数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 78-89

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Matrix coefficients of the principal series representationsof -type
as hypergeometrIcof$C_{2}$$\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathbb{C}\mathrm{t}_{\mathrm{I}\mathrm{o}\mathfrak{n}}\mathrm{s}$$S\rho(2.\mathbb{R})$

\S

$0$

飯田正敏 (Masatoshi IIDA)

数理科学研究科

東京大学. Introduction.

の主系列表現の Whittaker model が求められた. そ[MO1] において,こで得られた微分方程式系 (rank 8 の holonomic system) は, Casimir operator(の radial part) と Schmid operator によって定義される shift operators で$Sp(2, \mathbb{R})$

あった.

.

$\cdot$また, 半単純り -群上の両側 $K$ -不変, あるいは両側から $K$ の 1 次元表現に従う球函数が満たす微分方程式系, およびその–般化についてさまざまな研究があ, [Opl], [Op2], [Os], [OS] とそれらの references 参照)
る. (の主系列表現の matrix coeffiこの講演では [MO1] の手法によりの1次元表現だけでなく, 2 次元表現に従うもcients (spherical functions) $-K$
が満たす微分方程式系を求め、 さらに–般化された主系列表現の matrixのもcoefficients を 2 変数超幾何函数を用いて具体的に求める.
$[\mathrm{H}\mathrm{O}],[\mathrm{O}\mathrm{O}]$$[\mathrm{H}1],$$Sp(2, \mathbb{R})$

–

\S 1.

$\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{R})$の放物型部分群.

subgroup を $K\simeq U(2)$ , そして mlnimal parabolic subgroup $P=MAN$ と Jacobi parabolic subgroup$P_{J}=M_{J}A_{J}N_{J}$ を次で定義する.
を Cartan 分解, の maximalとし,まず,をとる. この に対しabelian subspace として$G=Sp(2, \mathbb{R})$とする.

$\mathrm{g}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(c),$$G$の maximal compact$\mathrm{f}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(K)$$\mathrm{g}=\mathrm{e}\oplus \mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$a=\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(x, y, -x, -y)|x, y>0\}$て, $A=\exp a,$定める.
$e_{1},$$a$$e_{2}\in a^{*}$$e_{2})\}$$M=zK(a)=\{\pm I_{2}, \pm\gamma_{2}\}$の base$H_{1}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1, \mathrm{o}, -1, \mathrm{o}),$ $H_{2}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\mathrm{O}, 1, \mathrm{o}, -1)$とすると, restricted root system は\Delta =\Delta$-1,1,$ $-1)$ )の dual base を$(9, \alpha)=\{\pm 2e_{1},$ $\pm 2e_{2},$ $\pm(e_{1}\pm$

また,$\alpha_{J}=\mathbb{R}H_{1}$なる$\alpha$$\mathfrak{n}=\sum_{\alpha\in}\Delta+\mathrm{g}(\alpha, \mathrm{Q}),$$N=\exp \mathfrak{n}$と定義する.

の subspase をとり, $A_{J}=\exp\alpha_{J}$ ,$M_{J}=M\cdot\exp \mathbb{R}H_{2}\cdot\exp(9(2e2, \alpha)\oplus_{9}(-2e_{2}, \mathrm{Q}))\simeq\{\pm 1\}\cross SL(2, \mathbb{R})$$\mathfrak{n}_{J}=\sum_{\alpha}\in\Delta+\backslash \mathrm{t}2e_{2}\mathrm{l}\mathrm{g}(\alpha, a),$

\S 2.

と

で, その positive system を $\Delta^{+}=\Delta^{+}(\mathrm{g}, a)=\{2e_{1},2e2, e1\pm e_{2}\}$ とする.

に対する root space を$\Delta^{+}$

(ただし,

$a$

$\gamma_{2}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,$$\mathrm{S}\mathrm{p}(2,\mathbb{R})$$N_{J}=\exp \mathfrak{n}J$,と定義する.

の表現.

この section では, 以下で扱う二系列の $Sp(2, \mathbb{R})$定お義.(2Pl の表現を\mbox{\boldmath $\sigma$}M\otimes の既約ユニタかリ表の現誘導表現 C*(’\mbox{\boldmath $\pi$}\rho ,の表現を定義する.
$H_{\pi}= \frac{1}{2,)}$を\alpha G\in \Delta の主系列表現と呼と79

ぷ. すなわち,$H_{\pi}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}^{G}P(\sigma\otimes a^{\mu}\otimes+\rho 1_{N})$$=\{f\in C^{\infty}(G)|f(mang)=\sigma(m)a^{\mu+\rho}f(g)$

for
$G$

$\forall_{g}\in G,\forall m\in M^{\forall},a\in A,\forall n\in N$}.

の作用は $\pi(g)f(X)=f(xg)(^{\forall}f\in H_{\pi}, \forall g\in G)$ である.

定義 (2.2).
$a_{J,\mathbb{C}}^{*},$

で

,

$\xi$

$\sigma_{J}=(\epsilon, \xi)$

を $M_{J}\simeq\{\pm 1\}\cross SL(2, \mathbb{R})$ の離散系列表現,$\rho_{J}=\frac{1}{2}\{(e_{1}-e_{2})+2e_{1}+(e_{1}+e_{2})\}=2e_{1}$は $SL(2, \mathbb{R})$ の離散系列表現.

$(\pi_{J}, H_{\pi_{J}})$

とする.

