数理解析研究所講究録1039 巻 1998 年 95-110

95

ガウス測度の 2 値確率平行移動の絶対連続性
熊本大学医療技術短期大学部
九州大学大学院数理学研究科

\S 1

序

$\mathrm{X}=\{X_{k}\}_{k}$X と(Hitoshi Mizumachi)(Hiroshi Sato)

水町 仁
佐藤 坦

$\mathrm{Y}$$\mathrm{X}+\mathrm{Y}$を IID (独立かつ同分布な確率変数列),は互いに独立であるとする。 また,はそれぞれ, 数列空間

問題は,$\mathrm{X}=\mathrm{G}$(互いに絶対連続) をに対して,$\mu_{\mathrm{X}}$とする。 このとき,$\mathrm{X},$$\mathrm{Y}$,,$\mu_{\mathrm{X}+\mathrm{Y}}=\square k\mu_{X_{k}}+Y_{k}$$X_{1}$

が標準正規分布に従うとき, X を標と表す。

$\mathrm{G}=\{G_{k}\}_{k}$$\mu \mathrm{X}+\mathrm{Y}\sim\mu \mathrm{x}$まり, 与えられた$\mu_{\mathrm{Y}}=\prod_{k}\mu Y_{k}$(合成積) である。 特に,$\mu \mathrm{X}+\mathrm{Y}=\mu \mathrm{X}^{*}\mu_{\mathrm{Y}}$準ガウス列とよび,$\mathrm{X}+\mathrm{Y}=\{X_{k}+\mathrm{Y}_{k}\}_{k}$上に無限直積測度$1\mathrm{R}^{\mathbb{N}}$$\mu \mathrm{x}=\prod\mu_{X}kk$ ’

を導き,を独立確率変数列とし,$\mathrm{Y}^{-}=\{\mathrm{Y}_{k}\}_{k}$$\mu_{\mathrm{X}+\mathrm{Y}}\sim\mu \mathrm{x}$$\mathrm{Y}$だけに関する条件で特徴付けること, つとなる$\mu_{\mathrm{Y}}$をすべて見つけることである。

の場合でも, そのような必要十分条件は知られていないが, Hino [1] から, 次が成り立つ。
命題 A(Hino)$\sum_{k}\mathrm{P}(|Y_{k}|>\epsilon)+\sum_{k}\mathrm{E}[Y_{k} :をみたす$\Rightarrow$$\Rightarrow$.

$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$任意の$\epsilon>0$に対して|\mathrm{Y}_{k}|\leq\epsilon]^{2}+\sum_{k}\mathrm{E}[\mathrm{Y}_{k}^{2}$

命題 A $\text{の十分条件では}1^{\mathrm{p}}(|\mathrm{Y}_{k}|>\epsilon)<\infty$ をみたす$\sup_{k}|Y_{k}|<\infty$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\mathrm{a}.\mathrm{s}$.

$\Leftrightarrow$である。 -方, $\sup_{k}|Y_{k}|=\infty$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$: $|Y_{k}|\leq\in]^{2}<\infty$の存在を仮定している。

$\epsilon>0$と同等であり (Borel-Cantelli の補題), このとき$\sum_{k}\mathrm{E}[Y_{k} :$\mathrm{a}.\mathrm{s}$.

かつ|Y_{k}|\leq\epsilon]^{2}+\sum_{k}\mathrm{E}[Y_{k}^{2}$となる$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$ていて (Kitada and Sato [4], Sato and Tamashiro [6]),場合に$|\mathrm{Y}_{k}|\leq\epsilon]^{z}<\infty$が存在する$\epsilon>0$$\sum_{k}\mathrm{P}(|\mathrm{Y}_{k}|>\epsilon)^{2}+\sum_{k}\mathrm{E}[Y_{k} :

これは,

:

|Y_{k}|\leq\epsilon]^{2}+\sum_{k}\mathrm{E}[\mathrm{Y}_{k}^{2}$$\mathrm{Y}$:$|Yk|\leq\epsilon]^{2}<\infty$が存在することは知られしたがって,を特徴付けることが問題になる。

$\sup_{k}|Y_{k}|=\infty$$\mathrm{a}.\mathrm{s}$

.

の

96

本稿では,
’

$\mathrm{P}(\mathrm{Y}_{k}=a_{k})=p_{k},$の場合に,$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\mathrm{P}(\mathrm{Y}_{k}=^{\mathrm{o}})=1-p_{k}$,ただし$a_{k}>0$,$0<p_{k}<1$を特徴付ける必要十分条件を与える。
$\Rightarrow$$\Rightarrow$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\sum_{a_{k}>2}Pk+\sum_{a_{k}\leq 2}p_{kk}22a<\infty$$\sum_{a_{k}>2}p_{k}^{2}+\sum_{a_{k}\leq 2}p_{kk}^{22}a<\infty$が成り立つことは, Kitada and Sato [4], Sato and Tamashiro [6], あるいは, 命題 A から直ちに得られるが, 我々の結果は,て,$\sup_{k}|Y_{k}|=\infty$$\mathrm{a}.\mathrm{s}$$\Sigma_{a_{k>2p_{k}\infty}}<$. の場合でもと$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$ことができる。 さらに, 様々な性質を持つ$\mathrm{Y}$を$\mathrm{Y}$だけに関する条件で特徴付けるの具体例, 例えば,
かつ$\sum_{k}p_{k}^{2}(e^{\frac{1}{2}}a_{k}2-1)<\infty$の間を補間し, したがっ$\Sigma_{a}k>2p_{k}^{2}<\infty$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\oint\mu \mathrm{G}$となる例を容易に構成することができる。 Sato and Tamashiro [6] は, このような例を構成して, Kahane [2] の予想を否定的に解決した。
$2(1-\sigma^{2})$$(k\in \mathbb{N})$$\sigma_{k}=\frac{a_{k}}{\sqrt{2\log\frac{1+}{p}xk\mathrm{A}}}$,$\varphi(\sigma)=\{$,$\frac{1}{4}(\sigma+\frac{1}{\sigma})^{2}$$0< \sigma\leq\frac{1}{\sqrt{3}}$

,

1,
とする。

$\varphi$は単調に減少する$C^{1}$

級関数で,$\frac{1}{\sqrt{3}}<\sigma<1$,,$\sigma\geq 1$$1.\leq\varphi(\sigma)\leq 2(\forall\sigma>0)$である。

$\mathrm{E}l\mathrm{E}1$$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\Leftrightarrow$$\sum_{a_{k}>2}\alpha(\sigma_{k}, p_{k})p_{k}^{\varphi(\sigma_{k})}+\sum_{a_{k}\leq 2}a_{k}^{22}p_{k}<\infty$

ただし,$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{6\log!AE\mathrm{p}}}+\sqrt{32\log^{\underline{1}\pm R}p}^{\mathrm{l}}$$\frac{1}{(1-\sigma^{2})(3\sigma-21)\sqrt{|\log p|}}$,$\leq$$\sigma\leq\sqrt{1+\frac{1}{2\log^{\lrcorner E}1p}}-\frac{\mathrm{l}}{\sqrt 2\log^{\underline{1}+}\Delta \mathrm{p}}$

