数理解析研究所講究録
第 846 巻 1993 年 20-27

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Sharp characters with only one rational values

東京医科歯科大教養

清田正夫(Masao Kiyota)

千葉大教養

野澤宗平

(S\^ohei Nozawa)

本講演は昨年 6 月に岐阜大で開かれた代数的組み合せ論研究集会における (Alvis-Kiyota-Nozawa の共同研究に関する) 清田による講演の続編で, 単位元以外に rationalvalue をもたない sharp pairs に関する次の予想が肯定的に解決されたことの報告である.
予想.

を (任意の raI 止の) normalized L-sharp とする. このとき,$(G, \chi)$$G$は奇数位数の巡回群で,以下,$G$を有限群,$\chi$また, 任意の有限集合式を $f_{L}(x)$ で表す.

$\chi$$L\subset \mathbb{C}$に対して,を$n=\chi(1)$$L$$\chi$の次数とする.の元を根にもつ最小次数のモニック多項

すなわち$f_{L}(x)_{d}=_{ef} \prod_{\alpha\in L}(x-\alpha)$.

定義.のとき,$(G, \chi)$は type $L$ という.

定理 ([B]).
$(G, \chi)$が type $L$ ならばならばは 1 次指標, または 2 つの複素共役な 1 次指標の和である.

を $G$ の指標とし,$L=\{\chi(g)|g\in G\backslash \{1\}\}$$L\cap \mathbb{Z}=\emptyset$$f_{L}(n)\in \mathbb{Z}$で,$|G|$

は $f_{L}(n)$ を割る.

21
定義.
$(G, \chi)$が type $L$ で, $|G|=f_{L}(n)$ が成り立つとき,$(G, \chi)$が L-sharp ならば, 定義より明らかなように$(G, \chi)$$\chi$は忠実な指標である.

先ず, sharp pairs の代表的な例から紹介しよう. 例 1 は場合であり, 例 2, 例 3, 例 4 は$L$を L-sharp という.

$L$が有理整数だけからなるが無理数を含む場合の例である.

例 1.
$(G, \Omega)$を sharply t-transitive 置換群,$\pi$をその置換指標とする.

このとき,$(G, \pi)$

は $\{0,1, \ldots, t-1\}$ -sharp となる.

特に, 任意の有限群 $G$ に対して, $(G, \rho c)$ は$\{0\}$-sharp である.

ここで\mbox{\boldmath $\rho$}G は $G$ の正則指標を表す.
例 2.
$G$を巡回群,(1)$(G, \lambda)$(2)$|G|$$\lambda$

を $G$ の忠実な 1 次指標とするとは sharp pair で,が奇数ならば,$(G, \lambda+\overline{\lambda})$も sharp pair である.

ここで,$\overline{\lambda}$

は$\lambda$の複素共役を表す.
例 3.
$G$

を位数 $2m$ の正 2 面体群,$\psi$

を $G$ の忠実な 2 次の既約指標とすると,$(G, \psi)$はsharp pair となる.
例 4.
$G$を位数 $4m$ の正 2 面体群, または一般 4 元数群,$\psi$

を $G$ の忠実な 2 次の既約指標,を位数 $2m$ の cyclic kernel をもった nonprincipal な 1 次指標とする.
$(G, \psi+\xi)$はともに sharp pairs である.

$\xi$

このとき $(G, \psi)$ ,22
一般に,$(\chi, 1_{G})_{G}=m$のとき$\chi’=\chi-m1_{G}$とおけば,$(G, \chi)$,$L’=\{\alpha-m|\alpha\in L\}$が L-sharp であることと $(G, \chi’)$ が $L$ -sharp であることは同値であ

従って, sharp pairs の分類問題を考えるとき,る.

$(G, \chi)$は $(\chi, 1_{G})_{G}=0$ を満たすとしてよい.

定義.
$(\chi, 1_{G})c=0$のとき,$(G, \chi)$は normalized であるという.

定義.
$(G, \chi)$を L-sharp,$\mathcal{G}$を$\mathbb{Q}(L)$の$\mathbb{Q}$上のガロワ群とするとき,$L$の$\mathcal{G}$-orbits の個数を $(G, \chi)$ の rank と呼ぷ.

