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新版
2013 Januaryno.

12

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数論幾何
幾何学的直感を使って整数論の問題を考える

数理科学科

坂内健一
ばん

な（准教授）

いけん

いち

研究紹介

今回登場するのは、数学の一分野である整数論において、数論幾何的手法を用いて未解決の予想問題に取り組む坂内健一准教授です。

数学の予想問題に新たな進展をもたらす
数学的論理体系と直感的思考を統合

人は論理と直感を組み合わせながらさまざまな課題に対応してきた。その直感、たとえ数論とともに発展してきた。整数論は数ば点や線などの幾何学的な図形を見たときに感じる直感を整数論の分野に活かす手法、学の中でも長い歴史があり、整数の素朴それが数論幾何である。この数論幾何を用い、整数の性質を扱う整数論の問題に立ち向な問題を考える上でも、背後には高度にばんないかう坂内准教授を訪ねた。

積み重ねられた論理体系が存在する。応用も広く、最近では暗号や認証技術に活用されている。整数論の問題への 1 つ

数論幾何に内在する式が平面上に描く半径 1 の単位円を考のアプローチが数論幾何で、多くの問題理論と直感の絶妙なバランスえると問題はずっと見通しが良くなる解決への貢献が期待されている。実際、「数学の問題を解くときに問題を絵に（図 1）。（x,y）=（− 1, 0）はこの方程式

数論幾何の手法はフェルマーの最終定理描いたり、提示された図形に補助線を加の有理数解である。点（− 1, 0）を通るやモーデル予想（＊1） の証明に使われてえたりすることで直感が働き、問題が簡直線を 1 つ考えると、この直線は点（− 1,きた。

単に解けた、という経験があったりする0）以外に単位円ともう 1 点だけで交わ「私がテーマとして取り組んできたのかと思います。この図形に代表される幾る。この直線の傾きが特に有理数であれが “ポリログ”という幾何学的な対象です。

何学の概念を使い、整数論の課題に取りば、新たに与えられた交点は方程式の有ポリログにはいくつもの整数論的に重要組むのが数論幾何です」と、坂内さんは理数解を与える。逆に方程式の有理数解な量を統一的に捉える力があります。数自らの研究分野について話す。

を与えると、点（− 1, 0）を通り傾きが学の予想問題には、一見すると関係なさ有理数の直線が得られる。すなわち、方そうな 2 つの量の関係を明らかにするう。x +y =1 という方程式の有理数解を

程式の有理数解は、傾きが有理数の直線という問題が多数存在します。そのよう全て求める問題を例に説明しよう。もちと 1 対 1 に対応している。

な問題に対し、その双方を統一的に説明

幾何学の概念とはどういうことだろ22

ろん、式を一生懸命にいじってこの問題

このような幾何学的な考え方を取り入できる上位の概念を提示できれば、両者を解くこともできる。しかし、この方程れた数論幾何は、数の性質を研究する整の関係の解明に一歩近づけます。ポリロ
グはその架け橋的役割を担えるのです」。

問題の本質を捉えることでy重要な量の関係を解き明かす

y = t (x + 1)

坂内准教授が取り組むポリログは、“幾何学的な対象” の一種である。その概念を説明するため、ここでは “幾何学的な対象” を “図形” と読み替えてみよう。
一般に図形があれば、その図形から「面積」や「頂点の数」など、様々な量を導きだすことができる。したがって、比較Ox

したい整数論的に大事な量が複数あった

図1

幾何を使って整数論の問題を解く

方程式 x2+y2=1 の有理数解は、点（− 1, 0）を通り傾きが有理数の直線と１対１に対応している。このように、方程式を円と見て図形的に考えると、問題の見通しが良くなる。

2場合、これらの量を内在する図形を見つけることができれば、もともとの量を同1じ図形の構成要素として捉えることで、A
整数論的に大事な量異なる量を関係づける数式などを見いだ

B？

L 関数の特殊値すことができる。ポリログは、整数論的に大事な量を内在的に持っている図形なのである。
「たとえば、A という性質や量をどん2

ポリログ
Lik (t)古典的には素朴な関数どん抽象化したら、シンプルな図形で表せたとします。次に A とは全く違って見える B という性質や量を同じ手法でMotive抽象化します。それが A と同じシンプ（モチーフ）ルな図形で表せた場合、A と B の見た目はバラバラですが、本質的な部分で両者は同じであり、A と B を統合するルール潜んでいる本質的なものを解明する本質を探るの存在を期待することができるのです」。
このような抽象化によって得られる幾何学的な対象を、数論幾何の発展に大きく3貢献したグロタンディーク（＊2）は“モチーMotiveフ（Motive）” と呼ぶ。ポリログは、数（モチーフ）論幾何の重要な概念であるこのモチーフの一例である（図 2）。
「グロタンディークが使うモチーフとAいう言葉は、実は画家セザンヌ（＊3）の絵実現（具体化）する整数論的に大事な量画評から引用されています。セザンヌはうつろい行く光と影で描写する印象派から距離を置き、実際の絵画対象（モチー

