数理解析研究所講究録
第 730 巻 1990 年 138-165

138

Nonlinear perturbations of dual semigroups
橋本一夫 (広島大・理)1

序論

この論文では次の形の半線形発展方程式$u’(t)=(A+B)u(t)$ ,

(DE)

$t>0$

nild solution’‘ を与える非線形半群について考察する.

の$A$を Banach 空間

$X$

上の有

-半群の無限小生成作用素とする. このとき $X$ 上の任-半群 $S(t)$ を生成し, いわゆる
意の有界線形作用素 $B$ に対して $A+B$ は $X$ 上の界線形作用素驚 $\equiv\{T(t)\}$の$(C_{0})$$(C_{0})$$\zeta$variation-of-constants formula’$S(t)x=T(t)x+ \int_{0}^{t}T(t-s)BS(s)xds$ ,(1.1)

が成り立っことは良く知られている.
る. 最近 [1] において $X$ が $(C_{0})$ -半群

用素 $B$ を $X$ から $X$ を含むが調べられた.

この場合,$\mathfrak{T}$$\mathfrak{T}$$x\in X$

ここで積分は $X$ における Bochner 積分の意味に取$\mathfrak{T}$

に関して

-

回帰的である場合,$A$に加える摂動作によって定まる空間 $X^{-*}$ への線形作用素としたときのこと

を一担空間 $X^{-*}$ に於ける半群驚 o* に拡張し,代りに共役空間 $X^{-*}$ における Gel’fand 積分を用いることにより$X^{-*}$

Bochner 積分のに於いて variation-of-constants formula を定式化する. ところが積分項自身は再び $X^{--}=X$ に戻り, $X$ の)位相で連続になることが示される. つまり新しく作られる半群 $S(t)$ は再び$X$

上の $(C_{0})-$

半群になっている訳である.
本論文の主な目的は, 作用素 $B$ が,$X$

から $X^{-*}$ への連続な非線形作用素である場合に,における半線形作用素 $A^{-*}+B$ によって生成される $X$ 上の非線形半群について考察$X^{-*}$する事である.
から$X^{-*}$

ここでは,

$X$

を含む空間 $X^{-*}$ を定め,

$A$の非線形摂動として $X$ の凸集合への連続な作用素 $B$ を考え半線形作用素 $A^{-*}+B$ の一般的なクラスを導入し,これが $X$ 上の非線形半群を生成する為の必要十分条件を与える.

本研究は Cl\’ement-橋本-大春-Pagter [2] の共同研究によるものである.

2.

共役半群と半線形発展方程式の一般化された解(X,$|\cdot|$$f\in x*$

) を (非回帰的) 実 Banach 空間とする. $x*$ で $X$ の共役空間を表す.

に対して,

$f$

の

$x$

での値を \langle $x,$ $f$ } と表す.

$\mathfrak{T}=\{T(t) :素 $A$ を持っ $X$ 上の有界線形作用素の強連続半群とする.

共役作用素 $T^{*}(t)$ の半群とし,$A^{*}$

t\geq 0\}$$x\in X$ ,を無限小生成作用$\mathfrak{T}^{*}=\{T^{*}(t):t\geq 0\}$を $T(t)$ のを $A$ の共役作用素とする.

次の結果は良く知られている. 証明については Hille-Phillips [3] を見よ.

定理 21
ある.

(i) 任意の $x^{*}\in X*$ に対して,$T^{*}(\cdot)x^{*}:$$[0, \infty$) $arrow(X^{*}, \sigma(X^{*}, X))$ は連続で

139
(ii)

は $T^{*}(t)$ の汎弱生成作用素,$A^{*}$$x^{*}\in D(A^{*})\Leftrightarrow$

即ち

汎弱位相で

$1 i\ln\frac{T^{*}(t)x^{*}-x^{*}}{t}t\downarrow 0$が存在.

このとき $A^{*}x^{*}=(w^{*})- \lim_{t\downarrow 0}\frac{T^{*}(t)x^{*}-x^{*}}{t}$ である.

(iii)

$x^{*}\in D(A^{*})$

ならば,$T^{*}(t)x^{*}\in D(A^{*}),$ $t\geq 0$で$A^{*}T^{*}(t)x^{*}=T^{*}(t)A^{*}x^{*}$.

定理 2.1(iii) は $u^{*}(t)=T^{*}(t)x^{*}$ が微分方程式$\sigma(X^{*}, X)-\frac{d}{dt}u^{*}(t)=A^{*}u^{*}(t)$$u^{*}(0)=x^{*}\in D(A^{*})$,

ここで左辺の導関数は汎弱位相の意味で考える.

の解であることを述べている.

$X$,が回帰的でない限り, 強位相を持っ上の半群 $T^{*}(t)$ は強連続であるとは限らない.

$X^{*}$

定理 2.1(i) に依り $T^{*}(t)$ を汎弱連続半群と呼ぶ.
定義 2.2.

$X^{-}\equiv$$\{x^{*}\in X^{*} :\lim_{t\downarrow 0}|T^{*}(t)x^{*}-x^{*}|=0\}$

明らかに部分空間 $X^{-}$ は $T^{*}(t)$ で不変で,される.
$A^{-}$$T^{-}(t)$を $T^{*}(t)$ のへの制限とすると,$T^{-}(t)$は$X^{-}$

上の強連続半群となる.

とくに $X$ が回帰的であるならば $X^{*}=X^{-}$ である.

定理 2.3 (Phillips).
は$A^{-}$$A^{*}$の(i)$X^{-}$$X^{-}=\overline{D(A^{*})}$.

に於ける部分, 即ち,$D(A^{})=\{x^{*}\in D(A^{*}) :;A^{*}x^{*}\in X^{}\}$$\overline{D(A^{})}(x^{s},x)=X^{*}$(iv)$||x||= \sup\{|\{x, x^{*}\}| :x^{*}\in X^{-}, |x^{*}|\leq 1\}$$|\cdot|$$A^{}x^{*}=A^{*}x^{*},$$x^{*}\in D(A^{})$

.

.

(iii)
ルム

がノルム閉集合であることは容易に検証

を半群驚- $=\{T^{-}(t) : t\geq 0\}$ の生成作用素とする. 同様にして $X^{--},$ $T^{--}(t)$ 等が定義

される.

(ii)

$X^{-}$$X^{-}$と同値なノルムになる. 実際,,$x\in X$とおけば,

$M= \lim_{\lambdaarrow}\inf_{\infty}\Vert\lambda R(\lambda, A)||$$||x||\leq|x|\leq M||x||,$$||\cdot||$

は

$X$

のもとのノ

とおく と,$x\in X$が成り立っ.
以下で,$X^{-},$$X^{-*}$のノルムはそれぞれ$||\cdot||_{X^{-}},$のため, 混乱の恐れのない場合は同一の記号.

$?$$||\cdot||$$||\cdot||_{X-*}$を用いる.

と書くべき所であるが, 簡単

140
定理 2.3.(iv) より半群寛 $=\{T(t) : t\geq 0\}$ が縮小半群ならばは汎弱連続半群寛- $=\{T^{-}(t) : t\geq 0\}$ の汎弱生成作用素である.

であることが分る.

$|\cdot|=||\cdot||$$X$の元は $x*$ 上の$X^{-*}$の元と見倣され$A^{-*}$

連続線形汎関数, だから $X^{-}$ 上の連続線形汎関数と見倣されるので,

$X$

なる.

は

$X^{-*}$

ならば $X^{-}$ が $x*$ で汎弱稠密だから必ず $x_{1}=x_{2}$$=0,$ $x^{-}\in X^{-}$$x_{1}-x_{2},$ $x^{-}\rangle$: $Xarrow X^{-*}$ を $\{j_{-}(x), x^{-}\}$ で定義すれば, $||j_{-}(x)||=\Vert x||$ となが nonexpansive のときには等距離同型とに位相同型的に埋め込まれる.

この自然な写像

となる
り

{

もしも,

る.

$j_{-}$$\mathfrak{T}$更に双対を取ると$X^{}= \{x^{*}\in X^{*} :だから,\lim_{t\downarrow 0}||T^{*}(t)x^{*}-x^{*}||=0\}$

明らかに $X\subset X^{--}$ .

定義 2.4.

$X=X^{--}$ となるときは寛 $=\{T(t) :$X$

t\geq 0\}$

に関して

-

回帰的であるという.

定理 2.5Banach 空間 $X$ が(Phillips).

必要十分条件は,$\mathfrak{T}$

に関して

が

-

$\lambda\in\rho(A)$

回帰的となる為のに対して resolvent

が $\sigma(X, X^{-})$ コンパク トとなることである.
-

定理 2.6 (Phillips).

要十分条件は-半群

その生成作用素 $A$ の任意の (実はある)$R(\lambda, A)=(\lambda I-A)^{-1}$$X^{-}$$(C_{0})$Banach 空間 $X$ が$\mathfrak{T}^{-}$

に関して$(C_{0})$-半群$\mathfrak{T}$

に関して

-

回帰的となる為の必$J$-回帰的となることである.

Pagter [10] は定理 2.5 より更に強い次の結果を与えた.
定理 2.7 (Pagter).

Banach 空間 $X$ が$(C_{0})$-半群驚に関して-回帰的となる為の必要十分条件は任意の (実はある) $\lambda\in\rho(A)$ に対して $R(\lambda, A)$ が弱コンパク トとなることである.

補題 2.8.

$v(\cdot)$

を $v(O)=0$ なる$[0, \infty$) 上で定義された $D(A^{-*})$ -値 (強) 連続関数とす

このとき次は同値である :る.

1. 任意の $f\in X^{-}$ に対して,\langle$(*)$$v(\cdot),$$f$}$\in C^{1}[0, \infty$)かっ$\frac{d}{dt}\{v(t), f\}=\langle A^{-*}v(t),$ $f$

2. 任意の $f\in D(A^{-})$ に対して $(*)$ を満足する.

3.

$v\equiv 0$.

$\hat{3}$

}

141
[証明]

示すべきことは (2) $\Rightarrow(3)$ だけである. 任意の $f\in D(A^{-})$ に対して$\{\frac{T^{*}(h+s)v(t-s-h)-T^{*}(s)v(t-s)}{h},$ $f\}$$=$$\{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{h},$ $f\}$$+ \{\frac{T^{*}(s)v(t-s-h)-T^{*}(s)v(t-s)}{h},$ $f\}$$=$$\{T^{*}(s)v(t-s-h),$ $\frac{T^{}(h)f-f}{h}\}$$+ \{\frac{v(t-s-h)-v(t-s)}{h},$ $T^{}(s)f\}$$arrow^{h\downarrow 0}$$\{T^{*}(s)v(t-s), A^{}f\}+\{-A^{*}v(t-s),$ $T^{}(s)f\rangle$$=$$\{A^{*}T^{*}(s)v(t-s), f\}-\{T^{*}(s)A^{*}v(t-s),$$=${ $A^{*}T^{*}(s)v(t-s)-T^{*}(s)A^{*}v(t-s),$

$=$

$0$

$f\rangle$$f\rangle$.

従って任意の $f\in D(A^{-})$ に対して,$\frac{\partial}{\partial s}\{T^{*}(s)v(t-s), f\}=0$

for$0\leq s\leq t$.

それ故に, $t\geq 0$ に対して,$\langle v(t), f\rangle$$=${ $T^{*}(0)v(t)-T^{*}(t)v(0),$$=$$- \int_{0}^{t}\frac{\partial}{\partial s}\langle T^{*}(s)v(t-s), f\rangle ds$

$=$

$0$

$f\rangle$.

従って, $\{v(t), f\}=0,$ $\forall f\in D(A^{-})$ .

$\overline{D(A-)}=X^{-}$

補題 2.9 (see [9], p.598, Lenma 2.3).

より$v(t)\equiv 0$.

