ものことわり

物理 という文字は，物の 理 からなる。この文字のとおり，第1章

物理学は，ものとは何か，運動とは何か，を問う学問である。これらを問うためには，ものの大きさ，重さ (質量)，それにこれらを記述する単位を知ることが第一歩となる。

単位と物理量1.1

単位は生活から生まれた物理量を測定すること，その測定量を多くの人が共通の知識として共有するためには基準が必要である。その基準となる量を単位という。測定量は，その単位の何倍であるかで表す。
単位は，物理に限らず，長さや重さの基準 (約束ごと) がなくては混乱
ど りょうこうをきたすため，生活においても重要である。ものの計量の単位を度量衡とかさますいう。度量衡の「度」
は長さを測る物差し，「量」は嵩を量る升，そして「衡」
は重さを量る秤のことである。現在もこの言葉は使われており，メートル条約に基づいて世界で通用する単位系を維持するための組織を国際度量衡
総会 (Confé rence gé né rale des poids et mesures，CGPM) という。
長さ
度量衡の法の歴史は，大宝律令 (701 年) まで遡ることができる。昔は，つか長さは体の一部を単位として使っていた。握った手の指 4 本分長さを束，しゃく

親指と人差し指 (あるいは中指) をひろげた長さを尺，両手を左右に伸ばひろしたときの左右の指の先端間の長さを尋という。1 束は約 8 cm，1 尋は約1.5 m (約 1.8 m という説もある) である。尺と同じ起源をもつ単位として

1

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第1章

1.1

単位と物理量単位は生活から生まれたあた咫がある。これも手を当てて測ることから生じているが，中指の先端からきさはわかる。

■

手のひらの下端までの長さ，あるいは指 8 本分の幅という説もある。現在
では 1 尺≒ 30 cm となっているが，両指を大きくひろげても 20 cm ほど面積・体積
ぶ

せたんちょうぶ

面積は，日本の単位では歩，畝，段 (反)，町が基本となっていた。歩は，しかないことを考えると，時代とともに基準が変わったことがわかる。

ほほ体の一部を単位とすることは，西洋でも同じである。親指の太さをイン長さの単位である歩からつくられる面積である。歩は，左右の足を一歩ず

チ，手をひろげたときの親指の先から小指の先までの長さをスパン，ひじつ踏み出した長さで 6 尺とされた。1 尺は 10/33 m(約 30.3 cm) なので，6の長さをキュービット，足 (かかとからつま先まで) の長さはフートであ尺は約 182 cm となる。歩は，歩を一辺とした正方形である 6 尺平方 (約る。現在の単位で表すと，1 インチ (inch) は 2.54 cm，1 スパン (span)3.31 m2) を意味する。歩 は，坪ともいう1)。30 歩を 1 畝，300 歩を 1 段，は 22.86 cm，1 キ ュ ー ビ ッ ト (cubit) は 44.72 cm，1 フ ー ト (foot) は10 段を 1 町という。町は，推古 6 年 (606 年) から使われていて，大宝令30.480 cm である。また，3 フィートを 1 ヤード (0.91440 m) という。な以前からの単位である。
耕地面積を表すことが重要であったためであろう。

お，フートは単数形で，複数形はフィート (feet) である。

この事情は西洋のエーカー (acre) も同様である。エーカーは，2 頭 1 組ぶ

ほぶの雄牛が 1 日に耕すことのできる耕地面積として，エドワード I 世 ( 在位束1272 〜 1307) の時代に決められた。1 エーカー ＝ 40.469 a ＝ 4046.9 m2 である2)。
体積の単位は，日本でも，西洋でも，穀物や水の量を量ることから生ま尋尺スパン

東洋ら収穫出来得る米の量から生じている。その量は，大宝令，豊臣秀吉 (1537西洋〜 1598) による太閤検地 (1582 年) と時代とともに変わってきたが，現在キュービット

インチ

しょうれた。日本では，現在でも 1 升瓶などで使われている升は，田んぼ 1 坪かでは 1 升＝ 1.80 L (1 L ＝ 1000 cm3 ) とされている。西洋でも農作物の嵩を量るために使われたものから始まった。クア (qa) は，BC2450 年頃のシュメル人が使っていた容器のことで小麦や水を量る標準器とされ，約0.4 L で あ る。 ま た ガ ロ ン (gallon) は， ヘ ン リ ー VII 世 (在 位 1485 〜1509) の時代に「麦 100 トロイオンスを 1 ガロン」とされた。100 トロイオ