ここで,

の表現
を $G$ の–般化された主系列表現と呼ぶ. すなわち,$\epsilon\in\overline{\{\pm 1\}}$からの誘導表現$\sigma_{J}\otimes a_{J}^{\nu_{1}+\rho J}\otimes 1_{N_{J}}$$P_{J}$$\nu_{1}\in$$H_{\pi_{J}}=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P_{J}}^{G}(\sigma_{J}\otimes a_{J}^{\nu_{1}+\rho_{J}}\otimes 1_{N_{J}})$:$=\{f$$Garrow V_{\sigma_{J}}|f1\mathrm{h}C\infty$for$\backslash G${$\forall_{g}\in G,$$K$$\forall_{m_{J}}\in M_{J},$$\forall_{a_{J}}\in A_{J},$$\forall_{n_{J}}\in N_{J}$},の有限次元既約表現は次の集合で paxametrize される.

$\lambda=(l_{1},$ $l_{2})\in \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}|l_{1}\geq l_{2},$$\lambda$$\mathrm{i}.e$.

$\lambda$

tf dominant integral weigbt}.

に対応する $K$ の既約表現,
が weight vector,を, 各
は the highest weight vector となるように選に対して $d=l_{1}-\iota_{2}\geq 0$ とおくとは $d+1$ 次元表現で,) の$\lambda$

は the lowest weight vector,$v_{d}$$V_{()}\iota_{1},\iota_{2})$$(\tau(\iota_{\iota 2},\iota)$$b\mathrm{a}s\mathrm{i}s\{- v_{k}|0\leq k\leq d\}$$V_{(\iota_{1}},l_{2}$$v0$$f(m_{J}a_{J}nJg)=\sigma_{J}(m_{J})a_{J}f\nu 1+\rho J(g)$の作用は $\pi_{J}(g)f(x)=f(xg)(^{}f\in H_{\pi_{J}}, \forall g\in G)$ である.

定義 (2.3).

各-class,$v_{k}$

んでおく.
$H_{\pi},$ $H_{\pi_{J}}$${}_{K}H_{\pi_{J},K}$の K-finite vectors をそれぞれ $H_{\pi},,$を K-module と見た時に次の命題が成り立つ

命題 (2.4).

(i)て$\sigma\in\overline{M}$として,と書き, $H_{\pi},,$$([\mathrm{M}\mathrm{o}1], [\mathrm{M}\mathrm{O}2])$$\epsilon_{1}=\sigma(-\gamma 2),\mathcal{E}2=\sigma(\gamma 2)$${}_{K}H_{\pi_{J},K}$.

と書くと次が成り立つ.

の時 (以下, even case と呼ぶ), $\epsilon_{1}=(-1)^{l}$ なる全てのに対しは $H_{\pi,K}$ に multiplicity 1 で現れ, これ以外の 1 次元表現は現れない.
$l\in \mathbb{Z}$$\epsilon_{1}=\epsilon_{2}$$\tau_{(\iota,\iota)}$の時 (以下, odd case と呼ぶ) ,(ii)に multiplicity 1 で現れ, 1 次元表現は現れない.
$\epsilon_{1}=-\mathcal{E}_{2}$$\forall\iota\in \mathbb{Z}$に対して$\tau(\iota+1,\iota)$

は $H_{\pi,K}$

80

命題 (2.5).

$\sigma_{1}=(\epsilon, \xi_{l})\in\overline{M}_{1}$の discrete series とする.

(i)$\epsilon(-\gamma_{2})=(-1)^{l}$

で,

また,

を $SL(2, \mathbb{R})$ の Blattner parameter 1 $(l\geq 2)$$\xi\iota$

崎 C とすると次が成り立つ.

$\nu_{1}\in$の時 (以下 even case と呼ぶ),

mod 2, $k\leq l$ ) は$l)\text{または_{}\tau_{(}(}\iota,k)k\in \mathbb{Z},$ $k\equiv l$$\tau_{\mathrm{t}^{k,k})}(k\in \mathbb{Z},$$H_{\pi_{J},K}$$k\equiv l$mod 2,$k\geq\vee$に multipllcity 1 で現れ, これ以外の 1 次元表現は現れない.

(ii)の時 (以下 odd case と呼ぶ) ,$\epsilon(-\gamma_{2})=(-1)^{\iota 1}+$

はmod 2),(
外の 2 次元表現と 1 次元表現は現れない.
は$\tau_{(k,l)}$$k\in \mathbb{Z},$$k\equiv l$$k\leq l)$$H_{\pi_{J},K}$

またに multiplicity 1 で現れ, これ以$\tau_{\mathrm{t}^{k,k-}}1)(k\in \mathbb{Z}, k\geq l)$\S 3. Spherical functions.
$(\eta, V_{\eta}),$ $(\tau, V_{r})\in\hat{K}$に対して, 函数空間

$C_{\eta}^{\infty}(K\backslash c)=\{f$:$Garrow V_{\eta}|f\dagger\mathrm{h}C\infty$-class,$f(kg)=\eta(k)f(g),\forall_{k\in}K^{\forall_{g\in}},c\}$$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)=\{f$:,-class,$Garrow V_{\eta}\otimes V_{\tau}\cdot|f\dagger\mathrm{h}c\infty$$f(k_{1}gk_{2})=\eta(k_{1})\otimes\tau^{*}(k_{2})-1f(g),\forall_{k1,k2}\in K^{\forall},g\in G\}$の contragredient 表現).
はを定める (
により -modde と見なし,$V_{r}*$$V_{r}$$C_{\eta}^{\infty}(K\backslash G)$

を right regular action$\mathrm{G}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V\tau’ C\infty(\eta K\backslash G))\simeq C_{\eta}^{\infty}(K\backslash G)\otimes_{K}V_{r}\cdot\simeq C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$の元を tyPe$(\eta, \tau)$の球函数と呼ぶ.