その他

命題 1
$\sum p_{k}^{\varphi(\sigma_{k})}+\sum a_{k}^{2}p_{k}^{2}<\infty$$a_{k}>2$$\Rightarrow$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$a_{k}\leq 2$$\varphi(\sigma_{k})$$\Rightarrow$$\sum_{a_{k}>2}\frac{p_{k}}{\sqrt{|\log pk|}}+\sum_{a_{k}\leq 2}a_{k}^{22}p_{k}<\infty$

,

97

系1

(

$\sigma_{k}=\sigma$

(a)

$k$

に無関係),$0< \sigma\leq\frac{1}{\sqrt{3}}$

のとき,

(b)

$\tau_{3}^{1}<\sigma<1$

のとき,

(C)

$\sigma\geq 1$

\S 2

のとき,

$\lim_{k}p_{k}=0$とする。

$\Leftrightarrow$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\Sigma_{kp_{k}^{2\langle)}}<\infty 1-\sigma^{2}$$\Leftrightarrow$$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\sum_{k}p_{k}<$$\Leftrightarrow$

O科

証明の方針

すべての

$k\in \mathbb{N}$$\mu \mathrm{x}+\mathrm{Y}\sim\mu \mathrm{x}$かるが, そこに現れる$\mathrm{B}$$\mu x_{k}+Y_{k}\sim\mu x_{k}$$\mu \mathrm{x}+\mathrm{Y}\perp\mu_{\mathrm{X}}$

2 つの級数の収束が

命題

に対して

(特異) のいずれかが成り立つ。 Kitada and Sato [4] は, 次のと同等であることを証明した。 これは必要十分条件であ$\mu_{\mathrm{X}+}\mathrm{Y}\sim\mu \mathrm{x}$$Z_{k}(x)$は, X,(Kitada and Sato)(互いに絶対連続) ならば, Kakutani [3] より,$\mathrm{Y}$の双方に関係する。

$\mu x_{k}+Y_{k}\sim\mu x_{k}(\forall k\in \mathrm{m})$$Z_{k}(x)= \frac{d\mu X_{k}+Y_{k}}{d\mu_{X_{k}}}(x)-1$であるとし,,$x\in \mathrm{R}$とおく。 このとき,$\mu_{\mathrm{X}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{X}}$$\Leftrightarrow$$\sum_{k}\mathrm{E}[z_{k}(Xk) :z_{k}(Xk)\geq 1]+\sum_{k}\mathrm{E}[zk(Xk)^{2}$: $|Z_{k}(x_{k})|<1]<\infty$が成り立つ。

いま,$Z_{k}(x)= \frac{d\mu_{G_{k}+Y_{k}}}{d\mu_{G_{k}}}(x)-1=p_{k}(e^{a_{k}x-\frac{1}{2}}a_{k}2.-1)$,$x\in 1\mathrm{R}$であり,$\gamma_{k}=\frac{1}{2}a_{k}+\frac{1}{a_{k}}\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}}$は,$Z_{k}(X)=1$の–意的な解である。 よって,$\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}) :Zk(G_{k})\geq 1]=\mathrm{E}[z_{k}(G_{k}) :\dot{G}_{k}\geq\gamma_{k}]$$=$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\gamma k}^{\infty}p_{k}(e^{a_{k}}-\frac{1}{2}a^{2}k-1x\mathrm{I}e^{-x}\frac{1}{2}2dx=\frac{p_{k}}{\sqrt{2_{T}}}\int_{\gamma_{k}}^{\infty}(e^{-}\frac{1}{2}(x-a)^{2}-k-e\frac{1}{2}x2)dx$$=$$\frac{p_{k}}{\sqrt{2\pi}}\int_{\gamma_{k}-a_{k}}^{\gamma k}e^{-}\frac{1}{2}xdx2$

(1)

98

であり,
$\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k})2$$=$: $|Z_{k}(G_{k})|<1]=\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k})^{2}$ :$|G_{k}|<\gamma_{k}]$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\gamma k}^{\gamma_{k}}p_{k}^{2}(e^{a_{k}}x-\frac{1}{2}a_{k}^{2}-1)^{2}e^{-\frac{1}{2}}x^{2}dX$:$\frac{p_{k}^{2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\gamma_{k}}^{\gamma k}(e^{2a_{k}x-a_{k}^{2}}-2e^{a_{k}x}.-\frac{1}{2}a_{k}^{2}+1)e^{-\frac{1}{2}x^{2}}.dx$$=$$dx$ $-$$=$$\frac{p_{k}^{2}}{\sqrt{2\pi}}(\int_{-\gamma k}^{\gamma k}ea_{k}2e^{-\frac{1}{2}}(x-2ak)^{2}$$=$$\frac{p_{k}^{2}}{\sqrt{2\pi}}(e^{a_{k}^{2}}\int_{-}^{\gamma-}\gamma k-2akek2a_{k}-\frac{1}{2}x2$$=$$\frac{\sqrt{2\pi}}{p_{k}^{2}}\{(e^{a_{k-}^{2}}1)\int_{-}^{\gamma-2a_{k}}\gamma k-2ak\int_{-}^{\gamma k}ke-\frac{1}{2}x^{2}dx+\gamma_{k^{-2}}-2aka_{k}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx-\int^{\gamma k}-\gamma ke^{-\frac{1}{2}x}d2x$$dx$$\mathit{2}$$-\mathit{2}$$\int_{-\gamma}^{\gamma_{k}}e-\frac{1}{2}(x-a_{k})^{2}d_{X+}\int_{-}^{\gamma k}k\gamma kxe^{-}\frac{1}{2}xd2)$$\int_{-\gamma-}^{\gamma_{k}}ak\int_{-}^{\gamma k}k^{-a}ke-\frac{1}{2}x2dx+\gamma ke^{-\frac{1}{2}x}d2x)$$e^{-}dx^{2}x)\}$$+2( \int_{-\gamma k}^{\gamma_{k}}e-\frac{1}{2}xdX2-\int-\gamma_{k^{-a}}-ak\frac{1}{2}\gamma_{k}k$.
$=$$\frac{\sqrt{2\pi}}{p_{k}^{2}}\{$$(e^{a_{k}^{2}}-1) \int_{-\gamma_{k^{-}}}^{\gamma k}-2ake^{-\frac{1}{2}}dx^{2}X2a_{k}-\int^{\gamma}\gamma k-2ak\int_{\gamma}^{\gamma_{k}}k-\frac{1}{2}x^{2}dX+e^{-}\frac{1}{2}x^{2}d_{X}ek+2a_{k}$(2)$+2( \int_{\gamma_{k}-a}^{\gamma_{k}}e^{-}\frac{1}{2}x^{2}kdx-\int_{\gamma_{k}}^{\gamma_{k}+}a_{k}\frac{1}{2}x^{2}d_{X}e-)\}$である。 また,$N_{1}=\{k\in N_{0} :$N_{0}=\{k\in \mathbb{N} :a_{k}>2\}$を\gamma_{k}-a_{k}\geq 1, \gamma_{k}-\mathit{2}a_{k}>-1\}=\{k\in N0:0<\sigma k<\sqrt{\frac{a_{k}}{3a_{k}-2}}\}$$N_{2}=\{k\in N_{0} :$N_{3}=\{k\in N_{0} :\gamma_{k}-a_{k}\geq 1, \gamma_{k}-2a_{k}\leq-1\}=\{k\in N_{0}$:$\sqrt{\frac{a_{k}}{3a_{k}-2}}\leq\sigma_{k}\leq\sqrt{\frac{a_{k}}{2+a_{k}}}\}$\gamma_{k}-a_{k}<1, \gamma_{k}-2a_{k}\leq-1\}=\{k\in N0:\sigma_{k}>\sqrt{\frac{a_{k}}{2+a_{k}}}\}$の 3 つの部分に分割する。 $a_{k}>2$ のとき, $\gamma_{k}-a_{k}.<1$ と$\gamma_{k^{-}}2a_{k}>-1$

