数理解析研究所講究録1535 巻 2007 年 25-30

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解析関数からなる関数空間の等距離線形作用素について

岡安隆照 (Takateru Okayasu)
Professor Emeritus, Yamagata University

山形大学名誉教授

1. 関数環の間の等距離線形写像$n$次元複素空間ひの空でないコンパクト部分集合 $K$ 上で連続で, $K$ の内部$K^{\mathrm{o}}$で解析的な複素数値関数が作るバナッハ空間を A(K) によって表す. これは関数の点毎の積を積として環をなす. 一般に, コンパクトハウスドルフ空間 $X$ 上の複素数値連続関数の全体が作る環の閉部分環で, 恒等関数 1 をもち $X$ の点を分離するもの (と代数同型であるもの) を関数環と呼ぶ. $A(K)$ は, ひの空でない開集合 上の $H$と並ぶ最も重要な関数環である. この稿では主として $A(K)$ の型の 2 つ空間$G$。

$H^{\infty}(G)$のバナッハ空間の間の等距離線形写像について論ずる.
を複素平面上のコンパクト集合とするとき $A(K)$ の代数同型ことはよく知られている: $K$ の内部 K。で解析的な $K$ の位相同型$K$$\psi$$\eta$

が次の形をもつが–意に存在して, 任意の $f\in A(K)$ に対して$\psi(f)=f\mathrm{o}\eta$,$f\in A(K)$であっても同様である (Rudin [8]).
が成り立つ. $K$ がひの閉単位球$A$
ところで, コンパクトハウスドルフ空間 $X$ の部分集合 が $X$ 上の関数環 の境界, Siov 境界, Choquet 境界であるとは, それぞれ, 任意の $f\in A$ が で最大絶対値を実現するときに, それが最小の閉境界であるときに, 点 $x\in X$ における点汎関数$B_{n}$$\Gamma$$\Gamma$$\tau_{A}(x)(f)=f(x)$,$f\in A$

26が$x$における Dirac 測度から成るときに, いう. 関数環 はによって表す. $A$ の Choquet 境界を垣 A によっに限られるような$\delta_{x}$唯–の Silov 境界をもつ. それをて表す.

$\Sigma_{A}$

$A$

$x$

関数環の等距離線形写像は, 一般に, 次の定理が述べるとおりの構造をもつ:定理 1.1 (Nagasawa [4], Cf. Hoffman [2]). 関数環から関数環の上への等距から離線形写像 に対して,の上\sim の代数同型 が–意に存在して,$A_{1}$$A_{1}$$\eta$$A_{2}$$\psi$$\psi(f)=\phi(1)\psi(f)$が成り立つ. このとき,$\phi(1)$は$A_{2}$$A_{2}$,$f\in$で可逆であり,$A_{2}$$A_{1}$の Siov 境界$\Sigma_{A_{2}}$の任意の$y$に対して $|\phi(1)|=\cdot 1$ が成り立つ.

よって, 関数環から関数環の上への等距離線形写像の研究は, 関数環から関数環の上への同型の研究に帰する. 特に, が $A(K)$ 上の等距離線形写像ならば は次の形をもつことがわかる:$\phi$$\phi$,$\phi(f)=\phi(1)(f\mathrm{o}\eta)$$\phi$$f\in A(K)$.

が $A(B_{n})$ 上の等距離線形写像であっても同様である (Rudin [8]).

2. 関数空間から連続関数の空間への等距離線形写像
コンパクトハウスドルフ空間 $X$ 上の複素数値連続関数の全体が作るバナッハ空間$C(X)$ の部分空間 $M$ に対してその境界, Silov 境界, Choquet 境界の概念を関数環の対応する概念と同様に定める. 記号も踏襲する: M の Silov 境界が–意に定まるときそれをによって表し, $M$ の Choquet 境界をによって表す. バナッハ空間$C(X)$ の, 恒等関数 1 を含み, $X$ の点を分離する部分空間を $X$ 上の関数空間と呼ぶ.
関数空間の S 皿 oV 境界はその Choquet 境界の閉包である.
関数空間から連続関数のバナッハ空間への等距離線形写像は, 次の定理が述べるとおりの構造をもつ:$\Sigma_{M}$$\Pi_{M}$定理 2.1 (Holsztytski [3], Novinger上の関数空間, をの閉包よる像とすれば,$M_{1}$

を$X_{1}$$\phi$$\Pi_{M_{2}}$$M_{1}$$\Pi_{M_{2}}$からから$[6|$).

をコンパクトハウスドルフ空間,
をの にへの等距離線形写像,の上への連続写像 が–意に存在して$X_{1},$$X_{2}$$C(X_{2})$$\Sigma_{M_{1}}$$\phi(f)(y)=\phi(1)(y)f(\eta(y))$$M_{2}$$\eta$,$y\in \mathrm{I}\mathrm{I}_{M_{2}}-$,$f\in M$

$M_{1}$$\phi$

27が成り立つ. このとき,$|\phi(1)(y)|=1$である. また,は$\eta$を$\Pi_{M_{2}}$$\Pi_{M_{1}}$,$y\in\overline{\Pi}_{M_{2}}$の上に写す.

