計測自動制御学会産業論文集
Vol.4, No.2, 10/16（2005）

入出力線形化法を応用した熱交換器の適応型非線形モデル予測制御 †吉 田 雅 俊∗ ・小 尾 秀 志∗ ・Tipaya Leelakiatesakul∗
山 下 善 之∗ ・松 本

繁∗

Adaptive Nonlinear Model Predictive Control for a Heat Exchanger by Use of Input-Output
Linearization
Masatoshi Yoshida∗ , Shuji Obi∗ , Tipaya Leelakiatesakul∗ ,Yoshiyuki Yamashita∗ and Shigeru Matsumoto∗

This paper describes an adaptive model predictive control by use of input-output linearization. This control method is applied to a double pipe heat exchanger. A continuous physical model of the heat exchanger
is discretized by using Taylor expansion and then the controlled variable at next time step is predicted by thediscretized physical model. The model predictive controller computes the value of the manipulated variable inorder to control the predicted controlled variable onto a target value. By using input-output linearization, theappropriate manipulated variable is easily obtained without solving an optimization problem. The control performance by this method is superior to that of PID control. And the proposed method is robust for the modelingerror.
Key Words: Model predictive control, Nonlinear, Heat exchanger, Input-output linearization

1.

ら 4) は，オブザーバを用いて状態変数を推定しながら入出緒言

力線形化法により制御する方法を検討している．

熱交換器は，流体間の熱交換を行なうための機器として，一方，近年，さまざまなシステムにおける制御に対して，

製油プロセス，空気分離プロセス，冷凍プロセスなどにおいモデル予測制御の概念を用いて，制御系を設計する方法が注て広く利用されており，化学プラントやエネルギープラント

目されている 5) ．モデル予測制御は，制御対象のプロセスのをはじめ産業界に数多く見られるシステムである．そのダイ動的挙動を表すモデル式を用いて，逆問題を解く形で操作変

ナミクスは時間と空間の関数となる分布定数系であり，更に数を算出するものである．その際，従来のモデル予測制御で温度制御の際，流体の流量を操作変数とすると非線形システ

は，モデル式として，インパルス応答モデルやステップ応答

ムとなり，制御系の設計は難しくなる．

モデルなどの線形時系列モデルを用いるが，これらのモデルを用いる代わりに，制御対象プロセスの熱収支及び物質収支

熱交換器の制御方法として，非線形制御理論を導入した方法がいくつか提案されている．Alsop & Edgar

1)式などから構成される，いわゆる物理モデルを用いる方法には，部分的対する考察が進められている 6) ．

に線形化した制御変数に基づき，熱交換器における制御系の設計を行なっている．Khambanonda ら 2) は，多項式展開を

なお，入出力線形化法とモデル予測制御を組み合わせた制用いて物理モデルを線形部分と非線形部分とに分ける方法を御法についてもいくつか提案されている．Kurts & Heason 7)

熱交換器に適用し，比例制御及び比例積分制御を行なう際のは，入出力線形化法により非線形物理モデルを線形化した安定性に関する考察を行なっている．また，Malleswararao

後，線形モデル予測制御を適用することにより，入力に制& Chidambaram 3) は，入出力線形化法を熱交換器に適用約のあるプロセスの制御に有効に働くことを示した．また，

Vallri ら 8) は，予測ホライズンが十分に短い場合の非線形

し，そのロバスト性を検討している．Joe Alverez-Ramirez

モデル予測制御は，一般の入出力線形化法と同様な定式化が可能であることを示し，さらに入力に制約のある場合にもワ†

計測自動制御学会東北支部第 170 回研究集会で発表 (1997・10)∗ 東北大学大学院工学研究科化学工学専攻 仙台市青葉区荒巻字青葉∗ Department of Chemical Engineering, Tohoku University,
Aoba-ku, Sendai（Received October 25, 2004）

インドアップのない制御システムを提案している．
本研究では，熱交換器の温度制御系の設計に，物理モデ
ルを用いたモデル予測制御を適用した．その際，分布定数系の物理モデル式を用いると，制御系の設計が複雑になり，