事象ではなく本質を捉えるのが、数論幾何のモチーフです」。

仲間との共同研究を通しL 関数の特殊値
Beilinson 予想、Bloch 加藤予想などフ）を確実に捉えるという独自の絵画様式の確立に尽力したそうです。表面的なB

図2

ポリログのはたらき（１）「整数論的に大事な量」と「Ｌ関数の特殊値」という一見まったく関係のない２つの事象がある。
（２）ポリログ関数を抽象化して得られた、この２つの事象の上位にある Motive（モチーフ）を使って、その背景にある本質的な関係を探る。（３）Motive を経由することで、無関係と思われた２つの事象の関係性を示すことができる。その関わりを通して、Beilinson 予想や Bloch 加藤予想などの問題の解決が導かれる。

数学の予想問題の解決に挑む
研究内容の奥深さに対して坂内さんが分野です。私の最近の一連の研究も、ドテーマとしてポリログを選んだ理由はシイツ・レーゲンスブルグ大学の G. Kings

ンプルでわかりやすい。

教授と共同で行っています。今私の研究「一番の理由は、ポリログの素朴さに室でも、各人それぞれのテーマを持ちなひかれたからです」と坂内さんは微笑む。

がらもお互い議論し合って勉強や研究を一般に数学者といえば、研究に没頭する進めています。仲間がいるという状況を世捨て人的な印象が色濃い。つい孤高を楽しみつつ、そのメリットを最大限活用愛する数学者をイメージしてしまうが、しています」。

実際の状況は必ずしもそうではない。

坂内さんは、ポリログの発展が問題の「高校などで数学の問題を解くときの本質解明に役立つ重要な鍵になると考え感覚から、数学の研究は 1 人で孤軍奮ている。なにより、様々な性質や量の抽闘という印象があるかもしれません。し象化を通して統一的なルールを見出すとかし実際のところ数学は、世界中の数学いう発想に、未解決の予想問題に対する者と様々な考えを議論することを通して美しい解法を提供する可能性を見ている研究を進めていく、非常に国際性の高いのである。

（取材・構成渡辺  馨）＊ 1 フェルマーの最終定理やモーデル予想：
どちらも長らく数学上の未解決問題であったが、モーデル予想は 1983 年にゲルト・ファルティングス（Gerd Faltings）が、フェルマーの最終定理は 1995 年にアンドリュー・ワイルズ（Andrew Wiles）が解決した。
＊ 2 グロタンディーク：
ア レ ク サ ン ド ル・ グ ロ タ ン デ ィ ー ク（Alexander Grothendieck）。フランス高等科学研究所（IHÉS）の創始者メンバーである。代数幾何の基盤に可換環論をはじめとして多くの数学的手法を持ち込み豊かな視点を持たせることで、数学全般に革命的な進歩をもたらした。
＊ 3 セザンヌ：
ポール・セザンヌ（Paul Cézanne）。ポスト印象派の画家。当初は印象派の一員として活躍していたが、しだいに絵画対象（モチーフ）そのものを捉える重要性に目覚めた。20 世紀の美術に多大な影響を与えた。

3

インタビュー

坂内健一准教授に聞く

数学世界の広がり

抽象化を通して、異なる世界の共通項を見いだす

幾何学的着想から整数論の予想問題に取り組む坂内さんは、高校 2 年までアメリカで過ごした帰国生だ。その高校時代に数学に魅せられ、今では数学的思索が趣味になってしまったという。数学の中に社会や人との関わりを良い方向に向かわせる力を見いだしてきた坂内さんは、開かれた数学を目指している。

──子ども時代をアメリカで過ごされたとのことですが、いつ頃からですか？

そんなとき、宮崎駿の『風の谷のナウシカ』に出会いました。
人間世界とは異なる生態系が映像として見事に描写されていて、2 歳からです。私の両親はともに数学者で、父がアメリカのこのような世界観を生み出す創造力に圧倒されました。これをオハイオ州立大学から呼ばれたことをきっかけに、家族全員できっかけに日本に対する興味が深まり、一度日本に戻ってみよ渡米しました。1970 年代前半のことです。以後、幼稚園の 2うという気持ちになりました。

