博士（理学）増田貴宏
学 位 論 文 題 名
Periods, Higgs Fields and Prepotentials in

N= 2S
upersymm
etric

Yang‑Mills Theory(N =2超対称ヤンミルズ理論における周期，ピッグス場とプレポテンシャル）

学 位 論 文 内 容 の 要旨

近 年4次 元 の N〓 2超 対称 ヤ ンミ ル ズ理論 において 大きな発 展がなされ た。Seibergと Wittenはゲージ 群がSび(2)で物 質場が入 っていな い場合の 低エネルギ￣の有効理論の 厳密解を、双対性と解析性に基づき楕円曲線を導入して見い出した。彼らの仕事の拡張、っまり物質場を導入した場合や、ゲージ群をSび (2)より高階に拡張した場合の研究がこれ以降盛んになされた。これらの研究において弱結合領域の理論の振る舞いは様々な方 法で調べられている。例えばPicard‑Fuchs方程式を厳密に解く方法や、それが難しい
場合にはプレポテンシヤルを摂動的に求める方法などがある。またこれらの厳密解からの結果と、直接的なインスタントン計算とを比較するチェックがなされており、ゲージ群がSU(2)で 物質場の ある場合、 あるいはそれ以上の高階なゲージ群の場合でも無矛盾な結果が得られている。
Seibergと Wittenの厳密解 の強カな点は、弱結合領域の振る舞いだけでなく、強結合領域の振る舞いも調べられるところであり、ここからはまさに非摂動的な効果を見いだすことができる。強結合領域の解析が進む中で、物質場を導入したルゲージ群を高階にした
場合、コンフオーマルポイントと呼ばれるくりこみ群の赤外固定点と思われる点、っまルプレポテンシヤルがダイナミカルな質量スケールに依存しなくなる点を持っという指摘がされている。この解析はコンフオーマルポイントからの摂動をかけたときのスケーリングを元に行なわれており、この点のまわりの完全な表式はまだ得られていない。これらの理論 においてコンフオーマルポイントの周りで場がどのような関数形をしているかを調べて 、より具 体的な理論 の振る舞 いを調べ ることは 非常に興 味深いことだと思われる。
我々は過去の論文で、このような理論において周期やヒッグス場の積分表現の評価を行 ってきた。その過程で、ゲージ群がSび(2)で物質場の入っている場合には物質場の質量パラメータを特別な値に固定すると、コンフオーマルポイントのまわりの場の表現が弱結合領域からの解析接続によって得られることが分かってきた。また一方で理論のゲージ群 がSび(2)より高階な場合については、弱結合領域のヒッグス場とその双対場の積分表示を直接評価する方法を研究してきた。本論ではこれらの手法を組合せ、理論の真空を記述 する全てのパラメ一夕をコンフオーマルポイントからのずれとして扱い、この点の周りの展開として場を表現する方法を調べることにする。場の積分表示を評価する際には1つのパラメータのずれだけを大きくし他のパラメータはコンフオーマルポイントに十分近いとしておいて、積分を評価してからこのパラメータをコンフオーマルポイントの近くに解析接続するという手法をとる。通常、対数的な特異性のある領域への解析接続は分岐の取り方により結果が異なるので注意が必要である。しかし、我々がこれから扱うのは対数的な特異性の無くなる特別な点への解析接続なので、この解析接続の正当性は本論で見るように簡単に確かめられる。実際この手法はカラピヤウ多様体で周期を求めるときに使われている手法の拡張になっている。
一般にコンフオーマルポイントは非常にたくさん存在することが知られており、それら全てを調べることは出来ない。本論ではまず過去の我々の積分表示の評価方法を簡単に振 り返り、 その方法を応用してゲニジ群がSU(2)で物質場が入っている場合と、物質場の ないSび（ へr）及びS〇(2N)理論、更にゲージ群がSU(3)で物質場が2つ入っている場合を取り扱うことにする。結果としてこれらの理論のコンフオーマルポイントのまわりでの場の表式をパラメ一夕の関数として具体的に導いた。このコンフオーマルポイントまわりのヒッグス場の表式から、この点のまわりの理論の振舞いが直接見てとれるようになり、この点が実際に理論のくりこみ群の赤外固定点になっていることを明らかにした。また ゲージ群 がSU(2)で物質場のない場合及び導入した場合それぞれのコンフオーマルポ
イントが、2次元超対称共形場理論のランダウギンッブルグポイントに対応する関係があることも明らかにした。

