数理解析研究所講究録924 巻 1995 年 254-262

254

R\’ealisation des modules irr\’eductibles ayant un poids dominant dansdes espaces des fonctions analytiques
Yi ZHUet soitune sous alg\‘ebre de Cartan deune alg\‘ebre de Lie simple sur , soit
Soit
, nous donnons une r\’ealisation du g-modulebre de Lie . Pour tout
un groupe connexe
irr\’eductible de poids dominant dans un espace de fonctions analytiques au voisinage de l’\’el\’ement neutredans . Lorsque est le caract\‘ere de certaines sous alg\‘ebres de Levi ayant des propri\’et\’es particuli\‘eres,nous obtenons plusieurs r\’ealisations distinctes du m\^eme module.
R\’esum\’e$\mathrm{C}$-$\mathfrak{h}$$G$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$$\nu\in \mathfrak{h}^{*}$$\mathrm{d}^{)}\mathrm{a}\grave{\mathrm{e}}$$\mathfrak{g}$

$\nu$

$G$

$\nu$

A realization of irreducible highest weight module in a space ofanalytic functions

be a simple Lie algebra overconnected group with Lie algebra . For all
Abstract-Let$\mathrm{C}$$\mathfrak{g}$, let$\mathfrak{h}$be a Cartan subalgebra of$\mathfrak{g}$and let$G$be a

we give a realization of irreducible -module within a space of analytic functions near the origin in . If is the character of some Levi$\nu\in \mathfrak{h}^{*}$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$highest weight
subalgebras having specific properties, we obtain several distinct realizations of the same module.
$\nu$

$G$

$\nu$

Soit une alg\‘ebre de Lie simple complexe de dimension finie, et soit une sous alg\‘ebre deCartan de . Soit un groupe connexe complexe d’alg\‘ebre de Lie . On note le syst\‘eme, et on fixe une base de . Soit une partie de .
de racines de la paire
par les \’equations suivantes:
On d\’efinit l’\’el\’ement$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}$$\mathrm{g}$$G$$\prime \mathcal{R}$$\mathfrak{g}$$\Psi$$(\mathfrak{g}, \mathfrak{h})$$\Psi$$\theta$$\mathcal{R}$$H_{\theta}$si
si$\alpha(H_{\theta})=2$$\alpha(H_{\theta})=0$$\alpha\in\Psi\backslash \theta$$\alpha\in\theta$.

On pose \’egalement$d_{p}(\theta)=\{X\in \mathfrak{g}, [H_{\theta},X]=2pX\}$.

On a ainsi$\mathfrak{g}=\oplus_{p\in}\mathrm{z}d_{p}(\theta)$.

On pose$\mathfrak{n}_{\theta}^{-}=\oplus_{p0}<d(p)\theta,$

La sous alg\‘ebre parabolique$\mathfrak{p}_{\theta}$$\mathfrak{l}_{\theta}=d_{0}(\theta),$associ\’ee \‘a$\theta$$d\lambda$

est un caract\‘ere de$\downarrow\theta$, on peut \’etendre$d\lambda$$d\lambda(l+n)=d\lambda(l),$Tous les caract\‘eres de$1_{\theta}$.

est d\’efinie par$\mathfrak{p}_{\theta}=1_{\theta}+\mathfrak{n}_{\theta}^{+}$

Si$\mathfrak{n}_{\theta}^{+_{=}}\oplus p>0d(p\theta)$.

trivialement sur$l\in(_{\theta},$$n\in \mathfrak{n}_{\theta}^{+}$$\mathfrak{p}_{\theta}$

en posant.

peuvent \^etre ainsi consid\’er\’es comme des caract\‘eres de$\mathfrak{p}_{\theta}$

.

255

. –On

$\mathrm{D}_{\mathrm{E}\mathrm{F}}\prime \mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{l}\mathrm{o}1([1])$s’il existe un-trip let.

que

$dit$

$\acute{e}le^{\text{ノ}}mentI+\in d_{1}(\theta)$

est un espaceet un e’le’ment

de Dynkin-Kostant$I^{-}\in d_{-1}(\theta)$ tels que
est un$(\mathrm{I}_{\theta}, d_{1}(\theta))$$pr\acute{e}h_{omo}g\grave{e}ne$$(I^{-}, H_{\theta}, I+)$

$sl_{2}$On suppose dans tout ce paragraphe que la couple
de Dynkin-Kostant.

