数理解析研究所講究録
第 1571 巻 2007 年 18-2218

Fixed-point property for CAT(0) spaces
近藤剛史

京都大学理学研究科

Introduction1

有限生成群 に対して, の距離空間 $Y$ への任意の等長作用が固定点を持つとき,が $Y$ に対する固定点性質を持つといい $FY$ と書く. 同様に, 距離空間のクラスに対しての固定点性質とは, 任意のへの任意の等長作用が固定点を持つこととし,と書く. Kazhdan の Property(T) が Hilbert 空間に対する固定点性質と同値であることはよく知られた事実である $[4, 2]$ . また, 群 が Property(T) を持つことと,の任意のユニタリー表現 に対して $H^{1}(\Gamma, \pi)=0$ が成り立つことの同値性もよく知ら$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\mathcal{Y}$$Y\in \mathcal{Y}$$F\mathcal{Y}$$\Gamma$$\Gamma$$\pi$

れていた.

Shalom は [8] の中でさらに, 群 が Property(T) を持たないならば, あるユニタリーが消えないことを示した. つ表現 が存在して, 1 次の reduced cohomology
よりも小さい reduced cohomologyの消滅だけからまり, 通常の cohomology$\Gamma$$\overline{H}^{1}(\Gamma, \pi)$$\pi$$\overline{H}^{1}$$H^{1}$

Property(T) がしたがうということになる.
Shalom の証明は, 群の Hilbert 空間への等長作用と群上の negative definite functionの対応という, Hirbert 空間ならではの手法を用いており, 幾何学的に何をしているのか見えにくいが, Gromov が [3] で述べているように, スケーリング極限の議論を使うことで幾何学的な別証明を与えることができる.
証明の大雑把な流れは次のようなものである. まず, 通常の cohomologyの消滅の消滅はと固定点を持たない作用の非存在が同値であること, reduced cohonology
一様作用の非存在と同値であることを示す. 次に, Hirbert 空間への固定点を持たない作用があると, その作用を拡大していき, 極限空間に一様作用が作れることを示す.
Shalom の論文では, この後半の議論を厳密に実行する目的で negative definite function が使われたようであるが, 超極限の意味でのスケーリング極限を考えることにより Gromov は幾何学的な別証明を与えたのである.
本稿では, このスケーリング極限の議論を用いることである種の極限操作に関して閉じた距離空間の族 に対する固定点性質が, 有限生成群の成す空間の中で開集合を成すことがわかることを報告する. またこの定理の系として, Gromov の主張しているを持つ([3], p.117) ように, 固定点性質を持つ有限生成群は, ある固定点性質$H^{1}$$\overline{H}^{1}$$\mathcal{Y}$$\mathcal{G}_{m}$$F\mathcal{Y}$

有限表示群の商になっていることが分かる.

Property(T) についてのサーベイとしては, [5], [1] がある.

$F\mathcal{Y}$192marked group のなす空間$\mathcal{G}_{m}$定理の主張を述べるために, まず marked group のなす空間を導入する.
をを $m$ 個の元で生成される自由群とする.
2 以上の自然数 $m\in N$ を固定する.
有限生成群とし, $S$ を $m$ 個の元からなる生成元の集合とする. ただし, $S$ には全順序がを marked group を呼ぶ. また, 二つ固定されているものとする. このとき, 組の marked groupが存在しが同型であるとは, 群の同型 :がからへの順序を保つ全単射であることをいう.
への制限て, そのを marked group の同型類の成す集合とする.の正規部は自由群
ここで,の元の正規部分群を分群全体と自然に同一視できる. 以下, この対応を用いてと思う.
次に, 二つの正規部分群に対して, その間の距離を,$\mathcal{G}_{m}$$F_{m}$$\Gamma$$(\Gamma, S)$$(\Gamma_{1}, S_{1}),$$S_{1}$$\varphi|s_{1}$$(\Gamma_{2}, S_{2})$$S_{1}$$\varphi$$\Gamma_{1}arrow\Gamma_{2}$$S_{2}$$\mathcal{G}_{m}$$\mathcal{G}_{m}$$F_{m}$$F_{m}$$\mathcal{G}_{m}$$N_{1},$ $N_{2}\in \mathcal{G}_{m}$$v(N_{1},N_{2})$$:= \sup\{R\in N|N_{1}\cap B_{F_{m}}(R)=N_{2}\cap B_{F_{n}}(R)\}$を用いて,dist $(N_{1},N_{2})$ $:=\exp(-v(N_{1},N_{2}))$と定義する. ただし $B_{F_{m}}(R)$ とは, 自由群中の, 語距離に関する半径 $R$ のボールを意味するものとする.
この距離によって, 偏はコンパクト距離空間となる. また, この距離は ultra-metricinequality$F_{m}$

