数理解析研究所講究録
第 1872 巻 2014 年 8-198ある種のオービフォールドの共形元
一橋大学大学院経済学研究科 山田裕理 1
Hiromichi Yamada
Graduate School of Economics,

Hitotsubashi University2

1

はじめに
$V$

を頂点作用素代数とする． の全自己同型群 Aut
$V$

$V$

の任意の部分群 $G$ による固定点全体 $V^{G_{=\{v\in V|gv=v}\forall_{g\in G\}}}$ は $V$ の部分頂点作用素代数であるが，これを $G$ によるオービフオールドという．オービフオールドは既知の頂点作用素代数
から新しい頂点作用素代数を構成する主要な方法のひとつであるが，一般論があまのり整備されていないこともあり，比較的簡単な $V$ と $G$ が与えられた場合でも性質を調べることは容易ではない．
には，各テンソル成分の置換により頂点作用素代数 $U$ の 個のテンソル積$Sym_{n}$ の任意の部
次対称群 $Sym_{n}$ が頂点作用素代数の自己同型群として作用する．
分群 $G$ によるオービフォールドは置換オービフオールドと呼ばれ，物理では 1990 年頃から研究されている (たとえば [2] の引用文献を参照のこと). 置換オービフオール$V^{G}$$U^{\otimes n}$

$n$

$n$

ドは，基本的なオービフオールドのひとつである．

本稿で考察するのは， が$U$$A_{1}$型ルート格子から定義される頂点作用素代数砺 1 で，のの巡回置換で生成される巡回群の場合の置換オービフオールド
ある部分頂点作用素代数である．より詳しく，この部分頂点作用素代数は， におのコミュタント $M$ の によるオービフオー
けるアフィン頂点作用素代数

$G$

が長さ

$(V_{A_{1}}^{\otimes n})^{G}$$n$$V_{A_{1}}^{\otimes n}$$L_{\hat{sl}_{2}}(n, 0)$$G$$M^{G}$を調べることは難しいが，ここでは第 1 段階として $M^{G}$ のウ
ルド $M^{G}$ である．

エイト 2 の部分空間$M_{(2)}^{G}$のなす Griess 代数の構造，および共形元を互いに直交する

ヴイラソロ元の和として表すことを紹介する．

のヴイラソロ元の分類に関して，一部の計算は横山和弘氏により計算機
謝辞
代数システム $Risa/$ Asir を用いて行われた．また，安部利之氏には置換オービフォ
ルドについて文献を含め基礎的なことを教えていただいた．両氏に感謝いたします．
$M^{G}$

ー

1 本研究は学術研究助成基金助成金基盤研究 (C)23540009 の助成を受けたものである．
2-mail: yamada@econ.hit-u.ac.jp

92

記号の準備と基本事項

頂点作用素代数 $V=(V, Y, 1, \omega)$ に関する記号は [8, 11] に従う．
$v\in V$ に対する頂点作用素は $Y(v, z)= \sum_{n\in \mathbb{Z}}v_{n}z^{-n-1}$ のように表す． End $V$ を $Y(v, z)$ あるい$v_{n}\in$は$v$の成分作用素という．本稿で扱う頂点作用素代数

ち $V=\oplus_{n\geq 0}V_{(n)}$ で $V_{(0)}=\mathbb{C}1$

元をウエイト

$n$

である．

をウエイト

$V_{(n)}$の元という．

$v\in V_{(n)}$

$V$

$n$

はすべて CFT 型，すなわの部分空間といい，$V_{(n)}$に対して，wt $v=n$ で のウェイトを表す．
$v$は共形元と呼ばれるウェイト 2 の特別な元で，$L(n)=\omega_{n+1}\in$ End $V,$
交換関係$\omega$$n\in \mathbb{Z}$を満たし， 上のヴイラソロ代数の表現を与える． は
$V$

$c$

$\omega$は(2.1)$[L(m), L(n)]=(m-n)L(m+n)+ \frac{m^{3}-m}{12}\delta_{m+n,0}c$$V$のあるいは頂点作用素代数の中心電荷と呼ばれる定数である．

一般に，頂点作用素代数 には共形元 以外にも，その成分作用素が 上のヴイ
ラソロ代数の表現を与えるような元が存在する．そのような元をヴイラソロ元と呼
$V$

$V$

$\omega$ぶ．より正確には，ウェイト 2 の元

$e\in V_{(2)}$であって $e_{n+1}\in$ End $V,$$n\in \mathbb{Z}$が (2.1)式と同様の中心電荷 のヴイラソロ代数の表現を与えるものを，中心電荷 のヴイ
ラソロ元という． の中心電荷を $c(e)$ で表す． で生成される部分頂点作用素代数
Vir(e) は単純な頂点作用素代数とは限らないが，単純な頂点作用素代数の場合には
Vir $(e)$ は中心電荷 のヴイラソロ頂点作用素代数と同型である．このような
$c’$

