数理解析研究所講究録 1260 巻 2002 年 105-125

105

Hilbert 空間の 「極座標」 と spectral zeta 関数の特殊値
明 (ASADA Akira) *浅田

665-0022, 宝塚市野上 3

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6

-

2 1. 3 6 21, Nogami, Takarazuka
-

-

はじめに
$\mathrm{H}$を Hilbert 空間、$x_{1},$ $x_{2},$$\ldots$

をその (適当な正規直行系 $\{e_{1}, e_{2}, \ldots\}$

による) 座標とする。 このとき $H$ の Laplacian$\triangle=\sum\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}$は距離関数$r(x)=||x||$ にたいしても作用できない。 また極座標表示もできない (したがって $H$ の「球面」 上には 「球面」 Laplacian は存在しない).。 この難点

微分作用素の正則化を定義しそれにもとずいて田邊氏と共同で、 正則化 「球面」 Laplacian と周期的境界条件に関する正則化, 正則化 「球面」 Laplacian
Laplacian の固有値問題を調べた ([4],の固有値問題については 99 年 1 月神戸市しあわせの村での 「力学系と微分幾何学」研究会で、 田邊氏と共に報告した。 周期的境界条件についても
99 年 8 月大阪大学での新開謙三先生追悼 「偏微分方程式研究会」 等で話している)。
正則化を定義するために $H$ とその上の Schatten class (非退化正値) 作
用素 $G$ でその 関数 $\zeta(G, s)=trG^{s}$ の解析接続が原点で正則なものとの組 $\{H, G\}$ を考える。従って、正則化は $H$ だけでは決まらず $G$ に関係する。
$H$ が compact 多様体 $M$ 上の Hilbert 空間で、 $G$ がその上の非退化自己共役楕円形 (擬) 微分作用素 $D$ のグリーン関数の場合このような組をかんがえることは、 $.H$ に $M$ の $D$ に関する spectre 幾何の情報をあたえた非可を克服するため以前$\mathrm{L}\mathrm{r}7],\mathrm{r}\mathrm{L}8]$$\zeta-$

換幾何を考えることに当たる。 $\zeta(G, s)$ の特殊値は $\{H, G\}$ の不変量を与える。 たとえば、 $H$ の正則化次元 $\nu=((G, 0)$ や $M$ の次元に当たる $((G, s)$の最初の極の位置 d、 単位 cube の「体積」 に当たる $detG=\exp(\zeta’(G, 0))$などである。
正則 (ヒ Laplacian :$\triangle$: の固有値・固有関数は $H$ の上では有限次元からの類推で得られるものしか現れないが、新しい次元を付け加えると有限次元からの類推では得られない固有値・固有関数が存在する。 ここで付け加えられた新しい次元は「球面」 Laplacian の場合は、 $H$ に極座標を導入’Freelance Mathematician,$\mathrm{E}$-mail asada-a@poporo ne$.\mathrm{j}\mathrm{p}$106
した場合の 「経度」 的なもので、 それにたいして、 周期的境界条件の場合
は deter 面 nant bundle 的な物であり、 見かけ上かなり違っている。 また

周期的境界条件の固有値として $-((G, -d)$ が現れ、 それは $\{H, G\}$ の不変量と解釈できる。

しかし極座標に関係して現れる新しい次元と、周期的境界条件に関係して現れる新しい次元とは関係があり、 その関係はをもちいて、表される。 従って、も $\{H, G\}$ の不変量として解釈できる。 具体的には、周期的境界条件のため $H$ を拡張した空間は $G$ の固有ベ
クト
; $Ge_{n}=\mu_{n}e_{n}$ を用いて、 $x= \sum x_{n}e_{n}$ と表され${\rm Res}_{s=d}\zeta(G, s)$${\rm Res}_{s=d}\zeta(G, s)$$J\mathrm{s}e_{1},$$e_{2},$$\ldots$$\lim_{narrow\infty}\mu_{n}^{-d/2}x_{n}=t\in \mathbb{R}$,の集合だが、 は $H$ と $G$ から作ったソボレフ空間 W-k》$k>0$に含まれ、 そこで極座標表示を持っ。 その緯度を
とすれば

が存在する

$x$

$x$

$\theta_{1,k},$$t\neq 0$$\theta_{2,k},$$\ldots$のとき $\lim_{karrow 0}\theta_{n,k}=\pi/2$ となって $k=0$ のところで [ま極座標 (緯度) は意味を失う。 しかし ${\rm Res}_{s=d}\zeta(G, s)=c\neq 0$ とすれば$\theta_{n,k}=\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{c}{2}}\frac{x_{n}}{|t|}\sqrt{k}+o(\sqrt{k})$という展開があるので、 $\theta_{n,k}-\pi/2$ の

$k$

についての

,

$\frac{1}{2}$-階微分 ( $k=0$ での)を使った$\frac{d^{1/2}}{dk^{1/2}}(\theta_{1,k}-\frac{\pi}{2})|_{k=0},$$\frac{d^{1/2}}{dk^{1/2}}(\theta_{2,k}-\frac{\pi}{2})|_{k=0},$$\ldots$,が極座標 (緯度) の替わりとみなせる。

本稿の目的はこれらの関係を述べることだが、 その前に準備として、正則化の定義と、 :: の固有値問題についての結果を述べ、 (1 節、 2 節)$\triangle$

3 節で、極座標に関係して現れる経度的次元と周期的境界条件に関係して現れる determinant bundle 的次元との関係を述べまた上記の緯度についての1$\frac{1}{2}$階微分の式を示す。

正則化の定義正則化を定義するため $H$ とその上の (正定値) Schatten class 作用素$G$ で $\zeta(G, s)=tr(G^{s})$ が $s=0$ まで解析接続されそこで、 正則なものの組$\{H, G\}$を考える ([2])。

このような組としては $H=L^{2}(X, E),$ $X$ はコンパクトリーマン多様体(またはスピン多様体) $E$ はその上のバンドルで、 $G$ はそこに働く非退化自107
己共役楕円形 (擬) 微分作用素のグリーン作用素があげられる ([1], [12].

コンパクトでない多様体上の作用素については、 [16] 参照, $\zeta(G, s)=tr(G^{s})$で定義しているので、 $((D, s)= \sum\lambda_{n}^{-s}$ と $((G, s)$ は一致する)。 この場合$\{H, G\}$を考えることは $X$ の $D$ に関するスペクトル幾何の情報を $H$ に与えることになる。 すぐに得られる不変量としては

1. $\nu=\zeta(G, 0):H$ の正則化次元と呼ぶ。
2.
の最初の極の位置 : $X$ の次元に当たる。
3. $det(G)=\exp(\zeta’(G, 0)):H$ の「単位」 cube の「体積」。
$\zeta(G, s)$$d$があげられる。 ただし$\mathrm{e}=\sum\mu_{n}^{d/2}\not\in H$

だから、 集合$\{\sum x_{n}e_{n}|0\leq x_{n}\leq\mu_{n}^{d/2}\}$,は $H$ にふくまれない。 これをふくむようにするには次節で定義する空間(finite) まで $H$ を拡張する必要がある。 直感的には は $G$ の固有値の個数を数えていて、 detG は $G$ の固有値全体の積を与える。

