数理解析研究所講究録
第 1698 巻 2010 年 78-91

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京都大学大学院情報学研究科 辻本諭
タイトル 「離散可積分系とスケール変換\sim

連続・離散・超離散 \sNo. 1 自己紹介

私は、 離散可積分系とよばれる力学系を専門にしています。 離散可積分

数値計算アルゴリズムとも関係しています。 出身学部は工学部の電子通信でも無ければ理学部でもありませんので、 他の方とは異なっております。

ドとして紹介して頂きまして、 大変光栄に思っております。

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No.2 soliton!
代表的な Soliton 方程式$(KdV$ 方程式$)$は次の数式で表されます。

Soliton!
$KdV$ 方程式

(代表的 Soliton 方程式)$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}=0$

非線形でありながら “解ける’4’.

$*$$\bullet$$\bullet$$\overline{\text{ロ}\rfloor}$

積分

たくさんの任意パラメータを含む特解の存在

さまざまな物理現象にあらわれる
Kd $v->$ 浅水波のモデル方程式

N LS $->$ 光ファイバー中を伝搬する波, 渦糸モデル$KdV$ 方程式の第 2 項である

$udu/dx$ が非線形項です. 非線形項が無けすから、 フーリエ変換などを用いて何なりと解くことが出来ます。 非線

常はどのように解けば良いか分かりませんが、 ある特別な性質を持ってお形でありながら解くことができます。「解ける」 というのは、 微分方程式あるという意味です。 積分可能という意味から我々は 「可積分」 という使っております。 厳密な意味で数学の人に可積分とは何か聞けば定義はなのが普通ですが、 ここではもう少しラフに 「解ける」 という言葉も人そしてくださいというスタンスです。 可積分は 「解ける」 ということですかいるということと表裏一体です。 それも解析関数で書ける。 ソリ トンで80ン波を重ね合わせることができて、 重なりあう時に非線形な相互作用をしを起こします。 このアニメーションは空間 1 次元時間 1 次元でしたが、ても解を持っていて、 方程式を解くことができます。 この辺は佐藤幹夫に素晴らしい KP 理論が構築されています。
$KdV$

方程式はもともと物理現象として発見されました。 今から 100 年

Scott Russell がスコットランドの用水路で孤立波を観測したのが始ま

Korteweg と de Vries がモデル化しました。 したがって、空間方向も時間分方程式として記述されています。 さらに、 ソリ トンは Non-linear Sch

程式においても見られるといった報告が重なりまして、 今では可算無限個式があることが知られています。

No.4 Solitons in various spaces

Solitons in Various Spaces

麟騨継幽偏微分方程式$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}=0$$(t,x,u\in R)$

隣接関係式 (漸化式)$\frac{1}{u_{n}^{(t+1)}}-\frac{1}{u_{n}^{(t)}}=\delta(u$辮$)_{-u_{n- 1}^{(t)})}$$(t,n\in Z, u\in Q)$

ソリ トンは物理現象として発見されましたので、 空間も時間も連続な偏記述されます (左)。

しかし、 ソリ トン (可積分系) は必ずしも連続変数

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No.5 箱玉系 (Box &Ball System)

箱玉系 (Box &Ball System)

箱玉系 (BOX &Ball System)
ソリトンセルオートマトン (Takahashi, Satsuma 1990)

O O O

$O$

O OO $O$
OOO $O$

ソリ トンセルオートマトンの最も基本的な系は、 Takahashi-Satsuma

発見された箱玉系 (BBS)と呼ばれる系です。 箱玉系では無限、 ないし用意し、 一つの箱には一つの玉しか入らないとして、 何個か (有限個)初期値として与えます。 その初期値に対して、 時間発展として一番左側に接の右側の空き箱初期状態$(\square$ $)$に移していくという処理をします。 仮に、$\bullet\bullet\bullet$$\square \square \bullet$$\square \square \square \square \square \square \square \square$としたとき、 一番左側にある玉を最近接にある、 右側の空き箱に移します82

