状態監視保全下における下水道管渠
に対する調査間隔設定方法の提案
松本 圭史 1・貝戸 清之 2
1 非会員

大阪大学大学院博士前期課程 工学研究科地球総合工学専攻（〒565-0871 吹田市山田丘 2-1）
E-mail: k.matsumoto@civil.eng.osaka-u.ac.jp

2 個人正会員

大阪大学准教授 大学院工学研究科 地球総合工学専攻（〒565-0871 吹田市山田丘 2-1）
E-mail: kaito@ga.eng.osaka-u.ac.jp

段階的な老朽化が進む下水道管渠に対して、管渠の長期的な運用を目的とした状態監視保全の導入が進んでいる。状態監視保全下において維持管理が行われる場合、管渠の調査結果に基づき改築更新が実施される。しかし、埋設構造物である下水道管渠の調査を高頻度で実施することは困難であるため、管理対象とする管渠の劣化予測結果や健全性に基づいた調査間隔の設定が必要である。一方で、調査データを活用
した劣化予測を行う場合、構造条件や使用条件，環境条件の違いにより生じる劣化速度の異質性や健全性の低い調査データが不足することによって生じるサンプル欠損バイアスを考慮することが必要である。本
研究では，劣化速度の異質性とサンプル欠損バイアスの双方を考慮した劣化予測を実施し，分析結果を活用した調査間隔設定方法を提案する．
キーワード：混合マルコフ劣化ハザードモデル，サンプル欠損バイアス，下水道管渠，調査間隔

1. はじめに

また，改築更新が実施されることによって健全性の低い調査データが欠損することにより発生するサンプル欠損

近年，下水道管渠の老朽化に伴う，道路陥没が多々報

バイアスを考慮することも必要である．

告されており下水道管渠に対する改築更新の必要性が高

本研究では，劣化速度の異質性とサンプル欠損バイア

まってきている．その一方で，少子高齢化や人口減少，スの双方を同時に考慮可能な劣化予測モデルを提案する

節水の取り組みが進むにつれて，下水道料金収入が減少

ことにより，劣化予測を実施する．さらに，劣化予測結するため，効率的な管渠の維持管理が必要になると考え果を活用した，調査間隔設定方法について提案する．

られる．そのような中，管渠の長期的な運用を目的とし以上の問題意識の下，劣化速度の異質性およびサンプ

た，状態監視保全による維持管理の取り組みが進んでき

ル欠損バイアスを考慮可能な劣化予測モデルを定式化し，ている．状態監視保全では，定期的な管渠の調査結果に定期調査が実施された管渠に対する実証分析を行う．さ基づき改築更新の有無が決定される．その一方で，下水らに，分析結果を用いて，状態監視保全下における調査

道管渠を管理する地方自治体では，人的・財政的リソー

間隔の設定方法を提案する．以下 2.で本研究の基本的なスの制約や，埋設構造物である等の問題により，高頻度

考え方を述べる．3.で混合マルコフ劣化ハザードモデル

での調査が困難な場合も少なくない．そのため，管渠のの概要を説明し，4.でサンプル欠損ベンチマーク分析お

劣化速度に応じた調査間隔を設定することにより，効率

よび調査間隔の設定方法に関して説明する．

的な調査を実施することが求められている．
調査データを活用した維持管理の取り組みとして，ア

2. 本研究の基本的な考え方

セットマネジメントが普及してきている．なかでも，下水道管渠の調査データに対する統計的劣化予測モデル 1)を活用した実践的研究 や実務への試行的導入が進んで2)いる．点検・調査データを用いて分析を行う際，管渠が属する構造条件や使用条件，環境条件等の違いに応じて生じる劣化速度の異質性を考慮することが必要である．

(1) 下水道管渠の保全方法と点検・調査の現状
令和元年度末時点で標準耐用年数 50 年を経過した下
水道管渠の割合は総延長の 5%程度であるが，10 年後には 15%程度，20年後には 35%程度と今後急速に増加する．このような老朽化の進む下水道管渠の現状を踏まえ

3)- 71 -

図-1 劣化予測モデルの概念図て，管渠を効率的に運用する取り組みの重要性が高まり(2) 劣化速度の異質性とサンプル欠損バイアスつつある．管渠を維持管理する際，予防保全と事後保全の大きく分けて 2 つの保全方法が存在する．さらに，予つの事象を考慮する．1 つ目が劣化速度の異質性を考慮

管渠の劣化予測を行うにあたり，本研究では大きく２防保全に関して細分化してみると，状態監視保全と時間
計画保全の 2 つに分類される．状態監視保全は，管渠のすることである．下水道管渠は管渠の埋設される場所の劣化状況を確認し，その状況に応じて対策を行う管理方

土壌や水質などの環境条件の違いにより，劣化速度に差法であり，時間計画保全は，管渠の特性に応じて予め定異が存在する．小濱らは，マルコフ劣化ハザードモデル

めた周期により，対策を行う管理方法である ．そのた（図-1 左上）では考慮することが不可能であった，劣化

め，状態監視保全により管渠を管理する場合，時間計画

速度の異質性を混合マルコフ劣化ハザードモデル 5)（図-

保全と比較して長期的な管渠の運用を行うことが可能で

1 右上）の開発により，ベンチマーク分析することを可あると考えられる．その一方で，管渠の調査・点検は人能にした．2 つ目が健全性の低いデータの欠損により生4)

管径や材質などの構造条件や排水種別などの使用条件，

的・財政的リソースの制約や埋設構造物であることから， じるサンプル欠損バイアスを考慮することである．下水
高頻度の調査が困難な場合も少なくない．そのため，管道管渠の老朽化が進むと，その老朽化に起因した道路陥渠の劣化速度や状態に応じた調査間隔の設定が必要であ

没事故の発生や排水機能の停止などが考えられるため，る．

管渠の改築更新が実施されている．そのため，劣化予測

そのような中，下水道管渠に対する点検・調査の取りを行う際に使用するサンプルには，健全性の低いサンプ

組みとしては，老朽化する下水道管渠の増加や下水道管渠に起因する道路陥没事故の実情を踏まえて，平成 27

ルの欠損が発生する．サンプル欠損が生じているデータ

年に下水道法に基づく維持修繕基準が創設され，硫化水素による腐食のおそれの大きい下水道管渠に対する 5 年

はずのサンプルが欠損しているため，サンプル欠損バイに 1 回以上の点検が義務化された．義務化の対象となった管渠約 4000km に対する点検実施状況としては令和元がある．この問題に対して，小林らは，サンプル欠損バ

年時点で約 72%の点検が完了している．その一方で，点検義務化の対象となった管渠約 4000km は全国の管渠約案することにより，サンプル欠損バイアスにより生じる

