数理解析研究所講究録
1017 巻 1997 年 1-23

1

ユニタリ表現位相群 の帰納的極限 の群位相 と辰馬伸彦

位相群の代数的帰納的極限に群位相を定義する事を考える.

一般の位相空間の帰納的極限についての位相の定義は岩波数学辞典 第 2 版

404 頁, 第 3 版

203 頁にあるが,は同記載の記述に反して極限群は

–

この位相で

般には位相群にはならない.

小文では帰納的極限群が位相群になる定義を考察し, 続いて帰納的極限群のユニタリ表現をつくる事を考える.

\S 1

帰納的極限の定義

定義 1-1

を順序 $”<"$ によるネット,$\mathrm{A}\equiv\{\alpha\}$$\{\mathrm{G}\alpha\}$$\mathrm{e}\mathrm{A}$。

をA にのる位相群の族で, 含む含まれるの関係での順序を入れる.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\alpha$,$\beta\in$$\alpha<\beta$

この時,$\mathrm{G}\equiv$$\Rightarrow$$\Rightarrow$$\mathrm{G}\alpha$$\cup\alpha$$\langle$$\mathrm{g}_{\alpha}\mathrm{g}\mathfrak{g}\in \mathrm{G}r$

この1$|\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\propto$$\mathrm{G}$,$\subset$となる$\beta<\gamma$$\subset$$\langle$

でG),$\subset$$\cup$$\mathrm{g}\mathrm{e}\in \mathrm{G}\mathrm{e}$G)$\mathrm{G}\alpha$。

$\exists\gamma\in$A,(群構造と位相も含めて).

$\mathrm{G}\mathrm{e}$$\mathrm{G}_{\alpha}$。

以下$\alpha$$\equiv$

[

(和集合

),

代数的な群の帰納的極限$\mathrm{g}_{\alpha}\in \mathrm{G}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$A($\mathrm{G}$$\subset$

(群構造

G)

$\langle$$\alpha,$$|\mathfrak{n}1_{\alpha}\mathrm{G}_{\infty}$は,$\beta<r)$ の積はI), で定義する.

に上記の群構造を入れたものを示す.

に位相を入れ, 位相群とする事を考える.

ここで位相空間としての帰納的極限位相の定義を述べておく.
定義 1-2\S 2$\mathrm{U}\langle\subset$

G): Open$\Leftrightarrow$$\forall\alpha\in$A$\mathrm{U}\cap \mathrm{G}\alpha$定義 1-2 の位相が群位相を与えない例:OPen$|\mathrm{n}$$\mathrm{G}\alpha$.

2
定義 1-2 の位相では, 帰納的極限が位相群にならない,$\mathrm{G}$

つまり群の積演算が連続にならない例をあげる.
例$\mathrm{G}(1)\equiv \mathrm{Q}$(有理数全体),を通常の位相の加法群,に埋め込み, .
つくると(実数全体) $(\mathrm{j}=2,3, \ldots)$$\mathrm{G}\mathrm{j}\equiv\Pi \mathrm{k}=1\mathrm{j}\mathrm{G}(\mathrm{k})$の通常順序で,$\mathrm{j}$$\equiv \mathrm{R}$$\mathrm{G}(\mathrm{j}\rangle$

定義 1

$- 1$

’ $\mathrm{k}\infty \mathrm{G}(\mathrm{k})$$\mathrm{G}=||\mathrm{m}_{\mathrm{j}}\mathrm{G}\mathrm{J}=\Pi$とする.

$\mathrm{G}\mathrm{J}$を$\mathrm{G}\mathrm{J}+1$の代数的な帰納的極限を(制限直積)

が得られる.

これに定義 1-2 の位相を入れて考えよう. 以下 座標表示して$\mathrm{G}\ni\chi=$(D)$\mathrm{G}$$=$($\chi_{1},$COS

ならないが,$\cap$

$<$

れば
-

る.

中の

$|$

X

$\mathrm{U}$方$\mathrm{V}$$0$$|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}$は$\mathrm{G}$

.

が

$|$

$|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{j}\mathrm{x}\mathrm{l})|$$\chi_{\mathrm{j}}<$$\in \mathrm{G}(\mathrm{k})$($|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\langle \mathrm{j}\mathrm{x}_{1})|$は$|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{j}\mathrm{x}_{1} )|$$\neq$$0$$\mathrm{e}$} $()$ e)にない.

$\mathrm{G}$

である.

つま
で

$\forall \mathrm{n}$$-|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\langle \mathrm{j}_{\mathrm{X}}1)|$

即ち定義 1-2 によの開近傍である.
の開近傍$\mathrm{e}$の開近傍なら,の開近傍で,の中で開集合,$\mathrm{G}\mathrm{n}$)}Xl は無理数でなくては$\{\langle \chi_{1}, \mathrm{x}_{2}, \cdots, \chi_{\mathrm{n}}, 0,0, \cdots\rangle|$$(\mathrm{j}\chi_{1})|\}$) と書く$\mathrm{j}=2,3,$ $\cdots$

だからこの様な点はが位相群なら,$\mathrm{e}$( Xk$\cdots\rangle$

とすると,

$0$

では常に

の

$0,0,$

Xj $|<$$=$$(\mathrm{j}\mathrm{x}_{1})$$\mathrm{U}$$\mathrm{G}$$\mathrm{x}_{\mathrm{n}},$$|-|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{j}_{\mathrm{X}}1)|<$$\mathrm{G}\mathrm{n}=\cap\lrcorner_{--}2\mathrm{n}$$\chi_{\mathrm{J}}<$,$\mathrm{G}(1)\equiv \mathrm{Q}$従って$\mathrm{G}$$\mathrm{U}${$\cap \mathrm{J}--2\infty$

を考える.

り

{X

$\equiv$$\mathrm{U}$$\ldots$$\chi_{2},$$\exists\epsilon \mathrm{j}$$\forall \mathrm{j}$

$>$

$0$

V(
で

V が有り

V

$\mathrm{j}\rangle\equiv \mathrm{V}\cap \mathrm{G}(\mathrm{j})$$(-\epsilon \mathrm{j}, \epsilon \mathrm{j})$とな$2\subset \mathrm{U}$は$\mathrm{G}(\mathrm{j})$$\subset \mathrm{V}(\mathrm{j})$.

$(-\epsilon 1 , \epsilon 1)\cross(-\epsilon \mathrm{j} , \epsilon \mathrm{j})\subset \mathrm{V}(1)\cross \mathrm{V}(\mathrm{j})\subset \mathrm{V}2\cap(\mathrm{G}(1)\cross \mathrm{G}(\mathrm{j})\rangle\subset$$\mathrm{U}\cap(\mathrm{G}(1)\cross \mathrm{G}(\mathrm{j}\rangle)=$

これは

\S 3

$\mathrm{G}${$(\mathrm{x}_{1},0,$$2\mathrm{j}\epsilon 1>\pi$$=$[$|\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$$\cdot,$

$0,$

となる

$\mathrm{x}_{\mathrm{J}},$$\mathrm{j}$$0,$ $\cdot\cdot)|\cdot|$

Xj$|<|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{j}_{\mathrm{X}}1)|$では成り立たない.

}.

I

の群位相

帰納的極限が位相群となる様な位相は何か ?

を考える.

ただ

3

し,

既に与えられたの位相との整合性を考慮すると, 最低,$\mathrm{G}\alpha$

次の条件を加える事が自然であると思われる.
前提 3-1$\forall\alpha\in$A

で$\mathrm{G}\alphaarrow$の埋め込みが連続である$\mathrm{G}$I

この条件は, 開集合の性質として言い直すと

前提 3-2$\mathrm{U}$

定義 1-2 と比較して見るとA$\forall\alpha\in$$(\subset \mathrm{G}):\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}\Rightarrow$$”\Leftrightarrow$”が”$\mathrm{U}\cap \mathrm{G}\alpha:$$\Rightarrow$

”

OPen

一般の群

‘

上に,

$G$

$G\alpha$.

に替わっだものである事が判る. 以下この前提の下に考察を続ける.
知られた,$|\mathrm{n}$ここでよく群位相を与える単位元の基本近傍系についての必要十分条件を復習しておく.
命題 3-3の部分集合の族$\mathrm{G}$相に対応する単位元$-(5)$(1)(2)$\langle$

3)

(4)
(

。が,

のある群位

$\mathrm{G}$の基本近傍系を与える為には, 次の (1)$\mathrm{e}$を満たす事が必要十分である.
$\mathrm{c}_{\nabla’}\mathrm{U}$

$\in$

について

$]\mathrm{J}$$\forall \mathrm{U}1,$$\mathrm{U}2\in$$\mathrm{c}_{\nabla’}\mathrm{U}\in$で$\mathfrak{U}$$\forall \mathrm{U}\in$$\mathrm{e}$$\mathrm{V}\subseteq \mathrm{U}1\cap \mathrm{U}2$$\mathrm{V}-1$

V

で$\mathrm{u}$$\forall \mathrm{U}\in$$\mathfrak{U}$$\ni$$\mathrm{U}$で$1\lambda$$5\rangle_{\nabla^{\text{ノ}}^{}\backslash }\mathrm{g}\epsilon \mathrm{G},$$\mathrm{G}$$1\lambda\equiv\{\mathrm{U}\alpha\}$で$\subset$$2\subset$$\mathrm{U}$$\mathrm{U}$

となる

V(

となる

V(

となる

V

$\in$

$\in$

$11$

$\mathrm{V}\subset- \mathrm{g}\mathrm{U}\mathrm{g}-1$の部分集合の任意の族

瓢$\equiv${A),$\mathrm{e}$

なる V

,

$\subset \mathrm{G}$$1\mathrm{I}$がある,$\mathrm{u}$がある,$1\mathrm{I}$

がある,

がある

I

} より出発し次の操作を繰り返し行って, 族を大きくする.
(a) 任意の 2 元(b) 任意の元$\mathrm{U}$(C) 任意の元$\mathrm{U}$$\mathrm{U}1$

,

に対して

に対して
と

$\forall \mathrm{g}\in \mathrm{G}$

こうして出来た族は,らかである.

$\mathrm{U}2$$\mathrm{U}-1$$\mathrm{U}1\cap \mathrm{U}2$

をつけ加える,をつけ加える,に対し$\mathrm{g}\mathrm{U}\mathrm{g}-1$

をつけ加える-.

I

命題 3-3 の (1) $-(3)\langle 5$ ) を満たす事は明だが (4) の条件だけは,最初の族

瓢が次を満たし4

必ずしもこの様な手順で付与する事は出来ない.

ていない場合,条件 3-4$\mathrm{s}_{\nabla’}\mathrm{A}\in$瓢で$\mathrm{B}2$

A となる$\subset$

しかし逆に条件 3 $- 4$ を満たす族
られた時,から上記の (a)$\mathfrak{U}$

製{A$\ni \mathrm{e}$

,

} が与え

$\subset \mathrm{G}$の操作を繰り返し,$-(\mathrm{c})$相群とする単位元の基本近傍系$\equiv$$\mathrm{u}\equiv\{\mathrm{U}\alpha\}_{\alpha}$

定義 3-5 条件 3-4 を満たす集合族

瓢を,I

勉が存在する$\mathrm{B}\in$$\mathrm{G}$を位を作る事が出来る.
$\mathrm{G}$の対応する位相Iの” 種近傍系” と呼ぶ
明らかに基本近傍系
上により,$\mathrm{u}\equiv\{\mathrm{U}$$\}$\alpha。自身は種近傍系の 1 つである.
条件 3-4 を満たす種近傍系

へ群位相の導入は,$\mathrm{G}$

潮を与える事と同値なので, 以下この命題 3-6
集合の族
(1)

(3)

$\mathrm{J}$で$\cdot\backslash \text{ノ}\nabla\alpha$(2)$\mathrm{V}(\alpha,$$\forall\alpha<\beta$$\forall\alpha,$$\beta,$$\mathfrak{U}\equiv\{\mathrm{U}\mathrm{j}\equiv\cup$$\mathrm{j}\rangle$

V$\Rightarrow$$\Rightarrow\exists\gamma$$\mathrm{j}$$(\mathrm{j}=1,2,3, \cdots)$($\mathrm{U}\mathrm{J}+1\rangle^{2}$$=$$\cup\alpha 6$

これは($\equiv$

V$\cup\alpha$V$\subset$

は

V

の中の

$\mathrm{G}\alpha$$\langle\beta, \mathrm{j}\rangle$の近傍,$\mathrm{e}$$\langle \mathrm{j}=1,2,3,$は$(\alpha, \mathrm{j}+1)$$\rangle$

系は, 実は$\mathrm{G}$$\mathfrak{B}$($\cup 8$$\subset$(V$(\beta, \mathrm{j}+1\rangle )=$$\cup r$V$(\gamma,$$\mathrm{j}\rangle\rangle=\mathrm{U}\mathrm{J}\cdot$

Iより上の手順に従って生成したと書く事とする.

上の群位相について$\mathrm{G}=[|\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$.

の群位相の種近傍系を与える.

