数理解析研究所講究録 1202 巻 2001 年 75-82

75
半順序集合上のゲーム

吉信康夫

YASUO YOSHINOBU名古屋大学大学院人間情報学研究科

2000. 11. 17. (於: 京都大学数理解析研究所)
本講演の内容の一部は, 石宇哲也氏との共同研究によるものである. 本講演で触れる研究結果の詳細については, [IY] および [Y] を参照されたい.

1. 序Jech [J1] は, Banach と Mazur が考察した位相空間上での二人ゲームを半順序集合上で考えることによって, 半順序集合の組み合わせ論的な性質の特徴付けを与えることを試みた.

に対して, 次のような二人ゲームをと順序数
定義 LL 半順序集合
がを選び, I ががを選び, プレーヤー
で表す: まずプレーヤー Iの元を選んでというように交互により小さいを選ぶ, 以下 , a2,
回の指し手を終えた後, もし $a_{n}(n<\omega)$ 全部よりも小さい の元がゆく. 双方がとれなけれぼ I の勝ち, とれれぼ垣の勝ちとする.
$G(\mathrm{P})$$\alpha>\omega$$\mathrm{P}$$a_{1}\leq_{\mathbb{P}}b_{0}$$b_{2},$$b_{1}$$b_{0}\leq_{\mathrm{P}}a_{0}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$a_{0}\in \mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\ldots$$\mathrm{P}$$\omega$$\underline{G(\mathrm{P})}$I:$\mathrm{I}\mathrm{I}$:$a_{2}$$a_{1}$$a_{0}$$b_{2}$$b_{1}$$b_{0}$...
...

定理 L2 (Banach-Mazur, Jech).
separative な半順序集合 が$\mathrm{P}$$\sigma- \mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\Leftrightarrow G(\mathrm{P})$において I が必勝法をもたない.

そこで, このゲームを用いてさらに強い性質を考えることができる.

定義 L3.
きにいう.

$\mathrm{P}$が stmtegically closed であるとは,$G(\mathrm{P})$において$\mathrm{I}\mathrm{I}$が必勝法をもつと

命題 1.4.

(1) -closed な半順序集合は strategically closed である.
(2) strategically closed な半順序集合は proper である.
$\sigma$-Baire で proper でない半順序集合は存在するので, strategic closure は -Baire
より真に強い性質であることがわかる.
Foreman [F] はこのゲームを拡張してさらに強い strategic closure property を考察した. 以下, 記法の都合上, 0 は極限順序数ではなく後続順序数とみなす.
$\sigma$$\sigma$

本稿の作或にあたって御助言下さった北見工業大学の${ }$野昌氏に感謝致します.
Typeset by$A.\vee \mathrm{p}\mathrm{S}- \mathrm{I}\mathrm{E}\mathrm{X}$76$\pm \mathrm{D}\mathrm{f}\overline{\overline{\equiv}}\ovalbox{\tt\small REJECT}*\mathrm{Y}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{U}\mathrm{O}$YOSHINOBU

定義 L5. 半順序集合と順序数に対して, 次のような二人ゲームをで表す:と同じように, , 垣が交互にのより小さい元を選んでゅく. 双方が回の指し手を終えた後, もし $a_{n}(n<\omega)$ 全部よりも小さい の元がとれなければ即座に垣の負けとする. とれるなら I はそのような元 a。を選び, 垣はを選び, などとゲームは続く. 他の limit stage でも同様にする.
は回手を指すことができれぼ勝ち ( 手目が指せなくてもよい), それ以外のときは I の勝ちとする.
$\alpha>\omega$$\mathrm{P}$$G(\mathrm{P})$$G_{\alpha}^{1}(\mathrm{P})$$\mathrm{I}$$\mathrm{P}$$\omega$$\mathrm{P}$$b_{\omega}\leq_{\mathrm{P}}a_{\omega}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\alpha$$\alpha$は limit stage で垣が先に手を指す点以外は上と同じであるようなゲーム$\mathrm{G}_{\alpha}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(\mathrm{P})$を表す.

$\underline{G_{\alpha}^{1}(\mathrm{P})}$I::$a_{0}$$\underline{G_{\alpha}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}(\mathrm{P})}$$b_{0}$

I::...

$a_{1}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$a_{0}$$b_{1}$

...

a。

b。

$a_{1}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$b_{0}$$a_{\omega+1}$b。

$b_{1}$

明らかに, 一般には が大きい程, また勝つのが難しいゲームとなる.
$\alpha$定義 L6. 半順序集合$\mathrm{P}$

a。+l

と順序数

$\alpha>\omega$$b_{\omega+1}$$G_{\alpha}^{\mathrm{I}1}(\mathrm{P})$について,

strongly -strategidly closed) であるとは, 垣が勝法をもつときにいう.
$\alpha$より$\mathrm{P}$$G_{\alpha}^{\mathrm{I}}(\mathrm{P})$がの方が垣にとっては-strategically closed (resp.
(resp.
) [こおける必$\alpha$$G_{\alpha}^{11}(\mathrm{P})$$G_{\alpha}^{\mathrm{I}}(\mathrm{P})$注意 1. 7.

