数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 90-100

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The analogue of Eichler Selberg’s trace formulafor the non holomorphic automorphic forms
on the upper half space$$$$名古屋大学大学院・多元数理科学研究科 D2 鈴木正俊 (Suzuki Masatosi)
Graduate School of Mathematics,

Nagoya University

1. 序文

1916 年に Ramanujan により予想された
為, 翌 1917 年 Mordell により導入され, その後$L(s, \Delta)$の 2 次の Euler 積表示を証明する$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e},\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}$等により拡張・整備された Hecke 作用素の理論は, 保型形式の理論において非常に重要な研究対象である. 個々の Hecke 作用素に対し, その固有値を知る事が望まれる所ではあるが, 各々の固有値の解析は一般には非常に困難である. そこで固有値の平均である trace(跡) を調べようとする事は自然な発想であると言える.
は, 彼の跡公式の理論を $SL(2, \mathbb{Z})\subset SL(2, \mathbb{R})$ の場合に応用して, 次
1952 年頃,の Hecke 作用素の跡公式を導いた ([Se]). また, この公式は Eichler(1956) により, 代数幾
何学的な別証明が与えられた.
$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}$に関する
formula (1956). full mo 山 『群The Eichler-Selberg’sにつ$T_{k}(n)(n=2,3,\cdots)$
に作用する
の空間
作用素
の正則
cusp form
Heckeweight$k$$SL(2, \mathbb{Z})$$\iota \mathrm{A}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$S_{k}$いて$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}T_{k}(n)=-\frac{1}{2}\sum_{-2\sqrt{n}<m<2\sqrt{n}}- H(4n-m^{2})\frac{\eta_{m}^{k-1}-\overline{\eta}_{m}^{k-1}}{\eta_{m}-\overline{\eta}_{m}}$–$\sum’\prime^{-1}+\delta(\sqrt{n})n^{k/2-1}\underline{k-1}$’12$d\leq\sqrt{n}d|\mathfrak{n}$(1.1)

が成り立つ. ここで$\eta_{m}=\frac{m+i\sqrt{4n-m^{2}}}{2}$,$\delta(x)=\{$

1if,
0othenise,$x\in \mathbb{Z}$

(1.2)

和
は和の限界のところ ( $m=0$ や $d=\sqrt{n}$ のところ) では をかける事を意味,
し, $H(d)$ は判別式 $d<0$ の二次形式の重み付きの類数である. (例えば $H(-4)$$\sum’$$\frac{1}{2}$$= \frac{1}{2}$$H(-3)= \frac{1}{3}.)$

この結果はその後様々に応用, 拡張され, 保型形式の理論に種々の深い結果をもたらした.

さて, いま$\mathbb{H}$を複素上半平面とし,$-\Delta$:$-\Delta=-y^{2}(_{\dot{\partial}x}^{\partial^{2}}=+=\partial y\partial^{2})$とする.

$\mathcal{E}_{\lambda}$を“ $L^{2}(SL(2, \mathbb{Z})\backslash \mathbb{H})"arrow L^{2}(SL(2, \mathbb{Z})\backslash \mathbb{H})$

上にも正則保型形式の場合と同様に Hecke 作用素 $T(n)$ が定固有空間とする.
義される. この $T(n)$ について Xian-Jin Li は Eichler-Selberg の結果の類似として次の結果を示した ([Li]).
の$\lambda-$$\mathcal{E}_{\lambda}$

91
Xian-Jin$\mathrm{L}\mathrm{i}$’s result (1999). 関数$L_{n}(s)$を次の Drichlet 級数にょり定義する.

(1.3)$L_{n}(s):= \sum_{d\in\Omega}\sum_{u}(d)\frac{h_{d}1\mathrm{o}\mathrm{g}\epsilon_{d}}{(du^{2})^{s}}$

ここで

で,

$\Omega=\{d\in \mathbb{Z}_{>0}|d\equiv 0\mathrm{o}\mathrm{r}1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4, d\neq \mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\}$$h_{d}$

は判別式

$d$

の不定値二

次形式の類数, は基本単数である. また和は, ある有理整数が存在して$t^{2}-du^{2}=4n$ , を満たす正整数全体を渡る.
この時, 右辺の Dirichlet 級数は $\Re(s)>1$ で絶対収束し, $L_{n}(s)$ は右半平面 $\Re(s)>0$
へ有理型に解析接続され, 一位の可能な極 $s=1/2,1,1/2\pm it_{\lambda}$ を除いて正則. ここではで定まる実数である.
$\sum_{u}^{(d)}$$\epsilon_{d}$$t\in \mathbb{Z}$$u$$t_{\lambda}$$\lambda=\frac{1}{4}+t_{\lambda}^{2}$

更に全てのー$T(n)$:$\mathcal{E}_{\lambda}arrow \mathcal{E}_{\lambda}$$\Delta$の:“$L^{2}(SL(2, \mathbb{Z})\backslash \mathbb{H})"arrow L^{2}(SL(2, \mathbb{Z})\backslash \mathbb{H})$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$の固有値$\lambda$

につぃて,

は

(1.4)

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(T(n)|\mathcal{E}_{\lambda})=2n^{it_{\lambda}}{\rm Res}_{s=1/2+it_{\lambda}}L_{n}(s)$と表される.
注意 1. この結果は,X.-J. Li 自身とよ .Conrey により合同部分群の場合に拡張されて$\mathrm{B}$いる ([LiCo]).

