数理解析研究所講究録 1228 巻 2001 年 35-4235
Type II Codes overand the Leech Lattice$\mathbb{Z}_{2k}$山形大学理学部原田昌晃 (Masaaki Harada)

Department of Mathematical Sciences
Yamagata University
本講演では、 Leech lattice に関係のある$\mathbb{Z}_{2k}$上の長さ 24 の TyPe II codeについての最近の二つの結果を紹介した。 前半は Leech lattioe の norm $2k$ の上の extremal Type II code の存在につorthogonal frame の存在と同値ないての結果であり、 これは T.A.Gulliver との共同研究 [6] で、後半は北詰正顕
上の氏との共同研究 [7] で Niemeier lattice と Leech lattice に関係したType II code を考えることによって得られる Dong-Li-Mason-Norton [5] の結$\mathbb{Z}_{2k}$$\mathbb{Z}_{4}$$\text{、}$果の別証明を紹介した。

1準備

1.1

$\mathbb{Z}_{2k}$上の Type II Codeのを位数 $2k$ の整数の剰余環とする。
上の長さ の code $C$ とよぶ。通常 coding theory におい
部分加群をては Hamming weight を考えるが lattice との関係でここでは Euclideanweight と呼ばれる weight を考える $x=(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ に対してのEuclidean weight $wt_{E}(x)$ は $\sum_{i=1}^{n}\min\{x_{i}^{2}, (2k-x_{i})^{2}\}$ で定義される。$C$ の?ま 0 でない最小の Euclidean weight のこ
minimum Euclidean weightとである C の dual codeは通常通り定義される : つまりである、ここで $x=(x_{1}, \ldots, x_{n})$ と $y=(y_{1}, \ldots, y_{n})$の内積 (ま $x\cdot y=x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n}y_{n}$ で与えられる Cのとき $C$ は self上の self-dual code の全ての codeword の Euclidean
dual とよばれる$\mathbb{Z}_{2k}=\{0,1,2, \ldots, 2k-1\}$$\mathbb{Z}_{2k}^{n}$$\mathbb{Z}_{2k^{-}}$$n$$\mathbb{Z}_{2k}$$\text{。}$$d_{E}$$\text{、}C^{[perp]}=\{x\in$$C^{[perp]}$$\circ$$\mathbb{Z}_{2k}^{n}|x\cdot y=0(\forall y\in C)\}$$=C^{[perp]}$$\circ$$\mathbb{Z}_{2k}$$\text{。}$の上のweight が $4k$ の倍数であるとき Type II code と呼ばれる。
Type II codes は [1] で導入された self-dual code の even unimodular
lattice に関係したクラスである。 $k=1$ の場合は古くから知られている
binary Type code の定義と一\Phi することに注意しておきたい。
$\mathbb{Z}_{2k}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$36
Construction
tice

1.2

Leech lattice &Niemeier lat-$\mathrm{A}_{\backslash }$次に紹介する code を用いた even unimodular lattice の構成方法はConstruction A と呼ばれるもので binary code に関しては古くから知られている ([4, 第 7 章] を参照)の場合には [1] で与えられている。
$\mathbb{Z}_{2k}$$\text{。}$

命題 1(Construction$\mathrm{A}$imum Euclidean weight を$A_{2k}(C)= \frac{1}{\sqrt{2k}}${$(x_{1},$$\ldots,$).

上の Typeをcode とし $C$ の minで表すことにする このとき

$C$

$d_{E}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathbb{Z}_{2k}$$\text{。}$$x_{n})\in \mathbb{Z}^{n}|(x_{1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2k),$$\ldots,x_{n}$(mod $2k))\in C$ }は minimum norm $\min\{d_{E}/2k, 2k\}$ の even unimodular lattice になる$\circ$lattice に関しての用語等の詳しい説明は割愛させていただくことにするが、未定義な用語に関しては [4] を参照していただきたい。

24 次元の even unimodular lattice は同型を除いて 24 種類あることが知られておりこれらは Niemeier [8] によって分類されたので Niemeierlattice と呼ばれている。 また、 minimum norm が 4 の場合は同型を除いて唯一つしか存在せず Leech lattice と呼ばれる [3]。 ここでは全体を通してで表すことにする。 A の norm $m$ の互いに直交する 24 個のベクトノレを norm $m$ の orthogonal frame と呼ぶことにする A の norm $2k$ の上の長さ 24 の extremal Type code のorthogonal frame の存在と存在は同値であることが分かっている [2]。 ここで、長さ 24 の extremal
Type code とは minimum Euclidean weight が $8k$ である場合を指す
このとき extremal Typecode から Construction A で得られる lattice
は Leech lattice であることが直ちに分かる。
$\Lambda$$\text{。}$$\mathbb{Z}_{2k}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\circ$$\mathrm{I}\mathrm{I}$2

Leech lattice の orthogonal frame の存在について

最近 Chapman [2] が Leech lattice A の orthogonal frame の存在について次のような問題を考えた。
問題$\mathrm{A}$

全ての $2k\geq 4$ に関して. Leech lattice には norm $2k$ の orthogonalframe は存在するのか ?

