数理解析研究所講究録 1243 巻 2002 年 52-56

52Bemstein 多項式列の振る舞い
山形大・工高橋眞映 (Sin-Ei Takahasi)

Korovkin 型近似論の先駆けは、 1 95 2 年に発表された H. Bohman にょる次のような補間作用素列に関する近似定理であろう :$f\in C([0,1\rfloor)$$t_{k,n}\in|0${?}柱, 火,

に対して、 $H_{n}(f)= \sum_{k=0}^{n}f(t_{k.n})h_{k.n}(n=1,2, \cdots)$ とおく。 但し$t_{i.n}<t_{j.k}(i<j),$ $0\leq h_{k.n}\in C([0.1[)$$\infty|H_{n}(x^{n\iota})- x^{n\iota}|_{\infty}=0(m=0,1,2)$ならば、である。 このとき、 もしJ 紅 l|Hn(7)-f|\infty$=0(\forall f\in C([0,1]))$である。

上の定理はある正線形作用素列が線形近似法となるための条件を与えたものであるが、 その後 Korovkin 型近似論として、 抽象論へと発展したり、 収束精度が研究されたりして、 他分野の研究にも寄与してきた。 日本では大阪教育大学名誉教授の中村正弘先生が Korovkin の近似定理を初めて紹介し、 その後渡辺ヒサ子氏、 西白保敏彦氏、 泉池敬司氏等の活躍により、 Korovkin 型近似論が発展してきた。
さて、 Bohman の近似定理は、 $f\in C(|0,1|)$ に対する Bernstein 多項式列 :$(B_{n}f)(x)= \sum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n}.)(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}(0\leq x\leq 1, n=1,2, \cdots)$がもとの $f$ に一\Phi 収束するという所謂 Bernstein の近似定理が原型であると思ゎれる tBemstein 多項式列 $\{B_{n}(fl:n=1,2, \cdots\}$ の振る舞いに関しては、 $f$ が凹 (resp. 凸) ならば、
$B_{1}(f)\leq B_{-},(f)\leq\cdots\leq f$であることが知られているが(resp. $B_{1}(f)\geq B_{2}(f)\geq\cdots\geq f$)( $|1|$ 参照)$\text{、}$Bernstein 多項式列は一\Re には勿論単調でない。 しカルながらコンピュータで実験してみると、 関数の凹凸に合ゎせて、 その関数に associate L, た Bernstein 多項式列は、 T 度ソリトンのような現象をおこし、それなりの単調性を示すことがわかる。 例えば次のグラフを参照されたい。 これは、関数

$f(x)=\{\begin{array}{l}4x(0\leq x\leq\frac{\mathrm{l}}{4})- 4x+2(\frac{\mathrm{l}}{4}\leq x\leq\frac{\mathrm{l}}{2})4x- 2(\frac{\mathrm{l}}{2}\leq x\leq\frac{3}{4})- 4x+4(\frac{3}{4}\leq x\leq \mathrm{l})\end{array}$に associate L, た Bemstein 多項式列をいくつかグラフにしたものである。

5300.’

0.3$0.\mathrm{z}$0.5$0.\iota$0.‘$\mathrm{h}7$0..

これを数学的に解明する事は今のところなかなか難しそうである。 ここでの目的は上の解明に少しでも迫ってみたいというところにある。
今 $0<t_{0}.<1$ を固定する。 次ぎに $f$ を [0, 」 上の連続関数で、 [0,$1$$t_{0}|$及び [$t_{0}.,1$」上でそれぞれ凹であるとする。 このとき、 $\{B_{n}(f):n=1,2, \cdots\}$ がどんな振る舞いをするかに注目する。 解明にはほど遠いが、 その一端なりを述べてみる。 今次のよう.
な2点を定義しよう :$t_{c}.,$$t.‘$$t‘.= \sup$$t^{t}.= \inf$$t:0\leq t\leq t_{0},$ $f_{l,S}$

is concave on$t:t_{0}\leq t\leq 1,$ $f^{r.s}$

is concave on{{$\mathrm{f}0,$$s]$

for all$t_{0}.\leq s\leq \mathrm{i}$},

$|s,$

$1]$

for all$0\leq s\leq t_{0}.$},

where $f,(x)=f(x)(0\leq x\leq t),$ $f,(x)= \frac{f(s)- f(t)}{s- t}$(x- )$t$$f^{\prime.S}(x)=f(x)(t\leq X\leq 1),$$f(x)$$f^{\prime.S}(x)=.

