数理解析研究所講究録
1497 巻 2006 年 15-31

15

Several refined conjectures on TSSCPP and ASM
Masao Ishikawa
Faculty of Education, Tottori University
Koyama, Tottori, Japan. tottori-u. . jp
$i\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}\emptyset \mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{d}$$\mathrm{a}\mathrm{c}$Mathematics Subject Classifications:.

$05\mathrm{A}15,05\mathrm{A}17,05\mathrm{E}05,05\mathrm{E}10$

Abstract
この記事の中では Mills, Robbins, Rumsey による 1986 年の論文 “Selfcomplementary totally symmetric plane partitions” J. Combin. Theory Ser.
$A42,277-292)$ の中にある totally symmetric self-complementary plane partitions (TSSCPP) に関する予想を考察する。 我々は、 これらの予想について、
Pfaffain 行列式による表現と constant term identity による表現を与える。
この記事の中では、 結果を述べるにとどめ、 詳しい証明は本論文 “On refined
enumerations of totally symmetric self-complementary plane partitions I, II”([11, 12]) を参照して頂きたい。

.

1

平面分割と全単射[25] の論文の中で Mills, Robbins, Rumsey は totally symmetric self-complementary
plte partitions と alternating sign matrix に関する 7 つの予想を提唱した。 このうちの個数に関する予想 ([25, Conjecture 1]) は G.E. Andrews ([2]) によって最終的に解決された。 (see 心 o [31]). また [34] の中で D. Zeilberger は、 この予想に関するconstant term identity を得た。 また、 もう 1 つの Alternating sign matrix に関する予想も解決した。 この論文の目的は、 残りの予想に関する Pfaffian または行列式による表現と Zeilberger の constant term identity による発展を述べることである。
まずは、 plane partition の定義から始めよう。 partition 等の定義や記号は Macdonald の本 [23] に従う。 plane partition とは、 非負整数を平面上に並べた行列$\pi=(\pi_{ij})_{i,j\geq 1}$

で ‘ 有限個を除いて$0$であり、 各行は左から右へ弱い意味での減少、各列は上から下へ弱い意味での減少するもののことである。 また $\sum_{:j>1}\pi_{ij}=n$ の
とき $|\pi|=n$ と書き、$\pi$

は $n$ の plane partition, または$\pi$の weight$\text{は}’\overline{n}$であるという。 Plane partitionのでない成分を の part という。 の第 行のの shape
でない成分の個数がを個であるとき partitionはという。 $r=l(\lambda)$ のときは 個ののとき個の行を持つといい、列を持つという。 Plane partition が各列について上から下に強い意味で減少のとき
column-strict という。 たとえば$\pi=(\pi_{ij})_{1,j\geq 1}$

$0$

$0$

$\lambda_{i}$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots)$$\pi$$s=\ell(\lambda’)$$r$554321
44221
2211
1

$\pi$

$i$

$s$

16
は column-strict plane partition で shape (6, 5, 4, 1) であり、 4 個の行と, 6 個の列を持ち weight は 40 である。の点を$\mathrm{P}^{3}$の lattice points$\mathbb{R}^{3}$と見徹すことにしよう。

$\pi$の Ferrers graph $F(\pi)$とは $k\leq\pi_{ij}$ を満たす lattice point $(i,j, k)\in \mathrm{P}^{3}$ の集合であるとする。

合

$F$

の部分集
が、 ある plane partition の Ferrers graph であるための必要十分条件は$x_{1}\leq x_{2},$$z_{1}\leq z_{2}$$y_{1}\leq y_{2},$and$\mathrm{P}^{3}$.

$(x_{2}, y_{2}, z_{2})\in F\Rightarrow(x_{1}, y_{1}, z_{1})\in F$

を満たすことである。 これ以後 plane partition と Ferrers graph を同–視して $F(\pi)$
がの代わりにと書くことにする。 対称群に座標軸の置換として自然に作用しているとする。 ある plte Partition が totally symmetric であるとはの6個のすべての permutation によって Ferrers graph が不変であることであるとする。
のの箱を $X_{r,\epsilon,t}=[r]\cross[s]\cross[t]$ と書く。
はすべて偶整数とする。 $x-r/2,$ $y-s/2,$ $z-t/2$ の正負に依って、 この箱を 8 個の領域に分けて$\mathrm{P}^{3}$$S_{3}$$\pi$$S_{3}$$r\cross s\cross t$$\mathrm{P}^{3}$$\mathrm{r},$

$s,$

$t$

$X_{r,\epsilon,t}$

Xr+,s+,t ち$X_{r,\epsilon,t}^{++-},$$X_{r,s,t}^{+-+},$$X_{r,s,t}^{+--},$$[1, r/2]\cross[s/2+1, s]\cross[1, t/2]$$X_{r,\epsilon,t}^{-}=X_{r,\epsilon,t}^{+--}$$(a, b, c)$田$X_{r,s,t}^{-++},$$X_{r_{)}e}^{-+},\text{「}$,$X_{r,\epsilon,t}^{--+},$と書\langle 。たとえば$X_{r,s,t}^{---}$$X_{r,\epsilon,t}^{-+-}=$,である。さらにという記号を使う。 これの–般化として$X_{r,\epsilon,t}^{+}=X_{r,s,t}^{+++}UX_{r,s}^{++},\text{『田}X_{r,s,t}^{+-+}\cup+X_{r,s,t}^{-++}$$X_{r,s,t}^{-+-}\# X_{r,\epsilon,t}^{--+}WX_{\overline{\mathrm{r},\epsilon,t}}$を中心にする$r\cross s\cross t$$s/2]\cross[c-t/2+1, c+t/2]$の箱を $X_{r,s,t}(a, b, c)=[a-r/2+1, a+r/2]\cross[b-s/2+1,$と書くことにする。上と同様にして$X_{r,\epsilon,t}^{\pm\pm\pm}(a, b, c)$