年間を除いてアメリカにいて、高校 2 年の 2 学期の初めに日──数学に興味を持ったきっかけは？

本に戻ってきました。

数学に興味を持ったのは高校に入ってからでした。将来のこ──高校 2 年までアメリカにいて、そのままアメリカで進学ととを考えていたとき、数学も面白いかもと思える出来事に出いう選択肢はなかったのですか？

合ったのです。

実は日本に戻ることが決まったとき、すでに飛び級でアメリそのきっかけは化学の授業でした。化学反応による物質の濃カの複数の大学から入学許可をもらっていました。1980 年代

度変化の計算に、ある微分方程式が現れたのです。それは数学後半、世界が日本の急速な発展に脅威を感じていた時期です。 の授業で計算したばかりの方程式で、その時は何とも思いませ当時、アメリカ人の多くは日本を、年中無休で機械のように働んでした。しかし、その直後に受けた生物学の大学講義でも、く人々の国と考えていました。私自身、テレビで繰り返し放映

生態系のモデルで動物の個体数を計算するときに、全く同じ微された社員全員がそろってラジオ体操をする日本人の姿を見て、 分方程式を解くことになりました。あれ？と思いつつ、さらに全体主義的な国に行くのか、と悲壮感を覚えたものです。

4

経済学の授業で全く同じ微分方程式が利用され、数学の１つの数学には事物を抽象化し本質を抜き出す力があります。
この抽象化など数学の問題解決法は、実社会でも貴重な道具になります。

坂内健一 Bannai Kenichi
代数多様体の L 関数の特殊値にまつわる予想を背景に、ポリログなどの数論幾何的対象を用いて、抽象的な理論と具体的な特殊関数との関係についての研究を進めている。2000 年、東京大学大学院数理科学研究科博士課程修了。2001 年、名古屋大学大学院多元数理科学研究科助手。名古屋大学在職中、2005 ～ 07 年にフランスの École Normale Supérieure に日本学術振興会海外特別研究員として滞在。2008 年に慶應義塾大学理工学部に専任講師として着任、2012 年より准教授。

抽象的な微分方程式が、幅広い分野で具体的な意味を持って使われている様子を目の当たりにしたのです。何をするにも数学は使えると思いました。
──数学が多分野で使われていることに気付かれたとのことですが、実際に数学を研究されている今、どう思いますか？
数学には事物を抽象化し、その本質を抜き出す力があります。複雑さを増している現代社会でこそ、数学の抽象化の力が活用できると感じます。様々な価値観の人がいるとき、表面的な差が大きく歩み寄るのが難しく感じることもあるかと思います。しかしながら、全員が達成したいことを十分に考え抜くと、実はやりたいことは本質的には変わらないことに気がつきます。
具体的な手段や個別の事情に固執しすぎて共通点がなさそうな場合にも、問題を正しく抽象化して捉えると、同じ土俵に立つことができ、どの解決策が良いかについて冷静に議論できると思います。
数学自身は主に方程式や幾何的図形などの対象を扱いますが、抽象化をはじめとする数学の問題解決の考え方自体は、実社会でも非常に貴重な道具になるのではないかと再認識するようになりました。
──研究とは別に、何か息抜きにしていることはありますか？
昔から妻と過ごす時間はとても楽しみでしたが、2 年ほど前に娘が生まれ、家族との時間がさらに充実したものになりました。ただ、その時間が数学の研究と切り離された時間という感覚はあまりないですね。実は最先端の数学を研究しているときも、学生と接しているときも、そして娘と遊んでいるときも、すべて同じような頭の使い方をしていると感じています。数学と愛娘を同列に扱うと一見冷たい親のように見えてしまうかもしれませんが、私としては数学的対象にも娘に対するときと似たような愛情を抱いているのだと思います。
人との向き合い方というか、関係の築き方について、その本質を考えることが楽しくなって、今ではこうした抽象化という──慶應義塾大学の良いところとは、どんなところだと思われますか？
最初に、学生がとても元気だと思います。2007 年のフランス滞在中に、ケンブリッジ大学と慶應義塾大学の共催で開かれた UK-Japan Winter School という整数論の研究集会に参加したとき、慶應の学生さんにとても良い印象を持ちました。
また、多くの大学では数学は理学部の中にあり、私がいた東京大学や名古屋大学はさらに数学だけの独立した大学院で、他の学部から離れていたように感じました。でも、慶應では数理科学科は理工学部の中にあり、工学系の学科とも接点を持つことができます。他学科の教員と議論する機会も多く、理学と工学との相乗効果があると思います。元気のいい学生が多く、のびのびとした発想力にあふれているのも、こうした環境があるからかもしれませんね。

