数理解析研究所講究録
第 778 巻 1992 年 91-97

91

等質ベクトル束の球切断
峰村勝弘

日本女子大学序$G$を連結なリー群、 $K$ を $G$ の閉部分群とし、 $G,K$ のリー環をそれぞれ 9,【で表し、$Ad(K)$ 不変部分空間

は簡約と呼ばれる)。

$\mathfrak{p}$で、$\mathfrak{g}_{c},$$t_{c},$

をそれぞれ 9,写像を表す。 を巧をその表現空間とする$\tau$

表現に拡張して、 その核を等質ベク トル束を$E_{\tau}$で表す。

$\mathcal{I}$とし、$E_{\tau}$にとなるものが存在すると仮定する (このとき、 $G/K$$\mathfrak{g}=f\oplus \mathfrak{p}$$\mathfrak{p}_{c}$$\mathfrak{g}$$\mathcal{I}$

$t,$

$K$

$\mathfrak{p}$の複素化とする。 $T$ で$U(\mathfrak{g}_{c})$上の標準逆同型の有限次元表現とし、 の微分表現を $U(C_{c})$ の$\tau$の $T$ による像を$\mathcal{I}^{T}$で表す。 に同伴する $G/K$ 上の$\tau$

上の $G$ 一不変微分作用素全体のなす環を $D(E_{\tau})$ と記す。 第1 節で、 $D(E_{\tau})$ はベク トル空間として $(S(\mathfrak{p}_{c})\otimes EndV)^{K}$ と同型になることを示し (命題$1.2)$ 、ある条件のもとでは $D(E_{\tau})$ とを示す (定理 1.3)$\chi$$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}/U(\mathfrak{g}_{c})^{K}\cap U(\mathfrak{g}_{c})\mathcal{I}^{T}$

が環として同型になること。

を環 $D(E_{\tau})$ の有限次元表現とする。 第 2 節では $K$ がコンパク トと仮定し” \chi 型の同時固有切断” の定義と帯球函数 $([5],[7])$ の一般化としての”$\chi$

型の球切断” の定義を与え、\chi 型の球切断の全体がなすベク トル空間の次元を上からおさえることができることを示す(定理 2.5)。

第 3 節では、 $G/K$ が対称リーマン空間の時に、 球切断のなす空間の次元をボアソン変換

を用いて決定する (定理 3.4)。

本稿では詳細を [11] に譲り証明を省略する。

1.

不変微分作用素環

記号は序のものに従う。

$C^{\infty}(G, V_{\tau})$のなす空間を、 $C^{\infty}(G, \tau)$ で表す。 また、$C^{\infty}(G, \tau)$$\mathfrak{g}$$\sigma$をで$E_{\tau}$$C^{\infty}(G, V_{\tau})$の元 $f$ で $f(gk)=\tau(k^{-1})f(g)$ を満たすもの全体を上の可微分切断全体を表す。 このとき自然な対応でとが同型になる。 以下この対応により

の元を
$K$

$C^{\infty}(E_{\tau})$

で $G$ 上で定義された鷲に値をとる可微分関数全体$G$上の左不変微分作用素とみなし、の鷲上の別の有限次元表現とし、このとき$U(\mathfrak{g}_{c})\otimes L(V_{\tau}, V_{\sigma})$$C^{\infty}(E_{\tau})$$U(\mathfrak{g}_{c})$$L(V_{\tau}, V_{\sigma})$のと$C^{\infty}(G, \tau)$$C^{\infty}(G, V_{\tau})$

で巧から$V_{\sigma}$$C^{\infty}(E_{\tau})$とを同一視する。

上の表現に拡張する。

への線形写像全体を表す。

は$(X\otimes T)f=T\cdot Xf$$(X\in U(\mathfrak{g}_{c}), T\in L(V_{\tau}, V_{\sigma}), f\in C^{\infty}(G, V_{\tau}))$により $C^{\infty}(G, V_{\tau})$ に作用する。 $D(E_{\tau}, E_{\sigma})$ を $G$ の作用と可換な全体のなすベク トル空間とし、 $\tau=\sigma$ のとき$D(E_{\tau}, E_{\sigma})$$E_{\tau}$から$E_{\sigma}$への微分作用素を単に $D(E_{\tau})$ と記す。 $k\in K,$ $T\in$92に対して、 $kT=\sigma(k)T\tau(k^{-1})$ と定めることにより、$L(V_{\tau}, V_{\sigma})$す。

