数理解析研究所講究録 1292 巻 2002 年 146-161

146

Stability for Critical Points of aOne-dimensional
Geometric Variational Problem with Constraint
京都教育大学教育学部

深幸 (Miyuki Koiso)

小磯Department of Mathematics,
Kyoto University of Education

1

はじめに

たとえば極小曲面や平均曲率一定曲面のような, 物理的にも自然な幾何学的変分問題を研究する
ことは, それ自身が重要であるだけでなく, それから得られる概念や方法が,もっと一般の,または別の, 幾何学的あるいは解析学的変分問題における理論や方法を構築するために役立つという意味でも非常に重要である.
我々は,[3, Theorem 1.3] において, 3 次元ユークリッド空間内の境界を持つコンパクト平

均曲率一定曲面の安定性を, 面積汎関数の第 2 変分に付随する固有値問題の固有値・固有関数等の性質により完全に決定する方法を得た. この方法は, より一般の条件付き変分問題に対する定理として述べることも可能である. しかしながら, これが個々の変分問題の個々の解の安定性を判定するためにどの程度有効であるかということは, 定理の形の抽象性から, あまり明らかではない. 本論文においては,この方法を用いて, ある部分的に自由境界を持つ条件付き変分問題のすべての解について, その安定性を完全に決定する. 我々の変分問題は, 曲線に対する問題として扱うことができ,

とりわけこういった 1 次元の対象に対しては, 上で述べた方法 (本論文で扱う変分問題の解に対する表現は Lemma 4.1) が有効であることがわかる.
さて, 与えられた曲線$\Gamma$

上に境界の一部を持つ薄膜に関する変分問題を考えよう. ただし我々は, 薄膜の重さが無視できないような場合について考えるものとする.
できており, その厚さは至るところ一定であるとする.

また, 膜は均一な素材でこのとき, 与えられた体積を持つ薄膜の中で, 表面張力, 重カエネルギー, 濡れエネルギーの総和より成るエネルギーの臨界点を与える
ものは, 曲線$L+$ 膜$\mathcal{F}$$\Gamma$

上に境界の一部を持つ曲面の重カエネルギー$G_{\gamma}+\mathcal{F}$として自然に定式化できる ([4]). 特に,については, 我々の変分問題は,$\Gamma$分問題の形で述べることができる.
$C$の,面積を保つ変分に対する「自由境界 $C$ の長さの濡れエネルギー$\Gamma$$W_{\beta}$」 (総エネルギーと呼ぶ) の臨界点が鉛直平面上にあり, かつ$\mathcal{F}$が平面領域である場合

上に両端点 (自由境界) を持つ埋め込まれた曲線 $C$ に対する変$C$がこの変分問題の臨界点であるための必要十分条件は,の曲率が高さの線形関数であり, かつ,成すことである (Corollary 2.1).

$\mathcal{F}$$C$

がその両端点において$\Gamma$と成す角が互いに補角を

147
$C$

が臨界点であるとき,$C$と$\Gamma$

によって囲まれるコンパクト領域$\mathcal{F}$が, 面積を保ち境界条

件を満たす任意の変分に対して総エネルギーの第 2 変分が非負であるという条件を満たすとき,$\mathcal{F}$は安定であるという. あるいは, 簡単のため,$C$は安定であるという (Definition 2.1).

曲率が高さの線形関数であるという条件は, 振り子の方程式に帰着されることがわかり,その解は,Jacobi の楕円関数を用いて具体的に記述できる (Lemma 3.1).

本稿では, 特に,が鉛直平面内に与えられた互いに平行な二鉛直線のそれぞれに一つずつ端点を持つ場合について, 詳しく調べる. この場合には, すべての臨界点を求めることができ, さらに, それぞれの安定$C$性を判定することができる (Theorems $4.1\sim 4.4$ ). 安定性の判定には, 解の満たす微分方程式

より得られる解の対称性 (Lemma 3.2 (v), (vi)) と前述の Lemma 4.1 が本質的に用いられる.
なお, 我々の問題は,[6], [8], [7] 等において研究された変分問題に, さらに重力場を考慮したものの 1 次元版と見ることもできる.

本論文の構成は次のとおりである. 第 2 節では, Euler-Lagrange 方程式, 総エネルギーの第 2 変分公式を求め, 臨界点の安定性を定義する. 第 3 節では, 臨界点の形状について調べる.
第 4 節では, 個々の臨界点の安定性を判定する.

Bennett Palmer 氏 (Idaho State University, USA) との共同研究 [4] のなお, 本研究は,一部に基づいている.

2Euler-Lagrange 方程式と第 2 変分公式$\Gamma$を区分的に滑らかな曲線とする.

多様体であって,と同相な境界$S^{1}$$\Sigma$$\Sigma$

を 2 次元の向き付け可能でコンパクトかつ連結なを持つものとする.

$\partial\Sigma$

を 2 つの連結な弧$\sigma,$$\rho$$C^{\infty}$

級

に分ける.

すなわち,
$\Sigma=\sigma\cap\rho$,$\sigma\cap\rho=\{\zeta_{1}, \zeta_{2}\}$とする.

$X=(x, y, z)$ :$\Sigmaarrow \mathrm{R}^{3}$

をはめ込み, その Gauss 写像を $\nu=(\nu^{1}, \nu^{2}, \nu^{3})$ : $\Sigmaarrow S^{2}$ とし,$X|_{\sigma}$$[]\mathrm{h}\text{単}$ $*1\text{て^{}\backslash }\backslash \text{あると}\not\supset^{-\text{る}}$.

.

$\text{次}\backslash \text{の_{}\mathrm{e}}\mathrm{k}\overline{\mathcal{D}}|^{-}.4$,$G_{\gamma}(X):= \gamma\int_{\Sigma}zd\Sigma$

ただしここで,$d\Sigma$\mbox{\boldmath $\tau$}6.

$L(X):= \int_{\rho}|dX|$,

は $X$ によって誘導される,$W_{\beta}(X):= \beta\int_{\sigma}|dX|$$\Sigma$の面積要素であり,$\gamma$

とき, $A(X)$ は $X$ の面積を, $L(X)$ は自由境界 $X(\rho)$ の長さを表し,
ギー,$W_{\beta}(X)$は濡れエネルギーに対応している. たとえば,モデルとしている場合は,$X$の滑らかな変分$X_{\epsilon}$$\gamma\geq 0,$$\beta\leq 0$の制限$\sigmaarrow\Gamma$&\epsilon \not\in\check \supset \emptyset l‘h$A(X):= \int_{\Sigma}d\Sigma$

:

$X$

$X$

.

と

$\beta$は定数である. この$G_{\gamma}(X)$が細い枠$\Gamma$は $X$ の重カネルで張られる石鹸膜をと仮定するのが自然である.

