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Thèseprésentée à

L’Université Paul Verlaine - Metz
pour obtenir le titre deDocteur de l’Université Paul Verlaine - Metz
Spécialité

Informatique

Systèmes formels et systèmes
fonctionnels pédagogiquesparDavid Michel

Soutenue le 24 octobre 2008 devant le jury composé de :Patrick Cégielski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rapporteur ;Loı̈c Colson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . directeur de thèse ;Gilles Dowek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rapporteur ;Serge Grigorieff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . président du jury ;Maurice Margenstern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . examinateur.

Table des matières
Remerciementsv

Introductionvii

Présentation synthétique

xi

I

1

Systèmes formels pédagogiques

1 Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordre
1.1 Rappels sur le calcul propositionnel minimal . . . . . . . . . . . . .
1.2 Calcul propositionnel pédagogique minimal . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Tentative initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tentative améliorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 À propos de la négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Calculs propositionnels classiques et intuitionnistes . . . . .
1.3.2 Pédagogisation de la négation . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
5
5
10
11
11
13

2 Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
2.1 Rappels sur le calcul propositionnel du second ordre . . . . . . . . .
2.2 Calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogique . . .
2.2.1 Présentation du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Non-nullité syntaxique des jugements . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 La règle d’affaiblissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 ∀α.α ne définit pas l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Calcul propositionnel pédagogique du second ordre . . . . . . . . .
2.3.1 Présentation du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Non-nullité syntaxique des implications . . . . . . . . . . . .
2.4 Définition des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
21
21
23
25
26
31
31
31
37
38
40

iii

TABLE DES MATIÈRES
2.4.3 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Traductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 γ-traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Traduction de CP2 dans F-CP2 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Traduction de CP2 dans P-CP2 . . . . . . . . . . . . . . . .

42
43
44
49
50

3 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
3.1 Rappel sur les calculs propositionnels d’ordre supérieur . . . . . . .
3.2 Calculs propositionnels faiblement pédagogiques d’ordre supérieur .
3.2.1 Présentation des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Non-nullité syntaxique des jugements . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 La règle d’affaiblissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Les théorèmes de CPn sont prouvables dans F-CPn+1 . . . .
3.3 Calculs propositionnels pédagogiques contraints d’ordre supérieur
3.3.1 Présentation des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Non-nullité sémantique des implications . . . . . . . . . . .
3.3.3 Certaines implications sont syntaxiquement nulles . . . . . .
3.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur . . . . . . .
3.4.1 Présentation des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Non-nullité syntaxique des implications . . . . . . . . . . . .
3.5 Traductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
53
59
59
61
62
63
65
65
67
67
69
69
70
83

II

99

2.5

Systèmes fonctionnels pédagogiques

4 λ-calcul pédagogique simplement typé
101
4.1 λ-calcul simplement typé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 λ-calcul pédagogique simplement typé . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 λ-calcul pédagogique du second ordre
109
5.1 λ-calcul du second-ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 λ-calcul pédagogique du second-ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3 Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5 Traduction CPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Conclusion

129

Bibliographie

131

iv

Remerciements
Tout d’abord, je remercie mon directeur de thèse Loı̈c Colson, qui m’a encadré
tout le long de ma formation universitaire, du DEUG au doctorat. Son soutienindéfectible, sa bonne humeur et ses encouragements m’ont permis de travailler
dans les meilleures conditions.
J’exprime toute ma gratitude à Patrick Cégielski et Gilles Dowek d’avoir rapporté cette thèse et pour le temps qu’ils ont consacré à l’analyse de ce document.
Je tiens à remercier Serge Grigorieff d’avoir accepté de présider mon jury desoutenance, ainsi que pour ses encouragements et son soutien.
Je remercie également Maurice Margenstern pour avoir accepté de faire partie
du jury de cette thèse.
Ma reconnaissance s’adresse à tous les enseignants, techniciens et personnels
administratifs qui m’ont accueilli au LITA pendant quatre ans. Je pense en particulier à mes amis doctorants, Mathieu, Thomas, Michaël et Mihaela, sans oublierles stagiaires que j’ai côtoyés, Serge et Jérôme.
Un grand merci aussi au secrétaire du LITA, Damien Aignel, sans qui lesinévitables tracasseries de l’administration auraient eu raison de moi.
Merci également à tous les membres du département informatique de l’IUT de
Fontainebleau, qui m’ont accueilli parmi eux depuis que je suis ATER à l’Université
Paris 12.
Bien sûr, je tiens à remercier mes parents, mon frère, mes sœurs et toute ma
famille pour leur soutien sans faille depuis toujours.
Enfin, j’exprime ma reconnaissance envers toutes les personnes que je n’ai pas
citées ; elles sont nombreuses et se reconnaı̂tront.
vvi

Introduction
Il est commun dans la pratique des mathématiques de fournir des exemples
d’objets mathématiques afin d’illustrer des concepts abstraits. Cette observation a
fait l’objet d’études en philosophie des mathématiques ; en particulier, Henri Poincaré suggérait dans [34] que toute définition devrait être immédiatement suivie
d’un exemple lui donnant un sens. Malgré cette injonction, les systèmes formels
utilisés dans le cadre des fondements des mathématiques, comme les systèmes axiomatiques de Hilbert ou les calculs des séquents, ignorent totalement le dictum dePoincaré. Parallèlement, George Francois Cornelis Griss proposait dans une série
d’articles, [15], [16], [17] et [18], que les mathématiques devraient être développéessans l’aide de la négation. Il avançait que les définitions mathématiques devraientêtre limitées à celles basées sur des constructions effectives : si une telle construction est impossible, alors la définition n’a pas de sens. Malheureusement, aussi
bien chez Poincaré que chez Griss, les motivations philosophiques et scientifiquessont très peu développées et semblent alors assez faibles : Griss considérait queles mathématiques sans négation pouvaient être traitées comme un pur problèmemathématique.
La présente thèse constitue une introduction à une catégorie de systèmes formels destinés à rendre compte des desiderata de Poincaré. Nous proposons d’ajouter aux systèmes formels une contrainte que nous appelons contrainte pédagogique.
Le cadre d’étude choisi est constitué des systèmes de déduction naturelle, introduits à l’origine par Gerhard Gentzen [11] et Dag Prawitz [35] ; de tels systèmes
manipulent des jugements Γ ` F , où Γ est un ensemble fini {G1 , . . . , Gn } de formules et F une formule, avec la signification intuitive que la formule F est validesous les hypothèses Γ. Les systèmes de déduction naturelle ne proposent aucun
outils pour manipuler des définitions ; en substitut, quand on souhaite introduire
un objet x satisfaisant une définition, on postule dans le contexte Γ un ensemble deformules dans lesquelles apparaı̂t la variable x, cet ensemble de formules décrivant
les propriétés que doit posséder x pour satisfaire la définition. Nous observons quela seule règle d’inférence permettant d’introduire de nouvelles formules dans levii

