数理解析研究所講究録
1133 巻 2000 年 139-150

139

ベクトル場の同時標準形と Seifert 予想への応用
中央大学
吉野正史
考える問題
例
$x=$

原点に特異点をもつようなベクトル場の標準形) の原点 $x=0$ の近傍で定義された特異なベクトル場(あるいは$(x_{1}, .

.,.

, x_{n})\in \mathrm{C}^{n}$$\mathrm{R}^{n}$$\chi:=\sum_{=k1}x_{k}(X)\frac{\partial}{\partial x_{k}}n$を考える。 ここで、 特異という条件は$X_{k}(0)=0$$k=1,$$\ldots,$

$n$

.

そこで
$X(x):=(X_{1}(x), \ldots, x_{n}(x))=x\Lambda+R(x),$ $R(x)=(R_{1}(X), \ldots, Rn(X))$とあらわす。 ここで、 A は$n\mathrm{x}n$定数行列、 $R(x)$ はなめらかであって次の条件をみたす。
$R(\mathrm{O})=0$,$\nabla R(\mathrm{O})=0$.

すなわち、 $R(x)=O(|x|^{2})$ である。
問題 : 適当な原点の近傍の座標変換 $x\mapsto x=y+v(y)$ によってなわち $R\equiv 0$ とできるか。

$\chi$

を線形化できるか。 すHomology 方程式
座標変換の公式によれば$X(y+v(y))(1+\nabla v)-1=y\Lambda$

.

したがって
$(y+v)\Lambda+R(y+v)=y\Lambda(1+\nabla v)=y\Lambda+y\Lambda\nabla v$.

よって、 v は次の方程式 (Homology 方程式) の解である。

$Lv=R(y+v)$ ,ここで、$\mathcal{L}:=y\Lambda\nabla-\mathrm{A}$.

ベクトル場\mbox{\boldmath $\chi$}が線形化されるための必要十分条件は Homology 方程式が解を持つことである。

140

例

今座標変換によって、 A が対角化されていたとする。 すなわち、$y \Lambda\nabla=\sum_{k=}n1\lambda_{k}y_{k}(\partial/\partial y_{k})$$\mathcal{L}v=$

diag$\Lambda=$

diag$(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n})$

.

であるので

$(( \sum_{1k=}^{n}\lambda kyk^{\frac{\partial}{\partial y_{k}}} -\lambda_{1})v_{1}, \ldots, (\sum_{k=1}^{n}\lambda kyk\frac{\partial}{\partial y_{k}}-\lambda_{n})v_{n})$.

この場合、 Homology 方程式は微分方程式の立場から見ればかなりきれいな形をしている。
$\bullet$

非線型性は $w:=y+v$ を未知関数と思えば、 準線形である。

ー系ではあるが最高階に関しては単独に分解している。
$\bullet$作用素$\mathcal{L}$はその可逆性はかなりわかりやすい。

最後に関しては、 次の計算によってたしかめられる。
$\lambda_{k}\alpha_{k}y^{\alpha}$$v= \sum_{\alpha}v_{\alpha}y^{\alpha}$と展開すると$\lambda_{ky_{k}}\frac{o}{\partial y_{k}}y^{\alpha}=$であるので$c_{v}= \sum_{\alpha}(\sum_{k=1}\lambda k\alpha k-\Lambda)v_{\alpha}y\alpha$を構成できる。
の割り算によって
変換 (乗法的 Fourier 変換) によって有効であるがMellinこの議論は解析的な関数でのみ、を滑らかな関数のクラスで構成することもできる。
であるのでしたがって、$\mathcal{L}^{-1}$$\sum^{n}k=1\lambda_{k}\alpha k-\lambda j$$y_{j}(\partial/\partial y_{j})\mapsto\xi_{j}$$\mathcal{L}^{-1}$

評価の立場からみた時の問題
非線型方程式を解くためには線形部分の評価が重要である。 評価の立場から考えたとき、 重要なクラスは Poincar\’e 型のベクトル場と Siegel 型のベクトル場である。 簡単のため、 うえの記号をそのまま用いることにする。

\mbox{\boldmath $\chi$}が Poincar\’e 型のベクトル場であるとは固有値\mbox{\boldmath $\lambda$}1, . . . ,$\lambda_{n}$が複素平面の原点を通る直線の片側に存在することである。
の Kernel および Cokernel は有
注意 Poincare’ 型のベクトル場に対するホモロジー作用素
限次元である。 このとき、 Homology 方程式は非線型性 R が十分に小さければ通常の逐次近似で解くことができる。 (Poincar\’e の定理)
は非常にこれ以外の作用素では無限次元の核があらわれたり、 核は有限次元であっても、型のベク
後者の場合はSiegel高い微分のロスをもつ。 前者の場合を resonance をもつという。
トル場という。
後者の場合、 いわゆる rapidly convergent iteration あるいは Nash-Moser iteration をもちいる$\mathcal{L}$$\mathcal{L}^{-1}$

