数学科学習指導案
単元名 「2 次方程式」
令和 2 年 10 月 21 日(水) 第 5 校時
3 年 2 組 指導者 T1 髙木 慎也
T2 稲村 星奈
Ⅰ 単元の構想
1 身につけさせたい資質・能力および生徒の実態
身につけさせたい資質・能力

知識及び技能思考力,判断力,表現力等

生徒( 男 22 名，女 17 名，計 39 名 )の実態
・1 元 1 次方程式を解くことについて，35 名の生徒が正答することができていた。4 名の誤答内容としては，符号に・2 次方程式の必要性と意味及び解の関するものがほとんどであった。
意味の理解
・公式を用いる因数分解について，31 名の生徒が正答する・平方根の考え方や因数分解，解の公ことができていた。誤答については，公式①[𝑥 + (𝑎 +式を用いて 2 次方程式を解く技能𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏)]での符号の間違いと数の組み合わせの間違いが多く見られた。
・既習の知識を基にして2 次方程式を ・1 元 1 次方程式を利用して解く文章問題について，25 名解く方法を考察し，言葉や式で表現の生徒が正答することができていた。不正解であった 14
する力名について，立式で間違えた生徒が 10 名，立式はできて・具体的な場面での問題解決においいたが途中計算で間違えた生徒が 4 名，無回答が 2 名でて 2 次方程式を活用する力あった。立式での誤答が多いことから，文章問題の条件・解決方法や解が問題に適している
内容を理解し，それを式で表す力に課題がある生徒がいかを考察し，判断する力ることが考えられる。

・問題解決に向け，すすんで 2 次方程 ・方程式の学習に意欲的な生徒は 36 名であり，ほとんどの学びに式を活用し，粘り強く取り組む態度生徒が前向きに学習に取り組むことができる。また，多向かう力, ・解決に向かう多様な考えを認めな様な解法を考えることにも意欲的な生徒が多い。しかし，人間性等
がら，よりよく問題解決しようとす意欲はあるが，苦手と捉えている生徒が 16 名いる。特にる態度
文章問題への苦手意識が強い。
2 目標
いろいろな 2 次方程式を解く活動や 2 次方程式を用いる具体的な場面での問題を解決する活動を通し，2 次方程式の必要性を理解し，いろいろな 2 次方程式に対してよりよい解法を選択して解く力を身につけるとともに，問題解決において 2 次方程式を活用しようとする態度を養う。
3 評価規準【知識・技能（ア）】・2 次方程式とその解の意味を理解している。
・因数分解や平方根の考え方，解の公式を使って 2 次方程式を解くことができる。
【思考力・判断力・表現力（イ）】・2 次方程式を解く方法を考察し，言葉や式で表現することができる。
・具体的な場面での問題解決において 2 次方程式を活用することができる。
・解決方法や解が問題に適しているかを考察し，判断することができる。
【主体的に学習に取り組む態度（ウ）】・問題の解決に向けて意欲的に 2 次方程式を活用し，粘り強く取り組むことができる。
・解決に向かう多様な考えを認めながら，よりよく課題解決しようとすることができる。
4 単元計画および指導方針（ 評定に用いる評価は囲い文字 ）
時 過程
学習活動
評価
12・2 次の項を含む方程式について考える。

ウ

指導方針
・本単元の学習の必要性を生徒が感じることができるようにするために，既習の方程式との相違点を考えさせ，そこから生まれる疑問点を挙げさせる。

であ ・2 次方程式を成り立たせる文字の値について ア考える。
う＜単元の課題＞
2 次の項を含む方程式は，今まで習った方程式と同じように解くことができるのだろうか？

3・因数分解を使って，2 次方程式を解く。

ア・次数を下げることで解くという解法の良さを理解することができるようにするために，因数分解を行うことが次数を下げることにつながり，解くことができたということをおさえておく。

4・𝑎𝑥 + 𝑐 = 0 や (𝑥 + 𝑎) = ● の形をした2 次方程式を解く。

ア・平方根の考え方で解く良さに生徒が自発的に気付くことができるようにするために、因数分解を使った解法との比較を行う。

5・𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の形をした 2 次方程式を，(𝑥 + 𝑎) = ● の形に変形して解く。

