数理解析研究所講究録
第 794 巻 1992 年 30-3730

Amalgam method and its application

林誠

田中康彦

(Makoto Hayashi)(YasuhikoTanaka)

単純群の分類が完成して以後の有限群論の主要課題のひとつとして、 分類定理の証明を簡易化するという問題があげられる。 あの長く複雑な証明を、 だれにでも理解できるようにしたいというのは、 非常に自然な考えであると思われる。 ここでは、 Amalgam method と呼ばれる方法と、 それが単純群の分類のどの部分にどのように応用されるかについて解説する。

まず、 ことばの定義からはじめる。

定義.

群$G$は偶数位数であるとする。

(1) 部分群$L$が$G$の 2- 局所部分群であるとは、 ある単位群でない 2- 部分群 $T$ に対して、 $L=N_{G}(T)$ となることである。
(2) 群 $G$ が標数 2 型であるとは、 $G$ のすべての 2- 局所部分群 $L$ に対して、$C_{L}(O_{2}(L))\subseteq O_{2}(L)$が成り立っことである。 (ただし、 $o_{2^{(L)}}$ は、
例.

$L$の最大の正規 2-部分群をあらわす。 )最も典型的な標数 2 型の群として、 標数 2 の有限体上で定義された Lie 型の単純群があげられる。例えば、$G^{*}\cong PSL_{\mathcal{R}+1}(q)$$(q=2^{m})$とする。 (以後、 中心は無視して、 $G^{*}=SL_{n+1}(q)$ とみなす。 ) 群群

$M^{*}$をとる。 よく知られているように (Borel-Tits の定理,)

分群になるので、 特に、$G^{*}$のシロー 2-部分群$S^{*}$$M^{*}$、の極大 2-局所部分$G^{*}$

は$G^{*}$を含む。共役により、の極大放物型部

31$S^{*}=\{(\begin{array}{lllll} 1* \cdots \cdots\vdots **\prime 0 l ..

\vdots **\vdots \vdots \vdots \vdots 0 0 \vdots 1*0 0 \cdots 0 l\end{array})\}$とすると、$M^{*}=\{(\begin{array}{llllll}** *** \vdots .\cdot *** .\cdot *** \vdots .\cdot *\vdots .\cdot \vdots\vdots \vdots ..\vdots \vdots** .\cdot \vdots*** \vdots \vdots *00 \vdots o** \vdots \vdots *00 \vdots o** \vdots \vdots *\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots 00 .0** \vdots\vdots \vdots .\cdot *\end{array})\}$となる。行列の簡単な計算により、.

.
$o_{2}(M^{*})=\{(000001000001$(.

$00***1)\}$$00000100***100***1$.

$\cdot$$\backslash _{\vee}$.
であり、 したがって、$C_{M}^{*}(O_{2}(M^{*}))\subseteqq 0_{2^{(M^{*})}}$となる。

単純群の分類定理の現在の証明は、 標数 2 型の単純群とそれ以外の単純群とに分けて行われている。 このように分けることは、 有限群論における素数 2 の特殊性を考えれば自然なことと思われるので、 われわれもこれを踏襲する。 また、 標数 2 型でない単純群に対しては、それらを扱うよい一般論が存在するので、 ここではそれも認めるごとにする。 したがって、われわれがこれから考察の対象とするのは、 標数 2 型の単純群である。

上の例で述べたよ

うに、 標数 2 の Lie 型の単純群は標数 2 型であるが、 実はその逆がほぼ成立する。すなわち、

32
標数 2 型の単純群は、 少数の例外を除けば標数 2 の Lie 型である。
われわれは、 この命題を証明することを目標とする。

与えられた単純群が Lie 型であることを示す最も自然な方法は、 BN 対を構成することである。 われわれの場合でいえば、 標数 2 型の単純群の中に標数 2 の分裂 BN 対を構成できればよいのであるが、 例外の場合をも含めて扱うために、 BN 対よりもやや弱い概念を定義する。

定義.
$G$群の部分群$G$$x_{1},$は偶数位数であるとする。 単位群と異なる$.$$x_{n}$

に対して、 組 (X1$x_{n^{;}}S$$G$の 2- 部分群 $S$ と、) が $G$ の標数$2$、

階数$S$を含む. の放物$\eta$系であるとは、 次の条件を満たすことである。
(a)$S\in Sy1_{2}(X_{\dot{t}})$(b)$x_{i}$$(1\leqq i\leqq n)$$( 1\leqq- i \leqq n)$

は $s-$ 既約 ( すなわち、$x_{i}$の $S$を含む極大部分群はただひと$\supset)$$tc)O_{S}(\langle X_{1},$の $x_{1},$$.$$X_{\mathcal{R}}$

(d)

例.

