数理解析研究所講究録
1158 巻 2000 年 17-25

17ホモロジーの摂動定理

丸山文綱 ($0$.

$\mathrm{M}$A$\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{Y}\mathrm{A}\mathrm{M}$A$\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{n}$a)

導入

奴隷にならないための数学が重要であることはいまさら私が繰り返して言うことでもないが、 奴隷にさせるための数学も現状からみてそろそろ本腰を入れて考えられるべきであろう。後者の奴隷とは偉大なる石頭、 計算機のことである。計算機は人間の命令をそのまま高速に実行してくれるというありがたい特性があるが$\text{、}$

逆に人間がち$\text{ゃ}$

結果は意味のないものとなる
ウコ=$\vee 7$は数多くあるが$\text{、}$んと指示してやらないと出てくる$\text{。}$.

すでに数学をするためのソフト

ここではフランスの数学者 Sergeraert

によるソフトウエアについて簡単に述べることで、 計算機による数学の問題点などを見ることにする。
出てくる話には特別新しいものがない$\text{。}$しかし$\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\text{、}$a$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}$が日本に十年程前に来ていくつかの大学で講演しているにもかかわらず、代数的位相幾何の人の興味しか引かなか$\text{っ}$たようで、意外に知られていないようなので紹介することは無駄ではない

18と思われる。彼の論文、 ソフトウエアは$\mathrm{F}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}$研究所の$\mathrm{W}\mathrm{E}\mathrm{B}$ページ

r-ge ar$\mathrm{r}--$$\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{p}_{---}--..-/-----/_{\mathrm{W}\mathrm{W}_{---}}-----------\mathrm{w}------- \mathrm{f}--0----- \mathrm{u}---- \mathrm{r}--- \mathrm{i}\mathrm{e}-------------- \mathrm{u}- \mathrm{r}.-- \mathrm{j}--\mathrm{f}------\mathrm{g}--- \mathrm{r}------\mathrm{e}-\mathrm{n}-----\mathrm{O}------\mathrm{b}--1---\mathrm{e}----.---\mathrm{f}---\mathrm{r}---/\sim \mathrm{s}\mathrm{e}$から入手可能である。

1

数学から計算機科学ヘ
二$+$世紀の数学にと$\text{っ}$て大きな意味を持つ結果として$\mathrm{G}^{l}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}1$の不完全性定理がある。基礎論はこの時点で大きな二つの方向に分かれと$\text{、}$

計算機科学につながる。 Turing らの機械による論理

Church らの帰納的関数 ($\text{、}$

前者の流れは計算機の誕生ととな($\mathrm{L}$それに続などの手続き型$\mathrm{C}$I$\text{っ}$I$\mathrm{S}\mathrm{P}$$\text{く}$$\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{T}\mathrm{R}$$(\mathrm{p}_{\mathrm{r}}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{e})$A)の定義である。

$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{u}\mathrm{m}$a型)$\mathrm{n}\mathrm{n}$$\mathrm{N}(\mathrm{F}0\mathrm{R}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l} \mathrm{a}\mathrm{e}\mathrm{T}\mathrm{R} \mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{s}\mathrm{l} \mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r})_{\text{、}}$

言語の現在まで続く隆盛を招くた。後者の流れは関数型 ($\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{r}$$\mathrm{L}$アルゴリズム)

いわゆるプログラム内蔵型 ($\text{、}$$\text{、}$$=$$\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$a1) 言語$\mathrm{L}$I$\mathrm{S}\mathrm{P}$を生む。

は最も古い計算機言語のひとつでありながら、計算機言語を分類する際に$\text{、}$「$\mathrm{L}$I$\mathrm{S}\mathrm{P}$とそれ以外」 といわれるほど独特な言語である。もちろん方言も色$\text{々}$あるが、 共通して言えることはリストと呼ばれる再帰性を表現するのに最適な構造を意味でそれだけを)(ある扱うということである。リストでは自然に集合を表現することもでき$\text{、}$プログラムの入力、 出力の数に関19して注意を払わなくてもよいようにできる。関数型とはプログラムが関数のように働くことを意味する。 (ち なみに、 このリスト構造をもとにしたという言語が作られ、 幼児教育等に$\mathrm{L}0\mathrm{G}0$使われたことがある。この発案者$\mathrm{M}$Iという概念で$\mathrm{N}\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}$もち$*$ができたわけである$\text{。}$)