いま類数 1 の虚 2 次体 $K$ の整数環をとする. この時, 上記の Li のの場合と類似の結果が $SL(2, O_{K})\subset SL(2, \mathbb{C})$ の場合につぃても成り立っ. これが今回の結果の一つである (Theorem 1). これは今回のもうーっの結果である, ある形のformula (Theorem 2) の応用として得られる. 以下これにつぃて説明する. (尚,Liの結果もformula を用いて示されるのであるが, の用いる
formula はある
特定の test 関数に対する
formula である. 今回我々が示し 用いる
formulaはかなり一般の test 関数について成り立つものであり,
formula の証明が面倒な分,
formula から Hecke 作用素のについての結果を導く議論は, 幾分シンプル
で見通しの良いものとなる.)$O_{K}$$SL(2, \mathbb{Z})\subset$$SL(2, \mathbb{R})$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{L}\mathrm{i}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$2. 準備
群 $GL(2, \mathbb{C})$ の上半空間 $\mathbb{H}:=\{(z, r)|z=x+iy\in \mathbb{C}, r>0\}$ への作用を$M \cdot(z, r):=(\frac{(az+b)(\overline{c}\overline{z}+\overline{d})+a\overline{c}r^{2}}{|cz+d|^{2}+|c|^{2}r^{2}},$$\frac{|\det M|r}{|cz+d|^{2}+|c|^{2}r^{2}})$

,

(2.1)
$(z, r).\in \mathbb{H}$,$M=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in GL(2, \mathbb{C})$,により定める.
は線素 $ds^{2}=r^{-2}(dx^{2}+dy^{2}+dr^{2})$ から定まる計量により 3 次元実 Riemann 多様体の構造を持ち, 体積要素は $d\mu=r^{-3}dxdydr$ で与えられる. また Laplace-Beltrami 作
用素一 はー\triangleと計算される.
を類数 1 の虚 2 次体 $K$ の整数環の整数環とし, 以下 $\Gamma:=SL(2, O_{K})$ とする. この時, は へ不連続に作用し, 基本領域の体積は有限で, ただーっの cusp を持っ. 上半$\mathbb{H}$$\Delta$$=-r^{2}(_{\partial x}^{\partial^{2}}=+ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\partial r=)\partial^{2}+r.\frac{\partial}{\partial r}$$O_{K}$$\Gamma$$\mathbb{H}$

92
上の関数
で, の作用に対しぞ不変 1 で,て 2 乗可積分であるもの全体から或る Hilbert 空間をい方であるが,空間$\mathbb{H}$$F:\mathbb{H}arrow \mathbb{C}$$\Gamma$$\Gamma$に関しの基本領域上でと表す. 些か不正確な言$d\mu$$L^{2}(\Gamma\backslash \mathbb{H})$: “$-\Delta$

.

(2.2)

$L^{2}(\Gamma\backslash \mathbb{H})"arrow L^{2}(\Gamma\backslash \mathbb{H})$は自己共役作用素となり, その固有値は全て非負の実数で, 各固有値の重複度は有限でと書く.
ある事が知られている. (2.2) の -固有空間を以後の$GL(2, K)$ の各元への作用がについて, 両側剰余類$\lambda$$\mathcal{E}_{\lambda}$$\Gamma\alpha\Gamma$$\alpha$$(T_{\alpha}f)(P)$$L^{2}(\Gamma\backslash \mathbb{H})$$:=( \det\alpha)^{-1}\sum_{j=1}^{J}f(\gamma_{j}P)$

(2.3)

,

$f\in L^{2}(\Gamma\backslash \mathbb{H})$$\Gamma\alpha\Gamma=\bigcup_{j=1}^{J}\Gamma\gamma_{j},$

(2.4)

,

により定義される. 各 $n\in O\kappa$ について, 作用素 $T(n)$ を$T(n):= \sum_{\Gamma\backslash M(n)/\Gamma}\Gamma\alpha\Gamma$,$M(n):=\{g\in M(2, O_{K})|\det(g)=n\}$ ,(2.5)

により定義する. 虚 2 次体 $K$ の類数力 1 という仮定から $T(n)$ は次の簡明な表示を持つ.
$\dot{\mathrm{a}}$$T(n)F(z,r)= \frac{1}{|n|}\sum_{\iota_{\mathrm{m}\mathrm{o}d(d)}^{\alpha d=\mathfrak{n}}}\mathrm{x}F((\begin{array}{ll}a b d\end{array}) \cdot(z,r))$

ここで $a,$ $b,$ $d\in O_{K}$ で,(d) は $d$ で生或される単項イデアルで, 和や $T(n)$ は Hecke 作用素と呼ばれる.
で渡らせる事を意味する

,

(2.6)

$\Sigma^{\mathrm{x}}$$.T_{\alpha}$

る事が知られており, その可換性から,$T_{\alpha}$は$-\Delta$の各$\lambda_{l}$-固有空間

は $d$ を modulo 単数とは可換であ$T_{\alpha}$$\mathcal{E}_{\lambda}$$-\Delta$を不変にする. 明らかにこれは $T(n)$ についても成り立つ.