$b+$

などのよ

うな記号も使う。例えばである。
のような記号も上と同様に定義できることは言うまでもないであろう。 ここで
: $(x, y, z)\mapsto(r+1-x, s+1-y, t+1-z)$ は involution でcomplementation と言われる。 $r=s=t$ かつ $a=b=c$ であるときの代わりに, X 藩\pm の代わりにの代わりになどのような省for
略形を用いる。 また $X_{r}(a),$などの記号も同様に用いられる。
$X_{r,\epsilon,t}^{+-+}(a, b, c)=[a+1, a+r/2]\cross[b-s/2+1, b]\cross[c+1, c+t/2]$$X_{\mathrm{r},\epsilon,t}^{\pm}(a, b, c)$$\sigma_{r,\epsilon,t}$$X_{r,r,r}$$X_{r}$$X_{r}^{\pm\pm\pm},$$X_{r}^{\pm\pm\pm}(a),$$r,$ $s,$$X_{r}^{\pm},$$X_{r,r,r}^{\pm}$$\sigma_{r}$$\sigma_{r,r,r}$$X_{r}^{\pm}(a)$$t>0$ を整数とする。 Plane partition$\pi\subseteq X_{\mathrm{r},s,t}$

が $(r, s, t)$ -self-complementaryであるとは任意のに対してが成り立つことである。
立方体
に含まれる
-complementary でかつ totally symmetricである plane partition 全体の集合を垢と書く。
$p\in\pi\Leftrightarrow\sigma_{\mathrm{r},s,t}(p)\not\in\pi$$p\in X_{\mathrm{r},\epsilon,t}$$X_{2n}$$(2n, 2n, 2n)- \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}$Definition 1.1. 環の元は size の totally symmetric self-complementary planeと $n\geq 1$ に対して
partition (TSSCPP) という。 非負整数
$n$

$m$

(T) each $p\in\pi\cap X_{2m}(n)$ must be contained in$X_{2(n+m)}^{-}$.

を満たす全体の集合をのとき $\pi\cap X_{2m}(n)$ は、上のと書く。
条件 (T) によって–意的であることに注意しよう。 すなわち $\pi\cap X_{2m}(n)=X_{2m}^{-}(n)$である。
$\pi\in \mathcal{T}_{n+m}$例えば$\mathcal{T}_{1,2}4$$\mathcal{T}_{n,m}$$\pi\in \mathcal{T}_{n,m}$つの元から成り Figure 1 が、 それらの Ferrers graph である$\circ$と $n\geq 1$ は非負整数とする。
Definition 1.2.
によって次の条件を満たす
column-strict plane partitions全体の集合を表わす。
$m$$\mathcal{P}_{n,m}$$c=(c_{tj})_{1\leq i,j}$

(C1)

$c$

は高々

$n$

(C2)

$c$

の第

列の成分は $n+m-j$ 以下である。

$j$

列;

17
の元を restricted column-strict plan partition (RCSPP) と呼ぶ。 特に $m=0$の代わりにと書く。 もしも の 列の成分が $n+m-j$ (i.e. $c_{1j}=$$n+m-$ のであるならばこの成分を saturated part と呼ぶ。 さらに、 以下の 2 つの部分集合を考える。 P-,.. の元 で、行の長さがすべて偶数であるような$P_{n,m}$

$e$

のとき

$P_{n}$$\mathcal{P}_{n,0}$

$j$

$c$

$c$

$\text{の^{}\prime}P_{n,m}$plane partition 全体の集合をと書く。 同様に偶数であるような $c\in P_{n,m}$ 全体の集合を表わす。 ま(resp.
) と書く。

$P_{n}^{\mathrm{R}}$$P_{n,m}^{\mathrm{R}}$によって列の長さがすべて) の代わりに(resp.

$P_{n,m}^{\mathrm{C}}$$’.P_{n,0}^{\mathrm{R}}$$1P_{n,0}^{\mathrm{C}}$$P_{n}^{\mathrm{C}}$例えば$P_{1,2}$

は、 次の 4 個の plane partition からなる。

2$\emptyset$2
1

この 4 つの RCSPP の中で太字の 2 は saturated part を意味する。
$\mu$

を strict partition とする。

$\tau$が shi 允 ed shape

の

$\mu$

$s\mathrm{A}ifted$

plane partition であるとは の shifted shape の各箱に、 非負整数を入れて各行、 各列について弱い意味で単調減少にすることである。 この論文の中では shifted shape を最初に固定
して中に入る数字は も許されるとする。
$\mu$

$\mu$

$0$

Definition 1.3. (cf. [18, Theorem 1]).
満たす shifted plane partitionと $n\geq 1$ を非負整数とする。次の条件を$m$$b=(b_{ij})_{1\leq i\leq j}$

(B1)

$b$

全体の集合を$B_{n,m}$と書く。

の shifted shape は $(n+m-1, n+m-2, \ldots, 2,1)$ である;

(B2) $\max\{n-i, 0\}\leq b_{ij}\leq n$ for $1\leq i\leq j\leq n+m-1$ .
特に $m=0$ のときの代わりにと書く。 ここではgular shi 允 ed plane partition (TSPP) と呼ぶことにする。
$\mathcal{B}_{n,0}$

例えば $n=1$ かつ $m=2$ のとき$B_{n}$$B_{1,2}$

咽$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{0}^{1}$

Mills, Robbins, Rumsey は [25, Theorem 1] の中で$\mathcal{T}_{n,m},$の元のことを trian-

は、 次の 4 個の元からなる:田 憶成した。 ここでは、 3 種類の集合$B_{n,m}$$\mathcal{B}_{n,m},$Theorem 1.4. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし、$\mathcal{P}_{n,m}$の間の全単射を構の間の全単射を構成する。
$\mathcal{T}_{n}$と$B_{n}$にとする。 このとき
対して $a_{i+1,j+1^{-}}(n+2m)(1\leq i\leq j\leq n+m-1)$ によって shifted plane partitionを定義する。 すると、 この shifted plane partition は、の元であり、 この対応$(a_{ij})$$(a_{1j})\in \mathcal{T}_{n,m}$$\mathcal{B}_{n,m}$によって$\mathcal{T}_{n,m}$と $B_{n,m}$ の間の全単射が作られる。

Theorem 1.5. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし、とする。 Plane
に対して行列 $a_{i+n+m,j}-(n+m)-i+1(1\leq i,j\leq n+m)$ を作る。 すると、 と負の部分を無視することによってこの行列は $P_{n,m}$ の条件を満たす pltepartition となる。 この対応によってとの間の全単射が作られる。

partition$a=(a_{ij})\in \mathcal{T}_{n,m}$

$a$

$0$

$\mathcal{T}_{n,m}$$c=(c_{tj})_{1\leq:\leq n+m,1\leq j\leq n}\in P_{n,m}$体がなす plane partition を$C\geq k$

