数理解析研究所講究録 1283 巻 2002 年 7-20

7Hrushovski’s New Proof of Manin-Mumford
Conjecture
板井 昌典 (ITAI Masanori)
東海大学 理学部 情報数理学科(Department of Mathematical Sciences, Tokai University)

1

はじめに

幾何的モデル理論の数論幾何への応用として, E. Hrushovski による幾何的
Mordell-Lang 予想の解決は有名である. ザリスキー幾何の理論を用いて, す
べての標数に対して ffl 一的論法で予想を解いたのであった. 標数 0 の場合はすでに A. Buium によって微分代数的手法で解かれていたが, すべての正標数に対する解決は Hrushovski による画期的な結果である.
ここでは, やはり Hrushovski による数論幾何への応用として,Manin-

Mumford 予想に対する., 新たな視点からの別証明について解説する.

2Manin-Mumford 予想

Manin-Mumf 化 rd 予想: 種数 2 以上の代数曲線, $J(C)$ :のヤコビ多様体,$C$ 上には $J(C)$ の torsion points は有限個しかない.
$C$

$C$

$C\subset J(C)$と考える.

は楕円曲線である. この場合 $J(C)=C$ であの構造が分かれば,り, torsion points は無限個ある. 群 $G$ に対して有限性は自然な帰結として得られる. アーベル多様体に関しては次の結果が有名である.
-

ちなみに, 種数 1 の場合,

$C$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$8Theorem 1(Raynaud, 1983)
をアーベル多様体, $X$ を部分多様体とする. ともにある数体 $K$ 上定義されている.
を $A(K^{a})$ の torsion全体の群とすると,$A$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$$\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{s}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)\cap X=\cup i=1n(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A:)+c)$である. ただし,$A_{:}$

は $A$ の部分群多様体,$ci\in A,$$K^{a}$

は $K$ の代数的閉包とする.

アーベル多様体は完備な代数群である. 代数群の完備性を仮定せす, 単に可換性のみを仮定しても同様の結果が得られることを, Hrushovski が示した.

Theorem 2(Hrushovski)
を可換代数群,いるとすると$G$$X$

を部分多様体とする. ともにある数体$I\dot{(}$上定義されて$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)\cap X=\cup=1n(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G:)+c:)$である. ただし, $G$: は $G$ の部分代数群, $c:\in G$ である. さらに,さを effective に押さえることが出来る. すなわち,

$n$

の大き

$n\leq c\deg(X)^{e}$であるような定数が存在する. ここでreductions $p,$ だけに依存して決まる.
$c,$

$e$

$c,$ $e$

は $G$ と$G$の2 っの good$q$31-基底群 ($\mathrm{o}^{-}\mathrm{n}\mathrm{e}-\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d}$Groups)

幾何的モデル理論を用いて解く場合, 1-基底群と呼ばれる群の構造定理が活躍する. 次に述べる基本性質のうち, 3 番目が特に重要である.

Fact 1$G$を 1-基底群とする.

1. 加群は 1-基底群である. よって可換群は 1-基底群である.
2. 連結な 1-基底群は可換群である. (–\Re には, 可換群

3.

$\cross$

有限)の任意の定義可能部分集合 $X$ は, 有限個の定義可能部分群たちの剰
余類のブール和である.

$G$

91-基底群の典型例である加群のモデル理論について考えてみよう.
法の単位元 1 を持つ, 可換環とし, -加群の言語,(ただしは 倍を表す 1 変数関数記号) を一 固定する.
$R$

$R$

を乗
,

$LR\ovalbox{\tt\small REJECT}\{+, 0, \{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} r\mathrm{C}R\}\}$$r$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Example 1-加群としての,の定義可能部分集合 $X$ の形を考える.という関係は, 論理式 $\exists y(x=f_{n}(y)+k)$ で定義される. したがって定義可能集合 $X$ はの形をした論理式のブール和によって定義されていることが分かる. これはまさに Raynaud の定理やの構造と同じである.
Hrushovski の定理における$(\mathrm{Z}, +, 0, \{f_{n} :$\mathrm{Z}$n\in \mathrm{Z}\})$$x\equiv k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$$x\equiv k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$-\Re の $R$-加群に関しては, 次のような構造定理が得られている.

