数理解析研究所講究録
1497 巻 2006 年 1-14$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i})\mathrm{s}$1formula for generalized Schur polynomials
沼田泰英*(北海道大学大学院理学研究科)
NUMATA, Yasuhide (Hokkaido Univ.)

概要

Generalized Schur operators の展開係数として generalized Schur polynomialsを定義する. そこには, Pieri’s formula に相当する公式が存在する.

1

Introduction

Young’s lattice は Stanley [9] によって導入された differential poset の prototypicalな例である. Young’s lattice では Robinson 対応と呼ばれる, standard Young tableauxのペアと順列との間の–対一対応が知られているが, この対応は Fomin [3] によってdifferential poset やその–般化である dual graphs においても構成されている.
さらに, Young’s lattice では Robinson-Schensted-Knuth 対応と呼ばれる semistandard Young tableaux のペアとある行列との間の–対一対応が知られている Fomin
は [4] において generarized Schur operators を導入し, dual graph における Robinson
対応の手法を Robinson-Schensted-Knuth 対応へ拡張した 我々は, generalized Schuroperators を用いて Schur polynomials の–般化に相当する多項式を定義する.
完全対称多項式は, -行のみからなる Young diagram に対応する Schur 多項式である.
$i$次完全対称式$h_{i}$と–般の Schur 多項式$s_{\lambda}$との積は Pieri’s formula と呼ばれる等式を満たしている. ここでいう Pieri’s formula とは以下のような物である:$\sum_{\mu}s_{\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n}.)=h_{i}(t_{1}, \ldots,t_{n})s_{\lambda}(t_{1}, \ldots,t_{n})$ただし, 左辺の$\mu$は$\mu/\lambda$

が

$i$

全て動く.

r nu@math.sci.hokudai.ac.jp,

箱からなる horizontal strip になる様な Young diagram を

2

この等式に相当する等式が Schur polynomial の–般化に相当する多項式にも成立していることを示す.

2

Definition
この節で, 2 種類の多項式を定義する. -つは Schur Polynomials の–般化に相当する

もの (Definition 2.3) であり, もうーつは完全対称多項式に相当するもの (Definition 2.6)

である.

2.1 Generalized Schur Operators
まず始めに, Schur polynomials の–般化に相当するものを定義するために, Fomin [4]によって導入された generalized Schur operators を定義する. 我々の多項式は general-ized Schur operators の展開係数として定義される.
を引数

$K$

添字

$i\in \mathbb{Z}$$0$の体とする.

$K$

は $t,$ $t’,$$t_{1},$ $t_{2},$$\ldots$を変数とする幕級数を含んでいるとする.

に対して, 罵は有限次元 $K$ -ベクトル空間とする. 罵を聾の基底とし fix する.

$V=\oplus_{i}V_{i},$$\mathrm{Y}=\bigcup_{i}\mathrm{Y}_{i}$とする.

全ての $i<0$ において,$\mathrm{Y}_{i}=\emptyset$

であり,$\mathrm{Y}_{0}=\{\emptyset\}$であるときに,$\mathrm{Y}$は最小元$\emptyset$を持つと言う事にする.
$\langle$,$\rangle$を$\langle\sum_{\lambda\in Y}c_{\lambda}\lambda, \sum_{\lambda\in Y}c_{\lambda}’\lambda\rangle=\sum_{\lambda\in Y}c_{\lambda}c_{\lambda}’$

非負整数 $i>0$ に対し,
$U_{i}(V_{j})\subset V_{j+i}$$D_{i},$$U_{j}$

を $V$ 上の線形写像とし任意のを満たしているとする.

対して, $A(x)$ で母関数を満たす自然なベアリングとする.

$\sum_{i\geq 0}A_{i}x^{i}$$\{a_{i}\}$$j$に対して $D,(V_{j})$$\subset V_{j-i}$,

を $K$ の元の列とする. 列 $\{A_{i}\}$ と変数 $x$ にを表す.

Definition 2.1 (generalized Schur operators). 等式 $D(t’)U(t)=a(tt’)U(t)D(t’)$
が成立している時, $D(t_{1})\cdots D(t_{n})$ と $U(t_{n})\cdots U(t_{1})$ を, generalized Schur operators

with$\{a_{m}\}$と呼ぶ.

Remark 2.2. $D(t_{1})\cdots D(t_{n})\text{と}U(t_{n})\cdots U(t_{1})$ & generalized Schur operators with$\{a_{\mathfrak{i}}\}$とし自然なベアリング$U^{*}(t_{n})\cdots U^{*}(t_{1})$$\langle$,$\rangle$に対応する conjugate を

$*$

と書く.