が同時に成り立つことはない。
本稿では, 定理 1, 命題 1 を次のようにして証明していく。
まず, 命題命題 2$\mathrm{B}$を用いて次の命題を証明する。

$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\Leftrightarrow$$\sum_{a_{k}\leq 2}p_{k}^{22}a+\sum kak>2p_{k^{+}}^{2}a_{k}\sum p_{k}\int_{\gamma a}^{\infty}>2k-ke^{-\frac{1}{2}}dx2x+a_{k}\sum_{>2}pke2a2k\int^{\gamma}-\infty e^{-\frac{1}{2}x}k-2a_{k}2dx<\infty$

次に, この第 3 項, 第 4 項の積分を, 不等式$\frac{1}{2\alpha}e^{-\frac{1}{2}\alpha^{2}}\leq\int_{\alpha}^{+\infty}e^{-\frac{1}{2}x}d2x\leq\frac{1}{\alpha}e^{-\frac{1}{2}\alpha^{2}}$によって評価して, 次の命題を証明する。

,$\alpha\geq 1$

(3)

99

命題 3

$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\Leftrightarrow$$\sum_{a_{k}\leq 2}p_{k}a_{k}+\sum_{k}222\sum pke^{a^{2}}k+\frac{a_{k}}{(\gamma_{k}-a_{k})(2ak-\gamma_{k})}\in\lambda_{1}rk\in\lambda^{r}2e^{-\frac{1}{2}\gamma^{2}}k+\sum_{k\in\lambda_{3}’}pk<\infty$

この第 2 項の命題 4

$p_{k}^{2}e^{a_{k}^{2}}$, 第 3 項の$e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$を擁のべキで評価して, 次の命題を得る。

$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\frac{1}{4}(\sigma_{k}+\frac{1}{\sigma_{k}})^{2}$$\Leftrightarrow$$\sum_{a_{k}\leq 2}p_{k}^{2}a_{k}+\sum_{k}22(1-\sigma_{k})2\sum_{\lambda_{2}’\in\lambda_{1}(}p_{k}+k\in\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma k^{-1)}2}\frac{p_{k}}{\backslash \frac{\log^{\underline{1}+x\mathrm{A}}\eta}{}}+\sum_{k\in\lambda_{3}’}Pk<\infty$

最後に,

1$\frac{1}{\sqrt 3}<\sigma_{k}<\sqrt{\frac{a_{k}}{3a_{k}-\mathit{2}’}}$$\sqrt{\frac{a_{k}}{2+a_{k}}}<\sigma_{k}<1$の場合を評価して, 定理の証明が完成する。

\S 3

証明

\S 3.1

命題 2 の証明

補題 1

証明$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\Rightarrow$$\sum_{a_{k}\leq 2}p_{kk}a^{2}+2ak\sum>2p_{k}^{2}<\infty$とすれば, 命題 A より,$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu_{\mathrm{G}}$$\infty$$>$$\sum_{k}\mathrm{E}[Y_{k} :$\infty$$>$$\sum_{k}\mathrm{P}($が成り立つ。

補題 2lhl|Y_{k}|\leq 2]^{2}\geq\sum_{a_{k}\leq 2}\mathrm{E}[Y_{k} :$>2)^{2} \geq\sum_{a_{k}>2}\mathrm{P}($lhl|\mathrm{Y}_{k}|\leq 2]^{2}=\sum_{a_{k}\leq 2}p^{22}kak$$>2)^{2}= \sum_{a_{k}>2}p_{k}^{2}$$\square$

任意の $k\in$ 1N に対して, 次の不等式が成り立つ。

(a)$\int_{\gamma_{k}}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}}dx^{2}x\leq\sqrt{2\pi}\mathrm{E}[Z_{k}(c_{k}):Z_{k}(Gk)\geq 1]$(b)$p_{k} \int_{\gamma_{k}-a_{k}}\infty e^{-}\frac{1}{2}x^{2}dx\leq 2\sqrt{2\pi}\mathrm{E}[Z_{k}(c_{k}):Z_{k}(Gk)\geq 1]$(c)$p_{k}^{2} \int_{\gamma_{k}-2a_{k}}^{\infty}e-\frac{1}{2}xd2x\leq 6\sqrt{2\pi}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}) :(d)$p_{k}^{2}(e^{a_{k}^{2}}-1)$

Z_{k}(G_{k})\geq 1]$$\int_{\gamma_{k}+2a_{k}}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}}dxx2\leq\sqrt{2\pi}\mathrm{E}[Z_{k}(Gk):zk(Gk)\geq 1]$

100

証明

$\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}):zk(Gk)\geq 1]\geq \mathrm{P}(Z_{k}(G_{k})\geq 1)=\mathrm{P}(G_{k}\geq\gamma_{k})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\gamma_{k}}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}}dx^{2}x$であり, したがって,$p_{k} \int_{\gamma_{k}-a_{k}}^{\infty}e^{-}\frac{1}{2}xdx2\leq p_{k}\int_{\gamma_{k}}^{\gamma_{k}}-ak\frac{1}{2}e-x^{2}dx+\int_{\gamma_{k}}^{\infty}e^{-x^{2}}\frac{1}{2}dx\leq 2\sqrt{2\pi}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}) :Z_{k}(G_{k})\geq 1]$が成り立つ。 また,$p_{k}^{2} \int_{\gamma k}^{\infty}-2a_{k}\frac{1}{2}e-x^{2}dX$$\leq p_{k}^{2}\int_{\gamma_{k}k}^{\gamma_{k}-}-2aa_{k}e^{-}\frac{1}{2}x2dx+p_{k}\backslash \int_{\gamma_{k}a_{k}}^{\infty}-\frac{1}{2}e-x^{2}d_{X,-}$$=p_{k}^{2} \int_{\gamma_{k}-a}^{\gamma_{k}}k)^{2}e-\frac{1}{2}(x-akdx+p_{k}\int_{\gamma_{k}a_{k}}^{\infty}-e^{-\frac{1}{2}x}d2x$$=p_{k}^{2} \int_{\gamma_{k}-a}^{\gamma_{k}}kde^{a}ke-\frac{1}{2}x^{2}xkx-\frac{1}{2}a^{2}+2\sqrt{\mathit{2}\pi}\mathrm{E}[z_{k}(G_{k}):Zk(G_{k})\geq 1]$

