数理解析研究所講究録998 巻 1997 年 188-197

188
Semi-local units modulo global units
東大数理都地崇恵 (Takae$\mathrm{T}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{J}\mathrm{I}$)\S 0 はじめに奇素数つの$\mathrm{Z}_{P}$$p$を固定し,-拡大とする. ここに

次 Abel 拡大であり,を円心$\mathrm{Q}_{\infty}/\mathrm{Q}$$\mu_{P^{n}}$$\mathrm{Z}_{P}$-拡大, すなわちは1の$K\cap \mathrm{Q}_{\infty}=\mathrm{Q}$$p^{n}$乗根全体からなる群である.

を満たすものとする.とし, さらに各 $n\geq 0$ に対して $K$ 上の次数が中開体をとおく.の ideal 類群の$K_{n}$$p \frac{-}{}\mathrm{s}_{\mathrm{y}}1\circ \mathrm{w}$を面分$K_{\infty}/K$$K_{\infty}=K\mathrm{Q}_{\infty}$$K_{n}$に含まれる$\bigcup_{n\geq 0}\mathrm{Q}(\mu_{p}n)$部分群を$p^{n}$$K/\mathrm{Q}$$\mathrm{Z}_{p}$$\mathrm{Q}$

直隠 1

を虚な有限-拡大, すなわちである $K_{\infty}/K$ の唯 1 っの

$A_{h_{n}’}$と書き,$X:= \lim_{arrow}A_{h^{r}}\eta$と.

おく. ここに射影極限は Norm でとる. このときあり,らに$\Gamma=\mathrm{G}\mathrm{a}1(K_{\infty}/K),$$\Gamma$の位相的生成元$\triangle=\mathrm{G}\mathrm{a}1(K/\mathrm{Q})$$\gamma_{0}$$x$とおけば,はが作用する Zp-加群で$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K_{\infty}/\mathrm{Q})\simeq\Gamma\cross\triangle$を固定し, $T$ を不定元にもつ物を対応させることにより位相同型 A:$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K_{\infty}/\mathrm{Q})$$\mathrm{Z}_{p}$$=\mathrm{Z}_{\mathrm{p}}[[T]]\simeq.\mathrm{z}_{P}[[\Gamma]]$が得られる. さ係数のべ*級数環の元 $1+T$ にが得られる. 従って, $X$ は$\Lambda[\triangle]-$加群を成すことがわかる. また $X$ は A 上有限生成であり, A-torsion であることが知られている.

なお, 複素共役$J\in\triangle$を固定し,$\mathrm{Z}_{P}[\triangle]$-南森 $M$ に対し, $M^{\pm}:=(1\pm J)M$ と定義する.
このとき$X^{-}$

は$\Lambda[\triangle]$察する代わりに適当な針を採る.

$x$を$K_{\infty}$-加群としていかなる性質をもっかを考えるのだが.-$\Lambda[\triangle]$上の-加群の性質を先ず調べ, その加群と$p$semi-local units の射影極限,$X^{-}$$X^{-}$

を直接考との関係を見出す方以外では不分岐な最大 Abel –拡大の Galois 群とし,
$p$$\mathcal{E}_{\infty}$$\mathcal{U}_{\infty}$

をを glob 耐 units で定義するその部分加群とする (定義は\S 1 を参照のこと). このとき類体論から導かれる canonical な完全系列$0arrow(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}arrow X^{-+}$$arrow X^{+}$$arrow 0$(1)189が存在する. さらに $K$ が 1 の原始 乗根$P$$\zeta_{P}$を含めば$X^{+}$.

から$\dot{X}^{-}$

への pseudo-isomorphismがあることが知られてる. ここに pseudo-isomorphism とは kernel, cokernel が共に有限である準同型を意味し,$\kappa$:を円分指標. すなわち, すべての$\Gammaarrow 1+p\mathrm{Z}_{p}$を満たす指標とし,$\gamma(\zeta)=\zeta^{\kappa(\gamma)}$作用を「 に,$\dot{I}^{1}$に$\omega$と記すことにする. また ”. ” の意味は次の通りである;$X^{+}\sim\dot{X}^{-}$$\delta\in\triangle$$\zeta\in\mu_{p^{\infty}}:=\bigcup_{\geq n0}\mu_{P^{n}}$$\dot{T}:=\kappa(\gamma_{0})(1+T)^{-1}-1\in\Lambda$と$\gamma\in\Gamma$

とおく. 加群$\dot{X}^{-}$

に対しは $T$ のの作用を\mbox{\boldmath $\omega$}(\mbox{\boldmath $\delta$})\mbox{\boldmath $\delta$}-1 に置き換えて A[\triangle ]-加群と見倣したものである.

