数理解析研究所講究録
1497 巻 2006 年 140-153

140

On the computation of irreducible charactersof finite reductive groups
庄司俊明 (Toshiaki Shoji)

名大多元数理Graduate School of Mathematics, Nagoya University

1. 序
2002 年の 11 月に数理解析研究所で研究集会 「組合せ論的表現論とその周辺」 が開催され, そこで “Generalized Green functions, unipotent classes and graded Hecke algebras”と題した話をさせて頂いた. その報告が [S3] に掲載されているが, 本稿の話はその続きである. 問題の背景等については [S3] にも述べたので、そちらも参照されたい。 本稿は [S3]と重なる部分も多いのだが, 参照の便を考えてあえて重複は気にしないで書くことにする.

最初に有限簡約群の既約指標決定の概略とその現状について解説し, 次いで主要結果 (定理 47) について述べる.

1.1.

$G$

を有限体

$\mathrm{F}_{q}$上定義された連結な簡約代数群, $F:Garrow G$ をする $G$ の Frobenius 写像とする. $G$ の固定点からなる群$G^{F}$$\mathrm{F}_{q}$有理点のなす有限群と –致し有限簡約群と呼ばれる.

$G^{F}$$G(\mathrm{F}_{q})$$\mathrm{F}_{q}$構造に付随は $G$ の $F$ によるの表現論の基本的な問題は$\mathrm{C}$上の既約表現を全て決定し, その既約指標を計算することである. この問題が歴史に登場したのは Frobenius が有限群の群指標の理論を構築する中で, 1900 年頃

表を計算したのが最初であろう。 ついで計算されたが, 1955 年 Green が–般の$GL_{3}(\mathrm{F}_{q}),$ $GL_{4}(\mathrm{F}_{q})$$GL_{n}(\mathrm{F}_{q})$$GL_{n}(\mathrm{F}_{q})$の指標の指標表が Steinberg によりの指標表を完全に決定した。 ここで指標表を決定するとは既約指標を分類し, それを計算する (全てのムを与えることである。

$SL_{2}(\mathrm{F}_{q})$$n$に適用できる) アルゴリズの結果を他の有限簡約群, 例えば$Sp_{2n}(\mathrm{F}_{q})$などの古典群, に拡張することは困難な問題であり, srinivasan によるや$Sp_{4}(\mathrm{F}_{q})$$SO_{n}(\mathrm{F}_{q})$の指標表の決定など個別の計算はあるものの, 一般的な結果にはっながらなかった.
1976 年, Deligne と Lusztig が表現論に 進 cohomology の理論を持ち込むことにより$l$

ブレーク. スルーが実現する. 彼らは 進 cohomology 群の上に有限簡約群$l$$G^{F}$の表現を構成し, その交代和として Deligne-Luszitg の–般指標琢 (\theta ) を定義した. RG\Gamma (のからのほとんど全ての既約指標が得られる. ここに, 個別の扱いを越えた有限簡約群の表$G^{F}$

141

現の–般理論が姿を現わしたのだった. さらに Lusztig は当時導入されたばかりの交叉

cohomology の理論, perverse sheaf の理論などの強力な道具を駆使して 1980 年代に$G^{F}$の既約指標の分類を完成し, その次数をすべて決定した.

12. 既約指標の分類が完成したことにより次の目標はわち$G^{F}$$G^{F}$の既約指標の決定, すなの指標表の完成ということになる. それははるかに困難な問題であり, 現在でも完全には解決していない. しかし Lusztig は既約指標の決定に向けて 1980 年代後半に指標層の理論を構築し, 既約指標決定への道筋を Lusztig 予想として定式化した. Lusztig 予
想は, 全ての有限簡約群$G^{F}$の既約指標を計算するための統–的なアプローチを与えるのである.

Lusztig 予想を説明するために指標層について少し述べる.
現を構成することから複素数体$\overline{\mathrm{Q}}_{l}$$\mathrm{C}$

$l$

$l$

う.

$\hat{G}$$\mathrm{Q}_{1}$に定義できるが、色話$p$$\mathrm{C}$-ervere sheaf を考える.

系をなし, 点 $x\in G$ での虚$\mathcal{H}_{x}^{i}A$は有限次元$\overline{\mathrm{Q}}_{l}$$\mathcal{H}^{i}A$は constructible な

指標層の全体を表す.

$A\in\hat{G}^{F}$

上の線形変換$\varphi^{i}$に対して同型$\varphi$$\chi_{A,\varphi}(x)=\sum_{:}(-1)^{1}$

により定義する.

$\chi_{A,\varphi}$$\chi_{A,\varphi}$

Tr:$G^{F}arrow\overline{\mathrm{Q}}\mathrm{t}$$\overline{\mathrm{Q}}\iota$$G^{F}$$G^{F}$

は $x\in G^{F}$を$(\varphi^{1}, \mathcal{H}_{x}^{1}A)$上の類関数になる. 同様の定義は $G$ 同変な $F$ 不変 perverse sheaf $K$ と同型

指標層の幾何的理論と$\varphi$

を $A$ の特性関数という. $A$ が $G$ 同変であることから,についても適用でき, 特性関数として

局所

で $F$ 不変な$\hat{G}^{F}$: $F^{*}Aarrow A$ をひとつ定める.

を誘導する. 関数$\overline{\mathrm{Q}}\mathrm{t}$ベクトル空間になる. $F^{*}A$ を $A$ の $F$ による引き戻しとする. $F^{*}A\simeq A$ となるとき $A$ を $F$ 不変な指標層といい,のの指の状況では, さらに Frobenius 写像との関係が重要になる. 指標$i$$G^{F}$$G$

上の簡約代数群に対しても全く同様

層 $A\in\hat{G}$ は有界な複体でその 番目の cohomolgy sheaf$\mathcal{H}_{x}^{i}A$$\mathrm{C}\simeq\overline{\mathrm{Q}}_{\{}$の共役の作用に関するある種の $G$ 同変な simple perverse sheaf のことをいで $G$ の指標層全体の集合を表す. 指標層はでの茎の代数的閉包は $p$ と素な素数. 抽象的な体としてはなので表現論は変わらない. $G$ を簡約代数群とし, $G$ 上の$G$

進 cohomology の上に表上の表現を考える代わりに, 進数体上の表現を考えることにする. ここに

標層とは,

$l$

上の類関数

$\chi_{K,\varphi}$$\varphi$$\chi_{A,\varphi}$は$G^{F}$: $F^{*}K\simeq K$が得られる. 特性関数が $G$ のの指標理論とを結びつけていることに注意する.

