ティコのデータを前にして～ケプラーの気分になって～－5－

ティコのデータを前にして～ケプラーの気分になって～
加藤賢一（星学館）
1. はじめにまた、かつてプトレマイオス時代の人たち

ケプラーがティコ・ブラーエの観測データが太陽、惑星の軌道に離心円やエカントを導に基づき地球と火星の軌道を求め、楕円であ入し、不規則な動きや距離の変化を説明しよることや面積速度一定の法則など重要な諸法うとしたことや、コペルニクスがさらに昔の則を求めることに成功したこと、それがやが同心円モデルに戻してしまい（中心を太陽にてニュートンの重力の法則の発見を導いたと移したことがあったとしても）、結局は周転円いう歴史は良く知られている。微積分発見以を使わざるを得なかったことなど、当時の状前の研究であり、学校教育で言えば高校から況はある程度把握しているものとしたい。

大学初年あたりのレベルであるため、現に、それから、ケプラーは最初に惑星軌道は平高校や大学での卒業研究等（たとえば、慶應面かと問うているが、これは自明としよう。

義塾高等学校の卒業研究[1]、佐賀大学での実黄道を見ると滑らかに続いているから地球軌

践研究[2]）にもとり上げられている。そうい道は平面だろうと思えるものの、逆行時の動う点では目新しさはないのだが、これらの実きなどでは交差したりすることもあって、火践例は平面上で三角測量法によって軌道の形星軌道が平面かどうかは確かに疑わしい。が、を求めるという内容となっているのに対し、ここではこの問題はおいておこう。

もう少し一般的に、そして軌道の形だけでなく、傾斜角なども含む全ての軌道要素を求めるにはどうしたら良いかを考えてみた、とい

3. 昇交点、降交点
太陽と火星の黄経、黄緯データを見てすぐ気づくのは火星黄経が 0°を挟んで振動してうことで報告したい。

いることである。火星黄経が 0°ということは
2. 与えられた素材など火星が黄道面上にあるということだから、そ実際の観測データを集めるのは大変なので、 こが交点線（昇交点、降交点を結ぶ線をこう
手元にある惑星位置計算コード[3]を用いて呼ぼう）となっているはずだ。そこで、2018

太陽と火星の地心黄経、黄緯を求め、観測デ年から 2021 年までの間で火星黄経が 0°に近ータと見なすことにする。計算精度が数分ない日を選ぶと表 1-1 のようになり、その時のので丁度ティコの観測データに匹敵する。火

位置データは表 1-2 のとおりである。FJD は星が 10 回ほど公転する期間である 2018 年か半日ずれのユリウス日である。

ら 2039 年までの 20 年分を計算した。ティコ

表 1-1 の①から②までが 305 日なのに対し、の観測期間よりやや短い。この程度のデータ②から③までは 382 日と、大きく違っている。

がないと軌道が決まらないので、この年数に①と②の間の 2018 年 7 月 28 日が衝だったこなった。とを思い返すと、①から②までは地球が火星それから、会合周期 779.9 日、公転周期を追い越すような動きをし、②から③の間は1.88085 年＝687.0 日（理科年表、2019）な

地球が遠ざかるような状態だったことが推察どが分かっているとする。

される。①を過ぎると火星の黄緯が負になっ
天文教育 2019 年 11 月号（Vol.31 No.6）

－6－

■ 投

稿 ■

たから、①は降交点通過、②は昇交点通過だ

地球・火星間距離 b1 が分かれば位置は確定ったようだ。

する。結局、軌道を決める問題は距離を決める問題に帰着する。

表 1-1

交点線通過日火星の日心位置（x、y、z）を作っておく。
座標原点を地球から太陽に移せばよいから、

番号

年月日

FJD

①

2018

3172458194.13

②

2019

1162458499.13③2020222458881.13

④

2020

1222459185.13⑤2021

12202459568.13

表 1-2
番号

交点線通過日の位置データ
火星

黄経 l(2)から(1)を引いて、（x、y、z）＝（b1 cos(β1) cos(l1) - a1 cos(ls1),
b1 cos(β1) sin(l1) - a1 sin(ls1),
b1 sin(β1)）(3)と書くことができる。

