104106．シュワルツの不等式光ビームの幅を開口で制限して細いビームを生成すると表すことができるとする。このとき，式(106–1)と比と，ビームの拡がり角は大きくなる。これをもう少し一較すると，般的に示そうとするとき，シュワルツの不等式を使うと便利である。本章では，この不等式を簡単に紹介する。
光の性質を考えるためには，複素数値関数を考える必要a m ⿌ f xm106㏏4b m ⿌ g xm106㏏5があるが，まずは実関数の場合について説明し，次に複と対応させることで式(106–2)が導かれる。なお，積分素数値関数の場合を考える。

や極限をこのように扱える程度には，関数 u(x)の性質シュワルツの不等式は，コーシー・シュワルツの不等のよいことが必要である。また，積分の収束性がよけれ式，あるいはコーシー・ブニャコフスキー・シュワルツば，A, B は - ∞, ∞ でもよい。波動光学で通常想定されの不等式などとも呼ばれ，コーシーの不等式の拡張と見る関数は，十分に性質がよいと仮定，あるいは近似できることができる。そこでまずコーシーの不等式である。

る。以下，式(106–1), (106–2)を証明するが，「すべて実数列 {a1, a2, …, an}, {b1, b2, …, bn} に対して，の am が 0（m = 1, 2, …, n）」，「関数 f (x)が恒等的にa1b1⾺a2b2⾺ó⾺anbn

ļ a12⾺a22⾺ó⾺an20（A < x < B）」の場合は，容易に証明できるので，以下2b12⾺b22⾺ó⾺bn2ではこれら以外の場合について考える。

106㏏1が成り立つというのがコーシーの不等式である。また，任意の実関数 f (x), g(x)に対して，2

B=ff x g x dxAB? fļA2

Bf= ?

= f x ? dxg x2u(x2)y u(x )1dx

Ay=u(x)106㏏2u(xn)が成り立つというのがシュワルツの不等式である。

B -An式(106–2)は，式(106–1)から導くことができる。関数xu(x)の積分を，図 106–1 のように，区分求積法で考えて，Bfu x dx⿌ lim

AnēĩAx1x2B⾼A= u x1 ⾺u x2 ⾺ó⾺ u xn ?
n106㏏3図 106–1 区分求積法による積分1xn=B

105107．光ビームの幅と角度の拡がり量子力学には不確定性原理と呼ばれる原理，あるいはĩĩfff x, y, z ⿌法則があり，例えば粒子の位置と運動量を同時には確定F kx , ky⾼ĩ ⾼ĩできない 1)~3)。同時に確定値をとる状態がないのか，同jexp ikx x ⾺iky y⾺ ikz z dkx dky107㏏1時に確定できる測定法がないのかよく分からないが，本と表せる。ただし，kz は kx と ky の関数で，稿では量子力学には触れないので，心配には及ばない。
しかしながら，シュレーディンガー方程式の解である^kz kx , ky ⿌波動関数と，ヘルムホルツ方程式の解である電磁場との形式的類似性から，不確定性原理に類似した関係が，ik 2⾼k2x ⾼k 2yk x2 ⾺ky2 ļ k 2kx2 ⾺k2y ⾼ k 2k 2x ⾺ky2 ⿍k 2107㏏2「光ビームの幅」と「角度の拡がり」の間にも存在する。

で定義される。式中の k は，媒質の透磁率 m(= m0)と誘その関係式について紹介する。

電率 e，あるいは真空中の光速度 c 0 ，波長 l 0 ，屈折率n などを使って光が伝搬する場のモデルを図 107–1 に示した。時間依存性が exp(- iwt)で記述されるスカラー場を考える。

k⿌w m0e ⿌w m0 e0 n ⿌ w場の平面波展開が可能と仮定すると，0 < z における光の複素振幅は12pn⿌n ⿌k 0 nc0l0107㏏3のように与えられる。以下では透明媒質を考え，e, n, kは実数とする。また，ほぼ z 軸方向に進む光の場を考え，kx2 + ky2 << k2 の領域以外では，F(kx, ky)は無視できf( x, y, 0)=f( x, y)るほど小さいものとする。

f( x, y, z)関数 F(kx, ky)は，波数ベクトル k = (kx, ky, kz)を持つ平面波成分の振幅と解釈できる。したがって，|F(kx, ky)|2zは角度の拡がりを表すものであり，z が非常に大きな位置の断面上の点(zkx/kz, zky/kz, z)の強度分布に比例する。
平面 z = 0 における場に注目するので，記法を簡略化z =0

してf x, y ⿌ f x, y, 0図 107–1 光が伝搬する場

7107㏏4108=x2, k 2x ?⿌x=x, k 2x?⾺=x, k 2x?x=b, a?⿌⾼=a, b?