ことによって非線型方程式を解く。

ボアンカレ条件の幾何学的な意味
ボアンカレ条件はベクトル場の原点における線形部分の固有値の条件である。 これの幾何学と考え、 $S^{2n-1}$的な意味を述べる。 ここでの結果は Ito (数理研講究録) による。 いまを $2n-1$ 次元の半径 1 の球面とする。 \mbox{\boldmath $\chi$}がに横断的とは\mbox{\boldmath $\chi$}が $S^{2n-1}$ に接しないことであ$\mathrm{C}^{n}\sim \mathrm{R}^{2n}$$S^{\mathit{2}n-\mathit{1}}$る。 この時つぎがなりたつ。

141に横断的であるとき、 \mbox{\boldmath $\chi$}は $S^{2n-1}$ のなかにただ–つの特異点をもつ。 その特異点\mbox{\boldmath $\chi$}がにおいて\mbox{\boldmath $\chi$}はボアンカレ条件をみたす。
$S^{\mathit{2}n-\mathit{1}}$一般性を失うことなく、 球の中で–次分数変換を用いて、 そのような特異点は原点であるとしておいてよい。 逆にボアンカレ条件をみたせば、 ベクトル場は特異点の近くの球面に横断的である。

可換なベクトル場の系の同時標準形
可換なベクトル場あるいは写像の同時標準形の研究は J. Moser によって提案された。 (Math.
(Discr. and Cont. Dynam. Sys. 1997), Kra (Israel Jour. Math.
Z. 1990). その後、
1996), Stolovitch (preprints) らによって、 1 次元のベクトル場の場合、 regularity が少ない場$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}$合、 一般次元の複素ベクトル場の場合などが研究された。 ベクトル場が特にハミルトン場の時は KAM 理論の–般化として提唱されている。 すなわち、 $2n$ 次元のハミルトンベクトル場$x_{H}:=H_{\xi xx}\partial-H\partial\xi$ を考えるとき、 $xH$ と可換なベクトル場が存在するとき、はどのような構造を持つか。
ここでは複素ベクトル場を実の立場からとらえることでこの問題を考える。 これは後で述べる
ように、 Seifert 予想への応用を与える。
$\chi_{H}$

例 複素ベクトル場
をかんがえる。 いま $z=x+iy$ とあらわし、ベクトル場を財部と虚であるので部にあらわす。 $a(z)=\alpha(x, y)+i\beta(x, y)$ とかくと$a(z)\partial_{z}$$\partial_{z}=(\partial_{x}-i\partial_{y})/2$$a(z) \partial_{z}=\frac{1}{2}(\alpha+i\beta)(\partial_{xy}-i\partial)=\frac{1}{2}(\alpha\partial_{x}+\beta\partial_{y}+i(\beta\partial x-\alpha\partial y))=X_{1}+ix2$

この時、 $a(z)$ の正則性より、$[x_{1},\mathrm{x}_{\mathit{2}}]$$\alpha_{x}=\beta_{y},$$\alpha_{y}=-\beta_{x}$(Cauchy-Riemann equation)

.

であるので

$=$

$\alpha\beta_{x}-\alpha_{x}\beta-(\alpha\alpha x-\alpha\alpha y)+\beta\beta_{y}-\beta\beta_{x}-(\beta\alpha_{y}-\alpha\beta_{y})$$=$$-\alpha\alpha_{y}-\alpha_{x}\beta-(\alpha\alpha_{x}-\alpha\alpha y)+\beta\alpha_{x}+\beta\alpha_{y}-(\beta\alpha_{y}-\alpha\alpha x)=0$.

一般に複素ベクトル場の実部と虚部は実のベクトル場として、 可換なベクトル場である。

そこで複素ベクトル場の結果を実の可換なベクトル場の理論より拡張できないか。 という立場から問題をかんがえる。 このような立場より、 Seifert 予想に対して、 複素のベクトル場での結果を拡張、 あるいは精密化することを行う。

可換なベクトル場の系$\chi=\{\chi_{1}, \ldots, \chi_{d}\}$を可換な原点で特異なベクトル場の系とする。 すなわち$[\chi_{j},\chi k]=0$$\forall j,$$k,$ $1\leq j,$ $k\leq d$.

原点で特異とはすべてのベクトル場は原点で消えるということである。

われわれはベクトル場の系\mbox{\boldmath $\chi$}を座標変換で同時に線形化したい。 このための変換の満足する方
程式を求めるため座標をとって.

