数理解析研究所講究録
1072 巻 1998 年 103-119

103

カオスニ $f$ 一ラルネットの対称性
Motomasa Komuro
小室元政

帝京科学大学1

カオスニューラルネット
力学系のネットワーク全体の振舞いを理解する上で, 不変部分空間の束構

造と不変部分空間上に制限したシステムの振舞いを知ることは、 しばしば、重要な役割を果たす。 このノートの目的は, いくつかのパターンを記憶させたカオスニ 一ラルネットワークにおける不変部分空間の束構造を明らかにすることである。 この束構造を踏まえて、「記憶の動的想起のメカニズム」 の解明を、 引き続き予定している。
$=$

定義 1 $N\geq 1$ とする。 次の式で定義される力学系$\Phi=(\Phi_{1}, \Phi_{2})$:$\mathrm{R}^{N}\cross \mathrm{R}^{N}rightarrow$をカオスニ=. 一ラルネット $(CNN)$ という。
$\Phi_{1}(y, z)=k_{1}y+W_{X}$
$(*)$

(1)

$\{$

$\Phi_{2}(y, z)=k_{2}z+a-\alpha x$$x=x(y, z)=(g_{\epsilon}(y_{i}+zi))i=1N$

但し、$k_{1},$ $k_{2},$$\alpha>0,$$a=(a, \cdots.a)^{\mathrm{T}}:\in \mathrm{R}^{N}$$W.=(w_{j}.\cdot)_{1\leq i},j\leq N;N_{\mathrm{X}}N$

行 91J,$g_{\epsilon}(u)=(1+\exp(-u/\epsilon))^{-1}$

時亥|J $t\geq 0$ に対する時間発展を各成分ごとに表示すれば、となる。

$y_{i}(t+1)$$=$$k_{1}y_{i}( \cdot t)+\sum_{j=1}^{N}wijg_{\epsilon}(yj(t)+z_{j}.(t))$$z_{i}(t+1)$$=$$k_{2}z_{i}(t)+a-\alpha g_{\epsilon}(y_{i}(t)+z_{i}(t))$$1\leq i\leq N$

(2)

104

定義 2 成分に

$0$

$p$

.

または 1 を持つ

$p^{1},$ $\cdots$,$P^{M}$$p_{i}=0$

or 1$P^{1},$$\cdots,P^{M}$

に対して $N\cross N$ 行列(3)$(1 \leq i\leq N)$

.

(4)

$W$

$=$

$(w_{ij})$$w_{ij}$$=$$\frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M}w_{i}^{m}j$$=$$(2p_{i}^{m}-1)(2p_{j}^{m}-1)$$w_{j}^{m}.\cdot$をの元 $p$ ;,$=(p_{1}, \cdots,p_{N})^{\mathrm{T}}$をパターンという。 パターン列$\mathrm{R}^{N}$,(5)が定める結合行列という。 $W$ は各$p^{m}$(6)の相関行列の相加平均である。
例 1 $N=4$ の$\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{N}$を考える。 パターン$p^{1}=(1,1,0,0)\mathrm{T}$で与える。 各パターンの相関行列,$P^{1},P^{2}$を$p^{1}=(0,1,1,0)^{\mathrm{T}}$$W^{1},$ $W^{2}$

は$W^{1}=$ $W^{2}=$,であたえられる。

$P^{1},P^{2}$が定める結合行列 $W= \frac{1}{2}(W^{1}+W^{2})$ は$W= \frac{1}{2}$
であたえられる。

2

第 1 不変部分空間

定義 3

(1)

システム

$u(t+1)=F(u(t))$ ,は、 変換$P:\mathrm{R}^{n}arrow \mathrm{R}^{n}$$u(t)\in \mathrm{R}^{n}$に対して $P\circ F=F\circ P$ を満たすとき、 $P-$ 不変であるという。
(2) 部分空間$H\subset \mathrm{R}^{n}$は$u\in H\Rightarrow F(u)\in H$

を満たすとき、 $F-$ 不変であるという。

105

ここではシステム

定義 4$\mathrm{R}^{N}$$\Phi$),$S_{N},\text{を}N\text{次}\sigma.$の不変部分空間を調べる。

$\text{対称群_{、}}$$\sigma$を $S_{N}$ の元とするとき、座標変換$P_{\sigma}$:$\mathrm{R}^{N}arrow$を$P_{\sigma}$で定義する。

:$(u_{1},.\cdot, ., u_{N})^{\mathrm{T}}\text{ト}\Rightarrow(u(1), \cdots,u_{\sigma}\sigma(N))^{\mathrm{T}}$」 $(p_{ij})$ は$P_{\sigma}\text{の_{}\grave{\wedge}}W\text{換}/\gamma_{\overline{\mathrm{T}}p1}$$p_{ij}=\{$

1$(\sigma(i.)=j.)$$0$(other)で与えられる。 変換行列を変換と同じ記号$P_{\sigma}$で表す。 定義から明らかに、$P_{\sigma}^{-1}=P_{\sigma^{-1}}=P_{\sigma}^{\mathrm{T}}$である。
命題 1 $Q=(q_{ij})$ を $N\cross N$ 行列とする。 このとき、$P_{\sigma}Q=(q_{\sigma(i)j})$,$QP_{\sigma}=(qi\sigma^{-1}(j))$

が成り立つ。
$(^{arrow}\overline{\overline{-}}i\mathrm{E}\text{明})$$p_{ik}=\{$

1$(\sigma(i)=k)$$0$(other)であるから、$P_{\sigma}Q=..(.

\sum_{k}Pikqkj..)=(Pi\sigma(i)q\sigma(i)j)=(q_{\sigma(i\rangle j})$)$=(q_{i\sigma^{-}}1(j))k\cdot\cdot\cdot$.

$QP_{\sigma}=( \sum q_{i}kpk.j)=.\cdot(,q_{i}\sigma^{-1}(j)p_{\sigma}-1(j)j$

.