であり,$x\leq\gamma_{k}$のとき$Z_{k}(x)\leq 1$だから,$e^{a_{k}x-\frac{1}{2}a_{k}^{2}} \leq\frac{1}{p_{k}}+1=\frac{1+p_{k}}{p_{k}}\leq\frac{2}{p_{k}}$,$\forall x\leq\gamma_{k}$である。 よって,$p_{k}^{2} \int_{\gamma_{k}-2}^{\infty}ak\frac{1}{2}e^{-}x^{2}dx$$\mathit{2}p_{k}\int_{\gamma_{k}k}^{\gamma_{k}}-a\frac{1}{2}e^{-x^{2}}dx+2\sqrt{2\pi}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}):zk(Gk)\geq 1]$$\leq$$6\sqrt{2\pi}\mathrm{E}[z_{k}(G_{k}):zk(Gk)\geq 1]$$\leq$

が成り立つ。 さらに,
$p_{k}^{2}(e^{a_{k}^{2}}-1) \int_{\gamma k+k}^{\infty}2a\frac{1}{2}e^{-x^{2}}dx$$=p_{k}^{2}(e^{a}2k-1)$ $f_{\gamma k}^{\infty}e^{-} \frac{1}{2}(x+2ak)2dx$$\leq p_{k}^{2}e^{a_{k}^{2}}\int_{\gamma}^{\infty}ek-2a_{k}x-2^{2}a_{k}e-\frac{1}{2}x2dX\leq p_{k}^{2}e^{-a_{k}^{2}}\int_{\gamma_{k}}^{\infty}e^{-}\frac{1}{2}xd2x$$\leq$

である。

$\int_{\gamma}^{\infty}ke^{-\frac{1}{2}}d_{X}x^{2}\leq\sqrt{\mathit{2}\pi}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}) :Z_{k}(G_{k})\geq 1]$

口

命題 2 の証明$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu_{\mathrm{G}}$とすれば, 補題 1, 命題$\mathrm{A}$, および (1), (2) より,$\sum_{a_{k}\leq 2}p^{2}ka_{k}^{2}+\sum_{ak>2}p^{2}k^{+\sum pk\int^{\infty}1}k\gamma k-ake^{-}\frac{1}{2}x^{2}dX+\sum p^{2}k(kea_{k}^{2}-)\int^{\gamma_{k}a_{k}}-\infty e^{-}\frac{1}{2}xd_{X}<\infty-22$.

だから,$\sum_{a_{k}\leq 2}p_{k}^{2}a_{k}^{2}+\sum_{ak>2}p^{2}k^{+}\sum a_{k}>2pk\int\gamma_{k}-ak\frac{1}{2}\infty x^{2}e-dx+\sum_{>ak2}p_{k}2a_{k}^{2}e\int_{-\infty}^{\gamma k}-2ake^{-\frac{1}{2}}dx^{2}.x<\infty$である。 逆に, これが成り立つならば, (1), (2) と補題 2 から$\sum_{a_{k}>2}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}) :Z_{k}(G_{k})\geq 1]+\sum_{a_{k}>2}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k})2$: $|Z_{k}(Gk)|<1]<\infty$101である。 よって,$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu \mathrm{c}$$\sum_{a_{k}\leq 2}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k}) :を示せばよく, これは,らに,く,を示すためには,
Z_{k}(G_{k})\geq 1]+\sum_{a_{k}\leq 2}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k})^{2}$$\sum_{a_{k}\leq 2}Zk(G_{k})$の概収束と同等である (Kitada and Sato [4]) 。さは独立確率変数列だから,$\{Z_{k}(G_{k})\}_{k}$$\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k})]=0$

から,: $|Z_{k}(Gk)|<1]<\infty$$\sum_{a_{k}\leq 2}Z_{k}(G_{k})$の$\Sigma_{a_{k}\leq 2}Z_{k}(G_{k})$$L^{2}$-収束はが L2-収束することをいえばよ$\Sigma_{a_{k}\leq 2}\mathrm{E}[z_{k}(G_{k})^{2}]<\infty$

と同値

である。
$a_{k}\leq 2$のとき,$e^{a_{k}^{2}}-1\leq e^{4}a_{k}^{2}$だから,.
$\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k})2]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}p_{k}^{2}(e^{a_{k}x-\frac{1}{2}a^{2}}k-1)^{2}e^{-x^{2}}\frac{1}{2}dx$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\mathrm{t}a}-k)2d_{X+}x\int_{-}^{\infty}\infty d_{X}e-\frac{1}{2}x^{2}\}$$\frac{p_{k}^{2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\{e^{a_{k}^{2}}\int_{-}^{\infty}\infty\frac{1}{2}e^{-}(x-2a_{k})^{2}$$=$$\frac{p_{k}^{2}}{\sqrt{2\pi}}(e^{a_{k}^{2}}-1)\int_{-}^{\infty}\infty e-\frac{1}{2}x^{2}dx=p_{k}^{2}(e^{a_{k-1)}}2$

したがって,\S 3.2$dx$ $-$$=$$\mathit{2}$$\leq p_{k}^{2}a_{k}^{2}e^{4}$$\Sigma_{a_{k}\leq 2}\mathrm{E}[Z_{k}(G_{k})2]\leq e^{4}\Sigma_{a_{k}\leq k}2p^{2}a_{k}^{2}<\infty$

,

である。

口

命題 3 の証明

不等式 (3) から,$\sum_{k\in N_{1}}p_{k}\int_{\gamma_{k}}\infty e^{-}\frac{1}{2}xd-ak2x<\infty$(I)$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{1}}p_{k}\frac{1}{\gamma_{k}-a_{k}}e^{-\frac{1}{2}}(\gamma k-ak)^{2}<\infty$$\{$$\sum_{k\in N_{1}}p^{2}ke^{a_{k}}2\int_{-\infty}^{\gamma-}k2ake-\frac{1}{2}x^{2}dx<\infty$$\sum_{k\in N2}pk\int_{\gamma k}^{\infty}k^{-a}e^{-\frac{1}{2}}dxx<2\infty$(II)$\sum_{k\in N_{1}}p^{2}ke^{a_{k}}2<\infty$$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{2}}pk\frac{1}{\gamma_{k}-a_{k}}e^{-}\frac{1}{2}\mathrm{t}\gamma_{k}-a_{k})^{2}<\infty$$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{2}}pke^{a}22k\frac{1}{2a_{k}-\gamma_{k}}e^{-}\frac{1}{2}(2a_{k}-\gamma k)2<\infty$$\{$$\sum_{k\in N_{2}}.p_{k}ek\int 2a^{2}x^{2}d_{X<}-\infty\gamma_{k}-2ake^{-\frac{1}{2}}\infty$$\sum_{k\in N_{3}}p_{k}\int_{\gamma a}^{\infty}k-ke^{-\frac{1}{2}}dxx<2\infty$(III)$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{3}}p_{k}<\infty$$\{$$\sum_{k\in N_{3}}p_{k}^{2}e^{a_{k}}2\int_{-\infty}^{\gamma_{k}a_{k}}-2d_{X}e-\frac{1}{2}x^{2}$$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{3}}p_{k}^{2}e^{a_{k\frac{1}{2a_{k}-\gamma_{k}}e^{-}}}2\frac{1}{2}(2ak-\gamma k)^{2}<\infty$

