89

ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討
共同研究 6

W.S.Jevons による価格変動の実証分析の再検討：物価指数概念の背景について

ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討
西尾
敦
中野 聡子

1 ．はじめに
M.S. Morgan はその著書（ 1 ）の第 1 部において景気変動分析の歴史を解説し，冒頭の節を1875
年に発表された William Stanley Jevons（1835‒1882）の太陽黒点説（ 2 ）にあて，これを黎明期の研究として取り上げている。
Jevons は18世紀後半から19世紀のイギリスでみられたほぼ10年を周期として繰り返される恐慌（crisis）の原因を自然現象に求め，ほぼ同じ周期（ 3 ）を持つ太陽活動が，天候に影響を与え，さらに農業生産，農産物の価格へと順にその影響が及び最終的に経済活動全般の周期性を生み出すと信じた。Jevons は，このアイデアを証明するべく，データを探し求めたが，思うようなものが得られなかった。彼は，それは複雑化した近代社会では農業生産は様々な要因の影響を受けるからであると考え，古い時代では経済が単純であるから，より直接的に太陽活動の影響を受けるであろうとの理由で中世に注目し，Rogers によって編集された（ 4 ）イギリスにおける13−14世
紀の各種穀物価格の膨大なデータ（ 5 ）を用いて，農業生産に11年周期があることを証明しようとした（論文Ⅵ）。しかしながら，Jevons は後に，この論文で用いた「方法」で， 3 年， 5 年， 7
年， 9 年さらには13年の周期性も11年周期と同様に「Rogers データ」にあてはまった，としてこの論文（論文Ⅵ）を取り下げてしまった（ 6 ）。Jevons は，論文Ⅵの後にも「太陽黒点説」にこだわり続けて， 2 編の論文を書いた（ 7 ）。
太陽黒点と経済活動の周期性の間に何らかの関連を見いだそうとする試み，すなわち「太陽黒点説」は，Jevons が経済学あるいは経済統計学においての他の業績によってすでに名声を獲得⑴

Morgan, M.S. The History of Econometric Ideas, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1990⑵

The Solar Period and the Price of Corn, 1875, Foxwell, H.S. Investigation in Currency and Finance,
Macscimillian, London, 1884, 2nd.Ed. 1909に論文 VI pp.175‒186 として収録，以後「論文VI」と呼ぶ。

⑶

現代では，ほぼ11.1年とされている。

⑷

Rogers, J.E.T. A History of Agriculture and Prices in England, Oxford, Clarendon Press, 1866⑸

以後，「Rogers データ」と呼ぶ。

⑹

Jevons, Commercial Crises and Sun-Spots, Part I, 1878, 前述 Foxwell 1909, に論文Ⅷ pp.201‒221 として収録，以後「論文Ⅷ」。
⑺

Jevons, The Periodicity of Commercial Crises and Its Physical Explanation, 1878, 前述 Foxwell 1909, に論文Ⅶ pp.187‒200 として収録，以後「論文Ⅶ」。および論文Ⅷ。

90

研 究 所 年 報

していたにもかかわらず，同時代の研究者の間で荒唐無稽であるとして概して不評であった。また，その後の統計学，計量経済学の歴史の中でも，太陽黒点説はあまり注目されることがなく，とりわけ論文Ⅵは「著者も認めた誤りである」として「片付け」られているようである（ 8 ）。
Jevons が「誤った」理由は，偶然変動に起因する「見かけの事実すなわち周期性」を発見してしまったことである。このことは，Jevons にすくなくとも論文Ⅵにおいて「確率論的視点」
すなわち「有意性」の概念がなかったことが原因であると思われる。
Jevons が「誤った」理由は、偶然変動に起因する「見かけの事実すなわち周期性」を発見してしまったことである。このことは、
Jevons にすくなくとも論文 VI において「確率論的視点」す
現代の統計学には，データの整理・記述あるいはモデルによるデータの背景の記述という側
なわち「有意性」の概念を持っていなかったことが原因であると思われる。
面と，理論仮説のデータに基づく検証の２つの側面がある。後者を一言に要約すれば，データが現代の統計学には、データの整理・記述あるいはモデルによるデータの背景の記述という側面と、示す結果が偶然変動によるものか否かを確率を用いて判断することである。現代の統計的検定の理論仮説のデータに基づく検証の２つの側面がある。後者を一言に要約すれば、データが示す結原型を，不十分ながら確立したのは Edgeworth である（ 9 ）。それに10年先だって発表された論文
果が偶然変動によるものか否かを確率を用いて判断することである。現代の統計的検定の原型を、で Jevons が犯した誤りは「教訓的」である。彼の時代から 1 世紀余りを経た現代の（初歩的な）不十分ながら確立したのは Edgeworth である9 。それに 10 年先だって発表された論文で Jevons
方法と道具（コンピュータ）を用いて再解析を行うと，その解析のどこが問題であり，どの点がが犯した誤りは「教訓的」である。彼の時代から１世紀余りを経た現代の（初歩的な）方法と道具評価できるかがあぶり出されてくる。ひいては，なぜ統計的検定が必要であるか，またモデルす(コンピュータ）を用いて再解析を行うと、その解析のどこが問題であり、どの点が評価できるか
なわちデータの得られる背景に依存して様々な方法が必要となるのかが明らかになる。本稿では，があぶり出されてくる。ひいては、なぜ統計的検定が必要であるか、またモデルすなわちデータ「Rogers データ」の現代的な解析例を示し，Jevons の解析を評価することを目的とする。また，の得られる背景に依存して様々な方法が必要となるのかが明らかになる。本稿では、「Rogers デー
その過程で，適切な統計解析が必要とされる理由を初学者が理解するための好例が，副産物としタ」の現代的な解析例を示し、Jevons の解析を評価することを目的とする。また、その過程で、適切な統計解析が必要とされる理由を初学者が理解するための好例が、副産物として得られたとて得られたと思う。
思う。

2 ．季節変動の分析

季節変動の分析2

Jevons は太陽黒点説に取りかかる前に，経済活動の周期的変動の解析に関して，すでに実績
Jevons は太陽黒点説に取りかかる前に、経済活動の周期的変動の解析に関して、すでに実績ががあった（10）。そこでの「周期変動」は，カレンダーに依存する制度（あるいは気候）に起因すあった10 。そこでの「周期変動」は、カレンダーに依存する制度（あるいは気候）に起因する「季る「季節変動」が中心であった。この場合，周期は「年」あるいは「四半期」であり，データは
節変動」が中心であった。この場合、周期は「年」あるいは「四半期」であり、データは月次ある
月次あるいは四半期を最小単位として得られる。Jevons は「季節変動」のパターンが，その他
いは四半期を最小単位として得られる。 Jevons は「季節変動」のパターンが、その他の不規則なの不規則な「変動」よって覆われ，不明瞭になっていると考え，「サイクル内の同じ位置」（周期「変動」よって覆われ、不明瞭になっていると考え、「サイクル内の同じ位置」（周期が年であればが年であれば同じ月あるいは四半期）ごとの平均を取ることによって，不規則変動を消し去るこ
同じ月あるいは四半期）ごとの平均を取ることによって、不規則変動を消し去ることができるととができると考えた。現代風に表現すれば，観測系列
xt, t = 1, ... のモデルはxt , t = 1, ... のモデルは考えた。現代風に表現すれば、観測系列

xt = μ + Sm(t) + et(1)と表される。ここで、t は形式的な時刻 (たとえば「月」) の通し番号、m(t) は t に対応する「月」⑻ 例え
は Statistical Visions
in Time Series̶A SHistoryof Time Series Analysis 1662‒1938,
etば，J.Klein
は不規則変動を表す項、μ は全体平均でありの番号、
j 、j = 1, . . . , p, は季節成分 であり、
�p Cambrige, Cambridge Univ.Press, 1995. のなかで Jevons の研究に多くのページを割いているが，おそらく
j=1 Sj = 0 と仮定する。 また p は周期であり月次データの場合 p = 12。現代の季節変動モデ
Jevons 自身が取り下げたという理由であろうか，論文Ⅵについては全く言及がない。

μ = μt F.Y.
は時刻
t と伴に緩やかに変動する
趨勢変動成分である。なお、時系列を各成分
ルでは、⑼ Edgeworth,
Methodsof Statistics, Jubilee Volumeof the Statistical Society, pp.181-217, 1885⑽ On the Study of Periodic Fluctuations Commercial, 1862, 前述 Foxwell 1909,Jevons
論文Ⅰの時代にはまpp.1‒12. On theに「分解される」とみなし、これを移動平均によって「推定」することは9 Frequent Autumnal Pressure in the Money Market and the Action of the Bank of England, 1866, 前述
10

Edgeworth, F.Y. Methods of Statistics, Jubilee Volume of the Statistical Society, pp.181-217, 1885
Foxwell
1909 of
論文Ⅴ
pp.151‒174.
など。
On
the Study
Periodic
Fluctuations
Commercial, 1862, 前述 Foxwell 1884, 論文 I pp.1–12.

On the Frequent Autumnal Pressure in the Money Market and the Action of the Bank of England, 1866, 前述
Foxwell 1884, 論文 V pp.151–174. など

2

「変動」よって覆われ、不明瞭になっていると考え、「サイクル内の同じ位置」（周期が年であれば同じ月あるいは四半期）ごとの平均を取ることによって、不規則変動を消し去ることができると考えた。現代風に表現すれば、観測系列 xt , t = 1, ... のモデルは

xt = μ + Sm(t) + et
ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討(1)91と表される。ここで，tは形式的な時刻（たとえば「月」）の通し番号，m（t）はt に対応すると表される。ここで、t は形式的な時刻(たとえば「月」) の通し番号、
m(t) はt に対応する「月」..., は季節成分
p, は季節成分であり，「月」の番号，et は不規則変動を表す項，μは全体平均であり
j ，j
μ は全体平均であり Sj 、jS=
1, .=1,. . , p,であり、の番号、et は不規則変動を表す項、
�pと仮定する。 またppは周期であり月次データの場合は周期であり月次データの場合 pp ==1212。現代の季節変動モデ。現代の季節変動モデ
j=1 Sj = 0 と仮定する。またμt は時刻は時刻 tt と共に緩やかに変動する趨勢変動成分である。なお，時系列が各成分にと伴に緩やかに変動する 趨勢変動成分である。なお、時系列を各成分
ルでは、μ =
ルでは，μ=μtに「分解される」とみなし、これを移動平均によって「推定」することは Jevons「分解される」と仮定し，これらを移動平均によって「推定」することはJevons の時代にはまの時代にはまだ明瞭に意識されていない。
(1) 式で表されるモデルが正しければ、m(t) の値ごとにデータをグ
9
Edgeworth, F.Y. Methods of Statistics, Jubilee Volume of the Statistical Society, pp.181-217, 1885
11
”ープごとの平均によって S を推定することができる（だ明瞭に意識されていない。⑴式で表されるモデルが正しければ，m（t）の値ごとにデータをグ
ル10”ープをほぼ消し去るOn the化し、各グル
Study of Periodic
Fluctuations
Commercial,j 1862, 前述 Foxwell 1884,
論文
Ietpp.1–12.
だ明瞭に意識されていない。
(1)式で表されるモデルが正しければ、m(t)の値ごとにデータをグ（11）
On
the Frequent
Autumnal
Pressure
in theは、このようにして（
Money Market S
and
the μ
Actionof theBank of England,
1866, 前述
+ Sm(t)によって表される）季節
ことができる（大数法則））。 Jevons
11ープ”ープごとの平均によって化し，各グル″ープごとの平均によってをほぼ消し去ル″
j を推定することができる（et化し、各グル
Sj を推定することができる（
et をほぼ消し去るル”ープ