Papertが提唱したのがこれを受け継いで例の大人のお$\backslash$$\mathrm{L}$I$\mathrm{S}\mathrm{P}$の特徴としてデータとプログラムの区別がないことがあげられる。また記号を扱うことが楽なため$\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{E}$2$\text{、}$人工知能などに使われ、 数学に関係したところではという数式処理プログラムが開発された。

数式処理

数式処理とは、 たとえば不定元を不定元のまま計算算)(表象計することである。計算機というと数値計算ばかりが思い出されるようであるが、 こういうことができないと学に使えない$\text{。}$$-$

般的には数取り扱う対象が多項式の計算だけならプログラ

ムを組むことは実は意外に簡単であるが、 特殊関数などが入$\text{っ}$てくるとその時点でその関数に関する 「知識」 を覚えさせることが必要になる$\text{。}$そしてそういう知識、 つまり定義式、 恒等式や、 特殊な値を組み合わせて使い$\mathrm{s}$式を簡約化することができなければならない。 (も ちろんプログラムに何を求めるかにもよるが。)

たとえば簡単な二次方程式の根でさえ、根号がきちんと20扱えなければ数学的に正しく表示できな$>$こ$\mathrm{A}\mathrm{a}\circ$で数学と計算機の大きな差について述べておかなければならない

それは無限についてである。数学には無限の概念が$\text{。}$

自然に出てくるが、 計算機はそのままの形では無限を扱うことができない

記憶容量の制限の問題もあるし、 時間が無限に使$\text{。}$えるわけでもないからである。ただしにもあるわけであるからることにより記号$\mathrm{R}$$\text{、}$$\text{、}$$\text{《}$似たような状況は人間人間がどうやっているかを参考にす扱うようにできないわけではない。 つまり数学が実数の集合を表すように、記号化すればよいのである。

ただし、 この記号化によ入してやらねばならない$\text{っ}$$\circ$てやはりその実体に関する知識を導
上に例を出した特殊関数や根号も無限級数の性質を抽出したり$\text{、}$$\text{、}$

無理数の持つ無限桁を有限に表示したりする手段であるとも言える。
さらに

$-$

般には有限でさえ限られた形でしか扱えない。 たとえば準備がないと100 ! のような数を具体的に算出することはできないのである。 このような多倍長精度演算ができることが数学用 ソフトウエアとしては必要になある。実は多項式の計算でもズムによる$\mathrm{G}\mathrm{r}’\dot{\mathrm{o}}\mathrm{b}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}$る例が知られておりなくても$\text{、}$$\text{、}$$\text{っ}$たとえばてくるのはあきらかで

Buchberger アルゴリ

基底の計算途中に係数が爆発的に大きくな$\text{、}$

決して大きな数を取り扱うことが目的で自然に大きな数は出てくることがあるからである。

21

以上のようなことを踏まえて考えると数学ソフトウていかに重要であるかがわかる。しか$\iota$アにとしだからとい$\text{っ}$て必ずしもけではない

実際$\text{。}$$\text{っ}$一般的に記号処理が$\text{、}$LISP 言語以外はよくないというわLISP には利点の裏返しの欠点もあり(つま上現状では計算機のほとんどがプログラム内蔵型である
り$\mathrm{L}$Iそのものがその上で動いている)$\mathrm{S}\mathrm{P}$て作るメリ$\text{ッ}$ので、$\mathrm{C}$

