数理解析研究所講究録
第 855 巻 1993 年 101-117

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例外群

$E_{7}$の作用する概均質ベクトル空間の特異不変超関数
室政和 (岐阜大学)

要約: 例外群$E_{7}$の作用する既約な概均質ベクトル空間を例にとって, その orbit の構造を明らかにし,

また群の作用で不変な超関数のうちで特にその support がー

デルタ関数のように一部分多様体 (この場合には, orbit の合併になる) に含まれてしまうものを決定する.

目次

1

0.

はじめに.

1

問題の設定

–

2

その解き方

–

3.

取り扱う摂均質ベクトル空間とその orbit 分解

74.

特異不変超関数13

何を求めるのか ?

3

どのようにして問題を解くか ?4

17

参考文献

0. はじめに.
$n$次元の実ベクトル空間

況を考えよう.

(0.1)$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}$に実数体上定義された代数群 $G$ が代数的に作用している状上の超関数 $f(x)$ が$f(g\cdot x)=f(x)$1991 Mathematics Subject Classification. Primary $22E4520G20$ Secondary llE39.
キーワード: prehomogeneous vector space, micro-loCal calculus.

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室政和 (岐阜大学)

を満たすときこれを G-不変な超関数という l. Rn における G-軌道は, 代数的な集合であるから,当然のことながら不変超関数の台は Rn の中の– 有限, あるいは無限個のの合併となり,これは$\mathbb{R}^{n}$

–

$G$

-軌道

の中の閉集合をなす.

特に興味深いのは, 有理関数や解析関数とは違って, 超関数の場合にはその台 (support)

が “余次元 1 以上の” 閉集合となる超関数が存在しうる,ということである.

ここでは,

こ

のような超関数の事を特異超関数 (singular hyperfunction) とよぶ. 特異超関数の一番簡単な例として, 一変数の超関数で 1 点に台を持つ, いわゆるデルタ関数とその微分がある.

一変数の関数の場合には特異超関数はこのような関数で尽きてしまうが,2 変数以上の関数となると余次元が l 以上の部分多様体 (subvariety) そのものがバラエティに富んでいる. それでも,その台が non-singular な subvariety であるならばその形はそこに台を持つ測度を微分して得られるものとわかるが 台が singularity を持つならば普通はどのようなものになるのか分からない.

さらにそこに台を持つ超関数を決定–

さらには構成–するのは容しかもまずいことに, 軌道の合併として得られる閉集合は, たいていが易なことではない.

singularity を持っている.
しかし, 一方で “群の作用による不変性” ということに着目すると, 実際に存在する可能性のある超関数を holonomic system の解と捉えることができ, その数は限られたものであることがわかる.
る.

しかも, 適当な条件のもとに実際にこれを構成することができる場合があ

それは,軌道の有限性: 群の作用によって有限個の軌道に分解すること.

相対不変多項式の存在: 余次元 1 以上の軌道の合併は$\mathbb{R}^{n}$上の多項式の零点となる

こと.

のふたつの条件を満たしている場合で,

え 2,

このような場合には相対不変多項式の複素べきを考そこから派生する超関数によって, 特異な不変超関数を作る,

実は,という方法である.

これらの条件は概均質ベク トル空間の条件を少し強く したものであって, これらの条件にあてはまる概均質ベクトル空間は豊富に存在する. そして, いくつかの例で具体的に計算してみると, 群 $G$ の作用で不変な特異超関数が相当数存在することがわかる.
説では,例外群 E7 が作用している正則な既約概均質ベクトル空間を例にとって,

この論
この空間

における特異超関数を含むすべての不変超関数を決定することを試みる. 例としてこの空間を取り上げた理由は,

この空間が 例外群

$E_{7}$

を定義する多項式 (Freudenthal Polynomial)がそのまま概均質ベクトル空間の相対不変式になっている, 興味深いものでありながらあま

1 実際には,$f(g\cdot x)=\chi(g)\cdot f(x)$を満たす関数 $f(x)$ を\chi -相対不変といって,このような関数やこれから派生する関数も不変超関数として一括して論ずる.

2 これは, 現在我々が多変数の超関数を構成するために知っているおそらく唯一の方法である !!

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例外群

$E_{7}$の特異不変超関数り研究されていないらしいこと, 軌道の数があまり多くなく具体的に精密な計算にむいていそうなこと,

これと同じ構造を持った概均質ベクトル空間があって,

それらも

–

少しづっ

違ってはいるがーほとんど同じ構造を持っていること, などの理由による.

1. 問題の設定
まず,–何を求めるのか ?

問題をもう少しきちんと設定しておこう.

$(G_{\mathbb{C}}, \rho, V_{\mathbb{C}})$を$\mathbb{C}$

上定義された概均質ベクトル空間,$(G_{B}, \rho, V_{R})$をその一つの実形 (realform) とする. 必要に応じて, 条件をゆるめる事はできるが, ここでは次の条件を課しておく.

は既約な多項式を相対(1) irreducible かつ regular である. したがって,
不変式 $P(x)$ を持ち, singular set は, $S_{\mathbb{C}}=\{x\in Vc;P(x)=0\}$ で与えられる.
のとき, 適当な characterが存在して,$(G_{\mathbb{C}}, \rho, V_{\mathbb{C}})$こ$\chi$(1.1)$P(\rho(g)\cdot x)=\chi(g)P(x)$と書ける.
この条件は必ずしも必要とは考えられないが, 我々が調べようとする概均質ベクトル空間はたいていこの性質を満たしている.
定義 1.1.
$\bullet$$V_{R}$

上の超関数 $f(x)$ に対して次のように用語を定める.

