おむし H，.
ejil"I~.alu:l;;~a w品 lJ!lωv
iγ 3 1，干すり 町] 2、DDo 1‑(1ひ日cerγlb巴r.
1
08i
Crm P:rh阻止 Id，e 制d[~a庁 川 ア

eI' Sedo
側 Rhl.
gkd対azaz，pa(R記cC"l(7ed.
Sεi
コtCHlber17，1986)
fh
1eav
alu
ation.:
ring.Vilestudyre.
Jalionsbct¥?
'ieenthf、pruncldealsofi/cm1
ct
hoseo
fV l
AI~ßtr品川Let

I叫trodudnon，〈X]
刀Jb(ε:';theuω〉
刀r
司
1円m
川刊叫3
ごadpower白s合r
口le
印加
n
行、g
Z心γe
官r
r17.
n1
clet 1/ [[【Let ~/ be，~1 v
al'uation

IfP is正J.

，0， 1/[，wede九ot
εidea.
lofJt
出hεide
色印
問a寸l
札
1g
己β伊m
伐
抑eぷ
f:
官1
H町出e
Y
引1
口r"E引予w
乃r
弓h巴e
印n了]isP.γ日[:VJJ' lnthi
sp叩 町 W 日 considerthe

エJJ ThisidealoIV

令hasanswersi
ntheca出 Vvh
ヨ:ireP !
tl

Ja

irs
t1
8，~，hetwocas;(';;;， ThcfThes(;cond1'3tl
万 C;:lSf:vlher
e1:;1'carrnot
日 both c~tses) j"s'o V [rnanye~\ernents.
J= 主 oa:， }¥';.
i芯 V[J;，i=G 1，2，'勺0•).
iε P canbeat立i10st伝orentjs:
avalualionfl'.
fild{.
Jis(!
mainththen the
仇'~r slate，'lηentsi
2Pニ F ，u;
ndthw
ree
xisl
sa
1， thenp.1
1 [[X]jゐJ'ui♂
，al

P二七 1)2 fhe1lト γ [lj4andjlsbec:
ausetheideal]Jp，V[ ニi;:‑:淀川 dtJ1CJholds(LcmmaL 1). ‑IIencewev
l1mdescusf
3P附己況訂拍川臼肝印三孔th♂ casev'VhCfむ Pisrna口 y む k:rw~nts ofV.

i'deαlo(Thenuurij)
l1ich

P/Oi
s

1/8uchUωtthepzr.
r，
Sla'ndard1¥lo'
101/ω1:

1
¥1int
hl:
spapεareassumedt
obecommutativewith(iil ForasubsetL1ofaV¥Teassurneevεry

̲R"(f:l)は吃notesthei
dealRcloe日n'tc
ιmtainthεideali
naleu:
1entoE合R.

I
f1i
sanidea
ItheIormalpOWf:':
rseriesヰaV d noteI!
，S! 日l? [[X]l， and[.R [[XJJ 出εideal
1[thesεofelement8Pr訪日 ntaddress:
Ishikaw
aColl巴geo
fT'ξchnology~ 'Tsubcl. ta~ Ishika'.:，\Ta~ Japan‑‑ 1 ‑‑

1in()
f 1~!

H.KAWAI2L

PA ﹁い71吋川.nqy

n a つJ

げenEμ

一mdgL

勾UJW

ro=uax

MU日

泊町

fvrE

ニ

kU2

叶Mum

α dFj
e‑n‑orogaorm

AUパU }ノロV84

hohwpa

工作 A﹁一 ‑[Forundeunedi1willdenotetheresiduec
1asso
fainl?
=denotethepowers
eries~i~o i1iXiOf R[[XJJ.

ourrefεrenceis[4J.
esllllts。

JrV¥Terecallthe
lemmasvvhkhwillb
eneededinthenextsection.
LEMMAL1.( Proposition1J )LetR bea
andletA beaη ideal R. γ'hen
かA，R [[XJJニ A [[XJJholdsi
fandifA
すesthecondition:the
ForanyidealB containedin thereexistsaη idealC suchihatCisfi'nitelvlzenerated.
andBr;.
二 CA.
)LetV beαval;
ωtionJ.

andletP bea ρ Yi~ η e ideal

LEllIlv
1AL3.( Lemnlll)LetV bea叩 luation
λ1 IlPヰ p2，then [[XJJpc
p.
. [[XJ].In

andletP beG
ρruneideal

LEMMAL2.( Lemmav. Jfp=p2，thenp.V [[XJJ=(PVp).
v

LEMMA1Amaxirnalidealip.V [[XJJ =P[[XJJLetV beavaiuaiz"onV. 7'ne世zM・V [ 必 sケrimgidgdl
Theorera

LEMMA1.5. f.
11J)
ihe
ne
υ
ε
ηJ ui.
eal(;リ(. V is'Visavalt
幻 tion。
ifranh1andlet1
11betheV[。

，zuithonlymα幻yYllaintlul，
εOil'むm.
wεprovethelemma.
LEMMA201.
11is avaluatio幻 t'inlla
幻勾:gtwos
似た meηtshold:(l)
P=P2，th
巴n P VPisaisaideal

F弓と FJ2， thenp.V [[XJJ ぬ aideal

也

ideal1，thenthe

V [[X，J andP，V [[XJJヰ P

[[XJJ
阻

V[[XJJ が andifP，V[[XJJニ P [[XJlPROOF. (1). ByLernma
P，V [[XJJ=(P九)・凡[[X]]. The
hands
ideofthisisaprimei
dealofthepowerseries11"[[XJJ Lemma1.4
0 HenceP，V [isaidealofV [ l 日y [1，3.
2J，P，1
1 [[XJJヰ P [[XJJ.
(2)0Thisi
8immediatefromLemma1.3.
Wenowstat
eandproveo
urmaint
heor
εm.

