数理解析研究所講究録 1292 巻 2002 年 186-208

186
4 次元ユークリッド空間内の共形平坦な超曲面の新しい例
陶山 芳彦 (Yoshihiko Suyama)

福岡大学・理学部

Department of Applied Mathematics, Fukuoka University
この論文では、 4 次元ユークリッド空間内の generic で共形平坦な超曲面につぃて考察

概要.

する。 また、 この論文の主たる目的は、 2001 年に数理解析研究所で行われた研究集会

体の微分幾何およびその周辺領域の研究 (講究録 1236 ([7]))

”

“

部分多様

で報告した内容のその後の進展について報告することである。 特に、 その進展した内容の中でも、 次の 2 っの内容 (1) と (2) が (–般的には) 興味深いものであると思われるので、 この部分についてのみ記述することにする。

(1) 今まで知られていなかった generic で共形平坦な超曲面を具体的に構成する方法。
(2) 同じ共形不変量 ([7] で与えたもの) を持つが、 共形的に同値とならない generic で共形平坦な超曲面の組を構成する事。
ところで、 このような超曲面の構成の一部は [8] で既に報告していたのだが、 本研究集会の後で梅原雅顕さんと話をしていて、 気が付いたことがあった。 それは、 [8] では、 この論文の \S 2 の(2.1) の形の計量のみを考えていたのだが、 \S 3 の (3.1) の形の計量も考えなければいけないということである。 \S 3 で述べた定理の証明は \S 2 の定理の証明とほとんど同様であるが、 この論文では T 寧に証明を付けた。
また、 内容 (2) は今回の講演では話さなかったもので、 この報告をまとめてぃて気が付いたものである。

1. 序文.
この論文では、 4 次元ユークリッド空間$\mathrm{R}^{4}$内の generic で共形平坦な超曲面の新しい一連の例を具体的に構成する。 また同時に、 ある種の共形不変量は一致するが、の共形変換で移りあわないような generic で共形平坦な超曲面の組も構成する。
超曲面が generic であるとは、 その超曲面上の各点で全ての主曲率が互いに異なる場
内の generic で共形平坦な超曲面に関する Cartan
合をいう。 4 次元ユークリッド空間の定理により、 超曲面の各点で (直交する) 主曲率線を座標関数とする座標系をとる事が出来る。 このような座標系を、 共形平坦な超曲面の “ admissible coordinate system と呼ぶ事にする。 この時、 admissible coordinate system
によって、 第一基本形
式と第二基本形式 は、 それぞれ次の様に書き表す事が出来る :$\mathrm{R}^{4}$$\mathrm{R}^{4}$”$\{x^{1}, x^{2}, x^{3}\}$

$s$

$g$

(1. 1)$g=e^{2P(x)}\{e^{2f(x)}(dx^{1})^{2}+e^{2h(x)}(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2}\}$

ここで、$P(x)=P(x^{1}, x^{2}, x^{3})_{\text{、}}$

(1.2)
ここで

$f(x)=f(x^{1}, x^{2}, x^{3})_{\text{、}}$,$h(x)=h$ ($x^{1},$ $x^{2}$, x3)。
,$s=e^{2P(x)}\{e^{2f(x)}\lambda(x)(dx^{1})^{2}+e^{2h(x)}\mu(x)(dx^{2})^{2}+\nu(x)(dx^{3})^{2}\}$$\lambda(x),$$\mu(x)$曲率である。 また、と$g$$\nu(x)$は、 それぞれ、$x^{1}-$

曲線、$x^{2}-$

曲線と$x^{3}-$曲線に対応する主のリーマン曲率はこの座標系により対角化される。

187のリーマン曲率が対角化されることにより、 計量 に対して次で表に関する偏導関数を関数 の) が存在する屋,

さて、 (垣) の計量を満たす関数$\psi\ovalbox{\tt\small REJECT}\psi$

わし、 2 階偏導関数

$g$

$g$

$x^{2},$$x^{3}$$\mathit{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}\partial x^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\partial x^{\sim}$を$f_{ij}$$f_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$で表わすことにする。

$\psi_{12}=(P+f)_{2}(P+h)_{1}-P_{12}$ ,(1.3)$x^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$f$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\psi_{13}=(P+f){}_{3}P_{1}-P_{13}$$\psi_{23}=(P+h){}_{\mathit{3}}P_{2}-P_{2\mathit{3}}$,.

は共形平坦な超曲面 (あるいは、は本質的に一意に定まり、 この関数
この時、 関数)(resp.
その計量) に関する共形不変量と考えられる。 ここでいう共形不変量とは、の共形変換の作用によって変わらない量のことである。 また更に、 この不変量は共形平$\psi$$\psi$$S^{4}$$\mathrm{R}^{4}$

坦な超曲面の計量と共形的な平坦計量まで含めた計量の集合の上での共形不変量として捉えることが出来る。 但し、 計量 (1.1) の表し方は一意ではないので、今のところこの不変量は弱い意味で考えている。
更に、 リーマン曲率が対角化されることより、 次の式も成り立つ :(1.4)$\psi_{12}=f_{2}h_{1}$

また、$\psi$,$\psi_{13}=h_{13}-h_{1}(f-h)_{3}$,$\psi_{23}=f_{23}+f_{2}(f-h)_{3}$.

の可積分条件から次の式を得る :(1.5)$(f-h)_{12\mathit{3}}+[(f-h)_{3}f_{2}]_{1}+[(f-h)_{\mathit{3}}h_{1}]_{2}=0$(1.6)$h_{123}-[f_{2}h_{1}]_{3}-[(f-h)_{3}h_{1}]_{2}=0$

.

(1.7)

$f_{123}-[f_{2}h_{1}]_{\mathit{3}}+[(f-h)_{3}f_{2}]_{1}=0$.

.

Hertrich-Jeromin は、 generic で共形平坦な超曲面には各点でより強い条件を満たす
admissible coordinate system が存在する事を証明した。 即ち、 そのような admissible
によって、 第一基本形式 (1.1) はcoordinate system$\{x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}}\}$(1.8)$g=e^{2P(x)}\{(\cos\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(\sin\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(dx^{\mathit{3}})^{2}\}$

あるいは、

(1.9)

$g=e^{2P(x)}\{(\cosh\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(\sinh\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(dx^{\mathit{3}})^{2}\}$と表わされる、 ここで $P(x)=P(x^{1}, x^{2}, x^{3})$ でありお$|_{\sqrt}\mathrm{a}$$\varphi(x)=\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})$て、 $e^{2P(x)}\sin 2\varphi(x)$ を改めて $e^{2P(x)}$ と置けば、 座標関数である。 (1.8)&こをそれぞれ$x_{\text{、}^{}2}$$x_{\text{、}^{}1}x_{\text{、}^{}2}x^{3}$に置き換えることにより (1.9) が得られる。彼はこのような座標系を Guichard net
を必とと呼んだ。 例えば、 計量 (1.1) と (1.8) を比べれば、 (1.1) では 2 つの未知関数
要とした部分が (1.8) では 1 つの関数 だけで表される事になる。 この Hertrich-Jeromin
は、 計量をそれぞれ (1.8) あるの結果と前に述べたことにより、 2 つの関数の組
いは (1.9) と表したときの共形平坦な超曲面 (あるいは、 その計量) の共形不変量となる$x_{\text{、}^{}\mathit{3}}x^{1}$

$f$

$h$

$\varphi$$\{\psi, \varphi\}$

事を注意しておく。

Guichard net$\{x^{1}, x^{2}, x^{3}\}$

により、$(1.3)_{\text{、}}(1.4)_{\text{、}}(1.5)_{\text{、}}$(1.6) と (1.7) で与えた方程式

188
は次のように書き直す事が出来る :計量 (1.8) の場合は、(1.10)$\psi_{12}=-\varphi_{1}\varphi_{2}$,$\psi_{13}=\varphi_{13}\cot\varphi$,$\psi_{23}=-\varphi_{23}\tan\varphi$.

.

(1.11)$\varphi_{123}=-\varphi_{1}\varphi_{23}\tan\varphi+\varphi_{2}\varphi_{13}\cot\varphi$

計量 (1.9) の場合は、 $(\tanh\varphi)^{-1}$ を(1.12)$\psi_{12}=\varphi_{1}\varphi_{2}$(1.13),$\coth\varphi$と表す時、$\psi_{13}=\varphi_{13}\coth\varphi$,$\psi_{23}=\varphi_{23}\tanh\varphi$$\varphi_{123}=\varphi_{1}\varphi_{2\mathit{3}}\tanh\varphi+\varphi_{2}\varphi_{13}\coth\varphi$.

.

古典的に知られている generic で共形平坦な超曲面の第一基本形式は、 3 っ方程式のいずれかを満たしている。 逆に、 第一基本形式がこれら 3 つの方
程式の 1 つを満たしているような generic で共形平坦な超曲面は、(resp.
) の共形
変換の作用で古典的に得られている超曲面に移る。
この論文では、 第一基本形式 (1.8) と (1.9) において $P=P(x^{3})$ となるような古典例に属さないすべての超曲面を決定する。 仮定 $P=P(x^{3})$ と (1.3) から、 $\psi_{13}=\psi_{23}=0$ とな$\varphi_{1}=$$0_{\text{、}}\varphi_{2}=0\text{、}\varphi_{3}=0$$S^{4}$$\mathrm{R}^{4}$

り、 更 [こ、 (1.10) と (1.12) よりが成り立つ。 方程式
内の generic で共形平坦な超曲面が成り立ち、 かつ $\varphi_{13}=\varphi_{23}=0$ を満たすが存在するならば、 このような超曲面は今まで知られていなかった新しい例となる。 さ
が
は、 関数
て、 仮定
$\varphi_{1\mathit{3}}=\varphi_{23}=0$$\varphi_{1}\neq 0_{\text{、}}\varphi_{2}\neq 0$$\mathrm{R}^{4}$$\varphi_{3}\neq 0$$\varphi_{1\mathit{3}}=\varphi_{23}=0$(1.14)$\varphi$$\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})=A(x^{1}, x^{2})+B(x^{3})$と表わされる事と同値である。
\S 2 では計量が (1.8) で表され、 更に $P=P(x^{3})$ となるような超曲面を、 \S 3 では計量が (1.9) で表れされる同様の超曲面を調べる。

2.

