数理解析研究所講究録
1535 巻 2007 年 62-71

62$L^{2}(\mathbb{T}^{2})$の不変部分空間の形について(株) ディスコ長谷川敦史 (Atsushi Hasegawa)Disco Inc.
新潟大理学部斎藤吉域 (Kichi-Suke Saito)

Faculty of1$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}_{\backslash }$Niigata University

序文と準備$\mathrm{T}^{2}=\{(z, w)\in \mathbb{C}^{2} :$\mathrm{T}^{2}$|z|=1, |w|=1\}$とし、$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$を$\mathrm{T}^{2}$

上のルベーグ空間が$(\mathrm{T}^{2})$を上のハーディ空間とする o$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の閉部分空間飢が不変とは$z\mathfrak{M}\subset \mathfrak{M}_{\text{、}}w\mathfrak{M}\subset \mathfrak{M}$を満たすときいう。
$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$ある。

の不変部分空間の構造は$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$$L^{2}(\mathrm{T})$の不変部分空間の構造と違って、かなり複雑での不変部分空間は、 Beurling 型の不変部分空間、即ち、ある unimodularと–般的に表すことができるとは限らない。 1988 年頃
fiiction を用いて \mbox{\boldmath $\phi$}がに、 Ghatage-Manderkar [2] や Mandrekar [5] 等において、 Beurling 型の不変部分空$(\mathrm{i}^{\mathrm{a}})$$\phi$

間の研究がなされてきており、 不変部分空間が Beurling 型になるための必要かつ十分条件がいくつか得られている。 それ以来、 多くの研究者が L2(T2) の不変部分空間の形の研究を行っているが、 まだ、 すべての不変部分空間の形が決定していない (cf.
$[4, 6, 7]_{\backslash }\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c})_{0}$1998 年に、 [4] において、 zw-不変部分空間として不変部分空間の構造を研究し、 また、 Beuring 型不変部分空間と、$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$の unimodular 関数$\phi$

に対する$\phi H_{0}^{2}(\mathbb{P})$う形を含む不変部分空間の別のアプローチを与えた。
$(m, n)\in \mathbb{Z}^{2}$と$f\in L^{2}(\mathrm{T}^{2})$に対して、 $f$ の Fou-rier 係数を次のように定める.

とい

63

$\hat{f}(m,n)=\int_{\mathrm{F}^{2}}f(z,w)\overline{z}^{m}\overline{w}^{n}d\mu$

但し

$\mu$

は

$\mathrm{T}^{2}$上の Haar 測度で、の部分空間 $A$ に対して、. にも今後用いる$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$$A$.

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\hat{f}=\{(m, n)\in \mathbb{Z}^{2},\hat{f}(m, n)\neq 0\}$によって生成された$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$とおく.

$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の閉部分空間を $[A]$ で表す。他の幾つかの部分空間を定義する。

(i) $H^{2}(z)$ と $H^{2}(w)$ をそれぞれ以下の Fourier 級数で表される$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の関数 $f$ の集合とする。
$\sum_{m=0}^{\infty}a_{m0^{Z^{m}}}$(\"u)$H_{z}^{2}$と$H_{w}^{2}$,$\sum_{n=0}^{\infty}a_{0n}w^{n_{\mathrm{O}}}$をそれぞれ以下の Fourier 級数で表される$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の関数 $f$ の集合とする。
$\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}o_{mn}z^{m}w^{n}$(\"ui)$L_{z}^{2}$と$L_{w}^{2}$,$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}a_{mn}z^{m}w^{n}$をそれぞれ以下の Fourier 級数で表される.

$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の関数 $f$ の集合とする。
$\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m0}z^{m}$

この報告では、 [4] の続きとして、を$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$,$\sum_{n\approx-\infty}^{\infty}a_{0n}w^{n}$$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間とする。 害 $=$ 飢.

