数理解析研究所講究録1032 巻 1998 年 101-108

101

準モンテカルロ法における誤差推定
諸星穂積 (Hozumi Morohosi)

伏見正則 (Masanori Fushimi)

東京大学大学院工学系研究科

1

はじめに
$s$

次元の単位立方体 $[0,1]^{s}$ 上で定義された関数$f(\mathrm{x})$$I= \int_{0,1}[]^{s}f(\mathrm{x})$の積分値

dx(1)を数値的に求めること, およびその計算値にどの程度の誤差が含まれるかを評価することは, 実用上重要な問題である.

$s=1$ の場合については, 多くの研究によって, 実用的な積分法および方, $s>1$ の場合には問題は格段に難しくなる. 比較
その誤差評価法がほぼ確立している.
的低次元の場合は, 1 次元で有効な積分法をそのまま拡張した方法や, 優良格子点法などが, あ–る程度実用的な手法として利用できるが, より高い次元での利用は難しい. また, 数千, 数万というような高次元の問題については, (擬似) 乱数を用いたモンテカルロ法を適用することになり, 誤差評価については, 中心極限定理に基づいて行うことができる. ただし, 積分計算値の収束は極めて遅い.

準モンテカルロ法は多次元数値積分の手法の中で, ある程度高次元まで利用でき, かつ収束が速いという特徴をもっており, (1) の積分を後述する “ 差異の小さい点列 ”によ$\{\mathrm{x}_{i}\}\in[0,1)^{s}$

る均等重みの和(2)$I_{N}= \frac{1}{N}\sum_{=i1}^{N}f(\mathrm{X}_{i})$で近似する方法である. 本論では, その誤差評価法を検討する. この方法については, 理論的な誤差の上界の評価式が存在するだけで, 実用的に利用できるような誤差評価法がいまだ存在しない.

近年, モンテカルロ法を参考にした確率的誤差評価法が提案されている.

ここでは,これらの手法について, 数値実験を行った結果を述べる.

2

差異の小さい点列$f(\mathrm{x})$$[0,1)^{s}$を$s$次元の単位立方体 $[0,1]^{s}$ 上で定義された有界変動関数とする. 点列$P=\{\mathrm{x}_{i}\}_{i1}^{\mathrm{v}}J=\in$の差異 $D_{N}$ は次式で与えられる.

$DN= \mathrm{s}\iota_{J}\iota \mathrm{p}|\frac{A(J,P)}{N}.-\mathrm{V}(.\cdot J)|$

ここで $\sup$ は $J=[0, t_{1})\cross\cdots\cross[0, t_{S})\subset[0,1)^{s}$に含まれる$P$.

なる全ての半開区間にわたり,(3)$A(J;P)$ は $J$の点の個数を表す. 差異の小さい点列が多次元の数値積分に有効であるとされる

102

根拠は, 次の Koksma-Hlawka の不等式である.
$| \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(\mathrm{X}_{i})-\int 10,1]^{S}\mathrm{x}f()\mathrm{d}\mathrm{x}|\leq V(f)D_{N}$

ここで,$V(f)$.

(4)は関数 $f$ の (Hardy-Krause の意味での) 全変動とよばれる量である. 差異の小さい点列として, 以下に述べる $(t, s)$ -sequence を用いると,が漸近的に $\mathrm{O}((\log N)^{s}/N)$となり ( は点王の次元) , 高次元の数値積分を高速に行なうことが可能であると考えられてい$D_{N}$$s$る.

ここで,$\grave{7}$$(t, s)$.

-sequence の定義を述べておく [3]. そのために, いくつかの予備的定義を行な

定義 1(基本区間) 整数 $s\geq 1$ と $b\geq 2$ が与えられたとき,$E= \prod_{j=1}^{S}[\frac{a_{j}}{b^{d_{j}}},$で定義する. ここで,

$d_{j},$$a_{j}$

は整数で,$b$を基数とする基本区間を(5)$\frac{a_{j}+1}{b^{d_{\mathrm{j}}}})$$d_{j}\geq 0,0\leq a_{j}<b^{d_{j}}$を満たすものする.