内の負の定曲率曲面から作られる共形平坦な超曲面.
この節では、 第一基本形式 が$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$或いは球面$S^{\mathit{3}}$$g$(2. 1)$g=e^{2P(x)}\{(\cos\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(\sin\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(dx^{3})^{2}\}$と表され、 更に $P=P(x^{\mathit{3}})$ となる場合の古典例に属さない$\mathrm{R}^{4}$内の generic で共形平坦な超曲面の存在に関する結果を述べる。 ここで述べる結果と内容で証明のない部分は論分 [8] を参照されたい。
は仮定より、 関数$\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})$(2.2)と表される。

$\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{3})=A(x^{1}, x^{2})+B(x^{3})$189の標準的平坦計量が (けではない)、 この時の関数
先ず、$\mathrm{R}^{3}$$2.\mathfrak{y}$の形に表わされ (関数 $P$ は$\{x^{1}, x^{2}, x^{3}\}$定理 2.1.

(あるいはの開集を求めよ、 という問題を考える。 このような$\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{3})$合) 上の全ての座標系 (net)の座標系を Guichard net という。

が (22) で与えられるとなるわ$P\ovalbox{\tt\small REJECT} P(x^{3})$$\mathrm{R}^{3}$$\mathrm{R}^{3}$$\mathrm{R}^{3}$の開集合) の Guichard net とし、(あるい (まがこの net}こよって (2.1) の形に表わされているとする。 更に、 不$\{x^{1}, x^{2}, x^{3}\}$を$R^{3}$$R^{\mathit{3}}$$R^{\mathit{3}}$の標準的平坦計量
等式 $A_{1}\neq 0$ あるいは $A_{2}\neq 0$ の少なくとも 1 つが成り立つ関数 $A(x^{1}, x^{2})$ と、
$g$

となる関数

$B(x^{\mathit{3}})$

により、 関数(2.3)$\varphi$$B_{3}\neq 0$が次のように表わされていると仮定する:$\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{3})=A(x^{1}, x^{2})+B(x^{3})$.

この時、 次の主張 (1) (2) (3) 及び (4) が成り立つ:
での各 x3 一曲線は円弧である。
(1)$R^{\mathit{3}}$(2) 関数 $A(x^{1}, x^{2})$ {ま Sine-Gordon 方程式を満たす:$A_{11}-A_{22}=(E^{2}/2)\sin(2A)$ ,ここで $E$ は正の定数である。

(3) 関数$B(x^{\mathit{3}})$は次の方程式で与えられる:$B_{\mathit{3}}(x^{\mathit{3}})=\sqrt{G^{2}-E^{2}(\sin B(x^{\mathit{3}}))^{2}}$,即ち、 $B(x^{3})$ は振幅関数 (楕円関数) である。
内の負の定
(4) 特に (3) において $G^{2}=E^{2}$ と仮定する。 この時の Guichard net は、曲率曲面からの平行曲面から作られているか、 あるいはその平行曲面の共形変換によっ
ここで $G$ は定数である。

$R^{\mathit{3}}$て作られている。

定理 2.1-(2) の Sine-Gordon 方程式で右辺の $\sin(2A)$ の係数は$E^{2}$と正に取ったが、 ことを入れは負に取ってもよい。 しかし、 負にした場合には、 座標関数
替えることにより、 その係数は正に出来る。 従って、 定理 2.1-(2) の形で述べた。
次に、 定理 2.1 で得られた関数 $\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})=A(x^{1}, x^{2})+B(x^{3})$ から、 generic で共形
平坦な超曲面を構成する (定理 2.4 と定理 25)。 このための準備として、 次の定理 22 との係数

$x^{1}$$E^{2}$$x^{2}$

定理 23 が必要である。

定理 22.

$R^{4}$

内に埋め込まれた曲面 $S$ :normal bundle の正規直交標構$\{\mathrm{n},\overline{\mathrm{n}}\}$$(x^{1}, x^{2})\}arrow \mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$で、$\mathrm{n}_{1}=\kappa_{1}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{1}$$\overline{\mathrm{n}}_{1}=\overline{\kappa}_{1}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{1}$,$\mathrm{n}_{2}=\kappa_{2}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{2}$,,$\overline{\mathrm{n}}_{2}=\overline{\kappa}_{2}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{2}$$\in R^{4}$に対し、 $S$ の

190を満たすものが存在するとする、 ここで$\kappa_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}(x^{1}, x^{2})$

更に、 このような曲面 $S$ とある 2 つの関数 $l(x^{3}),$の超曲面

は $S$ の主曲率である。

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{i}(x^{1}, x^{2})$$m(x^{3})(l(0)\ovalbox{\tt\small REJECT} m(0)\ovalbox{\tt\small REJECT} 0)$からが次の形で作られているとする$\mathrm{p}\ovalbox{\tt\small REJECT}(x^{1}, x^{2}, x^{3})\mapsto \mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})CR^{4}$

(2.4)

と

$R^{4}$

内$\ovalbox{\tt\small REJECT}$.

$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})=\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+l(x^{3})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})+m(x^{\mathit{3}})\overline{\mathrm{n}}(x^{1}, x^{2})$

この時、 $(l(x^{3}), x(x^{3}))$ がの直線ではなく、 またこの超曲面の第一基本形式が、$A=A(x^{1},x^{2})$$B=B(x^{3})(B(0)=\mathit{0})$定理 2.1 で与えられた関数とを使って$R^{2}$$\mathrm{p}$(2.5)$e^{2P(x^{3})}\{\cos^{2}(A+B)(dx^{1})^{2}+\sin^{2}(A+B)(dx^{2})^{2}+(dx^{\mathit{3}})^{2}\}$で与えられるならば、 初めの曲面 $S$ はる曲面である。

証明.

先ず、 写像$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2},0)$$R^{3}$の曲面であるか、 あるいはを考える。 この時$\mathrm{p}_{1}.--\mathrm{f}_{1\text{、}}$の第一基本形式{ま $e^{2P(0)}\{\cos^{2}A(dx^{1})^{2}+\sin^{2}A(dx^{2})^{2}\}$$\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$

p2

である。

とお [すば、 $e^{P(0)}=1$ としてよい。 また、 このことより$=\mathrm{f}_{2}$$S^{3}$.

に含まれてぃ故に、 写像$e^{P(0)}\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$$\mathrm{f}$を改めて$(l_{\mathit{3}}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2})(0)=1$

と仮定

できる。
次 (こ、

$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})$

の定義より

(2.6)

$||\mathrm{p}_{1}||^{2}=(1+l\kappa_{1}+m\overline{\kappa}_{1})^{2}\cos 2A$$||\mathrm{p}_{2}||^{2}=(1+l\kappa_{2}+m\overline{\kappa}_{2})^{2}\sin 2A$となる。以下簡単のため、 $\cos A\geq 0,$ $\sin A\geq 0,$,,$||\mathrm{p}_{\mathit{3}}||^{2}=l_{3}^{2}+m_{3}^{2}$$(1+l\kappa_{1}+m\overline{\kappa}_{1})\geq 0,$$(1+l\kappa_{2}+m\overline{\kappa}_{2})\geq 0$を仮定する。 (2.5) と (2.6) より、(2.7)$\cos(A+B)=\frac{1+l\kappa_{1}+m\overline{\kappa}_{1}}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}\cos A$,$\sin(A+B)=\frac{1+l\kappa_{2}+m\overline{\kappa}_{2}}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}}\mathrm{s}.\mathrm{n}A$成り立つ。
(2.7) 式より、

(2.8)$\cos B-\frac{1}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}=\frac{l}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}(\kappa_{1}\cos 2A+\kappa_{2}\sin 2A)$$+ \frac{m}{\sqrt{l_{\mathit{3}}^{2}+m_{3}^{2}}}(\overline{\kappa}_{1}\cos 2A+\overline{\kappa}_{2}\sin 2A)$

及び

(2.9)

$\sin B=\sin$ A$\cos A\{\frac{l}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}(\kappa_{2}-\kappa_{1})+\frac{m}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}}(\overline{\kappa}_{2}-\overline{\kappa}_{1})\}$

を得る。 (2.8) 式で、 左辺と$l/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}},$$m/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}$$(l(x^{\mathit{3}}), m(x^{3}))$は直線ではないことより、 定数(2.10)$(\kappa_{1}\cos 2A+\kappa_{2}\sin 2A)=C_{1}$,$C_{1}$と$C_{2}$

のみの関数であり、 またが存在しては$x^{3}$$(\overline{\kappa}_{1}\cos 2A+\overline{\kappa}_{2}\sin 2A)=C_{2}$191となる。 同様に (2.9) より、 定数(2.11)$\sin$$C_{\mathit{3}}$

と

が存在して

$C_{4}$

A $\cos A(\kappa_{2}-\kappa_{1})=C_{3}$ ,$\sin$

A$\cos A(\overline{\kappa}_{2}-\overline{\kappa}_{1})=C_{4}$が成り立つ。 (2.10) と (2.11) より、$\kappa_{1}=C_{1}-C_{\mathit{3}}\tan A$,,$\overline{\kappa}_{1}=C_{2}-C_{4}\tan A$を得る。 (ここで、 仮にとなる。 故に、り、 曲面$\mathrm{f}$$C_{\mathit{3}}=0$$<\mathrm{a}+C_{1}\mathrm{f},$$\kappa_{2}=C_{1}+C_{\mathit{3}}\cot A$,$\overline{\kappa}_{2}=C_{2}+C_{4}\cot A$とすれば、 ある定ベクトル a が存在して$\mathrm{f}_{i}>=<\mathrm{n},$$\mathrm{f}_{i}>=0(i=1,2)$は球面に属する。 故に、 以下 $C_{3}\neq 0,$,(2.12)$\mathrm{n}_{1}=(C_{1}-C_{\mathit{3}}\tan A)\mathrm{f}_{1}$(2.13)$\overline{\mathrm{n}}_{1}=(C_{2}-C_{4}\tan A)\mathrm{f}_{1}$より、$||\mathrm{a}+C_{1}\mathrm{f}||=$とな一定を仮定する。 ) 以上より

