数理解析研究所講究録 1292 巻 2002 年 106-114

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Cohomogeneity one actions on symmetricspaces with atotally geodesic singular orbit
上智大学・理工学部. 田丸 博士 (Hiroshi Tamaru)

Sophia University0

要約

本稿では, 既約対称空間への cohomogeneity one action の中で, その特異軌道が全測地的部分多様体であるようなものの分類を紹介する. 特にグラスマン多様体の場合に, その結果を詳細に述べたい. 本稿は,大学 (英国) の J\"urgen Berndt 氏との共同研究 ([2])に基づいている.
$\mathrm{H}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}$1

導入
この節では, cohomogeneity one action の定義, 簡単な例, 知られている事実等について述べる.

定義 1.1 リーマン多様体への等長的作用が cohomogeneity one action であるとは, その非特異軌道の余次元が 1 となることである.

非特異軌道とは次元が最大の軌道のことであり, そうでない軌道を特異軌道と呼ぶ.
例 1.2 次の作用は cohomogeneity one action である :(i) SO (n) の自然な$\mathbb{R}^{n}$への作用. この場合, 特異軌道は {0} であり, 非特異軌道は $S^{n-1}$

である.

(ii)

の平行移動としてのへの作用. この場合, 特異軌道は存在せず, 非特異軌道はである.
のへの作用. この場合, 特異軌道は(iii) SO(k), 非特異軌道はその周りの
チューブ
である.
$\mathbb{R}^{n-1}$$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n-1}$$\cdot \mathbb{R}^{n-k}$$\mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n-k}$$\mathbb{R}^{n-k}\cross S^{k}$

我々は, 対称空間への cohomogeneity one action を分類することを目標としている. これは, 対称空間の等質超曲面を分類することと同値. 分類は, 次の orbit-equivalent と呼ばれる同値類において行う.

107
定義 13 群 $H$ および $H’$ がリーマン多様体 $M$ に等長的に作用しているとする. これらの作用が orbit-eqivalent であるとは, 全ての $H$ -軌道を H’-軌道にうつす等長変換が存在すること, e.g.,: $\forall p\in M,$ $f(H\cdot p)=H’\cdot f(p)$ .
$\exists f\in \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)$

事実 1.4 既約対称空間 $M$ への cohomogeneity one action {こ対し , 次が成り立つ :(i) $M$ がコンパクト型のとき, 特異軌道は 2 つ.
(ii) $M$ が非コンパクト型のとき, 特異軌道は 1 つも無いか, ただ 1 つあるかのいずれかである.

事実 1.5 対称空間への cohomogeneity one action は, 1 つの軌道で決まる.

すなわち, $H$ および $H$’ の $M$ への作用が cohomogeneity one action であるとき, 一つの $H$ -軌道をある $H’$ -軌道に移す等長変換が存在すればそれらの作用は orbit-equivalentである. つまり, 一つの軌道が決まれば, 他の軌道も自動的に決まることになる. これは一般の作用に関しては成立しない性質である.

2

知られている結果与えられたリーマン多様体 $M$ に対して, そこへの cohomogeneity one action を分類す
る, という問題は自然である. 実際, いくつかの ’》良い” 多様体に対しては古くから研究されており, 分類も知られている. 本節ではそれらについて述べる.
定理 21(Cartan [3]) 実双曲空間$\mathrm{R}\mathrm{H}^{n}$へのcohomogeneity one action は, 次の $n+1$個である :(i) $SO^{0}(n, 1)$ の岩沢分解の巾零部分 $N$ の作用. この作用の軌道は全て非特異であり, 軌
道の全体は horosphere foliation をなす.
(ii) $SO^{0}(n-1,1)$ の作用. この作用の軌道は全て非特異であり, それらは全測地的なとその equidistant な超曲面である.
, 非特異軌(iii) $SO^{0}(n-k, 1)\cross SO(k)$ の作用. この作用の特異軌道は全測地的な道はその周りのチューブである.
$\mathbb{R}\mathrm{H}^{n-1}$$\mathbb{R}\mathrm{H}^{n-k}$$\mathbb{R}\mathrm{H}^{n-k}\cross S^{k-1}$

