数理解析研究所講究録
1028 巻 1998 年 52-66

52

S.t.ructure of Distribution Null-Solutions to
Fuchsian Partial Differential Equations

萬代武史 (Takeshi MANDAI)

岐阜大学工学部応用情報学科

1

序
M. S. Baouendi and C.

によって定義された重み (weight)$\mathrm{G}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}([\mathrm{B}\mathrm{G}73])$$\omega:=m-k$ のフックス型偏微分作用素を考える.

(1.1)
(1.2)

$P=t^{k} \partial_{t}^{m}+\sum_{j=1}^{k}aj(x)tk-j\partial_{t}m-j+\sum_{l<m|\alpha|\leq}\cdot\sum_{lm-}b_{\mathrm{t}},(\alpha t, X)t(\iota)\theta d\partial_{x}t\alpha$$0\leq k\leq m$,$d(l):= \max\{0, l-m+k+1\}$ ,,$(t,x)\in R\cross R^{n}$.

係数は, 実解析的とする. $m=k(\omega=0)$ の時は, M. Kashiwara and T. Oshima[KO77] (Definition 4.2) -C “ an operator which has regular$singu\iota_{a\dot{\mathcal{H}}}ty$

in a weak sensealong $\Sigma_{0}:=\{t=0\}$ ” と呼ばれている作用素である.
この作用素には 2 つの観点から興味がある.

1 つはもちろん, 確定特異点を持つ

常微分作用素の自然な拡張になっているということであり, 非特性的初期値問題の自然な拡張として, 特性的初期値問題がうまの自然な拡張が成り立つ)$\text{く}$ということである.

立つ. 双曲性を付け加えれば,$C^{\infty}$

解ける (Cauchy-Kowalewsky の定理

Holmgren の定理の拡張なども成り

関数のカテゴリーでもやはり特性的初期値問題

が well-posed になるなど, 良い性質を持っている.

これらについては, 以前田原秀敏氏が精力的に研究しておられた. ([Tah78], [Tah79],[Ta 市 80],[Tah84], . . . , [Tah89]
等.)

もう 1 つはいわゆる零解 (定義 1.1$(0,0)$$\mathrm{n}\mathrm{u}\text{垣}$-solution) に関してである.

の近傍で定義された超関数 (distribution)

る零解であるとは, $Pu=0,$$(0,0)\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{P}\mathrm{p}u\subset\{t\geq 0\}$$u$が $P$ の $(0,0)$ におけを満たすことである.

53

一般に, 初期面が非特性的な場合には, Holmgren の定理 (の現代版 ?) によって,零解は存在しない. 又, 単純特性的な場合には,ているで,$([\mathrm{M}\mathrm{i}_{\mathrm{Z}}62],[\mathrm{K}_{\mathrm{o}\mathrm{m}}76])$$k\geq 1$$C^{\infty}$零解が存在することが分かっ. フックス型作用素については, $k=0$ の時は, 非特性的の時は, 特性的だが単純特性的ではない. 実際,$k\geq 1$の時には, 十分滑らかな零解は存在しないが, 超関数零解は存在することが分かっている ([Iga85],[Man98] . 猪狩氏や著者によって作られたこの零解は,$)$ている. 今回の講演では,$x$方向には実解析的になっこのような零丁全体の構造を明らかにしたい.

今回の結果で最も重要な点は, 特性指数 (後述) に条件をつけないで考えるという点でおる. 特性指数が実解析的でなくてもよいし, 整数差を持ってもよい. 基本的なアイデアはほかの場合にも使えるので, 垣 L= ついても ( $t\neq 0$ で) 正則な解の構

造という形で述べる方が良かったかもしれないが, 筆者は雪解についての興味が大きく, 台が片側だけにある解の構造というのも–応は新しいはずなので,この形で述べることにする.

NOTATION:(i) 整数全体の集合を $Z$ , 非負整数全体の集合を $N$ と書く. 複素数${\rm Re} z$

(ii)

の実部を

とする.

$\theta:=t\partial_{t}$とおく. また,(iii)$C^{n}$

の領域

(iv)

$R$

の開区間

$\Omega$$l\in N$ に対して,

で正則な関数全体を$I$$\mathcal{O}(\Omega)$$(\lambda)_{\iota:=}\Pi_{j=0(\lambda j)}^{\iota 1}--$と書く.

$\mathcal{D}’(I)$と書く. 急減少$C^{\infty}$

関数全体を @(R), 緩増加超関数 (tempered distribution) 全体を @’(R) と書くを$\langle\cdot, \cdot\rangle$

とおく.

上のテスト関数全体をつ (I) と書き, 超関数 (Schwartz dis-tribution) 全体を$\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$$z$. これらの空間の dual-とする. 一般に, 完備局所凸線形位相空間 $X$ に対して, X-値超関数 ( $X$ -valued distribution) 全体を の’(I; $X$ ) $=L(\mathcal{D}(I), X)$ とおく. 但し,$L(X, Y)$ は $X$ から$Y$への連続線形写像全体である. ([Sch57] 参照).

