64

数理解析研究所講究録
第2008巻 2016年 64-71

Remarks on weakly separable extensions

岡山大学大学院自然科学研究科山中聡(Satoshi YAMANAKA)

Graduate School of Natural Science and Technology

Okayama University

岡山大学大学院自然科学研究科

池畑秀一(Shûichi IKEHATA)

Graduate School of Natural Science and Technology

Okayama University
Abstract[2] において,浜口直樹と中島惇により弱分離拡大が導入された.また [14] において,第一筆者は非可換上の歪多項式環における弱分離多項式について,とくに微分型歪多項式環 B[X;D] における銑多項式が弱分離的であるための必要十分条件を与えた.本論文ではこの結果を B[X;D] における一般のモニック多項式の場合や,一般の歪多項式環 B[X; $\rho$, D] の場合に拡張することを目標とする.

1

序と準備

A/B を(単位元を共有する) 環拡大, M を両側 A‐加群とする.加法的な写像 $\delta$ :A\rightarrow M が B‐微分 ( B‐derivation)であるとは, $\delta$(xy)= $\delta$(x)y+x $\delta$(y)(x, y\in A)かつ $\delta$(b)=0(b\in B) が成り立つときにいう.さらに,ある適当な m\in M により$\delta$(x)=mx-xm(x\in A) となるとき, $\delta$ は内部的 (inner) であるという.
環拡大 A/B が分離的 (separable) であるとは, x\otimes y\mapsto xy(x, y\in A) により定まる A\otimes_{B}A から A への A‐A‐準同型が分裂 (split) するときにいう.良く知られている
ように, A/B が分離拡大であることと,任意の両側 A‐加群 M について, A から M への B ‐微分はすべて内部的であることは同値である.これの一般化として,[2] において浜口直樹と中島惇は次の定義を与えた.
定義1.1. ([2, Definition 2.1]) 環拡大 A/B が弱分離的 (weakly separable) であるとは, A から A への B ‐微分がすべて内部的であるときにいう.
本論分を通して B を単位元をもつ環, $\rho$ を B の自己同型, D を $\rho$‐微分 (すなわち D
は B の加法的な写像で D( $\alpha \beta$)=D( $\alpha$) $\rho$( $\beta$)+ $\alpha$ D( $\beta$)( $\alpha$, $\beta$\in B) をみたす), B[X; $\rho$, D]

をその乗法が $\alpha$ X=X $\rho$( $\alpha$)+D( $\alpha$)( $\alpha$\in B) により定まる歪多項式環とする.とくに, B[X; $\rho$]=B[X; $\rho$, 0] (自己同型型), B[X;D]=B[X;1, D] (微分型) と表す.また,B[X; $\rho$, D]_{(0)} を B[X; $\rho$, D] におけるモニック多項式 g で gB[X; $\rho$, D]=B[X; $\rho$, D]gをみたすもの全体とする. f\in B[X; $\rho$, D]_{(0)} が B[X; $\rho$, D] における分離多項式(resp.
本研究は科研費 (基盤研究 (C) 234540049) の助成を受けたものである.

65弱分離多項式) であるとは, B[X; $\rho$, D]/fB[X;p, D] が B 上分離的(resp. 弱分離的)であるときにいう.歪多項式環における分離多項式は岸本量夫 永原賢 宮下庸一 および第二筆者により幅広く研究されてきた (参考文献参照).

[14] において,第一筆者は B[X; $\rho$] および B[X;D] それぞれにおける弱分離多項式を特徴付け,それにより分離多項式と弱分離多項式の差異を示した.とくに, B[X;D]
におけるか多項式 f=\displaystyle \sum_{j=0}^{\mathrm{e}}X^{p^{j}}b_{j+1}+b_{0}(b_{e+1}=1) が弱分分離多項式になるための必要十分条件を与えた (cf. [14, Theorem 3.8]). 第二章ではこの結果を一般のモニック多項式の場合に拡張する.さらに,第三章では一般の歪多項式環 B[X; $\rho$, D] における多項式が弱分離的であるための必要十分条件を与える.

