数理解析研究所講究録 1283 巻 2002 年 1-61函数体上のディオファントス幾何
京都大学・大学院理学研究科数学教室 森脇

淳 (Atsushi Moriwaki)

Department of Mathematics,Kyoto University

函数体上のディオファントス幾何を考えるとき, 基本的に二つの場合に分けられる. すな
わち, (A) 幾何学的な場合と (B) 算術的な場合である. 大雑把に言って, (A) は代数閉体 (または有限体) 上有限生成な体上でのディオファントス幾何であり, (B) は有理数体上有限生成な体土でのディオファントス幾何である. (B) は, 通常, (A) の場合に較べて圧倒的に難しい. しかし, 後で論ずるマンフォード・マニン予想の一般化であるボゴモロフ予想については, (B) の場合解決しているが, (A) の場合については未だに一般的に解決されていない.
このようなことはあるものの, その取り扱いについては圧倒的に (B) の場合が難しい. そこで, ここでは (A) の場合について主に解説し, (B) の場合は, すこしのコメントを述べるにとどめておく. 詳しいことは, 2002 年の春季号の「数学」での解説を参考にしていただけるとありがたい. その意味で, この解説は「数学」での論説の入門編になればと思っている.

A. 幾何学的な場合上有限生成な体で,土の超越次元が 1 である体を考え
A.1. 幾何学的貰さ函数. $K$ をる. この体には, 次の三位一体があり, 数学的に豊かな構造を持っている.
$\mathbb{C}$$\mathbb{C}$

このことを念頭に置いて, 以下のことを考える. すなわち,す体が $K$ となるコンパクトリーマン面とする.
$X$を $K$ 上の射影多様体,$L$$\mathrm{C}$をそれ土の有理型函数の成を $X$ 上の豊富な直線束とする. ここで, 次を満たす対を考える.
はは射影多様体で ,上の直線束である.
(1)
からへの射 $f$ :がある.
(2)
はネフな直線束である (つまり,(3): 既約曲線).
(4) $f$ の生成ファイバーが $X$ で, $X$ 上への の制限が である.
$\mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\mathrm{C}$$\mathcal{X}$$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$$(\mathcal{L}\cdot l)\geq 0\forall l$$\mathcal{L}$$L$$(\mathcal{X}, \mathcal{L})$2
この対を $(X, L)$ のモデルと呼ぶ. モデルは一意的ではないが, 存在することに注意しておく.
で $K$ の代数閉包を表すことにさて, このモデルを利用して, 高さ函数を定義しよう.
$K$の像に対して,上の射, すなわち,する.
に関する のと表すことにする. このとき, モデルのザリスキ位相での閉包を
高さ $h(x,c)(x)$ を$\overline{K}$$x\in X(\overline{K})$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\overline{K})xarrow X\mathrm{e}arrow \mathcal{X}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\overline{K})xarrow X$$\Delta_{x}$$x$$(\mathcal{X}, \mathcal{L})$$h_{(\mathcal{X},\mathcal{L})}(x)= \frac{(\mathcal{L}\cdot\Delta_{x})}{\deg(\Delta_{x}arrow \mathrm{C})}$で定義する. もちろん, 別の $(X, L)$ のモデル異なる. し ’ しながら, ある定数 $C$ が存在して,$(\mathcal{X}’,\mathcal{L}’)$を取れば, 一般的には, 高さの値は$\text{か}$$|h_{(\mathcal{X},\mathcal{L})}(x)-h_{(\mathcal{X}’,\mathcal{L}’)}(x)|\leq C$がすべての $x\in X(\overline{K})$ について成り立つ. つまり,土の有界函数をモジュローにすれば, 高さ函数は一意的に定まる. これを $h_{L}(x)$ と書き, 幾何学的高さ函数という. 後で,詳しく述べるが, 幾何学的高さ函数は算術的な場合に較べて, 点の状態を正確の表していない. 例えば, ノースコットの定理は, 幾何学的高さ函数に対して成立しない. しかし, 次のことは, 成立する.
$X(\overline{K})$でそれ定理 A1.1. $f$ :について ,は非特異であると仮定する. そこで,それおよひ 上の正則 1 次微分形式のなす層を表すことにし,,とおく. このとき, もし, $\deg(f_{*}(\omega_{\mathcal{X}}/c))>0$ であるなら, 任意の数
$A$ に対して,集合 $\{x\in X(K)|h_{L}(x)\leq A\}$ は $X$ でザリスキ位相の意味で稠密でない.
$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$$\mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\Omega_{\mathcal{X}}^{1},$$\omega\chi=\det(\Omega_{\mathcal{X}}^{1}),$$\mathrm{C}$$\Omega_{\mathrm{C}}^{1}$$\omega c=\Omega_{C}^{1}$$\omega\chi/c=\omega\chi\otimes f^{*}(\omega c)^{-1}$A2. 函数体版のモーデル予想とマニン・マンフォード予想. 前節の $f$ :$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$について, 次を仮定する.