10

計測自動制御学会産業論文集

Vol.4, No.2, 10/16（2005）
式中，L は Lie 微分演算子であり，次式のように定義される．
∂h
Lf h(x) ≡f∂xn
Lf h(x) ≡ Lf Ln−1
f h(x)

実用化することが難しくなる．そこで本研究では，集中定数系に近似した物理モデルを利用している．導出した物理モ
デルを Taylor 展開を用いて離散化し，1 サンプリング後の予測値を目標軌道に一致させるような入力を入出力線形化

モデルから得られる被制御変数 ym (k) と実際のプロセスか法を応用して求める方法を提案している．本方法は，Kurts
7)

8)の方法のように入力に制約があら得られる測定出力 y(k) との間にはモデル誤差がある．そる場合には使えないが，彼らの方法より簡便で実用的であるの誤差 dp (k) を測定値 y(k) とモデルから計算される出力のが特徴である．

ym (k) の差として表すものとする．

& Heasonや Vallri ら

通常，モデル式は完全に実プロセスに一致させることは

dp (k) = y(k) − ym (k)不可能であり，必ず誤差が含まれている．モデル予測制御で（4）

操作変数の算出は，1 ステップ先のモデル予測値 ym (k + 1)

は，物理モデルに基づいて，予測モデルを構成するが，物理が設定値 yset (k + 1) に一致するようにモデル式を逆算するモデルに現れるパラメータに誤差が含まれると，実測値と予形で求める．ただし，モデル誤差として 1 ステップ前の誤差測値の間には誤差が残る．そこで，本研究では，制御の際にがそのまま入るものとしている．

オンラインでパラメータ更新を行なう適応制御を取り入れ

ym (k + 1) + dp (k) = yset (k + 1)て，その制御性能について検討を行なった．適用制御を採り（5）入れたモデル予測制御法としては，ARMAX などのパラメ

ただし，誤差にノイズなどが含まれている場合これを直接用

トリックモデルをオンラインで推定しながらモデル予測制御

いると制御に悪影響を及ぼすおそれがあるため，次式のようを行なうもの 9) や，人工ニューラルネットモデルをオンラな 1 次遅れフィルタを通した値を用いる．

インで学習しながらモデル予測制御を行なうもの 10) などがdp,f (k) = βdp,f (k − 1) + (1 − β)dp (k)ある．しかしながら本研究のように物理モデルのパラメータ（6）

ここで，β は外乱フィルタパラメータである．また，過渡状を適応的に推定しながら制御するモデル予測制御法は提案態において設定値が現在の出力と大きく離れている場合，こされていない．

2.

れらを急激に一致させようとすると制御系が不安定になる

制御理論

おそれがある．そこで次式のように設定値に 1 次遅れフィル

制御対象となる化学プロセスの多くは，その動的挙動が非タを通した新たな目標値 ytr (k + 1) を導入する．

線形であり，前述した様な，線形モデルを用いて制御系を設

ytr (k + 1) = αy(k) + (1 − α)yset (k + 1)計する方法では，良好な制御結果が得られない場合が多数存（7）

ここで，Eq.(5) の yset (k+1) の代わりに Eq.(7) の ytr (k+1)

在する．物理モデルは，制御対象のプロセスにおける熱収支

を用い，Eq.(5) の dp (k) の代わりに E.(6) の dp,f (k) を用いや物質収支などから構成されるため，非線形な動的挙動を表て，さらに，Eq.(5) の ym (k + 1) に Eq.(3) を代入して u(k)すことが出来る．物理モデルは通常，次式の連続時間系で構について解くと以下のようになる．

築されている．
dx= f (x) + g(x)udt
ym (x) = h(x)u(k) = {ytr (k + 1) − dp,f (k) − ym (k)
（1）

−

r

∆tn
n=1

∆tr
Ln
Lg Lr−1h(x)}/f h(x) （8）n! fr!

式中 x ∈ Rn は状態変数，ym ∈ R1 は被制御変数，u ∈ R1

上式が本研究のモデル予測制御の制御則である．なお本制御

は操作変数を表す．しかし，モデル予測制御系の設計は，離則のチューニングパラメータは α, β の 2 つである．

散時間系において行なわれるため，物理モデルを利用する

3.