の不変部分空間の形について考察する。
6z=M\ominus z 飢、$\ominus zw\mathfrak{M}_{\text{、}}$$\mathfrak{M}$$\mathfrak{S}_{w}=\mathfrak{M}\ominus w\mathfrak{M}$とおく。 害 z と孔をそれぞれ害に含まれる最大の -不変部分空間と w-不変部分空間$z$とする。 \S 2 において、 我々は $S_{z}\neq 0$ かつ筑間の特徴付けを与える。 またそのときとへが存在して害 z$=\phi_{z}H^{2}(z)$$\neq 0$$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$となるような$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空に含まれる 2 つの unimodular 関数と乱 $=\phi_{w}H^{2}(w)$ を満たしている。 そこでと置き、 我々は次の不変部分空間を考える。
$\text{飢_{}\varphi}=[H^{2}(\mathrm{T}^{2})+\varphi H^{2}(\mathrm{T}^{2})]$。

$\varphi=$$\phi_{z}$へ\mbox{\boldmath $\phi$}64

このとき、 飢は

$N=\overline{\phi_{w}}\mathfrak{M}\ominus \mathfrak{M}_{\varphi}$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\hat{\varphi}\subset \mathbb{Z}+\cross(-\mathbb{Z}+)$

して、不変部分空間

を満たす$\mathfrak{M}_{\varphi}$

として$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$$\phi_{w}(\mathfrak{M}_{\varphi}\oplus N)$という形で表せる. \S 3 ではの unimodular 関数$\varphi$を考える。 そのの特徴付けを与える。 つまり孔 $=H^{2}(w)$ と乱$\varphi$に対$=\varphi H^{2}(Z)$が成立するための十分条件について考える。 \S 4 では [4] の–般化として、 次の不変部
分空間を考える。
$\text{飢_{}\alpha}^{(m,n)}=[H^{2}(\mathrm{T}^{2})+\psi_{\alpha}^{(m,n)}H^{2}(\mathrm{T}^{2})]$($\psi_{\alpha}^{(m,n)}$の定義は \S 4 参照)。 更に、 飢がある$\alpha\in \mathrm{D}$に対して$\mathfrak{M}_{\alpha}^{(m,n)}$の形になるための必要かつ十分条件を考える。 ただし、 $\mathrm{D}=\{z\in \mathbb{C} : |z|<1\}$ とする。
この報告は、 Guoxing Ji(Shaanxi Normal$\mathrm{U}\mathrm{n}i\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}_{\text{、}}$

China) と大和田智義 (鶴岡高専) との共同研究である。

zw-不変部分空間としての不変部分空間

2

飢を L2(T2) の不変部分空間とする。 自然数 n に対して znMDzn+lM と wnM\supset$w^{n+1}\mathfrak{M})$(resp.

が成り立つので、$\bigcap_{k=1}^{\infty}w^{k}\mathfrak{U}t=\{0\}$$Z\text{飢}=\mathfrak{M}$(resp.

あるという。

$z$$\bigcap_{k=1}^{\infty}z^{k}\text{飢と}\bigcap_{k=1}$

wk 刎は不変部分空間である。

$\bigcap_{k=1}^{\infty}z^{k}\mathfrak{M}=\{0\}$) が成り立つとき、 飢は z-pure (resp. w-pure) であるという。

$w\text{飢}=\mathfrak{M}$) が成り立つとき、-reducing (resp.

$w$$\mathfrak{M}$は z-reducing (resp. w-reduc 廿名) で-reducing) な不変部分空間は [7] で特徴付けされている。

劔は不変部分空間であるので、飢は $zw$ -不変でもあり、自然数 に対して (zw)n 飢$n$(zw)n+lM が成り立つ。 $\cap(zw)^{k}\mathfrak{M}=\infty\{0\}\text{が成り立つとき_{、}}$$\supset$

飢は zw-pure であると$k=1$いう。 zwM= 飢が成り立つとき、 飢は zw-reduciであるという。 まず最初に次の命題が成り立つ。

Proposition 2.1 飢を$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間としたとき、 次が成り立つ。

(i) 飢が -pure かまたは -pure であるとき、 飢は $zw$ -pure である。
$z$

$w$

(ii) 飢が zw-reducing であることの必要かつ十分条件は飢が z-reducin9 かつ wreducing を満たすことである

65

飢が zw-reduci$n\mathrm{g}$であるときは、 [6] と [7] により飢の形はよく知られている。 従って今後は飢が $zw$ -pure であるという仮定のもとで、話を進めていく。 害 $=$ 飢\ominus zw 飢 Y