Foxwell 1884, 論文 V pp.151–174.
など
12変動パターンを抽出した 。

t）によって表される）季節
ることができる（大数法則））。Jevons
は，このようにして（μ+S
は、このようにして（
μ + Sm(t)m（によって表される）季節
ことができる（大数法則））。 Jevons
ところで、(1) のようなモデルの妥当性は、次のように検証できる（よく知られた１要因モデル
（12）
12 。
2
。
変動パターンを抽出した
変動パターンを抽出したの分散分析法）。日本の名目 GDP 系列 (2006 –2010 年、四半期系列) を例にとる。

ところで，⑴のようなモデルの妥当性は，次のように検証できる（よく知られた
1 要因モデル
ところで、(1) のようなモデルの妥当性は、次のように検証できる（よく知られた１要因モデル

GDP
系列(2006 –2010 年、四半期系列) を例にとる。
の分散分析法）。日本の名目の分散分析法）。日本の名目GDP
系列（2006−2010
年，四半期系列）を例にとる。

121.3

124.1

122.1

130.9

122.9124.1
126.3122.1
123.9 130.9
134.2
2004 2006
121.3
128.5

125.5

126.6

126.2

122.2

平均

123.8

126.1

123.3

135.1

121.5

125.2

122.8

132.2

122.9

126.3

123.9

134.2

126.5

128.5

125.5

135.1

130.0

124

2007

126.5

2008

132.5

122

2006

2007

GDP

2005
121.5Qtr2
125.2 Qtr3
122.8 Qtr4
132.2
Qtr1

2005

図1

132

Qtr4
GDP

2004

Qtr3

126 122128 124 130 126 132128 134130

GDPQtr2
表 1Qtr1134

表 1 GDP
表 1 GDP

2004

2005

2006

GDP

2007

2008

図 1 GDP
2004

2005

2006

2007

2008

126.6 1126.2
122.2 130.0
表2008
1 は，各行が周期すなわち各列がそれぞれ第1 四半期，第 2 四半期， に対応するように
表 1 は、各行が１周期すなわち各列がそれぞれ第１四半期, 第２四半期, . . . に対応するように
図 1 GDP
平均 123.8 126.1 123.3 132.5
データを配置した表である。これをチャート化した図1
では，同じパターンが繰り返されている
データを配置した表である。これをチャート化した図1 では、同じパターンが繰り返されている様子が明瞭である。（⑴で誤差項に独立同一な正規分布を仮定する）素朴なモデルでは，分散分（(1) で誤差項に独立同一な正規分布を仮定する）素朴なモデルでは、分散様子が明瞭である。
13
表 析の結果は，表1分析の結果は次のような表（表は、各行が１周期すなわち各列がそれぞれ第１四半期, 第２四半期, . . . に対応するように（13）2）にまとめられる。
2 にまとめられる

季節指数 S , j = 1, 2, 3, 4 の有意性（すなわちグル”1
ープ平均の差が偶然ではないこと）の程度
データを配置した表である。これをチャート化した図では、同じパターンが繰り返されている
季節指数 Sjj, j =1, 2, 3, 4 の有意性（すなわちグル″ープ平均の差が偶然ではないこと）の程度は，
は、表中の
F
に対応する
p値によって判断される。この場合、p-値は 6 × 10−6 であるから高度様子が明瞭である。 （(1) で誤差項に独立同一な正規分布を仮定する）素朴なモデルでは、分散表中の F に対応する p- 値によって判断される。この場合，p- 値は 6 ×10− 6 であるから高度に有に有意である。
分析の結果は次のような表（表2）にまとめられる13意である。
Jevons は、その論文において月平均のみを記している14 。論文の記述だけからは誤差分散を知季節指数 Sj , j = 1, 2, 3, 4 の有意性（すなわちグル”ープ平均の差が偶然ではないこと）の程度
さて Jevons は，その論文において月平均のみを記している（14）。論文の記述だけからは誤差分ることができず「季節平均」の有意性は判定できない。しかしながら、季節変動は一般に経済デー
は、表中の F に対応する p-値によって判断される。この場合、p-値は 6 × 10−6 であるから高度
タにおいて顕著であり、多くの場合上の例のように高度に有意になるので、 Jevons はおそらくは
散を知ることができず「季節平均」の有意性は判定できない。しかしながら，季節変動は一般にに有意である。
有意な季節性を導き出しているものと推察できる
経済データにおいて顕著であり，多くの場合上の例のように高度に有意になるので，Jevons
はJevons は、その論文において月平均のみを記している14 。論文の記述だけからは誤差分散を知おそらくは有意な季節性を導き出しているものと推察できる。
ることができず「季節平均」の有意性は判定できない。しかしながら、季節変動は一般に経済デー

タにおいて顕著であり、多くの場合上の例のように高度に有意になるので、Jevons はおそらくは
11
本稿では、カタカナ化した外来語について、ラ行で表記される音のうち原語で ”r”に相当するものには濁点をつけ⑾
本稿では，カタカナ化した外来語について，ラ行で表記される音のうち原語で “r” に相当するものには”l” の音と区別した。
有意な季節性を導き出しているものと推察できる
たとえば、論文
I の plate I, pp.11
濁点をつけ“l” の音と区別した。
13
12

10 節、参照⑿ 14 論文
たとえば，論文Ⅰのplate など
I, p.11。
I, p.9-10, 論文 V, p.163⒀
11

10節，参照。

⒁ 論文Ⅰ，pp.9-10, 論文Ⅴ，p.163 など。
3
本稿では、カタカナ化した外来語について、ラ行で表記される音のうち原語で”r”に相当するものには濁点をつけ”l” の音と区別した。
12
たとえば、論文 I の plate I, pp.11
13
10 節、参照14
論文 I, p.9-10, 論文 V, p.163 など

92

研 究 所 年 報
表 2 分散分析表（GDP データ）
表 2 分散分析表（GDP データ）

要因

変動

自由度

不偏分散

F

p-値

季節性

268.31

3

89.44

22.11

誤差

64.73

16

4.05

6 × 10−6

全体

333.0419「Rogers
データ」の11 年周期性の分散分析
33 ．
「Rogers
データ」の11 年周期性の分散分析
Jevons は、太陽活動の農業生産への影響を傍証するため、「Rogers データ」に見られる（はずJevonsは，太陽活動の農業生産への影響を傍証するため，データ」に見られる（は11 年周期性を立証しようとした(論文 VI)。データは、小麦 「Rogers(wheat)、大麦(barley)、オートの）麦 (oats)、豆 (beans)、エンドウ豆 (peas)、 カラスノエンドウ(vetches)、ラ”イ麦 (rye)の 7 種15 に ，ずの）11年周期性を立証しようとした（論文Ⅵ）。データは，小麦（wheat），大麦（barley）

1400 年までの価格系列である。
Jevons は、各系列についてから 1314
年 イ麦ついての 1259 年から
オート麦（oats），豆（beans），エンドウ豆（peas），カラスノエンドウ（vetches），ラ″”ープ（サイクル第１年）の値を取り除いた上で、
1259
年の価格
,
1270
の価格
,
.
.
.
と続く第１グル、（rye）の 7 種（15） についての1259年から1400年までの価格系列である。Jevons は，各系列から”1260 年の価格、1271 年の価格、. . . と続く第２グル ープ（サイクル第２年）, . . . 、というように、
1314年の値を取り除いた上で，1259年の価格，1270の価格，と続く第 1 グル″ープ（サイクル「サイクル年」ごとの 11 グル”ープに分け、季節性の分析と同じようにグル”ープごとの平均値を求第1 年），1260年の価格，1271年の価格，
， ，とい
めた。表
3 は、これをまとめたものである。 と続く第 2 グル″ープ（サイクル第 2 年）

うように，「サイクル年」ごとの11グル″ープに分け，季節性の分析と同じようにグル″ープごと
表 3 「Rogers データ」の周期性（ Jevons ）の平均値を求めた。表 3 は，Jevons の集計結果である。
表 3 「Rogers データ」の周期性（Jevons）

1259

1260

1261

1262

1263

1264

1265

1266

1267

1268

1269

Wheat

1486

1572

1571

1455

1486

1411

1371

1295

1317

1535

1495

Barley

1021

1041

1111

979

1017

1010

1030

964

902

1036

1058

Oats

586

609

685

593

627

610

572

578

556

627

598

Rye

1039

1294

1142

1003

1175

1034

1148

1027

977

1117

1046

1050 1116 1130 1005 1034
982
995
911
899 1016
996
ここでは、小麦価格系列を取り上げて、季節性の例にならって１要因モデルを考え、 Jevons が行わなかった方法（分散分析法）で 11 年周期性の検証を行ってみよう。
15

前出 Rogers の vol,1 pp.236-44. 原資料にはこの７種の他 drage （日本名不明）、２種のモルト（麦芽）の合計 10

系列が記されている。このうちモルトについては欠測が多いため分析が困難であったものと考えられるが、 drage の欠測の状態は採用された系列と同じ程度である。これらを除いた理由は論文に記述されていない。

4

ここでは，小麦価格系列を取り上げて，季節性の例にならって 1 要因モデルを考え，Jevonsが行わなかった方法（分散分析法）で11年周期性の検証を行ってみよう。
⒂ 前出 Rogers の vol,1 pp.236-44. 原資料にはこの 7 種の他 drage（日本名不明）， 2 種のモルト（麦芽）の合計10系列が記されている。このうちモルトについては欠測が多いため分析が困難であったものと考えられるが，drage の欠測の状態は採用された系列と同じ程度である。これらを除いた理由は論文に記述され
ていない。

