Algebrai görbék a diofantikus
számelméletben
Tengely Szabolcs

Habilitációs értekezés tézisei

Debreceni Egyetem
Debrecen, 2010

Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék

3

1 Bevezetés

5

2 Exponenciális diofantikus egyenletek vizsgálata

9

3 Számtani sorozat elemeinek szorzatával kapcsolatos diofantikus problémák

15

4 Számtani sorozatot alkotó teljes hatványok

21

5 Algebrai görbék pontjaival kapcsolatos eredmények

27

Irodalomjegyzék

31

6 Tengely Szabolcs publikációi és idézettsége

41

7 Konferenciaelőadások

47

8 Oktatói tevékenység adatai

49

9 Jelentősebb hazai és nemzetközi együttműködések

51

10 Tudományos közéleti tevékenység

53

11 Tudományos pályázatokban való részvétel

55

12 Tudományos önéletrajz

57

3

1

Bevezetés
E tézisekben Tengely Szabolcs habilitációs értekezésének legfontosabb eredményei vannak összefoglalva. A habilitációs értekezésben tíz publikáció szerepel,
amelyek közül nyolc Tengely Szabolcs PhD disszertációjának megvédése utánszületett. Ezek a publikációk a következőek: [1],[22],[48],[49],[57],[62], [105] és[106]. Az eredmények tartalmuk szerint négy fejezetben kerülnek bemutatásra.
A témakörökről, a kutatott problémák hátteréről, irodalmi beágyazásukról részletesebben a kapcsolódó fejezetekben olvashatunk. Ezen felül a tézisek végén
megtalálható Tengely Szabolcs publikációs és hivatkozási jegyzéke, konferenciaelőadásainak listája, oktatói tevékenységének rövid leírása, jelentősebb hazai ésnemzetközi együttműködéseinek felsorolása, tudományos közéleti tevékenysége,tudományos pályazatokban való részvételei és szakmai önéletrajza.
Az első részben bizonyos exponenciális egyenletek vizsgálatával kapcsolatos tételek szerepelnek. Az Ax 2 + B = C yn alakú diofantikus egyenletek irodalma meglehetősen gazdag. Különböző végességi állítások igazolása mellett
sok esetben lehetővé vált az egyenlet összes megoldásainak meghatározására is. Az alkalmazott módszerek között megtaláljuk az algebrai számelmélet
mély eredményeit, a Baker-módszer megfelelő változatainak az alkalmazását ésezen egyenletek esetében igen eredményesen alkalmazhatónak bizonyult Bilu,
Hanrot és Voutier egy eredménye Lucas és Lehmer sorozatok primitív osztóival
kapcsolatban. Abu Muriefahval, Lucaval és Siksekkel közösen Tengely vizsgálta az x 2 + C = 2yp egyenletet, ahol C egy 4k + 1 alakú egész. Tételükben
p-re gyakorlatban jól használható korlátot igazoltak, amit több példán keresztül illusztráltak is. Például meghatározták az x 2 + 17a = 2yp egyenlet összes(x, y, a, p) megoldását. Lucaval és Togbéval közösen az x 2 + C = 4yp egyenlet esetében értek el eredményeket. A publikációkban Tengely társszerzői Abu
Muriefah, Luca, Siksek és Togbé voltak.
A második részben számtani sorozatok elemeinek szorzatával összefüggésben végzett kutatások kapnak helyet. Az n(n + d) . . . (n + (k − 1)d) = byldiofantikus egyenlet speciális eseteivel már Euler is foglalkozott, igazolta, hogy5

6Bevezetésnem létezik megoldás, ha k = 4, l = 2 és b = 1. Később is sokan vizsgálták
a különböző eseteket, csak néhány nevet említve, Erdős, Győry, Hajdu, Obláth,
Rigge, Saradha, Shorey, Tijdeman ért el több fontos eredményt. A fejezetben
bemutatásra kerül Tengely egy eredménye, amelyben kiterjeszti Mukhopadhyay
és Shorey egy tételét az n(n + d)(n + 2d)(n + 3d)(n + 4d) = by2 egyenletre
vonatkozóan. Ugyanebben a dolgozatában Tengely megoldotta Hirata-Kohno,
Laishram, Shorey és Tijdeman egy tételében szereplő kimaradó eseteket. Az
előző probléma egy változatát vizsgálta Laishram, Shorey és Tengely a közös
dolgozatukban. A számtani sorozat egymást követő tagjai közül néhányat törlünk
a szorzatból és továbbra is olyan sorozatokat keresünk, amelyeknél ez a szorzat
közel teljes négyzetszámot eredményez. A publikációkban Tengely társszerzői
Hajdu, Laishram, Shorey és Tijdeman voltak.
A harmadik fejezetben a csupa teljes hatványból felépülő számtani sorozatokkal kapcsolatos eredmények találhatóak. A témakör kutatásában számos
jól ismert matematikus vett részt. Már Fermat megfogalmazta a sejtést, hogy
négy különböző négyzetszám nem alkothat számtani sorozatot, ezt később Euler
be is bizonyította. Azonos hatványok esetében Mordell, Dirichlet és Lebesgue
igazoltak eredményeket kis kitevőkre, később Dénes kiterjesztette a megoldást
magasabb kitevőkre. Végül Darmon és Merel adott általános választ tetszőleges kitevőkre, felhasználva a Fermat-egyenlet esetében sikert jelentő moduláris
technikát. Különböző hatványokból álló sorozatokat vizsgált Bruin, Győry, Hajdu és Tengely. Többek között bebizonyították, hogy négyzetszámokból és köbszámokból csak triviálisan lehet számtani sorozatot felépíteni. Később Hajdu
és Tengely megmutatta, hogy négyzetszámokból és azonos kitevős teljes hatványokból legfeljebb hat hosszú nem triviális sorozat állítható elő, köbszámokból
és azonos kitevős teljes hatványokból pedig legfeljebb négy. A publikációkban
Tengely társszerzői Bruin, Győry és Hajdu voltak.
Végül a negyedik rész algebrai görbék egész- és racionális pontjainak meghatározásáról szól. Először Tengely egy háromszögekkel kapcsolat cikkét mutatjuk be, amelyben olyan egész x, y értékeket határozott meg, amelyekre teljesül, hogy ha egy óra kismutatójának hossza x, nagymutatójáé pedig y, akkor
a két mutató távolabbi végpontjainak távolsága (i) 2 órakkor és 3 órakkor ((ii)
2 órakkor és 4 órakkor) is egész érték legyen. A második publikáció a fejezetben hiperelliptikus görbék egész pontjainak meghatározásával foglalkozik. A
klasszikus témakörben Baker adott felső korlátot a megoldások méretére, ezt az
eredményt később többen élesítették, általánosították. A Bugeaudval, Mignotteval, Siksekkel és Stoll-lal közös dolgozatban a Baker-módszer egy változatát
felhasználva felső korlátot nyertek a megoldásokra, ez a korlát azonban túl nagy,
hogy segítségével leszámolható legyen az összes megoldás. Viszont a Mordell-Bevezetés

7

Weil szitát felhasználva megmutatható, hogy ha van nem ismert megoldás, akkor
annak mérete az előző korlát felé esik. Így több esetben az összes megoldásmeghatározható, illusztrációként az y2 − y = x 5 − x egyenletet és az y2 = 5x
egyenletet oldották meg a cikkben. A publikációkban Tengely társszerzői Bugeaud, Mignotte, Siksek és Stoll voltak.

2

Exponenciális diofantikus
egyenletek vizsgálata
Ebben a fejezetben a [104] dolgozatban szereplő, a [1] cikkben szereplő, Abu Muriefahval, Lucaval és Siksekkel közösen nyert és a [62] publikációban megjelent,
Lucaval és Togbével közösen igazolt eredmények kerülnek bemutatásra.
Az irodalomban jelentős számú eredmény található az
Ax 2 + B = C yn
diofantikus egyenlettel kapcsolatban, ahol A, B, C ∈ Z, ABC 6= 0 és n > 2, x, yismeretlen egészek. Lebesgue [58] 1850-ben igazolta, hogy a fenti egyenletnek
B = 1 esetében csak az x = 0 választással kaphatunk megoldást. Chao Ko [54]1965-ben meghatározta a fenti egyenlet összes megoldását a B = −1 esetben.
J.H.E. Cohn [26] megoldotta az egyenletet a 1 ≤ B ≤ 100, C = 1 feltételmellett, kivéve néhány B értéket. A kimaradó esetek közül Mignotte és De Weger[65] oldott meg néhányat. Bugeaud, Mignotte és Siksek [21] a Baker-módszer
és a moduláris-módszer kombinálásával meghatározta a kimaradó esetekben amegoldásokat.
Bilu, Hanrot és Voutier [12] a Lucas és Lehmer számok primitív osztóival
kapcsolatos elegáns eredménye egy jól alkalmazható eszköz lett a fenti egyenlet kezeléséhez, azokban az esetekben, amikor B = pz11 · · · pzss és C = 1, 2, 4.
Néhány eredmény a témakörből: [2], [3], [72], [73], [74], [4], [5], [20], [25], [27], [60],[61], [64], [70], [71], [77].
Tengely a [104] cikkében az
x 2 + q2m = 2yp ,(2.1)

egyenletet vizsgálta, ahol x, y ∈ N, (x, y) = 1, m ∈ N és p, q páratlan prímek.
A következő végességi állítás igaz az egyenlettel kapcsolatban.

910Exponenciális diofantikus egyenletek vizsgálata

2.1. Tétel. Az (2.1) egyenletnek csak véges sok (x, y, m, q, p) megoldása létezik,ahol (x, y) = 1, x, y ∈ N, m ∈ N, p > 3, q páratlan prímek és y nem áll elő, mint
két egymást követő négyzetszám összege.
Amikor y előáll két egymást követő négyzetszám összegeként, akkor léteznek
nagy megoldások, ahogyan az alábbi példák is mutatják.
y
5
5
5
5
5
13
13
13
25
25
41

p
5
7
13
29
97
7
13
101
11
47
31

q
79
307
42641
1811852719
2299357537036323025594528471766399
11003
13394159
224803637342655330236336909331037067112119583602184017999
69049993
378293055860522027254001604922967
4010333845016060415260441

A tétel bizonyításában felhasználjuk, hogy a Gauss-egészek körében faktorizálva a megoldásokra paraméteres egyenleteket tudunk nyerni:
x = <((1 + i)(u + iv)p ) =: Fp (u, v),
qm = =((1 + i)(u + iv)p ) =: Gp (u, v).
Ahol Fp és Gp kétváltozós egész együtthatós homogén polinomok. Valamint igaza következő oszthatósági tulajdonság:(u − δ4 v) | Fp (u, v),(u + δ4 v) | Gp (u, v),ahol1 if p ≡ 1 (mod 4),δ4 =−1 if p ≡ 3 (mod 4).

Az oszthatósági tulajdonságból a következő egyenletrendszereket kapjuk:u + δ4 v = qk ,Hp (u, v) = qm−k ,

(2.2)

vagy
u + δ4 v = −qk ,Hp (u, v) = −qm−k ,G (u,v)pahol Hp (u, v) = u+δ
. A végességi állítás igazolásához szükség van egy felső
4v
korlátra a p kitevő esetében, ezt a Baker-módszer segítségével kapjuk meg. Itt

11Exponenciális diofantikus egyenletek vizsgálata

Mignotte [12, Theorem A.1.3] eredményét alkalmazzuk és a p ≤ 3803 korlátot
nyerjük. Végül a problémát visszavezetjük véges sok Thue-egyenletre:Hp (u, v) = ±p,ésHp (u, v) = ±1
alakban. Az ilyen egyenletek esetében Thue [108] igazolta, hogy csak véges sokmegoldás létezhet. A cikkben még találhatóak eredmények a rögzített y és arögzített q esetekkel kapcsolatban is. Így például igazolást nyer a következő
tétel.
2.2. Tétel. Az x 2 + 32m = 2yp diofantikus egyenlet összes relatív prím (x, y) megoldása az m > 0 és p prím feltételek mellett(x, y, m, p) = (13, 5, 2, 3), (79, 5, 1, 5), vagy (545, 53, 3, 3).
Az Abu Muriefahval, Lucaval és Siksekkel [1] közösen írt cikkben az x 2 +C = 2yn vizsgálatával kapcsolatos eredmények találhatóak. Bizonyítást nyer akövetkező eredmény.
2.3. Tétel. Legyen C pozitív egész, amelyre C ≡ 1 (mod 4), és C = cd2 , ahol cnégyzetmentes. Tegyük fel, hogy (x, y) megoldása az
x 2 + C = 2yp ,x, y ∈ Z+ ,(x, y) = 1,

(2.3)

egyenletnek, ahol p ≥ 5 prím. Ekkor a következő lehetőségek vannak(i) x = y = C = 1, vagy√(ii) p osztja a Q( −c) számtest ideálosztály számát, vagy(iii) p = 5 és (C , x, y) = (9, 79, 5), (125, 19, 3), (125, 183, 7), (2125, 21417, 47),vagy(iv) p | (q − (−c|q)), ahol q páratlan prím és q | d de q - c. Itt (c|q) jelöli a
Legendre-szimbólumot.
A fenti tétel segítségével a szerzős meghatározták az x 2 + C = 2yn egyenletösszes megoldását C ≡ 1 (mod 4), 1 ≤ C < 100 feltételek mellett.

