数理解析研究所講究録909 巻 1995 年 136-146

136$U(2,2)$ の留数スペクトル
今野拓也

(

$*$

$-\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{I}\mathrm{I}\gamma$。

$\psi_{on,fl\circ}$)

March 13, 1995

Contents
1 問題

1

2 結果

2

3 証明の概説.
内積公式の分解 . . . .
3.1
3.1.1 Pseudo-Eisenstein 級数の間の..

$L^{2}-$

3.12
3.13
3.14

$L^{2}-$

内積$.\cdot$....,..

$\ldots.\ldots.\ldots\cdot\cdots\cdots$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.........................

.
.............................

$U(2,2)$ についての記号の準備$L^{2}-$...

の極.
内積の分解.

$A(\emptyset, \phi’)$

32 留数スペクトルの決定. .

1................

$\cdot$............................

3
3
4
4
5
6

9

問題

を代数体 上の簡約代数群とする. 簡単のため $G$ の中心は 上 anisotropic であるとする.
は局所コンパクト位相群で k- 有のアデール環を A と書くとき, $G$ の A 有理点の群
上の二乗可
商空間
$G(k)$
が有限の離散部分群として含む.
を covolume
理点の群
上保型形式の空間と呼ぶ.
と書き,
積分関数の空間を$R$の右正則表現 ;
の
$G$

$k$

$k$

$G(\mathrm{A})$$k$$G(k)\backslash G(\mathrm{A})$$L^{2}-$$L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$G(\mathrm{A})$$[R(g)\phi](x):=\phi(xg)$ ,$(\phi\in L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A})), g\in G(\mathrm{A}))$の「既約分解」が我々の興味の対象である.
不変な 2 つの閉部分空間
この表現はは既約表現の直和に分解し,で$G(\mathrm{A})-$$L_{di_{SC}}^{2}(G)$って上の「既約分解」 とは正確には$L_{dis}^{2}$

$(G)$

。

$L_{di_{SC}}^{2}(G)$*東京大学数理科学研究科 (博\pm 3 年) 〒 113 文京区本郷 7-3-1-mail address: takuya@tansei.cc.u-tokyo.ac.jp$E$と $L_{cont}^{2}(G)$ の直和に分解する. ここは既約表現の「連続和」になっている. 従の既約因子を分類することである.

$L_{cont}^{2}(G)$

137
今野拓也
を $G$ の上定義された放物型部分群とし $U$ をその unipotent radical とする.
型形式 の $P$ に沿っての定数項を
$P$

$k$

$L^{2}-$

保$\phi$$\phi_{P}(g):=\int_{U\langle k\rangle\backslash \mathrm{t}}U\mathrm{A})\emptyset(ug)du$と定義する. このとき尖点形式の空間
は, $\phi\in L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$ であっが全ての k- 放物型部分群 $P$ に対してほとんど至る所で消えているものたてその定数項ちで生成される. これは明らかに不変な閉部分空間であって, また
に含まれ
.
る.
古典的な保型形式の Fourier 展開の保型表現版である Whittaker モデルはの既約分解の有効な道具である. 実際 $G=GL(n)$ の時には Jacquet, Langlands, PiatetskiiShapiro それに Shalika により, Whittaker モデルを使っの満足のいく既約分解が得られている. しかし $G$ が $GL(n)$ や $SL(n)$ 以外の時には Whittaker モデルで全てのの既約因子を掴まえることはできない. 従って $G=GL(n),$ $sL(2)$ そ
して $U(2,1)$ 以外の場合のの既約分解は全く未解決である.
しかし我々の現在の知識で解決可能な問題が 1 つある. それはの$L^{2}-$$L_{0}^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$\phi_{P}$$G(\mathrm{A})-$$L_{dis\text{。}^{}2}(c)$$L_{0}^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$’$\gamma_{}$$L_{0}^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$L_{0}^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$L_{0}^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$L_{0}^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$L_{di_{S}}^{2}(CG)$での直交補空間の既約分解, つまり留数スペクトルの決定をランク 2 の古典群に対して行うことである. 実際,(1) Langlands ([La]) により留数スペクトルはある種の Eisenstein 級数のそれらの極での留数たちで張られることが知られている.

(2) -方 Shahidiによれば, ランク 2 の群に対してはこれらの Eisenstein 級数の解
析的挙動はある種の下城 L- 関数のそれで支配される.
$([\mathrm{S}\mathrm{h}1])$(3) 従ってもしこの保型 L- 関数たちの極を決定できれば, (原則的には) 留数スペクトルのの Levi 部分群 $M$ の尖点形式の空間
決定はの既約分解に$G$$L_{0}^{2}(M(k)Z_{M(}\mathrm{A})\backslash M(\mathrm{A}))$帰着される.
ここで $Z_{M}$ は $M$ の中心である.