図1.1

東洋と西洋の長さの単位

ンスは約 3.1 kg である。現在では，ガロンは英ガロンと米ガロン (約0.833 英ガロン) があり，イギリスには 1 ワインガロン (＝ 231 立方インチ)，

例題1.1

A4 判の用紙の大きさを手と指を使って計ってみた。縦が 1 ス

パンより 4 インチ長く，横が 1 スパンより 1 インチ短かった。これを cm

1 ビールガロン (＝ 282 立方インチ)，それに 1 穀物ガロン (＝ 272 立方インチ) がある。1 立方インチは，6.387 cm3 である。
じゅんはいで表すとどうなるか。
解

縦は 22.86 cm ＋ 4 × 2.54 cm ＝ 33.02 cm，横は 22.86 cm −例題1.21)

2.54 cm ＝ 20.32 cm となる。A4 判は縦 29.7 cm，横 21.0 cm と決まっている。手をひろげて計ると 10 % ほどの不確かさがあるが，おおよその大2大学生のための物理入門 第1章.indd 2-3

鎌倉末期の書『潤背』によると，当時の升の大きさは 4 寸四方・1 坪は，尺貫法の面積の基本単位で，およそ畳 2 枚の広さである。しかし，団地畳は 1 坪より狭く，京間畳は 1 坪より広いので目安にしかならない。

2)

メートル法の地積単位はアール (are) で，記号は a である。1 a ＝ 100 m2 ≒ 30.25 坪である。

3

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第1章

1.2

単位と物理量深さ 2 寸 (当時) であった。秀吉は，太閤検地の際に量制の統一も試み，メートル法160 匁 (約 600 g) に統一された。

升の大きさを 5 寸四方・深さ 2.5 寸として制定した。これを京升という。

古代シュメル人が使っていた重さの単位であるシェケル (shekel) は，京升は，以前の升に比べて，何割大きくなったか。また，何 L か。ただし，

小麦 180 粒の重さ (8.3 g) とされた。180 としたのは 60 進法を使っていた

寸は尺の補助単位で，1 寸＝ 1/33 m である。

ためである (60 は 2, 3, 5 を約数にもつ)。この重さの単位がそのまま銀貨

以前の升は 32 立方寸 (890 cm3)，京升は 62.5 立方寸 (1739 cm3)の重さとなり，その貨幣もシュケルという。これ以後も穀物の粒は同程度なので，京升は，以前の升の 1.95 倍，すなわち 9.5 割分大きい。また，の大きさ・重さなので基準として使われた。ヤード - ポンド法の単位とな

お よ そ 1.74 L で あ る。 現 行 の 升 は，4.9 寸 四 方・ 深 さ 2.7 寸 な の で，ったグレーン (grain) は，小麦 1 粒の重さから生じている。7000 グレー解364.827 立方寸 (1803.9 cm ) で約 1.8 L である。

■

重さ
重さ (質量) の単位として，中国には，輸送量の基準であった駄馬 1 頭ンが 1 ポンド (＝ 0.4536 kg) である。

1.2

メートル法

だに積む品の重さで決められた駄があった。日本も同じである。駄馬に載せ単位は，前節で述べたように，生活の中から生まれた。このため，そこるため，体積や品物を載せる入れ物に依存し，また流通業であるため載せで生まれた単位はその地域の人々にとっては身近で親しみやすい。
しかし，る品物の価格にも依存した。このため，その重さは 30 貫から 50 貫の幅がその地域の王のような特定の人の指の太さや長さ，腕の長さなどにより決あった。米 1 駄は 2 俵 (1 俵は約 57 kg)，糸 1 駄は 48 貫 (180 kg)，綿 1められているので，その地域外で決められた尺度とは異なり，商取引などもんめ

駄は 28 貫 800 匁 (108 kg) と載せる荷物によって異なっていた。江戸期にの交渉ごとにも支障をきたす。このような単位では，いつでもどこでも，1 駄は 36 貫 (112.5 kg) と定められたが，実際は 45 貫ほど積んだ。馬をという一般性をもっていないし，地域性ゆえに局所的であって総体的では酷使したが，流通業はこれで潤ったのかもしれない。また，明治の開拓使ない。それに，各地の文化や風習によるので知識どうしのつながりがはっ

とりおろし ゆ時代 (1869 年〜 1882 年 ) に流通したハッカ取卸油を入れた缶 (25 斤)8 個きりせず，断片的で体系的でもない。すべての国・地域の人の間で通用すを駄馬に載せて運搬したため，1 駄は 200 斤 (120 kg) となり，これが取る単位の設定には，一般性，総体性，それに体系性が必要なのである3)。