が成り刷つ。 また,$e^{-\frac{1}{2}()^{2}}\gamma_{k}-a_{k}$$=$$e^{a_{k}\gamma_{k}\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}\gamma^{2}}-2k \cdot ek=\frac{1+p_{k}}{p_{k}}e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$$e^{-\frac{1}{2}[2\dot{a}}k-\gamma_{k})^{2}$$=$$(e^{\gamma_{k}-\frac{1}{2}})^{2}a_{k}a_{k}e^{-a}22ke- \frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}=(\frac{1+p_{k}}{p_{k}})^{2}e^{-a_{k}^{2}}e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$

102

だから

,

$e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}<p_{k}e- \frac{1}{2}(\gamma_{k}-ak)^{2}<2e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$$e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}<p_{k}ee2a_{k}-2 \frac{1}{2}(2ak-\gamma k)^{2}<4e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$

である。

補題 3
$\sum_{k\in N_{1}}p_{k}\int_{\gamma a}^{\infty}k-ke^{-\frac{1}{2}}dx2x+k\in\sum_{N1}p_{k}^{2}e^{a}2k\int^{\gamma_{k}-2a}-\infty\frac{1}{2}ke-xd_{X}<\infty 2$

証明$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in\lambda^{\Gamma}1}p_{k}2e^{a^{2}}k<\infty$(I) から,$\Rightarrow$$\sum_{k\in\lambda r_{1}}p_{k}^{2}e^{a_{k}}2<\infty$を示せばよい。

$\gamma_{k}-a_{k}\geq 1$$\sum_{k\in N_{1}}pk\frac{1}{\gamma_{k}-a_{k}}e^{-}\frac{1}{2}\mathrm{t}\gamma k-a_{k})^{2}<\infty$と (4) から,
$p_{k} \frac{1}{\gamma_{k}-a_{k}}e^{-\frac{1}{2}}(\gamma_{k}-ak)^{2}\leq 2e^{-\frac{1}{2}}\gamma_{k}^{2}$であり, また,$\log\frac{1+}{p}R\mathrm{A}k=\gamma_{k}ak-\frac{1}{2}a_{k}^{2}$より$\frac{1+p_{k}}{p_{k}}=e^{\gamma_{k}a_{k}^{2}}a_{k}-\frac{1}{2}$$\frac{1}{p_{k}}<$.

だから,$p_{k}^{2}e^{a^{2}}ke^{\frac{1}{2}\gamma^{2}}k>e^{-2\gamma kk}a+a_{k}2e^{a_{k}^{2}}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}=e^{\frac{1}{2}\gamma^{2}\gamma k}k^{-22}ak+a^{2}k=e^{\frac{1}{2}\langle\gamma_{k}2}-ak)^{2}\geq 1$である。 よって,$p_{k} \frac{1}{\gamma_{k}-a_{k}}e^{-\frac{1}{2}\mathrm{t})^{2}}\gamma k-a_{k}\leq 2e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}}2\leq 2p_{k}^{2}e^{a^{2}}k$,

したがって,$\Rightarrow$$k \in\lambda^{\Gamma_{1}}\sum_{-}p^{2}ke^{a^{2}}k<\infty$が成り立つ。

$\sum_{k\in N_{1},\backslash }p_{k}\frac{1}{\gamma_{k}-a_{k}}e^{-}\frac{1}{2}\mathrm{t}\gamma k-ak)^{2}<\infty$口$\text{補題}4$$\sum_{k\in\lambda r2}pk\int_{\gamma k}^{\infty}-a_{k}k\in Npe-\frac{1}{2}x^{2}dX+\sum_{2}2ke\int_{-\infty}^{\gamma}a_{k}^{2}e^{-\frac{1}{2}}k-2akx2d_{X}<\infty$$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{2}}\frac{a_{k}}{(\gamma_{k}-a_{k})(2a_{k}-\gamma_{k})}e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}}2<\infty$

証明

これは (II) と (4) から直ちに分かる。

口

(4)

103

補題 5
$\sum_{k\in N_{3}}pk\int^{\infty}\gamma_{k}-ake^{-\frac{1}{2}}dx^{2}x+\sum_{k\in\lambda\prime 3}p_{k}^{2}e^{a_{k}^{2}}\int_{-}^{\gamma_{k}2a_{k}}\infty-e-\frac{1}{2}xd2x<\infty$

証明$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{3}}pk<\infty$(III) より$\Rightarrow$$\sum_{k\in\lambda_{3}’}p_{k}<\infty$を示せばよい。

$2a_{k}-\gamma_{k}\geq 1$$\sum_{k\in N_{3}}pke^{a_{k}}22\frac{1}{2a_{k}-\gamma_{k}}e^{-\frac{1}{2}()^{2}}2a_{k\gamma}-k<\infty$と (4) より

$p_{k}^{2}ea_{k}^{2} \frac{1}{2a_{k}-\gamma_{k}}e-\frac{1}{2}(2ak-\gamma k)^{2}\leq 4e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}}2$であり,$\gamma_{k}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}\log^{\underline{1}+}pAkk}=\sqrt{2\log^{\underline{1}+_{B\mathrm{A}}}p_{k}}$. より$e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}} \leq e^{-\log^{\frac{1+P}{\mathrm{p}_{k}}}}=\frac{p_{k}}{1+p_{k}}<p_{k}$だから

1$\mathrm{o}-2$$p_{k}^{2}e^{a^{2}}ke^{-} \overline{\mathit{2}ak-\gamma}\perp k\frac{1}{2}.(2a_{k\gamma}-k)^{2}\leq 4e^{-\frac{1}{2}}\gamma_{k}^{2}<4p_{k}$である。 よって,

1$\Rightarrow$$\sum_{k\in N_{3}}p_{k}^{2}e^{a_{k}}2\overline{2ak-\gamma_{k}}e-\frac{1}{2}(2ak-\gamma k)2<\infty$$\sum_{k\in\lambda_{3}^{(}}pk<\infty$が成り立つ。

口

命題 2 と補題 3, 4, 5 から,$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu_{\mathrm{G}}$と$\sum_{a_{k}\leq 2}p_{k}2a_{k}^{2}+\sum_{ak>2}p_{k}^{2}+k\in\sum N_{1}p_{k}e^{a}22k+k\in\sum_{\prime\lambda_{2}}\frac{a_{k}}{(\gamma_{k}-a_{k})(2a_{k}-\gamma_{k})}e^{-\frac{1}{2}\gamma^{2}}k+\sum p_{k}<\infty k\in N3$は同値であり,$\sum_{k\in\lambda_{1}’}p^{2}k\leq\sum p_{k}e^{a_{k}}k\in N122$と次の補題から,
補題 6$\sum_{a_{k}>2}p_{k}^{2}$.