2

結果

今回はこの留数スペクトルの決定を二次拡大 $k’/k$ に対応するランク 2 の quasi-split なユ
ニタリ群 $G=U(2,2)_{k^{\prime/}}k$ に対して実行した. この場合には上の (2) の み関数としては Hecke L- 関数, 浅井- 織田の L- 関数それに $U(1,1)k’/k$ の標準 L- 関数が現れる. これらの極はその積分表示を考えることにより決定可能である. また (3) の Levi 部分群としては$M_{0}:={\rm Res}_{k’/}kGL(1)^{\oplus}2,$ $M_{1}:={\rm Res}_{k’/k}cL(2)$ それに $M_{2}:={\rm Res}_{k^{\prime/}}kGL(1)\cross U(1,1)k’/k$ を考えればよく, これに対するの既約分解は [J-L] や [L-L] によって知られている. 我々の主結果は次の通りである.
$L_{0}^{2}(M(k)Z_{M(}\mathrm{A})\backslash M.(\mathrm{A}))$定理 2.1 $(U(2,2)$ の留数スペクトル) $G=U(2,2)k’/k$ の留数スペクトルは次の既約表現たちからなる. 各々の重複度は 1 である.

(1) 1 次元表現$\chi \mathrm{o}\det$たち.

$\chi$

は $U(1, k)\backslash U(1, \mathrm{A})$ の指標を走る.

138$U(2,2)$ の呼数スペクトルの単位表現からの -lifls $R(V, \chi)$ たち. 但し (V, (, ) ) は(2) 1 次のユニタリ群, の指標でであは$k’/k$ 骨の 1 次元 Hermite 形式付き空間を,は $k’/k$ に類体論によって対応する 2 次指標である.
るものを走る.
$\theta$$U(V, \mathrm{A})$$v$$\chi|_{\mathrm{A}^{\mathrm{X}}}=\eta_{k’}/k$$k^{\prime\cross}\backslash \mathrm{A}_{k}\mathrm{x}$$\chi$$\eta k’/k$(3) 2 次のユニタリ群
ち. ここで$\chi$は$k^{\prime \mathrm{x}}\backslash \mathrm{A}_{k}\mathrm{X}$(4) 大局的な誘導表現$P_{1}$

は上の$M_{1}$の非自明な 1 次元表現 からの, の指標でが自明なものである.

$U(1,1)_{k}’/k(\mathrm{A})$$\xi$$\theta- liflsR(V, \chi)\epsilon$

た$\chi|_{\mathrm{A}^{\mathrm{X}}}$)$[\mathrm{A}\mathfrak{S}\mathrm{A})(.P_{1})\otimes 1_{U_{1}\mathrm{o}}]$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p_{(}1}^{G\mathrm{t}}$の$‘ {}^{t}global$

を Levi 成分に持つ放物型部分群であり,Langlands’ quotient”. ただし$\mathfrak{S}(P_{1})$は$M_{1}(\mathrm{A})$の尖点的な既約思屈表現で$(a)$

その中心指標が$||_{\mathrm{A}}^{2}$で,の部分群 $GL(2)_{k}$ を $H$ と書くとき, ある$(b)M_{1}\simeq{\rm Res}_{k’/}kGL(2)$$\mathfrak{S}.(P_{1})$の元 $f$ に対して.

$\int_{H\langle k)}z(H,\mathrm{A})\backslash H\mathrm{t}\mathrm{A})|_{\mathrm{A}}f(h)|\det(h)-1dh\neq 0$.

が成り立つものである.
)(5) 大局的な誘導表現“global Langlands’ quotient” たち. ただし$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P_{2}}^{G}\mathrm{t}^{\mathrm{A}}$

及び
は上の

)
$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p_{2(\mathrm{A})}}^{G}\mathrm{t}\mathrm{A}$$[\langle \mathrm{A})\mathfrak{S}(P2, \eta_{k’/}k)\otimes 1_{U_{1}\mathrm{t}^{\mathrm{A}})}]$

部分群であり,と書くとき$\mathfrak{S}(P_{2}, \eta_{k’/}k)$は$M_{2}(\mathrm{A})$$P_{2}$$M_{2}$$[\mathfrak{S}(P_{2},1)\otimes 1_{U_{1}}\mathrm{t}^{\mathrm{A}})]$のを Levi 成分に持つ放物型の尖点的な既約保型表現で$\mathfrak{S}(P_{2,\eta_{k}}’/k)=\chi\otimes\tau$$(a)\chi|_{\mathrm{A}^{\mathrm{X}}}=||_{\mathrm{A}}^{2}\eta_{k’/}k_{J}$$(b)\tau$

は$U(1, \mathrm{A})$であるもの. またと書くとき,$\chi\otimes\tau$

からの Weil 表現$\mathfrak{S}(P_{2},1)$は$\chi|_{\mathrm{A}^{\mathrm{x}}}=||_{\mathrm{A}}$$\omega_{\chi^{-1}1}|_{\mathrm{A}_{k}},,\psi$

での $U(1,1)_{k’}/k(\mathrm{A})$ へのの尖点的な既約保型表現でやはりであるものである.
$M_{2}(\mathrm{A})$$\theta-\iota ifl$.