(1)はいずれも実質的にはと同じゲームである. よって
strategica 垣 closed, $(\omega+1)$ -strategically closed, strongly $(\omega+1)$ -strategicallyclosed は同値な概念である.
(2) これらの strategic closure property はいずれも separative な半順序集合に関する限り forcing equivalent のもとで不変である. separative でない半順
序集合についてはこの限りでない. 例えば,を
を自然数の順序の逆関係
で順序付けたものとすると, 任意の半順序集合 につぃてととはforcing equivalent であるが, 明らかには strategically closed でない.
$G_{\text{。}+1}^{1}(\mathrm{P}),$$G_{\omega+1}^{11}(\mathrm{P})$$G(\mathrm{P})$$\mathrm{y}$$\mathbb{Q}$$\omega$$\mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\mathrm{P}\mathrm{x}\mathbb{Q}$$\mathrm{P}\cross \mathbb{Q}$問題 L8. これら strategic closure property たちの強弱関係はどのようになってぃ
るかある場合には, ‘短い’strategic closure が ‘長い’ それを導くことがゎかってぃる. たとえぼ, strategically closed な半順序集合は, 必ず $(\omega+\omega+1)$ -strategically dosed であることは容易にわかる. 少し考えると, $(\omega^{2}+1)$ -strategically closed であることも

わかる.

一方,

$\kappa$が正則基数のときは, 例えば

Fn \kappa , 2,$($は stronglyさ$\kappa$$\kappa):=\{p :\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(p)arrow 2|\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(p)\subseteq\kappa\wedge|\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(p)|<\kappa\}$(逆包含|||頁序)-strategically closed だが $(\kappa+1)$ -strategically closed ではないので, 長と $\kappa+1$ の closure には明白に違いがある.
$\kappa$

そこで, 当面の興味は, が無限基数のとき, 長さ $(\kappa+1)$ からにはどれだけギャップがある力 , ということに絞られる.
$\kappa$$\mathrm{a}$$\kappa^{+}$

までの closure

77
半順序集合上のゲーム

2. DIRECTIVE TREES
この節では, ‘長い’ 必勝法を構或するための鍵となる directive tree
する.

の概念を導入-directive であるとを順序数, を基数とする. tree $T=(\lambda, \prec)$ が定義 2.1.
は, 次が成り立つときにいう:, ただし height(T) は $T$ の tree としての高さを表す,
height(7)$(\lambda, \kappa)$$\lambda$

(1)
(2)
(3)

$\kappa$$\leq\kappa$$\forall\alpha,$,であるようなどんな極限順序数$\beta<\lambda[\alpha\prec\beta\Rightarrow\alpha<\beta]$$\mathrm{c}\mathrm{f}\eta\leq\kappa$い) $T$ の枝$(\lambda, \kappa)$$b$-directive tree$\eta\leq\lambda$に対しても, (最大元を持たなが存在して, $\sup b=\eta$ となる.

$T$が連続であるとは, $T$ のどの枝も順序数の列として連続であるときにいう.

を無限基数とする.
-directive tree が存在するなら , 任意の strongly $(\kappa+1)$ -strategically(1)closed な半順序集合は strongly -strategically closed である.
-directive tree 力ゞ存在するなら , 任意の $(\kappa+1)$ -strategically(2) 連続な-strategically closed である.
closed な半順序集合は補題 2.2(Ishiu).

