数理解析研究所講究録
1017 巻 1997 年 24-3124

無限次元測度論の創生期の頃を回顧して-山崎泰郎氏の業績より
下村宏彰(福井大学)

山崎先生はその創生期 (Minlos の定理が誕生した頃といってよいであろうか) の頃から無限次元位相線形空間上の測度論に関わってこられた。 この方面での先生の業績は、大別して、測度の構成問題、種々の変換群に対する不変、 もしくは準不変測度の研究、測度論の調和解析への応用と凡そ三つの柱に分けられる。 このノートではそれらの中からそれぞれ氏の初期の都合三編の論文を選んで当時の状況を振り返ることとしたい。

1. 無限次元位相線形空間上の測度の構成
この節の内容は主に次の論文からの抜粋である。
Y.Umemura, Measures on infinite dimensional vector space, PUBL RIMS Kyoto Univ. 1(1965).

をその位相的双対空間、 $<x,$ $x^{*}>,$ $(x\in X, x^{*}\in X^{*})$を局所凸な線形空間$<$を duality bracket とする。 そして $x*$ 上に cylinder set $\{x^{*}\in X^{*}|(<x_{1},$ $x^{*}>,$$x^{*}>)\in E\}(x_{1}, \cdots, x_{n}\in X, E\in \mathfrak{B}(\mathrm{R}^{n}))$ から生成したをとり-algebra
上に確率測度 を定義することを考えよう。
$F,$ $G$ 等を $X$ の有限次元線形部分空間として$X$$X^{*}$$\cdots,$$\mathfrak{B}$$\sigma$$x_{n},$$(X^{*}, \mathfrak{B})$$\mu$: $x^{*}\in X^{**}-x|F\in F^{*}$$\pi_{F}$が先験的に与えられているならば、 $\mu_{F}:=\pi_{F}\mu$ ,を restriction map とする。 さてもしも
つまり $\mu_{F}(E):=\mu(\pi-1(E))$ とおいて有限次元空間上の測度列が次の consistent の$\mu$$\{\mu_{F}\}$

条件 (C) を満たすように定まる。

(C) $G\subseteq F\Rightarrow\pi_{G,F}\mu F=\mu c$
ただし、:る。 すなわち、$\pi_{G,F}$(P) (C) を満たす定義出来るか?

$x^{*}\in F^{*}\mapsto x^{*}|G\in G^{*}$$\{\mu_{F}\}$である.

さて問題となるのはこの逆であが与えられたとき、 それから $\pi_{F}\mu=\mu_{F}$ なる(P) を Bochner 型で言い換えることもできる。 今に対して $x\in F$ なる $F$ を–つとって、$\{\mu_{F}\}$$\mu$が$(X^{*}, \mathfrak{B})$

上にが与えられたとき、 $x\in X$$\chi(x):=\int_{F^{*}}\exp(\sqrt{-1}<x, x^{*}>)\mu_{F}(dx^{*})$

とおいて\mbox{\boldmath $\chi$} を $X$ 上で定義するとは次の性質をもつ。
は $X$ 上の正定値符号関数で $\chi(0)=1$ .
(1)は各 $F$ に対して $F$ 上の連続関数である。
(2)ととの間に上の関係を通して 1 対 1 の対応が成容易に分かるようにこのようなり立つ。すると (P) は次の形をとる。
$\chi$$\chi$$\chi|F$$\chi$$\{\mu_{F}\}$25(P’) (1) (2) を満たす $\chi \text{に対して}$$(X^{*}, \mathfrak{B})$上の確率測度$\mu$が存在して$\chi(x)=\int_{X^{*}}\exp(\sqrt{-1}<x, x^{*}>)\mu(dx^{*})$

