数理解析研究所講究録 1475 巻 2006 年 149-154

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On a shadow system to the Gierer-Meinhart Systemwith a non-local term
龍谷大学

理工学部

Ryukoku University

四ツ谷 晶二Shoji Yotsutani

この研究は, 高市 英明 氏 (兵庫大学), および, 高木 泉氏 (東北大学)の共同研究である.
Gierer-Meinhart system([1])$\frac{\partial A}{\partial t}=\epsilon^{2}\Delta A-\mathrm{A}+\frac{\mathrm{A}^{p}}{H^{q}}+\sigma$$x\in\Omega$$\vee\cdot-\overline{\partial t}\overline{H^{q}}=\epsilon^{4}\Delta A-\mathrm{A}++\sigma--$,$t>0$,,$t>0$ ,$\tau=D\Delta H-H+\underline{\partial H}\underline{\mathrm{A}^{\gamma}}$$\frac{3H}{\partial t}=D\Delta H-H+\frac{\mathrm{A}^{\gamma}}{H^{s}}$$\frac{\partial A}{\partial v}=\frac{\partial H}{\partial v}=0$on$\partial\Omega$$x\in\Omega$,$t>0$.の Shadow System の典型例としてあらわれる,

du
$\{$

$-u+u2+\sigma \mathrm{f}ud2x=0$$u’(0)=0$ ,$u’(1)=0$ ,$u’(x)>0$$x\in(0,1)$.

を考える. ただし,$u(_{X})$は未知関数,と非局所非線形境界値問題$X\in(0,1)$,(S)$d,\sigma$

は正値パラメータである.

この境界値問題の解の大域的構造は, $\sigma=0$ の場合はよく知られているが,$\sigma>0$ の場合は高木 [3] の中に予想は与えられていたが,事実は未確認であった.
本講演では, Lou-Ni-Yotsutani[2] のアイデアを応用し, 方程式 (S) のすべての解を楕円関数を用いてあらわし, それに基づき解の大域的構造を報告する.
【定理 1] 方程式 (S) のすべての解は,$\{(u(x;d,k),\sigma(d,k)),\cdot$$0<d< \frac{1}{4K(k)^{2}\sqrt{k^{4}-k^{2}+1}}$,$0<k<1\}$

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なお,

$K(k)$ は第1 種完全楕円積分,

2 種完全楕円積分,$E(k)$ は第$sn(\cdot;k)$は母数$k$のヤコビの楕円関数である. すなわち,$K(k):=$$E(k):=l\sqrt{\frac{1-kt^{2}}{1-t^{2}}}dt$

前定理より,$\sigma(d, k)=\sigma$$\sigma$,sn$(w,k):=$を固定したときの方程式 (S) の解の大域的分岐構造は,となる等高線よりわかる. なお, 解の分岐の様子を見るため, 大域的分岐図を $d-||u_{X}||$ 平面に描いたものも並べて示す. ただし, $||u_{X}||:=u(1)-u(0)$ である.

【定理 2](1)$\sigma(d, k)=\sigma$とする.

$0<\sigma<5/6$ の場合$d=d_{+}(k;\sigma)$:

for $k\in(0,1)$ .

は単調減少,$d_{+}(k;\sigma)$$d_{+}(0; \sigma)=\frac{1}{\pi^{2}}\cdot\frac{1-\sigma}{1+\sigma}$$d_{+}(k;\sigma)arrow 0$

as$k\uparrow 1$,.

$\mathrm{k}$1$\mathrm{k}$$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$$d-k$ 平面$d-||u_{X}||$平面(2) $5/6<\sigma<1$ の場合 :$d=d_{+}(k;\sigma)$$d_{+}(k;\sigma)$

は,for $k\in(0,1)$ .

$d_{+}(0; \sigma)=\frac{1}{\pi^{2}}\cdot\frac{1-\sigma}{1+\sigma}$

0<k<k。のとき単調増加,,$k=k_{\sigma}$のとき最大値$d_{\sigma}$

,

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$k_{\sigma}<k<1$のとき単調減少,$d_{+}(k;\sigma)arrow 0$

as$k\uparrow 1$.

$\mathrm{k}$1$\mathrm{d}$$\mathrm{d}$$d-k$ 平面(3)$\sigma=1$$d-||u_{X}||$

平面の場合 :

$d=d_{+}(k;\sigma)$$d_{+}(k;\sigma)$は,$k_{\sigma}<k<1$for$k\in(l_{1}.,1)$.

$d_{+}(\ell_{1} ; \sigma)=0$,\ell I<k<k。のとき単調増加, k=k。のとき最大値のとき単調減少,$d_{+}(k;\sigma)arrow 0$

as$k\uparrow 1$$d_{\sigma}$,.

$\mathrm{d}$$d-k$ 平面$d-||u_{X}||$平面

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(4)

$\sigma>1$$\bullet$の場合 : 次の 2 つの曲線の和集合である.

