数理解析研究所講究録 1251 巻 2002 年 70-8270二面体群へのコサイクルの個数について
近畿大学・理工学部

棧井恒信 (Tsunenobu Asai),

Department of Mathematics, Kinki Univ.
室蘭工業大学

竹 $F$ 原裕元 (Yugen$\mathrm{T}$森 egahara),

Muroran Institute of Technology
愛媛大学・理学部

庭崎隆 (Takashi Niwasaki),Depat 河 ment of Mathematics, Ehime Univ.

1

はじめに$A,$ $G$$a\in A$を有限群とし,$A$

は $G$ に作用してぃる, 即ち準同型$\varphi:Aarrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$が与えられてぃるものとする。

と $g\in G$ に対する $\varphi(a)(g)\in G$ を $ag$ と書く。 また, 代数的な同型のみならず, 集合 $X$ と全単射があるときにも$X\simeq \mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$の間にという記号を使う。 $X$ の濃度を $|X|$ で表す。

写像 $\zeta:Aarrow G$ がコサイクル (または斜準同型, 微分) とは,$\zeta(ab)=\zeta(a)\cdot a\zeta(b)$$(\forall a, b\in A)$が成り立つときにいう。 コサイクルの全体を $Z^{1}(A,G)$ で表す。
である。

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, G)$$G$が$\varphi$が自明な作用のときは, $Z^{1}(A,G)=$-加群のとき $Z^{1}(A,G)$ は (bar resolution に関する) 1 次のコサイクル群である$A$が, 一般の非可換な $G$ に対する $Z^{1}(A,G)$ には群構造が知られてぃない。 このことが以 T の議論を難しくしている最大の要因といえる。
さて, 有限群上の方程式の解の個数に関する Frobenius の古典的な定理 ([4], [6], [7], [8], [9], [11])$|\{g\in G|g^{n}=1\}|\equiv 0$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(n, |G|))$についての吉田 [10] にょる結果に関連して, 次の予想がある:を拡張した$|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,G)|$

予想 ([$]).

$|Z^{1}(A,G)|\equiv 0$(mod$\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(|A/A’|,$$|G|)$) が成り立っ。 ここで, $A’$ は $A$ の交換子群を表す。

この予想は現在 $A$ がアーベル群の場合につぃて調べられてぃるところで, $A$ が素数と基本可換 ?群 $B$ の直積$\mathrm{p}$に対する巡回 ?群の場合を含め, 幾っかの場合に正しいことが証明されてぃる ([9], [3],[1], [2], [13]
最近, これまで未解決であった場合, 即ち $A$ が巡回群 2 個の直積
で, $G$ が位数 $2n$ ( は 2 巾)の二面体群
, 準二面体群’ 及ひ一般四元数群の場合に予想が正しいことが証明できた。 本講演の目的はこのことの報告である。
アプロ– としては次の方法をとった。 $G$ の位数の特性巡回部分群 ( に注目し,
$C$

$)$

$C\mathrm{x}B$。

$C_{1}\mathrm{x}C_{2}$$D_{2n}$$\neq$$n$$x\}$(1) 巡回群 $C$ に対する $|Z^{1}(C, \langle x))|$ を初等整数論的に把え, その性(2) $|Z^{1}(A, (x))|\not\equiv 0$ (mod, を調べる。

$\pi$) となる場合を特徴づける。
(3) $Z^{1}(A, G)$ を $G$ の剰余類によって分割し, 作用を取り換えることにょり$\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(|A|,$$n$$Q_{2n}$$SD_{2\cdot*}.$$2n)$

本稿は $G=D_{2,*}$ の場合を解説したが, $SD_{2n}$ や$Q_{2n}$$Z^{1}(A, \langle x\})$の議論に帰着させる。

の場合も全く平行した議論で同様に計算できる。 こ

れらの群に限らず, 一般にこの種の, 巡回群に帰着させるような局所的な議論をするときには, 上記 (1) で調べた写像の性質は有用だと思われる。
や $G$ の位数に関する帰納法で証明しょうど試みるとき, 上記 (2) のような楊合 (ある状況
また, 予想を下で予想の記述より多くは で割れない場合) は次のステップにとって障害となる可能性があり, このケースを正確に記述することは後々重要な意味をもってくる。 このことに関連して, 次の結果がある。
$T$

$A$

$\mathrm{p}$71
定理 Ll ([2], [13]). $p$ を素数とし, 巡回 r 群 $C$ が ?群 $G$ に作用しているとする。 このとき, もし$|Z^{1}(C,G)|\not\equiv 0$となるならば, $G$ は巡回群, $D_{2n},$ $SD_{2n},$$Q_{2n}$(mod$|G|)$$\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(p|C|,$)の何れかである。

上記定理の主張の $p=2$ の場合は村井正文氏によって得られた。 本稿は $|A|$ に関する帰納法がのりにくいであろうと思われる, これら典型的な群についての計算例である。

2

半直積とコサイクルを強調するとき, $G$ のことで作用しているものとする。 作用と書く。 $G$ と $A$ の半直積を $G\aleph A$ で表す。 群の準同型 $f:Barrow A$ が与えられたとき, $B$ は $G$ に

群 $A$ が群 $G$ に準同型を

$G_{\varphi}$

合成写像$\varphi f$$\varphi:Aarrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$$\varphi$で作用する。次は (少くとも $G$ が $A$-加群のときは) よく知られていると思われる ([5,$\mathrm{I}\mathrm{V}$章],[12, 第 2 章 58] 等)。
定理 2.1. 群 $B$ に対して,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,G_{\varphi}*A)=\{\zeta\aleph f|f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,A), \zeta\in Z^{1}(B, G_{\varphi f})\}$である。 但し, ここで $(\zeta*f)(b):=(\zeta(b), f(b))(b\in B)$ である。
系 22. $\pi:G$ )$\triangleleft Aarrow A$

を自然な全射とする。 このとき, 次のような全単射がある。

$Z^{1}(A,G)\simeq\Phi\{\theta\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,G\mathrm{n}A)|\pi\theta=\mathrm{i}\mathrm{d}_{A}\}\simeq\Psi\{B\leq G\aleph A|GB=G\mathrm{x}A, G\cap B=1\}$

対応は $\zeta\in Z^{1}(A, G)$ に対して$\Phi(\zeta):=\zeta\nu \mathrm{i}\mathrm{d}_{A}$, 及びに対して $\Psi(\theta):=\theta(A)$ である。

$\theta\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, G*A)$とみなすことができる。 このことから, $A$ のから,とその基本関係 $R$ が与えられたとき, 準同型の場合と同様に, コサイクルを以下のように の生成集合
各元の行き先と関係 $R$ の言葉で表すことができる。
$A=\langle S|R\rangle$ とし, $S$ 上の自由群を $F$ とおく。 $A$ の $G$ 上の作用は, $F$ の $G$ 上の作用を自然に引き起こをす。 写像: $Sarrow G$ が与えられたとき, $S\cup S^{-1}(\subset F)$ の元の有限列全体から $G$ への写像

この系の一つめの対応$\Phi$$Z^{1}(A, G)\subset \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, G\aleph A)$

