数理解析研究所講究録 1239 巻 2001 年 107-121

107
Nodal curves and Riccati solutions of Painlev\’eequations
神戸大学理学部
神戸大学自然科学研究科(Masa-Hiko Saito)(Hitomi Terajima)

齋藤政彦
寺島ひとみ
概要

パンルベ方程式がその初期値空間によって特徴付けられることは知られていて,ひとつには, 岡本-パンルベ対 (S, Y) に複素構造の変形理論を応用することにより,初期値空間からパンルベ方程式を復元する方法がある [STT]. 本稿では, パンルベ方
程式のリッカチ解を岡本-パンルベ対の言葉で特徴付けたうえで, それらの分類と, 関連する話題 1 について考察する.

岡本-パンルベ対とパンルベ方程式1

まず始めに, [STT] に従って, 岡本-パンルベ対の言葉でパンルベ方程式を定式化しなおしてみたい.

定義 1J $S$ を有理曲面, $\mathrm{Y}\in|-K_{S}|$ を $S$ 上の有効反標準因子とする. また,をの既約分解とする. 対が次の条件を満たすとき, 岡本一パンルベ対という.

$\mathrm{Y}=\Sigma_{i=1}^{r}m_{i}\mathrm{Y}_{i}$$(S, \mathrm{Y})$$\mathrm{Y}$

任意の

$i$

$(1 \leq i\leq r)$に対し,$\mathrm{Y}\cdot \mathrm{Y}_{i}=\deg \mathrm{Y}|_{Y}\dot{.}=0$

また,$D:=\mathrm{Y}_{red}=\Sigma_{i=1}^{r}\mathrm{Y}_{i}$

(1)

.

とする.

に対
注 1J 岡本氏によるパンルベ方程式の初期値空間は, ある岡本-パンルベ対”
岡本-パンルベ対 とし
して $S-D$ とかける事がわかる. また, 本稿では, 簡単のため,$(S, \mathrm{Y})$”たが, これは, [STT] では”

generalized rational OkamotO-Painleve’pair

以下, ことわりがない限り, 岡本-パンルベ対
仮定 11.

$\mathrm{Y}$$(S, \mathrm{Y})$”に相当する.

は, つぎの条件を満たすものとする.

の配置のタイプ $R=R(\mathrm{Y})$ は, 以下のひとつと一致する.
$\tilde{D}_{4},\tilde{D}_{5},\tilde{D}_{6},\overline{D}_{7},\tilde{D}_{8},\tilde{E}_{6},\tilde{E}_{7},\tilde{E}_{8}$

2. non-fibered タイプ, すなわち, elliptic fibration

$f$

:

.

$Sarrow \mathrm{P}^{1}$

で $f^{-1}(\infty)=\mathrm{Y}$ を満たすものが存在しない.

12001 年 9 月の研究集会 「モジュライ空間の幾何と可積分系」 (数理研) での講演内容も含む

108
注 L2 この仮定の下では,$\dim {}_{\mathrm{C}}H^{0}(s(-\log D)\otimes N_{D/S})=1$

dimc $H^{0}(_{S}(-\log D)\otimes \mathcal{O}_{S}(D))=0$ .

,以下, 岡本-パンルベ対から微分方程式系が導出される過程を簡単に復習し, 岡
本-パンルベ対の言葉で, パンルベ方程式を定義する.
$(S, \mathrm{Y})$定理 Ll (Proposition 5.1. [STT]) 岡本-パンルベ対
たす可換図式$(S, \mathrm{Y})$に対して, 次の性質を満$+\Delta D$

$S$

(2)

$\swarrow\varphi$$\pi\downarrow$$\mathcal{M}_{R}\cross B_{R}$が存在する.

1.

は, C’のアファイン開部分スキームのアファイン開部分スキーム. ここで, H ま
は,
で,
の既約成分
の個数.
2. 上の図式は, non-singular pair $(S, D)$ の変形.
3. $D$ に沿ってだけ極を持ち, ゼロをもたない $S$ 上の相対有理 2 形式$=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{C}[\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}](s=s(R)=9-r)$$\mathcal{M}_{R}$$B_{R}$$\mathrm{C}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{C}[t]$$\mathrm{Y}$$\omega_{\mathrm{S}}\in\Gamma(S, \Omega_{S/\lambda 4_{R}\mathrm{x}B_{R}}^{2}(*D))$が存在する.

の極因子とする $(\mathcal{Y}_{red}=D)$ . このとき, 各点
B。に対して, (S。, , Ya,, タイプ $R=R(\mathrm{Y})$ の岡本-パンルベ対 (non-fibered とは限らない) である. また, タイプ $R$ の任意の岡本-パンルベ対に対して, MR B。
の点が存在して,.
各点
上ベクトル空間の線形写像である小で半普遍, すなわち,
5.
平-スペンサー写像

4.

$\mathcal{Y}$を$(\alpha, t)\in \mathcal{M}_{R}$$\omega_{\mathrm{S}}$$\cross$$t$$(S’, \mathrm{Y}’)$$(\alpha,t)$$\cross$$(S’, \mathrm{Y}’)\simeq(S_{\alpha,t},\mathcal{Y}_{\alpha,t})$$(\alpha,t)\in \mathcal{M}_{R}\cross B_{R}$:$\rho_{\alpha,t}$$\mathrm{C}$(3)$T_{\alpha,t}(\mathcal{M}_{R}\cross B_{R})arrow H^{1}(S_{\alpha,t}, \Theta_{\mathrm{S}_{\alpha,t}}(-\log D_{\alpha,t}))$が同型. ファイバーの岡本-パンルベ対が non-fibered タイプであるような点 (こののザリスキ開集合) について?
ような点からなる集合はの$\mathcal{M}_{R}\cross B_{R}$$T_{\alpha,t}(\mathcal{M}_{R}\cross B_{R})$1 次元部分空間 糸 。は, 小平-スペンサー写像によって,(の 1 次元部分空間と同型.
$\langle$$H^{1}$$\rangle$$S_{\alpha,t},$\ominus s。,t$(-\log D_{\alpha,t})$)$H^{0}(S_{\alpha,t}, \Theta_{S_{\alpha.t}}(-\log D_{\alpha,t})\otimes N_{D_{\alpha.t}})$$\rho_{\alpha,t}$:$T_{\alpha,t}(\mathcal{M}_{R}\cross B_{R})$$arrow\sim$$\cup$$T_{\alpha,t}(\{\alpha\}\cross B_{R})$$H^{1}$($S_{\alpha,t},$\ominus S。,t$(-\log D_{\alpha,t})$

ただし,

$t$

は B。の座標.