上の類関数全体のなすベクトル空間を $C(G^{F})$ と表す. よく知られているよ

うに, $C(G^{F})$ には$G^{F}$の既約指標の全体 Irr$G^{F}$

を正規直交基底とするような内積が定義できる. 指標層に関して Lusztig は次の基本的な結果を得た.

142$\not\in \text{理}1.3$(Lusztig [L1]).

G 引は有限簡約群,(i)$\mathrm{F}_{q}$$\{\chi_{A,\varphi}|A\in\hat{G}^{F}\}$(ii) 関数$\chi_{A,\varphi}$

の標数

$P$

はあまり小さくないとする (例えば $P>5$ ). このときは $C(G^{F})$ の正規直交基底をなす.

は “計算可能” である.

注意 1.4. 上の結果に対して, いくつか但し書きが必要である.

(i) について.
から,$\varphi$$\chi_{A,\varphi}$は同型写像$\varphi$の取りかたに依存する. しかし$A$が単純であることはスカラー倍の差を除いて–意的に定まる.

(ii) について.

が計算可能とは,をいくつかの知られた関数を使って具体的に書き下すことができるという意味である. しかも全てのに対して通用する$\chi_{A,\varphi}$$\chi_{A,\varphi}$$G^{F}$

統–的なアルゴリズムが存在する. しかし実際には Lusztig のアルゴリズムにはスカラー倍の不定性が含まれていて, 完全に計算可能ではない. “ ” はその意味で
ある.

1.5.

の既約指標を統–的に計算するための基本戦略として Lusztig は Lusztig予想を提案した. Lusztig 予想は類関数の既約指標への分解を記述するものである.
$G^{F}$$\chi_{A,\varphi}$

この分解が分かると $C(G^{F})$ の 2 つの基底,の既約指標の全体と指標層の特性関数の全体, の間の変換行列が求まり, 既約指標の計算はの計算に帰着する. そこで定理 13(ii) により既約指標が計算できることになる.
の中心が連結な場合にはより具体的に,$G^{F}$$\chi_{A,\varphi}$$G$

指標層の特性関数がスカラー倍を除いて,の概指標に–致する” という予想になる.
ここに概指標とは, Lusztig がの既約指標の分類をする過程で導入したもので, 既約指標の明示的な線形結合として定義されるものである. の中心が連結でない場合にも概指標をしかるべく定義することにより同様の予想が得られる.
以上の議論から,の既約指標の決定には次のプロセスが必要になる.
“$G^{F}$$G^{F}$$G$$G^{F}$(A) Lusztig 予想の証明(B) Luszitg 予想に現われるスカラーの決定(C) 指標層の特性関数を計算するアルゴリズムに含まれるスカラーの決定(A) の Lusztig 予想については現在次の場合に確かめられている.

(i)

$G$

の中心が連結, $p\neq 2$ (Shoji)

(ii)

$G$

は–般 ただし Luszitig induction(Lusztig)$R_{L}^{G}$の既約指標への分解が既知と仮定する

143(iii) $p\neq 2$ . $G=Sp_{2n},$ $SO_{2n+1},$ $SO_{2n}$ (Waldspurger)(iv) $G=SL_{n}$ ($p>>0$ , Shoji), $G=SL_{n},$$SU_{n}$($p>>0,$ $q>>0,$ Bonnaf\’e)(iii), (iv) については (B) のスカラーも決定されている. 本稿のテーマは (C) のスカラーを決定し, 特性関数の “計算可能” を “抜きの, 文字どおりの計算可能にさせることで

“

ある.

2.
2.1.

この節では,の定義から始める.

$R_{T}^{G}(\theta)$$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\triangleright \mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{z}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{g}$と Green 関数の–般指標と概指標について述べる. まず琢 (\theta )上定義された連結代数群, $F$ : $Garrow G\text{を}\mathrm{F}_{q}\text{構造に付随し}$$G\text{を}\mathrm{F}_{q}$たフロベニウス写像とする. $T$ を $G$ の $F$ 不変な極大トーラスとし, $B=UT$ を $T$ を含
む $G$ の Borerl 部分群とする. $B$ の巾単根基 $U$ は必ずしも $F$ 不変ではない. $G$ の部分多様体 $X_{U}=\{g\in G|g^{-1}F(g)\in U\}$ に $(g, t)$ : $x\mapsto gxt^{-1}$ によりが作用する$G^{F}\mathrm{x}T^{F}$. その作用は compact support の 進 cohomology 群による -isotypic partの線形指標 :
への線形の作用を誘導し,$(g\in G^{F},t\in T^{F},x\in X_{U})$$l$$T^{F}$

は$G^{F}$加群になる.

$G^{F}$$\theta$$T^{F}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$$H_{\mathrm{c}}^{i}(X_{U},\overline{\mathrm{Q}}_{\mathrm{t}})$$H_{\mathrm{c}}^{i}(X_{U},\overline{\mathrm{Q}}_{\mathrm{t}})_{\theta}$$\theta$加群の形式的な交代和$R_{T}^{G}( \theta)=\sum_{:\geq 0}(-1\rangle^{1}H_{\mathrm{c}}^{1}(X_{U},\overline{\mathrm{Q}}_{l})_{\theta}$

を$(T, \theta)$

で定まる$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\triangleright \mathrm{L}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{z}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{g}$の virtual $G^{F}$ 加群という.

その指標として得られるの–般指標を Deligne-Lusztig の–般指標という.

$G^{F}$$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}i}$

.

の指標の

を $G$ の巾単元の集合 (平岡多様体) とし$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F}$

Green 関数

$Q_{T}^{G}$への制限
は$\theta$$Q_{T}^{G}$:$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}i}^{F}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{l},$$u-\rangle$$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F}$

Tr

をその $F$ 固定点の集合とする. 所 (\theta )$(u, R_{T}^{G}(\theta))$を$G^{F}$の Green 関数という.

の取りかたによらない. Green 関数の重要性は Deligne-Lusztig によって示された次の指標公式にある.

2.2. (指標公式) $g=su=us$ を $g\in G^{F}$ の Jordan 分解とする. ( : 半単純,
$s$

$u$

: 巾単). こ

のとき

Tr

.

$(g, R_{T}^{G}(\theta))=|Z_{G}^{0}(s)^{F}|^{-1}$$\sum_{x\in G^{F},x^{-1}sx\in T^{F}}Q_{xTx^{-1}}^{Z_{G}^{0}(\epsilon)}\theta(x^{-1}sx)$$s$の中心袖山 (の連結成分)$Z_{G}^{0}(s)$は再び連結代数群になるので指標公式により琢 (\theta ) の指標の計算は種々の簡約部分群の Green 関数の計算に帰着することが分かる.

