数理解析研究所講究録
1028 巻 1998 年 106-122106

多項式係数を持つ非斉次線形常微分方程式の形式解の係数に関する評価
お茶の水女子大学大学院人間文化研究科複合領域科学専攻
中村弥生 (Yayoi Nakamura)

1

Introduction
多項式係数をもつ 2 階の線形常微分方程式$\frac{cl^{2}y}{dx^{2}}.-p(x)y=0,p(x)=x^{m}+a_{1}x^{m-1}+\ldots+a_{m}$は, 無限遠点を不確定度 $m+2$ の不確定特異点としてもち, その他の特異点をもたない.
れは, 次の 4 つの場合, 積分の形で表される解を持つことが分かる.

こ(i) $p(x)=x+a_{1}$(ii) $p(x)=x^{2}+a_{1}x+a_{2}$(iii) $p(x)=x^{m}$(iv) $p(x)=X^{2p}+cX^{p-}1$
これらの場合, 方程式は, 一般合流型超幾何微分方程式に帰着する. 特に, (i) の解は Airy関数として, (ii) の解は parabolic cylinder 関数として, 良く知られたものである.
方, 与えられた微分作用素 $P$ に関し, Deligne の同型定理により$H^{1}(S^{1}, \mathcal{K}e\Gamma(P;A\mathrm{o}))\cong \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P;\hat{O}/\mathcal{O})$が成り立ち,の基底を取ることができる. また, これに注目して, 「漸近級数の係数の漸近評価を伴った漸近解析における消滅定理」 を用いることにより, 作用素 $P$ に関するある非斉次方程式の形式解の係数, 及び, 形式解の係数の漸近評価を求めることができる.
$\mathrm{I}’\backslash \mathrm{e}\mathrm{r}(P;\hat{\mathcal{O}}/\mathcal{O})$

ここでは, (iii), (iv) の場合の作用素 $P= \frac{d^{2}}{dx^{2}}-p(x)$ に関する非斉次方程式の形式解について計算をする. 特に, (iii) に関して,の基底の取り方を詳しく見て行く. この手法は Majima による 「漸近級数の係数の漸近評価を伴った漸近解析における消滅定理の証明に沿っている. 定理とその証明に関しては文献を参照されたい.
$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P;\hat{O}/\mathcal{O})$$\rfloor$

107

2

の場合

$.P= \frac{d^{2}}{dx^{2}}-x^{\uparrow?\mathrm{z}}$任意の実数 $R>0$ に対して,
域とする.

$U_{k},$$S_{k}$

を $k=0,1,$$..\cdot.,$$m+1$ に対して次で決まる開扇形領.

$=$$\{x\in \mathrm{C};|x|>R,$ $\frac{2k^{\wedge-}3}{m+2}\pi<\arg x<\frac{2k^{\wedge}+1}{m+2}\pi\}$.

$=$$U_{k}\cap U_{k1}+$$=$$\{x\in \mathrm{C};|x|>R,$ $\frac{2k^{\wedge}-1}{m+2}\pi<\arg x<\frac{2k+1}{m+2}\pi\}$$U_{k}$$S_{k}$,.

但し, $U_{m+2}=U_{0}$ とおく. このとき, $\{U_{k}, k=0,1, \ldots, m+1\}$ は x $=\infty$ で開扇形被覆を
なす.

2.1

斉次方程式の鰐

方程式$( \frac{darrow}{dx^{\underline{9}}},-x^{m})y=0$

は, 次の性質を満たす解上で$x$$y_{k}\text{を}:\neq \text{つ}$が無限遠点に近づくとき,. つまり,$\backslash ,\dot{\lambda}$の整関数であり, 扇型領域:の漸近表示を持つ.
.

$/\mathrm{c}_{k}.$は$x$$S_{k-1}\cup\overline{S}_{k^{\cup s_{k+1}}}$.

,$/ \tau k.\sim\omega\frac{n\iota}{4}kX-\frac{m}{4}(1+\sum_{N=1}^{\infty}BN\omega^{\frac{k}{2}N\frac{N}{2}}x-)exp\{(-1)k+1_{\frac{2}{m+2}X^{\frac{m+2}{2}}\}}$

但し,,$\omega=e^{\frac{}{m+\sim}ri}\underline’,$

であって,$B_{N}$

は $N=0,1,$$\ldots$に対して, 次で決まる.

$B_{()(}m+2N+1)= \prod_{\ell_{=}0}^{N}\frac{-1}{(7?x+2)(\ell+1)}\{\frac{7n}{4}(\frac{m}{4}+1)+\frac{\ell_{l?l}(\uparrow n\dagger 2)}{4}+\frac{\ell(m+2)}{2}.(\frac{\ell(m+2)}{2}+1)\}$$B_{j}=0,j\neq(\uparrow n+2)(N+1)$

方,$x^{\frac{m+2}{}}\underline’=z$

とおくことにより, 作用素$x \underline’\frac{ct\underline{)}}{cl\tau^{\underline{9}}}.-x^{?n+2}$.

$x^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}}-x^{m+}2$は次のように変換される.

$=$$(x \frac{d}{d^{l}c}.)(x\frac{d}{dx}-1)-xm+2$$=$$( \frac{\uparrow?\mathit{1}.+2}{2}z\frac{d}{dz})(\frac{nl+2}{2}Z\frac{d}{clz}-1)-z^{2}$$=$$( \frac{\uparrow??+2}{2})^{\underline{9}}z\{_{Z}\frac{cl^{2}}{dz^{2}}..+(1-\frac{2}{7n+2})\frac{d}{dz}-(\frac{2}{m+2})^{2}Z\}$

このとき, 微分方程式$\{z\frac{c\Gamma-}{d_{\tilde{\iota}^{2}}}+(1-\frac{2}{7?l+2})\frac{d}{dz}-(\frac{2}{\iota n+2})^{2}Z\}u(Z)=0$

.

,

108

を特異点に持つ–般合流型超幾何微分方程式であり, $z=\infty$ を頂点とする角領域で定義された解は, 一般化された Laplace 変換の形を用いて, 次の $u_{-}(z),$ $u+(Z)$ で与えは $z=0,$$\infty$られる.

$u_{-}(z)$但し,$\frac{(-1)^{\frac{}{m+2}(\frac{4}{m+2})^{\frac{l}{2}+}}\frac{l}{m+2}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})(e2\pi i(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})-1)}‘\int_{L_{-}}e^{z\zeta}(\zeta-\frac{2}{m+2})^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{m+2}(\zeta+\frac{2}{m+2})^{-}\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta$$=$$\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{}+\frac{1}{m+\sim}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}\underline{.}’\int_{0}^{+\infty}e^{-z(}’\underline’\zeta\zeta+\frac{\sim}{m+})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+\sim},(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta$

は $-\infty$ から出発し,$L_{-}$

である.

$u_{+}(z)$

但し,

$=$

$u_{-}(z) \text{は}-\frac{\pi}{2}<\arg z<\frac{\pi}{2}$$-\infty$に戻る道

なる扇形領域で正則な解を与える.

$=$$\frac{(-1)^{\frac{0\sim}{m+2}(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+}}\frac{1}{m+^{\circ}\sim}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})(e2\pi i(\frac{1}{\sim}-\frac{1}{m+\sim})-1)}.,\int_{L}e^{z\zeta}(\zeta-\frac{2}{m+2}+)-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}(\zeta+\frac{2}{m+2})^{-}\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta$$=$$. \underline’\frac{(-1)^{\frac{}{n+^{\underline{\mathrm{Q}}}}(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+}}\frac{1}{m+\sim}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{l\mathit{1}1+2})},\int_{0}^{+\infty}e^{z(\zeta+\frac{0\sim}{m+}}’.\zeta)-\frac{1}{\sim},-\frac{1}{m+^{\underline{\mathrm{Q}}}}(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta$$L_{+}$

である.