$\simeq \mathrm{C}^{10-r}$$\cup$$arrow^{\sim}$$H^{0}(S_{\alpha,t}, \Theta_{\mathrm{S}_{\alpha,t}}(-\log D_{\alpha,t})\otimes N_{D_{\alpha,t}})$$(v$$\frac{(\cup\partial}{\partial t}$)–$\rho_{\alpha,t}(\frac{\partial}{\partial t})$$\simeq \mathrm{C}$

(4)

109
6.

$M_{R}$と B。をそれぞれ, M。と B。のアファイン座標環とする.

( $M_{R}$ とは, それぞれ化で得られる. ) このとき, $S$ のアファイン開被覆
えられるようなものが存在する.

$B_{R}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}B_{R})$$B_{R}$(すなわち,$\mathrm{C}[\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}]$$\{\tilde{U}_{i}\}_{i=1}^{l+k}$

と

で, 各

$\mathcal{M}_{R}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}M_{R}$$\mathrm{C}[t]$$\tilde{U}_{i}$のある局所がつぎであた.

$\tilde{U}_{i}\simeq \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(M_{R}\otimes B_{R})[x_{i}, y_{i}, \frac{1}{f_{\dot{l}}(x_{i},y_{i},\alpha,t)}]\subset \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{C}[\alpha, t, x_{i}, y_{i}]\simeq \mathrm{C}^{s+3}\simeq \mathrm{C}^{12-r}$(5)
ここで $f_{i}(x_{i}, y_{i}, \alpha, t)\in(M_{R}\otimes B_{R})[x_{i}, y_{i}]$ . さら [こ, $S-D$ は,

り, 各

$i$

にたいして, 相対有理 2 形式の$\omega_{S}$$\tilde{U}_{i}$$\{\tilde{U}_{i}\}_{i=1}^{l}$で覆われておへの制限が,(6)$\omega_{\mathrm{S}}|_{\overline{U}}\dot{.}=\frac{dx_{i}\wedge dy_{i}}{f_{i}(x_{i},y_{i},\alpha,t)^{m}}\dot{.}$

と書ける.

7.

$\tilde{U}_{i}\cap\tilde{U}_{j}=\emptyset$となる, 各 $i,j$ に対して変換関数$x_{i}=f_{ij}(x_{j}, y_{j}, \alpha, t)$は有理関数体$\mathrm{C}(x_{j}, y_{j}, \alpha, t)$,(7)$y_{i}=g_{ij}(x_{j},y_{j}, \alpha, t)$の元である.

さて, 層の短完全列$0arrow_{S}(-\log D)arrow_{S}(-\log D)\otimes \mathcal{O}(D)arrow_{s}(-\log D)\otimes N_{D}arrow 0$の(チェック) コホモロジーを取って得られる長完全列と, 可換図式 (4) をあわせると次の図式を得る.

$\frac{\partial}{\partial t}\in T_{\alpha,t}(\{\alpha\}\cross B_{R})$$\mathrm{c}arrow$$l\downarrow\rho_{\alpha,t}$$l\downarrow$$0arrow$$H^{0}(_{S}(-\log D)\otimes N_{D})$$T_{\alpha,t}(\mathcal{M}_{R}\cross B_{R})$$=*$$H^{1}(_{S}(-\log D))$$arrow\phi$$H^{1}(s(-\log D)\otimes \mathcal{O}_{S}(D))$

u)

($v$
$\rho_{\alpha,t}(\frac{\partial}{\partial t})$0$\mapsto$(8)
ここで, $S=S_{\alpha,t},$ $D=D_{\alpha,t}$ . また,使った.

$\dim_{\mathrm{C}}H^{0}(\Theta_{S}(-\log D)\otimes \mathcal{O}_{S}(D))=0$(注 12) をは, $H^{0}(\Theta_{S}(-\log D)\otimes N_{D})$ の上の図式より, $H^{1}(_{S}(-\log D))$ のゼロでない元像に属しており, またこの図式の完全性から, によって, ゼロにうつされる. すなわち,$\rho_{\alpha,t}(\frac{\partial}{\partial t})$$\phi$$\rho(\frac{\partial}{\partial t})=\{\theta_{ij}=\frac{\partial f_{ij}}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x_{i}}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\frac{\partial}{\partial y_{i}}\in\Gamma(U_{i}\cap U_{j}, _{S}(-\log D))\}$

は, $H^{1}(_{S}(-\log D)\otimes \mathcal{O}(D))$ の元として, ゼロである. このことがすべての $(\alpha,t)\in$
上, 有理ベクトに対して成り立つことと, base change theorem を使うと, 各
ル場$\mathcal{M}_{r}\cross B_{r}$$\tilde{U}_{i}$$\theta_{i}(x_{i}, y_{i}, \alpha,t)=\eta_{i}(x:, y_{i}, \alpha, t)\frac{\partial}{\partial x_{i}}+\zeta_{i}(x_{i}, y_{i}, \alpha,t)\frac{\partial}{\partial y_{i}}\in\Gamma(\tilde{U}_{i}, _{\mathrm{S}}(-\log D)\otimes \mathcal{O}_{\mathrm{C}}(D))$