$H^{-}$$\nu$$det(tG)–t^{\nu}det(G)$ ,$t\in \mathbb{R}^{+}$,

だから、 これらの定義は (ある程度)consitent である。
$\nu$

は $H$ 上のグラスマン代数やクリフォード代数に無限次の元を添加して結合的にするためには整数で無ければならない。

$\nu$

は $H$ の次元にあたるので、 $H$ 上のグラスマン代数にすべての生成元の積にあたる

加すれば、 その次数は$\nu$となる。 一般に $\infty-p$ 一次の形式

ば、 その次数は $\nu-p$ となる ([2])。 このとき$\psi$

を

$q$

を添

を考えれれ

一次形式とすれば$\psi\wedge\phi=(-1)^{q(\nu-p)}\phi\wedge\psi=(-)^{2q(\nu-p)}\psi\wedge\phi$となるべきだから$\phi$$d^{\infty}x$,が整数でなければ矛盾が起きる。 これは一般的にはのぞめないが、 $G$ が微分作用素の $D$ のグリーン作用素のときは $D$ に質量項$\nu$を付け加えることによって、$\nu$を整数にできる ([3],[9])。

注意 $\{H, G\}$ は Connes の spectral triple(A, $H,$ $D$ ) $([10], [11])$ とにている ( $G$ は $D$ のグリーン作用素)$\text{。}A$に当たるものは $B(H)$ を $H$ の有界作

用素の代数としては、$A=A(G)=\{T\in B(H)|[T, G]\in I_{d}\}$ ,は -Schatten ideal である $(\zeta(G, s)$ はを使うのが妥当らし\vee ‘。 ただし$G\in I_{c},$ $c>d$ である) 。しかし正則化$s=d$ で極をもつから
Laplacian を扱うには次節で述べるように $H$ を拡張する必要があり、 その$I_{d}$$d$$G\not\in I_{d},$場合 $A$ の元を拡張された空間にまで定義域 (と値域) が拡大されるもの

108に制限する必要が生じる。 したがって $A$ については、 定義についてさえ、
まだいろいろ問題が残っている。
$H$の正規直交規底からとる ($\{e_{1}, e_{2}, \ldots\}$

は $G$ の固有ベクトル$e_{n},$$Ge_{n}=\mu_{n}e_{n}$,は $\mu_{1}\geq\mu_{2}\geq\ldots>0$ の順序でならべる) 。また $H$ のソボレ$\mu_{n}$フ・ノルムを$||x||_{k}=||G^{-k}x||$$((x, y)$ は $H$ での内積),$G^{-k}x= \sum\mu_{n}^{-k}(x, e_{n})e_{n}$,で定義し、 それによるソボレフ空間を$W^{k}$とかく。

だけでなく任意の についてソボレフ -空間
空問
いついても同じように定義されるから $\{H, G\}$ の不変量というよりソボレ
フ空間の塔 $\{W^{k}, -\infty<k<\infty\}$ と $G$ との組に対する不変量である。

上記の不変量は$W^{k}$$H$$k$の正規直交規底はLaplacian は$\{e_{1}^{k}, e_{2}^{k}, \ldots\},$$\triangle(k)=\sum\mu_{n}^{2k_{\frac{\partial^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$$W^{k}$$k$になるから、 そこでの

$e_{n}^{k}=\mu_{n}^{k}$となる。 正則化 Laplacian :$\triangle$: は解析接続をつかって:$\triangle$: $f=\triangle(s)f|_{s=0}$ ,で定義する。 -E 的には $H$ 上の関数 $f$ に対して、 $(G^{s}f)(x)=f(G^{s}x)$ とおくとき $\{H, G\}$ 上の微分作用素 $D$ にたいし、 その正則化 : $D$ : を: $D$ : $f=G^{-s}DG^{s}f|_{s=0}$ ,で定義する。 $G^{s}x= \sum\mu_{n}^{s}(x, e_{n})e_{n}$ だから$\frac{\partial G^{s}f}{\partial x_{n}}=\mu_{n}^{s}G^{s}(\frac{\partial f}{\partial x_{n}})$となって、 この定義でのる。 ただし$x_{n}$$\triangle$

の正則化は

,

先に定義した正則化と一致す

は $H$ の完備正規直交系 $\{e_{n}\}$ から得られる $H$ の座標である( $x= \sum$ xne\tilde 。
一般に $D= \sum A_{i_{1}},\ldots$ ,: $D$ :

$i_{m^{\frac{\partial^{i_{1}+\cdots+i_{m}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots\partial x_{m}^{i_{m}}}}}$

であれば$f= \sum\mu_{1}^{i_{1}s}\cdots\mu_{m}^{i_{m}s}A_{i_{1},\ldots,i_{m}}\frac{\partial^{i_{1}+\cdots i_{m}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots\partial x_{m}^{i_{m}}}f|_{s=0}$,となる。 したがって $D$ が有限個の変数の偏’ffl 分しかふくまなければ、 : $D$ :と $D$ は一致する。

例 $r(x)=||x||$ とすれば、$\frac{\partial^{2}r}{\partial x_{n}^{2}}=1/r-x_{n}^{2}/r^{3}$$\triangle(s)r=\frac{\zeta(G,2s)}{r}-\sum\mu_{n}^{2}\frac{x_{n}^{2}}{r^{3}},$$\cdot.e.$:だから$\triangle$: $r= \frac{\nu-1}{r}$ ,109である。 この例は$\nu$

を $H$ の正則化次元と呼ぶことの一つの正当化を与える。

注意同じ計算で、 任意の:$\triangle$が成り立つ。 したがって

$\nu$

について

$p$

: $r^{p}=p(p+\nu-2)r^{p-2}$ ,を $H$ の次元と思うと有限次元の場合と同様に:となる。 特にclass だが:$\triangle$$C^{\infty}$$\triangle$: $r^{2-\nu}=0$ ,はが偶数でない負の数 (奇数も含む) であれば、: (ま hypoelliptic でもな| ‘。
-class で (まな ので、 :$r^{2-\nu}$$C^{2}-$$\nu$$\triangle$$|_{\sqrt}\mathrm{a}$$\sqrt$: は、 かならずしも任意の微分可能関数にたいして定義されない。

たとえば $f(x)= \sum x_{n}^{3}$ とすれば、 $\triangle(s)f=\sum 6\mu_{n}^{2s}x_{n}$ だから $x= \sum\mu_{n}^{d}e_{n}$であれば$(\triangle(s)f)(x)=\zeta(G, 2s+d)$ ,となって $\lim_{sarrow+0}\triangle f$ は::$\triangle$

$f$

$x$

で発散する。 この例 $f$ が外微分可能であってもが必ずしも定義できない例にもなっている。

注意 本稿では簡単のため $G$ を正定値としたが、 理論的にも応用上からも $G$ が Dirac 作用素のグリーン作用素になる場合がもつとも重要であとる。 この場合 $G$ については、 その 一関数
こ参照)$\zeta(|G|, s)$ が共に原点で正則になることを仮定する ([1], [12], [16]$\eta(G, s)=\sum \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{r}1(\mu_{n})|\mu \mathrm{J}^{s}$$\eta$。

のときは$\zeta(G^{\pm}, s)=\frac{\zeta(|G|,s)\pm\eta(G,s)}{2}$,

とおいて、 不変量として $\nu\pm=\zeta(G^{\pm}, 0)$ , 等が現れる ([14] 参照)$[3]_{\text{、}}$。

補足: の $H$ の上での (原点を含: が定義さむ) 真の解である。 しかしこの場合 $H$ の正則化体積要素 :::れれば原点の近傍で H こついて -次で発散するべきだから、$\nu$が負であれば一$-\nu$

は$C^{2}$-class だから :$\triangle$$d^{\infty}x$$r^{2-\nu}$$d^{\infty}x$$\nu$に無関係に 2-次で 0 に近づく。 $(\infty-p)$ -次微分形式 ([2]) をつ力 うと$dr\wedge d\omega=r$ :: となる $(\infty-1)$ -形式 を$\mathrm{a}$

は

$\nu$

$d^{\infty}x$$\omega$$\omega$$d^{\infty-\{i\}_{X}}$,$=$$\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1}d^{\infty-\{i\}_{X}}$$=$$dx_{1}\wedge\ldots\wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}$\triangle . . .

