数理解析研究所講究録 1250 巻 2002 年 93-105

93
Cuntz 環のセクターの組み合わせ的構成とその分類

京大・数理研 川村勝紀 (Katsunori Kawamura)Research Institute for Mathematical Sciences,
Kyoto Univ.

$\mathrm{C}$と*- 環 $A$ から $B$ への準同型の同値類の集合 Sect(A, $B$ ) の代数構造の一般論$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}o_{d},$$d\geq 2$, の具体的な計算を行う。最後に物理への応用を紹介する。 2*- 環 $A,$$B$
を $A$ 力 ら $B$ への単位的 $*-$ 準同
に対して
つの単位的
型の全体の集合とする。 $A$ に対して, 以下で記号 $H_{d}A$ を定義する。
$\mathrm{C}$$H_{d}A\equiv$$>$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$$\text{、}$$\{(\phi(si))_{i=1}^{d}\in A^{d} :\phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(O_{d},A)\}$$(d\geq 2)$

ここで $O_{d}=C’<\{s_{i} : i=1, \ldots, d\}>$ を Cuntz 環とする。

$\rho,$$\rho’\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m},(A, B)$

にたいして、 あるユニタリー $u\in B$ が存在して $\rho=u\rho(\cdot)u^{*}$ のときはの同値関係を定める。
$\langle$$\text{。}\sim$1$\rho\sim\rho$とか$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$

セクター

1.1

.

$\neq^{\backslash \prime}$

群、 セクター環とその表現 0Sect(A, ) と SectA の代数構造
$B$

は
一般に
などに比べて、代数的構造を考えにくい (付録しかし、以下の条件のもとでうまの同値類に加法群に似た構造を考えることができる。
$d\geq 2$ を固定して、 $H_{d}B\neq\emptyset$ を仮定する$\xi=(ti)_{i=1}^{d}\in H_{d}B$ と $\rho=$に対して、次のカップリング $<.|\cdot>$ を定義する:$\mathcal{L}(A, B)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$$\mathrm{A}.1$$\langle$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$$\text{。}$$(\rho_{i})_{i=1}^{d}\in(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B))^{d}$$<$

十$>:H_{d}A\mathrm{x}(\mathrm{H}\circ \mathrm{m}(A,B))^{d}arrow \mathrm{H}\circ \mathrm{m}(A,B)$$< \xi|\rho>\equiv\sum_{i=1}^{d}\mathrm{A}\mathrm{d}t_{i}\mathrm{o}\rho_{i}$.

ここで$\mathrm{A}\mathrm{d}t_{i}$: $Barrow B$ ;$\mathrm{A}\mathrm{d}t_{i}(x)\equiv t_{i}xt_{i}^{*}$$(x\in B)$
.

,

)

。

94
(i) $<.|\cdot>$ は well-defined.

命題 Ll(ii) 勝手た$\xi,$$\eta\in H_{d}B$と$<\xi|\rho>\sim<\eta|\rho>$(iii)$\rho^{(1)}=(\rho_{\dot{l}}^{(1)})$, \rho (2)=(\rho 12ゝ) に対して、 もし.

$<\xi|\rho^{(1)}>\sim<\xi|\rho^{(2)}>$と $\xi^{(:)}\in H_{d}B,$ $i=1,2,3$ ,$\ldots,\rho_{2d-1}$$\rho_{1},$$i=1,$ $\ldots,d$ , た$\rho_{\dot{l}}^{(1)}\sim\rho_{\dot{l}}^{(2)},$

らば、(iv) 勝手たに対して$\rho=(\rho:)_{1=1}^{d}.\in(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,\mathcal{B}))^{d}$.
K 対して、,$\rho^{(1)}=$$(\rho_{1}, \ldots,\rho_{d})$$\rho^{(2)}=$$(\rho_{d}, \ldots,\rho_{2d-1})$$\rho^{(3)}=$$(\rho_{1}, \ldots,\rho_{d-1}, <\xi^{(1)}|\rho^{(2)}>)$$\rho^{(4)}=$$(<\xi^{(2)}|\rho^{(1)}>,\rho_{d+1}, \ldots,\rho_{2d-1})$

,

と置くと、

,

.