Theorem 3
を $R$-加群とする.
を論理式とする.
が存在して,
いる論理式$M$$\psi(\overline{x})$p.p- 理式のブール和になって$\psi^{*}(\overline{x})$$M\models\psi(\overline{x})rightarrow\psi^{*}(\overline{x})$が成り立つ. ここで,とを加群の言語$L_{R}$$\mathrm{p}.\mathrm{p}$-論理式というのは, 上の$x\equiv k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$と同様のこで表現した論理式のことである.

したがって本題に戻れば, アーベル多様体 $A$ あるいは可換代数群 $A$ に対しが 1-基底群であれ lf–ff 落着である. しかし大きな問題が待ち構て,えている. 点 が torsion point であるということの定義を振り返ってみよう.
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$$x$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)\ni x\Leftrightarrow\exists n\in \mathrm{N}(nx=0)$である. ここで, 「の部分が問題なのである. 幾何的モデル理論ではという群をモデル理
このような量記号は扱えないのである. つまり,$\exists n\in \mathrm{N}\mathrm{J}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$論で直接扱う事が出来ない.
ではどうすればよいのか ?
の代わりに,
を含む 1-基底群を探せばよい. そのような群を探すために difference fields のモデル理論が登場するのである. すなわち,
体 $K$ とその自己同型 を一 ffi に考えるモデル理論である. 特に ACFA と呼ばれる, 代数的閉体と自己同型 を一緒に考えるモデル理論が活躍するのである. ACFA に関しては, 本講究録にある桔梗宏孝氏の解説を参照されたい.
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$$\sigma$$\sigma$10
幾何的 Mordell-Lang 予想との関連

4

ここで幾何的 Mordell-Lang 予想との関連を考えてみよう. Hrushovski が証明したのは次の結果である.

Theorem 4を異なる代数的閉体とする. $K$ 上で定義されたアーベル多様体 $A$と, $A$ の無限部分多様体 $X$ を考える.
を $A(K)$ のランク有限な部分群とする. さらに, Stabx $=\{a\in A$ :$a+X=X\}$ は有限であるとする.
このとき次の 1 または 2 のいすれかが成り立つ.
$k_{0}\subset I\acute{(}$$\Gamma$

1.
2.

$X\cap\Gamma$

は $X$ でザリスキー稠密でない力\searrow またはの部分アーベル多様体 $B,$
上定義されたアーベル多様体 $S$ , そしてと $K$ 上の同型射 $h:Barrow$上定義されている $S$ の部分多様体$K$ が存在してS\otimes へ$A$$k_{\mathit{0}}$$X_{0}$$k_{0}$$X=a0+h^{-1}(X0\otimes_{k_{0}}K)(a_{0}\in A)$となっている.

実は上の定理を幾何的モデル理論を用いて証明する場合, ランク有限な群を扱うことが出来ないのである. ランク有限の定義にはやはり 口 \in N」
が必要だからである. この定理を証明するということは, 場合 1 または場合
2 のいずれかが成り立つということを示すことである.
$\Gamma$

$n$

$1$

.

$arrow\vee$\emptyset 場合に\acute \supset いては,$\Gamma$

を含む 1-基底群を探さなければならない.

・標数 0 の場合 :differentially closed fields のモデル理論を用いる$\bullet$

正標数の場合 :separably closed fields のモデル理論を用いる

2. この場合ザリスキー幾何の理論を用いて, $k0$ と同型な体を再構成する.
このように幾何的 Mordell-Lang 予 の解決にはザリスキー幾何の理論が必要 1 であるが, Manin-Mumford 予想では, ザリスキー幾何の理論は不要である.
$\mathrm{a}\mathrm{e}_{l\mathrm{u}}$1 標数0 の場合, ザリスキー幾何は不要であることが 2002 年初頭に証明された. 正標数の揚合は依然として必要である.

