平成26年度

研究報告

大分県産業科学技術センター

九州連携 CAE 研究会における解析事例の検証（第 2 報）
―2 次元解析の誤差,及びボルト締結時の応力解析の簡易化に関する調査―
清水慎吾*・橋口智和**

機械・金属担当

Verification of the CAE example in CAE study group of Kyushu(2nd Report)―Research of error in 2D analysis and simplification of stress analysis of bolting―
Shingo SHIMIZU*・Tomokazu HASHIGUCHI**

要Machinery and Metallurgy Section旨
前年度に引続き，「九州連携 CAE 研究会」の下，新たな共通解析課題「有限要素法における要素の影響」を行い，要素形状ならびに分割数，中間節点の差による構造解析の誤差について知見を得た．また，2 次元構造解析における誤差発生の要因について調査を行った結果，一般化平面ひずみ計算モデルの場合には，独立した複数のボディを同時に解析対象とした場合，結果に誤差が生じることがわかった．さらに前年度行ったボルト締結時の応力分布解析について，新たな境界条件を簡易化した解析を行った結果，実験値と似た傾向の応力分布が得られた．

1.

はじめに100N

近年，ものづくりの中で CAE 解析の需要は拡大しており，公設試においても県内企業からの CAE 解析に関する技術支援のニーズは高まっている．この様な状況において，九州・沖縄及び周辺の各公設試は，九州地方知事会の下「九100mm

州連携 CAE 研究会」としてこれまでに構造・伝熱・流体・固有値等の様々な解析課題について，各公設試の有するFig.1 要素影響の解析モデル

CAE 解析ソフトによる解析を実施し，その結果の比較検討を行ってきた．本年度は共通課題「有限要素法における要2.2 要素分割条件素の影響」，ならびに 2 次元解析における誤差発生要因と解析には，三角形要素，四角形要素，四面体要素のそれその対策の調査，前年度に続きボルト締結時の応力分布計

ぞれ一次要素，二次要素を用いた．さらに要素分割数を長算における解析条件の簡易化について取り組んだ．

さ方向×高さ方向について指定し，それぞれの公設試で分担して解析を実施した．また三角形要素および四角形要素2.

有限要素法における要素の影響については断面の 2 次元解析となる平面要素であり，平面有限要素法を用いた CAE 解析においては，解析モデルを応力モデルと平面ひずみモデルでの解析を行った．なお解分割する要素の種類・形状・分割数によって結果は異なる．

析ソフト ANSYS においては，有限の厚さを持つ形状のモデ

今回は共通課題として片持ち梁の構造解析結果におけるルの 2 次元解析については平面ひずみモデルではなく一般それらの影響について調査した．

化平面ひずみを用いることが望ましいため，一般化平面ひ2.1 解析条件ずみモデルでの解析を行った．なお一般化平面ひずみにお解析モデルを Fig.1 に示す．
梁は長さ 100mm，高さ 10mm，ける，有限の厚さを示すパラメータである繊維長さについ厚さ 10mm の角柱とした．境界条件は片側端を固定し，自ては，10mm とした．さらに四面体要素を用いる場合は，幅由端頂点に 100N の荷重を与えた時の下方向変位量を結果

方向は高さ方向の分割数に合わせて計算を行った．各県公として求めた．なお材料物性値については，ヤング率設試の使用する解析ソフトを Table 1，解析条件の分担を206GPa,ポアソン比を 0.3 とした．