が成立するだろうか ?
(P) と (P’) は–般に否定的であることはすぐにわかる。 例えば$X$ を Hilbert 空間としたときに$\chi(x):=\int_{H^{*}}\exp(\sqrt{-1}<x, x^{*}>)g(dx^{*}):=\exp(-\frac{||x||_{H}^{2}}{2})$で定義される は完全加法的ではない。 それを見るには $H$ の c.o.n.s.
を$narrow\infty$
しかるのち
つとって上の定義式において にを代入し、とすればよい。
一般に測度列に対応する測度は $x*$ より数段大きい $(F, \pi_{G,F})$ の射影極限空間上にしか構成できない。
それではどのような場合に (P) (P’) が成立するのであろうか ? これらは $x$ の形状及び与えられた族の性質に依存する難しい問題である。 そこで以後、 実際に起こりうる状況でのみ考えるために、 話を連続な測度列に限定する。 すなわち $x$ にあらかじめ与えられていた位相 に関して が連続のときを連続な測度列という。 このいいかたは以下のように有限加法族と有限加法的測度 の概念を導入しておくともう少しはっきりみることが出来る。
つまり、は自然に有限加法族 をなし, $\mu(\pi_{F}^{-1}(E)):=\mu F(E)$ とおいて定は義した上の有限加法的浪渡になる。この形で連続性を言い換えると次のようになる。
$g$$e_{1},$$x$$\cdots,$$e_{n},$$\cdots$$e_{n}$$\{\mu_{F}\}$$\varliminf_{\backslash }(F, \pi c,F)=X^{a}$$\{\mu_{F}\}$$\tau$$\{\mu_{F}\}$$\chi$$\mathfrak{U}$$\mu$$\{\pi_{F}^{-1}(E)\}_{E,F}$$\mathfrak{U}$$\mathfrak{U}$$\mu$(continuity)$\mu$$\forall_{\epsilon},$$\exists_{U(0)}$: neighburhood of$0,$ $s.t.,$ $x\in U(\mathrm{O})\Rightarrow\mu(x^{*}|<x, x^{*}>\geq 1)<\epsilon$.

は底空間 $F$ を固定して $E$ を動かした時、 その $E$ について完全加法的となる有限加法的測度であり、 (P) を を使って言い換えておくと、”$)\mu$ は上に完全加法的測度として拡張できるか ?
$\mu$$\mathfrak{B}$$(\mathrm{P}$となる。
山崎先生の結果

Theorem 11. (Minlos–Umemura)$X$ を nuclear-Hilbert space とするとき$\sigma$$\{\mu_{F}\}$が連続な測度列とするならば問題 (P) は肯定的となる。

証明の概要を以孝順に示す。
Hopf の拡張定理、 i.e.,$1^{\mathrm{O}}$$F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq\cdots\subseteq F_{n}\subseteq\cdots,$ $\pi_{F_{1}}^{-1}(E_{1})\supseteq\pi_{F_{2}}^{-1}(E_{2})\supseteq\cdots\supseteq\pi_{F_{n}}^{-\perp}(E_{n})\supseteq\cdots$$\lim_{n}\mu(\pi_{F_{n}}-1(E_{n}))=\alpha>0\Rightarrow\bigcap_{nF_{n}}\pi^{-1}(E_{n})\neq\emptyset$を示したい。 有限次元の measure の regularity から
それゆえ問題の cylinder sets はすべて弱閉である。

$E_{n}$

はすべて閉としておいてよい。

さて上記の示すべき事柄はいうまでもなく有限交叉性から完全交叉性を導く類の問題である。 従って何らかの compact 集合を媒介にした議論に持ち込めば良いだろうと想像される。 (この問題に限らず、 重要、 あるいは基本となる測度の拡張問題には必ず compactの概念がついてまわる。 measure と compactness はどこか深い所で結びついているに違いない。) 今の場合は次の条件 (K) を検証すれば十分である。

26(K)$\forall_{\eta}>0$,$\exists_{K_{\eta}}$: weakly compact set of$X^{*}s.t.,\forall F,$ $\mu_{F}(\pi F(K_{\eta}))>1-\eta$.とする。 $||\cdot||_{n}\leq||\cdot||_{n+1}$ でありかつ、を定義する norm の列をで完備化してできはに関して Hilbert-Schmidt 的としてよい。 $X$ をとするとる Hilbert 空間を$X$$2^{\mathrm{o}}$$\{||\cdot||_{n}\}_{n}$$||\cdot||_{n}$$||\cdot||_{n+1}$$||\cdot||_{n}$$X_{n}$,$x_{0}\supseteq x_{1}\supseteq\cdots\supseteq X_{n}\supseteq\cdots$

また$\mathrm{n}_{n}x_{n}=x$.の所で dual と同–視しておくと$x_{0}$$X^{*}\supseteq\cdots\supseteq X_{n}*\supseteq\cdots\supseteq x*=X\supseteq 00\cdots\supseteq X_{n}\supseteq\cdots\supseteq X$.

