数理解析研究所講究録 1208 巻 2001 年 36-51

36J\"ager-Rejto Approach on Growth Estimatesof Generalized Eigenfunctions
and Principle of Limiting A bsorption
東京都立大理学研究科

望月 清 (Kiyoshi MOCHIZUKI)

Department of Mathematics, Tokyo Metropolitan University
Hachioji, Tokyo 192-0397, Japan
Abstract
operators with oscillating long-range
In this paper we consider theand Rejto on the growthpotentials. We make an improvement of aresult of
the principle of limiting
show
it
to
apPly
and
estimate of generalized eigenfunctions,$V_{3}(x)=$absorption. If the operators are of the$O(|x|^{-1-\delta})(\delta>0)$ as $|x|arrow\infty$ , the principle is established for the intervaldist{J,} $>|bc|/ \min\{2,4\delta\}$ . If the operators are of the form$-\Delta+c\sin(\log|x|)/\log|x|+V_{3}(x),$ $V_{3}(x)=O(|x|^{-1}\{\log|x|\}^{-1-b}.)$ , the principle isestablished for satisfying $\inf J>|c|/4\delta$ .
$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\tilde{\mathrm{o}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{J}\tilde{\mathrm{a}}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}-\Delta+c\sin b|x|/|x|+V_{3}(x),$$J\subset$$b^{2}/4$$\mathrm{R}_{+}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{s}\phi \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$

$J$

1. 序
1943 年 F. Rellich [13] は次の結果を得ている。
定理$\mathrm{R}$Bc(R$=\{x\in \mathrm{R}^{n};|x|>R_{0}\}$とし、 $u=u(x)\in C^{2}(B^{r,}(R_{)}))$ は$-\Delta u=\lambda u$の解とする。 $\lambda>0$ で$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u\neq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$, x\in B0(ん)

$)$

なら、

$\lim_{Rarrow}\inf_{\infty}\int_{S(R)}\{|\partial_{r}u|^{2}+\lambda|u|^{2}\}dS>0$

ここ [こ $S(R)=\{x;|x|=R\}$ ,また $r=|x|$ .

これと Sommerfeld radiation condition ([16])$\lim_{rarrow\infty}\int_{S(r\mathfrak{l}}|\partial_{r}u\mp i\sqrt{\lambda}u|^{2}dS=0$

.

37
を合わせて

定理

$\mathrm{S}\Omega\subset \mathrm{R}^{n}$を外部領域、 $u\in C^{2}(\Omega)$ は$-\Delta u=\lambda u$の解とする。 $\lambda>0$ で

$u$

in

$\Omega$,$u|_{\partial\Omega}=0$

が radiation condition を満たすなら $u\equiv 0$ .

注意 境界条件は Neumann でも Robin でもよい。
これは Green の公式から従う。実際、 $\Omega(r)=\Omega\cap\{|x|<r\}$ とすると
$0= \int_{1l(r)}\{\overline{u}\Delta u-u\Delta\overline{u}\}dx=\int_{S(r)}\{\overline{u}\partial_{r}u-u\partial_{r}\overline{u}\}dS$より$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{(r)}|\partial_{r}u\mp i\sqrt{\lambda}u|^{2}dS=\int_{S(R)}\{|\partial_{r}u|^{2}+\lambda|u|^{2}\}dS$が得られる。 radiation condition と Rellich の定理から$x$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$

であるが

$u$

が

について analytic だから $u\equiv 0$ が従う。

は極限吸収の原理の証明に欠かせない。
Rellich の定理を Schr\"odinger 作用素の場合に拡張する試みは Povzner ([12]) 等によってなされていた。本格的な結果は次の Kato の定理である ([8])。
定理

定理$\mathrm{S}$$\mathrm{K}\Omega\subset \mathrm{R}^{\tau\iota}$

を外部領域、 $u\in C^{2}(\Omega)$ は(1.1)$-\Delta u+V(x)u=\lambda u$の解とする。 $V(x),$$\lambda$,

が$\lim_{rarrow}\sup_{\infty}r|V(x)|=K\geq 0$を満たし$x\in\Omega$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u\neq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$なら、$\forall\epsilon>0$,$\lambda>\frac{K^{2}}{4}$(こ対して$\lim_{rarrow\infty}r^{K/\sqrt{\lambda}+\epsilon}.\int_{S(r)}\{|\partial_{r}u|^{2}+\lambda|u|^{2}\}dS=\infty$注意$\lambda>K^{2}$.

のときは上の結果は$\lim_{rarrow\infty}r.\int_{S(r)}.\{|\partial_{r}u|^{2}+\lambda|u|^{2}\}dS=\infty$と書け、 半直線 $(K^{2}, \infty)$ での固有値の非存在がわかる。 また、 $K=0$ のときはに対して\mbox{\boldmath $\nu$}中k$r^{\epsilon} \int_{S(r)}\{|\partial_{r}u|^{2}+\lambda|u|^{2}\}dS=\infty$$\forall\epsilon>0$38となる。 ここで$\epsilon=0$とは出来ず、 その意味でこの結果は Rellich の結果より弱い。

Kato の結果はその後 Simon [15], Agmon [1], Eidus [3], Roze [14], Ikebe-Uchiyama[4], Uchiyama [17], Mochizuki [9], Jiger-Rejto [5], Eastham-Kalf [2] 等にょり、 種々の
potenti」に対して拡張された。これらのうち、 [17], [9] では多体問題を含む homogeneous

potenti 硅(1.2)$\lim_{rarrow}\sup_{\infty}\{\gamma^{-1}r\partial_{r}V(x)+V(x)\}\equiv E_{\gamma}<\infty$

for some $\gamma\in(0,2]$に対して growth estimate を得ている。

次の結果は Mochizuki-Uchiyama [11] に依る。
定理 MU

を (1.1) の解とし、 $V(x)$ が (1.2) を満たすとする。 $\lambda>E_{2}$ でなる $\forall\gamma\in(0,2]$ に対して
なら、

$u\in C^{2}(\Omega)$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u\neq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$$\lambda>E_{\gamma}\geq E_{2}$.

