数理解析研究所講究録 1290 巻 2002 年 83-94

83

ISOVARIANT MAPS BETWEEN REPRESENTATION SPACES

大阪大学大学院理学研究科・長崎生光 (Ikumitsu Nagasaki)

Department of Mathematics, Graduate School of Science

Osaka University

1. 序

Borsuk-Ulam の定理は, 変換群の立場からは次のように述べられる.
定理 1.1(Borsuk-Ulam の定理). 位数 2 の巡回群

しているとする. このとき連続$C_{2}$$C_{2}$

が球面$S^{n},$$S^{m}$に対心的に作用

同変写像 $f$ : $S^{n}arrow S^{m}$ が存在するならば, $n\leq m$が成り立つ.

Borsuk-Ulam の定理は様々な拡張が知られているが, A. G. Wasserman [5] は上のが isovariant であることに注目し, Borsuk-Ulam の定同変写像 :$C_{2}$$f$$S^{n}arrow S^{m}$

理の isovariant version を考察した. その結果の一つは, 次のように述べられる.

定理 L2 (Isovariant Borsuk-Ulam 定理). $G$ をコンパクト・可解り一群とする. 表

現空間の間の連続 $G$-isovariant 写像 $f$ : $Varrow W$ が存在するならば, 不等式$\dim$

V-dim $V^{G}\leq\dim$ W-dim$W^{G}$

が成り立つ.

Remark. 一般のコンパクト. ) 一群で上の不等式が成り立つかどうかは, 未解決$|$問題である. しかし, 上より弱い形 (弱 Isovariant Borsuk-Ulam 定理) であれば一般に成り立つ. その詳細は [3] で論じられる.
上の定理は, 不動点集合の余次元の間の不等式が $G$-isovariant 写像 $f$ : $Varrow W$の存在性の一つの障害であることを言っている. これ以外に何か障害があるのだろ
2000 Mathematics Subject Classification.
.
Key words and phrases. Borsuk-Ulam theorem, isovariant map, representation.
$57\mathrm{S}17,55\mathrm{M}20$

84
うか ? この小論では,Isovariant Borsuk-Ulam 定理の逆を考察したい.

に,$G$-isovariant 写像の定義を思い出しておこう.

$Xarrow Y$ とは,$x$

このような問題意識のもと, 群 $G$ が有限アーベル群の場合$G_{x}=G_{f(x)}(\forall x\in X)$$G$

空間の間の G-isovariant 写像 $f$ :が成り立つ $G$ 同変写像のことである. (のアイソトロピー群を表す.) 以後, 写像はすべて連続性を仮定する.

可解群とし,

$W$

$V,$

$G$

$G_{x}$

はを有限

を $G$ の直交表現空間とする. (混乱のおそれがなければ直交表

現空間を単に表現という.): $Varrow W$ は -isovariant 写像とする. 容易にわかる
$G$

$f$

ように, 任意の部分群の組 $H,$ $K(H\triangleleft K)$ に対して,$K/H$ -isovariant 写像と見なすことができる$f^{H}$: $V^{H}arrow W^{H}$ は自然に

(補題 2.1 参照). したがって, 定理 L2から, 次の不等式を得る.
$(C_{V,W})$:$\dim V^{H}-\dim V^{K}\leq\dim W^{H}-\dim W^{K}(\forall H\triangleleft\forall K)$.

Isovariant Borsuk-Ulam 定理の逆問題をここでは次のように定式化する.
問題 A. $G$ は可解群とする. 表現 $V,$ $W$ が条件 $(C_{V,W})$ をみたすならば,

G-isovariant

写像 $f$ : $Varrow W$ は存在するか ?
この問題は完全には解決されていないが, ある種のアーベル群については, 肯定的な解答をもつ. たとえば,
定理 26. $G$ はアーベル$G$-isovariant 写像

$f$

$p$

\S 2 で次のことが示される.

群とする. 表現 $V,$ $W$ が条件 $(C_{V,W})$ をみたすならば,: $Varrow W$ が存在する.

アーベル $p$ 群以外でも問題 A が肯定的である群が存在する.

場合には河野 [2] によって示されたが, 位数が($p,$$p^{n}q^{m}$$q$

ユニタリー表現のは異なる素数) の巡回群

がそのような例であることを \S 3 で示す.

2. アーベル 群の場合
$p$はじめに isovariant 写像について基本的なことを述べておく. 証明はいずれも容易である.

補題 2.1.

$G$は有限群とする.

(1)

れる写像

$G$

-isovariant 写像$\mathrm{R}\epsilon \mathrm{s}_{H}f$$f^{H}$: $Xarrow Y$ の作用を部分群 $H$ に制限して得らは $H$ -isovariant である.

(2) $H$ は正規部分群とする.
制限写像

$f$

$G$

-isovariant 写像$f$: $Xarrow Y$ の $H$ 不動点集合への: $X^{H}arrow Y^{H}$ は $G/H$-isovariant である.