仮定により、$x\in X,$$\exists n_{0}s.t.,$$\forall_{\epsilon}>0,$$||x||_{n_{0}}\leq 1\Rightarrow\mu(x^{*}|<x, x^{*}>\geq 1)\leq\epsilon$

ここで $U:=\{x\in X|||x||_{n_{0}}\leq 1\}$ とおく。埋め込み的だから、 ある c.o.n.s.,$e_{1},$$\cdots e_{k},$$\cdots$in$X_{n_{0}+1}$$||x||_{n_{0}}^{2}= \sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}^{2}$$<x,$$\iota$:$x_{n_{\text{。}+-\succ X_{n\text{。}}}}1\text{は}$.

Hilbert-Schmidtが存在して、$e_{k}>_{n\mathrm{o}+1}^{2}$.

を満たしている。
は定数でとなる。 ただし,
$V:=\{x\in X|||x||_{n}0+1\leq 1\}$とおく。 そして $R>0$ として $K:=(R^{-1}V)^{\mathrm{o}}$ とおくと、 $K$ は $x*$ の weakly compact set になる。 さて $X$ の任意の有限次元部分空間 $F$をとり $\pi_{F}(K)$ を考えよう。 Hahn-Banach の拡張定理より $(R^{-1}V\cap F)^{\mathrm{O}}=\pi F(K)$ であることが容易に分かる。 また、 llxlln。を $x\in F$ に制限したものを考えると $F$ の基底, $(\dim(F)=d)$ が存在して、

for all $x\in X_{n_{0}+1}$$e_{1}’,$$\cdots,$$\Sigma_{k=1}^{\infty 2}\alpha_{k}<\infty$$\alpha_{k}$$e_{d}’$$||x||_{n\text{。}}2 \sum_{=}^{d}=\beta^{2}k1k<x,$とかける。 ここに、 A は定数で$e_{k}’>_{n+1}^{2}\text{。}$$\Sigma_{k=1}^{d}\beta_{k}^{2}\leq\Sigma_{k=1k}^{\infty 2}\alpha=:D$である。 そして$R^{-1}V \cap F=\{x=X_{1}e_{1}’+\cdots x_{d}’e_{d}’|\sum_{k=1}^{d}X_{k}’2\leq R^{-2}\}$となる。 ここで、 対応$S$: $x=x_{11}’e’+\cdots+x_{d}’’e_{d}\in F-(x_{1}’, \cdots, x_{d}’)\in \mathrm{R}^{d}$

によって$U\cap FkE_{\beta}$$:=\{x\in \mathrm{R}^{d}|\Sigma_{k=1}d\beta k2_{X_{k}^{2}}\leq 1\}$,

$R^{-1}V\cap FkD_{R}:=\{x\in \mathrm{R}^{d}|\Sigma_{k=1^{X_{k}^{2}}}^{d}\leq$$R^{-2}\}$に移し、 さらにであり$\nu(D_{R}^{\mathrm{o}})$$(\mathrm{R}^{d})^{*}$と$\mathrm{R}^{d}$$x\in \mathrm{R}^{d}$$\xi,$とを同–視してのとき、${}^{t}S^{-1}(\pi_{F}\mu)=\nu$

とおくと$\mu_{F}(\pi_{F}(K))=$$\nu(\xi\in \mathrm{R}^{d}|<x, \xi>\geq 1)=\pi_{F}\mu(x^{*}\in F^{*}|<x^{t-1*},sX>\geq 1)=\pi_{F}\mu(x^{*}\in F^{*}|<S^{-1}X, x^{*}>\geq 1)$より$x\in E_{\beta}$のとき$\nu(\xi\in \mathrm{R}^{d}|<x,\xi>\geq 1)<\epsilon$となる。

27$\mathrm{s}\circ$Lemma 1.1. (Umemura)$d$

次元 Euclid 空間上に確率測度の非原点側の measure がすべてが与えられていて、楕円体$\nu$$\epsilon$以下となっていれば、半径$E: \Sigma_{k=1}^{d}\frac{\xi_{k}^{2}}{\beta_{k}^{2}}=1$$R$の接平面の球の外側の measuoe はヨ$\nu(\xi\in \mathrm{R}^{d}|\sum_{k=1}\xi_{k}^{2}\geq R^{2})\leq\gamma_{0}^{-1}(\epsilon+R-2\sum\beta_{k}2)k=1$と評価される。 ここに$\gamma 0$

は次元$d$によらない universal constant である。

Proof.
$I:= \int_{<x.\mathcal{E}>R}>)g(d_{X})_{\mathcal{U}(}d\xi$を Fubini の定理を用いて二通りの方法で評価する。 ここに$g$は上の標準 Gauss 測度$\mathrm{R}^{d}$である。

