数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 126-140

126

Vector Valued Siegel Modular Forms ofSym(4) and Sym(6)伊吹山知義 (Tomoyoshi TOukiyama) 大阪大学大学院理学研究科

1

序ジーゲル保型形式全体の構造を具体的に記述する問題を考える。 たとえば 2 次の full Siegel modular groupに関するスカラー値ジーゲ
ル保型形式のなす環はウェイト 4, 6, 10, 12, 35 のもので生成されることは J. Igusa の結果として良く知られている。一方、ベクトル値ジーゲル保$Sp(2, \mathbb{Z})$型形式についてはこのような結果はあまり知られていなしかしたとえばリフティングひとつとってみてもベクトル値のものまで考慮に入れ$\Downarrow\mathrm{a}_{\text{。}}$

なければジーゲル保型形式の全体像の理解はかなり不十分になるはずである。 とりあえず次数は 2 に限り、の場合にベクトル値ジーゲル
保型形式の構造をできるだけ明らかにしたい。 究極的にはこのようなも$Sp(2,\mathbb{Z})$のをすべて知りたいのであるが、 ここでは重さが $\det^{k}Sym(s)(s=4,6)$の時について結果を得ためで報告する。

2

保型形式テンソル環

もう少し詳しく問題を説明するためにまずベクトル値ジーゲル保型形式の定義を述べたい。 2 次一般線型群の既約正則表現 を考え$GL_{2}(\mathbb{C})$$\rho$る。 ジーゲル上半空間$H_{2}=\{Z=X+i\mathrm{Y}\in M_{2}(\mathbb{C});{}^{t}X=X,{}^{t}\mathrm{Y}=\mathrm{Y}\in M_{n}(\mathrm{R}), \mathrm{Y}>0\}$には実ランク 2 のシンプレクティック群 $Sp(2,\mathrm{R})$ が 1 次分数変換$MZ=(AZ+B)(CZ+D)^{-1},$$M=(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})\in Sp(2,\mathbb{R})$127で作用する。

$\Gamma_{2}=Sp(2, \mathbb{Z})$とおく。

$H_{2}$

上の正則関数 $F(Z)$ について

$F(\gamma Z)=\rho(CZ+D)F(Z)$が任意の$\gamma=(\begin{array}{ll}A BC D\end{array})\in\Gamma$

について成り立つとき、 $F(Z)$ を重さ$\rho$の正則ジーゲ$\mathrm{K}\mathrm{s}$形式という。

保特に$\Phi(F):=\lim_{\lambdaarrow\infty}F(\begin{array}{ll}\tau 00 i\lambda\end{array})=0$が成り立つときに $F$ を重さの正則の正則カスプ形式という。 重さ
ジーゲ 保 E 形式のなすベクトル空間を Ap(Y2)、 また重さの正則カスのプ形式がなすベクトル空間を次と書くことにする。
または $Sym(s)$ と書くと、対称テンソル表現をの正則表現は$\det^{k}Sym(^{l}s)$ のかたちのものしかない。 この表現を以下と書くことにする。 またこの場合と書く。
特に、 $s=0$ のとき、 簡単にと書く。 話を簡単にするために、 以下では $\sigma_{\iota}=Sym(s)$ の表現行列を具体的にひとつ指定しておく。 すなわちを変数とし、$\rho$$\rho$$J\mathrm{s}$$\rho$$GL_{2}(\mathbb{C})$$S_{p}(\Gamma)$$s$$GL_{2}(\mathbb{C})$$\sigma_{\iota}$$\rho_{k,\iota}$$A_{\rho k},.(\Gamma)=A_{k,s}(\Gamma_{2}),$$S_{\rho k},.(\Gamma_{2})--S_{k,\iota}(\Gamma_{2})$$A_{k,0}(\Gamma_{2})=A_{k}(\Gamma_{2}),$$u_{1},$$S_{k,0}(\Gamma_{2})=S_{k}(\Gamma_{2})$$u_{2}$$g=(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in SL_{2}(\mathrm{R})$に対して、 $(v_{1}, v_{2})=(u_{1}, u_{2})g$ とおく。 ここで$(v_{1}^{\iota},v_{2}^{\iota-1}v_{2}, \ldots, v_{2}^{\iota})=(u_{1}^{s}, u_{1}^{s-1}u_{2}, \ldots,u_{2}^{\iota})\sigma_{\iota}(g)$で表現を実現しておくことにする。
は $s+1$ 次元ベクトル空間に値を取るが、 上で定の 1 次元部分空間に値義した Siegel operator に対して $\Phi(F)$ はを取ることが知られている。 (Cartan Seminar). これにより実は $\Phi(F)\in$$S_{k+s}(SL_{2}(\mathbb{Z}))$はと見なすことができる。 ここでに関するウェイト $k+s$ の 1 変数のカスプ形式の空間である。 よって$F\in A_{k,s}(\Gamma)$$\Phi$$\mathbb{C}^{s+1}$$\mathbb{C}^{s+1}$$S_{k+s}(SL_{2}(\mathbb{Z}))$$SL_{2}(\mathbb{Z})$128の元は自動的にカスプ形式になる。 (ちな$k+s$ が奇数ならばが奇数ならば、 $A_{k,\iota}(\Gamma)=0$ が容易にわかる。 ) $k\geq 5$ ならば
みには全射であることが知られている (Satake:$A_{k,\iota}(\Gamma)$$s$$\Phi$$A_{k,\iota}(\Gamma)arrow S_{k+\iota}(SL_{2}(\mathrm{Z}))$(後で見るように実は $k=4$ でも全射である。) $k<0$であれば $A_{k}(\Gamma)=0$ であることは古典的な結果 (ジーゲル) であり良く[8], Arakawa$[1])_{\text{。}}$