$S$

$S$

$\zeta_{F}$$\zeta_{S}$$\zeta_{F}(s):=\zeta_{S}(s)$,$\zeta_{F}(s^{-1}):=(\epsilon^{-1}\zeta_{S}(s)^{-1})$$\zeta_{F}(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}):=\zeta_{F}(s_{1})\cdot\epsilon_{1}\zeta_{F}(s_{2}, \ldots, s_{n})$$(s\in S)$,$(s_{1}, \ldots, s_{n}\in S\cup S^{-1})$により帰納的に定義する。 このとき, 自然に $\zeta_{F}\in Z^{1}(F, G)$ とみなせ, 更に次が成り立つ。
定理 23. $A=\langle S|R\rangle$ ならば, 自然な全単射 $Z^{1}(A,G)\simeq\{\zeta s:Sarrow G|\zeta_{F}(R)=1\}$ がある。

. (1)とする。 コサイクル $\zeta:Aarrow G$ を与えることは準同型を与えること, 即ち $(g, c)^{m}=1$ となる $(g, c)\in GnA$ を与えることと同値である。 自然数$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\downarrow 2.4$

$A=\langle c|c^{m}=1\rangle$$\zeta\aleph \mathrm{i}\mathrm{d}_{A}$$i$: $Aarrow G\aleph A$
に対し,$R(g,c,i):=g\cdot g\cdot g\cdots\cdot\cdot gee^{2}\mathrm{c}:-1$とおけば, $(g, c)^{:}=(R(g, c,i),c^{:})$ であるから,$Z^{1}(C, G)\simeq\{g\in G|R(g,c, m)=1\}$(2) 同様に,とき,$A=\langle c_{1}, c_{2}|c_{1}^{m_{1}}=c_{2}^{m_{2}}=1, c_{1}c_{2}=c_{2}c_{1}\rangle(=\langle c_{1}\rangle \mathrm{x}\langle c_{2}\rangle)\text{の}$$Z^{1}(A,G)\simeq\{(g_{1},g_{2})\in G\mathrm{x}G|R(g_{1},c_{1},m_{1})=R(g_{2},c_{2}, m_{2})=1, g_{1}\cdot g_{2}=g_{2}\cdot g_{1}\}e_{1}\mathrm{c}_{2}$72
次に系 22 の二っめの対応($GB\ovalbox{\tt\small REJECT} G\mathrm{x}A,$$G\cap B\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$に注目する。 $\zeta\in Z^{1}(A, G)$ を与えることと,における $G$ の補群となるのこと) を与えることとは同値であった。 今, $\zetaarrow Z^{1}(A, G)$$\Phi$$G\mathrm{x}A$$B\ovalbox{\tt\small REJECT} G\mathrm{x}A$を一つ固定する。 系 22 に現われた$A_{\zeta}:=(\zeta*\mathrm{i}\mathrm{d}_{A})(A)=\{(\zeta(a), a)\in G\mathrm{x}A|a\in A\}$

は $G\mathrm{n}A$ における $G$ の補群であり, $G*A=GA_{\zeta}\simeq G*$の作用は々である (但し, 右辺におけるの々において$A_{\zeta}$

内における共役である)。 従って, $G\cross A$ において の補群を与えることと,補群を与えることとは同値である。故に $Z^{1}(A, G)\simeq Z^{1}(A_{\zeta}, G)$ となる。
$G)\triangleleft A$$G$

以上のことを$A\simeq A_{\zeta}arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$$G\mathrm{n}$$G$という $A$ の作用としてまとめると, 次の「作用の取り換え」 に関する定理を得る。
定理 2.5. $\zeta\in Z^{1}(A, G_{\varphi})$ とすると, 新しい作用$\zeta*\varphi:Aarrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$,$(\zeta \mathrm{s}\varphi)(a)_{g:=\zeta(a)}$.

$\varphi(a)_{g\cdot\zeta(a)^{-1}}$$(a\in A, g\in G)$を定義でき, 次は全単射になる:$\zeta_{r}$3$Z^{1}(C,$:$Z^{1}(A,G_{\zeta*\varphi})arrow Z^{1}(A,G_{\varphi})$,$\langle x\rangle)$

以下, 本稿を通して次の記号を用いる。 自然数表す。

$m\in \mathbb{Z}$(但し, $(\eta\cdot\zeta)(a):=\eta(a)\zeta(a)$)$\eta\succ’\eta\cdot\zeta$

に対して,

$n$

に対し , $m$ と $n$ の正の最大公約数を$\mathrm{z}_{n}=\mathrm{Z}/(n)$とおき, その単数群を$U(\mathrm{Z}_{n})$でで表す$m_{n}$$m_{n}:=\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(m,n)\in \mathrm{Z}$は $m$ の ( を上限とする) ppart である。
また, が 巾のとき,
ときも, $m$ を整数値とみて との最大公約数をとり, それをは $m$ の代で表す。
表元の取り方によらず一意に定まる の約数である。 m、を再ひ法 で考えれば, Z、のイデアルとして$(m)=(in_{n})$ であり, $m$ のにおける零化イデアルをで表せば, 1Am。、$(m)|=m_{n}$ である。
$0_{n}=n$ である。

更に

$n$

$p$

$n$

$m_{n}$$m\in \mathrm{Z}_{n}\text{の}$$n$$m_{n}$$n$$n$$\mathrm{Z}_{n}$3.1$m_{n}$$\mathrm{A}\mathrm{m}_{\mathrm{Z}_{*}}(m)$一般の場合

本節では有限巡回群$C=\langle c\rangle$

が位数

$n$

の巡回群

$\langle x\rangle$に,$\varphi:Carrow U(\mathrm{Z}_{n})\simeq \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}((x\rangle),$$c|arrow a$

で作用している場合を考える。 即ち,$\mathrm{c}_{X=x^{0}}$

であり,

$a$

の $U(\mathbb{Z},)\}$ こおける位数 $|a|$,$a\in U(\mathrm{Z}_{n})$は $|C|$ の約数となってぃる状況を考える。例 24 の記号の下,$Z^{1}(C, \langle x\rangle)\simeq\{\dot{d}|R(x^{\mathrm{j}},c, |C|)=1\}$である。 そこで, 一般に $k\geq 0$ に対して, 写像$\mathrm{t}\mathrm{r}_{k}$,但し: Z、\rightarrow Zn を$\mathrm{t}\mathrm{r}_{k}(a)=\sum_{-=0}^{k-1}a^{:}=1+a+\cdots+a^{k-1}$

で定め, その性質を調べる。

$\mathrm{t}\mathrm{r}_{0}(a)=0$$R(x^{j},c, |C|)=x^{j}\Sigma^{\underline{|}O|-1}\sim 0a^{:}$$(a\in \mathrm{Z}_{1*})$であること, 及ひ tr\sim ま--l 般には和・積を保たないことに注意する。

73
補題 3.1. $k,$ $l\geq 0$ と a\in Z。に対して, 次が成り立つ。

(1)$\mathrm{t}\mathrm{r}_{kl}(a)=\mathrm{t}\mathrm{r}_{k}(a)\mathrm{t}\mathrm{r}\downarrow(a^{k})$(2) $a^{k}=1$ のとき,