144

2.3.

$B_{0}\supset T_{0}$を $F$ 不変な Borel 部分群と極大トーラスの組とする. $F$ は

群 $W=N_{G}(T_{0})/T_{0}$ に自然に作用する. $F$ が $W$ に自明に作用するときであるという. 例えばは split である$G^{F}=GL_{n}(\mathrm{F}_{q})$あると仮定する. このとき, $G$ の $F$ 不変な極大トーラスの対 1 に対応する.
の既約表現

$W$

(の共役類) に対応する

$w$

に対し,

$E\in W^{\wedge}$$G^{F}$$G^{F}$の類関数$R_{E}=|W|^{-1} \sum_{w\in W}$

により定義する. ただし$R_{w}^{G}$(1) l’t$G^{F}$$G^{F}$

は split で共役類は $W$ の共役類と 1の極大トーラス (の同型類) を$R_{E}$の Weylは split type$G^{F}$

以後, 簡単のために$T_{0}$$T_{w}$と表す.

を

駈 $(w, E)R_{T_{w}}^{G}(1)$の単位指標 $\theta=1$ に対する Deligne-Lusztig の$T_{w}^{F}$

般指標を意味する. Deligne-Lusztig によって示された琢 (\theta ) の直交関係より,$\langle R_{E}, R_{E’}\rangle=\{$が成立する. ここに$\langle, \rangle$

り, $\{R_{E}|E\in W^{\wedge}\}$ が1$E\simeq E’$

$0$

その他

の場合,

は $C(G^{F})$ の内積を表す. $G^{F}=GL_{n}(\mathrm{F}_{q})$ の場合,

$n$を与える. しかし–般にの分割によってラベル付けられた巾単指標 {$R_{E}$

は既約ではない. 一般のの類似物が定義され (この場合, $E$ は$\theta$の固定化群$W_{\theta}$$\theta$$R_{E}$$\rho^{\lambda}|\lambda$

は既約にな

は $n$ の分割}に関する碑 (\theta ) についても$R_{E}$の既約指標), Lusztig はそれらのの既約表現の分類を完成した. ここに現われた$R_{E}$

を既約指標に分解することにより$R_{E}$

達の集合は $C(G^{F})$ の正規直交系を与えるが, $G=GL_{n}$ の場合を除けば基底にはなら$G^{F}$

ない. Lusztig はこの正規直交系の自然な拡張として $C(G^{F})$ の正規直交基底を得た. それを$G^{F}$の概指標という. 概指標の既約指標への分解は具体的に与えられる. 注目すべき点

は概指標に現れる既約指標の重複度は (適当なラベル付けのもとに)なることである.
が

$q$

$q$

が増大すれば当然$G^{F}$$q$によらない定数にの既約指標の個数は増大する. その中で重複度によらないことは概指標がほとんど既約指標に近いことを意味する. 概指標といわれる所以である.

145

3. 指標層と Green 関数

前節で説明した確 (\theta ) に対応する事柄が指標層においても成立する. それが

3.1.

Deligne-Lusztig 理論の幾何学化であり, Lusztig 予想の要請でもある.

$R_{T}^{G}(\theta)$

は $G$ の部分多様体の 進 cohomology を使って構成されるが, それはあくまで $G$ と $F$ の組 $(G, F)$ に$l$

対して定まるものである. その意味では$G^{F}$に付随する対象なのであって, $G$ に付随する幾何的な対象である指標層とは性格が異なることに注意する. なお, ここで扱う指標層は極大トーラスに関係した部分のみであり, Lusztig の指標層の理論の–部である. しかし
ここでの議論が指標層の理論の母体となったのであった.

を前の通りとし, Springer 写像$G$(3.1.1)$\pi:\overline{G}=\{(g,xB)\in G\cross G/B|x^{-1}gx\in B\}arrow G$

を考える.

Greg

る.

$\pi$

は

$\tilde{G}$の第–成分への射影である. Greg を $G$ の正則半単純元全体の集合とすの open dense な部分集合になる.

$1\mathrm{h}G$$\pi_{0}$:$\pi^{-1}(G_{\mathrm{r}e\mathrm{g}})arrow G_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}$

を

$\pi$

の制限とす

る. $\pi^{-1}(G_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}})\simeq\{(g, xT)\in G\cross G/T|x^{-1}gx\in T\cap G_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}\}$ であり, 右辺には $W$ が自然に作用する. これによりえる.

$\alpha$:$\pi_{0}$$\pi^{-1}(G_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}})arrow T,$

は不分岐な $W$-covering$(g, xT)\mapsto x^{-1}gx$

(312)
$T$

$\pi^{-1}(G\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{g})arrow\pi^{-1}(G_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}})/W\simeq G_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}}$として次の図式を考える.

$Tarrow\alpha\pi^{-1}(G_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{g}})arrow\pi_{0}G_{\mathrm{r}_{\mathfrak{B}}}$

上の tame 局所系$\alpha^{*}\mathcal{L}\simeq\pi_{0}^{*}\mathcal{L}_{0}$$\mathcal{L}$(ある整数 $m$ に対して$\mathcal{L}^{\otimes m}\simeq\overline{\mathrm{Q}}_{\iota}$

半単純 perverse sheaf になる.

$K_{L}$の線形指標$\varphi$:$\varphi_{0}$:$F^{*}\mathcal{L}arrow \mathcal{L}$$\theta\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T^{F},\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*})$$F^{*}K_{\mathcal{L}}arrow Kc$

し, 後に筆者により$q$から DGM 拡大に
は $G$ 同変なの単純 ffi 分として得られる $G$ 同変な simple perverse

ここで $T$ を $F$ 不変な極大トーラスとし,なる局所系とする. 同型$\mathcal{L}_{0}$$K_{\mathcal{L}}=\mathrm{I}\mathrm{C}(G, \mathcal{L}_{0})[\dim G]$

sheaf が指標層の典型的な例である. ここまでの構成にはの簡約代数群に対しても意味を持つことに注意する.

あり, 同型となる局所系) に対して,となる Greg 上の半単純局所下 L。が–意的に定まる.

より得られる交叉 cohomology 複体 (の次数シフト)$T^{F}$を与$\mathcal{L}$$G$の$\mathrm{F}_{q}$構造は関与せず,$\mathrm{C}$上を $F$ 不変な局所系, すなわち $FL\simeq L$ とを標準的に選ぶと, 特性関数,$\chi c_{\varphi 0}$:$T^{F}arrow\overline{\mathrm{Q}}\iota$はを与える. 図式 (3.1.2) の各項と写像はすべて $F$ 不変でが誘導される 次の事実は Luszitg が $q>>0$ のもとに証明の制限が外された.