先ほどアニメーションでお見せしたソリ トン (孤立) 波と比べていただ

ソリ トンとは孤立波が安定して伝播する。 2 つの孤立波が衝突した後にもかつ、 衝突前後で位相のズレを起こす特徴をもち、 それは箱玉系でも保存

箱玉系において波は高さが 1 と制限されていますが、 その分横に連な中の状態は別に議論することにして、 ソリ トン同士が十分離れている状態

びの玉を 1 つのソリ トンと思うと、 ソリ トンは横のつながりが多いほど速つまり 3 つ横に繋がった玉は速さが 3 のソリ トンとなります。 それに対し場合は各時間ごとに 1 つずつしか移動しない、 速さが 1 のソリ トンになり式など、 通常のソリ トンでは波が高いほど速いのですが、 箱玉系においてる玉の数が波の高さに相当します。 波同士が衝突して相互作用すると、玉の数が 1)のソリ トンでは速さ 1 の移動が 2 時間ステップ分停止するを実現します。 これは元々の $KdV$ 方程式で見てきた位相のずれに対応しは、 $KdV$ 方程式などとはまったく独立に、 Takahashi Satsuma 先生の洞$-$ら降ってくるように発見されました。

No 6 連続、 離散、 超離散箱玉系の話は、 見た目はもちろん離散系連続系の $KdV$ 方程式と違うわ続系箱玉系はそれぞれ独立に存在するように見えます。 もちろん、 離は深い関係があり、 離散系の連続極限は連続系になることは想像の範囲内系と他の可積分系 (離散系連続系の $KdV$ 方程式) の問では何らかの意見て取れないか ? ということを知りたくなります。 そこで、 まず前段階連続系の問の関係を見たいと思います。

連続・離散超離散83No.7 可積分系のマスター方程式

行列式の恒等式は、 可積分系に隠れている最も基本的な構造です。 行列スバイケースで色々な方程式がありますが、 行列式の恒等式を導く一番

なわち離散 KP 方程式 (双線形方程式、 広田形式) を考えることができま

可積分系のマスタ一方程式$\blacksquare$

離散 KP 方程式 (双線形方程式, 広田形式)$\tau(k-a_{9}l,$ $m)\tau(k,$ $l$$-\tau(k,$–$l-b,$ $m)\tau(k-a,$$+\tau(k,$ $l,$ $m$

離散変数 : $k,$–$c)\tau(k-a,$$l,$ $m$$b,$ $m$–$c)$$l,$ $m$–$c)$$l$$b,$–$m)=0$, 差分間隔 : $a,$ $b,$$c$

全ての独立変数が対等,時間と空間の差異はない.
次元簡約, 極限操作により様々な可積分系へ

KP 方程式は 2 次形式、双線形形式になっており、広田先生によって導表現されています。 ここで $k,$

例えばある離散変数の値えます。 式は、$\tau$$k$$1,$$m$は離散変数で、 aについて、 次に $a+k,$$b,$$,$$a+2k$$c$

は差分間隔ですと離散変数が取りという変数の 3 次元空間中における 6 点格子上の値のいます。 次元簡略すると、 空間 1 次元時間 1 次元に落とすこともできます

元簡約ともう一つひねりを加えると $KdV$ 方程式を得ることもできます。$84

No 8 生物学的独立変数とスケール変換

ここで、 やっとスケール変換という言葉が出てきます。 加藤先生が 「スうテーマの元で私を呼んでくださったのは、 これから話すことが役に立っ期待されたのではないかと想像します。 すなわち、 生物学的 「独立変数」

ル変換のような物があるか ? というテーマです。 可積分系においては、です。 もちろん、 物理の世界では、 時間と空間では空間の方が粗くてもがありますが、 その辺は度外視して、 生物学的 「独立変数」 のスケール

もちろん現在私には良いアイディアはありませんが、 時間方向の老化や進の分子、 器官、 細胞、 個人、 集団をつなぐ理論はあるのか ? という事です

定すると、 どのような状況が期待されるのか ? 考えましょう。

生物学的独立変数とスケール変換$\blacksquare$$\blacksquare$$\blacksquare$$\blacksquare$

例: 老化, 進化

例:Molecule, organcells, cell, organ,individual, population
これらの間を “つなぐ” 理論はあるのか ?

