数理解析研究所講究録 1281 巻 2002 年 14-24

14Fourier-Jacobi Expansion of Kudla Lift
村瀬

篤 (京都産業大学・理)菅野

孝史 (金沢大学・理)\S 1. $U(2,1)$ 上の保型形式
1.1

$K$

を, 判別式 $D$ の虚 2 次体とする.

の非自明な自己同型とする.
に対し,た, 有限素点$\mathrm{Q}$の各素点$\mathcal{O}_{K}$を $K$ の整数環,

に対し,

$v$

$\sigma$$K_{v}=K\otimes \mathrm{o}\mathrm{Q}_{v}$を$K/\mathrm{Q}$とおく. ま$p$$K_{p}=\mathrm{Q}_{p}\oplus \mathrm{Q}_{p}$$\mathrm{Z}_{p}\oplus \mathrm{Z}_{\mathrm{p}}$$\mathcal{O}_{K,p}=\{$の整数環$K_{p}$

とおき,
$K$

の

$\mathcal{O}_{K,f}=\Pi_{p<\infty}\mathcal{O}_{K,p}$$K_{p}$は体

およひ $K^{1}=\{t\in K^{\mathrm{x}}|tt^{\sigma}=1\}$ とする. 今後,

0 でない分数イデアルを単にイデアルということにする.

12$S=\{\begin{array}{lll} \kappa^{-1}-\kappa^{-1} 1 \end{array}\}$とおく. ここに,$\kappa=\sqrt{D}$

である.

$S$

は, 符号 $(2, 1)$ のエルミート行列である.

を$S$に関するユニタリ群とする. すなわち,

$N$

と

$R$

$G_{\mathrm{Q}}=\{g\in GL_{3}(K)|{}^{t}g^{\sigma}Sg=S\}$.

を

1$N_{\mathrm{Q}}=\{(w, x):=\{$$R_{\mathrm{Q}}=\{n$$\kappa w^{\sigma}$$x+ \frac{\kappa}{2}ww^{\sigma}$

01
001

ラー行タリ diag(t, $t,$ ) は常 [こ$t$$|w\in K,$ $x\in \mathrm{Q}\}$$w$

diag(l,$t,$$1$) $|n\in N_{\mathrm{Q}},t\in K^{1}\}$で与えられる $G$ の部分群とする. 簡単のため,
に対し,

$G$

$t\cdot 1_{3}$diag(l,) を $nt$ と書く. スカと書くことにする. $w,$ $w’\in K,$$n$$(w, x)(w’, x’)=(w+w’, x+x’+ \frac{1}{2}\langle w, w’\rangle)$

$t,$

$1$

$x.,$ $x’\in \mathrm{Q},t\in I\acute{i}^{1}$, およひ $t(w, x)t^{-1}=(tw, x)$15が成り立つ. ここに,

$w_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{o}’\rangle\ovalbox{\tt\small REJECT} Tr_{K/\mathrm{Q}}(\kappa w’w’)$(こ対し,$a\epsilon K^{\mathrm{x}}$

0
0

0
01
00

$a^{\sigma}$$\mathrm{d}(a)=\{$.

$\in G_{\mathrm{Q}}$$a^{-1}$とおく.

13の有界対称領域 $D=\{^{t}(z, w)\in \mathrm{C}^{2}|(z-\overline{z})/\kappa-w\overline{w}>0\}$を次のように定める:への作用と, 正則保型因子$G_{\infty}=G(\mathrm{R})$$J:G_{\infty}\cross Darrow \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$$(g\in G_{\infty}, Z\in D)$$g\cdot Z^{\sim}=J(g, Z)\cdot(g\langle Z\rangle)^{\vee}$

ここで,$Z={}^{t}(z, w)\in D$$Z_{0}={}^{t}(\kappa/2, \mathrm{O})\in D$

に対し$Z^{\sim}={}^{t}(z, w, 1)\in \mathrm{C}^{3}$の固定化部分群を$\mathcal{K}_{\infty}$

.

とおいた.

とする. K。 は$G_{\infty}$$G_{\mathrm{t}\mathrm{x}1}${こお$[] \mathrm{J}$るの極大コンパクト部分群である.

1.4
点

を

$L=\mathcal{O}_{I\acute{\dot{\backslash }}}^{3}$

$p$

(こ対し,

$\prod_{p<\infty}\mathcal{K}_{l^{J}}$の lattice$K^{3}$$L_{p}=L\otimes \mathrm{z}\mathrm{Z}_{p}$とおくと,$\mathcal{K}_{p}$とし,$L_{f}= \prod_{p<\infty}L_{p}$である. また,(resp.

$\mathcal{K}_{f}$) は,$G_{p}$

とおく. ここに, 各有限素$\mathcal{K}_{p}=\{g_{p}\in G_{p}’|g_{p}L_{p}=L_{p}\},$(resp.