Table 2 の(a),(b)に示す．

28

平成26年度

Table 1 各県の使用解析ソフト一覧
機関メッシャー

熊本県

研究報告

大分県産業科学技術センター

論値との誤差である．
平面要素（平面ひずみ，平面応力）と四面体要素のいず

ソルバー

れの結果でも，一次要素に比べて二次要素の方が理論値とANSYS V14.5

山口県

Mentat 2003

Marc 2003

佐賀県

Mentat 2010

Marc 2010の誤差は小さくなっている．
また，今回の平面要素において平面ひずみと平面応力の大分県

ANSYS V11

解析結果を比較すると，平面ひずみに比べ平面応力の方が，沖縄県

NX-IDEAS 6 m2

理論値との誤差は要素分割数による影響が少なくなって

長崎県

SolidWorks Simulation 2014 SP3.0

いることから，このモデルは平面応力で解析することが妥

鹿児島県

SolidWorks Simulation 2014

鳥取県

ANSYS Mechanical R15

島根県

当であると考えられる．

ANSYS R15
Table 3 平面ひずみモデルの解析結果（単位：mm）

ANSYS R15

分割数
Table 2 解析条件分担(a)平面要素

2×2

長さ×高さ

三角形

三角形

四角形

四角形の分割数

一次

二次

一次

二次

2×2

佐賀県

島根県

山口県

大分県

10×5

熊本県

鳥取県

沖縄県

山口県

5×10

大分県

佐賀県

島根県

沖縄県

10×10

山口県

熊本県

鳥取県

島根県

50×10

沖縄県

大分県

熊本県

鳥取県

10×5
5×10
10×10
50×10

(b)四面体要素
長さ×高さ

四面体

四面体の分割数

一次二次2×2

佐賀県

鹿児島県

10×5

長崎県

長崎県

5×10

鹿児島県

長崎県

10×10鹿児島県

鹿児島県

分割数
2×22.3 解析結果
梁の変位量をδとしたとき，材料力学における理論式を5×10(1)に示す．

x32 L3三角形

四角形

四角形

一次

二次

一次

二次

0.007

0.177

0.018

0.188

(96.4%)(9.2%)(90.8%)(3.6%)

0.085

0.190

0.175

0.179

(56.4%)(2.6%)(10.3%)(8.2%)

0.035

0.176

0.185

0.176

(82.1%)(9.7%)(5.1%)(9.7%)

0.085

0.190

0.189

0.191

(56.4%)(2.6%)(3.1%)(2.1%)

0.166

0.191

0.191

0.192

(14.9%)(2.1%)(2.1%)(1.5%)

Table 4 平面応力モデルの解析結果（単位：mm）

10×5FL33x1
3 EI2L三角形

10×10・・・(1)50×10

ここで，F は作用荷重，L は梁の長さ，E は材料の弾性係数，I は梁の断面二次モーメントであり，x は荷重作用点から固定端に向かう距離である．式(1)より，今回の解析モデルにおける最大変位量の理論値は x=0 のとき δ＝0.195［mm］となる．
平面要素（平面ひずみモデル，平面応力モデル）で得られた最大変位量の結果を Table 3 および Table 4 に示す．
また四面体要素を用いた解析で得られた最大変位量の結果を Table 5 に示す．それぞれ表中の括弧内の数値は，理29

三角形

三角形

四角形

四角形

一次

二次

一次

二次

0.007

0.182

0.018

0.193

(96.4%)(6.7%)(90.8%)(1.0%)

0.087

0.195

0.194

0.197

(55.4%)(0.0%)(0.5%)(1.0%)

0.035

0.195

0.1910.194(82.1%)(0.0%)(2.1%)(0.5%)－0.1950.194

0.196(－%)(0.0%)(0.5%)(0.5%)

0.183

0.196

0.196

0.196

(6.2%)(0.5%)(0.5%)(0.5%)

平成26年度

Table 5 四面体要素の解析結果（単位：mm）

3.1.1 ボディ間距離の影響

分割数
2×2
10×5
5×10
10×10

研究報告

大分県産業科学技術センター

四面体一次四面体二次

ボディ間距離の影響について調査するため，荷重 P を0.007

0.177

100N，繊維長さ 10mm で固定し，解析対象ボディ（以下「解(96.4%)(9.2%)

析ボディ」）の下に Table 6 に示す距離 d の位置で同形状0.090

0.194のボディ（以下「追加ボディ」）を配置した条件での解析(53.8%)(0.5%)を行った．要素の種類については三角形一次要素，三角形0.0340.192

二次要素，四角形一次要素，四角形二次要素の 4 つの要素(82.6%)(1.5%)

を用いた．

0.093

0.194

(52.3%)(0.5%)

Table 6 ボディ間距離の解析条件
距離 d（mm）

3.

2 次元解析の誤差に関する調査

0.5

123456789101001000‐

共通課題「有限要素法における要素の影響」で取り組んだ 片 持 ち 梁 構 造 解 析 に お い て ， ANSYS Multiphysics
Ver11.0 を用いた解析では，当初一般化平面ひずみモデルでの変位量が他県の結果に比べて誤差が大きくなること