$\mathrm{G}$$(\alpha, \mathrm{j}+1)\mathrm{V}(\beta, \mathrm{j}+1)$$\tau\langle \mathfrak{B}\rangle$,$\mathrm{V}(\alpha, \mathrm{j}+1)\cdot \mathrm{V}(\beta, \mathrm{j}+1)\subset \mathrm{V}(\gamma, \mathrm{j})$勉についての条件 3-4 を示している上の群位相を$\cdots)$

により計算すれば$-(3\rangle$

上記の部分集合の族

命題 3-7. .

$\mathrm{V}(\alpha, \mathrm{j}\rangle\}_{\mathrm{j}}$条件 (1)$(\alpha, \mathrm{j})$$\mathrm{t}$$\mathrm{s}$。

証明が存在したとする.

$\{\mathrm{V}(\alpha, \mathrm{j})\}$$\equiv$$\mathfrak{B}$

次の (1) $-(3)$ を満たす部分に対し,$\mathrm{G}=||\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$

勉について考察する.

–$\mathrm{G}$

命題 3-6 で作った種近傍

般的なものである.

上で前提 3-1 を満たす群位相$\tau$があっ5

この時命題 3-6 (1たとする.

$-(3)$ を満たす集合族

は器を走らせた時対応する位相$\tau$

証明 群位相では,$\{\mathrm{V}\mathrm{J}\}_{\mathrm{j}}$

(

となる.

$\tau(\mathfrak{B})$系

V$\mathrm{J}$$(\alpha, \mathrm{j})\equiv \mathrm{V}\mathrm{j}\cap \mathrm{G}\alpha$

の

の近傍で,

$\mathrm{e}$$\tau-$近傍$\mathrm{G}=[|\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$$\mathrm{U}$

証明

を走り

$\mathrm{G}\alpha$$\mathrm{j}$$\tau$があり,$\mathfrak{B}$達の上限に等しい.
で,$\tau-$は$\mathrm{e}$

近傍の列

の

$\tau-$$\tau$で近傍,, と出来る.

と置くとV」$=\cup\alpha \mathrm{V}(\alpha, \mathrm{j})$だから命題 3-6 の条件 (1)の種近傍系となる.

$\tau(\mathfrak{B})$は$\tau(\mathfrak{B})$に‘$\mathrm{G}\alpha$$\tau$

より$\mathrm{G}\alpha$と – 致する.
$\mathrm{U}\mathrm{j}=\bigcup_{\alpha}\mathrm{U}(\alpha\rangle$だから上の群位相を与える事に注意すれば,$\text{の制限}$$\tau$

後は命題

I

3-7 の証明のままで示される

\S 4

I

達の上限となる.

があるとし, 各$\tau$$-$に対応する群位相

この時命題 3-7 の証明の方法で$\mathrm{U}(\alpha)\equiv \mathrm{U}\cap \mathrm{G}\alpha$

位相が又

は

$\{\mathrm{V}\mathrm{J}\}_{\mathrm{J}}$の位相は元の$\mathrm{G}$$\mathrm{U}$$\mathfrak{B}\equiv\{\mathrm{V}(\alpha, \mathrm{j}\rangle\}$に予め群位相の制限位相を入れる.
作った

は

近傍

V

$(\mathrm{j}=1,2,3, \cdots)$$\mathrm{U}=\mathrm{V}1$$\tau(\mathfrak{B})$,$\mathrm{U}$$\equiv$$\tau-$$(\mathrm{V}\langle\alpha, \mathrm{j}+1\rangle)^{2}\subset \mathrm{V}(\alpha, \mathrm{j})$の任意の$\mathrm{e}$

V

は明らか.

$3\rangle$

V1$\subset$

(A で

の任意の

$\mathrm{e}$を取り,$\mathrm{V}\mathrm{j}+1\rangle^{2}$$\forall\alpha$($\rangle$

筍型近傍

命題 3-6,3-7 は$\mathrm{G}=||\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$に群位相が入る為の,必要十分条件だが, 実際に与えられた位相群の族

1 つの$\{\mathrm{G}\alpha\}$。から作った帰納的極限に群位相を入れる目的には使えない.
以下特に非可換群の場合を考える為に次の条件を考痴る.
定義 4-1$\mathrm{P}\mathrm{T}\mathrm{A}$($\mathrm{G}\alpha-$

PaSSの$\mathrm{e}$対称集合$|\mathrm{n}\mathrm{g}$即ち$\mathrm{E}\langle\subset \mathrm{G}=[|\mathfrak{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha)($thrOugh aSSum Pt Onの任意の近傍$|$$\dot{\mathrm{W}}_{\alpha}$$\rangle$$\mathrm{E}=(\mathrm{E}\rangle^{-1}$集合であるとは,に対して,$\mathrm{W}_{\alpha}0\mathrm{E}$$\subset$$\forall\alpha$$\mathrm{E}\mathrm{W}_{\alpha}$

)が
で,

とな

6

る

の

$\mathrm{G}\alpha$の近傍$\mathrm{e}$$\mathrm{G}=||\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$

らなるの$\mathrm{G}\alpha$である

PTA- 群とは, 任意の(A で,PTA- 集合かの基本近傍系が存在する事を言う.

PTA- 集合が$\mathrm{e}$の近傍 V$\mathrm{e}$[例えば次の場合
で$\forall\beta>\alpha$$*\rangle$を$(\subset \mathrm{G}\alpha)$$\alpha$の対称性と上の条件で$\mathrm{E}$(が存在する事を言う.

$\mathrm{W}_{\alpha}0$$|\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$$\mathrm{G}\alpha$が’$-\exists \mathrm{W}$$\mathrm{G}\alpha$$\alpha 0$$\alpha$I

PTA 近傍と呼ぶ.

の$-$$\mathrm{E}\mathrm{W}$’ $\alpha 0\subset$

も出る.

$\mathrm{W}_{\alpha}\mathrm{E}$PTA 群である事は容易に判る.

は$-$の中心部分群と局所コンパク ト$\mathrm{G}\mathrm{e}$部分群の直積.
以下

補題 4-2

PTA- 近傍とすれば,
証明V$\alpha$,を$\mathrm{G}\alpha$$\alpha$[可算族, 筍型 ((単調増大の場合)$\mathrm{G}\mathrm{j}+1$

定義 4-3は$\mathrm{W}_{r}$$\subset$

PTAの$\mathrm{G}e$

各

即ち

先ずここで
$\mathrm{j}=$$\langle$

1, 2, 3,の単位元.

$\mathrm{G}\mathrm{j}$$\mathrm{U}[\mathrm{k}]$の$\mathrm{G}$$\mathrm{u}\equiv${$\mathrm{e}$$\equiv$$\mathrm{e}$

の筍型 (

の

近傍 である.
(PTA)

I$\mathrm{G}=||\mathrm{m}_{\mathrm{J}}\mathrm{G}\mathrm{J}$(${G$\mathrm{j}\}=\mathrm{R}$).

ネットが整列集合で,$\ldots$)となる場合とする.

の対称近傍

に対し,

$\mathrm{U}\mathrm{J}$($\mathrm{n}\geqq \mathrm{k}$$\rangle$,

で$\cup \mathrm{n}=\mathrm{k}\infty \mathrm{U}(\mathrm{n}, \mathrm{k})$$\beta \mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}_{0}\mathrm{o}-\mathrm{s}\mathrm{h}_{\mathrm{o}\mathrm{o}}\mathrm{t}/$$\mathrm{U}[\mathrm{k}]|\{\mathrm{U}\mathrm{J}\}_{\mathrm{j}}$,BS ) 近傍と言う$\mathrm{k}=1,2,3,$ $\ldots,$$\mathrm{U}\mathrm{J}$近傍を走る}
命題 4-4$-$$\mathrm{G}\mathrm{e}$について$\mathrm{G}\sigma$$\mathrm{U}(\mathrm{n}, \mathrm{k})\equiv \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{U}\mathrm{n}-1\ldots \mathrm{U}\mathrm{k}+1\mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{U}\mathrm{k}+1\ldots \mathrm{U}\mathrm{n}$を,$\mathrm{e}$BS ) 近傍]$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{o}-\mathrm{s}\mathrm{h}_{\mathrm{o}0}\iota/$

ネット A が可算集合とする.

$\subseteq$

を$-$に対して繰り返し使えばよい.

$\mathrm{e}$$\mathrm{G}\mathrm{J}$PTA 近傍, Vの$\mathrm{e}\mathrm{V}\alpha \mathrm{V}\alpha \mathrm{V}\mathrm{e}$に対して,$\gamma>\beta>\alpha$

V , V

を

V

で

$\beta>\alpha$

PTA-群 であるとする.

は$\mathrm{G}=||\mathrm{m}_{\alpha}\mathrm{G}\alpha$は$\mathrm{G}\mathrm{j}$の$\mathrm{e}$

の対称

と書く.
$\mathrm{u}$はG. の群位相を与える$\cdot$$\mathrm{e}$. の基本近傍系である

.

7

証明

明らかに

$\mathrm{n}\leqq \mathrm{m}\Rightarrow$$\mathrm{U}[\mathrm{n}]\supset \mathrm{U}[\mathrm{m}]$基本近傍系となる条件 (1)($(\mathrm{U}[\mathrm{n}])^{-1}=$$3\rangle$(2) は.
$\mathrm{W}[\mathrm{k}]$$\mathrm{k}\geqq$$\mathrm{n},$$\mathrm{U}[\mathrm{k}]$$\subset$(5) は$\mathrm{W}_{\mathrm{J}}$Vもし.

$\mathrm{n}$V$[\mathrm{k}]$($1\subset \mathrm{W}1$

で$\mathrm{W}_{\mathrm{J}}\equiv \mathrm{U}\mathrm{j}\cap \mathrm{V}\mathrm{j}$$[\mathrm{k}]$$\subset$\mathrm{G}),$ $\forall \mathrm{k}\geqq \mathrm{n},$$\mathrm{G}1$

で$\mathrm{O}\mathrm{K}$$( \subset \mathrm{W}_{\mathrm{n}+1})$$\mathrm{W}_{\mathrm{n}+}1\mathrm{V}(\mathrm{n}, \mathrm{k})$$(\mathrm{V}(\mathrm{n}+1, \mathrm{k}))^{2}$

近傍)

$=$

(V

$\mathrm{n},$$\mathrm{k}\equiv \mathrm{g}\mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{g}-1$

で$\mathrm{g}\mathrm{U}[\mathrm{n}]\mathrm{g}-1$なる$\mathrm{G}\mathrm{J}$のK.

$\mathrm{o}$の対称近傍$\mathrm{e}$と作る.

$(\mathrm{V}(\mathrm{n}, \mathrm{k})\rangle^{2}\subset \mathrm{U}\langle \mathrm{n}, \mathrm{k}\rangle$

(

V(

V

の (PTA)- 近傍 V $1=\mathrm{V}(1,1)$ を取る.

V

&

,

と置くと

$(\mathrm{j} \geqq \mathrm{k} )$に対し$\mathrm{m}$$\subseteq$$\mathrm{U}\mathrm{j}$なら,$(\mathrm{P}\mathrm{T}\mathrm{A})-$$\mathrm{U}[\mathrm{n}]\ni \mathrm{e}$V[ml となるから良い.

$\cap$$\mathrm{U}[\mathrm{n}]$$\mathrm{W}_{\mathrm{j}}\rangle^{2}\subset$の.

$\mathrm{k}\rangle$

は作り方から明らかである.

$=\cdot \mathrm{g}\mathrm{U}[\mathrm{k}]\mathrm{g}-1$$\mathrm{j}$$\mathrm{U}(\mathrm{n}, \mathrm{k})\subset \mathrm{U}(\mathrm{m},$

先ず (1)を見る.

$-\langle 5\rangle$,$\mathrm{u}$に関する帰納法で$\mathrm{c}_{\nabla}\text{ノ}\mathrm{k}\leqq \mathrm{n}$$\exists \mathrm{V}\mathrm{n}+1$V$\cap$$\forall \mathrm{U}[\mathrm{k}],$

を, 更に

以下

$\mathrm{m}$$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{g}\in \mathrm{G}_{\mathrm{m}}(\subset.