12

Exponenciális diofantikus egyenletek vizsgálata

2.4. Tétel. Az x 2 + C = 2yn egyenlet relatív prím x, y megoldásai az n ≥ 3, ésC ≡ 1 (mod 4), 1 ≤ C < 100 feltételek mellett a következőek
12 + 1 = 2 · 1n ,792 + 9 = 2 · 55 ,1172 + 29 = 2 · 193 ,52 + 29 = 2 · 33 ,9932 + 29 = 2 · 793 ,

112 + 41 = 2 · 34 ,692 + 41 = 2 · 74 ,

1712 + 41 = 2 · 114 ,

12 + 53 = 2 · 33 ,252 + 61 = 2 · 73 ,

512 + 61 = 2 · 113 ,

372 + 89 = 2 · 93 .

A tétel alkalmazható olyan esetekben is, amikor C prímosztói rögzítettek,
ennek illusztrálására a cikkben meghatározták az
x 2 + 17a1 = 2yn ,x 2 + 5a1 13a2 = 2yn ,x 2 + 3a1 11a2 = 2yn ,egyenletek összes megoldását is.
2.5. Tétel. Az
x 2 + 17a1 = 2yn ,a1 ≥ 0,gcd(x, y) = 1,n ≥ 3,

egyenlet megoldásai a következőek
12 + 170 = 2 · 1n ,2392 + 170 = 2 · 134 ,

312 + 172 = 2 · 54 .

Az
x 2 + 5a1 13a2 = 2yn ,a1 , a2 ≥ 0,

gcd(x, y) = 1,n ≥ 3,

egyenlet összes megoldása:
12 + 50 · 130 = 2 · 1n ,92 + 50 · 132 = 2 · 53 ,72 + 51 · 130 = 2 · 33 ,992 + 52 · 130 = 2 · 173 ,192 + 52 · 131 = 2 · 73 ,

791372 + 52 · 133 = 2 · 14633 ,

2532 + 52 · 134 = 2 · 733 ,

1880004972 + 58 · 134 = 2 · 2604733 ,

2392 + 50 · 130 = 2 · 134 .
Az
x 2 + 3a1 11a2 = 2yn ,a1 , a2 ≥ 0,

gcd(x, y) = 1,n ≥ 3,

13

Exponenciális diofantikus egyenletek vizsgálata

diofantikus egyenlet megoldásai:12 + 30 · 110 = 2 · 1n ,3512 + 30 · 114 = 2 · 413 ,132 + 34 · 110 = 2 · 53 ,52 + 34 · 112 = 2 · 173 ,276072 + 34 · 112 = 2 · 7253 ,
6792 + 36 · 112 = 2 · 653 ,

5452 + 36 · 110 = 2 · 533 ,

10932 + 38 · 114 = 2 · 3653 ,

4106392 + 310 · 112 = 2 · 43853 ,

2392 + 30 · 110 = 2 · 134 ,

792 + 32 · 110 = 2 · 55 .
A Lucaval és Togbével közös [62] publikációban az x 2 + C = 4yn diofantikus
egyenlettel kapcsolatos eredmények kaptak helyet.
2.6. Tétel. Az
x 2 + C = 4yn , x, y ≥ 1, (x, y) = 1, n ≥ 3, C ≡ 3

mod 4, 1 ≤ C ≤ 100(2.4)
diofantikus egyenlet (C , n, x, y) megoldásait a következő táblázat tartalmazza(3, n, 1, 1)(3, 3, 37, 7)(7, 3, 5, 2)(7, 5, 11, 2)(7, 13, 181, 2)(11, 5, 31, 3)(15, 4, 7, 2)(19, 7, 559, 5)(23, 3, 3, 2)(23, 3, 29, 6)(23, 3, 45, 8)(23, 3, 83, 12)(23, 3, 7251, 236)
(23, 9, 45, 2)(31, 3, 1, 2)(31, 3, 15, 4)(31, 3, 63, 10)(31, 3, 3313, 140)
(31, 6, 15, 2)(35, 4, 17, 3)(39, 4, 5, 2)(47, 5, 9, 2)(55, 4, 3, 2)(59, 3, 7, 3)(59, 3, 21, 5)(59, 3, 525, 41) (59, 3, 28735, 591)
(63, 4, 1, 2)(63, 4, 31, 4)(63, 8, 31, 2)(71, 3, 235, 24)(71, 7, 21, 2)(79, 3, 265, 26)(79, 5, 7, 2)(83, 3, 5, 3)(83, 3, 3785, 153)
(87, 3, 13, 4)(87, 3, 1651, 88)(87, 6, 13, 2)(99, 4, 49, 5)
2.1. táblázat. Az x 2 + C = 4yn egyenlet megoldásai, ahol 1 ≤ C ≤ 100

Továbbá megoldották a C = 7a · 11b , 7a · 13b , esetekben is az adódó diofantikus egyenleteket.
2.7. Tétel. • Az
x 2 + 7a · 11b = 4yn , x, y ≥ 1, (x, y) = 1, n ≥ 3, a, b ≥ 0

(2.5)

14

Exponenciális diofantikus egyenletek vizsgálata

egyenlet megoldásai:52 + 71 · 110 = 4 · 23 ,112 + 71 · 110 = 4 · 25 , 312 + 70 · 111 = 4 · 35 ,572 + 71 · 112 = 4 · 45 ,132 + 73 · 110 = 4 · 27 , 572 + 71 · 112 = 4 · 210
1812 + 71 · 110 = 4 · 213 .
• Az
x 2 + 7a · 13b = 4yn , x, y ≥ 1, gcd(x, y) = 1, n ≥ 3, a, b ≥ 0(2.6)

diofantikus egyenlet megoldásai:52 + 71 · 130 = 4 · 23 ,53716552 + 73 · 132 = 4 · 193223 , 112 + 71 · 130 = 4 · 25 ,132 + 73 · 130 = 4 · 27 ,872 + 73 · 132 = 4 · 47 ,1812 + 71 · 130 = 4 · 213 , 872 + 73 · 132 = 4 · 214 .

3

Számtani sorozat elemeinekszorzatával kapcsolatos
diofantikus problémák
Ebben a fejezetben a [106] dolgozatban szereplő, a [57] cikkben szereplő, Laishrammal és Shoreyval közösen igazolt és a [49] publikációban Hajduval és
Tijdemannal közösen nyert eredmények kerülnek bemutatásra.
Az irodalomban rengeteg eredmény található számtani sorozatokkal kapcsolatos diofantikus problémákról. Ebben a fejezetben an(n + d) . . . (n + (k − 1)d) = byl(3.1)

egyenlettel foglalkozunk, ahol n, d, k, b, y, l pozitív egészek, l ≥ 2, k ≥ 3,(n, d) = 1, P(b) ≤ k, itt u ∈ Z és |u| > 1 esetén P(u) jelöli u legnagyobb
prímosztóját és P(±1) = 1.
Néhány publikációt emelnénk ki a témakörben: [15], [38], [41], [44], [50],[55], [56], [63], [81], [83], [84], [85], [87], [90], [91], [92], [93], [95], [96], [97], [98],[109], [110]. Továbbá néhány eredményről az alábbiakban részletesen is említést
teszünk.
Tekintsük először az l = 2 esetet. Már Euler igazolta ([33] 440 és 635 oldalak), hogy a (3.1) egyenletnek nincs megoldása, ha k = 4 és b = 1. Később
Obláth [75] kiterjesztette az eredményt a k = 5 esetre. Erdős [34] és Rigge[80] egymástól függetlenül belátták, hogy a (3.1) egyenletnek nincs megoldása, ha b = d = 1. Hirata-Kohno, Laishram, Shorey és Tijdeman [52] teljesen
megoldották a (3.1) egyenletet, amikor 3 ≤ k < 110 és b = 1. Tengely [107]eredményével kombinálva a fenti probléma összes megoldását megkapjuk, ha
3 ≤ k ≤ 100, P(b) < k.
Tekintsük most az l ≥ 3 esettel kapcsolatos eredményeket. Erdős és Selfridge [35] igazolta, hogy a (3.1) egyenletnek nincs megoldása, ha b = d = 1.
Általánosabb esetben, amikor P(b) ≤ k és d = 1 Saradha [82] bizonyította, hogyk ≥ 4 feltétel mellett az egyenletnek nincs olyan megoldása, amelyre P(y) > k.
15

16

Számtani sorozat elemeinek szorzatával kapcsolatos diofantikus problémák

Felhasználva Darmon és Merel [29] eredményét, Győry [42] hasonló tételt igazolt a k = 2, 3 esetekben. Abban az esetben, amikor elhagyjuk a d-re vonatkozó
megszorítást is, Győry [43] belátta, hogy k = 3, P(b) ≤ 2 mellett nem létezik
megoldása az egyenletnek. További általános eredményeket találunk a [8], [45]és a [46] dolgozatokban. Többek között igazolást nyert, hogy a (3.1) egyenletnek
nincs megoldása, ha b = 1 és k < 35.
A [106] cikkben Tengely két korábbi tétellel kapcsolatban igazolt állításokat,először ezeket ismertetjük.
Tétel (Mukhopadhyay, Shorey). Tegyük fel, hogy n és d relatív prím egészek
úgy, hogy nd 6= 0. Ekkor azn(n + d)(n + 2d)(n + 3d)(n + 4d) = by2
diofantikus egyenletnek nem létezik b, y, by 6= 0 és P(b) ≤ 3 feltételek mellett
egész megoldása.
Az eredményt Tengely kiterjesztette a P(b) = 5 esetre és igazlta a következő
tételt.
3.1. Tétel. Azn(n + d)(n + 2d)(n + 3d)(n + 4d) = by2
egyenletnek d > 1, k = 5 és P(b) = 5 feltételekkel a következő (n, d) párokkal
létezik megoldása (n, d) ∈ {(−12, 7), (−4, 3)}.
A fenti (3.1) egyenletet l = 2 esetén vizsgálva azt kapjuk, hogy a számtani
sorozat tagjai is "közel" teljes négyzetszámok, azaz
n + id = ai xi2 minden 0 ≤ i < k(3.2)

adódik, ahol az ai egészek már négyzetmentesek és P(ai ) ≤ max(P(b), k −1). Az
egyenlet minden megoldásához tartozik egy ilyen (a0 , a1 , . . . , ak−1 ) együtthatólista. Egy ilyen együttható lista inverzén az (ak−1 , ak−2 , . . . , a0 ) listát értjük.
Tétel (Hirata-Kohno, Laishram, Shorey, Tijdeman). Tekintsük a (3.1) egyenletet
l = 2, d > 1, P(b) = k és 7 ≤ k ≤ 100 feltételekkel. Ekkor a következő
együttható listák vagy azok inverzei esetében létezhetnek megoldások.
k =7:(2, 3, 1, 5, 6, 7, 2), (3, 1, 5, 6, 7, 2, 1), (1, 5, 6, 7, 2, 1, 10),k = 13 :(3, 1, 5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15),
(1, 5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1),

k = 19 :(1, 5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1, 17, 2, 19, 5, 21, 22),k = 23 :(5, 6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1, 17, 2, 19, 5, 21, 22, 23, 6, 1, 26, 3),(6, 7, 2, 1, 10, 11, 3, 13, 14, 15, 1, 17, 2, 19, 5, 21, 22, 23, 6, 1, 26, 3, 7).

Számtani sorozat elemeinek szorzatával kapcsolatos diofantikus problémák

17

Tengely megoldotta a kimaradó eseteket, igazolva a következő állítást.
3.2. Tétel. A (3.1) egyenletnek az l = 2, d > 1, P(b) = k és 7 ≤ k ≤ 100
feltételek mellett nincs megoldása.
Az eredmények igazolásához algebrai számelméleti eszközökre és az elliptikus Chabauty-módszer [18],[19] alkalmazására volt szükség. Például az(a0 , a1 , . . . , a6 ) = (1, 5, 6, 7, 2, 1, 10) együttható lista esetében a következő
egyenletrendszerre jutunk
x52 + 4x02 = 25x12 ,
4x52 + x02 = 10x42 ,
6x52 − x02 = 50x62 .
A Gauss egészek körében történő faktorizáció segítségével számtest feletti elliptikus görbe speciális pontjainak a meghatározására redukálódik a probléma.
Ebben az esetben a görbék:Cδ :δ(X + i)(X + 4i)(3X 2 − 2) = Y 2 ,(3.3)

ahol δ ∈ {−3 ± i, −1 ± 3i, 1 ± 3i, 3 ± i}. Megjegyezzük, hogy ha (X , Y ) egy
megfelelő pont (X ∈ Q és Y ∈ Q(i)) a Cδ görbén, akkor (X , iY ) egy megfelelő
pont a C−δ görbén. Így elegendő a δ ∈ {1 − 3i, 1 + 3i, 3 − i, 3 + i} eseteket
vizsgálni.
1. δ = 1 − 3i. Ekkor C1−3i izomorf az
E1−3i :

y2 = x 3 + ix 2 + (−17i − 23)x + (2291i + 1597)

elliptikus görbével, amelynek a rangja nulla és nincs olyan pont, amelyre
X ∈ Q.
2. δ = 1 + 3i. Szintén nulla rangú elliptikus görbét kapunk és itt sem adódik
megoldáshoz vezető pont.
3. δ = 3 − i. Az elliptikus görbe ekkor E3−i : y2 = x 3 + x 2 + (−17i + 23)x +(−1597i − 2291), és a Mordell-Weil csoportra E3−i (Q(i)) ' Z2 ⊕ Z adódik.
Az elliptikus Chabauty-módszert alkalmazva a p = 13 választással kapjuk,
hogy x5 /z = −3. Így tehát n = 2 és d = 1.
4. δ = 3 + i. Ekkor ismét egy rangú elliptikus görbét kapunk és az elliptikus
Chabauty-módszerrel x5 /z = 3.

