数理解析研究所講究録 1270 巻 2002 年 51-62

51
閉リーマン面上の群作用が定める母関数

木村秀幸 (Hideyukl Kimura)

愛知産業大学経営学部

Faculty of Business Administration
Aichi Sangyo University
この論文では [2] に従い閉リーマン面上の群作用が定めるある種の母関数が有理関数となることを示す。
\S 1. 問題設定
を種数 $g(\geq 0)$ の向き付け可能な閉曲面、 を有限群、$G$$\Sigma_{g}$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}"(\Sigma_{g})$を$\Sigma_{g}$上の向きを保っ微分白己同相写像全体の作る群とする。 単射準同型写像$\tau:Garrow \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}^{+}(\Sigma_{g})$が存在するとき $G$ は$G$$\Sigma_{g}$上に作用するという。 を$\tau$$\Sigma_{g}$上の $G-$ 作用と呼ぶ。

を任意の有限群とする。このとき、$G-$ 作用を許す

るのは{$g|\Sigma_{g}$$\Sigma_{g}$が常に存在するので問題となが $G-$ 作用を許す}がどのような集合であるかである。 この問いに対してKulkarni は次のような解答を与えた。 (証明については付録 2 参照)
有限群 $G$ に対して stable genus increment と呼ばれる正の整数(2) が成り立っ :$n_{0}(G)$が定まり、 次の (1)(1)(g\geq 2) が $G-$ 作用を許すとき g\equiv l(mod n0(G))。

$\Sigma_{g}$(2) {$g|\Sigma_{g}$,が $G-$ 作用を許す}は$\{g(\geq 2)|g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n_{0}(G))\}$から高々有限個の元を除いた集合。

この Kulkami の定理から集合 {$g|\Sigma_{g}$分かったので、次に問題となるのはが $G-$ 作用を許す}の が十分大きい場合の様子が$g$$\Sigma_{g}$が “ どの程度”$G-$

作用を許すかである。 このとき $G-$ 作用を数える基準が必要となる。 このため $q-$ 同値という同値関係を定める :定義$\Sigma_{g}$上の 2 つの $G-$ 作用$\tau_{1},\tau_{2}$が $q-$ 同値とは$\Sigma_{g}/\tau_{1}(G)$と$\Sigma_{g}/\tau_{2}(G)$:$Garrow \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}^{+}(\Sigma_{g})$が orbifold として同型であることをいう。

52
$N$
$g$

を

$\Sigma$$g$

上の $G-$ 作用の $q-$ 同値類の個数とする。 このとき、$q_{G}(z).

\cdot=\sum_{g\geq 0}N_{g}z^{g}$とおく。 本論文の目的は次の定理を示すことである :

定理

$G$

を任意の有限群とする。 このとき、$q_{G}(z)\#\mathrm{h}z$の有理関数である。

\S 2. 準備$G$を任意の有限群とし、 以下これを固定する。

$\Sigma_{g}$上の $G$-. 作用$\tau:Garrow \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}^{+}(\Sigma_{g})$は群r から $G$ への torsion free kemel を持つ全射準同型写像を定める。 ただし、 は次の表示$\Gamma$を持つ :$\Gamma=\{c_{1},\ldots$

, ,,
$c$

$a_{1}$,$b_{1},\ldots$,$a_{h}$,$b_{h} \}_{1}^{m_{1}}=\cdots=c^{m},’=1,\acute{\prod_{i=1}}c_{i}\prod_{j=1}^{h}[a_{j},b_{j}]=1\}$

このとき、$\sigma:=(h;m_{1},\ldots,m,)$ を \Gamma の signature と呼ぶ。 また上記の表示を持つ$\Gamma$を$\Gamma(\sigma)$と表す。
$O(G)$ を群 $G$ の

nonhivial な元の位数全体の集合とし、$O(G)=\{n_{1},\ldots,n_{r}\}$ とする。 そして$\Sigma(O)\cdot.=\{(hjm_{1},\ldots,m,\lambda m_{i}\in O(G),h\in \mathrm{Z}_{\geq 0}\}$とおく。

$\Sigma(O)$の元 $\sigma=(h;m_{1},\ldots,m,)_{\text{、}}\sigma^{*}=(h’;m_{1}’,\ldots,m_{u}’)$ に対して和を次のように定義する:$\sigma+\mathit{0}’=(h+h’;m_{1},\ldots,m,,m_{1}’,\ldots,m_{u}’)$$\Sigma(O)$はこの和に関して半群となり、 次の signamre により生成される :$\sigma_{0}=(1;-)_{\text{、}}\sigma_{1}=(0;n_{1})_{\text{、}}\ldots\text{、}\sigma_{r}=(0;n_{r})$$\Sigma(O)$の任意の元 $\sigma=(h;m_{1},\ldots,m,)$ は $r+1$ 個の非負の整数の組$\sigma$$\Sigma(G):=${$\sigma\in\Sigma(O)|\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$a_{1},\ldots,a_{r}$$(a_{0},a_{1},\ldots,a_{r})$を用いて$(a_{0}=h_{\text{、}}a_{i}=\#\{m_{j}|m_{j}=n_{i}\})$$\sigma=a_{0}\sigma_{0}+a_{1}\sigma_{1}+\cdots+a_{r}\sigma_{r}$と一意的に表されるので、 以下、 と (ら,.

