数理解析研究所講究録
第 1576 巻 2008 年 11-28

11Noncommutative Spectral Decomposition with
Quasideterminant
鈴木達夫 (Tatsuo Suzuki)

芝浦工業大学教育支援センター

Center for Educational Assistance, Shibaura Institute of Technology
概要

I. Gelfand and V. ktal 市によって定義された quasideterminant の概念を利用して, 線
形代数におけるスペクトル分解理論の非可換版を作成した [S]. この理論では, 新たに非可換ラグランジ 補間式を定義し, Gelfand たちの非可換ケーリーハミルトンの定理と合わせることにより, 成分が非可換な行列に対しても, 行列の関数を決まった手続きで計算することができる. 例として, 四元数行列, スーパー行列, 調和振動子を成分に持つ行列の非可換スペクトル分解を与え, それを利用してそれぞれの指数行列を計算する.
$=$

1
$R$

quasideterminant の定義:(可換とは限らない) 結合的な多元環$A=(a_{r}.)_{1\leq r,*\leq n}\in M_{n}(R)$

行から
列から

$r_{1}^{j}:A$の$c_{j^{*}}:A$の $i$$A^{1j}:A$

から

$i$

$i$

$a$

行と

とその中のある成分の位置 ( , のに対して,$i$りを除いた行ベクトルりを除いた列ベクトル

$a$

$i$

列を取り除いてできる $(n-1)x(n-1)$ 行列とする.

Deflnition 1.

$(i,j)$ に対して $(A^{1j})^{-1}$ が存在するとする.

$A$の $(i,j)- q_{l1}asideterminant$で定義する ;$|A|_{ijj}=a:-r_{i^{j}}\cdot(A^{ij})^{-1}\cdot c_{J^{i}}$.

Example 1.
$A=(\begin{array}{ll}a_{11} a_{12}a_{21} a_{22}\end{array})$

に対し,$|A|11=a_{11}-a_{12}a_{22}^{-1}a_{21}$,$|A|_{12}=a_{12}-a_{11}a_{21}^{-1}a_{22}$,$|A|_{21}=a_{21}-a_{22}a_{12}^{-1}a_{11}$,$|A|_{22}=a_{22}-a_{21}c\iota_{11}^{-1}a_{12}$

.

を次式

12
Remark. 次のような記号も使う :$|A|_{11}=|_{a_{21}a_{22}}^{\fbox{ }a_{12}}|=a_{11}-a_{12}a_{22}^{-1}a_{21}$Proposition 2. すべての$|A|_{ij}^{-1}$が存在するとき,$A^{-1}$は次のように書ける ;$A^{-1}=(|A|_{ji}^{-1})_{1\leq i,j\leq n}$

Remark. $R$ が可換な場合, quasideterminant たちは det$|A|_{*j}=(-1)$$A$に一致するのではなく,.
$\frac{\det A}{\det A^{ij}}$となる.

Example 3. 四元数行列$A=(\begin{array}{ll}1 ij k\end{array})\}_{-}^{}*\backslash 1$$|A|_{11}^{-1}$$=$$(1-i \cdot k^{-1}j)^{-1}=(1+ikj)^{-1}=\frac{1}{2}$$|A|_{21}^{-1}$$=$$(j-k \cdot i^{-1}1)^{-1}=(j+ki)^{-1}=(2j)^{-1}=-\frac{j}{2}$$|A|_{12}^{-1}$$=$$(i-1 \cdot j^{-1}k)^{-1}=(i+jk)^{-1}=(2i)^{-1}=-\frac{i}{2}$$|A|_{22}^{-1}$$=$$(k-j . 1^{-1}i)^{-1}=(k-ji)^{-1}=(2k)^{-1}=- \frac{k}{2}$

よつて$Exarr\iota plc4$

し,$A^{-1}= \frac{1}{2}(\begin{array}{ll}1 -j-i -k\end{array})$.

$|\begin{array}{lll}\fbox{}a_{11} a_{12} a_{l3}a_{2l} a_{22} a_{2S}a_{3l} a_{32} a_{33}\end{array}|=a_{11}-(a_{12}a_{13})(|\begin{array}{l}A^{11}A^{11}\end{array}|231$$=$$|\begin{array}{l}A^{11}A^{11}\end{array}|2s^{1}1)(\begin{array}{l}a_{21}a_{31}\end{array})$$a_{11}-a_{12}(a_{22}-a_{2\}a_{ss}^{-1}a_{32})^{-1}a_{21}-a_{12}(a_{32}-a_{33}a_{23}^{-1}a_{22})^{-1}a_{31}$$-a_{13}(a_{23}-a_{22}a_{32}^{-1}a_{33})^{-1}a_{21}-a_{13}(a_{33}-a_{32}a_{22}^{-1}a_{23})^{-1}a_{31}$2.

