数理解析研究所講究録
第 723 巻 1990 年 58-69

58

変化する原点を持っ 3 母数分布からの区間データに基づく様々の推定値の存在について

1

川崎医科大学中村忠 (Tadasi Nakamura)

岡山大学自然科学研究科

李採臣 (Chae-Shin Lee)

はじめに$\mathcal{R}=(-\infty, \infty),$$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}\}$持つ$\mathcal{R}$$\mathcal{R}_{+}=(0, \infty)$,とし,上の確率分布関数族とする. ただし,上の連続微分可能な確率分布関数 ;$\lim_{x\backslash 0}h(x)=-\infty,$ $\lim_{xarrow\infty}h(x)=\infty$

は観測点から成る集合で,のとする.

$X_{i1},$$\mathcal{F}=\{F(\alpha h(x-\lambda)-\beta);(\alpha, \beta, \lambda)\in$$\cdots,$ $X_{in:}$$h(x)$ はをみたす.

$F(x)$$\mathcal{R}_{+}$

は正値密度関数 $f(x)$ を上の狭義単調増加な関数で,$\{x_{ij}\}(1\leq i\leq N;0\leq j\leq n(i)+1)$$x_{i0}=-\infty<x_{i1}<\cdots<x_{in;}<x_{in;+1}=\infty$ をみたすもは未知の分布 $F(\alpha_{0}h(x-\lambda_{0})-\beta_{0})\in \mathcal{F}$ を持つ母集団からの大きさ $n$ ; の確率標本とする. 各 $X_{1j}(1\leq i\leq N;1\leq j\leq n_{i})$ については $\{X_{ij}\in C_{ij}\}$という情報しか観測出来ないものとする.
$n(i)+1\}$ である.

このとき,

ここに

$C_{1J}\in\{[x_{ik}, x_{ik’}$$C=\{C_{ij;}1\leq i\leq N;1\leq j\leq n_{i}\}$) $;0\leq k<k’\leq$

をプールされた区間データという. 特に $n(1)=\cdots=n(N)=1$ のときプールされた区間データを 2

値反応データという.

このような状況の下で, 我々は種々の推定法を導入し, 対応する推定値の存在について議論したい. 第 2 節では $N=1,$ $n(1)\geq 3,$ $h(x)=\log x$について考える.

この節では中村 (1990) で得られた結果を簡単に述べる. 第 3 節$-$

2 値反応データが観測された場合について種々の推定法を考え, 対応する推では,定値の存在のための判定法を与える. また,この判定法の効率を調べるために, 最

尤法, 最小 2 乗法を考え, 最尤推定値, 最小 2 乗推定値の存在のための判定法の効率をシミュレーションにより計算する.

2

区間データに基づく最尤推定値
この節では $N=1,$ $n(1)\geq 3,$ $h(x)=\log x$ の場合について最尤法を考える. 中村(1990) は最尤解の存在のための判定法を用いて導いた.

また, その結果はある意味で最良であることも証明した. 境界確率解析法については第 3 節で詳しく述べるので,この節では中村 (1990) の結果を簡単に述べることにとどめる.

$C_{11)}\cdots,$ $C_{1n}$ものを$x_{1},$$n=n_{I^{-}}$

とおく.

の有限な端点のうちで相異なるものを選び、それを大きさの順に並べた$\cdots,$ $x_{m}$とする. すなわち, $x_{0}=-\infty<:x_{1}<\cdots<x_{m}<x_{m+1}=-\infty$$n_{ij}(0\leq i<j\leq m+1)$ は$x_{i}$と$x_{j}$とを端点に持っ1$C_{1k},$$1\leq k\leq n$.

の個数を表すも59

便宜上、 関数 $t(x, \theta)(\theta=(\alpha, \beta, \lambda)\in \mathcal{R}+x_{b}\mathcal{R}x[-\infty, \infty))$ を定義する.

のとする.