$d_{+}(k;\sigma)$は,$k_{\sigma}<k<1$$\bullet$for$d=d_{+}(k;\sigma)$$P_{\sigma}<k<k_{\sigma}$.

for$k\in(l_{\sigma},1)$は単調減少,$d_{+}(\ell_{\sigma} ; \sigma)=d_{-}(l_{\sigma} ; \sigma)>0$.

$d_{\neq}(k;\sigma)arrow 0$as

$k\uparrow 1$

as$k\uparrow 1$$d_{\sigma}$,.

$d_{-}(\ell_{\sigma} ; \sigma)=d_{+}(\ell_{\sigma} ; \sigma)>0$$d_{-}(k;\sigma)arrow 0$,

k=k。のとき最大値のとき単調増加,のとき単調減少,$d=d_{-}(k;\sigma)$$d_{-}(k;\sigma)$$k\in(\ell_{\sigma},1)$,.

$\mathrm{k}$0$d_{\sigma}$$\mathrm{d}$$d-k$ 平面$d-||u_{X}||$平面

ただし,$+(1-k^{2}+k^{4}\}K(k)^{2}$$k_{\sigma}:=the$,unique solution of$((-3k^{6}+9k^{4}-9k^{2} \dagger 3\succ 2+k^{8}-6k^{6}+13k^{4}-12k^{2}+4)K(k)^{4}$$+((18k^{6}-72k^{4}+90k^{2}-36\succ 2-4k^{8}+16k^{6}-24k^{4}+20k^{2}-8)E(k)K(k)^{3}$$+((-36k^{6}+126k^{4}-180k^{2}+90\succ 2+4k^{8}-8k^{6}+12k^{4}-8k^{2}+4)E(k)^{2}K(k)^{2}$$+((24k^{6}-90k^{4}+126k^{2}-84\succ 2)E(k)^{3}K(k)$$+((27k^{4}-27k^{2}+27\succ 2)E(k)^{4}=0$ in $k\in(0,1)$,$d_{\sigma}:=d_{+}(k_{\sigma} ; \sigma)$.

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高木 [3] は, 2 次分岐が起こらないとするならば, 上図の$d-||u_{\chi}||$平面における分岐図のような状況であろうと予想していた. 定理 2 より 2 次分岐は起こらず,予想通りであったということを示すことができる. 正確に述べると, 解の個数に関する次の結果をを得る,【定理 3] 方程式 (S) の解の個数は次の通りである.
(1)$\bullet$$\bullet$(2)$d> \frac{1}{\pi^{2}}\cdot\frac{1-\sigma}{1+\sigma}$のとき,解はただ 1 つ存在する.の場合 :のとき, 解は存在しない.

$\bullet$$\mathrm{d}>\mathrm{d}_{\sigma}$$\bullet$$d=d_{\sigma}$$\bullet$$\frac{1}{\pi^{2}}\cdot\frac{1-\sigma}{1+\sigma}\leq d<d_{\sigma}$のとき, 解はただ 1 つ存在する.

$0<d< \frac{1}{\pi^{2}}\cdot\frac{1-\sigma}{1+\sigma}$のとき,解はちょうど 2 個存在する.のとき, 解はただ 1 っ存在する.の場合 :$\sigma=1$$\bullet$$d>d_{\sigma}$のとき,解は存在しない.

$\bullet$$d=d_{\sigma}$のとき,解はただ 1 つ存在する.

$\bullet$(4)のとき, 解は存在しない.

$0<d \leq\frac{1}{\pi^{\underline{7}}}\cdot\frac{1-\sigma}{1+\sigma}$$5/6<\sigma<1$$\bullet$(3):$0<\sigma<5/6$ の場合$0<d<d_{\sigma}$$\sigma>1$のとき, 解はちょうど 2 個存在する.の場合 :$\bullet$$d>d_{\sigma}$のとき,解は存在しない.

$\bullet$$d=d_{\sigma}$のとき,解はただ 1 つ存在する.

$\bullet$

ただし,$0<d<d_{\sigma}$$d_{\sigma}$のとき, 解はちょうど 2 個存在する.

は定理 2 の中で定義されたものである.

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参考文献
[1] A.Gierer and H.Meinhardt, A theory of biological pattern formation,
Kybernetik CBerlin), 12 (1972), 30-39.

W.-M.Ni and S.Yotsutani, On a limiting system in the.
competition with cross diffusion, Discrete Contin.
Syst., 10 (2004), $435^{\sim}458$ .

[2] Y.Lou,$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{k}\mathrm{a}^{\sim}\mathrm{V}\mathrm{o}1\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}$$\mathrm{D}\mathrm{y}\mathrm{n}$Point-condensation for a reaction-diffusion system,
Differential Equations 61 (1986), 208-249.

[3] I.Takagi,J.