今,

$a\in U(\mathbb{Z}_{n})$$\mathrm{t}\mathrm{r}_{kl}(a)=\mathrm{t}\mathrm{r}_{k}(a)l$に対して,$T(a)$:=tr 同 (a)とおく。 本節冒頭の設定 $|C|=|a|\cdot c\mathrm{E}_{a}$ にこの補題を適用すれば,$\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|}(a)=T(a)\frac{|C|}{|a|}$であるから, $T(a)$ は$\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|}(a)$の本質的な部分を表していると考えられる。

$Z^{1}(C, \langle x\rangle)\simeq\{x^{j}|x^{j\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|}(a)}=1\}\simeq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|}(a))=\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C|}{|a|}T(a))$

であるから, 次を得る。
定理 32. 有限巡回群 $C$ が位数

$n$

の巡回群

$\langle x\rangle$に $\mathrm{C}x=x^{a}(a\in U(\mathbb{Z}_{n}))$$Z^{1}(C, \langle x\rangle)\simeq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\frac{|C|}{|a|}T(a))$

特に, $T(a)_{n}$ は作用$\varphi$,で作用しているとすると,$|Z^{1}(C, \langle x\rangle)|=(\frac{|C|}{|a|}T(a))_{n}$が忠実 (即ち $|C|=|a|$ ) なときのコサイクルの個数を表している。 さて, 次の定理から本稿の主題が始まる。
定理 33.

$a\in U(\mathbb{Z}_{n})$のとき,$\mathbb{Z}_{n}$のイデアノレとして $(T(a))\subset(|a|)$ である。 換言すると, 整数値として$|a|_{n}|T(a)_{n}$

見奇妙な主張は, 自然な環準同型 Zn\rightarrow Z,|、に帰納法を適用して証明することができる。 この二つの定理を見比べると, 予想の最も易しい場合が確かめられる。
この$\urcorner$

定理 3.4.

$|Z^{1}(C, \langle x\rangle)|\equiv 0$(mod |C|7)。

以上, コサイクルの個数を評価したわけだが, ここで重要なことが 2 点ある。 一つは, 今の設定で作用のであるから, 定理 32 より,についての問題である。
核$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi$$|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi|=\mathrm{E}_{a}^{c}$$|Z^{1}(C, \langle x\rangle)|=(|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi|\cdot|Z^{1}(\langle a\rangle, \langle x\rangle)|)_{n}$の倍 (をは作用が忠実な場合の値を得る。即ち大雑把に言えば,整したもの) であることがわかる。 このことは一般の有限群については確かめられていない。
もう一つは, 予想の記述が合同式ではなく等号の場合, 即ち, いつ$|Z^{1}(\langle a\rangle, \langle x\rangle)|$$|Z^{1}(C, \langle x\rangle)|$$|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi|$

$n$

で調

$|Z^{1}(C, \langle x\rangle)|=|C|_{n}$となる力\searrow という問題である。 この種の問題は 51 の最後で述べたことと関わっていて, この特別な場合について理解を深めることが次のステップで意味をもってくる とがある。 実際, 本稿の議論ではにをに関するこの種のこと (定理 43) はについてはさほど目立たないものの,取り換えるとき本質的な役割を果たす (命題 63, 定理 64)。 そこで次節では が 2 巾の場合に, $T(a)_{n}$ の$Z^{1}(C, \langle x\rangle)$$.\vee$$\langle x\rangle$$Z^{1}(C_{1}\mathrm{x}C_{2}, \langle x\rangle)$$n$もつ性質を比 $T(a\rangle_{n}/|a|_{n}$ との関連の上で調べていく。

$D_{2n}$74
322 巾の場合
以下, $n(>1)$ は 2 巾とする。

$5=-1=1$ とみる)。 次の表は$U(\mathbb{Z}_{n})=\langle 5\rangle \mathrm{x}\langle-1\rangle$

である ( $n=4$ のときは $5=1,$ $n=2$ のときはに対する $T(a)$ の一覧である。 各々の表において, $T(a)$ はながなか面白い値をとっていることがわかる。
まず, $T(a)$ は法 での倍数である, というのが定理 33 である。 また, 奇妙な対称性にも気づく。 例
えば, $a=\pm 1,3$ の三行を除くと,の行を軸に上 T で対称である: $T(2-a)=T(a)$ (一般$n$$a\in U(\mathbb{Z}_{n})$$|a|$$T(a) \mathfrak{l}\mathrm{h}a=\frac{n}{2}+1$には $|2-a|\neq|a|$ である)。 更に,$a\not\in\langle 5\rangle$(即ち$a\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (4)$$[n=8]$$[n=32]$$\frac{a|a|T(a)T(a)_{n}/|a|}{1=5^{0}111}$$3$$5=5^{1}$7) に対する $T(a)$ はほぼ一定である, 等々。

2
2
2

4
6
0

$\frac{a|a|T(a)T(a)||/|a|}{1=5^{0}111}$

2
1
4

3
$5=5^{1}$7$9=5^{6}$11$[n=16]$$13=5^{7}$

15$\frac{a|a|T(a)T(a)_{n}/|a|}{1=5^{0}111}$3$5=5^{1}$7$9=5^{2}$11$13=5^{3}$

15

4
4
2
2
4
4
2

8
12
8
10
8
12
0

$17=5^{4}$2
1

19$21=5^{5}$

4

23

1

$25=5^{2}$

2

27

1
8

$29=5^{3}$

31

8
8
4
4
8
8
2
2
8
8
4
4
8
8
2

16
24

2
1
4

16
20

1

16

2

24

1
8
1
2
1

16
18
16

24
16
20
16
24
0

4
1
2
1
16

これらは次のことから説明がっく。例えば, $n=16$ の表をよく見ると, $a=\pm 1$ の行を除いたものは,$n=32$ の表の上下 2 箇所に, $|a|$ と $T(a)$ の値をそれぞれ 2 倍した形で現れてぃる。 っまり, 逆に言って,補題 35.

$\mathbb{Z}_{n},$$\mathbb{Z}_{n/2}$における $T$ をそれぞれ $T_{n},T_{n/2}$ で表す。 また,$\pi:\mathrm{z}_{n}arrow \mathrm{z}_{1\iota/2}$を自然な環準同型とする。

(1) a\in U(Z、) の位数が 4 以上 (即ち $\pi(a)\neq\pm 1$ ) ならば,$|a|=2|\pi(a)|$,$T_{n}(a)=2T_{1*/2}(\pi(a))$

ここで後者の右辺の意味は, $T_{n/2}(\pi(a))$ を法 を除いて決まる整数値とみたときの 2 倍 (それは法を除いて決まる) の Z、での値のことである。
(2) 位数 2 以下の については,$\frac{n}{2}$

$n$

$a$

$T_{n}(1)=1$,$T_{n}(-1+ \frac{n}{2})=\frac{n}{2}$,$T_{n}(1+ \frac{n}{2})=2+\frac{n}{2}$,$T_{1*}(-1)=0$である (但し, $a=-1$ については $n\geq 4$ のとき, $a= \pm 1+\frac{1*}{2}$ につぃては $n\geq 8$ のときの値)。

証明は補題 3.1 からすぐ出る。 この補題にょり,$|a|$や $T(a)$ の値は帰納的に求まる ( $n$ が 2 倍になれば,これらも概ね 2 倍になる) ことがわかり, 先に述べた対称性や次の命題も示すことができる。

75$<\mathrm{Q}\mathrm{p}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}3.6$.