とし、

$k$

$\mathcal{P}_{n,m}$を正整数とするとき、(1.1)

c_{i,l}\geq k\}$

行の長さを表す。すなわち の第 行のにあるの個数である。 これらの定理より、 次の系を得る。
$i$である part 全と書く。 また$\theta_{i}(c_{\geq k})=\#\{l :によって $C>k$ の第$\geq k$$c$$i$$\geq k$である part

18
Corollary 1.6. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし、 $c=(c_{ij})_{1\leq i\leq n+m,1\leq j\leq n}\in P_{n,m}$ とする。 Plane partition
に対して行列 $b=(b_{ij})_{1\leq i\leq j\leq n+m-1}$ を$c=(c_{ij})_{1\leq i\leq n+m,1\leq j\leq n}$(1.2)$n-b_{ij}=\theta_{n+m-j}(c_{\geq 1-i+j})$によって定義する。 ここで $(i,j)$ は $1\leq i\leq j\leq n+m-1$ を動く。 このとき $b\in B_{nm}$であり、 RCSPP に TSPP $b=\varphi_{n.m}(c)$ を対応させる写像
は全単射である。
$c$2$\varphi_{n,m}$Mills, Robbins, Rumsey の予想

最初に alternating sign matrix についての有名な数について復習しよう。 (cf. [4, 22,

24, 26, 27, 28, 33, 35])

$A_{n}$

を$A_{n}= \prod_{i=0}^{n-1}\frac{(3i+1)!}{(n+i)!}$

.

(21)

によって定義しよう。 これは、有名な alternating sign matrix conjecture (cf. [4]) に関係している o Totally symmetric self-complementary plane partition の個数は [25,pp.282, Conjecture 1] の中でであると予想され [31,, Theorem 8.3] と [2]によって解決された。 (see also [1, 3]), また [18] でも別証明が与えられた。 を正整数とし、 $1\leq r\leq n$ とする。
を
$A_{n}$$\mathrm{p}.\mathrm{p}.127$$n$$A_{n}^{r}$

.

(22)

$A_{n}^{r}= \frac{(\begin{array}{l}n+r-2n-\mathrm{l}\end{array})(\begin{array}{l}2n-\gamma-1n-1\end{array})}{(\begin{array}{l}2n-2n-1\end{array})}A_{n-1}=\frac{(\begin{array}{l}n+r-2n-1\end{array})(\begin{array}{l}2n-\mathrm{l}-\mathrm{r}n-\mathrm{l}\end{array})}{(\begin{array}{l}3n-2n-\mathrm{l}\end{array})}A_{n}$によって定義する。 ([20, 22, 26, 35]) また、 多項式を定義する。 例えば $A_{1}(t)=1,$ $A_{2}(t)=1+t,$ $A_{3}(t)=2+3t+2t^{2},$ $A_{4}(t)=^{-}7+14t+14.t^{2}+7t^{3}$である。 を正整数とし、 $A_{n}^{k,l}(1\leq k, l\leq n)$ を、初期条件$A_{n}(t)= \sum_{r-1}^{n}A_{n}^{r}t^{r-1}$

$n$

$0$

$A_{n}^{k,1}=A_{n}^{1,k}=\{$$A_{n}^{k}=_{1}^{1}$

if $k=1$
if $2\leq k\leq n$(2.3)と、 漸化式(24)$A_{n}^{k+1,l+1}-A_{n}^{k,l}= \frac{A_{n-1}^{k}(A_{n}^{l+1}-A_{n}^{l})+A_{n-1}^{l}(A_{n}^{k+1}-A_{n}^{k})}{A_{n}^{1}}$$(1 \leq k, l\leq n-1)$ によって定義される数とする。
が満たす、 この漸化式はStroganov [33, Section 5] によって導入された。 また、 これは alternating sign matrixの最上行と最下行の 1 の分布と –致することが知られている。例えば $n=3,4$ の$A_{n}^{k.l}$

とき$(A_{3}^{k,1})_{1\leq k,l\leq 3}=$$/011$$11101)1$,$(A_{4}^{k,l})_{1\leq k,l\leq 4}=$である。多項式 $A_{n}(t, u)$ を $A_{n}(t, u)= \sum_{k,l=1}^{n}A_{n}^{k,l}t^{k-1}u^{n-l}$ によって定義する。例えば$A_{3}(t, u)=1+t+u+tu+t^{2}u+tu^{2}+t^{2}u^{2}$ である。 $\omega=e^{2i\pi/s}$と Zinn-Justin の論文で

$A_{n}(t, u)= \frac{\{\omega^{2}(\omega+t)(\omega+u)\}^{n-1}}{3^{n(n-1)/2}}s_{\delta(n-1,n-1\rangle}^{(2n)}(\frac{1+\omega t}{\omega+t},$とするとき Di Francesco$\frac{1+\omega u}{\omega+u},$$1,$$\ldots,$

$1)$

(2.5)

19
であることが示されている。 ここでする。 ([6, pp.4], $[26]$ )$s_{\lambda}^{(n)}(x_{1}, \ldots, x_{n})$は $n$ 変数の Schur function とを$A_{2n+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}$

.

(2.6)

$A_{2n+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}=(-3)^{n^{2}}1 \leq:,j\leq 2n+1\prod_{2|j}\frac{3(j-i)+1}{j-i+2n+1}=\frac{1}{2^{n}}\prod_{k=1}^{n}=\frac{(6k2).(2k1)}{(4k1)(4k2)}!=!$

によって定義される数とする。 また Av2ns 質を$A_{2n}^{\mathrm{V}\mathrm{S}r} \dotplus_{1}=\frac{A_{2n-1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}}{(4n-2)!}\sum_{k=1}^{r}(-1)^{r+k}\frac{(2n+k-2)!(4n-k-1)!}{(k-1)!(2n-k)!}$

.

(2.7)

によって定義される数とする。 この数
は、次元 $2n+1$ の vertically symmetricalternating sign matrix の個数として知られている。 (see [22, 26, 28]) 例えばをの最初のいくつかは 1, 3, 26, 646, 45885 となる。 多項式$A_{2n+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}$$A_{2n+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}$$A_{2n+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)$$A_{2n+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)= \sum_{r=1}^{2n}A_{2n}^{\mathrm{V}\mathrm{S}r}\dotplus_{1}t^{r-1}$

によって定義する。例えば (2.8) の最初のいくつかは

.

