数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 78-83

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ルート系から定まるトーリック多様体上の交叉数とヤング図
阿部拓大阪市立大学数学研究所

1序
複素ベクトル空間$\mathbb{C}^{n}$の旗多様体$Fl(\mathbb{C}^{n})$$Fl(\mathbb{C}^{n})=\{V_{0}\subset V_{1}\subset\cdots\subset V_{n}|$$SL_{n}(\mathbb{C})$を $n$ 次の特殊線形群とし，のとき，$SL_{n}(\mathbb{C})$は旗多様体とは$V_{i}$は$\mathbb{C}^{n}$$T\subset SL_{n}(\mathbb{C})$$Fl(\mathbb{C}^{n})$$\mathbb{C}^{n}$の線形部分空間の列の成す空間である．の線型部分空間で$\dim_{\mathbb{C}}V_{i}=i\}$を対角成分のみからなる部分群とする．こに自然に作用し，トーラス $T$ はその制限として作用する．このトーラス作用の一般軌道の閉包はトーリック多様体であることが知られている．
このトーリック多様体を $X$ と書く．

旗多様体

$Fl(\mathbb{C}^{n})$は $n$ 次置換群$\mathfrak{S}_{n}$の元 $w$ ごとにシューベルト胞体$C_{w}$と呼ばれる胞体をもち， $X$ との共通部分 $X\cap C_{w}$ を考えるとこれらは $X$ の胞体分割を与える．今， $X\cap C_{w}$ の$X$ における閉包をは $X$ の特異コホモロジーのボアンカレ双対と書くとき，の基底を成す :$[X_{w}]$$X_{w}$$X_{w}$$H^{*}(X;\mathbb{Z})=\oplus_{w\in \mathfrak{S}_{n}}\mathbb{Z}[X_{w}]$. そこで，カップ積の展開$[X_{u}][X_{v}]= \sum_{w\in \mathfrak{S}_{n}}c_{uv}^{w}[X_{w}]$において展開係数$c_{uv}^{w}\in \mathbb{Z}$が現れるが，この数$c_{uv}^{w}$はどのように記述される数だろうか．それについて考えたい．この問題を念頭に置いたうえで，構造定数叉数をヤング図で計算する方法について述べる．と等価な量である交ルート系から定まるトーリック多様体

2$E^{n}$$\Phi$$c_{uv}^{w}$

を実$n$

次元ユークリッド空間とし，からトーリック多様体を構成しよう．

集合)とすると，その双対基底$\Phi\subset E^{n}$をルート系， $W$ をそのワイル群とする．

$\Pi=\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\}$$\Pi^{*}=\{\omega_{1}, \cdots, \omega_{n}\}$を$\Phi$が双対空間の底 (または単純ルートの$(E^{n})^{*}$の中に決まる．特に

79$\omega_{i}(\alpha_{j})=\delta_{ij}$であり，$\omega_{i}$は基本コウェイトと呼ばれる．このとき$\sigma 0:=\{f\in(E^{n})^{*}|i=1,$ $\cdots,$ $n$ に対し $f(\alpha_{i})\geq 0\}$$=\{c_{1}\omega_{1}+\cdots+c_{n}\omega_{n}\in(E^{n})^{*}|i=1,$ $\cdots,$ $n$とおき，各 $u\in W$ に対し$\sigma_{u}:=u\sigma_{0}$への作用の双対作用で与える．各に対し$c_{i}\in \mathbb{R}_{\geq 0}\}$と定める．ただし，Weyl 群 $W$ のは Weyl の部屋と呼ばれる．各$\sigma_{u}$$(E^{n})^{*}$$\sigma_{u}$への作用は$E^{n}$

は $(E^{n})^{*}$ におけるとその面 (これもまた錐である) の集まりを考る錐であり，全ての $u\in W$ について錐によっとそれはにおける扇をなす．ただし，格子点はコウェイト格子$\sigma_{u}$$N:=\oplus_{i=1}^{n}\mathbb{Z}\omega_{i}$$(E^{n})^{*}$と書き，この扇に対応するトーリック多様体を $X(\Phi)$と書くことにする．すなわち， $X(\Phi)$ は Weyl の部屋とコウェイト格子の成す扇に対応するトーリック多様体である．このトーリック多様体 $X(\Phi)$ が実は 1 節に出てきたトーリツて与える．この得られた扇を$\triangle(\Phi)$

ク多様体 $X$ そのものなのである．すなわち， $X(\Phi)$ は一般化された旗多様体への標準的なトーラス作用の一般軌道の閉包として記述することもできる． $X(\Phi)$ の一般的な性質については Batyrev-Blume [2], Klyachko [4], Procesi [5] などを参照されたい．