− 149−

学位論文審査の要旨
主 査

教 授

石 川 健 三副査 教授 河本 昇
副査 助教授 加藤幾芳
副査 助教授 鈴木久男

学論 文 題名．

Periods, Higgs Fields and Prepotentials in

N=2Supersymmetric

Yang‑Mills Theory(N =2超対 称ヤ ンミ ルズ 理 論に おけ る周 期， ビッ グス 場と プレポテンシャル）

本 論 文 は 、 こ の よ う な 現 況 に あ る 超 対 称 れ ：ルス゛ 理 論 に つ い て 、 超 幾 何 級 数 を 用
い て 解 析 接 続 を 行 い 、 物 質 場 が 結 合 し た 理 論 や様々 な 群 に 対 する 理 論 で 、 弱 結 合領域
域｀的と強 結合領を 結びつけ厳 密 解 を 求 め 、よって一股なN=2超 対称ケ゛―シ 理論のす的、た。
性質を解明ることを目としてなさ
れ
その結果点の点
性
た 特に 共 形 不 変 な 臨 界
存在 と臨界で の理論の質 が 初 め て 明 きらかになつ。
r 仙 ．
論 を ‐
理局 的 示大密 解 な
厳極 め をて常本論文

ヅ ・す r解 析成構
明解F
跚（ 2N） ケ゛ ‑解析されザkがなされ恥分が消え・、が明きらかれた。これな共形不変
き性質を明めちりと求れ的にえられた。

n 竹
舛 マ
性 とするが困理 論 でけ ル がに 基 づ
r 叫 マ
難 で ぁは 物理 論
き 楕
け ける 強質 場の 持円 曲か ら
結 合を 持つ 超線 理、 弱領 域

た な い
対 称 性論 を 使
結 合 領で の 性馴 弛に 加い 求域 で質 まH パ
え てめ らの 理
で がM ゛理論の低エネルキ゛ーで の有効、電気と磁気との双 対性とれ、厳密解を構成して いる。
論
わ の性質ぱかりでな く、通とに なる。

かってしまうこ廴mこ［紬【恥《い『k物
飢れ性込れ、点に、さ

醐』
弧》
碯ふ
鯆
《幟』
弧が
凵
対解のさ合づ。にこ結り
し
明
赤ら
領
求
こ
それ

…
…
…
…
…
：
…
：
…
…
…

h
こ
拡でき峨
［蝋え觚
《、ミゎ
《の、：お軸《…
…
…
『』『粕― 150―w
』
…
、
亂』
織
『論弼
れ
特とそ哂にでが値、叭、に思の
恥
対共パを

髑〕
磯
［純《眦【鰤［ぬ場り
何曲

糺
…
噛
《恥
『…

『…
【』。
。
m

剛
『黼『すが恥

N
オkオ
る
調W

…
…
鯲《『『…

こ の よ う に し て 、 こ れ ら の N=2超 対 称 理 論 で 共 形 不 変 な 臨 界 点 上 及 び そ の 近 傍 での 理論 の 性 質が 初 めて あ きら か にさ れた。こ れらの結果 の物理への 応用は興味 深
い もの で あ る。
こ れ を 要 す る に 、 著 者 は 、 一 般 化 さ れ た N=2超 対 称 ケ ゛ ー シ ´ 理 論 の 厳 密 解 、 特 に 共形不 変 な臨 界点にっ いて興味深 い新しい知 見を得たも のであり、 場の理論の 理解に対 し 貢 献す る とこ ろ 大 ナょ る もの で あ る。
よ っ て著者は、 北海道大学 博士（理学 ）の学位を 授与される 資格あるも のと認め る。

― 151 ‑−