) を同一視する。 またfree kemel を持つ全射準同型写像$\phi:\Gamma(\sigma)arrow G$が存在する}とおき、’$\Phi_{\Sigma(G)}(x_{0},x_{1},\ldots,x_{r})=\sum x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{r}^{l}(a_{0}.a_{1}\ldots..a,)\epsilon\Sigma(G)$と定義する。

$1^{*}$)

53
1. 定理の証明
定理を証明するために上で定義した(I)$\Phi_{\Sigma(G)}$を含む 2 つの等式を示す。

$q_{G}(z)=z^{1-o(G)}\Phi_{\Sigma(G)}(z^{n_{0}(G)q_{0}},z^{n_{0}(G)q_{1}},\ldots,z^{n_{0}(G)q}’)$ただし. $o(G)$ は$G$の位数、$n_{0}(G)$ は stable genus increment.
$q_{0}= \frac{o(G)}{n_{0}(G)}$$q_{i}= \frac{o(G)}{2n_{0}(G)}(1-\frac{1}{n_{i}})$.

$\sum\mu(\hat{0},\sigma)x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{r}^{a}$ ’

-

(II)

$(i=1,\ldots,r)$$\sigma=(a_{0}\ldots.,a_{r}\rangle\in X$$\Phi_{\Sigma(G)}(x_{0},x_{1},\ldots,x_{r})=$$\prod_{i=0}^{r}(1-x_{i}^{2})$ただし、$X$ は$\Sigma(G)$のある有限部分集合、 は Mo..bius 関数 (付録 1 参照)$\text{、}\hat{0}$$\mu$は補題 2 の

証明参照。
定理の証明

$(\mathrm{I})_{\text{、}}$(II) 式より$\sum\mu(\hat{0},\sigma)zn_{0}(G\rangle\sum_{i=0}^{r}a_{j}q_{i}$-$q_{G}(z)=z^{1-o(G)}$$\sigma=(a_{0}.,a,)\epsilon X\prod_{i=0}^{r}(1-z^{2n_{0}(G)q_{i}})$さらに$q_{0},\ldots,q_{r}$の定義および Riemann-Hurwitz の関係式より $q_{G}(z)$ が の有理関数であ$z$

ることがわかる。

証明終\S 4. (II) 式の証明
(II) 式を示すために補題を 3 つ準備する。
定義$\Sigma(O)$の元 $(a_{0},\ldots,a_{r}),(b_{0},\ldots,b_{r})$ に対して$\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\iota \mathrm{y}$ordering と呼ばれる半順序$f\leq_{f}$を次のように定める :$(a_{0},\ldots,a_{r})\leq_{p}(b_{0},\ldots,b_{r})\Leftrightarrow a_{i}\leq b_{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f},$以下、$\Sigma(O)$

補題 1

$K$

を

上には binary ordering$\Sigma(O)$$\leq_{p}$$a_{i}\equiv b_{i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)$$(i=0,\ldots,r)$が与えられているとする。

の空でない部分集合とする。 このとき、$K$ のの集合は空でない有限集合である。

$\leq_{B}$に関する極小元全体

補題 2

$X$

を

.

) の join-closed な有限部分集合とし、$K\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\Sigma\ovalbox{\tt\small REJECT}$$C_{\sigma}=\{\tau\in\Sigma(O\lambda\sigma\leq_{\iota}\tau\}$($C_{\sigma}$を$\sigma$

上の cone と呼ぶ)$\text{。}$

54
$C$
$0$

$6X$
。

とおく。 ただし、このとき.

$\Phi_{K}=-\sum_{\sigma\epsilon X}\mu(\hat{0},\sigma)\Phi_{C_{\sigma}}$が成り立っ。 (とは $X$ の 2 元$\Phi_{K^{\text{、}}}\Phi_{C_{\sigma}}$$\sigma_{\text{、}}\tau$は$(^{*})$

式の$\Sigma(G)$に対して、 最小上界を$K_{\text{、}}C_{\sigma}$としたもの、$X$ 力(i.e. 集合$\sigma \mathrm{v}\tau$-closed である$\dot{\mathrm{a}}\mathrm{j}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}$$\{\rho\in\Sigma(O\gamma\sigma\leq_{f}\rho,\tau\leq_{f}\rho\}$の最小元) が、 存在する場合には、 常に $X$ に含まれることをいう。)

補題 3(1) 任意の$\sigma\in\Sigma(G)$に対して C\sigma \subset \Sigma (G) が成り立つ。 (このときclosed under cones であるという) (2)$\sigma=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{r})\in\Sigma(G)$$\Sigma(G)$

は

に対して

$\Phi_{C_{\sigma}}(x_{0},x_{1},\ldots,x,)=\frac{x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{r}^{a,}}{\prod_{i=0}^{r}(1-x_{i}^{2})}$が成り立つ。

補題 2 の証明
そして以下では$C_{\hat{0}}:=K\cup\langle\hat{0}$$C_{\rho}(\rho\in X)$}$\leq_{s}$を単に$C_{\sigma}’=C_{\sigma}$$\leq$と表す。

$\hat{0}<\varpi(\forall\varpi\in\Sigma(O))$

を満たす元 を考える。
$\hat{0}$とおく。 このとき、$\bigcup_{\rho\epsilon X,\sigma<\rho}C_{\rho}(\sigma\in\hat{X}.\cdot=X\cup\{\hat{0}\})$

は次のように有限個の集合の直和に分解される :$C_{\rho}= \sum_{\sigma\epsilon\dot{X}}C_{\sigma}’$.