のまわりを正の向きに–周し, 再び$\zeta=-\frac{\sim 2}{m+2}$

は $+\infty$ から出発し, $\zeta=+\frac{2}{m+2}$ のまわりを正の向きに–周し, 再び $+\infty$ に戻る道

$u_{-}(z) \text{は}.\frac{\pi}{2}<\arg z<\frac{3\pi}{2}$なる扇形領域で正則な解を与える.

これより微分方程式.

$( \frac{d^{2}}{dx^{2}}-X^{m})y=0-$の解で上に述べた性質を持つものは次のように与えられる.
$y2 \ =.\frac{(\frac{4}{\mathfrak{n}l+2})^{\frac{1}{\underline{\mathrm{o}}}+\frac{1}{m+^{\circ}\sim}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{?1\tau+\underline{)}})}.\int_{0}^{+\infty\neq}e^{-x(}’,\zeta- m\sim\sim\zeta+\frac{0\sim}{m+\sim})-\frac{1}{\underline{\mathrm{o}}}-\frac{1}{m+}\underline,(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta$$y_{2k+} \iota=\frac{(-1)^{\frac{\mathrm{o}\sim}{m+^{\underline{\circ}}}(\frac{4}{m+2})}\in+\frac{1}{m+\sim}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})},\int_{0}+\infty m_{\wedge}\pm^{?}\frac{\sim}{m+2},)-\frac{1}{\mathrm{o},\sim}-\frac{1}{m+^{\circ}\vee}(\zeta+e^{x(\zeta}(+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta$

各$y_{k}$

2.2

は, 扇型領域$S_{k}$

における subdominant solution を与える.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\frac{d^{2}}{clx^{2}}-x^{m} ; \overline{O}/O)$$\{U_{0}, U_{1}, \ldots, U_{m}+1\}$の基底に対する l-cocycle を $k=0,1,$ $\ldots m+$}$\{u_{j,j}^{(k)}’ 1’ j+=0,1, \cdots, m+1\}$$y_{j}$$1$に対して, 但し $u_{m+1,m+2}.=u_{m+1,0}(k)(k)$ ,$x\in S_{j}$$j=k$$x\in S_{j}$$i\neq k$$u_{j,j+1}^{(k)}=\{$$0$

とおく. すると,の基底をなす.

$\{u_{j,j}^{(0\rangle}\}+1’ \mathrm{t}\mathrm{c}\iota_{j,j1}^{(1}\})+’\ldots,$$\{u_{j,j+1}^{(m+)}\}1$のコホモロジー類が$H^{1}(S^{1}, \kappa_{er}(P;A\mathrm{o}))$109

ここで, 次の記号を導入する.
$\underline{\pi}$$\epsilon’$$:=$$2(m+2)$

’

,

$<$

$\epsilon<\min\{\epsilon’, R\}$$:=$

$R+\in$$:=$$\frac{2\ell-3}{m+2}\pi+\epsilon$

,

$:=$

$\frac{2l+1}{m+2}\pi-\epsilon$,$U_{\ell}’$$:=$$\{x\in.

$S_{\ell}’$$:=$$\{x\in \mathrm{C};|x|>R’,$ $a_{\ell+1}’<\arg x<b_{\ell}’\}$

$-,)$

$:=$

$(tR’\exp(ia_{\ell+}\prime 1))_{t\in[\infty}1,+)$$(\ell-, +’)$
L$:=$$(tR’\mathrm{e}\mathrm{x}\prime \mathrm{p}(ib’)\ell)_{\iota[+\infty}\in 1,)$$:=$$\frac{a_{\ell+1}+b_{\ell}}{2}$

$0$

$R’$

$a_{\ell}’$$b_{\ell}’$$L(\ell,$$\mathcal{T}\ell$,,\mathrm{C};|x|>R’, a_{\ell}’<\arg_{t}x.<b_{\ell}’\}$

,

,

,

24
$=$

$c(\ell,$$\overline{m+2}^{\pi}$ ’$-,):=(R’\mathrm{e}\mathrm{x}1;)(i((1-t)a_{p}’+1+t\tau\ell)))\iota\in_{1^{0},1}]$$c(\ell, +^{J})$$:=$$(R’\exp(i((1-t)b_{\ell}’+t\tau_{\ell})))t\in 10,1]$$\gamma_{\ell,-}$

’

$:=$

$c(^{\ell,-}’)\cup L(^{\ell,\prime}-)$,$\gamma_{\ell,+}$

’

$:=$

$c(\ell, +)\prime L(\cup\ell, +’)$

,

$:=$

$(tR’\exp(i\mathcal{T}_{\ell}))t\epsilon 11,+\infty)$$\gamma_{\ell}’$$R”$$a_{\ell}\prime\prime$$:=R+2\epsilon$

$:=$

,

,

,

,

$\frac{2\ell-3}{\mathit{7}?l+2}\pi+2\epsilon$,$. \frac{2i+1}{m+2}\pi-2\epsilon$,$b_{\ell_{-}1}’’$$:=$$U_{\ell}’’$$:=$$\{x\in \mathrm{C};|x|>R’’, a_{\ell}^{l\prime}<\arg x<b_{\ell}’’\}$$S_{\ell}’’$$:=$$\{x\in \mathrm{C};|x|>R’’,$ $a_{\ell+1}^{\prime/}<\arg x<b_{l}’’\}$$-,,)$$:=$$(tR”\exp(ia_{\ell}^{l\prime})+1)t\in[1,+\infty)$$L(\ell, +’’)$$:=$$(tR”\exp(ib’)\ell’)_{t\in}[1,+\infty)$$c(\ell, -/’)$$:=$$(R”\exp(i((1-t)a_{\ell+1}\prime\prime+t\tau_{\ell})))_{t\in[]}0,1$$c(\ell, +’’)$$:=$$(R”\exp(i((1-t)b_{\ell}\prime\prime+t\tau_{\ell})))_{\iota\in[0},1]$$\gamma p,-\prime\prime$$:=$$c(\ell, -/’)\cup L(\ell, -\prime\prime)$,$\gamma_{\ell,+}\prime\prime$$:=$$c(^{\ell,+’};)\cup L(^{p+^{n}},)$.

$L(\ell,$

,
,

,

,
,

,

ここで, Sk. で定義される関数族 $(F_{k}.)_{k=0,1,\ldots,1}m+$ に対して, 次を定義する.

Integ $(\ell;(F_{k})_{k=}0,1,\ldots,m+1)(x)$

110

$:=$

$\mathrm{A}_{\urcorner}$$\ell=0,1,$ $\ldots,+1$$\frac{1}{2\pi i}\{\sum_{j\neq\ell-1,\ell}\int_{\gamma’}Fj(\zeta)d\zeta+\int\gamma p_{-1,-\prime}Fj\ell-1(\zeta)d\zeta+\int\gamma_{\ell},+\prime mF\ell(\zeta)d\zeta\},$.