ボディ間距離影響についての解析結果を Fig.3 に示す．

が確認された．またその傾向は他県の ANSYS による解析結

ボディ間距離が大きくなるにつれ誤差は大きくなり，一定果との比較においても変わらなかった．原因を調査したと以上離れた場合には漸近していく様子が確認された．ここ

ころ，独立した複数のボディが存在するモデルを同時に解から，誤差を防ぐためにモデル内のボディを遠ざけること析した結果，誤差が生じる現象が確認された．しかし構造は効果が無いと考えられる．解析に用いた要素の種類にお解析においては形状を変更した際の剛性や応力分布を比いては，どれにおいても同様の傾向が見られ，要素種類の較検討する際，解析作業・データ整理の利便性のために一影響はほぼ無く，要素種類を変更することで誤差の発生をつの解析用ファイル内に複数のモデルを準備し，同時に解防ぐことは出来ないと考えられる．

析を行うケースが多い．
そこで 2 次元解析での複数モデルの同時計算における誤7.0差の発生について，様々な条件下での影響の有無，大きさ6.8を調査した．
3.1 解析条件

6.6
誤差（%）

基本の解析モデルは Fig.2 に示す長さ 100mm，高さ 10mmの 2 次元モデルを用い，要素分割数については全ての条件で長さ方向 50，高さ方向 10 で統一した．モデルは片側端6.4

三角形一次要素
三角形二次要素6.2を固定し，自由端頂点に荷重を与えた時の下方向変位量を四角形一次要素
6.0ANSYS Multiphysics Ver11.0 を用いて解析し，理論値との誤差を求めた．なお材料物性値については，ヤング率

四角形二次要素

5.80206GPa,ポアソン比を 0.3 とした．

110100ボディ間距離（mm）

1000

Fig.3 ボディ間距離による誤差の影響
3.1.2 荷重の影響
荷重の影響について調査するため，四角形二次要素において，ボディ間距離 d を 10mm，繊維長さ 10mm で固定し，荷重 P を 10N から 100N まで 10N ごとに変更した条件での解析を行った．
荷重の影響についての解析結果を Fig.4 に示す．モデル
Fig.2 2 次元解析調査モデルに付加する荷重量は誤差にさほど影響を及ぼしておらず，

30

平成26年度

研究報告

大分県産業科学技術センター

荷重量の増加に追従して増減するような傾向もないこと

追加ボディ位置についての解析結果を Table 8 に示す．

が確認された．Fig.3 の結果と合わせると，誤差の有無と解析ボディの上下に追加ボディを配置した場合，同じ誤差大きさは解析を実行する前段階で決定され，解析後の変形が生じることが確認された．ここから解析ボディの変形すによりボディ間距離が接近しても影響は少ないと考えらる方向軸上に追加ボディが存在する場合，その誤差に荷重れる．

方向の正負は問わないと考えられる．また解析ボディの横方向については，単独で追加された状態でも誤差は生じるが，既に変形方向軸上にほかの追加ボディが存在する場合，

6.70

その影響は小さいと考えられる．
6.68
誤差（%）

Table 8 追加ボディ位置による誤差の影響
6.66

追加ボディ配置箇所
6.64
6.62
6.60
020406080

上下上＋下

右6.87%

6.87%

6.87%

3.21%

上＋右下＋右上＋下＋右無し

6.87%

6.87%

6.87%

0.00%

100

荷重（N）

3.2 小括以上から，今回の様なケースについては，解析対象と独Fig.4 荷重による誤差の影響

立した別のボディが存在するだけでいくらかの誤差が生じてしまうことが考えられる．よって対策として以下のよ

3.1.3 繊維長さの影響

うな方法があると考えられる．

繊維長さの影響について調査するため，四角形二次要素
において，ボディ間距離 d を 10mm，荷重 P を 100N に固定・一般化平面ひずみモデルではなく平面応力モデルを用し，繊維長さを 1mm から 10mm まで 1mm ごとに変更した条

いて解析可能なモデルであれば，平面応力モデルを使っ件での解析を行った．その結果，繊維長さは誤差に影響をて解析を行う．

及ぼさないことが確認された．

・一般化平面ひずみモデルで解析を行う場合，解析ボデ

3.1.4 追加ボディ位置の影響

ィ以外のボディは「抑制（その解析実行時においてのみ，Fig.5 に示す位置関係における追加ボディ位置の影響に存在しないものとして取扱う機能）」状態に設定を行う．

ついて調査するため，四角形二次要素において，ボディ間距離 d を 10mm，荷重 P を 100N，繊維長さ 10mm で固定し，なお，同一形状での 3 次元モデルでの解析については同Table 7 に示す追加ボディ配置箇所での解析を行った．

様の現象は見られないため，特に要素数を節約する必要の無い簡単なモデルで有れば 3 次元解析を行うのも一つの手段となる．

4.