18

Számtani sorozat elemeinek szorzatával kapcsolatos diofantikus problémák

Az előző probléma egy változatát vizsgálta Laishram, Shorey és Tengelya [57] dolgozatban. A számtani sorozat egymást követő tagjai közül néhányat
törlünk a szorzatból és továbbra is olyan sorozatokat keresünk, amelyeknél ez aszorzat közel teljes négyzetszámot eredményez. Nézzük a probléma pontosabb
megfogalmazását.
Legyen k ≥ 4, t ≥ k − 2 és γ1 < γ2 < · · · < γt egészek, amelyekre
0 ≤ γi < k minden 1 ≤ i ≤ t esetén. Jelölje ψ a k − t különbséget, b legyen
egy négyzetmentes egész, amelyre P(b) ≤ k. A probléma ekkor a következő
egyenletre vezet∆ = ∆(n, d, k) = (n + γ1 d) · · · (n + γt d) = by2 .

(3.4)

Az egyenlettel foglalkozó korábbi eredményekkel kapcsolatban itt a [86], [69] ésa [94] publikációkat említenénk.
A [57] cikkben a következő két állítás lett igazolva.
3.3. Tétel. Legyen ψ = 1, k ≥ 7 és d - n. Ekkor a (3.4) egyenletnek nincs
megoldása, ha ω(d) = 1, ahol ω(d) jelöli d különböző prímosztóinak a számát.
A tétel alapján könnyen adódik, hogy a fenti egyenletnek nincs megoldása,ha ψ = 0, k ≥ 7, d - n, P(b) ≤ pπ(k)+1 és ω(d) = 1. Amennyiben k ≥ 11 aP(b) ≤ pπ(k)+1 feltétel javítható, ami a következő eredményre vezet.
3.4. Tétel. Legyen ψ = 0, k ≥ 11 és d - n. Tegyük fel, hogy P(b) ≤ pπ(k)+2 .
Ekkor a (3.4) egyenletnek nincs megoldása, ha ω(d) = 1.
A fejezet hátralévő részében a (3.1) egyenlettel foglalkozunk az l = 3 esetben és bemutatjuk Hajdu, Tengely és Tijdeman [49] publikációban bizonyított
eredményeit.
A vizsgált diofantikus egyenlet a következő
n(n + d) . . . (n + (k − 1)d) = by3 ,(3.5)

ahol n, d, k, b, y ∈ Z és k ≥ 3, d > 0, (n, d) = 1, P(b) ≤ k, n 6= 0, y 6= 0. A
dolgozat egyik tétele az alábbi.
3.5. Tétel. Tegyük fel, hogy (n, d, k, b, y) megoldása a (3.5) egyenletnek, amelyre k < 32 és P(b) < k ha k = 3 vagy k ≥ 13. Ekkor (n, d, k) a következő listában

Számtani sorozat elemeinek szorzatával kapcsolatos diofantikus problémák

19szereplő elemek közül kerülhet ki:(n, 1, k) ahol − 30 ≤ n ≤ −4 vagy 1 ≤ n ≤ 5,(n, 2, k) ahol − 29 ≤ n ≤ −3,(−10, 3, 7), (−8, 3, 7), (−8, 3, 5), (−4, 3, 5), (−4, 3, 3), (−2, 3, 3),(−9, 5, 4), (−6, 5, 4), (−16, 7, 5), (−12, 7, 5).
Megjegyezzük, hogy a tétel állítása k < 12 és P(b) ≤ Pk ahol P3 = 2,P4 = P5 = 3, P6 = P7 = P8 = P9 = P10 = P11 = 5 esetekben következik
Bennett, Bruin, Győry és Hajdu [8] publikációban közölt eredményéből.
A b = 1 speciális esetben Hajdu, Tengely és Tijdeman belátták a következő
állítást.
3.6. Tétel. Tegyük fel, hogy (n, d, k, y) megoldása a (3.5) egyenletnek, amelyreb = 1 és k < 39. Ekkor(n, d, k, y) = (−4, 3, 3, 2), (−2, 3, 3, −2), (−9, 5, 4, 6) vagy (−6, 5, 4, 6).
A fenti eredmények igazolásánál kihasználjuk, hogy a sorozat tagjaira teljesül, hogyn + id = ai xi3 (i = 0, 1, . . . , k − 1)
(3.6)
ahol P(ai ) ≤ k és ai nem osztható prímszám teljes köbével. A bizonyításban
fel lettek használva Selmer [89] eredményei bizonyos diofantikus egyenletekkel
kapcsolatban.
3.1. Lemma. A következő diofantikus egyenleteknek nem létezik x, y, z, xyz 6= 0
egész megoldása
x 3 + y3 = cz 3 , c ∈ {1, 2, 4, 5, 10, 25, 45, 60, 100, 150, 225, 300},
ax 3 + by3 = z 3 , (a, b) ∈ {(2, 9), (4, 9), (4, 25), (4, 45), (12, 25)}.
Ezen felül különféle kongruencia tesztek kombinatorikus alkalmazása tettelehetővé nagy számú együttható listák eliminálását, amelyeknél nem létezhet
megfelelő számtani sorozat. A kimaradó együttható listákat külön meg kellett
vizsgálni és Selmer eredményeit vagy pedig az elliptikus Chabauty-módszert
alkalmazva ki lehetett zárni vagy pedig a megoldásokat megadni. A nagyobb kértékeknél a kongruencia tesztek segítségével sikerült indukciót is alkalmazni ésa korábban igazolt eredmények segítségével együttható listákat kezelni. Így akombinatorikus robbanás kezelése elérhetővé vált nagyobb k értékek esetében
is. Tekintsünk néhány példát a fentiekre.

20

Számtani sorozat elemeinek szorzatával kapcsolatos diofantikus problémák

Legyen k = 5. Ekkor könnyen igazolható, hogy az(a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) = (1, 1, 1, 10, 1)
együttható lista nem vezethet megoldáshoz modulo 7. Szintén egyszerűen adódik, hogy az(a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) = (1, 1, 15, 1, 1)
együttható lista kizárható modulo 9. Viszont az(a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) = (2, 3, 4, 5, 6)
együttható lista esetében sem modulo 7 sem modulo 9 nem kapunk ellentmondást. Selmer eredményei itt segítenek, felhasználva a 4(n + d) − 3n = n + 4d
azonosságot kapjuk, hogy n = 2 és d = 1. Az előző gondolatmenettel minden
együttható lista kezelhető kivéve az(a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) = (2, 9, 2, 5, 12).
Ebben az esetben
x03 + x23 = 9x13 és x03 − 2x23 = −6x43 .
√A Q( 3 2) számtestben dolgozva kapjuk, hogy(x0 − αx2 )(x02 − x0 x2 + x22 ) = (−3α + 6)z 3 .
Ez számtest feletti elliptikus görbére vezet. Ezen görbén kell meghatározni azon
pontokat, ahol az első koordináta racionális értéket vesz fel, ezt az elliptikus
Chabauty-módszer segítségével tehetjük meg.
√
3.2. Lemma. Legyen α = 3 2 és K = Q(α). Ekkor a
C1 :X 3 − (α + 1)X 2 + (α + 1)X − α = (−3α + 6)Y 3

görbén csak az (X , Y ) = (2, 1) pont tesz eleget annak a feltételnek, hogy X ∈ Q
és Y ∈ K .

4

Számtani sorozatot alkotó teljes
hatványok
Ebben a fejezetben a [17] dolgozatban szereplő, Bruinnal, Győryvel és Hajduval
közösen nyert és a [48] cikkben igazolt, Hajduval közös eredmények kerülnek
bemutatásra.
Már Fermat megfogalmazta a sejtést, hogy négy különböző négyzetszám nem
alkothat számtani sorozatot, ezt később Euler be is bizonyította ([33] 440. és
635. oldal). Legyen n ≥ 3 és X n , Z n , Y n egy számtani sorozat három egymást
követő tagja. Ekkor a következő diofantikus egyenlethez jutunk:X n + Y n = 2Z n .
Az egyenlet megoldása n = 3 esetben már Mordell könyvében [68] megtalálható. Az n = 5 eset vizsgálata pedig Dirichlet és Lebesgue (lásd [33] 735.
és 738. oldal) eredményei alapján kezelhető. Dénes [32] ért el később jelentős
eredményt megoldva az egyenletet az n ≤ 31 esetekben. Végül Darmon és Merel [29], felhasználva a Fermat-egyenlet megoldásánál is alkalmazott moduláris
módszert, megmutatta, hogy a triviális esetektől eltekintve nem létezik háromelemű számtani sorozat teljes hatványokból.
A homogén hatványokról most térjünk át egy még általánosabb esetre, tekintsük az
nk−1
a0 x0n0 , a1 x1n1 , . . . , ak−1 xk−1
(4.1)
alakú számtani sorozatokat, ahol ai , xi ∈ Z, ni ≥ 2 és ai prímosztói korlátosak, azaz P(ai ) ≤ P valamilyen P-re. Plusz feltételek nélkül k értéke nem
korlátozható, ahogyan azt Hajdu [47] konstrukciója is mutatja. Az ni kitevők és(a0 x0 , a1 x1 ) korlátozásával már kezelhetőbbé válik a probléma. Vegyes hatványok esetében az egyik alkalmazható mély eszközt Darmon és Granville [28]eredménye jelenti, amelyben az általánosított Fermat-egyenlettel foglalkoznak.
Ineffektív formában végességet biztosítanak az
AX p + BY q = C Z r ,21

ABC 6= 0

22

Számtani sorozatot alkotó teljes hatványok

egyenlettel kapcsolatban, ha
1
1 1+ + > 1.
p q r
A (4.1) alakú számtani sorozatokkal kapcsolatban először tekintsük Hajdu[47] egy eredményét.
4.1. Tétel (Hajdu). Legyen L ≥ 2 egy rögzített egész. Ekkor bármely (4.1) alakú
számtani sorozat esetében, ahol ni ≤ L, (i = 0, 1, . . . , k − 1), létezik csak L és
P értékétől függő C (L, P) konstans úgy, hogy k ≤ C (L, P).
A [17] dolgozatban Bruin, Győry, Hajdu és Tengely a következő tételt igazolták.
4.2. Tétel. Legyen k ≥ 4 és L ≥ 2 egy rögzített egész. Ekkor csak véges sok(4.1) alakú számtani sorozat létezik, melyre ni ≤ L, ai = 1, (i = 0, 1, . . . , k − 1)és (x0 , x1 ) = 1.
A tétel bizonyításában olyan mély eszközök alkalmazása volt szükséges, minta korábban már említett eredménye Darmonnak és Granvillenek és Faltings [36]dolgozata a Mordell-sejtés bizonyításáról.
Amennyiben ni ∈ {2, 3} még több bizonyítható, ebben az esetben a [17]dolgozatban az összes megoldást megadta Bruin, Győry, Hajdu és Tengely.
4.3. Tétel. Legyen k ≥ 4, (x0 , x1 ) = 1, ai = 1, ni ∈ {2, 3} minden i =0, 1, . . . , k − 1 esetén. Ekkor a (4.1) számtani sorozat csak a triviális 1, 1, . . . , 1
és −1, −1, . . . , −1 sorozatok egyike lehet.
Megjegyezzük, hogy a (x0 , x1 ) = 1 feltétel szükséges, ahogyan azt a következő példák is igazolják.
• Legyen (n0 , n1 , n2 , n3 ) = (2, 2, 2, 3). Ekkor((u2 − 2uv − v 2 )f(u, v))2 , ((u2 + v 2 )f(u, v))2 , ((u2 + 2uv − v 2 )f(u, v))2 , (f(u, v))3

egy számtani sorozat négy egymást követő tagja, ahol u, v ∈ Z ésf(u, v) = u4 + 8u3 v + 2u2 v 2 − 8uv 3 + v 4 .
• Legyen (n0 , n1 , n2 , n3 ) = (2, 2, 3, 2). Ekkor((u2 − 2uv − 2v 2 )g(u, v))2 , ((u2 + 2v 2 )g(u, v))2 , (g(u, v))3 , ((u2 + 4uv − 2v 2 )g(u, v))2

számtani sorozatot alkot, ahol u, v ∈ Z és g(u, v) = u4 + 4u3 v + 8u2 v 2 −8uv 3 + 4v 4 .

