数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 1-13

1
$Sp(2, \mathrm{R})$上の Whittaker 関数と Novodvorsky のゼータ積分について東京大学数理科学 森山

知則(Tomonori Moriyama)

50. 序.
上で定義された種数 2 の一般斜行群とする。 $F$ をアデール上の尖点形式であって, その大域的 Whittaker 関数 $1_{F}$ が消滅しないものとする。
群
さらに $F$ は無限素点において大きな離散系列表現を生成すると仮定する。本稿では, 尖
点形式 $F$ に付随した 4 次のオイラー積を持つ L 関数 (spinor L 関数) が, 全 s-平面上の整関数に解析接続され関数等式を満たすことが証明できたことを報告する。 なお, 講演
時には spinor $L$-関数が, 全 -平面上の有理型関数に解析接続されると述べたが, しば
らくして, 整関数になることも証明することができた。
$\mathrm{G}=GSp(2)$を, 有理数体$\mathrm{Q}$$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}$$s$

上述の結果は, Novodvorsky [No, \S 1] による spinor $L$-関数の積分表示 (Novodvorskyの極大べき単部分群のゼータ積分) を用いて証明される。 Novodvorsky の理論は,に沿った Fourier 展開に基づいており, そこに表題の Whittaker 関数が現れる。 中でも,上の Whittaker 関数の Meffin-Barnes 型の積分表
ここでの議論の核心は示 ([MO-I],[M02]) を使って Novodvorsky のゼータ積分の実素点における因子を明示的に計算することで, 「局所関数等式」 (後述の命題 4) を証明することである。
$\mathrm{G}$$\mathrm{N}$$\mathrm{G}_{\mathrm{R}}=GSp(2, \mathrm{R})$上の保型形式に付随した spinor -関数の積分表示としては, 他に Andrianov[An] の方法 (なお, [Ps] も参照) や Murase-Sugano[MS] の方法などが知られている。 特に, Andrianov の積分表示はよく調ぺられている。原論文 [An] はスカラー値の正則保型形式を扱っているが, その手法と結果は, Arakawa [Ar] (ベクトル値の正則保型形式), Hori
$L$

$GSp(2)_{\mathrm{A}}$[Ho] (無限素点で spherical な主系列表現を生成する場合, いわゆる波動形式), Miyazaki[Mi] (無限素点で大きな離散系列表現を生成する場合) らによって拡張されている。なお,各々の積分表示法ごとに適用できる保型形式のクラスは異なることを注意しておこう。
なぜなら, いずれの方法においても, 保型形式 $F$ の適当な部分群に沿った Fourier 展開
における 「係数」 を用いるので, この 「係数」が消滅しない場合にのみそれぞれの積分表示が可能となるからである (\S 1 の終わりの注意を参照)。
$\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}$\S 1. 主定理.
(1.1). 主結果. まず, 主定理を定式化しよう。

$\mathrm{G}$を次数 2 の similitude 付き symplectic 群とする:$\mathrm{G}=GSp(2):=$を上の代数群と考える。
兇鮴軼牲措阿龍 間

ここで({ $g\in GL(4)|{}^{t}gJ_{4}g=\nu(g)J_{4}$ for some$\mathrm{G}$$\mathrm{Q}$$(z_{\infty}\in \mathrm{R}_{>0})$をの部分空間とみなす)$\Pi\epsilonarrow A^{eusp}(\mathrm{G}_{\mathrm{Q}}\backslash \mathrm{G}_{\mathrm{A}})$$A^{\mathrm{c}usp}(\mathrm{G}_{\mathrm{Q}}\backslash \mathrm{G}_{\mathrm{A}})$

その central character とする ($\nu(g)\in \mathrm{G}_{m}$$\Pi(z1_{4})=(v_{\Pi}(z)\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{n})_{\text{。}}$

で決める。 さて, 主定理を述べるために

$\Pi$

。

,

$J_{4}=$の尖点保型表現とする$\omega_{\Pi}$:$\mathrm{A}^{\mathrm{x}}/\mathrm{Q}^{\mathrm{x}}arrow \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$を複素数
兇砲弔い銅，硫渉 A.1 および A2

をおく。

A.l

$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}$},に付随した大域的 Whittaker 模型が存在する。

$\omega_{\infty}\in \mathrm{C}$を$\omega\Pi(z_{\infty})=z_{\infty}^{\mathrm{I}\theta}\infty$2と GQ。の既約許容表現
尖点保型表現 兇廊の制限テンソル積に分解して
(
局所
)
は
から, 各
いるが, この仮定
Whittaker 模型を持つ。 ここでは次の場合$\ovalbox{\tt\small REJECT}\otimes\sim\Pi_{v}$$v$$\mathrm{A}\mathrm{J}$

$v$

を考える

A2
な (

$\Pi_{\infty}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$の $Sp(2, \mathrm{R}):=\{g\in \mathrm{G}_{\mathrm{R}}|\nu(g)=1\}$ への制限は二つの (D.Vogan の意味で) 大き$=\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}$in the sense of Vogan) 離散系列表現$D(\lambda_{1},\lambda_{2})$と$D_{(-\lambda_{2},-\lambda_{1})}$との直和である。

は $1-\lambda_{1}<\lambda_{2}<0$ を満たす整数の組であるがここで表現のパラメータ
詳しくはすぐ後の小節で説明する。 また, この条件と 供(z\infty 14)によって \sim が一通りに決まる。
$(\lambda_{1}, \lambda_{2})\in \mathrm{Z}^{\oplus 2}$$=\theta_{\infty}\infty \mathrm{i}\mathrm{d}(z_{\infty}\in \mathrm{R}_{>0})$

さて兇防嫂錣靴 spinor $L$-

数 $L(s, \Pi)$ およひ$L(s, \Pi):=\prod_{p<\infty}L(s, \Pi_{p})$$\epsilon-$

因子は$\epsilon(s, \Pi)$は,$\epsilon(s, \Pi):=(-1)^{\lambda_{1}}\prod_{p<\infty}\epsilon(s, \Pi_{p}, \psi_{p})$で定義される。 ここで, $L(s, \Pi_{p})$ およひは後述の定義-命題 3 で定義される
局所的な L 因子,
因子である。 ほとんどすべての有限素点において, $L(s, \Pi_{p})$ は 4 次の Euler 因子であり,である。 後で説明するように, $L(s, \Pi)$ は ${\rm Re}(s)>$$(5-{\rm Re}(\omega_{\infty}))/2$ で絶対収束する。 これに r-因子$\epsilon(s, \Pi_{p},\psi_{p})$$\epsilon-$$\epsilon(s, \Pi_{p}, \psi_{p})=1$$L(s, \Pi_{\infty}):=\Gamma_{\mathrm{C}}(s+\frac{\omega_{\infty}}{2}+\frac{\lambda_{1}-1}{2}+\frac{\lambda_{2}}{2})\Gamma_{\mathrm{C}}(s+\frac{\omega_{\infty}}{2}+\frac{\lambda_{1}-1}{2}-\frac{\lambda_{2}}{2})$を掛けて完備化された spinor L

