数理解析研究所講究録 1208 巻 2001 年 1-6

1$L^{p}$-Theory of Spectral Shift Function and the Wegner Estimate(スペクトルシフト関数の -理論とウェグナー評価)$L^{p}$

中村周 (Shu Nakamura)

東京大学数理この講演で紹介する結果は, J. M. Combes (Toulon 大学. Marseille CNRS), P. D. Hislop (Kentucky 大学) との共同研究である ([CHN] に出版予定). この研究の主目的は, ランダム・シュレデイ
ンガー作用素のアンダーソン局在の証明において重要な役割を果たす, IDS(Integrated Density ofStates, 状態密度) に関するウエグナー評価の新しい証明を開発し, 既知の結果を拡張することにあ

離散的なアンダーソンモデルの場合のウエグナー評価は, 比較的簡単であり十分なものと考えられるが, 連続なモデルに関しては, かなり込み人った証明を用いなければ, 物理的に適切な評価が得られなかった. ここで紹介する研究は, 結果自体は以前知られたものの僅かな拡張にしかすぎないが, 証明は遥かに簡明である. その主要な新しいアイデアは SSF(Spectral Shift Function, スペクトルシフト関数) の Lp-評価の手法である.
る.

\S 1. 序今回は, 簡単のためアンダーソン型のランダム・シュレデインガー作用素の場合に限って説明する. 最初に, 我々の考えるモデルと, 主要結果であるウエグナー評価について述べる. 考える作用
素は,$H^{\omega}=H_{0}+V_{\omega}$

ここで,$H_{0}$o$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$$\mathrm{n}$,$d\geq 1$.

はシュレデインガー作用素

on$H_{0}=(p-a(x))^{2}+W(x)$$L^{2}(\mathbb{R}\ovalbox{\tt\small REJECT}$-級で, スカラー. ポテンシャル $W(x)$ は有界をこの自己共役拡張
は上で本質的自己共役である. 以下では,とする. すると,はランダも同じ定義域で白己共役である.
は以下では有界と仮定するので,とする.とする. ただし, ベクトル・ポテンシャル $a(x)$ は$H_{0}$$C^{1}$$H_{0}$$C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$$V_{\omega}(x)$$H^{\omega}$$V_{\omega}$

ム・ポテンシャルで, アンダーソン型, つまり,
$V_{\omega}(x)-- \sum_{n\in \mathbb{Z}^{d}}\lambda_{n}(\omega)v(x-n)$,$v\in C_{0}(\mathbb{R}^{d})$,は対応する確率空間の元では独立同分布の確率変数で,の形をしていると仮定する.
で表す. 局所ポテンシャル $v(x-n)=v_{n}(x)$ は, 対応する期待値をある. 確率測度をごとに異なー) ても良いが.’ 筒 {?}{\rightarrow のためすべて同じ $v(x)$ を平行移動したものと仮定する.
$\omega\in\Omega$$\lambda_{n}(\omega)$$n$$\mathrm{E}(\cdot)$$\mathrm{P}(\cdot)$[仮定 1]

H。はスベクトル・ギャツプ[仮定 2]$’\{’(.\cdot r\cdot)\geq \mathrm{t}\mathfrak{l},$$\cdot \mathrm{t}\rangle\in C_{\acute{1}1}(\mathbb{R}^{d})$.

$\tau’\neq()$$[B_{-}, B_{+}]$.

を持つ. つまり, [B–,

$B_{+}$]$\subset\rho(H_{0})$

である.

2
[仮定 3]$h_{0}$$\lambda_{n}(\omega)$の分布はコンパクトな台を持ち絶対連続で, その密度関数を $h_{0}(E)$ とすると,は有界.

