数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 190-200190

自明な標準因子をもつ代数曲面のモジ

東大数理 織田孝幸
神戸大自然科学 浜畑芳紀$=$

ライの超越的な理論の復習(Takayuki Oda) 述(Yoshinori Hamahata ) 記\S o. はじめに.
以下に続く、吉田正章氏と松本圭司氏の超幾何級数の理論の導入として、 K3 曲面のmoduli 空間の超越的方法 ( 微分幾何的方法) による構成法を思い出す。
$\equiv$\S 1. 楕円曲線.
$E$を$\mathbb{C}$上の楕円曲線とする:$E:y^{2}=x(x-1)(x-\lambda)$ ,$\lambda\in \mathbb{C}-\{0,1\}$.

の double cover である。 $E$ の de Rham cohomology
で分岐する, analytic de Rham, algebraic de lffiam の 3 通りあり) に対して、(定義の仕方は次の定理が成立する。
$E$は$\infty,$$0,1,$$H_{\dot{D}R}(E/\mathbb{C})$$\mathrm{P}^{1}$$\lambda$$C^{\infty}-$de Rham の定理:$I^{\dot{*}}$$H_{DR}^{i}(E/\mathbb{C})\simarrow H^{i}(E, \mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}$という同型写像がある。

この定理より、$H_{1}(E, \mathbb{Z})\mathrm{x}H^{1}DR(E/\mathbb{C})arrow \mathbb{C}$,$([ \gamma],[\eta])\mapsto\int_{\gamma}\eta$は$\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}1-\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}_{\circ}\alpha,$ $\beta$$\eta\in H_{DR}^{1}(E/\mathbb{C})$$H_{1}(E, \mathbb{Z})$の基底とし、$\delta,$$\epsilon$を$H^{1}(E, \mathbb{Z})$

に対し、

(1.1)
$\eta$を$I( \eta)=(\int\alpha\eta)\delta+(\int_{\beta}\eta)\epsilon$.

の共役-\eta に対しても(1.2)$I( \overline{\eta})=(\int\alpha\overline{\eta})\delta+(\int_{\beta}\overline{\eta})\epsilon$.

次の図式は可換である (de Rham theorem for intersection):$arrow H^{2}(E, \mathbb{C})$$H^{1}(E, \mathbb{C})\cross H^{1}(E, \mathbb{C})$$\mathrm{t}\uparrow I^{1}\cross I^{1}$$0$$\mathrm{t}\uparrow I^{2}$$H_{DR}^{1}(E/\mathbb{C})\cross H_{DR}^{1}(E/\mathbb{C})\wedge-H_{D}^{2}R(E/\mathbb{C})$.

の dual な基底とする。

191

$0$

でない holomorphic 1-form$\eta$

に対し、$<I^{1}(\eta),$ $I^{1}(\overline{\eta})>=I2(\eta\wedge\overline{\eta})$であり、 (1.1), (1.2) により$<I^{1}(\eta),$Il$( \overline{\eta})>=(\int_{\alpha}\eta\cdot\int_{\beta}\overline{\eta})<\delta,$$\epsilon>-(\int_{\beta}\eta\cdot\int_{\alpha}\overline{\eta})<\delta,$$\epsilon>$$=\eta_{1\overline{\eta 2}^{-\eta 2\overline{\eta_{1}}}}$となる。 ここに、$\eta_{1}=\int_{\alpha}\eta,$ $\eta_{2}=\int_{\beta}\eta$

とおいた。 –方、$I^{2}( \eta\wedge\overline{\eta})=\int_{E(\mathbb{C})}\eta\wedge\overline{\eta}=-2\pi i$. 正の数となるから、$\frac{1}{2\pi i}(\eta 1\overline{\eta 2}-\eta 2\overline{\eta 1})<0$

これを$\eta_{1}\overline{\eta_{1}}>0$

で割って、$\frac{1}{2\pi i}\{(\frac{\overline\eta_{2}}{\eta_{1}})-\frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}\}<0$$\tau:=\eta_{2}/\eta_{1}$.

.

