数理解析研究所講究録
第 1874 巻 2014 年 64-70

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On an analogue of Je\’{s}manowicz’ conjecture on
exponential Diophantine equations
Takafumi Miyazaki(Tokyo Metropolitan University)
2012 年 10 月 29 日

1 Introduction$a,$ $b,$ $c$

を互いに素な固定された 1 より大の自然数とする．このとき，指数型デイオフアントス方程式(1)$a^{x}+b^{y}=c^{z}$は自然数変数である．方程式 (1) は単数方程式の一部でを考える．ここで，あり，その解の個数の有限性は，既に得られている．また，対数の一次形式に関する$x,$ $y,$ $z$

Baker の理論から，解の大きさの上界を得ることが出来ることが知られている．しかしながら，に具体的な値を与えた場合でさえも，方程式 (1) を解く，すなわ$a,$ $b,$ $c$

ちその解を全て決定することは簡単ではない．
に対して $a^{p}+b^{q}=c^{r}$ を
方程式 (1) に関する最近の研究の多くは，自然数 $p,$満たす三つ組み $(a, b, c)$ を扱っている．特に，Je\’{s}manowicz [2] は，$p=q=r=2$の場合には方程式 (1) は唯一の解 $(x, y, z)=(2,2,2)$ を持つと予想した．すなわち$q,$ $r$

Conjecture 1.
を互いに素な自然数とする．$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ を仮定する．このとき方程式 (1) は唯一の解 $(x, y, z)=(2,2,2)$ を持つ．
$a,$ $b,$ $c$

この問題に対する研究は多くあるが，一般には未解決である．Conjecture 1 の条は (原始) ピタゴラス数と呼ばれる．それらは次のような件を満たす三つ組みパラメータ表示を持つことが知られている ( を偶数とする):$a,$ $b,$ $c$$b$$a=m^{2}-n^{2}, b=2mn, c=m^{2}+n^{2}.$に関す$m,$$m,$ $n(m>n)$ は互いに素かつ偶奇性が異なる自然数である．
ここで，る様々な条件下で，Conjecture 1 は正しいことが証明されている．例えば，$\bullet m=2,$ $n=1([9])$ .
$\bullet n=1([3])$ .
$n$$\bullet m=n+1$ ([1]).
$\bullet$$m\equiv 4(mod 8),$$n\equiv 7(mod 16)$ または $m\equiv 7(mod 16),$$n\equiv 4$$(mod 8)$ ([6]).

特に，上記の Lu [3] と Dem’janenko [1] の結果は $m,$ の境界条件を扱うものであ$n$り，他の研究結果にも役に立つもので重要である．最近，それらは $c\equiv 1(mod b)$の場合に拡張された ([8]).

この稿では，Conjecture 1 の類似問題を考える．以下の問題を提起する．

65$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ( は偶数) を仮
Conjecture 2.
を互いに素な自然数とする．
定する．このとき方程式$a,$ $b,$$b$$c$(2)$c^{x}+b^{y}=a^{z}$$c=b+1$ のときにただ一つの解 $(x, y, z)=(1,1,2)$ を持ち，は，$c>b+1$ のときには解を持たない．

$c=b+1$ のとき，方程式 (2) は確かに解 $(x, y, z)=(1,1,2)$ を持つ．実際，$c+b=(c+b)(c-b)=c^{2}-b^{2}=a^{2}$ が成り立つ．

主結果は，Conjecture 2 が部分的に正しいことを主張するものである．

Theorem. $c\equiv 1(mod b)$ のとき，Conjecture 2 は正しい．

証明は，[8] の手法と，対数の一次形式の理論，いわゆる Baker の理論を用いる．
以下，方程式(3)$(m^{2}+n^{2})^{x}+(2mn)^{y}=(m^{2}-n^{2})^{z}$を考える．ここで，$m,$ $n(m>n)$ は互いに素かつ偶奇性が異なる自然数である．

2$n=1$ の場合$n=1$ の場合を考察する．実際その場合に Conjecture 2 が正しい
この節では，ことを証明する．これは，Conjecture 1 に関する Lu [3] による結果の類似である．

