数理解析研究所講究録
第 1872 巻 2014 年 183-190

183Hall の定理の一般化(Generalization of a theorem of P. Hall)
熊本大学大学院自然科学研究科 千吉良直紀
Department of Mathematical Sciences,
Kumamoto University
本研究は淺井恒信氏 (近畿大学)学)

庭崎隆氏 (愛媛大学)との共同研究である。詳細は [1] を参照されたい。

1

Introduction、、竹ケ原裕元氏 (室蘭工業大

P. Hall の定理といってもたくさんあるが、 ここでいう P. Hall の定理とは

P. Hall,
On a theorem of Frobenius,
Proc. London Math. Soc. 40 (1936) 468-501にある定理のことである。 まずは記号の準備をしておく。
$A,$
を有限群とし、 は に作用するとする。 半直積 $AG=A\ltimes G$ を考える 1。 $a\in A$
$G$

$A$

$G$に対して$M_{n}(G, a\cdot)=\{x\in G|(ax)^{n}=1\}$とおく。
$(ax)^{n}=a^{n}\cdot x^{a^{n-1}}\cdots x^{a^{2}}\cdot x^{a}\cdot x$であり、 $A\cap G=1$ であることから、$M_{n}(G, a)\neq\emptyset \Leftrightarrow a^{n}=1$であることがわかる。 したがって $a^{n}=1$ であるとき、$M_{n}(G, a)=\{x\in G|x^{a^{n-1}}\cdots x^{a^{2}}\cdot x^{a}\cdot x=1\}$である。
$1AG$ の中では、 $x\in G,$ $a\in A$ に対して $x^{a}=a^{-1}xa$である。

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Theorem (P. Hall, a special case of Theorem 1.7). Let
for any $a\in A,$$\chi$be a$\mathbb{C}$-character of $AG$ . Then$\frac{1}{gcd(n,|G|)}\sum_{x\in M_{n}(G,a)}\chi(ax)$is an algebraic integer.

Remark 1. なぜこの 「特別な場合」 の話に注目するかについて述べる。
$\bullet$上の定理で $\chi=1_{AG}$ とすると、 $a^{n}=1$ ならば$|M_{n}(G, a)|=\#\{x\in G|x^{a^{n-1}}\cdots x^{a^{2}}\cdot x^{a}\cdot x=1\}\equiv 0 (mod gcd(n, |G|))$となる。 これは P. Hall, Theorem 1.6 に相当する。
$\bullet$上の定理で、 $A$ が $G$ に自明に作用する場合を考えると、$M_{n}(G, a)=\{x\in G|x^{n}=1\}$となる。 $a=1$ の時を考えると、$\frac{1}{gcd(n,|G|)}\sum_{x\in\{x\in G|x^{n}=1\}}\chi(x)$が algebraic integer ということになる。 これは Frobenius の定理で、実際にはもつと強いことがいえて、 この値は整数になることが知られている。
$\bullet$

さらに $\chi=1_{G}$ にすれば、 よく知られた Frobenius の定理$\#\{x\in G|x^{n}=1\}\equiv 0 (mod (n, |G|))$が得られる。口とする。すなわち、 $\rho:Aarrow$ Aut $(G)$ なる準と書くことにする。 $Z_{\rho}(A, G)$ で $A$
を単にから $G$ への crossed homomorphism 全体の集合を表すことにする。 ここで、 : $Aarrow G$ がが $G$ に作用しているので、 その作用を同型を考える。 $a\in A,$ $x\in G$ に対して、$A$$\rho$$x^{\rho(a)}$$x^{a}$$\varphi$crossed homomorphism (斜準同型) であるとは、$\varphi(ab)=\varphi(a)^{b}\varphi(b)$が成り立つ時をいう。

$A=\langle a\rangle$が位数$n$

for any$a,$ $b\inA$であるとき、$Z_{\rho}(A, G) arrow M_{n}(G, a)$$\iota v (v$$\varphi \mapsto \varphi(a)$が 1 対 1 対応になる。そこで、 P. Hall の定理を crossed homomorphism に書き換えてやると証明の見通しがよくなって証明が簡潔になる。まずはその話をする。

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2Known results
本題に入る前にこれまでに知られていることをまとめておく。

Theorem (Asai-Yoshida (1993)). $|Z_{\rho}(A, G)|\equiv 0$ mod $gcd(|A/A’$ : $\Phi(A/A’)|,$ $|G|))$ .
$($Conjecture (Asai-Yoshida). $|Z_{\rho}(A, G)|\equiv 0$ $(mod |A/A’|, |G|)$ .
次の場合は正しいことが示されている。
$\bullet$

both$A$and$G$

are abelian.