知られている。 さて、 ここで、
かに環である。 さらに$A(\Gamma)=\oplus_{k=0}^{\infty}A_{k}(\Gamma)$とおけば、 これは明ら$A^{\Phi}(\Gamma)=\oplus_{k,.\mathrm{g}}^{\infty}A_{k,\iota}(\Gamma)$

は既約分解したときとおこう。 ここで既約表現のテンソル積
はテンソル積により環に各既約成分の重複度は 1 であり、 よって構造がはいる。 これはもちろん非常に大きな環である。 これを保型形式
テンソル環と呼ぶことを提唱したい。 保型形式テンソル環はもちろん無限生成である。 なぜなら、 が大きくなっても が比較的小さいところ(たとえば $k=4$ ) で 1 つまでもとなるからである。 この点はヤコービ形式でウェイトとインデックスを両方動かして直和を取った環と似ている。 しかし、 Eichler-Zagier の本によれば、ヤコービ形式のときには少し正則性の条件を弱めて weak Jacobi 形式というものを定義すれば、
weak Jacobi 形式全体のなす環は有限生成であることが証明ざれている。
我々も類似の現象がないかを知りたいのである。
$\rho_{k,\iota}\theta\rho_{l,r}$$A^{\Phi}(\Gamma)$$s$$A_{k},$

問題 1 保型形式テンソル環.

$k$$\neq 0$の構造を求めよ。 このための近似として、 ベクトル値正則ジーゲル保型形式を含む弱ジーゲル保型形式を定義し、 弱ジーゲル保型形式テンソル環が有限生成環であることを示せ。
$A^{\Phi}(\Gamma_{2})$

もちろん今のところ 「弱ジーゲル保型形式」 という用語で何を意味す
るかはわからないので、 このような問題は夢にすぎないし、保 E 形式テ
ンソル環にどんな幾何学が附随するのかもわからないのであるが、新しい視点として面白いと信じている。 とりあえずはこのような大きな問題はわからないので、 個々の表現について実験的な結果を求めることには意味があると考える。 これを次節から述べる。

3

ベクトル値ジーゲル保型形式のなす加群
自然数

$s$

を固定し、

$A^{\sigma}\cdot(\Gamma_{2})=\oplus_{k=0}^{\infty}A_{k,\iota}(\Gamma_{2}),$$A^{\sigma.odd}’(\Gamma_{2})=\oplus_{k=0}^{\infty}A_{2k+1,\iota}(\Gamma_{2})$$A^{\sigma.,even}(\Gamma_{2})=\oplus_{k=0}^{\infty}A_{2k,\iota}(\Gamma_{2})$. とおく。 とくに、 $s=0$ のときは、 これ

,

129
らを

な, と と書くことにする。
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$A(\mathrm{I}_{2}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}),$$A^{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{n}}(\mathrm{B}_{2})$$A^{\sigma}\cdot(\mathrm{I}_{2}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})$などは $s>0$ で加群とも見なせる。 いくつか加群ともの小さい について、 この加群構造を明らかにするのが当面の目標である。 ます、 知られている結果を列挙しよう。

は環ではないが、$A(\mathrm{F}_{2})$$A^{\mathrm{g}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{g}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{n}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}(\mathrm{F}_{2})$

$s$

1. J.

$\mathrm{I}\dot{\mathrm{g}}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{a}$が知られていはウェイトが 4, 6 のジーゲルアイゼンシュタイの定理によりる。 ここで$\phi_{4},$$\phi_{6}$$A(\Gamma)=\mathbb{C}[\phi_{4}, \phi_{\epsilon}, \chi_{10}, \chi_{12}, \chi_{35}]$はそれぞれウェイトが 10, 12, 35 のカン級数であり、
スプ形式 (定数倍をのぞきただひとつ) である。
2. が奇数ならば $A_{k,\iota}(\Gamma)=0$ である。 これは $-1_{4}\in\Gamma$ の作用からの単純な帰結である。
3. $k<0$ ならば $A_{k}(\Gamma)=0$ という結果の類似がベクトル値の場合にもCartan Seminar で触れられているが、あまり余り十分ではなかった。
$\chi_{10},$$\chi_{12},$$\chi_{35}$$s$

その後の $s\geq 1$ のとき $A_{0,\iota}(\Gamma)=0$ が知られている。 (Freitag [4]).
の次元は対馬により公式が知ら
4. $s\geq 2$ のとき、 $k\leq 5$ ならばれている。 $k\leq 4$ は一般の についてはわかつて な ‘。
$A_{k,s}(\Gamma)$$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$$s$

5. $s=2$ について、$A^{\sigma_{2,}even}(\Gamma)$$\mathrm{V}$の $A^{aen}(D$ 一カ D 群の構造は T. Satoh [9]により知られていた。 手法は 2 つの偶数ウェイトの -valued Siegd
modular forms の組に対して微分作用素をもちいてベクトル値ジーゲのル保型形式を構成するというものである。また加群の構造は T. Ibukiyama [6] により知られていた。手法は 3 つの偶数ウェイトの -valued Siegel modular forms の 3 つ組に対して微分作用素を用いてベクトル値のものを構成するというものである。 (こ加群ではない。)
れらはどちらも自由$\mathbb{C}$$A^{\sigma_{2\prime}odd}(\Gamma)$$A^{ev\mathrm{e}n}(\Gamma)-$$\mathbb{C}$$A^{\alpha Jm}(\Gamma_{2})-$のときのえばわれわれは$k\leq 4$$A_{k,s}(\Gamma)$については次元公式は知られていない。 たと$A_{3,\epsilon}(\Gamma)=S_{3,s}(\Gamma),$$A_{2,\iota}(\Gamma),$$A_{1,s}(\Gamma)=S_{1,s}(\Gamma)$

