数理解析研究所講究録 1283 巻 2002 年 48-5448
Lascar 群による超仮想元の特徴づけに関して
東京大学数理科学研究科. 玉江伸成 (Tamae Nobuaki)
Graduate School of Mathematical Sciences

University of Tokyo
一階の理論に関する Lascar 群は、代数学 (体論) で云うところの絶対ガロア群の拡張になっている。 実際、標数 0 の代数閉体の理論では両者は一致する。 一方で、 Lascar 群に現れるある自然な部分群が、モデル理論で以前から使われているある種の (hyper)imaginary element を特徴づけるものとなる。
以下では、研究集会で行なった Lascar 群に関する速成講座を補足する形で、これらの関係を簡単な証明付で紹介してぃく。

1. 定義と例
以下、 $T$ で可算言語 $L$ の完全な理論を、$\mathrm{C}$で $T$ の飽和モデルを表すことにする。 理論によっては飽和モデルの存在が示せないこともあるが、 その時は充分大きい saturation を持ったモデルを考えれば、議論はほぼ同様に進む。
定義 Ll
うな

ある

$\mathrm{C}$の基本部分モデル (elementary submodel) を固定するよの自己同型写像全体を考える。 これら全てから生成される Aut(C) の部分群を Autf(C) と書き、 強自己同型写像群 (strong automorphism group)$\mathrm{C}$と呼ぶ。 $a,$$b\in \mathrm{C}$がある強自己同型写像で移り合うとき、

Lascar 強タイプが等しいと言い、
Autf(C)$1\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathrm{C}}(a)=1\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathrm{C}}(b)$$a$と$b$の($\mathrm{C}$での)と表す。

Aut(C) の正規部分群となる事が容易に分かるので、Aut(C)/Autf(C) は群となる。 よって次が定義される。
定義 L2

はAut(C)/Autf(C) を$\mathrm{C}$の (Lascar) ガロア群と呼ひ、 Gal(C)と書く。

補題 L3$M,$ $N$を$\mathrm{C}$の基本部分モデル、$\mathrm{t}\mathrm{p}(f(M)/N)=\mathrm{t}\mathrm{p}(g(M)/N)$

(証明)

ならば

$f,g\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$とする。 このとき、$f/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})=g/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})$.

仮定より $h(f(M))=g(M)$ となるような $N$ を固定するがとれる。 $g=h\cdot f\cdot(f^{-1}h^{-1}g)$ において、$h$は$N$するので、 それぞれ Autf(C) の元となる。 よって$h\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$を、 $f^{-1}h^{-1}g$ は $M$ を固定$f/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})=g/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})$

.

(証明終)
$\mathrm{C}’$を別の飽和モデルとする。次の定理はガロア群が飽和モデルの取り方によらないことを示す。

49
定理 1.4

Gal(C)(証明)$\mathrm{C}\prec \mathrm{C}’$$=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{C}’)$かつ

対し、 $f$ を拡大して得られる$f\subset f_{0}’\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C}’)$る。 よって$\mathrm{C}’$を取ったとき、$f\succ*f’/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C}’)$れから誘導される$\mu$として示せばよい。

$|\mathrm{C}|<|\mathrm{C}’|$の自己同型 $f’$ を任意にひとつとる。 他の$f_{0}’f^{\prime-1}$

は$\mathrm{C}$を固定するので強自己同型であで、 Aut(C) から Gal(C’) への写像が定まる。 こ: Gal(C)\rightarrow Gal(C’) が群の同型写像であることを見る。

単射性 $\mu(f)=1$ となるようなに対し、Autf(C’) をとる。の saturation と $f(M)=f’(M)$ より$f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$$M\prec \mathrm{C}$なるをとる。 $\mu(f)$ の代表元 $f’\in$$\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathrm{C}’}(M)=1\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathrm{C}’}(f’(M))$

だから、$\mathrm{C}’$( $f$ (M))。 よって、$\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathrm{C}}(M)=1\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{p}_{\mathrm{C}}$となる。

$f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})$企射性に$f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$$f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C}’)$$M_{1}\prec \mathrm{C}$とする。

がとれる。

$M_{0}\prec \mathrm{C}$に対し、$\mathrm{t}\mathrm{p}(M_{0})=\mathrm{t}\mathrm{p}(M_{1})$$\mathrm{t}\mathrm{p}(f(M_{0})/N)=\mathrm{t}\mathrm{p}(M_{1}/N)$