太陽黄緯 β黄経 ls①269.386

0.005

355.968

②

9.795

0.008

295.161③259.822

0.001

312.204④17.165-0.008249.881⑤244.356-0.001

267.923

4．地球軌道、火星軌道の決定法
地球と火星の位置を xyz 座標系で決めることを考える。地球を原点に太陽と火星の座標

図1

太陽 S、地球 E、火星 M の位置関係

γ、γ'は春分点の方向（xs、ys、zs）と（x、y、z）を書いてみよう。
ある時刻 T1 での値であることを示すため、各変数に 1 の添え字をつけてある時点での位置観測からわかるのは太陽は情報が足りない。そこで、ケプラーが目を（a1 cos(ls1), a1 sin(ls1), 0）(1)

つけたのが衝を利用することで、衝になると太陽－地球－火星と並ぶので、火星黄経 l が火星の日心経度 l0 に等しくなるのである。図（x1、y1、z1）＝
b1 sin(β1)）

地球軌道と火星の離角だけで、2 つの距離を求めるに（xs1、ys1、zs1）＝（b1 cos(β1) cos(l1),4.1

b1 cos(β1) sin(l1),(2)と書いておく。a、b は地球・太陽間距離、地球・火星間距離である。ls は太陽黄経、l とβは火星の黄経、黄緯で、これらは観測からわかる。したがって、地球・太陽間距離 a1、1 の l0 である。この衝から 1.88 年後の時刻
T1、火星が太陽を一周して元に戻って来た時、地球は図 1 中の E に来ていたとしよう。
軌道の形というのは日心経度に対する距離の関係のことだから、日心の火星位置（距離、経度、緯度）を（R、l 0 、b0）と書いて表すとしよう。すると、衝には l0＝l1 となるとい天文教育 2019 年 11 月号（Vol.31 No.6）

ティコのデータを前にして～ケプラーの気分になって～－7－

し、xyz の値が等しいとして 3 本の等式を立うことだから、てる。地球軌道は確定したから距離 a1、a2が分かっているので、変数は地球・火星間距（x、y、z）＝（R cos(b0) cos(l1) , R cos(b0) sin(l1) ,R sin(b0)）(4)

離 b1 と b2 のみとなり、これらを求めることができる。そして、最終的に日心座標値が得られる。日を変えてこれをくり返していけばと書くことができる。衝の時の位置データか火星軌道が見えてくる。ただし、距離はあくら(3)式を作ると、火星 M の位置を(3)と(4)のまで相対的であることに注意が必要である。

2 通りの形式で表現できたことになる。これ
らは同じ M の位置を表しているのだから xyzの値はそれぞれ等しい。このことから、3 本の等式が得られる。一方、変数は R、a1、b1、b0 の 4 つだから、どれか一つを（ここでは太陽・火星間距離 R を選択した）を既知と見なせば、他の 3 つが全て決まる。これでこの時点における地球位置と火星位置が定まることになる。
これから火星がさらに公転してまた M に図2

火星軌道の決定法戻って来たとしよう。時刻 T2 である。火星は戻るが、地球は E からややずれたところに5．昇交点、降交点位置の決定来ているだろうから、同様の手続きで T2 で昇交点、降交点を上の定式化の応用としての地球位置と火星位置が決まる。火星位置は求めることができる。すでに軌道は決まった前と同じだから、新しいのは地球位置である。のだから、そのためだけならこんな手続きはこれをさらに一公転後 T3 でやれば、新しい不要である。

地球位置がわかり、・・・、と順次、地球位置

火星の日心位置(3)式で、昇交点、降交点はβ=0 とすれば良い。表 1-1 の①、③、⑤は降が決まっていく。
これを続けて行けば地球軌道の輪郭が見え

交点通過、②と④は昇交点通過日で、それぞてくる。が、1.88 年で１点だから軌道全周とれの火星の座標値は同じになることから、黄なると 20 年間ほどの観測データが必要とな

経 l を求めることができる。表 1-2 のデータ

る。ケプラーが長年にわたるティコのデータを式(3)に入れて実際にやってみると 49.3°とを欲しがった理由である。

なった。ちなみに、理科年表（2019）によれば 49.499°である。

4.2

火星軌道

以上の手続きで地球軌道が確定すれば、火6．軌道傾斜角星軌道を決めるのはそれほど難しくはない。

昇交点、降交点と関連しているのが軌道の図 2 をご覧いただきたい。ある時刻 T1 に火傾斜である。その傾斜角は火星軌道が決まれ星 M を観測したとしよう。それから火星の一ば分かるのだろうが、その前に知ることがで公転後 T2 にもう一度観測する。その位置デきる。

