数理解析研究所講究録998 巻 1997 年 1-19

1

モデュラー多様体と岩沢理論

藤原-宏

名古屋大学数学教室

お話の始まり

A. Wiles による革命的な仕事 [W] によって (Taylor-Wiles によるヘッケ環の完全交差性 [TW]と併せて)上の準安定楕円曲線に対する谷山-志村予想が肯定的に解かれた. まさに数論の研究者にとって夢のような時代になったといってもいい. その議論の本質的な部分はヘッケ環がガロア表現の普遍変形環であることを示すことにあり, 数論のより -般的な枠組みのなかで関数の特殊値とセルマー群との問の関係を与える事に帰着される. 岩沢理論との関係が深い.
その後 Faltings が可換環論を用いた証明の単純化を発見したが [TW, appendix], その議論の中ではモデュラー曲線の –次元コホモロジーがヘッケ血餅自由であることが本質的に使われていた. この論説では [TW] の議論を可換環論を使って完全に公理化した [F] の TaylorWiles 系の理論を紹介する. この際, 上述の自由性は不要である (F. Diamond ものときに同様の注意をしている). この概念は Euler 系と比較されるべきものであるが, 期待としてはモデュラー多様体を作る簡約可能代数群が与えられたときに常に Taylor-Wiles 系が生じると考えられ, この点において Euler 系よりもより作りやすいものであると思われる. 将来
はこの二つの概念が統合されるのだろうが (強い局所条件を満たすコホモロジ $-$ 藩を構或す
ることが本質的であるという点で双方とも同– の原理に基づいている), そのときには現代の数論の最も強力な手段の–つになるであろう.
..
現在楕円モデュラー曲線の時以外に志村曲線に対し系が構成されており, 総実代数体の数論に様々な応用が存在する. -例として楕円曲線への応用をあげる.
$\mathrm{Q}$$L$$\mathrm{Q}$

Typeset by$A_{\mathrm{A}\mathrm{t}^{S}-}\mathrm{T}ffi$

2\S 1. モデュラー多様体の数論
上の簡約
この論説中ではモデュラー多様体とは以下のものを意味することにする. $G$ ををのアデール環とする.
可能代数群とし, A$X=G(\mathrm{R})/K_{\infty}$ を対応する対称空間とする.
普通志村多様体を考えるときには $X$ にエルミート対称空間の構造が入ることや が 上定義されたコンパクト因子を持たないことを仮定するが, ここではその仮定は置かないこととする.
をコンパクト開部分群とするとき,$\mathrm{Q}$$=\mathrm{A}^{\infty}\cross \mathrm{A}_{\infty},$$\mathrm{A}^{\infty}=\hat{\mathrm{Z}}\otimes \mathrm{z}\mathrm{Q},$$G$$\mathrm{A}_{\infty}=\mathrm{R}$$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}$$K\subset G(\mathrm{A}^{\infty})$$M_{K}=G(\mathrm{Q})\backslash G(\mathrm{A})/K\cross K_{\infty}$

をモデュラー多様体ということにする. 例 $F$ : 総実代数体, $D$ を $F$ 上の有限素点で不分岐$I_{D}=\{\iota\in$な四元数環とし $G=D^{\cross}$ をその単数群とする. $g=[F:\mathrm{Q}],$とし, $\# I_{D}\leq 1$ とする. このとき相互律により $\# D_{F}\equiv g$ mod2 となる.
に $G$が自然に推移的に作
.
.
.
用する.
:..
この場合のモデュラー多様体$I_{F}=\{\iota;F\llcorner_{arrow}\mathrm{R}\},$$I_{F},$$D\otimes_{\iota}\mathrm{R}\simeq M_{2}(\mathrm{R})$$X=\mathcal{H}_{\pm}^{\# I_{D}}(\mathcal{H}=\mathrm{P}^{1}\mathrm{c}\backslash \mathrm{P}_{\mathrm{R}}^{1})$$(\mathrm{R})=\mathrm{G}$ $\mathrm{L}_{2},(\mathrm{R})\# I_{D}\cross$$(\mathrm{H}^{\mathrm{X}}.)\# I_{F}\backslash I_{D}$$S_{K}=G(\mathrm{Q})\backslash G(\mathrm{A}^{\infty})\cross X/K$

は g が偶数なら次元の有限個の点からなり (この場合は Deligne の意味での志村多様体にはならない), g が奇数なら複素曲線 ( 志村曲線と呼ばれる) を定義する. 志村曲線に対しては canonical model の理論によってそれが F 上標準的に定義されることが知られている.
一般の $G$ に対してはコホモロジーの分解をわかりやすい形で述べることは難しいが ( Arthur conjecture との関わりが深い) 上記の例では実表現論の標準的方法によっのて以下のように分解する.
を奇数とする.
は容易であり,を経由する表現で記述される (連結成分がイデール群で記述される).
$0$$H^{i}(M_{K}, \mathrm{Q})$$H^{0}(S_{K}, \mathrm{c})_{\text{、}}H^{2}(S_{K}, \mathrm{C})$$g$$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}:D^{\cross}arrow F^{\cross}$$D^{\cross}$$\pi_{0}(S_{K})$$H^{1}(S_{K}, \mathrm{C})=\oplus_{\pi}V_{\pi}^{\vee}\otimes(\pi)\infty K$(ここで\mbox{\boldmath $\pi$}$=\pi^{\infty}\otimes\pi_{\infty}$

すものを走る) となる.

は$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2,F}$$V_{\pi}$

ここで素数 p を固定し,$P$の尖点表現であり, $F$ の無限素点 に対し $\pi_{v}.=D_{2}$ を満た$v$

上 2 次元である.
進表現の構成を復習しておく.

は$\mathrm{C}$$\mathrm{C}\simeq\overline{\mathrm{Q}}_{p}$という体同型をとるとコホモロジーの比較定理から$H_{et}^{1}(S_{K},\overline{\mathrm{Q}}_{p})=\oplus_{\pi}V\pi^{\otimes}(\pi^{\infty})^{K}$というエタールコホモロジー群の分解を得る.
り [S1], 従ってアデール群

ここで $S= \lim_{arrow K}S_{K}$ が $F$ 上定義されてお(A7) の作用 ( ヘッケ対応のことである) も F 上にはかロア群
定義されていることを使うとが作用し, 二次元のガロア表現が生じることになる. ここで合同関係式を使うと\rho \mbox{\boldmath $\pi$}へのフロベニウス元 Frv の固有値と$D^{\cross}(\mathrm{A}^{\infty})\simeq \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}$$V_{\pi}$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{F}/F)$$\rho_{\pi}$の佐竹パラメーター$\pi_{v}$$(\alpha_{v}, \beta_{v})$とが本質的に–致することが分かる.

注意.

a) 現在は合同関係式の方法には致命的な弱点があるため 進表現の構成にはレフシェッ
ツ及びセルバーグ跡公式を使うのが–般的であるが, 志村曲線の場合ではそれがモデュライ$P$3

空間とみなせないため有限体上の点の数が単純には計算できない. 跡公式の手法を直接使うのは興味深い問題であると思う (具体的な応用も存在する.)b) g が偶数の時に 進表現の構或を行おうとすると カ所の有限素点 v で分岐する銀元数環を使うことになる. この場合, 分解に現れる零点表現は\mbox{\boldmath $\pi$}v が Steinberg 表現であるものに限る. つまり, 全ての有限素点で不分岐であるような表現は現れない. この除外された場
合にも対応する 進表現が存在することは Wiles, Taylor( interpolation method), Blasius,:.
Rogawski (endoscopy method) によって示されている.
c) 今のケースでは保型表現に対応する 進表現のみならずモチーフが構成されている事になる.
が偶数の場合には現在でもモチーフの構或は完全には知られていない.
–

$P$

$P$

$P$

$g$

g が偶数であるときには$M_{K}$

は点であり,’$H^{0}(M_{K}, \mathrm{C})=(\oplus_{\pi}V_{\pi}\otimes(\pi\infty)K)\oplus(\oplus\pi V’\pi^{\prime\otimes}(\pi)^{K}\infty)$

はは以前と同様で,の本質的に二乗可積分な表現である) をはしる.

と分解する. ここでれは$D^{\cross}$$\pi’$$\pi$に対応する -次元表現 ($\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}:\mathrm{G}\mathrm{L}_{2,F}arrow F^{\cross}$こ\S 2. ヘッケ環
以下, 係数体を
群を使う.

$P$

進体

とし,

$K_{\lambda}$$K_{0}(\mathrm{f})=${をその整数環とする. 以下次のようなコンパクト開部分$\mathcal{O}_{\lambda}$$g \in \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\prod_{-\mathrm{r}\mathrm{D}=}$.

$\triangleright \mathit{0}_{v});g\equiv$

V8 有限素点$K_{1}(\mathrm{f})=${$\mathrm{f}$$0_{v});g\equiv$ mod }.

$\prod$$g\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}($mod }.

ノ$\mathrm{f}$2 有限素点$K_{11}(\mathrm{f})=$

{

$v$

さらに

$(\mathcal{O}_{F}/\mathrm{f})^{\cross}$$\mathit{0}_{v});g\equiv$$\prod$$g\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}($mod }.
$\mathrm{f}$: 有限素点の部分群 $H$ に対し$K_{H(\mathrm{f})=\epsilon(}-1H)$と置く. ここで\epsilon :mod と定義しておく.
(
本来は表現論の言葉を使うべきである.)
次に保型関数の空間を定義する$K_{0}(\mathrm{f})arrow(\mathcal{O}_{F}/\mathrm{f})^{\cross},$$\tilde{S}_{H}^{D}(\mathrm{f})_{\mathrm{C}}=${$D^{\cross}(\mathrm{A})$$(\alpha \beta//\gamma \delta)\mapsto\alpha$上重さ (2,$\ldots,$

$2)$

, 右

$K_{H}(\mathrm{f})-$$\mathrm{f}$不変の C-円尖点形式}とし, さらに D が division algebra のときには$S_{H}^{D}(\mathrm{f})\mathrm{c}=\tilde{S}_{H}(\mathrm{f})_{\mathrm{C}}/I_{H},$とする.