$\underline{n}--\dot{4}\prime \mathrm{s}\partial$$x_{j}:= \sum_{1k=}X_{k(x)}J\overline{\partial_{X_{k}}}$142$X^{j}(x):=(X_{1}^{j}(x), \ldots,X_{n}j(x))=x\Lambda^{\mathrm{j}}+R^{j}(x),$とあらわす。 ここで、$\Lambda^{j}\text{は}n\mathrm{X}n$$R^{j}(x)=(R_{1}^{j}(X), \ldots, R_{n}j(x))$

定数行列、 $R^{j}(x)$ は次の条件をみたす。

$R^{\mathrm{j}}(0)=0$,$\nabla R^{j}(0)=0$.

と定義するとき$\mathcal{L}^{j}:=X\Lambda^{j}\nabla-\Lambda j$

ベクトル場の系\mbox{\boldmath $\chi$}が座標変換 x\mapsto y+v(ので同時に線形化されるための必要十分条件は v がHomology equations の系を同時に満足することである。 すなわち$\mathcal{L}^{p}v=RJ(y+v)$,$j=1,$$d$$\ldots,$.

同時ボアンカレ条件と同時横断性条件
単独のベクトル場でみたように複素ベクトル場の単位球面に対する横断性条件はボアンカレ条
件として理解される。 そして、 注意したようにこれはホモロジー作用素のある種の楕円性としてとらえられる。 それでは

複素ベクトル場を実の可換なベクトル場であらわしたとき、 ボアンカレ条件あるいは横断性
条件はどのようにとらえられるのか。

この問題に答えるためわれわれは同時ボアンカレ条件と同時横断性条件の概念をいれる。 これは楕円性を持たないが、 系として楕円性をは Homology 作用素の立場からいえばおのおのの$\mathcal{L}_{j}$持つということに対応する。
を Rn 上のリーマン計量、 $<,$
\mbox{\boldmath $\chi$}が単位球 $||\cdot||_{g}=1$ にたいして、 同時横断的とは

同時横断性の定義$g$$\sum_{\nu=1}^{d}|<\chi^{\nu},$$X>_{g}|\neq 0$,$>_{g},$$\forall x,$$||\cdot||_{g}$を内積、 およびノルムとする。

$||x||_{g}=1$.

が成立することである。
$\Lambda^{\nu}(\nu=1, \ldots, d)$を\mbox{\boldmath $\chi$}\nu の線形部分の行列とし、 $\xi_{j}^{\nu}(j=1, \ldots, n)$ をその固有値の実部とする。
$\xi_{j}:=(\xi_{j’ j}1\ldots, \xi^{d})$とおき、$\Gamma_{x^{:=}}\{\sum_{=j1}cj\xi j\mathrm{R}^{d}\in;C_{j}\geq 0, C^{2}1+\cdots+c_{n}^{2}\neq 0\}$で\Gam a \mbox{\boldmath $\chi$} を定義する。
定義$0\neq\Gamma_{\chi}$の時、 \mbox{\boldmath $\chi$}は同時ボアンカレ条件を満たすという。

143

単独の複素ベクトル場\mbox{\boldmath $\chi$} を考える。 $z_{j}=x_{j}+iy_{j}(j=1, \ldots, n)$ として、実の座標を導入する。
ベクトル場を実部と虚部にわける。 $\chi=\chi 1+i\chi_{2}$ .
の固有値を\mbox{\boldmath $\lambda$}j $=2(\xi_{j}-i\eta_{j})(j=1, \ldots, n)$と $\chi_{2^{\text{の線形}}部分の固有値の実部はそれぞれ}\xi_{j}$ ,とあらわす。 その時、である。 実際、
例$\chi$$\chi_{1}$$\lambda_{j}z_{jz_{j}}\partial$$-\eta_{j}$$=$$\xi_{j}-i\eta_{j})(X_{j}+iyj)(\partial_{x_{j}}-i\partial)y_{j}$$=$$(\xi_{j^{X}j}+\eta jyj)\partial_{x}+(jy_{j}\xi_{j\eta j}-X_{j})\partial_{y}j$$+$$i(y_{j}\xi_{j\eta j}-xj)\partial xj-(\xi_{j}xj+\eta jy_{j})\partial_{yj})$.

従って、 対応する行列は$\eta_{j}\xi_{j}$そこで最初の行列の固有値は$-\eta_{j}\xi_{j})$$(\lambda-\xi_{j})^{2}+\eta_{j}^{\mathit{2}}=0$

より$\lambda=\xi_{j}\pm i\eta_{j}$固有値は-\eta j\pm i\xi j.