(28)

$A_{3}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)=1,$$A_{5}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)=1+t+t^{2}$,$A_{7}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)=3+6t+8t^{2}+6t^{3}+3t^{4},$ $A_{9}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)=26+78t+138t^{2}+162t^{3}+138t^{4}+78t^{5}+26t^{6}$となる。

この論文の中では $b=(b_{ij})_{1\leq i\leq j\leq n+m-1}\in B_{n,m}$ のとき任意の嫁こ対して $b_{i,n+m}=$
n-i、また、任意の に対して $b_{0,j}=n$ と定義しておく。 $b=(b_{1j})_{1\leq i\leq j\leq n+m-1}\in B_{n,m}$$j$

かつ $r=1,$ $\ldots,n+m$ のとき $U_{r}(b)$ を

(2.9)

.

$U_{r}(b)= \sum_{t=1}^{n+m-r}(b_{t,t+r-1}-b_{t,t+\mathrm{f}})+\sum=_{r+1}^{1}t=n+m\chi\{b_{t,n+m-1}>n-t\}n+m$によって定義する。 この砿 (b) は $m=0$ のときで定義されたものと致する。 この関数砿は と $n+m-1$ の間の値を取ることを見るのは易しい。 ま–$[25, \mathrm{p}\mathrm{p}.282]$$0$の元と民,m の元を前節で定義した全によって同–視することによって $C\in p_{n,m}$ に対してを定義することができる。 このとき次の定理が成り立つ。

た $\overline{U}_{r}(b)=n+m-1-Ur^{(b)}$ とおく。

単射と$\mathcal{P}n,m$$Ur^{(\mathrm{C})=Ur^{(\varphi_{n,m}(c))}}$$\varphi n,m$$\overline{U}\mathrm{r}^{(C)=\overline{U}r^{(\varphi_{n,m^{(C))}}}}$

Theorem 2.1. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし、とする。 このときの中の の個数と より小さい saturated part の個数である。 すなわち$\overline{U}_{r}(c)$$\mathrm{c}\in P_{n,m}$

$c$

$r$

$\overline{U}_{r}(c)=\#\{(i,$ $j)$

特に

は

$r$

$\overline{U}_{1}(c)$は$c$: 果 j $=r\}+\#\{1\leq k<r$ : $\mathrm{c}_{1,n+m-k}=k\}$ .

の中の 1 の個数であり。

$\overline{U}_{n+m}(c)$は$c$(2.10)の中の saturated part の個

数である。
ここでは

よう。

$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathbb{I}\mathrm{s}$, Robbins, Rumsey が定義しなかった 2 つの新しい関数を定義し

に対して

を

を
の奇数の長さを持つ行の個数、数の長さを持つ列の個数とする。例えばは、次の 7 個の元からなる。
$c\in \mathcal{P}_{n,m}$$V^{\mathrm{R}}(c)$$V^{\mathrm{C}}(c)$

$c$

$c$

の奇

$P_{3}$$\emptyset$

1

1 1

2

2 1

2
1‘

ここで、関数 $\overline{U}_{k}(c)(k=1,2,3),$$V^{\mathrm{R}}(c),$$V^{\mathrm{C}}(c)$2 11の分布は Table 1 のようになる。

20

Table 1: The distribution statistics table in$\mathcal{P}_{3}$

ここでは Mills, Robbins, Rumsey による予想を引用しよう。

Conjecture 2.2. ([25, pp.282, Conjecture 2])を正整数とし、 $1\leq k\leq n$ かつの元 で $U_{r}(b)=k-1$ を満たすものは個である。 すなわち $\sum_{b\in B_{n}}t^{U_{r}(b)}=A_{n}(t)$ が成り立つ。

$1\leq r\leq n$とする。 このとき

$n$

$b$

$B_{n}$$A_{n}^{k}$Conjecture 2.3. ([25, pp.284, Conjecture 3], [33]) $n\geq 2$ と $1\leq k,$ $l\leq n$ を整数とする。 このときはである。

$B_{n}$の元$b$

で $U_{1}(b)=k-1$ かつ $U_{2}(b)=n-l$ を満たすものの個数$A_{n}^{k,l}$Size が$n$の monotone triangleとは正整数を三角形に並べた$m_{n,n}$$m_{1,1}$...

$m_{n-1,n-1}$$m_{n-1,n}$$m_{1,n-1}$$m_{1,n}$で次の条件を満たすもののことである。
(M1) 両辺が定義されているとき常に $m_{ij}<m_{i,j+1;}$(M2) 両辺が定義されているとき常に $m_{1j}\geq m_{i+1,j;}$(M3) 両辺が定義されているとき常に $m_{ij}\leq m_{i+1,j+1;}$(M4) 最下段の行 $(m_{1,1}, m_{1,2}, \ldots, m_{1,n})$ は $(1, 2, \ldots, n)$ である o$\mathcal{M}_{n}$を size $n$ の monotone triangles 全体の集合とする。 例えば$\mathcal{M}_{3}$は、 次の 7 個の元からなる。

112
1 2 3$k=0,1,$

2
12
1 2 3
$\ldots,$

1
13
1 2 3

2

13
1 2 3

3
1 3
1 2 3

23
2 32 3
1 2 31 2 3$n-1$ とする。 Monotone triangle $m=(m_{ij})$ で最初の $n-k$ 列の成分がその取りえる最小の値 $j-i+1$ に等しいもの全体のなす集合をと書く。 また $b=(b_{ij})\in B_{n}$ で最初の $n-1-k$ 列の成分がその取りえる最大の値に等しいもの全体のなす集合をと書く。
$m_{ij}$$\mathcal{M}_{n}^{k}$$b_{ij}$$n$$B_{n}^{k}$Conjecture 2.4. ([25, pp.287, Conjecture 7]) $n\geq 2$ と $k=0,1,$とする。 このときの元の個数はの元の個数に等しい。
$B_{n}^{k}$$\mathcal{M}_{n}^{k}$$\ldots,$$n-1$ を整数

21
$k=0,$$n+m-1$ とする。 $b=(b_{ij})_{1\leq i\leq j\leq n+m-1}\in \mathcal{B}_{n,m}$ で、最初の $n+m-1-k$
であるよなもの全体の集合をで表が、 その取りえる最大の値$\ldots,$

