Problèmes mathématiquespour le prochain siècle1
Steve SMALE(City University of Hong Kong)

Introduction
V. I. Arnold, au nom de l’Union Mathématique Internationale, a écrit à
plusieurs mathématiciens pour leur demander de décrire quelques grands problèmes pour le prochain siècle. Ce rapport est ma réponse.
L’invitation d’Arnold est en partie inspirée de la liste de Hilbert de 1900 (voirpar exemple [Browder, 1976]) et j’ai utilisé cette liste pour m’aider à écrire cet
essai.
Je propose 18 problèmes, choisis avec les critères suivants :(1) énoncé simple. Aussi, de préférence, précis mathématiquement.
(2) connaissance personnelle du problème. Je ne l’ai pas trouvé facile.
(3) ma conviction que la question, sa solution, des résultats partiels ou mêmedes tentatives de solution auront vraisemblablement une grande importancepour les mathématiques et leur développement au siècle prochain.
Certains de ces problèmes sont bien connus. En fait, y sont inclus ce queje crois être les trois plus grands problèmes ouverts des mathématiques : l’hypothèse de Riemann, la conjecture de Poincaré et « P=NP ? ». En dehors del’hypothèse de Riemann, l’un des énoncés ci-dessous est sur la liste de Hilbert(le 16e problème de Hilbert). Il y a un certain recouvrement avec mon papier
précédent « Dynamics retrospective, great problems, attempts that failed »[Smale, 1991].
Commençons.

Problème 1 : L’hypothèse de Riemann
Les zéros de la fonction zêta de Riemann, déﬁnie par le prolongement
analytique de∞
1,Re(s) > 1
ζ(s) =
snn=1
situés dans la bande critique 0  Re(s)  1, sont-ils tous sur la droite
Re(s) = 12 ?
C’était le problème no 8 sur la liste de Hilbert. Il y a beaucoup de bonslivres faciles à trouver sur la fonction zêta et l’hypothèse de Riemann. Aussi je
m’arrête là.
Conférence prononcée à l’occasion du 60e anniversaire d’Arnold, à l’institut Fields, Toronto, juin 1997. Ce texte a été publié en anglais dans The Mathematical Intelligencer, vol.
20, no 2, 1998.

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S. SMALE

Problème 2 : La conjecture de Poincaré
On suppose qu’une variété compacte connexe de dimension 3 a la
propriété que tout cercle de cette variété peut être déformée sur un point.
Est-elle alors homéomorphe à la 3-sphère ?
La n-sphère est l’espace
S n = {x ∈ Rn+1 | x = 1} ,x2 =

n+1


x2i .

i=1

Une variété compacte de dimension n peut être assimilée à une surface fermée bornée de dimension n (diﬀérentiable et non singulière) dans un espace
euclidien.
La conjecture de Poincaré en dimension n aﬃrme qu’une variété M compacte
de dimension n, ayant la propriété que tout plongement f : S k → M , k < n(ou de façon équivalente, k  n/2) peut être déformée sur un point, doit êtrehoméomorphe à S n .
Henri Poincaré a fait œuvre de pionnier en étudiant ces problèmes dansses articles de topologie. En 1900 Poincaré a annoncé une preuve dans le cas
général à n dimensions (voir [Poincaré, 1953], pp. 338–370). Ensuite (en 1904)
il a trouvé un contre exemple à sa première version de l’énoncé [Poincaré 1953,
pp. 435–498]. Dans le second article il se limite à n = 3 et énonce le cas dedimension 3 sous la forme ci-dessus (et non pas comme une « conjecture »).
Mon rapport personnel avec ce problème est décrit dans [Smale, 1990], oùj’écrivais :« J’ai entendu parler pour la première fois de la conjecture de Poincaré
en 1955 à Ann Arbor alors que je rédigeais ma thèse sur un problèmede topologie. Peu de temps après, j’eus l’impression d’avoir trouvé une
preuve (en dimension 3). Hans Samuelson était dans son bureau, et, très
excité, je lui esquissai mon idée [. . . ] Après avoir quitté son bureau, je me
rendis compte que ma « preuve » n’avait utilisé aucune hypothèse sur la
3-variété ».
En 1960, « sur les plages de Rio », j’ai donné une réponse aﬃrmative à laconjecture de Poincaré en dimension n pour n > 4. En 1983, Mike Freedmana donné une réponse aﬃrmative pour n = 4. (Note : pour n > 4, j’ai démontré
un résultat plus fort, à savoir que M est la réunion lisse de deux domaines
M = Dn ∪ Dn ; ce problème est encore ouvert aujourd’hui pour n = 4.)
Pour des références sur ces sujets, en plus de celles déjà données, voir [Smale,1963].
Beaucoup d’autres mathématiciens après Poincaré ont aﬃrmé avoir une
preuve du cas n = 3. Voir [Taubes, 1987] pour une description de quelquesunes de ces tentatives.
Une raison pour laquelle la conjecture de Poincaré est fondamentale dansl’histoire des mathématiques est qu’elle a permis de se concentrer sur les variétés
comme objet d’études. En ce sens, Poincaré a poussé une grande partie desmathématiques du 20e siècle à s’intéresser aux objets géométriques, incluant
les variétés algébriques, riemanniennes, etc.
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J’ai la conviction qu’un phénomène comparable se produit aujourd’hui pourla notion « d’algorithme en temps polynomial ». On analyse maintenant lesalgorithmes pour eux-mêmes, et pas simplement comme un moyen de résoudred’autres problèmes. Aussi je suggère que, de même que l’étude de l’ensemble
des solutions d’une équation (c’est-à-dire une variété) a joué un rôle importantdans les mathématiques du 20e siècle, la question du calcul des solutions (c’està-dire un algorithme) peut jouer un rôle d’égale importance au prochain siècle.