(1)$I= \int_{\mathrm{R}^{d}}\nu(\xi\in \mathrm{R}^{d}|<x, \xi>\geq R)g(dX)$と変形する。 ここで、$<x,$ $\xi>=1$に注意する。 従って
$E$

が楕円体

$E$に接する$\Leftrightarrow$であれば領域$\Sigma_{k=1}\beta_{k}2x_{k}^{2}\leq R^{2}$$\sum_{k=1}^{d}\beta_{k}^{2}x=1k2$

は$\{\xi\in \mathrm{R}^{d}|<x, \xi>\geq R\}$の接平面の非原点側にある。 これよりぶ
$I \leq\epsilon+R^{-2}\sum\beta^{2}k=1k$.

(2) 他方$I= \int_{\mathrm{R}^{d}}g$( $x\in \mathrm{R}^{d}|<X$ , \xi >\geq R)\iota ノ (d\xi )$= \int_{\mathrm{R}^{d}}g(\xi\in \mathrm{R}^{d}|||\xi||x_{1}\geq R)\nu(d\xi)$2$g(x\in \mathrm{R}^{d}|x_{1}\geq 1)_{U(\xi\in \mathrm{R}}d|||\xi||\geq R)$.

従って、$\gamma_{0}:=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{1}^{\infty}\exp(-\frac{t^{2}}{2})dt$とおくと証明が完了する。

$4^{\mathrm{o}}$この補題を用いて定理の証明を完成させよう。
$x\in E_{\beta}\Rightarrow$であったから特に楕円体$\nu(\xi\in \mathrm{R}^{d}|<x, \xi>\geq 1)<\epsilon$$\Sigma_{k=1}^{d}\frac{\xi_{k}^{2}}{\beta_{k}^{2}}=1$の非原点側の measure は$\epsilon$以下である。 よって.

$\nu(D_{R}^{\mathrm{O}})=\nu(\xi\in \mathrm{R}^{d}|\sum_{k=1}\xi_{k}^{2}\geq R)\leq\gamma_{0}^{-1}(\epsilon+R-2\sum_{k=1}\beta_{k}^{2})\leq\gamma_{0}^{-1}(\epsilon+R-2D)$

28

従って$\epsilon$を十分小さく $R$ を十分大きくとって全体を$\eta$以下にすればよい。

口Minlos の原証明はさておき、 山崎先生は Theorem 1.1 の事実を間接的に知って御自身で上記の証明を考えられたとのことである。 当時の研究状況はこの結果はもとより他の諸結果も月単位で生み出されていったとの逸話が残っている。
以上は nuclear space の場合であったが Hilbert space ではどうなるだろうか ?
それは次の Sazonov の定理として知られている。

N.B.

を Hilbert 空間 $H$ 上の測度列とする。 このときTheorem 12.
が次の意味で連対応するに対応する有限加法的測度 が完全加法的$\{\mu_{F}\}_{F}$$\{\mu_{F}\}_{F}$$\Leftrightarrow$$\mu$$\chi$

続なこと。
“$\forall_{\epsilon}>0$,$\exists_{A_{\epsilon}}$: trace class positive definite operator on $Hs.t.,$$|1-\chi(x)|\underline{<}\epsilon.$$\Rightarrow$$<A_{\epsilon}x,$$x>\geq 1$”の完全加法性は特性関数のある位相に関する連続性空間の形状に応じてであるが、このような位相をとして記述されることがある。
Sazonov 位相という。 Sazonov 位相がいつでもあるとは限らない。
$\mu$

2. 回転不変測度について
この節の内容は第 1 節にあげた文献、 及び次のものによる。
Y.Umemura, Rotationally invariant measures in the dual space of a nuclear space, Proc.
Japan Acad. 38 (1962).
.
$X$ :nuclearが–つ与えら-Hilbert space として $X$ 上に連続な Hilbertian norm$||\cdot||_{H}$$\sigma$れたとして、 この norm で$X$を拡大したものを$H$とおく。 また$O(H):=$ { $L|L$ is a unitary operator on $H$ such that $L|X$ is a homeomorphic operator on $X$ }を導き従って測度とおく。 $L\in O(H)$ は $X$ 上の operator と考えたとき $x*$ 上にはなる変換をうける。
${}^{t}L$$\mu$${}^{t}L\mu$$\forall_{L\in O}(H)$のときが$\mu$,${}^{t}L\mu=\mu$