$c’$

$e$

$e$

$c’$

元

$e$

$\mathcal{L}(c’, 0)$を単純なヴイラソロ元という．本稿で扱うヴイラソロ元はすべて単純なヴイラ

ソロ元である．2 つのヴイラソロ元$e$と $f$ について，$e_{1}f=0$ が成り立つときは互いに直交するという．この場合は， とで生成される$e$と $f$の部分頂点作用素代
Vir $(f)$ になる．中心電荷が のヴイラ
ソロ元は特に有用で，イジング元と呼ばれる [12].
$e$

数は Vir $(e)$ と Vir $(f)$ のテンソル積 Vir

$f$

$V$

$(e)\otimes$$\frac{1}{2}$ここで，パラフェルミオン頂点作用素代数の定義を一般の形で述べておく． を$\mathfrak{g}$有限次元単純リー代数， をそのカルタン部分代数とする．また のアフィンリー
代数を 9 で表す．正の整数 に対して，レベル で最高ウェイト の既約最高ウェ$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$$k$イトず加群，すなわち

$k$

$0$

の可積分表現は，単純頂点作用素代数の構造を持の中心電荷はつ．頂点作用素代数
である．ここで， は の双対コの部分頂点作用素代
クセター数である．カルタン部分代数 で生成される数をで表す．これはハイゼンベルグ頂点作用素代数で，その中心電荷はの次元, すなわちリー代数
におけるのコ$\hat{\mathfrak{g}}$$L_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$$L_{\hat{g}}(k, 0)$$h^{\vee}$$\frac{kdim\mathfrak{g}}{k+h^{\vee}}$$\mathfrak{g}$$L_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$$\mathfrak{h}$$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$$\mathfrak{h}$$\dim \mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$ミュタントを$K(\mathfrak{g}, k)$で表す:の階数に等しい．

$L_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)$$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$$K(\mathfrak{g}, k)=Com\triangleright_{9}(k,0)(M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0))$$=\{v\in L_{\hat{\mathfrak{g}}}(k, 0)|u_{n}v=0, \forall u\in M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0), n\geq 0\}$$K(\mathfrak{g}, k)$

をレベル

$k$

の

$\mathfrak{g}$型パラフェルミオン頂点作用素代数と呼ぶ [7].

$K(\mathfrak{g}, k)$の10中心電荷は，の中心電荷と$L_{\hat{9}}(k, 0)$$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$の中心電荷の差$\frac{kdim\mathfrak{g}}{k+h^{v}}-\dim \mathfrak{h}$である．

$\triangleright_{\mathfrak{g}}(k, 0)\supset K(\mathfrak{g}, k)\otimes M_{\hat{\mathfrak{h}}}(k, 0)$に注意する．

型ルート格子を簡単にで表すことにする．格子 から定義される頂点作のなす頂点作用素代数
用素代数
は， のレベル 1 の可積分表現のテンソル積の内部にレベルが 1$n=1$ の場合に，に同型である．
$A_{n}$$A_{n}$$A_{m}$$\hat{sl}_{n+1}$$V_{A_{n}}$$L_{\hat{sl}_{n+1}}(1,0)$$V_{A_{1}}\cong L_{\hat{sl}_{2}}(1,0)$より大きい$\hat{sl}_{2}$の可積分表現を構成するために，$\alpha_{0},$満たすものとし，これらで生成される格子個の$A_{1}$型ルート格子$\mathbb{Z}\alpha_{\ell}$$\mathbb{Z}\alpha_{0},$$\ldots,$

される頂点作用素代数琉は$\ell+1$ 個のテンソル積になる:$\alpha_{1},$$\alpha_{\ell}$$\ldots,$$L=\mathbb{Z}\alpha_{0}+\cdots+\mathbb{Z}\alpha_{\ell}$の直交和$L\cong A_{1}^{\oplus\ell+1}$は$\langle\alpha_{i},$$\alpha_{j}\rangle=2\delta_{ij}$をを考える． は $\ell+1$$L$であり，格子$L$から定義型ルート格子から定義される頂点作用素代数砺 1 の$A_{1}$$V_{L}=V_{A_{1}}^{\otimes\ell+1}=L_{\hat{sl}_{2}}(1,0)^{\otimes\ell+1}$$\alpha_{0},$$\alpha_{1},$$\ldots,$$\alpha_{\ell}$の和を$\gamma$

とおく:$\gamma=\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{\ell}$

さらに， の元$V_{L}$$H=\gamma(-1)1,$$E=e^{\alpha 0}+e^{\alpha}1+\cdots+e^{\alpha\ell},$$F=e^{-\alpha 0}+e^{-\alpha_{1}}+\cdots+e^{-\alpha\ell}$