Problème 3 : P=NP ?
Je considère parfois ce problème comme un cadeau des informaticiens auxmathématiciens. Il peut être utile de le mettre sous une forme qui ressemble
davantage à des mathématiques traditionnelles.
Pour cela, considérons d’abord le théorème des zéros de Hilbert sur lesnombres complexes. Soient donc f1 , . . . , fk des polynômes complexes à n variables ; il nous est demandé de décider s’ils ont un zéro commun ζ ∈ C n .
Le théorème des zéros aﬃrme qu’il n’y en a pas si et seulement s’il existe despolynômes complexes g1 , . . . , gk à n variables satisfaisant l’identité polynomiale

(1)

k


gi fi = 1.

1

Le théorème des zéros eﬀectif, établi par Brownawell (1987) et d’autres,
précise que dans (1) on peut rajouter que les degrés des gi satisfont
deg gi  max(3, D)n ,D = max deg fi .

Avec cette borne sur le degré, le problème de décidabilité devient un problème d’algèbre linéaire. Etant donnés les coeﬃcients des fi , on peut vériﬁer
si (1) a une solution en les coeﬃcients des gi . Ainsi, on a un algorithme pourdécider du problème des zéros. Le nombre d’opérations arithmétiques de cetalgorithme augmente exponentiellement par rapport au nombre de coeﬃcientsdes fi (la taille des données).
Conjecture (P = NP dans C ). Il n’y a pas d’algorithme en temps
polynomial pour décider du problème des zéros.
Un algorithme en temps polynomial est un algorithme dont le nombre depas de calcul est borné par un polynôme en le nombre des coeﬃcients des fi .
Pour donner un sens mathématique à cette conjecture, on a besoin d’une
déﬁnition formelle de ce qu’est un algorithme. Dans ce contexte, la déﬁnition
traditionnelle d’une machine de Turing n’est pas intéréssante.
Dans [Blum-Shub-Smale, 1989] une déﬁnition satisfaisante est proposée, etla théorie associée est exposée dans [Blum-Cucker-Shub-Smale (ou bcss),1997].
Très brièvement, une machine sur C a comme entrées une chaîne ﬁnie denombres complexes, et de même pour les états et les sorties. Les calculs sur lesétats incluent les opérations arithmétiques et les décalages de la chaîne. Enﬁn,on se donne une opération de branchement conditionnel, « x1 = 0? ».
La taille d’une entrée est le nombre d’éléments de la chaîne d’entrée. Le
temps d’un calcul est le nombre d’opérations machine utilisées dans le passage
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S. SMALEdes entrées aux sorties. Ainsi la notion d’algorithme en temps polynomial sur
C est bien déﬁnie.
Notez bien que tout ce qui a été dit sur les machines et la conjecture utilise
uniquement la structure de corps de C et, à partir de là, à la fois la machine etla conjecture marchent sur n’importe quel corps. En particulier, si le corps est
le corps à deux éléments Z/2Z, nous retrouvons les machines de Turing.
Considérons le problème de décision : soit en entrées k polynômes à n variableset à coeﬃcients dans Z/2Z. Ont ils un zéro commun ζ ∈ (Z/2Z)n ?
Conjecture. Sur Z/2Z, il n’y a pas d’algorithme en temps polynomial
pour décider si ce problème est résoluble.
C’est une simple reformulation de la conjecture classique P = N P .
Ci-dessus j’ai laissé de côté les notions de base et les théorèmes relatifs à laNP-complétude. Pour le cas classique de Cook et Karp, voir [Garey-Johnson,
1979], et pour la théorie sur un corps arbitraire, voir [bcss].

