数理解析研究所講究録
第 846 巻 1993 年 39-45

39

有限群の作用に付随した fusion algebra
Akihiro Munemasa (宗政昭弘)
九州大学理学部

有限群の group Hopf algebra の quantum double

1

Quantum double とは任意の Hopf 代数に対してその dual とのテンソル積に Hopf 代数の構造を入れたもので、定義は Drinfeld [6] による。 ここでは有限群の group Hopf algebraの場合についてのみ、 quantum double がどのようなものかを簡単に述べる。 $G$ を有限群とし、 $D$ を $G\cross G$ を基底とする $C$ 上のベクトル空間とする。 $D$ において積を次のように定義する。
$(g, h)(k, l)=\delta_{h}-1_{9^{h,k\cdot(g,hl)}}$

すると

$D$

$(g, h, k, l\in G)$ .

は associative algebra になる。 さらに、$\triangle$: $(g, h) \mapsto\sum_{x\in G}(x, h)\otimes(x^{-1}g, h)$$\epsilon:(g, h)\mapsto\delta_{g,1}$

により

$D$

は Hopf 代数になり$R= \sum_{g,h\in G}(g, 1)\otimes(h,g)$

により

$D$

は quasi-triangular になる。

そもそも私が quantum double に興味を持ちはじめたのは、 Dijkgraaf-Vafa-Verlinde-Verlinde [5] に現われる fusion algebra が、実は group Hopf algebra の quantum doubleの中心であるということを知ったからである。論文 [5] では任意の有限群 $G$ から出発して $SL(2,Z)$ の作用する fusion algebraなるものを構成し、 Verlinde formula が与えられている。一方、 坂内 [1] によれぱ、 fusion algebra は character algebra [8] と本質的に同じもので、 self-dual な character algebra において構造定数を指標表で書き表わしたものがVerlinde formula に他ならない。従って、 [5] に現われる fusion algebra を純代数的に構成し、対応する character algebra の self-duality を示すことができれば、 Verlinde formulaは証明されたことになる。 そこで $[5]\sim$ の形式的な approach を試みた $[11]$、が、 このよ40
うな試みはすでになされていた (Bantay $[3],[4]$ , 和久井 [12])。次節では、 坂内 [1]. による

fusion algebra を非可換な場合に一般化した定義を与え、 [5] に現われる fusion algebra を構成する。 この fusion algebra は可換だが、非可換な例は第 3 節で取り上げる。

Fusion algebras

2Definition. 複表数体上の有限次元代数$\mathcal{A}$が、 (基底であると依次の条件をみたすときをいう。 ただし、

$x_{0},$$\ldots,$$x_{d}$に関して)

fusion algebraとする。

$x;x_{j}=\Sigma_{k=0}^{d}N_{ij}^{k}x_{k}$(1) $x_{0}=1$(2)$N_{jj}^{k}$は非負整数(3) 基底の置換.^:(4)$x;\mapsto x_{i}\wedge$

で involutive $k$

anti-automorphism が存在する$N^{k}ij_{\iota k}=N_{\backslash }^{j}$(5) ある一次表現 $x;\mapsto k;,$ $k;>0$ が存在する
この定義は、坂内 [1] の integral fusion algebra at algebraic level から可換性の条件を除いたものである。

さて第 1 節で述べたように、 group Hopf algebra の quantum double を考える。
$Z(D)$$\mathcal{A}=$を $D$ の中心とすると、$\mathcal{A}=(\bigoplus_{gh=hg}C(g, h))^{G}\cong\bigoplus_{1=0}^{d}Z(C[C_{G}(g_{i})])$となることは容易にわかる。 ただし $g_{i}(i=0, \ldots, d)$ は $G$ の共役類の代表系である。 この
代数 $A$ の中に次のような基底をとる。
$x_{i,\alpha}= \frac{1}{|C_{G}(g_{i})|}\sum_{h_{:}\in G}\sum_{g\in C_{G}(g;)}\rho_{i,\alpha}(g)(h^{-1}gh, h^{-1}g;h)$