$C_{4}\neq 0$$\mathrm{n}_{2}=(C_{1}+C_{\mathit{3}}\cot A)\mathrm{f}_{2}$,$\mathrm{n}=\mathrm{a}+C_{1}\mathrm{f}$,$\overline{\mathrm{n}}_{2}=(C_{2}+C_{4}\cot A)\mathrm{f}_{2}$が得られる。 (2.12) と (2.13) より、 $i=1,2$ として(2.14)$(C_{4}\mathrm{n}-C_{\mathit{3}}\overline{\mathrm{n}})_{i}=(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{3})\mathrm{f}_{i}$が成り立つ。 (2.14) 式でに直交するとなるならば、 曲面 $S$ は定ベクトノレ$(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{3})=0$$\mathrm{R}^{3}$$(C_{4}\mathrm{n}-C_{3}\overline{\mathrm{n}})$内の曲面である。

の場合を調べる、 簡単のため、 $(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{3})=1$ ととなる。
仮定する。 (2.14) より、 ある定ベクトル a が存在して次に$(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{\mathit{3}})\neq 0$$C_{4}\mathrm{n}-C_{\mathit{3}}\overline{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+\mathrm{f}$$<C_{4}\mathrm{n}-C_{\mathit{3}}\overline{\mathrm{n}},$(2.15)$\mathrm{f}>$$\mathrm{f}>=<\mathrm{a},$ $\mathrm{f}>+<\mathrm{f},$$<\mathrm{f}_{i},$を得る。

$\mathrm{n}$と$\overline{\mathrm{n}}$$\mathrm{f}>+<C_{4}\mathrm{n}-C_{\mathit{3}}\overline{\mathrm{n}},$となる。 こうして、 曲面 $S$ は$2.1_{\text{、}}$$\mathrm{f}_{i}>=<\mathrm{a},$ $\mathrm{f}_{i}>+2<\mathrm{f}_{i},$は曲面 $S$ の法ベクトルだから、 (2.15) より<a+f フ定理の両辺を $x^{i}(i=1,2)$ で微分して$(-\mathrm{a})$$\mathrm{a}+\mathrm{f}>=$$\mathrm{f}>$$<\mathrm{a}+\mathrm{f}$, fi>=0、 即ち一定を中心とする球面$S^{3}$に含まれる。

q.e.d.

定理 22 と [8] の定理 5.2-(3.II) より、 $P=P(x^{\mathit{3}})$ となる計量 (2.1) を持ち古典型に含まれない generic で共形平坦な超曲面が存在するならば、 それらの超曲面{ま計量の曲面力 ら定理 22{こ述べた方法である はを持つ$\cos 2A(dx^{1})^{2}+\sin^{2}A(dx^{2})^{2}$$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$$|_{\sqrt}\mathrm{a}$$S^{3}$$\mathrm{a}$

作られていなければならない。
次に
いは

“

$S^{3}$

ある定理 2.1 で求めた関数 $A(x^{1}, x^{2})$ に対して、 次の条件 (1) (2) を満たす内の曲面の存在問題を考える :(1) 上の形量を持つ。 (2) 定理 22 の条件を満

たす normal bundle の正規直交標構が存在する。

$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$192
定理 2.1-( で与えられた関数 $A(x^{1}, x^{2})$ に対して、あるいは半径 1
定理 23.
と第二基本形式 が、 それぞが存在して、 その第一基本形式の球面内の曲面$R^{3}$$S$$S^{3}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

れ次の形で与えられていると仮定する$\ovalbox{\tt\small REJECT}$(2.16)$\hat{g}=\cos^{2}A(dx^{1})^{2}+\sin^{2}A(dx^{2})^{2}$(2.17)$\hat{s}=s_{11}(dx^{1})^{2}+s_{22}(dx^{2})^{2}$

ここで、 $s_{ii}(i=1,2)$ i ま.

,の関数である。
この時、 関数 $A$ の定義における定数 $E^{2}>0$ は任意であり、面の第二基本形式については、 それぞれ次が成り立つ :0)$R^{\mathit{3}}$と$x^{1}$$x^{2}$$S^{3}$

あるいは$S^{\mathit{3}}$内の曲内の曲面の第二基本形式 :$\hat{s}=E\sin$(2)$R^{\mathit{3}}$A $\cos A\{(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}\}$ .

内の曲面の第二基本形式 :$\hat{s}=\sqrt{E^{2}+1}\sin$証明. 計量$\hat{g}$A $\cos A\{(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}\}$ .

の曲率 $K$ は$K=-(A_{11}-A_{22})/$ ( $\sin$ A $\cos A$ ) $=-E^{2}$(2.18)である。

(2.19)
とおく。 $S$ が$s_{11}=Ea(x^{1}, x^{2})\cos 2A$ ,$\mathrm{R}^{3}$$s_{22}=Eb(x^{1}, x^{2})\sin 2A$内の曲面の場合と半径 1 の球面$S^{3}$

内の曲面の場合、 それぞれの場合[こ応じて、 (2.18) より$ab=-1$ ,(2.20)or$ab=-1-E^{-2}$が成り立つ。 Coddazi の方程式(sll)/\partial x2$=\Gamma_{12}^{1}s_{11}-\Gamma_{11}^{2}s_{22}$,$\partial(s_{22})/\partial x^{1}=-\Gamma_{22}^{1}s_{11}+\Gamma_{12}^{2}s_{22}$より、(2.21)

a2 $\cos A=(a-b)A_{2}\sin A$ ,$b_{1}\sin A=(a-b)A_{1}\cos A$(ま定理 22 の証明 ( $(2.12)$ と (2.13)) から、 $a=a(A)$ , $b=$が成り立つ。 この時、 と$b(A)$ として求めればよい。 そこで、 $a’=\partial a/\partial A$ ,と表す時、 (2.21) より$(a-b)’=(a-b)(\sin A/\cos A -\cos A/\sin A)$ を得る。 故に、 次の式が成り立つ : $C$を定数として$a$$b$$b’=\partial b/\partial A$(2.22)$(a-b)=C/$ ($\sin$

A $\cos A$ )

193

$S$

が

$S^{\mathit{3}}$の曲面の時を考える。 (2.20) と (2.22) より、

$a$

と一

$b$

は次の

$t$

l こ関する 2 次式の解である:$t^{2}-(C/\sin A\cos A)t+(1+E^{-2})=0$ .

また、 (2.12) と (2.13) より、

$a$

と一

$b$

(ま根号を含まない形の $\sin A$ と$\cos A$の関数である。 故に、 この 2 次式の判別式 $D$ は平方の形で表されていなければならない :$D=\{C^{2}-(1+E^{-2})\sin^{2}(2A)\}/\sin^{2}$の曲面の時は、 $C^{2}=1$ となる。 ) このことより、[ま、 $(\sqrt{E^{2}+1}/E)\sin A/\cos A$ と $(\sqrt{E^{2}+1}/E)\cos A/\sin A$ のいずれかになる。

従って、 $C^{2}=(1+E^{-2})$ である。 (
$a$

と一

$b$

A $\cos 2A$ .

$\mathrm{R}^{3}$

どちらであるかは、 (2.21) で決まる。 以上より、 第二基本形式は$\hat{s}=\sqrt{E^{2}+1}\sin$となる。 ($\mathrm{R}^{3}$は$\hat{s}$A $\cos A\{(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}\}$の曲面の時は、

A $\cos A\{(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}\}$$\hat{s}=E\sin$である。 )q.e.d.

次に、 定理 23 で得られた曲面から共形平坦な超曲面を構成する。

関数 $A=A(x^{1}, x^{2})$ と関数 $B(x^{3})$ は、 定理 2.1-(2) において定義された内の負の定曲率曲面とする。 $S$ものとする。 また、 $S$. をこの関数 $A$ によって定まる

定理 24.

$R^{3}$の第一基本形式$\hat{g}$と第二基本形式$\hat{s}$は、 それぞれ次で与えられる$\hat{g}=\cosh^{2}A(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}A(dx^{2})^{2}$$\hat{s}=E\sin$:,

A $\cos A\{(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}\}$ .

この時、 曲面 $S$ と関数 $B(x^{3})$ から定理 22 の方法 (2.4) で作られた写像の定義におい内の generic で共形平坦な超曲面を定義するための条件は、が、$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})$$R^{4}$$B(x^{\mathit{3}})$て $E^{2}>G^{2}$ が成り立つことである。

また、 この時の超曲面$\mathrm{p}$の各座標曲線は主曲率線となる。

1 つ注意を述べる : 定理 2.4 で $A_{1}=0$ を仮定する。 この時、は回転面である。 従って、 超曲面
曲面は古典例に属することが分かる。

$\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})$内の負曲率曲面
は回転型となり、 このような超$\mathrm{R}^{3}$

194, x 勺 と関数 $B(x^{3})$ は、 定理 2.
において定義された
$A$
$S$
をこの関数
ものとする。 また、によって定まる半径 1 の球面内の負の定曲率曲と第二基本形式 は、 それぞれ次で与えられる面とする。 $S$ の第一基本形式
定理 25.

関数$A\ovalbox{\tt\small REJECT} A(x^{1}$$L(\ovalbox{\tt\small REJECT}$$S^{3}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\hat{g}=\cos^{2}A(dx^{1})^{2}+\sin^{2}A(dx^{2})^{2}$$\hat{s}=\sqrt{E^{2}+1}\sin$,

A $\cos A\{(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}\}$ .

この時、 曲面 $S$ と関数 $B(x^{3})$ から定理 22 の方法 (2.4) で作られた写像
内の generic で共形平坦な超曲面を定義するための条件は、 $B(x^{3})$ の定義においが、$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})$$.R^{4}$て $E^{2}+1\geq G^{2}$ が成り立つことである。

また、 この時の$\text{超_{}\mathrm{Y}}$曲面$\mathrm{p}$の各座標曲$\text{線}\sqrt$.