$\mathrm{A}\subset \mathbb{R}^{d}$を (超) 立方体とする. A の体積を$|\Lambda|$と書く. このとき,$H_{\Lambda}^{\omega}=H_{0}+ \sum_{n\in\Lambda}\lambda_{n}(\omega)v(x-n)$と定義する.
も自己共役作用素である. この作用素の $[B_{-}, B_{+}]$ での固有値に関して, 以下のような評価が成立する.
$H_{\Lambda}^{\omega}$

定理 1. 以上の仮定の下で, $E\in(B_{-}, B_{+}),$ $q>1$ とする. すると, A に依存しない定数 $C>0$ が存在して, 十分小さな $\eta>0$ に対して,$\mathrm{P}${dist(E,$\sigma(H_{\Lambda}^{\omega}))<\eta$}$\leq C\eta^{1/q}|\Lambda|$.

[注意] この定理の設定は, 定磁場中の粒子や, 周期的ポテンシャルを $W(x)$ とするときのスペクトル・ギャップの中の評価を意識しているので, 古典的なウエグナー評価とはすこし異なってぃる. しかし$\sum_{n\in \mathrm{Z}^{d}}v(x-n)\geq c>0$でのであるような状況においては, ディリクレ境界条件をおいたの評価として, (任意のエネルギーで) 定理の不等式が証明できる. 定理の評価の右辺のとできるは, 本来はことが望ましいが, 我々の証明ではそこまでは示せない. 一方, 右辺の A に関する依存性は, 「正しい」 オーダーである. 既知の (連続なモデルに対する) 簡単なウェグナー評価の証明では, 右辺はでしか押さえられない. また, この形の評価から, IDS の H\"older 連続性が導かれる.
口$L^{2}(\Lambda)$$H^{\omega}$$\eta^{1/q}$$\eta$$|\Lambda|^{2}$\S 2. Spectral shift function の Lp-評価をヒル
この証明における新しいアイデアは, spectral shift function の $IP$ -評価である. $A,$ベルト空間上の自己共役作用素でを満たすものとする. ここで, J。は次数$\alpha>0$ のトレース・イデアルの空間である.
ですると,$A_{0}$$V\equiv A-A_{0}\in \mathrm{J}_{1}$$\mathfrak{X}$$\xi(\lambda)=\xi(\lambda;A, A_{0})\in L^{1}(\mathbb{R})$$\mathrm{R}(f(A)-f(A_{0}))=-\int f’(\lambda)\xi(\lambda)d\lambda$,$(\forall f\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}))$

を満たすものが存在する. これを SSF(spectral shift function) と呼ぶ (cf. [Y]). 具体的には, SSF は$\xi(\lambda;A, A_{0})=\lim\arg\det(1\underline{1}+V(A_{0}-\lambda-i\epsilon)^{-1})$$\pi\epsilon\downarrow 0$という公式で構或される. SSF は$||\xi(\cdot;A,A_{0})||_{L^{1}(\mathrm{R})}\leq||V||_{\mathrm{J}_{1}}$を満たすことが知られている. ここで, 右辺のトレースノルムは, $V$ の singular values を $\{l^{l}j(V)\}$として$||V||_{9_{1}}‘=( \sum$l j(V)c\iota )l/。

3で定義される. 実際, Birman-Klein はこの公式をランク 1 の摂動の場合に示して, その繰り返しを用いて一般の場合の SSF の存在を証明している. 我々のアイデアは, 同様の手続きを U-評価について行う, という単純なものである.
まず, Birman-Klein の議論を復習しておこう. ランク 1 の場合から始める. つまり$V\varphi=\mu\langle\varphi, u\rangle u$,$\lambda\in \mathbb{R},u\in \mathcal{H},$$||u||=1$ ,の場合に SSF $\xi(\lambda;A, A_{0})$ を考える. すると$\int\xi(\lambda;A, A_{0})d\lambda=\mu$,$|\xi(\lambda;A, A_{0})|\leq 1$が成立することが知られている (cf. [Y]). 一般に$V= \sum_{j}V_{j}$,$V\in\sigma_{1}$$V_{j}\varphi=\mu_{j}\langle\varphi, u\rangle u$(’)$(\forall\lambda\in \mathbb{R})$の場合には$(||u||=1,j=1, \ldots, \sum|\mu_{j}|<\infty)$と表現すれば,$\xi(\lambda;A, A_{0})=\sum_{j=1}^{\infty}\xi(\lambda;Aj, Aj-1)$

