物 理 工 学 専 攻
入 学 試 験 問 題
物 理 学（４問出題，４問解答）

２０２１年８月３１日（火）９：００～１３：００

注意事項
１．試験開始の合図まで，この問題冊子を開かないこと。
２．本冊子に落丁，乱丁，印刷不鮮明の箇所などがあった場合には申し出ること。
３．出題された４問とも解答すること。
４．答案用紙が４枚渡されるから，１題ごとに必ず１枚の答案用紙を使用すること。止むを得ぬときは答案用紙の裏面を使用してもよい。
５．答案用紙上方の指定された箇所に，その用紙で解答する問題番号を忘れずに記入すること。
６．下書用紙は本冊子から切り離さないこと。
７．解答に関係のない記号，符号などを記入した答案は無効とする。
８．答案用紙および問題冊子は持ち帰らないこと。

受験番号№上欄に受験番号を記入すること。

第2問
質点とバネが交互に並んだ 1 次元系を考えよう。バネの自然長を a、バネ定数を k とする。はじめ質点は x = na（n は整数）の位置にあるとし、x = na にある質点を n 番目の質点と呼ぶことにする。
時刻 t における n 番目の質点の x = na からの変位を xn (t) と書く。以下では i を虚数単位とする。次の問いに答えよ。

[1] まず、全ての質点の質量は m であるとする（図 1）。また、質点とバネは十分多く並んでおり、端の影響は無視できるものとする。
[1.1] n 番目の質点の運動方程式を書き下せ。
[1.2] xn (t) = eiqn cq (t)（0 ≤ q < 2π ）とおいて [1.1] の運動方程式に代入し、cq (t) が満たす微分方程式を求めよ。ただし、実際の変位に対応するのは xn (t) の実部である。
[1.3] 0 < q < 2π のとき、[1.2] の微分方程式の一般解は e+iωq t と e−iωq t の線型結合で表される。
この ωq を m, k, q を用いて表せ。ただし ωq > 0 とする。
[1.4] q = 0 のとき、[1.2] の微分方程式の一般解を求めよ。
[2] いま、[1] の系の 0 番目の質点の質量を M に変更したとしよう（図 2）。他の質点の質量やバネ定数は変更しないものとする。 x < 0 から xn (t) = eiqn−iωq t（0 < q < π ）の振動が入射する状況を考える。透過振幅 Tq および反射振幅 Rq を求めるために、運動方程式の解としてeiqn−iωq t + R e−iqn−iωq t (n ≤ −1)
qxn (t) =(1)Tq eiqn−iωq t(n ≥ 0)という形を仮定する。Tq および Rq は一般に複素数となることに注意せよ。

[2.1] それぞれの質点の運動方程式を書き下せ。特に 0 番目の質点の取り扱いに注意すること。
[2.2] [2.1] の運動方程式のうち n ≤ −2 あるいは n ≥ +1 のものに (1) 式を代入し、M ̸= m である場合にも [1.3] で求めた ωq の表式がそのまま成り立つことを示せ。
[2.3] [2.2] の結果を踏まえて、[2.1] の運動方程式のうち n = 0 および n = −1 のものに (1) 式を代入し、 Tq と Rq についての連立方程式を求めよ。
[2.4] [2.3] の連立方程式を用いて、Rq = Tq − 1 が成り立つことを示せ。さらに、透過振幅 Tq をM , m, q を用いて表せ。
[2.5] [2.4] の解に M = m および M = +∞ を代入し、結果を解釈せよ。
[3] 次に、[2] の系に周期境界条件を課してみよう（図 3）。質点およびバネの数はそれぞれ全部で L個とする。L を偶数とし、n = L/2 番目の質点は n = −(L/2) + 1 番目の質点とバネで連結されているものとする。この系の基準振動を求めるために、x < 0 だけでなく x > 0 から入射する振動を同時に考慮しA eiqn−iωq t + B e−iqn−iωq t (n ≤ −1)qq(2)xn (t) =Cq eiqn−iωq t + Dq e−iqn−iωq t (n ≥ 0)という形を仮定する。ただし 0 < q < π とする。このとき線形性と x = 0 に関する反転対称性により、[2] の結果から)(( )( )
Tq Rq
AqCq
(3), Sq == Sq
Rq T qDqBqという関係が成立することがわかる。

[3.1] 周期境界条件は Aq = Cq eiqL , Bq = Dq e−iqL を意味する。これと (3) 式が両立するという条件から、この系において許される q の値を決定する方程式を求めよ。
[3.2] M = m の場合に、許される q の値を L を用いて表せ。また、対応する固有振動数 ωq を求めよ。
[3.3] M = 2m の場合に、許される q の値を L を用いて表せ。また、対応する固有振動数 ωq を求めよ。0 < q < π の条件に注意して、式 (2) の形の基準振動の総数を求めよ。これが L個よりも少ない場合、残りの固有モードはどのようなものか。
[3.4] M → ∞ の場合について、[3.3] と同様の考察をせよ。