$\rho\leq\sigma$

従って、$F(\sigma)=\Phi_{C_{\sigma}^{\text{、}}}G(\sigma)=\Phi_{C_{\sigma}}$. とおくと.

$= \sum_{\sigma\sigma\epsilon\dot{X}\epsilon\hat{X}}G(\sigma)$$F( \rho)=\Phi_{C_{\rho}}=\sum_{\rho\leq\sigma}\Phi_{C_{\sigma}}$が得られる。 この式に Mo..bius の反転公式 (付録 1 参照、 が有限集合なので M\"obius$\hat{X}$の反転公式の仮定が満たされることに注意) を適用すると$G( \rho)=\sum_{\sigma\epsilon\dot{X},\rho\leq\sigma}\mu(\rho,\sigma)F(\sigma)$が得られる。 ここで$\mu(\rho,\sigma)$は Mo..bius 関数。 この式に$\rho=\hat{0}$を代入することにより$\Phi_{K}=F(\hat{0})-G(\hat{0})=-\sum_{\sigma\epsilon X}\mu(\hat{0},\sigma)F(\sigma)=-\sum_{\sigma\epsilon X}\mu(\hat{0},\sigma)\Phi_{C_{\sigma}}$55$\hslash\grave{\grave{[searrow]}}\acute{\uparrow}_{\mathrm{P}\supset}^{\mathrm{B}}\iota^{-}\mathrm{n}o_{0}$$\overline{\simeq}iarrow \mathrm{E}^{\mathrm{B}}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathbb{R}_{\backslash }$補題 3 の証明$\sigma=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{r})\in\Sigma(G)$に対して$C_{\sigma}=\{(b_{0},b_{1},\ldots,b_{r})\in\Sigma(O)|a_{i}\leq b_{i}, a_{i}\equiv b_{i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2)(i=0,\ldots,r)\}$であることに注意する。
(1) 上の注意より任意の$\sigma\in\Sigma(G)$に対して、$d:=\sigma+2\sigma_{l}(l=0,\ldots,r)\mathrm{B}^{*}\backslash \Sigma(G)$に含まれることを示せばよい。 $(\sigma_{0}=(1;-),\sigma_{1}=(0;n_{1}),\ldots$ , \sigma r=(0;nr) であった) そこで$\phi:\Gamma(\sigma)arrow G$

を torsion free kernel を持つ全射準同型写像とする、 ただし.

$\Gamma(\sigma)=\{c_{1},\ldots,c,,a_{1},b_{1},\ldots,a_{h},b_{h}|c_{i}^{m_{i}}=1,\prod_{i=1}’c_{i}\prod_{j=1}^{h}[a_{j},b_{j}]=1\}$

とする

このとき

$\Gamma(d)=\{c_{1},\ldots,c_{t},a_{1},b_{1},\ldots,a_{h},b_{h},a_{h+1},b_{h+1},a_{h+2},b_{h+2}|c_{i}^{m_{j}}=1,\prod_{i=1}’c_{i}\prod_{j=1}^{h+2}[a_{j},b_{j}]=1\}$$\Gamma(d)=\langle c_{1},\ldots$,$c_{t}$,$c_{t+1}$,$c_{t+2}$,$a_{1}$,$b_{1},\ldots$,$a_{h}$,( $l=0$ のとき)

$b_{h}|c_{i}^{m_{i}}=c_{+1}^{n_{l}},=c_{t+2}^{n_{l}}=1, \prod_{i=1}^{\prime+2}c_{i}\prod_{j=1}^{h}[a_{j},b_{j}]=1\}$( $l>0$ のとき)となる。 そして、$\psi:\Gamma(d)arrow G$ を次のように定める :$l=0$ のとき$\phi’|_{\Gamma(\sigma)}=\phi\text{、}\phi’(a_{h+1})=\phi’(b_{h+1})=\phi’(a_{h+2})=\phi’$$l>0$ のとき上で定めた$\phi’(c_{+1},)=s_{\text{、}}\psi(c_{+2},)=s^{-1}$$\phi’|_{\Gamma(\sigma)}=\phi\text{、}$$\phi’$:$\Gamma(\sigma’)arrow G$(bh+2)=1。

