2019/11/27• ケプラー︓ティコ・ブラーエの観測データに基づき地球と⽕星の軌道を求め、楕円であることや⾯積速度⼀定の法則など重要な諸法則を求めることに成功

1. はじめにケプラーの気分になって• ⾼校⽣レベルの学⼒で追体験可能〜ティコのデータを前に〜

佐賀⼤学での実践研究[2]

軌道論を展開したいのではない。

「天⽂教育」誌に投稿中

星学館
加藤 賢⼀

＜例＞慶應義塾⾼等学校の卒業研究[1]もし⾃分にティコの観測した⽕星の位置データが与えられたら、如何にして⽕星軌道を求めるか︖
あくまで教育的利⽤を⽬的として。

2

2019.11.24.天教研近畿⽀部秋期⽀部会（⼤阪市⽴科学館）

１）⽕星位置、太陽位置（⾼校⽣では無理）
Van Flandern, T. C., & Pulkkinen, K. F. (1979),
ApJS, 41: 391.

2. 与えられた素材など（⻩経l、⻩緯β）、2018年から2039年までの20年分
精度－数分（丁度ティコの観測精度）
２）会合周期、公転周期
会合周期779.9⽇
公転周期1.88085年＝687.0⽇
３）軌道は平⾯４）当時の天⽂界の動向の概略

3•Mars.
•10 PLON=0.D0+3.84510E 04* SIN( +F)

•BETA

•

&+6.22000E 02* SIN( +F02* SIN( +F +G)=0.D0+6.60300E 03* SIN( +G•&+2.23800E 03* SIN( +2.*F) +1.81000E 02* SIN( +3.*F)•&-5.20000E 01* SIN( +2.*G) +3.70000E 01*Z *SIN( +F)•&+6.40000E 01* SIN( +2.*F +G )-H )•RP•&-2.20000E 01* COS( +F -2.*H ) -1.90000E 01* SIN( +F•&+1.70000E 01* COS( +F -H•

PLON

•

&-1.60000E 01* COS(+2.*F -2.*H) +1.30000E 01* COS( +C -2.*F•&-1.00000E 01* SIN( +F -2.*G ) -1.00000E 01* SIN( +F +2.*G=PLON+1.70000E 01* SIN( +4.*F )•&+7.00000E 00* COS( +C -F•&-5.00000E 00* SIN( +D -3.*F ) -5.00000E 00* SIN( +C -F•

PLON

•

&-4.00000E 00* COS( +2.*C-4.*F) +4.00000E 00*Z *SIN( +2.*F•&+4.00000E 00* COS( +H•&+3.00000E 00* SIN( +2.*F-2.*H)=PLON•)))) -7.00000E 00* COS( +2.*C -3.*F ))-5.00000E 00* SIN( +C -2.*F )) +3.00000E 00* COS( +D -3.*F))=0.D0)-G ) +6.15000E+1.53031E 00* COS(0.

&-1.41700E-01* COS( +F03* COS( +2.*F))) -6.60000E-•&-4.70000E-04* COS( +3.*F•

PLON=(PLON+XADD2/RPS)/3600.D0)•

PLON=DMOD(PLON,360.D0)•IF(PLON .LT. 0.D0)PLON=PLON+360.D0•

BETA=BETA/3600.D0•

C1=PLON•C2=BETA

•

C3=RP

•

RETURN
54Mars•2018. 1. 1 ( 0.0)

193 5258.7

1459.2

1.6311•

2018. 1. 2 ( 0.0)

194 2018.0

1416.11.6303•2018. 1. 3 ( 0.0)

194 47

38.8

13

32.8

1.6295•2018. 1. 4 ( 0.0)

195 15

1.3

1249.2

1.6287•2018. 1. 5 ( 0.0)

195 42

25.5

12

5.4

1.6279•2018. 1. 6 ( 0.0)

196951.3

1121.2

1.6271•

2018. 1. 7 ( 0.0)

196 37

18.7

10

36.8

1.6262•2018. 1. 8 ( 0.0)

197447.9059

52.1

1.6254•2018. 1. 9 ( 0.0)

197 3218.80597.2

1.6245•2018. 1.10 ( 0.0)

197 59

51.5

058

22.0

1.623761

2019/11/27

4．地球軌道、⽕星軌道の 太陽と⽕星の座標（xs、ys、zs）と（x、y、z）• 時刻T1において決定法• 地球を原点、⻩道⾯を基準に• 昇交点、降交点では⽕星⻩経は０°3. 昇交点、降交点通過
⽕星⻩経が0°に近い⽇
番号

年⽉⽇

FJD

①

2018

3172458194.13•①から②までが305⽇（この間に衝）、地球が⽕星を追い越す。
①の後に⻩経が負（－）に ⇒ ①は降交点通過②から③までは382⽇︓• この段階ではまだ昇交点、降交点⻩経は求められない• 太陽（xs1、ys1、zs1）＝図1 太陽Ｓ、地球Ｅ、⽕星Ｍの位置関係