Problème 4 : Zéros entiers d’un polynômeCommençons par déﬁnir un invariant diophantien τ en vue de la théorie
de la complexité. Un programme pour un polynôme f ∈ Z[t] en une variableà coeﬃcients entiers est l’objet (1, t, u1 , . . . , uk ) où uk = f , et pour tout ,u = ui ◦ uj , i, j < , où ◦ est + ou − ou ×. Ici u0 = t, u−1 = 1. Alors τ (f )est le plus petit k sur tous ces programmes.
Le nombre de zéros entiers distincts de f est-il polynomialement bornépar τ (f ) ? En d’autres termes, a-t-on
Za (f )  τ (f )cpour tout f ∈ Z[t]où Za (f ) est le nombre de zéros entiers distincts de f et c une constanteuniverselle ?
Avec Mike Shub nous avons découvert ce problème dans nos études sur lacomplexité. Nous avons démontré qu’une réponse positive entraînait l’impossibilité de résoudre le problème des zéros comme problème de décision sur C etdonc P = N P sur C. Voir [Shub-Smale, 1995] et aussi [bcss].
Puisque le degré de f est inférieur ou égal à 2τ +1 avec τ = τ (f ), il n’y a pas
plus que 2τ +1 zéros en tout.
Pour les polynômes de Chebyshev, le nombre de zéros réels distincts croît
exponentiellement avec τ .
Beaucoup de problèmes diophantiens classiques comportent deux variables
ou plus. Celui-ci demande une estimation en une seule variable, et cependant
il ne semble pas facile.
Voici un problème voisin. Un programme pour un entier m est l’objet(1, m1 , . . . , m ) où m = m, m0 = 1, mq = mi ◦ mj , i, j < q et ◦ = +, − ou×. Alors, soit τ (m) le minimum de , sur tous ces programmes. Ainsi τ (m)représente la façon la plus courte de construire un entier m en partant de 1 et
en utilisant les opérations d’addition, de soustraction et de multiplication.
Problème : existe-t-il une constante c telle que τ (k!)  (log k)c pour tout
entier k ? On peut s’attendre à ce que ce soit faux, ce qui entraînerait que k!
est diﬃcile à calculer. Voir [Shub-Smale, 1995].
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Problème 5 : Bornes sur la hauteur
pour les courbes diophantiennes
Peut on décider si une équation diophantienne f (x, y) = 0 (aveccf ∈ Z[u, v] donné) est résoluble en temps 2s où c est une constanteuniverselle ?
On désigne par s = s(f ) la taille de f déﬁne pars(f ) = |α|d (log |aα | + 1), f (x, y) = |α|d aα xα1 y α2 , α = (α1 , α2 )et |α| = α1 + α2 , αi  0.
On dit que f (x, y) est résoluble s’il existe des entiers x, y avec f (x, y) = 0.
On utilise le modèle de calcul de Turing.
Ce problème est posé surtout dans [Cucker-Koiran-Smale, 1999]. La tailles(f ) est une version de la « hauteur » de f . Des conjectures sur les bornes deshauteurs comme dans [Lang, 1991] peuvent se montrer très utile pour attaquer
ce problème. Voir aussi [Manders-Adelman, 1978].

Problème 6 : Finitude du nombred’équilibres relatifs en mécanique céleste
Etant donné des nombres réels positifs m1 , . . . , mn représentant lesmasses dans le problème des n corps en mécanique céleste, le nombre deséquilibres relatifs est-il ﬁni ?
Ce problème se trouve dans le livre de mécanique céleste de Wintner (1941).
Un équilibre relatif est une solution des équations de Newton qui est induite
par une rotation plane.
Pour le problème des 3 corps il y a cinq équilibres relatifs : trois trouvés par
Lagrange, deux par Euler. Pour 4 corps, la question est ouverte.
Dans [Smale, 1970], j’ai interprété les équilibres relatifs comme points critiques d’une fonction induite par le potentiel du problème plan des n corps.
Plus précisément les équilibres relatifs correspondent aux points critiques deV̂ : (Sk − ∆)/SO(2) → Roù Sk = {x ∈ (R ) |mi xi = 0, 12
mi xi 2 = 1},∆ = {x ∈ Sk | ∃(i, j), i = j, xi = xj }.
Le groupe des rotations SO(2) agit sur Sk −∆ et V̂ est induite sur le quotientpar le potentiel
 mi mj.
V (x) =
xi − xj i<j2 nNotez que V : Sk → R est invariant par le groupe de rotation SO(2) et quel’espace quotient Sk /SO(2) est homéomorphe à l’espace projectif complexe dedimension n − 2.
Mike Shub (1970) a montré que l’ensemble des points critiques est compact
et Palmore (1976) que même pour n = 4, V̂ peut avoir des points critiques
dégénérés.
Les équilibres relatifs jouent un rôle important en mécanique céleste, parexemple, dans la bifurcation du moment angulaire. De plus dans le système
solaire, les planètes troyennes correspondent aux équilibres relatifs de Lagrange.
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S. SMALE

Kuz’mina (1977) a trouvé des majorations explicites dans le cas générique.
On trouvera d’autres informations dans [Abraham-Marsden, 1978].

Problème 7 : Distribution de points
sur la sphère de dimension 2
1
Soit VN (x) =1i<jN log xi −xj  où x = (x1 , . . . , xN ), les xi sont despoints distincts sur la sphère S 2 ⊂ R3 , et xi − xj  est la distance dans R3 . Onécrira VN pour minx VN (x).
Trouver (x1 , . . . , xN ) tels que(2)

VN (x) − VN  c log N ,c constante universelle.

