数理解析研究所講究録 1253 巻 2002 年 164-171

164
On Tensor Matrices and Norm Inequalities
岡山県立大情報工 高橋泰嗣 (Yasuji Takahashi)
九州工大工加藤幹雄 (Mikio Kato)

Abstract. The operator norms of tensor matricae between -spaces
were studied in . Bemett [1]. We shaU consider thaee norms between(X) for Banach space $X$ . The main
(Theorem 1) is stated as foUows. Let and beandmatricae raepectively,
their tensor product. Let $X$ be
an arbitrary Banach space. Then $||A\otimes B||_{p,qj}x\leq||A||_{p,qj}x||B||_{p,qj}x$ for$p_{p}$$\mathrm{G}$$\Psi_{p}(X)- \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{e}$$\mathrm{u}\mathrm{m}1/_{p}- \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}$$\mathrm{a}$$A$$\mathrm{t}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}$$r\mathrm{x}s$$B$$m\mathrm{x}n$$\mathrm{m}\mathrm{d}A\otimes B$

any $1\leq p\leq q\leq\infty,$ where $||A||_{p,qX}=||A$ :. Theequality holds trueis a Hilbert space (Theorem 2). As applications,ffom the classical Clarkson inequality we shaU derive the generah.zedClarkson inequality ([2]; cf. [11, 4, 6]) and the type inequality with
type constant 1 for(cf. [5]).
$p_{p}*(X)arrow\ell_{q}^{m}(X)||\wedge$$\mathrm{i}\mathrm{f}X$$p$$L_{p}$

G. Bennett は行列のテンソル積の作用素ノルムをスヵラー.
ケースで研究した。 ここではそれを Banach 空間で考察し、 ノルム不$A\otimes B$

等式への応用を述べる。
定義 1.

$m\mathrm{x}n$行列 $A=(a_{1j}.),$$A\otimes B=(\begin{array}{lll}a_{11}B .\cdot .

$1\leq p$$r\mathrm{x}s$

行列 $B$ に対して

a_{1n}B\vdots \vdots a_{m1}B \cdots a_{mn}B\end{array})$($mr\mathrm{x}ns$, q\leq \otimes [こ対して$||A||_{p,q}:=||A$:$p_{p}^{\iota}arrow\ell_{q}^{m}||$Banach 空間 $X$ に対して$||A||_{p,q;X}:=||A$

明らかに, $||A||_{p,q}\leq||A||_{p,qj}x$ .

: $r_{p}(X)arrow\ell_{q}^{m}(X)||$行夕 )$\mathrm{I}\mathrm{J}$165
定理$\mathrm{A}$($\mathrm{G}.$Bennett [1]). (i) $1\leq p,$$q\leq\infty$

に対して

(1)

$||A\otimes B||_{p,q}\geq||A||_{p,q}||B||_{p,q}$(ii) l\leq p\leq q\leq \otimes [こ対して(2)$||A\otimes B||_{p,q}\leq||A||_{p,q}||B||_{p,q}$

すなわち$||A\otimes B||_{p,q}=||A||_{p,q}||B||_{p,q}$(3).

Banach 空間 $X$ に対して定理 A の拡張を考える. (2) は $p>q$ のときスカラー. ケースでさえ成立しない (cf. [1], Proposition 10 .3) が,$p\leq q$ のとき,任意の Banach 空間 $X$ で成立する:
定理 1. $1\leq p\leq q\leq\infty$ とする. 任意の Banach 空間 X. に対して$(2_{X})$$||A\otimes B||_{p,q;X}\leq||A||_{p,q;X}||B||_{p,q;X}$$(2_{X})$においてスカラー. ケースでは等号が成立するが, -Wx の Ba-nach 空間では等号は成立しない. 以下どのような空間 $X$ で等号が成立するかを考察する.
補題 1.