$2$
、

階数 $n$ の Lie 型の単純群、$B^{*}=N_{G^{*}}(S^{*})$

を含む極小放物型部分群

ば、 組 ($(1\leqq Ji\leqq n)$$c_{X,2\prime i^{(O(X_{i}))}}\subseteqq O_{2}(X_{i})$標数$X_{1}^{*},$$.$(すなわち、 $S$ のどの単位群と異なる部分群もすべてで正規部分群になることはない。 )際、 $S^{*}\in Sy1_{2}(G^{*}I$$B’*$$x_{n^{\rangle)}}=1$$.$$x_{n^{;S^{*})}}^{*}$$P_{1}^{*},$$.$

は $G$ の標数$G^{*}$

は、 標数とすれば、$P_{n}^{*}$$2$、$B^{*}$

は$2$$G^{*}$、階数 $n$ の放物系をもっ。 実の Borel 部分群であり、を取 っ て、 $X_{-i}^{*}=O^{2’}(P_{i}^{*})$

階数 $n$ の放物系である。

前の例でいうと、$G^{*}\cong PSL_{n+1}(q)$$(q=2^{m_{)}}$$S^{*}=\{(\begin{array}{lllll} l* \vdots **0 1\prime \vdots .**\vdots \vdots \vdots \vdots 0 0 \vdots \cdots 1*0 0 \vdots 0 l\end{array})\}\in Sy1_{2}(G^{*})$$(1\leqq i\leqq n)$$G^{*}$のとおけ33$B^{*}=N_{G^{*}}(S^{*})=\{(\begin{array}{llll}** .**0* .**\vdots .

$P_{i}^{*}=\{(\begin{array}{llll} ***\backslash * \vdots .*.\cdot \vdots**** \vdots.

\vdots\vdots 00 \vdots**00 \vdots o*\end{array})\}$* \vdots o*** o* \vdots* \vdots o*** \vdots \vdots*.0 \vdots 0 \vdots \vdots*\vdots \vdots\vdots \vdots ..0 \vdots 00 0\cdot .*\end{array})((ii_{+1}\}$$x_{i}^{*}=\{(\begin{array}{lllllll} **** \vdots \vdots * \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots\vdots \vdots \vdots 1*** \cdots *.

\vdots o***o*** \vdots\cdots \vdots\cdots \cdots \cdots **_{\prime}.0 \vdots 0 \vdots 0 1 \cdots *\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots 0 \vdots 0 \vdots 0 0 \cdots 1\end{array})t1^{I},ii+1\}$である。

われわれは、 標数 2 型の単純群$G$を次のプログラムにしたがって分類することを目標とする。
(1) 群$G$の放物系 $(X_{1}, , X_{n^{;}}S)$ で、 $S\in Sy1_{2}(G)$ となるもの (さらに、 付帯条

件 $(*)$ があってもよい) を見つける。
(2) 条件 $(*)$ を満たす放物系の同型類を分類する。

(3)

もし $(X_{1}’ X_{n};S)\cong(X_{1}^{*}, .

X_{n}^{*};S^{*})$

ならば、$G\cong G^{*}$を示す。

このプログラムが、 標数 2 型のすべての単純群に対してうまく実行でき巻かどうかについては、 今のところよくわからない。 しかし、 例外の場合をも含めて標数 2 型の単純群を理解するのには、 最も自然でかっ魅力的な方法であると思われる。

非常にうまく実行できた例を述べる。

ここで、 このプログラムが

34(五味、 林、 田中) 標数 2 型の単純群

例

で、 そのすべての 2- 局所部分群が可解群$G$であるものの分類(1)

群$G$の標数

階数 2 の放物系 $(X_{1}, X_{2^{;}}S)$ で、 条件 (a), (b), (c), (d) とさらに$2$
、付帯条件
(e)