際には，何らかの形で，これを離散化する必要がある．本

対象とそのモデル化研究では Taylor 級数展開を用いて離散化を行なっている．

3. 1

Taylor 級数展開に基づきサンプリングタイム ∆t について対象とした熱交換器は，二重管式向流型熱交換器であり，離散化を行なうと，次式が得られる．

ym (k + 1) = ym (k) +∞∆tn dn ym
n=1

n!

dtn

実験装置および方法

その実験装置の概略図を Fig.1 に示す．熱交換器本体は長さ 2m のステンレス鋼管であり，外管は外径 50mm，内径（2）47mm，内管は外径 34mm，内径 32mm である．
内管の外側に高温，内側に低温の水をそれぞれの流量コン

ここで，Taylor 展開をシステムの相対次数 r までで打ち切

トロールシステムから流入させ，高温側流体のみを循環さるものとすると ∆trym (k + 1) = ym (k) +n=1+

せた．制御の際には，高温側流体の出口温度を被制御変数とn

Ln h(x)n! f∆tr
Lg Lr−1
f h(x) · u(k)r!

し，低温側流体の流量を操作変数とした．流量コントロール
システムはケミカルギアポンプ，電磁流量計，ポンプ制御ユ（3）ニットを組み合わせたものであり，ポンプ制御ユニットを通11計測自動制御学会産業論文集

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01
10

Fc

800

Fh
T h,out

00110011
1100111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111

heat exchanger

loggerpump control
unit

PC

010011
10

600

Fc

Fh
T h,inheater

Uh
Uc
Ucal

700

T c,out

U [W/m2·K]

flowmeterF
T c,inF

0011

pump control
unit

PID
controller

500
400
300
200

pump

water bathwater bath

pump

100

Fig. 1 Experimental apparatus

03

して，流量の測定及び流量の調節を行なった．高温側流体の

4

5

6
7
Fc [l/min]

8

9

10

Fig. 2 Overall heat transfer coeﬃcient for various coolant
ﬂow rate

温度は，ヒータを用いて一定にさせるが，低温側流体は水道
水をそのまま用いた．高温側流体及び低温側流体の入口と出口温度は熱電対で測定し，データロガーを通して，それらのは大きく変化するため，総括伝熱係数の値に影響を及ぼすこ

値をコンピュータに取り込んだ．

とがあり得る．次にこれらについて検討を行なう．

Fig. 2 に高温流体の流量を 5 /min にし，低温流体の総括熱伝達係数の流量変化に対する影響

3. 2

本研究では，物理モデルを用いて，熱交換器における高温流量 Fc の変化に対する定常状態における高温流体側から求流体の温度を低温流体の流量の調節によって制御する．制御めた総括伝熱係数 Uh ，低温流体側から求めた総括伝熱係数

系設計には，物理モデルに現れるすべてのパラメータの値がUc ，次式の推算式から求めた値 Ucal の様子を示す．
Ao
1
Ao x
1
=
+
+
（12）
U
Ai hi
Aav λ
ho

計算上必要であり，制御性能はパラメータ及びモデルそのものの正確さに左右される．

hi = 0.023(λ/di )Re0.8 P r 0.4

熱交換器の物理モデル式において，総括伝熱係数 U 以外

（13）のパラメータ (密度 ρ, や比熱 Cp ) はすべて文献値を用いる

ここで，hi , ho は低温側及び高温側の境膜伝熱係数，x, λ はことができるので，ここではパラメータの中で総括伝熱係

内管の厚さと熱伝導度，Re は低温流体のレイノルズ数，P r数の値がモデルの正確さに最も影響を及ぼすと考えられる．

はプラントル数である．また Aav は内管の内表面積 Ai とそこで，管内の総括伝熱係数の算出法及び総括伝熱係数に対外表面積 Ao の対数平均値を表す．結果より，高温側の総括する流量の影響を実験によって検討した．

