数理解析研究所講究録 1261 巻 2002 年 103-108103層の双対概念と積分変換
The Dual Concept of Sheaves and Integral Ransforms
杉木雄一 (Yuichi Sugiki)

東大・数理

Department of Mathematical Sciences,
the University of Tokyo.

1

序
$E$る.

を $n$ 次元の複素線形空間,$P$

を $E$ の射影コンパクト化, $j:Earrow P$ を自然な埋め込みとすに対し,$F\in \mathrm{D}_{\mathbb{R},\mathbb{R}-\mathrm{c}}^{\mathrm{b}}(+\mathrm{S}\mathrm{h}(\mathbb{C}_{E}))$

THom$(F, \mathcal{O}_{E})$$F^{\mathrm{W}}\otimes \mathcal{O}_{E}$$:=$$\mathrm{R}\Gamma$( $P$ ;THom$:=$$\mathrm{R}\Gamma$( $P$ ; 嘉$F^{w}\otimes$$(j_{!}F,$$\mathcal{O}_{P}$$\mathcal{O}p)$),)と置く. 柏原. Schapira [2] は Laplace 変換の一般化を 2 つの同型
$L$${}^{t}L$:$F^{\mathrm{w}\mathrm{w}}\otimes \mathcal{O}_{E}\approx F^{\Lambda}[n]\otimes \mathcal{O}_{E^{*}}$:THom,

(1.1)
(1.2)

$(F, \mathcal{O}_{E})\approx \mathrm{T}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(F^{\Lambda}[n], \mathcal{O}_{E}*)$として表現した. 最近の代数解析の研究の 1 つの流れとして, 確定特異点型の微分方程式だけでなく不確定特異点型へも適用出来るように, 構或可能 (constructible) という条件をなくすという動きがある. 上式の Laplace 同型は $F$ に依存して定まるが, 本当は $F$ に依存しない形での表現が欲しい. (1.2) に関しては, 柏原. Schapira [2] によって対象$(\mathcal{O}_{E}^{t})^{\wedge}[n]$$\simeq$$\mathcal{O}_{E}^{t}$が定義され, 層の圏内で同型$\mathcal{O}_{E^{*}}^{t}$が既に得られていた. 本記事の日的は, (1.1) を $F$ に依存しない形で表現することである. このを参照
目的を達或するために, 層の双対概念である余層の理論を用いる. 詳細はプレプリント$|[5]$して欲しい.
余層は古くから多くの専門家によって研究されているが, -P. Schneiders は [4] で, promoduleを基礎にして余層を定義し, ずつと強力な理論にした. 我々も彼による理論を発達させ, 7 節で$\mathrm{J}$目的を遂行する. 3 節の開集合に加群ではなpromodule を対応させて余層を定義するというアイデア, 5 節の -injective object が十分豊富に存在することといった, 6 節の Verdier 双対以外のすべての結果は Schneiders の研究による.
$\langle$$\mathrm{c}$2準備

余層の一般論を展開するための準備として, promodule について復習しよう. promodule の定を作用を持つアーベルを単位元を持つ可換環,
義は Grothendieck [3] によるものである.
$k$から Mod(k) への加法関手全体からなる圏を圏とする.
を次のように定義する.
$\mathrm{C}$

Pro(C)$:=\{X\in \mathrm{C}^{\vee}|$$k$$\mathrm{C}$ある ffltrant 集合 $I$ および関手$X\simeq$と書く.

$\mathrm{C}^{\vee}$$\alpha$“:$\mathrm{C}^{\vee}$$I^{\mathrm{o}\mathrm{p}}arrow \mathrm{C}$蔚”$\alpha(i)$の充満部分圏 Pro(C)が存在して,が成り立つ.

}

104
ここに

“”
$\llcorner \mathrm{i}\mathrm{m}$は,$\alpha(i)$$\mathrm{C}$の対象 $A$ に Mod(k) の対象$i\in I$である.

$\underline{1}\mathrm{i}B\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{C}(\alpha(i), A)$を対応させる加法関手$i\in I$

が普遍集合の類ならぼ, Pro(C) もはの類であるが,の類になるとは限らないことに注意しよう.
さて, Mod(k) 自身も作用をもつアーベル圏であるから, 特にと置けば, 圏
Pro(Mod(k)) を得る. 通常は簡単に Pro(k) と書き, この圏の対象を promodule と呼ぶ. 次の定埋が成り立つ.
$\mathrm{C}$$\mathcal{U}$$\mathcal{U}$$\mathrm{C}^{\vee}$$\mathcal{U}$$k$$\mathrm{C}:=\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(k)$定理 2.1.