85(3) $H$ は正規部分群とし, 9: $X^{H}arrow Y^{H}$ が $G/H$ -isovariant とする. 射影 $Garrow$$G/H$ によりを空間とみたとき, 9 は -isovariant 写像である.

(4)

:

$f$

$X^{H},$$Y^{H}$と:$X_{1}arrow Y_{1}$$Y_{1}\cross Y_{2},$$g$が $G$ -isovariant ならば,

$X_{2}arrow Y_{2}$$f\cross g$$f*g$ : $X_{1}*X_{2}arrow Y_{1}*Y_{2}$ も $G$ -isovariant である.

任意の $G$ 表現 $V$ に対して,
$V$

$G$

$G$

$V_{G}$

により$V^{G}$:$X_{1}\cross X_{2}arrow$( は結を表す.)$*$の直交補表現を表そう. また $S(V)$ はの単位球面を表す.

補題 22. $V,$ $W$ を $G$ 表現とする. 次の命題は互いに同値である.

(1)

$G$

-isovariant 写像$f$: $Varrow W$ が存在する.

(2)

$G$

-isovariant 写像

$f$

:

(3)

$G$

-isovariant 写像$f$: $S(V)arrow S(W)$ が存在する.

(4)

$G$

-isovariant 写像$f$: $S(V_{G})arrow S(W_{G})$ が存在する.

$V_{G}arrow W_{G}$が存在する.

証明. (1) $\Rightarrow(2):i$ : $V_{G}arrow V$ を包含写像,
像 は明らかに $G$-isovariant ある.
$i$

$G$

-isovariant であることがわかる.

$G$-isovariant となる.

$p$

: $Warrow W_{G}$ を射影とする. 包含写

また $G$ が $W^{G}$ 上自明に作用することから$p$もしたがって合成写像 $p\circ f\circ i$ : $V_{G}arrow W_{G}$ は(2) $\Rightarrow(4):(V_{G})^{G}=(W_{G})^{G}=0$ かつ $f^{-1}(0)=\{0\}$ であるので,$G$-isovariant 写

像 $g:S(V_{G})arrow S(W_{G})$ が $g(x)=f(x)/||f(x)||$ (こよって定義できる.

(4) $\Rightarrow(3):g$ : $S(V^{G})arrow S(W^{G})$ を任意の連続写像とする.
ているので 9 は $G$-isovariant である.
$S(W_{G})*S(W^{G})\cong S(W)$ は $G$

は自明に作用し$G$

このとき $f*g$ : $S(V)\cong S(V_{G})*S(V^{G})arrow$-isovariant 写像となる. (3)$\Rightarrow(1):f$: $S(V)arrow S(W)$の開錐をとることにより $G$-isovariant 写像 $\tilde{f}:Varrow W$ が得られる.
以後この節では,$G$

は有限アーベル群とする.

思い出しておこう.

$V$

は $G$ 表現とし,$G$$V\cong V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdot’\cdot\cdot\oplus V_{r}$を既約分解とする.

任意の部分群 $H$ に$V_{i}$は (実)1 または 2 次元である.

$V(H)=\oplus_{i:\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}V\cdot=H}.V_{i}$

とおく.

ここで

はアーベル群なので, 各対して,表現論からよく知られた事実を$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}$V4 は表現準同型$\rho_{V}\dot{.}$: $Garrow O(n)$( $n=1$ or 2) の核である. 核が自明のとき, その表現は忠実であるという. つぎのことはよく知られている.

補題 23. $V$ は $G$ の既約表現とする.

(1) $G/K$ は巡回群である.

$K=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}V$

とおく.

86
(2) $V^{K}(=V)$ は忠実な既約 $G/K$ 表現である. 逆に
ならば,
る.

$U$

が忠実な既約 $G/K$ 表現

射影 $Garrow G/K$ を通して $U$ は核 $K$ をもつ既約 $G$ 表現とみなされしたがって, 核 $K$ をもつ既約 $G$ 表現と忠実な既約 $G/K$ 表現の間に 1対 1 対応がある.

補題 23 からもわかるようにアーベル群の表現は本質的に巡回群の表現に帰着される. そこで位数 $n$ の巡回群

元を

$g$

とする. ユニタリー表現とにより定義される.
が$C_{n}$$C_{n}$の既約表現について思い出しておこう.
$U_{i}(=\mathbb{C})$が$g$$C_{n}$の作用を $gz=\xi^{i}z(z\in \mathbb{C})$ とするこ

ここで $\xi=\exp(2\pi\sqrt{-1}/n)$ である.

この $U_{i}(0\leq i\leq n-1)$のすべての (互いに異なる) 既約なユニタリー表現である. 基礎体を限すると, 直交表現が得られる. (ただし, 既約になるとは限らない.)
現も同じ記号$U_{\dot{\mathrm{t}}}$$1\leq i\leq[(n-1)/2]$ ならば,で表すことにする.