Sz=M\ominus z 飢、 Sw=M\ominus w 飢とおくと、 次を得る。

Proposition 2.2 次が成り立つ。
(i) 飢(ii) 害$S_{z}$$= \sum_{k=0}^{\infty}\oplus z^{k}\mathfrak{S}_{z}\oplus\bigcap_{k=1}^{\infty}z^{k}\mathfrak{M}=\sum_{k=0}^{\infty}.\oplus w^{k}\mathfrak{S}_{w}\oplus\bigcap_{k=1}^{\infty}w^{k}\text{飢}=\sum_{k=0}^{\infty}\oplus(zw)^{k}S\circ$$=\mathfrak{S}_{z}\oplus z\mathfrak{S}_{w}=\mathfrak{S}_{w}\oplus w\mathfrak{S}_{z}$$(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{p}\infty.

S_{w})$。

を $S_{\infty}\text{に含まれる最大の}z$ -不変 (resp.

筑 $=\cap$ 内、 $S_{w}=\cap$ が L 筏$\subset \mathfrak{S}_{w\text{、}}S_{w}\subset \mathfrak{S}_{z}$$w$-不変) 部分空間とすると、が成り立つ。

$k=0$$k\approx 0$

Proposition 2.3 害, (resp. 乱) は$\mathfrak{S}_{w}$(resp.

$\mathfrak{S}_{z}$) に含まれる最大の$z$

不変 (resp. w-不変) 部分空間である。

Proposition 2.4 (cf. [4, Proposition 2]) 飢を zw-pure な$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間とすると、 次が成り立つ。

(i)$\phi_{z}$害、であるための必要かつ十分条件は$zSz\subsetneq$$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$に含まれる unimodular 関数

が存在して $S_{z}=\phi_{z}H^{2}(z)$ が成り立つことである。

(\"u) $S_{z}=zS_{z}\neq\{0\}$ であるための必要かつ十分条件は飢 =\mbox{\boldmath $\chi$}Eq」署と表せることでの Borel 部分集合 $E$ 上のはの unimodular 関数で、ある. ここで は
$q$

特性関数で

$\mathrm{T}^{2}$$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$$\chi_{E}\in L_{z}^{2}$$\chi_{E}$と $\chi_{E}\neq 0$ を満たす。 さらに、$\text{害}=$害 z と乱 $=\{0\}$ が成り立つ。

同様に我々は孔についての次の結果を得る。
Proposition 2.5 (cf. [4, Proposition 3]). 飢を zw-pure な$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間とすると、 次が成り立つ。

(i)$zSw\subsetneq$

乱であるための必要かつ十分条件は$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$に含まれる unimodular 関

数へが存在して乱 $=\phi_{w}H^{2}(z)$ が成り立つことである。
(\"u) yew=w 乱 $\neq\{0\}$ であるための必要かつ十分条件は飢である。 ここでの特性関数で
成り立つ。

$q$

は

$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$$\chi_{B}\in L_{w}^{2}$の unimodular 関数で、$\chi_{E}$は$=\chi_{E}qH_{w}^{2}$$\mathrm{T}^{2}$と表せることの Borel 部分集合 $E$ 上と $\chi_{E}\neq 0$ を満たす。 さらにこのとき、害 $=$ 乱と銑 $=\{0\}$ が

66

以後、 害 z $\neq\{0\}$ と乱 $\neq\{0\}$ を仮定して議論を進めていく。 このとき、と$wSw\subset\vee$

り、 飢$z\text{害_{}z}\subsetneq S_{z}$孔を得る。 なぜなら、 $S_{z}=zSz\neq\{0\}$ と仮定すると、 命題 4 の (ii) よ$=\chi_{B}qH_{z}^{2}$と乱 $=\{0\}$ を得る。 しかしこれは矛盾である。 従って、の unimodular 関数$\phi_{z}$と$\phi_{w}$$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$が存在し、 害 z $=\phi_{z}H^{2}(z)$ と乱 $=\phi_{w}H^{2}(w)$ を満たす。

$\overline{\text{飢}}=\overline{\phi}_{w}\text{飢と置くと_{、}}\mathfrak{M}\text{もまた}$$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間である。 x=M\ominus zw 刎とする。 (害)z (resp. (害)w) を害の最大の -不変 (resp. $w$-不変) 部分空間とする。
$z$$\varphi=\overline{\phi}_{w}\phi_{Z}$pure なと置き、 更に$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間で

M\mbox{\boldmath $\varphi$}\ominus z 飢\mbox{\boldmath $\varphi$}、
大の -不変 (resp.

