数理解析研究所講究録 1273 巻 2002 年 148-164148
回帰モデルにおける比推定量の分布の近似につぃて伸一 (独立行政法人

防災科学技術研究所)
Shinichi Kawai, National Research Institutefor Eart.h Science and Disaster Prevention

河合1.

はじめ [こ線形回帰モデル $\mathrm{Y}=\alpha+\beta X+U$ において, 比 $\rho=E(\mathrm{Y})/E(X)$ を推定する問題は多くの人により研究されてきた. 例えば, 標本を無作為にいくっがの7 に分割す$\text{グ}y\mathrm{s}-$るという Quenoulli (1956) によるジャックナイフ法を用いたの推定につぃては Durbin
ffio and Webster (1966), Gray and Schucany (1972),$(1988)$ ,Akahira and Kawai (1990), Kawai and Akahira (1994) などにょって論じられた. この中では, 最適な分割数や, ジャックナイフ推定量の最適性, ジャックナイフ推定量と他のの推定量の比較などが行われた.

(1959),$\rho$$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{o}(1965),$$\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{o}$$\rho$

ここでは, 線形回帰モデルにおけるの比推定量の確率分布の高次近似を考える. 特に, 標本数がのときに, Edgeworth 展開を用いて, 標本平均をもとに作る通常の比推$\rho$$n$定量の分布の近似を $o(1/n.)$ の次数まで行う. 例として, $X$ にガンマ分布, カイ 2 乗分
布及び対数正規分布を仮定した場合に, この高次近似を正規近似及びモンテヵルロシミュ
レーションによる経験分布関数と数値的に比較する. また, Cornish-Fisher 展開にょる
パーセント点の近似についても考える.

2. 比推定量の分布の高次近似$(X_{1}, \mathrm{Y}_{1}),$$\cdots,$$(X_{n}, \mathrm{Y}_{n})$. の無作為標本とする.

を同じ確率分布に従う大きさ

$n$

ただし,

$P\{X_{j}>0\}=1(i$. $=1, \ldots, n.)$ である. いま, 比 $\rho=E(\mathrm{Y}_{i})/E(X_{i})$ を推定する問題を考える.
と $\mathrm{Y}_{i}(i=1, \ldots, n.)$ の間に次のような線形回帰モデルを仮定する.
$X_{i}$$\mathrm{Y}_{i}=\alpha+\beta X_{i}+U_{j}(i=1, \ldots, n.)$ここで,

$X_{1},$$\ldots,$$X_{n},$$L^{\gamma_{1}},$$\ldots,$$U_{n}$

は互いに独立であるとする. また,$k_{1}:=V(X_{i}),$ $k_{2}:=E(X_{i}^{3}),$ $k_{3}:=E(X_{i}^{4}),$ $E(U_{j})=0,$$E(L^{f_{i}^{4}})$とする. ここで,$\overline{U}=\sum_{i=1}^{n}$$\delta=O(1)$[rj/77、とする. 比$\rho$.

である. さらに,$\delta:=V(L^{\gamma_{i}}),$$k_{0}:=E(X_{?}.)\neq 0$ ,$\eta:=E(L^{f_{j}^{3}}),$$\gamma:=$$\overline{X}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}/n.,\overline{\mathrm{Y}}=\sum_{j-1}^{n}-\mathrm{Y}_{i}/n.$の推定量として一般にょく考えられるのは比推定量$R:= \frac{\overline{\mathrm{Y}}}{\overline{X}}=\beta+\frac{\alpha+L^{-}\prime}{\overline{X}}$

,

149
である.

もし,

$P\{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0\}\ovalbox{\tt\small REJECT} 0$であれば,) の分布関数$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} R-\rho$$(\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{f})$は次のように与えられる.

(2.1)$F_{R}(r):=P \{\sqrt{n}(R-\rho)\leq r\}=P\{\overline{U}-(\frac{\alpha}{k_{0}}+\frac{r}{\sqrt{n}})\overline{X}\leq-\alpha\}$いま,$W:= \overline{U}-(\frac{\alpha}{k_{0}}+\frac{r}{\sqrt{n}}$.

$)\overline{X}$

とすると,

(2.2)

$\mu_{W}:=E(W)=-\alpha-\frac{1}{\sqrt{n}}(k_{0}r)$

(2.3)

,

$\sigma_{W}^{2}:=V(W)=\frac{1}{n}A+\frac{1}{n\sqrt{n}}B+\frac{1}{n^{2}}C$

となる.

ここで,
$A:= \delta+\frac{k_{1}}{k_{0}^{2}}\alpha^{2}$

である.

$W$

,

$B:=2 \frac{k_{1}}{k_{0}}r\alpha$,$C:=k_{1}r^{2}$を基準化したものを $Z$ とすると,$Z:= \frac{W-\mu_{W}}{\sigma_{W}}$であり, $E(Z)=0,$ $V(Z)=1$ である. $Z$ の 3 次と 4 次のキュミュラントをそれぞれと . とする. Edgeworth 展開を用いると (2.1) より,$\kappa_{3}$$\kappa_{4}$(2.4)$F_{R}(r)=P\{Z\leq z\}$$= \Phi(z)-\phi(z)\{\frac{k\overline{i}3}{6}(z^{2}-1)+\frac{\kappa_{4}}{24}.(z^{3}-3z)+\frac{\kappa_{3}^{2}}{72}(z^{5}-10z^{3}+15z)\}$$+o( \frac{1}{n})$

である.

ここで,
$z= \frac{-\alpha-\mu_{W}}{\sigma_{W}}$

,

(2.5)

$\kappa_{3}=E[(Z-E(Z))^{3}]=E(Z^{3})$ ,(2.6)$\kappa_{4}=E[(Z-E(Z))^{4}]-3\{V(Z)\}^{2}=E(Z^{4})-3$であり,$\Phi(z)$と $\phi(z)$ はそれぞれ標準正規分布の分布関数と密度関数をあらわす.

とき,

,

(2.7)

$E(Z^{3})=E( \frac{W-\mu_{W}}{\sigma_{W}})^{3}=\sigma_{W}^{-3}E(W-\mu_{W})^{3}$(2.8)$E(Z^{4})=E( \frac{W-\mu_{W}}{\sigma_{W}})^{4}=\sigma_{W}^{-4}E(W-\mu_{W})^{4}$

この

150
Taylor 展開を用いて (2.3) より,

である.

.

(2.9)

$\sigma_{W}^{-3}=\frac{n\sqrt{n}}{A^{3/2}}$(2.10)$\sigma_{W}^{-4}=\frac{n^{2}}{A^{2}}\{1+\frac{1}{\sqrt{n}}$.

$\{1+\frac{1}{\sqrt{n}}$$(\begin{array}{l}3B---.\mathit{2}A\end{array})+o(\frac{1}{\sqrt{n}}$.

.

$(-2 \frac{B}{A})+\frac{1}{n}$

$)\}$

,

$(-2 \frac{C}{A}+3\frac{B^{2}}{A^{2}})+o(\frac{1}{n})\}$.

である. また,(2.11)$E(W-\mu_{W})^{3}=E(W^{3})-3E(W^{2})\mu_{W}+2\mu_{W}^{3}$ ,(2.12)$E(W-\mu_{W})^{4}=E(W^{4})\mathrm{I}E(W^{3})\mu_{W}+6E(W^{2})\mu_{W}^{2}-3\mu_{W}^{4}$の関係より,$c:= \frac{\alpha}{k_{0}}+\frac{r}{\sqrt{n}}.$$E_{\dot{?}j}:=E(\sigma_{\overline{X}^{j})=E(\iota^{-}r^{i}}^{i})E(\overline{X}^{j})$とすると,$W=\overline{U}-c\overline{X}$,( $i,j=0,1,$$4$$\ldots,$

and $2\leq i+j\leq 4$ )であり, 次の関係が成り立っ.

(2.13)$E(W^{2})=E_{20}-2cE_{11}+c^{2}E_{02}$ ,(2. 14)$E(W^{3})=E_{30}-3cE_{21}+3c^{2}E_{12}-c^{3}E_{03}$ ,(2. 15)$E(W^{4})=E_{40}-4cE_{31}+6c^{2}E_{22}-4c^{3}E_{13}+c^{4}E_{04}$ .