ここは Teichm\"uller character とする. –方で $X^{+}$ は有限であると予想されている. この予想は–般に総実代数体上の円分$\mathrm{Z}_{P}$-拡大における ideal 類群の p–Sylow 部分加群の射影極限は有限であるというもので, Greenberg 予想とよばれている. 因みに,ということをすべての $n\geq 0$ に対して

そこで, もし$|A_{K_{n}^{+}}|$が有限であると仮定すれば,$X^{+}$とになる. 従って$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$の$\Lambda[\triangle]$$X^{+}$

は有限であるが有界である, と言い換えることもできる.
$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$と $X^{-}$ は有限の違いしかないこ-加群としての性質を考察することにより,$X^{-}$のそれについても殆ど同様のことが得られる. こみような背景の下で, 今回, A[\triangle ]-加群としての$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$の考察が対象となった.

\S 1 結果について
まず始めにゐ及び$v$を$K_{\infty}$に関する$\mathcal{E}_{\infty}$の定義を述べる.の $p$ の上の有限素点とし, 各 $n\geq 0$ に対して $K_{n,v}$$K_{n}$の完備化とし,同な単数全体, を$U_{n,v}$,$\mathrm{Q}_{\mathrm{v}}$と表わしここに$v$

は$K_{\infty}$の $p$$v$の $K_{n}$ へ制限した素点の pincipal units, すなわち極大 ideal を法として 1 に合$-$

硫
とおく.

を.

$=. \prod_{v|p}U_{n,v}$の上の有限素点全体をわたる.

$K_{n}$の単数群$E_{n}$を写像

190$K_{n} arrow\prod_{v|p}K_{n,v}$による像と同–視して,$E_{n}$

口佑の佑の中での閉包を & とする. そこで$\mathcal{U}_{\infty}:=\lim_{arrow}\mathcal{U}n’ \mathcal{E}_{\infty n}:=\lim_{arrow}\mathcal{E}$

とおく. ここに, 射影極限は局所体の Norm によって誘導される写像でとる. このときぬ及び$\mathcal{E}_{\infty}$

は$\mathrm{G}\mathrm{a}1(K_{\infty}/\mathrm{Q})$が作用する$\mathrm{Z}_{P}$-加群であるから, これらは A[\Delta ]-加群になることが分かる.

主結果は次の通りである:

定理$P$を奇素数とする. $K$ を虚なであると仮定する. このとき

\S 0 でも述べたが,$\zeta_{p}\in K$$\mathrm{Q}$$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$

上有限次 Abel 拡大とし, $K$ は$K/\mathrm{Q}$が Abel 拡大であるならば$X^{+}\sim\dot{X}^{-}$$\mathrm{A}[\triangle]$が成り立つことは証明できる. よって完全系列 (1) と合わせれば,仮定の下では,$\Lambda[\triangle]$-加群としてで tamely ramified

は有限な指数をもつ cyclic A[\triangle ]\rightarrow 部分序論を含む.

であるとき, 一般にん加群としてれている. そこで, このとき$P$$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$と$X^{-}$となることが知ら-加群として$X^{+}$$X^{+}\sim\dot{x}^{-}$が有限であるというの違いは高々有限であることが得られたことになる. 従って定理よりっぎの系が導かれる :系 (Greenberg)$\zeta_{p}\in K$とし,$X^{+}$が有限であると仮定する. このとき$X^{-}$

は有限な指数をもつ cyclic A[\triangle ]-部分加群を含む.

この系は別の方法により, すでに Greenberg[Gr2, Theorem 5] において証明されている結果である. 従って$X^{+}$るのは当然だが, 定理はまた系における”$X^{-}$の有限性を仮定すれば Greenberg の結果から, 上の定理が導かれ$X^{+}$の有限性を仮定しないという点で独立である.

は有限な指数をもつ cyclic$\mathrm{A}[\triangle]$-部分加群を含む” ことの数論的な意

191
味を簡単に述べる. 以下指数が有限となる cyclic$\mathrm{A}[\triangle]$-回分加群を含む加群を pseudo-cychic

A[\triangle ]-加群とよぶことにする.

Abel 拡大$K/\mathrm{Q}$pseudo-cyclic
実際には,$\mathrm{A}[\triangle]$$X^{-}$に対する岩澤主予想が成立するための 1 つの十分条件として-加群であることが Stickelberger の定理と解析的類数公式から導かれる.