23

Számtani sorozatot alkotó teljes hatványok

A tétel állításának igazolásához a már ismert eredményeken felül a klasszikus
Chabauty-módszer és az elliptikus Chabauty-módszer került alkalmazásra. Ezt
az egyik eset bemutatásával illusztráljuk. Tekintsük az x02 , x12 , x22 , x33 alakú sorozatot. Ekkor
2x22 − x22 = x33 .
Az egyenlet parametrikus megoldása
x1 = ±(x 3 + 6xy2 ),x2 = ±(3x 2 y + 2y3 )vagy
x1 = ±(x 3 + 6x 2 y + 6xy2 + 4y3 ),x2 = ±(x 3 + 3x 2 y + 6xy2 + 2y3 ),ahol x, y relatív prím egészek. Felhasználva, hogy x02 = 2x12 − x22 adódik akövetkező egyenlet:
x02 = 2x 6 + 15x 4 y2 + 60x 2 y4 − 4y6 .
Ez az egyenlet elliptikus görbére vezet, amelynek nincs affin racionális pontja.
A második parametrizációból az
x02 = x 6 + 18x 5 y + 75x 4 y2 + 120x 3 y3 + 120x 2 y4 + 72xy5 + 28y6
egyenlet adódik. Itt az y = 0 eset könnyen látható módon a triviális 1, 1, 1, 1
sorozatra vezet. Az y 6= 0 esetben legyen Y = x0 /y3 , X = x/y. Így az előző
egyenlet a
C1 : Y 2 = X 6 + 18X 5 + 75X 4 + 120X 3 + 120X 2 + 72X + 28
génusz kettes görbét eredményezi. Itt a klasszikus Chabauty-módszert [24] alkalmazzuk és az ezzel kapcsolatos algoritmusokat, amelyek Stolltól [102] származnak és a MAGMA programcsomagban megtalálhatóak. Először is szükségünk van a J (Q) Mordell-Weil csoportjával kapcsolatos információkra. A torziós részcsoport triviális, ami egyszerűen adódik abból, hogy a rendje osztja
a (#J (F5 ), #J (F7 )) = (21, 52) = 1 értéket. A Mordell-Weil csoport rangjáról megmutatható, hogy eggyel egyenlő és D = [∞+ − ∞− ] egy végtelen rendű
elem. A klasszikus Chabauty-módszert alkalmazva a p = 29 választással kapjuk,
hogy legfeljebb két darab racionális pont lehet a görbén, ennyit pedig ismerünk
is, így több racionális pont nem lehet a görbén, azaz C1 (Q) = {∞+ , ∞− }.
Most rátérünk a Hajdu és Tengely által [48] publikációban igazolt állítánk−1
sok bemutatására. A cikkben olyan x0n0 , x1n1 , . . . , xk−1
alakú számtani sorozatok
vizsgálatával találkozunk, ahol (x0 , x1 ) = 1 és ni ∈ {2, n}, {2, 5} vagy {3, n}. A
különböző esetekre bizonyított tételeket az alábbiakban ismertetjük.

24

Számtani sorozatot alkotó teljes hatványok

nk−1
4.4. Tétel. Legyen n egy prím és x0n0 , x1n1 , . . . , xk−1
egy nem konstans számtani
sorozat, amelyre (x0 , x1 ) = 1, xi ∈ Z, ni ∈ {2, n} minden i = 0, 1, . . . , k − 1értékre. Ekkor k ≤ 5, továbbá, ha k = 5, akkor(n0 , n1 , n2 , n3 , n4 , n5 ) = (2, n, n, 2, 2, 2), (2, 2, 2, n, n, 2).
Az n = 5 speciális esetben élesebb állítás is igaz.
nk−1
4.5. Tétel. Legyen x0n0 , x1n1 , . . . , xk−1
egy nem konstans számtani sorozat, amelyre (x0 , x1 ) = 1, xi ∈ Z, ni ∈ {2, 5} minden i = 0, 1, . . . , k − 1 értékre. Ekkork ≤ 3, továbbá, ha k = 3, akkor(n0 , n1 , n2 , n3 ) = (2, 2, 2, 5), (5, 2, 2, 2).
Megjegyezzük, hogy a tételben szereplő két kivételes esetben Siksek és Stoll[99] a közelmúltban megmutatták, hogy csak a triviális 1, 1, 1, 1 sorozat létezik.
Visszavezették a problémát génusz 4 görbék racionális pontjainak vizsgálatára.
Tekintsük most az ni ∈ {3, n} esetre vonatkozó állítást.
nk−1
4.6. Tétel. Legyen n egy prím és x0n0 , x1n1 , . . . , xk−1
egy nem konstans számtani
sorozat, amelyre (x0 , x1 ) = 1, xi ∈ Z, ni ∈ {3, n} minden i = 0, 1, . . . , k − 1értékre. Ekkor k ≤ 3, továbbá, ha k = 3, akkor(n0 , n1 , n2 , n3 ) = (3, 3, n, n), (n, n, 3, 3), (3, n, n, 3), (n, 3, 3, n).
A bizonyításban felhasználjuk az alábbi, moduláris módszer segítségével igazolt tételeket.
Tétel. Legyen n egy prím. Ekkor az
X n + Y n = 2Z 2(n ≥ 5),

X n + Y n = 3Z 2nn

X + 4Y = 3Z(n ≥ 5),2(n ≥ 7)

diofantikus egyenleteknek nem létezik páronként relatív prím (X , Y , Z ) megoldása, amelyre X Y 6= ±1.
A tételben szereplő állítások Bennett és Skinner [9], illetve Bruin [16] eredményeiből következnek. Az X n , Z 3 , Y n alakú számtani sorozatok esetében akövetkező, Bennett, Vatsal és Yazdani [10] által bizonyított tétel igaz.
Tétel. Legyen n ≥ 5 egy prím. Ekkor az
X n + Y n = 2Z 3
diofantikus egyenletnek nem létezik relatív prím X , Y , Z megoldása, amelyre
X Y Z 6= 0, ±1.

Számtani sorozatot alkotó teljes hatványok

25

Az X n , Z n , Y n alakú sorozatok esetében pedig a korábban már említett, Darmon és Merel [29] dolgozatában található eredményt használhatjuk.
Tétel. Legyen n ≥ 3 egy prím. Ekkor az
X n + Y n = 2Z ndiofantikus egyenletnek nem létezik relatív prím X , Y , Z megoldása, amelyre
X Y Z 6= 0, ±1.
Az X 3 , Z n , Y 3 alakú számtani sorozatokkal kapcsolatban Hajdu és Tengely
belátta a következő állítást.
4.7. Tétel. Legyen n ≥ 3 egy prím. Ekkor az
X 3 + Y 3 = 2Z ndiofantikus egyenletnek nem létezik relatív prím X , Y , Z megoldása, amelyre
X Y Z 6= 0, ±1 és 3 - Z .
Az előző eredmények hasznos segítséget jelentenek az ni ∈ {2, n}, {3, n}esetek vizsgálatakor. Az ni ∈ {2, 5} esetre vonatkozó tétel bizonyításához a
problémát bizonyos számtest feletti elliptikus görbe speciális alakú pontjainak
meghatározására vezetjük vissza algebrai számelméleti módszerekkel. Az elliptikus Chabauty-módszer segítségével pedig meghatározzuk a racionális elsőkoordinátával rendelkező pontokat, amelyekből vissza tudjuk fejteni az eredeti
probléma lehetséges megoldásait. Az itt felhasznált és bizonyított állítások akövetkezőek.
√4.1. Lemma. Legyen α = 5 2 és K = Q(α). Ekkor a
C1 :α 4 X 4 + α 3 X 3 + α 2 X 2 + αX + 1 = (α − 1)Y 2

(4.2)

és
C2 :

α 4 X 4 − α 3 X 3 + α 2 X 2 − αX + 1 = (α 4 − α 3 + α 2 − α + 1)Y 2(4.3)

algebrai görbéken azon pontok, amelyekre X ∈ Q, Y ∈ K a következőek
1 3α 4 + 5α 3 − α 2 + 3α + 5
432(X , Y ) = (1, ±(α + α + α + α + 1)), − , ±3
9
a C1 görbe esetében és (X , Y ) = (1, ±1) a C2 görbe esetében.
√4.2. Lemma. Legyen β = (1 + 5)/2 és L = Q(β). Ekkor a
C3 :X 4 + (8β − 12)X 3 + (16β − 30)X 2 + (8β − 12)X + 1 = Y 2(4.4)

algebrai görbén egyedül az (X , Y ) = (0, ±1) pontokra teljesül, hogy X ∈ Q ésY ∈ L.

5

Algebrai görbék pontjaival
kapcsolatos eredmények
Ebben a fejezetben a [105] dolgozatban szereplő és a [22] cikkben megjelent,
Bugeaudval, Mignotteval, Siksekkel és Stoll-lal közös eredmények kerülnek bemutatásra.
A fejezet első részében bemutatjuk a [105] publikációban található eredményeket, amelyek geometriai problémával összefüggő diofantikus egyenletekkel
kapcsolatosak. Az irodalomban jelentős számú geometriai hátterű diofantikus
probléma található. Az egyik jól ismert a derékszögű háromszögek oldalaival
kapcsolatos Pitagorasz-tétel, azaz a derékszögű háromszög oldalaira teljesül,
hogy a2 + b2 = c 2 .
Már egy régi arab kézirat is foglalkozott az úgynevezett kongruens számok
problémájával, azaz olyan derékszögű háromszögek megadásával, amelyeknek
az oldalaiknak hossza racionális szám, a területük pedig egész. Például 6 kongruens szám, mert a (3, 4, 5) hosszú oldalakkal rendelkező derékszögű háromszög
területe 6. Fibonacci fogalmazta meg azt az állítást, hogy 1 nem kongruens szám.
Az állítást később Fermat igazolta, a végtelen leszállás módszerének segítségével. A jelenleg ismert legpontosabb általános eredményt Tunnell bizonyította[111] a moduláris módszert felhasználva.
Az egész oldalhosszúságú háromszögek közül azokat, amelyeknek a területe
is egész szám, Hérón-féle háromszögeknek nevezzük. Az ilyen típusú háromszögekkel kapcsolatban is több eredmény található az irodalomban, például a[51] és a [39] cikkekben, további információk és megoldatlan problémák a [40]könyvben szerepelnek.
Petulante és Kaja [76] megadták azon egész oldalú háromszögeknek a parametrizációját, amelyekben egy adott szög koszinusza racionális, azaz meghatározták az u2 − 2αuv + v 2 = 1 görbe racionális parametrizációját, ahol α jelöli a
racionális koszinusz értékét.
27

28

Algebrai görbék pontjaival kapcsolatos eredmények

Bertalan Zoltán olyan egész x, y értékeket keresett, amelyekre teljesül, hogy
ha egy óra kismutatójának hossza x, nagymutatójáé pedig y, akkor a két mutató
távolabbi végpontjainak távolsága (i) 2 órakkor és 3 órakkor ((ii) 2 órakkor és 4órakkor) is egész érték legyen. Legyenek φ1 = cos(α) és φ2 = cos(β), ahol α, βa két mutató által bezárt szögek a vizsgált időpontokban. Ekkor a koszinusz-tétel
alapján
x 2 − 2φ1 xy + y2 = zα2 ,x 2 − 2φ2 xy + y2 = zβ2 ,itt zα és zβ jelöli az adott szöggel szemközti oldal hosszát. A két egyenletösszeszorzása után a következő algebrai görbét kapjuk:Cα,β : X 4 − 2(φ1 + φ2 )X 3 + (4φ1 φ2 + 2)X 2 − 2(φ1 + φ2 )X + 1 = Y 2 ,ahol X = x/y és Y = zα zβ /y2 . Tengely a [105] dolgozatában megoldotta
a Bertalan Zoltán által felvetett problémákat. Például igazolta, hogy az (i)esetben végtelen sok megoldás létezik, mivel a kapcsolódó algebrai görbe 1
rangú elliptikus görbére vezet. Néhány megoldás:x8
1768
10130640
498993199440

y
15
2415
8109409
136318711969

zπ/3
13
2993
9286489
517278459169

zπ/2
17
3637
12976609
579309170089

A fejezet hátralévő részében a [22] pulikáció eredményeit tárgyaljuk. Legyen
C : Y 2 = an X n + · · · + a0 := f(X ) egy hiperelliptikus görbe, ahol ai ∈ Z, n ≥ 5és az f polinom irreducibilis. Ilyen görbék esetében Baker [7] igazolta, hogy agörbén található (X , Y ) egész pontokra
max(|X |, |Y |) ≤ exp exp exp{(n10n H)n },2ahol H = max{|a0 |, . . . , |an |}. A korlátot később többen élesítették, így például
Sprindžuk [101], Brindza [13], Schmidt [88], Poulakis [79], Bilu [11], Bugeaud [23]és Voutier [112]. A Baker-módszer segítségével tehát az egész pontok méretére korlát adható, ezt kombinálva a Mordell-Weil szitával adott görbe esetében
igazolható, hogy az ismert egész pontokon felül nincs más. Ez a módszer került tárgyalásra a dolgozatban, illusztrációként pedig két konkrét problémára
alkalmazták sikerrel.

29

Algebrai görbék pontjaival kapcsolatos eredmények

5.1. Tétel. Az
Y 2 − Y = X5 − X(5.1)

diofantikus egyenlet egész megoldásai:(X , Y ) = (−1, 0), (−1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, −5),
(2, 6), (3, −15), (3, 16), (30, −4929), (30, 4930).
5.2. Tétel. Az

   
Y
X
=
2
5

(5.2)

diofantikus egyenlet egész megoldásai:(X , Y ) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1),(5, −1), (5, 2), (6, −3), (6, 4), (7, −6), (7, 7), (15, −77),(15, 78), (19, −152), (19, 153).
Az

Y p − Y = Xq − X,

2 ≤ p < q.