$S=[O_{2}(X_{1}) ’ o^{2}(X_{1})](O_{2}(X_{1})\cap O_{2}(X_{2}))[O_{2}(X_{2}), O^{2}(X_{2})]$を満たすものが存在する。 (多少の例外が存在するが、 それらは一般論により処理できる。 )(2) 条件 (a) $-(e)$ を満たす放物系の同型類が分類できる。
(3)(2) の結果を使って、$G$が分類できる。

今後の目標は、 同様の方法をもっと広いクラスの単純群の分類に応用することである。
ここで、 放物系の分類に威力を発揮する Amalgam method にっいて解説する。 その場合、 放物系がどの単純群 (あるいは、 もっと一般に有限群) に含まれているかはそれほど重要でないので、 放物系の定義を次のように変更しておく。
定義.

単位群と異なる 2- 群

し、 この同型により数$2$、$S\subseteqq X_{li}$$S$と、 $S$ と同型な部分群を含む群$( 1\leqq- i \leqq n)$とみなす ) に対して、

$X_{1},$$.$組 $(X_{1}, .

$X_{n}$(ただx_{n^{;}}S)$が標

階数 $n$ の放物系であるとは、 次の条件を満たすことである。
(a)$S\in Sy1_{2}(X_{i})$(b)$x_{i}$$(1\leqq\prime i\leqq n)$$(1\leqq\prime i\leqq n)$

は $s-$ 既約 ( すなわち、$x_{i}$の $S$を含む極大部分群はただひとつ)(c) $O_{S}(X_{1}, . x_{n})=1$$x_{1},$$.$$x_{n}$(d)(すなわち、 $S$ のどの単位群と異なる部分群もすべてので正規部分群になることはない。 )$(1\leqq i\leqq n)$$C_{X_{i}}(O_{2}(X_{i}))\underline{\subseteq}O_{2}(X_{i})$放物系の性質と、 それから自然に得られる作用群をもっ幾何学的対象 (例えばグラフなど)の幾何学的性質が互いに反映しあう。 さらに、 放物系の性質と、 その作用群をもっ幾何学的対象に付随して得られる部分群束の群論的性質が互いに反映しあう。 われわれは、 放物系の分類に際して、 そのような幾何学的対象や部分群束に着目する。

35
以後、 標数$2$、階数 2 の放物系の場合にやや詳しく説明する。

$(X, Y;S)$ に対して、 $G=xgY$ ( $X$ とれ$G$の部分群とみなす。 ここで、 グラフ$V(\Gamma)$$\alpha\neq\beta$$G$は、$G$における $X$ と$Y$$Y$

標数$2$、の 3 上の融合積) とおき、 $X$$\Gamma$

階数 2 の放物系、を次のように定義する。 グラフの右剰余類の全体であり、 ふたっの頂点$S$$Y$、$\alpha,$$\Gamma$

をそれぞの頂点集合$\beta\in V(\Gamma)$

は、かつ $\alpha\cap\beta\neq\emptyset$ のとき、 かっそのときに限り結ばれるものとする。 このとき、 群はグラフ$\xi\in V(\Gamma)$$\Gamma$に右から作用するが、 その作用はに対して、$\xi$の $G$$\Gamma$における固定部分群をの辺集合上可移である。 かってな

$G_{\xi}$とかく。融合積の性質により、 かってな隣接する頂点 $\xi,\eta\in V(\Gamma)$ に対して、 同型(X, $1^{r};S$ ) $\cong(G_{\xi}, G_{\eta};c_{\xi\eta})$が成り立っことに注意する。 さらに、
$Q\xi=O_{2}(G_{\xi})$$V_{\xi}\backslash =\langle\Omega_{1}(Z(G_{\xi\eta}))|d(\xi, \eta)=1\rangle$とおき、パラメータ$b$を$b= \min\{d(\alpha, \delta)|V\alpha\not\in^{\neq}Q\}\delta$と定義する。
以後、 簡単のために、$b$

頂点は偶数とする。

$\delta\in V(\Gamma)$$\alpha,$を、 $d(\alpha, \delta)=b$ かつ$-\alpha$$V_{\alpha}\not\leqq Q\delta$

を満たすようにとり、 次のような部分群束の絵をかいてみる。

$arrow-$
寿X$\beta$.

$-$.

$-$

$-$

$arrow$$-$.