列の成分
わす。 また $c=(c_{ij})\in P_{n,m}$ で、$b_{ij}$$n=3$ かつ $m=0$ のとき$B_{3}$

咽憶であり、$P_{3}$$B_{n,m}^{k}$

$n$

$k$

行以下であるもの全体を$P_{n,m}^{k}$で表わす。例えばは『ヨ$\mathrm{B}_{1}^{33}$『ヨ$\Phi_{1}^{32}\Phi_{2}^{22}$は1 1$\emptyset$

2

2
1

2 1

2 1
1

である。 よつての元のうち 行であるのは のみであり、 1 行以下であるもの
は 5 個あり、 2 行以下であるものは 7 個ある。 このとき、 次の定理が成り立つ。
$0$$\mathcal{P}_{3}$$\emptyset$

Theorem 2.5. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし、 $0\leq k\leq n+m-1$ とする。 CoroUary 1.6の中で定義された全単射に写る。 特に$\varphi_{n,m}$によって$\mathcal{B}_{n,m}$の部分集合$\mathcal{B}_{n,m}^{k}$は$\mathcal{P}_{n,m}$の部分集合$P_{n,m}^{k}$$\sum_{b\in B_{n,m}^{k}}t^{U_{r}(b)}=\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}^{\mathrm{k}}}t^{\overline{U},(c)}$.

である。
また Milk, Robbins, Rumsey の論文 [25] に載っていない次の予想も作れる。

Conjecture 2.6. $n\geq 1$ を正整数とし $1\leq r\leq n$ とする。 このとき

if $n=2m$ ,if $n=2m+1$ .

$A_{2m+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}\cdot A_{2m+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)$$\sum_{c\in P_{n}^{\mathrm{R}}}t^{\overline{U}_{\Gamma}(c)}=\{$$A_{2m+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}\cdot A_{2m+3}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}(t)$が成り立つ。 特に $t=1$ のとき$\mathcal{P}_{n}^{\mathrm{R}}$の元の個数は$(A_{2m+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}})^{2}$$\{$$A_{2m+1}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}\cdot A_{2m+3}^{\mathrm{V}\mathrm{S}}$if $n=2m$ ,if $n=2m+1$ .

である。

3

The generating functions

まずは、 この節で使う行列の定義から始めよう。 を正の定数とする。 次の skewsymmetric matrix
を $(i,j)$ -成分 $s_{ij}(1\leq i<j\leq n)$ が常に 1 である行列とする。 また 次の skew-symmetric matrix
を ( ,i)-成が $(-1)^{j-i-1}(1\leq i<j\leq n)$ である行列とする。
分はの零行列とする。 $J_{n}=(\delta_{1,n+1-j})_{1\leq i,j<n}$ を反対角行列とする。 ここで \mbox{\boldmath $\delta$}痘はクロネッカーのデルタ関数である。 整数 を整数 で割った余りをで表わす。 を変数とす
$n$

$n$

$S_{n}=(s_{1j})_{1\leq i,j\leq n}$$n$$\overline{S}_{n}=(\overline{s}_{ij})_{1\leq:,j\leq n}$$O_{n}$$\overline{s}_{ij}$$a$$\text{る_{}0}n\cross n$$b$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}(a, b)$$i$$n\mathrm{x}n$$t$skew-symmetric matrices $R_{n}(t)=(r_{ij}(t))_{1\leq i,j<n},$ $C_{n}(t)=(c_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ ,$c_{\{\mathrm{j}}(t)=t^{j-i-1},\overline{r}_{ij}(t)=(-1)^{j-i-1}t^{j-i-1\frac{j}{\mathrm{q}}}\overline{R}_{n}(t)=(\overline{r}_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n},\overline{C}_{n}(t)=(\overline{\mathrm{q}}_{j}(t))_{1\leq i,\leq n},\text{を_{、}}j(t\text{それぞれ}r_{ij}(t)=t^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{X}i-\mathrm{l},2)+\mathrm{I}^{1}\mathrm{e}\Phi 2)}’)1t\mathrm{r}\mathrm{e}\alpha \mathrm{X}n+1-i,2)+\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{X}n-j,2)\#^{\vee}.$’22
よって定義する。 ここで $1\leq i<j\leq n$ とする。 さらに $R_{n}(0),$ $C_{n}(0)$ , 瓦 (0),の代わりに、 それぞれ濫, Cn’ 弘,と書く。例えば$\overline{C}_{n}(0)$,$\overline{C}_{n}$$R_{4}(t)=(=_{1}^{\mathrm{o}_{1}}-t$である。 $m,$ $n,$$\epsilon$$-t^{2}-t01$$-t^{2}\mathrm{o}_{1}t$$01)t1$

and$C_{4}(t)=(_{-t^{2}}^{\mathrm{o}_{1}}=_{t}$$=_{t}0_{1}1$$-101t$$t^{2}01)t$.

を $1.\leq m\leq n$ かつ $0\leq k\leq n-m$ を満たす整数とする。 またを変数とする。
を $n\cross n$ skew-symmetric matrix で、$k$$L_{n}^{(m,k)}(\epsilon)=(l_{1j}^{(m,k\rangle}.(\epsilon))_{1\leq i,j\leq n}$( ,j)-成分が$i$$l_{ij}^{(m,k)}(\epsilon)=\{$

1$\epsilon$

if $1\leq i<j\leq m+k$ ,if $1\leq i<j\leq n$ and $m+k<j$ .

が与えられるものとする。
skew-symmetric matrixの (的)-成分を次のように定義する。 もしが偶数ならば$n\cross n$$\overline{L}_{n}^{(m,\text{り}}(\epsilon)=(l^{mk)}\tau_{i}.

‘(\epsilon))_{1<:jn}<$

$g$

$k$

$(-1)^{j-i-1}\epsilon$$\overline{l}_{ij}^{(m,k)}(\epsilon)=\{$$(-1)^{j-i-1}$

if $1\leq i<j\leq n\bm{\mathrm{t}}\mathrm{d}i\leq m+k$ ,if $m+k:.<’<j\leq n$ ,であり、 奇数ならば$(-1)^{j-:-1}\epsilon$$\overline{l}_{ij}^{(m,k)}(\epsilon)=\{$’$(-1)^{J^{-i-1}}$

if $1\leq i<j\leq m+k$ ,if $1\leq i<j\leq n$ and $m+k<j$ .