$G_{\mathrm{A},f}=C\tau \mathrm{A}$$\mathcal{K}_{f}=$の有限部分) の極大コンパクト部分群である.
を正の偶数
t こ対し,
15
質を満たすもののなす空間とする.
$l$

(i)

$A_{l}(\mathcal{K}J)$$F(gkJk_{\llcorner \mathrm{Y}\circ}^{\wedge})=J(k_{\infty}, Z_{0})^{-l}F(g)$(ii) 任意の$g_{f}\in G_{\mathrm{A},f}${こ対し,$G_{\mathrm{Q}}\backslash G_{\mathrm{A}}$上の smooth な関数 $F$ で次の性$(g\in G\mathrm{A}, kf\in \mathcal{K}_{f}, k_{\infty}\in \mathcal{K}_{\infty})$$J(g_{\infty}, Z_{0})^{l}F(g_{\infty}gJ)$は$g_{\infty}\langle Z_{0}\rangle\in D$

{こ関し正

則である.
$A_{l}(\mathcal{K}_{f})$

を

ニタリ指標
$I\mathrm{t}_{\propto\neg}^{\cross})$$\mathcal{K}_{f}$$\Omega$

上の weight 1 の正則保型形式の空間と呼ぶ.
で,$\mathcal{O}_{I\dot{\backslash },f}^{\mathrm{x}}=\Pi_{p<\infty}\mathcal{O}_{Ii,p}^{\mathrm{x}}$$\mathcal{Y}\iota$を$I\mathrm{t}_{\mathrm{A}}^{\cross}/K^{\mathrm{x}}$のユ

上 trivial, かつ $\Omega(z_{\infty})=(z_{\infty}/|z_{\infty}|)^{-l}(z_{\infty}\in$を満たすものの集合とする. このとき,$A_{l}( \mathcal{K}_{f})=\bigoplus_{\Omega\in \mathcal{Y}\iota}A_{l}(\mathcal{K}_{f;}\Omega)$が成り立つ. ここで,

$A_{l}(\mathcal{K}_{f;}\Omega)$

は中心指標$\Omega$を持つ$F\in A\iota(\mathcal{K}_{f})$ある.
$\mathfrak{S}_{l}(\mathcal{K}_{f})=\{F\in A_{l}(\mathcal{K}_{f})|\int_{N_{\mathrm{Q}}\backslash \Lambda_{\mathrm{A}}^{t}}F(rxg)dn=0(g\in G_{\mathrm{A}})\}$

の空間で

16
とおく.

を

$\mathfrak{S}_{l}(\mathcal{K}_{f})$上の weight 1 の尖点形式の空間という.

$\mathcal{K}_{f}$$\mathfrak{S}_{l}(\mathcal{K}_{f})=\oplus \mathfrak{S}_{l}(.\mathcal{K}_{f;}\Omega),$$\mathfrak{S}_{l}(\mathcal{K}_{f};\Omega)=\mathfrak{S}_{l}(\mathcal{K}_{f})\cap A_{l}(\mathcal{K}_{f;}\Omega)$$\Omega\in \mathcal{Y}\iota$が成り立つ.

16は.

$\mathcal{H}(.G_{p}, \mathcal{K}_{p})$を$(G_{p}, \mathcal{K}_{p})$に関する通常の Hecke algebra とする.

に次のように作用する :$A_{l}(\mathcal{K}_{f;}\Omega)$$F* \Phi(g)=.\int G_{p}F(gx^{-1})\Phi(x)dx$

ここに

し,

$dx$

$\mathcal{H}(G_{p}, \mathcal{K}_{p})$はとなるように正規化されている. 各有限素点$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathcal{K}_{p})=1$から$7t(G_{p}, \mathcal{K}_{p})$$\mathrm{C}$$(F\in A_{l}(\mathcal{K}_{f;}\Omega), \Phi\in \mathcal{H}(G_{p},\mathcal{K}_{p}))$-の$\mathrm{C}$-algebra homomorphism

で,$\Lambda_{p}$が成り立つようなものが存在するとき,$F(\Phi\in \mathcal{H}(G_{p}, \mathcal{K}_{p}))$

.

$p$

に対

$F*\Phi=\Lambda_{p}(\Phi)$$F\in A_{l}(\mathcal{K}_{f};\Omega)$.

を

Hecke eigenform と呼ぶ.

1.7$\mathrm{Q}_{\mathrm{A}}/\mathrm{Q}$のカ D 法指標でり定まるものを$\psi$とする.

.

$\psi(x_{\infty})=$ $\mathrm{e}[x_{\infty}]:=\exp(2\pi\sqrt{-1}.x_{\infty}.)(x_{\infty}\in \mathrm{R})$$F\in A_{l}(\mathcal{K}_{f}),$ $m\in \mathrm{Q}$と $K$ のイデアル

ここで,$\psi_{m}(x)=\psi(mx)(x\in \mathrm{Q}_{\mathrm{A}})$となるように選ぶ. このとき$\alpha_{f}\mathcal{O}_{K,f}(a_{f}=a\otimes_{\mathrm{Z}}\mathrm{Z}_{f})$よって決まる. $m<0$ があることに注意する.

$F$

. また,

$mN\text{、}/\mathrm{Q}(a)$$\alpha_{f}\in I\acute{\iota}_{\mathrm{A},f}^{\mathrm{x}}$

$F$

は

$a$

に対し,

は

$a_{f}=${F0m}m,。 たちにが整イデアルでないときは,が cuspidal ならば, 任意のに対し$(r\in R_{\mathrm{A}})$$F_{a}^{m}(r)= \int_{\mathrm{Q}\backslash \mathrm{Q}_{\mathrm{A}}}\psi_{m}(-x)F((0,x)r\mathrm{d}(\alpha_{f}))dx$

とおく.

$a$

t こよ

$F_{a}^{m}=0$$F_{a}^{0}=0$

で

である.

\S 2. 原始的テータ関数
21

この節を通じて,な関数$\ominus$$m$を正の有理数とする.