しても既約であり互いに異なる. また直交表現として$U_{i}\cong U_{n-i}$(後者は が偶数の場合) は直交表現として既約ではない. 実際$n$$U_{n/2}\cong 2\mathbb{R}^{-}:=\mathbb{R}^{-}\oplus \mathbb{R}^{-}$となってる. ここで

1 次元表現をあらわす (i.e.,$g$は$\mathbb{R}^{-}$$\mathbb{R}$$U_{i}$$U_{i}$

が忠実になるのは$i$$\mathbb{R}$

に制

この直交表

は直交表現とである.

$U_{0},$$U_{n/2}$$U_{0}\cong 2\mathbb{R}:=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}$は白明な 1 次元表現,

上 $gx=-x$ で作用する).

であることに注意しておこう. 特に

の生成

また,

$\mathbb{R}^{-}$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}$

,

は非自明な

Ui\cong C。,0と $n$ が互いに素である

ことが必要十分である.

isovariant 写像の存在について, つぎのことは基本的である.
補題 24. $V$ と $W$ は同じ核をもつ既約像$f$$C_{n}$

表現とする.

そのとき$C_{n}$-isovariant 写: $Varrow W$ が存在する.

証明. $V,$ $U$ が自明表現のときは明らかである. 非自明の場合, 補題 2.1,
$V$と $W$ は忠実としてよい.

と素), $n=2$ のときは,したがって $n\neq 2$ のときは,$V=W=\mathbb{R}^{-}$

写像 $f$ :実際,$U_{i}arrow U_{j}$$C_{n}$$U_{i}-\{0\}$$V=U_{i},$ $W=U_{j}(i,$ $j$としてよい. 前者の場合,像がつぎのようにして構成できる. 正整数$k$で$ik\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$

を $f(z)=z^{kj}$ として定義する.

$C_{n}$

場合は恒等写像をとればよい.

は $n$-isovariant 写となるものをとる.

このとき $f$ は isovariant である.

同変写像であることと $f^{-1}(0)=\{0\}$ であることは容易にわかる.

と $U_{j}-\{0\}$ 上に自由に作用しているので,

23 より

$f$

は isovariant である.

$C_{n}$

は

後者の

87
$G$

がアーベル群のとき,$D$

を $G/H$ が巡回群となる部分群 $H$ 全体の集合とする.

補題 2.3 (1) より $V=\oplus_{H\in D}V(H)$ となる. (ただし $V(H)=0$ となることもあり
うる. )補題 2.4 からつぎのことがわかる.
命題 2.5. $G$ はアーベル群とし,
て,

$V,$

$W$

は $G$ 表現とする. 各 $H\in D-\{G\}$ につい$\dim V(H)\leq\dim W(H)$ が成り立てば,$G$-isovariant 写像$f$: $Varrow W$ が存在する.
証明. 補題 2.1(4) より, $V(H)$ と $W(H)$ の間に $G$-isovariant 写像が存在することを示せば十分である. さらに,で, 補題 2.1(3),2.3 より,$V(H),$ $W(H)$ は核 $H$ をもつ既約表現の直和であるの
$G$

が巡回群

$C_{n}$

で $H=1$ の場合を考えれば十分である.

このとき市 m $V(1)\leq\dim W(1)$ であるので, 補題 2.4 を用いると $V(1)$ から $W(1)$への間の$C_{n}$-isovariant 写像が構成できる.

次に序で述べた次の結果を証明しよう.
定理 26. $G$ はアーベル

G-isovariant 写像$f$

証明. 命題 25 より,$p$群とする. 表現 $V,$ $W$ が条件 $(Cv,w)$ をみたすならば,: $Varrow W$ が存在する.
$\dim V(H)\leq\dim W(H)(\forall H\in D-\{G\})$ を示せばよい.

まず任意の $H\in D-\{G\}$ に対して,
実際$K_{1},$$K_{2}$$H$を真に含む最小の部分群 $K$ が存在する.

を $H$ を真に含む極小の部分群とすると, $K_{i}/H(i=1,2)$ は巡回 $p$ 群$G/H$ の部分群であるので,$K_{1}\leq K_{2}$または $K_{1}\geq K_{2}$ が成り立つ.

したがって極小性から $K_{1}=K_{2}$ となる.
$V=\oplus_{H\in D}V(H)$ ,W=\oplus H6っW(H) が条件 $(C_{V,W})$ をみたすとする. $H\in D-\{G\}$を $H$ を真に含む最小の部分群とする.

とし,

$K$

る.