である。 例えば$\overline{L}_{6}^{(2,1)}(\epsilon)=(_{1}^{\frac{0}{=1\epsilon}\epsilon}1$$=_{1}^{\mathrm{o}_{1}}\epsilon_{\mathcal{E}}1$$=_{0_{1}}^{1}111$$=^{\mathrm{o}_{1}}-\in\epsilon_{1}1$$=_{0_{1}}^{1}-111$$=_{1}^{1}0111)$,$\overline{L}_{6}^{(2,\mathit{2})}(\epsilon)=(=_{\epsilon}^{\epsilon}\frac{\epsilon}{\epsilon}\epsilon 0$$=_{6}^{\epsilon}\epsilon 0\epsilon\epsilon$$=_{\epsilon}^{\epsilon}-\epsilon 0\epsilon\epsilon$$=_{\epsilon}^{\epsilon}0\epsilon\epsilon\epsilon$$=_{0_{1}}^{\epsilon_{\mathcal{E}}}-\epsilon\epsilon$

である。

Krattenthaler の結果 (see [18, Theorem 2]) と CoroUary 1.6 を使うと
.

(3.1)

$\# P_{n,m}=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(3k+3m+1)!\prod_{1=0}^{m}(k+2i)!}{(2k+m)!(2k+3m+1)!\prod_{i=1}^{m}(k+2i-1)!}$ということがわかる。次に我々の結果を述べる。

$n$と $N$ を正整数とし $m$ を非負整数とする。 $n\mathrm{x}(n+N)$ 行列 $B_{n,m}^{N}(t, u)=(b_{ij}^{(m)}(t, u))_{0\leq:\leq n-1,0<\leq n+N-1}\lrcorner’$ を ( ,j)-成$i$

分が、 次で与えられる行列とする。

$+tu$$+(t+u)+tu$$\delta_{0_{\dot{\theta}}}$$b_{ij}^{(m)}(t, u)=\{$

if $i+m=0$ ,if $i+m=1$ ,otherwise.

(3.2)$=_{1}^{\epsilon}\epsilon_{\mathcal{E}})\epsilon 0$

23
例えば

$B_{3,0}^{2}(t, u)=$である。 また $n\cross(n+N)$ 行列 $B_{n,m}^{N}(t)=B_{n,m}^{N}(t, 1)$ と $B_{n,m}^{N}=B_{n,m}^{N}(1)$ を定義すの ( ,j)-成分はる。 よって$B_{nm1}^{N}(t)$$i$

if $i+m=0$ ,$+t$$\delta_{0,j}$$b_{ij}^{(m\rangle}(t)=\{$(3.3)

otherwise.

の (的)-成分はによって与えられ、
添え字は は $0\leq i\leq n-1$ を動き、 列の添え字 は $0\leq j\leq n+N-1$ を動くことを注意されたい。 次の定理は Conjecture 2.3 の Pfaffian 表示での答となる。
$B_{n,m}^{N}$

$i$

$j$

Theorem 3.1. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし $N$ を $N\geq n+m-1$ を満たす偶数と
する。

(i)

$r$

を $2\leq\gamma\leq n+m$ を満たす正整数とする。 このとき$\sum_{\mathrm{c}\in \mathcal{P}_{n,m}}t^{\overline{U}_{1}(\mathrm{c})}u^{\overline{U}_{r}(\mathrm{c})}=\mathrm{P}\mathrm{f}$

(

の母関数は

$c\in \mathcal{P}_{n,m}$$O_{n}$$\sqrt nB_{\frac{n}{S’}}^{N}(mt,u)n+N$

)

(3.4)

である。

(ii)

$r$

を $2\leq r\leq n+m$ を満たす正整数とする。 このとき$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}^{\mathrm{C}}}t^{\overline{U}_{1}(c)}u^{\overline{U},(\mathrm{c})}=$

Pf($c\in P_{n,m}^{\mathrm{C}}$の母関数は$O_{n}$$\sqrt nB_{\frac{n}{R’}}^{N}(mt, u)n+N$

)

(3.5)

である。

(iii)

$r$

を $1\leq r\leq n+m$ を満たす正整数とする。 このとき $c\in P_{n,m}$ の母関数は$\sum_{c\in \mathcal{P}_{n,m}}t^{\overline{U}_{f}(c)}u^{V^{\mathrm{C}}(c)}=\mathrm{P}\mathrm{f}$($O_{n}n$$J_{\frac{n}{C}}B_{n,m}^{N}(t)n+N(u)$)$(3.6\rangle$である。

特に、 このことから次の系が示される。

Corollary 3.2.
数とし、

$k$

と $n\geq 1$ を非負整数とする。 とを $2\leq r,$ $s\leq n$ を満たす整を $1\leq k\leq n$ を満たす整数とする。 このとき
$m$

$r$

$s$

$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}}t^{\sigma_{1(c)}}u^{\overline{U}_{f}(\mathrm{c})}=\sum_{c\in \mathcal{P}_{n,m+1}^{\mathrm{C}}}t^{\overline{U}_{1}(c)}u^{\overline{U}.(c)}=\sum_{\epsilon\in \mathcal{P}_{n,m}}t^{\overline{U}_{k}(\mathrm{c})}u^{V^{\mathrm{C}}(c)}$で $u=1$ とおくと次の (i) を得る。 これは Conjecture 2.2 の答
CoroUaryの Pfaffian 表示であり、 また (iii) は Conjecture 2.6 の答の Pfaffian 表示である。
$3.1(\mathrm{i})$24
Theorem 3.3. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし $N$ を $N\geq n+m-1$ を満たす偶数と
する。

(i)

$r$

を $1\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき $c\in’\rho_{n,m}$ の母関数は($\sum_{c\in \mathcal{P}_{n,m}}t^{\overline{U}_{r}(c)}=\mathrm{P}\mathrm{f}$

(ii)

$r$

$r$

Pf

(

$c\in \mathcal{P}_{n,m}$Pf$J_{n}B_{n,m}^{N}(t)\overline{R}_{n+N}$($O_{n}n$

).
).