$\mathrm{T}_{hol}^{m}$をRQ\R。上の smoothで次の条件を満たすもののなす空間とする :(i)$\ominus((0, x)r)=\psi_{m}(x)\ominus(f^{\backslash })(x\in \mathrm{Q}_{\mathrm{A}}, |$(ii)$\ominus(rt_{\propto}.)=\ominus(r)(r\in R_{\mathrm{A}}, t_{\infty}\in \mathrm{A}_{\infty}^{1}.’)$(iii) 任意の

$r_{f}\in R_{\mathrm{A},f}$正則である.

に対し,.

$\in R_{\mathrm{A}})$$w_{\infty} \mapsto*\mathrm{e}[-\frac{n\tau\kappa}{2}w_{\infty}\overline{w_{\infty}}]\ominus((w_{\infty}, 0)r_{f})$は$\mathrm{C}$上17を指数 $m$ の正則テータ関数の空間と呼ぶ.

$\mathrm{T}_{hol}^{n\iota}$

2.2

次に,

上の

$\mathrm{T}_{hol}^{m}$の Hecke 指標を$\mathrm{Q}$

集合を

.

とする.

$\omega$とする. また,$\mathcal{X}$$\langle$$\mathrm{Q}$

の素点

$K$

$v$

$\lambda_{h_{v}’}(\psi_{m})$$\chi\in \mathcal{X}_{0},$

自己準同型
とおく.

$\mathcal{M}_{\chi_{v}}(t_{v})$の Hecke 指標

で,$\chi$$I\mathrm{t}^{\nearrow}/\mathrm{Q}$に対応するをみたすものの$\chi|_{\mathrm{Q}_{\mathrm{A}}^{\mathrm{X}}}=\omega$と$\mathcal{X}_{0}=\{\chi\in \mathcal{X}|\chi(z_{\infty})=|z_{\infty}|/z_{\infty}(z_{\infty}\in K_{\infty}^{\mathrm{x}}=\mathrm{C}^{\mathrm{x}})\}$に対し,とする (cf. [MS1], Q32).

おの metaplectic 表現を定義しよう.

$I\dot{\acute{\mathrm{t}}}_{\mathrm{A}}^{1}$を,$(\mathrm{A}_{v}’/\mathrm{Q}_{v}, \psi_{m})$とする.

$\chi_{v}=\chi|_{I\backslash _{v^{\mathrm{X}}}’}$

を次のように定める:$t_{v}=1$に付随する Weil constant[こ対し,$t_{v}\in I\mathrm{t}_{v}^{\nearrow 1}$

のときは

の

$\mathrm{T}_{hol}^{m}$$\mathcal{M}_{\chi_{v}}(t_{v})=\mathrm{I}\mathrm{d}_{\mathrm{T}_{h\mathrm{o}\mathrm{t}}^{m}}$のときは,$t_{v}\neq 1$$\mathcal{M}_{\chi_{v}}(t_{v})\ominus(r)$$= \lambda_{Ii_{\acute{v}}}(\psi_{m})^{-1}\chi_{v}(\frac{1-t_{v}}{\kappa})$\psi n、 $( \frac{1}{2}\langle w_{v}, t_{v}u_{v}’\rangle)\Theta(r((1-t_{v})w_{v}, 0))dw_{v}$$\cross\int_{I\mathrm{i}_{v}}$とおく. ここに,$dw_{v}$

は$I\mathrm{t}_{v}^{\nearrow}$

関し self-dual なものとする.
く.

$\mathcal{M}_{\chi}$はの$\mathrm{A}_{\mathrm{A}}^{I1}$$\mathrm{T}_{hol}^{m}$$\rho’(tn_{f}t^{-1})(t\in I\iota_{\mathrm{A}}^{\nearrow 1},$

$R_{\mathrm{A},f}$

の

23
と

および

$\mathrm{T}_{hol}^{n\mathrm{z}}(a)$24$=\otimes_{v}\mathcal{M}_{xv}(t_{v})$$t=(t_{v})_{v}\in \mathrm{A}_{\mathrm{A}}^{I1}$$\rho’$$n_{f}\in N_{\mathrm{A},f}\rangle$

[こ対し,

(こ対し,

$\mathrm{T}_{hol,\chi}^{m}=\{\ominus\in \mathrm{T}_{hol}^{?1}’|\mathcal{M}_{\chi}(t)\ominus(r)=\ominus(rt)(r\in R_{\mathrm{A}},$$\mathrm{T}_{hol}^{m}=\oplus_{\chi\in\lambda_{\dot{0}}}\mathrm{T}_{h^{l}ol,\chi}^{n}$が得られる.

$I\acute{\dot{\mathrm{t}}}$

のイデアル

とおく.

ここ (こ

$R(a)_{f}$$=$$\{nt\downarrow n\in N(a)_{f}, t\in \mathcal{O}_{Ii,f}^{1}\}$$N(a)_{f}$$=$$\{(w, x)\in N_{\mathrm{A},f}|w\in a_{f}, x+\frac{\kappa}{2}ww^{\sigma}\in N_{Ii\acute{/}\mathrm{Q}}(a_{f})\mathcal{O}_{I\backslash ,f}’\}$の開コンパクト部分群である.