数$\hat{L}(s, \Pi)$を$\hat{L}(s, \Pi):=L(s, \Pi_{\infty})\cross L(s, \Pi)$で定義する。
尖点形式 $F\in\Pi$ に対して$\tilde{F}(g)=\omega_{\Pi}(\nu(g))^{-1}F(g\eta)$

とおくと,

,

$\eta:=$$\tilde{\Pi}:=\{\tilde{F}\in A^{\mathrm{c}u\epsilon p}(\mathrm{G}_{\mathrm{Q}}\backslash \mathrm{G}_{\mathrm{A}})|F\in\Pi\}$$\in \mathrm{G}_{\mathrm{Q}}$,も上の条件 A.l, A.2 を満たす既約な尖点と書くとき,
保型表現であることが分かる。 また,のはの表現
反傾表現である ( が有限素点のときは, [TB, Proposition 23] による。 無限素点では,の反傾表現がは,兇糧新紘集であることから分かる)。従って,も上0)
条件である。 II
A1, A2 を満たすから, $L(s, \tilde{\Pi}):=\prod_{p<\infty}L(s,\tilde{\Pi}_{p}),$$\tilde{\Pi}=\otimes_{v}’\tilde{\Pi}_{v}$$\tilde{\Pi}_{v}$$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{v}}$

$v$

$v$

$\tilde{\Pi}$$D_{(-\lambda_{2},-\lambda_{1})}$$D_{(\lambda_{1},\lambda_{2})}$$L(s,\tilde{\Pi}_{\infty})$および$\hat{L}(s,\tilde{\Pi})$が定義されていることに注意しよう。

主定理は次のように述べられる :定理 1. 尖点保型表現 兇紡个靴, 上の A.l および A2 を仮定する。 このとき, 完備化された spinor $L$ -関数 $L(s, \Pi)$ は全 -平面上の整関数として解析接続され, 関数等式$s$$\hat{L}(s, \Pi)=\epsilon(s,\Pi)\hat{L}(1-s,\tilde{\Pi})$,3
注意ここでは基礎体を有理数体としたが, 証明 (\S 3) からすぐわかるように基礎体が総実代数体の場合にも同様の結果が成立する。

(1.2)の離散系列表現. この小節では, Harish-Chandra による半単純り一群の離散系列表現のパラメータ付けを, $Sp(2, \mathrm{R}):=\{g\in \mathrm{G}_{\mathrm{R}}|\nu(g)=1\}$ の場合に思い出す (詳しくは, [Kn, Ch. VII] を参照)。
$G:=Sp(2, \mathrm{R})$ の極大コンパクト部分群として $K=Sp(2, \mathrm{R})\cap O(4)$ をとる。 $K$ とユニタリ群 $U(2):=\{g\in GL(2, \mathrm{C})|{}^{t}\overline{g}g=I_{2}\}$ との同型 $u:U(2)\cong K$ を$Sp(2, \mathrm{R})$$u:U(2)\ni A+\sqrt{-1}B\vdash*(\begin{array}{ll}A B-B A\end{array})\in K$,$(A, B..\in M(2, \mathrm{R}))$.

と固定する。 また佳の部分り一環田対して, その複素化【を [。と書き, その双対空間をで表す。 が引き起こすり一環の同型を: 佳 ( , C) \cong e。で表し,$\otimes_{\mathrm{R}}\mathrm{C}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}}(\mathfrak{l}_{\mathrm{C}}, \mathrm{C})$$u$$\mathfrak{l}_{\mathrm{C}}^{*}$$T_{1}:=u_{*}((_{0}^{\sqrt{-1}}0)\mathrm{o})$

とおくと,
の -基底
ルート系
正ルート系

$1$

$u_{*}$;$T_{2}:=u_{*}((_{0}^{0} \sqrt{-1}0))$$2$,は単純り一環佳のコンパクトな Cartan subalgebra である oを $\beta_{\dot{l}}(T_{j})=\sqrt{-1}\delta_{\dot{l}j}(1\leq i,j\leq 2)$ で定義する. (佳 , ) に関するはので与えられる。
としてをとる。 コンパクトルートの全体は $\Delta_{c}:=\{\pm(\beta_{1}-\beta_{2})\}$ で与えられる。 \Delta c+:=\Delta l\cap \Delta 。とおく.
$\mathrm{t}:=\mathrm{R}T_{1}\oplus \mathrm{R}T_{2}$$\mathrm{C}$$\mathrm{t}_{\mathrm{C}}^{*}$$\{\beta_{1}, \beta_{2}\}-$$\mathrm{t}_{\mathrm{C}}$$\mathrm{c}$$\Delta=\Delta(9\mathrm{c}, \mathrm{t}\mathrm{c})$$\Delta^{+}$$\Delta$$\Delta(\mathrm{g}_{\mathrm{C}}, \mathrm{t}_{\mathrm{C}})=\{\pm 2\beta_{1}, \pm 2\beta_{2}, \pm(\beta_{1}\pm\beta_{2})\}$$\Delta^{+}:=\{2\beta_{1}, \beta_{1}+\beta_{2},2\beta_{2}, \beta_{1}-\beta_{2}\}$の有限次元既約表現のに関する最高ウェイトは $q_{1}\beta_{1}+q_{2}\beta_{2}=(q_{1}, q_{2})(q:\in$と書ける。 逆に, 各に対して \Delta e+[こ関する最高ウェ
イトを持つ $K$ の有限次元既約表現 が同値を除いて T 度一つ存在する。 こ
れを,
と書く。
$K$

$\mathrm{Z},$$\Delta_{c}^{+}$$q_{1}\geq q_{2})$$(q_{1}, q_{2})\in \mathrm{Z}^{\oplus 2},$$(q_{1}\geq q_{2})$$q_{1}\beta_{1}+q_{2}\beta_{2}$$\tau$$\tau=\tau_{(q_{1},q_{2})}$

さて,$\Delta_{\mathrm{c}}^{+}$を含むような$\Delta$の正ルート系は次の 4 つである:$\Delta_{I}^{+}=\{(1, -1), (2,0), (1,1), (0,2)\}$;$\Delta_{II}^{+}=\{(1, -1), (0, -2), (2,0), (1,1)\}$$\Delta_{III}^{+}=\{(1, -1), (-1, -1), (0, -2), (2,0)\}$;;$\Delta_{IV}^{+}=\{(1, -1), (-2,0), (-1, -1), (0, -2)\}$.