Introduction
contexte Γ est la règle de l’hypothèse :
F ∈Γ
(Hyp)
Γ`F
Dans cette règle, le contexte Γ a pour seule contrainte d’être un ensemble deformules, éventuellement non motivé ou même contradictoire. Nous introduisonsalors la contrainte pédagogique comme suit : nous demandons à ce qu’au moins une
instance σ·Γ de Γ soit prouvable, c’est-à-dire que les jugements ` σ·G1 . . . ` σ·Gnsoient dérivables, avec σ une substitution remplaçant certaines variables de Γ par
quelques objets idoines (des formules, des entiers ou tout autres termes selon lecas). Ainsi, la règle de l’hypothèse se trouve modifiée en une règle de l’hypothèsepédagogique :F ∈ Γ ` σ·Γ(P-Hyp)Γ`F
La contrainte pédagogique a d’importantes conséquences sur les raisonnements
possibles en déduction naturelle : par exemple, le raisonnement par contradiction
n’est plus autorisé puisque pour prouver F en supposant ¬F afin d’en déduire
une absurdité, on doit en premier lieu postuler ¬F n’admettant aucun exemple
σ tel qu’on puisse prouver ` σ ·¬F . Ainsi les systèmes pédagogiques se révèlent
naturellement intuitionnistes. Plus radicalement, nous observons que la preuved’une assertion négative ¬F , défini par la formule F → ⊥, le symbole ⊥ dénotantl’absurdité, ne peut plus être menée car on doit supposer F afin d’en déduire ⊥ ;mais nous ne pouvons fournir un exemple σ tel que σ ·F soit prouvable, F étantune formule contradictoire. Ainsi les systèmes pédagogiques sont non seulement
intuitionnistes mais également positifs, c’est-à-dire exempts de négation.
Dans un premier temps, nous étudions l’aspect purement logique des systèmes
pédagogiques. L’éventail des systèmes étudiés se limitent aux cas propositionnels. Nous commençons par considérer le plus simple des systèmes de déduction
naturelle, le calcul propositionnel minimal, auquel nous ajoutons la contraintepédagogique de différentes manières. Puis nous ajoutons à ces systèmes les règlesrégissant la négation afin de mettre en évidence les propriétés formelles de lacontrainte pédagogique face à la présence de formules absurdes. Ensuite, nous
abordons des systèmes plus complexes dans lesquels la négation est définissable :le calcul propositionnel du second-ordre nous amène à la présentation de plusieurs variantes pédagogiques et à l’enrichissement de la contrainte initiale ; lesconséquence sur la définissabilité des connecteurs logiques est étudiée. Enfin, lacontrainte pédagogique est appliquée aux calculs propositionnels d’ordre supérieurs
et les différentes variantes de calculs pédagogiques sont étudiés en détails. Dans
tous les cas, des plus simples aux plus complexes, les liens avec les calculs usuels
sont mis en évidences : des traductions des systèmes usuels dans les systèmes
pédagogiques sont proposés afin de mesurer l’expressivité des systèmes contraints.
viii

Dans un second temps, nous proposons une sémantique des systèmes pédagogiques sous la forme de systèmes fonctionnels, c’est-à-dire de λ-calculs. Usuellement, à chaque système formel correspond un système fonctionnel : au calcul
propositionnel minimal est associé le λ-calcul simplement typé et au calcul propositionnel du second ordre est associé le λ-calcul polymorphe du second ordre. Dans
chaque cas nous étudions la stabilité par β-réduction et la normalisation dans les
systèmes pédagogiquement contraints. Nous introduisons la notion de λ-termes
utiles comme le pendant fonctionnel de l’absence de négation en logique. Les traductions entre les systèmes logiques usuels et pédagogiques se muent au niveau
fonctionnel en traductions CPS.

ix

x

Présentation synthétiqueHistorique
Depuis l’apparition des premières notions de démonstration dans la Grèce Antique jusqu’au dix-neuvième siècle, le cadre formel du développement des mathématiques était assez flou : personne ne savait précisément, formellement, ce qu’était
une preuve ou un théorème ; on en avait une vague idée mais sans plus. Au dixneuvième siècle, les mathématiciens se sentent de plus en plus concernés par cetteabsence de fondations rigoureuses ; le raisonnement mathématique devient peu à
peu un objet mathématique à part entière : la logique mathématique se dégage
comme une discipline formelle au même titre que l’arithmétique ou la géométrie.
Les premiers systèmes formels destinés à fonder les mathématiques, comme lathéorie naı̈ve des ensembles, se révèlent incohérents ; tout un bestiaire de paradoxes
entache les modes de raisonnements que l’on croyait valides ; il s’ensuit alors, audébut du vingtième siècle, ce qu’on appelle aujourd’hui la crise des fondements : ildevenait urgent de donner aux mathématiques des fondements corrects, complets
et surtout cohérents.
Parmi les mathématiciens ayant participé aux réflexions sur les raisonnementssûrs, on compte en particulier Henri Poincaré, qui nous a légué quelques ouvrages
sur le sujet ; dans « dernières pensées » [34], on peut lire un passage qui ne semble
justifié par aucune de ses réflexions, ni par celles des autres mathématiciens de son
époque, comme si elle relevait du simple bon sens :« La définition par postulat n’a de valeur que quand on a démontré
l’existence de l’objet défini ; dans le langage mathématique, cela veutdire que le postulat n’implique pas contradiction ; on n’a pas le droitde négliger cette condition ; il faut bien admettre l’absence de contradiction comme une vérité intuitive, comme un axiome, par une sorted’acte de foi ; mais alors il faut se rendre compte de ce qu’on fait etsavoir qu’on a allongé la liste des axiomes indémontrables ; ou bien
il faut construire une démonstration en règle, soit par l’exemple, soit
par l’emploi du raisonnement par récurrence. Ce n’est pas que cettedémonstration soit moins nécessaire quand il s’agit d’une définitionxi

Présentation synthétique
directe, mais elle est généralement plus facile. »Rejetant les définitions imprédicatives, c’est-à-dire les définitions d’objets faisantappel implicitement ou explicitement à la totalité des objets de même nature, Poincaré énonce ici un principe tout-à-fait en accord avec le reste de ses préoccupations ;mais on peut constater que tous les développements logiques ultérieurs se réclamantde la pensée de Poincaré, en particulier dans le domaine des systèmes formels
prédicatifs, ce principe est systématiquement ignoré.
Lors de la crise des fondements, Luitzen Egbertus Jan Brouwer développa lesmathématiques intuitionnistes, formalisés plus tard par Arend Heyting en tantqu’alternative aux systèmes formels dits « classiques ». Les systèmes formels intuitionnistes sont supposés rendre fidèlement compte de l’activité intellectuelle
du mathématicien au travers des objets qu’il manipule. Ces systèmes ont la propriété d’être constructifs, c’est-à-dire que tous les objets dont on peut prouver
l’existence sont représentables par des termes. Cependant, rien n’interdit à ces
systèmes de manipuler des objets non instanciables, dont la définition n’est pas
motivable ou même incohérente. Cette observation a mené George Francois Cornelis Griss à développer des mathématiques dans lesquelles tous les objets utilisés dans une démonstration sont définis par des postulats non contradictoires,des mathématiques sans négation. Il affirmait que les notions mathématiques devraient être limitées à celles basées sur des constructions ; si la construction s’avèreimpossible, on ne peut avoir une idée claire de la nature de l’objet et la notion nevéhicule alors aucun sens. Les arguments avancés par Griss sont assez pauvres et,à l’instar des arguments de Poincaré, ils semblent relever du simple bon sens pourson auteur. Bien qu’il y ait une certaine familiarité entre le principe énoncé par
Poincaré et les considérations de Griss, nous ne savons pas si le premier a inspiréle second ou si ces deux approches sont apparues indépendamment. Quoi qu’il ensoit, Griss étoffa ses recherches et publia dans une séries d’articles, [15], [16], [17]et [18], une ébauche informelle de ce que pourraient être une arithmétique, unegéométrie et une analyse sans négation.
Plusieurs tentatives de formalisation des idées de Griss ont été menées ; on peutciter les travaux de Vredenduin [39], Gilmore [12] et Valpola [37] ; mais la premièreformalisation la plus aboutie semble avoir été celle de David Nelson [31], [32]. Il
introduisit la notion d’implication nulle : une implication A → B est dite nullesi la formule A est fausse pour toute instance. Puis il développa une logique desprédicats du premier ordre dans laquelle toutes les implications sont non-nulles ;pour cela, il fut contraint de remplacer l’implication usuelle A → B par une
nouvelle notion d’implication A →x B dans laquelle x dénote une liste de variables
x1 , . . . , xm quantifiées. Une telle implication quantifiée possède une traduction dansles systèmes usuels par la formule ∃x.A ∧ ∀x.A → B. Nelson définit alors touteune collections de règles plus ou moins intuitives, plus ou moins compliquées, afinxii