について、ゼロ空間でないような $s\geq 1$ の実例はひとつも持っていない。 しかし、いくつかわかることもあるので定理としてまとめておく。 (たとえばoperator の振る舞いについてはあとの定理で完全にわかる。 ) 少し記号$\Phi$

を準備する。
$F\in A_{k,s}(\Gamma)$

に対して(W.. $F$)$(\tau, \tau^{l})=F.(\begin{array}{ll}\tau 00 \tau’\end{array})$130
とおく。 これは Igusa により Witt operator と呼ばれている。 また$\theta(Z)=\prod_{m-\mathrm{e}v\alpha\iota}\theta_{m}(Z)$の 10 個の eはテータ定数であり、 $m$ は
charの
はウェイト
acteristics を渉る。の指標付きの保型形式
5$(Sp(2,\mathrm{Z})$ の指数 2 の部分群の保型形式)である。 $WF=0$ ならば が$F$(の各成分) をわりきるのは、 - lued の保型形式のときと同様であるが、 $F$ がで割りきれるとは限らない点は異なる。次にテータ関数による構成について述べる。 次の偶ユニモジュラー格子 $L$ と、 2 行 列- lued 多重調和 (pluri-harmonic) 多項式
の行列上の
で、

とおく。 ここで$\mathrm{Z}^{4}$$\theta_{m}$$\mathrm{n}$$Sp(2,\mathrm{Z})$$\theta$$\theta$$\mathbb{C}$$\theta^{2}$

$d$

$d$

$\mathbb{C}^{\iota+1}$$\mathrm{P}$$P(AX)=\det(A)^{k}\sigma.(A)P(X)$を満たすものをとると、.

$\Theta_{L,P}(\tau)=\sum P((^{t}(x,y))e^{\pi 1((\psi+\Leftarrow.y)z+(\nu\sim)\tau’))}$$x,y^{4}\epsilon L$と置くとき、である。特に $x=(x:),y=(y_{1}.)\in \mathbb{C}^{d}$ の内積をx:坊と (複素共役をとらないで) 定義し、 $a,$
で $(a, a)=(a, b)=(b, b)=0$ なるものをとり、
valued の多項式を$\mathrm{e}_{L,P}\in M_{d/2+k,\iota}(\Gamma_{2})$$(x,y)= \sum_{\dot{|}=}^{d})$$b\in \mathbb{C}^{d}$$\mathbb{C}^{\iota+1}$$P_{a}^{(\iota)}$$=$$((x,a)^{\iota-\nu}(y,a)^{\nu})_{0\leq\nu\leq\partial}$$P_{\mathrm{t}b,k}^{(\iota)}$$=$$((x.a)^{\iota-\nu}(y,a)^{\nu}|\begin{array}{l}(x,a)(y,a)(x,b)(y,b)\end{array}|)_{0\leq\nu\leq\iota}$(ただし第 1 成分が $\nu=0$ で第 $s+1$ 成分が $\nu=s$ のところ) と置くと、これらは上の条件を満たす多重調和多項式ベクトルで$\Theta_{L,aP_{e.b.k}^{(\cdot)}}\in A_{d/2+k,\iota}(\Gamma_{2})$定理 1(1)(2)である$\Theta_{L,P_{t}}(\cdot)\in A_{d/2,\iota}(\Gamma_{2})$,$\text{。}$は全射である。
とする。 $s=2r$ とするとき、 $k+r<12$ ならば $WF=0$$\Phi:A_{4,\iota}(\Gamma)arrow S_{4+\iota}(SL_{2}(\mathbb{Z}))$$F\in S_{k,\iota}(\Gamma_{2})$であり、 $F$ は$\theta$

でわりぎれる。

(3) $k=2$ ならばカスプ形式しか存在しない。 すなわちである。 特に $s\leq 18$ ならば $S_{2},’(\Gamma)=0$ である。

$A_{2},,(\Gamma)=S_{2},’(\Gamma)$

131
証明
をとると

$\ovalbox{\tt\small REJECT}(\mathfrak{h}$サイズ 8 の同型を除きただ一つの偶ユニモジュラー格子$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT},\ovalbox{\tt\small REJECT}}\in A_{4,\mathrm{J}^{\mathrm{j}}}(\mathrm{I}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT})$$L\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$であり、$\Phi(\Theta_{B_{8\prime}P_{a}^{(\cdot)}}.)=\sum_{1\iota=0}^{\infty}(x, a)’e^{2\pi 1n\tau}.\in S_{k+4}(SL_{2}(\mathbb{Z}))$であり、これは $(a, a)=0$ なるをいろいろ動かすときを生成する (Boecherer[2]) から、 は全射である。
(2) (3) の証明を述べる。 仮定下では $WF=0$ であることを示す。
$WF$ はのウェイト $k+s-j+1$
valued であるが、第 成分は、の ’ についてウェイト $k+j-1$ \emptyset 保 E 形式と保 形式
$a\in \mathbb{C}^{8}$$S_{4+\iota}(SL_{2}(\mathbb{Z}))$$\Phi$$\mathbb{C}^{s+1}$$j$$f_{\nu}$$g_{\nu}(\tau’)$$SL_{2}(\mathbb{Z})$$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\tau$

を用 4‘て$WF= \sum_{\nu}f_{\nu}(\tau)g_{\nu}(\tau \prime)$と書ける。 ここではウェイト $k+s-j+1$ \emptyset 保 形式の基底の一部として於いて良い。 $F$ はカスプ形式としているから、がカスプ形式で無ければ $f_{\nu}(\tau)=0$ のはずである。 $s=2r$ で $k+r<12$ ならば、
$f_{\nu}$$g_{\nu}(\tau’)$のとき $k+j-1\leq k+r<12$ , しかし、 ウェイトが 12 より小さいのカスプ形式は存在しないから、はカスプ形式ではありえな ‘。 よって、 $f_{\nu}(\tau)g_{\nu}(\tau’)=0$ である。 (つまりがのどちらかはゼロである。) 言い換えれば $WF$ の第 1 成分から第 $r+1$ 成分ま$1\leq j\leq r+1$