》110
で与えることが出来るが、の上で同様に作った$W^{8}$$\omega$は外微分できない (必は発散する) 。しがし$\omega(s)$は $H$ の座標で書くと$\omega(s)=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1}\mu_{i}^{s}($detG$)^{-s}d^{\infty-\{i\}_{X}}$,となり$d\omega(s)|_{s=0}=\nu$が成立する。 同様に ::$d^{\infty}x(s)$$d^{\infty}x:$,$d(r^{-\nu}\omega(s))|_{s=0}=0$: は detG$($$)^{-s}$:となる。 したがって :: で定義され$d^{\infty}x$$d||x||_{s}\wedge d\omega(s)=:d^{\infty}x(s):$,,: [こた ‘する Poisson 核として [ま::が候補}こなる。 なお :: と:: とは detG
しが違 がなくて、 正則化の意味はないようだが、 それは $H$ で考えてぃるからで、 曲がった空間の上で考えれば、 違いがでる ([2] 参照)。
$\triangle$$r^{2-\nu}$$\mathrm{A}$$d^{\infty}x(s)$$d^{\infty}x$

上記の議論から、 一般}こ $(\infty-p)$ -形式$d^{\infty}x(s)$$)^{-s}$$($$d^{\infty-I}x,$$\mathrm{a}$$\mathrm{A}$$I=\{i_{1}, \ldots, i_{p}\},$$|I|=$

を$p$ ,$dx_{1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_{1}-1}\wedge dx_{i_{1}+1}\wedge\ldots dx_{i_{p}-1}\wedge dx_{i_{p}+1}\wedge\ldots$

,

とするとき
$d^{\infty-I}x(s)=\mu_{i_{1}}^{s}\ldots\mu_{i_{\mathrm{p}}}^{s}(detG)^{\nu-p}d^{\infty-I_{X}}$

とおき $\Phi=\sum_{I}f_{I}d^{\infty-I}x$ [こた$\mathrm{A}\mathrm{a}$し$\Phi(s)=\sum_{I}G^{s}f_{I}d^{\infty-I}x(s)$と定めて$\Phi$の正則化外微分 :

$d$

,

,

: を

: $d:\Phi=d\Phi(s)|_{s=0}$ ,で定義することが示唆される。 $(\infty-p)$ -形式の外微分は、一般に発散し、外微分可能であれば完全形式になる。 特に閉形式はいっでも完全形式だから $(\infty-p)$ -次形式を使ったド・ラム コホモロジーは意味がない。 また
外微分は巾零ではない (} こついて $d^{n}\neq 0$ ) など病的なことが知られている ([2])。 これらの現象が正則化外微分をつかった
ときどうなるかを調べるのは今後の課題である。
$d^{2}\neq 0_{\text{、}}$

一般に任意の$n$

注意有限次形式についても正則化外微分は同様に定義できるが、 それは通常の外微分と一致する。

111
2

諸結果
1. 正則化 「球面」 Laplacian$H$の極座標は $||x||=r,$$0\leq\theta_{n}\leq\pi$$x_{1}=r\cos\theta_{1},$として$x_{2}=r\sin\theta_{1}\cos\theta_{2},$$\ldots$,,$x_{n}=r\sin\theta_{1}\cdots\sin\theta_{n-1}\cos\theta_{n},$ $\ldots$

で与えられる。 ただしとなれば \mbox{\boldmath $\theta$}。 $=0,$ $m>n$ と約束する。 この$\theta_{n}=0$

座標は緯度だけがあって、 経度がない。
$r^{2}=x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+r^{2}(\sin\theta_{1}\cdots\sin\theta_{n})^{2}$だから$\theta_{1},$$\theta_{2},$$\ldots$,

は独立ではなく制約条件$\lim_{narrow\infty}\sin\theta_{1}\cdots\sin\theta_{n}=0$を満たさなければならない。
注意$\theta_{1},$が独立であっても極限$\theta_{2},$$\ldots$$\lim_{narrow\infty}\sin\theta_{1}\cdots\sin\theta_{n}$は必ず存在する。 この極限値を t。とおけば、 $H$ に経度を付け加えることは、 新し$0\leq\phi<2\pi$ を導入して変数
い角$\phi,$$y=rt_{\infty}\cos\phi$,$z=rt_{\infty}\sin\phi$,$r\in \mathbb{R}^{+}$,

を $H$ に付け加える事にあたる。 したがって経度を付け加えた空間は$H\oplus \mathbb{R}^{2}$となる。 なお [7] で t。を付け加えることを経度と呼んだが、 これでは不充分のようである (t。だけを付け加えた空間は$H\oplus \mathbb{R}^{+}$

になる)

。

経度を付け加えた空間の 「球面」 の Greenwich meridian が $H$ の球面に
$t_{\infty}$を付け加えた ($\theta_{1},$$\theta_{2},$$\ldots$

を独立と見た) 空間と解釈できる。

有限次元の極座標と同様に $r_{1}=r,$$\sin\theta_{k}=\frac{r_{k+1}}{r_{k}},$$\cos\theta_{k}=\frac{x_{k}}{r_{k}},$$rk=\sqrt{\sum_{n\geq k}x_{n}^{2}}$とおくと$r_{k}^{2}=r2\sin 2\theta_{1}\cdots\sin 2\theta_{k-1}$

である。 これから$\frac{\partial r}{\partial x_{n}}$$\frac{\partial\theta_{n}}{\partial x_{n}}$$\frac{\partial\theta_{m}}{\partial x_{n}}$$\frac{\partial^{2}\theta_{m}}{\partial x_{n}^{2}}$$=$$\frac{x_{n}}{r}$,$\frac{\partial^{2}r}{\partial x_{n}^{2}}=\frac{1}{r}-\frac{x_{n}^{2}}{r^{3}}$,$=$$- \frac{r_{n+1}}{x_{n}^{2}}$$=$$\frac{x_{m}x_{n}}{r_{m}^{2}r^{m+1}}$$=$,$\frac{\partial^{2}\theta_{n}}{\partial x_{n}^{2}}-\frac{2x_{n}x_{n+1}}{r^{4}}$,,$\frac{x_{m}}{r_{m}^{2}r_{m+1}}-\frac{2x_{m}x_{n}^{2}}{r_{m}^{4}r_{m+1}}-\frac{x_{m}x_{n}^{2}}{r_{m}^{2}r_{m\dagger 1}^{3}}$,$n>m$ ,

,

112
となり

2
–

は

$xx$

,

$( \frac{\partial r}{\partial x_{n}^{2}})^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{\partial^{2}r}{\partial x_{n}^{2}}\frac{\partial}{\partial r}+\sum_{m\leq n}(\frac{\partial\theta_{m}}{\partial x_{n}})^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{m}^{2}}+\sum_{m\geq n}\frac{\partial^{2}\theta_{m}}{\partial x_{n}^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta_{m}}$だから正則化しなければ

は極座標表示できない。 しかし、正則化すれば極座標表示でき、それは正則化次元だけによっている。 それを :$\triangle$$\triangle:=\triangle[\nu]$とすれば$\triangle[\nu]=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{\nu-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\Lambda[\nu]$となり、 正則化球面 Laplacian$\Lambda[\nu]$は$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sin^{2}\theta_{1}\cdots\sin^{2}\theta_{n-1}}(\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{n}^{2}}+(\nu-n-1)\frac{\cos\theta_{n}}{\sin\theta_{n}}\frac{\partial}{\partial\theta_{n}})$,となる。 この形は緯度変数を独立と思っても意味があるがら、「球面」