ただし、$\{\rho_{i,\alpha}\}_{\alpha}$

は $C_{G}(g;)$ の既約指標全体の集合とする。 このとき,$\mathcal{A}$は基底$\{x_{i,\alpha}\}_{i,\alpha}$に関して可換な fusion algebra になる。 また、 $SL(2,Z)$ は$S=(\begin{array}{ll}0 1-l 0\end{array}):(g, h)\mapsto(h,g^{-1})$$T=(\begin{array}{ll}1 10 1\end{array})$,: $(g, h)\mapsto(g, hg)$ ,により quantum double の中心 $Z(D)$ に作用する。 $S,$ $T$ を基底$\{x_{i,\alpha}\}_{i,\alpha}$に関して行列表示

すると、 $S$ は対称な、 $T$ は対角な、 ユニタリ行列になる。 さらに $S$ による基底の像は、 スカラー倍を除いて $A$ の原始巾等元の集合$\{e_{i,\alpha}\}_{i,\alpha}$になる。 ただし$e_{i,\alpha}= \frac{\rho_{i,\alpha}(1)}{|C_{G}(g_{i})|^{2}}\sum_{h\in G}\sum_{g\in C_{G}\langle g;)}\rho_{i,\alpha}(g)(h^{-1}g;h, h^{-1}gh)$.

$\{x_{i,\alpha}\}_{i,\alpha}$41
従って $S$ は$\mathcal{A}$の “ 指標表” を与え、 また$S^{2}$が$\{x_{i,\alpha}\}$を集合どして固定することから、“self-duality” がわかる (指標表、及び. self-duality は character algebra に関して定義される $[1],[2],[8]$ )3。

群作用への一般化

この節では前節で構成した fusion algebra を、 群作用の場合にいかに拡張するかを述べる。すなわち、有限群 $G$ が集合 $X$ に可移に作用している時、 fusion algebra の構成法を述べる。 これを、 $G=H\cross H$ が $X=H\cross H/\Delta H$ , (ただし $\Delta H=\{(h,$ $h)|h\in H\}$ )に作用している場合に適用すると前節の algebra が得られる。一般に集合 $X$ は群構造を持たないので、 Hopf 代数や quantum double の一般化を構成しているわけではない。今、

群 $G$ が集合 $X$ に可移に作用しているとし、$Y=\{(g;x, y)|x, y\in X, g\in G, x^{g}=x, y^{g}=y\}$ .

とおく。 $\tilde{A}=CY$ を $Y$ の元を基底とする $C$ 上のベクトル空間とし、$\tilde{\mathcal{A}}$に積を次のように定義する。
$(g;x, y)(h;z,w)=\delta_{y,z}\delta_{g,h}(g;x, w)$

このとき$\tilde{\mathcal{A}}$.

は $C$ 上の半単純代数になる。実際$\tilde{A}=\bigoplus_{g\in G}M_{|F(g)|}(C)$である。 ただし、 $F(g)=$ { $x\in X$ lxg=x}。群 $G$ は集合 $Y$ に作用する :$G\ni u:(g;x, y)\mapsto(u^{-1}gu;x^{u},y^{u})$この作用は$\tilde{A}$.の自己同型を誘導し、従って固定部分空間$A=\tilde{\mathcal{A}}^{G}=\{\alpha\in\tilde{A}|\alpha^{9}=\alpha, \forall g\in G\}$は$\tilde{A}$の subalgebra になる。容易に$\mathcal{A}=\bigoplus_{i=0}^{m}\mathcal{H}(C_{G}(g_{i}), F(g_{i}))$がわかる。 ただし、 $\{g_{0}, \ldots, g_{m}\}$ は $G$ の共役類の代表系、 $\mathcal{H}(C_{G}(g_{i}), F(g_{i}))$ は $C_{G}(g_{i})$ の$F(g;)$ 上の軍換表現のcentralizer algebra (Hecke algebra, commutant) である。従って、が可換であるためには、すべての$i$について $C_{G}(g;)$ の $F(g_{i})$ 上の置換表現が multiplicity-free であることが必要十分である。例えば、の条件はみたされる。