、ただし、 は $G$ の位数$s$$n_{l}$の元。

は torsion free kernel を持つ全射準同型写像なので$d=\sigma+2\sigma_{l}\in\Sigma(G)(l=0,\ldots,r)$が成り立つことがわかる。 従って、$\Sigma(G)$が closed undercones であることがわかる。
(2) $\sigma=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{r})\in\Sigma(G)$ に対して C\sigma {ま上記の形をしているので’$\Phi_{C_{\sigma}}(x_{0},x_{1},\ldots,x_{r})=\sum x_{0}^{b_{0}}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{r}^{b}’=\sum^{\infty}x_{0}^{a_{0}+2k_{0}}x_{1}^{a_{\mathrm{l}}+2k_{\mathrm{l}}}\cdots x_{r}^{a_{r}+2k}(b_{0}.b_{1}\ldots.,b,)\in c_{\sigma}k_{0},k_{1},\ldots,k,=0$$= \sum_{k_{0}=0}^{\infty}x_{0}^{a_{0}+2k_{0}}\sum_{k_{1}=0}^{\infty}x_{1}^{a_{1}+2k_{1}}\cdots\sum_{k,=0}^{\infty}x_{r}^{a,+2k}’=\frac{x_{0}^{a_{0}}}{1-x_{0}^{2}}\frac{x_{1}^{a_{1}}}{1-x_{1}^{2}}\cdots\frac{X_{r}^{a,}}{1-x_{r}^{2}}$証明終以上の準備の下で (II) 式の証明を述べる。
補題 1 より$\Sigma(G)$の極小元全体の集合は有限集合となる。

$\rho_{1},\ldots,\rho_{m}$を

56$\Sigma(G)$の極小元全体とする。 そして
$X:=$

{

$\rho_{i_{1}}\vee\rho_{i_{2}}\vee\ldots\vee\rho_{i_{*}}|\{\rho_{i_{1}},\rho_{i_{2}},\ldots,\rho_{i}.\}|\mathrm{h}\{\rho_{1},\ldots,\rho_{m}\}$の部分集合}とおくと $X$ は join-closed な有限集合となる。 従って、 この $X$ は補題 2 の仮定を満たし、 さらに$\Sigma(G)=\cup C_{\sigma}\sigma\epsilon X$

を満たす。

(

$(\supset)$は補題 3(1) より得られる。(c) はことから得られる。)$X$が$\Sigma(G)$の極小元全体を含む

よって補題 2 より$\Phi_{\mathrm{Z}(G)}=-\sum_{\sigma\epsilon X}\mu(\hat{0},\sigma)\Phi_{C_{\Phi}}$が得られ、 さらに補題 3(2) より (II) 式が得られる。

証明終

参考文献
[1] R.S.Kulkami, Symmetries of$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s},\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}26,\mathrm{N}\mathrm{o}.2$(1987)$\mathrm{p}\mathrm{p}.195- 203$.

[2] C.Maclachlan and A.Miller, Generating functions for finite group actions on surfaces.

Math. Proc.Camb.Phil.Soc.124 (1998) PP.21-49.
[3] R.P.Stanley, Enumerative combinatorics Vol.I, Cambridge Studies in Advanced
MathematIcs 49 (Cambridge University Press)

付録

1

Mo..bius 関数 ([3, p. 116])

locally finite な半順序集合 上の Mo..bius 関数$\Sigma$$\mu$:Int(\Sigma )\rightarrow Zとは$\mu(x,x)=1$

for all$x\in\Sigma$

for 浦 $x<y$ in$\mu(x,y)=-\sum_{x\leq z<y}\mu(x,z)$で定まる関数 $\mu(x,y)$ のことをいう。 ただし、Int(\Sigma ) は全体の集合とし (空集合は区間に含めない)
順序集合$\Sigma$$\Sigma$$\text{、}\mu([x,y])$$\Sigma$の区間 $[x,y](=1z\in\Sigma|x\leq z\leq y\})$を単に $\mu(x,y)$ と書く。 また、 半が locally finite であるとは任意の区間 [ ,yl が有限集合である場合をいう。
$x$

Mo..bius の反転公式 ([3, p. 116])
なる半順序集合とする。

$f_{\text{、}}g$$g(x)= \sum_{x\leq y}f(y)$をfor all$\Sigma$$\Sigma$を任意の cone $C_{X}(=[y\in\Sigma|X\leq y\})$ が有限集合と上の複素数値関数とする。 このとき

$x\in\Sigma$$\Leftrightarrow$$f(x)= \sum_{x\leq y}\mu(x,y)g(y)$for all$x\in\Sigma$

57
2

付録

(Kulkarni の定理の証明)

以下では [1] に沿って Kulkarni の定理の証明を述べる。 ([2] の記号、定義とは異なる部
分がある)

を位数

記号

$G$

位数を

$p_{\text{、}^{}n_{p}}G$る。 さら [こ、$d$の有限群、 を$\delta$の p- 巾指数を$p\in\delta$$p^{e_{p}}$$d$の素因数全部の集合、$G_{p}$(すなわち、$G_{p}$

を $G$ の pSylow 部分群、

$G_{p}$に含まれる元の位数の最大値が

の

) とす

$p^{e,}$[こ対して$f_{p}=\{\begin{array}{l}n_{p}-e_{p}p\hslash^{\theta}[searrow]_{\mathrm{p}}\Leftrightarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }\Re\ovalbox{\tt\small REJECT}\Gamma_{arrow}^{-}\mathrm{Y}\mathrm{J}p=2\text{かつ} n_{2}=e_{2}\text{のとき}n_{2}-e_{2}-1p=2\hslash\backslash \circ n_{2}>e_{2}\emptyset\geq\not\equiv\end{array}$$N= \prod_{p\epsilon\delta}p^{f_{p}}$

とおく。

定義

有限群

$G$

がタイプ I であるとは (1)