$\mathfrak{S}_{w}^{\varphi}=$$z$$\varphi$は$L^{\infty}(\mathbb{T}^{2})$$\mathfrak{M}_{\varphi}\text{は}\overline{\text{飢}}$と置く。 このとき飢\mbox{\boldmath $\varphi$} は zw-に含まれる。 害\mbox{\boldmath $\varphi$}= 飢\mbox{\boldmath $\varphi$}\ominus zwM\mbox{\boldmath $\varphi$}、$\mathfrak{S}_{z}^{\varphi}=$飢\mbox{\boldmath $\varphi$}\ominus w 飢\mbox{\boldmath $\varphi$} とそれぞれ置く。 害: (resp. 害:) を範に含まれる最$w$-不変) 部分空間とする。 このとき、Proposition 2.6 (i) 害z\mbox{\boldmath $\varphi$}(ii)$\mathfrak{M}_{\varphi}=[H^{2}(\mathrm{T}^{2})+\varphi H^{2}(\mathrm{T}^{2})]$$=\varphi H^{2}(z)_{\text{、}}S_{w}^{\varphi}=H^{2}(w)_{\circ}$の unimodular 関数で$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}\hat{\varphi}\subset \mathbb{Z}+\cross(-\mathbb{Z}+)$を満たす。

従って次を得る。

Theorem 2.7 飢を$\text{害_{}z}=\phi_{z}H^{2}(z)_{\text{、}}S_{w}=\phi_{w}H^{2}(w)$部分空間とする。 ただし、
$N=\overline{\mathfrak{M}}\ominus$$\phi_{w}$と$\phi_{z}$$\varphi$$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$は$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}\hat{\varphi}\subset \mathbb{Z}_{+}\cross(-\mathbb{Z}_{+})$

Example 2.8 自然数

を筑

らかに

の $zw$ -pure 不変の unimodular 関数とする o

$m$

と

$n$

$=\phi_{w}(\mathfrak{M}_{\varphi}\oplus N)$$\varphi=\overline{\phi}_{W}\phi_{z\text{、}}$

を満たす

。

$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$の unimodular 関数である。

に対して、 我々は次の不変部分空間を考える。

$H_{m,n}^{2}(\mathrm{T}^{2})=[z^{m}H^{2}(\mathrm{T}^{2})+w^{n}H^{2}(\mathrm{T}^{2})]$$\mathfrak{M}$$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$飢\mbox{\boldmath $\varphi$} と置くとき飢は次のように表せる。
飢

ただし、

は

を満たす

$=w^{m}l\text{罪}(w)_{\text{、}}$$\mathfrak{M}\supset H_{m,n}^{2}(\mathrm{T}^{2})$害 z $=w^{n}H^{2}(z)$ を満たす不変部分空間とする。 そのとき、 明が成り立つ。 また、$N=\overline{w^{n}}(\mathfrak{U}t\ominus H_{m,n}^{2}(\mathbb{T}^{2}))$

飢 $=H_{m,n}^{2}(\mathrm{T}^{2})\oplus w^{n}N$が成り立つ。

.
と置くと

67

$m=1$ または $n=1$ のときは、 $N=0$ となる。 $m=n=2$ のときは、 $N$ の形は以下のいずれかの形になることがわかる。

(i) $N=\{0\}$ ;(ii)$N=[z\overline{w}]$

(iii)

;

$N=[z\overline{w}, \alpha z\overline{w}^{2}+\mathcal{B}\overline{w}]$。ただし ‘

‘$\alpha$と$\beta$は $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$ を満たす

$0$

でない複

素数である。

3

不変部分空間$\varphi$を$\mathfrak{M}_{\varphi}$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}\hat{\varphi}\subset \mathrm{z}_{+}\cross(-\mathbb{Z}_{+})$

を満たす$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$の unimodular 関数とする。

と置く。 このとき飢\mbox{\boldmath $\varphi$} は次を満たす $zw$-pure な$[H^{2}(\mathrm{T}^{2})+\varphi H^{2}(\mathrm{T}^{2})]$$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$$\mathfrak{M}_{\varphi}=$の不変部分空間である。
$H^{2}(\mathrm{T}^{2})\subset \mathfrak{M}_{\varphi}\subset H_{w}^{2}$留.