$\mathfrak{S}(P_{2},1)=$

注意 22 $G=Sp(2)$ の時の類似の結果は H. Kim と著者自身によって独立に得られている([Ki], [Ko2]). もう少し詳しく言うと, 筆者の結果 [Ko2] は基礎体が総実であることを仮定している. –方 [Ki] ではその仮定がない代わりに留数スペクトルの重複度が 1 であることがわ
からない. しかし両者の情報をあわせれば定理 21 の $G=S_{P}(2)$ 版が得られる.

3
3.1

証明の概説

$L^{2_{-}}$

内積公式の分解139
今野拓也

Pseudo-Eisenstein 級数の間の3.1.1$L^{2}-$

内積

証明は
での
の直交補空間 $L_{Eis}^{2}(G)$ の内積の詳細な分
解から始まる. $P$ と $U$ を $G$ の k- 放物型部分群とその unipotent radical とし, $P$ の上のLevi 成分 $M$ を固定する.
の 2 つの既約尖点的な保型表現 とが同値とは, をある principal quasi-character によってひねったものがに同型なこととする. 既約尖点的な$L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$L_{0}^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$$L^{2_{-}}$$k$$M(\mathrm{A})$$\pi$$\tau$$\pi$$\tau$

保型表現の同値類磐には affine 複素多様体の構造が入る. 各撃の上にはの表現のベ)
クトル束でその撃上のファイバ一がであるものがある. このベクト)
ル束の Paley-Wiener な切断 に対して Eisenstein 級数 $E(\phi, \pi)(g)$ を$G(\mathrm{A})$$\mathrm{A}$$\pi\in$$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{p_{(}}^{G(}\mathrm{A}$$[\pi\otimes 1_{U(\mathrm{A})}]$$\phi$$E( \phi, \pi)(g):=\sum_{(\gamma\in Pk)\backslash G(k)}\phi(\pi)(\gamma g)$と定義する. これは,$(\pi\in \text{撃}, g\in G(\mathrm{A}))$の実部と呼ばれる principal quasi-character$\pi$${\rm Re}\pi$

が $P$ に関して十分

正な撃の開領域で絶対収束し, 撃全体に有理的に延びる. この Eisenstein 級数の空間からへの intertwining 作用素が十分正な \mbox{\boldmath $\lambda$}o\in Re 磐での Fourier 変換$L_{Eis}^{2}(G)$$\theta_{\phi}(g):=\int_{\pi\in \mathfrak{P}=\lambda 0},{\rm Re}\pi E(\phi, \pi)(g)d\pi$(pseudo-Eisenstein 級数)

によって与えられる. しかも Plancherel の公式により(3.1)$\theta_{\phi}$と$\theta_{\phi’}$の間の$L^{2}-$

内積は,$\langle\theta_{\emptyset},$$\theta_{\phi}’)L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))=\int_{\pi\in \mathfrak{P}=\lambda 0},{\rm Re}\pi A(\phi, \phi’)(\pi)d\pi$$\llcorner \mathrm{B}\text{し}$$A( \phi, \phi’)(\pi):=\int_{U(\mathrm{A})M\{k)\backslash \mathrm{t})}G\mathrm{A}(E(\phi, \pi)(g)\overline{E\phi’,\sim_{\overline{\pi}})\sim(g)}dg$に等しい. ここで

3.1.2

$U(2,2)$$\overline{\pi}$

は

$\pi$

の複素共役で$\tilde{\pi}$

は

$\pi$

の反心表現である.

についての記号の準備

以下, 考察の対象を $G=U(2,2)k’/k$ の場合に限定する. $k’/k$ を数体の二次拡大とし,の生成元をと書く. $GL(4, k’)$ へのの作用から定まる $\tilde{G}:={\rm Res}_{k’}/kGL(4)$ 上の k- 自己の k- 自己同型
同型を 5 と書こう.
を$\mathrm{G}\mathrm{a}1(k’/k)$$\sigma$$\sigma$$\tilde{G}$$\theta_{2}$$\theta_{2}$:,$\tilde{G}\ni garrow \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}J_{2(g^{-})\tilde{G}}t1\in$$J_{2}$$:=$と定義するとき, $G=U(2,2)k’/k$ はのの固定点で定義される k- 部分群である.
$G$ のとそれに含まれる Cartan 部分群-Borel 部分群を$\tilde{G}$$\tilde{\sigma}\circ\theta_{2}$$k$$P_{0}$$P_{0}=$$’\backslash ($$0_{0^{*}}**$$M_{0}$$****$$M_{0}=\{d(_{X_{1}}, x_{2})$$0***)\in G_{k’}\}$