定義 2( $(t,$ $m,$ $s)$ -net)
は整数で $s\geq 1,$ $m\geq 0,0\leq t\leq m,$ $b\geq 2$ とする.
次元の$m,$単位立方体内の点集合が, 任意の体積の基本区間にちょうど 個含まれるとき, この点集合は基数 の $(t, m, s)$ -net であるという.
$t,$$s,$$I^{s}$$b$$s$$\{\mathrm{z}_{i} :$b^{t-m}$i=1, \ldots, b^{m}\}$$b^{t}$$b$

以上め定義の下で,$(t, s)$-sequence を次のように定義する.

定義 3 $((t, s)$ -sequence) $t\geq 0$ を整数とする. 点列において, 任意の整数 $k\geq 0,7n>$に対して $\{\mathrm{z}_{n} : \dot{n}=kb^{m}, \ldots, (k+1)b^{m}-1\}$ が $(t, m, S)$ -net になるとき, 基数の $(t, s)-$$\{\mathrm{z}_{n}\}$

$t$

$b$

sequence であるという.
$(t, s)- \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{q}\iota \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{e}$えば,Sobol’ 列や Faure 列が知られている. Sobol’ 列は, 上記の定義に従としては,$GF(2)$ 上の原始多項式 $p_{i}(x)$ を次数が低いほうから$s$個とってきたとき, それらの原始多項式あ次数の総和pi(のを求め,であり, Faure 列は次元 ’ 以上の最小の素数$P$算では有限個の点しか使わないわけで,-sequence を利用する利点は, 任意の$\Sigma_{i=1}^{s}\deg$$t=\Sigma_{i=1\mathrm{g}p}^{S}\mathrm{d}\mathrm{e}i(x)-s$$s$$(.t, s)$とした基数 2 の $(t, s)$ -sequenceを基数とする $(.0, s.)$ -sequence である. 実際の計
$?n$

に対する

$(t, m, s)$ -net を容易に作成できることにある.

実際にこの点列を使って数値積分を行ないその誤差評価をしょうとすると, 関数の全変動を計算することは事実上不可能であるので,-Hlawka の不等式を利用することはできない.
次節以降で本論で扱う誤差評価手法を述べる.
$\mathrm{I}\overline{\mathrm{c}}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{S}\mathrm{m}\mathrm{a}$

3

確率的変動
以下では ( , 7 馬 )-net を対象とし, 確率的な誤差評価法を与える.
$t$

$s$

net に確率的に独立な変動を与えて (複数の) 新たな点集合をつくり,

これは,もともとの $(t, 77?, S)-$

それらで (2) を評価しそのばらつきをもとに誤差を見積もる方法である. 確率的な変動を与える方法として以下の 2 つを考えた.

103

点列の scramble $[4,5]$

点列$\{\mathrm{z}_{i}\}$を $(t, m, S)$ -net とする.

$\Sigma_{k=1^{Z}\cdot jk}^{\infty}\cdot b-k,$$0\leq z_{ijk}<b$と座標成分で表示したとき, 各成分を$\mathrm{z}\dot{.}=(Z_{i}^{1}, \ldots, Z_{i})s$と書く.

この$.\{\mathrm{z}_{i}\}$から$\{\mathrm{x}_{i}\},$$\mathrm{x}_{i}=(x_{i}^{1}, \ldots, X_{1}.)S,$$z_{i}^{j}=$$x_{i}^{j}=\Sigma_{kjk}^{\infty}=1^{X}ib^{-k}$を次のように決める.

各

$\pi$

,

$x_{ij1}$$=$$\pi_{j}(Z:j1)$$x_{ij2}$$=$$\pi_{jz_{j1}}.\cdot(z_{i2}j)$$x_{ijk}$$=$$T_{j_{Z}}-(:j1^{Z}:j2\cdots Z:j,k1ijk)Z$,.

は $0,1,$ $\ldots,$ $b-1$ の置換で, 全置換 $b!$ 個の上で–様に分布しているとする.の最初の桁を置換する.
いに独立な置換とする. 以下同様に,について各$z_{i}^{j}$$\pi_{j}$は全ての$i$は同様に第 2 桁を置換するが, 第 1 桁の値毎に互桁の置換は, $k-1$ 桁までの値に依存して決まる.