非可換ケーリー. ハミルトンの定理
非可換成分の行列$A=(\begin{array}{ll}a_{11} a_{12}a_{21} a_{22}\end{array})$$\Phi_{1}(\lambda)$

に対し, 次の 2 つの (非可換) 特性多項式を考える$=$$\lambda^{2}-(a_{11}+a_{12}a_{22}a_{12}^{-1})\lambda+(a_{12}a_{22}a_{12}^{-1}a_{11}-a_{12}a_{21})$$\equiv$$\lambda^{2}-tr_{1}(A)\lambda+\det_{1}(A)$13$\Phi_{2}(\lambda)$$=$$\lambda^{2}-(a_{22}+\text{α_{}21}a_{11}a2^{1})\lambda+(a_{21}a_{11}a2^{1}a_{22}$≡$\lambda^{2}-tr_{2}(A)\lambda+\det_{2}(A)$$a_{21}a_{12})$一

このとき, 次の恒等式がなりたつ.
$A_{-}(^{tr_{1}(A)}0tIA))A+($

塑$)$$dt1_{(A)})=0$

これがケーリー・ハミルトンの定理の非可換版である.
非可換成分の 次正方行列 A
に対しても, 同様の式が成り立つことが知られている.
$n$

ここで, 原論文 [Theorem 5.

$=(\text{α_{}\backslash j})$

$GKLLRT\ovalbox{\tt\small REJECT}$よりも簡単な証明も与える。

0KL 砿 $RT7^{A=}(a_{ij})\in M(n, R)$ に対して, 2 行目に対する 「非可換特性多項式」$\ovalbox{\tt\small REJECT}$を次のように定義する ;))一$\Phi_{i}(\lambda)$$=$$|a1n^{1)}a\ovalbox{\tt\small REJECT}.\cdot\cdot n$$|$$.\cdot.$$1$$aaI111$)α$\ovalbox{\tt\small REJECT} 20$(1)$a\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT} n\fbox{}\lambda}a.a^{\lambda^{n}}n^{1\text{》}1}$$a\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} a\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2_{1)}}a_{\backslash !_{2}^{-})}$)》$\lambda^{\mathfrak{n}_{-\text{Σ^{}q_{i^{k}}}\lambda^{7}}}nk$

奮$\overline{=}1$

ここで瀞 $=(a!jk))$ 。各が成り立っ.

$\Phi_{i}(\lambda)$

溜P π oo ザ未知変数を$C_{(i}$が定義されるとき, 次の形の Ca〃Z ε勤πα m 肋η の定理の非可換版$-\ovalbox{\tt\small REJECT}(\begin{array}{llll}O_{(1)\text{愚}} 0_{(2\text{》髭}} \ddots q_{\text{篇})\text{為}}\end{array})$σ, ん $=1,$$\ovalbox{\tt\small REJECT} n$)

一α) として, 方程式 (2) を考える.

このとき (2) の的の成$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

分は$a\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\text{》_{}-\text{Σ^{}C_{(i\text{》}k}a}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{-k)}=0}^{n}}$$(i,j=1, \ovalbox{\tt\small REJECT} n)$,(3)

み $=1$

すなわち($C^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}’\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$a=@1n_{\ovalbox{\tt\small REJECT}},$鋤14が定義されるとき・ 連立方程式 (4) は一意に解けて σ (樋が得られる. さらに (3) より,
目に対する非可換特性多項式は$\Phi_{i}(\lambda)$)

Σ$\Phi_{i}(\lambda)$

$=$

$|$

$i$

行

み)

Σ

.

$k_{1}c_{\text{ω_{}k}a}\ovalbox{\tt\small REJECT} r^{-}a_{\backslash 1^{-}}^{(1)}a_{\backslash 1}^{(0)}n.\cdot.k$$k_{=1}^{c_{\text{ω_{}k}a}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{響}}a_{\text{伽^{}-}|}^{(1)}a_{\backslash }^{(0)}1n.\cdot.n^{-}$$.\cdot$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$|\text{α_{}\backslash 1}^{(n-1)}a_{\backslash 1}^{(0)}0$°$\lambda^{n_{-}}$

Σ

$9$

°

$O_{(i^{\text{ゐ}}}\lambda^{\mathfrak{n}}$$=1\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{ゐ_{・}}$ゐ口

この証明より, 次の系が得られる.

恒等式 r 幻が成り立ち, ピ ノ式の 卿傭 4e εε 于畝薦 6
Corollaryが定義されれば,は
Σ $k_{1}C$ の λ $n$ こ等しレ・.. 特に, 4 に対する億常のノ 0 α吻–η 1 の定理が成り立
ち r 広 ε・すべての に対し $C_{\text{ω}k}=Ck$ 各が定義されれば, すべての)
σ $=1,$$1$$1_{\text{・}}$$\Phi_{\backslash }(\lambda)$$\lambda^{n}$$\Phi_{i}(\lambda)$

$i$

$k$

$i$

$\Phi_{:}(\lambda)$

は通常の特性多項式$\Phi(\lambda)$$t\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\Phi_{i}(\lambda)$$\ovalbox{\tt\small REJECT} n$に一致する.

さらに, 対偶として次の系が得られる;

Corollary
異なれば,$2_{\text{・}}$

与えられた \mbox{\boldmath $\theta$}非可換成分ノ行列 4 に対して, 非可換特性多項式

ゑに関する可換 0 α卿$\Phi_{\backslash }(\lambda)$

たちが各 で$i$$Ham$ 伽 on の定理の形の恒等式は存在しない.

$y$ ・

Eample 孟を量子群 σ $L_{q}(n)$ の generator の行列 $A_{q}=(a:j)$ とすると, 非可換砺 yley-Hamiltonの定理 (量子 Cayley-Ramilton の定理) が成り立つことが知られている IGKLLRT]. 例えば $n=2$$6_{\text{・}}$

では,

関係式
$a_{11}a_{22}$一$a_{22}a_{11}=(q^{-1}-q)a_{12}a_{21},$$a_{11}a_{21}=q^{-1}a_{21}a_{11},$$a_{12}a_{229^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}=a_{22}a_{12}1$$a_{12}a_{21}=\text{α_{}21}\text{α_{}12}$を用いて次が成り立っ.

