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数理解析研究所講究録
第 712 巻 1990 年 13-19

On the unitarizability of principal series representations of-adic Chevalley groups$\mathfrak{p}$吉田敬之 (京大理)(Hiroyuki Yoshida)\S 1.

本稿で述べる主結果は、 進体上の連結半単純代数群 $G$ の不分岐主系列表現のunitarizability の決定である。不分岐主系列表現は $G$ の Borel 部分群の quasi-character からの誘導表現として書けるが この表. 現が既約であり、かっ $G$ が古典型のときは、unitarizabilityを完全に決定できる。 しかし筆者はここで述べる方法はかなりの一般性をもち、例えば parabolic
subgroup からの誘導表現が既約のときの unitarizability は同様に決定できると考えている。
結果の要約はすでに [Y1] で発表し、詳しい証明は [Y2] に書いたので、本稿ではなるべく重複をさけ考え方と背景の説明に重点をおいた。
$\mathfrak{p}$\S 2. まず$k$を t.d.group とする。 ここに t.d.group とは、 ハウスドルフ位相群であって、$G$加算個の開かつコンパクトな集合を開集合の基底としてもつものをいう (cf. Silberger [Si] )。
を $G$ の irreducible admissible 表現、 $V$ をの表現空間とする。 $V$ 上に non-degenerateinvariant hermitian form が存在するとき、 を hermitian という。

$\pi$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

が $hermitian\Leftrightarrow\pi\cong\tilde{\overline{\pi}}$は容易にわかる。 ここにーは複素共役を表し、 は contragredient を表す。
$\sim$る equivalence$I$:$(u, v)=\langle I(u),\overline{v}\rangle$

により$V$ならば、あがあって$\piarrow\tilde{\overline{\pi}}$(1)$\pi\cong\tilde{\overline{\pi}}$,$u,$ $v\in

V$

上の invariant hermitian form が得られ、 $V$ 上の invariant hermitian formと, はは全てこの形である。 ここにの間の canonical pairing を表す。 $V$ 上に
positive definite な invariant hermitian form l)q 宇在するとき、 を unitarizable という。
$\tilde{\overline{\pi}}$$\langle$$\overline{\pi}$$\rangle$$\pi$$G$に値をもっ locally constant functions 全体の vector space を

上の linear functional を上の distribution
distribution 全体の成す vector space を表す。

書く。の上の$C$$G$$C_{c}^{\infty}(G)$$\alpha\in C_{c}^{\infty}(G)$$\tilde{\alpha}(x)=\overline{\alpha(x^{-1})}$,$C_{c}^{\infty}(G)$と呼ぶ。 $D(G)$ によりに対して、$G$$\tilde{\alpha}\in C_{c}^{\infty}(G)$と上を$x\in G$にによって定義する。$T\in D(G)$ が positive type とは、が任意の$P(G)$$D(G)$のにより、positive type の distribution 全体の成す対して成立することである。
subset を表す。以下 $G$ は unimodular であると仮定する。条件 $T\in P(G)$ はが $G$ 上の positive type の連続函数であることと同値である。 これからに対して、$T\in P(G)$ ならば、に対して、 $\alpha*T*\beta$ が $G$ 上の有界連続函数である$T(\alpha*\tilde{\alpha})\geq 0$$\alpha\in C_{c}^{\infty}(G)$$\forall\alpha\in C_{c}^{\infty}(G)$$\alpha*T*\tilde{\alpha}$$\forall\alpha,\forall\beta\in C_{c}^{\infty}(G)$ことが容易にわかる。

1

14.group が次の条件 $(P1),$ $(P2)$ をみたすとする。
$(Pl)G$ は open comp act subgro $ups$ の加算個の和集合である。
$(P2)G$ の任意の open compact subgroup $K$ と $1\in G$ の任意の開近傍に対し、$K$$K/U$$upU$
で normal,はの open compact subgro
が巾零群 をみたで、THEOREM 1.