(証終)

例2

$\sigma=\in S_{3}$のとき、

1$p_{ij}$$=$$=$$(\sigma(i)=.

j)$

(7)

$\{$

$0$

(other)1$(i,j)=(1,2),$ $(2,3),$ $(3,1)$$0$(other)$\{$.

であるから、$P_{\sigma}==$ .

(8)

106

定義 5 $W=(w_{ij})_{1\leq j}i,\leq N$ に対して|$C(W)=\{\sigma\in s_{N}|w_{ij}=w_{\sigma(i)}\sigma(j) (1 \leq i,j\leq N)\}$

を $W$ の固定部分群という。

命題 2(1) $\sigma\in C(W)\Leftrightarrow P_{\sigma}W=WP_{\sigma}$$(p)C(W)$ は$S_{N}$の部分群(証明) (1) $\sigma\in C(W)$ ならば、$(w_{ij})P_{\sigma}=(w(i),\sigma(j))\sigma P_{\sigma}=(w\sigma(i),j)=P_{\sigma}(wij)$.

逆に、 $P_{\sigma}W=WP_{\sigma}$ ならば、.

(2)$\sigma,$$(w_{\sigma(i),\sigma}(j))=P_{\sigma}(wi,\sigma(j))=(w_{i,\sigma(}j))P_{\sigma}=(w.\cdot j)$$\tau\in C(W)$ならば、$(w_{\sigma \mathcal{T}(),\sigma}i\tau(j))=(w_{\tau(i),\tau(}j))=(w_{i,j})$

よって、 $\sigma\tau\in C(W)$ . また、.

$(w_{\sigma^{-1}(i}),\sigma^{-}1(j\rangle)=(w_{\sigma}(i)\sigma^{-1},\sigma\sigma-1(j))=(wij)$

よって、 $\sigma^{-1}\in C(W)$ 従って、 $C(W)$ は部分群である。 (証終)定義 6 座標変換$P_{\sigma}\cross P_{\sigma}$:$P_{\sigma}$:’ に対して、$\mathrm{R}^{N}+^{\Delta}$$\mathrm{R}^{2N}$上の変換$P_{\sigma}\cross P_{\sigma}$:$\mathrm{R}^{2N}rightarrow$を$(u_{1}, \cdots, uN;v1, \cdots, vN)\mathrm{T}_{\vdasharrow}(u(1), \cdots, u(\sigma N);v_{\sigma}(1), \cdots, v\sigma\sigma(N))^{\mathrm{T}}$で定義する。 明らかに、$(P_{\sigma}\cross P_{\sigma})^{-1}=P_{\sigma}^{-1}\cross P_{\sigma}^{-1}=P_{\sigma^{-1}}\cross P_{\sigma^{-1}}$である。

命題 3 $\sigma\in C(W)$ に対して、 システム$\Phi$

は$(P_{\sigma}\mathrm{x}P_{\sigma})-$不変である。

(証明)$(y_{1}’, \cdots, y_{N}’’;z_{1} , \cdot.., z_{N}’)^{\mathrm{T}}$

とする。

(9)

$=$

$(P_{\sigma^{\mathrm{X}}}P\sigma)(y1, \cdots, yN;z1, \cdots, zN)\mathrm{T}$$=$$(y\sigma(1), \cdots, y_{\sigma}(N);z_{\sigma}(1), \cdots, Z\sigma(N))^{\mathrm{T}}(10)$107$\Phi_{1}((P_{\sigma}\cross P_{\sigma})(y,z))$(11)$=\Phi_{1}((yiz_{i}’)’,)1\leq i\leq N$(12)$=(k_{1}y_{i}’(t)+ \sum_{j}=1(w_{i}jg_{\mathcal{E}}(y_{i}’t)+Nz’i(t)))_{1\leq i}\leq N$(13)$=(.k_{1}y_{\sigma}(i)(t)+ \sum^{N}j=1(wijg\mathcal{E}(y_{\sigma}(j)t)+Z_{\sigma(}j)(t)))_{1\leq i}\leq N$(14)$=(k_{1}y \sigma(|:)(t.)+\sum.\cdot j=1Nw_{\sigma}.(i)\sigma(j)\mathit{9}\xi(y_{\sigma}.(j)(-\cdot t)+z_{\sigma(}j)(t)))_{1\leq i}\leq N$(15)$=(k_{1}y_{\sigma}(i)(t)+ \sum^{N}k=1)w_{\sigma}(ikg\epsilon(y_{k}(t)+zk(t)))_{1\leq i}\leq N$(16)$=P_{\sigma}(k_{1yi}(t)+ \sum^{N}k=1twik\mathit{9}\mathcal{E}(y_{k(})+zk(t)))_{1\leq i}\leq N$(17)$=P_{\sigma}\Phi_{1}(y, z)$(18)$\Phi_{2}((P_{\sigma}\cross P_{\sigma})(y, z))$(19)$=\Phi_{2}((y_{i’ i}Z’/)1\leq i\leq N)$(20)$=(k_{2}Z_{i(}’t)+a-\alpha_{\mathit{9}\xi}(y’i(t)+z_{i}’(t)))_{1\leq}i\leq N$(21)$=(k_{2^{Z}\sigma(i)}(t)+a-\alpha g_{\epsilon}(y\sigma(i)(t)+z_{\sigma(}i)(t)))_{1\leq}i\leq N$(22)$=\cdot P_{\sigma}(k_{2:(}Zt)+a-\alpha g\mathcal{E}(yi(t)+Z_{i())}\iota)_{\iota\leq}i\leq N$(23)$=P_{\sigma}\Phi_{2}(y, z)$(24)

したがって、(25)$=$$(P_{\sigma}\Phi_{1}(y, Z),$ $P_{\sigma}\Phi_{2(}.y,$ $Z))$$=$$(\Phi_{1(()(}P_{\sigma}\cross P\sigma y, z)),$ $\Phi_{2}((P_{\sigma}\cross P_{\sigma})(y, z)))(26)$$=$$\Phi(P_{\sigma}\cross P_{\sigma})(y, z)$$(P_{\sigma}\cross P_{\sigma})\Phi(y, z)$

(27)

(証終)