◎ちょっと一言◎
学生さんから :● 最先端の数学を研究されているのに数学者然としたところが全くなく、学生の素朴な疑問や興味にもちゃんと向き合い、面白がってくれる自由闊達な雰囲気が魅力です。授業にも熱心で、僕らに数学の楽しさを気付かせてくれます。行き詰まったときには、さりげなくヒントをくださる優しさもあります。
か、数学的思索ともいえる視点を持つことが趣味みたいな感じ

さらに詳しい内容はになっています。

http://www.st.keio.ac.jp/kyurizukai（取材・構成渡辺  馨）

5マスコットはハムスター

坂内研究室のマスコット、「普通のハムスター」です。最初は妻に描いてもらったイラストでしたが、縫いぐるみまで作ってしまいました。

研究室の合宿年に１回、研究室で合宿を行っています。新４年生からポスドクの人まで参加して、勉強したことや最新の研究成果についセミナー風景て、発表します。

研究室の４年セミナーの様子。数学の専門書の自分の担当の箇所を読んできて、他の人に解説します。うちの研究室では後で見直せるように、ビデオ撮影もしています。

坂内研と坂内家研究室のポスドク、学生さんや、家二人三脚で進む研究者の道族との付き合いの中で、自分も含めてお互いどんどん成長できる良い環境を作ろうと、日々励んでいます。

妻は脳神経科学の研究者です。大学１年生の時に出会い一目惚れ。大学院進学直前に結婚し、研究者への道を二人三脚でともに頑張ってきました。

娘と過ごす休日
休日は２歳の娘と過ごすのが楽しみです。急速に育つ娘の姿を見て、学生を育てる方法、自分自身を育てる方法について、いろいろと考えるところがあります。

6

家族は良き相談相手

研究分野は違いますが、研究者が直面する問題には共通点も多く、妻は良き相談相手です。いずれ娘も会話に加われたらいいなあ、とも思います。

● 風の谷のナウシカ 1980 年代の米国では、 ● ガラス玉演戯
急成長する日本に脅威を感じてか、日本は「真似未来世界の架空の人物、演戯名人ヨー● Realization of

ゼフ・クヌヒトの伝記。音楽、芸術、数学を統合した「ガラPolylogarithms

著者ばかりで創造性のない国」「安い賃金で労働者をス玉演戯」という本の中核をなすゲームの描写に感銘を受の Wildeshaus が、一般的こき使う国」「皆ロボットのように働く全体主義的け、真剣に数学をやってみたいと思い始めました。昔は全くな場合にポリログの実現をな国」として描写されていました。私自身、親の気にも止めませんでしたが、最近、物語の衝撃的な結末に定義した論文。 博士課程

母国であった日本にあまり興味がありませんでした

ついて、その意味するところを深く考えるようになりました。

在学中、 現シカゴ大学教が、米国の大学に進学するか日本に戻るかを迷っ授の加藤和也先生の集中

てい たとき、ナウシカの 映 画 に出 会 い、講義でモチーフ的な対象圧倒されました。このような世界観を生● やわらかな心をもつ 2005 ～ 07 年にフランを構成することの難しさを実感しました。集

み出せる人がいる国に住んでみたいと思スに研究滞在したときに友人となった指揮者、佐藤中講義の直後に、ポリログを利用すれば、モいました。

俊太郎さんに記念としていただいた本。指揮者の小チーフ的な元が様々な場合に作られるという● 失敗の本質 祖父が徴兵され、大澤征爾と数学者の広中平祐の対談が書かれています。 可能性を示唆したこの本に出会って衝撃を受佐藤さんとの付き合いを通して、音楽と数学は別世け、ポリログを自分の研究テーマにしたいと陸で大変な思いをしたことは聞かされて界のようで、根源的なところでは共通することも多い思うようになりました。

知っていました。米国で小学校に行き始と感じることができました。

● 数学が育っていく物語

めたとき、同級生から日本は戦争で米国に負けたことを何度も言わ● Mindset（邦題：「やればできる！」の研究） 人間の「才高校

数学や大学数学で出合う概念が、親れ続けたことから、何が起こった能」や「能力」は努力しだいでいくらでも伸ばせると信じてきました。 しみやすい文体で書かれているシリーのか、幼い頃から考えるようにな

本書では、こういうマインドセットを持つと、様々な課題を前向きズ。いきなり専門書に突入する前に、りました。失敗から学び、次に生に捉えることができることを、実際の心理学の実験結果に基づいどんな感じか、雰囲気をしっかりと知かすという姿勢は、何事においてて説明しています。将来成功するための良いマインドセットを、学ることができます。ちょっと先を知りたも大事だと思います。