に, . $\mathcal{D}_{+}’(I;X):=$ { $f\in \mathcal{D}’(I;X);f(t)=0$$N\in Z\cup\{\infty\}$$C_{+}\text{ノ}(NI;x)$in $X$ for $t<0$ } とおく. また,

に対して,
$:=$

さら

{ $f\in C^{N}(I;X);f(t)=0$ in$X$

for $t<0$ } $(N\geq 0)$ ,54$C_{+}^{N}(I;X)$ $:=\{\partial_{t}^{\mathrm{I}^{N}1}(f)\in \mathcal{D}_{+}’(I;X);f\in C_{+}0(I;x)\}(N\leq 0)$

とおく.

(v)

$z\in C,$ ${\rm Re} z>-1$ に対して,$t^{z}$$(t>0)$$0$$(t\leq 0)$$t_{+}^{z}:=\{$

とおく,

$-$

これは

$t$

の局所可積分関数で,さらに,$\partial_{t}(t_{+}^{z})=zt_{+}z-1$

張でき,$z=-1,$ $-2,$$\{-1, -2, \ldots\}))$

.

によって,

2

$\deg_{\lambda}F$

を正則パラメータに持っている.

$z\in C\backslash \{-1, -2, \ldots\}$

を 1 位の極に持つ. すなわち,$\ldots$$([\mathrm{G}\mathrm{S}64])$にまで有理型に拡$t_{+}^{z}\in \mathcal{D}_{+}’(R;\mathcal{O}(C\backslash$.

(vi) 可換環 $R$ の元を係数とする
次数を

$z$

$\lambda$の多項式全体を$R[\lambda]$と書く.

$F(\lambda)\in R[\lambda]$

の

と書く.

常微分方程式の場合の結果
まず, 常微分の場合 ( $n=0$ の場合とみなせる) にどうなっているか, 簡単に振り返ってみよう. $t=0$ で確定特異点を持つ微分作用素$P=t^{k} \partial_{t}^{m}+\sum_{j=1}^{k}a_{j}tk-j\partial^{m-}tj+\sum_{l=0}^{m}b\iota(t)t(\iota)d\theta_{t}$$0\leq k\leq m,$ $a_{j}\in C,$$b_{l}\in C^{\infty}(-T_{0}, \tau_{0})$,.

を考える $(T_{0}>0)$ .

$C[P]( \lambda)=c(\lambda):=\{t^{-\lambda+\omega}P(t)\lambda\}|t=0=.(\lambda)_{m}+\sum_{j=1}^{k}aj(\lambda)_{m-j}\in C[\lambda]$は$P$の指数多項式 (indicial polyno 而 al) と呼ばれ,$C(\lambda)=0$の根は特性指数(characteristic exponent, characteristic index) と呼ばれる. 指数多項式$C(\lambda)=(\lambda)_{\omega}\overline{c}(\lambda-\omega)$

,

,

$C$

は

55

と分解できる. ここで,さて,$\overline{C}[P](\lambda)=\tilde{C}(\lambda):=(\lambda)_{k}+\sum_{j=1}^{k}a_{j}(\lambda)k-j\in C[\lambda]$( $d\in N,$ $r_{l}\geq 1,$$\overline{C}(\lambda)=\Pi_{l}d(=1\lambda-\lambda l)r_{l}$$(\lambda_{1},$$\lambda_{d})$$\ldots,$である.

は互いに相異なる)

と

する.

2.1

形式解
まずは,
$F:= \{u(t)=t^{\beta}\sum_{=j0}^{\infty}tj\sum_{=\nu 0}^{qj}aj,\nu(\log t)^{\nu} ; \rho\in C, q_{j}\in a_{j,\nu}\in C\}$に属する形式解を考えよう. この場合は,つまり,としてよい.

定理 2.1$k=7n$ とし,$1\leq p.\cdot\leq.r_{l}\text{なる}.(\iota.\cdot.’$0\leq\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}\leq q_{j})\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{F}P$

.

に対して,

p)$

とがあ

$\text{っ}$て’注意 2.2ある$\in.N(j$ $=1,2, \ldots)$$q_{j}$.

.

と $a_{j,\nu}...\in C(j.\cdot=1,.2,$なる$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{F}P$$\ldots$;$v_{l,p}\in$

の基底と

.

(1) $P$ の係数が $t=0$ の近傍で正則なら, これら形式解は $t=0$ のある(2) すべての$l(_{arrow}’$$B\backslash \{0\}$$\mathcal{D}|$の universal covering で正則な解となる.

ついて $r_{l}=1$ でついて $q_{j}=0$ となる.

すなわち,$\{\lambda_{l}\}$$\mathrm{l}\circ \mathrm{g}t$が整数差を持たないならば, すべての

$j$

.に

を含む項は出てこない.