このとき,

と $D^{*}(t_{1})\cdots D^{*}(t_{n})$ は等式 $U^{*}(t’)D^{*}(t)=a(tt’)D^{*}(t)U^{*}(t’)$ を満たしており generalized Schur operators with $\{a_{m}\}$ である.

Definition 2.3 (generalized Schur polynomials). $D(t_{1})\cdots D(t_{n}),$ $U(t_{n})\cdots U(t_{1})$を generalized Schur operators とする.

$\lambda\in V$と$\mu\in \mathrm{Y}$に対して,$s_{\lambda,\mu}^{D}(t_{1}, \ldots, t_{n})$と3$s_{U}^{\mu,\lambda}(t_{1},$$\ldots$, t のを, それぞれ $D(t_{1})\cdots D(t_{n})\lambda$ と$U(t_{n}.)\cdots U(t_{1})\lambda$

の

$\mu$

の係数と定義しgeneralized Schur polynomials と呼ぶことにする.

Generalized Schur polynomials

は, $D(t)$ と $D(t’)$ が可換である時, 即$s_{\lambda,\mu}^{D}(t_{1}, \ldots, t_{n})$ち $D(t.)D(t’)=D(t’)D(t)$ が成立する時には対称多項式となる.

また定義より,$\lambda,$$\mu\in \mathrm{Y}$に対して$s_{\lambda,\mu}^{D}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\langle D(t_{1})\cdots D(t_{n})\lambda, \mu\rangle$$=\langle\lambda, D^{*}(t_{n})\cdots D^{*}(t_{1})\mu\rangle$.

$=s_{D}^{\lambda,\mu}$$(t_{1}, \ldots, t_{n})$が成立している.

Example 2.4. Prototypical な example は Young’s lattice$\mathrm{Y}$である.

$\mathrm{Y}_{i}$を箱の Young$i$diagram からなる集合とし,として鴎を basis とする $K$ -線形空間とする. \llcorner \check . のとき Young’s lattice
は 箱の Young diagramを最小元として持っている.
が各 pJ 高々 1 箱しか箱を持たない時,に対して, skew Young diagramが horizontalであるという また,が各行高々 1 箱しか箱を持たない時,が vertical st 加 p であるという.
をが 箱からなる horizontal strip となるような, ただし, はYoung diagram を動く, となるように定義する.
が 箱からなる horizontal strip となるよ
また, 肌を, ただし, は$V_{i}$$\mathrm{Y}_{i}$$0$$\mathrm{Y}$$\lambda,$$\emptyset$$\mu\in \mathrm{Y}$$\lambda/\mu$$\lambda/\mu$$st7\dot{\tau}p$$\lambda/\mu$$\lambda/\mu$$D_{i}$$D_{i} \mu=\sum_{\lambda}\lambda$$\lambda$$i$$\mu/\lambda$$U_{i}( \mu)=\sum_{\lambda}\lambda$$\lambda$$\lambda/\mu$$\mathrm{i}$うな Young diagram を動く, となるように定義する.

このとき, $\{a_{m}=1\}$ に対して, $D(t’)U(t)=a(tt’)U(t)D(t’)$ を満たしているので,$D(t_{1})\cdots D(t_{n})\text{と}U(t_{n})\cdots U(t_{1})l\mathrm{h}$generalized Schur operators with$\{1, 1, 1, \ldots\}\text{て^{}\backslash }$

ある.

この時,

$\lambda,$$\mu\in \mathrm{Y}$Schur polynomialに対して,$s_{\lambda,\mu}^{D}(t_{1}, \ldots, t_{n})$$s_{\lambda/\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n}.)$と$s_{U}^{\lambda,\mu}(t_{1}, \ldots,t_{n})$は両方ともに skew

である.

翫 ample 2.5. 多項式環 $K[x]$ を $K$ -vector space だと思い $V$ とする.
からなる空間とする. この時,

$V_{i}$

は 1 次元であり, basis$\mathrm{Y}_{i}$として$\{x^{i}\}$$V_{i}$

は

$i$

次の多項式

をとることができる. また, このとき $1=x^{0}$ を最小元として持っている.
$D_{i}$と$U_{i}$

を,$\frac{\partial^{l}}{i!}$に$\underline{x^{i}}$$i!$より定義する, ただし$\partial$は$x$の偏微分を表す. この様に定義す

ると $D(t)$ と $U(t)$ はそれぞれ $\exp(t\partial)$ と $\exp(tx)$ となる. $D(t)$ と $U(t)$ は $D(t)U(t’)=$$\exp(tt’)D(t)U(t’)$ を満たすので, $D(t_{1})\cdots D(t_{n})$ と $U(t_{n})\cdots U(t_{1})$ は generalized Schuroperators with$\{a_{m}=\frac{1}{m!}\}$

である.