ここで,$E_{20}=E([^{-}I^{2})= \frac{1}{n}.\delta,$$k_{1}$,$(k_{0}\delta)$,$E_{02}=E( \overline{X}^{2})=k_{0}^{2}+\frac{1}{n}$.
$E_{30}=E( \overline{L}r^{3})=\frac{1}{n^{2}}.\eta$,$E_{21}=E( \overline{U}^{2}\overline{X})=\frac{1}{n}$.

$E_{03}=E( \overline{X}^{3})=k_{0}^{3}+\frac{1}{n}.(3k_{0}k_{1})+\frac{1}{n^{2}}.(k_{2}^{\wedge}-3k_{0}k_{1}-k_{0}^{3})$$E_{40}=E( \overline{U}^{4})=\frac{1}{n^{2}}.(3\delta^{2})+\frac{1}{n^{3}}.(-3\delta^{2}+\gamma)$$E_{31}=E(L^{-}r^{3} \overline{X})=\frac{1}{n^{2}}.(k_{0}\eta)$

,

,

,

$E_{22}=E( \overline{U}^{2}\overline{X}^{2})=\frac{1}{n}.(k_{0}^{2}\delta)+\frac{1}{n^{2}}.(k_{1}\delta)$,$E_{04}=E( \overline{X}^{4})=k_{0}^{4}+\frac{1}{n}.(6k_{0}^{2}k_{1})+\frac{1}{n^{2}}.(-4k_{0}^{4}-12k_{0}^{2}k_{1}+4k_{0}k_{2}+3k_{1}^{2})$$+ \frac{1}{n^{3}}.(3k_{0}^{4}+6k_{0}^{2}k_{1}$.
$E_{1j}=E(\overline{U}\overline{X}^{j})=0$$-3k_{1}^{2}-4k_{0}k_{2}+k_{3})$ ,$(j=1,2,3)$ である. これらの

$E_{ij}$の値を (2.13) -(2.15) に代入

して,(2.16)

E(垣 d)$= \alpha^{2}+\frac{1}{\sqrt{n}}.(2k_{0}r\alpha)+\frac{1}{n}(\delta+\frac{k_{1}^{\wedge}}{k_{0}^{2}}\alpha^{2}+k_{0}^{2}r^{2})$$+ \frac{1}{n\sqrt{n}}(2\frac{k_{1}}{k_{0}}r\alpha)+\frac{1}{n^{2}}.(k_{1}r^{2})$,151(2.17)$E(\mathrm{I}4^{3}\mathit{1}^{\tau})=-\alpha^{3}+\overline{\sqrt{n}}[perp](-3k_{0}r\alpha^{2})$$+ \frac{1}{n}(-3\alpha\delta-3\frac{k_{1}^{\rho}}{k_{0^{2}}^{n}}\alpha^{3}-3k_{0}^{2}r^{2}\alpha)$$+ \frac{1}{n.\sqrt{n}}(-3k_{0}r\delta-9\frac{k_{1}}{k_{0}^{\wedge}}r\alpha^{2}-k_{0}^{3}r^{3})$$+ \frac{1}{n^{2}}.\{\eta-(\frac{k_{2}}{k_{0^{3}}^{n}}-3\frac{k_{1}}{k_{0^{2}}^{n}}-1)\alpha^{3}-9k_{1}r^{2}\alpha\}$$+ \frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}\{-3(\frac{k_{2}}{k_{0^{2}}}-3\frac{k_{1}^{\wedge}}{k_{0}}-k_{0})r\alpha^{2}-3k_{0}k_{1}r^{3}\}$$+ \frac{1}{n^{3}}.\{-3(\frac{k_{2}}{k_{0}}-3k_{1}-k_{0}^{2})r^{2}\alpha\}$$+o( \frac{1}{n^{3}})$(2.18),$E(W^{4})= \alpha^{4}+\frac{1}{\sqrt{n}}(4k_{0}r\alpha^{3})$$+ \frac{1}{n}$$(6 \alpha^{2}\delta+6k_{0}^{2}r^{2}\alpha^{2}+6\frac{k_{1}}{k_{0}^{2}}\alpha^{4})$.
$+ \frac{1}{n\sqrt{n}}(12k_{0}r\alpha\delta+4k_{0}^{3}r^{3}\alpha+24\frac{k_{1}^{\wedge}}{k_{0}^{\wedge}}r\alpha^{3})$$+ \frac{1}{n^{2}}.c_{1}+.\frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}$$c_{2}+ \frac{1}{n^{3}}c_{3}$.

$+o( \frac{1}{n^{3}}.)$

となる.

ここで,
$c_{1}$$:=-4\alpha^{4}+3\delta^{2}-4\alpha\eta+6k_{0}^{2}r^{2}\delta+k_{0}^{4}r^{4}+36k_{1}r^{2}\alpha^{2}$,$-12 \frac{k_{1}}{k_{0^{2}}^{n}}\alpha^{4}+6\frac{k_{1}}{k_{0}^{2}}\alpha^{2}\delta+4\frac{k_{2}^{n}}{k_{0^{3}}^{\wedge}}\alpha^{4}+3\frac{k_{1}^{2}\wedge}{k_{0}^{4}}\alpha^{4}$$c_{2}:=-16k_{0}r\alpha^{3}-4k_{0}r\eta+24k_{0}k_{1}r^{3}\alpha$$-48 \frac{k_{1}}{k_{0}^{\wedge}}r\alpha^{3}+12\frac{k_{1}}{k_{0}^{\wedge}}r\alpha\delta+16\frac{k_{2}}{k_{0^{2}}}r\alpha^{3}+12\frac{k_{1}^{2}\wedge}{k_{0^{3}}}r\alpha^{3}$,$c_{3}:=3\alpha^{4}+\gamma-3\delta^{2}-24k_{0}^{2}r^{2}\alpha^{2}-72k_{1}r^{2}\alpha^{2}+6k_{1}r^{2}\delta+6k_{0}^{2}k_{1}r^{4}$$+24 \frac{k_{2}}{k_{0}^{\wedge}}r^{2}\alpha^{2}+6\frac{k_{1}}{k_{0^{2}}}\alpha^{4}+18\frac{k_{1}^{2}}{k_{0^{2}}}r^{2}\alpha^{2}-4\frac{k_{2}^{\rho}}{k_{0^{3}}^{n}}\alpha^{4}-3\frac{k_{1}^{2}}{k_{0^{4}}^{n}}\alpha^{4}+\frac{k_{3}}{k_{0^{4}}}\alpha^{4}$(2.2) と (2.16) -(2.18) を (2.11) と (2.12) に代人すると,(2.19)$E(W- \mu_{W})^{3}=\frac{1}{n^{2}}D+\frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}E+o(\frac{1}{n^{2}\sqrt{n}})$152(2.20)$E( \nu \mathrm{I}^{\gamma}-\mu_{W})^{4}=\frac{1}{n^{2}}(3A^{2})+\frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}(6AB)+\frac{1}{n^{3}}F+o(\frac{1}{n^{3}})$

となる.

ここで,
$D:= \eta+(1-\frac{k_{2}}{k_{0}^{3}}+3\frac{k_{1}}{k_{0}^{2}})\alpha^{3}$$E:=3(k_{0}+3 \frac{k_{1}}{k_{0}}-\frac{k_{2}}{k_{0}^{2}})r\alpha^{2}$,,$F:=3\alpha^{4}+\gamma-3\delta^{2}+6k_{1}r^{2}\delta$$+6 \frac{k_{1}}{k_{0}^{2}}\alpha^{4}-3\frac{k_{1}^{2}}{k_{0^{4}}}\alpha^{4}+18\frac{k_{1}^{2}}{k_{0}^{2}}r^{2}\alpha^{2}-4\frac{k_{2}}{k_{0}^{3}}\alpha^{4}+\frac{k_{3}}{k_{0}^{4}}\alpha^{4}$である. (2.9), (2.10), (2.19), (2.20) を (2.7) と (2.8) に代人すると, (2.5) と(2.6) より,

(2.21)$\kappa_{3}=\frac{1}{A^{3/2}}\{\frac{1}{\sqrt{n}}$ $D+ \frac{1}{n}$(2.22)$\kappa_{4}.=\frac{1}{n}$

.