ータを用いて T1、T2 における(3)式を書き下交点線上に地球が来ると、そこは火星軌道

天文教育 2019 年 11 月号（Vol.31 No.6）

－8－■ 投稿 ■

面上でもあるから、そこから交点線と直角方離なので要注意である。なお、理科年表

向にある火星の黄緯は火星軌道面の傾きその（2019）では、離心率 e = 0.0167、近日点黄ものになるはずである。そこで、2018 年から経＝103.002°となっていて、離心率はまずま2020 年までの間で該当する日を探ると、地球ずとして、近日点黄経が大きく違っている。

が交点線を通過するのは年に 2 回で計 8 回あ

データの欠落が効いているのであろう。一つった。ただ、ずばり一致するものはなく、その衝の系列だけではこうなるから、別の系列れに近いのが 2 回あって、2018 年 11 月 13で補う必要がありそうだ。地球軌道を決める

日に離角 98°で黄緯が-1.813°、2020 年 5 月のは難しい。

10 日に離角 278°で黄緯が-1.823°となっている。これから軌道傾斜角 i の近似値として

表 2-1

地球軌道決定に使う日付1.82°が得られる。ちなみに、理科年表（2019）

周回YM

DFJDによれば 1.848°である。

衝

2018

7282458327.13

12020

6142459014.13

7．地球軌道決定

22022

522459701.13

先に紹介したように地球軌道を決めるには

32024

3192460388.13

20 年程度のデータが必要である。そこで、

42026

242461075.13

2018 年 7 月 28 日の衝を起点とし、その後の52027

12232461762.13

10 回公転分のデータを使うことにする。それ

62029

1192462449.13

72031

9272463136.13

82033

8142463823.13

92035

722464510.13

1020375192465197.13

が表 2-1、2-2 のデータである。そして、衝の時の太陽・火星間距離 R を 1 とした時の太陽・地球間距離を表 2-2 の最後の列に掲げた。
太陽黄経 ls＋180°が日心経度であるから、（日心経度、距離）という形で軌道が決まったことになる。
その結果を図示したのが図 3 で、距離は

表 2-2火星

火星

太陽

太陽距離lβlsa

衝304.0-6.48124.5**

1350.9-2.6883.00.730

2342.4-1.53

41.20.726

3326.6-1.16358.5

0.725

4

308.7-1.05

314.7

0.788

5290.6

-1.09

270.5

0.677

6

273.4

-1.33

226.4

0.696

7

260.3

-2.03

183.3

0.708

8

270.7-4.83

141.10.712を採用し、最小二乗法で３パラメータ（軌道9346.7-3.8699.60.736

長半径 a、離心率 e、近点離角 θ0）を決めた。

10347.6-1.82

58.01

0.732

2035 年 7 月 2 日の距離を 1 とした表示となっている。ただし、4 周目と 5 周目の結果を省いた。表 2-2 を見れば分かるように、火星が合の前後で、挟角が小さく、精確な値が得られなかったからである。こうして 20 年間の 8 データを選び、それに楕円軌道を当てはめたのが図中の曲線である。
ここでは楕円軌道の極座標表現である（1+ecos(θ-θ/r = a（ 1-e2）0 )）(5)

周回太陽・地球間の相対距離e = 0.025、θ0 = 61.2° となった。a は相対距
天文教育 2019 年 11 月号（Vol.31 No.6）

ティコのデータを前にして～ケプラーの気分になって～－9－

また、2 次元平面とみなし正弦定理を利用であり、 Ｘ 軸を ｉ だけ時計回りに回転させてして対角・対辺を求める近似的な方法を試み

軌道面を黄道面に一致させるには次の操作をたところ、e = 0.014、θ 0 = 90.1° となった。

行えば良い。

こちらが理科年表に近いのは皮肉なことであ00 
1
X (−i ) =  0 cos i − sin i  0 sin i cos i る。
太陽・地球間距離（単位は任意）

地球の軌道

すなわち、黄道面上での座標を（x0, y0, z0）1とし、火星軌道面上に変換された座標を（xc,yc, zc）とすると

0.95

0.9
0100

200300 x0  xc    y c  = X (−i ) Z (−ω ) y0 z z  0
 c

400

地球の日心経度図3求められた地球軌道という計算から求める。ω＝-49.26°、i = 1.82°である。

8．火星軌道決定

火星の場合は傾斜角が小さいから、こんな2018 年 1 月 1 日 T1 とその 1 公転後の 2019年 11 月 19 日 T2 のデータを組みとし、紹介面倒をせずに近似的に平面としてやれば良いのだが、・・・した方法で火星位置を求めた。これを 1 公転