各 $J\in\{I, II, III, IV\}$ に対して,
三$J$$:=\{\Lambda=(\Lambda_{1}, \Lambda_{2}\rangle|\langle\Lambda,\beta\rangle>0, \forall\beta\in\Delta_{J}^{+}\},$$\Delta_{J,n}^{+}:=\Delta_{J}^{+}\backslash \Delta_{c}^{+}$

とおく。すると, 集合によって $Sp(2, \mathrm{R})$ の離散系列表現がパラメータ付けされる。
をパラメータにもつ $Sp(2, \mathrm{R})$ の離散系列表現をの Harishで表し,を$\bigcup_{I\leq J\leq IV-J}--$$\Lambda\in--J-$$\Lambda$$\pi_{\Lambda}$

Chandra パラメータという。
で与えられる。 ここで,$\pi_{\Lambda}$の Blattner パラメータ$\rho_{c,J}:=\sum_{\beta\in\Delta_{J,\mathrm{c}}}\beta$

および$\pi_{\Lambda}$

は $\lambda_{\min}:=\Lambda-\rho_{\mathrm{c},J}+\rho_{n,J}$のとおいた。

$\lambda_{\min}$$\pi_{\Lambda}|_{K}$$\rho_{n,J}:=\sum_{\beta\in\Delta_{J,n}}\beta$

K- タイブの最高ウェイトは,$m_{\alpha}\in \mathrm{Z}_{\geq 0}$,$\lambda_{\min}+\sum_{\alpha\in\Delta_{J,n}^{+}}m_{\alpha}\alpha$はに重複度 1 で現れ,の極小 K- タイプとを持つ $Sp(2, \mathrm{R})$ の離散系列表現をであらわす。
$Sp(2, \mathrm{R})$ の離散系列表現
は, $\Lambda\in--II-\cup--III-$ のとき, (Vogan の意味で) 大きいという(resp. $–III-$ ) のとき,(resp.
) である。

という形をしている。 さらに,呼ばれる。 極小 K- タイプ$\tau_{\lambda_{m}}:n$$\pi_{\Lambda}|_{K}$$\pi_{\mathrm{A}}$$D_{(q_{1},q_{2})}$$\tau_{(q_{1},q_{2})}$$\pi_{\Lambda}$$\text{。}$$\Lambda\in--II-$

注意 $Sp(2, \mathrm{R})$ の離散系列表現$\pi_{\Lambda}=D_{\Lambda+\langle 1,0)}$$\pi_{\Lambda}$

は,$\Lambda\in--I-\cup^{-}--IV$$\pi_{\Lambda}=D_{\Lambda+(0,-1)}$のとき (反) 正則離散系列表現と呼ば4が二つの (反) 正則離散系列表現の直和であると仮定した場れる。 A2 の代わりに,は局所 Whittaker 模
合には, Novodvorsky の積分表示は適用できない。 すなわち,型を持たないので (このことは, たとえば, Kostant の定理 [Kos, Theorem 681] からわ$\Pi_{\infty}$$\Pi_{\infty}$かる), 大域的 Whittakerk 関数 1$F$が恒等的にゼロになってしまい次節以降の議論が展開できない。

\S 2. Novodvorsky のゼータ積分についてのまとめ.
序で述べたように, 我々は Novodvorsky のゼータ積分を用いて定理を証明する。 Novodvorsky の理論をここでまとめておこう (さらに詳しくは [No, 51], [Bu-l, fi3], [TB] を参照).

(2.1) 大域的ゼータ積分. 尖点形式
vorsky のゼータ積分は$F\in A^{\epsilon \mathrm{u}s\mathrm{p}}(\mathrm{G}_{\mathrm{Q}}\backslash \mathrm{G}_{\mathrm{A}})$1をとる。 $F$ から定まる Novod-$x_{0}$

1$Z_{N}(s, F):= \int_{\mathrm{A}^{\mathrm{x}}/\mathrm{Q}^{\mathrm{x}}}\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})^{\oplus S}}F((\begin{array}{llll}1 x_{0} x_{1} 1 \mathrm{l} z -x_{0} \mathrm{l}\end{array}) \cdot(y+_{1}y)1)$

1.

$z$

1

$-x_{0}$.

$\mathrm{x}\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0})|y|_{\mathrm{A}}^{s-1/2}dx_{0}dx_{1}dzd^{\mathrm{x}}y$はで定義される。 ただし, ここで:$F$で特徴づけられる mlditive character である。 は尖点形式であるとしたから, この積分はについて広義一様に絶対収束しの整関数を定める。
$\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(t_{\infty})=\exp(2\pi\sqrt{-1}t_{\infty})(t_{\infty}\in \mathrm{R})$$\mathrm{A}/\mathrm{Q}arrow \mathrm{C}^{(1)}$$\mathrm{e}_{\mathrm{A}}$$s\in \mathrm{C}$$s\in \mathrm{C}$(2.2) Whittaker 関数と基本等式. $F$ に付随した大域的 Whittaker 関数 $1_{F}$ を導入しよう。 まず$\mathrm{G}$の極大べき単部分群として

1

$*$

$1$

$*$

$*$

$\mathrm{N}=\{(\begin{array}{ll}1*1** **1 *\mathrm{l} \end{array})\in \mathrm{G}\}$

1

1

$*$

をとる。 N。の非退化指標を

1$\psi$:

1$\mathrm{N}_{\mathrm{A}}\ni(1x_{0}+_{-x_{0}1}1)1^{\cdot}$$x_{2}x_{1}1$$x_{2}$

1$x_{3}$$x_{2}x_{3}1)\vdasharrow \mathrm{e}_{\mathrm{A}}(-x_{0}-x_{3})\in \mathrm{C}^{(1)}$.

1と固定しておく。 さて,$\mathrm{C}$$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}$

上の保型形式 $F$ に付随した大域的 Whittaker 関数)$\mathcal{W}_{F}$:$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}arrow$を$\mathcal{W}_{F}(g):=\int_{\mathrm{N}_{\mathrm{Q}}\backslash \mathrm{N}_{\mathrm{A}}}F(ng)\psi(n^{-1})dn$,$g\in \mathrm{G}_{\mathrm{A}}$,で定義する。仮定 A.l の意味するところは, ある (したがって, 任意の) $F(\neq 0)\in$ 兇ということである。
対してにおいて尖点形式 $F\in$ 兇 制限テンソル積分解と書けているとき, $F$
[
こたいして
の
と書いて,
は decomposable であるという。 各素点への制限をので表す。 局所 Whittaker 模型の一に関する局所 Whittaker 模型を Wh
意性 (有限素点では [ , Theorem 3], 無限素点では [Wa, Theorem 8.8(1)] による, なお$\mathcal{W}_{F}\not\equiv 0$$F=\otimes’\xi_{v}^{F}$$\otimes_{v}’\Pi_{v}$$v$$\Pi_{v}$$\psi$$(\Pi_{v}, \psi_{v})$$\psi_{v}$$\mathrm{R}$$\mathrm{N}_{\mathrm{Q}_{v}}$$\psi_{v}$5[Sh, Theorem 3.1] も参照) から, $F$ が decomposable ならば大域的 Whittaker 関数
局所 Whittaker 関数の積に分解する$\mathcal{W}_{F}$は$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathcal{W}_{F}(g)=\prod_{v}\mathcal{W}_{F}^{(v)}(g_{v})$このとき, 局所ゼータ積分,$g=(g_{v})\in \mathrm{G}_{\mathrm{A}}$$Z_{N}^{(v)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(v)})$$Z_{N}^{(v)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(v)})=$,$\mathcal{W}_{F}^{(v)}\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\Pi, \psi_{v})$

.