となる.

また,

$(E-. \frac{3}{2}\frac{BD}{A})\}+o(\frac{1}{n}$ $)$

.

.

.

,

$\frac{1}{A^{2}}(F-3B^{2}-6AC)+o(\frac{1}{n}$ $)$.

(2.21) より,(2.23)
である. したがって,$\kappa_{3}^{2}=\frac{1}{n}$$\frac{D^{2}}{A^{3}}+o(\frac{1}{n}$

.

.

$)$

の高次近似は上記の $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F$ を求めることにょって, (2.21)’. (2.22). (2.23) を求め, これを (2.4) に代入することにょって得られる.
一方, Cornish-Fisher 展開を用いて, 比推定量のパーセント点の高次近似を考えることもできる. いま,の関数であるものは, $z(r),$ $\mu_{W}(r),$$B(r),$ $C(r),$ $E(r),$ $F(r)$ ,のように明記して, 上記と同じ記号を用いることにする.
$F_{R}(r)$$r$$\kappa_{3}.(r),$$r_{p}$$\sigma_{W}(r),$$\kappa_{4}.(r)$を $\sqrt{n}.(R-\rho)$ の上側 100$p$パーセント点とする. すなゎち,$F_{R}(r_{p})=P\{\sqrt{n}.(R-\rho)\leq r_{p}\}=1-p$

である.

このとき,

(2.24)
である.

(2.25)$F_{R}(r_{p})=P\{Z\leq z(r_{p})\}$である.

$z(r_{p})= \frac{-\alpha-\mu_{W}(r_{p})}{\sigma_{W}(r_{p})}=$

Cornish-Fisher 展開を用いて,$z(r_{p})=.u_{p}+ \frac{\kappa_{3}(r_{p})}{6}(u_{p}^{2}-1)+\cdot\frac{\kappa_{4}(r_{p})}{24}(\cdot u_{p}^{3}-3\cdot u_{p})$.

$+ \frac{\kappa_{3}^{2}}{36}$である(2.26)

ここで,$(-2 \cdot u_{p}^{3}+5\cdot u_{p})+o(\frac{1}{n})$ここで,$\kappa_{3}(r_{p})=\frac{1}{A^{3/2}}\{\frac{1}{\sqrt{n}}D+\frac{1}{n}(E(r_{p})-\frac{3}{2}\frac{B(r_{p})D}{A})\}+o(\frac{1}{n})$,153(2.27)$\kappa_{4}(r_{p})=\frac{1}{n}\frac{1}{A^{2}}(F(r_{p})-3B(r_{p}.)^{2}-6AC(r_{p}))+o(\frac{1}{n})$は標準正規分布の上側 100 パーセント点, すなわち , $\Phi(\cdot u_{p})=1-p$
は (2.25) に (2.24),(2.26), (2.27) を代入した式を解くこと #こよっである. したがって,て求めることができる. (2.25) を数値的に解くためには, Newton 法のような反復法が適である. また,$p$$u_{p}$$r_{p}$

用される.

3.

適用例

近似式の精度を確認するために, いくつかの例を示す. $\sqrt{n}(R-\rho)$ の真の確率分布関数である $F_{R}(r)$ を求めるのは容易ではないので, パラメータに適当な値を設定して, 経

験分布関数をモンテカルロシミュレーションで求める. これを真の確率分布関数とみなし,$F_{R}(r)$の近似式と比較を行う.

$\sqrt{n}(R-\rho)$の経験分布関数を$\hat{F}_{R}(r)$とすると,$\hat{F}_{R}(r)$は次のように定義される.
$\hat{F}_{R}(r):=\frac{\#\{\sqrt{n}(R-\rho)\leq r\}}{b}$はシミュレーションで得を越えない回数をそれぞれ表す. $F_{R}(r)$ の近似式としては,られる $\sqrt{n}(R-\rho)$ の値が展開によるものと, 正規分布によるもの (Edgeworth 展開の第 1 項のみを使

ここで

$b$

はシミュレーションを行う回数,$\#\{\sqrt{n}(R-\rho)\leq r\}$$r$$\mathrm{E}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}|\mathrm{h}$用することに相当) の 2 つを考える.
以下の例では,る.

このとき,$\beta=1,$ $\sigma=1$$U_{1},$$U_{n}$$\ldots,$. が独立に平均 0, 分散$E(U_{i})=0(i=1, \ldots, n\cdot),$$\delta=\sigma^{2},$$\sigma^{2}$の正規分布に従っていると仮定す$\eta=0,$, そして, シミュレーションの繰り返し回数

例 3.1 (Gamma case).
$x>0\text{のと}\mathrm{g}$$X_{1},$$X_{n}$$\ldots,$.

$\gamma=3\sigma^{4}$

$b$

である.

1) ま,

$\alpha=2$,

を 10000 にする.

は独立にガンマ分布に従うとする. 密度関数は,,$\frac{1}{\Gamma(h\cdot)}e^{-x}x^{h-1}$

その他のときは 0 である. また,$h$. $>0$ である.

,
このとき,

$k_{0}=k_{1}=h.,$ $k_{2}=(h$ 十2) $(h+1)h,$ $k_{3}^{\wedge}=1_{l}^{4}+6h^{3}+11h^{2}.+6h$ . である.
Figure 1 は $n=10$ のとき, $h=0.5,1,1.5,2$ のそれぞれの場合の経験分布関数と $F_{R}(r)$ の近似の比較を表している. Figure 2 は Figure 1 で近似の度合いが一番悪い$\hat{F}_{R}(r)$$n=10,15,20,25$ とした場合の近似の比較を表して ) る.
この例でパーセント点の高次近似の適用を行う. 確率の計算の場合と同様に, $F_{R}(r)$の上側 100のパーセント点の真の値を計算するのは難しいので, 経験分布関数$h=0.5$ の場合について,$\mathrm{t}_{\sqrt}$$\hat{F}_{R}(r)$$p$パーセント点である $b(1-p)+1$ 番目の順序統計量: $r_{p}=r_{(b(1}$ -p)+。を $F_{R}(r)$ の真の$\mathit{1}\backslash ^{\mathrm{o}}-$セント点とみなす.
の近の上側 5 パーセント点 $r_{(9501)}$ と $F_{R}(r)$ の上側 5 パーセント点
いま,似の比較を行う. 近似としては, Cornish-Fisher 展開 (2.25) によるものと正規分布にを求よるものの 2 つを考える. 正規分布による近似では $z(r_{p})=\cdot u_{p}$ の関係を満たす$\hat{F}_{R}(r)$$r_{0.05}$$r_{p}$

154
Table 1.

$X$にガンマ分布を仮定した場合に $n=10,$ $\alpha=2,$ $\beta=1,$の $h=1(0.5)5$ におけるめることになる.
表している.
例 3.2の上側 5 パーセント点$\dot{F}_{R}(f)$${}^{t}\mathrm{t}^{9501}$$\sigma^{2}=1,$$b=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$としたときと $r_{0.05}$ の近似の比較.

)

Table 1 に $n=10$ のときに $h=1(0.5)5$ とした場合のそれぞれの値を$(\chi^{2}- \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e})$.

$X_{1},$

は独立に自由度$X_{n}$$\ldots,$$\nu$関数は, $x>0$ のとき,のカイ 2 乗分布に従うとする. 密度$\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)}e^{-x/2}x^{(\nu/2)-1}$

その他のときは 0 である. このとき,$k_{0}=\nu,$$k_{1}=2\nu,$ $k_{2}=\nu(\nu+2)(\nu+4),\hat{k}_{3}=$$\nu(\nu+2)(\nu+4)(\nu+6)$ である.

Figure 3 は $n=10$ のとき,$\nu=1,2,3,4$ のそれぞれの場合の経験分布関数$\hat{F}_{R}(r)$との近似の比較を表している. Figure 4 は Figure 3 で近似の度合いが一番悪い $\nu=1$の場合について,. $=10,15,20,25$ とした場合の近似の比較を表してぃる.