(relatively-invarinat な超関数) 超関数 $f(x)$ が relatively-invariant (相対不変) であるとは, 群 $G$ のある characterに対して,$f(g\cdot x)=\chi(g)f(x)$が満たされるこ( -invaraiant ともいう. )(quasi-invarinat な超関数) 超関数 $f(x)$ が quasi-(relatively-)invariant (擬 (相とである.

$\bullet$$\chi$$\chi$

対) 不変) であるとは, 群 G のある character$f(g\cdot x)-\chi(g)f(x)$$\chi$があって, 超関数 $f(x)$ に対してという操作を繰り返すといつかは$0$になるものをいう. ( -quasi$\chi$invaraiant ともいう. )( になるまで回数-1) を degree という.のある多項式 $P(x)$ の零点に含(singular な超関数) 3 超関数 $f(x)$ の support がまれるとき, $f(x)$ を singular (特異) な超関数であるという. 特に, $f(x)$ の Fourier
変換像も singular な超関数となるとき, これを bi-singular(双特異) という.
$0$$\bullet$

これに加えて,$\mathbb{R}^{n}$$(G_{R}, \rho, V_{R})$は,さらに次の条件を満たすものとする.

3singular でない超関数を, 本文では便宜上 “non-singular“ と呼ぶが,これは singularity を持たない超関数という意味ではないので注意して欲しい. (support が open set を含むということであ
る.

)

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室政和 (岐阜大学)(2) singuler set$S_{\mathbb{C}}$は GC の部分群 GC1 $;=\{g\in G_{\mathbb{C};}P(\rho(g)x)=P(x)\}$ によって有限個の軌道に分かれる.

(3) relatively invariant な超関数はすべて$|P(x)|_{L}^{s}$の linear combination で書ける.

これらの条件のうち, 最初の条件は, 概均質ベクトル空間の中でも性質のよいものという理由であげたもので,自然なものといってよいであろう. 確かめることも簡単である. 一方

2 番目と 3 番目の条件は条件としてはきつすぎる,で,と感じるかも知れないが, 重要と思われる例ではたいていこれが満たされている.
問題 1. ここでは次の問題を考える.

(1) $(G_{N}, \rho, V_{R})$ のすべての相対不変超関数を決定/構成せよ.

(2) そのうちで, 特異な超関数はどのようなものがあるか.

2. その解き方$(G_{\mathbb{C}}, \rho, V_{\mathbb{C}})$と書き. 表現–

どのようにして問題を解くか ?

を前節の条件を満たす概均質ベクトル空間とする. この群 GC の Lie 環を$\rho$の infinitesimalな表現を

infinitesimal な character を\delta \chi とする.
このとき, VC 上の character$d\chi$$\chi^{s}(s\in \mathbb{C})$,既約な相対不変式 $P(x)$ の character$\chi$$\otimes_{\mathbb{C}}$のに対応する相対不変な関数 $u(x)$ の満たす微分方程式は次の式で与えられる.

(2.1)$\mathfrak{M}_{s}$$:<d\rho(A),$ $\frac{\partial}{\partial x}>-s\delta\chi(A))u(x)=0$, for all$A\in\emptyset c$

この微分方程式は regular holonomic system になり, したがってその characteristic variety$ch(\mathfrak{M}_{s})$は Lagrangian subvariety になる.

(2.2)

$ch( \mathfrak{M}_{s})=\bigcup_{:\in I}\Lambda_{i\mathbb{C}}$をその既約成分分解としよう. ここで$\Lambda_{i\mathbb{C}}$は既約な complex Lagrangian subvariety にあらわす.
上のholonomic system の解となる超関数 $u(x)$ をその cotangent bundleの real locusに含まれる.
microfunction と考えたとき, その support は
この$T^{*}V_{R}$$\bigcup_{i\in I}\Lambda_{i\mathbb{C}}$

この各既約成分$\Lambda_{iR}$$\bigcup_{i\in I}\Lambda_{iR}$における $u(x)$ の値を決定してやることによって,$\mathfrak{M}_{s}$の超関数解を一つ定めることができる. この超関数解の support は, ちょうど $T^{*}V_{B}$ における $u(x)$ のsupport を$V_{R}$に射影したものになり,したがって, ある $V_{B}$ の閉集合に support を持つような超関数を定めるためには, それに対応する $T^{*}V_{B}$ の閉集合に support を持つような

microfunction 解を定めればよい.

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例外群

$E_{7}$の特異不変超関数

microfunction $u(x)$ の代わりにその principal symbol
Lagrangian subvariety 毎に決定してやればよい.
具体的には,$\sigma_{\Lambda}(u(x))$

を, 各 real

この事をもう少し詳しく述べよう.

(2.3)$ch( \mathfrak{M}_{s})=\bigcup_{:\in I}\Lambda_{i\mathbb{C}}$にあらわれる既約な complex Lagrangian subvariety$\Lambda_{i\mathbb{C}}$からその singular points および他の 既約な Lagrangian subvarietyと交わっている点を除いた集合を A 艶 と書く.
れは connected かっ non-singular な Lagrangian subvariety であるが, この real locus$\Lambda_{iR}^{o}$$:=\Lambda^{0_{\mathbb{C}}}\cap T^{*}V_{R}$こは幾つかの connected components に分かれる.