扇において特に 1 次元錐はトーラス作用で不変な複素余次元 1 の部分多様体と 1 対 1 に対応し，トーリック多様体の幾何やトポロジーを記述するうえで重要である．我々の扇の場合，1 次元錐の生成元全体はコウェイトの成す集合$\triangle(\Phi)$$\Phi^{*}:=\bigcup_{u\in W}\{u\omega_{1}, \cdots, u\omega_{n}\}\subset(E^{n})^{*}$の性質から，トーリック多様体 $X(\Phi)$ はコンパクトで非特異なトーの構成からは明らかではないが，実は $X(\Phi)$ は射リック多様体であることが従う．
影多様体である 1. また，構成より Weyl 群が $X(\Phi)$ に自然に作用する．
で与えられる．扇$\triangle$$(\Phi$ $)$$\triangle(\Phi)$

3$X(\Phi)$$\Phi$

扇のコホモロジー環をルート系とし， $X(\Phi)$ を前節で構成したトーリック多様体とする． $X(\Phi)$ を記述する$\triangle(\Phi)$, u 訂であることは 2 節ですでごとに，特性部分多様体と呼ばれる複素余次元 1 の部分多様の 1 次元錐の生成元の集合が$\Phi^{*}=\bigcup_{u\in W}\{u\omega_{1},$$\cdots$$\omega$に見た．すなわち，各 $x\in\Phi^{*}$のボアンカレ双対を $\tau_{x}:=[D_{x}]$ と書くと，
体 $D_{x}\subset X(\Phi)$ が定まる．
$D_{x}$$\tau_{x}\in H^{2}(X(\Phi);\mathbb{Z})$である．コンパクトかつ非特異なトーリック多様体の特異コホモロジー環を多項式環の商として記述する方法はよく知られており (Danilov-Jurkiewicz), 我々のトーリック多様体$X(\Phi)$の場合には次のように表示される．
$H^{*}(X(\Phi);\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\tau_{x}|x\in\Phi^{*}]/I$

ここで，(i)$I$は次の形の 2 種類の元で生成される$\tau_{x_{1}}\cdots\tau_{x_{k}}$$\mathbb{Z}[\tau_{x}|x\in\Phi^{*}]$のイデアルである．

ただし $x_{i}=u\omega_{i}(i=1, \cdots, k)$ となるような $u\in W$ は存在しない

1 旗多様体のある運動量多面体に対応する非特異射影的トーリック多様体である．

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(ii)

$\sum_{i=1}^{n}\langle\alpha,$$x\rangle\tau_{x}(\alpha\in\Phi)$

さて，ワイル群の元 $u\in W$ に対し， $X(\Phi)$ の部分多様体$X_{u}$が次のようにして定まる．

$X_{u}:=\cap D_{vw_{i}}u\alpha i\in\Phi^{-}i\in[n]$のボアンカレ双対は負ルートの集合である．
ただし， $[n]=\{1, 2, \cdots, n\}$ であり，の元を定める．相異なる特性部分多様体はコホモロジー環$\Phi^{-}$$X_{u}$$H^{*}(X(\Phi);\mathbb{Z})$$[X_{u}]$は横断的に交わるので，$[X_{u}]$$D_{x_{1}},$$\cdots,$$D_{x_{k}}$は次のようにと書くことができる．

(1)$[X_{u}]= \prod_{i\in[n]_{-}}\tau_{v\omega i}u\alpha:\in\Phi \in H^{*}(X(\Phi);\mathbb{Z})$命題 3.1. (Klyachko [4], De Mari-Procesi-Shayman [3])の基底を成す :達は $X(\Phi)$ のコホモロジー群$[X_{u}]$$H^{*}(X(\Phi);\mathbb{Z})=\oplus_{u\in W}\mathbb{Z}[X_{u}].$

そこで，カップ積の展開$[X_{u}][X_{v}]= \sum_{w\in W}c_{uv}^{w}[X_{w}] (c_{uv}^{w}\in \mathbb{Z})$において展開係数$c_{uv}^{w}\in \mathbb{Z}$が現れる．この係数$c_{uv}^{w}$はコホモロジー環 $H^{*}(X(\Phi);\mathbb{Z})$ の (基底 $\{[X_{w}]\}_{w\in W}$ に関する) 構造定数と呼ばれる．序説に$\not\in$)書いたが，構造定数$c_{uv}^{w}$がどのように記述されるかを調べたい．

少し間接的にはなるが，一つの方法として交叉数を用いる方法がある． $X(\Phi)$ のホモロジー基本類を$X(\Phi)$と書くとき，ホモロジーとコホモロジーのペアリング $(,$$\mu_{X(\Phi)}$における $Y^{w},$$X_{u},$ $X_{v}$$)$