は非特異代数曲面である.
(1)$f$のファイバーは連結である.
(2) :(3) $\deg(f_{*}(\omega\chi/c))>0$ (このことは, $f$ :$\mathcal{X}$$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$る場合正しい.).

$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$のファイバーのモジュライが動いていのファイバーは代数曲線であるので , その種数を で表し, $g\geq 2$ と仮定する. そこで, 定理 A11 と同様にして,を定義する. このとき,の自己交点数を評価することは, $X$ 上の有理点の状況を知る上できわめて重要である. つまり,の良い上限を得ることは函数体版のモーデル予想を導き, 良い下限を得ることは函数体版のマニン・マンフオード予想を導く.

$f$:$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$$g$$\omega_{\mathcal{X}/C}$$\omega_{\mathcal{X}/\mathrm{C}}$$(\omega\chi/c\cdot\omega\chi/c)$$(\omega_{\mathcal{X}/\mathrm{C}}\cdot\omega\chi/c)$

傾き不等式

宮岡・ヤウの不等式$\Downarrow$$\Downarrow$

よい下限$\leq$$(\omega\chi/c\cdot\omega\chi/c)$$\leq$

よい土限$\Downarrow$$\Downarrow$

マニン・マンフオード予想

モーデル予想3
まずは, 良い土限, すなわち, 宮岡・ヤウの不等式から考えよう. 宮岡・ヤウの不等式とという主張である. これをもとに, 小平.
が一般型の曲面のとき,は,パーシン被覆を用いると, $x\in X(K)$ に対して,$(c_{1}(\mathcal{X})^{2})\leq 3c_{2}(\mathcal{X})$$\mathcal{X}$$(\omega_{\mathcal{X}/C}+\Delta_{x})^{2}\leq$となる. ここで,$(\omega_{\mathcal{X}/C}+\Delta_{x}\cdot\Delta_{x})=0$

位相不変量に注意して, 上の式を展開すると,$(\omega_{\mathcal{X}/C}\cdot\Delta_{x})\leq$

位相不変量$-(\omega_{\mathcal{X}/C}^{2})$

したがって, 定理 A.1.1 を用いると, $X(K)<\infty$ がわかる.となる.

次に今回の研究集会のメインテーマとも関係する函数体版のマニン・マンフオード予想を高さ函数の立場から考えていく. 高さ函数の立場からは, 函数体版のマニン・マンフオード予想の拡張である函数体版のボゴモロフ予想がある. この予想を述べるため, まずネロン.
テート対から考えよう.
$L,$とする. ここで, $K$ の有限次代数拡大 $K’$ で, $L,$となるものをとる. 要するに $L,$ $M$ を定義されている体まで落とす. 前の三位一体を考えるをが存在する.と有限射:と, 函数体が $K’$ である非特異射影代数曲線を自然な射とする.の極小の特異点解消とし, $f’$ :$M\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(K’)$$M\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{K})$$\mathrm{C}’$$\mathcal{X}’$$\mathrm{C}’arrow \mathrm{C}$$\pi$$\mathcal{X}’arrow \mathrm{C}’$$\mathcal{X}\cross_{C}\mathrm{C}’$

このとき, ザリスキの補題により,$=L$ である.
(1)
土の曲線
(2) 任意の$\mathcal{L}\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(\mathcal{X}’)\otimes \mathbb{Q}$が存在して, 以下が成り立つ.