$\pi_{jz:j1}$$\text{第}.k$

この方法は次のような操作を行なっているものと解釈できる. 積分領域を各座標軸ごとに$b$個の小領域をランダムに並べ換え, 次に各小領域の中で更に 分割を行なってランダムに並べ換えを行なう. 各小領域での並べ換えが互いに独立になるようにすることが,という置換を用いたことに対応する. 以下分割で得られた小領域のなかで, この操作を繰り返す.

分割して得られた$\dot{b}$$b$$\pi_{jz:\mathrm{j}1}$

点鼻の random shifi

上一様分布するベクトルとして,(mod 1) とする. つまり, もとの点列を–斉にある方向に平行移動させて, 領域 $[0,1)^{s}$ からはみ出した点については, 周期性条件によって $[0,1)^{s}$ 内に引きもどす.
$\mathrm{u}$を$[0,1)^{s}$$\mathrm{x}_{i}=\mathrm{z}_{i}+\mathrm{u}$$\{\mathrm{z}_{i}\}$以上の確率変動を $M$ 回独立に繰返し, それによって得られた積分の計算値をとし, これらから積分 の推定値$\hat{I}^{(1)},$$\ldots,\hat{I}^{(M)}$$I$$\overline{I}=\frac{1}{M}\sum_{j=1}^{M}\hat{I}^{(}j)$,(6)

を求める. また, 各計算値から誤差の推定値として分散$\hat{\sigma}^{2}=.\frac{1}{\mathrm{J}^{J}I(\lambda f-1)}\sum_{j=1}^{l\iota f}(\hat{I}^{(}j)-\overline{I})^{2}$,$(\overline{(})$

を計算する.

4

数値実験[1] で提案されている多次元数値積分の試験関数を用い, 前節で述べた手法について, 推定量の精度と, 誤差評価の有効性を検証した. 使用した関数は以下の通りであり, 積分区間は $[0,1]^{s}$である. 各関数は次元で定義されており,数の特徴が記されている$s$$\mathrm{x}=(X_{1}, \ldots, X_{S})$’$f_{1}(\mathrm{x})$$=$$\cos(2\pi \mathrm{t}\iota 1+\sum_{j=1}C\iota_{J}x_{j})$$f_{2}(\mathrm{x})$$= \prod_{j=1}(a_{j}^{-2}+(x_{j}-u_{j})^{2})$.

である. 各関数の後ろにはその関(Oscillatory)(Product Peak104

んで$1_{x_{1}>u_{1}}$(Corner Peak)$f_{3}(\mathrm{x})$$=$$f_{4}(\mathrm{x})$$= \exp(-\sum_{j=1}^{\text{ヨ}}o_{j}^{2}(Xj-u_{j})^{2})$$f_{5}(\mathrm{x})$$= \exp(-\sum_{j=1}a_{j}|Xj-u_{j}|)s$$f_{6}(\mathrm{x})$$= \exp(-\sum_{=j1}^{l}aj^{X_{j}})1>u11x1x2>u_{2}$$(1+ \sum_{j=1}a_{jj}X)^{-S}-1$

は $x_{1}>u_{1}$ なるは $[0,1)$ 上の–様乱数であり,$x_{1}$$a_{j}$$(C_{0})$の領域で 1, 他で$0$(Discontinuous)となる関数である ($1_{x_{2>u_{2}}}$も同様)

は $[0,1)$ 上の–様乱数をそれぞれの五に対して,となるように規格化した. 規格因子である$h_{k^{S^{-\mathrm{e}_{k}}}}$(Gaussian)$(h_{k})=(110,600,600,100,150,100)$ とした$e_{k},$$h_{k}$

については,.

$u_{i}$$\Sigma_{j=1j}^{s}a--$$(e_{k})=(1.5,2,2,1,2,2)$ ,([1] で推奨している値をそのまま使った) .