上の関数空間,, ひの空でないコンパクト部分集合をそれぞれに含まれ, 任意の f\in M らの による像がへの写像とする.
からをの関数を生の関数に右から作用してがに属するとき, はに対してに属すると, 輪が上の座標関数み出すという (ことにする). また,$M_{1},$$C^{m}$$K_{2}$$\eta$$K_{1},$$C^{m}$$M_{2}$$K_{1}$$K_{2}$$M_{1}$$f\circ\eta$$\eta$$M_{2}$$‘ M_{1}$$\eta$$K_{1}$

き,$M_{1}$

から$M_{2}$への写像$\psi$$K_{2}$$z_{1},$ $z_{2},$$M_{1}$$\cdots$に対して$z_{j}\circ\tilde{\psi}=\psi(z_{j})$$(.i=1,2, \cdots, m)$

とおく.

, ひの空でないコンパクト部分集合から上の座標関数を含むとする. また, を$M_{1},$$M_{2}$を, それぞれ,上の関数空間で,$M_{1}$は定理 22.

$K_{1}$$C^{m}$$\psi$$M_{1}$$K_{1},$$M_{2}$$K_{2}$の上への単位を保存する等距離線形写像とする. このとき, \psi が Ml の関数に右から作用しての関数を生み出すならば,$M_{2}$$\psi(f)=f\mathrm{o}\tilde{\psi}$が成り立つ. 更に, は–対–で, . をに属し,もしも上の座標関数が関数を生み出すならば,$\tilde{\psi}$$\Sigma_{M_{2}}$$f\in M_{1}$$\Sigma_{M\iota}$$(\psi^{-1})^{\sim}$$M_{2}$$K_{2}$,に写す. 加えて,をに写し,のの関数に右から作用してがが成り立つ.
$\Pi_{M_{2}}$$\Pi_{M_{1}}$$M_{1}$$M_{2}$$\tilde{\psi}(K_{2})=K_{1},\tilde{\psi}^{-1}=(\psi^{-1})^{\sim}$

証明 (Cf. [5]). 任意の$\zeta\in\Pi_{M_{1}}$に対して

ア M2 $(\zeta)0\psi=\tau_{M_{1}}(\xi)$を満たす$\xi\in\Pi_{M_{1}}$が–意に存在し ([6]), が$\zeta$$=\psi(z_{j})(\zeta)=z_{j}(\xi)(.i=1,2, \cdots,m)$$f\in M_{1}$$\Pi_{M_{2}}$だから全体を走る.
が成り立つ. よって, 任意のを走るとき$\tilde{\psi}(\zeta)=\xi$$\Pi_{M_{1}}$に対して$\psi(f)(\zeta)=f(\xi)=(f\mathrm{o}\tilde{\psi})(\zeta)$,$\zeta\in\Pi_{M_{2}}$が成り立つ. よって ([1], [7]), 任意の $f\in M_{1}$ に対して$\psi(f)=f\mathrm{o}\tilde{\psi}$が成り立つことがわかる.

$z_{j}(\tilde{\psi}(\zeta))$28

残りの部分の証明は易しい.

3.

QED

$K_{1},$$K_{2}$

が 1 次元の場合

定理 22 から直ぐに次の定理が得られる :定理 3.1.
$A(K_{2})$$K_{1},$$K_{2}$

を複素平面上の空でないコンパクト集合とし,を $A(K_{1})$ から$\psi$の上への代数同型とする. このとき$\psi(f)=f\mathrm{o}\tilde{\psi}$が成り立つ. 更に上に写す. また$\tilde{\psi}$,$f\in A_{1}$をは–対–で,の上に,が成り立つ.
$K_{2}$$K_{1}$

を$\Sigma_{A_{2}}$$\Sigma_{A_{1}}$の上に,$\Pi_{A_{2}}$を$\Pi_{A_{1}}$の$\tilde{\psi}^{-1}=(\psi^{-1})^{\sim}$

証明. もしもならば, $(z-\tilde{\psi}(\zeta))f=1$ を満たす $f\in A(K_{1})$が存在する. よって $0=$ $(\psi(z)-\tilde{\psi}(\zeta))(\zeta)\psi(f)(\zeta)=1$ . これは不都合. よって.
である. したがって定理 22 によって$\zeta\in K_{2}$かつ$\tilde{\psi}(\zeta)\not\in K_{1}$$\tilde{\psi}(K_{2})$$\subset K_{1}$$\psi(f)=f\mathrm{o}\tilde{\psi}$が成り立つ. このときまでもなく(\psi -\iota )\sim が成り立つ$\tilde{\psi}$は–対–で,$(\psi^{-1})^{\sim}(K_{1})\subset K_{2}$$\Sigma_{A_{2}}$,を$f\in A_{1}$$\Sigma_{A_{1}}$