$\kappa$$[] \mathrm{f}^{\backslash }$$(\kappa^{+}, \kappa)$$\kappa^{+}$$\mathfrak{l}\mathrm{f}^{\backslash }$$(\kappa^{+}, \kappa)$$\kappa^{+}$(証明のスケツチ) (1)$T$を$(\kappa^{+}, \kappa)$-directive tree とし,$\sigma$を$G_{\kappa+1}^{1}(\mathrm{P})$(こお$\#\mathrm{e}$る$\prime 1^{\backslash }\backslash$の各枝の上でを構或する.
における必勝法
法とする.
ーム)
がそ t\iota \not\in -‘‘れ行われている うに見立て, こ 各 R 上のG こする: 各 Jll 頁序数
用, というのが基本的なアイデアである. 正 には次のようであるような $T$ のユニークな枝とする. 各
を
に対し,
に
,
$G_{\kappa^{+}}^{1}(\mathrm{P})\text{を},$$\tau$$G_{\kappa}^{\mathrm{I}}+(\mathrm{P})$$\text{勝^{}\backslash \prime}$$T$$\iota_{\sim}^{-}\lambda 1\backslash \text{し}\vee T\sigma \text{を}$$P^{\backslash }$$\theta$$\text{よ}$$G_{\kappa+1}^{1}(\mathrm{P})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\iota_{\sqrt}\mathrm{a}\text{る}$$\beta=\beta_{\eta}$$\langle\beta_{\xi}|\xi\leq\eta\rangle$$\beta<\kappa^{+}$$\lambda 1\backslash 1_{\vee}$$\langle a_{\gamma}|\gamma\leq\beta\rangle\in\beta+1\mathrm{P}$$\tau(\langle a_{\gamma}|\gamma\leq\beta\rangle):=\sigma(\langle a_{\beta_{\xi}}|\xi\leq\eta\rangle)$と定義する.
が必勝法であることは, 直感的には$\tau$

が各枝上で勝つこと力 ら明ら力 なのだ力\sigma ,$\mathrm{a}$$\mathrm{a}$$\sigma$

正確には以下のように示される.
垣がは$\beta$ての’) 帯納法\mbox{\boldmath $\tau$}‘‘’を指すことができることを示そう. 帰納法の仮定 G こより, 双方のプレー$G_{\kappa^{+}}^{1}(\mathrm{P})$番目$\text{の手}$で$\tau$に沿って指していると$\text{せ}$よ.

$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\beta<\kappa^{+}l_{arrow \mathcal{D}\mathrm{A}^{\mathrm{a}}}^{\sim}\vee$

回ずつ手を指したものとしてよ .
力\sigma 極限
を 法的に指すことができる.
が後続順序数ならば, I は次の手で序数であるとすると, 定義 2.1(3) より, (最大元をもたな ) の枝[
よ極限
を昇順に並べたものとする (従ってをあるものが存在する.
ヤーは既に$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\beta$$\mathfrak{l}^{1}\mathrm{I}\Xi$$\beta$$\bigwedge_{\overline{\mathrm{D}}}$$a\beta$$\beta$$\mathrm{A}^{\mathrm{a}}$$T$$b \vee C^{\backslash \backslash }\sup b=\beta$$\delta$$b$$\langle\beta_{\xi}’|\xi<\delta\rangle$

順序数$\leq\kappa$

である). 各について, 我々の仮定より,$\xi<\delta$$b_{\beta_{\acute{\xi}}}=\tau(\langle a_{\gamma}|\gamma\leq\beta_{\xi}’\rangle)=\sigma(\langle a_{\beta_{\zeta}’}|\zeta\leq\xi\rangle)$である. これより$\langle a_{\beta_{\acute{\xi}}}, b_{\beta_{\acute{\xi}}}|\xi<\delta\rangle$

は垣が$\sigma$に沿って指したような$G_{\kappa+1}^{1}(\mathbb{P})$l こお l ナ[よにおける必勝法なので,はる一つの棋譜になっ い 6.
も共通拡大をもつ, なぜならこのダリ [よに共通拡大を持つ. 従ってが極限順序数の場合でも (よと共終だからである. 以上より
アー-F\beta *K 列で は$\vee C$$\sigma$$\langle a_{\beta_{\acute{\xi}}}|\xi<\delta\rangle$$G_{\kappa+1}^{\mathrm{I}}(\mathrm{P})$$\langle a_{\gamma}, b_{\gamma}|\gamma<\beta\rangle$$\mathrm{P}$$\mathrm{I}$$b$$a_{\beta}$$\beta$$\beta$を選ぶことができるとしてよい.

78$\pm \mathrm{r}\supset \mathrm{t}_{\mathrm{D}}^{-}\equiv \mathrm{k},$

さて,
て,

を

$\langle\beta\xi|\xi\leq\eta\rangle$$\beta_{\eta}=\beta$

は垣$\langle a\beta_{\xi}, b\beta_{\xi}|\xi<\eta\rangle^{\wedge}\langle a\beta\rangle$の棋譜になっている. よって$\sigma$

YOSHINOBU$\neq \mathrm{Y}\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{U}\mathrm{O}$なる $T$ のユニークな枝とせよ. 上と同じ議論にょっに沿って指したような$\mathrm{B}^{\grave{\grave{\mathrm{a}}}}\sigma$

における –っ$G_{\kappa+1}^{\mathrm{I}}(\mathrm{P})$の必勝性より$b_{\beta}=\tau(\langle a_{\gamma}|\gamma\leq\beta\rangle)=\sigma(\langle a_{\beta_{\xi}}|\xi\leq\eta\rangle)\leq a_{\beta_{\eta}}=a_{\beta}$である. .’ れは垣が$\beta$番目の手を合法的に指すことができることを意味しており, これで帰納法は完結した.
(2) 基本的なアイは (1) & 同じであるので詳述しない.
directive tree の連続性は,tree の各枝上でを行ってぃるとみなしてその必勝法を適用するとき, limit
stage で得られる手が, もとのにおける合法的な手になることを示す & ころ$\overline{\dot{\tau}}7$$G_{\kappa+1}^{1\mathrm{I}}(\mathrm{P})$$G_{\kappa}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}+(\mathrm{P})$で用いられる.