4

さらに,

$\partial$(または ) と垣ま可換なので, 次が成立している;$x$$D(t_{1})\cdots D(t_{n})=\exp(\partial t_{1})\cdots\exp(\partial t_{n}.)=\exp(\partial(t_{1}+\cdots+t_{n}))$,$U(t_{n})\cdots U(t_{1})=\exp(xt_{n})\cdots\exp(xt_{1})=\exp(x(t_{1}+\cdots+t_{n}‘))$.

このことから直接計算により,$\exp(\partial(t_{1}+\cdots+t_{n}))x^{i}=\sum_{j=0}^{i}\frac{i!(t_{1}+\cdots+t_{n})^{j}}{(i-j)!j!}x^{i-j}$$\exp(x(t_{1}+\cdots+t_{n}))x^{i}=\sum_{j}\frac{(t_{1}+\cdots+t_{n})^{j}}{j!}x^{i+j}$となるので$s_{x^{1+j},x}^{D}:(t_{1}, \ldots,t_{n})=\frac{(i+j)!}{i!j!}(t_{1}+\ldots+t_{n})^{j}$,$s_{U}^{x,x}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\frac{1}{j!}(t_{1}+\ldots+t_{n})^{j}:+ji$が分かる.

2.2 Weighted Complete Symmetric Polynomials
次に, 完全対称多項式の–般化に相当する多項式を定義する. この多項式は帰納的に定義される.

Definition 2.6.

nomial$\{a_{m}\}$を $K$ の元の列とする

i-th weighted complete symmetric Poly-$h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})\text{を}$$h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})=\sum_{j=0}^{i}h_{j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n-1})h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{n})$$\{$$h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1})=a_{i}t_{1}^{i}$,(for $n>1$ )(for $n=1$ )により定義する.

定義より i-th weighted complete symmetric polynomial$h_{i}^{\{a_{r\mathrm{n}}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})$は斉次な対称多項式である.

一般に, 幕級数$\sum_{i}h_{i}^{\{a_{m}\}}(t)$は母関数 $a(t)= \sum a_{i}t^{i}$ に等しいことが定義から分かる.

また,$a(t_{1}) \cdots a(t_{n})=\sum_{i}h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n}.)$5となっている.

Example 2.7. 全ての$h_{i}(t_{1}, \ldots, t_{n})$$a_{m}$

が 1 のとき,は通常の完全対称多項式となる. この場合 $\sum_{i}h_{i}(t)=a(t)=\sum_{i}t^{i}=\frac{1}{1-t}$ である.

Example 2.8. 非負整数 $m$ に対して,$t_{n})^{i}$$h_{i}^{\{1,1,\ldots\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})$$a_{m}= \frac{1}{m!}$のとき,$h_{i}^{\mathrm{t}_{m}.\}}\neg 1$$(t_{1}, \ldots, t_{n})=\frac{1}{i!}(t_{1}+\cdots+$

であり $\sum_{i}h_{i}^{\{\neq\}}m(t)=a(t)=\exp(t)$ である.

3

Main Results
この節で, generalized Schur polynomials と weighted complete symmetric polyno-

mials のいくつかの性質を示す: 最小元を持つときには, weighted complete symmetricpolynomials が generalized Schur polyno 而 als のうちの特別な物として書き表すことができること (Proposition 3.2) を示す また, 主結果である, 一般の generalized Schurpolynomials に対する Pieri’s formula (Theorem 3.5) や, いくつかのバリエーション(Teorem 3.10) も与える さらに, 一般の generalized Schur polynomials に対する Pieri’s
formula の系として得られる, 最小元を持つ場合の Pieri’s formula (Corollary 3.6) を与える.

3.1 Pieri’s Formula
まず,と $D(t_{1})$ . . $.D(t_{n})$ の交換関係を観察する.

$U_{i}$

この交換関係から主結果である

一般の generalized Schur polynomials に対する Pieri’s formula (Theorem 3.5) は導かれる. また, $V$ が最小元を持つときには weighted$\mathrm{c}o$mplete symmetric polynomials がgeneralized Schur polynomials の和として書けること (Proposition 3.2) もこの交換関係から導かれる.

Proposition 8.1. $D(t_{1})\cdots D(t_{n}.)\text{と}U(t_{n})\cdots U(t_{1})\text{を}$ generalized Schur operators$\tau\dot{m}th\{a_{m}\}$とする

このとき任意の$i$に対して$D(t_{1}) \cdots D(t_{n})U_{i}=\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}’(t_{1}, \ldots,t_{n})U_{j}D(t_{1})\cdots D(t_{n})$が成立する.