$<\infty$,$\sum_{k\in\lambda_{3}^{(}}p_{k}2\leq\sum_{k\in N_{3}}pk$

は不要である。
$\Rightarrow$$\sum_{k\in N_{2}}\frac{a_{k}}{(\gamma_{k}-a_{k})(\mathit{2}a_{k}-\gamma_{k})}e^{-}\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}<\infty$

証明$\sup_{k}\frac{(\gamma_{k}-a_{k})(2ak-\gamma k)}{a_{k}}p_{k}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}2<\infty$を証明すればよい。 $\max(x-a_{k})(2a_{k^{-}}x)=\frac{1}{4}a_{k}^{2}$ だから$\frac{(\gamma_{k}-ak)(2ak-\gamma k)}{a_{k}}p_{k}^{2}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}\leq\frac{a_{k}}{4}p_{k}^{2}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$$\sum_{k\in\lambda_{2}’}p_{k}<2\infty$

104

であり,
$\frac{2}{p_{k}}>1+\frac{1}{p_{k}}$$.=e^{\gamma_{k}a_{k}-}e \frac{1}{2}a_{k}^{2}$,$-a_{k}<1-a_{k}\leq\gamma_{k}-2a_{k}\leq-1$

だから$p_{k}^{2}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$$(2e^{-\gamma_{k}}a_{k}e^{\frac{1}{2}a_{k}^{2}})^{2}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}=4e^{a_{k}^{2}}e^{-2\gamma\frac{1}{2}\gamma_{k}}kake2=4e^{\frac{1}{2}(\gamma_{k}k}-2a)2a^{2}e^{-}k$

$<$

$<$

$4e^{\frac{1}{2}a_{k}^{2}}e^{-a^{2}}k=4e^{-a_{k}^{2}} \frac{1}{2}-$である。 したがって,$\frac{(\gamma_{k}-a_{k})(2a_{k^{-\gamma}}k)}{a_{k}}p_{k}^{2}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}\leq\frac{a_{k}}{4}p_{k}^{2}e^{\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}\leq\frac{a_{k}}{4}\cdot 4e^{-\frac{1}{2}a_{k}^{2}}\leq\max_{x}xe^{-\frac{1}{2}x^{2}}$が成り立つ。

口

以上の補題から, 命題 3 が得られる。

\S 3.3

命題 4 の証明

命題 3 に現れた項を,$e^{a_{k}^{2}}=e$$p_{k}$のべキの形に書き換えていく$\text{。}$まず,$\frac{a_{k}^{2}}{\log^{\underline{1}+p}}(\log^{\frac{1+p}{p_{k}})}=(\frac{p_{k}}{1+p_{k}})^{-\frac{a_{k}^{2}}{\log\frac{1+p_{k}}{\mathrm{p}_{k}}}-\frac{a_{k}^{2}}{\log^{\frac{1+P}{p_{k}}}}}=pk(1+p_{k})\frac{a_{k}^{2}}{\log^{\frac{1+p}{\mathrm{p}_{k}}}}$$\mathrm{p}_{k}$であり, $k\in N_{1}$ のとき$\gamma_{k}>2a_{k^{-1}},$$a_{k}>\mathit{2}$だから,$\frac{1}{a_{k}}\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}}>\mathit{2}ak-\frac{a_{k}}{2}-1=\frac{3}{2}a_{k}-\frac{a_{k}}{2}=a_{k}$である。 よって,$1<(1+pk) \frac{a_{k}^{2}}{1\mathrm{o}g^{\underline{1}+\mathrm{p}}p_{k}r}<\mathit{2}$となり$a_{k}^{2}$$a_{k}^{2}$$p_{k} \log\frac{1+Pk}{p_{k}}<e^{a_{k}^{2}}<2p_{k}\log\frac{1+\mathrm{p}k}{p_{k}}$,$k\in N_{1}$が成り立つ。 したがって,$2- \frac{a_{k}^{2}}{\log^{\underline{1}+\mathrm{p}}p_{k}r}$$\sum_{k\in N_{1}}p^{2}ke^{a_{k}}2<\infty$$=$$<\infty$$\sum_{k\in N1}p_{k}$である。 次に,$\gamma_{k}^{2}=\frac{1}{4}a_{k}^{2}+\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}}+\frac{1}{a_{k}^{2}}(\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}})^{2}$

(5)

105

より

$e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$

$=$

$=$

$e^{-\frac{1}{8}a_{k}^{2}}e^{-\frac{1}{2}\log\frac{1+}{p}}kp \mathrm{A}e^{--^{1}\tau(\log^{1+}}2akarrow ppk\mathrm{I}^{2}=e^{-\frac{1}{8}a_{k}^{2}}\sqrt{\frac{p_{k}}{1+p_{k}}}(\frac{1+p_{k}}{p_{k}})^{2a_{k}pk}=^{1}\log^{1}\pm \mathrm{p}A$$e^{-\frac{1}{8}a_{k}^{2}}( \frac{1+p_{k}}{p_{k}})^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2a_{k}^{2}}\mathrm{l}\mathrm{g}^{\frac{1+p}{p_{k}}}}\mathrm{o}$であり,1$a_{\mathrm{L}}^{2}$.

$1\neq_{\mathcal{D}\mathrm{L}}\backslash$$/_{\mathrm{Y}}$$-$$\underline{1}\underline{ka^{2}}$$e^{-\frac{1}{8}a_{k}^{2}}=e- \frac{1}{8}\frac{a_{k}^{2}}{\mathrm{t}\circ\epsilon^{\frac{1+\mathrm{p}_{k}}{p_{k}}}}(\log\frac{1+\mathrm{p}}{p_{k}}h)=(\frac{p_{k}}{1+p_{k}})^{\frac{1}{8}\frac{a_{k}^{z}}{1\circ \mathrm{g}^{\underline{1}+p}\mathrm{p}kr}}$だから,$( \frac{p_{k}}{1+p_{k}})^{\frac{1}{8}}\frac{a_{k}^{2}}{1\circ\epsilon^{\frac{1+\mathrm{p}}{p_{k}}}\mathrm{A}}+\frac{1}{2}+_{2}=_{a}1k\log^{1+}arrow Ppk=(\frac{p_{k}}{1+p_{k}})^{\frac{1}{4}}(\frac{1}{2}\frac{a_{k}^{2}}{\log^{1p}\pm_{pk}r}+2+\frac{21\circ\epsilon^{\frac{1+P}{p_{k}}\mathrm{A}}}{a_{k}^{2}})$$e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}$$=$$( \frac{p_{k}}{1.+p_{k}})^{\frac{1}{4}(\sqrt{2\log^{\frac{\infty_{1+p}}{p_{k}}}a^{2}}}+\sqrt{\frac{2\log^{1p}\pm_{pk}r}{a_{k}^{2}}})2$

(6)

$=$

である。 いま,$\gamma_{k}=\frac{1}{2}a_{k}+\frac{1}{a_{k}}\frac{a_{k}^{2}}{2\sigma_{k}^{2}}=\frac{1}{2}a_{k}+\frac{a_{k}}{2\sigma_{k}^{2}}$だから$\gamma_{k}-a_{k}=-\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sigma_{k}^{2}})$,$2a_{k}- \gamma_{k}=\frac{a_{k}}{\mathit{2}}$

したがって,$(\gamma_{k}-a_{k})(2a_{k}a_{k}-\gamma_{k})$$=$$\frac{1}{a_{k}}\frac{a_{k}^{2}}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}^{2}}-1)(3-\frac{1}{\sigma_{k}^{2}})=\frac{a_{k}}{4\sigma_{k}^{4}}(1-\sigma_{k}2)(3\sigma_{k}^{2}-1)$$=$$\frac{1}{4}\frac{1}{\sigma_{k}^{3}}\sqrt{2\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}}}(1-\dot{\sigma}^{2}k)(3\sigma_{k}2-1)$$=$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{1}{\sigma_{k}^{3}}\sqrt{\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}}}(1-\sigma_{k})2(3\sigma_{k}^{2}-1)$が成り立つ。 $k\in N_{2}$ のとき$a_{k}+1\leq\gamma_{k}\leq 2a_{k}-1$$\frac{1}{\mathit{2}}a_{k}+1\leq\frac{1}{a_{k}}\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}}\leq\frac{3}{2}a_{k}-1$