$\lim_{rarrow}\inf_{\infty}r^{\gamma/2}\int_{S(r)}\{|\partial_{r}u|^{2}+\lambda|u|^{2}\}dS>0$(1.2) を満たす例として von Neumann-Wigner 型 potential(1.3)$V(x)= \frac{c\sin br}{r}+V_{3}(x)$

,

$c,$

$b\in \mathrm{R}\backslash \{0\}$がある。 ここに $V_{3}(x)$ は short-range potential である。 この potential に対して \vdash . の結果から次が d える。
$\lambda>E_{2}=\frac{|bc|}{2}$なら$\lambda$は固右値でない。

一方、 Kato の定理を用いれぼ次が言える。
$\lambda>K^{2}=c^{2}$なら$\lambda$は固有値でない。

von Neumann-Wigner 型 potential に対して最近の論文 Jiger-Rejto [6] で次の結果が示された。

定理 JR $u\in C^{2}(\Omega)$ を (1.1) の解とする。

(1.4)
を満たし、

$\lambda$が$| \lambda-\frac{b^{2}}{4}|>\frac{|bc|}{2}$$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u\neq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$なら.

$\lim_{rarrow}\inf_{\infty}\int_{S(r)}\{|\partial_{r}u|^{2}+\lambda|u|^{2}\}dS>0$

この結果は二つの意味で新しい。 ひとつは $\lambda=0$ の近くでの固有値の非存在を主張しで $\gamma=0$ と取れており、 Reffich の定理の真の拡張になって得る点で、他は weight
いる点である。
$r^{\gamma/2}$

39.

この結果と Kato の定理を合わせると次が える。
$\overline{\mathrm{D}}-$$|c|< \frac{|b|}{\sqrt{5}+1}$なら正の固有値は存在しない。

実際、 このときは $b^{2}/4-|bc|/2>c^{2}$ が成り立つ。

注意 定理 MU を使うと $|c|<|b|/4$ となり、結果は悪くなる。本来の von Neumann$\lambda=1$ が固Wigner potential は $c=8,$ $b=2$ であり、 このときは $V_{3}(x)$ を適当にとると有値になる。

$|c|$が大きいときは定理 MU が固有値の非存在に関する結果としては最良になっている。

\tilde 般固有関数の growth estimate は解の或 functional についての微分不等式を構或しの証明も Kato 以来のこの方法に忠実であるが、新し 点は彼等て証明される。定理が解の approximate phase を含む functional を採用しているところにある。 approximate
phase は ra 小 ation condition の定義に密接に関わっており、 [6] では以前我々 (MochizukiUchiyaina [10] が極限吸収の原理を示すのに用いたものと同じ phase function が使われている。 [10] では [6] に類似の functional identity を導いたが、 それを直接 growthestimate の証明には使わなかった。 ここではこの fnctional identity を出発点として.
の. ^般化で、 証明は般固有関数の growth estimate を証明する。我々の結果は定理
しきれな\mbox{\boldmath$\nu$}\supset 。
ずいぶん見易いものになっている。 彼等の証明は難解で follow$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\mathrm{J}\mathrm{R}$$)$-$\mathrm{J}\mathrm{R}$potenti」があると radiation condition がうまく定義されるとはかぎらず、 Rellich ].
の定理は直接には極限吸収の原理に結びつかない。 しかし、 ここでは functional identityの範囲でが radiation condition に関係して作られているので、極限吸収の原理も同じ
容易に証明できる ([10], Mochizuki[8])。
$\pi_{-},’$$\lambda$

2. 仮定と結果での Schr\"odinger 作用素 $L=-\Delta+V(x)$ を考える。 potential $V(x)$ は実数値で局の singularity の order を制限す, 遠方で有界とする。 $n\geq 4$ の場合はこの他に所$\mathrm{R}^{n}$$V$$L^{2}$るのStuinmel 条件を仮定する。 このとき$\acute{\mathrm{H}}$$L$は定義域 $D(L)=H^{2}(\mathrm{R}^{n})-$ をもつ$L^{2}(\mathrm{R}^{n})$」己共役作用素になる。

$V(x)$には更に条件をつけるが、 そのために関数 $\mu(r)$ を $r>0$ で正値で$\mu(r)=o(r^{-1})$

as $rarrow\infty,$$\mu(r)\in L^{1}([R, \infty))$

for $R>0$なる性質を持つものとする。以下では $\lim\inf_{rarrow\infty}r^{2}\mu(r)>0$ も仮定するが、 これで-.

般性を失うことはない。

(A1)$V(x)l\mathrm{h}$$V(x)=V_{1}(r)+V_{2}(x)+V_{3}(x)$のように分解される。 ここに、 $V_{1}(r),$ $V_{2}(x),$ $V_{3}(x)$ はそれぞれ次の意味での oscillating
long-range potential, long-range potential, short range potential である $rarrow\infty$ で:$V_{1}(r)=O(1),$ $V_{1}’(r)=O(r^{-1})$ ,$\{$$V_{1}’’(r)+aV_{1}(r)=O(\mu(r))$

for some $a\geq 0$ ,

40$r^{-1}V_{2}(x)=O(\mu(r))$,$\nabla V_{2}(x)=O(\mu(r))$$V_{3}(r)=O(\mu(r))$(A2)(A1) の

$\mu$

,

.

に対して $\exists\mu j=\mu j(r),$ $j=1,2$ で(2.1)$\mu(r)^{2}\leq\mu_{1}(r)\mu_{2}(r),$$0<\mu_{1}(r)\leq\mu_{2}(r)$.

更に$\varphi_{j}(r)=\{\int_{r}^{\infty}\mu_{j}(s)ds\}^{-1}$, $j=1,2$

とおくとき、 次が成り立っ。

(2.2)$\frac{\varphi_{1}’(r)}{\varphi_{1}(r)}\leq\frac{1}{r}$(2.3)

for $r>R_{0}>0$ ,.

$E^{\pm}( \varphi_{1})\equiv \mathrm{h}.\mathrm{m}\sup_{rarrow\infty}[\pm\{\frac{\varphi_{1}(r)}{2\varphi_{1}(r)},V_{1}’(r)+V_{1}(r)\}]<\infty$(A3)$L=-\Delta+V(x)$ は unique continuation property をもっ。

(A1) を満たす potential に対して
$E_{2}^{\pm}= \lim_{rarrow}\sup_{\infty}[\pm\{\frac{r}{2}V_{1}’(r)+V_{1}(r)\}]$とおくと次の定理が成り立っ。
定理 1(A1) のもとで

$u$

を

(2.4)

$-\Delta u+V(x)u=\lambda u$の解とする。

$\lambda$$x\in \mathrm{R}^{n}$

が

(2.5)

$\lambda>\frac{a}{4}+E_{2}^{+}$

を満たし、

,

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u\neq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$or$\lambda<\frac{a}{4}-E_{2}^{-}$

なら$\lim\inf\int_{S(r)}rarrow\infty\{|\partial_{r}u|^{2}+|u|^{2}\}dS>0$

$|x|$

が大きい

$x$

と

$\zeta=\lambda\pm i\epsilon,$$\epsilon>0$.