より、 $g(M_{0})=M_{1}$ なる $g\in$に拡大する。この時、Aut(C) をとり、更にそれをとなるので、補題 13 より、$\mathrm{t}\mathrm{p}(g’(M_{0})/N)=$$g’\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C}’)$$\mathrm{t}\mathrm{p}(f(M_{0})/N)$$g’/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})=f/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})$となる。

(証明終)ガロア群が飽和モデルの取り方によらないことが示されたので、 次の定義ができる。
完全な理論 $T$ に対し、 Gal(T)定義 L5$:=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{C})$(ただし、$\mathrm{C}$は $T$ のある飽和モデル)。

例 L6

(1)

$T=\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}_{0}$のとき、複素数体$\mathrm{C}$は飽和モデルになっている。

–方– の元は (モデル論の言葉で) 代数的なので、任意の強自己同型は– を固$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}$定する。 従って、 Gal(T)$=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{C})$$=\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C}/\mathrm{Q})$$=\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{Q})$. よって代数で云う絶対ガロア群に等しい。
$T=$ (無限集合の理論) を考える。 こ(2) 最も易しい構造として、の時、 Gal(T) $=\{1\}$ となる。
$M$ を可算集合とする。任意の $M$ の置換 $f$ が、 ある無限集合を(証明)固定した $M$ の置換の有限回の合成で書けることを見れば良い。 $a\in M$ に対し $S_{a}=\{f^{n}(a)|a\in \mathrm{Z}\}$ と置く。 $M$ を S。の形の disjoint union で分解する :に分解して、S。: . $|I|=\infty$ なら を 2 つの無限集合を固定する写像の合成を考えれば良い。
を固定する写像と$L=\emptyset,$$I$$M=\mathrm{u}_{i\in I}$$I_{0},$$I_{1}$$\mathrm{u}i\epsilon I_{\mathrm{O}}:S_{a}$$\mathrm{U}_{j\in I_{0}}S_{a_{\mathrm{j}}}$$|I|<\infty$のときも、$S_{a:}$を無限集合にする$i$が少なくとも 2 種類あれば、を固定する写像と $M-S_{a:}$ を固定する写像の谷成で書ける。残りは限集合にする
$M$

$i$

$S_{a:}$$S_{aj}$を無がただ一つの時だが、 $M=S_{a_{j}}$ として一般性を失わない。更にの元を $f$ で移る順番に 2-型に並べれば $(: M=\{a_{i}|i\in \mathrm{Z}, f(a_{i})=a_{j+1}\})_{\text{、}}$$M=\mathrm{Z},$$f(n)=n+1$ と見なせる。 ここで.
if
$f_{0}(n)=\{$ $n+1$
if$n-1$ if$n$$n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$$n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$$n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$

50
if
if
if

$n+1$
$f_{1}(n)=\{$$n+2$$n$とおけば、 $f=f1\circ f_{0}$ ,$n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$$n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$$n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 3)$となることは単純に確かめら$(f_{0}, f1\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(M))$

れる。 (証明終)注意 L7

ガロア群は上の例のように単純なものだけではない。 実は、任意のコンパクト Lie 群は、 ある理論のガロア群として表されることが分かっている (Bouscaren 等の未発表の結果)。

2. 位相群になることをこの節では固定する。 L 変数の $N$ 上のタイプ全体を $S_{I}(N)$ で表し、その中で解が $M$ と 上同型となるもの全てを集めたものを $S_{M}(N)$ と書くことにする。 $S_{I}(N)$ に Stone 空間としての位相を入れたとき、と上同型となる』 というのは (無限個の) 論理式の集合で書けるので、 $S_{M}(N)$は $S_{J}(N)$ の中で閉集合となり、 よって $1S_{M}(N)$ がコンパクトかっ Hausdorff$M,$ $N\prec \mathrm{C}$$\emptyset$$\Gamma M$$\emptyset$

だから) コンパクトかっ Hausdorff になることに注意する。
$\mu$: Aut(C) $arrow S_{M}(N),$$f(M)/N,$:$S_{M}(N)arrow \mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{C})$

命題 2.1$\nu$

をそれぞれ、 $\mu(f)=$で定義する ( $f(M)/N$ は$\nu(f(M)/N)=f/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})$の省略記法)。 この(証明)$\nu$による像位相で Gal(T)$=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{C})$$\mathrm{t}\mathrm{p}(f(M)/N)$に位相を入れる。

上で導入した位相は、 $M,$ $N$ の選ひ方に依存しない。
$M’,$ $N’$を別の$\mathrm{C}$の基本部分モデルとする。 $M\prec M’,$ $N\prec N’$ と:して一般性を失わない。
を上と同様に定義する。 $\varphi:S_{M’}(N’)arrow S_{M}(N)$ を $\varphi(f(M’)/N)=f(M)/N$で定義する。
$\mu’$

Claim.