この様相は, 例 12 で述べたユークリッド空間の場合と酷似している.
への cohomogeneity one action の全体は, 階数定理 2.2(Hsiang-Lawson [4]) 球面
2, 次元 $n+1$ の対称空間のイソトロピー表現の全体と 1:1 に対応する.
$S^{n}$

この対応は, 条件を満たす対称空間 $M=G/K$ に対し, $T_{o}M$ の単位球への $K$ の作用を考えることによって得られる. また, この作用によって得られる等質超曲面の主曲率は, 対
称空間 $M$ のルート系を使って計算できることが知られている.
また Kollross ([5]) によって, コンパクト型既約対称空間への cohomogeneity one actionが分類されている. コンパクト型の場合には, 等長変換群の極大部分群の分類が知られているので, それを用いることが出来る. 特に, 各 $M$ に対して cohomogeneity one action は有限個しか存在しない.

108
定理 23(Berndt-Tamaru [1]) $M$ を非コンパクト型既約対称空間,$G\ovalbox{\tt\small REJECT} KAN$を$M$の等長変換群の連結成分の岩沢分解とする.

(i) AN の余次元 1 の部分群の $M$ への作用は, 非特異軌道を持たない cohomogendy

one action である.
(ii) 非特異軌道を持たない $M$ への cohomogenedy one action は (i) の方法で全て得られる.

(iii) 非特異軌道を持たない $M$ への cohomogeneity one action の moduli は$(\mathbb{R}\mathrm{P}^{r-1}\cup\{1, \ldots, r\})/\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(DD)$で与えられる. ただしここで,$r:=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(M)$, Aut(DD) は Dynkin 図形の自己同型群.

特に $r=1$ の場合には, Aut(DD) は単位元だけの群なので, cohomogeneity one actionの moduli は 2 点だけからなる. これは Cartan の分類結果 (定理 2.1) と合致している.
また $r\geq 2$ の場合には, cohomogeneity one action は無限に存在する. すなわち, コンパ

クト型の場合と非コンパクト型の場合では, 全く様相が異なっていることが分かる.
以上のことより, 既約対称空間への cohomogeneity one action の分類問題で, 残っているのは, 非コンパクト型で特異軌道を 1 つだけ持つものである. そこで本稿では, その特異軌道が全測地的部分多様体であるようなものの分類を紹介する. 分類のキーは「双対性」
であり, それを用いてコンパクト型対称空間の問題に置き換えて解いていく. 結局, 「コンパクト型対称空間への cohomogeneity one action において, どの作用が全測地的な特異軌道を持つか」 という問題に帰着される. このコンパクト型対称空間の問題は, Kollross の分類結果 ([5]), および Leung の reflective 部分多様体に関する結果 ([6], [7]) を用いて解
決される.

3

双対性

この節では, 我々の分類のキーとなる双対性を調べる. 対称空間に関するコンパクト型と非コンパクト型の双対性は有名だが, その双対性が cohomogeneity one action の全測地的特異軌道に関しても成立する.
定理 3.1 $M=G/K$ を非コンパクト型既約対称空間, $M^{*}=G^{*}/K$ をそのコンパクト双対とする. 次の 2 つの集合は, 対称空間の双対によって 1:1 に対応する :(i) { $F\subset M|F$ :cohomogeneity one action の全測地的特異軌道},(ii) { $F^{*}\subset M^{*}|F^{*}$ : cohomogeneity one action の全測地的特異軌道}.
証明. (i) の集合から $F$ を取る. $M=G/K$ に付随するり一環の分解をと表す. 原点 をとなるように選んでおき, m=ToF+(ToF) ，畔 解する. 仮定より$\mathfrak{g}=t+\mathrm{m}$$\mathit{0}$$T_{o}F$$\mathit{0}\in F$

はり一三項系である. すなわち,$\mathfrak{h}:=N_{t}(T_{o}F)+T_{o}F$

109
は部分り一環である. ただしここで, $N.(T_{o}F)$ は

パクト双対に対応するり一環の分解

$e$

における

$\mathfrak{g}"\ovalbox{\tt\small REJECT}[+\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} F$の正規化群. 次に, コンを考える.