先ず, “小さい” rank を持つ sharp pair $(G, \chi)$ の分類結果を紹介する.

$L$が有理整数だけからなる場合は, 非常に難しく僅かに以下の結果が知られているだ

けである.

[CK] $L=\{\ell\}$ ならば, $\ell=-1$ で,は任意の有限群, $\chi=\rho c-1_{G}$ .

$G$[CK] $L=\{P,P+1\}$ ならば, $\ell=-1$ .
[CK] $L=\{0, \ell\}$ で, $P\neq-1$ ならば,$\chi$特に, $-P=p$ ( は素数) ならば,$p$は既約, $-P$ は素数べき.
$G=P\aleph \mathbb{Z}_{p-1}$.

ここで $P$ は位数$p^{3}$の非可換アーベル群である.
$[CKaK]L=\{-1,1\}$ ならば,
$D_{8}$,$\chi$は 2 つの既約指標の和で,$Q_{8}(n=3)$ ;$GL(2,3)$ ,$\hat{S}_{4}(n=7)$$PSL(2,7)(n=13)$ ,$S_{4}$,,$G$は次のいずれかである.

$SL(2,3)(n=5)$ ;;$S_{5}$$A_{6}(n=19)$ ,$\hat{A}_{7}(n=71)$$SL(2,5)(n=11)$ ;,$M_{11}(n=89)$ .

23[CK] $L=\{P,\ell+1,P+2\}$ ならば, $l=-1$ .

[N1] $L=\{\ell,\ell+1,\ell+2,P+3\}$ ならば,

一般に,$\chi$

は既約で$SL(2,3)(n=2, \ell=-2)$ ,$S_{5}(n=4, P=-1)$ ,$A_{6}(n=5, P=-1)$ ,$M_{11}(n=10, P=-1)$ .

$L\subset \mathbb{Z}$の場合には(1)$|L|=2$ ならば, $( \chi,\chi)=1-\min(L)\cdot\max(L)$(2)$|L|>2$ ならば,$( \chi, \chi)\leq-\min(L)\cdot\max(L)$なので, 次の対象としては例えば $L=\{-1,2\},$ $\{-2,1\},$ $\{-1,0,2\},$$\ldots$

等の場合と思われるがどれも未解決である.

以後は,
以下,$L$が無理数を含む場合を考察する.

$L_{0}=L\cap \mathbb{Z},$$L^{*}=L\backslash \mathbb{Z}$とおき,$L^{*}\neq\emptyset$と仮定する.

定理 1([CK]).
を rank 1 の normalized L-sharp with$(G, \chi)$回群で,$\chi$$G$は奇素数次の巡.

を rank 2 の normalized L-sharp とする.

$(G, \chi)$とすると,は 1 次指標力\searrow または 2 つの複素共役な 1 次指標の和である.

定理 2 $([A|,[AKN|,[KN|)$(1)$L_{0}=\emptyset$$L_{0}=\emptyset$

ならば,

$G$

は位数$p^{2}$

このとき( : 奇素数) の巡回群で,$p$$\chi$

は 1 次指標か, または2 つの複素共役な 1 次指標の和 $(p>3)$ である.

(2)$|L_{0}|=1$

ならば, 次のいずれかが起こる.

(i)$L_{0}=\{-1\},$$G$は 4 次の巡回群,(ii)$L_{0}=\{-1\},$$G$は 9 次の巡回群,(iii)$L_{0}=\{0\},$$G$

は位数 $2p$ ( : 素数$p$$\chi$$\chi$は 1 次指標.

は 2 つの複素共役な 1 次指標の和.

$\geq 5$) の正 2 面体群,$\chi$は 2 次の既約指標.

24定理 3 ([N2]).

を rank 3 の normalized L-sharp とする.

$(G, \chi)$(1)$L_{0}=\emptyset$

ならば,巡回群で,$\chi$$G$

は位数 $pq$ ($p,$$q$

このときは異なる奇素数), または$p^{3}$($p$は奇素数) のは 1 次指標, または 2 っの複素共役な 1 次指標の和 $(p, q>3)$ である.