を緯度変数が独立であるとして拡張する。 これは ([7] で経度と呼んだ) 新
しい変数$t_{\infty}= \lim_{narrow\infty}\sin\theta_{1}\cdots\sin\theta_{n}$,(1)を球面に付け加えることに当たる。 ただし先に注意したように t。だけを経度と呼ぶのは少し無理があるようである。
の固有関数がは常微分方程式$\Lambda[\nu]$$T_{n}$$\Theta(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots)=\prod T_{n}(\theta_{n})$と変数分離されていれば、$\sin^{-\nu+n+1}\theta_{n}\frac{d}{d\theta_{n}}(\sin^{\nu+n-1}\theta_{n}\frac{dT_{n}}{d\theta_{n}})+(a_{n-1}-\frac{a_{n}^{2}}{\sin^{2}\theta_{n}})T_{n}=0$,(2)を満たす ([7])。 ただし $\Lambda[\nu]+a_{0}=0$ とする。
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

は $\theta_{n}=0,$すれば、$a_{n}$$\pi$

で連続でなければならないので、[ま整数夕$\mathrm{I}\mathrm{J}$$l_{n},$$l_{0}\geq l_{1}\geq\ldots\geq 0$$\nu$が整数であると仮定

によって、$a_{n}=l_{n}(l_{n}+\nu-n-2)$ ,と表される。 特 [こ $l_{0}=l$

(3)

として

$-a_{0}=-l(l+\nu-2)$ ,$l\in \mathrm{N}$,の固有値になる。 有限次元の場合と違って、 によっては $0<l<$$2-\nu$ となる整数 が存在することがあり、 そのときはは定値作用素が$\Lambda[\nu]$

$\nu$

$l$

ではない。

$\Lambda[\nu]$113
もし l ユー式$\mathit{1}\neq l_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$

であれば、 ($\mathrm{D}$の解は$\omega_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\cos\theta_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$のGegenbauer 多項$C^{\lambda}$$l$フ$\frac{1}{(1-2xt+t^{2})^{\lambda}}=\sum_{l=0}^{\infty}C_{l}^{\lambda}(x)t^{l}$を用$\mathrm{t}_{\sqrt}\backslash$,て $T_{n}(\omega_{n})=(1-\omega_{n}^{2})^{s}f_{n}(\omega_{n}),$ $s=- \frac{l_{n}+\nu-n-2}{2}$ , or

$f_{n}(\omega_{n})$$=$$AC_{l_{n}-1-l_{n-1}}^{-l_{n}+(N+3-\nu)/2}(\omega_{n})+BC_{l_{n}-3l_{n-1}-1}^{-l_{n}+(n+3-\nu)/2}(\omega_{n})$$s=- \frac{l_{n}+\nu-n-2}{2}$$f_{n}(\omega_{n})$$=$$\frac{l_{n}}{2}$

,

,

,

$AC_{l_{n-1}-l_{n}}^{l_{n}+(\nu-n-1)/2}(\omega_{n})+BC_{n+1-l_{n-1}-l_{n}-\nu}^{l_{n}+(\nu-n-1)/2}(\omega_{n}),$$s= \frac{l_{n}}{2}$,で与えられる。 従って有限次元 Laplacian と類似している。. ただし、 $l_{n}+$$(\nu-n-1)/2$ は が大きくなると負になり通常使われない (有限次元球$n$面 Laplacian の固有関数としては現れない) 負の次数の Gegenbauer 多項式が表れる ([15] 参照)。

くらでも大きくなるから、 ほとんどすべての [こついてとおけば、 (1) {ま$l_{n-1}=l_{n}$ であり、 この場合
しかし $n$ は$n$$|_{\sqrt}\mathrm{a}$$T_{n}(\theta_{n})=\sin^{l_{n}}\theta_{n}\cdot S_{n}(\theta_{n})$$\frac{d^{2}S_{n}}{d\theta_{n}^{2}}+(2l_{n}+\nu-n-1)\frac{\cos\theta_{n}}{\sin\theta_{n}}\frac{dS_{n}}{d\theta_{n}}=0$,となる。 この方程式の解は
ク $n( \theta_{n})=\sin^{l_{n}}\theta_{n}(b_{n}+c_{n}\int_{0}^{\theta_{n}}\sin^{n+1-\nu-2l_{n}}xdx)$ ,が連続になるには $c_{n}=0$で与えられる。有限次元では $n+1<\nu$ だからについて $n+$
でなければならないが、 無限次元ではほとんどすべてのの無限積で表される固有関となる$1-\nu-2l_{n}\geq 0$ となるからら$T_{n}$$n$$\neq 0$$T_{n}$

数がある。 詳しくは$\int_{0}^{\pi/2}(\sin x)^{n+1-\nu-2l_{n}}dx=B(\frac{n+1-\nu}{2}-l_{n}, \frac{1}{2})=O(\frac{1}{\sqrt{n}})$,だから $b_{n}=1,$ $\sum|c_{n}|/\sqrt{n}<\infty$ であるか $b_{n}=0,$ $\prod 2c_{n}B(\frac{n+1-\nu}{2}-l_{n}, \frac{1}{2})$が収束していれば、 無限積$\prod(b_{n}+c_{n}\int_{0}^{\theta_{n}}(\sin x)^{n+1-\nu-2l_{n}}dx)$,114は収束する。 したがって$(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots)$$=$$F(\theta_{1},$$\ldots,$$\theta_{N-1}\prod_{n\geq N}(\sin\theta_{n}^{1})^{l_{\infty}}$( $b_{n}+$ ら$\int_{0}^{\theta_{n}}(\sin x)^{n+1-\nu-2l_{\infty}}dx$),の形の固有関数がある。 この形の固有関数は有限次元の類似をもたない。
しかしこの固有関数は$\sin\theta_{n}$の無限積を因子として含むがら、 $t_{\infty}=0$ のところでは 0 となる。

なおこの形の無限積であらわされる固有関数は味がある。 したがって、$t_{\infty}\neq 0$のところで [まが整数でなくても意は を自然数とした・と$\nu$$\Lambda[\nu]$$l$(非整数) を固有値として持っ。

き $-l(l+\nu-2)$

注意 $l_{n}=l_{n+1}=\cdots=l_{\infty}$ の場合の結果は$\nu$が整数でなくても成り立つ。

これらの計算は田邊氏による ([7])。
補足

,

(4)

$\triangle[\nu]$$=$$\triangle[\mu]+\frac{\nu-\mu}{r}K$

$K$

$=$

$\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\theta_{n}}{\sin^{2}\theta_{1}\cdots\sin^{2}\theta_{n-1}\sin\theta_{n}}\frac{\partial}{\partial\theta_{n}}$(5)が正則化に無関係 ( に無関係) になるための必要十分条
件は $Kf=0$ である。
だから$K$$\triangle[\nu]f$$\nu$

は 1 階線形偏微分方程式だから $Kf=0$ の解は $K$ の特性曲線に沿って定数である。 $K$ の特性方程式$\frac{dr}{dt}=1,$の$\hslash$$\frac{d\theta_{n}}{dt}=\frac{\cos\theta_{n}}{r\sin^{2}\theta_{1}\cdots\sin^{2}\theta_{n-1}\sin\theta_{n}},$$n\geq 1$,

右ま $r=t+c$ ,$n\geq 2$$\cos\theta_{1}=\frac{c_{1}}{t+}$c’で与えられるから、$\cos\theta_{n}=\frac{c_{n}}{\sqrt{(t+c)^{2}-(\sum_{k_{-}^{-}1}^{n-1}c_{k}^{2})}},$$\sin\theta_{n}=\sqrt{\frac{(t+c)^{2}-(\sum_{k=1}^{n}c_{k}^{2})}{(t+c)^{2}-(\sum_{k_{-}^{-}1}^{n-1}c_{k}^{2})}}$となって、 x\infty =rt。

とおけば
$x_{n}=$

ら,$n\geq 1,$,$x_{\infty}=\sqrt{(t+||x||)^{2}-||x||^{2}},$.

