数理解析研究所講究録
第 1576 巻 2008 年 47-52

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有限量子系の超双曲型構造と変形ベッセル関数についてby
横浜市立大学・数理科学科 藤井一幸 (FUJII Kazuyuki)
Department of Mathematical Sciences, Yokohama City University

はじめに

横浜市立大学の量子コンピュータ・グループでは原子の energy levels を用いた量子計算を研究してきた [1], [2]。量子計算では、通常 two energy levels を用いて取り扱う (qubittheory) [31。しかし原子は一般に many energy levels をもち、 これを利用する量子計算をqudit theory と言う、 例えば [4], [5]。
原子の有限個の energy levels system を有限量子系と呼ぼう。 このシステムにある種の双曲型構造が入り、 それを超双曲型構造 (super hyperbolic structure) と呼ぶことにする。
これが変形ベッセル関数の母関数と関係し、 面白い (関数) 関係を得ることが出来る [6]。
この構造が qudit theory の問題 (難問) を解決できるか否かは今後の研究課題である。

有限量子系でうまい極限をとると、 それが大貫と北門による円周上の量子力学になる[7]。そのとき変形ベッセル関数の母関数の “正体” が明らかになる。
数学的準備

まず 2 準位系の復習をしよう。
$\sigma_{1}=(\begin{array}{ll}0 11 0\end{array})$$\{\sigma_{1}, \sigma_{3}\}$,をパウリ (Pauli) 行列で、 12 を単位行列とする。

$\sigma_{3}=(\begin{array}{l}100-1\end{array})$,$1_{2}=(01$(1)

$01$

ノ

$\sigma_{1}$and$\sigma_{3}$の良く知られた性質をリストすると$\sigma_{1}^{2}=\sigma_{3}^{2}=1_{2}$,$\sigma_{1}^{1}=\sigma_{1}$,$\sigma_{3}^{\dagger}=\sigma_{3}$,.

$\sigma_{3}\sigma_{1}=-\sigma_{1}\sigma_{3}=e^{\pi i}\sigma_{1}\sigma_{3}$(2)

更に $\sigma_{1}=W\sigma_{3}W^{-1}$ の関係がある。 ここに $W$ は Walsh-Hadamard matrix で、$W= \frac{1}{\sqrt{2}}(\begin{array}{l}1l1-1\end{array})=W^{-1}$(3)で与えられる。 これは非常に重要な行列で Discrete Fourier Transform の特別な場合である [3]。

hyperbolic functions { $\cosh x$ , sinhcosh$x$}は$x \equiv\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}$,$\sinh x\equiv\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

(4)

48

で定義され、 以下の性質をもつ。

cosh2 –sinh2 $x=1$ ,

(5)

$x$

$\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$ ,$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$ .

簡単のため以下では $c_{0}(x)\equiv\cosh(x),$ $c_{1}(x)\equiv\sinh(x)$ とおく。 そのとき$e^{x\sigma_{1}}=c_{0}(x)1_{2}+c_{1}(x)\sigma_{1}=(C_{1}C_{0\{_{x)}^{x)}}$で、 (5) と(6)$e^{x\sigma_{1}}$を考えると$C_{0}C_{1\{_{x)}^{x)}})$(7)(6) は簡単に$\det(e^{x\sigma_{1}})=1$,(8)$e^{(x+y)\sigma_{1}}=e^{x\sigma_{1}}e^{y\sigma_{1}}$と表される。

The modified Bessel functions of integer order $\{I_{k}(x)|k\in Z\}$ は、 母関数 (generatingfunction).
(9)$e^{n}\tau^{(w+\frac{1}{w})}=\sum_{k\in Z}I_{k}(x)w^{k}$にょって与えられ、 例えば
.

1

$=$

$I_{0}(x)+2 \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}I_{2k}(x)$$\cosh(x)$$=$$I_{0}(x)+2 \sum_{k=1}^{\infty}I_{2k}(x)$,,$\sinh(x)=2\sum_{k=1}^{\infty}I_{2k-1}(x)$(10)などの重要な性質をもつ [8]。 (9) の母関数に代入 $warrow w\sigma_{1}$ をおこなうと$e^{\frac{l}{2}(w\sigma_{1}+\frac{1}{w}\sigma_{1}^{-1})}=e^{\frac{\iota}{2}(w+\frac{1}{w})\sigma_{1}}=\cosh(\frac{x}{2}(w+\frac{1}{w}))1_{2}+\sinh(\frac{x}{2}(w+\frac{1}{w}))\sigma_{1}$(11)を得る。 これより (10) は簡単にわかる。

