合の閉部分集合族 \{\Xi(x)\}_{x\in I} が存在して以下を満たす.

64(1) card (I) =2^{\aleph_{0}}.

(2) x\neq y ならば三 (x) と三 (y) は同相ではない.
(3) 各三 (x) の孤立点全体は三 (x) の中で稠密である.
この命題で構成された \{\Xi(x)\}_{x\in I} を S_{P} の値としてとるようにカントール距離空間を構成する.具体的には {三 (x) } と尖的空間の直積をとる.一般に P ‐尖的空間 (X, d) と他の距離空間 (Y, e) の直積について, S_{P}(X\cross Y, d\cross e) が Y と同相になる保証はないが,先ほど構成した D, UD, UP‐尖的空間と \{\Xi(x)\}_{x\in I} については以下に示す命題が成り立つ.

命題3.3. (E, d_{E}), (F, d_{F}), (G, d_{G}) をそれぞれ,補題3.4で存在が保証されている D,
UD, UP‐尖的空間とする.そして命題3.2の三 (x) の距離砺を三進カントール集合から誘導される距離とする.このとき任意の x\in I に対して,(1) S_{D} ( E\cross 三 (x), d_{E}\cross d_{x} ) \approx\Xi(x) ,(2) S_{UD}(F\cross\Xi(x), d_{F}\cross d_{x})\approx 三 (x) ,(3) S_{UP} ( G\cross 三 (x), d_{G}\cross d_{x} ) \approx\Xi(x)が成り立つ.ここで,記号 \approx は同相を意味する.

証明の概略.(1), (2) については,命題2.3から従う.一様完全性については命題2.3のよ
うなことが成り立たないので,(3) を (1), (2) と同様に証明することはできない.(3) を証明するために \Xi(x) の孤立点全体の集合が三 (x) の中で稠密であることを用いる.詳細は省略する.

\square定理1. 1の証明の概略.簡単のため card (\mathcal{M}(0,0,0))=2^{\aleph_{0}} のみ示す.ほかの場合も同様に証明できる.まず (F, d_{F}) をして( X , dx)

D ‐尖的な(0,1,1) 型を持つカントール距離空間とする.そを (1, 0,0) 型をもつカントール距離空間とする.このような空間の存在は

命題3.1によって保証される.また,各 x\in I に対して,三進カントール集合 \Gamma の距離を
三 (x) に制限した距離を砺と書くことを思い出そう.そして写像 f : Iarrow \mathcal{M}(0,0,0) を

f(x)=\mathcal{G}((F\cross\Xi(x))\sqcup X, ( d_{F}\cross d の嫁 d_{X} )と定義する.各 x\in I に対して, S_{D}(f(x))=\Xi(x) が成り立つので, f(x)=f(y) ならば
x=y

となり,

2^{\aleph_{0}}\leq card(\mathcal{M}(0,0,0))がわかる.逆向きの不等式はカントール空間の第二可算性から直ちに従う.□

65

3.3

定理1.1の証明のアイディア

上の証明のアイディアについて,単純な三つの位相空間を用いて説明する.
二次元開円板 D=\{x\in \mathbb{R}^{2}|\Vert x\Vert<1\} と,位相空間 E=D\cup\{(0,1)\} と位相空間

F=D\cup\{(0,1), (0, -1)\} を考える.位相は \mathbb{R}^{2} から誘導される相対位相とする.この三つの空間 D, E, F は互いに同相ではない.このことを詳しく見て行こう.まず, D と E,
そして D とF が同相ではないことはすぐにわかる.何故ならば, D は局所コンパクトで,E と F はそうではないからである.特に E の点(0,1) と F の点 (0,1), (0, -1) はコンパクトな近傍を持たない.次に E と F を区別することを考える.

