数理解析研究所講究録
1535 巻 2007 年 72-81

72
クラス A 作用素等の Quasinilpotent part
棚橋浩太郎 東北薬科大学
仙台電波高専内山 敦

I.H. Jeon, Seoul National University of Education
I. H. Hyoun Kim, Seoul National University[目標] ヒルベルト空間 上のクラス
等の quasinilpotent part を調べる。
$\mathcal{H}$$A$

作用素、 $(p, k)$ -quasihyponormal 作用素[本翻上の有界線形作用四複素ヒルベルト空間とはスペクトル半径が 0、つまり、$\mathcal{H}$$T$を考える。 $T$ が quasinilpotent$r(T)= \lim_{\mathrm{n}arrow\infty}||T^{n}||^{\frac{1}{n}}=0$であることをいう。これは $\sigma(T)=\{0\}$ と同値である。また、$T-\lambda$の quasinilpotent

part は$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\{x\in \mathcal{H} :\lim_{narrow\infty}||(T-\lambda)^{n}x||^{\frac{1}{n}}=0\}$

で定められる。
$T$が quasinilpotent であることと$\mathcal{H}_{0}(T)=\mathcal{H}$であることは同値であることが知られている。 また、 一般に$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)\subset \mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$

であるが$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$

は閉とは限らない。 しかし $T$ が hyponormal, つまり、
$TT^{*}\leq T^{*}T$

ならば$||(T-\lambda)x||\leq||(T-\lambda)^{n}x||^{\frac{\iota}{n}}$が成り立つので$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)=\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$$(||x||=1)$

であることがわかり、 よって$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$は閉である。
この論文の目的は hyponormal 作用素を拡張したクラス $A,$ $(p, k)$ -quasihyponormal

作用素等の quasinilpotent Part を調べることである。
まず、古田、伊藤、 山崎 [4] によって導入されたクラス$A$

作用素、つまり、$|T|^{2}\leq|T^{2}|$を満たす作用素を考える。 クラス $A$ 作用素は様々なよい性質をもつ。次にその性質をまとめておく。

73[補題 ] $([3], [12], [16])T$ はクラス
$1$

$A$

作用素とする。

をもつ、 つまり、 もし開集合 $D$ 上の analytic
は Bishop’s property(1)
funcion $f_{n}(z)$ が $D$ 上広義一様に $(T-z)f_{n}(z)arrow 0$ なら $D$ 上広義一様に $f_{n}(z)arrow 0$$T$$(\beta)$である。

(2) restriction(3) もし$T|_{\lambda 4}$

もクラス $A$ 作用素である。

$\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$が孤立点なら

$E_{\lambda}\mathcal{H}=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$$\lambda$の Riesz idempotent$E_{\lambda}$は自己共役でである。

(4) $T=U|T|$ と極分解して $T(1,1)=|T|U|T|$ とおくと$|||T^{2}|-|T|^{2}|| \leq||T(1,1)-T(1,1)^{*}||\leq\frac{1}{\pi}$meas$\sigma(T)$となる。 もし、 meas $\sigma(T)=0$ なら $T$ は normal である。
クラス $A$ 作用素の quasinilpotent part は次の定理で与えられる。

[定理 2]$T$

はクラス $A$ 作用素とすると任意の$\lambda\in \mathbb{C}$に対して$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)$である。

[証明] 閉集合$F\subset \mathbb{C}$$\mathcal{X}_{T}(F)=${に対して glocal spectral subspace を$x\in \mathcal{H}|\exists \bm{\mathrm{t}}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}f(z):(T-z)f(z)=x$on$\mathbb{C}\backslash F$}

で定める。 このとき$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathcal{X}_{T}(\{\lambda\})$であることが知られている。 ([1] Theorem 2.20)をもつので [10] Proposition 1.2.19 より紛 (F) は閉で補題より $T$ は$(\beta)$$\sigma(T|_{\mathcal{X}_{T}(F)})\subset F$となる。 よっては閉で、補題 1 より$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$$T|_{\mathcal{H}\text{。}(T-X)}$

はクラス $A$ 作用素である。 ここで$\sigma(T|_{\mathcal{H}\mathrm{o}(T-\lambda)})\subset\{\lambda\}$なので、補題 1 よりもし、なる。
また、 もし$T|_{\mathcal{H}_{\text{。}}(T-\lambda)}$$\sigma(T|_{\mathcal{H}\mathrm{o}(T-\lambda)})=\emptyset$