$F_{R}(r)$$n$例 3.3 (Lognormal case).

$X_{1},$

は, $x>0$ のとき,$\ldots,$$X_{n}$

は独立に対数正規分布に従うとする. 密度関数
触 ゲ
$LNx-$$\frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma_{LN}}e-\frac{1}{2}$

その ffi のときは 0 である. ここで, $\sigma_{LN}>0$ である. $X$ のである. いま, ( $=0$ とする. このとき,$r$

次のモーメントは $E(X\text{っ}=$$e^{\mathrm{r}\zeta+r^{2}\sigma_{LN}^{2}/2}$$k_{0}=e^{\frac{1}{2}\sigma_{L^{2}N}},$$k_{2}=e^{\frac{9}{2}\sigma_{L^{2}N}},$$k_{3}=e^{8\sigma_{L^{2}N}}$である.

$k_{1}=e^{2\sigma_{L^{2}N}}-e^{\sigma_{L^{2}N}}$

,

155

.

.

$K \not\in\frac{\epsilon}{B}$$\frac{\mathrm{e}}{z}\frac{\epsilon}{\alpha}$

20

0

40

60

80

’00

20

’0

0

’20

$\mathrm{s}\alpha$.

.

$.\cdot K\xi$$\#=\zeta 6B$

100emPiriCaI diStributiOn–$\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{C}\mathrm{u}\circ \mathrm{n}$(化 1 屋$0(\mathrm{n}0)$

Ex 暇 ansion
下暇暇 roximation by
a 暇暇 roximation by normal distrbution$\mathrm{E}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{o}\iota \mathrm{t}\mathrm{h}$Figure 1. $X$ にガンマ分布を仮定した場合に $n=10,$ $\alpha=2,$ $\beta=1,$ $\sigma^{2}=1,$と $F_{R}(r)$ の近似の比較.
きの $h=0.5,1,1.5,2$ における

$b=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$としたと$\hat{F}_{R}(r)$$\tilde{\not\in\ \frac{\check}{\dot{\Xi}}}$$\ \ovalbox{\tt\small REJECT}\frac{\frac{>}{-}}{\overline{B}}$

$0$

20

$40$

so

$80$

’ $00\prime_{\wedge}.0$.
$=B\mathrm{L}\epsilon B\alpha 9^{\cdot}$$\S=\circ\frac{\mathrm{o}}{\mathrm{L}}\mathrm{g}$–empirical distri 化$\mathrm{L}^{\mathrm{j}}\mathrm{T}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{a}\mathrm{P}\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{X}\mathrm{i}\mathfrak{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$—$’unction(化=10000)

by Ed 佳 worth
byFigure 2. $X$ にガンマ分布を仮定した場合に $h=0.5,$ $\alpha=2,$ $\beta=1,$と $F_{R}(r)$ の近似の比較.
きの $n=10,15,20,25$ における$\hat{F}_{R}(r)$$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\dot{|}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{n}\mathrm{o}r\mathrm{m}\mathrm{a}\mathfrak{l}\mathrm{d}\dot{\mathrm{t}}\mathrm{s}\mathrm{t}\dot{n}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}r\mathrm{o}\mathrm{x}|.\mathrm{m}\mathrm{a}t\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\sigma^{2}=1,$$b=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$

としたと

156

$ae \mathrm{s}\frac{\geq}{B}\sim$$\ \approx\frac{\geq}{*}\tilde,$0$\hat{K5\mathrm{z}z*}$$\hat{\check{\hat{\zeta 3\S}}}$–

empirical$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\prime\prime \mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\prime \mathrm{o}\mathrm{x}\mathfrak{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{n}$byby$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\prime \mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{n}$Figure 3.

$X$にtuoetion$\mathrm{n}\mathrm{o}\prime \mathrm{m}\mathrm{a}\mathfrak{l}$分布を仮定した場合に $n=10,$ $\alpha=2,$ $\beta=1,$ $\sigma^{2}=1,$’$\lambda^{2}$$\nu=1,2,3,4$ における$\dot{F}_{R}(r)$$(\triangleright_{-}1\infty 00)$

Expansion
dislribuuon$\mathrm{E}\infty \mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{o}\prime \mathrm{t}\mathrm{h}$$b=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$としたときのと $F_{R}(r)$ の近似の比較.

.
$\epsilon \mathrm{s}^{*}\frac{\epsilon}{\mathrm{A}}$$K \frac{\frac}{\xi}$$\tilde{\mathrm{n}}\not\in\frac{\succ}{\mathrm{z}}$$.\kappa\S \mathrm{g}z*$0’0$.\wedge\backslash 0$–

luncuon (&10000)
byapprox[malion by normal$\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{I}\mathrm{r}\varpi \mathrm{I}\mathrm{d}\mathrm{l}9\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{m}i\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\prime \mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{E}\mathrm{d}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{o}\mathbb{R}\mathrm{h}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}|\mathrm{o}\mathrm{n}$$\mathrm{d}\mathrm{I}\mathrm{s}\Uparrow|\mathrm{b}\iota A\mathrm{i}\mathrm{o}\cap$Figure 4. $X$ に分布を仮定した場合に $\nu=1,$ $\alpha=2,$ $\beta=1,$と $F_{R}(r)$ の近似の比較.
$n=10,15,20,25$ における’$\lambda^{2}$$\dot{F}_{R}(\mathrm{r})$$\sigma^{\underline{\mathrm{o}}}=1,$$b=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$としたときの157$\kappa$.
$\alpha\S\lessgtr oe$

1–$\iota$empirical distribution Iunclion
by Edgewohh Ex 暇 ansion
approximation by normaI di 歌 ributon$\{\mathrm{b}_{-}^{-}1\infty 00\rangle$$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\prime i\mathrm{o}\mathrm{n}$.—に対数正規分布を仮定した場合に $n=20,$ $\alpha=2,$ $\beta=1,$と $F_{R}(r)$ の近似の比較.
ときの $\sigma_{LN}=0.5(0.1)1$ における

Figure 5.

$X$$\sigma^{2}=1,$$b=1\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}$とした$\hat{F}_{R}(r)$$\grave{\mathrm{g}\S\S t}$$@kappa\geq\infty$

侶

とした

158
Figure 5 はと$\ovalbox{\tt\small REJECT}(r)$$\sigma_{LN}\ovalbox{\tt\small REJECT} 1$のとき,のそれぞれの場合の経験分布関数の近似の比較を表している. Figure 6 は Figure 5 で近似の度合いが一番悪いの場合について,とした場合の近似の比較を表してぃる.
$n\ovalbox{\tt\small REJECT} 20$$\sigma_{LN}\ovalbox{\tt\small REJECT} 05(0.1)1$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathit{1}\mathit{1}}(r)$$n\ovalbox{\tt\small REJECT} 10(10)50,100$

付録

付録として, 近似式の導出及び適用例の計算に用いたプログラ を示す.
プログラム 1-1 から 1-3 は, 式 (2.16)-(2.20) を導出するための Mathematica にょる数$\text{ム}$式処理の例である. なお, このプログラムにおけるは $E(W^{2}),$$\mathrm{E}_{\mathrm{W}^{2}},$$\mathrm{E}_{\mathrm{W}^{s}},$$\mathrm{E}_{\mathrm{W}^{4}},$$\mathrm{E}\mathrm{W}3\mathrm{m},$$\mathrm{E}\mathrm{W}4\mathrm{m}$にそれぞれ対応する.
プログラム 2 は, 例 3.1 のと $F_{R}(r)$ の近似値の計算および図を描くための SPLUS によるプログラムである. このプログラムは, 経験分布関数作成のためのモンテカルロシミュレーションにょるデータの生成, $F_{R}(r)$ の近似値の計算, これら二つを用いた図の作成の 3 っの部分からなり, それぞれ ratio, pratio, PlotCDF の名前がついている. pratio において,は近似式の導出における $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E$ に対応
する. また,はの.
((2.22) 式)の項にある $F-3B^{2}-6AC$ を計算したものに対応する.
$E(W^{9}\llcorner),$$E(W^{4}),$ $E(W-\mu_{W})^{3},$$E(W-\mu w)^{4}$$\hat{F}_{R}(r)$$\hat{F}_{R}(r)$$\mathrm{b},$$\mathrm{a},$$\mathrm{g}$$\mathrm{d},$$\mathrm{c},$$\mathrm{e}$$n^{-1}$$\kappa_{4}$プログラム 3 は, 例 3.1 の上側 5 パーセント点の近似値を計算するための Mathematica によるプログラムである. このプログラ は, 関数として作成し, . を与えることによって, 近似値が計算される. . $=1$ を与えたときの出 も示してぃる. このプロ. の値にそれぞれ対応する.
グラムにおける,, f3 は $z(r_{p}),$$r_{0.05}$$\text{ム}$