$t.d$

$G$

$G$

$V$

$U$

$U\subseteq V,$すものが存在する。
このとき、任意の $T\in P(G),$躯\cong 國夏である。

$\alpha\in C_{c}^{\infty}(G)$に対して、 convolu tion $T*\alpha$ は $G$ 上の有界連

この” 片側有界性定理” は、本稿での推論の鍵となるものである。証明は $D(G)\ni T$ の $G$

open compact subgroup への制限についてやや立ち入った考察を必要とするが、 さほど困難ではない。 進巾零群は、条件 (P1), (P2) をみたす。同様な定理が巾零 Lie 群に対しても成の$p$立するであろうと期待される。

\S 3.

を non-archimedean local field, $O$ を $k$ の maximal compact subring,$k$$\varpi$

をの absolute value とする。 このとき、はをmodule であの素元、る。以下 上定義される代数群を bold face roman capital で表し、その k-有理点の成す群$k$$q=|\varpi|^{-1}$

$k$

$||$

$k$の$k$を対応する roman capital で表すことにする。
は $k$ 上定義された connected semi-simple algebraic group で $k$ 上 split するもの

$G$とし、 $G$ の k-split maximal torus $T$ を一つとる。 $B$ を $T$ を含む Borel subgroup とし、$N$を $Ba\supset$ unipotent radical とする。
$\ell$

は $G$と$\Delta$をそれぞれ $(G, B, T)$ の定める root system

positive roots の 集合とする。の rank である。 $W$ を Weyl 群とする。 $w\in W$ に対してと simple roots の集色おく。 ここに$\Sigma$$\Sigma^{+}$を)$\Sigma g$$\Delta=\{\alpha_{1}, \cdots\alpha_{\ell}\}$と$\Psi_{w}^{+}=\{\alpha\in\Sigma^{+}|w\alpha<0\}$とおく。 $X(T)=Hom(T, G_{m})$ を $T$ の character group とすると、$R^{\ell}$$\Sigma$は $X(T)\otimes z^{R\cong}$内に実現されている。 $X_{*}(T)=Hom(G_{m}, T)$ は $T$ の co-character group とする。
をとり、に対し co-root$\alpha\in\Sigma$$\check{\alpha}\in X_{*}(T)$$a_{\alpha}=\check{\alpha}(\varpi)\in T$とおく。
$T$のquasi-characterが、 これも同じ記号$\chi$$\chi$

は $N$ 上 trivial において $B$ の quasi-character に拡張されるで表す。 PS$(\chi)$により、 $G$ 上の locally constant function$\varphi(bg)=\delta_{B}(b)^{1/2}\chi(b)\varphi(g)$,$\varphi$で$\forall b\in B,\forall g\in G$により PS
上 right translation でをみたすもの全体の成す vector space を表し、$B$$G$の modular function である。
はrealize される の admissible 表現とする。ここに
以下 \S 6 の終りまで $G$ は simply connected であると仮定する。このとき $G$ は Steinberg[St] の意味での 上の universal Chevalley group と同一視でき [St] での基本的記号を自由$t\in O$ で生成される $G$ の部分群とする。 $K$ はに使うことにする。 $K$ により$G$ のmaximal compact subgroup であり、 Iwasawa 分解 $G=BK$ が成立する。 $T\cap K$$\pi(\chi)$$(\chi)$$\delta_{B}$$k$$x_{\alpha}(t),$$\alpha\in\Sigma,$2

15は $\check{\alpha}(t)=h_{\alpha}(t),$ $t\in O,$$\alpha\in$

刃で生成される $T$ の maximal compact subgroup である。

quasi-character は A $K$ で trivid であるとき unramified であるという。 $X$ にの unrainified quasi-character 全体の群を表す。
より、