(5.3)

egyenlettel kapcsolatban Mordell [67] igazolta, hogy ha p = 2, q = 3, akkor(X , Y ) = (0, 0), (0, 1), (±1, 0), (±1, 1), (2, 3), (2, −2), (6, 15), (6, −14).
Fielder és Alford [37] a következő X , Y > 1 megoldásokat adták meg:(p, q, X , Y ) = (2, 3, 2, 3), (2, 3, 6, 15), (2, 5, 2, 6), (2, 5, 3, 16),
(2, 5, 30, 4930), (2, 7, 5, 280), (2, 13, 2, 91), (3, 7, 3, 13).
Mignotte és Pethő [66] igazolta, hogy adott p és q esetén, ahol 2 ≤ p < q, csak
véges sok egész megoldás létezik. Továbbá, ha feltesszük az abc-sejtést, akkor
az (5.3) egyenletnek csak véges sok egész X , Y > 1 megoldása létezik.
Az (5.2) egyenlet speciális esete az   
n
m
=
(5.4)
k
l
diofantikus egyenletnek. A 2 ≤ k ≤ n/2 és 2 ≤ l ≤ m/2 kikötések mellett az
ismert megoldások a következőek:        
  
16
10
56
22
120
36
=
,
=
,
=
,
2
3
2
3
2
3
            
21
10
153
19
78
15
14
=
,
=
,
=
=
,
2
4
2
5
2
5
6

   
 

221
17
F2i+2 F2i+3
F2i+2 F2i+3 − 1=,=
for i = 1, 2, . . . ,28F2i F2i+3
F2i F2i+3 + 1

30

Algebrai görbék pontjaival kapcsolatos eredmények

ahol Fn Fibonacci számok sorozata. Ismert a [31] dolgozatból, hogy nincs több
megoldás, ha nk ≤ 1030 vagy n ≤ 1000. A végtelen megoldás család Lind [59]és Singmaster [100] publikációiban lett közölve. Az (5.4) diofantikus egyenletösszes megoldása meghatározásra került, ha(k, l) = (2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (4, 8).
Ezen esetekben a probléma visszavezethető elliptikus görbékre vagy Thueegyenletekre.
Avanesov 1966-ban [6] megoldotta az (5.4) egyenletet,amikor (k, l) = (2, 3). De Weger [30] és tőle függetlenül Pintér [78] megoldotta a (k, l) = (2, 4) esetet. A (k, l) = (3, 4) párnál az egyenlet az
Y (Y + 1) = X (X + 1)(X + 2) görbére vezet, amely megoldásait Mordell[67] határozta meg. A fennmaradó (2, 6), (2, 8), (3, 6), (4, 6), (4, 8) esetekben
a megoldásokat Stroeker és de Weger [103] adta meg. A (5.4) egyenlettel
kapcsolatban általános végességi tételt nyert 1988-ban Kiss [53]. Igazolta,
hogy ha k = 2 és l adott páratlan prím, akkor csak véges sok pozitív megoldás
létezik. Felhasználva a Baker-módszert, Brindza [14] megmutatta, hogy az (5.4)
egyenletnek k = 2 és l ≥ 3 mellett csak véges sok pozitív megoldása van.

Irodalomjegyzék[1]

F. S. Abu Muriefah, F. Luca, S. Siksek, and Sz. Tengely. On the Diophantine equation x 2 + C = 2yn . Int. J. Number Theory, 5(6):1117–1128,
2009.

[2]

S. A. Arif and F. S. A. Muriefah. On the Diophantine equation x 2 +2k = yn .
Internat. J. Math. Math. Sci., 20(2):299–304, 1997.

[3]

S. A. Arif and F. S. A. Muriefah. The Diophantine equation x 2 + 3m = yn .
Internat. J. Math. Math. Sci., 21(3):619–620, 1998.

[4]

S. A. Arif and F S. A. Muriefah. On the Diophantine equation x 2 +2k = yn .
II. Arab J. Math. Sci., 7(2):67–71, 2001.

[5]

S. A. Arif and F. S. A. Muriefah. On the Diophantine equation x 2 +q2k+1 =yn . J. Number Theory, 95(1):95–100, 2002.

[6]

È. T. Avanesov. Solution of a problem on figurate numbers. Acta Arith.,
12:409–420, 1966/1967.

[7]

A. Baker. Bounds for the solutions of the hyperelliptic equation. Proc.
Cambridge Philos. Soc., 65:439–444, 1969.

[8]

M. A. Bennett, N. Bruin, K. Győry, and L. Hajdu. Powers from products ofconsecutive terms in arithmetic progression. Proc. London Math. Soc. (3),92(2):273–306, 2006.

[9]

M.A. Bennett and C.M. Skinner. Ternary Diophantine equations via Galois
representations and modular forms. Canad. J. Math., 56(1):23–54, 2004.

[10]

M.A. Bennett, V. Vatsal, and S. Yazdani. Ternary Diophantine equationsof signature (p, p, 3). Compos. Math., 140(6):1399–1416, 2004.
31

32

Irodalomjegyzék[11]

Yu. Bilu. Effective analysis of integral points on algebraic curves. Israel J.
Math., 90(1-3):235–252, 1995.

[12]

Yu. Bilu, G. Hanrot, and P. M. Voutier. Existence of primitive divisors ofLucas and Lehmer numbers. J. Reine Angew. Math., 539:75–122, 2001.
With an appendix by M. Mignotte.

[13]

B. Brindza. On S-integral solutions of the equation ym = f(x). Acta Math.
Hungar., 44(1-2):133–139, 1984.

[14]

B. Brindza. On a special superelliptic equation. Publ. Math. Debrecen,39(1-2):159–162, 1991.

[15]

B. Brindza, L. Hajdu, and I. Z. Ruzsa. On the equation x(x + d) · · · (x +(k − 1)d) = by2 . Glasg. Math. J., 42(2):255–261, 2000.

[16]

[17]

[18]

N. Bruin. Some ternary Diophantine equations of signature (n, n, 2). In
Discovering mathematics with Magma, volume 19 of Algorithms Comput.
Math., pages 63–91. Springer, Berlin, 2006.
N. Bruin, K. Győry, L. Hajdu, and Sz. Tengely. Arithmetic progressions
consisting of unlike powers. Indag. Math. (N.S.), 17(4):539–555, 2006.
N. R. Bruin. Chabauty methods and covering techniques applied to generalized Fermat equations, volume 133 of CWI Tract. Stichting Mathematisch Centrum Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam, 2002.
Dissertation, University of Leiden, Leiden, 1999.

[19]

Nils Bruin. Chabauty methods using elliptic curves. J. Reine Angew. Math.,
562:27–49, 2003.

[20]

Y. Bugeaud. On the Diophantine equation x 2 − pm = ±yn . Acta Arith.,
80(3):213–223, 1997.

[21]

Y. Bugeaud, M. Mignotte, and S. Siksek. Classical and modular approaches
to exponential Diophantine equations. II. The Lebesgue-Nagell equation.
Compos. Math., 142(1):31–62, 2006.

[22]

Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek, M. Stoll, and Sz. Tengely. Integral
points on hyperelliptic curves. Algebra Number Theory, 2(8):859–885,
2008.

[23]

Yann Bugeaud. Bounds for the solutions of superelliptic equations. Compositio Math., 107(2):187–219, 1997.

Irodalomjegyzék

[24]

33

C. Chabauty. Sur les points rationnels des courbes algébriques de genre
supérieur à l’unité. C. R. Acad. Sci. Paris, 212:882–885, 1941.

[25]

J. H. E. Cohn. The Diophantine equation x 2 +2k = yn . Arch. Math. (Basel),
59(4):341–344, 1992.

[26]

J. H. E. Cohn. The Diophantine equation x 2 + C = yn . Acta Arith.,
65(4):367–381, 1993.

[27]

J. H. E. Cohn. The Diophantine equation x 2 + 2k = yn . II. Int. J. Math.
Math. Sci., 22(3):459–462, 1999.

[28]

H. Darmon and A. Granville. On the equations z m = F (x, y) and Ax p +Byq = C z r . Bull. London Math. Soc., 27(6):513–543, 1995.

[29]

[30]

[31]

H. Darmon and L. Merel. Winding quotients and some variants of Fermat’s
last theorem. J. Reine Angew. Math., 490:81–100, 1997.
B. M. M. de Weger. A binomial Diophantine equation. Quart. J. Math.
Oxford Ser. (2), 47(186):221–231, 1996.
Benjamin M. M. de Weger. Equal binomial coefficients: some elementary
considerations. J. Number Theory, 63(2):373–386, 1997.

[32]

P. Dénes. Über die Diophantische Gleichung x l + yl = cz l . Acta Math.,
88:241–251, 1952.

[33]

L.E. Dickson. History of the theory of numbers. Vol II: Diophantine analysis. Chelsea Publishing Co., New York, 1966.

[34]

P. Erdös. Note on the product of consecutive integers (II). J. London Math.
Soc., 14:245–249, 1939.

[35]

P. Erdős and J. L. Selfridge. The product of consecutive integers is nevera power. Illinois J. Math., 19:292–301, 1975.

[36]

G. Faltings. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern.
Invent. Math., 73(3):349–366, 1983.

[37]

Daniel C. Fielder and Cecil O. Alford. Observations from computer experiments on an integer equation. In Applications of Fibonacci numbers, Vol.
7 (Graz, 1996), pages 93–103. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998.

34

Irodalomjegyzék[38]

P. Filakovszky and L. Hajdu. The resolution of the Diophantine equation
x(x + d) · · · (x + (k − 1)d) = by2 for fixed d. Acta Arith., 98(2):151–154,
2001.

[39]

I. Gaál, I. Járási, and F. Luca. A remark on prime divisors of lengths ofsides of Heron triangles. Experiment. Math., 12(3):303–310, 2003.

[40]

Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. Problem Books in
Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1994. Unsolved
Problems in Intuitive Mathematics, I.
n
k



[41]

[42]

K. Győry. On the Diophantine equation
295, 1997.

= x l . Acta Arith., 80(3):289–

K. Győry. On the Diophantine equation n(n + 1) · · · (n + k − 1) = bx l .
Acta Arith., 83(1):87–92, 1998.

[43]

K. Györy. Power values of products of consecutive integers and binomial
coefficients. In Number theory and its applications (Kyoto, 1997), volume 2of Dev. Math., pages 145–156. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999.

[44]

K. Győry. Perfect powers in products with consecutive terms from arithmetic progressions. In More sets, graphs and numbers, volume 15 of Bolyai
Soc. Math. Stud., pages 143–155. Springer, Berlin, 2006.

[45]

K. Győry, L. Hajdu, and Á. Pintér. Perfect powers from products of consecutive terms in arithmetic progression. Compos. Math., 145(4):845–864,
2009.

[46]

K. Győry, L. Hajdu, and N. Saradha. On the Diophantine equation n(n +d) · · · (n + (k − 1)d) = byl . Canad. Math. Bull., 47(3):373–388, 2004.

[47]

L. Hajdu. Perfect powers in arithmetic progression. A note on the inhomogeneous case. Acta Arith., 113(4):343–349, 2004. Dedicated to Robert
Tijdeman on the occasion of his 60th birthday.

[48]

L. Hajdu and Sz. Tengely. Arithmetic progressions of squares, cubes andn-th powers. Funct. Approx. Comment. Math., 41(, part 2):129–138, 2009.

[49]

Lajos Hajdu, Szabolcs Tengely, and Robert Tijdeman. Cubes in products ofterms in arithmetic progression. Publ. Math. Debrecen, 74(1-2):215–232,
2009.

Irodalomjegyzék

35

[50]

G. Hanrot, N. Saradha, and T. N. Shorey. Almost perfect powers in consecutive integers. Acta Arith., 99(1):13–25, 2001.

[51]

H. Harborth, A. Kemnitz, and N. Robbins. Non-existence of Fibonacci
triangles. Congr. Numer., 114:29–31, 1996. Twenty-fifth Manitoba Conference on Combinatorial Mathematics and Computing (Winnipeg, MB,1995).

[52]

N. Hirata-Kohno, S. Laishram, T. N. Shorey, and R. Tijdeman. An extensionof a theorem of Euler. Acta Arith., 129(1):71–102, 2007.

Péter Kiss. On the number of solutions of the Diophantine equation px =y
2 . Fibonacci Quart., 26(2):127–130, 1988.

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

Chao Ko. On the Diophantine equation x 2 = yn + 1, xy 6= 0. Sci. Sinica,
14:457–460, 1965.
Shanta Laishram. An estimate for the length of an arithmetic progression
the product of whose terms is almost square. Publ. Math. Debrecen, 68(34):451–475, 2006.
Shanta Laishram and T. N. Shorey. The equation n(n + d) · · · (n + (k −1)d) = by2 with ω(d) ≤ 6 or d ≤ 1010 . Acta Arith., 129(3):249–305, 2007.
Shanta Laishram, T. N. Shorey, and Szabolcs Tengely. Squares in products in arithmetic progression with at most one term omitted and common
difference a prime power. Acta Arith., 135(2):143–158, 2008.
V.A. Lebesgue. Sur l’impossibilité en nombres entiers de l’équation x m =y2 + 1. Nouv. Annal. des Math., 9:178–181, 1850.
√
D. A. Lind. The quadratic field Q( 5) and a certain Diophantine equation.
Fibonacci Quart., 6(3):86–93, 1968.