(i)Pro(k) は$k$作用をもつアーベル圏である.

(ii) 埋め込み関手 Mod(k)\rightarrow Pro(k) は充満忠実がっ完全である.

(iii) Pro(k) 上の射影極限は完全である.

Mod(k) 上の射影極限は左完全性しが満たさないことがら分かるように, (iii) は Pro(k) の独特かつ重要な性質である.

3余層を位相空間, Op(X) をその開集合系とする. Op(X) は包含順序にょって有向集合となる.
このとき,からへの関手を $X$ 上の前余層 (precosheaf) と呼ぶ. 前余層全体は圏になり, それをと書く. 前余層 $F$ は, 開集合の包含関係 $U\subset V$ に対し上の射 $F(V)arrow F(U)$ を与えるが, この射を Pro(k) 上で跳めれば, その向きが前層とは T 度逆$X$$\mathrm{O}\mathrm{p}(X)^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}(k)^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}(k)^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$この意味で前余層は前層の双対概念と考えられる. Pro(k) でなをあえて使う理由は, 射の向きを前層と形式上同じにするためだが, これには幾っかの利点がある. 例えば,層は貼り合わせの条件を満たす前層と定義されるが, 余層の定義にもこの貼り合ゎせの条件を持ち込みたい.
を使えば, 次のように定義することが出来る.になる.

$\langle$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}(k)^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}(k)^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$定義 3.1. $X$ 上の前余層 $F$ が余層 (cosheaf) であるとは, 任意の開集合 $U$ およひ任意の $U$ の開被覆に対して,上の列$\{U.\cdot\}:\in I$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}(k)^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$$0 arrow F(U)arrow\prod_{\dot{l}\in I}F(U_{\dot{l}})arrow\prod_{j,k\in I}F(U_{j}\cap U_{k})$(3.1)

が完全であるときをいう.
余層全体から或る$\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$の充満部分圏を$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$と書く. さて, 層の理論では層化と呼ばれる前層から層を構或する手続きがあったが, 余層の埋論においても同様の結果がある.
定理 3.2.

(ii)(i) 忘却関手$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$は$k$$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})arrow \mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$は左随伴関手を持っ.

作用を持つアーベル圏である.

前余層から余層を構或する手続きの存在が, この定理にょって保証される. この手続きを余層化 (cosheafification) と呼ぶ. 定理 3.2 の証明には定理 2.1 の (3) が使ゎれるため, 前余層の定義において Pro(k) を Mod(k) に置き換えた場合, 定理 3.2 の類似物を得るのは難しいと思ゎれる.

余層の理論は層の理論と多くの部分で並行して議論が行えるが, 幾っか異なる部分もある. 例
えぱ, $U$ を $X$ の開集合とすると, $X$ 上の余層 $F$ を上の関手として制限すれぱ, $U$ 上の余層になる. これを $F|u$ と書くとき, 次の命題が成り立っ.
$\mathrm{O}\mathrm{p}(U)^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$105
命題 3.3. $F$ と $G$ を $X$ 上の余層とする. このとき,$U\mapsto \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{U})}(F|_{U}, G|_{U})$は $X$ 上の層となる.

命題 3.3 で得られた層を $7\{om_{k_{X}}(F, G)$ と書く. $Hom$ は層の圏で閉じていたが, 余層の圏では閉じていない.
を $X$ 上の代数,さて, $Hom$ を利用すれば, 環層の作用を持つ余層の定義が出来る.
$F$ を $X$ 上の余層とすると,$Hom(F, F)$ は環の構造を持つ層になる. このとき, 環の準同型写像$k\chi$$\mathcal{R}$$\nu_{F}$: $\mathcal{R}arrow Hom(F, F)$ を与えることを,$\mathcal{R}$の $F$ への作用を与えるという.

また,作用を持つ 2とと可換な$\mathcal{R}$つの余層 $(F, \nu_{F}),$ $(G, \nu c)$ が与えられたとき, 余層の準同型写像 : $Farrow G$ で作用を持つ余層の或す圏が定義されものを, $(F, \nu_{F})$ から $(G, \nu_{G})$ への射という. これにより,のとり方に依存するので, 本当はる. この圏を Csh(R) と書く. 圏 Csh(R) はは全体を通して 1 つ固定するので, 誤解は生じないだろう.
等と書くべきであるが, 以下$\nu_{F}$$\varphi$$\nu c$$\mathcal{R}$$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(kxarrow \mathcal{R})$

$k$

$k$

4

関手

層の上の関手として順像や逆像, $Hom$ やる. まず, 順像と逆像について考えよう. $f$ :$\otimes$

定義 4.1.