$h$

$h$

$\mathrm{f}_{0},$$\mathrm{f}_{1},$$\mathrm{f}_{2}$$\pi$$\kappa_{3}(r_{p}),$$\kappa_{4}(r_{p}),$$\kappa_{3}^{2}$

159$\mathrm{E}_{20}:--\frac{\delta}{\mathrm{n}}j\mathrm{E}_{11}:--\mathrm{o}_{j}\mathrm{E}_{02}:--\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}}+\mathrm{k}_{\mathrm{o}j}^{2}$$\mathrm{E}_{30}:--\frac{\eta}{\mathrm{n}^{2}}j\mathrm{E}_{21}:--\frac{1}{\mathrm{n}}\{\mathrm{k}_{0}\delta)j\mathrm{E}_{12}:--0_{j}$$\mathrm{E}_{03}:--\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{3}+\frac{1}{\mathrm{n}}(3\mathrm{k}_{\mathrm{O}}\mathrm{k}_{1})+\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}(\mathrm{k}_{2}-3\mathrm{k}_{\mathrm{O}}\mathrm{k}_{1}-\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{3})j$$\mathrm{E}_{40}:--\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}(3\delta^{2})+\frac{1}{\mathrm{n}^{3}}(-3\delta^{2}+Y)j$$\mathrm{E}_{31}:--\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}(\mathrm{k}_{\mathrm{O}}\eta)j\mathrm{E}_{22}:--\frac{1}{\mathrm{n}}(\mathrm{k}_{0}^{2}\delta)+\frac{1}{\mathrm{n}^{2}}(\mathrm{k}_{1}\delta)j\mathrm{E}_{13}$:–0;$\mathrm{E}_{\mathrm{O}4}:--\mathrm{k}_{\mathrm{Q}}^{4}+\frac{6\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}}+\frac{-4\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{*}-12\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}+3\mathrm{k}_{1}^{2}+4\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{n}^{2}}+‘\frac{3\mathrm{k}_{\mathrm{O}}+6\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{2}\mathrm{k}_{1}-3\mathrm{k}_{1}^{2}-4\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3}}{\mathrm{n}^{3}}j$$\alpha$$\mathrm{r}$$\mathrm{c}:--\overline{\mathrm{k}_{\mathrm{O}}}+\overline{\sqrt{\mathrm{n}}}j$$\mu_{\mathrm{w}}:\overline{-}-\alpha-\frac{\mathrm{l}}{\sqrt{\mathrm{n}}}\{\mathrm{k}_{0}\mathrm{r})j$$*2:\overline{-}\mathrm{E}_{20}-2\mathrm{c}\mathrm{E}_{11}+\mathrm{c}^{2}\mathrm{E}_{02}j$$\mathrm{R}33\overline{-}\mathrm{E}_{30}-3\mathrm{c}\mathrm{E}_{21}+3\mathrm{c}^{2}\mathrm{E}_{12}-\mathrm{c}^{3}\mathrm{E}_{03j}$$*4—\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}|3\mathrm{m}-\overline{-}\mathrm{E}_{\mathrm{w}^{3}}-3\mathrm{E}_{\mathrm{w}^{2}}\mu_{\mathrm{V}}+2\mu \mathrm{w}^{3}j\mathrm{E}_{\iota 0}-4\mathrm{c}\mathrm{E}_{31}+6\mathrm{c}^{2}\mathrm{E}_{22}-4\mathrm{c}^{3}\mathrm{E}_{13}+\mathrm{c}‘ \mathrm{E}_{0}.j$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{I}4\mathrm{m}:\overline{-}$R4-4$\mathrm{E}_{\mathrm{w}^{3}}$\mu 賀$+6\mathrm{E}_{\mathrm{w}^{2}}\mu_{\mathrm{w}^{2}}- 3$\mu 買\iota$j$$\mathrm{R}^{\mathrm{z}}$$\frac{\delta}{\mathrm{n}}+(\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{2}(\mathrm{k}_{0}^{2}+\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Simplify [$]$\frac{\delta}{\mathrm{n}}+(’\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{2}(\mathrm{k}_{0}^{2}+\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Collect $,$[$$\mathrm{n}]$$\alpha^{2}+\frac{2\mathrm{r}\alpha \mathrm{k}_{0}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\mathrm{r}^{2}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}^{2}}+\frac{2\mathrm{r}\alpha \mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}^{3/2}\mathrm{k}_{0}}+\frac{\{5+\mathrm{r}^{2}\mathrm{k}_{0}^{2\alpha_{\vec{\mathrm{k}}}^{2}\mathrm{k}}+[perp]}{\mathrm{n}}$$\mathrm{R}3$$\frac{1\uparrow}{\mathrm{n}^{2}}-\frac{3\delta(_{\mathcal{T}\mathrm{n}}^{\mathrm{r}}+\frac{a}{\mathrm{k}_{0}})\mathrm{k}_{0}}{\mathrm{n}}.-(\frac{\mathrm{r}}{\int\overline{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{3}(\mathrm{k}_{0}^{3}+\frac{3\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}}+\frac{-\mathrm{k}_{0}^{3}-3\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{n}^{2}})$

Simplify [$]collect $,$[$$\mathrm{n}]$$- \alpha^{3}-\frac{3\mathrm{r}\alpha^{2}\mathrm{k}_{0}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{-3\alpha\delta-3\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}_{0}^{2}-\frac{3a_{\mathrm{k}}^{3}\mathrm{k}}{}}{\mathrm{n}}+\frac{-3\mathrm{r}\delta \mathrm{k}_{0}-\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{0}^{3}-\frac{9\mathrm{r}\alpha^{2}\mathrm{k}}{\mathrm{k}_{0}}}{\mathrm{n}^{3j2}}+$$\frac{\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{0}^{3}+3\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}-\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{n}^{7.2}\prime}+\alpha^{3}+|7-9\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}_{1}+\frac{3\alpha^{3}\mathrm{k}}{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\mathrm{k}}}-\mathrm{n}^{2}\neg\sigma_{\mathrm{k}}^{3}\mathrm{k}[perp]+$3$\mathrm{r}\alpha^{2}\mathrm{k}_{0}+$9$\mathrm{r}\cong\nearrow^{\mathrm{k}}$-3$\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}-\frac{3\mathrm{r}\alpha^{2}\mathrm{k}}{\mathrm{k}}$$+ \frac{3\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}_{0}^{2}+9\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}_{1}--\frac{3\mathrm{r}^{2}a\mathrm{k}}{\mathrm{k}_{0}}}{\mathrm{n}^{3}}$$\mathrm{n}^{5/2}$

プログラム 1-1. Matbematica による数式処理の例.