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})arrow S_{M’}(N’),$$\sqrt:S_{M’}(N’)arrow \mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{C})$は連続かっ開写像 Rは制限写像なので連続性は Stone 空間の位相の入り方から明ら力 すると、 S、’ $(N’)$ も $S_{M}(N)$ もコンパクトかっ Hausdorff な空間なので、連続写$\varphi$$\varphi$$1_{\text{。}}$

像は自動的に開写 . となる。
$\text{像}$従って$\nu^{\prime-1}(O)$に対し、の証明終)$\lceil_{\nu}-!(O)$が開集合』$\Leftrightarrow$「 $\varphi^{-1}(\nu^{-1}(O))=$が開集合』 となる。 (証明終)$\mathrm{G}\mathrm{a}1(T)$命題 2.2$O\subseteq \mathrm{G}\mathrm{a}1(T)$$\mathrm{t}\alpha aim$の位相は、 コンパクト空間の像位相なので、 次が成り立っ。

Gal(T) はコンパクト。

以下この位相で Gal(T) が位相群になっていることを示したいが、 簡単のため、 Gal(T) を Hausdorff 空間として証明する。
注意 2.3

Hausdorff という条件を外すと、 かなり精密な議論をせねばなら

51
ず面倒である。 方針を簡単に述べると、 この時でも Stone 空間の性質が利いてきて、 Hausdorff 空間に似た性質が成り立つことがわかる。 その後の証明の筋道は以下の証明と変わらない ([3] 参照) 。なお、 実際 Hausdorff でないガロア群は存在する事が示されている [1]。

定理 2.3

Gal(T) は位相群になる。

(証明)$\mathcal{M}=\{(\mu(f), \mu(g), \mu(fg))|f,g\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})\}$$f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})\}$Cla $im$ .
$\mathcal{M}$, $\mathrm{I}=\{(\mu(f), \mu(f^{-1}))|$とおく。

, I は ( $S_{M}(N)$ の直積位相で) 閉集合。の解をそれぞれについてのみ示す (I の方もほぼ同様) $p,$$\mathcal{M}$$\text{。}$$q,$ $r$$\Lambda f_{p}$,$\Lambda f_{q},$$M_{r}$の上のタイプ、と置くと、 $(p, q, r)\in \mathcal{M}$ という条件は次と同じ: 「 $M$ と上のタイプがそれぞれ同じ」。 この 「」 は (無限$(M, M_{p})$ と $(M_{q}, M_{r})$ の$M_{q}$$\emptyset$$\emptyset$

個の) 論理式の集合で書けるので、従って $S_{M}(N)^{3}$ の閉集合となる。 (Claimの証明終)そのもの。 最初に置いたGal(T) における. , -1 のグラフは仮定より、 Gal(T) はコンパクトかつ Hausdorff な空間だから、 は閉写像。
$\nu(\mathcal{M}),$$\nu(\mathrm{I})$

$\nu$

よって
-1

$\nu(\mathcal{M}),$$\nu(\mathrm{I})$も閉集合となる。

が連続となることを見よう。

$G=\mathrm{G}\mathrm{a}1(T)$とおき、$F\subseteq \mathrm{G}\mathrm{a}1(T)$を閉集は閉集合であり、 その (第 2 成分への) 射影は、 空間が Hausdorff かつコンパクトゆえ閉写像であるから、 $F^{-1}$ も閉集合である。

合とする。

$\nu(\mathrm{I})\cap F\cross G$. の連続性もほぼ同様に示される。 (証明終)3. Gal(T) のある部分群と超仮想元との関係
第 2 節で Gal(T) が位相群になることが分かったので、 次のような自然な部分群が考えられる。
定義 3.1で1 を Gal(T) の単位元とするとき、$\Gamma(T)$で{1} の閉包、 Gal’(T){1} の連結成分を表す。
この 2 つが Gal(T) の正規部分群になることは容易に確かめられる。の仮想元 (imaginary element) とは、 空集合上定義される上の同値関係の同値類のことである。 同値関係を $E$ ( , y)、 代表元を定義 32$\mathrm{C}^{n}$$\mathrm{C}$$x$$a\in \mathrm{C}$とするとき、仮想元を $a/E$ のように表す。 $a/E$ の Aut(C) による軌道が有限集合の時、仮想元 $a/E$ が代数的であるという。

