『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

2015 年

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

増

1

山

幸

一

序
経済学における重要な課題の一つは，新しい考え方や行動規範，そして新技術やイノベーションが社

会的ネットワークを介してどのように伝搬して，社会に定着するのかを解明することである。Bikhchandani, Hirshleifer and Welch（1992）および Banerjee（1992）は，流行やファッション，習慣あるいはカルチャーの変化を情報カスケード現象として定式化した。社会的なネットワークの中に生活する
人々は，自分自身の持つ情報よりも，友人や隣人達の行為を観察することに信頼を置いて意思決定を行うので，隣人達の追従・模倣行動，あるいは，ある種の群集化現象を引き起こす。こうした情報カスケー
ド現象や模倣の拡散過程は，極めて異なる要因によって引き起こされているとしても，感染学で研究されてきたインフルエンザ・ウイルスやエイズ・ウイルス（HIV）の感染過程，コンピュータ・ウイルスのインターネット上での感染過程，（1996 年 8 月にカリフォルニア地方で起こった）送電網の機能停止の連鎖現象と類似している。さらには，マーケティング研究で有名なハッシュポピー靴の突然の大流行
現象，銀行間ネットワークにおけるデフォル連鎖の波及過程および金融資産市場における株価の暴落現象などとも通底する共通のメカニズムが働いている。また，周知の通り，国際金融システムにおけるシステミック・リスク問題やデフォルトの連鎖過程を理解するためには，ネットワーク理論を応用することが最も有効なアプローチになり得るという指摘は従来からなされてきた1。
Young（2009）は，情報カスケード現象やイノベーション拡散過程を分析するために採用されてきたアプローチを，大別して，以下の 3 種類のモデルに分類している。感染モデル（contagion model），社
会的影響 モデル（social inﬂuence model），そして社会的学習モデル（social learning model）の 3 種類である。感染モデルは伝染病感染の研究で古くから使用されてきたモデルで，SIS（susceptible-infected-sucseptible）モデルあるいは SIR（sucseptible-infected-recovered）モデルと呼ばれるものに代表される。ウイルスなどが，社会的ネットワークにおける人的接触を介して，ネットワーク内の巨大クラス
ターに伝搬するカスケード現象として理解される。Pastor-Satorras and Vespignani（2001）は，スケー
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『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

ルフリー・ネットワーク上の SIS モデルを用いて，インターネットにおけるコンピュータ・ウイルスの感染過程を説明している。
社会的影響モデルでは，隣人からの影響力が一定の閾値を超えたときに，感染あるいは模倣が生じると想定する。模倣の閾値モデルは，1970 年代に，Granovetter（1978）および Schelling（1978）によって社会的ネットワークの分析に導入された。Watts（2002）は，閾値モデルの枠内で，ランダム・ネッ
トワークにおける新技術の伝搬過程を分析するモデルを提案している。Dodds and Watts（2004，
2005）は社会学で活用されている簡単な閾値モデルを感染閾値モデルに発展させ，シミュレーションによる結果を用いて，病原菌感染の動的な過程を説明している。
経済分析において最も有効なアプローチは社会的学習モデルを活用することである。イノベーションの拡散現象を分析するアプローチは，拡散過程を社会的ネットワークにおける協調ゲームとして定式化
し，進化論的ゲームの枠組みを用いて分析を進めることである。こうしたアプローチにおける初期の研究は，Blume（1993，1995），Ellison（1993），および，Kandori, Mailath and Rob（1993）などに代表される。Young（1993，1998）は，新しい社会的制度や取引慣習などが社会的ネットワーク上に登場し，広く拡散して社会的な規範として定着する動的な過程を進化的協調ゲームにおける学習過程として定式化している。これらの研究は，基本的に，イノベーション拡散過程を 2×2 協調ゲームのリスク支配均衡（risk dominant equilibrium）へ向かう確率的進化過程（摂動マルコフ過程）として定式化し，リス
ク支配均衡に収束する平均時間が有限となることを証明している。このうち，Ellison（1993），Kandori,
Mailath and Rob（1993），および Young（1993）は，摂動マルコフ過程に一様誤差モデル（uniform error
model）と呼ばれる定式化を採用し，Blume（1993）や Young（1998）は摂動マルコフ過程を定式化す
る際に主体の最適反応様式として対数線形反応（log-linear response）を適用している2。
イノベーションの簡単な閾値モデルでは，ネットワーク上のノード i が di 人のノードと連結されており，そのうち ki 人の隣人が新技術を採用し始めたとき，採用比率 ki/di がある閾値 q を越えるならば，ノード i も新技術を採用すると想定される。Morris（2000）は，イノベーション拡散過程が 2×2 協調ゲー
ムのペイオフを生み出すと想定することで，この閾値（模倣の閾値あるいは追従の閾値という）を 2 人
協調ゲームのペイオフの大きさから計算することを提案した。さらに，ネットワーク全体にイノベーショ
ンが拡散するための条件がこの模倣の閾値とネットワークの密着度との関係に密接に依存することを示した。また，格子状にノードが配置されているようなネットワークでは，イノベーション拡散のために必要な閾値はたかだか 1/2 であることも明らかした。
López-Pintado（2006，2008）は，ネットワーク上で次数 k を持つ各ノードの中でイノベーションを適用したノード数の割合 ρ（t）を主要な確率変数として，統計力学の領域で発展してきた平均場理論k（mean field theory）に基づいて，この確率変数 ρ（t）の平均値の動的方程式を活用することを提案しk
た3。平均値の動学方程式の定常状態の関係式から，感染の閾値を計算することを示した。この計算手法によれば，感染の閾値の大小はネットワーク上の次数分布の分散に大きく関係することが分かる。例
えば，正規性ネットワーク，指数型ネットワーク，そして，スケールフリー・ネットワーク，の順に，感染の閾値は小さくなることが数値計算の結果から分かる。言い換えると，この順番で，インーベーショ
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社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

ンはより容易に拡散する。また，閾値モデルをより一般化して，隣人の行動を模倣あるいは追従する可能性を表現する関数として模倣の閾値関数という関数形式を導入するならば，模倣の閾値関数の数学的性質もイノベーション拡散のために必要な感染の閾値の決定に大きく影響する。López-Pintado（2008）によれば，例えば，模倣の閾値関数が新技術を採用した隣人数だけに依存する場合（SIS モデル），次数分布の分散の大きさに逆比例して伝染の閾値は小さくなる。スケールフリー・ネットワークの伝染の閾値はゼロである。模倣の閾値関数が隣人の採用者数と隣人数の多変数関数となっている場合，伝染の閾値の大小は次数分布の大小と単調な関係を持たないことも指摘できる。ただし，平均場の理論による
平均値の動学方程式の導出では，新技術を採用した主体が時間の経過と共に古い技術に回帰する確率が正であることを暗黙に仮定している。この仮定が成立しない場合，結論は一般化できない。また，模倣するか否かの意思決定をする各時刻で，毎回，各ノードの隣人は所与の確率分布に従って全人口からランダムに選択されると仮定されている。
初期に新技術を採用したノードの集合のネットワーク全体に占める占有率がある臨界点を越えると
き，イノベーションがネットワークの非常に多数の主体に一挙に拡散する。このイノベーション拡散過程の転換点（tipping point）を定式化するために，Jackson and Yariv（2005，2007）は，行為に関わる
費用と協調ゲームから得られるペイオフに関する非均質性を確率分布として表現し，確率的最適反応を明示的に導入した一般化 SIR モデルを提案した。2 人協調ゲームにおいて新技術の適用から得られる相対的ペイオフを vi，それに伴う費用を ci とするとき，これらは確率変数で，一様確率分布していると仮定される。隣人のうち新技術を採用している主体の数が ki であるとき，新技術の適用から得られる純利得が vi, ci, di, ki に依存すると想定される。初期に，新技術を採用したノード数の全ノードに対する比率を x0 とするとき，各ノードにリンクされている隣人集合は比率 x0 で新技術をもつノードを含んでいると想定される。一般的に，イノベーションがネットワーク全体の多数に拡散する為に必要な初期比率
x0 の転換点は，vi, ci とネットワークの次数分布に依存することは自明である。Jackson and Yariv の研
究は，こうした依存関係を解析的に分析し，ネットワークの構造の変化がこの臨界点をどのように変化させるかを明らかにした。ペイオフ vi が i の次数の増加（減少）関数である場合には，転換点は低下（上昇）し，イノベーションはより広範囲（狭い範囲）に拡散する。次数分布の分散が増加するとき，転換点が小さくなり，イノベーションがより広範囲に拡散するかどうかは，次数の関数としてのペイオフの数学的形状に依存する。ペイオフが次数の増加凸関数であるならば，次数分布の分散の増加はイノベー
ションの拡散をより拡大させることが示されている。López-Pindo（2006，2008）と同じく，平均場理論を活用する前提的仮定として，毎回の意思決定のアップデート時点で，各ノードの隣人は所与の確率分布に従って全人口からランダムに選択され，その隣人の中で新技術を採用しているノード数が同一比率になっていると仮定されている。初期時点でも，すべてのノードはリンクされている隣人集合の中に同一の比率 x0 で新技術採用者数が含まれていると仮定されている。この仮定は現実のインーベション
拡散過程で観察される現象の特性とは整合しない。
本稿は，Jackson and Yariv（2005, 2007）の研究で用いられたモデルの一般化を行い，イノベーショ
ン拡散のための閾値あるいは転換点（tipping point）およびイノベーションの浸透度が社会的ネットワー
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『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

クの連結度構造や隣人効果の特質といかなる関係にあるのかを明らかにすることである。
次節では，ゲーム理論から発展してきた 2×2 協調ゲームの進化論的アプローチに基づく Morris（2000）モデルを取り上げ，模倣の閾値の意味，および，ネットワークの連結構造と伝染の閾値との関係を説明する。第 3 節で，閾値モデルの枠組み内で，ランダムネットワークにおけるイノベーション拡散の問題を取り上げ，分析方法とイノベーション拡散の特徴を説明する。第 4 節で，López-Pintado（2006,2008）および Jackson and Yariv（2005, 2007）のモデルを一般化することを提案する。とりわけ，ネッ
トワークの連結度の分散の大小とインーベーションの浸透度の増減との関係性はクリアカットな関係として成立たないことの要因を説明する。さらに，ネットワークの連結度の分散の増加がインーベーションの転換点（tipping point）を低下させ，浸透度を増大させるか否かは，ネットワーク上における各ノー
ド間の隣人効果が次数の大小とどのような関係を持つかに大きく依存することを明らかにする。最後の節で結論を述べる。

