数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 130-134130

対角部分空間配置のホモトピー分解
Homotopy decomposition of diagonalarrangements
京都大学理学研究科岸本大祐
Daisuke Kishimoto
Department of Mathematics, Kyoto University$*$主定理1岡] について述べる．空間 $X$を固定する．部分集合 $\sigma\subset[m]=\{1, . . . , m\}$ に対して定まる $X^{m}$ の部分

本稿では入江幸右衛門さんとの共同研究

$[]$

空間
$\triangle_{\sigma}(X)=\{(x_{1}, \ldots, x_{m})\in X^{m}|x_{i_{1}}=\cdots=x_{i_{k}}, \{i_{1}, .

.

.

, i_{k}\}=[m]-\sigma\}$を $X^{m}$ の対角部分空間という．対角部分空間の配置を考えるのだが，配置方法を組み合わせ的に記述するのが便利である．以下， $K$ を頂点集合を$[m]=\{1, . . . , m\}$ とする抽象単体複体とする．ただし，空部分集合は常に$K$に属する．単体複体 $K$ に対して対角部分空間配置$\{\triangle_{\sigma}(X)\}_{\sigma\in K}$が定まる．数々ある部分空間配置のうち，対角部分空間配置は特に重要である．例えば次の例が挙げられる．
例 1.1. $m-1$ 次元単体の $m-3$ 骨格に対応する対角部分空間配置は組み紐配置である．
*kishi@math.kyoto-u.ac.jp

131
したがって， $K$ の定める対角部分空間配置の和$\triangle_{K}(X)=\cup\triangle_{\sigma}(X)$.

$\sigma\in K$のトポロジーは重要な研究対象である．(先行研究に関しては,,にあるように，部分空間配置やそ参照 [ZZ] やの補空間のホモトピー分解は非常に強力な結果である．Faten Labassi さの懸垂のホモトピー分解を， $K$ が $m-1$ 単体の $m-d-1$
ん [L] は骨格で $2d>m$ をみたすときに示した．その証明は単体の骨格の対称性に大きく依存しているため，一般の単体複体 $K$ に対して同様の手法を用い$l_{\lrcorner},$$)$$\searrow_{\lambda}|.3^{\cdot}.,$$[K_{\backslash }*,$$?.\backslash ’s’$$f$$[3_{\rangle}^{b}3^{:.\rangle}:\}(_{\dot{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}^{Y}i_{l}^{\{]}$$A$$\triangle_{K}(X)$

ることはできない．そこで，われわれは Labassi さんの研究指導者であるSadok Kallel さんから，一般の $K$ に対して同様の分解ができないかという質問を受けた．次の定理がこの質問に対する肯定的な答えである．証
明方法は Labassi さんのとは全く異なる．

定理 1.2. 空間 $X$ が連結 $CW$ 複体であり， $2(\dim K+1)<m$ であるとき，$\sum\triangle_{K}(X)\simeq\sum(\vee\hat{X}^{|\sigma|}\vee\hat{X}^{|\sigma|+1})$$\sigma\in K$となる．ここで，$\hat{X}^{k}$

は $k>0$ のとき$k$個の $X$ のスマッシュ積， $k=0$ のとき一点を意味する．

この定理の系として， $K$ の定める対角部分空間配置の補空間の Euler数を計算する．

系 1.3. 空間 $X$ が$n$次元連結閉多様体であり， $2(\dim K+1)<m$ である

とき，補空間 $X^{m}-\triangle_{K}(X)$ の Euler 数は次で与えられる．
$\chi(X)^{m}-(-1)^{mn}\chi(X)(1+\sum_{\emptyset\neq\sigma\in K}(\chi(X)-1)^{|\sigma|})$Proof.