, に対して$k_{\pm}(x, \zeta)=-i\sqrt{\zeta-\eta V_{1}(r)-V_{2}(x)}+\frac{n-1}{2r}+\frac{-\eta V_{1}’(r)}{4\{\lambda-\eta V_{1}(r)-}$$\eta=\eta(\zeta)=\frac{4\zeta}{4\zeta-a}$

41. $>0$ なる枝をとっている。

. はとおく。 ここに$\lambda$${\rm Im}_{\backslash }f$$\sqrt{}^{-}$が (2.5) を満たすとき、 $|x|$ が十分大きければ $\sqrt{\lambda-\eta(\lambda)V_{1}(r)-V_{2}(x)}>0$ ([10], Lemma 82) となるから梃限$k_{\pm}(x, \lambda)\equiv.\lim_{\epsilonarrow 0}k_{\pm}(x, \zeta)=$$+ \frac{n-1}{2r}+\frac{-\eta(\lambda)V_{1}’(r)}{4\{\lambda-\eta(\lambda)V_{1}(r)-V_{2}(x)\}}$が存在する。 これを用いて radiation condition は次のように定義される。

.

$\lim_{rarrow}\inf_{\infty}\int_{S(r)}|\partial_{r}u+k_{\pm}(x, \lambda)u|^{2}dS=0$

極限吸収の原理を示すのに (A2), (A3) も使われる。 区間(2.6)$\inf J>\frac{a}{4}+\max\{E^{+}, E^{+}(\varphi_{1})\}$

or$J\subset \mathrm{R}_{+}$を$\sup J<\frac{a}{4}-\max\{E^{-}, E^{-}(\varphi_{1})\}$のようにとり$K_{\pm}=\{\zeta--\lambda\pm i\epsilon;\lambda\in J, 0<\epsilon\leq\epsilon_{0}\}$とおく。 ここに$\epsilon_{0}>0$(2.7)

は小さい定数である。次の方程式を考える。

$-\Delta u+V(x)u-\zeta u=f(x),$$x\in \mathrm{R}^{n}.,$$\zeta\in K_{\pm}$.

下の定理では norm$||f||_{\xi}= \{\int_{\mathrm{R}^{n}}\xi(r)|f(x)|^{2}dx\}^{1/2}<\infty$をもつ重み付き$L^{2}$-space$L_{\xi}^{2}=L_{\zeta}^{2}(\mathrm{R}^{r\iota})$for $\xi(r)>0$ .

が用いられる。

は (2.6) を満たすとする。 Schr\"odinger 作用素 $L$ のの閉包への作用素としてから
resolvent $R(\zeta)=(L-\zeta)^{-1},$ $\zeta\in K\pm$ , は定理 2 $(A1)\sim(A3)$ を仮定し、$J$$L_{\mu_{1}^{-1}}^{2}$$\overline{K}\pm$$K_{\pm}$$L_{\mu_{2}}^{2}$に連続的に拡張でき、(2.8)$\sup||R(()f||_{\mu 2}\leq C||f||_{\mu_{1}^{-1}}, C=C(K_{\pm})>0$\mbox{\boldmath $\zeta$}\epsilon K 士が) 成り |Z つ。さらに $R(\lambda\pm i0)f$ は radiation

condition を満たす。

/

3. 恒等式を (2.7) の解とする。実数$f|1^{\vdash_{\mathfrak{j}}\text{関}}.\cdot$$u$

数 $\sigma=\sigma(r)$ に対して

$u_{\sigma}=e^{\sigma}u,$$f_{\sigma}=e^{\sigma}f$u。は$- \Delta u_{\sigma}+2\sigma’\tilde{x}\cdot\nabla v+(V-\zeta+\sigma’’+\frac{n-1}{r}\sigma’-\sigma^{\Omega})u_{\sigma}=f_{\sigma}$

とおくと

42
を満たす。 更に$\theta_{\sigma}\pm=\nabla u_{\sigma}+k_{\pm}(x, \zeta)u_{\sigma}$

とおくと. \vdash . 式は$- \nabla\cdot\theta_{\sigma\pm}+(k_{\pm}+2\sigma’)\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma\pm}+(q_{\pm}+\sigma’’+\frac{n-1}{r}\sigma’-2\sigma’k_{\pm})u_{\sigma}=f_{\sigma}$と表せる。 ここに
$q \pm(x, \zeta)=V(x)-\lambda+\partial_{r}k_{\pm}(x, \zeta)+\frac{n-1}{r}k_{\pm}(x, \zeta)-k_{\pm}(x, \zeta)^{2}$$k_{\pm}(x, \zeta)$.

はこの $q\pm(x, \zeta)$ が short-range (こなるよう (こ定めたものである。

$r>0$ , を滑らかな正値関数とし、 上式に$B(R,t)=\{x;R<|x|<t\}$ で部分積分する。
$\psi=\psi(r),$$2\psi\tilde{x}$. \mbox{\boldmath $\theta$}-, よを乗じ、実部をとって$-{\rm Re}\{2\nabla\cdot\theta_{\sigma\pm}(\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma\pm})\}=-{\rm Re}\nabla\cdot\{2\theta_{\sigma\pm}(\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma\pm})-\tilde{x}|\theta_{\sigma\pm}|^{2}\}$$+(2{\rm Re} k_{\pm}- \frac{n-1}{r})|\theta_{\sigma\pm}|^{2}-2{\rm Re} k_{\pm}|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma\pm}|^{2}$$+ \frac{2}{r}\{|\theta_{\sigma}\pm|^{2}-|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma}\pm|^{2}\}+2{\rm Re}\{(\nabla-\tilde{x}\partial_{r})k\pm\cdot\overline{\theta}_{\sigma}\pm u_{\sigma}\}$および$-2{\rm Re}\{\sigma^{\prime 2}u_{\sigma}\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma}\pm\}=-{\rm Re}\nabla\cdot\{\tilde{x}\sigma^{\prime 2}|u_{\sigma}|^{2}\}$$\{2\sigma’\sigma’’+\sigma^{\prime 2}(\frac{n-1}{r}-2{\rm Re} k_{\pm})\}|u_{\sigma}|^{2}$に注意して次の等式が得られる。
命題 1

$u$

を (2.7) の解とすると$\{\int_{S(t)}-\int_{S(R)}\}\psi\{2|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma\pm}|^{2}-|\theta_{\sigma\pm}|^{2}+\sigma^{\prime 2}|u_{\sigma}|^{2}\}dS=\int_{B(R,t)}\psi[$$(2{\rm Re} k_{\pm}- \frac{\psi’}{\psi}-\frac{n-3}{r})|\theta_{\sigma\pm}|^{2}+2(2\sigma’+\frac{\psi’}{\psi}-\frac{1}{r})|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma\pm}|^{2}$$+2{\rm Re}\{(\nabla-\tilde{x}\partial_{r})k\pm\cdot\overline{\theta}_{\sigma}\pm u_{\sigma}\}+2{\rm Re}\{\{$ $q_{\pm}+ \sigma’’+\frac{n-1}{r}\sigma’$$-2\sigma’k_{\pm})u_{\sigma}\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma\pm}\}$.