$1\leq p\leq r\leq q\leq\infty$のとき, 任意の Banach 空間 $X$ に対して$||A||_{p,q;L_{r}(X)}=||A||_{p,q;X}$

とくに$||A||_{p,q;L_{r}}=||A||_{p,q}$定理 2. (i) $1\leq p\leq r\leq q\leq\infty$ とする. $X=L_{r}$ に対して$||A\otimes B||_{p,q;X}=||A||_{p,q;X}||B||_{p,q;X}$であればよin(ii) $1\leq p\leq q\leq\infty$ とする. $X$ が Hilbert 空間ならぱ

一般 [こ $X$ が finitely representable$(\mathrm{f}.\mathrm{r}.)$$L_{r}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$.

$||A\otimes B||_{p,q;X}=||A||_{p,q;X}||B||_{p,q;X}$

実際, (i) は (3) と補題 1 から得られる. また, Hilbert 空間は . in
(無限次元) であるから (ii) は (i) の直接的な結果である. ただし,$\mathrm{f}.\mathrm{r}$$L_{r}$

166$X$が$\epsilon>0$inであるとは, $X$ の任意の有限次元部分空間 $M$ と任意のに対して, 線形作用素が存在して$\mathrm{f}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{Y}$$T\ovalbox{\tt\small REJECT} Marrow \mathrm{Y}$$(1-\epsilon)||x||\leq||Tx||\leq(1+\epsilon)||x||$$(\forall x\in M)$が成り立つことである.
定理 2(ii) の逆について次の結果が得られる.

定理 3. $X$ が Hilbert 空間であるための必要十分条件は,の有限次元部分空間 と任意の行列 $A,$ $B$ に対して$X$の任意$\pm 1$$\mathrm{Y}$$||A\otimes B||_{2,2;\mathrm{Y}}=||A||_{2,2;\mathrm{Y}}||B||_{2,2;\mathrm{Y}}$が成立することである.
注. (i) $A,$ $B$ は Littlewood 行列に限定してもよい.
(ii) $X$ が無限次元のとき$||A\otimes B||_{2,2;X}=||A||_{2,2_{j}X}||B||_{2,2_{j}X}$が成立しても,$X$が Hilbert 空間とは限らない (定理 4 参照).

定理 .4. $1\leq p,$ $q\leq\infty$ とする.
が. in $X$ (とくに $X=L_{1},$ならば, すべての行列 $A,$ $B$ に対して$\ell_{1}$$\mathrm{f}.\mathrm{r}$$L_{\infty}$)$\pm 1$$||A\otimes B||_{p,q;X}=||A||_{p,q\cdot X}|||B||_{p,q;X}$以下, 定理 1 を Littlewood 行列, Rademacher 行列に適用して,に対する一 Clarkson 不等式, type 不等式を導く.

$L_{p}$

$\Re$

次の行列

$A_{n}$を Littlewood 行列 という$A_{1}=(\begin{array}{l}111-1\end{array})$$A_{n+1}=A_{1}\otimes A_{n}$,([10]):$A_{n+1}=(\begin{array}{ll}A_{n} A_{n}A_{n} -A_{n}\end{array})$$(n=1,2\ldots)$.

より, 定理 1 を適用して,$||A_{n}||\leq||A_{1}||^{n}$$(n=1,2,3\ldots..)$

.

(4)

167
これより,Clarkson 不等式から次の一般 Clarkson 不等式が得られることを見よう.

系 1(Generalized Clarkson’s inequality) ([2, 4, 6, 7, 8, 9]).
を Littlewood 行タリとす$1\leq p\leq 2,1/p+1/p’=1$ とする.
るとき, 次が成立.
に対してと任意の五,(i) 任意の$A_{n}=(\epsilon_{ij})$$n\in \mathrm{N}$$f_{2},$$\ldots,$$f_{2^{n}}\in L_{p}$$\{\sum_{i=1}^{2^{n}}||\sum_{j=1}^{2^{n}}\epsilon_{ij}f_{j}||_{p}^{p’}\}^{1/p’}\leq 2^{n/p’}\{\sum_{j=1}^{2^{n}}||f_{j}||_{p}^{p}\}^{1/p}$(ii) $1\leq r,$ $s\leq\infty$ とする. 任意の$n\in \mathrm{N}$と任意の$f_{1},$.