$\blacksquare$

任意の $x\in X$ と任意の $f\in D(\lrcorner 4^{*})$ に対して,

実数値関数 \langle $T(\cdot)x,$ $f$ } $\in C^{1}[0, \infty$ ) は次の性質を満たす :$\{T(\cdot)x, f\}\in C^{1}[0, \infty)$

かっ$\frac{d}{dt}\{T(t)x, f\}=\{T(t)x, A^{*}f\}$.

次に, 共役 Banach 空間に値をとる関数の Bochner 積分よりもはるかに弱いが以下の議論で重要になる積分概念を導入しておく. (X,$|\cdot|$) を Banach 空間とする. いま閉区間 $[a, b]$上で定義された関数 $f$ : $[a, b]arrow x*$ が任意の $x\in X$ に対して $\{x, f\}\in L^{1}[a, b]$ となるとき$f$は Gel’fand 積分可能と呼ばれている.

いま

$+$

$f$

をその様な関数とし $T_{f}(x)=\{x, f\},$ $x\in X$

142
で定義される作用素$T_{f}$: $Xarrow L^{1}[a, b]$ を考察する. このとき閉グラフ定理より容易に$\ovalbox{\tt\small REJECT}$が有界線形作用素であることが分る. 従って任意の可測集合 $E$ に対して,$\langle x,$$\nu(E)$}$= \int_{E}\langle x,$となる $\nu(E)\in x*$ が存在する.

明らかに,$\nu(E)=(G)-\int_{E}f(s)ds$ と表し,$\nu(E)$$[0, \infty$

}

$ds$

,

$x\in X$ ,この様な元 $\nu(E)$ は一意に定まる.

を) $arrow x*$ が汎弱連続な関数ならば,:Gel’fand 積分可能である.
$f$$f(s)$

$E$

$f$

上の

(

$f$

これを

の) Gel’fand 積分という. 特には任意の有界部分区間 $[a, b]\subset[0, \infty$ ) 上で次の定理は以下の議論で重要な役割を演じる.
定理 210 ([1]).

関数 $f$ : $[0, \infty$ ) $arrow X^{-*}$ が強連続であるとすれば,$t- \succ(G)-\int_{0}^{t}T^{*}(t-s)f(s)ds$

は $X^{--}$ -値強連続関数である.

(X, 1 . ) を Banach 空間とし,$|$作用素とする.
しを $X$ 上の $(C_{0})$ -半群 $\mathfrak{T}=\{T(t) :t\geq 0\}$ の無限小生成

を $X$ の部分集合とし,$C$$D(A)\cap C\neq\emptyset$$A$

を $C$ から

$B$

$X^{-*}$

への非線形作用素とする.

ならば, 和 $A+B$ は定義域 $D(A+B)=D(A)\cap C$ を持っ

$X$

から

も

$X^{-*}$

への作用素と定義する. 定義域 $D(A)\cap C$ は一般には空かもしれないが, たとえそれが空でも作用素の対 $A,$ $B$ によって決定される半線形作用素を表すのに記号 $A+B$ を用いる.
半線形発展方程式 (DE) に対する初期値問題を考察する :$u’(t)=(A+B)u(t)$ ,(2.1)$t>0$ ;$u(O)=x\in C$.

問題 (2.1) は強解を持っとは限らない. それ故 (2.1) の一般化された解の概念を考察することが要求される. 次は一般化された解の自然な概念である.

定義 2.11.

$[0, \infty$$u(t)\in C,$ $t\geq 0$ で,が (2.1) の O-mild solution であるとは,) 上の $X$ -値強連続関数
が-値関数として強連続で, 更に,) 上の$u(\cdot)$$Bu(\cdot)$$X^{-*}$$[0, \infty$$u(t)=T(t)x+(G)- \int_{0}^{t}T^{-*}(t-s)Bu(s)ds$ ,(2.2)$t\geq 0$.

が成立することである.

が (2.1) の) 上の X- 値強連続関数-weak solution であるとは,$u(t)\inC,$が$t\geq 0;Bu(\cdot)$$u(0)=x,$) 上で強連続; 任意の $f\in D(A^{-})$ に対して,\langle); かつ}

定義 2.12.

$[0, \infty$$u(\cdot)$$[0, \infty$$u(\cdot),$

(23)

$f$

$\in C^{1}[0, \infty$$\frac{d}{dt}\{u(t),$$f\rangle$$=\{u(t),$ $A^{}f\rangle$ $+\langle Bu(t), f\rangle$$\grave{5}^{-}$,$t\geq 0$.

143が成立することである.

命題 213.
とき

$u($

.

$x\in C$ で $u(\cdot)$

を $u(O)=x$ となる $[0, \infty$ ) 上の $X$ -値強連続関数とする.

が (2.1) の O-mild solution である為の必要十分条件は

$)$

この

-weak solution(2.1) のとなることである.

[証明]

$u($

.

$)$

を問題 (2.1) の O-mild solution とすると, 任意の $f\in D(A^{-})$ に対して,$\{u(t), f\}=\{T(t)x,$$Bu(\cdot)$$+ \int_{0}^{t}\{T^{*}(t-s)Bu(s), f\}ds$$f\rangle$,$t\geq 0$.

が $[0, \infty$ ) 上強連続であるから, 補題 29 より, 任意の $f\in D(A^{-})$ に対して,で,$C^{1}[0, \infty)$(2.4)

任意の $t\geq 0$ に対して,$\frac{d}{dt}\{u(t), f\}$$=$$\frac{d}{dt}\{u(t), f\}+\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}\{T^{*}(t-s)Bu(s), f\}ds$$=$$\langle T(t)x, A^{}f\rangle+\lim_{harrow 0+}\int_{0}^{t}\{T^{*}(t-s)Bu(s),$ $\frac{T^{}(h)f-f}{h}\}ds$$+ \lim_{harrow 0+}\frac{1}{h}\int_{\ell}^{t+h}\langle T^{*}(t+h-s)Bu(s),$ $f$

これは$u(\cdot)$$\{u(\cdot), f\}\in$

}

$ds$

$=$

$\{T(t)x, A^{}f\}+\int_{0}^{t}\langle T^{*}(t-s)Bu(s), A^{}f\rangle ds+\langle Bu(s), f\rangle$$=${ $u(t),$が (2.1) の$A^{}f\rangle$$+\langle Bu(t), f\rangle$.

-weak solution であることを意味している.

逆に$u(\cdot)$が (2.1) の-weak solution であるとする.
$\overline{u}(t)=T(t)x+(G)-\int_{0}^{t}T^{-*}(t-s)Bu(s)ds$ ,とおくと, 定理 210 により$\overline{u}(\cdot)$

は $X^{--}$ -値強連続関数で,$t\geq 0$(2.4) の微分と同じ様にして, 任

意の $f\in D(A^{-})$ に対して,,$\frac{d}{dt}\{\overline{u}(t), f\}=\{\overline{u}(t), A^{}f\}+\{Bu(t), f\}$$t\geq 0$.

従って,$\frac{d}{dt}\{\overline{u}(t)-u(t),$$z(t)=\overline{u}(t)-u(t))t\geq 0$$D(A^{-})$$A^{-*}v(t)$

. ゆえに
.

$f\rangle$$=\{\overline{u}(t)-u(t), A^{-}f\}$とおく. $z(O)=0$ で,$v(t)= \int_{0}^{t}z(s)ds$,$t\geq 0,$$f\in D(A^{-})$$\{z(t), f\}=\{\int_{0}^{t}z(s)ds, A^{-}f\},$$\forall t\geq 0,$$\forall f\in$

とおく と $v(t)\in D(A^{-*})$ でかっ $z(t)=A^{-*} \int_{0}^{t}z(s)ds=$

任意の $f\in D(A^{-*})$ に対して,$\frac{d}{dt}\{v(t),$.

$f\rangle$$=\{z(t),$6$f\rangle$$=\{A^{*}v(t),$$f\rangle$.

144
補題 28 より

$v\equiv 0$

on$[0, \infty$

).

従って,

$\overline{u}(t)=u(t)$O-mild solution であることを意味する.

3.

$(C_{0})$on$[0, \infty$

).

これは

$u(\cdot)$-半群の非線形摂動の無限小生成作用素

作用素 $A$ を $X$ 上の $(C_{0})$ -半群 $\{T(t) : t\geq 0\}$ の無限小生成作用素とする.
$x\in C$が (2.1) の$\blacksquare$

いま任意のに対して初期値問題 (2.1) が $[0, \infty$ ) 上の一意の O-mild solution を持っと仮定すると$S(t)x=u(t;x)$ ,

(3.1)
によって,

$X$

$t\geq 0$,$x\in C$上の作用素 $\{S(t) : t\geq 0\}$ を定義出来る. 作用素 $S(t)$ は $C$ からそれ自身への作用素で必ず非線形である.
$(S1)$

各 $x\in C$ に対して $S(0)x=x,$$(S2)$

各 $x\in C$ に対して,$X$

これは次の 2 っの性質を持っ :また,$S(t+s)x=S(t)S(s)x,$$t\geq 0$$s,$.

-値関数 $S(\cdot)x$ は $[0, \infty$ ) 上強連続である.

上の性質 (S1) と (S2) を満足する $C$ からそれ自身への非線形作用素の一径数族 $\{S(t) : t\geq 0\}$を $C$ 上の非線形半群という. 特に,(3.2)

t\geq 0\}$$C$

を (DE) に付随する$C$上の非線形半群とする.

$S(t)x=T(t)x+(G)- \int_{0}^{t}T^{*}$ (定理 3.1.

-mild solution上の半群が (3.1) の意味で (DE) のその半群を半線形発展方程式 (DE) に付随する $C$ 上の非線形半群と呼ぶ.

であるならば,$\{S(t) :$C$$\{S(t) :t\geq 0\}$上の非線形半群とする.

$t$–s)BS(s)xds,$t\geq 0$,$x\in C$.

を任意の $x\in C$ に対して $BS(\cdot)x$ が $[0, \infty$ ) 上で連続となる

このとき次は同値である :(i) $S(t)x=T(t)x+(G)- \int_{0}^{t}T^{*}$ ( –s)BS(s)xds,$t\geq 0$$t$(ii) $\sigma(X^{*}, X^{})-\lim_{h\downarrow 0}h^{-1}(S(h)x-T(h)x)=Bx$ ,(iii) $h_{\downarrow}m_{0}\{h^{-1}(S(h)x-x), f\}=\{x, A^{}f\}+\{Bx, f\}$ ,(iv) $\frac{d}{dt}\{S(t)x, f\}=\{S(t)x, A^{}f\}+\{BS(t)x,$$( v)\int_{0}^{t}S(s)xds\in D(A^{*})$

このとき,$f\rangle$,$x\in C$,$x\in C$.

.

$x\in C$$t\geq 0$,,$f\in D(A^{})$$x\in C$,$f\in D(A^{})$ .

and$S(t)x=x+A^{*} \int_{0}^{t}S(s)xds+\int_{0}^{t}BS(s)xds$$\iota_{7}$,$t>0$ ,.

$x\in C$

.

145
[証明]

$(i)\Rightarrow(ii)$は明らか.

(ii) が成り立っと仮定する. $x\in C,$ $f\in D(A^{-*})$ とす$h>0$ に対して,る.

$\{h^{-1}(S(h)x-x),$$f\rangle$$=$$\{h^{-1}(S(h)x-T(h)x),$ $f\}+\{h^{-1}(S(h)xT(h)x),$ $f\}$$=$$\langle h^{-1}(S(h)x-T(h)x),$ $f \rangle+\{h^{-1}\int_{0}^{h}T(s)xds,$ $A^{*}f\}$(ii) を用いて, この式でると, semigroup property を用いて,が成り立つ.

$h\downarrow 0$とすれば (iii) が得られる.

f\}$ ,$\frac{d^{+}}{dt}\{S(t)x, f\}=\{S(t)x,$ $A^{}f\}+\{BS(t)x,ここで左辺は $\{S(\cdot)x, f\}$ の右微分を表す.