命題 37.

(1):$a\in U(\mathbb{Z}_{n})\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{c}\chi_{\backslash }\mathrm{f}^{-}\mathcal{T}$$a\in U(\mathbb{Z}_{n})$$T(a)_{n},$$T(a)_{n}/|a|\#\mathrm{f}\backslash l*\sigma)\mathrm{g}\sigma\supset\ddagger\check{-J}\}\mathrm{z}\neq x$に対し, 次が成り立つ。

$\frac{T(a)_{n}}{|a|}=\frac{(1+a)_{n}}{2}$( $n\geq 4$ かつ $a_{1}=-1$$2n$(2) $(1-a)_{n}\cdot T(a)_{n}=\{$),$\mathbb{Z}_{n}$$(1-a)$

(その他)

$n$

( $n\geq 4$ かつ $a_{1}=-1$ )$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(T(a))=\{$(その他)

証明. $a\neq\pm 1$ について示せば十分であろう。 補題 3.1 と命題 36 を使う。
より $T(a^{2})_{n}=|a^{2}|$ だから, $n>T(a)_{n}=((1+a)\cdot T(a^{2}))_{n}=(1+a)_{n}\cdot|a^{2}|=(1+a)_{n}\cdot|a|/2_{\text{。}}$(1)(2) $a\neq\pm 1$ より, $n\geq(1-a)_{n}\cdot(1+a)_{n}=$ ( -a2)。である。従って,$a^{2}\in\langle 5\rangle$$1$$(1-a)_{n}\cdot T(a)_{n}=(1-a)_{n}\cdot(1+a)_{n}\cdot T(a^{2})_{n}=(1-a^{2})_{n}\cdot T(a^{2})_{n}=\cdots=(1-1)_{n}\cdot T(1)_{n}=n$

注.

$n$

が奇素数

$p$

に対する

$p$

巾のときも同様に計算でき, 次のようになる:$|a|$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$

(

$a$

力

$\mathrm{i}$$a\in U(\mathbb{Z}_{n})$

口

に対して,

r 元のとき)$T(\text{。})=\{$0(そうでないとき)

4$Z^{1}(C_{1}\cross C_{2},$$p$$\langle x\rangle)$を素数とし, $n(>1)$ はの巡回群$\langle x\rangle$

$p$

巾とする。

$C_{1}=\langle c_{1}\rangle,$$C_{2}=\langle c_{2}\rangle$

を有限巡回群とし, $A=C_{1}\mathrm{x}C_{2}$ が位数に$\varphi:Aarrow U(\mathbb{Z}_{n})$で作用しているときの$Z^{1}(A, \langle x\rangle)$,を計算する。 コサイクノレ$c_{1}\vdasharrow g_{1}=x^{:_{1}}$となるものが存在するための$i_{1},$$i_{2}$$\varphi(c_{1})=a_{1}$$\in \mathbb{Z}_{n}$$i_{1} \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\frac{|C_{1}|}{|a_{1}|}T(a_{1}))$

,

,

,

$\varphi(c_{2})=a_{2}$$Aarrow\langle x\rangle$

で$c_{2}\vdasharrow g_{2}=x^{:_{2}}$に関する必要十分条件は, 例 2.4 と定理 32 より,$i_{2} \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$,$(1-a_{2})i_{1}=(1-a_{1})i_{2}$である。 従って,$Z^{1}(A, (x\rangle)\simeq\{(i_{1}, i_{2})$$\in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{1}|}{|a_{1}|}T(a_{1}))\mathrm{x}\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))|(1-a_{2})i_{1}=(1-a_{1})i_{2}\}$であり, 次は pullback である (ここで $(1-a)_{l}$ は (1-a) 倍で定義される写像)$z^{1}(A, \langle_{X}\rangle)\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(_{a}\mathrm{H}_{1}^{T(a_{1}))}\underline{\pi_{1}}c_{1}$$\pi_{2}\{$$(1-a_{2})\iota$$\mathbb{Z}\downarrow$$a_{2}2T(a_{2}))$$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(c\mathrm{H}$$n$$(1-a_{1})\iota$

$n$

76
今,

$n$

は $p$ 巾であるから,${\rm Im}(1-a_{1})_{l}$$\mathbb{Z}_{n}$のイデアルは包含関係について全頃序集合をなしてぃる。そこで,${\rm Im}(1-a_{2})_{1}\ovalbox{\tt\small REJECT}$, 即ち(1-a2)$\mathrm{A}\mathrm{m}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{1}|}{|a_{1}|}T(a_{1}))\subset(1-a_{1})$と仮定してよい。 よって, 上図の右 T のある。 pullback の性質から,$\pi_{1}$, を$\mathrm{Z}_{*}$(4.1)$( \frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$でおきかえてよい。 このとき $(1-a_{1})_{l}$ は全射で${\rm Im}(1-a_{1})_{l}$も全射で, かつAnn。、$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\pi_{1}\simeq \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(1-a_{1})_{l}$なので,$|Z^{1}(A, \langle x\rangle)|=|{\rm Im}(\pi_{1})|\cdot|\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\pi_{1})|=|\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{\mathfrak{n}}}(\frac{|C_{1}|}{|a_{1}|}T(a_{1}))|\cdot|\mathrm{A}\mathrm{m}_{\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))\cap \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}},(1-a_{1})|$である。 この最後の因子の値により場合分けする。

(i) Annz、の場合。

$( \frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))\subset \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(1-a_{1})$このとき, 上の pullback の図における $(1-a_{1})_{l}$ は \sim 射, 従っては直積を表している: $Z^{1}(A, G)\simeq Z^{1}(C_{1}, G)\mathrm{x}Z^{1}$ ( , G)。 定理 33 よりも J 射であるから, この図$(1-a_{2})_{\iota}$$C_{2}$$|Z^{1}(A, \langle x\rangle)|=(\frac{|C_{1}|}{|a_{1}|}T(a_{1}))_{n}\cdot(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))_{n}\equiv 0$(ii)$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{\mathrm{n}}}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))\supset \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(1-a_{1})$$\mathbb{Z}_{n}$$|a:|_{n}|T(a:)_{n}$だから$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} |C_{1}|_{n}\cdot|C_{2}|_{n})$の場合。

[こおいて $T(a_{1})\cdot(1-a_{1})=1-a_{1}^{|a_{1}|}=0$ だから,$|Z^{1}$( $A$ , x$\langle$$\rangle$)l=(–llCall l T(al)) .

