数理解析研究所講究録
第 1555 巻 2007 年 49-56

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ベクトル空間の Generic 自己同型
神戸大学・工学研究科・情報知能桔梗宏孝 (Hirotaka Kikyo)

Dept. of Computer Science and Systems Engineering
Kobe Universitykikyo@kobe-u.ac.jp
概要

自己同型写像を 1 つもつ無限ベクトル空間の理論のモデル随伴理論に対する具体的な公理系を与える. それは量化記号消去を許し, 完全で, Morley 階数 の 安定理論になり, 擬極小モデルをもつ.
$\omega$$w$

2000 Mathematics Subject Classification: $03C10,03C45$ , 03C50

1

はじめに

板井と若井 [3] は B. Zil’ber の定義した擬極小構造 (quasi-minimal structure) の自然な例を与えた. 一階の構造 $M$ が擬極小とは, それが非可算で, $M$ の任意の部分集
合 $X$ についてそれがパラメタを使って定義可能ならば $X$ あるいは $M-X$ が高々可算になることである. 彼らの考えた構造は加除アーベル群にシフト演算 を考えたである. ここで,は要素の成分をすべて左に 1 つシフトする関数である.
彼らの議論は本質的には環が単項イデアル整域になることに基づいている.
したがって, 意味をなせば, 任意の体 $K$ について $K[X]$ で考えてもうまくいきそうに思えた. また, 彼らは Thを公理化しているが, それは何らかの存在閉性 (exi-stentiaJly closed であること) を表しているように思えた.
結局, 彼らの考えた理論は, 本質的には ベクトル空間上の 1 つの自己同型の公理のモデル随伴理論になることがわかった. シフト関数 は冫上では自己同型にならないが,ベクトル空間上では自己同型になる.
この論文では体 $K$ について, 無限 $K$ ベクトル空間上の 1 つの自己同型の公理のモ$\sigma$$(\mathbb{Q}^{\omega}, +, 0, \sigma)$$\sigma$$\mathbb{Q}[X]$$(\mathbb{Q}^{w}, +, 0, \sigma)$$\mathbb{Q}$$\sigma$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}^{Z}$

デル随伴理論を考える.
無限 $K$ ベクトル空間は強極小で DMP(definable multiplicity property) をもつので,それがモデル随伴理論をもつことは一般論からわかる $[1, 5]$ また, それが量化記号.

消去を許すことも一般論からわかる [1].

50

この論文で得られた新しい点は, 一般論で与えられる公理系よりも具体的な公理系を与えており, それによって板井若井のモデルの修正版がこの理論の擬極小モデルになっていることがわかる点である. また, Morley 階数の計算も行う.

2準備

モデル随伴理論 (model companion), 存在閉モデル (existentially closed model),Morley 階数 (Morley rank) などに関する基本的な知識を仮定する (たとえば, Hodgesの本 [2] を参照).
$K$ を 1 をもつ可換体とする.
$L_{K}=\{+,0,r\}_{r\in K}$

は $K$ ベクトル空間の言語である.

ここで, 各 $r\in K$ は単項演算と考える. 無限な $K$の文の集合で書けるのでそれをベクトル空間の定義はな完全理論で量化記号消去を許すことはよく知られている.
$L_{K}$$T_{\sigma}=T_{K}\cup$とする.

$T_{K}${$\sigma$とする.

$T_{K}$

が強極小

は正則 $K$ 線形写像”}

が DMP をもつ強極小理論なので,$L_{K}(\sigma)=L_{K}\cup\{\sigma\}$$T_{K}$$T_{\sigma}$

はモデル随伴理論 $TA$ を言語上にもつ.