を得る.
ら,

$\{S(\cdot)x, f\}\in C^{1}[0, \infty)$$t\geq 0$,$x\in C$,

次に (iii) を仮定す

$f\in D(A^{})$

また上の式の右辺は $t\geq 0$ で連続だか
これにより (iv) が得

左辺は通常の微分で置き換えられる.

で,.

(iv) を仮定する. (iv) より $t\geq 0,$ $x\in C$ 対して,られる.

$\{\int_{0}^{t}S(s)xds,$ $A^{}fが得られる.

これより\}=\{S(t)x-x-\int_{0}^{t}BS(s)xds,$ $f\}$ ,$\int^{t}S(s)xds\in D(A^{-*})$$f\in D(A^{})$.

かっ$A^{*} \int_{0}^{t}S(s)xds=S(t)x-x-\int_{0}^{t}BS(s)xds$ .

従って (v) が得られる.

4.

$(C_{0})$

$X$

$x*$

$(v)\Rightarrow(iv)$は明らか.

は命題 2.13 より明らか.

$(iv)\Leftrightarrow(i)$$\blacksquare$-半群の非線形摂動の双対性写像とは, 各 $y\in X$ に対して, 空でない汎弱コンパク ト凸集合 $F(y)=\{f\in$: $\{y, f\}=|y|^{2}=|f|^{2}\}$ を対応させる写像である. 任意の$\{x, y\}_{i}=\inf\{\{x, f\} :f\in F(y)\}$$\langle x, y\rangle_{s}=\sup\{\langle x, f\rangle :と定義する. 同様にして-共役空間$X^{-}$$x,$$y\in X$に対して,;

f\in F(y)\}$.

及びその共役空間 $X^{-*}$ の双対性写像$F^{-},$$F^{-*}$

はそれぞれ$F^{}(x^{})=\{f\in X^{*}$ : $\{x^{}, f\rangle=\Vert x^{}\Vert=||f||\}$$F^{*}(x^{*})=\{f\in X^{**} :,\{x^{*}, f\}=\Vert x^{*}||=||f||\}$$x^{}\in X^{}$,$x^{*}\in X^{*}$

この節では [9] に従って, 半線形作用素の 1 っの一般的なクラス
$A$

を

$X$

上の $(C_{0})$ -半群驚 $=\{T(t) :部分集合 $C$ から$X^{-*}$

t\geq 0\}$に対して次の 3 条件を満たしているものとする :$q$.

$6^{-*}(C, p)$の無限小生成作用素とする.

への非線形作用素で, ある下半連続凸関数

;

$p$

$B$

を導入する.
は $X$ 上の凸

: $Xarrow[0, \infty],$$p\not\equiv\infty$

146(H1) $C\subset D(p)=\{x\in X : p(x)<\infty\}$ かっ任意の $\alpha>0$ に対して,
合 $C_{\alpha}=\{x\in C:p(x)\leq\alpha\}$ は閉集合で,は$B$

散的. っまり, ある$\omega_{\alpha}\in \mathbb{R}$

のレベル集

上強連続.

$C_{\alpha}$(H2) 任意の $\alpha>0$ に対して, 半線形作用素 $A^{-*}+B$ は$C$$D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$

上 $X^{-*}$ で準消が存在して, 任意の $x,$ $y\in D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$ に対して,$\{(A^{*}+B)x-(A^{*}+B)y,$ $x-y\rangle_{i}\leq\omega_{\alpha}||x-y||^{2}$が成り立っ.
このとき $A+B$ はクラス

$6^{0*}(C, p)$に属する半線形作用素であるという.

また,

定理

2.3(iv) より 明らかに (H2) は次の条件 $(H’2)$ に同値である.
$(H’2)$

任意の $\alpha>0$ に対して, 半線形作用素 $A^{-*}+B$ は $D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$ 上 $X^{-*}$ で準消散的. つまり, ある$\omega_{\alpha}\in \mathbb{R}$が存在して, 任意の $x,$ $y\in D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$ に対して,$\langle(A^{*}+B)x-(A^{*}+B)y,$ $x-y\}_{i}\leq\omega_{\alpha}|x-y|^{2}$が成り立っ.

上の条件 (H2) 及び $(H’2)$ で。は正数であると仮定してもよい事に注意. $A^{-*}+B$ にっいての条件 (H2) は局所条件なので, 局所的にしか -mild solution の存在が言えない. 従っ$\omega$(2.1) の大域的な O-mild solution を議論する為には -mild solution の growth order を考察する必要がある. ここでは, 実数値関数 $p(u$ (.) によって -mild solutionの増大て$u(\cdot)$$)$

度を考える.
いま

$g$

(4.1)

:

$[0, \infty$) $arrow[0, \infty$ ) を連続関数とする. そして任意の$w’(t)=g(w(t))$ ,

;

$t>0$

が $[0, \infty$ ) 上で最大解 $m(t;\alpha)$ を持つものとする.

(4.2)$\alpha\geq 0$

に対して初期値問題$w(0)=\alpha$以下でその様な関数$p(u(t))\leq m(t;p(x))$ ,$g$を固定し、て$t\geq 0$を満足する (2.1) の大域的 O-mild solution を調べる.
まず (4.2) を満足する(2.1) の O-mild solution$u(\cdot)$

が$C_{\alpha}$の各初期値によって一意に決定されかっ初期値に連続的に依存していることを示す.

一意性定理 (Martin, Oharu and Takahashi [8]).
に対して (4.2) を満足する (2.1) の高々一つの$A+B\in 6^{-*}(C, p)$ とする.

$x\in C$

-mild solution が存在する.

命題 2.13 と上の結果を合せると次の結果を得る.

系.

$

任意に与えられた $x\in C$ に対して増大条件 (4.2) を$A+B\in 6^{-*}(C,p)$ とする.

満足する半線形問題 (2.1) は高々一つの O-mild solution を持つ.

$c_{i}$

147(DE) に付随する非線形半群の生成5.

この節ではクラスに属する半線形作用素 $A+B$ が$6^{-*}(C,p)$(5.1)$S(t)x=T(t)x+(G)- \int_{0}^{t}T^{*}(t-s)BS(s)xds$ ,(5.2)$p(S(t)x)\leq m(t;p(x))$

を満足する

$C$

$C$

上の非線形半群 $\{S(t) : t\geq 0\}$ は次の意味でか有界集合上で$A+B\in 6^{-*}(C, p)$

群とする.

for $t\geq 0,$ $x\in C$ .

上の非線形半群 $\{S(t) : t\geq 0_{-}\}$ を生成する為の十分条件について議論する.

(5.1) と (5.2) を満足する
Lipschitz 連続である.
命題.

for $t\geq 0,$ $x\in C$ ,.

$\{S(t) :を (5.1), (5.2) を満足する

t\geq 0\}$$C$上の非線形半

このとき各 $\alpha>0$ と $\tau>0$ に対してある $\beta=\beta(\alpha, \tau)$ が存在し,(5.3)

for $t\in[0, \tau],$$||S(t)x-S(t)y\Vert\leq e^{\omega\rho t}||x-y||$

更に各 $x\in C$ に対して,$[0, \infty$) 上の関数$x,$ $y\in C_{\alpha}$

は (5.2) を満足する$S(\cdot)x$.

(2.1) の一意な O-mild

solution を与える.
上の命題は前節で与えられた一意性定理の言換えである.
$A+B\in 6^{-*}(C,p)$ に対して,(R)

次の接触条件を導入する.

各 $x\in C$ に対して, 次の性質を持っ正数の零列 $(h_{n})$ と $D(A^{-*})\cap C$ の元の列 $(x_{n})$が存在する :

(R1)$\lim_{narrow\infty}h_{n}^{-1}||x_{n}-h_{n}(A^{*}+B)x_{n}-x||=0$(R2)

lim $suph_{n}^{-1}[p(x_{n})-p(x)]\leq g(p(x))$ .

,$narrow\infty$

時間依存の発展方程式(54)$u’(t)=(A+B(t))u(t)$ ,$t\geq 0$

に関する最近の結果を適用することにより次の生成定理を得る.
条件 (R) が満足-されていれば,定理 5.2.
$\{S(t) :t\geq 0\}$

[証明]

$C$

上の非線形半群が存在する.

一意性定理により, 任意の $\tau>0$ と任意の $z\in C$ に対して, 次の 3 条件を満たす $[0, \tau]$ 上の $X$ -値強連続関数(5.5)(5.1), (5.2) を満足する$u(\cdot)$が存在することが示されれば十分である$u(t)\in C$ ,10$t\in[0, \tau]$

,

:

148
(5.6)

$u(t)=T(t)z+(G)- \int_{0}^{t}T^{*}(t-s)Bu(s)ds$ ,(5.7)$p(u(t))\leq m(t;p(z))$ ,$\tau>0,$ $z\in C$

いま上で最大解 $m^{\eta}(t;p(z))$ を持ち,$[0, \tau]$,$t\in f^{0,\tau]}$とする. 任意の $\eta\in(0, \zeta$ ] に対して, 初期値問題$w’(t)=g(w(t))+\eta$ ,が$t\in[0, \tau]$$t>0$ ;$\eta\downarrow 0$$w(0)=p(z)$とすれば $m^{\eta}(t;p(z))\downarrow m(t;p(z))([0, \tau]$ 上一様) となる様な $\zeta\equiv\zeta(\tau, p(z))>0$ が存在する ([7] の補題 13.1 を参照). まず最初に$\eta\in(0, \zeta]$に対して,$u^{\eta}(t)=T(t)z+(G)- \int_{0}^{t}T^{-*}(t-s)Bu^{\eta}(s)ds$$p(u^{\eta}(t))\leq m^{\eta}(t;p(z))$

を満たす $[0, \tau]$ 上の $X$ -値強連続関数
とおき,$\omega_{\alpha}$$u^{\eta}(\cdot)$,,$t\in[0, \tau]$,$t\in[0, \tau]$が存在することを示す. そこで $\alpha=m^{\eta}(\tau,\cdot p(z))$

を (H2) によって与えられた定数とする.

また各 $t\in[0, \tau]$ に対して$\mathcal{D}^{\eta}(t)\equiv\{x\in C : p(x)\leq m^{\eta}(t;p(z))\}$と定義する. 作用素$B^{\eta}(t)$:$\mathcal{D}^{\eta}(t)arrow X$

を$B^{\eta}(t)x=Bx$,$x\in D^{\eta}(t)$によって定義する. 次が成り立っ :

(i)

全ての

$D^{\eta}(t)$は閉で,$0\leq s\leq t\leq\tau$

に対して,

.

$D^{\eta}(s)\subseteq \mathcal{D}^{\eta}(t)$条件 (H2) により定義域 $D(A^{-*}+B^{\eta}(t))=D(A^{-*})\cap \mathcal{D}^{\eta}(t)$ を持つ作用素 $A^{-*}+B^{\eta}(t)$は次の (ii) を満足する :$(\ddot{u})$任意の $s,$ $t\in[0, \tau],$ $x\in D(A^{-*}+B^{\eta}(s)),$ $y\in D(A^{-*}+B^{\eta}(t))$ に対して,$\{(A^{*}+B^{\eta}(s))x-(A^{*}+B^{\eta}(t))y, x-y\}_{i}\leq\omega_{\alpha}||x-y||^{2}$$t\in[0, \tau),$ $x\in D^{\eta}(t)$

る.

$g$

とすると,

(R) により (R1), (R2) を満足する列の連続性と条件 (R2) によって, 十分大きな$p(x_{n})$$\leq$$=$$n$$(h_{n}),$に対して,$p(x)+h_{n}[g(p(x))+ \frac{\eta}{2}]$$p(x)+ \int_{0}^{h_{n}}g(m^{\eta}(s;p(x))ds$$+ \int_{0}^{h_{n}}[g(p(x))-g(m^{\eta}(s;p(x))+\frac{\eta}{2}]ds$$\leq$$m^{\eta}(h_{n}; p(x))$

$|)$

.

.

$(x_{n})$

が存在す

149
が成り立つ.