、 $(1-a_{1})_{n}\equiv 0$

従って, 何れにしても予想が成り立つ (定理 4.1. $n(>1)$ が $p$ 巾のとき,
これで$Z^{1}(A, \langle x\rangle)$$|C_{1}|_{n}\cdot|C_{2}|_{n}\equiv 0$$|Z^{1}(A, \langle x\rangle)|\equiv 0$$|A|_{n}$) に注意)。

(mod lAln)。

についての予想は確かめ終えたわけだが, 更にここで, $p=2$ の場合に, いっ$|Z^{1}(A, \langle x\})|\equiv 0$となるかを考える。

(mod$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n)$$|A|\not\equiv \mathrm{O}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$(mod $|A|_{2n}$ )ならば $|A|_{2n}=|A|_{n}$ だがら,

(4.2)$|A|\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$, 即ち $|A|_{2n}=2n$ の場合だけを考える。

どちら力\vdash 方, 例えばが奇数のときは$=1$ で, 定理

32 よりである。 よって,だから, このとき (4.2) は成り立たない (このことは定理 55 の証明, 命
題 62, 及ひ定理 6.4 の注 (2) につながっていく)。
$|C_{1}|,$はともに偶数とする。 上の場合分け (i) のときは $|Z^{1}(A, \langle x))|\equiv 0$ (mod) であ$|C_{2}|$$a_{2}$$Z^{1}(C_{2}, \langle x\rangle)=\{0\}$$|Z^{1}(A, \langle x\rangle)|=|Z^{1}(C_{1}, (x\rangle)|=n$$|C_{2}|$

るが, $|C_{1}|,$$|C_{2}|$$|C_{1}|_{n}\cdot|C_{2}|,*$

はともに偶数だから

場合分け (ii) で最小値$n$$|C_{1}|_{n}\cdot|C_{2}|_{n}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$であり, (4.2) は成り立っ。 従って, 上のを取るときだけ (4.2) は成り立たない。 命題 37 より,$2n$$T(a_{1}),*\cdot(1-a_{1})_{n}=\{$$n$( $n\geq 4$ かつ $a_{1}=-1$ )$(\cdot\epsilon\emptyset \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i})$であるから, それは $|C_{1}|_{n}=|a_{1}|$ (特に $n\geq 4$ ) かつ $a_{1}\neq-1$ のときに限る。 ここで補題をーっ用意する。
補題 42.

$|a_{1}|\cdot|C_{2}|\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n),$$a_{1}\neq 1$とすると,$\mathbb{Z}_{n}$において$(T(a_{1})) \subset(1+a_{1})\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$

77
証明. 命題 37 より,$\frac{T(a_{1})_{n}}{|a_{1}|}=\frac{(1+a_{1})_{n}}{2}$であったから,$\square$$(T(a_{1}))=(1+a_{1})( \frac{|a_{1}|}{2})\subset(1+a_{1})\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(|C_{2}|)\subset(1+a_{1})\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$定理 43. $|C_{1}|,$$|C_{2}|$はともに偶数とする。 このとき,(mod$|Z^{1}(A, \langle x\rangle)|\not\equiv 0$$|A|_{2n}$) であるためには, 次の2 条件を満たすことが必要十分である:
2n)。
(1) $|A|\equiv 0$ (のどちらかが(2) $i=1,2$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$|C_{\dot{l}}|_{n}=|a_{\dot{\mathrm{t}}}|$(特{こ $a:\neq 1$ で $n\geq 4$ ), かつ $a-\neq-1$ を満たす。

更にこのとき $|Z^{1}(A, \langle x\rangle)|=n$ である。

証明. 必要性は示したので, 十分性を示す。

かつ $|C_{1}|_{n}=|a_{1}|,$$|A|\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$$a_{1}\neq-1$とする$\text{。}$命題

37 より,(1-a2)$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{1}|}{|a_{1}|}T(a_{1}))=(1-a_{2})(1-a_{1})\subset(1-a_{1})\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$だから, このときは仮定 (4.1) の場合となる。 更に, 補題 42 より,$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(1-a_{1})=(T(a_{1}))\subset(1+a_{1})\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))\subset \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}arrow(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$であるから, 先の (ii) の場合になる。 よって, $|Z^{1}(A, \langle x\rangle)|=T(a_{1})_{n}\cdot(1-a_{1})_{n}=n$ となる。
注. 式 (4.3) の最後が真部分集合になるのは

(4.3)
口

からわかる。 特に, このとき

$0 \neq T(a_{1})\in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$は場合分け (i) にはならない。

5$Z^{1}(C, D_{2n})$$n$

は 2 巾で 4 以上とする。 まず, 位数 $2n$ の二面体群$G=D_{2n}=\langle x,y|x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$の自己同型とその位数をすべて決めたい。

$b\in \mathbb{Z}_{n},$$\sigma_{b,a}$

:

に対し,

$a\in U(\mathbb{Z}_{n})$$x\vdasharrow x^{a}$,$\sigma_{b,a}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$を$y\vdash*x^{b}y$で定めると,
Aut(G)$=\{\sigma_{b,a}|b\in \mathbb{Z}_{n}, a\in U(\mathbb{Z}_{n})\}\simeq \mathbb{Z}_{n}\aleph U(\mathbb{Z}_{n})$であることが容易にわかる (ここで$U(\mathbb{Z}_{n})$の$\mathbb{Z}_{n}$上の作用は自然なもの)$\langle c\ranglearrow \mathbb{Z}_{n}\aleph U(\mathbb{Z}_{n})$が準同型となるような巡回群$\langle c\rangle$$|c|$$(b, a)\in \mathbb{Z}_{n}\aleph U(\mathbb{Z}_{n})$$\text{。}$.

$\mathbb{Z}_{n}$,$b$$c\mapsto\rangle$の最小値でもある。 定理 3. 2 から, それは

,

の位数とは

$c\vdash\star(b,a)$$\cdot$$|c|$$|a|||c|$となる,$\sigma_{b,a}\succ*(b, a)$の位数の最小値であり, 定理 2.1 からそれは$.\langle c\ranglearrow$がコサイクルとなるような位数,$\frac{|c|}{|a|}T(a)b=0$(inの最小値なので, (\S 3 の応用の一つとして) 次を得る。

$\mathbb{Z}_{n}$

)

$c$

が

$\mathbb{Z}_{n}$上$a$として作用でき,

78
補題 5.1.