Proof. 証明の方針のみ述べる Generlized Schur operators with
$D(t)U(t’)=a(tt’)U(t’)D(t)$$\{a_{m}\}$の満たすべき式

6から, $D(t)U_{i}= \sum_{j=0}^{i}a_{j}t^{j}U_{i-j}D(t)$ がいえる. また同様に,$D(t_{1}) \cdots D(t_{n})U_{i}=\sum_{j=0}^{i}H_{i,j}(t_{1}, \ldots,t_{n})U_{j}D(t_{1})\cdots D(t_{n})$としたとき,$H_{i,j}(t_{1}, \ldots, t_{n})$が$h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})$と同じ漸化式を満たしている事がいえ,これらからこの Proposition が示される
この Proposition から, 最小元$\emptyset$

口がある時には, weighted complete symmetric poly-

nomials は次の Proposition 3.2 のように generalized Schur polynomials の線形結合として書けることがわかる.

Proposition 3.2.
を最小元とし, $D(t_{1})\cdots D(t_{n})$ と $U(t_{n})\cdots U(t_{1})$ が generalizedとすると, 任意の $i\geq 0$ で次の等式が成立している:
Schur operators 前 th$\emptyset$$\{a_{m}\}$$s_{U_{l}\emptyset,\emptyset}^{D}(t_{1}, \ldots,t_{n}.)=h_{\mathrm{t}}^{\{a_{m}\}},(t_{1}, \ldots,t_{n})\theta_{0}u_{0}$ただし,$u\mathit{0}\in K$と $d0\in K$ は

$U_{0}\emptyset=u_{0\emptyset},$

Proof. 証明の方針のみ述べる.

$D_{0}\emptyset=d_{0\emptyset}$$D(t_{1})\cdots D(t_{n})U_{i}\emptyset$,

を満たすものとする.

における$\emptyset$の係数を比較する事でProposition 3.1 から示す事ができる.

Example 3.3. Young’s latticeに対応する Schur polynomial$\mathrm{Y}$口の場合, Proposition 3.2 は 1 行からなる Young diagram$s_{(i)}$が完全対称多項式

Example 3.4. $K[x]$ の例の場合, Proposition 3.2 は係数が$\frac{(t_{1}+\cdots+t_{n})^{i}}{i!}$,$h_{i}$であることを表している.

$\exp(\partial(t_{1}+\cdots+t_{n}.))\cdot\frac{x:}{i!}$での$\mu\in \mathrm{Y}$のであることを表している.

一般の場合 (最小元を持つとは限らない場合) を考える. Proposition 3.1 より,と$x^{0}$$\lambda\in V$に対して$\langle D(t_{1})\cdots D(t_{n})U_{i}\lambda, \mu\rangle=\langle\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})U_{j}D(t_{1})\cdots D(t_{n})\lambda,\mu\rangle$が言える. この等式により Theorem 35 が従う.

Theorem 3.5 (Pieri’s formula).
operators X$\mu\in$

臨と $\lambda\in V$ に対して, generalized Schur$s_{U_{:}\lambda,\mu}^{D}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{j=0}^{\acute{t}}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n}.)\sum_{\nu(\in Y_{k-j})}\langle U_{j}\nu, \mu\rangle s_{\lambda,\nu}^{D}(t_{1}, \ldots,t_{n})$

7

を満たす.

更に最小元

$\emptyset$

Corollary 3.6.

があるのであれば, 次の系を得る.
$\lambda\in V$に対して, 次の等式が成り立つ ;$s_{U_{1}\lambda,\emptyset}^{D}(t_{1}, \ldots,t_{n})=h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})u_{0}s_{\lambda,\emptyset}^{D}(t_{1}, \ldots,t_{n})$$=s_{U}^{D}:\emptyset,\emptyset(t_{1}, \ldots,t_{n})u_{0}s_{\lambda,\emptyset}^{D}(t_{1}, \ldots, t_{n})$ただし, $u_{0}\in K$ はが$i$を満たすものとする.

$U_{0}\emptyset=u_{0}\emptyset$

Example 3.7. Young’s lattice$\mathrm{Y}$の場合, Young diagram$\lambda\in \mathrm{Y}$

箱からなる horizontal strip となるような Young diagrams$s_{U_{1}\lambda,\emptyset}^{D}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{\kappa}s_{\kappa}(t_{1}, \ldots, t_{n})$strip となるような Young diagrams$h_{i}(t_{1}, \ldots, t_{n})$,, ただし右辺の和は$\kappa$

を動く$\kappa/\lambda$

に対して,$\kappa$$U_{i}\lambda$

は$\kappa/\lambda$の和である. 従うてが 箱からなる horizontal$\mathrm{i}$-方で $u\mathit{0}=1,$ $h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})=$であるので, Corollary 3.6 の右辺は