とおけば、 ${\rm Im}(\tau)>0$ . 今、 同型写像$\xi:\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\simarrow H1(E, \mathbb{Z})$,$(1,0)\mapsto\alpha,$ $(0,1)\mapsto\beta$

を 1 つ fix する (homology 群の rigidification)。同型写像$—:\mathbb{C}^{\sim}arrow\Gamma(E, \Omega^{1})E$

も 1 つ fix する。 $E,$$(\alpha, \beta),$$\omega$を 1 組として、$1\mapsto.\omega$’$(E, (\alpha, \beta), \omega.)$を考える。 $(E, (\alpha, \beta),\omega)$に対して、$( \mathbb{C}\cross \mathbb{C})_{R}i\mathrm{e}m:=\{(\omega_{1}, \omega 2)\in \mathrm{c}2|\frac{1}{2\pi i}(\omega_{1}\overline{\omega_{2}}-\overline{\omega 1}\omega 2)<0\}$の元$( \int_{\alpha}\omega, \int_{\beta}\omega)$が決まった。

$\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}-\{0\}$$(\mathbb{C}\cross \mathbb{C})Ri\text{。}m/\mathbb{C}^{*}arrow \mathfrak{H}$という全単射がある。 ここに、,は$(\mathbb{C}\cross \mathbb{C})R\dot{\cdot}em$$(\omega_{1}, \omega_{2})\mapsto\omega_{2}/\omega_{1}$$\mathfrak{H}=\{\tau\in \mathbb{C}|{\rm Im}(\mathcal{T})>0\}$$=\gamma(_{\beta}^{\alpha})$へ自然な仕方で作用し、,。

$H_{1}(E, \mathbb{Z})$$\gamma\in SL2(\mathbb{Z})$であれば、$\int_{\beta’}\omega/\int_{\alpha’}\omega=\gamma(\int_{\rho}\omega/\int_{\alpha}\omega)$の基底に関して、

192となる。 したがって、楕円曲線の moduli $SL_{2}(\mathbb{Z})\backslash \mathfrak{H}=SL2(\mathbb{Z})\backslash SL2(\mathbb{R})/SO(2)$ が得られた。

注意. 上のば、$\eta_{1}(\lambda),$$\eta_{1},$$\eta_{2}$は $E$ の period と呼ばれる。

$\eta_{1},$$\eta_{2}$をそれぞれ$\eta_{1}(\lambda),$$\eta 2(\lambda)$と書けは Gauss の超幾何微分方程式$\eta 2(\lambda)$(1.3)$\lambda(1-\lambda)u//+(1-2\lambda)u’-\frac{1}{4}u=0$の 1 次独立な解である。 $\omega=u,$ $\eta=u’$ とおけば、 (1.3) は$\frac{d}{d\lambda}=$(1.4)という形に–階化される。 これは、 Gauss-Manin connection と呼ばれる integrable (または flat) connection を与える方程式を表す。

\S 2. アーベル曲面.
上の abelian variety $A$ とは、上の連結代数群で完備なものをいう。 $A$ の標準ととを同–視する。 $A$ の polar因子は自明である。 dual complex torus$Aarrow\hat{A}$$A$
上の適当な ample line bundle に対して、
で、
ization とは isogeny
は $A$ 上の による translation でと表されるもののことである。 ここに、$\mathbb{C}$$\mathbb{C}$$\hat{A}$$\mathrm{P}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}^{0}(A)$$a\mapsto$$\mathcal{L}$ある$\mathcal{L}$$\circ$$a$$t_{a}$$t_{a}^{*}\mathcal{L}\otimes \mathcal{L}-1$

を $A$ の polarization ともいう。

$\mathcal{L}$の first Chern class $H=c_{1}(\mathcal{L})$ は positive

は principal
definite hermitian form である。特に、を polarized abelian variety という。と polarizationとの対と呼ばれる。
上のprincipally polarized abelian sufface のみを扱う
この節では、$H$$A$$\mathcal{L}$が type $(1, \cdots, 1)$ のとき、$\mathcal{L}$$(A, \mathcal{L})$$\mathbb{C}$$\circ$moduli を 2 通りの仕方で構成する。
(1)$H^{1}(A, \mathrm{c})$を用いる方法:を principally polarized abelian surface とする。の dual な基底とする。
をの基底、の代表元 を$\{\alpha_{1}, \alpha_{2,\mathrm{a},4}\alpha\alpha\}$$(A, \mathcal{L})$$\{\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}, \delta_{4}\}$$c_{1}(\mathcal{L})$$H^{1}(A, \mathbb{Z})$$\{\alpha:\},$$\{\delta_{j}\}$$\omega=\delta_{1^{\wedge}}\delta_{3}+\delta 2\wedge\delta 4$となるようにとれる。