$t\geq$

$0$

,

115
となる。 従って$H\oplus \mathbb{R}"\ovalbox{\tt\small REJECT}\{(x, x_{\infty})\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow H, x_{\infty}\in \mathbb{R}"\}$

で $K$ の $xarrow H$ から出発する特性曲線は$x(t)=x,$ $x\in H,$ $x_{\infty}=\sqrt{(t+||x||)^{2}-||x||^{2}},$$t\geq 0$(6).

である。 よって $H$ に x\infty =rt。を付け加えた空間

H\oplus R 十の(開集合) 上の関数 $f$ が $Kf=0$ となるためには $f$ が x。に無関係であることが必要十分である。

2. 周期的境界条件
正則化 Laplacian t こたいして適切な周期的境界条件として$f|_{x_{n}=-\mu_{n}^{d/2}}=f|_{x_{n}=\mu_{n}^{d/2}}$,$\frac{\partial f}{\partial x_{n}}|_{x_{n}=-\mu_{n}^{d/2}}=\frac{\partial f}{\partial x_{n}}|_{x_{n}=\mu_{n}^{d/2}}$,(7)は $H$ に入ってを考える。 この境界条件での端点に当たるいないので、 この境界条件を扱うには $H$ は不適切で、 空間$\mathrm{e}=\sum\mu_{n}^{d/2}e_{n}$$H^{-}$(finite)={ $\sum x_{n}e_{n}|\lim\mu_{n}^{-d/2}x_{n}$ exists},(8)が適切である $([4],[8])_{\text{。}}H^{-}$ (finite) は集合として$H^{-}= \bigcap_{l<0}W^{l}$にふくまれる。 位相空間としては $H^{-}$ はソボレフ空間列$W^{l}$; $l<0$ の射影極限と考える。 また$H^{-}$(9),(finite)$=$$H^{-}(0)$$H^{-}(0)$$=$$\{\sum x_{n}e_{n}|\lim\mu_{n}^{-d/2}x_{n}=0\}$$\oplus \mathbb{R}\mathrm{e}$

,

(10)

であり、 $H^{-}(0)$ は $H$ に近い空間である。 しかし多少人工的だが $H$ が $e_{n}=$$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nx,$

$n=1,2,$$\ldots$

を規底とするとき$\sum_{n\geq 2}\frac{\mathrm{l}}{\sqrt{n1\mathrm{o}\mathrm{g}n}}\in H^{-}(0)$,$\not\in H$,$( \mu_{n}=\frac{1}{n^{2}} d=\frac{1}{2})$$\sum\frac{1}{n}e_{n^{2}}\in H$,$\not\in H^{-}(0)$だから、 一般には $H$ と $H^{-}(0)$ との間に包含関係はない。

の部分空間としての位相ではなく $H^{-}(0)$ (位との積空間としての位相をいれの部分空間としての位相) と相はは determinant bundle と解釈出来る ([4], [8])。
る。 この時$H^{-}$(finite) の位相は$H^{-}$$H^{-}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}\mathrm{e}$116
境界条件 (7) から決まる$H^{-}(\ovalbox{\tt\small REJECT} nite)$と $H^{-}(0)$ の中の格子$\mathbb{Z}^{\otimes},$$\mathbb{Z}^{\otimes}$はそれぞれ$\overline{\mathbb{Z}\infty}$$\mathbb{Z}^{\infty}$

{
{

$=$

$=$

$\sum 2m_{n}\mu_{n}^{d/2}e_{n}|m_{n}\in \mathbb{Z},$$m_{n}=m_{\infty}$$\sum 2m_{n}\mu_{n}^{d/2}e_{n}|m_{n}\in \mathbb{Z},$$m_{n}=0$,,

for is large },for is large}
$n$

$n$

となる。 したがって$\overline{\mathbb{Z}^{\infty}}=\mathbb{Z}^{\infty}\oplus \mathbb{Z}$,である。 また (7) から $H$ の中で生成される格子も:$\triangle$: の境界条件 (7) に関する固有関数が、いるとすれば$f_{n}$

は常微分作用素$f_{n}(-\mu_{n}^{d/2})=f_{n}(\mu_{n}^{d/2})$$\mu_{n}^{2s}\frac{d^{2}}{dx_{n}^{2}}$,$\mathbb{Z}^{\infty}$$\prod f_{n}(x_{n})$である。

と変数分離されて\emptyset 境界条件$\frac{df_{n}}{dx_{n}}(-\mu_{n}^{d/2})=\frac{df_{n}}{dx_{n}}(\mu_{n}^{d/2})$,

に関する固有関数を $s=0$ まで解析接続したものになってぃる。 従って$f_{n}=A\cos(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})+B\cos(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n}),$$m_{n}\in \mathbb{Z}$,となるが、 $\sum m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n}e_{n}\in H^{-}$ (finite) が任意の $\sum x_{n}e_{n}\in H^{-}$ (finite)にたいし成立しなければならないから、整数列 $\{m_{1}, m_{2}, \ldots \}$ はある番
号から先一致しなければならない。
$m_{n}=m_{n+1}=\cdots=m_{\infty}$,(垣)とおけば (垣) から $\prod f_{n}(x_{n})$ が収束すれば$\triangle(s)f=-(m_{\infty}^{2}\zeta(G, -d)+\sum(m_{n}^{2}-m_{\infty}^{2})\mu_{n}^{2s-d})f$となる。 よって、 $\zeta(G, s)$ 力 $s=-d$ まで解析接続され、 そこで正則であれ$>\theta$

ば (この仮定は $G$ がコンパクト多様体上の楕円形 (擬) 微分作用素のグリーン作用素の場合は成り立っ)、:$\triangle$: $f=-(m_{\infty}^{2} \zeta(G, -d)+\sum(m_{n}^{2}-m_{\infty}^{2})\mu_{n}^{-d})f$,である。 ただし$\sum(m_{n}^{2}-m_{\infty}^{2})\mu_{n}^{-d}$(12)は有限和である。

ここで $m_{\infty}=0$ であれば、 $f$ ま有限次元 Laplacian の固有関数 (から来たもの) であり、 その固有値 $- \sum m_{n}^{2}\mu_{n}^{-d}$ (有限和) も有限次元 Laplacianの固有値だが、$m_{\infty}\neq 0$であれば、 固有値一$m_{\infty}^{2}\zeta(G, -d)$は有限次元では類似物を持たない。 しかしこの場合 f}ま真に無限積となるので、 $H^{-}(0)$ の

117
上では

の有限個を除いてすべてが cos(m。\mu n-d/2\pi xn) となる場合をの$f_{n}$

ぞいて、 恒等的に 0 となる。 従って、 :: が境界条件 (7) のもとで、 正則化によって、 はじめて現れる固有値・固有関数の状態は、 新しい次元を付け加えることに大きく影響される。
$\triangle$$\mathbb{R}\mathrm{e}$注意$f_{n}(x\text{。})=\mathrm{s}.\mathrm{n}(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$(finite) のとき $\prod f_{n}(x_{n})\neq 0$ であれば

$x= \sum$ $xne\text{。}\in H^{-}$のぞ$|_{\sqrt}\mathrm{a}$または $f_{n}(x_{n})=\cos(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$ で$f_{n}$