93

ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討

1340

Group Average

1550
1500
1450

1550
1380

1400

1260

1360

1380

1400

1262

1264

1266

1268

Group’s Starting Year1300

図 2 小麦価格
1320

1360

1350

1280

1300

1340

1400

Group AverageGroup Average
1260

1320

サイクル内年平均（小麦価格）

図 3 サイクル内年平均

1300

1300

1450 14001500 1450 1550 1500
1350

4000

3000

3500

2500

3000

2000

2500

1500

2000

1000

1500
1000

4000
3500

Wheat

2500
3000
Wheat

Wheat

2000
1500

1280

1000

1260

図3

1350

小麦価格

3500

図2

1400
1300

4000

原系列をプロットすると、図 22 を得る。これには、図1 のような明瞭な周期性は観察されない。
原系列をプロットすると，図を得る。これには，図1 のような明瞭な周期性は観察されない。
原系列をプロットすると、図2 を得る。これには、図 1 のような明瞭な周期性は観察されない。
”
しかし、サイクル内年のグル 2ープ毎に平均を求めプロットすると、図3 のようになる。こちらの原系列をプロットすると、図を得る。これには、図1のような明瞭な周期性は観察されない。
しかし，サイクル内年のグル″ープごとに平均を求めプロットすると，図 3 のようになる。こち
しかし、サイクル内年のグル”ープ毎に平均を求めプロットすると、図 3 のようになる。こちらの11年を周期とするゆっくりとした変動があるように思われないでもない。
図を一瞥すると”ープ毎に平均を求めプロットすると、図 3 のようになる。こちらの
しかし、サイクル内年のグルらの図を一瞥すると11年を周期とするゆっくりとした変動があるように思われないでもない。
図を一瞥すると 11 年を周期とするゆっくりとした変動があるように思われないでもない。
図を一瞥すると 11 年を周期とするゆっくりとした変動があるように思われないでもない。

1260

1260

1262

1264

（小麦価格）

Group’sYear
1264 Starting
1266

1262

1266

1268
1268

図 3 サイクル内年平均
図 2 小麦価格
図3
サイクル内年平均
16
”ープの繰
（16）
定量的にこれを検証するために、分散分析を行ってみる。各サイクル年ごとのグル定量的にこれを検証するために，分散分析を行ってみる。各サイクル年ごとのグル″ープの（小麦価格）
図 2 小麦価格（小麦価格）
り返し数をそろえるために、データは 1259 年から 1390 年までの 132 年分を用いた。結果は表 44 の繰り返し数を揃えるために，データは1259年から1390年までの132年分を用いた。結果は表16 。各サイクル年ごとのグル”ープの繰
定量的にこれを検証するために、分散分析を行ってみるのとおりである。このケースでF = 0.667 に対する p-値は 75%である。図 3 に見られる「サイとおりである。このケースで F=0.667に対する p- 値は75%である。図 3 に見られる「サイクル16 。各サイクル年ごとのグル”ープの繰
定量的にこれを検証するために、分散分析を行ってみる
クル内変動」は全く偶然であるといっても良さそうである。
り返し数をそろえるために、データは1259 年から 1390 年までの 132 年分を用いた。結果は表 4
内変動」は全く偶然であるといっても良い。
り返し数をそろえるために、データは1259 年から 1390 年までの 132 年分を用いた。結果は表 4のとおりである。このケースで F = 0.667 に対する p-値は 75% である。図 3 に見られる「サイのとおりである。このケースで F = 0.667
に対する p-(小麦価格）
値は 75% である。図 3 に見られる「サイ表 4 分散分析表
クル内変動」は全く偶然であるといっても良さそうである。
表 4 分散分析表（小麦価格）
クル内変動」は全く偶然であるといっても良さそうである。
1260

1280

1300

1320

1340

1360

要因
要因
周期変動

要因

1380

Group’s Starting Year

1400

変動

自由度

不偏分散

F

p-値

174

10

17.4

0.667

0.75

表 4 分散分析表(小麦価格）
自由度
F p-値
表
4 分散分析表 (小麦価格）
×1/1000
×1/1000

自由度 不偏分散
F
p-値
26.1
不偏分散
F
p-値
×1/1000
全体
×1/1000
×1/1000
周期変動
174
10
17.4
0.667 0.75
周期変動
174
10
17.4
0.667 0.75
誤差
3162
121
26.1
16
ここでは素朴な分散分析を行うが、このデータには変数間の相関および時系列的な系列相関が存在し、誤差の独立
誤差
3162
121
26.1
4性を仮定する通常の分散分析は、厳密には正しくない。時系列解析では、周期性に関する推測は、古くはピリオドグラ． 2 要因モデルの分散分析―Jevons
全体
3336 の表
131
全体
3336
131
ムに基づく方法、
誤差
要因

変動

3162 自由度121
変動×1/1000
3336
131

Hannan, E.J. Testing for a Jump in the Spectral Function, J. Royal Statistical Society Ser.B, 23, pp.394–404,
1961
前項の解析で，Jevonsが主張する周期性は小麦価格系列において有意ではないと結論した。
16
ここでは素朴な分散分析を行うが、このデータには変数間の相関および時系列的な系列相関が存在し、誤差の独立
あるいは、近年の単位根計量経済学の流れの中で、16
ここでは素朴な分散分析を行うが、このデータには変数間の相関および時系列的な系列相関が存在し、誤差の独立性を仮定する通常の分散分析は、厳密には正しくない。時系列解析では、周期性に関する推測は、古くはピリオドグラ
Gregoir.S, Eﬃcient Test for the Presence of a pPair of Complex Conjugate Unit Roots in a Real Time Series,性を仮定する通常の分散分析は、厳密には正しくない。時系列解析では、周期性に関する推測は、古くはピリオドグラ
ムに基づく方法、
J.Econometrics, 130, pp.45–100, 2006⒃ Hannan,
ここでは素朴な分散分析を行うが，このデータには変数間の相関および時系列的な系列相関が存在し，誤ムに基づく方法、などがある。周期性の分析は、現在も研究が続いているテーマである。
E.J. Testing for a Jump in the Spectral Function, J. Royal Statistical Society Ser.B, 23, pp.394–404,

Hannan,E.J. Testing for a Jump in the Spectral Function, J. Royal Statistical Society Ser.B, 23, pp.394–404,
差の独立性を仮定する通常の分散分析は，厳密には正しくない。時系列解析では，周期性に関する推測は，
1961
1961 古くはピリオドグラムに基づく方法，
あるいは、近年の単位根計量経済学の流れの中で、 5あるいは、近年の単位根計量経済学の流れの中で、
Hannan, Eﬃcient
E.J. Testingfor thea Jumpin theFunction,Conjugate
J.Royal Statistical
Ser.B,
Gregoir.S,
Test forPresenceof aSpectral
pPair of Complex
Unit RootsSociety
in a RealTime23,
Series,Gregoir.S,Eﬃcient
Testpp.45–100,
for the Presence
J.Econometrics,
130,
2006 of a pPair of Complex Conjugate Unit Roots in a Real Time Series,
pp.394‒404,
1961
J.Econometrics,
130, pp.45–100, 2006などがある。周期性の分析は、現在も研究が続いているテーマである。
あるいは，近年の単位根計量経済学の流れの中で，などがある。周期性の分析は、現在も研究が続いているテーマである。
Gregoir, S. Eﬃcient Test for the Presence of a Pair of Complex Conjugate Unit Roots in a Real Time

Series, J.Econometrics, 130, pp.45‒100, 200655などがある。周期性の分析は，現在も研究が続いているテーマである。

２要因モデルの分散分析 – Jevons の表

4

前項の解析で、小麦価格系列には、 Jevons が主張する周期性は有意ではないと結論した。しか２要因モデルの分散分析––– Jevons
２要因モデルの分散分析
Jevonsの表
Jevons が周期性を確信したのは、他の６系列についても同じようなパターンが見られ
444しながら、
２要因モデルの分散分析
Jevonsの表の表
94
研 究 所 年 報
(図 4)。この点を取り入れて考察してみよう。
たことである

図4

表 5 分散分析表（２要因モデル）
表 5 分散分析表（ 2 要因モデル）

サイクル内年平均要因

1000Group1600
Average
14001400
1600
1400
1600
1400
1600

1200

1400

1600

前項の解析で、小麦価格系列には、
前項の解析で、小麦価格系列には、Jevonsが主張する周期性は有意ではないと結論した。しか前項の解析で、小麦価格系列には、Jevons
Jevonsが主張する周期性は有意ではないと結論した。しか前項の解析で、小麦価格系列には、Jevonsが主張する周期性は有意ではないと結論した。しかが主張する周期性は有意ではないと結論した。しかしかしながら，Jevons が周期性を確信したのは，他の 6 系列についても同じようなパターンがしながら、Jevonsが周期性を確信したのは、他の６系列についても同じようなパターンが見られしながら、
Jevonsが周期性を確信したのは、他の６系列についても同じようなパターンが見られしながら、
Jevonsが周期性を確信したのは、他の６系列についても同じようなパターンが見られしながら、 Jevons が周期性を確信したのは、他の６系列についても同じようなパターンが見られ見られたためである（図4 ）。この点を考察してみよう。
図4)たことである図4)。この点を取り入れて考察してみよう。
たことである
図 4)4)。この点を取り入れて考察してみよう。
。この点を取り入れて考察してみよう。
たことである((((図。この点を取り入れて考察してみよう。
たことである
変動

自由度

不偏
不偏
分散
分散

F

p-値

600

10001000 12001200
1000
1200
1000
1200

1260

1262

1264

1266

1268

1266
1266
1266

1268
1268
1268

Group’s Starting Year600 600
600
600

800 800
800
800

GroupGroup
Average
AverageGroupAverage
AverageGroup

800

55 分散分析表（２要因モデル）表
分散分析表（２要因モデル）
穀物 表
427.4
6
71.23 231.40
表
表55 分散分析表（２要因モデル）
分散分析表（２要因モデル） −8
周期性
35.9
10
3.59
11.67 8 · 10
不偏
不偏
誤差
18.5
60
3.08
不偏
要因
変動
p要因
変動
自由度
p値
不偏 FF
要因
変動 自由度
自由度
F
p-値
値
要因 481.8変動 76自由度 分散
F
p-値
分散
全体
分散
分散
427.4
666
71.23
231.4
000
穀物
427.4
71.23
231.4
穀物
427.4
71.23
231.4
穀物
図 4 サイクル内年平均
427.4 10 671.23 231.4 8 · 10−8
0
穀物
−8
周期性
3.59
周期性
35.9
10
3.59
11.67
周期性 35.9
35.9
10
3.59 11.67
11.67 88 ·· 10
10−8−8
周期性
35.9
10
3.59
11.67
8
·
10
誤差
18.5
60
3.08
誤差
18.5
60
3.08
誤差
18.5
60
3.08
表 3 は、一見すると、先に説明に用いた表 1 に似ているが、表
1 においては最下段に配置され
誤差
18.5
60
3.08
全体
76
全体
481.8
76
1260
1262
1264
1266
1268
全体 481.8
481.8
76
全体
481.8
76
3 のように配置されたている「サイクル年平均」が、各行に載せられていることに注意する。表Group’s Starting Year
1260
1260
1260