$SL_{2}(\mathbb{Z})$$g_{\nu}$$\mathrm{V}$$f_{\nu}$$g_{\nu}$

ではゼロである。 $U=(_{10}^{01})$ とおいて
$(U0$

$U0)$

の作用を考えれば、残りの成分もゼロであることがわかる。 よって $WF=$
$0$

である。
もし $F\in A_{2,s}(\Gamma_{2})$ ならば、

$SL_{2}(\mathbb{Z})$のウェイト 2 の保$\#\mathrm{I}\int \mathrm{R}$形式は存在しないから、 $WF$ の第 1 成分は 0 である。 一般論より e 各 Arakawa$\Phi(F)$ は第 1 成分以外は常にゼロだから、 上の考察と合わせて $\Phi(F)=0$であり、 $F$ はカスプ形式である。 また $s\leq 18$ ならば (2) より $WF=0$だから、 $F$ は でわりきれるが、 $F/\theta\in A_{-3,\iota}(\Gamma_{2})=0$. よって $F=0$ である。 q.e.d.
間: 実はすべての について $S_{1,s}(\Gamma_{2})=S_{2,\iota}(\Gamma_{2})=0$ なのではないか ?
そうでないとしたら、 どうすればゼロでない例が構成できるか ?
$($$\theta$$s$$[1])_{\text{、}}$

132$\mathrm{E}\mathrm{E}2*\emptyset k\overline{7\mathrm{D}}\mathrm{A}\mathrm{R}J\backslash l\dot{1}ffi\mathrm{x}-\mathrm{t}o_{0}$$\sum\infty$

市$S_{k,4}(\Gamma_{2})$$=$$\frac{(t^{10}+t^{12}+t^{14}+t^{1\}+t^{1\epsilon\iota\mu})(1+t)+-t^{30}}{(1-t^{4})(1-t^{6})(1-t^{10})(1-t^{12})}$$\sum_{k\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{\infty}\dim M_{k,4}(\Gamma_{2})$$=$$\frac{(t^{8}+t^{10}+t^{12}+t^{14}+t^{16})(1+t^{7})}{(1-t^{4})(1-t^{l})(1-t^{10})(1-t^{12})}$$\sum_{k=0}^{\infty}\dim M_{k,\}(\Gamma_{2})$$=$$\frac{(t^{\epsilon}+t^{8}+t^{10}+t^{12}+t^{14}+t^{10}+t^{18})(1+t^{8})}{(1-t^{4})(1-t^{\epsilon})(1-t^{10})(1-t^{12})}$$\sum_{k=0}^{\infty}\dim M_{k,8}(\Gamma_{2})$$=$$\frac{(t^{4}+t^{8}+2t^{10}+2t^{12}+t^{14}+t^{16}+t^{18})}{(1-t^{4})(1-t^{\epsilon})(1-t^{10})(1-t^{12})}$$\mathrm{m}$

,

$k=0$

$+ \frac{(t^{9}+t^{11}+t^{13}+2t^{15}+2t^{17}+t^{19}+t^{\mathfrak{B}})}{(1-t^{4})(1-t^{6})(1-t^{10})(1-t^{12})}$は Tsushima [10] により知られて証明 : $k>4$ であれば、 din
レ る。 $k\geq 4$ ならば $k>4$ については Satake [8] または Arakawa [1] よ$S_{k,\iota}(\Gamma_{2})$$\mathrm{a}$へのり、 また $k=4$ については上記の定理により、 は全射である。 よって、 $k..\geq 4$ に いて $\dim M_{k,\iota}(\Gamma_{2})=\dim S_{k,\iota}(\Gamma_{2})+$$\dim S_{k+\iota}(SL_{2}(\mathbb{Z}))$である。 ここで前の定理より、 $k\leq 4$ ならば $F\in$について $WF=0$ であり、はウェイトが $\det$ の負べきを含むから $F=0$ である。 よって $k\leq 4$ で $S_{k,6}(\Gamma_{2})=0$ . また $k\leq 4$ な
らば $S_{k+\}(SL_{2}(\mathrm{Z}))=0$ であるから $M_{k,l}(\Gamma_{2})=0$ でもある。 $s=4,$ $s=8$も似たような論法で求まるがここでは略す。 q.e.d.
$\Phi$$S_{k+\iota}(SL_{2}(\mathbb{Z}))$$\vee\supset$$F/\theta$$S_{k,\}(\Gamma_{2})$4ベクトル値ジーゲル保型形式と微分作用素$M^{\sigma}\cdot(\Gamma_{2})$は$A^{\mathrm{e}ven}(\Gamma_{2})=\mathbb{C}[\phi_{4}, \phi_{\epsilon}, \chi_{10},\chi_{12}]$上の加群であるが、前節の次

元公式によれば $s=4,6,8$ については自由加群であることが想像できる。
たとえば $s=4$ について、はウエイ トが,なるもので生成されそうである。 さらには、 証明の方法としてはベクトルの成分の数は 5 なのであるから、 この保型形式を並べれば、 5 次
正方行列となりこれの行列式が消えないことを言っておけば、 自由基底であることもわかる。 よって問題は実際にこのような生成元を構成することである。 佐藤孝和氏は重さが $\rho_{k,2}=\det^{k}Sym(2)$ ( は偶数) のものを構戒するのに、 - lued の保型形式から微分作用素で作る方法を用$A_{k,4}^{eva\iota}(\Gamma_{2})$$n_{4},,$$\rho_{10,4},$$\rho_{12,4},$$\rho_{14,4}$$\rho_{16,4}$$k$$\mathbb{C}$いた。 (cf. [9]) 彼がこの計算を行ったときは、まだこのような微分作用素