は有限個をてすべて s.n(mn\mu n-d/2\pi \rightarrow または cos(mn\mu n-d/2\pi \rightarrow である。

ここで得られた :: の境界条件 (7) に関する固有値全体の集合は$\triangle$$\overline{\mathbb{Z}^{\infty}}$の元を $(m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{\infty})$ とかくことにすると$\overline{\mathbb{Z}^{\infty^{+}}}=\{(m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{\infty})|m_{1}\geq 0, m_{2}\geq 0, \ldots, m_{\infty}\geq 0\}$と見ることができる。 それにたいして固有関数は、
とき $\sin(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$ を、$m\text{。}\in \mathbb{Z}$

対応させ、 また $m_{\infty}>0$ のときは,$m\text{。}\leq 0$$m_{n}\in \mathbb{Z},$

先の項について取る)

注意この結果は$\nu$$m_{n}>0$ ののとき $\cos(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$ を$\prod\sin(m_{\infty}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$を、 $m_{\infty}\leq 0$ の

ときは $\prod\cos(m_{\infty}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$ を対応させる (ただし無限積は、$(m_{1}, m_{2}, \ldots, \ldots, m_{\infty})$,$\overline{\mathbb{Z}^{\infty}}$の元が mN\neq 0、 かつ $m_{n}=0,$ $n>N$ のとき $N$ からことにより$\overline{\mathbb{Z}^{\infty}}$の元と 1 対 1 対応する。

が整数でなくても成り立つ。

固有関数の直交性については、 $f(x)= \prod f_{n}(x_{n})$ を$f_{n}(x_{n})=\sin(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$

として、

or

$\cos(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})$は有限個 ( $N$ とする) 以外は 0( case (i)) または有限個だけ$m_{n}$$\mathrm{O}(\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}(\mathrm{i}\mathrm{i}))$,であるとし、$\int_{-\mu_{1}^{d/2}}^{\mu_{n}^{d/2}}\int_{-\mu_{2}^{d/2}}^{\mu_{2}^{d/2}}\cdots|f(x)|^{2}d^{\infty}x=2^{\nu-N}(detG)^{d/2}$

case (i),,case (ii),,$\int_{-\mu_{1}^{d/2}}^{\mu_{n}^{d/2}}\int_{-\mu_{2}^{d/2}}^{\mu_{2}^{d/2}}\cdots|f(x)|^{2}d^{\infty}x=2^{N}(detG)^{d/2}$と定義する (無限次元での積分だから、 この定義を正当化するにはなんらかの正則化の操作が必要になる。 $[5],[6]$ 参照) 。このとき$\mathrm{f}(x)$$=$$2^{-(\nu-N)/2}($$\mathrm{f}(x)$$=$$2^{-N/2}($

case (i),detG $)^{-d/4}f(x)$ ,detG $)^{-d/4}f(x)$ ,case (ii),は正規直交系を作るから、 これで張られる Hilbert 空間を考えるとそこでは上で作った固有値、 固有関数が :: の境界条件 (7) にとおけば$\mathrm{f}(x)$$\triangle$

118
ついての固有値・固有関数を尽くしている。 特に有限個の変数だけの関数(有限次元からきた関数) は (ii) の型の関数だけで展開されるがら、 真に
無限個の変数の関数を扱うには (ii) の型の関数が必要である (が必要$\mathbb{R}\mathrm{e}$

になる)

。

注意 形式的には $\zeta(G, s)$ の特殊値が :$\triangle$: の固有値となる境界条件としては、 (7) 以外に

f|xn=-\mu nk/2=f|x、$=\mu\approx^{z\mathit{2}}$,$\frac{\partial f}{\partial x_{n}}|_{x_{n}=-\mu_{n}^{k/2}}=\frac{\partial f}{\partial x_{n}}|_{x_{n}=\mu_{n}^{k/2}}$,が考えられる。 しかし $k\neq d$ だと、 この境界条件の基本領域$Q(k)= \{\sum x_{n}e_{n}||x_{n}|\leq\mu_{n}^{k/2}\}$,は $H^{-}$ (finite) [こ含まれな 1‘か (k<d)、開集合を含まな ‘か $(k>d)$ の$\mathrm{t}$ずれかになり、意味のある条件ではない。 また $H$ がら出発せず、出発して (方程式として$\triangle$$W^{k}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$からではなく $\triangle(k/2)$ を使って) 同様な計算を行っても、 有限次元の類推では得られない新しい固有値としては$-\zeta$( $G$ ,

一$d$)が現れる。 この意味で、 $\zeta(G, -d)$ も $\{H, G\}$ の不変量である。 また境界条
件として

f|xn=0=f|xn=\mu nd/2=0》の形のものをとっても、 同様の固有値・固有関数が出てくる (ただし、 この場合は固有関数として必ず $sin$ の無限積がでるから、 固有値は有限次元からくるものは (0 以外には) 無い。 そして必ず $\zeta(G, -d)$ の項を含む($m_{\infty}\neq 0$である) 。したがって、 この境界条件が意味をもっ (0 以外の固有値・固有関数を持つ) ためには$\mathbb{R}\mathrm{e}$を付け加えることが必要である。

補足$H$ 上のDirac 作用素 $p$ についても正則化 Dirac 作用素 :$\phi$: の周期的境

界値問題を考えて固有値・固有関数 (スピノル場) を求めることができる([4])。 結果は正則化 Laplacian と同様だが、 変数分離した方程式の解はクリフォード代数の生成元を$e_{1},$ $e_{2},$$\ldots$

として

A $\cos(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})+B\sin(m_{n}\mu_{n}^{-d/2}\pi x_{n})e_{n}$ ,の形なので、 生成元全部の積 (無限スピノル、$\gamma_{5}$) が必要になる。 ただし(finite) では無限スピノル (とそれと有限次スピノルの積) 以外の形の無限積は考えなくても良い ([4])。

$H^{-}$

上のクリフォード代数はそのままでは無限スピノルをもたないので、 それを付け加える必要が (無限積の形の固有関数を考えるとき)$H$$(\gamma_{5})$119
生じる ([2], [4] 参照) 。そのようなクリフォード代数は果,生成され、 基本関係は$e\sim m+e_{m}e_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT}-2\delta_{\ovalbox{\tt\small REJECT},m}$$e_{\infty}e_{n}=(-1)^{\nu-1}e_{n}e_{\infty}$である。 ここで付け加えられた$e_{\infty}$,$e_{2},$$\ldots$と$\ovalbox{\tt\small REJECT}$でと$e_{\infty}^{2}=(-1)^{\nu(\nu-1)/2}$,

は deter 面 nant bundle(の生成元)とも (無限次元の) 体積要素とも解釈できるので、 それ白体ある種の正則化によって意味付けられるものである ([5],[6])。
注意この場合無限次の元を含むクリフォード代数が必要なので、

$\nu$

は

整数でなければならない。

3t。と1. t。の$t_{\infty}\neq 0$り、$\mathbb{R}\mathrm{e}$$\mathbb{R}\mathrm{e}$の関係の元としての表示であれば $\lim_{narrow\infty}\sin\theta_{n}=1$ だから、 $\lim_{narrow\infty}\theta_{n}=\pi/2$$\lim_{narrow\infty}\cos\theta_{n}=1$$t_{\infty}=0$だから、 $x\not\in H$となである。 ただし、 $x= \sum$ xne。 $\in H$ であれば、である。