が $H$ に multiplicity 1 で現れるとし,を admissibleに対し
injective $K$ -maP を : $V_{r}arrow H$ とする.
)
は typeの球函数であり, 以下では $H$ がて,${}_{K}H_{\pi K}J$ の時, この函数
$H_{\pi},,$について考察する.
,$H$$(\mathrm{g}, K)- \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{e},$$i$$V_{\tau}$$\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{(\mathfrak{g},K}$$\psi \mathrm{o}i\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}K(V_{r}, c\infty\eta(K\backslash G))$$(H, c_{\eta}\infty(K\backslash G))$$(\eta, \tau)$$\psi\circ i$

Cartan 分解 $G=KAK$ により,は $A$ 上の制限で決まり,
上) $=\phi(xH_{1}+yH\mathit{2})$ により を$\phi\in C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$であるから, 以下\mbox{\boldmath $\phi$}(x,に対の函数と思う。 また, $D$ を $G$ 上の微分作用素とした時,$A$$D$の radial par オ
して $(D\phi)|_{A}=R(D)(\emptyset|A)$ を満たす 上の微分作用素 $R(D)$ をと呼ぶ.

$A\simeq a=\mathbb{R}H_{1}+\mathbb{R}H_{2}$$y$$\phi$$\mathbb{R}^{2}$$\forall_{\phi}\in C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash c/K)$$M$と Weyl 群の作用を考えることにより, 容易に次の命題が導かれる.

命題 $(3.1)$ (とすると$\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}$case). $\eta=(k, k),$(i) $\phi(y, x)=\phi(y, x)$ ,$\tau=(l, \mathit{1})$(ただし, $(-1)^{k}=(-1)^{l}=\epsilon_{1}=\epsilon_{2}$ )81(ii) $\phi(x, -y)=\{$
命題 $(3.2)$ ($\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$for $k-l\equiv 0$ mod 4,$-\phi(X, y)$ for $k-l\equiv 2$ mod 4.

$\phi(x, y)$case). $\eta=(k, k-1),$ $\mathcal{T}=(l, l-1)$ とし,と書くと$C_{\eta,\tau}^{\infty}(K\backslash G/K)\ni\phi=$$\sum_{0\leq i,j}\leq 1\phi ijv_{i}^{\eta}\otimes v_{j}^{r}$for $k-l\equiv 0$ mod 2,
for $k-l\equiv 1$ mod 2.
for $k-l\equiv 0$ mod 2,(ii)$\phi_{11}(x, y)=\phi_{00}(y, x)$ for $k-l\equiv 1$ mod 2.
$\phi(x, y)$ for $k-l\equiv 0,3$
mod 4,(iii) $\phi(x, -y)=\{$$-\phi(X, y)$ for $k-l\equiv 1,2$ mod 4.
(i)$\phi_{00}=\phi_{11}\equiv 0$$\{$$\phi_{01}=\phi_{10}\equiv 0$$\phi_{1}\mathrm{o}(x, y)=-\phi_{01}(y, x)$$\{$\S 4 Casimir operator.
に対してを満たすものとすると$H_{2e_{i}}=H_{i}(i=1,2),$ $H_{e_{1}}\pm\text{。}2=H_{1}\pm H_{2}$base で,は,$[E_{\alpha}, tE_{\alpha}]=H_{\alpha}$$E_{\alpha}(\alpha\in\triangle^{+})$$Sp(2, \mathbb{R})$を$\mathrm{g}(a, \alpha)$のの Casimir operator $L$$L=H_{1}^{2}+H^{2}-4H\mathit{2}1-2H_{2}+2E_{\text{。}}1-\text{。_{}2}E_{-\text{。}+\text{。_{}2^{+}}}14E_{2}\text{。_{}1}E_{-}2\text{。_{}1}+2E\text{。}1+\text{。_{}2}E-\text{。_{}1^{-e_{2}}}+$$4E2e_{2}E-2e_{2}$で与えられる.

補題 (4.1).

$a\in A,$ $\alpha\in\Delta^{+}$

に対して$E_{\alpha}E_{-\alpha}= \frac{1}{(a^{\alpha}-a^{-\alpha})^{2}}(\mathrm{A}\mathrm{d}(a^{-1})X_{\alpha})2-\frac{a^{\alpha}+a^{-\alpha}}{(a^{\alpha}-a^{-\alpha})^{2}}(\mathrm{A}\mathrm{d}(a^{-1})x)\alpha x_{\alpha}$$+ \frac{a^{\alpha}}{a^{\alpha}-a^{-\alpha}}H_{\alpha}+\frac{1}{(a^{\alpha}-a^{-\alpha})^{2}}X^{2}\alpha$が成り立つ. ただし,

$X_{\alpha}=E_{\alpha}-{}^{t}E_{\alpha}\in \mathrm{g}$$X,$ $\mathrm{Y}\in U(f),$ $H\in U(a),$ $a\in A$.

としたとき,$\phi\in C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$

に対して$(\mathrm{A}\mathrm{d}(a^{-1})x\cdot H\cdot \mathrm{Y}\emptyset)(a)$$= \frac{\partial^{3}}{\partial s\partial t\partial u}|_{S=t=u}=0)\phi(a\cdot\exp s\mathrm{A}\mathrm{d}(a-1)x\exp tH\exp u\mathrm{Y})$$= \frac{\partial^{3}}{\partial s\partial t\partial u}|_{s=t=\dot{u}=0}\phi(\exp Sx\cdot a\cdot\exp\iota H\exp u\mathrm{Y})$$= \frac{\partial^{3}}{\partial s\partial t\partial u}|_{S=t=}u=01\eta(\exp Sx)\otimes \mathcal{T}(*\mathrm{Y})-\exp u\phi(a\cdot\exp tH)$$= \frac{\partial}{\partial t}|_{t=0}\eta(x)\otimes(-\mathcal{T}*(\mathrm{Y}))\emptyset(a\cdot\exp tH)$であるので, この補題を用いると,$L$の radial part が求まり, 次のようになる.

