数理解析研究所講究録 1228 巻 2001 年 22-27

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Sylow’s Theorem for Association Schemes
平坂貢 (Mitsugu Hirasaka),* Mikhail Muzychuk,Paul-Hermann Zieschang

2001 年 2 月 19 日
本講演の内容はシローの定理のアソシエーションスキームへの拡張についての議論であり

1、

M.Muzychuk と P.-H Zieschang との共同研究である。

序アソシエーションスキーム (以 TA と略す) は有限集合 $X$ に可移に作用する置換群の $X\cross X$ 上での軌道全体の満たすいくつかの性質によって定義されたものである。従って有限群の正則置換も A の一例であり、$\mathrm{S}$$\mathrm{S}$

これは即ち有限群全体が A$\mathrm{S}$全体の中に埋め込まれていることを意味している。本研究は「埋め込まれた有限群全体で成り立つシローの定理をA 全体でどこまで拡張できるのか ? 」 という方針をもとにして進めら$\mathrm{S}$れている。

まずは学部生に戻ったつもりで群の定義および諸性質を復習してみよう。
群とは結合法則を満たす二項演算が定義された集合で、 その二項演算に関する単位元と各逆元を有するものである。有限群の部分集合がその二項演算に関して閉じているときに部分群という。部分群は群をその剰余類に分割し、 もし部分群が正規であれば商群が自然に定義される。
この道筋の A 版を次節で辿ってみよう。その前に A の定義を正確に述べる なお記号に関しては P.-H.Zieschang 著の「Algebraic Approachで与えられているものを使用する。
to Association$\mathrm{S}$$\mathrm{S}$$\mathrm{A}\mathrm{n}$$\text{。}$$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\rfloor$

定義 LL $X$ を有限集合として、 $R$ を $X\cross X$ の分割とする。通常 の元は relation と呼ばれる。 $(X, R)$ は次の三つの条件を満たすときにアソシ$R$” 発表者。浦項工科大学計算数学科 (POSTECH,$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{m}^{2}\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{C}$) 所属、ボストドクター。

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一ションスキームと呼ばれる。
(i) $1_{X}:=\{(x, x)|x\in X\}\in R$ ;$r^{*}\in R$ ;(ii)
$e\in R,$ $A_{d}A_{e}= \sum_{f\in R}a_{deJ^{A}J}$ .
(iii)
は $r\in R$ に関する隣接行列であり、ただし$\mathrm{I}$$\forall r\in R,$$\forall d,$$A_{f}$$\{a_{def}\}$は $\{A_{f}\}$ を基底とする全行列環の部分環の構造定数である。
ここで $R$ の部分集合全体$\mathcal{P}(R)$上で複合積と呼ばれる二項演算を次のように定義する。
$\prime p(R)\mathrm{x}P(R)arrow \mathcal{P}(R)$,$(D, E) \vdasharrow DE:=\{f\in R|\sum_{d\in D}\sum_{e\in E}a_{def}\neq 0\}$

この複合積は結合法則を満たすが、 この積に関して群論と類似の議論を展開して行くことが基本方針である。

2

積閉集合と商スキーム
有限群の部分集合で二項演算で閉じているものを部分群というが、 このことを複合積について考えてみよう。とする。 このとき の部分集合 $F$ が複合積に関して閉じ$(X, R)$ を Aているときに積閉集合と言う。すなわち、 FFF。
任意の積閉集合 $F$ は $X$ の同値関係を導くことが知られており、 もの同値関係によって分解される。 これは群論で$R$$\mathrm{S}$$R$$\lceil_{\Gamma}\sim s\Leftrightarrow a\in FsF\rfloor$言うところの両側分解の一 oe 化である。
$X/F:=\{xF|x\in X\},$ $R//F:=\{r^{F}|r\in R\}$

ただし $r^{F}:=\{(xF, yF)|y\in x(FrF)\}$ .