$T$の

$\chi$$T$$T$$X\ni\chiarrow(\chi(a_{\alpha_{1}}), \chi(a_{\alpha_{2}}),$ $\cdots\chi(a_{\alpha_{l}}))\in(C^{x})^{\ell}$は同型写像であり、これにより $X$ に complex structure を入れる。 $\chi\in X$ が任意の $w\in W$を regular という。
に対して $w\chi\neq\chi$ をみたすとき$\chi${{$X^{f}=$$X^{i}=$$\chi\in X|\chi$$\chi\in X^{r}|\chi$は regular},はirreducible}とおく。 Casselman [C] により、 $\chi\in X^{f}$ が $\chi\in X^{i}$ となる必要十分条件は(2)$\chi(a_{\alpha})\neq q$,$\forall\alpha\in\Sigma$が成立することである。 $W$ の元 $w$ をとり$X_{w}=\{\chi\in X|w\chi=\overline{\chi}^{-1}\}$,$X_{w}^{f}=X_{w} \bigcap_{q}X^{f}$,$X_{w}^{i}=X_{w}\cap X^{i}$とおく。 $w$ を代表する $x_{w}\in K$ をとり、 PS $(\chi)$ から PS $(w\chi)$ への intertwining operator$T_{w}$を$(T_{w}( \varphi))(g)=\int_{wNw^{-1}\cap N\backslash N}\varphi(x_{w}^{-1}ng)dn$,$\varphi\in PS(\chi),$$g\in G$,によって定義する。 ここに invariant measure $dn$ は適当に normalize しておくのが都合がよにいのであるが、以下の議論に必要ではないのでここでは述べない。 この積分は全ての$X$ならば絶対収束し、対して全体に有理型に解析接続できる。全てのはで正則である。 ここはに対して $\chi(a_{\alpha})\neq 1$ ならばで正則である。特に$S$$K$
上の locally constant functions で left
で正則などの正確な意味は次の通り。 により、
B\cap K-invariant なもの全体の成す vector space を表す。制限写像 $R$ により、 PSと $S$は vector space として同型になる。任意の $f\in S$ と $k\in K$ に対して $T_{w}((R^{-1}f))(k)$ がはで正則、または有理型であるとき、で正則、あるいは有理型であるという。
$\alpha\in\Psi_{w}^{+}$$\alpha\in\Psi_{w}^{+}$$|\chi(a_{\dot{\alpha}})|<1$$T_{w}$$X^{r}$$T_{w}$$\chi$$(\chi)$$\chi$$T_{w}$\S 4.
まで

まず $\chi\in X^{i}$ として、$\chi\in X^{i}$と仮定する。)$\pi(\chi)\cong\overline{\pi(\chi)}\cong\pi(\overline{\chi}^{-1})\sim$$\chi$$\pi(\chi)$$\pi(\chi)$が unitarizable

が unitarizable

K なる条件を考察する。 (\S 5 の終りとすると$\pi(\chi)$がわかり、 これからある $w\in W$ に対しては hermitian ゆえ、$w\chi=\overline{\chi}^{-1}$が成立していなければならない。即ち $\chi\in X_{w}$ . これから $w^{2}\chi=\chi$ が得られ $\chi\in X^{r}$
上の invariant hermitian form は、ある $c\in C$ があってうる。 (1) により、 PS

ゆえ、 $w^{2}=1$を$(\chi)$(3)$( \varphi_{1}, \varphi_{2})=c\int_{B\backslash G}(T_{w}(\varphi_{1}))(g)\overline{\varphi_{2}(g)}dg$,$\varphi_{1},$$\varphi_{2}\in PS(\chi)$により与えられていることがわかる。従って問題は (3) で与えられる $(, )$ が positive definite
により $W$ の longest element を表し、か否かを決することである。
を代表する $K$ の元をとかく。 $B\omega_{0}N$ が $G$ の big cell であることから ‘ (3) $R$$w_{0}$$w_{0}$$\omega_{0}$(4),$( \varphi_{1}, \varphi_{2})=c\int_{N}(T_{w}(\varphi_{1}))(\omega_{0}n)\overline{\varphi_{2}(\omega_{0}n)}dn$3$\varphi_{1},$$\varphi_{2}\in PS(\chi)$16と変形される。任意の $\Phi\in C_{c}^{\infty}(N)$ に対して、ある $\varphi\in PS(\chi)$ が一意的に定まり、 $\Phi(n)=$$n\in N$ が成立つ。
とかく。

$\varphi(\omega 0n),$$\varphi=\iota_{\chi}(\Phi)$(5)$T_{\chi}(\Phi)=T_{w}(\iota_{\chi}(\Phi))(\omega_{0})$とおけば、$\Phi\in C_{c}^{\infty}(N)$は $N$ 上の distribution を与える。

$T_{\chi}$

LEMMA 1.