有限量子系と超双曲型構造
パウリ行列$\{\sigma_{1}$, \mbox{\boldmath $\sigma$} の一般化は、 generalized Pauli matrices$\}$$\Sigma_{1}=(\begin{array}{llllll}0 11 0 l 0 \ddots 1 0 1 0\end{array})$,$\{\Sigma_{1}, \Sigma_{3}\}$$\Sigma_{3}=(\begin{array}{llllll}1 \sigma \sigma^{2} \ddots \sigma^{n-2} \sigma^{n-1}\end{array})$(12)

49で与えられる。 ここに$\sigma$

は $\sigma=\exp(\frac{2\pi i}{n})$ である。

$\Sigma_{1}^{n}=\Sigma_{3}^{n}=1_{n}$,$\Sigma_{1}^{\dagger}=\Sigma_{1}^{n-1}$,$\{\Sigma_{1}, \Sigma_{3}\}$$\Sigma_{3}^{\dagger}=\Sigma_{3}^{n-1}$,の間には (2) の一般化で$\Sigma_{3}\Sigma_{1}=\sigma\Sigma_{1}\Sigma_{3}$.

(13)の関係がある。 更に $\Sigma_{1}=W\Sigma_{3}W^{-1}$ が成り立つ。 ここに $W$ は generalized Walsh-Hadamard matrix で(14)$W= \frac{1}{\sqrt{n}}(\begin{array}{lllll}1 1 l 1 11 \sigma^{n-1} \sigma^{2(n-1)} \sigma^{(n-2)(n-1)} \sigma^{(n-1)^{2}}l \sigma^{n-2} \sigma^{2(n-2)} \sigma^{(n-2)^{2}} \sigma^{(n-1)(n-2)}| | | \vdots |1 \sigma^{2} \sigma^{4} \sigma^{2(n-2)} \sigma^{2(n-1)}1 \sigma \sigma^{2} \sigma^{n-2} \sigma^{n-1}\end{array})$で与えられる (確かに $n=2$ のときは (3) になる)。

$W$はまさに Discrete Fourier Ransformそのものである。 [9] にこれの面白い応用 (計算) がある。の拡張として(7) のを考えよう。
$e^{x\Sigma_{1}}$$e^{x\sigma_{1}}$$e^{x\Sigma_{1}}$$=$$c_{0}(x)1_{n}+c_{1}(x)\Sigma_{1}+c_{2}(x)\Sigma_{1}^{2}+\cdots+c_{n-2}(x)\Sigma_{1}^{n-2}+c_{n-1}(x)\Sigma_{1}^{n-1}$$(\begin{array}{llllllll}c_{0}(x)\ddots c_{n-1}(x) c_{2}(x) c_{1}(x)c_{1}(x) c_{0}(x)\ddots c_{n-l}(x) c_{2}(x)\vdots c_{1}(x) c_{0}(x)\ddots c_{n-1}(x) \vdots\vdots \vdots \ddots\ddots \ddots \vdots c_{n-2}(x) \vdots\cdots \cdots c_{1}(x) \ddots c_{0}(x) c_{n-1}(x)c_{\mathfrak{n}-1}(x) c_{n-2}(x) \cdots \cdots \cdots c_{2}(x) c_{1}(x) c_{0}(x)\end{array})$

,

(15)

ここに $c_{j}(x)$ は$c_{j}(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{kn+j}}{(kn+j)!}\Rightarrow e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=\sum_{j=0}^{n-1}c_{j}(x)$(16)となる。 (8) に対応するものとして$\det(e^{x\Sigma_{1}})=1$,$e^{(x+y)\Sigma_{1}}=e^{x\Sigma_{1}}e^{y\Sigma_{1}}$(17)があり、 これらから基本関係式 (5) 及び加法公式 (6) の拡張が出てくる。論文 [6] でこのシステム$\{c_{0}(x),c_{1}(x), \cdots, c_{n-1}(x)\}$(18)

を超双曲型構造 (super hyperbolic structure) と呼んだ (評判はすこぶる悪い)。
(11) の一般化として$e^{\frac{x}{2}(w\Sigma_{1}+\frac{1}{w}\Sigma_{1})}\uparrow=\sum_{k\in Z}I_{k}(x)w^{k}\Sigma_{1}^{k}$

(19)

50
を取るのは自然であり、 これより多くの面白い結果を得る。 例えば、$\frac{1}{n}$trfor$\{e^{\frac{l}{2}(w\Sigma_{1}+\frac{1}{w}\Sigma_{1})_{\Sigma_{1}^{j}\}}}\dagger=\sum_{k\in Z}I_{nk-j}(x)w^{nk-j}$

を得る ($j=0$ の場合は知られている [10])$0\leq j\leq n-1$

(20)

。

円周上の量子力学への移行(12) のままで $narrow\infty$ をとるのは不可能である。 そこで少し工夫をする。 $n=2N+1$として$..$.
$\sigma^{-1}$$\tilde{\Sigma}_{1}=\Sigma_{1}$,1$\tilde{\Sigma}_{3}=[\sigma^{-N}$$\sigma^{N})$(21)$\sigma$$..$

とおく。 更に$\tilde{\Sigma}_{3}$.