$h_{i}$($t_{1},$. . . , tn)s\mbox{\boldmath $\lambda$}(tl, . . . , t の となり,

Corollary 3.6 は通常の Pieri’s formula に他ならない さらに Theorem 3.5 は skewとSchur polynomials に対する Pieri’s formula である: 即ち, skew Young diagram$\lambda/\mu$$i\in \mathrm{N}$に対し, 次が成立している$\sum_{\kappa}s_{\kappa/\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{j=0}^{i}\sum_{\nu}h_{i-j}(t_{1}, \ldots,t_{n})s_{\lambda/\nu}(t_{1}, \ldots,t_{n})$ただし左辺の和は$b\backslash _{j}$$\kappa/\lambda b^{\mathrm{S}}i$

箱の horizontal strip になる様な箱の horizontal strip になる様な$\nu$$\kappa$,を動く; 右辺の和は$\mu/\nu$を動く.

3.2 Some Variations of Pieri’s Formula
ここでは, generalized Schur polynomials に対する Pieri’s formula のいくつかのバリ
エーションを見る.
次の Proposition は Proposition3.1 に$*$を施す事などにより従う.

Proposition 3.8. $D(t_{1})\cdots D(t_{n})\text{と}U(t_{n})\cdots U(t_{1})$with$\{a_{i}\}$ve generalized Schur operatorsとする. このとき次が成立する :$D_{i}U(t_{n}) \cdots U(t_{1})=\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})U(t_{n},)\cdots U(t_{1})D_{j}$,8$U_{i}^{*}D(t_{n})^{*} \cdots D^{*}(t_{1})=\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})D^{*}(t_{n})\cdots D^{*}(t_{1})U_{j}^{*}$,$U^{*}(t_{1}) \cdots U^{*}(t_{n})D_{i}^{*}=\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})D_{j}^{*}U^{*}(t_{1})\cdots U^{*}(t_{n})$.

この proposition から Corollary 3.2, Theorem 3.5, Corollary 3.6 のバリエーションが導かれる. Corollary 3.2, Theorem 3.5, Corollary 3.6 と同様の方法で証明できる.

Proposition 3.9. $D(t_{1})\cdots D(t_{n})\text{と}U(t_{n})\cdots U(t_{1})$ & generalized Schur operators
が最小元であるとする. このとき, 次が成立する :
とし,
vrith
$\{a_{i}\}$$\emptyset$$s_{D}^{U}::\emptyset,\emptyset(t_{1}, \ldots,t_{n})=h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})u_{0}^{n}d_{0}$ただし,$u\mathit{0}\in K$,と $d_{0}\in K$ は $U0\emptyset=u0\emptyset,$ $D_{0}\emptyset=d0\emptyset$ を満たすものとする.

Theorem 3.10 (variations of Pieri’s formula). 任意のて, generalized Schur polynomia 齢は次を満たす:$\mu\in \mathrm{Y}_{k}$と $\lambda\in V$ に対し$\sum_{\kappa\in \mathrm{Y}}\langle D_{i^{\hslash}}, \mu\rangle s_{U}^{\kappa,\lambda}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})s_{U}^{\mu,D_{j}\lambda}(t_{1}, \ldots ,t_{n})$,$s_{D_{i}^{*}\lambda,\mu}^{U}.(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})\sum_{\nu(\in \mathrm{Y}_{k-j})}\langle D_{j}^{*}\nu,\mu\rangle s_{\lambda,\nu}^{U}.(t_{1},’ .

$\sum_{\kappa\in \mathrm{Y}}\langle U_{1}^{*}\kappa,\mu\rangle s_{D}^{\kappa,\lambda}.(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{j=0}^{i}h_{i-j}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})s_{D}^{\mu,U_{j}^{*}\lambda}.(t_{1}, \ldots, t_{n})$Corollary 3.11. 任意の$\lambda\in V$.

に対して, 次が成立する :$s_{D}^{U}*_{\lambda,\emptyset}\cdot.(t_{1}, \ldots, t_{n})=h_{i}^{\{a_{m}\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})d0s_{\lambda,\emptyset}^{U^{*}}(t_{1}, \ldots,t_{n})$$=s_{D}^{U^{*}}:\emptyset,\emptyset(t_{1}, \ldots,t_{n})d_{0}s_{\lambda,\emptyset}^{U}.(t_{1}, \ldots, t_{n})$ただし, $d_{0}\in K$ は

4

$D_{\mathit{0}\emptyset=}$偽\emptyset を満たすものとする.

More Examples
この節では, generalized Schur operators の例を挙げる.

,

.

.