口

次の補題は後で用いる.
補題 2.3. 任意の無限基数

(証明)
Ord,

$\langle$に対して,$(\lambda, \omega)$-directive tree が存在する.

についての帰納法で,-directive treeを, ‘グローバルな’ tree
subtree とし \mbox{\boldmath $\tau$}構或してゆく.
につぃては, \prec =くとおく.

$\lambda$$(\lambda, \omega)$$\langle\lambda, \prec \mathrm{r}\lambda\rangle$$\text{の}$$\prec\rangle$$\lambda=\omega$$\langle\omega, \prec[\omega\rangle$

は明らかに

さて,
$\lambda^{+}$$\lambda$$(\omega, \omega)$-directive である.

$\langle\lambda, \prec \mathrm{r}\lambda\rangle$

が既に定まってに対し,$(\lambda,\omega)$

上の tree を作る.

-directive であるとしょう. これを拡張して$\alpha<\lambda^{+}$$E_{\alpha}:=$$O_{\alpha}:=${{$\beta\in[\lambda\alpha,$$\lambda\alpha+\lambda)|\beta$$\beta\in[\lambda\alpha,$$\lambda\alpha+\lambda)|\beta$

は偶数},
は奇数}

とおく. 構或は次のようにする:に対して, \prec [O。を と O。の間の順序同型のもとでと同型になる
うに定める. 各 O。は上に最終的にできあがる tree のうちで他の部から独立となる.

(1) 各$\alpha\in(0, \lambda^{+})$$\lambda$$\prec \mathrm{r}\lambda$$\text{よ}$$\lambda^{+}$$\theta\grave{\mathrm{J}}$

(2)
拡張する:

$\alpha<\lambda^{+}$についての$\langle S_{\alpha}, \prec \mathrm{r}s_{\alpha}\rangle$をにょって,が定義されてぃるとせよ. 全単射$\prime k^{\Xi}ffi^{\backslash }\backslash ae$$\langle\lambda, \prec \mathrm{r}\lambda\rangle$$S_{\alpha}= \lambda\cup\bigcup_{\gamma<\alpha}E_{\gamma}$$g_{\alpha}$:$E_{\alpha}arrow S_{\alpha}$

を \prec \emptyset 順でのすぐ次に来るようにする. これにょりが定まる浦 mit stage では, 単にそこまでの構或の和を考える.
$\beta\in E_{\alpha}$

さてに次のようにを固定し, 各$g_{\alpha}(\beta)$$\langle S_{\alpha+1}\prec \mathrm{r}S_{\alpha+1}\rangle$-directive であることを確がめよう. 新しく付け加ゎった順序数達のうち, \Re はに同型な tree 達を作っており, 一方偶数はいず, も有限なレベルの元
ぐ次の元として け加えられてぃるの ,は高さ
tree で る. 定義 2.1 の条件のうち (1) と (2) は明らか あ 6. (3) が或り立つことを示そう.
をなる順序数とせよ.
Case 1. がの倍数でないとき$\langle\lambda^{+}, \prec \mathrm{r}\lambda^{+}\rangle$

が$(\lambda^{+}, \omega)$$\Rightarrow \mathrm{p}$$\langle\lambda, \prec \mathrm{r}\lambda\rangle$$n$$\sigma)^{-}\mathrm{t}$$\mathrm{t}1\backslash$$\text{て^{}\mathrm{v}}$$\langle\lambda^{+}, \prec\square \lambda^{+}\rangle$$\omega \text{の}$$\text{あ}$$-\zeta^{\mathrm{s}}$$\alpha<\lambda^{+}$$\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha)=\omega$$\lambda\omega$$\alpha$

この場合, はの間の順 ff 同型は$\alpha$$\lambda\beta+\xi$$\xi$の形にがける. ここで\mbox{\boldmath $\xi$}$\alpha$が$\lambda\omega$$\langle\lambda\alpha_{n}|n<\omega\rangle$

るも$\text{の}$$\mathrm{c}\mathrm{f}(\xi)=\omega$に収束する強い意味で単調増加な順序数列をするそれに移すので, $\sup b=\alpha$ なるCase 2.