$\mathcal{L}|_{X_{K}},$$\mathcal{X}’$$l$

で $f(l)=$ {一点} となるものについて,は一意的でないが, 同様のこのような書ける. さらに, $M$ に対しても同様に$\mathcal{L}$$\mathcal{L}’$があるとき,$\mathcal{M}\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(\mathcal{X}’)\otimes \mathbb{Q}$$(\mathcal{L}\cdot l)=0$である.

$\mathcal{L}’=\mathcal{L}+f^{*}(A)(A\in \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}(\mathrm{C}’))$とをとる. そこで,$\langle L, M\rangle_{\mathrm{N}\mathrm{T}}:=-\frac{(\mathcal{L}\cdot \mathcal{M})}{[K\cdot K]},$.と定める. 容易に確かめられることだが,ようにして, 双線形射像$\langle$,$\rangle_{\mathrm{N}\mathrm{T}}$:$\langle L, M\rangle_{\mathrm{N}\mathrm{T}}$は $K’,$$\mathcal{L},$$\mathcal{M}$の選び方によらない.

この$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{K})\cross \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{K})arrow \mathbb{Q}$が定まる. これを幾何学的ネロン・テート対と呼ぶ.
を $\rho(x)=(2g-2)x-\omega_{X}$ と定め, 次の予想を考える.
:は有限集合である.
予想 A22(函数体版マニン・マンフオード予想).
はの捩れ元全体を表す.
ここで,が存在して,予想 A23(函数体版ボゴモロフ予想). ある
そこで$X(\overline{K})arrow \mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{K})$$\rho$$\rho^{-1}(\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{K})_{to\mathrm{r}})$$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{IC})_{to\mathrm{r}}$$\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{K})$$\epsilon>0$$\{x\in X(\overline{K})|\langle\rho(x),\rho(x)\rangle_{\mathrm{N}\mathrm{T}}\leq\epsilon\}$は有限集合である.

4$\rho^{-1}(\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{c}^{0}(X)(\overline{K})_{to\mathrm{r}})\subseteq\{x\in X(\overline{K})|\langle\rho(x), \rho(x)\rangle_{\mathrm{N}\mathrm{T}}\leq\epsilon\}$であるので, 函数体版ボゴモロフ予想は函数体版マニン・マンフオード予想を導く. 函数体版マニン・マンフオード予想は解決されているが, 函数体版ボゴモロフ予想は完全に解決さがスの特異ファイバーの状況による. ここでは, $f$ :れていない. 実際, $f$ :ムーズな場合について考えよう. $x\in X(\overline{K})$ とする. $x\in X(K’)$ となる $K$ の有限次代数拡
大 $K’$ をとり, ネロン・テート対の構成の時と同様にして , 図式$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$$\pi’$$\mathcal{X}’=\mathcal{X}\mathrm{x}_{C}\mathrm{C}’$$\mathcal{X}\downarrow f$$J’\downarrow \mathrm{C}$$\pi$’$\mathrm{C}$を考える. いまの場合, $f$ はスムーズであるので
で $\pi’(\Delta’)=\Delta_{x}$ となるものが存在する. よって,
断$\mathcal{X}’=\mathcal{X}^{\cdot}\cross_{\mathrm{C}}\mathrm{C}’$である. このとき,$\Delta’$$( \rho(x),\rho(x)\rangle_{\mathrm{N}\mathrm{T}}=-\frac{((2g-2)\Delta’-\omega_{\mathcal{X}’/C^{\prime)^{2}}}}{\deg(\mathrm{C}’arrow \mathrm{C})}$になる. 射影公式を使って, 上を計算すると,$\langle\rho(x),\rho(x)\}_{\mathrm{N}\mathrm{T}}=4g(g-1)\frac{((\omega_{\mathcal{X}/C}-aF)\cdot\Delta_{x})}{\deg(\Delta_{x}arrow \mathrm{C})}$となる. ここで,$F$

は $f$ :$\mathcal{X}arrow \mathrm{C}$のファイバーで ,$a= \frac{(\omega_{\mathcal{X}/C}^{2})}{4g(g-1)}$である. 一方, もし$\epsilon$