$+ \{2\sigma’\sigma’’+(\frac{n-1}{r}+\frac{\psi’}{\psi}-2{\rm Re} k_{\pm})\sigma^{a}\}|u_{\sigma}|^{2}]dx$$- \int_{B(R,t)}2\psi{\rm Re}\{f_{\sigma}\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma\pm}\}dx$.

仮定 (A1) から次の補題が示される ([10], Proposition 8.2)。

43
補題 1 $R0>0$ を I^分大きくとると $\exists Cj>0,$ $j=1\sim 5$ で $\forall|x|>R0$ , \forall \mbox{\boldmath $\zeta$}\in K よに対
して

(3.1)

$|q\pm(x, ()|\leq C_{1}\mu(r)$(3.2)$|k_{\pm}(x, \zeta)|\leq C_{2}$

(3.3)

,

$\mp{\rm Im} k_{\pm}(x, ()\geq C_{3}$$|(\nabla-\tilde{x}\partial_{r})k_{\pm}(x, \zeta)|\leq C_{4}\mu(r)$

(3.4)

,

,

,

$\tilde{x}=x/r$,$|2{\rm Re} k_{\pm}(x, \lambda)-\frac{n-1}{r}-\frac{-\eta V_{1}’(r)}{2(\lambda-\eta V_{1}(r))}|\leq C_{5}\mu(r)$.

4. 定理 1 の証明$u$を (2.4) の解とする。一般性を失うことなくのとき$|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma\pm}|^{2}=$(${\rm Im} k$lu,)2+$u$$(\partial \mathrm{r}\mathrm{u}$l よ実数値であると仮定してよ$\mathrm{A}\mathrm{a}$。こ$+{\rm Re} k_{\pm}u_{\sigma})^{2}$

。

となるので

.

(4.1)

$|u_{\sigma}|\leq C|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma\pm}|$が成り立つ。

以下では命題 1 の等式を用いて定理 1 の証明をするが、わっている方を用いる。簡 [のために $k=k+,$ $q=q+,$- つの等式のうち$\theta_{\sigma}=\theta_{\sigma+}$と書く。

次の 2 つの functional を考える。
$F(r)= \int_{S(r)}(2|\tilde{x}\cdot\theta|^{2}-|\theta|^{2})dS,$$\theta=\theta_{0}=\nabla u+\tilde{x}ku$,.

$F_{\sigma,\tau}(r)= \int_{S(r)}\{2|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma}|^{2}-|\theta_{\sigma}|^{2}+(\sigma^{\prime 2}-\tau)|u_{\sigma}|^{2}\}dS$

ここに正値関数 $\sigma=\sigma(r),$ $\tau=\tau(r)$ は後で定める[付加条件のもとでの定理 1 の証明]
(4.2)$\exists r_{k}arrow\infty$$\text{。}$

ここでは付加条件

such that $F(r_{k})>0$のもとで定理 1 を証明する。

命題 1 で$\zeta=\lambda,$$f=0,$$\sigma\equiv 0,$$\psi\equiv 1$とおき、 両辺を$t$で微分すると$\frac{d}{dt}F(t)=\int_{S(t)}[(2{\rm Re} k-\frac{n-3}{r})|\theta|^{2}-\frac{2}{r}|\tilde{x}\cdot\theta|^{2}$$k_{+}$が関44.

$+2{\rm Re}\{(\nabla-\tilde{x}\partial_{r})k\cdot\tilde{\theta}u\}+2{\rm Re}\{qu\tilde{x}\cdot\overline{\theta}\}]dS$(3.4) および (3.1), (3.3), (4.1) を用いれぼ$t>\exists R_{1}\geq R_{0}$で$\frac{d}{dt}F(t)\geq\int_{S(t)}\{(\frac{-\eta V_{1}’}{2(\lambda-\eta V_{1})}-C_{6}\mu)(2|\tilde{x}\cdot\theta|^{2}-|\theta|^{2})$.

$+2( \frac{-\eta V_{1}’}{2(\lambda-\eta V_{1})}+\frac{1}{r}-C_{6}\mu)(|\theta|^{2}-|\tilde{x}\cdot\theta|^{2})\}dS$を十分大きくとると条件 (2.5) のもとで右辺第 2 項は非負になり、 $t>\exists R_{2}\geq R_{1}$で次の不等式が成り立つ。

更に

$t$

(4.3)

$\frac{d}{dt}F(t)\geq(\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\log|\lambda-\eta V_{1}|-C_{6}\mu)F(t)$仮定 (4.2) より $’\geq R_{2}$ ととれるから両辺を$(r_{k}, t)$.

で積分すれぼ.

$\frac{F(t)}{F(r_{k})}\geq\{\frac{\lambda-\eta V_{1}(t)}{\lambda-\eta V_{1}(r_{k})}\}^{1/2}\exp\{-2C_{6}\int_{r_{k}}^{\infty}\mu(r)dr\}$

これより $F(t)$ が遠方で.- 様に正となることがわかるが、$\cdot$s(。{|\partial ru|2+|u|2}dS$F(t) \leq\int_{S(t)}|\tilde{x}\cdot\theta|^{2}dS\leq C$ $\int$なので、定理 1 が証明される。

口[ $(4.2)$ が成り立たない場合の定理 1 の証明]
(4.4)

$F(t)\leq 0$for$r>\exists R_{3}\geq R_{2},$

この場合は $F(t)$ が次の条件を満たす。
$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F\neq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$.