est un espace pr\’ehomog\‘ene$((_{\theta}, d_{1}(\theta))$

REMARQUE 2
Les espaces pr\’ehomog\‘enes de ce type (Dynkin-Kostant) avaient d\’eja \’et\’e conside’re’s par
Rubenthaler [2] qui en avait donn\’e une caracte’risation (Proposition 1.3.8 , p. 31).
Une \’etude d\’etaill\’ee des espaces
de Dynkin-Kostant se trouve dans [1].
Les parties correspondant \‘a des espaces de Dynkin-Kostant comprennent les parties
admissibles au sens de [3]. Donc notamment la partie(qui correspond \‘a la sous alg\‘ebre
de Borel) de’finit un espace pr\’ehomog\‘ene de Dynkin-Kostant.
$a)$

$b)$

$pr\acute{e}h_{om}og\grave{e}nes$$c)$$\theta$$\theta=\emptyset$

Soit$w=\exp c^{I^{+}\mathrm{e}}\mathrm{x}\mathrm{p}GI^{-}\exp_{G}I^{+}\in G$

Soit
la sous alg\‘ebre engendr\’ee par le-tripletgroupe analytique decorrespondant \‘a 52. Puisquel’isomorphisme
donn\’ee par
de
sur
$G$

$sl(2, \mathrm{c})$$d\varphi$$SL(2, \mathrm{c})$$S_{2}$$\epsilon_{2}$$\mapsto I^{-}$ , $\mapsto I^{+}$ ,nous donne un morphisme desur .
On notera que
est l’\’el\’ement neutre du groupe$SL(2, \mathrm{c})$$\varphi$$\mathrm{A}\mathrm{d}w(\mathfrak{n}_{\theta})+=\mathfrak{n}_{\theta}^{-},$$\mapsto H_{\theta}$$S_{2}$$w^{4}$$\mathrm{A}\mathrm{d}w(\iota_{\theta})=\mathfrak{l}_{\theta},$, et soit

le sousest simplement connexe,$(I^{-}, H_{\theta}, I+)$

$sl_{2}$$\epsilon_{2}$.

$G$

et que$\mathrm{A}\mathrm{d}w(I^{+})=I^{-}$$w^{2}\in\exp_{G}\mathfrak{h}$, et. Et on a$\mathrm{A}\mathrm{d}w(I^{-})=I^{+}$.

,,
les sous groupes analytiques correspondant respectivement \‘a, soitun caract\‘ere de . Soit
le normalisateur dedans . Soientlerev\^etement
de
et :
la
canonique. Soit
le sous groupeded’alg\‘ebre de Lie . Le groupe
est le rev\^etement universel de . Soit:
la projection canonique.

Soient$N_{\theta}^{+}$$\mathfrak{n}_{\theta}^{+},$$L_{\theta}$$N_{\theta}^{-}$$d\lambda$$\mathfrak{l}_{\theta}$$\mathrm{r}_{\theta}$$\mathfrak{n}_{\theta}^{-},$$\mathrm{u}\mathrm{n}\underline{\mathrm{i}\mathrm{v}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{l}$$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}\underline{\mathrm{y}\mathrm{t}\mathrm{i}}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{e}$$\pi_{1}$$P_{\theta}$$\pi$$P_{\theta}$$P_{\theta}arrow P_{\theta}$$P_{\theta}$$G$$\mathfrak{p}_{\theta}$$\overline{P_{\theta}}$$\overline{L_{\theta}}$$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\underline{\mathrm{j}\mathrm{e}}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$L_{\theta}$$\iota_{\theta}$$L_{\theta}$$L_{\theta}arrow L_{\theta}$

Pour tout groupe , on note$J$

$e_{J}$

l’\’el\’ement neutre de

$J$

.

Si
est l’\’el\’ement neutrede, on choisit un voisinage ouvert
satisfaisant les conditions suivantes:$w^{2}$$e_{G}$

1-I1 existe une section$\sigma_{1}$:$Varrow\overline{L_{\theta}}$$S_{2}$

de l’application$\pi_{1}$tel que$V\subset L_{\theta}$$\sigma_{1}(e_{L_{\theta}})=e_{L_{\theta}}\sim$.

de$e_{L_{\theta}}$256$2-V^{-1}=V$.

n’est pas l’e’le’ment neutre deSisatisfaisant les conditions suivantes:$w^{2}$

l’-n existe une section$2’-V_{1}^{-1}=V_{1}$.