$=\mathfrak{M}_{\varphi}\ominus zw\mathfrak{U}\mathrm{t}_{\varphi\text{、}}\mathfrak{S}_{z}^{\varphi}=\mathfrak{M}_{\varphi}\ominus z\mathfrak{M}_{\varphi\text{、}}\mathfrak{S}_{w}^{\varphi}=\mathfrak{M}_{\varphi}\ominus w\mathfrak{U}t_{\varphi}$

を留に含まれる最大の -不変 (resp.
$z$

ると、

$\text{飢_{}\varphi}=H^{2}(\mathrm{T}^{2})$であるから、

この節では、 害z\mbox{\boldmath $\varphi$} $=\varphi H^{2}(z)$ and

Proposition 3.1$\varphi$を$w$と置く。更に鍔 (r6p.

-不変) 部分空間とする。 もし$\varphi\not\in H^{2}(z)$$\text{害_{}\mathrm{w}}^{\varphi}=_{1^{\mathrm{l}}}\text{解}(\mathrm{w})$$\varphi H^{2}(z)\subset$)とすと仮定する。
という条件を考える。

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\hat{\varphi}\subset \mathbb{Z}+\cross(-\mathbb{Z}_{+})_{\text{、}}\varphi\not\in H^{2}(z)$modular 関数とする。 そのとき$\varphi\in H^{2}(z)$$\Psi_{w}$

釘

を満たす

$\subset\varphi L_{z^{\text{、}}^{}2}H^{2}(w)\subset$$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$害w\mbox{\boldmath $\varphi$}$\subset L_{w}^{2}$の uni-が成り立つ。

Theorem 3.2 次が成り立つ。
(i) 害w\mbox{\boldmath $\varphi$} $=H^{2}(w)$ であることと、(H) 害z\mbox{\boldmath $\varphi$}$=\varphi H^{2}(z)$$\mathfrak{M}_{\varphi}\cap\overline{wH^{2}(w)}=\{0\}$であることと、であることは同値である。

$\text{飢_{}\varphi}\cap\varphi\overline{zH^{2}(z)}=\{0\}$であることは同値である。

Corollary 3.3 次が成り立つ。
(i)

(ii)

$\text{飢_{}\varphi}\perp\overline{wH^{2}(w)}$が成り立つとき、 $\Psi_{w}=H^{2}(w)$ が成り立つ。

$\mathfrak{M}_{\varphi}\perp\varphi\overline{zH^{2}(z)}$が成り立つとき、 害\mbox{\boldmath $\varphi$}z $=\varphi H^{2}(z)$ が成り立つ。

68

Corollary 3.4 次が成り立つ。
(i)$1\in \mathfrak{S}_{w}^{\varphi}$が成り立つことと、 $\hat{\varphi}(0, n)=0$ が 1 以上のすべての自然数

$n$

に対して成

り立つことは同値である。 更にこの場合、 鋸 $=H^{2}(w)$ が成り立つ。

(ii)$\varphi\in \mathfrak{S}_{z}^{\varphi}$が成り立つことと、 $\hat{\varphi}(m, 0)=0$ が 1 以上のすべての自然数 $m$ に対してが成り立つ。
成り立つことは同値である。更にこの場合、雛が 1 以上のすべての自然数 と に対して成り立つと(iii)$=\varphi H^{2}(z)$$\hat{\varphi}(m, 0)=\hat{\varphi}(0, -n)=0$$m$

き,害z\mbox{\boldmath $\varphi$}$=\varphi H^{2}(z)_{f}S_{w}^{\varphi}=H^{2}(w)$4不変部分空間のあるクラス$n$が成り立つ。