である.の意味であり,を意味する. そこで, Riesz-Thorin の補間定理を用いるとにより SSF が構或できる. 無限和の収束はは, $||V||_{L^{1}}=\mu,$ $||V||_{L}\infty\leq 1$( $V$ がランク 1 の摂動の場合は)さて,$(^{*})$$(Aj=A0+ \sum_{k=1}^{j}V_{k})$$\xi(\cdot, A, A_{0})\in L^{1}(\mathbb{R})$$L^{1}(\mathbb{R})$$||\xi(\cdot;A, A_{0})||_{L^{p}}\leq\mu^{1/p}$$(1\leq p\leq\infty)$が成立することが分かる. これを, 上の議論と組み合わせると,として, もし $\sum\mu_{j}^{1/p}<\infty$ ならば$V\in \mathrm{J}_{1},$$V$のsingular values を$\{\mu_{j}\}$$|| \xi(\cdot;A, A_{0})||_{L^{p}}\leq\sum_{j=1}^{\infty}||\xi(\cdot;A_{j}, A_{j-1})||_{L^{p}}\leq\sum_{j=1}^{\infty}\mu_{j}^{1/p}<\infty$がしたがう. 以上の議論はやや形式的だが, 正当化は簡単にできて, 次の定理が導かれる.
定理 2. もし $q>1$ に対して $A-A_{0}\in 0_{1/q}$ を満たすならば $\xi(\cdot;A, A_{0})\in L^{q}(\mathbb{R})$ . さらに,$||\xi||_{L^{q}}\leq||A-A_{0}||_{\mathrm{J}_{1/q}}$.

[注意] この評価は, $q=1$ の場合は, 上に述べた Birman-Krein による古典的な評価である. 既に,口
この結果の精密化が B. Simon と D. Hundertmark によって発表されている ([HS]).

\S 3. 定理 1 の証明のスケッチと書くことにする. $E_{0}\in G\equiv$
はしぼしば省略される. 例えば,$[B_{-}, B_{+}]$とする. $H_{\Lambda}-H_{0}$ はコンパクトな台を持ち, 相対コンパクトな摂動なので, $G$ 内の(有限個) との固有値をの固有値は有限個である. $G$ 内の, 固有関数を

以下では,$\omega\in\Omega$$H_{\Lambda}=H_{\Lambda}^{\omega}$$H_{\Lambda}$$E_{1},$ $E_{2},$$H_{\Lambda}$

書く.

$\rho\in C^{\infty}(\mathbb{R})$$\ldots$$\psi_{1},$を, [分小さな $\eta>0$ に対して

1,$\rho(\lambda)=\{$$()$.

$(\lambda\leq-\eta/2)$,$\circ\leq\rho(\lambda)\leq 1$$(\lambda\geq r_{1}/2)$.

$(\lambda\in \mathbb{R})$$\psi_{2},$$\ldots$

4を満たす単調非増大関数とする. 区間の定義関数を$I$$\chi_{I}$と書く. すると$(\lambda\in \mathbb{R})$$\chi_{[E_{0}-\eta/2,E_{0}+\eta/2]}(\lambda)\leq\rho(\lambda-(E_{0}+\eta))-\rho(\lambda-(E_{0}-\eta))$なので, スペクトル定理により$E_{[E_{0}-\eta/2,E_{0}+\eta/2]}(H_{\Lambda})\leq\rho(H_{\Lambda}-(E_{0}+\eta))-\rho(H_{\Lambda}-(E_{0}-\eta))$を得る. ここで, スペクトル測度を($H_{\Lambda}$$E_{I}(H_{\Lambda})$と書いた. したがって内の固有値の個数)の $[E_{0},\eta/2,$ $E_{0}+\eta/2]$$=\mathrm{R}(E_{[E_{0}-\eta/2,E_{0}+\eta/2]}(H_{\Lambda}))\leq \mathrm{R}(\rho(H_{\Lambda}-E_{0}-\eta)-\rho(H_{\Lambda}-E_{0}+\eta))$を得る. 両辺の期待値を取ると, Chebyshev の不等式により($\mathrm{P}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\sigma(H\Lambda), E\mathrm{o})<\frac{\eta}{2})\leq \mathrm{E}$$H\Lambda$の$[E_{0},$ $\eta/2,$$E_{0}+\eta/2]$内の固有値の個数)$\leq \mathrm{E}(\mathrm{R}(\rho(H_{\Lambda}-E_{0}-\eta)-\rho(H_{\Lambda}-E_{0}+\eta)))$がしたがう. そこで, 定理 1 の証明のためには右辺を評価すればよい. 右辺のトレースを次のように変形する.
$\mathrm{R}(\rho(H_{\Lambda}-E_{0}-\eta)-\rho(H_{\Lambda}-E_{0}+\eta))=-\int_{-\eta}^{\eta}\mathrm{h}(\rho’(H_{\Lambda}-E_{0}+\lambda))d\lambda$.