定義 7

$\sigma\in S_{N}$とする。

$\mathrm{R}^{N}$の部分空間$H_{1}(\sigma)$を$H_{1}(\sigma)=\{(y_{1,\cdots,y_{N})}\mathrm{T}\in \mathrm{R}^{N}|yi=y\sigma(i), 1\leq.i\leq N\}$で定義する。

$H_{1}(\sigma)$の直交補空間

$H_{1}^{\perp}(\sigma)$を$H_{1}(\sigma)=\{y\in \mathrm{R}N|\langle y,v\rangle=0,\forall v\in H_{1}(\sigma)\}$で定義する。 ただし、$\mathrm{R}^{2N}$$H(\sigma)$$H^{\perp}(\sigma)$の部分空間$\langle\cdot, \cdot\rangle$

は内積を表す。

$H(\sigma),H^{\perp}(\sigma)$を$=$$H_{1}(\sigma)\cross H_{1}(\sigma)$$=$$\{(y_{1}, \cdots,yN;z_{1}, \cdots, z_{N})\mathrm{T}\in \mathrm{R}2N|(yi, zi)=(y\sigma(i), z_{\sigma(i})), 1\leq i\leq N\}$$=$

$H_{1}^{\perp}(\sigma)\mathrm{X}H_{1}\perp(\sigma.)=\{(y, z)|y, z\in H_{1}^{\perp}(\sigma)\}$で定義する。

$H(\sigma)$を第 1 不変部分空間という。

,

108

例3

$\sigma==(12)(3)(456)$ のとき、.

$H_{1}(\sigma)$$=$$\{y\in \mathrm{R}\epsilon|y_{1}=y_{2},y_{4}=y_{5}=y_{6}\}$$H(\sigma)$$=$$\{(y, z)\in \mathrm{R}12|y1=y2, y4=y5=y_{6}, z1=z_{2}, Z_{4}=Z\mathrm{g}=z_{6}\}$

Remark 1 $\sigma\in C(W)$ との対応は 1 対 1 ではない。 実際、$H(\sigma)\subset \mathrm{R}^{2N}$$\sigma_{2}=$ ,.

$\sigma_{3}=$に対して、 $H(\sigma_{2})=H(\sigma_{3})$ である。

命題 4 $\sigma\in C(W)$ のとき、

$H(\sigma)\subset \mathrm{R}^{2N}$はシステム$\Phi$の不変部分空間(証明) $(y_{1}(t), \cdot*\cdot, y_{N}(t);Z1(t), \cdots, Z_{N(}t))^{\mathrm{T}}\in H(\sigma)$ とする。 $y_{i}(t)=y\sigma(i)(t)$ ,$z_{i}(t)=z_{\sigma(i)}$(の であるから、$y_{i}(t+1)$$z_{i}(t+1)$$=$$k_{1}yi(t)+ \sum_{j}=1)w_{i}jg_{\xi}(yj(t+z_{j}(t)N)$$=$$k_{1}y_{\sigma(i})(t)+ \sum_{j}=1()t)+z_{\sigma(}j)(w_{\sigma}(i)\sigma(j)g_{\epsilon}(y_{\sigma}j(t)N)$$=$$k_{1}y \sigma.(i.)(t.)+\sum^{N}k=!.)w_{\sigma}(i)kg_{\mathit{6}}(yk(t+z_{k}(t))$$=$$y_{\sigma(i)}(t+1)$$=$$k_{2^{Z_{i}}}(t)+a-\alpha g_{\epsilon}(y_{i(t})+z_{i}(t))$$=$$k_{2}z_{\sigma(i)}(t)+a-\alpha \mathit{9}\epsilon(y\sigma(i)(t)+z_{\sigma(i)}(t))$$=$$z_{\sigma(i)()}t+1$,.

よって、 $(y_{1}(t+1), \cdots, y_{N}(t+1);z_{1}(t+1), \cdots, z_{N(t}+1))^{\mathrm{T}}\in H(\sigma)$ であり、$H(\sigma)$は不変部分空間である。 (証終)3

第 2 不変部分空間

定義 8 結合行列 $W$ にたいして、${\rm Im} W=\{Wx|x\in \mathrm{R}^{N}\}$とする。 $\sigma\in C(W)$ にたいして、$H(\sigma)$の部分空間 $(H(\sigma))$ を$(H(\sigma))=(\mathrm{h}\mathrm{n}W\cross \mathrm{R}^{N})\cap H(\sigma)=({\rm Im} W\cap H_{1}.(\sigma))\cross H_{1}(\sigma)$で定義する。 $(H(\sigma))$ を第 2 不変部分空間という。

109

命題 5 $\sigma\in C(.W)$ にたいして、${\rm Im} W\cross \mathrm{R}^{N}$

及び $(H(\sigma))$ はシステム$\Phi$に関して不変である。 すなわち、$\Phi({\rm Im}\overline{W}\cross \mathrm{R}^{N})\subset{\rm Im} W\cross \mathrm{R}^{N}$$\Phi((H(.\sigma.)))\subset(H(\sigma))$

(証明)

ならば、

$y(t)\in{\rm Im} W$$\exists v\in \mathrm{R}^{N}\mathrm{s}.\mathrm{t}$,.

. $y(t)=Wv$ 従って、

$k_{1}y(t)+Wx(t)=k_{1}Wv+Wx(t)=W(k_{1}v+x(t))\in \mathrm{b}\mathrm{n}W$

また、 2 つの $\Phi-$ 不変部分空間の共通部分は $\Phi-$ 不変であるから、 $(H(\sigma))$ は$\Phi-$

不変である。 (門馬)命題 6 商空間$\mathrm{R}^{N}/{\rm Im} W=(\mathrm{R}^{N}\cross \mathrm{R}^{N})/({\rm Im} W\cross \mathrm{R}^{N})$上にシステム$\Phi$から誘導されるシステムは線形で、$[y](t)=y(t)+{\rm Im} W\in \mathrm{R}^{N}/{\rm Im} W$と書くとき、$[y](t+1)=k_{1}[y](t)$で与えられる。
(証明) $(y(t), Z(t))-(y(/t), Z’(t))\in \mathrm{b}\mathrm{n}W\cross \mathrm{R}^{N}$ とする。 $y(t)-y’(t)\in{\rm Im} W$より、$y(t+1)-y’(t+1)=k_{1}(y(t)-y’(t).)+W(x(.t.)-X..(/.:t).)\in.\mathrm{I}\mathrm{m}.$

よって、 システム$\Phi$は$\mathrm{R}^{N}/{\rm Im} W$$[y](t+1)$

W.