を

Q ご)

$|y|_{v}^{s-3/2}$で定義する。 このとき, 次の基本等式 (Basic identity) が成立する (証明は付録 1 を参照)。

命題 2(Novodvorsky ?). $F\in\Pi$ を decomposable な尖点形式とする。無限素点におけるは局所ゼータ積分は定数) で絶対収束すると仮定す(る。 このとき,(i) 積分
$Z_{N}^{(\infty)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(\infty)})$$(\star)$:${\rm Re}(s)>\sigma_{0}$$\sigma_{0}\in \mathrm{R}$)$\int_{\mathrm{A}^{\mathrm{X}}}$$|y|_{\mathrm{A}}^{s-3/2}dxd^{\mathrm{x}}y$.

は ${\rm Re}(s)> \max\{\sigma_{0}, (5-{\rm Re}(\omega_{\infty}))/2\}$ で絶対収束し $Z_{N}(s, F)$ に等しい。

(ii) ゼータ積分 $Z_{N}(s, F)$ は局所ゼータ積分の積に分解する :$Z_{N}(s, F)= \prod_{v}Z_{N}^{(v)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(v)})$

ここで,

.

右辺は ${\rm Re}(s)> \max\{\sigma_{0}, (5-{\rm Re}(\omega_{\infty})/2\}$ で絶対収束する。

を(2.3) 有限素点におけるか因子, -因子. 有限素点 $p<\infty$ を固定する。
約許容表現
をその central character とする.の表現空間にとし,$\epsilon$$\pi_{p}$$\pi_{p}$の既$g\in \mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{p}}$$\pi_{p}$$\omega_{\pi_{p}}$$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{p}}$をでもって作用させて得られる表現を書く。
の反傾表現に同値である
は局所 Whittaker 模型を持つとしよう。
, Proposition}こよる
自然な埋め込みの像をと書いて, 局所 Whittaker 関数に対して,とおく。 すると,の Whittaker 模型
はのに属すことに注意する。
L- 因子, 因子を次のように定義する:$\omega_{\pi_{p}}(\nu(g)^{-1})\pi_{p}(g)$$\tilde{\pi}_{p}$$2.3])_{\text{。}}\pi_{p}$$([\mathrm{T}\mathrm{B}$は$\pi_{p}$$\mathrm{W}\mathrm{h}(\pi_{p}, \psi_{p})$$\eta\in \mathrm{G}_{\mathrm{Q}}$$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}}\mapsto \mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{\mathrm{p}}}$$\tilde{\pi}_{p}$$\eta_{p}\in \mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{p}}$$\tilde{W}(g):=\omega_{\pi_{p}}(\nu(g)^{-1})W(g\eta_{p})(g\in \mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{p}})$$W\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\pi_{p}, \psi_{p})$$\tilde{W}$$\mathrm{W}\mathrm{h}(\tilde{\pi}_{p}, \psi_{p})$$\tilde{\pi}_{p}$$\pi_{p}$$\epsilon-$

定義-命題 3(Novodvorsky, [TB],[B] も参照). 有限素点 $p<\infty$ に対して,の不分岐とは限らぬ既約許容表現 で局所 Whittaker 模型 Whを持つものを考える。
でなる一変数多項式(1) このとき$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{p}}$$(\pi_{p}, \psi_{p})$$\pi_{p}$$Q_{\pi_{p}}(X)\in \mathrm{C}[X]$$Q_{\pi_{\mathrm{p}}}(0)=1$$\{Z_{N}^{(p)}(s, W^{(p)})\in \mathrm{C}(p^{-s})|W^{(p)}\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\pi_{p}, \psi_{p})\}=Q_{\pi_{p}}(p^{-\epsilon})^{-1}\mathrm{C}[p^{-s},p^{s}]$なるものが (ただひとつ) 存在する。 表現$\pi_{p}$の $L$ -因子 $L(s, \pi_{p})$ を$L(s, \pi_{p}):=Q_{\pi_{p}}(p^{-s})^{-1}$6$i\mathrm{E}\Leftrightarrow 9\mathrm{O}_{\text{。}}$(2)$p^{-s}$の単項式$\epsilon(s,\pi_{p}, \psi_{p})=ap^{-fs}(a\in \mathrm{C}^{\mathrm{x}}, f\in \mathrm{Z})$が存在して,$\frac{Z_{N}^{(\mathrm{p})}(1-s,\tilde{W})}{L(1-s,\tilde{\pi}_{p})}=\epsilon(s,\pi_{p},\psi_{p})\cross\frac{Z_{N}^{(\mathrm{p})}(s,W)}{L(s,\pi_{p})}$が任意のに対して成立する。
を佐武パラメータ $4\in GSp(2, \mathrm{C})$ を持つ既約な不分岐主系列表現とし, その不(3)
分岐ベクトルに対応した局所 Whittaker 関数をはと書く。 このとき,${\rm Re}(s)>>0$ で絶対収束して, そこで$W\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\pi_{p},\psi_{p})$$\pi_{p}$$W^{0}$$Z_{N}^{(p)}(s, W^{0})$$Z_{N}^{\mathrm{C}p)}(s, W^{0})=[\det(1_{4}-A_{\mathrm{p}}\cdot p^{-s})]^{-1}$が成立する。 さら}こ,$L(s,\pi_{p})=[\det(1_{4}-A_{p}\cdot p^{-s})]^{-1}$

かつ $\epsilon(s,\pi_{p},\psi_{p})=1$ である。

注意 (i)(3) は, 不分岐有限素点における局所ゼータ積分を,の明示公式 ([K], [CS])を用いて計算して示される (詳しくは, 付録 2 を参照)。 また, TakloO-Bighaeh[TB] は全ての局所 Whittaker 模型を持つようなに対して $L$ 因子 $L(s,\pi_{p})$の既約許容表現を決定した。
$W^{0}$$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{p}}$$\pi_{p}$の既約許容表現 が局所 Whittaker 模型を持つな(ii) 不分岐ベクトルを持つようなはある既約な不分岐主系列表現に同型である ([らば,, Theorem 5.1],[Li, Theorem
27])。
$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{p}}$$\pi_{p}$$\mathrm{B}\mathrm{M}$$\pi_{p}$\S 3. 証明.
を仮定 A1 及ひ A.2 を満たす
(3.1) 無限素点での話に帰着すること.
表現としよう。 まず, 容易に分かるように$\Pi$$Z_{N}(s,F)=Z_{N}(1-s,\tilde{F})$ ,$F\in\Pi$$Z^{(p)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(p)})=$,$Z_{N}(1-s, \tilde{F})=\prod_{p<\infty}\epsilon(s, \Pi_{p},\psi_{p})\cross Z_{N}^{(\infty)}(1-s, \mathcal{W}_{\overline{F}}^{(\infty)})\cross L(1-s,\tilde{\Pi})$となる。 ただし,て,数自然な埋め込み$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}}\epsilonarrow \mathrm{G}_{\mathrm{R}}$による$\mathcal{W}_{\overline{F}}^{(\infty)}(g):=\omega_{\mathrm{n}}(\nu(g)^{-1})\mathcal{W}_{F}^{(\infty)}(g\eta_{\infty})(g\in \mathrm{G}_{\mathrm{R}})$$W\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\Pi_{\infty}, \psi_{\infty})$に対して,$\tilde{W}(g_{\infty})=\omega \mathrm{n}(\nu(g)^{-1})W(g_{\infty}\eta_{\infty})$$\hat{L}(s, \Pi)$