(2.4)

この分解を

$\Lambda_{iR}^{0}=uj\in J.\Lambda_{ijR}$と書く.
この超関数解 $f$ に対して p$\Lambda_{\ddot{v}}R$

上の sheaf(2.5)$\sqrt{|\Omega_{\Lambda}.n|}j\otimes\sqrt{|\Omega_{V_{D}}|}$の real analytic な section$\sigma_{\Lambda_{ij-}}(f)$が与えられて,

これが, 超関数解 $f$ と 1 対 1 に対応すと $V_{R}$ 上の volume forms である.

) このの principal symbol と呼ぶ. また逆に, すべての real Lagarangianを
section上でで prinacipal symbol を定めればそれに対応する超関数解はただ一つに定まる.
る.

(ここで,

$|\Omega_{\Lambda_{ijn}}|$$\sigma_{\Lambda_{:jR}}(f)$と$|\Omega_{\gamma_{n}}|$はそれぞれ$\Lambda_{ijR}$$f$$\Lambda_{ijR}$

しかし,

ても,

もちろん勝手な principal symbol を各 Lagrangian subvariety 上に与えたとしそれに対応する microfunction 解がうまく $T^{*}V_{B}$ 全体にまで延長できるかどうかは分からないし, 無理に全体に延長しても– microfunction の sheaf は flabby だから延長す

るだけのことならできる
からない.
ある.

それが飢 s の解としての超関数になっているのかどうかも分

ちゃんと超関数解になるためには,

その principal symbol が満たすべき条件がholonomic system M、の超関数解の principal symbol が満たすべき条件は,$micrc\succ local$

力 ‘,

–

$\mathfrak{M}_{s}$のな構造によって決まる. 一方で, その条件を満たす超関数解が実際に存在するという問題が生じるが,これは実際に解を構成する事でこれを保証する.

解の構成には, 相対不変式の複素べきを利用する. 相対不変式 $P(x)$ の複素べきはやはり相対不変な超関数になり, 複素べきのパラメータ$s\in \mathbb{C}$

すなわち,

(2.6)

$V_{R}-S_{R}= \bigcup_{j=1}^{l}V_{jR}$に対して$\chi^{5}$-不変な超関数になる.

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室政和 (岐阜大学)

を $V_{R}$ からその singular set(2.7)$S_{R}$を除いた集合の connected component 分解とする.

$|P(x)|_{V_{1}}^{s}.:=\{\begin{array}{l}|P(x)|^{s}x\in V_{iR}\emptyset \mathbb{H}0x\not\in V_{*R}\emptyset \mathbb{H}\end{array}$と定義する.
$C_{0^{\infty}}(\mathbb{R}^{n})$この関数はの点を除いて$S_{R}$$V_{R}$

上の連続関数になる. さらにここで,$\phi(x)\in$をテスト関数とする積分,(2.8)$(|P(x)|_{v_{:m}}^{s}, \phi(x))=\int_{R^{n}}|P(x)|_{y_{jn}}^{s}\phi(x)dx$を考えると,

自然に$|P(x)|_{V_{1-}}^{s}$を$\mathbb{R}^{n}$上の超関数とみなすことができる 4.

この超関数は次の性質を持つ.
$\bullet$

これは, $\Re(s)>-1$ で絶対収束し, そこではを持つ超関数である.
超関数として, 全平面$\bullet$

この超関数の$P(x)^{5}$ の$\bullet$$|P(x)|_{L}^{s}$

$B$

$s$

さらにこれは$s\in \mathbb{C}$

$s$

$s$

について holomorphic なパラメータを meromorphic なパラメータに持つ$\mathbb{R}^{n}$上のに解析接続できる.

に関する pole は$s$

が-1 以下の有理数の点にあらわれ, その点は-関数の根によって決まる.

の pole を Laurent 展開したとき,

support が$S_{R}$

その主要部の係数にあらわれる超関数は,に含まれる.

このようにして定義された超関数 $|P(x)|$ 妬 が(29)$|P(g\cdot x)|_{V}^{\text{、}}=|\chi(g)|\cdot|P(g\cdot x)|_{V}^{\text{、}}$

を満たすことは,したがって,

なっている.

(2.9) よりすぐわかる.

このようにして定義された超関数 (2.7) は holonomic system (2.1) の解に
これらの超関数 (の線形結合) によって書ける超関数の各 Lagrangian におけprincipal symbol が, 求めるべき超関数の principal symbol と一致すれば, その様なprincipal symbol を持つ超関数解の存在が保証される.
る

相対不変な超関数に限っていうならば, このような方法で基本的には相対不変な超関数をすべて決定する事ができる. このうち, support がとすれば,$S_{R}$に含まれてしまうものを特定しよう

open orbit に対応する Lagrangian 上の principal symbol が零になるような超関数を決定すればよい.

quasi-relatively-invariant な超関数も基本的には同様の方法で決定できる. すなわち, これが満たす holonomic system とその超関数解の principal symbol が満たす関係式を求め,
この条件にあう (可能な) 超関数解を決定するのである. この場合もその条件にあう超関数の存在は, 別途構成する事によって示す必要がある.

4 いわゆる Local zeta function である.

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例外群

$E_{7}$の特異不変超関数

3. 取り扱う概均質ベクトル空間とその ORBIT 分解
さて, 我々がここで取り扱う概均質ベクトル空間は, 例外型の Lie 群

である.

の最低次元表現

この表現についてまず簡単に述べておく.