以降,本論分では次の記号を用いる.

B^{ $\rho$}=\{ $\alpha$\in B| $\rho$( $\alpha$)= $\alpha$\}, B^{D}=\{ $\alpha$\in B|D( $\alpha$)=0\}, B^{ $\rho$,D}=B^{ $\rho$}\cap B^{D}

f=X^{m}+X^{m-1}a_{7n-1}+\cdots+Xa_{1}+a_{0}\in B[X; $\rho$, D]_{(0)}\cap B^{ $\rho$}[X]
A=B[X; $\rho$, D]/fB[X; $\rho$, D], x=X+fB[X; $\rho$, D]\in A
V=\{z\in A| $\alpha$ z=z $\alpha$( $\alpha$\in B)\} ( A における B のcentralizer)

J_{ $\rho$}=\{z\in A| $\alpha$ z=z $\rho$( $\alpha$)( $\alpha$\in B)\}
また, \tilde{$\rho$} および \tilde{D} をそれぞれ $\rho$, D の自然な拡張として得られる A の自己同型および(内部) 微分とする.すなわち,任意の \displaystyle \sum \text{獅^{}1}x^{j}c_{j}\in A について

\displaystyle\tilde{$\rho$}(\sum_{j=0}^{m-1}x^{j}c_{j})=\sum_{j=0}^{m-1}x^{j}$\rho$(c_{j}),\tilde{D}(\sum_{j=0}^{m-1}x^{j}c_{j})=\sum_{j=0}^{m-1}x^{j}D(c_{j})と定める.さらに,V^{\tilde{p} =\{v\in V|\tilde{ $\rho$}(v)=v\}, V^{\overline{D} =\{v\in V|\tilde{D}(v)=0\}, V^{\overline{ $\rho$},\overline{D} =V^{\overline{ $\rho$}}\cap V^{\overline{D}とおく.

2

B[X;D] における弱分離性
本章では f=\displaystyle \sum_{j=0}^{m}X^{j}a_{j}\in B[X;D]_{(0)}(a_{m}=1) の弱分離性について調べる.まず[4, Lemma 1.5] ょ!?

\left\{ begin{ar y}{l (1)a_{i}\nB^{D}\ (2)a_{i}$\alpha$=\sum_{j=i}^{m}[Matrix]D^{j-i}($\alpha$)_{j} \end{ar y}\right.

( $\alpha$\in B, 0\leqq i\leqq m-1)

66

であることに注意する.また,本章では以下で定まる V^{D}-V^{\tilde{D}} ‐準同型 $\tau$ : V\rightarrow V^{\overline{D}}を扱う:$\tau$(h)=\displaystyle\sum_{i=0}^{m-1}x^{i}\sum_{j=i}^{m-1}\left(\begin{ar ay}{l} j&+1\ &i \end{ar ay}\right)\displaystyle\tilde{D}^{\dot{J}-1}(h)a_{\dot{}+1}(h\inV).

初めに A の B ‐微分に関する次の補題を示す.

補題2.1. A の B ‐微分 $\delta$ について, $\delta$(x)\in V かつ $\tau$( $\delta$(x))=0 が成り立つ.逆に$\tau$(g)=0 をみたす g\in V について, A の B ‐微分 $\delta$ で $\delta$(x)=g となるものが存在する.
証明. $\delta$ を A の B ‐微分とする.このとき,任意の $\alpha$\in B について $\alpha \delta$(x)= $\delta$(x) $\alpha$ となることは明らかである.また,帰納的に $\delta$(x^{j})=\displaystyle \sum_{i=0}^{j-1}x^{i}\left(\begin{ar ay}{l} j\\ i \end{ar ay}\right)\tilde{D}^{j-1-i}( $\delta$(x) (j\geqq 1) が成り立つこと(cf. [14, Lemma 3.6]) から,次を得る.