: $\Sigmaarrow \mathrm{R}^{3}(X_{0}=X)$ であって, 境界条件
$X_{\epsilon}(\sigma)\subset\Gamma$

(1)

148
を満たすものを考える. 簡単のため,$X_{\epsilon}$

う外向き単位法ベクトルを $n$ で表す.
$\dot{X}\mathrm{x}n=|\dot{X}|\nu$$\rho$の代わりに $X$ と書くことにする.
の表示:$\tilde{\rho}$$[\alpha_{1}, \alpha_{2}]arrow\rho$

を,

の

$X$

$\tilde{\rho}(\alpha_{i})=\zeta_{i},$$\Sigma$に沿$i=1,2$ ,を満たすようにとる. ただしここで,$\dot{X}=\dot{X}|_{\rho}:=\frac{\partial(X|_{\rho}\circ\tilde{\rho})}{\partial t}$

であり,
て,

$t$

は

のパラメーターである. 同様に,$[\alpha_{1}, \alpha_{2}]\subset \mathrm{R}$$\tilde{\sigma}(\delta_{1})=\zeta_{2},\tilde{\sigma}(\delta_{2})=\zeta_{1},\dot{X}\cross n=|\dot{X}|\nu$$\tilde{\sigma}$:$[\delta_{1}, \delta_{2}]arrow\sigma$を満たすものとする.

は$\sigma$の表示であっここで,$\dot{X}=\dot{X}|_{\sigma}:=\frac{\partial(X|_{\sigma}0\tilde{\sigma})}{\partial t}$

であり,
$X$

$t$

は

のパラメーターである.

$[\delta_{1}, \delta_{2}]\subset \mathrm{R}$の平均曲率を $H$ で表し,$A(X),$ $L(X),$$G_{\gamma}(X),$$X|_{\partial\Sigma}$$W_{\beta}(X)$の法曲率, 測地的曲率を, それぞれ,から$\dot{X}|_{\sigma}(\delta_{1})$に至る角度を$\theta_{2}$から$\dot{X}|_{\sigma}(\delta_{2})$で表す. 面積を保ち境界条件 (1) を満たすするとき, かつそのときに限る : ある定数$\kappa_{0}\in \mathrm{R}$

on

on ,

$\kappa_{g}=\gamma z+c\kappa_{0}$

$X$

$X$

$\theta_{1}$

,

の任意の

が次の条件を満足が存在して,$2H(\gamma z+c)-\gamma\nu^{3}=0$

,

で表す.

に至る角度を$\dot{X}|_{\rho}(\alpha_{1})$変分に対して総エネルギーの第 1 変分 $\delta(L+G_{\gamma}+W_{\beta})=0$ となるのは,$\kappa_{n}=0$$\kappa_{g}$の第 1 変分を計算することにより, 次がわかる.

Proposition 21(Euler-Lagrange equation)$\dot{X}|_{\rho}(\alpha_{2})$$\kappa_{n},$$\Sigma$,$\cos\theta_{1}=\cos\theta_{2}=\beta$$\rho$

が成立する.
次に,$\Gamma$が$l_{1}=\{(x_{0},0, z)|z<a\}$ ,$l_{2}=\{(x, 0, a)|x_{0}\leq x\leq x_{1}\}$$l_{3}=\{(x_{1},0, z)|z<a\}$ ,である場合について考えよう. 簡単のため,-$xz$ 平面内でのみ$s$$0\leq s\leq L,$ $x(0)=x_{0},$位法ベクトル $n$ を,の変分$\mathcal{F}_{\epsilon}$$\Gamma=l_{1}\cup l_{2}\cup l_{3}$は平面領域であると仮定し, 以下,$\mathcal{F}:=X(\Sigma)$$\mathcal{F}$$l_{1},$$l_{3}$

上にそれぞれ一つず

このとき, 我々の変分問題は, 埋め込まれた曲線 $C(s)=(x(s), z(s))$

問題の形で述べることができる.

$\mathcal{F}$,, 問題を考えることにする. さらに, 自由境界 $C$ は,

つ端点を持つと仮定する.

( は弧長,$x_{0}<x_{1}$,$x(L)=x_{1},$ $x_{0}<x(s)<x_{1}(\forall s\in(0,$ $L))$ )$C\cup\Gamma$

で囲まれるコンパクト平面領域がの外側を向くようにとり,に対応する $C$ の変分

この

$n$

$C_{\epsilon}(s)=(x_{\epsilon}(s), z_{\epsilon}(s))$$x_{\epsilon}(0)=x_{0}$,$\mathcal{F}$I こ対する変分である. $C$ の単に対する $C$ の曲率を$\kappa$で表す.

に対する境界条件は$x_{\epsilon}(L)=x_{1}$

(2)

となる.
このとき, 問題は, 一般の場合で $\nu=(0, -1,0)$ と取ったものに対応しており,方程式は,Proposition 2.1 から次のようになる.

Euler-Lagrange

149
Corollary 2.1 (Euler-Lagrange equation) 面積を保ち境界条件 (2) を満たすの任意の変分に対して総エネルギーの第 1 変分 $\delta(L+G_{\gamma}+W_{\beta})=0$ となるのは,が次の条件を満$\mathcal{F}$$C$

足するとき, かつそのときに限る : ある定数が存在して,$\kappa_{0}\in \mathrm{R}$$\kappa=\gamma z+\kappa_{0}$

(3)

,

(4)

$-z’(0)=\cos\theta_{1}=\beta=\cos\theta_{2}=z’(L)$が成立する. ただしここで,$\theta_{1}$は一$E_{3}$$:=(0, -1)$ から $C’(0)$ に至る角度,$\theta_{2}$は $C’(L)$ . から

$E3=(0,1)$ に至る角度である.

(4) から,$|\theta_{1}|=|\theta_{2}|$が成り立つ.

$C$$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2\pi)$が自己交差を持たないことと, 任意の $s\in(0, L)$ に対して $x_{0}<x(s)<x_{1}$ であることから,$\theta:=\theta_{1}=\theta_{2}\in[0, \pi]$

とおいてよい.

また,(5)$x’(0)=\sin\theta=x’(L)\geq 0$である.

後の議論のために, (3), (4) を満たす解 $C$ の端点での様子を少し調べておく.
$C”=\kappa n$ より $x”=\kappa z’$ である.
これを $C$ 上積分して (3) と (5) を用いることにより,
ここで,$0=[x’]_{0}^{L}= \frac{\gamma}{2}[z^{2}]_{0}^{L}+\kappa_{0}[z]_{0}^{L}$となる.