と取ると
(4) は

$\mathrm{U}[\mathrm{n}]\in$,は$\mathrm{k})$$\langle$$\mathrm{n},$$\mathrm{k}\rangle \mathrm{W}_{\mathrm{n}}+1$$\mathrm{n}+1\mathrm{V}(\mathrm{n},$$\mathrm{G}\mathrm{n}$. .
$\mathrm{t}$$\mathrm{s}$V$\supset$$\mathrm{k})\mathrm{V}\mathrm{n}+1$の (PTA)$\mathrm{n}+1\mathrm{V}(\mathrm{n},$)V$\forall \mathrm{k}\leqq \mathrm{n}$

$-$

近傍で

$\langle \mathrm{n},$$\mathrm{k})\mathrm{V}\mathrm{n}+1\subset$となるから,$\mathrm{k}\rangle$$(\mathrm{V}\mathrm{n}+1\mathrm{V}(\mathrm{n}, \mathrm{k})\mathrm{V}\mathrm{n}+1\rangle$$\subset$$\subset \mathrm{W}_{\mathrm{n}+1}\mathrm{W}_{\mathrm{n}}+1\mathrm{V}(\mathrm{n}, \mathrm{k})\mathrm{V}(\mathrm{n}, \mathrm{k})\mathrm{W}_{\mathrm{n}+1}\mathrm{w}\mathrm{n}+1\subset \mathrm{U}\mathrm{n}+1\mathrm{U}(\mathrm{n},$ $\mathrm{k}\rangle \mathrm{U}\mathrm{n}+1=$$=$$\mathrm{U}(\mathrm{n}+1, \mathrm{k})$$\subset$$\cup \mathrm{n}.\mathrm{m}--\mathrm{k}\infty$$\subset$.

..

. $(\mathrm{V}[\mathrm{k}])^{2}=\cup \mathrm{n}.$ m–k(V(ma$\cup \mathrm{n}=\mathrm{k}\infty \mathrm{U}(\mathrm{n}, \mathrm{k})$$\chi(\mathrm{n}, \mathrm{m}),$$=$$\mathrm{U}[\mathrm{k}]$$\mathrm{k}\rangle^{2}$$=$$\cup \mathrm{n}--\mathrm{k}\infty(\mathrm{V}(\mathrm{n},$に筍型位相を入れた位相群を[単調でない場合]

い場合を考える.
$=G1,$$G=[|\mathrm{m}_{\mathrm{j}}\mathrm{G}\mathrm{J}$[$\mathrm{G}=$($$(\mathrm{B}\mathrm{s}-\iota \mathrm{o}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\epsilon \mathrm{y})$BS-1$|\mathrm{m}_{\mathrm{j}}\mathrm{G}\mathrm{j}$$\subset$$\{\mathrm{G}\mathrm{J}\}=\ \rangle$$\cdot$.,と呼び,だが単調でな$\mathrm{G}\mathrm{n}(1\rangle=$$G\mathrm{n}\langle \mathrm{j}\rangle\supset \mathrm{G}\mathrm{n}(\mathrm{j}-1)\mathrm{U}\mathrm{G}\mathrm{J},$$|\mathrm{m}_{\mathrm{J}}\mathrm{G}\mathrm{n}\langle\lrcorner\rangle=||\mathrm{m}_{\mathrm{j}}\mathrm{G}\mathrm{j}=\mathrm{G}$

I

と書く.

ネット A で次々に以下の様に取る.

$\mathrm{G}\mathrm{n}(2\rangle\supset \mathrm{G}\mathrm{n}\mathrm{t}1)\mathrm{U}\mathrm{G}2,$

これで$\mathrm{k}\rangle\rangle^{2}$, となるから証明される.

定義 4-5 命題 4-4 の群位相を 筍型位相$G$$\infty \mathrm{V}(\mathrm{n}, \mathrm{k})\mathrm{V}(\mathrm{m}, \mathrm{k})\subseteq$$\ldots$.

だから単調の時の結果が使8えて筍型位相をBS- 近傍$\text{☆}$

$($

で,

,

の走る範囲は, 必ずしも$\mathrm{k}$$\sim$$\mathrm{U}[\mathrm{k}]\equiv\cup \mathrm{n}--\mathrm{k}\infty \mathrm{U}(\mathrm{n},$$\mathrm{k}\rangle$$\mathrm{U}(\mathrm{n}, \mathrm{k}\rangle\equiv \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{U}\mathrm{n}-1\ldots \mathrm{U}\mathrm{k}+1\mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{U}\mathrm{k}+1\ldots \mathrm{U}\mathrm{n} (\mathrm{n}\geqq \mathrm{k}\rangle)$$\mathrm{n},$での可能範囲全体でなく$\mathrm{N}$後で述べる様な, 可能範囲とても,も,の中に入れる事が出来る.

$G=[\dot{|}\mathrm{m}_{\mathrm{J}}\mathrm{G}\mathrm{n}-(\lrcorner)$” 共終” である集合だけで同じ位相を定義する事を注意して置く. 例えば有限個の欠落が有っても, 結果として得られる位相群は同型である.ここで – 般の群位相の中で,」上記の二型位相がどの様な位置を占めるかを考えて見脚う.

命題 4-6$\sigma$上の前提 3-2 を満たす任意の群位相$\mathrm{G}=1\dot{|}\mathrm{m}_{\mathrm{J}}\mathrm{G}\mathrm{J}$は二型位相より弱い.
証明

の任意の

$\mathrm{e}$

を

(V1)4

傍

V

$\supset$(V2)2V1

近傍$(\mathrm{V}\mathrm{J}+1)^{2}$$\mathrm{V}1(\mathrm{V} 2)$$\mathrm{W}[1]$命題 4-7V$\equiv$$\mathrm{W}_{\mathrm{n}}$

,

近傍

2

に対し,

の

$\mathrm{e}$$\mathrm{J}$と取る.

$\sigma-$$\mathrm{G}\mathrm{n}$

従って

対称近傍

$\mathrm{e}$$\supset$$\mathrm{U}$(V3) 2V2V1V1$\supset$$\cap$$\mathrm{G}=1|\mathrm{m}_{\mathrm{j}}\mathrm{G}\mathrm{j}$$\sigma$V$\subseteq$$\mathrm{n}$を含み,

定義 1 $- 2$ の位相 ($\mathrm{U}$と取る. 更に帰納的に次々と$\mathrm{U}$を,$\mathrm{J}+1$だから,$\subset$$\sigma-$ので全ての$(\mathrm{B}\mathrm{S})-$$\mathrm{G}\mathrm{j}$と書く) は六型位相$\sigma-$

対称近$(\mathrm{V}1\rangle^{4}$$\supset$$\mathrm{V}2(\mathrm{V}\mathrm{V}_{\mathrm{s}})^{2}\supset$と置くと, 定義から$\mathrm{e}$の$\mathrm{U}$

V1

...

は筍型

近傍でもあるI

が局所コンパク ト群なら,($\tau$と書く) と同値である.

証明 前提 3-2: を満たす位相は, 定義 1-2 を満たす位相より弱
いから,

任意の
は

$\mathrm{G}\mathrm{n}$は明らか.

$\sigma\succ\tau$$\mathrm{e}$の$\sigma-$

己近傍

従って, 逆の$\mathrm{U}$の中で開集合である..

開対称近傍$\mathrm{W}1$を$\overline{\mathrm{W}_{1}2}$について,$\mathrm{G}1$(閉包)$\sigma\prec\tau$$\forall \mathrm{n}$の中の$\subset$$\mathrm{W}_{1}3$$\mathrm{e}$$\subseteq$

を示せばよい.

$\mathrm{U}\mathrm{n}\equiv \mathrm{U}\cap G\mathrm{n}(\ni \mathrm{e})$の相対コンパク ト$\mathrm{U}1(\subset \mathrm{U}2)$

と取

9

る.

はコンパク トだから,$\overline{\mathrm{W}_{1}2}$ト開対称近傍繰り返して,を,を$\mathrm{W}_{2}$$\mathrm{G}\mathrm{J}$$\overline{\mathrm{W}_{2}\mathrm{W}_{1}2\mathrm{w}_{2}}$

の中の

の中の

$G2$

$\subset$$(\subset \mathrm{U}3)$$\mathrm{U}2$系$\mathrm{U}=\cup \mathrm{n}\mathrm{U}\mathrm{n}$

は筍型近傍

で全ての

$\mathrm{G}=||\mathrm{m}_{\mathrm{j}}G\mathrm{j}$義 1 $- 2$ で与えた位相はと取れる.

の相対コンパク ト開対称近傍$\mathrm{e}$$\mathrm{W}_{\lrcorner}\mathrm{W}_{\mathrm{s}1}-\cdots \mathrm{w}2\mathrm{w}_{1}2\mathrm{w}_{2}\cdots\cdot \mathrm{W}_{\mathrm{J}-1}\mathrm{W}_{\mathrm{J}}$

最初に与えたの相対コンパク$\mathrm{e}$Un と取る.

$\subset$$\mathrm{W}[1]$

即ち,

I

を含む.

が局所コンパク ト群なら, 定$\mathrm{G}\mathrm{j}$1の群位相を与える.

$\mathrm{G}$$\mathrm{W}_{\mathrm{J}}$ここでよく知られている次の事実を確認する.

命題 4-8$\mathrm{G}=\mathrm{B}\mathrm{S}-[|\mathrm{m}_{\mathrm{J}}\mathrm{G}\mathrm{j},$この時可算基ルター

砦について,

証明

前の注意からgo$\subset$$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}+1$

(

”

と,

(1)

$G$

の

$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{k}$

り, 点列

(2)

$\mathrm{G}1$V1(の$\mathrm{e}$$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}+1\not\subset$$\exists \mathrm{F}\in$$G$$\forall \mathrm{j}$$\{\mathrm{F}_{\mathrm{k}}\}_{\mathrm{k}}$」と置く と,$||\mathrm{m}$$\mathfrak{F}$$\subset \mathrm{G}\mathrm{J}+1$(go)$\mathrm{G}\mathrm{k}$

より,

各

の

の開近傍

$G2$ の$\mathrm{V}2\rangle^{2}$1$\equiv$$\mathrm{k}$$|\mathrm{m}_{\mathrm{k}}$$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{k}$は$\mathrm{G}\mathrm{J}+1$.

$\subset$$\mathrm{F}$(即ち$\mathrm{G}\mathrm{n}$$\{\mathrm{G}\mathrm{j}\}$となる.

: 単調増大),
(80)

だから,
$=$

$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}$で$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{j}$$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}$$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}$としてよい.

$\mathrm{e}$$\mathrm{F}_{\mathrm{J}}\not\subset \mathrm{G}\mathrm{k}$$\not\subset$$\mathrm{V}\sim$

とする

”

を示す.

$\mathrm{g}_{\mathrm{k}}+1\in \mathrm{F}_{\mathrm{k}}+1-\mathrm{G}\mathrm{k}$を取$(\mathrm{G}0\equiv \{\mathrm{e}\} )$V1 で$\mathrm{g}_{1}\not\in(\mathrm{V}1\rangle^{2}$の開近傍 V2 で ($\mathrm{G}1\backslash \mathrm{G}2$$\subset$$\mathrm{t}$$\mathrm{c}_{\nabla’}\mathrm{k}$に対しとなるものを取る.

を$2\rangle^{2}\cap \mathrm{G}1$$\mathrm{e}$$\mathrm{G}\mathrm{j}$をもつ任意の収東フィ$-1\mathrm{p}_{\mathrm{k}}arrow \mathrm{e}$BS- 近傍 V\sim がありを固定する. .

$\mathrm{e}$S.

$\mathfrak{F}$各: 単調減少 ) と仮定してよい. さらに,$\{\mathrm{g}_{\mathrm{k}}\}$$\mathrm{G}1(\mathrm{V}2)^{2}$

V1(V

,

で,

$\{\mathrm{F}_{\mathrm{k}}\}_{\mathrm{k}}$が存在しない, 即ち$\mathrm{n}$(3) 続いて$\mathrm{g}_{2}\not\in$$\exists \mathrm{n}$だと思い$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}$上の様な$\subset$$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}$$(\in \mathrm{G}_{\mathrm{m}})\equiv 1\mathrm{i}\mathrm{m}_{\mathrm{k}}\mathrm{F}_{\mathrm{k}}$を新しい$=\mathrm{R}$$\mathrm{j}$の閉部分群とする.

$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{k}$

${G }

(g2

なるものを取る.

$\mathrm{V}2\rangle^{2}\cap \mathrm{G}1\subset \mathrm{V}1$$\not\in \mathrm{G}1$

より

V1

,

かつ

$(\mathrm{V}2)^{2}$に写像して考えるとよい) すると(V 1)2 となり(2) より$\mathrm{g}_{1}\not\in \mathrm{V}1(\mathrm{V}2\rangle^{2}$

.

10

(4)

V

の開近傍
.

$\mathrm{V}\mathrm{n}$V$\langle$

..V

このとき

.

.:

$\mathrm{V}\mathrm{J}$寡$\mathrm{G}\mathrm{n}$V$\mathrm{J}-1(\mathrm{V}\mathrm{J})^{2}$$\subset$$\cap \mathrm{V}\sim=\emptyset$$\forall \mathrm{j},$.

$\mathrm{G}=$$||\mathrm{m}$$\mathrm{B}\mathrm{S}rightarrow||\mathrm{m}_{\mathrm{J}}$$\mathrm{G}\mathrm{J}$は$G\mathrm{J}$$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{j}$で,$($$\mathrm{U}\mathrm{J}+1$

以下.

補題 4-10は$\mathrm{G}\mathrm{J}$$\subset$で,$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{j}$V$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}=$が$\mathrm{G}\mathrm{J}$BS-$\mathrm{B}\mathrm{S}-[|\mathrm{m}_{\mathrm{J}}$$||\mathrm{m}_{\mathrm{j}}$$G\mathrm{j}$$\mathrm{G}\mathrm{J}$の$\mathrm{G}$$\mathrm{e}$Iに矛盾する.