110
で,

$\tilde{U}_{i}\cap\tilde{U}_{j}$上$\theta_{ij}(x_{i},y_{i}, \alpha, t)=\theta j(xj, yj, \alpha, t)-\theta_{i}(x_{i}, y_{i}, \alpha, t)$を満たすものが存在する. 一方で,$( \frac{\partial}{\partial t})_{j}=(\frac{\partial}{\partial t})_{i}+\theta_{ij}(x_{i}, y_{i}, \alpha, t)$$\vee C^{\backslash }\text{ある}\hslash\backslash \tilde{\}\supset},\tilde{U}_{i}-\mathrm{h}^{g)}\sqrt\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}\text{ク}\}\backslash \mathrm{K}\mathrm{s}\text{場}(\frac{\partial}{\partial t})_{i}-\theta_{\dot{\iota}}(x\dot{.}, y_{i}, \alpha, t)l\mathrm{h}S$-hE$\text{り}\bigwedge_{\Pi}\vee\supset C\vee$,$( \frac{\partial}{\partial t}\text{の}\mathrm{t}\rfloor \text{フ}$トである) 大域的有理ベクトル場$\tilde{v}=\{(\frac{\partial}{\partial t})_{:}-\theta_{i}(x_{i}, y_{i}, \alpha, t)\}$を得る.

$\alpha$定理 L2 (Theorem 6.1. [STT]) 上の補題の $R=R(\mathrm{Y}),$ $S,$ $D,$の有理ベクトル場$\mathcal{M}_{R}\cross B_{R}$に対し, $S$ 上$\tilde{v}\in\Gamma(S, \Theta(-\log D)\otimes \mathcal{O}_{\mathrm{S}}(D))$となるものが, 一意的に存在する. の $S-D$ 上への制限 v\tilde ls-っは正則なで,を $S-D$
代数的ベク・トル場である. さらに,のアフィン開被覆とするとき, の . 上への制限は,$\tilde{v}$$\pi_{*}(\tilde{v})=\frac{\partial}{\partial t}$$\{\tilde{U}_{i}\subset \mathrm{S}\mathrm{p}_{\mathfrak{X}}\mathrm{C}[\alpha,t, x_{*}.,y:]\simeq \mathrm{C}^{s+3}\simeq \mathrm{C}^{12-r}\}_{i=1}^{l}$$\tilde{U}_{1}$$\tilde{v}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}|_{\overline{U}}.\cdot=\frac{\partial}{\partial t}-\theta_{:}=\frac{\partial}{\partial t}-\eta:\frac{\partial}{\partial x}.\cdot-\zeta_{1}.\frac{\partial}{\partial y_{\dot{l}}}$(9)と書けて》微分方程式系$=$$-\eta.\cdot(x:, y_{\dot{*}}, \alpha, t)$$=$$-\zeta_{i}(X:, y_{\dot{l}}.\alpha, t)$$f \frac{dx}{f_{y_{\dot{l}}}}i$

(10)

$\{$

$\overline{dt}$を定義する. ここで,$\zeta_{\dot{l}}$$\eta_{i},$は,$\tilde{U}\dot{.}$上の正則代数関数である.

111
定義 L2 この一意なベクトル場
タイプ $R$ のパンルベ系と呼ぶ.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$によって定義される (10) のような微分方程式系を,

注 L3 実際, このベクトル場が定める微分方程式系は, パンルベ方程式と同値である. タ

イプ $R$ とパンルベ方程式との対応は次の通り.

2

岡本-パンルベ対上の nodal curve とリツカチ解ある曲面 $S$ 上の曲線 $C$ が,と同型で, 自己交点数 $C\cdot C$ が -2 であるときに nodal
は自己交については, $S-D$ 上の
curve と呼ぶ. ちなみに, 岡本-パンルベ対
点数が -2 であることが分かるので, nodal curve である.
$\mathrm{P}^{1}$$\mathrm{P}^{1}$$(S, \mathrm{Y})$

初期値空間に相当する $S-D$ がパンルベ方程式の解をパラメータ付けしているのであるが, この節では, パンルベ方程式のリッカチ解を岡本-パンルベ対の言葉で定義たうえで, 「 $S-D$ の中の ”nodal curves” が” リッカチ解” をパラメータ付けしている」 ということを述べたい.

この節では, 前節で出てきた大域的な岡本-パンルベ対の変形 (2) の底空間を (\mbox{\boldmath $\alpha$}\in M。
を固定し)$\{\alpha\}$だったので,$\cross$

B。に制限したところで考える.

$S|_{\{\alpha\}\cross B_{R}}$上に制限すると,$S|_{\{\alpha\}\cross B_{R}}$$S$

上のベクトル場$\tilde{v}$は$\frac{\partial}{\partial t}$のリフト上の有理ベクトル場$\tilde{v}|_{\{\alpha\}\mathrm{x}B_{R}}\in\Gamma(S|_{\{\alpha\}\cross B_{R}}, (-\log D|_{\{\alpha\}\cross B_{R}})\otimes \mathcal{O}_{\mathrm{S}|_{\{\alpha\}\cross \mathcal{B}_{R}}}(D|_{\{\alpha\}\cross B_{R}}))$と思うことができる. (M。は方程式のパラメータ空間と思うことができて, \mbox{\boldmath $\alpha$}\in M。
を固定するのは方程式をひとつ決めるということに対応する) .
以下$\alpha$を固定し, 簡単のため記号を, $B_{R}:=\{\alpha\}\cross B_{R},$$\tilde{v}:=\tilde{v}|_{\{\alpha\}\cross B_{R}}$$S:=S|_{\{\alpha\}\mathrm{x}B_{R}}$,$D:=D|_{\{\alpha\}\mathrm{x}B_{R}}$

,

とする.