$+f(t)(t\leq x\leq.\backslash \cdot)$

and. 上の図では、 t。は\frac{f(s)rightarrow f(t)}{\sigma- t}.(X-f)+f(t)(s\leq X\leq t)$を最大にさせる最初の点であり、$t.‘$.

は$f(x)$を最大にさせる最後の点である。

このとき、 我々は次の結果を持つ。

Theorem 1.

$(B_{n}f)(x)\leq f(x)$for all $x\in[0,$$t_{c}|\cup[t^{t}.,$$1|$

and $n=1,2,$$\cdots$.

証明 :Set$\lambda(x)=\sum_{k=\mathrm{t})}^{0^{nJ}}\mathrm{l}’(\begin{array}{l}n\mathrm{A}\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k},$$\mu(x)=\sum_{-k-1r_{0}n\downarrow+1}^{n}(\begin{array}{l}n\mathrm{A}\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}(0\leq x\leq 1)$

Then$\lambda(x)\geq 0,$$|u(x)\geq 0$

and $\lambda(x)+\mu(x)=1(0\leq x\leq 1)$ .

.

54$a(x) \ovalbox{\tt\small REJECT}\sum$$\ovalbox{\tt\small REJECT}‘\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{K}($$k\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$”$\mathrm{F}^{\mathrm{A}}($$1-x)^{n-}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{n}\mathrm{d}b(x)\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\sum$$x)$$\mathrm{g}(\ovalbox{\tt\small REJECT})x^{\mathrm{Z}}(1$$(0 \ovalbox{\tt\small REJECT} x\ovalbox{\tt\small REJECT} 1)$

$k$

$k$

.

$k_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}1t\prime \mathrm{J}+1$

Then$a(x)+b(x)=x(0\leq x\leq 1)$.

Then$\lambda(x)\frac{a(x)}{\lambda(x)}+\mu(x)\frac{b(x)}{\mu(x)}=x(0<x<1)$

Note that if $0\leq k\leq 1r_{0}n|,$ then.

and hnece$\frac{k’}{n}\leq t_{0}$.

$a(x)= \sum_{k=0}^{(fl1}\frac{k’}{n}(\begin{array}{l}nk\end{array})\mathrm{I}\prime x^{k}(1-x)^{n-k}\leq\sum_{k=0}^{0^{n|}}r_{0}(\begin{array}{l}nk\end{array})\mathrm{I}\prime x^{k}(1-x)^{n-k}=t_{0}\lambda(x)(0\leq x\leq 1)$

Similarly, $t_{0}\mu(x)\leq b(x)(0\leq x\leq 1).$ Therefore$\frac{a(x)}{\lambda(x)}\leq x\leq\frac{b(x)}{\mu(x)}$.

and$\frac{a(x)}{\lambda(x)}\leq t_{0}\leq\frac{b(x)}{\mu(x)}(0<x<1)$

Therefore$\lambda(x)f(\frac{a(x)}{\lambda(x)})+\mu(x)f(\frac{b(x)}{\mu(x)})\leq f(x)$for all $x\in(0, t‘\cdot 1\cup 1;‘., 1)$ .
$t_{0}\leq s\leq 1,$$\ln$fact, let $x\in(0,$$t‘.\rfloor$

and set$s= \frac{b(x)}{\mu(x)}$. Then$0 \leq\frac{a(x)}{\lambda(x)}\leq t_{\mathrm{r}}$andand hence$\lambda(x)f(\frac{a(x)}{\lambda(x)})+\mu(x)f(\frac{b(x)}{\mu(x)})=\lambda(x)f,r\cdot s(\frac{a(x)}{\lambda(x)})+\mu(x)f_{P},.,s(\frac{b(x)}{\mu(x)})\leq f_{,s},,(x)=f(x)$Similarly for$x\in|t^{t}.,$

$1$.