は主曲率線となる。

{こ含まれているから、 この埋め込みをがで表す。 この時、 埋め込み (2.4) は、の単位法ベクトル場であるから、をにおけるの単位法ベクトル場とする時
証明. 曲面 $S$ (ま$S^{3}$$S:(x^{1}, x^{2})\vdasharrow \mathrm{f}(x^{1}, x^{2})\in S^{\mathit{3}}$$\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$$\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})$$S^{3}$$S^{3}$$S$$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})=(1+l(x^{3}))\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+m(x^{3})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})$と表される。 また、 第二基本形式の形から$\mathrm{n}_{1}=-\sqrt{E^{2}+1}\sin A/\cos$A$\mathrm{f}_{1}$,$\mathrm{n}_{2}=\sqrt{E^{2}+1}\cos A/\sin$ $A$f2が成り立つ。 そこで、 (2.7) は次の式になる :$\cos(A+B)=\frac{(1+l)\cos A-\sqrt{E^{2}+1}m\sin A}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}$,$\sin(A+B)=\frac{(1+l)\sin A+\sqrt{E^{2}+1}m\cos A}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}$.

故に、(2.23)$\cos B=(1+l)/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}$,を得る。 また、 逆に、 (2.23) が成り立っ

平坦な超曲面を定義する。
簡単のため、 $\overline{l}=(1+l),$(2.24)$\sin B=\sqrt{E^{2}+1}m/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}$と $m$ が存在すれば、 写像$l$$C=\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}$$m=\overline{l}\tan B/\sqrt{E^{2}+1}$,$\mathrm{p}$は generic で共形とおく。 この時、$\overline{l}^{2}+(E^{2}+1)m^{2}=C^{2}$となる。 $m$ と $m_{3}=(\overline{l}_{\mathit{3}}\sin B\cos B+\overline{l}B_{\mathit{3}})/(\sqrt{E^{2}+1}\cos 2B)$ を (2.24) の第二式に代入することにより、$\cos 2B(E^{2}\cos 2B+1)(\frac{\overline{l}_{3}}{\overline{l}})^{2}+2B_{\mathit{3}}\sin B\cos B\frac{\overline{l}_{\mathit{3}}}{\overline{l}}+\{B_{\mathit{3}}^{2}-(E^{2}+1)\cos 2B\}=0$

195
を得る。

が実解をもつ条件は、 $(B_{\mathit{3}})^{2}=G^{2}-E^{2}\sin 2B$ から、 上の判別式 $D$ が$(\overline{l}_{\mathit{3}}/\overline{l})$$D/4=(E^{2}+1)(E^{2}+1-G^{2})\cos 4B$も定まる。
が決まれば、となることより、 $E^{2}+1\geq G^{2}$ である。 また、となり、 超曲面は出来なかった。 今の場定理 2.4 の場合には、 $E^{2}=G^{2}$ の時
合は、 $E^{2}+1=G^{2}$ のときには $m_{\mathit{3}}=\sqrt{E^{2}+1}B_{3}\overline{l}/(E^{2}\cos 2B+1)$ となり、 この時に$m(x^{\mathit{3}})$$l(x^{\mathit{3}})$$m_{\mathit{3}}=0$

も超曲面は存在する。
の各座標曲線が主曲率線となることは、 直ちに分かる。
また、 超曲面

q.e.d.

$\mathrm{p}$と定理 2.4 と定理 25 から、 関数 $A(x^{1}, x^{2})$ と $B(x^{3})$ が $E^{2}>G^{2}$ を満たす定数によって定義されている時、 これらに対応する generic で共形平坦な超曲面で、 各 $x’-$
曲線が主曲率線となる超曲面が 2 つ存在することがわかった。 次に、 この 2 つの超曲面$G^{2}$$E^{2}$

は共形同値でないことを示す、 即ち、 この 2 つの超曲面はい$\mathrm{R}^{4}$の共形変換で移りあわな$\circ$から標準計量を持つユーク 1) ツド空間
を標準平坦計量
写像の集への単射な共形写像とする。 この時、 がその上で等長となるを持つ球面に含まれる。
合は、 ある 2 次元球面
命題 2.1.

$R^{\mathit{3}}$$\Phi$$\mathit{9}s$$g_{E}$$R^{3}$$\Phi$$S^{\mathit{3}}$$S^{2}$:

を立体射である。 共形変換
影とし、: $S^{3}arrow S^{3}$の標準的座標系(こ関しては inversion $\Phi_{2}(y)=y/||y$ ||2、 ここで $y=\{y^{1}, y^{2}, y^{3}\}$ は証明. 写像$\Phi$

によりを考える。
に導入される計量の共形変換とする時、を$\mathrm{R}^{3}$$\Phi^{*}g_{S}$$\mathrm{R}^{3}arrow S^{3}$$\Phi_{2}$$\Phi=\Phi_{2}\circ\Phi_{1}$$S^{\mathit{3}}$$\Phi_{2}$$\Phi_{1}$$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$である、 の場合のみを調べれば十分である。 このとき、$\Phi_{1}^{*}g_{S}=\frac{4}{(1+||y||^{2})^{2}}\{(dy^{1})^{2}+(dy^{2})^{2}+(dy^{3})^{2}\}$,$\Phi_{2}^{*}g_{E}=\frac{1}{||y||^{4}}\{(dy^{1})^{2}+(dy^{2})^{2}+(dy^{3})^{2}\}$となる。 このことより、 $\Phi^{*}g_{S}=e^{2P(y)}g_{E}$ とお (すば、 $P(y)=0$ となる集合 (ま球面$S^{2}$$\mathrm{R}^{3}$のある

q.e.d.

に含まれることがわかる。

$E^{2}>G^{2}$ とする。 この時、 関数の組 $\{A(x^{1}, x^{2}), B(x^{3})\}$ から定義される
系 21.
理 24 と定理 2 嘉で述べた)2 つの generic で共形平坦な超曲面は、 共形的に異なる超曲面$(\text{定}$

である。

証明.

定理 2.4 で定義された超曲面をで表すこと}こする。 この B 寺、$\mathrm{p}$($x^{1},$ $x^{2}$, x3)、 定理 25 で定義された超曲面を$\overline{\mathrm{p}}(x^{1}, x^{2}, x^{3})$$\mathrm{p}=(\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+l(x^{\mathit{3}})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2}),$ $m(x^{\mathit{3}}))$

写像$\mathrm{p},\overline{\mathrm{p}}$に対する$\mathrm{n}$

と

$l,$

$m$

,

の定義から、 次の式が成り立つ :( $1-\tan$ A $\tan B$ ) ,$\mathrm{f}_{1}$$\mathrm{p}_{1}=$$\overline{\mathrm{p}}=(1+\overline{l}(x^{3}))\overline{\mathrm{f}}(x^{1}, x^{2})+\overline{m}(x^{\mathit{3}})\overline{\mathrm{n}}(x^{1}, x^{2})$( $1+\cot$ A $\tan B$ ) ,$\mathrm{f}_{2}$$\mathrm{p}_{2}=$.

196$\overline{\mathrm{p}}_{1}=(1+\overline{l}(x^{3}))(1-\tan A \tan B)\overline{\mathrm{f}}_{1}$,$\overline{\mathrm{p}}_{2}=(1+\overline{l}(x^{\mathit{3}}))(1+\cot A \tan B)\overline{\mathrm{f}}_{2}$.

はに現れる写像を固定した時、 写像に、 写像
はに、 それぞれ入っている曲面を定める。 更に、 それぞれの場合において、 それの中での像は full になっている。
らの或いはが存在して、の共形変換が成り立つと仮定
今、はをに移し、 更に、 その中の曲面に対して、する。 この時、 固定した各上でが成り立つ。 これは命題 2.1 に矛盾する。 よって、 我々の仮の共形変換は存在しない。
定を満たす
q.e.d.

各$x^{3}$$\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+l(x^{3})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})$$\mathrm{p}$$\mathrm{R}_{x^{3}}^{\mathit{3}}$$S_{x^{3}}^{3}$$\overline{\mathrm{p}}$$\mathrm{R}_{x^{3}}^{\mathit{3}}$$S_{x^{3}}^{\mathit{3}}$$\mathrm{R}^{4}$$\Phi$$\Phi(\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}}))=\overline{\mathrm{p}}(x^{1}, x^{2}, x^{3})$$x^{3}$$\Phi$$\mathrm{R}_{x^{3}}^{3}$$S_{x^{3}}^{3}$$\Phi^{*}\hat{g}_{\overline{\mathrm{p}}}=(1+\overline{l}(x^{3}))^{2}\hat{g}_{\mathrm{p}}$$\mathrm{R}^{4}$$\Phi$

3. 正の定曲率曲面から作られる共形平坦な超曲面.
この節では、 第一基本形式(3. 1)$g$が$g=e^{2P(x)}\{(\cosh\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(\sinh\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(dx^{\mathit{3}})^{2}\}$と表され、 更に $P=P(x^{3})$ となる場合の古典例に属さないな超曲面の存在を調べる。 この場合も \S 2 の時と同じく関数(3.2)$\mathrm{R}^{4}$$\varphi$

内の generic で共形平坦

は$\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{3})=A(x^{1}, x^{2})+B(x^{\mathit{3}})$と表すことが出来る。
計量 $\overline{g}=(\cosh\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(\sinh\varphi(x))^{2}(dx^{1})^{2}+(dx^{\mathit{3}})^{2}$ が共形平坦であるためのに関して次の 3 つの方程式が成り立つことである :条件は (1.13) の他に$\varphi$(3.3)$\varphi_{2}\varphi_{\mathit{3}\mathit{3}}+2\varphi_{\mathit{3}}\varphi_{23}\sinh 2\varphi-\varphi_{23\mathit{3}}\sinh\varphi\cosh\varphi$$=\varphi_{2}(\varphi_{11}+\varphi_{22})(\mathrm{s}.\mathrm{n}\mathrm{h}^{2}\varphi+\cosh^{2}\varphi)-(\varphi_{11}+\varphi_{22})_{2}\sinh\varphi\cosh\varphi$

(3.4)

.

$\varphi_{1}\varphi_{33}-2\varphi_{\mathit{3}}\varphi_{13}\cosh 2\varphi+\varphi_{133}\sinh\varphi\cosh\varphi$$=\varphi_{1}(\varphi_{11}+\varphi_{22})(\sinh^{2}\varphi+\cosh^{2}\varphi)-(\varphi_{11}+\varphi_{22})_{1}\sinh\varphi\cosh\varphi$

(3.5)

.