3. 主結果
いま $D:=$ { $m\in O_{K}|m\equiv x^{2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4O_{K},$て Dirichlet 級数 $L_{n}(s)$ を$m\neq \mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}$in$L_{n}(s):= \sum_{d\in D}\sum_{u}(d)\frac{h_{d}1\mathrm{o}\mathrm{g}|\epsilon_{d}|^{2}}{m_{d}|du^{2}|^{s}}$により定義する. ここで$O_{K}$} とし,(1.3) の類似とし(3.1)

は判別式 の $O_{K}$ -係数二次形式の $SL$ (2, OK)-同値類の個数
は $d\neq-3,$ $-4$ の時 $m_{d}=2$ で,m-4 $=$は基本単数 2 である.
であり,
$4,$ $m_{-3}=6$ なるものとする. 和は, $u\in O_{K}$ , $\arg(u)\in[0, \pi)$ で, ある $t\in O_{K}$ が存在$d$$h_{d}$$\epsilon_{d}\in K(\sqrt{d})$$m_{d}$$\Sigma_{u}^{(d)}$$1F(\gamma\cdot(z, r))=F((z,r))$に従って, $d\in D,$ $t^{2}-du^{2}=4$ の基本解, 基本単数を次のように定める. $t^{2}-du^{2}=4$ の解$(t, u)\in O_{K}^{2}$ でが,, $u=0$ となるものを除いて, 最小となるものの中$2[\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{r}]$$|_{2}^{\lrcorner t\mathit{4}d\mathrm{i}}|^{2}+|^{\underline{t}\pm} \frac{\sqrt du}{2}|^{-2}$$|_{2}^{\lrcorner t\Omega d}|=$から, $(td, u_{d})$ を $\arg(\sqrt{d}),$ $\arg(u\iota)\in[0, \pi),$$1$$| \frac{t+td\tau\iota}{2}|>1$

定まり, これを $t^{2}-du^{2}=4$ の基本解と言う. またとなるよう 1 ぶ. この様な $(td, u_{d})$ は一意に$\epsilon_{d}:=\frac{t+\sqrt{d}u}{2}$を判別式 $d\in D$ の基本単数と言う.

93
を満たすもの全体を渡る 3. (3.1) の右辺は $\Re(s)>2$
を (2.2) の重複度を数えない固有値の列とし,\lambda l $=1+r_{l}^{2},$で絶対収束する.
によりを定める. また から定まる Eisenstein 級数 4 の区間 $(1, 2]$ 上の極を $1<$
級数の Fourier 展開の定数項を $r^{2}+\phi(s)r^{2-s}$ とする. 以上の準備の下, 我々の結果は以下のように述べられる.
して $t^{2}-du^{2}=4n$ かつ$| \frac{t+\sqrt{d}u}{2\sqrt{n}}|>1$$r_{l}\geq 0$$\{\lambda_{l}\}_{l>0}$$\Gamma$$\{r’\}_{l=0}^{\infty}$$\sigma_{1}<\cdots<\sigma_{L}=2,\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}$について次が成り立つ.
Theorem 1. (3.1) で定義されたは半平面 $\Re(s)>0$ へ有理型に解析接続され, 可能な極 $s=1\pm r_{l},$ $2,2-$(1)$2-\rho(\phi(\rho)=0, \Re(s)>1)$ を除いて正 |J.
(2) 任意の $l>L$ について
$L_{n}(s)$$L_{n}(s)$$\sigma_{i}(1\leq i\leq L),$

.

(3.2)

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(T(n)|\mathcal{E}_{\lambda_{\mathrm{t}}})=4|O_{K}^{\mathrm{x}}|^{-1}|n|^{\pm ir_{1}}{\rm Res}_{s=1\pm}|.r_{1}L_{n}(s)$Theorem 2. 関数 $h(r)$ が次の条件を満たすとする.
(1) $h(r)$ はある帯領域 l\Im (r)l\leq l+\mbox{\boldmath $\delta$}. で正則,
(2) $h(r)=h(-r)$ ,(3) 帯領域 $|\Im(r)|\leq 1+\delta$ において $h(r)=O((1+|\Re(r)|)^{-3-\mu})$ .
の$\alpha\in GL(2, K)\cap M(2, O_{K})$ について,
上のトレースを tr(T\mbox{\boldmath $\alpha$}|\lambda 筏 す. この時, $h(r)$ と $h(r)$ の Fourier 変換 $g(u)$ について次の等式が成り立つ.
$T_{\alpha}$$\mathcal{E}_{\lambda_{l}}$

,

(3.3)

$| \det\alpha|\sum_{l=0}^{\infty}\mathrm{t}\mathrm{r}(T_{\alpha}|\lambda_{l})h(r_{l})=\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}+\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{E}+\mathrm{C}\mathrm{H}+\mathrm{C}\mathrm{E}+\mathrm{P}+\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}$

NCH

NCE

$= \sum_{\{T\}_{\Gamma}}^{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}}.\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}N(T_{0})}{[\Gamma(T)\cdot\langle T_{0}\rangle]|a(T)-a(T)^{-1}|^{2}}g(\log N(T))$$= \sum_{\{R\}\Gamma}^{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{E}}\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}N(T_{0})}{2[\Gamma(R).\langle T_{0}\rangle]\sin^{2}\theta_{R}}.g(0)$,,$\mathrm{C}\mathrm{H}=\sum_{\{T\}_{\Gamma}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}}\frac{21\mathrm{o}\mathrm{g}|c_{T}|}{|\Gamma(T)||a(T)-a(T)^{-1}|^{2}}g(\log N(T))$,$+ \sum_{\{T\}_{\Gamma}}^{\mathrm{C}\mathrm{H}}\frac{1}{|\Gamma(T)||a(T)-a(T)^{-1}|^{2}}\int_{1\mathrm{o}\mathrm{g}N(T)}^{\infty}g(u)\frac{\sinh(u)}{\cosh(u)-\cos(2\arg a(T))}du$CE$= \sum \mathrm{C}\mathrm{E}\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}|c_{R}|}{2\sin^{2}\theta_{R}}g(0)$,,$\{R\}_{\Gamma}$

CE$\infty$$+ \sum_{\{R\}_{\Gamma}}\frac{1}{8\sin^{2}\theta_{R}}\int.0g(u)\frac{\sinh(u)}{\sinh^{2}(u/2)+\sin^{2}\theta_{R}}$$3_{\arg(\sqrt{d})}\in[0, \pi)$と取っている.