).

On the other hand, for each $x\in|0,1|$ ,$f_{n}(x)=.

\sum_{k=0}^{|\mathfrak{l}_{0}n|}f(\frac{k}{n}.)(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}+\sum_{-}^{n}f(k-[l_{0}n]+1\frac{k}{n}.)(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}$$= \lambda(x)\sum_{-k-()}^{|l_{0}n|}\frac{1}{\lambda(x)}(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}f(\frac{k^{r}}{n})+\mu(x)_{k-}\sum_{-1’ 0^{n\mathrm{l}+1}}^{n}\frac{1}{\mu(x)}(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}f(\frac{k}{n})$$\leq\lambda(x)f(^{\mathrm{f}\prime}\sum_{k=0}^{\mathrm{o}^{n|}}\frac{1}{\lambda(x)}(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}\frac{k^{r}}{n})+\mu(x)f(\sum_{k=1’ 0^{n\mathrm{l}+1}}^{n}\frac{1}{\mu(x)}(\begin{array}{l}nk^{r}\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}\frac{k}{n}.)$$= \lambda(x)f(\frac{a(x)}{\lambda(x)})+\mu(x)f(\frac{b(x)}{\mu(x)})$Therefore$f_{n}(x)\leq f(x)$for all $x\in 10,$$r‘\cdot 1\cup 1t^{c}.,$

$1|$.

証明終

注意。 上の具体的な例から判断して、 定理はもっと改良の余地がありそうに思われる。

次の結果は昨年の調和解析セミナーに再掲しよう。

( $|2|$ 参照) で話した内容の一部であるが、 特55
Theorem 2. If$t_{0}n$particular, if$t_{0}= \frac{1}{2},$for a1I, 月.

$x\in\lfloor 0$

is a natural number, then $(B_{n}f)(x)\leq(B_{n+1}f)(x)$ for all

then$(B\underline{\circ}f)(x)\leq(B_{3}f)(x),$証明。 はじめに次式に注意する。
.
$0 \leq\frac{k}{n}$$(’\not\in$って、 $f$ が$\lfloor 0,$$<.

$t_{0}\rfloor$\frac{k+1}{n+1}<\frac{k+1}{n}\leq 1$$(BJ)(x)\leq(B_{5}f)(x),$ $(B_{6}f)(x)\leq(B_{7}f)(x),$( $k.=0,1,$$\cdots,$n- 1) andIn$x\in\lfloor 0,1\rfloor.$$\cdots$$\frac{k+1}{n+1}+\frac{n-k}{n+1}=1$上で凹ということから$\frac{k’+1}{n+1}f(\frac{k’}{n})+\frac{n-k’}{n+1}f(\frac{k^{r}+1}{n})\leq f(\frac{k^{r}+1}{n+1})(k=0,1, \cdots, [t_{0}n]- 1)$が成り立つ。 次ぎに、

$t_{0}n$が自然数であれば、 $f$ が$\frac{k+1}{n+1}f(\frac{k}{n}.)+\frac{n-k’}{n+1}f(\frac{k+1}{n})\leq f(\frac{k’+1}{n+1})$$\lfloor t_{0},1$]