島は任意存在形の公理系をもつ. したが,\supset て, $(M, \sigma^{M})\models TA$ の必要十分条件はがの存在閉モデルということである.
が乃の存在閉モデルのとの generic 自己同型とも呼ぶ.
き,を
以下, ベクトル空間上の線形写像 と $K$ の要素で生成される自己準同型を考える.
$K[X]$ は $K$ 係数の変数 $X$ の多項式全体を表す. $f(X)\in K[X]$ に対し, deg $f(X)$ で$(M, \sigma^{M})$$(M, \sigma^{M})$$T_{\sigma}$$(M, \sigma^{M})$$T_{K}$$\sigma$$f(X)$ の次数を表す. $f(X)\in K[X]$ と $K$ ベクトル空間 $M$ 上の線型写像

で $f(X)$ とのとき,$\sigma$, $x\in M$ に対し,$f(\sigma)=\sigma^{2}+2\sigma+3$ で$T_{K}$$L_{K}(\sigma)$$T_{K}$の generic 自己同型の具体的な公理を与える.

で記述した次の 1-3 からなる公理系を $TA_{K}$ とする:

1. $M$ は無限 $K$ ベクトル空間である.
2.

$\sigma$$f(\sigma)$$(\sigma^{2}+2\sigma+3)x=\sigma(\sigma(x))+2\sigma(x)+3x$の generic 自己同型

この節では,言語に対し,から定義される $M$ 上の自己準同型を表す. たとえば, $f(X)=X^{2}+2X+3$である.

3$\sigma$は $M$ 上の正則 $K$ 線形写像である.

51

3. $f(X)\in K[X]$ を定数項が でない 1 次以上のモニック多項式, $g_{1}(X),$$0$$K[X]$ を $f$ の次数よ低い次数をもつ多項式とすると,$a_{n}$$M$$\ldots,$$g_{n}(X)\in$の任意の要素 $a,$$a_{1},$$\ldots$,

に対し,$\{\begin{array}{l}f(\sigma)x=ag_{1}(\sigma)x\neq a_{1}g_{n}(\sigma)x\neq a_{n}\end{array}$は解 $x\in M$ をもつ.
最終的に,$(M, \sigma)$がの generic 自己同型であることと $TA_{K}$ のモデルになること$T_{K}$が同値になることを示す.
まず, 左から右が導かれることを示す.
命題 3.1 $(M, \sigma)$ が証明.

$(M, \sigma)$

を$f(X),$ $g_{1}(X),$$T_{K}$$\ldots,$$T_{K}$の generic 自己同型ならばそれは $TA_{K}$ のモデルである.の generic 自己同型とする.
$g_{n}(X)$

を $K[X]$ の要素とし, $f(X)$ は定数項がのモニック多項式, 各 について deg $g_{i}<\deg f$ と仮定する.
$i$

$a,$

$a_{1}$$0$

でない 1 次以上

, . . .,

$a_{n}$

を $M$ からとり,$\{\begin{array}{l}f(\sigma)x=ag_{1}(\sigma)x\neq a_{1}g_{n}(\sigma)x\neq a_{n}\end{array}$を考える.

, .. ., $x_{m-1}$ が $K$ 線形
なのですると偽$x_{m-1}$ を $M$ の初等拡大からとる.
独立になるように恥,$M,$, . . ., $x_{m-1},$ $a-c_{0}x_{0}-c_{1}x_{1}-\cdots-c_{m-1}x_{m-1}$ も $K$ 線形独立になる.
$M’$ を
を $M’$ 上の正すると$x_{m-1},$ $M$ で張られる $K$ 線形空間とする.
$f(X)=c_{0}+c_{1}X+\cdots+c_{m-1}X^{m-1}+X^{m}$$x_{1},$とする.

$M,$ $x_{0},$$x_{1}$$\neq 0$$\ldots,$$x_{1}$$x_{0},$

則写像$\sigma’$$x_{1},$$\sigma$$\ldots,$に拡張して$\sigma’(x_{0})$$=x_{1}$,$\sigma’(x_{1})$$=x_{2}$,$\sigma’(x_{m-1})$$=a-c_{0}x_{0}-c_{1}x_{1}-\cdots-c_{m-1^{X}m-1}$.となるようにできる. $\sigma’(x_{0})=x_{1},$, . . ., $\sigma^{\prime m}(x_{0})=a-c_{0}x_{0}-c_{1}x_{1}-\cdots-$$f(\sigma’)x_{0}=a$ である.
また, $M,$$x_{m-1}$ が $K$ 線形独立な$c_{m-1}x_{m-1}$ なので,$\sigma^{\prime 2}(x_{0})=x_{2}$$x_{0},$$x_{1},$$\ldots,$

52

ので,$g_{i}(\sigma’)x_{0}-a_{i}\neq 0$

したがって,である.