133の一般論はなかったので、微分作用素の構成自身、 $Sym(2)$ の場合に限る
偶然的な事情によるものであった。 その後、 Ibukiyama [5] で 個の 値
ジーゲル保型形式から一般のベクトル ( 保 形式をつくる微分作用素の特徴付けの一般論が述べられたが、 これは具体的な構成の手続きも与えるものであった。 また、佐藤氏の構成と異なり、たとえば 3 つの偶数ウェ
イトのジーゲ 保 形式から出発して奇数ウェイト (つまり $\det^{k}Sym(s)$が奇数) のものも構成できる点なども新しい。 紙数の関係で、 ここのではこのような微分作用素の一般論 (cf. [5]) は述べずに、我々に必要な場
合だけを記述する。 具体的な微分作用素の記述はなかなか煩瑣であるが、$\mathbb{C}$$r$$\mathrm{E}$$J\mathrm{s}$$\text{型^{}1}$$k$

これを書かないと何をやっているのか、わかうなくなってしまうので、書くことにする。 但し微分作用素の形で書く代わりに次のようにする。
$t_{1j}.(1\leq$
2 行 2 列の対称行列 $R,$ $S,$ $T$ をとり、成分をそれぞれ$i\leq j\leq 2)$ とする。 $Q(R, S)$ または $Q(R, S, T)$ を $R$ と S、 または $R$ ,$S$ と $T$ の成分の斉次多項式、 または斉次多項式のなすベクトルとする。
$r_{1j}.,$$Z=(\begin{array}{ll}\tau zz\tau \end{array})\in H_{2}$$s_{\dot{l}j},$に対して$\frac{\partial}{\partial Z}=$($\frac{1}{2}\partial\tau_{z}$$\partial\neg\tau\partial$)

とおく。 $Z^{(\nu)}\in H_{2}(1\leq\nu\leq 3)$ を独立な変数として、な関数 $F_{\nu}(1\leq\nu\leq 3)$ に対し$H_{2}$

上の$\mathbb{C}$valued$(DF_{1}F_{2}F_{3})(Z)=Q( \frac{\partial}{\partial Z^{(1)}}, \frac{\partial}{\partial Z^{(2)}}, \frac{\partial}{\partial Z^{(2)}})F_{1}(Z^{(1)})F_{2}(Z^{(2)})F_{3}(Z^{(3)})|_{Z(1)_{=Z^{(2)_{=Z^{(8)_{=Z}}}}}}^{(}$

とおく。 ここで右辺は微分した後にすべての変数を $Z$ にしたもので、 実際には作用の結果は $Z$ の成分についての $F_{1}(Z)F_{2}(Z)F_{3}(Z)$ 上の微分作
用素に書き直せるのでこれを $D$ とおいたことになっている。同様に $Q$ の$R$ と $S$ の成分の多項式、 または多項式成分のベクトルなら$(DF_{1}F_{2})(Z)=Q( \frac{\partial}{\partial Z^{(1)}}, \frac{\partial}{\partial Z^{(2)}})F_{1}(Z^{(1)})F_{2}(Z^{(2)})|_{Z(1)_{=Z^{(2)_{=Z}}}}$と置くことにする。
以下の具体的な微分作用素は、 [3], [5] に少なくとも原理的には書かれとおく。 いずれも $D$ は $Q$ で決まるのでこれをている。 [7] も参照。

Sym(4);

$k$

even

自然数

$l,$

$k$

[こ対して

$D_{Q}$

134$Q(R, S)$$=$$\frac{l(l+1)}{2}(\begin{array}{l}\prime_{\mathrm{l}\mathrm{l}}^{2}4\mathrm{r}_{\mathrm{l}\mathrm{l}^{f}\mathrm{l}2}4r^{2}2+\mathrm{l}2t\mathrm{l}\mathrm{l}^{f}224t_{\mathrm{l}2}r_{22}t_{22}^{2}\end{array})-(l+1)(k+1)(\begin{array}{l}r_{\mathrm{l}\mathrm{l}}s_{\mathrm{l}\mathrm{l}}2(\mathrm{r}_{\mathrm{l}\mathrm{l}}s_{\mathrm{l}2}+r_{\mathrm{l}2}s_{\mathrm{l}\mathrm{l}})r_{1\mathrm{l}}s_{22}+r_{22}s_{11}+4\mathrm{r}\mathrm{l}2s_{12}2(t_{12}s_{22}+r_{22}s_{12})\prime 22^{S}22\end{array})$$+ \frac{k(k+1)}{2}(\begin{array}{l}s_{\mathrm{l}1}^{2}2s_{\mathrm{l}\mathrm{l}}s_{\mathrm{l}2}4s_{\mathrm{l}2}^{2}+2s_{\mathrm{l}\mathrm{l}}s_{\mathrm{l}2}2s_{\mathrm{l}2}s_{22}s_{22}^{2}\end{array})$

とおく。 このとき $F\in A_{k,4}(\Gamma_{2})$ と$A_{k+\mathrm{t},4}(\Gamma_{2})$.