de garantir pour chaque formule A apparaissant dans une implication quantifiée
A →x B que la formule ∃x.A est démontrable. De même, il remplace la disjonctionusuelle A1 ∨ . . . ∨ An par une disjonction quantifiée σx.(A1 , . . . , An ). En plus deces nouveaux connecteurs logiques, il subsiste dans ce système quelques points
délicats, comme la présence d’un principe de contradiction affaiblie que Nelson
juge à la limite de la respectabilité pour un raisonnement sans négation.
Dans la continuité du travail de Nelson, Victor Krivtsov enrichit le systèmeformel sans négation existant en une arithmétique simple [25], puis en une arithmétique d’ordre supérieur [26]. Il conserve les implications quantifiées mais laisse ensuspend les disjonctions quantifiées, jugées techniquement trop pesantes. Il utilise
un jeu de règles d’inférence un peu plus simple que celui de Nelson au prix d’une
nouvelle complication : chaque démonstration se mue en un couple (σ1 , σ2 ) dedémonstrations menées dans un système intermédiaire, σ2 servant à dériver directement le théorème recherché σ1 servant à garantir la non-nullité des implications
dérivées en démontrant la clôture existentielle de la conjonction de toutes les suppositions apparaissant dans σ1 . Krivtsov proposa une traduction des systèmes intuitionnistes usuels dans ses systèmes sans négation. Dans le cas de l’arithmétique,sa traduction est basée sur le fait que l’implication usuelle A → B est équivalenteà la formule ∀x.(A ∨ x = 0) → (B ∨ x = 0), qui peut être écrite A →x B puisque laformule A ∨ x = 0 est démontrable pour x = 0. Il met ainsi en évidence que l’abandon de la négation ne grève en rien l’expressivité des systèmes formels. Cependant,
une traduction systématique des théorèmes usuels ne permet pas d’obtenir à coupsûr un théorème pertinent dans un système sans négation, sans compter le sens
modifié des connecteurs logiques quantifiés.
Valeriya Mezhlumbekova [27] s’est inspirée des travaux de Nelson afin de construire une arithmétique sans négation. Elle reprend et modifie le système de Nelsonbasé sur l’implication quantifiée et elle l’enrichit avec des fonctionnelles du système
T de Gödel. Elle démontre alors que l’arithmétique intuitionniste peut être plongéedans son arithmétique sans négation au prix d’une interprétation dialectica desformules arithmétiques : chaque formule A intuitionniste est transformée en une
formule ∃x∀y.φ dans laquelle φ est une formule sans quantificateurs. Cette formule φ est alors interprétée sous la forme d’une égalité f = 0 dans laquelle f est
une fonctionnelle de type entier. les fonctionnelles sont éliminées en utilisant leprédicat T de Kleene [22] : on commence par coder les fonctionnelles t et u par desentiers #t et #u ; l’application d’une fonctionnelle t à une fonctionnelle u est alors
codable sous la forme d’une égalité T(#t, #u, y) = 0, avec T(#t, #u, y) un termerécursif primitif égal à 0 si et seulement si l’entier y code un calcul terminant del’application de t à u, le résultat du calcul étant codable par un terme récursif
primitif U(y). L’application d’une fonctionnelle t à une fonctionnelle u dans une
formule A est ensuite codée par la formule ∃y.T(#t, #u, y) ∧ A({t}u\U(y)), avecxiii

Présentation synthétiqueA({t}u\U(y)) dénotant la formule A dans laquelle les applications {t}u de t à usont remplacées par le terme U(y). En itérant ces transformations, on obtient une
formule ∃x∀y.r(x, y) = 0 avec r(x, y) un terme récursif primitif. Mezhlumbekova
définit alors pour chaque type σ une formule a ∈ Vσ signifiant que a est le coded’une fonctionnelle de type σ ; on remarque que Vσ représente un ensemble nonvide quel que soit le type σ. Au final, la traduction de la formule intuitionniste
A est la formule ∃x.(x ∈ Vσ ) ∧ (y ∈ Vτ →y .r(x, y) = 0), démontrable dans lesystème sans négation de Mezhlumbekova. Ce résultat très technique a le mérite
de mettre en évidence l’expressivité des systèmes sans négation : il est toujours
possible de traduire un théorème arithmétique usuel en un théorème équivalentsans négation dont, malheureusement, la pertinence est quelque peu noyée dans
un arsenal technique assez peu intuitif.
Dans un travail plus récent [28], Mezhlumbekova propose un calcul des prédicats
du premier ordre sans négation dans lequel ni l’implication, ni la disjonction ne sontquantifiées. Cependant, elle introduit un nouveau quantificateur logique unaire ]qu’elle nomme la signifiance (meaningfulness en anglais) : en particulier, la clôture
existentielle d’une formule A est démontrable dès que la formule ]A l’est. Ainsi la
notion de signifiance permet d’internaliser et de préciser la notion de non-nullité
définie par Nelson. L’ensemble des règles de déduction est malgré tout alourdi parles règles structurelles régissant le comportement de la signifiance ; ce que l’on
gagne en supprimant les implications et les disjonctions quantifiées, on le perd parl’ajout de la signifiance.

Motivations
On peut supposer qu’à l’origine la logique a été inventée dans le but de codifier les raisonnements corrects et rigoureux, se préserver de l’erreur permettant deconstruire un savoir pertinent et efficace. Les systèmes formels se sont peu à peu
distingués comme l’aboutissement le plus épuré de cette recherche d’exactitude.
Il convient cependant de trouver un moyen de lier les formules des systèmes formels, qui sont de simples juxtaposition de symboles, à une représentation qui leurdonne un sens : les systèmes formels ont besoin d’une sémantique. Parmi toutes
les sémantiques développées dans le cadre de l’étude mathématique des systèmes
formels, certaines décrivent mieux que d’autres le sens ontologique à donner aux
formules, selon le bon sens de chacun. Mais le bon sens comptant parmi les choses
les moins partagées, plusieurs approches se distinguent les unes des autres.
Parmi les sémantiques les plus utilisées, la notion de modèle est incontournable.
Un modèle est une structure mathématique fournissant une interprétation à chaquesymbole constituant les formules : chaque symbole de fonction est représenté parune fonction, chaque symbole de relation est interprété par une relation, etc ; puis
xiv