$\bullet A=Z_{p^{e}}\cross Z_{p}\cross\cdots\cross Z_{p}.$$\bullet p>2,$$A=Z_{p^{e}}\cross Z_{p^{2}}\cross Z_{p}\cross\cdots\cross Z_{p}.$その他にも特別な場合で成立することが確かめられているものがある。詳しくは、竹ケ原裕元氏の報告 [3] などを参照されたい。

3

Crossed homomorphisms$H\subseteq G$をとる。 この $H$ を使って $Z_{\rho}(A, G)$ を分割することを考える。 $\varphi\in Z_{\rho}(A, G)$ に対して、$\mathcal{X}_{H}(\varphi)=\{\psi\in Z_{\rho}(A, G)|\psi(a)H=\varphi(a)H$

for any $a\in A\}$とおく。

Lemma 1.

$\mathcal{X}_{H}(\varphi)=\mathcal{X}_{H}(\varphi’)$$\Leftrightarrow$$\mathcal{X}_{H}(\varphi)\cap \mathcal{X}_{H}(\varphi’)\neq\emptyset.$$\Omega_{H}=\{\mathcal{X}_{H}(\varphi)|\varphi\in Z_{\rho}(A, G)\}$とおくと、 上の補題から$Z_{\rho}(A, G)= \bigcup_{X\in\Omega_{H}}X$という disjoint union になる。

次に crossed homomorphism の共役を考える。 $\varphi\in Z_{\rho}(A, G)$ と $g\in G$ に対して、$\varphi^{g}(a)=(g^{a})^{-1}\varphi(a)g$と定めると、Lemma 2.

$\varphi^{g}\in Z_{\rho}(A, G)$となる 2。

$\mathcal{X}_{H}(\varphi^{h})=\{\psi^{h}|\psi\in \mathcal{X}_{H}(\varphi)\}$2 この共役は鈴木 [2, P.240] にある。

for $h\in H.$

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この補題により、 $H$ が$\Omega_{H}$に作用することになる。

$\mathcal{X}_{H}(\varphi)$の固定部分群を$\tilde{H}_{\varphi}$とおく。

すなわち、$\tilde{H}_{\varphi}=\{h\in H|\mathcal{X}_{H}(\varphi^{h})=\mathcal{X}_{H}(\varphi)\}$とする。

Lemma 3. The following hold.
(1)

(2)

$\tilde{H}_{\varphi}=\bigcap_{a\in A}H^{a\varphi(a)}.$$\mathcal{X}_{H}(\varphi)=\mathcal{X}_{\tilde{H}_{\varphi}}(\varphi)$

また、$a,$ $b\inA$$\psi\in \mathcal{X}_{\tilde{H}_{\varphi}}(\varphi)$.とすると、 任意の $a\in A$ に対して、$\varphi(a)^{-1}\psi(a)\in\tilde{H}_{\varphi}$に対して、$\varphi(ab)^{-1}\psi(ab)=(\varphi(a)^{b}\varphi(b))^{-1}\psi(a)^{b}\psi(b)$$=\varphi(b)^{-1}b^{-1}\varphi(a)^{-1}b\cdot b^{-1}\psi(a)b\psi(b)$$=(\varphi(a)^{-1}\psi(a))^{b\varphi(b)}\varphi(b)^{-1}\psi(b)$となるので、$\varphi^{-1}\psi\in Z_{\rho\varphi}(A,\tilde{H}_{\varphi})$であることがわかる。 ここで、$\tilde{A}_{\varphi}:=\{a\varphi(a)|a\in A\}\cong A$

であることに注意しておく。このことから、$\mathcal{X}_{\tilde{H}_{\varphi}}(\varphi) arrow Z_{\mu\rho}(A,\tilde{H}_{\varphi})$$\iota v$

俺$\psi \mapsto \varphi^{-1}\psi$が 1 対 1 対応であることがわかる。したがって$\mathcal{Y}_{H}(\varphi)=\bigcup_{h\in H}\mathcal{X}_{H}(\varphi)^{h}$とおくと、 次のことがわかる。

Lemma 4.

$|\mathcal{Y}_{H}(\varphi)|=|H$

もちろん、 $Z_{\rho}(A, G)$ は:$\tilde{H}_{\varphi}|\cross|Z_{\rho\varphi}(A,\tilde{H}_{\varphi})|.$$\mathcal{Y}_{H}(\varphi)$

達の disjoint union である。 そこで、 もし、$|Z_{\mu p}(A,\tilde{H}_{\varphi})|\equiv 0 (mod |\tilde{H}_{\varphi}|)$がいつでも成り立つことがいえれば、$|Z_{\rho}(A, G)|\equiv 0 (mod |H|)$ということになる。

であるが、

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4$A$

さて、が cyclic の場合$A=\langle a\rangle$の場合について述べる。

Lemma 5. Suppose that$A$

is cyclic and$G$is a -group. If $|G|$ divides $|A|,$ $then|Z_{\rho}(A, G)|=$$p$$|G|.$

Theorem. If$A$

is cyclic, then$|Z_{\rho}(A, G)|\equiv 0 (mod gcd(|A|, |G|))$

Proof.