(3.8)
の母関数は

$c\in \mathcal{P}_{n,m}^{\mathrm{R}}$$\sqrt n_{\overline{C}_{n+N}}B_{n,m}^{N}(t)$

(3.7)
の母関数は

$c\in \mathcal{P}_{n,m}^{\mathrm{C}}$$O_{n}$

を $1\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{c\in P_{n.m}^{\mathrm{R}}}t^{\overline{U}_{f}(c)}=$(iv)$J_{n}B_{n,m}^{N}(t)\overline{s}_{n+N}$

を $1\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{c\in P_{\mathfrak{n},m}^{\mathrm{C}}}t^{\overline{U}_{r}(c)}=$(iii)$O_{n}$

).

(3.9)

.

(3.10).

(3.11)の母関数は$(_{-^{t}B_{n,m}^{N}\text{み}}O_{n}$$\overline{R}_{n+N}(t)J_{n}B_{n,m)}^{N}$$(_{-^{t}B_{n,m^{\sqrt}n}^{N}}O_{n}$$\overline{c}_{n+N}^{n}(t)\sqrt B_{n,m)}^{N}$$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}}t^{V^{\mathrm{C}}(c)}=\mathrm{P}\mathrm{f}$(V) $c\in P_{n,m}$ の母関数は$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}}t^{V^{\mathrm{R}}(c)}=$Pf(3.7), (3.8), (3.9) の右辺は嫁こ依存しないことに注意しよう。
Corollary 3.4. $m\geq 0$ と $n\geq 1$ を非負整数とし

$r$

と

$s$

を $1\leq r,$ $s\leq n$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}}t^{\overline{U}_{r}(c)}=\sum_{c\in P_{n,m+1}^{\mathrm{C}}}t^{\overline{U}.(c)}=\sum_{c\in P_{\mathfrak{n},m}}t^{V^{\mathrm{C}}(c)}$.

特に $\#’P_{n,m}=$ 肥 nc,m+l である。

Theorem 3.5. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とし、 $N$ を $N\geq n+m-1$ を満たす偶数と
する。

$r$

が $1\leq r\leq n+m$ を満たす正整数のとき$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}^{k}}t^{\overline{U}_{f}(c)}=\lim_{\epsilonarrow 0}\epsilon^{-\mathrm{L}_{l}^{k}\mathrm{J}}\mathrm{P}\mathrm{f}$で与えられる。 特に $t=1$ のとき$P_{n,m}^{k}$

(

の母関数は

$O_{n}$$JB_{nm}^{N}(t) \frac{n}{L}(n,k)_{(\epsilon)}$

$n+N$

)

(3.12)の元の個数は$\lim_{earrow 0}\epsilon^{-\mathrm{L}\frac{k}{2}\mathrm{J}}\mathrm{P}\mathrm{f}(_{-^{t}B_{n,m}^{N}J_{n}}O_{n}$に等しい。

$c\in \mathcal{P}_{n,m}$$\overline{L}_{n+N}^{(n,k\rangle}(\epsilon)J_{n}B_{n,m)}^{N}$(3.13)

25
この系からわかることは$\sum_{c\in P_{n,m}^{k}}t^{\overline{U}_{r}(c)}$が嫁こ依存しないことである。例えば$n=3,$ $m=0,$ $k=1$ のとき (3.12) の右辺の Pfaffian はPf$(-1=_{\mathrm{o}^{t}}^{\mathrm{o}_{1}}00000^{-t}$$=00_{1}0000^{t}00$$\frac{000}{00,0000}1$$=_{1}^{\mathrm{o}_{1}}-\epsilon 00\epsilon 11\epsilon$$\frac{0\epsilon 001}{=^{\xi}1}\epsilon 11$$=_{1}^{\mathrm{o}_{1}}-\epsilon\epsilon 0t11\epsilon$となり、 これは $(t^{2}+2t+2)+(t^{2}+t)\epsilon$ に等しい。
に近づ \langle 。

4$1+t \frac{00\epsilon}{=1\epsilon 0}\epsilon 11$$\epsilonarrow 0$$=_{1}^{1}-\mathrm{o}_{1}\mathrm{o}_{1}0\mathrm{o}_{1}1$$\frac{00t}{=}1\mathrm{o}_{1}1111$$=_{1}^{\mathrm{o}_{1}}-100_{1}011)$のとき、 これは $t^{2}+2t+2$

Constant term identities[34] の論文の中で D. Zeilberger は、 次の等式を示した。 $D$ を、 次で与えられる$n\cross(2n+m-1)$ 行列 $X$ の $n\cross n$ 小行列式全体の和とする。

$X_{ij}=$ ,$0\leq i\leq n-1$ ,$0\leq j\leq 2n+m-2$ ,また $C$ を$\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(1-\frac{z_{i}}{z_{j}}).\prod_{i=1}^{n}(1+\frac{1}{z_{i}})\prod_{i=1}^{m+n-:n}\frac{1}{1-z_{i}}\prod_{\lrcorner 1\leq i<\leq n}.\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$,の定数項とする。 このとき $D=C$ が成り立つ。
この節の目的は、 この等式の–般化であり、 前の節の Pfaffian 表示を constantterm identity に言い換えることである。 次のような等式は Littlewood の等式と言われることが多い。

(4.1)

,

$\sum_{\lambda}s_{\lambda}^{(n)}(x)=\prod_{:=1}^{n}\frac{1}{1-z_{i}}.\prod_{\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$$\sum_{\lambda \mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}}s_{\lambda}^{(n)}(x)=\prod_{l=1}^{n}\frac{1}{1-z_{\dot{\iota}}^{2}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-z_{1}z_{j}}$

,

,

(4.3)

$\sum_{\lambda’\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}}s_{\lambda}^{(n\rangle}(x)=.\prod_{1\leq 1<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i^{Z}j}}$

ここで$s_{\lambda}^{(n)}(x)$は $n$ 変数 $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})$ に関する partition(4.2)$\lambda$の Schur fiiction で

26ある。 ([23,$\mathrm{I},$$5$, Ex .4, 5]) また、 この–般化として$\sum_{\lambda}t^{r(\lambda)}s_{\lambda}^{(n)}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1+tz_{i}}{1-z_{i}^{2}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$$\sum_{\lambda}t^{\mathrm{c}(\lambda)}s_{\lambda}^{(n)}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-tz_{i}}$(see [23,$\mathrm{I},$$5$$\prod_{1\leq;<j\leq n}\frac{1}{1-z_{l}z_{j}}$

,

(4.4)

,

(4.5)