48 万 km に対する割合の約 1%程度にどどまっている．

化速度の異質性とサンプル欠損バイアスの双方を同時にそのため，本研究で統計的劣化予測モデルを活用した調考慮可能な劣化予測モデル（図-1 右下）を定式化するこ

査間隔設定方法を提案することにより，効率的な調査のとにより，管渠の劣化予測を行うこととする．また，こ実施を支援できると考えられる．

の分析手法を本研究では，サンプル欠損ベンチマーク分を用いて分析を行うと，本来ならば劣化が進行していたアスが発生する（寿命が過少に評価されてしまう）恐れ
イアスを考慮可能な劣化予測モデル 6)（図-1 左下）を提寿命の過小評価問題を解消した．そこで本研究では，劣- 72 -

(b) 許容リスクと最適調査間隔(a) 劣化パスと経過時間

図-2 期待寿命と調査間隔析と呼び，詳細な説明に関しては 4.で行うこととする． 定する方法を提案する．具体的な調査間隔の設定方法に関しては，4.(4)で説明することとする．
(3) 期待寿命と調査間隔
下水道管渠の調査を行うにあたり，人的・財政的リソ

3. 混合マルコフ劣化ハザードモデル

ースを効率的に活用するためには，全管渠に対して一律の調査間隔を設定することは非効率的である．そのため， (1) モデル化の前提条件
管渠の状態や劣化予測結果の劣化速度の大小に応じた調カレンダー時刻 𝑠0 を初期時点とする離散的時間軸

査間隔の設定を行うことが必要であると考えられる．
調査データを用いて調査間隔を設定した事例として，

𝑡 = 0,1,2, ⋯を考え，離散的時間軸上の点を時点と呼び，カレンダー時刻と区別する．単位時間幅を 1 に基準化す

深谷らの研究があげられる 7)．深谷らは，Sullinan 法を参る．施設の健全性を I 個の健全度 𝑖(𝑖 = 1, ⋯ , 𝐼)で表現す

考にして管渠種別ごとに劣化予測を行い，その結果を用の方法では，管渠の段階的な劣化過程のモデル化や劣化

る．𝑖の値が大きくなるほど，劣化が 進展している．時
点 t における施設の健全度を状態変数 𝑔(𝑡) = 𝑖(𝑖 =1, ⋯ , 𝐼; 𝑡 = 0, 1, ⋯ ) を用いて表現する．施設の劣化過

速度の異質性などが考慮されておらず，十分であるとは程がマルコフ連鎖に従うと仮定し，離散時間軸上の単位言い難い．そのため，本研究では，劣化過程にマルコフ連鎖モデル，劣化速度に異質性を考慮した劣化予測モデ

時間間隔における健全度間の推移確 率をマルコフ推移
確率を用いて表現する．推移確率は， 時点 t における健ルを用いた分析を行い，その評価結果を活用した調査間

全度 𝑔(𝑡) = 𝑖 を与件とし，次の時点 𝑡 + 1 における健隔設定方法を提案する．図-2(a)には管渠の劣化予測結果

全度 𝑔(𝑡 + 1) = 𝑗(𝑗 ≥ 𝑖)が生起する条 件付確率Prob[𝑔(𝑡 + 1) = 𝑗|𝑔(𝑡) = 𝑖] = 𝜋𝑖,𝑗(1)によって定義される．なお，微小時間での健全度の推移
は 1 段階である．式 (1) に示すマルコフ推移確率は所与

いて調査間隔を設定する方法を提案した．しかし，上記の一例を示している．一般的な劣化予測結果としては，
図-2(a)の実線で描かれた平均的な劣化パスが分析により推定される．また，図-2(b)には，横軸に劣化予測により推定された経過時間を調査間隔に置き換えたもの，縦軸に改築更新が必要な健全度に達する割合（以降はリスクの 2 つの時点 𝑡，𝑡 + 1 の間において生じる健全度間の推移確率を示したものであり，当然のことながら，対象とでに改築更新が必要な管渠の割合（リスク）が増加し，する点検間隔が異なれば推移確率の値は異なる．補修がない限り常に劣化が進行するので，𝜋𝑖,𝑗 = 0(𝑖 > 𝑗) が成立する．また，推移確率の定義より ∑𝐼𝑗=𝑖 𝜋𝑖,𝑗 = 1 が成逆に短く設定するとリスクは低くできるものの，人的・立する．すなわち，マルコフ推移確率に関して，

財政的リソースが増大することが考えられる．そのため，

𝜋𝑖,𝑗 ≥ 0(𝑖, 𝑗 = 1, 𝜋𝑖,𝑗 = 0(𝑖 > 𝑗のとき)と呼ぶこととする）をとった，調査間隔とリスクの関係を示している．調査間隔を長く設定すると，次回調査ま𝐼

平均的な劣化予測結果を用いて調査間隔を設定した場合，維持管理実務上，許容できるリスクを超えてしまう恐れが存在する．そこで本研究では，劣化予測結果を用いてシミュレーションを行うことにより，リスクと調査間隔の関係を推定し，許容リスクに応じた最適調査間隔を設∑
𝑗=𝑖

𝜋𝑖,𝑗 = 1}(2)が成立しなければならない．健全度 𝐼 は，補修のない
限りマルコフ連鎖における吸収状態であり，𝜋𝐼,𝐼 =1 が成立する．なお，マルコフ推移確率は過去の劣化履歴には- 73 -

𝑗

依存しない．マルコフ連鎖モデルでは，健全度が 𝑖 − 1

𝑙𝑘

𝑗−1

𝑙
𝜆̃𝑤𝑘

𝑘

𝜋𝑖,𝑗 (𝑧 |𝜀 ) = ∑ ∏から 𝑖 に推移した時点に拘わらず，時点 𝑡 から時点 𝑡 +𝑙𝑙
𝜆̃ 𝑘 − 𝜆̃𝑣𝑘
𝑣=𝑖 𝑤=𝑖,≠𝑣 𝑤

1 の間に推移する確率は時点 𝑡 における健全度のみに依𝑙𝑘 𝑙exp(−𝜆̃𝑖𝑘 𝜀 𝑧 𝑘 )𝑗

存するという性質（マルコフ性）を満足する 8)

𝑙
𝑘 𝑙
𝑣 ̃𝑙𝑘
= ∑ 𝜓𝑖,𝑗(𝜆 )exp(−𝜆̃𝑖𝑘 𝜀 𝑧 𝑘 )

(8)