を仮定する。 一般的には
筑\S 2 における記号や仮定のもとで、 言 z
を満た[6z+6w]\subset 害が成り立つ。 [4] では、 我々は乱 孔
言 z+ 乱$\neq\{0\}_{\text{、}}$$\neq\{0\}$$+$$\subset$$=[\mathfrak{S}_{z}+\mathfrak{S}_{w}]$す不変部分空間の構造について研究した。
$\mathrm{D}$を複素数平面の単位円 $\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ とする。任意のて関数$\psi_{\alpha}^{(m,n\rangle}$$\alpha\in \mathrm{D},$$m,$ $n\in \mathrm{N}$に対しを$\psi_{\alpha}^{(m,n)}(z,w)=\frac{z^{m}\overline{w}^{n}-\alpha}{1-\overline{\alpha}z^{m}\overline{\overline{w}}^{n}}$で定義する。 このとき$\psi_{\alpha}^{(m,n)}$は任意の$(k, \ell)\in \mathbb{Z}_{+}\cross(-\mathbb{Z}_{+})$に対して$\overline{\psi_{\alpha}^{(m,n)}}(k,\ell)=0$を満たす L\infty (T2) の mimodu1ar 関数である。 更に、 L2(I) の不変部分空間飢整,n) を$\text{飢_{}\alpha}^{(m,n)}=[H^{2}(\mathrm{T}^{2})+\psi_{\alpha}^{(m,n)}H^{2}(\mathrm{T}^{2})]$とおくと、 次を得る。

Theorem 4.1$\mathfrak{M}=\mathfrak{M}_{\alpha}^{(m,n)}$ならば、 次が成り立つ。

害 w $=H^{2}(w)_{\text{、}}S_{z}=\psi_{\alpha}^{(m,n)}H^{2}(z)_{\text{、}}\mathfrak{S}_{w}=\psi_{\alpha}^{(m,n)}H^{2}(z)+[1, z, \cdots, z^{m-1}],$$H^{2}(w)+[\psi_{\alpha}^{(m,n)}, w\psi_{\alpha}^{(m,n)}, \cdots, w^{n-1}\psi_{\alpha}^{(m,n)}]$。更に、 次が成り立つ。

$S=\text{害_{}z}+\text{害_{}w}+[Z, \cdots,z^{m}]+[w\psi_{\alpha}^{(m,n)}, \cdots,w^{n-1}\psi_{\alpha}^{(m,n)}]$$=$

害 z+Sw+[z,$\cdot$.. ,$z^{m-1}$]$+[w\psi_{\alpha}^{(m,\mathrm{n})}, \cdots,w^{n}\psi_{\alpha}^{(m,n)}]$.

$\mathfrak{S}_{z}=$69

そこで、 定理 4.1 の逆として、 次の定理を得る。

Theorem 4.2 飢を $zw$ -pure な
そのとき、 ある$(-\mathbb{Z}_{+})$

を満たす$\alpha\in \mathrm{D}$が存在して飢$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間とし、 $m$ と$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$$=\text{飢_{}\alpha}^{(m,n)}$の unimodular 関数$\varphi$$n$を自然数とする。

が成り立つことと、$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}\hat{\varphi}\subset \mathbb{Z}_{+}\cross$が存在して xw=H2(w)、乱$=\varphi H^{\mathit{2}}(z)_{\text{、}}$となることは同値$\mathfrak{S}_{w}=\varphi H^{2}(z)+[1, \cdots, z^{m-1}]_{f}\mathfrak{S}_{z}=H^{2}.(w)+[\varphi, w\varphi, \cdots, w^{n-1}\varphi]$である。

特に $\hat{\varphi}(0,0)=0$ であるとすると、 $\alpha=0$ より次が成り立つ。

Corollary 4.3 飢を $zw$ -pure な
このとき、

を満たす

on

$=\overline{w^{n}}H_{m,n}^{2}(\mathrm{T}^{2})$$L^{\infty}(\mathrm{T}^{2})$$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$の不変部分空間とし、 $m$ とが成り立つことと、の unimoduiar 関数$\varphi$が存在して xw=H2(w)、乱ExamPle 4.4$\psi_{\alpha}^{(m,n)}$$\mathfrak{M}_{\alpha}^{(m,n)}$は先に定義したものとし、$=\varphi H^{2}(z)_{\text{、}}\mathfrak{S}_{w}=$となることは同値である。

