数理解析研究所講究録998 巻 1997 年 153-160

153
Jacobi 和の有理性問題について
白谷克巳 (Katsumi Shiratani)

九大

九大

山田美枝子 (Mieko Yamada)

数理\S 1. 序奇素数べき $q=p^{f}$ に対し有限体$\omega$$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$で生成される $q-1$ 次巡回群である.

に対し,$\chi\neq\eta$の乗法群$\chi\in<\omega>$$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)^{\mathrm{x}}$の指標群は Teichm\"uller 指標, \mbox{\boldmath $\chi$}\neq \mbox{\boldmath $\omega$}0(単位指標),$\eta=\omega^{\mathrm{L}_{\frac{-1}{2}}}\in<\omega>$のとき, Jacobi 和$J( \chi, \eta)=x\in \mathrm{G}\mathrm{F}(q\sum_{)-\{0,1\}}x(_{X)}\eta(1-x)$が有理数となるための$\chi$と$q$に関する条件を求める. この問題は組合せ数学の問題と関係する.

Gauss 和$g(\chi)$は次で定義される.
$g( \chi)=\sum_{\mathrm{F}x\in \mathrm{G}(q)\mathrm{x}}x(x)\zeta_{p}S(x)$ここで,...

は 1 の原始$\zeta_{p}$$+x^{p^{f-1}}$$p$

乗根, $s(x)$ は$x$の$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)/\mathrm{G}\mathrm{F}(p)$Gauss 和$g(\omega^{-i})\in \mathrm{Q}(\zeta_{\mathrm{P}}, \zeta_{q-}1),$

ここで,を$p$進体$\mathrm{Q}_{P}(\zeta_{P}, \zeta q-1)$に埋め込む.

.

$g( \omega^{-i})=-\varpi Sp(i)f-l=0\prod^{1}\mathrm{r}_{p}(\frac{p^{l}i}{q-1}-\sum_{j=1}if-jp^{l-})li$$i$の標準$s_{p}(i)= \sum_{j=}^{f-1}0i_{i}$$\varpi$$(0\leq i\leq q-2)$.

は 1 の原始 $q-1$ 乗根を表わす. このとき, Gross-Koblitz の公式が成り立つ.

(1)$)$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}s(x)=x+x^{p}+$である. Gauss 和 $g(\chi)$ と Jacobi 和 $J(\chi, \eta)$ には次の関係式が成り立つ.
$J( \chi, \eta)=\frac{g(\chi)g(\eta)}{g(\chi\eta)}$$\zeta_{q-1}$

に関する

$P$

進展開を $i=i_{0}+i_{1}p+\ldots+i_{f-1p^{f1}}-,0\leq i_{j}\leq p-1$ とするとき,であり,を満たすものを示し,-part,$\varpi$は$\mathrm{Q}_{p}(\zeta_{p})$$\Gamma_{P}(x)$は$P$の素元で, $\varpi=p-\sqrt[1]{-p},$$\varpi\equiv\zeta_{P}-1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} (\zeta_{p}-1)^{2}$

進 gamma 関数である. 以下では$\prod_{\iota=0\mathrm{P}}^{f-}1(\frac{p^{l}i}{q-1}-\sum lj=1fi-jp^{\iota-}j\Gamma)$

を$g(\omega^{-i})$$\varpi^{s(i)}\mathrm{p}$の gamma product partを$g(\omega^{-i})$と呼ぶ.の154$p$

進 gamma 関数について,次のノルム関係式$(N_{p})$と distribution relation $(D_{p})$ が成り立つ.

$(N_{p})$$x\in \mathrm{Z}_{p}$に対し$\Gamma_{p}(x)\Gamma_{p}(1-x)--(-1)^{1}+u(-x)$$C$

ここで $0\leq u(-x)<p,$ $u(-x)\equiv-X$$(D_{p})m\in \mathrm{N},$$(m,p)=1,$$x\in \mathrm{Z}_{p}$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$.

に対し$m_{\square ^{-1}\mathrm{r}_{p}(^{X}}\underline{+h})$$\frac{h=0m}{m-1h}=m^{u(-x)}m\frac{1-\mathrm{p}}{p}(u(-x)+x)$.

$\Gamma_{p}(_{X})\prod_{h=1}\mathrm{r}(p)\overline{m}$\S 2. 一般の場合$J( \omega^{-i},\omega\frac{q-1}{2})\in \mathrm{Q}$と仮定する.

