数理解析研究所講究録1039 巻 1998 年 12-19

12

Hlawka の不等式の拡張
九州工業大学
本田あおい (Aoi HONDA), 岡崎悦明 (Yoshiaki OKAZK)
岡山県立大学1 はじめに

本稿では$\mathrm{R}^{\mathfrak{n}}$(またはヒルベルト空間) における Eawka の 3 要素不等式を$L^{1}$

での$\mathrm{n}$要素不等式に拡張する。 この拡張は Htner の不等式に関係がある。 また、別の拡張として、$\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}6$の不等式に関連した$\mathrm{n}$要素不等式への拡張も示す。

Eawka の不等式とは次式である。
$\# x+y+_{Z1+}\# X\#+\# y||+\# z|\geq\# X+_{y\#+}\#\mathcal{Y}^{+_{z\#+}}[z+X\#$

ここで $x_{1}=(x+y)/2,$ $x_{2}=(\mathcal{Y}^{+Z})/2,$ $X_{3}=(z+x)/2$

for$x,$ $y,$$z\in \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$とすると、 次の不等式を得る。

$\geq 2(\# X_{1^{+x_{1}}2^{+_{x_{3}}}}\#+\#+\# x2[+_{1^{x\#)}}\ovalbox{\tt\small REJECT} X_{1^{+}2}x.-x_{3}\mathrm{f}+|x_{1}-3X2+x_{3}|+\ovalbox{\tt\small REJECT}-\chi_{1^{+\chi}2^{+x}3}\mathrm{I}$$\epsilon_{\mathrm{i}}$を Rademacher 列 (各$\epsilon_{\mathrm{i}}$は確率$\frac{1}{2}$で $\pm 1$をとる) とすると上式は$\mathrm{E}|\sum_{\mathrm{i}=_{1}}^{\mathrm{J}}\epsilon_{\mathrm{i}}x_{\mathrm{i}}|\geq\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{i}=1}^{3}\# x\#\mathrm{i}$と書き直せる。

$\mathrm{E}$は$\epsilon_{\mathrm{i}}$についての期待値である。 この拡張として、次の結果を得た。

$\mathrm{E}|_{\mathrm{i}}\sum_{=\iota}^{\mathrm{n}}\epsilon_{\mathrm{i}}X_{\mathrm{i}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\geq\frac{1}{2^{\mathrm{n}- 1}}.$n-${}_{\iota}\mathrm{C}_{[]} \frac{\mathrm{n}}{2}\cdot\sum_{\mathrm{i}=\iota}|x_{\mathrm{i}}\mathrm{n}|$for$x_{1},$$\cdot\cdot;X_{\mathrm{n}}\in \mathrm{L}^{1}$

.

13

ここに定数

$\underline{1}$.

$\mathrm{n}-\iota^{\mathrm{C}}\mathrm{b}^{\mathrm{n}}$$2^{\mathrm{n}- 1}$]

B である。

はAdamovi6 による別の拡張は次式である。

$| \sum_{\mathrm{i}=_{1}}^{\mathrm{n}}x_{\mathrm{i}}|+(\mathrm{n}-2)\sum_{=_{1}\mathrm{i}}|x_{\mathrm{i}}|\mathrm{n}\geq 1\leq \mathrm{J}\sum_{\iota<\mathrm{n}}\#\leq x\mathrm{i}^{+|}x\mathrm{j}$この$\mathrm{n}$要素不等式をバナッハ空間

for$\mathrm{L}^{1}$$x_{\mathrm{n}}\in \mathrm{R}\mathrm{n}$$\ldots,$に拡張する。 すなわち$\mathrm{E}$$|_{\mathrm{i}=} \sum_{1}^{\mathfrak{n}}x_{\mathrm{i}}|+(\mathrm{n}-2)\sum_{1=1}^{\mathrm{n}}|x_{i}|\geq 1\leq 1<_{\mathrm{j}\leq}\sum_{\mathrm{n}}|x\mathrm{i}+X_{\mathrm{j}}\ovalbox{\tt\small REJECT}$が成り立つか ? この不等式は$X_{1},$

for$x_{1},$$x_{\mathrm{n}}\in \mathrm{E}$$\ldots,$

では成り立つ。

2Hlawka の不等式と 3 要素 Hanner の不等式
Theorem 1([1]) Hlawka の不等式$\#\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{Z}[+\#\mathrm{X}\#+\#\mathrm{y}\#+\#\mathrm{z}|\geq\#\mathrm{X}+\mathrm{y}\#+\#\mathrm{y}+\mathrm{z}\#+\#\mathrm{z}+_{\mathrm{X}}|_{X,y,\in \mathrm{R}^{\mathrm{n}}}z$