–属する解’ $(-T_{0}, T_{0})$$\text{次につ_{}+}$での解を考える. この場合には,ことはできない. 形式解から想像できるように

この超関数は,$\mathcal{D}_{+}’(R)$

1 $\leq l\leq d$ ,$v_{l,p}=t^{\lambda} \downarrow(\mathrm{l}\circ \mathrm{g}.t)^{p}-1+\sum_{j=1}^{\infty}t^{\lambda_{\iota+}}j\sum_{=\nu 0}^{q}a_{j,\nu}(\mathrm{l}\circ j\mathrm{g}t)^{\nu}$$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\tau^{Pm}}=$近傍 $B$ で収束して,

が,

とおく.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{F}P:=\{ u\in \mathcal{F};Pu=0\}$が存在する. さらに, これら $m(=r_{1}+\cdots+r_{d})$ 個の解がなる. 特に,

2.2$\overline{C}=C$を考えればよいので, $\omega=0(k=m)$$t^{\omega}P$$\lambda_{l}+j=-1,$ $-2,$ $\ldots$$\omega=0$$t_{+}^{\lambda_{l+}j}(\mathrm{l}\circ \mathrm{g}t)^{\nu}$の場合に帰着するが出てくるはずである

では定義できない. また,での解は Pf. $t_{+}^{-1}=(\log t+)’$ ではなく,${ }$$\delta(t)$$(\theta+1)u=0$ のである. そこで, 次の超関数を

56

用意する.

(2.1)

$G(.z)=G(z;t):= \frac{t_{+}^{z}}{\Gamma(z+1)}\in \mathcal{D}_{+}^{;}(R;\mathcal{O}(c))$

分母と分子の極 $(z=-1, -2, \ldots)$ が打ち消しあって,$z$.

につき $C$ 上正則となる.

さ

らに,

(2.2)
とおく.

1, 2,

$\ldots$$\partial_{t}^{h}G(z;t)=G(z-h;t)(h\in N),$ $G(-d)=\partial_{t}^{d}(G(0))=\delta^{(d-1)}(t)(d=$) である.

定理 2.3.

$u_{l.’$1\leq l\leq d,$$1\leq$に対して, ある $q_{j}\in N(j=1,2, \ldots)$ と $a_{j,\nu}\in C(j=1,2,$$(l,p)$$\leq\sim.q_{j}..).\cdot.\text{と}\backslash \prime \mathrm{A}\text{があって}$$.0..\leq.\nu$

満た-r

とおく.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’}P:=\{ u\in \mathcal{D}_{+}’(-\tau_{0}, \tau_{0});Pu=0\}$

なる$P\leq r_{l}$$u\iota_{p},$.

$G^{(j)}(z):=\dot{\nu}(z.G(Z))\in \mathcal{D}_{+}’(R;\mathcal{O}(c))$

p}\in \mathrm{K}\mathrm{e}.\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}^{J}}P$,$u_{l.’.

は “すべての $N\in N$ に対して$\dot{\text{し}},$$\sim$”$-G^{(p-1}....)( \lambda:.\iota+\omega.)-\sum_{\nu tj=1}^{N}\sum^{j}a_{j}q=0’\nu G^{(\nu})(\lambda_{l}.+...\omega+j)\in C_{+}^{\lceil \mathrm{e}\lambda\rceil+}’(\mathrm{R}\iota\omega+N-T_{0}..’.\tau_{0})$.
$\text{ことを}\prime \text{意味するものとする}$

をp} \sim G^{(p-1})(\lambda\iota+\omega)+\sum_{j=1\nu}^{\infty}\sum^{qj}=0a_{j,\nu}G^{(}\nu)(.\lambda l+\omega+j)$が存在する. 但. ここで,$\lceil a\rceil$;$\ldots$となるは $M\geq a$ なる整数 $M$ のうちで最大のものである.

さらに, これらである. (同様に$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}^{\prime P}}=k$

例 2.4$k(=r_{1}+\cdots+r_{d})$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’}P=Span\{t_{+}d\},$$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}}\prime P=m+k$

となる.

このとき,

,

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{F}P=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f(tP)=span\{1,t^{d}\}$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{D}’P=Span\{t^{d}+’ td, 1\}$.

.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{F}P=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{F}}(tP)=Span\{1, t^{-}d\},$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{D’}P=Span\{\delta(d-1), 1, (t+i0)^{-d}\}$(3)の基底となる. 特に,がいえる.)$P=(\theta+d+1)\partial_{t}=\partial_{t}(\theta+d)(d\in N, d\geq 1)$$C(\lambda)=\lambda(\lambda+d)$$1,$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}}\prime P$(1) $P=(\theta-d+1)\partial t=\partial_{t}(\theta-d)(d\in.N, d\geq 1)$ を考えると, $m=2,$ $k=1$ ,$\omega=1_{:}C(\lambda)=\lambda(\lambda-d)$

(2)

個の解が

. $m=2,$ $k=1,$ $\omega=1$ ,$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’}P=Span\{\delta(d-1)\}$.

$P=(\theta-d+1)^{2}\partial_{t}=\partial_{t}(\theta-d)2(d\in N, d\geq 1)$$C(\lambda)=\lambda(\lambda-d)^{2}.$. $m=3,$ $k=2,$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{F}}P=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{F}}(tP)=s_{\mathrm{P}^{an}}\{1, td, \partial^{d}\log t\},$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’}$

Span$\mathrm{t}\{t_{+}^{d},t_{+^{\mathrm{l}t}}^{d}\mathrm{o}\mathrm{g}+\},$,$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}}\prime P=Span\{t_{+’+^{\mathrm{l}}}dtdt+, 1,dd\log t, t\mathrm{o}\mathrm{g}(t+i\mathrm{O})\}$.

$\omega=$

$P$

.