11
5Prime-tO-p Torsionsを含むような 1-基底群を探さなければならないが, その前により簡単について考えることにする.
を素数, $q=p^{n}(n\in\omega)$ としを標数 の有限体とする. また$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$な$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$$p$$k^{a}$

を$k=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$$p$の代数的閉包とする.

$f_{\hat{v}}$$\bullet$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)=$$\bullet$$\phi_{q}${ $a\in A:\exists n(n,a=0)$ ただし,

: $x-x^{q}$ :$k^{a}$の Frobenius$n$は $p$ と互い}こ素}

自己同型

とおく. 参考文献にあげた Hrushovski の論文にある次の補題が重要な働きをする.

Lemma 5.0.9 (Hrushovski の論文の p. 104)
$A$

を

$k$

上の可換代数群とする. このとき
$F(\phi_{q})(a)=0(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A))$

を満たす $F(T)\in \mathrm{Z}[T]$ が存在する. ただし, $F(T)$ は 1 のべき乗根を根として持たない. また, 多項式 $F[T]$ は次の性質を持っ.
$\bullet$$\bullet$$\deg(F)\leq 2\dim(A)$の係数の絶対値の和 $\leq(1+q^{1/2})^{2\dim(A)}$$F$

この補題があるので,$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$で 0 となるような自己同型を規定する整数係数多項式の存在が保障される. そじてこのような多項式が存在するので,fields のモデル理論が活躍出来る. ACFA の結果を駆使して,を含む 1-基底群を探すのである. その結果として Manin-Mumford 予
想を解く事が出来る. 2$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}_{-}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$Lemma 5.0.9 の証明
$A$

を

$k$

上の可換代数群とする.

Step 1:

$A$

の分解

(

$0arrow Larrow Aarrow\overline{A}$を考える. ここで,$L$は線形代数群,$\overline{A}$$k$上の完全列)

はアーベル多様体である. よって$0arrow \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)arrow \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)arrow \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(\overline{A})$$2\mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}$は 1-基底的 (one based) ではな$<\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y}$modular と呼ぶ.

12
したがって,

である.

$(F_{1}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)=0\wedge F_{2}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(\overline{A})=0)\Rightarrow F_{1}F_{2}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=0$である. ここで,というのは, 任意の$F_{1}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)=0$$a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)$に対して $F_{1}(\phi_{q})(a)=0$ が成り立つということである.

Step 2: 3 つの場合がある.

Weil の古典的結果を用いて, 多項式 $F[T]$の存在を示す. 得られる多項式 $F[T]$ は, 次数 2 $\dim(A)$ のモニツクで, 固有$[egg1]:A$ がアーベル多様体のとき.

値はすべて$|q^{1/2}|$

である.

概略 :
$l$

を

の標数と異なる素数とする.

$k$$T^{*}=\{(a_{1},a_{2}, \ldots) :とおくと,$T^{*}$は自由$\mathrm{z}_{l}$a:\in A, l\cdot a_{1}=0, l\cdot a_{1+1}.=a:\}$-加群であり, $\dim(T^{*})=2\dim(A)$ である.

に作用する. 一方,
End(A) は -linear map としてはへの作用によって決まり, Frobenius
ratinal endmorphism は,の rational end を定める. また任意の $F(T)\in \mathrm{Z}[T]$ に対して,

任意の$\alpha\in$$\alpha$$F(\phi_{q})$である.
$T^{*}$$P(T)$ を

上 0 である.

$T^{*}$$\mathrm{Z}_{l}$$\phi_{q}$$T^{*}$

is 0on$\phi_{q}$$A\Leftrightarrow$$F(\phi_{q})$is 0on$T^{*}$の特性多項式, すなわち $\det(T-\phi_{q})$ とする.