$\gamma$$f$

36
条件 (b) より$G_{\alpha}$

は 2- 既約な可解群であるから、$b$の最小性により、$Q_{\alpha}\in Sy1_{2}(c_{c_{\alpha}}(V_{\alpha}))$が成り立っ。同様に、$Q\delta\in Sy1_{2}(C_{G_{\delta}}(V_{\delta}))$も成り立っ。 したがって、 条件$V_{\alpha}\not\leqq Q\delta$$[V_{\alpha}, V_{\delta}]\neq 1$$V\delta\not\leqq Q_{\alpha}$がすべて同値になる。対称性により、$|V_{\alpha}$と仮定すると、

定理.

群

:

$V\alpha\cap Q|\delta\leqq|V_{\delta}$$\overline{c}_{\alpha}(=G_{\alpha}/C_{G_{\alpha}}(V_{\alpha}))$$G$は、 次の定理の仮定を満たす。

$A$の$0^{2_{(G)}}$$V$と $G$ の単位群とで、 次の条件を満たすものが存在すると仮定する。
$|V$$G$$V_{\delta}\cap Q_{\alpha}|$は 2- 既約で、 $O_{2}(G)=1$ とする。忠実な $GF(2)G-$ 加群

異なる基本可換 2-部分群

このとき、:; $c_{V^{(A)|}}\leqq|A|$を含む正規部分群 $N$ で、 次の性質をもっものが存在する。
X $SL_{2}(2^{m})$$N\cong SL_{2}(2^{m})\cross\cdot$

X $z_{2m+1}$$\Sigma 2m+1X$

また、 $[V, N]$ と$A$$(m\geqq 1)$$(m=2^{\ell}\geqq 1)$

または、であり、はそれぞれ自然なものである。

この定理を使って、 次の定理が得られる。
定理.

標数

$2$
、階数 2 の放物系 $(X, Y;S)$ においては、 っねに $X \oint SdY$ が成り立つ。

次に、 部分群$V_{\alpha}$と$V\delta$

は、 互いに他を正規化する可換部分群であるから、$[V_{\alpha}, V_{\delta}, V_{\delta}]\subseteqq[V\delta’ V_{\delta}]=1$である。 っまり、 部分群

群$c_{\alpha}$

は、 部分群$V\alpha$$V\delta$は部分群$V\alpha$上に、 ‘ quadratic” に作用する。 したがって、に含まれる主組成因子を $GF(2)c_{\alpha^{-}}$ 加群とみることにより、 次の定理

37の仮定を満たす。
定理.

群

$G$

し、 $N=O^{2}(G)$$V=$

は 2- 既約で、 $0_{2^{(G)}}=1$ とする。 また、 $GF(2)G-$ 加群 $V$ は、)$c_{V^{(T)^{X}}}$$\sum$

が完全可約であり$G$、$V_{1V}$(ただの 2- 部分群 $T$ で、 $[V, T, T]=0$ かつとなるものが存在すると仮定する。 このとき、 次が成り立っ。

$x\in N$$V=$$\Sigma$$|T$

ただし、 $r=\prime r(G)$ は、$G$:$c_{V^{(U)}}$$U|\leqq 2^{r}$の組成因子の同型類によって決まる自然数で、 次のように定義する。
$\tau(G)=\max$ { $r(L)|L$ は $G$ の組成因子}$’ \cdot(L)=\max\{m(A)|_{A}^{G}V\iotah\not\in^{*}$$r^{)\cong L\text{てある_{}j}}|hF_{\backslash }(G_{jGF\langle 2)G-l\#\text{群_{る}}^{\text{有限_{}G}ffi_{a)}}}$$h[V,A, A]=0^{\backslash }$$\}$実}
もし、$G$と $r$

部 $g$ 群
基本可換 $2-f1$が可解群ならば、 $\tau(G)=1$ であり、 この事実が上で例にあげたすべての 2- 局所部分群が可解群である標数 2 型の単純群の分類に重要な役割をはたしている。 その証明を詳しく検討してみると、 標数$2$、階数 2 の放物系 $(X, Y;S)$ の分類に関しては、$\tau tX$) と$r(Y)$がともに小さければ、 同様の方法が使えることがわかる。 一方、 $r(G)$ が大きい単純群

は、 多少の例外を除いて標数 2 の Lie 型であるので、 結局、 標数$G$$2$、階数 2 の放物系$(X, Y;S)$ としては、 知られている単純群の中に実在するもの以外にはほとんど存在しないことがわかる。