鋼材のボルト締結時の応力分布解析

複雑なモデルでの接触・時系列解析のような困難な課題
では，非常に長い計算時間や著しく高いコンピュータスペ

Fig.5 追加ボディの位置関係ックが必要とされる．しかしその様な課題について，限られたマシンリソースと納期で結果を求められることは多Table 7 追加ボディ位置の解析条件い．その場合，実際の形状や現象をある程度簡易化した解追加ボディ配置箇所析を行う必要がある．前年度はその一例として，鋼材にボ上下上＋下右上＋右下＋右上＋下＋右無し

ルトを一定のトルクで締結した際の応力状態について，簡易化した境界条件での解析結果と，実験結果の比較検証を行ったが，応力分布の解析値と実験結果の傾向が一致しない部分があった１）．今年度も引続き，簡易化した条件下で31

平成26年度の解析について検証を行う．

研究報告

大分県産業科学技術センター

4.2 解析結果

4.1 解析条件

Fig.8 に最大主応力での解析結果，Fig.9 に最小主応力

Fig.6 に鋼材形状を示す．300mm×50mm×20mm の板材のでの解析結果を示す．図中の実線は実験値，破線は解析値

上面に，60mm ピッチで呼び径 M6，深さ 20mm のねじ穴が設ならびに最大・最小軸力による結果の範囲である．これよけられており，ボルト 1 から 3 まで順に 10N・m のトルクり，最大主応力，最小主応力のいずれも，締結状態の段階を加えて締結されている．丸字で示す点 A は上面のボルトに伴う応力の発生は実験と解析でほとんど同じであるこ2 と 3 の中間の位置，B は側面中央の上面から 10mm の位置とが確認された．応力の絶対値については数倍の開きが存である．

在するために注意を要するが，部材の変形が課題となる際に，変形形状の傾向からボルト締結がその要因であるか判断する上ではこの簡易化条件が使用できると考えられる．

Fig.6 ボルト締結鋼材形状
ボルト締結時の締付けトルクは，座部とねじ部の摩擦，最大主応力(MPa)1412A点最大主応力（実験値）

10A点最大主応力（解析値）

8

B点最大主応力（実験値）

6

B点最大主応力（解析値）

42

及び軸力に消費され，一般にボルトに作用する軸力と締付0けトルクの間には(2)式の関係が存在する．

-2

T = K・d・Ff

ボルト
1ボルト
1＋2ボルト
1+2+3

締結状態

・・・・(2)

Fig.8 最大主応力解析結果
ここで T は締付けトルク(N・mm)，d はねじの呼び径(mm)，K はトルク係数，Ff は軸力(N)である．トルク係数は潤滑5

油や材料の表面状態による摩擦状態で，通常 0.14 から値 Ffmax は 11905N，
最小軸力値 Ffmin は 6410.4N となった．
境界条件の簡易化として，ボルトを締結した際に生じる軸力がねじ部面に対して圧縮荷重として働き，ボルト座部が接する面を固定されていると仮定して，Fig.5 中の点 A，最少主応力(MPa)00.26 程度の範囲内で変化する．
（2）式より今回の最大軸力-5-10
A点最小主応力（解析値）-20

B においての最大・最小主応力について解析を行った．な-25

お，ヤング率は 200GPa,ポアソン比は 0.3 とした．Fig.7-30に解析条件モデル図を示す．

A点最小主応力（実験値）-15

B点最小主応力（実験値）
B点最小主応力（解析値）
ボルト
1ボルト
1＋2ボルト
1+2+3

締結状態

Fig.9 最小主応力解析結果

5.

まとめ

九州 CAE 研究会における共通課題「有限要素法の要素に影響」，「2 次元解析に関する調査」，「鋼材のボルト締結時における応力分布解析」を行った結果，以下の結論を得た．
1) 平面要素，四面体要素ともに，一次要素に比較して二次要素の方が理論値との誤差が少なくなっている．
2) ANSYS の一般化平面ひずみ要素では，独立した複数のボディからなる解析モデルにおいて，変位量に誤差を生Fig.7 ボルト締結の簡易化解析モデル

じる．影響の大きさは主にボディ間の距離に左右され

32

平成26年度

るが，ボディを抑制しない限り無くすことは出来ない．

研究報告

大分県産業科学技術センター

参考文献3) ボルト締結時の応力解析の簡易化において，めねじ部(1) 清水慎吾，橋口智和：九州連携 CAE 研究会における面に軸力を加えることで実際に近い傾向の応力分布が解析事例の検証：平成 25 年度大分県産業科学技術セン得られた．

ター研究報告33