$\leq\lambda,$$\mathit{0}_{\beta}$

の枝

$b$

である.

$\lambda$と$\lambda\beta+\xi=\alpha$がとれる.

$O_{\beta}$に$\downarrow|\mathrm{X}$と束の倍数であるとき.
を$\lambda$の倍数からなる強い意味で単調増加な順序数列で,とする. $–\text{で},$ $\beta_{0}=0,$$\beta_{n+1}=g_{\alpha_{n}^{-1}}(\beta_{n})$に収束すとおく. すると, 各 n<\mbox{\boldmath $\omega$}’ こ,$\alpha$$\lambda\backslash \dagger|_{\vee}$

79
半順序集合上のゲームの順でのすぐ次に来て, かつ
立つ. これより $b=\langle\beta_{n}|n<\omega\rangle$ は$\beta_{n+1}$

は$\beta_{n}$$\prec$の枝であり,-directive であることが示せた.
$\langle\lambda^{+}, \prec\lceil\lambda^{+}\rangle$

れで,$\lambda$が$\lambda$$\langle\lambda^{+}, \prec[\lambda^{+}\rangle$

が$(\lambda^{+}, \omega)$

が極限基数の場合は,が成りに収束している. こ$\lambda\alpha_{n}\leq\beta_{n+1}<\lambda\alpha_{n}+\lambda\leq\lambda\alpha_{n+1}$$\prec[\lambda=\bigcup_{\delta<\lambda}(\prec[\delta)$$\alpha$とおく. 帰納法の仮定より$\langle\lambda, \prec \mathrm{r}\lambda\rangle$-directive tree となるための条件はほとんど導かれる.
の場合にはと同様にして示せ
これは上の
2
Case
に収束する枝の存在を示さねばならないが,る.

$\mathrm{c}\mathrm{f}\lambda=\omega$$(\lambda, \omega)$

口

3. 主定理定義 3.1.
口$\kappa$を無限基数とする.

$\kappa\Leftrightarrow$

列$\langle$

各極限順序数(i) C。は(ii)$\kappa*\Leftrightarrow$

列$\langle$の club subset,$\alpha$$(C\text{。}\cap\beta=C_{\beta})$$\rangle$について, 次が成り立つ:,$1\leq|\mathrm{C}_{\alpha}|\leq\kappa$,[ $C$ はの club subset],(iii)$\forall C\in \mathrm{C}_{\alpha}$(iv)$\forall C\in \mathrm{C}_{\alpha}[0.\mathrm{t}.(C)\leq\kappa]$(v)
AP\kappa \Leftrightarrow 列

各$\alpha\in C$(ii)$\alpha$,$\forall C\in \mathrm{C}_{\alpha}\forall\beta\in 1.\mathrm{p}.(C)(C\cap\beta\in \mathrm{C}_{\beta})$$\exists\langle C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}\rangle$(i),, Lim(\mbox{\boldmath $\alpha$}) が存在して,$\alpha<\kappa^{+}$$\mathrm{C}_{\alpha}\subseteq P(\alpha)$

(ii)

,

$\forall\beta\in 1.\mathrm{p}.(C_{\alpha})$

各極限順序数について, 次が成り立つ:$\alpha<\kappa^{+}$$\mathrm{C}_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}$(i)$\rangle$$0.\mathrm{t}.(C_{\alpha})\leq\kappa$

(iii)
口

, Lim(\mbox{\boldmath $\alpha$}) が存在して,$C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}$$C_{\alpha}$と$\kappa^{+}$

ロ Lim の,club subset$C$が存在して,

について次が成り立つ:は$\alpha$の club subset,$0.\mathrm{t}.(C_{\alpha})=\mathrm{c}\mathrm{f}\alpha$,(iii) \foral \beta <\mbox{\boldmath $\alpha$}\exists \gam a <\mbox{\boldmath $\alpha$}[C。

$\cap\beta=C_{\gamma}$].

命題 3.2.

, \kappa <\kappa =\kappa \Rightarrow ロ\kappa *,(1) ロ(2) 。は真である.
$\kappa\Rightarrow \text{口_{}\kappa}^{*}\Rightarrow \mathrm{A}\mathrm{P}_{\kappa}$$\square$定理 3.3(Ishiu&Y-).

$\kappa$を無限基数とする. 以下は互いに同値である:

.
(1)
連続な
-directive tree が存在する.
(2)(3) 任意の半順序集合は, $(\kappa+1)$ -strategically closed ならば
closed でもある.
$\text{口_{}\kappa}$$(\kappa^{+}, \kappa)$$\kappa^{+}$-strategically80
吉信康夫 YASUO YOSHINOBU
定理 3.4$(\mathrm{Y}$- $)$.