命題 1 で $\psi=r^{2}$ ととると $\psi’/\psi=2/r$ であるから$\{\int_{S(t)}-\int_{S(R)}\}r^{2}\{2|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma}|^{2}-|\theta_{\sigma}|^{2}+\sigma^{\prime 2}u_{\sigma}^{2}\}dS=\int_{B(R,t)}r^{2}[$$(2{\rm Re} k- \frac{n-1}{r})|\theta_{\sigma}|^{2}+(4\sigma’+\frac{2}{r})|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma}|^{2}$$+2{\rm Re}\{(\nabla-\tilde{x}\partial_{r})k\cdot\tilde{\theta}_{\sigma}u_{\sigma}\}+2{\rm Re}\{($$q+ \sigma’’+\frac{n-1}{r}\sigma’$$-2 \sigma’k)u_{\sigma}\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma}\}+\{2\sigma’\sigma’’+(\frac{n+1}{r}-2{\rm Re} k)\sigma^{\Omega}\}u_{\sigma}^{2}]dx$.

これと恒等式$\{\int_{S(t)}-\int_{S(R)}\}r^{2}\tau u_{\sigma}^{2}dS=\int_{B(R,t)}r^{2}[2{\rm Re}\{\tau u_{\sigma}\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma}\}+(\frac{2}{r}\tau+\tau’)u_{\sigma}^{2}]dx$

45の差をとり、 両辺をで微分する。

$t$$4\sigma’\{|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma}|^{2}-{\rm Re}(ku_{\sigma}\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\sigma})\}=4\sigma’\{|\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma}+i{\rm Im} ku_{\sigma}|^{2}$$-{\rm Re} ku_{\sigma}(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})-({\rm Im} k)^{2}u_{\sigma}^{2}\}$$=4\sigma’\{(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})^{2}-{\rm Re} ku_{\sigma}(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})\}$に注意すると、前と同様に、 $t>\exists R_{4}\geq R_{3}$ で$\frac{d}{dt}[t^{2}F_{\sigma,\tau}(t)]\geq\int_{S(t)}r^{2}[(\frac{-\eta V_{1}’}{2(\lambda-\eta V_{1})}-C_{6}\mu)|\theta_{\sigma}|^{2}-\frac{2}{r}|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma}|^{2}$$+4 \sigma’(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})^{2}+2(\sigma’’+\frac{n-1}{r}\sigma’-2\sigma’{\rm Re} k-\tau)u_{\sigma}(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})$$+ \{2\sigma’\sigma’’+(\frac{2}{r}+\frac{\eta V_{1}}{2(\lambda-\eta V_{1})},-C_{\mathrm{o}}\ulcorner\mu)\sigma^{\prime 2}-\frac{2}{r}\tau-\tau’\}u_{\sigma}^{2}]dS$

.

従って

2

$( \sigma’’+\frac{n-1}{r}\sigma’-2\sigma’{\rm Re} k)u_{\sigma}(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})$$\leq 2\sigma’(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})^{2}+\frac{1}{2}\sigma’(\frac{\sigma’}{\sigma},’+\frac{n-1}{r}-2{\rm Re} k)^{2}u_{\sigma}^{2}$,$-2 \tau u_{\sigma}(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})\leq 2\sigma’(\partial_{r}u_{\sigma}+{\rm Re} ku_{\sigma})^{2}+\frac{1}{2}\sigma^{\prime-1}\tau^{2}u_{\sigma}^{2}$に注意れば、 次の不等式が得られる。

(4.5)$\frac{d}{dr}[t^{2}F_{\sigma.\tau}(t)]\geq-\{\frac{-\eta V_{1}’}{2(\lambda-\eta V_{1})}-C_{6}\mu\}t^{2}F_{\sigma,\tau}(t)+.\int_{S(t)}r^{2}[$2$( \frac{-\eta V_{1}’}{2(\lambda-\eta V_{1})}+\frac{1}{r}-C_{6}\mu)|\tilde{x}\cdot\theta_{\sigma}|^{2}-(\frac{1}{2}\sigma^{\prime-1}\tau^{2}+\tau’+\frac{2}{r}\tau)u_{\sigma}^{2}$$- \frac{1}{2}\sigma’(\frac{\sigma’}{\sigma’},$$\vec{}arrow l_{\sim}^{-\vee}arrow C_{7}=C_{5}+C_{6}$$+ \frac{n-1}{r}-2{\rm Re} k)^{2}u_{\sigma}^{2}+2\{\sigma’\sigma’’+(\frac{1}{r}-C_{7}\mu)\sigma^{\Omega}\}u_{\sigma}^{2}]dS$.

さて、 定数 $m\geq 1,1/3<\epsilon<1$ に対して

(4.6)

.

$\sigma(r)=\frac{m}{1-\epsilon}r^{1-\epsilon},$$\sigma,$$\tau$を$\tau(r)=r^{-2\epsilon}.\log r$

とおく。 $rarrow\infty$ で$\frac{1}{2}\sigma^{-1}\tau^{2}+\tau’+\frac{2}{r}\tau\leq\frac{1}{2m}r^{-3\epsilon}(\log r)^{2}+2r^{-1-2\epsilon}(\log r+1)=o(r^{-1})$$\frac{1}{2}\sigma’(\frac{\sigma’’}{\sigma},$$+ \frac{n-1}{r}-2{\rm Re} k)^{2}=mO(r^{-2-\epsilon}.)$

,

,

46
$\sigma’\sigma’’+(\frac{1}{r}-C_{7}\mu)\sigma^{\prime 2}=\{1-\epsilon-o(1)\}m^{2}r^{-1-2\epsilon}$.

となることに注意する。 (4.5) の積分で第 1
3 項は 1 分人きな項に[及収されるから、$m\geq 1,$
第2
項はそれぞれ第 1
同様の次の不等式が得られる。
$\circ$$t$$\text{、}$$4$$\text{、}3$

こ対して非負であり、$t>\exists R\backslash r_{J}\geq R_{4}$$\text{、}$$\frac{d}{dt}[t^{2}F_{\sigma.\tau}(t)]\geq-\{\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\log|\lambda-\eta V_{1}|-C_{8}\mu\}t^{2}F_{\sigma.\tau}(t)$仮定 (4.4) より$\int_{S(R)}u_{\sigma}^{2}dx>0,$$\exists R>R_{\mathrm{o}}r$.

で (4.3) と.

よって $F_{\sigma,\tau}(R)arrow\infty$ as $marrow\infty$ .

