博士（文学）須長一幸
学 位 論 文 題 名フレーゲ算術と ヒュームの原理
学 位論文内容の要旨

ゴットロープ・フレーゲが、『算術の基礎』においてヒュームの原理を基数の定義として採用することを拒否したのは、それが「シーザー問題」として知られる困難を解決で きないか らであ った。ヒュームの原理は、通常「概念Fに帰属する数と概念Gに帰属 する数が 同一で あるのは 、概念Fと概 念Gが 同数的で あると き、かっ そのときに限る」と表現される命題である。ヒュームの原理を用いると、例えばそこに数2が帰属する概念（〜は火星の衛星である）と、そこに数1が帰属する概念（〜はアメリカの大統領である）とでは、そのメンバーの間に一対一対応が成立しないので、命題「火星の衛星の数＝アメリカの大統領の数」は偽であることを説明できる。しかしこの種の説明が可能なのは、同一性命題に出現する名辞が「〜の数」という形式をもつている場合だけに限られており、同一性命題に「〜の数」という形式を持たない任意の名辞が出現するような場合には、もはやその命題に真理値を割り振ることはできない。っまり、「ジュリアス・シーザー＝火星の衛星の数」といった命題に対し、ヒュームの原理から与えられる基数概念だけからでは、そこに一意的な真理値を与えることができないのである。しかし定義は、もしそれが充分によくできたものであれぱ、定義されるものに対して我々が持つ直観をサポートする筈である。そして、．実際にはいかなる数もシーザーではないという直観を我々が自明なものとして持っている以上、ヒュームの原理は少なくとも基数に対して我々が持つ直観を充分に反映したものだとは言えなぃ。ヒュームの原理が表現する基数概念は、我々の基数への直観に比して何かを欠いているがゆえに、定義として採用できない。以上が、『基礎』におけるシーザー問題である。
このシ←ザー問題は、『基礎』において値結局解決されないままであるそこで本論文
では、以下のニつの問いに答えることを課題とした。一っは、なぜフレーゲは『基礎』においてシーザー問題に頭を悩ませたのか、という問いであり、もうーっは、『基本法則』では、それと同種の問題が生ずるにもかかわらず、そしてそれにフレーゲ自身が気づいていたにもかかわらず、なぜその問題に正面から取り組んではいないのか、という問いである。本論文ではこれらの問いに対する検討を通じてシーザー問題の行方を探った。
本論文のねらいは、数学に関する構造主義、特にシャピロの提唱する構造主義の批判的検討を通じて、フレーゲ算術に対する哲学的な評価を行うことにある。シャピロ

の構造主義は、抽象的存在者としての数の存在を積極的に主張するフレーゲの数学的実在論と親和性があり、この点が非常に特徴的である。しかも、フレーゲが論理主義のプログラムを推進してゆくうえで直面した困難のひとっである「シーザー問題」に対して、これをうまく回避するための説明を与えながらも、基本的な思考の枠組みや道具立てについては、フレーゲの遺産のいくっかを有効な形でそのまま活用することができる。そこで本論文では、まずフレーゲの数学の哲学との関わりの中で構造主義が議論の俎上にのばる背景を紹介し、続いてシャピロの構造主義の特徴を明らかにした。そして、それがシーザー問題をどう回避するのか確認した上で、構造主義のうえで は フ レ ー ゲ 算 術 に ど の よ う な 評 価 が 与 え ら れ る こ と に なる のか を論 じた 。
さて、フレーゲは『算術の基礎』において、ヒュームの原理は基数の定義としては不十分なものであるとしてこれを退けている。これはっまり、ヒュームの原理を介してわれわれが到達しうるような基数概念は、算術を理解するうえで必要な基数概念とするには看過できない不足がある、とフレーゲが考えていたからに他ならなぃ。しかし、二階の論理の諸公理と、唯一の非論理的公理としてヒュームの原理からなるいわ
ゆる「フレーゲ算術」は、フレーゲ自身によって一旦は放棄されたヒュームの原理をその体系における中心的な位置へと引き戻してしまう。ここにある種の緊張がある。
少なくともわれわれは、こうした操作に対する正当化を与える必要があるだろう。ヒ
ユームの原理から得られる基数概念が、いったいどんな点で不十分であると考えられたのか、そしてそれが不十分であるとしたら、不足分をいかに補うか、あるいはそもそもそれは補われる必要があるのかどうか。これらの問いに対して、回答を用意しなけれぱならない。そして、シャピロの提唱する構造主義は、このいずれにっいても説得カ のある 説明 を与 える こと が可 能で あるとの結論が本論文で得られた。

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学位論文審査の要旨
主 査 教 授 中 戸 川 孝 治
副 査 教 授 山田 友 幸
副 査 教 授 小野 芳 彦