$a_{j}$のは関数の対称性による影響を除くためのものである.
値が大きいほど数値積分は難しくなる. .
を 10 組与え, それぞれの組で決まる $f1$ について 30 回の scram10 次元の $fi$ に対して,.
ble や random shift を行なって式 (6) によって推定値を求めた. 差異の小さい砲列としては,$u_{j}$$a_{j},$$u_{j}$による $(t, m, s)$ -net を用いた.
Faure , Sobol’ 列, および Larcher etscramble と random shift の実装は以下のように行なった. scramble では, 各座標毎, 各桁$\mathrm{a}1.[2]$$F^{1}\mathrm{J}$毎に置換を割り当てるのだが, 第 2 桁目以降は, その上位桁のとる値毎に互いに独立な置換を割り当てなければならない. 利用した $(.t, m, s)$ -net は 進で小数点以下 $m$ 桁の数なので, $m$ 繋目まで置換を行なうとして, 1 回の scramble に必要な置換の総数は, $s\cross(1+b+b^{2}+\cdots+b^{m}-1)=$$b$$s(b^{m}-1)/(b-1)$ である. 各向毎に,これらの置換を最初に発生させて配列上に記憶して, 各サンプル点毎に小数点以下の各桁に対応する置換を配列上で探索して scramble した点を求めた.
random shift は各回の実行毎に $[0,1-]^{s}$ のランダムベクトルを 1 個発生させて計算を行なった.
について, 積分のサンプル点数を横軸にとり, scramble や ran図 1 では各試験関数 $fi,$$f_{6}$$\ldots,$の 10 組について平均値をと
dom shift して得られた積分推定値の相対誤差を, パラメータ ,りプロットした. Faure 列と Sobol’ 列の問には顕著な相違は見られない. Larcher et al による $(t, m, s)$ -net は, この実験に関しては, サンプル点数の増加に伴う精度の向上が見られない場$a_{j}$$u_{j}$合があった.
また, 誤差推定の有効性の検証については, 各$f_{k}$についてパラメータの値を 1 つ固定して,Fuare 列と Sobol’ 列についてのみ行なった. 図 2, 3 では横軸にサンプル点数をとり, scramを誤差の推定値としてble と random shift 双方について式 (7) で得られた を用い,$\hat{\sigma}$を表示した. 点線は積分の真値である. 真値が$\overline{I}\pm 3\hat{\sigma}$$3\hat{\sigma}$$\overline{I}\pm 3\hat{\sigma}$の範囲に入っていることが観察される.

こFaure 列のほうが Sobol’ 列よりも精密な誤差推定を与えた. また, scramble と random shift を比較すると scraenble のほうが誤差推定が精密であった.の実験に関しては,

5

考察課題
準モンテカルロ法に対する 2 つの確率的誤差評価の数値実験結果を報告した.

比較すると,

2 つの手法をどちらの方法でも実験的には誤差の推定には成功しており, 今回の実験結果のみからは, 誤差推定精度 (標本分散の小ささ) は scramble のほうが良好であることが観察された.

scraenble は実行に際してサンプル点数に比例して増大する多大な記憶領域と, その領域上での探索のための計算時間が必要であるのに対し, random shift は余計な記憶領域を必要
しかし,105としないし, 必要な計算時間も少い. この点を考慮すると, 推定法として random shift は有効であると考えられる.
手法の理論的根拠については, random shift については, 個々の推定値が互いに独立になると考えられるので, 標本分散による推定法は妥当であろうと考えられるが, scramble については, 推定値の独立性や, 中心極限定理の成立について, 少くとも [5] では明らかにされていな[4] では, scramble による積分の 2 乗誤差の期待値を, Haar 関数を拡張した b-adic Haar関数を用いて解析している. 簡単のため, 1 次元 -adic Haar 関数を示すと, それは次のような$b-1$ を次のように定義する.
ものである. まず, $[0,1]$ 上の 個の関数
$C=0,1,$い.