存在すると仮定するとどのような状況が予想 (期待) されるのか ?

No.9 モデル化 (Toy model)
そのような議論をするためには、 モデル化が必要でしょう。 なぜなら、

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モデル化 (TOy model)$\blacksquare$$\blacksquare$$\blacksquare$

長時間スケールや大規模システムにおいては, “複雑ざ’ の爆発が不可避“簡単化” の手法が必要
しかし, 本質を捨ててしまってはダメ$arrow$$\blacksquare$?

ソリトンにおける状況は.

. .

No.10 $KdV$ 格子と LV (Lotka-Volterra) 格子

もちろん、 ソリ トン解を持つといった本質を保存した単純化は、 生物学ことは期待できません。 しかし、 先ほど紹介した箱玉系はとても簡単でし

散系や連続系の $KdV$ 方程式の問にある種の対応がつく、 単純化の原理みていると非常に嬉しいです。 そのような単純化の原理がソリ トン系ある界では見つかっています。 たとえこれが直接生物系に使えなくとも、 こご紹介することは意義あることと思っております。

$KdV$格子と LV 格子

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偏微分方程式をいきなり箱玉系に持ってゆくことは、 ソリ トン系においですので、 一旦、 離散系を経由して箱玉系との対応を考えます。 上にています。 離散空間類似というもので、 上記離散 $KdV$ 格子と離散 LV 格いますがどちらもそれぞれ適当な変数変換とスケーリング、そして差分間操作をすることで $KdV$ 方程式に帰着させることができます。

この一見違う 2 つの式は、 ミウラ変換という非線形変換の公式$(Vn=u_{n}u_が出来ます。 $KdV$ 格子を二つずらしてミウラ変換にしたがって Vn を定Lotka-Volterra 方程式の解になっています。

連続極限
$d1$
$\overline{dtu_{n}}=u_{n+1}-u_{n-1}$$u_{n}=1+\epsilon^{2}U(n,$ $t)’ 2$$T=-\epsilon^{3}t’ 3$$\epsilonarrow 0$,$X=\epsilon(n-2t)$$\frac{\partial U}{\partial T}=6U\frac{\partial U}{\partial X}+\frac{\partial^{3}U}{\partial X^{3}}$87

離散系特有の特解 (分子解)離散 Lotka-Volterra 方程式$\frac{U_{n}^{t+1}}{U_{n}^{t}}=\frac{1+U_{n+1}^{t}}{1+U_{n-1}^{t+1}}$

を境界条件 $U_{0}^{t}=0$ のもとで解く.

No.24 超離散系

超離散系を定義しますと、 すべての独立変数、 従属変数が整数の中に閉とです。 箱玉系では、 波の高さは 1 でしたが、 波の高さもします。

$1$$2_{\text{、、、}}$、と88

No 25 超離散ソリ トン
超離散ソリ トンの図を示します。 箱の強度

$1$、強度 2 といった不連続な強同士の非線形相互作用をみることができます。

No 26 離散から超離散へ
このような離散から超離散への変換は系統的に導出することが出来て、れを超離散化と呼んでいます。 一方、 代数幾何の分野ではトロピカル幾何

離散から超離散ヘ$\bullet$超離散化 (トリピカル幾何)$\ovalbox{$\uparrow\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\iota_{\}}.Uparrow_{-}\Vert||_{1}|\ovalbox{\tt\small REJECT}$

UItradiscrete Iimit

89

上に示す、 Ultradiscrete limit と呼ばれる極限を離散系に適用します。そに、 掛け算を足し算に、 割り算を引き算に、 足し算を $\max$ にする変換に$A\cdot Barrow A+B$