$\sin\theta_{1}\cdots\sin\theta_{n}=\frac{x_{n}}{||x||\cos\theta_{n}}$だから、 $\theta_{n}=\pi/2+c\mu_{n}^{(d+k)/2}+o(\mu_{n}^{(d+k)/2})$ て、あれば、 $x\in$であり、 t。は ( $H$ で (まなく)$W^{k},$$W^{k’},$$k’<k$$k>0$ から出発して $H^{-}$ (finite) と同様(こ作った空間 $W^{k-0}$ (finite)$W^{k-0}$(finite)$=${$\sum x_{n}e_{n,k}|\lim\mu_{n}^{-d/2}x_{n}$(finite)$=W^{k-0}(0)\oplus \mathbb{R}\mathrm{e}_{k}$,$W^{k-0}(0)= \{\sum x_{n}e_{n,k}|\lim\mu_{n}^{-d/2}x_{n}=0\}$,$W^{k-0}$$e_{n,k}=\mu_{n}^{-k/2}e_{n}$で、${\rm Re}_{k}$,$\mathrm{e}_{k}=\sum\mu_{n}^{d/2}e_{n,k}$,の元として表される。

注意この結果は $H$ に経度$(\mathbb{R}\mathrm{e})$ecists},$(t_{\infty})$を付け加えるほうが deter 面 nant bundleを付け加えるよりも大きい空間を考えていて、 deter 面 nant bundle

はその 1 部として見えることを示している (より正確には空間として大きくなるのは緯度変数を独立にとるからで、 その結果 $H^{-}(0)$ より大きい空
間が t。を付け加えた空間に含まれる)。

120$xarrow W^{k-0}$$W’$(finite), $k>0$ であれば、$||x||_{l}<\mathrm{o}\mathrm{o},$$0\ovalbox{\tt\small REJECT} l<k$

である。

$x$

の

での極座標を$x_{2}=||x||_{l}\sin\theta_{1,l}\cos\theta_{2,l},$ $\ldots$$x_{1}$$=$$||x||_{l}\cos\theta_{1,l},$$x_{n}$$=$$||x||_{l}\sin\theta_{1,l}\cdots\sin\theta_{n-1,l}\cos\theta_{n.l},$,$\ldots$とする。 $||x||_{l}=\sqrt{\sum\mu_{n}^{-2l}|x_{n}|^{2}}$ だから$(=||x||_{l}’)$$\frac{d||x||_{l}}{dl}=\frac{-\sum(\log\mu_{n})\mu_{n}^{-2l}|x_{n}|^{2}}{||x||\iota}$,である。 ある $l>0$ で $x\in W^{l}$ だから $\sum\log\mu_{n}|x_{n}|^{2}$ [ま収束する。 よって,$\frac{d||x||_{l}}{dl}|_{l=0}=-\frac{\sum\log\mu_{n}|x_{n}|^{2}}{||x||_{l}}=||x||_{l}’(0)$である。 次に $\theta_{n,l}’=d\theta_{n,l}/dl$ を計算する。

00$x_{n}$

は

$l$

(13)

に無関係だから,$=$$||x||_{l}’\cos\theta_{1,l}-||x||_{l}\sin\theta_{1,l}’$$=$$||x||_{l}’\sin\theta_{1,l}\cos\theta_{2,l}+||x||_{l}\cos\theta_{1,l}\theta_{1,l}’\cos\theta_{2,l}-$$-||x||_{l}\sin\theta_{1,l}\sin\theta_{2,l}\theta_{2,l}’$,,...... ,である。 また$1+ \frac{\cos^{2}\theta_{1}}{\sin^{2}\theta_{1}}+\cdots+\frac{\cos^{2}\theta_{n}}{\sin^{2}\theta_{n}}\sin 2\theta_{1}\cdots\sin 2\theta_{n}$1$=$$\overline{\sin^{2}\theta_{1}\cdots\sin^{2}\theta_{n}}$’だから$\theta_{n,l}’=\frac{||x||_{l}’}{||x||_{l}}\frac{\cot\theta_{n,l}}{\sin^{2}\theta_{1,l}\cdots\sin^{2}\theta_{n-1,l}}$である。

$\lim_{larrow 0}\theta_{n,l}=\theta_{n}$

(14)

,

だから (14) により$\lim_{larrow 0}\theta_{n,l}’=\frac{||x||_{l}’(0)}{||x||}\frac{\cot\theta_{n}}{\sin^{2}\theta_{1}\cdots\sin^{2}\theta_{n-1}}$

(15)

,

となる。 $x\in W^{l},$ $l>0$ であれば $\sum\log\mu_{n}|x_{n}|^{2}$ は有限で、 この値をとかけば$\langle\log G, ||x||^{2}\rangle$$\lim_{larrow 0}\theta_{n.l}’=-\langle\log G, ||x||^{2}\rangle(\frac{\cos\theta_{n}}{x_{n}})^{2}\cot\theta_{n}$

,

(16)

121
となる。 $l>0$ は任意だから $H^{+}= \bigcup_{l>0}W^{l}$ とおけば (15) は $x\in H^{+}$ であれば成立する。 ただし位相空間としては $W^{+}$ はソボレフ空間列$W^{l},$$l>0$の帰納極限と考える。
注意 $H^{+}$ は $H^{-}= \bigcap_{l<0}W^{l}$ の双対空間である。 $H^{-}$ は $H^{-}$ (finite) を(集合として) 含む空間だから、 正則化 Laplacian の周期的境界値問題と関係する。 それに対して、 上の計算は正則化 「球面」 Laplacian と $H^{+}$ が関係していることを示唆している。

2.

の元の t。としての表示$\mathbb{R}\mathrm{e}$$x= \sum x_{n}e_{n}\in H^{-}$(finite) であれば (9) から$x=y+t\mathrm{e},$$t\in \mathbb{R},$$y= \sum y_{n}e_{n}\in H^{-}(0)$と書ける。 $t=0(x=y)$ であれば、 任意の $\epsilon>0$ (こた$\epsilon/2|c|,$,$|_{\sqrt}\mathrm{a}$し、 $\mu_{n}^{-d}|x_{n}|^{2}<$$n>N$ となる番号 $N$ がある。 ただし $c={\rm Res}_{s=d}\zeta(G, s)$ で、 $c\neq 0$

とする。

,

$\lim_{karrow 0}k(\sum_{n=1}^{N}\mu_{n}^{d+k}|x_{n}|^{2})=0$だから$k<\delta_{1}$なら $|k( \sum_{n=1}^{N}\mu_{n}^{d+k}|x_{n}|^{2})|\leq\epsilon$ となる$\delta_{1}$を選ぶことができる。 他方$\lim_{karrow+0}k(\sum_{n>N}\mu_{n}^{d+k})=\lim_{karrow+0}k\zeta(G, k+d)=c$だから$k\leq\delta_{2}$なら $|k( \sum_{n>N}\mu_{n}^{d+k})|<2|c|$ となる$\delta_{2}$,を選ぶことができる。

そこで $\delta=\min(\delta_{1}, \delta_{2})$ とすれば $k<\delta$ のとき$k||x||_{-k}^{2}$$=$$\frac{1}{2}2k(\sum\mu_{n}^{d+2k}|\mu_{n}^{-d/2}x_{n}|^{2})$$<$$\frac{1}{2}(2k(\sum_{n=1}^{N}\mu_{n}^{d+2k}|x_{n}|^{2}+2k\zeta(G, d+2k)\frac{\epsilon}{2|c|})$$<$$\frac{1}{2}(\frac{\epsilon}{2}+2(c+O(k))(\frac{\epsilon}{2c}))<\epsilon$,

だから $t=0$ のとき$\lim_{Karrow+0}k||x||_{-k}=0$

(17)

,

である。 (17) と $\lim_{narrow\infty}\mu_{n}^{-d/2}x_{n}y_{n}=0$ から$\lim_{karrow+0}k||x||_{-k}^{2}$$=$$\lim_{karrow+0}k|t|^{2}||\mathrm{e}||_{-k}^{2}$$=$$\lim_{karrow+0}k|t|^{2}|\zeta(G, d+2k)|=\frac{1}{2}|t|^{2}|c|$