の
ここでは証明は与えないが, 代数幾何的な議論によって, 「岡本-パンルベ対によって定まる$S-D$ 上に nodal curve $C$ が存在するとき, (前節の意味で)$S-D$ を初期値空間とする方程式は, $C$ を初期値空間とする方程式に還元されうる」 ということが示せる. すなわち,$(S, \mathrm{Y})$$(S, \mathrm{Y})$定理 21([Sa-Te]) 変形 (2) のパラメータ空間を制限して得られる変形$S$$\pi\downarrow$$\precarrow D$$\swarrow\varphi$$B_{R}$

について, ある $t\in B_{R}$ のファイバーの開部分 $S_{t}-D_{t}$ 上に nodal curve $C$ が存在するとが存在する.
き, 次を満たす のザリスキ開近傍 $U$ と, $U$ 上の Pl-束$t$$\mathrm{C}arrow U$

112
1. 次の図式が可換であるような包含写像$C$: $\mathrm{C}arrow S-D$ が存在する.
$\mathrm{c}arrow\iota$$\mapsto$$\downarrow$$\mathrm{C}$$\in$$S-D|_{U}$$\swarrow\pi$$\downarrow$$t$

2. 一意的なベクトル場$\iota$$U$$\tilde{v}\in\Gamma(S, \Theta(-\log D)\otimes \mathcal{O}_{\mathrm{S}}(D))$

は$\tilde{v}|_{C}\in H^{0}(\mathrm{C}, \Theta_{C})$すなわち,$\tilde{v}\cdot \mathrm{I}_{C}\subset\$を満たす. ここで,$\mathrm{I}_{C}$は定義 2.1 一意なベクトル場$\tilde{v}$$\mathrm{C}$のイデアル層.

への制限によって定義される微分方程式の解をによって定義されるパンルベ系のリッカチ解と呼ぶ.
$\tilde{v}$の$\mathrm{C}$$\tilde{v}|_{C}$

したがって,{パンルベ系の局所解}$\Leftrightarrow$$\cup${リツカチ解}$S-D$$\cup$$\Leftrightarrow$$\bigcup_{:\in\Lambda}C.\cdot$:nodal curves の和ということなので, 以下, 岡本-パンルベ対上の nodal curve について考察する.

113
3nodal curves の分類
まず, 岡本-パンルベ対上の nodal curve の分類あたえる.
に対し, $S-D$ 上の nodal curves は, それらの配置により, 以下で分類される. また, 各タイプについて, その配置の nodal curvesを含む岡本-パンルベ対は存在する.

定理 31([Sa-Te],[T]) 岡本-パンルベ対$R(\mathrm{Y})$$\tilde{D}_{4}$$\tilde{D}_{5}$$\tilde{D}_{6}$$\tilde{D}_{7}$$\tilde{D}_{8}$$S-\mathrm{Y}_{red-}\mathrm{h}g)$$D_{4}$

nodal curve$\emptyset ffi\ovalbox{\tt\small REJECT}$, $(A_{1}, A_{1}, A_{1}, A_{1})$ , A3, $(A_{1}, A_{1}, A_{1})$ ,A3,$A_{2}$,$(A_{1}, A_{1})$$(A_{1}, A_{1})$,,$A_{2}$, $(A_{1}, A_{1})$ ,$A_{1}$$A_{1}$$A_{1}$none
none$\tilde{E}_{6}$$A_{2}$$\tilde{E}_{7}$$A_{1}$$\tilde{E}_{8}$$(S, \mathrm{Y})$,$A_{1}$

none$(\begin{array}{l}S+\dashv\end{array}$

図 1: ” タイプ

配置 $(A_{1}, A_{1})$”$R=\tilde{D}_{4}$

で nodal curves の配置$D_{4}$”, ” タイプ$R=\tilde{D}_{6}$

で nodal curves のの例

分類の証明のあらすじについては以下のとおり. ここでは, nodal curves を格子$H^{2}(S, \mathrm{Z})$(非退化対称双一次形式は因子の交点形式 $\cross(-1)$ ) の元と考える. ちなみに, 今の場合,の階数は 10, signature は $(1, 9)$ である. ここで, 次のようなの部分$H^{2}(S, \mathrm{Z})$$H^{2}(S, \mathrm{Z})$格子$T:=\langle \mathrm{Y}_{i}|1\leq i\leq r-1\rangle_{\mathrm{Z}}\oplus\langle C_{j}\subset S-D|\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}1\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\rangle_{\mathrm{Z}}\subset H^{2}(S, \mathrm{Z})$の番号付けで, 番目は, 重複度 $m_{r}=1$ の既約成分とする. 今扱っているも nodal curve であることに注意. また, 一方, このとき
岡本-パンルベ対では, 各
を考える.

$r$

$\mathrm{Y}_{i}$$\mathrm{Y}_{i}$($\langle \mathrm{Y}\rangle_{\mathrm{Z}}^{[perp]}$in $H^{2}(S,$$\mathrm{Z})$)$=E_{8}^{-}\oplus \mathrm{Z}\mathrm{Y}$114
であり, さらに,「 $T$ は, この$E_{8}$の部分格子である」 ,いうことが分かる. したがって, あとは,「達は$\mathrm{Y}_{i}C_{j}$格子の部分格子の分類
本-パンルベ対の型を決めると決まる部分格子’と$E_{8}$$\langle \mathrm{Y}_{i}|1\leq i\leq r-1\rangle$

子を見つけてやれば,
curve) の型, すなわち, ne
わかる. 存在については他の議論が必要だが, ここでは触れない.
$\langle$$C_{j}\subset S-D|\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}1$

この定理の応用として次が分かる.
$\bullet$$\tilde{D}_{7}$

タイプのパンルベ方程式の特殊解のこと:

上の分類表から,の場合には, $S-D$ は nodal curve を含 ;(別の議論により, $S-D$ 上のすべての既約曲線の自己交点数とが分かる. したがって, 障害は位相的である. ) これは,ラメータを一次元分含んでいるにもかかわらず, リッカチ解力 ‘$\tilde{D}_{7}$$\tilde{D}_{7}\vee\Lambda$

意味している.