146

定理 3.2.
$\chi_{Kc,\varphi}$$\chi_{K_{\mathcal{L},\varphi}}=(-1)^{\dim G}R_{T}^{G}(\theta)$の制限$\overline{Q}_{T}^{G}$$\tilde{Q}_{T}^{G}=(-1)^{\dim G}Q_{T}^{G}$として$\mathcal{L}$

が定数層

:

$\overline{\mathrm{Q}}\iota$を指標層に付随した Green 関数という. 上の事実から$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F}arrow\overline{\mathrm{Q}}\iota$

である.

$\tilde{Q}_{T}^{G}$.

が Green 関数の幾何的実現を与える. ここで特別な場合の場合を考える. このときのもとに) $W$ 同変な Perverse sheaf になり, End$K=\text{ん_{}\mathrm{Q}_{l}}$$K\simeq \mathrm{Q}\iota$$[W]$

は ( $W$ の $G$ への自明な作用の単純成分は $W$ の既約指標によってラベル付けられる. 前のようにし $T=T_{0}$ とする. $E\in W^{\wedge}$ に対応するんの単純成分を $K_{E}$なり$\varphi:F*\text{ん}\simeq$

んより自然に同型$\varphi_{E}$:$F^{*}K_{E}\simeq K_{E}$

したがって, んが成立するを split と仮定$G^{F}$と表すと,$K_{E}$

は $F$ 不変にが導かれる. 定理 32 の系として得られる次の事実が Lusztig 予想の標準的な例であり, その出発点となったものである.
$\text{系}3.3$.

$\chi_{K_{E,\varphi_{E}}}=(-1)^{\dim G}R_{E}$3.4.

指標層の特性関数.

$\chi_{K\epsilon,\varphi_{B}}$の計算は指標公式により Green 関数$\overline{Q}_{T_{w}}^{G}(w\in W)$の計算に帰着する. 以下, Green 関数計算のアルゴリズムについて説明する. 前の通りに,$K=\text{ん_{}\mathrm{Q}_{l}}$を極大ト $-$ ラス$\tau_{0}$の定数層とおく. ん u は (次数シフトを除いて)$\overline{\mathrm{Q}}\iota$$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}$に\ddagger り定まる perverse sheaf としん u$=K|_{G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}}$

上の $G$ 同変な半単純 perverse sheaf になることが知られており(3.4.1)$K_{u}[-d] \simeq\bigoplus_{(C\mathcal{E}’)},,V_{(C’,\mathcal{E}’)}\otimes \mathrm{I}\mathrm{C}(\overline{C}’, \mathcal{E}’)[\dim C’]$と分解できる.

ここに $d=\dim T,$ $C’$ は $G$ の風勢共役類,

純局所系であり, 和はそのような組$\mathrm{I}\mathrm{C}(\overline{C}’, \mathcal{E}’)[\dim C’]$をすべて動く .

$(C’, \mathcal{E}’)$$\mathcal{E}’$は $C’$ 上の $G$ 同変な単$V_{(C’,\mathcal{E}’)}$

はん u の単純成分の重複度の空間である. $K$ への $W$ の作用はん u への $W$ の作用を導き,

それより各陵。”e’) は $W$-加群となる. この状況で, Endとなることが証明される. したがって各陵 c”e りは既約 $W$ 加群となり, $W$ のすべての既約表現が阪。”\epsilon ’) の形$\text{ん_{}u}\simeq\overline{\mathrm{Q}}\iota[W]$で得られる. 言い替えると対応{$(C’,\mathcal{E}’)|C’$: 巾単声,$\mathcal{E}^{l}$$(C’, \mathcal{E}’)\mapsto V_{(C^{l},\mathcal{E}’)}$: $C’$ 上の$G$により, 全単射

同変単純局所系で陵 c”\epsilon ’)\neq {0} となるもの}\simeq W\wedgeが得られる. この対応を Weyl 群の既約指標と $G$ の巾野景との間の Springer 対応という.

左辺の集合をみと表す.

$\varphi:F*\text{ん}\simeq K$$i=(C’, \mathcal{E}’)\in \mathcal{I}_{0}$は $F^{*}K_{u}\simeq K_{u}$ を導き, 同型$\varphi_{i}$

:

に対し,

$K_{i}=\mathrm{I}\mathrm{C}(\overline{C}’, \mathcal{E}’)[\dim C’]$$F^{*}\mathcal{E}’\simeq \mathcal{E}’,\overline{\varphi}_{i}$巾単類 $C$ はすべて $F$ 不変になる). 各 $i\in$ 勾に対し,:$F^{*}K_{1}\simeq K_{i}$$X_{1}=\chi_{K_{i,\tilde{\varphi}:}}$

とおく.

とおく.

を誘導する (各
. は

$X_{*}$$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F}$

上の

147

$G^{F}$

不変な関数のなす線形空間$C(G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F})$の元である.

$\tilde{Q}_{T_{w}}^{G}=\sum_{i\in \mathcal{I}_{0}}Tr(w, E_{i})X_{i}$と表されるので (玖は定は関数に対応する $W$ の既約表現) Green 関数

に対し, 関数$i\in \mathcal{I}_{0}$$\overline{Q}_{T_{w}}^{G}(w\in W)$の決の決定と同値になる.

$X_{i}(i\in \mathcal{I}_{0})$3.5. 各$i\in \mathcal{I}_{0}$$\mathrm{Y}_{j}\in C(G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F})$を$g\in C^{\prime F}$$\mathrm{b}(\varphi_{i},\mathcal{E}_{\mathit{9}}’)$

巧$(g)$ $=\{$の場合,

その他の場合$0$aj 掲と表されることが知られている. (これは自明ではなく, 証明には指標層に関する深い議論を必要とする). 筆者が Green 関数の場合にとして定義する. このとき

$X_{i}= \sum_{j\in \mathcal{I}_{0}}$考案し [S1], [S2], 後に Lusztig [L1] によって–般 Green 関数の場合にまで拡張、 強化された議論により, この係数
数

$X_{1}$の決定は関数$Y_{j}$$\in\overline{\mathrm{Q}}_{l}$$a_{i},$

を計算する統–的なアルゴリズムが存在する. そこで関の決定に帰着する. 以下に述べるように関数はスカラー倍を除$\mathrm{Y}_{j}$けば具体的に記述できるのである.
$i=(C’,\mathcal{E}’)$

$F$

とする.