の最 」 {生から $V^{K}=\oplus_{K\leq L}V(L)=\oplus_{H<L}V(L)$ が成り立っ. したがって$K$$\mathit{1}$このとき $V^{H}=\oplus_{H\leq L}V(L)$ であ$\backslash$

市$\mathrm{m}$$V^{H}-\dim V^{K}=\dim V(H)$を得る. 同様に$\dim W^{H}-\dim W^{K}=\dim W(H)$が成り立つ. ゆえに条件 $(C_{V,W})$ より市

ffimark. 上の証明では,$(C_{V,W})$$\mathrm{m}$$V(H)\leq\dim W(H)$ が成り立つ.

より弱い条件 :88$(C_{V,W}’)$: $\dim V^{H}-\dim W^{H}\leq\dim W^{H}-\dim W^{H}$ ( $H<K,$ $K/H$ が素数位数)のみ仮定すれば十分であるが, 容易にわかるように $G$ がアーベル群のとき, 条件と $(C_{V,W}’)$ は同値である.

$(C_{V,W})$

3. 位数が$p^{n}q^{m}$の巡回群の場合

一般には, 条件 $(C_{V,W})$ から $\dim V(H)\leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\cdot W(H)$ は導けない. 例をあげよ
う.

$G$

と,

$V=U_{1}$ ,は位数 $pq$ の巡回群

$C_{pq}$

($p,$

$q$

は相異なる素数) とする.

Up\oplus U。とおく.

$W=$

このとき $V,$$W$

が, $\dim V(1)=\dim U_{1}=2>\dim W(1)=0$ となる.

isovariant 写像は存在する. 実際$C_{pq}$$f$

前節の記号のもは条件 $(C_{V,W})$ をみたす

しかしこの例においても,: $Varrow W$ を $f(z)=(z^{p}, z^{q})$ で定義すると$f$は-isovariant 写像になる ([4]).

$G$はアーベル群とする. $H\in D-\{G\}$ に対して,される核 $H$ をもつ $G$ 表現とする. 同様に
は $G/H\not\cong C_{2}$ のとき, 既約である.

$U_{H}$$U_{H}\cong \mathbb{R}_{H}^{-}\oplus \mathbb{R}_{H}^{-}$$\mathbb{R}^{-}$$U_{H}$

を $G/H$ 表現$U_{1}$から誘導される表現を$G/H\cong C_{2}$から誘導$\mathbb{R}_{H}^{-}$

で表す.

のときは, 直交表現としてと既約分解される. さて, 上で述べた例を位数が$p^{n}q^{m}$のアーベル群の場合に一般化しよう. そのために $W$ 列の概念を導入しておく.
定義.
$W$$\Re_{\mathrm{D}}$.

分群の列 $\{H_{1}, \cdots, H_{r};K_{1}, \cdots, K_{r+1}\}(r\geq 1)$ が $D-\{G\}$ で (長さ

$r$

の)

列であるとは, 次の条件をみたすときをいう :(1)$H_{i}\not\leq H_{j}$かつ $H_{i}\not\geq H_{j}(i\neq j)$ ,(2) $H_{i}<K_{i},$ $H_{i}<K_{i+1}$ で $K_{i}\cap K_{i+1}--H_{i}(\forall i)$ ,(3)$K_{i}/H_{i}$はすべて

命題 3.1. $G$ を位数$p$$p^{n}q^{m}$列とする. そのとき,
$f$

$G$

:

ベキ,

$K_{i+1}/H_{i}$はすべてのアーベル群とする.

$q$

ベキ.

$\{H_{1}, \cdots, H_{r};K_{1}, \cdots, K_{r+1}\}$を $W$-isovariant 写像 :$U_{H_{1}}\oplus\cdots\oplus U_{H_{r}}arrow U_{K_{1}}\oplus\cdots\oplus U_{K_{r+1}}$が存在する.

証明のために必要な補題をいくつか準備する.
補題 3.2. $G$ を位数$\{G\}$の(1)$\nu V$$p^{n}q^{m}$

列とする.

$K_{i}\not\leq K_{j}$のアーベル群とする.

このとき以下が成り立つ.

かつ $K_{i}\not\geq K_{j}(i\neq j)$ .

$\{H_{1}, \cdots, H_{r}; K_{1}, \cdots, K_{r+1}\}$は $D-$

89(2) 任意の意の$H_{i_{1}},$$K_{i_{1}},$$\ldots,$$H_{i_{k}}(1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq r)$

に対して,

に対して,

$K_{i_{k}}(1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq r+1)$$\ldots,$$\bigcap_{s}H_{i_{\epsilon}}=H_{i_{1}}\cap H_{i_{k}}$. 任.

$\bigcap_{s}K_{i_{\partial}}=K_{i_{1}}\cap K_{i_{k}}$(3) $H_{i}\cap H_{j}\in D(i<j)$ .
(4) $K_{i}\cap K_{j}=H_{i}\cap H_{j-1}(i<j)$ .
証明. (1): $W$ の定義 (2) から明らかである.