$4\Re(s)>2$ において $E_{\Gamma}((z, r.),$$s):=[ \Gamma_{\infty} :

du ,

.

\Gamma_{\infty}’]^{-1}\sum_{\gamma\in\Gamma_{\infty}\backslash \Gamma},r(\gamma\cdot(z, r))^{s}$$\Gamma_{\infty}=\{\gamma\in\Gamma|\gamma\infty=\infty\},$ $\Gamma_{\infty}’=\Gamma_{\infty}\cap\{\pm(\begin{array}{ll}1 z 1\end{array})|z\in \mathbb{C}\}$.

ここで, ( $(Z$ , R))=R、$r$

94$\mathrm{P}=g(0)\frac{1}{[\Gamma_{\infty}.\Gamma_{\infty}’]}..\cdot\sum_{=1}^{\tau}\gamma_{i}$,$+ \frac{2\tau}{[\Gamma_{\infty}.\Gamma_{\infty}]}.,(-g(0)\gamma_{E}+\frac{h(0)}{4}-\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}h(r)\frac{\Gamma’}{\Gamma}(1+ir)dr)$

Cont

,

.

$= \frac{|\det\alpha|}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}h(r)w(1+ir)\frac{\phi’}{\phi}(1+ir)dr-\frac{|\det\alpha|h(0)\phi^{*}(1)}{4}$

上記の式の全ての和・積分は絶対収束する.

[Theorem 2. の記号の説明]
は内の, どんな の cusp も固定しない双曲元 5 の, 共役類全体を渡る.
は内の, どんな の cusp も固定しない楕円元 6 の, 共役類全体を渡る.
.
は内の, ある の cusp を固定する双曲元の, 共役類全体を渡る.
.
は、内の, ある の cusp を固定する楕円元の, 共役類全体を渡る.
. $a(T)$ は双曲元 の $|a(T)|>1$ を満たす固有値で,N(T) $=|a(T)|^{2}$ とする.
. $M$ が の cusp を固定しない双曲元, 又は の cusp を固定しない楕円元である時,.
.

$\sum^{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}}$$\Gamma\alpha\Gamma$$\Gamma$$\Gamma-$$\sum^{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{E}}$$\Gamma\alpha\Gamma$$\Gamma$$\Gamma-$$\Gamma\alpha\Gamma$$\sum^{\mathrm{C}\mathrm{H}}$$\Gamma\alpha\Gamma$$\sum^{\mathrm{C}\mathrm{E}}$$\Gamma-$$\Gamma$$\Gamma-$$\Gamma$$T$$\Gamma$$\Gamma$について, ある双曲元 $T_{0}\in\Gamma 7$ と位数有限の元となる事が分かる.
存在して. から定まる Eisenstein 級数を $E_{\Gamma}((z, r),$ $s)=r^{s}+\phi(s)r^{2-s}+\ldots$ とした時,$w(s)E_{\Gamma}((z, r),$ $s)$ , 及び $\phi^{*}(s)=w(s)\phi(s)$ が成り立つ.
$\Gamma(M)=\{\gamma\in\Gamma|M\gamma=\gamma M\}$

$R_{4}\in\Gamma$

が$\Gamma(M)=\langle T_{0}\rangle\cross\langle R_{0}\rangle$$T_{\alpha}E_{\Gamma}((z,r),$$\Gamma$$s)=$

その他若干の記号については [Su] を参照のこと.

4. 主結果の証明の概略
もし $h(r)$ がコンパクト台, 若しくは急減少な関数であれば, 定理 2 の (3.3) は, あるHilbert-Schmidt 型の積分作用素のトレースを二通りに計算する事により得られる. かなりの計算を要する事ではあるが, 手法としては標準的である ([Hel],[He2],[EGM] 等).
$h(r)$ が多項式オーダーで減少する様な場合でも, (r) を急減少な関数で近似してやる
事により, 元の $h(r)$ に関して (3.3) を示す事が出来る. もう少し詳しく言うと, 例えばとその Fourier 変換
について
の組
とおき,
とする事により $[h, g]$ に関す(3.3) を示しておき, その後この等式の両辺において$h$$h_{\epsilon}(r)=h(r)e^{-\epsilon \mathrm{r}^{2}}(0<\epsilon<1)$$h_{\epsilon}$$g_{\epsilon}$$[h_{\epsilon}, g_{\epsilon}]$$\epsilonarrow 0$

る等式が示されるのである.
しかしながら, この議論が正当である為には, 各和や積分が について一様に絶対収束していなければならない. この事を確かめる際, 最も問題になるのが NCH の項 ( のcusp を固定しない双曲類からの寄与) である. 他の共役類から生ずる和や積分が について一様に絶対収束する事は容易に確かめられる. また,の固有値に関する和がについて一様に絶対収束する事は, $N_{\Gamma}(T):=\#\{\lambda_{n}=1+r_{n}^{2}|r_{n}\leq T\}$ としたとき$\epsilon$$\Gamma$$\epsilon$$-\Delta$$8\backslash$$\epsilon$$5GL(2, \mathbb{C})$の元が双曲元であるとは,$\mathbb{H}$の境界$P^{1}\mathbb{C}$上異なる 2 つの固定点を持ち,$\mathbb{H}$内に固定点を持たない事を言う,$6GL(2, \mathbb{C})$上異なる 2 つの固定点を持ち, この 2 点を結ぶの元が楕円元であるとは, の境界
内の測地線の各点を固定する事をいう.
は $T$ から一意には定まらないが,は一意に定まる.
8 ここでのは重複度も込めた固有値の列を意味するものとする.
$\mathbb{H}$$7T_{0}$$N(T_{\mathit{0}})$$\{\lambda_{n}\}$$P^{1}\mathrm{C}$$\mathbb{R}$95.

