数理解析研究所講究録 1280 巻 2002 年 76-78

76$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$自己双対 Yang-Mills 方程式の離散化について
泰広 (Yasuhiro Ohta)

広大・工大田Graduate School of Engineering, Hiroshima Univ.

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はじめに

自己双対 Yang-Mills 方程式は、独立変数を 4 つもっ多次元の可積分系としてよく知られてぃる。
系列のソリトン方程式がアフィン Lie 代数の表現がら得られるのに対し、 自己双対 Yang-Mills方程式はトロイダル Lie 代数 (特に、番トロイダル Lie 代数) の対称性によって記述される。 1)$\mathrm{K}\mathrm{P}$系列の場合に連続のソリトン方程式を離散化しようと思ったら、原理的には Miwa 変換を用いることにより、少なくとも一つの可積分離散アナログを構威することができる。それに対して、
トロイダル Lie 代数に付随する方程式に対しては、 (アフィンの対称性を起源とする独立変数でな$\mathrm{K}\mathrm{P}$く、 トロイダル固有のフローを記述する独立変数を) 離散化する方法は、現在まで知られてぃな
い。 それは、$\mathrm{K}\mathrm{P}$系列の場合のような、 連続の独立変数の母函数としての離散独立変数が、 トロイダルの場合には定義できないためであると言える。 このような方程式の離散化を研究することは、 トロイダルに付随する系の性質を明らかにするという点からも、 また様々な多次元可積分系の構或可能性を探るという意味からも、興味深い。
本稿では、自己双対 Yang-Mills 方程式の Hankel 行列式解 2) から出発して、方程式と$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$解の離散アナログを構或する。実際には、 Yang-Mills 方程式自体が離散化されたゎけではなく、Yang-Mfl 化方程式を二つの等価な式に分離したときの、一方のみが離散化された。すなゎち、番トロイダルの離散化ではなく、 2- トロイダルの離散化を行ったことに相当する。

2$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$自己双対 Yang-Mills 方程式の Hankel 行列式解

自己双対 Ymg-Mills 方程式を$(J_{y}J^{-1})_{\overline{y}}+(J_{Z}J^{-1})_{z}=0$$\det J=1$の形に書こう。 ここで、 $J$ は 2$\mathrm{x}2$行列であり、独立変数として $y,$(1)$z,\overline{y},\overline{z}$の四っをもっ。上の第一式は次の二式に分離される。
(2)$J_{y}J^{-1}=K_{z}$$J_{Z}J^{-1}=-K_{\overline{y}}$ここで、 $K$ は 2$\mathrm{x}2$行列であり、 あるポテンシャル函数を表す。上の二式は等価な形をしており、は単に $(y, z)$ のコピーであるとみなせる。すなわち、発展方程式 (2) に可換な時間発展として、無数の $(y, z)$ のコピーを導入することができ、そのうちのーっをと書いた、 と思っ$(\overline{z}, -\overline{y})$$(\overline{z}, -\overline{y})$てよい。変数変換$J= \frac{1}{\tau_{N}^{0}}$($\tau_{N+1}^{-1}\tau_{N}^{-1}$)$K= \frac{1}{\tau_{N}^{0}}(\begin{array}{lll}\tau_{N\mathrm{O}}^{0} \tau_{N}^{0} 1\tau_{N-1}^{0} -\tau \mathrm{X}\mathrm{o} \end{array})$77
により、規格化条件 (1) と分離された Yang-Mills 方程式の一方 (2) は、 双線形方程式$\tau_{N}^{n\mu 1}\tau_{N}^{n-1}-\tau_{N+1}^{n-1}\tau$に 11$=\tau_{N}^{n}\ovalbox{\tt\small REJECT}$(3)$D_{y}\tau_{N+1}^{n-1}\cdot\tau_{N}^{n+1}=D_{z}\tau_{N+1}^{n}\cdot\tau_{N}^{n}$$D_{y}$($\tau_{N}^{n+1}\cdot\tau_{N}^{n-1}-\tau_{N+1}^{n-1}\cdot\tau$に 11)$=2D_{z}\tau_{N\square }^{n}\cdot\ovalbox{\tt\small REJECT}$に変換される。 ここで、 $N,$ {よ表記を簡単にするために便宜上導入した添字にすぎない。
上の双線形方程式の解は、 次の Hankel 行列式で与えられる。 2)$n$$\tau_{N}^{n}=|\begin{array}{llll}\varphi_{n} \varphi_{\mathrm{n}+\mathrm{l}} \varphi n+N-1\varphi_{n+1} \varphi_{n+2} \cdots \varphi n+N\vdots \vdots \vdots\varphi_{n+N-1} \varphi n+N \varphi n+2N-2\end{array}|$(4)$\tau_{N\mathrm{O}}^{n}=|\begin{array}{lllll}\varphi_{n} \varphi_{n+\mathrm{l}} \cdots \varphi_{n}+N-2 \varphi_{n+N}\varphi_{n+1} \varphi_{n+2} \cdots \varphi_{n}+N-1 \varphi n+N+1\vdots \vdots \vdots \vdots\varphi_{n+N-1} \varphi_{n+N} \cdots \varphi n+2N-3 \varphi n+2N-1\end{array}|$