$3’-w^{2}V1w^{2}=V_{1}$.

$4’-V_{1^{\cap w^{2}V_{1}}}=\emptyset$$\sigma_{1}$:$V_{1}arrow\overline{L_{\theta}}$$S_{2}$, on choisit un voisinage ouvert

de l’application$\pi_{1}$tel que$V_{1}\subset L_{\theta}$$\sigma_{1}(e_{L_{\theta}})=e_{\overline{L_{\theta}}}$de$e_{L_{\theta}}$.

.

Dans ce dernier cas on pose
$V=V_{1}\cup w^{2}V1$. On posetel queSoit\‘ade la mani\‘ere suivante:
l’application$w^{2}=\exp_{L_{\theta}}h$$h\in \mathfrak{h}$$\sigma_{1}$.

$w_{1}^{2}=\exp_{L_{\theta}}\sim h$. On a$\pi_{1}(w_{1}^{2})=w^{2}$. On \’etend$V$$\sigma_{1}(w^{2}g)=w\sigma 1(12g),$

Il est facile de voir que$(\sigma_{1}, V)$$g\in V_{1}$.

est une section de l’application$\pi_{1}$.

, l’ensemble est donc un voisinage ouvert de l’\’el\’ement neutre deOn posede l’application .
sur lequel il existe une section :$O$$O=VN_{\theta}^{+}$$\mathit{0}arrow\overline{P_{\theta}}$$\pi$$\sigma$

LEMME 3. –L’ensemble
on a $\exp c(-I^{-})\in\Omega$ et $\exp c(I^{-})\in\Omega$ .

$\Omega=N_{\theta}^{-}\cap w^{-1}N^{-O}\theta$

Soit$d\lambda_{w}$le caract\‘ere de$1_{\theta}$

est un ouvert non vide de$\lambda_{w}$$N_{\theta}^{-}.$

En particulier,d\’efini par$d\lambda_{w}(x)=-d\lambda(\mathrm{A}\mathrm{d}(w^{-1})X),$Soit$P_{\theta}$(resp. ) le caract\‘ere de$\lambda$$\overline{L_{\theta}}$correspondant \‘a$x\in \mathfrak{l}_{\theta}$$d\lambda_{w}$(resp.

.
$d\lambda$). Pour $g\in O$ , on a donc$\lambda_{w}(\sigma(g))=\lambda^{-}1(\sigma(w-1gw))=\lambda(\sigma(w-1g^{-}w1))$.

On va rappeler la construction de Rubenthaler d’un invariant relatif de la repre’sentation. ( (th\’eor\‘eme 1.4.2 et remarque 1.4.3) et [4]).
Soient et les applications d\’efinies sur par$(L_{\theta}, \mathfrak{n}_{\theta}^{-})$$\tilde{\gamma}$$[2]$$\Omega$$\tilde{p}$$wv=\tilde{\gamma}(v)\tilde{p}(v)$avec$\tilde{\gamma}(v)\in N_{\theta}^{-}$

et$\tilde{p}(v)\in O$

LEMME 4. –L’application.

$\tilde{\gamma}$

est une bijection de$\Omega$sur$\Omega$.

257

l’application inverse de .

On note$\tilde{\gamma}^{-1}$Soit

la fonction d\’efinie sur$f_{\lambda_{w}}$$\tilde{\gamma}$$\Omega$par$f_{\lambda_{w}}(v)=\lambda_{w}(\sigma(\tilde{p}(v)))$

La fonction
sur$f_{\lambda_{w}}$,

est analytique sur puisqueet le sont. (C’est cette fonction d\’efinie
lorsque est un caract\‘ere de , qui \’etait consid\’er\’ee dans [2].)$\Omega$$N_{\theta}^{-}\cap w^{-1}N_{\theta^{-}}P\theta$

LEMME 5. –Pour$\lambda_{w}$$\lambda$$L_{\theta}$

et$v\in\Omega$$X\in 1_{\theta},$$\tilde{p}$$t$assez petit, on a$f_{\lambda_{w}}(\exp_{c}(tx)v\exp c(-tX))=\lambda\lambda_{w}(\sigma(\exp G(-tx)))f\lambda_{w}(v)$Nous d\’efinissons \‘a pr\’esent l’espacede poids dominant en posant$H(\lambda)$

o\‘u nous$\mathrm{a}\mathrm{U}_{\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{S}}$r\’ealiser le$\mathrm{g}$.