$\mathfrak{h}^{*}:=N\mathrm{t}(T_{O}F)+\sqrt{-1}T_{o}F$に対応する $G$ の部分群を

であり,
与える.

$F^{*}:=H^{*}\cdot \mathit{0}$$H^{*}$とすると,$H^{*}$の $M^{*}$ への作用は cohomogeneity

one action

はその全測地的特異軌道. この対応が (i) と (ii) の間の 1:1 対応を

Q.E.D.

への $SO^{0}(n-k, 1)\cross SO(k)$ の作用は, 全測地的特異軌道
例 32 実双曲空間を持つ cohomogeneity one action である. 定理 3.1 [こよって対応するのは, 球面$\mathbb{R}\mathrm{H}^{n-k}$$\mathbb{R}\mathrm{H}^{n}$$S^{n}$

内の全測地的 $S^{n-k}$ であり, これは SO(n–k+l) $\cross SO(k)$ の作用の特異軌道.
注 3.3 Hsiang-Lawson の結果 (定理 2.2) [こより, 球面への cohomogendty one action は,

階数 2 の対称空間のイソトロピー表現と 1:1 に対応する. 上で挙げた SO(n-k+l) SO(k)のへの作用は, 対称空間 $S^{n-k+1}\cross S^{k}$ のイソトロピー表現から得られるものである.
$\cross$$S^{n}$

注 34 定理 3.1 の対応は, cohomogeneity one action {こ関する双対では無く, 全測地的特異軌道に関する双対である. 実際, 球面

SO(n–k+l) $\cross SO(k)$ の作用は, $S^{n-k}$との二つの全測地的特異軌道を持つ. それぞれに対応するの全測地的部分多と様体はであり, それらは $SO^{0}(n-k, 1)\cross SO(k)$ および SO(n-k+l) .
$SO^{0}(k-1,1)$ の作用の特異軌道である.
$S^{n}$への$S^{k-1}$$\mathbb{R}\mathrm{I}^{n}$$\mathbb{R}\mathrm{H}^{n-k}$$\mathbb{R}\mathrm{H}^{k-1}$$\mathrm{x}$4Hermann 作用と reflective 部分多様体
前節の双対性 (定理 3.1) より, 我々の目指す分類の為には, コンパクト対称空間へのcohomogeneity one action のうち, 全測地的特異軌道を持つものを決定すれば良いことになった. Kollross の分類により, 原理的には case-by-case でチェックすれば良いのだが, 分量が膨大であり, 効率的で無い. そこで, reflective 部分多様体という概念を考える.
定義 4.1 リーマン多様体 $M$ の部分多様体 $F$ が reflective であるとは, $F$ に関する鏡映が $M$ の等長変換となることである.
注 4.2 reflective 部分多様体は等長変換の固定点集合であるので, 全測地的である.

命題 43(Leung [6]) $F$ を対称空間 $M$ の部分多様体,

reflective である為の必要十分条件は,$T_{o}F$, (LF)$\mathit{0}\in F$とする. このとき, $F$ が， 共にり一三項系となることである.

注 4.4 よって, 対称空間内の oelrective 部分多様体 $F$ に対して, その f’ 直交補空間 ” Fというreflective 部分多様体が存在する. すなわち, relrective 部分多様体は常に$(F, F^{[perp]})$という対として表れる.

対称空間内の reflective 部分多様体は Leung によって分類されている ([6], [7]). ここではその表は載せないことにする.

110
例 45(向きの付いた) グラスマン多様体
意味で reflective 部分多様体の対である.

証明.