.

$<\xi^{(3)}|\rho^{(3)}>\sim<\xi^{(3)}|\rho^{(4)}>$

証明. A2.
カップリング $<.|\cdot>$ の性質より、本質的たのは$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$

1
ではたく、その同値類であることがわかる。 これより、 自然に以下の定義がなされる。
定義 1.1(i)

Sect$(A, B)\equiv \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathcal{B}\backslash \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$

を $A$ から $B$ へのセクターと呼ぶ。 1 ここで InnB は $B$ の内部自己同型群で$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$に左から作用しているものとする:.

$\phi\mapsto\alpha\circ\phi$(ii) Sect(A, ) 上の番項演算
$B$

$p$

$(\alpha\in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}B, \phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B))$$p$を以下で定義する :: Sect(A, )$($$\mathcal{B}$$)^{d}arrow \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B)$,$p([\rho_{1}], \ldots,[\rho_{d}])\equiv[<\xi|\rho>]$

ここで $\xi\in H_{d}B,$ $\rho=(\rho_{1}, \ldots, \rho_{d})\in(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B))^{d}$1[5] とは $A$ と$B$の位置が逆で、 かつ集合としても [5] の Sect(A,ら\kappa 条件がついたものを扱っていること \kappa 注意する。

.

$B$

) 定義

$\mathrm{K}$は我々の定義$\mathrm{K}$

さ

95
(iii)

$[\rho]\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B)$が既約とは$\rho(A)’\cap B=\mathrm{C}I$のときをいう。

(iv):$\alpha$$[\rho]\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B)$$A_{1}\cong A_{2}$の場合はが固有 (proper) とは$\rho$

が全射でないときをいう。

$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A_{1}, B)\cong \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A_{2}, B)$, Sect B,$($$A_{1})\cong \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\mathrm{B}, A_{2})$が$f_{\alpha}\equiv \mathrm{A}\mathrm{d}\alpha$で与えられる。

命題$\mathrm{L}2$

Sect $(A, B)$ 上の d- 項演算$p$: Sect(A, )
$B$

$($

$)^{d}arrow \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B)$は以下の性質を満たす :

(i)

(可換性)

$p$

は完全対称、つまり$p(z_{\sigma(1)}, \ldots, z_{\sigma(d)})=p(z_{1}, \ldots, z_{d})$

(ii)

(結合律)

$($

$(z_{1}, \ldots, z_{d}\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B), \sigma\in \mathfrak{S}_{d})$.

Sect(A, $B))^{2d-1}$ 上で以下写像の合或の式が成り立つ :$p\mathrm{o}(id^{d-1}\cross p)=p\mathrm{o}(p\cross id^{d-1})$.

のとき は通常の 2 項演算になり、 (Sect(A, $B),p$ ) は可換な半群にたることがわかる。 これよりSect(A, $B$ ) での演算 を和、又は複和 (multisum) と呼ぶことにする。 (Sect(A, $B$ ), ) を $A$ から $B$ へのセクター半群または、
単\kappa セクター群と呼ぶ。
のときに

特に

$H_{2}B\neq\emptyset$

$p$

$p$

$\text{、}$$p$$A=\mathcal{B}$

SectA

.

$\equiv \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, A)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}A\backslash \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}A$とする。

命題 1.3(i) SectA は写像の合或を積としてモノイドになる。 (一般に SectA

を $A$ のセクターモノイドと呼ぶ。)(ii)$H_{d}A\neq\emptyset$と仮定する。 このとき、 SectA の和と積は分配法則を満たす。

96(SectA は外部自己準同型モノイドともいえる。)SectA に上記の意味で和と積を考えたものを $A$ のセクター環 (sector algebra) と便宜的に呼ぶことにする。勿SectA は通常の環の公理を満たしてはいない。従って、正確くは半環 (semi algebra, semi ring) とでも呼ぶべきものである。外部自己回型群 OutA$\mathrm{P}\mathrm{W}\text{、}\Rightarrow$