$\mathrm{Y}$上の余層 $G$ に対し,$X$があったが, 余層の圏上でも類似の関手が定義されから $X$ への連続写像とする.
を位相空間$\mathrm{Y}arrow X$$\mathrm{Y}$上の余層 $f_{*}G$ を$U$$\mapsto$$G(f^{-1}(U))$

で定める. この余層を $G$ の $f$ による順像という.
$V$ を上の開集合とするとき, 関手$F$ を $X$ 上の余層とする.
$\mathrm{Y}$$V$$\mapsto$$f() \subset V\frac{1\mathrm{i}}{U}\mathrm{g}G(V)$は$\mathrm{Y}$上の前余層を定める. この余層化を $F$ の $f$ による逆像と呼び,順像や逆像は. 環$\mathcal{R}$$f^{-1}F$で書き表す.の作用を持つ余層にも拡張される. 即ち, 次の関手が存在する.
$f_{*}$:$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(f^{-1}\mathcal{R})arrow \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R})$$f^{-1}$:$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R})arrow \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(f^{-1}\mathcal{R})$,.

また, これらの関手は互いに随伴である. すなわち,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(f^{-1}\mathcal{R})}(f^{-1}F, G)$$\simeq$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$Csh(R)$(F, f_{*}G)$が成り立つ. 以上を振り返ると分かるように, 順像と逆像に関しては層の場合と形式上まったくや $(\cdot)z$ といった関手も順像と逆像を組み合わせて, 同様に定義が出来る.
同じである. また,の 2 つがあったが, 余層の理論で次に, 多重関手について考えよう. 層の理論では $Hom$ と$\Gamma z$$\otimes$

は $\prime Hom,$$\otimes$, C $hom$ の 3 種類が存在する. 即ち, 次の定理が成り立つ.

106
定理 4.2. 関手.

$\cdot$$\otimes_{k_{X}}$$\mathrm{C}hom_{k_{X}}(\cdot, \cdot)$:,$\mathrm{S}\mathrm{h}(k_{X})\cross \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})arrow \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$: Sh$(k_{X})\cross \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})arrow \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$が存在して, 次の同型が成り立っ.
$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{S}\mathrm{h}(k_{X})}(A, H\sigma m_{k_{X}}(F, G))$$\simeq$$\simeq$

ここで,$A$

は層,$F$と$G$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})}(A\otimes_{k_{X}}F, G)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})}(F, \mathrm{C}h\sigma m_{k_{X}}(A, G))$は余層である.

層の理論では 1 つだった関手が, 余層の圏ではが層と余層 \emptyset 理論の大きな違いである. 詳細は省略するが, 環$H\sigma m$$H\sigma m$$\mathcal{R}$Chom えの定義も出来る.

5と C局$\sigma m$の2 っに分かれ,ここの作用を含めた多重関手へや導来圏

ここでは, 余層の圏上の導来関手につぃて考える. 層の圏は単射的対象 (injectiveobject) を十分に持つことを使って, $Mm$ 等の導来関手が簡単に得られる. 余層の圏においても単射的対象の定義は出来るが, 十分に持っことは証明されてぃない (おそらく十分に持たないと思ゎれる) ため, 導来関手の定義は難しくなる. まず, injective より弱い概念である-injective object を導入して, この問題を解決する. CHom $(\cdot, \cdot):=\Gamma(X;\mathrm{C}hm_{k_{X}} (\cdot, \cdot))$ と置く.
$\mathrm{c}$定義 5.1.

$I\in \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$が c-injective であるとは, 関手$\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{k_{X}}(\cdot, I)$が完全であるときをいう.

c-injective object が十分に存在するかどぅかにつぃては, 次の結果が知られてぃる.
定理 5.2.

$k$を体と仮定する. このとき,$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X})$には$c$-injective object が十分豊富に存在する.

が幾つかの具体的な可換環の場合にも, 上の定理が成り立っことを確認してぃるが, 任意の可換環の場合は未解決である. 簡単のため, 以下,は体と仮定する.
代数の作用を持っ$k$$k$

余層の導来圏をを$\mathrm{D}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R}))$と書く. 下に (上に) 有界な複体からなる$\mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R}))(\mathrm{D}^{-}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R})))$

定理 5.3.