を$\tilde{\Sigma}_{3}=\exp(\frac{2\pi i}{2N+1}\tilde{c})$where$\tilde{G}=\{\begin{array}{lllll}-N -1 0 1 N\end{array}\}$(22)と書き直す。 このとき (finite dimensional) Hilbert space を$C^{2N+1}=Vect_{C}\{|-N\rangle, \cdots , |-1\rangle, |0\rangle, |1\rangle, \cdots, |N\rangle\}$と書いておくほうがベターである。 何故ならから以上のもとで基本的作用素が$\{\tilde{\Sigma}_{3},\tilde{\Sigma}_{1}\}$$[\tilde{G}, \Sigma_{1}]\sim=\tilde{\Sigma}_{1}$$\tilde{G}|n\rangle$となるからである。
へと変わり、 これらの交換関係は$=n|n\rangle$$\{\tilde{G}, \Sigma_{1}\}\sim$$(mod 2N+1)$(23)となる。 この段階で蹄躇なく $Narrow\infty(narrow\infty)$ を取ることが出来る。 即ち、 大貫・北門の基本関係式$\tilde{G}arrow G$,$\tilde{\Sigma}_{1}arrow W$;$[G, W]=W$(24)

51を得る 1。ここに

$-2$
$01$

$-1$

$G=($$W=(.$$..]$ ,$0$$01$$...]$
$01$

1

2$01$

$0$

.

(25)
で、 $G$ 及び $W$ [ま (infinite dimensional) Hilbert space$\mathcal{L}^{2}(Z)=\{\sum_{n\in Z}c_{n}|n\rangle|\sum_{n\in Z}|c_{n}|^{2}<\infty\}$;$W|n\rangle$$=|n+1\rangle$,$G|n\rangle$$=n|n\rangle$(26)

上の hermitian operator 及び unitary operator である。

(24) から円周上の量子力学が構築される [7]。これからいろいろな問題が提起される。
例えば、 (19) の更なる一般化である generating operator$e^{\frac{l}{2}(wW+\frac{1}{w}w\dagger)}=\sum_{k\in Z}I_{k}(x)w^{k}W^{k}$(27)

を考えることが出来る。 後は読者にまかせよう。

参考文献[1] K. Fujii, K. Higashida, R. Kato and Y. Wada : Cavity QED and Quantum Computation in the Weak Coupling Regime, J. Opt. : Quantum and Semiclass. Opt, 6(2004) 502, quant-Ph/0407014.
$B$[2] K. Fujii, K. Higashida, R. Kato and Y. Wada: Cavity QED and Quantum Computation in the Weak Coupling Regime II: Complete Construction of the ControlledControlled NOT Gate, Trends in Quantum Computing Research, Susan Shannon(Ed.), Chapter 8, Nova Science Publishers, 2006 and Computer Science and Quantum Computing, James E. Stones (Ed.), Chapter 1, Nova Science Publishers, 2007,
quant-Ph/0501046.
[3] 細谷暁夫 : 量子コンピュータの基礎, SGC ライブラリ 4, サイエンス社, 1999.
1 この記号は大貫北門[7] にあわせており、 (14) の $W$ とは異なることに注意せよ

52[4] K. lfujii, K. Funahashi and T. Kobayashi : Jarlskog’s Parametrization of Unitary
Matrices and Qudit Theory, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 3 (2006), 269, quant$ph/0508006$.

[5] K. Funahashi : Explicit construction of controlled-U gates and unitary operators intwo-qudit, Yokohama Mathematical Journal, 52 (2005), 11, quant-Ph/0304078.
[6] K. Fujii : A New Algebraic Structure of Finite Quantum Systems and the Modified
Bessel Functions, to appear in International Joumal of Geometric Methods in Modern
Physics, (vol.4, no.7), 2007, arXiv: 0704.1844 (quant-ph).

[7] Y. Ohnuki and S. Kitakado: Fundamental Algebra for Quantum Mechanics onand Gauge Potentials, J. Math. Phys. 34(1993), 2827.

$S^{D}$[8] E. T. Whittaker and G. N. Watson: A Course of MODERN ANALYSIS, Cambridge
University Press, 1990.
[9] K. IFUjii and T. Suzuki : Flow Representation of the Bose-Hubbard Hamiltonian :General Case, arXiv: 0707.0902 (quant-ph).

[10] S. Cojocaru : Green’s function of a finite chain and the discrete Fourier transform,Int. J. Mod. Phys. 20(2006), 593, arXiv: 0704.2898 (math-ph).