補題 3.3(証明)$M\prec \mathrm{C}$

強自己同型写像は代数的な仮想元を動かさない。

Autf(C) の生成元を取ってくることにより、強自己同型写像 f|まあるを固定するとしてよい。 $a/E$ を代数的仮想元とする。 $E^{n}(x_{1}\cdots x_{n})=$52$\neg E(x_{i}, x_{j}),$$\bigwedge_{1}$$p(x)\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{t}\mathrm{p}(a)$$\ovalbox{\tt\small REJECT} i\neq j\ovalbox{\tt\small REJECT} n$$1\leq i\leq n\cup p(x:)\cup\{E^{n}\}$とするとき、 ある自然数$n$で、は無矛盾だが、$1\leq-\leq n+1\cup p(x:)\cup\{E^{n+1}\}$ は矛盾となるものがある。 コンパクト性定理より、 あるる$n$$\varphi\in p$

で、$\varphi(\mathrm{C})$と上で取れ個の $E$-同値類を交わらせることができる。 $M$ はモデルなので、 この個の同値類は$\varphi(M)$とも交わっている。従って $a/E\ni b(\in M)$ なる$b$$n$があるが、 $f$ は $M$ を固定するので、 $f(a/E)=a/E$ でなければならない。 (証明終)定義 3.4$\mathrm{C}$の超仮想元 (hyperimaginary element) とは、 空集合上 type-definable な ((無限個の) 論理式の集合で定義される) 同値関係の同値類のことをいう。 ここで、その同値関係を $E(x, y)$ で表すとき、も構わない。 $a/E$ の Aut(C) による軌道の濃度が$|\mathrm{C}|$$x$の長さは無限でのとき、超仮想元 $a/E$を有界 (bounded) であるという。

補題 3.5強自己同型写像は有界な超仮想元を動かさない。

(証明)$a/E$ を有界な超仮想元、 $f$ を $M\prec \mathrm{C}$ を固定する$\mathrm{C}$の自己同型、$b=f(a)$ とする。 $p(x)=\mathrm{t}\mathrm{p}(a/M)$ とおき、 $p(x)$ の $M\cup\{a, b\}$ 上への非分岐拡大 (nonforking extension) の$\mathrm{C}$での解を$c_{2}$と帰納的に$\mathrm{C}$での解を$\langle c:;i<|\mathrm{C}|\rangle$$c_{1\text{、}}M\cup\{a, b, c_{1}\}$をとると、上への非分岐拡大の$\langle a, c_{1}, c_{2}, \ldots\rangle,$$\langle b, c_{1}, c_{2}, \ldots\rangle$

はそれぞれ $M$ 上の一様列 (indiscernible sequence) になっている。
ここで、 $\mathrm{C}\models\neg E(a, b)$ と仮定する。 $\mathrm{C}\models\neg E(a, c_{1})$ とすると、 全ての$i\neq j<\kappa$ で $\neg E(c:, c_{j})$が成立するし、$\mathrm{C}\models E(a, c_{1})$とすると、$\mathrm{C}\models\neg E(b, c_{1})$が言えてしまうので、 再ひ全ての $i\neq j<\kappa$ で $\neg E(c:, cj)$ が成立する。 いすれの揚合も $a/E$ の有界性に反するので、でなければならない。
$\mathrm{C}\models E(a, b)$

従って $f(a/E)=a/E$ となり、 よって題意が示される。 (証明終)

実は、 ある意味で補題 35 の逆も言える。

補題 3.6強自己同型写像で動かない超仮想元は有界である。

(証明)$a/E$ を超仮想元とする。 $\mathcal{E}=\{f(a)/E|f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})\}$$a/E$ が強自己同型で動かないので、 これはと同じ集合である。第 2 節の $M,$ $N$ を濃度$|S_{M}(N)|\leq 2^{|T|^{+}}$となり、従ってを考えるが、$\{f(a)/E|f/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})\in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathrm{C})\}$$|T|^{+}$$|\mathcal{E}|\leq 2^{|T|^{+}}$のモデルにとると$|\mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{C})\}|\leq$となる。 よって $a/E$ は有界である。 (証明終)とすると、 全ての有界な超仮想元を動かさない自己同型は強自己同型であるようにも思われるが、 実はそうではない。 正確には、 3.1 で定義した$\Gamma(T)$がそのような自己同型に対応している。 すなわち、定理 3.7$\Gamma(T)=\{f/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})\in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathrm{C})|f$は任意の有界な超仮想元を固53(証明)