すこし唐突かも知れないが,

れが例外群
ル空間,

$E_{7}$$E_{7\mathbb{C}}$

6 次の symplectic 群$Sp_{6\mathbb{C}}$の表現と緊密な関係にあるからである.

$<u_{1},$ $u_{2},$ $\ldots,$ $u_{6}>$の表現の話しからはじめよう.

$\mathbb{C}^{6}$こを 6 次元の複素数体上のベクトをこのベク トル空間の基底とする.

この基底から,$GL(\mathbb{C}^{6})$の中の symplectic 群を$Sp_{6\mathbb{C}}$$:=\{g\in GL_{6\mathbb{C}};g\cdot J=J\}$を満たす部分群として定義する. ただし,

ここで$J$ $:=u_{1}\wedge u_{4}+u_{2}\wedge u_{5}+u_{3}\wedge u_{6}$

である.

この群

$Sp_{6\mathbb{C}}$次元であるので,の 3 次の交代テンソル空間

これを$V(20)_{\mathbb{C}}$$\wedge^{3}\mathbb{C}^{6}$への作用を考える.

この空間は 20と書く. この空間は, Sp6C の作用によって, 14 次元と 6 次

元の 2 個の既約成分に分解する.
$\wedge^{3}\mathbb{C}^{6}=\{x=\sum_{1}x_{1jk}u_{i}\wedge u_{j}\wedge u_{k};(*,jk) x_{*jk}\in \mathbb{C}\}$と書くとき, 14 次元の既約成分の部分空間

(31)
を満たす

$V(14)_{\mathbb{C}}$は,$x_{125}=x_{163},$ $x_{124}=x_{623},$ $x_{143}=x_{523},$ $x_{416}=x_{256},$ $x_{451}=x_{356},$ $x_{452}=x_{436}$$V(20)_{\mathbb{C}}$の部分空間である.

このとき,

この空間に

$g=(g_{1},g_{2})\in G_{\mathbb{C}}=Sp_{6\mathbb{C}}\cross GL_{1\mathbb{C}}$.

が$\rho(g);x\vdash*g_{2}\cdot(g_{1}\cdot x)$

によって$V_{\mathbb{C}}$に作用し,$(G_{\mathbb{C}}, \rho, V_{\mathbb{C}})$は regular な概均質ベクトル空間になる.

は, 相対不変式を書きやすくするために V(14)C を次のように書き表す.

(3.2)
ただし,

.

$V(14)_{\mathbb{C}}=\{(x_{0}, y_{0}, X, Y);x_{0}=x_{123}, y_{0}=x_{456}, X,Y\in M_{3}(\mathbb{C})\}$

ここで$X=(\begin{array}{lll}x_{423} x_{143} x_{124}x_{523} x_{153} x_{125}x_{623} x_{163} x_{126}\end{array})Y=(\begin{array}{lll}y_{156} y_{416} y_{451}y_{256} y_{426} y_{452}y_{356} y_{436} y_{453}\end{array})$である. 実際には,(3.1) の条件により,$X,$ $Y$は対称行列になる.

ここで我々

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室政和 (岐阜大学)

この概均質ベクトル空間の相対不変式は,(3.3)$P(x)=(x_{0}y_{0}-tr(XY))^{2}+4x_{0}$ det(Y)+4によって与えられる. ここで,

$X_{1j}$$y_{0} \det(X)-4\sum_{1j}\det(X_{1j})\det(Y_{ji})$は行列 $X$ より第 行と第 列を除いてできる $2\cross 2$ 行列
$i$

$j$

の行列式を表している.
さて,このベクトル空間は(3.4)$V(14)_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus Sym_{3}(\mathbb{C})\oplus Sym_{3}(\mathbb{C})$(ここで,$Sym_{3}(\mathbb{C})$は $3\cross 3$ の複素対称行列の空間) の形をしているが,同じ形態のベク ト

ル空間として,(35)$V(20)_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus Her_{3}(\mathbb{C}_{\mathbb{C}})\oplus Her_{3}(\mathbb{C}_{\mathbb{C}})$(3.6)$V(32)_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus Her_{3}(\mathbb{H}_{\mathbb{C}})\oplus Her_{3}(\mathbb{H}_{\mathbb{C}})$(3.7)$V(56)_{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus Her_{3}(\ )\oplus Her_{3}(C_{\mathbb{C}})$を考える事ができる.
列の空間で,$\mathbb{C}_{\mathbb{C}},$$E_{\mathbb{C}},$

ここで,$\mathbb{C}_{\mathbb{C}}$$Her_{3}(-)$

ー

ト行

はそれぞれ, 複素係数の二元数環, 複素係数の四元数環と Cayley

数環 (八元数環) をあらわす.

5

これらのエルミート行列に対しても, それぞれの方法で行列トレース, 余因子などが定義される 6 ので, 相対不変式となる多項式 (3.3) はそのままの式,
形で,それぞれ (3.5),(3.6), (3.7) のベクトル空間上の多項式になる.

多項式 $P(x)$ を不変にする元より成るの作用によって$G_{\mathbb{C}}^{1}$

は括弧 (-) の中の係数を持つ $3\cross 3$ エルミ$V_{\mathbb{C}}$の部分群をは概均質ベクトル空間となる.