と評価される事と (cf.[EGM,chap),
が有界線形作用素 9 である事から従う.
これらの理由から, 以下ではどの様にして NCH の項の和が につぃて一様に絶対収束している事が示されるのかについて, 概略を述べたいと思う.
$N,(T)\ovalbox{\tt\small REJECT} O(T)$$6.,\mathrm{T}\mathrm{h}54]$$T$$\ovalbox{\tt\small REJECT} L^{2}(\mathrm{F}\backslash \mathbb{H})arrow L^{2}(\mathrm{F}\backslash \mathbb{H})$$\epsilon$

定理 2 の条件を満たすテスト関数 $h(r)$ について $h(r)$ が定理 2 の条件を満たす時,の Fourier 変換$g_{\epsilon}$$h_{\epsilon}$

#よ

(4.1)

$g_{\epsilon}(u)<<e^{-(1+\delta)|u|}$について一様に評価されるので, この場合に NCH の項が について一様に絶対収束している事を示すには,と$\epsilon$$\epsilon$(4.2)$H_{\delta}= \sum_{\{T\}_{\Gamma}\subset\Gamma\alpha\Gamma}^{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}}.\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}N(T_{0})}{[\Gamma(T)\cdot\langle T_{0}\rangle]|a(T)-a(T)^{-1}|^{2}}N(T)^{-1-\delta}$が絶対収束する事を言えば十分である. 通常のformula は の単位元からの寄与を除けば, Theorem 2 の自明な Hecke 作用素の場合の公式と見なせる 10. 通常のformula の理論において,(4.2) の絶対収束性は個数関数の評価$\Gamma$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\Gamma\tilde{\alpha}\Gamma=\Gamma$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\pi_{\Gamma}(x):=${$\{T\}_{\Gamma}\in\Gamma/\sim \mathrm{r}\mathrm{I}$T:双曲元, $N(T)\leq x$ }(4.3)$=O(x^{2})$を用いる事により示される. 我々の場合, これと同様の議論をしようと思えば,$\pi \mathrm{r}_{\alpha}\mathrm{r}(x)=${$\{T\}_{\Gamma}\in\Gamma\alpha\Gamma/\sim\Gamma|T:\Gamma$の cusp’ を固定しない双曲元 , $N(T)\leq x$

}

(4.4)

に関して
の類似の評価が必要となる. ところが, これはと同様の方法では出来ない. 何故ならば, 跡公式を用いないアプリオリな評価 (4.3) の証明は, 通常 の基本
領域の性質を用いて或され, が群であるという性質に拠ってぃる. これに対し, 我々の$\pi_{\Gamma}(x)$$\pi_{\Gamma}(x)$$\Gamma$$\Gamma$

扱っている両側剰余類
は一般に群ではないので, 同様の議論は使えないのである.
従って何か別の方法で (4.2) の絶対収束性を示さねばならない. 今回用いた手法は, 和(4.2) に現れる種々の量を, 類数や二次形式等の数論的対象で書き換え, その性質を用いて (4.2) の収束性を示すという方法である. まず幾っかの補題を用意する.
$\Gamma\alpha\Gamma$

Lemma 1.

を判別式 $d\in D$ の primitive を
係数二次形式達の r-同値類の完全代表系とする. また $H$ をの双曲元達の -共役類全体とする. この時,
$Q_{d}$$O_{K}$$\overline{\Gamma}=\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2, O_{K})$$\overline{\Gamma}$$Q_{d}\ni ax^{2}+bxy+cy^{2}\mapsto\{$(で定義される Ud6っ $Q_{d}arrow H$ は全射となる. ここでの基本解である.

$2$)$-cu_{d}2\}_{\overline{\Gamma}}$$\mapsto t+bu_{4}$$(t_{d}, u_{d})$

,

(4.5)

は前出の Pe 垣方程式 $t^{2}-du^{2}=$$4$9 従って固有値は有界.
$10\Gamma\alpha\Gamma$

た.

が$L^{2}(\Gamma\backslash \mathbb{H})$$\Gamma\overline{\alpha}\Gamma\neq\Gamma$の時,

へ自明に作用する事と,$cI\not\in\Gamma\alpha\Gamma$が分かる.

$\Gamma\overline{\alpha}\Gamma=\Gamma$は同値である. ここで$\overline{\alpha}=(\det\alpha)^{-1/2}\alpha$

とおい

96
Lemma 2.

$Q_{d}$

は Lemma 1と同様のものとする. 集合$Q\in Q_{d}$$Q_{n,d}:=\{\{Q, (t, u)\}$,$(t,u)\in O_{K}^{2}$$t^{2}-du^{2}=4n$,$Q_{n,d}$と$\overline{T(n)}_{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}}$を,$\arg(u)\in[0,\pi)\}$,,$\overline{T(n)}_{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}}$(4.6)$| \frac{t+\sqrt{d}u}{2\sqrt{n}}|>1$$\mathrm{A}\mathrm{a}.\}$$:=\{\{\overline{T}\}_{\overline{\Gamma}}\in\overline{T(n)}/\overline{\mathrm{r}}|T\text{と}.k^{\gamma_{j}}\Gamma \text{の}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{p}\text{も固}\acute{\pi}\text{し}\mathfrak{l}1T(n)\text{の双}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\overline{\pi}\text{で}$

を

,
(4.7)

,

$T(n)$$:= \sum_{\alpha\in\Gamma\backslash \mathrm{M}(n)/\mathrm{r}}\Gamma\tilde{\alpha}\Gamma$

で定義する. ここで は各 の, 自然な射影 $SL(2,\mathbb{C})arrow PSL(2, \mathbb{C})$ による像を表し,
は -共役による同値関係である. この時,$*$$\overline{*}$$\overline{\Gamma}$$\overline{\Gamma}$$\{ax^{2}+bxy+cy^{2}, (t,u)\}\mapsto\{\frac{1}{\sqrt{n}}$で定義される写像 \cup d\epsilon っは $M$ の -\Gamma -共役類を表す.
但し,$Q_{n,d}arrow\overline{T(n)}_{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}}$.
$(^{\frac{t-bu}{a^{2}u}}$(4.8)$\frac{-cut+h\iota}{2})\}_{\overline{\Gamma}}$は全射で, ちょうど$\frac{1}{2}|O_{K}^{\mathrm{x}}|$: 1 の写像である.