$=$

57

(4)

$P=(\theta+1)\partial_{t}=\partial_{t}\theta$. $m=2,$ $k=1,$ $\omega=1,$$C(\lambda)=\lambda^{2}$.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{F}P=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{F}(tP)=$$Span\{1,\log t\},$ $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’}P=Span\{t_{+}\}0,$ $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{D}’P=Span\{t^{0}1, \log(+’ t+i\mathrm{O})\}$(1) \S 2.1 と同様に, すべての注意 2.5ないなら, すべての$j$$\iota\iota_{}^{>}$

ついて $r_{l}=1$ で$\{\lambda_{l}\}$.

が整数差を持たについて $q_{j}=0$ である.

(2) この結果を明示的に書いた文献を見つけることができなかったが, 既に知られている結果と言ってよいだろう.

2.3

結果の概略
フックス型偏微分作用素 (1.1) についても, 前節の定理と似た結果を示すことができる.
$\mathcal{O}_{0}$や$(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}’+}P)_{(0,0)}$をそれぞれ対応する空間の germ の空間とする. すなわち,$\mathcal{O}_{0}:=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\lim_{0\in}\Omega\subset Cn\mathcal{O}(\Omega),$$(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}’+}P)_{(}0,0):=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\tau>0;0\in\Omega\subset Cn\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{D}_{+}’(-\tau,\tau;\mathcal{O}(\Omega))P$

.

このとき,

(2.3)

$(\mathcal{O}_{0})^{k}=\sim(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D_{+}\prime P)(0,0)$が成立し,. この同型写像をかなり具体的に構成できる.

もう少し具体的に述べよう. 作用素 (1.1) を考え,
$a_{j}\in \mathcal{O}(\Omega_{0})$( $T_{0}>0,$$\Omega_{0}$は $C^{n}$ の領域で原点,$0$$b_{l,\alpha}\in c^{\infty}$

を含む)

(

$-T_{0,}$T$\cdot$$\mathcal{O}(\Omega 0)$

)

とする.

$C(x_{i} \lambda):=(\lambda)_{m}+\sum_{j=1}^{k}a_{j(}x)(\lambda)m-j=\{t^{-\lambda+\omega}P(t^{\lambda})\}|_{t}=0$

はやはり $P$ の指数多項式と呼ばれ,$C(x;\lambda)=0$ の根 $\lambda=\lambda(x)$る. 指数多項式は$C(x;\lambda)=(\lambda)_{\omega}\overline{c}(x;\lambda-\omega)$と分解される. ここで,た$C(x; \lambda):=(\lambda)_{\text{た}+}\sum_{j=1}aj(x)(\lambda)_{\text{た}-j}$,は特性指数と呼ばれ

58

である.

( $d\in N,$ $r_{l}\geq 1$ , ($\overline{C}(0;\lambda)=\Pi_{l=1}^{d}(\lambda-\lambda\iota)^{\gamma}l$$\lambda_{1},$$\ldots$,$\lambda_{d}$) は相異なる) とする.

われわれの結果は次の定理である.
定理 2.6$\Omega’(\ni 0)$$u_{l,p}$:$\Omega(\ni 0)$

があって,

を

$\Omega_{0}$の部分領域とすると, ある $T’>0$ と$1\leq l\leq d,$$\mathcal{O}(\Omega)arrow \mathcal{D}_{+}’(-\tau’, T’;\mathcal{O}(\Omega’))$すべての$\varphi\in \mathcal{O}(\Omega)$に対して,$1\leq P\leq r_{l}$なる$(l,p)$$\Omega$の部分領域に対して, 連続線形写像

が存在して, 次を満たす.
$P(u_{l,p}[\varphi])=0$

であり, ある $q_{h}\in N(h=1,2, \ldots)$とある $\varphi_{h,\nu}\in C(h=1,2, \ldots ; 0\leq\nu\leq q_{h})$ に対して,$u_{l_{\mathrm{P}}},[ \varphi]|_{x=}0\sim\varphi(0)G^{(p)}-1(\lambda\iota+\omega)+\sum_{h=1\nu}\sum_{0=}\varphi_{h},\nu G^{(\nu)}(\lambda_{\iota}+\omega+h)\infty qh$となる.

逆に, $T>0$ とすると, $Pu=0$ の任意の解$\varphi_{l,\mathrm{p}}\in \mathcal{O}(\Omega’)(1\leq l\leq d, 1\leq p\leq r_{l})$さらに, もし$\varphi_{l,p}\not\equiv 0$

によってなる $(l,p)$ があれば,$u\in \mathcal{D}_{+}’(-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$$u=\Sigma_{l,pl}u,\mathrm{p}[\varphi\iota_{p},]$$(0,0)\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{P}^{u}$

はある

と書ける.

となる, すなわち,$u$は零解である.
(の漸近展開) は, 後に述べるようにかなり具体的に構成できる.

$u_{l,p}[\varphi]$[Man98] で筆者が構成した解は, $\overline{C}(0;\lambda_{l}+j)\neq 0(j=1,2, \ldots)$ を満たすような\mbox{\boldmath $\lambda$}lに対する $u_{l,0}[1]$ にあたる.

既に述べたように, 特性指数が$x$に関して正則と限らないこと, 整数差を持つかもしれないこと, が証明の主な困難である.

3

準備$\epsilon\geq 0$

を ${\rm Re}\lambda_{l}-\epsilon\not\in Z(1\leq l\leq d)$ ととり,

$L_{i}+\epsilon+1$ととる.