dist $(N_{1},N_{3}) \leq\max\{dist(N_{1},N_{2}),dist(N_{2},N_{3})\}$
は全不連結であることが分かる.
を満たしているので,群の性質が開 (または閉) であるとは, その性質を持つ marked group のなす集合がの開集合 (または閉集合) をなすことと定義する.
$\mathcal{G}_{m}$$\mathcal{G}_{m}$Example 2.1. 開である性質として, アーベル群, 有限群, 巾零群, 完全群, 個の元で生成される群がある. アーベル群は閉でもあり, トーションを持たない群も閉である.
$k$

3

一様作用
一様作用の定義を与えて, 定理の主張を述べよう.

Definition 3.1 (uniformity constant). marked group
用に対して, 点 $y\in Y$ での uniformity constant
義する.のDefinition 3.2 (一様作用).
が存在して, 任意の $y\in Y$ に対して$(\Gamma, S)$$\inf_{y\in Y}\epsilon(y)>0$への等長作用が一様であるとは, 正の数$\epsilon(y)\geq\epsilon>0$ が成り立つこと, 言い換えると,$Y$が成り立つこととする.

$\epsilon(y)$とその距離空間 $Y$ への作を $\epsilon(y)=\max_{\gamma\in S}dist(\gamma y, y)$ で定$(\Gamma, S)$$\epsilon>0$20つまり, ただ固定される点がないだけでなく, すべての点が一定の移動距離を持つことを要求しているのである.

を完備距離空間からなる集合で, スケーリングと ultra-limit で閉じをているものとする. このとき,に対する固定点性質 $Fy$ は開である. つまり,Theorem 3.3.

$\mathcal{Y}$$F\mathcal{Y}$$\mathcal{Y}$持つ群全体の集合は$\mathcal{G}_{m}$の開集合をなす.

以下, 証明の概略を述べる.にに収束しているとし, 各 ( , Si) は空間
marked group の列 ( , Si) が固定点を持たずに作用しているとする.
このとき, 空間列 に適当に基点跳をとると, その近くに別の点 が存在して, を中心とするポールの上では作用が一様になるようにできることが分かる. この基点をの距離を倍したものを考え, その超極限を使って, 基点つき空間列とすると, 極限の群 はここに一様作用を持つことが分かる. したがって固定点を持たない作用を持つ群の極限も, また固定点を持たずに作用できるので, 固定点性質が開集合であることが証明できる.
$(\Gamma, S)$$\Gamma_{i}$$Y_{i}\in \mathcal{Y}$$\Gamma_{i}$$Y_{i}$$x_{i}$$x_{i}$$(Y_{i},x_{i})$$1/\epsilon(x_{i})$$Y_{\infty}$$\Gamma$Corollary 3.4 ([3], p.117). を に対して固定点性質を持つ有限生成群とする. このが存在する.と, 全射準同型
とき, に対して固定点性質を持つ有限表示群$\Gamma$$\mathcal{Y}$4$\Gamma_{0}arrow\Gamma$$\Gamma_{0}$$\mathcal{Y}$CAT(0) 空間での例

井関-納谷によって導入された CAT(0) 空間の不変量 の定義を与え, の値がある定が極限操作で閉じた空間族の例を与える
数 以下であるような CAT(0) 空間の族
ことを述べる.
$\delta$$\delta_{0}$$\delta$$\mathcal{Y}\leq\delta_{0}$Deflnition 4.1 ([6]).