ここで,$P(T)\in \mathrm{Z}[T]$$A$$P(\phi_{q})$はであることを示すのがポイントである(Weil の理論が必要).
$\phi_{q}$を$T^{*}\otimes \mathrm{Q}_{l}$の$\mathrm{Q}_{l^{-}}$

線形変換とみたとき,$P(T)$の根と$\phi_{q}$の固有値が一致する.
の固有値 ( $N$ は自然数)
もしある固有値が 1 のべき乗根ならば, 1 はは $A$ の無限個の元
よって, $\phi_{q}^{N}(v)=v$ となる $0\neq v\in T^{*}$ が存在する.
は有限だから矛盾する. したがって, $A$ 上でを固定する. ところでは 0 である.
$\phi_{q}^{N}$$\phi_{q}^{N}$$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(\phi_{q}^{N})$$P(\phi_{q})$参考文献

A. Weil, Courbes algibriques et variiti ab\’elienne
A. Pillay, Fact 2.2, p. 198:$A$が algebraic torus のとき.

上定義された同型写像もやはり同型写像である.
である.
型であり,
$\mathrm{G}\mathrm{F}(q^{l})$$g$:$\psi=g\mathrm{o}\phi_{q}(g)^{-1}$$\mathrm{G}_{m}^{n}$$\psi\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathrm{Z})$が存在する.
はとおくと,$Aarrow \mathrm{G}_{m}^{n}$$\psi$$\phi_{q}(g)$$\mathrm{G}_{m}^{n}$: $Aarrow$

の自己同

13
で動かない. また, $\psi^{l}=\psi\circ\phi_{q}(\psi)\circ\cdots\circ\psi_{q}^{l-1}=id$ なので はで動かないことに注意する.
このを用いると, $(A, \phi_{q})\cong(G_{m}^{n},g\phi_{q}g^{-1})$ であることが分かる.
$g\phi_{q}g^{-1}=\psi 0\phi_{q}$ かつなので, $A$ が algebraic torus
である揚合 [ま多項式として $F[T]=T^{l}-q^{l}$ を使えばよい.
は$\psi$$\phi_{q}$$g$$\phi_{q}^{l}$$g$$(\psi 0\phi_{q})^{l}=(\phi_{q})^{l}=\phi_{q^{l}}$:が unipotent group のとき.

$A$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)=\emptyset$

なので $F[T]=1$ とする.

標数 から標数 0 へ
最終的には数体上で議論しなければならないので, Lemma 509 を標数 0へ持ち上げなければならない. $A$ を数体上の, 連結な可換代数群とし,を aprime of good reduction とする.
をの完備化の極大な非分岐拡大とすると,である.
の Frobenius 自己同型
さて,
は
の自己同型
へ持ち上げられを持つので). まる (理由 :algebraically closed valued fields の理論は上の 1 対 1 写像を定義する.
た,からへの制限は,
任意の多項式 $F[T]\in \mathrm{Z}[T]$ に対して,$p$$I\acute{\mathrm{t}}$

$\wp$

$L$

$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\underline{\mathrm{C}}A(L)$$I\mathrm{f}_{p}$$k^{a}$$\phi_{q}$$L$$\phi$$\mathrm{Q}$$L$$k^{a}$$\mathrm{E}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)$$F(\phi)(a)=0(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A))\Leftrightarrow F(\phi_{q})(a)=0(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A_{k}))$である. これらを用いて, Lemma 509 を次のように標数 0 版へと持ち上げる.

Lemma 5.0.10.
の自己同型とする. このとき, 1 のべき乗根を解としてもたない, 次数 $\dim(A)$ の多項式 $F[T]\in \mathrm{Z}[T]$ で, $F$ の係数の絶対値の和 $\leq(1+$$q^{1/2}.)^{2\dim(A)}$ であるようなものが存在して,$\sigma_{0}$を$K^{a}$$F(\sigma 0)(a)=0(.\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A))$

が成り立つ.
以後,$(K^{a}, \sigma 0)\subset(L, \sigma)$を difference field とすると,$F(\sigma)(a)=0,$なので,$(K^{a}, \sigma_{0})$$(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A))$

を generic な difference ffleds に埋め込む.