‑lJO
UJerSeriesRirzg

THEOREM2.
2. Let V beal
'aluc
叫ん川t
ne
1/Pニ p2 andt
hcreexistsathenp.1
1isJ，，rPROOF. First，weproveLピlndletP bea1うri
η eidealsiatenzentshold:idealQ UlV suchthatthe(2) IfPζと n，thenp.V [[XJJ ?
‑8aLem:
rna1.
1.

、

ηV"luhichiszssi
fP iuiealif(f;v!
dLetP bep
rincipa.
l 1'henp.V [[X]]ニ P [[X]Jthenp.V [[XJJ二 P

isε. IfP，1
7 [[XJJ isp.1
1[[[X]JLemmaU.HenceP 1
8pr
加Lemma1.
1.
wetur
ntotheLet Vニ
andletP二二 P/Q. 1'henPi
saprimeidealofthev
aluationV。
fo
f1
5is1.
1
1[[X]] isaidealofV[11[[X]J，thenl‑=‑fi'gfor80meelementpo
fPandsorneg o
f1
1
[[X]
J. Let1=V [[)(]]， Thenの と 十 Q foreveryi. H 舛 thenε[)::J . H戸ε仏 thenforevery.
i ButQC;(j什 forsomeforεvery . Hence.V [fP. Sowehaveεforev
εryi. Hence
11[ J. 1'husw日 h2Lveelement〆oseenthat.1
1:1
Jifο11[ .
J 1l1encep.V [1SaidealofV.
J Thisconゅletestheproofofthetheorem.
sucI1that

andtheL日mna2。
しH⑨COR.
OLLARY2.
3. Let γra幻k. LetP beaσvalUtltionv Thenthejらlloω的gconditionsare
rirneidealp.v[ お abzaeal吋j9==}")
2orP おPROOF.

PisF'ir・s，:
iwea
ssumethat holds. I
fTheorem2.
2. 50(l)Nowweassume holds.
th
臼‑1(1)holds Lemma1.
1. OntheotherifP=p2，o.ndl'Theor
色
ト1
112.
2LemmaPとヲp2，thenP 1SIfP iB
then(1)holds*

伺Exampnoe，aWenotethep. :1v

lemrnabeforeanofav
aluationrin
g11withLEMMA3.
1. LetG be toω orderedabel
iangroup Letvb
eaval:
附 tiononaルld
固K withvaluegroupGandletVbethevalw
aion01lJ. Let and1毛 beconsecuti叩
GsuchtJw:
t~H" and leiP，andPzbetheideals
11'‑L仰d 品 reミ'1l 0 ，~rHW"" (i.e，V;王} ωch u Theto 1"
conditionsareJ(]) RヰTheorderedasorderedg"rou)
うSgγoupandtheadditiv
egroupZareison
何 r

H.KAWAI

4

PROOF.

Thiscanbededucedfrom [4，H7，Exercises22and31].

ExamPle. LetG1=Z，theadditivegroupofi
ntegers，andletG=
Q，theadditiv
egroup

BG，thelexicographicsum，andletVbeavaluationringofrationalnumbers. LetG=G1E. Then，theranko
fV is2. I
fP i
stheheightoneprimei
dealofVwithvaluegroupGand M isthe maximal idealof，V thenP and M correspond tothe proper convex
espectiv
ely. Thusn
eitherP norM isprincipa.
l Moreover，
subgroupsQ and {O}ofG，r.
，1. Pヰ p2，M = M2
50，byCoroUary2.
3，p.V [[X]] i
snotprime，butM ・VbyLemma3[[X]] isprime.
References[1J].T.A
rnold，R.GilmerandW.Heinzer，Somecountabilityconditionsi
nacommutativ
ering，Ill. ].

Math.，21(1977)，648‑
665.
[2JJ.W.Brewer，Powerser
iesov
ercommutativ
erings，MarcelDekker，NewYork，198
1[3JD.E.Fields，Dimensiontheor
yinpowerseriesr
ings，Pac.J.Math.，35(1970)，
60
1‑
611.
[4JR.Gilmer，Multかlicativ
eldealTheoη"MarcelDekker，NewYork，1
972.
[5JR.GilmerandW.Heinzer，Ringsoffor
malpowerseriesov
eraK
ru
lldo
main，Math.Zeitschr.，10
6
79‑
387.
(1968)，3[6JR.GilmerandW.H
einzer，Car
dinalityo
fg
ene
r
atin
gset
sfo
ri
dealsofacommutativ
ering，Indiana.
]26(1977)，791‑
798.
Univ.Math.，