$\kappa$を無限基数とする. 以下は互いに同値である:

(1)
.
(2)
-directive tree が存在する.
(3) 任意の半順序集合は, strongly $(\kappa+1)$ -strategically closed ならば strongly-strategically closed でもある.
$\mathrm{A}\mathrm{P}_{\kappa}$$(\kappa^{+}, \kappa)$$\kappa^{+}$(定理 33 の証明のスケッチ) (2)の結果から導かれる:
命題 3.5(Vellemm[Vm]).
以下の事が成り立つ.

(A)
(B)

$\mathrm{p}_{\square _{\hslash}}$$\Rightarrow(1)$は次を口\kappa 列を付加する自然な半順序集合とするとき,

は $(\kappa+1)$ -strategically closed であり,がが成り立つ.
-strategically closed ならば,$\mathrm{p}_{\square _{\kappa}}$$\kappa^{+}$$\mathrm{p}_{\square _{\kappa}}$$\text{口_{}\kappa}$

そこで (1)$\langle$

は補題 2.2(2) に他ならない. (3)$\Rightarrow(3)$$\Rightarrow(2)$$C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+},$ $\alpha$is aを示せぼよい.
$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\rangle$のように定義する:を口\kappa 列とする. そこで,$\beta\prec_{0}\gamma\Leftrightarrow\beta<\gamma$

かつ$\kappa^{+}\cap \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}$$\beta\in 1.\mathrm{p}.(C_{\gamma})$上に二項関係を次.

定義の仕方から, 次のことが容易に示される.
の tree であり,
口 Lim) は高さ(i)(ii) その枝はすべて連続であり,
なる任意の
(iii)
に対し, 最大元をもたない枝$\kappa^{+}$$\prec 0$$.\leq\kappa$$\langle$$\eta<\kappa^{+}$$\mathrm{c}\mathrm{f}\eta>\omega$$b$

で $\sup b=\eta$ なる

ものがとれる.
そこで$\kappa^{+}$$\langle$

ロ Suc,$\prec_{1}\rangle$

を, 補題 23 で存在が示されている順序同型で引き写したものとすれば,であることが示せる. ロ口$\langle\kappa^{+}, \prec 0\mathrm{U}\prec_{1}\rangle$$(\kappa^{+}, \omega)$は連続な-directive tree を-directive tree$(\kappa^{+}, \kappa)$

注意 3.6.

(a) Velleman は実際には, 定理 33 の (1) と -closed な半順序集合につぃての(3) が同値になることを示している.
(b) 。は真なので, 任意の半順序集合は, $(\omega+1)$ -strategically closed ならば
strategically closed でもある. これは Foreman ともそれぞれ独立に得ていた結果である (参照).
(c) 任意のの ‘部分的な’ \kappa 列はっねに存在するので,に対して, 長さ$(\kappa+1)$
任意の上の証明と同じ議論で,-strategically closed な半順序集合は任意のに対して -strategically closed であることがいえる.
$\sigma$$\square$$\omega_{1^{-}}$$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}$$[\mathrm{J}2],[\mathrm{V}\mathrm{c}]$$\gamma<\kappa^{+}$$\square$$\gamma$$\gamma<\kappa^{+}$$\gamma$(定理 3.4 の証明のスケツチ) (2)は補題 2.2(1) に他ならない. また, (3)についても, 定理 33 の証明と同様に, 自然に AP\kappa 列を付加する半順序集合
を考えれぼ,|よ strongly $(\kappa+1)$ -strategically closed であり,
(1)が strongly(2)-strategically closed ならぼ,が成り立つ,ということが示せるのでよい.
そこで (1)を AP\kappa 列とし, $C$ をその witness とを示す.
で $C$ を昇順に並べ挙げたものとする. 各する.
に対し,-d 汁 ective tree
を選んでおく.
$\Rightarrow(3)$$\Rightarrow(1)$$\mathrm{P}_{\mathrm{A}\mathrm{P}_{\kappa}}$$\mathbb{P}_{\mathrm{A}\mathrm{P}_{\kappa}}$$\kappa^{+}$$\mathrm{P}_{\mathrm{A}\mathrm{P}_{\kappa}}$$\mathrm{A}\mathrm{P}_{\kappa}$$\Rightarrow(2)$$\langle C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}\rangle$$\langle\alpha\beta|\beta<\kappa^{+}\rangle$$(\kappa\alpha\beta, \kappa)$$\beta<\kappa^{+}$$S_{\beta}=\langle\kappa\alpha\beta, \prec s_{\beta}\rangle$

81
半順序集合上のゲームを十分大きい正則基数とし,すものとする:$\theta$

(i)
(ii)
(iii)
(iv)

を

$\triangleleft$$H_{\theta}$の整列とする.