, t_{n})$,9

4.1 Shifted Shapes
Fomin [4, Example 2.1] と同じ例を考える.
する. (i.e.,$D_{i}$を$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$を shifted shapes 全体からなる集合とを $\{\{(i,j)|i\leq j<\lambda_{i}+i\}|\lambda=(\lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdots),$$\lambda\in \mathrm{Y}$$\lambda/\nu$が$cc_{0}(\lambda/\nu)$

$i$

とする)

に対して,
$D_{i} \lambda=\sum_{\nu}2^{cc\mathrm{o}(\lambda/\nu)}\nu$(ただし$\lambda_{i}\in \mathbb{Z}\geq 0\}$は main diagonal を含まない$\lambda/\nu$

箱からなる horizontal strip となるような,の連結な component の数とし, 和は$\nu$を全て動くもとする) となるように定義する.
$U_{i}$

は $\lambda\in Y$ に対して

肌\mbox{\boldmath $\lambda$}(ただし$c\mathrm{c}(\lambda\backslash \mu)$は$\lambda/\mu$$= \sum_{\mu}2^{cc(\mu/\lambda)}\mu$,の連結な component の数とし, 和はhorizontal strip となるような$\mu$$\mu/\lambda$

が

$i$

箱からなる

を全て動くもとする) となる様に定義する.

この時 $D(t)$ と $U(t)$ は$D(t’)U(t)= \frac{1+tt’}{1-tt},U(t)D(t^{t})$を満たしているので, $D(t_{1})\cdots D(t_{n})$ と $U(t_{n})\cdots U(t_{1})$ は generalized Schur operatorswith $\{1, 2, 2, 2, \ldots\}$ である この場合,$s_{\lambda,\mu}^{D}\text{と}s_{U}^{\lambda,\mu}$はそれぞれ$\lambda,$$Q_{\lambda/\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n})$$\mu\in \mathrm{Y}$に対して, generalized Schur polynomialsと $P_{\lambda/\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n})$ となる, ただしここで $P\cdots$と $Q\cdots$ は shifted skew Schur polynomials を表す.

この場合, Corollary 3.2 は$2Q_{(i)}(t_{1}, \ldots,t_{n})$$i>0$$Q_{\emptyset}(t_{1}, \ldots,t_{n})$$i=0$$h_{i}^{\{1,2,2,2,\ldots\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\{$を意味する. また Corollary 3.9 より$h_{i}^{\{1,2,2,2,\ldots\}}(t_{1}, \ldots,t_{n})=P_{(:)}(t_{1}, \ldots,t_{n})$が分かる.

Corollary 3.6 は次を満たす:$h_{i}^{\{1,2,2,2,\ldots\}}Q_{\lambda}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{\mu}2^{c\mathrm{c}(\lambda\backslash \mu)}Q_{\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n})$,10ただし和 ta,$\lambda/\mu$が$i$

箱からなる horizontal strip となるような$\mu$を全て動くもとする)

4.2 Young’s Lattice: Dual ldentities
次に Fomin [4, Example 2.4] と同じ例を考える.
$U_{i}$$\mathrm{Y}$として, Young’s lattice を考える.

は Example 24 で考えた物と同じ物とする, (i.e., $U_{i} \lambda=\sum_{\mu}\mu$ , ただし

$\mu$

は

$\mu/\lambda\hslash^{1}i$

箱の horizontal strip となるように動く)を$D_{i}’$$\lambda\in \mathrm{Y}$に対して,$D_{i}’ \lambda=\sum_{\mu}\mu$

, ただし

$\mu$

は

$\lambda/\mu$

が$i$

箱の vertical strip となるよ

うに動く, と定義する.
このとき $D’(t)$ と $U(t)$ は$D’(t’)U(t)=(1+tt’)U(t)D’(t’)$

を満たすので, $D’(t_{1})\cdots D’(t_{n}.)$ と $U(t_{n})\cdots U(t_{1})$ は generalized Schur operators with{1, 1,0,0,0, . . .} である
mials$s_{\lambda,\mu}^{D’}$

は

このとき

$s_{\lambda’/\mu’}(t_{1}, \ldots, t_{n})$$s_{\lambda’/\mu’}(t_{1}, \ldots, t_{n})$$\lambda,$$\mu\in \mathrm{Y}$に対して, generalized Schur polyno-に等しい, ただし$\lambda’$と$\mu’$はと$\lambda$$\mu$の転置を表し,は shifted Schur polynomials を表すとする.

この時, Corollary 3.2 は次を意味する:$h_{i}^{\{1,1,0,0,0,\ldots\}}(t_{1}, \ldots, t_{n})=s_{(1)}:(t_{1}, \ldots, t_{n})=e_{i}(t_{1}, \ldots,t_{n})$ただし$e_{i}(t_{1}, \ldots, t_{n})\#\mathrm{h}i$,次基本対称多項式を表す.