$\{\begin{array}{l}f(\sigma’)x=ag_{1}(\sigma’)x\neq a_{1}g_{n}(\sigma’)x\neq a_{n}\end{array}$

は $M’$ で解$x_{0}$をもつ.

$(M’, \sigma’)$が篇のモデルで,$(M, \sigma)$が存在閉モデルなので, 結口論を得る
逆を示すために, まず,$TA_{K}$が量化記号消去を許すことを示す.

補題 3.2 $f(X),$ $g(X)\in K[X]$ がモニックで $h(X)=gcd(f(X),g(X))$ とし, $f(X)=$$f_{0}(X)h(X)$ かつ $g(X)=g_{0}(X)h(X)$ とする. $p(X),$ $q(X)\in K[X]$ を $p(X)f_{0}(X)+$の項とする.
を変数 の現れない$q(X)g_{0}(X)=1$ となるように選ぶ. $s,$
$x$

$t$

$TA_{K}$$L_{K}(\sigma)$の公理 1, 2 のもとで,$\{\begin{array}{ll}f(\sigma)x = sg(\sigma)x =t\end{array}$の必要十分条件は$\{\begin{array}{ll}f_{0}(\sigma)t =g_{0}(\sigma)sh(\sigma)x =p(\sigma)s+q(\sigma)t\end{array}$

証明.

$(\Rightarrow)$. $f(\sigma)x=s$ かつ $g(\sigma)x=t$ とする. すると$f_{0}(\sigma)t=f_{0}(\sigma)g(\sigma)x=f_{0}(\sigma)h(\sigma)g_{0}(\sigma)x=g_{0}(\sigma)f(\sigma)x=g_{0}(\sigma)s$

.

また

.

$h(\sigma)x=h(\sigma)(p(\sigma)f_{0}(\sigma)+q(\sigma)g_{0}(\sigma))x=p(\sigma)f(\sigma)x+q(\sigma)g(\sigma)x=p(\sigma)s+q(\sigma)t$$(\Leftarrow)$.

$f_{0}(\sigma)t=g_{0}(\sigma)s$

かつ $h(\sigma)x=p(\sigma)s+q(\sigma)t$ と仮定する.

$f(\sigma)x=f_{0}(\sigma)h(\sigma)x=f_{0}(\sigma)(p(\sigma)s+q(\sigma)t)=p(\sigma)f_{0}(\sigma)s+q(\sigma)f_{0}(\sigma)t=p(\sigma)f_{0}(\sigma)s+$$q(\sigma)g_{0}(\sigma)s=(p(\sigma)f_{0}(\sigma)+q(\sigma)g_{0}(\sigma))s=s$.

同様に $g(\sigma)x=t$ も示せる.

口

命題 3.3 $TA_{K}$ は $L_{K}(\sigma)=L_{K}\cup\{\sigma\}$ で量化記号消去を許す.
証明.

次の形の論理式から弛を消去できることを示せばよい.

$\exists x\{\begin{array}{l}f_{1}(\sigma)x=s_{1}f_{m}(\sigma)x=s_{m}g_{1}(\sigma)x\neq t_{1}g_{n}(\sigma)x\neq t_{n}\end{array}$53

ここで, 右辺の項には変数 $x$ が現れないと仮定してよい.とで,補題 32 より, $TA_{K}$ のもこの論理式を次の形に同値変形できる:$\exists x\{\begin{array}{l}u_{1}=v_{1}xu_{m-1}=v_{m-1}xh(\sigma)x=sg_{1}(\sigma)x\neq t_{1}g_{n}(\sigma)x\neq t_{n}\end{array}$各$g_{i}(\sigma)x$を$h(\sigma)\tau$で「割り算」 し,ここで, 各 $j=i,$ $i+1,$

ヨ$\ldots,$$n$

に対し,$h(\sigma)x$を$s$で置き換えると, 次の形にできる.

deg $g_{j}’<\deg h$ である.