$A1-(q$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(^{q}3^{\text{ρ}}91)2$

一$=$

しかしながら, 各行に対する非可換特性多項式たちは異なる ;よって,$\Phi_{1}(\lambda)$$=\lambda^{2}-(a_{1}+9^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1\text{α_{}22})\lambda+q^{-1}\text{α_{}11}\text{α_{}22}-q^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\text{α_{}12}a_{21}2$$\Phi_{2}(\lambda)$$=\lambda^{2}-(qa_{11}+a_{22})\lambda+qa_{11}a_{22}$一$a_{12}a_{21}$.

A に関する可換 Cayley-Hamilton の定理の形の恒等式は存在しない.

α

15

3

「非可換スペクトル分解理論」の概略

Deflnition 2.
, $x$ ∈
$x_{1X},$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$に対し, $va_{ndermonde}$ quasidetermina 虻を次で定義する :$R$$V(x_{1},$$. x)=|\begin{array}{lll}\text{瞭^{一}}1 \ovalbox{\tt\small REJECT} \fbox{}\text{璽ヨ}\text{釦_{}1} X\text{為}1 \ovalbox{\tt\small REJECT} 1\end{array}|$…

De 血 nition

賑$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$3_{\text{・}}$(非可換ラグランジュ補間式)

一一$1,$ $\ovalbox{\tt\small REJECT} n$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT})^{-1}$が存在するとする.

$2\in R$ の多項式ゐ

(2) σ

$=$

) を次の式で定義する.

($x$$f=\ovalbox{\tt\small REJECT} n$

)

$17)$

翫αηρ le 7, $n=2$ のとき,$f$Lemma 1.
(1)
(2)

叛,

$|^{\fbox{}x}|\text{∴_{}+}|_{\fbox{}1}^{x_{1}}x|1$$=$$(x_{1}$$=$$(x_{1}x_{2})^{-}1+(\text{粥_{}2-忽_{}1})^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1x_{2}$$=$$(x_{1}-x_{2})^{-1}($ 之一$x_{2})^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1z+(1-xJ^{1}x_{1})^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1$$x_{2})$,, 鞠, $2\in R$ に対し, 次が成り立っ.
乃 (2) 十( $j=0,1$ デ・・, $n-1$ )十魔 $fn($ の$=2^{j}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(x_{j})=\text{δ_{}\backslash j}$

Theorem 8(主定理). 与えられた 2,$V(x,$

一$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$X^{j}f1($ ￠ $)+X^{j}$轟$=$$\ovalbox{\tt\small REJECT} x,$$x_{1},$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$, $x_{n}\in R$ が$Z=0$ を満たすとき, 次が成り立っ :
忽

泡

皿
$|$

$n^{1}x_{1}$$\underline{n}_{1}$$(m=0,$

一・$n, n+1,$$n_{1}$

証明は, quasideterminant の 「 $Sylvestersidentity$ 」 を用いる (後ほど).

・
・ $)$

(5)

16
(5) を書き直すと, 非可換ラグランジ -補間式の定義から$=$$z^{m}$

なので,

$z$

)

$=$

(

$=$

$x_{1}^{m}f_{1}(z)+\cdots+x_{n}^{m}f_{n}(z)$$x_{1}^{m}$...

$x_{n}^{m}$$(x_{1}^{n_{1}-1} .

x_{n_{1}}^{n-1})(\begin{array}{l}z^{n-1}\vdots 1\end{array})$の非可換スペクトル分解$(m=0,1, \cdots)$$z^{m}=x_{1}^{m}f_{1}(z)+\cdots+x_{n}^{m}f_{n}(z)$を得る.
特に, 2 が非可換成分行列 $A=(a_{1j})$ のときは,$a:_{1},$$\cdots x_{n}$を対角行列とおき,$V(x_{1}, \cdots x_{n},A)=0$

を考えると,$x_{1},$$\cdots x_{n}$の対角成分は非可換ケーリーハミルトンの定理における特性方程式たちの解になる. よって, それらが解ければ,$A$の非可換スペクトル分解$A^{m}=x_{1}^{m}f_{1}(A)+\cdots+x_{n}^{m}f_{n}(A)$$(m=0,1, \cdots)$

を得る.

3.1

例: 四元数行列のスペクトル分解と指数行列四元数を成分とする行列として, Lie 環 $sp(2)$ の元$A=(\begin{array}{ll}i jj -i\end{array})$を考え, その指数関数 exp $tA$ を求めてみる.
$A^{2}=(\begin{array}{l}2-2k-2k-2\end{array})$

より, 各行ごとの非可換特性方程式は,より,$\lambda=0,2i$$\Phi_{1}(\lambda)=|-21i$$2k$$\Phi_{2}(\lambda)=|-2kj0$

$-2$

,

17
より,

$\lambda=0,$$-2i,$.

次に非可換ラグランジ

$=L$

補間式

$f_{1}(z)=(x_{1}-x_{2})^{-1}(z-x_{2})$にお V|て $z=A$ ,$x_{1}=(^{2i}$’,$f_{2}(z)=(x_{2}-x_{1})^{-1}(z-x_{1})$とおくと,$x_{2}=(0 0)$$-2i_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$ノ$P_{1}$$=$$f_{1}(A)= (2i -2i)A=\frac{1}{2}$$P_{2}$$=$$f_{2}(A)=\{-(2i -2i)\}^{-1}\{$ $A$$-k1)$$k1$

一$(2i -2i)\}=\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}1 k-k 1\end{array})$.