,,$\partial S_{\ell}’$$=$$\gamma p,-’\cup\gamma_{\ell},+’$$\partial S_{\ell’}’$$=$$\gamma_{\ell,\prime}-/\cup\gamma p,+\prime\prime$

であり,$s_{\ell\ell}’’\subset s’$であるから$x\in s_{\ell’}’$, \mbox{\boldmath $\zeta$}\in \partial S:に対して,$|x-\zeta|>\epsilon$が成り立つ. すると x\in \aleph ’ に対して,$v_{\ell}^{(k)}(X):=Integ(P;((\zeta-X)^{-}1u_{j}^{(},k)j+1)_{j}=0,1,\ldots,m+1)$

上で
とおくと
に対して,
$\partial S_{p}’$$u_{\ell,\ell 1}^{(k)}+$が指数的に減少または$0$,であるから, 積分は意味をもつ. また$x\in S_{\ell}’’$$-v_{\ell}^{(k)(k)}+v\ell+’ 1$$=$$. \frac{-1}{2\pi i}\{\sum_{-j\neq 1},\int_{\gamma}\iota.\frac{\prime\iota^{(k)}l_{j,j+1}}{\zeta-x}\ell\ell \mathrm{j}.d\zeta+\int_{\gamma-1^{-^{\iota}}}p\frac{u_{\ell_{-1,\ell}}^{(\cdot)}k}{\zeta-x}d\zeta+\int_{\gamma\ell+}’\zeta’-xu_{\ell}(k\ell+1)d\zeta\}$$+ \frac{1}{2\pi i}\{\sum_{+j\neq\ell,\ell 1}\int_{\gamma_{\mathrm{j}}’}\frac{u_{j,j+1}^{(k)}}{\zeta-x}d\zeta+\int\gamma p-;\frac{u_{\ell,p+1}^{(k)}}{\zeta-x}d\zeta+\int\gamma_{\ell}+1+’\frac{u_{\ell}^{(k)}+1,\ell+2}{\zeta-x}d\zeta\}$$=$$\frac{1}{2\pi i}\{-\int_{\gamma’}\frac{u_{\ell 1}^{(k)}+,p+2}{\zeta-x}dp+1\zeta-\int_{\gamma}p-1^{-}\frac{u_{p_{-}1,\ell}^{(k)}}{\zeta-x}d\zeta’-\int\gamma\ell+’\frac{u_{\ell,\ell 1}^{(k)}+}{\zeta-x}d\zeta$$+ \int_{\gamma_{l-1}’}\frac{u_{\ell 1}^{(k)}-\ell}{\zeta-x}.,d\zeta+\int\gamma p-’\frac{u_{\ell,\ell 1}^{(k)}+}{\zeta-x}d\zeta+\int_{\gamma_{\ell+1}+}’\frac{u_{\ell}^{(k)}+1,\ell+2}{\zeta-x}d\zeta\}$

つまり,

$=$

$\frac{1}{2\pi i}\{\int_{\gamma_{t}-\gamma\ell 1^{-}}’-’\frac{u_{\ell_{-}1,p}^{(k)}}{\zeta-x}-1^{\cdot}d\zeta+\int_{\gamma\gamma+^{l}}\ell-’-t\frac{u_{p\ell 1}^{()}k+}{\zeta-x},d\zeta+\int_{\gamma\ell+}1+’-\gamma\ell+\prime 1\frac{u_{\ell++2}^{(k)}1,\ell}{\zeta-x}d\zeta\}$$=$$0+u_{p}^{()},\ell+\iota+k\mathrm{o}$$x\in S_{\ell}’’$に対して$u_{\ell,\ell}^{(k})+1(X)=-v_{\ell}^{(k)}(X)+v_{\ell 1}^{(k)}(+x)$

が成り立つ. これより,$v_{\ell}^{(k)}-1(X)+u_{\ell-}^{(\cdot)}(1,\ell)kX$,$x\in\{x\in \mathrm{C}||x|>R’’, a_{p}<\arg x<a_{\ell}’’\}$$v_{\ell}^{(k}(_{X)})=\{$$v_{\ell+\iota}^{(k)}(x)-u^{(},(p\ell+1)k)X$によって$v_{\ell}^{(k)}(x)$$x\in\{x\in \mathrm{C}||x|>R’’, b_{\ell}’’<\arg x<b_{\ell}\}$は $\{x\in \mathrm{C}||_{t}x|>R’’, a\ell<\arg x<b_{\ell}\}$ に解析接続される.
$u_{\ell,\ell+1}^{(}k)(=-v+\ell\ell+\cdot 1k)v(\iota)$

$-$

これより,

111

を満たす -cochain $\{v_{0,1}^{()()}kvk, \ldots, v_{m}1\}(k)=k0+$”. : 今,$0$.

$\frac{1}{\zeta-x}$$1,$$\ldots,$

$m+1$

を得る.

$=$

$- \frac{1}{x}(\frac{1}{1-x\zeta}.)$$=$$- \frac{1}{x}(1+\frac{\zeta}{x}+(\frac{\zeta}{x})^{2}+\cdots+(\frac{\zeta}{x})L-1)+\frac{1}{\zeta-x}(\frac{\zeta}{x})^{L}$$=$$- \frac{1}{x}-\frac{\zeta}{x^{2}}-\cdot\cdot...-\frac{\zeta^{L-1}}{x^{L}}+\frac{1}{\zeta-x}(\frac{\zeta}{x})L$であるから,$v_{\ell}^{(k)}$$Integ(^{\ell(};- \sum_{r=1}\frac{\zeta^{r-1}u_{j,j+}^{(k)}1}{x^{r}})_{j=0,1},\ldots,m+1)$

$=$

$=$

$\sum_{r=1}(Integ(\ell;(-\zeta r-1u(j,k)j+1)j=0,1,\ldots,m+1))_{X^{-}}r$.

よって,$T_{\ell,r}^{(k)}$$E_{\ell,L}^{(k)}.(x)$$=^{b}Integ(\ell;(-\zeta r-1)_{j+}u_{j,j}^{(k^{\sim})}=0,1,\ldots,m1)+1-$

Integ

$=$

,

$( \ell;(\frac{\zeta^{L}u_{j,j+1}^{(k)}(\zeta)}{\zeta-x})_{j}=0,1,\ldots,m+1)$とおけば,$v_{p}^{(k)}=L1r1 \sum_{=}^{-}T(k)-xr+\ell,r(E_{\ell,L(_{X)x}})k-L$が成り立つ.
$\partial S_{\ell}’$で$u_{\ell,p+1}^{(k)}$は指数減少または$0$であるから,$v_{p}^{(k)}$は $\{x\in \mathrm{C}||x|>. R’’, a\ell<\arg X<b_{p}\}$.

上で形式巾級数$\hat{v}_{\ell}^{(k)}(X)=\sum T^{()}X\ell,rk-r$に漸近展開可能である.
いま,るから,$u_{\ell}^{(\cdot)}k,\ell+1=-v_{\ell^{k)}}^{(}$$+v_{\ell+1}^{()}k$は $\{x\in \mathrm{C}||x|>R’’, a\ell+1<\arg_{X<}b_{\ell}\}$ で subdominant であ$-$$\sum_{\gamma=1}\tau(,k)-r=\ell_{r}X\sum r=1\tau_{\ell+}(k)x-r1,r$よって,$\sum_{\Gamma=1}v_{(r)}.x-r=(k)r=\sum_{1}\tau^{(k)}X\ell,r-r$

とおけば,
$/L)$

1

,

$m\pm^{1}$$v_{(r)}^{(k)}= \frac{\perp}{2\pi i}\{.\sum_{=\ell 0}^{\vee 1\wedge}\int_{\gamma_{p}’}-\zeta^{r}-1u,\cdot d(k)\zeta p\ell+1\}$

112

となるが,

)
$\mathrm{t}\backslash 1^{k},\ell$

$+1$

の定義より
$v_{(r)}^{(k)}= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_{k^{-}}’}\zeta^{r-1}ykd\zeta$

を得る.
)
さて, $Pu_{j,j1}^{(k)(}=+-Pv_{j}k$(1)

より, $x\in S_{j}$ に対して,$+Pv_{j1}^{(k)}+$$Pv_{j}^{(k)(k)}=Pvj+1$.

