数理解析研究所講究録
1074 巻 1999 年 76-88

76

Invariants of links in the product space of a surface and the real line

筑波大学数学系

金戸武司$\mathrm{E}$1.

(Takeshi Kaneto)-mail: kaneto@math.\iota sukuba.ac.jp$\mathrm{P}$

境界を持たない曲面と直線における links 1) について考察の積空間
する。
が平面あるいは 2 次元球面のとき classical link thery に対応し、 一般の曲面のときは局所的な classical link 現象と大域的な link 現象が混在するので特に興味深い研究対象である 本報告では、 Kauffman の bracket polynomial の idea (cf.に基づいて得られた ambient isotopy invariants を取り上げる。 次節で用語[Kau]
記号の定義と 3 つの ambient isotopy invariants について概観し、 以降の各節で各
invariants をそれぞれ、 が向き付け不能な曲面、 向き付けられた開曲面及び向き付けられた閉曲面の場合に適用して得られた結果について述べる。
$\Sigma$$\Sigma\cross \mathrm{R}$$\mathrm{R}$$\Sigma$$0$$)$$\Sigma$

2. bracket $<L$ ) and invariants
における links の同値関係については幾つかの立場 (cf. $[\eta$ , [Ro]) がある
がここでは主として ambient isotopy によるものを扱う。
内の 2 つの links
$L,$
に対し、
上の恒等写像と isotopic な homeomorphismが oriented links のときは oirentation も含めての意) となるもで $h(L)=L^{1}$ ( $L,$とは ambientのが存在するときであるといい、と表わす。
同値で不変な (link の) 性質や量を ambient isotopy invariant という。と看秘す) に関す
以下、 links はすべて tame 2) とし、 射影
(
3)
として扱う
4)
る link diagrams。
$\Sigma \mathrm{x}\mathrm{R}$$\Sigma\cross \mathrm{R}$$h:\Sigma\cross \mathrm{R}arrow\Sigma\cross \mathrm{R}$$\Sigma \mathrm{x}\mathrm{R}$$L^{\uparrow}$$L^{\uparrow}$$L$$L\sim L^{\mathrm{I}}$$L^{\mathrm{t}}$$\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\dot{\mathrm{l}}\mathrm{c}$$\sim$$p:\Sigma\cross \mathrm{R}arrow\Sigma$1)の部分空間で各 (連結) 成分が円周knots も links の-種と看倣す。
$\Sigma\cross \mathrm{R}$2)$\mathrm{P}\mathrm{L}$

参照 o
3)
$p$

links と ambient isotoPic$\circ \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}$$S^{1}$$=\Sigma \mathrm{x}0$と同相なもの。 成分数が 1 の link を knot という。

でないとき wild であるという。 wild links 等については四]による像で sigularity が有限個の transVersal crossings のみ、 かつ各 crossing で上下の区別があ

るもの。
4)

便宜上、 link diagrams は(\epsilon ’ は十分小さい正数) 内で実現されているの近傍
links の–種と看倣すことにする。 このとき、 任意の link は、 -意的ではないが、 ある link diagram と ambient

isotopic である。

$\Sigma\cross 0$$\Sigma\cross[-\epsilon, \epsilon]$

77:$\frac{-}{\overline{\overline{\mathrm{n}}}}\mathrm{B}\overline{\epsilon}$$:=$$\mathrm{L}_{\Sigma}${classes of unoriented links without trivial components in(Laurent polynomial ring with): free A-module generated by {1}$\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$$\Lambda.=\mathrm{Z}[A,A^{-}]1$$\Sigma$}$5)$$\mathrm{i}\mathrm{n}\iota \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$$r$$\Lambda(\Sigma)$

8$\mathrm{U}\mathrm{L}_{\Sigma}$$\text{す}\xi$) 。

.

$\text{定}\mathfrak{F}1$$\text{を_{\sqrt{}^{h}}^{\text{、}}\lambda \text{の}$

(1)
(2)
(3)

$\Sigma\cross \mathrm{R}l_{}^{arrow\^{\mathrm{x}}}\mathrm{t}\mathrm{e}\xi$

)

rules

$-\subset \text{定める}$$<K_{0})=1$($K_{0}$

unoriented link diagram$L\iota_{}^{}\text{対}\backslash$$\text{し_{、}}$

bracket $<L$ )$(\in\Lambda(\Sigma))$。

: trivial knot diagram 6)($<L\cup K_{0})=(-A^{2}-A^{- 2})<L)$$)$$L(\neq\emptyset)\text{と}K_{0}$$<,\backslash ’)=A\underline{<})+A^{-1}<)()$(($\Sigma$$\underline{\mathrm{E}\mathrm{i}}\text{し_{、}}$.

es no crossing)ffi nonorientable$\text{のとき}\iota\mathrm{h}\prime A=A^{-1}$$\text{と}\not\supset- \text{る})$ffiJ.

$\Sigma=T^{2}$(torus)$\text{とする}$

。

$=$

$=A$

link diagrams

5)$\Sigma\nabla 3a)$link$\Sigma\cross \mathrm{R}$$h3^{\text{
つの}}$)$\text{の}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{p}}\overline{J}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{\gamma_{\mathrm{f}}}\backslash \grave{\mathit{4}}\lambda\not\subset$:$\Sigma\hslash \text{で}$

bound

6)
$-\zeta\xi$

タイフ Q\emptyset /*x\mbox{\boldmath $\pi$}\nearrow /\nearrow E Reidemeister moves

topological disk
topological disk
trivial component$\mathrm{h}\text{で}l\mathrm{f}\mathrm{l}^{\text{の}\Re}\partial \text{と}\mathrm{x}f\supset \text{ら^{}\gamma_{X\iota}}$$l^{}.\text{つ}\iota\backslash - \mathrm{C}l3$$l^{}.\^{\mathrm{x}}\}\}\xi)\%\mathrm{r}\rfloor\sigma)\mathrm{H}\ovalbox{\tt\small REJECT})\text{を}$bound$( \in\Lambda(\sum))$)$-\mathcal{T}\xi_{)}\Re 9\text{を}$$\text{の}b\text{の}$bound) $\Re d*\text{を}$$\not\supset^{-}\xi$trivial component
cf.