そのとき $(X/F, R//F)$ は A$\mathrm{S}$になることが知られていて $F$ による商 A$\mathrm{S}$と呼ばれる。

ここで留意したいのが A の場合は任意の積閉集合がその商 A を導くと言うことである。 これは、群の部分群の場合はその剰余類が必ずしも自然な商群を導かないことと比較して、 A に関する命題の帰納法を$\mathrm{S}$$\mathrm{S}$$\mathrm{S}$用いる際に重宝する性質である。
群論におけるラグランジェの定理の A 版も成り立つ。それを紹介するの各 relation
前に「位数」に対応する valency という数を定義する。の隣接行列はコンスタントな行和をもつが、 この数を valency と言う。そと記す) は $E$ の元の valency の和としての部分集合 $E$ の valency (。次の式がして定義される。すなわち、 $n_{E}= \sum_{e\in E}n_{e}$ ただし$\mathrm{S}$$\mathrm{A}\mathrm{S}$$R$$n_{E}$$n_{\mathrm{e}}:=a_{ee^{\mathrm{r}}1}$

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ラグランジェの定理の A$\mathrm{S}$版である。 ただし $F$ は積閉集合である。
$n_{R}=n_{R}//Fn_{F}$そして商 A$\mathrm{S}$.の各 vlency も次の式で計算される。
$\forall F\leq R,$$r\in R,$$n_{\mathrm{r}^{F}}=n_{F_{\Gamma}F}/n_{F}$.

次節で具体的な例を考えよう。

3$\mathrm{A}\mathrm{S}$の例、 -valeced 条件$p$

第一節にて有限群がアソシエーションスキームに埋め込まれると書いたが、 その埋め込み方を示す。 を有限群とする。 そのときはA$G$$\mathrm{S}$$(G,\tilde{G})$になる。 ただし$\forall g\in G,\tilde{g}:=\{(a,b)|ba^{-1}=g\},\tilde{G}:=\{\tilde{g}|g\in G\}$

ここで任意の $g\in G$ に対して$n_{\overline{g}}=1$.となることに注意しよう。 この性

質は複合積を通常の群の演算と同一視可能ということを導く。すなわち「$\forall g$,$h\in G,\tilde{g}\tilde{h}=\{g\tilde{h}\}\mathrm{J}$である。逆に valency が全て 1 の A$\mathrm{S}$はある有限群から上記のように導かれるものと同型であることはよく知られてぃる。
この埋め込まれた有限群の商 A を考えてみよう。 を の部分群と$H$$\mathrm{S}$$G$する。 このとき明らかにはの積閉集合であり、その商 A の頂点集合は $H$ の剰余類になり、 relation set は $H$ による $G$ の両側分解と自然に$\tilde{H}$$\tilde{G}$$\mathrm{S}$対応している。言葉を変えると、 は $G$ の $G/H$ への自然な作用にょって定義される group case と呼ばれるも A と同型である。
$\tilde{G}$$\mathrm{S}$

シローの定理は学部の教科書に出てくるほど身近で有名な有限群論の定義である。 シローの定理の A 版は一体どのような命題になるのだろうか ? 群の二項演算を複合積で位数を valency で置き換えて類似な命題を$\mathrm{S}$作ることはできるが、一般の A ではその命題は偽になってしまう。 しかしながら次に述べる -valenced 条件が全てを成功に導く。
素数 を固定する すべての valency が のベキである A は p-valenced条件を満たすという。
$p$-valencedの例を挙げて見よう。 $G$ を有限群として を $G$ の部分群とする。そのときの商は -valenced 条件を満たす。
これは両側分解したときの位数が ベキになることから明かある。特にも -valenced になる$\mathrm{S}$$p$$\mathrm{S}$

$p$

$p$

$\text{。}$$\mathrm{A}\mathrm{S}$$P$$\mathrm{A}\mathrm{S}(G/P,\tilde{G}//\tilde{P})$$p$$(G,\tilde{G})$

$p$

$p$

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もっとわかりやすい例を挙げると $(p+1)$ 点からなる完全グラフからでも -valenced になる oきる
これらの例は全て group case であるが 次に group case 以外の例を挙げよう。 Hanaki, Miyamoto によって頂点数が 28 以 T の A は完全に分類されているのだが 1 その中で N0.176 と番号付けられているものは 2-valencedであり、 group case ではないこともわかっている。
$\mathrm{A}\mathrm{S}$$p$$\text{、}$$\mathrm{S}$4主定理とその証明の概略

定理 4.1.