これより$Pv_{j}^{(k)}$$x\in U_{j}$$Pv_{j}^{(k)}+1$$x\in U_{j}+1$$g^{(k)}(_{X})=\{$

とおき, 更に,$g^{(k)}(_{X)}$$x\in \mathrm{C}$$f^{(k)}(_{X})=\{$$x=\infty$$\lim_{xarrow\infty}g^{(k)}(X)$とおけば,$\hat{v}^{(k)}.(_{X)}=\sum_{r=0}v_{()})(kxr$は, 非斉次微分方程式$P\hat{v}^{(k)}(X)=f^{()}k(x)$の形式解となる. このとき,

2.21$v_{(r)}^{(\cdot)}k$

実際に$\langle[\hat{v}^{(0)}], [\hat{v}^{(1)}], , .

.

, [\hat{v}^{()}]m+1\rangle$が$\mathrm{I}<\mathrm{e}\mathrm{r}(\frac{d^{2}}{dx^{2}}-X^{m}; \hat{\mathcal{O}}/\mathcal{O})$の計算$v_{(r)}^{(k^{\sim})}$を計算する.

(1) により, $k=0,1,$$\ldots,$$7n+1$

に対して, 非斉次微分方程式$P\hat{v}^{(k)}.(X)=f^{(}k.)(_{X)}$の形式解の係数は$2k$$v_{(r)}^{(k)}= \frac{1}{2\pi i}$-lykdX$\int_{0}^{e^{\overline{m}*q^{\pi}}}\infty-x^{r}$によって求められる.
$v_{(r)}^{\langle)}k$

$k$

の漸近表示
が偶数, 奇数にかかわらず,$v_{(r)}^{(\cdot)}k$は次のように計算出来る.

の基底をなす.

113$v_{(r)}^{()}k$$=$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{m}}\infty d_{X}+2’:-X^{r-1}y_{m},k$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0^{*:}}^{e^{m}\infty}\{-X^{r}-1(\omega-kX)-\frac{m}{4}(1+\sum_{N=0}B_{(}m+2)(N+1)(\omega^{-}X)^{-}\pi M-1k\frac{(m+2)(N+1)}{2})$$+O(X- \frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(M+1))r\}e-1)^{k+}(1_{\frac{2}{m+2}}+m’ d_{X}x$$\omega^{-k}X=\xi$$|’..$ ,とおく.
$\frac{-1}{2\pi i}\int_{0}^{+\infty}\{(\omega^{-}\xi)^{r}-1\xi-\frac{m}{4}(1+\sum_{=N0}B(m+2)(N+1)\xi-\frac{m+2}{2}(N+1))kM-1$$v_{(r\rangle}^{\langle\cdot)}k$$+O( \xi^{\Gamma-}-1\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(M+1))\}e^{-\frac{2}{m+2}\xi k}\neq m-\sim’\omega d\xi$$=$$\frac{(-1)^{1+\frac{2}{m+2}}kr}{2\pi i}\int_{0}^{+\infty}\{\xi^{r-}1-\frac{m}{4}+\sum_{N=0}B(m+2)(N+1)\xi^{r-1}-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(N+1)M-1$$+O( \xi^{r-}1-\frac{m}{4}-m,\underline{+2}-(M+1))\}e-\frac{2}{m+\sim},\epsilon-\dotplus_{c}^{\Phi}ml\xi$$\frac{2}{m+2}\xi^{\frac{m+^{\circ}\sim}{2}}=\zeta$

$=$

とおく.

$\frac{(-1)^{1+\frac{2}{m+2}kr}}{2\pi i}.\int_{0}^{+\infty}\{(\frac{m+2}{2}\zeta)^{\frac{2}{m+2}}(r-1-\frac{m}{4})$$+ \sum_{N=0}^{M-1}B_{(2}m+)(N+1)(\frac{m+2}{2}\zeta)\frac{2}{m+2}(r-1-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(N+1))$$+O( \zeta^{\frac{\underline{\mathrm{o}}}{m+-}(1}’ r--\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(\mathrm{A}\mathrm{f}+1)))\}e-\zeta(\frac{m+2}{2}\zeta)^{\frac{\mathrm{o}\sim}{m+2}}-1d\zeta$$=$$\frac{(-1)^{1+\frac{}{m+}kr}}{2\pi i}\underline’\underline’.(\frac{?n+2}{2})^{\frac{}{m+^{\underline{\mathrm{Q}}}}-1}\underline’\{(\frac{m+2}{2})^{\frac{2}{m+^{\mathrm{Q}}\sim}(}r-1-\frac{m}{4})\Gamma(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}))$$+ \sum_{N=0}^{\mathrm{A}f}B_{(2)}m+(N+1)(-1\frac{m+2}{2})\frac{\underline{\mathrm{o}}}{\mathrm{m}+}\underline,(r-1-\frac{m}{4}-\frac{m+}{\sim},\underline’(N+1))\mathrm{r}(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(N+1)))$$+O( \Gamma(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(M+1)))\}$$=$$\frac{(-1)^{1+\frac{\underline{\mathrm{o}}}{m+2}}kr}{2\pi i}(\frac{n\tau+2}{2})^{\frac{2}{m+2}(r}-\frac{m}{4})-1\{\mathrm{r}(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}))$$+ \sum_{N=0}^{M-1}B(n?+2)(N+1)(’\frac{n+2}{2})-(N+1)\Gamma(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(N+1)))\}$$+O( \Gamma(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(M+1)))$.

よって, r が十分大きい時, $1\leq M<r$ なる $M$ に対して, v(りは次の漸近評価をもつ.
$v_{(r)}^{()}k$$\frac{(-1)^{1+\frac{2}{m+2}k}r}{2\pi i}.(\frac{rn+2}{2})^{\frac{2}{m+2}(r}-\frac{m}{4})-1\{\Gamma(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}))$

114$+ \sum_{N=0}^{\mathrm{A}f}B_{(2)}m+(N+1)(\frac{7n+2}{2}-1)^{-(N}+1)\mathrm{r}(\frac{2}{m+2}(T-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(N+1)))\}$$+O( \Gamma(\frac{2}{m+2}(r-\frac{m}{4}-\frac{m+2}{2}(M+1)))$.

k=偶数の場合.
$v_{(r)}^{(2k)}.$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{\overline{m}\mathrm{H}^{k}}\infty}-X^{r}-\iota d_{X}4\tau\cdot:y_{2}k$$=$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{\overline{m}\mp}\sim\infty}’-x4k_{\mathrm{r}}\pi:r-1\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+\frac{1}{m+2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}$$=$$\cross\int_{0}+\infty m\neq_{\vee}^{2}\frac{2}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}(\zeta+\frac{4}{m+2}e^{-x(\zeta}\zeta+)^{-}\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta dx$$=$$\frac{-1}{2\pi i}\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+\frac{1}{m+2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}\int_{0}^{+\infty}\zeta^{-}\frac{1}{\underline{\mathrm{o}}}-\frac{1}{m+}\underline,(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}$$\cross\int_{0}^{e}\infty-e.\frac{2}{m+-},)dXdX^{r}-1x^{m}(\zeta+\zeta\frac{4}{\mathfrak{m}}\mp?ni+k\sim$$x^{\frac{m+}{2}} \underline’(\zeta+\frac{2}{m+2})=\xi$$(r)(k)$

$=$

とおく.