, Ex.7, 8]) なども有名である。 I.G. Macdonald の式,$\lambda_{1}\leq k\sum_{\lambda}s_{\lambda}^{(n)}(x)=\frac{\det(z_{i}^{j-1}-z_{i}^{k+2n-j})_{1\leq l,j\leq n}}{\prod_{i=1}^{n}(1-z_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(z_{j}-z_{i})(1-z_{1}z_{j})}$([23,$\mathrm{I},$

$5$

(4.6)

, Ex.16]) も知られている。

$*\iota f.\sim \text{もの^{}\vee}\mathrm{C}.\text{ある_{}0}\check{}*l\text{を}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{>0}.r\mathrm{g}^{b_{i}^{(m)}(tu)z^{j-:}}\not\simeq’ \text{ると}\check{}\check{}^{-\mathrm{C}h_{i}^{(m)}(z,t,u)=}$

とおく

$0$

ここで

$b_{ij}^{(m)}(t)$は (3.2) で定義

さ$(1+z)^{m+:}$$h_{1}^{(m\rangle}.(z, t, u)=\{$$(1+z)^{m+2-1}(1+tuz)$$(1+z)^{m+:-2}(1+tz)(1+uz)$

if $m+i=0$ ,if $m+i=1$ ,otherwise.

(4.7)となる。 また $h_{i}^{(m)}(z, t, 1)$ の代わりにと書 $\text{き_{、}}h_{1}^{(m)}.(z)=h_{;}^{(m)}(z, 1)=(1+$$z)^{m+:}$という記号も使う。 次の定理は doubly refined enumeration 予想に関する定$h_{\dot{\iota}}^{(m)}(z, t)$

数項表示を与える。

Theorem 4.1. $m$ と n\geq l. を非負整数とする。
(i)

$r$

を $2\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{c\in P_{n,m}}t^{\overline{U}_{1}(c)}u^{\overline{U}_{r}(c)}$$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{k=1}^{n}h_{n-k}^{(m)}(z_{k}^{-1}, t, u)\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-z_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$

は

(4.8)

に等しい。

(ii)

$r$

を $2\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}^{\mathrm{c}t^{\overline{U}_{1}(c\rangle}}}u^{\overline{U}_{f}(c)}$$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}.\prod_{1\leq 1<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{k=1}^{n}h_{n-k}^{(m)}(z_{k}^{-1}, t, u)\prod_{:=1}^{n}\frac{1}{1-z_{i}^{2}}.\prod_{1\leq*<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{\mathrm{j}}}$

は

(4.9)

に等しい。

(iii)

$r$

を $1\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{c\in P},.,t^{\overline{U}_{1}(c)}u^{V^{\mathrm{C}}(c)}m$$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq:<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{k=1}^{n}h_{n-k}^{(m\rangle}(z_{k}^{-1}, t)\prod_{2=1}^{n}\frac{1}{1-uz_{1}}.\prod_{1\leq 1<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$

に等しい。

は

(4.10)

27
次の定理は refined enumeration に関する constant term identity である。

Theorem 4.2. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とする。

(i)

$r$

を $1\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{c\in P_{n,m}}t^{\overline{U}_{r}(c)}$は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{k=1}^{n}h_{n-k}^{(m)}(z_{k}^{-1}, t)\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-z_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$(4.11)

に等しい。

(ii)

$r$

を $1\leq r\leq n+m\text{を満たす整}’ \text{数}$ とする。 このとき$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}^{\mathrm{C}}}t^{\overline{U}_{f}(\epsilon)}$は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq\dot{2}<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{k=1}^{n}h_{n-k}^{(m)}(z_{k}^{-1}, t)\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-z_{i}^{2}}\prod_{1\leq:<j\leq n}\frac{1}{1-z_{\iota’}z_{j}}$(4.12)に等しい。

(i\"u)$r$

を $1\leq r\leq n+m$ を満たす整数とする。 このとき$\sum_{\mathrm{c}\in P_{n,m}^{\mathrm{R}}}t^{\overline{U}_{r}(c)}$は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{k=1}^{n}h_{n-k}^{(m)}(z_{k}^{-1}, t)\prod_{1\leq t<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$に等しい。 特に $t=1$ のとき、$\#\mathcal{P}_{n,m}^{\mathrm{R}}$(4.13)は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{1}})\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{z_{k}})^{n+m-k}\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-z_{1}^{\mathit{2}}}.\prod_{1\leq:<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}$. $(4.14)$

に等しい。

(iv)

$\sum_{c\in \mathcal{P}_{n,m}}t^{V^{\mathrm{C}}(\mathrm{c})}$は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{z_{k}})^{n+m-k}\prod_{:=1}^{n}\frac{1}{1-tz_{\mathfrak{i}}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-z_{1}z_{j}}$(4.15)に等しい。

(v)$\sum_{c\in P_{n,m}}t^{V^{\mathrm{R}}(c)}$は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{1}})\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{z_{k}})^{n+m-k}\prod_{:=1}^{n}\frac{1+tz_{i}}{1-z_{i}^{2}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-z_{i}z_{j}}(4.16)$に等しい。
次の定理は Conjecture 2.4 に対する constant term identity である。

28
Corollary 4.3. $m$ と $n\geq 1$ を非負整数とする。
とする。 このとき$\sum_{c\in P_{n,m}^{k}}t^{\overline{U}_{r}(c)}$が $1\leq r\leq n+m$ を満たす整数$r$は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{i=1}^{n}h_{n-i}^{(m)}(z_{i}^{-1}, t)\frac{\det(\dot{d}_{i}^{-1}-z_{i}^{k+2n-j})_{1\leq i,j\leq n}}{\prod_{i=1}^{n}(1-z_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(z_{j}-z_{i})(1-z_{i}z_{j})}$.

(4.17)に等しい。 特に $t=1$ のとき、$\mathcal{P}_{n,m}^{k}$の元の個数は$\mathrm{C}\mathrm{T}_{z}\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-\frac{z_{j}}{z_{i}})\prod_{i=1}^{n}(1+\frac{1}{z_{1}})^{n+m-k}\frac{\det(\dot{d}_{i}^{-1}-z_{i}^{k+\mathit{2}n-j})_{1\leq:,j\leq n}}{\prod_{i=1}^{n}(1-z_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(z_{j}-z_{i})(1-z_{2}z_{j})}$.

(4.18)に等しい。

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31

Figure 1: TSSCPP $(n=1., m=2)$