$t(x, \theta)=\{\begin{array}{l}-\infty,-\infty\leq x\leq\lambda\alpha log(x-\lambda)-\beta,\lambda<x<\infty\infty x=\infty\end{array}$

区間データ$C=\{C_{11}, \cdots, C_{1n}\}$に対する対数尤度は次式で定義される.

$\ell(\theta)$$\ell(\theta)=\sum_{J^{=1}}^{m+1}\sum_{=0}^{j-1}n:j\log(F(t(x_{i}, \theta))-F(t(x_{i)}\theta)))+const$

[定義]

:

$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$に対する最尤推定値$\hat{\theta}\in \mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$

.

は対数尤度

$\ell(\theta)$

を上で最大にする点として定義される.

便宜上, 次の記号を導入する.

$n_{i}$.

;$1\leq j\leq m+1$$n_{j}= \sum_{i=0}^{-1}n_{ij}J$$= \sum_{=Ji+1}^{m+1}n_{ij}$,.

$0\leq i\leq m$

以上の準備の下で次の定理を得る.
定理 2

. 1.

$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$に対する最尤推定値$\partial$

は次の条件$(i)\sim(iii)$

たされれば存在する.

(i)

(ii)
(iii)

$\Sigma_{\dot{J}}^{k_{=1}}n_{j}+\Sigma_{1}^{m_{=k+2}}n;$.

$\neq 0,0\leq k\leq m-2$ .

$\Sigma_{j=1}^{k}n_{j}+\Sigma_{k+2\leq i<j\leq m}n_{ij}\neq 0$$\Sigma_{j=1}^{m-1}n_{j}=0$,$0\leq k\leq m-3$.

または

$x_{j}^{2}f(\tilde{\alpha}x_{j}-\tilde{\beta})-x_{i}^{2}f(\tilde{\alpha}x_{i}-\tilde{\beta})<$$\sum_{j=2}^{mj}\sum_{=1}^{-1}n:j$$F(\tilde{\alpha}x_{j}-\tilde{\beta})-F(.\tilde{\alpha}x_{i}-\tilde{\beta})$$\sum_{1=1}^{m}n_{im+11-F(\tilde{\alpha}x_{i}-\tilde{\beta})}x_{i}^{2}f(\tilde{\alpha}x_{i}-\tilde{\beta})-\sum_{j=1}^{m}n_{0j}\frac{x_{j}^{2}f(\tilde{\alpha}x_{j}-\tilde{\beta})}{F(\tilde{\alpha}x_{j}-\tilde{\beta})}$

2

.

が満

60

ここに、

$(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})=Arg$$(a, \beta)\in$\max$R+XR\sum_{j=1}^{m+1}\sum_{1=0}^{j-1}n_{ij}\log(F(\alpha x_{j}-\beta)-F(\alpha x_{i}-\beta))$1. 定理 2. 1 における条件 $(i)\sim(ii)$ は

注意 2.

$(\tilde{\alpha},\tilde{\beta})$の存在を保証する.

次に定理 2. 1 で求めた判定法の効率を調べる. 以下この節を通じて $F(x)$ は標

準正規分布関数とする. そうすると$\mathcal{F}=\{F(\alpha h(x-\lambda)-\beta);(\alpha, \beta, \lambda)\in \mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}\}$は 3 母数対数正規分布族となる.

$\alpha=1,$ $\beta=\lambda=0$の対数正規乱数列から

$n$

の乱

数を取り出す実験を 1 $000$ 回繰り返す. 以下において我々は次の場合を考える.

$m=5;n=10,20,30$ ;$x_{1}=t,$$x_{2}=t+0.5,$ $x_{3}=t+1,$ $x_{4}=t+1.5,$ $x_{5}=t+2$ ;$t=0$ .1(1%\beta ‘), 0.19(5%#‘), 0.28(10%\beta ‘‘),

$0.36(15\%\beta_{\backslash \backslash }),$

$0.43(20\%\#)$

結果は次表のようになった. 各欄の数値は 1000 回中我々の判定法で最尤解が存在すると判定された割合を表わす.

この表から, 我々の求めた判定法は最尤解が存在するかどうかを調べるのに有効であるといえる.