$\mathcal{A}$$G$が、正則正規アーベル部分群をもてば、 こ42
さて、 $A$ の fusion algebra としての基底を構成しよう。 $X\cross X$ 上の G-orbit の代表元を $(a;, b:)(0\leq i\leq d)$ とし、 $G$ ; を襖;,$b_{i}$) の固定部分群とする。

$\{\rho_{i,\alpha}\}_{\alpha}$

を $G$ ; の既約指標全体の集合とし、$x_{i,\alpha}= \frac{1}{|G_{\dot{t}}|}\sum_{h\in G}\sum_{9\in G_{j}}\rho_{i,\alpha}(.g)(h^{-1}gh;a_{j}^{h}, b_{i}^{h})$とおく。 このとき、$\{x_{i,a}\}_{i,\alpha}$

は$\mathcal{A}$の基底をなし、 この基底に関して$\mathcal{A}$は fusion algebraとなる。

Remark.

(1 ) 吉田知行氏 [13] は、 全く別の構成法で代数 $A$ を構成している。 また、$G=H\cross H,$ $X=H\cross H/\triangle H$ の場合 $A$ が可換になることは、 池田正氏が最初に気づいたことである、 と御指摘いただいた。

(2) $G=H\cross H,$ $X=H\cross H/\triangle H$ の場合を扱っている [5] の代数的再構成について、 1992 年 12 月に京大数理研短期共同研究・代数的組合せ論と低次元トポロジー(研究代表者 : 河野俊丈) において、和久井道久氏が講演したとき、河東泰之氏が、 部分作用素環との関連性を指摘し、 一般の群作用の場合への拡張の可能性をほのめかした。

一

般に群 $G$ とその部分群 $H$ が与えられたとき (これは $G$ が $X=G/H$ に作用していると考えてもよい)、

hyperfinite

対応し、 $M\otimes M\otimes\cdot.$ .
同型類を基底とし、$\otimes$$\otimes M$$II_{1}$factor と呼ばれる無限次元単純環の組 $M\supset N$ が自然にに現われる N-N bimodule の同型類は有限個である。 これらで積を導入した環が、 実はこの節で構成した代数と同型になるのではないか、 と私は予想した。 この研究集会の直後山上滋氏より、 この予想が正しいということを知らされた。

4

Terwilliger algebras of association schemes

Association schemes を中心とする代数的組合せ論の哲学は、群の作用する空間から、群そのものを除外することである。第 3 節に述べたことは、 可移に作用する群がなければ全く無意味である。第 3 節の内容を伊藤達郎氏に話した時、 $G\cross X\cross X$ の部分集合 $Y$ を基底としてとる代わりに、 $X\cross X\cross X$ を考えたらどうか、 と助言をいただいた。実際、 前節の代数$\tilde{A}$の積の定義においては $G$ の演算は全く用いられていない。 そこで、有限集合 $X$ に対し、 $X\cross X\cross X$ を基底とする $C$ 上のベクトル空間 $\tilde{A}=C[X\cross X\cross X|$ を考え、積を次で定義する。
$(x;y, z)(u;v,w)=\delta_{x,u}\delta_{z,v}(x;y, w)$

もちろん、 これでは $\tilde{A}=\oplus^{n}M_{n}(C)$が $X$ に可移$YC$、.