の元 $D$ は $C^{\infty}(G, \tau)$ の元を$(U(\mathfrak{g}_{c})\otimes L(V_{\tau}, V_{\sigma}))^{K}$

5.4.11]) ので、 $D$ は$D(E_{\tau}, E_{\sigma})$の元$\Delta$を定める。

写像\mbox{\boldmath $\mu$}o を $\Delta=\mu_{0}(D)$ で定義する。 A を$\nu(p\otimes T)=\Lambda(p)\otimes T$

により

$\nu$

を定義する。

$\nu$

(

の

$S(p_{c})\otimes L(V_{\tau}$

を $K$ 一加群とみなに写す([16, Proposition$C^{\infty}(G, \sigma)$$(U(\mathfrak{g}_{c})\otimes L(V_{\tau}, V_{\sigma}))^{K}$

から$S(\mathfrak{g}_{c})$$L(V_{\tau}, V_{\sigma})$$U(\mathfrak{g}_{c})$から $D(E_{\tau}, E_{\sigma})$ へのへの対称化写像とし、$(p\in S(\mathfrak{g}_{c}), T\in L(V_{\tau}, V_{\sigma}))$, V\mbox{\boldmath $\sigma$}))K への制限をで表す。 更に $\zeta_{K}=\mu_{0}\cdot\nu_{K}$ と$\nu_{K}$おく。 このとき

11.

補助定理

$\zeta_{K}$は $(S(p_{c})\otimes L(V_{\tau}, V_{\sigma}))^{K}$ から $D(E_{\tau}, E_{\sigma})$ の上への同型を与える。

以下 $\tau=\sigma$ とし、 の微分表現 (それも$\tau$$q\otimes Id$

制限を

により
$\mu$

$(U(\mathfrak{g}_{c})\otimes EndV_{\tau})^{K}$と定義する。

$\mathcal{I}$を$\tau$の$\tau$で表す) が既約と仮定する。

$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$の部分集合とみなすことができるので、$U(f_{c})$$\mu_{0}$のは対応$qrightarrow$$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$へのにおける核とし、$\xi(q\otimes z)=q\otimes(z+\mathcal{I}^{T})$$(q\in S(\mathfrak{p}_{c}))z\in U(g_{c}))$により、 $S(p_{c})\otimes U(g_{c})$ から $S(p_{c})\otimes U(g_{c})/\mathcal{I}^{T}$ の上への写像\mbox{\boldmath $\xi$} を定義する。 は $K$ の作用と可
$\xi$

換なので、

$\xi$

の

(S(pc)\otimes U(ec))K への制限\mbox{\boldmath $\xi$}K は$(S(\mathfrak{p}_{c})\otimes U(l_{c}))^{K}$から$(S(\mathfrak{p}_{c})\otimes U(e_{c})/\mathcal{I}^{T})^{K}$の中への写像となる。 一方 の既約性から、$\tau$$\eta(q\otimes(z+\mathcal{I}^{T}))=q\otimes\tau(z^{T})$で定義される写像 は$\eta$$\eta$の$S(\mathfrak{p}_{c})\otimes U(g_{c})/\mathcal{I}^{T}$$(S(\mathfrak{p}_{c})\otimes U(e_{c})/\mathcal{I}^{T})^{K}$

から$S(\mathfrak{p}_{c})\otimes U(g_{c})$2.4.15])
命題
は

ので、

12.

$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$$\tau$$\psi$のから$S(\mathfrak{p}_{c})\otimes EndV_{\tau}$

への $K$ 一同型をあたえ、 従って、への制限は $(S(p_{c})\otimes EndV_{\tau})^{K}$ の上への同型を与える。

$\psi(q\otimes z)=\Lambda(q)z$により$(q\in S(p_{c}), z\in U(t_{c}))$$(q\in S(p_{c}), z\in U(g_{c}))$への写像を定めると、$U(\mathfrak{g}_{c})$(S(pc)\otimes U(gc))K への制限は$\psi$

は $K$ 一同型となる$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$の上への同型となる。

を $K$ の防上の有限次元表現で、 その微分表現が既約と仮定する。 このとき$\mu$

から $D(E_{\tau})$ への環準同型で、$(S(\mathfrak{p}_{c})\otimes U(l_{c}))^{K}$$arrow^{\xi_{K}}$$(S(p_{c})\otimes U(g_{c})/\mathcal{I}^{T})^{K}$$\eta Karrow\underline{\simeq}$$(S(\mathfrak{p}_{c})\otimes EndV_{\tau})^{K}$$\psi_{K}\downarrow\cong$$\zeta_{K}\downarrow\cong$$arrow^{\mu}$$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$