$k$を体,$\mathcal{R}$を$k_{X}$$k_{X}$$\mathcal{R}$$\mathrm{D}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R}))$と書く. 定理 5.2 より次を得る.の充満部分圏

代数とする. このとき, 導来関手

$R\mathrm{C}hom_{R}(\cdot, \cdot)$:$\mathrm{D}^{-}(\mathrm{S}\mathrm{h}(\mathcal{R}))^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\cross \mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R}))arrow \mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X}))$が存在し, 次が成り立っ.
$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{D}}+(\mathrm{C}_{\mathrm{S}}\mathrm{h}(R))(A\otimes_{k_{X}}F, G)$$\simeq$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{D}}+(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X}))(F, R\mathrm{C}hom_{\mathcal{R}}(A, G))$.につぃても, 層の圏が十分に平坦な対象を持っことを使えば定義が出来への左導来関手
る. c-injectivity は injectivity より弱い概念だから, 余層上のは定義されない. しかし,$\otimes_{R}^{L}$$RH\sigma m$

順像$f_{*}$や逆像 $f^{-1}$ から誘導される導来関手$Rf_{*}$:$f^{-1}$:$\mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(f^{-1}\mathcal{R}))arrow \mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R}))$$\mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R}))arrow \mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(f^{-1}\mathcal{R}))$は層の場合と同様に得られ, 随伴公式等がそのまま成立する.

,

107
6Verdier 双対$k$を体,のとき,$X$

およびを局所コンパクト・ハウスドルフ空間,の $f$ による固有的順像$\mathrm{Y}$$f$$f_{!}F\in \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R})$$F\in \mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(f^{-1}\mathcal{R})$$U$:$\mathrm{Y}arrow X$を連続写像とする.

こを$\mapsto$$\underline{1}\mathrm{i}\mathrm{B}\Gamma_{L}(f^{-1}(U);F)L$は $f^{-1}(U)$ の中で閉集合で $f$ : $Larrow U$ が固有写像になるようなもの全体で定義する. ただし,の右導来関手を動く. 定理 5.2 より関手$L$$f_{!}$:$Rf_{!}$$\mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(f^{-1}\mathcal{R}))arrow \mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathcal{R}))$は有限の柔軟次元 (soft dimension) を持つと仮定する. このとが得られる. 以下, $X$ およびき, 余層に関する Verdier 双対定理は次のようになる.
$\mathrm{Y}$定理 6.1. 導来関手Y) 立つ.

:$Rf_{!}$$\mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{Y}))arrow \mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X}))$$f^{!}$を持つ. 即ち, 次が或$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{D}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{Y}))}+(F, f^{!}G)$$\simeq$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{D}}+(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(k_{X}))(Rf_{!}F, G)$は右随伴関手.

さらに, 今まで述べた導来関手を組み合わせることにより, もう 1 つの Verdier 双対とも言うべとすると,
き公式が得られる.
$F\in \mathrm{D}^{+}(\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(kx))$$A\in \mathrm{D}^{\mathrm{b}}(\mathrm{S}\mathrm{h}(k_{Y})),$$R\mathcal{L}hom_{k_{X}}(Rf_{!}A, F)$$\simeq$$Rf_{*}RChom_{k_{Y}}(A, f^{!}F)$が成り立つというものである.

7

応用と仮定する. $E,$ $P,$ といった記号は 1 節のものをそのまま使うことにす
上の (原点を頂点とする) 解析的開錐 $U$ に対し, CWHomる.と置けば, 関手
以$\mathrm{T}$,$k$は複素数体$j$$\mathbb{C}$$E$$(\mathbb{C}_{U}, \mathrm{C}_{E}^{\infty}):=\Gamma(P;j_{!}\mathbb{C}_{U}\otimes \mathrm{C}_{P}^{\infty})^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\mathrm{w}$$U$

は $E$ 上の錐的な前余層となる.と,$\mathrm{C}_{E}^{\infty \mathrm{c}\mathrm{w}}$は$\overline{E}$CWHom$\mapsto$

この余層化を上の共役複素 Weyl 代数$D(\overline{E})$$\mathrm{C}_{E}^{\infty \mathrm{c}\mathrm{w}}$$(\mathbb{C}_{U}, \mathrm{C}_{E}^{\infty})$と書く.

$\overline{E}$を $E$ の共役複素線形空間とするの右からの作用を持つ.