$\frac{-1}{2\pi i}\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+\frac{1}{m+2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}\int_{0}^{+\infty}\zeta^{-}\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}$$\mathrm{x}\int_{0}^{+\infty}(\frac{\xi}{\zeta+\frac{2}{m+2}}.)^{\frac{2}{m+2}}(r-1)e^{-\xi_{\frac{2}{m+2}}}(\frac{\xi}{\zeta+\frac{2}{m+2}})\frac{2}{m+2}-1(\frac{1}{\zeta+\frac{2}{m+2}})d\xi d\zeta$”$=$$\frac{2}{m+2}\int_{0}+\infty\frac{1}{m+^{\underline{\circ}}}(\zeta+\zeta^{-\frac{1}{2}-}\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}(\zeta+\frac{2}{m+2})^{-\frac{2}{m+2}}r$$\frac{-1}{2\pi i}\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{}+\frac{1}{m+\sim}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}\underline$$\cross\int_{0}^{+\infty}e^{-\xi}\xi\frac{\mathrm{o}\sim}{m+}\underline,r-1d\xi d\zeta$$=$$\frac{-1}{2\pi i}\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{\sim}+\frac{1}{m+2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})},\frac{2}{m+2}\Gamma(\frac{2r}{m+2})$$\mathrm{X}\int_{0}^{+\infty}\zeta-\frac{1}{\sim},-\frac{1}{m+2}(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}(\zeta+\cdot\frac{2}{m+.2})^{-}.\cdot..\frac{2}{m+2}r_{d}\zeta$$=$$\frac{-1}{2\pi i}.\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{\underline{\mathrm{O}}}+\frac{1}{m+2}}}{\Gamma(\underline{\frac{1}{\supset}}-\frac{1}{m+2})}\frac{2}{\mathit{7}n+2}\Gamma(\frac{2r}{m+2})(\frac{4}{m+2})^{-\frac{\circ\sim}{m+2}(}..\frac{2}{m+2})^{-\frac{2r}{m+2}}.\cdot.\cdot.\cdot$$\cross\int_{0}^{+\infty}(\frac{m+2}{4}\zeta)-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+}\underline,(1+\frac{m+2}{4}\zeta)-\underline{1}-.-\frac{1}{m+2}(1+2\frac{m+2}{4}\zeta)-\frac{2r}{m+2}d\zeta$$=$$\frac{-1}{2\pi i}(\frac{4}{m+2})\sim’-\frac{1}{m+^{\underline{\circ}}}(\frac{2}{m+2})^{1-}\underline{1}\frac{2r}{m+2}$$\cdot$$\cross\frac{\Gamma(\frac{2r}{m+2})\Gamma(\frac{2r+2}{m+2})}{\Gamma(\frac{2r+1}{m+2}+\frac{1}{2})}F(\frac{2r}{m+2}, \frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}, \frac{2r+1}{m+2}+\frac{1}{2};-1)$

.

.

115

k=奇数の場合.

$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{\frac{2(2k+1)}{m_{\mathrm{T}^{1}-}}*}}.,:\infty-x^{r}-1y_{2k+1}dX$$=$$v_{(r)}^{()}2k+1$$=$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{\frac{2(2k+1)}{m+2}*:}\infty}-x^{r}-1_{\frac{(-1)^{\frac{2}{m+2}(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+}}\frac{1}{m+2}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}}$$=$$\cross\int 0^{+\infty+\frac{1}{2}}\frac{4}{m+2}e^{x}m2(\zeta+\frac{2}{m+2})\zeta^{-}\frac{1}{2}-\frac{1}{m+^{\underline{\circ}}}(\zeta+)^{-}-\frac{1}{m+2}d\zeta dx$$=$$.. \frac{(-1)^{1+\frac{2}{m+2}}}{2\pi i}\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+\frac{1}{m+2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}.\int_{0}^{+\infty}\zeta-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}$’$\cross\int_{0}^{e^{\frac{2(^{\underline{\circ}}k+1)}{m_{\mathrm{T}\sim}^{\mathfrak{l}\prime}}}\infty+}.\cdot x-1e’\frac{2}{m+2})dxdrx(\zeta+\zeta\pi:\mathrm{m}$$x^{\frac{m+2}{2}}( \zeta+\frac{2}{m+2})=-\xi$$v_{(r)}^{(+}2k1)$

$=$

とおく.

$\frac{(-1)^{1+\frac{\underline{\mathrm{o}}}{m+arrow\circ}}}{2\pi i}.\frac{(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}+\frac{1}{m+2}}}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}\int_{0}^{+\infty}\zeta^{-}\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}(\zeta+.

\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}$$\cross\int_{0}^{+\infty}(-\frac{\xi}{\zeta+\frac{2}{m+2}})^{\frac{2}{\mathrm{m}+^{\circ}\sim}}-(r-1)e-\xi(-\frac{1}{\zeta+\frac{2}{m+2}})(\frac{2}{m+2}.)(-\frac{\xi}{\zeta+\frac{2}{m+2}})\frac{2}{m+2}-1d\xi d\zeta$$=$$\frac{(-1)^{\frac{\underline{\mathrm{o}}\langle r+1)}{m+}-1}}{2\pi i,\underline’}(\frac{4}{7n+2})\frac{1}{2}+\frac{1}{m+2}\frac{2}{m+2}\frac{\Gamma(\frac{2r}{m+2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}$” $( \zeta+\frac{2}{m+2})-\frac{\sim}{m+2},r(\zeta+\frac{4}{m+2})-\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}d\zeta$$\cross\int_{0}^{+\infty}\zeta^{-\frac{1}{}-\frac{1}{m+-}}\underline$$=$$\frac{(-1)^{\frac{2(r+1)}{m+}-1}}{2\pi i\underline’}(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{2}-}\frac{2}{m+2}(\frac{2}{m+2})1-\frac{2r}{m+^{\circ}\sim}\frac{\Gamma(\frac{2r}{m+2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{m+2})}$.

$\cross\int_{0}^{+\infty}(\frac{7\mathit{1}\mathrm{t}+2}{4}\zeta)-\frac{1}{}\underline,-\frac{1}{m+\sim},(1+\frac{m+2}{4}\zeta)-\frac{1}{}\underline{.}-\frac{1}{m+\sim},(1+2\frac{m+2}{4}\zeta)-\frac{2r}{m+2}\frac{m+2}{4}d\zeta$$=$$\frac{\{-1)^{\frac{(r+1)}{n+^{\mathrm{Q}}\sim}-1}}{2\pi i}\underline’,(\frac{4}{m+2})^{\frac{1}{\sim}-}’\frac{1}{m+2}(\frac{2}{m+2})^{1-\frac{2r}{m+^{\circ}\sim}}$$\cross\cdot\frac{\Gamma(\frac{2r}{n+2})\Gamma(\frac{2r+2}{m+2})}{\Gamma(\frac{2r+1}{m+2}+\frac{1}{2})}F(\frac{2.r}{m+2}, \frac{1}{2}-\frac{1}{m+2}, \frac{2r+1}{m+2}+\frac{1}{2};-1)$

.

116

3

$P= \frac{d^{2}}{dx^{2}}-(_{X+c}2pp-x1)$

任意の実数 $R>0$ に対して,
域とする.
$U_{k}$$U_{k},$ $S_{k}$の場合を $k=0,1,$$\ldots,$$2p+1$に対して次で決まる開扇形領$\{x\in \mathrm{C};|x|>R,$ $\frac{2k-3}{2p+2}\pi<\arg x<\frac{2k+1}{2p+2}\pi\}$$=$$S_{k}^{-}.=$,$U\iota^{\cap U}.k+1$$\{x\in \mathrm{C};|x|>R,$ $\frac{2k-1}{2p+2}\pi<\arg x<\frac{2k+1}{2p+2}\pi\}$$=$.

但し, $U_{2p+2}=U_{0}$ とおく. このとき, $\{U_{k}., k=0,1, \ldots, 2p+1\}$ は, $x=\infty$ で開扇形被覆を
.
なす.