110㏏18=a, b⾺c?⿌=a, b?⾺=a, c?

110㏏19=a⾺b, c?⿌=a, c?⾺=b, c?

110㏏20=a2, b?⿌a=a, b?⾺=a, b?a110㏏21⿌xikx⾺xkx i⾺ikx x⾺kx ix=a, b2?⿌=a, b?b⾺b=a, b?

110㏏22⿌2i xkx⾺kx x⿌x =x, kx?kx⾺kx=x, kx?
⾺ = x, kx ? kx ⾺ kx = x, kx ? xなどの関係が成り立つ［式(110–17)を使って確認できとなる。ただし，式(110–9)により，る］。また，定数は任意の演算子と交換可能（交換関係=x, kx?⿌iが恒等的に 0 となる）である。

ķ =x, kx?f⿌x式(110–16)の kz に式(110–14)を代入し，定数が任意の演算子と交換可能であることを使うと，©ƿf^a^fǀ⿌ i f©zk 2x k 2ya, k ⾼ ⾼2k 2kƿ ^=110㏏261 ©f 1 © xf⾼⿌ ifi ©xi ©x110㏏27が成り立つことを用いた。

?^fǀi⿌⾼ ƿf^=a, k 2x ⾺k 2y ?^fǀ2k式(110–26)を式(110–25)に代入すると，1©ƿf^x2^fǀ⿌ ƿf^xkx⾺kx x^fǀ©zk110㏏23110㏏28が得られる。

との関係が得られる。

次に，kx2 については，式(110–24)の a に kx2 を代入蛇足だが物理量の時間微分が，古典力学においてはポして，アソンの括弧式を用いて，量子力学においてはハイゼンベルクの運動方程式で与えられる。これらの式を学ばれた読者は，式(110–23)が（z を時間 t に読みかえると）それらとよく似ていることを思い出されると思う。

110㏏29となる（平面波は自由空間での固有関数なので当然の結式(110–23)を式(110–11)の中の各因子に適用してい2く。その際，演算子 a に相当するのは x , kx2, xkx, kxx論ではある）。
次に xkx については，やはり式(110–24)から，などである。したがって y に関しては作用がなく，a はky と交換可能（[a, ky]= 0）である。このとき，式(110–21),i©ƿf^xkx^fǀ⿌⾼ ƿf^= xkx, k 2x ?^fǀ©z2k(110–22)により，a は ky2 とも交換可能（[a, ky2] = 0）である。したがって，a として x , kx2, xkx, kxx などの演算2子のみを考えるときは，さらに簡略化してi©ƿf^a^fǀ⿌⾼ ƿf^=a, k 2x ?^fǀ©z2ki©ƿf^k 2x^fǀ⿌⾼ ƿf^= k 2x , k 2x ?^fǀ⿌02k©z110㏏30となる。ここで，=xkx, k 2x?⿌xk 3x⾼kx xk 2x⾺kx xk 2x ⾼k 2x xkx110㏏24⿌= x, kx ?k 2x⾺kx= x, kx ?kxi

i⿌2ik 2xとしてよい。これを，式(110–11)の中で，z による微分110㏏31を式(110–30)に代入するとを含む各因子に適用していく。
2まず x については，i©ƿf^x2^fǀ⿌⾼ ƿf^=x2, k 2x ?^fǀ2k©z1©ƿf^xkx^fǀ⿌ ƿf^k 2x ^fǀk©z110㏏25が得られる。

となる。ここで，式(110–21), (110–22)を用いて，[x , kx2]
2最後に kxx についても式(110–24)から，をより低い次数の交換関係で表すと，33110㏏32

109式 (111–27) で与えられるビーム幅 w(z) の例を，おけるビーム形状は，振幅の 1/e 値半幅が w(z)のガウ図 111–2 に示した。式(111–27)から分かるように，ビーシアンであること，等位相面の曲率半径は R(z)であるムウエスト位置（z = 0）では w(z)の値は w0 であるが，ことなどが分かる。
次に式(111–21)の第 1 の因子である関数 A= C'/(z+iq0i)