$H,$
を考える．
$L_{\hat{sl}_{2}}(\ell+1,0)$

$E,$

$F$

で生成される琉の部分頂点作用素代数 $V^{aff}=\langle H,$ $E,$

$F\rangle$

は，に同型である:$\ovalbox{\tt\small REJECT}\supset V^{aff}=\langle H, E, F\rangle\cong L_{\hat{sl}_{2}}(\ell+1,0)$$e^{\gamma},$$e^{-\gamma}\in V^{aff}$であり，この 2 つの元で生成される部分頂点作用素代数は， で生$\gamma$成される階数 1 の格子$\mathbb{Z}\gamma$から定義される頂点作用素代数$V_{\mathbb{Z}\gamma}$に同型である:$V^{aff}\supset\langle e^{\gamma}, e^{-\gamma}\rangle=V_{\mathbb{Z}\gamma}$$H$で生成される$V^{aff}$の部分頂点作用素代数の共形元は一致するので，$V^{aff}$

におけるタント，すなわちレベル $\ell+1$ の$sl_{2}$$V_{\mathbb{Z}\gamma}$$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(\ell+1,0)$は$V_{\mathbb{Z}\gamma}$のコミュタントはに含まれるが，両者$M_{\hat{\mathfrak{h}}}(\ell+1,0)$のコミュ

型パラフエルミオン頂点作用素代数 $K(sl_{2}, \ell+1)$に等しい:$Com_{V^{aff}}(V_{\mathbb{Z}\gamma})=K(sl_{2}, \ell+1)$

11$K(sl_{2}, \ell+1)$の中心電荷は$\frac{3(\ell+1)}{\ell+3}-1=\frac{2\ell}{\ell+3}$

で，$V^{aff}\supset K(sl_{2}, \ell+1)\otimes V_{\mathbb{Z}\gamma}$

である．

次に， と直交する$\gamma$$\alpha_{i-1}-\alpha_{i},$$1\leq i\leq\ell$の元全体 $L’=\{\alpha\in L|\langle\alpha, \gamma\rangle=0\}$ を考える．これはで生成される $L$ の部分格子で，ん型ルート格子を而倍した格$L$子に同型である:$L’=span_{Z}\{\alpha_{i-1}-\alpha_{i}|1\leq i\leq\ell\}\cong\sqrt{2}A_{\ell}$であり， のによる剰余類分解はで与えられる．また格子 $L’$ から定義される頂点作用素代数のコミュタントに等しい:$L\supset L’\oplus \mathbb{Z}\gamma$$L$$L= \bigcup_{i=0}^{\ell}(i\alpha_{0}+L’\oplus \mathbb{Z}\gamma)$$L^{l}\oplus \mathbb{Z}\gamma$$V_{L’}$

は，覧における$V_{\mathbb{Z}\gamma}$$V_{L’}=Com_{V_{L}}(V_{\mathbb{Z}\gamma})$$V_{L}\supset V_{L’}\otimes V_{\mathbb{Z}\gamma}$$V_{L}\supset V^{aff}$であることに注意する．

で $Com_{V^{aff}}(V_{\mathbb{Z}\gamma})=K(sl_{2}, \ell+1)$

なので，$V_{L’}\supset K(sl_{2}, \ell+1)$

である．

$V_{L’}$

における $K(sl_{2}, \ell+1)$ のコミュタントを $M$ とおく:
$M=Com_{V_{L’}}(K(sl_{2}, \ell+1))$$M$の中心電荷は$\ell-\frac{2\ell}{\ell+3}=\frac{\ell(\ell+1)}{\ell+3}$

で，$V_{L’}\supset M\otimes K(sl_{2}, \ell+1)$

である．
$V_{L’}=Com_{V_{L}}(V_{\mathbb{Z}\gamma}),$は$V^{aff}$$M=Com_{V_{L}},$ $(K(\mathcal{S}l_{2}, \ell+1))$の部分頂点作用素代数でその共形元は

覧における$V^{aff}$

であり，さらに$M$ はの共形元と一致するので，$K(sl_{2}, \ell+1)\otimes V_{\mathbb{Z}\gamma}$$V^{aff}$のコミュタントでもある:$M=Com_{V_{L}}(V^{aff})$$A_{\ell}\oplus A_{\ell}\supset\sqrt{2}A_{\ell}$

により$V_{A_{\ell}}\otimes V_{A_{\ell}}\supset V_{L’}$

であること，および$V_{A_{\ell}}\otimes V_{A_{\ell}}=L_{\hat{sl}_{\ell+1}}(1,0)^{\otimes 2}\supset L_{\hat{sl}_{\ell+1}}(2,0)$であることに注意する．
格子$L=\mathbb{Z}\alpha_{0}+\cdots+\mathbb{Z}\alpha_{\ell}$に対して，巡回置換$\tau:\alpha_{0}\mapsto\alpha_{1}\mapsto\cdots\mapsto\alpha_{\ell}\mapsto\alpha_{0}$