・局所コホモロジーのこと:

1 節で, 「コホモロジー $H^{0}(S, _{S}(-\log D)\otimes N_{D})$ が時間パラ特徴付けている」 ということを述べたけれど, 実は, 次の図式
モロジーの完全列によって, 「局所コホモロジー
方程式の時間パラメータの方向を特徴付けている」 と理解すイ[STT] .
$H_{D}^{1}(S,$ $\Theta s(-$$)$$T_{\alpha,t}(\{\alpha\}\cross B_{R})$$\mathrm{c}arrow$$l|$$0arrow$$l|$$H^{0}(S, \Theta_{S}(-\log D)\otimes N_{D})$$\llcornerarrow H^{1}(S, \Theta_{S}(-\log D))$

1
$0arrow$$T_{\alpha,t}(\mathcal{M}_{R}\cross B_{R})$$||$$H_{D}^{1}(\Theta_{S}(-\log D))$$arrow*H^{1}(S, \Theta_{S}(-\log D))$$arrow\phi$$H^{\eta}\rfloor$:$\underline{re}$そこで, 先の nodal curves の存在を用いると, generic な $(S,$

$f$

$1$

ホモロジー $H_{D}^{1}(S, \Theta_{S}(-\log D))(\supset H^{0}(S, \Theta_{S}(-\log D)\otimes N_{D})$ることを示すことができる$\mathrm{C}$[ -Te],[T] 参照) .
$\mathrm{S}\mathrm{a}$・岡本一パンルベ対の 2 重被覆のこと:
岡本-パンルベ対の 2 重被覆を分類する際に, nodal curves の分
話題に関しては, この講究録の 「岡本-パンルベ対の 2 重被覆野, 寺島) を参照) .
$[]$2

このことは, この講究録の大山氏の結果と対応している

115
4

nodal

$\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{s}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$) ート系, ベツクルント変換

以下, 9 月の数理研の研究集会で触れた, nodal curves に関連する話題について述べる.
これに関しても, 代数幾何の言葉で書けるはすだと思われるけれど》理論の方は今後の課
題である.

4.1

$\tilde{E}_{6}$タイプの場合タイプの岡本-パンルベ対 $(P_{IV})$ を例に話を進める. まず, 岡本-パンル
ここでは,ベ対の族を用意する. 2 節では, 岡本-パンルベ対の (大域的な) 半普遍族 (2) の底空間
を (\mbox{\boldmath $\alpha$}\in M。をひとつ決めて) B。に制限して考えたが, ここでは, 逆に, (t\in B。をひとつ決めて) パンルベ方程式のパラメータの空間 M。に制限して考える.
$\tilde{E}_{6}$$S$$arrowarrow D$(11)$\swarrow\varphi$$\mathcal{M}_{\overline{E}_{6}}\pi\downarrow$

ここでは, $S-D$ の座標系として, 高野氏らによる次のような座標系 (cf. [MMT]) を用いる (今回の話では, $S-D$ の座標系だけで十分で, $S$ 全体の座標系は必要ない) . $S-D$
開被覆は$S-D= \bigcup_{i=0}(U_{i}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{C}[x_{i}, y_{i}, \kappa_{0}, \kappa_{\infty}]\simeq \mathrm{C}^{4})$$\mathcal{M}_{\overline{E}_{6}}\downarrow$$=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{C}[\kappa_{0}, \kappa_{\infty}]\simeq \mathrm{C}^{2}$

各点のファイバー$(\kappa_{0}, \kappa_{\infty})\in \mathcal{M}_{\overline{E}_{6}}$$(S-D)_{(\kappa_{\mathrm{O}},\kappa_{\infty})}$

,
の開被覆は

$(S-D)( \kappa_{0},\kappa_{\infty})=\bigcup_{i=0}^{3}(U_{i}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{C}[x_{i}, y_{i}])$であり, 座標変換は,$x_{0}=y_{1}(\kappa_{0}-x_{1}y_{1})$,$x_{1}=y_{0}(\kappa_{0}-x_{0}y_{0})$,$x_{0}=\underline{1}$,$y_{0}=\underline{1}$$y_{1}= \frac{y_{1^{1}}}{y_{0}}$,,$y_{0}=x_{2}(\kappa_{\infty}-x_{2}y_{2})$,$y_{2}=x_{0}(\kappa_{\infty}-x_{0}y_{0})$,$x_{1^{2}}$$x_{2}=-x_{0}$ ’で与えられる.

$x_{2}=x_{3}$,$y_{2}=- \frac{1/2}{x_{3}^{3}}-\frac{t}{x_{3}^{2}}+\frac{2\kappa_{\infty}-\kappa_{0}+1}{x_{3}}+y_{3}$$x_{3}=x_{2}$,$y_{3}= \frac{1/2}{x_{2}^{3}}+\frac{t}{x_{2}^{2}}-\frac{2\kappa_{\infty}-\kappa_{0}+1}{x_{2}}+y_{2}$

,

.

116
また, ファイバー

$(S-D)_{(\kappa_{\mathrm{O}},\kappa_{\infty})}$$\{\frac{dx_{0}}{\frac{I_{y_{0}}^{t}}{dt}}$$==$に対応するパンルベ系は,$U_{0}$

上(12)$4x_{0}y_{0}-x_{0}^{2}-2tx_{0}-2\kappa_{0}-2y_{0}^{2}+2(x_{0}+t)y_{0}-\kappa_{\infty}$で与えられる.

まず, 座標変換を眺めるだけで簡単に見つかる nodal curves を挙げる.
のファイバー
すなわち,では,$\kappa_{0}=0$$(S-D)_{(0,\kappa_{\infty})}$$(0, \kappa_{\infty})\in \mathcal{M}_{\overline{E}_{6}}$$U_{0}\cap U_{1}$

上の座標

変換は
$x_{0}=-x_{1}y_{1}^{2}$,$y_{0}= \frac{1}{y_{1}}$で与えられる. したがって, ここでは, $\{x_{0}=0\}\subset U_{0}$ と $\{x_{1}=0\}\subset U_{1}$ は張り合って,とを座標とする $(S-D)_{(0,\kappa_{\infty})}$ 上のを定める, つまり,

$y_{0}$$\mathrm{P}^{1}$$y_{1}$$\mathrm{P}^{1}\simeq C_{0}:=\{x_{0}=x_{1}=0\}\subset(S-D)(0,\kappa_{\infty})$

また, 同様にして$\kappa_{\infty}=0$

.