(mod 2) が必要である. 次に,このとき, 絶対値$|J(\omega^{-i},\omega^{\frac{q-1}{2})1}=$$\sigma_{-1}\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{Q}(\zeta_{p}, (_{q-1})/\mathrm{Q}(\zeta_{p}))$を$\sigma_{-1}((_{q1}-)=\zeta_{q1}--1, \sigma_{-1}(\zeta_{\mathrm{p}})=\zeta \mathrm{P}$で定義する.

$J( \omega^{-i},\omega\frac{q-1}{2})$は$\sigma_{-1}$で固定されるので$\frac{g(\omega^{-i})}{g(\omega^{-iL^{-\underline{1}}}+2)}=$$\frac{g(\omega^{i})}{g\langle\omega^{i+}2)\mathrm{L}^{-\underline{1}}}$が成り立つ. 両辺の\varpi -part を計算すると$1 \leq i<\frac{q-1}{2}$のとき$\frac{q-1}{2}<i\leq q-2$$s_{p}(i)=s_{p}( \frac{q-1}{2}+i\mathrm{I}$のとき,$s_{p}(i)=s_{p}(i- \frac{q-1}{2})$-方となる$J( \omega^{-i},\omega^{\frac{q-1}{2})=g}(\omega^{\frac{q-1}{2})}\frac{g(\omega^{-\iota})}{g(\omega^{-i+}2)\mathrm{L}^{-}\underline{1}}$から(2)$J(\omega^{-i},\omega^{\mathrm{L}^{-\underline{1}}}2)\in \mathrm{Q}$.

は$\cdot$と同値である.

$\frac{g(\omega^{-i})}{g(\omega^{-i}+\frac{q-1}{2})}=\pm 1$

西から$f\equiv 0$

155

定理 1. $1\leq i<$ 早と仮定する. このとき

$J(\omega^{-i}, \omega)q_{\frac{-1}{2}}\in$.

$\mathrm{Q}$であるための必要十分

条件は(i) $f\equiv 0$(mod 2),(ii) $s_{p}(i)=s_{p}(i+ \frac{q-1}{2})$ ,(iii)$\prod_{l=0}^{f-}1\mathrm{r}(p\frac{p^{l}i}{q-1}-\sum_{1j=}^{l}i_{f}-jp^{\iota_{-}j})=\pm\square \Gamma_{\mathrm{P}}f^{-}1\iota=0(\frac{p^{l}(i+\frac{q-1}{2})}{q-1}-\sum_{j=1}(i\iota+\frac{q-1}{2})_{f-jp)}\iota_{-}j$が成り立つことである.

\S 3. $f=2$ の場合$f=- 2$ の場合を考察する.

$1 \leq i<\frac{p^{2}-1}{2}$の仮定のもとで, $i=i_{0}+i_{1}p$ を$i$開とするとき, 定理 1 の条件 (ii) は$\frac{p-1}{2}<i_{0}\leq p-1$,$0 \leq i_{1}<\frac{p-1}{2}$と書ける. (iii) の等式は$\Gamma_{p}(\frac{i_{0}+i_{1}p}{p^{2}-1})\Gamma(p\frac{i_{\mathrm{i}}+i_{0}p}{p^{2}-1})--\pm\Gamma_{p}(\frac{i_{0}+i_{1}p}{p^{2}-1}.+\frac{1}{2}.)\Gamma_{p}(\frac{i_{1}+i_{0}p}{p^{2}-1}-\frac{1}{2})$となる.

$\frac{i_{0}+i_{1}p}{p^{2}-1}=\frac{\alpha}{d}$とおくと,$i_{0}= \frac{1}{d}(\beta p-\alpha),$,$\frac{i_{1}+i_{0}p}{p^{2}-1}=\frac{\beta}{d}$$i_{1}= \frac{1}{d}(\alpha p-\beta)$,$(\alpha, d)=(\beta, d)=1$

で$g( \omega^{-i})=-\varpi^{\frac{\alpha+\beta}{d}(p}-1)\mathrm{r}p(\frac{\alpha}{d})\Gamma_{p}(\frac{\beta}{d})$,$\beta\equiv p\alpha$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$となる. $1 \leq i<\frac{p^{2}-1}{2}$ の仮定のもとで,$0< \frac{\alpha}{d}<\frac{1}{2}$,.