5.1- ACFA の登場
ACFA に関しては桔梗氏の解説を参照して欲しいが, 1-基底群に関連した定理を 3 つ列挙しておく.
Proposition 1

14$(K, \sigma)\models \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A},$$E=\mathrm{a}c1_{\sigma}(E)\subseteq Kk\mathrm{L}$$p:E$ 上の非自明な modular タイ 7,ァ$\mathrm{T}$

$p$

1

,

$\mathrm{S}\mathrm{U}(p)=1$とすると

ffl7–^‘‘J 多様体, または$\mathrm{g}^{\backslash }$$\{$$\mathrm{G}_{m}$heorem ( ichotomy)$\mathrm{D}$は$E=\mathrm{a}\mathrm{c}1_{\sigma}(E)$上の-rank1 のタイプとすると$\mathrm{S}\mathrm{U}$$pf(\sigma(x)=x)$ または ( $p$ は modular, stable, stably embedded, stationary)

さらに,$pX(\sigma(x)=x)\Leftrightarrow\{\begin{array}{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}_{\sigma}(p)=1,t>\vee\supset\mathrm{g}_{l}*_{\backslash \backslash }\Re Nl^{\mathrm{i}}ff\Xi \mathrm{L}T,\not\in \text{意の} k\in \mathrm{Z}\text{に対して}[E(a,\sigma^{k}(a))\cdot.E(a)]\leq N\end{array}$

Proposition 2
If を ACFA のモデルとする. $H$ を $K$ 上定義された代数群,
であるような $H(K)$ の定義可能部分群とする. さらに,定義されていて,
fixed fields とする.

$G$

$G$

は

を

$\mathrm{S}\mathrm{U}(G)<\omega$$E=\mathrm{a}\mathrm{c}1_{\sigma}(E)$上$G[perp] \mathrm{a}11$

このとき,
対して,

量記号を用いずに定義される任意の部分集合 $X\subseteq H(K)^{m}$ に$X\cap G^{m}$$=$

量記号なしで $E$ 上定義可能な$G^{m}$の有限個の剰余類のブール和である.

5.2ACFA の 1-基底群
Definition 1を可換代数群とし, $V$ を極大な, vector subgroup (つまり) とする.
を $V(K)$ の定義可能部分集合, $C$ を $A(K)$ の定義可能部分群の剰余類とする. このとき, $\mathrm{Y}+C$ を spcial と呼ぶ.
$A$$\cong(\mathrm{G}_{a})^{m}$$\mathrm{Y}$Theorem 5とし,を Fix(\sigma ) 上定義された可換代数群とする.
(If, )
1 のべき乗根を解に持たないに対して, $G=\{g\in A(K\}$ :$\sigma$$\models \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}$$A$$F[\text{利}\in \mathrm{Z}[T]$$F(\sigma)(g)=0\}$

とおくと,

15
のすべての定義可能部分集合は,
和である.

$G$

$\mathrm{L}G$

2. $X$ がの部分多様体であるとき,の有限和である.

持てば,$X\cap G$$A$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\subseteq G$の special subsets の有限ブール

は $A$ の special 部分多様体となっているので, $G$ がこの Porposition 1 のような性質をに関する Manin-Mumford 予も同様の性質を持ち,$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$

想を解くことが出来る.

6All Torsions
もともとの問題はに関するものである.
に関する結論を得るには 3 つの方法がある.

$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}’p(A)$の結果を利用して$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ではなくで$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$

1 つ目の道 :2 つの自己同型を用いる

Proposition 6.1.1 (Hrushovski, p. 106)$A$を数体 $K$ 上定義された準アーベル多様体,$X$

を $A$ の部分多様体とす

ると,$X\cap \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=A$の有限個の群部分多様体の剰余類の和.

となる.

概要 :
$p\neq l$

を $A$ の異なる good reduction とする.

$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\oplus \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{l’}(A)$

と考える.
このとき,
は

$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)$$\sigma,$$\tau,$$F_{p}[T],$ $F_{l}[T]\in \mathrm{Z}[T]$で 0 であり,$A_{p}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(F_{p}(\sigma)),$$F_{l}(\tau)$

はが Lemma 509 より存在する.