, 同様にして、 2 番めの行列のボアンカレ条件は” ある $\theta \text{が存在して}\Re_{e}i\theta\lambda_{j}>0(j=1, \ldots, n)$ である” と述べられるので$\xi_{j}\cos(-\theta)-\eta j\sin(-\theta)>0$

すなわち、 $\xi_{j}=(\xi_{j}, -\eta_{j})(j=1, \ldots, n)$ とおくとき、$\Gamma_{\chi}\neq\emptyset$.

$\Gamma_{\chi}$.

の dualcone が空でない。 従って、

ここで\Gam a \mbox{\boldmath $\chi$} の dual cone は$\{(c_{1}, \ldots, c_{d})\in \mathrm{R}d;\sum C_{j}t_{j}>0,\forall(t_{1}, \ldots,td)\in \mathrm{r}_{x}\}j$

.

従って、

同時積断性条件とボアンカレ条件の同値性
まつ\mbox{\boldmath $\chi$}は semi-simple とする。 そこで実の正則な行列 P が存在して. $PD^{\nu}P^{-1}$$\Lambda^{\nu}=$とする。 ここでが成立する。

$D^{\nu}$,$\nu=1,$ $\ldots,$ $d$は実対角行列である。 リーマン計量を $g:=(P^{t}P)^{-1}$ で定義する。 この時次

144

注意 かならずしも semi-simple でないときにも同時横断性条件からボアンカレ条件は従う。 ただし ‘ 逆が成立するかどうかはわからない。

Poincar\’e 代表元の存在
同時ボアンカレ場を理解する上で役に立つ概念を導入する。 複素ベクトル場の例からわかるよ

うに複素ベクトル場の血止と虚部の適当な–次結合はボアンカレ型のベクトル場を生成する。
このような状況は–般的に成立する。 すなわち次が成立する。
定理\mbox{\boldmath $\chi$}が原点において同時ボアンカレ条件を満たすための必要十分条件はある$(\nu=1, \ldots, d)$が存在して、$c_{\nu}\in \mathrm{R}$がボアンカレ場となることである。

$x \mathrm{o}:=\sum^{d}\mathcal{V}=1c\nu\chi_{\nu}$

このような元の存在は Camacho によって予想された。

共鳴 Resonances についてとする。 これら
は簡単のため可換な線形場であるとし、 それらの線形部分を今、は Jordanは可換性より –般性を失うことなく実 Jordan 標準形であるとしてよい。すなわち、標準形であって、 その Jordan 細胞は$x\Lambda^{\mu}$$\chi=\{\chi^{\mu}\}$$\Lambda^{\mu}$$\Lambda^{\mu}=(\Lambda_{1}^{\mu}, \ldots,\Lambda_{k}\mu)$$J_{j}^{l^{4}}$$..$$\Lambda_{j}^{\mu}=($

ここで、

.

$J_{j}^{\mu}*$),$J_{j}^{\mu}=(\eta_{j}^{\mu}\xi_{j}^{\mu}$$-\eta_{J}^{\mu}\xi_{j}^{\mu})$.

$\lambda^{\mu}:=(\lambda_{1}^{\mu}, \lambda_{2}^{\mu}, \ldots, \lambda_{2}\mu)n’ j-1=\lambda_{2}^{\mu}:\xi_{j}^{\mu}+i\eta_{j’ 2}^{\mu}\lambda^{\mu}j:=\xi j-i\mu\eta_{j}^{\mu}(j=1, \ldots, n)$

ただし、 同じ物が現れたときは重複度も込めて書くことにする。 (ここで空間次元が偶数である場合を述べたが奇数の場合も記号を修正して述べることができる) とおくとき、 非共鳴条件は次のように述べられる。 ここで はベクトル場の個数である。
$d$$\sum_{\mu=1}^{d}|<\lambda^{\mu},$$\forall 1\leq j\leq 2n,\forall\alpha\in \mathrm{Z}^{2}-\vdash n$$\alpha>-\lambda_{j}^{\mu}|\neq 0$.

Resonances の存在は線形化への障害である。 これを見るために簡単な例をとる。 すなわち、単独のベクトル場に付随した Homology 方程式を解く。
$\mathcal{L}v=R(X+v)$,$v= \sum_{2|\alpha|\geq}v\alpha^{X^{\alpha}}$で R は 2 次以上の項よりなるとする。 このとき、に対し、 は掛け算作用素としてはたらくのでこの方程式を未定係数法で解ける。 すなわち、 $R(x+v)$ では $x+v$ の 2 次以上の積として$|\alpha|=s$ を含む項はの少なくとも $s+1$ 次以上である。 よって、あらわれるのでこれから$|\alpha|<s$ しかあらわれない。 これより、 形式解は非共の 次の項を比較すれば、 右辺からは$x$$v_{\alpha},$$s$$\mathcal{L}$$v_{\alpha}$$v_{\alpha},$