1262
1262
1262

1264
1264
1264

Group’sGroup’sStarting
StartingYear
Year
Group’s Starting Year

図
図
サイクル内年平均
図 444 サイクル内年平均
サイクル内年平均データで、表の縦横ともに何らかの要因に関連しているとみなす場合、これを２元配置データと
図 4 サイクル内年平均

表 3 は，一見すると，先に説明に用いた表1 に似ているが，表 1 においては最下段に配置され呼ぶ。２元配置データ（
xij ）のモデルは、一般に
表 3 は、一見すると、先に説明に用いた表1 に似ているが、表 1 においては最下段に配置され

表
表 33 は、一見すると、先に説明に用いた表は、一見すると、先に説明に用いた表 11 に似ているが、表に似ているが、表 11 においては最下段に配置されにおいては最下段に配置され
表
3 は、一見すると、先に説明に用いた表 1 に似ているが、表 1 においては最下段に配置されている「サイクル年平均」が，各行に載せられていることに注意する。表3 のように配置されたている「サイクル年平均」が、各行に載せられていることに注意する。表のように配置されたている「サイクル年平均」が、各行に載せられていることに注意する。表のように配置されたている「サイクル年平均」が、各行に載せられていることに注意する。表xij = μ + αi + βj + eij ,i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q 333 のように配置された(2)3 のように配置されたている「サイクル年平均」が、各行に載せられていることに注意する。表
データで，表の縦横ともに何らかの要因に関連しているとみなす場合，これを2 元配置データとデータで、表の縦横ともに何らかの要因に関連しているとみなす場合、これを２元配置データとデータで、表の縦横ともに何らかの要因に関連しているとみなす場合、これを２元配置データとデータで、表の縦横ともに何らかの要因に関連しているとみなす場合、これを２元配置データとデータで、表の縦横ともに何らかの要因に関連しているとみなす場合、これを２元配置データとと表現される。ここで、は、行に配置された要因（われわれのケースでは穀物の種類）の「効i ij）のモデルは，一般に呼ぶ。
2 元配置データ（x呼ぶ。２元配置データ（xxα呼ぶ。２元配置データ（）のモデルは、一般に呼ぶ。２元配置データ（
xijijij）のモデルは、一般に）のモデルは、一般に
�p
果」で
α
=
0
を満たし、
βi は、列に配置された要因（サイクル内年すなわち周期変動）i呼ぶ。２元配置データ（x）のモデルは、一般に
i=1
ij
�q
xβxijjijij=
=
iii=
(2)
=
+
+
+
=
1,
p,
=
1,
(2)
を満たすとする。これを２要因加法モデル（あるいは単に２要因モの「効果」で=0μμμ++αα
αiii++βββjjj ++eeeijijij,,,=1,
1,.........,,,p,p, jjj ==1,
1,.........,,,qqq
(2)
j=1 x
xij = μ + αi + βj + eij ,i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , qデル）という。詳細は省略するが、上に述べた１要因モデルと同様な分散分析ができる。表12 に (2)と表現される。ここで、ααと表現される。ここで，αと表現される。ここで、は、行に配置された要因（われわれのケースでは穀物の種類）の「効i は，行に配置された要因（われわれのケースでは穀物の種類）の「効と表現される。ここで、αiii は、行に配置された要因（われわれのケースでは穀物の種類）の「効は、行に配置された要因（われわれのケースでは穀物の種類）の「効× サイクル内年）２元表（
Jevons の表（表 3）を計算し直したもの。詳細は 8与えられる（穀物���pppと表現される。ここで、αは、行に配置された要因（われわれのケースでは穀物の種類）の「効
i
果」で
α
=
0
を満たし、
β
は、列に配置された要因（サイクル内年すなわち周期変動）
果」で
α
=
0
を満たし、
β
は、列に配置された要因（サイクル内年すなわち周期変動）iiを満たし，βは，列に配置された要因（サイクル内年すなわち周期変動）
果」で
i
i
果」で
α
=
0
を満たし、
β
は、列に配置された要因（サイクル内年すなわち周期変動）ii=1i
節）に、このようなモデルを仮定して行った分散分析の結果が、表5 である。
「穀物価格」要因に
i=1 i
�pi=1
�
�
�=
qqq
果」で
α
0
を満たし、
β
は、列に配置された要因（サイクル内年すなわち周期変動）
β=0を満たすとする。これを２要因加法モデル（あるいは単に２要因モの「効果」でiiβ=0を満たすとする。これを２要因加法モデル（あるいは単に２要因モの「効果」で
j
i=1
j
β
=
0
を満たすとする。これを２要因加法モデル（あるいは単に２要因モの「効果」で
j=1を満たすとする。これを２要因加法モデル（あるいは単に 2 要因モデの「効果」で
j=1
ついて F -値は極めて大きく、当然ながら、穀物の種類間の平均に差があることを意味している。
j=1 j

�q
の「効果」でデル）という。詳細は省略するが、上に述べた１要因モデルと同様な分散分析ができる。表12デル）という。詳細は省略するが、上に述べた１要因モデルと同様な分散分析ができる。表12にデル）という。詳細は省略するが、上に述べた１要因モデルと同様な分散分析ができる。表12 にに
j=1 βj = 0 を満たすとする。これを２要因加法モデル（あるいは単に２要因モ
F がかなり大きく、これも有意であることがわかる。
一方、「周期変動」についてもル）という。詳細は省略するが，上に述べた
1 要因モデルと同様な分散分析ができる。表12に与×
Jevons与えられる（穀物デル）という。詳細は省略するが、上に述べた１要因モデルと同様な分散分析ができる。表1288 に× サイクル内年）２元表（
サイクル内年）２元表（
Jevonsの表（表）を計算し直したもの。詳細は与えられる（穀物
しかし、この結果は「見かけの周期変動」に共通性があることを示しているに過ぎない。真のサイクル内年）２元表（
Jevons の表（表の表（表 3333）を計算し直したもの。詳細は）を計算し直したもの。詳細は与えられる（穀物えられる（穀物×× サイクル内年）
2 元表（Jevonsの表（表）を計算し直したもの。詳細は88節）に、このようなモデルを仮定して行った分散分析の結果が、表555 である。
「穀物価格」要因に節）に、このようなモデルを仮定して行った分散分析の結果が、表である。
「穀物価格」要因に与えられる（穀物× サイクル内年）２元表（
Jevonsの表（表 3）を計算し直したもの。詳細は時系列的な周期性を結論づけるためには、(2) 式のβj で表される「サイクル内変動」が、すべて節）に、このようなモデルを仮定して行った分散分析の結果が、表である。
「穀物価格」要因に 8
節）に，このようなモデルを仮定して行った分散分析の結果が，表 5 である。「穀物価格」要因のサイクルに共通して繰り返されることを調べなくてはならない。
ついてF
値は極めて大きく、当然ながら、穀物の種類間の平均に差があることを意味している。
ついて節）に、このようなモデルを仮定して行った分散分析の結果が、表5 である。
「穀物価格」要因について F
F--値は極めて大きく、当然ながら、穀物の種類間の平均に差があることを意味している。
値は極めて大きく、当然ながら、穀物の種類間の平均に差があることを意味している。
について F の値は極めて大きく，当然ながら，穀物の種類間の平均に差があることを意味してFがかなり大きく、これも有意であることがわかる。
一方、「周期変動」についてもF
一方、「周期変動」についてもついて
F -値は極めて大きく、当然ながら、穀物の種類間の平均に差があることを意味している。
F がかなり大きく、これも有意であることがわかる。
がかなり大きく、これも有意であることがわかる。
一方、「周期変動」についてもいる。一方，「周期変動」についても F がかなり大きく，これも有意であることがわかる。つましかし、この結果は「見かけの周期変動」に共通性があることを示しているに過ぎない。真のしかし、この結果は「見かけの周期変動」に共通性があることを示しているに過ぎない。真のしかし、この結果は「見かけの周期変動」に共通性があることを示しているに過ぎない。真の一方、「周期変動」についても F がかなり大きく、これも有意であることがわかる。
り表 3 に基づく Jevons の「直観」は，これを2 要因モデルとみなせば正しかったことになる。
時系列的な周期性を結論づけるためには、(2)
時系列的な周期性を結論づけるためには、(2)式ので表される「サイクル内変動」が、すべて時系列的な周期性を結論づけるためには、(2) 式の式の βββjjj で表される「サイクル内変動」が、すべてで表される「サイクル内変動」が、すべて
しかし、この結果は「見かけの周期変動」に共通性があることを示しているに過ぎない。真の6
しかし，この結果は「見かけの周期変動」に共通性があることを示しているに過ぎない。真ののサイクルに共通して繰り返されることを調べなくてはならない。
のサイクルに共通して繰り返されることを調べなくてはならない。
のサイクルに共通して繰り返されることを調べなくてはならない。
時系列的な周期性を結論づけるためには、(2) 式の βj で表される「サイクル内変動」が、すべて時系列的な周期性を結論づけるためには，⑵式の βj で表される「サイクル内変動」が，すべてのサイクルに共通して繰り返されることを調べなくてはならない。
のサイクルに共通して繰り返されることを調べなくてはならない。

666
5 ． 2 要因モデルの解析―繰り返しのあるデータ

6
2 要因モデルのサイクル内変動の時間的安定性を見るためには，平均に集約された表（表 3 ）だけではなく，すべてのデータを利用する必要がある。データを一般に xijk と表す。本例では，
i は穀物の番号， j はサイクル内の年の番号， k はサイクルの番号（各要因の組み合わせに対し

