数理解析研究所講究録
第 1922 巻 2014 年 124-129124

非有向曲面におけるデーン ツィスト、
ゴールドマン リー{ざ数とスケイン加群
DEHN TWISTS, GOLDMAN LIE
ALGEBRAS AND SKEIN MODULESON NONORIENTABLE SURFACE
辻俊輔

東京大学数理科学研究科

SHUNSUKE TSUJI
GRADUATE SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES
THE UNIVERSITY OF TOKYOを境界が空でないコンパクトな非有向曲面とする。

$F$を固定する。

$\partial F$$P$$x_{0}\in$:$\tilde{F}arrow F$

を orientation covering とする。 次の図 1 のようにとれる。に
図 1 のようにする。 任意の $i=1,$ $2\ldots n$ での線分を固定に向とする。
右側をの左側をきを入れる。 これらの線分で切ったのとする。のリフトをとする。と同一視し、 向きを入れる。
をまた、$\pi_{1}(F, x_{0})=\pi$ をを基点とした $F$ の基本群とする。
$\tilde{F}$$\delta_{1},$$\delta_{2}\ldots\delta_{n},$$\delta_{1}’,$$\delta_{2}’\ldots\delta_{n}’$$\tilde{F}$$p(\delta_{i})=p(\delta_{i}’)$$\tilde{F}$$F^{d}$$x_{0}^{u}\in F^{u},$ $x_{0}^{d}\in F^{d}$$p$$x_{0}$$F^{u}$$F^{u}$$F \backslash \bigcup_{i=1}^{n}p(\delta_{i})$$x_{0}$$\tilde{\pi}_{1}(\tilde{F})\wedge=\tilde{\pi}\wedge$

を$\tilde{F}$の free loop の free homotopy class 全$\Phi$をの群環とする。にはゴールドマン加群とする。
を free basis としたリー代数の構造が入る。
有向曲面において、 ゴールドマン リー代数が基本群の群環に作用する。 また、 その作用は完備ゴールドマンリーの集合とする。

$\mathbb{Q}\pi$

を$\mathbb{Q}$による$\tilde{\pi}\wedge$$\mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge$$\pi$$\mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge$$\mathbb{Q}$

代数の基本群の完備群環への作用に拡張することができる。
さらに、 その作用によりデーンツイストの表示がされた([2] [3] [4] を参照)。 本講演では非有向曲面において、 基本群の群環に作用するリー代数を定義する。 また、 そのりー代数は基本群の完備群環への作用に拡張できるが、 非有向曲面におけるデーンツイストの表示をする。

125

FIGURE 1. orientation cover126$\theta$:$\mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedgearrow \mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge を_{}2$ーと定義する。

$(id-\tau)$$\tilde{\sigma}$を次のように定義する。
について、定義 1([5] [2]). $x\in\pi$ および$K\pi$ を次のように定義する。 $x\in\pi$ およびの代表をgeneral position にとる$y\in\tilde{\pi}\wedge$$\tilde{\sigma}(y)(x)\in$$y\in\tilde{\pi}\wedge$$\tilde{\sigma}(y)(x)=\frac{1}{2}(\sum_{q\in p(y\cap F^{u})\cap x}\epsilon(q,p(y), x)x_{x_{0}q}(p(y))_{q}x_{qx_{0}}$$\sum_{q\in p(y\cap F^{d})\cap x}\epsilon(q,p(y), x)x_{x_{0}q}(p(y))_{q}x_{qx_{0}})$.

における の上の local intersection number とする。 $(p(y))_{q}$ は、 $p(y)$のから、は、に沿った、 $\pi_{1}(F, q)$ の元とする。のから、 の部分的な pathは、の部分的な $path$
ただし、 $\epsilon(q,p(y), x)$ は、 $p(y)$ と$x$$F\backslash 俺_{}i=1^{n}$$p$$p(\delta_{i})$$x$$x_{x_{0}q}$、$x$$x_{qx_{0}}$$x_{0}$$q$$p$$x_{0}$とする。

この定義は次の補題で言い換えることができる。
補題 2. $r\in\pi$ について、$y\in \mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge$$p$:$\tilde{F}arrow F$のリフトを$\tilde{r}$とする。