$(\mathrm{f})\mathrm{c}$,$I_{H}(\mathrm{f})\mathrm{c}=\{f\in.\tilde{S}_{H}(\mathrm{f})_{\mathrm{C}}; f :D^{\cross}(\mathrm{A})arrow \mathrm{A}^{\cross}arrow \mathrm{C}\}$を取り除く理由は後で述べる Jacquet-Langlands, 清水対応で Eisenstein 級
数から作られる非尖頂的な二乗可積表現に対応してしまうからである.
$K=K_{1}(\mathrm{f})$ とする.
上の smooth (局所定数) でコンパクト台を持つ K-両は自然にに作用する.
側不変な関数のなす畳み込み代数であるので同型を除けばこの畳み込み代数は $D$ の取り方によらないことを注意しておく. このとき
$I_{H}(\mathrm{f})\mathrm{c}$$G(\mathrm{A}^{\infty})$$=$$H_{\mathrm{f}}=H(G(\mathrm{A}^{\infty}), K_{1}(\mathrm{f}))$$G(\mathrm{A}^{\infty})\simeq \mathrm{G}\mathrm{L}2(\mathrm{A}^{\infty})F$$S_{H}^{D}(\mathrm{f})\mathrm{c}$4定理 (Jacquet-Langlands [JL], 清水 [Sh]).
-加群 しての 型$\text{と}$$\prod\overline{\mathfrak{o}}$$H_{\mathrm{f}}$$S_{H}^{D}( \mathrm{f})\mathrm{c}\simeq SH(\int)_{\mathrm{c}}$が存在する. ただし$S_{H}( \int)_{\mathrm{c}}=S_{H}()\int)M_{2}(F\mathrm{C}$はヒルベルトモデュラー形式の空間である.

注意. 上記同型は本来セルバーグ跡公式を用いた抽象的なものであるため, 両辺が自然に持タ対応を構或する事は可能であり, そのつ-構造や -構造を破壊している. ただし、
際 -構造から周期の関係が導かれる. これについては [S2] 参照.
内で以下の元により生成される -部分環とする:を$\overline{\tau}-$$\mathrm{Z}$$\mathrm{Q}$$\mathrm{Q}$$T_{H}( \int)$$\mathrm{Z}$$\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{C}}(s_{2,H}(\mathrm{f})\mathrm{c})$for$(a, \mathrm{f})=1$$\{_{U_{v}=}^{T_{v}=}\langle\alpha\rangle=\mathrm{g}\mathrm{i}_{\mathrm{V}}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{y}x_{K(}\mathrm{g}\mathrm{i}_{\mathrm{V}}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{y}\chi_{K_{1}(\uparrow)(\begin{array}{ll}\mathrm{l} 00 \pi_{v}\end{array})K1(\mathrm{f})} \mathrm{f}\mathrm{g}\mathrm{i}_{\mathrm{V}}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{y}x\mathrm{f}\mathrm{o}K_{1}(\mathrm{f}1\uparrow)K1)\Pi_{v}|\mathrm{Q}.K1(\uparrow)\mathrm{r}v\dagger\int,(\mathrm{f})$

ここで$D^{\mathrm{X}}(\mathrm{A}^{\infty})$のコンパクト部分集合 $K$ に対しをその特性関数とする.
をの部分環で達を取り除いたものとする.

$T_{H}(\mathrm{f})$$\chi_{K}$は$\mathrm{Z}$, と上有限平坦な可換環になることが知られている.
で生成されるものとする. つまり,とここで可換環 $R$ に対し $R$ 係数のモデュラー形式の空間 SH(f)R をに対しては今まで使ってきた保型形式の空間と同–視できる.
して定義すると、は Hilbert モデュ
を $(t, f)arrow a_{1}(t\cdot f)$ で定義すればよい. ここで
ラー形式の第– フーリエ係数を対応させる写像である. ) さらに, この対応において環準同型はの時には正規化された eigenform と同–視できる. $T_{v}\cdot f=a_{v}\cdot f$ ,:として準同型をつくればいい. , .
の行き先を等とするとき.
$T_{H}( \int)’$$U_{v}$$\langle a\rangle((a, \mathrm{f})=1)$$T_{v},$$T_{H}(\mathrm{f})$$v\mathit{4}\mathrm{f}$$\mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{Z}}}(T_{H(\mathrm{f}),R)}$$R=\mathrm{C}$$($$T_{H}(\mathrm{f})\mathrm{X}S_{H(}\mathrm{f})_{\mathrm{C}}arrow \mathrm{C}$$f$$T_{H}(\mathrm{f})arrow R$$T_{v}$$a_{1}$$R=\mathrm{C}$$a_{v}$$T_{H}( \mathrm{f})\otimes \mathrm{z}\mathcal{O}=\prod_{m}T$と局所環の積に分解するとこれに対応して$H^{\mathrm{i}}(s_{K_{H}(}\mathrm{f}),$$\mathcal{O})=\oplus TM\tau$

$g$

: 奇数

$H^{0}(s_{K_{H}(}\uparrow),$ $\mathcal{O})/\{D^{\cross}(\mathrm{A}^{\infty})arrow \mathrm{A} \infty\crossarrow \mathcal{O}\}=\oplus_{T}MT$

$g$

: 偶数

は $T$ が非自明に作用する部分であり、 が奇数ならばという分解が得られる. ここで$M_{T}\otimes_{0}K$ はランク 2 の自由丁が偶数なら-粟群となる (Eichler-志村同型による).
ばはランク 1 の自由-加群となる. 以下ではこの分解に現れる $(T, M\tau)$
を調べることになる. とくに, 以下の問いを中心に考察する:$T$ は可換環として完全交差環となるか?
は自由 T-加群となるか?
$M_{T}$$g$$\otimes 0^{K}$$M_{T}\otimes \mathrm{o}K$$g$$T\otimes \mathrm{o}K$$M_{T}$

注意.

5は自由 T-加群となる」という命題のことを “multiplicity one theorem” という. これは Mazur により楕円モデュラー曲線の場合に (適当な条件の下に) 発見されたものであり,この場合には系として $T$ が Gorenstein 環であることが従う ([W] においても Mazur の結果の拡張が本質的に用いられている). その証明には標数 での q-展開原理が用いられていに尖点が存在しないため単純に拡張することはできるが, 一般の総実代数体の場合には$1\Gamma M_{T}$$P$$S_{K}$

ない.

2.
で,
ヘッケ環
3.

で割れる場合には $T$ が Gorenstein にならない例が知られている.
を使うメリットはレベルの増大に伴い自然にが引き起こされることとの半単純性にある. その–方を使うメリットはの双対がモデュラー形式の空間になることにある. また, 後に述べるレベル上昇の時には全てのヘッケ作用素を見る必要がある.
$F=\mathrm{Q}$$\mathrm{f}$が$P^{3}$$T’(\mathrm{f})arrow T’(\mathrm{f}’)$$T’(\mathrm{f})$$T’(\mathrm{f})\otimes Bz\mathrm{Q}$\S 3.

$T(\mathrm{f})$$T(\mathrm{f})_{\mathrm{z}}\mathrm{C}$$\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{y}1_{0}\mathrm{r}-\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}*^{\mathrm{v}^{-}}$

を $T$ が極小の時に調べる現在物も強力な手法が Taylor-Wiles
ヘッケ環 $T$ 及び $T$-加群系である. この概念は Euler 系と比較するべきものであり, 楕円モデュラー曲線の時に [TW]に原型が現れ, 極小ヘッケ環の完全交差性が示された. この手法が普遍変形環との関係を調べる際に有効であることは Faltings の注意によるものであり, [W] の三節がはぼ不要となった. 我々の定式化は “multiplicity one theorem” をも含むものであり [W] の二節の前半部分を不要にする. さらに, この手法は大きな発想の転換を含んでいる. つまり, ヘッケ環 (やヘッ
$M_{T}$

ケ加群) を調べるためにガロア表現を使うのである.
定義.

Taylor-Wiles 系 $\{R, \{R_{Q}, M_{Q}\}Q\in Q\}$ とは以下の公理 TW1-3 を満たすもののことである:$(q_{v}=\# k(v)),$は完備ネーター局所 O[\Delta Q]-代数であはの -Sylow 部分群で,る. ここでは群環である. 以下の生成元を固定しておく.
は-代数であり, 各 $Q\in Q$ に対し同型$TWl:Q\in Q\Rightarrow qv\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathrm{P}$$\triangle_{Q}=\prod_{v\in Q}\Delta_{v},$$\Delta_{v}$$\triangle_{v}$‘$R_{Q}$$k(v)^{\cross}$$\mathcal{O}[\triangle_{Q}]$$P$$\delta_{v}$$TW\mathit{2}:R$$\mathcal{Q}$$R\simeq R_{Q}/(\delta_{v}-1, v\in Q)$が存在する.
は $R_{Q}$ -\not\supset Iであり, O[\Delta Q]-加群として階数\alphaは $Q\in Q$ に依らないものとする.
$TW\mathit{3}:M_{Q}$$\geq 1$の自由目窪である.

ここで\alpha注意.

1. Taylor-Wiles 系は Euler 系と比較されるべきものだが を増大させるときの compatibility は非常に弱い.
2. Taylor と Wiles は $R_{Q}=M_{Q}$ がヘッケ環である時を取り扱っている.
$Q$

定理 (同型判定法).
Taylor-Wiles 系 $\{R, Q, \{R_{Q}, M_{Q}\}_{Q}\in 9\}$ が与えられているとする. 以下の条件を考える.
a)(増大度) 任意の $m\geq 1$ に対して
$q_{v}\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{m}$が成立する.

,$v\in Q$

6$b)$ (関係式)$r=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}Q$

は $Q\in Q$ の取り方に依らない.

は完備局所 -代数として r 個の元で生成される.
$d)$ (像の –致) $R$ の EndO $M_{Q}/(\delta_{v}-1;v\in Q)M_{Q}$ 内での像は $R$ -代数として $Q\in Q$ の取り方に依らない. (像のことを $T$ と呼ぶことにする. )$e)$ (加群の–致) $M_{Q}/(\delta_{v}-1;v\in Q)M_{Q}$ は $R$ -命綱として $Q\in Q$ の取り方に依らない. $(M$$c)$ (生成元) $R_{Q}$$\mathcal{O}$とおく)
このとき条件 a), ) ) のもとで R は–次元の完全交差環になりさらに ) を満たせばT が成立する. 特に $R$ は -加群として有限階数の自由加群となる. それに加えて )を満たすときには $M$ は自由 R-些些となる.
$b$

$d$

$\mathrm{c}$$R\simarrow$$\mathcal{O}$$e$

つまり, Taylor-Wiles 系が定理の条件を満たせば $R=T$ , R の完全交差性, および “multiplicity one theorem” が–斉に示せることになる.
定理の証明は自由性を出すために Auslander-Buchsbaum の公式を用いるなど技術的であるため, 意味を説明する. 以下の説明でわかるとおり, 発想は非常に幾何学的である.
を既約表現とする. このとき Taylor-Wiles 系の候補として$\overline{\rho}:c_{\Sigma}arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(k)$$R=\overline{\rho}$(の普遍変形環$R_{Q}=c_{\Sigma Q}\cuparrow c_{\Sigma}arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\overline{\rho}k)$$\rho^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$の普遍変形環を普遍変形)($\rho_{Q}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}$を普遍変形)があげられる. つまり, 曲線の基本群の表現を考える代わりに $Q$ の点をさらに除いていくわけである. その方が変形しやすくなる事が期待できる. ここで公理, つま$\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{C}\mathit{0}}F}\backslash \Sigma$$\mathrm{T}\mathrm{W}1$

り群環がなぜ生じるのかを考える. そのため$Q=${

$Q;v\in Q\Rightarrow\overline{\rho}$

は

$v$

$Q$

として

で不分岐, \rho -(Fr のは異なる固有値$(\alpha_{v},$$\beta_{v})$を持つ.}をとる. すると

事実 (Faltings).
$v\in Q\in Q$

なら$\overline{\rho}|$$D_{v}$の普遍変形環は$\rho_{Q}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}}|_{D}v(\sigma_{v})=(_{0}^{\delta_{v}}$$\delta^{\frac{0}{v}1})$$\mathcal{O}[\triangle_{v}]$;$\sigma_{v}$であり、関係式は惰性群の tame part のある生成元が成立する.