最後に定理 42 の反例を挙げる。 即ち、 ある mlmodular 関数
害 z $=\phi_{z}H^{2}(z)$ を満たすが、 飢はを自然数とする。

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}\hat{\varphi}\subset \mathbb{Z}_{+}\cross.(-\mathbb{Z}_{+})_{\text{、}}\hat{\varphi}(0,0)=0$$\varphi H^{2}(z)+[1, \cdots, z^{m-1}]_{\text{、}}\mathfrak{S}_{z}=H^{2}(w)+[\varphi,w\varphi, \cdots, w^{n-1}\varphi]$$H^{\mathit{2}}(w)_{\text{、}}$$n$$\phi_{z}$が存在して筑$=$の形をしていない例である。
$\phi_{z}=z\psi_{\alpha}^{(1,1)}$と置く. 更に硯に含まれる不変部分空間飢 z を飢zで定義する。 飢伊$(w)+[\phi_{0}]_{\text{、}}$$=\mathfrak{M}_{z}$$=[H^{2}(\mathrm{T}^{2})+\phi_{z}H^{\mathit{2}}(\mathrm{T}^{2})]$が成り立つとすると、 $S_{w}=$ H2(w)、言 z$\mathfrak{S}_{w}=\phi_{z}H^{2}(z)+[1, z]$が成り立つ。 ただし、 $\phi_{0}=\phi_{z}-<\phi_{z},$ $z>z$ である。 従って、
害 $=$ 害 z+ 乱 $+[z, z^{2}]$が成り立つ。

$=\phi_{z}H^{2}(z)_{\text{、}}\mathfrak{S}_{z}=$70

Example 4.5$\psi_{\alpha}^{(m,n)}$は先に定義したものとし、$\phi_{w}=\overline{w}\psi_{\alpha}^{(1,1)}$と置く。 更に$H_{w}^{2}$に含まれる不変部分空間鶏を
飢wで定義する。 飢$=$$=[H^{2}(\mathrm{T}^{2})+\phi_{w}H^{2}(\mathrm{T}^{2})]$

洗が成り立つとすると、乱 =H2(w)、害、$H^{2}(w)+[\phi_{w}, w\phi_{w}]_{\text{、}}\mathfrak{S}_{w}=\phi_{z}H^{2}(z)+[\emptyset 0]$$=\phi_{w}H^{2}(z)_{\text{、}}\mathfrak{S}_{z}=$が成り立つ。 ただし、$\phi_{0}=z\overline{w}+\frac{1-|\alpha|^{2}}{\overline{\alpha}}$である。 従って

害$=\text{害_{}z}+$

二$+[z\overline{w},z\phi_{0}]$が成り立つ。

以上の 2 つの例は、 定理 42 は$[\phi_{z}, \cdots, w^{n-1}\phi_{z}]$$\mathfrak{S}_{w}=\phi_{z}H^{2}(z)+[1, z, \cdots, z^{m-1}]_{\text{、}}\mathfrak{S}_{\text{、}}=H^{2}(w)+$という条件無しでは成り立たないことを示している。

参考文献[1] D. Gaepar and N. Suciu, On invariant subspaces in the bitoms, J. Operator The-

ory, 30(1993), 227-241.
[2] P. Ghatage and V. Manderkar, On Beurling type inva

$r\dot{\mathrm{v}}ant$

subspaces of$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$and their equivalence, J. Operator Theory, 20 (1988), 31-38.

[3] H. Helson, Lectures on invariant subspaces, Academic Press, New York, 1964.
[4] G. Ji, T. Ohwada and K.-S. Saito, Certain inva$r^{\mathrm{r}}iant$subspa ce structure of$L^{2}(\mathrm{T}^{2})$,Proc. Amer. Math. Soc., 126 (1998), 2361-2368.
[5] R. Mandreir, The validty of Beurling theorems in polidisc, Proc. Amer. Math.

Soc., 103 (1988), 145-148.

71[6] T. Nakazi, Certain invariant subspaces of$H^{2}$

and$L^{2}$

on a bidisc, Canad. J. Math.,

40 (1988), 1722-1280.
[7] T. Nakazi, Invariant subspaces in the bidisc and commutators, J. Austral. Math.

Soc., 56 (1994), 232-242.