$\frac{1}{2}<\frac{\beta}{d}$

$<1$

となり
$g( \omega^{-i+^{e}\frac{2-1}{2}})=-\varpi\frac{\alpha+\beta}{d}(p-1)\Gamma_{p}(\frac{\alpha}{d}+\frac{1}{2})\mathrm{r}_{p}(\frac{\beta}{d}-\frac{1}{2})$.の標準$P$

進展156

従って,は$J( \omega^{-i},\omega^{-}i+\frac{p^{2}-1}{2})\in \mathrm{Z}$(3)$\Gamma_{p}(\frac{\alpha}{d})\Gamma(p\frac{\beta}{d})=\pm\Gamma_{\mathrm{P}}(\frac{\alpha}{d}+\frac{1}{2})\mathrm{r}_{p}(\frac{\beta}{d}-\frac{1}{2})$が $(a, d)=1,1\leq\alpha\leq d$ である任意の数$\frac{\alpha}{d}+\frac{\beta}{d}=1$

かる. 又, .

で成立することと同値である.

であるとき, 即ち $i=i_{0}+i_{1}p=k(p-1),$ $k=1,$ $\cdots,p$ は解となることが分$2(p-1)-1$ も解である.
即ち, $i=i_{0}+i_{1}p= \frac{p+1}{2}k,$ $k=1,3,$$\cdots,$$\frac{\alpha}{d}=\frac{\beta}{d}-\frac{1}{2}$このとき, $i=(p-1)k(k=1, \cdot\cdot\cdot,p),$ $i= \frac{p+1}{2}k(k=\vee$

定理 2. $1\leq i<p^{2}-1$ とする.
$1,3,$ $\cdots,$$\alpha$$2(p-1)-1)$ ならばである.

$J( \omega^{-i},\omega\frac{p^{2}-1}{2})\in \mathrm{Z}$

これらを自明な解と呼ぶことにする. 次に, 非自明な解を求める,等式$g( \omega^{-i})=\pm g(\omega^{-i}+\frac{p^{2}-1}{2})$は,$\zeta_{d}$:を 1 の原始 乗根とするとき, Galois 群$d$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{Q}(\zeta d)/\mathrm{Q})$の元によって固定される. 従って (3) 式は$\Gamma_{p}(\frac{1}{d})\Gamma_{p}(\frac{\beta}{d})$$=$$\pm \mathrm{r}_{p}(\frac{1}{d}+\frac{1}{2})\mathrm{r}_{p}(\frac{\beta}{d}-\frac{1}{2})$,(4)$\beta_{--}.-p$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} d)$,$\frac{1}{d}<\frac{\beta}{d}-\frac{1}{2}$$< \frac{\beta}{d}<\frac{1}{\dot{c}l}+\frac{1}{2}$.に同値である.

補題 1.

証明.
ら,

$2||d_{\chi}$$\sigma_{2}$:$\omega^{-i}$の位数を$\chi=\omega^{-i},$なら 2$\zeta_{d}arrow\zeta_{d}^{2}$

は$d$とする.

$\eta=\omega^{L^{2}}2^{\underline{-1}}$$\int d_{\chi\eta}$$\omega^{-i}$が非自明な解を与えればと書いて,である. 従って, 2$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{Q}(\zeta d)/\mathrm{Q})$$\chi$$\int d_{\chi}$の元である.の位数 d\mbox{\boldmath $\chi$}又は$\chi\eta$$d$は 4 で割れる.の位数$d_{\chi\eta}$

は 2 で割れるかとしてよい.
$n$を$2^{n}\equiv 1$とする. Davenport-Hasse 関係式$\prod g(\chi\psi)$$\frac{\psi^{m}=1}{g(\chi^{m})\psi m\square =1g(\psi)}=\chi(m^{-m})$$(.\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} d)$となる最小の正整数157の $m=2$ の場合を使って.
$g(\chi)^{2}=\pm g(x)g(\chi\eta)=\pm_{x(2)(}-2g\eta)g(\chi^{2})$$\sigma_{2}$.

を繰り返し作用させて$g(\chi)=g(x^{2})=\pm pn-(2n-1)(gx)^{2}n$を得る. Gross-Koblitz の公式 (1) から両辺の\varpi -part を比べることにより,$-\varpi^{\frac{\alpha+\beta}{d}(p-1})=(-\varpi^{\frac{\alpha+\beta}{d}}(p-1))^{2^{n}}p^{-}(2n-1)$故に$\alpha+\beta=d$. これは$\omega^{-i}$.

が自明解であることを意味する.

等式 (2) $g( \omega^{-i})=\pm g(\omega-i+R\frac{2-1}{2})$ と, 両辺を 2 乗した$g( \omega^{-i})^{2}=g(\omega^{-})^{2}i+^{\mathrm{z}}\frac{2-1}{2}$は同値であ

Gauss 和の Davenport-Hasse 関係式は 2-torsion を除けば universal distribution である.