２要因モデルの解析– 繰り返しのあるデータ
5 ２要因モデルの解析– 繰り返しのあるデータ

5

２要因モデルのサイクル内変動の時間的安定性を見るためには、平均に集約された表（表２要因モデルのサイクル内変動の時間的安定性を見るためには、平均に集約された表（表33）だ）だ
けではなく、すべてのデータを利用する必要がある。データを一般にxijkと表す。本例では、と表す。本例では、ii ははけではなく、すべてのデータを利用する必要がある。データを一般に
xijk

ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討
95
j はサイクル内の年の番号、
k はサイクルの番号（各要因の組み合わせに対して得ら穀物の番号、j はサイクル内の年の番号、
k はサイクルの番号（各要因の組み合わせに対して得ら穀物の番号、れる観測値の繰り返しとみなす）を表す。このデータに対して、２要因モデルはれる観測値の繰り返しとみなす）を表す。このデータに対して、２要因モデルはて得られる観測値の繰り返しとみなす）を表す。このデータに対して，
2 要因モデルは+,eijk , i = i1,=. .1,. ,. .p,. , p,
= .1,. .. ,. q,. , q,k =k =1,1,xijk =xijk
μ +=αμi ++ αβij ++βejijk
j =j 1,. ....,.r, r

(3)
(3)

17 。なお、繰り返しの数を揃えると表される。このモデルに対する分散分析の結果が表 6 である
17 （17）と表される。このモデルに対する分散分析の結果が表6 であると表される。このモデルに対する分散分析の結果が表6 である。なお、繰り返しの数を揃える。なお，繰り返しの数を揃えため、データは欠測のない期間 (1276–1377) のみを用い、さらに Jevons の解析と同じく 1314
ため、データは欠測のない期間(1276–1377) のみを用い、さらに Jevons Jevonsの解析と同じく
1314
るため，データは欠測のない期間（1276−1377）のみを用い，さらにの解析と同じく年を除いた上で 1276 から始まる 99 = 11 × 9 年間（ 1375 年まで）のものを用いた。データの総年を除いた上で 1276 から始まる 99 = 11 × 9 年間（ 1375 年まで）のものを用いた。データの総1314年を除いた上で1276から始まる11×
9 ＝99年間（1375年まで）のものを用いた。データの総数は 7 × 99 = 693 である。
数は 7 × 99 = 693 である。
数は 7 ×99=693である。
表 6 分散分析表（繰り返しのある２要因モデル）
表 6 分散分析表（繰り返しのある 2 要因モデル）
表 6 分散分析表（繰り返しのある２要因モデル）

要因

変動 自由度 不偏分散
F
p-値
自由度不偏分散 3 F F
p-値
6
変動
自由度
p値
×1/10
× 1/106
3
1/10
穀物 (G) ×1/1042.45
67075.4 41.13
0

要因要因

穀物周期性
(G) (C)

42.454.65 6 10

周期性(C) (G×C) 4.651.59 10 60交互作用(E)
交互作用 誤差(G×C)

114.68 60 616
1.59

全体
誤差 (E)

163.38 616692
114.68全体

163.387075.4465.4 41.13
2.71

00.0060465.4
26.6 2.71
0.14 0.0060
1
186.2 0.14
26.6

1

186.2

692

周期性要因について、p-値は 0.6% で、表 5 の結果と比べればかなり大きくなったが、ここで周期性要因について，p値は0.6%で，表 5 の結果と比べればかなり大きくなったが，ここで1%0.6%
水準でも有意であるとの結論が出た。個別には、有意にならない（
も再び、変動の周期性は周期性要因について、p-値はで、表 5 の結果と比べればかなり大きくなったが、ここで3節の結果）ほどの小さな周期性であるが、（分散分析においては、系列の独立性を仮定しているのも再び，変動の周期性は% 水準でも有意であるとの結論が出た。個別には，有意にならない
1%1 水準でも有意であるとの結論が出た。個別には、有意にならない（
3
も再び、変動の周期性はで）７系列に共通にパターンが見られることは偶然ではあり得ない、すなわち有意であるという（ 3 節の結果）ほどの小さな周期性であるが，（分散分析においては，系列の独立性を仮定してい節の結果）ほどの小さな周期性であるが、（分散分析においては、系列の独立性を仮定しているの
結論が得られると解釈できる。 Jevons が表 3 によっておそらく意図したであろうこと（すなわるので） 7 系列に共通にパターンが見られることは偶然ではあり得ないという結論が得られる。
で）７系列に共通にパターンが見られることは偶然ではあり得ない、すなわち有意であるというち、多くの系列にわたる「平均」操作によって、変動を見いだそうとしたこと）は、この意味で結論が得られると解釈できる。
Jevons が表 3 によっておそらく意図したであろうこと（すなわJevons が表 3 によっておそらく意図したであろうこと（すなわち，多くの系列にわたる「平均」
は正しかったといえよう。

ち、多くの系列にわたる「平均」操作によって、変動を見いだそうとしたこと）は、この意味で操作によって，変動を見いだそうとしたこと）は，この意味では正しかったといえよう。
は正しかったといえよう。

6 ．変数間の相関17

表中の、交互作用 ( interaction ) は、「効果の加法性」からの乖離を意味する。ここでは交互作用に対する F の値が非常に小さく、加法モデルがよく当てはまっていると解釈できる。

17

標準的な分散分析では，モデルの誤差項 eijk はすべて独立（かつ同一正規分布）であると仮定

表中の、交互作用 ( interaction ) は、「効果の加法性」からの乖離を意味する。ここでは交互作用に対する F の値7する。これに対して，本ケースでは，穀物間の間にかなり強い相関（これは系列相関ではない）が非常に小さく、加法モデルがよく当てはまっていると解釈できる。
が見られる（表 7 ，表 8 ）。

7⒄ 表中の，交互作用（ interaction ）は，「効果の加法性」からの乖離を意味する。ここでは交互作用に対するF の値が非常に小さく，加法モデルがよく当てはまっていると解釈できる。

標準的な分散分析では、モデルの誤差項 eijk はすべて独立（かつ同一正規分布）であると仮定
標準的な分散分析では、モデルの誤差項
eijkeijk
はすべて独立（かつ同一正規分布）であると仮定
標準的な分散分析では、モデルの誤差項
はすべて独立（かつ同一正規分布）であると仮定する。これにたいして、本ケースでは、穀物間の間にかなり強い相関（これは系列相関ではない）する。これにたいして、本ケースでは、穀物間の間にかなり強い相関（これは系列相関ではない）する。これにたいして、本ケースでは、穀物間の間にかなり強い相関（これは系列相関ではない）が見られる（表 7、表 8）。
が見られる（表 7、表 8）。
が見られる（表 7、表 8）。
96

研 究 所 年 報

表 7 穀物価格間の相関表 7 穀物価格間の相関表
表 77 穀物価格間の相関
穀物価格間の相関

Wheat
Oats Beans
Beans Peas
Peas Vetches
Vetches Rye
Rye
Wheat Barley
Barley Oats
Wheat Barley Oats Beans Peas Vetches Rye
Wheat
0.913
0.896 0.877
0.877 0.868
0.868 0.819
0.819 0.924
0.924
Wheat 1.000
1.000
0.913 0.896
Wheat
1.000
0.913
0.896
0.877
0.868
0.819
0.924
Barley0.913
1.000 0.886 0.877 0.881
0.887
0.870
Barley

0.913

1.000

0.886

0.877

0.881

0.887

0.870

Barley 0.896
0.913 0.886
1.000 1.000
0.886 0.877
0.877 0.861
0.881 0.835
0.887 0.829
0.870
Oats
Oats
0.896
0.886 1.000
0.877 0.861
0.835
0.829
Oats 0.877
0.896 0.877
0.886 0.877
1.0001.000
0.8770.935
0.8610.902
0.8350.870
0.829
Beans 0.877
0.877 0.877
Beans
1.000
0.935
0.902
0.870
Beans 0.868
0.877 0.881
0.877 0.861
0.8770.935
1.0001.000
0.9350.906
0.9020.887
0.870
Peas
0.868
0.881
Peas
0.861
0.935
1.000
0.906
0.887
Peas 0.819
0.868 0.887
0.881 0.835
0.8610.902
0.9350.906
1.0001.000
0.9060.826
0.887
Vetches
0.819
0.887
Vetches
0.835
0.902
0.906
1.000
0.826
Vetches0.819 0.870
0.887 0.829
0.8350.870
0.9020.887
0.9060.826
1.0001.000
0.826
Rye
0.924
0.870
Rye
0.924
0.829
0.870
0.887
0.826
1.000
Rye
0.924
0.870 0.829 0.870 0.887
0.826
1.000
このように、変数間に相関のある場合、各時点で穀物価格は同じように変動する。変数間の正