3.
3.1.

2 値反応データに基づく最小コントラスト推定値

準備第 3 節では$i\leq N)$$C$

が 2 値反応データである場合について考える. 便宜上,

とおく$\mathcal{R}+\cdot\kappa\cdot \mathcal{R}x[-\infty, \infty)$

また,$x_{1}<$$<x_{N}$

め部分集合とし, 各

3及び$N\geq 3$$x;=x_{i1}(1\leq$を仮定する.

$\Theta$を$\theta=(\alpha, \beta, \lambda)\in\dot{\mathcal{R}}+x\mathcal{R}x[-\infty, \infty)$

61

に対し,

$t(x, \theta)$

を次のように定義する.

$t(x, \theta)=\{\begin{array}{l}\alpha h(x)-\beta\alpha h(x-\lambda)-\beta\end{array}\sim$

ここに$=\infty$は$\tilde{h}(x)$$\mathcal{R}$$\lambda=-\infty\lambda\neq-\infty$.

上の狭義単調増加な関数で, $\lim_{xarrow-\infty}\tilde{h}(x)=-\infty$ かっを満たす. 真の母数を推定するために次の条件を満たす計量関数 $D(z, p)$ :$[0,1]x[0,1]arrow(-\infty, \infty]$(C.1)

を採用する.

各 $p\in[0,1]$ に対し, $D(z, p)$ は能な実数値関数で,$- \infty\leq a_{0}(p)\equiv\lim_{z\backslash 0}\frac{dD(z,p)}{dz}<\infty$(C.2) 各$p\in[0,1]$

離空間中への連続関数である.

$\overline{\mathcal{R}}$コントラスト関数$\ell$

に対し, $D(z, p)$ は:$n_{i1}$$[x;, \infty)\}$,$n_{i2}$

かっ $-\infty<a_{1}(p)\equiv$は$z$の関数として$[0,1]$ から

コンパク

ト距

] は次式で定義される.

$\Thetaarrow(-\infty, \infty$$\ell(\theta)=\sum_{1=1}^{N}(D(F(t(x;, \theta)),$

ここにの関数として $(0,1)$ 上で 2 回微分可

$p$

を満たす.

$\lim_{p\nearrow 1}^{\underline{dD}_{dz}}L^{z_{R}}1\leq\infty$$i$$n_{i1}/n_{i}$) $+D(1-F(t(x_{i}, \theta)),$$n_{i2}/n_{i}$)).

番目の標本において, それぞれ $\{X_{ij}\in(-\infty, x_{i})\}$ ,$\{X_{1j}\in$が観測される個数を表す.

[定義]

コントラスト関数$\ell(\theta)$

を$\Theta$上で最小にする点$\hat{\theta}\in\Theta$

小コントラスト推定値いう.
計量関数 $D(z, p)$ の例としては次がある.

例 1.

$\lim_{xarrow\infty}\tilde{h}(x)$1.

(i) 最尤法 :$D(z,p)=\{\begin{array}{l}-plogz,z\neq 0\infty,p\neq 0and z=O0,p=0\end{array}$(ii) 最小 2 乗法 : $D(z, p)=(z-p)^{2}$ .
(iii) ヘリンガー距離 : $D(z, p)=-\sqrt{zp}$(iv) 修正最小カイ 2 乗法 :.

$D(z,p)=\{\begin{array}{l}n_{i^{\frac{(z-p)^{2}}{p}}},p\neq 00,p=0\end{array}$

4を$\Theta$

に対する最

62

(v)

ライプラー 分離 :カルバック

$D(z, p)=\{\begin{array}{l}zlog(\frac{z}{p}),p\neq 0andz\neq 00_{l}p=0orz=0\end{array}$

次節において境界確率解析法を述べる. 第 3.

3 節においてに対する最小コントラ
導き出す.

スト推定値の存在のための判定法を, 境界確率解析法をもちいて,第4 節において, 求めた判定法の効率をシミュレーショ ンによって検証する.