$(_{-}^{arrow a})\ovalbox{\tt\small REJECT}\wedge l\text{ロ}\mathrm{h}l\mathrm{t}\mathrm{b}\text{の}\Re\theta \text{と}*i\supset \text{る_{}\mathrm{L}}" \text{とを}\ovalbox{\tt\small REJECT}\tau\text{、}$$\theta|\rfloor$.

:$\text{と}l^{)}\check{\mathrm{o}}0$$\prod\overline{\mathrm{o}}l\llcorner \mathfrak{i}\mathrm{H}\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}$$\text{と}l^{)}\check{D}\circ$trivial component
knot
trivial knot
) knot diagram
trivial knot diagram$\mathrm{i}\text{を}$$\text{を}$$\text{と}\iota\mathrm{a}\mathit{0}>$$\text{を}$$\text{と}l^{)}\tilde{o}\circ$$\text{と_{}l^{)}l}$)$\text{、}$no crossing$\text{で}\Sigma\cross 0\hslash \text{の}$topological disk$\text{を}$

78

Reidemeister moves

R-I:

R-II

$\mathrm{R}$$\iota$$\Leftrightarrow$$]($$\Leftrightarrow$-III$\Leftrightarrow$,$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow$は generic な局所的変形であるといの場合について、 Reidemeister
うよく知られた事実から次の事実が得られる 7) :$\Sigma=\mathrm{R}^{2}$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{s}$について次は同値 ;Fundamental fact. link diagrams(1) しとは ambient isotopic である、
(2) crossing の様子 8) を変えない ambient isotopic な変形を R-O とすると、 しとは有限 の R-0,1,11,111 変形で移り合える。
$L,$$L^{\dagger}\subset\Sigma\cross \mathrm{R}$$L^{\mathrm{t}}$$[]$$L^{\mathrm{t}}$定義から次が成り立 D。

命題 1.
(1)

unoriented link diagram し$<\text{し})$(2)$\subset\Sigma\cross \mathrm{R}$について、は R-0,11,111 変形で不変、

R-I 変形にいては<》剛) $=(-A^{3}-)<\mathrm{t})$ ,$<\nearrow\backslash )=(-A^{3})<\mathrm{t})$。

従って、 次の 2 つの ambient isotopy invariants が得られる。

7)て、$\text{有限}$8)多様体内の comPact subset の ambient isotoPic な変形は comPactの局所的変形の合成として表わせるから。 (cf. [EK])
上下関係や (各 component に沿った crossings の) 順序。

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}$をもつ変形に帰着され、 従っ

79

命題 2.
(1)

{

unoriented link diagram しambient isotopy$\subset\Sigma\cross \mathrm{R}$について、$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}\iota_{\text{、}}$$L)_{A\overline{-}- 1}|\mathrm{h}$ん(2)$(\in\Lambda(\Sigma))$$<L)=f_{0}(A)+ \sum_{-}f_{j(A})<L_{j})j-1$(但し、$f_{j}(A)(\neq 0)\in\Lambda=\mathrm{z}[A,A^{-}]1$$<L,\cdot$)$\in \mathrm{L}_{\Sigma}$$(j=1,2,\cdots,k))$(但し、 $f_{0}(A)=0$ のときは $n\neq 0$ ) について、$.0\leq m,n_{\wedge}\leq k$lsotopy,とすると、$\frac{\dot{f}_{m}(.A)}{f_{n}(A),\prime}$

は ambient$-$$\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}_{0}$

最後に、$\Sigma$ambient isotopy invariant
定義 2.

内の oriented links 9) の Jones type の(cf. [IK]) を取り上げる。

が oriented のとき$\Sigma\cross \mathrm{R}$は oriented とする。

内の oriented link diagram しに対し、とし、
各
pointscrossing point $c\in c_{roSs}(L)$ に対し符号{}sign $(C)$ を、 における over pass を反時計 りに して under pass に重ねたときそれぞれの向きが-致する場合は sign
一致しない場合は sign $(c)=-1$ と定めの writhe (のたくるの意) $wr(L)$ をる
n(の と定義する$\Sigma$$c_{ross(}L):=$$\Sigma\cross \mathrm{R}$$\mathrm{o}\mathrm{f}L$$\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$

$[]$

$c$

$0$

$(c)=l_{\text{、}}$$\circ$$L$$wr(L).= \sum_{(C\not\subset\prime oSsL)}Sig$$\text{。}$例.

は oriented とする。
内の oriented link diagram
命題 3.
について、
(1)
wr(し) は R-O,II,III 変形で不変、(2)
向き付け方に依らず、 $wr(,\aleph)=wr(\iota)-1$, $wr(^{\backslash }A)=w\gamma(\mathrm{i})+1$
命題
から次が得られる。
$L$$\Sigma\cross \mathrm{R}$$\Sigma$。

$1_{\text{、}}3$

命題 4.

$\Sigma$は oriented とする。

$F_{L}(A):=(-A^{3})^{- W}(L)<L)$$\Sigma \mathrm{x}\mathrm{R}$$(\in\Lambda(\Sigma))l\exists$

内の oriented link diagram:ambient isotopy invariant

$L$

に対し、

。

は Jones plynomial )のとき
参考. 1) と \langle に(2) 任意の evaluation :に対し、 その induced A-homomorphism
から、 ( $F_{L}(A)$ の reduced) ambient isotopy invariant:)が得られる。 (例. N.Kamada ’s invariant cf.
後述 5 節系 2. (2)$V_{L}(t)=F_{L}(t\text{ユ})$$\Sigma=\mathrm{R}^{2}$$\mathrm{N}$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon(F_{L}(A))$$[\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{m}]_{\text{、}}$

10)

各 component に向きが与えられている

cf. [Jo] , [Kau]$\circ$$)_{0}$$\{1\}\mathrm{U}\mathrm{L}_{\Sigma}arrow\Lambda$$\Lambda(\Sigma)arrow\Lambda$

9)

$1-$

$V_{L}(t)$$\text{、}$$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\circ$$(\in\Lambda)$

$0$

80

3.