,

$:=$

$x_{i}(i=\in{\rm Res}_{21,,)}k’/k\mathrm{G}m\}$140$U(2,2)$ の留数スペクトルのunipotent radical を砺と書く.
$\{d(X1, X2);X1, x2\in \mathrm{G}_{m,k}\}$ となる.
に関して positive なと固定し,$P_{0}$の$M_{0}$$P_{0}$$\mathrm{k}$$A\mathit{0}$-split component はの roots を$A_{0}$$:=$$R^{+}(P_{0},$ $A_{0)}=\{\alpha_{1}:=e_{1}-e_{2}, \alpha_{2}:=2e_{2}, \beta_{1}:=e_{1}+e_{2}, \beta_{2}:=2e_{1}\}$が simple roots の集合である.
と名付ければ,$G$ の放物型部分群としては上述の島を含むようなもの (標準放物型部分群) を考えれを含む Levi 成分 $M$ をただ–つ持ち, $A$
ば十分である. このような放物型部分群 $P$ はの部分集合である. 従の $M$ 寡での simple roots の集合 \Delta (P も寡 $M,$
) は
$G$ の標準放物型真部分厚としては島以外に
口
となる
, )
(
って今の場合,$P_{i}=M_{i}U_{i}(i=1,2)$ がある.
は Siegel 放物型部分群と呼ばれ $M_{1}\simeq{\rm Res}_{k’/k}GL(2)$ であである. 標準は (時に) Jacobi 放物型部分群と呼ばれり,と書こう. このと書き, その実 Lie 環を放物型部分群 $M$ の中心の -split 成分をと同–視できる.
ときの既約尖点的表現の同値類撃の実部の集合は$\Delta(P\mathit{0}, Ao):=\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\}$$M_{0}$$A_{0}$$P_{0}$$\Delta(P_{0}, A_{\mathit{0}})$$\Delta$$M_{i}$$P\mathit{0}$$A_{0}$$=\{\alpha_{i}\}$$P_{1}$$M_{2}\simeq{\rm Res}_{k^{\prime/k}}\mathrm{G}_{m}\mathrm{x}U(1,1)k’/k$$P_{2}$$k$$A_{M}$$a_{M}$$M(\mathrm{A})$3.1 .3$a_{M}$$A(\emptyset, \phi’)$の極となるように) “ 虚軸 ”
を (内積の分解を得るには (3.1) の積分軸$\{{\rm Re}\pi=0\}$ まで移動する. しかしその際にいくつかの $A(\phi, \phi’)(\pi)$ の極たちをまたぐことになる. それらの極を記述しよう.
まず [Shl] によれば $A(\phi, \phi’)(\pi)$ の解析的挙動は次の保型 L- 関数のそれに–致する.

$L^{2_{-}}$$\tilde{\overline{\pi}}=\pi$$\{{\rm Re}\pi=\lambda_{0}\}$$\mathfrak{S}$の既約保型表現を(1) $P=P_{0}$ の時.
の quasi-character) Hecke L- 関数$M_{0}( \mathrm{A})\simeq \mathrm{A}\bigoplus_{k},2$$L_{k’}(0, \mu 1\mu_{2}^{-1})$,$L_{k’}(\mathrm{o}, \mu 1\sigma(\mu_{2}))$と書くとき ($\pi=\mu_{1}\otimes\mu_{2}$,$L_{k}(0, \mu_{1})$,$\mu_{i}$は$\mathrm{A}_{k}^{\mathrm{x}},/k^{\prime \mathrm{x}}$$L_{k}(0, \mu_{2})$たち.

(2) $P=P_{1}$ の時.
織田 L- 関数 (cf.

$M_{1}(\mathrm{A})\simeq GL(2$-$[\mathrm{H}- \mathrm{L}- \mathrm{R}|$), A のの既約尖点的保型表現を$L_{\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{i}(\pi}\mathrm{o},)$$\pi$と書くとき,

$\pi$

の浅井

.

の既約尖点的保型表現を(3) $P=P_{2}$ の時.
の quasi-character,
はの尖刃的野型表現) と書くとき,( -twisted)standard L- 関数 (cf. [Kol] Appendix , [G-PS])$\cross U(1,1)k’/k(\mathrm{A})$$M_{2}(\mathrm{A})\simeq \mathrm{A}_{k}^{\mathrm{x}},$$\mathrm{A}_{k}^{\mathrm{x}},/k^{\prime\cross}$$\tau$$\chi\otimes\tau(\chi$は$\tau$の$U(1,1)k^{\prime/k}(\mathrm{A})$$\mathrm{B}$$\chi$$L_{st}(0, \chi\otimes \mathcal{T})$.

これらの保型 L- 関数の極は, よく知られた L- 関数を積分表示する方法により計算できる:

命題 3.1 ([Kol] Lemma 3.2, Proposition A2and Theorem B.24) (1)時. 上の Hecke L- 関数たちの (positive chamber 内の) 極は$\mathfrak{S}_{1}:=\{\pi\in \text{撃};\mu_{1}\mu_{2}^{-}=1||_{\mathrm{A}_{k’}}\}$,$\mathfrak{S}_{3}:=\{\pi\in \text{撃};\mu_{1}\sigma(\mu_{2})=||_{\mathrm{A}_{k’}}\}$$\mathfrak{S}_{2}:=\{\pi\in \text{撃_{};\mu 2}|_{\mathrm{A}}\mathrm{x}.=||_{\mathrm{A}}\}$,$\mathfrak{S}_{4}:=\{\pi\in \text{撃_{};\mu_{1}}|\mathrm{A}^{\mathrm{x}}=||_{\mathrm{A}}\}$$P=P_{\mathit{0}}$

の

141
今野拓也
で与えられる.
(2) $P=P_{1}$ の時. 浅井-織田 L- 関数の (positive chamber 内の) 極は定理 21 の (4) の$\mathfrak{S}(P_{1})$.