𝑣=𝑖

(2) 混合マルコフ劣化ハザードモデルの定式化
分析対象とする社会基盤施設を 𝐾 施設グループに分割する．𝐾施設グループ 𝑘 (𝑘 = 1,· · · , 𝐾)は，合計 𝐿𝑘の施設で構成されている．施設グループ 𝑘 に固有なハ
ザード率の異質性を表すパラメータ 𝜀 𝑘 を導入する．このとき，施設グループ 𝑘 の施設 𝑙𝑘 (𝑙𝑘 = 1,· · · , 𝐿𝑘 )の健
全度 𝑖 (𝑖 = 1,· · · , 𝐼 − 1)のハザード率を，個別ハザー ド(𝑖 = 1,· · ·, 𝐼 − 1; 𝑗 = 𝑖 + 1,· · ·, 𝐼; 𝑘 = 1,· · ·, 𝐾)𝑙𝑙𝑙と表すことができる 1)．ただし，𝜆̃ 𝑘 = (𝜆̃ 𝑘 ,· · ·, 𝜆̃ 𝑘 ) で
1

𝑙

𝐼−1

𝑣 ̃𝑘
(𝜆 )は
ある．また，𝜓𝑖,𝑗
𝑗−1
𝑣 ̃𝑙𝑘
𝜓𝑖,𝑗
(𝜆 ) =

𝑙
𝜆̃𝑤𝑘

(9)
𝑙
𝑙
𝜆̃𝑤𝑘 − 𝜆̃𝑣𝑘となり，標準ハザード率のみの関数で表される．また，𝑘𝜋𝑖,𝐼 (𝑧 𝑙𝑘 |𝜀 )に関しては，∏

𝑤=𝑖,≠𝑣𝐼−1率𝑙𝑙
𝜆𝑖𝑘 = 𝜆̃𝑖𝑘 𝜀 𝑘𝑙𝑘𝑘𝜋𝑖,𝐼 (𝑧 |𝜀 ) = 1 − ∑ 𝜋𝑖,𝑗 (𝑧 𝑙𝑘 |𝜀 )(3)(𝑖 = 1,· · ·, 𝐼 − 1; 𝑘 = 1,· · ·, 𝐾; 𝑙𝑘 = 1,· · ·, 𝐿𝑘 )𝑙を用いて表す．ここに，𝜆̃ 𝑘 は，施設グループ 𝑘 の施設
𝑖𝑙𝑘 が有する健全度 𝑖 の平均的なハザード率（以下，標準ハ ザード率）である．異質性パラメータ𝜀𝑘 は，施設𝑙グループ 𝑘 の標準ハザード率 𝜆̃ 𝑘 からの乖離の程度を表𝑘𝑘と表すことができる．つぎに，パラメータ𝜀 𝑘 がガンマ分布，式 (5) に従って分布する場合を考える．まず，健𝑙
全度 𝑖 の寿命が 𝑦𝑖 𝑘 以上となる確率は，式 (7) を用いて
∞

用いて
𝑙
𝑙
𝑘 𝑙
(6)
𝐹̃𝑖 (𝑦𝑖 𝑘 ) = exp(−𝜆̃𝑖𝑘 𝜀 𝑦𝑖 𝑘 )と書き換えることができる．さらに，施設グループ 𝑘𝑙の施設 𝑙𝑘 の第 1 回目の点検時刻 𝜏𝐴𝑘 において健全度が 𝑖𝑙𝑙と判定され，次の点検時刻 𝜏𝐵𝑘 = 𝜏𝐴𝑘 + 𝑧 𝑙𝑘 においても健𝑘
全度が 𝑖 と判定される確率𝜋𝑖,𝑖 (𝑧 𝑙𝑘 |𝜀 )は，
𝑘
𝑙
𝑘
𝑙
(7)
𝜋𝑖,𝑖 (𝑧 𝑙𝑘 |𝜀 ) = exp(−𝜆̃𝑖𝑘 𝜀 𝑧 𝑘 )𝑙𝑙𝑙となる．また，点検時刻 𝜏𝐴𝑘 と𝜏𝐵𝑘 = 𝜏𝐴𝑘 + 𝑧 𝑙𝑘 の間で健全度 が 𝑖 か ら 𝑗(> 𝑖) に 推 移 す る マ ル コ フ 推 移 確 率𝑘𝜋𝑖,𝑗 (𝑧 𝑙𝑘 |𝜀 )は，式 (3) より，𝑘𝜋̃ 𝑖,𝑖 (𝑧 𝑙𝑘 ) = ∫ 𝜋𝑖,𝑖 (𝑧 𝑙𝑘 |𝜀 ) ̅𝑔(𝜀 𝑘 |𝜙)𝑑𝜀 𝑘𝑖す確率変数であり，𝜀 ≥ 0 が成立すると仮定する．異質性パラメー タ𝜀 𝑘 ≥ 1であり，かつ 𝜀 𝑘 の値が大きくなるほど，当該施設グループ k に含まれる全ての施設の劣化速度が，標準ハザード率に対して大きいことを表す．
式 (3) において，全ての健全度のハザード率に，同一の確率変数 𝜀 𝑘 が含まれることに留意して欲しい．これにより，ある健全度において劣化速度が大きい場合，他の健全度の劣化速度も相対的に大きくなることを表すことができる．いま，異質性パラメータ 𝜀 𝑘 がガンマ分布𝑓(𝜀 𝑘 |𝛼, 𝜂)1𝜀𝑘(𝜀 𝑘 )𝛼−1 exp (− )𝑓(𝜀 𝑘 |𝛼, 𝜂) = 𝛼(4)𝜂 𝛤(𝛼)
𝜂から抽出された確率標本であると考える．ガンマ分布𝑓(𝜀 𝑘 |𝛼, 𝜂)の平均は α𝜂 で，分散は α𝜂 2 である．また，
Γ(·)はガンマ関数である．さらに，平均 1，分散1/𝜙のガンマ分布の確率密度関数 ̅𝑔(𝜀 𝑘 |𝜙)は，
𝜙𝜙(5)(𝜀 𝑘 )𝜙−1 exp(−𝜙𝜀 𝑘 )̅𝑔(𝜀 𝑘 |𝜙) =𝛤(𝜙)と表される． ここで，施設グループ 𝑘(𝑘 = 1,· · · , 𝐾)の𝑘
異質性パラメータ 𝜀 𝑘 の値を𝜀 に固定する．このとき，𝑙
施設グループ 𝑘 のある施設 𝑙𝑘 の健全度 𝑖 の寿命が 𝑦𝑖 𝑘 以𝑙上となる確率𝐹̃𝑖 (𝑦𝑖 𝑘 )は，式 (3) に示す指数ハザード率を

(10)

𝑗=𝑖

(11)