{

$\text{し})_{A- 1--}$for$\Sigma=\mathrm{P}^{2}$(real projective plane)(3) が welldefined にを付けた、 即ち、 特殊値
なるよう、 制限でのみ考えることにした。
$F_{L}(A)$更に、 writhe も定義出来ないので、 命題 3 の invariant
は有効ではない。
以下、内の non(real projective plane) の場合について考察する。
$K$(
curve)
でない
を
とすると、
内
trivial knot
simple closed
homotopicの trivial components を含まない link は $K$ と (内で) isotopic だから 11)である。 また、 $A=-1$ のときだから$\Sigma$が unorientable の場合、 bracket の定義において rule
$A=A^{-1}$$A=\pm 1$$\Sigma=\mathrm{P}^{2}$$\mathrm{P}^{2}$$\mathrm{P}^{2}$$=\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}$$\mathrm{p}^{2}$$\text{、}$$\Lambda=\mathrm{Z}[A,A- 11=\mathrm{z}$$\mathrm{L}_{\mathrm{P}^{2}}=\{\langle K)\}$) である。 よって、$\Lambda(\mathrm{P}^{2})=\mathrm{z}\oplus \mathrm{Z}\langle_{K}$$\mathrm{P}^{2}\mathrm{x}\mathrm{R}$における link diagram

$L$

に対し、

$(L)_{A- 1}\Leftarrow$

は–般に、 $x+y(K)(x,y\in \mathrm{z})$ の形で表わせる。実際にはより精密に次が成り立つ。

定理 1.
$L$

の

$\mathrm{Z}_{2}$における link diagram-homology class を $[L]$ とすると、$\mathrm{P}^{2}\cross \mathrm{R}$

$L$

について、

$L$

の成分数を

$k\text{、}$$\{L)_{A_{\overline{-}}-}1=$
証明は

$L$

の交点数に関する帰納法を用いる。詳細は [IK] 参照。

は「K と homotopic な
参考. (1) $[L]=0$ inの成分は偶数本」
は「
と
また、
と同値、
K
[し]\neq 0in
homotopic なしの成分は奇数本」と同値。
(2) classical knot theory における Jones polynomial
について、 類似の結果$L$$H_{1}(\mathrm{P}^{2}\cross \mathrm{R}\mathrm{Z})2$$H_{1}(\mathrm{P}^{2}\cross \mathrm{R}\mathrm{Z}_{2})$$V_{L}(t)$はよく知られている(3) 2 項が混ざった形) $(x,y\in \mathrm{Z}-\{0\})$ が生じない理由は、 bracket の定義における rule (3) の右辺の 2 項に現われる link diagrams の-homology
classes は共に左辺のそれに–致する、 即ち、 -cut 及び-cut による link
diagrams の変形は-homology classe を変えないからである(4) (3) と同様の理由では単項だから $A=\pm 1$ のとき命題 2(2) の$V_{L}(1)=(-2)k- 1$$x+_{\mathcal{Y}}\mathrm{t}K$$\mathrm{Z}_{2}$$A$$A^{-1}$$\mathrm{Z}_{2}${invariant11)$\frac{f_{m}(\pm 1)}{f_{n}(\pm 1)}$$\mathrm{P}^{2}-K$$L)_{A1}\overline{-}\mathrm{f}$(複合同順) は常に$0$となり有効ではない。

は open 2-ball より 2 次元 Schoenfllies theorem から導かれる。

81

4. Conductance invariant $C(L)$ of special tunnel links

$L$

とする。
内の unoriented links を平面
から 2 点を除いた曲面を[GK] に従い、 )tunnel links という。 Goldman-Kauffman [GK] は、 電気口路網の 2 極間の conductance ( $=$ 抵抗の逆数) の概念とその性質を応用して、 tunnel links のある class に属する links (に対し conductance と呼ば
tunnel links in [GK])
それが$c(L)$れる有理数を対応させ、
ambient isotopy invariant であることを示した$\mathrm{R}^{2}$$($$\Sigma\cross \mathrm{R}$$\Sigma$$L$$=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}$(2)

本節では命題 2.
を調べ、 上述 [$\mathrm{c}\mathrm{q}$の invariant$\frac{f_{m}(A)}{f_{n}(A)}$と。onductance invariant $c(L)$ の関係の結果の別証を与える。

conductance $C(L)$ の定義[1]1) (loops. multi-edges を許した) graph $N$ の各 edgeに対し、 実数$N$(conductance of と呼ぶ) が対応しているとき、を (signed) net$c(e)(\neq 0)$
$N$
は
として
connected とする
work という。以下、 特に断わらない限り
graph2) network $N$ におけるを weight of
に対し、
tree

定義 3.

$e$

$e$

$T$

$T$

$(\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}}\mathrm{g}}\mathrm{n})$$w(T):= \prod_{e\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}}C(e)\tau$といい、 $w(N):=$$\sum w(\tau)$$T$

spanning tree ofを weight of $N$ という。

$N$も許す) が指定されていると(
network $N$ において 2 頂点 {とをを two-terminal network という。
を結ぶ ( $N$ に含まれない) new edge とし、 $N$ にを加えて得られる two-terminal network

定義 4.
き、 (

$v,$

$\mathcal{V}=\mathcal{V}^{\dagger}$$v^{\uparrow\}}$$e^{\mathrm{t}}$$N,v,\mathcal{V}^{\uparrow)}$$v^{\uparrow}$$v$$e^{\dagger}$$(N+e,v, v^{1}|)(c(e^{1}):=1)$

に対し、

$w$

\dag er$\sum w(T$$(N+e^{\uparrow}).=$$T$$c(N,v, v|):= \frac{w(N)}{w^{\mathrm{I}}(N+e)}|$’$\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}\mathrm{n}\mathrm{t}$of $N+e$\dag er

と定める。

$)$

”

’
$\infty \mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}e$を conductance of $N$ across the terminals$v,$$v^{\uparrow}$という。