$H$として $G$ の部分群で位数が $gcd(|A|, |G|)$ を割り切るをとる。 Lemma 5 より $\varphi\in Z_{\rho}(A, G)$ に対して、
4 より$P$.の最高幕であるようなものとなるので、 Lemma$|Z_{\rho}(A, H_{\varphi})|=|H_{\varphi}|$$|\mathcal{Y}_{H}(\varphi)|=|H|$がいえるので、 定理が成り立つことがわかる。

Theorem. Let$\chi$

be a$\mathbb{C}$

口-character of $AG$ . Then$\frac{1}{gcd(|A|,|G|)}\sum_{\varphi\in Z_{\rho}(AG)},\chi(a\varphi(a))$

is an algebraic integer.

Proof.

$H$として $G$ の部分群で位数が $gcd(|A|, |G|)$ を割り切る$P$の最高幕であるようなものをとる。
$\sum_{\varphi\in Z_{\rho}(AG)},\chi(a\varphi(a))=\sum_{i=1\varphi\in}^{\ell}\sum_{\mathcal{Y}_{H}(\varphi_{i})}\chi(a\varphi(a))$

なので、$\sum_{\psi\in \mathcal{Y}_{H}(\varphi)}\chi(a\psi(a))$の部分を考える。

$\sum_{\psi\in \mathcal{Y}_{H}(\varphi)}\chi(a\psi(a))=\sum_{i=1_{\psi\in}}^{r}\sum_{\mathcal{X}_{H}(\varphi^{h_{j}})}\chi(a\psi(a))$$= \sum_{i=1\psi}^{r}\sum_{\in \mathcal{X}_{H}(\varphi)}\chi(a\psi^{h_{j}}(a))$

ここで、$a\psi^{h_{j}}(a)=(a\psi(a))^{h_{j}}$

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であるから

$\sum_{i=1}^{f}\sum_{\psi\in \mathcal{X}_{H}(\varphi)}\chi(a\psi^{h_{j}}(a))=\sum_{i=1}^{r}\sum_{\psi\in \mathcal{X}_{H}(\varphi)}\chi(a\psi(a))$$=|H: \tilde{H}_{\varphi}|\cross\sum_{\psi\in \mathcal{X}_{H}(\varphi)}\chi(a\psi(a))$となる。 さらに$\mathcal{X}_{H}(\varphi) arrow Z_{\rho\varphi}(A,\tilde{H}_{\varphi})$

俺$(v$$\psi \mapsto \varphi^{-1}\psi$が 1 対 1 対応であり、$A$が cyclic で$\tilde{H}_{\varphi}$は rgroup で$|\tilde{H}_{\varphi}|$が $|A|$ を割るので、$Z_{\mu\rho}(A,\tilde{H}_{\varphi})=\{a\mapsto x|x\in\tilde{H}_{\varphi}\}$となる。 したがって各$x\in\tilde{H}_{\varphi}$に対して、$\varphi(a)^{-1}\psi(a)=x$となる$\psi$があることになる。 したがって$\sum_{\psi\in \mathcal{X}_{H}(\varphi)}\chi(a\psi(a))=\sum_{x\in\tilde{H}_{\varphi}}\chi(a\varphi(a)x)$となる。

$\tilde{A}_{\varphi}\tilde{H}_{\varphi}$で考えると、$\frac{1}{|\tilde{H}_{\varphi}|}\sum_{x\in\tilde{H}_{\varphi}}\chi(a\varphi(a)x)$は algebraic integer ある。以上によってもともとのものが algebraic integer であることがわかる。

口

最後の algebraic integer であることは次のことからわかる。

Lemma 6. Suppose that

$N\triangleleft G$. For a$\mathbb{C}$-character$\chi$$\Phi(z)=\frac{1}{|N|}\sum_{x\in N}\chi(zx)$

of

$G$

.