鳴条件のもとで–意に決まる。
この事より、 共鳴条件がなりたつと線形化はできない。 次の定理を注意しておく。

$x$

145

同時ボアンカレ条件を満足する系のボアンカレ代表元の resonance は同時 resonances と -致するようにとることができる。

複素ベクトル場ではその実部と虚部のベクトル場の resonance はもとの複素ベクトル場のresonance と -致する。
例

Seifert 予想への応用
を 3 次元球面とするとき S3 上の消えないベクトル場は常に closed nonsingular leaves をもつか。

$S^{3}$

これに対する affirmative な答えは Seifert 予想といわれる。 Kuperberger, Acta. Math. (1996)の結果によればこの conjecture には反例が知られている。 他方、伊藤 (数理研講究録) の結果によれば横断性条件をみたす複素ベクトル場で conjecture は成立する例が存在し、 さらに摂動をしても、横断性条件が変わらない限り closed nonsingular leaf が存在する。

複素ベクトル場は 2 つの可換なベクトル場と同値であるのでここでは Seifert conjecture を可換なベクトル場の立場から考える。

今\mbox{\boldmath $\chi$} を可換なベクトル場の系とし、$S^{\mathit{2}n-1}$

での Seifert 予想の成立を考える。

仮定. \mbox{\boldmath $\chi$}の線形部分は $S^{2n-1}$ に同時横断的であって非共鳴的であるとする。
この条件下で同時ボアンカレ条件が成立し、 可換な系にたいする拡張された Poincar\’e-Dulacの定理によって同蒔線形化できる。 前の記号をそのまま用いることにし、 固有値から , を$\xi_{j}$$\xi_{j}:=(\xi_{j}1, \ldots, \xi_{j}^{d}),$によって、 決める。

$\exists\nu,$$1\leq\nu\leq k$

くとも k 個

$j=1,$$k$$\ldots,$.

このとき、 次が成立する。

に対して、$S^{\mathit{2}n-1}$$\eta_{j}:=(\eta^{1}j’\ldots, \eta^{d}j),$$\eta_{j}$$\xi_{v}\text{と}\eta_{v}$が–次独立ならば nonsingular 1 次元 closed leaves が少な上に存在する。

Homology 方程式系の可解性の証明の概略
ボアンカレ条件が成立しない場合に Homology 方程式系を解く。 これは rapidly convergent iteration method を改良したものである。 考える方程式は overdetermined system であるので近似逆の構成を工夫する必要がある。 これは approximate weight function を用いて行う。

rapidly convergent method の有用性の例

次の簡単な例を考える。 $f(x)=0$ の根を求めるとき $\text{、}y-f(X\mathrm{o})=f^{;}(x\mathrm{o})(X-x_{0})$ はを通る直線の方程式である。 この直線と 軸の交点は $f(x)=0$ の根の近似を与える。 その近似は $x_{1}=x0-f’(X0)-1f(X\mathrm{o})$ である。 これを$(x_{0}, f(x\mathrm{o}))$

繰り返していわゆる Newton 法による近似がえられる。 すなわち

$x$

146

$x_{n+1n}=X-f’(_{X_{n}})^{-}1f(xn)$,$n=0,1,2,$.

$\ldots$

これに対して、 Picard の意味での近似列は次によって構成される。

$x_{n+1}=x_{n}-f’(X\mathrm{o})^{-}1f(xn)$,$n=0,1,2,$$\ldots$.

これらの収束の速さがどのくらい異なるかを $f(x)=x^{2}$ で見てみる。 求める零点は $x=0$ である。 Newton 法では $x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{\mathit{2}}/2x_{n}=x_{n}/2,$ $x_{0}=1$ であるので近似列は指数的に収束する。

Picard 近似では $x_{n+1}=x_{n}-X_{n}^{2}/2x0=xn-x_{n}^{2}/2$ . 従って、 この式を繰り返し用いて、 $x_{n+1}=$

特に、 $x_{n}arrow 0$ . これより、 近似列は指数的には収束しない。 なぜなら、 $x_{n+1n}=X(1-X_{n}/2)$ . よって、 $x_{n+1}= \prod_{k}(1-xk/2)$ . $x_{n}arrow 0$ であるのでこの右辺が$0<r<1$ より小さくなることはないからである。 口$1- \sum_{k}^{n2}=1^{X}k/2>0$. 従って、$\sum x_{n}^{2}<\infty$である。

