数理解析研究所講究録1126 巻 2000 年 45-54

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On the cohomology of Coxeter groups

筑波大学大学院数学研究科
保坂哲也 (Tetsuya Hosaka)\S 1 はじめに本研究では, 有限生成な Coxeter group の cohomology を調べることを目的としている。 まず Coxeter group の定義を与える。 集合 $S$ と写像 $m:S\mathrm{X}sarrow \mathrm{N}\cup\{\infty\}$で次の条件をみたすものを考える。

(1) $m(s, t)=m(t, s)$ for all$s,$ $t\inS$,(2) $m(s, s)=1$ for all $s\in S$ ,(3) $m(s, t)\geq 2$ for all $s\neq t\in S$ .
このような $S$ と $m$ によって
$W=\langle$ $S|(st)^{m(s,t)}=1$

for$s,$ $t\in S\rangle$と表現される群 $W$ を Coxeier group とよぶ。 そして,$(W, S)$の組みを

Coxetersystem とよぶ。
Coxeter group の歴史は古く, その由来は, 鏡映によって生成される有限群 (有限鏡映群) が上記のような表現をもつ有限群として特徴付けられることを H. S. M. Coxeter が証明したことによる。 現在では有限無限を問わず, 上記のような表現をもつ群は Coxeter group とよばれる。 有限な Coxeter group については [B] にみられるように, 完全に分類が与えられるなど, ある程度のことがわかっているのだが,無限な場合についてはほとんど何も分かっていない状況にある。 本研究では, 直接扱うことの難しい無限の Coxeter group に対して, Coxeter system から定義される幾何的な対象を扱うことによって, もとの Coxeter group に関する情報を得ることを目的としている。 特にここでは, 最近 M. W. Davis によって [D3] の中で与46
Coxeter group のえられた Coxeter group の cohomology に関する公式を改良し,cohomology について考察する。

\S 2 Davis の定理
まず) いくつかの定義を与える。

is defined
Definition. Let $(W, S)$ be a Coxeter system. For a subset
as the subgroup of $W$ generated by , and called a parabolic subgroup. It is known. If is the empty set, thenthat the pair $(W_{T}, T)$ is also a Coxeter systemis the trivial group.
is finite. We note that
Let $S^{f}(W, S)$ be the family of subsets of such thatthe empty set is a member of $S^{f}(W, S)$ . We define a simplicial complex $L(W, S)$$T\subset S,$$W_{T}$$T$$T$$([\mathrm{B}])$$W_{T}$$T$$S$$W_{T}$

by the following conditions:(1) the vertex set of $L(W, S)$ is(2) for each nonempty subset$T\in s^{f}(W, S)$ .

For each nonempty subset

$T$

$T$

$S$

, and

of $S,$$T$

spans a simplex of $L(W, S)$ if and only ifof $S,$ $L(W_{T}, T)$ is a subcomplex of $L(W, S)$ .

are Coxeter systems, thenandRemark. If
and $(W_{1}*W_{2}, S_{1}\cup S_{2})$ are also Coxeter system. Indeed, if$(W_{2}, S_{2})$$(W_{1}, S_{1})$$W_{i}=\langle$$S_{i}|(sb)^{m_{i}}(S,t)=1$

for each $i=1,2$ , then we define $m,$ $m’$ :if$m(s, t):=\{$ $m_{2}(s, t)$ if
2otherwise,$m_{1}(S, t)$

for

$s,$

$(W_{1}\cross W_{2}, S_{1}\cup S_{2})$$t\in S_{i}\rangle$$S_{1}\cup S_{2}arrow \mathrm{N}\cup\{\infty\}$as$s,$ $t\in S_{1}$$m_{1}(s, t)$$s,$ $t\in S_{2}$$m’(_{S}, t):=\{$ $m_{2}(s, t)$$\infty$if
ifotherwise.