,

122
となって

$\lim_{karrow+0}\sqrt{k}||x||_{-k}=\sqrt{\frac{|c|}{2}}|t|$

,

(18)

が成立する。
注意 $\mu_{1}\geq\mu_{2}\geq\ldots>0$ を仮定しているので、 $s>d$ で [ま $\zeta(G, s)>0$ である。 また${\rm Res}_{s=d} \zeta(G, s)=\lim_{sarrow d+0}(s-d)\zeta(G, s)$,

だから $c\geq 0$ となる。 したがって (18) を$\lim_{karrow+0}\sqrt{k}||x||_{-k}=\sqrt{\frac{c}{2}}|t|$,と書いても良い。
$x\in H^{-}$(finite) が $W^{-k},$ $k>0$ の元であるときその $W^{-k}$ での極座標を$x_{1}$$x_{n}$$=$$=$$||x||_{k}\cos\theta_{1,k}$,$x_{2}=||x||_{-k}\sin\theta_{1,k}\cos\theta_{2,k},$$||x||_{-k}\sin\theta_{1,k}\cdots\sin\theta_{n-1,k}\cos\theta_{n,k},$$\ldots$$\ldots$,,とすれば、 $x\in H$ の時、 $\lim_{karrow+0}\theta_{n,k}=\theta_{n}$ である。 $x\not\in H$ であれば、 (18)から $||x||_{-k}=O(k^{-1/2})$ となる。 従って、 $\lim_{karrow 0}\theta_{n,k}=\pi/2$ であり, さらに$\theta_{n,k}$$=$$x_{1}$$=$$\frac{\pi}{2}-\sqrt{k}\alpha_{n}+o(\sqrt{k})$$\sqrt{\frac{|c|}{2}}|t|\alpha_{1},$

,

(19)

$x_{n}=\sqrt{\frac{|c|}{2}}|t|\alpha_{n},$$\cdots,$$\cdots$,(20)となる。 よって $t\neq 0$ であれば$\theta_{n,k}=\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{|c|k}{2}}\frac{x_{n}}{|t|}+o(\sqrt{k})$となる。 ( $x\in H^{-}(0)$ であれば$\theta_{n,l}$

,

(21)

の展開はできない) 。これがら$\frac{x_{n}}{||x||_{-k}\cos\theta_{n,k}}=\frac{x_{n}}{\sqrt{\frac{|c|}{2k}}|t|)\sin(\sqrt{k}\alpha_{n})+O(1)}$ フとなるから、$\lim\underline{x_{n}}=\frac{2}{|c|}$$karrow+||x||_{-k}\cos\theta_{n,k}$

,

(22)

123
となる。

$t_{\infty}= \lim_{narrow\infty}\frac{x_{n}}{||x||\cos\theta_{n}}$だから $t\neq 0$ であれば、$t_{\infty}\neq 0$となる。

$\text{ま}_{arrow}’\lim_{karrow+0}k^{-1/2}||x||_{-k}t_{\infty}\#\mathrm{h}$$\lim_{karrow+0}\frac{1}{\sqrt{k}}\frac{x_{n}}{\cos\theta_{n,k}}=\sqrt{\frac{2}{|c|}}|t|$

(23)

,

となる。
注意 (21) から $\theta_{n,k}-\pi/2$ は $k=0$ で $C^{1/2}$ -class で $t\neq 0$ のとき$x_{n}=- \sqrt{\frac{2c}{\pi}}|t|\frac{d^{1/2}}{dk^{1/2}}(\theta_{n,k}-\frac{\pi}{2})|_{k=0}$

(24)

,

が成り立つ。 $t\neq 0$ であれば $\lim_{karrow 0}\theta_{n,k}=\pi/2$ となって $x=|y+t\mathrm{e}$ (こたいする極座標は意味をもたないが、 (24) は$\frac{d^{1/2}}{dt^{1/2}}(\theta_{n,k}-\pi/2)|_{k=0}$,$n=1,2,$$\ldots$,が極座標 (緯度) に替わるものであることを示している。
注意 (18), (19) も $H^{-}$ (finite) の中では 「緯度」 変数が完全に独立ではないことを示している。

まとめと補足的な注意

3 節の結果から、 $((G, s)$ の最初の留数と ( ,) も $\{H, G\}$ の不変量
) は $D$ のトレーと考えられる ( $G$ が $D$ のグリーン作用素の時は ( $G$ ,ス (的) な数である) 。またの関数として $l=0$ で 1/2 階微分可能である ([5], [6] 参照) 。非可換幾何的な興味からは $\zeta(G, s)$ から$\{H, G\}$ の不変量がほかに得られるか (例えば 2 番目以後の留数やぐ’ $(G, 0)$$\zeta$$G$

一$\zeta$

$d$

一

$d$

$\theta_{n,l}-\pi/2\ovalbox{\tt\small REJECT}\mathrm{h}l$等を使って) が問題だが、 今のところ解かつていない。

Connes の spectral triple $(A, H, D)$ では$D^{-1}$が計量にあたるものと解

実際計量が与えられている。 また $\zeta_{b}(s)=Tr(b|D|^{-s})$ を用いで生成された代数の元 $P$ の正則化トレースをて、 $A,$ $[D, A]$ と${\rm Res}_{z=0}Tr(P|D|^{z})$ で定義し、 それを用いて、 cyclic cocycle などを構成している ([10], [垣])。 しかし $A$ と $H$ は固定されていて、 $((D, s)$ の特殊値に釈され$|D|^{z},$$z\in \mathbb{C}$

特別の意味を求めることはしていないようである。
それに対して、 本稿では -正則化を用いることにより、従来 主に確率解析的な扱いをされてきた $H$ 上の微分作用素に対し ([13] など) 古典解
析的な扱いが可能であることを示すと共に, その場合組 $\{H, G\}$ で、 $H$ を固定する事は適切でなく、 また新たな次元を導入する必要があることを示した。 ここで導入された新しい次元は determinant bundle ( $H$ の体積要$\zeta$124素) と解釈されるが ([5], [6] 参照)、 特に正則化 「球面」 Laplacian I こ関連して現れる新しい次元は $H$ の極座標には現れない 「経度」 と関係してぃて、 それと determinant bundle との間は $((G, s)$ の最初の留数にょって関係付けられる。 したがって \mbox{\boldmath $\zeta$}-正則化は従来の手法以外に新しい観点を非可換幾何に与えると言っても良いだろう。
また [2] で示したように非可換幾何的手法は、 写像空間など無限次元多様体の大域解析的研究に有効である。 その際、 無限次元ではじめて現れる(\otimes -p)-次微分形式の取り扱いは興味ある問題だが、 その外微分は多くの

1 節補足で述べたように正則化することが必要にな

場合発散するのでる。 この正則化は $\zeta(G, s)(\zeta(D, s))$ を用いて、 定義されるので、 その意味

でも \mbox{\boldmath $\zeta$}-正則化は非可換幾何で有効な研究手法である。

なお本稿では簡単のため $G$ は正値作用素としたが、 Dirac 作用素のグリーン作用素の場合の様に正固有空間 Hゎ負固有空間
が共に無限次元となる場合はより重要である。 この場合正則化によって付け加えられる$H_{-}$

空間は$\mathbb{R}\mathrm{e}_{+}\oplus \mathbb{R}\mathrm{e}_{-}$

を固定すれば、課題である。
$\mathcal{F}$と書け (2-次元) で、$\mathbb{R}\mathrm{e}_{+}\oplus \mathbb{R}\mathrm{e}_{-}$$H_{+}$と $H_{-}$ の間の等距離作用素に複素構造が入る。 これらの研究は今後の参考文献[1] Atiyah, M. F., Patodi, V. K., Singer, I. M.: Spectral asymmetry andRiemannian geometry,, III, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.
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$\eta$