2

2×2 協調ゲームとイノベーション拡散の閾値
ネットワーク（N, g）はノードの集合 N＝｛1, 2,..., n｝とノード間に張られたリンク接続の状態 ɡ ⊆ N×

N によって定義される。ɡ＝（ɡij）とする。ノード i からノード j へのリンク接続の状態は ɡij で表現され，
ɡij＝1 のとき i から j へのリンク接続が確立されている。リンク接続がないときは，ɡij＝0 である。ノード i の隣人集合を Ni＝｛ j ∈ N：ɡij＝1｝と定義し，ノード i の隣人の数 zi＝｜N｜i を i の次数という。ネッ
トワークの次数分布は｜{i ∈ N：zi＝k }｜pk＝, k＝0, 1, 2...
nとなる。以下では，リンク連結は双方向である，つまり，ɡij＝ɡji であるようなネットワークを対象とする。
M ⊂ N をノードの部分集合とするとき，M に属する各ノード i に対して，その隣人 j ∈ Ni が集合 Mに属する割合を｜{ j：ɡij＝1, j ∈ M }｜
i
π（M）
＝
z
i

と表記する。これをノード i の密着度（cohesiveness）という。集合 M の全体的密着度（overall cohei
siveness）は各ノードの密着度の大きさπ（M）の最小値として定義される。
i.
π（M）＝minπ（M）

i∈M

集合 M の密着度π（M）は外的な影響力がどの程度隔離されているかを測る指数である4。π（M）が大きいほど，M に属するノードはより多い割合で隣人を M 内に持つ。π（M）＝1 であるならば，すべての隣人は M 内にあるので，M は連結したコンポーネントであり，外的な影響から完全に隔離されている。
r ≤ r ≤ 1）以上のノードが集合 M に属するすべてのノードに対して，その隣人ノードのうち割合 （018社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

集合 M に含まれているならば，ネットワーク ɡ に関して集合 M は密着度 r を持つという。つまり，π（M）≥ r であるならば，集合 M は密着度 r をもつ。
ネットワーク上で各ノード（プレイヤー）の間の協調ゲームを考える。各プレイヤーは隣人プレイヤーとのみゲームを行える。各プレイヤーの戦略集合は同じで，A，B の 2 種類からなる。Si＝｛A, B｝，i ∈N となっている。戦略に対するプレイヤーの利得は同一で，下表の通りとする。
j

i

A

B

A

（1＋h, 1＋h）（－1＋h, －1－h）

B（－1－h, －1＋h）（1－h, 1－h）

ここで，h ∈（－1, ＋1）はモデルで重要な役割を果たすパラメターで，2 種類の戦略から得られるペイオフにバイアスを与える5。この仮定は，プレイヤーj ∈ Ni が採用する戦略が A（あるいは B）である
とき，プレイヤーi も同じ戦略 A（あるいは B）を選択するように動機付けている。隣人プレイヤーが戦略を変更しない限り，どのプレイヤーも戦略を変更しない。ここで提起される案件は，少数のプレイヤーのグループが戦略を変更したとき，少数のプレイヤーによるこの戦略変更の行動がネットワーク全体に感染するか，否かを解明することである。
ネットワーク上での伝染あるいは模倣の過程を以下のように単純化する。ゲームは離散時間 t＝1, 2,
3, ... で進み，各時刻 t ですべてのノードは同時に戦略を選択する。各ノードは隣人ノードの行為（戦略）に反応して，自分の戦略を A にするか，B にするかをアップデートする。時刻 t で，隣人ノードの行為を観察したとき，各ノードの戦略のアップデートは時刻 t＋1 で行われる。
隣人プレイヤーの戦略を所与として，ある少数のプレイヤーが戦略を変更したとき，自分もこの戦略変更に追随することが有利にならない限りだれも戦略変更に追随しない。時刻 t でのプレイヤーの戦略s ＝（s（t）, s（t）, ... , s（t））と表記する。時刻 t＋1 になったとき，プレイヤーi が戦略
プロファイルを （t）
n1
2
を B から A に変更するためには，プレイヤーi にとって，戦略 B を選択するよりも A を選んだときのペイオフの方が大きい条件＝A}｜＋（－1＋h）｜{ j ∈ Ni：s（t）＝B}｜（1＋h）｜{ j ∈ Ni：s（t）jj＞＝A}｜＋（1－h）｜{ j ∈ Ni：s（t）＝B}｜（－1－h）｜{ j ∈ Ni：s（t）
jjが必要である。この条件を整理すると，｜{ j ∈ Ni：s（t）
＝A}｜
j
zi
となる。ここで，q＝

＞q

⑴

1－h

である。この条件は，隣人プレイヤーのうち戦略 A を選んでいるプレイヤー
2の割合が q を越えていることを要求している。h ＞ 0 のとき，q ＜ 1/2 であり，h ＜ 0 のとき q ＞ 1/2となる。この臨界的な水準 q を追従または模倣の閾値（imitation threshold）と呼ぶことにする。ある時点で，q を越える割合の隣人プレイヤーが戦略を変更するとき，この隣人達に連結したプレイヤーがこれに追随する。戦略 A を選んでいるプレイヤーの集合が S であり，それ以外のプレイヤーは戦略 Bを選択しているとする。S に属さないプレイヤーは S 内にもつ隣人の割合が q 以下でなければいけない。
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『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

言い換えると，S に属さないプレイヤーの隣人のうち，割合 1－q を越えた隣人を N－S 内に持っていな
ければいけない。このとき，集合 N－S は密着度 1－q をもつ。
意思決定を変更するという行為がネットワーク全体に伝染するか否かは模倣の閾値 q に大きく依存する。上で見た通り，模倣の閾値 q は協調ゲームにおけるペイオフの大小関係によって定まる。各プレイ
ヤーが均質的でないとき，各プレイヤーのペイオフが同一であるとは限らない。この場合，模倣の閾値はプレイヤーごとに異なる6。
また，ネットワーク全体への伝染可能性はネットワーク・リンク連結の構造にも大きく依存することは容易に想像できる。密着度の大小はリンク連結のアーキテクチャーの特徴に大きく依存する。上で既に指摘した通り，部分ネットワークの密着度が大きいほど，ネットワークにおける各部分ネットワークの孤立性が高まる。だから，密着度が大きい部分ネットワークからなるネットワークほど，ネットワー
ク全体への伝染性は低くなる。以下の補題が成立する。この補題の証明は上での議論からも自明である。
補題

2.1

ネットワーク（N, g）上での均質的なプレイヤーによる協調ゲームを考える。この協調ゲームでは，
模倣の閾値が q である。このとき，プレイヤーの空でない部分集合 M が密着度 q を持ち，その補集合
N－M が 1－q 以上の密着度をもつならば，このネットワーク上では，2 種類の戦略が共存する純粋戦略
均衡が存在する。
ネットワークが 2 つのコンポーネントからなる場合，上の補題が成立つことは明らかである。なぜなら，コンポーネントの密着度は 1 であるから，いかなる q の値に対して，密着度 q 以上であることと，密着度 1－q 以上であることを満たす。以下の図に示されている 2 つの部分ネットワーク（以下，クラスターと呼ぶ）から構成されるネットワークで，各クラスターの密着度が 2/3 である。この場合，模倣の閾値 q が 1/3 と 2/3 の間にあるとき，各クラスターの密着度は 1－q 以上になる。よって，補題の条
件は満たされる。補題の条件が満たされるネットワークでは，意思決定の変更がネットワーク全体に感染するような現象は起きない。

Fig. 1

密着度 2/3 を持つ 2 つのクラスターからなるネットワーク

20

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

上記補題の前提が成立しない場合，ネットワーク全体での感染現象が起こる。言い換えると，以下の補題が成立する。
補題

2.2

ネットワーク（N, g）上での均質的なプレイヤーによる協調ゲームを考える。この協調ゲームでは，
模倣の閾値が q である。m 人のプレイヤーからなる有限集合 M の補集合 N－M の，いかなる部分集合
も密着度 1－q 以上の密着度を持たない（π（S）＜ 1－q, ∀ S ⊆ N－M）とする。このとき，m 人のプレイヤーからなる有限集合 M で起こった意思決定の変更はネットワーク全体に伝染する。
証明：m 個のノードを持つ集合 M を考える。その補集合の部分集合の一つ S が密着度 1－q 以上の密着度を持つならば，S に属するすべてのプレイヤーは意思決定を変更しない。M に属さないプレイヤーに意思決定の変更が伝染するためには，M の補集合のすべての部分集合が密着度 1－q 以上の密着度を満たしてはいけない。十分条件を示す。M の補集合のすべての部分集合が密着度 1－q 以上の密着度を持たないならば，この補集合に属する一つのノード，例えば，j が M の中に少なくとも q 以上の割合で隣人を持つ。このとき，j は M で起きた意思決定の変更に追随する。この追従行為は，M の中に q 以上の割合で隣人を持つすべてのノードに伝染する。従って，最終的には，M の補集合のすべての部分集
合は密着度 1－q 未満なので，意思決定の変更は M の補集合のすべてのノードに伝染する。
この補題の含意はクリアーでコンパクトであるが，補題の条件をチェックする作業は容易でない。ちなみに，n 個のノードを持つネットワークで，ノードの部分集合の数は 2 n であるから，n が非常に大きくなると，部分集合の密着度を調べ尽くすことは大変な作業となる。大規模なネットワークでは，この補題の条件が満たされるか否かを判定することは現実的でない。
次に，ネットワークにおける伝染の閾値（contagion threshold）なる概念を導入する。上で説明した
ように，ノードの集合 M で意思決定の変更が行われたとき，模倣の閾値 q が所与であるとして，補集
合 N－M の密着度 p が 1－q より大きいならば，この意思決定の変更はネットワーク全体に伝染しない。
ネットワーク全体への伝染の可能性はネットワーク内のクラスターの密着度と大きく関係する。集合p
M 内に密着度 p 以上で隣人ノードを持つノードの集合をΠ（M）と表記する。つまり，pi＝{i ∈ N：π（M）
≥ p}.
Π（M）