このようにおくと $P_{i}^{2}=P:,$ $P_{i}P_{j}=0(i\neq j),$ $P_{1}+P_{2}=E$ を満たしていることも確かめられる.
そして, 通常のスペクトル分解のように $A$ の指数関数を簡単に求めることができる. すなわち,exp $tA=$$(\exp tx_{1})F_{1}+(\exp tx_{2})P_{2}$$(e^{2it} e^{-2\cdot t})\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}1 -kk 1\end{array})+ (1 1)\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}1 k-k 1\end{array})$$\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}e^{2\cdot t}+1 -e^{2}{}^{t}k+ke^{-2it}k-k e^{-2\cdot t}+1\end{array})$$(\begin{array}{ll}e{}^{t}cost e{}^{t}sintje^{-\cdot l}sintj e^{-it}(ios^{\backslash }t\end{array})$$\in Sp(2)$Remark.
$x_{1}=(2i 0)$$x_{2}=(0 -2i)$は射影行列になっていない. それにもかかわらず, 定理 8 によって, $A^{m}=x_{1}^{m}fi(A)+x_{2}^{m}f_{2}(A)$ が成り立ち, exp $tA$ が計算できる ! (不思議 !)とおいた場合,3.2$[A, x_{1}]\neq 0,$$[A, x_{2}]\neq 0$

で, $fi(A),$$f_{2}(A)$例: スーパー行列のスペクトル分解と指数行列$x_{1_{-}}.x_{2},$$\theta_{1},$$\theta_{2}$の関係式を$[x_{\mu}, x_{\nu}]=[x_{\mu}, \theta_{\alpha}]=\{\theta_{\alpha}, \theta_{\beta}\}=0$$(\mu, \nu, \alpha, \beta=1., 2)$

行列$Q=(\begin{array}{ll}x_{1} \theta_{1}\theta_{2} \prime ix_{2}\end{array})$のスペクトル分解と指数行列を求める.
$Q^{2}=(\begin{array}{ll}x_{1}^{2}+\theta_{1}\theta_{2} (x_{1}+ix_{2})\theta_{1}(x_{1}+ix_{2})\theta_{1} \theta_{2}\theta_{1}-x_{2}^{2}\end{array})$とする. スーパー18より, 各行ごとの非可換特性方程式は,$\Phi_{1}(\lambda)=|\begin{array}{lll}x_{1}^{2}+\theta_{1}\theta_{2} (x_{1}+ix_{2})\theta_{1} \fbox{}\lambda^{2}x_{I} \theta_{1} \lambda 1 0 1\end{array}|=\lambda^{2}-(x_{1}+ix_{2})\lambda+ix_{1}x_{2}-\theta_{1}\theta_{2}=0$

より,$\lambda=\alpha_{1},$$\beta_{1}$, ここで,$\alpha_{1}=x_{1}+\frac{\theta_{1}\theta_{2}}{x_{1}-ix_{2}}$,$\beta_{1}=ix_{2}$一$\frac{\theta_{1}\theta_{2}}{x_{1}-ix_{2}}$また,$\Phi_{2}(\lambda)=|\begin{array}{llll}(x_{1} +ix_{2})\theta_{1} \theta_{2}\theta_{1}-x_{2}^{2} \fbox{}\lambda^{2} \theta_{2} ix_{2} \lambda 0 l l\end{array}|=\lambda^{2}-(x_{1}+ix_{2})\lambda+ix_{1}x_{2}+\theta_{1}\theta_{2}=0$

より,$\lambda=\alpha_{2},$$\beta_{2}$, ここで,$\alpha_{2}=x_{1}-\frac{\theta_{1}\theta_{2}}{x_{1}-ix_{2}}$,$\beta_{2}=ix_{2}+\frac{\theta_{1}\theta_{2}}{x_{1}-ix_{2}}$.

ここで次のような変数変換をする ;$y_{1}=x_{1}+ \frac{\theta_{1}\theta_{2}}{x_{1}-ix_{2}}$,$y_{2}=x_{2}- \dot{\iota}\frac{\theta_{1}\theta_{2}}{x_{1}-ix_{2}}$$\omega_{1}=\frac{\theta_{1}}{x_{1}-ix_{2}}$,$\omega_{2}=-\frac{\theta_{2}}{x_{1}-ix_{2}}$

,

.

このとき,
$Q=(\begin{array}{ll}x_{1} \theta_{1}\theta_{2} ix_{2}\end{array})=(\begin{array}{llll}y_{1}+\omega_{1}w_{2}(y_{1} -iy_{2}) \omega_{1}(y_{1} -iy_{2})-\omega_{2}(y_{l} -iy_{2}) iy_{2}+\omega_{l}\omega_{2}(y_{1} -iy_{2})\end{array})$さらに,$\alpha_{1}=y_{1}$,$\beta_{1}=iy_{2}+2\omega_{1}\omega_{2}(y_{1}-iy_{2})$$\alpha_{2}=y_{1}+2\omega_{1}\omega_{2}(y_{1}-iy_{2})$となるので,$(1+2\omega_{1}w_{2})^{-1}=1-2w_{1}\omega_{2}$$P_{1}=f_{1}(Q)$