そこが成り |Z つようにとって fix し、前の場合と同様な手順をふめば、で $m$ を

$F_{\sigma,\tau}(R)>0$$t^{2}F_{\sigma,\tau}(t)$が $t>R$ で一様に正 (こなることがわかる。

さて、 $.F_{\sigma,\tau}(t)>0$ は$F_{\sigma,\tau}(t)=e^{2\sigma} \{F(t)+\sigma’\frac{d}{dt}\int_{S(t)}u^{2}dS+(2\sigma^{a}-\tau+2\sigma’{\rm Re}\rho’)\int_{S(t)}u^{2}dS\}$のように表されるが、 仮定 (4.4) より $F(t)\leq 0$ . また (4.6) から十分大きなは右辺の第 3 項も非正となる。 よって$t$l こ対して$\frac{d}{dt}\int_{S(t)}|u|^{2}dS>0$

が十分大きな$t$

こついて成り 1’\acute .. ち、定理が証明される。

口

5. 定理 2 の証明に対して (2.7) の解は $u=R(\zeta)f$ で与えられる。 この解について極限吸収の原理 (定理 2) が定理 1 と次の 3 つの補題を用いて証明される。
$f\in L^{2},$ $\zeta\in K\pm$

補題 2(i)$\forall R>0$に対して$\frac{\varphi_{1}’(r)}{\varphi(r)}=\mu_{1}(r)\varphi_{1}(r)\not\in L^{1}([R, \infty))$$\circ 0$\exists 九 $\geq R_{5},0<\exists d<1$ で.
に対して$\forall\zeta=\lambda\pm i\epsilon\in K\pm,$ $\forall r>R_{5}$.

$2{\rm Re} k_{\pm}+ \frac{(1-d)\varphi_{1}’(r)}{\varphi_{1}(r)}-\frac{n-1}{r}\geq 0$

証明 (i)$\varphi_{1}(r)arrow\infty$as$rarrow\infty$に注意すると$\int_{R}^{r}\frac{\varphi_{1}’(s)}{\varphi_{1}(s)}ds=\log\{\frac{\varphi_{1}(r)}{\varphi_{1}(R)}\}arrow$より、 (i) が示される。

科科

as$rarrow$ 科科

47
(ii)

${\rm Im}\sqrt{\zeta-\eta V_{1}-V_{2}}>0$

だから$k\pm$の定義より$2{\rm Re} k_{\pm}+ \frac{(1-d)\varphi_{1}’}{\varphi_{1}}-\frac{n-1}{r}\geq{\rm Re}\frac{-\eta V_{1}’}{2(\zeta-\eta V_{1})}+\frac{(1-d)\varphi_{1}’}{\varphi_{1}}-C\mu$$=[ \frac{(\lambda-a/4-V_{1})\{\lambda-a/4-(2\varphi_{1}’)^{-1}\varphi_{1}V_{1}’-V_{1}\}+\epsilon^{2}}{(\lambda-a/4-V_{1})^{2}+\epsilon^{2}}-d]\frac{\varphi_{1}’}{\varphi_{1}}-C\mu$

よって (2.6) と補題 2(i) より

補題 3 $\zeta\in K\pm,$.

$f\in L_{\mu_{1}^{-1}}^{2}$

$d$

を小さく、

$R_{5}$.

を大きくとれぼ (ii) 力\sigma 示される。

とし、 $u=R(\zeta)f$ とする。 このとき$\forall R\geq$

田 R6$\geq R_{5}$口\iota こ対$\mathrm{I}_{\vee}\text{て}$$||\theta_{\pm}||_{\varphi_{1}’,B^{c}(R)}^{2}\leq C\{||u||_{\mu_{2}}^{2}+||f||_{\mu_{1}^{-1}}^{2}\}$.

$R>R_{5}$ とおく。 ここに $\chi=\chi(r)$ (よ $\chi(r)=0$
証明 命題 1 で $\sigma=0,$$(r<R),$ $=1(r>R+1)$ なる滑らかな関数である。
$\psi=\chi\varphi_{1},$(5.1)$\int_{S(t)}\varphi_{1}(2|\tilde{x}\cdot\theta_{\pm}|^{2}-|\theta_{\pm}|^{2})dS=\int_{B(R,t)}\chi\varphi_{1}\{(2{\rm Re} k_{\pm}+\frac{\varphi_{1}’}{\varphi_{1}}-\frac{n-1}{r})$$\cross|\theta_{\pm}|^{2}+2(\frac{1}{r}-\frac{\varphi_{1}’}{\varphi_{1}})(|\theta_{\pm}|^{2}-|\tilde{x}\cdot\theta_{\pm}|^{2})+{\rm Re}[(q_{\pm}u-f)\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\pm}]\}dx$$+ \int_{B(R,R+1)}\chi’\varphi_{1}(2|\tilde{x}\cdot\theta_{\pm}|^{2}-|\theta_{\pm}|^{2})dx$

が言えるので、補題 2(ii) と (2.2) から$\varphi_{1}$($2{\rm Re} k_{\pm}$

十一が $r>\exists R_{6}\geq R_{5}$ で成り立つ。

$- \frac{n-1}{r})\geq C\varphi_{1}’,$$\varphi_{1}rightarrow-\frac{\varphi_{1}’}{\varphi_{1}})\geq 0$

なので (2.1) の初めの不等式力 ら$\backslash$$\varphi_{1}=\varphi_{1}^{\prime 1/2}\mu_{1}^{-1/2}$$\varphi_{1}|q_{\pm}u\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\pm}|\leq C\varphi_{1}\mu|u\tilde{x}\cdot\overline{\theta}_{\pm}|\leq C\varphi_{1}^{\prime 1/2}|\tilde{x}\cdot\theta|\mu_{2}^{1/2}|u|$.

更に、 方程式 (2.7) の楕円性から$\int_{B(R.R+1)}|\theta_{\pm}|^{2}dx\leq C\{||u||_{\mu_{2}}^{2}.+||f||_{\mu_{1}^{-1}}^{2}\}$が従う。
よって (5.1) &こ Schwarz の不等式を用い、補題 4$\zeta\in K_{\pm},$$f\in L_{\iota_{1}^{-1}}^{2},\text{と}$g-$tarrow\infty$$\text{ると}\forall R>\exists R_{7}\geq R_{6}$とすれぼ補題が示される。
に対して$||u||_{\mu_{2},B^{\epsilon}(R)}^{2}.\leq\varphi_{2}(R)^{-1}\{||\tilde{x}\cdot\theta_{\pm}||_{\varphi_{2}’,B^{c}(R)}^{2}+||u||_{\mu 2}^{2}+||f||_{\iota_{2}^{-1\}}}^{2},\cdot$

口48
証明 Green formula より.

