数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 84-89

84

LEFSCHETZ PENCILS AND FINITELY PRESENTED GROUPSRYOMA KOBAYASHI AND NAOYUKI MONDEN

1. 序

Lefschetz pencil は，S. Lefschetz が代数曲面を調べる補助手段として導入した概念である．1970 年代後半から 1980 年代にかけ，種数 1 の Lefschetz pencil が楕円曲面のトポロジーの研究において基礎的な役割を果たし，その重要性が認識された．特に，次の Donaldson[5] と $Gompf[7]$ の結果によって，Lefschetz pencil と 4 次元シンプ
レクティック多様体 (非退化な閉 2 次形式を持つ 4 次元多様体) の密接な関係が明らかにされた．

級有向閉 4 次元多様体 $X$ がシンプレクテイック構造を持つことと Lefschetz pencil の構造を持つことは必要十分条件である．

定理 1.1 ([5],[7]).

$c\infty$定理 1.1 が現れたのを契機に，4 次元トポロジーにおいて Lefschetz pencil(或いはLefschetz fibration) の研究やその構成が本格化し，現在も活発に行われている．
4 次元シンプレクティック多様体は K3 曲面や一般型曲面を含んでおり，複素曲面のきれいな性質をトポロジーのカテゴリーに拡張したような性質を持つ．また，4 次元シンプレクティック多様体からエキゾチック (同相かつ微分同相) な例が豊富に構成されてきたこともあり，4 次元トポロジーにおける重要な研究対象である．4 次元
シンプレクティック多様体の豊富さを表す定理として，次のものがある．
定理 1.2 ([6]). 任意の有限表示群$\Gamma$に対し，基本群が$\Gamma$と同型であるような 4 次元シンプレクティック多様体 $X$ が存在する．

以上の結果を組み合わせることにより，次の結果を得る．
系 1.3. 任意の有限表示群 に対し，Lefschetz pencil の構造を持ち，基本群が型であるような級有向閉 4 次元多様体 $X$ が存在する．
$\Gamma$$\Gamma$と同$C^{\infty}$

系 1.3 は Lefschetz pencil を具体的に構成しているわけではない．一方，構成的な別証明が Amor\’os-Bogomolov-Katzarkov-Pantev [1] により与えられている．さて，「Lefschetz pencili と「境界付き有向曲面の写像類群の positive factorization という関係式」 が互いに対応していることが知られている．つまり，Lefschetz pencil を与えると positive factorization が与えられ，その逆も成り立つ．しかしながら，系 1.3
や [1] で与えられた Lefschetz pencil に対応する positive factorization はわからない．
本稿では，そのような positive factorization 達を具体的に与える．
本稿の概略を述べる．第 2 節では Lefschetz pencil と写像類群の定義を述べ，Lefschetz pencil と写像類群の positive factorization との関係を述べる．第 3 節では，Lefschetz pencil の具体例と Lefschetz pencil の構造を持つ 4 次元多様体の基本群の計算方法を紹介する．最後に，主結果を紹介する．本稿では，紹介する結果の証明は省略し，主結果においては証明の概略を述べるにとどめる．

85
2. LEFSCHETZ PENCIL と写像類群の POSITIVE FACTORIZATION
この節では，Lefschetz pencil と写像類群の定義とそれらの関係について紹介する．
Lefschetz pencil と後に紹介する写像類群の positive factorization との対応により，組合せ的な議論が可能になった．写像類群の性質と Lefschetz pencil の性質の相互応用が可能であることから，両側の側面から活発に研究されている．
級有向閉 4 次元多様体， $B=$
まず，Lefschetz pencil の定義を紹介する．$X$ を
級有向閉曲面を空でない有限個の $X$ の点集合，を種数 9 の$C^{\infty}$$\{x_{1}, x_{2}, .

.

.

, x_{m}\}$$c\infty$$\Sigma_{g}$とする．
定義 2.1. $X$ が種数 の Lefschetz pencil の構造を持つとは，が次の条件 (1), (2), (3) を満たすときをいう．

$C^{\infty}$$g$

級写像 $f$ : $X-Barrow$$S^{2}$(1): 各 $x_{i}\in B$ の近傍において， は射影化
$f$

(2):

$f$

は有限個の臨界値$\{b_{1}, b_{2}, .