$s,$ $t\in S_{1}$$s,$ $t\in S_{2}$Then we have
S_{2}|(st)^{m(t}S,)=1$

for$s,$ $t\in S_{1}\cup S_{2}\rangle$$W_{1}*W_{2}=\langle$ $S_{1}\cup S_{2}|(st)^{m’(S\iota)}’=1$

for$s,$ $t\in S_{1}\cup S_{2}\rangle$$W_{1}\cross W_{2}=\langle$ $S_{1}\cup

,
.

47

By the definition of $L(W, S)$ , we also have
$L(W_{1}\mathrm{x}W_{2}, S_{1}\cup S_{2})=L(W_{1}, S_{1})*L(W_{2}, s_{2})$(simplicial join)$L(W_{1}*W_{2}, S_{1}\cup S_{2})=L(W_{1}, S_{1})\cup L(W_{2}, s_{2})$(disjoint union).

本論文では, Coxeter system $(W, S)$ について,$S$

は常に有限集合であるものとする。 また, 簡単のため$S^{f}:=S^{f}(W, S)$$L:=L(W, S)$$L_{T}:=L(W_{T}, T)$とあらわすことにする。

Definition. Let $(W, S)$ be a Coxeter system. We define $K$ as the simplicial coneover the barycentric subdivision sd of $L=L(W, S)$ . For each $s\in S$ , the closed. The closed star
star of in sd is denoted by
is a subcomplex of $K$ . For
each nonempty subset of , we set
$L$

$L$

$s$

$K_{s}$$T$$K_{s}$$S$$K^{T}:= \bigcup_{\tau S\in}K_{s}$.

has the same homotopy type as.

We note that

$K^{T}$

Definition.

For each $w\in W$ , we define asubset $S(w)$ of$L_{T}$$S$

as$S(w):=\{S\in S|\ell(wS)<\ell(w)\}$ ,is the minimum length of word inof , we define asubset
of $W$ as

where$\ell(w)$subset

$T$

$S$

$S$

which represents$w$. For each

$W^{T}$$W^{\tau_{:=}}\{w\in W|s(w)=^{\tau}\}$.

上記の定義のもと, M. W. Davis によって次の定理が証明された。

Theorem 1 (Davis [D3]). Let $(W, S)$ be a Coxeter system and let be a torsionfree subgroup of finite index in W. Then there exists the following isomorphism:$\Gamma$$H^{*}( \Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)\cong T\bigoplus_{\in Sf}(\mathrm{Z}(W^{\tau})\otimes H*(K, KS\backslash T))$

where$\mathrm{Z}(W^{T})$is the free abelian group on$W^{T}$.

,

48
Remark. It is known that there exists a torsion-free subgroup of finite index in(cf. [D1], [D3]).
aCoxeter group $W$ , and$\Gamma$$H^{*}(W;^{\mathrm{z}W})\cong H^{*}(\Gamma;\mathrm{z}\Gamma)$

いま,

$K$

は contractible で,$H^{*}(K^{S\backslash }\tau)$と$H^{*}(L_{s\backslash \tau})$は同型となるため, 上の定理は次のように書き換えることができる。

$H^{*}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)\cong\oplus\tau\in sf(\mathrm{z}(W^{\tau})\otimes\tilde{H}^{*}-1(L_{s\backslash T}))$

where$\tilde{H}^{*}$,

denotes the reduced cohomology.

この式からわかるように,$H^{i}(\mathrm{I}^{\urcorner};\mathrm{Z}\Gamma)$

分条件は, ある $T\in S^{f}$ で,$W^{T}$が (アーベル群として) 無限生成となる必要十が無限集合となり,$\tilde{H}^{i-1}(L_{s\backslash \tau})\neq 0$となるものが存在することである。
このように,$W^{T}$の元の個数は,$H^{i}(\mathrm{I}^{\urcorner};\mathrm{Z}\Gamma)$が有限生成となるか無限生成となるかに関わる係数であるのだが, 定義からもわかるように, 実際に直接求めることは困難である。

$\text{ここで},\tilde{H}^{*}(L_{S\backslash }\tau)$が自明でない場合に,$W^{T}$の元の個数がどのようになるのかを調べ, 上で述べた Davis の定理をより簡単にすることを考える。

\S 3$W^{T}$

について次の補題が成り立つ。 この補題の中の ‘only if’ については, [D3] の中で Davis によって証明されている。 その逆の ‘if’ の部分についても, 自然な議論によって証明することができる。

Lemma 2 (cf. [D3, Lemma 1.10]). Suppose that $T\in S^{f}$ . Then
if and only if $W$ decomposes as the direct product:

is a singleton$W^{T}$$W=W_{S\backslash T\tau}\mathrm{x}W$.

