博 士 （ 理学 ） 森田 英章
学位論文題名CL‑shellabilit
yof order
ed structur
e ofreflection systems（鏡映系上の順序構造の辞書式枠付可能性）

学位論文内容の要旨
本論文ではCoxete
r system
上のBruhat orderの定義を，ref
iect
ionsystemと呼ばれるCoxeter systemの拡張概念にまで拡げ，その順序がCLーshellabilityと呼ばれる組合せ論的性質を満たしていることを証明した．現代の代数的組合せ論の中心概念のーつに、
Cohen‑Macaulay半順序集合がある，これは，組合せ論と可換環論その他の代数学を結ぶ重要な概念でありI多くの深い結果が生み出されている最も盛んな研究分野のーつである．
そのCohen‑Macaulay半順序集合の重要なクラスに、CL‑shellable半順序集合がある．冗長になるので細かい定義は省くが，簡単に述べると有限な半順序の極大な全順序部分集合（以下，極大鎖）にある組合せ論的条件を満たすラベルを許すものとして定義される．一般のCohen‑Macaulay性の定義は大きく分けて可換環を用いるものと，位相幾何学的な概念を用いるものとの二通りの方法があるが，それにより与えられた半順序集合がCo
hen−Macaulayであるかどうかを判定するのは容易ではない，一方CL‑shellabilityはその定義が全く組合せ論的なものなので扱いやすく，またそれ自体からもその順序集合のM
obius
関数や，或いは幾何学的性質に関する多くの情報を引き出せるため，非常に多くの研究が続けられている．その中で最も有名な結果のーつに，「Coxeter systemのBruhatorderはCL‑shellable」というBjorn
er−Wachsの結果がある，本論文はこの結果をrefiectionsystem上 に ま で 拡 張 し た ． そ こ で reflection systemの 定 義 を 述 ぺ る ．
(X，E)はXを頂点集合，Eを辺集合とする有限無向グラフとする．ここで次のニつの関 数 を 考 え る ： /： X→ {ne Nln＞ ― 2},g:E→ ｛ mENlm＞ − 3}U{oo｝ ， た だ し{x，ジ）EEかつg({x，ジ））≠ooのときァ（め＝′（め＝2とする．そこでGをX上に次の基本関係式で生成される群とする：―．54―

1. Xf(z) =1 (xE X),
2. xy =yx (x,yE X, {x,y}藍 E),
3．（ ￡ジ）9（t￡，v｝）：：1，（t￡，ジ｝E．E，9（t￡，y））≠oo）．

このとき，（G，X）をrefiectionsystemと呼ぶ．ここで関数アが常に値2をとるとき（G，X）
はCoxeter systemに な る ので ， refie
ct
ion system
はCoxeter syste
mの拡 張概念に なっている ． GはXで 生 成さ れ て いる の で ， Gの 任 意 の元 9は x
7￣ エ ヂ…エ 訝（エEx）とあ らわ

せ る が ， 任意 の xe
ズ は 位 数が 有 限 な ので 各 mは正 整 数 とし て よ い． さ ら に上 の 表 示に おい て E21mま た は mが 最 小 に な る も の を ， そ れぞ れ 9のredu
ced expr
essi
on， i‑reduced
expressionと 呼び，reduced express10nの長さ E丑1n｛ をゼ（ 9）で 表す．またreduCed
かつゼ1−reduce
dなものをstronglyreducedと呼ぶ．このrefiec
tionsystem（G，X）に次のように し て 半 順 序 を 定 義 す る ．T＝ Ug
EGgXg一 1とお く ． この と き 9
1ん EGに対して
9→ん仁争あるtETが存在した‑t−19，￡（モ一19）＝ゼ（g）−1を満たす．
そして さらにg>ん 仁 》 9ニ ニ ら ‑＆ → … → 6r
‑i→ ぞ， 〓 ん な るぞ lI…， ぞ ， 一leGが存 在 す ると お く と ， 9〉 ― ん は G上 の 半 順 序 を 与 え る ． こ の 順 序 に つ い て G上 の 任 意 の 閉 区 間［た，9］ ＝ tぞEG｜ たく ぞ ≦ 9） は有 限な半順 序集合 をなすの で，ここ の極大 鎖の各辺 に
ラ ベ ルを 付 け る， そ の ため に は 、9→ ん に対 し て 以 下で ラ ベ ルを つ け てや れ ば 十分 である， そこでstrongly reduce
d ex
pre
ss
10n
9二ニェ？￣…エ訝をーつ固定しておく，このときg→んよ りん＝ ユ冫1…エ嵩￣x
冫一1Xn+l￣…Xlrnmであることが示され，かつ9‑XIL￣…￠訝が strongly redu
cedであ る こ とか ら ぞ は 一意 的 に 定ま る こ とが わ か る． こ の とき 9→ んに 整 数 ni十 … 十 m− 1十 1を 対 応 さ せる ． 以上のように定めておけば，［ん，g］の任意の極大鎖にラベルと呼ばれる自然数のr‐対が対応する（ゼ（9）−ゼ（ん）＝rのとき）．そしてこうして得た［ん，9］のラベリングがCL―shellabil
ityの公理を満たすことが示されるのである．
定理

reflecti
on system上 の 任 意の 閉 区 間は CL‑shellabl
e半 順 序集 合 で あ る‑ 55 ‑学位論文審査の要旨
主査

教授

諏訪立雄

副査

教授

寺尾宏明

副査

教授

吉田知行

副査

助教授

山田裕史

副査

教・授

日比孝之（大阪大学大学院理学研究科）

学位論文題名CL‑shellabili
ty oforderedstru
ctureof reflectio
nsystems（鏡映系上の順序構造の辞書式枠付可能性）

現代の代数的組合せ論の中心概念のーつに、Cohen‑Macaulay半順序集合がある。これは、組合せ論と可換環論その他の代数学を結ぷ重要な概念であり、多くの深い結果が生み出されている最も盛んな研究分野のーつである。そのCo
hen‑Macaulay
半順序集
合の重要なクラスに、CL‑shellable
半順序集合がある。これは有限な半順序の極大な全順序部分集合にある組合せ論的条件を満たすラベルを許すものとして定義される。一般のCohen−Macaulay性の定義は大きく分けて可換環を用いるものと、位相幾何学的な概念を用いるものとの二通りの方法があるが、それにより与えられた半順序集合がCo
hen‑Macaulayであるかどうかを判定するのは容易ではない。一方CL‑shellabilityはその定義が全く組合せ論的なものなので扱いやすく、またそれ自体からもその順序集合のMるbius
関数や、或いは幾何学的性質に関する多くの情報を引き出せるため、非常に多くの研究が続けられている。その中で最も有名な結果のーつに、「Coxetersyst
emのBruhat orderはCL‑shellable」というBjるrner‑Wachsの結果がある。Co
xetersyst
emは群論、代数幾何学等の分野に自然に現れる重要な半順序集合である。本論文ではC
oxet
ersy
stem
上のBruhatorderの 定義 を、 renectionsystem（鏡映系）と呼ばれるCoxetersystemの拡張
概 念 に ま で 拡 げ 、 そ の 順 序 が CL― shellableで あ る こ と を 証 明 し た 。
これを要するに、著者は、CL‐shellableな新しい半順序集合のクラスを見出したものであり、代数的組合せ論に貢献するところ大なるものがある。
よって著者は、北海道大学博士（理学）の学位を授与される資格あるものとみとめる。