ビームウエストからレイリー長だけ離れた位置（z= ±zR）でのビーム幅は，√◊◊2w0 となる（余談 1 参照）。の寄与に注目する。この因子の絶対値と位相に注目すると，また，同じビームについて式(111–29)で与えられる曲率半径 R(z)を，図 111–3 に示した。曲率半径の極値

CöCöCö
⿌z⾼iq0i ⿌ 2z⾺izRz⾺iq0i z2⾺q20iz ⾺z2Rは，±zR の位置でそれぞれ ±2zR となる［R(z)の導関数を 0 と置いても，相加相乗平均の関係からも導ける］。
また，z → ∞ で R(z)は z に漸近する。

⿌このように，式(111–21)の指数部を見ると，場の x,y 依存性が明らかになる。すなわち，z = 一定の断面にCözz2⾺z2Rz2⾺z2R⾺iと変形できる。

141/e2 値半幅 (l)12108642w020-150w0-100zR-50zR0z (l)50100150図 111–2 ビーム径の z 依存性300曲率半径 R (l)2002zR100R=z-zR0zR-100-2zR-200-300-150-100-500z (l)50図 111–3 等位相面の曲率半径の z 依存性42100150zRz2⾺z2R111㏏30

110112．エルミート・ガウシアンビーム前章では，概ね z 方向に進む光の場を u(x, y, z)とする。このとき，指数因子の指数部は，exp(ik z - iwt)と表すスカラー波近似で，関数 u が満たk x2 ⾺ y22 z⾼izRexp iす近軸の波動方程式©2u ©2u©u⾺⾺2ik
⿌0©x2 ©y2©zx2 ⾺ y2k x 2⾺ y 2⿌exp ⾼2 exp i=w z ?
2 R z112㏏1112㏏5を導き，その解としてガウシアンビームの表式を導いた。

と変形することができ，1/e 値半幅が w(z)のガウス型本章では，より複雑な解の例として，エルミート・ガウ関数を表す。ただし，w(z)はシアンビーム1),2)の表式を導く。レーザー発振の際にし2=w z ? ⿌ばしば生ずる，高次の横モードを記述する際などに，よ2
z22z2R⾺z2 ⿌w0 1⾺ 2kzRzR112㏏6く用いられる。
前章では，変数 z に対する依存性が緩やかな関数2w0 ⿌A(z), q(z)を使って，x 2⾺ y 2u x, y, z ⿌A z exp ik2q z=2zRk112㏏7で定義される［第 111 章，式(111–27)~(111–28)参照］。

?

112㏏2また，式(112–5)の関数 R(z)はR z ⿌という形の解を仮定した（第 111 章参照）。ここではこ1 2z2RzR⾺z2 ⿌z ⾺z
z112㏏8れを少し一般化して，axw zu x , y , z ⿌ A z hmhnk x2 ⾺ y2j exp i2 q z=で定義され，等位相面の曲率半径を表す［第 111 章，byw z式(111–29)参照］。
このように，式(112–3)はガウス型の分布に関数 h m? 112㏏3と hn が乗じられた形である。座標 x, y に関して変数が分離されるので，それに応じた分布が予想される。また，という形の解を探す。ただし，関数 q(z)は前章で見た関数 h m は必ず x/w(z)の形で x に依存し，関数 h n もガウシアンビームの表式に現れた関数と同じであり，レy/w(z)の形で y に依存するため，断面強度分布の形状イリー長を zR として，は，ガウス型の因子と同じ割合で拡大される。すなわち，q z ⿌z ⾼izR断面強度分布はどの断面でも，縦横の定数倍の違いを除112㏏446

1100.8m=0460.6122 345 60.4ym(t)0.20-0.2-0.4-0.6-0.8-65-5-4-33-2

23 45 60121-13456

t図 112–2 関数 ym(t)のグラフ（補足 1）式(112–3)を x で偏微分すると，GRXEOH SUHFLVLRQ W IP SL \ SL DWDQ G GR  L W G LIP GR  P LI PJW IP IP PM  P\ P M W PGR  N LQW PM M P NP N   N\ P \ P M WP N
FRQWLQXH\ P \ P VTUW  P IP VTUW SLFRQWLQXHZULWH  W \ P H[S  W   P  FRQWLQXH IRUPDW HVWRSHQG©uaxbyak x2 ⾺ y2⿌Ahöhnexp im©xww2q
w⾺k x 2⾺ y 2iAkxaxbyhnexp ihmq
w
w2
q112㏏50となる。さらに x で偏微分すると，©2ua2
axa ikxax
⿌A⾺2h÷hömm
2©x
ww qww2]⾺j hn図 112–3ik k2x2
ax⾼ 2 hmqqw_

