数理解析研究所講究録
第 712 巻 1990 年 66-72

66

Algebraically independent generators of invariant
differential operators on a symmetric cone
京大理(Takaaki NOMURA)

野村隆昭

よく知られた例から始めよう.

[8], [12] 参照.

$Sym(r, R)$ で表す. $Sym(r, R)$ は自然な内積成る $Sym(r, R)$ の部分集合を$\Omega$とする.

$\Omega$$\langle x, y\rangle$

実 $r\cross r$ 対称行列のなすベク トル空間を$:=tr(xy)$ を持つ. 正定値なもの全体からは $Sym(r, R)$ の開凸錐で, しかも内積$\langle\cdot, \cdot\rangle$に関して自己双対である. すなわち,$\Omega=\{y\in Sym(r, R);\{x, y\rangle>0 for\forall x\in\overline{\Omega}\backslash \{0\}\}$(豆はの閉包) が成り立つ. 線型 Lie 群 $GL(r, R)$ は $Sym(r, R)$ にの $GL$ ( , R)-軌道になっている.
していて,はこの作用による単位行列$x\vdasharrow gx^{t}g$$\Omega$$e\in\Omega$$\Omega$$r$

用素で, $GL(r, R)$ の作用と可換なものの全体を $D(\Omega)^{GL(r,R)}$ とする. このとき,$\Omega$$r$により作用上の微分作個の微分作用素tr$(j=1,2, \ldots, r)$$((x \frac{\partial}{\partial x})^{j})$は $D(\Omega)^{GL(r,R)}$ の代数的に独立な生成元になっている.

本稿では, この結果を任意の自己双対な開凸錐 (以下対称錐と呼ぶ) に, その分類を用いずしかも explicit な形で, 一般化する. そのために, 1950 年代の終わりに, Koecher [7] や Vinberg[13] によって発見された事実 任意の対称錐はある種の Jordan 代数によって記述されるを用いる.
––\S 1. Jordan 代数
Jordan 代数の定義から始めよう. 証明は [1], [3], [5], [6], [11] 等を見られたい. 実ベクに次の (1),(2) をみたす双線型写像 (すなわち, 積) $V\cross V\ni(x, y)arrow xy\in V$ がトル空間$y\in V$ に対して,定義されているとき,を実 Jordan 代数という:(1) $xy=yx$ ,(2) $x^{2}(xy)=x(x^{2}y)$ .
$V$

$V$

$\forall x,$

ここでは, 結合律は仮定されていないことに注意. 各 $x\in V$ に対して, 作用素 $L(x)$ を$L(x)y=xy$

1$(y\in V)$

67で定義する. 2 っの作用素 $A,$ $B$ に対して, $[A, B]=AB-BA$ とおくと, (2) は作用素の等式として$[L(x), L(x^{2})]=0$と書き直せることに注意しておく.
さて, Jordan 代数 $V$ は非結合的代数であるが, べきに関しては指数法則が成り立っている(この意味で, Jordan 代数は power associative algebra になっている). そして, $V$ 上のが存在して次の斉次多項式函数$i$$\sigma_{i}(1\leqq i\leqq\ovalbox{\tt\small REJECT}$$m_{x}(\lambda)=\lambda^{d}-\sigma_{1}(x)\lambda^{d-1}+\sigma_{2}(x)\lambda^{d-2}+\cdots+(-1)^{d}\sigma_{d}(x)$が, $V$ のある Zariski-dense 77\supset 開集合に属する$m_{x}(\lambda)$

式の既約成分は,$m_{x}(\lambda)$

は $x\in V$$\forall x$に対して,$x$の最小多項式になること, 及びの最小多項式の 1 っの因数になっていることが知られている [5]. 多項を V の degree という. 以下では,の一般最小多項式と呼ばれ,
$x$

$d$

$J$

$T(x)=\sigma_{1}(x)$とおいて, 線型形式 $T$ を $V$ の trace と呼ぶことにする.