$\eta_{1},$$\eta_{2}$を $H^{1}(A, \mathbb{C})$ の基底とし ‘$\delta_{i}=\pi_{i1}\eta 1+\pi_{i}2\eta 2+\overline{\pi_{i1}\eta_{1}}+\overline{\pi_{i2}\eta_{2}}$$(i=1,2,3,4)$と書く。 これを (2.1) に代入すると、$\omega=$$\sum(\pi_{1\alpha}\pi_{3}\rho+\pi_{2\alpha}\pi 4\rho)\eta_{\alpha^{\wedge}}\eta\rho$$\alpha,\beta=1,2$$+$$\sum(\overline{\pi_{1\alpha}\pi_{3}\rho}+\overline{\pi 2\alpha\pi 4\rho})\overline{\eta_{\alpha}}\wedge\overline{\eta\beta}$$\alpha,\beta=1,2$$+ \sum_{\alpha,\beta=1,2}(\pi 1\alpha\overline{\pi 3\beta}-\overline{\pi 1\rho}\pi.s_{\alpha}+\pi_{2\alpha}\overline{\pi_{4\beta}}-\overline{\pi 2\rho}\pi 4\alpha)\eta\alpha\wedge\overline{\eta\beta}$$H_{1}(A, \mathbb{Z})$を適当にとれば、$\omega$

(21)

を

.

193

$\omega\in H^{1,1}(A)$ゆえ、 $\Pi=(\pi_{ij}),Q=$ とおけば、(2.2)$\omega$$t_{\Pi Q\Pi=0}$.

は正値だから、(2.3)$\frac{1}{2i}(^{t_{\Pi Q\overline{\mathrm{I}\mathrm{I}}}}-^{t_{\Pi Q\overline{\mathrm{I}}}}t\mathrm{I})=\frac{1}{2i}\Pi Q\overline{\square }>0t$である。

$\eta_{i}$

は

(2.4)

$\eta_{i}=\sum_{j}(\int_{\alpha_{j}}\eta_{i})\delta_{j}$と書き表すことができ、$\omega_{ij}=\int_{\alpha_{j}}\eta_{i},$$\Omega=(\omega_{ij})$$\Omega\Pi=1_{2}$

,

とおくと、

$\Omega\overline{\Pi}=0$.

(2.2), (2.3) より、$\Omega Q^{-1t}\Omega=0$$A,$$\{\alpha_{i}\},$$\{\eta_{j}\}$を組にして考える。

,$-i\Omega Q^{-1t}\overline{\Omega}>0$$(A, \{\alpha:\}, \{\eta_{j}\})$

.

に対して、

$M(2,4;\mathbb{C})_{R}iem:=\{\Omega\in M(2,4;\mathbb{C})|\Omega Q^{-1t}\Omega=0, -i\Omega Q^{-1}{}^{t}\overline{\Omega}>0\}$の元$( \int_{\alpha_{\mathrm{j}}}\eta_{i})$する。

が決まった。

$W=$$GL_{2}(\mathbb{C})$は $M(2,4;\mathbb{C})_{R}i\mathrm{e}m$ へ $(M, \Omega)\mapsto M\Omega$ によって作用とおけば、$M(2,4;\mathrm{c})_{Ri}\mathrm{e}m/GL_{2}(\mathbb{C})arrow \mathfrak{H}_{2}$,$\Omega\mapsto V^{-1}U$$(\Omega W^{-1}=(U, V))$という全単射がある (V が正則であることに注意 )。ここに、空間である:$\mathfrak{g}_{2}$$ff_{2}=\{Z\in M_{2}(\mathbb{C})|{}^{t}Z=Z, {\rm Im} Z>0\}$$H_{1}(A, \mathbb{Z})$は 2 次の Siegel 上半$r$.