したがって,

Lemma 21 次の (6), (7) の内の少なくとも一方が成立する.
(6)$z(L)=z(0)$ ,$\gamma(z(L)+z(0))=-2\kappa_{0}$

さらに,

(7)

(6) は次と同値である.
$\kappa(L)=\kappa(0)$

また,

.

.

(7) は次と同値である.
$\kappa(L)+\kappa(0)=0$

さて, $A(X),$ $L(X),$$G_{\gamma}(X),$$W_{\beta}(X)$.

は次のように書き直すことができる.

,$A[C]$$:=$$A(X)=- \int_{C}zdx+c_{1}$ ,$L[C]$$:=$$L(X)= \int_{C}ds$ ,$G_{\gamma}[C]$$:=$$G_{\gamma}(X)=(- \gamma/2)\int_{C}z^{2}dx+c_{2}$$W_{\beta}[C]$$:=$$W_{\beta}(X)=\beta[(a-z(0))+(a-z(L))+(x_{1}-x_{0})]$ .

$c_{1}:=(x_{1}-x_{0})a$,$c_{2}:=(\gamma/2)(x_{1}-x_{0})a^{2}$

,

150
以下,

$|\beta|\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$と仮定し, 曲線 $C$ は Euler-Lagrange 方程式 (3), (4) を満たすとする. 面積を保ち境界条件 (2) を満たす $C$ の変分.

$\mathrm{Q}(s)\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} C(s)+\epsilon(p(s)n(s)+q(s)C’(s))+\mathcal{O}(\epsilon^{2})$に対して, 総エネルギーの第 2 変分の他についても,$\epsilon=0$$\epsilon$

を付けずに$\kappa$$\delta^{2}$($L+G_{\gamma}$

十垣$\beta$) を求めよう. 簡単のため,$C_{\epsilon}$の曲率そなどと書くことにする.

(3), (4) を用いることにより,においては,$\delta^{2}(L+G_{\gamma}+W_{\beta})=\delta^{2}(L+G_{\gamma}+W_{\beta}+\kappa_{0}A)=\frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0}[\frac{d}{d\epsilon}(L+G_{\gamma}+W_{\beta}+\kappa_{0}A)]$$=$$\frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0}[\int_{C}(-\kappa+\gamma z+\kappa_{0})\langle\delta C, n\rangle ds+[\langle\delta C, C’\rangle]_{0}^{L}-\beta((\delta z)(L)+(\delta z)(0))]$$=$$\int_{C}(\frac{\partial}{\partial\epsilon}|_{\epsilon=0}(-\kappa+\gamma z+\kappa_{0}))\cdot\langle\delta C, n\rangle ds+\frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0}[[\langle\delta C, C’\rangle]_{0}^{L}-\beta[\langle\delta C,\overline{C}’\rangle]_{0}^{L}]$となる. ただしここで,$\overline{C}’(L):=E_{3}=(0,1)$

とおいた.

また,

$\langle$,は$\rangle$,$\overline{C}’(0):=-E_{3}=(0, -1)$の標準的な内積を表す. 簡単な計算により, 次の第 2 変分公式が$\mathrm{R}^{2}$

得られる.

Proposition 22(第 2 変分公式) 埋め込まれた曲線 $C$ は (3), (4) を満たすとする.
とおく. 面積を保ち境界条件 (2) を満たすの変分に対する総エネルギーの第 2$C$$\theta:=\theta_{1}=\theta_{2}$変分 $\delta^{2}(L+G_{\gamma}+W_{\beta})$ は, 変分ベクトル場の法成分 $pn$ のみによって決まり, 次で与えられる.

(i) $|\beta|<1$ のときは,$\delta^{2}(L+G_{\gamma}+W_{\beta})$

$=$

$=$

:

$\int_{C}\{-p’’-(\kappa^{2}+\gamma x’)p\}pds+[(p’-\kappa\cot\theta\cdot\overline{z}’p)p]_{0}^{L}$$\mathrm{I}(p)$が成立する. ただしここで,$\overline{z}’(0):=-1$,$\overline{z}’(L):=1$

である.

(ii) $|\beta|=1$ のときは,$\delta^{2}(L+G_{\gamma}+W_{\beta})=\int_{C}\{-p’’-(\kappa^{2}+\gamma x’)p\}pds=:\mathrm{I}(p)$が成立する.
次の Lemma 22 が, 固定境界の場合の対応する命題の証明 (Barbosa-do Carmo [1]) に少し修正を加えることにより示される.

Lemma 22 埋め込まれた曲線 $C$ は (3), (4) を満たすとする.
級関数 $p:[0, L]arrow \mathrm{R}$ で $\int_{0}^{L}pds=0$ を満たすものに対し,(i) $|\beta|<1$ と仮定 する.
であって,なるものが存在する.
面積を保ち境界条件 (2) を満たす $C$ の変分級関数 $p:[0, L]arrow \mathrm{R}$ で $\int_{0}^{L}pds=0$ と $p(0)=p(L)=0$(ii) $|\beta|=1$ と仮定する.
であって,なを満たすものに対し, 面積を保ち境界条件 (2) を満たすの変分$\circ$$C^{\infty}$$\langle\delta C, n\rangle=p$$C_{\epsilon}$$C^{\infty}$$C$るものが存在する.

$C_{\epsilon}$$\langle\delta C, n\rangle=p$

151
そこで,

Euler-Lagrange 方程式 (3), (4) を満たす曲線 $C$ に対し, 関数空間

$F_{0},$

$F$

を次で

定義する.
$C^{\infty}([0, L])$$:=$$F_{0}$

$F$

$C$

$\{$

,

$\{p\in C^{\infty}([0, L])|p(0)=p(L)=0\}$ ,$\{p\in F_{0}|\int_{0}^{L}pds=0\}$$:=$$|\beta|<1$,$|\beta|=1$,.

の安定性を次のように定義する.

Definition 2.1 (安定性) 埋め込まれた曲線$C$は (3), (4) を満たすとする. 任意の $p\in F$ に対して $\mathrm{I}(p)\geq 0$ が成立するとき $C$ は安定であるといい, 安定でないとき不安定であるという.
また, 任意の $p\in F_{0}$ に対して $\mathrm{I}(p)\geq 0$ が成立するとき, $C$ は強安定であるという.

3解曲線の微分方程式

方程式 (3) は 2 階常微分方程式系であり, これを満たす曲線は完全に決定される. 解曲線は, ある完備な曲線の一助変数族と円を除き,$C=(x, z)$ :する. ただしここで,$I$

軸方向の適当な平行移動によって不変な周期曲線であこれらの事柄及び解曲線の対称性について述べる.

ることがわかる. 本節では,$Iarrow \mathrm{R}^{2},$$x$$I\subset \mathrm{R}$は (3) の解であって, 弧長は延長可能な最大の区間とする.