.

.

, b_{t}\})$$b_{1},$$b_{2}$に同型である，$\mathbb{C}^{2}-\{0\}arrow \mathbb{C}\mathbb{P}^{1}$, . . . , $b_{t}\in S^{2}$ を持ち， $f^{-1}(b)\cup B(b\in S^{2}-$は $X$ の部分多様体であり，$f^{-1}(b)\cup B\cong\Sigma_{g}$ となる． $B$ をbase locus という．
(3): 各 $f^{-1}(b_{i})$ は唯 1 つの臨界点 $p_{i}\in X$ を持つ．各心とする局所複素座標, が存在し， は$(z_{1}, z_{2})$の周りでは，$p_{i},$$p_{i}$$b_{i}$

を中$f$$w$$w=f(z_{1}, z_{2})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$と表示される．さらに局所複素座標が定める向きは $X,$

$S^{2}$の向きと両立している．

を 1 点に縮めること
各 $f^{-1}(b_{i})\cup B$ は $f^{-1}(b)\cup B(\cong\Sigma_{g})$ 上のある単純閉曲線
を Lefschetz
によって得られる (つまり，$f^{-1}(b_{i})\cup B$ は singular surface である).
は disk の境界では本質的
pencil $f$ の vanishing cycle と呼ぶ．本稿では，各と仮定する．
はない)$v_{i}$$v_{i}$$(v_{i}$$v_{i}$

次に写像類群の定義を紹介する．
を境界,...,を持つ種数 9 の有向曲面とする．
上の点を保つ微分同相写像全体のなす群を,...,
ち，境界上の点を保つような IsotopY による,...,のとき，境界定義 2.2.

$\delta_{1},$$\Sigma_{g}^{m}$$\delta_{1}.\delta_{2}$$\delta_{2}$$\delta_{m}$$\delta_{m}$$\delta_{1}.\delta_{2}$$Diﬀ_{+}\Sigma_{g}^{m}$$\delta_{m}$$Diﬀ_{+}\Sigma_{g}^{m}$$\mathcal{M}_{g}^{m}:=Diff_{+}\Sigma_{g}^{m}/$$\mathcal{M}_{g}^{m}$$\Sigma_{9}^{m}$$c$

とおく．この商群

isotopyの元をの写像類群と呼ぶ．また，図 1 のような曲線 に沿った (right-handed) Dehn twist と呼ぶ．境界とかく．
Dehn twist ををの向きを保$\Sigma_{9}^{m}$$t_{c}$$\delta_{j}$とかき，$\Sigma_{g}^{m}$上の単純閉に沿う (right-handed)$t_{\delta_{i}}$$t_{c}$$arrow$

FIGURE 1. 単純閉曲線$c$に沿った Dehn twist.

非分離的な単純閉曲線に沿う Dehn twist は写像類群の生成元であることが知られており (see [4]), 様々な場面で現れる重要な元である．次に紹介する positive factorization
はこの Dehn twist によって表される関係式のことである．

86
定義 2.3. 写像類群の元を考える．このとき，次のようなの単純閉曲線 $u_{i}(i=1,2, \ldots, t)$ に沿う Dehn twist による因数分解$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}\cdots t_{\delta_{m}}$$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}\cdots t_{\delta_{m}}$$\mathcal{M}_{g}^{m}$$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}} t_{\delta_{m}}=t_{u_{1}}t_{u_{2}} t_{u_{t}}$を positive factorization と呼ぶ．