伝熱係数と低温側の総括伝熱係数はほぼ一致し，熱損失が少

向流型熱交換器では，高温流体が入口出口間で失った熱ないことが分かる．それらの値は計算値よりやや大きな値を

量 Qh と低温流体が入口出口間で得た熱量 Qc はそれぞれとる．また流量の影響に関しては，低温流体の流量が増加す

Eqs.(9),(10) で，管壁を通しての高温流体から低温流体へのるとともに，総括伝熱係数の値も大きくなる．

熱貫流による伝熱は Eq.(11) で表される．但し，Th , Tc はそ

この結果より，総括伝熱係数は流量によって変化するが，れぞれ高温流体および低温流体の温度，Fh ,Fc はそれぞれ高次節で述べる数学モデルに用いる総括伝熱係数は，低温流体の流量が 5 /min の値 (406 W/m2 K) で一定であるとした．

温流体および低温流体の流量を示しており、伝熱面積 Aav

3. 3は内管の外表面と内表面の面積の対数平均値を用いている．

Qh = Fh Cp (Th,in − Th,out )（9）Qc = Fc Cp (Tc,out − Tc,in )（10）

Q = U Aav ∆Tln
∆T1 − ∆T2
∆Tln =
1
ln ∆T
∆T2

数学モデル

熱交換器に対する数学モデルは分布定数系のモデルとなるが，ここでは以下の仮定に基づいて簡略化した集中定数系
モデルを導出する．

（11）• 高温及び低温流体の温度は，それぞれ出入口温度の相加平均とする．

• 高温流体側から低温流体側への熱移動の推進力は 対数∆T1 = Th,in − Tc,out, ∆T2 = Th,out − Tc,in

平均温度差 ∆Tln であるとする．

総括伝熱係数 U を求めるために，まず熱交換器を決めら

これより，高温側出口及び低温側出口での，各流体の熱収支式は次式となる．

れた初期定常状態にする．高温，低温の流体流量および流入温度を一定に保ち，高温流体，及び低温流体の出口温度を測定する．これらの測定値を上に示す Eqs.(9)，(10) に代入す

高温流体の出口における熱収支式:

ると，高温側と低温側の間の熱の増減が求められる．外部

dTh,out
2=[Fh (Th,in − Th,out )dt
ρSh l
U Aav ∆Tln]−
Cp

への熱の損失がなければ Qh , Qc , Q は同じ値をとることになる．
通常，制御を行なう際に，操作変数である低温流体の流量

12

（14）

計測自動制御学会産業論文集

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60
experiment
simulation

U Aav ∆Tln]+
Cp

Th,out [℃]

低温流体の出口における熱収支式:
2dTc,out=[Fc (Tc,in − Tc,out )
dt
ρSc l
（15）

ここで，Sh , Sc はそれぞれ高温流体と低温流体の流路断5550

面積であり，l は熱交換器の長さを示している．Eq.(14) 及0

び Eq.(15) より，被制御変数である高温流体の出口温度と，

100

200

300
time [s]

400

500

600

Fig. 3 Step responce of outlet hot ﬂuid temperature forchanging hot ﬂuid ﬂow rate

操作変数である低温流体の流量の関係は非線形となっている
ことが分かる．
集中定数系に近似した熱交換器の動的挙動を表す式

結局，モデル予測値 (ym (t + ∆t)) と目標軌道 (ytr (t + ∆t))

(Eqs.(14),(15)) において状態変数である高温流体及び低を一致させる操作変数は Eq.(22) に基づき，次式のように温流体の出口温度を x1 及び x2 ，操作変数である低温流体の算出される．

流量を u とすると，次式のように書き直せる．
dx1= f1 (x1 , x2 )dt
dx2
= f2 (x1 , x2 ) + g2 (x2 )udt
y = x1
式中，f1 , f2 , g2 は次式となる．
2
f1 (x1 , x2 ) =[Fh (Th,in − x1 )
ρSh l
U Aav ∆Tln]−
Cp

f2 (x1 , x2 ) =g2 (x2 ) =（16）

u(t) = [ytr (t + ∆t) − dp,f (t) − ym (t) − ∆tf1 (x1 , x2 )
∆t2
2





∂f1
∂f1
f1 (x1 , x2 ) +f2 (x1 , x2 ) ]/
∂x1
∂x2

（17）

−

（18）

∆t2 ∂f1
g2 (x2 )
2 ∂x2

4.