方程式 (3) に $n=1$ を代入すると，(4)$(m^{2}+1)^{x}+(2m)^{y}=(m^{2}-1)^{z}$となる．ここで， は正の偶数である．方程式 (4) の解 $(x, y, z)$ をとる．方程式を法$m$で考えると ( $m$ が偶数であることを考慮して),$(2m)^{2}$$(m^{2}+1)^{x}\equiv m^{2}x+1,$$(m^{2}-1)^{z}\equiv(-1)^{z-1}m^{2}z+(-1)^{z}$(mod$4m^{2}$)だから，合同式$m^{2}x+1+(2m)^{y}\equiv(-1)^{z-1}m^{2}z+(-1)^{z} (mod 4m^{2})$$1\equiv(-1)^{z}(mod 2m)$ を得る．この合同式を得る．次に，これを法 $2m$ で考えると，の法 $2m$ は 2 より大きいので，実際には等号が成立している，すなわち $(-1)^{z}=1$より， は偶数である．よって$z$$m^{2}x+(2m)^{y}\equiv m^{2}z (mod 4m^{2})$を得る．これから，左辺の第二項は$m^{2}$で割れることがわかる．

もし $y=1$ ならば，2 が $m$ で割れることになるので，$m=2$$5^{x}+4=3^{z}$となり，方程式はとなる．これから，$(3^{z/2}+2)(3^{z/2}-2)=5^{x}$ と書けることがわかる．

この左辺の因子は互いに素であることは簡単にわかるので，その積が素数のべキであることも考慮すると，小さい方の因子は 1 に等しいことがわかる．よって $z=2$$x=1$ となる．
であり，

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最後に $y>1$ となる場合を考える．このとき矛盾を見つけることが出来ればよい．場合分けをする前の合同式から，$x\equiv z(mod 4)$ を得る．特に， が偶数である$x=2X,$ $z=2Z(X, Z は自然数)$ とことがわかる ( は偶数であるので). よって，書ける．すると，方程式 (4) を変形して $DE=(2m)^{y}$ と書ける．ここで
$x$

$z$

$D=(m^{2}-1)^{Z}+(m^{2}+1)^{X}, E=(m^{2}-1)^{Z}-(m^{2}+1)^{X}.$

正の偶数 $D,$ $E$ の形を決定するために，それらを法 $2m$ で観察する:$D\equiv(-1)^{Z}+1 (mod 2m) , E\equiv(-1)^{Z}-1 (mod 2m)$ .
$(D$$D/2$ は奇数かつ $m$ と素なので，$D/2\equiv 1(mod m)$ より，
もし $Z$ が偶数ならば，が $(2m)^{y}$ の約数であることを考慮して) $D=2$ とならなくてはいけなくなるが，これは明らかに不可能である．よって$E=2$ が導ける．すると$Z$$E/2\equiv-1(mod m)$ より，は奇数であり，$D=(2m)^{y}/E=2^{y-1}m^{y}$$(D+E)/2$ を考えてなので，$(m^{2}-1)^{Z}=2^{y-2}m^{y}+1$を得る．これを法
これから$Z$$m^{2}$$(-1)^{Z}\equiv 1(mod m^{2})$ となり，前にみたようにで考えると，が偶数であることになるが，これは矛盾である．

3 解の偶奇性
Conjecture 1 の研究において，解の偶奇性を考察することは，多くの先行研究において重要な役割を果たしている．それは，Conjecture 2 に対しても同様で$x,$ $y,$ $z$ある．
$m,$ $n$に対して，整数(5)$\alpha\geq 1,$$\beta\geq 2,$$e\in\{1, -1\}$と正の奇数 $i,j$ を次で定める．

$\{\begin{array}{l}m=2^{\alpha}i, n=2^{\beta}j+e m が偶数の場合，m=2^{\beta}j+e, n=2^{\alpha}i m が奇数の場合．\end{array}$は (一意的に) 定めら
注意として， が偶数かつ $n=1$ の場合には，上記のれないが，前の節で示したことから，$n>1$ を仮定してよいので問題ないことがわかる．(5) の記号の下で，次のことが証明できる．
$\beta,j,$ $e$$m$$(x, y, z)$ を方程式 (3) の解とする．もし $y>1$
Lemma 1. $2\alpha\neq\beta+1$ を仮定する．