ただし $n=|X|$ となり全く面白くない。有限群 $G$

作用していれば、 $X\cross X$ はいくつかの軌道$R_{0},$ $R_{1},$$\ldots,$$R_{d}$に分れる。 この43
状況を一般化したのが association scheme の概念である。詳しくは [2] にゆずるが\mbox{\boldmath $\tau$} asso-ciation scheme の定義を知らない読者は、$R_{0},$ $R_{1},$$R_{d}$$\ldots,$

を $G$ の $X\cross X$ 上の軌道と考えて差し仕えない。
さて、$A_{i}= \sum_{x\in X}\sum_{(y,z)\in R_{i}}(x;y, z)$$E_{i}^{*}= \sum_{(x,y)\in R_{i}}(x;y, y)$.

,$T_{0}=span\{E_{i}^{*}A_{j}E_{k}^{*}|0\leq i,j, k\leq d\}$とおく。 $T$ を$\{A_{i}\}\cup\{E_{i^{*}}\}$$\tilde{\mathcal{A}}$のsubalgebra とし、 これを association scheme

Terwilliger algebra と呼ぶ。 明らかにの$\mathcal{X}=(X, \{R;\}_{0\leq i\leq d})$で生成されたり、 $To=T$ が成立するとき$\mathcal{X}$$\tilde{\mathcal{A}}^{G}$$T$の部分空間であ$k$について成り立つことである。今、が実際にある群 $G$ の $X\cross X$ 上の軌道だとしよう。群 $G$ は $X\cross X\cross X$ 上にも作用し、従って代数
代数

はは triply regular であるという。 Triply regular である

ための必要十分条件は $A;E_{j^{*}}A_{k}\in To$ がすべての $i,j,$$\{R_{i}\}_{0\leq i\leq d}$$\tau_{0}$$\overline{\mathcal{A}}$に自己同型として作用する。 Terwilliger 代数 $T$ は $G$ の固定部分の部分代数である。

最後に、 Terwilliger 代数の応用として、 spin model に関する Jaeger の定理の簡単な証明を与える。 まず、 Terwilliger 代数の生成元$\{A_{i}\}\cup\{E_{i^{*}}\}$のみたす関係を列挙しておく。 ただし、 $J=\Sigma_{i=0}^{d}A;,$ $R_{i}(x)=\{y\in X|(x, y)\in R_{i}\},$ $R_{i’}=\{(x, y)|(y, x)\in R_{i}\},$$p_{i}^{k_{j}}=|R_{i}(x)\cap R_{j’}(y)|((x, y)\in R_{k})$Lemma 1 (i)(ii)

is the identity of .
$T$

$A_{0}= \sum_{i=0}^{d}E_{j}^{*}$$A_{i}A_{j}= \sum_{k=0}^{d}p_{i}^{k_{j}}A_{k}$(iii)$E_{i^{*}}E_{j^{*}}=\delta_{ij}E_{i^{*}}$(iv)$E_{i^{*}}A_{j}E_{k}^{*}=$とする。

.

.
.

$(x,y) \in R_{j},(x,z)\in R_{k}\sum_{\langle y,z)\in R_{j}}(x;y, z)$(v)$E_{0}^{*}A_{j}=E_{0}^{*}A_{j}E_{j^{j}}^{*}A_{j}E_{0^{*}}=E_{j^{*}},A_{j}E_{0}^{*}$.

(vi) $A;E_{j}^{*}A_{k}=x$ $\sum_{y,z\in X}|R_{i}(y)\cap R_{j}(x)\cap R_{k’}(z)|(x;y, z)$ .
サ

(vii)

$A_{i}E_{0}^{*}A_{k}=E_{d^{i^{*}}},JE_{k}^{*}$(viii)(ix).

$JE_{j^{*}}A_{k}= \sum_{i=0}p_{jk}^{i}JE_{i^{*}}$$A_{i}E_{j}^{*}J= \sum_{k=0}^{d}p_{ji’}^{k}E_{k}^{*}J$.

.

$\cdot$

44

(x)

.