により与えられることになる.
これでが説明できることになるが, さらにこの記述より TW2 も普遍変形環に対して$v\in Q$
内で $\delta_{v}=1(v\in Q)$ となる部分はは自明になってしまう. なぜならに等しい.
が不分岐になる部分であり, それは
これにより$R_{Q}$の$\mathcal{O}[\triangle_{v}]- \text{代数構造が}\rho Q|_{D_{v}}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{v}$$\mathrm{T}\mathrm{W}1$$\mathrm{S}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}\mathrm{c}}}R_{Q}$$\rho_{Q}^{\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{i}}|_{D_{v}}\mathrm{V},$$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}R$

注意.
もしヘッケ環により系を作ったとすると TW2 は全く自明ではない. 何故なら
$v\in Q)$ は
ベキのねじれ元を持つ可能性があるからである. これは mod モデュラー形
式の標数 への持ち上げ可能性と深い関係がある.
従って公理の中で非自明なのはの構成と群論上の自由性であるが, モ, つまり$T_{Q}/(\delta_{v}-$

$1,$

$P$

$P$

$0$

$\mathrm{T}\mathrm{W}3$$M_{Q}$

デュラー多様体から生じる系については–般的原理から説明する事が可能である. このことは後述する.

7$\mathrm{s}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}}}\mathrm{C}R(_{arrow \mathrm{s}R_{Q^{arrow \mathrm{S}}}}i1\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{C}\mathcal{O}[[i_{2\tau 1}, \ldots , T_{r}]]$

ここで埋め込み は TW2 と b) により r 個の関係式で書けておりは c) によって得られる埋め込みである. 実際にはと思ってよい. ここで$i_{1}$$i_{2}$$r=\dim_{k}H1D(F, \mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho})$(期待)$R_{Q}$

は smooth な環になるがもし正しいとするなら は同型であり, $R$ の完全交差性 $R\simeq \mathcal{O}[[T_{1}, \ldots, T_{r}]]/(f1, \ldots, f_{r})$を導く. もちろん (期待) はあまりに naive すぎて (Krull 次元すら異なっている), そのままでは成り立たない. しかし (期待) は与えられた次数までの jet については成り立つ。つまり適当な列 $\{Q_{1}, Q_{2}, \ldots\}$ をコンパクト性の議論を使って作ると極限$i_{2}$$P= \lim_{arrow,n}R_{Qn/I_{Qn}}$,$\exists I_{Q_{n}}\subset R_{Q_{n}}$が smooth になっていることが示せる. これが [TW] の議論の本質的な部分である.

注意.

.

の場合に F. Diamond も同様の議論を独立に見つけている.
1. 有理数体
2. Taylor-Wiles 系の手法はヘッケ環 が極小の時でないと有効でない. 同型判定法の条
件 b) と c) における の–致はこの場合にしか示せないからである. [W] において Wiles が分岐素点における条件を仮定しているのもこの極小性が満たされていないからである.
$\mathrm{Q}$

$T$

$r$

\S 4. 変形は $v|p$ で flat または ordinary であるとする.
の既約表現とする.
ただし, が で flat であるとは ( の絶対分岐指数が $p-1$ より小さいとして)が上の有限平坦群スキームからつくられており, なおかつが成り立っているこは Teichm\"uller 指標 さらに ordinary の時にはととする. ここでが異なる指標の直和になっているとする ( -distinguished). このとき変形のタイプを以$G$は下のように決める:
は-進整数環であり上定義され, 集合 {fl, Sel,}に値を取る関数である. ただし $G$ は以下の条件に従うものとする.
もし $v|p$ なら $G$ の値は {fl, Sel} のいずれかであり (flat や Selmer 変形については [W]
が ordinary の時), $G(v)=$ fl (参照) $G(v)=$ Sel (が flat のとき). 仮にがordinary かつ flat ならば, $G(v)$ は fl 又は Sel のいずれをも取りうる.
については $G(v)=\mathrm{f}$ とする.に入るとし,
加ならば $G$ の値は変形のタイプ $D$ が極小であるとはを$\overline{\rho}:G_{\Sigma}arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(k)$$\overline{\rho}$$G_{\Sigma}$$\overline{\rho}$$v$$\mathit{0}_{v}$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$\mathit{0}_{v}$$\det\overline{\rho}|_{I_{v}}=\omega_{v}$$(\overline{\rho}|_{D_{v}})^{ss}$$\omega_{v}$$D_{v}$$D=\{\Sigma, \mathcal{O}, G\}$$\mathcal{O}$$P$$|\mathrm{S}_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}}}\mathrm{c}\mathrm{o}_{F}|$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$v$$G(v)=\mathrm{f}$($v|p,\overline{\rho}$$\mathrm{u}$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$v\not\in\Sigma$

が flat のとき)

( 加の時) とする.
$v$$\Sigma_{D}=\{v|p\}\cup$$v|p$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$\{\mathrm{f}, \mathrm{u}\}$$G(v)=\mathrm{f}\mathrm{l}$$\mathrm{f},${の場合には,$v:\overline{\rho}$$\overline{\rho}$

が v で分岐} と定義する.

のアルティン局所環上の変形

ないしは flat ということにする. flat な$\overline{\rho}$$\rho$を$G(v)=\mathrm{S}\mathrm{e}1$

又はfl に従って Selmer

が ordinary であることもあり得るがそのような場,合にはいかなる flat 変形も Selmer 変形になっている$v(p$ の時には $G(v)=\mathrm{f}$ か $G(v)=\mathrm{u}$ に従って有隈変形, 無制限変形することにする.
ここでは有限変形については述べないが,の時には持ち上げに対しても$-$$\dim_{k}\overline{\rho}^{I_{v}}=1$$\rho$

がランク 1 の自由加群になっていることを要求する.

$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$\rho|^{I_{v}}$が絶対既約の時にも有限変形と8が絶対可約の場合である. 以下では exceptional という無制限変形が異なる場合がある (では除外されている場合である. この場合にも有限変形は\rho Iv に条件をつことにする. [W](賜) を のタイプ $D$ の普遍変形環 (determinant を固定した普遍けたものである)を普遍変形とする. -ただし determinant を固定すると変形環) とし\rho univ :はの Teichmller lift になっているものとする. ここではが適意指標である. 存在は [M] の議論と同様である.
一般的な変形の議論はこのぐらいにして、以下ではモデュラー表現の変形環をヘッケ環を使って具体的に構成する。 この際基本になるのは保型表現から 進表現を構成することが今の場合可能であること (太田 [O], Carayol, Wiles, Taylor, Blasius, Rogawski 等による), 及
びその大局的対応が局所 Langlands 対応と compatible であること (Carayol [Car 1], Wiles
表現を定義する.
[W2], Taylor [T] が重要になる. まずモデュラー$\overline{\rho}|_{I_{v}}$$R_{D}$$\overline{\rho}$$G_{\Sigma}arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(R_{D})$$\det\rho/\chi_{\mathrm{c}_{Y^{\mathbb{C}1\mathrm{e}}}}$$\det\overline{\rho}/\overline{x}_{\mathrm{c}_{Y^{\mathrm{C}}}}1\mathrm{e}$$\chi_{\mathrm{c}\mathrm{y}_{\mathrm{C}1}\mathrm{e}}$$P$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$$)$$2)$ の) モデュラー
が (タイプ (2,定義. 絶対既約な modp-表現
上の
となる
があって
-係数の
表現であるとはある -進整数環
尖点表現 が存在することをいう. 強い意味でのモデュラー表現であるとはさらに以下の条件が満たされることをいう:
が成り立つ.
が$a)$ もし加で絶対可約で分岐している場合には.
のは ( と素な)となるものがとれる. ここで$b)\pi$ として導手がはが丑 at のとき , それ以外の時は 1 とする. さらにアルティン禁手であり,と素な位数のアルティン指標であるようにできる.
$\overline{\rho}:\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{F}/F)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(k)$$\ldots,$$\mathcal{O}$$\mathcal{O}$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2,F}$$\overline{\rho}\simeq\rho_{\pi,\lambda}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \lambda$

$P$

$\pi$

$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$\dim\overline{\rho}^{I_{v}}=1$$v$$\mathrm{f}_{\pi}=\mathrm{f}\overline{\rho}$$\prod_{v|p}v^{n_{v}}$$\overline{\rho}$$0$$\overline{\rho}|D_{v}$$n_{v}$$p$$\mathrm{f}_{\overline{\rho}}$$\det\rho_{\pi,\lambda}./x_{\mathrm{c}\mathrm{y}1\mathrm{e}}\mathrm{C}.\text{が_{}P}$

条件を満たす , またはそれを定義する eigenform
分群) を極小持ち上げということにする.
$\pi$$f_{\pi}$:$T_{H_{p}}’(\mathrm{f}\pi)arrow \mathcal{O}(H_{p}$は$\mathrm{P}$-Sylow 部

注意. 条件 a) は $F=\mathrm{Q}$ の時と異なり, (新たな分岐を許さない限り) -次指標でひねっても満たされるとは限らない. そのような場合も含めようとすると、ヘッケ環の定義を少し変更する必要がある. 単にモデュラーであるときに b) を満たす\mbox{\boldmath $\pi$} を探すこと (レベルの引き下げ) については後に論じる.
をその極小持ち上げとしての変形のタイプとするとき. $D$ をモデュラー表現$\pi$$\overline{\rho}$$\mathrm{f}D=\int_{\pi}$.

$\prod$.

$v^{\dim_{k}\overline{\rho}^{I_{v}}}$$G(v)=\mathrm{u}$としてレベルを定義する. $H=H_{p}$ としては -Sylow 部分群を取る. するとヘッケ環$\mathrm{P}$の極大イデアル $m’$ がが奇数なら$\overline{\rho}$$T_{v}\mapsto \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\overline{\rho}(\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})(T_{H\mathrm{p}}’(\mathrm{f}D)arrow T_{H_{p}}’(\mathrm{f}\pi)arrow \mathcal{O}f*arrow k)$

は $T_{H_{p}}’(\mathrm{f}D)/m$’ 上定義されている. そこで$T_{H_{\mathrm{p}}}’(\mathrm{f}D)$として作れる.
と定義する.