82

命題 $(4.2)$ ($\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}$case). $\eta=(k, k),$ $\tau=(l, l)$ の時,$L$は$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$

上,$L\phi=\{L_{0}-(k^{2}+l^{2})(\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}22x+\mathrm{s}\mathrm{h}^{-2}2y)$$+2kl(\mathrm{C}\mathrm{h}2X\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}^{-}22x+\mathrm{c}\mathrm{h}2y\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}^{-}22y)\}\emptyset$となる. ただし,$L_{0}=\partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{\mathit{2}}+\{2\coth 2X+\coth(x+y)+\coth(x-y)\}\partial_{x}$$+\{2\coth 2y+\coth(x+y)-\coth(x-y)\}\partial_{y}$とおく$( \partial_{x}=\frac{\partial}{\partial x}, \partial_{y}=\frac{\partial}{\partial y})$

命題 $(4.3)$ (.

case). $\eta=(k, k-1),$ $\tau=(l, \iota-1),$
を用いて上, 命題 (4.2) の$\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$$L\phi=[\{L_{0}$$k\equiv l$mod 2 の時,

$L$は

$L_{0}$$-\mathrm{s}\mathrm{h}^{-2}(x+y)-\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}2(X-y)-((k-1)^{\mathit{2}}+(l-1)^{\mathit{2}})\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}22x$$-(k^{2}+l^{2})\mathrm{s}\mathrm{h}^{-\mathit{2}}2y+2(k-1)(\iota-1)\mathrm{c}\mathrm{h}2_{X\cdot \mathrm{s}}\mathrm{h}^{-}22x$$+2k\iota_{\mathrm{C}}\mathrm{h}2y\cdot \mathrm{S}\mathrm{h}-22y\}\phi 01(x, y)$$-\{\mathrm{c}\mathrm{h}(x+y)\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}^{-2}(x+y)+\mathrm{c}\mathrm{h}(x-y)\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}-2(x-y)\}\phi_{1}0(X, y)]v_{0}\eta\otimes v_{1}^{r^{*}}$$+[\{L_{0^{-}}\mathrm{s}\mathrm{h}^{-2}(x+y)-\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}2(X-y)-(k^{2}+l^{\mathit{2}})\mathrm{S}\mathrm{h}^{-}22x$$-((k-1)2+(l-1)^{2})\mathrm{s}\mathrm{h}-22y+2kl\mathrm{C}\mathrm{h}2X\cdot \mathrm{S}\mathrm{h}^{-2}2x$$+2(k-1)(\iota-1)\mathrm{C}\mathrm{h}2y\cdot \mathrm{S}\mathrm{h}^{-}22y\}\phi_{10}(x, y)$$-\{\mathrm{c}\mathrm{h}(x+y)\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}^{-2}(x+y)+\mathrm{c}\mathrm{h}(x-y)\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}^{-2}(x-y)\}\phi 01(x, y)]v_{1}^{\eta}\otimes v_{0}^{r^{*}}$となる.

\S 5 Shift oparators.
$\mathfrak{h}\in \mathrm{g}$を$\mathrm{g}$の compact Cartan subalgebra,

positive roots とし,p\pm
K-module としての既約分解で,$= \sum_{\beta}\in\Sigma n+B\mathbb{C},\pm\rho$

ぞれ,$\mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}\pm}$

operator).
定義 $(5.1)$ (
交基底とする. Schmid oparator$\nabla_{r}$:と定義する.

$\mathfrak{p}_{-}$は Ad によるである. これらをそれ\simeq Ad 価に注意).

$\{X_{i}\}$$\nabla_{r}$を noncompact$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}=\mathfrak{p}_{+}\oplus \mathfrak{p}_{-}$$\mathfrak{p}_{+}\simeq V_{(\mathit{2},0)},$ $\mathfrak{p}_{-}\simeq V_{(2)}0,-$と書くことにする (Ad$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}$$\Sigma_{n}^{+}\subset\Sigma(\mathrm{g}_{\mathbb{C},\mathfrak{h}}\mathbb{C})^{+}$を$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}$の(Kllling form による) 正規直を$c_{\tau} \infty(G/K)\ni\emptysetarrow\sum_{i}R\mathrm{x}.\cdot\phi\otimes X_{i}\in C\infty(G\mathrm{A}\mathrm{d}/\tau\otimes \mathfrak{p}_{\mathbb{C}})K$

83

で定義する. ここで,はとする. この時$\phi\in C_{r}^{\infty}(G/K),\emptyset \mathbb{C},\beta=\mathbb{C}X\rho,$$\nabla$$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}$$R_{X} \phi(X)=\frac{d}{dl}|_{t=0}f(x\dot{\mathrm{e}}\mathrm{x}\mathrm{p}tX)$の正規直交基底の取り方によらない.
とすると, ある定数 $C>0$ があって

$X_{-}\rho=^{\overline{x}_{\beta}}$$\mathbb{C}X_{\beta}=\mathrm{g}_{\beta,\mathbb{C}}(\beta\in\Sigma_{n}^{+}),$$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}$の直交基底として$\{C|\beta|(x_{\beta}+x_{-\beta}), \frac{C|\beta|}{\sqrt{-1}}(X\beta-X-\beta)|\beta\in\Sigma_{n}^{+}\}$がとれる. この基底に対して$\nabla_{r}=2C(\nabla_{r}^{+}+\nabla_{r}^{-})$,$\nabla_{r}^{\pm}:$$c_{r} \infty(G/K)\ni\emptysetarrow\frac{1}{4}\sum_{n}|\beta|^{2}R\mathrm{x}\pm\beta\phi\otimes x_{\mp}\beta\in c\infty(c\beta\in\Sigma^{+}\mathrm{A}\tau\otimes \mathrm{d}_{\mathfrak{p}\pm}/K)$と分解することが分かる.