chaque connecteur logique est interprété directement : par exemple, l’interprétationd’une formule conjonctive A ∧ B est la conjonction, au sens mathématique, desinterprétations de A et de B. On cherche essentiellement à plonger le systèmeformel de manière tautologique dans notre propre système de raisonnement. Ce
mode de représentation a l’inconvénient d’être fondé sur notre propre systèmeintuitif de représentation, alors que paradoxalement le système formel est destiné
à pallier les imperfections de l’intuition. On est alors conduit à valider le systèmeformel sur la base d’un méta-système strictement plus puissant – notre propre
système de raisonnement – qui doit être validé par un méta-méta-système encore
plus puissant, qui doit lui aussi être validé par... etc. Le principe même de ce
mode de représentation, bien que mathématiquement correct, est ontologiquement
mal fondé. En particulier, il permet de justifier certaines règles du système par leursimple présence dans le méta-système ; prenons l’exemple de la règle du tires exclu,
qui permet de déduire la formule A ∨ ¬A pour toute formule A ; sémantiquement,elle signifie que tout modèle est soit un modèle de A, soit un modèle de ¬A.
Ceci entre en désaccord avec l’existence de formules indécidables dans le cadre
de systèmes suffisamment expressifs (par exemple l’arithmétique de Peano) : ilexiste une formule G admettant un modèle et telle que ¬G admette également
un modèle ; quand une telle formule G correspond à l’énoncé de la validité d’une
formule A dans un modèle donné, il n’est plus possible de prouver que ce modèlesatisfait A ou ¬A. Bien sûr, on peut étudier la sémantique dans un système plus
puissant, mais aucun n’échappe à l’existence de formules indécidables : quelle quesoit la puissance de la logique utilisée pour étudier la sémantique, il y a toujours
des formules dont la valeur de vérité reste indéterminée. Cependant, quand letiers exclu est une règle valide du méta-système, ce dernier servant de canon,
le tiers exclu au niveau du système est alors justifié de manière ad hoc. On se
retrouve face à une contradiction ontologique, bien que cette construction logiquesoit formellement cohérente. Il convient de mentionner le statut de la cohérence
formelle, car elle n’est pas exempte des problèmes mentionnés ci-dessus ; en effet,
la cohérence formelle, quand est est exprimée dans un système formel supposécohérent, s’exprime sous la forme d’une formule indécidable : on ne peut justifier
la cohérence d’un système que par la cohérence du méta-système, sa cohérenceétant elle-même justifiée par un méta-méta-système. . . Pire, un système formelcohérent peut très bien affirmer l’incohérence d’un de ses sous-systèmes, de mêmequ’un système incohérent peut très bien affirmer la cohérence d’un de ses soussystèmes. On a le sentiment d’avoir affaire à une sémantique bâtie sur du sable.
Face aux paradoxes que génèrent les sémantiques basées sur les modèles, on
rencontre plusieurs attitudes : certains jugent que la cohérence formelle est enelle-même la garantie de l’existence du sens des formules et décident alors qu’iln’est pas nécessaire de fouiller plus en avant, tandis que d’autres considèrent quexv

Présentation synthétiquela présence d’une contradiction ontologique est inadmissible et qu’il faut alors
abandonner la sémantique fautive au profit d’une nouvelle dont la pertinence seraient garantie par certaines propriétés plus contraintes que la simple cohérence
formelle. L’un des principaux problèmes de la sémantique basée sur les modèles est
qu’elle prétend donner un sens aux formules à l’aide d’objets discursifs de mêmenature. Comme on peut difficilement justifier une proposition par elle-même, ildevient nécessaire d’introduire de nouveaux objets, non discursifs, rendant compte
du sens des formules. Le principe du tiers exclu, en plus d’être dans certains cas lasource d’incohérences ontologiques, a la propriété d’intervenir dans des preuves deformules du type ∃x.P (x) telles qu’aucun objet x vérifiant la propriété P ne puisseêtre exhibé. On a alors introduit des systèmes formels ne vérifiant pas le principe
du tiers exclu ; ceux-ci sont dits constructifs car si on les utilise pour démontrer une
formule ∃x.P (x), alors on peut toujours exhiber un objet x tel que P (x). La preuved’une telle formule se révèle être le mode d’emploi pour construire cet objet x : lespreuves constructives sont isomorphes à des programmes de nature informatique,
via un isomorphisme dit de Curry-Howard. La généralisation aux formules nonexistentielles permet alors de justifier les formules par le programme informatiquedont elles décrivent les propriétés : une formule A → B représente un programmequi, pour tout programme décrit par A, construit un programme décrit par B ;de même, une formule A ∧ B décrit un couple de deux programmes, A décrivant
le premier et B le second. Chaque connecteur logique est ainsi interprété sous laforme d’une construction informatique : les formules sont maintenant justifiées pardes objets de nature différentes à travers une sémantique dite fonctionnelle ; on sait
maintenant de quoi parlent les formules : elles parlent d’actions automatisables,
d’une capacité à concrétiser l’objet du discours. Bien que la sémantique fonctionnelle donne un sens bien défini aux formules démontrables, la signification apportée
aux formules non démontrables semble assez floue. Dans les systèmes constructifs,
la négation ¬A d’une formule A est usuellement définie par l’implication A → ⊥,avec ⊥ la formule absurde, celle qui n’admet aucune représentation. La formule
A est réfutable quand sa négation est démontrable ; alors A → ⊥ est représenté
sous la forme d’une fonction qui attend un programme décrit par A et qui calcule
un programme décrit par ⊥. La formule ⊥ n’ayant pas de représentation fonctionnelle, A en est également dépourvue : la fonction décrite par ¬A est parfaitement
inutile car elle ne peut être appliquée à aucun programme ; un programme utilisant
une telle fonction en est réduit à la passer de fonctions en fonctions sans jamais
l’appliquer à quoi que ce soit, telle qu’il agirait face à un objet neutre sans aucun
contenu algorithmique. Même si une formule peut avoir un sens dans la sémantiquefonctionnelle, certaines de ses sous-formules n’en ont pas forcément, dans le sensoù elles sont dénuées de représentation fonctionnelle ; de plus, il n’existe aucun
moyen de donner un sens aux formules indécidables, si tant est qu’elle en ont un.