$P$$\tau_{DH}’=T\prime p(\mathrm{f}D)_{m^{\otimes_{\mathrm{Z}_{p}}}}’\wedge \mathcal{O}$

これが変形のタイプに伴うヘッケ環であり, 今後調べるものである. タイプをはからとなる (右辺が局所の拡大) に変更すると(環になるから).

$D=\{\Sigma, \mathcal{O}, G\}$

$D’=\{\Sigma, \mathcal{O}’, G.\}$$\mathcal{O}’$$T_{D’}=T_{D}\otimes_{0}\mathcal{O}’$$\mathcal{O}$定理 (普遍モデュラー表現の存在).
が絶対既約であるならガロア表現$\text{戸}$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$$\rho^{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}$:$c_{\Sigma}arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(T_{D}’)$$\rho^{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}(\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})=T_{v}$$(v\not\in\Sigma)$で9を満たすものが同型を除きただ–つ存在する.
これは Carayol の–般的な定理より従う (が本来は Wiles の擬表現の方法 [W2] で示されている). ただし, odd で既約な表現はトレースで生成される体上定義されることを使う.
注意.
となるが, 実際はTeichm\"uller lift) は位数が ベキの有限素点で不分岐な指標になっている ( $H$ として p-Sylow
部分群をとったことによる). 従って, 一般には determinant も変形することになる.
この普遍モデュラー表現を調べる際に最も重要なのが以下の事実である.
$(\det_{\beta^{\mathrm{m}\mathrm{o}}}\mathrm{d}/\acute{\chi}_{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}1}\mathrm{e})/(\det\overline{\rho}/\overline{x}_{\mathrm{c}}\sim \mathrm{y}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{e})(\det\overline{\rho}/\backslash \overline{\chi}_{\mathrm{C}}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\text{の}$$\det\rho^{\mathrm{m}\mathrm{o}}(\mathrm{d}\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})=\langle v\rangle$

$P$

事実.
となるものとする. このの尖点表現とし, 無限遠でのタイプがときを対応する \ell 進表現とすると有限素点 \mu で\mbox{\boldmath $\pi$}\rightar ow \rho \mbox{\boldmath $\pi$} という大域的ラングランヅ対応は
局所ラングランヅ対応と compatible である. つまり、と分解したとき.
が局所ラングランヅ対応になっている.
$\pi$

を

$D_{k_{\iota}},$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{A}_{F})$$k_{\iota}\geq 2$$v$$\rho_{\pi}$$\pi=\otimes_{v}\pi_{v}$

これは g が奇数の場合と g が偶数のほとんどの場合に [Car$\pi_{v}arrow\rho|_{D_{v}}$1] で示されたが残りの場合

も [W2], [T] で示されている.

この事実により以下のことが示せる.
主張.
a) ある

,

$T_{H}$$(\mathrm{f}D)$の極大イデアル $m$ があり$T_{D}’\simeq\tau_{D}=TH(\mathrm{p}\mathrm{f}D)m\otimes_{\mathrm{Z}_{p}}\wedge \mathcal{O}$b)$\rho^{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}$は$\overline{\rho}$.

のタイプ D’ の変形である. ここで $D’=(\Sigma, \mathcal{O}, G’),$ $G’(v)–G(v)(\overline{r}ho$ がで exeptional でないとき) $G’(v)=\mathrm{u}$ (

$v$

$v$

で exeptional なとき).

(しかも全射である).
も定義できる事になる. これで主役 $(R_{D}, T_{D}, M_{D})$ が出そろっ

これによって $D=D’$ の時には $R_{D}arrow T_{D}$ が定義できることになる

また, ヘッケ加群$M_{D}=M_{T_{\mathcal{D}}}$たことになる.

注意.
で ordinary A-進の場合だが)1. もちろんこのようなガロア表現を構成したのは (肥田が最初である. ここでの構成法は Wiles の擬表現の手法による.
2. 本来の局所ラングランヅ対応では剰余標数が と素であることを要求するため, 上記
定理もこの場合には適用されない. 従って他の手法を使うことになる. ただし, 有理数体の場合に de Jong の alteration と辻の結果から Weil-Deligne 群の表現を定義するこ, とができ、Langlands 対応と compatible であることが示されている (斉藤毅、 this volume).
$F=\mathrm{Q}$

$P$

10

\S 5. テイラーワイルス系の構成
以下の定理が主定理の–つである.
$\mathrm{c}$を総実代数体とし modp 表現\rho - :か ordinary,が分岐しており絶対可約ならする変形のタイプとする.
は線形独立.
1. 奇素数 p は $F$ で不分岐で, $F$ と重要な仮定なので強調しておく)
うが,は絶対既約である.
2.
定理.

$F$

$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{F}/F)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(k)$がモデュラーで $v|p$ で丑 atとする. $D$ を に対$\dim_{k}\overline{\rho}^{I_{v}}=1$$\overline{\rho}|_{D_{v}}(v\parallel p)$$\overline{\rho}$(線形独立性は不分岐な事から従$\mathrm{Q}(\zeta_{p})$$\overline{\rho}|_{\mathrm{G}\mathrm{a}1(}\overline{F}/F(\sqrt{(-1)^{(p-1})/2p})$

3.

は\S 4 の意味での極小持ち上げ

を持つ.
このとき
の変形のタイプ $D$ に対しヘッケ環は完全交差環で, Fontaine-Mazur 予$R_{D}\simeq
T_{D}$にたいしとなる.
想が成り立つ. つまり普遍変形環$\overline{\rho}$$\pi$$T_{D}$$\overline{\rho}$$R_{D}$

証明は $D$ が極小のときを先に示し, 一般の場合はレベルをあげる議論により極小の場合に帰着するという方法をとる. 定理には含めなかったが, “
one theorem” も同時に証明されていく.
$F=\mathrm{Q}$ の場合は Wiles, Taylor-Wiles, Diamond による結果と –致する.
有理数体の場合に限れば議論はかなり易しくなっている.
$\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{P}1.\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$注意.
a) 一般の $F$ の場合は–次指標によってひねる議論が適用できないので結論は少し弱くなている.「が分岐しており絶対可約なら」 はヘッケ環の定義を変更してはずせるが, そうすると極小持ち上げの定義を強める必要があり, レベルを下げる議論がやりづらくなる.
b) 分岐素点が例外的な場合には今までと異なる志村曲線を使う必要があり ( $F=\mathrm{Q}$ で
Diamond が扱った場合), 従って “multiplicity one” もそのような曲線のコホモロジー群に対してしか分からないことに注意しておく.
$D$ が極小の時にはTaylor-Wiles 系を作ることになる.
$’\supset$$\dim_{k}\overline{\rho}^{I_{v}}=1$$\overline{\rho}|_{D_{v}}(v\int p)$

がモデュラーでを奇素数とし modp 表現\rho - :$v|p$ で丑 at か ordinary,とする. さ( か) が分岐しており絶対可約なら$D$らに? の意味での極小持ち上げを に対する変形のタイプとする. このを持つとする.
でとき Taylor-Wiles 系
は異なる固有値を持つ} となるものが作れる.
{ $v;v$ 着 D,

定理. $F$ を総実代数体,$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{F}/F)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(k)$$P$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$\dim_{k}\overline{\rho}^{I_{v}}=1$

$v$

$\pi$

$\overline{\rho}$$\{R, \{R_{Q}, M_{Q}\}_{Q}\in Q_{\Sigma,\overline{\rho}}\}$$q_{v}\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p,\overline{\rho}(\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})$$Q_{\Sigma,\overline{\rho}}=$.

が絶対既約だが惰性群への制限が可には例外的な場合, つまり約になっていることはないとする. (そのような例外的な場合にはヘッケ環を極小にするために F. Diamond がで行ったように分岐する四元数環に伴うモデュラー多様体を係数

以下, 簡単のため$\overline{\rho}|_{D}$$\overline{\rho}$$F=\mathrm{Q}$

層付きで考える必要がある.) $T=T_{D}$ とおく. まず $Q\in Q$ に対しヘッケ環と-加群$M_{Q}$ , 変形環
とおく.
, 準同型 $R_{Q}arrow T_{Q}$ を定義する.
が不分岐になって
と
いる
の
を
に対し
での固有値とする.
まず最初に–見技術的ではあるがヘッケ環を変えずにレベルを増大させ ( 群を減少させ)なら$g\in$
不連続群の作用を自由にする事を行う. まず整数 $A$ で$T_{Q}$$R_{Q}$$v$$\alpha_{v}$$\mathrm{J}\supset=\prod_{v\in Q}v$$\beta_{v}$$\overline{\rho}(\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})$1.
2.

がねじれ元を持たないようにできる. そこで$q_{\mathfrak{r}}\parallel A\mathrm{f},$$\alpha_{\mathfrak{r}}\neq\beta_{\mathfrak{r}}$$q_{\mathrm{t}}\not\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p$.

$\alpha_{\mathfrak{r}}\neq q_{\mathfrak{r}}^{\pm}\beta_{\mathrm{t}}1$.

$\overline{\rho}$$v$$q_{\mathfrak{r}}\parallel A$$G_{D}(\mathrm{A}^{\infty})$$T_{Q}$$\mathfrak{r}$を$G_{D}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}(\mathrm{Q})\cap gK11(\mathfrak{r})g^{-1},$11となるように取る. これは Diamond と Taylor の議論であるが, $F$ とが線形独立な
事と $p=3$ ならが絶対既約な事を使ってぃることに注意. このような条件なしには出てくる結論に反例があることすらあるのである.
ヘッケ環をで変更しても変わらないことを見よう.
としを $m$ との極大イデアル$<\delta>-1,$で生成されるものとする.
とする. 固有形式
をとり:を対応する尖点表現とする. まず -成分
は超尖点的ではないことをみる.
は表現空間内に$\mathrm{Q}(\zeta_{p})$$\overline{\rho}|_{F(\sqrt{-3})}$$\mathfrak{r}$$K_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f}D)=K_{H}(\mathrm{f}D)\mathrm{n}K11(\mathfrak{r})$$T_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f})\otimes \mathrm{z}\mathcal{O}$$U_{\mathfrak{r}}-\alpha_{\mathrm{t}},$$m_{\mathfrak{r}}$$\delta\in k(\mathfrak{r})^{\cross}$$T’=(T_{H,\mathrm{t}}(\mathrm{f}D)\otimes \mathrm{z}\mathcal{O})_{m_{\mathfrak{r}}}$$T’arrow \mathcal{O}$

$f$

$\pi$

$\mathfrak{r}$$\pi_{\mathfrak{r}}$$\pi_{\mathfrak{r}}$$w–\chi_{1}(a)x_{2}(b)w$ となるベクトル指標である.