operators for even case). $\tau=(l, l)$ の時,
定義 $(5.2)$ (は\tau \pm $=(l\pm 2, l\pm 2)$ を重複度 1 で既約成分に持つ. そこで,$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{l}$$\tau\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}\pm}\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}\pm}$$\mathrm{p}\mathrm{r}_{\text{。}^{}\pm}$を: projection$\mathrm{p}\mathrm{r}^{\pm\infty}\text{。}r:$$C\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}\pm}\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}\mathfrak{p}\pm(G/K)arrow C_{r}^{\infty}(\pm/GK)$

で定め,$D_{l}^{+}=\mathrm{p}\mathrm{r}^{+}$。

($0\nabla_{\tau\otimes}^{+}\mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}}+\circ\nabla_{\tau}^{+}$$D_{l}^{-}=\mathrm{p}\mathrm{r}$。

:$C_{(l,l)}^{\infty}(G/K)arrow c_{(\mathit{1}+2,\iota+2)}\infty(G/K)$$0\nabla_{\mathcal{T}\otimes}^{-}\mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}-}\mathrm{o}\nabla_{\mathcal{T}}^{-}:$$C_{(\iota}\infty_{\iota)},(c/K)arrow C_{(\iota-2,l}^{\infty}(-2)c/K$)

なる 2 階の微分作用素を Shift operator と呼ぶ.
注意 (5.3).
として$D_{l-2^{\circ}}^{+}D_{l}-$$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash c/K)$

定義 $(5.4)$ ($\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{l}$は$C_{()}^{\infty_{\iota,\iota}}(G/K)$

からから$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash c/K)$への写像, 特に, $\tau=(l, l)$への写像である.
$C_{(,l}^{\infty_{\iota}}()G/K)$

operators for odd case). $\tau=(l, \iota-1)$ の時,$\tau+=(l+1, l),$ $\tau_{-}=(l-1, \iota-2)$ を重複度 1 で既約成分に持つ.
$\mathrm{p}\mathrm{r}_{o}^{\pm}$:$C_{r}^{\infty}\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}\pm}(G/K)arrow C_{r}^{\infty}(\pm c/K)$

で定め,$E_{l}^{+}=\mathrm{p}\mathrm{r}_{o}^{+}\mathrm{o}\nabla_{\mathcal{T}}^{+}$:$\tau\otimes \mathrm{A}\mathrm{d}_{\mathfrak{p}\pm}$

そこで,: projection$C_{(,l)}^{\infty_{\iota}}(-1G/K)arrow C_{(,\iota)}^{\infty_{\iota+1}}(G/K)$$\{$$E_{l}^{-}=\mathrm{p}\mathrm{r}_{O}^{-}\mathrm{o}\nabla_{\tau}-:c\infty((\iota,\iota-1)G/K)arrow c_{()}\infty_{\iota-1,l2}(-G/K)$

なる 1 階の\mbox{\boldmath $\pi$}#\mbox{\boldmath $\gamma$}Fffl 素 (を成分に持つ行列) を Shift

operator と呼ぶ.

$\mathrm{p}\mathrm{r}_{O}^{\pm}$

は

を

84

注意 (5.5).

$E_{l-1}^{+}\circ E_{l}^{-}$$\tau=(l, \iota-1)$としては$c_{(l}\infty_{\iota_{-}1)},(G/K)$$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$

からからへの写像, 特に,への写像である.

$c_{(l}\infty_{\iota_{-}1)},(G/K)$$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$

以上で定義した Shift operator の radial part は次のようになる.

case). $\eta=(k, k),$ $\tau=(l, l),$の radial part は次で与えられる.

命題 $(5.6)$ ($\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}$とした時,$\phi\in C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$$D_{l}^{\pm}$(i)$D_{l}^{+}\phi=[2\partial_{x}\partial_{y}+\{-2\iota_{\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}2y+2k\mathrm{S}\mathrm{h}-12y+\coth(x+y)-\coth(x-y)\}\partial_{x}$$+\{-2\iota\coth 2x+2k\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}12x+\coth(x+y)+\coth(x-y)\}\partial_{y}$$+2(l\coth 2x-k\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}12x)(\iota\coth 2y-k\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}12y)$$-(\iota_{\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}2y-k\mathrm{S}\mathrm{h}-12y)(\coth(x+y)+\coth(X-y))$$-(l\coth 2X-k_{\mathrm{S}}\mathrm{h}^{-}12X)(\coth(x+y)-\coth(X-y))]\emptyset$.

(ii)$D_{l}^{-}\phi=[2\partial_{x}\partial_{y}+\{2\iota_{\mathrm{c}\mathrm{o}}\mathrm{t}\mathrm{h}2y-2k\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}2y+\mathrm{c}o\mathrm{t}\mathrm{h}(x+y)-\coth(x-y)\}\partial_{x}$$+\mathrm{t}2l\coth 2x-2k\mathrm{s}\mathrm{h}-12X+\coth(x+y)+\coth(x-y)\}\partial_{y}$$+2(\iota\coth 2x-k\mathrm{S}\mathrm{h}^{-1}2X)(\iota\coth 2y-k_{\mathrm{S}\mathrm{h}}-12y)$$+(l\coth 2y-k\mathrm{s}\mathrm{h}-12y)(\coth(x+y)+\coth(X-y))$$+(l\coth 2x-k_{\mathrm{S}}\mathrm{h}^{-}12X)(\coth(x+y)-\coth(X-y))]\emptyset$

命題 $(5.7)$ (($k\equiv l$$\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$mod 2),.

case). $\eta=(k, k-1),$ $\mathcal{T}=(l, l-1),$ $\tau+=(l-1, l-2)$ ,$\phi=\phi_{01}v^{\eta}0\otimes v_{1}^{r}+\phi_{10}v_{1}^{\eta}\otimes v_{0}^{r}\in C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K),$$v_{0}r\dotplus r^{*}+\phi_{1}^{+\eta}11\otimes vv1^{+}\in C_{\eta,+}^{\infty_{r}}(K\backslash G/K)$とした時,$E_{l-1}^{+},$$E_{\iota}-$$\phi+=\phi_{\mathrm{o}0^{v}0}^{+\eta}\otimes$の radial part

与えられる.