xvi

De même que le principe du tiers exclu est rejeté par les constructivistes en
raison de ses conséquences ontologiques, quelques logiciens rejettent les formulesn’admettant aucune représentation fonctionnelle apte à leur donner un sens. En
effet, la raison d’être d’une sémantique est de donner un sens aux formules ; il est
clair qu’une sémantique autorisant l’occurrence de formules n’ayant pas de senséchoue dans sa mission. On pourrait objecter le fait que de telles formules, à l’instar
de ⊥ dénotant l’absurde, ont pour sens de ne pas avoir de sens ; mais l’expression
de cette absence de sens, au niveau du méta-système, nécessite de donner un sensà la négation, donc de garantir que l’absurdité au niveau du méta-système est
également dénuée de sens, une notion équivalente à la cohérence. Or, on a observé
dans le cas des sémantiques basées sur les modèles que la cohérence d’un systèmedonné échappe inévitablement à ce système. On se retrouve de nouveau à tenter
justifier une formule dans un système par une formule de même nature dans leméta-système, elle même fondée par une formule analogue dans un méta-métasystème, etc, selon un principe mal fondé demandant une régression le long d’une
suite infinie de systèmes de plus en plus puissants, et donc a priori de plus en plus
douteux. Le comportement relatif aux programmes décrits par ⊥ – qui n’est pas
censé exister, mais ceci ne saurait être ontologiquement pertinent – est entièrementrésumé dans la règle du ex falso dont voici l’énoncé : de l’absurde on peut déduire
toutes les formules. Quand cette règle fait partie des règles de base du systèmeformel, rien ne nous permet de comprendre sa raison d’être ; mais quand elle estdérivable à partir des autres règles, comme dans la logique propositionnelle dusecond ordre ou l’arithmétique, on dispose d’un moyen d’investigation en étudiantsa démonstration. . . qui se révèle d’une grande pauvreté : dans la logique propositionnelle du second ordre, la fonction associée à la règle du ex falso est l’identité,qui plus est une fonction dont le domaine est vide. Rien n’est dit sur le programme
associé à ⊥, rien sur sa structure interne, rien sur son contenu algorithmique, rien
sur ses arguments : son existence – ou plutôt sa non existence – est postulée demanière purement discursive sans jamais être justifiée par un objet sémantique.
Puisque les formules absurdes, de même que les formules indécidables, ne semblent
pouvoir être associé à un programme, une solution possible consiste à restreindre la
notion de formules, qu’on appelle la morphologie, de manière à ce que les formulessans représentation fonctionnelle en soient exclues. Pour construire cette morphologie, il faut faire appel aux règles du système formel, la syntaxe du système, afin
de garantir par certaines démonstrations que les formules sont associées à certains programmes ; mais la construction de la syntaxe présuppose habituellement
la donnée d’une morphologie ; on est alors contraint d’introduire une syntaxe delaquelle on peut dériver la morphologie : la syntaxe doit subsumer la morphologie[5]. De cette manière, aucune formule dénuée de sens ne peut apparaı̂tre dans unedémonstration et on obtient la propriété recherchée : toute formule a un sens donné

xvii

Présentation synthétiquepar le programme dont elle décrit les propriétés. Bien sûr, la négation disparaı̂t
totalement de toutes les formules ; c’est pourquoi de tels systèmes formels sont dits
sans négation, ou positifs.
Il n’est pas nécessaire de s’engager dans des réflexions philosophiques pourconstater l’intérêt que suscite la contrainte de ne parler que d’objets concrets ou
d’abstractions portant sur des objets concrets. Dans l’enseignement, en particulier en mathématiques, plus d’un étudiant se sent troublé par la donnée d’objets
incohérents dans le cadre de la règle du ex falso ; la question revient souvent :« Comment peut-on avoir le droit de supposer des choses fausses ? ». Manifestement, l’énoncé faux ne fait pas sens dans leur esprit : ils n’ont rien à manipuler,rien à toucher. Il est fréquent dans l’enseignement des mathématiques de faire appel à des exemples illustrant des notions abstraites trop éthérées pour être saisies
telles-quelles. Ces exemples fournissent aux étudiants un guide concret, un tuteur,le long duquel se développera un savoir général. La formalisation de cette pratiquepédagogique est un passage obligé dans l’étude scientifique de l’apprentissage. En
dégageant rigoureusement les propriétés de l’intégration du savoir abstrait, il devient possible de l’appliquer en dehors de son milieu naturel afin de ne plus lelimiter aux être humains. De même que la formalisation de la notion de calcul
a permis de la rendre indépendant de l’esprit humain et ainsi de concevoir desmachines universelles (du moins Turing-complètes), la formalisation d’une partie
de l’apprentissage et la construction d’une sémantique formelle adaptée, c’est-àdire une sémantique positive, mène à l’expérimentation de l’acquisition du savoirà travers des processus automatiques. Ce projet est très ambitieux ; on espèredans un premier temps dégager clairement et rigoureusement certaines propriétés
du savoir abstrait. Un exemple serait l’implémentation d’une méthode de raisonnement par généralisation dans le cadre de l’intelligence artificielle. La machinecommence par extraire une représentation d’une partie de son environnement par
mesure directe via des capteurs, qu’elle conserve en mémoire à l’aide de formules.
Ces formules sont nécessairement closes, c’est-à-dire qu’elle ne porte que sur desobjets concrets. Puis la machine construit des formules destinées à représenterun savoir abstrait en substituant certains sous-termes des formules concrètes pardes variables libres. Il ne reste plus qu’à démontrer les formules abstraites ; lamachine peut s’aider de stratégies de preuve automatiques, mais elle dispose del’information contenue dans le processus suivi lors de la construction des formules
concrètes : la dérivations des propriétés concrètes de l’environnement servirait alorsde guide lors de la démonstration des propriétés abstraites. Il s’agit ici de redéfinir
le raisonnement par induction dans le cadre d’un système formel positif ; par làmême on redéfinit la notion d’abstraction : conformément aux sémantiques positives, toute notion abstraite doit nécessairement porter sur quelque objet concret ;inversement, de toute propriété concrète on peut extraire des propriétés abstraites
xviii

valables dans des classes d’objet plus vastes.
En génie logiciel, les systèmes formels sont utilisés pour garantir que les programmes développés sont exempts d’erreurs. On rédige une spécification formellecomposée de formules correspondant au cahier des charges du programme ; parmi
ces formules, certaines décrivent l’environnement d’exécution et d’autres correspondent à des invariants, des formules devant toujours être vérifiées quel que soit
l’état d’exécution du programme. On construit alors le programme pas à pas àl’aide d’outils garantissant que pour tout environnement décrit par la spécification,le programme respecte les invariants. On distingue plusieurs types de propriétésparmi lesquels on compte la sûreté, la cohérence et la vivacité. Un programme est
sûr quand il vérifie les invariants qui lui sont associés. La cohérence concerne lesspécifications comme suit : on souhaite que toute spécification admette un environnement la respectant. En effet, quand une spécification est incohérente, elle
permet de valider n’importe quel invariant : un programme quelconque est alorsjugé sûr bien qu’il soit inutilisable en pratique faute d’un environnement adéquat.
Un tel programme, issu d’une spécification inadaptée au dispositif qu’elle est censéereprésenter, peut causer des dégâts matériellement et humainement très coûteux.
La vivacité correspond à une propriété dynamique du programme ; un programme
ne faisant rien est trivialement sûr, mais n’est d’aucune utilité : on souhaite alors
que les programme vérifie fatalement certaines propriétés à un moment donné deson exécution. L’expression des propriétés de vivacité nécessite généralement la formalisation de la manière dont s’exécute le programme, en utilisant par exemple destraces d’exécution ; mais les systèmes formels usuels ne disposent d’aucun moyen dereprésentation de la manière dont un programme s’exécute : ils ne rendent compte
que de ce que calcule le programme. La plupart des systèmes formels, comme laméthode B ou le calcul des constructions inductif, ne disposent que d’outils garantissant la sûreté ; celle-ci émerge naturellement de tout système formel supposé correct, les autres propriétés étant très difficilement exprimables. Certains systèmes decertification, comme TLA+, permettent de rendre compte des propriétés de vivacité. Mais aucun système ne dispose de méthodes intégrées concernant la cohérence
des spécifications. Faire appel à un système formel positif afin de certifier les programmes offre la garantie de la cohérence des spécifications puisque les formules yapparaissant sont justifiées par un objet les satisfaisant. Cet objet fournit un outil supplémentaire de certification qui permet de construire les spécifications par
raffinement et de vérifier à chaque étape l’adéquation de la spécification avec ledispositif réel à piloter : il constitue un prototype formel de l’appareil à spécifier.
De plus, l’absence d’absurdité permet d’imposer une forme affaiblie de vivacité
que nous appelons l’utilité : supposons qu’un programme vérifie une propriété ;l’existence de témoins rendant compte des spécifications est conservée quel que
soit l’état d’exécution du programme ; c’est-à-dire que l’existence de témoins corxix

Présentation synthétique
respond à l’existence d’un raffinement de l’environnement d’exécution tel que leprogramme vérifie la propriété ; on obtient dans tous les cas la garantie que toutétat du programme peut être atteint dans un environnement d’exécution adéquat.
Dans le cas de la vivacité, on demande à ce qu’un état du programme soit fatalement atteint ; tandis que dans le cas de l’utilité, on demande à ce qu’un état duprogramme puisse être atteint. Dans les systèmes positifs, les programmes sontutiles quel que soit la propriété exprimée.