$\cdot$上に誘導される。 それは、$=$

$k_{1}y(t)+Wx(t)+{\rm Im} W$

(28)

$=$

$k_{1}y(t)+{\rm Im} W$

(29)

$=$

$k_{1}[y](t)$(30)

で与えられる。 (証終)Remark 2 $|k_{1}|<1$ ならば、$\mathrm{R}^{N}/{\rm Im} W$

上のシステムは縮小写像である。

例4$W= \frac{1}{3}(-3-1-1-13111$$-3-1-1-13111$$-1-3-1-13111$$-3-1-1-131\mathrm{i}1$$-3-1-1-13111$$-1-3-1-13111$$:-1-1-3-13111$$-1-1-3-13111)$

110
1

列基本変形

$|$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

1

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$-1$

1

$0$

$0$

$0$

$0$

$0$

$arrow$

1
1

$0$

$=$

$\{(s, t, u, -S+t+u, s-t-u, -u, -t, -s)|s, t, u\in \mathrm{R}\}$$\sigma$$=$$(174)(258)(3)(6)$$H(\sigma)$$=$$\mathrm{h}\mathrm{n}\overline{W}$のとき$\{(y_{1}, y2, y3,y_{1}, y_{2},y_{6}, y1, y_{2}; Z_{1,2}z, Z_{3,1,2,6}Zzz, Z_{1}, z2)\in \mathrm{R}16\}$$(H(\sigma))$$=$$({\rm Im} W\cross \mathrm{R}^{8})\cap H(\sigma)=$$\{(s, -s,3s,s, -S, -3S, s, -s;z1,z2, Z3, Z_{1}, z2, z6, Z_{1,2}Z)\in \mathrm{R}^{1}6\}$

4

第 3 不変部分空間

定義 9$\mathrm{R}^{N}$の基本ベクトル $e_{i}(1\leq i\leq N)$ にたいして、$J(W,\sigma)=\{j\in\{1, \cdots, N\}|e_{j}\perp{\rm Im} W\cap H_{1}(\sigma)\}$$z(W, \sigma)=\{_{Z}\in H1(\sigma)|_{Z_{i}=}z_{j(j(}i,\in JW, \sigma))\}$とする。 $(H(\sigma))$ の部分空間 $[H(\sigma)]$ を$[H(\sigma)]=(\mathrm{h}\mathrm{n}W\cap H_{1}(\sigma))\cross Z(W, \sigma)$で定義する。 $[H(\sigma)]$ を第 3 不変部分空間という。
命題 7 $\sigma\in C(W)$ にたいして、 $[H(\sigma)]$ はシステム$\Phi$

に関して不変である。

すなわち、$\Phi([H(\sigma)])\subset[H(\sigma)]$(証明)$(y(t), z(t))\in[H(\sigma)]$.

とする。 $({\rm Im} W\cap H_{1}(\sigma))\cross H_{1}(\sigma)$ の不変性から$(y(t+1), z(t+1))\in({\rm Im} W\cap H_{1}(\sigma))\cross H_{1}(\sigma)$

.

111

にたいして、 $y_{i}(t)=y_{j(t)(t}=0,$$Zi)=z_{j}(t)$ より、$i,j\in J(W, \sigma)$$z_{i}(t+1)-zj(t+1)=k_{2}(z_{i}(t)-zj(t))-\alpha(g_{\zeta}(y_{i}(t)+zi(t))-g_{\epsilon}(y_{j}(t)+z_{j(t)))=}\mathrm{o}$従って、$(y(t+1),z(t+’ 1))\in(\mathrm{h}\mathrm{n}W\cap H_{1}(\sigma))\cross Z(W, \sigma)$(証終)例 5 $W$ を例 4 と同じとする。 $\sigma=(12)(36)(45)(78)\in C(W)$ に対して、$H(\sigma)$$=$$\{(y_{1},y_{1},y3, y_{4}, y_{4}, y_{3}, y_{7}, y\tau;z_{1}, Z_{1}, z3, Z_{4}, Z4, z3, z7, Z\tau.)\}$${\rm Im} W$$=$$\{(s, t,u, -S+t+u, s-t-u, -u, -t, -s)|S, t, u\in \mathrm{R}\}-$$(H(\sigma))$$=$$\{(_{S,S,0,\mathrm{o}}, 0,0, -s, -S;z_{1}, z_{1}, Z_{3}, Z4, z4, z_{3}, z7, z7)\}$${\rm Im} W\cap H1(\sigma)$$=$$\{(s, S,0,0,0,\mathrm{o}, -S, -S)|_{S}\in \mathrm{R}\}$

すなわち、${\rm Im} W\cap H1(\sigma)$ は基本ベクトル$[H(\sigma)]$$=$$e_{3},$ $e_{4},$ $e_{5},$ $e_{6}$に直交する。 したがって、$\{(_{S,S,\mathrm{o}}, \mathrm{o}, 0, \mathrm{o}, -S, -s;z_{1,1}z, Z3, Z3, Z_{3}, Z3, z\tau, z7)\}$$\mathrm{R}^{8}\cross \mathrm{R}^{8}$$\downarrow \text{第}\mathit{1}$対称性$H(\sigma)\cong \mathrm{R}^{4_{\mathrm{X}\mathrm{R}^{4}}}$$\downarrow \text{第}\mathit{2}$対称性$(H(\sigma))\cong \mathrm{R}\cross \mathrm{R}^{4}$$\downarrow \text{第}\mathit{3}$対称性$[H(\sigma)]\cong \mathrm{R}\cross \mathrm{R}^{3}$5共役不変部分空間

定義 10$\sigma,$$\tau\in C(W)$に対して、 ある $\rho\in C(W)$ が存在して、$\sigma\rho=\rho\tau$を満たすとき、$\sigma$と$\tau$

は共役であるといい、$\sigma\sim\tau$

とかく。

.