の1) tunnel link diagramによりに対し、 (包含写像定義 5.
の shading ( $=L$ で分割された領域を白、 黒に塗分
link diagram と看倣して、 )けること) は、 常に、 unbounded region が unshaded ( 白塗り) となるように行が shaded regi nにあるとき、
うものとする。
から除かれた 2 点
を special tunnel link という。
2) special tunnel linkに対し、 shading によって (shaded regions を頂点とし、に対応する edge の conductance を 1
crossings を edges とし、 crossing of tyPeに対応する edge の conductance を $-1$ とし、 除かれた 2 点
crossing of tyPeとして) 得られる two-terminal
を含む shaded region(s) に対応する頂点をを用いて、 $c(L):=c(G(L), v,v^{\uparrow})$ を
conductance と定める。
network$i:\Sigmaarrow \mathrm{R}^{2}$$L$$\mathrm{R}^{2}$$\mathrm{R}^{2}$$=$$(=\mathrm{R}^{2}-\Sigma)$$\mathrm{R}^{2}$$\circ$$L$$L$$\Psi_{J*}^{l}$$\mathrm{X}’$$\text{、}$$v,$$(G(L),\mathcal{V},\mathcal{V}\mathrm{t})$$v^{1}$$L\emptyset$$(\mathrm{s})$

82

[2]

結果

定理 2.

$\Sigma$link diagramから 2 点を除いた surface であるとき、 connected special tunnel(in) ( $p(L)$ が connected の意) に対し、が$L$$\mathrm{R}^{2}$$\mathrm{t}L)=f_{0}(A)+\sum_{j\overline{-}1}^{\text{ん}}fj(A)(L_{j}\mathrm{I}$$(\in\Lambda(\Sigma))$$f_{j}(A)\in\Lambda=\mathrm{Z}\mathrm{i}^{A,A]}-1$とすると、$(j=1,2, \cdots,k)$,(ここ 1 こ、

$i\in \mathrm{C},$$<L_{j})\neq<L_{j},$ $)$$i^{2}=-1$

if$=\{v,v^{\uparrow}\}\text{、}$$j\neq j^{1}$)) である。

$L$に対し、 conductance $c(L)$ は$0$

定理 2 の証明

定義より

(1)

$<L_{j})\in \mathrm{L}_{\Sigma}$$\cdot$(2) より次の欲張を得る。

ambient isotopy invariant

補題.

(但し、 $L_{1}=0\text{、}L_{2}=\backslash$connected special tunnel link diagram$([\mathrm{G}\infty)$[3],$c( \text{し})=(-i)\frac{f_{1}(\sqrt{i})}{f_{2}(\sqrt{i})}$

よって、 命題 2.

系.

.

$\Sigma\cross \mathrm{R}$$c(L)=c(G(L),\mathcal{V},\mathcal{V}^{1})=^{\frac{w(c_{(}L))}{w(G(L)+e^{1})}}|$$r:=rank(\Pi 1(\alpha L)),$ $E:=$

だから次の補題を示せば十分。

total number of edges of $G(L),$$w(G(L))=i^{r_{i(\sqrt{i})^{-3S}}}Ef1(^{\sqrt{i})}\backslash$(2)$s:=C(e.\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{e}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{G}(\mathrm{L})e)$とすると、$w^{\uparrow}(G(L)+e)|\gamma+1E(=ii\sqrt{i})- 3Sf2(^{\sqrt{i})}$。

補題の証明.
[Kau] に従い、 state model 理論における概念、 用語を準備しておく。
内のに対し、unoriented link diagram
内の graph $U:=p(L)$ を ( に対する) universe といい、 $U$ の各頂点に対しまたはを選ぶ選び方、 即ち、:{vertices of $U$ } $arrow\{A,A^{- 1}\}$ を $U$ の state という。 各 state に対し、
(但し、 $m,n$ はそれぞれ $S^{-1}(A),$ $S- 1-(A1)$ の位数)$\Sigma\cross \mathrm{R}$

$L$

$L$

$\Sigma(=\Sigma\cross \mathrm{o})$$A^{-1}$$A$$S$$<L|s>.=v:$S$\mathrm{V}\mathrm{e}1\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{X}\prod_{U\mathrm{o}\mathrm{f}}s_{(\mathcal{V})=A}mA^{- n}$$\text{、}$$L_{s}$: しの各 crossing を stateに従って解消して得られた (crossings を持たない)
link (diagram)から trivial components を除いた残りの link
$S$$\Sigma(=\Sigma \mathrm{x}0)\kappa]a)$$\tau$$L_{s}$:$L_{s}$$(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m})_{\text{、}}$

total number of trivial components ofif(total number of trivial components of ) $-1$ ifとすると定義より、$\text{し_{}s}$$L_{s}\neq\emptyset$$|S|:=\{$$L_{s}$$\{\text{し})=.\sum_{1S^{\forall_{\mathrm{S}}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}U}(-A-2A^{-})^{1s}|<L|s2>\langle\tilde{L}_{S})$$\tilde{L}_{s}=\emptyset$

83.

$\text{従^{}-\supset}/-\subset\text{、定}\iota \mathrm{g}2$$-\subseteq \text{あ}\xi)$。

$\iota_{-}^{arrow}\^{>}\mathrm{t}\mathrm{j}-\xi_{)}R\text{定}$$\mathrm{t}L)=f_{0}(A)+\sum_{-,j1}f_{j}(A)\langle L-kj)$,.

(但し、 $L_{1}=0\text{、}L_{2}=\text{、}$$(\in\Lambda(\Sigma))$$f,\cdot(A)\in\Lambda=\mathrm{Z}[A,A^{-}]1$:$(j=1,2,\cdots,k)$ ,$<L,\cdot)\in \mathrm{L}_{\Sigma}$$<L_{j})\neq<L_{j},$ $)$if$=\{v,v^{\dagger}\}\backslash$$j\neq j^{\dagger}$

)

より

1)

$f_{1}(A)=s^{\forall_{\mathrm{S}}}.

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\ovalbox{\tt\small REJECT} U(-A-2A-)21S|<L|S>\backslash 2)f_{2}(A)=S^{\forall_{\mathrm{S}}}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}\sum_{U}(-A^{2}-A^{-2}\}^{S}1<L|S>$(

St.