(5)$f_{2},$$\ldots,$$f_{2^{n}}\in L_{p}$

に対して

(6)

$\{\sum_{i=1}^{2^{n}}||\sum_{j=1}^{2^{n}}\epsilon_{ij}f_{j}||_{p}^{s}\}^{1/s}\leq 2^{nc(r,s,p)}.\{\sum_{j=1}^{2^{n}}||f_{j}||_{p}^{r}\}^{1/r}$

ここで$c(r, s;p)=$$1/r’+1/s-1/p’$

if $p\leq r\leq\infty,$ $1\leq s\leq p’$ ,$1/s$

if $1\leq r\leq p,$ $1\leq s\leq r’$ ,if $s’\leq r\leq\infty,$ $p’\leq s\leq\infty$ .

$\backslash \mathrm{I}/r’$

また, (5), (6) は$L_{p}$-norm を$L_{p’}$-norm に置きかえて成立する.

Clarkson 不等式:
$g\in L_{p}$(i) $1<p\leq 2$ .
$\forall f,$$(||f+g||_{p}^{p’}+||f-g||_{p}^{p’})^{1/p’}\leq 2^{1/p’}(||f||_{p}^{p}+||g||_{p}^{p})^{1/p}$(ii) $2\leq q<\infty$ .

$\forall f,$$g\in L_{q}$$(||f+g||_{q}^{q}+||f-g||_{q}^{q})^{1/q}\leq 2^{1/q}(||f||_{q}^{q’}+||g||_{q}^{q’})^{1/q’}$

は Littlewood 行列$A_{1}$(7)(8)

を用いてそれぞれ次のように表現される:$||A_{1}||_{p,p’;L_{p}}=||A_{1}$:$\ell_{p}^{2}(L_{p})arrow\ell_{p}^{2},(L_{p})||\leq 2^{1/p’}$$||A_{1}||_{q’,q;L_{q}}=||A_{1}$:$\ell_{q}^{2},(L_{q})arrow\ell_{q}^{2}(L_{q})||\leq 2^{1/q}$

,.

(9. )
(10)

168
(10) で $q=p’$ とおくと: \el p2(L 〆)\rightar ow \el \mbox{\boldmath $\nu$}2 $(fL_{f})||\leq 2^{1/p’}$$||A_{1}||_{pff;L_{d}}=||A_{1}$$(10^{*})$となる. したがって (9) と (10), すなわち (7) と (8) は Banach 空間 $X$

に対する不等式として次のように ffl 一される.

:$||_{-}A_{1}||_{pff;X}=||A_{1}$$\ell_{p}^{2}(X)arrow\ell_{t}^{2}(X)||\leq 2^{1/p’}$,$(9_{X})$

すなわち$(||x+y||_{X}^{t}+||x-y|f|_{X}^{f})^{1/ff}$. $\leq 2^{1/t}(||x||_{X}^{p}+||y||_{X}^{p})^{1/p}$.

$(7_{X})$

以上の考察から, Clarkson 不等式 (7), (8) は $X=L_{p}$ と $X=L\mu$ に対する同一の不等式に他ならない. また,に注意すれ$X$$X’$
ばにおいてをその双対空間で置き換えても同値. すなわ
ち $1/p+1/q=1$ のとき Clarkson 不等式 (7), (8) は同値である. した
がって Clarkson 不等式は一\Re に $1\leq p\leq 2$ の場合を考察すれば十分$(7_{X})$${}^{t}A_{1}=A_{1}$$(9_{X})$である.