が pseudo-cyclic$\mathrm{A}[\triangle]$-加群であるいうとは–般に証明されていないが, しかし Abel 体に関する岩澤主予想の成立は関数との関係について述べる.

$L$

視する.
進

$I_{\lrcorner}$$\chi\neq\omega$

関数とし,が$X^{-}$$\chi$

を$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{r}_{-\mathrm{W}}\mathrm{i}1\ominus \mathrm{S}$$\overline{\mathrm{Q}}_{p}^{\cross}$

によって証明されている. つぎに細評に値をもっ$\triangle$なる odd な指標 $(\chi(-1)=-1)$ に対し$g_{\chi}(T)\in \mathcal{O}_{\lambda}[[T]]$を満たすべ*級数とする. ただし

主予想を用いることにより,をすべての$\mathcal{O}_{\chi}$は$g_{\chi}(T)=0$$\mathrm{Z}_{P}$$s\in \mathrm{Z}_{P}$

上$\chi$の指標とし, Dirichlet 指標と同

$L_{\mathrm{p}}(s, x^{-1}\omega)$

を Kubota-Leopoldt p-に対して $g_{\lambda}(\kappa(\gamma 0)S-1)=Lp(s, \chi^{-1}\omega)$の像で生成される環である. このとき岩澤が重根をもたなければ環群であることが示される. 逆は必ずしも成り立たず, また$X^{-}$

が pseudo-cyclic$g_{\lambda}.(T)=0$$\Lambda[\triangle]-$が重根をもつ例は現在のところ見つかっていない.

\S 2 A[\triangle ]-加群祝。。について
以下 $K$ は$p$で tamely ramified であると仮定する.

この節では $p=2$ でもよい.の中の$p$の分解群とし,を固定しておく.

$K/\mathrm{Q}$$K_{\infty}$の $p.\text{上_{の}有限素点}$ $v$

上の素点は完全分岐していることから, $K$ に対する仮定より$K_{\infty}/K$で$\mathrm{Q}_{\infty}/\mathrm{Q}$$\not\subset$)

$p$

$D$

を

では $p$ のの上の素点は完全分岐している. 従って同型$1\mathrm{Z}[p\triangle]$$.\mathcal{U}_{n}$.

が得られる. さらに$\mathrm{Z}_{p}[\triangle]$は$:= \prod_{v|p}Un,v\simeq Un,v.\otimes \mathrm{z}_{\mathrm{p}}\mathfrak{s}D$.

$\mathrm{Z}_{\mathrm{p}}[\mathrm{D}]$

由加群であるから, 射影極限をとることにより$\Lambda[\triangle]-$加群としての同型$\mathcal{U}_{\infty}\cong U_{\infty,v}\otimes \mathrm{z}[D\mathrm{J}\mathrm{z}[\mathrm{p}p\triangle]$

(2)

192
が得られる. ただしここにゐ,vの$l^{-}$$\mathrm{A}[D]$$U_{\infty,v}$に対していときは$\dot{T}$である.

$\mathrm{A}[\triangle]$-書群ゐを知るためには$U_{\infty,v}$-加群としての構造を考察すればよいことが分かった. そこでつぎのことを示した:

命題 1$a\geq 0$$= \lim_{arrow}U_{n,v}$$0$の$\mathrm{A}[D]$-部分加群$p^{a}U_{\infty,v}\subseteq U’$$U’$が存在し,$U’\simeq\Lambda[D]\oplus(\Lambda/(\dot{T}))^{r}$を満たす. ただしここに$r$(は$\zeta_{p}\in K_{v}$であり, かっあるのとき 1 で, そうでなとする.の定義より Galois 群の作用も含めて$\Lambda/(\dot{T})\simeq\lim_{arrow}\mu_{p^{n}}=\mathrm{z}(p1)$となることは明らかである.

証明の方針はまず初めによる射影極限 Y$:= \lim_{arrow}\overline{K_{n,v}}$

最大 Abel p–拡大の$K_{\infty,v}$$K_{n,v}$の乱暴完備化$\overline{K}:=\lim Kn,vn,v/\cross(K\cross)^{p}arrow n,?)n$について考察する. その際, 局所類体論によりの Norm に$\mathrm{Y}$は$K_{\infty,v}$の上の Galois 群と同型であるから, $Y$ をその Galois 群と同–視し, Galois 群としての性質を用いる. 因みに $Y$ の A-加群としての構造は Iwasawa [Iw2,Theorem 25] において決定されている. さらに,$|]_{\infty,v}$と $Y$ の違いは$\mathrm{Z}_{p}$(Galois 群の作用は trivial) のみであるから, $Y$ について考察した結果から上の命題が導かれる.