-module irr\’eductible$\lambda$$H(\lambda)=${$h:\Omega Oarrow \mathrm{C}|h$est analytique, $h(nq)=\lambda_{w}(\sigma(q))h(n),$ $q\in O,$$n\in\Omega$}, pour assez petit et $nq\in\Omega O$ fix\’e, le produit $(\exp-tx)nq$ est encore dans
Soit
, ce qui permet de d\’efinir $(\exp tX.h)(nq)$ par$X\in \mathrm{g}$$t$$\Omega O$$\exp tX.h(nq)=h((\exp-tX)nq)$

On d\’efinit alors(X. ) $(nq)= \frac{d}{dt}1t=0|(\exp tX.h)(nq)=\frac{d}{dt}ht=0((\exp-tX)nq)$$h$Nous avons ainsi muni
d’une structure de g-module.
Notons que si
d\’esigne l’espace des fonctions analytiques sur , l’application restriction\‘ades fonctions depermet d’identifier. Ceci permet de consid\’ereret\’el\’ement$q\inO$
comme undeen posant pour,et$H(\lambda)$$H(\Omega)$$H(\lambda)$$\Omega$$\Omega$$n\in\Omega$$H(\lambda)$$f_{\lambda_{w}}$$H(\Omega)$$H(\lambda)$$f_{\lambda_{w}}(nq)=\lambda(w\sigma(q))f\lambda w(n)$.

On pose \’egalement$W(\lambda)=\mathcal{U}(_{\mathrm{B}})f_{\lambda_{w}}$C’est un sous -module de$\mathrm{g}$

LEMME 6. –la fonction$f_{\lambda_{w}}$$H(\lambda)$.

.

est un vecteur primitif de poids$d\lambda$

.

258

LEMME 7. –Soit$v\in\Omega$, on a$w^{-1}v=\tilde{\gamma}^{-1}(v)(\tilde{p}(\tilde{\gamma}^{-}1(v)))^{-}1$

Soit$\gamma$l’application de$\mathrm{R}\backslash \{0\}$dans$SL(2, \mathrm{C})\mathrm{d}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}\mathrm{n}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}$.

par$s\mapsto\gamma(s)=$ .

LEMME 8. –On a$\varphi\gamma(t)=\tilde{\gamma}(\exp s_{2}(tI-))$ou ). On note aussi
la multiplication \‘a droite par (dans $SL(2,$, alors on adiff\’erentielle de au point . On note l’\’el\’ement neutre de(donc aussi l’e’le’ment neutre deest l’\’el\’ement neutre de
On remarque queau point .
la diff\’erentielle denote

On note$R_{g}$$\mathrm{c})$

$g$

$e$

$g$

$\varphi$$(dR_{g})_{x}$$(d\varphi)_{g}$$SL(2, \mathrm{c})$$d\varphi_{e}=d\varphi$$S_{2}$$\varphi(e)$la$S_{2}$

$G$

.
). On

$x$

$R_{g}$

LEMME 9. –On a$(d\tilde{\gamma}^{-1})_{\varphi}(\gamma(s))((dR_{\varphi(\gamma}(s)))_{\varphi(}e)I^{-})=s(2dR_{\mathrm{e}}\mathrm{x}\mathrm{p}_{S_{2}}SI^{-}))\varphi(e)I^{-}$

LEMME 10. –Soit $f\in H(\lambda)$ , soit
suivante$s\in \mathrm{C}$tel que$\exp_{S_{2}}sI^{-}\in\Omega$$I^{+}.f(\exp s2SI^{-})=0$

. Si

$f$

satisfait,

alors on a$(df)\exp S2sI^{-}((dR\exp s_{2}sI-)_{\varphi}(\mathrm{e})I^{-})=-s^{-2}Af(\exp_{s_{2}}sI^{-})$.

O\‘u$A=\underline{d}$$(\lambda w(\sigma((\tilde{p}(\tilde{\gamma}^{-}1(\exp s2I^{-}t\tilde{\gamma}(\exp s2sI-)))-1(\tilde{p}\exp_{s_{2}}SI-))))$$dt_{1_{t=0}}$

est une constante qui ne d\’epend pas de$f$.