$\mathrm{e}$

.

となる.

$\mathrm{F}_{\mathrm{k}}\not\subset \mathrm{V}\sim$$\forall \mathrm{k}$$\mathrm{G}\mathrm{j}+1$

BS- 近傍となるの閉部$\mathrm{U}[\mathrm{i}+1]$$\mathrm{j}+1\rangle\equiv\cdot \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{U}\mathrm{n}-1\ldots \mathrm{U}\mathrm{j}+1\mathrm{U}\mathrm{J}+1$$\mathrm{g}\not\in(\mathrm{U}\mathrm{J}+1)^{4}$$\mathrm{n}$

それには

となる

に関して帰納的にとなるように$\mathrm{G}\mathrm{j}$$G\mathrm{J}+1$がの$\mathrm{e}$$\mathrm{g}\not\in(\mathrm{U}\mathrm{n})^{2}$$\mathrm{G}\mathrm{n}$の$\mathrm{e}$の$\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{U}\mathrm{n}-1\ldots \mathrm{U}\mathrm{J}+1\mathrm{U}\mathrm{J}+1\ldots \mathrm{U}\mathrm{n}$Iを作ればよい.
$\mathrm{G}=$$\mathrm{n}(\mathrm{V}\mathrm{n}+1)^{2}$の閉部分群である.

$\mathrm{G}$$1(\mathrm{U}\mathrm{n}\rangle^{2}$$\mathrm{U}(\mathrm{n}, \mathrm{j}+1)\equiv$$\mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2\ldots$$\mathrm{g}_{\mathrm{n}}\not\in$は筍型位相による$\mathrm{n}$$\mathrm{g}\not\in \mathrm{U}[\mathrm{j}+1]$$\mathrm{U}(\mathrm{n},$での存在を示せばよい.

を取り,を取り, .

より,$\mathfrak{F}=[|\mathrm{m}_{\mathrm{k}}$の閉部分群である事から$\mathrm{U}[\mathrm{j}+1]$$\cdot \mathrm{V}i-1(\mathrm{V}\mathrm{i})^{2}\cap \mathrm{G}\mathrm{n}$$\mathrm{g}_{\mathrm{n}}\not\in \mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2$$\mathrm{g}_{\mathrm{k}}(\cdot \mathrm{F}_{\mathrm{k}}-$$\mathrm{U}\mathrm{n}-1\ldots \mathrm{U}\mathrm{j}+1\mathrm{U}\mathrm{j}+1\ldots \mathrm{U}\mathrm{n}-$から$\forall \mathrm{n}$V

これは$( \mathrm{n} \geqq \mathrm{j}+1 ))$$\mathrm{U}\mathrm{n}$$\mathrm{V}\mathrm{j}-1(\mathrm{V}\mathrm{J})^{2}$$\mathrm{V}\mathrm{n}-1(\mathrm{V}\mathrm{n})^{2}$$\backslash \text{ノ}\nabla \mathrm{g}\in G-\mathrm{G}\mathrm{J}$の開近傍に写して考え$\mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2\ldots$$\equiv \mathrm{U}\mathrm{n}=\mathrm{J}+1\infty \mathrm{U}(\mathrm{n}, \mathrm{j}+1)$$\ldots \mathrm{U}\mathrm{n}$$\sim$

V1V2と$\mathrm{g}_{\mathrm{n}}+1\not\in G\mathrm{n}$$\mathrm{G}\mathrm{n}\backslash \mathrm{G}\mathrm{n}+1$2$\mathrm{e}$$\mathrm{s}-\mathrm{i}\cap G\mathrm{n}\subset \mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2^{\cdot}\mathrm{V}\mathrm{J}-2(\mathrm{V}\lrcorner-1\rangle^{2}$

分群であるなら,証明$\mathrm{V}$の$\mathrm{g}_{\mathrm{n}+}1\not\in \mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2\ldots$$\mathrm{g}_{\mathrm{n}}\not\in \mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2\ldots,$

V1

で$\forall \mathrm{j}>\mathrm{n}$$\mathrm{V}\sim\equiv\cup \mathrm{n}\mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2$

補題 4-9近傍より$\mathrm{G}\mathrm{n}+1$-1(V j)2\cap Gの開近傍だから,$\mathrm{G}\mathrm{j}+1$(同様

で$\forall \mathrm{j}\leqq \mathrm{n}$. まとめて$\{\mathrm{g}_{\mathrm{k}}\}_{\mathrm{k}}$

方.

又

かつ

$\mathrm{V}\mathrm{n}+1\rangle^{2}\cap G\mathrm{n}\subset \mathrm{V}\mathrm{n}$となる様にとる.

であり,

即ち

(

を

まで作ったとして,$\mathrm{n}$$\mathrm{n}(\mathrm{V}\dot{\mathrm{I}}1+1\rangle^{2}\subset \mathrm{G}\mathrm{n}(\mathrm{V}\mathrm{n}+1)^{2}$$=\mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{V}2^{\cdot}$–$\mathrm{n}+1$$\mathrm{n}+1)^{2}$

るとよい)$\subset \mathrm{G}\mathrm{J}$Vに関する帰納法で,$\mathrm{n}$$=$$\mathrm{B}\mathrm{S}-[|\mathrm{m}_{\mathrm{j}}$$\overline{\mathrm{G}\mathrm{J}}$と見なしたものとし,.
$\overline{\mathrm{G}s}$( 但し閉包の位相はそ11の制限とする. )位相群の部分群の閉包は又部分群だから, 代数的に

証明
$=$

\S 5
$\mathrm{G}=$I

位相は命題 3-7 系によりでるは明らか$||\mathrm{m}_{\mathrm{j}}\overline{G\mathrm{J}}$$G$

拡大筍型位相$||\bm{\mathrm{m}}_{\mathrm{J}}$$\mathrm{G}\mathrm{J}$の位相として, 定義 1-2 で与えられる位相は,必ずしも群位相とならない事を先に示したが,による開集合が,

これはこの定義

或る意味で多すぎる事に起因する.

$\cdot$

しかし群位相を与える筍型位相でも, 開集合の数は可なり多く, 単に群
位相を与える為だけなら,もっと弱い位相で十分である. 実際,

無限次元位相線型空間 (加法群) の弱位相に見られる様に, 代
数的には帰納的極限の形をとる位相群でも, 筍型位相より遙かに弱い位相を持つものが有り, 例えばユニタリ表現の逆像として入る群位相は, その–つと考えられる.

そう言った意味で,

筍型位相より弱い群位相を構成する事を考える.
$\mathrm{G}=$

定義

1

5-1

るとする.
が

$\mathrm{G}\mathrm{J}$$|\mathrm{m}_{\mathrm{J}}$$\mathrm{G}=$

[

本近傍系を

劉

$\mathrm{c}_{\nabla}\text{ノ}\mathrm{Y}\alpha$定義$\mathrm{H}$のが$\mathrm{H}$

PTA- 集合よりなる$-$$\mathrm{G}\mathrm{j}$$|\mathrm{m}_{\mathrm{J}}$この時,

PTA 部分群$\mathrm{U}$

(可算極限

5-2 各

$\equiv\{\mathrm{Y}\alpha\}_{\alpha}$$\mathrm{G}\mathrm{j}$$(\alpha , \mathrm{n}, \mathrm{k})\equiv \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{U}\mathrm{n}$$\mathrm{U}[\alpha, \mathrm{k}]$の部分群$\mathrm{G}$

S

とする.

に,

群位相が入って居PTA 部分群であるとは,

の

$-$

とする.

$\mathrm{e}$2$\subset$$\mathrm{Y}\alpha$

」

の対称近傍

$\mathrm{U}\mathrm{J}$.
に対し,$\ldots \mathrm{U}\mathrm{k}+1\mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{Y}\alpha \mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{U}\mathrm{k}+1\ldots \mathrm{U}\mathrm{n}$$\equiv$$\mathrm{H}$\S 3 の議論より,

特に$(\mathrm{Y}8)$$\mathrm{t}$

の単位元
-1

$\mathrm{H}$$-$

PTA- 集合 (定義により対称になる) 基の$\exists \mathrm{Y}8$$-$の基本近傍系を持つ事を言う.

$\mathrm{e}$$\mathrm{e}$) は PTA 群$\cup \mathrm{n}=\mathrm{k}\infty \mathrm{U}(\alpha, \mathrm{n}, \mathrm{k})$$( \mathrm{n}\geqq \mathrm{k} )$

,

12

を,

の

$\mathrm{G}$の拡大筍型 ($\mathrm{e}$Zed$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}||$

GBS ) 近BambOO-ShOOt/

傍と言い

{

$11\sim\equiv$$\mathrm{U}[\alpha, \mathrm{k}]|$$\{\mathrm{Y}\alpha\}_{\alpha},$,$\{\mathrm{U}s\}_{\mathrm{J}}$$\mathrm{k}=1,2,3,$のと書$\langle$$\mathrm{e}$,$\cdots$$\mathrm{G}\mathrm{J}$の対称近傍を走る}.

命題 5-3は上の群位相を与える$1\mathrm{I}\sim$

この位相について,埋め込み$arrow$$\mathrm{H}$$\mathrm{e}$の基本近傍系であり,は連続である.

$\mathrm{G}$

証明 基本近傍系を与える事は, 命題 4 $- 4$ の証明での替わりに,$\mathrm{H}$は$\mathrm{U}\mathrm{j}$$arrow$$\mathrm{G}$$\mathrm{Y}\alpha$, V1$\mathrm{U}1$

等を代入した議論で示される.

が連続であることは,$\forall \mathrm{Y}\alpha$$\subset$より$\mathrm{U}[\alpha, \mathrm{k}]\cap \mathrm{H}$I

明らかである.

\S 6$\mathrm{M}$

非可算系の場合をネット$\mathrm{N}$の部分ネットとする. 順序を$”<$ ”とする.

以下の定義を復習する.
(1)(2)$\langle$3)$\mathrm{M}$$\mathrm{M}$$\mathrm{M}$が全順序集合とはが整列集合とはが$\mathrm{N}$

命題 6-1 全順序集合
証明

$<$

で
$\mathrm{M}_{0}$$\backslash \text{ノ}\nabla$

で,の整列部分集合a$\in \mathrm{N}$

で

”

入れる.

$\cup\alpha \mathrm{M}\alpha\in\Psi$は$\mathrm{M}$$\mathrm{S}$中に$\mathrm{M}\cap\{$$\exists$$\mathrm{M}_{\alpha}$の全体の集合$\mathrm{M}_{\alpha}<$$\Psi$$\mathrm{M}_{\mathrm{e}}$$\Psi$$\{\chi |\mathrm{x}\geqq \mathrm{a}\}=\emptyset$.

$\mathrm{M}$最小元

は全順序集合だから,$\exists$a$\mathrm{M}_{0}$に, .

$\rangle$,,$\neq\emptyset$

.

がある.

$\mathrm{M}_{\mathrm{e}}$

.

が

とする順序
$\{\mathrm{M}_{\alpha}\}\langle\subset\Psi\rangle$

は帰納的集合で, 極大元と共終である. そうでなければ,$\mathrm{a}>\mathrm{b}$$\mathrm{x}\geqq \mathrm{a}$$|$$\chi$

この順序に関する単調増大部分集合
だからOr$\mathrm{a}\leqq \mathrm{b}$共終の整列部分ネットの後ろに整列集合を付けた形の時$\mathrm{M}_{\alpha}$$,,$$\mathrm{M}$$\mathrm{M}$で$\backslash !\nabla \mathrm{S}\subset \mathrm{M}$

で共終とは

で

$\mathrm{c}_{\nabla’\mathrm{a},\mathrm{b}}\in \mathrm{M}$$\mathrm{M}_{\mathrm{o}}$$\in \mathrm{M}$$\forall \mathrm{m}\in \mathrm{M}_{0}$

で
で

をもつ.
$\mathrm{M}_{0}\cap$$\mathrm{a}\leqq \mathrm{m}$

13

0「

$\mathrm{a}>\mathrm{m}$で$\mathrm{M}_{0}$だが取り方よりより大きい元となり,

系 1 上でト

系 2 魚骨型ネット

2

系 1,

I

$\alpha+\equiv \mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{n}(\beta\in \mathrm{M}${$\alpha\in \mathrm{M}|\alpha-$

補題 6 $-4(1\rangle$

-

定義から

$\gamma-(=\exists \mathrm{m}_{\mathit{3}}\rangle$$\gamma$$\neq$$\mathrm{M}$-$\mathrm{M}$は$\emptyset$

なら,と共終である.

がないから;
ここで,[場合 1]$\mathrm{M}-$[$\mathrm{M}+$は$\rho\in \mathrm{M}|$

に対し,

.I

\alpha =\beta +(存在の時)],(2)$\#\mathrm{M}-\leqq\aleph_{0}$で,$\mathrm{M}+$$\mathrm{M}$’-は整列集合である.