である。 (.
ら、

1’ )

at

$1$

は free A-module$\Lambda(\Sigma)$である。

$\mathrm{t}\overline{L}_{S}$))) 更に、 $A=$ 誘のとき、 $-A^{2}-A^{-2}=0$ だか。

2$f_{1}( \sqrt{i})=.\sum_{\circ s^{\forall_{\mathrm{S}}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{f}U}<L|s>A\overline{-}^{fi}4$at.

$(_{\overline{L}_{S}})\overline{-}\iota L_{2}$)’$f_{2}( \sqrt{i})=.\sum_{\mathrm{o}s^{\forall}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{f}U}<L|s>A\overline{-}fi$.

$\overline{-}\mathrm{t}L\lambda 11S|=0$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$$(\overline{L}_{S})\neq L_{2}$口 S|--0

12)(1) を示す。
に対し、 自然な 1 対 1 対応
$G(L)$ の任意の spanning tree
$U=p(\text{
し})$
$v|v$
:vertex of the universe} { $e|e$ :edge of $G(L)$ } により、 cannonical{
な $U$ の state $S(T)$ :{ $v|v$ :vertex of the universe $U=p(L)$ } $arrow\{A,A^{-1}\}$ を$\tau$$arrow$$\varphi:$$S(T)(\mathcal{V}):=$)
におけると定めると、 crossing-cut-cut は shaded region(s) を繋ぎ、はは one component では shaded region(s) を離すから、で 2 つに分けかつの bounded region の方に含まれる 13) 。よって、られた$\rangle$$A^{-C}(\varphi(v))$$A^{c(\varphi(}v$

$v$

$T$

$L_{S(T)}$$\mathrm{R}^{2}$条件$\tilde{L}_{S(T)}=Ls(\tau)$$(*)(\tilde{L}_{S(T}))=\langle L_{1}$

逆に、 条件より更に、の spanning tree$T=$$(\overline{L}s)_{=}\{L_{1}$$|S|_{=0}\Leftrightarrow L_{s}$$|s(\tau)|=0$)$=\langle L_{1}$

従って、$\Sigma=\mathrm{R}^{2}-\{v, v^{\mathrm{t}}\}_{\text{、}}$て、),$(*)\{\tilde{L}_{s}$$\tilde{L}_{s}=L_{s^{\text{、}}}$

12)$L_{S()}\tau$

{

) or

),

$|s|_{=}0$$(\tilde{L}_{s})=(L$$1$$L_{S}$) より$L_{s}$$S$に対し、 $|s|_{=}0$は one component で non trivial in$\mathrm{R}^{2}$の bounded region $D$ 内に $G(L)$14):vertex or edge of $G(L)$ } が (–意的に) 存在する) のとき、$\overline{L}_{S}\neq\emptyset$

has no trivial component である

13)を満たす任意の $u$ の state

を boundary にもつ$x|D\supset x$$(L_{2}$

を満たす。

だから

$|S|_{=}$

total number of trivial components of$L_{S^{\backslash }}$。

よっ$\circ$において、 各 shaded region 内の 1 点を頂点とし、 各 crossing に対応す
ここでは、 $G(L)$ はる edge を両側の shaded region(s) 内の頂点をその crossing を通る arc として実現された planar graph として扱った。
14)$\mathrm{R}^{2}$.)

は、 $G(L)$ の頂点でになり

$L_{S}${$L_{S})=\{h$$\tau$) より$D\supset\{v,v\}|$

だからに含まれないものがあれば、は one component に反する。故に$T$$L_{S}$$v,v”\in T$より$T\neq\emptyset$の定め方から、

は $G(L)$ の spanning tree。

$L_{S}$。

$T$が cycle をもつか、 あるいは two components 以上をもつこと

84

このとき、
の定め方から以上と 1’) より
$T$

1’ ’)

だから $S=S(\tau)$$L_{S(_{\sim}T}=L_{s}$)$f_{1}( \sqrt{i})=\sum_{\mathrm{s}s:\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\circ \mathrm{f}U}<L|s\forall>_{A\overline{-}}fi=\tau^{\forall_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}}}.\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\sum_{c1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}}<L|S(\tau)>\mathrm{o}\mathrm{r}(L)A_{\overline{-}\mathcal{F}i}$at.

$(\overline{L}_{S})_{\overline{-}}(_{L_{1}}\rangle 1^{s}1--0$を得る。 -方、 $G(L)$ の任意の spanning tree$<L|S(T)>=$に対し、 定義より$\tau$$\prod S(T)(\mathcal{V})=( \prod s(T)(v))( \prod S(T)(\mathcal{V}))$vvertex of $U$$=($$v:\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{X}$

st.

st.

of

of

$\varphi(\mathrm{v})\oplus(L)-\tau$$e$$\prod A^{c(e)})($. edge of: edge of$T$$\prod i(\sqrt{i})^{-3c()}e(\sqrt{i})^{-}C(e))$

e.edgi of $G(L)-T$

$T$

$T$

)

$\prod ii(\sqrt{i})^{-}3c(e)(\sqrt{i})^{-_{C(e}}))$

$($

$e$

.edge of $G(L)-T$($\prod Te:\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}$$=( \prod_{\mathrm{e}e:\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{r}T}i(\sqrt{i})- 2c(e))(\prod_{- e:\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{f}c(L)}i^{2}(\sqrt{i})-4C(e))=$$\cdot$$i( \frac{1}{i})^{c(9}=\{$))($Te:i( \frac{1}{i})^{C(e)}$

of

(..

of $G(L)-\tau$number of edges of $G(L)-T$ より$\prod i(\sqrt{i})^{-}C(e)(\sqrt{i}3)C(e)$$= \prod_{e.\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\circ \mathrm{f}T}C(e)=w(T)$$\prod A^{-c(e)})\text{、}$$e\cdot \mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}$$q\langle \mathrm{v})\oplus(L)-T$$\prod i(\sqrt{i})^{-}C(e)(\sqrt{i}3)C(e))(i^{r}$$e$:edp ofveltex of $U$

st.

$\prod A^{-c(\varphi(v))})=($

st.