(2.2)

12
は内積を保つ の自己同型であり，頂点作用素代数琉の位数 $\ell+1$ の自己同型を引き起こす．その自己同型を同じ記号 で表す． による固定点全体$L$$\tau$$\tau$$V_{L}^{\tau}=\{v\in V_{L}|\tau v=v\}$すなわち$\tau$

による覧のオービフオールドは，琉の部分頂点作用素代数である．

でにより固定されるので，には -不変である． のある．また も により固定されるので， と$M=Com_{V_{L}}(V^{aff})$ のによる固定点を考えて，おける固定点全体を , で表す．
$H,$

$E,$

$F$

の定義より明らかにこれらは$L’$$\tau$$\gamma$$V_{L}^{\tau}\supset V^{aff}$$\tau$$V_{L’}$$\tau$$\tau$$V_{L’}$$\tau$$V_{L}^{\tau}$が得られる．
これまでに現れた頂点作用素代数の包含関係を図示すると，次のようになる．

$M^{\tau}=Com_{V_{L}^{\mathcal{T}}}(V^{aff})$$V_{A_{\ell}}\otimes V_{A_{\ell}} V_{L}=V_{A_{1}}^{\otimes\ell+1}=L_{\hat{sl}_{2}}(1,0)^{\otimes\ell+1}$$\backslash / \backslash$$V_{\sqrt{2}A_{\ell}}=V_{L’} V_{L}^{\tau}$$/ \backslash / \backslash$$M V_{L}^{\tau}, V^{aff}=L_{\hat{sl}_{2}}(\ell+1,0)$$\backslash / \backslash / \backslash$$M^{\tau} K(sl_{2}, \ell+1) V_{\mathbb{Z}ッ}$

これらの頂点作用素代数のうち琉，$V_{L’},$$V_{\mathbb{Z}\gamma},$$V_{A_{\ell}}$は格子から定義されるものであり，それらの性質はよく知られている．またアフィン頂点作用素代数$V^{aff}=L_{\hat{sl}_{2}}(\ell+1,0)$の性質もよく知られている．

は最も基本的なパラフエルミオン頂点作用素代数であり，[1, 4, 5] により-有限性，有理性，既約加群の分類等が得られている．
$M$ については，[9, 10] で詳しく調べられている．その主な性質は次のとおりであでる．なおここでは， 型ルート系および正ルート全体をそれぞれに対して表し，$K(sl_{2}, \ell+1)$$C_{2}$$\Phi(A_{\ell}),$$A_{\ell}$$\Phi^{+}(A_{\ell})$$\alpha\in\Phi(A_{\ell})$$w( \alpha)=\frac{1}{2}\alpha(-1)^{2}1-(e^{\sqrt{2}\alpha}+e^{-\sqrt{2}\alpha})\in V_{L’}$(2.3)$w(\alpha)=w(-\alpha)$ であることに注意する．
という記号を使う．

定理 21 ([9,10])(1) $\dim M_{(2)}=\frac{1}{2}\ell(\ell+1)$ で，(2) $M$ のイジング元全部の集合は(3) $M$ は頂点作用素代数として {$\{w(\alpha)|\alpha\in\Phi^{+}(A_{\ell})\}$

は $M_{(2)}$ の基底である．

$\{\frac{1}{4}w(\alpha)|\alpha\in\Phi^{+}(A_{\ell})\}$である．

は曳型単純ルート} で生成される．
(4) $M$ の全自己同型群は $\ell+1$ 次対称群に同型である :Aut $M\cong Sym_{l+1}.$$w(\alpha)|\alpha$

次の事実は $CH$ . Lam 氏に教えていただいた．

13
定理 2.2 $M$ はレベル 2 の型である．

$sl_{\ell+1}$型パラフェルミオン頂点作用素代数 $K(sl_{\ell+1},2)$ と同

上記の包含関係の図に現れる頂点作用素代数のうち$V_{L}^{\tau},$$V_{L}^{\tau},,$$M^{\mathcal{T}}$の 3 個に関して$\ell=1,2$ の場合を除いて性質がわかっていない．
の場合に頂点作用素代数
は，の性質を調べたいのであるが，これは難しい問題と思われる．次節で$\ell\geq 3$$V_{L}^{\tau},$$V_{L}^{\tau},,$$M^{\tau}$はその最初のステップとして，$M^{\tau}$のウエイト 2 の部分空間$M$ の共形元は互いに直交する
なお [6] により，$\ell$$M_{(2)}^{\tau}$を考察する．

