数理解析研究所講究録 1239 巻 2001 年 99-106

99

楕円曲線上のフックス型方程式の変形とパンルヴェVI 型方程式
東京工業大学大学院理工学研究科 河井真吾 (Shingo Kawai)(Department of Mathematics, Tokyo Institute of Technology)

1

はじめに

この小文では, 楕円曲線上定義された 2 階のフツクス型方程式のモノドロミー保存変形を記述する方程式系について紹介したあと, そのうち最も簡単なもの, 具

体的には楕円曲線の複素構造を記述する変数だけを独立変数とする常微分方程式型方程式のマニンによる表示 (の特別な場合) にほかならないことを示す. これは, 得られた方程式が新しいものではなかったという意味で残念な結果なのであるが, そのことの幾何学的な理由についての説明も試みる.
が, パンルヴエ

2

楕円曲線上のフックス型方程式の変形を種数 1 の閉リーマン面,$M$

点$\mathrm{V}\mathrm{I}$$\tau\in \mathbb{H}$をとりを上半平面としよう. 適当なと表せぼ, $M$ 上の方程式は 上の方程式であって$\mathbb{H}=\{\tau\in \mathbb{C};{\rm Im}\tau>0\}$$M=\mathbb{C}/\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$$\mathbb{C}$

係数が二重周期函数すなわち楕円函数であるものとして表現される. $M$ 上のフツ
クス型方程式で(1)$\frac{d^{2}w}{dz^{2}}=q(z)w$,$q(z)=L+ \dot{.}\sum_{=0}^{m}[H_{*}.\zeta(z-t:,\tau)+\frac{1}{4}(\theta_{*}^{2}.

-1)\wp(z-t:, \tau)]$$+ \sum_{\alpha=0}^{m}[-\mu_{\alpha}\zeta(z-\lambda_{\alpha},\tau)+\frac{3}{4}\wp(z-\lambda_{\alpha}, \tau)]$という形のものを考えよう. ただし, 楕円函数 $q(z)$ の留数の和に関する条件(2)がみたされており, また点$. \cdot\sum_{=0}^{m}H.\cdot-\sum_{\alpha=0}^{m}\mu_{\alpha}=0$$t_{:},$規化されているものとする.

$\lambda_{\alpha}\in \mathbb{C}$は平行移動によって $t_{0}=0$ となるように正100
方程式 ( は, $2m+2$ 個の点 [$M$ 上の点を表す)をそれぞれ特性指数畝
モノドロミー表現は$1\pm\theta\ovalbox{\tt\small REJECT}$,虹$1\pm 2$

(国はの代表する) の確定特異点とし, その$\ovalbox{\tt\small REJECT}[\lambda_{\mathrm{o}}](i, \alpha\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{Q}, \ldots, m)$$\mathfrak{h}$$z\mathrm{C}\mathbb{C}$$\rho:\pi_{1}(M\backslash \{[t_{0}], \ldots, [t_{m}], [\lambda_{0}], \ldots, [\lambda_{m}]\})arrow SL(2, \mathbb{C})$という形の準同型の共役類として与えられる. いまとくに, (i) 各 は非整数であり, (ii) 各は見かけの特異点 (すなわち非対数的な特異点) であると仮定する
ことにしよう. すると, 条件 (ii) から得られる $m+1$ 個の関係式と等式 (2) は$\theta_{:}$$[\lambda_{\alpha}]$$\{\begin{array}{llllllll}1 \zeta(\lambda_{0} -t_{0} \tau) \zeta(\lambda_{0}-t_{m} \tau)1 \zeta(\lambda_{1} -t_{0} \tau) \zeta(\lambda_{\mathrm{l}}-t_{m} \tau)\vdots \vdots \ddots \vdots 1 \zeta(\lambda_{m} -t_{0} \tau)\zeta(\lambda_{m} -t_{m} \tau)0 1 1 \end{array}\}\{\begin{array}{l}LH_{0}\vdots H_{m-1}H_{m}\end{array}\}=\{\begin{array}{l}\nu_{0}\nu_{1}\vdots\nu_{m}\sum_{a=0}^{m}\mu_{\text{。}}\end{array}\}$$\nu_{\alpha}=\mu_{\alpha}^{2}+\sum_{\beta=0,\neq\alpha}^{m}[\mu\rho\zeta(\lambda_{\alpha}-\lambda_{\beta},\tau)-\frac{3}{4}\wp(\lambda_{\alpha}-\lambda_{\beta}, \tau)]-.\sum_{1=0}^{m}\frac{1}{4}(\theta_{1}^{2}.