« Trouver » veut dire donner un algorithme qui, avec N en entrée, fournit
en sortie des points distincts x1 , . . . , xN sur la sphère qui satisfont (2). Pourêtre précis on pourrait prendre un algorithme sur les nombres réels au sens de[bcss] (en rajoutant le calcul d’une racine carrée) avec un temps d’exécution
polynomial en N .
Ce problème provient de la théorie de la complexité, dans un article écrit
avec Mike Shub (voir [Shub-Smale, 1993]). Sa motivation était de trouver unbon polynôme de départ pour un algorithme d’homotopie réalisant le théorème
fondamental de l’algèbre.
On dit que le N -uplet (x1 , . . . , xN ) = x est un point elliptique de Fekete sil’on a VN (x) = VN (voir [Tsuji, 1959]).
La fonction VN en tant que fonction de N vériﬁe 
VN = − 14 log 4e N 2 − 14 N log N + O(N ) .
Il est naturel de considérer également les fonctions
1
VN (x, s) =,VN,s = min VN (x, s) ,
x
x
−
xj s
i
i<j
avec x comme précédemment et 0 < s < 2. Les valeurs particulières VN (x) et
VN correspondent d’une façon naturelle à s = 0, et pour s = 1, VN (x, 1) est
le potentiel de Coulomb, et VN (1) correspond à la position d’équilibre de Nélectrons astreints à rester sur la 2-sphère.
J’ai demandé à Ed Saﬀ de m’aider à résoudre le problème principal cidessus. Ultérieurement, lui et ses collègues ont écrit plusieurs bons articles en
rapport avec le sujet et ses ramiﬁcations. Voir [Kuijlaars-Saaf, 1997] et [SaafKuijlaars, 1997] pour une meilleure idée du contexte et d’autres précisions. Dans
Rakhmanov-Saﬀ-Zhou (1994], on trouve des calculs numériques (N = 12000)
à l’appui de ces problèmes.
Un autre point de vue sur notre problème principal consiste à optimiser lafonctionxi − xj  .
WN (x) = (exp VN (x))−1 =i<j

Cependant, comme il est écrit dans [Shub-Smale, 1993], « . . . ceci n’est peutêtre pas si facile puisqu’il y a des points selle d’indice N (N points x1 , . . . , xN
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17équidistribués sur un grand cercle de la sphère). En plus, les diverses symétries
de WN risquent de brouiller le dessin. »Problème 8 : Introduction de la
dynamique dans la théorie économique
Le problème suivant ne relève pas des mathématiques pures, mais est àl’interface de l’économie et des mathématiques. Il n’a été résolu que dans descas très particuliers.
Etendre le modèle mathématique de la théorie de l’équilibre général
pour inclure les ajustements de prix.
Il y a une théorie (statique) de l’équilibre des prix en économie qui a commencé avec Walras et qui s’enracine dans l’œuvre de Arrow et Debreu (voir[Debreu, 1959]). Pour le cas trivial d’un seul marché, ceci se ramène à l’équation « oﬀre égale demande », et l’on trouve facilement une dynamique naturelle[Samuelson, 1971]. Pour plusieurs marchés, la situation est complexe.
Il y a une fonction appelée l’excès de demande Z(p) = D(p) − S(p) del’ensemble des prix dans l’ensemble des biens. A la fois la demande D etl’oﬀre S sont déﬁnies par agrégation des demandes et oﬀres individuelles. Lessciences économiques justiﬁent des conditions sur le comportement individuelqui conduisent à des axiomes sur Z. Ces axiomes pour la fonction d’excès dedemande Z : R+ → R sont :(1) Z(λp) = Z(p), pour tout p = (p1 , . . . , p ), pi  0, λ ∈ R, λ > 0.
(2) i=1 pi Zi (p) = 0, loi de Walras (la valeur totale est zéro).
(3) Zi (p) > 0 if pi = 0 (demande positive pour un bien gratuit).
En vertu de (1),(2),(3), Z peut être interprété comme un champ de vecteur sur l’ensemble des points de la ( − 1)-sphère à coordonnées positives,
champ qui, sur la frontière, pointe à l’intérieur. L’existence d’un vecteur desprix d’équilibre p∗ découle du théorème de Hopf, qui entraîne Z(p∗ ) = 0, et« oﬀre égale demande ».
Dans le problème 8, on recherche un modèle dynamique, dont les états sontles vecteurs de prix (avec une déﬁnition élargie pour inclure d’autres variableséconomiques). Cette théorie doit être compatible avec la théorie existante deséquilibres. Une caractéristique agréable en serait que l’évolution des prix enfonction du temps soit déterminée par les actions individuelles des agents économiques.
J’ai travaillé sur ce problème pendant plusieurs années, en pensant quec’était le problème principal des Sciences économiques [Smale, 1976]. Voir aussi[Smale, 1981] pour les bases.

Problème 9 : Le problème de programmation linéaire
Existe-t-il un algorithme en temps polynomial sur les nombres réels
qui décide si le système linéaire d’inégalités Ax  b a une solution ?
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S. SMALE

L’algorithme recherché dans ce problème doit fonctionner sur une machine
travaillant en nombre réels au sens de [bcss] (voir problème 3). Le système
Ax  b est décrit par une matrice réelle A à m lignes
et n colonnes et un vecteurb ∈ Rm et la question est : existe-t-il x ∈ Rn avec nj=1 aij xj  bi pour tout
i = 1, . . . , m ? Le temps est mesuré par le nombre d’opérations arithmétiques.
Ce problème est dans [bcss].
Il y a une version « problème de décision » du problème d’optimisation de laprogrammation linéaire : étant donnés A, b comme ci-dessus et c ∈ Rn , décidersimax c · x avec la contrainte Ax  b