その$\text{、}$言語によ$\text{っ}$トは十分にある。

Sergeraert のソフトウエア

3
実は$\mathrm{s}_{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}}\mathrm{r}$aのソフトウ$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}$的な計算をするソフ. トウ(Al$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}$a$\mathrm{i}\mathrm{c}$$\mathrm{T}_{\mathrm{o}\mathrm{P}^{\mathrm{O}}}1_{0}\mathrm{g}\mathrm{y}$)$\iota$$\iota \text{ア}$は前節で述べたような $-$ 般

アではない

代数的位相幾何学$\text{。}$の限られた問題、 ループ空間の$\mathrm{Z}$

係数ホモロジーを計算するためのものである。彼はこの手法を実効
代数的位相幾何学(

成代数的位相幾何学$\mathrm{E}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}$(Al$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{V}\mathrm{e}$a$\mathrm{i}\mathrm{c}$AlTo$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}$aんでいる。実際彼のプログラムの初期バージであり語で$\mathrm{C}$$\text{、}$

昨年発表された新しいバージ

AT)の名前から$\mathrm{K}\mathrm{E}\mathrm{N}\mathrm{Z}0$$\text{ョ}$$\mathrm{i}\mathrm{c}$$\text{ョ}$To)

あるいは構$\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}$)ンの名前はンは彼の猫と呼$\mathrm{E}$AT(つまり英と名づけられている。

ではホモロジーの計算での問題点を挙げてみよう。まず、 群や環など数学的構造の計算機上での実現であり$\text{、}$

その計算である。 また無限の取り扱いも問題になる。これらの実現のために

22

彼は

$\mathrm{L}$I上にシステムを構築した。数学的構造を$\mathrm{S}\mathrm{P}$$\mathrm{L}$I$\mathrm{S}\mathrm{P}$のプログラムかっデータとして扱うことで、 数学的構造のもつ具体的内容と対象としての記号化を同時に実現している。彼はこれをFunctional Algorithmic と呼んでいる。圏の理論をそのまま計算機上に持ち込んだようなものと考えればよい
ペク

トル系列の計算がまた、 (コ)定理. ($\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}$(実効的に)可能にな$\circ$これによ$\text{っ}$てスた。

$\text{っ}$ホモロジーに付き物の輪状部分に対しては、 摂動a$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{m}$a)によ$\text{っ}$て簡約化している。この定理を使う数学的背景として Rubio による Adam の問題の解決があるが、 ここでは説明しないわせることによ$\text{っ}$$\circ$この定理と上に述べた記号化をあて非自明な対象のホモロジーが計算できるようになったわけである。

4ホモロジーの摂動の節ではこのホモロジーの摂動というち$\text{ょっ}$と見には驚かされる内容の定理の内容を紹介する。まず、 ホモ トピーによる同値関係を構成するために、 次の定義をする。
定義

次の組 $(\tilde{C}, C, f, g, h)$ をdCC づ$h$$f\downarrow\uparrow g$$dCC$$\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{T}$I$\mathrm{O}\mathrm{N}$と呼ぶ。

23

ただし

$(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}.

$\mathrm{d}$は複体間の写像、の$\tilde{\mathrm{C}}$

上の写像)

では鎖複体

\mathrm{d})$はホモ$\mathrm{h}$$\mathrm{C}$($\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}$トピー写像$f\tilde{d}=df$$\tilde{d}g=gd$(2)$fg=id_{C}$$gf+\overline{d}h+h\tilde{d}=id_{\tilde{C}}$(3)$ffi=0$$-$

で$id$の微分写像で、(つまり微分$\tilde{\mathrm{d}}$特に$\text{、}$(ホモふたつのとは逆方向$0$

自由加群の場合$\mathrm{Z}$$\tilde{C}=Ke\gamma f\oplus{\rm Im} g$であり$\text{、}$トピー同値)$\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{T}$I$0\mathrm{N}$の組$(\tilde{C}, C_{1},f_{1},g_{1},h_{1})(\tilde{C},C_{2},f2’ g_{2} ; h_{2})$があるときトピー同値と呼ぶ。と$\mathrm{C}_{2}$をホモ$\mathrm{C}_{1}$と$\mathrm{C}_{2}$のホモロジー群が等しいことは明らかである。