160
3

7
.
k.-3 kH-4$(\}\cdot\mathrm{T}\cdot
)$
$4$

)

’

$\gamma-3^{\delta^{2}}$7$7(\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash T+$”$\mathrm{n}^{2}$

6

3$\downarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}$、$\alpha$$\mathrm{r}$$6^{2}$$\mathrm{n}^{2}$$\delta \mathrm{k}\downarrow$$\delta \mathrm{k}_{1}$”$(\ovalbox{\tt\small REJECT}$$)$$-4\triangleleft-12\mathrm{k}:k_{1}+3\mathrm{k}\mathrm{H}+4\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}$$\mathrm{g}\mathrm{k}$”$3\triangleleft+6\mathrm{g}$$\mathrm{k}_{0}\mathrm{k},$$+\mathrm{k}_{3}$$+$$\mathrm{n}^{2}$$\mathrm{n}^{3}$81mpllfrl$]$\frac{1}{\mathrm{n}^{5}}(3\mathrm{n}^{3}\delta^{2}+\mathrm{n}^{2}(\gamma-3\delta^{2} )$-4$( \mathrm{n}^{3}\alpha\eta+\mathrm{n}^{5\mathit{1}2}\mathrm{r}\eta \mathrm{k}_{0})+\frac{6\delta(\mathrm{n}^{3\prime 2}\alpha+\mathrm{n}\mathrm{r}\mathrm{k}_{0})^{2}(\mathrm{n}\mathrm{k}_{0}^{2}+\mathrm{k}_{1})}{\mathrm{k}_{0}^{2}}+$$\frac{\{\sqrt{\mathrm{n}}\alpha+\mathrm{r}\mathrm{b}\mathrm{I}((3-4\mathrm{n}+\mathrm{n}^{3})\mathrm{k}_{0}^{*}+6(-1+\mathrm{n})^{2}\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}+3(-1+\mathrm{n})\mathrm{k}_{1}^{2}+4(-1+\mathrm{n})\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3})1}{\mathrm{k}_{\mathrm{Q}}})$

Collect$[\backslash _{l}\mathrm{n}]$$\alpha^{*}+\frac{4\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}_{0}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{6\alpha^{2}\delta+6\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{0}^{2}+\frac{\alpha \mathrm{k}}{4}}{\mathrm{n}}‘.+\frac{12\mathrm{r}\alpha\delta \mathrm{k}_{0}+4\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{0}^{3}+\frac{2*\mathrm{r}a^{3}\mathrm{k}}{\mathrm{k}_{0}}}{\mathrm{n}\prime}+$$\frac{-16\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}0-4\mathrm{r}\eta \mathrm{k}_{0}-\frac{*l\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}}{\mathrm{k}_{0}}+\frac{12\mathrm{r}a\delta \mathrm{k}}{\mathrm{b}}+24\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}+\frac{12\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}^{2}}{\mathrm{k}}+\frac{1\mathrm{r}a^{3}\mathrm{k}}{\mathrm{k}}}{\mathrm{n}^{5’ 2}}‘+$-3$3\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{0}^{*}+6\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}$-4k2$+\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{3}$$\overline{\mathrm{n}}+$$\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{1}^{2}$$\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{\mathrm{O}}$$\frac{1}{\mathrm{n}^{3}}(3\alpha^{*}+\gamma-3\delta^{2}-24\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{2}-72\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{1}+6\mathrm{r}^{2}\delta \mathrm{k}_{1}+\frac{6\alpha^{*}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{k}_{0}^{2}}+$6$\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}-\frac{3\alpha^{1}\mathrm{k}_{1}^{2}}{\mathrm{k}_{0}^{*}}+\frac{18\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{1}^{2}}{\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{2}}-\neg 4\alpha_{\mathrm{k}_{0}}^{*}\mathrm{k}_{\underline{2}}+\frac{24\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{k}_{0}}+\frac{\alpha^{*}\mathrm{k}_{3}}{\mathrm{k}_{0}^{4}}$)$+$$\frac{1}{\mathrm{n}^{7’ 2}}(12\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}_{0}-16\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{0}^{3}+\frac{24\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{k}_{0}}-48\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}-\frac{12\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}_{1}^{2}}{\mathrm{k}_{0}^{3}}.+$$\frac{12\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{1}^{2}}{\mathrm{k}_{0}}+16\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{2}-\frac{16\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{k}_{0}^{2}}+\frac{4\mathrm{r}\alpha^{3}\mathrm{k}_{3}}{\mathrm{k}_{0}^{3}})+$$\frac{1}{\mathrm{n}^{*}}(18\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{0}^{2}-4\mathrm{r}^{\ell}\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{*}+36\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{1}-12\mathrm{r}‘ \mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{2}\mathrm{k}_{1}+3\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{1}^{2}-\frac{18\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{1}^{2}}{\mathrm{k}_{0}^{2}}-\frac{24\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{k}_{0}}+$$4 \mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}+)6\mathrm{r}_{\mathrm{k}}^{2}\alpha_{\tilde{0}}^{2}\mathrm{k}_{3}+\frac{12\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{3}+24\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}-\frac{12\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}^{2}}{\mathrm{k}_{0}}-16\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{2}+\frac{*\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}}{\mathrm{x}_{\mathrm{O}}}}{\mathrm{n}\prime}$$\mathrm{E}\mathrm{W}3\mathrm{m}$$\neg_{\mathrm{n}}|7_{--}\frac{3\delta(_{T_{\mathrm{n}}^{\mathrm{r}}}+\frac{a}{\mathrm{k}_{0}})\mathrm{x}_{\mathrm{O}}}{\mathrm{n}}+2(-\alpha-\frac{\mathrm{r}\mathrm{k}_{0}}{\sqrt{\mathrm{n}}})^{3}-$3$(- \alpha-\frac{\mathrm{r}\mathrm{k}_{0}}{\sqrt{\mathrm{n}}})(\frac{\delta}{\mathrm{n}}+(\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{2}(\mathrm{k}_{0}^{2}+\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}}))-\mathfrak{l}\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{3}(\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{3}+\frac{3\mathrm{k}_{\mathrm{O}}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}}+\frac{-\mathrm{k}^{3}-3\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{n}^{2}})$

Slmpllfy [$]$\frac{1}{\mathrm{n}^{7’ 2}\mathrm{k}_{0}^{3}}(3\sqrt{\mathrm{n}}\mathrm{r}^{2}$$\mathrm{k}_{0}^{3}$a$\mathrm{k}_{0}^{5}+\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{0}^{6}+3\mathrm{k}_{0}^{\ell}(\mathrm{n}\mathrm{r}\alpha^{2}+\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{1}\dot{\mathfrak{l}}$$(\mathrm{n}^{3J2}\alpha^{3}+\mathrm{n}^{3J2}\eta+9\sqrt{\mathrm{n}}\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}_{1} - \mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{2})+3\mathrm{k}_{0}^{2}$プログラ$\text{ム}1- 2$-($\mathrm{n}^{3J2}\alpha^{3}$

k2 +3$\mathrm{n}\alpha^{2}\mathrm{k}_{0}(\sqrt{\mathrm{n}}\alpha \mathrm{k}_{1} - \mathrm{r}\mathrm{k}_{2})+$$3\mathrm{n}\mathrm{r}\alpha^{2}\mathrm{k}_{1}-\sqrt{\mathrm{n}}\mathrm{r}^{2}$a$\mathrm{k}_{2}$)$)$. Mathematica による数式処理の例 (つづき).

161Collect$[*\prime \mathrm{n}]$$\underline{\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{0}^{3}+3\mathrm{r}}_{\frac{3\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}-\mathrm{r}^{3}\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{n}^{7’ 2}}+}\underline{\alpha^{3}+|\uparrow+}\frac{\frac{}{}3\alpha_{\mathrm{k}_{00}}^{3}-\frac{a^{3}}{\mathrm{k}}\mathrm{k}\neq}{\mathrm{n}^{2}}+$$\frac{3\mathrm{r}\alpha^{2}\mathrm{k}_{0}+\frac{91\alpha^{2}\mathrm{k}}{\mathrm{k}_{0}}}{\mathrm{n}^{5\prime 2}}.-\frac{31\alpha}{\underline \mathrm{k}}.f^{-^{\mathrm{k}}R}02+\frac{3\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}_{0}^{2}+9\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}_{1}-\frac{3\mathrm{r}^{2}\alpha \mathrm{k}}{\mathrm{k}_{0}}}{\mathrm{n}^{3}}$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}’ 4\mathrm{m}$$\frac{3\delta^{2}}{\mathrm{n}^{2}}+\cdot\frac{\gamma-3\delta^{2}}{\mathrm{n}^{3}}-\frac{4\gamma_{1(\frac{\mathrm{r}}{\sqrt \mathrm{n}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})}\mathrm{k}_{0}}{\mathrm{n}^{2}}-3(-\alpha-\frac{\mathrm{r}\mathrm{k}_{0}}{\sqrt{\mathrm{n}}})^{4}+$6