個のヴイラソロ代数の極小系列に属するヴイラソロ元の和に分解されること，したがって$M \supset \mathcal{L}(c_{1},0)\otimes \mathcal{L}(c_{2},0)\otimes\cdots\otimes \mathcal{L}(c_{\ell}, 0) , c_{i}=1-\frac{6}{(i+2)(i+3)}$であることが知られており，[9] ではこれを用いて $M$ の性質が調べられている．しかし，これらの極小系列に属する $M$ のヴイラソロ元は自己同型 で固定されないので，によるオービフォールドを調べるためには，別の観点からの議論が必要$\tau$$M^{\tau}$$\tau$である．

3

Griess 代数$M_{(2)}^{\tau}$

前節の記号を踏襲する．$M$ はウエイト空間の直和であるが，さらにについて$M_{(1)}=0$ である．したがって，をと の積，を $u_{3}v=(u|v)1$ と表すことにより定まるをと の内積として，ウエイト 2 の部分空間
は Griess 代数になる．
定理 2.1 によりはの基底であるが，この基底に関して$M=\oplus_{n\geq 0}M_{(n)}$$M_{(0)}=\mathbb{C}1,$$v$$u,$ $v\in M_{(2)}$$u_{3}v\in M_{(0)}=\mathbb{C}1$$v$$u_{1}v\in M_{(2)}$$u$$(u|v)\in \mathbb{C}$$u$$M_{(2)}$$\{w(\alpha)|\alpha\in\Phi^{+}(A_{\ell})\}$$M_{(2)}$

Griess 代数における演算は次のように与えられる．

$w(\alpha)_{1}w(\beta)=\{\begin{array}{ll}8w(\alpha) if \alpha=\beta w(\alpha)+w(\beta)-w(\alpha\mp\beta) if \langle\alpha, \beta\rangle=\pm 10 if \langle\alpha, \beta\rangle=0\end{array}$(3.1)$w(\alpha)_{3}w(\beta)=\{\begin{array}{ll}41 if \alpha=\beta\frac{1}{2}1 if \langle\alpha, \beta\rangle=\pm 10 if \langle\alpha, \beta\rangle=0\end{array}$(3.2)(2.2) 式で定義される による作用を記述するのに便利なように， の添字 をmodulo $\ell+1$ で考えることにする．
mod $\ell+1)$ に対して，$\tau$$\alpha_{i}$$i\not\equiv j$$($$\beta_{i,j}=\alpha_{i}-\alpha_{j}\in L’=\sqrt{2}A_{\ell}$

$i$

14
とおく． は全部で$|\Phi(A_{\ell})|=\ell(\ell+1)$$\beta_{i,j}$

個ある．また，同じく$i\not\equiv i$$($

mod $\ell+1)$ に

対して，

(3.3)

$w_{i,j}= \frac{1}{4}\beta_{i,j}(-1)^{2}1-(e^{\beta_{1j}},+e^{-\beta}:,j)\in V_{L’}$

とおく．なお，(2.3) 式によるでは$\langle\beta_{i,j},$$w(\alpha)$の定義においては$\langle\alpha,$$\alpha\rangle=2$

であるが，(3.3) 式である．定理 2.1 により $\{w_{i,j}|0\leq i<j\leq\ell\}$ は $M$ のウエイト 2の基底である．
であること，および は modulo$\beta_{i,j}\rangle=4$の部分空間で考えることに注意する．
$M_{(2)}$次に，頂点作用素代数琉の位数 $\ell+1$ の自己同型$\tau$の自己同型として上の置換を引き起こし， による軌道は$M_{(2)}^{\tau}=M^{\tau}\cap M_{(2)}$を調べる．格子$\ell+1$$i,$ $j$$w_{i,j}=w_{j,i}$$L$の $M_{(2)}$ における固定点全体$\tau$

は $\{\beta_{i,j}|i\not\equiv i (mod \ell+1)\}$$\tau$$\mathcal{O}_{j}=\{\beta_{p,j+p}|0\leq p\leq\ell\},$の$\ell$$\tau$$w_{i,j}$$j\not\equiv O$$($

mod $\ell+1)$個である．それぞれの軌道は $\ell+1$ 個の元からなる．
はまた $\{w_{i,j}|0\leq i<j\leq\ell\}$ 上の置換を引き起こし，△紡阿垢觚気紡弍 するの和$u^{j}= \sum_{p=0}^{\ell}w_{p^{j}+p},$$j\not\equiv O$

$($

(3.4)

mod $\ell+1)$

mod $\ell+1)$ はベクトル空間を張る．しかし，これらは線$\ell+1$
で考えることおよびより，
形独立ではない．実際，添字を modulo

をとると，$u^{j};j\not\equiv O$$($$M_{(2)}^{\tau}$$-\beta_{i,j}=\beta_{j,i}$$-\mathcal{O}_{j}=\{\beta_{j+p,p}|0\leq p\leq\ell\}=\mathcal{O}_{\ell+1-j}$