このように，変数間に正の相関のある場合，各時点で穀物価格は同じように変動する。変数間
このように、変数間に相関のある場合、各時点で穀物価格は同じように変動する。変数間の正βj の偶然変動を大きくするように働く。したの相関は、各変数が互いに独立である場合に比べ、このように、変数間に相関のある場合、各時点で穀物価格は同じように変動する。変数間の正βj の偶然変動を大きくするように働く。したの相関は、各変数が互いに独立である場合に比べ、の正の相関は，各変数が互いに独立である場合に比べ，βj の偶然変動を大きくするように働く。
がって、
βj 間の差が有意になり易くなる。このような、相関構造を分析に取り込むことは、多変
βj の偶然変動を大きくするように働く。したの相関は、各変数が互いに独立である場合に比べ、がって、β間の差が有意になり易くなる。このような、相関構造を分析に取り込むことは、多変j
したがって，βj 間の差が有意になり易くなる。このような，相関構造を分析に取り込むことは，18 。
量解析の範疇に入る
がって、βj 間の差が有意になり易くなる。このような、相関構造を分析に取り込むことは、多変18 。
量解析の範疇に入る（18）。
多変量解析の範疇に入る
ここで、モデルは、18(3)と同じ２要因加法モデルとし、誤差項
eijk について、各穀物変数の間
量解析の範疇に入る��
ここで、モデルは、(3)。と同じ２要因加法モデルとし、誤差項
eijk について、各穀物変数の間
ここで，モデルは，⑶と同じ２要因加法モデルとし，誤差項
Cov� eijk , ei� jk� = σii� とおく。便宜的にe(3)式を次のようにベクトルに相関があると仮定する。
ijk について，各穀物変数の間にここで、モデルは、(3) と同じ２要因加法モデルとし、誤差項について、各穀物変数の間
ijk 式を次のようにベクトル, ei� jk =� σii� とおく。便宜的に e(3)に相関があると仮定する。Cov eijk�を用いて表す：=σ
とおく。便宜的に⑶式を次のようにベクトルを用いて相関があると仮定する。Cov（eijk, ei′jk）
ii′に相関があると仮定する。Cov eijk , ei� jk = σii� とおく。便宜的に (3) 式を次のようにベクトルを用いて表す：xjk = µ + βj + ejk ,j = 1, . . . , q, k = 1, . . . , r(4)を用いて表す：xjk = µ + βj + ejk ,j = 1, . . . , q, k = 1, . . . , r(4)と表す。本例では、添え字
は「サイクル内の年」の番号を、添え字
xjkj =µ + βj + ejk ,j = 1, . . . , q, k = k1,はサイクルの番号を、そ
...,r
(4)
と表す。本例では、添え字
j は「サイクル内の年」の番号を、添え字 k はサイクルの番号を、それぞれ表す。
と表す。本例では，添え字 j は「サイクル内の年」の番号を，添え字 k はサイクルの番号を，そと表す。本例では、添え字
j⎞は「サイクル内の年」の番号を、添え字⎛⎛ k はサイクルの番号を、そ
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎞
れぞれ表す。
x
e1jk
μ
μ
+
α
れぞれ表す。各ベクトルを成分を用いて示すと，
111jk
れぞれ表す。
⎞
⎛
⎞ ⎜
⎛
⎛⎜
⎜⎛
⎟
⎜
⎟
⎟⎞
⎟⎞
⎜xx1jk⎜ e2jk⎟⎜ μ21 ⎟ ⎜ μμ++αα2 1⎟e1jk⎟⎞⎜⎛ 2jk ⎟⎞⎜ ⎛⎟ ⎞⎜ ⎛ ⎟ ⎞⎜ ⎛⎟⎟= ⎜⎜ .μ + ⎟⎟, ejk = ⎜⎜ . e⎟
xjk =⎜⎜ x⎟ , µ = ⎜ . μ⎟⎟⎟.. 1jk
α
1
1
1jk
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜⎜x2jk
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎟
.
.
.
μ.2 ⎠
μ+
. α2⎠⎟ ⎟.e2jk⎠ ⎟ ⎟
⎟ ⎟⎝
⎜
⎜⎜
⎜⎝⎜ . ⎟⎝⎜ ⎜⎠⎟⎝⎜= ⎜ ⎜ μ. + α⎟ ,⎟ejk = ⎜ ⎜. e ⎟ ⎟xjk = ⎜ ⎜ . x ⎟ ,⎟µ = ⎜ ⎜. μ⎟ ⎟
2
2
⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎟⎟
⎜ ⎜x..pjk2jk
⎜
.
.
. 2jk
⎟
⎟
⎜
⎜
μ.p ⎠ ⎟ ⎝=⎜= μ⎜+ .αp . ⎠ ⎟ , ejk ⎝xjk ⎝= ⎜ .⎠ ⎟ , µ ⎝=epjk⎜. .⎠ ⎟⎜ ... ⎟ ⎜⎟⎜ .. ⎟⎜ .. ⎟
..
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎠
⎝
⎝
xpjk
μp
μ + αpepjk
18
多変量分散分析。この種の分析は 1930 年代以降、精力的に研究された。それらの多くは、有名なテキスト
xpjk
μp
μ + αpepjk
18

Anderson, T.W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, John Wiley & Sons Inc., NY, 1958
多変量分散分析。この種の分析は
1930 年代以降、精力的に研究された。それらの多くは、有名なテキストにまとめられている。

Anderson,
T.W. An Introduction
to Multivariate
StatisticalSons ）はInc., NY,1958
多変量分散分析。この種の分析は
1930 年代以降、精力的に研究された。それらの多くは、有名なテキストである。また，誤差項はp- 変量正規分布，Nejk の分散共分
� （0,Σ）にしたがう。Σ=� Analysis, John Wiley &（σpii′�である。また、誤差項はp-変量正規分布、
Np Statisticalにしたがう。
Σ
=
(σ
)
は
e
の分散共分
0,
Σ
にまとめられている。
Anderson, T.W. An Introduction
to Multivariate
Analysis,
John
Wiley
&
Sons
Inc.,
NY,
1958
jk
ii
8
散行列である。Σがわかっている（既知の）とき，μおよび「周期性の効果」βj, j=1, , q は，にまとめられている。
散行列である。Σ がわかっている (既知の）とき、µ および「周期性の効果」βj , j = 1, . . . , q は、
8
それぞれ
それぞれ
8
�r
�p
q
r
ii�
1 ��
k=1 xijk σi,i� =1�µ̂ i =
xijk , i = 1, . . . , p,β̂j =, j = 1, . . . , q(5)�Tr pi,i� =1 σ ii
18

j=1 k=1�−1
によって、推定される。ここで、T = qr はデータ長、σ iiii′は逆行列
は逆行列ΣΣ
の (i,i� )成分である。ま
成分である。
−1
によって，推定される。ここで，T=qr
はデータ長，σの（i,i′）
また、仮説「周期性がない」すなわち H0 : β1 = · · · = βq = 0 のための対数尤度比統計量は、
た，仮説「周期性がない」すなわち H 0 : β1=…=βq= 0 のための対数尤度比統計量は，
p �
q �
r �
� �
�
� jk − μ̂i� ) − (xijk − μ̂i − β̂j )(xi� jk − μ̂i� − β̂j )
(x
λ
=
−
μ̂
)(x
σ ii
(6)
i
ijk
i
⒅ 多変量分散分析。この種の分析は1930年代以降，精力的に研究された。それらの多くは，有名なテキ
j=1 k=1 i,i� =1

スト Anderson, T.W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, John Wiley & Sons Inc., NY,

1958にまとめられている。
である。検定は、仮説の下で、統計量λ が、自由度 q − 1 の χ2 分布にしたがうことを利用して行う。

表 8 誤差分散共分散および相関係数の推定値

q

qr

��
1�
1�
xijk
i=
, p,
µ̂ i =µ̂ i =xijk, i, =
1,1,. ....,.p,
T T j=1 k=1rβ̂β̂j j==

j=1 k=1

�
�pp

�
�r

iiii��

σijkσ
k=1 xijk
�
�p
ii
ii��
σ
rr pi,i�
i,i� =1i,ii,i��=1=1,, jj==1,1,. . . ,. q, q

(5)
(5)

�

�
−1
�
によって、推定される。ここで、はデータ長、σσiiii は逆行列
は逆行列 Σ
によって、推定される。ここで、T T==qrqrはデータ長、
Σ−1 の
の(i,
(i,i i)� )成分である。
成分である。
ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討
97
また、仮説「周期性がない」すなわち
H
:
β
=
·
·
·
=
β
=
0
のための対数尤度比統計量は、
01q
また、仮説「周期性がない」すなわち H0 : β1 = · · · = βq = 0 のための対数尤度比統計量は、

p
q �
r �
�� �
p � �
q �
r
λ�
= � �
(xijk − μ̂i )(x� i� jk − μ̂�i� ) − (xijk − μ̂i − β̂j )(xi��jk − μ̂i� �− β̂j ) σ ii ii�

λ=(xijk − μ̂i )(xi jk − μ̂i ) − (xijk − μ̂i − β̂j )(xi jk − μ̂i − β̂j ) σ

j=1 k=1 i,i� =1

j=1 k=1 i,i� =1

(6)

(6)

である。検定は、仮説の下で、統計量 λ が、自由度 q − 1 の χ22 分布にしたがうことを利用してである。検定は、仮説の下で、統計量λ が、自由度 q −q 1−1のχの χ 分布にしたがうことを利用して2である。検定は，仮説の下で，統計量λが，自由度分布にしたがうことを利用して
行う。
行う。
行う。
表 8 誤差分散共分散および相関係数の推定値
誤差分散共分散および相関係数の推定値
表表
8 8誤差分散共分散および相関係数の推定値

Wheat

Barley

Oats

Beans

Peas

Vetches

Rye

0.867
0.887

Vetches
Rye
0.824
0.927
0.824 0.881
0.927
0.900

BarleyOats 1.780
0.784 1.334
0.534 0.890
0.270 0.884
0.887

0.887
0.863

0.900
0.840

0.881
0.835

Oats
Beans 0.784
2.074 0.534
1.434 0.270
0.647 0.887
1.970

0.863
0.940

0.840
0.909

0.835
0.875

Beans
Peas

2.074
1.849 1.434
1.300 0.647
0.569 1.970
1.674

0.940
1.608

0.909
0.911

0.875
0.899

Vetches 1.849
1.789 1.300
1.342 0.569
0.563 1.674
1.646
Peas

1.490
1.608

1.665
0.911

0.844
0.899

1.620
1.490

1.549
1.665

2.022
0.844

Wheat
BarleyOats Beans
Wheat
2.832
0.916 0.896 0.878

Peas
0.867

Wheat
Barley 2.832
1.780 0.916
1.334 0.896
0.890 0.878
0.884

Rye
Vetches

2.219 1.342
1.448 0.563
0.617 1.646
1.746
1.789

Rye
2.219
1.448 0.617 1.746 1.620
1.549
2.022
さて，実際には，Σは，未知であるので，これをその推定値Σ̂で置き換え，⑸式および⑹
さて、実際には、 Σ は、未知であるので、これをその推定値 Σ̂ で置き換え、(5) 式および (6)を用いる。分散共分散の推定値Σ̂を表を用いる。分散共分散の推定値 Σ̂ を表 88に示した。表の対角線以下の部分に分散および共分散に示した。表の対角線以下の部分に分散および共分散Σ̂ で置き換え、(5) 式および (6)さて、実際には、
Σ は、未知であるので、これをその推定値
1/100000倍）を、上の部分に相関係数を、それぞれ示した。
（（1/100000倍）を，右上の部分に相関係数を，それぞれ示した。
を用いる。分散共分散の推定値 Σ̂ を表 8 に示した。表の対角線以下の部分に分散および共分散

これを用いて得られた β すなわち「サイクル内年効果」の推定値を表 9 に示す。また、各穀物
これを用いて得られたβすなわち「サイクル内年効果」の推定値を表9 に示す。また，各穀倍）を、上の部分に相関係数を、それぞれ示した。
（1/100000
価格の平均 μ は表 10 の通りである。これらを用いて得られる対数尤度比は λ = 8.03 であった。
物価格の平均μは表10のとおりである。これらを用いて得られる対数尤度比は
λ=8.03であった。
これを用いて得られた β すなわち「サイクル内年効果」の推定値を表 9 に示す。また、各穀物
自由度は q − 1 = 10 であるから λ = 8.03 に対する p-値 62.6 % が得られる19 。よって、サイクル内における平均の差は、全く偶然変動によるものであるといって差し支えない。
価格の平均
は表 10であるからλの通りである。これらを用いて得られる対数尤度比はλJevons= 8.03はやはであった。
自由度は qμ−1=10=8.03 に対する p- 値62.6% が得られる（19）。よって，サイクル内
19