右辺の被積分項を書き下すと,$\mathrm{n}(\rho’(H_{\Lambda}-E_{0}+\lambda))=\sum_{j}(\rho’(H_{\mathrm{A}}-E_{0}+\lambda)\psi_{j}, \psi_{j})=\sum_{j}\rho’(E_{j}-E+\lambda)$に関すとなる. ここで, Wegner のアイデアにしたがって, エネルギーに関する微分を確率変数もの関数と考える. するとる微分に書き換えることを考える. $V_{\Lambda}= \sum_{n\in\Lambda}\lambda_{n}v(x-n)$ を$\lambda_{n}$$E_{j}$$\lambda_{n}$$\lambda_{n}$の関数と見なせる. すると,$\sum_{n\in\Lambda}\frac{\partial}{\partial\lambda_{n}}\rho(E_{j}-E_{0}-\lambda)=\rho’(E_{j}-E_{0}-\lambda)\sum_{n\in\Lambda}\frac{\partial E_{j}}{\partial\lambda_{n}}$一方, $Ej$ は$H_{0}+V_{\Lambda}$の固有値なのだから, 固有値の摂動論より.

$\frac{\partial E_{j}}{\partial\lambda_{n}}=\langle\frac{\partial V_{\Lambda}}{\partial\lambda_{n}}\psi_{j},\psi_{j}\rangle=(v(x-n)\psi_{j},\psi_{j}\rangle$

したがって$\psi_{j}\rangle$$\sum_{n\in\Lambda}\frac{\partial E_{j}}{\partial\lambda_{n}}=\langle(\sum_{n\in\Lambda}v(x-n))\psi_{j},$を得る.
補題 3. $c>0$ が存在して, 任意の$j$, A に対して.

$\langle(\sum_{n\in.\backslash }v(x-r\iota))\psi_{j}.\psi_{j}\rangle\geq Ci$.

閂5
この補題は, Kirsch-Stollmann-Stoltz [KSS] の方法に従って証明される.
より (に注意して)これを用いると,$\rho’(\lambda)\leq 0$$(^{**})$$- \rho’(E_{j}-E_{0}-\lambda)\leq c^{-1}\sum_{n\in\Lambda}(-\frac{\partial}{\partial\lambda_{n}}\rho(E_{j}-E_{o}-\lambda))$が分かる. この両辺の期待値を取り,$j$について和を取って$\lambda$.

に関し積分すると$- \sum_{j}\int_{-\eta}^{\eta}\mathrm{E}(\rho’(E_{j}-E_{0}-\lambda))d\lambda\leq c^{-1}\sum_{j}\sum_{n\in\Lambda}\int_{-\eta}^{\eta}\mathrm{E}(-\frac{\partial}{\partial\lambda_{n}}\rho(E_{j}-E_{o}-\lambda))$を得る. 一方, E $()$ は密度関数を用いて$h(\lambda)$.