$| \sigma_{b.a}|=\frac{|a|n}{(T(a)b)_{n}}$さて, 有限巡回群$C=\langle c\rangle$である。 特に, その最大値 $\exp$ Aut(G) は

$n$

である。

が $G$ に c\mapsto \sigma b,。で作用しているとする。 $|a|||\sigma_{b,a}|||C|_{n}$ に注意する。
$Z^{+}(C,G):=\{\zeta\in Z^{1}(C,G)|\zeta(c)\in\langle x)\}$,$Z^{-}(C,G):=\{\zeta\in Z^{1}(C,G)|\zeta(\mathrm{c})\in\langle x\}y\}$とおくと, $Z^{1}(C, G)=Z^{+}(C, G)\cup Z^{-}(C,G)$ と分割できる。 定理 3.4 と命題 37 より次がゎかる。
命題 52. 自然な全単射 $Z^{+}(C, G)\simeq Z^{1}(C, (x\rangle)$ があり,
$Z^{+}(C,G) \simeq \mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{z}_{*}(\frac{|C|}{|a|}T(a))=\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{z}_{*}(|C|\cdot\frac{(1+a)_{n}}{2})$$|Z^{+}(C,G)|=( \frac{|C|}{|a|}T(a))_{n}=(|C|\cdot\frac{(1+a)_{n}}{2})_{n}$次に, $Z^{-}(C,G)\simeq\{x^{:}y|R(x^{:}y,c, |C|)=1\}$ を求める。
$R(x^{:}y,c, |C|)=x^{\mathrm{t}\mathrm{r}_{|O|(-a)\cdot+\Sigma_{j=0}^{|C|-1}(-1)^{\mathrm{j}}\mathrm{t}\mathrm{r}_{\mathrm{j}}(a)b}}.y^{|C|}$であるから,$c\vdasharrow x^{:}y$となるコサイクノレが存在するためには, $|C|$ が偶数でかっ$\mathrm{Z}_{n}$

において

(5.1)

$\mathrm{t}\mathrm{r}|c|(-a)|.+\sum_{\mathrm{j}=0}^{|C|-1}(-1)^{\mathrm{j}}\mathrm{t}\mathrm{r}j(a)b=0$が成り立つことが必要十分である。 ここで次のような式変形ができる。
補題 53. 一般に自然数$r$と a\in Z、に対して,$\sum_{j=0}^{2r-1}(-1)^{\dot{f}}\mathrm{t}\mathrm{r}_{j}(a)=-\mathrm{t}\mathrm{r}_{r}(a^{2})$従って $|C|$ が偶数のとき, 条件式 (5.1) は Z、における等式, 即ち$\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|}(-a):=\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|/2}(a^{2})b$(5.2)$\frac{|C|}{|-a|}T(-a)\dot{\iota}=\frac{|C|}{2|a^{2}|}T(a^{2})b$に書き直せる。そこで,$S(a):= \mathrm{t}\mathrm{r}|c|/2(a^{2})=\frac{|C|}{2|a^{2}|}T(a^{2})$とおく。 $a\neq-1$ のとき, $|-a|=2|a^{2}|,$ $T(-a)=(1-a)T(a^{2})$ (補題 3.1) であるから, 等式 (5.2) は$S(a)(1-a):=S(a)b$(5.3)と変形できる。他方, $a=-1$ のときも $S(-1)=|C|/2$ であるから, やはり (5.3) に変形できる。
さて,} より $T(a^{2})_{n}=|a^{2}|$ である (命題 36) から, Z、のイデアノレとして$a^{2}\in\langle 5$$(S(a))=( \frac{|C|}{2})$,$\mathrm{A}\mathrm{m}_{\mathrm{Z}_{*}}(S(a))=(\frac{n}{(|C|/2)|*}\ovalbox{\tt\small REJECT}$である。従って, 式 (5.3) は結局$(1-a):\equiv b$となる。 また, このような$:\in \mathrm{Z}_{n}$mod$( \frac{n}{(|C|/2)_{n}})$が存在するためには$b\in(1-a)\mathrm{Z}_{n}+\mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{z}_{*}(S(a))=(1-a,$が必要十分である。 ここまでまとめて次を得る。

$\frac{n}{(|C|/2)_{n}})$79
命題 54. $Z^{-}(C, G)\neq\emptyset$ となるためには$|C|\equiv 0$$b\in(1-a,$かつ$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)$$\frac{n}{(|C|/2)_{n}})$が必要十分であり, このとき,$Z^{-}(C, G)\simeq\{i\in \mathbb{Z}_{n}|\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|}(-a)i=\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|/2}(a^{2})b\}=\{i\in \mathbb{Z}_{n}|(1-a)i\equiv b$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (\frac{n}{(|C|/2)_{n}})\}$,$|Z^{-}(C, G)|=( \frac{|C|}{|-a|}T(-a))_{n}=(|C|\cdot\frac{(1-a)_{n}}{2})_{n}$による一つののは空集合である力\searrow もしくは以上, 条件式 (5.1) から,におけるより簡潔な条件式に変形した。 その結剰余類と全単射があることがわかった。 また, (5.1) をし果, データ $(|C|, n, a, b)$ を実際に与えれば, $Z^{1}(C, G)$ は集合として具体的に書き下せるようにもなった。
かし, 実は 0 でない $|Z^{-}(C,G)|$ に関しては, (5.1) を解析せずとも, 次のことからすぐわかつてしまうので$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\mathrm{t}\mathrm{r}|C|(-a))$$\mathbb{Z}_{n}$$Z^{-}.(C^{\mathrm{t}},G\rangle$$\mathbb{Z}_{n}$:ある。

と書くことにする。 もし $\zeta(c)=x^{i}y$ となる $\zeta\in Z^{1}(C,G_{b,a})$ がをのときの
今, の作用が存在すれば, 定理 25(作用 取り換え) により
$c$

$G$

$\sigma_{b,a}$$G_{b,a}$$\Omega$$\zeta_{r}$は全単射となる。

$Z^{+}$や Z$\circ$$\circ$-: $Z^{1}(C, G_{2:-b,-a})arrow Z^{1}(C, G_{b,a})$ ,の定義から,$\zeta_{r}$$\eta\}arrow\eta\cdot\zeta$

は全単射$Z^{+}(C,G_{2:-b,-a})\simeq Z^{-}(C, G_{b,a})$,$Z^{-}(C,G_{2:-b,-a})\simeq Z^{+}(C,G_{b,\dot{a}})$を引き起こす。 従って,.

.

$\cdot$$|Z^{-}(C, G_{b,a})|=|Z^{+}(C, G_{2:-b,-a})|=| \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\mathrm{t}\mathrm{r}_{|C|}(-a))|=(|C|\cdot\frac{(1-a)_{n}}{2})_{n}$を得る。
このように $|Z^{-}(C,G)|$ を「作用の取り換え」から求めようとする場合, $Z^{-}(C, G)$ がいつ空集合となるかを判定することが重要となる。 この観点に立つと, 命題 5.4}こおける計算はその必要十分条件をも与えて$\circ$$\mathrm{A}\mathrm{a}$るところに価値があり, それは現在のところ上のような計算によるしかない。
さて, 本節の設定で予想が正しいことを確かめる。
定理 5.5.
証明.

$c$(mod|C|2d。.-... -.
$\cdot$$|Z^{1}(C,G)[=|Z^{+}...(C, G)|+|Z^{-}(C, G)|\equiv 0$の作用を \sigma b,。とする。 $|Z^{1}(C, G)|$ は $Z^{-}(C, G)$ が空集合となるか否かに応じて,$(| \mathrm{C}|\cdot\frac{(!+a)_{n}}{2\prime})_{n}$で割り切れる。
となり, 何れも.
のときは, 命題 5.4 より$|C|_{n}$または$(|C| \cdot\frac{(1+a)_{n}}{2})_{n}+$ $([C| \cdot\frac{(1-a)_{n}}{2})_{n}$.

$|C|\not\equiv \mathrm{O}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$$Z^{-}$ $(.C,\cdot.G)\neq\emptyset$.

のときは $|C|_{2n}=|C|,*$ だからよい。

$|C|\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$.