る. 従って$g( \omega^{-i})^{2}=g(\omega^{-i}+\frac{p^{2}-1}{2})^{2}$は Davenport-Hasse 関係式とノルム関係式から得られる. Davenport-Hasse 関係式とノルム関係式は Gross-Koblitz 公式を使うと関数の distriburtion relation とノルム関係式から導かれるので$p$

進 gamma

式 (4)$\Gamma_{p}(\frac{1}{d})\Gamma_{p}(\frac{\beta}{d})=\pm\Gamma_{p}(\frac{1}{d}+\frac{1}{2})\mathrm{r}_{p}(.\frac{\beta}{d}-\frac{1}{2})$は distribution relation とノルム関係式から得られるもののみが自明でない解を与える.

式 (4) $\text{が},(m,p)=1$ である $m$ 乗法の distribution relation と連立解を持つとき m-reducible と呼ぶ. 等式が成り立つことと, ある奇素数 があって, . $l||d$ で l-reducible であ$l$ることは同値である. 言い換えれば補題 2.

数を$d$$\omega^{-i}$$\mathrm{m}$-reducible ならば l-reducible である.

が非自明な解を与え, -reducible であれば,$l$$l$

は 3 か又は 5 である.とすると, 等式が成り立つのは, $d=24$ で $p\equiv 17,19$ (mod 24) か, 又はで $p\equiv 41,49$ (mod 60) のときである.

証明.
$l-1 \prod \mathrm{r}_{p}(\frac{1}{d}+\frac{x}{l})$(5)$\underline{\mathcal{I}=0}=l^{u(}-\frac{\iota}{d})l\underline{1}-rp(u(-\frac{l}{d})+\frac{\iota}{d})$$\mathrm{r}_{p}(\frac{l}{d})\prod^{l-1}\mathrm{r}_{p}(\frac{x}{l}x=1)$$\omega^{-i}$の位$d=60$

158

において,

$\frac{\beta}{d}=\frac{1}{d}+\frac{h}{l}$,$(h, l)=1$ , 又は,$\frac{3}{2}-\frac{\beta}{d}=\frac{1}{d}+\frac{h}{l}$存在するときに非自明な解が得られる. $\text{

このとき},$在する.

$\sigma_{P}$:$(_{d}arrow\zeta_{d}^{p}$,$(h, l)=1^{-}$となる 0<h-<l 力ゞ(mod ) となる $m$ が唯– つ存$\frac{1}{d}+\frac{m}{l}$$\frac{l}{d}$.

を Gauss 和に作用させて, $0\leq j<hj\neq m$ について$\Gamma_{p}(\frac{1}{d}+\frac{j}{l})\mathrm{r}(p\frac{1}{d}+\frac{h-j}{l})$が Gauss 和$g(\chi\xi\iota)$

る. 等式は $g(\chi)$ をの gamma product part であることが分かる.

へ写す Galois 群$g(\chi\xi\iota)$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{Q}(\zeta_{d})/\mathrm{Q})$$\xi_{l}$は位数$l$の指標であの元で固定される.

同様に $0<j<l-h$ について$\Gamma_{p}(\frac{1}{d}+\frac{h+j}{l})\Gamma_{p}(\frac{1}{d}+\frac{l-j}{l})$も Gauss 和の gamma product part で等式の解である. 従って,,について, どちらか–方が$\frac{1}{d}+\frac{l-j}{l}$しかし後者は両方ともい.

$\frac{1}{2}$A より小さく,残りは$\frac{1}{d}+\frac{j}{l},$$\frac{1}{d}+\frac{h-j}{l}$と$\frac{1}{d}+\frac{h+j}{l}$A より大きくなければならな$h=l-1,$ $m= \frac{1}{2}(l-1)$ .

より大きい. 従って

式 (5) と.

$\frac{\prod_{x=0}^{l-1}\Gamma(p\frac{\beta}{d}-\frac{1}{2}+\frac{x}{l})}{\Gamma_{p}(\frac{l\beta}{d}-\frac{l}{2})\prod_{x=1}^{1}\Gamma(p\frac{x}{l})\iota_{-}}=\iota u(-\frac{l\beta}{d}+\frac{\iota}{2})l^{\frac{1-P}{\mathrm{p}}(}u(-\iota \mathrm{v}^{\beta}+_{2})+^{l}T-2)l.\beta l$$i^{\mathrm{a}}\text{ら}$$-\cdot$.$l.-/1$$\Gamma_{p}(_{\overline{d}}$を得る.