ここで、$\varphi_{n}$は(5)$\partial_{y}\varphi_{n}=\partial_{z}\varphi_{n+1}$をみたす任意函数である。

3($\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$自己双対 Yang-Mills 方程式)/2 の離散化上で与えられた Hankel 行列式解を離散化する。独立変数 $y,$う。 このとき線形分散関係式 (5) の離散化は$z$を離散化した変数を $k,$

$l$と書こ$\varphi_{n}(k, l)-\varphi_{n}(k-1, l)=\varphi_{n+1}(k, l+1)-\varphi_{n+1}(k, l)$で与えられる。 ここで簡単のため、差分間隔は 1 に規格化した。 函数 (4) の離散化は、 Hankel
行列式の各或分の引数を、 次のようにシフトした行列式で与えられる。
$\tau$$\tau_{N}^{n}(k, l)=|\begin{array}{lll}\varphi_{n+1}(k+\mathrm{l},l)\varphi_{n}(k,l) \cdots \varphi n+N-1(k+N-1,l)\varphi_{n+2}(k+1,l+1)\varphi_{n+1}(k,l+1) \varphi_{n+N}(k+N-1,l+1)\vdots\vdots \vdots\varphi_{n+N-1}(k,\vdots l+N-1)\varphi_{n+N}(k+1\vdots,l+N-1) \varphi \mathrm{n}+2N-2(k+N-1,l+N-1)\end{array}|$$\tau_{N\mathrm{D}}^{n}(k, l)=|\begin{array}{lll}\varphi_{n}(k,l) \cdots \varphi n+N(k+N,l)\varphi n+N-2(k+N-2,l)\varphi_{n+1}(k,l+1) \varphi_{\mathrm{n}+N\dotplus 1}(k+N,l+\mathrm{l})\varphi_{n+N-1}(k+N-2,l+1)\vdots \vdots\vdots\varphi n+N-1(k,l+N-\mathrm{l}) \varphi n+2N-3(k+N\vdots-2,l+N-1)\varphi n+2N-1(k+\vdots N,l+N-1)\end{array}|$$\tau_{N\mathrm{O}}^{n}(k, l)=|\begin{array}{llll}\varphi_{n}(k,l) \varphi_{n+1}(k+\mathrm{l},l)\cdot\cdot \varphi n+N-1(k+N-1,l)\varphi_{n+1}(k,l+\mathrm{l}) \varphi \mathrm{n}+2(k+\mathrm{l},l+\mathrm{l}) \cdots \varphi n+N(k+N-1,l+\mathrm{l})\vdots \vdots \vdots\varphi n+N-2(k,\vdots l+N-2)\varphi n+N-1(k+1,l+N-2) \vdots \varphi n+2N-3(k+N-1,l+N-2)\varphi_{n+N}(k\vdots,l+N) \varphi n+N+\mathrm{l}(k\vdots+1,l+N) \cdots \varphi n+2N-1(k+N-1,l+N)\end{array}|$

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この$\tau$函数に対し、以下の双線形方程式が成り立つ。