byk x 2⾺ y 2exp i
w2
q112㏏51となる。同様にして y についても偏微分を 2 回繰り返すと関数 ym(t)のグラフ（図 112–2）のデータ作成に用いたプログラム（FORTRAN77）©2ub2
byb ikyby⿌A
⾺2h÷hönn
2©yww q
ww2]⾺j hm51ik k2y2
by⾼ 2 hnqw
q_k x 2⾺ y 2
axexp iw2q112㏏52111111113．ラゲール・ガウシアンビーム前章で導いたエルミート・ガウシアンビームは，レーu r, f , z ⿌ A z fザー発振の高次の横モードを表す際などによく用いられるビームであった。本章では，z 軸のまわりの回転対称arw zF f exp i=⿌A z f warz F f exp ⾼=w rz ? ⾺i 2k Rrz ?
2性に注目し，ラゲール・ガウシアンビーム 1),2) の表式をk r22 q z22導く。近年，軌道角運動量を持つ光ビーム 3)~5)として，113㏏5さらに偏光との組み合わせ 6)なども含めて，多彩な現象という形の解を探すことにする。ただし関数 f は，r → ∞に注目され，応用にも期待が集まっている。
前章と同じく，概ね z 方向に進む光の場を u(x, y, z)の極限でガウス型と同様の r 依存性を持たないものとexp(ik z - iwt)と表すスカラー波近似で考えるものとする（もしガウス型の因子を持つならば，最後の指数因し，近軸の波動方程式子に組み入れるものとする）。前章，前々章と同様に，©2u ©2u©u⾺⾺2ik ⿌0©x2 ©y 2©z関数 q(z)を，113㏏1q z ⿌z ⾼izRとする。このとき，関数 w(z), R(z)はから出発する（必要なら第 111 章を参照）。ここで，円筒座標 r, f を2x ⿌r cos f113㏏2y ⿌r sin f113㏏3=w z ? ⿌2

w0⿌R z ⿌113㏏42z22z 2R⾺z 2 ⿌w 0 1⾺ 2kzRzR2zRkとして導入すると，式(113–1)は，©2 1 © 1 ©2©u⾺⾺⾺2ik⿌0©r 2 r ©r r 2 ©f2©z113㏏61 2z 2Rz R⾺z 2 ⿌ z⾺z
z113㏏7113㏏8113㏏9となる。ただし，w 0 は w(z)の最小値，z R はレイリー長と呼ばれるパラメーターである。断面強度分布 |f| 2となる（補足 1）。
この解を導く際に，未知の関数 A(z), f(r), F(f)などは r/w(z)の形で r に依存する（z 軸のどの位置でも，r 方向に定数倍すると同じ r 依存性を持つ関数形となを使って，る）。

57111が得られる。

zRA z1
⾺⿌⾼i 22n ⾺^l ^A zq zz R⾺ z 2113㏏41比例定数 Cn, |l| は，A⿌⿌Cn,^l ^exp i 2n⾺^l ^⾺1w

]ĩ00u r, f, z ㈙u r, f, z r dr df ⿌1=arg z⾺iz ⾼ p2 ?_2p

ĩ00ff113㏏42u㈙ r , f , z u r , f , z r d r d fとなる（補足 7）。ただし，y は2p

ĩ0

0f=
f=
ĩ⿌p^Cn,^l ^^で与えられる。
以上をまとめると［式(113–40)を式(113–32)に代入(113–18), (113–42)と共に式(113–5)に代入すると］，S^nl ^jexp ⾼2 ⾺i=w z ?

2R z2

?

2r 2 r drdfw 2 w222t 2^l ^ S^nl ^ t 2ĩ^l ^022^l ^nソニンの多項式は，ロドリゲス（Rodrigues）の公式 8)2r 22=w z ?

kr 22r 2w2となる。

Smn x ⿌jexp =ilf ⾼ i 2n⾺^l ^⾺1 y ?
r20n,^l ^し，式(113–36), (113–14)で t から r に変数を戻し，式Cn, ^l ^2rw z w z=S^nl ^? exp ⾼t t dtp⿌ ^C ^sS s exp ⾼s ds113㏏46?
22113㏏441 x ⾼m dn ⾼x n⾺me xe xn!
d xn113㏏47によって与えることもできる（補足 8）。これを用いると，1.4(n, m)=(0, 0)1.21.00.8(0, 3)0.60.4(2, 1)myn (t)u r, f , z ⿌2^l ^jexp ⾼113㏏43^l ^2r
wff2⿌^Cn,^l ^^zzR0.20.0-0.2(1, 5)-0.4(2, 0)-0.6(1, 2)(1, 0)-0.8
01113㏏45となるように決める。式(113–45)の左辺は，RCn,^l ^exp =⾼i 2n⾺^l ^⾺1 y?
wy ⿌ tan⾼12pffとなる。式(113–41)の解を求めると，23
t図 113–3 関数 ynm(t)のグラフ6145