112

不変部分空間$H(\sigma)_{\text{、}}H(\tau)$$P_{\rho}\cross P_{\rho}$:が$\mathrm{R}^{2N}\mapsto$$H(\sigma)=(P_{\rho}\cross P_{\rho})H(\tau)$を満たすとき、$H(\sigma)$に対して、ある $\rho\in C(W)$ が存在して、$H(\sigma)$

and$(P_{\rho}\cross P_{\rho})(\Phi|H(\tau))=(\Phi|H(\sigma))(P\rho\cross P_{\rho})$と $H(\tau)$ は共役であるという。 ここで、 $\Phi|H(\sigma)$ は$\Phi$のへの制限を表す。

命題 8$\sigma,$(証明)$\tau\in C(W)$ に対して、 $\sigma\sim\tau$ ならば、 $H(\sigma)$$\exists\rho\in C(W)\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

と $H(\tau)$ は共役である。

とする。

$\rho\tau=\sigma\rho$$(y_{i}; z_{i})_{1}\mathrm{T}(y1, \cdots, yN;z_{1}, \cdots, z_{N})\mathrm{T}\leq:\leq N=\in H(\tau)$を与えよ。

$(y_{i}; Z_{i})^{\mathrm{T}}=(y\tau(i);z_{\mathcal{T}(}i))\mathrm{T}$$=$$(P_{\rho}\cross P_{\rho})(y_{i}; Z_{i})^{\mathrm{T}}$方、より、$(P_{\rho}\cross P_{\rho})(y\tau(i);z(i))^{\mathrm{T}}\mathcal{T}$$=\cdot(y_{\rho\tau(i});Z(\rho \mathcal{T}i))^{\mathrm{T}}$

(32)

$=$

(33)

$(y_{\sigma\rho(i)};Z_{\sigma\rho}(i))^{\mathrm{T}}$$(P_{\rho}\cross P_{\rho})(y_{i;)^{\mathrm{T}}=}Z_{i}(y_{\rho}(i);z)^{\mathrm{T}}\rho(i)$であるから、$(y\sigma\rho(i);z(i))\sigma\rho(\mathrm{T}y=(i\rho);z(i))\rho \mathrm{T}$

すなわち、

逆に、

$1\leq i\leq N$

.

.

とすると、

$(P_{\rho^{\mathrm{X}P}\rho})^{-}1(yi;zi)^{\mathrm{T}}$方、,

従って、 $(P_{\rho}\cross P_{\rho})H(\tau)\subset H(\sigma)$ を得る。

$(y_{\rho(i});z_{\rho}(i))^{\mathrm{T}}\in H(\sigma)$$(y_{i}; Z_{i})^{\mathrm{T}}\in H(\sigma)$

(31)

$=$

$(P_{\rho}\mathrm{x}P_{\rho})^{-}1(y\sigma(i);Z(i)\sigma)^{\mathrm{T}}$

(34)

$=$

$(y_{\rho^{-1}\sigma(i)\rho^{-1}(};zi)\sigma)^{\mathrm{T}}$

(35)

$=$

$(y_{\tau\rho^{-1}(i});Z\rho\tau-1(i))^{\mathrm{T}}$(36)$(P_{\rho}\cross P_{\rho})^{-1}(yi;zi)^{\mathrm{T}}=(P_{\rho}^{-1}\cross P_{\rho}^{-1})(yi;zi)^{\mathrm{T}}=(y_{\rho^{-1;}\rho^{-}}z1)^{\mathrm{T}}$

である

から、
$(y_{\rho^{-1}};Z_{\rho}-1)^{\mathrm{T}}=(y_{\mathcal{T}}\rho^{-1}(i);z\mathcal{T}\rho-1(i))^{\mathrm{T}}$すなわち、$(y_{\rho^{-1;}}z_{\rho^{-}}1)^{\mathrm{T}}\in H(\tau)$. 従って、,$1\leq i\leq N$$(P_{\rho}\cross P_{\rho})^{-1}H(\sigma)\subset H(\tau)$

よって、 $(P_{\rho}\cross P_{\rho})H(\tau)=H(\sigma)$ を得る。 また、である。

$(P_{\rho}\mathrm{x}P_{\rho})\Phi=\Phi(P_{\rho}\cross P_{\rho})$であるから、 結論を得る。 (\Rightarrow ^i-E 十)

例 6 $N=3$ の$\mathrm{C}\mathrm{N}\mathrm{N}$を考える。

$S_{\mathrm{s}}|P\sigma W=WP\sigma\}=s3$$W=$とする。 $C(W)=\{\sigma\in$となる。

$\sigma=$ ,$\tau=\in S_{3}$113とする。 $\rho=($$21$$31)\in S_{3}$

$32$

とすると、

$\rho^{-1}\sigma\rho===\tau$ ,すなわち、$\sigma\sim\tau$.