Then
$\Phi=\sum_{\xi\in\{\xi\in Irr(G)|N\subseteq Ker\xi\}}(\chi, \xi)\xi.$

, set

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5Generalization$B\triangleleft A$とする。 $\kappa\in Z_{\rho}(B, G)$ に対して
$Z_{\rho}(A, G;B, \kappa)=\{\varphi\in Z_{\rho}(A, G)|\varphi|_{B}=\kappa\}$

とおく。

$\varphi,$$\psi\in Z_{\rho}(A, G;B, \kappa)$

に対して$\tilde{B}_{\kappa}\triangleleft\tilde{A}_{\varphi},\tilde{B}_{\kappa}\triangleleft\tilde{A}_{\psi}$

なので、$\varphi(a)^{-1}\psi(a)\in N_{AG}(\tilde{B}_{\kappa})\cap G=C_{G}(\tilde{B}_{\kappa})$となる。 したがって、$\varphi^{-1}(ab)\psi(ab)=(\varphi(ab))^{-1}\psi(ab)=(\varphi(a)^{b}\varphi(b))^{-1}\psi(a)^{b}\psi(b)$$=\varphi(b)^{-1}b^{-1}\varphi(a)^{-1}b\cdot b^{-1}\psi(a)b\psi(b)$$=(\varphi(a)^{-1}\psi(a))^{b\varphi(b)}\varphi(b)^{-1}\psi(b)$$=\varphi(a)^{-1}\psi(a)$となるので、 $A/B$ 上で well-defined となって、$(v |J)$

$Z_{\rho}(A, G;B, \kappa) arrow Z_{\overline{\rho\varphi}}(A/B, C_{G}(\tilde{B}_{\kappa}))$$\psi \mapsto \varphi^{-1}\psi$という 1 対 1 対応が出来る。

Theorem. Suppose thatof $AG$ such that

$B\triangleleft A$

with $A/B$ cyclic, say $A/B=\langle aB\rangle$ . Let. Thenbe a -character$\mathbb{C}$$\chi$$\langle\tilde{B}_{\psi}|\psi\in Z_{\rho}(A, G)\rangle\subseteq Ker\chi$$\frac{1}{gcd(|A/B|,|G|)}\sum_{\psi\in Z_{\rho}(AG)},\chi(a\psi(a))$

is an algebraic integer.

Pro げ$\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G)}\chi(a\psi(a))=\sum_{\kappa\in Z_{\rho}(BG)},\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa)}\chi(a\psi(a))$

である。 $\varphi\in Z_{\rho}(A, G;B, \kappa)$ に対して$\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa)}\chi(a\psi(a))=\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa)}\chi(a\varphi(a)(\varphi^{-1}\psi)(a))$$= \sum_{\zeta\in Z_{\overline{\rho\varphi}}(A/B,C_{G}(\tilde{B}_{\kappa}))}\chi(a\varphi(a)\zeta(aB))$

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ここで、$\tilde{B}_{\kappa}\subseteq Ker\chi$であることから、$\chi$

は$\tilde{A}_{\varphi}/\tilde{B}_{\kappa}C_{G}(\tilde{B}_{\kappa})$の指標と思うことができる。 したがって、 すでに示したように$\frac{1}{gcd(|A/B|,|G_{\kappa}|)}\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa)}\chi(a\psi(a))$

は algebraic integer になる。 さらに $G$ の元で$\kappa$の共役をとることを考える。

$Z_{\rho}(A, G;B, \kappa^{g})=\{\psi^{g}|\psi\in Z_{\rho}(A, G;B, \kappa)\}$となる。
$\kappa=\kappa^{g} \Leftrightarrow g\in C_{G}(\tilde{B}_{\kappa})$であるから、$G/C_{G}(\tilde{B}_{\kappa})$の代表元を$\{g_{1}, \cdots, g_{\ell}\}$とすれば、$\frac{1}{gcd(|A/B|,|G|)}\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{:\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa^{g})}\chi(a\psi(a))$$= \frac{1}{gcd(|A/B|,|G|)}\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa)}\chi(a\psi^{g_{i}}(a))$$= \frac{1}{gcd(|A/B|,|G|)}\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa)}\chi(a\psi(a))$$= \frac{|G|}{|C_{G}(\tilde{B}_{\kappa})|}\cross\frac{gcd(|A/B|,|C_{G}(\tilde{B}_{\kappa})|)}{gcd(|A/B|,|G|)}\cross\frac{1}{gcd(|A/B|,|C_{G}(\tilde{B}_{\kappa})|)}\sum_{\psi\in Z_{\rho}(A,G;B,\kappa)}\chi(a\psi(a))$となってこれが algebraic integer となることがわかる。

Corollary 1. Suppose that

$B\triangleleft A$$\square$with $A/B$ cyclic. $Then|Z_{\rho}(A, G)|\equiv 0$ $(mod |A/B|, |G|)$ .

Corollary 2. $|Z_{\rho}(A, G)|\equiv 0(mod (\exp(A/A’), |G|))$ .

参考文献[1] T. Asai, N. Chigira, T. Niwasaki and Y. Takegahara, On a theorem of P. Hall, J.
Group Theory 16 (2013) 69-80.
[2] 鈴木通夫「群論，上」岩波書店，1977.

[3] 竹ケ原裕元、 On P. Hall’s relations in finite groups II, 数理研講究録 1407 $(2004)$63-70.