は SectA の部分群である為 OutA が非可換たらば SectA も非可換である。
$H_{d}A\neq\emptyset$ とる
環 $A$ に対してそのセクター SectA は一般に非可換環の (ような) 構造をもつことがわかった。 $p$ を通常の和のようにあえて書くと、$\text{、}$$\text{、}$$\text{な}$$\mathrm{C}^{*}-$

以下のように表すことができる:$(x_{1}, \ldots, x_{d}\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A, \sigma\in \mathfrak{S}_{d})$$x_{\sigma(1)}+\cdots+x_{\sigma(d)}=x_{1}+\cdots+x_{d}$,$x_{1}+\cdots+x_{d-1}+(x_{d}+\cdots+x_{2d-1})$$=(x_{1}+\cdots+x_{d})+xd+1+\cdots+x_{2d-1}$$(x_{1}, \ldots, x_{2d-1}\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A)$$x(yz)=(xy)z$( $x,y$ , z\in Sec 河 A),$1x=x=x1$$(1=[\iota], x\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A)$$x(y_{1}+\cdots+y_{d})=xy_{1}+\cdots+xy_{d}$$(x,y_{1}, \ldots,\cdot y_{d}\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A)$

ここで$\iota$は $A$ 上の恒等写像とする。 0 元がたく、 $H_{d}A\neq\emptyset,$,,$H_{k}A=\emptyset,$$2\leq$$k\leq d-1$ のときは $d$ 個づづしか和を定義できたいことく注意する。

例 Ll K- 理 より、 $H_{2}O_{3}=\emptyset$ かつ
づしか定義できたい。
$\Rightarrow-$1.2$H_{3}O_{3}\neq\emptyset$. 従って$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}O_{3}$の和は 3 つスペクトル加群 1

同じく $d\geq 2$ を固定して $H_{d}B\neq\emptyset$ を仮定する。 セクター半群 Sect(A, $B$ ) のある表現 (正確くは右加群) を考える。具体的 はある 2 つのベクトル空間の
BSpecA をそれぞれ $A$ の単位的既約あいだの線形作用素として表す。
$|\subset$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A,$

表現, 単位的表現のユニタリー同値類の集合とする。

$B$|c ついても同様である。

BSpecA 上に$[\pi_{1}]\oplus[\pi_{2}]\equiv[\pi_{1}\oplus\pi_{2}]$$([\pi_{1}], [\pi_{2}]\in \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A)$で和を定義する。今 BSpecA は 0 表現は入っていたいので BSpecA はこのの BSpecB から BSpecA
和で (単位元のたい) 半群くなる。
を以下で定義する:への作用素としての表現$\text{に}$$\text{、}$$[\rho]\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A,B)$$R[\rho]$$R[\rho]$:$\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}Barrow \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$,97$[\pi]R_{[\rho]}\equiv[\pi 0\rho]$$([\pi]\in \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A)$.

は well-defined, Sect(A, ) の作用は BSpecA と BSpecB の演算
すると、に分配的になる。つまり、は加法半群 BSpecB から BSpecA への準同型にたる。 さらに写像$B$$R[\rho]$$R[\rho]$$R$: Sect(A, )$B$

は以下の式をみたす: 任意の$z_{1},$$arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$($\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}B,$

BSpecA)$z_{d}\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B)$$\ldots,$$xR_{p(z_{1},\ldots,z_{d})}=xR_{z_{1}}\oplus\cdots\oplus xR_{z_{d}}$に対して$(x\in \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}B)$となる。 これより、 $R$ は Sect(A, $B$ ) の d- 項演算半群の作用素としての表現を与えていることがわかる。 (正確には可換半群 Sect(A, ) のBSpecB を考えていることにたる。 $R$ は $V$ への右からの作用素としての実現である。)(BSpecA, BSpecB, $R$ ) を Sect(A, ) の右スペクトル表現と呼ぶ。特に$A=B$ のとき
(BSpecA, $R$ ) を SectA の右スペクトル加群と呼ぶ。
ここでこの作用からわかる SectA の性質をまとめておく。
$\mathcal{B}$$V=\mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A\oplus$$B$$\text{、}$定理 1.1(ii)(i) 外部自己同型群(既約判定条件)
が存在して