ならば $x\equiv z(mod 2)$ が成り立つ．

証明は，(5) を (3) に代入したものを，法$c\equiv 1(mod b)$ を仮定する．すなわち，
以後，$2^{\min\{2\alpha,\beta+1\}}$で考察することで得られる．

$m^{2}+n^{2}=1+2mnt$(6)と書く ( は自然数). 条件 $t=1$ は $m=n+1$ と同値であることに注意する．(6)$t$より，次が導かれる．

Lemma 2. $(x, y, z)$ を方程式 (3) の解とする．すると$z$は偶数である．

これは，方程式 (3) を法 $m(>n\geq 2)$ で考えることと，(6) から成り立つことがわかる合同式 $n^{2}\equiv 1(mod m)$ を用いれば示される．

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4 特殊なペル方程式
条件 (6) は，次の様に書き換えられる:(7)$U^{2}-(t^{2}-1)V^{2}=1.$

ここで $U=m-nt(>0),$ $V=n$ .

(7) は $(t>1$ のとき ペル方程式である．以下，$t>1$ とする．ペル方程式 (7) の基本解 (最小正整数解) は，$(U, V)=(t, 1)$ であるので，ペル方程式の理論から，(7) の全ての正整数解 $U,$ は，次で与えられる :$)$

$V$

$U+V\sqrt{t^{2}-1}=(t+\sqrt{t^{2}-1})^{k} (k=1,2,3, \ldots)$

よって $U,$ $V$ は$t$の多項式である．この事実と，$(U, V)=(m-nt, n)$ を合わせて考えると，次のことが示される．

Lemma 3. $t>1$ ならば，次が成り立つ．
(i) $m$ または は $2t$ で割り切れる．
(ii) $2\alpha\neq\beta+1.$$n$

5 役に立つ合同式
条件 (6) から，次の合同式を得る．
$a, c\equiv 1+2mnt (mod n^{2})$ ,$a\equiv-1-2mnt (mod m^{2})$ ,$c\equiv 1+2mnt (mod m^{2})$ .

これから，方程式 (3) を法$m^{2},$$n^{2}$で考えることで，次の合同式が示される．

$\{\begin{array}{ll}2tx+2\equiv 2tz (mod mn) y=1 のとき，2tx\equiv 2tz (mod mn) y>1 のとき．\end{array}$とすると，Lemma 3 の (i) から $mn$ が で割り切れることから，$(mod 2$ のを得るが，これは仮定 $t>1$ に反する．以上より，次のことが成り立つ．
もし $y=1$$2t$$2\equiv 0$

Lemma 4. $t>1$ ならば，$y>1$ かつ $x\equiv z(mod mn/2t)$ .

Lemmas 1,2 と Lemma 3 の (ii) と Lemma 4 から，次のことが成り立つ．
Lemma 5. $t>1$ ならば， は偶数．
$x$6$t>1$$t>1$ のときには，方程式 (3) は解を持たないことを証明する．仮
この節では，に解 $(x, y, z)$ が存在したとする．Lemma 4 から $y>1$ であり，また Lemmas 2,

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5 から，$x,$ $z$$D,$ $E$$x=2X,$ $z=2Z$ $(X, Z は自然数)$ と書ける．正の偶数は偶数なので，$(DE =(2mn)^{y})$ を次のように定義する．
$D=(m^{2}-n^{2})^{Z}+(m^{2}+n^{2})^{X}, E=(m^{2}-n^{2})^{Z}-(m^{2}+n^{2})^{X}.$$D,$ $E$$D,$の最大公約数は 2 であることはすぐにわかる．

法 $m,$$n$$E$の形を決定するために，で考察をすると$D\equiv(-1)^{Z}+1 (mod m) , D\equiv 2 (mod n)$ ,$E\equiv(-1)^{Z}-1 (mod m) , E\equiv 0 (mod n)$.