Hlawka の不等式は因数分解と三角不等式を用いて次のように直接証明できる。

Proof.
$(||x+_{\mathcal{Y}}+\dot{Z}[+1x\#+\mathrm{I}\mathcal{Y}\#+1z\#-1X+y\#-\Uparrow y+Z\#-\# Z+X\#)$$\cross(\# x+_{\mathcal{Y}}+Z\#+\#\chi|+\# y\#+\# Z\#)$($=(\mathrm{I}y\#+1Z\#-\mathrm{I}\mathcal{Y}^{+_{z}[)}$ $\# X$

I$y+Z\#+1x+\mathcal{Y}+_{z}\Downarrow$)$+(|_{Z}[+\#\chi[-\# Z+_{X\#)}(|y\#-\# Z+X\#+\#^{\chi\mp y}+z|]$$1^{+}\Downarrow \mathcal{Y}1-\# x+\mathcal{Y}\#$$+[1^{\chi}\geq 0$)$[\# Z\#-\# x+_{\mathcal{Y}1^{+\#}}\chi+y+_{z}|\mathrm{J}$.

$(S, \Sigma, \mu)$$L^{1}$

を可測空間とする。

$x\in L^{1}$のノルムは$\# x|=\int|x(t)|d\mu(t)$の場合、 要素 Hauer の不等式は次のようになる。
$\mathrm{n}$Theorem 2, Okazaki and Takahashi $[2],[31)$$\alpha \mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}$で与えられる。

14$\mathrm{n}$を自然数、$\epsilon_{1},$$\epsilon_{2’\cdot,,rt}\epsilon$

kg 立な Rademacher 夕’jq

$x_{\iota},$$\chi\in L^{1}$$x_{2’\hslash},..,$とする。 このとき次式が成立する。

$\mathrm{E}|_{\mathrm{I}}\sum_{=1}^{\mathrm{n}}\epsilon_{\mathrm{i}}x_{\mathrm{i}}|\geq \mathrm{E}|_{\mathrm{i}=}\sum_{1}\mathrm{n}\epsilon_{\mathrm{i}}\# X_{\mathrm{i}}||$

$n=3$

1

の場合の Htner の不等式を三角不等式を用いて変形する。

$x_{\iota}+_{X}+x23|+\mathrm{I}x1^{+_{X-}x}23|+|x-1x_{\mathrm{z}}+x_{3}|+[_{-X+xX}123|+$$\geq|\beta x_{\iota}\#+|X_{2}\#+\# X31|+|\# x\# 1+|x12-_{1X|||}3+\# x1\mathrm{I}-\# x2\#+\# X_{3}1|+|-\# X_{1}\#+\#\chi_{2}\#+1x_{3}\#|$$\geq||x_{1}|+|x_{2}\#+\# x_{3}\#+1x_{1}[+1X2|-\# X_{3}\#+|x_{1}\#-\# X_{2}|+[x3[-|_{X}]\#+|_{X_{2}}|+\# x_{3}\#|$$=2(\# X_{1}\#+_{1}x_{2}[+\# x_{3}1)$.

ここで $x=x_{123}+_{X}-x,$ $y=x1-x_{2^{+=}}X_{3},$$z-x_{13}+x_{2}+_{X}$とすると$\# x+y+z|+\# X\#+|_{\mathcal{Y}}\#+[_{Z\Downarrow\geq}\# x+y|+\# y+Z[+\# z+x\#$.