$B$

$\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}A\subset \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A$は単純とする。
たらば は既約。

ならば

$x$

(iv)

$z^{n},$$x\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}B$$z$$z\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A$$n\geq 1$

に対してある$z\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B)$$xR_{z}\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$(iii) $A$ は単純とする。

の元はすべて既約。

に対してある$x\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$が存在して $xR_{z}=$は既約。

(非同値性の判定条件)$\phi_{1},$$\phi_{2}\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(A, B)$

く対してある$\pi\in \mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}B$が存在して以下の条件を満たすとする:$\pi 0\phi_{1}\not\simeq\pi 0\phi_{2}$

このとき、

(v)

$\phi_{1}\oint\phi_{2}$.

(固有性の判定条件)てたらば、$z\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A$$xR_{z}\not\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$.

にたいして、 ある$z\not\in \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}A$, つまり、$z$が存在しは固有セクター。
$x\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$

証明. (i) 明らか。 (ii) 単純な環の単位的表現、単位的自己準同型はすべてが存在して単射であることに注意する。仮定より、 ある$\mathrm{C}^{*}-$$\pi_{1}\in \mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}B$$\pi_{2}\equiv\pi_{1}0\rho$

とおくと$\pi_{2}\in \mathrm{I}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}A$. すると、

CI $=\pi_{2}(A)’=\pi_{1}(\rho(A))’\supset\pi_{1}(\rho(A))’\cap\pi_{1}(B.)\supset \mathrm{C}I$.

98
CI $=\pi_{1}(\rho(A))’\cap\pi_{1}(B)=\pi_{1}(\rho(A)’\cap B)$ .
$B$が単純たのでは単射だから、$\pi_{1}$CI $=\rho(A)’\cap B$ .
よって$z=[\rho]\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(A, B)$

は既約 o

省略。
1
のクラスく対してグラフを定義す
SectA
次に上の条件が満たされるようをる。
の部分集合とする。

$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})-(\mathrm{v})$$\text{な}$$\mathcal{E}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$

定義 1.2$\xi\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A$が汀限) -class とは$\mathcal{E}$$\mathcal{E}R\xi\subset \mathrm{N}<\mathcal{E}>\equiv\{\sum_{\dot{l}=1}^{N}n_{i}\cdot x_{i}$:$x:\in \mathcal{E},$$n:\in \mathrm{N},$$N\geq 1\}$,$(n\in \mathrm{N},x\in \mathcal{E})$$n\cdot x$のときをいう。
$C\epsilon$

を SectA の$(E_{z}, V_{z})$$\mathcal{E}$-class の全体とする。

$z\in C\epsilon$|c 対して、有向グフフ$\mathrm{b}\mathfrak{g}_{z}\equiv$

を以下で定義する :$V_{z}=\mathcal{E}$$E_{z}\equiv${ $(x,$$y)\in V_{z}\mathrm{x}V\epsilon$:,$y’\in \mathrm{N}<\mathcal{E}>$が存在して $xR_{z}=y+y’$ }.

ここで $(x, y)$ は頂点 $x$ から $y$ への向きづけられた辺とする。

$\mathrm{b}\mathfrak{g}_{z}$

をセクター

$z$

上での分岐グラフ (branching graph) と呼ぶ。 また、分岐グラフの分岐の仕方をセクター の分岐則と呼ぶ。 2の$\mathcal{E}$$z$

命題 1.4(i)(外線条件)とと仮定する。勝手た$n\geq0$ のに対して、の頂点からでていく辺の本数は $n(d-1)+1,$値をとる。つまり、
1, $d,$ $2d-1,3d-2\ldots$ .
$C_{\mathcal{E}}$$\mathcal{E}\subset \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$$\mathrm{b}\mathfrak{g}_{z}$$N_{-}(\mathrm{b}\mathfrak{g}_{z})\equiv$(ii)$H_{d}A\neq\emptyset$(非分岐条件)而$\mathrm{n}${$n_{r}\in \mathrm{N}:x\in V_{z}$$z\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}A$から出てゆく辺の数}.