上で 0 である.
をとおく. また$F_{p}(\sigma)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{l’}(A)$$A_{l}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(F_{l}(\tau))$$\mathcal{F}$$\sigma,$$\tau$

で生成される

自由群とする.
このとき,

である.

$A_{p}^{F}\cross A_{l}^{\mathcal{F}}$よって$A_{p}^{\mathcal{F}}+A_{l}^{\mathcal{F}}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\subseteq A_{p}$には one-based (algebraically modular) (Prop. 452)

かつも one-based. である.

$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}$は-不変なので$\mathcal{F}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\subseteq A_{p}^{F}$である. 同様

である.
よって $T\subset A^{F}$ なので $T$ は one based (alg. modular) である.

$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}\iota’(A)\subseteq A_{l}^{\mathcal{F}}$

2 つ目の道 :1 つの自己同型上定義された可換代数群,
を数体
し, $B=A/V$ とおく.
$A$

$I\mathrm{t}^{-}$$V$

を $A$ の極大 vector subgroup と

16
目標 :

$G(\sigma’)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=0$となる\in G 峨 Qalg/If) と$\sigma’$$G(T)\in \mathrm{Z}[T]$

上 1 対 1 なので,reduction map $Aarrow B$ はが成り立っていれば充分である. Lemma 509 より,$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$$\bullet$$\bullet$$\bullet$

$B$

を探す

$G(\sigma’)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(B)=0$の good reductions $p,l$ ,$\sigma\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B))/K)\text{と}\tau\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B))/K)$$F_{p}(T),$ $F_{l}(T)\in \mathrm{Z}[T]$: ともに 1 のべき乗根を解に持たない,が存在して,$F_{p}(\sigma)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B)=0$

かつ$F_{q}(\tau)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B)=0$である.

Serre の結果より (Collected Papers,$L=K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B))\cap I\mathrm{f}(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B))$と$K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B))$$\cdots,$$\alpha_{2d}$, p. 33-34, p. 56-59)

は $K$ の有限次ガロア拡大であり,$K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B))$

は $L$ 上線形無関連である.

ここで $m=[L : K]$ とお$\alpha_{1},$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{I}\mathrm{V}$$\text{く}$.

を $F_{p}(T)$ の根,$\beta_{1},$$\cdots$, 鳥 を 6(T) の根とし,$d$$G(T)=. \cdot\prod_{=1}^{2d}(T-\alpha_{}^{m})(T-\beta_{1}^{m}.

)$

とおく.

結論 : このとき$\sigma^{m}$と$\tau^{m}$

1.

$G(\sigma’)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(B)=0$2.

$(\mathrm{Q}^{alg}, \sigma’)$を拡大する$\sigma’\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{Q}^{alg}/L)$が存在して,

かつ,を拡大する ACFA のどんなモデノレにおいても,を定義する$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(G(\sigma’))$$B$

はの one-based subgroup (modular subgroup)

3 つ目の道 : コンパクト性定理の応用 [Pillay]
コンパクト性定理を用いる方法もあるが, 詳しくは参考文献にある Pillayの論文を参照されたい.

17
7

Effective Bounds

1-基底群の定義可能部分集合は, 有限個の剰余類のブール和になることが分かったが, 何個の剰余類が必要なのだろうか. 与えられた定義可能集合ごとに個数が変わることは用意に想像できるが, 果たして個数の上限は存在するのだろうか. もし上限が存在するとして計算可能だろうか. Hrushovski は上限を計算する方法を明示している.
とについて分かっているが,の場合はに比べ, 議論ははるかに複雑である.
の場合のみ論ずることにする.
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$7.1$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$の場合Theorem 6 $X$ を定義可能集合とする.

この $X$ に対して

$X\cap \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)=\cup a_{i}i=1M+\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A_{i})$となっているとする. ここで$\bullet d\leq\dim(A)$$d+:A^{3}$$\bullet$

の中で,

$A$

の加法を定義するグラフの次数$M\leq(\deg(X)^{2d+1}(d_{+})^{2d^{2}(2d+1)(\log_{2}(1+q^{1/2})+1)^{2}})^{2^{d\dim(X)}}$

概略 :$\bullet$$F(T)= \sum_{i=0}^{2d}m_{i}T^{i},$.