Cororally 3.6 は次のようになる:,$\sum_{\mu}s_{\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n})=e_{i}(t_{1}, \ldots, t_{n})s_{\lambda}(t_{1}, \ldots, t_{n})$

ただし

$\mu$

は

$\lambda/\mu$

力 s 箱の vertical strip となるように動く.

Skew Young diagram$\lambda/\mu$に対して, Theorem 3.10 は次を意味する:$\sum_{\kappa}s_{n/\mu}(t_{1}, \ldots, t_{n})=\sum_{j=0}^{i}\sum_{\nu}e_{i-j}(t_{1}, \ldots, t_{n}.)s_{\lambda/\nu}(t_{1}, \ldots, t_{n})$ただし$\kappa$

は$\kappa/\lambda$

が$i$

箱の vertical strip となるように,

$\nu$

,

は $\mu/\nu$ が $i$ 箱の vertical stripとなるように動く.

4.3 PIanar Binary Trees
$F$

$0$

を alphabet {1, 2} で生成される word 全体からなる集合とする

長さ

$0$

のワードを

と書く事にする. $v,$ $w\in F$ に対して $v\leq vw$ とする事で $F$ は poset となる Poset $F$ の

11

ideal

$T$

(i.e., $v\in T$ と $w\in F$ に対して $w\in v$ なら $w\in T$ となっている集合) を tree と呼ぶことにする. Tree $T$ の元 $w\in T$ を tree の node と呼ぶ.

tree 全体の集合とする.
$T\in \mathrm{Y},$$v\in F$

Definition 4.1.

$V$

$Y_{i}$を$i$

個の node からなるを basis が $Y$ であるような K-線形空間とする.

に対して, $T_{v}=\{w\in T|v\leq w\}$ とする.
を tree, $m$ を正の整数とする$T$$\bullet$$\varphi(w)<\varphi(v)$$\bullet$$\varphi(w)\leq\varphi(v)$写像$\varphi$: $Tarrow\{1, \ldots , m\}$ がfor $w\in T$ and $v\in T_{w1}$for $w\in T$ and $v\in T_{w2}$を満たしている時に,$\varphi$を lefl-strictly-increasing labeling と呼ぶ.

また$\bullet$$\varphi(w)\leq\varphi(v)$$\bullet$$\varphi(w)<\varphi(v)$for $w\in T$ and $v\in T_{w1}$for $w\in T$ and $v\in T_{w2}$を満たしている時に,$7\dot{\tau}ght- st\gamma\dot{\eta}ctly$-in creasing labeling と呼ぶ.

さらに,$\bullet$$\bullet$for $w\in T$ and $v\in T_{w1}$$\varphi(w)<\varphi(v)$ for $w\in T$ and $v\in T_{w2}$$\varphi(w)\geq\varphi(v)$を満たしている時には binary-searching labeling と呼ぶ.

まず, increasing labeling の trees の列としての表示を与える.
$T\in Y$ に対して,

node $w\in T$ が

$T_{w}\subset\{w1^{n}|n\in \mathrm{N}\}$を満たしている時に, $w$ を $T$ の-node と呼ぶ また馬である時に, -node という.
は troe であIncreasing labeling の定義から, 任意の に対して, 逆像る. Right-strictly-increasing labelingに対して,-node である また lefl-strictly-increasing labeling\mbox{\boldmath $\varphi$} にの元は $\varphi^{-1}(\{1, \ldots, n+1\})$ の r-nodes
対しては,
$l$

$\subset\{w2^{n}|n\in \mathrm{N}\}$$r$$\varphi^{-1}(\{1, \ldots, n\})$$n$$\varphi$$\varphi^{-1}(\{1, \ldots, n+1\})\backslash \varphi^{-1}(\{1, \ldots, n\})$$\varphi$$\text{の元は}\varphi^{-1}(\{1, \ldots, \mathrm{n}+1\})\text{の}1$$\varphi^{-1}(\{1, \ldots, n+1\})\backslash \varphi^{-1}(\{1, \ldots, n\})$である.

従って, right-strictly-increasing labeling は$T^{i+1}\backslash T^{i}$が $T^{i+1}$ の 1-nodes からなる

$m+1$ 個の trees からなる列 $(\emptyset=T^{0}, T^{1}, \ldots, T^{n})$ と同–視することができる. 同様に,

left-strictly-increasing labelings はtrees からなる列$T^{i+1}\backslash \tau$$(\emptyset=T^{0}, T^{1}, \ldots, T^{n})$: が$T^{i+1}$の$\mathrm{r}$-nodes からなる $m+1$ 個のと同–視することができる.