Les systèmes pédagogiques
L’origine des systèmes pédagogiques remontent au milieu des années 1980. Dansle mémoire de DEA de Loı̈c Colson [5], on peut lire dans la conclusion la description
informelle de ce qui deviendra vingt ans plus tard l’objet du présent mémoire : ilévoque l’idée que la syntaxe (i.e. la notion de programme/preuve) puisse subsumer
la morphologie (i.e. la notion de type/formule) afin que les types émergent del’objet qui leur donne une signification, menant ainsi à un calcul sans absurdité.
L’idée de base était d’ajouter une contrainte à la génération des formules : si leterme t est de type A, alors A est un type ; mais elle ne fonctionne pas car elle
contraint tous les types à être habités. Bien que le concept ne fut pas clairementdéfini, il me fut présenté par son auteur sous le nom de système formel pédagogique.
Seule la composante logique du calcul était maintenant prise en compte. L’idéeavait évolué ; elle consistait alors à remplacer la règle (Hyp) dans le calcul desséquents intuitionnistes :
F ∈Γ
(Hyp)
Γ`F
par la règle pédagogique (P-Hyp) :F ∈ Γ ` σ·Γ(P-Hyp)Γ`Fdans laquelle σ est une substitution des variables libres des formules du contexte
Γ. Le terme « pédagogique » fut choisi à cause de l’analogie entre l’utilisationd’exemples dans la pratique de l’enseignement et la motivation des formules à l’aide
de substitutions les rendant prouvables. Avec cette seule altération du système, aucun jugement ne peut être dérivé puisqu’il n’existe plus aucune règle sans prémisse.
La solution proposée était d’ajouter au système la règle (N-Ax) :`>(N-Ax)

dans laquelle la constante propositionnelle > dénote la formule trivialement vraie,
représentable dans les calculs des prédicats par les formules atomiques telles quexxt = t, avec t un terme du premier ordre. C’est sous cette forme que j’ai récupéré
les systèmes pédagogiques.
La première étape fut d’étudier la tentative initiale de construction d’un système pédagogique basé sur le calcul propositionnel minimal : le calcul pédagogiqueminimal naı̈f. Tout d’abord, on remarque que toutes les formules sont motivables,
c’est-à-dire que pour toute formule F il existe une substitution σ telle que la formule σ ·F soit prouvable. On montre alors que tous les théorèmes dans le calcul
minimal sont des théorèmes dans la version naı̈ve du calcul pédagogique associé.
Malheureusement, ce qui est vrai pour les théorèmes ne l’est plus pour les jugements : le jugement > → > ` > n’est pas dérivable dans le calcul naı̈f. La solution
est de modifier la règle (Ax) sous la forme de la règle (P-Ax) :` σ·Γ(P-Ax)
Γ`>
On obtient alors le calcul pédagogique minimal, dans lequel on peut dériver tous
les jugements dérivables dans le calcul usuel. L’observation de la preuve de cerésultat met en évidence l’identité structurelle entre les preuves usuelles et les
preuves pédagogiques dans lesquelles on remplace les occurrences de la règle (PHyp) par des applications de la règle (Hyp). Comme la structure des preuves
est conservée, il en est forcément de même pour les λ-termes dans le cadre dessystèmes fonctionnels issus de l’isomorphisme de Curry-Howard. On obtient alors
un λ-calcul pédagogique simplement typé à partir du λ-calcul simplement typé.
Après avoir construit un système formel pédagogique viable, la seconde étape
fut d’observer son comportement en présence de la négation. Pour cela, on ajoute
au calcul pédagogique minimal les règles régissant la constante propositionnelle ⊥dénotant l’absurdité. Dans le premier cas, on ajoute la règle (⊥i ) :
Γ`⊥
(⊥i )
Γ`F
afin d’obtenir la version pédagogique du calcul propositionnel intuitionniste sur
l’implication et la négation. Dans le second cas, on définit la négation ¬F d’une
formule F par la formule F → ⊥, puis on ajoute la règle (⊥c ) :Γ, ¬F ` ⊥(⊥c )Γ`Fafin d’obtenir la version pédagogique du calcul propositionnel classique. Dans lesdeux cas, le calcul pédagogique obtenu se révèle équivalent au calcul pédagogiqueminimal car la contrainte pédagogique interdit toute occurrence du symbole ⊥dans les formules. Par l’isomorphisme de Curry-Howard, il est alors possible dexxiPrésentation synthétiquedonner un sens informatique à la disparition de l’absurdité : puisque tous les types
sont motivables, pour tous les λ-termes t de type A → B clos, il existe toujours un
λ-terme u de type A pouvant être passé en paramètre à t : on dit alors que tousles λ-termes typables sont utiles car leur contenu algorithmique peut toujours être
utilisé pour manipuler leur paramètre. Ainsi, l’utilité est le pendant fonctionnel dela contrainte pédagogique.