このように Hlawka の不等式は 3 要素 Hrner の不等式 $(L^{1})$ から導くことができる。すなわち Hlawka の不等式は$L^{1}$

で成り立つ。 逆に Hlawka の不等式から次のようにして3 要素 Hrner の不等式を導くことができる。

$[x+y+_{Z}\#+1-X+y+_{Z}\#+\ovalbox{\tt\small REJECT} x-y+Z|+|x+y-z\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\geq|(x+\mathcal{Y}+Z)+(_{X-}y-Z)\ovalbox{\tt\small REJECT}+1(x-y+_{Z})+(\chi+y-z)1$$=||2x|+|2x|=4|x|$$y=-x+y+z,$ $v=x-y+_{z,w=}x+y-z$ として Hlawka の不等式を適用すると$\# x+y+Z1+|-x+y+z|+\mathrm{I}X-y+_{Z}|+|_{X+}y-z|$$=\Uparrow u+v+w\#+\# u|+|\mathcal{V}|+\# w\#$$\geq\# u+v|+\# v+w|+\# w+u\#$$=\# 2z\#+\# 2x\#+\# 2y\#=2(\# X1+\Downarrow y[+_{1\#)}Z$

即ち

15

...

$\# x+y+_{Z}\#+|-x+_{\mathcal{Y}}+_{z}1+|X-y+Z\mathrm{I}^{+}|x+_{y-Z}1$$(*)$$\geq\{_{2}^{4\Downarrow}(|XX\#|+\# y\#+\# Z|)$–方 ‘ 3 要素 Htner の不等式は$\# x_{1}+_{X_{2}}+X_{3}||+\ovalbox{\tt\small REJECT} x_{1}+x2-x3|+|_{X_{1}-}x_{2}+x_{3}$$\geq|\# X_{1}\#+|x_{2}$

トト $X_{1}+X2+x3$ I

円 $x_{3}||+1|x\iota 1^{+}|_{X_{2}}|-1\chi\# 31+1|_{X|}1-\# X21^{+\# x_{3}]}|+|-\mathrm{I}x11+|x_{2}$ 円である。 [ $x_{1}|\geq|x_{2}|\geq|\chi_{3}|$$x_{3}||$

として–般性を失わないので、 左辺は$(\# x_{\iota}\#+\# x21+1X\# 3)+(\# x\# 1\#+X_{2}\mathrm{I}-\# x_{3}[)+([X1[-[X_{2}|+[X3\#\mathrm{I}+|-1X\iota[+\# x_{2}$国$x_{3}||$[+#X2|円 $x_{3}|+|-\mathrm{I}X\iota[+\# X_{2}[+[x|3|$$=3|x_{1}$

次のように場合分けする。
(i)$|X_{1}\Uparrow\geq||x2|+|x_{3}|$のときright-hand side $=3|x_{1}|+|x_{2}[+|x_{3}[+|_{X_{1}}|-|x_{2}|-|X_{3}|=4|X_{1}|$$\langle\ddot{\mathrm{u}}\rangle\Uparrow x_{1}\#\leq\# X_{21}+\# x_{3}\#$のとき

right-hand side $=3[$ $x_{1}|+|x\# 2+|x_{3}|-|x_{\iota}|+|x_{2}|+|x3|=2([x_{\iota}|+\# x_{2}|+|x_{3}|)$ .
これは

$(*)$

より得られる。 従って、

$L^{1}$

では Hlawka の不等式と 3 要素 Hrner の不等式は等価である。

3Hlawka の不等式の拡張$L^{1}$

における Hlawka の不等式は次式で与えられる。

$\mathrm{E}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{i}}\sum_{=_{1}}^{\mathrm{j}}\epsilon_{i\mathrm{i}}x|\geq\frac{1}{2}\sum \mathrm{i}--,$$\# X_{\mathrm{i}}|$ただし、$\mathrm{E}$列とし、$x_{1},$

は Rademacher 列についての期待値である。

$x_{1,2,\ldots,\mathrm{n}}xx\in L^{1}$

想される。

for

$x_{2,3}X\in L^{1}$$\epsilon_{1},$$\epsilon_{2}$

,

... ,

$\epsilon_{\mathfrak{n}}$を独立な Rmlemacherとすると Hlawka の不等式の拡張として、次のような不等式が予.