0

と表すことができる．マルコフ推移確率 𝜋̃ 𝑖,𝑖 (𝑧 𝑙𝑘 ) はハ
ザード率の確率分布を考慮した点検間隔 𝑧 𝑙𝑘 の平均的なマルコフ推移確率を表している．同様に点検間隔 𝑧 𝑙𝑘 の下で健全度 𝑖 から健全度 𝑗 へ推移する平均マルコフ推移
確率は，
∞

𝑘

𝜋̃ 𝑖,𝑗 (𝑧 𝑙𝑘 ) = ∫ 𝜋𝑖,𝑗 (𝑧 𝑙𝑘 |𝜀 ) ̅𝑔(𝜀 𝑘 |𝜙)𝑑𝜀 𝑘

(12)

0

と表される．
(3) 目視点検データとハザード率
施設グループ 𝑘(𝑘 = 1,· · ·, 𝐾) に属する施設 𝑙𝑘 (𝑙𝑘 =1, ⋯ , 𝐿𝑘 ) に関して 2回の目視点検が実施されたと考え
る．3. (2) と同様に，目視点検が実施されたカレンダー𝑙𝑙𝑙
時刻を (𝜏𝐴𝑘 , 𝜏𝐵𝑘 ) と表す．ただし，𝜏𝐴𝑘 は第 1 回の目視点𝑙
検時刻であり，𝜏𝐵𝑘 は第 2回目の実施時刻である．施設
グループ 𝑘 に含まれる施設 𝑙𝑘 の点検サンプルには，第 1
回目の目視点検から第 2 回目の目視点検が実施された時刻までの期間長 𝑧̅𝑙𝑘 と，これら2回の目視点検で観測さ𝑙𝑙
れた施設の健全度 𝑔̅ (𝜏𝐴𝑘 )，𝑔̅ (𝜏𝐵𝑘 )に関する情報が記載されている．記号「 ̅ 」は，実測値であることを意味している．点検時点における健全度に基づいて，ダミー変数
̅ 𝑙𝑘 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝐼 − 1, 𝑗 = 𝑖, ⋯ , 𝐼; 𝑘 = 1, ⋯ , 𝐾; 𝑙𝑘 =𝛿𝑖,𝑗1, ⋯ , 𝐿𝑘 )を𝑙𝑙
1 𝑔̅ (𝜏𝐴𝑘 ) = 𝑖, 𝑔̅ (𝜏𝐵𝑘 ) = 𝑗のとき
̅ 𝑙𝑘 = {𝛿𝑖,𝑗(13)
0 それ以外のとき𝑙と定義する．さらに，ダミー変数ベクトルを 𝛿̅ 𝑘 =𝑙𝑙( 𝛿̅ 𝑘 , ⋯ , 𝛿̅ 𝑘 ) ，施設の劣化速度に影響を及ぼす 施設
1,1

𝐼−1,𝐼

の構造条件や環境条件を表す特性行ベクトル を 𝑥̅ 𝑙𝑘 =𝑙𝑙𝑙(𝑥̅1𝑘 , ⋯ , 𝑥̅𝑀𝑘 ) と表す.ただし， 𝑥̅𝑤𝑘 (𝑤 = 1, ⋯ , 𝑊) は施設
グループ 𝑘，施設 𝑙𝑘 の点検サンプルの 𝑚 番目の説明変- 74 -𝑙𝑙

数に関する期間[𝜏𝐴𝑘 , 𝜏𝐵𝑘 )における観測値を表 す．また，第 1 番目の説明変数は定数項に該当する変数 であり，𝑙
恒等的に 𝑥1𝑘 = 1である．施設グループ 𝑘 に属する施設
𝑙𝑙𝑙
𝑙𝑘 の点検サンプルが有する情報を𝛩 𝑙𝑘 = (𝛿̅ 𝑘 , 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 )と表す．また，目視点検データ全体を Ξ と表す． さら𝑙𝑙に，施設 𝑙𝑘 の点検サンプルの期間[𝜏𝐴𝑘 , 𝜏𝐵𝑘 )における劣𝑙𝑙化過程を個別ハザード率 𝜆𝑖𝑘 = 𝜆̃𝑖𝑘 𝜀 𝑘 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝐼 − 1)を用いて表現する．健全度 𝐼 はマルコフ連鎖の吸収状態𝑙であり，𝜋𝐼,𝐼 = 1 が成立するためにハザード率 𝜆̃𝐼𝑘 は必𝑙
然的に 𝜆̃𝐼𝑘 = 0となる．舗装路面の劣化過程を特徴づけ
𝑙る標準ハザード率 𝜆̃𝑖𝑘 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝐼 − 1; 𝑘 = 1, ⋯ , 𝐾) は施設の特性ベクトルに依存して変化すると考え，標準ハ𝑙𝑙
ザード率 𝜆̃𝑖𝑘 を特性ベクトル𝑥 𝑘 を用 いて，
𝑙(14)
𝜆̃𝑖𝑘 = exp(𝑥 𝑙𝑘 𝛽𝑖′ )と表す．ただし，𝛽𝑖 = (𝛽𝑖,1 , ⋯ , 𝛽𝑖,𝑊 ) は未知パラメー
タ 𝛽𝑖,𝑤 (𝑤 = 1, ⋯ , 𝑊) による行ベクトル，記号「′」 は
𝑙

転置操作を表す．また，𝑥1𝑘 = 1 より，𝛽𝑖,1 は定数項 を表す．なお，本研究においては，標準ハザード率に特性ベクトル（劣化に対する説明変数）を考慮せずに，定数項のみで標準ハザード率を表現して，劣化要因の影響は𝑘(𝑥1𝑘 , ⋯ , 𝑥𝑀)と表す．いま，すべての管渠とすべての隣接する測定時刻𝜏𝐴𝑘 ，𝜏𝐵𝑘 のペアの集合に対して，管渠の健全度ℎ(𝜏𝐴𝑘 )，ℎ(𝜏𝐵𝑘 )と管渠特性𝑥に関する合計𝐾個の実測サンプルが獲得できたと考える．実 測サンプル𝑘の情報を 𝜉 𝑘̅ = (ℎ̅(𝜏𝐴𝑘 ), ℎ̅(𝜏𝐵𝑘 ), 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 )(𝑘 = 1, ⋯ , 𝐾)と表そう．
記号「 ̅ 」は実測値であることを示す．また，健全度の観測値をℎ̅(𝜏𝐴𝑘 ) = 𝑖̅𝑘 ，ℎ̅(𝜏𝐴𝑘 ) = 𝑗̅𝑘 と記述する．
測定間隔𝑧と管渠特性𝑥を，それぞれ𝑁，𝐿個の離散的なカテゴリー𝑧𝑛 ，𝑥𝑑 に分割する．その上で，各サンプ
ル 属 性 (𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )(𝑖 = 1, ⋯ , 𝐽 − 1; 𝑛 = 1, ⋯ , 𝑁; 𝑑 =1, ⋯ , 𝐷)が出現する相対頻度を𝜇(𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑙 )と表す．ただし，相対頻度分布は，管渠の調査データベースから観測可能であり，既知関数である．一方，サンプル母集団からサンプル(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )が抽出される同時確率（尤度）
を𝑓(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)と表す．ただし，𝛽は，未知パラメー
タである．いま，各実測サンプルがそれぞれ確率𝑓(𝑖̅, 𝑗̅, 𝑧̅𝑛 , 𝑥̅𝑑 : 𝛽)に基づいてランダム抽出されると考える．
この時，𝐾 個の実測サンプルが同時に観測される同時確率（尤度関数）𝐿(𝜉 ,̅ 𝛽)は，尤度の積として，𝐾