3.2

境界確率解析法

境界確率解析法を述べる前に若干の記号を導入する.
部分集合 $S,$に対し,$S_{1},$ $S_{2}$$\overline{S}$

は

$S$

の閉包,

$S_{1}-S_{2}$$\mathcal{Z}=\{(z_{1}, \ldots, z_{N})\in \mathcal{R}^{N};0\leq z_{1}\leq\ldots\leq z_{N}\leq 1\}$

$N$

は次元ユーク リッド空間のと$S_{1}$とし, $F$ :$S_{2}$の差集合を表す.

$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x[-\infty, \infty$)$arrow \mathcal{Z}$を次式で定義する.
$F(\theta)=(F(t(x_{1}, \theta)),$$\ldots,$$F(t(x_{N}, \theta)))$.

集合 $\partial F(\Theta)=\overline{F(\Theta)}-F(\Theta)$ は写像 $F$ に関する分布族 $\mathcal{F}(\Theta)\equiv\{F(t(x, \theta));\theta\in\Theta\}$の境界確率集合と呼ばれる. 各 $z=(z_{1}, \ldots, z_{N})\in Z$ に対し, 関数 $L(z)$ を次式で定義する.
$L( z)=\sum_{=1}^{N}(D(z_{i}, n_{i1}/n_{i})+D(1-z_{i}, n_{i2}/n_{i}))$,であることに注意しよう.

$L(F(\theta))=\ell(\theta)$

次の定理が我々の解析方法の基礎となる.
定理 3.

1.

$\Theta$をとする. ただし,) の部分集合とし, $M_{b}= \inf\{L(z);z\in\partial F(\Theta)\}$に( 空集合) のときは $M_{b}=\infty$ とする. このとき,$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x[-\infty, \infty$$\partial F(\Theta)=\emptyset$$\Theta$

対する最小コントラスト推定値が存在するための必要十分条件はとなる$z^{*}\in F(\Theta)$

本論の主目的はが存在することである.

$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$判定法を導くことであるから
ればならない.

$L(z^{*})\leq M_{b}$に対する最小コントラスト推定値の存在-のための$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$の境界確率集合の構造を明確にしなけ

そのために次の記号を導入する.

563$1=(\neg^{N}$,$a_{\dot{\tau}}(z)=(z\wedge:-1N-i1,,$$\wedge i-1$

$1,1\leq i\leq N;0\leq z\leq 1$:$\wedge N-$$b_{i}(z, z’)=(0, \ldots, 0, z, z’, \ldots , z’),$ $1\leq i\leq N-1;0\leq z\leq z’\leq 1$.

次の定理は 中村 (1984) で得られている.

定理 3.

2.

境界確率集合$\partial F(\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\{-\infty\})$は次のように表現される.

$\partial F(\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\{-\infty\})=\{z1;0<z<1\}\cup(\cup^{N_{=1}}\{a_{i}(z);0\leq z\leq 1\})$.

の境界確率集合の構造を明確にしよう. そのために次の条件
上の正値関数 $b(s),$ $c(s)=o(1)(sarrow$上の関数 $a(s),$(A. ) $-(A.2)$ を満たす
次に$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$

$1$

$0+)$

$\mathcal{R}_{+}$$\mathcal{R}_{+}$となる$\mathcal{R}_{+}$

上の狭義単調増加かっ微分可能な関数 $c(s),$存在を仮定する.

(A.1) 十分小さな正数 $s>0$ に対し,
(A.2) 次の条件を $(i)-(ii)$ を満たす$\mathcal{R}\}$(i)$\mathcal{R}$$h’(s)>0$ かっ $h(s)=o(h’(s))(sarrow 0+)$ .
$\mathcal{R}$上の正値関数 $d(x)$ と $\{\{x\}x(0, d(x));x\in$上の関数 $R(x, s)$ が存在する.
$h(x+1/s)=a(s)+b(s)(\tilde{h}(x)+w(x)c(s)+R(x, s))$ ,$x\in \mathcal{R};s\in(0, d(x))$(ii)

任意に固定した$x\in \mathcal{R}$にたいし,$R(x, s)=o(1),$ $R’(x, s)=o(c’(s))(sarrow 0+)$
例 2.