上で凹ということから( $k.=[t_{0}n],$n- 1)$\cdots,$従ってが成り立つ。

$\sum_{k=0}^{n-1}(’\frac{k+1}{n+1}f(\frac{k^{r}}{n})+\frac{n-k}{n+1}f(\frac{k’+1}{n}))(\begin{array}{ll}n +1k’ +\mathrm{l}\end{array})x^{k+1}(1-x)^{n-k} \leq\sum_{k’=0}^{n-1}f(.\frac{k+1}{n+1})(\begin{array}{ll}n +\mathrm{l}k’ +\mathrm{l}\end{array})x^{k+1}(1-x)^{n-k}$が成り立つ。 一方、$\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{k^{r}+1}{n+1}f(\frac{k’}{n})+\frac{n-k’}{n+1}f(\frac{k’+1}{n}))(\begin{array}{l}+\mathrm{l}nk+1\end{array})x^{k+1}(1-x)^{n-k}$$= \sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n}.)(\begin{array}{l}nk’\end{array})x^{k+1}(1-X)^{n-k}+\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k+1}{n})(\begin{array}{l}nk+1\end{array})x^{k+1}(1-x)^{n-k}$$=x \sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n}.)(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}+(1-x).\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n}.)(\begin{array}{l}nk\end{array})x^{k}(1-x)^{n-k}$$=xf_{n}(x)+(1-x)f_{n}(x)- f(1)x^{n+1}- f(0)(1-x)^{n+1}$$=f_{n}(x)- f(1)x^{n+1}- f(0)(1-x)^{n+1}$

and$k’= \sum_{()}^{n-1}f(\frac{k^{r}+1}{n+1})(\begin{array}{ll}n +\mathrm{l}k^{r} +\mathrm{l}\end{array})x^{k+1}(1-X)^{n-k}= \sum_{k’=1}^{n}f(\frac{k}{n+1})(\begin{array}{ll}n +1 k’\end{array})x^{k}(1-x)^{n+1-k}$$=f_{n+1}(x)- f(0)(1-x)^{n+1}- f(1)x^{n+1}$であるから、 結局 $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)(0\leq x\leq 1)$ を得る。 証明終。

ところで実際$t_{0}n$が自然数でなければ、 微妙なところが災いして考察が困難である。

$\epsilon_{f}(n, k)=f(\frac{k’+1}{n+1})-\frac{k+1}{n+1}f(\frac{k’}{n})-\frac{n-k}{n+1}f(\frac{k’+1}{n})$$\epsilon_{f}(n, k^{r})\geq 0$( $k=0,1,$$\cdots,$とおくと、$[t_{()}n]- 1,$ $[t_{()}n]+1,$$\cdots,$n- 1).

が成り立つが、 $k’=[t_{()}n]$ では不明である。 このとき、$\varphi_{n}(x)=\sum_{()\leq k\leq n- 1}\epsilon_{J}(n, k)(\begin{array}{ll}n +\mathrm{l}k +\mathrm{l}\end{array})x^{k+1}(1-x)^{n-k}$$k\cdot|t_{0}n1$,56$\psi_{n}(x)=-\epsilon_{J}(n, |t_{0}n|)(\begin{array}{ll}n+1 [t_{\mathrm{O}}n]+ \mathrm{l}\end{array})x^{1\prime_{0^{n|+1}}}(1-x)^{n-1\prime}0^{n\mathrm{l}}(0\leq x\leq 1)$.

とおくと、 $\varphi_{n}(x)\geq 0(0\leq x\leq 1),$ $\psi_{n}(x)\geq 0(0\leq x\leq 1, n>>0)$ 且っ$f_{n+1}(x)- f_{n}(x)=\varphi_{n}(x)-\psi_{n}(x)(0\leq x\leq 1)$が成り立っので、範囲を決めればよい。 しカルそれは難し$\varphi_{n}(x)-\psi_{n}(x)\geq 0$となる$\mathrm{A}\mathrm{a}_{\text{。}}$

参考文献
$|1|$

[ $2|$

F. Altomare and M. Campiti, Korovkin-type approximation theory and its
applications, W. de Gruyter&Co., Berlin-New York, 1994.

高橋眞映、 ある種の凹関数と Bemstein 多項式につぃて、 調和解析セミナー蔵王)
2000 年, 12 月。
$\text{、}$$X$の