と合わせて

であり，

$w_{i,j}=w_{j,i}$$u^{j}=u^{-j}=u^{\ell+1-j},$$j\not\equiv O$$($

mod $\ell+1)$が成り立つ．

以上により，$M_{(2)}^{\tau}$の基底について次のことがわかる．

定理 3.1(1) が偶数のとき:(2) が奇数のとき :$\dim M_{(2)}^{\tau}=[\frac{\ell+1}{2}]$$\ell$$\ell$である．より詳しく$u^{\ell/2}$$u^{1},$$\ldots,$は$u^{(\ell+1)/2}$$u^{1},$$\ldots,$(3.4) 式において が奇数のときの$\ell$$M_{(2)}^{\tau}$

はの基底である．
の基底である．

$M_{(2)}^{\tau}$$u^{(\ell+1)/2}$は，$u^{(\ell+1)/2}=2 \sum_{p=0}^{(\ell-1)/2}w_{p,(\ell+1)/2+p}$という形になる．このため Griess 代数

における演算のときのが現れる場合に例外的な形になる．
の共形元は $M$ の共形元
$M_{(2)}^{\tau}$$u^{(\ell+1)/2}$$M^{\tau}$$\omega=\frac{1}{\ell+3}\sum_{0\leq i<j\leq\ell}w_{i,j}$$u_{1}^{i}u^{j}$と$u^{i_{3}}u^{j}$は，が奇数$\ell$

15に一致し，その中心電荷は$c( \omega)=\frac{\ell(\ell+1)}{\ell+3}$である． の定義 (3.4) より，が偶数のと$u^{j}$$\ell$

きは$\omega=\frac{1}{\ell+3}\sum_{j=1}^{\ell/2}u^{j}$であり，また が奇数のときは$\ell$$\omega=\frac{1}{\ell+3}\sum_{j=1}^{(\ell-1)/2}u^{j}+\frac{1}{2(\ell+3)}u^{(\ell+1)/2}$

である．

の定義および (3.1) 式と (3.2) 式から，Griess 代数
に関する演算は次のようになる．
$u^{j}$$M_{(2)}^{\tau}$の基底$\{u^{j}|1\leq j\leq[\frac{\ell+1}{2}]\}$

定理 3.2 (1) $j\not\equiv 0,2j\not\equiv 0($ mod $\ell+1)$ に対して
$u^{j_{1}}u^{j}=12u^{j}-2u^{2j}, u_{3}^{j}u^{j}=5(\ell+1)1$

また$\ell$

が奇数のとき$u^{(\ell+1)/2_{1}}u^{(\ell+1)/2}=16u^{(\ell+1)/2}, u^{(\ell+1)/2_{3}}u^{(\ell+1)/2}=8(\ell+1)1$(2)$i\not\equiv 0,$$j\not\equiv 0,$$i\pm j\not\equiv 0$$($

mod $\ell+1)$ に対して

$u_{1}^{i}u^{j}=4u^{i}+4u^{j}-2u^{i-j}-2u^{i+j}, u^{i_{3}}u^{j}=2(\ell+1)1$

特に $\ell=$ が奇数のとき，$8^{u^{(\ell+1)/2}}$4は中心電荷与のヴイラソロ元である．

例の共形元を互いに直交するヴイラソロ元の和として表すことに関して， の値が小さいときの計算結果を紹介する． の値が大きくなるにしたがって， のヴイの範囲での結果を述べ
ラソロ元を分類することは困難になる．この節では，$\ell=6$
る． のときの結果は，横山和弘氏により計算機代数システム $Risa/$ Asir を用い$M^{\tau}$$\ell$$P$$M^{\tau}$$\ell\leq 7$て得られものである．横山氏の方法により，$\ell=7,8,9$ 等の場合でも$M^{\tau}$のヴイラソ

ロ元をすべて求めることが可能である．

4.1$\ell=1$の中心電荷は で，そのウエイト 2 の部分空間
は $M$ に恒等写像として自明に作用し，$M^{\tau}$

型$\tau$の場合$\frac{1}{2}$$M_{(2)}^{\tau}$$M=M^{\tau} \cong K(sl_{2},2)\cong \mathcal{L}(\frac{1}{2},0)$は 1 次元である．自己同16である．特に， のヴイラソロ元は共形元だけである．格子の自己同型として は$L’$ に $-1$ 倍として作用するので，頂点作用素代数の自己同型としての は，格子 $L’$ の $-1$ 倍写像から引き起こされる覧，の位数 2 の自己同型であり，$M^{\tau}$$\tau$$V_{L’}$$\tau$$V_{L}^{\tau}, =V_{L}^{+} \cong \mathcal{L}(\frac{1}{2},0)\otimes \mathcal{L}(\frac{1}{2},0)$$P=1$ の場合は退化した場合といえる．
が成り立つ．