$2\varphi_{1}\varphi_{13}\cosh 2\varphi-2\varphi_{2}\varphi_{23}\sinh 2\varphi+\varphi_{223}\sinh\varphi\cosh\varphi$$-\varphi_{3}(\varphi_{11}+\varphi_{22})=-\varphi_{\mathit{3}}\varphi_{3\mathit{3}}(\sinh^{2}\varphi+\cosh^{2}\varphi)+(\varphi_{113}-\varphi_{223}+\varphi_{33\mathit{3}})\sinh\varphi\cosh\varphi$.

の開集合) の Guichard net とし、(あるいはの標準的平坦計量 がこの net t こよって (3.1) の形に表わされているとする。 更に、 不等式 $A_{1}\neq 0$ あるいは $A_{2}\neq 0$ の少なくとも 1 つが成り立つ関数 $A(x^{1}, x^{2})$ と、 $B_{3}\neq 0$
定理 3.1.

$\{x^{1}, x^{2}, x^{3}\}$を$R^{3}$$R^{3}$$R^{\mathit{3}}$

$g$

となる関数

(3.6)

$B(x^{\mathit{3}})$

により、 関数$\varphi$が次のように表わされていると仮定する:$\varphi(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})=A(x^{1}, x^{2})+B(x^{3})$.

197
この時、 次の主張 (1) と (2) が成り立つ :での各 x3 一曲線は円弧である。
(1)$R^{3}$(2) 関数 $A(x^{1}, x^{2})$ と関数 $B(x^{3})$ は次の方程式 (a), (b), (c) のいずれかを満たす:の式で $E$ と

(a)
(b)

0

$G$

次

は定数である。

$A_{11}+A_{22}=- \frac{1}{2}E\sinh(2A)$$A_{11}+A_{22}=E\cosh(2A)$ ,$A_{11}+A_{22}=Ee^{-2A}$,,$(B_{3})^{2}= \frac{1}{2}(E\cosh(2B)+G)$$(B_{\mathit{3}})^{2}=E\sinh(2B)+G$$(B_{3})^{2}=Ee^{2B}+G$

.

.

.

証明. 主張 (1) の証明は定理 2.1-(1) と同じである。 (2) の証明をする。
(3.4) と (3.5) を関数 $A$ と $B$ を使って書き直す。 この時、 次の式
先ず、 方程式$(3.3)_{\text{、}}$

を得る :

.

(3.6)

$A_{2}B_{\mathit{3}3}=A_{2}(A_{11}+A_{22})(\sinh^{2}\varphi+\cosh^{2}\varphi)-(A_{11}+A_{22})_{2}\sinh\varphi\cosh\varphi$(3.7)$A_{1}B_{\mathit{3}3}=A_{1}(A_{11}+A_{22})(\sinh^{2}\varphi+\cosh^{2}\varphi)-(A_{11}+A_{22})_{1}\sinh\varphi\cosh\varphi$

(3.8)

.

$B_{\mathit{3}}(A_{11}+A_{22})=B_{3}B_{\mathit{3}3}(\sinh^{2}\varphi+\cosh^{2}\varphi)-B_{333}\sinh\varphi\cosh\varphi$

以後の議論は定理(3.9).

2. 1 の証明とほぼ同様である。 (36) と (3.7) より、$\cdot$$(A_{11}+A_{22})_{1}/A_{1}=(A_{11}+A_{22})_{2}/A_{2}=-2C(x^{1},$$x\ovalbox{\tt\small REJECT}$

とおく事が出来る。 また、 簡単のため、(3.10)$A_{11}+A_{22}=D(x^{1}, x^{2})$とおく。 この時、 (3.6) と (3.7) は(3.11)$B_{\mathit{3}\mathit{3}}=D\cosh(2\varphi)+C\sinh(2\varphi)$と表せる。 この (3.11) 式について考える。

(a) $C^{2}(x^{1}, x^{2})>D^{2}(x^{1}, x^{2})$ となる場合。

$C(x^{1}, x^{2})>0$と仮定する。関数$\zeta=\zeta(x^{1}, x^{2})$を$D/\sqrt{C^{2}-D^{2}}=\sinh\zeta$,$C/\sqrt{C^{2}-D^{2}}=\cosh\zeta$

で定めれば、 (3.11) は$B_{3\mathit{3}}=\sqrt{C^{2}-D^{2}}\sinh(2\varphi+\zeta)$$=\sqrt{C^{2}-D^{2}}\{\sinh(2A+\zeta)\cosh(2B)+\cosh(2A+\zeta)\sinh(2B)\}$のみの関数であり、 $A$ ととなる。 この式で $B$ はとが存在してて、 2 つの定数$x^{3}$$\overline{C}$$\zeta$は$x^{1}$と$x^{2}$の関数である。 従っ$\overline{D}$$\overline{C}=\sqrt{C^{2}-D^{2}}\sinh(2A+\zeta)$,$\overline{D}=\sqrt{C^{2}-D^{2}}\cosh(2A+\zeta)$

198
とおくことが出来る。 特に、(3.12)

で$\overline{D}>\overline{C}$$\overline{D}>0_{\text{。}}$

従って、 (3.11) は$B_{\mathit{3}3}=\overline{C}\cosh(2B)+\overline{D}\sinh(2B)$となる。

(3.12) を (3.8) に代入して(3.13)$A_{11}+A_{22}=\overline{C}\cosh(2A)-\overline{D}\sinh(2A)$を得る。 定数 $F$ を$\sinh F=\overline{C}/\sqrt{\overline{D}^{2}-\overline{C}^{2}}$,$\cosh F=\overline{D}/\sqrt{\overline{D}^{2}-\overline{C}^{2}}$で定めるとき、 (3.12) と (3.13) は、 それぞれ
$B_{33}=\sqrt{\overline{D}^{2}-\overline{C}^{2}}\sinh(2B+F)$,$A_{11}+A_{22}=-\sqrt{\overline{D}^{2}-\overline{C}^{2}}\sinh(2A-F)$となる。 ここで、$2\varphi=2(A+B)=(2A-F)+(2B+F)$
で $F$ は定数であるから、(3.14)$A_{11}+A_{22}=- \frac{E}{2}$s.nh(2A),$B_{3\mathit{3}}= \frac{E}{2}$s.nh(2B)としてよい、 ここで $E$ は正の定数。 また、 $2B_{33}B_{3}=E/2\sinh(2B)\cdot(2B_{3})$

定数として
$E$

を得る。

$(B_{\mathit{3}})^{2}=(E\cosh(2B)+G)/2$$C(x^{1}, x^{2})<0$

より、 $G$ をの時は、 (3.14) 式では負の定数となる。

となる場合。 $D(x^{1}, x^{2})>0$ と仮定する。 (3.11) 式に関して (a) の場合と同様の変形を行う。 この場合は、 関数 $\zeta=\zeta(x^{1}, x^{2})$ を次で定義する :(b)$C^{2}(x^{1}, x^{2})<D^{2}(x^{1}, x^{2})$$C/\sqrt{D^{2}-C^{2}}=\sinh\zeta$

この時、 (3.12) を得たのと同様に、,$\overline{C}>\overline{D}$$D/\sqrt{D^{2}-C^{2}}=\cosh\zeta$

で$\overline{C}>0$となる定数$\overline{C}$.
と$B_{33}=\overline{C}\cosh(2B)+\overline{D}\sinh(2B)$が成り立つ。 この式から (a) の時と同様に(3.15)$A_{11}+A_{22}=E\cosh(2A)$ ,$(B_{\mathit{3}})^{2}=E\sinh(2B)+G$

を得る、 ここで $E$ は正の定数で $G$ は定数である。
$D(x^{1}, x^{2})<0$ の時は、 (3.15) 式で $E$ は負の定数となる。

(c)(3.16)$C^{2}(x^{1}, x^{2})=D^{2}(x^{1}, x^{2})$となる場合。

(3.11) 式は$B_{33}=\{D\cosh(2A)+C\sinh(2A)\}\cosh(2B)$$+\{D\sinh(2A)+C\cosh(2A)\}\sinh(2B)$$\overline{D}$が存在して、

199となる。従って、 $\{D\cosh(2A)+C\sinh(2A)\}(x^{1}, x^{2})$ ととおけばは定数となる。 この定数をそれぞれ$\overline{C}_{\text{、}}\overline{D}$$\{D\sinh(2A)+C\cosh(2A)\}(x^{1}, x^{2})$が成り立つ。 また、 (3.16)$\overline{C}^{2}=\overline{D}^{2}$

式は$B_{\mathit{3}\mathit{3}}=\overline{C}\cosh(2B)+D\sinh(2B)$となる。 関数 $A$ については次の式が成り立つ :$A_{11}+A_{22}=\cosh(2\varphi)B_{33}-\sinh(2\varphi)\{\overline{C}\sinh(2B)+\overline{D}\cosh(2B)\}$$=\cosh(2\varphi)\{\overline{C}\cosh(2B)+\overline{D}\sinh(2B)\}$$-\sinh(2\varphi)\{\overline{C}\sinh(2B)+\overline{D}\cosh(2B)\}$$=\overline{C}\cosh(2A)-\overline{D}\sinh(2A)$

故に、$\overline{C}=\overline{D}$の時、$A_{11}+A_{22}=\overline{C}e^{-2A}$$\overline{C}=-\overline{D}$.

,$B_{\mathit{3}3}=\overline{C}e^{2B}$,の時、$A_{11}+A_{22}=\overline{C}e^{2A}$,$B_{33}=\overline{C}e^{-2B}$となる。 しかし、 これら 2 つの場合は、 $A$ を一 $A$ に $B$ を一 $B$ に変えれば、 同じ式である。

q.e.d.

以上により、 定理 3.1 は証明された。

定理 32.