x∈Rn

existe, et si oui, calculer un tel x.
La célèbre méthode du simplexe de Dantzig fournit un algorithme pour ces
deux problèmes (sur R) mais Klee et Minty ont montré qu’il était exponentiellement lent dans le pire des cas. D’autre part, Borgwardt et moi avons démontré,
avec une importante aide ultérieure de Haimovich, qu’en moyenne il était entemps polynomial. Pour tout cela, voir [Schrijver, 1986].
Dans le cadre du modèle de calcul de Turing, qui utilise les nombres rationnels Q, et dans lequel le coût est mesuré au niveau des « bits », il y a undéveloppement parallèle. A partir des idées de Yudin-Nemirovsky, Khachian atrouvé un algorithme en temps polynomial (la méthode de l’ellipsoïde) pour leproblème de programmation linéaire. Ensuite, Karmarkar avec sa « méthodedu point intérieur » a trouvé un algorithme utilisable en pratique pour ce problème, et il a montré qu’il fonctionnait en temps polynomial dans le modèle deTuring. Pour tout cela, on peut consulter [Grötschel-Lovász-Schrijver, 1993] et[Schrijver, 1986].
Plus proche du problème principal posé ci-dessus sur R, il existe un problème similaire qui demande à trouver un « algorithme fortement polynomial »sur Q pour résoudre ces problèmes de programmation linéaire. Cette notiond’algorithme requiert que le nombre d’opérations arithmétiques ainsi que lenombre d’opérations sur des bits soit polynomial par rapport à la taille enbits des données (m × (n + 1)). Megiddo et tout particulièrement Tardos (voir[Grötschel-Lovász-Schrijver, 1993]) ont obtenus des résultats partiels.
Pour le problème sur R, il y a aussi comme références [Barvinok-Vershik,1993] et [Traub-Woźniakowski, 1982].

Problème 10 : Le « Closing Lemma » 2
Soit p un point non-errant d’un diﬀéomorphisme S : M → M d’unevariété compacte. Peut on arbitrairement bien approcher S, ainsi que ses
dérivées d’ordre r (approximation de classe C r ) pour tout r, par T : M →M de telle façon que p soit un point périodique de T ?
2

N.D.T. Il semble qu’il n’y ait pas de traduction oﬃcielle, cf. par exemple le Mémoire dela S.M.F. no 98 de M.-C. Arnaud intitulé Le closing Lemma.
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Un point non-errant p ∈ M est un point qui a la propriété que, pour tout
voisinage U de p, il y a un entier k ∈ Z, k = 0, tel que S k U ∩ U = ∅. Danscette formule, S k est le k − ième itéré de S. De plus, on dit que p est un point
périodique de période m si T m (p) = p.
C’est la forme discrète du fameux « closing lemma » qui, dans le cas C 1 a
été résolu aﬃrmativement par Charles Pugh (1967).
On obtient facilement une approximation C 0 ayant la propriété désirée.
Peixoto a observé que cet argument ne marche pas pour les approximations
C 1 , corrigeant ainsi une erreur de René Thom (que René m’a avoué être sa
plus grosse erreur).
Pugh-Robinson (1983) ont démontré le « closing lemma » avec des approximations de classe C 1 pour la version Hamiltonienne. Peixoto a donné une réponse aﬃrmative pour les approximations de classe C r , pour tout r, pour lecercle ainsi que la version en temps continu pour les variétés orientables dedimension 2. Récemment, le « closing lemma » a encore pris de l’importancedu fait du travail de Hayashi (1997) ; voir aussi [Wen-Xia, 1997].

Problème 11 : Les systèmes dynamiques
en dimension un sont ils généralement hyperboliques ?
Un polynôme complexe T peut-il être approché par un polynôme demême degré avec la propriété que tout point critique tend par itérationvers un point attractif périodique ?
Ce problème n’est même pas résolu pour les polynômes de degré 2. On
considère le système dynamique engendré par itération d’une application polynomiale T : C → C (où C est l’ensemble des nombres complexes). Si z ∈ C, son
orbite dans le temps, z = z0 , z1 , z2 , . . ., est déﬁnie par zi = T (zi−1 ) et i peutêtre interprété comme un temps discret. Un point ﬁxe w de T , (T (w) = w) est
un point attractif si la dérivée T  (w) de T en w a un module strictement inférieur à 1. Un point attractif périodique de T , de période p, est un point attractif
pour T p . Un point critique de T est un point où la dérivée de T s’annule.
Maintenant que le problème est précisé, il est utile de le regarder dans lecadre de la dynamique hyperbolique développée à partir des années 1960.
Un point ﬁxe x d’un diﬀéomorphisme T : M → M est hyperbolique si ladérivée DT (x) de T en x (comme automorphisme linéaire de l’espace tangent)n’a pas de valeur propre de module égal à 1. Si x est un point périodique depériode p, alors x est hyperbolique si c’est un point ﬁxe hyperbolique de T p . La
notion d’hyperbolicité s’étend de façon naturelle à Ω, l’adhérence de l’ensemble
des points non-errants (voir le problème 10).
Un système dynamique T ∈ Diﬀ(M ) est dit hyperbolique (ou satisfait
l’Axiome A) si les points périodiques sont denses dans Ω et si Ω est hyperbolique(voir [Smale, 1967 ou 1980]). Nous supposons aussi qu’il vériﬁe la condition denon-cycle. Les travaux de plusieurs personnes, spécialement de Ricardo Mañé,
ont permis d’identiﬁer la notion de système dynamique hyperbolique avec une
notion forte de stabilité des systèmes dynamiques appelée stabilité structurelle.
Il y a même un début de théorie sur la structure de cette classe de systèmes
dynamiques.
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S. SMALE