(2):
$H$

$G_{l}$

で $G$ のシロー$l$

群 ( $l=p$ or ) を表す.
$q$は $H_{p}\cross H_{q}$ の形に表される.

$K_{\mathrm{i}}/H_{i}$は $p$ ベキ,

$H_{i,q}<K_{i+1,q}$$K_{i+1}/H_{i}$$q$$H_{i}=H_{i,p}\cross H_{i,q},$ベキなので,$K_{i}=K_{i,p}\cross K_{i,q}$,$H_{i,q}<H_{\mathrm{i}+1,q}$

このことから容易に$G_{p}/H_{j,p}$$G_{q}/H_{i,q}$

$G$

の部分群

と表しておく.

,${}_{p}H_{i,q}=K_{i},,$${}_{q}H_{i,p}=K_{i+1,p}$$H_{i,p}<K_{i},,$,$K_{i,p}>K_{i+1,p}$$\bigcap_{s}H_{i_{\epsilon}}=H_{i_{1}}\cap H_{i_{k}},$,$K_{i,q}.<K_{i+1,q}$$\bigcap_{\iota}sK_{i_{*}}=K_{i_{1}}\cap K_{i_{k}}$(3): 上の包含関係から $H_{i}\cap H_{j}=H_{j,p}\cross H_{i,q}$ となる.
ので,

となる.

が従う. ゆえに,$H_{i,p}>H_{i+1,p}$

がわかる.

は

$G=G_{p}\cross G_{q}$$G/H_{i}$と $G_{q}/H_{i,q}$ も巡回群である、 したがって,が従う.

と $G/H_{j}$ は巡回群な$G/H_{i}\cap H_{j}\cong G_{p}/H_{j,p}\cross$は巡回群となる.

(4): 同様にして,$K_{i}\cap K_{j}--K_{j,p}\cross K_{i,q}$

立つ. (2) の証囮でみたように,.

$K_{i}\cap K_{j}=H_{i}\cap$ $H_{j-1}$

かつ $H_{i}\cap H_{j-1}=H_{j-1,p}\cross H_{i,q}$ が成り$K_{j,p}=H_{j-1,p}$および $K_{i,p}=H_{i,q}$ である. ゆえに,である.

補題 3.3. $V=U_{L_{1}}\oplus\cdots\oplus U_{L_{r}}(L_{i}\in D-\{G\})$ とする. 任意の $z=(z_{1}, \ldots, z_{r})\in V$

でのアイソトロピー群$G_{z}$

は $G_{z}= \bigcap_{i:z}:\neq 0L_{i}$ となる.

証明. $z_{i}\neq 0$ のとき $G_{z_{i}}=L_{i}$ であり,

$z_{i}=0$ のとき $G_{z}\dot{.}=G$

である.

.

$G_{z}= \bigcap_{i}G_{z_{*}}$

なので結果が従う.
命題 3.1 を証明しよう.
命題 3.1 の証明. $a_{i}=|K_{i}/H_{i}|,$ $b_{i}=|K_{i+1}/H_{i}|$ とおく. 果と $b_{i}(1\leq i\leq r)$ は互いに素であることに注意する.

写像 $f$ を$f(z_{1}, \ldots, z_{r})=(z_{1}^{a_{1}}, z_{1}^{b_{1}}+z_{2}^{a_{2}}, \ldots, z_{r-1}^{b_{r-1}}+z_{r}^{a_{r}}, z_{r}^{b_{r}})$により定義する.

この写像が isovariant であることを示す. 写像$h_{k}$: $U_{H}arrow U_{K;}f(z)=z^{k}$

90( $H<K$ in $D-\{G\},$ $k=|K/H|$ ) は同変であることから$V=U_{H_{1}}\oplus\cdots\oplus U_{H_{r}},$

意の元とする.

とおく.

$W=U_{K_{1}}\oplus\cdots\oplus U_{K_{r+1}}$$s=$ 而 $\mathrm{n}\{i|z_{i}\neq 0\}$ ,$f$$z=(z_{1}, \ldots, z_{r})$とおく.

$t= \max\{i|z_{i}\neq 0\}$は同変写像である.
を $V$ の任このとき $f(z)$ は$f(z)=(0, \ldots, 0, z_{s}^{a_{\epsilon}}, z_{s}^{b_{\theta}}+z_{s+1}^{a_{s+1}}, \ldots, z_{t-1}^{b_{t-1}}+z_{t}^{a}, {}^{t}z_{t}^{b_{t}}, 0, \ldots, 0)$となる. 補題 32 (2),

3.3 より,$G_{z}=H_{s}$ ロ $H_{t}$と $G_{f(z)}= \bigcap_{s\leq i\leq t+1}G_{z_{i}}=K_{s}\cap K_{t+1}$がわかる. したがって補題 3.2 (4) より $G_{z}=G_{f(z)}$ となる. すなわち $f$ は isovariant

写像である.
上で構成された $f$ を基本 isovariant 写像と呼ぼう.
表現 $V,$ $W$ は条件 $(C_{V,W})$ をみたすものとする.
存在性を考察するために,
より $V^{G}=W^{G}=$.