を用いての交叉数を$I_{uv}^{w}:=(\mu_{X(\Phi)}, [Y^{w}][X_{u}][X_{v}])\in \mathbb{Z}$により定める．ただし， $Y^{w}:=w_{0}X_{w_{0}w}$ であり， $w_{0}\in W$ は最長元である．サイズが $|W|$の間に次の関係と交叉数の行列 を 4。$=(\mu_{X(\Phi)}, [Y^{u}][X_{v}])$ で定めると，構造定数$\mathcal{I}$$I_{uv}^{w}$$c_{uv}^{w}$があることが従う．
$I_{uv}^{w}= \sum_{w\in W}\mathcal{I}_{ww’}c_{uv}^{w’} c_{uv}^{w}=\sum_{w\in W}(\mathcal{I}^{-1})_{ww’}I_{uv}^{w’}$

このようにして構造定数$c_{uv}^{w}$と交叉数$I_{uv}^{w}$(2)は可逆な線形変換で結びついており 2, この意味で両者は等価な量であると言える．(1) 式により，交叉数$I_{uv}^{w}$の計算は特性部分多様体の交叉数の計算に帰着される．そこで，次節では特性部分多様体の交叉数をヤング図を用いて計算する方法について述べる．
2 行列$\mathcal{I}$は上三角行列と思うことができ，必要なら逆行列を$\mathcal{I}$の言葉で具体的に書き下すこともできる．

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4交叉数とヤング図
この節では特性部分多様体の交叉数のヤング図を用いた計算について説明する．

$A_{n}$型についてのみ解説するが，他の古典型ルート系 $B,$ $C,$ $D$ 型の場合も同様な議論を進めていくことができる ([1])

2 節で述べたように，扇$\triangle$$(\Phi$ $)$の 1 次元錐の生成元の集合は$\Phi^{*}=\bigcup_{u\in \mathfrak{S}_{n+1}}\{u\omega_{1}, \cdots, u\omega_{n}\}$である．今， $[n+1]=\{1, 2, \cdots, n+1\}$ とするとき，;$\Phi^{*}arrow\{S\subset[n+1]|\emptyset\subsetneq S\subsetneq[n+1]\}$という全単射が定義され，これによってれる．すなわち，$\emptyset\subsetneq S\subsetneq[n+1]$$\Phi^{*}$$u\omega_{i}\mapsto\{u(1), \cdots, u(i)\}$は $[n+1]$ の空でない真部分集合全体と同一視さごとに $D_{S}\subset X(A_{n})$ という特性部分多様体が定まっているとしてよい．3 節で導入した記号にならって，$D_{S}$のボアンカレ双対を $\tau_{S}\in H^{2}(X(A_{n});\mathbb{Z})$と書く．このとき，3 節で述べた $X(A_{n})$ のコホモロジー環における関係式 (i) は(適当な入れ替えの下で)となっていなければ$S_{1}\subset S_{2}\subset\cdots\subset S_{k}$$\tau_{S_{1}}\tau_{S_{2}}\cdots\tau_{S_{k}}=0$と言い換えることができる．これは，この主張の仮定が成り立っていなければそもそも特達が $X(A_{n})$ において交わらないということからくる関係性部分多様体$D_{S_{1}},$$D_{S_{2}},$$\cdots,$$D_{S_{k}}$式である．

さて， $X(A_{n})$ への Weyl 群
補題 4.1.

$\mathfrak{S}_{n+1}$の作用に着目すると次の補題が得られる．

$\emptyset\subsetneq S_{1}\subset S_{2}\subset\cdots\subset S_{n}\subsetneq[n+1]$

る．このとき， $i=1,$$\cdots,$ $n$

および$\emptyset\subsetneq$S\’i$\subset S_{2}’\subset\cdots\subset S_{n}’\subsetneq[n+1]$とすについて $|S_{i}|=|S_{i}’|$ ならば，次が成り立つ．

$(\mu_{X(\Phi)}, \tau_{S_{1}}\cdots\tau_{S_{n}})=(\mu_{X(\Phi)}, \tau_{S_{1}’}\cdots\tau_{S_{n}’})$

この補題は特性部分多様体数$(\mu_{X(\Phi)}, \tau_{S_{1}}\cdots\tau_{S_{n}})$

味する．すなわち，$(\mu_{X(\Phi)}, \tau_{S_{1}}\cdots\tau_{S_{n}})$$D_{S_{1}},$が数の組$\lambda=$$D_{S_{2}},$$\cdots,$$|S_{1}|\leq|S_{2}|\leq$$(|S_{n}|\geq|S_{n-1}|\geq.

はヤング図$\lambda$が非自明に交わっている場合にその交叉$D_{S_{n}}$.

...
.