実 Jordan 代数 $V$ において,$x^{2}+y^{2}=0$$x=y=0$ならばが成り立つとき, $V$ は形式的実であるという. 形式的実 Jordan 代数は必ず単位元 を持つ.
が以下, Jordan 代数 $V$ は形式的実であるとする. $V$ の でないべき等元の系$i\neqj$$e_{i}e_{j}=0$ならば直交塞であるとは,が成り立つことであり, それが完全であるとは,$e_{1}+\cdots+e_{k}=e$ (単位元) となることである.
$e$$0$

命題 1.1(スペクトル分解). $V$ の各元と実数
それらは一意的で,$\lambda_{1},$$\ldots,$$x$に対して,$\lambda_{k}(\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{k})$$\lambda_{k}$$\lambda_{1},$$\ldots,$のことを,$x$$e_{1},$ $e_{2},$$\ldots,$$e_{k}$でないべき等元の完全直交系が存在して, $x=\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{k}e_{k}$ と表される.
$0$$e_{1},$$e_{2},$$\ldots,$$e_{k}$の固右堕という. 1

でないべき等元は原始べき等元の直交和に分解できるから, 特に単位元 は原始べき等元の直交和として $e=e_{1}+\cdots+e_{r}$ と, 分解できることがわかる. ここで, は原始べき等元の完全直交系のとり方によらず一定で, $V$ の階数 と呼ばれ, 上述の degree に一致する.
$0$$e$$r$

命題 1.2.

Jordan 代数$V$(1) V は形式的実.
(2) 対称双線型形式
AXgX 式(3)$\mathfrak{X}\backslash$において, 次の (1) $\sim(3)$ は同値 :$x,$ $yarrow\rangle$$trL(xy)$ は正定値.

$x,$ $y\mapsto T(xy)$は正定値. 1

例. $Sym(r, R)$ に $xy=(x\cdot y+y\cdot x)/2$ (右辺のは通常の行列の乗法) で積を入れると,$Sym(r, R)$ は形式的実 Jordan 代数になる. 実際, $x^{2}+y^{2}=0$ なら $x\cdot x+y\cdot y=0$ だかに対して
ら,$\forall\xi\in R^{r}$.

$0={}^{t}\xi\cdot(x\cdot x+y\cdot y)\cdot\xi=|x\cdot\xi|^{2}+|y\cdot\xi|^{2}$

2

O $O$

これより $x=y=0$ が出る. I$V$の各元$x$に対して, 作用素 $P(x)$ を$P(x)$ $:=2L(x)^{2}-L(x^{2})$$(x\in V)$で定義する. 対応 $P:x\mapsto P(x)$ は $V$ の quadratic representation と呼ばれる $(P(xy)=$$y\in V$$P(x)P(y)$ は一般に成り立たないけれども). この $P$ について次の公式が成り立っ:$\forall x,$に対して$P(P(x)y)=P(x)P(y)P(x)$ ,(1.1)(12)$(n=1,2, \ldots)$$P(x^{n})=P(x)^{n}$.

さて, $V$ の元 $x$ に対して, $x$ で生成される $V$ の部分代数を $R[x]$ で表そう.

$V$は power-associative だから, $R[x]$ では結合律が成立していることに注意.
命題 1.3.

$V$の元 $x$ に対して, 次の (1) $\sim(4)$ は同値 :(1) 作用素 $P(x)$ は可逆, すなわち, $\det P(x)\neq 0$ .
(2) $R[x]$ の元 が存在して, $xy=e$ .
(3) $V$ の元 が存在して, $xy=e$ かつ $[L(x), L(y)]=0$ .の元(4)が存在して, $xy=e$ かつ $x^{2}y=x$ .
$y$

$y$

$V$

$1$

$y$

命題 1.3 の条件をみたす は亘逆であるといわれる. (3) よりの逆元 の一意性がわか$y=P(x)^{-1_{X}}$り, (1) を用いると,で表す. こで与えられることがわかる. 可逆元の全体をのとき,
$x$

$x$

$y$

$V^{x}$(13)$V$$P(x^{-1})=P(x)^{-1}$には \langle $x,$ $y$て, $L(x),$ $P(x)$$(\forall x\in V^{x})$.

} $:=T(xy)$ で内積を入れておく (命題 12). このとき, 任意の $x\in V$ に対しは自己共役作用素である.