$\mathrm{b}$$b$$.\psi_{\text{。}}(x),$$\sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{b}}$,$\ldots,$$\frac{c}{b}\leq x.<\frac{c+1}{b}$,(8)$\psi_{\mathrm{c}}(_{X)}=\{$$- \frac{1}{\sqrt{b}}$$\psi_{c}(x)$をもとに,$\psi_{\text{。}}(X)$

を用いて,

$b$

,otherwise.

-adic Haar 関数を次のように定義する : $k\geq 0,0\leq t<b^{k}$ を整数とする.
(9)$\psi_{kt\mathrm{c}}(_{X})=b^{\frac{k}{2}}\psi_{c}(b^{k}x-t)$とする. 被積分関数をこの関数系$\{\psi_{ktc}\}$で展開し, 基数$b$の $(t, m, s)$ -net をサンプル点として数はになる. この事実を利用しの値が $m-t$ 以下であるて, 数値積分の 2 乗誤差の期待値を計算しているのが [4] である. さらに, この -adic Haar 関数の展開係数がある速度で減衰するような関数のクラスに限定して, 誤差解析を行なった研究が値積分を行なうと, 展開項中の$k$$\psi_{ktc}$$0$$b$いくつか報告されている.
今回の数値実験で観察されたいくつかの事実の説明や, あるいは,2 つの推定法 (randomshift と scramble) の間になんらかの関係があるのか, などの問題について, このような b-adic

Haar 関数を利用する誤差解析の手法を用いることは今後の課題である.

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No. 464, Departnlent of Statistics, Stanford University, September 1994.
$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{l}\backslash .\cdot$

106

相対
誤差

相対
誤差(a)

$f_{1}$(b)$f_{2}$(d)$f_{4}$(f)$f_{6}$

相相対対
誤誤差差

(c)

$f_{3}$

相相対対誤誤誤差差{.

$\mathrm{e})f_{5}$

図 1: Faure 列,Sobol’ 列, Larcher net の scramble と shift による相対誤差107$4\alpha$推
定誤差$\mathrm{f}\mathrm{m}[]\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{m}’-$$rs5\infty|\overline{|6}\mathrm{a}\mathrm{b}a’-7\mathrm{a}\mathrm{e}\cdot \mathit{0}1-$$\mathrm{o}n|$$0\infty$$0\cdot u\triangleleft S35.\mathrm{I}_{\}\iota\ldots....-\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots-}.-\cdot--..arrow-\iota..-\ldots\ldots\ldots\ldots-\ldots.-\ldots.-\ldots\ldots.-\cdots\ldots\ldots--\dagger$$\mathrm{o}\alpha_{0}$$- \mathrm{K}$

$m$

(a)

標本点数
$6\mathrm{m}$$f_{1}$$\infty\infty$$\mathrm{t}\mathrm{R}$$|\mathrm{a}\mathrm{m}$$m\mathfrak{v}$scramble

(b)

推推
疋
誤

$\mathrm{s}0\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{b}a\overline{*\mathrm{q}\mathrm{r}m}^{1}\overline{-}$疋’誤差$\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{r}$$l.1371537–$$\mathrm{t}\mathrm{t}5\omega$I$9\mathrm{t}i\mathrm{m}$$f_{1}$

random shift$l|[] 5\infty$$911\mathrm{m}$$\not\equiv 911\mathrm{m}$.

$-$$\rho(\mathrm{a}\mathrm{e}\infty$$,1\mathfrak{W}$$9.,\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{e}\infty 9|\mathrm{m}l1\infty|11\mathrm{a}w\mathrm{D}\infty\cdot\cdot l\cdot\cdot\cdot-\cdot----\urcorner-\cdots\cdot\tau\cdots\cdots\cdot--arrow\cdots\cdot\cdot-|^{\overline{\iota}\cdot\cdot\cdot\cdots\cdot\cdot\cdot\cdot\cdots\cdot\cdots\cdot\cdot-\cdot-\cdots\cdot-}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdot\cdot\cdotarrow\cdot$$,|\mathrm{a}(\mathrm{n}$$9\mathrm{t}m$$911500$$\mathfrak{g}\{(5\infty$$9110\omega$$0111$$91\mathrm{o}\mathrm{e}\infty$$9\dagger 05\mathrm{m}$標本点数$9\iota \mathrm{m}$$0$$n\infty$$\mathfrak{m}0$$\mathrm{R}$$\Re\infty$$1\mathrm{R}$$1\mathfrak{N}\mathrm{D}$$1i0\infty$$1\infty\infty$$9\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{m}_{0}$$\mathrm{a}\infty$(c) , scramble$\mathfrak{m}0$(d)$f_{\wedge}$$\alpha \mathfrak{w}$$f_{2}$$\infty\infty$$\uparrow \mathfrak{m}$$12\mathfrak{m}$$|\mathrm{r}\mathrm{m}$ramdom shift$\mathrm{m}$推
定誤差$:S\triangleright 06$$.–$