0=$\delta$(\displaystyle\sum_{j=0}^{m}x^{j}a_{j})=\displaystyle\sum_{j=0}^{m-1}$\delta$(x^{j+1})a_{j+1}=\displaystyle\sum_{\dot{}=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{j}x^{i}\left(j&+\mathrm{l}i\right)\displaystyle\tilde{D}^{j-i}($\delta$(x) a_{j+1}=\displaystyle\sum_{i=0}^{m-1}x^{i}\sum_{j=i}^{m-1}i\left(j&+1i\right)\displaystyle\tilde{D}^{j-i}($\delta$(x) a_{j+1}= $\tau$( $\delta$(x))

逆に g=g_{0}+fB[X;D]\in V (go \in B[X;D]) が $\tau$(g)=0 をみたすとする.このとき,任意の $\alpha$\in B について $\alpha$ g_{0}=g_{0} $\alpha$ となるから, B[X;D] の B ‐微分 $\delta$^{*} で$\delta$^{*}(X)=go となるものが存在する. $\tau$(g)=0 より $\delta$^{*}(f)\in fB[X;D] すなわち$\delta$^{*}(fB[X;D])\subset fB[X;D] が成り立つので, $\delta$^{*} の自然な拡張として A の B‐微分 $\delta$ で$\delta$(x)=g となるものが存在する.口,補題2.1により, B[X;D] における弱分離多項式は次のように特徴付けられる.
定理2.2. f=X^{\mathrm{m}}+X^{m-1}a_{ $\tau$ n-1}+\cdots+Xa_{1}+a_{0}\in B[X;D]_{(0)} とする.このとき,f が B[X;D] における弱分離多項式であるための必要十分条件は次が成り立つことである :\{g\in V| $\tau$(g)=0\}=\tilde{D}(V).

67

証明.まず,任意の h\in A について

a_{i}h=ha_{i}+\displaystyle\sum_{j=i+1}^{m}\left(\begin{ar ay}{l \dot{j}\ i \end{ar ay}\right)\tilde{D}^{j-i}(h)a_{j}=ha_{i}+\displaystyle \sum_{\dot{}=i}^{m-1}\left(j & +1i\right)\displaystyle \tilde{D}^{j-i+1}(h)a_{j+1}であることより,常に \{g\in V| $\tau$(g)=0\}\supset D(V) が成り立つことに注意しておく.
\{g\in V| $\tau$(g)=0\}=D(V) を仮定し, $\delta$ を A の B ‐微分とする.このとき,補題2.1より $\delta$(x)\in\{g\in V| $\tau$(g)=0\} であるから,仮定より適当な h\in V により$\delta$(x)=\tilde{D}(h)=hx-xh と表される.これより,任意の w\in A について $\delta$(w)=hw-whであることは容易に確かめられる.すなわち $\delta$ は内部的であり,したがって f はB[X;D] における弱分離多項式である.
逆に f が B[X;D] における弱分離多項式である仮定し, p\in\{g\in V| $\tau$(g)=0\} とする.このとき,補題2.1より A の B ‐微分 $\delta$ で $\delta$(x)=p となるものが存在する.仮定
より $\delta$ は内部的であるから,適当な h\in V により p= $\delta$(x)=hx-xh=\tilde{D}(h)\in D(V)となる.口定理2.2は次のように言い換えることができる.
定理2.3. f=X^{m}+X^{m-1}a_{m-1}+\cdots+Xa_{1}+a_{0}\in B[X;D]_{(0)} とする.このとき,

f が B[X;D] における弱分離多項式であるための必要十分条件は, V^{\overline{D} -V^{\overline{D} ‐準同型からなる次の列が完全系列となることである :0\rightar ow V^{D^{-} \rightar ow^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j} V\rightar ow^{D^{\tilde{} }V\rightar ow^{ $\tau$}V^{\overline{D} .
注意1. f=X^{m}+X^{m-1}a_{m-1}+\cdots+Xa_{1}+a_{0}\in B[X;D]_{(0)} が B[X;D] における分離多項式であるための必要十分条件は,定理2.3における完全系列の右端に 0 を付け加えたもの すなわち,,0\rightar ow V^{D^{-} \rightar ow^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j} V\rightar ow^{D^{\tilde{} }V\rightar ow^{ $\tau$}V^{\tilde{D} \rightar ow 0が完全系列となることが予想される.実際, B が素数標数 p で f=\displaystyle \sum_{j=0}^{e}X^{p^{j}}b_{j+1}+bo (b_{e+1}=1) の場合,この主張は正しい (cf. [14, Theorem 3.10]).