より十分大きな$p(x)\leq m^{\eta}(t;p(z))$

(58)

$n$

に対して,

$p(x_{n})\leq m^{\eta}(h_{n};m^{\eta}(t;p(z)))\leq m^{\eta}(t+h_{n};p(z))$

これと (R2) とから,が出る.

(\"ui)$t\in[0, \tau$$\lim_{0}\inf h^{-1}d(x, R(I-h(A^{*}+B^{\eta}(t+h)))=0,$), $x\in D^{\eta}(t)$ .

(i), (ii), (iii) により Kobayasi 他 [5] もしくは Pavel [11] の結果を適用して次の (W) を得る:(W)

次の条件 $(w_{1}),$ $(w_{2}),$ $(w_{3})$ を満たす $[0, \tau]$ の分割の列

関数の列$(\epsilon_{n}^{\eta}(\cdot))$, そして$[0, \tau$) 上の $X$ -値階段関数の列] 上のが存在する :$(\triangle_{n}^{\eta}),$$(u_{n}^{\eta}(\cdot))$$(0, \tau$-値階段

任意の $n\geq 1$ に対して,$(w_{1})$$\triangle_{n}^{\eta}=\{0=t_{n,1}^{\eta}<t_{n,2}^{\eta}<.$$t\in(t_{n,k-1}^{\eta}, t_{n,k}^{\eta}$$\epsilon_{n}^{\eta}(t)=\epsilon_{n,k}^{\eta},$$u_{n}^{\eta}(0)=x_{n,0}^{\eta}=z,$$u_{n}^{\eta}(t)=x_{n,k}^{\eta},$.
]$<t_{n,N(n)}^{\eta}\leq\tau\}$$,$$1\leq k\leq N(n)$$t\in(t_{n,k-1}^{\eta}, t_{n,k}^{\eta}$]$,$$(w_{2})$,,$1\leq k\leq N(n)$$\lim_{narrow\infty}\max(t_{n,k}^{\eta}-t_{n,k-1}^{\eta})1\leq k\leq N(n)=0,\lim_{narrow\infty}t_{n,N(n)}^{\eta}=\tau,\lim_{narrow\infty}\int_{0}^{\tau}||\epsilon_{n}^{\eta}(t)||dt=0$(W3)$u_{n}^{\eta}(t)$をは $[0, \tau]$ 上で一様に$X$-値強連続関数$u^{\eta}(t)$;$1\leq k\leq N(n)$$(t_{n,k}^{\eta}-t_{n,k-1}^{\eta})^{-1}(x_{n,k}^{\eta}-x_{n,k-1}^{\eta})-\epsilon_{n,k}^{\eta}=(A^{*}+B^{\eta}(t_{n,k}^{\eta}))x_{n,k}^{\eta}$$u^{\eta}(\cdot)$$X^{-*}$;;に収束する.

(W3) によって与えられた関数とする. すると明らかに$u^{\eta}(t)\in\overline{D(A^{*})\cap D^{\eta}(t)}\subseteq \mathcal{D}^{\eta}(t),$$t\in[0, \tau]$.

よって任意の $\eta\in(0, \zeta$] に対して,$p(u^{\eta}(t))\leq m^{\eta}(t;p(z))\leq m^{(}(t;p(z))$

が成り立っ. 一意性定理から$m^{\eta}(t;p(z)),$ $t\in[0, \tau]$

最後に,

この

$u(\cdot)$.

$\eta\downarrow 0$$u^{\eta}\equiv u^{\zeta}$$t\in[0, \tau]$( $=u$ とおく), $\eta\in(0, ($] . 従って $p(u(t))\leq$

として (5.7) を得る.

が (5.6) を満たしているごとを示す.

件 $(w_{1})$ から任意の $n\geq 1$ と,

$1\leq k\leq N(n)$その為に $f\in D(A^{-})$ とする. 条に対して,$\{x_{n,k}^{\eta}, f\rangle=\{x_{n,k-1}^{\eta}, f\rangle+(t_{n,k}^{\eta}-t_{n,k-1}^{\eta})[\langle x_{n,k}^{\eta}, A^{}f\rangle+\langle Bx_{n,k}^{\eta}, f\}+\langle\epsilon_{n,k}^{\eta}, f\}]$

これより任意の$t\in(t_{n,k-1}^{\eta}, t_{n,k}^{\eta}$], $n\geq 1,1\leq k\leq N(n)$ に対して$\{u_{n}^{\eta}(t))f\}=\{z, f\}+\int_{0}^{t_{n,k}^{\eta}}[\{u_{n}^{\eta}(s), A^{}f\}+\{Bu_{n}^{\eta}(s), f\rangle+\langle\epsilon_{n}^{\eta}(s), f\}]ds$

/ 音

150
を得る. 任意の $t\in[0, \tau]$ を取り,意の$t\in[0, \tau]$

分る.

6.

のとき

$t_{n,k}^{\eta}arrow t$となる様に$t_{n,k}^{\eta}$

を取れば,

任

に対して
$\{u^{\eta}(t),$命題 2.13 より$narrow\infty$$u^{\eta}(\cdot)$$f\rangle$$= \langle z, f\rangle+\int_{0}^{t}[\{u^{\eta}(s), A^{}f\rangle+\{Bu^{\eta}(s), f\}]ds$が (5.6) を満足している.

従って.

が (5.6) を満足していることが$u(\cdot)$$\blacksquare$$(C_{0})$-半群の非線形摂動の特徴付け

この節では半線形作用素 $A+B\in 6^{-*}(C, p)$ が (5.1), (5.2) を満足する $C$ 上の非線形半群 $\{S(t) : t\geq 0\}$ を生成する為の必要十分条件を与える.
いま $A+B\in 6^{-*}(C, p)$ で $\{S(t) :とする. $h>0,$ $\tau>0$ に対して,

(6.1)
ここで

t\geq 0\}$作用素

$J_{h,\tau}$

を (5.1), (5.2) を満足する(6.1) の右辺は$S(\cdot)x$上の非線形半群: $Carrow X$ を次で定義する :$J_{h,\tau}x=(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-t/h}S(t)xdt$$a_{h,\tau}= \int_{0}^{\tau}e^{-t/h}dt=h(1-e^{\tau/h})$$C$,$x\in C$.

. とする.

の局所 Laplace 変換と見なされる. 作用素$J_{h,\tau}$

は $A^{-*}+B$に対する値域条件, 即ち作用素 $I-\lambda(A^{-*}+B),$ $\lambda>0$ の値域を調べるのに用いられる.

命題 6.1.

半線形作用素 $A+B$ がクラス

(5.2) を満足する$C$$6^{0*}(C, p)$に属し,上の非線形半群とする. すると, 作用素(i) $h>0,$ $\tau>0,$ $x\in C$ とすれば,$J_{h,\tau}x\in D(A^{-*})\cap C$$J_{h,\tau}$

を (5.1) と$\{S(t):t\geq 0\}$は次の 5 つの性質を持つ :でかっ$(I-hA^{*})J_{h,\tau}x=x+h(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-t/h}BS(t)xdt-he^{-\tau/h}(a_{h,\tau})^{-1}(S(\tau)x-x)$.

(ii) $\tau>0,$ $x\in C$ に対して, $\lim_{h\downarrow 0}h^{-1}||(I-hA^{-*})J_{h,\tau}x-(x+hBx)||=0$ .
$(i\ddot{u})\tau>0,$$x\in C$に対して,$\lim_{h\downarrow 0}||J_{h,\tau}x-x||=0$.

(iv) $\tau>0,$ $x\in C$ に対して, $\lim_{h\downarrow}\sup_{0}h^{-1}[p(J_{h,\tau}x)-p(x)]\leq g(p(x))$ .
(v) $\tau>0,$ $x\in C$ に対して,

[証明]

する.

$\lim_{h\downarrow 0}p(J_{h,\tau}x)=p(x)$$h>0,$ $\tau>0$ に対して$\alpha=m(\tau;p(x))$とおけば,$J_{h,\tau}$.

を (6.1) によって定義されたものとする.

(5.2), 条件 (H1),$p$の凸性及び下半連続性より(i) を示すために定理 3.1(v) を適用して, 任意の $t>0$ に対して,

13$x\in C$と

$J_{h,\tau}x\in C_{\alpha}$$\int_{0}^{t}S(s)xds\in D(A^{-*})$

.

か

151
つ

$A^{-*} \int_{0}^{t}S(s)xds=S(t)x-x-\int_{0}^{t}BS(s)xds$

けて$(0, \tau$

] 上

$t$

(6.2)

が成り立っ.

この両辺に$(a_{h,\tau})^{-1}e^{-\frac{1}{h}}$をかに関して積分して, 次を得る :$(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}[e^{-\frac{2}{h}}A^{*}\int_{0}^{t}S(s)xds]dt$$(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}(S(t)x-x)dt-(a_{h,\tau})^{-1}\int_{0}^{\tau}[e^{-\frac{t}{h}}\int_{0}^{t}BS(s)xds]dt$$=$(6.2) の左辺$=$$A^{-*}[(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-\frac{1}{h}}\int_{0}^{t}S(s)xdsdt]$$=$$A^{-*}[(a_{h,\tau})^{-1}([-he^{-\frac{2}{h}} \int_{0}^{t}S(s)xds]_{0}^{\tau}+h\int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}S(t)xdt)]$$=$$A^{-*}[-h(a_{h,\tau})^{-1}e$$=$$A^{-*}[hJ_{h,\tau}x-he^{-\frac{f}{h}}(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}S(t)xdt]$““‘$\frac{\tau}{h}\int_{0}^{\tau}S(t)xdt+h(a_{h,\tau})^{-1}\int_{0}^{\tau}e^{-\frac{1}{h}}S(t)xdt]$

$Z$

$=$

$hA^{-*}J_{h,\tau}x-he^{-\frac{t}{h}}(a_{h,\tau})^{-1}A^{-*} \int_{0}^{\tau}S(t)xdt$$=$$J_{h,\tau}x-x+he^{-\frac{f}{t}}(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}BS(s)xds-h(a_{h,\tau})^{-1}\int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}BS(t)xdt$$=$$J_{h,\tau}x-x+he^{-\frac{f}{h}}(a_{h,\tau})^{-1}(S( \tau)x-x)-he^{-\frac{\tau}{h}}(a_{h,\tau})^{-1}A^{-*}\int_{0}^{\tau}S(t)xdt$

また,(6.2) の右辺$-h(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}BS(t)xdt$

従って,$hA^{*}J_{h,\tau}x=J_{h,\tau}x-x+he^{-\frac{\tau}{h}}(a_{h,\tau})^{-1}(S( \tau)x-x)-h(a_{h,\tau})^{-1}\int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}BS(t)x\phi t$

を得る.

これより,

$(I-hA^{*})J_{h,\tau}x=x+h(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}BS(t)xdt-he^{-\frac{\tau}{h}}(a_{h,\tau})^{-1}(S(\tau)x-x)$

この様にして (i) を得る.

(i) より$\frac{1}{h}[(I-hA^{*})J_{h,\tau}x-(x+hBx)]$$=$$-Bx+(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-\frac{\tau}{h}}BS(t)x$

dt–e

“

$\frac{2}{h}(a_{h,\tau})^{-1}(S(\tau)x-x)$

これと,$(a_{h,\tau})^{-1} \int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}BS(t)xdtarrow Bxh\downarrow 0$

から (ii) を得る.

$\downarrow+$と$e^{-\frac{\tau}{h}}(a_{h,\tau})^{-1}arrow 0h\downarrow 0$

.

.

.

152
$(\ddot{u}i)$は明らか.

(iv) を示すために, $\tau>0,$ $x\in C$ とする.