は normal になる。

なら $\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\{0\}$ であるから$\backslash \sigma(T|_{\mathcal{H}\mathrm{o}(T-\lambda)})=\{\lambda\}$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)$となる。 従って

ならである力| らが得られる。

$T|_{\mathcal{H}\text{。}(\tau-\lambda)}=\lambda$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)=\{0\}$と$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)\subset$[証明終 1

74[注意] もしもし$\lambda\neq 0$$\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$しかし $\lambda=0$ ならなら$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$

が孤立点ならである。更に、である。

$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$

は成立しない。 $([16|, [17])$

次に $(p, k)$ -qusihyponormal 作用素 $T$ , つまり、$T^{*k}((T^{*}T)^{p}-(TT^{*})^{p})T^{k}\geq 0$を満たす作用素を考える。この作用素は韓国の若い数学者 I.H. Kim [8] によって導作用素 $(0<p\leq 1)$ ,入された。定義からすぐわかるように、 これは$\gamma \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$$(T^{*}T)^{p}-(TT^{*})^{\mathrm{p}}\geq 0$

p-quaeihyponormal 作用素 $(0<p\leq 1)$ ,$T^{*}((T^{*}T)^{p}-(TT^{*})^{p})T\geq 0$の自然な拡張である。
次に $(p, k)$ -qusihyponormal 作用素の性質をまとめておく。

[補題 ] $([8][13][14])T$ は $(p, k)$ -quasihyponormal 作用素とする。
$3$(1) 値域 ran$T^{h}$

が dense でないなら

$T=$

on

$\mathcal{H}=[\mathrm{r}\bm{\mathrm{t}}T^{k}]\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*k}$と分解したとき牲は P–hyponormal 作用素、 $T_{8}^{k}=0_{\text{ }}\sigma(T)=\sigma(T_{1})\cup\{0\}$ となの閉包である。
は値域る。 ただし、$[\mathrm{r}\bm{\mathrm{t}}T^{k}]$(2) restriction$T|_{\mathcal{M}}$$\mathrm{r}\bm{\mathrm{t}}T^{k}$

も $(p, k)$ -quasihyponormal 作用素である o[補題 4] $(p, k)$ -qusihyponormal 作用素[証明] $D$ 上の analytic functionする。補題 3 より

$f_{n}(z)$$T$は Bishop’s property$(\beta)$をもつ。

が $D$ 上広義一様に $(T-z)f_{n}(z)arrow 0$ と$=arrow 0$.
をもっから、 $f_{n2}(z)arrow 0$ が得られる。
である。 ここで $T_{3}^{k}=0$ なので乃はなので Y クラス $A$ で
よって $(T_{1}-z)f_{n1}(z)arrow 0$ である。 –方墳は$(\beta)$$p\cdot \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$75ある。 よって補題 1 から得られる。

[補題 5][ran ] は$T^{k}$$T$$T$[証明] ran$(\beta)$をもつ。 よって$f_{n1}(z)arrow \mathrm{O}$[証明終]-quasihyponormal で、 もし、を reduce する。
は$T^{k}$となり、 $f_{n}(z)arrow 0$ が$(p, k)$$T|_{[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T^{k}]}$か\normal ならばが dense なら $T$ は P–hyponormal である。 この場合は既に示されているから、 not dense としてよい ([14])。補題 3 より

$T=$ onと分解しておく。 ここで [ran$T^{k}$$H=[\mathrm{r}\bm{\mathrm{t}}T^{k}]\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*k}$] への直交射影を$Q=$ とおくと、

ンの不等式 [5] から$=(QT^{*}T.Q)^{p}\geq Q(T^{*}T)^{p}Q\geq Q(TT^{*})^{\mathrm{p}}Q$$\geq Q(TQT^{*})^{p}Q=$となる。 ここで$T_{1}=T|_{[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T^{k}]}$は normal であるから$(TT^{*})^{p}=$と書くことができる。 さて、 $(TT^{*})^{\mathrm{p}/2}=$ と表すと$=(Q(TT^{*})^{p}Q)^{\frac{1}{2}}$$\geq Q(TT^{*})^{2}2Q$$=$$\geq Q(TQT^{*})^{\mathrm{z}}2Q$$=$である。 よって$X=(T_{1}^{*}T_{1})^{\epsilon}2$