第 1 節で紹介したように，Lefschetz pencil と positive factorization
る．より正確に述べると，次の事実が知られている．

$\iota_{\vee}’$は対応があに disk を貼り付けて得られたものし，このを事実 2.4.の境界,...,埋め込み写像を :とかく．また，定義 2.1 の記号において，向きを保つ微分同相写像 : $f^{-1}(b)\cup Barrow\Sigma_{g}$ を固定する．このとき，$|B|=m$ で vanishing cycle, . . . , を持つ種数 の Lefschetz pencil $f$ : $X-Barrow S^{2}$ に対し，次のようなの positive factorization が定まる:$\Sigma_{g}$$\delta_{1},$$\Sigma_{g}^{m}$$\delta_{m}$$\delta_{2}$$\Sigma_{g}^{m}\mapsto\Sigma_{g}$$\iota$$\Phi$$v_{1},$ $v_{2}$$g$$v_{t}$$\mathcal{M}_{9}^{m}$$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}\cdots t_{\delta_{m}}=t_{u_{1}}t_{u_{2}}\cdots t_{u_{t}}$(in$\mathcal{M}_{g}^{m}$)を満たす (上の単純閉曲線,..., はは isotopic
ただし，を表す). 逆に，このような positive factorization を与えると，上記のような Lefschetz
pencil が定まる．
$c_{1},$ $c_{2}$$\Sigma_{g}^{m}$$c_{t}$$(\sim$$\Phi(v_{i})\sim\iota(u_{i})$3. LEFSCHETZ PENCIL の例と基本群の計算方法
ここでは，Korkamz [12] によって与えられた Lefschetz pencil(に対応する positivefactorization) の例を紹介する．本稿の主結果は，この例を用いて構成される．
を考える． が偶数 (resp. 奇数) のとき，$B0,$$(resp. a, b)$ を図 2,...,のような上の単純閉曲線とする． が偶数 (resp. 奇数) のとき，は，次のよ$+$$+$
うな 2g 4{固 (resp. 29 10{固) の Dehn twist }こよる positive factorization を持つ:$\Sigma_{g}^{2}$$B_{1}$$g$$\Sigma_{9}^{2}$$g$$\Sigma_{g}^{2}$上の単純閉曲線$c$$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}$$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}=\{\begin{array}{ll}(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{9}}t_{c})^{2} ( g:FIGURE 2.

$B_{g},$even)(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{g}}t_{a}^{2}t_{b}^{2})^{2} ( g:$B_{0},$ $B_{1}$,...,$B_{9},$odd).\end{array}$$a,$ $b,$ $c$と境界$\delta_{1},$$\delta_{2}.$87
簡単のため，右辺を$W:=\{\begin{array}{ll}(t_{B_{0}}t_{B_{1}}t_{B_{2}}\cdots t_{B_{g}}t_{c})^{2} ( g:even)(t_{B_{0}}t_{B_{1}}t_{B_{2}}\cdots t_{B_{g}}t_{a}^{2}t_{b}^{2})^{2} ( g:odd)\end{array}$とおくと，事実 2.4 より，$W$ に対応する Lefschetz pencil が存在する．$W$ に対応する
種数 9 の Lefschetz pencil を$f_{W}:X_{W}^{g}-B_{W}arrow S^{2}$とおくと，$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}=W$より，$|Bw|=2$ である．

は，positive relator と呼ばれる閉曲面の写像類群の関係式の “lift” になっている．そのような positive relator は $g=2$ の場合に松本幸夫氏 [13] により構成され，後に，Cadavid[3], Korkmaz[11] により，独立に，$g\geq 3$ の場合に拡張された．
$W$

次に，Lefschetz pencil の構造を持つ 4 次元多様体の基本群の計算方法を紹介する．
補題 3.1 $(cf.[7])$ . $|B|=m$ で種数

positive factorization が$g$の Lefschetz pencil $f$ : $X-Barrow S^{2}$ に対応する$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}\cdots t_{\delta_{m}}=t_{u_{1}}t_{u_{2}}\cdots t_{u_{t}}$であるとする．このとき，$\pi_{1}(X)\cong\pi_{1}(\Sigma_{9}^{m})/N(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{t}, \delta_{1}, \delta_{2}, \ldots, \delta_{m})$となる．ここで，本群の元と見なしたときの，$N(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{t}, \delta_{1}, \delta_{2}, \ldots, \delta_{m})$$\pi_{1}(\Sigma_{g}^{m})$$u_{1},$ $u_{2}$$u_{1},$ $u_{2}$$u_{t},$$\delta_{1},$$\delta_{2}$,...,,...,$u_{t},$$\delta_{m}$を基により生成される$\delta_{1},$$\delta_{2}$,...,$\delta_{m}$の正規部分群とする．

