博 士 （ 理 学 ） 山 口 明 宏
学 位 論 文 題 名On the Mechani
sm of Spatial Bifurcations in t
he Open Flow System(Open flow systemにおける空間方向分岐現象の生成機構）

学位論文内容の要旨
複数 のカ 学系 を結合した結合写像系(Coupled Map)の研究が、近年贐んに 行われている。ここで、個々のカ学系の性質と結合写像系全体の性質とがどのように関係するのかが、興味のーっとなる。この ような結合写像系のひとっであるO
penFlowSystem(OFS)は、一方向に同一の一次元離散力学系（要素力学系）が鎖状に結合された系であり、「流体」のモデルとして金子によって導 入された。O
FSにおいて、層 流や乱流に似た振舞いが計算機実験によって観察されており 、時間方向、空間方向におけるOFSの振舞いがカオスや間欠性と関連付けられ研究されている。ここで空間方向とは、要素力学系の結合の方向である。その中でOFSに特徴的な振舞いとして空間方向分岐現象が 知られている。これは、結合された個々の要素力学系の運動周期が空間方向に一周期、ニ周期、四周期、八周期、、、と倍化していく現象であり、この周期倍化の過程において個々のカ学系が固有に持つ周期軌道への収束、倍周期への分岐が観 察される。これまで、この空間方向分岐現象は、OFSにおける定常解の空間方向の対流不 安定性などの概念で説明されてきたが、その具体的な生成機構は解っていなかった。ここで問題となるのは、安定な定常解が解析的に示され、空間方向に一旦は、その定常解に収束するにもかかわらず、その定常解が空間方向に不安定化し周期倍分岐が起きることであった。
本論では、計算機によ るカ学系の有限精度近似の立場からOFSを解析し、空間方向分岐の生成機構、および分岐 が生じる条件を得た。OFSの 定常解は、周期解位置の空間方向写像によって求めることができ、その解析により、要素力学系固有のn周期解ヘ空間方向に収束するn周期解の系列が定常解となる条件（収束条件）、そしてこの定常解が安定となる条件（安定条件）が得られる。この周期nの定常解は、安定であるにもかかわらず、2n周期ヘ分岐する場合がある。有限精 度で近似されたOFS
では系の 状態は離散化して表現されるため周期nの安定解の近傍に2n周期の擬周期解が存在する場 合があり、この擬周期軌道は倍周期の微少強制外カとしてOFSに作用する。この微少強制 外カのもとでの周期解位置の空間方向写像の解析によりOFSが、この周期解位置の微少なずれ（倍周期）を空間方向に増幅する作用を持つ条件（拡大条件）が得られる。これらの条件は、要素力学系固有の周期解に課せれるものであり、空間方 向に周期軌道の位置が、要素力学系のn周期解x＊に収束し、2n周期ヘ分岐するためには、エ＊が収束条件、安定条件、拡大条件を満たす必要がある。このため、一周期、二周期、四周期と、逐次的に各周期解への収束、および倍周期への分岐が生じるためにはそれぞれの周期においてこの必要条件がみたされなけれぱならない。これらの結果は、Logistic写像をァとしたO
FSにおいて検証され、本論における解析結果は、計算機実験における空間方向分岐とよく一致する。
以 上 、 本 論 に お い て OFSに お け る 空 間 方 向 分 岐 の 生 成 機 構 を 解 明 し た 。
― 47ー学位論文審査の要旨
主査
副査
副査
副査

教授 津教授 辻教授 西助教授松田一 郎
下 徹
浦廉 政
本健 司

学 位論 文 題名
Onthe Mechanism of Spatial Bifurcations in the Open Flow System(Open flowsystemに お け る空 間 方向 分 岐 現象 の生 成機構）