が自然に作用し,$u\in C^{\prime F}$$C^{\prime F}$を取り, $A_{G}(u)=Z_{G}(u)/Z_{G}^{0}(u)$ とおく. 有限群 $A_{G}(u)$ にの $G^{F}$ 共役類は $A_{G}(u)$ の $F$ 共役類と 1 対 1 に対応する.

$A_{G}(u)$に対し, $b=c^{-1}aF(c)$ となる $c\in A_{G}(u)$ が存在するときいう)$a\in A_{G}(u)$

$C’$

に対応する

と

$a$

の $G^{F}$ 共役類 (の代表元) を $u$。

$C^{\prime F}$

上の $G$ 同変単純局所系は $A_{G}(u)$ の既約指標と 1 対 1 に対応する.

の既約指標を$A_{G}(u)\langle F\rangle$$\rho$とする.

を考えて$\rho$$\mathcal{E}’$が $F$ 不変なのでの $A_{G}(u)\langle F\rangle$ への拡大$\ovalbox{\tt\small REJECT}(g)$$\rho\sim$

も $F$ 不変になる.

が

$g$

$0$

$g\not\in C^{\prime F}$$\tau_{j}\in\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$

可能な関数なので結局 Green 関数$u_{a}$

が存在して$Q_{T_{w}}^{G}$$F$

は $F$ 共役であると$\in C^{\prime F}$$\mathcal{E}’$とする. -方,に対応する $A_{G}(u)$の作用による半直積をひとつ固定する. 関数$\mathrm{h}(aF,\rho)\sim$$=\{$

とおく. するとあるスカラー$\rho$$b$$(a,$ $b\in$$Y_{j}’\in C(G_{\mathrm{u}\mathrm{n}i}^{F})$を共出な場合,の場合に$G^{F}$$\mathrm{Y}_{j}’=\tau_{j}Y_{j}$の決定はスカラーと表される. 写は完全に記述$\tau_{j}(j\in \mathcal{I}_{0})$の決定に帰着することになる.

3.6. 35 節に出てきたスカラーの定数層$\overline{\mathrm{Q}}_{\mathrm{t}}$

の写像

$\pi$

による順像

$\tau_{j}$は次のような幾何的な意味合いを持っている.

$R\pi_{*}\overline{\mathrm{Q}}\iota$

は交叉 cohomology 複体$\mathrm{I}\mathrm{C}(G, (\pi_{0}).\overline{\mathrm{Q}}_{1})$$\tilde{G}$

上

と同型

148

になることが知られている. これより,

を旗多様体としたとき,は$B_{\mathit{9}}$$g$$\mathcal{H}_{g}^{i}(K)\simeq H^{i}(B_{\mathit{9}},\overline{\mathrm{Q}}_{\mathfrak{l}})$を含むような Borel 部分群全体のなす表す. この同型により, $g\in G^{F}$ に対し,Springer 表現), またが得られる. ただし $B=G/B$$H^{i}(B_{g},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$$B$の部分多様体を上に $W$ の作用が得られ (Weyl 群のの作用も得られる. Springer 表現を使うと Green 関数の次のよ$F$

うな表示が得られる.

$Q_{T_{w}}^{G}(u)= \sum_{I\geq 0}(-1)^{i}\mathrm{b}(Fw, H^{i}(\mathcal{B}_{u},\overline{\mathrm{Q}}_{l}))$$F$と $W$ は可換だから $F$ の決定するのが係数$a_{ij}$$H^{i}(B_{u},\overline{\mathrm{Q}}_{\mathrm{t}})$.

上の固有空間は $W$ 加群になる.

を計算するアルゴリズムで,$F$

この $W$ 加群をの固有値を決定するのがスカラー$\tau_{j}$の決定に対応する. そこで Green 関数の決定は次の問題に帰着する.
問題 3.7.
$F$$u\in C^{\prime F}$を固定したとき,の作用はもちろん$u\in C^{\prime F}$

重要なのは $F$ の top cohomology$H^{i}(B_{u},\overline{\mathrm{Q}}_{\mathrm{t}})$への $F$ の作用を決定せよ.

の取りかたに依存する$H^{2d_{u}}(\mathcal{B}_{\mathrm{u}},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$また $d_{u}=\dim B_{u}$ としたとき,への作用であって, それが分かれば Green

関数は計算できるのである. そこで $F$ の作用が記述できるように問題になる. それは$C^{\prime F}$$\bullet$

を選ぶことがの $G^{F}$ 共役類への分割を記述するような標準的な代表元 $u\in C^{\prime F}$を選ぶ問題でもある. 丁数$\bullet$$u\in C^{\prime F}$$P$が good prime の場合, 次が知られているが sphit 型, $G\neq E_{8}$ の時, $F$ が$([\mathrm{B}\mathrm{S}], [\mathrm{S}1], [\mathrm{S}2])$.

Id で作用する
ような $u\in C^{rF}$ が存在する (このような代表元 $u\in C^{;F}$ を split 元という).
$G=E_{8}$ とする.
(mod 3) の場合, split 元が存在する. $q\equiv-1$ (mod 3) の$G^{F}$$H^{2d_{\mathrm{u}}}(B_{u},\overline{\mathrm{Q}}\iota)$にスカラー倍$q^{d_{u}}$$q\not\equiv-1$

場合 split 元は存在しないが $F$ の作用は記述できる.

これらの事実を使って,$P$が good prime の場合に Green 関数は完全に計算されている.

4. 一般 Green 関数

4.1.
た,

$K_{\mathcal{L}}$が計算できるようになった. それはまGreen 関数が計算できたことで,の単純成分として得られる指標層の特性関数が計算できることを意味する. とこ$R_{T}^{G}(\theta)$

ろで Luszitg の指標層の理論は Harish-Chandra の有限簡約群の既約表現の理論をモデルにしている. 中心となる柱は cuspidal な対象とそれを誘導して得られる対象を分解してできる単純な対象である. 3 節で議論した$K_{\mathcal{L}}$は極大トーラスから得られる醜体で, これが Harish-Chanra の理論における主系列表現に対応する. ただし Harish-Chandra 理論で

149

は極大トーラスからの誘導にはそれを含む $F$ 不変な Borel 部分群の存在を必要としたが,$F$不変なん L については極大トーラスの

4.2.

$F$

不変性だけですむので, はるかに効率がよい.