$\pi_{1}(\Sigma m)$

先ほど紹介した 4 次元多様体

(1)

,...,

は，

$g$

$X_{W}^{g}$の基本群を補題 3.1 に基づいて計算すると，が偶数のとき，$\pi_{1}(X_{W}^{g})=\pi_{1}(\Sigma_{g}^{2})/N(B_{0}, B_{1}, \ldots, B_{9}, c_{r}, \delta_{1}, \delta_{2})\cong\pi_{1}(\Sigma_{g/2})$(2)$g$が奇数のとき，$\pi_{1}(X_{W}^{9})=\pi_{1}(\Sigma_{g}^{2})/N(B_{0}, B_{1}, \ldots, B_{g}, a, b,\delta_{1}, \delta_{2})\cong\pi_{1}(\Sigma_{(g-1)/2})$となる．

4. 主結果この節で主結果とその証明の概略を述べる．そのために必要な用語の定義を行う．
定義 4.1 ([12]).

$n$個の生成元と(1)$k$個の関係式を持つ有限表示群$\Gamma=\langle a_{1},$ $a_{2}$,...,$a_{n}|r_{1},$ $r_{2}\ldots,$ $r_{k}\rangle$を考える．
で生成される階数,...,$l(w)$ を次のように定義する．
$a_{1},$ $a_{2}$$a_{n}$$n$の自由群を疏とおく．$w\in F_{n}$ に対し，

$l(w)= \min\{\mathcal{S}|w=a_{i_{1}}^{m_{1}}a_{i_{2}}^{m_{2}}\cdots a_{i_{s}}^{m_{6}}, 1\leq i_{j}\leq n, mj\in \mathbb{Z}\}.$$l(w)$を $w$ の syllable length と呼ぶ．さらに，$l= \max\{l(r_{i})|1\leq i\leq k\}$と定める．ただし，$k=0$ のとき，$l=1$ とする．
$l$は$\Gamma$の表示に依存する．また， は常に cyclically reduced であると仮定する．以$r_{i}$上で主結果を述べる準備が整った．

88を定義 4.1 の表示を持つ有限表示群とする．$k\geq 1$ (resp. $k=0$ )主結果 4.2 ([10]).のとき，任意の $g\geq 4(n+l-1)+k$ resp. $g\geq 4n+2)$ に対し，種数 の Lefschetz
pencil $f$ : $X-Barrow S^{2}$ で，$\pi_{1}(X)\cong\Gamma$ かつ $|B|=2$ となるものが存在する．さらに，これらの Lefschetz pencil に対応する positive factorization は具体的にわかる．
$\Gamma$$($$g$

主結果 4.2 の証明の概略． を偶数とする．図 2 のような$g$る単純閉曲線$x_{1},$ $x_{2}$,...,$x_{t}$

が$\mathcal{M}_{g}^{m}$$\Sigma_{g}^{2}$上の単純閉曲線$c$とあで次のような関係式．

$t_{c}=t_{x_{1}}t_{x_{2}} t_{x_{t}}$.

が成り立つとする．簡単のため，$T:=t_{x_{1}}t_{x_{2}}\cdots t_{x_{t}}$の元とおく．このとき，
式から，$\mathcal{M}_{g}^{m}$$\phi$

が $\phi(c)=c$ をみたすものを考えると，写像類群の関係$t_{\phi(c)}=\phi t_{c}\phi^{-1}$$t_{c}=t_{\phi(x_{1})}t_{\phi(x_{2})}\cdots t_{\phi(x_{t})}.$

が成り立つ．同様に，簡単のため$T_{\phi}:=t_{\phi(x_{1})}t_{\phi(x_{2})}\cdots t_{\phi(x_{t})}$とおく．よって， が偶数のとき，第 3 章の例と $t_{c}=T=T_{\phi}$ から，次のような positive
factorization を得る :$g$$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}=(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{g}}T)(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{q}}T_{\phi})$$(=(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{9}}t_{u_{1}}t_{u}2\ldots t_{u_{t}})(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{9}}t_{\phi(u_{1})}t_{\phi(u_{2})}\cdots t_{\phi(u_{t})}))$