Les systèmes dynamiques hyperboliques constituent un ensemble assez vaste
de systèmes dynamiques, mais il en existe d’autres qui forment un ensemble
encore plus grand et qui incluent les dynamiques chaotiques intervenant dansles applications. Le concept d’hyperbolicité s’étend des systèmes dynamiques
inversibles au cas étudié ci-dessus des applications polynomiales de C dans C.
La théorie classique des fonctions de variables complexes permet de remplacer
le problème par le problème équivalent suivant.
Une application polynomiale T : C → C peut-elle être approchée parune autre qui soit hyperbolique ?
La théorie des systèmes dynamiques complexes à une dimension a été initiéepar Fatou et Julia au début de ce siècle. Dans les années 1960, j’ai demandé à
mon étudiant en thèse John Guckenheimer de regarder leurs travaux et d’essayer de résoudre le problème ci-dessus (entre autres choses). Sa thèse (voir[Chern-Smale, 1970]) contient une réponse aﬃrmative, mais avec un trou dansla preuve. Actuellement, ce problème ouvert apparaît comme le problème fondamental des systèmes dynamiques à une dimension.
L’article de John est l’un des nombreux articles sur les problèmes discutés
dans cet essai comportant une preuve fausse, comme celui de Poincaré.
Les systèmes dynamiques complexes à une dimension sont devenus un sujet
ﬂorissant et ont fait l’objet de contributions importantes de Douady-Hubbard,
Sullivan, Yoccoz, McMullen, parmi beaucoup d’autres (voir [Mc Mullen, 1994]).
Il y a un domaine parallèle de la dynamique réelle à une dimension d’uneapplication régulière T : I → I, I = [0, 1].
Problème : Une application régulière T : [0, 1] → [0, 1] peut elle êtreC r -approchée, pour tout r, par une application hyperbolique ?
A l’époque de la thèse de Guckenheimer, j’ai demandé à Ziggy Nitecki d’étudier ce problème. Ma précédente négligence fut aggravée par le fait que je n’avais
pas remarqué l’erreur dans la thèse de Nitecki (voir [Chern-Smale, 1970]), quiprétendait donner une preuve aﬃrmative.
Par la suite, Jakobson (1971) résolut le problème pour les approximations
de classe C 1 , mais le cas général reste ouvert. Voir de Melo-van Strien (1993)
pour plus de détails.

Problème 12 : Centralisateurs de diﬀéomorphismes
Un diﬀéomorphisme d’une variété compacte M sur elle-même peut-ilêtre C r approché, pour tout r  1, par un diﬀéomorphisme T : M → M
qui commute seulement avec ses itérés ?
On veut que le centralisateur de T dans le groupe des diﬀéomorphismes,
Diﬀ(M ), soit {T k | k ∈ Z}.
J’ai commencé à penser au centralisateur dans [Smale, 1963], mais ce n’est
qu’après la soutenance de la thèse de Nancy Kopell sous ma direction (voir[Chern-Smale, 1970]), dans laquelle était résolu aﬃrmativement le cas dim M =1, que j’ai proposé ce problème [Smale, 1967]. Aujourd’hui, il n’est toujours pas
résolu, même pour les variétés M de dimension 2.
On peut aussi se demander si l’ensemble des diﬀéomorphismes de M à centralisateur trivial est dense et ouvert dans Diﬀ(M ) muni de la topologie C r .
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Le travail essentiel sur ces problèmes a été fait par Palis-Yoccoz (1989), avec
des réponses presque complètes dans le cas des systèmes dynamiques hyperboliques (voir Problème 11) pour n’importe quelle variété.
J’ai écrit dans [Smale, 1991], « je trouve ce problème intéressant en ce sens
qu’il éclaire un peu le royaume sombre, au delà de l’hyperbolicité, où même il
est diﬃcile de poser clairement les problèmes ».

Problème 13 : Le 16e problème de Hilbert
Soit l’équation diﬀérentielle dans R2dydx= P (x, y) ,= Q(x, y)dtdtoù P et Q sont des polynômes. Existe-t-il une borne K pour le nombre
de cycles limites, de la forme K  dq , où d est le maximum des degrés de
P et Q, et q est une constante universelle ?
C’est une version moderne de la seconde moitié du seizième problème de
Hilbert. Mise à part l’hypothèse de Riemann, il semble que ce soit le plus
insaisissable des problèmes de Hilbert.
En fait, depuis un article de Petrovskii et Landis (1957) prétendant donnerune solution positive, les progrès semblent aller à reculons. Un peu plus tôt,Dulac (1923) aﬃrmait que le système (3) a toujours un nombre ﬁni de cycles
limites. Après qu’un trou fût trouvé dans Petrovskii-Landis (voir [PetrovskiiLandis, 1959]), Ilyashenko (1985) a trouvé une erreur dans l’article de Dulac.
Puis Shi Songling (1982) a trouvé un contre-exemple aux bornes spéciﬁquesde Petrovskii-Landis pour le cas d = 2. Ensuite, deux longs travaux ont été
publiés, indépendamment, démontrant les aﬃrmations de Dulac [Écalle, 1992]
et [Ilyashenko, 1991]. Ces deux articles ont cependant à être complètement
digérés par la communauté mathématique.
Ainsi, on sait qu’il y a un nombre ﬁni de cycles limites, mais on n’a pas demajoration. Nous allons considérer une classe spéciale pour laquelle il est facilede prouver la ﬁnitude, mais pour laquelle aucune majoration n’est actuellement
connue.
L’exemple ci-dessous correspond à l’équation de Liénard (voir par exemple[Hirsch-Smale, 1974])
(3)