,

の像を
と書い
とおいた。 一般に, 局所 Whitt 詠 er 関$\tilde{W}\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\tilde{\Pi}_{\infty}, \psi_{\infty})$で定義する。 すると, 主定理のうち,
従う:

の尖点保型

,

が成立する. decomposable な尖点形式 $F\in\Pi$ を, 各有限素点 $p<\infty$ で$L(s, \pi_{p})$ となるようにとる。 すると,
命題 2 および 3 より;$Z_{N}(s, F)=Z_{N}^{(\infty)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(\infty)})\cross L(s, \Pi)$$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}$$\eta_{\infty}\in \mathrm{G}_{\mathrm{R}}$$\eta\in \mathrm{G}_{\mathrm{Q}}$を,$(g_{\infty}\in \mathrm{G}_{\mathrm{R}})$,が整関数になること以外は次の命題から

命題 4(「局所関数等式」 ). 次の (i) および (ii) を満たすような局所 Whitakker 関数が存在する。
および
は ${\rm Re}(s)\gg 0$ で絶対収束して, 全 s(i) 局所ゼータ積分
平面にゼロでない有理型関数として解析接続される ;(ii) 等式$W\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\Pi_{\infty}, \psi_{\infty})$$Z_{N}^{(\infty)}(s, W)$$Z_{N}^{(\infty)}(s,\tilde{W})$$\frac{Z_{N}^{(\infty)}(1-s,\tilde{W})}{L(1-s,\Pi^{\sim}\infty)}=(-1)^{\lambda_{1}}\cross\frac{Z_{N}^{(\infty)}(s,W)}{L(s,\Pi\infty)}$7が成立する。
また,$\hat{L}(s, \Pi)$が整関数になることは次の命題からわかる:

命題 5. 任意に固定した複素数に属す局所旧 ittaker 関数
に対して,:が存在して次の (条件) を満たす :は ${\rm Re}(s)\gg 0$ で絶対収束し,(条件) :
は $s=s_{0}$ で零点を持たない全 s-平面上定義された有理型関数に解析接続される。
$s_{0}\in \mathrm{C}$$\Pi_{\infty}$$W_{[s_{0}]}$$\mathrm{G}_{\mathrm{R}}arrow \mathrm{C}$$Z_{N}^{(\infty)}(s, W[s_{0}])$$Z_{N}^{(\infty)}(s, W_{[s_{0}]})/L(s, \Pi_{\infty})$

以下 \S 3 の終わりまで, 命題 4 の証明を述べる。 命題 5 については, ここでは省略する([M0-3] を参照)。

(3.2) Whittaker 関数の明示公式. 容易にわかるように,の場合に示せば十分をなので, 以下これを仮定する。
の極小 $K$-タイプの最低$\omega_{\infty}=0$$v_{0}\in\Pi_{\infty}$$D_{(-\lambda_{2},-\lambda_{1})}$

ウェイトベクトルとする。 言い換えると,$\Pi(u_{*}((\begin{array}{ll}0 01 0\end{array})))v_{0}=0$,$v_{0}\neq 0$$\tau_{(-\lambda_{2},-\lambda_{1})}$

は$\Pi(T_{1})v_{0}=-\sqrt{-1}\lambda_{1}v_{0}$,$\Pi(T_{2})v_{0}=-\sqrt{-1}\lambda_{2}v_{0}$,で定数倍を除いて特徴づけられるの元である。
に対応する局所 Whittaker 関数をで表す。 次節で, この Wv。が命題 4 の条件 (i) および (ii) を満たすこ
およびとを証明するが, そのために次の命題で与えられるの明示的な公式を用いる。 公式を 述するために,のベクトル部分群$0(i=1,2)\}$ 上の座標 $x=(x_{1}, x_{2})$ を$v_{0}$$\infty$$W_{v_{0}}\in \mathrm{W}(\Pi_{\infty}, \psi_{\infty})$$\tilde{W}_{v_{0}}$$W_{v_{0}}$$–\overline{\overline{\mathrm{p}}},\mathrm{E}$$A:=\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(a_{1}, a_{2}, a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1})|a_{i}>$$\mathrm{G}_{\mathrm{R}}$$x_{1}:=\sqrt{4\pi^{3}}a_{1}$,$x_{2}:=\sqrt{4\pi}a_{2}$,

で導入しておく。

命題 6 ([O], [MO-1], [M0-2]). (1) 実素点における局所 Whittaker 関数 W,。との単位元の連結成分に含まれる。
を(2) 二つの実数$\tilde{W}_{v_{0}}$の台は$\mathrm{G}_{\mathrm{R}}$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})$$\sigma_{1}+\sigma_{2}+1>0$

をみたすようにとる。 すると(i)$W_{v_{0}}$(diag( , a2,$a_{1}$$C\in \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$$a_{1}^{-1},$$a_{2}^{-1}$,および$\sigma_{1}>0>\sigma_{2}$を定数として))$=C \cross\exp(-x_{2}^{2}/2)\cross\int_{L(\sigma_{1})}x_{1}^{-s_{1}+\lambda_{1}+1}ds_{1}\int_{L(\sigma_{2})}x_{2}^{-s_{2}+\lambda_{2}}ds_{2}$$\cross\Gamma(\frac{s_{1}+s_{2}-2\lambda_{2}+1}{2})\Gamma(\frac{s_{1}+s_{2}+1}{2})\Gamma(\frac{s_{1}}{2})\Gamma(\frac{-s_{2}}{2})$(ii)$\tilde{W}_{v_{0}}$(diag( , a2,$a_{1}$$a_{1}^{-1},$$a_{2}^{-1}$,))$=C \cross(-1)^{\lambda_{1}}2^{-\lambda_{1}+\lambda_{2}}\exp(-x_{2}^{2}/2)\cross\int_{L(\sigma_{1})}x_{1}^{-s_{1}+\lambda_{2}+1}ds_{1}\int_{L(\sigma_{2})}x_{2}^{-s_{2}+\lambda_{1}}ds_{2}$$\cross(s_{1})_{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\cross\Gamma(\frac{s_{1}+s_{2}-2\lambda_{2}+1}{2})\Gamma(\frac{s_{1}+s_{2}+1}{2})\Gamma(\frac{s_{1}}{2})\Gamma(\frac{-s_{2}}{2})$.

が成立する (定数 $C$ は, 二つの式で共通である)。 ここで積分路 $L(\sigma_{j})(j=1,2)$ はからへ向かう垂直な路である。

$\sqrt{-1}\infty$$\sigma_{j}+\sqrt{-1}\infty$$\sigma_{j}-$8
この公式の導出の仕方を述べる (詳しくは, [MO-1], [M0-2] を参照) T. Oda ([O]) は局
所 Whittaker 関数の動径成分の満たす微分方程式系をり一環の作用を見ることによってを構成した。 たとえば,$\text{。}$$\phi(x_{1}, x_{2})\in C^{\infty}(\mathrm{R}_{>0}^{2})$$W_{v_{0}}$で定義すると,)(diag( , a2,
はつぎの二つの偏微分方程式をみたす$a_{1}$$a_{1}^{-1},a_{2}^{-1})$$=x_{1}^{\lambda_{1}+1}x_{2}^{\lambda_{2}}\exp(-x_{2}^{2}/2)\phi(x_{1}, x_{2})$$\phi(x)$.