20191162458499.13③2020222458881.13④2020

1222459185.13

⑤

番号

2021

12202459568.13

①②③④⑤

⽕星
⻩経l（b1 cos(β1) cos(l1), b1 cos(β1) sin(l1),太陽⻩緯βb1 sin(β1)）⻩経ls269.386

0.005

355.968

9.795

0.008

295.161259.8220.001

312.204

17.165244.356‐0.008‐0.001249.881267.923

4.1 地球軌道• (2)から(1)を引いて、ある時点での位置観測からわかるのは太陽と⽕星の離⾓だけで、2つの距離を求めるには情報が⾜りない。
そこで、ケプラーが⽬をつけたのが衝を利⽤すること• （x、y、z）＝が分かれば位置は確定する。
結局、軌道を決める問題は距離を決める問題に（b1 cos(β1) cos(l1) - a1 cos(ls1),
b1 cos(β1) sin(l1) - a1 sin(ls1),b1 sin(β1)）(3)（x、y、z）＝（R cos(b0) cos(l0) ,R cos(b0) sin(l0) ,R sin(b0)）(4)

・（３）式もあった︕（x、y、z）＝

b1 cos(β1) sin(l1) - a1 sin(ls1),b1 sin(β1)）• 距離a1、 b1が未知(3)・等式３本に未知数４個 ⇒ １つを仮定すれば解ける。Rを選択

以上、数学B（ベクトル）9・⽕星の⼀公転後、⽕星はMに戻り、地球は前回よりずれたところに来る。地球
位置が定まる。これを⼀公転後ごとにくりかえすと、様々な場所での地球位置＝
軌道が決まる。ただし、Rに相対的な距離だが。

(3)5．昇交点、降交点位置の決定

a1、a2は既知（地球軌道確定済）

昇交点、降交点を上の定式化の応⽤として• T1、T2における(3)式を書き下す

ある時刻T1に⽕星Mを観測したとしよう。それから⽕星の⼀公転後T2にもう⼀度観測

⽕星⻩経l＝⽕星の⽇⼼経度l0 （ケプラーのアイデア）・ ⽕星の⼀公転後T1、⽇⼼の⽕星位置＝（R、l0、b0）（b1 cos(β1) cos(l1) - a1 cos(ls1),• 位置（l1、β1）は既知帰着する。

4.2 ⽕星軌道8• 衝⇒ 太陽－地球－⽕星と並ぶ• ⽕星の⽇⼼位置（x、y、z）

地球・⽕星間距離b1(2)

a1、 b1が未知数

7• 原点を太陽に移動

地球・太陽間距離a1、(1)• ⽕星（x1、y1、z1）＝②

問題は距離︕（a1 cos(ls1), a1 sin(ls1), 0）、

γ、γ'は春分点の⽅向（x、y、z）＝（b1 cos(β1) cos(l1) - a1 cos(ls1),
b1 cos(β1) sin(l1) - a1 sin(ls1),
b1 sin(β1)）• 各成分が等しい ⇒ 式３本
b1、b2が未知（今度は２つ）

すでに軌道は決まったのだから、そのためだけならこんな⼿続きは不要

よって、解けてb1,b2が分る
・以上T2をT3に代えてくり返せば軌道が⾒えてくる

10（x、y、z）＝（b1 cos(β1) cos(l1) - a1 cos(ls1),
b1 cos(β1) sin(l1) - a1 sin(ls1),
b1 sin(β1)）(3)• 昇交点、降交点はβ=0。下のデータから⽇⼼⻩経Ωが求まる
番号①②③④⑤⽕星⻩経l太陽
⻩緯β269.386

0.005

⻩経ls355.968

9.795

0.008

259.8220.001

312.204

17.165‐0.008249.881295.161244.356‐0.001

267.923• 結果 Ω=49.3° （理科年表49.5°）11122

2019/11/27

６.軌道傾斜⾓• 交点線上に地球が来た︕ そこは⽕星軌道⾯上でもある

表2-2• そこから交点線と直⾓⽅向にある⽕星の⻩緯は⽕星軌道⾯の傾きそのものになるはず

7．地球軌道決定2018年7⽉28⽇の衝を起点とし、その後の10回公転分（約20年）のデータを使う

昇交点、降交点の⽇⼼⻩経が決まれば、軌道が決まらなくても分かる• 2018年から2020年までの間で該当する⽇は８回• 近いのが２回、• 2018年11⽉13⽇に離⾓98°で⻩緯が-1.813°、
13• 2020年5⽉10⽇に離⾓278°で⻩緯が-1.823°⇒ 軌道傾斜⾓i = 1.82° （理科年表︓1.85°）• 楕円の極座標表⽰ （数学Ⅲ 平⾯上の曲線）