ここで，(6) から従う合同式 $m^{2}\equiv 1(mod n)$ と $n^{2}\equiv 1(mod m)$ を用いた．次のことが成り立つ．

Lemma 6. 次が成り立つ．
$\{\begin{array}{l}(D, E)=(2^{y-1}m^{y}, 2n^{y}) m が偶数のとき，(D, E)=(2m^{y}, 2^{y-1}n^{y}) m が奇数のとき．\end{array}$$m$が偶数の場合を考える ( $m$ が奇数の場合も同様). $a=m^{2}-n^{2}\equiv-1(mod 4)$ ,$c=m^{2}+n^{2}\equiv 1(mod 4)$$D\equiv(-1)^{Z}+1(mod 4)$ となる．いま仮により，$Z$が偶数であると仮定する．すると$D/2\equiv 1 (mod 2) , D/2\equiv 1 (mod mn/2)$$D/2$ は $2^{2y-1}(mn/2)^{y}$ の$D/2$ は奇数かつ $mn/2$ と素であることがわかる．となり，$D/2$ は 1, すなわち $D=2$ となるが，これは明らかに矛盾である．よっ約数だから，て $Z$ は奇数であるので，$D\equiv 0$(mod4),$E/2\equiv-1$$(mod m/2)$ ,$D/2\equiv 1$$(mod n)$$D/2$ はとなる．これより，$E/2$ は奇数かつ $m/2$ と素であり，と素である．すると，$E/2=n^{y}$ , すなわち $E=2n^{y}$ が従う．
等式 $(D/2)(E/2)=2^{2y-2}(m/2)^{y}n^{y}$ から，$n$

Lemma 7.
$m$

$y$は偶数である．

$(D+E)/2$ より，が偶数の場合を考える．Lemma 6 から，$(m^{2}-n^{2})^{Z}=2^{y-2}m^{y}+n^{y}$$-1\equiv n^{y}(mod m)$ を得る． が偶数ならば，を得る．これを法 $m$ で考察すると，が奇数であ$2\equiv0(modm)$ , となり，これは矛盾．仮により，$y$$n^{y}\equiv 1(mod m)$$y$$n\equiv\pm 1(mod m)$ となるが，いま仮定より，$n>1$ かつると仮定する．すると，$m>n+1(\Leftrightarrow t>1)$ だから，この合同式は成立しない．
$(D-E)/2$ より，次に， が奇数の場合を考える．Lemma 6 から，$m$$(m^{2}+n^{2})^{X}=m^{y}-2^{y-2}n^{y}$$1\equiv m^{y}(mod n)$ を得る．仮にが奇数であるを得る．これを法 で考察すると，$m\equiv1(modn)$(んは自然数) と$m=1+hn$と仮定する．すると，となる．よって書ける．これは (6) に代入すると，
$n$

$y$

np

$=$2(オー )$h$69を得る．ここで $p=h(h-2t)+1$ . Lemma 3 (i) から， は で割れるので， がで割れることになる．特に，$h=t$ または $h\geq 2t$ が成り立つ．もし $h=t$ ならば，$t^{2}=1$ となるがこれは仮定 $t>1$$p=0$ , すなわち，に反する．また $h\geq 2t$ ならば，$2t$$n$$h$$t$$p>0$ であるので，$(-t\leq)t-h=np/2$ も正となるが，これも矛盾である．

Lemma 8. 次の不等式が成り立つ．
$Z< \frac{\log c}{2\log 2}(<\frac{\log m}{\log 2})$

これは，一般の$a,$従う ([7] 参照).

$b,$ $c$.

に対する方程式 (1) の偶数解 $x,$ $y,$$z$の大きさの評価式から$m$ は奇数であると仮定してよい．よって Lemma 3
いま，Lemma 7 の証明から，(i) から， が$2X\equiv 2Z(mod m)$ を得で割り切れる．すると，Lemma 4 から，$X\equivZ(modm)$る． が奇数であることから，さらにを得る．方程式 (3) から，明らかに $Z>X$ だから，$Z\geq X+m>m$ . ゆえに次の不等式を得る．
$n$

$2t$

$m$

$m<Z<^{\underline{\log m}}$log$2$$t>1$ のときに方程式 (3) は解を持たないこしかしこれは成り立たない．以上より，とが示された．