,-1)\wp(\lambda_{\alpha}-t:, \tau)$という形の 1 次方程式にまとめられるから (岡本 [7] を参照), その係数行列が正則であるという条件のもとで, 方程式 (1) のパラメーターのうち と $H_{1}.(i=0, \ldots, m)$
は (楕円函数を用いて具体的に表される) 他のものの函数$L$$L=L(\tau,t, \lambda,\mu)$$\{$.

$H_{1}$$=H_{\dot{\iota}}(\tau,t,\lambda$,\mu 、$(i=0, \ldots,m)$といとして表されることになり, したがってこの形の方程式は局所的にう $3m+3$ 個のパラメーターによってパラメトライズされることがわかる. ただし,
$t=(t_{1}, \ldots,t_{m}),$, \mu =(崗, ...,\mu m) である. また, 岩崎 [2] (こよれがぼ, 上記の正則性の条件は$(\tau, t, \lambda,\mu)$$\lambda=(\lambda_{0}, \ldots, \lambda_{m})$$(\tau, t, \lambda,\mu)$(3)$\sum_{\alpha=0}^{m}\lambda_{\alpha}-.\sum_{1=0}^{m}t:\not\equiv 0$

mod$\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$をみたすことと同等であることが知られている.
さて, 本稿における我々の興味の対象は, 方程式 (1) の変形すなわちパラメータの変分であって, (1) のモノドロミーの共役類を不変に保つようなもモノドロミー保存変 ’ 一である. [3] によれぼそのような変形はつぎのように記述$\text{の}-$$(\tau,t, \lambda,\mu)$$W\nearrow$される.

定理 1 方程式 (1) のモノドロミー保存変形は, 局所的に独立変数, 従属変数
$K=K(\tau,t, \lambda,\mu)$ の完全積分可, そしてハミルトニアン .
$(\tau, t)$$(\lambda,\mu)$$H_{1}$$=H_{1}.(\tau, t, \lambda, \mu),$101
能ハミルトン系$d \lambda_{a}=.\sum_{1=1}^{m}\partial \mathrm{i}_{dt+\frac{\partial K}{\partial\mu_{\alpha}}d_{\mathcal{T}}}:\mu_{\alpha}\partial H$

(4)

$\{$

$d \mu_{a}=-.\sum_{1=1}^{m}\partial \mathrm{i}_{dt-\frac{\partial K}{\partial\lambda_{a}}d_{\mathcal{T}}}:\partial H\lambda_{a}$$(\alpha=0, \ldots, m)$

によって記述される. ただし, ハミルトニアン $K=K(\tau,t, \lambda, \mu)$ は$K= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}[L+\eta_{1}(\tau)(\sum_{\alpha=0}^{m}\lambda_{a}\mu_{\alpha}-.\sum_{1=1}^{m}t:H_{1}.)]$

によって与えられ,である.