は円であることは明らかである. そこで, 以下,$x”=\kappa z’$が成り立つ.

$z’=\sin\sigma$

これより,$\sigma$,,によって表示されているものと$\gamma=0$のときは, 解が水平な直線またと仮定する.

$\sigma’=-\kappa=-(\gamma z+\kappa_{0})$(9)(9) の解は, (8) で $\kappa=\gamma z+$ 定数とおいたものの解を与える.
$\sigma$,$\omega:=\{$,$\gamma>0$$\sigma+\pi$$\rho>0$(8)

は振り子の方程式$\rho:=|\gamma|$

とおくことにより,より,方程式 (8) は$\sigma’’=-\gamma\sin\sigma$を満たすことがわかる. 逆に,$C”=\kappa n$$z”=-\kappa x’$

とおくことにより,$\cos\sigma:=x’,$ $\sin\sigma=z’$と書き換えられる.

$\gamma\neq 0$$s$,$\gamma<0$

なる振り子の方程式$\omega’’=-\rho\sin\omega$(10)についてのみ考えればよいことがわかる.

(10) を積分すると,$(\omega’)^{2}-2\rho\cos\omega=$となるが,定数 $=:a$

これはさらに,$( \omega’)^{2}=4\rho([\frac{a+2\rho}{4\rho}]-\sin^{2}(\frac{\omega}{2}))$

(11)

152
と書き換えられる.

$\omega\equiv 0$なる場合は解は水平な直線である. そこで, この場合を除いて考えると,$0< \frac{a+2\rho}{4\rho}=:\chi^{2}$となる. 必要ならば, パラメーター[こ表される (cf.

$s$(11) の解は次のようを $s+$ 定数に変換することにより,$\chi^{2}<1$. 解は, 楕円関数を用いて次のように表される.

$\sin(\omega/2)=\chi \mathrm{s}\mathrm{n}(\sqrt{\rho}s, \chi)$$\chi^{2}>1$,$\cos(\omega/2)=\mathrm{d}\mathrm{n}(\sqrt{\rho}s, \chi)$.

. 解は, 楕円関数を用いて次のように表される.

$\sin(\omega/2)=\mathrm{s}\mathrm{n}(\sqrt{\rho}s/\chi, \chi)$

このとき,$\chi>0$

Lawden[5, Chapter 5]).

Lemma 3.1 Case (i)Case (ii),,$\cos(\omega/2)=\mathrm{c}\mathrm{n}(\sqrt{\rho}s/\chi, \chi)$(11) により任意の点で$a>2\rho$ であるから,Case(iii) $\chi^{2}=1$ . 解は次のように表される.
$\sin(\omega/2)=\tanh(\sqrt{\rho}s)$ ,$\omega’\neq 0$,.

したがって,$\cos(\omega/2)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(\sqrt{\rho}s)$$\kappa\neq 0$

である.

.

さらに, 解曲線の形状について, 次のことがわかる.

Lemma 32 $C=(x, z)$ :の$(\mathrm{i})\sim(\mathrm{v}\mathrm{i})$$Iarrow \mathrm{R}^{2}$は (3) の解とする. ただし,$\gamma\neq 0$とする.

このとき, 次が成り立つ.

(i). .
は有界である.
(ii)(iii) Lemma 3.1 の Case (iii) を除き, $C$ は周期的である.
$I=\mathrm{R}$$z$

定数 $d_{0}>0$

より厳密に, 次のことが成立する.

が存在して,$x(s+d_{0})=x(s)+a_{0}$ ,$z(s+d_{0})=z(s)$ ,$\forall s\in \mathrm{R}$が成り立つ. ただしここで,$a_{0}:=x(d_{0})-x(0)$とおいた.

が存在する.
(iv) $z’(s_{1})=0$ なる(v) $z’(s_{1})=0$ が成り立つとき, $C$ は直線 $\{x=x(s_{1})\}$ に関して対称である.
(vi) $\kappa(s_{2})=0$ が成り立つならば, $C$ は点 $C(s_{2})$ に関して対称である.
$s_{1}$

証明
$z$

$C$

(i) は Lemma 3.1 における解の表現からすぐにわかる.
が有界であることは, (11) が $(\gamma z+\kappa_{0})^{2}=2|\gamma|\cos\omega+a$ となることからわかる.
の周期性は, 楕円関数の周期性からわかる.

(iv) は, Lemma 3.1 の Case (i), (ii) については, 周期性よりわかる. Case (iii) については, 次のようにしてわかる.

.

$z’(0)=\sin(\sigma(0))=2\sin(\sigma(0)/2)\cos(\sigma(0)/2)=2\tanh(0)\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(0)=0$(v) を示す.

パラメーター$s$と座標の平行移動により,$s_{1}=0$,$x(0)=0$ ,$\kappa=\gamma z$

153が成立すると仮定してよい.

,$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}(^{1}\mathrm{i}, \ovalbox{\tt\small REJECT})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}(s)\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}-x(-s)$,$\ovalbox{\tt\small REJECT}(s)\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} z(-s)$とおけば, (8) により,$\tilde{x}’’=(\gamma\tilde{z})\tilde{z}’$,$\tilde{z}’’=-(\gamma\tilde{z})\tilde{x}’$が成り立つ. さらに,$\tilde{C}(0)=(0, z(0))=C(0)$ ,$\tilde{C}’(0)=(1,0)=C’(0)$ ,が成り立つ. したがって,$C\equiv\tilde{C}$とは同じ常微分方程式系の同じ初期値を持つ解である. 故に,$\tilde{C}$(v) が示せた.

が成り立ち,(vi) を示す.

$C$$\tilde{C}’’(0)=(-x’’(0),z’’(0))=(0, z’’(0))=C’’(0)$パラメーターと座標の平行移動により,$s$$s_{2}=0$$C(0)=(0,0)$ ,,$\kappa=\gamma z$が成立すると仮定してよい.
$\tilde{C}:=(\tilde{x},\tilde{z})$とお4$\text{く}$.

$(\mathrm{v})$,の証明と同様にして,$\tilde{x}(s):=-x(-s)$,$\tilde{z}(s):=-z(-s)$

が成立することがわかり,$C\equiv\tilde{C}$(vi) が示せる.

口

解の安定性

以下, $C=(x, z)$ : $[0, L]arrow \mathrm{R}^{2}$ は Euler-Lagrange 方程式 (3), (4) を満たすとする. 本節において, すべての解 $C$ の安定性を決定する.

Jacobi 作用素$J$と境界作用素 $B$ を次にように定義する.
$J[p]=p”+(\kappa^{2}+\gamma x’)p$$p’-\kappa\cot(\theta)\overline{z}’p$$B[p]=\{$
$p$

,

,

,

$|\beta|<1$,$|\beta|=1$.