$Y$を CAT(0) 空間とする. このとき,$\delta(Y)=\sup_{\mu}\inf_{\phi}\frac{||\int_{Y}\phi d\mu||^{2}}{\int_{Y}||\phi\Vert^{2}d\mu}$と定義する. ここで は $Y$ 上の確率測度で有限個の点にのみ台を持つもの全体を動き,を Hilbert 空間としたとき, 1-Lipschitz 写像 : $Supp(\mu)arrow \mathcal{H}$ であって, 任意は,の $y\in Supp(\mu)$ に対して $||\phi(y)||=dist_{Y}(y, bar(\mu))$ を満たすもの全体に亘ってとるものとする. ただし barとは測度 の重心のこととする.
$\mu$$\phi$$\mathcal{H}$$\phi$$(\mu)$$\mu$

定義から即座に $\delta\in[0,1]$ が分かる. この不変量 は計算することが非常に難しく,であることが分かっているものを除いては評価があるのみである [6].
$\delta$

Example 4.2.
$\delta(Y)=0$$0$(1) $Y$ を Hadamard 多様体, Hilbert 空間, tree のいずれかとすると,となる.

21(2) $Y$ を building $PSL(3, Q_{p})/PSL(3, Z_{p})$ とすると,$\delta(Y)\geq\frac{(\sqrt{p}-1)^{2}}{2(p-\sqrt{p}+1)}$$p=2$ のときは $\delta(Y)\leq 0.4122\ldots$$\delta(Y)$については次が知られている.

Proposition 4.3.
$\delta(Y)$(1) CAT(0) 空間 $Y$ 内の閉凸部分集合$(Y_{n}, d_{n})$(Y5,$Y^{l}\subset Y$に対して$\delta(Y^{l})\leq$が成り立つ.

(2) ふたつの CAT(0) 空間(3).

$d_{w}$)$Y,$ $Y’$

に対して, $\delta(Y\cross Y’)=\max\{\delta(Y), \delta(Y’)\}$ が成り立つ.

を CAT(0) 空間の列,$=\omega$ - $\lim(Y_{n},d_{n})$$\omega$

を $N$ 上の non-principal ultrafilter とし, 超極限をとおく. このとき$\delta(Y_{w})\leq\omega-\lim_{n}\delta(Y_{n})$が成り立つ [7, Proposition 3.2].

したがって, の値がある定数 以下であるような CAT(0) 空間の族は開であることが分かる.と超極限で閉じているので, 固定点性質$\delta$$\delta_{0}$$\mathcal{Y}\leq\delta_{0}$を考える$F\mathcal{Y}\leq\delta_{0}$参考文献[1] B.Bekka, P.de la Harpe, A.Valette, Kazhdan’s ProPeny $(T)$ , available at
http: $//poncelet$ . sciences. univ-metz. $fr/-bekka/$[2] P. Delorme, l-cohomologie des repr\’esentations unitaires des groupes de Lie semisimples et r\’esolubles. Produits tensonels continus de repr\’esentations, Bull. Soc.
Math. France 105 (1977), 281-336.

[3] M.Gromov, Random walk in random groups, GAFA, Geom. func. anal. 132003,No. 1, 73-146.
[4] A. Guichardet Sur la cohomologie $de8$ groupes topologiques. II., Bull. Sci. Math.
(2) 96 (1972), 305-332.

[5] P.de la Harpe, A.Valette La propn\’et\’e $(T)$ de Kazhdan pour les groupes localementcompacts (avec un appendice de Marc Burger), Ast\’erisque No. 175 (1989).
[6] H. Izeki and S. Nayatani, Combinatorial harmonic maps and discrete-group actions on Hadamard spaces, Geometriae Dedicata 114, 147-188, (2005).

22[7] H.Izeki, T.Kondo, S.Nayatani, Fixed-Point Property of Random Groups, preprint.
[8] Y.Shalom, Rigidity of commensurators and irreducible lattices, Invent. Math. 141(2000), no. 1, 1-54.

[9] A.Valette, Old and new about ProPeny $(T)$ , London Mathematical Society StudentTexts, 55, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.