Le calcul propositionnel minimal pose assez peu de problèmes parce que d’unepart l’absurdité y est définie de manière ad hoc et d’autre part il est décidable.
La confrontation de la contrainte pédagogique avec un calcul indécidable dans lequel l’absurde est naturellement définissable constitue un passage obligatoire afinde juger sa robustesse ; c’est pourquoi la pédagogisation du calcul propositionnel
du second ordre s’impose naturellement. L’absurde y est définissable par la formule ∀α.α, que nous notons alors ⊥. Dans un premier temps, il convient d’étudier
le système dans lequel on se contente d’introduire les règles (P-Ax) et (P-Hyp),
comme cela a été fait avec le calcul minimal. Le système obtenu est appelé le calcul
propositionnel du second ordre faiblement pédagogique ; il est dit faible car il est
possible d’y démontrer des théorème contenant la formule ⊥, comme par exemple⊥ → ⊥. Cependant, la formule ⊥ ne possède pas les propriétés usuelle de l’absurde ;tout d’abord, la règle (⊥i ) n’est pas dérivable dans le calcul pédagogique ; ensuite,
la formule ∀α.⊥ → α n’est pas un théorème du calcul pédagogique. Ainsi la formule ⊥ se comporte comme une constante propositionnelle neutre : dans tous lesthéorèmes, elle peut être remplacée par une variable propositionnelle quelconque.
Ce calcul, bien qu’il autorise des occurrences de la formule ⊥, semble appartenirà la famille des systèmes paraconsistents, qui sont des systèmes dits non explosifs
dans lesquels aucune formule ne peut impliquer toutes les autres formules. Cette
propriété de paraconsistence est pour l’instant de l’ordre de la conjecture ; en effet,
la bonne définition de la négation dans le calcul faiblement pédagogique est la
formule ∀α.> → α, car on montre que si la formule ∀α.β → α est motivable – β
est alors la définition internalisée de l’absurde – alors elle est motivable par la substitution remplaçant la variable β par ∀α.> → α. Malgré le fait que ce calcul soit
strictement plus faible que le calcul intuitionniste usuel, il existe une traduction
permettant de plonger le calcul usuel dans le calcul faiblement pédagogique ; ainsi
le calcul pédagogique ne souffre d’aucune perte d’expressivité. Il subsiste cependant un problème : ce calcul n’est pas associé à un λ-calcul viable car certaines
preuves, tel que la dérivation du théorème ⊥ → ⊥, n’admettent aucune forme
normale ; les programmes y sont alors très mal représentés. Pour obtenir un calculpédagogique du second-ordre ayant de bonnes propriétés, en particulier l’absenced’occurrences de formules non motivables dans les dérivations, auquel est associé
un λ-calcul normalisant, il est nécessaire de contraindre encore plus le calcul. Laxxiisolution proposée est de remplacer la règle (∀e ) :Γ ` ∀α.A(∀e )Γ ` [α\U ]·A
par la règle (P-∀e ) :Γ ` ∀α.A ` σ·U(P-∀e )Γ ` [α\U ]·Adans laquelle on demande à ce que la variable quantifiée soit instanciée par une
formule motivable. On obtient alors le calcul propositionnel pédagogique du second
ordre. L’altération de la règle (∀e ) est naturelle en considérant qu’un jugementγ ` F permet de dériver un jugement ` ∀γ.γ → F : si on remplace γ par une
formule dans le premier jugement, les règles (P-Ax) et (P-Hyp) lui imposent d’être
motivable ; ainsi la variable γ doit être instanciée par une formule motivable dans lesecond jugement pour conserver les bonnes propriétés des systèmes pédagogiques.
Dans le système obtenu, l’absurdité disparaı̂t complètement dans le sens où aucune
formule apparaissant dans une dérivation ne peut contenir une sous-formule nonmotivable : on dit que les formules sont héréditairement motivables. Ce système a laparticularité de pouvoir motiver trivialement toutes les formules motivables : une
motivation triviale est une substitution remplaçant les variables propositionnelles
par des formules prouvables ; en particulier, toute formule motivable est motivablepar la substitution remplaçant toutes les variables par >. Ce résultat est à mettreen parallèle avec remarque de Heyting dans [20] suggérant que, dans un systèmeformel sans négation, seules les propositions vraies créent du sens. La significationde cette remarque se trouve alors précisé formellement par la propriété qu’ont
les formules d’être héréditairement trivialement motivables. Cette fois-ci, le λcalcul associé normalise. On peut également plonger le calcul usuel dans le calculpédagogique à l’aide d’une traduction des formules ; la contrainte pédagogiquen’occasionne alors aucune perte d’expressivité.
Afin d’achever l’étude des systèmes pédagogiques propositionnels, il ne restait
plus qu’à considérer les calculs propositionnels d’ordre supérieur. Comme dansle cas du second ordre, le premier système construit fut le calcul propositionnel
d’ordre supérieur faiblement pédagogique, obtenu à partir du calcul intuitionniste
usuel et des règles (P-Ax) et (P-Hyp). Dans ce système, tous les théorèmes ducalcul usuel sont des théorèmes du calcul faiblement pédagogique. Mais on a vu
que certains théorèmes du second ordre ne sont pas des théorèmes pédagogiques
du second ordre. La raison est que chaque théorème à l’ordre n est un théorèmepédagogique à l’ordre n + 1 : il y a toujours un écart d’exactement un ordre ;ainsi, tous les théorèmes du second ordre sont des théorèmes pédagogiques au
troisième ordre, mais pas en dessous. Comme dans le cas du calcul pédagogiqueminimal naı̈f, ce qui est vrai pour les théorèmes est faux pour les jugements : laxxiiiPrésentation synthétiquecontrainte pédagogique impose que toute formule dérivée soit motivable quel que
soit le contexte ; ainsi le jugement Γ ` ⊥ n’est dérivable pour aucun contexte Γalors que dans le cas usuel, par exemple, le jugement ⊥ ` ⊥ est aisément dérivable.
En remplaçant la règle (∀e ) par la règle (P-∀e ), comme dans le cas du second ordre,
on obtient le calcul propositionnel pédagogique contraint. Dans les calculs d’ordresupérieur, les formules sont généralisés en prédicats, qui sont des fonctions dont
le type est décrit par leur genre κ : il y a le genre des formules, noté ?, et legenre κ ⇒ ι des fonctions consommant les prédicats de genre κ et produisantdes prédicats de genre ι. La notion de motivation est étendue aux prédicats :un prédicat P est motivable si il produit une formule motivable quel que soit les
prédicats qui lui sont passés en argument ; plus formellement, si on note κ1 ⇒ . . . ⇒κ? le genre de P , alors P est motivable quand la formule ∀α1 . . . ∀αn .P α1 . . . αnest motivable. Dans ce système, les formules apparaissant dans les dérivations
ne sont pas forcément héréditairement motivables ; cependant, toutes les sousformules de ces formules sont vraies pour au moins une distribution de valeursde vérités, au sens de la sémantique booléenne binaire : ainsi ce calcul est dénué
de négation ; mais il n’est pas pour autant pédagogique au sens fort. On observe
ici une différence importante entre les systèmes pédagogiques et les systèmes sansnégation : la contrainte pédagogique et les bonnes propriétés qu’on lui demandesont fondamentalement syntaxiques car les motivations, qui sont les témoins dusens des formules, sont des objets finis construits à partir des formules ; tandis
que dans les systèmes sans négation, la contrainte peut n’être que sémantique.
On note que ces deux calculs, le faible et le contraint, ne sont pas associés à un
λ-calcul normalisant ; dans les deux cas, on peut construire une dérivation d’un
jugement ` F → F dans lequel la formule F n’est pas motivable ; mais la mise en
forme normale de cette dérivation nécessite de pouvoir dériver le jugement F ` F ,ce qui n’est possible que si F est une formule motivable. L’ajout d’un principed’extentionnalité résout ce problème ; on définit l’égalité extensionnelle P =κ Q dedeux prédicats P et Q par le fait qu’ils produisent des formules équivalentes quel
que soit les arguments qu’on leur passe en paramètres : P =κ Q signifie que P et
Q sont indiscernables du point de vue du calcul. On ajoute alors au calcul la règle
d’extentionnalité (Ext) :Γ ` [ακ \U ]·A Γ ` U =κ(Ext)Γ ` [ακ \V ]·A
On obtient le calcul propositionnel pédagogique du second ordre, dans lequel tous
les prédicats sont héréditairement trivialement motivables. Malheureusement, il n’ya pas à notre connaissance de λ-calcul prenant en compte la règle d’extentionnalité ;sa construction dépasse le cadre de cette thèse et donc nous n’en parlerons pas.
Comme dans le cas du second ordre, on peut plonger le calcul usuel dans le calculxxivpédagogique à l’aide d’une traduction des formules ; on montre que ce plongementopère même dans le cas d’un calcul classique.