$X$はコンパクト多様体なので，$\triangle_{K}(X)$は $mn$ 次元多様体 $X^{m}$ のコンパクト，局所可縮な部分空間である．よって，Lefschetz 同型定理より，
瓦 $(X^{m}, X^{m}-\triangle_{K}(X);\mathbb{Z}/2)\cong H^{mn-i}(\triangle_{K}(X);\mathbb{Z}/2)$

132となり， $\chi(X^{m}, X^{m}-\triangle_{K}(X))=(-1)^{mn}\chi(\triangle_{K}(X))$ を得る．定理 1.2 から$\chi(X^{m}, X^{m}-\triangle_{K}(X))=(-1)^{mn}\chi(X)(1+\sum_{\emptyset\neq\sigma\in K}(\chi(X)-1)^{|\sigma|})$となることがわかり， $\chi(X^{m})=\chi(X^{m}, X^{m}-\Delta_{K}(X))+\chi(X^{m}-\triangle_{K}(X))$

により証明終わり口注意 1.4. 系 1.3 において $X$ のコンパクト性は必要である．例えば， $X$ がユークリッド空間 で $K$ が空集合のみからなるとき，補空間 $X^{m}-\triangle_{K}(X)$は $S^{m-2}$ にホモトピー同値であるので，系]..3 の公式は成り立たない．
$\mathbb{R}$2

証明の流れ
定理 1.2 の証明は，おおまかに次の三つの段階 (どれも非常に初等的)を踏む．

1. $2(\dim K+1)<m$ という条件を用いて，$\Delta_{K}(X)$を全空間とするホモトピーファイブレーションを構成する．

2. このホモトピーファイブレーションのファイバー包含写像は懸垂すると左ホモトピー逆写像をもつことを示す．

3. 一般に，ホモトピーファイブレーションの包含写像の懸垂が左ホモトピー逆写像をもつとき，全空間の懸垂がファイバーと底空間を用いて分解されることを示し，$\triangle_{K}(X)$に応用する．

:

1 について $2(\dim K+1)<m$ という条件から，任意の点 $(x_{1}, \ldots, x_{m})\in$の成分のうち半分より多くが $X$ の同じ点であることがわかる．このような点を対応させることにより，連続写像 $\pi:\triangle_{K}(X)arrow X$ を得る．

$\triangle_{K}(X)$

この写像を $K$ の単体$\sigma$に対してと同一視される．つまり，$\pi$$\triangle_{\sigma}(X)$に制限したものは射影 $X^{|\sigma|+1}arrow X$は共通の底空間をもつファイブレーションの和となり，一般にこのように構成されるものはホモトピーファイブレーションであることが知られている．Proposition, pp. 180] を参照) よって， $\pi:\triangle_{K}(X)arrow X$ はホモトピーファイブレーションである．

まず， $X$ がホップ空間のときに左ホモトピー逆元を直接構成する．(これは懸垂せずにつくれる) 次に一般の場合をこの特別な場合2 について133を通して帰着させる．1 でつくったホモトピーファイ
ブレーションのファイバーは多面体積と呼ばれる空間で，この空間は懸に懸垂写像$E=\Omega\Sigma$

垂すると分解することが知られている．(. 参照) この分解が上の$[Y_{1\sim^{\dot{\hat{J}}}.f^{;}(^{\backslash }:\zeta_{J}^{t}]}-\prime.g.$

帰着を可能にしている．
3 について :ホモトピーファイブレーション $Farrow jEarrow\pi B$ に対して，$\Sigma j$の左ホモトピー逆写像$\overline{f}=\Sigma^{-1}r^{*}(\Sigma f)\in H^{*}(E)$$r$が存在するとする． $f\in H^{*}(F)$ に対して，は$j^{*}(\overline{f})=f$をみたす．よって， $F$ が有限型なら Leray-Hirsch の定理より，合成$\Sigma E-^{pinch}\Sigma E\vee\Sigma E\vee\Sigma Earrow\Sigma B\Sigma\pi\vee r\vee\triangle\vee\Sigma F\vee\Sigma(E\wedge E)$$arrow\Sigma B\fbox{Error::0x0000} \Sigma F\fbox{Error::0x0000} \Sigma(B\wedge F)1\vee 1\vee( \pi\wedge r)$がコホモロジーで同型になることがわかる．ここで，$\triangle$は対角写像である． $F$ が一般の場合も少し工夫すると上の合成写像がホモロジーで同型になることがわかる．よって，J.H.C. Whitehead の定理より上の合成写を $X$に応用すると，像はホモトピー同値である．これを$\triangle_{K}(X)$$\triangle_{K}(X)$と多面体積の懸垂を用いて分解できる．上で述べた通り，多面体積の懸垂は分解するので，ここで得た分解はさらに細かく分解し，主定理を得る．

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$\dot{Z}$$\acute{c}$