$r^{n}$

を多重円板 $D_{T}=\{|z_{\dot{1}}|<$
で正則であっ$T_{1}\}\cross\cdots\cross\{|z_{n}|<T_{n}\}\mathrm{X}\{|w_{1}|<T_{1}\}\cross\cdots \mathrm{x}\{|w_{n}|<T_{n}\}$ とする。 $A(D_{T})$ を必要な補題を準備する。 $T=(T_{1}, \ldots, T_{n}),$ $T_{j}>0$ に対し、

$D_{T}\subset \mathrm{C}^{2n}$$D_{T}$て $\{(z, w)\in D_{T;w_{j}=\overline{z}_{j},j}=1, \ldots, n\}$の上で実数値をとる関数の全体とする。
$u_{\alpha,\beta}Z^{\alpha}w^{\beta}\in A(D\tau)$$H(T)= \{u(Z, w)=\alpha,\beta\in \mathrm{z}_{+}n,|\alpha+\sum_{\mathit{2}\beta|\geq}$;$\text{ト}\vdash=\sum\alpha,\beta|u_{\alpha,\beta}|\tau\alpha+\beta<\infty\}$と定義する。

$u$.

を $D_{T}$ で正則かつその閉包まで連続とし、 $|u|_{T,\infty}:= \sup_{D}\tau|u(z, w)|$ と定義する。
にたいして $T_{j}’<T_{j}$ の時、 $T’<T$と $T=(T_{1}, \ldots, T_{n})$ に対し、 すべての$T’=(T_{1}’, \ldots, T_{n}’)$$j$とかく。 この時、 次の補題が成立する。

定数 $C>0$ が存在してすべての $0<T’$ <T に対し、$|D_{Z}^{\gamma}D \frac{\delta}{z}v\mathrm{b}$,,$|u|\tau^{l},\infty\leq \mathrm{R}$,$\leq$$C(T-\tau’)^{-\gamma-}\delta\mu \mathrm{b}$$\leq$$C(T-\tau’)^{-2}n|u|_{T,\infty}$$u\in H(T)$,.

$u\in H(T)$.

が成立する。

,$Mf= \sum_{=\mu 1}^{d}\mathcal{L}\mu\mu tcf$

$f\in(H(T))^{2}n$.

と定義するとき次が成立する。
作用素 $M,$and $t\mathcal{L}_{\nu}(\mu, \nu=1, \ldots, d)$ はお互いに可換である。 もし $M^{-1}$ が存在す
$M^{-1}$
も可換である。
ればこれらの元と$\mathcal{L}_{\mu},$$L_{v}$

147$M^{-1}$が存在するとき、 approximate weight hnction$P(D) \vec{f}:=\sum tc_{j}j=1d-M^{-1}f_{j}$,$\mathcal{P}(D)$をつぎで定義する。

$\vec{f}=(f_{1}, \ldots, fd)\in H(T)^{2dn}$.

この時次が成立する。
$T^{0}=(T_{1}^{0}, \ldots, T_{n}^{1})>0$を与えられたとして、 次の Bruno 型条件を仮定する。

ある $c>$ が存在して、$\sum_{\nu=1}^{d}|<\lambda^{v},$ $\alpha>-\lambda_{j}^{v}|^{2}$$c \exp(-\frac{|\alpha|}{(ln(2+|\alpha|))^{1+}\tau})$$\geq$$\forall\alpha\in \mathrm{z}_{+}^{\mathit{2}}n,$,$|\alpha|\geq 2,1\leq\forall j\leq 2n$.

その時、 すべての $0<T’<T<\tau_{\mathit{0}}$ に対し、 逆 $M^{-1}$ : $(H(T))2narrow(H(\tau’))2n$ と $T$ とT’ に独立な定数 $c_{0}>0$ が存在して、 次の評価が成り立つ。 $T_{0}<\forall T’<\forall\tau<2T_{0}$ に対し、$||M^{-1}||_{(H(T}))2narrow(H(\tau’))2n\leq\exp(\exp(c_{0}(\tau-T’)^{-1}/(1+\tau)))$

ここで、$(T-T’)^{-1}/(1+ \tau)=\sum_{j}(Tj-\tau’j)^{-1}/(1+\tau)$. さらに,$\mathcal{P}$は定数$c_{0}$,を取り替えれば同じ評価を満たす。

Homology 方程式系の可解性の証明
簡単のため \Omega は多重円板、 すなわち半径 T $>$ の単位円板の直積とする。 $A(\Omega)$
を\Omega で正則であって $\{(z,w)\in\Omega;w_{j}=\overline{z}_{j},j=1, \ldots, n\}$ のうえで実数値の関数の全体とする。

可解性の証明$H( \Omega):=\{u\in A(\Omega);\sup_{\Omega}\mu \mathrm{b}<\infty\}$と定義する。

また $||u|| \Omega,\infty:=\sup_{\Omega}|u(x)|$ と定義する。

いま変換 x\mapsto u(x) $=x+v(x)$ がベクトル場を線形化したとすると $v(x)$ は Homology 方程式系の解である。

すなわち$\mathcal{L}_{\mu}v(x)=,$$R^{\mu}(x+v(x))$$\tau*>0$ を小さな正数とし、 $p>1$$\gamma\sum_{n=1}^{\infty p}n^{-}=\tau*$$k=1,2,$$\ldots$

で決める。

, ここで

$\tau_{0=}\tau$,$1\leq\mu\leq d$.