卸油の価格の基準にもなった。

地域，時代，人，それに社会によって変わらず，より普遍的なものによかい

1 貫は 3.75 kg である。1 貫は，唐の武徳 4 年 (621 年) に初鋳された開って度量衡の標準が定められるべきだ，とメートル法が提案されたのはフげんつうほう

元通宝に紐を通して 1000 枚まとめた重さである (飛鳥池遺跡で発見 (1999

ランスの国会である。その時期はフランス革命期の 1790 年 3 月であった。

ふ ほん せん年) された富本銭は，開元通宝と同一規格でつくられている)。この紐の地域ごとに異なるどころか，複雑であったフランス国内の統一を主導する

かんことを 銭刺し といい，この銭刺しで 1000 枚の銭貨を貫くことから 貫ものが国際的な統一を目指し，革命による平等を掲げてメートル法は考案という。また，1000 枚をひとまとめにしたため 1000 分の 1 も単位となって，された。基準となる単位は，人類にとって普遍なもの，どの国・地域の人

もんめ

これを匁という。この呼び名は，1 文銭の目方 (重さ) から派生した (匁はにとっても身近なものでなくてはならない。このため，長さの基準は永久

文とメ (目) の合字)。1 匁は，メートル法が施行した昭和 41 年 (1966 年 )不滅とされていた地球，質量の基準は水とした。これがメートル法である。の計量法おいても，真珠の質量を計量する補助単位として 1 匁＝ 3.756 g

メートル (meter) は， 計る や 計器 を意味するギリシア語 metron にきんと定められた。1 斤は，大宝令より前から使われていた重さの単位である。
商品の種類・大きさ，それに取引場所によって異なっていたが，明治期に4

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生活から得られる知識は，特殊的，局所的，それに断片的である場合が多い。単位だけではなく，科学の説明にも一般性，総体性，それに体系性が不可欠である。

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第1章

1.2

単位と物理量

ダンケルク由来している。

メートル法

質量
このメートルを基準にして，質量の基準も 1 立方デシメートル 4)(1dm3

経線に沿った北極から赤道まで距離の1000 万分の 1 の長さ (1 m) を決定するたは 1 リットル (1 L) と同じ体積 ) の水の量を 1 kg と定めるべく努力した 5)。

セーヌ川めに測量の旅は，1792 年 6 月に始まった。

貢献したのは，質量保存の法則の提唱 (1774 年) でも知られているパリのパリ

フランス北端のダンケルクからパリを通り徴税官ラボアジエ (A.L. Lavoisier，1743 〜 1794) である。ラボアジエは，スペインの港町バルセロナまでの距離を，(長さを定める) → (体積を決める) → (物質を選んで質量を定める) とい

当時最先端であった機器を用いて三角測量う手順で行った。彼は，氷が融解する温度において，空気の入っていないを行った (図 1.2)。図面製作と計算も含め，

水 (蒸留水)1 dm3 の質量を定めた。フランス科学アカデミー会員が，1 m

フランス

1 m の長さを定めるために 7 年間を要としの長さを定める旅に出た 1792 年のことである。これが発展して，1799 年，た難事業となった。しかしながら，これは4℃の純粋の水 1 L の容積がもつ質量の基準となり，これと同じ質量の分すべての人々，それにすべての時代のた銅を白金でつくったものがメートル法の質量標準器であるキログラム原器

めの第 1 号となった。の決定と評されるほど大きな一歩であ1875 年，メートル条約が成立した。世界的に共通の統一単位を設定しった。
図 1.2 を見ると，最北のダンケルクからスペインようとしてから，80 年以上の年数が必要であった (日本がメートル条約に100km最南のバルセロナまで三角網が描かれてい図1.2る。図 1.3 のように基点 A を決め (パリのバルセロナ三角測量の道のり加盟したのは 1885 年である)。なぜなら，普遍的単位の必要性は理解しても，それまで馴染んでいた単位を換えることには多くの抵抗があったからである (それほど，単位は生活に根付いていたわけである)。提案国であパンテオン)，そこから見通しの良いとこEろに 2 点 B，C を決め，その 3 点を結んでF三角形 ABC をつくる。距離 AB を正確にる当のフランスですら，それまでの単位を変えるため，メートル法以外使用を禁止した強引な法律 (1837 年) を定めなくてはならなかったほどであ測量し，それを基線とし，角 A，B，C もった。この条約で定めたのは，長さ，面積 (度)，体積 (量)，それに質量 (衡)C正確に測定する。距離 BC と AC は正弦Dのみであった。国際度量衡委員会が設置され，この委員会でこの条約に基づく事業を行うことになった 6)。