(3) $P=P_{2}$ の時.
$\mathfrak{S}(P_{2}, \eta_{k’/}k)$及び$L_{st}(0, \chi\otimes\tau)$$\mathfrak{S}(P_{2},1)$の.

(positive chamber 内の) 極は定理 2.1 の (5) の

特に $P=P_{0}$ の時を見てみると pole の実部は下の Figure 1 のようになっている.

Figure 1:

3.14$L^{2_{-}}$${\rm Re}(\mathfrak{S})(\mathfrak{S}\in S_{(M0,\mathfrak{P}^{)}}^{+}\backslash )$

.

内積の分解

3.13 で述べたように$L^{2_{-}}$

内積の分解をするには, (3.1) の積分軸をユニタリ軸まで移動する.
の時には Figure 2の時には選択の余地がないが,移動の道 $\Gamma(\in a_{M})$ は $P=P_{1},$のようにとる必要がある.

$P_{2}$$P=P\mathit{0}$142$U(2,2)$ の留数スペクトル

Figure 2: 移動の道 F.
の時は簡単なので $P=P_{0}$ の時に内積を分解する. まず に沿って積分
さて $P=P_{1},$$A(\phi,\phi’)(\pi)$をまたぐ際に留数定理を適用することにより,
がその極
軸を移動し
$\Gamma$$P_{2}$$\mathfrak{S}$(3.2)$( \theta_{\phi}, \theta_{\phi’}\rangle_{L^{2}}\mathrm{t}^{G}\langle k)\backslash G(\mathrm{A}))=(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\mathrm{I}^{2}\int_{\pi\in}\mathfrak{P},{\rm Re}\pi=0A(\phi, \phi’)(\pi)d\pi$$\emptyset)(\pi)d_{\mathfrak{S}_{1}}\pi$$+ \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathrm{e}_{1}},{\rm Re}\pi=y6_{1}{\rm Res}_{6_{1}}^{\mathfrak{P}_{A(}\prime}\emptyset,$$+ \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in 6_{2},\mathrm{R}\pi=}\mathrm{e}y6_{2}{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{2}}^{\mathfrak{P}}A(\emptyset, \emptyset’)(\pi)d\mathrm{e}_{2}\pi$$+ \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathfrak{S}{\rm Re}\pi=y6_{3}}3,{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{3}}^{\mathfrak{P}}A(\emptyset, \phi’)(\pi)d\mathrm{e}_{3}\pi$$+ \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathfrak{S}_{4},\mathrm{R}y}\mathrm{e}\pi=6_{4}{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{4}}^{\mathfrak{P}}A(\emptyset, \phi’)(\pi)d6_{4}\pi$

143
今野拓也
は
を得る. ここで
をそれぞれ
次に撃,
を
のユニタリ軸についての項は${\rm Res}_{\mathfrak{S}}^{\mathfrak{P}}A(\emptyset, \emptyset’)$$A(\emptyset, \phi’)$(3.3)$\mathfrak{S},$の$\mathfrak{S}$に沿っての留数である.
で置き換えて積分軸(cf. Figures 1, 2) まで移動すれば, 各$\{\pi\in \mathfrak{S};{\rm Re}\pi=$${\rm Res}_{\mathfrak{S}}^{\mathfrak{P}}A(\emptyset, \phi’)(\pi)$$\{\pi\in \mathfrak{S};{\rm Re}\pi=o(\mathfrak{S})\}$$\mathfrak{S}$$y_{\mathfrak{S}}\}$$A(\emptyset, \phi’)$$\mathfrak{S}$$\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in 6{\rm Re}\pi}1,=y6_{1}{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{1}}^{\mathfrak{P}_{A(\emptyset,\emptyset}\prime})(\pi)d_{\mathfrak{S}_{1}}\pi$$= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathrm{e}_{1},\mathrm{R}()}\mathrm{e}\pi=O\mathfrak{S}_{1}{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{1}}^{\mathfrak{P}}A(\emptyset, \phi’)(\pi)d\mathrm{e}_{1}\pi$$+{\rm Res}_{\mathrm{e}_{1,2}^{1}\mathfrak{S}_{1}}^{\mathrm{e}\mathfrak{P}\prime}{\rm Res} A(\emptyset, \emptyset)(\mathfrak{S}_{1,2})+{\rm Res}^{6_{1}}{\rm Res} \mathfrak{P}A(6_{1,3}\mathrm{e}_{1}\emptyset, \emptyset’)(\mathfrak{S}_{1,3})$

.