$F\in A_{l}(\mathcal{K}J)$に対し,$F_{a^{1}}^{n}\in$であることに注意する.
$(\uparrow n, a, \lambda’)$に関して原始的なテータ関数の空間 Thnlolprin、$(a, \lambda’\cdot)$を次のように定義する :$\mathrm{T}_{hol,p_{l}\cdot im}^{m}(a,\lambda’)=\{\Theta\in \mathrm{T}_{hol}^{m}(a, \chi)|P_{\mathrm{b}}’\ominus=0(\mathrm{b}\supset a, \mathrm{b}\neq a)\}$

ここに,

$a$

は

$R(a)f$$R_{\mathrm{A},f}$$t\in$$\mathrm{T}_{h^{1}ol}^{n}(a)=\{\Theta\in \mathrm{T}_{hol}^{?1}’|\ominus(rr_{0})=\ominus(r)(r\in R_{\mathrm{A}}, r_{0}\in R(a)_{f})\}$$\mathrm{T}_{hol}^{n\tau}(a, \chi)=\mathrm{T}_{hol}^{n\mathrm{z}}(a)\cap \mathrm{T}_{hol,\chi}^{nt}$で与えられるに$(w_{v}, w_{v}’)\vdasharrow\psi_{m}(\langle w_{v}, w_{v}’\rangle)$とお(こ対し, M、(t)上の smooth な表現を定め, M、(t) $0\rho’(nJ)0\mathcal{M}_{\chi}(t^{-1})=$
はを満たすことが知られている. ここ [ニ,とおくと, 直交分解$\chi\in \mathcal{X}_{0}$pairing

上の右移動表現を表す (cf. [MS2]).

$\mathrm{T}_{hol}^{n\tau}$$\lambda’\in \mathcal{X}_{0}$$\mathrm{A}_{\mathrm{A}}^{1}.’)\}$の Haar 測度で,$(\ominus\in \mathrm{T}_{hol}^{m}, r\in R_{\mathrm{A}})$$P_{\mathrm{b}}’$は$P_{\mathrm{b}}’ \ominus=\int_{N(\mathrm{b})_{f}}\rho’(n)\Theta d_{\mathrm{b}}n$$(\Theta\in \mathrm{T}_{hol}^{n1}(a))$

18により与えられるの自己準同型写像である. ただし,$\mathrm{T}_{hol}^{m}(a)$$d_{\mathrm{b}}n$は$N(\mathrm{b})_{f}$のにより正規化されたものである.
Haar 測度で,は高々 1 次元であることが知られている. このことは, $K=\mathrm{Q}(\sqrt{-1})$ のときに
Shintani ([Shin]) こよって, 一般の CM field の場合 [こは Glauberman-Rogawski, Theorem 3.4 も参照).
([GlRo]) よって証明され\gamma . ($\mathrm{T}_{hol,prim}^{m}(a,\chi)$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(N(\mathrm{b})_{f})=1$

$\}$

$=$

$[\mathrm{M}\mathrm{S}2]$

原始的テータ関数の存在条件を述べるために, 記号等を準備する.

2.5

とする.
る.

任意の有限素点

に対し,

$p$

とおく.

$O_{K,p}$$K_{p}/\mathrm{Q}_{p}\in K_{p}^{A}$き,\emptyset \Phi \star イアア’ い. 簡単のため,$\epsilon(\chi_{p},\psi_{m,Ii_{p}})=\epsilon(\frac{1}{2},$は体.

を, 次の条件を満たす$\mathcal{X}_{0,p’\cdot m}:(a, \uparrow n)$$\chi_{p},$ここ}ニ,$\psi_{m,K_{p}}=\psi_{m}0$とおく. このと$\psi_{m,Ii_{\acute{p}}})$

が成り立つ.

$\epsilon(\chi_{p}, \psi_{m,\mathrm{A}_{p}}\cdot)=\pm\chi_{p}(\kappa^{-1})$

素点$I\mathrm{f}_{p}$を Tate の epsilon factor ([Ta]) とする.

$\epsilon(s, \chi_{p}, \psi_{m,I\dot{\mathrm{t}}_{p}})$

丑

ここで,

$K_{p}=\mathrm{Q}_{p}\oplus \mathrm{Q}_{p}$$p\mathrm{Z}_{p}\oplus p\mathrm{Z}_{p}$$\mathfrak{P}_{\mathrm{P}}=\{$

を仮定す$\mu_{p}(a, m):=\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}mN_{K/\mathrm{Q}}(a)\geq 0$$a(\chi_{p})={\rm Min}\{a\geq 0|\chi_{p}|_{(1+\mathfrak{P}_{p}^{u})\mathrm{n}o_{J\mathrm{t}_{1}p}^{\mathrm{x}}},=1\}$$\chi\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\chi\in \mathcal{X}_{0}$のなす集合とする : 任意の有限

に対し,

$p$

$a(\chi_{p})=\{$$\mu_{p}(a, m)$$\mathit{5}_{p}=0$$2(\mu_{p}(a, m)+\delta_{p})$$\delta_{p}>0$

およひ $\mu_{\mathrm{p}}(a, ’ n)>0$$\delta_{p}>0$

およひ $\mu_{p}(a, m)=0$$2\delta_{p}$ここに,$\delta_{p}=\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}$成$+,p’\cdot im(a, m)=$ {or$2\delta_{p}-1$.

D. 最後に,$\chi\in \mathcal{X}_{0,prin\mathrm{t}}(a,$$m)|$

任意の有限素点 に対し,$\epsilon(\chi_{p},$$p$$\psi_{m,I\mathrm{i}_{p}^{-}})=\chi_{p}(\kappa^{-1})$

とおく.