Eと F は互いに局所コンパクトではないので,局所コンパクト性という位相不変な性質によってこれらを区別することはもはや不可能である.しかしながら,局所コンパクト性がどの点で破綻しているのかを細かく見ることによって,これら二つの空間を区別できる.位相空間 X に対して,S(X) で,コンパクトな近傍を持たない Xの点全体を表すことにする.このとき,X と Yが同相ならば, S(X) と S(Y) もそうである.先ほど述べたことにより, S(E)=\{(0,1)\},

S(F)=\{(0,1), (0, -1)\} となる.これら二つは濃度が異なるため,同相にはなり得ない.
よって E とF も同相ではない.このように,位相的な性質 P を満たさない二つの空間は,もちろん P によってはもはや区別できないが,P がどの点で破綻しているのかを詳しく見ることによって,区別できる場合がある.この考え方を位相的な性質ではなく擬対称不変な性質とカントール距離空間に対して実行したのが定理1.1の証明である.

4

列距離付けカントール距離空間
今から4節と5節で列距離付けカントール距離空間と万華鏡空間を導入しつつ,定理

1.2で述べられた空間を構成して行こう.まず列距離付けカントール距離空間を導入する.
全エキゾチックな (0,1,1), (1,1,0), (0,1,0) な型をもつカントール距離空間は列距離付け
カントール空間として構成できる.

記号 2^{\mathb {N} で \mathb {N} から \{0,1\} への写像全体を表す.各 u\in(0,1) に対して 2^{\mathb {N} はd(x, y)=u^{\min\{n\in \mathbb{N}1x_{n}\neq y_{n}\}}で定義される超距離 d を持ち,この距離空間はカントール距離空間になる.David‐

Semmes [3] の研究などの先行する研究において, (2^{\mathbb{N} , d) という距離空間は抽象的なカン

トール空間として,三進カントール集合よりも使用されることが多い.先行研究 [3] などで66
は上記のように等比数列 \{u^{n}\}_{n\in \mathbb{N} を用いて d を定義しているが,より一般の数列を用いることによってこの構成を拡張した.

定義4.1. 写像 \alpha : \mathbb{N}arrow(0, \infty) が収縮列であるとは, \alpha が単調非増加であり,narrow\inftyのとき \alpha(n) が 0 に収束するときに言う.収縮列 \alpha に対して 2^{\mathb {N} 上の超距離を

d_{\alpha}(x, y)=\{\begin{ar ay}{l } \alpha(\min\{n\in \mathb {N}|x_{n}\neq y_{n}\}) x\neq y のとき， 0 x=y のとき \end{ar ay}と定義する.このとき (2^{\mathbb{N} , d_{\alpha}) はカントール空間である.この (2^{N}, d_{\alpha}) を \alpha によって距離付けされた列距離付けカントール距離空間と呼ぶ.

列距離付けカントール距離空間は超距離空間なので常に一様不連結であるが,その二倍性質,一様完全性は距離付けに使われる収縮列 \alpha の 0 へ収束するときの振る舞いによって判別できる.実際,次の二つの命題が成り立つ.
命題4.1.

\alphaを収縮列とする.このとき距離空間 (2^{\mathbb{N} , d_{\alpha}) が二倍性質を持つための必要十分条件は,ある N\in \mathbb{N} が存在し,任意の k\in \mathbb{N} についてcard (\{n\in \mathbb{N}|\alpha(k)/2\leq\alpha(n)\leq\alpha(k)\})\leq Nが成り立つことである.

命題4.2.

\alphaを収縮列とする.このとき距離空間 (2^{\mathbb{N} , d_{\alpha}) が一様完全であるための必要十分条件は,ある \rho\in(0,1) が存在し任意の n\in \mathbb{N} について

k>n が存在して\rho\alpha(n)\leq\alpha(k)が成り立つことである.

また,列距離付けカントール距離空間は , 次に述べるように,ある種の自己相似性を持っている.

命題4.3. 収縮列 \alpha と m\in \mathbb{N} について, \alpha^{\{m\}} を \alpha^{\{-\}}(n)=\alpha(n+m-1) と定められた収縮列とする.このとき (2^{\mathbb{N} , d_{\alpha}) の閉球 B(x, \alpha(m)) は (2^{\mathbb{N} , d_{\alpha^{\{m\}} ) と等長である.