は可換となる。 従って の核は$\mu$$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}/U(g_{C})^{K}\cap U(\mathfrak{g}_{c})\mathcal{I}^{T}$

分条件は([3, Proposition$\xi_{K}$から$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}\cap U(\mathfrak{g}_{c})\mathcal{I}^{T}$$D(E_{\tau})$が全射となることである。

上の命題から次の定理を得る。

$D(E_{\tau})$

に等しく、

への写像を

$\mu_{K}$$\mu$から誘導されるとすれば、$\mu_{K}$が全単射となる必要十

93
定理

1.3.

次の条件の一っが成立すれば、 単射環準同型写像$\mu_{K}$:$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}/U(\mathfrak{g}_{c})^{K}\cap U(\mathfrak{g}_{c})\mathcal{I}^{T}arrow D(E_{\tau})$:は全射となるでに $K$ 一不変部分空間(i)(ii) $K$ の随伴表現は の上で半単純である。
(iii) $Ad(K)$ はコンパク トである。
$U(g_{c})$$\mathcal{J}$$U(g_{c})=\mathcal{I}\oplus \mathcal{J}$となるものが存在する。

$e_{c}$

注意 \mbox{\boldmath $\tau$}が自明なときは、 上の定理は良く知られた同型 ([7])$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}/U(\mathfrak{g}_{c})^{K}\cap U(\mathfrak{g}_{c})^{g}\cong D(G/K)$

を与える。

2.

同時固有切断と球切断$R(D_{\tau})$ で環
この節では $K$ はコンパク トと仮定する。 この時 $G/K$ は簡約である ([7])$D(E_{\tau})$ の有限次元表現の同値類全体を表す。
上の超 (函数) 切断 ([16]) 全体のなす。

$E_{\tau}$

空間を $B(E_{\tau})$ と書き、 自然な $G$ 一加群としての構造に対応する $G$ の表現を

定義

21.

$\chi\in R(D_{\tau})$の表現空間を $H$ とする。 $u\in B(E_{\tau})$ に対して

$\pi$

と書く。

$\mathcal{B}(E_{\tau})$の$D(E_{\tau})-$は $D(E_{\tau})$ 一加群として $H$ の商加群に同型
不変部分空間 $H_{i}(i=1\ldots n)$ が存在して 1) 各
$2)u\in\Sigma_{i}H_{i}$は 型の同時固有切断という。
の 2 条件を満足するとき$H_{i}$$u$により \chi 型の同時固有切断のつくるベク トル空間を表す。 $G$ の $B(E_{\tau})$ 上の自然

$B(E_{\tau}, \chi)$

な作用を

$\pi$

$\chi$と書く。 この作用で $B(E_{\tau}, \chi)$ は G 一加群となる。 $K$ がコンパク ト故、 次の補助定理を得る。

補助定理 22.

$\mathcal{B}(E_{\tau}, \chi)$

以下 $B(E_{\tau}, \chi)$ を単に$V_{\tau}$の次元を $d(\tau)$、$K$のすべての元は解析的である。

$\mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)$と記す。

上の正規化されたハール測度を $dk$ とする。 巧に値をとる $G$ 上の解析的関数 $f$ について次の条件を考える :

(C1)
(C2)
(C3)

$f(gk)=\tau(k^{-1})f(g)$$f(kgk^{-1})=f(g)$$(g\in G, k\in K)$ ,$(g\in G, k\in K)$ ,$d( \tau)\int_{K}\overline{tr(\tau(k))}f(k^{-1}g)dk=f(g)$@ (または$(g\in G)$) を上の条件 (C1) と (C3) (または (C2) と $(C3)$ ) を満たす

補助定理 2.3.

$S,$ $T$をそれぞれ次式で定義される写像とする。

$(Sf)(g)= \int_{K}f(kgk^{-1})dk$(f\in @, $g\in G$ ),$(Tf)(g)=d( \tau)^{2}\int_{K}\tau(k)f(gk)dk$

このとき

.

$U’$

$(f\in 1, g\in G)$.

$f$の全体とする。

94(i) $S,$ は共に全単射で互いに逆写像となる。
(ii) $f\in S,$
に対して $(Sf)(e;D)=f(e;D)$ となる。 従って、 すべての $D\in$に対して $f(e;D)=0$ ならば $f=0$ となる。
$T$

$D\in U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$

定義

24.