ならば,

$W$

から $W$ への isovariant 写像のをより簡単な状況に帰着させよう. まず補題 22としてよい. $\alpha(H)=\dim W(H)-\dim V(H)$ とおく.

$0$$\alpha(H).\geq 0$$V(H)$ から $W(H)$ の部分表現 $W’(\dim V(H)=\dim W’)$ への isovariant 写像が存在する.
ている.

$V,$

$V$

このとき $\overline{V}:=V-V(H),$ $\overline{W}:=W-W’$ は条件

したがって isovariant 写像$\overline{f}$:$\overline{V}arrow\overline{W}$$(C_{\overline{V},\overline{W}})$をみたしの存在が言えれば, 写像の直和を考えることによって isovariant 写像 $f$ : $Varrow W$ の存在が言える. 同様に $\alpha(H)<0$

であれば,$V(H)$ の部分表現 $V’(\dim V’=\dim W(H))$ から $W(H)$ への isovariant

写像が存在し,て,$V,$ $W$$\overline{V}:=V-V’,$ $\overline{W}:=W-W(H)$は条件$(C_{\overline{V},\overline{W}})$

をみたす.

したがっ

として, 次の条件をみたすものを考えれば十分である.

(D) 各 $H$ に対して, (1) $V(H)=0,$ $W(H)\neq 0,$ (2) $V(H)\neq 0,$ $W(H)=0$ または (3) $V(H)=0,$ $W(H)=0$ .

さらに, 補題 2.4 より(E) $G/H\neq C_{2}$ のとき,
$C_{2}$$\mathcal{E}_{+}$のときは,$V(H)=a_{H}U_{H},$$V(H)=a_{H}\mathbb{R}_{H}^{-},$$W(H)=b_{H}U_{H}$ としてよい.

$W(H)=b_{H}\mathbb{R}_{H}^{-}$

を $\alpha(H)>0$ をみたす部分群 $H$ 全体の集合,$\mathcal{E}_{-}$$(G/H=$となる.)は $\alpha(H)<0$ をみたす部分群全体の集合とする.

$H$

以後, 巡回群 $G=C_{p^{n}q^{m}}$ ($p,$$q$は異なる素数,$m,$ $n\geq 1$) の場合を考えよう.

この場合は, 問題 A は肯定的である. すなわち, 以下の結果が成り立っ.

定理 34. $G$ は位数

ば,

$G$

$p^{n}q^{m}$-isovariant 写像$f$の巡回群とする. 表現 $V,$ $W$ が条件 $(C_{V,W})$ をみたすなら: $Varrow W$ が存在する.

91
証明のためにいくつかの補題を準備する.
補題 3.5. 条件 $(C_{V,W}),$
群 $K,$$K’\in \mathcal{E}_{+}$

で,$(\mathrm{D})$の下,$\mathcal{E}_{-}$$K/H$ は巡回 $p$ 群,

での極大部分群 $H$ に対して,$K’/H$ は巡回

$q$

$H$

を含む部分

群となるものが存在する.

証明. $L/H\cong C_{l}(l=p, q)$ となる部分群 $L$ をとる. 条件 $(C_{V,W})$ と $H$ の極大性から,$\dim V(H)=\dim V^{H}\leq\dim W^{H}-\dim W^{L}$が得られる.

$l$とは異なる方の素数を

$l’$

とする.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}\cdot(H)=\{M\geq H||M/H|=l^{\prime k}(k\geq 0)\}$

とおく.

$M$

が

$S_{l’}$$(H)$に属するのは,$M\geq H$ かつ $M\not\geq L$ であることが必要十分であることに注意すれば,市$\mathrm{m}$$W^{H}- \dim W^{L}=\sum_{M\in S_{l’}(H)}\dim W(M)$がとなることがわかる.

したがって$\dim V(H)\leq\sum_{M\in S_{l’}(H)}\dim W(M)$$V(H)\neq 0$ なので,.

ある $M\in S_{l’}(H)$ について $W(M)\neq 0$ となる.

この補題から次のことがわかる.
系 36. 条件 $(C_{V,W}),$(1)$(\mathrm{D})$の下,$G/H\not\cong C_{2}(\forall H\in \mathcal{E}_{-})$(2) $V(H)$ は$U_{H}$.

の直和の場合に帰着される. ($(\mathrm{E})$参照.)

また, 次のことにも注意しよう.