$G\ovalbox{\tt\small REJECT}(\mathrm{H}^{\mathrm{v}\mathrm{z}})$$G_{k}^{+}(\mathbb{R}^{n})=SO(n)/SO(k)\cross SO(n-k)$の中で$G\ovalbox{\tt\small REJECT}.(\mathrm{H}^{n-1})$である. 原点での接空間をと$S^{\ovalbox{\tt\small REJECT} k}$は, 上の$\mathbb{R}^{k}\otimes \mathbb{R}^{n-k}$

と同

一視し,
$\mathbb{R}^{k}\otimes \mathbb{R}^{n-k}\cong(\mathbb{R}^{k-1}+\mathbb{R})\otimes \mathbb{R}^{n-k}\cong(\mathbb{R}^{k-1}\otimes \mathbb{R}^{n-k})+\mathbb{R}^{n-k}$という分解を考えると,る全測地的部分多様体は$\mathbb{R}^{k-1}\otimes \mathrm{R}^{n-k}$$G_{k-1}^{+}(\mathbb{R}^{n-1})$

は共にり一三項系. それぞれに対応すおよび $S^{n-k}$ である.
Q.E.D.

および$\mathbb{R}^{n-k}$への作用の特異軌道である.
この例で挙げたは, SO(n-l) のの作用は Hermann 作用と呼ばれる性質を満たしている.
$G_{k-1}^{+}(\mathbb{R}^{n-1})$$G_{k}^{+}(\mathbb{R}^{n})$こ

定義 4.6 コンパクト対称空間 $M=G/K$ への $H$ の作用が Hermann 作用であるとは,$(G, H)$ が対称対となることである.
命題 4.7 コンパクト対称空間において, reflective 部分多様体とは Hermann 作用の全測
地的軌道のことである.
証明. reflective 部分多様体に関する鏡映と , 対称対の involution が対応している. Q.E.D.

命題 4.8 $F$ をコンパクト既約対称空間の全測地的部分多様体とする. $F$ が cohomogeneity

one である Hermann 作用の全測地的特異軌道である為の必要十分条件は,かつ$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(F^{[perp]})=1$$F$が reflectiveとなること.

の証明. 作用の cohomogeneity は slice 表現の cohomogenity と一致し , slice 表現とイソトロピー表現が一致するから.
Q.E.D.
$F^{[perp]}$

この命題により, 我々の目指す分類は, Hermann 作用の場合には達成されたことになる :reflective 部分多様体は分類されており, その中から階数 1 のものを選ぶのは単純な作業
である.

5Non-Hermann 作用の場合
Kollross の分類により, コンパクト対称空間への cohomogeneity one action の大部分はHermann 作用であることが分かっている. それらについては, 前節で既に調べた. Hermann
作用でない cohomogeneity one action は, それ程数が多く無いので, case-by-case で調べれば良い. 本節では, いくつかの例を挙げる.
例 5.1 対称空間 $G_{2}/SO(4)$ への $SU(3)$ の作用は cohomogeneity one である. その 2 つの特異軌道は $\mathbb{C}\mathrm{P}^{2}=SU(3)/U(2)$ と $SU(3)/SO(3)$ であり, 共に全測地的である.

111
証明. 軌道を決定する為には, イソトロピー部分群 $SU(3)\cap SO(4)$ を決定すれば良い. こ
こで, $SU(3)\subset G_{2}$ の入り方の違いが, 軌道の違いと対応している.
のへの既約表現を考える. このとき, $0\neq$
簡単の為, り一環レベルで調べる.
を固定するの部分り一環が $su(3)$ である. 一方, 表現を sO(4) に制限すると,$\mathbb{R}^{7}$$\mathfrak{g}_{2}$$v\in \mathbb{R}^{7}$$\mathfrak{g}_{2}$sO(4) $\cong sp(1)+sp(1)$ という分解に応じてと既約分解される. よって,$\mathbb{R}^{7}\cong sp(1)+\mathbb{H}$$v\in sp(1)$の場合,$su(3)\cap so(4)=u(1)+sp(1)\cong u(2)$$v\in \mathbb{H}$の場合,$su(3)\cap so(4)=sp(1)\cong so(3)$それ以外の場合,$su(3)\cap so(4)=u(1)$Q.E.D.

となる. 上の 2 つの場合が, 特異軌道のイソトロピーに対応している.