$w$をもつ. ここで$\chi_{1},$$\chi_{2}$:$K_{\mathrm{r}}^{\cross}arrow\overline{\mathrm{Q}}_{p}$は従順

は弓手が高々 1 なので超尖点的にはならない. 条件 1 から中心指標
が主系列表現なら, 不分岐にならなくてはいけない. 条件 2 かは Steinberg 表現にもならないのがわかる. そこで $<\delta>$ -作用は自明であり, $T’$ はらで old な形式の空間に作用する商と –致することがわかる.
が $T$ に属することを見るのも容易なので (フロベニウスの固有値が異なることによる) $T=T’$ が従う.
今後 $T$ とレベルを であげたヘッケ環を同–視することとする. この手法を使うとさらにいろいろなヘッケ環を $T$ と同–視する事ができる. たとえば$\pi_{\mathfrak{r}}\otimes\chi_{2}^{-1}$の分岐が分かるので, もし$\pi_{\mathrm{r}}$$\pi_{\mathrm{r}}$$\mathfrak{r}$$U_{\mathfrak{r}}$$\mathfrak{r}$$K_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f}, \mathfrak{Q})=K_{H}(\mathrm{f}, \mathfrak{Q})\cap K11(\mathfrak{r})$とおき$T_{0,Q}:=(T_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f}, \mathfrak{Q})\otimes_{\mathrm{Z}}\mathcal{O})_{m_{Q}}$とする. ここで$m_{Q}$

は$m_{\mathfrak{r}}$と $U$。 $-\alpha_{v},$ $v\in Q$ で生成された極大イデアルである.

補題.
$T_{0,Q}\simeq T=(T_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f})\otimes \mathrm{z}\mathcal{O})_{m}\mathrm{r}=(T_{H}(\mathrm{f})\otimes \mathrm{z}\mathcal{O})m$.

証明. $N=\# Q$ についての帰納法で示す. $N=0$ なら主張は明らかである. $Q’$ について正し
いとし $Q=Q’\cup\{v\}$ とする. 表現はで new な,
上の保型形式の空間には現れない. もし現れるとするとととなるはずであるがが異なることを仮定したのでこれは起きない. したがって old なからくる空間だけを考えればよい.
であり
,
),
$v$

$\alpha_{v}/\beta_{v}=q_{v}^{\pm 1},$$\alpha_{v},$$K_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f}^{\mathfrak{Q})}$$\alpha_{v}\beta v=q_{v}\langle V\rangle$$q_{v}\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathrm{p}$$\beta_{v}$$K_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f}, \mathfrak{Q}’)$$V_{Q’}$$V_{Q’}=S_{2,K_{H,\mathrm{t}}(}\prime \mathrm{f},\mathfrak{Q}$$\mathrm{C}\oplus S_{2,K_{H,\mathfrak{r}}}\mathrm{o}’(\uparrow,),\mathrm{c}$$S_{2,K_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f},),\mathrm{C}}\mathfrak{Q}$への埋め込みは標準的な射影と行列形は$V_{Q’}$

上で. $U+<v>q_{v}=0$ を満たすことが分かる. 仮定からこの方程式となるので方程式 $U_{v}^{2}-T_{vv}$は $T/m_{T}$ で異なる解を持つので, ヘンゼルの補題により $T$ で解を持つ. 従って。ld form の.
空間に作用する
作用素が $T$ に入ることになり同型を得る.
$U_{v}$$\triangle_{v},$$\delta_{v},$$\triangle_{Q}:=\prod_{v\in Q}\triangle_{v}$は以前の通りとする.

$\text{さら}\iota_{}\Delta_{v}^{}=p\text{と素_{}\backslash }^{f}x\triangle_{v}\text{の}\mathrm{h}\underline{\tau}\text{大_{}\mathrm{D}}^{*}\beta h^{\backslash }\text{群},$$\mathfrak{Q}=\prod_{v\in Q}vk9^{-}\text{る}$.

コ$\backslash \nearrow$ノ$\backslash ^{\mathrm{O}}$クト q 部分群 $K_{Q}$$\text{を}$$K_{Q}=\{g\in K_{H},\mathfrak{r}(\mathrm{f}^{\mathfrak{Q}},);g\equiv(_{0^{h_{1}}}^{\delta}.

\delta\cdot h_{2}*)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} v, \dot{\delta}\in\triangle_{v}, h_{1}, h_{2}\in\triangle_{v}^{\vee}, v\in Q\}$

12として決める.

$K_{Q}$に伴うヘッケ環を Endc $(s2,K_{Q})$ 内で$T_{K_{Q}}$$T_{v},$$v\not\in\Sigma\cup Q,$$U_{v},$$v\in\Sigma,$$U_{v}$,,-部分代数とする.
は通常通り可も普通通り決めるが, $<\delta>$ は素元の取り方によることに注意する.
$\delta-1(\delta\in\Delta_{v}, v\in Q)$をの極大イデアル換になる事が言える.
$<\delta>,$$\delta\in\Delta_{v},$$v\in Q$で生成される

ここで Uv-作用素や $<\delta>,$ $v\in Q$$\mathrm{Z}$$T_{K_{Q}}$$\delta\in\Delta_{v}$$T_{K_{Q}}\otimes \mathrm{z}\mathcal{O}$$m_{K_{Q}}$$m_{\mathfrak{r}},$$U_{v}-\alpha_{v},$で生成されるものとし$T_{Q}:=(T_{K_{Q}}\otimes \mathrm{z}\mathcal{O})mK_{Q}$をとする. 以前と同様に不要な作用素を省くことができる. つまり
でが成り立ち, 特にの部分代数とすると上生成される$T_{Q}’$$\mathcal{O}$$T_{v},$$\tau_{Q}’=\tau_{Q}$$T_{Q}$$v\not\in\Sigma\cup Q,$$T_{Q}$$U_{v}\in\Sigma$は野州である.

まず変形のタイプを$G_{Q}(v.)=G(v)(v\not\in Q, G_{Q}(v)=\{\mathrm{u}\}(v\in Q)$.
と定義する.
が以前と同
まず が絶対既約なので\rho Q :
の
$v\in
Q$
でのより詳細なの変形を与えていることに注意する.
様に作れ, タイプが情報が次で与えられる.
$D_{Q}=\{\Sigma, G_{Q}, \mathcal{O}\},$$\cdot$$G\Sigma\cup Qarrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\tau_{Q}),$$\overline{p}$$D_{Q}$

補題. $v\in Q$ のとき

序を選ぶと,$\rho_{Q}|_{D_{v}}$$\chi_{2,v}(\sigma_{v})=\delta v$は–次指標となる. つまり$\chi_{1,v},$$\chi_{2,v}$:.

$\rho_{Q}(\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})=T_{v},$$v\not\in\Sigma\cup Q$$\rho_{Q}$$G_{Q}arrow T_{Q}^{\cross}$の直和であり, 適当に$\chi$’ の順$\rho_{Q}(\sigma_{v})=$

ただし$\sigma_{v}$は局所骨体論により$\delta_{v}$にうつる$I_{v}^{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{e}}$の生成元.

は自明であるとする. すると $\det\rho_{Q}=$以下簡単のため狭義イデアル類群の -部分の Teichm\"uller lifting で,は円分指標の -部分. 従って
. ここで
戸は
.
はこのように固定されているとして良い.
determinant
がを のタイプの普遍変形環とする.
: $R_{Q}arrow R$ を自然な射影としよう.
$R_{Q}arrow
T_{Q}$
を得る.
に対応する環準同型
タイプ:の変形なので. 自然な射影
はを与える:$T_{Q}arrow
T$
により
,
:
と は同じ指は $Tv=?$}にうつり Chebotarev の密度定理により標を持つからである.
$C_{F,p}$$P$$\mathrm{d}\mathrm{e}\tilde{\mathrm{t}}$$\epsilon’$$\mathrm{d}\mathrm{e}^{\sim}\mathrm{t}\overline{\rho}\cdot\epsilon’$$R_{Q}$$\det\overline{\rho}$$P$$D_{Q}$$\overline{\rho}$$\rho_{Q}$$\kappa_{Q}$$D_{Q}$$f_{Q}$$\rho_{Q}$$\beta Q$$\pi_{Q}$$\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{e}\tau_{Q}\rho Q(\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})=\tau_{v}(v\not\in\Sigma\cup Q)$$\rho$$\pi_{Q}\rho_{Q}’$$\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\tau\rho^{\mathrm{m}\mathrm{o}}(\mathrm{d}\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})\in T$$\rho$

.

$j$

可換図式

$R_{Q}rightarrow fQT_{Q}$$\pi_{Q\downarrow}$$\kappa_{Q\downarrow}$

$R$

をえるが,

$\mathcal{O}[\Delta_{v}]\mathrm{t}\mathrm{h}\overline{\rho}|_{D_{v}}$$arrow fT$の普遍変形環とみなせるのだった. \S 4 での議論により TW2 は満たされている. 従って$\tau_{Q}$:$\mathcal{O}[\Delta_{Q}]=\otimes_{v\in Q}\mathcal{O}[\Delta_{v}]arrow R_{Q}$.

は< $>$ による自然
の記述から
となり,
を得る.
と –致する.
な埋め込み
テイラーワイルス系の公理 TW3 をチェックする方法を述べる. これは以下の原理に基づ$\rho_{Q}|_{D_{v}}$$\mathcal{O}[\Delta_{Q}]arrow T_{Q}$

いている.

$f_{Q}\cdot\tau_{Q}(\delta v)=<-\delta_{v}>$$\mathcal{O}[\Delta_{Q}]0-f\cdot\tau QT_{Q}$

13

を多様体,

に自由に作用する群で $X=\mathrm{Y}./G$ となっているとする. このとき
-加群の複体として完全である.
この完全複体の議論を適用してみる. この考え方は実に単純なものであるが、それ故に強力で–般化も容易である.
が $S_{K_{Q},F}$ に自由に作用することを見る. ([ $F$ : Ql $>1$ の時にこれを成り立たまずせるためにはを使えない事に注意)の定義から,「$\mathrm{Y}$は$R\Gamma(\mathrm{Y}, \mathcal{O})$$G$を$\mathrm{Y}$$\mathcal{O}[G]$$\text{」}$$\Delta_{Q}$$K_{1}$$(^{*})$$K_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f}, \mathfrak{Q})/(F^{\cross}\mathrm{n}K_{H,\mathrm{t}}(\mathrm{f}, \mathfrak{Q}))^{-}/K_{Q}/(F^{\cross}\cap K_{Q})^{-}=\Delta_{Q}\cross\triangle_{Q}/\triangle_{Q}\simeq\Delta_{Q}$となる. ここでは$K_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f})$の $S_{K_{Q},F}$

そこでる.