$\{M\}_{\overline{\Gamma}}$Lemma 3. $d\in D$ について
$h(d)\log|\epsilon_{d}|^{2}\ll|d|^{1+\epsilon}$as$|d|arrow\infty$(4.9)

が成り立つ.

各 $d\in D$ について Pell 方程式 $t^{2}-du^{2}=4$ の OK-解全体は,$(t_{1},u_{1}) \cdot(t_{2},u_{2}):=(\frac{t_{1}t_{2}+du_{1}u_{2}}{2}, \frac{t_{1}u_{2}+t_{2}u_{1}}{2})$により群の構造を持ち, その群は$\mathbb{Z}$と, で定まる有限群$d$$G_{d}$(4.10)の直積に同型である事が知に同型になる.
られている ([Sar]). ここで$O_{K}$ -解達に, 同値関係 $(t_{1}, u_{1})\sim_{d}(t_{2}, u_{2})$$t^{2}-du^{2}=4n$の$n\in
O_{K}$
について
$d\in
D,$
各
$G_{d}$

は有限個の $d\in D$ を除いてを, ある Pell 方程式 $t^{2}-du^{2}=4$ の OK-解$(t_{0}, u_{0})$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$が存在して,$t_{2}+ \sqrt{d}u_{2}=(t_{1}+\sqrt{d}u_{1})\frac{t_{0}+\sqrt{d}u_{0}}{2}$,(4.11)である事として定義する.

Lemma 4. 各 $d\in D$ について, 集合$S_{d}$

を$S_{d}:=\{(t,u)\in O_{K}^{2}|t^{2}-du^{2}=4n,$ $arg(u)\in[0,\pi),$ $|\lambda_{t,u}|>1\}$

により定義する. ここで $\lambda_{t,u}=(t+u\sqrt{d})/2\sqrt{n}$ とおいた. この時次が成り立つ.

(4.12)

97($\mathfrak{y}G_{d}$が$\mathbb{Z}\cross \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$に同型である時, 全てのにより,$S_{d}$の元 $(t,$ $u)$ が) ある 1$\ovalbox{\tt\small REJECT} j\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$と$marrow \mathbb{N}\mathrm{U}\{0\},\deltaarrow\{\pm 1\}$$\frac{u\sqrt{d}}{\sqrt{n}}=\delta(\lambda_{j}\epsilon_{d}^{m}-\lambda_{j}^{-1}\epsilon_{d}^{-m})$,(4.13)$\{$$\frac{t}{\sqrt{n}}=\delta(\lambda_{j}\epsilon_{d}^{m}+\lambda_{j}^{-1}\epsilon_{d}^{-m})$$(2)G_{d}\mathrm{B}^{*}\mathbb{Z}\cross \mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}(m>1)\mathrm{t}\sim \text{と表_{}\overline{\prime \mathrm{T}\backslash }}\text{さ_{}\mathrm{a}}t1,\text{る様}t_{Xs_{d}/\sim_{d}\text{の}4\mathrm{t}^{\backslash }\text{表_{}\sim}}$,

全で– S‘Bd‘J\emptyset \rightar ow 元$\text{の}\mathrm{F}l$$(t_{j},u_{j})\ovalbox{\tt\small REJECT}^{1-}\mathrm{C}^{\mathrm{v}}\text{あ}$$(t,u)\mathrm{B}^{*}7\overline{\pm}\text{する_{}\mathrm{a}}.$$\leq,J$る時

同, ある $1.\leq j\leq J_{d}$と $m\in \mathrm{N}\cup\{0\},l\in \mathbb{Z},\delta\in\{\pm 1\}$ により,$\frac{u\sqrt{d}}{\sqrt{n}}=\delta(\lambda_{j}\epsilon_{d}^{m}\epsilon^{l}-\lambda_{j}^{-1}\epsilon_{d}^{-m}\epsilon^{-l}.)$,(4.14)$\{$$\frac{t}{\sqrt{n}}=\delta(\lambda_{j}\epsilon_{d}^{m}\epsilon^{l}+\lambda_{j}^{-1}.\epsilon_{d}^{-m}\epsilon^{-l})$,と表示される様なの代表が存在する.
$(t,u)\in
O_{K}^{2}-$は(3) (4.13) または (4.14) で定義されるに属す.
$S_{d}/\sim_{d}$$\{(t_{j}, u_{j})\}_{1\leq j<J_{d}}$$S_{d}$

ここで $\lambda_{j}=\lambda_{t_{j},u_{j^{f}}}\epsilon=\exp(\pi i/m),$

別式

$d$

$J_{d}=\#(S_{d}/\sim_{d})$とおいた. また先と同様 [こ$\epsilon_{d}$は判に関する基本単数とする.