たは (2) 集合 $\{x\in G_{2}||x|<2^{e_{2}}\}$ (

$|x|$

$G$

の

$2\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}$は元 の位数) が$X$$G_{2}$

部分群$G_{2}$

が巡回群である、 まの指数 2 の部分群にならない、のいずれかの条件を満たす場合をいう。 がタイプ垣であるとはタイプ でない場合を$G$$\mathrm{I}$

いう。

注意

上記の定義より $G$ がタイプ垣ならば

全射準同型写像
は位数く
定理

$G$

$2^{e_{2}}$$\varphi:G_{2}arrow \mathrm{Z}_{2}=\{0,1\}$$G_{2}$

は非巡回群でありかつ次の性質を満たすが存在する :$\varphi^{-1}(1)$は位数$2^{e_{2}}$の元からなり、$\varphi^{-1}(0)$の元からなる。

を有限群とし、$S=\{\begin{array}{l}\{g|g\geq 2,g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)\}\{g|g\geq 2,g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2N)\}\end{array}$$G\mathrm{B}\grave{\grave{\backslash }}\text{タ}\triangleleft’\text{プ}\mathrm{I}\mathrm{I}\text{のとき}G\mathrm{B}\backslash ^{\backslash }\text{タ}\backslash \triangleleft’\text{プ}\mathrm{I}\text{のとき}$とおく。 このとき、(a) 種数 $g(\geq 2)$ の向き付け可能な閉曲面(b) 高々有限個の$g$

を除き g\in S ならば$\Sigma_{g}$$\Sigma_{g}$が G- 作用を許すとき$g\in S_{\text{、}}$

は G- 作用を許すが成り立つ。
前半では$\Sigma_{g}$が G- 作用を許す場合、$G$ のタイプにかかわらずが成り立つことを示す。 後半ではは$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2N)$$\Sigma_{g}$が G- 作用を許し、 さらに $G$ がタイプ垣のときにが成り立つことを示す。

最初に $G$ が 群の場合を考察する。
$p$

点(

G 上の点) が aj 個あるとする$/g$$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)$$\Sigma_{g}$が $G$ -作用を許すとする。分岐指数が$(j=1,\ldots,e_{p})$と分岐被覆$\Sigma_{g}arrow\Sigma/gG$$p^{j}$の分岐に対する Riemann-

58
Hurwi 泣の関係式は$2-2g=p^{n,}(2-2h)- \sum_{j=1}^{e_{p}}(p^{j}-1)p^{n,-j}a_{j}$となる、 ただし、 は$h$

G の種数。

$\Sigma/g$. 力埼素数の場合 (*) 式の右辺は$p$切れる。 従って、$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{f}’)$.

$(^{*})$$p^{n,-e,}$が成り立つ o(*) 式の右辺は$p=2$ かつへ $>e_{2}$ の場合で割り切れるので $2-2g$ も $p^{n,-e,}=p^{f}$’ で割り$2^{n_{2}-e}\underline’$

で割り切れるので $2-2g$ も$2^{n_{2}-e_{2}}=2^{f_{2}+1}$

で割り切れる。 従って、g\equiv l(mod2f2) が成り立つ。
この場合、(*) 式が成立するためには叩 $=2$ かつ $n_{2}=e_{2}$ の場合$a_{n_{2}}$は偶数でなければならない。(*) 式の両辺を 2 で割った式$1-g=2^{n_{2}}(1-h)- \sum_{j=1}^{n_{2}-1}(2^{j}-1)2^{n_{2}-j-1}a_{j}-(2^{n_{2}}-1)\frac{a_{n_{2}}}{2}$から g\equiv l(mod2n2-e2)、 つまり g\equiv l(mod2f2) が得られる。

次に $G$ が一般の群の場合を考察する。任意のとすると$\Sigma_{g}$は$G_{p}$-作用も許すので上記の議論からのタイプにかかわらず$g\equiv 1$($\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \prod_{p\in\delta}$

次に $G$ がタイプ垣の群のときに$G_{2}$

のみから、$N$ の因子$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2^{f_{2}+1})$$g\not\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2^{f_{2}+1})$$p\in\delta$’は$p^{f}$$G_{p}$

に対して$G_{p}$$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{f}’)$を $G$ の pSylow 部分群が成り立つ。従って、$G$pb)、つまり g\equiv l(mod N) が成り立つことがわかる。

$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2N)$が成り立つことを示す。$G$ のタイプはのみから定まるので $G$ がタイプ$\mathrm{I}\mathrm{I}$の 2 群の場合に$G$をタイプ垣の 2 群とし、 そして$g\not\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2^{f_{2}+1})$

は $2^{n_{2}-e_{2}}|(g-1)$ と同値であることを示せばよい。 従って、 以下ではを仮定して矛盾を導く。

に注意すると (*) 式が成立するためには$a_{e_{2}}$は奇数でなければならない。一方、上記の分

岐指数に関する条件を満たす $G$ -作用が存在するための必要十分条件は $G$ が次の条件を満たす生成元系を持つことである。
生成元

関係式
$G$

$u_{1},v_{1},\ldots,u_{h},v_{h},x_{1.1},\ldots,x_{1.a_{1}},\ldots,x_{e_{2},1},\ldots,x_{e_{2},a_{e_{2}}}$$\prod_{i=1}^{h}[u_{i},v_{i}]\prod_{j=1}^{e_{2}}\prod_{k=1}^{a_{j}}x_{j.k}=x_{j.k}^{2^{j}}=1$がこの生成元系を持つとする。$G$ はタイプ II の群なので上記の注意の条件を満たす全59
射準同型写像$\varphi_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\mathrm{q}arrow \mathrm{Z}_{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}\{0,1\}$$\varphi(\prod_{i=1}^{h}[u_{i},v_{i}]\prod_{j=1}^{e_{2}}\prod_{k=1}^{a_{j}}x_{j,k})\neq 0$が存在する。 ところがとなり矛盾。 以上の考察よりが奇数なので$a$$e_{2}$$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2^{f_{2}+1})$が得られた。