例 5.2 向き付けられたグラスマン多様体
であり, 全測地的特異軌道 $G_{2}/SO(4)$ を持つ.

$G_{3}^{+}(\mathbb{R}^{7})$証明.

り一環 sO(7) をン部分環$\mathfrak{h}$$\mathfrak{g}_{2}$へのの作用は cohomogenedy one$G_{2}$-module として分解すると sO(7)となり,$=\mathfrak{g}_{2}+\mathbb{R}^{7}$$\mathfrak{g}_{2}$

のカノレタ

に関して
$\mathfrak{g}_{2}$$\mathbb{R}^{7}$

$=$

$=$

h+\mbox{\boldmath $\alpha$}\Sigma \in \Delta +g。
$V_{0}+V_{\alpha_{1}}+V_{\alpha_{1}+\alpha_{2}}+V_{2\alpha_{1}+\alpha_{2}}$という分解を得る. ただしここで,$\Delta^{+}=\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{1}+\alpha_{2},2\alpha_{1}+\alpha_{2},3\alpha_{1}+\alpha_{2},3\alpha_{1}+2\alpha_{2}\}$は$\mathfrak{g}_{2}$のノレート系. すると,.

$\mathrm{f}:=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}_{\alpha_{1}}+\mathfrak{g}_{3\alpha_{1}+2\alpha_{2}}+V_{0}+V_{\alpha_{1}}$は部分環であり, さらに $\mathrm{f}\cong so(3)+so(4)$ である. よって,$\mathfrak{g}_{2}\cap so(3)+so(4)=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}_{\alpha_{1}}+\mathfrak{g}_{3\alpha_{1}+2\alpha_{2}}\cong so(4)$.

は特異軌道のイソトロピーである. 特異軌道 $G_{2}/SO(4)$ が全測地的であることは容易. ち
なみに, この作用のもう 1 つの特異軌道も $G_{2}/SO(4)$ である (お互いに, 向きを反転させの元で移すことは出来ない). また cohomogeneity one であるこる写像で移りあうが,への表現であることから従う. Q.E.D.
とは, slice 表現が sO(4) の$G_{2}$$V_{\alpha_{1}+\alpha_{2}}+V_{2\alpha_{1}+\alpha_{2}}\cong \mathbb{R}^{4}$

6

分類表
本節では, 分類結果を一覧としてまとめておく.

定理 6.1 非コンパクト型既約対称空間 $M$ の全測地的部分多様体 $F$ で, cohomogeneity

one action の特異軌道となるものは, 次で分類される :

112
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

$F$

は $M$ の reflective submanifold で rank(F\perp ) $=1$ をみたすもの,,$G_{2}^{2}/SO(4)\subset G_{3}^{*}(\mathbb{R}^{7})=SO^{o}(3,4)/SO(3)SO(4)$$G_{2}^{\mathbb{C}}/G_{2}\subset SO(7, \mathbb{C})/SO(7)$$\mathbb{C}H^{2}\subset G_{2}^{2}/SO(4)$,,$SL(3, \mathbb{R})/SO(3)\subset G_{2}^{2}/SO(4)$$SL(3, \mathbb{C})/SU(3)\subset G_{2}^{\mathbb{C}}/G_{2}$,.