この集合は，p ≧ qのとき集合 M で起きた新技術の採用に対して，これを観察した隣人ノードうち，新技術を採用すると決定したノードの集合，言い換えると，隣人の行為を模倣したノードの集合（1 回
p
p
（M）
）
目の模倣を行ったノードの集合）である。時間が進むにつれて模倣行為が伝搬して行く。Π（Πは第 2 段階目のアップデートにおいて模倣を行ったノードの集合である。第 1 段階で模倣を行ったノーp［Πp］2（M）＝Πp
ドの集合Π（M）の隣人のうち新技術の採用を模倣したノードの集合である。ここで，
p
k
（Π（M）
）と表記する。k 段階目のアップデートにおいて新技術の採用を模倣したノードの集合を［Πp］（M）と表現する。
Morris（2000）に従って，ネットワーク全体への伝染を可能とする最大な密着度ξを伝染の閾値
21

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号（contagion threshold）と定義する。模倣の閾値 q が伝染の閾値ξよりも小さければ，イノベーション
はネットワーク全体に拡散する。
定義

2.1（伝染の閾値）

ネットワーク（N, g）における伝染の閾値ξは
p k］（M）＝N を満たす p}
ξ＝max { p：ある有限なノードの集合 M に対して，∪k ≥［Π
1と定義される。
伝染の閾値を直観的に理解するために，いくつかの例を挙げる。最初に，直線上に各ノードが連結されたネットワークを取り上げる。ノードのラベルを｛ ..., －2, －1, 0, 1, 2, ... ｝とし，すべてのノードが戦略
B を選んでいたとする。ある時点 t＝1 で，ノードの集合 S＝{－1, 0, 1} が戦略を A に変更したとする。
さらに，追従の閾値を q とする。各ノードは 2 つのノードに連結されているので，もし追従の閾値が q＜ 1/2 であるならば，時刻 t＝2 で，ノード－2 および＋2 はノード－1, ＋1 の行為に追従する。さらに，
時刻が進み t＝3 になると，ノード－3 と＋3 が追従する。こうして時刻が経過して行くにつれて，ネッ
トワークのすべてのノードは戦略 B を選択した状態となる。ノードの集合 S の行為がネットワーク全体に伝染する。他方で，q ＞ 1/2 である場合，ノード {－2} と {＋2} はノード {－1, ＋1} の戦略変更に追従しない。よって，どのノードも S の行為に追従しない。このことは，伝染の閾値が丁度 1/2 であることを示している。
次に，ノードが m 次元格子状に連結されたネットワークを取り上げてみる。隣接する各格子点は長さ 1 の距離にある。xi および yi を各格子点の座標軸上の位置とするとき，点 x と y の距離をm∑

d（x, y）＝ ｜xi－y｜ii＝1と定義する。距離 d＝1 内に位置するノードの間にリンクが張られているとする。2 次元格子状になっているとき，つまり，m＝2 のとき，各ノードは 4 本のリンクを持つ。このとき，伝染の閾値はξ＝1/4となる。この事実を説明する。例えば，追従の閾値が q＝1/2 ＞ 1/4 であるとしよう。新技術を採用したノードの集合に属する一つのノードを x とする。x にリンクするノードのうちまだ追従していない
ノード y から見ると，4 本のリンク先ノードのうち一つのノードだけが意思決定を変更したと判断する。
y のリンク先ノードのうち意志決定を変更したノードの割合は 1/4 となり，ξ＝1/4 ＜ q＝1/2 なので，
y は追従しない。一般的に，格子の次元が m である場合，各ノードは 2m のリンク先ノードを持つ。よって，伝染の閾値はξ＝1/（2m）となる。
点 x と y の距離をd（x, y）＝max {｜x1－y1｜, ... , ｜xm－ym｜}と定義する。距離 d＝1 内に位置するノードの間にリンクが張られているとする。
2 次元格子状になっているとき，各ノードは 8 個のノードとリンクしている。Fig. 2 を参照。このケー
スでは，伝染の閾値はどれほどになるのか。黒丸のノードが新技術を採用したとする。追従の閾値が q
22

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程
Fig. 22 次元格子の例（d＝max{｜x1 － y1｜, ｜x2 － y2｜} のケース）＝1/8 であるとき，黒丸ノードにリンクする白丸ノードは 1/8 以上の割合で黒丸ノードとリンクしているので，新技術を選択すすることに追従する。従って，ネットワーク全体に新技術は伝搬する。結論としては，ネットワーク全体に模倣が伝染する為に必要な追従の閾値は 3/8 以下であれば良い。言い換えると，伝染の閾値はξ＝3/8 である。なぜなら，白丸ノードの中で黒丸ノードにリンクする割合が 3/8となるノードが 4 個存在するからである。
上の例では，伝染の閾値はすべて 1/2 以下であったが，伝染の閾値が 1/2 を越えるようなネットワー
クは存在するだろうか。以下の補題がこれに答える。
補題

2.3

いかなるネットワーク（N, g）の伝染の閾値も 1/2 以下である。
この補題の証明は簡単である。新技術を採用した最初のノードの集合が S であるとき，1 回目の意思は模倣の閾
決定のアップデート後に，新技術を採用しているノードの集合を h（S）とする。ここで，qqk値である。k 回目の意思決定のアップデート後に，新技術を採用しているノードの集合を h（S）と表記
qj
X に対して，X にリンク先隣人を持つノードの集合をδ
（X）する7。Sj＝h（S）と表現する。ノードの集合qと表記し，その数を｜δ
（X）｜と表記する。
最初に，q ＞ 1/2 と仮定する。S は任意の有限個のノードの集合とする。Sj－1⊂≠ Sj となるすべての j｜＜｜δ（Sj－1）｜であることを証明する。Sj－Sj－1 に含まれるノード v を任意に選ぶと，vに対して，｜δ（Sj）（Sj）には属さない。v のリンク先ノードのうち N－Sj に含まれるノードがあはδ（Sj－1）に含まれるが，δ
23

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

れば，これらのノードはδ（Sj）に属するが，δ
（Sj－1）には属さない。q ＞ 1/2 であるから，v のリンク先
ノードの数は N－Sj に属するものよりも Sj－1 に属するものの方が多い。言い換えると，v のリンク先ノー
ドの数は Sj よりも Sj－1 に属するものの方が多い。Sj－Sj－1 に含まれるノード v すべてに関して和を取れ｜＜｜δ（Sj－1）｜となる。
ば，｜δ
（Sj）
｜＞｜δ
（S2）
｜＞ ... となるので，すべての j に対して｜δ（Sj）｜≥ 0 であるから，ある整数 k
｜δ
（S）
｜＞｜δ
（S1）
に対して，Sk＝Sk＋1＝Sk＋2＝... が成立しなければならない。いかなるノードの集合 S で起きた新技術の採用もネットワーク全体に伝染しない。
戦略集合は A と B の 2 種類からなる 2 者択一意思決定問題を仮定してきたが，可能な戦略としてハイブリッド戦略を認めるとき，更には，3 種類以上の戦略を認めるとき，今までの議論がどのように修正されるのだろうか。この疑問に対して，Immorlica, et al.（2007）は，A，B の行為以外に，A および
B と互換的な AB というハイブリッド戦略を導入したモデルを提案し，感染が起こるために閾値が満たすべき領域を導出している8。

3

ランダムネットワークにおけるイノベーションの浸透モデル：母関数アプローチ
模倣の閾値あるいは追従の閾値概念に基づくアプローチを病原菌やウイルスの感染過程の研究で発展してきた SIR ランダムネットワーク・モデルや SIS ランダムネットワーク・モデルに応用して，社会的ネットワークにおけるイノベーションの浸透過程を分析する9。
最初に，社会的ネットワークを介して伝搬するウイルスの相転移モデルを導入する10。ウイルスに感染して発病したノードからなるクラスターの性質を調べるために，任意に選んだノードが m 個の感染したクラスターに連結している確率を qm として，rm を任意に選んだリンク先のノードが m 個の感染したクラスターに連結している確率とする。これらの確率分布に対応する母関数を∑q x , H（x）＝∑r x

H（x）
＝
0

m

m

m

1

m

m

m

とする。いま，次数 k のノードが病原菌に感染する確率をρk とする。感染するメカニズムの詳細については，ここでは説明しないで感染率のみを仮定する。ランダムに選ばれたノードの次数が k で感染している確率は pkρk である。この確率分布に対応する母関数は∞∑ pρ x 

F（x）
＝
0

k＝0

k k

⑵

k

と定義される。ρ＝F（1）がネットワーク全体での感染確率の平均値である。任意に選んだリンクに連0結するノードの次数は確率分布ξに従うので，隣人ノードの感染確率に対応する母関数は
∞

∑

F（x）
＝ ξkρk xk－1＝
1
k＝1∑k kpkρk xk－1
∑k kpk

＝

F′（x）
0
d1

∑kp であるである。F（1）は隣人ノードの感染確率の平均である。ここで，d
1
1＝
24

k

k

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

一つのリンクをランダムに選び，そのリンクに連結しているノードの中で病原菌に感染（発病）したノード数（感染者のクラスターのノード数）の確率分布に対応する母関数は H（x）である。このクラ1
スターが空の場合もある。選ばれたリンクに連結したノード j が感染していない確率は∞∑ξρ ＝1－F（1）

1－

k＝0

k k

1

に等しい。感染しているノード j に連結しているとき，この感染ノード j の隣人の感染確率に対応するから出るリンクに連結している感染クラスターのサイズ分布は
母関数は F（x）でなければならない。j1
H（x）に従う。H（x）は自己準拠性を持たなければならないので，
11∞∑ξ ρ（H ） ］＝1－F（1）＋xF（H（x））

H（x）＝1－F（1）
＋x［
1
1

k＝1

k k

1

k－1

1

1

1

⑶

が成立する。ランダムに選ばれたノードにリンクされている感染者クラスターのノード数（サイズ）分
1－F（1）
で，次数 k で布に対応する母関数は H（x）である。選ばれたノードが感染していない確率は
0
0
感染している確率はρk だから，この母関数は上と同様な理由から∞∑ p ρ（H（x））］＝1－F（1）＋xF（H（x））