（23）

制御結果

前節で述べたようにモデル予測制御の重要なパラメータ（19）

として，目標軌道算出フィルタパラメータ α と外乱フィル

2U Aav∆Tln
ρSc lCp（20）

タパラメータ β がある．また離散時間系ではサンプリング
時間もパラメータとなる．

2(Tc,in − x2 )
ρSc l

（21）

本節では，まず，モデル予測制御の制御結果について，そ

これを Taylor 級数展開を用いて離散化し，本プロセスのれぞれのパラメータの影響を中心に述べる．次に，モデル予

相対次数 (2 次) で打ち切ると，離散時間系におけるモデル

測制御に適応制御を取り入れた制御法の制御結果について式として次式が得られる．

も述べる．またモデル予測制御の結果を，モデルを用いない ∆t d f1
2

ym (t + ∆t) = ym (t) +

n=1

n

n!

典型的な制御法である PID 制御結果とも比較検討する．

n

4. 1

dtn

ym (t + ∆t) = ym (t) + ∆tf1 (x1 , x2 )

に，初期定常状態 (高温流体及び低温流体の流量 5 /min,∂f1∆t2 ∂f1
f1 (x1 , x2 ) +f2 (x1 , x2 )
2
∂x1
∂x2

∂f1
g2 (x2 )u
（22）
+
∂x2

高温流体の入口温度 65 ◦ C, 低温流体の入口温度 10.5 ◦ C)

+

−2
∂f1
=
∂x1
ρSh l



Aav U ∂∆Tln
Fh +
Cp
∂x1

から実験開始 100 秒後に，外乱として高温流体の流量を 5/min から 6.5 /min にステップ変化させ，定値制御を行なう．但し，ここでは物理モデルに現れるすべてのパラメー



タは一定とみなし，また最終操作端のダイナミックスを考慮していない．

−2Aav U ∂∆Tln
∂f1
=
∂x2
Cp ρSh l ∂x2
∂∆Tln
=
∂x1

Fig. 3 に外乱の影響による開ループの応答を示す．これ
より，制御を行なわなかった場合，外乱の影響で被制御変数

x2 − Th,in
1+
1x1 − Tc,in−2x1 − Tc,in
x1 − Tc,inln
ln
Th,in − x2
T
−x
h,in

∂∆Tln
=
∂x2

モデル予測制御

モデル予測制御に必要なパラメータの影響を調べるため

1+である高温流体の出口温度が 3 度近く上昇してしまうことが分かる．またモデルを用いてシミュレーションを行なった
ところ，開ループ応答の結果は実験を行なったときの応答よ2

りもやや速いが，最終値はほぼ同じであることが分かった．

x1 − Tc,in
x2 − Th,in

まず，サンプリングタイムの影響について調べた．目標軌

1+2
x1 − Tc,in
x1 − Tc,inln
ln
Th,in − x2
T
−x
h,in

道算出フィルタパラメータ α，外乱フィルタパラメータ βをともに 0.8 で一定とし，サンプリングタイムを 5 秒として

2

13

計測自動制御学会産業論文集

Vol.4, No.2, 10/16（2005）

Table 1 Integral absolute error (IAE) for various parameter
α and β60
set point
α=0.9
α=0.8
α=0.7

59

α
0.9
0.8
0.8
0.8
0.7

58

56

o

Th,out [ C]

57

55

β
0.8
0.9
0.8
0.7
0.8

IAE
427.31308.39290.73292.81302.90

54

53

60

52

59

51

58

57
0

100

200

300
time [s]

400

500

600
Th,out [oC]50

set point
β=0.9
β=0.8
β=0.7

Fig. 4 Control responce of the model predictive control for
diﬀerent tuning parameter α

56

55

54

14

53

α=0.9
α=0.8
α=0.7

52

12

51

10

Fc [l/min]

50

8

0

100

200

300
time [s]

400

500

600

Fig. 6 Control responce of the model predictive control for
diﬀerent tuning parameter β