(2)$|L_{0}|=1$

ならば, 次のいずれかが起こる.

(i)$L_{0}=\{-1\},$(ii)$L_{0}=\{-1\}$(iii)$L_{0}=\{-1\},$(iv)$L_{0}=\{-1\}$.
.

は 1 次指標.

$G$

は位数 8 の巡回群,$G$

は位数 27 の巡回群,$G$

は位数 $2p$ ( : 奇素数) の巡回群,$G$

は位数 $3p$ ( : 素数$\chi$$\chi$は 2 つの複素共役な 1 次指標の和.

$p$$p$$\geq 5$$\chi$) の巡回群,

は 1 次指標.
$\chi$

は 2 つの複素共役な

1 次指標の和.

(v)$L_{0}=\{-1\},$$\chi$(vi)(3)

は位数 $4p$ ( : 素数$p$$\geq 5$) の正 2 面体群, または一般 4 元数群,

は 2 次の既約指標と (位数 $2p$ の cyclic kernel をもった) 1 次指標の和.

$L_{0}=\{0\},$$|L_{0}|=2$

(i)

$G$

$G$

は位数

$2p^{2}$( : 素数$p$$\geq 5$) の正 2 面体群,$\chi$

は 2 次の既約指標.

ならば, 次のいずれかが起こる.

$L_{0}=\{-2,0\}$

数群で,$\chi$または $\{-1,1\}$.

$G$

は位数 16 の正 2 面体群, または一般 4 元

は 2 次の既約指標, または 2 次の既約指標と 1 次指標の和である.

(ii)$L_{0}=\{-1,0\}$ ,(iii)$L_{0}=\{-1,0\},$(iv)$L_{0}=\{-1,0\}$ ,$G$

は位数 18 の正 2 面体群,$G\cong\hat{S}_{4},$$\chi$$G\cong A_{5},$$\chi$$\chi$

は 2 次の既約指標.

は 2 次の既約指標.
は 3 次の既約指標.

定理 1, 定理 2(1), 定理 3(1) より自然に最初に述べたことが予想される.

25
定理 4 (予想)I([AKLN]).
$(G, \chi)$$G$

を (任意の rank の) normalized L-sharp とする.

は奇数位数の巡回群で,$\chi$

このとき,$L_{0}=\emptyset$

ならば,は 1 次指標, または 2 つの複素共役な 1 次指標の和である.

Reduction(奇) 素数べきの位数をもつすべての群に対して定理 4 が成り立つならば, すべての有限群 $G$ に対して定理 4 が成り立つ.

任意の -群に対する定理 4 の証明には次の整数論的結果が要求される.
$p$

また, 定理5 の系では $(G, \chi)$ が L-sharp であることを仮定しない.
定理 5 ([AKLN]).
$p$を素数,$\omega$を 1 の原始〆-乗根とする. また,$(p, k)=1$ なるある

$k$に対してが無理数で,のとする.

このとき,$2Re(1-\omega)$と代数的共役である.

$\beta$$\beta_{k}>0$

で,$\beta=\sum_{k=1}^{p^{\ell}-1}\beta_{k}(1-\omega^{k})$は$gcd(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{p^{l}-1})=1$が $p$ べきならば,$N_{\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}}(\beta)$$\beta$$0\leq\beta_{k}\in \mathbb{Z}$,を満たすもは $1-\omega$ または系.
$\chi$を有限群 $G$ の忠実な指標とし, ある位数が無理数と仮定する. また,$L_{g}$$p^{\ell}$を $\chi(g)$ を含むべきと仮定する. このとき, 1 の原始 p\ell 乗根$\omega$( は素数) の元 $g\in G$ に対して,$p$$L$の Galois orbitと非負整数

おいて\mbox{\boldmath $\rho$}(g) の固有値が 1(重複度 $n-p^{s}$ ) と \omega (重複度\omega (重複度$p^{s}$) -\omega (重複度$,$$p^{s}$) となるものが存在する.