定理 6.2 非コンパクト型既約対称空間 $M$ の reflective 部分多様体 $F$ で,をみたすものは, 次で分類される :$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(F^{[perp]})$$=1$$G_{k}^{*}(\mathbb{R}^{n})(1<k<n-k, (k, n)\neq(2,2m), m>2):G_{k-1}^{*}(\mathbb{R}^{n-1}),$ $G_{k}^{*}(\mathbb{R}^{n-1})$$G;(\mathbb{R}^{2k})(k\geq 4):G_{k-1}^{*}(\mathbb{R}^{2k-1})=G_{k}^{*}(\mathbb{R}^{2k-1})$$G_{2}^{*}(\mathbb{R}^{2n})(n\geq 3):G_{1}^{*}(\mathbb{R}^{2n-1})=\mathbb{R}H^{2n-2},$$G_{2}^{*}(\mathbb{R}^{2n-1}),$$G_{3}^{*}(\mathrm{F})=SL(4, \mathbb{R})/SO(4):G_{2}^{*}(\mathbb{R}^{5})=G_{3}^{*}(\mathbb{R}^{5}),$$G_{1}^{*}(\mathbb{C}^{n})=\mathbb{C}H^{n-1}$$SL(3, \mathbb{R})/SO(3)\cross \mathbb{R}$$G_{k}^{*}(\mathbb{C}^{n})(1<k<n-k, (k, n)\neq(2,2m), m>2):G_{k-1}^{*}(\alpha^{-1}),$ $G_{k}^{*}(\mathbb{C}^{n-1})$$G_{k}^{*}(\sigma k)(k\geq 3):G_{k-1}^{*}(\mathbb{C}^{2k-1})=G_{k}^{*}(C^{k-1})$$G_{2}^{*}(C^{n})(n\geq 3):G_{1}^{*}(\mathbb{C}^{2n-1})=\mathbb{C}H^{2n-2},$$G_{k}^{*}(\mathbb{H}^{l})(1<k<n-k):G_{k-1}^{*}(\mathbb{H}^{-1}’),$$G_{2}^{*}(\mathbb{C}^{2n-1}),$$G_{1}^{*}(\mathbb{H}^{l}.)=\mathbb{H}H^{n-1}$$G_{k}^{*}(\mathbb{H}^{n-1})$.
$G_{k}^{*}(\mathbb{P}^{k})(k\geq 2):G_{k-1}^{*}(\mathbb{P}^{k-1})=$$SL(n, \mathbb{R})/SO(n)$$G_{k}^{*}(\mathbb{P}^{k-1})$($n=3$ or $n\geq 5$ ) $:SL(n-1, \mathbb{R})/SO(n-1)\cross \mathbb{R}$$SL(n, \mathbb{H})/Sp(n)(n\geq 4):SL(n-1, \mathbb{H})/Sp(n-1)\cross \mathbb{R}$$SL(3, \mathbb{H})/Sp(3):SL(2, \mathbb{H})/Sp(2)\cross \mathbb{R}=\mathbb{R}H^{5}\cross \mathbb{R},$$SL(3, \mathbb{C})/SU(3)$SO(n, ) $/U(n)(n\geq 5):$ SO(n-l, ) $/U(n-1)$$\mathbb{H}$$\mathbb{H}$$Sp(n, \mathbb{R})/U(n)(n\geq 3):Sp(n-1, \mathbb{R})/U(n-1)\cross \mathbb{R}H^{2}$$SL(n, \mathbb{C})/SU(n)(n\geq 5):SL(n-1, \mathbb{C})/SU(n-1)\cross \mathbb{R}$$SL(4, \mathbb{C})/SU(4)=SO(6, \mathbb{C})/SO(6):SL(3, \mathbb{C})/SU(3)\mathrm{x}\mathbb{R},$$SL(3, \mathbb{C})/SU(3):SL(2, \mathbb{C})/SU(2)\cross \mathbb{R}=\mathrm{R}H^{3}\cross \mathbb{R},$SO$(\mathit{5}, \mathbb{C})/SO(5)$$SL(3, \mathbb{R})/SO(3)$SO(n, ) $/SO(n)$ ($n=5$ or $n\geq 7$) SO(n-l, ) $/SO(n-1)$$\mathbb{C}$$:$$\mathbb{C}$$Sp(n, \mathbb{C})/Sp(n)(n\geq 3):Sp(n-1, \mathbb{C})/Sp(n-1)\cross Sp(1, \mathbb{C})/Sp(1)$$E_{6}^{2}/SU(6)SU(2):F_{4}^{4}/Sp(3)SU(2)$$E_{6}^{-14}/Spin(10)SO(2):\emptyset H^{2}$$E_{6}^{-24}/F_{4}:\mathbb{R}H^{9}\cross \mathbb{R},$$SL(3, \mathbb{H})/Sp(3)$$F_{4}^{4}/Sp(3)SU(2):G_{4}^{*}(\mathbb{R}^{9})$$F_{4}^{\mathbb{C}}/F_{4}:$SO$(\mathit{9}, \mathbb{C})/SO(9)$以上の定理によって, 非コンパクト型既約対称空間への, 全測地的特異軌道を持つ cohOmogeneity one action の分類が完成した. コンパクト型既約対称空間の場合も, この分類
表と我々の双対性定理 (定理 31) こより, 分類は完成していると言える.