$R^{4}$

内に埋め込まれた曲面 $S$ : $(x^{1}, x^{2})-+\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})\in R^{4}$ に対し、

normal bundle の正規直交標構$\{\mathrm{n},\overline{\mathrm{n}}\}$

$S$

の

で、

$\mathrm{n}_{1}=\kappa_{1}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{1}$$\overline{\mathrm{n}}_{1}=\overline{\kappa}_{1}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{1}$,$\mathrm{n}_{2}=\kappa_{2}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{2}$,,$\overline{\mathrm{n}}_{2}=\overline{\kappa}_{2}(x^{1}, x^{2})\mathrm{f}_{2}$は $S$ の主曲率である。
とを満たすものが存在するとする、 ここで内
更に、 このような曲面 $S$ とある 2 つの関数 $l(x^{3}),$ $m(x^{3})(l(0)=m(0)=0)$ からが次の形で作られているとする :の超曲面:$\kappa_{i}(x^{1}, x^{2})$$\overline{\kappa}_{i}(x^{1}, x^{2})$$R^{4}$$(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})\vdash\Rightarrow \mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})\in R^{4}$$\mathrm{p}$(3.17)$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})=\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+l(x^{3})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})+m(x^{3})\overline{\mathrm{n}}(x^{1}, x^{2})$.

の第一基本形式が、がの直線ではなく、 またこの超曲面
この時、定理 3.1 で与えられた関数 $A=A(x^{1}, x^{2})$ と $B=B(x^{3})(B(0)=\mathit{0})$ を使って$(l(x^{3}), x(x^{\mathit{3}}))$(3.18)$R^{2}$$\mathrm{p}$$e^{2P(x^{3})}\{\cosh^{2}(A+B)(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}(A+B)(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2}\}$で与えられるならば、 初めの曲面 $S$ は$R^{\mathit{3}}$の曲面であるか、 あるいは$S^{\mathit{3}}$に含まれて$\mathrm{A}\mathrm{a}$る曲面である。

第一基本形式 (ま $e^{2P(0)}\{\cosh^{2}A(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}A(dx^{2})^{2}\}$である。

$e^{P(0)}\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$

を改めて

200
$\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$とおけば、 $e^{P(0)}=1$ としてよい。 また、 このことより$(l_{\mathit{3}}^{2}+m_{3}^{2})(0)=1$

と仮定

できる。
次 (こ、

の定義より

$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})$(3.19)$||\mathrm{p}_{1}||=(1+l\kappa_{1}+m\overline{\kappa}_{1})^{2}\cosh 2A$$||\mathrm{p}_{2}||=(1+l\kappa_{2}+m\overline{\kappa}_{2})^{2}\sinh 2A$となる。 以下簡単のため、 $\sinh A\geq 0,$,,$||\mathrm{p}_{3}||=l_{3}^{2}+m_{3}^{2}$$(1+l\kappa_{1}+m\overline{\kappa}_{1})\geq 0,$$(1+l\kappa_{2}+m\overline{\kappa}_{2})\geq 0$を仮定する。 (3.18) と (3.19) より、(3.20),$\cosh(A+B)=\frac{1+l\kappa_{1}+m\overline{\kappa}_{1}}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}\cosh A$$\sinh(A+B)=\frac{1+l\kappa_{2}+m\overline{\kappa}_{2}}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}$

s.nh

$A$

成り立つ。
(3.20) 式より、(3.21)$\cosh B-\frac{1}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}=\frac{l}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}(\kappa_{1}\cosh 2A-\kappa_{2}\sinh 2A)$$+ \frac{m}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}}(\overline{\kappa}_{1}\cosh 2A-\overline{\kappa}_{2}\sinh 2A)$及び

(3.22)$\sinh B=\sinh$ A$\cosh A\{\frac{l}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}(\kappa_{2}-\kappa_{1})+\frac{m}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}}(\overline{\kappa}_{2}-\overline{\kappa}_{1})\}$

を得る。 (3.21). 式で、 左辺とは直線ではないことより、 定数$m/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}$$l/\sqrt{l_{\mathit{3}}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}},$$(l(x^{\mathit{3}}), m(x^{\mathit{3}}))$(3.23)($\kappa_{1}\cosh 2$

A-x2 $\sinh 2A$ )となる。 同様に (3.22) より、 定数(3.24)$\sinh$$C_{3}$$=C_{1}$と,$C_{4}$

A $\cosh A(\kappa_{2}-\kappa_{1})=C_{3}$ ,$C_{1}$と$C_{2}$

のみの関数であり、 またが存在しては$x^{3}$$(\overline{\kappa}_{1}\cosh 2A-\overline{\kappa}_{2}\sinh 2A)=C_{2}$が存在して$\sinh$A$\cosh A(\overline{\kappa}_{2}-\overline{\kappa}_{1})=C_{4}$が成り立つ。 (3.23) と (3.24) より、$\kappa_{1}=C_{1}+C_{\mathit{3}}\tanh A$,$\kappa_{2}=C_{1}+C_{\mathit{3}}\coth A$,$\overline{\kappa}_{1}=C_{2}+C_{4}\tanh A$,$\overline{\kappa}_{2}=C_{2}+C_{4}\coth A$を得る。 (今、 仮に $C_{3}=0$ とすれば、 ある定ベクトル a が存在してとな$\mathrm{f}_{i}>=0(i=1,2)$ より、る。 故に、
一定 となり、 曲
面 は球面に属する。 故に、 以下 $C_{3}\neq 0,$ $C_{4}\neq 0$ を仮定する。 ) 以上より$\mathrm{n}=\mathrm{a}+C_{1}\mathrm{f}$$<\mathrm{a}+C_{1}\mathrm{f},$$\mathrm{f}_{i}>=<\mathrm{n},$$||\mathrm{a}+C_{1}\mathrm{f}||=$$\mathrm{f}$(3.25}$\mathrm{n}_{1}=(C_{1}+C_{3}\tanh A)\mathrm{f}_{1}$,$\mathrm{n}_{2}=(C_{1}+C_{\mathit{3}}\coth A)\mathrm{f}_{2}$,201(3.26)$\overline{\mathrm{n}}_{1}=(C_{2}+C_{4}\tanh A)\mathrm{f}_{1}$,$\overline{\mathrm{n}}_{2}=(C_{2}+C_{4}\coth A)\mathrm{f}_{2}$が得られる。 (3.25) と (3.26) より、 $i=1,2$ として(3.27)$(C_{4}\mathrm{n}-C_{3}\overline{\mathrm{n}})_{i}=(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{3})\mathrm{f}_{i}$が成り立つ。 (3.27) 式でに直交する$(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{\mathit{3}})=0$$\mathrm{R}^{3}$$(C_{4}\mathrm{n}-C_{3}\overline{\mathrm{n}})$となるならば、 曲面 $S$ は定ベクトル内の曲面である。

の場合を調べる、 簡単のため、 $(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{\mathit{3}})=1$ ととなる。
仮定する。 (3.27) より、 ある定ベクトル a が存在しての両辺を $x^{i}(i=1,2)$ で微分して次に$(C_{1}C_{4}-C_{2}C_{3})\neq 0$$C_{4}\mathrm{n}-C_{3}\overline{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+\mathrm{f}$$<C_{4}\mathrm{n}-C_{3}\overline{\mathrm{n}},$ $\mathrm{f}>=<\mathrm{a},$(3.28)$<\mathrm{f}_{i},$を得る。

$\mathrm{n}$と$\overline{\mathrm{n}}$$\mathrm{f}>+<\mathrm{f},$$\mathrm{f}>$$\mathrm{f}>+<C_{4}\mathrm{n}-C_{3}\overline{\mathrm{n}},$ $\mathrm{f}_{i}>=<\mathrm{a},$ $\mathrm{f}_{i}>+2<\mathrm{f}_{i},$

は曲面

$S$

の法ベクトルだから、 (3.28) より$<\mathrm{a}+\mathrm{f},$ $\mathrm{a}+\mathrm{f}>=$となる。 こうして、 曲面 $S$ は$\mathrm{a}+\mathrm{f}$, fi>=0、 即ち一定を中心とする球面$(-\mathrm{a})$く$\mathrm{f}>$$S^{3}$

q.e.d.

に含まれる。

定理 3 上 定理 32 と [8] の定理 5.2-(3.II) より、 $P=P(x^{3})$ となる計量 (3.1) を持ち古典型に含まれない generic で共形平坦な超曲面が存在するならば、 それらの超曲面は計量の曲面から定理 32 に述べた方法
あるいは$\cosh 2A(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}A(dx^{2})^{2}$ を持つ$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$$S^{3}$

で作られていなければならない。
“
次に 定理 3.1 で求めた中のどのような関数 $A(x^{1}, x^{2})$ に対して、 次の条件 (1) (2) を内の曲面が存在するか ?” という問題を考える :(1) 上の形量あるいは満たす$\mathrm{R}^{3}$$S^{3}$を持つ。 (2) 定理 32 の条件を満たす normal bundle の正規直交標構が存在する。
あるいは半径 1
定理 3.1-(2) で与えられた関数 $A(x^{1}, x^{2})$ に対して、
定理 33.
と第二基本形式 が、 それぞが存在して、 その第一基本形式
内の曲面の球面$R^{3}$$S^{3}$$\hat{s}$$S$$\hat{g}$れ次の形で与えられていると仮定する :(3.29)$\hat{g}=\cosh^{2}A(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}A(dx^{2})^{2}$(3.30)$\hat{s}=s_{11}(dx^{1})^{2}+s_{22}(dx^{2})^{2}$

ここで、 $s_{ii}(i=1,2)$ は$x^{1}$と$x^{2}$.

,の関数である。

この時、 関数 $A$ は次の (1) (2) で与えられる場合のいずれかになる:内の曲面が存在しその第二基本形0) 定理 3.1-(2) の (a) の場合。 $E>0$ の時は$R^{\mathit{3}}$式は$\hat{s}=-\sqrt{E}\sinh A\cosh A\{(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}\}$で与えられる。 また、 $E>1$ の時は$S^{3}$

内の曲面も存在しその第二基本形式は$\hat{s}=-\sqrt{E-1}\sinh A\cosh A\{(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}\}$

202で与えられる。
(2)(c) の場合。 $E>0$ の時は$R^{3}$

内の曲面が存在しその第二基本形式は$\hat{s}=\sqrt{E}e^{-A}\{\cosh A(dx^{1})^{2}-\sinh A(dx^{2})^{2}\}$で与えられる。

証明. 初めに、 定数 $E$ が正の場合を考える、 そこで$E=\overline{E}^{2}$

とおく。 計量$\hat{g}$の曲率 $K$は(3.31)$K=-(A_{11}+A_{22})/$ ( $\sinh$ A $\cosh A$ )である。

(3.32)$s_{11}=\overline{E}a(x^{1}, x^{2})\cosh 2A$

とおく。 この時、 $S$ が$s_{22}=-\overline{E}b(x^{1}, x^{2})\sinh 2A$

内の曲面であれば、 (3.31) より$\mathrm{R}^{3}$(3.33),($\overline{E}^{2}ab=(A_{11}+A_{22})/$ $\sinh$が成り立っ。 $S$ が半径 1 の球面(3.34)$S^{3}$

A $\cosh A$ )内の曲面の時は、($\overline{E}^{2}ab-1=(A_{11}+A_{22})/$ $\sinh$

A $\cosh A$ ).