を $O(H)$ -invariant とよぶ。 このような$\chi_{c}(x)=\exp(-\frac{c^{2}}{2}||x||_{H}^{2})$で与えられる$\mathrm{c}_{\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{S}}$$\mu$の代表的な例は特性関数

測度$g_{c}$$\chi_{c}(c\geq 0)$である。 ( $c=0$ のときは原点に mass のある Dirac measure とする)

Theorem 2.1. (回転不変測度の特徴づけ)-invariant measure,Borel probability measure $s.T.$ ,また、 $O(H)$ -ergodic であるものは g。に限る。
$\exists_{m:}[0, \infty)$$\forall_{\mu:}O(H)$$\mu=\int_{[0,\infty)}g_{c}m(dC)$の形にかけ は原点で連続な completelyになることとBernstein の定理から導く。 現在は他の証明
monotonic function on法、例えば測度のエルゴード分解から Bernstein の定理を経由することなく直接に導く方法等が知られている。 しかしとにかくこの定理は無限次元空間においてはあたかもにおける球面上の–様測度
測度 はにとって代わるといった印象を与えるし、 まの $narrow\infty$ とした
はた他の諸結果、例えば確率論における大数の法則、 あるいは証明は$\mu$に対応する$\chi$

が$\chi(x)=\varphi(||x||_{H}^{2})$$\varphi$$[0, \infty)$$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{S}\mathrm{s}$$g$$\mathrm{R}^{n}$$\nu_{n}$$g$ときのある種の極限であると言う事実にも符合する。

$\nu_{n}$.

29

3. 無限次元空間上の LAPLACIAN$\mathrm{o}\mathrm{P}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{R}$

調和解析を試みるための出発点である Laplacian の定義とその特徴づけをテーマとしたものであり、今日の Malliavin calculus で基本的な役割をはたす Orstein-Uhrenbeck
operator に相当する標題の作用素を関数解析的立場から扱った、 いわば先駆的な研究である。 この節の内容は次の文献による。
Y.Umemura, On the infinite dimensional Laplacian operator, Publ RIMS Kyoto Univ.
4 (1965).
まず motivatiOn から入ろう。

.

$\mathrm{L}_{dx}^{2}(\mathrm{R}^{n})$上の$\Phi$:$\triangle$

を map$\Phi$,,$f(x) \in \mathrm{L}_{dx}^{2}(\mathrm{R}^{n})-(\frac{1}{\sqrt{2\pi}c})^{-\frac{n}{2}}\exp(\frac{1}{4c^{2}}\sum_{1=}x^{2}kkxn)f()\in \mathrm{L}_{g_{\mathrm{c},n}}^{2}(\mathrm{R}^{n})$ここに、$g_{c,n}(dx)=( \frac{1}{\sqrt{2\pi}c})^{n}\exp(-\frac{1}{2c^{2}}\sum_{1k=}x^{2})kdXn$

で写すと$\mathrm{L}_{\mathit{9}\mathrm{c},n}^{2}(\mathrm{R}^{n})$上の$\triangle_{c,n}$が$\triangle_{\text{。},n}=\sum_{k=1}^{n}(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}-\frac{x_{k}}{c^{2}}\frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{1}{2c^{2}}+\frac{1}{4c^{4}}X^{2})k$として定まる。 このうち$\Sigma_{k=1}^{n}(-\frac{1}{2c^{2}}+\frac{1}{4c^{4}}x_{k}^{2})$(は$narrow\infty$のとき $O(n)$ となり発散する。 この項を捨てさると、 意味のある項は$\triangle$。

$= \lim_{narrow\infty}\sum_{=k1}n(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}-\frac{x_{k}}{c^{2}}\frac{\partial}{\partial x_{k}})$となる。 \Delta 。を infinite dimensional Laplacian とよぶ。 より正確にはDefinition 3.1. $X$ を nuclear space,を$||\cdot||_{H}$$||\cdot$$||_{H}$.

で拡大して $H$ を作る。

を $X$ 上の連続な Hilbertian norm として $X$$X\subseteq H=H^{*}\subseteq X^{*}$$x_{1},$$S$$\cdots,$を $x$ からとった $H$ の$x_{n}$とするとき$\mathit{0}.n.s.,$$f$は$\mathrm{R}^{n}$.