3.1

斉次方程式の解

方程式$( \frac{d^{2}}{dx^{2}}-(x^{2_{P}}+cX^{P^{-}})1)y=0$

は, 次の性質を満たす解 . を持つ. つまり,
$Jlk$

上で

$x$

$y_{k}$

は $x$ の整関数であり, 扇型領域

$s_{k-1}\cup\overline{s}_{k^{\cup}}S_{k+1}$

が無限遠点に近づくとき, 次の漸近表示を持つ.
$y_{k} \sim\omega \text{牛}kx^{-}\frac{+1}{\underline{\circ}}\mathrm{g}(1+\sum_{=}B_{2N(}.+1)(p)\omega^{-()kkN-}C\omega- x)p+1N\{-\frac{1}{p+1}(\omega-kN1\infty lexpx)^{p+1}\}$

但し,$\omega=e^{\frac{1}{\mathrm{p}+1}\pi i}$

であって, $B_{2N(p+1}$ ) $(C)$ は $N=0,1,$$\ldots$に対して, 次で決まる.

$B_{2N(p1)}+(C)= \prod_{=\ell 0}^{1}\frac{1}{4(2p+2))\ell}\prod_{p0}^{-1}N-N=((2p+2)^{p_{-}}p+C)((2p+2)\ell_{-p}-2+c)$$B_{j}(c)=0,j\neq 2N(p+1)$

方, $x^{p+1}=z$ とおくことにより, 作用素$x^{2} \frac{cl^{2}}{dx^{2}}-(x^{2p+2}+cx^{p+1})$は次のように変換される.
$x^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}}-(_{X^{22}}p++CX)p+1$$=$$(x \frac{d}{dx})(X\frac{d}{dx}-1)-(x+p+p+1)22Cx$$=$$((p+1)_{Z} \frac{d}{dz})((p+\iota)Z^{\frac{d}{dz}}-1)-(z+CZ)2$$=$$(p+1)^{\underline{9}}z \{Z\frac{d^{2}}{dz^{2}}+\frac{p}{p+1}\frac{d}{dz}-\frac{z+c}{(p+1)^{2}}\}$

このとき, 微分方程式$\{z\frac{d^{2}}{dz^{2}}+\frac{p}{p+1}\frac{d}{dz}-.\frac{z+c}{(p\dagger\iota)^{2}}\}u=0$

.

117

を特異点に持つ–般合流型超幾何微分方程式であり, $z=\infty$ を頂点とする角領域で定義された解は, 一般化された Laplace 変換の形を用いて, 次の $u_{-}(z),$ $u_{+(z})$ で与えは $z=0,$$\infty$られる.

$u_{-}(z)$$=$$\frac{(-1)^{\frac{1}{p+1}(\frac{2}{p+1}})\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{p}}+1\llcorner 1+1)}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1))e^{2}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{c}-1}{p+1}-1)-\pi i(1}\int_{L_{-}}e^{z\zeta}(\zeta-\frac{1}{p+1})^{-\frac{1}{2}}(_{\mathrm{p}}c\mathrm{R}11+)+1(\zeta+\frac{1}{p+1})^{\frac{1}{2}}(\frac{\mathrm{c}-1}{\mathrm{p}+1}-1.)d\zeta$

.
$=$

但し,

$L_{-}$$\frac{(\frac{2}{p+1})^{\frac{1}{2}}(\frac{c}{p}+1^{+}1\pm 1)}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1))}\int_{0}^{+\infty}(-1)^{-}\frac{1}{p+1}+1-ez(\zeta+\frac{1}{p+1})\zeta\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{\mathrm{p}+1}-1)(\zeta+\frac{2}{p+1})-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}+1}{\mathrm{p}+1}+1)d\zeta$

は $-\infty$ から出発し, $\zeta=-\frac{1}{p+1}$ のまわりを正の向きに–周し, 再び $-\infty$ に戻る道である. $u_{-}(z) \text{は_{一}}<2\arg Z<\frac{\pi}{2}$ なる扇形領域で正則な解を与える.

$u_{+}(z)$$=$$\frac{(-1)^{\frac{1}{2}(^{c}1)+}\mathrm{p}+1(+1\frac{2}{p+1})^{\frac{1}{2}}\mathrm{r}1(1-\frac{c-1}{\mathrm{p}+1})}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)+1)(e^{2}-\frac{1}{2}\frac{c}{p}\pm+\pi i(\frac{1}{1}+1)-\iota)}$$\cross\int_{L}e^{z\zeta}(\zeta+-\frac{1}{p+1})-\frac{1}{2}(\frac{c}{\mathrm{p}}\pm+\frac{1}{1}+1)(\zeta+\frac{1}{p+1})^{\frac{1}{2}}(\frac{\mathrm{c}-1}{\mathrm{p}+1}-1)d\zeta$$=$

但し, $L+$ はである.

$. \frac{(-1)\frac{1}{\underline{\circ}}(^{c\pm}\overline{\mathrm{p}}+1)+1(+11\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(1-\frac{c-1}{\mathrm{p}+1})}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)+1)}.\int_{0}+\infty\frac{1}{p+1})-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{p}}\pm(\zeta++1)(\zeta+\frac{2}{p+1}e^{z}\zeta+1)\frac{1}{2}(\frac{c-1}{\mathrm{p}+1}1-1)d\zeta$$+\infty$

から出発し,のまわりを正の向きに–周し, 再びなる扇形領域で正則な解を与える.

$\zeta=+\frac{1}{p+1}$$u_{+}(z) \text{は}.\frac{\pi}{2}<\arg z<\frac{3\pi}{2}$$+\infty$に戻る道

これより微分方程式$( \frac{d^{2}}{dx^{2}}-(X^{2p}+cxp-1))y=0$の解で上に述べた性質を持つものは次のように与えられる.
$y_{2k}= \frac{(\frac{2}{p+1})\frac{1}{}(\frac{c}{\mathrm{p}}+1+\llcorner 11)}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1))}\underline’\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{\mathrm{p}}(}\frac{1}{\mathrm{p}+1}+)\zeta^{\frac{1}{2}}\zeta(\frac{c-1}{\mathrm{p}+1}-1)(\zeta+\frac{2}{p+1})+1-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{\mathrm{p}+1}+1)d\zeta$$y_{2k+1}=’ \frac{(-1)\frac{1}{\sim}(\frac{c}{p}\pm_{\frac{1}{1}}+)+1(+1\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(1-\frac{c-1}{p+1})}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)+1)}\int_{0}^{+\infty}e\frac{1}{\mathrm{p}+1})\zeta x\mathrm{p}+1(\zeta+-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)(\zeta+\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{\mathrm{p}+1}-1)d\zeta$

各 . は, 扇型領域
$y_{k}$

3.2$S_{k}$

における subdominant solution を与える.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\frac{d^{2}}{dx^{2}}-(x^{\underline{9}}+pcX^{p-1});\overline{o}/\mathcal{O})$$\{U_{0}, U_{1}, \ldots, U_{\underline{9}p}+1\}$の基底に対する l-cocycle を $k=0,1,$$\{u_{j}^{(k)},j+1’ j=0,1, \cdot, .

, 2p+1\}$$\ldots,$$2p+1$ に対して)

, 但し $u_{2p}^{(k)(}+1,2p+2=u2P+1,0’ kk$ $=0,1,$$\ldots,$$2p+1$

118

を$y_{j}$$x\in S_{j}$$j=k$$x\in S_{j}$$j\neq k$$u_{j,j+1}^{(k)}=\{$$0$

とおく. すると,の基底をなす.
漸近解析における消滅定理により,$\{u_{j,j}^{(0)}\}+1’\{u_{j,j}^{(1)}\}-.+1’\ldots,$のコホモロジ一類が $H^{1}(s^{1}, \kappa_{e}r(P:A_{0}))$$\{u_{j,j+}^{(2p.1}.\cdot+)1-\}$.