従ってまた, 向型 (2) と命題 1 よりっぎの命題が得られる:

命題 2$\mathcal{U}_{\infty}$の$\mathrm{A}[\triangle]$-部分加撃あり, かっある $a\geq 0$ に対してで. そうでないときは(注 1)$K/\mathrm{Q}$$0$$\mathcal{U}’$が存在し,$p^{a}\mathcal{U}_{\infty}\subseteq \mathcal{U}’$$\mathcal{U}’\simeq\Lambda[\triangle]\oplus((\Lambda/(\dot{\tau}))\otimes_{\mathrm{Z}_{p\mathrm{l}}D}\mathrm{J}\mathrm{Z}p[\triangle])^{r}$を満たす. ただしここに$r$

はら$\in K_{\mathrm{e})}$でのとき 1とする.の拡大次数が$p$と素なとき,$\mathrm{A}[\triangle]$-加西$\mathcal{U}_{\infty}$の構造は Iwasawa [Iwl] 及193
び Gillard [Gi] によって命題 2 におけるる. そこでは,そのべ*等元と祝。。とが同型であるという形で決定されてい$\mathcal{U}’$-decomposition した加群, すなわち$\Phi$$\triangle$

は$e_{\Phi}= \frac{1}{|\triangle|}\sum_{\delta\in\triangle}\Phi(\delta)\delta-1$

いて考察している. ただしれる環である. 我々の場合,$\mathcal{O}_{\chi}$は$K/\mathrm{Q}$$\mathrm{Z}_{P}[\triangle]$の拡大次数が$p$$\chi$の既約指標とすれば,$\mathrm{Q}_{p}\text{上の}\triangle$の元となるので,の絶対既約成分$\Phi$

を$\mathcal{O}_{\chi}[[T]]$を 1 つ選び,$\mathrm{Z}_{P}$-加群上$\chi$$e_{\Phi}\mathcal{U}_{\infty}$につの像で生成さと素であるとは仮定しないので上の方法は使えない.

(注 2)$F^{\urcorner}/\mathrm{Q}$$\bigcup_{n\geq 0}K(\mu p^{n})$を$p$で不分岐な, 有限次 Abel 拡大とし, $K:=F(\mu_{p}),$ $K_{\infty}:=K(\mu_{p}\infty)=$

とおく. このとき Coleman[C1] により$\mathrm{Z}_{p}(1)$の生成元のとり方のみに依存する can.onical な完全系列$0arrow \mathrm{Z}_{l^{)}}(1)^{\mathit{9}}arrow \mathcal{U}_{\infty}arrow O_{F}[[\mathrm{G}\mathrm{a}1(k\infty/F^{7})]]arrow \mathrm{Z}_{p}(1)^{\mathit{9}}arrow 0$の存在が知られている (cf. [C2], [G]). ここに$.q:=[\triangle\cdot.

D]$である.

\S 3 定理の証明の概略
考察の目標はが,ず$\mathrm{A}[\triangle]$$\mathrm{A}[\triangle]$$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$

が$\mathrm{A}[\triangle|$-加群として pseudo-cycfic であるということであった-加群として pseudo-cyclic であるとはどのような形であるかについて述べよう. ま-匹群でなく単に A-加除として pseudo-cyclic であることを A-匹群の構造定理により見通しのよいっぎの形に言い換えることができる.
一般に $M$ を有限生成 torsion A-挙群とする. このとき構造定理とはつぎの形に–意的に表わされることを意味する :
コ$–.$

.のク

$t$

$\text{び}.$.

$M \sim\bigoplus_{i=1}\Lambda/\wp_{i^{e}}i$

ここに$\wp_{i}$,$1\leq i\leq t$.