上に,である. したがって$\tilde{\psi}$$\Pi_{A_{2}}$は$K_{2}$ををの上に写す. いうの上に写し,$\Pi_{A_{1}}$$K_{1}$$\tilde{\psi}^{-1}=$

QED

更に次の定理が得られる :定理 3.2.
$A(K_{2})$を複素平面上の空でないコンパクト集合とし,の上への等距離線形写像とすると,の内部で解析的な$K_{1},$への位相同型$K_{2}$$K_{2}$$\eta$

を $A(K_{1})$ から$K_{2}$から$K_{1}$の上が–意に存在して,$\phi(f)=\phi(1)(f\mathrm{o}\eta)$が成り立つ. このとき,証明. 実際,$K_{2}^{\mathrm{o}}$$\phi$$\eta=\frac{\phi(z)}{\phi(1)}$$\eta$

は$\Sigma_{A_{2}}$である.

を$\Sigma_{A_{1}}$,の上に,$f\in A_{1}$$\Pi_{A_{2}}$を$\Pi_{A_{1}}$の上に写す.

QED

29

4.

$K_{1},$が多次元の場合$K_{2}$

前節で述べた方法はコンパクト集合,なわち, 複素平面上のコンパクト集合$K_{1}$, かつ/ または,

$K_{2}$

によって $\prod K^{(k)}$$K^{(k)}$, が多重であるとき, すと書き得るとき, にも,$\text{有理凸であ_{っ}^{}k}\text{てもよい}$通用する. また, 凸であってもよい. 更に,ンパクト部分集合 $K$ が有理凸であるとは, それが,$\zeta\in$. ここに, ひのコびを定義域に含む任意の有理関数 $f$ に対して$|f( \zeta)|\leq\sup_{\xi\in K}|f(\xi)|$を満たすすべての$\zeta$を, 含むときにいう.

, ひの空でないコンパクト集合とし, を $A(K_{1})$をそれぞれ,から $A(K_{2})$ の上への代数同型とする. このときが多重, または有理凸, ならば定理 4.1.

$K_{1},$$C^{m}$$K_{2}$$\psi$$K_{1}$$\psi(f)=f\mathrm{o}\tilde{\psi}$,$f\in A_{1}$を \Pi A、の上に写す. 更にをの上に,が成り立つ. また は–対–で,が成り立つ.
をの上に写し,が多重, または有理凸, ならば, は$\tilde{\psi}$$\Sigma_{A_{2}}$$K_{2}$$\tilde{\psi}$$K_{2}$$\Pi_{A_{2}}$$\Sigma_{A_{1}}$$\tilde{\psi}^{-1}=(\psi^{-1})^{\sim}$$K_{1}$, ひの空でないコンパクト集合とし, を $A(K_{1})$が多重, または有理凸, なから $A(K_{2})$ の上への等長線形写像とする. このとき
定理 42.

$K_{1},$$K_{2}$をそれぞれ,$C^{m}$$\phi$$K_{1}$

らば$z_{j}\mathrm{o}\eta\in A(K_{2})$を満たす$K_{2}$

から$K_{1}$

への位相同型$\eta$$(j=1,2, \cdots, n)$が–意に存在して,$\phi(f)=\phi(1)(f\circ\eta)$,ををが成り立つ. また, はの上に,をの上に写し,または有理凸, ならば, は対して$\eta$$\Sigma_{A_{2}}$$\eta$$\Sigma_{A_{1}}$$K_{2}$$K_{1}$$w_{k^{\mathrm{O}}}\eta^{-1}\in A(K_{1})$が成り立つ.

証明は省く.

$\Pi_{A_{2}}$$f\in A_{1}$の上に写す. 更に,上の座標関数$\Pi_{A_{1}}$$K_{2}$$(k=1,2, \cdots,m)$$K_{2}$$w_{1},$ $w_{2},$が多重,$\cdots,$ $w_{m}$に

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参考文献
G. Choquet, Existence des repr\’esen tations integrales au moyen des pointsextr\’emaux dans les c\^o nes convexes, Semin. Bourbaki (Dec. 1956) 139.
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5. 岡安隆照, ある種の関数空間の等距離写像の構造, 数理解析研講究録 1520
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8. W. Rudin, Fbnction theory in the unit ball of , Springer-Verlag, New York,
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1.

$\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{A}sp$$\bm{\mathrm{t}}a\mathit{1}\dot{\mathrm{y}}\mathrm{t}ic$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{z}\mathrm{t}\mathrm{y}\acute{\mathrm{n}}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}$$\mathrm{C}^{n}$