$\eta_{1}(\tau)$

は $\eta_{1}(\tau)=\zeta(z+1, \tau)-\zeta(z, \tau)$ によって定まる$\tau$の函数

この結果が得られたのは数年前のことなのだが, 最近になって, 得られた方程式系のさまざまな性質を調べることもやはり興味深く, 是非試してみるべきことだという認識をもつようになった. パンルヴエ方程式やガルニエ系に関する先行する研究にならえぼ, 具体的にはこれらの方程式系のパンルヴエ性, ベツクルント変換による対称性, 初期値空間の構造などを調べることが当面の課題としてあげられるであろう.
とくに, もっとも簡単な $m=0$ の場合には, 方程式系 (4) は上半平面内を動く変数 を独立変数とする常微分方程式になり, 技術的にはパンルヴエ方程式と同様の解析が可能である, と期待される. ここから, パンルヴエ方程式の楕円型版とでもよべるような新しい方程式が出てくれぼ面白いと思っていたのだが, 残念ながら結論としてはそうはならず, 得られた方程式はパンルヴエ型方程式のマニン [6] による表示 (の特別な場合) そのものになっていることがわかった. 次節ではこのことを簡単に説明しよう.
$\tau$$\mathrm{V}\mathrm{I}$3

特異点 2 個の場合

まず $m=0$ の場合, 方程式 (1) 1 よ(5)$\frac{d^{2}w}{dz^{2}}=q(z)w$,$q(z)=L+H \zeta(z, \tau)+\frac{1}{4}(\theta^{2}-1)\wp(z, \tau)-\mu\zeta(z-\lambda, \tau)+\frac{3}{4}\wp(z-\lambda, \tau)$という簡単な形になる. ただし $H-\mu=0$ であり, 添え字 0 は省略した. また条
件 (ii) から(6)$L= \mu^{2}-\zeta(\lambda, \tau)\mu-\frac{1}{4}(\theta^{2}-1)\wp(\lambda, \tau)$102を得ることに注意する. (条件 (3) は単に
modてこの場合, 方程式系 (4) を具体的に書き下すと$\lambda\not\equiv 0$(7)$\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$を意味する$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

したがっ$\{\begin{array}{l}\frac{d\lambda}{d\tau}=\frac{\partial K}{\partial\mu}=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}[2\mu-\varphi(\lambda,\tau)]\frac{d\mu}{d\tau}=-\frac{\partial K}{\partial\lambda}=\frac{1}{2\pi\sqrt{-\mathrm{l}}}[-\mu\varphi,(\lambda,\tau)+\frac{1}{4}(\theta^{2}-1)\varphi’’(\lambda,\tau)]\end{array}$であり, ’ はという形になることがわかる. ただし,に関する微分を表す.
そこで, (7) にある 2 つの方程式からを消去することを考えよう. それには,第 1 式を について解いたものを第 2 式に代人すれぼよい. 計算の過程で, 函数が方程式$\varphi(\lambda, \tau)=\zeta(\lambda, \tau)-\eta_{1}(\tau)\lambda$$\lambda$

$\mu$

$\mu$

$\varphi(\lambda, \tau)$$\frac{\partial\varphi}{\partial\tau}(\lambda,\tau)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}[\frac{1}{2}\varphi’’(\lambda,\tau)+\varphi(\lambda,\tau)\varphi’(\lambda,\tau)]$

をみたすことを用いる. これは$\varphi(\lambda,\tau)$がテータ函数$\theta_{1}(z, \tau)=\sum_{n\in \mathrm{Z}}\exp[\pi\sqrt{-1}\tau(n+\frac{1}{2})^{2}+2\pi\sqrt{-1}(n+\frac{1}{2})(z+\frac{1}{2})]$にょ$’ \supset C\vee\varphi(\lambda,\tau)=\frac{\theta_{1}’(\lambda,\tau)}{\theta_{1}(\lambda,\tau)}$と表されることから, 熱方程式$\theta_{1}’’(z, \tau)=4\pi\sqrt{-1}\frac{\partial\theta_{1}}{\partial\tau}(z, \tau)$を用いて直ちに示されるものである. 結果をまとめると, 次のようになる.
定理 2 方程式 (5) のモノドロミー保存変形は, 常微分方程式(8)$\frac{d^{2}\lambda}{d\tau^{2}}=-\frac{\theta^{2}}{8\pi^{2}}\wp’(\lambda, \tau)$によって記述される. ただし,$\wp’(\lambda,\tau)=\frac{\partial\wp}{\partial\lambda}(\lambda, \tau)$[6] によれば, 方程式 (8) はパンルヴエである.