${\rm Im} \int_{B(r)}f\overline{u}dx=-{\rm Im}\int_{S(r)}(\partial_{r}u)\overline{u}dS-{\rm Im}\zeta\int_{B(r)}|u|^{2}dx$

これを変形して${\rm Im} \zeta\int_{B(r)}|u|^{2}dx-\int_{\mathrm{S}(r)}{\rm Im} k\pm|u|^{2}dS=-{\rm Im}[\int_{S(r)}\tilde{x}\cdot\theta\pm\overline{u}dS+\int_{B(r)}f\overline{u}dx]$(3.2) から${\rm Im}\zeta\in K\pm$とー Imk よは.

が大きいとき同符号で$r$$\mp{\rm Im} k_{\pm}(x, \zeta)\geq C_{3}>0$が成り立つ。 そこでれる。

$\mu_{2}(r)$を乗じ、半直線 $(R, \infty)$ 上で積分することにょって次が得ら$C_{3}||u||_{\mu_{2},B^{c}(R)}^{2} \leq\int_{B^{C}(R)}\mu_{2}|\tilde{x}\cdot\theta_{\pm}||u|dx+\varphi_{2}(R)^{-1}\int_{\mathrm{R}^{n}}|f||u|dx$$\mu_{2}^{1/2}=\varphi_{2}^{-1}\varphi_{2^{1/2}}’$[定理 2 の証明].

に注意して Schwarz の不等式を用いれぼ補題が示される。
が $karrow\infty$ とともに$\{\zeta_{k}, f_{k}\}\subset K\pm\cross L_{\mu_{1}^{-\mathit{1}}}^{2}$$\{\zeta_{0}, f_{0}\}$口に収束するとする。他の場合はやさしいので $\zeta_{0}=\lambda\pm i0\in J$ とする。 $u_{k}=R(\zeta_{k})f_{k}$ とおく。
$\mu_{1}(r)^{-1}\geq\mu_{2}(r)^{-1}$$\varphi_{1}’(r)\geq\varphi_{2}’(r),$に対して成り立つので、
as $Rarrow\infty$ に注意すれば Rellichの compactness criterion, 補題 3, 4 より次のことが a える。「は、で右界なら、同じ空間で compact になる。」更に補題 3 によっての全ての集積点, はが十分大きな$\varphi_{2}(R)^{-1}arrow 0$$r$$\{u_{k}\}$$L_{\mu_{2}}^{2}$$\{u_{k}\}$|| ru0+k\pm uo||\mbox{\boldmath $\varphi$}\sim BC(R》く$\infty$$u_{()}\in L_{\iota_{2}}^{2}$

.

を満たす。
の有界性 (2.8) を矛盾によって証明することができる。実際 部分列、 それをまとかく、 が存在して
as $karrow\infty$ とする。 .
とお $l1$ ぼ
はで有界だから compact になる。各集積点は斉次方程式 (2.4) を満
たし、 更に$\{u_{k}\}$$\backslash$た$\{u_{k}\}$$\{v_{k}\}$(5.2)$||u_{k}||_{\mu_{2}}arrow\infty$$v_{k}$$L_{\mu 2}^{2}$$=u_{k}/||u_{k}||_{\mu 2}$$\{\zeta_{\{)}, v_{\{\}}\}$$||v_{0}||_{\mu 2}=1$,$||\partial_{r}v_{(},$$+k_{\pm}v_{\{)}||_{\varphi_{1}’,B^{\mathrm{t}}(R)}.<\infty$

ここに $k\pm=k\pm(x, \lambda)$ である。補題 2 (i) より.

$\varphi_{1}’(r)\not\in L^{1}([R, \infty))$. よって第 2 の不等式

から$\lim_{rarrow}\inf_{\infty}\int_{S(r\mathrm{I}}|\partial_{r}v_{0}+k_{\pm}v_{0}|^{2}dS=0$が従う。 これと定理 1 とから
tinuation property(A3) より、式に矛盾する。

となるが、 解にたいする unique conでなけれぼならない。 しかしこれは (5.2) の第 1$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}v_{0}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}$$v_{(\}}\equiv 0$

49
は
このように
点は唯ほとつ、即ち完結する。
$\{u_{k}\}$, で precompact になるが、 定理 1 をもう. . 度用いれぼ、 集積$L_{\iota_{2}}^{2}$$\{u_{k}\}$それ自体が収束列になっていることがわかり、 定理の証明が口

6. 定理 1, 2 の応用
nonoscillating potenti」について次の結果が成り立つ。 これは良く知られている結果の一般化になっている。
系 1 $V(x)=V_{2}(x)+V_{3}(x)$ が $(A1)\sim(A3)$ を $\mu_{j}(r)=\mu(r)$ として満たしているとする。
にに対して成り立ち, 定理 2 が $\mu_{j}=\mu$ として
このとき定理 1 が対して成り立つ。
$\forall\lambda>0$

証明$E_{2}^{\pm}=0$$\forall J\subset \mathrm{R}_{+}$

は明らかである。
$\varphi(r)=\{\int_{r}^{\mathrm{x}}\mu(s)ds\}^{-1}$とおけぼ $(2\varphi’)^{-1}\varphi V_{2}=(\varphi\mu)^{-1}V_{2}arrow 0$ as $rarrow\infty$ より$E^{\pm}(\varphi)=0$も示される。

口

以下では oscillating long-range potenti」についての応用例を述べる。

系 2 $V$ を(6.1)$V(x)= \frac{c\sin br}{r}+V_{3}(x)$とする。ただし $V_{3}(x)=O(r^{-1-\delta})$ as $|x|arrow\infty$ . このとき定理 1 が (1.4) を満たすに対して成り立ち、 定理 2 が

dist

(6.2)
を満たす区間$J$$\forall\lambda>0${J》$\frac{b^{2}}{4}\}>\frac{1}{\min\{2,4\delta\}}|bc|$に対して成り立つ。

として (A1) を満た
証明 $V(x)=c\sin(br)/r+V_{3}(x)$ が $a=b^{2},$$E_{2}^{\pm}=E_{2}=\lim\sup_{rarrow\infty}\{(1/2)rV_{1}’(r)+V_{1}(r)\}=|bc|/2$
だか
すのは明らかである。 またについて成り立っている。
ら定理 1 は (1.4) を満たす$\mu=(1+r)^{-1-\mathrm{I}\mathrm{I}1\mathrm{i}\mathrm{n}\{1.\delta\}}$$\lambda$

次に$J$を (6.2) を満たすようにとる。 このとき正数の組み$0<\alpha\leq\beta\leq 1$$\mathrm{d}\cdot \mathrm{s}\mathrm{t}$

{J フ

,

$\alpha+\beta\leq 2\min\{1, \delta\}$$\frac{b^{2}}{4}\}>E_{2\beta}=\frac{1}{2\beta}|bc|$$(\alpha, \beta)$

で

,

.