これらから次のように定理 4 の証明が得られる.
定理 4 の証明の概略.

$p^{s}$$s$で,$\chi(g)$とし, $f_{L_{9}}(\chi(1))$ が$\chi$を与える表現$\rho$$p$に), または 1(重複度 $n-2p^{\theta}$ ),26
先の Reduction より,$G$を - 群,$p$よい.

定理 5 の系より $G$ は位数て,は巡回群である.

$G$$p$は無理数で,とし,$\rho(g)$$L_{0}=\emptyset$としての部分群をただ 1 つだけもつことが示される. 従っ

いま, $G=<g>$ with $o(g)=p^{\ell}$ とし,$\chi(g)$を normalized L-sharp with$(G, \chi)$$N_{\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}}(\chi(1)-\chi(g))$$\omega$

を 1 の原始〆乗根とする.

は $p$ べきとなる.の固有値としての’ の重複度を$\alpha_{k}$また,$\rho$

を$\chi$$L_{0}=\emptyset$

から,を与える表現

とおくと$\chi(1)-\chi(g)=\sum_{k=1}^{p^{\ell}-1}\alpha_{k}(1-\omega^{k})$で,ある $0\leq s\in \mathbb{Z}$ に対して $gcd(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p^{P}-1})=p^{s}$ .

$p^{-s}(\chi(1)-\chi(g))$

そこで$\beta_{k}.=p^{-\theta}\alpha_{k},$$\beta=$とおくと$\beta=\sum_{k=1}^{p^{p}-1}\beta_{k}(1-\omega^{k})$で,$\beta$は定理 5 の仮定を満たす.

従って, 必要ならば$g$を$g$のべきで置き換えることによって$\chi=(n-p^{s})1c+p^{\theta}\lambda$とできる

ここで,$\lambda$

または$\chi=(n-2p^{s})1_{G}+p^{\theta}\lambda+p^{s}\overline{\lambda}$

は $\lambda(g)=\omega$ なる $G$ の 1 次指標である

normalized L-sharp より,$\chi=\lambda$

または$\chi=\lambda+\overline{\lambda}$を得る.

よって,$(G, \chi)$は口なお, 定理 4 のこの証明は (Cameron-Kiyota の) 定理 l の別証明にもなっている. 実
際,$(G, \chi)$の rank を $r$とし$|G|=p_{1}^{e_{1}}p_{2^{e_{2}}}\cdots p_{m^{e_{m}}}$($p_{1},p_{2},$ $\ldots,p_{m}$は異なる素数)

とおくと, 定理 4 の仮定の下で$r=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\cdots(e_{m}+1)-1$

27が成り立つ.

したがって, $r=1$ ならば, $|G|=p$ ($p$は素数) となるからである.

REFERENCES[A] D. Alvis, On finite groups admitting certain sharp characters with irrational values,
Comm. Algebra (to appear).
[AKLN] D. Alvis, M. Kiyota, H. Lenstra and S. Nozawa, Sharp characters with only
one rational value, Comm. Algebra (to appear).
[AKN] D. Alvis, M. Kiyota and S. Nozawa, Sharp characters of rank two, (unpublished).
[AN] D. Alvis and S. Nozawa, Sharp characters with one class of irrational values,(submitted).
[B] H. F. Blichfeldt, A theorem concerning the invariants of linear homogeneous groups,
with some applications to substitution-groups, Trans. Amer. Math. Soc. 5 (1904),461-466.

M. Kiyota, Sharp chamcters of finite groupsof type $\{-1,1\}$ , J. Algebra 152 (1992), 248-258.

$[CKaK]$ P. J. Cameron, T. Kataoka and[CK] P. J. Cameron and M. Kiyota, Sharp characters of finite groups, J. Algebra 115(1988), 125-143.
[KN] M. Kiyota and S. Nozawa, Sharp characters whose values at non-identity elements
are and a family of algebraic conjugates, J. Algebra (to appear).
[N1] S. Nozawa, Sharp characters of finite groups having prescribed values, Tsukuba
J. Math. 16 (1992), 269-277.
[N2] –, Sharp characters of rank three, (preprint).
$\theta$