ここでは、Σ が既知である場合の対数尤度比統計量において、Σ の値を Σ̂ で代用した。このことは、実際には λル内における平均の差は、全く偶然変動によるものであるといって差し支えない。
Jevons はやはり「見かけの周期性」を発見してしまったのである。
19 。よって、サイクq − 1 = 10 であるから λ = 8.03 に対する
p-値 62.6 % Wilks
が得られる
自由度は
の分布に影響する。多変量解析では、このような問題では、F の一般化であるの統計量という検定統計量をもにおける平均の差は，全く偶然変動によるものであるといって差し支えない。Jevons
はやはりり「見かけの周期性」を発見してしまったのである。 ル内における平均の差は、全く偶然変動によるものであるといル内における平均の差は、全く偶然変動

19 ちいて検定するものとされている。しかしながら、ここでは誤差の自由度は 10 × 9 = 90 であるので、推定誤差はあま

ここでは、Σ が既知である場合の対数尤度比統計量において、Σ の値を Σ̂ で代用した。このことは、実際には λ「見かけの周期性」を発見してしまったのである。
り大きくない、したがって λ の分布は χ2 表
分布で十分よく近似されると考える。また、
Σ を推定したことの効果は p9 サイクル内年効果の分布に影響する。多変量解析では、このような問題では、F の一般化である
Wilks の統計量という検定統計量をもり「見かけの周期性」を発見してしまったのである。
り「見かけの周期性」を発見してしまっ

値を大きくする方向に働くから、正しい p-値 は 62.6 より (少し）大きくなるはずである。
10 × 9 = 90 であるので、推定誤差はあま
ちいて検定するものとされている。しかしながら、ここでは誤差の自由度は
表 9 サイクル内年効果

表9

サイクル内年効果

III λ の分布は
III
IV
V
VI
VII
VII
IXΣ を推定したことの効果は
X XII
り大きくない、したがって
χ2 分布で十分よく近似されると考える。また、p値を大きくする方向に働くから、正しいは 62.6-58.86
より (9少し）大きくなるはずである。
I
II
III p-値-3.91
IV
V
VI
VII
IX
β̂ -13.25 21.65
22.64
0.35
-19.8834.78 VII
-15.02 23.61

β̂-13.25

21.65

22.64

Wheat
μ̂

0.35

-3.91

-58.869-19.88β̂
表 10 平均穀物価格
表10 平均穀物価格
表 10 平均穀物価格
Barley Oats Beans Peas

X XII
7.89
7.89
IV
I

34.78 I -15.02
II

23.61
III

-13.25

21.65

22.64
β̂ -13.25
0.35 21.65-3.91 22.64-58.86 0.35
-19.88-VetchesRye

表 10 平均穀物価格

1529Wheat
1068Barley
633 Oats
1104 Beans
962 Peas959Vetches
1127 Rye
μ̂

1529

1068

633

1104

表 9 サイクル内年効果
表

962

959

IIV

IIIVI

IVVII

1127Wheat

Barley

Oats
Wheat
Beans
Ba

1529

1068

μ̂ 63315291104 10μ̂

7⒆ ここでは，Σが既知である場合の対数尤度比統計量において，Σ
Jevons の解析 IIの値をΣ̂ で 代 用 し た。 こ の こ と は，
実際にはλの分布に影響する。多変量解析では，このような問題では，Fの一般化である Wilks の統計
7
Jevons の解析 II

論文 VI の後半で、 Jevons は穀物価格が、サイクルの前半に当たる年で大きくなる傾向がある
量という検定統計量を用いて検定するものとされている。しかしながら，ここでは誤差の自由度は10×7
Jevons の解析
7 II
Jevons の解析 II
論文 VI の後半で、 Jevons
は穀物価格が、サイクルの前半に当たる年で大きくなる傾向がある
ことを指摘し、この事実は（
11 年を周期とする）規則性すなわち周期性を示唆すると主張した。
9 =90であるので，推定誤差はあまり大きくない，したがって
λ の分布は χ2分布で十分よく近似されることを指摘し、この事実は（
11 年を周期とする）規則性すなわち周期性を示唆すると主張した。
VI, p.182）を引用する（表）。表は、それぞれの穀物ごとに、各サイクル
原論文の表（論文と考える。また，Σを推定したことの効果は
p-11値を大きくする方向に働くから，正しい
p-は穀物価格が、サイクルの前半値は62.6％よ
論文 VI の後半で、 Jevons
論文 VIの後半で、 Jevons は穀物価
り（少し）大きくなるはずである。
VI,
p.182
）を引用する（表11）。表は、それぞれの穀物ごとに、各サイクル
原論文の表（論文でサイクル内の最大（最小）が起こった年のサイクル内年番号を、数え上げたものである。
Jevonsことを指摘し、この事実は（ことを指摘し、この事実は（
11 年を周期とする）規則性すな
11 年を周でサイクル内の最大（最小）が起こった年のサイクル内年番号を、数え上げたものである。
Jevons VI, p.182
は表の計数を列毎に合計した。合計
82 の計数のうち、第 4, 5, 6,原論文の表（論文7, 8, 9 の各列（それぞれサイク
VI,原論文の表（論文
p.182）を引用する（表
11）
）を引用
。表は、
は表の計数を列毎に合計した。合計
82 の計数のうち、第4, 5, 6, 7, 8,519である。後者は、もの各列（それぞれサイク
4 年目、5 年目 . . . に対応する）の合計が31 で、残りの列の合計がル内のでサイクル内の最大（最小）が起こった年のサイクル内年番号でサイクル内の最大（最小）が起こった
551 である。後者は、もル内の 4 年目、5 年目 . . . に対応する）の合計が 31 で、残りの列の合計がし周期性がなく、計数が等しい可能性で配分されたときに期待されるに比べて 40% 82 の計数のうち、第 82は表の計数を列毎に合計した。合計4,
11 × 82 = 37 は表の計数を列毎に合計した。合計5
し周期性がなく、計数が等しい可能性で配分されたときに期待される× 82 = 37 に比べて 40%近くも大きい。
Jevons は「これは偶然 ( accidental ) ではない」とだけ述べ、これに対する確率

98

研 究 所 年 報

7 ．Jevons の解析Ⅱ
論文Ⅵの後半で，Jevons は穀物価格が，サイクルの前半に当たる年で大きくなる傾向がある
ことを指摘し，この事実は（11年を周期とする）規則性すなわち周期性を示唆すると主張した。
原論文の表（論文Ⅵ , p.182）を引用する（表11）。表は，それぞれの穀物ごとに，各サイク
ルでサイクル内の最大（最小）が起こった年のサイクル内年番号を，数え上げたものである。
Jevons は表の計数を列ごとに合計した。合計82の計数のうち，第 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 の各列（それぞれサイクル内の 4 年目， 5 年目に対応する）の合計が31で，残りの列の合計が51である。
5
後者は，もし周期性がなく，計数が等しい可能性で配分されたときに期待される
×82=37に
11
比べて40% 近くも大きい。Jevons は「これは偶然（accidental）ではない」とだけ述べ，これに対する確率論的評価は加えていない。周期性がなければ，各サイクル内で価格の最大値は各年に（X ≥ 51）=0.0008 であり，仮説
均等に分布するから，仮説は H0 : p=5/11である。実際，p- 値は Pは棄却され，「周期性」が認められることになる。
表11

サイクル内最大値（最小値）を達成するサイクル内年番号の分布

99

ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討

現代の視点では，もう少し進んで，表の再下段の計数分布を用いて，一様性の適合度検定を行うことになる。このとき，χ2=22.1で p- 値は P（χ2 ≥ 22.1）=0.015 すなわち，有意水準 5 % で棄却される（最小値の表に基づいて同じ検定を行うと，χ2=25.8, p- 値は0.004である）。この結果は，
2 要因モデルで繰り返しのあるデータに基づく結果（表 5 ）の p- 値に近い。この「サイクル内の最大値の生起時点」に基づく接近法は，時系列の周期性の検証の「ノンパラ″メトリ″ック」な方法としてそれほど不合理なものではない。この方法を考案した Jevons の独創性は高く評価されるべきである。

8 ．再計算余話

本論文で行ったデータの再解析のために，データを原資料から読み取って入力し計算を行った。データ期間1259−1400年のうち，小麦の他のいくつかの穀物価格には欠測がみられ， 7 系列
すべてが利用できる期間は，1276−1377年であった。原データを用い，原論文中の表（表 3 ）について，その記述に忠実に（しかしながら原論文には欠測についての言及がないので，これを除いて）計算し直した（表12）。
表 3 と表12を見比べると，原論文の表は，正しい（再計算結果）表を，循環的に右方向に 1 列だけシフトしたものになっていることがわかる。また，対応する数値に微妙な食い違いが見られる。Rogers の原資料は，小数点以下 2 桁の精度で記されているから，この食い違いは丸め誤差の程度を遙かに超えたものである。計算の食い違いはともあれ，表の位置のズレは，信じられないほど大きなうっかりミスであるといえよう。
表 表12
12 「「Rogers
Rogers データ」の周期性（再計算）データ」の周期性（再計算）

1259

1260

1261

1262

1263

1264

1265

1266

1267

1268

1269

Wheat

1486

1572

1571

1455

1486

1411

1371

1295

1317

1535

1495

Barley

1021

1041

1111

979

1017

1010

1030

964

902

1036

1058

Oats

586

609

685

593

627

610

572

578

556

627

598

Beans

1229

1246

1233

1066

1103

981

1065

982

879

1055

998

Peas

965

1028

1109

972

886

907

860

755

794

929

915

Vetches

1025

1020

1061

965

946

919

920

773

867

813

861

Rye

9

1039

1294

1142

1003

1175

1034

1148

1027

977

1117

1046

7350

7811

7911

7032

7241

6871

6966

6375

6291

7112

6972

まとめ
本稿では、 Jevons が太陽黒点説の根拠のひとつとした「13-14 世紀イギリスの穀物価格に見られる 11 年を周期とした変動」が偶然変動に伴う見かけの変動であることを、現代の分散分析法を用いて明らかにした。

Jevons のデータ解析は、主として２つの点で不適切であった。第１に、 Jevons は、1259 年から 1400 年までの年を、11 年ごとのサイクルに分け、同一のサイクル内年ごとに平均を求め、それらがサイクル内を変動するパターンを、全体を通しての価格変動の周期的な変動のパターンだ