$\mathrm{E}(g(\{\lambda_{n}\}))=\int\cdots\int g(\{\lambda_{n}\})\prod_{k}h(\lambda_{k})d\lambda_{k}$と書けるので,$\mathrm{E}(-\frac{\partial}{\partial\lambda_{n}}\rho(E_{j}-E_{0}-\lambda))=\int\cdots\int(-\frac{\partial}{\partial\lambda_{n}}\rho(E_{j}-E_{0}-\lambda))\prod_{k}h(\lambda_{k})d\lambda_{k}$$\underline{<}\int\cdots\int(-\frac{\partial}{\partial\lambda_{n}}\rho(E_{j}-E_{0}-\lambda))(\prod_{k\neq n}h(\lambda_{k})d\lambda_{k})||h||_{L^{\infty}}d\lambda_{k}$$=||h||_{L^{\infty}} \int\cdots\int(\rho(E_{j}^{m,n}-E_{0}-\lambda)-\rho(E_{j}^{M,n}-E_{0}-\lambda))\prod_{k\neq n}h(\lambda_{k})d\lambda_{k}$ここで,$H_{\Lambda}$$E_{j}^{m,n}$

とおいた時の,は $\lambda_{n}=m\equiv\min(\lambda_{n})$の $j$ -番目の固有値である.

$E_{j}^{\Lambda I,n}$.

は $\lambda_{n}=M\equiv\max(\lambda_{n})$ とおいた時のここで, 対応するシュレディンガー作用素を$H_{\Lambda}^{m,n},$$H_{\Lambda}^{M,n}$と書くことにすると,$H_{\Lambda}^{M,n}-H_{\Lambda}^{m,n}=(M-m)v(x-n)\in C_{0}(\mathbb{R}^{d})$である. これに対して (形式的に)$\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{F}$の Lp-理論を適用すると$\sum_{j}(\rho(E_{j}^{m,n}-E_{0}-\lambda)-\rho(E_{j}^{M,n}-E_{0}-\lambda))$$=\mathrm{h}(\rho(E_{j}^{m,n}-E_{0}-\lambda)-\rho(E_{j}^{M,n}-E_{0}-\lambda))$$— \int\rho’(t-E_{0}-\lambda)\xi(t;H_{\mathrm{A}}^{m,n}, H_{\Lambda}^{M,n})dt$$\leq||\rho’||_{L^{p’}}||\xi(\cdot;H_{\Lambda}^{m,n}, H_{\Lambda}^{M,n})||_{L^{p}}\leq C_{p}(\int|\rho’|d\lambda)^{1/p’}=C_{p}’\eta^{-1/p}$を得る. ここで, $1/p+1/p’=1,$のみ依存する. 実際はきる. これより$C_{p},$$C_{p}’$

は $p$ にのみ依存する定数であり, $||\xi(\cdots)||_{L^{p}}$ は $p$ と$H_{\Lambda}^{l\mathfrak{l}\mathit{4},n}-H_{\Lambda}^{m,n}\not\in \mathrm{J}_{p}$$v$にであるが, レゾルベントを用いて上記の計算は正当化で$\sum_{j}\mathrm{E}(-\frac{\partial}{\partial\lambda_{n}}\rho(E_{j}-E_{0}-\lambda))\underline{<}||h||_{L\infty}C_{p}’\eta^{-1/p}$が導かれる. 以沖を組み合わせて$\mathrm{P}((1\mathrm{i}_{\iota}\mathrm{s}\mathrm{t}(\sigma(H_{\Lambda}), E_{0})<\frac{\eta}{2})\leq \mathrm{E}(i\mathrm{R}(\rho(H_{\Lambda}-E_{0}-\eta)-\rho(H_{\Lambda}-E_{0}+\eta)))$$\leq c:-1\sum_{j}.\sum_{\iota\iota\in.\backslash }./-\cdot|\prime \mathrm{E}(-\frac{\acute{\epsilon}l}{\dot{\mathrm{e}}l\lambda_{\gamma 1}}\rho(E_{j}-E_{o}-\lambda))d\lambda$$\leq \mathrm{r}^{--1}.|\Lambda|(2\tau l)\cdot||l_{l}||_{\propto C_{l}’,=C\prime},_{I}’\prime_{l^{-1/p}}l^{1/\mu’}|\Lambda|$が得られ. $(/=J)-|$ とおけば, ’\perp ..-理 1 の不等式がしたがう.

口6
参考文献
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[KSS] W. Kirsch, P. Stollmann, and G. Stolz: Localization for random perturbations of periodic
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