,$\pi(\chi)$が unitarizable ならぱ

これは (4) により容易にわかる。

は positive type である。

$cT_{\chi}$の元の定義するの longest element とする。 $W$ の位数 2 のreflexion で生成される Coxeter $Rw_{J}$ をと $W$ で共役になる (cf. [Bou], p. 225) 。任意の $w_{1}\in W$
元は、あるに対して、:について $\pi(w_{1}\chi)\cong\pi(\chi)$ であるから、 $\chi\in X_{w_{J}}$ と仮定して一般性を失わない。 $(\chi\in X^{i}$の unitarizability を問題とする限り。)
を $J$ で生成される root system
に対して$\Delta$の部分集合 $J$ に対して、$W_{J}$は$J$$W_{J}$$J\subseteq\Delta$$w_{J}$$\pi(\chi)$$\Sigma_{J}$とし、$\Sigma_{J}^{+}=\Sigma_{J}\cap\Sigma^{+}$

とおく。 ここに$\langle, \rangle$,$n_{J}( \alpha)=\sum_{\beta\in\Sigma_{J}^{+}}\langle\beta,\check{\alpha}\rangle$$\alpha\in\Sigma_{J}$,は root と co-root の間の canonicaJ pairing を表す。 $\pi(\chi)$ が unita-rizable ならば、 Theorem 1 と Lemma 1 により、
$N$,

$T_{\chi}*f$は任意の $f\in C_{c}^{\infty}(N)$ に対して上の有界函数となる。 これから、次の評価を得る。

THEOREM 2.

$\chi\in X_{w_{J}}^{i},$$\pi(\chi)$は unitarizable であると仮定する。 このとき$q^{-n_{J}(\alpha)/2}<|\chi(a_{\alpha})|<q^{n_{J}(\alpha)/2}$,$\forall\alpha\in\Sigma_{J}$が成立つ。
が $J$ に $-1$ 倍で作用しているとする。 このとき、任意の $\alpha\in\Sigma_{J}$ に対し、 $w\in W$ ,$w_{J}$$\beta\in J$があり $w(\beta)=\alpha$ となる。 Theorem 2 を $\pi(w\chi)$ に用いれば、$q^{-n_{J}(\beta)/2}<|w\chi(a_{\beta})|=|\chi(a_{\alpha})|<q^{n_{J}(\beta)/2}$を得るが、 $n_{J}(\beta)=2$ であるから、次の Corollary を得る。

COROLLARY.
(6)$w_{J}$が $J$ に $-1$ 倍で作用していれば、$q^{-1}<|\chi(a_{\alpha})|<q$,$\forall\alpha\in\Sigma_{J}$が成立つ。

この評価は spherical function が有界である等の条件から得られるものよりはるかに sharpである。

\S 5. この Corollary と表現の deformation に ついての議論を組合せることにより、$\pi(\chi)$,unitarizability は完全に決定できる。 ここで deformation とは、 $\chi\in X$ を内の連続的な path $p:[0,1]arrow X$ の上で動かすことをいう。 この path 上の各点で $\pi(p(t))$$\chi\in X^{i}$$X$の4

17が既約であれば $\pi(p(O))$ と $\pi(p(1))$ の unitarizability は同値となる (正確には Lemma 1参照) しかし、 $0<t_{0}<1$ で $\pi(p(t_{0}))$ が既約でないも, のがあれば、 $\pi(p(0))$ と $\pi(p(1))$ のとなる
unitarizability の関係を調べることはかなり難しくなる。一方、 $\chi(a_{\alpha})=1,$$[0,1]$がholomorphicはでなくなるが、 このようなにおいて N上に存在することは大した問題を引起こさないのみならず、むしろ漸近的に hermitian form の符号がわかり都合がよい。 Theorem 2 の Corolary により、問題となるはすでに十分小さな領域に入っており、よくわかる表現に、上述の困難を避けて Y deform 可能なのである。主要な Lemma をあげると。