(i)$E_{l-1}^{+}\phi^{+}=[\{\partial_{y}-(l-2)\coth 2y+k\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}2y$$+ \frac{1}{2}(\coth(x+y)-\coth(x-y))\}\emptyset 00+$$+ \frac{1}{2}(\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}(x+y)+\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}(X-y))\phi_{1}+]1v0\eta\otimes v_{1}^{\tau}$$+[-\{\partial_{x}-(l-2)\coth 2X+k\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}2_{X}$$+ \frac{1}{2}(\coth(x+y)+\coth(x-y))\}\emptyset_{11}+$-$\frac{1}{2}(\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}(x+y)-\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}1(x-y))\phi 0+]0v_{1}\eta\otimes v_{0}^{\tau^{*}}$.

\dagger よ次で

85

(ii)
$E_{l}^{-} \phi=[-\{\partial_{y}+l\coth 2y-k\mathrm{s}\mathrm{h}-12y+\frac{1}{2}(\coth(x+y)-\coth(X-y))\}\phi_{01}$$- \frac{1}{2}(\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}(_{X}+y)-\mathrm{s}\mathrm{h}^{-}1(x-y))\phi_{1}0]v^{\eta}0^{\otimes}v^{r_{+}^{*}}0$$+[ \{\partial_{x}+l\coth 2X-k\mathrm{S}\mathrm{h}-12x+\frac{1}{2}(\coth(x+y)+\coth(X-y))\}\phi 10$$+ \frac{1}{2}(\mathrm{s}\mathrm{h}^{-1}(x+y)+\mathrm{S}\mathrm{h}^{-1}(x-y))\emptyset 01]v_{11}^{\pi_{\otimes}}v^{\tau_{+}^{*}}$.

\S 6 球函数の満たす微分方程式.
以上の準備のもとで, この section では球函数が満たす微分方程式を求める.
$H_{\pi}$の球函数については, Casimir operator$1_{N})(\mu=(\mu_{1}, \mu_{2}))$$C_{\eta,\tau}^{\infty}(K\backslash c/K)$

上 infinitesimal characterに対しても$\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{\mathit{2}}-5$

は $H_{\pi}=$ Ind$L$$p(G\sigma\otimes a^{(\mu+\rho)}\otimes$で作用するので,$\mu_{1}^{2}+\mu_{2}^{\mathit{2}}-5$$\phi\in$倍で作用する.

方,とにおいては multiplicity 1(命題 (2.4)) であることから,に対して scalar で作用する. この scalar 値は -type $Vr$ を具体的に $C^{\infty}(K)$ に実現して shift operator を実際に作用させることで得られる.
$H_{\pi}$$C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K(V}r’ c_{\pi}\infty(K\backslash G))$

$D_{l-\mathit{2}\iota}^{+-}\mathrm{o}D,$$\tau$$E_{l}+-1\iota\circ E^{-}\text{も}\phi\in \mathrm{c}_{\eta}\infty_{r},(K\backslash G1K)$$\mathrm{K}$

従って次の定理が得られた.
定理 $(6.1)$ ($\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}$case). $\eta=(k, k),$ $\tau=(l, l)$ (が満たす微分方程式はmod 2) の時,$k\equiv l$$H_{\pi}$の球函数$\phi\in C_{\eta,\tau}^{\infty}(K\backslash G/K)$

(i)

(ii)

$L\phi=(\mu^{2}1+\mu_{2}\mathit{2}-5)\phi$,$D_{l-\mathit{2}}+\mathrm{o}D_{l}-\emptyset=4\{\mu 1-(\iota-1)22\}\{\mu^{\mathit{2}}2-(\iota-1)\mathit{2}\}\phi$

定理 $(6.2)$ (球函数$\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$.

case). $\eta=(k, k-1),$ $\tau=(l, \iota-1)$ (が満たす微分方程式はmod 2) の時,$k\equiv l$$H_{\pi}$の$\phi\in C_{\eta,\tau}^{\infty}(K\backslash G/K)$(i) $L\phi=(\mu_{1}^{2}+\mu^{2}2^{-}5)\phi$ ,(ii)$-\{\mu_{1}^{2}-(l-1)^{2}\}\emptyset$$E_{l-1^{\circ}}^{+-}E\emptyset l=\{$$-\{\mu_{2}^{2}-(l-1)^{2}\}\emptyset$$H_{\pi_{J}}$

if
if

$l$

$l$

: odd
: even表現の球函数については, Casimir operatorはInd
上, infinitesimal character $\nu_{1}^{2}+(l-1)^{\mathit{2}}-5$ で作用するので,に対しても $\nu_{1}^{2}+(l-1)\mathit{2}-5$ 倍で作用する.
$L$$H_{\pi_{J}}=$$P_{J}G(\sigma_{J}\otimes$$a_{J}^{\nu_{1}+\rho_{J}}\otimes 1_{N_{J}})$$\phi\in C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$

方, even case では,
あったが, 命題 2.5 より$D_{l}^{-}$

は$C_{()}^{\infty_{\iota,\iota}}(G/K)$$K-\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{e}}V_{(l-\mathit{2},\iota_{-2}}$

)

は

から
$H_{\pi_{J}}$)$C_{(\iota_{-2}}^{\infty},l-2$$(G/K)$ への map でに現れないので,$H_{\pi_{J}}$