,$H(\sigma)$$=$$\{(y1, y2, y3;z1, z_{2,\mathrm{s}}Z)^{\mathrm{T}}|y_{1}=y_{2}, z_{1}=z_{2}\}$(37)$H(\tau)$$=$$\{(y_{1}, y2, y_{3}; z_{1,2}z, z\mathrm{s})\mathrm{T}|y1=y_{3}, z_{1}=z_{3}\}$(38)$(P_{\rho}\cross P_{\rho})H(\tau)$$=(P_{\rho}\cross P)\rho\{(y\tau(1), y\mathcal{T}(2),y\tau(3);z_{\mathcal{T}}(1), Z\mathcal{T}(2), Z_{\mathcal{T}}(3))\grave{\mathrm{T}}|y_{1}=y_{3}, z_{1}=z_{3}\}$$=(P_{\rho}\mathrm{X}P_{\rho})\{(y3, y_{2},y_{1} ; z_{3}, z_{2}, Z_{1})\mathrm{T}|y_{1}=y_{3}, Z1=z_{3}\}$$=\{(y_{\rho(3}), y_{\rho(}2), y_{\rho(1)} ; z_{\rho(3)}, Z_{\rho(2)}, z_{\rho}(1))\mathrm{T}|y- 1=y_{3}, z_{1}=z_{3}\}$$=\{(y1, y3, y2;Z1, Z3, Z2)^{\mathrm{T}}|y_{1}=y_{3}, z_{1}=z_{3}\}$$=\{(y_{1y’’}’,2’ y_{3}; z’’z_{2}, Z_{3})^{\mathrm{T}}1’|/y_{1}’=y_{2}’’, z_{1}=z_{2}’\}$$=H(\sigma)$

Remark 3 不変部分空間$H(\sigma)$の補空間方向の安定性$(y, z)\in H(\sigma),$ $(\Delta y, \Delta_{Z})\in \mathrm{R}^{N_{\cross}N}\mathrm{R}$$\Delta x_{i}$$\Delta_{X=}(\Delta Xi)\in \mathrm{R}^{N}$

とする。

$=$

$g_{\xi}(y_{i}+\Delta y_{i}+Zi+\Delta z_{i})-g\xi(y_{i}+zi)$$=$$Dg_{\zeta}(.y_{i}+zi)(\Delta yi+\Delta zi)+h_{\mathit{0}}..t$

.

(39)

(40)

とする。
$\Phi_{1}(y+\Delta y, z+\Delta Z)-\Phi_{!}(y, Z)$(41)$=k_{1}(y+\Delta y-y)+W(x+\Delta X-X)$(42)$=k_{1}\Delta y+W\Delta x$(43)$\Phi_{2}(y+\Delta y, z+\Delta Z)-\Phi_{2}(y, Z)$(44)$=k_{2}(Z+\Delta Z-Z)-\alpha(x+\Delta X-X)$(45)$=k_{2}\Delta_{Z-}\alpha\Delta x$(46)$b>0$ が十分小さ $<0<Dg_{\epsilon}(y_{i}+z:)\ll 1$なり、 安定性は.

$k_{1},$ $k_{2}$$(1\leq i\leq N)$

ならば$\Delta x\approx \mathit{0}$とで決定される。 すなわち、 $|k_{1}|<1,$ $|k_{2}|<1$ ならば、補空間方向に安定となる。

114

6Appendix 1: Orthogonal pattern
Definition 1 Let an integer $n\geq 1$ be given , and put $N=2^{n}$ .
(1) We define a sequenc.e of $N$ -dimensional vectors
components are 1 or-l;$p_{1},p_{2},$ $$p_{1}$$=$$(1, -1,1, -1, \cdots, 1, -1)$

$p_{2}$$=$$(1,1, -1,$ $-1,1,1, -1,$ $-1, \cdots, 1,1,$ $-1,$ $-1)$$p_{k}$$=$$\cdot\cdot,p_{n}$, which:$p_{n}$$.=$(2) Define a sequence of $N/2$ -dimensional vectors$p_{k}’=[I_{N}/2, ON/2]p_{k}$wherematrix.

$I_{N/2}$

$(S)$

If

$n\geq 2$$I_{N/4}$,$p_{n}’$;$(1\leq k\leq n)$, define a sequence of $N/4$ -dimensional vectors,$p_{1}’’,p_{2}\prime\prime,$$\cdots$,$p_{n}’’$;$(1\leq k\leq n)$

is a $(N/4, N/4)$ identity m.atrix, and $O_{N/4}$ is a $(N/4, N/4)$ zero

Proposition 1 (1) $p_{k}=(p_{k}’’,p_{k})$$(p_{n}’’,p’n(\mathit{2})p’,)k=(P_{k}’’,P_{k}^{\prime/})$(3)$\cdots$

is a $(N/2, N/2)$ identity matrix, and $O_{N/2}$ is a $(N/2, N/2)$ zero

$p_{k}’’=[IN/4,\mathit{0}_{N/4}]p_{k}’$wherematrix.

,$p_{1}’,p_{2}’,$$(1 \leq k\leq n-1)$, and $p_{n}=(p_{n}’, -p_{n}’)$ ,, and $p_{n}’=$$(1 \leq k\leq n-2),$ $p_{n-1}’=(p_{n-1}’’, -p_{n-1}/’)$$(1 \leq k\leq n-2)$ ,andwhere $G=(g_{ij})$ is a $(N/4, N/4)$ matrix defined by$c=-p_{k}^{\prime/}$$g_{ij}=\{$$p_{k}^{\prime\prime c}=p_{k}’’$1$i+j= \frac{N}{4}+1$$0$othel.

$(n-1\leq k\leq n)$ ,(Proof) It is clear from the definition.

Proposition 2 If there are real numbers$c_{1},$$\cdots,$$c_{n}$

such that$p=c_{1}p1^{+\cdots+}c_{n}pn\{\in 1, -1\}^{N}$then$p\in\{p_{i}, -p_{i} :1\leq i\leq n\}$

.

,

115

(Proof)(1) Case of $n=1$ . Then $N=2$ and $p_{1}=(1, -1)$ . If $p=c_{1}p_{1}=$$(c_{1}, -C_{1})\in\{1, -1\}^{2}.’$.then$c_{1}=\pm 1$. Hence$\dot{\mu}n\{p_{1}.’-p1.\}.\cdot$(2) Case of $n=2$ . Then $N=4,p_{1}=-(1, -1,.1, -1)$ and $‘.p_{2}=(1,1, -1, -1)$ .