$\tau_{N}^{n+1}(k+1, l)\tau_{N}^{n-1}(k, l-1)-\tau_{N+1}^{n-1}(k, l-1)\tau_{N-1}^{n+1}(k+1, l)=\tau_{N}^{n}(k, l)\tau_{N}^{n}(k+1, l-1)$$\tau_{N+1}^{n-1}(k, l-1)\tau_{N}^{n+1}(k, l)-\tau_{N+1}^{n-1}(k-1,l-1)\tau_{N}^{n+1}(k+1, l)$$=\tau_{N+1}^{n}(k, l)\tau_{N}^{n}(k, l-1)-\tau_{N+1}^{n}(k, l-1)\tau_{N}^{n}(k, l)$$\tau_{N}^{n+1}(k+1, l)\tau_{N}^{n-1}(k-1, l-1)-\tau_{N}^{n}(k, l)\tau_{N}^{n}(k, l-1)-\tau_{N+1}^{n-1}(k, l-1)\tau_{N-1}^{n+1}(k, l)$$=\tau_{N\mathrm{O}}^{n}(k, l)\tau_{N}^{n}(k, l-1)-\tau_{N\mathrm{O}}^{n}(k, l-1)\tau_{N}^{n}(k,l)$$\tau_{N}^{n+1}(k, l)\tau_{N}^{n-1}(k, l-1)-\tau_{N}^{n}(k, l)\tau_{N}^{n}(k, l-1)-\tau_{N+1}^{n-1}(k-1, l-1)\tau_{N-1}^{n+1}(k+1, l)$$=\tau_{N}^{n}$◇ $(k, l-1)\tau_{N}^{n}(k, l)-\tau_{N\mathrm{O}}^{n}(k, l)\tau_{N}^{n}(k, l-1)$

これが、 2- トロイダルの双線形方程式 (3) の離散化を与えてぃる。

最後に、変数変換$J(k, l)= \frac{1}{\tau_{N}^{0}(k,l)}(_{\tau_{N-1}^{1}(k+1,l)}^{\tau_{N}^{1}(k+1,l)}$$\tau_{N+1}^{-1}(k,l-1)\tau_{N}^{-1)}(k,l-1)$$K(k, l)= \frac{1}{\tau_{N}^{0}(k,l)}(\begin{array}{lll}\tau_{N\mathrm{O}}^{0}(k,l) \tau_{N}^{0} 1(k,l)\tau_{N-1}^{0}(k,l) -\tau 9\mathrm{o}(k,l) \end{array})$を導入することにより、 非線形方程式$(J(k, l)-J(k-1, l))J^{-1}(k-1, l)=K(k, l)-K(k, l-1)$が得られ、 方程式 (2) とその解の離散アナログが構或されたことになる。 ここで、離散化の際に行列式の各或分の引数がシフトされて、 もはや Hankel 行列式ではなくなったため、離散系においては (1) 式は戒り立たない。その代わりに、 シフトされた式$\det J(k, l)=$が成立する。

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まとめ$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$自己双対 Yang-Mills 方程式を二つの式に分離し、 その一方の方程式を離散化することに戒功した。解は、 Hankel 行列式の各或分の引数を適当にシフトした行列式にょって与えられる。
この引数のシフトによって、連続の自己双対 Yang-Mills 方程式がもってぃた、 トロイダルやアフィンの対称性は、 変形され失われてしまった。そのため、 連続の場合のように、独立変数$\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$$(k, l)$のコピーを可換な時間発展として、同じ解に対して導入することは、離散系の場合にはこのままではできない。すなわち、現時点では 2- トロイダルの離散化はできたが、 番トロイダルの離散化はまだできていない。従って、 自己双対 Yang-Mills 方程式自体の離散化は、 まだ未完或であり今後の課題である。本研究に関して、有益な議論をしてぃただいた箆三郎氏に感謝いたします。

References
1) S. Kakei, T. Ikeda and K. Takasaki, nlin$.\mathrm{S}\mathrm{I}/0107065$.

2) E. F. Corrigan, D. B. Fairlie, R. C. Yates and P. Goddard, Comm. Math. Phys. 58 (1978)