が$0<\epsilon<(\omega_{\mathcal{X}/C}^{2})/4g$を満たす有理数なら,$(\omega_{\mathcal{X}/C}-(a+\epsilon)F)^{2}>0$である. よって, リーマン・ロッホの定理により,$\dim H^{0}(n(\omega x/c-(a+\epsilon)F))+\dim H^{2}(n(\omega\chi/c-(a+\epsilon)F))\geq O(n^{2})$となる. $-B$ ,$((\omega x/c-(a+\epsilon)F)\cdot F)=2g-2>0$であるので , セールの双対定理より,$\dim H^{2}(n(\omega x/c-(a+\epsilon)F))=0$となる. つまり, 非負の有理数の係数からなる因子 $D$ が存在して,$D\sim\omega_{\mathcal{X}/\mathrm{C}}-(a+\epsilon)F$となる. よって,$((\omega_{\mathcal{X}/\mathrm{C}}-(a+\epsilon)F)\cdot C)<0$となる既約曲線 $C$ は有限個のみである. さらに,$((\omega x/c-(a+\epsilon)F)\cdot\Delta_{x})=((\omega\chi/c-aF)\cdot\Delta_{x})-\epsilon\deg(\Delta_{x}arrow \mathrm{C})$$f’$の切5$T^{\backslash }\backslash \hslash$,$\emptyset.\mathrm{C}.$$((\omega_{\mathcal{X}/C}-(a+\epsilon)F)\cdot\Delta_{x})<0$となる.

したがって,$f$:$\mathcal{X}arrow \mathcal{X}$$\Leftrightarrow$$\langle\rho(x), \rho(x)\rangle_{\mathrm{N}\mathrm{T}}<4g(g-1)\epsilon$がスムーズの場合の証明ができた.

B. 算術的な場合$K=\mathbb{C}(t)$$\phi_{n}\mathbb{C}[t]=\mathbb{C}[t]$として ,$x\in$

とおくとき,架 (If) について,$x=(\phi_{0} :\cdots :\phi_{n}),$$\phi_{i}\in \mathbb{C}[t],$$\phi_{0}\mathbb{C}[t]+\cdots+$$ho(1)(x)= \max\{\deg(\phi_{i})\}i=0,\ldots,n$$\epsilon^{\text{ある^{}}\text{とを}\mathrm{E}\mathrm{I}_{\mathcal{D}^{}}.l\mathrm{h}\mathrm{B}\#_{\grave{\backslash }}\gamma_{\mathrm{A}\text{射}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{て}}て_{}\dot{\lambda}\text{られる}\cdot \text{も}\mathrm{B},x\text{射}\mathrm{a}\nearrow \mathcal{X}arrow \mathrm{P}_{\mathbb{C}}^{n}\text{を_{}q}\text{て}*\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\text{す}.\text{さら}l_{\check{}},\Delta_{x}t^{\vee}\lambda\backslash _{l^{\backslash }}}}.\llcorner\check{o}-,\text{つの^{の場^{}\mathrm{A}}}\llcorner\Re_{||\backslash }\gamma^{\mathrm{t}\supset,\mathrm{C}=\mathrm{P}_{\mathbb{C}}^{1}\text{て^{}\mathrm{s}},\mathcal{X}=\mathrm{P}^{n}\cross \mathrm{P}_{\mathbb{C}}^{1}\text{て^{}\mathrm{u}},f:\mathcal{X}arrow c_{\mathrm{f}\Gamma_{\mathrm{b}}\backslash \text{する}f\text{の}\mathfrak{M}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}}}.\cdot$

を で表す. つまり,である. また,とする. ここでは,土で $X_{0}\neq 0$ として計算する.