イ・(𝑥 + 𝑎) = ● への変形の手順に慣れることができるようにするために，意味を理解させるだけでなく繰り返し練習させる。

ウ・解の公式を見出すことができるようにする
ために，3𝑥 + 5𝑥 + 1 = 0 の式の変形と比較させながら，𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の式の変形を行わせる。

6

追究
す ・𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 を (𝑥 + 𝑎) = ● の形にる変形して解き，解の公式を導く。

7・解の公式を使って 2 次方程式を解く。

ア・√ の変形に注意することができるようにするために，√ を変形し忘れた誤答例を板書し，生徒たちに誤りを指摘させる。

8・3 つの解法(因数分解/平方根/解の公式）の中から問題に適した解法を選択して解く。

イ・3 つの解法の中から問題に適した解法を判断できるようにするために，それぞれの解法の長所と短所を考えさせる。

9・いろいろな形をした 2 次方程式を解く。
・係数に文字を含む 2 次方程式について，その文字の値を求める。

10
本時・花壇の通路の幅を求める問題を，2 次方程式を利用して解く。

11・数に関する文章問題を，2 次方程式を利用して解く。

ア
イ・平方の形に変形する解き方が有効な場面に気付くことができるようにするために，𝑥 の係数が大きい 2 次方程式を扱う。

イ・解の吟味の必要性を感じることができるようにするために，解が２つとも答えになる問題と，解が 1 つ不適になる問題の両方を扱い，比較・検討を行う。

イ・解が問題に適しているかを吟味することの必要性をより感じることができるようにするために，数の条件が整数の問題だけでなく自然数の問題も扱う。

ウ

・多様な考え方に触れ数学的な思考力を養う
ために，問題解決への複数の異なる式を提示し，それぞれの式をどのように立てたかを考えさせる。

13・動点に関する問題を，2 次方程式を利用して解く。

イ・表をつくることが数値の変化をつかむために有効であるということに気付かせるために，式での解法だけでなく，表による解法を扱う。

14・単元まとめシートを作成する。

ア
ウ・単元の振り返りができるようにするために，単元まとめシートに本単元での学習内容をまとめさせる。

つか・辺の長さに関する問題を，2 次方程式を利用12 うして解く。

Ⅱ 本時の学習＜ねらい＞
いくつかの図形に関する具体的な問題を 2 次方程式を利用して解きながら，具体的な問題を正しく解くためのポイントを考察する活動を通し，方程式の解が問題の条件に適するかどうかを判断することができるようにする。
指導上の留意点
学習活動
T1T2
1．予習内容（教科書 P.81・Q）を基に，本時のめあてを設定する。(5分）
教科書 ⇒ 東京書籍 新編 新しい数学3 (H27検定済)

Ｔ：今日のめあてはなんだろうか。
Ｓ：応用問題を解く。
Ｓ：図形の文章問題を解く。
Ｔ：解くことができるだけでいいですか。
Ｓ：正しく解くためのポイントを考える。
＜めあて＞
図形に関する文章問題の答えを正しく求めるためのポイントはなんだろうか？

・本時のねらいに迫るた ・的確な個別支援ができめに，解の吟味の必要性 るようにするために，について触れつつ，本時 ノートを確認し生徒ののめあてを設定する。
実態をつかんでおく。

2．図形に関する2つの文章問題を解き，図形に関する文章問題を正しく解くための自分なりのポイントを考える。(30分)(1) 1 辺が 7ｃｍの正方形がある。内部の１点を通って各辺に平行な直線をひき，2 つの正方形をつくり，左上の正方形を A，右下の正方形を B とする。