異質性パラメータ値に反映させることとする．また，本研究では，未知パラメータ (𝛽, 𝜙, 𝜀) を階層ベイズ推計
するが，具体的な方法論については参考文献 9) を参照
されたい．さらに，施設グループ 𝑘 を構成する施設 𝑙𝑘
ごとの推計結果を平均化した標準ハザード率 𝜆𝑘𝑖 (𝑖 =𝐿(𝜉 ,̅ 𝛽) = ∏ 𝑓(𝑖̅𝑘 , 𝑗̅𝑘 , 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽)

(16)

𝑘=1

と表される． 次に，管渠特性が𝑥𝑑 で表される管渠が，時刻𝜏𝐴 に健全度ℎ(𝜏𝐴 ) = 𝑖 であり，かつ時刻𝜏𝐵 = 𝜏𝐴 +𝑧𝑛 に健全度 ℎ(𝜏𝐵 ) = 𝑗(𝑗 ≥ 𝑖) となる条件付き確率を𝑃(𝑗|𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)と表そう．この条件付き確率密度関数は

1, ⋯ , 𝐼 − 1) をマルコフ推移確率を用いて，

𝐿𝑘𝜆̃𝑘𝑖 =1𝑙∑ 𝜆̃𝑖𝑘𝐿𝑘(15)

𝑃(𝑗|𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽) = 𝜋𝑖,𝑗 (𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)𝑙𝑘 =1と定義する．このとき，施設グループ 𝑘 の平均的ハザード率は 𝜆𝑘𝑖 = 𝜆̃𝑘𝑖 𝜀 𝑘 と表される．

(17)と表せる．ここに，𝜋𝑖,𝑗 (𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)は時刻𝜏𝐴 に健全度𝑖 の状態から，時刻𝜏𝐵 までの間に健全度𝑗に推移するマルコフ推移確率を表す．この時，サンプル(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )の同時確率𝑓(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)は，
𝑓(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽) = 𝑃(𝑗|𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)𝜇(𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )(18)と表せる．式(18)を尤度関数(16)に代入し対数変換をすれば，対数尤度関数ln𝐿(𝜉 ,̅ 𝛽)を，

4. サンプル欠損ベンチマーク分析(1) 完全サンプルを用いた尤度の定式化

𝐾

ここでは，劣化速度の異質性を考慮しない，単純なln𝐿(𝜉 ,̅ 𝛽) = ∑{ln𝑃(𝑗̅𝑘 |𝑖̅𝑘 , 𝑧̅𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽)

サンプル欠損バイアスを考慮した分析について説明する．
観測対象のすべての管渠に対して，改築更新が実施されず，健全度が最も悪い状況になるまで放置されるような実測サンプルが入手可能であるとする．このとき獲得されるサンプルを，サンプル欠損が存在していないことか

𝑘=1

健全度と呼ぶこととする．さらに，管渠の劣化速度に影響を及ぼす管渠材質や使用環境を表す管渠特性を𝑥 𝑘 =

𝑘

(19)

𝑘

+ln𝜇(𝑖̅ , 𝑧̅ , 𝑥̅ )}と表せる．𝜇(𝑖̅ , 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 )は既知であり，右辺第２項は定𝑘数項となる．そこで，第２項を無視しよう．式(17)を考慮すれば，対数尤度関数ln𝐿(𝜉 ,̅ 𝛽)は，
𝐾 𝐽−1 𝐽ら，完全サンプルと呼ぶ．管渠𝑘(𝑘 = 1, ⋯ , 𝐾)に対して，
時刻𝜏𝐴𝑘 に健全度ℎ(𝜏𝐴𝑘 ) = 𝑖 𝑘 が，時刻𝜏𝐵𝑘 = 𝜏𝐴𝑘 + 𝑧 𝑘 に 健
全度ℎ(𝜏𝐵𝑘 ) = 𝑖 𝑘 が観測されたと考える．ここに，𝑧 𝑘 は時
刻𝜏𝐴𝑘 から時刻𝜏𝐵𝑘 までの期間長であり，測定間隔を表す．
また，期間[𝜏𝐴𝑘 , 𝜏𝐵𝑘 ]を観測期間，時刻𝜏𝐴𝑘 に観測された健全度を事前健全度，時刻𝜏𝐵𝑘 に観測された健全度を事後𝑘̅ 𝑘 ln[𝜋𝑖,𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽)]ln𝐿(𝜉 ,̅ 𝛽) = ∑ ∑ ∑ 𝛿𝑖,𝑗(20)

𝑘=1 𝑖=1 𝑗=𝑖
̅ 𝑘 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝐽 − 1, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝐽; 𝑘 =となる．ただし， 𝛿𝑖,𝑗1, ⋯ , 𝐾)はダミー変数であり，1 ℎ̅(𝜏𝐴𝑘 ) = 𝑖̅, ℎ̅(𝜏𝐵𝑘 ) = 𝑗̅のとき
̅𝑘 = {
𝛿𝑖,𝑗(21)
0 それ以外のときと定義できる．すなわち，式(20)はマルコフ劣化ハザー- 75 -