に対して、$N_{-}(\mathrm{b}\mathrm{g}_{z})=1$

ならば、

$z$

は既約。

2 群論で部分群へ表現を制限したとき既約分解の規則を分頷火 I1 呼ぶこと$\text{と}$$\mathrm{K}$由来する。

$\xi\in$99((1 ループ条件)
1 は既約。

$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$$zC$

SectA に対して、$\mathfrak{b}\mathfrak{g}$, が 1 ループをもてば$z^{n},$$n\ovalbox{\tt\small REJECT}$(分岐条件)のある頂点が存在して、 そこからでてゆく辺が 2 本以上ならば は固有セクター。

(iv)$\mathrm{b}\mathrm{g}_{z}$$z$分岐グラフはセクターを視覚的に捉えることで分類を容易にし、 セクターの分
岐則を効果的に表現するのに役に立つ。一般に環の表現の既約分解は一意性がないため、上記のような分岐則は意味を持たたいが、 ある性質のよいクラスの表現へ制限して考えることで分岐則や分岐グラフは意味を持つ。
$\mathrm{C}^{*}-$

2

Cuntz 環の置換セクターとその分類 2

以下の自然な包含関係を考える :$\mathfrak{S}_{d^{k}}\subset U(d^{k})$定義 2.1に対して$\sigma\in \mathfrak{S}_{d^{k}}$$\subset M_{d^{k}}(\mathrm{C})\subset UHF_{d}=O_{d}^{U(1)}\subset O_{d}$で定義する。 \psi 。を上の包含関係で$\sigma$$O_{d}$

の元を

$k$

次の

$\{\psi_{\sigma}\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}O_{d} :\sigma\in 6_{d^{k}}\}$$SE_{d,k}\equiv$$\{[\rho]\in \mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}o_{d} :$SE_{d,k}\equiv$$SE_{d,k}\backslash \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}O_{d}$$O_{d}$\rho\in E_{d,k}\}$

は

$\xi$

の置換準同型, $SE_{d,k}$ の元を$\gamma_{z},$

,

,

,

{ $\xi\in PSE_{d,k}$ : は堵火勺}呼ぶ。置換自己準同型はゲージ変換
もまた$u_{\sigma}$$\mathit{0}_{d}$$IPSEd,k\equiv$$E_{d,k}$$(i=1, \ldots, d)$

により定まるの置換自己準同型と呼ぶ。 ここでのユニタリーである。
に対応する$\sigma$$E_{d,k}\equiv$.Pを$\psi_{\sigma}\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}O_{d}$$\psi_{\sigma}(s_{i})\equiv u_{\sigma}s_{i}$.

$k$$(k\geq 1)$

次の$\mathit{0}_{d}$.

の置換セクターと$z\in U(1)$ で共変た為、$\mathit{0}_{d}^{U(1)}$への制限

OdU0ゝの自己準同型になる。 この制限はいろいろと新しい構造を OdU(l)、特に $CAR\cong O_{2}^{U(1)}$ に与えることが分力 1 っていて興味深い対象である。
命題 2.1( $SE_{2,2}$ の分類)$\# SE_{2,2}=16$,$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}O_{2}\cap E_{2,2}\cong V_{4}$

100
ここで

$V_{4}$

は Klein 4 元群, $\# PSE_{2,2}=14,$ $\# IPSE_{2,2}=5$ ,$PSE_{2,2}\backslash IPSE_{2,2}\subset\{\xi+\zeta :$M\equiv IPSE_{2,2}/\alpha$\xi, \zeta\in \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}O_{2}\}$とおくと、 #M=3。ここで$\alpha\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}O_{2}$.