Assume $p=.c_{1}p_{1}+c_{2}p_{2}\in\{1, -1\}^{4}$ .
(i) Case of $c_{2}=0$ . Then $p=c_{1}p_{1}\in\{1, -1\}^{4}$ . Since(the 1st component of ) $=c_{1}=\pm 1$ ,$p$

we have $p\in\{p_{1}, -p_{1}\}$ .
(ii)Case of$c_{2}\neq 0$. Then $p=c_{1}p_{1}+c_{2}p_{2}\in\{1, -1\}^{4}$ . Since(the 1st component of )
$p$

$+$

(

$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$2nd component of )$p$$=(c_{1}+c2)+(-c1+C_{2})=2c_{2}\neq 0$ ,the.lst component of and the 2nd component of have same sign. Hence
$p$

$p$

(the 1st component of ) $-$ ($p$$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$2nd component of )$p$$=(c_{1}+c2)-(-C_{1}+C_{2})=2C_{1}=0$.

Since $c_{1}=0,$ $p=c_{2}p_{2}\in\{1, -1\}^{4}$ . Since.
(the 1st component of ) $=c_{2}=\pm 1$ ,$p$

we have $p\in\{p_{2}, -p_{2}\}$ .
(3) Case of $n\geq 3$ . We use an induction for . Assume that the statement$\mathrm{n}$is true for n-l. Put $N=2^{n}$ , and$p=C_{1p_{1}+\cdots+C_{n}p_{n}\in}..\{1, -1\}^{N}$.

(i)Case of $c_{n}=0$ . Then
$p=c_{1}p_{1^{+}-}\ldots+Cn1pn-1\in\{1, -1\}^{N}$.

Define$p’=[IN/2, oN/2]p$ ,Since $p_{k}=(p_{k},p_{k})//$$p_{k}’=[I_{N/2}, ON/2]p_{k}$$(1 \leq k\leq n-1)$,$(1 \leq k\leq n)$, we have $p–(p’,p)’$ . Since$p’=c_{1}p’1+\cdots+cn-1p_{n}’-1\in\{1, -1\}^{N/2}$ ,by the assumption of induction, we have$p’\in\{p_{k}’, -p_{k}’ :1\leq k\leq n-1\}$

.

.

116

Therefore we have $p\in\{p_{k}, -p_{k} : 1\leq k\leq n-1\}$ .
. Since(ii)Case of$c_{n}\neq 0$

(the
$=0$

$i\mathrm{t}\mathrm{h}$,component of$1\leq i\leq N/4$

$p_{k}$

,

)

$+$

(

$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}(\frac{N}{2}-i+1)\mathrm{t}\mathrm{h}$component of$p_{k}$)$1\leq k\leq n-1$ ,we have(the$i\mathrm{t}\mathrm{h}$component of )$p$$=2C_{n}\neq 0$

Hence the$i\mathrm{t}\mathrm{h}$,$1\leq i\leq N/4$

component of

$p$

$+$

(

$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}(\frac{N}{2}-i+1)\mathrm{t}\mathrm{h}$component of )$p$.

and the$( \frac{N}{2}-i+1)\mathrm{t}\mathrm{h}$component of

$p$

have

same sign. Since
(the
$=0$

$i\mathrm{t}\mathrm{h}$,component of ) $-$ ($p$$1\leq i\leq N/4$$\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}(\frac{N}{2}-i+1)\mathrm{t}\mathrm{h}$component of )$p$,

we have $p’=(p”,pG\prime l)$ , where $G=(g_{ij})$ is a $(N/4, N/4)$ matrix defined by$g_{ij}=\{$

1$i+j= \frac{N}{4}+1$$0$others.

Since
$p’$

$=$

$c_{1}p_{1^{+\cdots+}}c_{n}p’\prime n$$=$$c_{1}(p_{1}’’,p_{1}’/)+\cdots+C_{n}-2(p_{n-2}’’,p_{n-2}’)’+C_{n-}1(p_{n}-1’-\prime\prime p^{\prime;}n-1)+C_{n}(p_{n},p_{n})\prime\prime\prime;$

we have
,

$p”$

$=$

$c_{1}p_{1}’’+\cdots+cn-2p_{n-2}^{\prime/}+c_{n-1}p_{n-1^{+}}c_{n}p_{n}’/\prime\prime$

$p”G$

$=$

$c_{1}p’1^{+\cdots+}\prime cn-2p’’n-2+c_{n}-1(-pn-1)/’+c_{n}p_{n}’’$.

By Lemma,
$p”$

$=$

$(p”G)G$$=$$c_{1}p_{1}’’c+\cdots+C_{n-2}pn-2G//+C_{n}-1(-pn-1c)\prime\prime+c_{n}p_{n}c\prime\prime$,$=$$c_{1}(-p’’1)+\cdots+c_{n-2(-}p_{n-2})\prime\prime+c_{n}-1(-pn-1)\prime\prime+c_{n}p_{n}’’$

,

Hence
$0= \frac{1}{2}(p’’-p//)=C_{1}p’’1^{+}\ldots+cn-1p^{\prime/}n-1$.

is linearly independent, we have $c_{1}=$.
and $p=c_{n}p_{n}\in\{1, -1\}^{N}$ . Since

Since$\{p_{1}’’, \cdots,p_{n}’’-1\}$(the 1st component of ) $=c_{n}=\pm 1$ ,$p$

we have $p\in\{p_{n}, -pn\}$ . (Q.E.D.)$=c_{n-1}=0$ ,

,

117

Proposition 3 Define

If$\sigma\in S_{N}$satisfies

$W$

$=$

$\frac{1}{n}(p_{1}p_{1}+\cdots+p_{n}\mathrm{T}\mathrm{T})p_{n}$

,

$U$

$=$

$\{p_{k}^{\mathrm{T}}, -p_{k}^{\mathrm{T}} :.

$P_{\sigma}W=WP_{\sigma}$, then1\leq k\leq n\}$$P_{\sigma}(\cdot U)=U$$\mathrm{Y}$.