(4)

dx
= y − f (x) ,
dt

dy
= −x
dt

où f (x) est un polynôme réel dont le terme dominant est x2k+1 et qui vériﬁe
f (0) = 0.
Si f (x) = x3 − x alors (4) est l’équation de van der Pol avec un cycle limite.
Plus généralement, on peut facilement montrer que toutes les solutions de (4)s’enroulent autour de l’unique point d’équilibre (0,0) dans le sens des aiguilles
d’une montre. En suivant ces courbes, on déﬁnit une « section de Poincaré »,T : R+ → R+ où R+ est le demi-axe des y positifs. Les cycles limites de (4)sont précisément les points ﬁxes de T . Dans diﬀérents exposés, j’ai soulevé laquestion d’estimer le nombre de ces points ﬁxes (en appliquant une nouvelle
espèce de théorème du point ﬁxe ?). En réponse, Lins, de Melo et Pugh (1977)
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ont trouvé des exemples avec k cycles limites distincts et ont conjecturé que ce
nombre k était la borne supérieure. Aucune majoration de la forme (deg f )q
n’a encore été trouvée. Puisque T est analytique, il s’ensuit que (4) n’a qu’unnombre ﬁni de cycles limites pour chaque f .
Pour plus de détails voir [Browder, 1976], [Ilyashenko-Yakovenko, 1995],[Lloyd and Lynch, 1988], et [Smale, 1991].

Problème 14 : L’attracteur de Lorenz
Le comportement dynamique des équations diﬀérentielles ordinaires
de Lorenz (1963), est-il celui de l’attracteur géométrique de Lorenz décrit
par Williams, Guckenheimer et Yorke ?
Les équations de Lorenz sont :ẋ =−10x + 10yẏż

28x − y − xz
− 38 z + xy==

Lorenz (1963) a analysé ces équations par ordinateur pour montrer que laplupart des solutions tendent vers un certain ensemble attractif et, ce faisant,il a produit un des premiers exemples importants de « chaos ». Cependant,
il n’y avait pas de preuves mathématiques. Ce travail numérique a inspiréla construction mathématiquement rigoureuse d’une équation diﬀérentielle ordinaire déﬁnie géométriquement et qui semble avoir le même comportement(Yorke, [Williams, 1979], [Guckenheimer-Williams, 1979]). Cet attracteur géométrique a été étudié en détail et l’on peut honnêtement dire qu’il est maintenant bien compris.
La question que pose le problème 14 est de savoir si le comportement dynamique des équations originales est le même que celui du modèle géométrique.
Pour y répondre positivement de façon aussi complète que possible, il faudrait
construire un homéomorphisme de R3 dans R3 qui envoie les solutions des équations de Lorenz sur les solutions de l’attracteur géométrique – ou plutôt d’un
des attracteurs de la famille à deux paramètres des attracteurs géométriques.
Une réponse à ce problème serait un pas en avant pour fonder la théorie
des systèmes dynamiques appliqués. Jusqu’à présent, pour les équations del’ingéniérie et de la physique, le chaos a été démontré seulement en un sens
plus faible, en prouvant l’existence de fers à cheval (e.g. Melnikov, Marsden etHolmes ; voir [Guckenheimer-Holmes, 1990]).
On peut trouver dans mon article [Smale, 1967], des exemples de systèmes
dynamiques, présentant des attracteurs chaotiques géométriques et structurellement stables. Mais ils ne proviennent d’aucun système physique.
Rychlik et Robinson (voir [Robinson 1989]) ont obtenus des résultats partiels
sur le problème 14.
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Problème 15 : Les équations de Navier-Stokes
Les équations de Navier-Stokes sur un domaine Ω à 3 dimensions de
R3 ont-elles une unique solution régulière pour tout temps ?
C’est peut-être le problème le plus célèbre des équations aux dérivées partielles. Soyons un peu plus précis. Les équations de Navier-Stokes peuvents’écrire∂u+ (u · ∇)u − ν∆u + grad p = 0,
div u = 0∂t
et l’on doit trouver une application de classe C ∞ , u : R+ ×Ω → R3 et une autreapplication p : Ω → R qui satisfont ces équations, u ayant une valeur donnée
en t = 0 et sur la frontière ∂Ω. On note R+ = [0, ∞), u · ∇ est l’opérateur
3∂
1 ui ∂xi , et ν est une constante positive. Voir e.g. [Chorin-Marsden, 1993]
pour d’autres informations.
De nombreux mathématiciens ont contribué à la compréhension de ce problème. Une réponse aﬃrmative a été donnée en dimension 2 et en dimension 3
pour t dans un petit intervalle [0, T ]. Voir [Temam, 1979) pour plus de détails.
La solution de ce problème pourrait bien être une avancée fondamentale
en direction du très vaste problème qui est de comprendre la turbulence. Par
exemple, cela pourrait aider à réaliser les idées de Ruelle-Takens (1971) qui
introduisent la notion d’attracteur chaotique dans un modèle de turbulence.
Voir aussi [Chorin-Marsden-Smale, 1977]
Dans [Smale, 1991] j’ai demandé si les solutions de l’équation de NavierStokes à 2 dimensions avec un terme de forçage sur un tore doivent converger
vers un équilibre lorsque le temps tend vers l’inﬁni. Babik-Vishik (1983) ont
donné des indices contredisant cela. Ensuite, Liu (1992) a fourni des exemples
qui montrent la convergence vers un attracteur plus compliqué.