4$( \frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{2}(\frac{\delta \mathrm{k}_{0}^{2}}{\mathrm{n}}+\frac{\delta \mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}^{2}})+6(-\alpha-\frac{\mathrm{r}\mathrm{k}_{0}}{\sqrt{\mathrm{n}}})^{2}(\frac{\delta}{\mathrm{n}}+(\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{\mathrm{o}}})^{2}(\mathrm{k}_{0}^{2}+\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}})]-$$(- \alpha\sim\frac{\mathrm{r}\mathrm{k}_{0}}{f\overline{\mathrm{n}}})(\frac{\eta}{\mathrm{n}^{2}}-\frac{3c5(_{\sqrt{\mathrm{n}}^{\mathrm{r}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})\mathrm{k}_{0}}{\mathrm{n}}-(\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{3}(\mathrm{k}_{0}^{3}+\frac{3\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}}+\frac{- \mathrm{k}_{0}^{3}-3\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{n}^{2}}))+$$\mathfrak{l}\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\alpha}{\mathrm{k}_{0}})^{*}(\mathrm{k}_{0}^{4}+\frac{6\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{n}}+\frac{-4\mathrm{k}_{0}^{4}-12\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}+3\mathrm{k}_{1}^{2}+4\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{n}^{2}}+\frac{3\mathrm{k}_{0}^{4}+6\mathrm{k}_{0}^{2}\mathrm{k}_{1}-3\mathrm{k}_{1}^{2}-4\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}+\mathrm{k}_{3}}{\mathrm{n}^{3}})$

Slmplify $[*]$$\frac{1}{\mathrm{n}^{5}\mathrm{k}_{0}^{*}}(12J\overline{\mathrm{n}}\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{0}^{7}+3\mathrm{r}^{4}\mathrm{k}_{0}^{8}+6\mathrm{k}_{0}^{6}(3\mathrm{n}\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}+\mathrm{r}^{4}\mathrm{k}_{1})+$4
4$\mathrm{k}_{0}^{5}(3\mathrm{n}^{3/2}\mathrm{r}\alpha^{3}+6\sqrt{\mathrm{n}}\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{1}-\mathrm{r}^{4}\mathrm{k}_{2})+\mathrm{n}^{2}\alpha^{4}(3(-1+\mathrm{n})\mathrm{k}_{1}^{2}+\mathrm{k}_{3})+$$\mathrm{n}^{3j2}\alpha^{3}\mathrm{k}_{0}(3(-1+\mathrm{n})\mathrm{r}\mathrm{k}_{1}^{2}-f_{\overline{\mathrm{n}}}\alpha \mathrm{k}_{2}+\mathrm{r}\mathrm{k}_{3})+\mathrm{k}_{0}^{*}(3\mathrm{n}^{2}\alpha^{4}+\mathrm{n}^{2}\gamma-3\mathrm{n}^{2}\delta^{2}+$$3\mathrm{n}^{3}\delta^{2}+6\mathrm{n}\mathrm{r}^{2}(6\alpha^{2}+\mathrm{n}\delta)\mathrm{k}_{1}+3(-1+\mathrm{n})\mathrm{r}^{*}\mathrm{k}_{1}^{2}-16\sqrt{\mathrm{n}}\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{2}+\mathrm{r}^{4}\mathrm{k}_{3}\}+$$4 \int\overline{\mathrm{n}}\mathrm{r}\alpha \mathrm{k}_{\mathrm{o}}^{3}$($3\mathrm{n}(2\alpha^{2}+\mathrm{n}\delta)\mathrm{k}_{1}+3(-1+\mathrm{n})\mathrm{r}^{2}\mathrm{k}_{1}^{2}+\mathrm{r}$t–6$\tau_{\overline{\mathrm{n}}\alpha}\mathrm{k}_{2}+\mathrm{r}\mathrm{k}_{3}$)$\rangle+$$2\mathrm{n}\alpha^{2}\mathrm{k}_{0}^{2}(3\mathrm{n}(\alpha^{2}+\mathrm{n}\delta)\mathrm{k}_{1}+9(-1+\mathrm{n})\mathrm{r}^{2}\mathrm{k}_{1}^{2}+\mathrm{r}(-8\sqrt{\mathrm{n}}\alpha \mathrm{k}_{2}+3\mathrm{r}\mathrm{k}_{3})\rangle)$

Collect$[\mathrm{t}, \mathrm{n}]$

1

.

-

.—..1..2$\frac{\mathrm{r}^{4}\mathrm{k}_{1}^{2}-4\mathrm{r}^{4}\mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{2}+\mathrm{r}^{\ell}\mathrm{k}_{3}}{\mathrm{n}^{5}}+$$\frac{12\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}^{3}+24\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{0}\mathrm{k}_{1}-0\frac{\mathrm{r}^{3}}{\mathrm{k}_{0}}\underline{\iota 2}\alpha \mathrm{x}\lrcorner-16\mathrm{r}^{3}\alpha \mathrm{k}_{2}+0\mathrm{r}\mathrm{r}_{\vec{\mathrm{k}}}^{3}\alpha \mathrm{k}}{\mathrm{n}^{9\prime 2}}$

プログラム 1-3. Mathematica による数式処理の例(つづき).

162
funclion(B $=10000$.

$\mathrm{n}=10$.

$\mathrm{h}=2$.

, alpha $=2$ , beta $=1$ sigma $=1$ )$\{$$\mathrm{w}<-\mathrm{N}\mathrm{U}\mathrm{L}\mathrm{L}$$\mathrm{d}\mathrm{e}.\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}<-$sigma$\mathrm{k}0<-\mathrm{h}$$\mathrm{r}\mathrm{h}_{0<}- \mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}+\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}/\mathrm{k}0$for(i in)

$1:\mathrm{B}$$\{$$\mathrm{x}<^{-}$$\mathrm{u}<^{-}$

rgamma(n,morm(n. 0. delta)$\mathrm{h}\mathrm{y}$$.\mathrm{v}<-\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}+\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}$$\mathrm{r}<-$’$\mathrm{x}+\mathrm{u}$sqrt(n) ’ (meanty)/meank)-$\mathrm{r}\mathrm{h}\mathrm{o}$)$\mathrm{w}<-\mathrm{c}(\mathrm{w}, \mathrm{r})$$\}$return(w)$\}$$>\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}$function(alpha $=2$ , beta $=1,$$\mathrm{n}=10$$\mathrm{r}=0,$

$\{$

delta

;gamma$<- \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}^{\wedge}2$.