このとき, 面積を保ち境界条件 (2) を満たす $C$ の変分に対する総エネルギーの第 2 変分は,Proposition 22 により,$\mathrm{I}(p)=-\int_{C}pJ[p]ds+$と表される.
しておく.

$|\beta|=1$$C”=\kappa n$$B[p]]_{0}^{L}$,$p:=\langle\delta C, n\rangle$$p(0)=p(L)=0$ が成立することを注意のときは, 境界条件 (2) により,
より,
$x”$

であった.

レ.

=\kappa z’ ラ$z”=-\kappa x’$

このことと境界条件 (4), (5) により,
$J[x’]=\gamma$,$B[x’]|_{\partial C}=0$$-\kappa/\sqrt{1-\beta}$$J[z’]=0$ ,$B[z’]|_{\partial C}=\{$$\pm 1$

,

(12)

,
,

$|\beta|<1$$|\beta|=1$

,

154
.

$\hslash[searrow]^{\backslash ^{\backslash }}/\pi\# 2\underline{\backslash }" L^{\vee}\supset=(\mathrm{i}:\hslash[searrow]^{\backslash }*\backslash \supset\delta\backslash \xi)$$J$は Sturm-Liouville 型作用素であるから, 固有値問題

in $[0, L]$ ,$J[p]=-\lambda p$$B[p]=0$on(13)$\partial[0, L]$の固有値は可算無限個で, すべて実数であり, 重複度は 1 である. そこで,さいものから順に $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}<\cdots$ と表す.

らない) ことを注意しておく.
補空間を$E_{i}^{[perp]}$で表す.

$\lambda_{i}$$\lambda_{i}$$\lambda_{1}$に属する固有空間を

1 こ属する固有関数$\varphi_{i}$を

これらの固有値を小に属する固有関数は定符号である (0 にはな$E_{i}$で表し,$\{\varphi_{i}\}_{i}$$L^{2}([0, L])$

における

の直交

$E_{i}$

が $L^{2}([0, L])$ の正規直交基底を成すよ$\mathrm{o}\mathfrak{l}_{\tilde{}\grave{\mathrm{l}}}arrow\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\sqrt}5\backslash ^{\backslash }\backslash \text{と}\mathrm{B}^{*}\mathrm{a}^{-}C^{\backslash }\backslash \text{き^{}-}C_{\backslash }$$\lambda_{1}=\mathrm{I}(\varphi_{1})=\min\{\mathrm{I}(p)|p\in C^{\infty}([0, L]), \int_{C}p^{2}ds=1\}$$\lambda_{i}=\mathrm{I}(\varphi_{i})=\min\{\mathrm{I}(p)|p\in C^{\infty}([0, L]),$$\int_{C}p^{2}ds=1$,,$\int_{C}p\varphi_{j}ds=0(j=1, \cdots, i-1)\}$が成立する (cf. [2, 第 6 章 \S 1]). このことにより, 次の Lemma 4.1 が, [3] の Theorem 13(与えられた境界を持つ平均曲率一定曲面に対する対応する結果) の証明とほぼ同様にして示される.
ならば,は強安定である.
Lemma 41(I)ならば, $J[u]=1,$ $B[u]|_{\partial C}=0$ を満たす関数 $u\in C^{\infty}([0, L])$ が一意的に存(II)在して, 次の (II-1), (II-2) が成り立つ.
$C$$\lambda_{1}\geq 0$$\lambda_{1}<0<\lambda_{2}$$( \mathrm{I}\mathrm{I}-1)\int_{C}uds\geq 0$

ならば,

$C$

は安定である.

$( \mathrm{I}\mathrm{I}-2)\int_{C}uds<0$

ならば,

$C$

は不安定である.

(III)$\lambda_{1}<0=\lambda_{2}$ならば, 次の (III-A),$( \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{A})\int_{C}vds\neq 0$(III-B) が成り立つ.

なる $v\in E_{2}$ が存在するならば,$C$は不安定である.

(III-B) 任意の $v\in E_{2}$ に対して $\int_{C}vds=0$ が成り立つと仮定する.
であって, $J[u]=1,$$u\in E_{2}^{[perp]}\cap C$ “ $([0, L])$

さらに, 次の (III-BI),$( \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{B}2)\int_{C}uds<0$$\lambda_{2}<0$

ならば,

$C$

関数

を満たすものが一意的に存在する.

(III-B2) が成立する.

$( \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}-\mathrm{B}1)\int_{C}uds\geq 0$(IV)$B[u]|_{\partial C}=0$

このとき,

ならば,

$C$

は安定である.

ならば,$C$は不安定である.

は不安定である.

Theorem 41 $\gamma=0$ ならば,$C$は円または水平な線分であり,$\lambda_{1}=0$,

L, たがって,$C$は強安定である.

軸が円または水平な線分であることは明らかである. よって, (5) により, $C$ は$C$の内部では $x’>0$ が成立する. したがって, (12) により,の区間上のグラフであって,

証明
$x’$

は

$C$

$\lambda_{1}$$x$に属する固有関数であり,Proposition 4.1$\lambda_{1}<0\leq\lambda_{2}$であって $\gamma>0$ ならば,$C$$\lambda_{1}=0$である.

であって $C$ が安定ならば,は安定である.

口$\gamma>0$である. 逆に,$\lambda_{1}<0<\lambda_{2}$155
もしも $\gamma=0$ ならば,証明と仮定する.

$\gamma\neq 0$

Theorem 4.1 により,

$u:=x’/\gamma$$\lambda_{1}=0$とおけば, $J[u]=1,$

である.

力{成り立つ. また,$B[u]|_{\partial C}=0$$\int_{C}uds=\gamma^{-1}\int_{C}x’ds=\gamma^{-1}(x(L)-x(0))$.

これと Lemma 4.1 により, 主張が示される.

口は水平な線分であるとする.
Theorem 42は強安定である.
ならば,(i)(ii) $\gamma>0$ ならば, 次が成立する.
$C$

このとき,

$C$

$\gamma\leq 0$

$C$

が安定.

$\Leftrightarrow\lambda_{2}\geq 0$.

$\Leftrightarrow L\leq\pi/\sqrt{\gamma}$.

の場合については Theorem 4.1 ですでに見たから, $\gamma\neq 0$ と仮定する.
このとき, 総エネルギーの第 2 変分は$z\equiv-\kappa_{0}/\gamma=$ 定数が成り立つ.
$0\equiv\kappa=\gamma z+\kappa_{0}$ より,
証明$\gamma=0$$\mathrm{I}(p)=\int_{0}^{L}(p’(x))^{2}-\gamma(p(x))^{2}dx$で与えられるから,
次に,$\gamma<0$

ならば $C$ は強安定である.