$u\in \mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)$

力\mbox{\boldmath $\sigma$}$d( \tau)\int_{K}\overline{tr(\tau(k))}\pi(k)udk=u$を満たすとき、を ($u$\chi 型の球切断全体を$\chi$

型の) 球切断という。

$A(E_{\tau}, \chi)^{\tau}$

と書く。

に対して

$u\in \mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)$$<s_{\chi}(u),$ $\triangle+ker\chi>=(\Delta u)(eK)$により、 $A(E_{\tau}, \chi)$ から $V_{\tau}\otimes(D(E_{\tau})/ker\chi)^{*}$ への写像

定理

2.5.

$s_{\chi}$の$\mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)^{\tau}$を定義する。

$s_{\chi}$への制限は単射となる。 従って$\dim \mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)^{\tau}\leq d(\tau)\cdot\dim(D(E_{\tau})/ker\chi)$3.

.

リーマン対称空間上の球切断とボアソン変換
この節では $G$ は中心が有限な連結半単純リー群で、 $K$ はその極大コンパク ト部分群とし、$\mathfrak{g}=C\oplus p$

群を

$A$

をカルタン分解とする。

とする。

$a$

$\alpha$を$P$の極大可換部分空間とし、$a$に対応する解析的部分にひとっの辞書式順序を入れ、 この順序に関して正のルートに対応する

巾零部分群を N、正のルートの和の半分を で表す。岩沢分解 $G=KAN$ に対応する $g\in G$$\rho$の分解を $g=\kappa(g)e^{H(g)}n$ と書く。 $K$ における $A$ の中心化群を $M$ とし、 $P=MAN$ とおく。
$\tau$

を $K$ の $V$ 上の既約表現とし、限を$\tau_{M}$$\tau$に同伴する等質ベク トル束をとする。 $M$ の巧上の有限次元表現\mbox{\boldmath $\sigma$} と、$e^{(-\lambda+\rho)H(a)}\sigma(m)(m\in M, a\in A, n\in N)$

す。 特に、 $\sigma=\tau_{M}$ のときは
$E_{\tau\text{、}}F_{\sigma,\lambda}$$F_{\tau_{M},\lambda}$$\lambda\in\alpha_{c}^{*}$$E_{\tau}$と書く。

$\tau$の $M$ への制に対して、 $P$ の表現 $P\ni man$に同伴する $G/P$ 上の等質ベク トル束をの代わりに単に$F_{\tau,\lambda}$と書く。

$\mathcal{B}(E_{\tau})$$B(F_{\sigma_{2}\lambda})$、$F_{\sigma,\lambda}$$\mapsto$

で表

をそれぞれ

の超 (函数) 切断全体とする。 これらの空間は自然に G 一加群となるので、 対応

する $G$ の表現をそれぞれ\pi 、$\pi_{\sigma,\lambda}$と書く。 自然な対応で $B(E_{\tau})$、$B(F_{\sigma,\lambda})$の元をそれぞれ $V$に値をとる超函数と同一視しておく。
$D\in U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$に対して、条件$D-\omega(D)\in \mathfrak{n}U(\mathfrak{g}_{c})$により義する。 $U(\alpha_{c})U(g_{c})$ と環 $U(\alpha_{c})\otimes U(f_{c})$ を同一視して、の) への環逆同型\omega を定義する

定め、$\omega_{\tau}=(\#\otimes(\tau\cdot T))\cdot\omega$

([3])

。

$U(a_{c})$$\omega_{\tau}’=(\#\otimes\tau)\cdot\omega$、$U(\alpha_{c})U(t_{c})$$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$

から $U(a_{c})\otimes U(f_{c})$ (の中へ

上の自己同型 を $\#(H)=H+\rho(H)(H\in\alpha)$ で$\#$, とおく。 このとき、$\omega_{\tau}$

ら $U(a_{c})\otimes U(t_{c})$ への環準同型 (または環逆準同型) となり、核は
しい([9, Corollary 4.5] ) 。一方 $K$ はコンパク トだから

$D(E_{\tau})$$\chi_{\tau}$

での元として $\omega(D)$ を定$\mu_{K}$

:

( または

$\omega_{\tau}’$) は $U(g_{c})^{K}$ か$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}\cap U(\mathfrak{g}_{c})\mathcal{I}^{T}$にひと$U(\mathfrak{g}_{c})^{K}/U(g_{c})^{K}\cap U(\mathfrak{g}_{c})\mathcal{I}^{T}arrow$は定理 1.3 により全射となる。 従って $D(E_{\tau})$ から $U(\alpha_{c})\otimes End_{M}V$ の中への環同型$\chi_{\tau}\cdot\mu=\omega_{\tau}\backslash$となるものがただ一っ存在する。

95
$M$

の既約表現で$\tau_{M}$に現れるものの全体をの多項式関数とみて、$\omega_{\sigma}$で表す。

$\lambda\in\alpha_{c}$での値を対応させる写像をを表す。 分解 $End_{M}V\cong\Sigma_{\sigma\in R_{r}}$ End$Hom_{M}(V_{\sigma}, V)$を$\lambda\in a_{c}$$R_{\tau}$$H_{\sigma}$$e_{\lambda}$に対して、 $U(a_{c})$ の元をと書く。

$\sigma\in R_{\tau}$に対して$a_{c}^{*}$$H_{\sigma}$

上でによる EndMV から End H\mbox{\boldmath $\sigma$}への射影とする。
$\chi_{\tau,\lambda}=(e_{\lambda}\otimes Id)\cdot\chi_{\tau}$,$\chi_{\tau,\sigma,\lambda}=(e_{\lambda}\otimes\omega_{\sigma})\cdot\chi_{\tau}$$\omega_{\tau,\lambda}=\chi_{\tau,\lambda}\cdot\mu$,,$\omega_{\tau,\sigma,\lambda}=\chi_{\tau,\sigma,\lambda}\cdot\mu$

とおく。

定義

3.1.

$\phi\in B(F_{\tau,\lambda})$に対して$( \mathcal{P}_{\tau,\lambda}\phi)(g)=\int_{K}\tau(k)\phi(gk)dk$と定義し$\mathcal{P}_{\tau,\lambda}$$(g\in G)$

をポァソン変換と呼ぶ。

容易に$( \mathcal{P}_{\tau,\lambda}\phi)(g)=\int_{K}e^{-(\lambda+\rho)(H(g^{-1}k))}\tau(\kappa(g^{-1}k))\phi(k)dk$

がわかるので、$\mathcal{P}_{\tau\lambda,)}\phi$

は $G$ 上解析的であり、$\mathcal{P}_{\tau,\lambda}$

は$B(F_{\tau,\lambda})$から$E_{\tau}$の解析的切断全体 $A(E_{\tau})$への写像であることがわかる。
$\Psi_{\tau,\lambda}(g)=e^{-(\lambda+\rho)(H(g^{-1}))}\tau(\kappa(g^{-1}))$

とおく。

$\Psi_{\tau,\lambda}$が解析的で $K$ がコンパク トであることより次の補助定理を得る。

補助定理$\sigma\in R_{\tau}$

3.2.

$D\in U(\mathfrak{g}_{c})^{K}$に対し、$H_{\sigma}$に対して、 $\Psi_{\tau,\lambda}(g;D)=\Psi_{\tau,\lambda}(g)\cdot\omega_{\tau,\lambda}(D)(g\in G)$

を $G/K$ 上の自明なベク トル束とみなす。 この時$F_{\tau,\lambda}$は$\Sigma_{\sigma\in R_{f}}F_{\sigma,\lambda}\otimes H_{\sigma}$に同型なので$B(F_{\tau,\lambda}) \cong\sum_{\sigma\in R_{T}}B(F_{\sigma,\lambda})\otimes H_{\sigma}$となる。 この同型により

への制限を

を

の部分空間とみなし、$\mathcal{B}(F_{\tau,\lambda})$$\mathcal{P}_{\tau,\lambda}$の $B(F_{\sigma,\lambda})\otimes H_{\sigma}$と書く。

$\mathcal{P}_{\tau,\sigma,\lambda}$$H_{\tau,\sigma}(\sigma\in R_{\tau})$$B(F_{\sigma,\lambda})\otimes H_{\sigma}$(直和)

で $Hom_{M}(V, V_{\sigma})$ を表す。 また$u\in \mathcal{B}(F_{\sigma,\lambda})$で$d( \tau)\int_{K}\overline{tr(\tau(k))}\pi_{\sigma,\lambda}(k)udk=u$を満たすものの全体を$B(F_{\sigma,\lambda})^{\tau}$と書く。 このときベニウスの相互律) 。 この同型をさて $(\chi, H)$ を$(\chi_{\tau,\sigma},{}_{\lambda}H_{\sigma})$$\Gamma_{\sigma,\lambda}$$V\otimes H_{\tau,\sigma}$