図1

図2

図3

第3問
A、B 二種類の原子からなる二元合金について考えよう。N 個の格子点があり、各格子点は A 原子または B 原子のいずれか一つによって占有されている（図 a 参照）。A 原子の数は NA 個、B 原子の数は NB 個であり、N = NA + NB である。ここで NA ≫ 1、NB ≫ 1 とする。異なる種類の原子が占める最隣接サイト対の数が NAB であるとき、系の内部エネルギーはE = NAB V(1)で与えられるものとする (ただし V > 0)。全ての格子点において最隣接原子の数（配位数）は同じで、z であるとする。
まず、一様な合金 (図 b) について考えよう。このとき、NA = xN , NB = (1 − x)N と書こう
(0 < x < 1)。x は合金の組成比を決めるパラメータである。ボルツマン定数を kB として、以下の問いに答えよ。

[1] A 原子のいる一つのサイトに着目すると z 個の最隣接サイトが存在する。さらに A 原子の最隣接サイトに B 原子のいる確率は NB /N で近似できるものとする。この近似のもとで、NAB をz, N, x を用いて書きあらわせ。また、合金の内部エネルギー E を z, N, x, V を用いて書きあらわせ。
[2] 合金のエントロピー S は原子配置のみによって決まるものとしたとき、S を kB , N, x を用いて書きあらわせ。ただし、N ≫ 1 に対する Stirling の公式 log N ! ≃ N log N − N を用いよ。
[3] 温度 T におけるヘルムホルツの自由エネルギー F を求めよ。
次に様々な組成比の合金を考えよう。このために、x を変数として取り扱う。与えれられた x に対応する一様な合金相 (図 b) における 1 サイトあたりの平均的な自由エネルギーを f (x) = F/N とする。温度 T を固定すると、f (x) は組成パラメータ x の関数と考えることができる。関数 f (x) の性質について考えてみよう。

f (x) が極値をとる x の満たすべき方程式はzV(2x − 1) = g(x)kB T(2)の形に整理できる。この方程式は x = 21 を解として持つが、T < Tc0 ではそれ以外の解も存在する。
そのような解は x = 21 ± δ0 (ただし δ0 > 0) と書くことができる。また、T ≤ Tc0 においては、f (x)に変曲点 (f ′′ (x) = 0 の解) が存在し、x = 21 ± δ1 (ただし δ1 > 0) と書くことができる。

[4] g(x) を求めよ。
[5] 温度 Tc0 においては、式 (2) の両辺の x = 21 における傾きが一致する。Tc0 を求めよ。
[6] y = g(x) と y = kzV(2x − 1) のグラフを、T > Tc0 および T < Tc0 それぞれの場合について図BT示せよ。
[7] δ1 を求めよ。
[8] T < Tc0 の場合に f (x) を x の関数として概形を示せ。その際、x = 12 ± δ0 および x = 12 ± δ1の位置を示せ。

[9] δ0 および δ1 をそれぞれ温度 T の関数とみなしたとき、曲線 x = 12 ± δ0 (T ) および曲線 x =12 ± δ1 (T ) の概形を、[7] および [8] を考慮して図示せよ。ただし x を横軸、T を縦軸とせよ。
次に合金の相分離について考察しよう。このためには一様な合金相の安定性を考えればよい。x = x0の一様な合金 M0(図 b) が、x = x1 の一様な合金 M1 と x = x2 の一様な合金 M2 に s : (1 − s) の比率で相分離する (図 c) ことを考える。このとき x1 < x2 であるとすると、x1 < x0 < x2 となる。相分離した合金の１サイトあたりの平均的な自由エネルギーを f ∗ とする。x = x0 の一様な合金相がエネルギー的に安定になるためにはf (x0 ) < f ∗(3)を満たす必要がある。

[10] M0 中の A 原子の数と、M1 および M2 中の A 原子の数の和が等しいことから、s を x0 , x1 , x2を用いて表せ。
[11] f ∗ を x0 , x1 , x2 と関数 f (x) を用いて表せ。
[12] 十分小さな x のゆらぎに対して一様な合金相が安定であるためには、十分小さな δ に対して、
x1 = x0 − δ, x2 = x0 + δ としたときに式 (3) が満たされればよい。x = x0 の一様な合金相が x2> 0 であることを示せ。の小さなゆらぎに対して安定な状態として存在できる条件は ∂∂xf2x=x0[13] T および x を変えると、(I) 一様な合金が最安定な領域、(II) 一様な合金が最安定ではないが xの小さなゆらぎに対しては安定（すなわち準安定）な領域、および (III) 一様な合金が x の小さなゆらぎに対して不安定であり相分離する領域が現れる。[9] で得られた図においてこの３つの領域 I, II, III がどこに対応するか示せ。