これらの命題を使って全エキゾチックな (0,1,1), (1,1,0), (0,1,0) 型を持つカントール
距離空間を構成することができる.具体的には次のように行う.収縮列 \alpha を \alpha(n)=1/n

で定め,収縮列 \beta を \beta(n)=1/n! で定める.そして \mathbb{R} の部分集合 (\beta(2n-1)/2, \beta(2n-1))67に属する互いに異なる n 個の数 r_{1,n}, r_{2,n} , . . . , r_{n,n} を選び,集合\beta(\mathbb{N})\cup\{r_{i,n}|n\in \mathbb{N}, i\in\{1,2, . . . , n\}\}を大きい順に番号付けして得られる収縮列を \gamma とする.このとき次が成り立つ.

命題4.4. (2^{\mathbb{N} , d_{\alpha}), (2^{\mathbb{N} , d_{\beta}), (2^{\mathbb{N} , d_{\gamma}) はそれぞれ全エキゾチックな (0,1,1), (1,1,0) ,(0,1,0) な型を持つカントール距離空間である.

5

万華鏡空間
次に万華鏡空間を導入する.万華鏡空間とは [0,1] の等分点の集合の可算直積で,単調関数によって修正された上限距離を持つものである.定理1.2の証明において (1, 0,1) ,(1, 0,0) 型の全エキゾチックカントール距離空間は万華鏡空間として構成される.
定義5.1 (万華鏡空間).各 n\in \mathbb{N} に対して、 \mathbb{R} の部分集合 K_{n} を
K_{n}=\{k/n|k\in\{0, . . , , n\}\}で定義し,砺を \mathbb{R} から誘導される K_{n} の距離とする.列 a : \mathbb{N}arrow(0, \infty) は任意の n について 2na_{n}<a_{n+1} を満たすとする.そして K(a)=H_{n\in \mathbb{N}}^{K_{n}} , とし、

d_{K(a)} をK(a) 上の距離

d_{K(a)}(x, y)= \sup-d_{n}(x_{n}, y_{n})1n\in \mathbb{N} anと定義する.ここで x=(x_{n}), y=(y_{n}) である.このとき距離空間(K(a), d_{K(a)}) を a の万華鏡空間と呼ぶ.

万華鏡空間について次のことが成り立つ.

命題5.1. 単調増加列 a を a_{n}=2^{n}\cdot n! と定義し,単調増加列 b を b_{n}=(2n)! と定義する.

このとき距離空間 (K(a), d_{K(a)}) と (K(b), d_{K(b)}) はそれぞれ全エキゾチックな (1, 0,1) ,(1, 0,0) 型をもつカントール距離空間である.
全エキゾチックな (0,0,0) 型のカントール距離空間は,万華鏡空間の構成に現れる直積因子を少し修正し,二倍性質を壊すことで得られる.自然数 n\in \mathbb{N} について (A_{n}, e_{n})をn点からなる離散距離空間で異なる二点間の距離が 1/2n になるものとする.そして(L_{n}, D_{n})=(A_{n}\cross K_{n}, e_{n}\cross d_{n}) とし, L= \prod_{i\in \mathbb{N}}L_{i} とする.そして L 上の距離 d_{L} を68x,y\in L に対して

d_{L}(x, y)= \sup_{n\in \mathbb{N} \frac{1}{(2n)!}D_{n}(x_{n}, y_{n})と定義する.ここで x=(x_{n}), y=(y_{n}) である.このとき

命題5.2. (L, d_{L}) は全エキゾチックな (0,0,0) 型を持つカントール距離空間である.
以上で述べたことにより定理1.2で述べられた全エキゾチックなカントール距離空間

は (0,0,1) 型のものを除いてすべて構成されたことになる.残っている全エキゾチックな (0,0,1) 型を持つカントール距離空間は (0,1,1) 型と (1,0,1) 型の全エキゾチックカン
トール距離空間の直積空間として得られる.これで定理1.2に述べられた空間がすべて構
成された.

6

指定次元問題
以上のカントール距離空間の研究の応用として,アソー次元とハウスドルフ次元の両方に関する指定次元問題に解を与える定理1.3について述べる.

