数理解析研究所講究録
978 巻 1997 年 173-178

173

On -core of a Fuzzy Game with Side-Payments$\mathcal{E}$

新潟大自然科学新潟大自然科学新潟大理学部沢崎木村
田中

陽– (Yoichi Sawasaki)
寛(Yutaka Kimura)
謙輔 (Kensuke Tanaka)

私たちは fuzzy coalition を用いて, side-payments を持つゲームのコアについて考察する. 特性関数に凸を仮定するとそのコアは劣微分と–致することから, コアの性質を調べるために劣微分の性質を応用することが出来る. しかし, 特性関数に凸が仮定されていないときにはコアは劣微分と–致するとは限らない. そこで $\epsilon>0$ に対して\epsilon - コアの定義を与え, 劣微分とエークランドの定理を用いてコアの近似解を与える.

1

Fuzzy coalitions

人の player の集合を $N$ とし, $A$ を $N$ の部分集合 $A$ の族とする. $A$ はplayer 間の coalition とみなす. このとき $A$ に対して, 写像 $\tau^{A}\in\{0,1\}^{n}$$n$を次のように対応させる:$\tau_{i}^{A}=\{$

すなわち,player$i$

1$i\in A$,$0$$i\not\in A$.

(1.1)

が coalition $A$ に属するときは完全に協力をし, 属さないときは全く協力をしないということである.
これに対して, 次のように定義された coalitioncoalition” という.
$\tau=\sum_{A\in A}m(A)_{\mathcal{T}}A$$i$,$\tau\in$[ , l]n を “fuzzy$0$

where $m(A) \geq 0,\sum_{A\in A}m(A)=1$(1.2)

,

(1.3)

番目の要素\tau i\in $[0,1]$ は$\forall_{i\in N}$$\tau_{i}=\sum_{\ni Ai}m(A)$と書くことができ, coalition のなかで player が協力する程度を表す. また,を fuzzy coalition の族とする.
$i$$\mathcal{T}\subset[0,1]^{n}$2Core of a fuzzy game with side-payments

Side-payments を持つ fuzzy game を考える. このとき特性関数が convex
かっ positively homogeneous のとき, fuzzy game の coreがの subdifferentialでのに–致することを示す.
$C(\mathcal{T}, v)$$v$$\partial v(\tau^{N})$$\tau^{N}$

174

をゲーム
Definition 2.1時, (2.1) で定義された fuzzy game
$v:\mathcal{T}arrow \mathbb{R}$の特性関数とする. そのは side-payment を持つゲーム$(\mathcal{T}, J(\mathcal{T}))$$(\mathcal{T}, v)$

であるという.
$J( \tau)=\{c\in \mathbb{R}^{A_{\tau}}|\sum_{i\in A_{r}}c_{i}=v(\tau)$$\forall_{\mathcal{T}}\in \mathcal{T},$

ただし,

,

$A_{\Gamma}$

は$\forall_{j}\not\in A_{\tau}\}$(2.1)

support である.の$\tau$

and $c_{j}=0,$上で定義された positively homogeneous
fuzzy colition の族
その時, 次のように定義することによりの族を考える.
な特性関数
次に,$\mathcal{T}$$v$の族は$\mathbb{R}_{+}^{n}$$v$に拡張される.

$v( \tau)=(_{i\in N}\sum \mathcal{T}i)v(\frac{\tau}{\sum_{i\in N}\tau_{i}})$if$\tau\neq\theta$,$v(\theta)=v(\mathcal{T}\emptyset)=^{\mathrm{o}}$if$\tau=\theta$

.

(2.2)

$\{$

Definition 22 Side-payment を持つ fuzzy game の core
次の (2.3) を満たす multiloss $c\in J(\tau)$ の集合である.
(1)(2)$\{$Proposition 2.1$v$$\langle\tau^{N},$$\forall_{\tau\in \mathcal{T}}$$c\rangle=v(\tau^{N})$,$C(\mathcal{T}, v)$,$\langle\tau, c\rangle\leq v(\tau)$とは.

(2.3)

.

が convex かつ positivety homogeneous のとき次が成り立つ.
$C(\mathcal{T}, v)=\partial v(\tau^{N})$

,

.

ただし,

$\partial v(\tau^{N})=\{c\in \mathbb{R}^{n}|v(\tau)\geq v(\tau^{N})+\langle c, \tau-\tau^{N}\rangle, \forall_{\mathcal{T}}\in \mathbb{R}^{n}\}$Proof.