26Theorem (cf. [MS2])
とき,$\chi\in \mathcal{X}_{0}$$m>0$ およひに対し, 次が成り立つ :$\mathrm{m}N_{I\ddot{\backslash }/\mathrm{Q}}(a)$は整と仮定する.

$\dim \mathrm{T}_{hol,p’\cdot im}^{m}(a, \chi)=1\Leftrightarrow\chi\in \mathcal{X}_{0,prim}^{+}(a, m)$

27Proposition (cf. [Shin], [MS2]) 直和分解$\mathrm{T}_{h_{\mathit{0}}l}^{m}(a)=\sum_{\mathrm{b}}\sum_{\mathrm{x}\in\lambda_{\acute{0}.prim}^{+}(\mathrm{b},m)}\mathrm{T}_{h_{\mathit{0}}l,pm}^{m}(r:\mathrm{b}, \chi)$

,

.

この

}

19
が成り立つ.

ここで,は$\mathrm{b}$かつ$\mathfrak{b}\mathrm{D}\mathfrak{a}$が整であるような $K$ のイ$mN_{\mathrm{Z}<\mathrm{Z}\mathrm{q}}(\mathrm{b})$デアルを渡る.

28$\ominus\in \mathrm{T}_{hol,prim}^{n\iota}(a, \chi)$の周期を$I( \ominus)=\int_{I\ddot{\backslash }^{1}\backslash I\dot{\mathrm{i}}_{\mathrm{A}}^{1}}\Theta(t)d^{\mathrm{x}}t$により定義する. ここに,$d^{\mathrm{x}}tl\mathrm{h}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(K^{1}\backslash \mathrm{A}_{\mathrm{A}}^{\prime 1})=h(K^{1}):=\#(I\acute{i}^{1}\backslash \mathrm{A}_{\mathrm{A}}^{\prime 1}/\mathrm{A}_{\infty}^{\prime 1}.\Pi_{p<\infty}\mathcal{O}_{Ii,p}^{1})$により正規化されているものとする.

29Theorem ([Yang])

1 こ対し$\ominus\in \mathrm{T}_{hol,prim}^{m}(a, \chi)-\{0\}$$I( \ominus)\neq 0\Leftrightarrow L(\chi;\frac{1}{2})\neq 0$

2.10$F\in A_{l}(\mathcal{K}_{f}),$$\chi\in \mathcal{X}_{0,p_{\mathit{7}}\cdot im}^{+}(a, m),$.

\ominus \in Thntol,prin、$(a, \chi),$ $\ominus\neq 0$とする. 内積$(F_{a}^{m}, \ominus)=\int_{R_{\mathrm{Q}}\backslash R_{\mathrm{A}}}F_{a}^{m}(r)\overline{\ominus(r)}dr$を$(\uparrow n, a, \chi)$$h(K^{1})$に関する $F$ の原始成分と呼ぶ. ここに,

は

$dr$

$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(R\mathrm{Q}\backslash R_{\mathrm{A}})=$

により正規化されているとする. [Sbin] によって次が知られている.

2.11 Theorem$F\in A\iota(\mathcal{K}f;\Omega)$を Hecke eigenform とする.

が消えないための必要十分条件は,$(nx, a, \lambda’)$少なくともひとつのこのとき,$(m, a, \lambda’)$

$F$

に対して,

に関する $F$ の原始成分が消えないことである.

\S 3. $U(1,1)$ 上の保型形式
3.1$H=U(T)$ を歪エルミ一}$\backslash \acute{\mathrm{r}}\overline{\mathrm{T}}F^{1}\mathrm{J}T=(\begin{array}{ll}0 1-\mathrm{l} 0\end{array})$とする. 有限素点$p$|, こ対し,$\mathcal{U}_{p}=H_{p}\cap GL_{2}(\mathcal{O}_{K,p})$に関するユニタリ群

および$\mathcal{U}_{0}(D)_{p}=\{(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in \mathcal{U}_{p}|c\in D\cdot \mathcal{O}_{K,p}\}$とおく. 以下,$\lambda’.0\in \mathcal{X}_{0}$を固定する.

$u=(\begin{array}{ll}a bc cl\end{array})\in \mathcal{U}_{0}(D)_{p}$$\lambda’\mathrm{o}(\alpha)$$c\in p\mathcal{O}_{K,p}$$\lambda’\mathrm{o}(c)$$c\in \mathcal{O}_{K,p}-p\mathcal{O}_{K,p}$$\tilde{\lambda’}0_{p},(u)=\{$

に対し,

20
とおく. このとき,$\tilde{\chi}_{0}=\prod_{p<\infty}\tilde{\chi}_{0,p}$のは$\tilde{\chi}_{0,p}$は$\mathcal{U}_{0}(D)_{p}$のユニタリ指標を定めることが知られている.
のユニタリ指標である.
$H_{\infty}=H(\mathrm{R})$$\mathcal{U}_{0}(D)_{f}=\prod_{p<\infty}\mathcal{U}_{0}(D)_{p}$を通常への作用と正 」保 . 因子のにおける固定化部分群とする.

$\mathfrak{H}=\{z\in \mathrm{C}|{\rm Im}(z)>0\}$$j:H_{\infty}\cross \mathfrak{H}arrow \mathrm{C}^{\mathrm{x}}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{I}$のように定義し, ぬを $z_{0}=\sqrt{-1}\in \mathfrak{H}$32$S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f},\tilde{\chi}_{0})$を$H_{\mathrm{Q}}\backslash H_{\mathrm{A}}$$H_{\infty}$

上の smooth な関数 $f$ で次の条件を満たすものたちのなす空間とする :(i)$f(hu_{f}u_{\infty})=(\det u_{\infty})^{l-1}j(u_{\infty}, z_{0})^{-(l-1)}\tilde{\chi}\mathrm{o}(uJ)f(h)$$(h\in H_{\mathrm{A}},u_{f}\in \mathcal{U}_{0}(D)_{f},u_{\infty}\in \mathcal{U}_{\infty})$.