12

$V$

上の線形写像 $D$ と $D’$ を
$DT=$

$T’$

$\sum$$T’\subset T;T\backslash T’$,consists of some l-nodes$D’T=$$T’$$\sum$$T’\subset T;T\backslash T’$.

consists of some r-nodesとなるように定義する.
次に binary-searching trees について考える.
$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{e}T$に対して,chain である.

$s\tau$$s\tau$を $\{w\in T|w=v1w’\Rightarrow v2\not\in T. w2\not\in T.\}$ とする. 集合$s\tau$はの ideal $s$ に対して, tree $T\ominus s$ を$T$$(s=\emptyset)$$T\ominus s=\{$$(T- \max(s))\ominus(s\backslash \{\max(s)\})(s\neq\emptyset)$,

ただし $w2\not\in T$ である $w\in T$ に対して
$T-w=(T\backslash T_{w})\cup\{wv|w1v\in T_{w}\}$とする. $T-w$ から $T$ への自然な inclusion$\overline{\nu}$が次のように定義される.

$w1v$$v’=wv\in T_{w}$$v’$$v’\not\in T_{w}$$\overline{\nu}(v’)=\{$

この inclusion

Tree

$T$

$\varphi^{-1}(\{m\})$$\overline{\nu}$からがから, inclusion$\{1, \ldots, m\}$$s\tau$$\nu$: $T\ominus sarrow T$ が導かれる.

への Binary-searching labelingの ideal であることが分かるから作られる写像$\varphi\circ\nu$.

Inclusion$\nu$$\varphi$:は, その定義から, 逆像$T\ominus\varphi^{-1}(\{m\}\ranglearrow T$と$\varphi$

は, $T\ominus\varphi^{-1}(\{m\})$ から $\{1, \ldots, m-1\}$ への binary-searchinglabeling となっている.
従ってこの方法により, binary-searching labelings$T^{0},$ $T^{1},$$\ldots,$$T^{m})$

であって出

$i$

$\varphi$と, $m+1$ 個の trees の列に対して $T^{i}=T^{i+1}\ominus s$ を満たすような $s\tau:+1$ の ideals が存在するものを同–視することができる.
$V$上の線形写像 $U$ を$UT=$$\sum$$T\ominus s$$\epsilon js\tau^{\sigma)\mathrm{i}\mathrm{d}}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}$となるように定義する.
$D(t’),$ $D’(t’),$ $U(t)$$(\emptyset=$は次の等式を満たす:$D(t’)U(t)= \frac{1}{1-tt},U(t)D(t’)$ ,13$D’(t’)U(t)=(1+tt’)U(t)D’(t’)$ .
よってこれらの operator から構成される generalized Schur polynomials は Young’slattice の場合と同様の Pieri’s formula を満たしている.
しかしながら, この場合 generalized Schur polynomials は, 一般に対称多項式ではな
い. 例えば,$U^{*}(t_{1})U^{*}(t_{2})\{0,1,12\}$$=U^{*}(t_{1})(\{0,1,12\}+t_{2}\{0,2\}+t_{2}^{2}\{0\})$$=(\{0,1,12\}+t_{1}\{0,2\}+t_{1}^{2}\{0\})+t_{2}(\{0,2\}+t_{1}\{0\})+t_{2}^{2}(\{0\}+t_{1}\emptyset)$$=\{0,1,12\}+(t_{1}+t_{2})\{0,2\}+(t_{1}^{2}+t_{1}t_{2}+t_{2}^{2})\{0\}+t_{1}t_{2}^{2}\emptyset$

であるので,$T$$s_{\{0,1,12\},\emptyset}^{U^{*}}(t_{1}, t_{2})=s_{U}^{\{0,,12\},\emptyset}(t_{1}, t_{2})=t_{1}t_{2}^{2}$から $\{1, \ldots, m\}$ への labeling$\varphi$に対して,となり対称多項式ではない.

$t^{\varphi}= \prod_{w\in\tau}t_{\varphi(w)}$と定義すると, tree $T$に対して,$s_{U}^{T,\emptyset}(t_{1},$$\ldots,$$t_{n})=$$\varphi$$s_{T,\emptyset}^{D}(t_{1},$$\ldots,$,; a binary-searching labeling$t_{n})=$$\sum$$\varphi$$s_{T,\emptyset}^{D’}(t_{1},$$t^{\varphi}$$\sum$$\ldots)t_{n})=$; a$\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}-\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{y}$,-increasing labeling$\sum$$\varphi$$t^{\varphi}$$t^{\varphi}$; a left-strictly-increasing labelingとなっている.

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[10] Stanley,R., Variations on differential posets, Invariant theory and tableaux (Stan-, IMA volumes in mathematics and its applications, Springer-Verlag,
New York, pp. 145-165.

$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n},\mathrm{D}.,\mathrm{e}\mathrm{d}.)$