$m_{1}$$\in \mathrm{Z}$$\bullet(\mathrm{Q}^{a}, \sigma)\subset(K, \sigma)\models \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}$$\bullet\tilde{S}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}F(\sigma)$$S= \{(a0, \ldots, a_{2d})\in A^{2d+1} :\sum_{\dot{l}=0}^{2d}[m_{i}]ai=0\}$

とおく.
$\bullet\sum|m|.|\leq(1+q^{1/2})^{2d}$$\bullet$

であり2 以上の数 $M$ を掛ける $=\log_{2}(M)(\log_{2}(M)+1)/2$ 回の足し算

18
ょって,

を

$Z$

$\deg(S)\leq(d_{+})^{2d^{2}(2d+1)(\log_{2}(1+q^{1/2})+1)^{2}}$のザリスキー閉包とすると$\tilde{S}\cap X$$\deg(Z)\leq(\deg(X)^{2d+1}\deg(S))^{2^{2d\dim(\mathrm{X})}}$

8-Voloch 予想$\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{e}$$\mathrm{Q}_{p}$を?進体,

Tate-Voloch$G$を$\mathrm{C}_{p}$を$\mathrm{Q}_{p}$の代数的閉包の完備化とする. 4 を?進距離とする.

$*\mathrm{a}\mathrm{e}$上定義された準アーベル多様体,$\mathrm{C}_{p}$$X$

を $G$ の部分多様体とする.

自然数 $N$ が存在して,任意のが成り立つ.
要するに, 点$P\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$に対して $(P\not\in X\Rightarrow d_{p}(P,X)>N)$$P\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$

に対して,

$P$

が $X$ に入ってぃなければ $X$ と $P$の間の?進距離には下限が存在するという予想である.

Theorem (Tate and Voloch, 1996)$G$$\mathrm{T}$がトーラスの時, 予想は正しい.

heorem (Hrushovski, 1996)

上定義されていて, good reduction を持ち,
想は正しい.
$G$が$\mathrm{Q}_{p}^{alg}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G)$Theorem (Scanlon, 1998, 1999)$G$

が$\mathrm{Q}_{p}^{alg}$上定義されている時, 予想は正しい.

T-V 予想. 証明の概要 (Hrushovski)$\bullet$

1 のべき乗根を解に持たない $F[T]\in \mathrm{Z}[T]$ に対して,$\mathrm{C}_{p}$の自己同型$\sigma$が存在して$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G)\subseteq\{a\in G(\mathrm{Q}_{p}^{alg}) :$\bullet$$a0,$ $\cdots,$ $a_{n},$ $\cdots\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G),$F(\sigma(a))=0\}$$\lim d_{p}(a:,X)=0$

とする.

に対して予

19
目標 : ほとんどの$i$

こついて $a_{i}\in X$ を示す.

背理法で示す.
$\{i\in \mathrm{N}:a_{i}\in X\}\not\in \mathcal{U}$であるような$\mathrm{N}$

上の non-principal untrafflter$\mathcal{U}$

が存

在する.
の中の r 進ノルム有界な列全体とする. 各 に対し|r(i)|_{p}\leq p^{-n}\}\in \mathcal{U}\}$,
とおき, $I=\cap I_{n}$ とするて,は $R$ のイデアノレである.
と,を $D$ の自己同型に拡張
を $D$ に埋め込む.
$D=R/I$ は体であり,する.
: $D$ の中の $(a_{0}, \ldots, a_{n}, \ldots)$ の像とする. そうすると, $a\in G(D)$ ,$F(\sigma)(a^{*})=0,$ $a^{*}\in X(D)$ である.
$R=l^{\infty}(\mathrm{C}_{p})$を$n$$\mathrm{C}_{p}$$I_{n}=\{r\in R : \{i\in \mathrm{N} :$I$$\sigma$$\mathrm{C}_{p}$$a^{*}$

ここで $(D, \sigma)\prec(L, \sigma)$ , generic diff. fields I こ移る.
$X(L)\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(F(\sigma))\subseteq\cup(c_{i}+B_{i})$(有限和) ただし,

ル部分多様体,
よって,$\pi$$c_{\dot{l}}+B_{i}\subset X$$B_{i}$

は $G$ の準アーベである.