この positive factorization の右辺を
$W_{T,\phi} :=(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{9}}T)(t_{B_{0}}t_{B_{1}}\cdots t_{B_{9}}T_{\phi})$とおくと，事実 2.4 より，$W_{T,\phi}$$Bw_{1,\phi}arrow S^{2}$が定まる．に対応する種数$t_{\delta_{1}}t_{\delta_{2}}=W_{T,\phi}$の Lefschez pencil:
より， $|B_{W_{1\phi}}.,.|=2$ である．さらに，補題 3.1$g$$f_{W_{T,\phi}}$$X_{W_{1\phi}}^{g}..,-$

より，$\pi_{1}(X_{W}^{g})=\pi_{1}(\Sigma_{g}^{2})/N(B_{0}, B_{1}, \ldots, B_{9}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{t}, \phi(x_{1}), \phi(x_{2}), \ldots, \phi(x_{t}), \delta_{1}, \delta_{2})$となる．とその表示 (1) に対し，$T$ と を上手く選ぶと，を得る．その選び方に関しては，[12], [2], [9] のアイデアに基づく． が奇数のときも同様の議論を行う．ロ

与えられた有限表示群$\Gamma$$\pi_{1}(X_{W_{T,\phi}}^{9})\cong$$\phi$$\Gamma$$g$

謝辞．研究集会 「変換群の位相幾何と代数構造」 にお招き下さった主催者の皆様に，心より感謝を申し上げます．

REFERENCES[1] J. Amor\’os, F. Bogomolov, L. Katzarkov, and T. Pantev; Symplectic Lefschetz fibrations witharbitrary fundamental groups, J. Diﬀerential Geom. 54 (2000), no. 3, 489-545.
[2] A. Akhmedov and B. Ozbagci; Exotic stein fillings with arbitrary fundamental group,
arXiv: 1212. 1743.
[3] C. Cadavid; A remarkable set of words in the mapping class group, Dissertation, Univ. ofTexas, Austin, 1998.
[4] M. Dehn; Die Gruppe der Abbildungsklassen, Acta Math. 69 (1938), 135-206.

89[5] S. K. Donaldson; Lefschetz pencils on symplectic manifolds, J. Diﬀ. Geom. 53 (1999), 205-236.
[6] R. Gompf; A new construction of symplectic manifolds, Ann. of Math. 142 (1995), 527-595.
[7] R. Gompf and A. Stipsicz; 4-manifolds and Kirby calculus, Graduate Studies in Mathematics,
vol. 20, American Math. Society, Providence 1999.
[8] D. Johnson; Homeomorphisms of a surface which act trivially on homology, Proc. Amer.
Math. Soc. 75 (1979), 119-125.
[9] R. Kobayashi; On genera of Lefschetz fibrations and finitely presented groups,$arXiv:1403.7736vl$ [math.GT], 2014.
[10] R. Kobayashi and N. Monden; Lefschetz pencils and finitely presented groups,

arXiv: 1404.5380.
[11] M. Korkmaz; Noncomplex smooth 4-manifolds with Lefschetz fibrations, Internat. Math. Res.
Not. (2001), no. 3, 115-128.
[12] M. Korkmaz; Lefschetz fibrations and an invariant of finitely presented groups, Internat.
Math. Res. Not. (2009), no. 9, 1547-1572.
[13] Y. Matsumoto; Lefschetz fibrations of genus two
a topological approach, Topology andTeichm\"uller spaces (Katinkulta, 1995), 123-148, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1996.
–DEPARTMENT OF MATHEMATICS, FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY, TOKYO UNIVERSITYOF SCIENCE, NODA, CHIBA, 278-8510, JAPAN-mail address: kobayashi-ryoma@ma.noda.tus.ac.jp$E$

DEPARTMENT OF ENGINEERING SCIENCE, OSAKA ELECTRO-COMMUNICATION UNIVERSITY, HATSU$CHO18-8$ , NEYAGAWA, 572-8530, JAPAN
$E$-mail address: monden@isc.osakac.ac.jp