16$\mathrm{E}|=\sum_{\mathrm{i}1}\epsilon \mathrm{i}^{X}\mathrm{i}|\geq \mathrm{K}(\mathrm{n})\cdot \mathrm{E}1x_{i}\#\mathrm{i}=\downarrow$’$\mathrm{K}(\mathrm{n})$は$\mathrm{n}$に依存する定数

これに関して次の結果を得た。

Theorem 3$\mathrm{n}$を自然数、$\epsilon_{1},$$\epsilon_{2},$$\epsilon_{\mathrm{n}}$$\ldots,$

を独立な Rademacher 夕 I」\rangle$x_{1},$$x_{2},\ldots,x_{\mathrm{n}}$を$L^{1}$における関数とする。 このとき次式が成り立つ。

$\mathrm{E}|_{l}\sum_{=\iota}\epsilon \mathrm{i}x\mathrm{n}\mathrm{i}|\geq\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}$

ここに定数$\underline{1}$.

.

$\mathrm{n}-{}_{1}\mathrm{C}_{[^{\frac{\mathrm{n}}{2}}]\mathrm{i}}.\sum_{=1}\# X\mathrm{i}|\mathrm{n}$,は最良である。

${}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{C}_{[^{\frac{\mathrm{n}}{2}}]}$$2^{\mathrm{n}- 1}$

Proof.

$\mathrm{n}$要素 Hauer の不等式から出発する。

$\mathrm{E}\#\sum_{\mathrm{i}\Leftarrow 1}\epsilon_{\mathrm{i}^{X}}\mathrm{i}|\geq \mathrm{E}|_{\mathrm{i}=}\sum_{1}\epsilon \mathrm{i}\# x_{\mathrm{i}}\#|$$= \frac{\mathrm{l}}{2^{\mathrm{n}}}\cdot\# X2.[\pm\cdots\pm\# x\#\mathrm{n}|$$= \frac{\mathrm{l}}{2^{\mathrm{n}}}|\# x_{\iota 1+|X_{2}|+}+\cdots \mathrm{t}X|\mathrm{n}|+\sum_{\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{f}\circ\circ \mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{n}111\mathrm{u}S\mathrm{s}\mathrm{i}^{\mathrm{C}\mathrm{e}S}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{f})|$I$x\# 1+\cdots-|_{X}\mathrm{i}|+\cdots+\mathrm{I}x_{\mathrm{n}}||$.

$+$$-\# X_{\mathrm{n}}||1X_{\mathrm{n}}[|+\cdots$$\sum_{\mathrm{g}1\mathrm{w}o_{1}^{\mathrm{f}\mathrm{a}}\min \mathrm{u}\mathrm{s}\S \mathrm{i}^{\mathrm{c}}\mathrm{n}_{2}\mathrm{s},-\#\#-\#\mathrm{I}}|[.X_{1}\#+\cdots-.|x_{\mathrm{j}}\#+\cdots-|x_{\mathrm{k}}\mathrm{f}^{+\cdots+}+|^{(^{\mathrm{S}})}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{f}\circ 11\mathrm{C}\chi \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{i}x\mathrm{e}S\mathrm{o}\mathrm{f}-\cdot$.

三角不等式 $\sum|(\cdots)|\geq|\sum(\cdots)|$ を適用する。 -が$\mathrm{k}$個の項$\kappa \mathrm{m}\mathrm{l}\mathfrak{n}\mathrm{u}\mathrm{s}S\iota \mathrm{g}\mathrm{n}$には、$|x_{\mathrm{i}}|$らばの係数は +1$\hslash^{\grave{\grave{1}}}\mathrm{C}_{\mathrm{k}}\mathrm{n}-1$個、$-1p\grave{\grave{>}}{}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{C}\mathrm{k}$個あるので、${}_{\mathrm{n}-1}\mathrm{C}_{\mathrm{k}}$-n-lCk-1\geq 0 な

17

$($

...