を満たすものがとれる。 $\mu_{1}=(1+r)^{-1-\beta},$ $\mu_{2}=(1+r)^{-1-\alpha}$ とおくと $\varphi_{1}=\beta(1+r)^{/}’$ ,$\varphi_{1}’/\varphi_{1}=\beta/(1+r)$ だから、 すぐわかるように (A2) がこれ等の関数に.
は (2.2) をうのに使われる。
となる。条件
ついて満たされ、$\varphi_{2}=\alpha(1+r)^{\alpha},$$E^{\pm}(\varphi_{1})=E_{2/\mathit{3}}$

このように

$J$

$\beta\leq 1$$i\overline{j}$が (2.6) を満たすことがわかり、定理 2 がこの $J$ に対して成り立つ。 口50
系 3 $V(x)$ を(6.3)$V(x)= \frac{c\sin(1\mathrm{o}\mathrm{g}|x|)}{1\mathrm{o}\mathrm{g}|x|}+V_{3}(x)$$V_{3}(x)=O(r^{-1}\{\log r\}^{-1-\delta})(\delta>0)$

,

, また
,

(6.4)

$V(x)= \frac{c\sin(1\mathrm{o}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{g}|x|)}{1\mathrm{o}\mathrm{g}1\mathrm{o}\mathrm{g}|x|}+V_{3}(x)$asに対して成り立ち、 定理 2 が$V_{3}(x)=O(|x|^{-1}\{\log|x|\}^{-1}\{\log\log|x|\}^{-1-\delta})$

定理 1 が$\forall\lambda>0$(6.5)のような関数とする。 このとき$|x|arrow\infty$$\inf J>\frac{1}{4\delta}|c|$.

なる $J$ に対して成り立つ。

証明 $V(x)=c\sin(\log r)/\log r+V_{3}(x)$ を考える。これは $a=0,$ $\mu=(1+r)^{-1}\{\log(1+$に対して成り立つ。
として (A1) を満たす。更に $E_{2}^{\pm}=0$ だから定理 1 は$\forall\lambda>0$$r)\}^{-1-\delta}$

次に

$J$

が (6.5) を満たすとする。 このときは正数の組み$0<\alpha\leq\beta,$$\alpha+\beta\leq 2\delta$$(\alpha,\beta)$

で,$\inf J>E_{2//}.=\frac{1}{2\beta}|c|$を満たすものがとれる。 $\mu_{1}=(1+r)^{-1}\{\log(1+r)\}^{-1-\beta},$ $\mu_{2}=(1+r)^{-1}\{\log(1+r)\}^{-1-t\mathrm{t}}$とおく。 $\varphi_{1}=\beta\{\log(1+r)\}^{/f},$ $\varphi_{2}=\alpha\{\log(1+r)\}^{\alpha},$ $\varphi_{1}’/\varphi_{1}=\beta/(1+r)\log(1+r)$ な
ので、 (A2) がこれ等の関数について満たされ、 $E^{\pm}(\varphi_{1})=(1/2\beta)|c|$ となる。 ここでは$\varphi_{1}’(r)/\varphi(r)=o(r^{-1})$

このように

$J$

なので $\beta\leq 1$ という制限は必要としない。

が (2.6) を満たすことがわかり、定理 2 がこの $J$ について成り立つ。旧

注意 系 3 では関数 $q=q(x, \zeta)$ が系 2 十分な減衰度 $O(r^{-1-\delta})$ を持っていないので$\mu=(1+r)^{-1-\delta}$ ととることは出来ない。

注意 (6.3) で $V_{3}(x)=O(r^{-1-\delta}),$ $(6.4)$ で $V_{3}(x)=O(r^{-1}\{\log r\}^{-1-\delta})$ なら条件 (6.5)
で置き換えることができる ([10], Example I-2)
は$\forall J\subset \mathrm{R}_{+}$。

51
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’

$)]$

$ii$

$\mathrm{R}\epsilon \mathrm{j}\mathrm{t}\mathrm{o}$$\mathrm{R}\epsilon\mathrm{j}\mathrm{t}\mathrm{o},$$\grave{\mathrm{J}}]$$1$$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}1999$$\mathrm{r},oe_{I}fficient$$re,dur,e_{\vee}du\prime$u\primeave$
ave$$proper\mathrm{f},ies$$\mathrm{C}\mathrm{o}1\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{n}1$$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}_{7_{\mathrm{J}}11}\mathrm{k}\mathrm{i},$$\mathrm{U}_{11}\mathrm{i}\mathrm{v}$$\cdot$$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}11}\mathrm{k}\mathrm{i},$$\mathrm{U}_{11}\mathrm{i}\mathrm{v}$$\mathrm{U}\mathrm{t}\mathrm{a}1_{1}$$\mathrm{U}\mathrm{t}\mathrm{a}11_{:}$$\mathit{2}$$\cdot$$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}11}\mathrm{k}\mathrm{i}$$\mathrm{U}\mathrm{c}_{\vee}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{n}1\mathrm{a},$

”

$p.$

$\mathrm{U}\mathrm{c}.1_{1}\mathrm{i}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{n}1\mathrm{a},$$\lfloor|.11]$$ope7^{\cdot}ators$$\mathrm{p}_{\mathrm{o}\mathrm{V}^{r}A11\mathrm{e}\mathrm{r}}$$\mathrm{Y}\mathrm{a}$$Or\iota,$$tem\iota s$$tl\iota eexpar\iota s.i_{\mathit{0}7lS}$$eiger\iota fur\iota ctior\iota s$$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}1_{1}$$\mathrm{F}.\mathrm{R}\mathrm{d}1\mathrm{i}\mathrm{c}1_{1},$$\Delta u+\lambda u=\mathrm{O}$$asy\pi\iota ptotiscl\iota e$$\mathrm{b}\mathrm{f}53(1943),$$\mathrm{S}\mathrm{b}$$\mathrm{R}_{0’A\mathrm{C}^{\backslash }},$

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