リスクに基づくポートフォリオ・マネジメントの簡便法－太陽光発電事業を例として －藤木
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修 1・森本晃弘 2

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アセットにおけるリスク事象の発生がポアソン過程とみなされる場合の将来損失の現在価値の総和の確率分布を計算する手法を提案した．このような確率分布は，一定の条件についてすでに厳密解が求められている．平均と分散を厳密解と一致させたガンマ分布を厳密解と比較し，ガンマ分布による近似が十分な実用性を有することを確認した．そこで，アセットのリスクプロフィールを利用して，アセットポートフ
ォリオの将来損失の確率分布をガンマ分布で近似する．ポートフォリオのリスク評価指標として，信頼水
準 90％の期待最大損失 VaR の当初資産価値に対する比率を用いることができる．３つの仮想の太陽光発電所を対象として，アセットポートフォリオ・マネジメントに上記の方法を適用するためのケーススタディを行った．
キーワード：アセットポートフォリオ，リスクプロフィール，確率密度，ガンマ分布，期待最大損失

1. はじめに第 1回研究発表会で発表したものと同一のものである 1),2)．
そこでは，リスク事象が定常ポアソン過程にしたがって様々な特性を有する複数のアセットのマネジメントでランダムに発生するとみなされ，しかも１回のリスク事は，アセットポートフォリオとしての総括的なリスク，象によって発生する損失額が一定である場合を扱った．
対象とするリスク事象は，一定の平均頻度 λ でランダムコスト，パフォーマンスのバランスを検討する必要がある．太陽光発電所のような施設では，リスクは災害や故障に伴う逸失利益及び補修費（これを「損失額」といに発生すると仮定する．この場合，期間Ｔの間に発生する災害の回数nは，平均 λTのポアソン分布にしたがう．

う．），コストは施設の資本費と保全管理費，パフォー

1回のリスク事象ごとに，一定の損害額Ｉ0が発生するもマンスは事業収益と捉えると分かり易い．この場合の最のとする．将来価値の社会的割引率を α とすると，損失額の現在価値の総和 I は，図-1 のように表される．

適化は，ポートフォリオの総括的な純益と損失額との最適バランスの問題に帰着する．純益と比較して損失額は不確かさが大きく，特に災害のような発生頻度は小さいが起きると甚大な規模に達する損失額の取り扱いが重要である．本稿では，リスク事象の発生がポアソン過程と(1)みなされる場合の将来損失の現在価値の総和を計算することによって，ポートフォリオの最適化を図る手法について論じる．

2. モデルの概要(1) 1 種類のリスク事象の場合
ここで使用する基本モデルは，著者の 1人が 2017年の- 25 -図-1 損失額の現在価値の総和

損失額の値を相対的に表すため，次のように定義される変数 x を導入する．

く．ポートフォリオのリスクを論じる場合，N 種類のリIxI0

よって種類分けされる．いま求めたいのは，次の式(6)(2)

スク事象は，リスクのタイプと個々のアセットの両方にで表される損失額の現在価値の総和 x の確率分布である．

x は，アセットの保有期間［0，∞）に発生する当該リx  I1  I 2    I N

スク事象に係る相対的な損失額の現在価値の総額といえる．この場合，変数 x の確率分布の厳密解は，次のように解析的に導出される 1),2)．

x  I1  I 2    I N(6)式(3)と同様の方法によって， x の確率密度関数 f x は次のとおり解析的に導出される 1),2)．

f ( x)

exp  Ci (u )   1 r
 cos   Si (u )  xu du 0r
ru(3)

f x1 Nexp k Ci  I k u    Nr
1  k 1
 cos  1  Si I u  xu  duk  kkN 0 r k 1
 I u rここに

 : Euler の定数，   0.57721566490 u sin 
積分正弦関数 : Si (u ) 0  d cos
積分余弦関数 : Ci (u )  u  dtk k 1(7)また，平均値μと分散 2 は，次のように表される．
N   k Ik(8)k 1 r式(3)から，x の確率分布はλ/r のみによって決まることがわかる．式(3)を数値的に積分すると，図-2 のような確2 率密度曲線が得られる．

1 N k 2Ik2 k 1 r(9)

3. ガンマ分布による近似
式(3)又は式(7)を数値的に積分すれば，それぞれ x， xの確率密度曲線が得られる．しかし，数値積分は面倒で手間がかかるため，この分布をガンマ分布で近似することを検討する．ガンマ分布の確率密度関数は次の式(10)のように表される．

f ( x) 
図-2 相対的な損失額の現在価値の総額 x の確率密度曲線

   1  xx e(0<x<)(  )

平均，分散は次のとおりである．

式(1)で定義される損失額 I の平均値μと分散  は，次2


(11)

2 
2(12)のように導出される．

r 2I02r(4)I 02(10)(5)

式(8)，式(9)をそれぞれ式(11)，式(12)と比較すると，次の関係式が得られる．

(2) 複数種類のリスク事象の場合

N対象とする N 種類のリスク事象 Fk ( k  1～N ) に係る損失額の現在価値の総和を I k ，平均発生頻度を k とお 22k 1Nr

kIkrIk 1- 26 -k(13)2k N 
2   k Ik r      k 1NkrIk 1

ることは難しいが，特に高リスクのテールの部分につい2ては実用的に十分な精度と考えられる．
(14)