$G\in A_{\iota,\mathrm{s}}(\Gamma_{2})$に対して D。$(FG)\in$である。 このようにして得られる保型形式 $D_{Q}(FG)$ を簡単に$\{F, G\}_{Sym(4)}$と書くことにする。あえて微分作用素で具体的に書くと、次のようになる。

$\{.\cdot.F, G\}_{Sym(4)}$$=$$\frac{l(l+1)}{2}G\cross\{\begin{array}{l}\mathrm{B}^{T}\partial’ F2^{\partial^{2}F}\pi\partial^{\frac{}{l}}\varpi_{z}+2_{\partial\tau\partial\tau}\neg\theta^{2}F\partial^{2}P2_{\partial \mathrm{r}}^{\theta^{2}}\neg\frac{F}{\partial z}\frac{\partial^{2}F}{\partial\tau^{2}}\end{array}\}-(l+1)(k+1)\{\begin{array}{l}\pi\pi\partial F\partial G\pi\tau_{z}+\pi\tau_{z}\theta F\partial G\partial G\partial F\frac{\theta F}{\partial\tau}\partial A_{T}\partial+\partial G_{\neg+\frac{\partial P}{\partial z}\frac{\theta G}{\theta z}}\pi_{\partial r}^{\partial F}\neg\partial\tau Tz\theta \mathrm{r}T+\neg\iota\partial F\theta G\partial G\partial F\neg\neg\partial\tau\theta\tau\theta F\theta G\end{array}\}$$+ \frac{k(k+1)}{2}F\cross\{\begin{array}{l}\pi^{\mathit{2}}r\theta G\mathit{2}^{\theta^{\mathit{2}}G}\pi\partial\overline{z}\text{佳^{}G}+\mathit{2}_{\partial\tau\partial\tau}^{\partial^{\mathit{2}}G}\neg\mathit{2}_{\partial\tau}^{\partial^{\mathit{2}}}\neg\frac{G}{\partial z}\frac{\partial^{\mathit{2}}G}{\partial r^{\mathit{2}}}\end{array}\}$さらにウェイトを 2 ふやす微分作用素を考える。

135
ます、 次の記号を導入する。

$P_{0}(R, S)$$=\det(R)$ ,$P_{1}(R, S)=$
$P_{2}(R, S)$

ここで変数$u_{1},$$u_{2}$$|\begin{array}{ll}r_{11} s_{12}r_{12} s_{22}\end{array}|+|\begin{array}{ll}s_{11} r_{12}s_{12} r_{22}\end{array}|$$=\det(S)$

,

.

に対して

$u=(\begin{array}{l}u_{1}u_{2}\end{array})$とおき、 自然数 $k,$

$l$

に対して

$Q(R, S, u)=$$(uR^{t}u)^{2} \cross(-(l-\frac{1}{2})l(l+1)(l+2)P_{0}(R, S)$$+(k- \frac{1}{2})(l-\frac{1}{2})(l+1)(l+2)P_{1}(R, S)-(k-\frac{1}{2})(k+2)(l+2)(l+3)P_{2}(R, S))$$+(uR{}^{t}u)(uS^{t}u) \cross(2(l-\frac{1}{2})(l+1)(l+2)(k+3)P_{0}(R, S)$$-2(k- \frac{1}{2})(l-\frac{1}{2})(k+2)(l+2)P_{1}(R, S)+2(k-.\frac{1}{2})(k+1)(k+2)(l+3)P_{2}(R, S))$$+(uS{}^{t}u)^{2} \cross(-(l-\frac{1}{2})(l+2)(k+2)(k+3)P_{0}(R, S)$$+(k- \frac{1}{2})(l-\frac{1}{2})(k+1)(k+2)P_{1}(R, S)-(k-\frac{1}{2})k(k+1)(k+2)P_{2}(R, S))$とする。 $Q(R, S, u)= \sum_{\nu=0}^{4}Q_{\nu}(R, S)u_{1}^{\nu}u_{2}^{4-\nu}$ として、

$Q(R, S)=(\begin{array}{ll}Q_{4}(R S)Q_{3}(R,S) Q_{2}(R S)Q_{1}(R,S) Q_{0}(R S)\end{array})$

136
として

$Q\ovalbox{\tt\small REJECT} R,$$S$) を定義する。

$\in A,+\mathrm{J},4(" 2)$$\mathcal{D}_{Q}(FG)$$F\in A_{\mathrm{A},4}(\mathrm{I}_{2}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})_{\mathrm{j}}G\in A_{\mathrm{J},4}(\mathrm{I}_{2}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})$であり、 これを$\{F, G\}_{\det^{2}S\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{n}(4)}$に対して、と書くことにする。
$\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(4)$

;

$k$

odd

自然数

$k_{1},$$k_{2},$

$ks$

[こ対して

$Q(R,S,T)=(\begin{array}{ll}Q_{4}(R S,T)Q_{3}(R S,T)Q_{2}(R S,T)Q_{1}(R S,T)Q_{0}(R S,T)\end{array})$

とおく。 ただし、$Q_{4}(R, S,T)=$$(k_{2}+1)|\begin{array}{lll}(k_{\mathrm{l}}+1)r_{1\mathrm{l}} k_{2} k_{3}t_{1\mathrm{l}}^{2} \epsilon_{1\mathrm{l}} t_{1\mathrm{l}}\mathrm{r}_{11}r_{\mathrm{l}2} s_{12} t_{\mathrm{l}2}\end{array}|-(k_{1}+1)|\begin{array}{lll}k_{1} (k_{2}+1)s_{11} k_{3}t_{\mathrm{l}1} s_{11}^{2} t_{\mathrm{l}1}r_{12} s_{11}s_{\mathrm{l}2} t_{12}\end{array}|$,$Qs(R, S,T)=$$2(k_{2}+1)$$(k_{1}+1)\mathrm{r}r_{11^{f}12}r_{12}^{2}12$$+(k_{2}+1)$$|(k_{1}+1)\mathrm{r}r_{11}r_{22}r_{11}^{2}11$$s_{12}s_{11}k_{2}t_{12}t_{11}|k_{\}-2(k_{1}+1)|\begin{array}{lll}k_{1} (k_{2}+\mathrm{l})s_{12} k_{\}t_{\mathrm{l}1} s_{11}s_{12} t_{1\mathrm{l}}r_{\mathrm{l}2} s_{12}^{2} t_{12}\end{array}|$$s_{22}s_{11}k_{2}t_{22}t_{11}|k_{\}-(k_{1}+1)|\begin{array}{lll}k_{1} (k_{2}+1)s_{1\mathrm{l}} k_{3}r_{1\mathrm{l}} s_{11}^{2} t_{1\mathrm{l}}r_{22} s_{11}s_{22} t_{22}\end{array}|$$Q_{2}(R,S,T)=$$3(k_{2}+1)|\begin{array}{lll}(k_{1}+\mathrm{l})r_{\mathrm{l}I} k_{2} k_{\}r_{\mathrm{l}1}r_{12} s_{11} t_{11}r_{22}r_{12} s_{22} t_{22}\end{array}|-3(k_{1}+1)|\begin{array}{lll}k_{1} (k_{2}+1)s_{12} k_{\}r_{11} s_{11}s_{12} t_{11}r_{22} s_{22}s_{12} t_{22}\end{array}|$