$\alpha\in\Psi_{w}^{+}$$T_{w}$$\chi$$\chi$$\chi$LEMMA 2. $p:[0,1]arrow X_{w}^{i}$ を連続写像とすれば、$\pi(p(O))$ と $\pi(p(1))$ の unitarizabilityは同値である。

LEMMA 3. $w\in W$ は位数 2 とし、 : $[0,1]arrow X_{w}$ を連続写像とする。 このとき,(i),(ii) $p((0,1$ ])ならば、 $\pi(p(t)),$ $0<t\leq 1$ は全て unJtarJzable である。
$p$$\chi_{0}(a_{\alpha})=1$$\forall\alpha\in\Psi_{w}^{+}$$\subseteq X_{w}^{1}$

Lemma は complementary series を作る standard technique の一つである。 しかし、条件 (i) は強すぎて十分一般ではない。次の Lemma が最も有用である。
このLEMMA 4. $w,$る。 ここに$w_{1},$$w_{2}$を $W$ の位数 2 の元とし、 $w=w_{1}w_{2},$ $l(w)=l(w_{1})+l(w_{2})$ とす

は $W$ の元の length 表す。 $p:[0,1]arrow X_{w},$$l$$p_{1}$: $[0,1]arrow X_{w_{1}}$ , を連続写像とし、 $\chi_{t}=p(t),$ $\chi_{t}^{1}=p_{1}(t),$ $0\leq t\leq 1$ とおく。次の条件 $(i)\sim(iv)$ を仮定する。

(i)(ii) $p(O, 1$ ]
(iii)
(iv)

$\chi_{0}=\chi_{0}^{1}$.

$\subseteq X_{w}^{i}$

かっ $p_{1}(0,1$ ]$\subseteq X_{w_{1}}^{i}$.

$c_{+}$, .
について\chi 0(a\alpha )について\chi 0(a\alpha ) $=1$ .
がある $to\in(0,1$ ] について unitarizable になることと、このとき$0<t\leq 1$ について unitaxizable であることとは同億である。
$\neq 1$$\forall\alpha\in\Psi_{w_{1}}^{+}$$q$$\forall\alpha\in\Psi_{w_{2}}^{+}$$\pi(\chi_{t_{0}}^{1})$が全ての$\pi(\chi_{t})$Lemma 3 はこの Lemma の $w_{1}=1$ の場合であると解せる。
これによって得られた最終的な結果は次の通り。$B$ 型、 $C$ 型、 $D$ 型について別々に考察する。
( $A$ 型については、Bernstein, Tadi\v{c} 等の結果があるので省く。)
を [Bou] の “Planche” の様に実現しておく。
を更にその共役で置き換えることにより、 $J$ を次の形に normalize$\Sigma$$w_{J}$できる。

$\Sigma$が$B_{\ell}$$w_{J’}$型または$C_{\ell}$型ならば、$J=\{\alpha_{1}, \alpha_{3}, \cdots\alpha_{2m-1}, \alpha_{n}, \alpha_{n+1}, \cdots\alpha_{\ell-1}, \alpha_{\ell}\}$$\Sigma$が$D_{\ell}$,$2m<n$ .

型ならば、$J=\{\alpha_{1}, \alpha_{3}, \cdots\alpha_{2m-1}\}\cup J_{1}$

ここで $2m<n,$$\{\alpha_{\ell-1}, \alpha_{\ell}\},$$|J_{1}|\geq 4,$$2m<\ell-1$.

$|J_{1}|$,$J_{1}=\{\alpha_{n}, \alpha_{n+1}, \cdots\alpha_{\ell-1}, \alpha_{\ell}\}$.