上の補題を用いて, 次の補題を示すことに成功した。 証明には様々な準備が必要となるため, ここでは証明は省略して証明の方針についてのみ記す。

Lemma 3. Suppose that $T\in S^{f}$ . If
is contractible.

$W^{T}$

is finite and not a singleton, then

$L_{S\backslash T}$

49

Idea. We give an idea of the proof. Suppose that

$W^{T}$

is finite and not a singleton.

Then $W$ does not decompose as the direct product of
andby Lemma 2.
Hence there exist
and $t_{0}\in T$ such that $m(S_{0}, t_{0})\neq 2$ . Then we showthat} )$W_{T}$$W_{S\backslash T}$$s_{0}\in S\backslash T$$L_{S\backslash T}=s_{0}*L_{s\backslash (\{S}0$

この補題から,$\cdot\bullet$$\cup\tau$が自明でない場合には,$\tilde{H}^{*}(L_{s\backslash }\tau)$

もしくは無限集合となることがわかる。 次に,$T$$W^{T}$

は–点からなる集合か,がどのような場合に$W^{T}$

が–点集合となるのかについて考える。 その準備として, 定義を与える。

Definition. A Coxeter system $(W, S)$ is said to be irreducible if, for any nonempty
and proper subset of $S,$ $W$ does not decompose into the direct product of.
and
Let $(W, S)$ be a Coxeter system. Then there exists a unique decompositionof such that $W$ is the direct product of the parabolic subgroups
and each Coxeter system
is irreducible (cf. [B], , p.30]).
$S_{q}\in S^{f}$ andHere we enumerate
so that. Let. We say thatis the essential parabolic subgroup
Si andin $W$ . We note thatis finite and $W$ is the direct product of
and
.
$T$

$W_{T}$$W_{S\backslash T}$$\{S_{1}, \ldots, S_{r}\}$$W_{S_{1}},$$\ldots,$$S$$(W_{S_{i}}, S_{i})$$W_{S_{r}}$$S_{1},$$\{S_{i}\}$$\tilde{T}:=\bigcup_{i=1}^{q}$$[\mathrm{H}$$S_{q+1},$$\ldots,$$\tilde{S}:=S\backslash \tilde{T}$$\ldots,$$S_{r}\not\in S^{f}$$W_{\tilde{S}}$$W_{\tilde{T}}$$W_{\overline{S}}$$W_{\tilde{T}}$Remark. The essential parabolic subgroup
has a finite index in $W$ . Hence a
torsion-free subgroup of finite index inhas a finite index in $W$ as well, and$W_{\overline{S}}$$\Gamma$$W_{\tilde{S}}$$H^{*}(W;\mathrm{Z}W)\cong H*(\Gamma;\mathrm{Z}\mathrm{r})\cong H^{*}(W;\mathrm{z}\tilde{s}W-)$

If $W$ is finite, then$\tilde{T}=S$

and$\tilde{S}$.

is empty, hence the essential parabolic subgroupis the trivial subgroup.
ここで定義された

Lemma 4.

Let

$T$

and

$W_{\tilde{T}}$は次のような性質をもつ。

be a subset of S. If

Proof. Suppose that
$W_{\tilde{S}}$$\tilde{T}$$\tilde{T}\backslash T$$\tilde{T}\backslash T$

is nonempty, then

$L_{S\backslash T}$

is contractible.

is nonempty. By definition, $W$ is the direct product of. Hence$W_{S\backslash T}=W_{\tilde{S}\backslash T}\cross W_{\overline{T}\backslash T}$.