$a^{*}\in c+B\subset X,$$B$

は $G$ の部分準アーベル多様体である.

: $G\mapsto G/B$ とすると, $\pi(a_{i})arrow\pi(a^{*})$ となる.

こついて $\pi(a_{i})$ の, 剰余体における像は一致ので,
上 1 対 1 である.
reduction は$\pi(ai)=\pi(a^{*})$ であり,ほとんど
よって, ほとんどすべての についてほとんどすべての$i$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G/B)$

$i$

すべての

について $ai\in c+B$ である.

$i$

したがって, ほとんどすべてのついて $a_{i}\in X$ である.

9Drinfeld 加群: 標数 $p>0$ の代数的閉体, 超越次数は正$I\acute{\mathrm{C}}$$\bullet$$\bullet$

EndK$(\mathrm{G}_{a})=I\acute{\mathrm{e}}$上定義された G。の自己同型全体の環$\bullet \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{K}(\mathrm{G}_{a})\cong I\iota^{-}[\phi_{p}]$$\bullet$$T$を$I\acute{\dot{\mathrm{t}}}$の超越元と考えて,$A=\mathrm{F}_{p}[T]$を$I\acute{\mathrm{i}}$の部分環と考える.

Definition
環準同型$\varphi$:$Aarrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}K(A)$は,$\varphi(T)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\phi_{p}^{i}\Rightarrow a\mathit{0}=t$が成り立つ時,$A$

かつ $a_{n}=1$

上の Drinfeld 加群であると言う.

Theorem (Scanlon 1999)

$i$

に

20
は Drinfeld 加群$\bullet$$\varphi$$I\acute{\mathrm{i}}^{N}$$\bullet$$\bullet$$X\cap$

は

は

$X$

(the

$I\dot{\mathrm{i}}^{N}$

を $A$ -module と見なす

$A$

$I\dot{\mathrm{t}}^{N}$の部分多様体-torsion subgroup of$K^{N}$) $=\{x\in K^{N} : \varphi(a)(x)=0(\exists 0\neq a\in A)\}$の有限個の部分代数群たちの$A$-torsion 部分群の剰余類の和集合である.
証明には, 標数である.
$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}_{p}$$p$の difference ffleds のモデル理論の Dichotomy Theorem の証明には,$(\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}_{p})$の結果が必要Zariski 幾何の議論が必要

最後に, どのような集合が Zarisiki 幾何を定義するかをまとめておく. い
ずれの場合も 「次元定理」 と呼ばれる定理が成り立っかどうかが鍵となっている J 次元定理」 はまた, 対応するある種の環 (微分多項式環など) の Krull次元を用いて証明される. 以 T の例以外の新たな例を探すことは興味深い問
題である.

Zariski 幾何$\{$

diff. closed fields のランク 1 の集合
sep. closd fields のランク 1 の集合
difference fields のランク 1 の集合

参考文献
E. Hrushovski, The Manin-Afumforvl conjecture and the model theory of difference fields, Annals of Pure and Applied Logic, 112(2001) 43-115(Received September 1995; accepted 17 April 2001)
E. Bouscaren, Th\’eorie des Mod\‘eles et Conjecture de Manin-Mimforvl ’apr\‘es
Ehud Hrushovski, S\’eminaire Bourbaki,
me anni, 1999-2000,$d$$52\grave{\mathrm{e}}$$\mathrm{n}^{\mathrm{o}}870$

Z. Chatzidakis, A Survey on the Model Theory of Difference Fields, inModel Theory, Algebra, and Geometry, MSRI Publications,$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}39$

2000

A. Pillay, ACFA and the Manin-Mumford Conjecture, in Algebraic Model
Theory, Kluwer Academic Pub., 1997