と $q>0$ は $1>q>p/(1+\tau)$ を満たすとする。

$\gamma$をとおき、 次の数列を定義する。

,$T_{k+1}$$=$$T_{k}-\gamma k^{-}p\mathrm{e},\tau_{k}\prime\prime\prime\tau_{k}=.-\gamma k+1\mathrm{e}-p/4$$T_{k1}’’+$$=$$T_{k}-2\gamma k-p\mathrm{e}/4,T_{k+1}’=T_{k}-3\gamma k-p\mathrm{e}/4$$\mathrm{e}=(1, \ldots, 1)$. 半径$T_{k}$の単位円板の直積である多重円板を\Omega k と書く。 以

下では\epsilon $>0$ を十分小さな数として、$||R^{\mu}||\tau\leq\epsilon$,,$\mu=1,$ $\ldots,$ $d$

,

148

の時、 Homology 方程式を解く。

変数変換 x\mapsto uk(x) $=x+v_{k}(X),$ $vk(x)\in H(\Omega_{k}),$$k\in \mathrm{Z}_{+}$の近似列を次で定義する。

ヨ$v_{0(_{X})}= \sum_{\nu=1}tL_{\nu}M^{-}1R(x)$既に述べた補題により、 ,今実数値関数列$v_{0}$$v\mathrm{o}(x),$,$R_{0(x)R(}^{\nu}=\nu x)$.

は実数値解析的である。
$vk-1(X)$ が定義され、 変換 $(1+v_{0})\circ\cdots\circ(1+v_{k-1})(x)$ によって$\ldots,$$X^{\mu,k_{(.)}}\backslash ’\backslash \cdot-1-\backslash \prime\prime\backslash X=^{x(}\mu,k-1X+v_{b}(x1)(1+\partial_{\mathrm{V},\prime}vk.-\rceil 1-.-1$,$=X^{\mu}((1+v_{0})\circ\cdots\circ(1+v_{k-1})(X))(1+\partial_{x}v\mathrm{o})^{-1}\cdots(1+\partial_{x}v_{k-1})-1$$\mu=1,$ $\ldots,$ $d$ となったとする。 ここで、 $X^{\mu,0}=X^{\mu}$$X^{\mu,k}(x)$$=$$v_{k}(x)$$=$. この時、$x\Lambda^{\mu}+R_{k}^{\mu}(x)$,$R_{k}^{\mu}$と$\mu=1,$ $\ldots,$ $d$$v_{k}$

をつぎで定義する。

,

ヨ$\sum_{\nu=1}{}^{t}L_{v}M^{-1}R^{\nu}k(x)$.

これによって、 $v_{k}(k=0,1,2, \ldots)$ が定義できる。
が十分小であるとして、 つぎをしめす。
$\epsilon>0$

この時、$\lim_{karrow\infty}u00\ldots \mathrm{o}u_{k}-1\circ u_{k}=u$in$H(\Omega_{\infty})$,$\mu=1,$ $\ldots,$ $d$,$\lim_{karrow\infty}R_{k}^{\mu}=0$in$H(\Omega_{\infty})$,$\mu=1,$ $\ldots,$ $d$,$X^{\mu,k}arrow x\Lambda^{\mu}$であるので$X^{\mu,k-1}(X+v_{k-1}(x))(1+\partial v_{k-1})^{-1}arrow X^{\mu}(u(X))\partial u^{-}1=x\Lambda^{\mu}$.

であることが示せる。 この近似列のよい点は収束がきわめて早いことである。これを可能にしているのは誤差が前の step の 2 乗で小さくなることである。 これはベクトル場の可換性よりわかる。

References[1] V. I. Arnold, Small divisors, I. Mappings from circle onto itself, Izv. Akad. Nauk USSR,
Ser. Mat., 25:1 (1961), 21-87.

[2] V. I. Arnold, ”Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations”,
Springer, New York-Heidelberg-Berlin, 1983.
[3]$\mathrm{A}.\mathrm{D}$. Bruno, ”Local Methods in Nonlinear Differential Equations”, Springer, Berlin-

Heidelberg, 1989.