定理より，
BC ＝ AB ×
AC ＝ AB ×

sin A
sin C
sin B
sin C

A基線

B
図1.3(1.1)
4)

1 dm3 ＝ 10 − 3 m3 ＝ 1 L である。SI 単位系ではリットルの使用は推奨されていない。また，で求める。距離 BC がわかれば三角形 BCD において角 C，B を測定する

デシ（deci）は 1/10 を表し，記号は d である。同様に，センチ（centi）は 1/100 で記号は c，ことにより辺長を求めることができる。こうして三角網の各三角形の辺長ミリ（milli）は 1/1000 で記号は m で分量を表す。デカ（deca）は 10 倍で記号は da，ヘクトは，順々に求まる。これが三角測量である。

（hecto）
は 100 倍で記号は h，そしてキロ（kilo）
は 1000 倍で記号は k で倍量を表す。
5)

当時は，キログラム（kg）ではなく，グラーヴ（grave）が単位名であった。キログラムが使用されたのは，名称が決まった 1795 年以後である。

6)

決議機関は，6 年に 1 度開催される国際度量衡総会である。この第 1 回総会（1875 年 5 月）においてメートル条約が成立した。

6

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第1章

1.3単位と物理量

なわち，角度 180 を弧度で表すと ∏ となる。また逆に，1 rad は約 57.3 ( ＝国際単位系
（SI）

1.3

国際単位系（SI）

180/∏) である。

1954 年に開催された国際度量衡総会において，国際的な統一単位系が定められた。これが，国際単位系 (Le Système International d'Unité s)11である。SI と略される。この総会以後，1967 年に温度のケルビン，1971

O年に物質量のモルが追加され，現在使われているかたちとなった。日本の

1 rad
1

計量法もこれに従っている。
SI は，基本単位，補助単位，それに組立単位から構成されている。基

図1.4

1ラジアンの定義

本単位と定められているのが，長さとしてメートル (m)，質量としてキログラム (kg)，時間として秒 (s)，電流としてアンペア (A)，温度としてケルビン (K)，光度としてカンデラ (cd)，それに物質量としてモル(mol) の 7 つである (表 1.1)。補助単位7)円の半径を r として，より一般的に表現すると，r に等しい弧に対する中心角を 1 rad という。このため，長さ l の弧に対する中心角は，は，角度の単位であるラジア

i＝ン (rad) と立体角の単位ステラジアン (sterad あるいは sr) である (表lr(1.2)

で定義できる。すなわち，弧度 i は，1 点が距離 r だけ離れた線 l に対し1.2)。て張る角を表している。
表1.1基本量表1.2

SI基本単位SI 基本単位

SI 補助単位(組立単位)

量

名称

記号

ラジアン

rad

ステラジアンsr

傘の開き具合など，錐体の頂点の部分がもつ立体的な広がりを表す場合は，立体角 X を用いる。これは，

名称

記号

平面角

長さメートル (meter)m

立体角

質量キログラム(kilogram)kgで表される (図 1.5)。式 (1.1) から類推すると，1 点がある距離 r だけ離時間秒 (second)s

れた面 S に対して張る角を立体角 X である。この X の単位が sr (ステラ電流

アンペア (ampere)Aジアン) である。1 sr は，S ＝ r 2 となるときの立体角である。半径 1 の球

熱力学温度

ケルビン (kelvin)

K

物質量

モル (mole)mol

面上に面積 1 となる部分を S とすれば，球の中心 O から S をみるときの光度

カンデラ (candela)cd

X＝Sr2(1.3)

立体角を 1 sr としてもよい。球の表面はその中心に 4π sr の立体角をはる。

平面角のラジアンは，弧度法によって定義される。半径 1 の円において，1

長さ 1 の弧に対する中心角 i を 1 rad (ラジアン) といい，rad 単位で表した角度を弧度という (図 1.4)。この中心角が 180 のときの弧の長さはrri∏ (半径が 1 なので円周の長さは 2∏) であるので，中心角はπとなる。すSX7)

ラジアンは円弧と半径の比とすることができるため，一般には SI 組立単位と分類されている。

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立体角
図1.5O

平面角

立体角と平面角

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