[60]

F. Luca. On a Diophantine equation. Bull. Austral. Math. Soc., 61(2):241–
246, 2000.

[61]

F. Luca. On the equation x 2 + 2a · 3b = yn . Int. J. Math. Math. Sci.,
29(4):239–244, 2002.

[62]

F. Luca, Sz. Tengely, and A. Togbé. On the diophantine equation x 2 + c =4yn . Ann. Sci. Math. Québec, 33(2):171–184, 2009.

[63]

R. Marszałek. On the product of consecutive elements of an arithmetic
progression. Monatsh. Math., 100(3):215–222, 1985.

36

Irodalomjegyzék[64]

M. Mignotte. On the Diophantine equation D1 x 2 + D2m = 4yn . Portugal.
Math., 54(4):457–460, 1997.

[65]

M. Mignotte and B.M.M. De Weger. On the Diophantine equations x 2 +74 = y5 and x 2 + 86 = y5 . Glasgow Math. J., 38:77–85, 1996.

[66]

M. Mignotte and A. Pethő. On the Diophantine equation x p − x = yq − y.
Publ. Mat., 43(1):207–216, 1999.

[67]

L. J. Mordell. On the integer solutions of y(y + 1) = x(x + 1)(x + 2). Pacific
J. Math., 13:1347–1351, 1963.

[68]

L. J. Mordell. Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics, Vol.
30. Academic Press, London, 1969.

[69]

Anirban Mukhopadhyay and T. N. Shorey. Almost squares in arithmetic
progression. III. Indag. Math. (N.S.), 15(4):523–533, 2004.

[70]

F. S. A. Muriefah. On the Diophantine equation px 2 + 3n = yp . Tamkang
J. Math., 31(1):79–84, 2000.

[71]

F. S. A. Muriefah. On the Diophantine equation Ax 2 + 22m = yn . Int. J.
Math. Math. Sci., 25(6):373–381, 2001.

[72]

F. S. A. Muriefah and S. A. Arif. On a Diophantine equation. Bull. Austral.
Math. Soc., 57(2):189–198, 1998.

[73]

F. S. A. Muriefah and S. A. Arif. The Diophantine equation x 2 +52k+1 = yn .
Indian J. Pure Appl. Math., 30(3):229–231, 1999.

[74]

F. S. A. Muriefah and S. A. Arif. The Diophantine equation x 2 + q2k = yn .
Arab. J. Sci. Eng. Sect. A Sci., 26(1):53–62, 2001.

[75]

Richard Obláth. Über das Produkt fünf aufeinander folgender Zahlen in
einer arithmetischen Reihe. Publ. Math. Debrecen, 1:222–226, 1950.

[76]

N. Petulante and I. Kaja. How to generate all integral triangles containing
a given angle. Int. J. Math. Math. Sci., 24(8):569–572, 2000.

[77]

[78]

I. Pink. On the Diophantine equation x 2 +(pz11 . . . pzss )2 = 2yn . Publ. Math.
Debrecen, 65(1-2):205–213, 2004.
Ákos Pintér. A note on the Diophantine equation
Debrecen, 47(3-4):411–415, 1995.

x
4


=

y
2 . Publ. Math.

Irodalomjegyzék

37

[79]

Dimitrios Poulakis. Solutions entières de l’équation Y m = f(X ). Sém.
Théor. Nombres Bordeaux (2), 3(1):187–199, 1991.

[80]

O. Rigge. über ein diophantisches problem. In 9th Congress Math. Scand.,pages 155–160. Mercator 1939, Helsingfors 1938.

[81]

J. W. Sander. Rational points on a class of superelliptic curves. J. London
Math. Soc. (2), 59(2):422–434, 1999.

[82]

N. Saradha. On perfect powers in products with terms from arithmetic
progressions. Acta Arith., 82(2):147–172, 1997.

[83]

N. Saradha. Squares in products with terms in an arithmetic progression.
Acta Arith., 86(1):27–43, 1998.

[84]

N. Saradha and T. N. Shorey. Almost perfect powers in arithmetic progression. Acta Arith., 99(4):363–388, 2001.

[85]

N. Saradha and T. N. Shorey. Almost squares and factorisations in consecutive integers. Compositio Math., 138(1):113–124, 2003.

[86]

N. Saradha and T. N. Shorey. Almost squares in arithmetic progression.
Compositio Math., 138(1):73–111, 2003.

[87]

N. Saradha and T. N. Shorey. Contributions towards a conjecture of Erdős
on perfect powers in arithmetic progression. Compos. Math., 141(3):541–
560, 2005.

[88]

Wolfgang M. Schmidt. Integer points on curves of genus 1. Compositio
Math., 81(1):33–59, 1992.

[89]

Ernst S. Selmer. The Diophantine equation ax 3 + by3 + cz 3 = 0. Acta
Math., 85:203–362 (1 plate), 1951.

[90]

[91]

[92]

T. N. Shorey. Perfect powers in products of arithmetical progressions with
fixed initial term. Indag. Math. (N.S.), 7(4):521–525, 1996.
T. N. Shorey. Powers in arithmetic progression. In A panorama of number
theory or the view from Baker’s garden (Zürich, 1999), pages 325–336.
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.
T. N. Shorey. Powers in arithmetic progressions. II. SūrikaisekikenkyūshoKōkyūroku, (1274):202–214, 2002. New aspects of analytic number theory(Japanese) (Kyoto, 2001).

38

Irodalomjegyzék[93]

T. N. Shorey. Diophantine approximations, Diophantine equations, transcendence and applications. Indian J. Pure Appl. Math., 37(1):9–39, 2006.

[94]

T. N. Shorey. Powers in arithmetic progressions. III. In The Riemann zetafunction and related themes: papers in honour of Professor K. Ramachandra, volume 2 of Ramanujan Math. Soc. Lect. Notes Ser., pages 131–140.
Ramanujan Math. Soc., Mysore, 2006.

[95]

T. N. Shorey and R. Tijdeman. Perfect powers in products of terms in anarithmetical progression. Compositio Math., 75(3):307–344, 1990.

[96]

T. N. Shorey and R. Tijdeman. Perfect powers in products of terms in anarithmetical progression. II. Compositio Math., 82(2):119–136, 1992.

[97]

T. N. Shorey and R. Tijdeman. Perfect powers in products of terms in anarithmetical progression. III. Acta Arith., 61(4):391–398, 1992.

[98]

T. N. Shorey and R. Tijdeman. Some methods of Erdős applied to finite
arithmetic progressions. In The mathematics of Paul Erdős, I, volume 13of Algorithms Combin., pages 251–267. Springer, Berlin, 1997.

[99]

S. Siksek and M. Stoll. On a problem of Hajdu and Tengely. ArXiv e-prints,
December 2009.

[100] David Singmaster. Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers.
Fibonacci Quart., 13(4):295–298, 1975.
[101] V. G. Sprindžuk. The arithmetic structure of integer polynomials and classnumbers. Trudy Mat. Inst. Steklov., 143:152–174, 210, 1977. Analytic
number theory, mathematical analysis and their applications (dedicated toI. M. Vinogradov on his 85th birthday).
[102] Michael Stoll. Implementing 2-descent for Jacobians of hyperelliptic curves. Acta Arith., 98(3):245–277, 2001.
[103] Roelof J. Stroeker and Benjamin M. M. de Weger. Elliptic binomial Diophantine equations. Math. Comp., 68(227):1257–1281, 1999.
[104] Sz. Tengely. On the Diophantine equation x 2 + q2m = 2yp . Acta Arith.,
127(1):71–86, 2007.
[105] Sz. Tengely. Triangles with two integral sides. Annales Mathematicae etInformaticae, 34:89–95, 2007.

Irodalomjegyzék

39[106] Sz. Tengely. Note on the paper: „An extension of a theorem of Euler”[Acta Arith. 129 (2007), no. 1, 71–102; mr2326488] by N. Hirata-Kohno,
S. Laishram, T. N. Shorey and R. Tijdeman. Acta Arith., 134(4):329–335,
2008.
[107] Sz. Tengely. Note on the paper: „An extension of a theorem of Euler”[Acta Arith. 129 (2007), no. 1, 71–102; mr2326488] by N. Hirata-Kohno,
S. Laishram, T. N. Shorey and R. Tijdeman. Acta Arith., 134(4):329–335,
2008.
[108] A. Thue. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. J. Reine Angew
Math., 135:284–305, 1909.
[109] R. Tijdeman. Diophantine equations and Diophantine approximations. In
Number theory and applications (Banff, AB, 1988), volume 265 of NATO
Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., pages 215–243. Kluwer Acad. Publ.,
Dordrecht, 1989.
[110] R. Tijdeman. Exponential Diophantine equations 1986–1996. In Number
theory (Eger, 1996), pages 523–539. de Gruyter, Berlin, 1998.
[111] J. B. Tunnell. A classical Diophantine problem and modular forms of weight
3/2. Invent. Math., 72(2):323–334, 1983.
[112] Paul M. Voutier. An upper bound for the size of integral solutions to
Y m = f(X ). J. Number Theory, 53(2):247–271, 1995.

6

Tengely Szabolcs publikációi és
idézettsége

41

Tengely Szabolcs publikációi és azok
független (52 db) és függ® (15 db)
hivatkozásai[1] F. S. Abu Muriefah, F. Luca, S. Siksek, and Sz. Tengely.
phantine equation x

2

On the Dio-

+ C = 2y n . Int. J. Number Theory, 5(6):11171128,

2009.
hivatkozik rá:[1.1] I. N. Cangul, M. Demirci, F. Luca, Á. Pintér, and G. Soydan. On the Diophantine equation x2 + 2a · 11b = y n . Fibonacci Quart., 48(1):3946, 2010.

[1.2] G. Soydan, M. Demirci, and I. N. Cangul. The Diophantine equation x2 +11m = y n . Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang), 19(2):183188, 2009.

[2] L. Hajdu and Sz. Tengely. Arithmetic progressions of squares, cubes and nth powers.

Funct. Approx. Comment. Math., 41(part 2):129138, 2009.

hivatkozik rá:[2.1] L. Hajdu. Powerful arithmetic progressions. Indag. Math. (N.S.), 19(4):547
561, 2008.
[2.2] S. Siksek and M. Stoll. On a problem of hajdu and tengely. In Guillaume (ed.)
et al. Hanrot, editor, Algorithmic number theory. 9th international symposium,
volume 6197 of Lecture Notes in Computer Science, pages 316330. Berlin:
Springer, 2010.

[2.3] T. Kovács, K. Liptai, and P. Olajos. On (a, b)-balancing numbers. Publ. Math.
Debrecen, 77:485498, 2010.
[2.4] P. Olajos. Properties of balancing, cobalancing and generalized balancing numbers. Ann. Math. Inform., 37:&&, 2010.
[3] L. Hajdu, Sz. Tengely, and R. Tijdeman. Cubes in products of terms inarithmetic progression.

Publ. Math. Debrecen, 74(1-2):215232, 2009.

hivatkozik rá:[3.1] L. Hajdu. Powerful arithmetic progressions. Indag. Math. (N.S.), 19(4):547
561, 2008.
[3.2] K. Gy®ry, L. Hajdu, and Á. Pintér. Perfect powers from products of consecutive
terms in arithmetic progression. Compos. Math., 145(4):845864, 2009.

[3.3] T. Kovács, K. Liptai, and P. Olajos. On (a, b)-balancing numbers. Publ. Math.
Debrecen, 77:485498, 2010.
[3.4] P. Olajos. Properties of balancing, cobalancing and generalized balancing numbers. Ann. Math. Inform., 37:&&, 2010.
[4] F. Luca, Sz. Tengely, and A. Togbe. On the Diophantine Equation x

4y . Ann. Sci. Math. Québec, 33(2):171184, 2009.

2

+c =

n

[5] Sz. Tengely. Finding g -gonal numbers in recurrence sequences.

Quart., 46/47(3):235240, 2008/09.
hivatkozik rá:

22

Fibonacci[5.1] T. Kovács. Combinatorial numbers in binary recurrences. Period. Math. Hungar., 58(1):8398, 2009.
[6] Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek, M. Stoll, and Sz. Tengely.
gral points on hyperelliptic curves.

Inte-

Algebra Number Theory, 2(8):859885,

2008.
hivatkozik rá:[6.1] M. Stoll. How to obtain global information from computations over nite elds.
In Higher-dimensional geometry over nite elds, volume 16 of NATO Sci.
Peace Secur. Ser. D Inf. Commun. Secur., pages 189196. IOS, Amsterdam,
2008.
[6.2] M. Stoll, P. G. Walsh, and P. Yuan. On the Diophantine equation X 2 − (22m +1)Y 4 = −22m . Acta Arith., 139(1):5763, 2009.