$A+Barrow A-B$
$A+Barrow\max(A,B)$

こういった極限操作より先ほどの $KdV$ 格子や LV 格子は区分線形な力学

散 LV 格子は超離散 LV 格子へ変換されます。 すなわち、 独立変数、 従属数を与えると整数の中で閉じた式へ変換することが出来ます。

離散から超離散ヘ$\bullet$

離散 LV 格子$tb\ovalbox{\tt\small REJECT}\Uparrow\ovalbox{\tt\small REJECT}\Uparrow_{\Vert}|\Vert_{1}|\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathfrak{l}}\ovalbox{\tt\small REJECT}.\uparrow,\phi_{!}\ovalbox{\tt$\frac{v_{n}^{(t+1)}}{v_{n}^{(t)}}=\frac{1+\delta^{(t)}v_{n- 1}^{(t)}}{1+\delta^{(t+1)}v_{n+1}^{(t+1)}}$$R_{\exp(-L\prime\epsilon)}^{v_{n}^{(t)}=\exp(V_{n}^{(t)}’\epsilon)}\delta^{(t)}--1$$UItradiscreteIimit\lim_{\epsilonarrow+0}\epsilon\log(e^{A}/\epsilon+e^{B}/\epsilon)=\max(A_{$\bullet$

超離散 LV 格子$V_{n}^{(t+1)}-V_{n}^{(t)}= \max(0,V_{n-1}^{(t)}-L(t))-\max(0,V_{n+1}^{(t+1)}-L(t))$$L(t)$: 任意関数90

超離散 $KdV$ 格子
超離$v_{k}^{(j)}= \prod_{-\mathcal{U}=-\infty}^{k}\frac{u_{\mu}^{(j)}}{u_{\mu- 1}^{(j+1)}}$$BJ_{\approx}^{rightarrow}U_{\text{フ^{}7}\acute{\grave{z}}}^{-r\text{換を_{}U_{\mu}^{(j)}-U_{-\mathcal{U}- 1}^{(j+1)})}}V_{k}^{(j)}=\sum_{\rho\iota}^{k}^{4t}$超離散 LV に代入すると$V_{k+1}^{(j+1)}-V_{k}^{(j)}= \max(0,V_{k}^{(j+1)}-L(k))-\max(0,V_{k+1}^{(j)}-L(k))$

No 28 終わり

まず離散系ありきとすると、 離散系に対する連続極限 (近似) をして連簡単化もありますが、 逆に離散系の超離散極限をとると超離散系になり、玉系までスケール変換することができる。 離散系をミクロだとすれば、って得られる箱玉系はマクロであって、 非常に複雑になることが予想されはより簡単な式が得られる。 そして、 その上でより複雑なことを考えるこのような解析を行うことができれば我々としては非常に嬉しく思うわけでおわりに–$-=–=-$

離散 $KdV$ 格子

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質問コメント等(質問) 超離散系で出てきた方程式の解は離散系の解を形式的に手続きと出てくるのでしょうか ? すなわち一般的に解を導くことはできるのか ?

(回答) かなり一般的にできる。 超離散極限を取れない解もあるが、 ソのクラスなら大丈夫です。

(質問) 超離散化の場合保存系が前提だが、 散逸系に適用した場合は上か?

(回答) もともと箱玉系を作った高橋先生が研究されている。 見た目は場合も沢山あるが解析的に解けないので判定できない。

(質問) 箱玉系の玉の数を増やすとどうなるか。 玉の数が無限大になるてどこから始まるか分からないのでは ?

(回答) 左右をつなげて周期系にした研究があり、 玉の数が箱の数の半ば通常の箱玉系だが、 多いと玉と箱の関係が入れ替わります。 しかし、せん。

(質問) 元の偏微分方程式の L2 解に相当するが、 エネルギー無限大の解(回答) ソリ トンの場合は玉の数を有限個に限っている。

(質問) 方程式の空間に群が作用していてソリ トンが決まるという理解で(回答) 非線型方程式は過剰決定系で、 条件のほうがパラメータの数より