(ii) 任意の $h_{f}\in H_{f}$ } こ対し, $(\det h_{\infty})^{-(l-1)}j(h_{\infty}, z_{0})^{l-1}f(hJh_{\infty})$に関して正則である.

は$h_{\infty}\langle z_{0}\rangle\in$$\mathfrak{H}$

f\Q。

(iii)

$f((\begin{array}{ll}1 x0 1\end{array})h)dx=0$

また,$(h\in H_{\mathrm{A}})$.

$S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f},\tilde{\chi}_{0})=\oplus S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f},\tilde{\chi}_{0};\chi_{0}\Omega^{-1})$が成り立つ. ここに、各$\Omega\in \mathcal{Y}_{\mathrm{I}}$

成分は

33

$S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f},\tilde{\chi}_{0})$$(H_{p},\mathcal{U}_{0}(D)_{p})$の元で中心指標$\chi_{0}\Omega^{-1}$の指標付き Hecke 環を$\tilde{\chi}_{0,p}(uu’)\varphi(h)(u, u’\in \mathcal{U}_{0}(D)_{p},$$\mathcal{H}^{\mathrm{X}0}=\{\varphi\in C_{c}^{\infty}(H_{p})|\varphi(uhu’)=$. $\in H_{p})\}$ とする. Hecke 環$h$$\varphi_{1}*\varphi_{2}(h)=\int_{H_{p}}\varphi_{1}(hx^{-1})\varphi_{2}(x)dx$

により定める. ここに,$\mathcal{H}_{p}^{\lambda’0}$は$\mathrm{C}$$dx$-algebra をなし,を$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathcal{U}_{0}(D)_{p})=1$$p|D$$\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\varphi_{p}^{\pm})\subset\wedge(D)_{p}\mathrm{d}_{H}(\Pi_{p}^{\pm 1})\mathcal{U}_{0}(D)_{p}$義する.

$\varphi_{p}^{\pm}$

は$\Pi_{p}$における積をとなるように正規化しておく.

,となる有限素点に対し,$\mathcal{H}^{x\mathrm{o}}$$(\varphi_{1},\varphi_{2}\in \mathcal{H}_{p}^{\mathrm{X}0})$$S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f’\tilde{\lambda’}0;\chi 0^{\Omega^{-1})}}$$f* \varphi(h)=\int_{H_{p}}f(h.\tau^{-1}.)\varphi(x)dx$

34をもつもののなす空間である.

に次のように作用する :$(f\in \mathrm{b}_{l-1}^{\gamma}(\mathcal{U}_{0}(D)_{J,\tilde{\lambda’}0;\chi_{0}\Omega^{-1}),\varphi\in \mathcal{H}_{p^{0}}^{\chi})}\cdot$$\Pi_{p}$をおよひ$\mathrm{A}_{p}’$の素元とする.

$\varphi_{p}^{\pm}(\mathrm{d}_{H}(\Pi_{p}^{\pm 1}))=\chi_{0}^{-1}(\Pi_{p}^{\pm 1})$の選び方に依存しないこと, また$\varphi_{p}^{+}$

ことに注意する.
$\mathcal{H}^{\lambda’0}(H_{p},\mathcal{U}_{0}(D)_{p})$$p \int D$$\mathcal{H}_{p}’=\{$$\mathrm{C}[\varphi_{p}^{+}, \varphi_{p}^{-}]$.
$\varphi_{p}^{\pm}\in \mathcal{H}_{p}^{\lambda 0}$

$p|D$

と

$\varphi_{p}^{-}$

を

[こより定

は可換である

21
とおくと,

35

は

$\mathcal{H}^{x\mathrm{o}}(H_{p},\mathcal{U}_{0}(D)_{p})$

に対し,

$p$

から

$\mathcal{H}_{p}’$の可換な部分環をなす.

の元 $f$ が Hecke eigenfo $rm$ であるとは, 任意の$S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f},\tilde{\chi}_{0};\chi_{0}\Omega^{-1})$

有限素点の$\mathcal{H}_{p}’$$\mathrm{C}$への$\mathrm{C}$-algebra homomorphism$\lambda_{p}$で, 任意’ に対し $f*\varphi=\lambda_{p}(\varphi)f$ となるものが存在することである.

$\varphi\in \mathcal{H}_{p}$\S 4. Kudla lift
4.1

を

$v$

$\mathrm{Q}$の素点とする.