Coddazi の方程式(sll)/\partial x2$=\Gamma_{12}^{1}s_{11}-\Gamma_{11}^{2}s_{22}$,$\partial(s_{22})/\partial x^{1}=-\Gamma_{22}^{1}s_{11}+\Gamma_{12}^{2}s_{22}$より、a2 cosh $A=-(a+b)A_{2}\sinh A$ ,(3.35)

が成り立つ。 この時、

$a$

と

$b$

$b_{1}\sinh A=-(a+b)A_{1}\cosh A$

は定理 32 の証明 ((3.25) と (3.26)) がら、 $a=a(A)$ ,

,

$b=$

と表す時、 (3.35) より$(a+b)’=-(a+b)(\cosh^{2}A+\sinh^{2}A)/(\sinh A\cosh A)$ を得る。 故に、 次の式が成り立$b(A)$

として求めればよい。 そこで、

つ:

$C$

(3.36)$a’=\partial a/\partial A$$b’=\partial b/\partial A$を定数として$(a+b)=C/$ ( $\sinh$ A $\cosh A$ )関数 $A$ が定理 3.1-(2) の (a) で与えられる場合。先ず内の曲面が存在することを示す。 この場合は (3.33) より、 $ab=-1$ となる、 即ち、 そのような曲面が存在すれば、正の$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$定曲-率曲面である。 (3.36) より、 と は の 2 次式 $t^{2}-(C/(\sinh A\cosh A))t-1=0$との解である。 また、 (3.25) と (3.26) からは根号を含まない形の $\sinh A$ と $\cosh A$で表される関数となる。 以上より $C^{2}=1$ で $a,$ (ま $-\sinh A/\cosh A,$ $\cosh A/\sinh A$ のどちらかであるが、 それは (3.35) で決まる。
$a$

$b$

$t$

$a$

$b$

$b$

203
この時の第二基本形式$\hat{s}$は$\hat{s}=-\overline{E}\sinh$

A $\cosh A\{(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}\}$で与えられる。

内の曲面が存在することを示す。 この場合は、 (3.34) よ
次に、 $E=\overline{E}^{2}>1$ の時はの時と同様{こ、 ,り、 $ab=-1+\overline{E}^{-2}$ となる。 そこで $ab=-D$ とおく。
$C^{2}=D$ とな$t^{2}-(C/(\sinh A\cosh A))t-D=0$ の解である。 判別式の平方条件より、$S^{\mathit{3}}$$\mathrm{R}^{3}$

り $D>0$ である.

この時 $a=-\sqrt{D}\sinh A/\cosh A,$

た、 第二基本形式$\hat{s}$

$a$

$b$

$b=\sqrt{D}\cosh A/\sinh A$ を得る。 まは$\hat{s}=-\overline{E}\sqrt{D}\sinh$

A $\cosh A\{(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}\}$で与えられる。

(b) の場合。
と$b$$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$の曲面のとき [ま、 $ab=\cosh(2A)/(\sinh A\cosh A)$ である。 よって、$a${ま$t^{2}-(C/(\sinh A\cosh A))t+\cosh(2A)/(\sinh A\cosh A)=0$の解となる。 (a) の時と同様に、 この判別式 $D$ が平方の形になっていれば、 求めるが存在することになる。 ところで、 判別式は

$a$

と

$b$

$D=e^{4A}\{(e^{-4A}+C^{2})^{2}-1-C^{4}\}/$ ( $2\sinh 2$

A $\cosh 2A$ )となり、 平方の形にならない。
$S^{3}$の曲面のときは、 $ab=\cosh(2A)/(\sinh A\cosh A)+\overline{E}^{-2}$ である。 よって、 この時の判別式 $D$ は$4D\overline{E}^{2}\sinh 2$

A $\cosh 2A=4C^{2}\overline{E}^{2}+2-(2\overline{E}^{2}+1)e^{4A}+(2\overline{E}^{2}-1)e^{-4A}$を満たす。 $2\overline{E}^{2}-1\geq 0$ の時は、 上の式の右辺が平方式にならないことはからすぐ分かる。 $2\overline{E}^{2}-1<0$ の時も、

$2\overline{E}^{2}+1>0$$-\{(\sqrt{2\overline{E}^{2}+1}e^{2A}+\sqrt{1-2\overline{E}^{2}}e^{-2A})^{2}-4C^{2}\overline{E}^{2}-2-2\sqrt{1-4\overline{E}^{4}}\}$

だから、 これも平方式にならない。 従って、 (b) の場合は求める曲面は存在しな 1 ‘。

の曲面のとき {ま、 $ab=e^{-2A}/(\sinh A\cosh A)$ である。 よって、 $C^{2}=1$となり、 $a=(1-e^{-2A})/(2\sinh A\cosh A),$ $b=(1+e^{-2A})/(2\sinh A\cosh A)$ となる。 こ(c) の場合。

の時の$\hat{S}$$\mathrm{R}^{3}$は$\hat{s}=\overline{E}e^{-A}\{\cosh A(dx^{1})^{2}-\sinh A(dx^{2})^{2}\}$である。
$S^{3}$$D$の曲面のときは、 $ab=e^{-2A}/(\sinh A\cosh A)+\overline{E}^{-2}$ である。 この場合の狛拐 1] 式

は(3.37)$4D\overline{E}^{2}\sinh 2$

A $\cosh 2A=-e^{4A}-2(2\overline{E}^{2}-2C^{2}\overline{E}^{2}-1)+(4\overline{E}^{2}-1)e^{-4A}$

204を満たす。 $4\overline{E}^{2}-1>0$ の時、 (3.37) の右辺は$(4 \overline{E}^{2}-1)e^{4A}\{(e^{-4A}-\frac{2\overline{E}^{2}-2C^{2}\overline{E}^{2}-1}{4\overline{E}^{2}-1})^{2}-\frac{(4\overline{E}^{2}-1)+(2\overline{E}^{2}-2C^{2}\overline{E}^{2}-1)^{2}}{(4\overline{E}^{2}-1)^{2}}\}$となり、 平方式にならない。 $4\overline{E}^{2}-1=0$ の時も、 (3.37) の右辺からすぐ分かるように平方式にならない。 $4\overline{E}^{2}-1<0$ の時、 (3.37) の右辺は$-\{(e^{2A}+\sqrt{1-4\overline{E}^{2}}e^{-2A})^{2}-2\sqrt{1-4\overline{E}^{2}}+2(\overline{E}^{2}-2C^{2}\overline{E}^{2}-1)\}$となり、 これも平方式にならない。 以上より、$S^{\mathit{3}}$内には求める曲面は存在しない。

の場合を調べる。 この場合は (a), (b), (c) のすべての場合について、の場合にも成り立つこ
求める曲面は存在しない。 先ず、 式 (3.31) $-(3.36)$ は次に、$E=-\overline{E}^{2}$$E=-\overline{E}^{2}$とを注意しておく。

(a) の場合。 曲面が場合は$\mathrm{R}^{3}$に入っている場合は $ab=1$ となり、 曲面が$S^{3}$に入っているとなる。 この場合の 2 次式の判別式 $D$ は、 それぞれ

$ab=1+\overline{E}^{-2}$$D=(C^{2}-\sinh^{2}(2A))/$ ( $\sinh^{2}$ A $\cosh 2A$ ),($D=\{C^{2}-(1+\overline{E}^{-2})\sinh 2(2A)\}/$ $\sinh^{2}$

A $\cosh 2A$ )となり、 これらは平方式にならない。

(b) の場合。 曲面が曲面が$S^{3}$に入っている場合は $ab=-\cosh(2A)/(\sinh A\cosh A)$ となり、$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$に入っている場合 (ま $ab=-\cosh(2A)/(\sinh A\cosh A)+\overline{E}^{-2}$ となる。 この場

合の 2 次式の判別式 $D$ は、 それぞれ
$D\sinh 2$$4D\overline{E}^{2}\sinh 2$

A $\cosh 2A=C^{2}+\sinh(4A)$ ,A $\cosh 2A=(4C^{2}\overline{E}^{2}+2)+(2\overline{E}^{2}-1)e^{4A}-(2\overline{E}^{2}+1)e^{-4A}$を満たし、 これらの式の右辺は平方式にならない。

(c) の場合。 曲面が面が$S^{\mathit{3}}$$\mathrm{R}^{3}$に入っている場合は $ab=-e^{-2A}/(\sinh A\cosh A)$ となり、 曲に入っている場合 (ま $ab=-e^{-2A}/(\sinh A\cosh A)+\overline{E}^{-2}$ となる。 この場合の 2次式の判別式 $D$ は、 それぞれ
$D\sinh 2$$4D\overline{E}^{2}\sinh 2$

A $\cosh 2A=(C^{2}+1)-e^{-4A}$ ,A $\cosh 2A=(4C^{2}\overline{E}^{2}+4\overline{E}^{2}+2)-e^{4A}-(4\overline{E}^{2}+1)e^{-4A}$を満たし、 これらの式の右辺は平方式にならない。
の場合には求める曲面は存在しないことが証明された。
以上より、$E=-\overline{E}^{2}$

q.e.d.

定理 3.4.

関数 $A=A(x^{1}, x^{2})$ と関数 $B(x^{3})$ は、 定理 3.1-(2) の (a) において定義されたものとし、 その定義で $E>0$ とする。 また、 $S$ をこの関数 $A$ によって定まる$R^{\mathit{3}}$205
内の正の定曲率曲面とする。

$S$の第一基本形式$\hat{g}$と第二基本形式

は、 それぞれ次で与$\hat{s}$

えられる :$\hat{g}=\cosh^{2}A(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}A(dx^{2})^{2}$$\hat{s}=-\sqrt{E}\sinh$,

A $\cosh A\{(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}\}$ .