図：２元合金の概念図。(a) 正方格子の場合の A、B 原子の配置。
(b) 一様な合金相、および (c) 相分離した合金の概念図。

第4問
電磁波に対する誘電体の応答について、以下の問いに答えよ。ϵ0 は真空の誘電率、i は虚数単位とする。

[1] まず、電磁波と原子の相互作用を考える。原子は、空間的に固定された原子核と、それに束縛された質量 m、電荷 −q (m, q > 0) の電子一つで構成され、空間的に一様で角振動数 ω の電場
E(t) = E0 exp(−iωt) (ω > 0) を受けるとする。このとき電子は、電場 E(t) から受ける力、平dx(t)衡位置からの変位 x(t) に応じた復元力 −mω02 x(t)、速度に応じた減衰力 −mγの３つのdt力を受けるとする (ω0 , γ > 0)。なお、電子の変位や電場を複素数で表現するが、それぞれの物理量はその実部に対応する。
[1.1] 電子の変位 x(t) が満たす運動方程式を求めよ。
[1.2] [1.1] の運動方程式の解として x(t) = x0 exp(−iωt) の形を仮定する。x0 を求めよ。
[1.3] 上記の原子を単位体積当たり N 個含む誘電体を考える。この誘電体に誘起される分極は、P (t) = −N qx(t) と表せる。分極を P (t) = P0 exp(−iωt) と表したとき、複素感受率 χ は
P0 = ϵ0 χE0 によって定義される。χ = χR + iχI (χR , χI は実数) とするとき、χR , χI をそれぞれ求めよ。
[1.4] χR を ω の関数としてその概形を図示せよ。その際、γ ≪ ω0 を仮定せよ。ただし、χR の極値は計算しなくてよい。
[2] 図 1 で示すように、z ≤ 0 は [1] の誘電体で満たされ、z > 0 は真空である場合を考える。この誘電体に対し、ω0 よりも高い角振動数 ω を持つ電磁波を照射する場合を考えよう。以下では、感受率 χ は −1 < χR < 0 かつ χI = 0 のある定数と近似して扱い、位置 r での電場 E(r, t) に対して、分極を P (r, t) = ϵ0 χE(r, t)（ただし、真空中では χ = 0）と表す。また、誘電体の透磁率は真空の透磁率 µ0 と同じであり、誘電体内部とその境界には、真電荷も真電流も存在しないとする。
以下では真空中から z = 0 平面に入射角 θ0 (0 < θ0 < π2 ) で平面波を入射する場合を考える。
図 1 は電磁波が誘電体中に透過する場合に対応する。真空中の入射波、反射波それぞれの電場
E0 (r, t)、Em (r, t)、および誘電体中の電場 Et (r, t) は

E0 (r, t) = E0 ey exp{i(K0 · r − ωt)}
Em (r, t) = Em ey exp{i(Km · r − ωt)}
Et (r, t) = Et ey exp{i(Kt · r − ωt)}で与えられる。ここで波数ベクトル K0 , Km , Kt は

K0 = (k sin θ0 , 0, −k cos θ0 ),Km = (Kmx , 0, Kmz ),Kt = (Ktx , 0, Ktz )と表されるものとする。ただし、ey は y 正方向の単位ベクトル、k は正の実数、E0 , Em , Et は一般に複素数である。この系におけるマクスウェル方程式は、∇ · (ϵ0 E(r, t) + P (r, t)) = 0(1)∂B(r, t)∂t(2)∇ × E(r, t) = −1∂∇ × B(r, t) = (ϵ0 E(r, t) + P (r, t))µ0∂t(3)∇ · B(r, t) = 0(4)と表される。ただし、B(r, t) は磁束密度である。

図1[2.1] 境界 z = 0 における、電場の y 成分についての連続性の条件を、E0 exp (iK0 · r),Em exp (iKm · r), Et exp (iKt · r) の関係式として表せ。この条件は、例えば式 (2) の両辺を、(x, y ± ∆y, ±∆z) (ただし 0 < ∆z ≪ ∆y) を頂点とする微小長方形で面積分することによって導かれる。
[2.2] [2.1] の結果から、Kmx , Ktx のそれぞれを k, θ0 を用いて表せ。
[2.3] E0 (r, t)、Em (r, t) に対する真空中での波動方程式と、Et (r, t) に対する誘電体中での波
2 +K 2 , K 2 +K 2 をそれぞれ ϵ , µ , ω, χ を用動方程式をそれぞれ求めよ。さらに、k 2 , Kmx0 0mz
txtz
いて表せ。ただし、ベクトル解析の公式 ∇ × (∇ × C (r, t)) = ∇ (∇ · C (r, t)) − ∇2 C (r, t)を用いてよい。
[2.4] [2.2] と [2.3] の結果を使い、Kmz を k, θ0 を用いて表せ。
[2.5] ある角度 θc より大きな入射角では Ktz が純虚数となり、そのとき誘電体中の電場 Et (r, t)が z の負方向に減衰する。このとき、入射したエネルギーはすべて反射される。この現象は全反射と呼ばれる。[2.2] と [2.3] の結果を用いることにより θc を求めよ。また、θ0 > θcおよび θ0 < θc のそれぞれの場合について Ktz を k, θ0 , χ を用いて表せ。
[2.6] 入射角 θ0 が [2.5] の θc より大きい場合を考える。誘電体内で電場振幅が z = 0 での値の1/e (e は自然対数の底) になる z の絶対値 z0 を k, θ0 , χ を用いて表せ。また、z0 を cos2 θ0の関数として図示せよ。