.

137

$Q_{1}(R, S,T)=$$2(k_{2}+1)$$(k_{1}+1)r_{12}r_{12}r_{22}r_{12}^{2}$$+(k_{2}+1)$$s_{22}s_{12}k_{2}t_{22}t_{12}|k_{3}-2(k_{1}+1)|\begin{array}{lll}k_{1} (k_{2}+1)s_{12} k_{3}r_{12} s_{12}^{2} t_{12}r_{22} s_{12}s_{22} t_{22}\end{array}|$$(k_{1}+1)r_{22}r_{11}r_{22}r_{22}^{2}s_{22}s_{11}k_{2}t_{22}t_{11}|k_{3}-(k_{1}+1)|\begin{array}{lll}k_{1} (k_{2}+1)s_{22} k_{3}\mathrm{r}_{11} s_{11}s_{22} t_{11}r_{22} s_{22}^{2} t_{22}\end{array}|$$Q_{0}(R, S,T)=$$(k_{2}+1)|\begin{array}{lll}(k_{1}+1)r_{22} k_{2} k_{3}r_{22}r_{12} s_{12} t_{12}r_{22}^{2} s_{22} t_{22}\end{array}|-(k_{1}+1)|\begin{array}{lll}k_{1} (k_{2}+1)s_{22} k_{3}r_{12} s_{22}s_{12} t_{12}r_{22} s_{22}^{2} t_{22}\end{array}|$をこのように取るとき、対して $D(FGH)\in M_{k_{1}+k_{2}+k_{3}+1,4}(\Gamma_{2})$ である。 これをと書くことにする。

$F\in M_{k_{1}}(\Gamma_{2}),$ $G\in M_{k_{2}}(\Gamma_{2}),$ $H\in M_{k_{3}}(\Gamma_{2})$$Q$

Sym(6);$k$even 変数$u_{1},$$u_{2}$.
に$\{F, G, H\}_{\mathrm{d}}\alpha.s_{ym}(4)$およひベクトル $u$ を前と同様に定め、 2次対称行列 $R,$ $S$ に対して、$Q(R, S, u)$$=-(\begin{array}{l}k_{2}+23\end{array})(^{t}uRu)^{3}+(\begin{array}{l}k_{2}+22\end{array})(\begin{array}{l}k_{1}+21\end{array})(^{t}uRu)^{2}(^{t}uSu)$.

$-(\begin{array}{l}k_{2}+2\mathrm{l}\end{array})(\begin{array}{l}k_{1}+22\end{array})(^{t}uRu)(^{t}uSu)^{2}+(\begin{array}{l}k_{1}+23\end{array})(^{t}uSu)^{3}$

とおく。 $Q_{\nu}(R, S)$ を $Q(R, S,u)– \sum_{\nu=0}^{6}Q_{\nu}(R, S)u_{1}^{\nu}u_{2}^{6-\nu}$ で定義し、$Q(R, S)=(\begin{array}{ll}Q_{6}(R S)Q_{5}(R,S) S)Q_{4}(R Q_{3}(R,S) S)Q_{2}(R S)Q_{1}(R S)Q_{0}(R \end{array})$

138
と
に対して、
とおく。
と書くことにする。
である。 これを
次にウェイトを 2 増やす微分作用素を考える。
として、 次のように置く。
$F\mathrm{e}M_{\mathrm{i},6}(\mathrm{I}_{2}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})$$G\mathrm{e}\mathrm{H}_{6},(\mathrm{t}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}.)$$\mathcal{D}(FG)\in \mathrm{A}\mathrm{f}*+\mathrm{z},\mathrm{e}(\mathrm{I}_{2}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}})$$\{\ovalbox{\tt\small REJECT} G\}_{S\mathrm{y}\mathrm{y}\mathrm{n}(6)}$$P_{0_{\rangle}}P_{1},$

$P2$

を前と同様

$Q(R, S,u)=$$((k- \frac{1}{2})(l-\frac{1}{2})P_{1}-l(l-\frac{1}{2})P_{0}-k(k-\frac{1}{2})P_{2})$$\cross$$(-(\begin{array}{l}l+33\end{array})(^{t}uRu)^{3}+(\begin{array}{l}l+32\end{array})(k +3\mathrm{l})(^{t}uRu)^{2}(^{t}uSu)$$-(\begin{array}{l}l+3\mathrm{l}\end{array})(k +32)(^{t}uRu)(^{t}uSu)^{2}+(k +33)(^{t}uSu)^{\})$-$\cross$$(k+l+4)((l- \frac{1}{2})P_{0}(u^{t}Su)-(k-\frac{1}{2})P_{2}(^{t}uRu))$$( \frac{(l+3)(l+2)}{2}(^{t}uRu)^{2}-(k+3)(l+3)(^{t}uRu)(^{t}uSu)+\frac{(k+3)(k+2)}{2}(^{t}uSu)^{2})$これに対して、 $Q(R, S,u)’= \sum_{\nu=0}^{f}Q_{\nu}$ ( $R$ , S)u\mbox{\boldmath $\nu$}l -’ として、前と同様に$Q(R, S)=(Q_{\nu}(R, S))_{0\leq\nu\leq 6}$ とする。 $F\in A_{k}(\Gamma_{2}),$ $G\in A_{l}(\Gamma_{2})$ ならば$D(FG)\in A_{k+l+2,6}(\Gamma_{2})$ である。これを $\{F, G\}_{\det^{2}Sym(}$ と書くことにする。