について、$\tilde{\sigma}(y)(r)=p(\sigma(\theta(y))(\tilde{r})$が成り立つ。 右辺はゴールドマンリー代数の基本群への作用 (4可澄、久野 [2]) である。
$\grave{}$$\grave{}$のリー代数としての作用になっていないが、部のリー代数としての t 乍用になって分リー代数
これは$\mathbb{Q}\pi\sim\hat{}$$\theta(\mathbb{Q}\tilde{\pi})\wedge\subset \mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge$いる。

$\tilde{F}$リー代数をの完備ゴールドマン$\wedge\pi$$\mathbb{Q}\tilde{\pi}$、の$\mathbb{Q}$

上$\wedge$

完備群環をきる。

$\hat{\mathbb{Q}\pi}$とする。

$\tilde{\sigma}$

は$\mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge$の$\hat{\mathbb{Q}\pi}$への作用に拡張でから定まる向きを入れる。 また、 annulus を $S^{1}\cross I(I=[0,1])$ とする。 積多様体として自然に向きを入れる。 $S^{1}\cross Iarrow S^{1}\cross I$ : $(s, t)\mapsto(s+t, t)$ を annulus の (右手) デーンツイストとする。 $F$ の A-s. $c.c$ . (annulus$S^{1}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$として$\mathbb{R}$127の埋め込み (の像) で管
simple connected curve) とは状近傍が annulus と同相のものである。 annulus circle の管$S^{1}$状近傍を $A$ と向きも含めて定める。 この時 $t_{A}:Farrow F$ を
$A$ でデーンツィストしてでは恒等写像となる自己同を次のように定義する
相写像とする。
$F\backslash A$$\log(t_{A)}):\hat{\mathbb{Q}\pi}arrow\hat{\mathbb{Q}\pi}$$\log(t_{A})(r)=-\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}(id-t_{A})^{i}(r)$$( \log(x))^{2}=\sum_{i=2}^{\infty}a_{i}(x-1)^{i}$.とする。 このときを$r$$\tilde{F}$の基本群の元として $( \log(r))^{2}=\sum_{\wedge}^{\infty}i=2a_{i}(r-1)^{i}$ と定義する。
さらに $L(r)=c((log(r))^{2})\in \mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge$ と定義する。 ただし、$c$は基点を忘れる写像である。

次の定理でデーンツィストの表示を与える。の埋めの基本群の元 を $p(c(r))$ が、定理 3 ([5]).
込みで代表がとれるとする。 (自己交差がない。 ) この時の部$p(c(r))$ は A-s.c. . である。 $c(r)$ の管状近傍の向きを分多様体として定める。 を $c(r)$ の管状近傍に制限した写像は $p(c(r))$ の管状近傍の向きを導入する。 これを $A$ とする。この時$S^{1}$$\tilde{F}$$r$$\tilde{F}$

$c$

$p$

$\log(t_{A})(\cdot)=\tilde{\sigma}(\theta(L(r)))(\cdot):\hat{\mathbb{Q}\pi}arrow\hat{\mathbb{Q}\pi}$を得る。
さらに$e^{\tilde{\sigma}(L)}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(\tilde{\sigma}(L))^{k}$と定義して、$t_{A}=e^{\tilde{\sigma}(L)}:\hat{\mathbb{Q}\pi}arrow\hat{\mathbb{Q}\pi}$を得る。
はスケイン代数により量子化ができることを説明する。 $F$ の基本群の共役類の集合と書
自由加群をを介と書き、 それを自由基底としたの作用に拡張するの作用をく。 次の式で以下では [6] の意味で、 作用$\tilde{\sigma}$$\mathbb{Q}\hat{\pi}$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge$$\mathbb{Q}\hat{\pi}$$\tilde{\sigma}(y)(c(x))=c(\tilde{\sigma}(y)(x))$.

128において任意の $(x, t)\in\tilde{F}\cross[0$ , 1で $(x, t)$ と $(\tau(x), 1-t)$ が同一の元であるとみなした 3 次元多様体とする。 ただし、 を閉区間 , 1 とする。 全射$f’$ : $Earrow F$ を $f([(x, t)])=p(x)$と定義する。 また全射を第一成分への射影とする。
およびスケイン加群を [6] 3.1 と同じ方を次で定義
法で定義する。 さらに $A(E)$ およびする

3 次元多様体 $E$ を$\tilde{F}\cross I$$]$$I$$[0$$]$$f:\tilde{F}\cross Iarrow\tilde{F}$$\mathcal{A}(\tilde{F}\cross I)$$\mathcal{A}(E)$$A(\tilde{F}\cross I)$$A(E)=\mathcal{A}(E)/(x-1)\mathcal{A}(E)$,.