は$s_{1}rightarrow s_{2}$で定められるものとする。
この証明は具体的に$E_{2,2}$の元をスペクトル表現した時の行列要素 (

$=$

スペクト

ル行列)

を計算することで得られる。分岐グフフで表すことくより、視覚的にの元はスペクトル行列の計算によ違いを認識することもできる。原理的にり、上記のようた分類が可能であろうと思われる。
$M$ の元 (の代表元) ,を以下で紹介する 3 :$E_{d,k}$$\rho$$\overline{\rho},\eta$$\rho(s_{1})\equiv$$s_{12,1}+s_{11,2}$,$\overline{\rho}(s_{1})\equiv$$s_{21,1}+s_{12,2}$,$\eta(s_{1})\equiv$$s_{22,1}+s_{11,2}$,

ただしここでs り,k\equiv s:sjsk*$3\overline{\rho}$

は$\rho$の$\rho(s_{2})\equiv$$s_{2}$,$\overline{\rho}(s_{2})\equiv$$s_{11,1}+s_{22,2}$$\eta(s_{2})\equiv$$s_{21,1}+s_{12,2}$,$(i,j, k=1,2)$ .

conjugate sector [5] を真似た記号だが、正確 は関係紘よくわから $t$ い。
$\mathrm{K}$

101
メヒ

$\mathrm{B}$

$A.1$

,

$\overline{\rho}\rho=$$\iota+\alpha$$\rho\overline{\rho}=$$\iota+\beta\neq\overline{\rho}\rho$$\iota+\alpha+\eta$$\overline{\rho}^{2}\rho^{2}=$,.

ここで上の演算や等号はすべて Sectのセクター環としてのの意味とする。
はで定義されているとする。証明は単なる計算である。特にの canonical endomorphism (のセクター) $\sigma\in PSE_{2,2}$ は $\sigma=\iota+\iota=2\iota$ で$O_{2}$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}O_{2}$$\beta\in$$s_{1}rightarrow-s_{1}$$O_{2}$ある。

命題 2.2 つぎの集合の元は$O_{2}$の既約な互いに相異たる固有セクターである :$\{\overline{\rho}^{n}\eta\rho, \eta,\overline{\rho}^{n}, \rho,\rho^{2} :n\geq 1\}$.

の既約性、 そして SectA の非可換な部分セクター環 $Alg<$の構造は分かっていたい。
今後の問題として $SE_{3,2},(\# E_{3,2}=9!)$ の分類や以下のような非置換自己準同型の解析がある。
$\xi_{1}=(w_{1}, w_{2}, w_{3}),\xi_{2}=(v_{1}, v_{2}, v_{3})\in H_{3}O_{2},$ $g\in U(3)$ に対して

現時点で$\rho^{n},$$n$$\geq 3$$\{\rho,\overline{\rho}\}>$$u \equiv<\xi_{1}|g|\xi_{2}>=\sum_{i,j=1}^{3}w_{i}g_{ij}v_{j}^{*}$と置く。

$(i=1,2)$$\rho(s_{i})\equiv us_{i}$により、$O_{2}$

例 2.1(非ゲージ共変自己準同型)の自己準同型(i) (有限分岐系)$A_{2,1}$$\rho$

が決まる。

:$\xi_{1}=(s_{11}, s_{12}, s_{2})$,$\xi_{2}=(s_{1}, s_{22}, s_{21})$

,

$g=I$

とすると以下を得る:$t_{1}=s_{11}$,$t_{2}=s_{12,2}+s_{2,1}$.

すると以下の代数同型があるく

さらに$\{\rho^{n}\}_{n\geq 1}$$\iota,$$\rho>\cong \mathrm{Z}_{n\geq 0}[\rho]\cong \mathrm{Z}_{n\geq 0}[x]\backslash \{0\}$.

はすべて固有かつ既約で互いにセクターとして異なる。

102$\xi_{1}=(s_{1}, s_{22}, s_{21})=\xi_{2}$$g=(\begin{array}{lll}a b 0b -a 00 0 1\end{array})$特に$a= \frac{2}{1+\sqrt{5}},$,,$t_{1}=$$as_{1}+bs_{22}$$t_{2}=$$bs_{1.2}-as_{22.2}+s_{21.1}$$b=\sqrt{a}$

とすると

$[5]$

$\text{、}$,$\mathrm{p}21$$A_{2,2}$.