6113などが導かれる。これらを使えば式(115–25)の列ベクが 0 でない場合，l/kr は r → 0 で発散するが，|u|2 はトル部分の x, y 成分は容易に求められ，r|2l| に比例するので，場は発散しない。また，式(115–34)の œS A Œ が等位相面に垂直であることは，式(115–2)かi ©u㈙1kr1 sin f22^u^ ⾼ l^u^Recos fu ⿌k ©xRkkr
rl2⿌cos f ⾼sin f ^u^Rkrらも確認できる（補足参照）。
図 115–1 にビームウエスト（原点）近傍の，光の場115㏏32u(x, y, z)exp(ikz)の等位相面のイメージを l が正の場合について示す。ビームウエスト近傍では式(115–34)

⾼i©u1
kr1 cos f22⿌^u^ ⾺ l^u^u㈙Resin fkRkkr©yrl2⿌sin f⾺cos f ^u^Rkrのベクトル部分の r/R に比例する項は無視できるため，曲率のない螺旋階段のような形状になる。時間の経過と115㏏33ともに，この螺旋階段が z 方向へシフトする。すなわち，z を固定して考えると，位相が一定の方向は時間と共に x 軸方向→ y 軸方向となるように回転する。なお，となる。したがって，式(115–25)から，2ƿ SA ǀ⿌^EA0^ 2L2cm0この回転方向を左回りと呼ぶのは観測者が光を受ける向r R cos f ⾼ l kr sin fきの場合であり，進行方向を向く場合は右回りになる。

2r R sin f ⾺ l kr cos f ^u^どちらの習慣もあるので，文献等を参照する場合には注1意が必要である。

115㏏34ビーム全体のエネルギー流は，となる。

ĩ2p00ffIA ⿌式(115–34)のベクトルの部分で，r/R に比例する項は波面が曲率を持つ効果で生じ，z が正（負）なら軸からƿSAǀ〔ez r df dr2

⿌離れる（軸に近づく）方向にわずかに傾く。また，l/krに比例する項は l の効果であり，l が正（負）であば右^EA0^ 2 ĩ 2p 2^u^ r df dr
L2cm000ff2

⿌（逆）ねじの回転方向に捩じれることを表す。なお，l2^EA0^ 2e^EA0^ 2L ⿌c
L2cm02115㏏35yyxx

z図 115–1 関数 u(x, y, z) exp(ikz)の等位相面のイメージ（l > 0 の場合：平行法）81z著者略歴本宮佳典（ほんぐう・よしのり）, Yoshinori Hongu1956 年 神奈川県藤沢市生まれ1975 年 神奈川県立湘南高等学校卒業1979 年 東京大学理学部物理学科卒業1984 年 東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了 理学博士同年，株式会社東芝入社 光応用機器の研究開発に従事2012 年 東芝リサーチ・コンサルティング株式会社 シニアフェロー2018 年 株式会社東芝 研究開発センター（2021 . 10 退職）法政大学理工学部（兼任講師）（2018 . 4〜）第 20 回（2019 年度）応用物理学会業績賞（教育業績）受賞「波動光学の風景」の情報は以下の URL で公開しています。https://www.adcom-media.co.jp/opluse/wave/波動光学の風景著 者発行者発行所光ビーム編2015 年 2 月 25 日初版発行2023 年 2 月 1 日第 2 版発行本 宮佳 典喜 多野乃子アドコム・メディア株式会社〒 169 - 0073 東京都新宿区百人町 2 - 21 - 27電話 （03）3367 - 0571（代）Advanced Communication Media Co. Ltd., Tokyo, Japan, 2015ISBN 978 - 4 - 910636 - 21 - 4 C 3042 ¥ 3600 E© Yoshinori Hongu 2015印刷 / 製本 ㈱ブックフロントPrinted in Japan・ 本書に掲載する著作物の複製権・翻訳権・上映権・譲渡権・公衆送信権（送信可能化権を含む）はアドコム・メディア㈱が保有します。
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