(a) の証明終$\Delta=$

証明の方針

{

q:素数巾、 は位数 の元を含む }
$G$

$q|$

$q$

$=\{q_{1},\ldots,q_{n},\}$とおく。

十分大きな $g\in S$ に対して Riemann-Hurwitz の関係式
$2-2g=d(2-2h- \sum_{n\epsilon\Delta}a_{n}(1-\frac{1}{n}))$$(^{**})$

を満たす非負の整数の組 $(h,a_{n}(n\in\Delta))$ を考える。( ,an) から定まる Fuchs 群$h$$\Gamma=\{u_{1},v_{1},\ldots$,$u_{h}$,$v_{h}$,$X_{q_{1}.1},\ldots$,$X_{q_{1},a_{q1}},\ldots$,$X_{q_{m},1},\ldots$,$x_{q_{m}.a_{q_{m}}}| \prod_{i=1}^{h}[u_{i},v_{i}]\prod_{j=1}^{\prime\hslash}\prod_{k=1}^{a_{lj}}x_{q_{j},k}=x_{q_{j},k}^{q_{j}}=1\}$から $G$ への torsion free kernel を持つ全射準同型写像が存在することを示す。

まず $g\in S$ を十分大きくとると持つことを示す。

$(^{**})$$(^{**})$

式は、 与えられた定数より大きい整数解 $(h,a_{n})$ を

式を次のように変形する。
$\sum_{n\epsilon\Delta}(n-1)\frac{d}{n}a_{n}+2dh=2(g-1)+2d$$(^{**}’)$

式を$h,a_{n}$$(^{***})$の方程式とみなした場合、 左辺の係数の最大公約数は馬$=e_{2}$のとき N、

馬 $>e_{2}$ または 2 [ $d$ のとき $2N$ となる。$(^{**}’)$ 式が整数解を持っためには右辺は左辺の係数の最大公約数で割り切れなければならない。 っまり、

$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)$ないを満たす十分大きな に対しては従って、 必要ならば をさらに大きくとることにより$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)$$g$$\text{。}$$g$$(^{**}’)$

でなければなら式は非負の整数解を持っ。
式の与えられた定数より$(^{**}’)$

大きい整数解を作ることができる。
以下では を $g\in S$ を満たす十分大きな整数とし、 (このとき $(^{**}’)$ 式の整数解 $(h,a_{n})$$g$は十分大きい) ( ,an) が定める Fuchs 群 F から $G$ への torsion free kemel を持つ全射準同
$h$

型写像

STEPI

$\varphi:\Gammaarrow G$を構成する。

$\{\tilde{e}_{1},\ldots,\overline{e}_{s}\}$を $G$ の生成元系とする。 このとき$\varphi(u_{1})=\varphi(v_{1})=\tilde{e}_{1},\ldots,\varphi(u_{s})=\varphi(v_{s})=\tilde{e}_{s}$,$\varphi(u_{s+1})=\hat{e}_{1},\varphi(v_{s+1})=\hat{e}_{2},\ldots,\varphi(u_{h})=\hat{e}_{2(h-s)-1},\varphi(v_{h})=\hat{e}_{2(h-s)}$

60&\not\in \emptyset$o_{0}$STEP2(i)$q_{i}(\in\Delta)$$\alpha(\in G)$

が奇素数巾の場合が偶数のとき$a_{q_{i}}$(垣)$(\hat{e}_{1},\hat{e}_{2},...,\hat{e}_{2(h-s)-1},\hat{e}_{2(h-s)}[] \mathrm{J}\mathrm{B}\overline{-}\mathrm{B}flO)\ovalbox{\tt\small REJECT}’\mathrm{a}\mathrm{e}rightarrow\tau^{\backslash }\backslash \not\in\emptyset o)$は位数$a_{q_{i}}$$q_{i}$$\varphi(x_{q_{i}.1}),\ldots,\varphi(x_{q_{i},a_{2i}})$$\varphi(x_{q_{i}.1}),\ldots,\varphi(x_{q_{j},a_{4i}})$る、 ただし、$\alpha(\in G)$ は位数$q_{i}(\in\Delta)$$q_{i}$となるので $(^{**}’)$ 式より:$\varphi(x_{f2^{\dot{i}},1})$,$G_{2}$

力埼数、 残りの $a_{2^{j}}(j<e_{2})$ は偶数とする。 まず、 各 $i(1\leq i\leq l)$$\ldots,\varphi(x_{2^{\dot{\mathrm{A}}}.a_{2^{j_{i}}}})$の任意の元。 次にを$2^{e_{2}}$$\alpha_{i},\alpha_{i},\alpha_{i}^{-1},\alpha_{i},\alpha_{i}^{-1},\ldots,\alpha_{i},\alpha_{i}^{-1}$$\varphi(x_{2^{e_{\mathrm{Z}}},1}),\ldots,\varphi(x_{2^{e_{2}},a_{2^{e}2}})$$\beta_{i},\beta_{i}’(\in G)$の存在は、 位数は巡回群)が偶数であることがわかる。