学 位 論 文 題 名フレーゲ算術とヒュームの原理
論文審査委員は、以下の経過及び内容で論文審査を行った。
第 1回 （ 平 成 15年 4月 14日 ）申 請論 文を 審査委 員に 配布 、日 程調整 。

第2回 （平 成15年5月28日） 論 文内 容の 審査 、問題点 の検討。口述試験に先立ち、質問する機会を設けることにした。
第3回 （平 成15年6月13日） 提 出論 文に つい て、直接 質問。関連分野の基礎理解の程度が的確であること、および、論文の議論の構成と重点の置き方について確認された。
第 4回 （ 平 成 15年 6月 23日 ） 口 述 試 験 に お い て 質 問 す べ き こ と を 整 理 し た 。
第5回 （平 成15年6月30日） 口 述試 験の 質問 事項の再 検討と整理、評価基準の検討。
第6回 （平 成15年7月14日） 申 請者 の口 述試 験を実施 し、口述試験の内容を検討し、
学 位 授 与 の 可 否 を 判 定 、 そ の 後 、 教 授 会 報 告資 料 最 終 案 を 決 定 し た 。
本論文は以下の4章から構成されており、各章の構成、内容、理論的妥当性にっいても各審査委員による詳細な検討、審議がおこなわれた。
第1章では、フレーゲの論理主義とは何か、論理主義のために用意された概念装置にはどのようなものがあったか、どのような世界観、存在論が念頭に置かれていたか、説明される。さらに、『算術の基礎』において直面した「シーザー問題」が、どのような理由から発生したのかを明確にし、新たな形態で論理主義を引き継ごうとするならば、フレーゲの概念装置のどの部分を継承ま たは放棄しなけれぱならなぃか、論述がなされる。第2章では、ヒュームの原理からペアノの諸公理を導出する（フレーゲの定理）際にヒュームの原理がどのように機能するか、ブーロスの議論を手がかりに考察する。加えて、フレーゲの定理に用いられる第2階の論理に関して論理主義者に向けられる批判、っまり「第二階の論理は実際には論理というよ り数学なのであって、仮に第2階の論理に算術を還元したところで、論理主義が本来持っはずの認識論的な優位性は獲得できなぃ」という批判に対するネオロジシス卜の側からの 回答についても、議論がなされる。第3章では、ヒュームの一 3

原 理を論理的な真理として確保しうるかどうか、模索される。結果的に、ヒュームの原理を 通常の意味での「論理的真理」と見なすことが困難であること、ヒュームの原理がある意 味において原初的な真理であることを、維持するならぱ、論理主義と接合しうる別種の立場を見いだす必要があることが示される。さらに、ライトやI．ラムフイツ卜による論理主義の特徴付けのなかに、構造主義的な存在観があること、構造主義による算術の理解が、「算術 的語彙の指示が一意に定まらない」という論理主義の困難を克服する可能性があることが示される。第4章では、S．シャピロの提唱する構造主義を議論の軸に据え、彼の立場がフレ ーゲの論理主義と親和性が高いことが確認され、シーザー問題を解消する論証が提示される。
フレーゲ算術の哲学的基礎を探求する本論文において、第1に指摘すべきは、シーザー
問 題を手がかりに考察を行っている点である。これにより、フレーゲ算術と言語の哲学・
意 味論との関連が、従来の研究ではかならずしも明確でなかった程度にまで解明する方法論 上の新たな視点が提示された意義は少なからず評価されねぱならない。第2の成果として 挙げるべきは、ベアノの公理を導くヒュームの原理は数名辞を含んでおり、その限りにお いてシーザー問題の影響を受けるとの指摘である。ヒューム原理からペアノの公理を導く ことの意義が、記号論理・数理論理上の意義にとどまらず、意味論的な領域にまで及ぶこ とが示されたことにより、論理主義の基礎をヒュームの原理を介して意味論的に問う途が ひらかれたことになる。第3には、クリスピン・ライト、ボブ・ヘイルを中心とする一群のネオロジシスト・グループ内の論争、およびそれへの反論という錯綜した研究状況を、論 理的背景を見失うことなく解明したことである。この部分は、今後この研究領域ヘ新規に 参入するものにとって、有益な研究成果になると確信させるに十分な完成度をしめしてい る。第4には、ネオロジシス トの議論が内包する難点の克服に構造主義が有効であること を示したことである。ヒュームの原理を介して算術を基礎づけるときには、数名辞の指示 を固定できなぃことになり、ここに構造主義が有効に機能しうる余地が生じる。本論文
で は構造主義が論理主義と親和的であることが示されており、構造主義によるシーザー問題 の解決とともに本論文の重要な成果である。本論文で得られた成果は、英語圏を中心とす るネオロジシス卜研究の最先端に到達する水準を示すだけにとどまらず、一部ではそれを凌駕するものといえる。
以上の審査結果から、本審査委員会は全員一致で本論文を博士（文学）に相応しいものと認定した。

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