の自己同型で、 Riemann form を fix するもの全体は$Sp_{2}(\mathbb{Z})=\{g\in cL2(\mathbb{Z})|gQ^{t}g=Q\}$である。

$H_{1}(A, \mathbb{Z})$の基底に関して、$=\gamma$ ,$\gamma=\in s_{p_{2}}(\mathbb{Z})$

194

とする。

$\omega_{ij}’=\int\alpha\eta:,$$\Omega’’=j(\omega_{\dot{\iota}j}’)=(U’,$\gamma^{t}(U, V)$となる。 よって、

V’)W$

とおけば、

${}^{t}\Omega’=\gamma^{t}\Omega$であり、 ${}^{t}(U’, V’)=$$V’-1U^{\prime t}=U\prime^{t-1}V/$$=(A^{t}U^{\ell}V^{-1}+B)(C^{t}U^{t}V-1+D)^{-1}$$=(AV^{-1}U+B)(CV^{-1}U+D)^{-1}$$=\gamma\cdot V^{-1}U$.

Q し h により、 principally polarized abelian sufface の moduli$Sp_{2}(\mathbb{Z})\backslash \mathfrak{H}2=Sp2(\mathbb{Z})\backslash s_{p_{2}}(\mathbb{R})/Sp_{2}(\mathbb{R})\cap O_{4}(\mathbb{R})$が得られた。

(2)$H^{2}(A, \mathbb{C})$を用いる方法:(1) の記号を用いる。
$\omega’\in\Gamma(A, \Omega_{A}2)-\{0\}$をとる。

$\Gamma(A, \Omega^{2})Arightarrow H^{2}(A, \mathbb{C})$$\omega’=c\cdot\eta!\wedge\eta_{2}$,と見なして、$c\in \mathbb{C}^{*}$の基底である。 (2.4) と cohomology の積に関する
は
と書ける。
は
de Rham の定理 (wedge 積が cup 積にうつる) により、$\{\delta\dot{\iota}\wedge\delta j\}i<j$$H^{2}(A, \mathbb{Z})$$\omega’$$\omega’=C\cdot\sum_{i,j=1}^{4}(\int_{\alpha}:\eta_{1}\int\alpha \mathrm{j}\eta_{2})\delta i\wedge\delta j$$=c \cdot\sum_{ji<}\triangle_{iji}\delta\wedge\delta_{j}$$\text{と表^{される_{}\circ}}\text{ここに_{、}}$$\triangle_{ij}=$
とおいた。つまり、$\Gamma(A, \Omega^{2})A$は PlUUcker 座標でパラメトライズされる。

$\omega’$は’$<\omega’,\overline{\omega’}>>0l$$<c_{1}(c),\omega>=<\omega’,\omega>=0,$をみたす。 $(A, \{\alpha_{i}\})$ に対して、$D:=\{$ $\omega’=(_{X_{1}:x:X_{13}:}2\epsilon 4x24:X14:x23)\in \mathrm{P}^{5}|$の元が決まった。 $<c_{1}(\mathcal{L}),\omega’>=0$ より、(2.5)$x_{13}+x_{24}=0$.

$<c_{1},(,’ \omega^{1}>=<\omega’’<\omega,\frac{\mathcal{L})}{\omega}>>0’\omega>=0,\}$195$<\omega’,$ $\omega’>=0$

より、

(2.6)

$x_{12}x_{34}-X13^{X}24+x_{14}x_{2}\mathrm{a}=0$.

(2.5), (2.6) により、$D$$\subset Q^{3}$$\subset \mathrm{P}^{4}$は (2.6) によって定義されるの中の 2 次超曲面であり、 $D$ はを fix するもの全体をと書の開集合である。
の自己同型で、 $Q,$のけば、 principally polarized abelian suffaceが得られる
moduliである。 ここに、$Q^{3}$$Q^{3}$$H_{2}(A, \mathbb{Z})$$\mathrm{P}^{4}$$c_{1}(\mathcal{L})$$\Gamma_{\mathbb{Q}}$$\Gamma_{\mathbb{Q}}\backslash D$$\text{。}$(1), (2) で構成した moduli に対して$\Gamma_{\mathbb{Q}\backslash D\simeq^{s_{p}}}2(\mathbb{Z})\backslash \mathfrak{h}_{2}$であることも知られている。

\S 3. K3 曲面.
自明な標準因子をもつ複素曲面で first Betti number がう。 $X$ を K3 曲面とする。 k–義よ$0$なるものを K3 曲面とい$\text{り_{、}}$$H_{1}(X, \mathbb{Z})=\{0\}$$H^{2}(X, \mathbb{Z})$は rank 22 の自由$I^{2}$$\mathbb{Z}-$:,$H_{DR}^{1}(x/\mathbb{C}\rangle=\{0\}$.