$\varphi(\mathrm{v})\in\Gamma$$i^{r}i^{E}(\sqrt{i})^{-3S}<L|S(T)>=($

$e$

$v.$

v.vertex of $U$$U$$\Gamma=rank(\Pi_{1}(c_{(}L))=\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}$

$=($

$U$

$\varphi(\mathrm{v})\in\Gamma$$\prod A^{c(_{\Psi}\{v})))($$v\cdot \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{x}$

よって、

。

$\prod_{L\mathrm{o}\mathrm{f}G()-T}(-1)(\frac{1}{-1})^{(}ce$

$)$

edge

1 if $c(e)=1$$-1$
if $c(e)=-1$$\backslash c(e)=\pm 1\mathrm{C}\mathrm{K}\mathfrak{h}(-1)(^{\frac{1}{-1})^{(e}=}C)1)$

故に、$i^{\gamma}i^{E}(\sqrt{i})-3Sf_{1}(\sqrt{i})=\tau^{\forall}$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\sum_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}0}(ii^{E}(G(L)\sqrt{i})^{-}<3_{S}L|S(T)>_{A=})fi$.

$=. \sum_{\mathrm{n}\tau^{\forall_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{r}\infty}w(T)=w(\alpha L\mathrm{o}\mathrm{f}c(L)))$を得る。

(2) を示す。
を含む $G(L)+e\dagger$ の任意の spanning tree
に対し、
を含む
) は
と
を含む
componentからなり、 それぞれは G(し) 内の trees で、component
は $G(L)$ のすべての頂点を含む。 (以下、 このような性質を満たす $G(L)$ 内$e^{\mathfrak{l}}$$\tau^{1}$$T_{1}$$T_{1}\cup T_{2}$$v^{\dagger}$$T_{2}$$\tau^{1}\cap c_{(}L$

$v$

85

と呼ぶことにする。 ) 逆に、
任意の spanning two trees
を含む $G(L)+e^{\dagger}$ のof $(G(L), v,\mathcal{V}’)$ に対し、の spanningが–意的に定まる。 よって、
spanning tree
全体は 1 対 1 に対応する。
trees 全体と $G(L)$ 内の spanning two trees ofだから、従って、 定義よりの two trees$T_{1},$

を spanning two trees of$T_{2}$$(G(L), v,v^{\mathfrak{j}})$$e^{\dagger}$$T_{1},$$T_{2}$$G(L)+e^{\uparrow}$$T^{\dagger}:=\tau_{1}\cup\{e^{\uparrow}\}\cup T_{2}$$(G(L), \mathcal{V},v^{\uparrow})$$c(e^{\mathrm{t}})=1$

3)$\sum w(T|)$$w^{1}(G(L)+e^{\uparrow})$ $:=$$T’\cdot \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}$of$\sum w(T_{1})w(T_{2})$$=$’$G(L)+e’,\infty \mathrm{n}\iota \mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}e$。

spanningtwo trees of $(c(L\lambda^{v,v’)}$$T_{1},T_{2}$

任意の spanning two treesof $(G(L), \mathcal{V},v|)$ に対し、 $T:=T_{1}\cup T_{2}$ (\subset G(し)) とす(1)
るとき、においてと同様に、 cannonical な $U$ の state $S(T)$ を$T_{1},$$T_{2}$

if
if otherwise
は two components で
内で、 それぞれ、と定めると、 前と同様の理由から、を含む 2 つの topological disks を bound し、 共に non trivial in$Ac(\varphi(\mathcal{V}))$$\varphi(\mathcal{V})\subset T$$S(\tau)(\mathcal{V}):=\{$$A^{-c(\varphi(v}))$$\mathrm{R}^{2}$$L_{S(T)}$$T_{1},$$\Sigma=\mathrm{R}^{2}-\{v, v^{1}\}$$T_{2}$。よって.

条件$L_{s_{(}T)}=$$(*)\{\tilde{L}_{S(T}))=\langle L_{2}$

逆に、 条件より

Ls のかつ$\tilde{L}_{s}=L_{s\}$non trivial in),$|S(\tau\lambda=0$$(*)\langle\tilde{\text{し}_{}s})=\langle L_{2}$

従って、

),

を満たす。

を満だす任意の $U$ の state$|S|_{=}0$$(\tilde{L}_{S})=\langle L_{\mathrm{z}}$) より$L_{s}$$S1_{\mathrm{c}}^{arrow}$

対し、 $|S|_{=}0$は two components で、 各 component はの 2 つのを boundary にもつ
更に、$(j=1,2)$ 内に、 それぞれ、 $G(L)$ の trees
topological disksが (–意的に) 存在し、 spanning{$x|D_{j}\supset x$ :vertex or edge of $G(L)$ }の定め方からをなす (.
two trees ofcf. 前脚注 13) 。このとき、$\mathrm{R}^{2}$$\Sigma=\mathrm{R}^{2}-\{v, v’\}_{\text{、}}$$L_{s}$$D,\cdot$$(\mathrm{j}=1,2)$$T_{j}=$$L_{S(T)}=L_{S}$

$T$

$)$

$(G(L), \mathcal{V},\mathcal{V}^{\mathfrak{s}})$だから $S=S(\tau)$。

以上と 2’ ) より

2’ ’

$)$

$f_{2}(\sqrt{i})=$$\sum<L|S>_{A--f_{i}}$. stateof$S^{\forall}$st.

$\sum<L|S(T)>_{A=^{f_{i}}}$$=$$T=T_{1}\cup T_{2}$$U$$T_{2-}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n},\Pi,\mathrm{i}!_{-\mathrm{f}}--\cdot\forall \mathrm{n}\mathrm{g}’-\backslash ’\backslash \iota \mathrm{W}\mathrm{o}$を得る。 –方、 任意の spanning two trees$T:=^{J}T_{1}\cup\tau_{2}(\subset G(L))$ とすると、 定義より$<L|S(T)>=$, where$T,$$(\overline{L}_{S})<L_{1}\lambda|S|--0$$T_{1},$$T_{2}$of$(G(L), \mathcal{V},v^{\mathrm{I}})$に対し、$\prod S(T)(\mathcal{V})=( \prod S(T)(v))( \prod S(T)(\mathcal{V}))$$V\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{X}$. vertex ofst. $\varphi(v)\in G(L)-T$: vertex of $U$
at.

of $U$$\varphi(v)\in\Gamma$$=($$\prod A^{c(\nabla \mathrm{t}^{\mathcal{V}}))}$

v.vertex of
st
Er

$U$

$\varphi(v)$

)

$U$

$v$

$v$

$\prod A^{-c(\varphi(v))})=($$($

vertex ofst.