$p$の凸性と下半連続性及び (5.2)

より$p(J_{h,\tau}x) \leq(a_{h,\tau})^{-1}\int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}m(t;p(x))dt$かっ$h^{-1}[ \int(J_{h,\tau}x)-p(x)]\leq h^{-1}(a_{h,\tau})^{-1}\int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}[m(t;p(x))-p(x)]dt$

部分積分により右辺は次の様に書ける :$-e^{-\frac{\tau}{h}}(a_{h,\tau})^{-1}(m( \tau;p(x))-p(x))+(a_{h,\tau})^{-1}\int_{0}^{\tau}e^{-\frac{t}{h}}g(m(t;p(x))dt$

従って,$\lim_{h\downarrow}\sup_{0}h^{-1}[\rho(J_{h,\tau})-p(x)]\leq g(p(x))$

これにより

最後に

(iv) が示された.
, (iv) から$(\ddot{u}i)$$p(x) \leq\lim_{h\downarrow}\inf_{0}p(J_{h,\tau})\leq\lim_{h\downarrow}\sup_{0}p(J_{h,\tau})\leq p(x)$が得られる.

それ故 (v) が成り立っ.

$\blacksquare$

次の命題は命題 6.1 から明らかである.

命題 62.

$A+B\in 6^{-*}(C, p)$ とし,$\{S(t) :t\geq 0\}$を (5.1) と (5.2) を満足する$C$上の非線形半群とすれば

(6.3)
特に,

$\bigcup_{\alpha>0}D(A^{-*})\cap C_{\alpha}=C$$D(A^{-*})\cap C$

は $C$

.

で稠密である.

次の定理は本論文の主定理である.

定理 6.3.
値である

(I)

(II)

$A+B$ をクラス

$6^{-*}(C, p)$に属する半線形作用素とする.

このとき次は同:次の 2 条件を満たす $C$ 上の非線形半群が存在する :(I.a)$S(t)x=T(t)x+(G)- \int_{0}^{t}T^{-*}$ ((I b)$p(S(t)x)\leq m(t;p(x))$ ,$t\geq 0$,$t$–s)BS(s)xds,$x\in C$.

任意の $x\in C$ に対して, 次の性質を満たす正数の零列 $(h_{n})$ との列 $(x_{n})$ が存在する :.

(II.a)$\lim_{narrow\infty}h_{n}^{-1}||(x_{n}-h_{n}A^{-*}x_{n})-(x+h_{n}Bx)||=0$(II.b)$\lim_{narrow}\sup_{\infty}h_{n}^{-1}[p(x_{n})-p(x)]\leq g(p(x))$!

$b^{-}$.

$D(A^{-*})\cap C$

153
(III)

$D(A^{-*})\cap C$は$C$で稠密で, 任意のが存在して, 任意の$\lambda_{0}(\alpha, \epsilon)>0$$x\in C_{\alpha}$[証明]$x_{\lambda}-\lambda(A^{-*}+B)x_{\lambda}=x$$\Rightarrow(II)$と任意の$\epsilon>0$に対して,$\lambda\in(0, \lambda_{0})$に対して,$\lambda_{0}=$次を,$p(x_{\lambda})\leq p(x)+\lambda[g(p(x))+\epsilon]$

(III)

と

:

満足する $x_{\lambda}\in D(A^{-*})\cap C$ が存在する(III.a)(III.b)$\alpha>0$.

(III) を仮定すると, 各 $x\in C$ に対して (III.a), (III.b)と $D(A^{-*})\cap C$ の列が取れる. :を示す.

より次の性質を持つ正数の零列 $(h_{n})$$(x_{n})$(64)$x_{n}-h_{n}(A^{*}+B)x_{n}=x$(6.5)$h_{n}^{-1}[\rho(x_{n})-p(x)]\leq g(p(x))+1/n$

更に $D(A^{-*})\cap C$ の $C$ における 稠密性により(6.6)$\lim_{narrow\infty}||x_{n}-x\Vert=0$が示される. 実際,

きな $\alpha>0$ を取れば,$x,$$y\in C_{\alpha}$

上で消散的だから,$D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$$||x_{n}-x||$とし,$\epsilon>0$$\leq$$\leq$$||x-y||\leq\epsilon$となる様に $y\in D(A^{-*})\cap C$ を取る. 十分大かつ $x_{n}\in C_{\alpha}(\forall n)$ と出来る.
$1-h_{n}\omega_{\alpha}>0$

となる

$n$

すると

$(A^{-*}+B)-\omega_{\alpha}I$

が

に対して,

$||x_{n}-y||+||x-y||$$(1-h_{n}\omega_{\alpha})^{-1}||(I-h_{n}(A^{*}+B))x_{n}-(I-h_{n}(A^{*}+B))y||+||x-y||$$\leq$$(1-h_{n}\omega_{\alpha})^{-1}||x-y+h_{n}||(A^{*}+B)y||$$=$$(1+(1-h_{n}\omega_{\alpha})^{-1})||x-y||+h_{n}(1-h_{n}\omega_{\alpha})^{-1}||(A^{*}+B)y||$が成り立っ.

ここで$2||y-x||\leq 2\epsilon$.

$\epsilon>0$$\omega_{\alpha}$は(H2) で与えられる実数である. よって,が任意だから (6.6) が得られる.

また$\lim_{narrow}\sup_{\infty}||x_{n}-x||\leq$(6.4) より$||(x_{n}-h_{n}A^{-*}x_{n})-(x+h_{n}Bx)||=h_{n}||Bx-Bx_{n}||$

これと

$B$

の強連続性から,$(II)\Rightarrow(I)$(II.a) を得る. (II.b) は (6.5) より明かである.

(II.a) より, $\lim_{narrow\infty}||x_{n}-x||=0$ が得られる. 実際,$z_{n}=h_{n}^{-1}[(x_{n}-h_{n}A^{*}x_{n})-(x+h_{n}Bx)]$とおけば, 仮定より
$h_{n}A^{-*})^{-1}$$\lim_{narrow\infty}z_{n}=0$

. また

$n$

を十分大きくすれば,レゾルベント(I-が存在し,$x_{n}-x=h_{n}(I-h_{n}A^{*})^{-1}z_{n}+(I-h_{n}A^{*})^{-1}x-x+h_{n}(I-h_{n}A^{*})^{-1}Bx$

これより,$\lim_{narrow\infty}||x_{n}-x||=0$を得る. よって,$B$の強連続性から (R1) が得られるので(II) を仮定すれば (R) が成り立っことが分かる. これと定理 52(生成定理) から明らかに(I) が得られる.

$\downarrow$

も

154
で
命題 6.2 より $D(A^{-*})\cap C$ が(I) $\Rightarrow(III)$ (ここで $C,$ の凸性が用いられる.)とする. すると, ある稠密だから条件 (III) の後半だけ示されればよい. $\alpha>0,$
$C$

$p$

$\epsilon>0$が存在し,$\delta\in(0,1]$

(6.7)
正数

$\eta\in[0, \alpha+1],$$\xi,$$\delta$$\alpha,$$\epsilon,$$|\xi-\eta|\leq\delta$$\lambda_{0}=\min\{1/\overline{\omega},$$\lambda\in(0, \lambda_{0})$$|g(\xi)-g(\eta)|\leq\epsilon/2$

.

を用いて,

(68)
を定義する.

ならばここで $\overline{\omega}=\max\{0, \omega_{\alpha+1}\}$,$\delta/(\max_{0\leq\xi\leq\alpha+1}g(\xi)+\epsilon)\}$$\omega_{\alpha+1}$

は条件 (H2) で与えられる数とする.

$x\in C_{\alpha}$

とする.

(6.9)

$\beta=p(x)+\lambda[g(p(x))+\epsilon]$

とおく. 以下で (III.a) を満足する $x_{\lambda}\in D(A^{-*})\cap C_{\beta}$ を取ることが出来ることを示す.
$y\in C_{\beta}$$\tau>0$,に対して,$y_{h}=(1-h)J_{\lambda h,\tau}y+hJ_{\lambda h,\tau}x$

とおく.

,

ここで

(6.10)$J_{\lambda h,\tau}$,$h\in(0,1$ ]は (6.1) で定義された作用素とする.

$y_{h}\in D(A^{*})\cap C$,$h\in(O, 1$

]

;

すると,

$y_{h}arrow y$

命題 6.1 によって,

as $harrow 0+$ ,かっ(6.11)$||y_{h}-\lambda hA^{*}y_{h}-(y+\lambda hBy-hy+hx)||$$\leq$$(1-h)||J_{\lambda h,\tau}y-\lambda hA^{*}J_{\lambda h,\tau}y-(y+\lambda hBy)||$$+h||J_{\lambda h,\tau}x-\lambda hA^{*}J_{\lambda h,\tau}x-(x+\lambda hBx)||+\lambda h^{2}||Bx-By||$$=$$\lambda o(h)+\lambda h^{2}||Bx-By||$as $harrow 0+$ .

次に,(6.12)

十分小さな $h\in(0,1$ ] に対してとなることを示す.

$y_{h}\in C_{\beta}$

もしも $p(y)<\beta$ ならば (6.12) は$\lim_{h\downarrow}\sup_{0}p(y_{h})\leq\lim_{h\downarrow}\sup_{0}[(1-h)p(J_{\lambda h,\tau}y)+hp(J_{\lambda h,\tau}x)]=p(y)$.

から出る. (最後の等号は命題 6.1(v) から出る.) もしも $p(y)=\beta$ ならば, 命題 6.1 より十分小さな $h\in(0,1$ ] に対して,(6.13)$p(y_{h})$$\leq$$(1-h)p(J_{\lambda h,\tau}y)+hp(J_{\lambda h,\tau}x)$$\leq$$(1-h)[\rho(y)+\lambda h(g(p(y))+\epsilon/4)]+h[\rho(x)+\lambda\epsilon/4]$$\leq$$(1-h)p(y)+h[\rho(x)+\lambda(g(p(y))+\epsilon/2)]$$|^{1}7$.

155(6.8), (6.9) $B^{a}\grave{b}p(y)=\beta\leq\alpha+\delta\leq\alpha+1B_{a’\supset}|p(y)-p(x)|\leq\delta$ .
$g(p(y))\leq g(p(x))+\epsilon/2$

.

ま

.

$\text{従_{って}}(6.7)\Delta;!9$$^{\wedge}$$(1-h)p(y)+h[p(x)+\lambda(g(p(x))+\epsilon)]=\beta$

より, 前述の不等式 (6.13) から (6.12) が得られる. 作用素

作用素であると定義する.

ここで

から,

は次の性質を持つクラス

ある$\lambda A^{-*}+\lambda B_{\beta}-I+x$

$+x$

は

$x$

を作用素 $B$ の$B_{\beta}$に属する半線形作用素で$6^{-*}(C_{\beta}, 0)^{\backslash }$:,て定理 52 と命題 5.1 により次の性質を持っ在する$C_{\beta}$;$\forall y\in C_{\beta}$$\lim_{n\downarrow 0}h^{-1}d(y, R(Ii-h(\lambda A^{*}+\lambda B_{\beta}-I+x)))=0$$t\circ$

への制限(6.10), (6.11), (6.12)

による平行移動を表す.

$\overline{D(A^{-*}+\lambda B_{\beta}-I+x)}=\overline{D(A^{-*})\cap C_{\beta}}=C_{\beta}$

従$C_{\beta}$.

上の非線形半群 $\{S_{\lambda}(t) : t\geq 0\}$ が存:,(6.14)$S_{\lambda}(t)y=T( \lambda t)y+(G)-\int_{0}^{t}T^{*}(\lambda(t-s))[\lambda BS_{\lambda}(s)y-S_{\lambda}(s)y+x]ds$(6.15)$||S_{\lambda}(t)y-S_{\lambda}(t)z||\leq e^{(\lambda\overline{\omega}-1)t}||y-z||$

ここで $\overline{\omega}=\max\{0, \omega_{\alpha+1}\}$ とする.

$\lambda\overline{\omega}<1$,$t\geq 0$,$y\in C_{\beta}$(6.15) によりだから,$z\in C_{\beta}$$\{S_{\lambda}(t)\}$は共通の不動点を持つことが分る. 即ち,(6.16)$S_{\lambda}(t)x_{\lambda}=x_{\lambda}$となる一意な$x_{\lambda}\in C_{\beta}$(6.16) から素だから,が存在する.