ドモデルの対数尤度関数 1)に一致する．

𝑣(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖) =𝜇(𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )𝑁
∑𝑛=1 ∑𝐿𝑙=1 𝜇(𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )(23)であり既知関数である．この時，同時確率𝑓(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)は次式で表される．
改築更新が実施されることにより，サンプル欠損が発𝑓(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽) = 𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽)𝑄(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖, 𝑗: 𝛽)𝜇(𝑖) (22)
生しているようなデータセットを考える．さらに，前回
ただし，𝜇(𝑖)は事前健全度𝑖の相対頻度分布を表す．
の点検時点から今回の点検時点までに，改築更新が実施
式 (16),(22)を考慮すれば次式が成立する．
𝑃(𝑗|𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)𝜇(𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )された管渠に関する情報が入手可能であると考える． 𝐾
𝑄(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖, 𝑗: 𝛽) =(24)𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽)𝜇(𝑖)個の管渠の中から，改築更新が実施された区間を除く合条件付き同時確率𝑄(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖, 𝑗: 𝛽)は，サンプル部分集
̅ 個の管渠のみをサンプルとして抽出する．さらに，
計𝐾
合Ω𝑖,𝑗 から，実測サンプル(𝑖, 𝑗, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )がランダム抽出さ
̅ 個のサンプルを順次並べ換え，そのサンプル番号を𝐾れる確率を表している．条件付き同時確率̅と書き換えたデータベースを作 成しよう．
𝑘 = 1, ⋯ , 𝐾
𝑄(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖, 𝑗: 𝛽)を用いることにより，サンプル欠損バイ
事前健全度が𝑖であるサンプルの中で，劣化の進展がアスを補正した修正対数尤度関数を定義することができ早いサンプルに対して改築更新が実施される確率が大きる．ここで， 理論的健全度分布(20)に含まれる測定間隔
くなると考え，事後健全度𝑗と対応してサンプル欠損率
𝑧𝑛 と管渠特性𝑥𝑑 に関する周辺分布𝑣(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖)を，質点が決 定されるようなサンプル欠損メカニズムを取り上(𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )に 対して付与される経験的重み𝑤𝑛,𝑙|𝑖
げる．いま，サンプル集合Ωを健全度ペ ア(𝑖, 𝑗)(𝑖 ≤ 𝑗)𝑤𝑛,𝑑|𝑖に着目して(𝐽 − 1)(𝐽 + 2)/2個の排他的なサンプル部分#{𝑘 ∈ Ω𝑖 |𝑖 𝑘 = 𝑖, 𝑧 𝑘 = 𝑧𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑥 𝑘 = 𝑥𝑑 }(25)=
集合Ω𝑖,𝑗 (𝑗 = 𝑖, ⋯ 𝐽; 𝑖 = 1, ⋯ , 𝐽 − 1)に分割する．すなわ
𝑘 = 𝑖}#{𝑘∈Ω|𝑖𝑖
ち，Ω𝑖,𝑗 ∩ Ω𝑖 ′ 𝑗 ′ = 𝜙((𝑖𝑗) ≠ (𝑖 ′ 𝑗 ′ )) であり，サンプル集
を用いて表現しよう．経験的重み(24)は，周辺分布
J−1 𝐽
合はΩ =∪𝑖=1 ∪𝑗=𝑖 Ω𝑖,𝑗 と表現でき る．𝜙は空集合を表す． 𝑣(𝑧𝑛 , 𝑥𝑙 |𝑖)を最尤推定量であることが保証される 10)．こ
その上で，各サンプル部分集合内で，サンプル欠損率がこに，#{𝑘|𝐵}は条件𝐵が成立するサンプル数を意味す𝐽一定であると考える．事後健全度に関する情報が存在する．ただし，𝑖 𝑘 , 𝑧 𝑘 , 𝑥 𝑘 は，サンプル集合Ω𝑖 =∪𝑗=𝑖 Ω𝑖,𝑗 にるサンプルに関しては，当該のサンプルがどのサンプル属するサンプルを対象としていることを断っておく．
部分集合に属するかを識別することができる．観測期間
この時，理論的健全度分布𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽)は，
𝑁 𝐷
中に改築更新が実施されているサンプルは，どのサンプ
ル部分集合にも属さず，当該サンプルは欠損することに𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽) = ∑ ∑ 𝑤𝑛,𝑙|𝑖 𝜋𝑖,𝑗 (𝑧̅𝑛 , 𝑥̅𝑑 : 𝛽)(26)なる．
𝑛=1 𝑑=1と表すことができる．
サンプル部分集合Ω𝑖,𝑗 のそれぞれに対して，状態変数
次に，サンプル部分集合Ω𝑖,𝑗 から確率(23)に従って実(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 )が同時に生起する同時生起確率を𝑄(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖, 𝑗)
測サンプルがランダム抽出されると考えよう．この時，と表す．このような同時生起確率は，各サンプル部分集
̅ ̅ )に対して，サンプル欠損バイ
測定データ𝜉 ̅ = (𝜉1̅ , ⋯ , 𝜉 𝐾
合ごとに定義される．換言すれば，サンプル部分集合ごアスを補正した修正対数尤度関数は，とにサンプル発生メカニズムが異なる．測定結果により
̅𝐾得られたサンプルの内，サンプル部分集合Ω𝑖,𝑗 に属する
ln𝐿̃(𝜉 ,̅ 𝛽) = ∑{ln𝑃(𝑗̅𝑘 |𝑖̅𝑘 , 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽) + ln𝜇(𝑖̅𝑘 , 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 )}サンプル数を𝑁𝑖,𝑗 と表す．この時，実測サンプル𝜉 =𝑘=1(𝜉1 , ⋯ , 𝜉 𝐾̅ )は，各サンプル部分集合Ω𝑖,𝑗 から，それぞれ
𝐽−1 𝐽
𝑁𝑖,𝑗 個ずつランダムに抽出されたランダムサンプルと考− ∑ ∑ 𝑁𝑖𝑗 {ln𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽) + ln𝜇(𝑖)}
(27)
𝐽−1 𝐽
̅ である．
えることができる．ただし，∑𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑁𝑖,𝑗 = 𝐾
𝑖=1 𝑗=𝑖
サンプル欠損が存在するため，𝑁𝑖,𝑗 の総和は管渠総数𝐾と定義される．ただし，𝑁𝑖𝑗 はサンプル部分集合Ω𝑖,𝑗 にでなく，改築更新が実施された管渠を除いたサンプル数
属する実測サンプル数を表す．式(27)の修正対数尤度関̅ に一致する．さらに，各サンプル部分集合ごとにサン𝐾
数の右辺第２項と第４項は定数項であり無視できる．さプル抽出率が異なることになる．時刻𝜏𝐵 における理論
らに，式(15),(20),(24)を用いれば，修正対数尤度関数は，的健全度分布は，事前健全度𝑖に依存して変化する．事ln𝐿̃(𝜉 ,̅ 𝛽)
𝐽−1 𝐽
̅
𝐾
前健全度𝑖，測定間隔𝑧𝑛 と管渠特性𝑥𝑑 を与件とした事後̅ 𝑘 ln𝜋𝑖,𝑗 (𝑧̅𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽) −𝑁𝑖𝑗 ln𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽)}
健全度分布に関する条件付き確率密度関数= ∑ ∑ {∑ 𝛿𝑖,𝑗𝑃̃ (𝑗|𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽) = 𝜋𝑖,𝑗 (𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)を用いれば，時 刻𝜏𝐵 =𝑖=1 𝑗=𝑖 𝑘=1
𝜏𝐴 + 𝑧𝑛 における理論的健全度分布は，(28)𝑁 𝐷と定式化できる．ここで，サンプル欠損を補正した尤̃ (𝑗|𝑖: 𝛽) = ∑ ∑ 𝑃̃ (𝑗|𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 : 𝛽)𝑣(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 |𝑖)(22)Q
度𝜋̃𝑖,𝑗 (𝑧̅𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽)を，
𝑛=1 𝑑=1
𝐻𝑗|𝑖
𝜋̃𝑖,𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽) =𝜋𝑖,𝑗 (𝑧̅𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽)(𝑖 = 1, ⋯ , 𝐽 − 1; 𝑗 = 1, ⋯ , 𝐽)
(29)
𝑄̃𝑗|𝑖
と表される．𝑣(𝑧𝑛 , 𝑥𝑙 |𝑖)は事前健全度が𝑖であるサンプルと表す．ただし，の測定間隔𝑧𝑛 と管渠特性𝑥𝑙 に関する周辺分布(2) サンプル欠損を考慮した尤度の定式化- 76 -