$\bullet$$[\partial_{1}\ +4(x_{1}/x_{2})^{2}]\phi(x)\cdot=0;$$\bullet$$[(.\partial_{1}+\mathrm{a}+2\lambda_{2}-1)(\partial_{1}+\partial_{2}-1)-2x_{2}^{2}\ ]\phi(x)=0$.

この微分方程式系の解として$\phi(x)=\int_{L(\sigma_{1})}x_{1}^{-s_{1}}ds_{1}\int_{L(\sigma_{2})}x_{2}^{-s_{2}}ds_{2}\mathrm{x}\Gamma(\frac{s_{1}+s_{2}-2\lambda_{2}+1}{2})\Gamma(\frac{s_{1}+s_{2}+1}{2})\Gamma(\frac{s_{1}}{2})\Gamma(\frac{-s_{2}}{2})$が取れることはすぐにわかるが, 実はこの解のみが, 緩増大な Whittaker 関数に対応することも示せる。 なお, [O] では上の微分方程式系から次のような積分表示を得ている:$W_{v_{0}}$($\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(a_{1}$$-’——$ ’

, a2,

–2

)

$a_{1}^{-1},a_{2}^{-1})$$-\cdot f_{A}^{\infty}-k\neq 1\mathit{1}2\cdot\cdot$’$r\wedge\backslash --\lambda_{1}+1-\lambda,$$/A\backslash ---/$$t^{2}$$16x_{1}^{2}\backslash dt$$=C’ \mathrm{x}\exp(-x_{2}^{2}/2)x_{1}^{\lambda_{1}+1}x_{2}^{\lambda_{2}}\mathrm{x}\int_{0}^{\infty}t^{-k+1/2}W_{0,\nu_{1}}(t)\infty(-\frac{t^{z}}{16x_{2}^{2}}.-\frac{16x_{1}^{l}}{t^{2}}.)\frac{d1}{t}$$..A,2$

$J0$

’

$v$

,

$\mathrm{t}$は通常のittdcer 関数 ([W-W, Ch16])。 我々の公式を, この式から変換によって導くことも容易である。
Meffinここで,$W_{0,\nu_{1}}(t)$(3.3) 局所ゼータ積分の計算 (証明の完結). 上の明示公式を局所ゼータ積分
およびて,に代入して計算すると,を共通の定数として,$Z_{N}^{(\infty)}(s,\tilde{W}_{v_{0}})$$C_{1}\in \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$これらは${\rm Re}(s)> \frac{-\lambda-\lambda+1}{2}$$Z_{N}^{(\infty)}(s, W_{v_{0}})$で絶対収束し$\frac{Z_{N}^{(\infty)}(s,W_{v_{0}})}{L(s,\Pi\infty)}=C_{1}\cross\sum_{l=1}^{-\lambda_{2}}(-4\pi)^{-l}(-\lambda_{2}-l)!(l-1)!$$\bullet$$\cross\Gamma(\frac{s+l+\frac{\lambda+\lambda+1}{2}}{2})^{-1}\Gamma(\frac{-s+l+\frac{-\lambda+3\lambda+3}{2}}{2})^{-1}$;$\frac{Z_{N}^{(\infty)}(s,\tilde{W}_{\mathrm{m}})}{L(s,\Pi\infty)}=C_{1}\cross(-1)^{\lambda_{1}}\cross\sum_{l=1}^{-\lambda_{2}}(-4\pi)^{-l}(-\lambda_{2}-l)!(l-1)!$$\bullet$$\cross\Gamma(\frac{s+l+\frac{-\lambda+3\lambda+1}{2}}{2})^{-1}\Gamma(\frac{-s+l+\frac{\lambda+\lambda+3}{2}}{2})^{-1}$,が命題 4 の二つの条件を満たすことは直ちにわかる。 なお, 上の局所ゼータ積分の計算の詳細は [M0-3] に譲るが, 次の 2 つの積分公式を用いることを注意しておく。
となることがわかる。 これから,$W_{v_{0}}$

補題 7(cf. [Bu 2, Proposition 263]).
る。 このとき,$\alpha,\beta$は複素数で,${\rm Re}(\alpha)<-1/2$を満たすとす$\int_{-\infty}^{\infty}(1+x^{2})^{\alpha}(\frac{1+\sqrt{-1}x}{1-\sqrt{-1}x})^{\beta}dx=2^{2\alpha+2}\pi \mathrm{x}\frac{\Gamma(-1-2\alpha)}{\Gamma(-\alpha-\beta)\Gamma(-\alpha+\beta)}$

ただし,

ここで

理解する。

$\frac{1+}{1-}\sqrt{1}\overline{\varpi-}1xx=e^{\sqrt{-1}\theta_{*}}(\theta_{x}\in \mathrm{R}, |\theta_{x}|<\pi)$と書 1) で,.

$( \frac{1+\sqrt{-1}x}{1-\sqrt{-1}x})^{\beta}=e^{\sqrt{-1}\theta_{x}\beta}$と9
補題 8 (Barnes’ 1st Lemma [W-W, p.289]).
を満たして $1$ るとする。 このとき,

4 つの複素数$a,$ $b,$ $c,$$d$

が $a+c,$ $a+d,$ $b+c,$ $b+$$d\not\in \mathrm{Z}_{\leq 0}$$\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{L}\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)ds=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}$ここで, 積分路 $L$ は一の極を右にみて,付録$\rceil$$\sqrt{-1}\infty$$+\sqrt{-1}\infty$.

から出発して, $\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)$ の極を左に, $\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)$

へ向かう路である。

. 命題 2(Basic identity) の証明. Basic identity の証明は, [Bu-l, \S 3] にも概略があるが, 念のため書いておく。

は ${\rm Re}(s)>$の収束範囲を調べる。 まず, 局所ゼータ積分$F\in$
で絶対収束することが次のようにしてわかる。
兇麓 明な
central上で有界である。 よっcharacter を持つ尖点形式だから,て, $F$ に付随した大域的 Whittaker 関数
も上で有界である. したがって, 各局
所 Whittaker 関数 1F(vゝに対して, 関数は有界である。 一方, 各有限素点 $p<\infty$ ごとに $C>0$ が存在して, 関数

はじめに積分

$Z_{N}^{(p)}(s., \mathcal{W}_{F}^{(p)})$$(\star)$$(3-{\rm Re}(\omega_{\infty}))/2$$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}^{1}:=\{g\in \mathrm{G}_{\mathrm{A}}||\nu(g)|_{\mathrm{A}}=1\}$$\mathcal{W}_{F}$$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}^{1}$$\mathrm{G}_{\mathrm{Q}_{v}}\ni g_{v}\vdasharrow|\nu(g_{v})|_{v}^{-\ (\omega)/2}\infty \mathcal{W}_{F}^{(v)}(g_{v})\in \mathrm{C}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$(t1) :の台は$\in \mathrm{C}$$\mathrm{Q}_{p}\cross \mathrm{Q}_{p}^{\mathrm{x}}\ni(x, y)\vdash+$$\{(x, y)\in \mathrm{Q}_{p}\cross \mathrm{Q}_{p}^{\mathrm{x}}||x|_{p}<C, |y|_{p}<C\}$に含まれる。 これら二つの事実から, 有限は ${\rm Re}(s)>(3-{\rm Re}(\omega_{\infty}))/2$ で絶対収
素点 $p<\infty$ における局所ゼータ積分束する。 しかもほとんどの有限素点において,は, $\det[1_{4}-A_{p}p^{-s}]^{-1}$ という${\rmRe}(s)>\max\{\sigma_{0},(5-{\rmRe}(\omega_{\infty})/2\}$はで絶対収束することが分かる。
形だから, 積分
$Z_{N}^{(p)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(p)})$$Z_{N}^{(p)}(s, \mathcal{W}_{F}^{(p)})$$(\star)$