上と同様の考察により, $1\leq p\leq 2$ の場合, 一般 Clarkson 不等式(5) は$||A_{n}||_{pff;L_{p}}=||A_{n}$:$\ell_{p}^{2^{n}}(L_{p})arrow f\ell_{f}^{2^{n}}(L_{p})||\leq 2^{n/t}$と同値である. したがって (4) によって
$1|A_{n}|1_{\mathrm{P}\mathrm{P}^{\mathrm{t}}j}L_{\mathrm{p}}\leq(||A_{1}||_{pff;L_{p}})^{n}\leq(2^{1/\sqrt})^{n}=2^{n/t}$

このことは一般 Clarkson 不等式 (5) が古典的 Clarkson 不等式 (7) がら導かれることを示している.
注. (i)
不等式 (7) は特別な場合として一 oe
不等式 (5) に含まれる (の場合). また (5) と (6) は同値であるから (cf.
$\mathrm{C}\mathrm{l}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{C}\mathrm{l}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{n}=1$$[2, 4])$ ,Clarkson 不等式と一般 Clarkson 不等式は同値である.

(ii) $X=L_{p}$ (無限次元),Littlewood 行列$A_{m},$$A_{n}$$1\leq p,$ $r,$ $s\leq\infty$とするとき, 任意のに対して$||A_{m}\otimes A_{n}||_{\mathrm{r},sX}=||A_{m}||_{t,s;X}||A_{n}||_{r,s;X}$が$f\dot{fi}$り立つ. ただし, $X$ が有限次元のときは成立しない (定理 3 注参

169
次に

$L_{p}$の tyPe 不等式をClarkson 不等式から導こう.

定義 2(cf. [12]). $X$ を Banach 空間とし $1<p\leq 2$ とする. ある定数 $M$ と $s(1\leq s<\infty)$ が存在して(11)$\{\int_{0}^{1}||\sum_{j=1}^{n}rj(t)xj||^{s}dt\}^{1/s}\leq M\{\sum_{j=1}^{n}||xj||^{p}\}^{1/p}$が任意の有限列 $\{x_{j}\}\subset X$ に対して成り立つとき, $X$ は type であるは Rademacher 関数, すなわちという. ここでである. Khinchine-Kahane の不等式 [こよれば, $s(1\leq s<\infty)$ は任意の値をとって同値 (定数 $M$ は変動する). (11) をみたす最小の $M$ を$T_{p(s)}(X)$ で表し, $X$ の type $p(s)$ 定数という.
$p$$rj(t)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sin 2^{j}\pi t)$$r_{j}(t)$定義 3. 次のように定義される行列を Rademacher 行列とい$R_{n}$う ([3, 4]):1$\backslash$.
.

ム$R_{n}$$\cdot$$.\cdot$.
$R_{n+1}=\{$$R_{1}=(\begin{array}{l}\mathrm{l}-1\end{array})$
$,$

1
-1
..
-1
$\cdot$$(n=1,2\ldots)$.

一凡$-R_{n}$補題 2([3, 4]). $1<p\leq 2$ とする. Banach 空間 $X$ に対して, 次は同値.
(i) $X$ は type .
(ii) ある定数 $M>0$ が存在して$p$||R、 :$\ell_{p}^{n}(X)arrow\ell_{t}^{2^{n}}(X)||\leq M2^{n/p’}$系 2. $1<p\leq 2$ とする.

実際, 払。1 は$R_{1}\otimes A_{n}$|!?、+1:$\leq$$L_{p}$:$\ldots$.

は type $p$ で, $T_{p(p’)}(L_{p})=1$ .の submatrix であるから,$\ell_{p}^{n+1}(L_{p})arrow\ell_{p}^{2^{n+1}},(L_{p})||$$||R_{1}\otimes A_{n}$for $n=1,2,$$\ell_{p}^{2^{n}}(L_{p})arrow\ell_{p}^{2^{n+1}},(L_{p})||$

定理 1 より(12)170$\leq||R_{1}$:$\ell_{p}^{1}(L_{p})arrow f\ell_{f}^{2}(L_{p})||\cdot||A_{n}$:$\ell_{p}^{2^{n}}(L_{p})arrow\ell_{t}^{2^{n}}(L_{p})||$$\leq 2^{1/p’}(||A_{1}||_{pff;L_{\mathrm{p}}})^{n}$$\leq 2^{1/p’}\cdot 2^{n/p’}=2^{(n+1)/t}$をが分かる.
$L_{p}$$fL_{f}$

で置きかえると$L_{t}$.