4. 太陽光発電所への適用

2k

式(13)，式(14)の関係を式(2)で定義される x に適用すると， (1) 損失が収益構造に及ぼす影響
鉄道施設の維持管理・更新では，鉄道施設の資産評価
値 P として，次式(17)の方法が示されている 3)．

次の関係が得られる．

 2 2(15)r(16)(17)

これを式(10)に代入して，図-2 で示した幾つかの厳密解の確率密度曲線をガンマ分布の確率密度曲線で近似する． ここで，B ：駅間便益（円/年）両者を比較したのが，図-3 である．

ρ：社会的割引率
T(x) ：残余耐用年数；点検判定に応じた残りの耐用年数．
ここでは「今後無補修で通常運行に支障をきたさないと予想される年数」と定義し，「通常運行下で使用限界に達するまでの残り年数」で表すものとする．
p ：異常ケース下における損失発生確率
q ：異常ケース下における損失が発生した場合の（平均的）損失額
本稿で用いてきたパラメータλ，I，r は，それぞれ式(17)の p，q ，にほかならない．
第 1 項は将来期待される収益を表しており，第 2 項は式(17)の異常が発生した場合の損害額を表している．大事故や自然災害のように突発的に生起し，多大な損失をもたらす事象は，事業の持続可能性に対する脅威であり，第 2 項の推定において特に重要といえる．このような複数種類の事象が相互に関係なくそれぞれの頻度でランダムに発生し，発生した場合の損害額が事象の種類に応じて一定とみなされる場合には，第 2 項の確率論的な特徴を把握するために，本稿の 2. 及び 3. で論じた方法を用いることが可能である．
式(17)は，鉄道に限らず多くの資本集約的な収益事業に適用可能である．ここでは，近年自然災害によって大きな被害を被る事例が報告されている太陽光発電所を対象に，前述の方法を適用して損害額の現在価値の総和の確率分布を推定し，これを太陽光発電所のアセットポートフォリオ・マネジメントに活かす方法を検討する．
(2) 太陽光発電所における損失発生リスク
a) 損失リスクのプロフィール
表-1 は，太陽光発電事業の評価ガイド 4)を参考に，ポートフォリオを形成する仮想の 3 か所の太陽光発電所に

図-3 確率密度曲線の厳密解とガンマ分布近似との比較

ついて 6 種類の損失発生事象を選択し，それぞれについ厳密解の確率密度曲線は，パラメータλ/r = 1近傍で特て発生確率と発生時の損失額を仮定したものである．表異な形状をしており，これをガンマ分布で忠実に近似す-1 の仮定は，多くの太陽光発電所に認められる次のよう- 27 -

表-1 ポートフォリオを形成する仮想の３つの太陽光発電所の損失リスクプロフィールるのに対して，5 基では 0.93 に低下する．他の条件が同な事実に基づいている．
土砂の洗堀・流出については規模の大小に係わらず殆じであれば，リスクが互いに無相関の条件にあるアセッどの発電所に認められる問題であり，これは排水計画が脆弱なことに起因する．たとえば，草地で浸透能を 0.7

トの数が増えるほど，アセットポートフォリオの相対的と設定した場合，太陽光モジュールを敷設した広範なエしている．

な損失リスクは低下するというポートフォリオ効果を表

リアは，屋根をかけたような状態になり，そこで集水された雨水がアレイ下端から集中して局所エリアに大量に落下する．このことで，単位面積当たりの浸透能は低下する．また，法面については全般に横方向の排水路が過小な傾向が認められる．過剰に集水された雨水が縦方向の水路に流れ，流量・流速が大きくなり，水路末端では洗堀やオリフィス・水路からの越水が多く認められている．なお，風による倒壊は，比較的大規模な発電所では申請の際に構造がチェックされているため，被害に至ってもアレイごとの倒壊に至るケースは少なく，モジュールの飛散に留まるケースが多いと考えられる．
b) ポートフォリオ効果

図-4 アセットポートフォリオの損失額の分布

表-1 にある発電所１の損失発生確率，及び発生時に想定される損失額から，式(13)，(14)の関係を利用して，現（）内の数値は，VaR の当初資産価値に対する比率．
社会的割引率は 4％としている．

在価値で表される損失額の総和のガンマ分布近似を求めたのが図-4 である．将来価値の社会的割引率αは 0.04 としている．発電所１が 1 基の場合と，5 基の場合における損失額の経済価値の総和の分布が示されている．注意
しなければならないのは，5 基は将来の損失発生について相互に相関がないと仮定されていることである．
ここでは，アセットポートフォリオのリスク評価指標として，信頼水準 90％の期待最大損失 VaR の当初資産価値に対する比率を用いる．将来の損失額の総和は，90%の確率でこの比率以下になると想定されることを意味する．ガンマ分布のパーセント点は，エクセルに用意された GAMMA.INV 関数で簡単に計算できる．図-4 の（）内に指標値を示す．指標値は，1 基の場合 1.25 であ- 28 -図-5 アセットポートフォリオの損失額の分布
凡例は図-4 と同じ．