(3), は A の高さ 1 の素イデアル. ところで A の高さ 1 の素イデアル194はで生成される ideal $(p)$ であるかまたは distinguished 既約多項式 $f(T)$ で生成される$p$ideal $(f(T))$ のいずれ力 \vdash 方である.
また A の高さ 1 の素イデアル\wp \neq \wp ’ に対して$\Lambda/\wp\cdot\wp’\sim\Lambda/\wp\oplus\Lambda/\wp’$,$\Lambda/\zeta \mathit{0}\oplus\Lambda/\wp’\sim\Lambda/\wp\cdot\wp’$となることは簡単に示せる. 従って $M$ を (3) の形としたときは pseudo-cychic A-加群

$M$$\Leftarrow\Rightarrow$

すべての $i\neq i,$ $1\leq i,$ $i\leq t$ , に対してが成り立つ. さらに A の高さ 1 の素イデアル\wp に対して, A の表わし,$M_{\wp}=M\otimes_{\Lambda}\Lambda_{\wp}$と書くことにすれば,$\wp_{i}\neq\wp_{j}$のとき$\wp$$\wp_{i}\neq\zeta \mathit{0}_{j}$による局所化を A3 で$(\Lambda/\wp_{i}^{e_{i}})\otimes_{\Lambda}\Lambda_{\wp j}=0$であるから, 上の同値関係と合わせて$M$

は pseudo-cyclic A-向群$\Leftrightarrow$

すべての $1\leq i\leq$ , に対して.
$t$$M_{\wp_{i}}$は cyclic A\wp ’-寸群が得られる. そこで, A[\triangle ]-加群としてもこれと同様の同値性が成り立つことがつぎのように表現できた:

補題$M$$\sum e_{i}=0$は有限生成$\mathrm{A}[\triangle]$-加群であり, A-加群としては (3) の形のものとする. $\mu(M)$ $:=$

を仮定すれば, つぎの 2 つは互いに同値である.

$\wp_{i}=(p)$a) $M$ は pseudo-cychic A[\triangle ]-加群である.
b) すべての $1\leq i\leq t$ , に対して ,そこでこの補題をきるので$\dot{\zeta}_{p}\in K$$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$$M_{\wp_{i}}$(は cychhcに適用する.

$\Lambda_{\wp_{i}}$$(_{p}\not\in K$[\triangle ]-xI 護である.の場合は$\zeta_{p}\in K$である場合に帰着でと仮定する. まず, 補題の条件が満たされることは定理のあとで述べたことと完全系列 (1) より$\mu((\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+})\leq\mu(X-)$

195が得られるが, Abel 体に付随する $\mu(x-)=0$ は Ferrero-Washington [F-W] によって証明
したがって, 任意の A の高さ 1 の素イデアル\wp に対して,されている.

$((\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}\infty)+-)_{\wp}$がcyclic A\wp [\triangle ]-加群であることを証明すればよい.
$\wp\neq(\dot{7}^{\tau}),$$(p)$のときは命題 2 により, A\wp [\triangle ]-加判として$.(\mathcal{U}_{\infty})_{\wp}\cong\Lambda_{\wp}[\triangle]$を得る. 最後に $\wp=(\dot{T})$ の場合を考える. まずきることを証明し, つぎに Greenberg[
いて $(X-)_{(\tau)}$ が cyclic$\Lambda_{(\tau)}.[\triangle]$$\mathrm{G}\mathrm{r}1|$$((\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+})_{(\dot{\tau})}$, Iwasawa [$\mathrm{I}\mathrm{w}2|$の構造が $(X-)_{(\tau)}$ に帰着で及び Sinnott[S] らの結果を用-頃群であることを証明する.

\S 追記
さて$K/\mathrm{Q}$が–般の Galois 拡大の場合, そもそも土俵の異なる話題であるから稿を改めるべきであろう. よって, ここでは$(\mathcal{U}_{\infty}/\mathcal{E}_{\infty})^{+}$の pseudo-cyclic 性への道程の–里塚として得られたつぎの結果を挙げるに留めておこう.
$K/\mathrm{Q}$$I\mathit{3}$を有限次 Galois 拡大とし,の位数がunits$\mathcal{U}_{\infty}$$p$$\triangle:=\mathrm{G}\mathrm{a}1(k/\mathrm{Q})$とおく. そこでと素であると仮定する. このとき円分$\mathrm{Z}_{p}$-拡大$K/\mathrm{Q}$$K_{\infty}/K$の中の$p$の分解群

における semi-localも同様に A[\triangle ]-加群であることが分かる.

つぎの命題を示した:

命題 3

上の条件の下で A[\triangle ]-加州としての同型$\mathcal{U}_{\infty}\simeq \mathrm{A}[\triangle]\oplus((\Lambda/(\dot{T}))\otimes \mathrm{z}[D]\mathrm{p}\mathrm{Z}[\mathrm{P}\triangle])^{r}$が成り立つ. ただしここに I は$\zeta_{p}\in K_{v}$のとき 1 で, そうでないときは$0$とする.

196

参考文献
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197

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