の球函

86

は $C_{(l,l-}^{\infty}(1)G/K)$ からに属する. また, odd case では,
への map であったが, 命題 25 より $K$ -type) はの kernel に属する.
の球函数はに現れないので,数は$D_{l}^{-}$の kernel$E_{l}^{-}$$H_{\pi_{J}}$$V_{(-}l-1,\iota 2$$C_{(,)}^{\infty_{\iota-1}}-\mathit{2}(lG/K)$$H_{\pi_{J}}$$E_{l}^{-}$

従って次の定理が得られた.
定理 $(6.3)$ ($\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}$case). $\eta=(k, k),$ $\tau=(l, l)$ ($\text{数}\phi\in C_{\eta,\tau}^{\infty}(K\backslash G/K)$(i)$k\equiv l$mod 2) の時,$H_{\pi_{J}}$の球函が満たす微分方程式は$L\phi=\{\mathcal{U}_{1^{+(-}}^{2}\iota 1)^{2}-5\}\phi$,(ii) $D_{l}^{-}\phi=0$ .
定理 $(6.4)$ (球函数$\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$case). $\eta=(k, k-1),$ $\mathcal{T}=(l, l-1)$ (が満たす微分方程式は$k\equiv l$mod 2) の時,$H_{\pi_{J}}$の$\phi\in C_{\eta,\tau}^{\infty}(K\backslash G/K)$(i) $L\phi=\{\nu_{1}^{\mathit{2}}+(l-1)^{2}-5\}\phi$ ,(ii) $E_{l}^{-}=0$ .
注意 (6.5).

(i) $k=l=0$ の時, 定理 (6.1) と定理 (6.3) の微分方程式系は $[DG1],$ $[DG2]$ に
おいて root multiplicity を–般の parameter にして抽象的に (リーマン対称空間$G/K$ を持ち出さず) 定義され, 定理 (6.1) についてはその多項式解が $[DG2]$ で,定理 (6.3) については–般の analytic 解が $[DG1]$ で得られている.
型 Weyl 群不変な微分作用(ii) $k=l=0$ の時, 定理 (6.1) の微分方程式系は素系の–系列として, また定理 (6.3) の微分方程式系がその可約系 (paxameter
が [DGll, $[DG2]$ よりも, もっと多い形で) として $[OO]$ で定義された.
$B_{2}$\S 7$H_{\pi_{J}}$の球函数.

この section では, 定理 (6.3), (6.4) で得られた微分方程式の解を求める.

ず,

まなる函数で微分方程式をねじった ( $k=l=0$ の場合に帰着することになる) 後, 変数変換して見やすい形にする.
even case の Casimir operator の $k=l=0$ の場合へ帰着については [H2], [Shlで示されている.
$\delta(x, y;k, l)=(\mathrm{c}\mathrm{h}_{X\cdot \mathbb{C}}\mathrm{h}y)^{\underline{k}}2\pm\underline{\iota}(\mathrm{s}\mathrm{h}x\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}y)-\frac{k-l}{2}$が定理 (6.3)$\psi(x, y)=\delta(x, y;k, l)\emptyset(x, y)$ が満たす微分方程式を変数変換すると (回として)

命題 $(7.1)$ ($\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}$case).

$\phi\in C_{\eta,\tau}^{\infty}(K\backslash G/K)$$(\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i})$$x_{1}=-\mathrm{s}\mathrm{h}^{2_{X}},$を満たすとき,$x_{2}=-\mathrm{s}\mathrm{h}^{2}y$$\partial_{x:}=$(i)$[ \sum x_{i}(xi-1)\partial_{x}2\mathit{2}:+\{(2-l)X1-1-\frac{k-l}{2}+\frac{x_{1}(X_{1}-1)}{x_{1}-x_{2}}\}\partial_{x}1$$i=1$$+ \{(2-l)_{X}2-1-\frac{k-l}{2}-\frac{x_{2}(X_{2}-1)}{x_{1}-x_{2}}\}\partial_{x}2-\frac{1}{4}(\nu_{1}^{2}-(\iota-2)^{2})]\psi_{=0}$

,

と

87

(ii)

$[ \partial_{x_{1}x_{2}x_{1^{+}}}\partial-,\frac{1}{\mathit{2}}\frac{1}{x_{1}-x_{2}}\partial\frac{1}{2}\frac{1}{x_{1}-x_{2}}-\partial_{x_{2}}]\psi--0$

命題 $(7.2)$ ((6.4)$(\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i})$case).
を満たすとき,$\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$$\phi=\phi \mathit{0}1^{V_{\mathit{0}}}\eta\otimes v_{1}^{r^{*}}+\phi_{l0^{v_{1}^{\eta}}}\otimes v_{0}^{r^{*}}\in C_{\eta,r}^{\infty}(K\backslash G/K)$$\psi \mathit{0}1(x, y)=\delta(x, y;k, l)\cdot(\mathrm{C}\mathrm{h}x)^{-}1\psi \mathit{0}1(x, y),$$\delta(x, y;k, \iota)\cdot(\mathrm{c}\mathrm{h}y)^{-}1\psi 1o(x, y)$と変数変換し,.

が満たす微分方程式を
を用いると

が定理

$\psi 10(x, y)=$$x_{1}=-\mathrm{s}\mathrm{h}^{2}x,$ $x_{2}=-\mathrm{s}\mathrm{h}^{2}y$$\psi_{1}o(y, x)=-\psi_{\mathit{0}}1(x, y)$(i)$[ \sum x:(X_{i}-1)\partial_{x:}^{2}+\{(2-l)_{X_{1}}-1-\frac{k-l}{2}2+\frac{x_{1}(X_{1}-1)}{x_{1}-x_{2}}\}\partial x1$

$i=1$

,

$+ \{-lx_{2}-\frac{k-l}{2}-3\frac{x_{2}(_{X_{2}}-1)}{x_{1}-x_{\mathit{2}}}\}\partial_{x_{2}}-\frac{1}{4}\{\nu_{1}^{2}-(\iota_{-}1)^{2}-2\}]\psi_{01}=0$(ii)$[ \partial_{x_{1}}\partial_{x_{2}}-\frac{1}{2}\frac{1}{x_{1}-x_{2}}\partial x1^{+}\frac{3}{2}\frac{1}{x_{1}-x_{2}}\partial x_{2}]\psi_{01}=0$.