上の滑らかな関数で$F(x^{*})=f(<x_{1}, x^{*}>, \cdots<x_{n}, x^{*}>)$$\triangle_{c}F(x^{*})$。

$n(x)f(x_{1,n}\ldots, x)\in$$\sqrt{\frac{dg}{dx}}$に対して、$:=. \sum_{k=1}^{n}(\frac{\partial^{2}}{\partial t_{k}^{2}}-\frac{t_{k}}{c^{2}}\frac{\partial}{\partial t_{k}})f(t_{1}, \cdots, t_{n})|_{t_{i}*}=<x_{i},x>$とおく。

Theorem 31. (1)ator になる。
(2)$L_{g}^{2}$$(X^{*})$。

\Delta 。は$L_{\mathit{9}c}^{2}(X^{*})$

上の symmetric かつ rotationally invariant な oper-

上の symmetric rotationally $inva\dot{\eta}an\tau$ operator $A$ は実はている。

(3)$L_{g}^{2}$$(X^{*})$。

を multiple Wiener integral を用いて
$L_{g_{c}}^{2}= \sum_{=n1}^{\infty}\oplus \mathcal{H}_{n}$$\triangle_{c}$で生成され30と分解しておくと$A$は各上で cortstant map になる。

$\mathcal{H}_{n}$また、 $O(H)$ の表現 ( $R,$$\mathrm{L}_{g}^{2}$$(X^{*})$。

)$R(L)$の既約分解が$\mathrm{L}_{\mathit{9}c}^{2}$$(X^{*})=\Sigma_{n=}^{\infty}1\oplus \mathcal{H}_{n}$:. $f(X^{*})-f(tLx^{*})$
で与えられることの別心も記されている。

以上の他、 山崎先生の業績は measure の construction, support に関わるものとして、Sazonov 位相の問題、特性位相と Dao の不等式の周辺、射影極限測度列の研究、 reguralityに関したものとしては、 回転不変測度の他、 平行移動に関する準不変測度の研究、 特に、不存在の証明。 また、 調和解析的な試みとしては、 Laplacian と spherical harmonics, 回転群上の測度の構成と関連した表現等が挙げられよう。それらの成果はおおよそ紀伊国屋書店の数学叢書シリーズの中での「無限次元空間の測度上下」 としてまとめられその英訳版も world社から出版されている。 叙述は self contained で、 そしてなによりも明快である。 以下に山崎泰郎 (Yasuo Yamasaki) 氏の主な業績リストを掲げておく。 このうち $[1][2]$ は著書であり、 [3] 以下は論文であるが $[3]-[8]$ では著者名が Yasuo Umemuraとなっている。
$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$REFERENCES[1]

無限次元空間の測度上下、 紀伊国屋書店、 1978.

[2]

Measures on infinite dimensional spaces, World Scientific, 1985.

[3]

Rotationally invariant measures in the dual space of a nuclear space, Proc.Japan Acad., 38 (1962)
15-17.

[4][5]

On the infinite dimensional Laplacian operator, J.Math.,Kyoto Univ.,4 (1965)
Measures on infinite dimensional vector spaces, PUBL RIMS. 1 (1965) 1-47 (博士論文) .

[6]

Carriers of continuous measures in a Hilbertian norm, ibid., 1 (1965) 49-54.

[7]

Infinite dimensional Laplacian and spherical harmonics, ibid., 1 (1966) 162-186 (with N.kono).

[8]

Invariant measure of infinite dimensional rotation group, ibid., 8 (1972) 131-140.

[9]Projective limit of Haar measures on $O(n)$ , ibid., 8 (1972) 141-149.

[10]

Kolmogorov’s extension theorem for infinite measures, ibid., 10 (1975) 381-411.

[11]

Quasi-invariance of measures on an infinite dimensional vector space and continuity of chracteristicfunctions, ibid., 16 (1980) 767-783.

[12]
[13]

hanslationally invariant measure on the infinite dimensional vector space, ibid., 16 (1980) 693-720.
A simple proof of Kwapien’s theorem, ibid., 20 (1984) 1247-1251.

[14]Differentiable shifts for measures on infinite dimensional space, ibid., 23 (1987) 275-296 (withA.Hora).

31

[15]
[16]

On norm-dependent positive functions, ibid., 26 (1990) 649-654.
On the gap distribution of prime numbers,
A.Yamasaki).

$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} ffl\phi \mathrm{i}\varpi \mathrm{F}\lambda \mathrm{J}\overline{\mathrm{P}}fi--- \mathrm{E}- f_{\mathrm{L}}\Phi*\pi 887$

(1994) 151-168 (with