$c\in C(\mathcal{T}, v)$

をとる.

$v(\tau^{N})-\langle\tau^{N},$よって,$c\in\partial v(\tau^{N})$

逆に,その時任意のに対して,$\tau\in \mathbb{R}_{+}^{n}$$c\rangle=0\leq v(\mathcal{T})-\langle_{\mathcal{T}}, c\rangle$.

.

$c\in\partial v(\tau^{N})$とすると,$v(\tau^{N})-\langle\tau^{N},$$c\rangle\leq v(\tau)-\langle_{\mathcal{T},c\rangle}$$\mathrm{o}$,また $\tau=2\tau^{N}$ と$\text{する^{}arrow \text{と}}l^{\mathrm{a}\vee\supset}v\emptyset\grave{\grave{\mathrm{a}}}l\vee\sim \mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{t}\text{よ}!9,l\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}1\mathrm{h}_{\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{S}\text{て}\not\in_{\mathrm{i}}\tau^{N}C=v(_{\mathcal{T}}N)\acute{r}\tau \text{る}.X\mathrm{c}\supset \text{あるのて},\mathcal{T}=\mathrm{B}\text{て},$$\langle\tau, c\rangle\leq v(\tau)$

ゆえに,$c\in C(\mathcal{T}, v)$,$\forall_{\mathcal{T}\in \mathbb{R}_{+}^{n}}$.

.
$\square$が convex かつ positively homogeneous のとき,Proposition 22の coreは空でなくかつ, convex, compact な集合である. 更に,の gradient vector $Dv(\tau^{N})$でのがで微分可能のとき core は

$v$

$v$

$C(\mathcal{T}, v)$$v$$\tau^{N}$にのみ–致する.

$\tau^{N}$

$v$

175

3$\epsilon$-core of a fuzzy game and its applications

side-payment を持つ fuzzy game の core を定義し, またそれが空でないことを示した. しかし, core はいつでも空でないとは限らないので,それを示す条件が必要である. (例えば, 特性関数が convex や balancedであるなど.) そこで, side-payments を持つ fuzzy game において -coreを定義し, -core が存在するとき Ekeland’s -variational principle を用いることによって近似解を得ることができる.

上では,$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$に対して, side-payments を持つ fuzzy
Definition 3.1 任意のは次の (3.1) を満たす multiloss $c\in J(\tau)$ の集合
game の -core$\epsilon>0$$C_{\epsilon}(\tau, v)$$\epsilon$である.

(1)(2)
よって,,$\langle\tau,$,$\cdot$$c)\leq v(_{\mathcal{T}})+\epsilon$.

(3.1)

.

を convex かつ positively homogeneous な関数とす$v$

そのとき, 次が成り立つ.

(1)
(2)

if

$C_{\epsilon_{1}}(\mathcal{T}, v)\subset C_{\epsilon_{2}}(\mathcal{T}, v)$$C(\mathcal{T}, v)=C_{\epsilon}(\tau, v)$

if$\epsilon_{1}\leq\epsilon_{2}$$\epsilon=0$,.

を convex かつ positively homogeneous な関数とすに対してそのとき, 任意のProposition 3.2
る.

$\forall_{\mathcal{T}}\in \mathcal{T}$$c\rangle=v(\tau^{N})$

次の Proposition を与える.

Proposition 3.1
る.

$\langle\tau^{N},$$v$$\epsilon\geq 0$$C_{\epsilon}(\mathcal{T}, v)\subset\partial_{\epsilon}v(\tau^{N})$ただし,$\partial_{\epsilon}v(\tau^{N})=\{c\in \mathbb{R}^{n}|v(\tau)\geq v(\tau^{N})+\langle c, \tau-\tau\rangle N-\mathcal{E}, \forall_{\mathcal{T}}\in \mathbb{R}^{n}\}$Proof.

$c\in C_{\epsilon}(\tau, v)$をとる.

$v(\tau^{N})-\langle\tau^{N},$ゆえに,,$c\in\partial_{\epsilon}v(\tau^{N})$

こうして,

$v$

に対して,$\text{このとき任意の}\tau\in \mathbb{R}_{+}^{n}$$c\rangle=0\leq v(\mathcal{T})-\langle_{\mathcal{T},C\rangle+}\epsilon$

.

.

.

$\square$が convex かつ positively homogeneous のとき次を得る.
$\partial v(_{\mathcal{T}^{N}})=C(\mathcal{T}, v)\subset \mathrm{c}_{\zeta}^{\mathrm{y}}(\tau, v)\subset\partial_{\epsilon}v(\mathcal{T}^{N})$

.