はそれぞれ 6 次の特殊線形群

ある. (この場合,$GL(V_{\mathbb{C}})$$GL_{1\mathbb{C}}$$SL_{6\mathbb{C}}$,$V(20)_{\mathbb{C}}$,

12 次のスピン群$G_{\mathbb{C}}^{1}$とすると,$V(32)_{\mathbb{C}}$$Spin_{12\mathbb{C}},$,$G_{\mathbb{C}}=G_{\mathbb{C}}^{1}\cross GL_{1\mathbb{C}}$$V(56)_{\mathbb{C}}$$E_{7}$

に作用する

型の例外群

はもちろんスカラー倍の作用である. ) これらは,$E_{7\mathbb{C}}$で$P(x)$ を相対不変式とする既約な概均質ベクトル空間である.
これらの概均質ベクトル空間のうち, 特に$G_{\mathbb{C}}=E_{7\mathbb{C}}\cross GL_{1\mathbb{C}}$$(3.8)$$V_{\mathbb{C}}=V(56)_{\mathbb{C}}$が, 我々が考察する概均質ベクトル空間である.

5 実際には$Her_{3}(\mathbb{C}_{\mathbb{C}})\simeq M_{6}(\mathbb{C}),$

通常は後者を使う.

$Her_{3}(\mathbb{H}_{\mathbb{C}})\simeq Alt_{12}(\mathbb{C})$となる多元環の同型写像が存在するのでここで $Alt_{12}$ (-) は $12\cross 12$ の括弧 (-) の中の係数をもつ交代行列の空間を表す.

6 例えば, [Mur89] などを参照.

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例外群

$E_{7}$の特異不変超関数

しかし, 実際にはこれらの概均質ベクトル空間はほとんど同じ構造をしている.

(3.9)$\mathbb{C}\mapsto \mathbb{C}_{\mathbb{C}}\mapsto \mathbb{H}_{\mathbb{C}}\mapsto C_{\mathbb{C}}$となる自然な, 多元環としての, 埋め込みによって(3.10)$Sym_{3}(\mathbb{C})\mapsto Her_{3}(\mathbb{C}_{\mathbb{C}})\mapsto Her_{3}(\mathbb{H}_{\mathbb{C}})\mapsto Her_{3}(\mathbb{C}_{\mathbb{C}})$も存在する. これらの埋め込みから, 自然に(3.11)$V(14)_{\mathbb{C}}\mapsto V(20)_{\mathbb{C}}\mapsto V(32)_{\mathbb{C}}\mapsto V(56)_{\mathbb{C}}$が得られる.
$V(20)_{\mathbb{C}},$$V$(56)C 上の相対不変式 $P(x)$ をこれに埋め込まれる部分ベクトル空間$V(14)_{\mathbb{C}}$を不変にする$V(32)_{\mathbb{C}}$,に制限したものがそれぞれのベクトル空間上の相対不変式であり, これら$GL(V_{\mathbb{C}})$の部分群$G_{\mathbb{C}}^{1}$も同じ様に順に埋め込まれる関係にある.

このようにして定義された概均質ベクトル空間$(G_{\mathbb{C}}, \rho, V_{\mathbb{C}})$は orbit 分解においても同じ構造をしている. すなわち, 次の定理が成り立っ.
定理 3.1. (1)$V(14)_{\mathbb{C}}$はの作用によって 5 個の orbits に分解する.

$G_{\mathbb{C}}=Sp_{6\mathbb{C}}\cross GL_{1\mathbb{C}}$$V(14)_{\mathbb{C}}=O_{\mathbb{C}}\cup S_{1\mathbb{C}}\cup S_{2\mathbb{C}}\cup S_{3\mathbb{C}}\cup S_{4\mathbb{C}}$そして, それらは次の点によって生成される. すなわち, 各 orbit の生成点 $(x_{0}, y_{0}, X, Y)\in$$V(14)_{\mathbb{C}}$は次で与えられる.

$O_{\mathbb{C}}$$S_{1\mathbb{C}}$$S_{2\mathbb{C}}$$S_{3\mathbb{C}}$$S_{4\mathbb{C}}$(2) 同じく,$V(20)_{\mathbb{C}},$$V(32)_{\mathbb{C}},$:$(1, 0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}1 0 00 1 00 0 1\end{array}))$:$(1, 0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}1 0 00 1 00 0 0\end{array}))$:$(0,0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}1 0 00 1 00 0 0\end{array}))$: $(1, 0,$(0) (0)$,$: $(0,0,$(0) (0)$,$$V(56)_{\mathbb{C}}$

$)$

$)$

も (3.11) による埋め込み写像によって, 同じ点から生成される. ここで, 各 orbit の余次元は次の表 1 で与えられる.

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表 1. orbit の次元
次に,

これらの概均質ベクトル空間の real form (実形) を考えよう. real form は必ずしも一つとは限らない 7. 我々は, ここでは (3.4), (3.5), (3.6), (3.7) の係数$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$がそのままになるような real form を取り上げる. すなわち,(3.12)$V_{R}=V(14)_{R}=\mathbb{R}\oplus R\oplus Sym_{3}(\mathbb{R})\oplus Sym_{3}(\mathbb{R})$(3.13)$V_{R}=V(20)_{R}=R\oplus \mathbb{R}\oplus Her_{3}(\mathbb{C})\oplus Her_{3}(\mathbb{C})$(3.14)$V_{R}=V(32)_{R}=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus Her_{3}(\mathbb{H}_{R}^{d})\oplus Her_{3}(\mathbb{H}_{R}^{d})$(3.15)$V_{R}=V(56)_{R}=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus Her_{3}(\mathbb{C}_{B}^{d})\oplus Her_{3}(C_{R}^{d})$となる場合である.