68

B[X; $\rho$, D] における弱分離性

3

本章では $\rho$ D =D $\rho$ を仮定し, f=\displaystyle \sum_{j=0}^{m}X^{j}a_{-}\cdot\in B[X; $\rho$, D]_{(0)}\cap B^{ $\rho$}[X](a_{m}=1) の弱分離性について調べる.まず f\in B^{ $\rho$}[X] および[4, Lemma 1.1] より Xf=fX だから,これより a_{i}\in B^{D}(0\leqq i\leqq m-1) がわかる.さらに [4, Lemma 1.2] より

a_{i}$\alpha$=\displaystyle\sum_{j=i}^{m}\left(\begin{ar ay}{l j\ i \end{ar ay}\right)$\rho$^{i}D^{j-i}($\alpha$)a_{j}($\alpha$\inB)であるから, a_{i}\in C(B^{ $\rho$,D})(0\leqq i\leqq m-1) となることに注意する.ここで C(B^{ $\rho$,D})は B^{ $\rho$,D} の中心を意味する.また,本章では以下で定まる V^{\tilde{D} -V^{\tilde{D} ‐準同型 $\tau$ : A\rightarrow A
を扱う:$\tau$(h)=\displaystyle\sum_{j=0}^{m-1}x^{j}\sum_{k=j}^{m-1}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=0}^{j}\left(\begin{ar ay}{l} i+&k-j\ &i \end{ar ay}\right)\displaystyle\tilde{$\rho$}^{i}(h) a_{j+1}(h\inA).

まず A の B ‐微分に関する2つの補題を示す.
補題3.1. $\delta$ が A の B ‐微分ならば,$\delta$(x^{k})=\displaystyle\sum_{\mathrm{j}=0}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-1 j}(\sum_{i=0}^{j}\left(i+&k-ji&-1\right)\displaystyle\overline{$\rho$}^{i}($\delta$(x) (k\geq 1).