のとき,

$\mathrm{P}^{1}\simeq C_{\infty}:=\{y_{0}=y_{2}=0\}\subset(S-D)_{(\kappa_{\mathrm{O}},0)}$を得る.

$\kappa_{0}$\kappa

したがって,$(0, 0)\in \mathcal{M}_{\tilde{E}_{6}}$上には nodal curves$C_{0},$$C_{\infty}$のファイバーの岡本パンルベ対がの配置で入っていることが分かる.

以上は入らないことも分かる)$(S_{(0,0)}, \mathcal{Y}_{(0,0)})$$A_{2}$の $(S-D)_{(0,0)}$(分類から, これ

117
ここで,

$C_{0},$

が生成する,$C_{\infty}$$H^{2}(S_{(0,0)}, \mathrm{Z})$の$A_{2}$

部分格子$\langle C_{0}, C_{\infty}\rangle_{\mathrm{Z}}\subset H^{2}(S_{(0,0)}, \mathrm{Z})$には, それぞれ,を考えてみる. 先の話は 「単純]– に相当する,が対応する」 というふうに見ることができる.
平面 $\{\kappa_{0}=0\},$$C_{0},$$\text{ト}$$C_{\infty}$$\mathcal{M}_{\overline{E}_{6}}$上の超$\{\kappa_{\infty}=0\}$にも, 対応する超平面があるのではないか ? 」 というそこで, 「他のルート問題が考えられる. この場合, 答えは目の子で見つけることができ, 次の表で与えられる.
$C_{0}+C_{\infty}$

ffi$\not\in\backslash *ffi\emptyset 8^{\iota 5})|\backslash \backslash \emptyset 7$$)\triangleright-\triangleright$$\mathrm{E}^{\backslash }*$$C_{0}$$\kappa_{0}=0$$x_{0}=0$$C_{\infty}$$-\kappa_{\infty}=0$$y_{0}=0$$C_{0}+C_{\infty}$$\kappa_{0}-\kappa_{\infty}=0$$x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0$$7\triangleleft’$$J\backslash ^{\backslash ^{\backslash }}-\neq\emptyset$

nodal curve$\emptyset$$U_{0-}\mathrm{k}^{-}T^{\backslash }\backslash \emptyset\not\in\ovalbox{\tt\small REJECT} X$$=0$$\kappa_{\infty}$

上の原点でな
ここで, ルートと超平面が対応するというのは, 「超平面い点のファイバーには, $x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0$ で定義される (既約な) nodal curve が入っているに向かつて, 極限をとると, $x_{0}y_{0}=0$ で定義される可約のだが, それを$\{\kappa_{0}-\kappa_{\infty}=0\}$$(\kappa_{0}, \kappa_{\infty})=(0,0)$な曲線 $C_{0}+C_{\infty}$ になる」 という意味.

実は, これらの超平面は, この点を通る, (ベツクルント変換からくる) アファインワイ
ル群の鏡映面にほかならない. 底空間の座標を取り替えて, 「野海, 山田両氏によるを座標とする三角座標系の対称形式におけるパラメータ3
で見てみると, 次の図のようになっている.
$P_{IV}$$\alpha_{0},$$\alpha_{1},$$\alpha_{2}(\alpha_{0}+\alpha_{1}+\alpha_{2}=1)$$\rfloor$

3 野海先生の本 「パンルヴ I 方程式-対称性からの入門」 (朝倉書店) などを参照

118$=\kappa_{0}-\kappa_{\infty}=0)$$(-\kappa_{\infty}=0)$

ちなみに, 単純ルート$C_{0},$$C_{\infty}$に対応する超平面 $\{\kappa_{0}=0\},$::$C_{0}+C_{\infty}$$C_{\infty}$$\{\kappa_{\infty}=0\}$

は, ワイル群の生成元に対応する 3 個の鏡映面 $\{\alpha_{0}=0\},$ $\{\alpha_{1}=0\},$ $\{\alpha_{2}=0\}$ のうちの 2 個に対応していることが分かる.

ここまでは初期値空間上の nodal curves の視点で説明してきたが, 2 節で述べた
curves とパンルベ系のリッカチ解の対応」 で, 方程式の視点から再考してみる.
・方程式のパラメータがパンルベ系 (12) は,上,$\kappa_{0}=0$$\mathrm{r}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}1}$を満たすとき:$U_{0}$$\{\frac{dx_{0}}{\frac{l_{y_{0}}^{t}}{dt}}$

$==$

(13)

$4x_{0}y_{0}-x_{0}^{2}-2tx_{0}-2y_{0}^{2}+2(x_{0}+t)y_{0}-\kappa_{\infty}$で与えられる. 一方このとき, nodal curve は $x_{0}=0$ で定義されるのであるが, 実際,$x_{0}(t)\equiv 0$ は, (13) の上側の方程式を満たしており, また, このとき $y_{0}(t)$ は (13) の下側の方程式に $x_{0}(t)\equiv 0$ を代入して得られるリッカチ方程式(14)$\frac{dy_{0}}{dt}=-2y_{0}^{2}+2ty_{0}-\kappa_{\infty}$を満たす.
上 $x_{0}=0$ で定義される曲線 (これはのとき, パンルベ系 (12) は,を定める) の上で, リッカチ方程式 (14) に還元される$(S-D)(0,\kappa\infty)$ 上の nodal curveである」 というこど)に沿う不変因子はのである. (別の言い方をすると,

つまり,$\kappa_{0}=0$$U_{0}$$C_{0}$$\mathrm{r}_{\kappa_{0}}=0$・方程式のパラメータが$\kappa_{\infty}=0$$x_{0}$

を満たすとき:先の場合と同様にして, $\{y_{0}=0\}=C_{\infty}\cap U_{0}$ 上で, リッカチ方程式$\frac{dx_{0}}{dt}=-x_{0}^{2}-2tx_{0}-2\kappa_{0}$に還元される.