命題 1.4. 次の 5 つの $V$ の部分集合は同一である :(1) Int $\{x^{2} ; x\in V\}$(Int は集合の内部).
(2) $\{x^{2};x\in V^{x}\}$ .
(3)の単位元の連結成分.
(4) { $x\in V;L(x)$ は正定値}.
(5) { $x\in V;x$ の固有値はすべて正}. 1$V^{x}$は $V$ の開凸錐で内積ぐ, \rangle に関して
命題 1.4 で定義される $V$ の部分集合をで表す.のことを $V$ の対称錐という. $x\in\Omega$ ならば, $P(x)$ は正定値であることも自己双対である.
注意しておこう.
さて, 写像 $F:\Omega\ni xarrow\rangle$を考えよう. $x_{0}\in V$ での Fr\’echet 微分は $2L(x_{0})$ で,しかもスペクトル分解を考えることにより容易に $F$ が上への写像であることがわかるから, $F$ は$y^{1/2}\in\Omega$からの上への微分同相である. $F$ の逆写像をと表す.
$\Omega$$\Omega$$\Omega$$x^{2}\in\Omega$$\Omega$$\Omega$$\Omega\ni yarrow\rangle$3

$\mathfrak{d}S$上の実一般線型群を $GL(V)$ とし$V$$G(\Omega):=\{g\in GL(V);g\Omega=\Omega\}$

とおく.

$G(\Omega)$

は $GL(V)$ の閉部分群であるから, $G(\Omega)$ は Lie 群になる.

$\Omega$が自己双対であるので, $G(\Omega)$ は reductive X Lie 群である.

補題 1.5.
証明.

$x\in V^{x}$(1.1) より,なら $P(x)\in G(\Omega)$.

に対して $P(x)y$ は可逆 $(i.e. \exists P(P(x)y)^{-1})$ であるから $P(x)y\in$. そして $P(x)e=x^{2}\in\Omega$ だから, $P(x)\Omega$ はの連結開集合で,と共通部分を持つ.
$P(x)\Omega\subset\Omega$ゆえに,. これと (1.3) より $P(x)\Omega=\Omega$ . すなわぢ, $P(x)\in G(\Omega)$ . I$\forall y\in\Omega$$V^{x}$$V^{x}$$\Omega$

任意の $x\in\Omega$ に対して, $P(x^{1/2})e=x$ ゆえ, 補題 1.5 から特に $\Omega=G(\Omega)e$ であることがわかる.

\S 2. 不変多項式
以下, 形式的実 Jordan 代数 $V$ は単純で階数が群を$K$$r$であるものとする. $V$ の自己同型がなすで表す. すなわち,$K:=\{g\in GL(V);g(xy)=(gx)(gy) for\forall x, y\in V\}$ .

一般最小多項式の K-不変性 : $m_{x}(\lambda)=m_{kx}(\lambda)(\forall k\in K, x\in V)$ から, $K$ は $V$ の内積に関する直交群 $O(V)$ の閉部分群になることがわかる. 従って, $K$ 自身コンパクト Lie 群である. $V$ 上の K-不変な多項式函数のなす代数を Po1 $(V)^{K}$ で表す. Po1 $(V)^{K}$ については,次の結果が知られている.
$\langle\cdot, \cdot\rangle$

命題 2.1(U. Hirzebruch [4]).

$r$

個の $V$ 上の多項式函数$f_{j}(x):=T(\dot{d})$$(j=1,2, \ldots, r)$

は Po1 $(V)^{K}$ の代数的に独立な生成元である.

I

次の命題は J. Faraut 教授に教わった.

命題 22.

$f\in Po1(V)^{K}$とすると, 函数$\Omega\cross V\ni(x, y)\mapsto f(P(x^{1/2})y)$は, $p(x, y)=p(y, x)(\forall x, y\in V)$ である様な $V\cross V$ 上の多項式函数 $p$ のである.

I

証明は, Faraut 氏の承諾を得て, [9] に書いておいた.