この時、 曲面 $S$ と関数 $B(x^{3})$ から定理 3.2 の方法 (3.17) で作られた写像
内の generic で共形平坦な超曲面を定義するための条件は、の定義においが、て $E>G$ が成り立つことである。
また、 この時の超曲面の各座標曲線は主曲率線となる。
$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})$$R^{4}$$B(x^{\mathit{3}})$$\mathrm{p}$証明. 曲面 $S$ はに含まれているから、 この埋め込みをで表す。 この時、 埋め込み (3.17) は$\mathrm{R}^{3}$$S:(x^{1}, x^{2})\vdasharrow \mathrm{f}(x^{1}, x^{2})\in \mathrm{R}^{3}$$m(x^{3}))$$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})=(\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+l(x^{\mathit{3}})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2}),$と表される、 即ち、 定理 32 で$\overline{\mathrm{n}}(x^{1}, x^{2})$は$\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})$$\mathrm{R}^{3}$

における $S$ の単位法ベクトル場であり、は e4 である。 第二基本形式の形から$\mathrm{n}_{1}=\sqrt{E}\sinh A/\cosh$が成り立つ。 また、$\overline{\mathrm{n}}_{1}=\overline{\mathrm{n}}_{2}=0$A$\mathrm{f}_{1}$,f2$\mathrm{n}_{2}=\sqrt{E}\cosh A/\sinh$ $A$となる。 そこで、 (3.20) は次の式になる$\cosh(A+B)=\frac{\cosh A+\sqrt{E}l\sinh A}{\sqrt{l_{\mathit{3}}^{2}+m_{3}^{2}}}$,:$\sinh(A+B)=\frac{\sinh A+\sqrt{E}l\cosh A}{\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}$.

故に、(3.38)$\cosh B=1/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}$を得る。 また、 逆に、 (3.38) が成り立つ
平坦な超曲面を定義する。 (3.38) より,$l$$\sinh B=\sqrt{E}l/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}$と $m$ が存在すれば、 写像$l_{\mathit{3}}^{2}+m_{3}^{2}=1-El^{2}$,$\mathrm{p}$は generic で共形$l=\tanh B/\sqrt{E}$が得られる。 $B_{3}^{2}=(E\cosh(2B)+G)/2$ だから $m_{3}^{2}=(E-G)/(2E\cosh 4B)$ となり、は超曲面にならとなり、 写像$E>G$ でなければならない。 $E=G$ の時は、
$m_{\mathit{3}}=0$$\mathrm{p}$ない。
また、 超曲面$\mathrm{p}$の各座標曲線が主曲率線となることは直ちに分かる。

q.e.d.

関数 $A=A(x^{1}, x^{2})$ と関数 $B(x^{3})$ は、 定理 3.1-(2) の (a) において定義されたものとし、 その定義で $E>1$ とする。 また、 $S$ をこの関数 $A$ によって定まる半径と第二基本形式 は、 そ内の正の定曲率曲面とする。 $S$ の第一基本形式
1 の球面
定理 35.

$S^{3}$$\hat{s}$$\hat{g}$れぞれ次で与えられる :$\hat{g}=\cosh^{2}A(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}A(dx^{2})^{2}$,

206
A $\cosh A\{(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}\}$ .

$\hat{s}=-\sqrt{E-1}\sinh$

この時、 曲面 $S$ と関数

が、$R^{4}$$B(x^{\mathit{3}})$から定理 32 の方法 (3.17) で作られた写像

内の generic で共形平坦な超曲面を定義するための条件は、$B(x^{\mathit{3}})$$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})$の定義において $E\geq G+2$ が戒り立つことである。

また、 この時の超曲面証明. 曲面 $S$ は$S^{3}$$\mathrm{p}$の各座標曲線は主曲率線となる。

(こ含まれているから、この埋め込みを$S:(x^{1}, x^{2})\vdasharrow \mathrm{f}(x^{1}, x^{2})\in S^{3}$がの単位法ベクトル場であるから、で表す。 この時、 埋め込み (3.17) は、における $S$ の単位法ベクトル場とする時を$\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})$$\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})$$S^{\mathit{3}}$$S^{3}$$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})=(1+l(x^{\mathit{3}}))\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+m(x^{\mathit{3}})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})$と表される。 また、 第二基本形式の形から$\mathrm{n}_{1}=\sqrt{E-1}\sinh A/\cosh$A$\mathrm{f}_{1}$,$\mathrm{n}_{2}=\sqrt{E-1}\cosh A/\sinh$ $A$f2が成り立つ。 そこで、 (3.20) は次の式になる :$\cosh(A+B)=\frac{(1+l)\cosh A+\sqrt{E-1}m\sinh A}{\sqrt{l_{\mathit{3}}^{2}+m_{3}^{2}}}$,$\sinh(A+B)=\frac{(1+l)\sinh A+\sqrt{E-1}m\cosh A}{\prec\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}}$.

故に、(3.39)$\cosh B=(1+l)/\sqrt{l_{\mathit{3}}^{2}+m_{\mathit{3}}^{2}}$,$\sinh B=\sqrt{E-1}m/\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}$は generic で共形を得る。 また、 逆に、 (3.39) が成り立つ と $m$ が存在すれば、 写像
平坦な超曲面を定義する。 簡単のため、 $\overline{l}=(1+l),$ $C=\sqrt{l_{3}^{2}+m_{3}^{2}}$ とおく。 この時、$l$$\mathrm{p}$,(3.40)$m=\overline{l}\tanh B/\sqrt{E-1}$となる。 $m$ と$\overline{l}^{2}-(E-1)m^{2}=C^{2}$$m_{\mathit{3}}=(\overline{l}_{\mathit{3}}\sinh B\cosh B+\overline{l}B_{\mathit{3}})/(\sqrt{E-1}\cosh 2B)$

を (3.39) の第二式に代入することにより、$\cosh 2B(E\cosh 2B-1)(\frac{\overline{l}_{\mathit{3}}}{\overline{l}})^{2}+2B_{3}\sinh B\cosh B\frac{\overline{l}_{3}}{\overline{l}}+\{B_{3}^{2}-(E-1)\cosh 2B\}=0$を得る。

$(\overline{l}_{3}/\overline{l})$が実解をもつ条件は、 $(B_{3})^{2}=(E\cosh(2B)+G)/2$ から、 上の判別式 $D$が$D/2=(E-1)(E-G-2)\cosh 4B$となることより、 $E\geq G+2$ である。 また、 $l(x^{3})$ が決まれば、$E=G+2$ の時は、 $m_{3}=\sqrt{E-1}B_{3}\overline{l}/(E\cosh 2B-1)$ となる。

$m(x^{\mathit{3}})$も定まる。 特に、$\mathrm{q}.\mathrm{e}.\mathrm{d}$.

207\S 2 の系 2.1 と同様に次の結果を得る。
系 3.1.

$E\geq G+2$ とする。 この時、 関数の組 $\{A(x^{1}, x^{2}), B(x^{\mathit{3}})\}$ から定$E>1_{f}$義される (定理 3.4 と定理 3 嘉で述べた)2 つの generic で共形平坦な超曲面は、 共形的に異なる超曲面である。

次の定理で与えられる超曲面は、の定曲率曲面から決まるものではないことを注$\mathrm{R}^{\mathit{3}}$意しておく。
関数 $A=A(x^{1}, x^{2})$ と関数 $B(x^{3})$ は、 定理 3.1-(2) の (c) において定義されたものとし、 その定義で $E>0$ とする。 また、 $S$ をこの関数 $A$ によって定まると第二基本形式 は、 それぞれ次で与えられる :内の曲面とする。 $S$ の第一基本形式

定理 36.

$R^{3}$$\hat{s}$$\hat{g}$$\hat{g}=\cosh^{2}A(dx^{1})^{2}+\sinh^{2}A(dx^{2})^{2}$,$\hat{s}=\sqrt{E}e^{-A}\{\cosh A\{(dx^{1})^{2}-\sinh A(dx^{2})^{2}\}$.

この時、 曲面 $S$ と関数 $B(x^{3})$ から定理 32 の方法 (3.17) で作られた写像の定義にお内の generic で共形平坦な超曲面を定義するための条件は、が、$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{\mathit{3}})$$B(x^{\mathit{3}})$$R^{4}$て $G<0,$$|_{\mathit{1}}\mathrm{a}$$Ee^{2B}+G>0$ が成り立つことである。

また、 この時の超曲面$\mathrm{p}$の各座標曲線は主曲率線となる。

証明. 定理 3.4 の証明と同様に、 写像$\mathrm{p}$は$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})=(\mathrm{f}(x^{1}, x^{2})+l(x^{3})\mathrm{n}(x^{1}, x^{2}),$となる。 この時、 写像$\mathrm{f}$の単位法ベクトル場$\mathrm{n}_{1}=-\sqrt{E}e^{-A}/\cosh$A$\mathrm{f}_{1}$,$\mathrm{n}(x^{1}, x^{2})$$m(x^{3}))$は$\mathrm{n}_{2}=\sqrt{E}e^{-A}/\sinh$A$\mathrm{f}_{2}$を満たす。 このことより、(3.41)$2\sqrt{E}l=1-e^{-2B}$ ,を得る。 また、 逆に、 (3.41) が成り立つ$l$$m_{\mathit{3}}^{2}=1-2\sqrt{E}l-l_{\mathit{3}}^{2}$と $m$ が存在すれば、 写像$\mathrm{p}$は generic で共形と $B_{3}^{2}=Ee^{2B}+G$ より、 $Em_{\mathit{3}}^{2}=-Ge^{-4B}$
平坦な超曲面を定義する。
{ま存在する。
が成り立つ。 従って、 $G<0,$ $Ee^{2B}+G>0$ の時、 超曲面$\sqrt{E}l_{\mathit{3}}=e^{-2B}B_{\mathit{3}}$$\mathrm{p}(x^{1}, x^{2}, x^{3})$q.e.d.

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JAPAN
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