$LS\backslash \tau=L_{\tilde{S}}*L_{\tilde{\tau}}\backslash T\backslash \tau$

and

50

is finite,
Since
tractible. 1$W_{\overline{T}}$is finite. Hence$W_{\tilde{T}\backslash T}$$L_{\overline{T}\backslash T}$

is a simplex. Thus

is con-$L_{S\backslash T}$

Lemma 3 と Lemma 4 を用いることにより, 次の補題を証明することができる。
この補題によって$H^{*}(L_{s}\backslash T)$

が自明でない場合のSuppose that $T\in S^{f}$ and.
if and only if

Lemma 5.

$L_{S\backslash T}$$W^{T}$の元の個数が決定される。

is not contractible. Then

$W^{T}$

is finite$T=\tilde{T}$is a singleton by
andSince $W$ is the direct product of.
is finite if
Lemma 2. Thus
is notis not contractible. Since
is finite andSuppose thatis finite and. Sinceis empty by Lemma 4. Hencecontractible,
is a singleton by Lemma 3. Hence $W$ is the direct
is not contractible,

Proof.

$W^{\tilde{T}}$$W_{\tilde{T}},$$W_{S\backslash \tilde{T}}$$T=\tilde{T}$$W^{T}$$W^{T}$$L_{S\backslash T}$$L_{S\backslash T}$$\tilde{T}\subset T$$\tilde{T}\backslash T$$W^{T}$$W^{T}$$L_{S\backslash T}$

product of$W_{S\backslash T}$

andby Lemma 2. Then

$W_{T}$$W=WS\backslash T\mathrm{X}W\tau=W_{s}\tilde{T}\backslash \mathrm{X}W_{\overline{T}}$Since$W_{T}$

is finite and$\tilde{T}\subset T$, we have$T=\tilde{T}$.

by the definition of$\tilde{T}$. 1\S 4 Coxeter grouP の cohomology について
Lemma 5 を用いることにより, Theorem 1 は次のように書き換えることができる。

Let $(W, S)$ be a Coxeter system andfinite index in W. Then
Theorem 6.

$\Gamma$a torsion-free subgroup of$H^{*}( \Gamma;\mathrm{z}\Gamma)\cong\tilde{H}*-1(L)\tilde{S}\oplus(_{\tilde{T}}\bigoplus_{S^{f}}\oplus\tilde{H}^{*}-1(Ls\backslash \tau)\mathrm{I}\subsetneqq^{\tau\in}\mathrm{Z}$$\cong\tilde{H}^{*-1}(\tilde{L})\oplus(_{\emptyset\neq\tilde{s}}T\bigoplus_{f\in}\oplus\tilde{H}*-1(\tilde{L})\tilde{S}\backslash \tau \mathrm{I}\mathrm{Z}$where$\tilde{S}$is the subset of$S$$\tilde{T}=S\backslash \tilde{S},\tilde{L}=L(W_{\tilde{s}},\tilde{s})$such that
and$W_{\overline{S}}$’is the essential parabolic subgroup in $W$ ,$\tilde{S}^{f}=S^{f}(W_{\tilde{S}},\tilde{S})=S^{f}\cap\tilde{S}$.

51

Proof. We note that

$W^{\tilde{T}}$is a singleton by Lemma 2. By Theorem 1 and Lemma 5,

we have that.

$H^{*}( \Gamma;^{\mathrm{z}}\mathrm{r})\cong\tilde{H}^{*-1}(L_{s}\backslash \tilde{\tau})\oplus(_{\tilde{T}}\bigoplus_{\neq T\in S^{f}}\bigoplus_{\mathrm{z}}\tilde{H}^{*}-1(L_{s}\backslash \tau))$