有界な超仮想元 $a/E$ に対し、 Stab(a/E) を $a/E$ を固定する Gal(C)の元全ての集合とする。

$\nu^{-1}$(Stab(a/E))$a\mathrm{C}M,$$N\prec \mathrm{C}$となるように $M,$ $N$ を選ぶと、$=$$\{\mathrm{t}\mathrm{p}(f(M)/N)|f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C}), \mathrm{C}\models E(f(a), a)\}$$=$$\{p(x)\in S_{M}(N)|E(x_{0}, a)\subset p(x)\}$( $x0\subset x$ は $a\in M$ に対応する変数)となり、従って $S_{M}(N)$ の位相で閉集合となることが分かる。従って Stab(a/E) も閉集合となる。

小の閉集合だから、$\Gamma(T)\subseteq \mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}(a/E)$. 従って$\Gamma(T)$は{1} を含む最$\Gamma(T)\subseteq\bigcap_{a/E:\mathrm{f}\mathrm{f}*}$Stab(a/E)となる。 これは定理のステートメントの (C) を意味する。

逆$a$$G/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})=\Gamma(T)$で番号づけられている 2 つの列 $a,$

$M$

「を示す。

$(\supseteq)$,$b$$b$となるように$G\leq \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$に対して、同値関係

I ま同じ $G$-軌道に入っている」で定義する。 $E$ が$\emptyset$

$E$

を、

をとる。

$E(a, b)\Leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}$上 type-definable で有界な同値関係であることが示されれば充分である。
まず、より、 G-軌道、すなわち$|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})/G|\leq|\mathrm{G}\mathrm{a}1(T)/\Gamma(T)|\leq|\mathrm{G}\mathrm{a}1(T)|$E- 同値類の個数は次に$\Gamma(T)$$|\mathrm{G}\mathrm{a}1(T)|$以下なので、 有界である。

は閉集合なので、 $\nu^{-1}(\Gamma(T))=\{p(x)\in S_{M}(N)|p_{0}(x)\subseteq p(x)\}$となる論理式の集合 $p_{0}(x)$ がある。

$E(a, b)$$\Leftrightarrow$$\exists f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\mathrm{C})$$\Leftrightarrow$$\exists x$“$\mathrm{C}\models f(a)=b\wedge p_{0}(f(M))$$\mathrm{t}\mathrm{p}(aM)=\mathrm{t}\mathrm{p}(bx)’’\cup p_{0}(x)$となるので、 これは (無限個の) 論理式の集合で書ける条件である。 更に $G$
は Aut(C) の正規部分群だから、 $E$ は白己同型で不変である。 従って$\emptyset$上の論理式の集合で書けている。 (証明終)代数的な仮想元に対しても、 定理 37 に類した特徴づけがある。
定理 3.8$\mathrm{G}\mathrm{a}1\mathrm{o}(T)=\{f/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}(\mathrm{C})\in \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(\mathrm{C})$$|f$は任意の代数的な仮想元を固定する}証明には profinite group で知られた事実を使って、 定理 37 に似た論法を用いるが、 やや複雑である。 詳細は [3] を参照。

それぞれの理論 $T$ に対し、 Gal’(T) や$\Gamma(T)$が単位元からなる群と一致するかは、 (超) 仮想元の性質を調べる上で重要である。 例えば、 $T$ が安定な理論とする。

$\mathrm{t}\mathrm{p}(a/\mathrm{a}\mathrm{c}1^{eq}(\emptyset))=\mathrm{t}\mathrm{p}(b/\mathrm{a}\mathrm{c}1^{\mathrm{e}q}(\emptyset))$

任意のモデル $M$ に対し、$\mathrm{t}\mathrm{p}(a/M)=\mathrm{t}\mathrm{p}(b/M)$

なら、 ab と ( 上) 独立な$\emptyset$となるので、 代数的な仮想元を動かさない自己同型はあるモデルを固定できる。 よって定理 38 より、Gal’(T) $=\{1\}$ となる。他にも、ることは示されているがなっている。

$T$が単純な理論のときは、 $\Gamma(T)=\{1\}$ であ$[2]_{\text{、}}\mathrm{G}\mathrm{a}1\mathrm{o}(T)=1$であるかどうかは未解決の問題と

54
参考文献
[1] Casanovas, E.; Lascar, D.; Pilay, A.; Ziegler, M. Galois groups of firstorder theories. -J. Math. $Lw\cdot 1$ (2001), no 2, 305-319.
[2] Kim, Byunghan. Anote on lascar strong types in simple theories. .
Symbolic Logic, 63 (1998), no 3, 926-936[3] Ziegler, M. Introduction to the Lascar group. Preprint, 2001
$J$