Basic identity を示すために, まず次の補題を示そう:
補題 9. $F$ を$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}$上の尖点形式とするとき, 任意の1$x_{1}$

1$g\in \mathrm{G}_{\mathrm{A}}$に対して,$x_{2}$$x_{2}$$\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})^{\oplus 3}}F((\begin{array}{llll}1 x_{1} x_{2} 1 x_{2} \mathrm{l} 1\end{array})(1x_{0}+_{-x_{0}1}1)1g) \mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0})dx_{1}dx_{2}dx_{0}$

1

1

$g)$

Proof.

$\mathrm{A}/\mathrm{Q}$上の関数$F_{1}$

.

を,

1
1

$x_{1}$$x_{2}$$x_{2}$$x_{3}$$F_{1}(x_{3}):= \int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})}\oplus 3F((\begin{array}{llll}1 x_{1} x_{2} 1 x_{2} x_{3} 1 1\end{array})(1x_{0}.+_{-x_{0}1}1)1g) \mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0})dx_{1}dx_{2}dx_{0}$

1

1

10
で定める。 すると,

(左辺)$=F_{1}(0)= \sum_{\alpha\in \mathrm{Q}}\int_{\mathrm{A}/\mathrm{Q}}F_{1}(x_{3})\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(\alpha x_{3})dx_{3}$$\alpha=0$の項は Siegel 型放物部分群に沿った定数項ゆえゼロなので$= \sum_{\alpha\in \mathrm{Q}^{\mathrm{x}}}\int_{\mathrm{A}/\mathrm{Q}}F_{1}(\alpha^{-1}x_{3})\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{3})dx_{3}$11$\alpha^{-1}x_{3}$$x_{2}$$= \sum_{\alpha\in \mathrm{Q}^{\mathrm{X}}}\int_{\mathrm{A}/\mathrm{Q}}dx_{3}\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})^{\oplus S}}F((\begin{array}{lllll}1 x_{1} x_{2} 1 x_{2} \alpha^{-1}x_{3} 1 1\end{array})(1x_{1}0+_{-x_{0}1}1)g)$

1

1
$|$

$\mathrm{x}\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0}+x_{3})dx_{1}dx_{2}dx_{0}$11$x_{2}$$x_{3}$$= \sum_{\alpha\in \mathrm{Q}^{\mathrm{X}}}\int_{\mathrm{A}/\mathrm{Q}}dx_{3}\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})^{\oplus 3}}F((\begin{array}{llll}1 x_{1} x_{2} 1 x_{2} x_{3} \mathrm{l} 1\end{array})(1x_{0}+_{-x_{0}1}1)1( \alpha+_{1}^{\alpha}1)g)$

1

1

.

$\mathrm{x}\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0}+x_{3})dx_{1}dx_{2}dx_{0}$=(右辺).
口

補題 9 を用いて, 次が示される:
補題 10. $F$ を$\mathrm{G}_{\mathrm{A}}$1

上の尖点形式とするとき, 任意の$x_{0}$$g\in \mathrm{G}_{\mathrm{A}}$に対して,$x_{1}$

1$\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})}\oplus 2F((\begin{array}{llll}1 x_{0} x_{1} 1 1 -x_{0} \mathrm{l}\end{array})g) \mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0})dx_{0}dx_{1}=\sum_{(\alpha\beta)\in \mathrm{Q}^{\mathrm{x}}\mathrm{x}\mathrm{Q}}\mathcal{W}_{F}((\alpha+_{1}^{\alpha}\beta 1)g)$1$-x_{0}$

Proof. 関数$F_{2}$:

1$\mathrm{A}/\mathrm{Q}arrow \mathrm{C}$を1
1$x_{2}$$F_{2}(x_{2}):= \int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})}\oplus 2F((\begin{array}{llll}1 x_{1} x_{2} 1 x_{2} 1 \mathrm{l}\end{array})(1x_{1}0+_{1}-x_{0}1)g) \mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0})dx_{0}dx_{1}$11で定めると,(左辺)となる。

$-\text{方}$,$=F_{2}(0)= \sum_{\beta\in \mathrm{Q}}\int_{\mathrm{A}/\mathrm{Q}}F_{2}(x_{2})\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(\beta x_{2})dx_{2}$

補題 9 から, 示すべき式の右辺は11$x_{2}$$\sum_{\beta\in \mathrm{Q}}\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})}\oplus 3F((\begin{array}{llll}1 x_{1} x_{2} 1 x_{2} 1 \mathrm{l}\end{array})(1x_{0}+_{-x_{0}1}1)1(1+_{1}^{1} \beta 1)g)$1

1$\mathrm{x}\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0})dx_{1}dx_{2}dx_{0}$

,

.

11
1

$x_{1}+x_{2}^{2}\beta$1$x_{2}$$x_{2}$$= \sum_{\beta\in \mathrm{Q}}\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})^{\oplus 3}}F((\begin{array}{llll}1 x_{1}+x_{2}^{2}\beta x_{2} 1 x_{2} \mathrm{l}1 \end{array})(1x_{0}+x_{2} \beta" 1)1-x_{0}-x_{2}\beta 1g)$

1

1$\mathrm{x}\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0})dx_{1}dx_{2}dx_{0}$1$x_{2}$$x_{1}$

1$x_{2}$$= \sum_{\beta\in \mathrm{Q}}\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})^{\oplus 3}}F((\begin{array}{llll}\mathrm{l} x_{1} x_{2} 1 x_{2} 1 \mathrm{l}\end{array})(1x_{0}+_{-x_{0}1}1)1g)$

1

1

.

$\mathrm{x}\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(x_{0}-\beta x_{2})dx_{1}dx_{2}dx_{0}$$= \sum_{\beta\in \mathrm{Q}}\int_{(\mathrm{A}/\mathrm{Q})}F_{2}(x_{2})\mathrm{e}_{\mathrm{A}}(-\beta x_{2})dx_{2}$.