(3.4)
$\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathrm{e}_{2},{\rm Re}\pi=y\mathrm{e}}{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{2}}\mathfrak{P}_{A}(\phi, \phi’)2(\pi)d_{6}\pi 2$$= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in^{\mathrm{e}_{2},\mathrm{R}(}}\mathrm{e}\pi=\circ 6_{2})\mathfrak{P}{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{2}}A(\phi, \emptyset’)(\pi)d\mathrm{e}2\pi+{\rm Res}_{6_{2,3}}^{6_{2}}{\rm Res} \mathfrak{P}_{A(2\emptyset}\emptyset\prime \mathrm{e}’)(\pi)$$+{\rm Res}_{\mathrm{e}^{2},\mathfrak{S}_{2}}^{\mathrm{e}_{24}\mathfrak{P}\prime}{\rm Res} A(\phi, \phi)(\pi)$(3.5)$\phi\prime d_{6}\pi$\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathfrak{S}_{3},\mathrm{R}\pi=}\mathrm{e}y63\pi{\rm Res}_{6}\mathfrak{P}A(3)()\emptyset,$

3$$= \lim_{z(\mathrm{e}_{3})arrow o(\mathfrak{S}_{3})}\frac{1}{4\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathfrak{S}_{3}},{\rm Re}\pi=Z(63)([{\rm Res}_{\mathfrak{S}_{3}}\mathfrak{P}A\phi, \phi’)(\pi)+\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathfrak{P}A(3\phi, \emptyset’)(w_{1}\pi)]d\mathrm{e}_{3}\pi$.

$+ \frac{1}{2}{\rm Res}_{\mathrm{e}_{2,3}^{3}\mathfrak{S}_{3}}^{\mathrm{e}\mathfrak{P}\prime}{\rm Res} A(\phi, \phi)(\pi)$(3.6)$\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathrm{e}_{4}},{\rm Re}\pi=y\mathrm{e}4){\rm Res}^{\mathfrak{P}_{A}}\mathfrak{S}_{4}(\phi, \phi’(\pi)d_{\mathfrak{S}}\pi 4$$= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathfrak{S}_{4},\mathrm{R}\pi O}\mathrm{e}=(64)\mathrm{e}_{4}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathfrak{P}_{A}(\emptyset, \emptyset’)(_{T)d_{\mathfrak{S}}\pi}4^{\cdot}$となる (cf. Figure 1, 2). これらの右辺の各項を詳しく計算し, それらの和をとることで次を得る.

定理 32((1)

内積の分解)のとき.

$L^{2}-$$P=P_{\mathit{0}}$$\theta_{\phi}$と$\theta_{\phi’}$の間の$L^{2}-$

内積は次で与えられる.

$( \theta_{\emptyset}, \theta_{\phi}’\rangle L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))=(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}})^{2}\int_{\pi\epsilon \mathfrak{P}\mathrm{e}\pi},\mathrm{R}=0)A(\phi, \phi’)(\pi d\pi$$+ \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathfrak{S}_{1},\mathrm{R}}\mathrm{e}\pi=\mathrm{o}(6_{1}){\rm Res}_{6_{1}}^{\mathfrak{P}_{A(\emptyset}},$ $\phi’)(\pi)d\mathfrak{S}_{1}\pi$$\emptyset)(\pi)d\mathrm{e}_{2}\pi$$+ \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi}\in \mathfrak{S}_{2},{\rm Re}\pi=o(6_{2}){\rm Res}_{6_{2}}^{\mathfrak{P}_{A(}\prime}\emptyset,$$+ \lim_{3()}\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in}z(6_{3})arrow O66_{3},{\rm Re}\pi=z\mathrm{t}\mathfrak{S}3)\frac{1}{2}\sum_{w=1,w1}{\rm Res}^{\mathfrak{P}}\mathrm{e}_{3}^{A(}\emptyset,$$\emptyset’)(w\pi)d_{\mathfrak{S}_{3}}\pi$144$U(2,2)$ の留数スペクトル$+ \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in 6_{4},{\rm Re}}\pi=\circ \mathrm{t}6_{4}){\rm Res}_{6_{4}}^{\mathfrak{P}_{A}\prime}(\emptyset, \phi)(\pi)d_{\mathfrak{S}_{4}}\pi$

(3.7)

+2

$c_{k}c_{k^{\prime(}}N(w2, w_{12}ww1\mathfrak{S}_{1,2})M(w1w2, w1\mathfrak{S}_{1},2)N(w1, \mathfrak{S}1,2)\phi(\mathfrak{S}1,2),$ $\phi’(-w_{-\overline{\mathfrak{S}}))}1,2$$(3.8)$$+4c_{k}^{2},\{N(w1, w_{2}w1\mathrm{e}1,3)M(W2, w_{1}\mathfrak{S}_{1,3})N(w_{1}, \mathfrak{S}1,3)\phi(\mathfrak{S}_{1},3),$ $\phi’(-w-\overline{\mathfrak{S}}1,3))$(3.9)$+4c_{k}^{2},$$[(N(w_{2}, w_{1}w2\ominus_{2,4})M(w1, w2\mathfrak{S}_{2,4})N(w_{2}, \mathfrak{S}_{2,4})\phi(\mathrm{e}2,4),$$\phi’(-w_{21}ww2\overline{\mathfrak{S}}2,4))$,$+\langle M(w1, w2^{W}1w_{2}\mathfrak{S}2,4)N(w2, w_{1}w2\mathfrak{S}_{2,4})M(w_{1}, w2\mathfrak{S}_{2,4})N(w_{2}, \mathrm{e}2,4)\emptyset(\mathfrak{S}2,4)$$\phi’(-w_{-}\overline{\mathfrak{S}}2,4))]$

但し (3.9) で$\mathfrak{S}_{2,4}\neq \mathfrak{S}_{2,3}$.