$l^{f}\acute{e}quation$

259

Preuve: D’apr\‘es l’hypoth\‘ese, on a$0=(-I^{+}).f( \exp s_{2}sI^{-})=\frac{d}{dt}f(\exp s2\mathrm{p}tI+S\mathrm{e}\mathrm{x}s_{2}I-)1\iota=0$$=\underline{d}$$f(w^{-1}(w\exp s2w^{-1}tI+)(w\exp_{s}2I^{-}S))$$dt_{1_{t=0}}$$=\underline{d}$$f(w^{-1}\exp(t(\mathrm{A}\mathrm{d}w)I+)\tilde{\gamma}(\exp_{S_{2}}sI^{-})\tilde{p}(\exp s_{2}sI^{-}))$$dt_{1_{t=0}}$$=\underline{d}$$f(w^{-1}\exp s_{2}tI-_{\tilde{\gamma}(I^{-}}\exp_{s}2s)\tilde{p}(\exp_{S_{2}}sI^{-}))$$dt_{1_{\iota=0}}$d’apr\‘es le lemme 7$=\underline{d}$$[f(\tilde{\gamma}^{-1}(\exp s_{2}tI^{-}\tilde{\gamma}(\exp_{s_{2}}sI^{-}))$$dt_{1_{t=0}}$$(\tilde{p}(\tilde{\gamma}^{-1}(\exp S2I^{-}t\tilde{\gamma}(\exp s_{2}sI-))))^{-1}\tilde{p}(\exp_{S}2I^{-}s))]$$=\underline{d}$$[f(\tilde{\gamma}^{-1}(\exp s_{2}It-_{\tilde{\gamma}(I^{-}}\exp s2)s))$$dt_{1_{\iota=0}}$$\lambda_{w}(\sigma((\tilde{p}(\tilde{\gamma}^{-}1(\exp s_{2}tI-\tilde{\gamma}(\exp s2sI-))))-1\tilde{p}(\exp_{s}2SI^{-})))]$

D’apr\‘es le lemme 8, on a$\tilde{\gamma}(\exp_{S_{2}}SI^{-)}=\varphi(\gamma(s))$. On obtient$0=(-I^{+}).f(\exp_{s_{2}}sI^{-})$$= \lambda_{w}(\sigma((\tilde{p}(\exp s_{2}SI-))^{-1}\tilde{p}(\exp S_{2}sI-))))(\frac{d}{dt}|_{\iota 0}=f(\tilde{\gamma}^{-}(1I^{-}\exp s_{2}t\varphi(\gamma(s)))))$$+f( \exp_{s_{2}}sI-)\frac{d}{dt}|\iota=0(\lambda w(\sigma((\tilde{p}(\tilde{\gamma}^{-}1(\exp s_{2}tI^{-}\tilde{\gamma}(\exp s_{2}sI-))))^{-1}\tilde{p}(\exp s_{2}SI-))))$$=(df)\exp s_{2^{S}}I^{-}((d\tilde{\gamma}^{-1})_{\varphi}(\gamma(s))((dR_{\varphi(\gamma}(S)))\varphi(e)(I^{-)}))+Af(\exp s_{2}SI^{-)}$

O\‘u$A=\underline{d}$$(\lambda(w\sigma((\tilde{p}(\tilde{\gamma}^{-}(1\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{x}s_{2}tI-_{\tilde{\gamma}(I^{-}}\exp_{s}2s)))-1(\tilde{p}\exp_{s}2SI^{-}))))$$dt_{1_{\ell=0}}$

En utilisant le lemme 9, On obtient$0=s^{2}(df)_{\mathrm{e}}\mathrm{x}\mathrm{p}_{s_{2}}SI-((dR_{\mathrm{e}\mathrm{x}}\mathrm{p}_{s_{2}}sI^{-})_{\varphi(\mathrm{e})}I^{-})+Af(\exp_{s_{2}}SI^{-)}$

On a donc$(df)\exp s_{2^{S}}I^{-}((dR_{\exp_{s_{2^{SI}}}}-)_{\varphi(\mathrm{e})}I^{-})=-S^{-2}Af(\exp s_{2}SI^{-)}$

LEMME 11. –Soit, pour$a$

une forme lin\’eaire sur , soit $f\in H(\lambda)$ telle que,$\mathfrak{h}$

$\mu$

.