$E_{0}^{*}A;E_{j^{*}}A_{k}= \delta_{ij}\sum_{l=0}^{d’}p_{ik}^{l}E_{0}^{*}A_{l}E_{l^{*}}$(xi)$A_{i}E_{j^{*}}A_{k}E_{0}^{*}= \delta_{jk’}\sum_{l=0}^{d}p_{ik}^{l}El^{A_{l}E_{0}^{*}}$.

Definition. 有限集合 $X$ 上の spin model とは、 $X\cross X$ 上の複素数値関数$w_{+},$ $w_{-}$

で次の条件を満たすものである。
$(i)w_{+}(x, y)w_{-}(y, x)=1$$\forall x,$$y\in X$.

(ii) $\sum_{z\in X}w_{+}(x, z)w_{-}(z, y)=\delta_{x,y}|X|$ .
(iii) 任意の

$a,$ $b,$ $c\in

X$

に対して、

$\sum_{x}w_{+}(a, x)w_{+}(x, b)w_{-}(x, c)=\sqrt{|\lambda’|}w_{+}(a, b)w_{-}(b, c)w_{-}(a, c)$.

Theorem 2 (Jaeger [7]) $\mathcal{X}=(X, \{R_{0}, R_{1}, R_{2}\})k$ symmetric association scheme &し、 $w+:(x,y)\mapsto t_{i}((x, y)\in R_{i})_{r}w_{-}$ : $(x,y)\mapsto t_{i}^{-}$
るo$t_{1}\neq$

ち ならば、$\mathcal{X}$$((x, y)\in R_{i})k$spin model と$9^{-}$

は triply regular である oProof$W= \sum_{1=0}^{d}t_{i}A;$,$W^{*}= \sqrt{|X|}\sum_{=:0}^{d}t_{i}^{-1}E_{i}^{*}$とおくと、spin model の定義から $W\nu V^{*}W=W^{*}W\nu V^{*}$ がわかる。 $W^{*}WW^{*}\in To$ だから、 $WW^{*}W\in T_{0}$ となる。定義より、 $W=t_{0}A_{0}+t_{1}A_{1}+t_{2}A_{2}$ はである$\circ$$A_{0},$ $A_{1},$$J$の線形結合

Lemma 1 (i), (viii) によって、 $A_{0}W^{*}W\in To,$ $JW^{*}W\in$ T0。仮定より$t_{1}\neq t_{2}$だから、 $A_{1}W^{*}W\in T_{0}$ となる。 同様に $A_{1}T/V^{*}A_{1}\in T_{0}$ 。さらに Lemma 1 (vii) によって、$A_{l}E_{0}^{*}A_{l}$\in T0、従って$t_{1}^{-1}A_{1}E_{1}^{*}A_{1}+t_{2}^{-1}A_{1}E_{2}^{*}A_{1}\in T_{0}$.

一方$A_{1}E_{I}^{*}A_{I}+A_{I}E_{2}^{*}A_{1}=A_{1}^{2}-A_{1}E_{0}^{*}A_{1}\in T_{0}$

ここで $t_{1}\neq t_{2}$より$A_{1}E_{1}^{*}A_{1}\in To$.となる。 これは subconstituent が strongly regular であることを意味している。後は簡単な counting argument で証明は完結する。

$\square$

この講演をするにあたり多くの助言をいただいた綿谷安男氏、佐野隆志氏、吉田知行氏に深く感謝する。 この研究集会の後、 山上滋氏、幸崎秀樹氏に論文 [9] を解説していただいたことは大変参考になった。 また、丹原大介氏からも多くの助言をいただいた。

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References[1] E. Bannai, Association schemes and fusion algebras (an introduction), to appear inJ. Algebraic Combinatorics.
[2] E. Bannai and T. Ito, Algebraic Combinatorics I: Association schemes, Benjamin/Cummings 1984.
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[13] 吉田知行, 有限集合のカテゴリーのスパン, 「代数的 $K$ 理論」研究集会報告集,
1982 年 12 月, 東京工業大学, 104-128.
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