補題 3.7. 条件 $(C_{V,W}),$$(\mathrm{D})$の下, $W(H)$ は$U_{H}$の直和の場合に帰着される$(H\in \mathcal{E}_{+})$

証明, $G/H\not\cong C_{2}$ のときは (E) からわかる. $G/H\cong C_{2}(q=2)$ としよう.

き $W(H)\cong b\mathbb{R}_{H}^{-}(b=\dim W(H))$ となっている.
ので $W(H) \cong\frac{b}{2}U_{H}$ となる.

$b$

力埼数のとき,とき $V,$ $W’$ は条件 $(C_{V,W’}’)$ をみたす.

$b$が偶数ならば,$W’=W-\mathbb{R}_{H}^{-}(\subset W)$.

このと$U_{H}\cong 2\mathbb{R}_{H}^{-}$

とおく.

な

この

実際, 任意の $L<K$ に対して, 条件 $(C_{V,W})$より$\dim V^{L}-\dim V^{K}\leq\dim W^{L}-\dim W^{K}$

92$K\leq H$ または $L\not\leq H$ ならば,

となる.

容易に

$\dim W^{L}-\dim W^{K}=\dim W^{\prime L}-\dim W^{\prime K}$

したがって, 条件 $(C_{V.W’})$ をみたす.

であることがわかる.

$L\leq H$ かつ $K\not\leq H$ のとき, $\dim W^{L}-\dim W^{K}$ は奇数であり,
市が成り立っている.

$\mathrm{m}$$W^{L}-\dim W^{K}=\dim W^{\prime L}-\dim W^{\prime K}+1$$\dim V^{L}-\dim V^{K}$ は系

3.6(2) より偶数になるので, $(Cv,w)$ より$\dim V^{L}-\dim V^{K}<$ 市 m $W^{L}-\dim W^{K}$を得る. ゆえに$\dim V^{L}-\dim V^{K}$ く市 m $W^{\prime L}-\dim W^{\prime K}$

このときも条件 $(C_{V,W’})$ をみたしている.

となり,以上のことから, 条件 $(C_{V,W})$ をみたす表現 $V,$ $W$ として, 以下の形の場合を考察すれば十分であることがわかる.
$V=\oplus_{H\in \mathcal{E}_{-}}.V(H)$$\nu V=\oplus_{H\in \mathcal{E}_{+}}W(H)$,$V(H)=a_{H}U_{H}$ ,,$W(H)=b_{H}U_{H}$ .

このような $V,$ $W$ の組を簡約対と呼ぶことにする.

定理 3.4 を示そう.

定理 3.4 の証明. 今までの議論により,$V,$ $W$は簡約対として考えればよい.

このとき isovarinat 写像 $f$ を命題 3.1 の基本 isovariant 写像の直和として構成しよう.

$\dim V$ に関する帰納法で示す$S=\{H_{1}, \ldots, H_{r};K_{1}, \ldots, K_{r+1}\}$(1)$\{H_{1}, \ldots, H_{r}\}\subset \mathcal{E}_{-}$

(2) 各

(3)

$H_{i}$は$\mathcal{E}_{-}$. $V=0$ のときは明らか. 補題 35 より,

列で次の性質をみたすものがとれる.

かつ $\{K_{1}, \ldots, K_{r+1}\}\subset \mathcal{E}_{+}$ ,

:

で極大,

は極大, すなわち , 性質 (1),

$S$

$.W$

(2) をみたし$S$を真に含む $W$ 列は存在しない.
$V’:=\oplus_{i}U_{H}\dot{.},$

存在する.
みたす.

$W’:=\oplus_{i}U_{K_{i}}$$\overline{V}=V-V’,$

とおく. 命題 3.1 より isovariant 写像 $f’$ : $V’arrow W’$ が$\overline{W}=W-W’$

このことは次の補題で示す.

とおく.

このとき

$\overline{V},$$\overline{W}$

したがって isovariant 写像

納法の仮定より存在する. ゆえに isovariant 写像$f:=\overline{f}\oplus f’$は条件$\overline{f}$:$(C_{\overline{V},\overline{W}})$$\overline{V}arrow\overline{W}$が存在する.

をが帰93
補題 3.8.

$\overline{V},$$\overline{W}$は条件$(C_{\overline{V},\overline{W}})$をみたす.

証明. $K/H\cong C_{l}(l=p, q)$ となる部分群 $H<K$ に対して, 条件$(C_{\overline{V},\overline{W}})$の不等式を示せばよい (Q2 の最後の Remark 参照). 同じことなので $l=p$ とする.
$\{H_{1}, \ldots, H_{r}\},$

とおく.