,$\forall t\geq 0$

は$\lambda A^{-*}+\lambda B_{\beta}-I+x$$x_{\lambda}\in D(A^{-*})\cap C_{\beta}$$\{S_{\lambda} :.

(III.b) を満足していることを示している.
任意だから, (I) より (III) が従うことが示された.
$x_{\lambda}$の汎弱生成作用かっ$\lambda(A^{*}+B)x_{\lambda}-x_{\lambda}+x=0$

これはt\geq 0\}$が (III.a) と$x\in C_{\alpha},$$\lambda\in(0, \lambda_{0})$が$\blacksquare$

条件 (H2) によって (III) が成り立っならば, 任意の $\alpha>0$ と任意の $\epsilon>0$ に

注意.
対して,

ある

る任意の
を $B$ の$\lambda_{0}=\lambda_{0}(\alpha, \epsilon)>0$$\lambda\in(0, \lambda_{0})$$C_{\beta}$

に対して,への制限とすれば,とある $\beta>0$ を取れば,(III.a) を満たす

$x_{\lambda}$は任意の$C_{\beta}$が存在する.

1と:と$\omega_{\beta}\lambda<1$から一意に取れる. つまりレゾルベント$(I-\lambda(A^{*}+B_{\beta}))^{-1}$$x\in C_{\alpha}$$C_{\alpha}arrow C_{\beta}$とな$B_{\beta}$

156
7.

に関する指数公式$\{S(t)\}$

本節では前節で与えられた連続非線形半群 $\{S(t)\}$ が指数公式を満足することを見る.

定理 7.1.

$A+B$ をクラスの半線形作用素とする. 定理 6.3 の条件 (III) が$6^{-*}(C, p)$

作用素 $A+B$ に対して成立するならば条件 (I) を満足する $C$ 上の唯一の非線形半群 $\{S(t)\}$は任意の $\alpha>0,$(7. 1)$\tau>0,$$\beta>m(\tau;\alpha)$に対して指数公式$S(t)x= \lim_{narrow\infty}(I-\frac{t}{n}(A^{-*}+B_{\beta}))^{-n}x,$$t\in[0, \tau],$$x\in C$。

によって与えられる.

[証明]

意の

$\alpha>0,$$\tau>0,$に対して,$\gamma\geq 0$$\beta>m(\tau;\alpha)$

ある

とする.

$\zeta\equiv\zeta(\tau, \gamma)>0$

すると定理 52 の証明と同様にして,

任

任意の $2\eta\in(0, \zeta$] に対して, 初が存在して,

期値問題$w’(t)=g(w(t))+2\eta$ ,(72)
が $[0, \tau]$ 上で最大解を持ち$m^{2\eta}(\cdot;\gamma)$$\eta\downarrow 0$

来る. いま $\beta>\beta_{0}>m(\tau, \alpha)$ となる
く.

$2\eta\in(0, \zeta_{0}$] とすれば,$m^{2\eta}(t;\beta_{0})(\forall t\in[0, \tau])$

値問題 (7.2)の(7.2) の最大解$\lambda_{0}=\lambda_{0}(\alpha, \eta)$

とすれば

上で最大解

$[0, \tau]$$m^{2\eta}(\cdot;\beta_{0})$かっ $m(\tau;\alpha)\leq m^{2\eta}(\tau;\alpha)<\beta_{0}$と出来る.

$\alpha>0$が$[0, \tau]$と$\eta>0$$\beta>\beta_{0}+\lambda_{1}[\max_{0\leq\xi\leq\beta_{0}}g(\xi)+\eta]$($x_{\lambda}$とは$\tau]$上一様) と出$0\leq\gamma\leq\beta_{0}$が存在して,
またに対して,$m^{2\eta}(\cdot;\beta_{0})$$\gamma$$\lambda\in(0, \lambda_{1})$$C_{\beta_{1}}$$\lambda_{1}\omega_{\beta}<1$となるとなる様に$\exists\delta>0,$で一意に定まる. 従って$\lambda\in(0, \lambda_{1})$$C( \tau, \beta_{0})=\sup\{g(\xi) :0\leq\xi\leq m^{2\eta}(\tau;\beta_{0})\}$$\forall\xi\in[0, \beta_{0}],$

従

$-$ )

て

1 $m$

$\forall\xi\in[0, \beta_{0}]$$2\eta$$($;$\gamma)$:$\forall s\in[0, \tau]$$0\leq s\leq\delta/(C(\tau, \beta_{0})+2\eta)$

(7.3)

:

$\forall\eta\in[0, m^{2\eta}(\tau;\beta_{0})]$:$C_{\beta_{\text{。}}}arrow C_{\beta_{1}}$:$|\xi-\eta|\leq\delta\Rightarrow|g(\xi)-g(\eta)|<\eta$とおけば,$|m^{2\eta}(s;\xi)-\xi|\leq(C(\tau, \beta_{0})+2\eta)s$とすれば$\sup_{0\leq\xi\leq\beta_{0}}|m^{2\eta}(s;\xi)-\xi|\leq\delta$$|g(\xi)-g(m^{2\eta}(s;\xi))|<\eta$の最大性と解の延長可能定理から容易に示される(ク

まずに対してレゾル

が $[0, m^{2\eta}(\tau;\beta_{0})]$ 上で一様連続だから,$\forall\xi,$1.

に対して $A^{-*}+B$ の $D(A^{-*})\cap C_{\beta}$ での準消$(I-\lambda(A^{-*}+B_{\beta_{1}}))^{-1}$

$g$

となる

$0<\lambda_{1}<\lambda_{0}$ベント,が定義される.

が初期を初期値とする$m^{2\eta}(t;\gamma)\leq m^{2\eta}(t;\beta_{0})(\forall\in[0, \tau])$とおく) かっとお$m(t;\beta_{0})\leq$に対して定理 6.3 の (III) で取られた定数とする.

$=\beta_{1}$$x\in C_{\beta_{0}}$散性により (III) を満たす上で存在し,( $[0,$$\zeta_{0}=\min\{\zeta(\tau, \alpha), \zeta(\tau, \beta_{0})\}>0$$m^{2\eta}(\cdot;\alpha),$$m^{2\eta}(\cdot;\gamma)$を選ぶ. すると任意の$w(0)=\gamma$$m^{2\eta}(\cdot;\alpha)\downarrow m(\cdot;\alpha)$

を任意に取る.

上の最大解だから任意の$[0, \tau]$を$\beta_{0}$

;

$t>0$

.

.

だから,

.

157
$\tilde{\lambda}=nin\{\delta/(C(\tau, \beta_{0})+2\eta), \lambda_{1}, \tau\}>0$

対して$t/n<\tilde{\lambda}$

となる.

この

$n$

とおく. 任意の $t\in[0, \tau]$ に対して十分大きなを固定する. 任意の$x\in C_{\alpha}$$n$にに対して (III.b) と$(\subseteq C_{\beta_{0}} )$(7.3) より$p((I- \frac{t}{n}(A^{*}+B_{\beta_{1}}))^{-1}x)\leq p(x)+\frac{t}{n}[g(p(x))+\eta]$$=p(x)+ \int_{0}^{\frac{t}{n}}g(m^{2\eta}(s;p(x))ds+\int_{0}^{\frac{t}{n}}[g(p(x))-g(m^{2\eta}(s;p(x))+\eta]ds$$=$$m^{2\eta}( \frac{t}{n}$; $p(x))\leq m^{2\eta}(\tau;\alpha)<\beta_{0}$ .

$(I- \frac{t}{n}(A^{-*}+B_{\beta_{1}}))^{-1}x\in C_{\beta_{0}}$よ っ て. 同様にしてなる任意の$1\leq k\leq n$

$k$

に対して,

$p((I- \frac{t}{n}(A^{*}+B_{\beta_{1}}))^{-k}x)\leq m^{2\eta}(\frac{kt}{n};p(x))\leq m^{2\eta}(\tau;\alpha)<\beta_{0}$

従って $1\leq k\leq n$ に対して,$\beta>\beta_{1}$.

だから$(I- \frac{t}{n}(A^{*}+B_{\beta}))^{-k}x=(I-\frac{t}{n}(A^{*}+B_{\beta_{1}}))^{-k}x\in C_{\beta_{0}}\subseteq C_{\beta}$が成り立っ. 定理 52 の証明から (I) を満足する非線形連続半群 $\{S(t)\}$ が生成される.

8$\blacksquare$

順序の保存性(X,$|\cdot|,$

定する.
て,

) を半順序 Banach 空間とし, 正錐 $P=\{x\in X :x\geq 0\}$ が閉集合であると仮$\leq$$C$上の非線形半群 $\{S(t)\}$ が保順序的であるとは, 任意の $x,$ $y\in C,$ $x\leq y$ に対し$S(t)x\leq S(t)y,$ $t\geq 0$が成り立っことをいう.

対してノルムを $||(x, y)||=||x||+||y||(x, y\in X)$ で定義する.
$y,$

$x,$

$y\in C$

} とおく. いま$\{S(t)\}$とおく.

$\mathcal{X}=X\cross X$

各 $(x, y)\in \mathcal{X}$にまた $C=\{(x, y)\in \mathcal{X}$ : $x\leq$

を $C$ 上の連続非線形半群とすれば,$S(t)(x, y)=(S(t)x, S(t)y),$ $x,$ $y\in X$
によって定義される$\mathcal{X}$上の作用素族 $\{S(t)\}$ は連続非線形半群になる.

が保順序的となるための必要十分条件は $\{S(t)\}$ がる.

$p$: $Xarrow$ [ , oo] を $X$ 上の下半連続凸関数で$0$$\max\{p(x), p(y)\},$$(x, y)\in \mathcal{X}$

半連続凸汎関数となる.
小生成作用素$A$$(x, y)\in \mathcal{X}$によってであるとする.

$p\not\equiv\infty$$6^{-*}(C, p)$$\mathcal{X}$$p$ゐ$\mathcal{X}$

上の proper な下

上 $(C_{0})$ -半群を定義すると,$D(A)=D(A)\cross D(A)\subset \mathcal{X}$

しかも次のことが容易に確かめられる.

は

いま, $p((x, y))=$に属する半線形作用素とする.

は$A(x, y)=(Ax, Ay)$ ,$\{S(t)\}$上の連続非線形半群となることであによって汎関数 $p$ を定義すれば,

いま $A+B$ がクラス$\mathcal{T}(t)(x, y)=(T(t)x, T(t)y),$

$C$

このとき

,

$(x, y)\in D(A)$ .

その無限

158
1.
$D(A^{*})=D(A^{*})\cross D(A^{*})$ ,$A^{*}(x^{*}, y^{*})=(A^{*}x^{*}, A^{*}y^{*}),$

2.

$\mathcal{X}^{}=\overline{D(A^{*})}=X^{}\cross X^{}$$(x^{*}, y^{*})\in D(A^{*})$.

.