100

研 究 所 年 報

9 ．まとめ
本稿では，Jevons が太陽黒点説の根拠のひとつとした「13−14世紀イギリスの穀物価格に見られる11年を周期とした変動」が偶然変動に伴う見かけの変動であることを，現代の分散分析法
を用いて明らかにした。
Jevons のデータ解析は，主として 2 つの点で不適切であった。第 1 に，Jevons は，1259年から1400年までの年を，11年ごとのサイクルに分け，同一のサイクル内年ごとに平均を求め，それらがサイクル内を変動するパターンを，価格の周期的な変動のパターンだと考えた。これは偶然変動の存在を前提にすると，論理的におかしい。もし価格変動に周期性があれば，長期にわたる繰り返しを平均することで，その周期変動は大数法則によって明瞭になる。逆は，しかしながら正しくない。実際には周期性がなくとも，偶然変動だけからなる見かけの周期性は必ず現れる。
この有意性の評価には，同じパターンが繰り返し現れているかどうかを調べる必要がある。「時系列的な平均化」によってその情報が完全に失われしまうので，Jevons の作成した表 3 では有意性の判断はできない。Jevons は，同じパターンがすべてのサイクルに共通して現れているか否かを検証するべきであった。
ただし， 7 節で紹介した表は，最大値の発生パターンをサイクルを単位として繰り返し観察したものとみなすことができる。こちらの分析では，上に述べた問題は解決されている。この方法は，一種の「ノンパラ″
メトリ″ック」な方法として合理的なものであり，統計学史的にもう少し注目されて良いと思われる。
第 2 は，このパターンが 7 種の穀物に共通に見られることに関連する。Jevons は，おそらく，
この事実は（偶然変動であればパターンが共通に現れる可能性は少ないから）そのようなパター
ンは周期性に関連するものであると考えた，と思われる。各穀物価格が相互に独立に変動しているならば，この推論は正しい。しかしながら，「Rogers データ」の各変数間には強い相関があり，（互いに似た（偶然）変動をするから）各変数の「見かけのパターン」が類似のものである確率は高くなる。
変数間の従属性は Jevons の第 2 の方法においても問題となるが，Jevons は，これについては，
問題を正しく認識していることがわかる（論文Ⅵ，p.183）。
The results which I have given would be altogether conclusive as to the inﬂuence of thesun-spot if each of the seven commodities varied independently of the rest. As they are,however, not independent I must regard these results as of a merely provisional value,
showing the need of further investigations of the same nature, which will be surroundedby diﬃculties.
この「従属性」の問題は，しかしながら，Jevons が想定したよりも遙かに深刻だったのである。
本稿では， 2 要因モデルの分散分析という視点で，Jevons の解析を再検討した。ここでは，

sun-spot
if eachsevencommodities
variedindependently
rest.
of of
thethesun-spot
if eachof ofthethesevencommodities
variedindependently
of ofthethe
rest.
As As
they
are,
however,notindependentI
must
regardthese
results
asofamerelytheyare,however,
independent
I mustregardthese
resultsa merely
As theyare,however,
notnotindependent
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resultsas asof ofa merelyprovisional
value,
showingtheneedoffurther
investigations
of
the
same
nature,provisional
value,showing
showingneedfurther
investigationsof ofsame
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thetheneedof offurther
investigations
thethesame
nature,
which
will
be
surroundedby
diﬃculties.
which
will
surroundeddiﬃculties.
which
will
bebe
surroundedbyby
diﬃculties.
ジェボンズの「太陽黒点説」の再検討

101

この「従属性」の問題は、しかしながら、
Jevonsが想定したよりも遙かに深刻だったのである。
この「従属性」の問題は、しかしながら、
Jevonsが想定したよりも遙かに深刻だったのである。
この「従属性」の問題は、しかしながら、
Jevonsが想定したよりも遙かに深刻だったのである。
誤差項の時系列的な相関は考慮していない。時系列解析的な接近法をとれば，図 4 に見られる
本稿では、２要因モデルの分散分析という視点で、Jevonsの解析を再検討した。ここでは、誤
本稿では、２要因モデルの分散分析という視点で、Jevonsの解析を再検討した。ここでは、誤（一瞥すると）正弦曲線的なパターン―これがJevonsに周期変動を錯覚させたもう一つの原因
本稿では、２要因モデルの分散分析という視点で、Jevonsの解析を再検討した。ここでは、誤4 に見られる（一差項の時系列的な相関は考慮していない。時系列解析的な接近法をとれば、図4 に見られる（一差項の時系列的な相関は考慮していない。時系列解析的な接近法をとれば、図4 に見られる（一差項の時系列的な相関は考慮していない。時系列解析的な接近法をとれば、図であると想像されるが―が現れる理由が解明されるかもしれない。これは今後の課題としたい。

瞥すると）正弦曲線的なパターン——
これがJevonsに周期変動を錯覚させたもう一つの原因であ瞥すると）正弦曲線的なパターン
これがJevonsに周期変動を錯覚させたもう一つの原因であ瞥すると）正弦曲線的なパターン— これがJevonsに周期変動を錯覚させたもう一つの原因であ—が現れる理由が解明されるかもしれない。これは今後の課題としたい。
ると想像されるがが現れる理由が解明されるかもしれない。これは今後の課題としたい。
ると想像されるが——が現れる理由が解明されるかもしれない。これは今後の課題としたい。
ると想像されるが10．補足（ 1 要因モデルの分散分析）

10
補足（１要因モデルの分散分析）
1010 補足（１要因モデルの分散分析）
補足（１要因モデルの分散分析）

データの配列を,. p. .とする。このデータのモデルを
データの配列を
xijxij,x,iiji=1,= 1, . 1,. ,. r,, r,.j=1,, p とする。このデータのモデルを
データの配列を,jjr,=
j 1,=
p とする。このデータのモデルを
データの配列をxij , i ,=i =1, . . .. ,. r,=1, .1,. .. ,. p. ,とする。このデータのモデルを

xij x=ij μ=+μα+j α+ eij ,eij , i =i 1,. . . , r,. ,jr,=j 1,...,p
xij = μ + αj +j e+i==1, .1,. .. ,. r,j ==1, .1,. .. ,. p. , pij ,(7)(7)(7)22とする。誤差eijeijeはすべて互いに独立に平均
0,0 ，分散
分散σ 22σの正規分布にしたがう確率変数であるととする。誤差はすべて互いに独立に平均の正規分布にしたがう確率変数であるととする。誤差はすべて互いに独立に平均分散の正規分布にしたがう確率変数であるとijとする。誤差eij はすべて互いに独立に平均0, 0,
分散σ σの正規分布にしたがう確率変数であると仮定する。
μは全体平均、
α,
j
=
1,
.
.
.
,
p
は「要因効果」を表す母数である。
このようなデータ仮定する。
μ は全体平均、j=,は「要因効果」を表す母数である。
p は「要因効果」を表す母数である。
このようなデータ仮定する。μは全体平均，α,仮定する。
μ は全体平均、
α, α,
j j=1,=
1, .1,. .,. ,.pp. は「要因効果」を表す母数である。このようなデータは，
このようなデータ(7)1(7)は１要因モデルと呼ばれる。
は、１元配置データと呼ばれ、は１要因モデルと呼ばれる。
1は、１元配置データと呼ばれ、元配置データと呼ばれ，⑺は(7) 要因モデルと呼ばれる。
は１要因モデルと呼ばれる。
は、１元配置データと呼ばれ、
��2 2
� (xij(x−ij x)
全体の平均を
x,
列平均を
x
,
j
=
1,
. 1,
. . ., .p. ,とする。このとき、全変動
T =·j
全体の平均をx,j=pとする。このとき、全変動
T− 2x)は― x, 列平均を ―·ji,j − x)全体の平均をx x, ·j, =1, . . . ,, p とする。このとき、全変動
はは
，列平均を
j =1,
とする。このとき，全変動 T = = i,j (xは全体の平均をx,x 列平均を
·j

j

i,j

ij

p �
pr �
r
�
��
p�
r
�
�(x·j − x)2 +2 �T =r(xij(x−ij x−·j )x22·j )2
T
=
r
(x
−
2x) +
·j
T =r
(x − x) +(x − x )·jij·j
j=1j=1j=1j=1i=1i=1j=1
j=1 i=1”ープ間変動」”ープ内変動」であり、分と分解される。上の右辺第1 項は「グル″，第2 項は「グル″ープ内変動」であり，”ープ間変動」”ープ内変動」であり、分と分解される。上の右辺第１項は「グル、第２項は「グルと分解される。上の右辺第１項は「グループ間変動」、第２項は「グル”ープ間変動」”ープ内変動」であり、分と分解される。上の右辺第１項は「グル、第２項は「グル分散分析表の「変動」の列に記される。第１項をその自由度
V は，仮散分析表の「変動」の列に記される。第１項をその自由度
p −p1−pで割って得られる
VA Vは、仮説
散分析表の「変動」の列に記される。第１項をその自由度1−1で割って得られるで割って得られるA Aは、仮説
散分析表の「変動」の列に記される。第１項をその自由度
p − 1 で割って得られる
VA は、仮説
”
2
2
”ープ間
2
2
”ープ平均に差がない）の下では、誤差分散
2 の不偏な推定値であり、グル” ープσ 2σ=2 E（グル説（グル″ープ平均に差がない）の下では，誤差分散
σe=Ee
（グル
ij2 eの不偏な推定値であり、グル”ープ平均に差がない）の下では、誤差分散” ープ間
ijij の不偏な推定値であり，グル″ープ平均に差がない）の下では、誤差分散
σ ==
E eE
（グル
ij の不偏な推定値であり、グル ープ間に差があれば大きくなる。したがって、
VA Vの大小によって仮説の妥当性が判断できる。第２項をに差があれば大きくなる。したがって、間に差があれば大きくなる。したがって，VA の大小によって仮説の妥当性が判断できる。第２項をA の大小によって仮説の妥当性が判断できる。第 2に差があれば大きくなる。したがって、V の大小によって仮説の妥当性が判断できる。第２項をA

項をその自由度 p ×（r −1）で割って得られる VE は，グル″ープ平均の差の有無にかかわらず誤
13 13
13
差項 eij の分散の不偏推定値を与える（これらは「不偏分散」の列に記される）。このような理由で，検定統計量は FA=VA/VE とされる。FA の分布は，（p −1,（p −1）r）を自由度とする F 分布となる。この分布に基づいて得られた FA に対する p- 値を求め，グル″ープ間変動の大きさ（すなわちグル″ープ間の平均の差の有意性）を判断する。