H（x）＝1－F（1）
＋x［
0
0

k＝0

k k

1

k

0

0

1

⑷

となる。F（x）はネットワーク上で感染したノードからなるクラスターのサイズ分布を与えている。こ0の式から感染ノードの平均クラスターサイズや相転移の閾値を計算することができる。
感染したノードのクラスターサイズの平均は
H′（1）
＝F（H
（1）
）＋F′（H（1））H′（1）＝F（1）＋F′（1）〈s〉＝H′（1）
0
0
1
0
1
1
0
0
1
＝1 と正規化した。簡単な計算で，平均クラスターサイズがと計算できる。ここで，H（1）1〈s〉＝H′（1）
＝F（1）
＋
0
0

F′（1）
F′（1）
0
1

1－F′（1）1⑸′となることが分かる。F（1）＝1 が相転移を引き起こす，巨大クラスターを生み出す臨界点である。
1

各ノードの感染確率が次数に依存せず同一ならば，つまり，すべての次数 k においてρk＝ρならば，
F（x）＝ρG（x）, F（x）＝ρG（x）
0011が成立するので，（3）,（4）式は
H（x）＝1－F（1）＋ρxF（H
（x）
）
1
1
1
1
H（x）
＝1－F（1）＋ρxF（H
（x）
）
0
0
0
1
と簡単化される。感染したクラスターの平均サイズは〈s〉＝ρ［1＋ρG′（1）
0

ρd1
］＝ρ
［1＋
］
1－ρG′（1）1－ρd2/d11と計算できる。ここで，d2 は隣人ノードの隣人数の平均値である。相転移を引き起こす感染確率の臨界
値ρc は
ρc＝

1

d1
＝
d2
G′（1）
1
25

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号で与えられる。感染確率がρ≥ρc を満たすとき，いくつかのノードが病原菌に感染するならば，これらのノードから始まる感染過程はネットワークのほとんどすべてのノードを覆い尽くして拡散する。直観的には，ネットワークの次数分布の分散が平均値に比較して大きければ大きいほど，巨大クラスターに感染し易い。従って，ポアッソン・ランダムネットワークに比較して，スケールフリー・ネットワーク
において，より容易に巨大クラスターに感染する。単純なスケールフリー・ネットワークの分散は無限大なので，病原菌の感染に無防備である。
新技術を採用するときや新製品を購入しようとするとき，人々は社会的なネットワークを介して友人や知合いの行動や意見に大きな影響を受ける。ネットワーク上に配置された各主体は 2 種類の選択，Aまたは B という行為を選択できるとする。行為 B がデフォルトの状態とする。各主体 i が社会的ネッ
トワーク上で ki 人の隣人を持つとき，彼らの行動を観察して，行為 A を採用している人数を ri とする。
f ki, ri）とするとき，
主体 i の新技術の採用から得られるネットワーク効果の大きさを （f ki, ri）
θk ≤ （iならば，主体 i は行為 A を模倣する。そうでなければ，行為 B を続けるとする。各主体に対して確率密度分布 h（θ）からランダムに選ばれたある閾値θk が一様に与えられる。h（θ）は単位区間［0, 1］の上
1dθ＝1 と正規化されている。θk を次数 k を持つノードの適用の閾値に定義された密度関数で，∫ 0 h（θ）
（threshold to adopt or imitate）と呼ぶ。
初期では，すべてのノードはデフォルト B を採用しており，突然，非常に少ない数のノードが行為
B から行為 A に選択を変更したとする。それ以降，各時刻で，すべてのノードはランダムに隣人の状態を観察して自身の行為の選択を変更するか否かの意思決定をする。行為を B から A に変更するならば，この行為の変更は不可逆的で，行為 A から B に戻すことはできないとする。行為の B から A への変更は上で述べた適用の閾値ルールに従うので，各ノードの意思決定は隣人の行為に大きく依存する。
各ノードの次数 zi は確率分布しているので，ノードは互いに異質の次数に直面する。次数の確率分布
は所与であり，次数 k となる確率は pk と表記する。ネットワークのリンクは双方で交信可能で，各ノードの平均次数〈z〉はネットワークのサイズ n に比較して非常に小さいとする。簡単化のために，n は無限大に近いとする。また，十分に大きなカスケード現象が起きたという意味は，無限数のノードからなるネットワーク上で，考察しているカスケード現象が無視できない大きな占有率をもつクラスター・ノードで観察されることである。
最初に Watts（2002）が採用した最も単純な閾値関数のケースを分析する。つまり，次数 k を持つノードがそのうち r 人の隣人が新技術を使用していることを観察したとき，閾値関数が h（k, r）＝r/k であると仮定する。このとき，新技術を採用する確率 ρ（r）を以下のように想定する。
kρ（r）＝Pr［θ≤kr］k

この仮定のもとでは，r が与えられたとき，次数 k が増大するにつれて，採用確率は低下する。イノベー
ションによる新技術の開発がごく少数（1，2 社）の主体によって採用されたとき，この新技術の採用が巨大な波となって社会的ネットワーク全体の大多数の主体に拡散していく過程を対象としている。こ26

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程の場合，拡散の初期では，新技術を採用した一人の主体が隣人の一人に影響力を与えて，この隣人が新技術を採用するという拡散経路をたどると思われる。この想定を認めるならば，k 人の隣人を持つ主体
が新技術を採用するか否かは，隣人の一人が新技術採用に大きな影響力を及ぼすか否にかかっている。
よって，新技術採用の確率は r に依存しない形式で表現する方が便利である。つまり，
ρ（r）＝Pr［θ≤k1k］と定義する。
上で展開した母関数の性質から
H（x）＝1－F（1）
＋xF（H
（x）
），
1
1
1
1

⑹

H（x）
＝1－F（1）
＋xF（H
（x）
）
0
0
0
1

⑺

が成立する。新技術を採用したノードからなるクラスターの平均サイズは
F′（1）
F′（1）
0
1

1－F′（1）
1〈s〉＝H′（1）
＝F（1）
＋
0
0

⑻

で与えられる。相転移が起きる条件（グローバルなカスケード現象が起こる条件）は F′（1）＝1 である。
1
k k－1）p ρ x
∑（

F′（x）
＝
1

k

k k

k－1

/〈z〉なので，グローバルなカスケード現象の臨界条件は∞k k－1）p ρ ＝〈z〉
∑（

F″（1）
＝
0

k＝0

⑼

k k

と表現できる。以下では，〈z〉＝z とおく。k（k－1）は k の増加関数であるが，ρk は k の減少関数である。
従って，この臨界条件を満たす解（平均次数）は 2 つ存在する可能性がある。
グローバルなカスケード現象の臨界条件（9）を満たす解（平均次数）を解析的に求めることはできない。
数値計算の手助けを借りる必要がある。
∞

k k－1）p ρ
∑（

φ
（z）＝

k k

k＝0

とおく。閾値θの分布をステップ関数
h（θ）＝δ
（θ－θ0）と仮定する。この場合，新技術を採用する確率は
１

⎱⎱⎱

ρk＝

０

k ≤ 1/θ0 の と き
それ以外のとき⑽で与えられる。k0＝1/θ0 とおくと，k ≤ k0 のとき，ρk＝1 である。このとき，
k0

k k－1）p ρ
∑（

φ
（z）＝

k＝0

k k

である。
最初に，ポアッソン・ランダムネットワークを取り上げる。ポアッソン・ランダムネットワークの次
数分布は

27

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

pk＝

e－zzk
k!

, k＝0, 1, 2, ...

で与えられる。Watts（2002）のシュミレーションによれば，閾値θ0 が増加するにつれて，グローバルなカスケードを起こす z の範囲は縮小する。θ0＝0.1 のとき，グローバルなカスケードの条件を満たす
条件は 1 ＜ z ＜ 13 であるが，θ0＝0.18 のとき，1 ＜ z ＜ 6 となる。また，ランダムネットワークの連結性が非常に小さすぎても，大きすぎても，イノベーションのグローバルな浸透現象は起きない。これを確認するために，φを計算すると，
∞

e－zzk

k0

k k－1）p ρ ＝∑∑（（k－2）!

φER
（z）＝

k k

k＝0

k＝2

が得られる。k0＝2, 3, 4... とおいて，それぞれに対してφER（z）のグラフを実際に描くと，φER（z）＝z を満たす正の実数が存在するためには，k0 ≥ 4 が必要となることが確認できる。k0＝1/0.1 および k0＝1/0.18（z）＝z のグラフを実際に描くと，上記の結果を確認できる。
とおいて，φER
次に，スケールフリー・ランダムネットワークのケースを取り上げる。次数分布を
pSk F＝k－αe－k/κ, k≥1Liα（e－1/κ）と与える。ここで，α, κ は正の定数で，Li（x）は一般化リーマン・ジータ（Rieman-zeta）関数である。
ααが 2 に近づくと，平均次数〈z〉は無限大になり，αが非常に大きくなると平均次数は 1 に近づく。スケー
ルフリー・ネットワークにおけるφSF を計算すると，
∞

∑

φSF
（z）＝

k＝0

k0

∑

k k－1）pkSFρk＝（（k－1）k－α＋1e－1/κ

k＝1

－1/κ
Li（e
）
α

となる。べき乗則分布の平均値は－1/κ
z＝Liα－1（e－1/κ）/Li（e）α

である。例えば，α＝2.5 とおき，e=－1/κ=1 とおくと，各模倣の閾値 k0＝2, 3, 4, ... に対して，φSF＝z のグ（z）＝z をラフを描くと，グローバルな拡散を可能とする z の領域が判明する。k0 ＜ 9 の範囲では，φSF満たす正の実数解は存在しないことが分かる。閾値θ0＝0.18 では，グローバルなカスケードは起きない
ことも分かる。θ0＝0.1 のときは，平均次数の領域は 1 ＜ z ＜ 5 を満たさなければならない。スケール
フリー・ランダムネットワークにおけるグローバルなカスケード現象の臨界条件を満たす z の領域はポアッソン・ランダムネットワークに比べて縮小する。スケールフリー・ランダムネットワークはポアッ
ソン・ランダムネットワークに比べてグローバルなカスケード現象が起きにくいと指摘されている。これらの指摘は著者が実際に数値計算を行った結果からも追認できる。
Jackson and Rogers（2007）が提案した拡張版べき乗則分布では，累積分布関数が
－
（1＋r）
r
F（k）＝1－（rm）1＋（k＋rm）