$v$

よって、 $r=\gamma ank(\Pi 1(c_{(}L))=$ (

$U$

$e$

$\prod A^{c(e)})($: edge of$T$$\prod A^{-C(e)})\text{、}$$e:\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{e}$of $G(L)-T$$\varphi\langle \mathrm{v})X(L)-\tau$$\mathrm{t}\mathrm{o}\iota \mathrm{a}\mathrm{l}$number of edges of $G(L)-T$) $-1$ より、

86$i^{r+1}i^{E}(\sqrt{i})^{-}3s<L|S(T)>=($$\prod i(\sqrt{i})^{-3_{C}}(e\rangle(\sqrt{i})^{C(e)})(i^{r+1}$

$e$

$=($

: edge of$\prod i(\sqrt{i})^{-3(e}c)(\sqrt{i})C(e))($
$e$

$=($

: edge of$T$: edge of)$T$$e:\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}$of $G(L)-T$$e$$\prod$: edge of$i(^{\underline{1}})^{C(}e))(e$$T:=\tau_{1}\cup T_{2}$$i^{r+1}i^{E}(^{\sqrt{i})}-3Sf2(^{\sqrt{i})}=T^{\forall}$$\prod_{-\mathrm{O}T}\mathrm{f}G(L)(-1)(\frac{1}{-1})C(e))$: edge$l$$T$

最初の等号は前と同様、 2$= \prod_{\mathrm{r}e:\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}}c(e)=(\prod_{1}e\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\circ \mathrm{f}c\tau(e))(\prod_{\mathrm{o}e:\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{f}}c_{T}(e)2)=w(T_{1})w(T_{2})(.$

番目の等号は定義
故に、 3) より$(^{\sqrt{i}}.)-3_{L}(e)(^{\sqrt{i}})-C(e))$

edge of $G(L)-T$

of $G(L)-\tau$$\prod i^{2}(\sqrt{i})-4C(e))=($$($$\prod$$e$$\prod ii(\sqrt{i})-3C(e)(\sqrt{i})-c(e))$$e:\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}$$\prod i(\sqrt{i})^{-2}C(e)$
$e$

$T$

から、 3 番目の等号も定義から。 )$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{o}\sum_{\mathrm{t}}(i^{+}i(^{\sqrt{i})^{-}}\mathrm{f}c(L)1E3s<L|s(\tau)>_{A}\lrcorner_{\overline{i}})$$\sum w(\tau_{1})w(\tau_{2})=w^{\mathrm{I}}(G(\text{し})+e)\dagger$$=$$\tau_{1},T_{2}.\mathrm{a}\mathrm{n}\forall_{\mathrm{s},\mathrm{o}\mathrm{f}(c}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}_{L\rangle)}\mathrm{R}\mathrm{t}\mathrm{r},\mathrm{e}\mathrm{S}(^{\mathrm{g}\mathrm{e}}\mathcal{V},\mathcal{V}$を得る。

5. Homeomorphism invariants of links insurfases$\Sigma\cross \mathrm{R}$for orientable closed$\Sigma$における links の別の同値関係として上の homeomorphisms によるものがある。 即ち、内の 2 つの links $L,$
に対し、 homeomorphism
で $h(L)=L^{\dagger}$ ( , し\dagger が oriented links のときは oirentation も含めての意) となるものが存在するときとは同値であると定め、と表わす
同値で不変な (link の) 性質や量を homeomorphism invariant 15) という。
$\Sigma\cross \mathrm{R}$$\Sigma\cross \mathrm{R}$$\Sigma\cross \mathrm{R}$$h:\Sigma\cross \mathrm{R}arrow\Sigma\cross \mathrm{R}$$L^{\mathrm{I}}$

$L$

$L$

$L\approx L^{1}$$L^{\dagger}$$\approx$$\approx$$\circ$

本節ではinvariant$\Sigma$が closed oriented の場合について、 命題 4. の ambient isotopy$F_{L}(A)$から得られる homeomorphism invariants を取り上げる$\circ$

証明等は[Kanl] 参照。

命題 5.

を closed orientable surface とする。 任意の homeomorphismに対し、 homeomorphismと homeomorphism
で homeomorphism$(g\cross g^{1}(*t):=(g(X),g^{1}(t)))$ が:と isotopicとなるものが存在する。 ここに、は恒等写像
または、 reflection:
16)$(\gamma(f)=-f)$ である。
$\Sigma$$h:\Sigma\cross \mathrm{R}arrow\Sigma\cross \mathrm{R}$$g:\Sigmaarrow\Sigma$$g\cross g^{\mathrm{t}}$$g^{\uparrow}:$$\Sigma\cross \mathrm{R}arrow\Sigma\cross \mathrm{R}$$g^{\dagger}$$h$$1_{\mathrm{R}}$$\mathrm{R}arrow \mathrm{R}_{\backslash }$$r:\mathrm{R}arrow \mathrm{R}$

15)

16)

ambient homeomorphism invariant というべきかもしれないが。

証明には四の 「$10.2.\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$」$(_{\mathrm{P}}89)$を用いた。 詳細は [Kanl] 参照。

$\mathrm{R}arrow \mathrm{R}$

87

定理 3.