指標層の理論で cuspidal な既約指標の役割を果たすのが cuspidal な局所系である. $G$ を連結な簡約代数群,

とき, $C$ 上の局所系$\mathcal{E}$: $Garrow G/Z^{0}(G)$ とする. $C$ を $G/Z^{0}(G)$ の共役類とするが次の条件をみたすとき cuspidal であるといわれる;. 任意の放物$\pi$

部分群 $P=LU_{P}(P\neq G)$ とその Levi 部分四

の共役類

$L$

$C_{L}$の元 9 に対し,.

$H_{\mathrm{c}}^{\delta}(gU_{P}\cap\Sigma, \mathcal{E})=0$

ただし, $\Sigma=\pi^{-1}(C),$ $\delta=\dim C-\dim C_{L}$ である
ス $G/G$der 上のする. 組 ($\Sigma$tame 局所系, Si) を$\mathcal{L}$に対してinduction により$(\Sigma, \mathcal{E}_{1})$$\hat{G}$

は

4.3.

$C$

$Z^{0}(L)\cross C$ロ$\mathcal{E}$$C$$\mathcal{L}$$\chi_{K,\varphi}$

を考える.

の

$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F}$をロ$\mathcal{E}_{1}=f^{*}\mathcal{L}$により定義$\pi^{*}\mathcal{E}$$(L, C, \mathcal{L}, \mathcal{E})$から得られる$K_{L,/E,\mathcal{E}_{1}}$が $F$ 不変であると仮定し:$\varphi_{0}$

が構成

の単純成

$F^{*}\mathcal{E}_{1}\simeq \mathcal{E}_{1}$が定義される. 特に $L=T$ の場合$\chi_{K,\varphi}$$\pi$: $Larrow L/Z^{0}(L)$ とすると, $\Sigma=\pi^{-1}(C)\simeq$$\mathcal{E}$との tame 局所系$Z^{0}(L)$は $F$ 不変であると仮定し$\varphi$$K=K_{L,\Sigma,\mathcal{E}_{1}}$が得られる.

$K_{L}$

上の cuspidal な局所系を固定する. これらのデータよりれる.

$(L, \Sigma, \mathcal{E}_{1})$$(L, \Sigma, \mathcal{E}_{1})$を $L/Z^{0}(L)$ の巾単類とする.

である.

$\mathcal{E}_{1}$とし, トーラ$Garrow G/G_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}$を $L$ の cuspidal pair とする. 指標層の: $F^{*}K\simeq K$ を誘導し, 特性関数とすれば 3 節で議論した$\mathcal{E}=\overline{\mathrm{Q}}\iota$$\mathcal{E}_{1}=\mathcal{L}$$\varphi$$(\Sigma, \mathcal{E}_{1})$はすべての 3 つ組

分全体の集合として定義される. ここで$\varphi 0$

心の局所系に $f$ :

から $G$ 上の半単純な G- 同変 perverse sheaf

される. $G$ の指標層の集合とする.

$\text{ら}$上の cuspidal pa 廿という.

$G$

を $G$ の放物部分群とし,$P=LU_{P}$$\Sigma$

さ:$F*\text{ん}\simeq K$が誘導されへの制限を–般 Green 関数 とい残の取りかたによらない. 42 の 3 つ組$(L, \Sigma, \mathcal{E}_{1})$$\varphi 0$:$F^{*}\mathcal{E}\simeq \mathcal{E},$の類関数$G^{F}$,$Q_{L},c,\epsilon_{\varphi 0}$$\psi$:$\chi_{K,\varphi}$と表す.

から得られる特性関数$\mathcal{L}$に対して$F^{*}\mathcal{L}\simeq \mathcal{L}$が定義さ$QL,C,\mathcal{E},\varphi\text{。}$$\chi_{K,\varphi}$

は

に対して,

の計算は–般Green 関数の場合と同様の–般 Green 関数を使った指標公式が成立し,がの単純成分となるに対しGreen 関数の計算に帰着する. 指標層$\chi_{K,\varphi}$$A\in\hat{G}$

ような組$(L, \Sigma, \mathcal{E}_{1})$$A$$K=\text{ん_{}L,\Sigma,\mathcal{E}_{1}}$が–意的に定まる. $A$ が $F$ 不変ならば$(L, \Sigma, \mathcal{E}_{1})$の計算に帰着する. したがって$A$の特性関数の計算は種々の $F$ 不変な$A$の特性関数の計算は–般 Green 関数の計算に帰着することになる.

$L$

に対する

$\chi_{K,\varphi}$

も $F$ 不変に取れて150

を上の cuspidal 局所系とし4.4.
の巾単類, を上の perverse sheaf をんとする. 3 節の議論の拡張として, んの
$C$

$G$

$L$

$C$

$\mathcal{E}$図$\mathcal{E}_{1}=\overline{\mathrm{Q}}_{l}$$G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}$$\mathcal{E}$から得られるへの制限は (次数シフトを除いて) 半単純 perverse sheaf となり, 次が得られる.
(4.4.1)$K[-d]|_{G_{\mathrm{m}\mathrm{i}}}= \bigoplus_{(\text{。},\mathcal{E}’)},V_{(\text{。^{}\prime},\mathcal{E}’\rangle}\otimes \mathrm{I}\mathrm{C}(\overline{C}’, \mathcal{E}’)[\dim C’]$

ただし $d=\dim Z^{0}(L),$$(C’, \mathcal{E}’)$は単純成分 IC(び,$V_{(C’,\mathcal{E}’)}$$\mathcal{E}’$は $G$ の巾単類とその上の $G$ 同変単純局所系をすべて動く.

) $[\dim C’]$ の重複度の空間を表す. (4.4.1) の左辺をん u とおく.

とおく. 一般にこのような$\mathcal{W}=N_{G}(L)/L$.

$\mathcal{W}$は Coxeter 群にならないが, この場合 ( $L$ がは Coxeter 群になる さて Endを持つ場合) にはとなることが知られている. したがって 3 節と同様には既約加群となり, すべて

cuspidal pair$(C, \mathcal{E})$$\mathcal{W}$$K_{u}\simeq\overline{\mathrm{Q}}_{\mathrm{t}}[\mathcal{W}]$$\mathcal{W}$$V_{(\text{。^{}\prime},\mathcal{E}’)}$の既約$\mathcal{W}$

加群が (4.4.1) の分解に現れることが分かる.

る ( $C’$ は $G$ の巾単類,に対し, 既約$\mathcal{E}’$を全ての組$\mathcal{I}$はその上の $G$ 同変単純局所系).

加州陵。”e’) が $E$ に–致するような組
Luszitg は Springer 対応を拡張して次を示した.
$\mathcal{W}$$(C’, \mathcal{E}’)$の集合とす

上の議論により, 各$E\in \mathcal{W}^{\wedge}$が唯ひとつ定まる.