の自己準同型の例くたる:$[O_{2}, \rho(O_{2})]=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$(iii(無限分岐系)

,

.

:

$\xi_{1}=(s_{11}, s_{12}, s_{2})$,$\xi_{2}=(s_{1},s_{21}, s_{22})$,. $g=I$とすると以下を得る:$t_{1}=s_{11}$$\rho$,$t_{2}=s_{12,1}+s_{2,2}$.

はある既約表現を可算無限の既約表現の直和\subset 移すことがわかつている。

3

応用 3

3.1

Polyakov の弦の$\mathrm{B}\mathrm{R}\mathrm{S}$

量子化における FP\supset ‘‘ーストの表現の構

成
物理のいわゆる弦理論のプロトタイプとして知られる Polyakov の弦の BRS 量が用いられる:子化の際 K 以下のようた 環$*-$$\mathcal{F}\mathcal{P}=*- Alg<\{c_{n},\overline{c}_{n} :$c_{0}^{*}=c_{0}$,$\overline{c}_{0}^{*}=\overline{\infty}$$\{c_{n},\overline{c}_{m}^{*}\}=-\delta_{nm}I$n\geq 0\}>$,$(n, m\geq 0)$

を (弦模型の)ゴースト環とこれ以外の反交換子はすべて 0 とする。の弦の量子化がこれまで加藤- 小川、阿部 中西くよる Polyakov
よぶ。
$\mathcal{F}\mathcal{P}$-$\mathrm{F}\mathrm{P}$$\mathrm{B}\mathrm{R}\mathrm{S}$103の Fock 表現の真空の期待値が前者
知られていて、 2 つの理 の主な違いは
は 0 になり、後者は 1 となることである。
具体的た構或 ([2]) を簡略化して結果を述べると、という、の関係式の符号を一部分かえた $*-$ 環の Krein 空間(第 1 段階)を構成する。
への表現のへの埋め込みを 2 つ(第 2 段階)$\mathcal{F}\mathcal{P}$$\frac{-}{\mathrm{P}\mathrm{f}\Rightarrow}\Delta \mathrm{N}$$O_{4}$$O_{2,2}$$(\mathcal{V}, \pi)$$\mathcal{V}$$O_{2,2}$$\mathcal{F}\mathcal{P}$$\phi_{1}$構或する。
(第 3 段階)表現$(\mathcal{V}, \pi)$

を部分環

, 壱:

$\phi_{i}(\mathcal{F}\mathcal{P}),$$\mathcal{F}\mathcal{P}arrow O_{2,2}$$i=1,2$ へ制限して得られる$\pi_{i}\equiv\pi 0\phi_{i}$を考える。すると、
ストの表現と一致する。

$(\mathcal{V}, \pi_{1})(\mathcal{V}, \pi_{2})$3.2$\mathcal{F}\mathcal{P}$の$\mathcal{V}$への$(i=1,2)$はそれぞれ加藤- 小 Il, 阿部 中西の$l$-$\mathrm{F}\mathrm{P}$ゴー

CAR の非線形変換の[1] により、具体的な埋め込み $CARrightarrow O_{2^{n}},$ $n\geq 1$ , を構成して [3] で自己同型を CAR 制限することで、非線形な CAR の変換を得た。今後、 この変$O_{2^{n}}$$\text{、}$換の性質を詳しく調べてゆくつもりである。

付録$\mathrm{A}$A.l$\phi,$

注意するべきことがら 3
A$\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$に対して$\phi+\psi\not\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$

であることに注意する。実際$(\phi+\psi)(I)=\phi(I)+\psi(I)=2I$.

なので単位元を保たないし、$(\phi+\psi)(x)(\phi+\psi)(y)=$$\neq$$\phi(xy)+\phi(x)\psi(y)+\psi(y)\phi(x)+\psi(xy)$$(\phi+\psi)(xy)$

.