$=$

,

,

$\beta_{2}=iy_{2}$などに注意して, 非可換ラグランジ $=$ 補間式より,$(\alpha_{1}-\beta_{1} \alpha_{2}-\beta_{2})1(\begin{array}{ll}x_{1}-\beta_{1} \theta_{1}\theta_{2} \prime ix_{2}-\beta_{2}\end{array})$$(\begin{array}{lll}1+ \omega_{1}\omega_{2} \omega_{1}-\omega_{2} \omega_{1}\omega_{2}\end{array})$ラ$P_{2}=f_{2}(Q)$$=$$(\beta_{l}-\alpha_{1} \beta_{2}-\alpha_{2})(\begin{array}{ll}x_{l}-\alpha_{1} \theta_{1}\theta_{2} ix_{2}-\alpha_{2}\end{array})$$(\begin{array}{ll}-w_{1}\omega_{2} -w_{1}\omega_{2} 1-\omega_{1}\omega_{2}\end{array})$.

19
このようにおくと
これより,$P_{i}^{2}=P_{i},$$P_{i}P_{j}=0(i\neq j),$ $P_{1}+P_{2}=E$を満たしていることも確かめられる.

$e^{2\prime}w_{I}*z(y_{I}arrow\Re)\omega_{2}=(1+2\omega_{1}w_{2}(y_{1}-iy_{2}))\omega_{2}=\omega_{2}$などに注意して,exp $Q=$$(e^{\alpha_{1}} e^{\alpha}’)f_{1}(Q)+(e^{\beta_{1}} e^{\beta_{2}})f_{2}(Q)$$(e^{y_{1}} e^{l\iota+2u_{1}\omega,(y_{1}-|lz)})(\begin{array}{lll}1+ w_{1}\omega_{2} w_{1}-\omega_{2} w_{1}\omega_{2}\end{array})$$+(e^{|y_{2}+2w_{1}w_{2}(y_{1}-i_{W})} e^{iy*})(\begin{array}{ll}-w_{1}w_{2} -w_{l}\omega_{2} 1-\omega_{1}w_{2}\end{array})$$(\begin{array}{ll}e^{y\iota}(1+\omega_{1}\omega_{2})-e^{iy_{2}}w_{1}\omega_{2} (e^{y_{1}}-e^{iy}’)w_{1}-(r^{\mathfrak{n}}-e^{i\varphi})w_{2} \rho_{\prime}^{y_{1}}\omega_{1}\omega_{2}+e^{iy}’(\backslash .l-w_{1}\omega_{2})\end{array})$$e^{y\iota}+(e^{y_{1}}-e^{1y2})\omega_{1}w_{2}$$(e^{y_{1}}-e^{iy_{2}})\omega_{1}$$-(e^{V1}-e^{1u})\omega_{2}$$e^{\iota n}+(e^{V1}-e^{iy}’)\omega_{1}\omega_{2}$さらに, スーパートレースとスーパー行列式 (Berezinian) を

str$(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})$$=$

tr $A-trD$ ,sdet$(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})$$=$$(\det(A-BD^{-1}C))(\det D)^{-1}$$=$$(\det A)(\det(D-CA^{-1}B))^{-1}$と定義すると,sdet $(\exp Q)$$=$$(e^{y_{1}}+(e^{y}\iota-e^{i}n)\omega_{1}\omega_{2})[(e^{iy_{2}}+(e^{y_{I}}-e^{iyz})\omega_{1}\omega_{2}$$+(e^{M}-e^{iy_{2}})w_{2}$.

$(e^{y_{1}}+(e^{y_{1}}-e^{1\Re})w_{1}w_{2})^{-1}$$=e^{y_{1}-1y_{2}}=e^{\iota_{1}-iu_{2}}=e^{strQ}$

3.3
$a,$

.

$(e^{h}-e^{1y})\omega_{1}]^{-1}$が確かめられる.

例: 調和振動子を成分にもつ行列のスペクトル分解と指数関数$a^{t}$

を調和振動子とする. 関係式は $[a, a\dagger]=1$ . また, number operator $N$ を $N=a\dagger a$ とする.

20の$A=\sqrt{2}(\begin{array}{lll}0 a 0a\dagger 0 a0 a\dagger 0\end{array})$(非可換) スペクトル分解を求めたい.
ノ$A^{2}=2(\begin{array}{lll}N+l 0 a^{2}0 2N+1 0(a\dagger)^{2} 0 N\end{array})$,$A^{3}=2\sqrt{2}(2N$ $+001)a^{\uparrow}$$(2N-1)a(2N+3)a_{\dagger}0$$(2N00+1)a)$より, 非可換特性方程式$2\sqrt{2}(2N+3)a\sqrt{2}a002a^{2}\lambda^{2}000$$\Phi_{1}(\lambda)=.|2(N+1)001$

より,$\lambda=\pm\sqrt{2(2N+3)},$$0$,$\Phi_{3}(\lambda)=|2(a^{t})^{2}000$より,$\lambda=\pm\sqrt{2(2N-1_{J}},$$0$$2\sqrt{2}(2N-1)a\dagger\sqrt{2}a^{1}0020N\lambda^{2}01$.

Remark.
$\Phi_{2}(\lambda)=|2\sqrt{2}(2N+1)a^{t}\sqrt{2}a^{1}002(2N+1)001$

は $quas^{\backslash }ideterlninant$ が定義できず, 求まらない.