で与えられる。ここで，r ＞ 0 は定数で，m は平均次数〈z〉となっている。r＝0.57 のときが現実の主要な社会的ネットワークに最も良くフィットしているという。次数の確率分布は
－
（2＋r）
r
pk＝（1＋r）（rm）1＋（k＋rm）
⑾
28

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程となる11。この次数分布のネットワークを拡張型スケールフリー・ネットワークと呼ぶことにする。このネットワークでは，
E［k2］＝

2rm2
r－1, r ＞ 1 のときで，r＝1 のとき E［k 2］＝∞となる。拡張版スケールフリー・ネットワークにおけるφGSF を計算すると，∞

k k－1）p∑（φGSF（z）＝

k＝0

k0

∑

－（2＋r）r
k 1＋r）
ρk＝ （k－1）（（rm）1＋（k＋rm）

GSF

k

k＝1

となる。
Fig. 3

拡張版スケールフリー・ネットワークにおけるパーコレーションの例（k0 ＝ 8 のケース）
The Poisson networks
25
φER（z），k0＝8

20

〈z〉

15
10
5
0

0

20

5
10
15
The Generalized Scale Free networks

20
φGSF，k0＝8

15

〈z〉

10
5
0

0

5

10
average degree〈z〉

1520

上に示されているグラフ Fig. 3 からも明確な通り，拡張版スケールフリー・ランダムネットワークにおいても，グローバルなカスケード現象の臨界条件を満たす z の領域はポアッソン・ランダムネットワー
クに比べて縮小する。ここでも，拡張版スケールフリー・ランダムネットワークではポアッソン・ラン
ダムネットワークに比べてグローバルなカスケード現象が起きにくいと確認できる。以下で，この結論が模倣の閾値関数をより一般化したケースにおいても成立するか否かについて考察する。
模倣の閾値が一様分布しているケースに拡張する。閾値θが区間［θ0, θ1］に一様に分布しているとする。0 ＜θ0 ＜θ1 ＜ 1 とする。このとき，新技術を採用する確率は

29

ρk＝

⎱――⎱――⎱『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

1.0

1/k ≥θ1 のとき

1/k－θ0θ0 ≤ 1/k ≤θ1 のとき


θ1－θ0
0

⑿

それ以外のときで与えられる。θ0＝1/k0, θ1＝1/k1 とおく。次数分布がポアッソン分布の場合，
e－zzk

k0

1/k－θ0∑（k－2）! （θ －θ ）

φER
（z）＝

k＝0

1

0

となる。スケールフリーのネットワークの場合，（k－1）k－α＋1e－1／κ 1/k－θ0

k0

∑

φSF
（z）＝

－1／κ
Li（e
）
α

k＝k1

θ1－θ0

である。拡張版スケールフリーのネットワークの場合，k0

k k－1）（1＋r）（rm） （k＋rm）
∑（

φSF
（z）＝

1＋r

k＝k1

－
（2＋r）

1

θ1－θ0

となる。模倣の閾値が一様分布しているケーでの数値計算例が以下のグラフ Fig. 4 に示されている。
Fig. 42 種類のネットワークにおけるパーコレーションの例（θ0 ＝ 1/10, θ1 ＝ 1/6 のケース）
The Poisson networks
20
φER（z），θ0＝1/10，θ1＝1/6

15

〈z〉

10
5
0

0

20

5
10
15
The Generalized Scale Free networks

20

φGSF，θ0＝1/10，θ1＝1/6

15

〈z〉

10
5
0

0

5

10
average degree〈z〉

15

20

このケースが端的に示すように，拡張版スケールフリー・ランダムネットワークにおけるグローバルなカスケード現象の臨界条件を満たす z の領域がポアッソン・ランダムネットワークに比べて縮小する。
拡張版スケールフリー・ランダムネットワークでは，ポアッソン・ランダムネットワークに比べて，グ30

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

ローバルなカスケード現象が起きる範囲がより狭いことを確認できる。通常のスケールフリー・ネット
ワークでも同じ現象が確認できる。
f k, r）＝1/k に変形できるケースを前提にしている。もし閾値関数が f＝kαrβ
この結論は，閾値関数が （のように，一般的な関数形になるケースへは適用できない。この場合，母関数アプローチは抜本的に修
正されなければいけない。なぜなら，隣人 k のうち新技術を採用している数 r を明示的にモデルに導入することが必要となるからである。このような修正が母関数アプローチにおいて可能か否を検討することは今後の課題とする。

平均場理論を用いたイノベーションの拡散モデル

4

今までと同じく，ネットワーク（N, g）はノードの集合 N＝｛ 1, 2, ... , n ｝とノード間に張られたリンク
接続の状態 g ⊆ N×N によって定義される。g＝｛ɡij｝とする。ノード i からノード j へのリンク接続の状
態は ɡij で表現され，ɡij＝1 のとき i から j へのリンク接続が確立されている。リンク接続がないときは，
ɡij＝0 である。ノード i の隣人集合を Ni＝｛ j ∈ N：ɡij＝1｝と定義し，ノード i の隣人の数は zi＝｜N｜でiある。次数は各ノードごとに異なるので，次数 k を持つノードの比率を確率分布 pk で表現する。
平均場理論（mean field theory）を適用するにあたって，社会的ネットワークの規模は無限大である，
つまり，ノード数は無限大と見なせるほど大きいと想定する。また，各時刻でプレイヤー同士の戦略には相関関係がないものとする。言い換えると，各時刻ごとに，社会的ネットワークは同一の次数分布を持つランダムネットワークとして形成される。同一の次数分布を持つランダムネットワークとして各時刻複製されるモデルで導出された結論が，全時刻を通してリンク構造が不変である社会的ネットワーク
におけるイノベーションの拡散過程の分析結果と本質的に同じになると予想する。このランダムネット
ワークの仮定をおかないと，各プレイヤー間の行為に相関関係を認めることになり，平均場近似の妥当性が問題となる。
4.1

イノベーションの連続時間 SIS モデル

各時刻 t ∈［0, ∞）で各ノード（プレイヤー）i はリンク接続した隣人と 2×2 協調ゲームを行い，戦略集合（A, B）から一つの行為を選択する。各プレイヤーi の戦略集合は同じで，Si＝｛ A, B ｝,i ∈ N となっている。戦略 A を採用することが新技術を適用することだと理解する。時刻 t で，次数 k を持つノードの中で，行為 A を選択しているノードの割合をρ（t）と表記する。任意に一つのリンクを選んだとき，k
そのリンクが行為 A を選択しているノードに接続している確率θ（t）は
1
kpkρ（t）
θ t）＝（k〈z〉k ≥ 1∑∑kp である。次数（リンク数）k を持つノードが行為 A を選択した r 人と与えられる。ここで，〈z〉＝の隣人を持つ確率は

k

k

31

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号（kr ）θ（t）（1－θ（t））

（k－r）

r

である。θ
（t）はすべてのノードから出ているリンクに対して同一の値であり，選ばれたノードの次数やネットワーク上のどの位置にあるかなどには依存していないので，平均場のパラメターとする。r 人
f k, r, ν）の行為 A を選択している隣人を持つリンク数 k のノードが行為 A を選ぶ推移率を （と表記する。
この変更確率は新製品あるいは新技術の浸透速度 ν，隣人数 k，および新技術を採用した隣人数 r に依存すると仮定する。浸透度による効果と隣人からの影響力効果が独立であると仮定すると，
f k, r, ν）＝νf（k, r）（

f k, r）＝（⎱⎱⎱と表現できる。f（k, r）はいわゆる閾値の確率分布関数と同様の役割を果たす。最も単純な関数形は
1r/k ≥ q のとき0

それ以外のとき⒀である12。ここで，q が模倣の閾値の役割となる。
この想定のもとで，各プレイヤーが自己の戦略を A に変更する遷移率は∑νf（k, r）（kr ）θ（t）（1－θ（t））

ɡ̂（θ（t）, k）＝

k

r

（k－r）

r＝0

となる。
時刻 t で，次数 k を持つノードの中で，行為 A を選択しているノードの割合がρ（t）であるので，ネッk∑ p ρ（t）となる。平均場において動トワーク全体で行為 A を選択しているプレイヤーの占有率はρ＝k k k

的挙動を表現する期待値変数をρ（t）とすると，平均場の動的方程式（マスター方程式）は
k
dρ（t）
k
ɡ̂（θ
δ＋（1－ρ（t））（t）,k）＝－ρ（t）
k
k
dt



⒁

となる。ここで，δは新技術を採用したノードが古い技術に戻る速度を表す。第 2 項は，未だ新技術を採用していないノードのうち新技術に変更するノードの比率を表現する。定常状態は dρ（t）/dt＝0 のとkきである。定常状態では
ρk＝

ɡ（θ, k）

1＋ɡ（θ, k），⒂

が成立つ。ここで，ɡ（θ, k）＝λɡ̂（θ, k）,λ＝ν/δである。任意に選んだリンクが行為 A を選択しているノードに接続している確率は定常状態で
1kpkρk θ＝〈z〉k ≥ 1∑⒃

で計算できる。式⒂を式⒃に代入すると，
θ＝H（θ）,

⒄が得られる。ここで，ɡ θ, k）
1
（
kpk
H（θ）＝
〈z〉k ≥ 1
1＋ɡ（θ, k）∑

32

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程である。式⒄の解が定常状態におけるθの値を定める。このθの値を式⒂に代入すれば，ρk およびρ＝∑ρ p の値が計算できる。
k k k

明らかに，λ＝ν/δ＞ 0 であるので，すべてのθ∈［0, 1］に対して，0 ≤ H（θ）＜ 1 である。また，すべてのθ∈［0, 1］に対して，λ≥λ′ ならば H（θ；λ）≥ H（θ；λ′）であることを示すのは簡単である。H（0）＝0であるので，式⒄を満たすθが存在することは明らかである。H（θ）の定義から
ɡ′
1
（θ）
kpk
H′
（θ）＝
〈z〉k ≥ 1（1＋ɡ（θ））2∑が得られる。ただし，
f k, r）∑（（kr ）θ（t）（1－θ（t））