であり, $|Z^{+}(C,\cdot G)|=\}Z^{-}(C-, G)\cdot|$ $=n$ となり, $|Z^{1}(C, G)|=2n$ を
口

得る。

6

$Z^{1}(C_{1}\cross C_{2},$ $D_{2n})_{1}$$n$は 2 巾で 4 以上とする。

. .
$.C_{1}=\langle c_{1}\rangle,$$C_{2}=\langle c_{2}\rangle$

を有限巡回群とし, $A=C_{1}\mathrm{x}C_{2}$ が位数 $2n$ の二面体

群 $G=D_{2n}$ に$\varphi:Aarrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$で作用しているものとする。 このとき,$\varphi$,$\varphi(c_{1})=\sigma_{b_{1},a_{1}}$,$\varphi(c_{2})=\sigma_{b_{2},a_{2}}$が準同型であることから,$b_{1},$ $b_{2}$について次がわかる。

$\cdot$80
補題 6.1. $|C_{1}|_{n}=|a_{1}|,$ $a_{1}\neq-1$ とすると,$\exists s,$

証明.

$|a_{1}|||\sigma_{b_{1},a_{1}}|||.C_{1}|_{n}$$t\in \mathbb{Z}_{n}$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$. $b_{1}=(1-a_{1})s$ ,であるが, 仮定より

$b_{2}=(1-a_{2})s+tT(a_{1})$である。補題 5.1 より,$|a_{1}|=|\sigma_{b_{1},a_{1}}|=|C_{1}|_{n}$$| \sigma_{b_{1},a_{1}}|=\frac{|a_{1}|n}{(T(a_{1})b_{1})||}$であったから, $(T(a_{1})b_{1})_{n}=n$ である。 $a_{1}\neq-1$ より,$\exists s\in \mathrm{Z},*$

更に,と$\sigma_{b_{1},a_{1}}$$b_{1}\in \mathrm{A}\mathrm{m}\mathrm{z}_{*}(T(a_{1}))=(1-a_{1})$であるから,. $b_{1}=(1-a_{1})s$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$の可換性より,$\sigma_{b_{2},a_{2}}$$(1-a_{1})b_{2}=(1-a_{2})b_{1}=(1-a_{2})(1-a_{1})s$

mod Annz、$(1-a_{1})=(T(a_{1}))$ であるから補題がいえる。

よって $b_{2}\equiv(1-a_{2})s$口

さて, $Z^{1}(A, G)$ に関する予想を確かめる。例 2.4 から, コサイクル $\zeta:Aarrow G$ を与えることと,$\zeta_{1}\in Z^{1}(C_{1}, G)$となる,$\zeta_{2}\in Z^{1}(C_{2},G)$

,

(6.1)

$\zeta_{1}(c_{1})\cdot e_{1}\zeta_{2}(c_{2})=\zeta_{2}(c_{2})\cdot\epsilon_{2}\zeta_{1}(c_{1})$を与えることとは同値である。
が奇数ならば,であり, 命題 52, 命題 5.4 から $Z^{1}(C_{2}, G)$ は自明な写像のみがらな
る。 特に, 条件式 (6.1) から $Z^{1}(A,G)\simeq Z^{1}(C_{1}, G)$ である。 定理 55 と合ゎせて次を得る。
もし$\zeta_{1},$$\zeta_{2}$$|C_{2}|$$\sigma_{b_{2},a_{2}}=1$

命題 62.

$|C_{2}|$以下,,$\langle x\rangle_{a_{1},a_{2}}$が奇数のときは, $|Z^{1}(A, G)|=|Z^{1}(C_{1},G)|\equiv 0$ (mod lA12d。

はともに偶数とする。 $A$ はと書く。 前と同様に, $Z^{1}(A, G)$ の分割$|C_{1}|$$|C_{2}|$$\langle x\}$に

$c_{1}\succ\rangle$$a_{1}$, c2\mapsto 。で作用してぃる。 この$Z^{++}(A, G):=\{\zeta\in Z^{1}(A,G)|\zeta|c_{1}\in Z^{+}(C_{1},G), \zeta|c_{2}\in Z^{+}(C_{2},G)\}\simeq Z^{1}(A, \langle x\rangle_{a_{1},a_{\mathit{2}}})$$Z^{-+}(A, G):=\{\zeta\in Z^{1}(A,G)|\zeta|c_{1}\in Z^{-}(C_{1},G), \zeta|c_{2}\in Z^{+}(C_{2},G)\}$,$Z^{+-}(A, G):=\{\zeta\in Z^{1}(A,G)|\zeta|c_{1}\in Z^{+}(C_{1},G), \zeta|c_{2}\in Z^{-}(C_{2},G)\}$,$\langle x)$を,$Z^{--}(A,G):=\{\zeta\in Z^{1}(A,G)|\zeta|c_{1}\in Z^{-}(C_{1},G), \zeta|c_{l}\in Z^{-}(C_{2},G)\}$を考える。 もし, 例えば $Z^{-+}(A, G)\neq\emptyset$ ならば, $\zeta\in Z^{-+}(A,G)$ をーっ固定し, $\zeta(c_{1})=x^{:_{1}}y,$ $\zeta(c_{2})=x^{-2}$とおけば, 定理 25(作用の取り換え) から,$\zeta*\varphi:Aarrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$は新しい作用となり,$\zeta_{r}$,$c_{1}\succ>\sigma_{2_{1}-b_{1},-a_{1}}$,$c_{2}\succ>\sigma_{2_{2}+b_{2},a_{2}}$: $Z^{1}(A, G_{\zeta*\varphi})arrow Z^{1}(A,G)$ は四っの全単射$Z^{++}(A,G_{\zeta \mathrm{r}\varphi})$$arrow$$Z^{-+}(A,G)$,,$Z^{-+}(A,G_{\zeta*\varphi})$$arrow$$Z^{++}(A,G)$$Z^{+-}(A,G_{\zeta*\varphi})$$arrow$$Z^{--}(A,G)$ ,$Z^{--}(A,G_{\zeta \mathrm{s}\varphi})$$arrow$$Z^{+-}(A,G)$$\{$を引き起こす。 よって,$|Z^{-+}(A, G)|=|Z^{++}(A, G_{\zeta*\varphi})|=|Z^{1}(A, \langle x\rangle_{-a_{1\prime}a_{2}})|$となる。 定理 43 から, この値は$Z^{--}(A, G)$(6.2)

で割れてぃる力 1, またはである。 このことは $Z^{+-}(A,G)$ やについても同様である。従って, $Z^{1}(A, G)$ につぃて予想を確かめるには, これら四っので割れない (特に 0 ではない) ものが幾つあるかが焦点となる。

のうち $|A|_{2n}$$|A|_{2,*}$$n$$|Z^{\mathrm{s}\mathrm{s}}(A, G)|$

81
命題 63. $|C_{1}|,$$|C_{2}|$

証明. 定理 43 より,(まともに偶数で,(mod$|Z^{++}(A, G)|\not\equiv \mathrm{O}$$|A|_{2n}$) とすると, $Z^{-+}(A, G)\neq\emptyset$ である。