(15)

119
上の 2 つはこれまでによく知られている場合である. パラメータが超平面 $\{\kappa_{0}-\kappa_{\infty}=0\}$

curves の定義式 $x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0$ は方上にある場合には, 上の 2 つの場合と違ってを取ると $x_{0}y_{0}=0$ で定義される
程式のパラメータを含んでおり, 極限とに分解する」 のであった. これを, 方程式のレベルで見曲線になる, すなわち$\mathrm{r}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}1}$$(\kappa_{0}, \kappa_{\infty})arrow(0,0)$$C_{0}$$C_{\infty}$

ると次のようになる.

を満たすとき:・方程式のパラメータが$x_{0}(t),$をパンノレベ系 (12) の解とする. このとき,$\kappa_{0}-\kappa_{\infty}=0$$y_{0}(t)$$\frac{d}{dt}(x_{0}y_{0}-\kappa_{0})$$=$$\frac{dx_{0}}{dt}\frac{\partial}{\partial x_{0}}(x_{0}y_{0}-\kappa_{0})+\frac{dy_{0}}{dt}\frac{\partial}{\partial y_{0}}(x_{0}y_{0}-\kappa_{0})$$=$$(4x_{0}y_{0}-x_{0}^{2}-2tx_{0}-2\kappa_{0})y_{0}+(-2y_{0}^{2}+2(x_{0}+t)y_{0}-\kappa_{\infty})x_{0}$$=$$(x_{0}y_{0}-\kappa_{0})(2y_{0}+x_{0})$.

を使った. したがって, 初期値が $x_{0}(t_{0})y_{0}(t_{0})-\kappa_{0}=0$ をが満たす解 $x_{0}(t),$ $y_{0}(t)$ は, $x_{0}(t)y_{0}(t)-\kappa_{0}\equiv 0$ を満たす. すなわち,

ただし, 最後の等式は$\kappa_{0}-\kappa_{\infty}=0$$x_{0}y_{0}-\kappa_{0}$$\kappa_{0}-\kappa_{\infty}=0$に沿う不変因子である. パンルベ系 (12) は $x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0$ で定義される曲線上で$\frac{dx_{0}}{dt}$$=$$-x_{0}^{2}-2tx_{0}+2\kappa_{0}$

,

(16)

$\frac{dy_{0}}{dt}$$=$$-2y_{0}^{2}+2ty_{0}+\kappa_{0}$

,

(17)

となり, この曲線上のパンルベ系の解は, これらのリッカチ方程式の解で記述されるのである.

の値には依らない計算であった. では, 上で見たようここまでは, パラメータな, パラメータがゼロあるときとそうでないときの違いは, どこに現れているのだろうか
(または
)
パラメータ
がゼロでないときは,を既約曲線 $\{x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0\}$ の座標として取ることができる. またこの曲線上では、 パン) の満たすリッカチ方程式 (16) (または (17)) によっ(またはルベ系の解は座標との座標変換 $x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0$ によって, リッカて書かれるのである. したがって,チ方程式 (16) と (17) は同値になる. 実際, これは簡単な計算によって確かめられる.
のとき, 方程式 (16) と (17) は,一方, パラメータ$\kappa_{0}=\kappa_{\infty}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}[x_{0},1/x_{0}]\simeq \mathrm{C}^{\cross}$$\kappa_{0}=\kappa_{\infty}$$x_{0}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}[y_{0},1/y_{0}]$$y_{0}$$x_{0}$$y_{0}$$\kappa_{0}=\kappa_{\infty}=0$

(18)

,

$\frac{dx_{0}}{dt}$$=$$-x_{0}^{2}-2tx_{0}$$\frac{dy_{0}}{dt}$$=$$-2y_{0}^{2}+2ty_{0}$

,

(19)

となる. 一方, 曲線 $C=$ {x0y0=0}=C0+C。は可約である. この時, $x_{0}(t)\equiv 0$ は方程式 (18) の解であるから, 曲線 $C$ の既約成分 $C_{0}=\{x_{0}=0\}$ 上のパンルベ方程式の解は,に関するリッカチ方程式 (18) の解で記述される. 同様に, $y_{0}(t)\equiv 0$ は方程の座標$C_{0}$$y_{0}$式 (19) の解であるから, 曲線 $C$ の既約成分 $C_{\infty}=\{y_{0}=0\}$ 上のパンルベ方程式の解は,に関するリッカチ方程式 (18) の解で記述される.
の座標$C_{0\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$x_{0}$

120
したがって方程式のレベルでは, 「パラメータがゼロでないときは, 曲線$\{x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0\}$ 上で ’》方程式 (16) と (17) は同値なリッカチ方程式を定める” のであるが, パラメータがゼロになった途端に, ” 方程式 (18) と (19) は独立” になる. 」 ということがおこっているのである. このことは, 始めの nodal curves による幾何的な考察からは明らかだけれど, 方程式の情報だけからだとそれほど自明なことではないと思われる.
$\kappa_{0}=\kappa_{\infty}$

4.2

他のタイプの場合のタイプの岡本-パンルベ対の場合にも同様の現象が起こる. (ときは, nodal curve が 2 本入りうるが, それらは交わらないので, 上のような現象は起こらない ) 実際, [NTY] で与えられる座標系とベツクルント変換の表を用いて, 鏡映面とその上の nodal curve をベツクルント変換していく事によって 単純でないルートに対応する鏡映面と nodal curve を見つけることができる. (nodal curve の定義式を
ベツクルント変換でうつしたものがまた nodal curve を定義するということは, Theorem
1([NTY]) によって保証される. ) 計算結果は次のとおり. ただし, ここでは, 上の例と同様に, [MMT], [Shi-Ta] による座標系を用いた.
$\tilde{D}_{4}$