4.2$\ell=2$の中心電荷はの-代数$M^{\tau}$荷$\frac{6}{5}$の場合$W_{3}$$\frac{6}{5}$は 1 次元である．この場合ので，$W_{3}( \frac{6}{5})$$M_{(2)}^{\tau}$$M^{\tau}$は [3] により中心電に同型であることが知られている．
$M^{\tau} \cong W_{3}(\frac{6}{5})$特に， のヴイラソロ元は共形元だけである．
$M^{\mathcal{T}}$$W_{3}( \frac{6}{5})$および $\ell=2$ のときの

, に

$V_{L}^{\tau}$

ついては， -有限性，有理性，Zhu 代数，既約加群の分類等の詳しい性質が [3] と$C_{2}$[13] で調べられている．ちなみに既約加群の同型類は 30 個である．

$W_{3}( \frac{6}{5})$

4.

$3$

$M^{\tau}$$\ell=3$$V_{L}^{\tau},$のの場合の中心電荷は 2 で，$M_{(2)}^{\tau}$$u^{-1}=u^{1}$の既約加群の同型類は 20 個であり，は 2 次元である．

$M_{(2)}^{\tau}$の基底$\{u^{1}, u^{2}\}$に注意すると定理 3.2 よりに関して，$u^{3}=$$u_{1}^{1}u^{1}=12u^{1}-2u^{2}, u_{1}^{1}u^{2}=4u^{2}, u_{1}^{2}u^{2}=16u^{2}$である．これらを用いると， と$u^{1}$$u^{2}$

の線形結合

$v$

で $v_{1}v=2v$ を満たすものは$v^{1}= \frac{1}{6}u^{1}-\frac{1}{24}u^{2},$$v^{2}= \frac{1}{8}u_{り}^{2}$$v^{1}+v^{2}= \frac{1}{6}u^{1}+\frac{1}{12}u^{2}$$v^{1}+v^{2}$ はの共形元の 3 個だけであることが確かめられる．
は互いに直交するヴイラソロ元である．さらに，定理 3.2 より$M^{\tau}$$\omega$であり， と$v^{1}$$v^{2}$$u_{3}^{1}u^{1}=201, u_{3}^{1}u^{2}=81, u_{3}^{2}u^{2}=321$

なので，
かる． と

はどちらも中心電荷 1 であることがわとなり， とで生成される部分頂点作用素代数は 2 個の中心電荷 1 のヴイラソロ頂$v_{3}^{1}v^{1}=v_{3}^{2}v^{2}= \frac{1}{2}1$$v^{1}$$v^{2}$

点作用素代数のテンソル積$v^{1}$$v^{2}$$\mathcal{L}(1,0)\otimes \mathcal{L}(1,0)$に同型で，$M^{\tau}\supset \mathcal{L}(1,0)\otimes \mathcal{L}(1,0)$

である．

17
4.

$\ell=4$$4$の場合の中心電荷は$M^{\tau}$$\frac{20}{7}$

で，$M_{(2)}^{\tau}$$u^{-1}=u^{1},$ $u^{3}=u^{2},$ $u^{4}=u^{1}$は 2 次元である．

$M_{(2)}^{\tau}$の基底$\{u^{1}, u^{2}\}$に関して，に注意すると定理 3.2 より$u_{1}^{1}u^{1}=12u^{1}-2u^{2}, u_{1}^{1}u^{2}=2u^{1}+2u^{2}, u_{1}^{2}u^{2}=-2u^{1}+12u^{2}$である．これらを用いると， と$u^{1}$形元$u^{2}$

の線形結合

$v$

で $v_{1}v=2v$ を満たすものは，共のほかに$\omega$$v^{1}= \frac{1}{42}(3-\sqrt{21})u^{1}+\frac{1}{42}(3+\sqrt{21})u^{2},$$v^{2}= \frac{1}{42}(3+\sqrt{21})u^{1}+\frac{1}{42}(3-\sqrt{21})u^{2}$の 2 個だけであることが確かめられる． と$v^{1}$$M^{\tau}$の共形元$\omega$$v^{2}$

は互いに直交するヴイラソロ元で，はそれらの和 $v^{1}+v^{2}$ に一致する．また定理 3.2 より$u_{3}^{1}u^{1}=251, u_{3}^{1}u^{2}=101, u_{3}^{2}u^{2}=251$なので， と$v^{1}$$v^{1}$と$v^{2}$$v^{2}$の中心電荷は $c(v^{1})=c(v^{2})= \frac{10}{7}$ であることがわかる．したがって，で生成される部分頂点作用素代数は$\mathcal{L}(\frac{10}{7},0)\otimes \mathcal{L}(\frac{10}{7},0)$に同型で，$M^{\tau} \supset \mathcal{L}(\frac{10}{7},0)\otimes \mathcal{L}(\frac{10}{7},0)$