と仮定する. 固有値問題$\gamma>0$$J[p]=-\lambda p$の第 $n$ 固有値ある.

on$\partial[0, L]$

は $\{(n-1)\pi/L\}^{2}-\gamma$ であり, 対応する固有関数は $c\cos((n-1)\pi s/L)$ で$\lambda_{n}$したがって,

あるのは$B[p]=p’=0$

in $[0, L]$ ,$J[1]=\gamma,$ $B[1]|_{\partial[0,L]}=0$に注意すれば,

Lemma 4.1 により,

$C$

が安定で

であるとき, かつそのときに限ることがわかる. さらに,$\lambda_{2}\geq 0$$\lambda_{2}\geq 0\Leftrightarrow L\leq\pi/\sqrt{\gamma}$

口が成り立つ.
は線分ではないとし, $\gamma<0$ と仮定する.
Theorem 43
は $C$ 上定符号である.
(i)
軸の区間上のグラフである.
(ii) $C$ は,(iii) $C$ は, 強安定である.
$C$

このとき,

$\kappa$$x$

証明 第 3 節と同様に,$\sin\sigma=z’$$\cos\sigma:=x’,$とお$\text{く}$. (4), (5), 及び$C$が自己交差を持たないということから,$-\pi/2\leq\sigma(0)\leq\pi/2$と仮定してよい. さらに, (5) により,,$-\pi/2\leq\sigma(L)\leq\pi/2$$z$,$\sigma(L)=-\sigma(0)$(14)

はその最大値または最小値を区間 $(0, L)$ の内点でとる.

が $s_{2}\in(0, L)$ で最大値をとると仮定しよう. すると, $n(s_{2})=(0, -1),$ $\kappa(s_{2})>0$ が成立す$\sigma’=-\kappa$ である
る. したがって, もしも $\gamma<0$ ならば, $[0, L]$ 上で $\kappa=\gamma z+\kappa_{0}>0$ となる.

$z$

から,

$\sigma$は $[0, L]$ 上狭義単調減少である. 故に,(14) から,$-\pi/2\leq\sigma(L)<\sigma(s)<\sigma(0)\leq\pi/2$,$\forall s\in(0, L)$

156が成り立っ.

したがって,$x’(s)=\cos\sigma(s)>0$ ,

となり,

$C$

$\forall s\in(0, L)$

が $x$ 軸の区間上のグラフであることがわかる.

定しても同様の議論が成立し,したがって,

次に (iii) を証明する. まず初めに,$z$が $s_{2}\in(0, L)$ で最小値をとると仮(i) と (ii) が示せた.

$|\beta|<1$の場合を考える.

$C$

が $z=z(x)$ によって与えられるとき, $ds=\sqrt{1+(dz/dx)^{2}}dx$ より$x’(s)= \frac{1}{\sqrt{1+(dz/dx)^{2}}}>0$が成り立つ.
$C\text{上の}\{\neq_{l}\text{意の}\urcorner \mathrm{p}\acute{\{}\#\text{分関数}p\#\mathrm{h}p=\zeta x’\text{と表}\mathrm{g}\text{る}$$\mathrm{I}..\sim\mathrm{B}\grave{\grave{\backslash }}\text{って},$$\mathrm{I}(p)$.

$\mathrm{H}_{\mathrm{B}}\text{単}fs_{0}^{\wedge}\mp \text{算}|_{\tilde{}}$$=$$- \int_{C}\zeta x’J[\zeta x’]ds+[\zeta x’B[\zeta x’]]_{0}^{L}$$=$$- \int_{C}\zeta^{2}x’J[x’]ds+\int_{C}(x’)^{2}((’)^{2}ds+[\zeta^{2}x’B[x’]]_{0}^{L}$$=$$- \int_{C}\zeta^{2}(\gamma x’)ds+\int_{C}(x’)^{2}(\zeta’)^{2}ds$$\geq$

0となることがわかる. よって,$C$は強安定である.

$|\beta|=1$

A$\text{り}$,の場合も, ほぼ同様に証明できる.

口

以上で,$\gamma>0$$\gamma\leq 0$と仮定する.

定したので,$C$が線分である場合については, すでに Theorem 42 において安定性を決は線分ではないと仮定する.

$C$

Lemma 42の場合については, 解 $C$ の安定性を決定することができた. そこで, 今後は$C$

は線分ではないと仮定する. このとき, 次の Case(I)\sim Case(V) の 5 つの場

合に分けられる.

Case(I) $C$ は変曲点 ( $\kappa=0$ なる点) を持たない.
Case(II) $C$ は 1 つだけ変曲点を持つ.
Case(III) $C$ の両端点は変曲点であり, 内部には変曲点はない.
Case(IV) $C$ の内部には, ちょうど 2 つの変曲点と, 唯 1 つのの零点が少なくとも 3 つある.
Case(V) $C$ の内部には,$z’$の零点がある.

$z’$

証明
ら [こ,

$\kappa’=\gamma z’$$z’$であるから,

2 つの変曲点の間には$z’$の零点が少なくとも 1 つは存在する. さの零点の個数は奇数であることが次のよう [こしてわかる. まず, $z”(s)=z’(s)=0$とは決してならない.

実際,

ならなければならない.
分でなければならない.

もしもこうなったならば,$z”=-\kappa x’$より$\kappa(s)=0$との対称性 (Lemma 32 (v), (vi)) により, $C$ は線
これは仮定に反する. したがって, $z’(0)=-z’(L)$ から, ’ の零
よって,

$C$

$z$

点の個数は奇数である. これらのこと及び Lemma 2.1 により主張が成立することが容易にわかる.

解 $C$ の安定性が次のように決定される.

口

157
Theorem 4.4 $\gamma>0$ とし,は線分ではないと仮定する. このとき,$C$

Lemma 42 の各場合

について, 解 $C$ の安定性が次のように決定される.

Case(I)
Case(II)
Case(III)
Case(IV)
Case(V)証明$\lambda_{2}>0$

$C$

であり,

は安定である.

$C$は不安定である.

$\lambda_{2}=0$

であり,

$C$

$C$

は不安定である.

$C$は不安定である.

は安定である.

と仮定して証明する.

$|\beta|<1$の証明と同様に,$|\beta|=1$の場合もほぼ同様にして証明される. Theorem 43

とおく.

$\cos\sigma:=x’,$ $\sin\sigma=z’$

Case(I): $C$ 上 $\sigma’=-\kappa\neq 0$ だから,とから, Theorem 43 の証明と同様に,$\sigma(s)$は単調関数である.

$-\pi/2<\sigma(s)<\pi/2$ ,と仮定しても一般性を失わない.
故に,

$z$

である.