149

[4]

. Bruno and S. Walcher, Symmetries and convergence of normalizing transformations, J. Math. Anal. Appl. 183 (1994), 571-576.

$\mathrm{A}.\mathrm{D}$, On no rmal forms in Hamdtonian dynamics, a new approach to some convergence questions, Ergod. Th. &Dynam. Sys., 15 (1995), 49-66.

[5] D.

$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}$, Diophantine conditions for the linearization of commuting holomorphic
functions, Discr. and Cont. Dynam. Sys., 3:3 (1997), 317-332.

[6] D.

$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}$[7] T. Gramchev and M. Yoshino, Rapidly convergent iteration method for simultaneous
normal forms of commuting maps, Math. Z. 231 (1999), 745-770.
[8] M. Herman, Sur la conjugaison diff\’erentiels des diffeomorphismes de cercle \‘a des rotations, Publ. IHES, 49 (1979), 5-233.

[9] M. Herman, Recent results and some open questions on Siegel’s linearization theorem ofnear a fixed point, Proc. VIII-th Conf.
$ge7ms$ of complex analytic diffeomorphisms ofon Math. Physics, (1988), 138-184.
$\mathrm{C}^{n}$[10] Y. Il’yashenko, Divergence of series reducing an analytic differential equahon to linear$fom$ at a singular point, Knct. Anal. and Appl., 13 (1979), 227-229.

[11] B. Kra, The conjugating map for commuting groups of circle diffeomorphisms, Israel
Jour. Math., (1996), 303-316.
[12] J. Moser, A rapidly convergent iteration method and non-linear differential equations,
II, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 20 (1966), 499-535.
[13] J. Moser, On commuting circle mappings and simultaneous Diophantine approrimations,Math. Z., 205 (1990), 105-121.
[14] M. P\’erez Marco, Nonholomorphic dynamics having an uncountable numberof symmetries, Inv. Math., 119:1 (1995), 67-127.
$\iota inea7\dot{n}zab\iota_{e}$[15] J.P\"oschel, Small divisors with spatial structures in infinite dimensional hamdtonian systems, Comm. in Math. Physics, 127 (1990), 351-393.
[16] J.P\"oschel, On invariant manifolds of complex analytic mappings near fixed points,
Math., 4 (1986), 97-99.

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}$.

[17] H. R\"ussmann, On the frequencies of quasi-pe riodic solutions of analytic nearly integrable
Hamdtonian systems, ”Semin. Dyn. Systems St. Petersbourg, 1991, Progress in Nonl.
Differential Equations and Appl.”, 12 Birkh\"auser, Basel, 1994, 160-183.

[18] C. L. Siegel, Iteration of analytic functions, Ann. Math., 43 (1942), 607-614.
[19] S. Sternberg, Infinite Lie groups and formal aspects of the dynamical systems, J. of Math.
and Mech., 10 (1961), 451-474.

150[20] L. Stolovitch, Classification analytique de champs de vecteures 1-risonnants de
Asymptotic Analysis, 12, 91-143, 1996.

$(\mathrm{C}^{n}, 0)$,[21] L. Stolovitch, Compl\‘ete int\’egrabdit\’e singuli\‘ere, C. R. Acad. Sci. Paris S\‘e. I. Math, 326:6(1998), 733-736.
[22] J. Vay, Alg\‘ebres commutatives de champs de vecteurs isochores, Bull. Soc. Math. France,
107, 423-432, 1978.

[23] S. Walcher, On differential equations in normal form, Math. Ann., 291, 293-314, 1991.
[24] J.-C. Yoccoz, Conjugaison diff\’erentiable des diffeomorphismes $du$ cercle dont le nombre
de rotation v\’erifie une condition Diophantine, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup\’er., IV S\’er., 17(1984), 333-359.

[25] J.-C Yoccoz, Recent development in dynamics, ”Proc. of the International Congress ofMathematicians, Z\"urich, Switzerland, August 1994”, Birkh\"auser, 1995, 246-265.
[26] E. Zehnder, A simple proof of a generalization of a Theorem by C. L. Siegel, Lect. Notes
in Math., 597 (1977), 855-866.
[27] E. Zehnder, Moser’s implicit function theorem in the framework of analytic smoothing,
Math. Anal., (1976), 105-121.

[28] E. Zehnder, $C.L$ . Siegel’s linearization theorem in infinite dimensions, Manuscripta
Math., 23, (1978), 363-371.
Department of Mathematics, Chuo University,
742-1, Higashinakano, Hachioji-shi, Tokyo 192-0393, Japan-mail: yoshinom@tamacc.chuo-u.ac.jp