$K_{Q}$$\Delta_{Q}\subset\triangle_{Q}\cross\Delta_{Q}$は対角線に入っており- は閉包である.

$G_{D}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}(\mathrm{Q})\cap gK_{H,\mathfrak{r}}(\mathrm{f})g^{-1},$$g\in G_{D}$は自由になる.
$R\Gamma(S_{K\overline{F}}, \mathcal{O})Q,$$T_{K_{Q}}\otimes \mathrm{z}\mathcal{O}$する. 分解となる.

は$\mathcal{O}[\Delta_{Q}]$は局所環の積(A ) がねじれがないように選んだので,$f$-門群の完全複体であることが言える.
をに分解する.
に対応するベキ石元 によって$\prod_{m}T_{Q,m}$$T_{K_{Q}} \otimes \mathrm{z}\mathcal{O}=\prod_{m}\tau Q,m$

$M_{m}$

を奇数とすの m-進完備化と$[F:\mathrm{Q}]$$H^{1}(S_{K_{Q},\overline{F}}, \mathcal{O})$$e$$\triangle_{Q}$$M_{Q}=eH^{1}(S_{\overline{H}}(\mathrm{f}\mathfrak{O}), \mathcal{O})$

命題. $g=[F : \mathrm{Q}]$ が奇数で, 極大イデアル $m$ に対応する が絶対既約とする. このとき
$M_{Q,m}$ は自由-加群である. が偶数の時もに対して同様のことが成立する.
$\overline{\rho}$$\mathcal{O}[\Delta_{Q}]$$H^{0}$$g$が
ここでは [TW]
自由」を完全実体の議論で示そう. アファイン
モデュラー曲線に対しは完全掩体でのみが残る. ここではは上定義されているので複素共役がに作用するが-部分に入っている. 従ってはの直和因子でしかも以外は消えるので $H^{1}(L^{-})=H^{1}(Y_{Q}, \mathcal{O})^{-}$ の自由性が従う. 一般の $F$ ではのも残ってしまうが, ヘッケ作用素の作用を考えるとへの作用は–次元的で Eisenstein になってしまい, したがって のような既約表現の部分には全く寄与をしない.
$\alpha H^{1}(Y_{Q}, \mathcal{O})^{-}$$\mathcal{O}[\triangle_{Q}]-$$H^{0}$$L$$\mathrm{R}$$L^{-}$$H^{0},$$L=R\Gamma(Y_{Q}, \mathcal{O})$$Y_{Q}$$H^{1}$$\mathrm{Y}_{Q}$$+$$H^{1}$$L$$L=R\Gamma(s_{\overline{H}}(\mathrm{f}\mathfrak{Q}), \mathcal{O})$$H^{0},$$H^{2}$$H^{2}$$\overline{\rho}$-蹴群とみなすと補題によりの-加群として自由になる.
-加群としての階数は $M_{Q}/\{\delta_{v}-1, v\in Q\}M_{Q}$ の -加群としての階数に等しく, 従って 2 $\dim_{K}T\otimes_{0}K$ ( $[F$ :奇数),( $[F$ :偶数) となる. 従って TW3 が$\{R, R_{Q}, M_{Q}, Q\in Q\}$ に対し成り立つことになる.
$M_{Q}$

を$f_{Q}$

により$R_{Q}$$\mathcal{O}[\Delta_{Q}]$$\mathcal{O}[\Delta_{Q}]$$M_{Q}$$\mathcal{O}$$\dim_{K}T\otimes_{\mathcal{O}}K$$\mathrm{Q}]$$\mathrm{Q}]$を $D$ の極小性の下で構成しあとは極小性を使って同型判定法の条件をみたすていく事になる. ポイントとなるのはかロアコホモロジーを使って生成元の数をコントロー
ルすることであり, また $v\in Q$ への制限が “強くなる” コホモロジー類を密度定理をつかって作ることにある.
をで $D,$\rho -の双対とし,の [W] の意味での双対のタイプを取ることにする.
は双対セルマー群の modp 版である.
。
普遍変形環
. に対し
$Q\subset Q_{\Sigma,\overline{\rho}}$$\mathrm{a}\mathrm{d}^{00}\overline{\rho}^{*}=\mathrm{a}\mathrm{d}\overline{\rho}(1)$$\mathrm{a}\mathrm{d}^{0}$$D^{*},$$H_{D^{*}}^{1}(F_{\Sigma}/F, \mathrm{a}\mathrm{d}0)),$$H_{D}1\overline{\rho}(1*$$D^{*Q}$$D_{Q}$$(F_{\Sigma\cup Q}./F, \mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho}(.1)\backslash )$$R_{D_{\mathrm{Q}}}$,$(m_{R_{Q}}/(m_{R_{\mathrm{Q}}}^{2}, \lambda))^{*}=H_{D_{Q}}^{1}(F_{\Sigma\cup Q}./F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho})$であることに注意しておく. 特に$R\text{っ_{}Q}$は高々$\dim_{k}H_{D_{Q}}^{1}$

個の元で生&S れる.

14$r=\dim_{k}H_{D^{*}}^{1}(F_{\Sigma}/F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{p}(1))$

とおく. 以下では $m\geq 1$ に対し$Q\subset\{v:q_{v}\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{m}\}\cap Q_{\Sigma,\overline{\rho}}$が$\dim_{k}H^{1}D_{Q}(F_{\Sigma\cup Q}/F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho})\leq$を満たすように作れることを示す. そうすれば定理は証明されたことになる (他の条.
件は比較的容易である).
$\# Q=r$

補題. 変形のタイプ $D$ が極小のとき, $\dim kH^{1}(D)F,$$\mathrm{a}\mathrm{d}^{0_{\overline{\rho}}}\leq\dim_{k}.H_{D^{*}}^{1}.(F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))$

がなり

たつ.

以下の公式を使う [$\mathrm{W}$, proposition 16].

$\dim_{k}H_{D}^{1}(F\Sigma/F, \mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho})-\dim_{kD^{*}}H1(F_{\Sigma}/F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))$$= \sum_{v\in\Sigma}h_{v}+\sum_{v\in P\infty}h_{v}+\dim_{k}H0(F, \mathrm{a}\mathrm{d}0_{\overline{p}})-\dim_{k}H0(F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0_{\overline{\rho}(1}}))$

ここで $v\in\Sigma$に対してはであり無限素点では約性から.

$h_{v}=\dim_{k}H^{0}(F_{v}, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))-\dim_{k}H^{1}(F_{v}, \mathrm{a}\mathrm{d}0)\overline{\rho}/H^{1}(fv’ 0\mathrm{d}\mathrm{a}\overline{\rho}F)$$h_{v}=\dim_{k}H^{0}(F_{v}, \mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho}(1))$となる.

$\dim kH0(F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho})=\dim_{k}H0(F, \mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho}(1))=0$$\overline{\rho}|_{\mathrm{G}\mathrm{a}1(}\overline{F}/F(\sqrt{(-1)^{(p-}1)/2p})$.

$\overline{\rho}$の既が複素共役に関し奇なのでなら, $h_{v}=0$ . $v|p$ のときに寄与が存在し,となる. flat でない場合には [ , proposition 19] の方法で従う. flat な
場合には[ $k(v)$ : Fp] が [TW] の議論からでて, Tate の局所 Euler 数公式からしたがう.
を F で不分岐としたので総和は 以下である.
.
に対しては,$\sum_{v:_{l\cdot\backslash \backslash }\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}}$限素点 $h_{v}=2[F : \mathrm{Q}]$ .

$h_{v}\leq-2[k(v) :$v\in\Sigma,$$v\wedge p$\mathrm{F}_{\mathrm{P}}]$$\mathrm{W}$$\dim_{k}H_{f}^{1}(Fv’ \mathrm{a}\mathrm{d}^{0_{\overline{\rho}}})\leq\dim_{k}H^{0}(F_{v}, \mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho}(1))+$

$0$

$P$

$D_{Q}$$[1\mathrm{o}\mathrm{c}.

\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{t}.

]$$\dim_{k}H^{1}D_{Q}/H_{\mathrm{D}^{*Q}}1=\dim_{k}H1D(F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0_{\overline{\rho}}0})/H^{1}D\mathrm{x}(F, \mathrm{a}\mathrm{d}\overline{\rho}(1))+\sum_{v\in Q}\dim_{k}H^{0}(Fv’\overline{\rho}\mathrm{a}\mathrm{d}0(1))$$\leq\# Q$.

は固有値, qv.\beta v/\alpha 詠持つので(に対して) となることに注意.
が従って $\dim_{k}H_{D_{Q}}^{1}\leq\# Q=r$ を満たすためには, $H_{D^{*Q}}^{1}=0$ との部分群の構造を使う場合分満たされればよい. ここでワイルスの結果を使う (けが必要である. この部分に本質的な改良がなされる余地, 特に L- 関数との関係があるようとなる.

$q_{v}\cdot\alpha_{v}/\beta_{v},$$\mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1)(\mathrm{F}\mathrm{r}_{v})$$\dim_{k}H^{0}(F_{v}, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))=1$$q_{v}$$v\in Q\in Q_{\Sigma,\overline{\rho}}$$\neq Q=H_{D}^{1}*(\mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))=r$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{F}_{q})$

に思う).
(cf.

$[\mathrm{W},$$3.8]$). $F$ を代数体とし $F$ と既約であるとする. このとき

$Q\subset${$\mathrm{Q}(\zeta_{p})$が線形独立で$v:v\not\in\Sigma,$ $v$

は次数 1,$\overline{\rho}|_{\mathrm{G}\mathrm{a}1(}\overline{F}/F(\sqrt{(-1)^{(-}p1)/2p})$$q_{v}\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} p^{m}$$\mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))$$H_{D^{*}}^{1}(F \Sigma/F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))arrow\prod_{v\in Q}H_{f(F_{v}}1,$}$\cap Q_{\Sigma,\overline{\rho}}$

で

が絶対

15

が単射である (従って

$H_{D^{*Q}}^{1}$が消える) ものが存在する.

$\dim_{k}H_{f}^{1}(Fv’ \mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho}(1))=\dim_{k}H0(F_{v}, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))=1$

が各 $v\in Q$ で成り立つので,$Q$を$H_{D^{*}}^{1}(F_{\Sigma}/F, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))\simeq\prod_{v\in Q}H^{1}(f\mathrm{a}\mathrm{d}0\overline{\rho}F_{v},(1))$となるように取れば#Q$=\dim_{k}H_{D}^{1}*(F_{\Sigma}/F, \mathrm{a}\mathrm{d}0_{\overline{\rho}}(1))=r$となる.

$(\dim kH_{f}1(F_{v}, \mathrm{a}\mathrm{d}^{0}\overline{\rho}(1))=$を使った).

$1$

これで $D$ が極小の場合の証明は終わりである.