$1\leq l\leq d$

に対して,

$C$

を次のようにとる.

(a)$L_{l}\in Z(1\leq l\leq d)$ を $L_{l}+\epsilon<{\rm Re}\lambda_{\iota}<$$\lambda_{l}\in D_{l(1\leq}\iota\leq d)$,内の単純閉曲線$\Gamma_{l}$(円周としてよい) で囲まれた領域$D_{l}$

59(b)$\overline{D_{l}}\cap\overline{D_{l^{\prime=\emptyset}}}(l\neq l’)$(c) すべての
これは,
べての

$l$

,

について,
“

$(\mathrm{c})’$$\{\lambda_{l’}-j\in C;1\leq l’\leq d,j\in N\}\cap\overline{D_{\iota=}}\{\lambda_{l}\}$$j\in N$ か\acute \supset$\lambda\in\bigcup_{l=1}^{d}(\overline{D\iota}\backslash \{\lambda_{l}\})$$\lambda_{l’}-j\in\overline{D\iota}$とすると,$\lambda_{\mathrm{t}’}-i=\lambda\iota$とすべての $j\in N$ に対して,.

となる” や$\overline{C}(0;\lambda+j)\neq 0$$(\mathrm{c})’’$

“す

となる”

と同値である.
$\{\lambda_{l’}-_{i}\in C;1\underline{<}l’\leq d,j\in N\}$(d)は離散集合であるので, こういう$\overline{D_{l}}\subset\{\lambda\in c;L_{\iota l}+\epsilon<{\rm Re}\lambda<L+\epsilon+1\}$

さらに,$C^{n}$の領域$\Omega(\ni 0)$$\mathrm{r}_{\iota}$

が取れる.

.

とモニックな多項式$E_{l}(x;\lambda)\in \mathcal{O}(\Omega)[\lambda](1\leq l\leq d)$があって次が成立する.

(e)$\overline{C}(x;\lambda)=\prod ld=1E\iota(x;\lambda)$

で $E_{\mathrm{t}}(0,\cdot\lambda)=(\lambda-\lambda l)^{t\iota}(1\leq^{\iota}\leq d)$,(f) 各 $l(1\leq l\leq d)$ に対して, もし $E_{l}(x;\lambda)=0$ かつ(g) すべての$x\in\Omega$$\tilde{C}(x;\lambda+j)\neq 0$

定義 3.1とすべての$\lambda\in\bigcup_{l1}^{d}=\Gamma_{l}$$x\in\Omega$

ならば,

となる,

とすべての $j\in N$ に対して,となる.

$1\leq l\leq d,$ $j\in N,$ $\phi\in \mathcal{O}(\Omega\cross\Gamma_{l})$に対して,$\mathrm{i}\mathrm{K}_{\iota_{j}},[\phi](t, X)=;\mathrm{H}_{l},j[\emptyset(X;\zeta)](t, X):=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}l\frac{\phi(X\zeta)}{E_{l}(X,\zeta)},\cdot.G(\zeta+j;t)d\zeta$

とおく. また,$\lambda\in D_{l}$$1\leq p\leq r_{l}$ .

(3.1)$\in \mathcal{D}_{+}’(R;\mathcal{O}(\Omega))$に対して,$w_{l,p}(t, x):= \frac{(r_{l}-p)!}{r_{l}!}\mathcal{H}\iota,\omega[\partial_{\zeta}^{p}E_{l}](t, x)$とおく.
$w_{l,p}(t, 0)= \frac{1}{(p-1)!}c(p-1)(\lambda_{\iota}+\omega)$であることに注意. これらは, いわゆる (高次)差分商の対称化になっているが, 詳しいことは省略する. 差分商の対称花がコーシ

一積分としてきれいに書けることは, 筑波大学の若林先生に教えていただいた.
注意 3.2$x=x_{0}$と固定すると,) $(\mu_{j}+\omega)(C_{j_{)}k}\in C)$$w_{l_{P}},(t, x0)=$$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\iota \mathrm{e}.|Cj,\text{た}G^{(\text{た}}$あ k:

書ける. 但し,

命題 3.3(1)$\{\mu_{j}\}_{j}$は $\overline{C}(x0;\lambda)=0$ の根である.

$\{w_{l,p}(\cdot, x)\}_{1\leq\iota\leq 1\leq p\leq\iota}d,r$;\theta 碑の基底である.

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’()}R\overline{C}(x$$)$

は $x$ を任意に固定することに,

と

60

(2)

$u\in \mathcal{D}_{+}’(R;\mathcal{O}(\Omega))$と, ある$\varphi_{l,p}$$\varphi_{l,p}$$\in \mathcal{O}(\Omega)$.

がすべての $x\in\Omega$ に対して$\overline{C}(x$;\theta 佐 u $=0$ を満たすとする$)$によって $u=\Sigma_{\iota_{p}\varphi\iota},,p(x)w\iota_{P},(t, x)$ と表される. 重要なのは,が正則関数であることである.

例 3.4$P=\theta^{2}-x=E1(x;\theta)$とすると, $d=1(=l),$ $r_{1}=2,$ $\omega=0$ .