64同様に α を 0.8 に固定し，外乱フィルタパラメータ β を変化させて制御性能の評価を行なった結果を Fig. 6 に示

2す．パラメータ α と比べると，あまり大きな影響はないもの
0

0

100

200

300
time [s]400500の，パラメータ β の値を大きくとるにつれて，応答が遅く

600

なり，またパラメータ β を小さくとると，オーバーシュー

Fig. 5 Trajectry of manipulated variable during the controlof Fig.4

トが起きて，振動が生じることが分かった．IAE の評価結果 (Table 1) より，最適値は α と同様に 0.8 であった．

4. 2制御を行なった所，振動が生じ制御できなかった．一方サン

適応型モデル予測制御

プリングタイムを 10 秒として制御をすると良好な結果を得

モデル予測制御では，本来は予測モデルが正確であることたため，本研究では．サンプリングタイムを 10 秒として制が前提である．そこで，本節では，外乱及びモデルパラメー

御実験を行なった．本方法では，サンプリング間隔を短くしタなどの誤差に対して，予測外乱の概念を利用することによ

過ぎると次のステップまでに被制御変数を目標値に設定しより，それらの誤差を補正し，操作変数の算出を行なう方法にうとするため，操作変数の変動が激しくなり振動的になる．

ついて考える．

一方サンプリング間隔を長くすしすぎると応答が遅くなって多少のモデル誤差があっても制御できることは以前の制御しまうため，制御対象によって適切なサンプリングタイムの結果に示された．しかし外乱及びパラメータの誤差が存在す設定が必要である．

ることにより，予測モデルの方では誤差が残ることになる．

次に，外乱フィルタパラメータ β は 0.8 で一定とし，目標

このようなパラメータの誤差をなくすことできれば，予測値

軌道算出フィルタパラメータ α の影響の考察を行なった．αの誤差もなくすことができ，より良好な制御性能が得られるの値を 0.9, 0.8, 0.7 と変化させた制御結果をそれぞれ Fig.

と思われる．そこで，パラメータ更新を行なう適応制御をモ4 に示す．パラメータ α の値を大きくとるにつれて応答が遅デル予測制御に導入し，その制御性能について検討する．

くなり，またパラメータ α が 0.7 となると，オーバーシュー

本報の対象では，予測モデルに用いている物理モデルにトが起きて，振動が生じることが分かる．この制御結果を定現れるすべてのパラメータ中で，最も誤差が生じるのは総量的に評価するため，被制御変数の目標値に対する誤差の括伝熱係数である．また実際のプロセスに変動がよく存在

絶対値の積分 (IAE) を計算してみると Table 1 のようになするのは高温流体の流量であり，この 2 つの値が予測モデる．これを見ると，目標軌道算出フィルタパラメータ α をルの誤差の大きな原因と考えられる．本研究の装置では高0.8 とした場合に IAE が最小となっている．Fig. 5 には，

温流体の流量は測定されているが，実際のプロセスでは流操作変数である低温流体の流量変化を示した．α が小さくな量が測定されていない場合も考えられる．そこでここでは，るに従い，若干過大な流量となっていることがわかる．

高温流体の流量 Fh を測定できない外乱とみなし，以下の式

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65

60

Measurement
Estimation with variable U
Estimation with constant U

58

57

55

Th,out [oC]Th,out [℃]60

set point
k=1.5 × 10−3−3
k=1.7 × 10
−3
k=2.0 × 10

59

50

56

55

54

53

45

52

0

400

800
1200
time [s]

1600

51

50

0

100

200

300
time [s]

400

500

600

Fig. 9 Control responce of the adaptive model predictive control for diﬀerent tuning parameter k

700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200

60
set point
Adaptive MPC
MPC
PID

59

58

57

Th,out [oC]

U [W/m2·K ]Fig. 7 Time variation of controlled variable estimeted by themodel of constant or variable overall heat transfer coeﬃcient

56

55

54

53

0

400

800
1200
time [s]

1600

52

51

Fig. 8 Time variation of overall heat transfer coeﬃcient bychanging coolant ﬂow rate