$A^{a}+UA^{2}+VA+W=0$$2\sqrt{2}(2N+1)a$

そこで直接$U,$ $V,$ $W$

は対角行列

とおき 2 行目を見ることにより,$\lambda^{3}+u\lambda^{2}-2(2N+1)\lambda-2^{l}u(2N+1)=0$( は任意)$u$21
次に非可換ラグランジ -補間式を計算する.
$\supset$$f_{1}(z)$$|\begin{array}{lll}\fbox{}x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2}x_{1} x_{2} x_{\delta}1 1 1\end{array}|z^{2}+|$$=$$(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}(x_{2}-x_{3})^{-1}x_{1}-x_{3}^{2}(x_{3}-x_{2})^{-1}x_{1}$$=$$-x_{2}^{2}(\iota_{3}-x_{2})^{-1}x_{3}-x_{3}^{2}(x_{2}-x_{3})^{-1}x_{2})^{-1}z^{2}$+(絢$-x_{2}(x_{2}^{2}-x_{3}^{2})^{-1}x_{1}^{2}-x_{3}(x_{3}^{2}-x_{2}^{2})^{-1}x_{1}^{2}$$-x_{2}(x_{3}^{2}-x_{2}^{2})^{-1}x_{3}^{2}-x_{3}(x_{2}^{2}-x_{3}^{2})^{-1}x_{2}^{2})^{-1}z$$+(1-(x_{2}^{2}-x_{3}x_{2})^{-1}x_{1}^{2}-(x_{3}^{2}-x_{2}x_{3})^{-1}x_{1}^{2}$$-(x_{2}-x_{3}^{-1}x_{2}^{2})^{-1}x_{1}-(x_{3}-x_{2}^{-1}x_{3}^{2})^{-1}x_{1})^{-1}$

特に $x_{1}=x,$ $x_{2}=0,$ $x_{3}=-x$ のとき,
$f_{1}(z)$

ここで

$z$

$=$

$(x^{2}-(-x)^{2}(-x)^{-1}x)^{-1}z^{2}+(x-(-x)(-x)^{-2}x^{2})^{-1}z+0$$=$$(2x^{2})^{-1}z^{2}+(2x)^{-1_{Z}}$の $0$ 次の項は,homological relation を用いて次のように計算する :$|\begin{array}{lll}x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2}x_{1} x_{2} x_{3}\fbox{}1 1 1\end{array}|$

$=$

$-|$

$x_{1}x_{3}^{2}a|^{-1}|_{\fbox{ }x_{3}}^{x_{2}^{2}x_{3}^{2}}||_{\fbox{ }1}^{x_{2}^{2}x_{3}^{2}}|^{-1}$$-|\begin{array}{lll}x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2}\fbox{}x_{1} x_{2} x_{3}1 1 1\end{array}|(x_{2}-x_{3}^{-1}x_{2}^{2})(1-x_{3}^{-2}x_{2}^{2})^{-1}$$arrow$$-(2x)^{-1}\cdot 0\cdot 1=0$$(x_{1}arrow x, x_{2}arrow 0, x_{3}arrow-x)$

そして$z=A$ ,

$x=(\begin{array}{lllll}\lambda(N) \lambda(N -l) \lambda(N -2)\end{array}),$$\lambda(N)=\sqrt{2(2N+3)}$.

22
とおいてみると,$P_{1}$$=f_{1}(A)$$=$$(2x^{2})^{-1}A^{2}+(2x)^{-1}A$$=$$(\begin{array}{llll}(2\lambda(N))^{-2} (2\lambda(N -1))^{-2} (2\lambda(N-2))^{-2}\end{array})\cdot 2(\begin{array}{lll}N+1 0 a^{2}0 2N+1 0(a\dagger)^{2} 0 N\end{array})$$+(\begin{array}{lllll}(2\lambda(N))^{-1} (2\lambda(N -1))^{-1} (2\lambda(N -2))^{-1}\end{array})\cdot\sqrt{2}(\begin{array}{lll}0 a 0a\dagger 0 a0 a\dagger 0\end{array})$$=$$(\begin{array}{lll}\frac{1}{2(2N+3)} \frac{l}{2(2N+1)} \frac{1}{2(2N-l)}\end{array})(\begin{array}{lll}N+1 0 a^{2}0 2N+1 0(a^{|})^{2} 0 N\end{array})$$+(\begin{array}{lll}\frac{1}{2\sqrt{2N+3}} \frac{1}{2\sqrt{2N+1}} \frac{1}{2\sqrt{2N-1}}\end{array})(\begin{array}{lll}0 a 0a^{|} 0 a0 a\dagger 0\end{array})$

$=$

同様に,
$P_{2}$($f_{2}(z),$$\sqrt{2}^{\dagger}$$f_{3}(z)$$\sqrt{2-1}^{1^{\frac{1}{2}}}2\sqrt{22+3}^{1}a^{1}a$で $z=A,$),$\frac{1}{2(2,2\frac{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{N}^{1}+1N+3)a}{2(2N-1)}}a2$$x_{1}=x,$ $x_{2}=0,$$x_{3}=-x$ とおいたものから,$=f_{2}(A)$$=$$(-x^{2})^{-1}A^{2}+I_{3}$$=$$-(\begin{array}{lll}\frac{1}{2(2N+3)} \frac{l}{2(2N+l)} \frac{1}{2(2N-1)}\end{array})\cdot 2(\begin{array}{lll}N+1 0 a^{2}0 2N+1 0(a^{\uparrow})^{2} 0 N\end{array})+(\begin{array}{lll}1 1 1\end{array})$$=$$(\begin{array}{lll}\frac{N+2}{2N+3} 0 -\frac{1}{2N+3}a^{2}0 0 0-\frac{1}{2N-1}(a^{t})^{2} 0 \frac{N-1}{2N-1}\end{array})$,23
であることがわかる. この式は

$V(x, 0, -x, A)=0$に一致している.