は$B(F_{\sigma,\lambda})^{\tau}$と同型になる (フロとおく。

の部分表現とすると$D(E_{\tau})/ker\chi\cong\chi(D(E_{\tau}))\subset EndH\cong H\otimes H^{*}\subset H_{\sigma}\otimes H^{*}\cong(H_{\tau,\sigma}\otimes H)^{*}$となるので、 上の包含関係 $D(E_{\tau})/ker\chi\subset(H_{\tau,\sigma}\otimes H)^{*}$ の転置として得られるら$(D(E_{\tau})/ker\chi)^{*}$の上への写像を $Px$ と定める。

$H_{\tau,\sigma}\otimes H$か96
補助定理 3.3.

(i)$\mathcal{P}_{\tau,\sigma,\lambda}$

は$(\chi, H)$を$\mathcal{B}(F_{\sigma,\lambda})\otimes H$$(\chi_{\tau,\sigma}){}_{\lambda}H_{\sigma})$の部分表現とする。 このときから $A(E_{\tau})$ への $G$ 一準同型写像で$Id\otimes\chi(\Delta)arrow$$B(F_{\sigma},)\otimes H\downarrow \mathcal{P}^{\lambda_{\tau,\sigma,\lambda}}$$B(F_{\sigma},)\otimes H\downarrow \mathcal{P}^{\lambda_{\tau,\sigma,\lambda}}$$arrow^{\Delta}$$\mathcal{A}(E_{\tau})$$\mathcal{A}(E_{\tau})$

はすべての $\triangle\in D(E_{\tau})$ について可換となる。 従って$P_{\tau,\sigma,\lambda}$$\mathcal{P}_{\tau,\sigma,\lambda}$(ii) 第 2 節で定義された$s_{\chi}$:$B(F_{\sigma,\lambda})\otimes Harrow \mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)$:$B(F_{\sigma’,\lambda})^{\tau}\otimes Harrow \mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)^{\tau}$,.

について次の可換図式を得る。
$\Gamma_{\sigma_{6^{\underline{\prime}}}\lambda}\otimes Id$$B(F_{\sigma},)^{\tau} \bigotimes_{)}H\downarrow \mathcal{P}_{\tau,\sigma\lambda}^{\lambda}$$V\otimes H_{\tau,\sigma}\otimes H\downarrow Id\otimes p_{\chi}$$arrow^{s_{\chi}}$$\mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)^{\tau}$

定理 2.5, 補助定理 3.3 と

3.4.

$p_{\chi}$$V\otimes(D(E_{\tau})/ker\chi)^{*}$.

が全射であることから次の定理が得られる。

を連結な中心有限の半単純リー群とし $K$ を $G$ の極大コンパク ト部分群とを $G/K$ 上の に同伴する等質ベク トル束とする。
し、 を $K$ の有限次元既約表現とする。

定理

$G$

$E_{\tau}$$\tau$$(\chi, H)$を$(\chi_{\tau\sigma})’ {}_{\lambda}H_{\sigma})$(i) 写像(ii)$s_{\chi}$はの部分表現とする$\mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)^{\tau}$$B(F_{\sigma,\lambda})^{\tau}\otimes H$$\tau$$(\sigma\in R_{\tau\text{、}}\lambda\in a_{c}^{*})$。このときから $V\otimes(D(E_{\tau})/ker\chi)^{*}$ の上への同型である。

と $V\otimes H_{\tau,\sigma}\otimes H$ を同一視すると,$P_{\tau,\sigma,\lambda}(V\otimes H_{\tau,\sigma}\otimes H)=\mathcal{A}(E_{\tau}, \chi)^{\tau}$$ker\mathcal{P}_{\tau,\sigma,\lambda}\cap V\otimes H_{\tau,\sigma}\otimes H=V\otimes kerp_{\chi}$.

(iii) 次の条件は互いに同値である :1) \chi\mbox{\boldmath$\tau$},\mbox{\boldmath$\sigma$},\mbox{\boldmath$\lambda$} は既約.
2)
.
は
3)
の上で単射的.
$\dim A(E_{\tau}, \chi_{\tau,\sigma,\lambda})^{\tau}=d(\tau)[\tau :\sigma]^{2}$$P_{\tau,\sigma,\lambda}$$V\otimes H_{\tau,\sigma}\otimes H_{\sigma}$

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