[6.3] F. Luca, D. Marques, and P. Stanic
a. On the spacings between C -nomialcoecients. J. Number Theory, 130(1):82100, 2010.
[7] S. Laishram, T. N. Shorey, and Sz. Tengely. Squares in products in arithmetic progression with at most one term omitted and common dierence a

Acta Arith., 135(2):143158, 2008.

prime power.
hivatkozik rá:[7.1] L. Hajdu. Powerful arithmetic progressions. Indag. Math. (N.S.), 19(4):547
561, 2008.
[7.2] Aaron Levin. Variations on a theme of Runge: eective determination of
integral points on certain varieties. J. Théor. Nombres Bordeaux, 20(2):385
417, 2008.
[7.3] T. Kovács, K. Liptai, and P. Olajos. On (a, b)-balancing numbers. Publ. Math.
Debrecen, 77:485498, 2010.
[7.4] P. Olajos. Properties of balancing, cobalancing and generalized balancing numbers. Ann. Math. Inform., 37:&&, 2010.
[8] Sz. Tengely.
[Acta Arith.

Note on the paper: An extension of a theorem of Euler

129 (2007), no. 1, 71102; mr2326488] by N. Hirata-Kohno,

S. Laishram, T. N. Shorey and R. Tijdeman.

Acta Arith., 134(4):329335,

2008.
hivatkozik rá:[8.1] L. Hajdu. Powerful arithmetic progressions. Indag. Math. (N.S.), 19(4):547
561, 2008.
[8.2] Aaron Levin. Variations on a theme of Runge: eective determination of
integral points on certain varieties. J. Théor. Nombres Bordeaux, 20(2):385
417, 2008.
[8.3] L. Hajdu, Sz. Tengely, and R. Tijdeman. Cubes in products of terms in arithmetic progression. Publ. Math. Debrecen, 74(1-2):215232, 2009.
[8.4] K. Gy®ry, L. Hajdu, and Á. Pintér. Perfect powers from products of consecutive
terms in arithmetic progression. Compos. Math., 145(4):845864, 2009.

[8.5] T. Kovács, K. Liptai, and P. Olajos. On (a, b)-balancing numbers. Publ. Math.
Debrecen, 77:485498, 2010.
[8.6] P. Olajos. Properties of balancing, cobalancing and generalized balancing numbers. Ann. Math. Inform., 37:&&, 2010.
[9] Sz. Tengely. On the Diophantine equation x
127(1):7186, 2007.
hivatkozik rá:232+ q 2m = 2y p . Acta Arith.,[9.1] E. Goins, F. Luca, and A. Togbé. On the Diophantine equation x2 +2α 5β 13γ =y n . In Algorithmic number theory, volume 5011 of Lecture Notes in Comput.
Sci., pages 430442. Springer, Berlin, 2008.
[9.2] F. S. Abu Muriefah, F. Luca, S. Siksek, and Sz. Tengely. On the Diophantine
equation x2 + C = 2y n . Int. J. Number Theory, 5(6):11171128, 2009.
[10] Sz. Tengely. Triangles with two integral sides.

Ann. Math. Inform., 34:89

95, 2007.
hivatkozik rá:[10.1] A. J. MacLeod. A note on integral clock triangles.
36:111115, 2009.

Ann. Math. Inform.,[11] N. Bruin, K. Gy®ry, L. Hajdu, and Sz. Tengely. Arithmetic progressions
consisting of unlike powers.

Indag. Math. (N.S.), 17(4):539555, 2006.

hivatkozik rá:[11.1] L. Hajdu. Powerful arithmetic progressions. Indag. Math. (N.S.), 19(4):547
561, 2008.
[11.2] S. Siksek and M. Stoll. On a problem of hajdu and tengely. In Guillaume (ed.)
et al. Hanrot, editor, Algorithmic number theory. 9th international symposium,
volume 6197 of Lecture Notes in Computer Science, pages 316330. Berlin:
Springer, 2010.
[11.3] T. Kovács, K. Liptai, and P. Olajos. On (a, b)-balancing numbers. Publ. Math.
Debrecen, 77:485498, 2010.
[11.4] P. Olajos. Properties of balancing, cobalancing and generalized balancing numbers. Ann. Math. Inform., 37:&&, 2010.
[12] Sz. Tengely.

Eective Methods for Diophantine Equations. PhD thesis,

Leiden University, 2005.
hivatkozik rá:[12.1] Cs. Rakaczki. Binomiális együtthatókkal és hatványösszegekkel kapcsolatos diofantikus eredmények. PhD thesis, University of Debrecen, 2005.
[12.2] L. Hajdu and Zs. Turi-Nagy. Power values of sums of binary forms.
Math. Debrecen, 69(3):321331, 2006.

Publ.

[12.3] A. Sankaranarayanan and N. Saradha. Estimates for the solutions of certain
Diophantine equations by Runge's method. Int. J. Number Theory, 4(3):475
493, 2008.
[12.4] N. Bruin, K. Gy®ry, L. Hajdu, and Sz. Tengely. Arithmetic progressions consisting of unlike powers. Indag. Math. (N.S.), 17(4):539555, 2006.
[13] F. Beukers and Sz. Tengely.

An implementation of Runge's method for

Diophantine equations, 2005.
hivatkozik rá:[13.1] A. Levin. Ideal class groups, Hilbert's irreducibility theorem, and integral
points of bounded degree on curves. J. Théor. Nombres Bordeaux, 19(2):485
499, 2007.
[13.2] S. Akhtari, A. Togbé, and P. G. Walsh. On the equation aX 4 − bY 2 = 2. Acta
Arith., 131(2):145169, 2008.
[13.3] S. Akhtari. Thue equations and related topics. PhD thesis, University of British
Columbia, 2008.

24

[14] Pierluigi Frisco, Christiaan Henkel, and Szabolcs Tengely. An Algorithm

DNA Computing, Eleventh International Meeting on DNA Based Computers, LNCS 3892, pages 6780,
for SAT Without an Extraction Phase. In
2005.
hivatkozik rá:[14.1] M. Oltean. Solving the Hamiltonian path problem with a light-based computer.
Natural Computing, 7(1):5770, 2008.

[14.2] M. Oltean and O. Muntean. Exact cover with light. New Generation Computing, 26:327344, 2007.

[15] Sz. Tengely.

On the Diophantine equation x

2(N.S.), 15(2):291304, 2004.

+ a2 = 2y p . Indag. Math.

hivatkozik rá:[15.1] I. Pink. On the Diophantine equation x2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2y n . Publ. Math.
Debrecen, 65(1-2):205213, 2004.
[15.2] R. A. Mollin. On an elementary approach to the Lebesgue-Nagell equation.
Int. J. Number Theory, 1(4):553561, 2005.
[15.3] I. Pink. Eektív eredmények a szuperelliptikus egyenletek elméletében. PhD
thesis, University of Debrecen, 2006.
[15.4] F. Luca and A. Togbé. On the Diophantine equation x2 + 2a · 5b = y n . Int.
J. Number Theory, 4(6):973979, 2008.

[15.5] A. Bérczes and I. Pink. On the Diophantine equation x2 + p2k = y n . Arch.
Math. (Basel), 91(6):505517, 2008.
[15.6] E. Goins, F. Luca, and A. Togbé. On the Diophantine equation x2 +2α 5β 13γ = y n . In Algorithmic number theory, volume 5011 of Lecture Notes
in Comput. Sci., pages 430442. Springer, Berlin, 2008.
[15.7] F. S. Abu Muriefah, F. Luca, and A. Togbé. On the Diophantine equation
x2 + 5a 13b = y n . Glasg. Math. J., 50(1):175181, 2008.
[15.8] N. Bruin, K. Gy®ry, L. Hajdu, and Sz. Tengely. Arithmetic progressions
consisting of unlike powers. Indag. Math. (N.S.), 17(4):539555, 2006.
[15.9] Sz. Tengely. On the Diophantine equation x2 + q 2m = 2y p .
127(1):7186, 2007.

Acta Arith.,[15.10] I. N. Cangul, M. Demirci, F. Luca, Á. Pintér, and G. Soydan. On the Diophantine equation x2 + 2a · 11b = y n . Fibonacci Quart., 48(1):3946, 2010.

[15.11] G. Soydan, M. Demirci, and I. N. Cangul. The Diophantine equation x2 +11m = y n . Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang), 19(2):183188, 2009.
[16] Sz. Tengely. Runge-type Diophantine Equations.

University, The Netherlands, pages 38, 2004.

[17] Sz. Tengely.

On the Diophantine equation

Annual Report, Leiden

F (x) = G(y).

Acta Arith.,

110(2):185200, 2003.
hivatkozik rá:[17.1] Cs. Rakaczki. On the Diophantine equation x(x − 1) · · · (x − (m − 1)) =λy(y − 1) · · · (y − (n − 1)) + l. Acta Arith., 110(4):339360, 2003.




x
y
[17.2] Cs. Rakaczki. On the Diophantine equation F ( n)=b m. Period. Math.
Hungar., 49(2):119132, 2004.

Binomiális együtthatókkal és hatványösszegekkel kapcsolatos
diofantikus eredmények. PhD thesis, University of Debrecen, 2005.

[17.3] Cs. Rakaczki.

[17.4] Robert S. Coulter, Marie Henderson, and Felix Lazebnik. On certain combinatorial Diophantine equations and their connection to Pythagorean numbers.
Acta Arith., 122(4):395406, 2006.
25

[17.5] L. Hajdu and Zs. Turi-Nagy. Power values of sums of binary forms. Publ.
Math. Debrecen, 69(3):321331, 2006.

[17.6] H. Cohen. Number theory. Vol. I. Tools and Diophantine equations, volume
239 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2007.
[17.7] H. Cohen. Number theory. Vol. II. Analytic and modern tools, volume 240
of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2007.
[17.8] T. Kovács. Combinatorial Diophantine equationsthe genus 1 case.
Math. Debrecen, 72(1-2):243255, 2008.

Publ.

[17.9] A. Sankaranarayanan and N. Saradha. Estimates for the solutions of certain
Diophantine equations by Runge's method. Int. J. Number Theory, 4(3):475
493, 2008.
[17.10] T. Kovács. Combinatorial numbers in binary recurrences.
Hungar., 58(1):8398, 2009.
[18] I. Pink and Sz. Tengely. Full powers in arithmetic progressions.

Debrecen, 57(3-4):535545, 2000.

Period. Math.

Publ. Math.

hivatkozik rá:[18.1] I. Járási. Constuctive Methods for Diophantine Equations. PhD thesis, University of Debrecen, 2005.
[18.2] L. Hajdu. Powerful arithmetic progressions. Indag. Math. (N.S.), 19(4):547
561, 2008.
[18.3] I. Pink. On the Diophantine equation x2 + (pz11 · · · pzss )2 = 2y n . Publ. Math.
Debrecen, 65(1-2):205213, 2004.

[18.4] I. Pink. Eektív eredmények a szuperelliptikus egyenletek elméletében. PhD
thesis, University of Debrecen, 2006.
[18.5] N. Bruin, K. Gy®ry, L. Hajdu, and Sz. Tengely. Arithmetic progressions consisting of unlike powers. Indag. Math. (N.S.), 17(4):539555, 2006.
[18.6] Sz. Tengely. On the Diophantine equation x2 + a2 = 2y p . Indag. Math. (N.S.),15(2):291304, 2004.

[19] P. Kósa and Sz. Tengely.

A MATLAB: matematikai programcsomag. De-

breceni Egyetem, 1997. Ismeretterjeszt® publikáció.

26

7

Konferenciaelőadások[1] Diophantine problems related to recurrence sequences, Number Theory andits Applications, Debrecen, 2010.
[2] On the Diophantine equation x 2 + C = 2yn , Rational Points - Theory &Experiment, Zürich, Svájc, 2010.
[3] On the Diophantine Equation x 2 + C = 2r yp , 19th Czech and Slovak International Conference on Number Theory, Hradec nad Moravicí, Csehország,
2009.
[4] Egész pontokról racionálisan, Institute Colloquium, Debrecen, 2009.
[5] Integral Points on Families of Elliptic Curves, Winter School on Explicit
Methods in Number Theory, Debrecen, 2009.
[6] TÖRTénet EGÉSZ pontokról, Number Theory Seminar, Debrecen, 2008.
[7] Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás, Number Theory Seminar,
Debrecen, 2007.
[8] Diophantine Equations Related to Arithmetic Progressions, Solvability ofDiophantine Equations, Workshop, Leiden, Hollandia, 2007.
[9] Az x 2 + q2m = 2yp diofantikus egyenletről, Number Theory Seminar, Debrecen, 2006.
[10] Hamilton-körök és DNS molekulák, KöMaL Ifjúsági Ankét 2005, Budapest,
2005.
[11] Aritmetika - Geometria : 1-1, Number Theory Seminar, Debrecen, 2005.
[12] A leideni hozomány, Number Theory Seminar, Debrecen, 2005.
47

48

Konferenciaelőadások[13] On effective methods for Diophantine equations, Number Theory Lectures,
Leiden, Hollandia, 2005.
[14] A cyclotomic proof of Catalan’s conjecture (after Mihailescu), Workshop on
Computational Number Theory, Debrecen, 2003.
[15] Az x 2 + a2 = 2yp diofantikus egyenletről, Number Theory Seminar, Debrecen, 2003.
[16] On Cassels’ relations, Number Theory Day, Debrecen, 2003.
[17] On Cassels’ relations, Intercity Number Theory Seminar, Nijmegen, Hollandia, 2002.
[18] The Runge-type diophantine argument in Mihailescu’s proof, Intercity Number Theory Seminar, Amsterdam, Hollandia, 2002.
[19] On the equation F (x) = G(y), Explicit Algebraic Number Theory: NWOOTKA workshop, Leiden, Hollandia, 2002.
[20] Full powers in arithmetic progressions, Colloquium on Number Theory, Debrecen, 2000.
[21] Full powers in arithmetic progressions, 14th Czech and Slovak International
Conference on Number Theory, Liptovsky Jan, Szlovákia, 1999.