図-5は，発電所 1～3のそれぞれ，及びこの 3つの発電d) アセットのリスクプロフィール

所をポートフォリオとしてマネジメントする場合の損失アセットのリスクプロフィールの作成にあたっては，額の現在価値の総和の確率密度曲線を描いたものである． 表-1 に示すように，損失事象の発生確率と発生時の損失（）内の数値は，信頼水準 90％の期待最大損失 VaR のを推定することが望ましい．アセットの種類によっては，当初資産価値に対する比率を示す．発電所 3 を所有する
評価方法が確立されている場合もあるが，そうでない場発電事業者が発電所 1 と発電所 2 もあわせて所有すると， 合は，評価者が一定の評価基準を仮に定めて評価するよ
事業のリスクが高まることが分かる．

うにする．評価基準は定期的に，又は必要に応じて見直

太陽光発電所では，今後中古市場が活発になるといわす．定性的な評価だけでは，リスクを総体として評価すれているが，アセットの売買にあたっては，ポートフォることができず，ポートフォリオ・マネジメントの継続リオ効果を十分考慮することが望ましい．本稿で提案す的な改善につながらない恐れがある．

る方法は，太陽光発電所をはじめ様々な事業分野において，アセットポートフォリオの将来損失リスクを簡便に6. 結論推定するものであり，アセットポートフォリオ・マネジメントに役立つものと期待される．

アセットポートフォリオ・マネジメントの最適化を目的として，アセットにおけるリスク事象の発生がポアソ

5. 本法を適用する場合の留意点

ン過程とみなされる場合の将来損失の現在価値の総和を計算する手法を提案した．手法の手順を簡単にまとめる

アセットポートフォリオ・マネジメントに本法を適用する場合には，次の事項に留意することが必要である．と，次のようになる．
① アセットポートフォリオを構成する主要アセットを

a) 無相関性

対象にリスク分析を行い，表-1 に示すような損失リアセットポートフォリオを構成する主要アセット同士スクプロフィールを作成する．損失リスク事象は，は，将来の損失発生について相関がないと仮定している．

できるだけ相互に相関がなくなるようにすることにまた，同一のアセットに生じる複数種類の損失事象につ留意して選定する．

いても，相互に相関がないと仮定している．アセット同士，損失事象同士で相関が高いと考えられる場合には，② 個々の発生確率と発生時の損失額から，式(13)と式(14)を用いて，ガンマ分布のパラメータθとβを計

それらをひとまとまりのアセット又は損失事象として取算する．さらに式(11)，式(12)から将来損失額の現在り扱うべきである．

価値の総和の平均値と分散を求めることができる．

b) アセットの永続性

また，θとβを式(10)に代入すると，アセットポー

アセットポートフォリオを構成する主要アセットは，トフォリオの将来損失額に関する確率密度関数のガ将来にわたって永続的に存続し機能し続けると仮定している．この仮定は一見非現実的であるように見えるかもンマ分布近似が得られる．

しれないが，50 年以上の耐用年数を有する公共土木施③ アセットポートフォリオのリスク評価指標として，信頼水準 90％の期待最大損失 VaR の当初資産価値に設等では，近似的にこの仮定が成り立つと考えてよい．

対する比率を用いることができる．この値が小さい

太陽光発電所のようなライフタイムが相対的に短いアセほど，相対的にリスクは小さいといえ，アセットポットの場合でも，アセットポートフォリオを構成する主ートフォリオ・マネジメントにおける参考指標とな

要アセットの残余ライフタイムに大きな相違がない場合り得る．には適用可能である．ただし，そこで得られる損失額の現在価値の総和は，実際の値というより相対評価のための指標という意味合いで捉えるべきであろう．
c) 迅速な復旧
損失額の現在価値の総和の計算では，たとえ大規模な上記の方法の実際への適用にあたっては，5. で列挙された各項目に留意することが望ましい．
参考文献

損失事象が発生してもその後直ちに復旧が行われるという仮定をおいている．実際には，損失事象発生後復旧に1)2)相当の年月を要する場合や，復旧そのものをあきらめる場合もある．そのような場合であっても，b)で論じたよ
うに相対評価のための指標，例えばベンチマーキングに用いる場合等には，一定の有用性を認めることが可能であろう．

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4)

藤木修：防災事業の費用便益比の確率分布推定法，下水道協会誌，Vol.48 No.582, pp.79-85，2011.
藤木修：ランダムに発生するリスク事象に係るバリュー・アット・リスクの計算方法に関する一考察，
第 1 回 JAAM 研究発表会論文集，pp.11-16，2017.
上田孝行：鉄道施設の維持管理・更新に関する調査，
運輸政策研究，Vol.7 No.2, pp.112-116, 2004.
太陽光発電事業の評価ガイド策定委員会：太陽光発電事業の評価ガイド，太陽光発電協会，2018.