ここで,

畷や嘘は,

それぞれ, 実数体$\mathbb{R}$上の Hamilton の四元数上の Cayley 数体 (一つしかない) を表している.

(3.3) の多項式 $P(x)$ はそのまま, この空間 V, 上の実係数の多項式となり, この多項式を不変にするような GL(VR) の体, 実数体

部分群が$Sp_{6R},$$\mathbb{R}$$G_{\mathbb{C}}^{1}$の real form になる.

$V(20)_{R}$

作用する$G_{R}^{1}$

は

に作用する
$E_{7\mathbb{R}}^{(-25)}$$G_{R}^{1}$

これを$G_{R}^{1}$と書く. 実際には,は $SU(3,3)_{R},$ $V(32)_{R}$ に作用する, となる 8.

$G_{\mathbb{C}}$の real form $G_{R}$ は$V(14)_{R}$$G_{R}^{1}$に作用する$G_{R}^{1}$

はは $Spin_{6H_{n}^{d}},$ $V(56)_{R}$ に$G_{R}^{1}\cross GL_{1j\mathbb{R}}$となる.

このようにして得られた real form に対しても, 同じ様に次の自然な多元環の埋め込みがある.

(3.16)$\mathbb{R}\mapsto \mathbb{C}\mapsto ffl_{R}^{d}\mapsto C_{R}^{d}$となる自然な多元環の埋め込みによって(3.17)$Sym_{3}(\mathbb{R})\mapsto Her_{3}(\mathbb{C})\mapsto Her_{3}(\mathbb{H}_{R}^{d})\mapsto Her_{3}(\mathbb{C}_{R}^{d})$7 ちなみに,合は 3 個,8 ここで,
群,$E_{7R}^{(-25)}$$Sp_{6\mathbb{C}}\cross GL_{1\mathbb{C}}$$E_{7\mathbb{C}}\cross GL_{1\mathbb{C}}$$SU(3,3)_{R}$ はの場合は 1 個,$SL_{6\mathbb{C}}\cross GL_{1\mathbb{C}}$の場合は 3 個,

Spin$12\mathbb{C}^{\cross GL}1\mathbb{C}$の場の real forms が存在する.
signature が $(3, 3)$ の特殊ユニタリ群, $Spin_{6}$ 畷は畷上の 6 次のスピノルの場合は 2 個,は killing form の signature が-25 の E7C の real form である.

111
例外群

$E_{7}$の特異不変超関数も存在する. これらの埋め込みから, 自然に(3.18)$V(14)_{B}\mapsto V(20)_{N}\mapsto V(32)_{R}\mapsto V(56)_{B}$が得られる.
による orbit 分解の生成点は $V(14)_{B}$ に
complex の場合と同じ様に,取れる. これらの real forms の orbits の生成点は次で与えられる.
これによって,$G_{B}^{+}$(1) $V(14)_{R}$ は定理 3.2.

ここで,$O_{R}$,$G_{R}$

によって次のように orbit 分解する 9.

$O_{R}=[A]\cup[B]\cup[C]$3 軌道に分解

$S_{1R}=[D]\cup[F]$2 軌道に分解

$S_{2R-}=[I]\cup[J]$2 軌道に分解

$S_{3R}$

1 軌道$S_{4R}$

原点だけ.

Si $(i=1,2,3,4)$ などは, それぞれ

$O_{\mathbb{C}}\cap V(14)_{R},$$S;c\cap V(14)_{B}(i=$$1,2,3,4)$ を表す.

(2) その各軌道の生成点 $(x_{0}, y_{0}, X, Y)\in$ 除は次で与えられる.
$\bullet$$O_{R}$に含まれる orbits.

$[A]$

:

$(1, 0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}1 0 00 1 00 0 -l\end{array}) )$

$[B]$

:

$(1, 0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}I1 0 00 1 00 0 1\end{array}) )$

$[C]$

:

$(-1,0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}) , (\begin{array}{lll}1 0 00 1 00 0 l\end{array}) )$9 ここで, 各 orbit を $[A],[B]$ のようにアルファベットを使って書いたのは, (ここでは表に出さな
かったが) 対応する Lagrangian subvariety を同じアルファベットで書いたためである.

112
室政和 (岐阜大学)$\bullet$$S_{1\mathbb{R}}$に含まれる orbits.

$[D]$

国

$\bullet$$S_{2B}$:$:(-1,0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}) (\begin{array}{lll}l 0 00 1 00 0 0\end{array}))$に含まれる orbits.

[I] :

$[J]$

$\bullet$$(1, 0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}1 0 00 1 00 0 0\end{array}))$:$(0,0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}l 0 00 1 00 0 0\end{array}))$$(0,0, (\begin{array}{lll}0 0 00 0 00 0 0\end{array}), (\begin{array}{lll}1 0 00 -l 00 0 0\end{array}))$そのほかの orbits.

(3) $V(20)_{B},$$V(32)_{R},$$V(56)_{R}$$S_{3R}$: $(1, 0,$(0) (0)$)$$S_{4R}$: $(0,0,$(0) (0)

$)$

$,$

における生成点は,$,$(3.18) による埋め込み写像によって2. と同じ点で与えられる.
(4) 各 orbits の closure の間には次の包含関係が成り立っ.
$\bullet\overline{\frac{[A]}{[B]}}\supset[D]\supset[D],$$[F]$$\overline{[C]}\supset[F]$$\bullet\overline{[D]}\supset[I],$$[J]$$\overline{[F]}\supset[I],$$[J]$$\bullet\overline{[I]}\supset S_{3B}$$\overline{[J]}\supset S_{3B}$$\bullet\overline{S_{3B}}\supset S_{4R}$

したがって, 特に $V(56)_{B}$ の orbit 分解もこれよりわかる.