7

実グラスマン多様体の場合
この節では, 例として, 実グラスマン多様体の場合の分類結果を詳細に述べる.

113
命題 7.1 向き付けられた実グラスマン多様体

は cohomogeneity one action の特異軌道として表れる

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)

$G_{k-1}^{+}(\mathbb{R}^{n-1})\subset G_{k}^{+}(\mathbb{R}^{n})$$G_{k}^{+}(\mathbb{R}^{n-1})\subset G_{k}^{+}(\mathbb{R}^{n})$$\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}\subset G_{2}^{+}(\mathbb{R}^{2n})$に対し, 次の全測地的部分多様体$G\ovalbox{\tt\small REJECT}(1\langle^{n})$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

,

,

,

$U(3)/SO(3)\subset G_{3}^{+}(\mathbb{R}^{6})$$G_{2}/SO(4)\subset G_{3}^{+}(\mathbb{R}^{7})$,.

これらのうち, (i) から (vi) は reflective 部分多様体であり, (v) だけが reflective ではない.

証明. (i) に関しては, 例 45 で既に証明した. (ii) も同様に,$\mathbb{R}^{k}\otimes \mathbb{R}^{n-k}\cong \mathbb{R}^{k}\otimes(\mathbb{R}^{n-k-1}+\mathbb{R})\cong(\mathbb{R}^{k}\otimes \mathbb{R}^{n-k-1})+\mathbb{R}^{k}$という分解から示される. (iii) は$\mathbb{R}^{2}\otimes \mathbb{R}^{2n-2}\cong \mathbb{C}\otimes_{\mathrm{R}}\alpha^{-1}\cong \mathbb{C}^{n-1}+\mathbb{C}^{n-1}$という分解から示される. これに対応する reflective 部分多様体 $F$ は,$F=F^{[perp]}=\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$.

(iv) も同様に,$\mathbb{R}^{3}\otimes \mathbb{R}^{3}\cong S^{2}(\mathbb{R}^{3})+\Lambda^{2}(\mathbb{R}^{3})$という 2 つのり一三項系に分解する.
$\Lambda^{2}(\mathbb{R}^{3})$$S^{2}(\mathbb{R}^{3})$に対応する reflective 部分多様体が $U(3)/SO(3)$ ,に対応するのが SO(3) である. SO(3) は階数 1 の対称空間である. (v) は例 52

で既に示した.

Q.E.D.

参考文献[1] J. Berndt and H. Tamaru: Homogeneous codimension one foliations on noncompact
symmetric spaces, preprint.
[2] J. Berndt and H. Tamaru: Cohomogeneity one actions on noncompact symmetricspaces with atotally geodesic singular orbit, preprint.
[3] E. Cartan: Familles de surfaces isoparam\’etriques dans les espaces \‘a courbure constante, Ann. Mat. pura appl. $IV$. . $17$ (1938), 177-191.
$s$[4] W. Y. Hsiang, H. B. Lawson Jr.: Minimal submanifolds of low cohomogeneity, J. Diff.
Geom. 5(1971), 1-38.
[5] A. Kollross: Aclassification of hyperpolar and cohomogeneity one actions, Ikans.
Amer. Math. Soc., to appear.

114[6] D.S.P. Leung: On the classification of reflective submanifolds of Riemannian symmetric spaces, Indiana Univ. Math. J. 24 (1974), 327-339. Errata: ibid. 24 (1975),
1199.
[7] D.S.P. Leung: Reflective submanifolds. . Congruency of isometric reflective submanifolds and corrigenda to the classification of reflective submanifolds, J. Diff. Geom. 14(1979), 167-177.
$\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}$東京都千代田区紀尾井町 7-1
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