(Proof)Let $1\leq k\leq n$ be given. Then
$W(P_{\sigma}p^{\mathrm{T}\mathrm{T}}k)=P_{\sigma}WP_{\sigma}-1(P_{\sigma}p^{\mathrm{T}\mathrm{T}}k)=P \sigma(Wpk)=P_{\sigma}(\frac{1}{n}p^{\mathrm{T}}kp_{k}p_{k})=\frac{2^{n}}{n}(P\sigma p^{\mathrm{T}}k)$

Since the image of $W$ is spanned bynation of. By Proposition 2 ,$\{p_{1}^{\mathrm{T}..\mathrm{T}},\cdot,- p_{n}\},$$P\sigma p^{\mathrm{T}}k$

is a

.

l..inear combi-$\{p_{1}^{\mathrm{T}}, \cdots,p_{n}^{\mathrm{T}}\}$$P_{\sigma}p_{k}^{\mathrm{T}\mathrm{T}\mathrm{T}}\in\{pk’-p_{k} :Since$P_{\sigma}$is$\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}- \mathrm{t}_{\mathrm{O}^{-}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}}$.

1\leq k\leq n\}--U$, we have $P_{\sigma}(U)=U$ . (Q.E.D.)

Proposition 4 Define$W= \frac{1}{n}(p_{1}^{\mathrm{T}}p_{1^{+\cdots+}}p_{n}^{\mathrm{T}}pn)$.

The isotropy group $C(W)=\{\sigma\in S_{N} : P_{\sigma}W=WP_{\sigma}\}$ is isomorphic to the
group

where

$C_{2}$

is the cyclic group of order 2, and$S_{n}$

is the $nth$ symmetry group.

(Proof) Let $\sigma\in C(W)$ be given. For any $1\leq i\leq n$ , there exists $1\leq k\leq n$such thator$P_{\sigma}(p_{i})=p_{k}$by Proposition 3 . We define$\tau\in S_{n}$$\tau(i)=k$

For each $1\leq i\leq n$ , define$\delta_{i}$$-p_{k}$.

by$(1\leq i\leq n)$.

: $\{1, -1\}arrow\{1, -1\}$$\epsilon$$\delta_{i}(\epsilon)=\{$$-\mathcal{E}$$\mathrm{b}\mathrm{y}_{t}$if $T(p_{i})=pk$
if $T(pi)=-pk$ .

The correspondence$\sigmarightarrow(\delta_{1}, \cdots, \delta_{n}, \tau)\in \mathit{0}2\mathrm{x}\cdots\cross C_{2}\cross S_{n}$is isomorphic. ($\mathrm{Q}.\mathrm{E}$

.D.)

118

7Appendix 2: 8 CNN with three orthogonal
patterns
Let three patterns$p^{1}$$=$$(1, 1, 1, 1, 0,0,0, \mathrm{o})\mathrm{T}$,$p^{2}$$=$$(1, 1, 0, \mathrm{o}, 1,1,0, \mathrm{o})\mathrm{T}$,$p^{3}$$=$$(1, 0,1,0,1, \mathrm{o}, 1,0)^{\mathrm{T}}$be given. The connection matrix $W$ is defined by
$W$

$=$

$\frac{1}{3}(W^{1}+W^{2}+W^{3})$$W^{m}$$=$$(w_{ij}^{m})$$w_{ij}^{m}$$=$$(2p_{i}^{m}-1)(2p_{j}^{m}-1)$,,$(1 \leq i,j\leq 8,1\leq m\leq 3)$.

We calculate conjugate class of the isotropy group $C(W)$ and invariant
subspaces.

1. 16-dimension (1 subspace, 1 conjugate class)(a) . $H^{16}=H((1))=\mathrm{R}^{16}$2. 12-dimension(6 subspaces, 1 conjugate class)(a) . $H_{1}^{12}=H((14)(58))$$\mathrm{i}$$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{V}$$\mathrm{v}$$\mathrm{v}\mathrm{i}$. $H_{2}^{12}=H((16)(38))$. $H_{3^{2}}^{1}=H((17)(28))$. $H_{4^{2}}^{1}=H((23)(67))$. $H_{5}^{12}=H((25)(47))$. $H_{6}^{12}=H((35)(46))$

3. 8-dimension(17 subspaces, 5 conjugate classes). $H_{1}^{8}=H((12)(34)(56)(78))$. $H_{2}^{8}=H((13)(24)(57)(68))$. $H_{3}^{8}=H((15)(26)(37)(48))$(b) . $H_{4}^{8}=H((14)(23)(58)(67))$. $H_{5}^{8}=H((16)(25)(38)(47))$. $H_{6}^{8}=H((17)(28)(35)(46))$(c) . $H_{7}^{8}=H((18)(27)(36)(45))$(d) . $H_{8}^{8}=H((12)(36)(45)(78))$(a)$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}$$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{v}$$\mathrm{v}$$\mathrm{v}\mathrm{i}$. $H_{9}^{8}=H((13)(27)(45)(68))$. $H_{1}^{8}0=H((15)(27)(36)(48))$. $H_{11}^{8}=H((18)(24)(36)(57))$. $H_{12}^{8}=H((18)(26)(37)(45))$. $H_{13}^{8}=H((18)(27)(34)(56))$

119

(e)

$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$. $H_{14}^{8}=H((174)(258))=H((147)(285))$. $H_{15}^{8}=H((146)(385))=H((164)(358))$. $H_{16}^{8}=H((167)(283))=,$ $H((176).(238))$. $H_{17}^{8}=H((235)(476))=H((253)(467))$$\mathrm{i}\mathrm{v}$

4. 4-dimension(8 subspaces, 3 conjugate classes)(a) . $H_{1}^{4}=H((1342)(5786))=H((1243)(5687))$$\mathrm{i}$. $H_{2}^{4}=H((1562)(3784))=H((1265)(3487))$. $H_{3}^{4}=H((1573)(2684))=H((1375)(2486))$(b) . $H_{4}^{4}=H((1746)(2538))=H((1647)(2835))$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}$$=H((1674)(2583))=H((1476)(2385))$$=H((1764)(2358))=H((1467)(2853))$(c)$\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$$\mathrm{i}\mathrm{v}$. $H_{5}^{4}=H((137862)(45))=H((137862)(45))$. $H_{6}^{4}=H((156843)(27))=H((134865)(27))$. $H_{7}^{4}=H((124875)(36))=H((157842)(36))$. $H_{8}^{4}=H((265734)(18))=H((243756)(18))$