生さんにもうまく伝えられたらいいなあと思っています。

い高校生にもお勧めです。

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新版

数学と才能するかもしれません。しかしながら、数坂内健一

学の才能は努力によって生み出される

たとえば、昔は偏見から、女性は数ということを、圧倒的な業績で若くして学に向いていない、と誤解する人もいま

数学は難しいとか、問題の解き方が分

Fields 賞を受賞したタオ（Terence Tao）

した。このために才能がないと思い込み、からない、などという言葉をよく耳にし氏も、自身のブログで綴っています。世

数学の勉強を諦めてしまった女性は少なます。全く同感です。私自身、数学を研界的に活躍している音楽家やスポーツ選からずいたと想像します。しかしながら、究していることから、理解できるかどう手の華麗な技が日々の努力の賜物である

近年の教育の成果で、アメリカでは 2008

か分からない現象や、解けるかどうか分ように、数学の問題を解くための斬新な

年以降、高校での数学の標準試験で、男からない数学の問題に日々直面していま発想も、やはり日々の鍛錬から生み出さ女の得点の分布差が一切なくなりました。

す。それでも理解しようと一生懸命に努れます。

この結果は、多くの女性が、数学の才能数学の新しい概念や難しい問題に出力したり、問題を解こうとながく考え続になります。

がないという思い込みから解放されたことによると思います。

けると、少しずつ物事が分かってくるよ

合ったとき、どんなに才能のある人でもうになります。数学に王道なし、という解いたり理解したりするのに深く考える

筋トレで体力がついてくるのを実感でユークリッドの言葉の通り、数学の力は必要があり、時間もかかります。考える

きると、とても気持ちが良いのと同様に、一朝一夕に身に付くものではありません。

力は筋力と同じで、大きな負荷をかける

考える力がついてくるのを実感できると数学の天才というと、生まれながらにことで格段に伸びます。安易に「才能がとても壮快です。理解するまでに頑張るして全く苦労せず、数学的内容をすらすない」と思い込んでしまうと、誰しもが必要があるだけに、開かれた世界はとてらと理解していくことができる人を想像通る努力のステップで諦めてしまうことも面白いものです。

理 工 学

Information

第 16 回 KLL 慶應義塾産学連携セミナー
http://www.kll.keio.ac.jp/
2013 年 2 月 22 日（金）

機械工学の基礎テーマとも言える「精密加工」「アクチュエーション」「シミュレーション」
等の研究活動をご紹介します。詳細は上記 Web サイトにて順次公開予定です。

理工学部（矢上）新 34 棟（仮称）新築工事
去る12 月12 日、矢上キャンパスにおいて、創立 150 年事業の一環である理工学部（矢上）新 34 棟（仮称）新築工事の地鎮祭が行われました。この新棟は機械系・化学系・管理工学系の実験実習教育の場として、理工系のトップ人材の育成のための環境としても期待されています。理工学部創立 75 年を迎える 2014 年 1 月に竣工の予定です。
ⓒ慶應義塾大学

新版
完成予想図（画像上部の白い建物）
No.12

編集後記
表紙の構図は、この「新版窮理図解」を手に取る人と対話するイメージをと、坂内先生が希望されて決まりました。実際には、カメラの後ろに研究室の学生の方に立ってもらい、対話しながらの撮影となりました。坂内准教授が、いかに対話を大切にされ、それを表現したいかが、この表紙の取材からもわかります。

2013

編集

新版窮理図解編集委員会

写真邑口京一郎

デザイン

八十島博明、石川幸彦（GRID）

編集協力

サイテック・コミュニケーションズ

発行者

青山藤詞郎

発行

慶應義塾大学理工学部

取材には水色のシャツで爽やかに現れ、優しい笑顔と穏やかな口調で語られまし〒 223-8522 横浜市港北区日吉 3-14-1
問い合わせ先（新版窮理図解全般）

た。工学系の学会ではスーツ着用が当たり前とされますが、数理系はスーツを着ていkyurizukai@info.keio.ac.jp

ると不思議がられるという分野の違いも教えていただきました。

問い合わせ先（産学連携）

今号から本誌に関わることとなり、今後の若手研究者の方々との出会いを楽しみに、そして引き続き、研究や研究者自身の魅力を皆様にわかりやすくお届けできるよう努めさせていただきます。

January（中野祐子）

kll-liaison@adst.keio.ac.jp
web 版

http://www.st.keio.ac.jp/kyurizukai

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