が偶数、または $J_{1}=\emptyset,$ $2m\leq\ell-1$ , またはこの様に normalize しておくと、は unitarizability の必要条件となる。

$w_{J}$$J_{1}\subseteq$

は $J$ に $-1$ 倍で作用し、Theorem 2 の Corollary518が unitarizable, またはTHEOREM 3. $G$ は type, とする。
(6)と型に応じて次の符号条件が満たされることである。となる必要十分条件は評価(i)型のとき$\chi\in X_{w}^{\dot{*}}$$D\ell,$$B\ell,$$C_{l}$

if$\alpha_{\ell}\in J$$\pi(\chi)$$B_{l}$$\chi(a_{\alpha\ell})>0$(ii)$C_{\ell}$if$\chi(a_{\alpha_{2m-1}})>0$.

$\alpha\ell\not\in J$

型のとき$C\ell$となる indices$n\leq i\leq\ell$$\chi(a_{2\epsilon_{i}})<0,$(iii),型のとき$\chi(a_{\alpha})>0$,$\forall\alpha\in J_{1}$の数は偶数。

$i$.

は長さ有限で (即ち組成列をもち) 唯一つの sphericalが unitarizable となる $\chi\in X$をもつことが知られている。 $P$ により、$P$全体の集合を表す。 は $W$ で stable な compact set になることはよく知られている。 (例え\S 6.

$\chi\in X$

constituentとする。 PS$(\chi)$、$\pi_{\chi}^{1}$$\pi_{\chi}^{1}$

ば Macdonald による )$\circ$

THEOREM 4. $G$ は古典型、 $\chi\in X$ かつunitarizable となる必要十分条件は、 が$\pi(\chi)$は irreducible とする。 このとき、 $\pi(\chi)$ が$P\cap X^{i}$$\chi$の $X$における closure に入ることである。の既約性の条件は Kato
この定理もまた deformation argument により証明できる。
[K], Muller [M] により知られている。 また Theorem 3 により $P\cap X^{i}$ は決定された。 従っての unitarizability は完全にわかった。
が既約である限り、$\pi(\chi)$$\pi(\chi)$\S 7. 次に$\pi(\chi)$が simply connected であるという条件を落とそう。 (この部分は土方教授とdiscussion が有益であった。) $G$ を \S 3 の通り 上 split する connected semi-simple
を $G$ の universal covering group とし、algebraic group とする。
: $\tilde{G}arrow G$$G$ の k-split
を central isogeny とする。
をそれぞれmaximal torus とする。
$G$

$k$

$\sigma\supset$$\tilde{G}$$\psi$$\tilde{T},$$T=\psi(\tilde{T})$の$T$$\tilde{G},$としてよい。 $G’=\psi(\tilde{G}),$ $T’=\psi(\tilde{T})$ とおく。

unramified quasi-characters の集合とする。

定義できる。 このとき、のときに限り regular となり、$\chi^{/}\in X’$を考えると、$\tilde{\chi}=\chi_{0\psi}\in\tilde{X}$$\tilde{\chi}$$\tilde{X},$$X,$ $X’$により$\tilde{T},$$T,$ $T’$に対しても、 $\pi(\chi’)$ を全く同様にが regular なとき、かつそは$\chi’$のunitarizability (resp. irreducibility) は$\chi’\inX$$t$
でがunitarizability (resp. irreducibility) と同値である。
regular,が irreducible 力. つ unitarizable となるもの全体の集合とする。
は $G$ が古典型のとき Theorem 3 によって決定されている。
$\pi(\tilde{\chi})$$\pi(\chi’)$の$X^{\prime p}g$、

$X^{\prime p}$$\pi(\chi’)$

THEOREM 5. $G$ は古典型、 $\chi\in X,$になる必腰十分条件は、$\chi|T’$が$X^{\prime p}$$\pi(\chi)$は既約とする。 このとき$\pi(\chi)$が unitarizableにおける closure に入ることである。の $X’$

以上の議論で、古典型との仮定は\mbox{\boldmath $\tau$} deformation を詳しく調べるときに必要となる。例外型型のときは Theorems 3, 4 をそのまま拡張できのときも同様の結果が得られると思われ、る。 (型の split 群は simply connected である。)$G_{2}$$G_{2}$

6

19References[Bor] A. Borel and N. Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, andrepresentations of reductive groups, Princeton University Press, 1980.
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1968.
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ご ‘び7