$w_{1,1}= \frac{1}{2}\Re_{1,0}[2\zeta]=\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{1}}\frac{2(}{\zeta^{2}-x}G(\zeta;t)d\zeta=\frac{1}{2}\{G(\sqrt{x};t)+G(-\sqrt{x};t)\}$

.

,

.

$w_{1,2}= \frac{1}{2}\mathcal{H}_{1,0}[2]=\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{1}}\frac{2}{\zeta^{2}-x}.G(\zeta;t)d\zeta=’\frac{G(\sqrt{x}\cdot t)-G(-\sqrt{x},t)}{2\sqrt{x}}$の基本性質を述べよう.

$\mathrm{K}\iota,j[\phi]$(1)

命題 3.5$\partial_{t}^{h}.\mathcal{H}\iota,j[\phi]=\mathcal{H}l,j-h[\emptyset]$.

(2) $t^{h}:\kappa_{l,j}[\phi]=\Re\iota_{j+},h[((+j+h)_{h\phi(_{X};}.\zeta)]$ .

(3)$F(x;\lambda)\in \mathcal{O}(\Omega)[\lambda]$(4)$\partial_{x_{\nu}}\mathfrak{X}_{l,j[\phi]\Re_{\iota_{j}[}}=,L\nu(\phi)],$

命題 $3.6-$に対して,$|\underline{\mathrm{B}}\mathrm{L},,$$F(x;\theta)\mathrm{K}\iota,j[\emptyset]=9\{l,j[F(X;\zeta+j)\cdot\phi(x;\zeta)]$.

$L_{\nu}( \phi)(x,\cdot\zeta):=(\partial_{x}\phi\nu)(X;\zeta)-\frac{(\partial_{x_{\nu}}E_{l}).(_{X},\zeta)}{E_{l}(X,\zeta)}.\phi(X;\zeta)$$\Re_{l,j}[\emptyset]\in c_{+}^{j+L}{}^{\mathrm{t}}(R;\mathcal{O}(\Omega))$

以上の道具立てにより,.

$1\leq l\leq d,$ $1\leq p\leq r_{l}$に対して, $Pu=0$ の漸近解を次の.

形で構成できる.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$u= \varphi(x)u)\iota,p(t, x)+h=1\sum\infty P\zeta_{l,\omega}+h[@_{h(}\varphi)](t, X),$

但し,$\mathrm{s}_{h}=@_{l,p,h}:\mathcal{O}(\Omega)arrow \mathcal{O}(\Omega\cross\Gamma\iota)$は線形写像であって次の形に書ける.

$@_{h}( \varphi)(x;\zeta)=\sum_{\leq|\alpha|mh}S_{h},(_{X}\alpha’.()\partial^{\alpha}\varphi x(x),$$s_{h,\alpha}=s_{l},p,h, \alpha\in\frac{1}{\Pi_{j=}^{h}0\tilde{c}_{(x,\zeta}+j)^{m}\prime l}.\cross \mathcal{O}(\Omega\cross\overline{D_{\iota}})$ざらに,$q_{h}\in N$と$\varphi_{h,\nu}\in C(h\geq 1;0\leq\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}\leq q_{h})$$(m_{h}\in N)$

.

があって,

$u(t, \mathrm{o})\sim\varphi(\mathrm{o})\frac{1}{(p-1)!}G(p-1)(\lambda_{\iota+\omega)\sum^{\infty}\sum^{qh}G^{(\nu}(}+h=1\nu=0\varphi h,\nu)\lambda_{\iota+}\omega+h)$

となる.

.

61

[証明]

$P$

は次のように形式的に展開できる (重みによる展開).

$P= \overline{c}(x;\theta)\theta_{t}v+\sum_{j=1}Qj(_{X,\partial;\theta}x)\partial^{\omega}t+-j\sum t^{\iota}R_{\mathrm{t}(_{X}},$$\partial x;\theta)\iota=1$$u=$\Sigma u 此おいて代入すると,$h=0$$(h\geq 0)$$\overline{C}(x;\theta)\theta^{p}uh=-\sum tQj=1\omega j(x, \partial x;\theta)\theta tuh-j-v-j\sum tl=\infty 1\downarrow R\iota(x, \partial_{x};\theta)u_{h-}..\omega-\iota$となる. 但し, $u_{h}=0(h<0)$ .
$u_{0}=\varphi(x)w\iota_{p},(t, x)$,$h=0$ では $C(x$ ;\theta 佐 u0 $=0$ となり, これは$)$とすると満たされる. 帰納的に, 右辺は }の形に書けることが分かるので,$\zeta_{l,h[\psi]}.(\psi\in \mathcal{O}(\Omega \mathrm{x}\Gamma i))$$u_{h}=\Re_{l,\omega+h}[\psi(x;\zeta)/\overline{C}(x;\zeta+h)]$と取ればよい.

1

4

結果のより詳しい表現
我々の結果をより詳しく述べると次のようになる.
$\Omega(\ni 0)$を$\Omega_{\mathit{0}}$定理 4.1$\Omega$

なる任意の

$($

’

の部分領域とし,

の部分領域
$p)$

$T\in(0, T_{0})$$\Omega’(\ni 0)$とする.