以上の補題を用いて (4.2) の収束性を示そう. (4.2) に Lemma 1,2 を用いれば,$H_{\delta} \leq\frac{(4|n|)^{2+\delta}}{|O_{K}^{\mathrm{x}}|}\sum_{d\in D}\sum_{t,u}(d)_{\frac{h_{d}1\mathrm{o}\mathrm{g}|\epsilon_{d}|^{2}}{m_{d}|du^{2}|}|t+u}\sqrt{d}|^{-2-\delta}$.

(4.15)

を得る. 更に Lemma 3 より
$H_{\delta}<< \sum_{d\in D}\sum_{t,u}(d)\}d\downarrow^{1+}‘|du^{2}|^{-2-\delta}=\sum_{d\in D}\sum_{t,u}(d)|du^{2}|^{-1-\delta+\epsilon}|u|^{-2(1+\epsilon)}$,(4.16)と評価される事が分かる. ここで右辺の和を 3 つに分けて,$\sum_{d\in D}$$\sum_{t,u}$$|d|>8|n|8|u|<\sqrt{|d\downarrow}$

とおく. まづ$S_{2}$$(d)+ \sum_{d\in D}$$\sum_{l,u}$$(d)=:S_{1}+S_{2}+S_{3}$$(d)+ \sum_{d\in D}$$|d|<8|n|8|u|<\sqrt{|d|}$は有限和だから有界である. 次に$\sum_{t_{1}u}$$8|\mathrm{u}|>\sqrt{|d|}$$S_{3}$

について,$S_{3}<< \sum_{d\in D}|d|^{-2(1+\delta-\epsilon)}\sum_{u\in \mathcal{O}_{K}\backslash \{0\}}|u|^{-2(1+\epsilon)}$$<< \sum_{d\in \mathcal{O}_{K}\backslash \{0\}}|d|^{-2(1+\delta-\epsilon)}=O(1)$.

(4.17)

98
も有界である. 最後に従って程を. まづ Lemma 4 の基本解
$S_{3}$$S_{1}$

について述べる. 記号が少々ややこしいが御容赦の$\{(t_{j}, u_{j})\}_{1\leq j\leq J_{d}}$を用いて$(d)|t|^{-1-\delta+\epsilon}|u|^{-2(1+\epsilon)}$$S_{1}<<$$\sum_{t.u}$$\sum_{\iota\epsilon D}$$|d|>6|\mathrm{n}|\epsilon|u|<\sqrt{|d|}$$\leq.$

いま$D_{0}$$\sum_{d\in D,|d|>8|\mathrm{n}|}\sum_{j=1}^{J_{d}}|t_{j}|^{-2(1+\delta-\epsilon)}|u_{j}|^{-2(1+\epsilon)}=:\tilde{S}_{1}$.

を $D$ の元で $O_{K}$ 内で平方因子を持たないもの全体から或る集合とする. $4\in$を一つ固定した時, 各 $0\neq l\in O_{K}$ についてち を変数とする方程式 $t^{2}-d_{0}l^{2}u^{2}=4n$とする. 次にを, あるの基本解 11 を$0\neq l\in O_{K},$ $1\leq j\leq J_{hl^{2}}$ が存在して全体から戒る集である様な$t^{2}-\phiu_{p}^{2}u^{2}=4n$
とする
の基本解を
を変数と見た方程式
合とする. 更には,. これらを用いて$u$$D_{0}$$\{(t_{j}(l), u_{j}(l))\}_{j=1}^{J_{d_{0}I^{2}}}$$\{u_{\mathrm{p}}\}_{p=1}^{\infty}(=\{u_{\mathrm{p}}(d_{0})\}_{\mathrm{z}\subset 1}^{\infty})\subset O_{K}$$u_{\mathrm{p}}=u_{j}(l)$$u_{p}\in \mathbb{C}$$(t_{p,q}, u_{\mathrm{p},q})$$t,$ $u$$\tilde{S}_{1}$$(1 \leq q\leq J_{d_{0}u_{\mathrm{p}}^{2}})$$\tilde{S}_{1}\ll\sum_{d_{0}\in D_{0}}\sum_{p=1}^{\infty(d_{0})}|u_{p}|^{-2(1+\epsilon)}\sum_{q=1}^{J_{d_{0}u_{p}^{2}}}|t_{p,q}|^{-2(1+\delta-\epsilon)}(1-|(u_{p}\sqrt{d_{0}})/2|^{-2(1+\delta-\epsilon)})^{-1}$,と評価される事が分かる. 従つてS1<<2Do 占 沖$\{1$$\leq^{\mathrm{i}}$$|t_{j}( \phi, 1)|\}^{-2(1+\delta-\epsilon)}\sum_{p=1}|u_{p}|^{-2(1+\epsilon)}$$<< \sum\{,.\min_{\prime-\prime \mathrm{I}_{-}}|t_{j}(h, 1)|\}^{-2(1+\delta-\epsilon)}$$d_{0}\overline{\in D}_{0}$‘1 佳\leq J 句.

$P\backslash \vee’$’.,$\leq\sum_{t\in O_{K}\backslash \{0\}}|t|^{-2(1+\delta-\epsilon)}=O(1)$

,

を得るので
も有界である. ここで $\{(t_{j}(d_{0},1), u_{j}(d_{0},1))\}_{j}$ は $t^{2}-d_{0}u^{2}=4n$ の基本解とする. 以上により (4.2) の級数が絶対収束する事が示された.
$S_{1}$

最後に Theorem 2 からどの様にして Theorem 1 が導かれるのかについて簡単に触れておく. まづ $\Re(s)>2$ において $H_{n}(s),H_{\alpha}(s)$ を$H_{n}(s)$$:= \sum_{\alpha\in\Gamma\backslash k\mathit{1}(n)/\mathrm{r}}H_{\alpha}(s)$,$H_{\alpha}(s)= \sum_{\{T\}_{\Gamma}\subset\Gamma\overline{\alpha}\Gamma}^{\mathrm{N}\mathrm{C}\mathrm{H}}.\frac{21\mathrm{o}\mathrm{g}N(T_{0})}{[\Gamma(T).(T_{0}\rangle]|a(T)-a(T)^{-1}|^{2}}N(T.)^{1-s}$と定義する. いま $a>2$ を固定し,$s\in \mathbb{C}$$\text{の}\{(t_{j},u_{j})\}$!.