$u_{j,j+}^{()}k1jjv+v1=-(k)(k)+$は, $(j.=$
を満たす -cochain $\{v_{0}^{(k)}, v^{(}1’., v2p+1\}k)..(k),$ $(k=0,1, \ldots, 2_{P}+1)$ を得る. 但し,$2p+1)$ で定義され, それぞれ形式巾級数 V^(k)(X) $=\Sigma_{r=0}^{\infty}v_{(r}^{(}-rP)’+k)_{Xk\mathrm{O},1,\ldots,2}=1$$0,1,$
を漸近展開に持つ.
$v_{j}^{(k)}$$0$$U_{j}$$\ldots,$$Pu_{j,j}^{(k)}+1=-Pv_{j}^{(k)}+Pv_{j1}^{(k)}+$より, $x\in s_{:}$ に対して,$Pv^{(k)}j=Pv^{(}j+1k)$だから,$g^{(k)}(_{X})=$$x\in U_{j+1}x\in Uj$

とおき, 更に, 改めて,$g^{(k)}(_{X)}$$x\in \mathrm{C}$$f^{(k)}(_{X})=\{$$x=\infty$$\lim_{xarrow\infty}g^{(k)}(x)$と表せば,$\hat{v}^{(k)}(_{X)\sum_{r=}}=0v(r)(k)_{X}$は, 非斉次微分方程式$P\hat{v}^{(k)}.(X)=f^{()}k(x)$の形式解となる. このとき,基底をなす.

3.21$v_{(r}^{(k)}$実際に)$\langle[\hat{v}^{(0)}], [\hat{v}^{(1)}], \ldots, [\hat{v}^{()}2p+1]\rangle$が$\mathrm{I}<.\mathrm{e}.\mathrm{r}(\frac{d^{2}}{dx^{2},=}-(x^{2}...p.+cx^{p-})1;\hat{\mathcal{O}}/\mathcal{O})$の計算$v_{(\Gamma)}^{(k)}$を計算する.

漸近解析における消滅定理より, $k=0,1,$$\ldots,$$2p+1$

に対して, 非斉次微分方程式$P\hat{v}^{(k)}(x)=f^{(k})(X)$の形式解の係数は$v_{r}^{(\iota)}.= \frac{1}{2\pi i}\int^{e}\mathrm{o}d-X^{r-}ykX\dot{\tau_{p}}\overline{\tau}^{k}\tau^{\pi}\infty 1$,$k=0,1,$$\ldots,$$2p+1$の119によって求められる.
$v_{r}$の漸近表示

k が偶数, 奇数にかかわらず,$v_{(r)}^{()}k$$v_{(r)}^{()}k$は次のように計算出来る.

$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{\mathrm{p}}}\star \text{市}\pi:\infty-x^{r-1}y_{k}dx$$=$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{p\mathrm{T}}}.\infty MN\neg^{k}:\{-X-1(r\omega^{-k}x)^{-^{L\pm}}2(1+\sum_{N=1}^{-1}B2(P+1)(\omega^{-}1(p+1)kc)(\omega^{-k}x)^{-}N(p+1)$$+O(x^{r-1-}-L \pm 1(p+1))M\}e-1)^{k}(+1\frac{1}{p+1}x^{p}+1d_{X}$とおく.

$\omega^{-k}X=\xi$.
$\frac{-1}{2\pi i}\int_{0}^{+\infty}\{(\omega^{kr-1-}\xi)\xi+\sum_{N=1}B_{2N}(p+1)((-1)^{k}\mathrm{g}_{\frac{+1}{2}(1}M-1c)\xi-N(p+1)$$v_{(\Gamma)}^{(k)}$$+O( \xi^{r-}1-L+\underline{1}-M(_{P+}1))2\}e-\frac{1}{p+1}\xi \mathrm{p}+1d\xi$$=$$\frac{(-1)^{1+\frac{1}{\mathrm{p}+1}}kr}{2\pi i}.\cdot\int_{0}^{+\infty}\{\xi r-1-\mathrm{L}^{+},\underline{1}\sum_{=}^{1}-+B_{2}N(p+1)((-1)^{k}c)\xi^{r}-1-\epsilon 2-N(p+\pm 11)MN1-$$+O( \xi^{r-}1-\mathrm{z}\underline{+},1-M(p+1))-\}e-\frac{1}{\mathrm{p}+1}\epsilon pd\xi+1$$\frac{1}{p+1}\xi^{p+1}=\zeta$

$=$

とおく.
$\frac{(-1)1+\frac{1}{p+1}kr}{2\pi i}.\cdot\int_{0}^{+\infty}\{((p+1)\zeta)^{\frac{1}{\mathrm{p}+1}}(r-1-^{R_{\frac{+1}{2})}}$$+ \sum_{=}^{1}\mathrm{A}I-N1B_{2}N(p+1)((-1)kc)((p+1)\zeta)\frac{1}{\mathrm{p}+1}(r-1-\mathrm{z}\frac{+1}{2}-N(p+1))$$+O( \xi^{\frac{1}{p+1}(-\mathrm{L}}’-1+\underline{1}-M(2p+1)))\}e(\zeta(p+1)\zeta)\frac{1}{\mathrm{p}+1}-1d\zeta$$=$$\frac{(-1)^{1+\frac{1}{\mathrm{p}+1}}kr}{2\pi i}.(p+1)\frac{1}{p+1}-1\{(p+1)\frac{1}{p+1}(r-1)-\frac{1}{\sim},\Gamma(\frac{1}{p+1}r-\frac{1}{2})$$+ \sum_{=\wedge’1}^{\Lambda f}-1B2N(p+1)((-1)^{k}C)(p+1)^{\frac{1}{p+1}}(r-1)-\frac{1}{2}-N\Gamma(\frac{1}{p+1}(r-1)-\frac{1}{2}.-N)\}$$+O( \Gamma(\frac{1}{p+1}r-\frac{1}{2}-M))$.

よって, r が十分大きな時, $1\leq M<r$ なる $M$ に対して,$v_{r}^{(k)}$$v_{r}^{(k)}$は次の漸近評価をもつ.

$\frac{(-1)^{1+\frac{1}{p+1}kr}}{2\pi i}.(p+1)^{\frac{r}{p+1}\frac{3}{2}}-\{\mathrm{r}(\frac{1}{p+1}r-\frac{1}{2})$$+ \sum_{N=1}^{1}B2N(P+1)((-1)k)(p+1)C-N\Gamma(\Lambda^{J}I-\frac{1}{p+1}(r-1)-\frac{1}{2}-N)\}$$+O( \Gamma(\frac{1}{p+1}r-\frac{1}{2}-M.))$

.

120

k=偶数の場合$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{\mathrm{p}}}\infty-X^{r-1}*\dot{n}:y2kdX$$=$$v_{(2k)r}$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e}‘-x-1\frac{(\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}}{p}\pm_{\frac{1}{1}+1)}+}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1))}\text{面_{}\infty}f$$=$$\cross\int_{0}^{+\infty}e^{-x^{p}(}\frac{1}{p+1}+)\zeta^{\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}}-1)(\zeta\zeta+1^{\cdot}(^{\mathrm{c}}+\frac{l}{p+1})^{-\frac{1}{2}}p+d1)\zeta\lrcorner_{\frac{1}{1}+}d_{X}$,$. \frac{-1}{2\pi i}.\frac{(\frac{2}{p+1})\frac{1}{\sim}(^{\lrcorner_{\frac{1}{1}+1}}p+)c}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1))}$$=$$\cross\int_{0}^{+\infty}\zeta^{\frac{1}{2}(}\frac{\mathrm{c}-1}{p+1}-1)(\zeta+\frac{2}{p+1})-\frac{1}{2}(\frac{c}{p}+\llcorner 11)\int^{\frac{2k}{p+1}\pi i\infty}+1r-1-ed0Xx^{\mathrm{p}+}(1\zeta+\frac{1}{\mathrm{p}+1})xd\zeta$$x^{p+1}( \zeta+\frac{1}{p+1})=\xi$$v_{(2k)r}$

$=$

.