である．

4.5

$\ell=5$$M^{\tau}$

合

$v$

の場合

の中心電荷は$\frac{15}{4}$で， は 3 次元である．
$M_{(2)}^{\mathcal{T}}$$M_{(2)}^{\tau}$

で $v_{1}v=2v$ を満たすものは，共形元$\omega$の基底$\{u^{1}, u^{2}, u^{3}\}$

の線形結

のほかに

$v^{1}= \frac{1}{8}u^{1}-\frac{3}{40}u^{2}+\frac{1}{16}u^{3}, v^{2}=\frac{1}{8}u^{3},$$v^{3}= \frac{1}{8}u^{1}+\frac{1}{8}u^{2}-\frac{1}{16}u^{3}, v^{4}=\frac{1}{5}u^{2}$の 4 個だけであることが，定理 3.2 を用いて計算することにょり確かめられる．中心電荷はそれぞれよび$v^{2}$と$v^{3}$$c(v^{1})= \frac{27}{20},$$c(v^{2})= \frac{3}{2},$$c(v^{3})= \frac{9}{4},$$c(v^{4})= \frac{12}{5}$は互いに直交するヴイラソロ元で，共形元$\omega$である． と$v^{1}$$v^{4}$, おは$\omega=v^{1}+v^{4}=v^{2}+v^{3}$と互いに直交する 2 つのヴイラソロ元の和として，2 通りに表すことができる．
$\ell=5$ の場合は $u^{4}=u^{-2}=u^{2}$
なお，が成り立つので，定理 3.2 において
$12u^{2}-2u^{4}=10u^{2}$はヴイラソロ元であることに注意する．
となり，$g_{u^{2}}$$u_{1}^{2}u^{2}=$

18
4.6

$\ell=6$の場合の線形結で， は 3 次元である． の基底
合 で $v_{1}v=2v$ を満たすものは，共形元 のほかに中心電荷 のヴイラソロ元が 3個，中心電荷 のヴイラソロ元が 3 個の全部で 7 個であることが，定理 3.2 を用いて計算することにより確かめられる．さらに，3 個の中心電荷 のヴイラソロ元の$M^{\tau}$の中心電荷は$\frac{14}{3}$$\{u^{1}, u^{2}, u^{3}\}$$M_{(2)}^{\tau}$$M_{(2)}^{\tau}$$\frac{28}{15}$$\omega$$v$$\frac{14}{5}$$\frac{28}{15}$

うちの任意の 1 つに対して，それと直交する中心電荷$v^{1}$

1 つ存在して，$\omega=v^{1}+v^{2}$$\frac{14}{5}$のヴイラソロ元$v^{2}$

が唯すなわち， あの共形元は互いに直交する

が成り立つ

$M$

2 つのヴイラソロ元の和として，3 通りに表せる．

の線形結合として $v^{1}=a_{1}u^{1}+a_{2}u^{2}+a_{3}u^{3}$のヴイラソロ元 をは 3 次方程式は次のように与えられる:とおくと，係数
中心電荷$v^{1}$$u^{1},$$\frac{28}{15}$$a_{1},$$a_{2},$$u^{2},$$u^{3}$$a_{1}$$a_{3}$$91125x^{3}-12150x^{2}-675x+19=0$の解であり， と$a_{2}$$a_{3}$の値は$a_{1}$

から$405a_{1}^{2}-36a_{1}+27a_{2}-4=0,$$2025a_{1}^{2}-315a_{1}-135a_{3}-2=0$

により定まる．なお，上記の 3 次方程式は異なる 3 個の無理数の解を持つ．

4.7$M^{\tau}$$\ell=7$の場合の中心電荷はの中心電荷は$\frac{8}{5},$で， は 4 次元である．

$M^{\tau}$$\frac{28}{5}$$M_{(2)}^{\tau}$$\frac{18}{5},2,4,$$\frac{14\pm\sqrt{6}}{5}$の共形元以外のヴイラソロ元の 6 個である．

$\frac{28}{5}=\frac{8}{5}+4=\frac{18}{5}+2=\frac{14-\sqrt{6}}{5}+\frac{14+\sqrt{6}}{5}$が成り立つことに注意する．たとえば$\frac{1}{10}u^{1}-\frac{1}{15}u^{2}+\frac{1}{10}u^{3}-\frac{1}{30}u^{4}$は中心電荷$\frac{8}{5}$のヴイ

ラソロ元である．

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