$p$を素数として

lXl=pim、 ただし$(X, R)$ を $p$ -valenced な A$\text{、}$$(m,p)=1$ と表せる
$R|n_{P}=p^{i}\}$ と記そう。 このとき次が成り立つ。

(i)
(ii)
(iii)

$i\in \mathbb{Z}\geq 0,$$\mathrm{S}$$\text{。}$とする。 このとき$\mathrm{S}\mathrm{y}1_{p}(R):=\{P\leq$$\mathrm{S}\mathrm{y}1_{p}(R)\neq\emptyset$$\forall P,$$S\in \mathrm{S}\mathrm{y}1_{p}(R)_{f}\exists g\in Rs.t$$|\mathrm{S}\mathrm{y}1_{p}(R)|\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p)$(注意) $(X, R)$ を. $g^{*}Pg=S$ .

.

-valenced と仮定する。そのとき、 $X$ の位数が で割り切れることと valencyp の積閉集合があることは同値になる。 これは $X$の位数が各 valency の和になっていることと valencyl の relation 達は群構
造をもつことから導かれる。つまり、もし が $|X|$ の約数ならばの中$\{\uparrow\tau\in R|n_{r}=1\}$ の valency もで害 切れて ということはに valency の部分群があることになる。逆にこのような積閉集合がある
$p$

$p$

$\mathrm{O}_{\theta}(R):=$$p$$1\mathrm{J}$$\text{り}$$p$$\mathrm{O}_{\theta}(R)$$\text{、}$$p$ならラグランジェの定理の A$\mathrm{S}$

版により $X$ の位数が$p$で割り切れることがわかる。

次は一般の A$\mathrm{S}$に関するよく知られた補題である。 証明は$A_{E}A_{F}= \sum_{g\in EF}\lambda_{g}A_{g}$という式を考えれ$\mathrm{t}\grave{\mathrm{J}}$

一目瞭然なので割愛する。

補題 4.2. 任意の $R$ の部分集合 $E_{f}F$ に関して $n_{E}\leq n_{EF}\leq n_{E}n_{F}$ カ城り立つ。

次も一lhttp:$.\mathfrak{R}$の$\mathrm{A}\mathrm{S}$$//\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{e}$に関する補題である。

. shinshu-u.

$\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}/\mathrm{a}\mathrm{s}/\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}/\mathrm{a}\mathrm{s}28$

を参照

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補題 4.3. $H,$ $K$ を $R$ の積閉集合として、次が成り立つ。

$g$を $R$ の元とする。 このとき

(i) $n_{gK}=n_{K}\Leftrightarrow g^{*}g\subseteq K$ .
(ii) $n_{K}=n_{HgK}\Leftrightarrow g^{*}Hg\subseteq K$(iii) $n_{HgK}$ は nHngn、の約数である.
(証明) (i) まず $x\in X$ を固定。 このときの $g$ 近傍のすべての点$x$$z$にと一関する $H$-近傍の和集合が の $gH$ -近傍になる。こいつらの和が致することと $n_{gK}=n_{K}$ という条件は同値である。 $K$ が積閉集合なので、これらの集合は互いに一致するかまたは排反になるかのどちらかである。
それゆえ、 $n_{gK}=n_{K}$ という条件はこれらの集合がすべて一致することをが $K$ が導かれる。逆も明らか。 (図を書くと理解しや意味しており、$x$$n_{gK}$$g^{*}g$すい。)
は $HgK$ に含まれる。 なぜならば $H$ は積閉集合でを含むから。 それゆえ、 $n_{K}=n_{HgK}$ という条件は等号を意味する。 $K$ も積閉集合なのでを含み、それゆえ $Hg\subseteq gK$ が成り立つ。 この両辺に左からをか J て、 $g^{*}Hg\subseteq g^{*}gK$ が導かれる。 ひとまずこいつから離れて、$n_{K}=n_{HgK}$ という条件は更に $n_{K}=n_{gK}$ という条件を導く。 このとき (i)より、 $g^{*}g\subseteq K$ それゆえ、 $g^{*}Hg\subseteq K$ が示された。逆に $g^{*}Hg\subseteq K$ より、となり、 nHgK\leq ng.HgK\leq n、となり、 $n_{K}=n_{HgK}$ を導く。
(iii) まず、隣接行列の積、 $A_{H}A_{g}A_{h}$ を考える。こいつも隣接行列達の線形結合で表される。すなわち
このとき 「$\forall r\in HgK\rfloor$が次のような組合せ的な数え上げで証明できる。 をの -近傍とする。 $\lambda_{g}=|g\cap(xH\cap zK)|$ に注意する。 $e\in HgK$ なので$(u, v)\in e$ となる $u\in xH_{\text{、}}v\in zK$ が存在する$\lambda_{e}=|g\cap(uH\cap vK)|$ ?こ$(\mathrm{i}\mathrm{i})gK$$1_{X}$$1_{X}$$g^{*}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} HgK\subseteq K$$\lambda_{g}=$$A_{H}A_{g}A_{K}= \sum_{\mathrm{r}\in HgK}\lambda_{f}A_{\gamma\text{。}}$$\lambda_{f},$