定義 7.1. Whitney 正則関数の余層を$\mathcal{O}_{E}^{\mathrm{c}\mathrm{w}}$で定義する. ただし,$O(\overline{E})$は$\overline{E}$$:=$$\mathrm{C}_{E}^{\infty \mathrm{c}\mathrm{w}}\otimes_{D(\overline{E})}^{L}O(\overline{E})$上の共役複素多項式環である.

6 節の結果を使えば, 余層の圏における Fourier . 佐藤変換の定義が可能になる.
対空間, その標準複素内積を$\langle \cdot, \cdot\rangle$:$E\cross E^{*}arrow \mathbb{C}$とし,さらに

$A$

$:=$

$\{(z, w)\in E\cross E^{*}|\Re\langle z, w\rangle\leq 0\}$

$A’$

$:=$

$\{(z, w)\in E\cross E^{*}|\Re\langle z, w\rangle\geq 0\}$,$E^{*}$

を $E$ の双108と置く. このとき,および.
$G$換およびの Fourier 佐藤逆変換を$F\in \mathrm{D}_{\mathbb{R}}^{\mathrm{b}}(+\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(E))$

で定める. ただし,

$p_{1}$$G\in \mathrm{D}_{\mathbb{R}}^{\mathrm{b}}(+\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{h}(E^{*}))$$F^{\wedge}$$:=$$Rp_{2!}(p_{1}^{-1}F)_{A}$$G^{\vee}$$:=$$Rp_{1!}(p_{2}^{!}G)_{A’}$に対し,$F$の Fourier. 佐藤変,

および $n$ は射影 $EL^{1}E\cross E^{*}arrow E^{*}p_{2}$ である.

これら Fourierは層の場合とほぼ同様の性質を満たす. 以上のもとで, 次の主定理を得る.

. 佐藤変換定理 7.2. $D(E^{*})$ 加群としての同型$(O_{E}^{\mathrm{c}\mathrm{w}})^{\Lambda}[n]$$\simeq$$O_{E^{*}}^{\mathrm{c}\mathrm{w}}$が存在する.

.

この定理は (1.1) と Fourier 佐藤変換の一般論を組み合ゎることにょって証明される. 余層の理論を Schneiders 自身はボレル・ムーアのホモロジーに応用したが, 定理 7.2 のように代数解析に応用した例はこれが初めてであろう.

最後に, 注意を 1 つ述べておこう. 今,
CWHomと置くと, 次の自然な射$F\in \mathrm{D}_{\mathrm{R},\mathrm{R}-\mathrm{c}}^{\mathrm{b}}(+\mathrm{S}\mathrm{h}(\mathbb{C}_{E}))$とする.

CWHom$(F, \mathcal{O}_{E}):=$$(F, \mathrm{C}_{E}^{\infty})\otimes_{D(\overline{E})}^{L}O(\overline{E})$CWHom$(F, \mathcal{O}_{E})$$arrow$

RCHom$(F, O_{E}^{\mathrm{c}\mathrm{w}})$があるが同型ではないので, ここで述べたの定義は CWHom の拡張にはなってぃない.
CWHom の拡張を得るためには, 最近, 柏原. Schapira が [1] で展開してぃる Indization の考えを余層の理論に組み込めばよいと思われるが, まだ完或してぃない.
$O_{E}^{\mathrm{c}\mathrm{w}}$参考文献[1] M. Kashiwara and P. Schapira, Ind-Sheaves, Astirisque 271$(2\mathrm{t}\mathrm{K}11)$.

[2] M. Kashiwara and P. Schapira, Integral transforms with exponential kernels and Laplacetransform, Journal of the $AMS10(1997)$ , 939-972.
[3] S-G-A 4, S\’em. Alg\’ebrique (1963-64) by M. Artin, A. Grothendieck and J-L. Verdier,
des topos et cohomologie \’etale de sch\’emae, Lecture Notes in Math. 260, 270, 305 (1972-73).

$\mathrm{T}\mathrm{h}’\infty \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}$[4] J-P. Schneiders, Cosheaf homology, Bull. Soc. Math. Belgique 39 (1987), 1-31.
[5] Y. Sugiki, The category of cosheaves and Laplace transfoms, Preprint Series UTMS, 2001-33.

Yuichi SUGIKI
Department of Mathematical Sciences, the University of Tokyo,
3-8-1, Komaba, MegurO-ku, Tokyo, 153-8914, JAPANsugiki\copyright ms.u-tokyo.

$\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}$