加群であり、 同型$H_{DR}^{2}(X/\mathbb{C})^{\sim}arrow H^{2}(x, \mathbb{Z})\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{C}$がある。 $H^{2}(X, \mathbb{C})$ を Hodge 分解すると、 $h^{2,0}=h^{0,2}=1\cdot;h^{1,1}=20$ となる。 $X$ のは 1 であるgeometric genus$p_{g}$の基底に dual とする$H_{2}(X, \mathbb{Z})$$\text{。}$$\{\gamma_{1}, \cdots, \gamma_{22}\}$

を
の基底で
をとり、
$H_{DR}^{2}(X/\mathbb{C})$をの元とみなすとき、$\{\delta_{1}, \cdots, \delta_{22}\}$$H^{2}(X, \mathbb{Z})$$\{\gamma_{1}, \cdots, \gamma_{22}\}$$\omega\in\Gamma(X, \Omega^{2})\mathrm{x}-\{0\}$$\circ$$I^{2}( \omega)=\sum_{=i1}^{22}(\int_{\gamma}.\cdot\omega)\delta i$が成り立つ。 $\omega\wedge\omega=0$ である。実際 Y local に $\omega=f(z_{1}, z_{2})dz_{1}\wedge dz_{2}$ と書くと、$\omega\wedge\omega=-f^{2}d_{\mathcal{Z}_{1}}\wedge dZ_{1}\wedge dz2^{\wedge}dZ_{2}=0$。よって$<I^{2}(\omega),$ $I^{2}(\omega)>=I^{4}(\omega\wedge\omega)=0$

つまり、$\omega_{i}=\int_{\gamma:}\omega$とおけば、$\sum_{i,j=1}^{22}<\delta_{i},$$\delta j>\omega_{i}\omega_{j}=0$

.

196

となる。 ここに、 $<,$ $>$ は $H^{2}(X, \mathbb{Z})$ 上の intersection
けば、$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}_{0}Q=(<\omega_{i}, \omega_{j}>)$とお$(\omega_{1}, \cdots,\omega_{22})Q=0$$\overline{\omega}$を$\omega$の共役とすれば、$<I^{2}(\omega),I^{2}(\overline{\omega})>=I4(\omega\wedge\overline{\omega})>0$.

つまり、$(\omega_{1}, \cdots,\omega_{22})Q>0$.

この不等式とすぐ上の等式を合わせて、 Riemann-Hodge の周期関係と呼ぶ
を $X$ の polarization と上の ample hine bundle を $X$ の polarization というは ample だから、する。 $X$ と $L$ との対 (X, ) を polarized K3 sufface という。
$c_{1}(\mathcal{L})^{2}>0$$c_{1}(L)$( $D$ は因子) と表す。
をみたす。の first Chern classは$X$$0\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}=\mathcal{O}(D)$$D= \sum_{:^{r_{i}}}D$: ($D_{*}:$$r_{\dot{l}}\in \mathbb{Q},$正の因子) とすれば、.

$<c_{1}(c),$ $I2( \omega)>=\int_{D}\omega=\sum_{i}r:\int_{D}.\cdot\omega$になる。実際、 local $\text{に}\omega=f(Z1, Z2)dZ1\wedge dz2,$ $z1=h_{1}(t),$ $z_{2}=h_{2}(t)$ と書
く と、 $\int_{D_{i}}\omega=\int\ell f(z1(t), z2(t))h’(1t)dt\wedge h_{2}^{;}(t)dt=0$ となる。故に、$\int_{D:}\omega$は$0$$<c_{1}(\mathcal{L}),$$c_{1}(\mathcal{L})=(l_{1}, \cdots, l_{22})=^{\iota}$$I2(\omega)>=0$.