かつ $k=1,2$ のどちらかは $|C_{k}|_{n}=|a_{k}|,$$|A|\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$を満たす。 ま$a_{k}\neq\pm 1$となるものが存在するための必要十分条件は, 条件 (6.1)
た, コサイクル $Aarrow G$ で, $c_{1}-$}
を命題 52, 命題 5.4 を用いて書き換えると, 次のようになる。
$x^{:_{1}}y,$(I)$c_{2}\vdash*x^{:_{\mathit{2}}}$$(1-a_{1})i_{1}\equiv b_{1}$

(II)

mod

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\frac{|C_{1}|}{2})$$i_{2} \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{\mathrm{Z}_{n}}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$

(III)

,

,

$(1-a_{2})i_{1}-b_{2}=(1+a_{1})i_{2}$(1) $|C_{1}|_{n}=|a_{1}|,$ $a_{1}\neq\pm 1$ の場合。
補題 6.1 より,$\exists s,t\in \mathbb{Z}_{n}$である。従って, 条件 (I) の$i_{1}$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

として$b_{1}=(1-a_{1})s$$s$$Z^{-+}(A, G)\neq\emptyset$(2)$b_{2}=(1-a_{2})s+tT(a_{1})$をとることができ, このとき条件 (II), (III) はかつ$i_{2} \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{z}_{n}(\frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$となる。補題 42 より,$(T(a_{1}))\subset(1+a_{1})$

一

Annz、

$tT(a_{1})=(1+a_{1})i_{2}$$( \frac{|C_{2}|}{|a_{2}|}T(a_{2}))$であるから, 確かにこのような i2$\mathrm{B}\mathrm{i}\backslash$

存在し,

がわかる。

$|C_{2}|_{n}=|a_{2}|,$$a_{2}\neq\pm 1$

の場合。
$|$

補題 6.1 より,$\exists s,t\in \mathbb{Z}_{n}$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$. $b_{2}=(1-a_{2})s$ ,$b_{1}=(1-a_{1})s+tT(a_{2})$である。命題 37 より$T(a_{2})_{n} \cdot\frac{|C_{1}|}{2}=\frac{(1+a_{2})_{n}}{2}\cdot\frac{|a_{2}|\cdot|C_{1}|}{2}\equiv 0$だから, T(a2)\in Annz、$(^{\underline{|C_{1}|}})$

件 (II), (III)とると定理 6.4. $|C_{1}|,$$|C_{2}|$$\text{を}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{_{arrow}^{-}}$となる。従って, 条件 (I) の$i_{1}$

として$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n)$$s$がとれる。 このとき,$i_{2}$.

すから, $Z^{-+}(A, G)\neq\emptyset$ がわかる。

として 0 を
口がともに偶数ならば, 次の何れかが成り立つ。

$|Z^{++}(A,G)|\equiv|Z^{-+}(A,G)|\equiv|Z^{+-}(A, G)|\equiv|Z^{--}(A, G)|\equiv 0$(mod$|A|_{2n}$

)

$\{$

$|Z^{++}(A,G)|=|Z^{-+}(A, G)|=|Z^{+-}(A, G)|=|Z^{--}(A,G)|=n$証明.

$|Z^{**}(A, G)|$のうち $|A|_{2n}$ で割れない (特に空集合でない) ものが一つでもあれば, 作用を取り換えて,

それは $|Z^{++}(A, G)|$ としてよい。 このとき, 組 $(C_{1}, C_{2}, a_{1}, a_{2})$ は定理 43 の条件を満たし, $|Z^{++}(A, G)|=n$である。

だから, $\zeta\in Z^{-+}(A, G)$ を一つとれる。 このとき, 前述の等式 (6.2) よ, a2)[まやはり定理 4.3
り $|Z^{-+}(A, G)|=|Z^{++}(A, G_{\zeta*\varphi})|=|Z^{1}(A, \langle x\rangle_{-a_{1},a_{2}})|$ である。 組 (の条件を満たすので, $|Z^{-+}(A, G)|=n$ が一般にいえる。 $A=C_{2}\mathrm{x}C_{1}$ と見てこのことを適用すると,
命題 63 より$Z^{-+}(A, G)\neq\emptyset$$C_{1},$ $C_{2},$$-a_{1}$$|Z^{+-}(A, G)|=n$ も一般にいえる。 更に, 以上のことを $|Z^{++}(A, G_{\zeta*\varphi})|=n$ に適用すると, $|Z^{--}(A, G)|=$$|Z^{+-}(A,G_{\zeta*\varphi})|=n$を得る$\text{。}$

口

82
注. (

$\mathfrak{y}$上の定理の二式が同時に成り立っこともある。第一式が成り立っがどぅがは定理 43 で判定できる。

(2) 何れ力\vdash 方, 例えば$\emptyset$$|C_{2}|$が奇数のときは$Z^{1}(A, G)\ovalbox{\tt\small REJECT} Z^{1}(C,, G)$

であるがら,$Z^{+-}(A,G)\ovalbox{\tt\small REJECT} Z^{--}(A, G)\ovalbox{\tt\small REJECT}$であり$|Z^{++}(A, G)|\equiv|Z^{-+}(A,G)|\equiv 0$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} |A|_{2\mathrm{n}})$$\{$$|Z^{++}(A, G)|=|Z^{-+}(A,G)|=n$($|A|\not\equiv 0$( $|A|\equiv 0$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$のとき)$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2n)$のとき)以上のことから, 本節の設定でも予想が成り立っことがわかった。
定理 6.5.

$|Z^{1}(A, G)|\equiv 0$(mod |A|2d。

参考文献[1] T. Asai and Y. Takegahara, On the number of crossed homomorphisms, Hokkaido Math. J. 28 (1999),535-543.

[2] –,$|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, G)|,$$\mathrm{I}\mathrm{V}$[3] T. Asai and T. Yoshida,, J. Algebra (to appear).

$|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, G)|,$$\mathrm{I}\mathrm{I}$, J. Algebra 160 (1993), $27\succ 285$ .

[4]R. Brauer, On a theorem of Frobenius, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 562-565.

[5] K. Brown, Cohomology of Groups, Graduate Texts in Math., vol. 87 Springer-Verlag, 1982.
[6] W. Burnside, The Theory of Groups of Finite Order, 2nd ed., Cambridge University Press, 1907.

[7] C. W. Curtis and I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, 2nd ed.,Pure and Appl. Math., Interscience Publishers, New York, 1966.
[8] M. Hall, The Theory of Groups, MacMillan, New York, 1959.
[9] P. Hall, On a theorem of Frobenius, Proc. London Math. Soc. (2) 40 (1935), 468-501.
[10] T. Yoshida,$|\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, G)|$, J. Algebra 156 (1993), 125-156.

[11] H. Zassenhaus, The Theory of Groups, 2nd ed., Chelsea Publishing Company, New York, 1958.
[12] 鈴木通夫, 群論 (上), 岩波書店, 1977.

[13] 竹 $t$ 原裕元, On P. Hall’s relations in finite groups, ilEl とその周辺一総括と展望, 京都大学数理悄引斤
研究所講究録, no. 1214, 2001, pp. 27-36.