3. $A^{*}()=(A^{*}x^{*}, A^{*}y^{*}),$ $\forall(x^{*}, y^{*})\in D(A^{*})$ .
また $\mathcal{B}(x)y)=$ ( $Bx$ , By), $(x, y)\in C$ によってば,

件

$A+\mathcal{B}$$(\mathcal{H}1),$はクラス$(\mathcal{H}2)$$6^{-*}(C, p)$

$C$

上の

$\mathcal{X}^{-*}$-値非線形作用素を定義すれに属する半線形作用素であることが分る. 実際, 次の 2 条を満足する :$(\mathcal{H}1)C\subset D(p)=\{(x, y)\in \mathcal{X} :p((x, y))<\infty\}$

かつ任意の $\alpha>0$ に対して,

ベル集合 $C_{\alpha}=\{(x, y)\in C : p((x, y))\leq\alpha\}$ は閉集合で,$(Tt2)$$\mathcal{B}$

任意の $\alpha>0$ に対して, 半線形作用素
的. っまり,ある$\omega_{\alpha}\in \mathbb{R}$$A^{-*}+\mathcal{B}$$\mathcal{B}$は$C_{\alpha}$

は $D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$ 上が存在して, 任意の $(x_{1}, x_{2}),$

$C$

のレ

上強連続.
$\mathcal{X}^{-*}$

で準消散$(y_{1}, y_{2})\in D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$と任意の $\lambda>0$ に対して,$||(x_{1}, x_{2})-(y_{1}, y_{2})-\lambda[(A^{*}+\mathcal{B})(x_{1}, x_{2})-(A^{*}+\mathcal{B})(y_{1}, y_{2})]||$$\geq$$(\mathcal{H}1)$$(1-\lambda\omega_{\alpha})\Vert(x_{1}, x_{2})-(y_{1}, y_{2})||$

は明かだから,$y\in D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$$(H2)$を示す. 仮定 (H2) より,ある$\omega_{\alpha}\in \mathbb{R}$に対して, 任意の$x$,と任意の $\lambda>0$ に対して,$||x-y-\lambda[(A^{*}+B)x-(A^{*}+B)y]||\geq(1-\lambda\omega_{\alpha})||x-y||$が成り立っ. 従って, 任意の $(x_{1}, x_{2}),$$(y_{1}, y_{2})\in D(A^{-*})\cap C_{\alpha}$と任意の $\lambda>0$ に対して,$||(x_{1}, x_{2})-(y_{1}, y_{2})-\lambda[(A^{*}+\mathcal{B})(x_{1}, x_{2})-(A^{*}+\mathcal{B})(y_{1}, y_{2})]||$$=$$||x_{1}-y_{1}-\lambda[(A^{*}+B)x_{1}-(A^{*}+B)y_{1}]||$$+||x_{2}-y_{2}-\lambda[(A^{*}+B)x_{2}-(A^{*}+B)y_{2}]||$$\geq$$(1-\lambda\omega_{\alpha})||x_{1}-y_{1}||+(1-\lambda\omega_{\alpha})||x_{2}-y_{2}||$$=$$(1-\lambda\omega_{\alpha})(||x_{1}-y_{1}||+||x_{2}-y_{2}||)$$=$$(1-\lambda\omega_{\alpha})||(x_{1}, x_{2})-(y_{1}, y_{2})||$

定理 81.
値である$(I’)$$A+B$ をクラス

$6^{-*}(C, p)$に属する半線形作用素とする.

このとき次は同:定理 6.3 の (I) の条件 (I a), (I b) を満たす $C$ 上の保順序連続非線形半群 $\{S(t)\}$ が存

在する.

21

159
$(III’)D(A^{-*})\cap C$ はで稠密で, 任意の $\alpha>0$ と $\epsilon>0$ に対して,$C$が存在して, 任意の$\lambda\in(0, \lambda_{0})$と任意の(III’.a).

$R(I-\lambda(A^{-*}+B_{\beta}))\supset C_{\alpha}$$(III’.b)$

またレゾルベント.

$\lambda_{0}=\lambda_{0}(\alpha, \epsilon)>0$に対して,$\beta\geq\alpha+\lambda[\max_{0\leq\xi\leq\alpha}g(\xi)+\epsilon]$

ここでは$B_{\beta}$$(I-\lambda(A^{-*}+B_{\beta}))^{-1}$

:

の

$B$

$C_{\beta}$

への制限である.

が存在し, 任意の

$C_{\alpha}arrow C_{\beta}$$x\in C_{\alpha}$に対して $p((I-\lambda(A^{-*}+B_{\beta}))^{-1}x)\leq p(x)+\lambda[g(p(x))+\epsilon]$ .
$(III’.c)$[証明]

レゾルベント$(I’)\Rightarrow(III’)$(8.1)$C_{\alpha}arrow C_{\beta}$

は保順序的 である.

: $(I’)$ を仮定すれば,$S(t)(x, y)= \mathcal{T}(t)(x, y)+(G)-\int_{0}^{t}\mathcal{T}^{*}(t-s)\mathcal{B}S(t)(x, y)ds$

(8.2)

,

また $m$ の最大性より,が成り立っことが分る.

$p(S(t)(x, y))\leq m(t;p((x, y))),$ $t\geq 0,$ $(x, y)\in C$

が成り立っ.
ら,:$(I- \lambda(A^{-*}+B_{\beta}))^{-1}$

また上で述べたことから半線形作用素

はクラス$A+\mathcal{B}$に属するか$6^{-*}(C, p)$定理 6.3 とその後の注意により$D(A^{-*})\cap C$が存在して,$+\epsilon]$

は $C$ で稠密で,$\lambda\omega_{\beta}<1$

任意の $\alpha>0$ と $\epsilon>0$ に対して,を満たす任意の$\lambda\in(0, \lambda_{0})$と任意の$\lambda_{0}=\lambda_{0}(\alpha, \epsilon)>0$$\beta\geq\alpha+\lambda[\max_{0\leq\xi\leq\alpha}g(\xi)$

に対して,

(a)

$R(I-\lambda(A^{-*}+\mathcal{B}_{\beta}))\supset C_{\alpha}$(b)

またレゾルベント. ここで$\mathcal{B}_{\beta}$$(I-\lambda(A^{-*}+\mathcal{B}_{\beta}))^{-1}$:は$\mathcal{B}$の$C_{\beta}$$C_{\alpha}arrow C_{\beta}$

への制限である.

が存在し, 任意の$x\in C_{\alpha}$に対して$p((I-\lambda(A^{*}+\mathcal{B}_{\beta}))^{-1}x)\leq p(x)+\lambda[g(p(x))+\epsilon]$(III’) の成立は明かである.
$(III’)\Rightarrow(I’)$ :$(III’)$ より任意の $\alpha>0$ と,

.

これより

十分大きな $\beta>0$ を取れば, 正数の零列$(h_{n})$$x\leq y$なる任意の $x,$$y\in C_{\alpha}$に対して,が存在して,$(I-h_{n}(A^{*}+B_{\beta}))^{-1}x\leq(I-h_{n}(A^{*}+B_{\beta}))^{-1}y$が成り立っ.

いま$x_{n}=(I-h_{n}(A^{-*}+B_{\beta}))^{-1}x$とおく. 定理 6.3 の (I

$\Pi$

)

$\Rightarrow(II)$,$y_{n}=(I-h_{n}(A^{-*}+B_{\beta}))^{-1}y$の証明と同様にして,$D(A^{-*})\cap C$の$C$における稠密性と条件 (H2) より,$x= \lim_{narrow\infty}x_{n}$が示される. 従って $D(A^{-*})\cap C$ が(8.1), (8.2) を満足する

$C$

$C$

,

$y= \lim_{narrow\infty}y_{n}$で稠密であることが分る. このことと定理 6.3 により,上の非線形半群 $\{S(t)\}$ が存在する. よって (I’) が満足される.

音2$\blacksquare$

160
9.

ある一階偏微分方程式への応用
次の偏微分方程式の解を作用素論的に求めることを考える.

$(PDE)_{4}$$\{\begin{array}{l}u_{i}(t,a)+u_{a}(t,a)+d(a,||u(t,\cdot)||_{L^{1}})u(t,a)=0u(0,a)=\psi(a)u(t,0)=\int 0^{1}\beta(a,||u(t,\cdot)||_{L^{1}})u(t,a)da\end{array}$$t\geq 0t>0,0<.a<0\leq a\leq 11$: $[0,1]\cross[0, \infty$ ) $arrow[0, \infty$ ) は有界関数で, $\{\beta(a, \cdot) : 0\leq a\leq 1\}$ は同程度局
また,所 Lipschitz 連続であるとする. $\beta_{0}=\sup\{\beta(a, \xi) :0\leq a\leq 1,0\leq\xi\}$ とおく: $[0,1]\cross[0, \infty$ ) $arrow[0, \infty$ ) を有界関数で $d_{0}= \inf\{d(a, \xi) : 0\leq a\leq 1;0\leq\xi\}>0$ , し
かも, $\{d(a, \cdot):0\leq a\leq 1\}$ は同程度局所 Lipschitz 連続とする.
本節の詳細については [6] を見よ.
ここで$\beta$$d(\cdot, \cdot)$

上の $(PDE)_{4}$ を $L^{1}[0,1]$ で解くことを考える.

$\psi\in L_{+}^{1}[0,1]$

で与えたとき $L_{+}^{1}[0,1]$ の中で解 (これを今後正値解という) を求める事を考える.

$(PDE)_{1}$$t\geq 0t>0,0<a<1$$\{\begin{array}{l}m_{t}(t,a)-m_{a}(t,a)=0m(t,1)=0\end{array}$,$0\leq a\leq 1$$\{\begin{array}{l}\frac{dm(t)}{dt}=A_{0}m(t)m(0)=\phi\end{array}m(0a)=\phi(a)$$(EE)_{1}$$A=A_{\overline{0}}$と置く.

$t>0t\geq 0’ 0<a<1$$(PDE)_{2}$$\{\begin{array}{l}n_{t}(t,a)+n_{a}(t,a)=0n(t,0)=0\end{array}$$0\leq a\leq 1$.

$\{\begin{array}{l}\frac{dn(t)}{dt}=A_{0}^{}n(t)=An(t)n(0)=\psi\end{array}n(0, a)=\psi(a),$$(EE)_{2}$$(PDE)_{3}$.

$\{\ell(0,a)=\psi(a)l(t,0)=\int^{a}0^{1}\beta(a,||l(t,)||_{L^{1}})l(t, a)da\ell_{t}(t,a)+\ell(t,a)=0,$

23$tt0\geq 0_{a\leq 1}>0,0<.a<\leq 1$

$16i$$(EE)_{3}$$\{\begin{array}{l}\frac{d\ell(t)}{dt}=(A_{0}^{*}+B)\ell(t)=(A^{*}+B)\ell(t)\ell(0)=\psi\end{array}$

結局 $(PDE)_{4}$ に対応する発展方程式は,$(EE)_{4}$となる.

$\{\begin{array}{l}\frac{du(t)}{dt}=(A^{*}+B+F)u(t)u(0)=\psi\end{array}$

ここで, $B$ ’ $F$ は後で定義される非線形作用素とする.

上の $(PDE),$ $(EE)$ について順次解説する.

界条件を$(PDE)_{1}$$0$と置いた方程式 $(PDE)_{1}$ を考える.

まず,$(PDE)_{4}$から外力項を取り去り, 境

またその為に,それと共役の関係にあるを空間 $Y=C_{0}[0,1]=\{y\in C[0,1] :y(1)=0\}$ で考える.

式として捉え,$(EE)_{2}$

を考える.

ここで

$A_{0}$

は$D(A_{0})=C_{0}^{1}[0,1]=\{y\in C^{1}[0,1]:y(1)=y’(1)=0\}$と定義される.

また$A_{0}$

それを $Y$ 上の発展方程

$A_{0}y=y’$ ,;$y\in D(A_{0})$が生成する半群は次によって定義される縮小半群である.
$[T_{0}(t)\phi](a)=\{\begin{array}{l}\phi(t+a)t\leq 1-a0t>1-a\end{array}$$(EE)_{2}$が $(EE)_{1}$ の共役であることを見るために,

まず $Y$ の共役空間を特徴付けなければならない. $M[0,1]$ で $[0,1]$ 上の Radon 測度の全体, , っまり $C[0,1]$ の共役空間を表す.
$Y$の共役空間は$Y^{*}=\{\mu\in M[0,1] :と表される. . 実際

有界線形作用素$\delta_{1}$を1点$\delta_{1}$

の

((

に

$1’$

\mu(\{1\})=0\}$,

support を持っ Dirac 測度とすると,$Y$

は $C[0,1]$ 上のnull space$Y=\{\delta_{1}\}_{\perp}=\{y\in C[0,1] :\delta_{1}(y)=y(1)=0\}$と表される. 従って双極定理より$Y^{\perp}=\{\mu\in M[0,1] :\langle\mu, y\}=0,$$\forall y\in Y$}$=\{\alpha\delta_{1} :\alpha\in \mathbb{R}\}$

一方 $Y^{*}\cong C[0,1]^{*}/Y^{\perp}=M[0,1]/Y^{\perp}=M[0,1]/[6_{1}]$ が成り立っ.
$\mu(\{1\})=0$とすれば, 任意の$||\mu+\alpha\delta_{1}||$

が成り立っ.