4$\Omega\cross V$への制限

$rlU$

例 1. 命題 22 で $f=T=fi$ とすると

(2.1)

$T(P(x^{1/2})y)=\langle P(x^{1/2})y, e\rangle=(y,$であるから, $p(x, y)=\langle x, y\rangle$$x\rangle$. I

例 2. 一般最小多項式の定数項の $(-1)^{r}$ 倍, すなわち,$N\in Po1(V)^{K}$ . このとき,$\sigma_{r}(x)$を $N(x)$ と書こう.

もちろん,(22)$N(P(x^{1/2})y)=N(x)N(y)$ .

従って, $p(x, y)=N(x)N(y)$. $V=Sym(r, R)$ のときは, $N(x)=\det x,$ $P(x^{1/2})y=$$x^{1/2}\cdot y\cdot x^{1/2}$ない.

であるから, (2.2) は $\det(x^{1/2}\cdot y\cdot x^{1/2})=(\det x)(\det y)$ という式に他ならI命題 2.1 の命題 2.3.

$f_{j}$

に対して, $f_{j}(P(x^{1/2})y)$ を例 1 の様に, explicit に表そう.

$\forall x\in\Omega$(1)と $\forall y\in V$ に対して,$f_{2m-1}(P(x^{1/2})y)=\langle(P(x)P(y))^{m-1}x,$ $y$(2)},$f_{2m}(P(x^{1/2})y)=\{(P(x)P(y))^{m-1}x, (y\square x)y\}$ただし, $y\square x=L(yx)+[L(y), L(x)]$ .

.

$1$

注意. 命題 22 より, 命題 2.3 (1), (2) の右辺は, $x,$ について対称である. 作用素 $P(x)$ が自己共役であったから, (1) の右辺が $x,$ について対称なことは直接読み取れる. (2) の右辺についとなること, 及び Jordan 代数 (というより Jordan 3ては, 作用素 口しの adjoint が$y$$y$$x\square y$$y$重系) での基本的な公式 :$(x\square y)P(x)=P(x)$ ( $y$ 口 $x$ )からわかる.

以下,(2.3)$p_{2m-1}(x, y)$ $:=\langle(P(x)P(y))^{m-1}x,$ $y$(2.4)},$p_{2m}(x, y)$ $:=\langle(P(x)P(y))^{m-1}x, (y\square x)y\rangle$

とおく. 各 $Pj$ は $V\cross V$ 上の多項式函数であるが, さらに命題 $2.4$. 各 $j=1,2,$$\ldots,$$r$について,$p_{j}(gx,{}^{t}g^{-1}y)=p_{j}(x, y)$が成り立つ. ただし,${}^{t}g$は内積$\langle\cdot, \cdot\rangle$$for\forall g\in G(\Omega),$ $x\in V,$ $y\inに関する$g$のadjoint. 1

さて, $G(\Omega)$ を $V\cross V$ に(2.5)$g\cdot(x, y)=(gx,{}^{t}g^{-1}y)$で作用させる.

5V$

補題 2.5.
固定するとき,$\Omega\cross V$$Q$

上の C\infty \rightarrow 函数 $L$ は, (2.5) による $G(\Omega)$ の作用で不変で, かつ各 $x\in\Omega$ を$yarrow\rangle$$L(x, y)$ は $V$ 上の多項式函数であるとする.

このとき,$r$変数の多項式函数が存在して,$L(x,y)=Q(p_{1}(x, y),$ $\ldots,p_{r}(x,y))$$(\forall x\in\Omega,\forall y\in V)$となる. ここで, 窃は $(2.3),(2.4)$ で定義されたものである.