火星の軌道分 1.88 年間のデータで行った。
を基準とした座標系でとっているので、上で紹介した地球のようにそのままで形を論議するのは不適切であり、これを火星軌道面上の位置へと変換しなければならない。軌道が傾太陽・火星間距離 (au)

このようにして得られた火星位置は黄道面1.81.61.4斜しているからである。そこで、交点線を軸に傾斜分だけ座標回転させることにする。そ1.20100のためにはまず春分点方向から 49°ずれている交点線を春分点方向の x 軸に向け（z 軸

図4200
日心経度300

求められた火星軌道で回転）、軌道傾斜角の 1.82°だけ x 軸で回転させて傾いている z 軸を合わせる。

得られた火星軌道は図 4 の通りである。毎z 軸を軸に ω だけ時計回りに回転させる座日のデータがあるので密になっている。欠落

標回転のオペレータを Z(-ω)と書いて行列形部分は地球の場合と同様に、うまく求められ式で表示すると、ない角度領域である。最小二乗法によるフィ cos ω − sin ω 0 Z ( −ω) =  sin ω cos ω 0  001 ッティングの結果を先の要素と合わせて表 3に掲げておく。

天文教育 2019 年 11 月号（Vol.31 No.6）

－10－

■ 投

表3稿 ■

ラーの試行過程が詳しく紹介されるようにな

火星の軌道要素
ここでの結果理科年表った[4] [5] [6]。とは言え、邦訳でも十分に難

軌道半径1.53 au

1.5237 au

しく、読み下すだけでも大変な作業だろうと離心率

0.10

0.0934

思う（やっていないが、ざっと見てそう思う）。

軌道傾斜1.82°

1.848°

この難しい翻訳を中心的に担われた岸本良彦

近日点黄経336.6°

336.148°

氏にはただただ頭が下がるばかりである。ま

昇交点黄経49.3°

49.499°た、ケプラーの科学史上の意義については山要素

本[7]が詳しく、教えられるところが多い。当理科年表（2019）の値も添えたが、ここで時の知識、情報の中でケプラーがどれだけ深の結果は理科年表の値を完全に再現しているい考察を行っていたか、十分に伝わってくると言って良かろう。なお、地球軌道の長半径労作であり、一読をお薦めする。

が 1 au とわかっているという前提である。
文

献[1] K.Y：（発行年不明）

9．おわりにチィコの観測データを渡されて火星軌道を求めよと言われたら自分ならどうしようか、

http://user.keio.ac.jp/~earth/ssh/jpn/pdf/h1
722.pdfと考えてみて全くの無手勝流で追究してみた。 [2] 濱口敦、大隅秀晃、角縁進、髙島千鶴、中村聡（2014）佐賀大学教育実践研究，32：使った方法は極座標表示や座標移動、三角関数の加法定理に基づく座標回転法などで、高校数学の内容だから高校や大学での教材として不適切ということはなかろう。楕円の極座標表示も高校数学Ⅲの教材となっている。楕59[3] Van Flandern, T. C., & Pulkkinen, K. F.
（1979）, ApJS, 41：391.
[4] ヨハネス・ケプラー（1596）『宇宙の神秘』円への最小二乗法によるフィッティングを行（大槻真一郎、岸本良彦訳）、工作舎（1982）

ったが、これは少々余計なことで、円に当て[5] ヨハネス・ケプラー（1609）『新天文学』

はめるのは難しいことや、無理やり円に当て（岸本良彦訳）、工作舎（2013）『宇宙の調和』
はめてみると中心がずれることなどがわれば、 [6] ヨハネス・ケプラー（1619）（岸本良彦訳）、工作舎（2009）
むしろケプラーの問題意識により迫れるだろ
うし、楕円に行きつくまでの苦労も良くわか[7] 山本義隆（2014）『世界の見方の転換』第3 巻，みすず書房るというものである。
我々は答えを知っているので、安心して計算を進めることができた。暦作成コードや表データ処理ソフトの助けも借りて行ったが、それでも結構な時間がかかったから、暗中模索で進めていたケプラーがどれだけ苦心惨憺したか、まずまずの追体験ができたように思う。
最近、ケプラーの著書の邦訳が揃い、ケプ

天文教育 2019 年 11 月号（Vol.31 No.6）

加藤 賢一