本 論 文 はカ オ ス 結合 系 の中 で も 特に 一 方向 性 の 結合 を もつ openflow systemの 空間方向 での分岐 を扱って いる。カ オス結合 系とはカ オスカ学系が多数結合した系であり、高次元 のカオス カ学系を 研究する ための有 用な数理 モデルであるとして広く認識されている。
さ らには、 カオスカ 学系とし て離散力 学系を選 ぴ、問題に応じて結合の仕方を変えることで 、流体乱 流などの 高次元の舌L雑運動を簡便にシミュレートすることができるので、自由度 の高い系 の研究の 構成論的 な道具立 てともみ なされている。特に後者においては、ナピエ ストーク ス方程式 のような 既存の現 象論的方 程式とは論理的に独立であるはずのカオス結 合系が、 流体乱流 に類似の 現象を計 算機内で 生成することは、自然現象の理解一般に大き な反省を もたらし ている。
十 年 程 前に openflowsystemに おい て 、 空間 方 向へ の 周 期倍 分 岐が 計 算 機実 験 によって 見いださ れた。し かし、空 間方向は カ学系の パラメーターではないので、これをカ学系の 分岐現象 とみなす ことはで きない。 いくっか の解析が試みられたが、いずれも現象の本質 か らは遠 く、不完全なものであり、 真の理解が待たれていた。．
申 請 者 は、 こ の 現象 が 計算機の 演算の過 程で微視 的なレベ ルに生成さ れるカ学 系によって 引きおこ されたも のである ことを、 各周期解 近傍の線形解析と二進表現による計算機実験 によって 示すこと でその機 構を解明 した。申 請者は計算機実験の分岐の様子を詳しく分析 し 、 open flowsystemの計算 機実験に おいては 一般的に 、不動点 が安定で あるべきカ学 要素に固 有の不動 点の近傍 に計算機 の演算に よってすでに擬の二周期軌道が生成されてい ることを 発見した 。この発 見はニつ の過程に よってなされた。まず、二進表現による計算 機実験に より事実 として擬 軌道が存 在するこ とを確認したこと。次に、無限精度の解析に おいては 不動点へ と収束す る安定多 様体のみ が存在するが、有限精度の解析ではその不動 点がサド ルになり 不安定多 様体が生 成される ことを解析的に求めたことである。さらに、 一 般 のn周期 軌 道の 近 傍 での 線 形 解析 を 行な う こ とで 、 真の n周 期 軌 道へ の 収束 、擬の 2n周期 軌 道 への 分 離が どのよう にして起 りうるか を調べ、 空間分岐の 三条件を 導出した 。三 条 件 とは 、 各周 期 解 の線 形 安定 性条件、 各周期解 の空間方 向への収 束条件、n周 期が2n周期 へと不安 定化する ための発 散条件であ る。
さ らに 申 請 者は 、 この 三 条 件が 空 間分 岐 の ため の 必要 条 件 であ る ことを確 認するため に、 精密 な計 算機実験 を行なった 。要素力 学系の非 線形パラ メーター と結合強 度とで張ら れる 2次 元パ ラ メー タ ー 空間 の 250、000点のそれ ぞれにお いて計算 機実験を 行ない空 間分岐の 最大 周期 を求め、 これと理論 的な条件 から求め た最大周 期とを比 較し、前 者が後者よ り全ての 点で等し いか小さ いことを 確認した。
本 研究 は こ こ十 年 来懸 案 で あっ た 高次 元 力 学系 の 重要 な 問 題の ー っを解決 しただけで な
く 、計 算機 による演 算をカ学系 とみなす ことを正 当化した ものとし ても高く 評価できる 。
従 来、 計算 機実験に おいては丸 め誤差を 小さくす ることで 近似がな りたつ、 と考えられ て
き たが 、申 請者の研 究により、 無限小の 誤差でさ え、力学 系の位相 的構造を 変化させる 、す なわ ち計 算を行な うこと自体 が新たな カ学系を 追加する ことであ るとぃう 点が明確に なっ たの であ る。いい かえれば、 構造安定 であるカ 学系が計 算機実験 によって 構造不安定 にな る機 構が 明確にな ったといえ る。また 、計算の 微視的な 過程が数 理的に抽 出されてい るの で、 生命 現象の微 視的過程と 巨視的過 程の相互 作用を議 論する手 がかりを も与えてい ると考え ることが できる。
以 上の よ う に、 本 申請 論 文 は、 openflowsystemに おい て 、計 算 機実験に よって見 いだ
されて いる空問 分岐現象 が計算機 の演算の過程で微視的なレベルに生成されるカ学系によって 引き おこ されたも のであるこ とを詳細 に解析し 、空間分 岐の条件 を求めた ものであり 、最 近十 年の 未解決問 題を解決し 、計算機 科学とカ 学系の両 分野を関 連付けた 点で、応用 数学に貢 献すると ころ大な るものが ある。
よ っ て 著 者 は 、 北 海 道 大 学 博 士 （ 理 学 ） の 学位 を 授与 さ れ る資 格 ある も の と認 め る。