\S 6. レベル上昇
レベルを上昇させるために可換環論の枠組みの中でモデュラー多様体で現れる状況を抽象化する. 基本的にレベルをあげるためには合同式をたくさん作り, それらが変形の全てを尽くしていることを示すのである.

定義.
a) 以下の条件を満たすを五つ組ということににする. $R,$ $T$ は完備局
所 O-代数で全射\mbox{\boldmath $\pi$} : $Rarrow T$ をもち $T$ は上有限平坦で $M$ は O-加群として自由な有限生成 $T$ -加群である. さらにベアリング ,は T-加群として:を導くものとする.
$b)$ 五つ組 $(R, T, \pi, M, \langle, \rangle)$ が単純であるとは\mbox{\boldmath $\pi$} が同型で $M$ が自由 T-加群になることをいう. とくに, $T$ はゴレンシュタイン環である.
.
.
$c)$ 五つ組 $(R’, \tau’, \pi’, M;, \langle, \rangle’)$ から $(R, T, \pi, M, \langle, \rangle)$ への射とは O-代数としての準同型: $R’arrow R$ と : $T’arrow T$ で以下の図式を可換にするものである.
$(\dot{R}, T, \pi, M, \langle, \rangle)$$\mathcal{O}$$\langle$$\rangle$$M\otimes \mathrm{o}Marrow \mathcal{O}$$M\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathcal{O}}(M, \mathcal{O})$$\alpha$$\beta$$R’arrow\alpha R$$\pi’\downarrow$$\pi\downarrow$$T’arrow\beta T$.

さらに単射\xi : $Marrow M’$ による $M$ の像 $\xi(M)$ は $T’$ -安定な式により与えられる$\xi(M)$への制限は暗対性により$\hat{\xi}$:$\langle$$T$-直和因子であり, 上記図の作用と compatible であることも仮定する. (ただし, ,のに–致するとは限らない. このことが以下本質的である. )$\mathcal{O}$$\langle$,$)$がひきおこされ,$\mathcal{O}$$M’\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}(M’, \mathcal{O})arrow M\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathcal{O}(.)}M,$$\rangle’$$\langle\xi(x), y\rangle’=$を満たす.
O-代数 $R$ で -代数準同型 :を持つものに対し, 不変量を [L] に従い以下のよ
うに定義する:の $R$ 内での零化域のによる像は内のイデァルであり, それをとあらわすことにする. $R$ が有限平坦なゴレンシュタイン -代数なら,
は O-加群準$\langle x,\hat{\xi}(y)\rangle(\forall x\in M, \forall y\in M’)$$f$$\mathcal{O}$$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f$$Rarrow \mathcal{O}$$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}_{R}(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f)$$f$$\mathcal{O}$$\mathcal{O}$$\eta_{f}$$\eta_{f}$同型による 1 の像で生成される. ここで R
は $R$ の双対化加群. 従ってこの場合にはワイルスによって考えられた不変量と –致する.
五つ組が与えられているときに-代数準同型を固定し ( 固有形式の類似):$f_{R}=f\tau\cdot\pi,$ $f_{T}j’=f\cdot\beta,$, $–f_{T}’,$
とおく. すると不変量\eta T,’がから得られる.
,$\mathcal{O}arrow\hat{R}\simeq R-\hat{f}f\mathcal{O}$$=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{Q}(R, \mathcal{O})$$\mathcal{O}$$f_{R}’$$f_{R’}$$f\tau$$Tarrow \mathcal{O}$$.\pi’$$\eta_{T’},$$\eta R,$$\eta_{R}$$f\tau,$$f\tau’,$$f_{R}$

16

補題. 五つ組の間の射で $(R’, \tau’, \pi M’,’, \langle, \rangle’)arrow(R, T, \pi, M, \langle, \rangle)(R, T, \pi, M, \langle, \rangle)$ が単がある $T$ の元\Delta に対し成り純であり, $T,$ $T’$ が面面なものを考える.
.
.
立つなら
:
$\text{もし}\hat{\xi}\cdot\xi(M)=\Delta\cdot M$$1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\circ}\mathcal{O}/\eta_{T’}\geq 1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\mathrm{o}}\mathcal{O}/f_{T}(\Delta)\cdot 1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\mathrm{o}}\mathcal{O}/\eta_{T}$が成り立つ.

意味を説明する.

“new space”$M’$ newは合同加納と呼ばれているものであり, “old space” $M$ と$=M’/\xi(M)$ の元との合同関係を記述している. 実際合同加群は “old”$M/\hat{\xi}\cdot\xi(M)$ヘッケ環 $T$ だけでなぐ’new” ヘッケ環いる.

$T^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}’=s(\propto\tau’arrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathrm{O}}(M^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}})’$.

.

上の加群になってを導入した動機は完全交差性の判定 (やさらに $Rarrow T$ の同
さて, ワイルスが不変量
と
にあった
.
型判定法)
(
Bloch-加藤予想, つまり関数の値との関係もあるが, ここでが成りは省略する) $T$ を完全交差環とすると.
立つ. もはや我々は $T$ に対しては強力な同型判定法を持っているのでここでは $T’$ が完全交差環になる条件を確立することにする.
$\eta_{f}$$L$$\eta_{f}$$1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\mathrm{O}}\mathcal{O}/\eta_{T}=1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\mathrm{o}}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f_{T}/(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f\tau)^{2}$

命題. 五つ組の間の射 $(R’, \tau’’, \pi, M’, \langle, \rangle’)arrow(R, T, \pi, M, \langle, \rangle)$ があるとし, $(R, T, \pi.’ M, \langle, \rangle)$が単純で, $T$ と $T’$ は被約, $T$ は完全交差環, $\hat{\xi}\xi(M)=\Delta\cdot M,$ $\Delta\in T$ とする. もし$1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\mathrm{O}}\mathrm{K}\mathrm{e}\Gamma fR’/(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}fR^{\prime)}2\leq \mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{O}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f_{T}/(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}f\tau)2+1\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{h}_{\mathrm{o}^{\mathcal{O}}}/f_{T}(\triangle)$-代数準同型 :に対して成り立つなら, 同型 $R’\simeq T’$ が成り立ち, $T’$ が完全交が差環になる. さらにK- 自由加群であるとすると,もまた単純になる. つまり $M’$ は $T’-$ 自由加群になる.
が$\mathcal{O}$$f$$Tarrow \mathcal{O}$$M’\otimes_{\mathcal{O}}K$$T’\otimes \mathrm{o}$$(R’, \tau’,.\pi’, M;, \langle.

’\rangle’)$

最初の部分は補題と Lenstra の同型判定法 [L] から従う.
$M’$ の自由性は斉藤毅氏に教えてもらった. 議論は以下の通り. $M$ は T- 自由と仮定されている. $T’-$ 自由な $M’$ の部分加群 $F$ で $Farrow M$ が全射になるものをとる. すると $Marrow Farrow M$を得て, 本質的に: $Tarrow T’arrow T$ による倍写像になっている ( ように基底をとる. すでには完全交差であることにも注意). $Marrow M’$ は -直和因子なので $f:Marrow M$ で以下の図式を可換にするものがある.
$\Delta_{0}$$T^{j}$$\mathcal{O}$$Mrightarrow$$f\downarrow$$F$$\downarrow$$rightarrow M$$\mathrm{i}\mathrm{d}\downarrow$.

$Marrow\xi$$M^{j}arrow\hat{\xi}M$同型で取り替えて\Delta : $Marrow M’arrow M$ としてよい
するとが従う. $(\triangle 0)=(\Delta)$ を示せばとなり , $M’\simeq F$ となる.
ある $\alpha\in T$ によりとなる. 仮定によりであることが従う.

$\Delta_{0}=\triangle\cdot f$となり,$(\Delta_{0})\subset(\Delta)$$f\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}_{T}M$$\Delta_{0}=\alpha\cdot\Delta$$f_{T}(\triangle 0)=f_{T}(\triangle)$となるので\alpha が単数

志村曲線に適用する際たはまず双対性におけるヘッケ環の作用を見る必要がある (単純に考えると反傾表現になってしまうので良くなにしておけばい). 本当は determinant でひねることで調節するが簡単のため
その部分の成分に対し作用込みで成立する.
が偶数の場合も同様である.
$R\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(R\mathrm{r}(SK, \mathcal{O}),$$\mathcal{O})\simeq R\mathrm{r}(sK, \mathcal{O}),$ $\mathcal{O})$$\det\overline{\rho}=\overline{\chi}\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}$

$g$

17

定理を適用する際に–番問題になるのは : $Marrow M’$ が O-直和因子になるという部分である.
が偶数なら単に点集合の問題なので容易であるが が奇数の場合が問題になる.
コンパクト開部分群を固定する.
:) $\cap Karrow S_{K}(i=1,2)$ を退化写像とする.
かとしコホモロジー群に引き起こされた写像
$\xi$

$g$

$g$

$K=\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathit{0}_{v})\cdot Kv$$\pi_{i,v}$$S_{K_{\text{。}}(v}$$v$$H^{1}(SK, \mathrm{z})p\oplus H^{1}(SK, \mathrm{Z}_{p})arrow H^{1}(S_{K_{\text{。}}(}K, \mathrm{Z}_{p})v)\cap$$(f_{1}, f_{2})\mapsto p_{1}^{*}f_{1}+p_{2}^{*}f2$

を考える.
定理.

$v$

わと仮定する.
$H^{1}(S_{K}, \mathrm{Z}_{p})\oplus H1(SK, \mathrm{z}p)arrow H^{1}(S_{K_{\text{。}}(v})\cap K,$ $\mathrm{Z}p)$の像は\rho -1

が丑 at か ordinary な部分に限れば Eisensteiu な部分を除き Zp-直和因子になっ$D_{\mathfrak{p}}$ている. 但し$K=K_{1}(\mathfrak{p}^{n})_{\mathfrak{p}}\cdot K^{\mathfrak{p}},$$\mathfrak{p}|p,$.

$n=0,1$ .

モデュラー曲線の場合には Ribet が “伊原の補題” と名付けた性質である. その場合は群コホモロジーの議論で証明できるがその方法を–般化することはできない. Diamond と Taylor
は上ので良還元を持つ志村曲線の場合に数論幾何的な方法を開発した (p-進ホッジ理論も使われる). 我々の場合も数論幾何的な方法を使うが, 良還元を持たない場合にも適用できる利点がある. ポイントは supersingular な点の振る舞いにある. 証明の過程で modp- モ
デュラー形式の興味深い表示も得られるが, ここでは省略する.
$\mathrm{Q}$$P$\S 7. レベルの降下
楕円曲線に今までの結果を適用しようとすると下の結果を紹介しておく.