L-\sim 3s-$\ell\simeq\-$$15[] 06$

標本点数

$1*\mathrm{o}\mathrm{e}_{0}$$\mathrm{m}$$1\mathrm{M}$(e)$\mathrm{s}\infty$$f_{3}$$m\mathrm{o}$$\{\alpha m$$12\mathfrak{m}$scramble

図 2: Faure 列,$l[] 0\infty$$1\infty \mathrm{m}$(f)$f_{3}$

random shift

Sobol’ 列の scramble と shift による誤差推定 (1)

10

標本点数

108

$\alpha n$推定$\alpha 1ae$

誤差$\alpha\dagger\sim$.

$\alpha|u$$\phi.|$$\alpha[][] 7s$$0.1\pi$

標本点数$\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{W}$’(a)$f_{4}$

scrammble$\mathrm{m}$$m$$\mathrm{m}$$\omega$$\mathrm{t}0$$|m\mathrm{n}$(b)$f_{4}$

random shift(d)$f_{5}$

random shift(f)$f_{6}$

random shift$(\mathrm{r}\mathfrak{m}$.

$05\iota[]$$\mathrm{i}7\text{購_{}\dot{\eta}\dot{\mathrm{m}_{1}\mathrm{t}5\mathrm{B}}’}^{\mathfrak{g}arrow}\mathrm{w}$.

$\wedge 3\not\in j\mathrm{E}\neq\neq-- \mathrm{r}$$\mathrm{A}5l66$.
$05|\epsilon.\iota\:\cdots\cdot-\cdot\cdot---\cdot-.-\cdots\ldots.-\cdots.arrow-4\ldots..-\cdot-\ldots.-\cdot\cdot-\cdot--\cdot-\cdots\cdots-arrow-l$$0\mathrm{J}7\mathrm{s}5$05750$20\infty$$\mathrm{r}$(c)$\epsilon \mathfrak{m}$$f_{5}$$w\mathrm{n}$}標本点数$(\mathrm{m}$$12\mathfrak{m}$$\mathrm{t}\mathrm{t}0\omega$$1\infty\infty$

scramble

0.035$3(70^{\cdot}|\mathfrak{k}6\mathrm{s}\eta \mathrm{r}_{7_{9}\alpha-}\mathrm{s}_{56}^{w}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{q}M|5u\mathrm{o}|m.,\cdot--$$\wedge j\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\Xi}\ \neq_{\Rightarrow}\mathrm{o}w$$\mathrm{i}\not\in\not\in\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{差}$$0.033$.
$\prime 00,\Re_{1}-\lrcorner’.\cdot;^{|-|\cdots\cdot\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdot\cdots\cdots-}.\mathrm{i}\cdots\cdots\cdots\cdot\cdot-\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdot\cdot-\cdots\cdots\iota\cdots\cdot:\cdot$$0\mathfrak{B}$$0\alpha 8$

o.ae

標本点数
$0$

$20\infty$$i\alpha 0$(e)$60\infty$$f_{\grave{\mathrm{b}}}$$\mathrm{r}\mathrm{m}$$1\mathrm{R}$$12\mathfrak{M}$scramble

図 3: Faure 列,$\mathrm{t}\mathrm{t}\mathfrak{m}$$\mathrm{t}\mathrm{R}$Sobol’ 列の scramble と shift による誤差推定 (2)$\mathrm{t}0$