証明は, $K\subset O(V)$ に注意して, $l(y)$ $:=L(e,$Po1$(V)^{K}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$で定義される $V$ 上の多項式函数$l$がに属することと, U. Hirzebruch の結果 (命題 2.1), 及び $L(x, y)=l(P(x^{1/2})y)$となることを用いる. I(2.5) による$f$の作用で不変なで表そう. 命題 22 を精密化すると$G(\Omega)$$V\cross V$上の多項式函数のなす代数を Po1 $(V\cross V)^{G(\Omega)}$

定理 26. 各 $f\in Po1(V)^{K}$ に対して,$p_{f}(x, y):=f(P(x^{1/2})y)$$(x\in\Omega, y\in V)$

とおくと, 写像 $f\mapsto p_{f}$ は, Po1 $(V)^{K}$ から Po1 $(V\cross V)^{G(\Omega)}$ の上への algebra isomorphismを与える. I\S 3. G(\Omega )-不変微分作用素への作用は線型であったから, $G(\Omega)$ の $V\cross V$ への作用 (2.5) をに制限すると, それはの余接束 $T^{*}(\Omega)\approx\Omega\cross V$ への $G(\Omega)$ の自然な作用に他ならない.
$(2.3),(2.4)$ で定義されたをを用いて, 微分作用素$G(\Omega)$の$V$$\Omega\cross V$$\Omega$$p_{j}(x, \partial/\partial x)$$p_{j}$$p_{j}(x, \partial/\partial x)e^{(x,y\rangle}=p_{j}(x, y)e^{(x,y\rangle}$で定義する.
定理 3.1.
個の微分作用素は,用素のなす代数の代数的に独立な生成元である. 1$p_{1}(x, \partial/\partial x),$$r$$\ldots,p_{r}(x, \partial/\partial x)$$\Omega$

上の $G(\Omega)$ -不変 $k$ 微分作$D(\Omega)^{G(\Omega)}$例.

$x\in\Omega$のとき, $P(x)$ は正定値自己共役作用素であったことを思い出そう. 各 $x\in\Omega$ に対して
$B_{x}(u, v):=\langle P(x)u, v\rangle$

とおくと, $B$ : $x\mapsto B_{x}$ は$(u, v\in V)$

Riemann 構造を定義し, は Riemann 対称での symmetry は空間となる. 点(Jordan 代数 での inverse) で与えられる. このとき, Riemann 構造上の Laplace-Beltrami 作用素
はに関する$\Omega$に $G(\Omega)$ -不変な$\Omega$$xrightarrow x^{-1}$$e\in\Omega$

$B$

$V$

$\Omega$$\Delta$$\Delta=p_{2}(x, \partial/\partial x)+\frac{n}{r}\cdot p_{1}(x, \partial/\partial x)$と表される. ここで, $p_{1}(x, y)=\langle x, y\rangle$ であったから,である.

6$p_{1}(x, \partial/\partial x)$はいわゆる Euler 作用素

72

REFERENCES
1. H. Braun and M. Koecher, “Jordan-Algebren,” Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1966.
2. J. Dorfmeister and M. Koecher, Regulare Kegel, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 81 (1979),$10\triangleright 151$.

3. J. Faraut, “Alg\‘ebres de Jordan et c\^ones sym\’etriques,’’ Ecole d’\’et\’e CIMPA, Univ. Poitiers,
1988.
4. U. Hirzebruch, Invariant polynomial functions on Jordan algebras, Algebras Groups Geom.
1 (1984), 442-445.
5. N. Jacobson, “Structure and representations of Jordan algebras,” Amer. Math. Soc., Providence, 1968.
6. P. Jordan, J. von Neumann and E. Wigner, On an algebraic generalization of the quantum
mechanical formalism, Ann. of Math. 35 (1934), 2944.
7. M. Koecher, Die Geodatischen von Positivitatsbereichen, Math. Ann. 135 (1958), 192-202.
8. H. $MaaB$ , “Siegel’s modular forms and Dirichlet series,” Lect. Notes in Math. 216, Springer,Berlin-Heidelberg-New York, 1971.
9. T. Nomura, Algebraically independent generators of invariant differential operators on asymmetric cone, J. Reine Angew. Math. 400 (1989), 122-133.
10. T. Nomura, Algebraically independent genemtors of in variant differential operators on abounded symmetric domain, J. Math. Kyoto Univ., to appear.
11. I. Satake, ジョルダン環とリー環 , II, III, 科学 51 (1981), 287-291; 387-391; 458-463.
12. A. Selberg, Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian
spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc. 20 (1956), 47-87.
13. E. B. Vinberg, Homogeneous cones, Soviet Math. Dokl. 1 (1961), 787-790.
$I$7