距離空間 (X, d) に対して,写像 \mathcal{N} : (0,2)arrow \mathbb{N}\cup\{\infty\} を \epsilon\in(0,2) に対して,次の条件を満たす N\in \mathbb{N} の下限で定義する.すなわち,(X, d) の半径 r の閉距離球は高々 N 個の半径 \epsilon\tau の閉距離球で覆うことができるという条件である.アソー次元 \dim_{A}(X, d) は次の条件を満たす s\in(0, \infty) の下限として定まる.すなわち,ある K\in(0, \infty) が存在してす
べての \epsilon\in(0,2) に対して \mathcal{N}(\epsilon)\leq K\epsilon^{-8} を満たすという条件である.アソー次元が有限なことと,空間が二倍性質を満たすことは同値である.一般に,アソー次元 \dim_{A} はハウス
ドルフ次元 \dim_{H} 以上である.

集合 X上の距離 d と実数 \epsilon>0 に対して d^{\epsilon} が距離になるとき,距離空間 (X, d^{\epsilon} ) を(X, d ) の雪片距離空間という.雪片距離空間について \dim_{H}(X, d^{\epsilon})=\epsilon^{-1}\dim_{H}(X, d) お
よび, \dim_{A}(X, d^{\epsilon})=\epsilon^{-1}\dim_{A}(X, d) が成り立つ.超距離空間 (X, d) については,任意の\epsilon>0 に対して, d^{\epsilon} が超距離になることが確かめられる.また,二つの距離空間(X, d) と(Y, e) に対して,次元の有限安定性と呼ばれる次の等式が成り立つ.

\dim_{H}((X, d)\sqcup(Y, e))=\max\{\dim_{H}(X, d), \dim_{H}(Y, e)\},\dim_{A}((X, d)\sqcup(Y, e))=\max\{\dim_{A}(X, d), \dim_{A}(Y, e)\}.
次の補題は,ある意味で標準的な列距離付けカントール距離空間に対して,二つの次元が一致することを述べている.

69
補題6.1.

u\in(0,1) とする.そして収縮列 [u] を [u](n)=u^{n} と定義する.このとき\dim_{A}(2^{\mathbb{N}}, d_{[u]})=\dim_{H}(2^{\mathbb{N}}, d_{[u]})=\log 2/\log (u^{-1})である.

定理1.3の証明の概略.証明の鍵は,まず (a, b)=(0,1) の場合の問題を解くことにある.
収縮列 \alpha を \alpha(n)=2^{-n^{3}} と定義し,収縮列 \theta を集合\alpha(\mathbb{N})\cup\{2^{-k}\alpha(n)|n\in \mathbb{N}, k=1, . n\}を大きい順に番号付けした列とする.このとき,収縮列 \theta によって距離付けされた列距

離付けカントール距離空間 (2^{\mathbb{N} , d_{\theta}) は, \dim_{H}(2^{\mathbb{N}}, d_{\theta})=0 および \dim_{A}(2^{\mathbb{N}}, d_{\theta})=1 を満たす.この (a, b)=(0,1) の場合を足掛かりに一般の場合を証明する.簡単のために(a, b)\in(0, \infty)^{2} の場合のみ証明する.ほかの場合は万華鏡空間を使って証明できる.まず, \dim_{H}(2^{\mathbb{N} , d_{\theta}^{1/b})=0 で市 m_{A}(2^{\mathbb{N} , d_{\theta}^{1/b})=b に注意しよう.そして u=2^{-1/a} とすると,補題6.1より,\dim_{H}(2^{\mathbb{N}}, d_{[u]})=\dim_{A}(2^{\mathbb{N}}, d_{[u]})=aである.よって次元の有限安定性を用いて, (2^{\mathbb{N} \sqcup 2^{\mathbb{N} , d_{\theta}^{1/b}\sqcup d_{[u]}) のアソー次元,ハウスド
ルフ次元がそれぞれ a, b であることがわかる.このようにして定理1.3が得られる.

\square参考文献[1] P. Assouad, Plongements lipschitziens dans \mathbb{R}^{n} , Bull. Soc. Math. France 111(1983), 429‐448.
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