とすると、 この式より$(l_{1}$, .. , $l_{22})Q=0$$\cdot$となる、 よって、 $\omega\in\Gamma(X, \Omega^{2})x-\{0\}$ に対して、$(\omega_{1}, \cdots,\omega_{22})$は、$D\iota:=\{\xi=(\xi 1, \cdots, \xi_{22})\in \mathbb{C}^{22}|lQ^{t}\xi=\xi Q^{tt}\xi=0, \xi Q\overline{\xi}>0\}$の元である。

$D_{l}$

は、$D_{l}=SO(2+, 19-)/SO(2)\cross SO(19)$は IV 型対称領域である。
の自己同型で、 $Q,$ を fix すと書き表される。
るもの全体をと書けば、 polarized K3 suffaces の moduli$D_{l}$$H_{2}(X, \mathbb{Z})$$\Gamma_{Q,l}$$\Gamma_{Q,l}\backslash D_{l}=\Gamma_{Q,l}\backslash SO(2+, 19-)/SO(2)\cross SO(19)$

$l$

197

が得られる。

難しかったのは、 polarized K3 surface の同型類の集合から、上の IV 型対称領域の算術的商への周期写像が全射であることを示すことにあった。 これは singular K3 surfaces (代数サイクルが最も多くあって、 $h^{1,1}=20$ 次元を尽くしているもの) を詳しく調べる (moduli 空間で dense にある) ことによって Shafarevich と Piatetski- Shapiro
によって大部分が証明された。

\S 4. Kuga-Satake varieties.
polarized K3 surface に対して、 Kuga-Satake variety と呼ばれる abelian varietyを定義する。 そのためにまず、 Clifford algebra を定義する。
は可換環で、 2 は $R$ の零因子でないとする。 $V$ を階数有限の自由 R- 寸群とし、$Q$ を $V$ 上の二次形式とする。 $T(V)$ を $V$ 上のテンソル代数とし、 $x\otimes x-Q(x)\cdot 1$$(x\in$$V)$ 全体で生成される $T(V)$ の両側イデアルを $I(V)$ とする。 $C(V, R):=T(V)/I(V)$
を Clifford algebra という。 $C(V, R)$ の自己同型 で、 $\alpha(x)=-X$ $(x\in V)$ となるものが–意的に存在する。
$R$$\alpha$$C^{+}(V, R):=\{x\in C(V, R)|\alpha(x)=x\}$を even Clifford algebra という。

今、 (X,$\mathcal{L}$) を polarized K3 surface とする。

の $H^{2}(X, \mathbb{R})$ における直交補空間を $M$$c_{1}(\mathcal{L})$を $H^{2}(X, \mathbb{R})$ の元と見なし、とおく。する$\mathbb{R}C_{1}(L)$とする。
と、は $C^{+}(M, \mathbb{R})$ の中の lattice である。 $A_{X}:=C^{+}(M, \mathbb{R})/C^{+}(M_{\mathbb{Z}}, \mathbb{Z})$とおく。 $A_{X}$ は abelian variety になる。実際、 $M\cap(H^{2,0}(X)\oplus H^{0,2}(X))$ の正規直をとり、 $e+=e_{1}\otimes e_{2}$ とおく。 $(e_{1}, e_{2})$ の向き付けを $H^{2,0}(x)=\mathbb{C}(e_{1}-$交基底$ie_{2})$ となるようにとる。 $x\mapsto e+\otimes x$ は $C^{+}(M, \mathbb{R})$ 上の複素構造を与える。 このとき、$C^{+}(M, \mathbb{R})$ 上の$A_{X}$ は complex torus である oRiemann form $H$ を$M_{\mathbb{Z}}=M\cap H^{2}(x, \mathbb{Z})$$C^{+}(M_{\mathbb{Z}}, \mathbb{Z})$$e_{1},$$e_{2}$$H(x, y)=\mathrm{t}\mathrm{r}(a\otimes x\otimes\iota(y))$

と定める
なる

$0$

ここに、

$C^{+}(M_{\mathbb{Z}}, \mathbb{Z})$$\iota$は $C^{+}(M, \mathbb{R})$ の canonical involution であり、

この $A_{X}$ を Kuga-Satake (abelian)