[DG1] で用いられたのと同様の方法で定理の解も調べることができる. 鍵となるのは次の補題である ( $B_{1}=B_{2}$ の時, [DG1]).
$(7.2)(\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i})$補題 (7.3).

$B_{1},$$B_{2}>0$の時, $(x_{1}, x_{2})$ の近傍で anaiytic 函数 $f$ で$[ \partial_{x_{1}}\partial X_{2^{-}}B_{2}\frac{1}{x_{1}-x_{2}}\partial x\iota+B1^{\frac{1}{x_{1}-x_{2}}\partial]f=}X_{2}0$を満たすものは次の形の級数展開と積分表示を持つ.

(i)$f(x_{1,2}X)= \sum_{m\geq}:\mathit{0}^{\frac{(B_{1})_{m_{1}}(B2)_{m_{2}}\epsilon(m1+m_{2})}{m_{1}!m_{2}!}}x^{m_{1}}X_{\mathit{2}}^{m_{2}}1$

ただし,$( \lambda)_{k}=\frac{\Gamma(\lambda+k)}{\Gamma(\lambda)},$$\xi$は任意函数.

(ii) $f(x_{1,2}x)= \int_{\mathit{0}}^{1}F(tX_{1}+(1-t)x_{2})tB_{1}-1(1-t)B_{2^{-}}1dt$
ただし, $F$ は原点の近傍で analytic な任意函数.

(iii) (i) と (ii) の 2 式が–致するとき,$F(s)= \frac{\Gamma(B_{1}+B\mathit{2})}{\Gamma(B_{1})\Gamma(B_{2})}\sum_{n\geq 0}\frac{(B_{1}+B2)k\xi(k)}{k!}s^{k}$が成立.
この補題を用いて以下の定理が証明できる.
定理 $(7.4)$ ($\mathrm{e}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}$case).

88(i) 定理 (7.1)
で与えられる.

$(\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i})$の $(x_{1}, x_{2})=(0,0)$ の近傍で anaiytf$c$な解の級数展開は次$\psi(X1,X2)=\sum_{\mathit{0}m:\geq}\frac{(\frac{1}{2})_{m}1(\frac{1}{2})_{m_{2}}(-\mu+)m1+m_{2}(-\mu-)m1+m2}{m_{1}!m_{2}!(1)_{m_{1}}+m_{2}(\frac{3+k-l}{\mathit{2}})m1+m_{2}}X^{m}121X^{m_{2}}$ただし,$\mu\pm=\frac{1}{\mathit{2}}(l-2\pm\nu 1)$(ii) 定理 (7.1)$(\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i})$.

の $(x_{1}, x_{\mathit{2}})=(0,0)$の近傍で analytic な解の積分表示は次で与えられる.
$\psi(x_{1}, x_{2})=\int_{0}^{1}2F1(a, b;\frac{3+k-l}{2};tX1+(1-t)X2)t^{-}\frac{1}{2}(1-t)^{-\frac{1}{2}d}t$ただし, $a+b=2-l$ ,の超幾何函数.

$ab= \frac{1}{4}(\nu_{1}^{\mathit{2}}-(l-2)^{2}),$ $2F_{1}$は原点の近傍で analytic な Gauss

注意 (7.5). 上で与えた解は, $\nu_{1}=\pm l$ のとき一\mu \mp $=1$ となって, Lauricella の超
となる.
幾何函数
$F_{D}(-l, \frac{1}{\mathit{2}}, \frac{1}{2}, \frac{3+k-l}{2};X_{1,\mathit{2}}x)$

定理 $(7.6)$ ($\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d}$(i) 定理 (7.2)case).

$(\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i})$の $(x_{1}, x_{\mathit{2}})=(0,0)$ の近傍で analytic な解の級数展開は次で与えられる$\psi_{\mathit{0}1}(x1, X_{\mathit{2}})=\sum_{\mathit{0}m.\geq}.\frac{(\frac{3}{\mathit{2}})_{m}1(\frac{1}{\mathit{2}})_{m_{2}}(-\mu_{+})m\iota+m2(-\mu-)m1+m2}{m_{1}!m_{2}!(2)_{m_{1}}+m_{2}(\frac{3+k-l}{2})m1+m_{2}}xm_{1}1\mathit{2}X^{m_{2}}$.

ただし, $\mu\pm=\frac{1}{2}(l-2\pm\sqrt{\nu_{1}^{2}-2l+1})$ .

(ii) 定理 (7.2)
で与えられる.

$(\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i})$の $(x_{1}, x_{2})=(0,0)$ の近傍で analytic な解の積分表示は次$\psi_{\mathit{0}1}(X_{1}, X_{\mathit{2}})=\int_{\mathit{0}}^{1}2F1(a, b;\frac{3+k-l}{2};tX1+(1-t)X_{\mathit{2}})t\frac{1}{2}(1-t)^{-\frac{1}{2}d}t$ただし, $a+b=2-l$ , $ab= \frac{1}{4}(\nu_{1}^{2}-(l+1)^{2}-2),$
Gauss の超幾何函数.

$\mathit{2}F1$

は原点の近傍で analytic な

注意 (7.7). 上で与えた解は, $\nu_{1}=\pm\sqrt{l^{2}+6l+3}$ のとき $-\mu+$ または一\mu - $=2$となる.となって, Lauricella の超幾何函数$F_{D}(- \iota, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3+k-l}{2};x_{1}, X2)$

89

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