5テータ関数による構成

前節までに述べた構成では、構成しきれない部分がでるので、格子を内の $E_{8}+R$ と同型でないような、 同を用いて構成する。
型を除いて一意的に決まる偶ユニモジュラー格子とする。具体的には、た$L=\Gamma_{16}$$\mathrm{R}^{16}$とえば$\Gamma_{16}=\{(x:)\in \mathbb{Q}^{16};2x:\in \mathbb{Z},x:-x_{j}\in \mathbb{Z},.\cdot\sum_{=1}^{16}x:\in 2\mathbb{Z}\}$で与えられる。 ここで、

$a=(2,i,i,i,i,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ ,$b=$$(i,i,\neq-i, -i, 2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$とおく。 $(a, a)=(a,b)=(b, b)=0$ である。 前 [こ記号を定めたように

valued の多重調和多項式ベクト’$\mathrm{s}P_{a}^{(6)}$(X),$P\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}(X)(X\in M_{2,16}(\mathbb{C}))$$\mathbb{C}^{7}$を139とる。 これらに対して恒等的にゼロではなく、$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{O}_{L,\ovalbox{\tt\small REJECT}},$

6

とおくと、
である。

$X_{10}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{O}_{L_{\mathrm{t}}P\mathrm{S},\ ,2}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\in \mathrm{S}_{6,0},X,\in \mathit{8}_{\mathit{1}0,4}$$\ovalbox{\tt\small REJECT},$$X_{10}$は

主結果$\emptyset\,\sigma_{6}$を$M_{6,6}(\Gamma_{2})$に属するベクトル値のアイゼンシュタイン級数とする。 (cf. Arakawa[1])定理 3$A^{\sigma_{4},even}(\Gamma_{2}),$$A^{\sigma_{4},odd}(\Gamma_{2}),$$A^{\sigma_{6},even}(\Gamma_{2})$は $A^{evm}(\Gamma_{2})$ 上の自由加群である。 自由加群としての基底は次で与えられる。
(1) A\sigma 4. en(I2)1 こつ V‘ては、$\{\phi_{4}, \phi_{\}\}_{Sym(4)}\in M_{10,4}$$\{\phi_{4},\phi_{4}\}_{Sym(4)}\in M_{8,4}$(2)$\{\phi_{4}, \phi_{6}\}_{\det^{2}Sym(4)}\in S_{12,4}$,$\{\phi_{\}, \chi_{10}\}_{Sym(4)}\in S_{16,4}$.

$A^{\sigma_{4},odd}(\Gamma_{2})$,(4)\in Sl4,4》$\{\phi_{4}, \chi_{10}\}_{\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}$についてはSyrn(4) $\in S_{15,4}$$\{\phi_{4}, \phi_{6}, \phi_{6}\}_{\det Sym(4)}\in S_{17,4}$$\{\phi_{4}, \phi_{4}, \chi_{10}\}_{\det Sym(4)}\in S_{19,4}$$\{\phi_{4}, \phi_{4}, \chi_{12}\}_{\det Sym(4)}\in S_{21,4}$$\{\phi_{4},\phi_{4}, \phi_{\epsilon}\}_{\det}$$\{\phi_{4}, \phi_{6}, \chi_{12}\}_{\det Sym(4)}\in S_{23,4}$(3)$A^{\sigma_{6\prime}\mathrm{e}ven}(\Gamma_{2})$i こつ l‘ては$\emptyset\epsilon,\epsilon\in M_{6,6}$$X_{10}\in S_{10,6}$$X_{8}\in S_{8,\epsilon}$$\{\phi_{4}, \phi_{6}\}_{\det^{2}Sym(}\in S_{12,\epsilon}\{\phi_{4}, \chi_{10}\}_{\mathrm{S}ym(6)}\in S_{14,6}$$\{\phi_{4}, \chi_{12}\}_{\mathrm{S}ym(}\in S_{16,6}$$\{\phi_{6},$$\chi_{12}]_{Sym(6)}\in S_{18,6}$は上の自由
ちなみに、 今回あげた例では、 たまたま加群であったが、 一般にはそうではない (例 : $s=2$ , cf. [9], [6]). 次元公はいずれも自由カ O 群式から考えて、$A^{\sigma}\cdot(\Gamma)$$A^{\sigma_{6},odd}(\Gamma_{2}),$$A^{\sigma_{8},even}(\Gamma_{2}),$$A^{even}(\Gamma_{2})$$A^{\sigma_{8},odd}(\Gamma_{2})$であると思われるし、 正しければ証明も易しいはずであるが、 時間 ‘が無は次元公式から自由加群でない
くて確かめていない。 一方
ことがすぐにわかり、 構造はやや複雑になるものと思われる。
$A^{\sigma_{10},even}(\Gamma_{2})$

140
参考文献
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erators for Siegel modular forms. Internat. J. Math. 9(1998), no. 4,

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Siegel modular forms, 京大数理研講究録 1200 「代数的整数論とその周辺」 (2 1 年 4 月発行) , 71-81.
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Department of Mathematics, Graduate School of Scienoe
Machikaneyama 1-16, Toyonaka, Osaka, 560–0043Japanibukiyam@math.wantosaka-u .ac.jp