ハンセ

76
である。 –方 c$(TT^{*})^{p}==$でもあるから、$(T_{1}^{*}T_{1})^{p}=X^{2}+\mathrm{Y}Y^{*}=X^{2}$となる。 よってとなり、$\mathrm{Y}=0$$(TT^{*})^{\epsilon}2=$である。 すると$TT^{*}=$$==$となるので、 T2T2*=0、従って乃 $=0$ が得られる。

[証明終]は $(p, k)$ -quasihyponormal で、 もし、が injective normal なら[補題 6]
ば$\mathcal{M}$$T$$T|_{\mathcal{M}}$は $T$ を reduce する。

[証明] 補題 3 に従って

$T$を

$T=$ on$\mathcal{H}=\mathcal{M}\oplus \mathcal{M}^{\perp}$と分解する。 ここで $S=T|\mathcal{M}$ は injective norm 飢である o さて $T^{k}=(^{s_{0}^{k}}B^{*}k)$で$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S^{*}=\{0\}$である。 よって$\mathcal{M}=[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}S]=[\mathrm{r}\bm{\mathrm{t}}S^{k}]\subset[\mathrm{r}\bm{\mathrm{t}}T^{k}]$である。 ここで $Q$ を$\mathcal{M}$への直交射影とすると、仮定より$Q((T^{*}T)^{p}-(TT^{*})^{p})Q\geq 0$である。 よって、ハンセンの不等式 [5] から$=Q(TQT^{*})^{p}Q\leq Q(TT^{*})^{p}Q$$\leq Q(T^{*}T)^{p}Q\leq(QT^{*}TQ)^{p}=$77となる。 ここで $S$ は normal であるから、$Q(TT^{*})^{p}Q=(SS^{*})^{p}\oplus 0$となる。 さて、 $0<q\leq P$ とする。すると$(SS^{*})^{q}\oplus 0=(Q(TT^{*}.)^{p}Q)^{q/p}$$\geq Q(TT^{*})^{q}Q\geq Q(TQT^{*})^{q}Q=(SS^{*})^{q}\oplus 0$となる。 ここで$Q(TT^{*})^{q}Q=(SS^{*})^{q}\oplus 0$

だったから

(TT*戸

$=$

と表せる。 さて、 $q=p/2$ とする。 するとハンセンの不等式 [5] から$(SS^{*})^{p}\oplus 0=Q(TT^{*})^{p}Q=Q(TT^{*})^{q}(TT^{*})^{q}Q$$=((SS^{*})^{2q}+X_{q}X_{q}^{*})\oplus 0$となるので $X_{q}=0$ となる。従って$TT^{*}=$
であるが、 -方 s$TT^{*}==$[証明終]だったから $A=0$ である。

は $(p, k)$ -quasihyponormal で $\sigma(T)=\{\lambda\}$ とする。 このとき
なら $T=\lambda$ であり、 $\lambda=0$ なら $T^{k}=0$ である。

[補題 7]$T$[証明] もし[2] による$T^{k}\mathcal{H}$$\lambda\neq 0$が dense なら $T$ は rhyPonormal である。従って、長、伊藤$\gamma \mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}$operator の Putnam 不等式より$T=\lambda$

よって dense でないとしてよい。補題 3 から

$T=$ on$\mathcal{H}=[\mathrm{r}\bm{\mathrm{t}}T^{k}]\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{*k}$

である。

78
となる。 このと分解すると、 勾は P–hyponormal, $T_{3}^{k}=0$ で場合は $\lambda=0$ になるので、再び男 $=0$ となる。従って補題 5 より $T_{2}=0$ である$\sigma\sigma((TT))=\sigma(T_{1})\cup\{0\}$から$T^{k}==0$[証明終]が得られる。
$(p, k)$-qusihyponormal 作用素の quasinilpotent part は次の定理で与えられる。

[定理 8]$T$

は $(p, k)$ -qusihyponormal 作用素とする。 このとき

if
if$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\{$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{k}$である。 さらに、 もし[証明] 補題 4 からとなり、$\mathcal{X}_{T}(\{\lambda\})$$T$$\lambda\neq 0$ならはをもつので [10]$(\beta)$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$$\lambda\neq 0$,$\lambda=0$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)\subset \mathrm{k}\mathrm{e}r(T-\lambda)^{*}$