$\gamma=$$=$$\mathrm{M}$$\emptyset$$\gamma$-があれば,$\mathrm{m}_{\mathrm{J}}+1\in \mathrm{M}_{0}$$\emptyset$$\gamma$

となり,

の

定義

で矛盾である.

のある点から後ろを全て含み,

なら,

と共終

$\mathrm{M}_{0}$$\mathrm{M}|\mathrm{n}(\rho\in \mathrm{M}-|\beta>\mathrm{M}_{0})$$\gamma\equiv$$\gamma\in \mathrm{M}+\cap \mathrm{M}--=$. は,と共終である.

$\mathrm{M}$$\mathrm{M}+$より大きい

合わせて (

次の場合が考えられる.
$\mathrm{M}-\neq\emptyset$$\{\mathrm{G}\alpha\}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{N}}$

殆ど明らかである.

何故ならもし$\mathrm{M}-$$\mathrm{M}$と言う.

の最小元から続いた増大可算列$\in \mathrm{M}_{0}$$\mathrm{M}-$$[|\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{M}0}\mathrm{G}_{\infty}\cdot$$\mathrm{M}_{-}\equiv\{\alpha\in \mathrm{M}|\forall\beta\in \mathrm{M}+ \beta<\alpha\}$$:^{0}\mathrm{M}_{0}\neq \mathrm{M}-\cdot$

不存在で,

-

$=$

は整列集合である.

が存在しない.

に反する.
$3\rangle$

当然

を取る

$\equiv\{\mathrm{m}_{\mathrm{J}}\}_{\mathrm{j}}$($\mathrm{M}+\cup \mathrm{M}-$鵠とする.

$\#\mathrm{M}->$$\gamma$$\mathrm{M}-$Iに対して次の記号を定義する.

$\alpha$が不存在},

中$\varphi$$|\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{N}}\mathrm{G}\alpha=||\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{M}}\mathrm{G}_{\alpha}$(1) 整列集合の部分集合,

証明

には

の元

$\mathrm{M}$$\beta>\alpha^{\rangle,\equiv}\alpha-$$\mathrm{M}+’$

(3)

(2)

があり

$\mathrm{M}$は,と共終の全順序部分ネの背骨$\mathrm{N}$

共に先の議論の総合として,

定義 $6-3$ 整列集合$\mathrm{M}_{+}\equiv$$\mathrm{N}$の上の位相群の系$\mathrm{N}$の整列背骨部分集合$\mathrm{N}$$[|\mathrm{I}\mathrm{N}_{\alpha}\mathrm{e}\mathrm{M}\mathrm{c}\alpha$を$\mathrm{M}$$\mathrm{M}_{0}\cup\{\mathrm{a}\}$の極大性に反する$\mathrm{M}_{0}$が魚骨型とは,$\mathrm{N}$がある事を言う.

$\mathrm{M}$. 従って. に対して$\{\mathrm{G}\alpha\}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{M}}$

定義 6 $-2$ ネット$\text{ッ}$$\mathrm{a}>\backslash \nabla^{\text{ノ}}\mathrm{m}$. (お頭付魚骨型)$3\rangle$が出る$\mathrm{M}$

の元

I

14

(2), (3) より

この時は,
[

$=$

$\langle$$[|\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{N}}\mathrm{G}\alpha=$$(\mathrm{M}+\rangle_{+}\equiv\{\alpha\in \mathrm{M}+ | \exists\alpha- |\mathrm{n}\mathrm{M}+\}$

$[$

2-

もし

$\mathrm{B}]$$\exists$$\langle \mathrm{M}+\rangle$$-\neq\emptyset$の時, [ Lx$\langle \mathrm{M}+\rangle$$-=\emptyset$

で次々

$|$

なら

$\mathrm{M}++\cdot.+-(\neq\emptyset\rangle$

として群位相が入る.

$\mathrm{M}++\cdot+$’$=$$||\mathrm{M}_{\alpha \mathrm{e}}(\mathrm{M}+)-\mathrm{G}\alpha$$\mathrm{M}++\cdot+-$e$\mathrm{t}\mathrm{c}$

を作る.

.

$||\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}}\langle \mathrm{M}++.$$||\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{N}}\mathrm{c}_{\alpha}=$$+\rangle-\mathrm{G}\alpha$(仮想お頭付魚骨型)

no

何時までたっても$\mathrm{e}\mathrm{N}\mathrm{G}\alpha$

,

を考える.

$\mathrm{M}+)_{-}\equiv\{\alpha\in \mathrm{M}+ |\forall\beta\in(\mathrm{M}+)+ \beta<\alpha\}$$[2- \mathrm{A}]$$||\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{M}}\mathrm{G}_{\alpha}=$.

$\mathrm{M}_{-}=\emptyset$

この時は更に$=$として群位相を決める事が出来る.

$|\mathrm{m}_{\alpha \mathrm{e}\mathrm{M}-}G_{\alpha}$[場合 2]$\mathrm{G}$$\mathrm{n}-\emptyset$の$\mathrm{M}++\cdot\cdot+-$が無ければこの方法

で群位相を入れる事を諦める.

\S 7

帰納的極限群のユニタリ表現

一般の帰納的極限にユニタリ表現を作るのは, 手がかりが少困難である.

なくて,$\mathrm{G}=[|\mathrm{m}_{\mathrm{J}}G\mathrm{J}$(${G

そこでここでは次の条件の下で考える.

$\mathrm{J}\}=\aleph 0$

この時命題 4-7 系で,又,$\mathrm{G}\mathrm{J}$の$\mathrm{e}$$\mathrm{G}$,$\mathrm{G}\mathrm{j}$:. 局所コンパク ト群, 単調増大)上での定義 1-2 の位相は群位相である.

の相対コンパク ト対称近傍は全て PTA 近傍で -ある.
$-$問題のユニタリ表現を十分沢山作れ.

$\mathrm{G}$(十分沢山とは”$\mathrm{G}$の相異なる任意の 2 点を分離する” とする)

ここでユニダリ表現の作成法として,が$\mathrm{O}$$\mathrm{e}$に入る連続正定符号函数を作れば,一般の先ず$\mathrm{O}$の$\backslash \nabla^{J}$

近傍

$0$

に対し台

目的は達成される.

では扱い難いので, 少し縮めて, 次の様にする.

$\mathrm{O}\mathrm{J}$$\equiv$

パク ト開対称近傍$\mathrm{O}$$\mathrm{U}\mathrm{j}$$\cap$$\mathrm{G}\mathrm{J}$と置き,$\mathrm{G}\mathrm{j}$のを帰納的に次の様に作る$\mathrm{e}$

の相対コン

15

(1)

$(\mathrm{i}^{\mathrm{J}}1)$

(2)

(

(3)

$4$
$\subset$$2$$\cap$$\mathrm{U}\mathrm{i}+1\rangle$$\mathrm{U}\sim \mathrm{J}$$\mathrm{O}1$.
$\subset$$\mathrm{G}\mathrm{j}$$=$$\mathrm{U}\mathrm{J}\mathrm{U}\sim_{\mathrm{j}-1}$$\equiv$

J.

$\mathrm{U}$$\mathrm{U}s\mathrm{U}\sim\lrcorner(\mathrm{U}^{\sim}\mathrm{J})^{-}1\mathrm{U}\mathrm{J}$以下に替わって,$\mathrm{O}$と書いて,$\mathrm{U}1$$\mathrm{U}\mathrm{J}\mathrm{U}\mathrm{j}-\downarrow\ldots$$\subset$を使う事とする.

$\{\mathrm{U}\mathrm{J}\}$は明か.

$\mathrm{U}s\mathrm{U}^{\sim}\mathrm{j}(\mathrm{U}\sim \mathrm{J}\rangle^{-1}\mathrm{U}\mathrm{J}\cap G\mathrm{k}\subset \mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{U}^{\sim}\mathrm{k}(\mathrm{U}\sim \mathrm{k}\rangle^{-1}\mathrm{U}_{\mathrm{k}}$$\backslash \nabla^{p}\mathrm{j}\geqq \mathrm{k}$.

$\mathrm{O}^{\mathrm{j}}$次の記号を入れる.
$\mathrm{C}\mathrm{O}^{+\mathrm{s}\langle \mathrm{G}}\mathrm{j}\rangle${$\equiv$$|\mathrm{G}\mathrm{J}arrow \mathbb{R}^{+}$$\varphi$

対称$\text{ }$$\mu \mathrm{J}$$\Delta \mathrm{J}$::$\mathrm{G}\mathrm{j}$$\mu \mathrm{J}$上の右$\mathrm{p}_{3}\equiv\max$$\mathrm{G}$$\equiv$(正規化は後に行う)$|.\mathrm{e}$.

$\mathrm{d}\mu \mathrm{J}(\mathrm{g}^{-1}\rangle=\Delta \mathrm{J}(\mathrm{g})\mathrm{d}u\mathrm{J}\langle \mathrm{g}\rangle$上の函数$<\varphi 1$$\varphi$,$\varphi 1$,$\varphi 2$$|\mathrm{G}\mathrm{J}||\mathrm{q}(\mathrm{G}\mathrm{J}$,(又は$\mathrm{d}_{\mathrm{J}}\mathrm{g}$:$\varphi\langle \mathrm{g}\rangle \mathrm{d}_{\mathrm{J}}\mathrm{g}$

.

与えられた

上の

$\mathrm{q}^{-\mathrm{n}}0\mathrm{r}\mathrm{m}\rangle$$=$$\mathrm{J}||\varphi||\mathrm{q}$

,
等と書く.

$\mathrm{d}^{\mathrm{j}\mathrm{g}}$$\zeta \mathrm{n}-1\varphi \mathrm{n}(\mathrm{g}(\mathrm{g}\mathrm{n}-1)^{-1)}\varphi \mathrm{n}-1(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-_{1}}\rangle \mathrm{d}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{g}\mathrm{n}-1$$\{\varphi \mathrm{k}\}$($1$$\leqq$$\mathrm{k}$$\mathrm{n}\rangle$$\leqq$に対して$\varphi\sim \mathrm{n}\equiv\varphi \mathrm{n}^{*}\mathrm{n}\varphi\sim \mathrm{n}-1=\varphi \mathrm{n}^{*}\mathrm{n}\varphi \mathrm{n}-1*\mathrm{n}-1\varphi \mathrm{n}-2^{*}\mathrm{n}-2^{\cdot}$☆ここで$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\varphi \mathrm{j}\in \mathrm{C}0(\mathrm{G}\mathrm{j})$$\backslash \nabla^{\text{ノ}}\mathrm{j}$$\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}\in \mathrm{C}0(\mathrm{G}\mathrm{n}\rangle$

と置く

に対して,

$\varphi \mathrm{j}\in \mathrm{C}0(\mathrm{G}\mathrm{J})$$\varphi \mathrm{n}^{*}\mathrm{n}\varphi \mathrm{n}-1(\mathrm{g})\equiv$

)

について

$\mathrm{J}\mathrm{J}\varphi 1(\mathrm{g})\overline{\varphi 2}(\mathrm{g}\rangle$$\varphi 2>\mathrm{J}\equiv$.

,$\mathrm{j}\varphi(\mathrm{g}\rangle$$\int$}.

連続函数$( \mu \mathrm{k}(\mathrm{U}\mathrm{k}\mathrm{U}\sim \mathrm{k}(\mathrm{U}\sim \mathrm{k}\rangle^{-}1\mathrm{U}\mathrm{k}) ( \mathrm{j} \geqq \mathrm{k} ), 1)$$||\varphi$$[egg3]$\varphi(\mathrm{g})=\varphi(\mathrm{g}^{-1}))$$\mathrm{d}u\mathrm{j}(\mathrm{g}\rangle\equiv \mathrm{d}\mathrm{J}\mathrm{g}$$\mathrm{G}\mathrm{j}\varphi\langle \mathrm{g}\rangle \mathrm{d}_{\mathrm{j}\mathrm{g}}$台がコンパク トのaa「測度のモジュラー函数[次の略記を行う]$\mathrm{J}$$\mathrm{H}$$(|.\mathrm{e}.

,

となる.

$\uparrow \mathrm{j}\in \mathrm{C}0(\mathrm{G}\mathrm{j})$

(以下

に対し

$*\mathrm{n}$ならの$(\mathrm{f}_{\mathrm{J}}\rangle\equiv$$\varphi \mathrm{n}^{*}\mathrm{n}\varphi \mathrm{n}-1$$\mathrm{n}$.

,$*2^{\varphi}1$$\varphi\sim \mathrm{n}$.
.

,は略記する事とする. )$\{\mathrm{g}\in G\mathrm{j} | \mathrm{f}^{\mathrm{j}}(\mathrm{g})\neq 0\}$,

16$[\mathrm{f}_{\mathrm{J}}]$.