ɡ（θ）＝λ

k

r

（k－r）

r＝0

である。簡単な計算から証明できる通り，ɡ′（θ）は非負である。よって，H（θ）は非減少関数である。
H′（0）＞ 1 が成立すれば，H（θ）のグラフは 0 ＜θ≤ 1 の範囲で 45 度線と交差する。この交点をθ＊とする。不等式f k, 1）∑ kp （
＞1

λ
H′
（0）＝

k≥1

2

k

〈z〉

が成立すれば，正の定常状態θ＊＞ 0 が必ず存在する。この条件は，あるノードが戦略 A を適用したとき，そのノードの隣人のうち少なくとも一人は戦略 A を採用することを意味する。イノベーションが広範囲に浸透するためには，ν とδの大きさがν/δ＞λ＊＝〈z〉

f k, 1）
∑ kp（
k≥1

2

k

を満たす必要がある。ν とδの大きさが ν/δ＞λ＊を満たす限り，イノベーションは社会的ネットワーク
上の有限なノードからなるクラスターに拡散する。このクラスターのサイズはɡ（θ＊, k）

∑kp ρ ＝∑kp 1＋g（θ , k）
k

k k

k

k

＊

である。
H′
f k, r）に関して（0）＜ 1 となるとき，何が起こるのかを考察する。ν/δ＜λ＊と仮定する。閾値関数 （f k, 0）＝0, k ≥ 1（
を満たすとする。この仮定はごく自然な仮定である。さらに，関数 f は r に関して凹関数であることを仮定する。つまり，
f k, r）－f（k, r－1）≥ （f k, r＋1）－f（k, r）,0 ＜ r ＜ k（が成立つとする。このとき，Lóopez-Pintado（2008）が証明したように，f が凹関数であるならば，ɡ″（θ）≤ 0 となる。H（θ）は非減少関数で，凹関数である。従って，H（θ）が凹関数になるので，非ゼロの定常状態は存在しない。関数 f が r に関して凹関数にならない場合，2 種類のケースが起きる。H（θ）が凸関数であるときは，非ゼロの定常状態は不安定であり，原点のみが安定となる。H（θ）のグラフが S
字形の曲線を描くとき，非ゼロの交点が存在する場合と 45 度線と交差する場合に分けられる。区間（0,33『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

1］で二つの交点θ1, θ2（θ1 ＜θ2）を持つ場合，イノベーションの初期条件としてθ＞θ1 ＞ 0 が満たされていなければならない。θ1 がイノベーションが拡散するための閾値条件となる。しかし，関数 H（θ）
のグラフが S 字形の曲線を描き，45 度線と（0, 1］の領域で交差する条件を解析的に見出すことは困難である。
p＝（pk）と p′＝（p′k）を比較するとき，連結度 p が p′ を第 2
二つのネットワークの連結度（次数分布）
位に確率的に支配する（second order stochastically dominate）ということがある。連結度 p が p′ を第2 位 に 確 率 的 に 支 配 し， 同 一 の 期 待 値 E［ p］＝E［ p′］を 持 と き，p′ が p の MPS（mean preservingf k）に対して，等
spread）であるという。正確に言えば，p′ が p の MPS であるとは，任意の凹関数 （式f k）p ≥ ∑（f k）p′
∑（
k

k

k

k

が満たされることである。この条件は，すべての x に対して
x

z

k

z

∑∑p ≤∑∑p′z＝0 k＝0k

z＝0 k＝0kが成立することと等価である。直観的には，確率分布 p′ の分散が p の分散よりも大きいことを意味する。
補題

4.1

異なる次数分布 p と p′ を持つ二つのネットワークを考える。それぞれに対応する模倣の閾値をλ＊（p）
およびλ＊（p′）とする。次数分布 p′ は pk の MPS（mean preserving spread）になっているとする。このとき，以下の性質が成立つ。
f k, 1）がすべての k ≥ 1 に対して凸関数であるならば，λ＊（p′）≤λ＊（p）である。
（ⅰ）もし k 2（
f k, 1）がすべての k ≥ 1 に対して凹関数であるならば，λ＊（p′）≥λ＊（p）である。
（ⅱ）もし k 2（
f k, 1）がすべての k ≥ 1 に対して線形関数であるならば，λ＊（p′）＝λ＊（p）である。
（ⅲ）もし k 2（
ネットワークの連結度分布と模倣の閾値関数が定常状態におけるイノベーションの浸透度にどのような影響を与えるかを分析するためには，モデルにおける閾値関数を特定化する必要がある。模倣の閾値が新技術を採用した隣人数のみに依存するケースを考えてみる。このケースは，f（k, r）＝f（k′, r）＝f（r）,
f k, 1）は凸関数なので，
λ＊（p′）≤λ＊（p）∀r ≥ 0, k, k′ ≥ 0 と仮定することに対応する。上の補題によれば，k 2（となる。このことは，ネットワークの連結度の分散が大きくなると，感染の閾値が小さくなることを含意する。次数の分散が大きいネットワークほどより容易にイノベーションが浸透しやすいことを意味する。López-Pintado（2008）が使用した以下の例，スケールフリー・ネットワーク，指数関数的ネットワー
ク，均質ネットワークの 3 種類を取り上げよう。これらの連結度はそれぞれ以下の通りとなる。
Ck－α，k ≥ m，α＝2.5⎱⎱⎱ ⎱⎱⎱

pSkF ＝
pkEX ＝

0，それ以外のとき
Ce－k／2 m，k ≥ m

0，それ以外のとき
34

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

1，もし k＝3 m ならば

⎱⎱⎱

pHk ＝

0，それ以外のとき

これら 3 種類のネットワークの連結度の平均は同じで，3 m となっている。pSF は pEX の MPS であり，
pEX は pH の MPS となっている。上の議論から，（ pE ）λ＊（ pSF）≤λ＊（ pEX ）≤λ＊なる関係が成立する。また，実際に，
λ＊（pSF）＝0 となっていることは容易に計算できる。スケールフリー・
ネットワークは最も病原菌やウイルスの感染に脆弱で，ウイルス等が発生するや常にネットワーク全体に拡散することになる。
上記の結論は，模倣の閾値が新技術を採用した隣人数のみに依存するとした仮定による。通常の社会では，より複雑な関係が見られる。模倣の閾値関数を
f k, r）＝
（

r
kβ

，β≥ 0

とおくことにする。閾値λ＊は〈z〉
λ＊＝，〈k 2－β〉＝ k 2－βpk
k≥1〈k 2－β〉∑と計算できる。
（p′）＝1 となることが分かる。さβ＝1 のとき，連結度 p′k が pk の MPS であるとしても，λ＊（p）＝λ＊
らに，
λ＊（pSF）＝λ＊（pEX）＝λ＊（pH）＝1となっている。β＝2 のとき，λ＊（p）＝λ＊（p′）＝〈z〉である。より具体的には，
λ＊（pSF）＝λ＊（pEX）＝λ＊（pE）＝〈z〉＝3 mである。これらのケースでは，3 種類の異なるネットワークにおいてイノベーションの浸透に対する閾
値が同一になることを意味する。スケールフリー・ネットワークが他のネットワークに比べて，イノベー
ションの浸透に優位性を持つとは言えない。
最後に，スケールフリー・ネットワークにおけるイノベーションの浸透度の特異性について考える。
連結度分布が
pk＝C・k－α，α∈（2, 3］となっているとする。ネットワークがウイルスの攻撃に無防備になる，つまり，閾値 λ＊が λ＊＝0 となるための必要十分条件は3－β－α≥ 0，つまり，β≤ 3－αが成立することである13。従って，β≤ 3－αが成立する限り，スケールフリー・ネットワークは病原菌
やウイルスの攻撃に無力となり，一つのノードがウイルスに感染するとネットワーク全体に感染が伝染する。α∈（2, 3］なので，この条件は 0 ≤β＜ 1 となる。
このモデルでは，新技術が旧技術にスイッチバックする速度δおよび新技術の浸透速度にかかわる定35

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

数 ν の値が現実のイノベーション拡散現象にどのように関係づけられるのかが不透明である。新技術が旧技術にスイッチバックすることが現実にはあまり見られないならば，λ→＋∞なので，ほとんどすべての連結したネットワーク上ではイノベーションは広範囲に拡散できることになる。それゆえ，ネット
ワークの連結度とイノベーションの浸透度との関係を議論すること自体無意味となってしまう。
4.2

イノベーションの離散時間 SIR モデル

Jackson and Yariv（2007）の研究で用いられたモデルを拡張する。各時刻 t＝1, 2, 3... で各ノード（プレイヤー）i はリンク接続した隣人と 2×2 協調ゲームを行い，戦略集合｛ A, B ｝から一つの行為を選択する。各プレイヤー i の戦略集合は同じで，Si＝｛ A, B ｝，i ∈ N である。隣人 Ni が採用する戦略を sNi とするときの各プレイヤー i の利得を
u（s
＝v（s
－c（s
, ki＝｜N｜i i , sNi）
ki i , sNi）
i i）
iとする。c（si i）は戦略 si に伴う費用とする。簡単化のために，戦略 B はデフォルトの戦略なので，戦略sNi）＝0, c（B）
＝0, c（A）＝ci とする。プレイヤーi の隣人数が ki でそ
B からの利得はゼロとする。v（B,kiiiのうち ri 人が新技術を採用しているとき，i が戦略 A の採用から受け取るペイオフはsNi）＝vi f（ki, ri）－civ（A,kiと与えられるとする。ここで，f（ki, ri）は隣人効果を表現している。k ＞ 0 として，r ＞ r′ のとき，f（k,r）＞（k,fr′）が成立つならば，隣人から受ける外部効果は正である。反対に，r ＞ r′ のとき，f（k, r）（y）＜ f（k, r ′）であるのならば，負の外部効果が働くと言う。vi, ci は確率変数であり，ci/vi の分布関数を F＝Pr（ci/vi ≤ y）とする。繰り返しゲームでよく想定するように，時刻 t で各プレイヤーは，時刻 t－1 でのライバルプレイヤーの行為を観察し，その情報のもとで最適な反応（myopic best response）をするとしよう。従って，civi≤ f（ki, ri）⒅が成立するときにのみ，i は戦略 A の採用へ戦略を変更する14。このモデルの基本要素は，連結分布
pk，ネットワーク効果としての隣人効果を表現する関数形 f（ki, ri），確率変数の比率 ci/vi の分布関数 F（·）
である。
f（k, r）＝r のとき，戦略 1 を採用した隣人数だけにペイオフは依存する。戦略 1 を採用した隣人数が増加すれば，隣人効果によりペイオフは増加する。f（k, r）＝r/k のとき，ペイオフは戦略 A を採用する
隣人の比率に比例し，ネットワークの次数分布に依存しない。q を閾値とするステップ関数のとき，例
えば，f（k, r）＝δ（r/k－q）のとき，隣人数のうちイノベーションを適用した比率が模倣の閾値 q を越えるときにのみ正のペイオフが生まれる。
各プレイヤーi は，ネットワーク連結度のランダムな分布 pk，彼自身の隣人数 ki とそのうち戦略 A を採用した隣人数 ri＝｜{ j ∈ Ni：sj＝A}｜および戦略 A を採用するときのペイオフと費用（vi, ci）に関する情報を知っている。確率分布 pk とネットワーク効果関数 f（k, r）は共通知識である。従って，ここでのネットワークゲームはベイジアンゲームとなる。
36