$r$

If

$\tilde{T}\not\subset T$(i.e.,$\tilde{T}\backslash T$

is nonempty), then

$L_{S\backslash T}$

is contractible by Lemma 4. Hence,$H^{*}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)\cong\tilde{H}^{*-1}(L_{s}\backslash \tilde{\tau})\oplus(_{\tilde{T}}$$\bigoplus_{\in,\subsetneqq^{Tsf}}\bigoplus_{\mathrm{z}}\tilde{H}^{*}-1(L_{S}\backslash \tau))$

The parabolic subgroup
has a finite index in $W$ , andparabolic subgroup in the Coxeter system. Therefore,$W_{\overline{S}}$$W_{\overline{S}}$.

is the essential$(W_{\overline{S}},\tilde{S})$$H^{*}( \Gamma;^{\mathrm{z}}\mathrm{r})\cong\tilde{H}*-1(\tilde{L})\oplus(_{\emptyset\neq T}\bigoplus_{\in\tilde{s}f}\bigoplus_{\mathrm{z}}\tilde{H}^{*-1}(\tilde{L}\overline{S}\backslash T))$

by Theorem 1 and Lemma 5.
この Theorem 6 により,Corollary 7.
index in
$W$

, and

$W,\tilde{S}$$\bullet$

直ちに次の系を得ることができる。

Let $(W, S)$ be a Coxeter system,a torsion-free subgroup of finite
the subset of such thatis the essential parabolic subgroup in. Then the following statements are equivalent:$S$$\Gamma$$W_{\tilde{S}}$$\tilde{T}=S\backslash \tilde{S}$(1)$H^{i}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)$

is finitely generated;(2)$H^{i}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)$

is isomorphic to(3)$\tilde{H}^{i-1}(L_{S\backslash T})=0$

for each$\tilde{H}^{i-1}(L_{S}-)$;$\tilde{T}\subsetneqq T\in S^{f}$.

ここで例を–つ与える。

It is known that, for every finite simplicial complex $M$ , there exists a
Coxeter system $(W, S)$ such that $L(W, S)$ is equal to the barycentric subdivision of$M$ ([Dl, Lemma 113]).
Example.

Let $(W, S)$ be a Coxeter system such that $L=L(W, s)$ is the barycentric subdivision of a triangulation of the projective plane. In [Dr], Dranishnikov showed

52

that

$\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{z}^{W}}=3$

andis the virtual cohomological. Now, using Theorem 6, we calculate the cohomology of a$\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Q}}W=2$, where$\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{d}_{R}W$

dimension of $W$ overtorsion-free subgroup of finite index in $W$ .
Since is the projective plane,$R$$\Gamma$$L$$\mathrm{Z}_{2}$$\tilde{H}^{i}(L)\cong\{$$0$$i=2$ ,,,

$i\neq 2$.

is a singleton, is the empty set (i.e.,
is not contractible and,$W=W_{S}$ is the essential parabolic subgroup) by Lemma 5. For eachhas the same homotopy type as a circle. Hence,Since$\tilde{T}$$W^{\emptyset}$$L=L_{S\backslash \emptyset}$$T\in S^{f}\backslash \{\emptyset\}$$L_{S\backslash T}$$\mathrm{Z}$$\tilde{H}^{i}(L_{S}\backslash \tau)\cong\{$$0$$i=1$ ,,,

$i\neq 1$.

Therefore, by Theorem 6, we have$H^{i}( \Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)\cong\tilde{H}i-1(L)\oplus(_{\emptyset\neq S^{f}}\bigoplus_{T\in}\oplus\tilde{H}^{i-1}\mathrm{z}$$(L_{s\backslash \tau))}$$\mathrm{Z}_{2}$$\cong\{$$0$$i=3$ ,
$i=2$ ,,$\mathrm{Z}\oplus \mathrm{Z}\oplus\cdots$,otherwise.

,

上の例からもわかるように, Coxeter group $W$ で,り,$H^{j}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)$$H^{i}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)$$H^{i}(\Gamma;\mathrm{z}\Gamma)$は有限生成となは無限生成となるもの ( $i\neq$ のが存在する。 特に, 各が有限生成となる場合については,

$i$

について

Theorem 6 の系として次が得られる。

Let $(W, S)$ be a Coxeter system, a torsion-free subgroup of finite
is the essential parabolic subgroupindex in $W$ , and the subset of such that
in W. Then the following statements are equivalent:

Corollary 8.