$z$

$x$

$g$

$\text{。}$注意する。 $uH=xH_{\text{、}}vK=zK$ なので、である。
最後に $A_{H}A_{g}A_{K}= \sum r\in HgK\lambda_{f}A_{\Gamma}$ の両辺に成分が全て 1 の行列をかはけての約数である」 ことが導かれる。
$\lambda_{e}=\lambda_{g}$$\mathrm{r}n_{HgK}$$n_{H}n_{g}n_{K}$

補題 4.4. $(X, R)$ を -valenced な A として $P$ を vale $ncy$ が べきな積閉集合とする そのとき $(X/P, R//P)$ もまた -valenced である。
$\mathrm{S}$

$p$

$p$

$\text{、}$$p$$\text{。}$(証明) まず商 A$\mathrm{S}$の valency は $n_{r^{P}}=n_{P\mathrm{r}P}/n_{P}$ の式で与えられるのとで、補題 4.3(iii) より、 この数はは ベキの約数だが、なのでの valency もも べきになり、 それゆえ、ベキになる。
$n_{P}n_{f}n_{P}$$n_{P_{\Gamma}P}$$p$$n_{P}$$r^{P}$$n_{f}$

$p$

$p$

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主定理の証明 (ただし (iii) の証明はより多くの準備が必要なので割愛)
を $R$ の積閉集合で valency がベキのものとする。補題 4.4 より、$(X/F, R//F)$ も -valenced である。 もし $n_{P}<p^{i}$ ならば $|X/F|$ は を約$(\mathrm{i})F$$p$$p$数に持つ。 これは $R//P$ の積閉集合で valency が のものが存在するというこを主定理後の注意で述べたので、 A における対応定理を用いて、 $R$の積閉集合で $P$ を真に含むものがあることがわかる。 これを繰り返して$p$$\mathrm{S}$$\mathrm{S}\mathrm{y}1_{p}(R)\neq\emptyset$を導く。の元とする。$R$ は $P$ と $S$ の両側分解で書けることがPtS。このとき $|X|=n_{R}= \sum_{t\in T}n_{PtS}$知られている。すなわちは $X$である。 $n_{PtS}$ は 以上で補題 4.3(iii) より ベキである。 するとのどれか一つはちょうどの位数を割る最大の ベキなので、になる。すなわち $n_{PtS}=p^{i}$ となる $g\in T$ が存在する。補題 4.3(ii) より、$(\mathrm{i}\mathrm{i})P$と $S$ を$\mathrm{S}\mathrm{y}1_{p}(R)$$R= \bigcup_{t\in T}$$p^{i}$$p$$g^{*}Pg\leq S$$p^{i}$$p$$p^{i}$$\{n_{PtS}\}_{t\in T}$となることがわかり valency を比較して等号を得る。

参考文献[1] A. Hanaki, I. Miyamoto,http:$//\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{e}$.shinshu-u.

$\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}/\mathrm{a}\mathrm{s}/\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}/\mathrm{a}\mathrm{s}28$.

[2] P.-H. Zieschang, An Algebraic Approach to Association Schemes,
Lecture Notes in Mathematics 1628, Springer, 1996.