$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{F}_{3})-$定理 (mod 3 セール予想の特別な場合). $F$ を次数$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{F}_{3})$セール予想を解く必要がある. 以の総実代数体とする.
を既約, 全ての複素共役に関し奇な表現とし, 以下の条件を仮定する:$v|3$ は ordinary, かつ 3 が $F$ で不分岐.
が絶対既約,$g$:$\overline{\rho}$$G_{F}arrow$1)2)g が偶数の時にはさらに$\overline{\rho}|_{D_{v}},$$\overline{\rho}|_{F(\sqrt{-3})}$が丑説でないかある $v|3$ である $v \int 3$ でが絶対既約か, 又はい拡大になるのいずれかが満たされるものとする. ..
タイプ $(2, \ldots, 2)$ の尖点表現
この時$2_{a})$$\overline{\rho}|D_{v}$$2_{b})$$0arrow\chiarrow\overline{\rho}|_{D_{v}}arrow\chiarrow 0$$\overline{\rho}|D_{v}$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2,F^{\text{の}}}$$\det\rho_{\pi,\lambda}/\chi_{\mathrm{c}\mathrm{y}_{\mathrm{C}1}\mathrm{e}}\text{は_{}P}$

$\pi$

で

の形の為で分裂しな$\overline{\rho}\simeq\rho_{\pi,\lambda}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \lambda,$$\mathrm{f}_{\pi}$

は極小な導手,と素となるものが存在する.

これは Langlands-Tunnel の定租 ordinary form についての肥田の結果 [H]. と以下の結果から従う.

$\cdot$定理 (レベル最適化). $F$ を総実代数体とし, $F$ とが線形独立とする. $v/(p$ をとる.
.
. .
既約な mod -表現 が.
’.
a) $p=2$ ならが, $p=3$ なら) が絶対既約
はタイプ $(k_{1}, \ldots, k_{g}),$, 係数環 の尖点表現 (ただし, が偶数の時
は\mbox{\boldmath $\pi$}w が本質的に二乗可積分になるような w\neq v が存在するとする)$\mathrm{Q}(\zeta_{p}.)$$P$$\overline{\rho}$$\overline{\rho}|_{F(\sqrt{-1})}$$b)\overline{\rho}\simeq\rho_{\pi,\lambda},$$\pi$$\overline{\rho}|_{F(}$$\sqrt{-3}$$k_{i}\geq 2$’$\mathcal{O}$

$g$

18
としてえられているとする. もしとなっている場合を除けばが不分岐で#X 位数が と素, 係数環が,と同じタイプの採点表現\mbox{\boldmath $\pi$}’ で,-成分\rho -のアルティン重手と等しくなるものが存在する. $\alpha=\sup_{\iota\in I}F\{k_{\iota}-1\}$
はのウエイトである.
$q_{v}\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mathrm{p}$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$\pi$$\overline{\rho}\simeq\rho_{\pi^{t}},\lambda,$$\mathrm{f}\pi’|\mathrm{f}\pi’ v$$\mathcal{O}’\supset \mathcal{O}$$P$$\det P\pi’,\lambda/\chi_{\mathrm{c}\mathrm{y}_{\mathrm{C}1}}^{\alpha}\mathrm{e}$$\mathrm{f}_{\pi’,\mathrm{v}}\text{が}$$\rho_{\pi,\lambda}$

この定理は (ほぼ) F. Jarvis によっても独立に示されている [Jal], [Ja2].
注意. もちろん $F=\mathrm{Q}$ の時には知られている結果である. Art$\overline{\rho}|_{I_{v}}-n_{\pi,v}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}\rho_{\pi,\lambda}|_{I_{v}}$-の時が問題になる. 分岐がが v で不分岐,
激しい
ほうが証明はやさしい.
lmodp のときにはの場合は $F=\mathrm{Q}$ ,が不分岐,
Mazur の原理と呼ばれる. 除外されているウエイト 2 なら Ribet による有名な結果である (この場合が–番難しい). Ordinary の仮定
は $v|3$ でのウェイトとレベルの最適化のためにのみ使われるので, 近い将来に不要になると思われる. また, Ribet の証明 [Ri] も拡張可能と思われる.

Art$\overline{\rho}|_{I_{v}}=\dim_{k}\overline{\rho}^{I_{v}}-\dim_{k}\rho_{\pi}^{I_{v_{\lambda}}}$,だから$\dim_{k}\overline{\rho}^{I_{v}}\neq\dim_{k}\rho_{\pi,\lambda}I_{v}$$(\dim_{k\overline{\rho}^{I_{v}}}=1)$$\overline{\rho}$$q_{v}\not\equiv$$q_{v}\equiv \mathrm{l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$$\overline{\rho}|$$D_{v}$$P$が偶数の時には有限素点で分岐した四元数環に伴う志村曲線を使う必要があるので仮定が増えているが, Jarvis の Carayol の補題 [Car 2] を使う方法では分岐している場合には仮定がはずせる.
Carayol の補題と完全芸体の原理との関係については皆さんにお任せする事にしたい.
$g$\S 8. お話の終わり -楕円曲線
Fontaine-Mazur 予想に関して得られた結果を楕円曲線に応用してみる.
定理.
$E$

を総実代数体 F 上の楕円曲線とする.

1.3 は F で不分岐.

2.

$\overline{\rho}=\overline{\rho}_{E,3}$:$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{F}/F)arrow \mathrm{G}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{F}_{\mathit{3}})$

絶対既約である.
は 3 で準安定還元を持ちを三分点上に引き起こされるガロア表現とするとき$\overline{\rho}_{E,3}|_{F(}\sqrt{-}3)l\mathrm{h}$

3.

$E$

$\overline{\rho}_{E,\mathit{3}}|_{D_{v}}$

らにある $v|3$ で$3_{a})$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$は $v|3$ に対し ordinary である. g が偶数の時にはさが flat でないか,であるの形の為で分裂しなが絶対既約か, 又はい拡大になるこのとき $E$ はモデュラーである, つまりタイプ $(2, \ldots, 2)$ の旧離表現 があって $L_{v}(E,.S)=$$L_{v}(\pi, s)$ が全てのに対し成立する. とくに, $E$ に対する Hasse-Weil 予想は正しい.
$3_{b})$$v \int 3$$0arrow\chiarrow\overline{\rho}|_{D_{v}}arrow\chiarrow 0$$\overline{\rho}|_{D_{v}}$

$\pi$

$v$

」 という仮定をおいていが分岐して可約なら
定理を適用する際に「たことに注意する. 準安定性を仮定しないときには (–次指標によってひねれないので) この仮定が満たされるとは限らない. Fontaine-Mazur 予想も全て修正する. するとレベルの降下がより難しくなるが楕円曲線への応用には十分なだけ –般化できる. 詳細は省略する. もちろん望むなら 5 分点を使つた結果を出すこともできるが, 余り見やすい形にならないのでここでは省略する.
$\overline{\rho}|_{D_{v}}$$\dim_{k}\overline{\rho}|I_{v}=1$

これは $F$ 上の谷山 $-$ 志村予想に対する第–段階の結果である. 私が数論を始めた頃にはこの予想は現在の我々の手が届かないほど難しいと思われていた. 今や望みさえすれば手にはいるのである. ゼータ関数の解析接続と関数等式を証明したいという誘惑から逃れられる
数論の人は多くないだろう. かつて彼の予想が証明された際に Weil がいったように「 数論は静止していない」 (“Number theory is not standing still”) のを実感するときである.

19
REFERENCES[Carl][Car 2][D][D2][DT 1]

Carayol, H., Sur les repr\’esentations -adiques associ\’ees aux formes modulaires de Hilbert, Ann.
Sci. Ec. Norm. Sup. IV, Ser 19 (1986), 409-468.
Carayol, H., Sur les repr\’esentations galoisiennes mod $lauach\check{e}e$ aux formes modulaires, Duke
Math. J. 59 (1989), 785-801.
Diamond, F., On deformation rings and Hecke rings (1994).
–, The Taylor- Wiles construction and multiplicity one (1996).
Diamond, , Taylor, R., Lifting modular mod representations, Duke Math. J. 74 (1994), 253$p$$l$$\mathrm{F}$269.

[DT 2]
[Fu]
[FL]

[H]

Diamond, , Taylor, R., Non-optimal levels of mod modular representations, Invent. Math. 115(1994), 435-462.
Fujiwara, K., Deformation rings and Hecke algebras in the totally real case (1996).
Fontaine,, Lafaille, G., Constructions de repr\’esentations -adiques, Ann. Sci. Ec. Norm.
Sup. 15 (1982), 547-608.
Hida, H., On -adic Hecke algebras for GL2 over totally real fields, Ann. of Math. 128 (1988),$l$$\mathrm{F}$$\mathrm{J}.\mathrm{M}$

$p$

$p$

295-384.
[Ja 1][Ja 2]

[JL]
[L]
[M]
[O]

[Ray]
[Ri]
[S1]
[S2]
[Sh]
[T]

[TW]
[W]
[W2]

Jarvis, F., Mazur’s principle for totally real fields of odd degree, Preprint (1996).
Jarvis, F., Optimal levels for modular mod $ell$ representations over totally real fields, Preprint(1996).
Jacquet, , Langlands, R.P., Automorphic forms on, Lecture Notes in Math., vol. 114,
Springer Verlag, Berlin Heiderberg New York, 1970.
Lenstra, Complete intersections and Gorenstein rings, Elliptic curves, modular forms and Fermat’s last theorem, International press, Cambridge, 1995, pp. 99-109.
Mazur, B., Deforming Galois representations, Galois Groups over , MSRI Publications, vol. 16,
Springer Verlag, New York.
Ohta, M., On the zeta function of an $abeli\dot{a}n$ scheme over the Shimura curve, Jpn. J. Math. 9(1983), 1-26.
Raynaud, M., Sch\’emas en groupes de type $(p, ..,p)$ , Bull. Soc. Math. France 102 (1974), 241-280.
Ribet, K., report on mod representations of, 639-676.
Shimura, G., On canonical models of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann.
of Math. (1970), 144-222.
Shimura, G., On the critical values of certain Dirichlet series and the periods of automorphic
forms, Invent. Math. 94 (1988), 245-305.
Shimizu, H., Theta series and modular forms, J. Math. Soc. Japan 24 (1973), 638-683.
Taylor, R., On Galois representations associated to Hilbert modular forms Invent. Math. 98(1989), 265-280.
Taylor, , Wiles, A., Ring theoretic properties of certain Hecke algebras, Ann. of Math. (1995).
Wiles, A., Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Ann. of Math. (1995).
-adic representations associated to Hilbert modular forms, Invent. Math.
–, On ordinary
94 (1988), 529-573.
$\mathrm{H}$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}$$\mathrm{Q}$$t$$\mathrm{G}\mathrm{a}1(\overline{\mathrm{Q}}/\mathrm{Q})55$$\mathit{0}\dot{n}\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}$$\mathrm{R}$$\lambda$