$A(\tilde{F}\cross I)=\mathcal{A}(\tilde{F}\cross I)/(x-1)\mathcal{A}(\tilde{F}\cross I)$

またはたは $A(\tilde{F}\cross I))$ の元を

また、 $E$$\tilde{F}\cross I)$$($が代表の $A(E)$ (まと定義する。
を $i_{1}((x, t))=[(x, (t+2)/3)]$ と定のリンク$L_{1}$$[L_{1}]$

埋め込み :義する。 埋め込み $i_{2}:Earrow E$ を $i_{2}([(x, t)])=[(x, (1+t)/3)]$のリンク $L_{1},E$ のリンクについて、と定義する。と定義する。 これにより、をの $A(E)$ への作用を定義する。の集合とす
を $E$ のノットの集合,をそれぞれを自由基底とした 加る。
,群とする。
を次で定義する加群準同型$\tilde{F}\cross Iarrow E$$i_{1}$$\tilde{F}\cross I$$L_{2}$$A(\tilde{F}\cross I)$$i_{1}(L_{1})\cup i_{2}(L_{2})$$L_{1}L_{2}$$\mathcal{K}(E)$$\tilde{F}\cross I$$\mathcal{K}(\tilde{F}\cross I)$$\mathbb{Q}\mathcal{K}(E)$$\mathbb{Q}\mathcal{K}(\tilde{F}\cross I)$$\mathbb{Q}$$p_{1},$ $p_{2},$$\mathbb{Q}$$p_{1}’,p_{2}’$$p_{1}:\mathbb{Q}\tilde{\mathcal{F}}\cross \mathcal{I}arrow \mathbb{Q}\hat{\pi},$$K\in \mathcal{K}(\tilde{F}\cross I)\mapsto f(K)$$p_{2}:\mathbb{Q}\tilde{\mathcal{F}}\cross \mathcal{I}arrow A(\tilde{F}\cross I)$$p_{1}’:\mathbb{Q}\mathcal{E}arrow \mathbb{Q}\tilde{\pi}\wedge,$,,, $K\in \mathcal{K}(E)\mapsto[K].$同相写像:
義しておく。
この時次の命題が成り立つ。
$\tau’$$K\in \mathcal{K}(\tilde{F}\cross I)\mapsto[K],$$K\in \mathcal{K}(E)\mapsto f’(K)$$p_{2}’:\mathbb{Q}\mathcal{E}arrow A(E)$,$\tilde{F}\cross Iarrow\tilde{F}\cross I,$$(x, t)\mapsto(\tau(x), 1-t)$

を定

129
命題 4. 任意の満たす$x\in \mathcal{K}(\tilde{F}\cross I)$$z\in \mathcal{K}(E)$,$y\in \mathcal{K}(E)$について次の式をが存在する$\tilde{\sigma}(p_{1}(x))(p_{1}’(y))=p_{1}’(z)$,$\frac{1}{2}(p_{2}(x)-\tau(p_{2}(x)))(p_{2}’(y))=hp_{2}’(z)$$mod h\hbar A(E)$.

REFERENCES[1] W. M. Goldman, Invariant functions on Lie groups and Hamiltonian $ows$of surface groups representations, Invent. Math. $85,263-302(1986)$ .
[2] N. Kawazumi and Y. Kuno, The logarithms of Dehn twists, to appear in:

Quantum Topology, preprint, arXiv: 1008.5017 (2010).
[3] N. Kawazumi and Y. Kuno, Groupoid-theoretical methods in the mappingclass groups of surfaces, preprint, arXiv: 1109.6479 (2011).
[4] G.Massuyeau and V. Turaev, Fox pairings and generalized Dehn twists,preprint, $arXiv:1109.524Sv3(2012)$ to appear in Ann. Inst. Fourier.
[5] S. Tsuji, The logarithms of Dehn twists on non-orientable surfaces,
preprint, $arXiv:1405.2161(2014)$[6] Turaev, V. G., Skein quantization of Poisson algebras of loops on surfaces, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 24 (1991), no. 6