$\leq|S_{n}|$のみで決まってしまうことを意\geq|S_{1}|)$をヤング図と思うとき，交叉数の言葉で述べられるはずである．

そこで，交叉数の計算のために，ヤング図に値をとる関数を考える．今るヤング図とし，各行の箱の個数はなわち $s=|\{i\in[n]|\lambda_{i}>\lambda_{i+1}$$n$以下であるとする．

ここで， $\lambda_{n+1}=0$ .

$\lambda$$\lambda$の凸な角の数をを $n$ 行からな$s$と置く．す凸な角を与える行の番号の集合を次のように書く．
$\{i\in[n]|\lambda_{i}>\lambda_{i+1}\}=\{i_{1}, \cdots, i_{s}\}$

ただし $i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{s}$ とする．特に $i_{s}=n$ . 各 $r=1,$ $\cdots,$$a_{r}:=i_{r}-i_{r-1}-1,$

ここで， $0\leq y\leq x$ でなければ$b_{r}:=\lambda_{i_{r}}-\lambda_{i_{r+1}}-1,$$(\begin{array}{l}xy\end{array})=0$$s$に対し，次のように定める．

$c_{r}:=\lambda_{i_{r}}+i$。

$-n-1$と約束する．これらの数の図形的な意味は比較的単82
実際，ヤング図 の (右上から) 番目の凸な角の箱を黒く塗っておくは黒箱とその上側にある凹な角までの間にある箱の数であり， は黒箱とその左側純である (図 1)と，$\lambda$$r$$b_{r}$$a_{r}$にある凹な角までの間にある箱の数であり，果は反対角線との交点と黒箱の間にある箱の数である．これらの数はヤング図と反対角線を実際に書けば簡単に数えることができる．

図 1:

今，各 $r=1,$$\cdots,$$s$$a_{r},$$b_{r}$, 窃の図形的な意味に対して (すなわちの各凸角に対して)$\lambda$$y_{r}:=(\begin{array}{l}a_{r}c_{r}\end{array})(\begin{array}{l}b_{r}c_{r}\end{array})$と置き，$I(\lambda)$を次のように定める．
$I(\lambda):=(-1)^{n-s}y_{1}\cdots y_{s}$次に述べる主結果により，特性部分多様体の交叉数はヤング図を用いて計算される．
定理 4.2. ([1])$\emptyset\subsetneq S_{1}\subset S_{2}\subset\cdots\subset S_{n}\subsetneq[n+1]$とするとき，$(\mu_{X(A_{n})}, \tau_{S_{1}}\cdots\tau_{S_{n}})=I(\lambda)$

ここで$\lambda$

はヤング図 $(|S_{n}|\geq|S_{n-1}|\geq\cdots\geq|S_{1}|)$ であり，$\mu_{X(A}$のは $X(A_{n})$ の基本類である．

は次のようにしてヤング図を用いて計算さが交わっていなければ交叉数は なので，これらは非自明に交わっれる．まず
まているとしてよい $(そのための必要十分条件は u, v, w の言葉で述べることができる)$の次数の和は $2n$ としてよい (そうでなければやはりた，コホモロジー類達の積として表されるの記述式 (1) こより積 $[Y^{w}][X_{u}][X_{v}]$ は 個の交叉数は O)
詳細は [1] に譲るが，$Y^{w},$ $X_{u},$ $X_{v}$の交叉数$I_{uv}^{w}$$0$$Y^{w},$ $X_{u},$ $X_{v}$$[Y^{w}],$ $[X_{u}],$ $[X_{v}]$$[X_{u}]$

$|$

$n$

$\tau_{S}$は $w,$ $u,$ のみから組み合わせが定まる
ので，交叉数を計算するためのヤング図論的に定義できる), X。の交叉数を計算すれば，それがすなわちそこで値$\lambda_{uv}^{w}$$(\lambda_{uv}^{w}$$v$$Y^{w},$ $X_{u}$$I(\lambda_{uv}^{w})$

も (逆行列を含むので瑞を与えるのである．さらに，(2) 式を用いることで構造定数計算は一般に複雑であるが) ヤング図を用いて計算することができる．
$c_{uv}^{w}$

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参考文献
[1] H. Abe, Young diagrams and intersection numbers for toric manifolds associatedwith Weyl chambers, preprint, $arXiv:1404.3805.$[2] V. Batyrev and Mark Blume, The functor for toric varieties associated with Weylchambers and Losev-Manin moduli spaces, Tohoku Math. J. 63 (2011), 581-604.
[3] F. De Mari, C. Procesi and M. A. Shayman, Hessenberg varieties, Trans. Amer.
Math. Soc. 332 (1992), no. 2, 529-534.

[4] A. Klyachko, Orbits of a maximal torus on a flag space, Functional Anal. Appl.
19 (1985), no. 2, 65-66.
[5] C. Procesi, The toric variety associated to Weyl chambers, Mots, 153-161, Lang.
Raison. Calc., Herm\‘es, Paris, 1990.