は closed で

oposition 1.2.19 から$\mathrm{P}.\mathrm{r}$$\sigma(T|_{\mathcal{H}_{\text{。}}(T-\lambda)})\subset\{\lambda\}$

となる。

である。

$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=$$S=T|_{\mathcal{H}\mathrm{o}(T-\lambda)}$とおくと補題 3 より $S$ は $(p, k)$ -quasihyponormal である。
であるから
なら、
もし、
となる。
なら、補題 7 から $S=\lambda$ となるので、もし、 $\sigma(S)=\{\lambda\}$ でである。 A ってが得られる。
ともし、 $\sigma(S)=\{0\}$ なら補題 6 よりで、が得られる。
なる。 よってとする。 この場合は $S=\lambda$ であるから、 $S$ は normal で invertible
更に、は $T$ を reduce する。 よってになる o 従って補題よりが得られる。
[証明終]$\sigma(S)=\sigma(T|_{\mathcal{H}\text{。}(T-\lambda)})=\emptyset$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\{0\}$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)=$$\{0\}$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=$$\lambda\neq 0$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(S-\lambda)\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)$$S=\lambda^{k}$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}S^{k}\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{k}$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{k}$$\lambda\neq 0$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$[注意] この場合も、 もし$\lambda\in\sigma(T)\backslash \{0\}$が孤立点なら$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$である。 しかし $\lambda=0$ なら

[系 9]

$T$

$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$

は成立しない。 ([14])は algebraically $(p, k)$ -qusihyponormal, つまり、定数でない多項式 $f(z)$で $f(T)$ が $(p, k)$ -qusihyponormal となるものが存在するとする。 このとき、 任意の$\lambda\in \mathbb{C}$に対して$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{nk}$が成り立つ。

(ただし $n=\deg f$ )79[証明] 補題 4 より $f(T)$ がをもつ。 よってをもつので [10] Theorem 3.3.9 より$(\beta)$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathcal{X}_{T}(\{\lambda\})$となりも$(\beta)$はである。さて$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$

とおくと補題 33 より $S$ はで$S=T|_{\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)}$$T$$\sigma(S)\subset\{\lambda\}$となる。 ここで$f(z)-f(\lambda)=a(z-\lambda)^{m}\Pi_{j=1}^{n-m}(z-\lambda_{j})$と分解する。 ただし $1\leq m\leq n,$$\lambda\neq\lambda_{j}$とする。

$x\in \mathcal{H}_{0}(T-\lambda)$とすると定理 8から$x\in \mathcal{H}_{0}(S-\lambda)=\mathcal{X}_{S}(\{\lambda\})=\mathcal{X}_{f(S)}(\{f(\lambda)\})$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f(S)-f(\lambda))$

$=\{$

if

$f(\lambda)\neq 0$

if $f(\lambda)=0$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}f(S)^{k}$となる。 従って$0=(f(S)-f(\lambda))^{k}x=a\Pi_{j}^{n}\text{号^{}m}(S -\lambda_{j})^{k}(S-\lambda)^{mk_{X}}$である。

$S-\lambda_{j}$[証明終]は可逆であるから $(S-\lambda)^{nk}x=0$ が得られる。

. Kim [7] は $T^{*}|T|^{2}T\leq T^{*}|T^{2}|T$ を満たす作用素を考えて
その Riesz idempotent を調べた。 ここでは、更に –般化して quasiclass ( , k)、つ最近、 IH.

$\mathrm{J}\bm{\mathrm{m}}\mathrm{n},$$\mathrm{I}.\mathrm{H}$

$A$

まり、
$T^{*k}(|T^{2}|-|T|^{2})T^{k}\geq 0$を満たす作用素の quasinl 直 lpotent paxt を考える。証明は [15] に譲るが、やはり定理 9 と同様の結果が得られる。

[定理 10]$T$

は quasiclass $(A, k)$ 作用素とする。 このとき

if$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)$$\lambda\neq 0$,$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\{$$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T^{k+1}$である。 さらに、 もし$\lambda\neq 0$ならif$\lambda=0$$\mathcal{H}_{0}(T-\lambda)=\mathrm{k}\mathrm{r}(T-\lambda)\subset \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(T-\lambda)^{*}$

である。

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