$\square$$H_{\theta}.f=\mu(H_{\theta})f$$\exp_{S_{2}}sI^{-}\in\Omega$$(df)_{\exp}S_{2}sI^{-}((dR_{\mathrm{e}\mathrm{x}}- \mathrm{p}_{S}I2^{S})_{\varphi(\mathrm{e})}I-)=\frac{1}{2s}(d\lambda_{w}(H_{\theta})+\mu(H_{\theta}))f(\exp_{s_{2}}SI^{-)}$

.

. On

260

Preuve: D’apr\‘es les hypoth\‘eses, pour$\exp_{S_{2}}sI^{-}\in\Omega$, on a$H_{\theta}.f(\exp s_{2}SI^{-)}=\mu(H_{\theta})f(\exp s_{2}SI^{-)}$

$(*)$

.

Or on a$H_{\theta}.f( \exp_{S}2Is-)=\frac{d}{dt}|_{t}=0f(\exp-tH_{\theta \mathrm{p}s_{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}SI^{-)}$$=\underline{d}$$f(\exp-tH_{\theta \mathrm{p}_{S_{2}}}\mathrm{e}\mathrm{x}sI-\exp tH_{\theta}\exp-tH\theta)$$dt_{1_{t=0}}$$=\underline{d}$$f(\exp-tH_{\theta}\exp_{s}2IS-_{\mathrm{e}}\mathrm{x}\mathrm{p}tH\theta)\lambda_{w}(\sigma(\exp-tH_{\theta}))$$dt_{1_{\iota=0}}$$=\underline{d}$$f(\exp(e^{ad(}-tH_{\theta})(SI-)))\lambda w(\sigma(\exp-tH_{\theta}))$$dt_{1_{t=0}}$$=\underline{d}$$f(\exp(sI^{-}+2tsI^{-}))\lambda_{w}(\sigma(\exp-tH_{\theta}))$$dt_{1_{t=0}}$$=\underline{d}$$f(\exp(2tSI^{-})\exp(sI-))\lambda w(\sigma(\exp-tH_{\theta}))$$dt_{1_{\iota=0}}$$=2s(df)\exp_{ss_{2}}2^{SI}-((dR_{\mathrm{e}\mathrm{x}}\mathrm{p}sI-)_{\varphi}(e)I^{-})-d\lambda w(H\theta)f(\exp s2)SI^{-}$

En utilisant la formule $(*)$ , on a.

$((df) \exp s_{2}sI^{-}((dR_{\mathrm{e}\mathrm{x}}s\mathrm{p}I-2^{S})\varphi(e)I^{-})=\frac{1}{2s}(d\lambda w(H_{\theta})+\mu(H\theta))f(\exp_{S_{2}}sI^{-})$$\square$

PROPOSITION 12. –Soit $\exp_{S_{2}}sI^{-}\in\Omega$ . Si $f(\in H(\lambda))$ est une fonction propre de poids
pour satisfaisant les conditions suivantes$\mathfrak{h}$$I^{+}.f(\exp_{s_{2}}SI^{-)}=0,$$f(\exp s_{2}sI^{-)}\neq 0$,

alors on a$\mu(H_{\theta})=-2s^{-}A1-d\lambda w(H_{\theta})$.

O\‘u $A$ est la constante ind\’ependante de $f$ d\’efinie dans le lemme 10.

Preuve : Puisque la fonction$f$satisfait les hypoth\‘eses du lemme 10, on a$(df)\exp s_{2^{S}}I^{-}((dR_{\exp_{s_{2^{SI}}}}-)_{\varphi(e)}I^{-})=-S^{-2}Af(\exp s_{2}SI^{-)}$

Puisque la fonction$f$.

satisfait les hypoth\‘eses du lemme 11, on a$(df) \exp s_{2^{S}}I^{-}((dR_{\mathrm{e}\mathrm{x}}\mathrm{p}_{S_{2}}sI^{-})_{\varphi(e)}I^{-})=\frac{1}{2s}(d\lambda_{w}(H_{\theta})+\mu(H_{\theta}))f(\exp_{s_{2}}SI^{-)}$

.

$\mu$

261

Ces deux \’equations montrent que$-s^{-2}Af( \exp s_{2}SI^{-})=\frac{1}{2s}(d\lambda w(H_{\theta})+\mu(H\theta))f(\exp_{S_{2}}sI^{-})$.

Puisque $f(\exp_{s_{2}}SI^{-})\neq 0$ , on a$\mu(H_{\theta})=-2s-1A-d\lambda_{w}(H_{\theta})$

Puisque les valeurs deformule suivante$f_{\lambda_{w}}$.