$\Sigma$を closed oriented surface とする。 任意の homeomorphism

を前命題 5 における内の任意の oriented link diagram
に対し、を (free A-moduleの) 生成系
ambient isotopy invariant
に関する 1 次結合として、に対し、homeomorphisms とする。
$h:\Sigma\cross \mathrm{R}arrow\Sigma\cross \mathrm{R}$$g:\Sigmaarrow\Sigma_{\text{、}}g:\mathrm{R}|arrow \mathrm{R}$$\Sigma\cross \mathrm{R}$$L$$F_{L}(A)(\in\Lambda(\Sigma))$$\Lambda(\Sigma)$$\{1\}\cup \mathrm{L}\Sigma$$(\in\Lambda(\Sigma))$$F_{L}(A)=f_{0}(A)+ \sum_{1j\overline{-}}f_{j}(A)\langle L,\cdot)$(但し、$f,\cdot(A)\in\Lambda=\mathrm{Z}[A,A^{-}]1$,$<L_{j}$(と表わす。 このとき、 $g\cross g^{1}(L)$)$(j=1,2,\cdots,k)$ ,$\in \mathrm{L}_{\Sigma}$isotopic な oriented link diagram で、$F_{L^{\uparrow}}(A)$if$f_{0}(A)+ \sum_{i\overline{-}1}^{k}f_{i}(A)<g(L_{i}))$

$h$

if

$j\neq j^{\dagger}$)) は oriented link $h(L)$ と ambientは次のように表わせる :とお$=L^{\mathrm{t}}$$<L_{j})\neq<L_{j^{}})$$\langle$

is orientation preserving$F_{L^{\fallingdotseq}}(A)=\{$

if is orientation reversing.
$h$$f_{0}(A^{-})1+ \sum_{i=1}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}f_{i}(A- 1)<g(L_{i}))$定義 6.

$\mathrm{M}(\Sigma)$$\mathrm{x}=[g]\in \mathrm{M}(\Sigma)(g$を:$\Sigma$の mapping$\Sigmaarrow\Sigma$

clas. group17)

は homeomorphism で $[g]$ は $g$

mapping class) ) に対し、 isomorphisms$n$$\mathrm{x},$$\mathrm{x}_{*}:$

任意の mapping classを含む isotopy class $(=$
を$0$$\Lambda(\Sigma)arrow\Lambda(\Sigma)$$n$$\mathrm{X}(f_{0}(A)+\sum_{i- 1}f_{i}(A)<L)i):=f\mathrm{o}(A)+\sum_{i=1}fi(A)<g(L_{i}))-$$\mathrm{x}_{*}$とする$\mathrm{s}$,( $f_{0}(A)+ \sum f_{i}n(A)<$ し ) $):=f \mathrm{o}(A-1\sum)+fi(A^{1}-)<g(L_{i}))n$$i$と定める。 このとき、$G$$\{\mathrm{x},\mathrm{x}_{*}|\mathrm{x}\in \mathrm{M}(\Sigma)\}$と表わし、 group action

系 1.

$\Sigma$$G$による$\Lambda(\Sigma)$$\Lambda(\Sigma)\backslash$に対し $F_{L}(A)$ の$G$

上の group action をなし、 これをの orbit space

を closed oriented surface とする。

-orbit orb
homeomorphism invafiant
$L$

は

を

$\Lambda(\Sigma/)_{G}$とする。

内の任意の oriented link diagram$\Sigma\cross \mathrm{R}$$(F_{L}(A))(=\{\mathrm{y}(F_{L}(A))|\mathrm{y}\in G\}\in^{\Lambda(\Sigma}/)_{G})$

は

。

系 2.

$\Sigma$を closed oriented surface とする$F_{L}(A)=f_{0}(A)+ \sum j=1kf_{j}(A)(L,\cdot)$$(\in\Lambda(\Sigma))$$F_{L}(A)$

$0$

(但し、

の reduced invariants,$f_{j}(A)\in\Lambda=\mathrm{Z}\mathrm{f}^{A,A}- 1]$$<L_{j}$について、)$\in \mathrm{L}_{\Sigma})$

すると、(1) ambient isotopy invariant$\{\hat{F}_{L}(A),\hat{F}_{L}(A^{-1})\}|\mathrm{h}$17)$\Sigma$$\hat{F}_{L}(A)(=\epsilon_{0}(F_{L}(\grave{A})))$

homeomorphism invariant$\cdot.=\sum_{0j}^{\text{ん}}f_{j}(A)$.
$\backslash$上の自己同相の isotopy classes 全体のなす群。

$(\in\Lambda)$

に対し、

と

88

(2)

$\mathrm{N}.\mathrm{K}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{s}\uparrow$(但し、$(\in\Lambda)$

invariantinvariant 18)$|L_{j}|$は$L,\cdot$$K_{L}(A)(= \mathcal{E}_{1}(F_{L}(A))):=f\mathrm{o}(A)+\sum_{j\overline{-}0}^{\hslash}f_{j(}A)(-A^{2}-A^{- 2})^{|L_{j}|}- 1$の成分数) に対し、 {$K_{L}(A),$$K_{L}$(A-1)} は homeomorphism。

内の links の invariants について、 主として、 [IK], [Kanl],
付記. 本稿は[Kan3] における結果の-部をまとめたものである。 [Kan3] に関連した結果の full
proof の記述は本稿 4 節が最初である。 ここでは割愛した関連する結果については
前述文献及び [Kan2] を参照されたい。
$\Sigma\cross \mathrm{R}$References
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Spriger-Verlag, Berlin (1977).
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63-88 (1971)[GK] J.R.Goldman -L.H.Kauffman, Knots, Tangles, and Electrical Networks, Advances inApplied Math. 14, 267 $- 306$ (1993).
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[&m] N Kamada, The crossing number of alternatin link diagrams on a surface,(Proceedings of the fifth international research institute ofMathematical Society of Japan), World Scientific, Singapore (1997) 377-382[Kanl] T. Kaneto, A homeomorphism invariant of links in the product space of a surface andthe real line, preprint[Kan2]–, Product of links in the product space of asurface and the real line,「結び目理論と様々な数学の絡み」 (研究集会報告集) , 427-435 (1997).
[Kan3] –, Invariants of tunnel links and numerators of rational tangles, to appear in
研究集会「結び目理論」 (早稲田大学 1998. 1/26 $- 28$ ) 報告集[Kau] LR Kauffman, State models and Jones polynomial, Topology 26 (1987) 395-407.
[Ro] D. Rolfsen, Knots and links, Mathematics Lecture Series 7, Publish or Perish, Inc. (1976).
[Ru] T.B. Rushing, Topological embeddings, Pure and Applied Math. 52,
Academic Press (1973).

$[\alpha]$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{I}\infty$v.ia$\mathrm{K}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{s}9\uparrow 6$

18)[Kam] 参照。 記号$K_{L}$(A) は{更宜的に用いたここだけのもの。