$(C‘, \mathcal{E}’)\in \mathcal{I}$定理 4.5 (一般 Springer 対応). 上の対応のもとに$\mathcal{I}\simeq\square (N_{G}(L)/L)^{\wedge}$.

$(L,C,\mathcal{E})$

ここに和は

対応で,

$(C, \mathcal{E})$が $L$ の cuspidal pair となるような組の場合$(L, C, \mathcal{E})=(T, \{e\},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$$\mathcal{W}$をすべて動く.

$(L, C, \mathcal{E})$は Weyl 群 $W$ に–致し,$\mathcal{I}_{0}\simeq W^{\wedge}$

この

が本来の

Springer 対応になっている.

4.6. 定理 45 の組が誘導される. 各
り$\tilde{\varphi}_{i}$:$(L, C, \mathcal{E})$が $F$ 不変だとして,$i=(C’, \mathcal{E}’)\in \mathcal{I}^{F}$$i\in \mathcal{I}^{F}$に対して$\mathrm{Y}_{i}\in C(G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F})$合に相当する). 今の場合には侶また$Y_{i}’\in C(G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F})$わち$Y_{i}’=\tau_{i}Y_{i}$$|i\in \mathcal{I}^{F}$も前と同様に定義でき,となる$\tau_{i}\in\overline{\mathrm{Q}}_{l}^{*}$

を選ぶと,$\varphi:F*\text{ん}\simeq K$に対して $F$ の陵。””) への作用を決めると (4.4.1) よが定まり, これより$F^{*}\mathrm{I}\mathrm{C}(C\mathcal{E}’)\simeq \mathrm{I}\mathrm{C}(\sigmaarrow,, \mathcal{E}’)$

3 節と同様に各$\varphi 0:F^{*}\mathcal{E}\simeq \mathcal{E}$}は$\mathrm{Y}_{i}$$\varphi_{i}$:$F^{*}\mathcal{E}’\simeq \mathcal{E}’$を定義する. (3 節の$C(G_{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}^{F})$が得られる. そこで$\mathrm{Y}_{i}$はこれの特別な場の基底になることが確められる.

はスカラー倍を除いて$\mathrm{Y}_{i}’$に–致する, すなが存在する. 一般 Green 関数の計算は結局, これらの$\tau_{i}$の計算に帰着することになる. 序論の注意 14 で述べた Lusztig のアルゴリズムに含まれる

151

不定性とは, このスカラーに他ならない.

$G$

およびその簡約部分群に対してこの$\tau_{i}$が決まれば, $G$ の指標層の特製関数は計算できることになる. これに関して次の定理が成立する.
定理 47. 次の場合に定数が決定できる.

$\tau_{i}$(i)$SL_{n}$: $F$ : split ( は任意),(ii)$SL_{n}$:(iii)$Sp_{2n},$ $SO_{2n+1},$ $SO_{2n}(p\neq

$p$

$F$

: non-split $(p>>0)$ ,2)$,(iv) S 勿 nN $(p>>0)$ .
(i) の場合には代表元$u[]\mathrm{h}$Jordan 標準形に取れる (iii) の場合,

$F$が sphit 型の時は,$u$

は 3 節の Green 関数の議論に出てきた split 元に取れる.
1.5 の Lusztig 予想に関する結果と合わせて、 定理の系として次が得られる.

系 4.8.

$SL_{n}(\mathrm{F}_{q}),$$SO_{2n+1}(\mathrm{F}_{q}),$ $SO_{2n}(\mathrm{F}_{q})$の既約指標は全て計算可能である.

5. 証明の方針など
51. 定理 45 の (i), (ii) は 2002 年の数理研の集会で報告したものである. その証明の概略は数理研の講義録 [S3] に書いた. 詳しい内容については preprint [S4] があるのでそれも合わせて参照してほしい. (iii), (iv) についても基本的に同様の議論が成立するのである. [S3] で基本的なアイデアについては説明してあるので、興味のある方はそちらを見ていただくことにして、 ここでは概略だけを述べる.
$(L, C, \mathcal{E})$を定理 45 の 3 つ組とし,応する $A_{G}(u)$ の既約指標を$\rho$$i=(C’, \mathcal{E}’)\in \mathcal{I}^{F}$とする.

$u\in C^{\prime F}$を取り,$\mathcal{E}’$に対とする. $P=LU_{P}$ を $F$ 不変な放物部分群とし,$\mathcal{P}_{u}=\{gP\in G/P|g^{-1}ug\in CU_{P}\}$,$\hat{\mathcal{P}}_{u}=\{g\in G|g^{-1}ug\in CU_{P}\}$

とおく. 次の図式を考える.
$Carrow\alpha\hat{P}_{u}rightarrow\beta$

ただし

系

群

$\mathcal{E}$$\alpha(g)$aを $g^{-1}ug$ の Levi part, $\beta(g)=gP$ として, 写像に対して$H_{c}^{u_{u}}(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})$$\alpha^{*}\mathcal{E}\simeq\beta^{*}\dot{\mathcal{E}}$をみたす$\mathcal{P}_{u}$上の局所系$\dot{\mathcal{E}}$$\alpha,$$\beta$を定義する. $C$ 上の局所が唯ひとつ存在する cohomoloy

上に $F$ と $A_{G}(u)$ の作用が得られる. ただし$d_{u}=\dim \mathcal{P}_{\mathrm{u}}$. $\mathcal{W}=N_{G}(L)/L$152

とおくと, さらに群

$H_{c}^{2d_{u}}(P_{u},\dot{\mathcal{E}})$$\mathcal{W}$が $A_{G}(u)$ と可換になるようにが Green 関数の場合の $W$ 加群の議論のように定数の決定は$\tau_{i}$$H_{c}^{2d_{u}}(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})$$H^{2d_{u}}(B_{u},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$の$\rho$に作用する. この$H_{c}^{2d_{u}}(P_{u},\dot{\mathcal{E}})$$\mathcal{W}$加に対応している. そこで 3 節-isotypic な部分$H_{\mathrm{c}}^{2d_{u}}(P_{u},\dot{\mathcal{E}})_{\rho}$

への $F$ の作用を決定することに帰着する.

5.2.
(I)

$H_{\mathrm{c}}^{2d_{u}}(P_{u},\dot{\mathcal{E}})$$G=SL_{n}$への $F$ の作用に関しては次のような戦略を立てる.

( $F$ : split),.