(i)

上の関数 $w(s)$ が$R(x, s)$.

は. $(0, d(x))$ 上で微分可能で,が成立する.

1.

$h(x)=\log x$ の場合を考える.

$h(x+ \frac{1}{s})$をテイラー展開することにより,$a(s)=- \log s;b(s)=s;c(s)=s;d(x)=\frac{1}{|x|};\tilde{h}(x)=x$ ;$w(x)=- \frac{x^{2}}{2};R(x, s)=\frac{x^{3}}{3}s^{2}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{n}}{n}s^{n-1}+\cdots$(ii) $h(x)=x-1/x$ の場合を考える.

$h(x+ \frac{1}{s})$.

をテイラー展開することにより,$a(s)= \frac{1}{s}-s;b(s)=1,\cdot c(s)=s^{2};d(x)=\frac{1}{|x|};\tilde{h}(x)=x$;$w(x)=x;R(x, s)=-x^{2}s^{3}+\cdots+(-1)^{n+1}x^{n}s^{n+1}+\cdots$

次の定理 (中村・李 (1989)) が得られる.

6

.

64

定理 3

3.

境界確率集合$\partial F(\mathcal{R}_{+}\cross \mathcal{R}\cross \mathcal{R})$$\partial F(\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R})$$\{z1;0<z<1\}$$=$は次のように表現される.
$\cup$($\text{俺_{}=1}^{N-1}${亀 $(z);0\leq z\leq 1\}$ )俺 $( \bigcup_{=1}^{N-2}\{b_{1}(z, z’);0\leq z<z’<1\})$
俺 $F(\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\{-\infty\})$ .

注意 3.

1

中村 (1990) は $D(z, p)=-p\log z,$ $h(x)=\log x$ の場合に対して定理

3.3 を証明している.
3.3. 判定法
この節では$\mathcal{R}+x\mathcal{R}xt-\infty$} に対する最小コントラスト推定値とに対する最小コントラスト推定値の存在のための判定法を与える.
の記号を導入する.

$p_{i}=n_{i1}/n_{*}\cdot,$$L(z1)$$=$$L(a_{i}(z))$$=$$q_{i}=1-p;,$ $1\leq i\leq N$$\sum_{:=1}^{N}(D(z, p_{i})+D(1-z, q:))$

その前に若干$L(z)$の定義から,$\sum_{j<:}(D(0,p_{j})+D(1, q_{j}))+D(z,p_{i})+D(1-z, q_{i})$$+ \sum_{j>j}(D(1,p_{j})+D(0, q_{j}))$,$1\leq i\leq N$

を 8’ $\hat{z}_{0}\in[0,1]$ はそれぞれ $L( a_{i}(\hat{z}_{i}))=\min_{0\leq z\leq 1}L(a:(z)),$を満たすものとする

とおく.

$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$$(1\leq i\leq N)$.

$L( \hat{z}_{0}1)=\min_{0\leq z\leq 1}L(z1)$.

次の定理は $\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\{-\infty\}$ に対する最小コントラスト推定値のための判定法を与える (中村・李 (1989)).

4

定理 3.

次の 3 っの条件が満たされるならば$\mathcal{R}+x\mathcal{R}x\{-\infty\}$に対する最小コントラスト推定値が存在する.
$L(z_{0}1)= \min_{1\leq i\leq N}L(a_{j}(\hat{z}_{i}))$$\sum_{i=1}^{N}a_{1}(p_{i})<\sum_{i=1}^{N}b_{1}(q_{i})$

.

and

(1)
$\sum_{=1}^{N}a_{1}(q_{i})<\sum_{i=1}^{N}b_{1}(p_{i})$$\sum_{:=1}^{N}D’(\hat{z}_{0},p_{i})\tilde{h}(x_{i})<\sum_{j=1}^{N}:$

例 3.

1.

$\overline{p}=\frac{1}{N}\Sigma_{i=1}^{N}p_{i},\overline{q}=1-\overline{p}$

とおく.