命題 7 $-1$$\mathrm{f}^{\mathrm{j}}\in \mathrm{C}0^{+}$$\forall \mathrm{j}$$(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j})=(\mathrm{f}_{\mathrm{J}^{)(\mathrm{f}_{\mathrm{J}})}}- 1(\mathrm{f}\mathrm{J}-2)\cdots\cdot(\mathrm{f}2)(\mathrm{f}_{1})$(2)$[\mathrm{f}^{\sim_{\mathrm{j}}}]=[\mathrm{f}_{\mathrm{J}}][\mathrm{f}^{\mathrm{j}}-1][\uparrow_{\mathrm{J}}-2]\cdots\cdot[\mathrm{f}2][\uparrow 1]$だから,$\mathrm{f}_{\mathrm{J}}\geqq 0$

帰納的に$\mathrm{V}1( \subset \mathrm{U}1)$$\Delta 1(\mathrm{g}),$$\forall 8\in \mathrm{V}1$

今迄決ま$.\supset$

たとして$4\rangle$$-4\rangle$

この$\mathrm{V}\mathrm{n}$fn$\mathrm{f}-2)$$\mathrm{G}_{\mathrm{n}}$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}}$$(\mathrm{j}= 1,2,3, \cdots\cdot, \mathrm{n}^{-}1)$$2-_{22/\mathrm{P}\mathrm{n}-1}\mathrm{n}-$$\mathrm{L}\mathrm{g}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1(\mathrm{g}_{f\downarrow}-1)\equiv\uparrow^{\sim}\mathrm{n}-1(\mathrm{g}^{-}1)\mathrm{g}_{\mathrm{n}}-1\rangle$$\Delta_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\rangle, \Delta_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}^{-1})$$\in \mathrm{C}0^{+\mathrm{s}(\mathrm{G}}\mathrm{n}$$\subset$$<$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||\infty$を用いて,$\mathrm{V}\mathrm{n}$’$\mathrm{f}_{\mathrm{n}}$$<$$1+2^{-\mathrm{n}}$.

を次の様に取る),,I$(\mathrm{f}-4)$$\mathrm{J}\mathrm{n}-1\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{g}_{\mathrm{n}}-_{1}-_{1)}\mathrm{d}_{\mathrm{n}-\mathrm{l}\mathrm{g}}$$\mathrm{n}-1\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{n}-_{1^{-_{1)}}}\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1\mathrm{g}\mathrm{n}-1}$n-l$\mathrm{V}\mathrm{n}$

の正規化を

,

$(\mathrm{f}-3)$(これには,$\mu 1$の相対コンパク ト開対称近傍,

(但し

n-l

$[\mathrm{f}^{\eta}][\mathrm{f}_{\mathrm{n}}1$で,を次を満たす様に定める.

$\forall\epsilon\in \mathrm{V}_{\mathrm{n}}$$(\mathrm{f}^{-}1)$$\langle$$\mathrm{f}_{1}(\in \mathrm{C}0^{+\mathrm{s}(\mathrm{G}}1)\rangle$$\mathrm{n}-1||\mathrm{L}\mathrm{g}\uparrow^{\sim}\mathrm{n}-1^{-}$$-3\rangle$となるものとする.

$1+2^{-1}$で定める$\subset$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}}$$\forall \mathrm{g}\in \mathrm{V}\mathrm{n}^{\cap}\mathrm{G}$($<$$\Delta 1(\mathrm{g}^{-1}\rangle$$\mathrm{V}\mathrm{n}$を.

$\mathrm{V}\mathrm{n}$I(2) が得られるの相対コンパク ト開対称近傍で$\mathrm{e}$1$=$$(-2\rangle$(Vの$\{\mathrm{V}\mathrm{J} , \mathrm{W}^{\mathrm{j}}\langle\subset \mathrm{G}\mathrm{J}) , \mathrm{f}^{\mathrm{j}}, \mu \mathrm{J}\}$$(\mathrm{v}^{-}1)$(V$\mathrm{G}1$

なる$[\mathrm{f}_{1}][\mathrm{f}_{1}]\subseteq \mathrm{V}1$

1 $||\mathrm{f}_{1}||2$

(3)

を

を計

3 組を, 帰納的に次の様に作るの$\{\mathrm{V}_{\mathrm{n}} ( \subset \mathrm{G}_{\mathrm{n}}), \mathrm{f}_{\mathrm{n}}, \mu \mathrm{n}\}$.
.

$\{\mathrm{g}_{\mathrm{J}}\in \mathrm{G}\mathrm{J}|\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}(\mathrm{g}_{\mathrm{J}})>0 \}$(1) の閉包として(1) が判る

算すれば,

(2)

とすれば

$\mathrm{G}\mathrm{J})$

(1)

証明.

(1)

$\langle$( 閉包 )$\overline{(\{_{\mathrm{J}})}$$\equiv$$=$$\leqq$1,1,は適当に小さく取れば良い

又

fn

は

$\langle \mathrm{f}^{-}1$

),

,

17
を満たすものを, 常数倍し$\langle \mathrm{f}- 2\rangle$

の函数に

とし,

上の対称非負連続函数で,$\mathrm{G}_{\mathrm{n}}$(maX [

上でn-l$\mathrm{G}$$(\mathrm{f}^{-}3)$

さらに $(\uparrow-4)$ はこ

1,

上で$\mathrm{G}\mathrm{n}-1$$\mathrm{J}\mathrm{n}-1\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{n}-_{1}1-)\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1\mathrm{g}\mathrm{n}}-1,1^{]}$$\rangle$$\mathrm{G}\mathrm{n}-$

$-1$

で抑

えられる連続函数を掛ける事によって作る事が出来る. )(5) この$( u )$

(6)
(

によって,

$\{\mathrm{f}^{j}\}_{\mathrm{j}}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}$$\mathrm{n}$(W-2)

を次で正規化する.

Il $2=1$ ,後の議論の為に次の$\mathrm{W}^{-}1\rangle \mathrm{W}_{\mathrm{n}}(\subset$$\mu \mathrm{n}$$\mathrm{V}_{\mathrm{n}}\rangle$

は

を決める.

$\mathrm{W}_{\mathrm{n}}$の$\mathrm{G}\mathrm{n}$$\mathrm{e}$の相対コンパク ト開対称近傍.

$\mathrm{n}||\mathrm{R}\mathrm{g}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-$$\cdot\cdot\cdot\forall \mathrm{g}\in \mathrm{W}_{\mathrm{n}}$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}\mathrm{I}\mathrm{I}2$

ただしここで

命題 7 $-2$$\backslash \nabla^{\text{ノ}}\mathrm{j}$

. ある

で

$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}[\mathrm{G}\mathrm{J}$

証明

Gn-S

は

$\mathrm{G}\mathrm{j}$$2-\mathrm{n}-4$$\mathrm{R}\mathrm{g}\uparrow^{\sim}\mathrm{n}(\mathrm{g}\mathrm{n}\rangle$

があって,

上

.
$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}}\mathrm{g})$$\equiv$の時,$\mathrm{n}arrow\infty$$\mathrm{f}^{\sim}|$$\mathrm{G}\mathrm{J}$に – 様収束する$||\uparrow^{\sim}\mathrm{n}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||\infty=$n-l$=\mathrm{s}\mathrm{u}^{\mathrm{p}_{\mathrm{g}6}}$$\mathrm{f}^{\sim}\in \mathrm{C}+(\mathrm{G})$

$<$

$|$

$\mathrm{J}$$\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}(\mathrm{g}\mathrm{n}-1)^{-}1)\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1(\mathrm{g}\mathrm{n}-1\rangle$-$\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1}8^{\mathrm{n}-}1$$\mathrm{f}_{\mathrm{n}}\langle(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-}1)^{-_{1}})\uparrow^{\sim}\mathrm{n}-_{1}\langle \mathrm{g}\rangle$$\mathrm{J}$$\leqq \mathrm{s}\mathrm{u}_{\mathrm{P}_{\xi \mathrm{e}\mathrm{G}\mathrm{n}-1}}\mathrm{J}\mathrm{f}_{\mathrm{n}}((\mathrm{g}_{\mathrm{n}1}-)-1)|$

f\sim n-l$(\mathrm{g}_{\mathrm{n}}-\mathrm{l}\mathrm{g})-\uparrow^{\sim}$$\leqq_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}_{\mathrm{g}}\mathrm{e}\mathrm{G}\mathrm{n}1}-\mathrm{J}\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}_{\mathrm{r}-}\downarrow 1-1)_{\mathrm{n}-1}||\mathrm{L}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-}1\rangle$$-\iota \mathrm{f}^{\sim}$$\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}}|$n-l (g)

n-l

$-$

-

$|\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{g}_{\mathrm{n}-}1$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||\infty$$\mathrm{d}_{\mathrm{n}-_{1\mathrm{g}\mathrm{n}-1}}$$=$-$\uparrow^{\sim}\mathrm{n}|$$\backslash \nabla^{\text{ノ}}\mathrm{j}$

方
GJ

で

系

証明.

$-$

$\mathrm{L}8\mathrm{n}-\mathrm{l}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1$$\mathrm{n}-1||$$\mathrm{m}\geqq \mathrm{k}$では全ての$\mathrm{G}\mathrm{J}$$\cap$$||\infty$$\mathrm{m}||\uparrow^{\sim}\mathrm{n}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||\infty\geqq$$\mathrm{j}$で$\mathrm{G}\mathrm{J}$$\subset$$(\uparrow)\subset\cup \mathrm{n}(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}\rangle$$<$$2-2\mathrm{n}2-/\mathrm{P}\mathrm{n}-1$$\mathrm{G}$$\mathrm{f}^{\sim}$

では上でも連続である$\mathrm{U}\mathrm{J}\mathrm{U}^{\sim_{\mathrm{j}}}$.

$\mathrm{k}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||\infty$上一様収束し, その極限$\mathrm{G}\mathrm{J}$

上連続だから,$(\mathrm{f}\rangle$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1$I.

$=\cup \mathrm{n}(\mathrm{f}_{\mathrm{n}}\rangle$ $(\mathrm{f}_{\mathrm{n}-\mathrm{b}})\cdots(\mathrm{f}_{1})\subset\cup \mathrm{n}\mathrm{U}^{\sim}\mathrm{n}$

だ

.

」

18
.

が

$\mathrm{U}\sim \mathrm{n}^{\cap}\mathrm{G}\mathrm{J}$$\forall \mathrm{n}\geqq \mathrm{j}$命題 7 $-3$.

$\mathrm{d}_{\mathrm{J}\mathrm{g}}$$\mathrm{I}\equiv$$\mathrm{n}>\mathrm{j}$

. ここで

」

$\mathrm{f}^{\sim}|$にGi$\mathrm{L}2(u\mathrm{J}\rangle$

1

$=$

1

より成立する.

$\mathrm{U}\mathrm{j}\mathrm{U}\sim \mathrm{J}$$\mathrm{j}||\mathrm{f}^{\sim}[|2$$||\mathrm{m}_{\mathrm{J}}$証明

は$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}|\mathrm{G}\mathrm{i}$$\forall \mathrm{j}$$\subset$

$-$

収束し,

$( \mathrm{j}arrow\infty )$.

$||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}^{-}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||_{2}2=\mathrm{J}\mathrm{j}\mathrm{d}_{\mathrm{J}\mathrm{g}}|\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}(\mathrm{g})-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}- 1(\mathrm{g})|^{2}$$\mathrm{g}\in(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}\rangle$$\cap \mathrm{G}\mathrm{J}\subset(\mathrm{f}\rangle$$\cap \mathrm{G}\mathrm{J}\subset \mathrm{U}$」$\mathrm{U}\sim \mathrm{J}$だから$|\leqq$$\mathrm{J}$$\mathrm{U}\mathrm{J}\mathrm{u}^{\sim}\mathrm{J}\mathrm{J}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}\mathrm{f}^{\sim}--\mathrm{n}1||_{\infty}2\mathrm{d}_{\mathrm{J}\mathrm{g}_{\lrcorner}}\leqq\mu \mathrm{J}(\mathrm{U}\mathrm{J}\mathrm{U}\sim\lrcorner)_{\mathrm{n}-1}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-\mathrm{f}\mathrm{n}-1\sim||_{\infty}2$$2^{-4\mathrm{n}-4}$$\leqq$$\mathrm{P}s$1$\mathrm{J}$II$\langle$$\leqq$$\mathrm{p}_{\mathrm{n}})^{-_{2}}$$2-4\mathrm{n}-_{4}$.
II $21\leqq$$\mathrm{f}^{\sim}1|_{2^{-}}.1|\mathrm{J}^{=}|\mathrm{s}11\mathrm{f}^{\sim}1|2-\mathrm{J}11\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}$.

$\leqq\Sigma \mathrm{k}=\mathrm{i}^{\infty}\mathrm{J}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{k}+1^{-\mathrm{f}^{\sim}}\mathrm{k}||2\leqq\Sigma \mathrm{k}=\mathrm{s}^{\infty}2^{-_{2\mathrm{k}-_{2}}}=2^{-_{2\mathrm{J}/3^{arrow}0(\mathrm{j}}}arrow\infty)$

定義 7-4.