となるので, 補題 10 が示された。

口

この補題 10 を用いると,$Z_{N}\langle s,$$F)= \int_{\mathrm{A}^{\mathrm{x}}/\mathrm{Q}^{\mathrm{x}}}d^{\mathrm{x}}y\int_{\mathrm{A}/\mathrm{Q}}dz\sum_{(\alpha,\beta)\in \mathrm{Q}^{\mathrm{x}}\mathrm{x}\mathrm{Q}}$となりBasic identity が出る。

付録 2. 命題 3(3) の前半の証明 (不分岐有限素点における計算). まず,の双対群$GSp(2,\mathrm{C})$がの単位連結成分に同型であることを確認しておこう。 の極大 (分裂)$\mathrm{G}$$L\mathrm{G}^{0}$

トーラス

旨標群
群

として

$\mathrm{G}$$\mathrm{T}:=\{t=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(t_{0}t_{1}, t_{0}t_{2}, t_{1}^{-1},t_{2}^{-1})|t_{i}\in \mathrm{G}_{n\mathrm{r}}(0\leq i\leq 2)\}$

の基底
の基底で

$X^{*}(\mathrm{T})$$X_{*}(\mathrm{T})$ス$\mathrm{T}$をとる。

$\mathrm{T}$のを $e_{i}(t)=t_{i}$ で定める。 $\{f_{j}|0\leq j\leq 2\}$ を余指標を満たすものとする。 同じく, $GSp(2, \mathrm{C})$ の極大トーラの基底をとって, その指標群$\{e_{i}’|0\leq
i\leq 2\}$の基底としてで定める。
余指標群$=a_{j}$$\{e_{i}|0\leq i\leq 2\}$$\langle e_{i}, f_{j}\rangle=\delta_{i,j}$$T_{\mathrm{C}}=\{a=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(a_{0}a_{1}, a_{0}a_{2}, a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1})|a_{i}\in \mathrm{C}^{\mathrm{x}}\}$$X^{*}(T_{\mathrm{C}})$を $f_{j}’(a)$に関する)– 系の単純)–系として,をなるものをとっておく。
$\{e_{1}-e_{2}, e_{0}+2e_{2}\}$ がとれる。対応する,
余ルート系の単純余ルートは $\{f_{1}-f_{2}, f_{2}\}$ となる。
同様に, $(GSp(2, \mathrm{C}),$に関するルート系の単純ルート系として, $\{f_{1}’-f_{2}’, f_{0}’+2f_{2}’\}$ が$\{f_{j}’|0\leq j\leq 2\}$

$X_{*}(T_{\mathrm{C}})$$(\mathrm{G}, \mathrm{T})$$\langle e_{i}’, f_{j}’\rangle=\delta_{i,j}$$T_{\mathrm{C}})$とれ, これに対応する余ルート系の単純余ルート系はと$X_{*}(T_{\mathrm{C}})$$\{e_{1}’-e_{2}’, e_{2}’\}$である。従って,を$e_{0}=2e_{0}’-e_{1}’-e_{1}’$と同一視すると, 同型,$e_{1}=-e_{0}’+e_{1}’+e_{2}’$$L\mathrm{G}^{0}\cong GSp(2, \mathrm{C})$

が分かる。

,

$e_{2}=-e_{0}’+e_{1}’$,$X^{*}(\mathrm{T})$

12
さて,
$1$

$W^{0}\in \mathrm{W}\mathrm{h}(\pi_{p}, \psi_{p})$をと正規化したものする。

$X_{*}(\mathrm{T})$[こ対して$\pi_{p}$$W^{0}$の不分岐ベクトルに対応する Whittaker 関数で $W^{0}(1_{4})=$の明示公式 ([Ka],[C ) を思い出そう。
$\mathrm{m}=\sum_{j}m_{j}f_{j}$$\mathrm{S}]$$p^{\mathrm{m}}:= \prod_{j=0}^{2}f_{j}(p)^{m_{\mathrm{j}}}\in \mathrm{T}_{\mathrm{Q}_{p}}$と書くこと [こすると,の$W^{0}$$p^{\mathrm{m}}$

$\in$

での値は

$W^{0}(p^{\mathrm{m}})=p^{(-3m\mathrm{o}-4m_{1}-2m_{2})/2}\cross \mathrm{t}\mathrm{r}(\rho_{\mathrm{m}}(A_{p}))$で与えられる。ただし, ここでを持つ $GSp(2, \mathrm{C})$は最高ウェイトによって,の複素解析的有限次元表現を表す。 一方,を定めると, Weyl の指標公式 (例えば, [Kob, 定理 947] を参照) から,$\mathrm{m}\in X^{*}(T_{\mathrm{C}})=X_{*}(\mathrm{T})$$\rho_{\mathrm{m}}$$\mathrm{m}=\sum_{j}m_{j}f_{j}$$= \sum_{j}m_{j}’f_{j}’$$m_{j}’\in \mathrm{Z}$$\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho_{\mathrm{m}}(\alpha_{0}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\alpha_{1}, \alpha_{2},\alpha_{1}^{-1}, \alpha_{2}^{-1}))$‘$= \alpha_{0}^{2m_{\acute{0}}-m_{\acute{1}}-m_{\acute{2}}}\cross\frac{\sum_{\sigma\in \mathrm{Q}_{2}^{\vee}}\sum_{\epsilon_{j}=\pm 1}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)\epsilon_{1}\epsilon_{2}\alpha_{\sigma(1)}^{1(m_{\acute{1}}+2)}\alpha_{\sigma(2)}^{\epsilon_{2}(m_{\acute{2}}+1)}}{(\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{1}^{-1}-\alpha_{2}^{-1})(\alpha_{1}-\alpha_{1}^{-1})(\alpha_{2}-\alpha_{2}^{-1})}$となる。

この公式を用いて, $Z_{N}^{(p)}(s, W^{0})$ を計算しよう。 まず, [Bu-l] にもあるように, 標準的な議に論により, 付録 1 ので与えられる $(x,y)$ の関数は,とすると台を持つことがわかる。従って,$(\#)$$\{(x,y)\in \mathrm{Q}_{p}\cross \mathrm{Q}_{p}^{\mathrm{x}}||x|, |y|\leq 1\}$$4=\alpha_{0}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{1}^{-1}, \alpha_{2}^{-1})\in GSp(2, \mathrm{C})$$Z_{N}^{[p)}(s, W)= \sum_{m=0}^{\infty}W^{0}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(p^{m},p^{m}, 1,1)p^{-m(s-3/2)}$$= \sum_{m=0}^{\infty}\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho_{mJ\mathrm{o}}(A_{p}))p^{-sm}=\sum_{m=0}^{\infty}\mathrm{t}\mathrm{r}(\rho m(f_{\acute{0}}+f_{\acute{1}})(A_{p}))p^{-\epsilon m}$$= \sum_{m=0}^{\infty}\frac{\sum_{\sigma\in\tilde{\mathrm{e}}_{2}}\sum_{\epsilon_{j}=\pm 1}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma)\epsilon_{1}\epsilon_{2}\alpha_{\sigma(1)}^{\epsilon_{1}(m+2)}\alpha_{\sigma(2)}^{\epsilon_{2}(m+1)}}{(\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{1}^{-1}-\alpha_{2}^{-1})(\alpha_{1}-\alpha_{1}^{-1})(\alpha_{2}-\alpha_{2}^{-1})}(\alpha_{0}p^{-s})^{m}$$=\det[1_{4}-A_{p}p^{-\epsilon}]^{-1}$となって命題 3(3) の前半が示された。

口

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$L$

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$L$

$p$

$\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{p}(4).,$$\mathrm{J}\cdot$(2000).
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