とおく.

$\frac{-1}{2\pi i}\frac{(\frac{\underline{9}}{p+1})^{\frac{1}{2}}(\frac{c}{\mathrm{p}}+1^{+}\llcorner 11)}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1))}\int_{0}^{+\infty}\zeta\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{p+1}-1)(\zeta+\frac{2}{p+1})-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{p}}+1^{+})(1\zeta+\perp 1-\frac{1}{p+1})\frac{r}{p+1}$$\cross\frac{1}{p+1}\int_{0}^{+\infty}e^{-\xi}\xi^{\frac{r}{\mathrm{p}+1}}-1d\xi d\zeta$$=$$\frac{-1}{2\pi i}\frac{(\frac{2}{p+1})^{\frac{1}{2}}(_{p}^{\mathrm{R}}c+1^{+}11)}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1))}\Gamma(\frac{r}{p+1})$$\cross\int_{0}^{+\infty}\zeta^{\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{p+1}-})(\zeta \dagger \frac{2}{p+1}1)-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{p}}\pm_{\frac{1}{1}+)}+1(\zeta+\frac{1}{p+1})^{-\frac{r}{\mathrm{p}+1}}\frac{1}{p+1}d\zeta$$=$$\frac{-1}{2\pi i}..\frac{(\frac{2}{p+1})^{\frac{1}{\underline{0}}(\frac{c}{p}}+\pm_{1}1+\iota)}{\Gamma(\underline{\frac{1}{\supset}}(\frac{c-1}{p+1}+1))}\Gamma(\frac{r}{p+1})(p+1)-\frac{r}{p+1}+1(\frac{2}{p+1})^{-}\frac{1}{\mathrm{p}+1}\cdot$$\cdot$.
$\cross\int_{0}^{+\infty}(\frac{p+1}{2}\zeta)\frac{1}{\mathrm{o},\sim}(\frac{c-1}{P+1}-1)(1+\frac{p+1}{2}\zeta)-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}}{p}+\llcorner 11^{+}1)(1+2\frac{p+1}{2}\zeta)-\frac{r}{\mathrm{p}+1}\frac{p+1}{2}d\zeta$$=$$\frac{-1}{2\pi i}(\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(\frac{c}{p}\pm+\frac{1}{1}+1)_{\frac{1}{p+1}}1-\frac{r}{\mathrm{p}+1}\frac{\Gamma(\frac{r}{p+1})\Gamma(\frac{1+r}{p+1})}{\Gamma(\frac{r}{p+1}+\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1))}$$\cross F(\frac{r}{p+1}, \frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}+1),\frac{r}{p+1}+\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1);-1)$k=奇数の場合”$\infty d-X-1X+\sim k1:ry2k+1$$v_{(2k+)r}1$$=$$\frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{p}}$$=$$. \frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{e^{\frac{2k+1}{\mathrm{p}+1}}\infty}-x^{r-1}\mathrm{p}:\frac{(-1)\frac{1}{2}(_{p}c\lrcorner+\frac{1}{1}+1)+1(\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(1-\frac{\mathrm{c}-1}{p+1})}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+_{-}1}+1)+1)}$

.

121

$\cross\int_{0}^{+\infty}e^{x^{p+}}\frac{1}{p+1})\zeta(\zeta+-\frac{1}{2}(_{p+}C\lrcorner\frac{1}{1}+1)(\zeta+\frac{2}{p+1}1)\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}-1)d\zeta dX$$=$$\frac{(-1)^{\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}+1}{p+1}}+1)+2}{2\pi i}\frac{(\frac{2}{p+1})^{\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{p+1})}1-}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)+1)}$$\cross\int_{\mathrm{o}0}^{+\infty 1}(\zeta+\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(\frac{c-1}{P+1}-1)\zeta-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}}{p}+\llcorner 1^{+}1)\int^{e\infty}’ X^{r-}ed\frac{2k+1}{p+1}:1xp+1(\zeta+\frac{1}{\mathrm{p}+1})xd\zeta$$x^{p+1}( \zeta+\frac{1}{p+1})=-\xi$$v_{(2k+)r}1$

$=$

とおく.

$\frac{(-1)^{\frac{1}{\circ\sim}()+2}\frac{c}{p}\pm+\overline{1}1+1}{2\pi i}\frac{(\frac{2}{p+1})^{\frac{1}{2}(\frac{c-1}{\mathrm{p}+1})}1-}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)+1)}\int_{0}^{+\infty}(\zeta+\frac{2}{p+1})\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{p+1}-1)\zeta^{-}\frac{1}{2}(\frac{c+1}{\mathrm{p}+1}+1)$$\cross\int_{0}^{+\infty}(-\frac{\xi}{\zeta+\frac{1}{p+1}})^{\frac{r-1}{p+1}}e-\epsilon(-\frac{1}{\zeta+\frac{1}{p+1}})(\frac{1}{p+1})(-\frac{\xi}{\zeta+\frac{1}{p+1}})\frac{1}{p+1}-1d\xi d\zeta$$=$$\frac{(-1)^{\frac{1}{2}(^{\pm}}\frac{c}{p}+\frac{1}{1}+1)+2}{2\pi i}\frac{(\frac{2}{p+1})^{\frac{1}{2}(\frac{c-1}{\mathrm{p}+1})}1-}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)+1)}(-1)\frac{r}{p+1}-2_{\frac{1}{p+1}}\mathrm{r}(\frac{r}{p+1})$$\cross\int_{0}^{+\infty}(\zeta+\frac{2}{p+1})\frac{1}{}\underline,(\frac{c-1}{p+1}-1)\zeta-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}+1}{p+1}+1)(\zeta+\frac{1}{p+1})\frac{r}{p+1}d\zeta$$=$$\frac{(-1)\frac{1}{\mathrm{Q}\sim}(\frac{c}{p}\pm_{\frac{1}{1}}+)+1+\frac{r}{p+1}}{2\pi i}(\frac{2}{p+1})^{1-\frac{1}{2}(_{\mathrm{p}})}\lrcorner_{\frac{\mathrm{l}}{1}}c+(+1\frac{1}{p+1})1-\frac{r}{p+1}\frac{\Gamma(\frac{r}{p+1})}{\Gamma(-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}+1)+1)}$$\cross\int_{0}^{+\infty}(\frac{p+1}{2}\zeta)-\frac{1}{2}(\frac{c}{p}+\llcorner 1+1)(11+\frac{p+1}{2}\zeta)\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{p+1}-1)(1+2\frac{p+1}{2}\zeta)-\frac{r}{p+1}\frac{p+1}{2}d\zeta$$=$$\frac{(-1)^{\frac{1}{2}(}p+\mathrm{r}C11^{+1)+}\frac{r}{p+1}}{2\pi i}(\frac{2}{p+1})1-\frac{1}{2}(\frac{c+1}{\mathrm{p}+1}+1)(\frac{1}{p+1})1-\frac{r}{p+1}\frac{\Gamma(\frac{r}{p+1})\Gamma(\frac{r+1}{p+1})}{\Gamma(\frac{r}{p+1}-\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{c}-1}{p+1}-1))}$$\cross F(\frac{r}{p+1}, -\frac{1}{2}(\frac{c+1}{p+1}-1),$$\frac{r}{p+1}-\frac{1}{2}(\frac{c-1}{p+1}-1);-1)$

.

122

参考文献
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Analysis III (to appear in “Structure of Solutions of Differential Equations” edited by
T.Kawai and M. Morimoto, World Science, May 1996)[4] Mizuno. T.: On estinlates of coefficients of formal solutions to inhomogeneous linear
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[5] Sibuya. Y.: Global Theory of a Second Order Linear Differential Equation with a Polynomial Coefficient,North-Holland Mathematics studies,No 18.