4

非可換スペクトル分解理論の主定理の証明

4.1

quasideterminant のいくつかの性質

Proposition 9. $(i,j)$ -quasideterminant において
1.

$i$

2.

$j$

行以外の行の左スカラー倍を加えても不変
列以外の列の右スカラー倍を加えても不変

Example 10. $i=2$$|\begin{array}{ll}a_{11} a_{12}a_{2l}+ka_{11} a_{22}+ka_{lt}\end{array}|=a_{22}+ka_{12}-(a_{21}+ka_{11})a_{11}^{-1}a_{12}=|a_{21}a_{11}$

特に $k=-a_{21}a_{11}^{-1}$ とすれば$|a_{21}a_{11}$Proposition 11.
1,$|A|_{*j}$が定義されるとき, 次の 3 つは同値.

$|A|_{*j}=0$

2. 行列

$A$

の第 行は $A$ の他の行の左 1 次結合

3. 行列

$A$

の第 列は $A$ の他の列の右 1 次結合

$i$

$j$

Example 12.

$|\begin{array}{lll}a_{11} a_{12} a_{11}\lambda+a_{l2}\mu a_{21} a_{22} a_{21}\lambda+a_{22}\mu a_{31} a_{32} a_{31}\lambda+a_{32}\mu\end{array}|$$a_{1q}\lambda+a_{12}\mu-(a_{11}a_{12})(\begin{array}{ll}a_{21} a_{22}a_{3l} a_{32}\end{array})\{(\begin{array}{l}a_{2l}a_{31}\end{array})\lambda+(\begin{array}{l}a_{22}a_{32}\end{array})\mu\}$$a_{11}\lambda+a_{12}\mu-(a_{11}a_{12})(01$$\lambda-(a_{11}a_{12})(\begin{array}{l}01\end{array})\mu$

ノ

$=0$

24
$P_{3}=f_{3}(A)$$=$$(2x^{2})^{-1}A^{2}-(2x)^{-1}A$$(\begin{array}{lll}\frac{1}{2(2N+3)} \frac{l}{2(2N+1)} \frac{1}{2(2N-l)}\end{array})(\begin{array}{lll}N+1 0 a^{2}0 2N+1 0(a^{\uparrow})^{2} 0 N\end{array})$$-(\begin{array}{lll}\sqrt{22N+3}1 \frac{1}{2\sqrt{2N+1}} \frac{1}{2\sqrt{2N-1}}\end{array})(\begin{array}{lll}0 a 0a\dagger 0 a0 a\dagger 0\end{array})$$(_{\frac{-\sqrt{}\frac{N+1}{22+12(2N+3)11(a}}{2(2N-1)}\dagger}a^{1})^{2}$

これらは$P^{2}=P_{i},$$P_{i}P_{j}=0(i\neq$

クトル分解のように, たとえば$A$$- \sqrt{22N-1}^{a^{1}}-\sqrt{22N+3}^{1}\frac{1}{2,1}a$$\frac{1}{-2(2\frac{N+3)N1a}{2(2N-1)}}\sqrt{22+1}^{a)}2$.

のを満たしていることも確かめられる.

そして, 通常のスペの指数関数を簡単に求めることができる. すなわち,$cxp(-itgA)$$=\exp(-itgx)P_{1}+(\exp 0)P_{2}+\exp(it,gx)P_{3}$と求まる.

Rema $rk$. この$A$に対しては,“量子対角化法 ‘1 こよってノ1$(\begin{array}{lll}1 a\frac{l}{\sqrt{N}} a_{\sqrt{N(N-1)}^{1}}^{2}\end{array})A$$\sqrt{N}^{1}a^{t}$$\sqrt{N(N-1)}^{1}(a^{\uparrow})^{2})=\sqrt{2}(0\sqrt{N+1}0\sqrt{N+2}\sqrt{N+1}0\sqrt{N+2}00)$

右辺の行列は可換成分のみをもつので, 通常のように特性方程式を計算すると,より,$\lambda^{3}-2(2N+3)\lambda=0$

この量子対角化法を用いて計算した結果 [FHKSW] と今回の非可換スペクトル分解の方法による結果は一致している.

Remark. 非可換特性方程式たちの形から,$A$に対する非可換ケーリーハミルトンの定理の式は$A^{3}+UA^{2}-x^{2}A-U\cdot 2(2N+1)=0$ ,$U=diag(O, u, 0),$

特に $u=0$ と置けば
$A^{3}-x^{2}A=0$

$u$

は任意,

25
4.2

Sylvester’s identity

Theorem 13. $A=(a_{1j})_{*,j=1,\cdots,n}$ } こ対し,その小行列 $A=(a_{1j})_{i,j=1,\cdots,k}$ が逆行列を持つとする.
このとき, $p,$ $q=k+1,$ $\cdots n$ に対し,

$c_{n}=|\begin{array}{llll} a_{1q} A_{0} \vdots a_{kq}a_{p1} a_{pk} a_{pq}\end{array}|$,$C=(c_{pq})_{p,q=k+1,\cdots,n}$とおくと, 次の恒等式 (Sylvester’s identity) が成り立っ.

for $i,j=k+1,$$|A|_{1j}=|C|_{1j}$($A_{0}$$\cdots n$.