.

(2) $P=P_{1}$ のとき,$\langle\theta_{\emptyset},$$\theta_{\phi}’)L^{2}\mathrm{t}c\langle k)\backslash G(\mathrm{A}))=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in}\mathfrak{P},{\rm Re}\pi=0)A(\phi, \emptyset’)(\pi d\pi$(3.10)$+c_{1}\{N(w(P1), \mathfrak{S}(P_{1}))\phi(\mathfrak{S}(P_{1})),$$\phi’(-w(P1)\overline{\mathfrak{S}(P_{1})}))$.

(9) $P=P_{2}$ のとき.
$( \theta_{\phi}, \theta\emptyset’\rangle L2(c(k)\backslash G(\mathrm{A}))=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\pi\in \mathfrak{P}{\rm Re}\pi=0},A(\phi, \phi’)(\pi)d\pi$(3.11)$+c_{2}\langle N(w(P2), \mathfrak{S}(P2, \eta k’/k))\emptyset(\mathfrak{S}(P_{2}, \eta k’/k)),$ $\phi’(-w(P_{2})\overline{\mathfrak{S}(P2,\eta_{k’/k})}))$(3.12)$+\mathrm{c}_{2}’\{N(w(P2), \mathrm{e}(P2,1))\emptyset(\mathfrak{S}(P_{2},1)),$ $\phi’(-w(P2)\overline{\mathfrak{S}(P2,1)})\rangle$

3.2

留数スペクトルの決定定理 32 の内積公式の各項のうち, 離散的な内積を表す (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) それに (3.12) が留数スペクトルの内積を与えている. 従ってそれらの項の中の intertwining 作
用素たちの像が留数スペクトルを与える.
(3.9), (3.10), (3.11) それに (3.12) については, intertwining 作用素を各素点での局所的な intertwining 作用素の tensor 積に分解し Langlands 分類を適用することにより, 像そのものが既約であることがわかる. これらは定理 2.1 の (3), (4) それに (5) の寄与を与えている.

項 (3.7) と (3.8) については, ある$\mathfrak{S}_{1,2}=\chi||_{\mathrm{A}_{k}}^{3/2},$$\mathrm{A}_{k}^{\mathrm{x}},/k^{\prime\cross}$$(\chi|_{\mathrm{A}^{\mathrm{X}}}=1)$$\otimes x||_{\mathrm{A}_{k}}^{1/2},$
$,$

,

の指標

$\chi$

of$\mathrm{A}_{k}^{\mathrm{x}},/k^{\prime\cross}$$\mathfrak{S}_{1,3}=\chi||_{\mathrm{A}_{k’}}\otimes\chi,$

を使って$(\chi|_{\mathrm{A}^{\mathrm{X}}}=\eta_{k’/k})$と書けることに注意する. また $w_{-}=(w_{2}w_{1}w_{2})w_{1}$ と,${\rm Im} N(w_{1}, \mathfrak{S}_{1,2})=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P_{1(}}^{G(}[\mathrm{A})\mathrm{A})(x\mathrm{o}\det)|\det|_{\mathrm{A}_{k}}, \otimes 1_{U_{1}\mathrm{t}^{\mathrm{A}})}]$${\rm Im} N(w1, \mathfrak{S}_{1},3)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{P_{1}(\mathrm{A}}^{G}\langle \mathrm{A})[)(x\mathrm{o}\det)|\det|_{\mathrm{A}_{k}}^{1/2}, \otimes 1_{U_{1}\{\mathrm{A})}]$

145
今野拓也

から, 決定すべきはる. 対応する各素点
これからまずからの退化主系列表現上の intertwining 作用素の像の既約分解であでの局所成分の既約分解は [K-S] 及び [Le], [Le-Z] で決定されている.
が定理 2.1 の (1) の既約表現たちからなっていることがわか$P_{1}$$v$${\rm Im} N(w-, \mathfrak{S}_{1,2})$る.