$)=(_{\mathrm{n}}--{}_{1}\mathrm{C}_{\mathrm{k}1}{}_{1}\mathrm{C}_{\mathrm{k}^{-}\mathrm{n}}-)\mathrm{x}(|_{X_{1}}|+|x2[+\cdots+|X\mathrm{n}\#)$$(^{\mathrm{S}\mathrm{u}_{\mathrm{k}}} \mathrm{m}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{r}l\mathrm{u}\mathrm{c}_{\mathrm{i}\mathrm{g}}\mathrm{u}\mathrm{s}\sum_{\mathrm{h}\mathrm{o}}S\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{S}\circ \mathrm{f})$が成り立つ o n-${}_{1}\mathrm{C}_{\mathrm{k}}-\iota {}_{\mathrm{n}-}\mathrm{C}_{\mathrm{k}-}1<0$ならば$1\mathrm{k}- 1-\mathrm{n}-1\mathrm{C}\mathrm{k})\cross(\#\chi\# 1+1^{x_{2}}\#+\cdots+\mathrm{t}X\#\mathrm{n})$.

である。. したがって

the right-hand side$\geq\frac{\mathrm{l}}{2^{\mathrm{n}}}\cdot 2\{\iota+(\mathrm{n}-2)+(_{\mathrm{n}-}{}_{1}\mathrm{C}_{2}-$$1\mathrm{C}_{1}\mathrm{I}+(_{\mathrm{n}-\iota}\mathrm{c}_{3^{-}}\mathrm{c})\mathrm{n}-\iota 2+\cdots$$+(_{\mathrm{n}-1}\mathrm{C}_{\mathrm{k}}-\mathrm{n}-1\mathrm{c}_{\mathrm{k}}1\mathrm{I}-\}\mathrm{t}|x1\#+\# X_{2}|+\cdots+|X_{\mathrm{n}}|)$$=_{\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}}\cdot \mathrm{C}\mathrm{n}-1\mathrm{k}$ここで$\mathrm{k}$は n-lCk.-n-lCk-1\geq 0.

$\mathrm{n}=\sum|\mathrm{n}1x_{\iota}||$,を満たす最大の整数 即ち$k=[ \frac{n}{2}]$($\mathrm{n}/2$を超えない

最大の整数) である。

$L^{1}[0,1]$

において、$\mathrm{x}_{1}=\cdots=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=_{1}$とすると等号成立する。 故にこの定数は最良である。 証明終4 別の拡張Adamovic は$\mathrm{R}^{\mathrm{n}}$において次の不等式を示した。

Theorem 4(Adamovi6 [4])$\ovalbox{\tt\small REJECT}=\sum_{\mathrm{i}1}^{\mathrm{n}}\chi \mathrm{i}|+(\mathrm{n}-2\mathrm{I}\sum_{\mathrm{i}=\iota}^{\mathrm{n}}|x\mathrm{i}|\geq 1\leq_{1<}\sum_{\leq \mathrm{n}}\mathrm{j}|x_{\mathrm{i}}+x_{\mathrm{j}}|$

この不等式は$\mathrm{n}=3$for$\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\in \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$$\mathrm{x}_{1},$$\ldots,$の場合として Hlawka の不等式を含む。 この不等式を Btach 空間に拡張する。

Theorem 5$\mathrm{E}$を Btach 空間とする。任意の $x,$ $y,$定する。 ($\mathrm{E}$$z\in \mathrm{E}$について次の不等式が成り立つと仮における 3 要素 Hlawka 不等式である。 )18$\#\chi+_{y}+_{Z}|+1x$

このとき、任意の$\mathrm{n}$と$x_{1},$

円 $y|+\# Z\#\geq\# x+y\#+[y+Z\#+\# z+x\#$について次の不等式が成り立つ。

$x_{n}\in \mathrm{E}$$\ldots,$I$|_{1} \sum_{=}^{\mathrm{n}}X_{\mathrm{i}}1|+(\mathrm{n}-2)_{\mathrm{i}=_{1}}\sum$$x_{\mathrm{i}} \#\geq\sum[X_{\mathrm{i}^{+\ovalbox{\tt\small REJECT}}}\mathrm{n}\iota\leq 1<\mathrm{j}\leq \mathrm{n}x_{\mathrm{j}}$これは帰納法で証明できる。

$(\mathrm{c}.\mathrm{f}.