11$\varphi,$$\varphi 1,$$\varphi \mathrm{I}\mathrm{I}_{2}\equiv 1\mathrm{i}\mathrm{m}_{\mathrm{J}}\mathrm{J}$

容易に$=<\varphi 1,$

補題 7$\forall \mathrm{g}\in \mathrm{G}$$\varphi 2>$$-5 \cdot\int \mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{n}}$

証明.

II

$\varphi$$\varphi 2\in \mathrm{C}0(\mathrm{G})$II $2,$$\varphi_{2}>\equiv 1\mathrm{i}\mathrm{m}_{\mathrm{J}}<\varphi_{1},$$||\mathrm{R}\mathrm{g}^{\varphi}||2^{=}||\varphi||2$,$<\mathrm{R}\mathrm{g}\varphi 1$$\varphi_{2}>\mathrm{J}$,.I$\mathrm{R}\mathrm{g}^{\varphi}2>$.
g-$\zeta \mathrm{n}-\mathrm{l}\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{n}-1\rangle$ $\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(_{\mathrm{g}})\mathrm{d}_{\mathrm{n}}-\mathrm{l}\mathrm{g}$$1=\mathrm{n}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-||2^{2}$$=\mathrm{J}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{n}^{\mathrm{g}}}|$$<\varphi_{1},$で存在の下で下記を定義する.

n-l $\leqq(1-2^{-2\mathrm{n}}-2)-1$.

$=$$\mathrm{J}\mathrm{n}-1\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\rangle^{-_{1}})\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-_{1(_{\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1})\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1}}}8\mathrm{f}\mathrm{i}-1$$|2$$=\mathrm{J}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{n}}\mathrm{g}\mathrm{J}\mathrm{n}-1\mathrm{J}\mathrm{n}-1\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}(_{\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\rangle^{-})\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(_{\mathrm{g}}}1(_{\mathrm{g}}\mathrm{n}-1’)^{-}1)\cross$X$=\mathrm{J}$n-l$\mathrm{J}\mathrm{n}-1$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1\langle_{\mathrm{g}\rangle \mathrm{f}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-_{1}}\rangle}\mathrm{n}-1\sim \mathrm{n}-_{1},\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1\mathrm{g}\mathrm{n}-}1\mathrm{d}_{\mathrm{n}}-_{1}\mathrm{g}\mathrm{n}-1$$\langle \mathrm{J}\mathrm{r}\downarrow \mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{n}- \mathrm{t}’ (\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\rangle^{-}1\rangle$$\cross$.

$=\mathrm{J}\mathrm{n}-1$

X(

(J.

’

$\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g})\mathrm{d}_{\mathrm{n}}\mathrm{g}\rangle\uparrow \mathrm{n}-_{1(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-_{1}}}\sim)\mathrm{X}$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1(_{\mathrm{g}\mathrm{n}-_{1}}’\rangle$$\mathrm{d}_{\mathrm{n}-1\mathrm{g}\mathrm{n}-}1\mathrm{d}\mathrm{n}-1\mathrm{g}\mathrm{n}-1$’$\mathrm{n}\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{n}-1’\rangle \mathrm{f}_{\mathrm{n}}.(_{\mathrm{g}}\rangle \mathrm{d}\mathrm{n}^{\mathrm{g}})\mathrm{x}$$\mathrm{J}\mathrm{f}\downarrow-1\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\rangle$

この下波付きの部分は$\mathrm{f}\mathrm{n}-_{1}(_{\mathrm{g}\mathrm{n}}\sim-_{1\mathrm{g}\rangle \mathrm{d}_{\mathrm{n}-})\mathrm{d}},\mathrm{n}-11\mathrm{g}\mathrm{n}-1\mathrm{n}-_{1}\mathrm{g}\mathrm{n}-1$$<\mathrm{L}(\mathrm{g}\mathrm{n}-1^{\cdot})-\mathrm{l}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1,$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-_{1}>\mathrm{n}$’-1 であり,19$’\in(\mathrm{f}_{\mathrm{n}}),$$\mathrm{g}\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}$$\mathrm{g}\in(\mathrm{f}_{\mathrm{n}}\rangle \mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}’\in(\mathrm{f}_{\mathrm{n}})(\mathrm{f}_{\mathrm{n}})\mathrm{n}\mathrm{G}\mathrm{n}-1\subset$$|<\mathrm{L}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\cdot\rangle-1\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1,$ $\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1>_{\mathrm{n}}-1$$\leqq$$\mathrm{n}-1||\mathrm{L}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}’)-\mathrm{l}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1$

所で(($\mathrm{J}$

n-l

$-$

$-$

n-l

$||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||2^{2}$$-$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||2^{2\leqq}$$||\mathrm{L}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\cdot)-\iota \mathrm{f}^{\sim\sim}\mathrm{n}-1-\mathrm{f}\mathrm{n}-1||\infty^{2}$$\mathrm{d}_{\mathrm{n}-\mathrm{l}\mathrm{g}}$n--$\leqq$$\mathrm{p}_{\mathrm{n}-1}\cdot 2^{-_{4}}$$4(\mathrm{P}\mathrm{n}-1)2$$/$$.<\mathrm{L}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\cdot\rangle-\iota \mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-_{1},$$2-4\mathrm{n}-4$$\leqq$n-lだから$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1>\mathrm{n}-1\geqq \mathrm{n}-1||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||2^{2_{-2^{-}}2-}\mathrm{n}2=$.

$=1-2^{-2\mathrm{n}-_{2}}$$\leqq$$|$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||2^{\cdot}\mathrm{n}-1||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1||2$$||\mathrm{L}(\mathrm{g}_{\mathrm{n}-1}\cdot)-1\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1$$\mathrm{f}\mathrm{n}\rangle(\mathrm{f}\mathrm{n}\rangle\cap \mathrm{G}\mathrm{n}-1\rangle\langle\neq \mathrm{n}-_{1}\sim)$$\mathrm{n}-1$n-l ,$\mathrm{V}\mathrm{n}^{\cap}\mathrm{G}$

代入して$1=\mathrm{n}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}||2^{2}\geqq \mathrm{J}\mathrm{n}-1(\mathrm{J}\mathrm{n}\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{n}-1’)\mathrm{f}\mathrm{n}(_{\mathrm{g}\rangle \mathrm{d}}\mathrm{n}\mathrm{g})(1-2^{-2\mathrm{n}-2)}$$\mathrm{d}_{\mathrm{n}-\mathrm{l}\mathrm{g}}$即ち$\mathrm{J}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{n}^{\mathrm{g}}}\mathrm{J}\mathrm{n}-1\mathrm{f}_{\mathrm{n}}(\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{n}-1)\mathrm{f}_{\mathrm{n}}\langle \mathrm{g})\mathrm{d}\mathrm{n}-1\mathrm{g}_{\mathrm{n}}-1\leqq(1-2^{-2\mathrm{n}}-2)-1$

命題 7-6.
して$\mathrm{G}$$>\mathrm{j}\geqq \mathrm{k}$$||\mathrm{R}\mathrm{g}\mathrm{f}^{\sim}-$[各で$\mathrm{G}\mathrm{j}$$\mathrm{J}||$$\mathrm{j}$$=$$\mathrm{n}arrow\infty$$\mathrm{j}$,$<\mathrm{R}\mathrm{g}\mathrm{f}^{\sim}$

,

は共に存在

$\mathrm{f}^{\sim}>$$arrow\infty$.

があるから,$\mathrm{n}\geqq \mathrm{j}\geqq \mathrm{k}$$(*4)$,

上での極限の存在]$\mathrm{g}\in G\mathrm{k}$

とする.

先ず

$(\mathrm{R}\mathrm{g}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}- \mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n})-(\mathrm{R}\mathrm{g}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1- \mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1)||2$$\leqq$[$\mathrm{f}^{\sim}||2$.

上の連続函数である.

証明.

より

n-l ’,

2II$\mathrm{R}\mathrm{g}(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-$$\mathrm{J}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-$の時の$\uparrow^{\sim}\mathrm{n}-1||2$$\mathrm{L}2(u\mathrm{J})-$の時の収束性]$||\mathrm{R}\mathrm{g}\uparrow^{\sim}-$$\mathrm{h}\in \mathrm{G}\mathrm{k}$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1\rangle$$\mathrm{f}^{\sim}|[2$$112+\mathrm{J}11\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-$$\leqq$$2-2\mathrm{n}-_{1}$$\mathrm{n}$$\leqq$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}-1$

II 2

,

収束が出る.
条件 ($\mu\rangle$$\mathrm{n}||\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{n}||2$$=$について示せばよい.

として$|\mathrm{J}^{||}\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{I}\mathrm{I}2^{-}\mathrm{J}||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}||2|\leqq$$\leqq\Sigma_{\mathrm{S}^{=\mathrm{j}}}\infty_{\mathrm{J}}||(\mathrm{R}\mathrm{h}\tau^{\sim}\mathrm{S}+1^{-}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{s}+1\rangle-(\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{S}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{s})|12$

1

.

20

Il

$\leqq\Sigma_{8^{=}\mathrm{J}^{\infty}}\ddagger_{\mathrm{j}}$$\leqq$.

$|_{\mathrm{j}}\equiv \mathrm{J}$$2-2\mathrm{j}+1/3$

II

J-l

II 2+

$\mathrm{j}$II$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{s}+1^{-}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{s}||2\mathrm{J}$.

$\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}^{-}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}$$=\zeta \mathrm{j}\mathrm{d}_{\mathrm{J}\mathrm{g}}\mathrm{J}$X$\mathrm{R}\mathrm{h}(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{S}+1-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{s})$J-l$\mathrm{J}$Il$2^{2}$$\rangle-1\rangle\cross$$\mathrm{f}s(\mathrm{g}(\mathrm{g}_{\mathrm{j}-1}\rangle^{-_{1}})\mathrm{f}\mathrm{J}(\epsilon(\mathrm{g}\mathrm{j}-_{1},$$(\mathrm{f}^{\sim}\lrcorner-1(\mathrm{g}\mathrm{j}-1\mathrm{h}\rangle-\mathrm{f}^{\sim}\lrcorner-1(\mathrm{g}\mathrm{j}-1)\rangle(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{s}(\mathrm{g}_{\mathrm{J}}’ \mathrm{h})-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}(\mathrm{g}\lrcorner’\rangle)$$\mathrm{d}^{\mathrm{j}}-1\mathrm{g}_{\mathrm{j}-_{1}}$$=$X$\cross$’$\mathrm{g}_{\lrcorner-1}$$(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}-1(\mathrm{g}_{\mathrm{J}1}-\mathrm{h}^{)\langle \mathrm{g}_{\mathrm{J}-1}}-_{\mathrm{f}-1}\sim \mathrm{J})\rangle\langle\tau^{\sim}\mathrm{J}-1(\mathrm{g}\lrcorner-1 ’ \mathrm{h}^{\rangle-}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}-1(_{\mathrm{g}}\mathrm{J}-1’))$$\ddagger \mathrm{j}-1\mathrm{d}^{\mathrm{j}_{-}1}\mathrm{g}\mathrm{j}_{-}1$

$($

’

J-l

$(:s\mathrm{f}^{\mathrm{j}}(\mathrm{g}\mathrm{g}_{\mathrm{j}-1}’\rangle \mathrm{f}_{\mathrm{J}}(\mathrm{g})\mathrm{d}^{\mathrm{j}\mathrm{g}}\rangle$$\mathrm{g}$J-l’$\mathrm{d}_{\mathrm{J}-\mathrm{l}\mathrm{g}}\mathrm{j}-1$$\cross$$\zeta \mathrm{i}-1(\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j} - 1(\mathrm{g}\mathrm{j}-1\mathrm{h})-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}-1(\mathrm{g}\mathrm{j}-1))\cross$

X

下波付部で

$(\uparrow^{\sim}\mathrm{J}-_{1}(\mathrm{g}\mathrm{j}-1 ’ \mathrm{g}\mathrm{j}-1\mathrm{h})-\mathrm{f}\sim \mathrm{j}(\mathrm{g}\mathrm{j}-1 ’ 8 \mathrm{j}-1))\mathrm{d}\mathrm{j}_{-\mathrm{l}\mathrm{g}}\mathrm{i}-_{1})$$<\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim\sim}\mathrm{J}-_{1^{- \mathrm{f}}}\mathrm{J}-_{1},$$\leqq$$|_{\mathrm{j}}\leqq$$\zeta \mathrm{J}\mathrm{d}_{\mathrm{J}\mathrm{g}}$\d ag er$\triangle$

J-l($\mathrm{L}(\mathrm{g}\mathrm{j}-1)-1\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}-1- \mathrm{f}\sim \mathrm{J}-1>\leqq$$\mathrm{g}\mathrm{j}-1’\rangle$i-l$\mathrm{J}-1\mathrm{f}_{\mathrm{J}()\mathrm{f}(\mathrm{g}}\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{J}-_{1},\mathrm{J}\rangle$

X
[

J-l

$:\mathrm{J}-1:\mathrm{J}-1(:\mathrm{J}^{\uparrow}\mathrm{J}(\mathrm{g}\mathrm{g}_{\mathrm{J}-1}’(\mathrm{g}_{\mathrm{J}-1}\rangle^{-1})\mathrm{f}_{\mathrm{J}}(\mathrm{g})\mathrm{d}^{\mathrm{j}\mathrm{g}})\mathrm{x}$$\mathrm{d}$$=$$\mathrm{d}$$||\iota\backslash \mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim\sim}\mathrm{j}-1^{-}\mathrm{f}\mathrm{j}-_{1}||2^{2}$$\mathrm{d}\mathrm{j}_{- 1}\mathrm{g}\mathrm{j}_{-_{1}}$’$\mathrm{x}$$\Delta \mathrm{s}-1(\mathrm{g}\mathrm{j}-1’)\mathrm{j}-1||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}-\mathrm{a}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}-_{1}||2^{2}$$\mathrm{g}\mathrm{g}_{\mathrm{J}-1}’\in(\mathrm{f}_{\mathrm{J}})_{*}\mathrm{g}\in(\mathrm{f}_{\mathrm{J}})$$\Rightarrow$

8$\Rightarrow$$’\in(\mathrm{f}_{\mathrm{J}}\rangle\langle \mathrm{f}\mathrm{j}\rangle\cap \mathrm{G}\mathrm{J}$$\Rightarrow$$\lrcorner-1$$\Delta^{\mathrm{j}}-1(\mathrm{g}\mathrm{J}-1’)<1+2^{-\mathrm{J}+1]}$.