$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{b}$$\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{T}$C)

Ia$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{m}$$\mathrm{O}\mathrm{N}(\tilde{\mathrm{C}}, \mathrm{C}, \mathrm{f}, \mathrm{g}, \mathrm{h})$の微分写像とする)

a ;(2)のすべての元$\lim_{narrow\infty}(h\tilde{\delta})^{n_{X}}=0$$\mathrm{o}$$\lim_{narrow\infty}(\tilde{\delta}h)^{n_{X}}=0$

$x$

, R.
$\mathrm{d}$に対して、$(\overline{d}+\tilde{\delta})^{2}=0$$\tilde{\mathrm{C}}$$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{h}$ただしがあるとする。
(1)

後者は$\text{。}$$\mathrm{C}_{1}$($\mathrm{g}$$hh=0$$hg=0$C そ のものに同型である

定理$\mathrm{f},$は恒等写像である。

このとき

定義C)

次の (1) $\sim(3)$ を満たすものとする$\backslash$

(1)

こ.

に対して

(

$\tilde{\mathrm{C}}$$\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n},$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}$P. d)の写像$\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}$.)は鎖複体$\delta\sim$$\mathrm{C}(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}$P.

で次を満たすもの$\text{、}$

24

(つまり

$\tilde{d}+\tilde{\delta}$

このとき$\mathrm{C}$が微分での写像$\delta$$h\tilde{\delta}$とおよび涌は幕零。)$\mathrm{R}\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{U}\mathrm{C}\mathrm{T}$I$\mathrm{O}\mathrm{N}((\tilde{C},\tilde{d}+\tilde{\delta}),$$(C,d+\delta),$ $f|,|g,$$h^{\dagger})$が存在する。
証明$\delta,f^{\uparrow},g^{\mathrm{I}},h\dagger$を具体的に構成すればよい$0$$\Phi=\sum_{j\geq 0}(-1)j(h\tilde{\delta})^{j}$$\Psi=\sum_{J^{\Rightarrow 0}}(-1)^{j}$(涌)

とおく。すると$\Phi=id-h\Psi\tilde{\delta}$$\tilde{\delta}\Phi=\Psi\tilde{\delta}$$\Psi=id-\tilde{\delta}\Phi h$$\Phi h=h\Psi$である。 これらを使い$*$$f^{\mathrm{t}}=ffl$$g^{\mathrm{t}}=\Psi g$$h^{\mathrm{t}}=\Phi h=h\Psi$$\delta=f\tilde{\delta}\Phi g=f\Psi\tilde{\delta}g$とすればよい$\text{。}$REDUCTIONの条件はすべて満たされていることがわかる。
注: 証明をよく見るとわかるとおり

し、 一般的な$\text{、}$(Neumann 級数が見えていることからも)この定理は陰関数定理の応用に過ぎない(コ)

使えるかというと$\text{、}$$0$

しかホモロジーを計算するのにこの摂動定理がそう簡単ではない$\text{。}$ホモトピー写像および

25

摂動写像がうまく見つかるかどうかが鍵になるわけで、 その存在を数学的に裏付けておかないといけないわけである。

5

最後に特に新しいことはないと思うので、 参考文献は紹介しない
はじめに紹介した$\mathrm{W}\mathrm{E}\mathrm{B}$$\circ$ページなどから必要な情報は得られるはずである。

数学のソフトウ
約が少なくな$\text{っ}$$\iota$アについては、 ハー ドウ$\mathrm{x}$アについての制てきた今こそ、 より多くの数学者を巻き込んで議論されるべきときであると思う。すでに Gr\"obner 基底については、 この考究録などを見てもわかるとおり$\text{、}$かなり議論されている。 何がしたいのか、 どうすれば計算できるのかなどの情報を集積することでプログラムを作ることができる。 なんだ、そんなこともできないのか$\text{、}$という批判がプログラムを進化させる。結果として、 数学的実験と呼んでよい面倒な計算が手軽にできることが、 数学の今後の発展につながると信じている。