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

モデル LP：López-Pintado（2008）の定式化
時刻 t で，次数 k を持つノードの中で，行為 A を選択しているノードの割合を x tk と表記する。任意に一つのリンクを選んだとき，そのリンクが行為 A を選択しているノードに接続している確率θt は1
kpk x tk
θt＝〈z〉 k ≥ 1∑

∑ kp である。次数（リンク数）k を持つノードが行為 A を選択した r 人と与えられる。ここで，〈z〉＝の隣人を持つ確率はkk（kr （）θ）（1－θ）

t （k－r）

t r

である。この 2 項分布の平均値はθtk である。よって，次数（リンク数）k を持つノードが行為 A を選択している（平均）隣人数は
r t＝kθtとなる。θt はすべてのノードから出ているリンクに対して同一の値であり，選ばれたノードの次数やネットワーク上のどの位置にあるかなどには依存していない。時刻 t＝1, 2, ... において，各プレイヤー
は時刻 t－1 での隣人の戦略に関する情報に基づいて最適な反応をする。時刻 t＝1 で，
f k, x0k）
ci/vi ＜ （f k, r））＝Pr { ci/vi ≤ （f k, r）}と表現する。このならば，i は戦略を A に変更する。ci /vi の確率分布を F（ （想定のもとで，時刻 t で次数 k のプレイヤーが戦略 A を選択する確率は
f k, rt－1））
x kt＝F（ （となる。時刻 t で，連結度 k を持つノードの中で，行為 A を選択しているノードの割合が x kt であるので，ネットワーク全体で行為 A を選択しているプレイヤーの占有率は
1

f k, kθ ）＝∑kp F（ （f k, k
∑kp F（ （
∑dp x
〈z〉

x t＝

k

k

t－1

k

k

t－1

d d

））

⒆

d≥1

となる。
モデル JY：Jackson-Yariv（2007）の定式化
時刻 t までに，隣人数 k をもつノードのうち戦略 A を採用しているノード数の比率を x kt と表記し，ネットワーク全体で戦略 A を採用しているノード数の比率を xt で表現する。すなわち，
kpk x kt

∑〈z〉

x t＝

k

である。ここで，〈z〉は平均次数である。イノベーションの拡散過程は以下の通り推移する。t＝0 で，イノベーションを適用したノード数が全ノード数のうちの比率 x0 として，各ノードに次数分布 pk に従ってランダムに割り振る。ランダムに隣人として選ばれたノードのうちの比率 x0 に相当する隣人に戦略 A が割り振られている15。その後の時刻 t＝1, 2,... において，各プレイヤーの隣人は次数分布に従ってランダムに選ばれ，各プレイヤーは時刻 t－1 での隣人の戦略に関する情報に基づいて最適な反応をする。時刻 t＝1 で，ci/vi ＜ 1/f（k, x0）ならば，i は戦略を A に変更する。戦略が A に変更された場合，37

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

この戦略変更は時間が経過しても元に戻されることはないと仮定する。（SIR モデルである。）時刻 t＝1
で，次数 k を持つノードのうち戦略 A を採用しているノードの割合は
f k, r0））,r0＝x0k
x1k＝F（ （f k, r0）} とおいた。これを繰り返せば，任意の時刻 t において，
f k, r0））＝Pr { ci /vi ≤ （である。ただし，F（ （1
kpk F（ （f k, x t－1k））
x t＝
〈z〉 k

∑

⒇

が成立する。隣人効果が正であるとき，右辺が x t－1 の非減少関数になることは容易に分かる。x0＝0 な
らば，x1＝0 になる（F（k, 0）＝0 なので）。x1 ＞ x0 が起こるとき，時間の経過と共に，x＊（x＊ ＞ x0）に収束する。
LP モデルも，JY モデルも同じ結論に帰結する。ここでは，取り扱いが容易な JY モデルでのベイジアン均衡の特徴を分析する。動的方程式の右辺をφ（x）とおく。つまり，
φ
（x）＝

1

f k, xk））
∑kp G（k, x），G（k, x）≡ F（ （

〈z〉 k

k



とおく。pk と F（·）の具体的な関数形を特定すれば，イノベーションがネットワークの巨大クラスターに浸透する為に必要な初期状態 x0 の最小値（以下で定義する転換点）を求めることができる。
x＝φ（x）を満たす x＊がベイジアン均衡点である。この均衡点 x＊がいかなる特徴を持つかは関数φのグラフと 45 度線の交点を調べれば良い。関数φのグラフは，φ（0）＝0 であるから原点を通る。また，0≤ F ≤ 1 であるから，0 ≤φ≤ 1 である。区間［0, 1］において，均衡点は存在する。関数φのグラフが x＝ 0 だけで 45 度線と交差するケース，関数φのグラフが x ＞ 0 で 45 度線に 1 回交差するケース，複数回交差するケースを想定できる。最後のケースは複数均衡点が存在するケースに対応する。
定義

4.1

ε′ ＞ε＞ 0 を満たすすべてのεに対して，φ（x－ε）＞ x－εかつφ（x＋ε）＜ x＋εが成立つようなε′ ＞ 0が存在するならば，均衡 x は安定であると言う。また，ε̂＞ε＞ 0 を満たすすべてのεに対して，φ（x－ε）＜ x－εかつφ（x＋ε）＞ x＋εが成立つようなε̂＞ 0 が存在するならば，均衡 x は不安定で，転換点（tipping point）と呼ばれる。
関数 G は連続で，隣人からの外部効果を表現する関数 ɡ は x の非減少関数であると仮定する。つまり，
外部効果は正とする。確率分布関数 F は非減少関数なので，ɡ が x の非減少関数であれば，F，よって，
G は x の非減少関数である。式を満たす二つの推移関数φ̂とφを比較して，すべての x に対して，φ̂（x）＞φ（x）であれば，推移関数φ̂を持つ拡散過程の方が大きい安定な均衡点とより小さな転換点を持つ。
′ ＞ 1 のときは，x＝0 が最小の転換点である。次数分布 pk の平均値が増大するように，
明らかに，φ（0）次数分布が変化するならば，すべての x に対して推移関数φ（x）は上方へシフトする。だから，ネット
ワークの連結度が増加するならば，イノベーション拡散の浸透度はより大きくなり，転換点の閾値は低下するので，イノベーションはより容易に拡散する。
次に，ネットワークの連結度の分散が変化するとき，イノベーションの拡散にどのような影響を与え38

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

るのかを考察する。p̂ を p の MPS とする。G が非減少凸関数であるとき，kG も増加，凸関数である。
kG が凸関数であれば，MPS の定義から，∑kp̂ G（k, x）≥∑kp G（k, x）
k

k

k

k

が成立つ。もし G が凹関数であるとき，MPS の定義から，∑kp̂ G（k, x）≤∑kp G（k, x）
k

k

k

k

である。この関係から下の定理が成立つ。
定理

4.1

もし kG（k, x）が k に関して非減少な凸関数であるならば，p̂ が p の MPS であるとき，すべての x に対してφ̂（x）≥ φ（x）である。ここで，φ̂（x）は式で定義される p̂ に対応する推移関数φである。反対に，
kG（k, x）が k に関して凹関数であるならば，p̂ が p の MPS になるとき，すべての x に対してφ̂
（x）≤φ
（x）
である。
以上の定理から理解される通り，kG（k, x）が非減少凸関数であるとき，次数分布の MPS 変化は関数（x̂＊））であれば，x̂＊φ（x）のグラフを上方に移動させる。確率分布 p̂ のもとで x̂＊が安定な均衡（x̂＊＝φ̂
≥ x＊である。つまり，イノベーションはより広範囲に社会的ネットワークに浸透する。同一の平均連結度をもつスケールフリー・ネットワークにおける推移関数φSF，ポアッソン・ランダムネットワークの均質なネットワークのφH を比較すると，それぞれの分散はσSF ＞σPO ＞σH の順になっているので，
φPO，H（x）＞φPO（x）＞φ（x）
φSFなる関係が成立つ。この関係は kG（k, x）が非減少凸関数であるときを十分条件としている。しかし，kG（k, x）が k の凹関数である場合，上の関係式は逆転する。ネットワークの連結度の分散の大小はインー
ベーションの浸透度の増減と単調には対応しない。ネットワークの連結度の分散の増加がインーベー
ションの転換点（tipping point）を低下させ，浸透度を増大させるか否かは，ネットワーク上における各ノード間の隣人効果が次数の大小とどのような関係を持つかに大きく依存する。
f k, r）＝k αr β＝k α＋βx βのケースを考える16。
β＞ 0 とする。
α＋β≥ 1 またはα＋β＝0 であれば，
例えば，（
f は k に関して凸関数である。また，0 ＜α＋β＜ 1 となるとき，関数 f は k の凹関数となる。F が区間［a, b］

F（ɡ）＝⎱――⎱――⎱

で一様分布しているとき，
1, f ≥ b のとき
f－cb－c，b ≥ f ≥ c のとき

0, c ≥ f のときと定義される。F は f の増加関数となっているので，α＋β＞ 0 である限り，F は k の増加関数となる。
閾値関数 f（k, r）の値が c ≤ f ≤ b の区間にあれば，39