$\mathcal{K}=\{K_{1}, \ldots, K_{r+1}\}$$H=$

とおく. $S_{q}(H)=\{L\leq G|L\geq H, |L/H|=q^{k}\}$以下のことは容易に確かめられる.
$\dim V^{H}-\dim V^{K}=\sum_{L\in S_{q}(H)\cap \mathcal{E}_{-}}\dim V(L)$,$\dim W^{H}-\dim W^{K}=\dim V(L)L\in S_{q}(H)\cap \mathcal{E}_{+}$ ’$\dim V^{\prime H}-\dim V^{\prime K}=\sum_{L\in S_{q}(H)\cap H}\dim U_{L}$$\dim W^{\prime H}-\cdot\dim W^{\prime K}=\sum_{L\in S_{q}(H)\cap \mathcal{K}}\dim U_{L}$,.

条件 $(C_{V,W})$ より$\dim V^{H}-\dim V^{K}\leq\dim W^{H}-\dim W^{K}$が成り立っている.

$C_{p^{n}q^{m}}$の部分群の包含関係をみれば, 次のいずれかが成り立っていることがわかる.

(1) ある が存在して,$i$$S_{q}(H)\cap 7\{=\{H_{i}\},$ $S_{q}(H)\cap \mathcal{K}=\{K_{i+1}\}$(2)$S_{q}(H)\cap \mathcal{H}=\emptyset,$(3)$S_{q}(H)\cap \mathcal{H}=S_{q}(H)\cap \mathcal{K}=\emptyset$$S_{q}(H)\cap \mathcal{K}=\{K_{1}\}$

.

.

.

(1) の場合,$\dim V^{\prime H}-\dim V^{\prime K}=\dim W^{\prime H}-\dim W^{\prime K}(=2)$

したがって$\dim\overline{V}^{H}-\dim\overline{V}^{K}\leq\dim\overline{W}^{H}-\dim\overline{W}^{K}$となる.

(2) の場合,$S_{q}(H)\cap \mathcal{E}_{-}$

は空集合である. 実際, ある $L\in S_{q}(H)\cap \mathcal{E}_{-}$ があったとする. 補題 35 を用いると,$S=\{H_{1}, \ldots, H_{r};K_{1}, \ldots, K_{r+1}\}$を含むより大きな $W$ 列が存在することになり矛盾する.

したがって, $\dim V^{H}-\dim V^{K}=0$ が成り立つ. また$\dim W^{H}-\dim W^{K}\geq 2$ を得る.

$K_{1}\in S_{q}(H)\cap \mathcal{E}_{+}$

より,

一方,

94
$\dim V^{\prime H}-\dim V^{\prime K}=0,$$\dim W^{\prime H}-\dim W^{\prime K}=2\vee \mathrm{C}^{\backslash }\backslash b$$(0=)\dim\overline{V}^{H}-$d而$\overline{V}^{I\acute{\mathrm{t}}}\leq\dim\overline{W}^{H}-$$\hslash^{1[]}\vee\supset$d而$\overline{W}^{K}$が従う.

(3) の場合, 明らかに市$\mathrm{m}$$V^{\prime H}-\dim V^{\prime K}=0,$$\dim W^{\prime H}-\dim W^{\prime K}=0$であるから$\dim\overline{V}^{H}-\dim\overline{V}^{K}\leq\dim\overline{W}^{H}-\dim\overline{W}^{K}$が従う. 以上で証明が終わる.

4. 最後にー\epsilon の他の例と問題
補題 38 は, 非巡回群の場合には一般には成り立たない. したがって定理 3.4 に
おいて $G$ が巡回群でないとき,同様な証明法は通用しない. しかし, 問題 A の反例も現時点では見つかつていない.
問題 A が肯定的なその他のアーベル群の例として$C_{\acute{p}}\cross C_{p}\cross C_{\acute{q}}$

がある.

この

場合は, 一般の位置の議論を援用することにより証明できる. さらに非アーベル群

でも問題 A が肯定的なものがある. その一例は位数数).

$2p^{n}$の二面体群である ( は素$p$

この場合は, 本論で用いたのと同様の議論が通用する.

問題 A が未解決な群のうち最も簡単な群は $G=C_{pqr}(p,$$q$, r&2 互いに異なる素数) であろう. たとえば $V=U_{p}\oplus U_{q}\oplus U_{r},$ $W=U_{1}\oplus U_{pq}\oplus U_{qr}\oplus U_{rp}$ とすると $V$ ,$W$

は条件 $(C_{V,W})$ をみたしている.

このとき

問題. isovariant 写像 $f$ : $Varrow W$ は存在するだろうか ?

REFERENCES[1] T. tom Dieck, Tl.ansformation groups, Walte de Gruyter, Berlin, New York 1987.
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[4] T. Takahara, On the existence of isovariant maps for representations of a cyclic group.

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DEpARTMENT OF MATHEMATICS, GRADUATE SCHOOL OF SCIENCE, OSAKA UNIVERSITY,
TOYONAKA 560-0043OSAKA, JApAN-mail:nagasakiomath.sci.osaka-u. .jp$E$$add\uparrow’ ess$$\mathrm{a}\mathrm{c}$