8

Oktatói tevékenység adatai
Az 1997-2010 időszakban oktatott tárgyak:Előadások

• Alkalmazott algebra (több félévben)• Magma• Elliptikus görbék (több félévben)• Az algebra és a számelmélet újabb eredményeiről (levelezős hallgatóknak)• Számelmélet (levelezős hallgatóknak)• Gráfelmélet I.
• Gráfelmélet II.
• Discrete mathematics (több félévben, angol nyelven)

Gyakorlatok• Algebra (több félévben)• Diszkrét matematika 1-2 (több félévben)• Lineáris algebra (több félévben)• Linear Algebra 2 (a Leideni Egyetemen, angol nyelven)4950

Oktatói tevékenység adatai• Calculus 2 (a Leideni Egyetemen, angol nyelven)• Caleidoscoop (a Leideni Egyetemen, angol nyelven)• Elemi matematika 1-2 (több félévben)• Kombinatorika és gráfelmélet (több félévben)• Biomatematika (több félévben)• Algebrai algoritmusok (több félévben)• Számelméleti algoritmusok (több félévben)• Az informatika alapjai (több félévben)

Diplomamunkák/szakdolgozatok témavezetése• Varga Valéria: Sudoku, 2007.
• Szabó Mariann: Pi formulák, 2008.
• Zdrobe Marius: Matematika GeoGebrával, 2009.
• Szabó Mariann: Lánctörtek és alkalmazásaik, folyamatban.
• Vasenszki Zoltán: Index kalkulus, folyamatban.
• Bucsay Balázs: Titokmegosztás, folyamatban.

9Jelentősebb hazai és nemzetközi
együttműködések
Tengely Szabolcs hazai együttműködései• A debreceni számelméleti iskola tagjaként szoros munkakapcsolatban áll acsoport vezetőjével, Dr. Győry Kálmánnal valamint a csoport többi tagjával.
• Hazai társszerzői: Győry Kálmán, Hajdu Lajos, Pink István
Az együttműködések eredményeiből 4 publikáció született.

Tengely Szabolcs külföldi együttműködései• Robert Tijdeman témavezetésével írta PhD disszertációját a Leideni Egyetemen 2001-2005 között.
• A Magyary Zoltán Posztdoktori Ösztöndíj ideje alatt közös kutatásokat
kezdett Samir Siksekkel.
• Több közös témán dolgozott Florian Lucával.
• Külföldi társszerzői: F. S. Abu Muriefah, F. Beukers, N. Bruin, Y. Bugeaud,
P. Frisco, C. Henkel, S. Laishram, F. Luca, M. Mignotte, T. N. Shorey,
S. Siksek, M. Stoll, R. Tijdeman, A. Togbé
Az együttműködések eredményeiből 8 publikáció született.

51

10

Tudományos közéleti tevékenység
Testületi tagságok, megbízatások• A Magyary Zoltán Ösztöndíjasok Társaságának tagja (2006 óta)• A Bolyai János Matematikai Társulat tagja (2006 óta)• Az MTA köztestületének tagja (2007 óta)Tudományszervezés• Az absztrakt kötet szerkesztője a XXI International Seminar on Stability
Problems for Stochastic Models konferencián (2000)• A Mathematical Reviews referálója (2003 óta)• Citation Analysis 2004 titkára (2004)• A Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny szervezőtitkára (2005/6)• A Diofantikus és Kriptográfiai Napok 2009 szervezője (2009)• A Matematikai Intézet és az Informatikai Kar közös szemináriumának szervezője (2010 óta)

53

11

Tudományos pályázatokban való
részvétel
Jelentősebb kutatási pályázatok adatai• Explicit módszerek a diofantikus számelméletben, OTKA T48791 pályázat,témavezető: Dr. Pintér Ákos, 2005-2008.
• Number Theory NWO-OTKA nemzetközi pályázat, témavezetők: Dr. Robert Tijdeman és Dr. Győry Kálmán, 2001-2003.
• Magyary Zoltán Posztdoktori Ösztöndíj, egyéni pályázat, 2006-2007.
• OTKA Posztdoktori kutatási pályázat, OTKA PD75264, egyéni pályázat,2009-2012.
• Bolyai János Kutatási Ösztöndíj, MTA, egyéni pályázat, 2009-2012.

55

12

Tudományos önéletrajz

574031 Debrecen
Diófa utca 38/B I/4

Tengely Szabolcs

H 30-573-0101
T 52-512-900/22800
B tengely@math.klte.hu
születési hely, idő: Ózd, 1976. január 13.

Tanulmányok, munkahelyek
1982–1990Általános iskola, Csépányi Úti általános Művelődesi Központ, Ózd.

1990–1994

Középiskola, József Attila Gimnázium, Ózd.

1994–1999

Egyetem, Kossuth Lajos Tudományegyetem, Debrecen.

1999–2001

Debreceni Egyetem/MTA-DE Számelméleti Kutatócsoport, tudományos segédmunkatárs, számítástechnikai munkatárs.

2001–2005

Ph.D., Leideni Egyetem, Leiden, Hollandia.
Debreceni Egyetem, egyetemi tanársegéd.
Debreceni Egyetem, Magyary Zoltán Posztdoktori Ösztöndíjas.
MTA-DE Számelméleti Kutatócsoport, tudományos segédmunkatárs.
Debreceni Egyetem, egyetemi adjunktus.
Debreceni Egyetem, OTKA Posztdoktor.

2004–2008
2006–2007
2008–20092008–20092009–Ösztöndíjak, tudományos díjak
1998
1998–1999
1999
1999
1999
2001–2005
2006

Kereskedelmi Bank RT Universitas Alapítvány díja.
Köztársasági Ösztöndíj.
Rényi Kató-emlékdíj.
OTDK Különdíj.
TTK Emlékérem.
PhD Ösztöndíj, Leideni Egyetem, Hollandia.
Patai Alapítvány díja.

2006–2007

Magyary Zoltán Posztdoktori Ösztöndíj.

2009–2012

OTKA Posztdoktor.

2009–2012

Bolyai János Kutatási Ösztöndíj.

2009

Akadémiai Ifjúsági Díj.

Testületi tagságok, tudományszervezés
2003–
2005

A Mathematical Reviews referálója.
A Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny szervezőtitkára.

58

2006–A Magyary Zoltán Ösztöndíjasok Társaságának tagja.

2006–

A Bolyai János Matematikai Társulat tagja.
Az MTA köztestületének tagja.
A Diofantikus és Kriptográfiai Napok 2009 szervezője.

2007–
2009
2010–

A Matematikai Intézet és az Informatikai Kar közös szemináriumának szervezője.

Nyelvtudásmagyaranyanyelv

angolállami középfok

orosz

alapfokNégy évig dolgoztam a Leideni Egyetemen Hollandiában, ahol angol
nyelven tartottam órákat, angolul írtam a disszertációmat.

Diplomamunkacím

A D1 (a0 x2 + a1 x + a2 )2 − D2 (b0 y 2 + b1 y + b2 ) = k diofantikus egyenlet effektív és
numerikus vizsgálata

témavezetők

Prof.Dr. Győry Kálmán és Dr. Hajdu Lajos

rövidösszefoglaló

Diplomamunkámban általános eljárást adtam a
D1 (a0 x2 + a1 x + a2 )2 − D2 (b0 y 2 + b1 y + b2 ) = k
diofantikus egyenletcsalád megoldásainak meghatározására. Az algoritmust a KANT matematikai programcsomagban implementáltam. Ezen felül meghatároztam az összes k, x2 , y 4
és k, x4 , y 2 típusú számtani sorozatot, ahol x, y 0-tól különböző egész számok, k pedig adottegész szám a |k| ≤ 10 tulajdonsággal.

cím
témavezető
rövidösszefoglaló

Ph.D. disszertáció

Effective Methods for Diophantine Equations
Prof.Dr. Robert Tijdeman
A disszertáció négy fejezetből áll. A bevezető részben a disszertációhoz kötődő irodalomról,a szakterület problémairól írok. Az első fejezetben Runge-tipusú egyenletekkel tárgyalok.
Sikerült Grytczuk és Schinzel, továbbá Walsh elméleti eredményeit élesíteni, az
F (x) = G(y)alakú egyenletek megoldásaira felső korlátot adtam, ahol F és G néhány általános feltételt
kielégítő polinomok. Az elméleti eredményen kívül algoritmust adtam, amelyet a MAGMA
matematikai programcsomagban implemetáltam. A második fejezetben az
x2 + q 2m = 2y p
diofantikus egyenlettel foglalkoztam, ahol a paraméterek ismeretlen egészek. Bebizonyítottam, hogy néhány természetes kivételektől eltekintve a megoldásszám véges. A harmadik
fejezetben Euler egy klasszikus eredményét általánosítottam. Euler megmutatta, hogy négy
négyzetszám nem alkothat számtani sorozatot a triviális esetektől eltekintve. A disszertációban a négyzetszámokból és köbszámokból álló számtani sorozatokat határoztam meg.
59

Munkatapasztalat
1997

Nyári gyakorlat, Kossuth Lajos Tudományegyetem, Debrecen.

A MATLAB programcsomag segítségével interaktív programot készítettünk Kósa Péterrel
közösen a valószínűségszámítás fontos alaptételeinek szemléltetéséhez.

1997–1999

Demonstrátor, Kossuth Lajos Tudományegyetem, Debrecen.

1999–2001

Tudományos segédmunkatárs, számítástechnikai
Egyetem/MTA-DE Számelméleti Kutatócsoport.

2001–2005

2004–2008

2005

Gyakorlatokat tartottam algebrából, diszkrét matematikából, lineáris algebrából és számelméletből.

munkatárs,

Debreceni

Hajdu Lajos és Robert Tijdeman diszkrét tomográfiai algoritmusát programoztam le a MATLAB matematikai programcsomagban, amit a cikkükben fel is használtak. Az absztrakt kötet
szerkesztője voltam a XXI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models
konferencián.

Ph.D. ösztöndíjas, Leideni Egyetem, Leiden, Hollandia.

Diofantikus egyenletek effektív elméletének kutatásával foglalkoztam. Olyan F (x) = G(y)típusú egyenletekkel, amelyek eleget tesznek az úgynevezett Runge feltételeknek. Exponenciális diofantikus egyenletekkel, például az x2 + q 2m = 2y p egyenlettel. Racionális pontok
meghatározásával foglalkoztam, a Chabauty- és a Demjanenko-módszerrel. Gyakorlatokat
tartottam analízisből és lineáris algebrából.

Egyetemi tanársegéd, Debreceni Egyetem, Debrecen.

Kutatásokat folytattam elliptikus és hiperelliptikus görbék racionális pontjainak meghatározásával kapcsolatban Chabauty módszerrel és változataival. Előadásokat tartottam alkalmazott
algebrából, elliptikus görbékről és a MAGMA matematikai programcsomagról. Gyakorlatokat
vezettem diszkrét matematikából, elemi matematikából és kombinatorikából.

Titkár, Bolyai János Matematikai Társulat.

Az egyik titkára voltam a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékversenynek.

2006–2007

Magyary Zoltán Posztdoktori Ösztöndíjas, Debreceni Egyetem, Debrecen.

2008–2009

Tudományos segédmunkatárs, MTA-DE Számelméleti Kutatócsoport.

2008–2009

Kutatási témám címe: Racionális és egész pontok algebrai görbéken. Az ösztöndíj ideje alatttöbb diofantikus problémát vizsgáltam. I. Exponenciális diofantikus egyenletek vizsgálata.
Például x2 + q1m1 q2m2 · · · qrmr = by p alakú egyenletek teljes megoldása a paraméterek bizonyosértékeire. II. Az n(n + d)(n + 2d) · · · (n + (k − 1)d) = bxl egyenlet vizsgálata. Klasszikus
problémakör, l = 2, 3 esetében teljes megoldás meghatározása nem túl nagy k értékekre.
III. Az F (x, y) = 0 Runge-típusú egyenletekre effektív algoritmus implementálása Puiseuxsorozatok felhasználása nélkül. Záró szakmai és pénzügyi beszámolómat a Magyary ZoltánFelsőoktatási Alapítvány Kuratóriuma, a szakértői vélemény alapján, egyhangúlag kiválóan
megfelelt minősítéssel fogadta el.
Kutatásokat folytattam exponenciális diofantikus egyenletekkel kapcsolatban, bizonyos egyenlet családok esetében teljes megoldáshoz vezető módszereket dolgoztam ki algebrai számelméleti eszközök, multi-Frey görbés technikák és elliptikus görbék segítségével.

Egyetemi adjunktus, Debreceni Egyetem, Debrecen.

Kutatásokat folytattam magasabb génuszú görbék racionális és egész pontjainak meghatározásával kapcsolatban Chabauty módszerrel, Mordell-Weil szita alkalmazásával. Előadásokat
tartottam alkalmazott algebrából, elliptikus görbékről és a MAGMA matematikai programcsomagról. Gyakorlatokat vezettem algebrai algoritmusokból, biomatematikából, számelméleti
algoritmusokból.

60