$x\{\begin{array}{l}u_{1}=v_{1}xu_{m-1}=v_{m-1}xw_{1}\neq t_{1}’xw_{i-1}\neq t_{i-1}xh(\sigma)x=sg_{i}’(\sigma)x\neq t_{i}’g_{n}’(\sigma)x\neq t_{n}’\end{array}$とを項の中で使っても問題は起きない. よって,はすべて定数項が でないモニック多項式と仮定してよい. $TA_{K}$ の公理 3 より,口をこの式から消去できる$\sigma$は自己同型写像なので,$h$$\sigma^{-1}$$g_{j}’$$\exists x$$0$

命題 3.4 $TA_{K}$ は完全である.
証明. $TA_{K}$ が量化記号消去を許すので, すべての閉論理式は量化記号のない閉論理式と同値になる.
における項において を $+$ やスカラー$TA_{K}$ のもとで,が線形写像なので,の形でしか倍の内側に入れて考えてよい. すると, 変数のない項において は現れないと考えてよく, これは に置き換えてよい. すなわち, 変数のない項に は$L_{K}(\sigma)$$\sigma$$\sigma$$\sigma$$0$$\sigma^{\mathfrak{n}}(0)$$\sigma$現れないと考えてよい.

量化記号のない閉論理式はある.

$L_{K}$の論理式となり,$T_{K}$の完全性より $TA_{K}$ も完全で口

54

定理 3.5$TA_{K}$$(M, \sigma)$

が$T_{K}$の generic 自己同型であることの必要十分条件は $(M, \sigma)\models TA_{K}$ .

は島のモデル随伴理論である.の任意のモデルは島の存在閉証明. $TA_{K}$ は島を含むモデル完全理論である.
口モデルに拡大できる. 命題 31 より, それは $TA_{K}$ のモデルになる.
$T_{\sigma}$

4

公理の簡素化$TA_{K}$の公理はもっと簡単にできる.

たちをアーベル群とする.
補題 4.1 (B.H. Neumann)$H_{0}/(H_{0}\cap H_{i})$ が各 $i>k$ について無限ならば $H_{0}+a_{0} \subset\bigcup_{i=1}^{k}H_{i}+a_{i}$ となる.

$H_{0}+a_{0} \subset\bigcup_{\dot{|}=1}^{n}H_{i}+a_{t}$$H_{i}$

で定理 4.2 理論 $TA_{K}$ は次の 1-3 からなる公理系と同値である:

1. $M$ は無限 $K$ ベクトル空間.

2.

$\sigma$は $M$ 上の正則写像である.

3. $f(X)\in K[X]$ を定数項が$\{x\in M:f(\sigma)x=a\}$でない 1 次以上のモニック多項式とすると,$0$は任意の $a\in M$ に対し無限集合である.

上の公理 3 から $TA_{K}$ の公理 3 を導けばよい.

証明.

$f(X),$ $g_{1}(X),$$\ldots,$$g_{n}(X)$

を $K[X]$ の要素とし, $f(X)$ は定数項がのモニック多項式で, 各 について deg $g_{i}<\deg f$ と仮定する.
任意の要素とする.
$i$$a,$$0$$a_{1},$でない 1 次以上を $M$ の$\ldots,$$a_{n}$$\{\begin{array}{l}f(\sigma)x=ag_{1}(\sigma)x\neq a_{1}g_{n}(\sigma)x\neq a_{n}\end{array}$が解 $x\in M$ をもつとする.
各 について, $f(\sigma)x=a$ と $g_{i}(\sigma)x=a_{i}$ は共通解を $M$ でもつと仮定してよい. 補を $gcd(f, g_{i})$ で置き換えてよい. したがって, 多項式
題 32 より, 各 について,としてと仮定してよい.
たちの有限個の剰余類で覆われてい部分空間 Ker $f(\sigma)\subset M$ の剰余類が Kerることになる. しかし, 補題 4.1 と次の主張からこれは不可能である.
$i$

$i$

$g_{i}$$g_{i}|f$$g_{i}(\sigma)$

主張 1

Ker $f(\sigma)/Kerg_{\{}(\sigma)$ は各$i$について無限である.