であり、空間としての次元は大きな variety である。
$2^{20}$$A_{X}$

る$a$は $\iota(a)=-a$の元である。 $H(x, e_{+}\otimes y)$ は正値である。

variety という。

$A_{X}\cong \mathbb{R}^{2^{20}}/\mathbb{Z}^{2^{20}}$$C^{+}(M, \mathbb{R})$のである。 $4x$ は$\mathbb{R}$$2^{19}$上のベク トル

次元の非常には principally polarized abelian variety であり、の点が定まは $S_{P2}(\mathbb{Z}),ff2$ の定義で、 2 をに置き換えることによって定義$Sp(2^{19}, \mathbb{Z})\backslash \mathfrak{H}_{2}19$$2^{19}$$(Sp(2^{19}, \mathbb{Z}),\mathfrak{H}_{2^{19}}$

される)。 (X, ) に$\mathcal{L}$$A_{X}$

を対応させることで自然な正則写像$\mathrm{r}_{Q,l}\backslash D\iotaarrow Sp(2^{19}, \mathbb{Z})\backslash \alpha_{2^{1}}9$が得られる。

$D_{l}rightarrow \mathfrak{H}_{2^{19}}$

は、 $SO(2+, 19-)$ の Spinor 群 Spin $(2,19)$ から $Sp(2^{19}, \mathbb{R})$への even Spinor representation から引き起こされる。

198の elliptic sufface (homotopy K3 sufface) とか abelian sufface に注童.
sufface ついては、
対する Kuga-Satake variety も調べられている。 homotopy
Morgan and O’Grady [5] を、 abelian sufface については、 Morrison [6] を参照せ
$Pg=1\backslash$$\mathrm{K}3$.

よ。

$\text{に}$.

\S 5. ある K3 曲面の family.
double cover で、$l$の特異点をもつ $:pij$
K3 曲面である。

1. $H$ をの中\emptyset -般の位置にある 6 本の直線とする。
:に沿って branch したものとする:を、$l=(l_{1}, \cdots, l_{6})$$\mathrm{P}^{2}$$\pi$$=l_{i}\cdot l_{j\circ}\rho$の中の直線とし Y
外曲線とすると、$\mathrm{P}^{2}$を$S’(\iota)$$S’(\iota)arrow \mathrm{P}^{2_{\circ}}S’(\iota)$$\mathrm{P}^{2}$のは 15 個: $S(l)arrow S’(\iota)$ を desingularization とする。 $S(l)$ は$\tilde{H}=(\pi 0\rho)^{-1}(H)$とする。

$D_{\dot{\iota}j}.$を $pij$ から生じる例,$c_{1}(D_{ij})\cdot c1(D_{k\iota)}=0 (D_{*j}.\neq D_{kl}), C_{1}(D_{i}j)^{2}=-1,$ $c_{1}(\tilde{H})^{2}=2$.

は $H^{2}(S(l), \mathbb{Z})$ の sublattice で signatureの $H^{2}(S(l), \mathbb{Z})$ の中での直は $(1+, 15-)$ である Hodge の index theorem $)_{\circ}L$ を型群である。 その signature は $(2+, 4-)$ で交補空間とすると、 $L$ は rank 6 の自由$L_{0}=\mathbb{Z}c_{1}(\tilde{H})\oplus_{\dot{*}<j}\mathbb{Z}c_{1}(D_{ij})$とおけば、$L_{0}$$L_{0}$$($$\mathbb{Z}-$ある。 $L$ の基底$\{\gamma_{1}’, \cdots,\gamma_{6}’\}$

を適当にとると、 intersection form$<\gamma_{i}’,$ $\gamma_{j}’>$

の値は行

列

$A=2$ $U=$,

によって与えられる。

$\{\gamma_{1}, \cdots,\gamma_{6}\}\subset H_{2}(S(l), \mathbb{Z})$$\omega\in\Gamma(S(\iota), \Omega^{2})s(l)-\{0\}$る。 よって、$\omega$をとる oをであるようにとる。
となに対して、$\gamma_{i}’\cdot\gamma_{j}=\delta_{ij}$$\gamma\in L_{0}^{*}=(\oplus_{i=1}^{6}\mathbb{Z}\gamma i)\perp$$\int_{\gamma}\omega=0$

は$\omega=.\sum_{1*=}^{\cdot}(\int_{\gamma}i\omega)\gamma’i$と書き表される。 $<\omega,\omega>=0,$$<\omega,\overline{\omega}>>0$