タイプと$\tilde{D}_{5}$$\tilde{D}_{6}$$\alpha\dot{.}=0$

タイプ $(P_{VI})$ のときのの場合.
lattice$\tilde{D}_{4}$$\bullet$$(\kappa_{0}, \kappa_{1}, \kappa_{t}, \kappa_{\infty})=(0,0,0,1)$のファイバーに対する,$\langle C_{0}, C_{1}, C_{t}, C_{\epsilon}\rangle$

nodal curve$)\triangleright-\triangleright$$\not\in\# ffi$

$C_{0}$$\kappa_{0}=0$$x_{0}=0$$C_{1}$$\kappa_{1}=0$$x_{0}-1=0$$C_{t}$$\kappa_{t}=0$$x_{0}-t=0$$C_{\epsilon}$$a=0$$y_{0}=0$$C_{0}+C_{\epsilon}$$\kappa_{0}+a=0$$x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0$$C_{1}+C_{\epsilon}$$\kappa_{1}+a=0$$(x_{0}-1)y_{0}-\kappa_{1}=0$$C_{t}+C_{\epsilon}$$\kappa_{t}+a=0$$(x_{0}-t)y_{0}-\kappa_{t}=0$$C_{0}+C_{1}+C_{\epsilon}$$\kappa_{0}+\kappa_{1}+a=0$$x_{0}(X0-1)y0-\kappa_{0}(x_{0}-1)-\kappa_{1}x_{0}=0$$C_{0}+Ct+C_{\epsilon}$$\kappa_{0}+\kappa_{t}+a=0$$x_{0}(x_{0}-t)y_{0}-\kappa_{0}(x_{0}-t)-\kappa_{t}x_{0}=0$$C_{1}+Ct+C_{\epsilon}$$\kappa_{1}+\kappa_{t}+a=0$$(x_{0}-1)(x_{0}-t)y_{0}-\kappa_{1}(x_{0}-t)-\kappa_{t}(x_{0}-1)=0$$C_{0}+C_{1}$$\kappa_{0}+\kappa_{1}$$x_{0}(x_{0}-1)(x_{0}-t)y_{0}-\kappa_{0}(x_{0}-1)(x_{0}-t)$$+C_{t}+C_{\epsilon}$$+\kappa t+a=0$$-\kappa_{1}x_{0}(x_{0}-t)-\kappa_{t}x_{0}(x_{0}-1)=0$$C_{0}+C_{1}$$\kappa_{0}+\kappa_{1}+\kappa t$$+Ct+2C_{\epsilon}$

$(*)$

ただし

:

$(*)$

$+2a=0$.

$+ \frac{1}{4}(\kappa_{0}+\kappa_{1}+\kappa_{t})\{\kappa_{0}(x_{0}-t-1)+\kappa_{1}(x_{0}-t+1)+\kappa_{t}(x_{0}+t-1)\}=0$$a= \frac{1}{2}(1-\kappa_{0}-\kappa_{1}-\kappa_{t}-\kappa_{\infty})$.

$D_{4}$

121
タイプ$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{5}$$\bullet$($C_{0},$$C.,$$C_{a}\rangle$$(\ovalbox{\tt\small REJECT},)$のときの$(\kappa_{0}, \kappa,, \kappa_{\sim})\ovalbox{\tt\small REJECT}(0,$$-1,$$\mathfrak{h}$のファイバーに対する, A3 lattice

の場合.

ffi

nodal curve$i\triangleright-\triangleright$$\mathrm{E}^{\backslash }\mathrm{F}$$C_{0}$$\kappa_{0}=0$$x_{0}=0$$C_{\epsilon}$$\frac{1}{2}(-\kappa_{0}-\kappa_{t}-\kappa_{\infty})=0$$y_{0}=0$$C_{a}$$\frac{1}{2}(2-\kappa_{0}+\kappa_{t}-\kappa_{\infty})=0$$(x_{0}-1)^{2}y_{0}-(\kappa_{t}+1)(x_{0}$

–1

$)$

-

$t=0$

$\kappa_{0}+\frac{1}{2}(-\kappa_{0}-\kappa_{t}-\kappa_{\infty})$$x_{0}y_{0}-\kappa_{0}=0$$C_{0}+C_{\epsilon}$$= \frac{1}{2}(\kappa_{0}-\kappa_{t}-\kappa_{\infty})=0$$\kappa_{0}+\frac{1}{2}(2-\kappa_{0}+\kappa_{t}-\kappa_{\infty})$$(x_{0}y_{0}-\kappa_{0})(x_{0}-1)^{2}$$C_{0}+C_{a}$$= \frac{1}{2}(2+\kappa_{0}+\kappa_{t}-\kappa_{\infty})=0$-$(\kappa_{t}.

+1)x_{0}(x_{0}-1)-tx_{0}=0$$\kappa_{0}+\frac{1}{2}(-\kappa_{0}-\kappa_{t}-\kappa_{\infty})$$C_{0}+C_{\epsilon}+C_{a}$$+ \frac{1}{2}(2-\kappa_{0}+\kappa_{t}-\kappa_{\infty})$$(**)$$=1-\kappa_{\infty}=0$$(**)$:$(x_{0}y_{0}-\kappa_{0})\{(x_{0}-1)^{2}y_{0}-(\kappa_{t}+\kappa_{\infty})(x_{0}-1)+\kappa_{\infty}-1-t\}$$+ \frac{1}{4}(\kappa_{0}-\kappa_{t}-\kappa_{\infty})^{2}x_{0}-(\kappa_{\infty}-1)y_{0}-\frac{1}{2}(\kappa_{0}-\kappa_{t}-\kappa_{\infty})(\kappa_{0}-\kappa_{\infty}+1+t)=0$

参考文献
[NTY]

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$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}.\mathrm{A}\mathrm{G}/0006026$[Sa-Te] M.-H. Saito and H. Terajima, Nodal cumes and Riccati solutions of Painlev\’eequations, in preparation.
[Shi-Ta] T. Shioda and K. Takano, On some Hamiltonian structures of Painlev\’e systems, Funkcial. Ekvac., 40, (1997), 271-291.
$I$

[T]

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Kobe, 2001.