各 について, deg $g_{i}<\deg f$ なので, $f=f_{i}g_{i}$ とするとゐは定数項が でない 1 次以上のモニック多項式になる. 上の公理 3 より, $f_{i}(\sigma)b=0$ となる $b\in M$ は無限個ある. そのようなについて, $\{x\in M :g_{i}(\sigma)x=b\}$ は Kerの剰余類で Ker$0$$i$$b$に含まれるものである. したがって, 主張を得る.

$g_{i}(\sigma)$$f(\sigma)$

口

55

5

擬極小モデル

この節では $TA_{K}$ の擬極小モデルを構成する. ここでは体 $K$ は高々可算であると仮定する.
$V$ を可算無限な $K$ ベクトル空間とし,をから $V$ への関数全体とする.
も自然に $K$ ベクトル空間になる. シフト関数 : $V^{Z}arrow V^{Z}$ を $v\in V^{Z}$ とに対し, $\sigma(v)(m)=v(m+1)$ で定義する.
$V^{Z}$$V^{Z}$$\mathbb{Z}$$m\in \mathbb{Z}$$\sigma$定理 5.1 $V$ を可算無限な $K$ ベクトル空間とし,:を上で定義したシフトは $TA_{K}$ の擬極小モデルになる.
$\sigma$$V^{Z}arrow V^{Z}$関数とする. すると$(V^{\mathbb{Z}}, +, 0, \sigma)$

証明.

は $K$ ベクトル空間 $(V^{Z}, +, 0)$ の自己同型写像である.

シフト関数$\sigma$が任意の $a\in V^{Z}$ に対して可算無限になることを示す. すると $(V^{Z}, +, 0, \sigma)$ は定理 42 により $TA_{K}$ のモデルになり, また, $TA_{K}$ が量化記号消去を許すことにより, 擬極小構造になることもわかる.
$f(X)=c_{0}+c_{1}X+c_{2}X^{2}+\cdots+X^{n}$ で, $c_{0}\neq 0$ と仮定する.
に対し, $x(i),$ $a(i)$ をそれぞれ xi, . 果と書く. すると,
, a $\in V^{Z}$ とする.
$f(\sigma)x=a$ の必要十分条件は$\{x\in V^{Z} :f(\sigma)x=a\}$$i\in \mathbb{Z}$

$x$

$(*)$

$c_{0}x_{m}+c_{1}x_{m+1}+c_{2}x_{m+2}+\cdots+x_{m+n}=a_{m}$について成り立つことである.
が定まる. また,$x_{m+n-1}\in V$ が与えられれば, 上の式から$x_{m+1},$も同じ式から定まる. 初期値 ,$x_{m+n}\in V$ が与えられれば,$x_{m+1},$$x_{n}\in V$ を与えれば, $m=1,2,3,$, に対して $(*)$ を使って帰納的に $x_{n+},$ ,を定めることができ, 同様に $m=0,$ $-1,$ $-2,$$x_{n+2},$に対して $(*)$ を使って帰納的にを定めることができる.
$x_{-1},$
したがって, $f(\sigma)x=a$ を満たす $x\in V^{Z}$ はに依存して一意に定まる.の値の可能性はちょうど可算無限通りある. したがって, {:が各$m\in \mathbb{Z}$$x_{m},$$\ldots,$$x_{2},$$x_{m+\mathfrak{n}}$$\ldots,$$x_{m}$$x_{m+\mathfrak{n}-1},$$x_{1}$$\ldots$$\ldots,$$\ldots$$\ldots$$x_{-2},$$x_{0},$$\ldots$$x_{1},$$x_{1},$$x_{2},$$\ldots,$$f(\sigma)x=a\}$6$\ldots,$$x_{n}$$x\in V^{\mathbb{Z}}$$x_{n}$

は可算無限になる.