𝐻𝑗|𝑖 =

𝑁𝑖𝑗𝐽
∑𝑗=𝑖 𝑁𝑖𝑗

̅
𝐾

(30)

= ∑{ln𝑃(𝑗̅𝑘 |𝑖̅𝑘 , 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 , 𝑔̅ 𝑘 : 𝛽, 𝜀) + ln𝜇(𝑖̅𝑘 , 𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 , 𝑔̅ 𝑘 )}(31)
𝑄̃𝑗|𝑖 = 𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽)である．𝐻𝑗|𝑖 は，サンプル欠損後のサンプル数𝑁𝑖𝑗 を用いて定義されるため，理論的健全度𝑄̃𝑗|𝑖 と一致しない． この時，修正対数尤度関数(28)は，
̅ 𝐽−1 𝐽𝐾

̅ 𝑘 ln[𝜋̃𝑖𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽)]ln𝐿̃(𝜉 ,̅ 𝛽) = ∑ ∑ ∑ 𝛿𝑖𝑗

𝑘=1

𝐽−1 𝐽

− ∑ ∑ 𝑁𝑖𝑗 {ln𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽, 𝜀) + ln𝜇(𝑖)}(36)

𝑖=1 𝑗=𝑖と定義される．さらに，修正対数尤度関数(36) の右辺第２項と第４項は定数項であり無視できるため，ln𝐿̃(𝜉 ,̅ 𝛽)(32)

𝑘=1 𝑖=1 𝑗=𝑖と表すことができる．式(29)に示すように，サンプル欠損を補正した尤度𝜋̃𝑖𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽) は，完全サンプルが得られた場合の尤度𝜋𝑖𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽)に補正係数𝐻𝑗|𝑖 /𝑄̃𝑗|𝑖 を乗じることにより求まる．補正係数の分子は，事前健全度が𝑖となる実測サンプルの中で，期末に健全度𝑗 に推移した実測サンプルの割合を示す観測健全度分布を表す．
一方，分母は劣化予測モデル（マルコフ推移確率）を用いて予測した理論的健全度分布である．これにより，理論的健全度分布𝑄𝑗|𝑖 が大きい健全度𝑗から抽出されたサンプルには相対的に小さい補正係数が，逆に小さい健全度から得られた実測サンプルには相対的に大きい補正係数が採用されることになる．
(3) サンプル欠損ベンチマーク分析
4.(3)では，健全性の低いサンプルの欠損により生じる
サンプル欠損バイアスを考慮した劣化予測モデルの定式

𝐽−1 𝐽

̅ 𝑘 ln𝜋𝑖,𝑗 (𝑧̅𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 , 𝑔̅ 𝑘 : 𝛽, 𝜀) −𝑁𝑖𝑗 ln𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽, 𝜀)}= ∑ ∑ {∑ 𝛿𝑖,𝑗
𝑖=1 𝑗=𝑖と表そう．ただし，
𝐻𝑗|𝑖 =化を行うこととする．

𝑁𝑖𝑗𝐽∑𝑗=𝑖 𝑁𝑖𝑗

(39)

(40)
𝑄̃𝑗|𝑖 = 𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽, 𝜀)である．𝐻𝑗|𝑖 は，サンプル欠損後のサンプル数𝑁𝑖𝑗 を用いて定義されるため，理論的健全度𝑄̃𝑗|𝑖 と一致しない． この時，修正対数尤度関数(37)は，
ln𝐿̃(𝜉 ̅, 𝛽)̅ 𝐽−1 𝐽𝐾

̅ 𝑘 ln[𝜋̃𝑖𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 , 𝑔̅ 𝑘 : 𝛽, 𝜀)]= ∑ ∑ ∑ 𝛿𝑖𝑗

や構造条件などに応じて，劣化速度に差異が存在する．
異質性の双方を同時に考慮可能な劣化予測モデルの定式

𝑘=1

(37)
と定式化できる．ここで，サンプル欠損を補正した尤
度𝜋̃𝑖,𝑗 (𝑧̅𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 : 𝛽, 𝜀)を，
𝐻𝑗|𝑖
𝜋̃𝑖,𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 , 𝑔̅ 𝑘 : 𝛽, 𝜀 ) =𝜋𝑖,𝑗 (𝑧̅ 𝑘 , 𝑥̅ 𝑘 , 𝑔̅ 𝑘 : 𝛽, 𝜀) (38)𝑄̃𝑗|𝑖化を実施した．その一方で，管渠は埋設されている環境
そのため，ここではサンプル欠損バイアスと劣化速度の

̅
𝐾

(41)

𝑘=1 𝑖=1 𝑗=𝑖と表すことができる．この修正対数尤度関数のパラメータを求めることにより，サンプル欠損バイアスと異質性の双方を同時に考慮した劣化予測が可能となる．