すなわち

だから

$\frac{2+a_{k}}{a_{k}}\leq\frac{2\log^{\underline{1}+_{B\mathrm{A}}}\mathrm{P}k}{a_{k}^{2}}\leq\frac{3a_{k}-2}{a_{k}}$したがって$1< \sqrt{\frac{2+a_{k}}{a_{k}}}\leq\frac{1}{\sigma_{k}}\leq\sqrt{\frac{3a_{k}-\mathit{2}}{a_{k}}}<\sqrt{3}$

,

106

である。 よって,$\frac{2\sqrt{\mathit{2}}}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma k^{-1)}2}\frac{1}{\sqrt{\log^{\underline{1}+\mathrm{g}_{\mathrm{A}}}pk}}\leq\frac{a_{k}}{(\gamma_{k}-a_{k})(2a_{k}-\gamma_{k})}\leq\frac{6\sqrt{6}}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)}\frac{1}{\sqrt{\log\frac{1+}{p}Ehk}}$が成り立つ。 これらと (6) を併せて,$\sum_{k\in\lambda^{\Gamma}2}\frac{a_{k}}{(\gamma_{k}-a_{k})(\mathit{2}a_{k}-\gamma k)}e^{-\frac{1}{2}\gamma_{k}^{2}}<\infty$$\sum_{k\in N2}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma k-21)}.\frac{1}{\sqrt{\log^{\underline{1}+_{h}}pkA}}(\frac{p_{k}}{1+p_{k}})^{\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}}\sigma_{k}+)^{2}<.\infty$$\Leftrightarrow$$\frac{1}{4}(\sigma_{k}+\frac{1}{\sigma_{k}})^{2}$$\Leftrightarrow$$\sum_{k\in N_{2}}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma-k21)}\frac{p_{k}}{\sqrt{\log^{1_{Bk}}\pm_{pk}}}<\infty$が成り立つ。

上の計算と命題 3 から, 命題 4 が成り立つ。

\S 3.4定理 1 の証明

補題 7(a)$a_{k}>2$$\frac{1}{4}\langle\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$a_{k}>2_{f}$のとき, 次の不等式が成り立つ。

$2(1-\sigma_{k}^{2})$$<p_{k}$$p_{k}$(b),$<e4p_{k}$$\underline{3}\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}<\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{e^{\frac{3}{4}}}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}2-1)}\frac{p^{\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})}2}{\sqrt{|\log pk|}}$のとき, 次の不等式が成り立つ。

$\sqrt{\frac{a_{k}}{2+a_{k}}}<\sigma_{k}<1$$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$<p_{k}<ep_{k}$$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}<\frac{4e}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)}\frac{p_{k}}{\sqrt{|\log pk|}}$$p_{k}$.
証明(a)$2(1- \sigma_{k}^{2})<\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})$

だから,

$($

$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k)}$$2(1-\sigma_{k}^{2})$$<p_{k}$$p_{k}$である。 また,$\frac{1}{p_{k}}<A=e\underline{1}+2\sigma p_{k}^{\mathrm{A}}arrow^{2}ak<e^{\frac{3}{2}a_{k}^{2}}$$- \frac{1}{4}\sigma^{2}(k3-_{\overline{\sigma}}^{1}\tau)k2$$2(1- \sigma_{k}^{2})-\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$p_{k}$$p_{k}$

より$=p_{k}$$=$$- \frac{1}{4}\frac{a_{k}}{3a_{k}-2}(3-\frac{3a_{k}-2}{a_{k}})^{2}$$<p_{k}$$( \frac{1}{p_{k}})^{\frac{1}{a_{k}(3a_{k}-2)}}<e^{\frac{3}{2}\frac{a_{k}}{3a_{k}-2}}<e^{\frac{3}{4}}$

107

だから,
$p_{k}^{2(-\sigma_{k}^{2})}<e^{\frac{3}{4}}p1 \frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$である。 さらに,$|\log pk|<\log h=*\pm_{p_{k}\overline{2}\sigma}1_{\mathit{1}}a_{k}^{2}$だから,$(1- \sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)\sqrt{|\log pk|}<(\frac{3a_{k}}{3\alpha_{k}-2}-1)\frac{a_{k}}{\sqrt{2}\sigma_{k}}<\frac{\sqrt{6}}{3-\frac{2}{a_{k}}}<\sqrt{\frac{3}{2}}$

である。

(b)

$1< \frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})$より$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$<p_{k}$$p_{k}$

が成り立つ。 また,$\frac{1}{\mathrm{P}k}<\underline{1}+u\mathrm{A}pk=e^{\frac{a}{2}\mathrm{g}}\sigma_{k^{-}}22<e^{\frac{1}{2}a_{k}(2+}.a_{k}$

)

だから,

,

$p_{k}p_{k}^{-\frac{1}{4}}( \frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}=p_{k}-\frac{1}{4}\sigma^{2}k(\frac{1}{\sigma_{k}^{2}}-1)2<(\frac{1}{p_{k}})^{\frac{1}{4}(^{\frac{2+a}{a_{k}}-1)}}2=(\frac{1}{p_{k}})^{\frac{1}{a_{k}^{2}}}<e^{\frac{1}{2}\mathrm{A}\pm}aa_{k}2<e$よって,$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$p_{k}<.ep_{k}$である。 さらに,$| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}.p_{k}|<\log\underline{1}+_{B\mathrm{A},k}a^{2}p\overline{2}\sigma_{k}=s_{\overline{2}},\dot{\sigma}_{k}>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)\sqrt{|\log pk|}$