104
A.2

$\mathrm{B}$(i)$\rho’\equiv<\xi|\rho>$とすると、$\rho’(x)\rho’(y)=$\sum^{d}$(Adti$0\rho:$)$(x))(_{1=1}.

$=$$. \sum_{l=1}^{d}\mathrm{A}\mathrm{d}t_{i}(\rho_{i}(x)\rho_{i}(y))$$=$$. \sum_{l=1}^{d}(\mathrm{A}\mathrm{d}t_{1}.0\rho_{1}.)(xy)$$=$$\rho’(xy)$$(x, y\in A)$$(\rho’(x))^{*}=$$\rho’(x^{*})$$(x\in A)$$\rho’(I)=$よって$(_{1=1}.

$\rho’\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$$I$\sum^{d}$(Adti$0\rho_{i}$) $(y))$,,.

. 従って、$<.|\cdot>:H_{d}A\mathrm{x}(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, \mathcal{B}))^{d}arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A, B)$は写像として well-defined とたっている。
(ii)$T \equiv.\sum_{1=1}^{d}t_{1}.v_{\dot{l}}^{*}$

とおく。すると $T$ は $B$ のユニタリーになる。

AdTo $<\eta|\rho>=$$\mathrm{A}\mathrm{d}T\circ(_{1=1}.\sum^{d}\mathrm{A}\mathrm{d}v:\circ\rho_{1}.)$:$=$$\sum_{\dot{l}=1}^{d}\mathrm{A}\mathrm{d}t:0\rho$$=$$<\xi|\rho>$.

従って、$<\eta|\rho>\sim<\xi|\rho>$

.

105
(iii)

とする。

$\xi=(v_{i})_{i=1}^{d}$$\mathrm{A}\mathrm{d}u_{i}\mathrm{o}\rho_{i}^{(1)}=\rho_{i}^{(2)}$となるように $u_{i}\in B,$ $i=1,$$d$$\ldots,$

をとり、$T \equiv\sum_{i=1}^{d}\mathrm{A}\mathrm{d}(viu_{i}v_{i}^{*})$と置く。すると $T$ は$B$のユニタリーで、

AdTo $<\xi|\rho^{(1)}>=$$\mathrm{A}\mathrm{d}T(\sum_{i=1}^{n}\mathrm{A}\mathrm{d}v_{i}\circ\rho_{i}^{(1)})$$=$$\sum_{i=1}^{n}\mathrm{A}\mathrm{d}(v_{i}u_{i})0\rho_{i}^{(1)}$$=$$\sum_{i=1}^{n}\mathrm{A}\mathrm{d}v_{i}\mathrm{o}\rho_{i}^{(2)}$$=$$<\xi|\rho^{(2)}>$.

よって、 AdTo $<\xi|\rho^{(1)}>=<\xi|\rho^{(2)}>$ .

(iv) 同様に適当に$B$のユニタリーを構成して証明する。

1

References[1] Mitsuo Abe and Katsunori Kawamura, Recursive Fermion System in
Cuntz Algebra. -Embeddings of Fermion Algebra into Cuntz Alegebra-,
preprint, RIMS-1332(2001).
$I$[2] Mitsuo Abe and Katsunori Kawamura, Psudo Cuntz Algebra and Recursive $FP$ Ghost System in String Theory, preprint, RIMS-1333(2001).

[3] Mitsuo Abe and Katsunori Kawamura, Non Linear Transformation of
CAR A lgebm, preprint, RIMS-1334(2001).
[4] Ola Bratteli and Palle E.T.Jorgensen, Rerated function Systems andPermutation Representations of the Cuntz algebra, Memories of theAmerican Mathematical Society, number 663, American MathematicalSociety (1999).
[5] M.Izumi, Inclusions of simple
13 Jun 2001.

$C^{*}$-algebras,$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{X}\mathrm{i}\mathrm{c}:\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}.\mathrm{O}\mathrm{A}/0106117$

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