$\frac{d}{2l}---1$$l\geq 7,$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} l)$1.

$1_{\mathrm{s}}$$1_{\backslash -}/1$$-\prime \mathit{1}$1$)\Gamma_{p}(^{\perp}\overline{2}-\overline{d}^{+_{2})\pm\Gamma(_{\overline{d}}+}\perp"\overline{\iota}=p\mathrm{Y}\overline{2}rightarrow)\Gamma_{p}(-)2^{\wedge-}\overline{l}\overline{d}$と補題 1 から

奇数 $k\geq 1$ で$l=3,$ $k\geq 5,$ $l=5,$ $k\geq 3$ ならば$\frac{\alpha}{d},$$\frac{\beta}{d}<\frac{1}{2}$$d=2l(kl+1)$ と書ける.となる自己同型写像が作れる. 故に,$l=3,$ $k=1$ のとき, $d=24,p\equiv 17$ (mod .24), $l=3,$ $k=3$ のとき, $d=60,p\equiv 41$ (mod60),$l=5,$ $k=1$ のとき, $d=60,p\equiv 49$ (mod 60) が求まる.

な議論で $d=24,p\equiv 19$ (mod 24),

定理 3.
$24)$

で$\omega^{-i}$証明.

$J(\omega^{-i},\omega^{e_{\frac{2-1}{2}}})\in \mathrm{Q}$の位数が 24,$d=60,p\equiv 41,49$ (mod 60)であるための必要十分条件ぽ$p\equiv 41,49(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 60)$で$\omega^{-i}$

これらが解となることはノルム関係式て容易に確かめられる.

$\frac{3}{2}-\frac{\beta}{d}=\frac{1}{d}+\frac{h}{l}$のときも同様が得られる.

自明解以外に$p\equiv 17,19(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$の位数が 60 である.

$(N_{p})$と distribution relation $(D_{p})$ を使っ159$J(\omega^{-i},\omega^{\frac{p^{2}-1}{2}})$の値は次のようになる.

定理 4. 非自明解, 即ちのとき,$d=24,$$J(\omega^{-i\frac{\dot{p}^{2}-1}{2}},\omega)=-p$であり,. $)p$ , $i=(p-1)k$ のとき,号を示す.
$-( \frac{-1}{p}$証明.

$p\equiv \mathrm{t}17,19$(mod 2.4), $d=6.0,$ $p\equiv 41,49$

自明解 $i= \frac{1}{2}(p+1)k$ のとき,$J(\omega^{-i},\omega^{\frac{\mathrm{p}^{2}-1}{2})}=p$である. ここで(mod 60)$J( \omega^{-},\omega i\frac{p^{2}-1}{2})=$は Legendre 記$( \frac{-1}{p})$$.P$$d=24,$ $p\equiv 17$ (mod 24) の場合は.

,$\frac{\Gamma_{p}(\frac{1}{24})\Gamma(Pp\frac{9}{24})\Gamma(p\frac{\mathrm{i}7}{24})}{\Gamma_{p}(\frac{1}{8})\mathrm{r}_{p}(\frac{1}{3})\Gamma_{p}(\frac{2}{3})}=3^{u(-\frac{1}{8}})-\frac{16}{17}(u(-\frac{1}{8})+\frac{1}{8})=1$$\frac{\Gamma_{p}(\frac{5}{24})\Gamma_{p}(\frac{13}{24})\Gamma(p\frac{21}{24})}{\Gamma_{p}(\frac{5}{8})\mathrm{r}_{p}(\frac{1}{3})\Gamma(p\frac{2}{3})}=3^{u(-\frac{5}{8})}-\frac{16}{17}(u(-\frac{5}{8})+\frac{5}{8})=1$とノルム関係式$(N_{p})$を使って$\Gamma_{p}(\frac{1}{24})\Gamma_{p}(\frac{17}{24})=\Gamma_{p}(\frac{5}{24})\Gamma p(\frac{13}{24})$が得られ,$g(\omega^{\simeq_{2^{\underline{-1}}}^{2}})=(-1)^{\frac{p+1}{2}}p$

から $J(\omega^{-i\frac{p^{2}-1}{2}},\omega)=-P$ となる. 他の場合についても同様に求まる.

Davenport-Hasse 関係式から定理 3 の条件は–般の拡大において十分条件であることが分かる.

160

参考文献

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