と $T’\in(0, T)$ とがあって,に対して, 連続線形写像$u_{l,p}$:$1\leq l\leq d,$ $1\leq p\leq r_{l}$$\mathcal{O}(\Omega)arrow C_{+^{\iota}}^{L}\ovalbox{\tt\small REJECT}+\omega(-\tau^{\prime,\tau’;}\mathcal{O}(\Omega’))$で次を満たすものが存在する.
すべての$\varphi\in \mathcal{O}(\Omega)$に対して,on $(-T’,T’)\cross\Omega’$ .

$\bullet$$P(u\iota_{p},[\varphi])=0$$\bullet$$u_{l,p}[\varphi](t, x)\sim\varphi(X)wl_{\mathrm{P}},(t, X)+\Sigma_{h=1}^{\infty}:\kappa_{l,+}\omega h[@_{h}(\varphi)](t, x)$定理 4.2$\Omega’(\ni 0)$

.

の近傍で

$u\in \mathcal{D}_{+}’(-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$と -意的な$(0,0)\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u$

が $Pu=0$ を満たすとすると,$(1 \leq l\leq d;1\leq p\leq r_{l})$$\varphi_{l,p}\in \mathcal{O}(\Omega’)$$u=\Sigma_{\iota_{p}\iota_{p}},u,[\varphi l,p]$となる.

となる. すなわち,

,

$u$

さらに,

もし

$\varphi_{l,p}\not\equiv 0$

ま $P$ の零解である.

$\Omega$の部分領域とがあって,

なる$(l,p)$$(0,0)$

があれば,

62

以上の 2 つの定理により, 既に述べたように,る.

同様にして,$(\mathcal{O}_{0})^{k}\cong(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}^{\prime P)}}(0,0)$が成立す$( \mathcal{O}_{0})^{m+\text{た}}=\sim(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}’}P)(0,0):=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\lim_{T>00\in};\Omega\subset C^{n}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{D}’(-\tau,\tau;O(\Omega))P$も示すことができる.
定理 4. Ht, まず前節で構成した漸近解を漸近展開に持つ超関数を作り, おつりの部分は, Fuchs 型偏微分作用素に対してフラットコーシー問題が–意可解である
こと, を使って処理することで証明できる.

定理 42 の証明の概略は次節で述べる.

5

定理 4.2 の証明の概略
先ずは,$\epsilon\geq 0$,$\varphi\iota_{P}$の–意性を示そう.

を “$\overline{C}(x;\lambda)=0(x\in\Omega)\Rightarrow{\rm Re}\lambda-\epsilon\not\in Z$” となるように取っていること,

および $L_{l}\in Z$ ま “ $x\in\Omega,$ $E_{l}(x;\lambda)=0\Rightarrow L_{l}+\epsilon<{\rm Re}\lambda<L_{l}+\epsilon+1$ ” と取っていることに注意.

定義 5.1$L\in Z$ に対して,$\dot{W}_{L}^{(N)}$$\mathrm{e}1_{s=0^{\theta\partial^{1}}}^{N}sL|(tt\epsilon\cross c_{+}^{0}(-\tau, \tau;x))$$(L\leq 0)$$\mathrm{U}_{s=}^{N}+\theta^{S}(\mathrm{o}tL+\epsilon\cross c_{+}^{0}(-\tau, \tau;x))$$(L\geq 0)$( $-T,$ T, $x$ ) $:=\{$$\cdot$

とおく.
$W_{L}^{(N)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))\subset W_{L-1}^{(N)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$,$W_{L}^{(N)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))\subset W_{L}^{(N+1)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$は明らかであろう.
$\chi(t)\in \mathcal{D}(-T, T)$

を $t=0$ の近くで $\chi(t)=1$ となるようにとる. このとき, 次のことが成り立つ.

(5.1)$g\{_{l,j}[\phi]\in W_{L_{\mathrm{t}}j}^{(0)}+$(5.2)$v\in W_{L}(N)\Rightarrow\langle v, \chi(t)e-t/\rho\rangle_{t}=o(\rho^{L1})+\epsilon+(\rhoarrow+0)$

’

.

63

また, 任意に$x$を固定すると,$a_{j,k}\in C$

があって

,

$\langle w_{l,p},\chi(t)e-t/\cdot\rho.\rangle t=.\sum aj,k\cdot \mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}j,\text{た}\rho^{\mu}\mathrm{j}+\omega+1(\log\rho)k+o(\rho)\infty(=o(\rho)L\iota+\omega+\epsilon+1)(\rhoarrow+0)$となる. 但し,は $\overline{C}(x;\lambda)=0$ の根である.

$\{\mu_{j}\}_{j}$$(\langle G^{(\nu)}(\lambda), e^{-}\rangle_{t\rho^{\lambda+}(\mathrm{l}}t/\rho=1\mathrm{o}\mathrm{g}\rho)^{\nu}$に注意.)

これらにより,“$\sum_{l,p}u\iota_{p},[a_{l,p}]=0\Rightarrow$

すべての

$($

’

$p)$

について $a_{l,p}=0$ ” を示すことができる.

次に,, の存在を示そう.

$\varphi\iota_{P}$(1)

命題 5.2とすると, ある$\overline{T}^{t}>T$$W_{L}^{(0)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$$L\in Z$があって,$\mathcal{D}_{+}’(-\overline{T},\overline{T};\mathcal{O}(\Omega))\subset$.