証明.帰納法で示す.まず k=1 のときは明らかに成り立つ.補題3.1の等式が成り立つとき,$\delta$ ( x ん十 ) = $\delta$(x^{k})x+x^{k} $\delta$(x)1=\displaystyle \sum_{j=0}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-1-j}(\sum_{i=0}^{j}\left(i+ & k-ji & -1\right)\displaystyle \tilde{p}^{i}( $\delta$(x) x+x^{k} $\delta$(x)=\displaystyle\sum_{\dot{\mathrm{J}^{=0}^{k-1}x^{j+1}\tilde{D}^{k-1j}(\sum_{i=0}^{j}\left(i+&k-ji&-\mathrm{l}\right)\displaystyle\overline{$\rho$}^{i+1}($\delta$(x)+\displaystyle \sum_{j=0}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=0}^{j}\left(i+ & k-ji & -1\right)\displaystyle \tilde{ $\rho$}^{i}( $\delta$(x) +x^{k} $\delta$(x)=x^{k}\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}\tilde{p}^{i+1}($\delta$(x)+\sum_{\dot{}=1}^{k-1}x^{j}D^{k-j}(\sum_{i=0}^{j-1}\left(\begin{ar ay}{l} i+&k-j\ &i \end{ar ay}\right)\displaystyle\tilde{$\rho$}^{i+1}($\delta$(x)+\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=0}^{j}\left(i+ & k-ji & -1\right)\displaystyle \tilde{ $\rho$}^{i}( $\delta$(x) +\tilde{D}^{k}( $\delta$(x) +x^{k} $\delta$(x)69=x^{k}\displaystyle\{ sum_{i=0}^{k-1}\tilde{$\rho$}^{i+1}($\delta$(x) +$\delta$(x)\}+\displaystyle\sum_{j=1}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=1}^{j}\left(i+&k-ji1&-1\right)\displaystyle\tilde{$\rho$}^{i}($\delta$(x) +\sum_{i=0}^{j}\left(i+&k-ji&-1\right)\displaystyle\tilde{$\rho$}^{i}($\delta$(x)+\tilde{D}^{k}( $\delta$(x))=x^{k}\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\tilde{$\rho$}^{i}($\delta$(x)+\displaystyle \sum_{j=1}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=1}^{j}\{\left(i+ & k-ji-1 & -1\right)+\displaystyle \left(i+ & k-ji & -1\right)\}\tilde{ $\rho$}^{i}( $\delta$(x) + $\delta$(x)+\tilde{D}^{k}( $\delta$(x))=x^{k}\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\tilde{$\rho$}^{i}($\delta$(x) +\sum_{j=1}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=1}^{j}\left(\begin{ar ay}{l} i+&k-j\ &i \end{ar ay}\right)\displaystyle\tilde{$\rho$}^{i}($\delta$(x) +$\delta$(x) +\tilde{D}^{k}($\delta$(x)=\displayst le\sum_{j=0}^{k}x^{j}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=0}^{\mathrm{j}\left(\begin{ar y}{l i+&k-j\ &i \end{ar y}\right)\displayst le\tilde{$\rho$}^{i($\delta$(x)よって, k+1 のときも成り立つ.口補題3.2. A の B ‐微分 $\delta$ について, $\delta$(x)\in J_{ $\rho$} かつ $\tau$( $\delta$(x))=0 が成り立つ.逆に$\tau$(g)=0 をみたす g\in J_{ $\rho$} について, A の B ‐微分 $\delta$ で $\delta$(x)=g となるものが存在する.
証明. $\delta$ を A の B ‐微分とする.このとき,任意の $\alpha$\in B について明らかに $\alpha \delta$(x)=$\delta$(x) $\rho$( $\alpha$) である.また,補題3.1から次を得る.

0=$\delta$(\displaystyle\sum_{k=0}^{m}x^{k}a_{k})=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}$\delta$(x^{k+1})a_{k+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{k-1}x^{j}\tilde{D}^{k-j}(\sum_{i=0}^{j}\left(\begin{ar ay}{l i+&k-j\ &i \end{ar ay}\right)\displaystyle\tilde{$\rho$}^{i}($\delta$(x) a_{k+1}=\displaystyle\sum_{j=0}^{m-1}x^{j}\sum_{k=j}^{m-1}D^{k-j}(\sum_{i=0}^{j}\left(\begin{ar ay}{l i+&k-j\ &i \end{ar ay}\right)\displaystyle\tilde{$\rho$}^{i}(h)a_{j+1}= $\tau$( $\delta$(x))

70

逆に g=g_{0}+fB[X; $\rho$, D]\in J_{ $\rho$}(g_{0}\in B[X; $\rho$, D]) が $\tau$ (g) =0 をみたすとする.このとき,任意の $\alpha$\in B について $\alpha$ g_{0}=g_{0} $\rho$( $\alpha$) となることより, B[X; $\rho$, D] の B ‐微分$\delta$^{*} で $\delta$^{*}(X)=g_{0} となるものが存在する. $\tau$(g)=0 より $\delta$^{*}(f)\in fB[X; $\rho$, D] すなわ
ち $\delta$^{*}(fB[X; $\rho$, D])\subset fB[X; $\rho$, D] が成り立つので, $\delta$^{*} の自然な拡張として A の B ‐微分 $\delta$ で $\delta$(x)=g となるものが存在する.口,B[X; $\rho$, D] における弱分離多項式は次のように特徴付けられる.
定理3.3. f=X^{m}+X^{m-1}a_{rn-1}+\cdots+Xa_{1}+a_{0}\in B[X; $\rho$, D]_{(0)} とする.このとき, f が B[X;p, D] における弱分離多項式であるための必要十分条件は次が成り立つことである :\{g\in J_{ $\rho$}| $\tau$(g)=0\}\subset\{x(\tilde{ $\rho$}(h)-h)+\tilde{D}(h)|h\in V\}.
証明.