$\square$sont toujours non nulles, la proposition 12 nous donnent la(1)$d\lambda(H_{\theta})=-2s^{-1}A-d\lambda(wH_{\theta})$.

Supposons maintenant que est un autre vecteur primitif dedont le poids
strictement inf\’erieur \‘a , et consid\’erons
le sous -module propre deengendr\’e par .
$W(\lambda)$$\omega$$d\lambda$$E=\mathcal{U}(\mathfrak{g})\omega$$\mathrm{g}$

$\mu$

est

$W(\lambda)$$\omega$

LEMME 13.–Pour $s=1$ ou-l, il existe une fonction $h\in E$ satisfaisant $h(\exp_{S_{2}}SI^{-)}\neq 0$ .
.

Comme toute fonction dans
est somme de fonctions propres pour , on peut donc
supposer que est une fonction propre de poids pour et que le poids est maximal
parmi les poids des fonctions propres qui ne s’annulent pas au point $\exp_{S_{2}}sI^{-}(s=1$ ou$-1)$ . On a donc$E$$\mathfrak{h}$$h$$\mathfrak{h}$$\mu$$I^{+}.h(\exp_{s_{2}}SI^{-)}=0,$$\mu$$s=1$ ou $-1$ .

D’apr\‘es la proposition 12, on a(2)

$s=1$ ou $-1$ .

$\mu(H\theta)=-2s^{-1}A-d\lambda(wH_{\theta}),$D’aure part (1) et (2) nous donnent la formule(3)$d\lambda(H_{\theta})=\mu(H_{\theta})$

LEMME 14. –Le poids$\mu$

est de la forme$d \lambda-\sum\beta_{i}$

.

avec

$\beta_{i}(H_{\theta})\geq 2$.

Le lemme 14 montre que (3) est impossible. L’existence de nous donne une contradiction.
La fonction
est donc le seul vecteur primitif de(\‘a la multiplication par uneconstante). Le module
est donc irr\’eductible. On obtient ainsi le r\’esultat principal$\omega$$W(\lambda)$$f_{\lambda_{w}}$$W(\lambda)$$\mathrm{P}^{\mathrm{r}\grave{\mathrm{e}}\mathrm{S}}$suivant.
TH\’EOR\‘EME 15. –Le -module$\mathrm{B}$est le vecteur primitif associ\’e).

$W(\lambda)$

est irr\’eductible de poids dominant$d\lambda$(l’\’el\’ement$f\lambda_{w}$262

REMARQUE 16\’etait $commk\iota tative$ et de type classique, Suga [5] avait obtenu, parDans le cas o\‘u
un calcul cas par cas, un re’sultat analogue \‘a partir de l’invariant relatif global de l’espacepr\’ehomog\‘ene associ\’e. Nous avons par ailleurs montr\’e que sa m\’ethode s’\’etendait au cas
exceptionnel. La me’thode employ\’ee ici est diffe’rente.
et notre construction donne alors une r\’ealisation deon aDans le cas
est len’importe quel -module irr\’eductible ayant un poids dominant. Dans le cas o\‘u
, oncaract\‘ere de plusieurs sous alg\‘ebres de Levi ve’rifiant la condition de la-module de poids dominant .
distinctes
obtient autant de
est dominant, c’est \‘a dire qu’il correspond \‘a une repre’sentation deDans le cas o\‘udimension finie de , notre r\’esultat est bien s\^ur \‘a rapprocher $du$ classique th\’eor\‘eme de
Borel-Weil (voir par exemple Knapp [6], th\’eor\‘eme 5.9)
$a)$

$b)$

$\mathfrak{n}_{\theta}^{+}$$\mathfrak{g}$$\theta=\emptyset$$1_{\theta}=\mathfrak{h}$$d\lambda$$\mathrm{g}$$d\acute{e}finiti_{on}\mathit{1}$$r\acute{e}ali_{S}ati_{onS}$$c)$$du\mathrm{g}$$d\lambda$$d\lambda$$\mathrm{g}$Bibliographie.

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$PreSS_{\mathrm{z}}$Institut de Recherche Math\’ematique Avance’e(IRMA)
Universit\’e Louis Pasteur
7 rue Ren\’e Descartes
67084 Strasbourg cedex-mail: zhu@math.u-strasbg.fr$\mathrm{e}$