$G_{v}\cross H_{v}$の$S(I\mathrm{t}_{v}^{\nearrow 3})$上の metaplectic 表現$\mathrm{M}_{v^{0}}^{\chi}$を次のように定める:$\mathrm{M}_{v^{0}}^{\chi}(g,$$(\begin{array}{ll}1 b0 1\end{array})(\begin{array}{ll}a^{\sigma} 00 a^{-1}\end{array}))\Psi(X)=\chi_{0}(a)|N(a)|_{v}^{3/2}\psi_{v}(b\cdot X^{*}SX)\Psi(ag^{-1}X)$$\mathrm{M}_{v^{0}}^{\chi}(1_{3},$

ここ {ニ,$(\begin{array}{ll}0 1-1 0\end{array}))\Psi(X)=\lambda_{I\acute{\iota}_{v}}(\psi_{v})\hat{\Psi}(X)$$g\in G_{v},$ $b\in \mathrm{Q}_{v},$ $a\in I\{_{v}’,$ $\Psi\in S(\mathrm{A}_{v}^{\prime 3}),$ $X\in I\iota_{v}^{3},$.
および$X^{*}={}^{t}X^{\sigma}$$\hat{\Psi}(X)=\int_{I\mathrm{i}_{v}^{3}}\psi_{v}(\mathrm{T}_{1_{I\ddot{\iota}_{v}/\mathrm{Q}_{v}}}\cdot(Y^{*}SX))\Psi(Y)dY$( $dY$ はある).

の$I\mathrm{t}_{v}^{\nearrow 3}$$(X, Y)-\}\psi_{v}(\mathrm{T}_{1_{K_{v}/\mathrm{Q}_{v}}}\cdot(Y^{*}SX))$に関して self-dual な Haar m|J 度でとおく. このとき,
42の smooth な表現である. 各有限素点に対し,$\mathrm{M}^{\chi 0}$$\mathrm{M}^{x\mathrm{o}}=\otimes_{v}\mathrm{M}_{v^{0}}^{\chi}$

$p$

る.
[ニ,

また,

は

$\Psi_{0,p}$$G_{\mathrm{A}}\cross H_{\mathrm{A}}$を$\mathcal{O}_{Ii,\mathrm{p}}^{3}$の$S(I\acute{\mathrm{t}}_{\mathrm{A}}^{3})$の特性関数とす$\Psi_{0,\infty}(X_{\infty})=(\xi^{*}X_{\propto 1})^{l}\mathrm{e}\mathrm{x}1\supset(-2\pi\lambda_{\propto\neg}^{r*}S_{0}\lambda_{\infty}’,)(X_{\infty}\in \mathrm{C}^{3})$とおく.

, および $\xi=.{}^{t}(-1/\sqrt{D}, 0,1/2)$ である.
次のように theta kernel$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-2/D, 1, 1/2)$$S_{0}$$\Pi_{v}\Psi_{0,v}(\lambda_{v}’)$

とおく.

める (cf.

):$[\mathrm{I}<\mathrm{u}]$.

$(g\in G_{\mathrm{A}}’, h$

このとき,$g\in C_{7}\mathrm{A},$ $k_{f}\in \mathcal{K}_{f}$,$k\text{。}$\in K。’$\in H_{\mathrm{A}})$$/l\in H_{\mathrm{A}},$ $u_{f}\in \mathcal{U}_{0}(D)_{f},$

{こ対し,
が成

$T(gkfk\infty’ l\mathrm{t}ufu\infty)=J(k_{\infty}, Z_{0})^{-l}\tilde{\chi}_{0}^{-1}(uf)(\det u_{\infty})^{-(l-1)}j(u_{\propto 1}, z_{0})^{l-1}T(g, l\mathrm{z})$43$\Omega\in \mathcal{Y}_{l}$とする.

$f\in\overline{\mathrm{b}}_{l-1}’(\mathcal{U}_{0}(D)_{f,\tilde{\chi}_{0};\lambda’0}/\Omega^{-1})$$\mathcal{L}(f)(g)=\int_{H_{\mathrm{Q}}\backslash H_{\mathrm{A}}}f(h)T(g, h)dh$(こ対し,$(g\in G_{\mathrm{A}})$を定.

$u_{\infty}\in \mathcal{U}_{\propto}\urcorner$

り立つ.

ここ

$\Psi_{0}(X)=$$T:G\mathrm{o}\backslash G_{\mathrm{A}}\cross H_{\mathrm{Q}}\backslash H_{\mathrm{A}}arrow \mathrm{C}$$T(g, l \tau)=\sum_{\lambda’\in I\ddot{\mathrm{t}}^{3}}(\mathrm{M}^{\chi 0}(g, h)\Psi_{0})(X)$

上

22
とおく.

$\mathcal{L}(f)$を$f$の Kudla liftという.

4.4 Theorem ([Ku])
(i)
(ii)

$\mathcal{L}(f)\in S_{l}(\mathcal{K}_{f;}\Omega)$.

が Hecke eigenfonn ならば,$f$

も Hecke eigenform である.

$\mathcal{L}(f)$\S 5. 主結果
5.1
(i)

の元

$\mathcal{O}_{K}$で次の条件を満たすものを一つ取り固定する :$\theta$$\mathcal{O}_{K}=\mathrm{Z}+\mathrm{Z}\cdot\theta$(ii)${\rm Im}(\theta)>0$

(iii)

$D$

を割る各素数

この節を通じて,

$K$

$p$

に対し,

のイデアル

ものを固定する. 簡単のため,$a$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}N(\theta)=1$, およひ$\mu_{p}(a,f?l)$$m\in \mathrm{Q},$を$\mu_{p}$となる.

$m>0$ で $mN(a)$ が整であると書く. うめこみ$\iota_{m}$:$I\acute{\backslash }1arrow H_{\mathrm{Q}}$を$\iota_{m}(z^{\sigma}/z)=\frac{1}{z}(\begin{array}{ll}x ,n\theta\theta^{\sigma}y-y/fn x\dotplus\sqrt y\end{array})$$(z=x+\theta y\in K^{\mathrm{x}})$により定める.