(3.2)

が convex でないときを考えとくに, locally Lipschitzgame であると仮定する. (ただし, game が locally Lipschitz であるとは,はが locally Lipschitz である game のことである.) このとき,は convex かつを持つ.
で Clarke’s generalized gradient

次に, 特性関数

$v$

$v$

$v$

$\partial v(\tau^{N})$$\tau^{N}$$\partial v(\tau^{N})$compact であるが, core とは–致するとは限らない.
在するとき近似解の存在に関する定理を与える.

そこで$\epsilon$-core が存176

Lemma 3.1 (Ekeland) 関数
る.

$f$

:

$\mathbb{R}^{n}arrow \mathbb{R}$が下半連続で下に有界とす

このとき, 正の実数\epsilon $>0$ と $f(x_{0}) \leq\inf\{f(x)|x\in \mathbb{R}^{n}\}+\epsilon$ となるが存在する.
に対して, 次の 3 条件を満たす x任意の\mbox{\boldmath $\delta$} $(0..<\delta<1)$ に対して,$\in \mathbb{R}^{n}$$x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$1.

$\delta||\overline{x}-x_{0}||\leq f(_{X_{0}})-f(\overline{X}))$

2.

$|| \overline{x}-x_{0}||<\frac{\epsilon}{\delta}f$3.

$x\neq\overline{x}$,.

$\delta||\overline{x}-X0||+f(x)>f(\overline{X})$

Theorem 3.1$v\text{は}\tau^{N}$

で locally Lipschitz でかつ positively homogeneousとする. このとき, 任意の実数が存在するとき, 次を満たす\tau \epsilon$\beta\geq 0$$\epsilon\geq 0,$と$\in \mathbb{R}^{n}$に対して,$c_{\epsilon}\in \mathbb{R}^{n}$$c_{\epsilon}\in\partial v(\mathcal{T}_{\epsilon})$2.

$||\tau^{N}-\tau_{\epsilon}||\leq\sqrt{\epsilon}$

3.

$|v(_{\mathcal{T}_{\epsilon}})-v( \tau^{N})|\leq\sqrt{\epsilon}(\sqrt{\epsilon}+\frac{1}{\beta})$4.

$||c_{\epsilon}-c||\leq\sqrt{\epsilon}(1+\beta||c||)$5.

$|\langle c_{\epsilon}-c, \tau\rangle|\leq\sqrt{\epsilon}(||\mathcal{T}||+\beta|\langle c, \tau)|),$Rn 上のノルム$||\cdot||_{\beta}$$u(\tau)=v(\tau)-\langle c, \tau\rangle$が存在する.

,,$\forall_{\mathcal{T}}\in \mathbb{R}^{n}$$:=||\tau||+\beta|\langle c, \tau\rangle|$とすると

(3.3)

.

$u\text{は_{}\mathcal{T}^{N}}\text{で}$locally Lipschitz となる

.

(3.4)

ここで Ekeland の定理 ( lemma) を\mbox{\boldmath $\delta$} $=$ \psi として,適用すると, 次の 2 条件を満たす\tau \epsilon$\forall_{\tau_{\epsilon}\neq\tau}$,$\in \mathbb{R}^{n}$

また$u(\mathcal{T}_{\epsilon})<u(_{\mathcal{T}})+\sqrt{\epsilon}||_{\mathcal{T}}-\tau|\epsilon|_{\beta}$$h(\tau)=||\tau-\tau\epsilon||\beta,$$||\cdot||_{\beta}$

について1)%存在する:$u(\tau_{\epsilon})+\sqrt{\epsilon}||\tau-\tau_{\epsilon}||\beta\leq u(\tau^{N})$と,.

を次のように定義する.

$u( \tau^{N})\leq\inf_{\tau\in \mathbb{R}^{n}+}u(\tau)+\epsilon$(3.5) 式より,

$c\in C_{\epsilon}(\tau, v)$,$||\tau||\beta$

次に,
から,

-core,1.

Proof.

$\epsilon$$\tau=\mathcal{T}_{\epsilon}+t\lambda$

(3.5)

,

(3.6)

.