,(4.19), $\Re(s)>2$ に対して

$h_{s}(r)= \frac{1}{r^{2}-(s-1)^{2}}-\frac{1}{r^{2}-(a-1)^{2}}$llLemma 4.

(4.18)(4.20)

99
は Theorem 2 の (1) $,(2),(3)$ の条件を満たす. 従って (33) の等式がと定義すればとなる. 等式 (33) を用いての全 s-平面へ
成り立ち, この時の NCH の項がの解析接続が示され, その極と留数も分かる (詳しい形は [Su] 参照のこと). 特に $H_{n}(s)$は全 s-平面に解析接続されて$h_{s}(r)$$H_{\alpha}(s)$$H_{\alpha}(s)$(4.21)${\rm Res}_{s=1\pm r_{l}}H_{n}(s)=|n|\mathrm{t}\mathrm{r}(T(n)|\lambda_{l})$が戒り立つ.
一方 (4.2) の絶対収束性の証明と同様の議論により, $L_{n}(s)$ の定義式 (3.1) の Dirichlet
級数は $\Re(s)>2$ で絶対収束する事が分かる. いま $Re(s)>2$ において $H_{n}(s)$ は(4.22)$\frac{h_{d}1\mathrm{o}\mathrm{g}|\epsilon_{d}\mathrm{t}^{2}}{m_{d}|du^{2}|}|t+u\sqrt{d}|^{2(1-s)}$$H_{n}(s)= \frac{(4|n|)^{s}}{|O_{K}^{\mathrm{x}}|}.\sum_{d\in D}$

.

も $u$

.

と表示される事に注意して $\Re(s)>2$ での $H_{n}(s),$ $L_{n}(s)$ の級数表示を用いると,$H_{n}(s)- \frac{4|n|^{s}}{|O_{K}^{\mathrm{x}}|}L_{n}(s)<<\sum_{d\in D}\sum_{t,u}\frac{h_{d}1\mathrm{o}\mathrm{g}|\epsilon_{d}[^{2}}{|du^{2}|^{\Re(s)+1}}$$\sum_{d\in D}\sum_{t,\mathrm{u}}|du^{2}|^{-\Re(s)+\epsilon}.|u|^{-2(1+\epsilon)}$を得る. ここで再び (4.2) の絶対収束性の証明の議論を用いると,$(4_{:}23)$$H_{n}(s)-4|,n|^{s}|\mathcal{O}_{K}^{\mathrm{x}}|^{-1}L_{n}(s)$は $\Re(s)>1$ で正則な関数 $F_{1}(s)$ を定める事が分かる. 従って $L_{n}(s)$ は $\Re(s)>1$ へ正則に解析接続される. 更に, 再び $H_{n}(s),$ $L_{n}(s)$ の級数表示を用いて$H_{n}(s)- \frac{4[n|^{s}}{|O_{K}^{\mathrm{x}}|}[L_{n}(s)-|n|(s-1)L_{n}(s+1)]$$<< \sum_{d\in D}\sum_{t,u}\frac{h_{d}1\mathrm{o}\mathrm{g}|\epsilon_{d}|^{2}}{|du^{2}|^{\Re(s)+2}}<<\sum_{d\in D}\sum_{t,u}|du^{2}|^{-1-\Re(s)+\epsilon}|u|^{-2(1+\epsilon)}$を得るので, 三度 (4.2) の絶対収束性の(4.24). 論を用いると,$\frac{-}{\overline{\beta}-}\not\in$(4.25)$H_{n}(s)-4|n|^{s}|\mathcal{O}_{K}^{\mathrm{x}}|^{-1}[L_{n}(s)-|n|(s-1)L_{n}(s+1)]$

は $\Re(s)>0$ で正則な関数 $F_{2}(s)$ を定める事が分かる. 等式(4.26)$\frac{4|n\}^{s}}{|O_{K}^{\mathrm{x}}|}[L_{n}(s)-|n\}(s-1)L_{n}(s+1)]=H_{n}(s)-F_{2}(s)$により左辺は $\Re(s)>0$ へ解析接続され,s $=1\pm ir_{l},$ $1,2-\sigma_{i},$ $2-\rho$ で可能な極を持つ他は正則である事が分かる. これと上で述べた事と合わせると Theorem $1(1)$ t が従う. ま
た $s=1\pm ir_{l}(l>L)$ での留数はであり, $L_{n}(s)$ は $\Re(s)>1$ で正 だから$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1\mathrm{J}$$|n|\mathrm{t}\mathrm{r}T(n)_{|\lambda_{\iota}}$$\lim_{sarrow 1+\pm ir\iota}(s-(1\pm ir_{l}))[L_{n}(s)-|n|(s-1)L_{n}(s+1)]={\rm Res}_{s=1\pm ir_{t}}L_{n}(s)$(4.27)が戒り立つ.(4.21), (4.27) から Theoreni 1(2) が従う.

100
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Graduate School of Mathematics,
Nagoya University,
Chikusa-ku, Nagoya 464-8602,
Japan-mail address:m99009t@math nagoya-u .ac.jp$\mathrm{e}$