37に norm $m$ の orthogonal frame が存在すれば ‘
まず Chapman は全ての自然数 l こ対して norm $lm$ の orthogonal frame が存在すること$\Lambda$$l$を確かめた そして全ての素数 $p\neq$ 垣に対して norm $2p$ の orthogonalframe を構成して、 $k\neq 11^{f}$ なる全ての偶数 $2k\geq 4$ に対して norm $2k$ のorthogonal frame が存在することを示した したがって 問題 A は次のようになる :$\text{。}$$\text{。}$問題$\mathrm{B}$$\text{、}$Leech lattice には norm $k=22$ の orthogonal frame は存在する\emptyset か ?

上に述べたように norm $2k$ の orthogonal frame が (こ存在すること上の extremal Type II code の存在は Construction Aと長さ 24 の$\Lambda$$\text{、}$$\mathbb{Z}_{2k}$上の extremal Typeを介して同値であることが言えるので、codeが構成出来れば Leech lattice における orthogonal frame の存在問題が完全に解決される。
$\mathbb{Z}_{22}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\text{、}$

ここでは上の extremal Type II codeの構成が出来たことを報告する。構成方法は quasi-twisted construction と呼ばれるもので、般に良い code を構成するときに使われるものである。の生成行列$\mathbb{Z}_{2k}$$C_{22}$–$C_{22}$$(I, A)$ は$A=[.192121102121211913371^{\cdot}1921102121211921211337$$212110212121192113373212121212119211312373$$.2121212119212113121973212121211921211312191532121212121211312191533$$212121212113121915331$$212121211312191533112121211312191533111$$212113121915331111$$21131219153311111]$が self-dual であることは $A\cdot A^{T}=-I$ であるこで定義される。とを確認すれば示される、 ただし、 ここではの転置を表す。 また、生成行列の全ての行の Euclidean weight が 44 の倍数なのでの$C_{22}$$A^{T}$$A$$C_{22}$

全ての codeword の Euclidean weight が 44 の倍数であることが分かる。 minimum Euclidean weight は計算機によって確認した。特に今回は

38
MAGMA というソフトを利用した。以上からcode であることが確認された。

$C_{22}$が extremal Type上の長さ 24 の extremal Type II code が存在する
Leech lattice において norm 22 の orthogonal frame が存在する

補題 2.

$\mathbb{Z}_{22}$$\text{。}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$また ‘

Chapman [2] の結果と併せて、 問題 A の答えを得る :定理 3. 全ての自然数 $k\geq 2$ に対して$\text{、}$Leech lattice において norm $2k$の orthogonal frame が存在する o

この結果を code の言葉で書き直すと以 T のようになる。ただし、binaryのケースは extended Golay code が extremal になることは良く知られている。

系 4. 全ての自然数する。

$k$に対して$\mathbb{Z}_{2k}$上の extremal Type$\mathrm{I}\mathrm{I}$code が存在

3Dong-Li-Mason-Norton の結果について
定理 5(Dong, Li, Mason and Norton [5]). A を Leech lattice とし$N$ を Niemeier lattice の一つとすると(1)$\sqrt{2}N\subseteq \mathrm{A}$が成り立つ。
上の Type II
原田-北詰 [7] は (1) を満たすように Neimier lattice をcode から Construction A で構成することによって ‘ 上の結果の別証明$\mathbb{Z}_{4}$を得ることが出来た。 ここではその結果を紹介する。 Typecode の生成行列を明白に与えることによってどのように Niemeier lattice が Leechlattice の中に埋め込まれているかが分かるという利点があると思われる。
$\mathrm{I}\mathrm{I}$(1) を満たすような Neimier lattice $N$ を Construction A を通して上の Type code から構成した。その方法を簡単に述べることにする (詳しくは原論文 [7] を見て頂きたい)。
$\mathbb{Z}_{4}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$上の self-Orthogonal
1. $N$ が Leech lattice でなければその root 系からcode の生成行列 (つまりは求めたい self-dual code の生或行列の一部をなす) を作る。 (Leech lattice の場合は次のステップに進む)。 もち$\mathbb{Z}_{4}$ろん $L22g\in\Lambda$ となるようにする、ただし、$g$は生成行列の行を表す。