52$\chi\in \mathcal{X}_{0_{pr}:}^{+},(m.a, m)$上の球関数$W_{\chi,f}^{m}$

およひ$f\in S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f},\tilde{\chi}_{0};\chi_{0}\Omega^{-1})$

に対し,$(U(1,1),$ $U(1))$

を(t7、0)h)$d^{\mathrm{x}}t$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{J}^{(h,)=}\int_{h^{1}\backslash I\mathrm{i}_{\mathrm{A}}^{1}}.\cdot(\chi/\chi_{0})^{1}(t^{-1})f$[こより定める. ただし,$(\lambda’/\chi_{0})^{1}$は$(h\in H_{\mathrm{A}})$$(\chi/\chi_{0})^{1}(z^{\sigma}/z)=(,\chi/\lambda’0)(\sim\sim, )(z\in I\backslash _{\mathrm{A}}^{\mathrm{x}})$[こよのユニタリ指標である. 局所球関数の一意性 ([MS3]) より,$f$
が Hecke eigenform ならばは局所成分の積に分解する.
.
り定まる$\mathrm{A}_{\mathrm{A}}^{\nearrow 1}/I\acute{\dot{\mathrm{t}}}1$$W_{\lambda,J}^{m}$

5314(,\chi ) を,集合とする.

$H_{\infty}$$\delta_{p}=\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}D>0$の元 h.、,$m\theta$

でかつ$a(\chi_{p})=2\delta_{p}-1$$h_{\infty,m\theta}\langle z_{0}\rangle=’?\mathrm{t}\theta$となる有限素点となるものをとる.

$P_{a}^{m}(,\chi, f)=\chi_{0}^{-1}(\alpha_{f})|N(\alpha_{f})|_{\mathrm{A}}^{3/2}\cdot W_{\mathrm{x},J}^{m}.(((\alpha_{f}^{\sigma})^{-1} \alpha_{f})h_{\infty,m\theta})$

$p$

の

23
を.

$f$

の

に関する周期と呼ぶ. 主結果を述べよう.

$(m, a, \chi)$

54Theorem$(m, a, \chi)$を上の通りとする. また,とする. 各 $p\in A(\chi)$ [こ対し,$\mathrm{T}_{hol,prim}^{m}(a, \chi)$$f\in S_{l-1}(\mathcal{U}_{f}’,\tilde{\chi}_{0}; \chi_{0}\Omega^{-1}),$$f*\varphi_{p}^{\pm}=\nu_{p}^{\pm}f$$\ominus\in$となると仮定する.

このとき,$( \mathcal{L}(f)_{a}^{m}, \Theta)=c_{\infty}\prod_{p<\propto 1}c_{p}\prod_{p\in A(\chi)}c_{p}’\cross\overline{I(\Theta)}P_{a}^{m}(\chi, f)$が成り立っ.

ここに,$=$$c_{\infty}$$(-1)^{l/2}2^{l-2}| \frac{m\kappa}{2}|^{(l-3)/2}\mathrm{e}[\frac{m\kappa}{2}]$1.. .
$=p^{\mu_{p}-\delta_{p}/2}\cross\{$$c_{p}$$1-( \frac{D}{p})p^{-1}$$\frac{2p}{1+p}$’$=$$c_{p}$$1+p^{-1/2}\nu_{p}^{-}$$(p\in A(\chi))$$\delta_{p}=0,\mu_{p}=0$. ..

$\delta_{p}=0,\mu_{p}>0$.. .

$\delta_{p}>0$.

Theorem 54, Theorem 29 および Theorem 2. 垣より次の Kudla lift に関する
non-vanishing criterion を得る.

55Corollary$f\in S_{l-1}(\mathcal{U}_{0}(D)_{f},\tilde{\chi}_{0};\chi_{0}\Omega^{-1})$とき,となるための必要十分条件は, ある$\mathcal{L}(f)\neq 0$

を Hecke eigenforin とする.
$(\uparrow n, a, \lambda’)$

この

に対し,

$L( \chi;\frac{1}{2})P_{a}^{m}(\chi, f)\neq 0$となることである.

References[GR] G. I. Glauberman and J. D. Rogawski, On theta functions with complex
multil)lication, J. reine angew. Math. 395 (1989), 68-101.
’$[\mathrm{I}\backslash \cdot \mathrm{u}]$S.

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24[MS2] A. Murase and T. Sugano, Fourier-Jacobi expansion of Eisenstein series
on unitary groups of degree three, to appear in J. Math. Sci. Univ. Tokyo.

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[Shin] T. Shintani, On automorphic forms on unitary groups of order 3, unpublished manuscript (1979).
[Ta] J. Tate, Number theoretic background, Proc. Symp. in Pure Math. 33,
part 2(1979), 3-26.

[Yang] T. Yang, Theta liftings and Hecke
485 (1997), 25-53.

$L$-functions, J. reine angew. Math.

Atsushi Murase
Department of Mathematioe, Faculty of Scienoe, Kyoto Sangyo University, MOtoyama, Kamigamo, Kita-ku, Kyoto 603-8555, Japan, -mail:murase@cc kyotOsu .ac.jp$\mathrm{e}$Takashi Sugano
Department of Mathematics, Faculty of Science, Kanazawa University, Kakumamachi, Kanazawa 920-1192, Japan, -mail:sugano@kappa. .kanazawa-u jp$\mathrm{e}$$\mathrm{s}$$\mathrm{a}\mathrm{c}$