結局補題 7-5 より($*5\rangle$$\mathrm{J}$II$\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}^{-}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}$II$2^{2}\leqq$$\leqq(1-2^{-2\mathrm{j}}- 2\rangle^{- 1}(1+2^{-\mathrm{J}+}\underline{\uparrow})$$\leqq\langle 1+2^{-2\mathrm{j}}-_{2)(}1+2^{-}\mathrm{J}+1$J-l) J-l II

II$\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}-^{1- 1^{-}}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}-_{1}$II 22$\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\lrcorner-1^{-}\mathrm{f}\lrcorner-\sim 1\mathrm{I}1_{2^{2}}$

.

’

21

$\leqq(\iota+2^{-}\mathrm{J}+2)$J-l$||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim\sim}\mathrm{J}-1^{-}\mathrm{f}\lrcorner-1||2^{2}$.

即ち$0\leqq\Pi_{\mathrm{s}^{=_{1}}}\mathrm{J}(1+2^{-}\mathrm{s}+2\rangle- 1_{\mathrm{J}}$II$\leqq$

II

となり,

II

II $22\leqq$$\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}-\mathrm{f}^{\sim}\lrcorner$$\mathrm{s}^{=}1^{\mathrm{J}}-1(1+2^{-_{\mathrm{s}+2\rangle}}\mathrm{J}-1||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}-1^{-}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}- 1||2^{2}\cdot$$\mathrm{S}=1^{\mathrm{J}\langle 1}+2-\mathrm{s}+2$)は$-1_{\mathrm{J}}||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}-_{\mathrm{f}^{\sim}}\mathrm{J}||2^{2}$$\mathrm{j}$につき単調減少であるから収束する.
–

方

[連続性]

で定義した
$||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}-$$(\mathrm{W}-1)(\mathrm{W}^{-}2)$で{$\exists \mathrm{S}(>\mathrm{r}\rangle$

II$=\Sigma_{\mathrm{k}=_{\mathrm{s}^{\mathrm{r}}}}\mathrm{I}\mathrm{I}$.’$\epsilon>0$$(*4)$ よ り」$\mathrm{h}\in \mathrm{W}^{\sim}\mathrm{s}^{\mathrm{r}}$’hf \sim -f\sim II$\mathrm{e}$の近傍系$\cdot$S.

$\exists \mathrm{r}$$\mathrm{t}$.

$\backslash /\nabla \mathrm{h}\in \mathrm{W}^{\sim_{Y}}$即ち$(\mathrm{s}\geqq \mathrm{k}\geqq \mathrm{r})$$\exists \mathrm{h}_{\mathrm{k}}\in \mathrm{W}_{\mathrm{k}}$$2\leqq$$\mathrm{R}\mathrm{h}_{\mathrm{k}}.\prime \mathrm{f}^{\sim}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{I}\mathrm{I}2$$\mathrm{h}_{\mathrm{k}}\in \mathrm{W}_{\mathrm{k}}$.

$(\mathrm{j}\geqq \mathrm{k})$$\mathrm{J}-1||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}-1\mathrm{f}^{\sim}- \mathrm{J}-_{1}||_{2^{2}}$$\mathrm{C}2_{\equiv}\Pi \mathrm{m}=1\infty(1+2^{-}\mathrm{m}+2\rangle$$\Pi_{\mathrm{m}}=\mathrm{k}+1^{\mathrm{J}}(1+2^{-\mathrm{m}+}2)_{\mathrm{k}}||\mathrm{R}\mathrm{h}_{\mathrm{k}}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{k}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{k}||_{2^{2}}$.

$||\mathrm{R}\mathrm{h}_{\mathrm{k}}\mathrm{f}^{\sim}-$$\mathrm{f}^{\sim}||_{2}\leqq$$\leqq$としての$\mathrm{R}\mathrm{h}_{Y}\mathrm{h}\mathrm{r}+1^{\cdot}\cdot \mathrm{h}_{\mathrm{k}1}-\mathrm{h}\mathrm{k}\mathrm{f}^{\sim}-\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{r}\mathrm{h}_{Y+}1^{\cdot}\cdot \mathrm{h}_{\mathrm{k}}-1\mathrm{f}\sim|1_{2}$$\mathrm{J}||\mathrm{R}\mathrm{h}_{\mathrm{k}}\uparrow^{\sim}\mathrm{J}^{-}\mathrm{f}^{\sim}\lrcorner||_{2}2\leqq$$2-2\mathrm{k}-8\mathrm{c}2$$\mathrm{G}$$\mathrm{w}^{\sim_{\mathrm{r}}}\equiv\cup \mathrm{s}^{\infty_{\mathrm{W}^{\sim}}}\mathrm{s}^{\mathrm{r}}$$\cdot \mathrm{W}_{\mathrm{s}},$$\mathrm{J}||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}^{-}\mathrm{f}\sim \mathrm{J}^{||_{2}2}\leqq(1+2-\mathrm{J}+2\rangle$

まで繰り返し$\mathrm{j}arrow\infty$を使って$\{\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\}$を示す.

$\mathrm{f}^{\sim}|[<\epsilon$$\leqq\Sigma_{\mathrm{k}=_{\mathrm{s}^{\mathrm{r}}}}$$\leqq$の.

を取る.

$\mathrm{W}^{\sim_{r}}\rangle$$\mathrm{h}=\mathrm{h}_{\mathrm{r}}\mathrm{h}_{Y}+1\ldots \mathrm{h}_{\mathrm{s}}\cdot||\mathrm{R}$$\mathrm{k}$で収束するから,$\infty$の存在が言えた.

$\mathrm{w}^{\sim}\mathrm{s}^{\mathrm{r}}\equiv \mathrm{w}_{\mathrm{r}}\mathrm{w}_{Y}+1^{\cdot}$$\mathrm{S}\geqq \mathrm{r}$$\mathrm{h}\in \mathrm{W}^{\sim_{\mathrm{r}}}$$arrow$$\mathrm{j}$$\mathrm{J}||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim_{\mathrm{j}}}-\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}||2$$||\mathrm{m}_{\mathrm{J}}$$(*5)$ でも$\Pi \mathrm{s}^{=}1^{\mathrm{J}}(1+2^{-}\mathrm{s}+2\rangle^{-}1$$||\mathrm{R}\mathrm{h}_{\mathrm{k}}\mathrm{f}^{\sim}-$$\mathrm{J}||\mathrm{R}\mathrm{h}_{\mathrm{k}}\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{j}-$$2^{-\mathrm{k}-4}\mathrm{C}+$$\mathrm{f}^{\sim}||2$$\leqq$$2-2\mathrm{J}+1/3$$\mathrm{f}^{\sim}\mathrm{J}||_{2^{+}}$$2-2\mathrm{J}+1/3$.

$\mathrm{C}2^{-\mathrm{k}}arrow 4$で$\leqq$22$||\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}^{\sim}- \mathrm{f}1\sim 12\leqq\Sigma_{\mathrm{k}^{-}11\mathrm{R}\mathrm{h}_{\mathrm{k}}}-\mathrm{r}^{\mathrm{s}}\mathrm{f}\sim-\mathrm{f}^{\sim}|12\leqq \mathrm{c}\Sigma_{\mathrm{k}=\mathrm{r}}\infty_{2}-\mathrm{k}-4=_{\mathrm{C}}$を$\mathrm{r}$に取れば$\mathrm{C}2^{-\mathrm{r}-3}$$\epsilon>$$\leqq\epsilon$

2-r-3.

.

I

上の形の表現に対して誘導表現を考える事が出来る.

補題 7 $-7$.

$\mathrm{G}\mathrm{n}$上の正定符号測度$\mathrm{d}\mathcal{V}\mathrm{n}+1(\mathrm{h}\rangle$

を$\mathrm{G}\mathrm{n}+1$

り,

リ表現は,

構成法により$.\mathcal{V}\mathrm{n}$

に対応する

に対して

$(\Delta_{\mathrm{n}}(\mathrm{h})/\Delta \mathrm{n}+1(\mathrm{h}))1/2\mathrm{d}\mathcal{V}\mathrm{n}(\mathrm{h})$$\equiv$

上の測度と見たものは,$\mathrm{G}\mathrm{N}\mathrm{S}-$$\mathcal{V}\mathrm{n}$$\mathrm{G}\mathrm{n}+1$に対応する$\mathcal{V}\mathrm{n}+1$$\mathrm{G}\mathrm{n}$上の正定符号測度であの表現から$\mathrm{G}\mathrm{n}+1$のユニタに誘導して得$G\mathrm{n}+1$1られる表現とユニタリ同値である
辰馬伸彦, 位相群の誘導表現に関する注意, 「数学」 ,(参照

12 (1965),$\mathrm{P}\mathrm{P}39-41,$$d\mathrm{M}\mathrm{R}34\# 4413)$

但しここで次の仮定を置く.
[仮定][$\backslash \nabla^{\text{ノ}}\mathrm{j}$$|\mathrm{m}_{\mathrm{n}}$$\Delta \mathrm{n}|\mathrm{G}\mathrm{J}$が上で, 広義一様に収$\mathrm{G}\mathrm{J}$束する.

命題 7 $-8$号測度

この仮定の下で,$\mathcal{V}\mathrm{m}$ある$\mathrm{m}$について$\mathrm{G}_{\mathrm{m}}$の正定符に対応するユニタリ表現から” 誘導” される$\mathrm{G}$の表現を作る事が出来る.
証明 前補題によりが,仮定から$\mathrm{d}\mathcal{V}\mathrm{n}(\mathrm{g})$$\mathrm{n}arrow\infty$$\equiv$$=$

ここで$\mathrm{G}_{\mathrm{m}}$$\mathrm{G}\mathrm{n}$で上の次の測度$\mathrm{G}_{\mathrm{m}}$$\nu \mathrm{n}$は正定符号である上の測度と見ても収束する.

$\Pi \mathrm{J}--\mathrm{m}^{\mathrm{n}}-1(\Delta \mathrm{J}\langle_{\mathrm{g}}\rangle/\Delta \mathrm{J}+1(\mathrm{g})\rangle 1/2\mathrm{d}\mathcal{V}\mathrm{m}\langle \mathrm{g})=$$(\Delta_{\mathrm{m}}(\mathrm{g})/\Delta_{\mathrm{n}}(\mathrm{g})\rangle 1/2\mathrm{d}\nu \mathrm{m}(\mathrm{g})$上の測度と見ての収束先を$\varphi^{\sim}(\mathrm{g}\rangle\equiv<\prec \mathrm{U}^{\mathrm{g}}\mathrm{f}^{\sim},$$\mathrm{f}^{\sim}\succ\succ\equiv$$\mathcal{V}\sim$.

とする$\zeta_{\mathrm{m}}<\mathrm{R}\mathrm{h}^{\mathrm{g}}\mathrm{f}^{\sim},$$\mathrm{f}^{\sim}>\mathrm{d}\nu^{\sim}(\mathrm{h}\rangle$$= \lim_{\mathrm{J}}\zeta_{\mathrm{m}}<\mathrm{R}\mathrm{h}^{\mathrm{g}}\mathrm{f}\mathrm{J}\mathrm{f}^{\sim}\sim,\mathrm{J}>\mathrm{j}(\Delta_{\mathrm{m}}(\mathrm{g})/\Delta_{\mathrm{J}}(\mathrm{g}))1/2\mathrm{d}\nu_{\mathrm{m}}\langle \mathrm{h})$

,

23

は

$\mathrm{G}$1上の連続正定符号函数である.
以上