これにより$\alpha\in \mathbb{R}$

に対して,

$=$

$|\mu+\alpha\delta_{1}|([0,1])+|\mu+\alpha\delta_{1}|(\{1\})$$=$$|\mu|([0,1))+|\alpha|=||\mu||+|\alpha|\geq||\mu||$$|| \mu||=\inf_{\alpha}||\mu+\alpha\delta_{1}||=||[\mu]||$.

また共役半群は$(T_{0^{*}}(t)\mu)(E)=\mu(E_{t})_{:}$$’\angle\angle\{-$$E\in \mathcal{B}[0,1]$.

.

いま $\mu\in M[0,1]$ ,162
ここで $B[0,1]$ は $[0,1]$ の弱生成作用素

$A_{0}^{*}$$D(A_{0}^{*})=$

Borel 集合の全体を表し, $E_{t}=[0,1]\cap\{s-t :s\in E\}$ とする. 汎は{ $\mu\in M_{AC}[0,1]$ :$h_{\mu}(a)=\nu_{\mu}([0,$for$A_{0}^{*}\mu=-\nu_{\mu}$

ここで $M_{AC}[0,1]$ は $[0,1]$体,

は$h_{\mu}$

$\mu$

の

$a)),$ $a\in(0,1]$$\mu\in D(A_{0}^{*})$と$\nu_{\mu}\in Y^{*}$},.

上の (Lebesgue 測度 $m$ に関して) 絶対連続な Borel 測度の全

Lebegue 測度に関する Radon-Nikod\’ym 導関数を表す.
$Y^{}=\overline{D(A_{0}^{*})}=M_{AC}[0,1]$$M_{AC}[0,1]$, for some$L^{1}[0,1]$,を同一視すれば,$Y^{}=L^{1}[0,1]$ .

また,$D(A_{0}^{-})=\{\psi\in AC[0,1] :と表される. 実際,$\mu\in D(A_{\overline{0}})$\psi(0)=0\}$ ,とすれば,$\mu\in D(A_{0}^{*})$

で,

for

$\psi\in D(A_{0}^{-})$$\nu_{\mu}\in M_{AC}[0,1]$

.

を取ると,

( $=\psi$ とおく) $\in AC[0, 1]$$h_{\mu}= \frac{d\mu}{dm}$で $\psi(a)=h_{\mu}(a)=\nu_{\mu}(a)=\nu_{\mu}([0, a))$$A_{0}^{-}\psi=-\psi’$が成り立つ.

$\nu_{\mu}$が (絶対) 連続であるから$\psi(0)=\lim_{aarrow 0+}\psi(a)=\lim_{aarrow 0+}\nu_{\mu}([0, a))=0$.

従って $M_{AC}[0,1]$ を $L^{1}[0,1]$ と同一視すれば,$A_{0}^{}\psi=-\psi’$.

よって$D(A_{0}^{})\subseteq\{\psi\in AC[0,1]:\psi(0)=0\}$

逆に,

とする.

$\psi\in AC[0,1],$ $\psi(0)=0$$\mu(A)=\int_{A}\psi(s)ds$

とおけば,
に,

,

$\nu_{\mu}(A)=\int_{A}\psi’(s)ds$. 故に,$h_{\mu}(a)= \psi(a)=\psi(a)-\psi(0)=\int_{0}^{a}\psi’(s)ds=\nu_{\mu}([0, a))$$A_{0}^{*}\mu=-\nu_{\mu}\in M_{AC}[0,1]$

より$\mu\in D(A_{\overline{0}})$. 従って,$L^{1}[0,1]$

更に, 共役を取っていくと,,$(T_{0}^{*}(t)\phi)(a)=\{0^{(a+t)}\emptyset$$D(A_{0}^{*})=\{\phi\in Lip[0,1] :2$\phi(1)=0\}$,$aaI_{t>}^{t\leq}11$$A_{0}^{*}\phi=\phi’$. 更上の Cauchy 問題 $(EE)_{2}$を得る.

$Y^{*}=L^{\infty}[0,1]$$\mu\in D(A_{0}^{*})$.

163と表される.

上の Lipschitz 連続な関数の全体とする. 実際,

ここで $Lip[0,1]$ は $[0,1]$$D(A_{\overline{0}}^{*})(\subseteq L^{\infty}[0,1])$

とする.

いま

$C_{c}^{1}[0,1]=\{\phi\in C^{1}[0,1] :\phi(0)=\phi(1)=0\}$$\phi\in$

とおくと,任意の $\phi\in C_{c}^{1}[0,1]\subseteq D(A_{\overline{0}})\subseteq L^{1}[0,1]$ に対して,$\langle A^{*}\phi, \psi\rangle=\langle\phi, A_{0}^{}\psi\rangle=-\langle\phi, \psi’\rangle=-\int_{0}^{1}\phi\psi’ds$だから,$A_{\overline{0}}^{*}\phi\in L^{\infty}[0,1]$$a.e$$A_{\overline{0}}^{*}\phi=\phi’$

従ってを任意に取ると,$(A_{0}^{*}\phi,$

故に,.

は Lipscitz 連続な関数として取ることが出来る.

$\phi$

も$\{T_{0}^{-}(t)\}$$T(t)=T_{0}^{-}(t),$

次に,

より

に関して

$\phi(1)=0$-$\psi\rangle$.

が得られる.

{To } に関して$(t)$

回帰的であることが分る.

-

回帰的, 従っ

そこで $X=Y^{-}(=L^{1}[0,1])$ ,と置けば一般論に乗せられる.

$A=A_{\overline{0}}$非線形境界条件を$(PDE)_{2}$とする.

$C=L_{+}^{1}[0,1]=M_{AC}^{+}[0,1]$$Y^{--*}=Y^{*}$となる元$\psi(1)\neq 0$$=- \int_{0}^{1}\phi\psi’ds=-[\phi\psi]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\phi’\psi ds=-\phi(1)\psi(1)+\{A_{0}^{*}\phi,$$\psi\rangle$$\phi(1)\psi(1)=0,$ $\psi(1)\neq 0$$Y^{-}$$\psi\in S(A_{\overline{0}}),$

に対して$\phi\in D(A^{-*})$

また $Y^{--}=\overline{D(A_{\overline{0}}^{*})}=Y=C_{0}[0,1]$ だから $Y$ が半群
て

.

に付加えた

すると

を $C’=Y_{+^{*}}=\{\mu\in M^{+}[0,1] :$C$は$(PDE)_{3}$を考察する.

$\sigma(X, X^{-})$-closed である. $C’\subseteq X^{-*}=$\mu(\{1\})=0\}$とする.

$C\subset X$

としてこのとき, $C=C’\cap X$ で

ある.
$B$

: $Carrow C’$ を次式で定義する.
$B \mu=(\int_{0}^{1}\beta(a, ||\mu||)d\mu)\delta_{0}$

ここでは$||\mu||$

る為に,

$A$

の全変動,

$\mu$

.

は原点に support を持っ Dirac 測度を表す.

$\delta_{0}$を拡張して $A^{-*}$ を取り, $A^{-*}+B$ の $X$ に於ける部分として$A$$A_{1}$

に

$B$

を加え

を定義する.

すると,$D(A_{1})=\{x\in D(A^{*})\cap C:(A^{*}+B)x\in X\}$ ,
$X$

が

-

回帰的だから

$A_{0}=A_{\overline{0}^{-}}$, 従って $A^{-*}=A_{0}^{*}$ が成り立っ. 故に$D(A_{I})=\{x\in D(A_{0}^{*})\cap C:(A_{0}^{*}+B)x\in X\}$ ,と表される.

また $X=L^{1}[0,1]$ より,$D(A_{1})=\{\psi\in AC[0,1]^{+}$}\langle$=$$\{A_{0}\varphi, \psi\}+\{\varphi, B\psi\}$$=$$\langle\varphi’,$$=$\langle$\varphi’,$$A_{0}^{*}\psi+B\psi$$\psi$$\psi$}}.

for $x\in D(A_{1})$ .

具体的に$\varphi\in C_{c^{1}}[0,1]\subseteq D(A_{0}),$$=$$\varphi,$$A_{1}x=A_{0}^{*}x+Bx$: $\psi(0)=\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)da\}$ ,と表されることが分る. 実際,

for $x\in D(A_{1})$ .

$A_{1}x=A^{*}x+Bx$$+ \varphi(0)\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)d\mathfrak{a}$$\approx$$A_{1}\psi=-\psi’$$\psi\in D(A_{1})$for $\psi\in D(A_{1})$ .

とすれば,

164
よって,

$A_{1}\psi=$-\mbox{\boldmath $\psi$}/(超関数の意味で). 従ってある$\overline{\psi}\in AC[0,1]$があり,$\tilde{\psi}=\psi a.e$

. とな

この様に $D(A_{1})$ の元は $AC[0,1]$ の元であると見倣される. いま $\varphi\in D(A_{0}),$ $\varphi(0)\neq 0$

る.

なる元を任意に取ると $\forall\psi\in D(A_{1})$ に対して,$A_{1}\psi\rangle$$\{\varphi,$よ$\vee\supset$

て,

$=$

$\langle A_{0}\varphi, \psi\rangle+\{\varphi, B\psi\}$$=$$\{\varphi’,$$=$$\psi(1)\varphi(1)-\psi(0)\varphi(0)+\langle\varphi,$$+ \varphi(0)\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)da$$\psi\rangle$$A_{1}\psi$}$+ \varphi(0)\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)da$.

$\varphi(0)(\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)da-\psi(0))=0$$\varphi(0)\neq 0$.

だから$\psi(0)=\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)da$を得る.

この様にして,$D(A_{1})\subseteq\{\psi\in AC[0\rangle 1]^{+}$

が成り立っ. 逆に,$\psi\in AC[0,1]^{+},$$A\psi$

よって,$B$$\psi\in D(A_{1})$.

$\psi(0)=\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(\alpha)da\}$$\psi(0)=\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)da$$A_{0}^{*}\psi+B\psi$$=$$A_{0}^{*}(\psi-\psi(0))+A_{0}^{*}\psi(0)+B\psi$$=$$A_{0}^{}(\psi-\psi(0))+A_{0}^{*}\psi(0)+B\psi$$=$$- \psi’-\psi(0)\delta_{0}+(\int_{0}^{1}\beta(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi(a)da)\delta_{0}$$=$$-\psi’\in X^{}=L^{1}[0,1]$

この様にして$(EE)_{3}$$(PDE)_{3}$

を

$X$

.

に於ける境界条件を発展方程式 $(EE)_{2}$の中で解き,$C$-値な解を構成する.

に

これにより

を作用素論的に解いた事になる.

最後に,$(PDE)_{4}$を解くことを考える. 外力項を加える為に,$F\psi=-d(a, ||\psi||_{L^{1}})\psi$として定義する.

このときと見倣すことが出来る.
事により

とする.

$=$

を摂動すると見倣して,$(PDE)_{3}$:$(PDE)_{4}$$(PDE)_{4}$

これにより,,$F$: $Carrow X$ を$\psi\in C$

は $X$ で発展方程式 $(EE)_{3}$ に摂動 $F$ を加えた $(EE)_{4}$$(EE)_{4}$の$C$-値, っまり$L_{+}^{1}[0,1]$-値な解を構成するを解いた事になる.

以上を纏めると,$(EE)_{4}$は次の弱解 (mild solution) を持つことが分る :任意の $x\in C$ に対して,$S(t)x$$=$$T_{0}^{}(t)x+(G)- \int_{0}^{t}T_{0}^{*}(t-s)(B+F)S(s)xds$$=$$T(t)x+(G)- \int_{0}^{t}T^{*}(t-s)(B+F)S(s)xds$ .

27

165

REFERENCES

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ユと