も type $p$ で $T_{p(ff)}(fL_{f})=1$ であること

一般に, type 不等式 (type $p(p’)$ 定数 $=1$ ), Clarkson 不等式, 一般
Clarkson 不等式は互いに同値であることが知られている:$p$

定理 5([5, 4]). $1<p\leq 2,1/p+1/p’=1$ とする. Banach 空間 $X$に対して次は同値.
(i) $(p,p’)$ -Claxkson 不等式 (7) が $X$ で成立. すなわち:$||A_{1}||_{pff;X}=||A_{1}$$.(\mathrm{i}\mathrm{i})(p,p’;n)$$\ell_{p}^{2}(X)arrow f\ell_{f}^{2}(X)||\leq 2^{1/p’}$-Clarkson 不等 . (5) が $X$ で成立. すなわち$\text{式}$llAnllp, 灼 X $=||A_{n}$ :$\ell_{p}^{2^{n}}(X)arrow\ell_{t}^{2^{n}}(X)||\leq 2^{n/p’}$(iii) 一般 Clarkson 不等式 (6) が $X$ で成立. すなわち$||A_{n}||_{r,s;X}=||A_{n}$(iv) $X$ は type

$p$

:

.

$\ell_{r}^{2^{n}}(X)arrow\ell_{s}^{2^{n}}(X)||\leq 2^{nc(\mathrm{r},s,p)}$で $T_{p(\emptyset)}(X)=1$ .

||7?、||p7;X $=||R_{n}$ :すなわち$\ell_{p}^{n}(X)arrow f\ell_{f}^{2^{n}}(X)||\leq 2^{n/p’}$

References[1] G. Bennett, Schur multipliers, Duke Math. J. 44 (1977), 603-639.
[2] M. Kato, Generalized Clarkson’s inequalities and the norms of
the Littlewood matrices, Math. Nachr. 114 (1983), 163-170.
[3] M. Kato, K. Miyazaki and Y. Tffiahashi, Type, cotype constants
fornorms of the Rademacher matrices and interpolation,
Nihonkai Math. J. 6(1995), 81-95.
$L_{p}(L_{q}),$171[4] M. Kato, L. E. Persson and Y. Takahashi, Clarkson type inequalities and their relations to the concepts of type and cotype, Collect.
Math. 51 (2000), 327-346.
[5] M. Kato and Y. Takahashi, Type, cotype constants and Clarkson’s inequalities for Banach spaces, Math. Nachr. 186 (1997),187-196.
[6] M. Kato and Y. Takahashi, Some recent results in the Banach
space geometry and related norm inequalities, Publicaciones delDepartamento de Analisis Matematico 46, Universidad Complutense de Madrid, pp. 105-122, 2000.
[7] L. Maligranda and L. E. Persson, On Clarkson’s inequalities andinterpolation, Math. Nachr. 155 (1992), 187-197.
[8] L. Maligranda and L. E. Persson, Inequalities and interpolation,Collect. Math. 44 (1993), 181-199.
, J. E.
and A. M. Fink, Classical and New[9] D. S.
Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, DordrechtBoston-London, 1993.
-spaces ,[10] A. Pietsch, Absolutely-psumming operators inSem. Goulaouic-Schwartz, Paris, 1970/1971.
-version of[11] A. Tonge, Random Clarkson inequalities andGrothendieck’s inequality, Math. Nachr. 131 (1987), 335-343.
[12] P. Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts, Cambridge Univ.
Press., Cambridge-New York-Melbourne, 1991.
$\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\acute{\mathrm{c}}$$\mathrm{P}\mathrm{e}\check{\mathrm{c}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\acute{\mathrm{c}}$$L_{r}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$L_{p}$

Depanment of System Engineering,
Okayama Prefectural University,
Soja 719-1197, Japan-mail:takahasi(Bcse. $oka$ -pu.ac.jp$e$Department of Mathematics,
Kyushu Institute of Technology,Kitakyushu 804-8550, Japan-mail:katom(Utobata. $isc$ .kyutech. ac.jp$e$