(2)$W_{L+}^{(N+1)}1(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$$(L\leq-1)$$W_{L+1}^{(N)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$$(L\geq 0)$$W_{L-1}^{(N)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$$(L\leq 0)$$W_{L-1}^{(N+1)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$$(L\geq 1)$$t\cross W^{(N)}L(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))\subset\{$’$\partial_{t}(W_{L}^{(N)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega)))\subset\{$$\theta$(T; .

$\dot{\mathcal{O}}$$.W_{L}^{(N)}.(-\tau,$(3) 十分大きな

$L$

すべての

$1\leq l\leq d,$$\subset W_{L}^{(N+1)}.(-\tau,..T; \mathcal{O}(\Omega))$て,$P\cap$$\cdot$に対して,$1\leq P\leq r_{l}$に対して,$\overline{C}(x;\theta)\partial_{t}^{v}V--g$$w_{l,p}\in W_{L_{l+\omega}}^{()}(0-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$‘の解 $v\in$が成立する.

$u\in W_{L}^{(N)}(-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$$\varphi\iota_{P},\in O(\Omega)(1\leq l\leq d, L_{l}.+\omega\geq L, 1\leq P\leq r_{l})$$u= \sum_{\leq 1\leq\iota\leq d,\dot{\iota}\mathrm{t}+\omega\geq L,1\leq_{\mathrm{P}}r\downarrow}\varphi\iota_{p}(X)wl,p(t, X)\backslash ’..$

さて,)が存在する.

;\theta 佐 u $=0$ を満たせば,$)$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{D_{+}’(T,T;\mathrm{O}()}-\Omega$. .:さらに, 任意の $L\in Z$ と任意の $N\in N$ に対して,$\overline{C}(x$.

.

$g\in W_{L}^{(N)}(-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$$W_{L+\omega}^{(N)}(-T, \tau_{;\mathcal{O}}(\Omega))$(5))

については, すべての $N\in N$ に対して,$W_{L}^{(N)}(-T, T).\mathcal{O}(\Omega))=\{0\}$(4)$(\Omega.))$.

$\neg$’$u\in \mathcal{D}_{+}’(-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$

があっ

と書ける.

が $Pu=0$ を満たすとする.

(1) によって, ある $L\in Z$ があってが$u\in W_{L}^{()}(0-\tau,T;\mathcal{O}(\Omega))$$T$を小さく取り直すと,となる. $P=\overline{C}(x$ ;\theta 碑 $+$
$)$

64

$R$

)
$(L-\omega+1-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$ である.と分解すると, (2) によって C(x; \theta ) 佐 u $=-Ru\in W^{(}m$(4) により,なる.

$v\in W_{L+1}^{(m)}.(-T, T;\mathcal{O}(\Omega))$$u-v\in W_{L}^{(m\rangle}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$$L_{l}+\omega\geq L,$$1\leq p\leq r_{\mathrm{t}})$があって$(-TT;\mathrm{O}(\Omega))\overline{c}();x$$u-v\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{\pm}’}$.

なので, (5) により,

\theta ) 佐と$\varphi\iota_{P},[\mathrm{o}]\in \mathcal{O}(\Omega)(1\leq l\leq d$

,

があって,

,

$u-v= \sum_{d1\leq\iota\leq,L\iota+\omega\geq L,1\leq p\leq r\iota}\varphi\iota_{p},[0]w\iota_{p},$と書ける. . ここで,

$u[1]:=u- \sum l,pu\iota,p[\varphi l,p[\mathrm{o}]]$$W_{L+1}^{(m)}(-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))$となることを示すことができる (但し,とおくと, $P(u[1])=0,$$T,$$\Omega$$u[1]\in$は小さく取り替える必要がある) .

同様にして,$\Omega$

や $T$ を必要に応じて小さくすると, $u[2]:=u[1]- \sum l,pu_{l,p}[\varphi_{l},\mathrm{P}[1]]\in$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’(;o(\Omega}-\tau,\tau))P\cap W_{L2}+((2m)-\tau, T;\mathcal{O}(\Omega))(\varphi_{l,p}[1]\in \mathcal{O}(\Omega))$

繰り返せば,$u[N]\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}_{\mathcal{D}_{+}’}(-\tau,T;O(\Omega))P\cap W_{L}^{(}+N(Nm)-\tau,$ $T;\mathcal{O}(\Omega))$$u- \sum_{\iota},p\prime u,\iota_{p},[\varphi \mathrm{t},p](\varphi\iota_{P},\in \mathcal{O}(\Omega))$

なり,

6

$u$

が得られる. この議論をであって $u[N]=$と書けるものが得られる. (3) により, $u[N]=0$ とは $u= \sum_{\iota_{p}},u_{l,p}[\varphi l,p]$ と書ける.

注意
1.. 同様の考えで,

についても

$t$

$B\backslash \{0\}$の universal covering で正則な解の構造定理も特性指数の条件を付けずに得られる. 但し,$B(\ni \mathrm{O})$は $C$ の領域である.

2. また同様に, フックス双曲型方程式の $t>0$ における田原氏の結果$([\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{h}84])$$C^{\infty}$

解の構造に関するを, 局所的には, 特性指数に条件を付けない場合に拡張することができる. (大域的にはまだ成功していない).

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