113
例外群

$E_{7}$の特異不変超関数

4. 特異不変超関数
さて,このようにして計算した結果を次に述べる.

も同様の結果を出すことができるが,$V(56)_{B}$$s$の値が $s=-1,$ $-2,$$V(32)_{R}$においてについての結果だけを述べる.

$\ldots$と $s=-11/2,$ $-13/2,$$\ldots$$\chi^{s_{-}}$の時にあら-invariant な超関数の空間を, $Inv^{(k)}(s)$ は degree-quasi-invariant な超関数の空間をあらわす. このとき, singular (さらには bi-singular)

われる事がわかる. 我々は, $Inv(s)$ は$\chi^{s}$$V(56)_{R}$$V(20)_{R},$においては, 特異不変 (singular invariant) な超関数は\chi 8-invariant あるいは,

quasi-invariant になり, 特に,
の

ここでは,

$V(14)_{R},$$k$$\chi^{s}$な超関数があらわれうるのは, 次にあげる空間である.

これらは,「同型 10」によって 4 つの場合に分類される.

Case 1: $Inv(-1)\simeq Inv(-2)\simeq\cdots\simeq Inv(-13)$
Case 2: $Inv(-14)\simeq Inv(-15)\simeq\cdots$
Case 3:
Case 4:$Inv(- \frac{11}{2})\simeq Inv(-\frac{13}{2})\simeq\cdots\simeq Inv(-\frac{17}{2})$$Inv(- \frac{19}{2})\simeq Inv(-\frac{21}{2})\simeq\cdots$$Inv^{(1)}(- \frac{19}{2})\simeq Inv^{(1)}(-\frac{21}{2})\simeq\cdots$

このベクトル空間の同型にしたがって, singular な超関数を含みうる quasi-relatively-invariantな超関数の各ベクトル空間の次元を表にしたものが, 次の表 2 である.

括弧 $()$ の中の数字は quasi-invariant なものを含めた不変超関数の次元

表 2. 不変な超関数の空間の次元 $(E_{7}\cross GL_{1\mathbb{C}}, 56- dim. rep\otimes\square )$これらのベクトル空間の基底は,$|P(x)|_{L}^{s},$$(L=A, B, C)$ を$s$について Laurent 展開した時に, その係数としてあらわれる超関数を利用して与えることができる. 以下,書き下す.

10 この同型は, 後述のように不変微分作用素で与えられ, support を保存する.

それを順に

114
室政和 (岐阜大学)$\bullet$$Inv(-1)$ の基底. $s=-1$ において,$|P(x)|_{L}^{\text{、}}= \sum_{n=-1}^{\infty}(s+1)^{n}P_{n}(L, -1)$,$(L=A, B, C)$と Laurent 展開される.

(1) $P_{-1}(A, -1)$ と $P_{-1}(C, -1)$ は, singular かつ bi-singular になる.

さらに,

$P_{-1}(B, -1)=P_{-1}(A, -1)+P_{-1}(C, -1)$であるので, $Inv(-1)$ の中で,singular なものは 2 次元しかない.

(2) さらに,$P_{0}(B, -1)-(P_{0}(A, -1)+P_{0}(C, -1))$

は non-singular な不変超関数になる.

(1) における singular な超関数の基底とあわせて $Inv(-1)$ の基底をなす.
$\bullet\frac{Inv(-2)\simeq Inv(-3)\simeq\cdots \text{の基底}}{\partial}$

微分作用素$P()\overline{\partial x}$を使って,$P( \frac{\partial}{\partial x})Inv(-k)=Inv(-k-1)$$(k=1,2, \cdots , 12)$の同型対応があり,によって $Inv(-1)$ の基底に微分作用素

この同型は support を保存するので,$P( \frac{\partial}{\partial x})$

これを複数回作用させる事によって得られる.
$\bullet Inv(-\frac{11}{2})$の基底.

$|P(x)|_{L}^{s}= \sum_{n=-1}^{\infty}(s+\frac{11}{2})^{n}P_{n}(L, -\frac{11}{2})$と Laurent 展開される.

ただしここで,,$(L=A, B, C)$$P_{-1}(B, - \frac{11}{2})=0$

である.

(1)
$P_{-1}(A, - \frac{11}{2})-3P_{-1}$ [ $C$.

$- \frac{11}{2}$は $Inv(- \frac{11}{2})$ の中の bi-singular な超関数である.

)

bi-singular な超関数はこれ1 次元だけ.

(2)$P_{-1}(A, - \frac{11}{2}),P_{-1}(C, -\frac{11}{2})$は $Inv(- \frac{1I}{2})$ の中の singular な超関数の空間の基底

になる.

(3)

$P_{-1}(A, - \frac{11}{2}),P_{-1}(C, -\frac{11}{2})$

なる.

に加えて,

$P_{0}(B, - \frac{11}{2})$(2) で与えられた基底にこれを加えるとは non-singular な超関数に$Inv(- \frac{11}{2})$の基底になる.

115
例外群$\bullet$$Inv(- \frac{13}{2})\simeq Inv(-\frac{1S}{2})\simeq\cdots$$E_{7}$の特異不変超関数の基底.