$\mathrm{h}=2$, sigma $=1,$)$\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}=0$$<^{-}3*\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}^{\wedge}4$$\mathrm{k}0<- \mathrm{h};\mathrm{k}1<- \mathrm{h};\mathrm{k}2<-(\mathrm{h}+2)*(\mathrm{h}+1)*\mathrm{h}$$\mathrm{k}3<-\mathrm{h}^{\wedge}4+6*\mathrm{h}^{\wedge}3+11*\mathrm{h}^{\wedge}2+6*\mathrm{h}$$\mathrm{a}<-\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}+$( -k9J$1$)$\mathrm{k}0^{\wedge}3+(3{}^{t}\mathrm{k}1)l\mathrm{k}0^{\wedge}2$$\mathrm{b}<-3*(!\kappa 0+(3 ’ \mathrm{k}\mathrm{l}\rangle/\mathrm{k}0- \mathrm{k}2l\mathrm{k}0^{\wedge}2)$’$\mathrm{r}$$*\mathrm{a}1\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}^{\wedge}3$’$\mathrm{a}1\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}^{\wedge}2$$\mathrm{c}<- \mathrm{d}\mathrm{e}1\mathrm{t}\mathrm{a}+\mathrm{k}1/\mathrm{k}0^{\wedge}2*\mathrm{a}1\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}^{\wedge}2$$\mathrm{d}<-(2*\mathrm{k}\mathrm{l})/\mathrm{k}0*\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}*\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}$$\mathrm{e}<- \mathrm{k}1*\mathrm{r}^{\wedge}2$$\mathrm{g}<- 3*\mathrm{a}1\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}^{\wedge}4+\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}- 3*\mathrm{d}\mathrm{e}1\mathrm{t}\mathrm{a}^{\wedge}2+(6*\mathrm{a}1\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}^{\wedge}4*\mathrm{k}1)l\mathrm{k}0^{\wedge}2-(4*$$\mathrm{a}1\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}^{\wedge}4*\mathrm{k}2)/\mathrm{k}0^{\wedge}3+(\mathrm{a}1\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}^{\wedge}4*(- 3*\mathrm{k}1^{\wedge}2+\mathrm{k}3)\rangle/\mathrm{k}0^{\wedge}4$$\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{a}3<\cdot(1/\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{r}\mathrm{t}(\mathrm{c}))\bigwedge_{3}*((1/\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{t}\theta)*+(1/\mathrm{n})*(\mathrm{b}-(3/2*\mathrm{a}\mathrm{a}*\mathrm{d})/\mathrm{c}\rangle)$kappa4
kappa32$<- \mathrm{g}/(\mathrm{n}\mathrm{c}^{\wedge}2*)$$<- \mathrm{a}^{\wedge}2/(\mathrm{n}\mathrm{c}^{\wedge}3*)$$\mathrm{z}<-(\mathrm{k}0*\mathrm{r})/\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{r}\mathrm{t}(\mathrm{c}+\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{r}\mathrm{t}(1l\mathrm{n})*\mathrm{d}+(1/\mathrm{n})*\mathrm{e})$$\mathrm{p}<-\mathrm{p}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(\mathrm{z})-$dnorm(z) ”$(\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{a}3/6*(\mathrm{z}^{\wedge}2- 1)+\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{a}4f24*(\mathrm{z}^{\wedge}3- 3*\mathrm{z})$$+$$\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{a}32/72*(\mathrm{z}^{\wedge}5- 10**\mathrm{z}^{\wedge}3+15\mathrm{z}))$pnorm(z)return(p. )$\mathrm{p}\mathrm{n}<^{-}$$\mathrm{p}\mathrm{n}$$\}$$>\mathrm{P}1\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{F}$function(ml $=1,$ $\mathrm{m}2=10000$)$\{$par(mfrow)$=\mathrm{c}(2,\cdot).$$)$$\mathrm{y}<-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{q}(0.0001,1,0.0001)$

for(h in $\mathrm{c}(0.5.1,1.5,2)$ )$\mathrm{r}<^{-}$$\mathrm{r}<^{-}$$\mathrm{z}<-$$\#$ratio(hsort(r)$($$=\mathrm{h}\rangle$

pratio(r.

$=\mathrm{r}$for(n in $\mathrm{c}(10,15.20,25)$)$\mathrm{h}=\mathrm{h}$

)

$\#$

$\{$

$\mathrm{r}<-\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}(\mathrm{r})r<-\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}(\mathrm{n}=\mathrm{n}, \mathrm{h}=0.5)$$\#\#\#$$\mathrm{z}<-$$\mathrm{x}<-$.

pratio(n( z$p, z$pn)$=\mathrm{n},$$\mathrm{x}<-\mathrm{c}$$\mathrm{r}=\mathrm{r},$$\mathrm{h}=$$0.5$ )$\mathrm{v},$matrix(x. 10000, 3)

matplot(r[ml:m2],
title(xlab, ylab$\mathrm{x}[\mathrm{m}\mathrm{l}:\mathrm{m}2.1:3],$$=”\mathrm{r}’’$tyPe)$=\prime\prime 1’’$)$=”\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{i}1\mathrm{i}\mathrm{t}.\mathrm{v}’’$$’\backslash$$\}$

プログラム 2. 例 3.1 の$\hat{F}_{R}(r)$$\mathrm{S}$と $F_{R}(r)$ の近似値の計算および図を描くための-PLUS によるプログラ$\text{ム}$

.

163

PPGamna$[\mathrm{h}_{-}]:--\{$$\prec<\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{s}^{\backslash }$NormalDlstribution$j$ndist – NormalDistribution $[0, 1]$ ;$\mathrm{u}:--1$.64485 $t\mathrm{n};--10j\alpha:--2j\beta:--1$ } $Y:–3j\delta:--1$ } $\eta:--0j$$\mathrm{k}_{0}:--\mathrm{h}_{j}\mathrm{k}_{1}:--$

k3
a

;–

h7

$\mathrm{k}_{2}:--\{\mathrm{h}+2)(\mathrm{h}+1)\mathrm{h}_{j}$$\mathrm{h}^{\iota}+6\mathrm{h}^{3}+11\mathrm{h}^{2}+6\mathrm{h}j$$:– \delta+\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{k}_{\mathrm{Q}}^{2}}\alpha^{2}j\mathrm{b}[\mathrm{r}_{-}]:--2\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{k}_{\mathrm{Q}}}\mathrm{r}\alpha j\mathrm{c}[\mathrm{r}_{-}]:--\mathrm{k}_{1}\mathrm{P}^{2}j$$\mathrm{d}:--\eta+(1-\frac{\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{3}}+3\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{k}_{\mathrm{Q}}^{2}})\alpha^{3}\}\mathrm{e}[\mathrm{r}_{-}]:--3(\mathrm{k}_{0}+3\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{k}_{0}}-\frac{\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{2}})\mathrm{r}\alpha^{2}j$$\mathrm{f}[\mathrm{r}_{-}]:--3\alpha^{*}+\gamma-3\delta^{2}+6\mathrm{k}_{1}\mathrm{r}^{\mathrm{z}}\delta+6\frac{\mathrm{k}_{1}}{\mathrm{k}_{0}^{2}}\alpha^{4}-3\frac{\mathrm{k}_{1}^{2}}{\mathrm{k}_{\mathrm{O}}^{4}}\alpha^{4}+18\frac{\mathrm{k}_{1}^{2}}{\mathrm{k}_{0}^{2}}\mathrm{r}^{2}\alpha^{2}-4\frac{\mathrm{k}_{2}}{\mathrm{k}_{0}^{3}}\alpha^{*}+\frac{\mathrm{k}_{3}}{\mathrm{k}_{0}}$$\mathrm{f}_{\mathrm{O}}[\mathrm{r}_{-}]:\overline{-}\underline{\mathrm{k}_{o}\mathrm{r}}t\mathrm{f}_{1}[\mathrm{r}_{-}]:\overline{-}\mathrm{a}^{-\doteqdot}(\frac{\mathrm{l}}{\sqrt{\mathrm{n}}}\mathrm{d}$十$\frac{1}{\mathrm{n}}(\mathrm{e}[\mathrm{r}]-\frac{3}{2}\frac{\mathrm{b}[\mathrm{r}]\mathrm{d}}{\mathrm{a}})$$\sqrt{\mathrm{a}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}\mathrm{b}[\mathrm{r}]+\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{c}[\mathrm{r}]}$$\mathrm{f}_{2}$[rj$:– \frac{\mathrm{a}^{-2}}{\mathrm{n}}$(”$\mathrm{f}[\mathrm{r}]-3\mathrm{b}[\mathrm{r}]$2-6 a$\mathrm{c}[\mathrm{r}]$) ;$\mathrm{f}_{3}:--\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{n}\mathrm{a}^{3}}$;$g[ \mathrm{r}_{-}]:--\mathrm{f}_{0}[\mathrm{r}]-\mathrm{u}-\frac{\mathrm{f}_{1}[\mathrm{r}]}{6}(\mathrm{u}^{2}-1)-\frac{\mathrm{f}_{2}[\mathrm{r}]}{24}(\mathrm{u}^{3}-3\mathrm{u})-\frac{\mathrm{f}_{3}}{36}(-2\mathrm{u}^{3}+5\mathrm{u})j$$(’ g[\mathrm{r}_{-}]:--\mathrm{f}_{\mathrm{O}}[\mathrm{r}]-\mathrm{u}_{j} *)$FindRoot$[g[\mathrm{r}]----0, \langle \mathrm{r}, 0\rangle]$$)$$\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathfrak{n}\mathrm{r}\mathrm{a}[1]$$\{\mathrm{r}arrow 5.60528\}$

プログラム 3. 例 3.1 の上側 5 パーセント点の近似値を計算するためのMathematica によるプログラムと実行例.

..
$\alpha$

)

$t$

164

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$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.$