より、 $S(l)$ に対して、$\{z=(Z_{1}, \cdots, z_{6})\in \mathbb{C}^{6}|<Z,$ $z>=^{\mathrm{o},0\}}.<Z,\overline{Z}>>$が決まる。上の集合は 2 つの連結成分からなり、 $S(l)$ たちの像のある部分群が作用はそのうちの 1 つの上にある。 これを $D$ とおけば、 $D$ に$D$し、の自由に作用している部分集合をその部分群で割ったものが、 $S(l)$ たちの modである。 ここに、 $SO0(2,4)$ はである。 $D$ を等質空間として書くと、$K$のcompact subgroup である。
はmaximal$(2,4)$の単位元の連結成分、SOの元$( \int_{\gamma_{1}}\omega, \cdots, \int_{\gamma_{6}}\omega)$$GL_{6}(\mathbb{Z})$$SO\mathrm{o}(2,4)/I\mathrm{f}$$\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{i}$$SO\mathrm{o}(2,4)$$(j=1, \cdots, 6)$ とがある 1 つの conic $F$ に接しているとして、 その接点を$(j=1, \cdots, 6)$ で分岐しているものとする。
する o $C$ を $F$ の double cover で、

2.

$l$

$q_{j}$$q_{j}$

199$C$

は genus 2 の hyperelliptic curve である。 このとき、 $S(l)$ は Kummer sufface であり、 それに対する abelian variety は $C$ の Jacobian $J(C)$ になる o $S(l)$ の Kuga-Satake
variety が $J(C)$ のいくつかの積と isogenous であることも知られている。 よって、 $S(l)$とその Kuga-Satake variety との間に代数対応があることがわかる。

一般の については、 Paranjape [7] の中で、 $S(l)$ とその Kuga-Satake variety との間の代数対応が構成されている。 $S(l)$ の Kuga-Satake variety はある 4 次元の abelianvariety $A(l)$ のいくつかの積と isogenous である。 この abelian variety の family は次の性質をもつ o $A(l)$ は principally polarized abelian variety であり、環準同型$l$$\theta:\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]arrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(A(l))$

があって|$A(l)$ の原点でのtangent space を $T(A(l))$ とするとき、$\theta$から induce される環準同型$\theta^{T}$:$\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]arrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(T(A(l)))$が$\sqrt{-1}$$\theta^{T}(\sqrt{-1})\sim(^{\sqrt{-1}}$$-\sqrt{-1}$$-\sqrt{-1})$(共役)をみたす。 $S(l)$ たちの moduli は $\Gamma\backslash SO_{0}(2,4)/K$ と書ける。 ここに、は $SO\mathrm{o}(2,4)$の arithmetic subgroup である。 $A(l)$ たちの moduli も $\Gamma’\backslash SU(2,2)/K’$ という形で書ける ただし、 $I\mathrm{t}’’=S(U(2)\cross U(2))$ は $SU(2,2)$ の maximal compact subgroup
は $SU(2,2)$ の arithmetic subgroup である。
であり、$\Gamma$$\circ$$\Gamma’$$\Gamma\backslash SO_{0}(2,4)/K\simeq\Gamma’\backslash SU(2,2)/K’$が成立することも知られている。

文献[1] P.Deligne: La conjecture de Weil pour les suffaces K3, Invent Math.15, 206226, (1972).

[2] P.Griffiths and J.Harris: Principles of Algebraic Geometry, John Wiley &Sons, 1994.
[3] M.Kuga and I.Satake: Abelian varieties attached to polarized K3-suffaces,
Math.Ann. 169, 239-242, (1967).
[4] K.Matsumoto, T.Sasaki and M.Yoshida: The monodromy of the period mapof a 4-parameter family of K3 surfaces and the hypergeometric function of type$(3,6)$ , Inter.J.Math. 3, 1-164, (1992).

200[5] J.Morgan and K.O’Grady: Differential Topology of Complex Suffaces, Springer
Lecture Notes in Math. vol.1545, 1993.

[6] D.Morrison: The Kuga-Satake variety of an abelian surface, J.Algebra 92,
454-476, (1985).
[7] K.Paranjape: Abelian varieties associated to certain K3 suffaces, Compositio
Math. 68, 11-22, (1988).