4.(2)の設定条件に加えて，対象管渠の管渠グループ数𝑔の場合を考えるとする．このとき，事前健全度𝑖,事後健全度𝑗，測定間隔𝑧𝑛 と管渠特性𝑥𝑑 ，管渠グループ𝑔𝑚 における条件付き同時確率𝑄(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 , 𝑔𝑚 |𝑖, 𝑗: 𝛽, 𝜀)は式（）に異質性を考慮した形として，
𝑄(𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 , 𝑔𝑚 |𝑖, 𝑗: 𝛽, 𝜀)𝑃(𝑗|𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 , 𝑔𝑚 : 𝛽, 𝜀)𝜇(𝑖, 𝑧𝑛 , 𝑥𝑑 , 𝑔𝑚 )(33)=
𝑄̃(𝑗|𝑖: 𝛽, 𝜀)𝜇(𝑖)と表される．また，4.(2)と同様に考えると，経験的重み
𝑤𝑛,𝑑,𝑚|𝑖 および理論的健全度分布𝑄̃ (𝑗|𝑖: 𝛽, 𝜀)はそれぞれ，
𝑤𝑛,𝑑,𝑚|𝑖#{𝑘 ∈ Ω𝑖 |𝑖 𝑘 = 𝑖, 𝑧 𝑘 = 𝑧𝑛 𝑎𝑛𝑑 𝑥 𝑘 = 𝑥𝑑 𝑎𝑛𝑑 𝑔𝑘 = 𝑔𝑚 }=#{𝑘 ∈ Ω𝑖 |𝑖 𝑘 = 𝑖}(34)
𝑄̃(𝑗|𝑖: 𝛽, 𝜀)𝑁𝐷𝑀= ∑ ∑ ∑ 𝑤𝑛,𝑑,𝑚|𝑖 𝜋𝑖,𝑗 (𝑧̅𝑛 , 𝑥̅𝑑 , 𝑔̅𝑚 : 𝛽, 𝜀)(35)

調査データを分析することにより得られた推移確率か
ら，平均的な劣化パスを推定する際には式(15)を用いて健全度間の平均的な推移を推定した．しかしながら，
2.(4)で説明したように，平均的な劣化パスの結果を用いて調査間隔を設定すると維持管理上許容できるリスクを超えてしまう恐れが存在する．そこで本研究では，分析により推定されたマルコフ推移行列Π(Δ𝑡)を用いてシミュレーションを行うことにより，リスクと調査間隔の関係を推定することとする．具体的な方法を以下で説明する．
最終調査時点の健全度𝑝(1 ≤ 𝑝 ≤ 𝐽 − 1)，改築更新が必要な健全度が𝑞(𝑝 < 𝑞 ≤ 𝐽)の場合を考える．この時，シミュレーションを実施する際の初期健全度ベクトルは，

𝑛=1 𝑑=1 𝑚=1と表される．このとき，サンプル欠損バイアスおよび劣化速度の異質性を考慮した修正対数尤度関数は，
ln𝐿̃(𝜉 ,̅ 𝛽, 𝜀)(4) 調査間隔の設定方法

𝑠𝑡1 = [𝜌1 , ⋯ , 𝜌𝐽 ]と表される．ただし，𝜌𝑒 (𝑒 = 1, ⋯ , 𝐽)は(42)

1 e = 𝑝のとき
𝜌𝑒 = {(43)
0 それ以外のときを満たす．シミュレーションでは，推移確率Π(Δt)に対- 77 -

(b) リスクと調査間隔(a) シミュレーション結果の一例

図-3 シミュレーション結果とリスクと調査間隔の関係

して，初期健全度ベクトルを乗じることにより，次点で測モデルとしてサンプル欠損ベンチマーク分析を提案しの健全度ベクトルを得ることができる．
𝑠𝑡1+Δ𝑡 = 𝑠𝑡1 Π(Δ𝑡)(44)
さらに，得られた健全度ベクトルを要素がすべて 1 の上た．また，推定された劣化予測結果に対してシミュレー

三角行列𝑃𝑢𝑡𝑚 にかけ合わせることで累積健全度ベクト

提案した方法論を用いて，大阪市下水道管渠を対象としルが得られる．
𝑆𝑡1+Δ𝑡 = 𝑠𝑡1+Δ𝑡 𝑃𝑢𝑡𝑚
(45)
1 ⋯ 1
𝑃𝑢𝑡𝑚 = [ ⋮ ⋱ ⋮ ]
(46)
0 ⋯ 1
この累積健全度ベクトル 𝑆𝑡1+Δt に対して，一様乱数た実証分析を行っており，その結果及び考察に関しては

𝑈(0,1)から乱数𝜂~𝑈(0,1)を発生させ，
𝑆𝑡1+Δ𝑡 (1, 𝑣 − 1) ≤ 𝜂 ≤ 𝑆𝑡1+Δt (1, 𝑣)(𝑣 = 1, ⋯ , 𝐽, 𝑆𝑡2 (0) = 0)

ションを用いた，リスクと調査間隔の関係を推定することによる調査間隔設定方法を提案した．なお，本研究で研究発表会にて提示する．
参考文献
1)

津田尚胤，貝戸清之，青木一也，小林潔司：劣化予測のためのマルコフ推移確率の推定，土木学会論文集，No.801，(47)

pp.69-82，2005．
2)をみたす𝑣がΔ𝑡後における健全度となる．得られた健全度から健全度ベクトルを作成し，同様の操作を健全度が𝑞になるまで繰り返すことにより，シミュレーションを実施する．シミュレーション回数が 100,000 回の任意の土木技術者実践論文集，土木学会，Vol.1，pp.143-155，
2010．
3)

国土交通省：下水道管路メンテナンス年報，2021．

4)

国土交通省：下水道事業のストックマネジメント実施に推移確率に対する場合の例を図-3(a)に示す．また図-3(b)には健全度𝑝から健全度𝑞に推移する際の経過時間の頻関するガイドライン-2015 版-，2015．
5)度分布を示している．許容されるリスクが𝛾%の場合，No.4，pp.857-874，2008．
6)𝑝(1 ≤ 𝑝 ≤ 𝐽 − 1)と推移確率Π(Δ𝑡)に応じて行うことに

小林潔司，熊田一彦，佐藤正和，岩崎洋一郎，青木一也：サンプル欠損を考慮した舗装劣化予測モデル，土木

より，最終調査時点の健全度に応じた調査間隔の設定が可能となる．

小濱健吾，岡田貢一，貝戸清之，小林潔司：劣化ハザー
ド率評価とベンチマーキング，土木学会論文集 A，Vol.64，

頻度分布の下位𝛾%にあたる経過時間が最適調査間隔となる．上記のシミュレーションを最終調査時点の健全度

小林潔司：土木工学における実践的研究：課題と方法，

学会論文集 F，Vol.63，No.1，pp1-15，2007．
7)

深谷渉，末久正樹，小川文章：アセットマネジメントに向けた下水道管きょ調査における調査頻度の提案，土木

5. おわりに

研究センター，土木技術資料 55-8．2013．

本研究では，下水道管渠を対象として，調査データに

8)

森村英典，高橋幸雄：マルコフ解析，日科技連，1979．

9)

貝戸清之，小林潔司，青木一也，松岡弘大：混合マルコ

対して統計的劣化予測モデルを活用した分析により，調フ劣化ハザードモデルの階層ベイズ推計，土木学会論文

査間隔設定方法を提案した．具体的には，劣化速度の異集D3，Vol.68，No.4，pp.255-271，2012．

質性とサンプル欠損バイアスを同時に考慮可能な劣化予- 78 -