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

F＝

kα＋βxβ－cb－cである。従って，
α＋β＞ 1のケースでは，
kG＝kα＋β＋1xβ－cx
b－cは k の非減少凸関数となる。伝染閾値を低下させ，イノベーションの浸透をより広範囲に拡大させることになる。しかし，α＋β≤ 1 のとき，kG が凸であるための条件が満たされる保証がないので，kG は一
般的には必ずしも凸関数にはならない。この場合，連結度の分散が大きくなっても，転換点は低下せず，
f k, r）の値が F（k, r）＞ b となる区間が存在
イノベーションの浸透範囲は拡大しない。また，閾値関数 （する場合も，次数分布の MPS 変化はイノベーションの浸透度を拡大させるとは限らない。以下のグラ
フの例はこの現象を表現している。
Fig. 5
1.0

Tipping Points の例（α＝ 0，β＝ 1，z ＝ 5 のケース）
The Tipping Points in Poisson networks

0.8
0.6
0.4

φER（x），α＝0.0，β＝1.0

0.2
0.0
0.0
1.0

x，
［α＝0.4，b＝1.0］
0.2
0.4
0.6
0.8
The Tipping Points in Generalized Scale Free networks

1.0

0.8
0.6
0.4
φGSF（x）

0.2
0.0
0.0

定理

x
0.2
0.4
0.6
0.8
the fraction of nodes who adopted new techology, x

1.0

4.2

G（k，x）はすべての k に対して x に関して 2 回微分可能で，増加関数とする。もし G（k，x）が x に関して厳密に凹関数であるならば，x t−1 ＞ x＊のとき，x t－xt−1 ＜ x t＋1－xt が成立ち，x t−1 ＞ x＊のとき x t－x t−1 ＞ x t＋1－xt となるような正の x＊∈［0，1］が存在する。
40

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程

証明：
d（φ∂G（k，x）（x）－x） 1
kpk
－1
＝
dx
z1 k
∂x

∑

なので，
2
d（φ
（x）－x） 1∂2G（k，x）
kpk
＝
z1 k
dx2
∂x2

∑

となる。G（・）の凹性から，2d（φ（x）－x）＜ 0 である。
dx2

∂G
（k，x）
｜x＝x＊＝1∂x∂G（k，x））＊＞ 1 であるとき，x ＝1 とする。
∂x2d（φ∂G（k，x））（x）－x）＊
また，すべての x ∈［0，1］に対して＜ 1 であるとき，x ＝0 とする
＜0 な
dx2
∂x
d（φ（x）－x）＊の で， す べ て の x ＜ x＊ に 対 し て－1 ＞０ で あ り， す べ て の x ＜ x に 対 し てdx
d（φ（x）－x）－1 ＜ 0 である。□
dx
例えば，f（k，r）＝kαr β＝kα＋βx βのとき，0 ＜β＜ 1 であれば，G（k，x）は x に関して増加関数で，厳を満たす x とする。ただし，すべての x ∈［0，1］に対して

密に凹関数である。このケースでは，イノベーションの拡散経路は S 字曲線を描く。もし G（k，x）がFig. 6 α＋β＞ 0，β＝ 1 の例（z ＝ 5 のケース）
1.0

The Tipping Points in Poisson networks

0.8
0.6
0.4

φER（x），α＝－0.5，β＝1.0

0.2
0.0
0.0
1.0

x，
［a＝0.4，b＝1.0］
0.2
0.4
0.6
0.8
The Tipping Points in Generalized Scale Free networks

1.0

0.8
0.6
0.4
φGSF（x）

0.2
0.0
0.0

x
0.2
0.4
0.6
0.8
the fraction of nodes who adopted new technology, x
41

1.0

『経済研究』（明治学院大学）第 149 号

x に関して厳密に凹関数であるならば，x＝0 がただ一つ均衡点であるか，x＝0 が不安定な均衡点で安′定な均衡点 x ＞ 0 が存在するかの，どちらかである。φ（0）＜ 1 が成立つとき，x＝0 はただ一つの安定′な均衡点となる。φ（0）＞ 1 のとき，x＝0 が不安定な均衡点となる。初期時刻での新技術の採用比率 x0
から出発して，最初はイノベーションの浸透速度は加速し，x＝x＊を過ぎた時点から，イノベーションの浸透速度は緩やかとなって，均衡点に収束する。イノベーションの波及分布は S 字曲線を描く。
一般的に，G（k，x）は凹関数にならない。既に上で見た通り，f（k，r）＝kα＋1x で，α＋1 ＞ 0 のとき，分布関数 F に依存して凹関数にならない。上記の定理で，G（k，x）が x に関して厳密に凸関数であれば，反対の現象が起こる。グラフ Fig. 6 は，φ（x）のグラフが凹関数にならないケースを表現している。
上に揚げた二つのグラフ（Fig. 5，6）で，平均次数は 5 で，ポアッソン分布の分散は 5，拡張版スケー
ルフリー・ネットワークの分散は非常に大きい。Fig. 5 では，α＋β＝0，β＝1 であり，ポアッソン分布では，φのグラフは凹関数となっていない。Fig. 6 はα＋β＞ 0，β＝1 のケースを示したもので，二つ安定な均衡点が存在し，原点も安定な均衡となっている。こられのグラフから良く理解できる通り，平均連結度が同一であるとしても，次数分布の分散の増大がイノベーションの浸透度を上昇させるとは限らないことがわかる。

結び

5イノベーションの浸透過程を理解するために，Watts（2002），López-Pintado（2008），および，Jackson and Rogers（2007）の研究で利用されている 3 種類のネットワーク・モデルを分析してきた。母関数アプローチによるモデル，例えば，Watts（2002）のモデルでは，ポアッソン・ランダムネットワー
クに比べて，スケールフリー・ネットワークにおいての方が，グローバルなカスケード現象が起きる範f k，r）＝1/k に変形できるケース
囲がより狭いことを確認できる。しかし，この結論は，閾値関数が （を前提にしている。もし閾値関数が f＝kαrβのように，一般的な関数形になるケースへは適用できない。
この場合，母関数アプローチは抜本的に修正されなければいけない。他方で，López-Pintado（2008），
および，Jackson and Rogers（2007）のモデルでは，平均連結度が同一であるとしても，次数分布の分散の増大がイノベーションの浸透度を上昇させるとは限らないことがわかる。従って，いずれのモデルにおいても，ネットワークのリンク・アーキテクチャーとイノベーションの浸透度の間にはクリアカッ
トな関係が見出せないことが分かった。とりわけ，次数分布の分散の上昇がイノベーションの浸透度を
必ずしも深化させないことも確認できる。
注
1

こうした要請に応えて，Arinaminpathy, Kapadia and May（2012），Gai and Kapadia（2010），Gai, Haldane
and Kapadia（2011），Haldane and May（2011），May and Arinaminpathy（2010），Nier, E., et al.（2007）などに代表される研究は国際金融システムの不安定現象（デフォルトの連鎖過程）をネットワークモデルを用いて考察している。

2

対数線形最適反応を明示的に用いたモデルは，Montanari and Saberi（2010）や Young（2002, 2011）の研究でも採用されている。
42

社会的ネットワークにおけるイノベーションの拡散過程
3

上記の Dodds and Watts（2004, 2005）の研究でも，平均場理論が活用されている。確率過程のマスター方程式
から平均値の動学方程式を導出する方法，言い換えると，平均場理論における動的方程式を簡単に導出する計算

4

方法は増山（2007）に簡潔に説明されている。
Easley and Kleinberg（2010）では，集合 M に属するノードの隣人ノードのうち M に属するノード数の割合がq 以上であるとき，集合 M は密度 q のクラスター（a cluster of density q）と呼ばれている。

5

このペイオフの設定例は Vega-Redondo（2007）が採用した仮定である。Morris（2000）が想定したモデルとは異なっているが，結論は同じになる。これらのモデルは，戦略的補完性を持つグラフィカル・ゲームの特殊ケースに対応する。グラフィカル・ゲームについては，増山（2013）を参照のこと。

6

非均質的なプレイヤーを明示的に導入したケースについては，残された課題である。

7

新技術採用の意思決定した後，この意思決定は持続されると仮定する。意思決定が可逆的である場合でも，結論は同じとなる。Kleinberg（2007）を参照のこと。

8

残された課題として，各プレイヤーの模倣の閾値が確率分布しているケースでの分析が必要である。

9

Gai and Kapadia（2010）は母関数アプローチを用いて，銀行をノードとする金融ネットワークにおけるデフォ
ルト感染過程を分析している。

10 ランダムネットワーク上での感染現象の分析に母関数を導入した研究は，Callaway, et al.（2000），Newman（2002），および Watts（2002）に代表される。

11 Pastor-Sattoras and Vespogniani（2001）では，次数分布が pk＝（1＋r）m1＋rk－（2＋r），k ≥ m で与えられるスケー
ルフリー・ネットワークが取り扱われている。
12 Morris（2000）で q は模倣の閾値（imitation threshold）と呼ばれた数値に対応する。この閾値の確率分布関数
は López-Pintado（2006）の研究で使用されたものである。Jackson and Rogers（2007）は f（k，r）＝r＋x とおいている。ここで，x はイノベーション自身の浸透スピードを表す定数である。
∞

13 k を連続変数で変形して，〈z 2－β〉＝∫ 1 k 2－β－αdk が無限大になる条件である。

14 Young（1998, 2002, 2011）の研究で採用されている対数線形反応を各プレイヤーの最適混合戦略とるケースへの拡張は後で行う。
15 この想定では，各ノードは匿名で，ノードの区別は次数だけである。すべての意思決定の時刻ごとに，次数分布だけは維持されるが，ランダムにリンク接続が変更される。
16 Jackson and Yariv（2005, 2007）では，最初から r は明示的に登場しないので，関数 f は r には依存しないと仮定され，主として f＝ν（k）x のケースを考察の対象にしているので，β＝1 と仮定している。
参考文献
１

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４

Birkhchnadani, Sushil, David Hirshleifer and Ivo Welch（ 1992 ）, A Theory of Fads, Fashion, Custom, andCultural Change as Informational Cascades, Journal of Political Economy, 100（5）,992-1026
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