Problème 16 : La conjecture du Jacobien
On suppose que f : Cn → Cn est une application polynomiale dont ladiﬀérentielle en chaque point est non singulière. Peut-on en déduire que
f est bijective ?
Dans cette déﬁnition, Cn est un espace vectoriel complexe de dimension
n, f (z) = (f1 (z), . . . , fn (z)) et chaque fi est un polynôme en n variables. La
diﬀérentielle de f en z, Df (z) : Cn → Cn peut être vue comme la matrice desdérivées partielles et la condition de non singularité s’écrit Det Df (z) = 0.
Si f est injective, alors elle est aussi surjective et a un inverse qui est une
application polynomiale.
Le problème remonte aux années 1930 et l’on peut consulter les excellents
exposés de synthèse [Bass-Connell-Wright, 1982] et [van den Essen, 1997] pours’enquérir de l’importance du sujet, de ses bases, et des résultats en rapport.
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Problème 17 : Résolution des équations polynomiales
Peut-on trouver une valeur approchée d’un zéro d’un système de néquations polynomiales complexes à n inconnues, avec un algorithme uniforme fonctionnant, en moyenne, en temps polynomial ?
Le théorème ﬁnal dans la série de cinq articles écrits en commun avec Mike
Shub (voir [Shub-Smale, 1994]) est exactement ce résultat sans le mot « uniforme ».
Reprenons les déﬁnitions.
On considère f : Cn → Cn , f (z) = (f1 (z), . . . , fn (z)), z = (z1 , . . . , zn ) oùchaque fi est un polynôme en n variables de degré di . Il est raisonnable derendre les fi homogènes en rajoutant une nouvelle variable z0 , de travailler dansl’espace projectif correspondant, puis de traduire l’algorithme et les résultats
pour revenir au problème aﬃne initial.
On peut déﬁnir « approchée » de façon intrinsèque en utilisant la méthodede Newton et cette restriction est nécessaire à cause d’Abel, Galois et al. Le
temps est mesuré par le nombre d’opérations arithmétiques et de comparaisons,, en utilisant des machines réelles (comme dans le Problème 3) si l’on veutêtre formel.
On doit mettre une mesure de probabilité sur l’espace des f , pour chaqued = (d1 , . . . , dn ) et l’on calcule le temps moyen d’exécution d’un algorithme
sur l’espace des f . Existe-t-il un tel algorithme dont le temps moyen est borné
polynomialement par rapport au nombre des coeﬃcients de f (la taille desdonnées) ?
Dans [Shub and Smale, 1994] il est prouvé que ceci peut être fait, maisl’algorithme est diﬀérent pour chaque d et même pour chaque probabilité desuccès envisagée. Un algorithme uniforme doit être indépendant de d (d fait
partie des données).
La détermination des zéros des polynômes et des systèmes polynomiaux est
assurément un des plus vieux et des plus importants problèmes des mathématiques. On pose ici la question de savoir si, sous certaines conditions, spéciﬁées
dans l’énoncé, il peut être résolu systématiquement sur ordinateur. S’il n’y apas de méthode en temps polynomial pour le résoudre, alors aucun ordinateur
n’y arrivera.
Enﬁn, il y a eu un développement récent donnant au problème des zérosdes polynômes un rôle universel. Le Nullstellensatz de Hilbert (en tant que
problème de décision) est NP-complet sur tout corps. (Voir Problème 3).
Un problème similaire, mais plus diﬃcile, peut être posé pour les nombresréels.

Problème 18 : Les limites de l’intelligence
Quelles sont les limites de l’intelligence, à la fois artiﬁcielle et humaine ?
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Penrose (1991) a essayé de montrer que l’intelligence artiﬁcielle a des limites.
Son argumentation inclut l’intéressante question de savoir si l’ensemble de Mandelbrot est décidable (utilisé dans [Blum-Smale, 1993]) et des implications duthéorème d’incomplétude de Gödel.
Cependant, il serait souhaitable d’eﬀectuer une étude plus large, qui impliquerait des modèles plus détaillés du cerveau et de l’ordinateur, et de chercher
ce que les intelligences artiﬁcielle et humaine ont en commun, et en quoi elles
diﬀèrent.
Je voudrais m’impliquer davantage dans une recherche où l’apprentissage,la résolution de problèmes, et la théorie des jeux jouent un rôle important aumême titre que les mathématiques des nombres réels, les approximations, lesprobabilités et la géométrie.
J’espère développer ces idées à une autre occasion.

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Traduit par J.-L. Nicolas, avec l’aide de M.-C. Arnaud, P. Arnoux,
J.-C. Augros, C. Charretton, F. Clarke, E. Ghys, A. Hayli, Y. Kerbrat,
P. Koiran, C. Mauduit, B. Poizat, B. Rey, C. Roger et M. Schatzman.

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