型方程式の楕円型表示のパラメータが特別な場合に対応することが知られている. これと同様に, マニンの表示を楕円曲線上のモノドロミー保存変形の視点から解釈する試みはすでにいくつかなされており, レヴインーオルシャネットスキー [5], 高崎 [8] は, 楕円型カロジェローモーザー系を非自励系として解釈し直すことによって, また筆者 [4] は, 楕円曲線上の射影接続という観点から, それぞれ論じている.
定理 2 の主張について一つ不思議なのは, そもそもなぜ方程式 (5) のモノドロミー保存変形からパンルヴエ VI 型方程式が現れるのかということである. よく知マニン$\mathrm{V}\mathrm{I}$103
上のフックス型られているように, パンルヴエ型方程式自身はリーマン球面方程式の変形から得られるものであるから, 上の主張は方程式 (5) の変形が何らか$\mathrm{P}^{1}$$\mathrm{V}\mathrm{I}$上の方程式の変形に帰着されることを示唆していると考えられる. [4]では, 楕円曲線の対合写像で不変な 2 階の方程式 (射影接続) と, それを対合写上に落としたものとを対比させることによって, マニン像による商空間であるの表示に対する楕円曲線上のモノドロミー保存変形の方程式としての解釈とその幾何学的説明を与えた.
を見かけの特異点とするもところが今回の方程式 (5) は, [0] を確定特異点,のであり, たとえぼこれら 2 点を入れ替える対合写像では不変ではないから, [4]で用いた議論はこのままでは適用できないようにみえる. それにもかかわらず, やはりパンルヴエ型方程式が現れるのはなぜなのだろうか. 次節ではこの点について一つの説明を試みることにしたい.の形で,$\mathrm{P}^{1}$$\mathrm{P}^{1}$$[\lambda]$$\mathrm{V}\mathrm{I}$4

なぜパンルヴ IVI 型方程式なのか

方程式 (5) の変形からパンルヴエの目標である. いま楕円曲線
ス型方程式$\mathrm{V}\mathrm{I}$型方程式が現れることの幾何学的理解力体節
上に, (5) とは別にもう一つのフック$M=\mathbb{C}/\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$(9)$\frac{d^{2}w}{dz^{2}}=p(z)w$,$p(z)=N+H \zeta(z, \tau)+\frac{3}{4}\wp(z, \tau)-\mu\zeta(z-\lambda, \tau)+\frac{3}{4}\wp(z-\lambda, \tau)$$+ \sum_{j=0}^{3}\frac{1}{4}((\frac{\theta}{2})^{2}-1)\wp(z-(\frac{\lambda}{2}+\omega_{j}(\tau)), \tau)$を考えよう. ただし (5) と同様に $H-\mu=0$ であり, また$\omega_{0}(\tau)=0$,$\omega_{1}(\tau)=\frac{1}{2}$,$\omega_{2}(\tau)=\frac{1}{2}+\frac{\tau}{2}$,$\omega_{3}(\tau)=\frac{\tau}{2}$である.

におけるものと同じにな
方程式 (9) は, 方程式 (5) の [0] における特性指数をを入れ替える $M$ の対合写像 の 4 個の不るように変更し, そのかわりに [0] との確定特異点をもつ
動点 $[\lambda/2+\omega_{j}(\tau)](j=0, \ldots, 3)$ において, 特性指数ようにしたものである. 容易にわかるように, (9) の右辺の係数 $p(z)$ は対合写像
はともに見かけの特異点であると仮で不変になっている. さらにここで, [0],定しよう. そのための条件は, 上に注意したことからもわかるように, [0] に対してもに対しても同等の式となり, 明示的には$[\lambda]$$[\lambda]$$\iota$$\frac{1}{2}(1\pm\frac{\theta}{2})$$\iota$$[\lambda]$$[\lambda]$(10)$N= \mu^{2}-\zeta(\lambda, \tau)\mu-\frac{3}{4}\wp(\lambda, \tau)-\sum_{j=0}^{3}\frac{1}{4}((\frac{\theta}{2})^{2}-1)\wp(\frac{\lambda}{2}+\omega_{j}(\tau),\tau)$104と表される.
そこでいま, 方程式 (9) のモノドロミー保存変形を考えよう. これは本質的に[4] で考察した変形の特別な場合であり, (9) の右辺の係数 $p(z)$ の対合写像 による不変性から, による $M$ の商空間である上の方程式の変形を記述することになるはずのものである. 具体的には, 次のような結果が得られる ([4] を参照されたい).
$\iota$$\mathrm{P}^{1}$$\iota$定理 3$(\lambda, \mu)$方程式 (9) のモノドロミー保存変形は, 局所的に独立変数 , 従属変数, そしてハミルトニアン $J=J(\tau, \lambda, \mu)$ の完全積分可能ハミルトン系$\tau$$\frac{d\lambda}{d\tau}=\frac{\partial J}{\partial\mu}$