\{g\in J_{ $\rho$}| $\tau$(g)=0\}\subset \{x( $\rho$\tilde{}( ん )- h)+D( ん ) |h\in V\} を仮定し, $\delta$ を A の B ‐微分とする.このとき,補題3.2より $\delta$(x)\in\{g\in J_{ $\rho$}| $\tau$(g)=0\} であるから,仮定より適当な h\in V により$\delta$(x)=x(\tilde{ $\rho$}(h)-h)+\tilde{D}(h)=hx-xh と表される.これより,任意の w\in A について $\delta$(w)=hw-wh であることは容易に確かめられる.すなわ
ち $\delta$ は内部的であり,したがって f は B[X; $\rho$, D] における弱分離多項式である.
逆に f が B[X; $\rho$, D] における弱分離多項式である仮定し, p\in\{g\in J_{ $\rho$}| $\tau$(g)=0\}とする.このとき,補題2.1より A の B‐微分 $\delta$ で $\delta$(x)=p となるものが存在する.仮定より $\delta$ は内部的であるから,適当な h\in V により p= $\delta$(x)= hx—xh\squarex(\tilde{ $\rho$}(h)-h)+D(h) と表される.

=

注意2. 定理2.3のように,一般の歪多項式環 B[X; $\rho$, D] の場合もある種の完全系列の存在によって弱分離性を特徴付けることができると予想される.

参考文献[1] S. Elliger, Über automorphismen und derivationen von ringen, J. Reine Angew.
Math., 2771975, 155‐177.

[2] N. Hamaguchi and A. Nakajima, On generalizations of separable polynomials
overrings, Hokkaido Math. J., 422013, no. 1, 53‐68.

[3] K. Hirata and K. Sugano, On semisimple extensions and separable extensions
over noncommutative rings, J. Math. Soc. Japan 18(1966), 360‐373.
[4] S. Ikehata, On separable polynomials and Frobenius polynomials in skew poly‐nomial rings, Math. J.

Okayama Univ., 221980, 115‐129.

71[5] S. Ikehata, Azumaya algebras and skew polynomial rings, Math, J. Okayama
Univ., 231981, 19‐32.

[6] S. Ikehata, A note on separable polynomials of derivation type, Int. J. Algebra,
3 no.15, 2009, 707−711.

[7] S. Ikehata, On separable and H‐separable polynomials of degree p in skew
polynomial rings, Int. J. Pure Appl. Math., 51 no. 1, 2009, 129‐156.

[8] K. Kishimoto, On abelian extensions of rings. I, Math. J. Okayama Univ., 141970, 159‐174.

[9] Y. Miyashita, On a skew polynomial ring, J. Math. Soc. Japan, 311979, no. 2,317‐330.

[10] T. Nagahara, On separable polynomials over a commutative ring II, Math. J.
Okayama Univ., 151972, 149‐162.

[11] T. Nagahara, On separable polynomials of degree 2 in skew polynomial rings,
Math. J.

Okayama Univ., 191976, 65‐95.

[12] K. Sugano, Separable extensions and Frobenius extensions, Osaka J. Math. 7(1970) 29‐40.
,[13] S. Yamanaka and S. Ikehata, An alternative proof of Miyasitas theorem in askew polynomial rings, Int. J. Algebra, 212012, 1011‐1023.

[14] S. Yamanaka, On weakly separable polynomials and weakly quasi‐separable
polynomials over rings, Math. J. Okayama Univ., 582016, Vol. 58, pp.175‐
188.

\mathrm{‐mailE}address:\mathrm{E} ‐mail address:‐yamanaka@math.okayama‐u.ac.jp
ikehata@ems.okayama‐u.ac.jp\mathrm{s}