を考える. 局所成分の既約成分は上のの unitary 群 $U(V_{v})$ の単位表現からの -lift たち
Hermite 形式付き空間である. このような Hermite 形式付き空間の coherent な族砿 $=\{V_{v}\}_{v}$ に対しての既約で smooth な表現 $R(V_{\mathrm{A},x}):=\otimes_{v}R(V_{v}, x_{v})$ が得られる. このを扱
うには generalized Whittaker model を使う (cf. [K-R-S] \S 2).
の指標はある $k’-$ 係数の Hermite 行列
を使って
次に
1 次元の

${\rm Im} N(w_{1}, \mathrm{e}_{1,3})$${\rm Im} N(w_{1}, (\mathfrak{S}_{1,3})_{v})$$k^{j}\otimes_{k}k_{v}$$V_{v}$$\theta$$R(V_{v}, \chi_{v})$$G(\mathrm{A})$$R(V_{\mathrm{A},x})$$U_{1}(\mathrm{A})/U_{1}(k)$$\beta$$\psi_{\beta}$:$U_{1}(\mathrm{A})\ni u(B)arrow\psi(\mathrm{t}\mathrm{r}(B\beta))\in \mathbb{C}^{1}$,と書ける. 我々の目的には $\det\beta\neq 0$ となるのみを考えれば十分である. このとき既約での generalized Whittaker functional の空間をの表現
smooth な$\psi_{\beta}$$(\pi, V_{\pi})$$G(\mathrm{A})$$\mathcal{W}_{\beta}(\pi):=\{L:V8R\text{形}\mathrm{g}\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow \mathbb{C}|(\mathrm{i}(\mathrm{i}\mathrm{i}))\mathcal{L}(\pi(u\mathcal{L}(d\pi(^{)f}X)f)=^{\psi})=d\psi_{\beta}\beta(u)\mathcal{L}(f),\forall u\in U(X)\mathcal{L}(f),\forall x^{1}(\in \mathrm{L}\mathrm{A}_{f})\mathrm{i}\mathrm{e}U_{1}(\mathrm{A}\infty)\}$と定義する.

$(\pi, V_{\pi})$が保型表現の場合には各 $f\in V_{\pi}$ に対してその$\beta$-th Fourier 係数が$W_{\beta}(f)(g):= \int_{U_{1}\langle k)}\backslash U_{1}(\mathrm{A})f(ug)\overline{\psi\beta(u)}du$で定義され, 特に Whittaker functional与えられることに注意する. このとき重要な事実は$W\rho\in \mathcal{W}_{\beta}(\pi)$$R(V_{\mathrm{A}x},)$から$L^{2}(G(k)\backslash G(\mathrm{A}))$

係数の Hermite 行列

これからまず,$R(V_{\mathrm{A},x})$$\beta$が砿 $\ni farrow W\rho(f)(1)\in \mathbb{C}$ によってへの intertwining map $D$ がすべての可逆な $k’-$に対して $W_{\beta}\circ D=0$ を満たせば $D=0$ .

の留数スペクトルでの重複度が高々 1 であることがわかる (inter-

twining map の空間が 1 次元であることを示す). さらに Weil 表現の具体的な式と組み合上の Hermite 空間から来ていないときにはわせれば砿がは保型形式の空間に寄与しないこともわかる. 最後にが上の Hermite 空間から来ている場合にが実際に留数スペクトルに現れることは, 積分を使って intertwining map を作$k’$$V_{\mathrm{A}}$$R(V_{\mathrm{A},x})$$L^{2}-$$R(V_{\mathrm{A}x},)$$k’$$\theta-$って証明する.

References[G-PS]

S. Gelbert and I. I. Piatetskii-Shapiro, Automorphic forms and -functions forthe unitary group, in Lie Group Representations II, LNM 1041, Springer-Verlag,
1984, pp. 141-184.

[H-L-R]

G. Harder, R. P. Langlands and M. Rapoport, Algebraische Zyklen auf HilbertBrumenthal-Fl\"achen, J. reine angew. Math. 366 (1986), pp. 53-120.

[J-L]

H. Jacquet and R. P. Langlands, Automorphic Forms on $GL(2)$ , LNM 114,
Springer (1970).

$L$

146
$U(2,2)$ の留数スペクトル[Kol], to appear in Comp. Math.
H. Kim, The residual spectrum of.
T. Kon-no, The residual spectrum of $U(2,2)$ , thesis.

[Ko2]

–,

[Ki]

$Sp_{4}$

The residual spectrum of $Sp(2)$ , preprint.

-function for $Sp(2)$ ,[K-R-S]

S. S. Kudla, S. Rallis and D. Soudry, On the degree 5
Invent. math. 107 (1992), pp. 483-541.

[K-S]

S. S. Kudla and W. J. Sweet, Jr., Degenerate principal series representations
for $U(n, n)$ , preprint.

[La]

R. P. Langlands, On the Functional Equations Satisfied by Eisenstein Series,
LNM 544, Springer.

[L-L]

J-P. Labesse and R. P. Langlands,
Math. 31 (1979), pp. 726-785.

[Le]

Soo Teck Lee, On some degenerate principal series representations of $U(n, n)$ ,J. Funct. Anal. 126 (1994), pp. 305-366.

[Le-Z]–and Chen-bo Zhu, Degenerate principal series and local theta correspondence, preprint, National Univ. of Singapore.

[Shl]

F. Shahidi, A proof of Langlands’ conjecture on Plancherel measures; Complementary series for -adic groups, Ann. of Math. 132 (1990), pp. 273-330.
$p$

$L$

$L$

-indistinguishability for $SL(2)$ , Can. J.