$7t=1$
この節では，Theorem の証明を完成させる．$t=1$ を仮定する．このとき，(6) か$m=n+1$ となるので，方程式 (3) は，ら，(8)$(2m^{2}-2m+1)^{x}+(2m(m-1))^{y}=(2m-1)^{z}$$(x, y, z)$ を方程式 (8) の解とする．となる．ここで， は 2 以上の自然数である．
$m$Lemma 2 より， は偶数 $(=2Z)$ である．すると，Lemma 6 の証明と同様の考察に$z$$y=1$ が示される $(y>1$ とすると， が偶数であることが示せ，それにょっ
より，て，Lemma 6 と同じものが成り立ち，そこから矛盾を導く，という方法をとる).
$x$$M=2m(m-1)$ と置くと，(8) は，(9)$(M+1)^{x}+M=(2M+1)^{Z}$となる．これは Pillai 方程式と呼ばれるものである．Pillai 方程式には，Baker の理論が有効である．実際，方程式 (9) の両辺を左辺の第一項で割り，変形すると$(0<) \Lambda:=(2M+1)^{Z}(M+1)^{-x}-1=\frac{M}{(M+1)^{x}}$となり， は に関して非常に小さい． は，整数 (代数的数) のべキの積から 1 を引いた形であるが，Baker の理論は，その値の絶対値 の下からの評価を与える．
$A$

$x$

$A$$|A|$

具体的には，$\log|\Lambda|\gg-C(M)$log max $\{x, Z\}$

70となる ([4] 参照).

$M$
ここで，$C(M)$ は，だけに依存する正の数であり，底 $2M+1$と $M+1$ のそれぞれの絶対的指数的高さ (absolute logarithmic height) と呼ばれる量の積になっている．いまの場合にはそれぞれの対数がその高さに相当する．したがって，$-\log(M+1)\log(2M+1)\log x\ll-x\log(M+1)$を得る．これより， (したがってまた $Z$ の) 上界:$x$$x\ll\log M$ (log log $M$ )を得る (Laurent, Mignotte, Nesterenko [5]を得ることが出来る).
また，一方で，方程式 (9) を法とが証明できる．

$x\ll$による別の評価式を用いると，$\log M$$M^{2},$$(M+1)^{2}$の合同式を考察することで，次のこLemma 9. $x>1$ ならば，次が成り立つ．
$2Z\equiv 1 (mod M+1) , x+1\equiv 2Z (mod 2M)$ .

これによって，もし架空の解，すなわち，$(x, Z)\neq(1,1)$ が存在すれば，その下からの評価 $(\gg M)$ が得られて，Baker の理論によって得られた上からの評価に矛盾す$M$る，ということを観察できる (実際には，の，よっての有限性が出て，そのす$x=Z=1$べての可能性をチェックする必要がある). よって，架空の解は存在せず，$x,$ $Z$となることが示せて，証明が終わる．

REFERENCES[1] V. A. Dem‘janenko, ‘On Je\’emanowicz’ problem for Pythagorean numbers’, $Izv$ . Vyssh.
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[4] E. M. Matveev, ‘An explicit lower bound for a homogeneous rational linear form in logarithms of algebraic numbers. II’, $Izv$ . Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 64 (2000), 125-180;
English transl. in Izv. Math. 64 (2000), 1217-1269.
[5] M. Laurent, M. Mignotte and Y. Nesterenko, ‘Formes lin\’eaires en deux logarithmes etd\’eterminants d’interpolation’, J. Number Theory 55 (1995), 285-321.
[6] T. Miyazaki, ‘On the conjecture of Je\’{s}manowicz concerning Pythagorean triples’, Bull.
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[7] T. Miyazaki, ‘Upper bounds for solutions of exponential Diophantine equations with applications to Fibonacci numbers’, Analytic Number Theory: related Multiple aspects ofArithmetic Functions. RIMS Kokyuroku 1806 (2012), 134-142.
[8] T. Miyazaki, ‘Generalizations of classical results on Je\’{s}manowicz’ conjecture concerning
Pythagorean triples’, J. Number Theory 133 (2013), 583-595.
[9] W. Sierpiriski, ‘On the equation $3^{x}+4^{y}=5^{z\prime}$ , Wiadom. Mat., 1 (1955/1956), 194-195 (inPolish).
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