$\kappa+1\cup\{\langle C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}\rangle, \langle S_{\beta}|\beta<\kappa^{+}\rangle,C\}\subseteq N_{0}$$\forall\gamma,\beta<\kappa^{+}$[「$\gamma<\beta\Rightarrow\langle N_{\gamma},\triangleleft$$\langle N\beta|\beta<\kappa^{+}\rangle$

を次をみた

,

$N_{\gamma}\rangle\prec\langle N_{\beta},\triangleleft\square N_{\beta}\rangle\prec\langle H_{\theta},\triangleleft\rangle$],,$\forall\beta<\kappa^{+}[\langle\langle N_{\gamma}, \triangleleft[N_{\gamma}\rangle|\gamma<\beta\rangle\in N_{\beta}]$.

$\forall\beta<\kappa^{+}[|N_{\beta}|=\kappa]$は順序数である. また (iii) より, 各を構或する $f.$’ め,である.
-directive treeについてが成り立つようにを,についての帰納法によって定義したい.
は明らかである.
[ \kappa \mbox{\boldmath $\alpha$}0:=\prec s。とおく.
(1) $\beta=0$ については,であると仮定する.
(2)(i) より, 各$\beta<\kappa^{+}$

について$\beta<\kappa^{+}$$N_{\beta}\cap\kappa^{+}$$\mathcal{T}=\langle\kappa^{+}, \prec\tau\rangle$$(\kappa^{+}, \kappa)$$\beta\in N\beta$$\beta<\kappa^{+}$$\prec\tau[\kappa\alpha\beta\in N\beta$$\prec\tau \mathrm{r}\kappa\alpha\beta$$\prec\tau \mathrm{r}\kappa\alpha_{0}\in N_{0}$$\prec\tau$$\prec\tau \mathrm{r}\kappa\alpha\beta\in N_{\beta}(\beta<\kappa^{+})$$E_{\beta}:=$$O_{\beta}:=$$B\beta:=${{{$\xi\in[\kappa\alpha_{\beta},$$\kappa\alpha_{\beta+1})|\xi$$\xi\in[\kappa\alpha_{\beta},$$\kappa\alpha_{\beta+1})|\xi$は$b\in N_{\beta}|b$

は偶数},
は奇数},
の枝であって, length(b)$\prec\tau \mathrm{r}\kappa\alpha\beta\rangle$$\langle\kappa\alpha\beta,$$<\kappa$}.

を順序同型によって引き写した tree とし, この部分の他の部分から独立させておく.
はなをとしてよいので) $|B\beta|=\kappa$ である. そこで,(iv) より (のすぐ次に来るを枝る全単射のうち, 最小のものとする. そして, 各内で実行でを拡張する. $N\beta\in N\beta+1$ であるので, この構或はものとしてが成り立つ.
きる. よってとおくが極限順序数のときは, 単に(3)は順序数の連続な列であることに注意). (iii) より, ここまでの全構或はであり, 帰納的構或は完結している.
内で実行できる. よってには最大元をもたない枝 でに対し,さて, 任意の極限順序数がとれるなる$\sup b=\xi$ なるものがとれることを示そう.
について,
内にみつかる. そこで, ある極限順序数場合には, そのような枝はをを昇順に並べ挙げたものとと表せる場合を考えよう.
をに対し,する. 各極限順序数$\prec\tau[O_{\beta}$は$\prec s_{\beta+1}\mathrm{r}[\kappa\alpha\beta, \kappa\alpha\beta+1)$$\langle\kappa\alpha\beta+1, \prec\tau \mathrm{r}\kappa\alpha\beta+1\rangle$$\alpha_{0}>0$$E\betaarrow B\beta$$f\beta$$f\beta(\xi)$$\xi\in E\beta$$N_{\beta+1}$$\prec\tau$$\prec\tau \mathrm{r}\kappa\alpha\beta+1\in N\beta+1$$(\langle\alpha\beta|$$\prec\tau[\kappa\alpha\beta:=\bigcup_{\gamma<\beta}(\prec\tau \mathrm{r}\kappa\alpha_{\gamma})$$\beta$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\beta<\kappa^{+}\rangle$$\prec\tau[\kappa\alpha\beta\in N_{\beta}$$\xi<\kappa^{+}$$b$$\langle\kappa^{+}, \prec\tau\rangle$$\beta<\kappa^{+}$$\kappa\alpha_{\beta}<\xi\leq\kappa\alpha_{\beta+1}$$\beta$$O_{\beta}$$\langle\eta_{i}|i<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta\rangle$$\xi=\kappa\alpha_{\beta}$$C_{\alpha_{\beta}}$$\gamma(\lambda)<\alpha\beta$$\lambda<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta$$C_{\alpha_{\beta}}\cap\eta_{\lambda}(=\{\eta_{i}|i<\lambda\})=C_{\gamma(\lambda)}$が成り立つような最小の順序数と定義する.
$\xi<\alpha_{\beta}$