を $C$ に対する pivot と呼ぶ)

ExamPle 14.
$|\begin{array}{lll}1 a_{12} a_{lS}0 a_{22} a_{23}\prime 0 a_{32} \theta 3\end{array}|$において,$(1, 1)$ 成分の$(i,j=2,3)$

1 を pivot とすれば,$c_{pq}=|\begin{array}{ll}1 a_{1q}0 a_{pq}\end{array}|=a_{pq}$$(p,q=2,3)$

よって,$|\begin{array}{lll}1 a_{12} a_{13}0 a_{22} a_{23}0 a_{32} a_{ 3}\end{array}|=|C|_{ij}=|\begin{array}{ll}a_{22} a_{23}a_{S2} a_{33}\end{array}|$

4.3$(i,j=2,3)$ .

主定理 (Theorem 8) の証明

Proof. 次の行列

$A$とその小行列$A_{0}$

を考える :$\ldots$$A=($$x_{1}^{n_{1}-1}x_{1}^{m}x^{n},1$$x_{n_{1}}^{n-1}x_{n}^{m}x_{n}^{n}$$0001^{-}$$z^{n-1}\sim z_{1}^{n}r^{m}:$),$A_{0}=(\begin{array}{ll}x_{l}^{n-1} x_{n}^{n-1}1 1\end{array})$

(6)

26
$p=1,2,$ $q=n$ 十を考えると,$1_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}n$

十 2 に対し,$A_{0}$を pivot とする quasideterminant を成分にもつ行列,$c_{1,\text{蔦}+2}=|\begin{array}{lll}\text{燦} \text{婿 }\fbox{}z\text{韮_{}-1}2^{\text{π}} \vdots A_{0} 1\end{array}|=V$$c_{2,n+2}=|\begin{array}{lll}z\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{の託}\fbox{}\text{至} 2^{\text{η^{}\ovalbox{\tt\small REJECT}}}1 A_{0} i 1\end{array}|=V(x_{1}, \ovalbox{\tt\small REJECT} x_{n}, z)=V$であり, Sylvester’s identity (定理 13) より,$\text{囚_{}1,n+2}$$|C\text{』_{}n+2}=|c_{1,\text{π}+1}c_{2,n+1}$$=$$=c_{1,n+2}-c_{1,n+1}c_{2,n+1^{C}2,n+2}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1$$=T/_{m}c_{1,n}+1^{C}2n_{+1}1^{\text{・}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

一方,$\text{凶_{}1,n+2}$$=$の理躍必r71 の4儒偲2ηれ鯵1$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$|$$\text{簗_{}\ovalbox{\tt\small REJECT}}z^{n-1}z_{\text{迄}}^{n}|$$(\begin{array}{ll}(\text{π}+2,\text{η}+2)\text{成分の}1\text{を}pivot \text{にして}s_{yl_{Ve8}t}id tity\end{array})$

●●●

$8$

$|x_{1}^{m_{1}-1}x_{1}^{n-2}x_{1}^{n-1}$$x_{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}}}^{-1}x_{1}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}x1\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1^{-1}}2^{n_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}z^{n_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}2,|2$

●

輪諾瓢藤変
$V_{-1}$ 之$’)$$C^{1}=(c_{\ovalbox{\tt\small REJECT}})$27
つまり$T_{m-1}\prime z=f_{m}\prime r-c_{1,n+1}c_{2,n+1}^{-1}T_{n}^{\gamma}$

が成り立っので, $t_{n}’/=0$ のとき,帰納法により $l_{m}^{\prime^{r}}=0(rn=n, n+1, \cdots)$ が成り立っ.

(7)$\square$Remark. 特に $n=2$ のとき,
$V_{m}=z^{m}-(x_{1}^{m}x_{2}^{m})(\begin{array}{ll}x_{1} x_{2}1 1\end{array})(\begin{array}{l}zl\end{array})=z^{m}-(x_{1}^{m}f_{1}(z)+x_{2}^{m}f_{2}(z))$などより, 恒等式 (7) は$\{z^{m-1}-(\tau_{1}^{m-1}f_{1}(\approx)+x_{2}^{m-1}f_{2}(z))\}z$$=z^{m}-(x_{1}^{m}f_{1}(z)+x_{2}^{m}f_{2}(z))$$-(x_{2}^{m-1}-x_{1}^{m-1})(x_{2}-x_{1})^{-1}\{z^{2}-(x_{1}^{2}f_{1}(z)+x_{2}^{2}f_{2}(z))\}$$(m=2,3, \cdots)$

5

(8)

となる.

考察
1. 非可換スペクトル分解は, 非可換成分を持った行列のべき乗や指数関数を求めるのに非常に強力な方法であり, 将来, 非可換幾何学や量子計算などにおいて有用であると期待される.

2. 一般には, 非可換特性方程式を解くのが難しい.
Remark. quasideterlninant は, 非可換成分行列に対する逆行列や種々の行列式を統一的に扱う道具として有用であり, 非可換可積分系への応用 [EGR], [GN], [GNO], [H], その他様々な応用[L1], [L2],[MR] などがある.

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28[GR2] I, Gelfand and V. Retakh, Noncommutative Vieta Theorem and Symmetric Functions,

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