39の元を上手く利用することによって
2. この生成行列を Leechとなるようにself-dual になるまで拡大させる。 このときも乎$\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{i}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$g$$arrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$選ぶ。
ここでの Leech lattice の元は MOG によって求められる extedned Golayの元を利用して得られるものを用いる ([4, 第垣章]) [4] の 133 ぺ一

code$\text{。}$ジにこのような方法で構成された Leech lattice の生成行列が与えられている。

全ての場合をここで載せることは出来ないので、例としてルート系がである Niemeier lattice の場合についてどのように構成されたかを詳を構成するしく述べることをにする。 まず最初に Construction A でを与える :上の Type
ようなcode の生成行列$D_{8}^{3}$$D_{8}^{3}$$G(D_{8}^{3})$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathbb{Z}_{4}$$000020000000000000000220220000000000000000000000002200000000000000000000000011111111$$G(D_{8}^{3})=\ovalbox{\tt\small REJECT} 022000220002000000000000000000000000311100000000000000000000000000000000000000001111$

まずルート系$D_{8}^{3}$$000000000000000000000000000000000002002202200000311131110000000000000000000000001111$$000000000000000000000000000000000000000022000000000000220220000020000000111111111111$$000000000000000000000000000000000000311100000000000002200000000000020000002200001111^{\cdot}00.0000000000000000000000000000000022000002202000000000000000000000000000220011111111\ovalbox{\tt\small REJECT}$

からどのように self-Orthogonal code が得られるかを述40べることにする。
$a_{1}$$=$(1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

a2

$=$

$(\overline{1},1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ ,$a_{3}$$=$$(0, \overline{1},1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ ,$a_{4}$$=$$(0, 0, \overline{1},1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ ,$a_{5}$$=$$(0, 0, 0, \overline{1},1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ ,$a_{6}$$=$$(0, 0, 0, 0, \overline{1},1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$,$a\tau$$=$$(0, 0, 0, 0, 0, \overline{1},1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ ,$a_{8}$$=$$(0, 0, 0, 0, 0, 0, \overline{1},1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ ,ここで$\overline{1}$は -1 を表すことにする。

ことが分かる。 ここで$\mathbb{Z}_{4}$ルート系を生成する上のベクトノレとして考えると $2a_{1}=2a_{2}$ であり$a_{1},$$D_{8}$$a_{8}\mathrm{t}\mathrm{J}$$\ldots,$(2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)$=2(1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)+2(a_{4}+a_{6}+a_{8})$$\cdot$となる。 また$2(1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$
は $G(D_{8}^{3})$ の最後の二つの行から求まる。以上によって $G(D_{8}^{3})$ の最初の 6行が求まった。 同様にして最初の 18 行が求まりまたこれがルート系に対応していることが分かる。残りの 3 行は Leech lattice の元を用いて self-dual code になるように足されたものである。以上によってが得られた。残りの 23 個の Niemeier lattice についての求める
上の$D_{8}^{3}$$G(D_{8}^{3})$$\mathbb{Z}_{4}$

Type

4

$\mathrm{I}\mathrm{I}$code の生成行列に関しては原論文の [7] をご覧いただきたい。と$\mathbb{Z}_{4}$$\mathbb{Z}_{6}$上の extremal Type$\mathrm{I}\mathrm{I}$code

本講演の中心はすでに述べた第 2 節と第 3 節に書かれてある結果であったが 講演の最後に上の extremal Typeとcode の存在について分かっていることを簡単に述べたので、 ここでその報告をしてこの小論を終えることにする。
まず、最初に extremal の定義を復習することにする。の場合、長の Type II code が $d_{E}=8[n/24]+8$ となるとき extremal とよさび、長さ 64 以下の場合に限られるがの Type
上の長さ
code がどちらの場合も$d_{E}=12[n/24]+12$ となるとき extremal とよばれる$\mathbb{Z}_{4}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathbb{Z}_{6}$$\text{、}$$\mathbb{Z}_{4}$$n$$\mathbb{Z}_{6}$$n$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\text{。}$41
この長さにおいて minimum Euclidean weight が最大になる場合に相当する。
上の extremal Typecode の同値を除いた数は以下の様になって上の Typeいる。 ここで二つのcode $C,$ $C’$ が同値とは、 $C’$ の座標を入れ替え、必要があればある座標に -1 を掛けることによって に一$\mathbb{Z}_{4}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$\mathbb{Z}_{2k}$$C$致する場合を指す。
$\mathrm{F}$84$\mathrm{S}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

16
52432
many many

4048$\geq 2$$\geq 1$56?

64?

長さ 24 と 32 に関しては既にたくさんの extremal Type II code が知られている。
上の extremal Type
続いてことが知られている :$\mathbb{Z}_{6}$$\mathrm{F}\mathrm{g}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$code の存在については以 T のような

816243240

48

56

64

$\geq \mathrm{I}$$\geq 2$$\geq 10$$\geq 10$$\geq 9$$\geq 3$$\geq 1$$\geq 1$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

講演では長さ 56 と 64 に関してはまだ存在するかどうか分かっていないと述べたが、集会の後、 北詰正顕氏との共同研究において構成することに成功したことを報告しておく。
最後に、講演の終わりに全ての Niemeier lattice が上の Type II
code から構成出来るかという質問を受けたが、 これについても構成出来$\mathbb{Z}_{6}$ることが北詰氏との共同研究で分かったことを報告しておく。

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