7

.

.

(2)

(3)

65

(i)(最尤法)

次の条件が満たされれば$\mathcal{R}_{+}x_{\delta}\mathcal{R}x\{-\infty\}$に対する最尤推定値が存在する.
各 $k(1\leq k\leq N)$ ,に対し,$\sum_{i=1}^{k-1}p;\neq 0$

ま $f_{}^{\wedge}th \sum_{i=k+1}^{N}p_{i}\neq N-k$または

$0<p_{k}<1\delta\}^{\prime\supset p_{k}\log p_{k}+q_{k}\log q_{k}\leq N(\overline{p}\log\overline{p}+\overline{q}\log\overline{q});}$$0<\overline{p}<1$;$\overline{p}\sum_{i=1}^{N}q_{i}\tilde{h}(x_{i})<\overline{q}\sum_{i=1}^{N}p_{i}\tilde{h}(x_{i})$(ii) (最小 2 乗法)

次の条件が満たされれば.

$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\{-\infty\}$に対する最小 2 乗

推定値が存在する.

2 $\sum_{>k}^{\cdot}p;\leq(N-k)+N\overline{p}^{2}+p_{k}^{2},1\leq k\leq N$ ;$0<\overline{p}<1$;$\overline{p}\sum_{=1}^{N}\tilde{h}(x_{i})<\sum_{i=1}^{N}p;\tilde{h}(x_{1})$(iii) (ヘリンガー距離).

次の条件が満たされれば$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\{-\infty\}$に対するヘリンガー距離推定値が存在する.

$(1+ \sum_{:<k}\sqrt{q:}+\sum_{>k}\sqrt{p_{1}})^{2}\leq N^{2}(\overline{p}^{2}+(1-\overline{p})^{2})$$0<\overline{p}<1$$1\leq k\leq N$;;$\sum_{i=1}^{N}\sqrt{p_{1}}\sum_{1=1}^{N}\sqrt{q_{1}}\tilde{h}(x_{i})<\sum_{i=1}^{N}\sqrt{q_{1}}\sum_{i=1}^{N}\sqrt{p_{j}}\tilde{h}(x_{i})$$L(z)$,.

の定義より,$L(b_{i}(u, v))$$= \sum_{j<:-1}(D(0, p_{j})+\acute{D}(1, q_{j}))+D(u,p_{i})+D(.1-*u, q:)$8

66$+ \sum_{j>j+1}(D(v,p_{j})+D(1-v, q_{j})),$$L( b_{i}(\hat{u};,\hat{v}_{i}))=\min_{0\leq u\leq v\leq 1}L(b_{i}(u, v))$

$L( b_{k}(\hat{u}_{k},\hat{v}_{k}))=\min_{1\leq i\leq N}L(b_{i}(\hat{u}_{i},\hat{v}_{i}))$

次の定理は
える

$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$.

は次の最小化問題の最適解とする.

$(\hat{u};,\hat{v}_{i})\in[0,1]x[0,1](1\leq i\leq N)$

また$1\leq i\leq N-2$.

となるような $k(1\leq k\leq N)$ を選ぶ.

に対する最小コントラスト推定値のための判定法を与(中村李 (1989)).

定理 3.

5.

条件 (1) $-(3)$ を仮定する. また $\ell(\hat{\alpha},\hat{\beta}, -\infty)=\min_{\theta\in R_{+}xRx\{-\infty\}}\ell(\alpha, \beta, -\infty)$とする. そうすると次の条件 (i) $-(iv)$ のいつれか一っが満たされれば$\mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x\mathcal{R}$に対する最小コントラスト推定値が存在する.