$Sp_{2n},$ $SO_{2n+1},$ $SO_{2n}\text{の}ffl_{\mathrm{D}}^{\mathrm{A}}$

この場合には, $P$ を含む $F$ 不変な極大放物部分群 $Q=MU_{Q}$ で $M$ が$G$と同じタイプの階数 $n-1$ の群になるものが取れ, $F$ の作用と可換になるような同型$H_{c}^{2d_{u}}( \mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})\simeq\bigoplus_{u\iota}H_{\mathrm{c}}^{2d_{u_{1}}}(\mathcal{P}_{u_{1}},\dot{\mathcal{E}})$を作ることができる. したがって F の作用は帰納的に調べることができる.

(II)$G=SL_{n}$( $F$ : non-split),.

$S\dot{\mu}n_{N}\text{の}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathfrak{o}}^{\mathrm{A}}$

この場合には (I) の方法がうまく機能しない.

$SL_{n}$については, $F$ が non-split なので極大放物部分群は $F$ 不変にならないという事情がある.
$Spin_{N}arrow SO_{N}$

対応する$SO_{N}$$\tau_{1}$を考えて, $Spin_{N}$ の組$\mathrm{i}=(C’, \mathcal{E}’)$$S\dot{\mu}n_{N}$については isogeny map

が $SO_{N}$ の組から得られる場合には,の決定は本質的に $SO_{N}$ の問題であり (I) で処理できる. そこで$(C’, \mathcal{E}’)$がからは得られない場合が本質的である. この場合 $F$ 不変な極大部分群が存在したとしても, cohomology 群$H_{c}^{u_{u}}(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})$の構造が複雑になり, (I) のような同型を作ることが難しくなる.

しかし, これらの場合には次が成り立つ.
$H_{\mathrm{c}}^{2d_{u}}(P_{u},\dot{\mathcal{E}})=H_{\mathrm{c}}^{2d_{\mathrm{V}}}$$H_{\mathrm{c}}^{0}(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})_{\rho}\neq\{0\}$これらの性質は $SL_{n}$ と$SL_{n}$$S\dot{\mu}n_{N}$$(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})_{\rho}$,.

(の $SO_{N}$ に帰着できない場合) に特徴的なものである.

の場合と同様にこれらの性質を使って graded affine Hecke 環の理論を適用することにより, $F$ の作用を決めることができる.

5.3. graded affine Hecke 環を用いた畿論については [S3] に書いたのでここでは繰り返さない. しかしどのような状況で graded 細 ne He&e 環が関係するかについて $GL_{n}$ と$SL_{n}$の対比で述べておく ([S3] に$\text{も}$書いてあるが). $G=GL_{n},$ $F$ は non-split とする. 埋153

め込み $f$ : $B_{u}arrow B$ により, 線型写像$f^{*}$:$H^{2i}(B,\overline{\mathrm{Q}}_{l})arrow H^{2i}(\mathcal{B}_{u},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$射, $W,$ $F$ 同変な写像になることが示される. そこでば $F$ の$H^{2d_{u}}(B_{u},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$への作用が分かる. しかしあり, その構造はよく分かっている. これより

$Fw_{0}$($w_{0}$$f^{*}$

は全への $F$ の作用が決まれ$H^{2d_{u}}(\mathcal{B},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$$H^{*}(\mathcal{B},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$が得られる.

は $W$ の余不変式環と同型では $W$ の最長元) が$H^{2d_{u}}(B_{u},\overline{\mathrm{Q}}_{l})$に $(-q)^{d_{u}}$ のスカラー倍で作用することが分かる.

方, 鷹の状況での場合には$u_{0}$$B_{u}arrow \mathcal{B}$の役割を果たすのはあるが単位元). しかし

らず cohomology のレベルでは$P_{u}$$\mathcal{W},$$f^{*}:$

の場合には

$F$

$f^{*}$$P_{u}arrow \mathcal{P}_{u_{0}}$に対する勉。である (Borel
は成立しない. それにも関わ同変な写像$H_{\mathrm{c}}^{i}(\mathcal{P}_{u_{0}},\dot{\mathcal{E}})arrow H_{c}^{1}(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})$を定義することができる. $GL_{n}$ の場合と違って,から写像$u_{0}$$P_{u_{\mathrm{O}}},$$\mathcal{P}_{u}$の構造を調べるのが困難なことが全射になるかどうか分からない. ところが次数(5.3.1)$f^{*}:$が確められる. もし $F$ のれば (5.3.1) を通じて$0$の部分では容易に$H_{\mathrm{c}}^{0}(P_{u},\dot{\mathcal{E}})\simeq H_{\mathrm{c}}^{0}(\mathcal{P}_{u_{0}},\dot{\mathcal{E}})\simeq\overline{\mathrm{Q}}_{l}$$H_{\mathrm{c}}^{2d_{u}}$ $(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})$$H_{\mathrm{c}}^{*}(\mathcal{P}_{u_{0}},\dot{\mathcal{E}})$と$H_{c}^{0}(\mathcal{P}_{u},\dot{\mathcal{E}})$

への $F$ の作用を比較することができの状況に移ることができる. 実際, このプロセスに利用されるのが graded affine Hecke 環である Lusztig [L2] により graded affine Hde 環の$H_{c}^{*}(P_{u},\dot{\mathcal{E}})$への表現が得られており, これは概略$\mathcal{W}$の表現と cohomology 群の cup 積の作用からできている. その意味で都合がよいのである. 詳細については [S3] を参照されたい.

REFERENCES[L2]

W.M Beynon and N. Spaltenstein, Green functions of finite Chevalley groups of type $E_{n}(n=$$6,7,8)$ , J. Algebra 88 (1984), 584-614.
G. Lusztig, Character sheave8, I Adv. in Math. 56 (1985), 193-237, II Adv. in Math. 57 (1985),
226-265, III, Adv. in Math. 57 (1985), 266-315, IV, Adv. in Math. 59 (1986), 1-63, V, Adv. in
Math. 61 (1986), 103-155.
G. Lusztig, Cuspidal local system8 and graded Hecke algebras, I, Publ. Math. I.H.E.S. 67 (1988),[S1]

T. Shoji, On the Graen polynomials of Chevalley groups of type

[BS]

[L1]

145-202.

[S2]
[S3]

[S4]

, Comm. in Alg. 10, (1982),
505-543.
T. Shoji, On the Graen polynomials of classical groups, Invent. Math. 74, (1983), 237-267.
回司俊明, Generaliz\’e Green functioo, unipotent classes and graded Hecke algebra8. 京都大学
数理解析研究所講究録 1310, r 組合せ論的表現論とその周辺」 , pp.154– 168.
T. Shoji, Generalized Green functioo and unipotent classe8 for finite reductive group8, I.
Preprint.

$F_{4}$