AA と B の面積の和が 29cm²のとき，A の１辺の長さを求めなさい。

（解答）A の 1 辺の長さを 𝑥 cm とおくとB

𝑥 + (7 − 𝑥) = 29

＜途中式省略＞
𝑥 =2, 𝑥 =5（答え）2cm，5cm

これらは問題に適している。

Ｔ：予習した問題との違いはなんだろうか
・予習した問題との相違 ・解決の進まない生徒に
Ｓ：答えが2つ出たこと点を生徒たちが自発的
対し，予習内容を基に
Ｔ：2つの解を両方とも答えとして採用してに考えることができる
させながら個別支援を本当によいのだろうかようにするために，2つ 行う。
～ペアやグループで相談～の解を両方とも答えに
Ｔ：結論はでましたか。
採用してよい上記(1)の ・生徒のつまずきがどこ
Ｓ：実際に両方の数値で確かめてみると，両方とも問題を扱う。にあるのかを見取り，問題の条件を満たすので，両方とも答えとしてＴ1に伝える。
よい・問題の条件を調べることなく解をそのまま答Ｔ：では，予習した問題との共通点はなんだろうか
えにしている生徒がい
Ｓ：面積に関する問題ということる場合，解の吟味を行
Ｓ：答えを求める際に，解が問題の条件に当てはまうことができるようにるかどうか調べる必要があることするために，左の発問を行う。
(2) 正方形 ABCD の辺 AB 上に点 E があり，AE = 4cm,四角形 BCDE の面積は 63cm²である。

正方形 ABCD の 1 辺の長さを求めなさい。
（解答）正方形の 1 辺の長さを 𝑥 cm とおくとADE

𝑥 = ・4・𝑥 + 63

＜途中式省略＞

BC

𝑥 = −7 , 𝑥 = 9𝑥 = −7 は問題に適していない。𝑥 = 9 は問題に適している。

（答え）9cm

Ｔ：(1)との違いは何だろうか・解が問題に適している ・方程式をたてることがＳ：答えが1つしかないことです
か吟味することの必要できない生徒に対し，
Ｔ：(1)と(2)の共通点はあるだろうか
性を生徒がより実感す
図を用いるなど，問題
Ｓ：面積を求める問題です
ることができるように文の意味が視覚的にわ
Ｓ：条件に注意して解が答えに適しているかを吟味するため，1つの解が不 かるような個別支援をすることです
適になる上記(2)の問題行う。
を扱う。
Ｔ：(1)，(2) の問題解決を通し，文章問題を正しく ・めあてに対するまとめ解くためのポイントは何であると考えられるだを引き出すために左記
ろうかの発問を行う。
3．本時のまとめを記入する。(5分)＜まとめ＞
２つの解が両方とも答えになる場合もあるが，１つの解しかあてはまらないものもある。
どちらにしても，答えを正しく求めるには，解の吟味を行う必要がある。

・板書を基に，本時のめあてに対するまとめを生徒たちと作成する。
・全体でまとめを確認した後，個々にまとめへの付け足しを記述する
時間を確保する。

・生徒のつまずきや誤答がどこにあるのかを見取り，Ｔ1に伝える。
・記入ができない生徒に対し，板書や各自の間違えたところに触れながら，自分のためのまとめを書くことができるように支援する。

4．本時の学習の振り返りとして，適用問題に取り組む。(10分)(☆) 1 辺の長さが 12cm の正方形 ABCD がある。右の図のように，この正方形の 4 つの辺上に AE = BF = CG = DH となるような
点 E,F,G,H をとり，正方形 EFGH をつくる。
正方形 EFGH の面積が 90cm²になるとき，AE の長さを求めなさい。
（答え）3cm , 9cm

H

ADEGB

CF

評価基準 【観点】：思考・判断・表現（イ） 【評価方法】：ノート・発言
図形の面積に関する問題を，2 次方程式を利用し，解が問題の条件に適するかどうかを判断しながら解決することができている。

〈板書計画〉
10/21(水)めあて 図形に関する文章問題の答えを正しく求めるためのポイントはなんだろうか？

(1)

予習（P81.Ｑ）

まとめ 両方とも答えになる場合 ⇔ １つの解のみ答えになる場合＜答えを正しく求めるには，解の吟味を行う必要がある＞

1 辺が 15ｃｍの正方形がある。内部の１点を通って各辺に平行な直線をひき，2 つの正方形をつくり，左上の正方形をA，右下の正方形をB とす(2)

正方形ABCD の辺AB 上に点E があり，AE = 4cm，四角形BCDE の面積は63cm²である。正方形ABCD の1 辺の長さを求めなさい。

る。AとB の面積の和が125cm²のとき，A の１辺の長さを求めなさい。

解

解のの吟

吟

味

味

解が 2 つとも答えになる。

解共通点の吟味

相違点

解の 1 つが不適。