$\Gamma$$\tilde{S}$$S$$W_{\tilde{S}}$(1)$H^{i}(\Gamma;^{\mathrm{z}}\Gamma)$

is finitely generated for each .

(2)$H^{i}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)$

is isomorphic to(3)$\Gamma$$i$$\tilde{H}^{i-1}(L)\tilde{s}$is aPoincar\’e duality group.

for each .
$i$

53

Coxeter system に対して, 空間$\Sigma$が次のように定義される。

Let $(W, S)$ be a Coxeter system and let $WS^{j}$ be the set of all cosetsof the form $wW_{T}$ , with $w\in W$ and $T\in S^{f}$ . The set $WS^{f}$ is partially orderedby inclusion. The contractible simplicial complex
is defined as the geometricrealization of the partially ordered set $WS^{f}$ (\S 3], [D1]). If $W$ is infinite, thenis noncompact.
Definition.

$\Sigma$$[\mathrm{D}3,$$\Sigma$$\Sigma$は次のような性質をもつことが知られている。

Remark. It is known that can be cellulated so that the link of each vertex is(\S 9, \S 10], [M]). In [M], G. Moussong proved that a natural metric onsatisfies the CAT(O) condition. Hence, if $W$ is infinite, can be compactified by. It is known that
adding its ideal boundary$\Sigma$$L$$\Sigma$$[\mathrm{D}2,$$\Sigma$$\partial\Sigma([\mathrm{D}2, \S 4])$

$H^{*}(\Gamma;\mathrm{Z}\Gamma)\cong H^{*}(W;^{\mathrm{z}}W)\cong H_{C}^{*}(\Sigma)\cong\check{H}*-1(\partial\Sigma)$,

is a torsion-free subgroup of finite index in $W$ . Hereanddenote thecompactly supported cohomology and the \v{C}ech reduced cohomology, respectively.

where$\check{H}^{*}$$\Gamma$$H_{c}^{*}$

実際, Davis によって証明された Theorem 1 は,この$\Sigma$の cohomology$H_{c}^{*}(\Sigma)$を計算することによって得られている。
上の Remark と Corollary 8 から直ちに次を得る。

Corollary 9

Let $W$ be a Coxeter group.

(1) $H^{i}(W;\mathrm{Z}W)$ is finitely generated for each$i$

if and only if$W$

is a virtual

Poincar\’e duality group.

(2) Suppose that $W$ is infinite. Thenand only if the \v{C}ech cohomology of$n$-sphere for some .
$n$$\check{H}^{i}(\partial\Sigma)$$\partial\Sigma$

is finitely generated for each

$i$

if

is isomorphic to the cohomology of an54

References[B]

N. Bourbaki, Groupes et Algebr\‘es de Lie, Chapters IV-VI, Masson, Paris,

1981.
[Br]

K. S. Brown, Cohomology of groups, Springer-Verlag, New York, Heidelberg,
Berlin, 1982.

[D1]

M. W. Davis, Groups generated by reflections and aspherical manifolds notcovered by Euclidean space, Ann. of Math. 117 (1983), 293-324.

[D2]

M. W. Davis, Nonpositive curvature and reflection groups, Preprint (1994).

[D3]

M. W. Davis, The cohomology of a Coxeter group with group ring coefficients,
Duke Math. J. 91 (no.2) (1998), 297-314.

[Dr]

A. N. Dranishnikov, On the virtual cohomological dimensions of Coxeter
groups, Proc. Amer. Math. Soc. 125 (no.7) (1997), 1885-1891.

[F]

F. T. Farrell, Poincar\’e duality and groups of type $(FP)$ , Comment. Math.
Helv. 50 (1975), 187-195.

[H]

J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.

[M]

G. Moussong, Hyperbolic Coxeter groups, Ph.D. thesis, The Ohio State University, 1988.