(11)

$\{$

$\frac{d\mu}{d\tau}=-\frac{\partial J}{\partial\lambda}$

によって 己述される.
$\frac{-}{-,\overline{\mathrm{p}}}$

ただし, ハミノレトニアン$\mathcal{J}=\mathcal{J}(\tau, \lambda, \mu)$

は$J= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}(N+\eta_{1}(\tau)\lambda\mu)$

によって与えられる.
さてここで, 上のハミルトン系を方程式 (5) のモノドロミー保存変形を記述する

ハミルトン系 (7) と比較してみよう. 独立変数 , 従属変数についてはもちろん同じであるが, さらにハミルトニアンについても,函数に関する等式$(\lambda,\mu)$$\tau$$\wp$$\wp(2\lambda, \tau)=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{\}\wp(\lambda+\omega_{j}(\tau), \tau)$に注意すると, (6), (10) から容易に $L=N$ したがって $K=J$ となることがわかる. すなわち, ハミルトン系 (7) と (11 戸よ実はまったく同一の方程式系なのである. このことから, 方程式系 (7) が方程式系 (11) と同様に上の方程式の変形,より具体的には方程式 (9) の特異点の性質と個数から, パンルヴエ VI 型方程式を記述することがわかり, 定理 2 ではそのことをマニンの表示を通じて確かめたのであった.
$\mathrm{P}^{1}$5

今後の課題

本稿では, 楕円曲線上の 2 階のフックス型方程式 (1) のモノドロミー保存変形を記述するハミルトン系 (4) について紹介したあと, そのもっとも簡単な $m=0$ の場合にあたる常微分方程式が実は新しいものではなく, パンルヴエ VI 型方程式のマニンによる表示 (の特別な場合) にほかならないことをみた. すると次に問題になるのは, 一般に $m>0$ の場合はどうなの力 ‘’ たとえぼそれらは単にガルニエ系

105の別表示になっているといったことはないの力 ‘’ ということであろう. これについては, いまのところハミルトン系 (4) は一般にはガルニエ系に帰着されることはないであろうと考えているが, きちんとした証明はまだもっていない. また先にも述べたように, より一般に方程式系 (4) のさまざまな性質, たとえぼパンルヴエ性, ベツクルント変換による対称性, 初期値空間の構造などを調べることも今後の課題としたい.
さらに, 本稿で考察した特異点の数からみても単純な線型方程式 (5) のモノドロミー保存変形という視点から, パンルヴエ型方程式 (8) に関する新たな知見が得られることがあれぼ, それはそれで興味深いと思われる. たとえぼ方程式 (8) の解については, 次のようなことが知られており, 方程式 (5) との関係においてこれらをながめてみることも今後の課題である.
$\mathrm{V}\mathrm{I}$$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\theta=0$のとき, ピカールの解とよばれる 2 次元の古典解をもつ.のとき, 1 次元の古典解をもち, またシャル (マニン [6] を参照) を解としてもつ.

$\theta=1$$\theta=2$$\mathrm{P}^{2}$の量子コホモロジーのポテンのとき, 解はすべて古典的であり, とくにヒッチン [1] による代数解をもつ.

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