$P( \frac{\partial}{\partial x})Inv(-\frac{11}{2}-k)=Inv(-\frac{11}{2}-k-1)$$(k=0,1,2)$ によって与えられる.
$\bullet$$Inv(- \frac{19}{2})$の基底.

$|P(x)|_{L}^{s}= \sum_{n=-2}^{\infty}(s+\frac{19}{2})^{n}P_{n}(L, -\frac{19}{2})$と Laurent 展開される.

(1)
(2)

ここで,

,

$P_{-2}(B, - \frac{19}{2})=0$$(L=A, B, C)$である.

$Inv(- \frac{19}{2})$の中には bi-singular な超関数は存在しない.

$Inv(- \frac{19}{2})$の中に singular な超関数は 2 次元分存在して, その基底は, $P_{-2}(A, - \frac{19}{2})=$$3P_{-2}(C, - \frac{19}{2})=\frac{3}{2\pi}P_{-1}(B, -\frac{19}{2})$と $P_{-1}(A, - \frac{19}{2})-3P_{-1}(C, -\frac{19}{2})$ によって与え

られる.

(3)

$Inv(- \frac{19}{2})$の中の non-singular な超関数は 1 次元分存在して, その基底は$P_{0}(B, - \frac{19}{2})-2\pi P_{-1}(C, -\frac{19}{2})$て,$\bullet$$Inv(- \frac{19}{2})$で与えられる. (2) の基底とこの超関数によっの基底が与えられる.

$Inv(- \frac{21}{2})\simeq Inv(-\frac{23}{2})\simeq\cdots$の基底.

$P( \frac{\partial}{\partial x})Inv(-\frac{19}{2}-k)=Inv(-\frac{19}{2}-k-1)$$(k=0,1,2, \cdots)$$\bullet$$Inv^{(1)}(- \frac{19}{2})$によって与えられる.

の基底.

quasi-invariant なものは,の基底に加えて(1)$Inv(- \frac{19}{2})$$P_{-1}(A, - \frac{19}{2})$(あるいは $-3P_{-1}(C,$$- \frac{19}{2})$)を $Inv^{(1)}(- \frac{19}{2})$ の中の singular な超関数の空間の基底として付加すればよい.

(2)$Inv(- \frac{19}{2})$の基底と (1) に加えて $P_{0}(A, - \frac{19}{2})-3P_{0}(C, -\frac{19}{2})$ と $P_{1}(B, - \frac{19}{2})-$$2 \pi P_{0}(C, -\frac{19}{2})$が non-singular な超関数を含めた $Inv^{(1)}(- \frac{19}{2})$ の基底にあらわれる.
$\bullet$$Inv^{(1)}(- \frac{21}{2})\simeq Inv^{(1)}(-\frac{23}{2})\simeq\cdots$の基底.

$P( \frac{\partial}{\partial x})Inv^{(1)}(-\frac{19}{2}-k)=Inv^{(1)}(-\frac{19}{2}-k-1)$$(k=0,1,2, \cdots)$によって与えられる.

116
室政和 (岐阜大学)$\bullet Inv(-14)$の基底.
$|P(x)|_{L}^{s}= \sum_{n=-1}^{\infty}(s+14)^{n}P_{n}(L, -14)$,$(L=A, B, C)$と Laurent 展開される.

(1) $Inv(-14)$ の中に bi-singular なものは存在しない.
(2) $P_{-1}(A, -14),$ $P_{-1}(B, -14),$ $P_{-1}(C, -14)$ , は $Inv(-14)$ の基底になる. これらはすべて singular な超関数である.

(3) quasi-relatively-invariant な超関数で singular になるものはこのほかには存在しない.
$\bullet$$Inv(-15)\simeq Inv(-16)\simeq\cdots$ の基底.

$P( \frac{\partial}{\partial x})Inv(-k)=Inv(-k-1)$$(k=15,16,17\cdots)$ によって与えられる.

最後に,

これらの基底としてあらわれた特異な超関数の実際の support を参考までに与えておこう.
$\bullet Inv(-1)$

supp $(P_{-1}(A, -1))=\overline{[D]}$supp $(P_{-1}(C, -1))=\overline{[F]}$$\bullet Inv(-\frac{11}{2})$supp$(P_{-1}(A, - \frac{11}{2}))=\overline{[I]\cup[J]}$

supp
supp

$(P_{-1}(C, - \frac{11}{2}))=\overline{[I]}$$(P_{-1}(A, - \frac{11}{2})-P_{-1}(C, -\frac{11}{2}))=\overline{[J]}$$\bullet Inv^{(1)}(-\frac{19}{2})$supp$(P_{-2}(A, - \frac{19}{2}))=\overline{S_{3B}}$

supp $(P_{-1}(A, - \frac{19}{2})-3P_{-1}(C, -\frac{19}{2}))=\overline{[I]\cup[J]}$supp$(P_{-1}(A, - \frac{19}{2}))=\overline{[I]\cup[J]}$

117
例外群

$E_{7}$の特異不変超関数$\bullet Inv(-14)$

supp $(P_{-1}(A, -14))=\overline{[D]}$supp $(P_{-1}(B, -14))=\overline{[D]\cup[F]}$supp $(P_{-1}(C, -14))=\overline{[F]}$ただし,supp $(P_{-1}(A, -14)+P_{-1}(B, -14)+P_{-1}(C, -14))=S_{4R}=$ 原点
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