と定める、 ただし、$\beta_{i},\beta_{i}’$は$\alpha_{i}^{-1}=\beta_{i}\beta_{i}’$を$\alpha,\alpha^{-1},\alpha,\alpha^{-1},\ldots,\alpha,\alpha^{-1}$を満たす位数の巡回群において、 位数くと定める、 ただし、$\alpha(\in G)$(H) $n_{2}>e_{2}$ かつ $G$ がタイプ
$a_{2^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}$が偶数ならば位数ることにより$G$$\varphi$$2^{e_{2}}$$\mathrm{I}\mathrm{I}$$2^{e_{2}}$$a_{2^{j}}$の任意の元は位数

は位数$2^{j}$$2^{e_{2}}$の 2 元の$\varphi(x_{2^{j},1}),\ldots,\varphi(x_{2^{j}.a_{2^{j}}})$の任意の元。

の元が生成する巡回群に対して (i) で用いた方法を適用す$a_{2^{\ell}}2$が偶数であることを示す。

$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2^{n_{2}-e_{2}})$

で割り切れるので左辺第 1 項も

$2^{n_{2}-e_{2}+1}$が成り立つ。(**’) 式の右辺で割り切れなければならない。

ところが$(n-1) \frac{d}{n}$

なので (

:

は

の元。 この条件を満たす$2^{e_{2}}$が偶数となるを定めることができるので、 以下では

$2^{n_{2}-e_{2}+1}$$\alpha_{i}(\in G)$のときがタイプ垣なので g\equiv l(mod2N)、 特に

第 1 項はと定める、 ただし、$\beta_{1},\beta_{1}’,\beta_{2},\beta_{2}’,\ldots,\beta_{l},\beta_{l}’,\beta_{1},\beta_{1}^{-1},\ldots,\beta_{1},\beta_{1}^{-1}$積として表される、 ことから保証される。 最後にはと定め$\alpha^{2},\alpha^{-1},\alpha^{-1},\alpha,\alpha^{-1},\alpha,\alpha^{-1},\ldots,\alpha,\alpha^{-1}$$\{\begin{array}{l}\Rightarrow_{\mathrm{r}}\Re n=2^{e_{2}}\emptyset\ \gtrless\mathrm{f}ffl\Re \mathrm{f}\emptyset ffi\emptyset n\in\Delta\emptyset \text{とき}\end{array}$$a_{2^{e_{\mathrm{Z}}}}$$a_{f2^{\dot{l}}},\ldots,a_{2^{j_{l}}}(j_{1},\ldots,j_{l}<e_{2})$$2^{j_{t}}$をが 2 巾の場合$(n-1) \frac{d}{n}$位数と定める、 ただし、の任意の元。

(i) $n_{2}=e_{2}$ のとき (すなわちに対して$\alpha,\alpha^{-1},\alpha,\alpha^{-1},\ldots,\alpha,\alpha^{-1}$の任意の元。

力埼数のときSTEP3を$\{\begin{array}{l}\mathrm{E}\mathrm{A}\check{D}\xi^{\vee}2^{n\underline{,}-e}-’\tau^{\backslash }\backslash -\mathrm{a}\mathrm{l}0\text{切れる} n=2^{e_{2}}\emptyset\geq\gtrless 2^{n_{2}-e_{2}+1}\tau^{\backslash }\backslash \#\downarrow \mathfrak{o}m\mathrm{n}\epsilon\not\in^{-}\emptyset ffi\emptyset n\in\Delta \text{のとき}\end{array}$’) 式が成り立つためには$a_{2^{e_{2}}}$が偶数でなければならない。

61(垣 i) $n_{2}>e_{2}$ かつ $G$ がタイプ I のとき(iii-l)(iii-2)$a_{2^{e_{2}}}$$a_{2^{e_{2}}}$が偶数のとき(i) で用いた方法により

力埼数のとき$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)$$g\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2N)$$\mathrm{Z}_{2}\cross\cdots\cross \mathrm{Z}_{2}$に同型となる$P$

とおく。 は$P$$(^{G}/2P$

を定めればよい。

かっ g\not\equiv l(mod2N) が成り立っ (もしが成り立つならば (ii) の議論にょり

元全体が生成する部分群を$\varphi$$G_{2}$$a_{2^{e}2}$が偶数となる)$\text{。}G_{2}$の位数く$2^{e_{2}}$のの正規部分群であり、$G/2P$ は基李 Abel 群が可換であることは $G/2P$ の元の位数が 1 または 2 であることからわかる)。

.