口Morley 階数

この節では, 1 変数論理式の Morley 階数を計算する. これにより,階数が になることがわかる.

$TA_{K}$の Morley$w$定理 6.1 $f(X)\in K[X]$ を定数項が$TA_{K}$$0$でない 1 次以上のモニック多項式とする. 以下,の巨大モデルの中で考える.

(1) $f(X)$ が $K[X]$ で既約ならば $f(\sigma)x=a$ は強極小である.

56(2) $f(X)$ が重複度もこめて 個の既約因子をもつならば $f(\sigma)x=a$ は Morley 階数と Morley 次数 1 をもつ.
$k$$k$(3) $TA_{K}$ の Morley 階数は$\omega$である.

証明. $TA_{K}$ が量化記号消去を許し, $g(\sigma)x=b$ の形の論理式が線形部分空間の剰余類を表すので, $g(\sigma)x=b$ の形の式で定義された集合が $f(\sigma)x=a$ で定義される集合をどのように分割するかを調べればよい.
$f(X)\in K[X]$ を 1 次以上の既約なモニック多項式とする. すると定数項は でな
い. $f(\sigma)x=a\wedge g(\sigma)x=b$ が $f(\sigma)x=a$ で定義される集合の真部分集合を定義するとすると補題 32 よりそれは 1 点集合になる. したがって, $f(\sigma)x=a$ は強極小である. これで (1) が示せた.
(2) は $f(X)\in K[X]$ の既約因子の個数に関する帰納法で示す.
$f(X)$ が 個の既約因子をもち, $k>1$ とする. $f(X)=f_{0}(X)f_{i}(X)$ でゐ (X) が 1つの既約因子とする. すると $f1(X)$ の既約因子は $k-1$ 個である.
$f_{0}(\sigma)x=a$ は強極小である. $b_{i}(i<\omega)$ を互いに異なるゐ (\mbox{\boldmath $\sigma$})x $=a$ の解とする.
どの 2 つも共通解をもたず, また, 帰納法$f_{1}(\sigma)x=b_{i}$ を $i<w$ について考えると,の仮定から Morley 階数が $k-1$ になる. $fi(\sigma)x=b_{t}$ ならば $f(\sigma)x=f_{0}(\sigma)b_{i}=a$ で$0$$k$ある.

よって,$f(\sigma)x=a$ のMorley 階数は 以上である.
$k$

もし $f(\sigma)x=a$ の定義する集合が定義可能な真部分集合をもてば, 補題 32 より, それは $f(X)$ の真の因子 $g(X)$ に対する $g(\sigma)x=b$ の形の式のブール結合で定義できる.
より真に小さい. したがって,帰納法の仮定より, $g(\sigma)x=b$ の Morley 階数は$k$$f(\sigma)x=a$ はMorley 階数$k$と Morley 次数 1 をもつ.

口参考文献
[1] Z. Chatzidakis, and A. Pillay, Generic structures and simple theories, Annals ofPure and Applied Logic 95 (1998), 71-92.
[2] W. Hodges, Model Theory, Cambridge University Press, 1993.

[3] M. Itai, and K. Wakai, -saturated quasi-minimal models of Th
Math. $Log$ . Quart. 51 (2005), 258-262.
$w$$(\mathbb{Q}^{w}, +,\sigma, 0)$,[4] M. Itai, A. Tsuboi and K. Wakai, Construction of saturated quasi-minimal structure, J. Symbolic Logic 69 (2004), 9-22.
[5] H. Kikyo, and A. Pillay, The definable multiplicity property and generic automorphisms, Annals of Pure and Applied Logic 106 (2000), 263-273.