[5])$Proof.
(i)$\mathrm{n}=3$(ii)$\mathrm{n}$のとき成り立つ。

で成り立つと仮定すると、$\mathrm{n}+1$の場合$\# x_{1^{+}}\cdots+_{X_{\mathrm{n}-}+}1(X\mathrm{n}+_{X)\#}\mathrm{n}-\iota \mathrm{n}+1+\square \mathrm{n}-2)[\# X_{1}[+\cdots+\ovalbox{\tt\small REJECT}^{X}\mathrm{n}-1\#+1x_{\mathrm{n}}+x_{\mathrm{n}+1}|\mathrm{I}$$\geq\sum_{1\leq \mathrm{i}<\mathrm{j}\leq \mathrm{n}-1}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{x}\mathrm{i}\mathrm{j}+_{x|}|+\sum_{=1}|x_{\mathrm{i}}+(x_{\mathrm{n}\mathrm{n}+_{1}}+X)\#\mathrm{i}$nヨ$\geq\sum_{\iota\leq \mathrm{i}<\mathrm{j}\leq \mathrm{n}}||x_{i\mathrm{j}}+x\ovalbox{\tt\small REJECT}+\sum_{\mathrm{i}}-1=_{1}(1X_{\mathrm{i}^{+}}x_{\mathrm{n}}|+1X\mathrm{n}\mathrm{i}^{+_{x\#+}}+1\# x\mathrm{n}+_{x_{\mathrm{n}1}}[+-\# X\mathrm{i}\#-\# x_{\mathrm{n}}|-[X_{\mathrm{n}+1}||)$$\mathrm{n}$$= \sum_{<1\leq \mathrm{i}\mathrm{j}\leq \mathfrak{n}+1}\ovalbox{\tt\small REJECT} Xx_{\mathrm{j}}|\mathrm{i}^{+}+[\mathrm{n}-2)1X_{\mathrm{n}}+_{X_{\mathrm{n}+}}11-\sum_{\mathrm{i}=_{1}}|X|\mathrm{i}-[\mathrm{n}-1)(|X|\mathrm{n}+\# X_{\mathrm{n}}|+1)$

ここで 1$x_{\mathrm{i}^{+}1}X\mathrm{n}+X_{\mathrm{n}+}|$の項に$\mathrm{n}=3$,の場合の不等式を適用している。 整理して次式を得る。

$\# x_{11}+.\cdots+_{X_{\mathrm{n}}}-+_{X+}\mathrm{n}x_{\mathrm{n}}+1|+(\mathrm{n}-11(1x_{\iota}|+\cdots+|X_{\mathrm{n}-1}|+|X_{\mathrm{n}}|+\# x_{\mathrm{n}}|+1^{\cdot})$$\geq\sum_{1\leq \mathrm{i}<\mathrm{j}\leq \mathrm{n}+1}$I$X\mathrm{i}^{+_{X\mathrm{I}}}\mathrm{j}$.

References.Mitrinovic,.Pecaric and A.M.Fink Classical and new inequalities in analysis,
Kluwer Academic Publishers[2] A.Kigami Y.Okazaki and Y.Takahashi, A Generalization of Hamer’s inequality andthe type 2 (cotype 2) constant of a Banach space, Bulletin of the Kyushu Institute of[1]$\mathrm{D}.\mathrm{S}$$\mathrm{J}.\mathrm{E}$19Thechnology (Mathematics, Natural Science), 29-34.
[3] A.Kigami Y.Okazaki and Y.Takahashi, A Generalization ofHrner’s inequality, Bulletin of the Kyushu Institute of Thechnology (Mathematics, Natural Science)$\mathrm{N}\mathrm{o}.42(\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h} 1996)$$\mathrm{N}\mathrm{o}.43$[4]( arch $1996$ ),$9-13$ .
$\dot{\mathrm{M}}$$\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}6,\mathrm{D}.\mathrm{D}.,$$\mathrm{G}6\mathrm{n}\text{\’{e}} \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{0}\mathrm{n}$d’une identit\’e de Hlawka et$\iota’ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}_{\mathrm{g}}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\text{\’{e}}$Mat. Vesnik 1 (16) (1964), 39-43.
[5], Les in6ga1it\’es pour les fonctions convexes d’order$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\iota,\mathrm{P}.\mathrm{M}$(1968), 327-331.

$\mathrm{n}$correspondante,, Mat. Vesnik 5 (20)