50

0

100

200

300
time [s]

400

500

600

Fig. 10 Control responce for various control lawに基づいて推定する．
dFh= k(x1 (t) − x1,set )（24）
dt
ここで，x1,set は，高温流体出口温度の設定値であり，k はTable 2 Integral absolute error (IAE) for diﬀerent control
law
control law
IAE
Adaptive MPC 219.12
MPC
290.73PID
347.85

更新する際の調節パラメータである．k は大きな値を取るほど，収束が速くなる．なお，総括伝熱係数 U は，得られた

Fh と操作変数 Fc の値から McAdams の式を用いて，逐次体の流量 5 /min, 高温流体の入口温度 65 ◦ C, 低温流体の更新を行ないモデルに代入する．

Fig. 7 に，操作変数である低温流体の流量を，実験開始

入口温度 10.5 ◦ C) から実験開始後 100 秒で，外乱として高200,600,1000,1400 秒後に，それぞれステップ的に増減させ

温流体の流量を 5 /min から 6.5 /min にステップ変化さた場合の高温流体の出口温度を示した．実験データに対しせ，適応型モデル予測制御で定値制御を行なった．パラメーて，定常状態における総括伝熱係数を用いた場合の予測値

タ k の値を変えて制御実験を行なった結果を Fig. 9 に示と，流量変化に伴って適応的に算出された総括伝熱係数を用す．この結果より，k = 1.7 × 10−3 のときが最も制御性能いた場合の予測値を示した．この結果より，適応的なモデルが良かった．外乱を加えた後およそ 200s で目標値へと復帰による予測値は，総括伝熱係数が一定として予測した場合よし良好な制御が行なえている．

りも，実測値とのずれが少ないことがわかる．特に，実験開

この適応型モデル予測制御と前述したモデル予測制御お始 1400 秒後のステップ変化に示すような，流量を大きく増

よび PID 制御の 3 つの制御結果の比較を Fig. 10 に示し

加して温度の低下させた場合において，そのずれも大きくな

た．適応制御型のモデル予測制御の方が単純なモデル予測制

ることが分かる．

御よりも整定時間も短く良い制御が行なえているのが分かまた，Fig.7 の低温流体をステップ変化させた時の総括伝る．また，PID 制御結果と比較しても整定時間が短く，オー

熱係数の推算値の変化のようすを Fig. 8 に示す．これをみバーシュートが少ないことがわかる．それぞれの制御結果の

2

ると総括伝熱係数の値は 350 から 520 W/m K 程度まで大IAE による評価値を Table 2 に示した．この値から見てもきく変化することがわかる．

適応型モデル予測制御の制御性能が最も良く，モデル予測制

前節の実験と同様に，初期定常状態 (高温流体及び低温流

御，PID 制御の順で制御性能が下がることが示された．

15

計測自動制御学会産業論文集

Vol.4, No.2, 10/16（2005）

5.

prediction-horizon non-linear model-predictive control,
Chem. Eng. Sci., 53, 273/292 (1998)
9） H. Rho, Y. Huh and H. Rhee: Application of adaptivemodel-predictive control to a batch MMA polymerization
reactor, Chem. Eng. Sci., 53, 3729/3739 (1998)
10） A. M. Frattini Fileti and J. A. F. Rocha Pereira: Adaptive and predictive control strategies for batch distillation:
Development and experimental testing, Computers Chem.
Eng., 21, S1227/S1231 (1997)

結論

熱交換器を制御対象として物理モデルに基づくモデル予測
制御設計法を提案してその制御性能を実験的に検証した．提案した制御方法は，まず連続時間系の物理モデルを Taylor
展開して離散時間系のモデルを導出し，1 サンプリング時間
先の出力の予測値が目標値となるような制御入力を計算する方法である．一般の非線形モデル予測制御では制御入力を計算する際最適化計算が必要となるが，本方法では入出力線［著形化法を応用することにより直接制御入力を求めることができるのが特徴である．また，本手法では，通常のモデル予