なので,$\overline{\beta}(\xi)$をであるような最小の順序数くを次のように定義する:$\xi<\alpha_{\overline{\beta}(\xi)}$についての帰納法により,$\nu_{i}<\beta$$:=\beta(\eta_{0})$$\nu_{0}$$\{$( : limit)$\lambda$$\nu_{\lambda}$$\langle\nu_{i}|i<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta\rangle$

さて,$\mathcal{T}$は順序数の増加列で,の枝$b=\langle\xi_{i}|i<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta\rangle$

うに定義しよう. まず

$b$

とする.

$i<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta$,$:= \max\{\nu_{i}+1, \overline{\beta}(\eta_{i+1})\}$$\nu_{i+1}$$\beta$,$:= \max\{\sup_{i<\lambda}\nu_{i}, \overline{\beta}(\gamma(\lambda))\}$に収束している.
について
を, 各嘉

.

$\beta$$<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta$「 0\in B,。は明らかである.

$b$「$i\in B_{\nu_{i}}$が成り立つよ82
吉信康夫 YASUO YOSHINOBU$b[i\in B_{\nu_{i}}$は再び$i)^{\Lambda}\langle\xi_{\dot{l}}\rangle$とせよ. $\xi_{\dot{\iota}}:=(f_{\nu_{i}})^{-1}(b[i)$ とおく.
$\mathcal{T}$$f_{\nu}\dot{.}$の定義より, $b\mathrm{r}(i+1)=(b$$[$の枝であり,$(^{*})$$\kappa\alpha_{\nu_{i}}\leq\xi_{\dot{\iota}}<\kappa\alpha_{\nu+1}\leq:\kappa\alpha_{\nu_{i+1}}$が成立している. $\nu:+1\in N_{\nu}.\cdot+1$ と (i) $N$ 列の定義の (i) とより,であり,従ってである. このこととより $b\mathrm{r}(i+1)\in N_{\nu_{i+1}}$
であることがわかる.
について帰納法を完結させるため, 任意の極限順序数
である
ことを示さねぼならない. モデノレ
は
(こおいて,
及$\kappa\alpha_{\nu_{i+1}}\in N_{\nu_{i+1}}$$\xi_{i}\in\kappa\alpha_{\nu_{*+1}}.\subseteq N_{\nu}.\cdot+1$$N_{\nu}.\cdot\subseteq N_{\nu}:+1$$\lambda<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta$$b[\lambda$$\langle H_{\theta},\triangleleft\rangle$び$\langle\nu:|i<\lambda\rangle$から,$\gamma[\lambda$とから定義されている.

は $\{\eta:|i<\lambda\}=C_{\gamma(\lambda)},$$\langle N_{\gamma}|\gamma<\sup_{i<\lambda}\nu_{i}\rangle$$\lambda$$\overline{\beta}$$\gamma$$\langle C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}\rangle$$\gamma(\lambda)$$C_{\gamma(\lambda)}$$\overline{\beta}$$\langle C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}\rangle$$b\mathrm{r}\lambda$$\langle C_{\alpha}|\alpha<\kappa^{+}\rangle$$N_{\nu_{\lambda}}$$(^{*})$$\langle f_{\gamma}|\gamma<\sup_{i<\lambda}\nu_{i}\rangle$

は $C$ と「 , 及び からそれぞれ定義されてぃる.
は C\gamma い) と列|よとから定義されている.
は $C$ から定義されている. 結局,$C$ ,とから定義されている.
は及びから定義されており, これらはすべ(こ属していることがわかる. よって
がいえた.
がすべての
$\sup
b=\xi$
は明らかである. 口に対して成り立つので,$\langle\nu:|i<\lambda\rangle$$\langle N_{\gamma}|\gamma<\sup_{:<\lambda}\nu:\rangle,$て$\langle f_{\gamma}|\gamma<\sup_{:<\lambda}\nu:\rangle$$b\mathrm{r}\lambda\in N_{\nu_{\lambda}}$$\lambda,$$\lambda,$$\gamma(\lambda)$$b\mathrm{r}\lambda\in N_{\nu_{\lambda}}$$i<\mathrm{c}\mathrm{f}\beta$

REFERENCES
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$A$

$A$

$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.$$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}$$\square$$\coprod_{\kappa}$