Y
2018
2020
2022
2024
2026
2027
2029
2031
2033
2035
2037

M
76532121198
75D
28
142
19423927142
19

FJD
2458327.13
2459014.13
2459701.13
2460388.13
2461075.13
2461762.13
2462449.13
2463136.13
2463823.13
2464510.13
2465197.13

8．⽕星軌道決定a (1  e 2)r1  e cos(   0 )

楕円軌道の要素周回衝
12345678910（⽇⼼経度θ、距離r）が得られた
これから離⼼率e、近点離⾓θ0を求めた
e = 0.025、θ0 = 61.2°
⻑半径aは相対的なので確定できず

太陽・地球間距離（単位は任意）

地球の軌道

軌道傾斜⾓iを⽤いて⽕星軌道⾯上に座標変換1上で求めたのは⽇⼼⻩経、⻩緯であり、地球軌道⾯に対する値だった

0.95

0.9
0

100

200

300

400

地球の日心経度15（理科年表︓e = 0.0167、 θ0 ＝77.0°︕）

 xc 
 x0   
 y c   X (i) Z ( ) y 0 z z  c
 0

太陽・地球間の相対距離周回
衝
123456
78910

⽕星

⽕星

太陽

lβ

ls

304.0
350.9
342.4
326.6
308.7
290.6
273.4
260.3
270.7
346.7
347.6

‐6.48‐2.68‐1.53
‐1.16
‐1.05
‐1.09
‐1.33
‐2.03
‐4.83
‐3.86
‐1.82

124.5
83.0
41.2
358.5
314.7
270.5
226.4
183.3
141.1
99.6
58.01

太陽距離a
**
0.730
0.726
0.725
0.788
0.677
0.696
0.708
0.712
0.736
0.732
14

・49°ずれている交点線を春分点⽅向のx軸に向ける（z軸で回転）、・軌道傾斜⾓の1.82°だけx軸で回転させて傾いているz軸を合わせる
・z軸を軸にωだけ時計回りに回転させるオペレータ（ω＝-49.26°）
 cos ω  sin ω 0 Z (ω)   sin ω cos ω 0 

01 
 0

・Ｘ軸をｉだけ時計回りに回転（i = 1.82°）

00 
1


X (i )   0 cos i  sin i 
 0 sin i cos i ・⻩道⾯上での座標が（x0, y0, z0）
⽕星軌道⾯上に変換された座標が（xc, yc, zc）
⾼校で登場する︖

16• 最⼩⼆乗法は⼤学か。天⽂愛好家には馴染みだが・・・

ここでの結果

理科年表

軌道半径

要素

1.53 au

1.5237 au

離⼼率

0.10

0.0934

軌道傾斜

1.82°

1.848°

近⽇点⻩経

336.6°

336.148°

昇交点⻩経

49.3°

49.499°ただし、太陽・地球間の平均距離を１として• ⽕星軌道は地球軌道を求めるより簡単• ここでの特徴

9．おわりに火星の軌道
1.8
太陽・火星間距離 (au)

⽕星軌道の要素1.6

数学的には⾼校の範囲
1.4

1.2
0100

200
日心経度しかし、座標変換や最⼩⼆乗法は⼤学か︖

300

⽕星軌道の傾斜⾓は無視できるとするのが通常。
三⾓形の余弦定理などで⾓度を求めるのが通常。
それをベクトルの成分表⽰で３次元で表現して求めたことが新しい。
・ ケプラーは偉い︕ すごい︕
・ 授業実践
岡⼭理科⼤学２年⽣向け授業で⼀部実践。
２コマ（90分×２）

17

多分、・・・・・

18

3

2019/11/27• K.Y︓(発⾏年不明)

参考⽂献
⼭本義隆(2014) 『世界の⾒⽅の転換』第3巻，みすず書房
がお薦め

http://user.keio.ac.jp/~earth/ssh/jpn/pdf/h1722.pdf• 濱⼝敦、⼤隅秀晃、⾓縁進、髙島千鶴、中村聡︓2014、佐賀⼤学教育実践研究 32, 59• Van Flandern, T. C., & Pulkkinen, K. F. (1979),ApJS, 41: 391.
• ⼭本義隆(2014) 『世界の⾒⽅の転換』第3巻，みすず書房• ヨハネス・ケプラー(1596）『宇宙の神秘』（⼤槻真⼀郎、岸本良彦訳）、⼯作舎（1982）• ヨハネス・ケプラー(1609）『新天⽂学』（岸本良彦訳）、⼯作舎（2013）• ヨハネス・ケプラー(1619）『宇宙の調和』（岸本良彦訳）、⼯作舎（2009）

194