吉田 雅

測制御と同様に，モデル誤差に対する補償も行っているため

者 紹

介］

俊 （正会員）1986 年東北大学工学部化学工学科卒業．88 年
東北大学大学院工学研究科化学工学専攻修士課程修了．同年日揮 (株) 入社．90 年東北大学工学部助手，現在同講師．プロセス制御および分布定数系の制御に関する研究に従事．化学工学会，シス
テム制御情報学会の会員（博士 (工学)）．

一般の入出力線形化法よりロバストであると考えられる．
本制御法を実験的に検証するため，熱交換器の温度制御に適用した結果，外乱を除去して比較的速やかに設定値へと制御が可能であることが示された．
本制御対象でモデル化誤差の影響を受けるパラメータとし小て総括伝熱係数があるが，定常状態における総括伝熱係数を尾 秀

志 （正会員）1990 年東北大学工学部化学工学科卒業．95 年
東北大学大学院工学研究科化学工学専攻博士課
程修了．博士 (工学)．同年東北大学工学部助手，
2002 年森永乳業 (株) 入社，現在に至る．非線形プロセスの制御に関する研究に従事．化学工学会，
システム制御情報学会の会員．

一定値として被制御変数である高温流体の出口温度を予測した場合と，流量の変化に応じて適応的に変化する総括伝熱係数を用いて出口温度予測した場合を比較した．その結果，明らかに適応的に変化する総括伝熱係数を用いた予測値の方が，実測値とのずれが少ないことが示された．
そこで，パラメータの逐次更新すなわち適応制御をモデル

Tipaya LEELAKIATESAKUL

予測制御に取り入れた適応型モデル予測制御法を発案して1996 年東北大学工学部生物化学工学科卒業．98
年東北大学大学院工学研究科化学工学専攻修士課
程修了．同年タイ日東電工 (株) 入社，現在に至る．非線形プロセスの制御に関する研究に従事．

制御を行った結果，パラメータ更新を行なわなかった場合の単純なモデル予測制御や，PID 制御による結果よりも良好な制御結果を得ることができた．
本手法は，一般の非線形プロセスに適用できることから，
他の非線形プロセスへの応用も期待できる．
参

考

文

山

献

下 善

之 （正会員）1987 年東北大学大学院工学研究科博士課程修了．工学博士．同年東北大学工学部助手，92 年
同助教授，現在に至る．94-95 年オハイオ州立大学客員助教授．プロセスシステム工学，知識シス
テム等の研究に従事．化学工学会，AIChE 等の会員．

1） A.W. Alsop and T.F.Edgar: Nonlinear Heat Exchanger
Control Through the Use of Partially Linearized Control
Variables, Chem. Eng. Comm., 75, 155/170 (1989)
2） T. Khambanonda, A.Palazoglu and J.A.Romagnoli: A
Transformation Approach to Nonlinear Process Control,
AIChE Jounal, 3, 1082/1092 (1991)
3） Y.S.N. Malleswararao and M.Chidambaram: Non-linear
controllers for a heat exchanger, J. Proc. Cont. , 2, 17/21(1992)
4） J. Alvarez-Ramirez, H. Cervantes and R. Femat: RobustControllers for a Heat Exchanger, Ind. Eng. Chem. Res. ,36, 382/388 (1997)
5）ミニ特集「モデル予測制御の産業応用への新展開」, 計測と制御, 43-9 (2004)
6） F. Xaumiera, M. L. Lann, M. Cabassuda and G. Casamattaa: Experimental application of nonlinear model predictive control: next term temperature control of an industrial
semi-batch pilot-plant reactor, J. Proc. Cont., 12, 687/693(2002)
7） M. J. Kurts and M. A. Henson: Input-output linearizing
control of constrained nonlinear process, J. Proc. Cont., 7,
3/17 (1997)
8） S. Valluri, M. Soroush and M. Nikravesh: Shortest-松本

繁 （正会員）1967 年東北大学工学部化学工学科卒業．72 年
東北大学大学院工学研究科化学工学専攻博士課程修了．工学博士．同年東北大学工学部助手，現在同教授．プロセス制御のうち特に分布定数系および非線形プロセスの制御に関する研究に従事．化学工学会，AIChE 等の会員．

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