$\mathrm{C}arrow \mathcal{X}$$s(\mathrm{C})=\Delta_{x}$$s$$\mathrm{P}_{\mathbb{C}}^{n}$の同次座標系を $(X_{0} : \cdots : X_{n})$$\Delta_{x}$$h_{\mathcal{O}(1)}(x)=(q^{*}( \mathcal{O}_{\mathrm{P}^{n}}(1))\cdot\Delta_{x})=\deg(s_{1}^{*}q^{*}(\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{n}}(1)))=\dim_{\mathbb{C}}\frac{s^{*}q^{*}(\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{n}}(1))}{\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{1}}s^{*}q^{*}(X_{0})}$$= \dim_{\mathbb{C}}\frac{\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{1}}s^{*}q^{*}(X_{0})+\cdots+\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{1}}s^{*}q^{*}(X_{n})}{\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{1}}s^{*}q^{*}(X_{0})}$$(\cdot.\cdot \mathcal{O}_{\mathrm{P}^{n}}(1)=\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{n}}X_{0}+\cdots+\mathcal{O}_{\mathrm{P}^{n}}X_{n})$$= \dim_{\mathbb{C}}\frac{\mathbb{C}[t]\phi_{0}+\cdots+\mathbb{C}[t]\phi_{n}}{\mathbb{C}[t]\phi_{0}}+\dim_{\mathbb{C}}\frac{\mathbb{C}[X]_{(X)}\phi_{0}(1/X)+\cdots+\mathbb{C}[X]_{(X)}\phi_{n}(1/X)}{\mathbb{C}[X]_{(X)}\phi_{0}(1/X)}$$= \deg(\phi_{0})+\dim_{\mathbb{C}}\frac{\mathbb{C}[X]_{(X)}X^{-\deg(\phi_{0})}+\cdots+\mathbb{C}[X]_{(X)}X^{-\deg(\phi_{n})}}{\mathbb{C}[X]_{(X)}X^{-\deg(\phi_{0})}}$$= \deg(\phi_{0})+\frac{\mathbb{C}[X]_{(X)}X^{-\max\{\deg(\phi_{0}),\deg(\phi_{n})\}}}{\mathbb{C}[X]_{(X)}X^{-\deg}\mathrm{t}\emptyset 0)}.\cdots$$= \deg(\phi_{0})+\max\{\deg(\phi_{0}), \ldots,\deg(\phi_{n})\}-\deg(\phi_{0})=\max\{\deg(\phi_{0}), \ldots, \deg(\phi_{n})\}$に対して ,一方》の算術的高さ $h(x)$ は$x\in \mathrm{P}^{n}(\mathbb{Q})$$x$$x=(a_{0} :\cdots :a_{n})(a_{i}\in \mathbb{Z}, (a_{0}, \ldots, a_{n})=1)$と置いたとき,$h(x)= \max_{i}\{|a_{0}|, \ldots, |a_{n}|\}$で与えられる. それでは,の場合はどうであろうか ? $x=(\phi_{0} : \cdots : \phi_{n})$(が互いに素) と表したとき,での場合と, 同様にして, $h(x)=$$\max\{\deg(\phi_{i})\}$ とするのはあまりおもしろくない. 実際,
土の算術的高さ函数の拡張になっていない. 多項式の複雑さを次数のみならず, 係数の大きさも考慮に入れればよいのである. 係数の大きさは, すこし工夫して ,$x\in \mathrm{P}^{n}(\mathbb{Q}(t))$$\phi.\cdot\in \mathbb{Z}[t]$$\phi_{0},$$\phi_{n}$$\ldots,$$\mathbb{C}(t)$$\mathrm{P}^{n}(\mathbb{Q})$$\int_{\mathbb{C}}\log|\phi|\frac{\sqrt{-1}dt\wedge d\overline{t}}{2\pi(1+|t|^{2})^{2}}$で評価する. まとめると,$h(x)= \max_{i}\{\deg(\phi_{*}.)\}+\int_{\mathbb{C}}\max.\cdot\{\log|\phi_{*}.|\}\frac{\sqrt{-1}dt\wedge d\overline{t}}{2\pi(1+|t|^{2})^{2}}$6と定めればよい. こうすれば, これは架土の算術的高さ函数の拡張になっており, 定理 A. 垣にあるような複雑な条件がなしで , 固定された $A$ に対して ,$(\mathbb{Q})$$\{x\in \mathrm{P}^{n}(\mathbb{Q}(t))|h(x)\leq A\}$

は有限集合になる. また, この高さ函数はアラケロフ幾何と相性が良く, それを用いることで, いろいろな応用がある, 詳しいことは,2002 年の春季号の「数学」での解説を参考にして下さい.
〒 606–8502

京都市左京区北白川追分町京都大学大学院理学研究科数学教室-mail add.ress: moriwakiQkusm. kyotO-u.
jP$E$$\mathrm{a}\mathrm{c}.$