故に,

したがって,$z’$$z’(0)\kappa(0)>0$.

$z$の最大値ならば,$z(s_{1})$が$z$が自己交差を持たないこ$\forall s\in(0, L)$

は $(0, L)$ において唯一つの零点は $s=s_{1}$ において, 最大値または最小値をとる.
もしも $z(s_{1})$ が$C$$\kappa(s_{1})>0$$s_{1}$を持つ.

また, $n(s_{1})=(0, -1),$ $\sigma(s_{1})=0$であり,したがって, $z’(0)>0$ である.

の最小値である場合も同様の議論を行うことにより,

いずれの

場合にも,
$z’(0)\kappa(0)>0$ ,(15)$z’(L)\kappa(L)<0$が成り立つことがわかる.
さて今,$\hat{s}\in(0, L)$に対し, 固有値問題$J[p]=-\lambda p$を考え, その最小固有値をmin-max$\lambda_{1}^{L}([\hat{s}, L])$.A$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }\text{理}[]^{\wedge}$$\text{り}$$[0, \hat{s}]$$\lambda_{1}^{0}([0,\hat{s}])$$J[p]=-\lambda p$の最小固有値を

inin,$B[p]|_{s=0}=0$ ,$p(\hat{s})=0$で表す. また, 固有値問題$[\hat{s}, L]$,$p(\hat{s})=0$,$B[p]|_{s=L}=0$

で表す.

,

$\lambda_{1}^{0}([0,\hat{s}])=\min\{-\int_{C}pJ[p]ds/\int_{C}p^{2}ds|p\in C^{\infty}([0,\hat{s}]),$$= \min\{-\int_{C}pJ[p]ds/\int_{C}p^{2}ds|p\in C^{0}.([0,\hat{s}])$$B[p]|_{s=0}=0,p(\hat{s})=0\}$,pは$[0,\hat{s}]$で区分的に C2 級,$B[p]|_{s=0}=0,p(\hat{s})=0\}$が成立する.

(16) 及びClaim 1

もしも $0<\sigma_{0}<\sigma_{1}<L$ ならば,が成り立つ.

$\lambda_{1}^{L}$に対する同様の結果から,$\lambda_{1}^{0}$及び$\lambda_{1}^{L}$,$\lambda_{1}^{0}([0, \sigma_{0}])$$>$$\lambda_{1}^{0}([0, \sigma_{1}])$$\lambda_{1}^{L}([\sigma_{0}, L])$$<$$\lambda_{1}^{L}([\sigma_{1}, L])$

(16)の単調性がわかる. すなわち,(17)

$-X,$$s_{1}[]_{arrow}’X1\backslash \mathrm{b}^{-}C\mathrm{V}\mathrm{J},$$\prime R\backslash \hslash[searrow]^{\backslash ^{\backslash }}R[perp]\backslash " \mathrm{T}$Claim 2Claim 2 の証萌$p:[0, s_{1}]arrow \mathrm{R}$158.
$\lambda_{1}^{0}([0, s_{1}])$

$>$

0,

(18)

$\lambda_{1}^{L}([s_{1}, L])$

$>$

0.

(19)

は

$B[p]|_{s=0}=0$ ,を満たす非定値$[0, s_{1}]$$C^{\infty}$級関数とする.

$p(s_{1})=0$

Lemma 42 の証明と同様にして $z”(s_{1})\neq 0$ であるから,上で関数 $\varphi=p/z’$ が定義される. すなわち,$- \int_{0}^{s_{1}}pJ[p]ds$$p=\varphi z’$

と書けて,

$=$

$\int_{0}^{s_{1}}(z’)^{2}(\varphi’)^{2}ds-[(z’)^{2}\varphi\varphi’]_{0}^{s_{1}}$$=$$\int_{0}^{s_{1}}(z’)^{2}(\varphi’)^{2}ds+(z’)^{2}\varphi\varphi’|_{s=0}$となる.
$0=pB[p]|_{s=0}=(z’)^{2}$. $\varphi\varphi’|_{s=0}+\varphi^{2}z’\dot{B}[z’]|_{s=0}$であるから,(15) を用いて,$- \int_{0}^{s_{1}}pJ[p]ds$$=$$\int_{0}^{s_{1}}(z’)^{2}(\varphi’)^{2}ds-\varphi^{2}z’B[z’]|_{s=0}$$=$$\int_{0}^{s_{1}}(z’)^{2}(\varphi’)^{2}ds+\varphi^{2}z’\kappa/\sqrt{1-\beta^{2}}|_{s=0}$$>$0(18) が成立する. 同様の議論により, (19) も示される.

となり,$\lambda_{2}\leq 0$と仮定して矛盾を導こう.

$e$

をに属する固有関数とすると,$\lambda_{2}$$J[e]=-\lambda_{2}e$,$B[e]|_{\partial C}=0$であり, $e(s_{0})=0$ を満たす $s_{0}\in(0, L)$ が唯一つ存在する.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{[0,s\mathrm{o}]}$tよ$\lambda_{1}^{0}([0, s_{0}])$に属する固有関数である.

口$e$

は $(0, s_{0})$ で 0[こならないから,したがって,$\lambda_{1}^{0}([0, s_{0}])=\lambda_{2}\leq 0$(20)$\lambda_{1}^{L}([s_{0}, L])=\lambda_{2}\leq 0$(21)が成立する. 同様にして,が成り立つ.

(18), (20), (17) により矛盾が導かれる. 同様に, $s_{0}>s_{1}$ も起こり得ない. したがって, $s_{0}=s_{1}$ である. このとき, (18)\sim (21) により矛盾が導かれる. 以上$\ovalbox{\tt\small REJECT}<s_{1}$により,と仮定すると,$\lambda_{2}>0$

でなければならないことがわかる.

Case(II): Lemma 42 の証明の中で見たように, $z’(s)=z”(s)=0$ とは決してならない.
したがって,$\kappa=\gamma z+\kappa_{0}$及び $z”=-\kappa x’$ により,$\kappa$

は変曲点の近傍で狭義単調である. 故に,Lemma 2.1 により,$\kappa(L)+\kappa(0)=0,$$\kappa(0)\neq 0$(22)

$\hslash\backslash [searrow]^{\backslash }\mathrm{E}\mathfrak{T}\underline{\backslash }"[perp] \mathrm{T}\xi)$.

$\mathrm{b}\Gamma_{arrow}^{-}\hslash\backslash -\supset C\backslash ^{\backslash }-,$$b$$\kappa l\mathrm{X},$159.
$s_{2}\in(0, L)arrow C^{\backslash }\backslash 0l:fs\xi)$Claim 3$\int_{C}z’ds\neq 0$,$\int_{C}z’\kappa^{3}ds=0$

(23)

.