$P=G_{2}$

の場合

例えば、

$\beta_{1},\ldots,\beta_{l}$

位数

の任意の元

$2^{e}\underline’$の位数が$\varphi(x_{2^{e_{2}},2}),\ldots,\varphi(x_{2^{\ell},a_{2^{e}2}}2)$は位数く$2^{e_{2}}$$2^{j_{1}},\ldots,2^{j_{l}}(j_{1}<\cdots<j_{l}<e_{2})$$\varphi(x_{2^{e_{2}},1})=\alpha^{-1}\text{、}\varphi(x_{2^{j_{1}}.1})=\beta_{1},$の$\alpha$$\varphi(x_{2^{j_{l}},1})=\beta_{l}$$\ldots,$の個数$a_{2^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}-1$の元$\beta_{1},\ldots,\beta_{l}$の積として表される。

であるとする。 このときと定める。 このよう [こ$\varphi$を定めると未決定は偶数なので (i) で用いた方法にょり$\varphi$を定めることができる。 ( $j_{1}<\cdots<$ 刀でない場合も同様).

[$P\neq G_{2}$$G_{2}$の場合$G$はタイプ I(そして$G_{2}$

が非巡回群)

なので [$G_{2}$: P]\neq 2、 っまり、

: P]\geq 4。よって($G/_{P}2\cong \mathrm{Z}_{2}\cross\cdots\cross \mathrm{Z}_{2}$となる。$G/2P$ の異なる 2 つの生成元の積$\overline{\alpha}_{1}\overline{\alpha}_{2}$$\overline{\alpha}_{1},\overline{\alpha}_{2}$はまた生成元となるので、 まずと定める。 このように$\varphi$$\prod_{j=1}^{m}\prod_{k=1}^{a_{q_{j}}}\varphi(x_{q_{j},k})$$\hat{e}_{2(h-s)-1},\hat{e}_{2(h-s)}$$\varphi$$\overline{\alpha}_{1},\overline{\alpha}_{2}$$\varphi$: $P]$ (\geq 2) 個の直積)は$G_{2}$の元$\varphi(x_{2^{e_{2}},1})=\alpha_{1},$を定めると未決定の数なので (i) で用いた方法により以上で定めた($\frac{1}{2}[G_{2}$$\alpha_{1},\alpha_{2}$が定める $G/2P$ の元)$\varphi(x_{2^{e_{2}}.2})=\alpha_{2},$ $\varphi(x_{2^{e_{2}}.3})=(\alpha_{1}\alpha_{2})^{-1}$$\varphi(x_{2^{e_{2}},4}),\ldots,\varphi(x_{2^{e_{2}},a_{2^{e}2}})$

の個数

は偶

を定めることができる。

は積の順序の交換を行うと$\prod\prod\varphi(x_{q_{j},k})=1$を満たす。 従って、は $G$ の交換子群に含まれる。 STEPI で未決定であったを$a_{2^{e_{2}}}-3$$\varphi(\prod_{i=1}^{h}[u_{i},v_{i}]\prod_{j=1}^{m}\prod_{k=1}^{a_{q_{j}}}x_{q_{j},k})=1$が成り立つように定める。

$\hat{e}_{1},\hat{e}_{2}$,$\ldots$,(b) の証明終

62
3

付録
例1

$G$

が位数

$p$

(奇素数) の巡回群 Zp の場合の母関数 $q_{G}(z)$ ( $[2$ .p.23 および p.34])

このとき、O(G)={p}、へ (G)$=1_{\text{、}}q_{0}=p_{\text{、}}q_{1}= \frac{p-1}{2}$

例2

$G$

が位数 2 の巡回群$\mathrm{Z}_{2}$このとき. O(G)={2}、へ (G)の場合の母関数 $q_{G}(z)$ ($=1_{\text{、}}q_{0}=2_{\text{、}}q_{1}= \frac{1}{2}$$G$,p.23 およひ p.341) .

$q_{G}(z)= \frac{1+z-z^{2}}{(1-z^{2})(1-z)}$.

奇素数) の二面体群 $D_{p}=\langle x,y|x^{p}=y^{2}=\mathrm{L}y\eta=x^{-1}\rangle$ の場合の母関が位数 $2p$ (数 $q_{G}(z)([2, \mathrm{p}.32])$

$[2$

.

であり、

$\Phi_{\mathrm{Z}(G)}(x_{0},x_{1})=\frac{x_{0}}{1-x_{0}}+\frac{x_{1}^{2}}{(1-x_{0})(1-x_{1}^{2})}$

例3

であり.

$q_{G}(z)-- \frac{z^{p}+z^{p-1}-z^{\frac{3p-1}{2}}}{z^{p-1}(1-z^{p})(1-z^{\frac{p-1}{2}})}$$\Phi_{\mathrm{Z}(G)}(x_{0},x_{1})=\frac{x_{0}}{1-x_{0}}+\frac{x_{1}^{2}}{(1-x_{0})(1-x_{1})}$.

.

このとき、$O(G)=\{2,p\}$ 、へ (G)$=1_{\text{、}}q_{0}=2p_{\text{、}}q_{1}= \frac{p}{2}\text{、}q_{2}=p-1$

であり、$\Phi_{\mathrm{Z}(G)}(x_{0},x_{1},x_{2})=-x_{0}-x_{1}^{2}-\frac{1}{1-x_{2}}+\frac{1}{(1-x_{0})(1-x_{1}^{2})(1-x_{2})}\text{、}$$q_{G}(z)=z^{1-2p(-z^{2p}-z^{p}-\frac{1}{1-z^{p-1}}+\frac{1}{(1-z^{2p})(1-z^{p})(1-z^{p-1})}\ovalbox{\tt\small REJECT}}$