(i)$l(\hat{\alpha},\hat{\beta}, -\infty)\leq L(b_{k}(\hat{u}_{k},\hat{v}_{k}))$かつ$\sum_{j=1}^{N}w(x_{i})f(\hat{\alpha}\tilde{h}(x_{i})-\hat{\beta})D’(F(\hat{\alpha}\tilde{h}(x_{i})-\hat{\beta}),p_{i})$$< \sum_{1=1}^{N}:\cdot$(ii)$L(b_{k}(\hat{u}_{k},\hat{v}_{k}))\leq\ell(\hat{\alpha},\hat{\beta}, -\infty),$$0<\hat{u}_{k}<\hat{v}_{k}<1$

かつ$\sum_{i\geq k+2}h(x;-x_{k})D’(\hat{v}_{k}, p_{i})<\sum_{i\geq k+2}h(x;-x_{k})D’(1-\hat{v}_{k}, q_{i})$(iii)$L(b_{k}(\hat{u}_{k},\hat{v}_{k}))\leq\ell(\hat{\alpha},\hat{\beta}, -\infty),\hat{u}_{k}=0<\hat{v}_{k}<1$

かっ, ある.

$x\in(x_{k}, x_{k+1})$に対して$\sum_{i\geq k+2}h(x;-x)D’(\hat{v}_{k}, p_{i})<\sum_{i\geq k+2}h(x;-x)D’(1-\hat{v}_{k}, q_{i})$(iv)$L(b_{k}(\hat{u}_{k},\hat{v}_{k}))\leq\ell(\hat{\alpha},\hat{\beta}, -\infty),$$0<\hat{u}_{k}=\hat{v}_{k}<1$

かっ, ある.

$x\in(x_{k-1}, x_{k})$

に対

して

.

$\sum_{i\geq k+1}h(x;-x)D’(\hat{v}_{k},p_{i})<\sum_{i\geq k+1}h(x;-x)D’(1-\hat{v}_{k}, q_{i}):$注意。3. 2上の定理で求めた判定法は最適解

9$\hat{z}_{0},\hat{z}_{i}(1\leq i\leq N),\hat{\alpha},\hat{\beta},$ $(\hat{u};,\hat{v};)(1\leq$.

67$i\leq N-2)$ を含んでいる. 一般にこれらの最適解はすことはできない. 従って,なってくる.

3.4.

$x’.\cdot s,$ $p_{i}’s,$$q$:で明確な形で表

この判定法を有効に利用するには逐次近似法が必要とこれに関する数値例は次節で述べることにする.

判定法の効率

この節では最尤法と最小 2 乗法の場合にっいて前節で求めた判定法の効率をシミュ
レーショ

ンにより検証する.

分布 $F(x)$ としてはロジスティック分布$F(x)= \frac{1}{1+\exp(-x)}$

および

正規分布
$F(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}\exp(-x^{2}/2)dx$を採用する.
する.

$n_{1}=n_{2}=n_{3}=n_{4}=n$ とし,

変換 $h(x)$ として $h(x)=\log x$ を採用

そうすると$\tilde{h}(x)=x$;$w(x)=- \frac{x^{2}}{2}$,$t(x, \theta)=\{\begin{array}{l}\alpha x-\beta\alpha log(x-\lambda)-\beta\end{array}$$\lambda\neq-\infty\lambda=-\infty$$\theta=(\alpha, \beta, \lambda)\in \mathcal{R}_{+}x\mathcal{R}x[-\infty, \infty)$となることに注意しよう. 以下において我々は次の場合を考える.
標本の個数 $(N)$ :$N=4$

標本の大きさ $n=10$ ,真の母数 :$\alpha=1,$ $\beta=0,$ $\lambda=0$

繰り返し回数 :観測点$x_{i}$

30, 50, 100

1000 回としては次の 3 つの場合を考える.

計算結果を表にまとめると次のようになる. ただし, 各表におけるパーセント数は

1 $000$ 回の繰り返し実験において, 我々の判定法 (定理 3.5) で各推定法に対応する推定値が存在すると判定された割合を示す.

10

68

最尤法 :

最小 2 乗法 :

対数正規分布の場合

これらの表から, 我々の求めた判定法は最小コントラスト推定値が存在するかどうかを調べるのに有効であるといえる.

参考文献

Nakamura,T.(1984). Existence theorems of a maximum likelihood estimate from acensored data sample, Ann.
Math.36,375-393.

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