Claim 3 の証明 Lemma 32(vi) と $z’(L)=-z’(0)$ により, 次の Case(II-l)\sim (II-3) のい
ずれかが成立する.

Case(II-l) $C([0, s_{2}])$ と $C([s_{2}, L])$ は点 $C(s_{2})$ に関して互いに対称である.
Case(II-2) ある $s_{3}\in(0, s_{2})$ が存在して, $C([s_{3}, s_{2}])$ と $C([s_{2}, L])$ は点 $C(s_{2})$ に関して互いに対称である.

Case(II-3) ある $s_{3}\in(s_{2}, L)$ が存在して,$C([0, s_{2}])$と $C([s_{2}, s_{3}])$ は点 $C(s_{2})$ に関して互いに対称である.

まず初めに$z’(s)\neq 0$ ,(24)$\forall s\in(0, L)$と仮定する.

このときは Case(II-l) でなければならない. 実際,$\kappa(0)=\kappa(s_{3})$となるから,$\kappa=\gamma z+\kappa_{0}$もしも Case(II-2) ならば,

より $z(0)=z(s_{3})$ . よって $z’(s)=0$ となる $s\in(0, s_{3})$が存在することになり, 仮定 (24) に反する.

Case(II-3) についても同様である.

したがってCase(II-l) であり, (23) が成立する.
次に, $z’(s)=0$ となる $s\in(0, L)$ が存在する場合について考える.

に見たように,ものを$s_{1}$$(0, L)$における $z’$ の零点の個数は奇数である. そのうちで大きさの順番が真中の(22) より $\kappa(0)\neq\kappa(L)$ だから, $z(0)\neq z(L)$ である.
次の (A), (B) のいずれかが成立する.

とする.

(v) により,Lemma 42 の証明中

(A) ある $s_{4}\in(s_{1}, L)$ が存在して,$C([0, s_{1}])$

よって,

Lemma 32と $C([s_{1}, s_{4}])$ は直線 $\{x=x(s_{1})\}$ [こ関して対称である.

(B) ある $s_{4}\in(0, s_{1})$ が存在して, $C([s_{4}, s_{1}])$ と $C([s_{1}, L])$ は直線 $\{x=x(s_{1})\}$ I こ関して対称である.

(A) を仮定しよう. すると, $\kappa(s_{4})=-\kappa(L)$ である. また,
い. したがって, Case(II-2) が成立していて $s_{4}=s_{2}$ である.

$\kappa’=\gamma z’$

よって,

,

$\int_{C}z’ds$$=$$\int_{s_{4}}^{L}z’ds\neq 0$$\int_{C}z’\kappa^{3}ds$$=$$\int_{0}^{s_{4}}z’\kappa^{3}ds+\int_{s_{4}}^{L}z’\kappa^{3}ds=0+0=0$.

(B) の場合も同様にして (23) が成立することがわかる.
さて,は $(s_{4}, L)$ で 0 にならな$\kappa’’=\gamma z’’=-\gamma\kappa x’$に注意して計算すれば,$J[z’]=0$ ,$B[z’]=-\kappa/x’$ ,となることがわかる.

口$J[\kappa]=\kappa^{3}$,$B[\kappa]=z’(\gamma-\kappa^{2}/x’)$

(25)
(26)

160
(23) により, 実数$a$を$a=-( \int_{C}\kappa ds)(\int_{C}z’ds)^{-1}$と定義して,

すると,$u=az’+\kappa$ とおく.

(27)$\int_{C}uds=0$である.
$\mathrm{I}(u)$を計算しよう. (25) により,が成り立つから,$-uJ[u]=-az’\kappa^{3}-\kappa^{4}$(23) から(28)$- \int_{C}uJ[u]ds=-\int_{C}\kappa^{4}ds<0$がわかる. 一方,$uB[u]=(az’+\kappa)(aB[z’]+B[\kappa])$が成立する. (4), (22), (26) から$(az’+\kappa)|_{s=0}=-(az’+\kappa)|_{s=L}$$B[z’]|_{s=0}=-B[z’]|_{s=L}$ ,,$B[\kappa]|_{s=0}=-B[\kappa]|_{s=L}$となることがわかるから,(29)$[uB[u]]_{0}^{L}=0$が成立する. (28) と (29) により,$\mathrm{I}[u]=-\int_{C}\kappa^{4}ds<0$

これと (27) から $C$ は不安定であることがわかる.

となる.

の零点が少なくとも 1 つは存在する.
より, $(0, L)$ に
Case (III):が唯一つの零点 $s_{1}\in(0, L)$ を持ち,
(Lemma 3.2 (v)) と Case (III) の仮定から,

$C$

$z’$

$\kappa’=\gamma z’$$z’$$\{x=x(s_{1})\}$

の対称性
$C$

が直線

C こ関して対称であることがわかる.

$J[z’]=0$ ,$B[z’]|_{\partial C}=0$が成り立つことと $z’$ が $C$ の唯一つの内点で 0 となることから,

0 は固有値問題 (13) の第 2 固有値である.
$J[x’]=\gamma$

であり,

立つ.

,

$B[x’]|_{\partial C}=0$,$\int_{C}(x’/\gamma)ds>0$

各固有値の重複度は 1, さらに,

$C$の対称性から $\int_{0}^{L}z’ds=0,$

Lemma 4.1 により,$C$は安定である.

したがって,

Case (IV): の唯一つの零点をが同時には 0 にならないことから,$z’$$s_{1}$$C$とする.

したがって,$x’(L)>0$ とは直線 $\{x=x(s_{1})\}$ に関して対称であり,$z’(0)\kappa(0)<0$ ,が成り立つ.

$z”=-\kappa x’,$ $x’(0)>0,$$\int_{0}^{L}x’z’ds=0$$z’(L)\kappa(L)>0$

が成り

$z’$

と $z’$’

161,$\mathrm{I}(z’)=[z’B[z’]]_{0}^{L}=-\frac{1}{\sqrt{1-\beta}}(z’(L)\kappa(L)-z’(0)\kappa(0))<0$

となり,

$C$

は不安定である.

Case (V): 曲線
き,

$z’$

$\int_{C}z’ds=0$$C_{0}\subset\subset C$

を両端点及び唯一つの内点で $z’=0$ となるように取る. このとは固有値問題$J[p]=-\lambda p$in$C_{0}$,$p|_{\partial C_{0}}=0$の第 2 固有値 0 に属する固有関数である. 故に, 固有値の領域に対する単調性により, $C$ は, 固
定境界値問題に対して第 2 固有値が負となり, 不安定である. したがって, もちろん我々の自由境界値問題に対しても不安定である.

口

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