である。

だから,

$<$

$(1- \frac{a_{k}}{2+a_{k}})2\frac{a_{k}}{\sqrt{2}\sigma_{k}}$$=$$\frac{2\sqrt{2}}{2+a_{k}}\frac{1}{\sqrt{\mathit{2}}}\frac{a_{k}}{\sigma_{k}}<\frac{4}{1+\frac{2}{a_{k}}}<4$$\square$定理 1 の証明$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu_{\mathrm{G}}$とすれば, 命題 4 より,$\sum_{a_{k}>2}p_{k}^{2(\sigma_{k}}+1-2)a_{k}k>2^{-}\sigma\sum_{1\geq}p_{k}\leq\sum_{k\in N1}p^{2(}k1-\sigma k2)+\sum_{k\in N3}pk<\infty$$\sigma_{k\leq\neq_{3}}$であり,$\max\{1,2(1-\sigma_{k}^{2})\}\leq\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$だから,$\alpha(\sigma_{k}, p_{k})p^{\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}}+\sigma_{k})^{2}$$\sum_{a_{k}>2}$$T^{1}3<\sigma k<1$$\sum_{2,\perp\in}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}-21)}\frac{p^{\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}}}{\sqrt{|\log pk|}}+\sum_{akN,\sqrt{\mp^{a_{\mathrm{A}_{-}}}2a_{k}}^{k}<>2}p^{\frac{1}{k4}}a_{k}>2\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})2(\frac{1}{\sigma_{k}}\sigma_{k}<1+\sigma_{k})2$$= \sum_{<,\sqrt{3}^{<\sigma_{k}}\sqrt{\frac{a_{k}}{3a_{k}-2}}}p+$$\leq$$\sum_{k\in N_{1}}p_{k}^{2}(1-\sigma_{k}2)+\sum_{2\in N}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}2-1)}\frac{p^{\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}}}{\sqrt{|\log pk|}}+kk\lambda\sum_{\in r3}p_{k}<\infty$108である。 逆に,$\sum_{a_{k}\leq 2}a_{k}p_{k}+\sum 22\alpha(\sigma ak>2k, p_{k})p_{k}^{\varphi}\mathrm{t}^{\sigma)}k<\infty$とすれば,$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$\sum_{a_{k}>2}p_{k}^{2(1-}\sigma 2k)+\sum_{\sigma_{k\geq}1}p_{k}a_{k}>2+k\sum_{\in N_{2}}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}-21)}\frac{p_{k}}{\sqrt{|\log pk|}}<\infty$$\sigma_{k\leq\neq_{3}}$であり, 補題 7 より,$+_{3}< \sigma_{k}<\sqrt{\frac{a_{k}}{3a_{k}-2}}\sum_{a_{k}>2}p_{k}2(1-\sigma_{k}^{2})\leq e^{\frac{3}{4}}\perp\sqrt{3}^{<\sigma_{k}<\sqrt{\frac{a_{k}}{3a_{k}-2}}}\sum_{a_{k}>2}p^{\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+}\sigma_{k})^{2}<\infty$$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$<\infty$$\sqrt{\overline{2}+a_{k}Aa-}a_{k}>2\sum_{\sigma_{k}<<1}p_{k}\leq e\sum p_{k}\sqrt{\neq^{a}+a_{k}-}<\sigma_{k}ak>2<1$

だから,

1

.

$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$\sum_{k\in N_{1}}p_{k}^{2}(1-\sigma_{k})^{2}+\sum_{k\in N_{2}}\overline{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma-k)^{\frac{p_{k}}{\sqrt{|\log pk|}}}21}+\sum_{k\in N_{3}}$である。 したがって, 命題 4 より

\S 3.5$\mu_{\mathrm{G}+\mathrm{Y}}\sim\mu_{\mathrm{G}}$が成り立つ。

$p_{k}<\infty$口

命題 1 の証明

補題 8 $k \in N_{2},0<p_{k}<\frac{1}{2}$ のとき, 次の不等式が成り立つ。
$\frac{1}{3\sqrt{2}}<(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}-21)\sqrt{|\log pk|}<\frac{1}{3}p^{\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k}}p_{k}^{-2})2$

証明$p_{k}< \frac{1}{2}$より$\log^{\underline{1}+A\mathrm{A}}p_{k}<\mathit{2}|\log pk|$

だから,$\frac{a_{k}}{\sigma_{k}}=\sqrt{2\log\frac{1+p_{k}}{p_{k}}}<2\sqrt{|\log pk|}$である。 したがって,$\sigma_{k}\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$

のとき

.

109

のとき

$\sigma_{k}>\frac{1}{\sqrt{2}}$$(1- \sigma_{k}^{2})(3\sigma-k12)\sqrt{|\log pk|}>(1-\frac{a_{k}}{2+a_{k}})(\frac{3}{2}-1)\frac{a_{k}}{2\sigma_{k}}>\frac{2}{1+\frac{2}{a_{k}}}\frac{1}{2}\frac{1}{2}>\frac{1}{4}>\frac{1}{3\sqrt{2}}$

である

$0$

-方,

$\frac{1}{\sqrt{3}}<\sigma_{k}<1$だから,$2- \frac{1}{4}>\mathit{2}-\backslash \frac{1}{4}(3+1+2)=\frac{1}{2}$

したがって,である。

$\square$

命題 1 の証明$\sum_{a_{k}>2}p_{k}^{\varphi()}\sigma_{k}...\cdot+.\sum_{a_{k}\leq 2}ak22p_{k}.\cdot<\infty$とする。
$\sum_{k\in N_{1}}p_{k}^{2}(1-\sigma^{2}k)\sum_{\in\lambda_{3}^{\Gamma}}p_{k}\leq\sum p_{k}\varphi(\sigma k)+kak>2<\infty$だから, 命題 4 より,$\frac{1}{4}\mathrm{t}\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})2$$\sum_{k\in N_{2}}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)}\frac{p_{k}}{\sqrt{|\log p_{k}|}}<\infty$を示せばよい。 いま,$\sum_{a_{k}>2}p_{k}^{2}\leq\sum_{a_{k}>2Pk}\varphi(\sigma_{k})<\infty$$0<p_{k}< \frac{1}{2’}$をみたす$k_{0}\in \mathbb{N}$だから,$k\geq k_{0}$,$.a_{k}>2$が存在し, 補題 8 より,$\frac{1}{4}(\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)}\frac{p_{k}}{\sqrt{|\log pk|}}\leq 3\sqrt{2}p^{\frac{1}{k4}(\frac{1}{\sigma_{k}}}+\sigma_{k})^{2}$,が成り立つ。 よって,$\frac{1}{4}\langle\frac{1}{\sigma_{k}}+\sigma_{k})^{2}$$\sum_{k\in N_{2}}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)}\frac{p_{k}}{\sqrt{|\log pk|}}<\infty$である。

$k_{0}\leq k\in N_{2}$

110

逆に,

$\mu \mathrm{G}+\mathrm{Y}\sim\mu_{\mathrm{G}}$とする。 命題 A より
$0<p_{k}< \frac{1}{2’}$$\sum_{a_{k}>2p_{k}^{2}}<\infty$

1

すなわち,

だから, $a_{k}>2$ のとき,$\log p_{k}|>\log 2$が成り立っているとしても–般性を失わない。 このとき, 命題 4 より$\sum_{k\in N_{1}\cup N_{3}}\frac{p_{k}^{\varphi}\mathrm{t}^{\sigma_{k}})}{\sqrt{|\log pk|}}\leq\frac{\mathrm{l}}{\sqrt{\log 2}}\sum_{k\in N_{1}\cup N_{3}}p_{k}^{\varphi\langle\sigma)}k<\infty$である。

いま, $k\in N_{2}$ に対して
$0<(1- \sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)\leq(1-\frac{2}{3})(3\cdot\frac{2}{3}-1)=\frac{1}{3}$だから,$\sum_{k\in N_{2}}\frac{p_{k}^{\varphi}\mathrm{t}^{\sigma_{k}})}{\sqrt{|\log pk|}}\leq\frac{1}{3}\sum_{k\in N_{2}}\frac{1}{(1-\sigma_{k}^{2})(3\sigma_{k}^{2}-1)}\frac{p_{k}^{\varphi}\mathrm{t}^{\sigma_{k}})}{\sqrt{|\log pk|}}$である。 よって,$\varphi(\sigma_{k}\rangle$$\nabla^{\neg}-2_{--}21\nabla^{[]}$$p_{k}$$\sum_{a_{k}\leq 2}a_{k}^{2}pk^{+}\sum_{2}2\frac{Fk}{\sqrt{|\log pk|}}<\infty ak>$が成り立つ。

$\square$

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