$(t>0, \forall_{\lambda}\in \mathbb{R}^{n})$$\lim_{\tauarrow}\sup_{r_{e}}\frac{(u+\sqrt{\epsilon}h)(T+t\lambda)-(u+\sqrt{\epsilon}h)(\mathcal{T})}{t}\geq\langle\theta, \lambda\rangle$

とおくとなるので$(u+\sqrt{\epsilon}h)(\tau_{\epsilon}+t\lambda)-(u+\sqrt{\epsilon}h)(\tau_{\epsilon})>0=\langle\theta, \lambda\rangle$,$\forall_{\lambda}\in \mathbb{R}^{n}$. (3.7)$t>\mathit{0}$ゆえに,$\theta\in\partial(u+\sqrt{\epsilon})(\tau_{\epsilon})\subset\partial v(\mathcal{T}_{\epsilon})-c+\sqrt{\epsilon}\partial h(\tau_{\xi})$

ここで,

す

$\partial h(\tau_{\epsilon})=$$c_{\epsilon}\in\partial v(\tau_{\epsilon})${$\overline{c}+\alpha c|||\overline{c}||\leq 1$

and$|\alpha|\leq\beta$が存在する. ( (1) が成立)

$c_{\epsilon}=\sqrt{\epsilon}\overline{c}+(1-\sqrt{\epsilon}\alpha)C$,where$||\overline{c}||\leq 1$

.

(3.8)

} だから, 次を満た

and$|\alpha|\leq\beta$

.

(3.9)

177

これより,に対して,$\text{すべての_{}\mathcal{T}\in}\mathbb{R}^{n}+$(3.10)$|\langle c_{\epsilon}-C, \tau\rangle|\leq\sqrt{\epsilon}(||_{\mathcal{T}}||+\beta|\langle c, \tau\rangle|)$が成り立つ. ( (5) が成立)
(3.10) 式において\tau $=c_{\epsilon}-c$ を代入すると,$||c_{\epsilon}-c||(||C\epsilon-c||-\sqrt{\epsilon}(1+\beta||_{C||}))\leq 0$$||c_{\epsilon}-c||\geq 0$より,$||c_{\epsilon}-c||-\sqrt{\epsilon}(1+\beta||c||)\leq 0$

方 (3.6) 式から,. ( (4) が成立)

$0\leq\sqrt{\epsilon}||\tau^{N}-\mathcal{T}_{\epsilon}||\beta\leq u(\mathcal{T}^{N})-u(\tau\epsilon)\leq\epsilon$$\epsilon\geq\sqrt{\epsilon}||_{\mathcal{T}^{N}}-\mathcal{T}_{\epsilon}||\beta=\sqrt{\epsilon}||\mathcal{T}-N\mathcal{T}_{\epsilon}||+\sqrt{\epsilon}\beta|\langle c,$$\geq\sqrt{\epsilon}||\tau^{N}-\tau_{\epsilon}||$ゆえに,$||\tau^{N}-\tau_{\epsilon}||\leq\sqrt{\epsilon}$特に$|\langle C,$.

より$\tau^{N}-\mathcal{T}_{\epsilon}\rangle|$.

(3.11). ( (2) が成立)$\mathcal{T}^{N}-\mathcal{T}_{\epsilon}\rangle|\leq L^{\epsilon}\beta$となるから,$0\leq u(_{\mathcal{T}}N)-u(\tau_{\epsilon})$$=v(\tau^{N})-\langle\tau^{N},$$c\rangle-(v(\tau_{\epsilon})-\langle_{\mathcal{T},C}\epsilon\rangle)\leq\epsilon$.

(3.12)

ゆえに,$|v(\tau^{N})-v(\mathcal{T})\epsilon|\leq|\langle c,$$\tau^{N}-\tau\epsilon\rangle|+\epsilon$$\leq\frac{\sqrt{\epsilon}}{\beta}+\epsilon$$=\sqrt{\epsilon}(\sqrt{\epsilon}+_{\overline{\beta}})\perp$. ( (3) が成立)
口

Corollary 31

で locally Lipschitz でかっ positively homogeneous
このとき,に対して,とする.
任意の実数-core $c\in C_{\epsilon}(\tau, v)$ が存在するとき, 次を満たす\tau \epsilon \in Rn と c\epsilon \in Rn が存在する.
$v\text{は}\tau^{N}$$\epsilon\geq 0$

1.

2.
$\mathit{3}$.

Proof$\epsilon$$c_{\epsilon}\in\partial v(\mathcal{T}_{\epsilon})_{f}$$||\tau^{N}-\tau_{\epsilon}||\leq\sqrt{\epsilon}\rangle$$||c_{\epsilon}-c||\leq\sqrt{\epsilon}$.

定理において\beta $=0$ とすればよい.

$\square$178

References
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North-Holland, Amsterdam, 1979.
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