xxv

xxvi

Première partie
Systèmes formels pédagogiques

12Chapitre 1
Calculs propositionnels
pédagogiques du premier ordre
1.1

Rappels sur le calcul propositionnel minimal

Le calcul propositionnel minimal est sans doute l’un des plus simples systèmes
formels connus. Il décrit le comportement d’un seul connecteur logique, l’implication, opérant sur des propositions logiques. Cependant, il est suffisamment puissantpour simuler le comportement d’autres connecteurs logiques tels que la conjonction, la disjonction et la négation. En effet, certaines traductions comme celle quenous présenterons au chapitre 3 permettent de plonger le calcul propositionnel
classique dans le calcul propositionnel minimal.
Nous définissons tout d’abord les formules du calcul :Définition 1.1.1. Les formules propositionnelles du premier ordre, que nous appelons formules dans ce chapitre en l’absence d’ambiguı̈té, sont définies par récurrence comme suit :– la constante propositionnelle > (la formule vraie) est une formule ;– les variables propositionnelles α, β, γ, . . . sont des formules ;– si A et B sont des formules, alors A → B est une formule.
Afin d’alléger l’écriture des formules, nous écrivons A → B → C les formules dela forme A → (B → C).
Les formules seront toujours prouvées dans le cadre d’un contexte représentant
l’ensemble des hypothèses nécessaires au raisonnement :Définition 1.1.2. Un contexte propositionnel du premier ordre est un ensemble
fini de formules, et dans ce chapitre nous les appelons contextes quand aucune
ambiguı̈té n’est à craindre. Un jugement propositionnel du premier ordre est un
3Chapitre 1 : Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordre
triplet noté Γ `id F , avec Γ un contexte, F une formule et id un identifiant textuel. Dans ce chapitre, les jugements propositionnels du premier ordre sont appelésjugements quand cela ne prête pas à confusion.
Le contexte vide est représenté par le mot vide ; ainsi, pour toute formule F ettout identifiant id, le jugement ∅ `id F s’écrit également `id F . De plus, pour
tous contextes Γ et ∆, le contexte Γ ∪ ∆ est noté Γ, ∆. En particulier, pour toute
formule A, le jugement Γ ∪ {A} `id F est noté Γ, A `id F .
Ensuite, nous définissons le calcul proprement dit, sa morphologie et sa syntaxe.
Nous nous plaçons dans le cadre des systèmes de déduction naturelle développéspar Gentzen [11], puis par Prawitz [35] sous la forme d’un calcul des séquents intuitionniste. Nous l’avons choisi car il offre une présentation fidèle du raisonnement
hypothético-déductif intuitif.
Définition 1.1.3. Le calcul propositionnel minimal, abrégé en CPM, est définipar :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `m F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles suivantes :Γ `m >

Γ, F `m F
Γ, A `m B(→i )Γ `m A → B

(Ax)

(Hyp)

Γ `m A → B Γ `m A(→e )
Γ `m BOn dit qu’un jugement Γ `m F est dérivable quand il existe une dérivation dans
CPM dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
Enfin, nous proposons un exemple de dérivation afin de rendre plus explicite
le fonctionnement du calcul. La dérivation choisie est celle du théorème `m α →(α → β) → β correspondant à la règle du modus ponens :Exemple. dérivation du jugement `m α → (α → β) → β :1) α, α → β `m α → β par (Hyp) ;2) α, α → β `m α par (Hyp) ;3) α, α → β `m β par (→e ), 1 et 2 ;4) α `m (α → β) → β par (→i ) et 3 ;5) `m α → (α → β) → β par (→i ) et 4.
4

1.2 Calcul propositionnel pédagogique minimal

1.2

Calcul propositionnel pédagogique minimal

1.2.1

Tentative initiale

L’idée initiale pour pédagogiser CPM est de remplacer la règle (Hyp) :
F ∈Γ
(Hyp)
Γ`F
par la règle (P-Hyp) :F ∈ Γ ` σ·Γ(P-Hyp)Γ`F
avec σ une substitution opérant sur les formules contenues dans Γ. Il nous fautalors définir ce qu’est une substitution :Définition 1.2.1. Une substitution σ est une application des formules dans lesformules, déterminée par un ensemble de variables propositionnelles noté Dom(σ)
et par une application f des variables dans les formules. Pour toute formule F
l’image de F par σ, notée σ·F , est définie par récurrence sur F comme suit :F = > : σ·F = > ;F = α : σ·F = f(α) si α ∈ Dom(σ), et σ·F = α sinon ;F = A → B : σ·F = (σ·A) → (σ·B).
L’ensemble Dom(σ) est appelé le domaine de la substitution σ.
Pour tout contexte Γ, pour toute substitution σ et tout identifiant id, l’ensemble
des jugements `id σ·F tels que F ∈ Γ est noté `id σ·Γ.
La règle (Ax) constitue une règle sans prémisse ; mais elle n’est pas en accord
avec la conception intuitive des systèmes pédagogiques à cause de la présence d’uncontexte arbitraire. Nous avons besoin d’une règle sans prémisse ; en effet, la règle(P-Hyp) possédant des prémisses, il nous faut une règle (Ax) adaptée. La règle(N-Ax) constitue un candidat potentiel :`>(N-Ax)

Nous pouvons alors définir une version pédagogique de CPM :Définition 1.2.2. Le calcul propositionnel pédagogique minimal naı̈f, abrégé en
N-CPM, est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `n F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (→i ) et (→e ), ainsi que des deux règles suivantes :`n >5(N-Ax)

Chapitre 1 : Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordreF ∈ Γ `n σ·Γ(P-Hyp)Γ `n FOn dit qu’un jugement Γ `n F est dérivable quand il existe une dérivation dans
N-CPM dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
N-CPM permet déjà de construire des dérivations de théorèmes bien connus,
tels que `n α → (α → β) → β dont la dérivation dans CPM a été donnée dans lasection précédente :Exemple. dérivation du jugement `n α → (α → β) → β :1) `n > par (N-Ax) ;2) > `n > par (P-Hyp) et 1 ;3) `n > → > par (→i ) et 2 ;4) α, α → β `n α → β par (P-Hyp), 1 et 3 ;5) α, α → β `n α par (P-Hyp) et 1 ;6) α, α → β `n β par (→e ), 4 et 5 ;7) α `n (α → β) → β par (→i ) et 6 ;8) `n α → (α → β) → β par (→i ) et 7.
Les systèmes pédagogiques induisent des objets propres à la notion d’exemple.
Les motivations sont des objets satisfaisant une définition, des exemples la motivant. Dans CPM et N-CPM, cette notion est formalisée comme suit :Définition 1.2.3. Soit C un calcul dont la morphologie est constitué par l’ensemble
des jugements de la forme Γ `id F . Pour tout contexte ∆, une motivation de ∆dans C est une substitution σ telle que les jugements `id σ · ∆ soient dérivables.
Quand un contexte admet une motivation dans C, on dit qu’il est motivable. De
plus, une motivation d’une formule F dans C est une motivation du singleton {F }dans C.
Pour toute formule F , on note F> la formule F dans laquelle toutes les variables
propositionnelles sont remplacées par >. De même, pour tout contexte Γ, on note
Γ> l’ensemble des formules F> telles que F ∈ Γ.
Il convient tout d’abord de caractériser les formules motivables dans N-CPM ;on prouve ci-dessous que toutes les formules sont motivables dans N-CPM :Lemme 1.2.1. Pour toute formule F , le jugement `n F> est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : on a >> = > ; ainsi le jugement `n F> est dérivable par la règle(N-Ax) ;F = α : on a α> = > et on conclut comme dans le cas précédent ;F = A → B : on a F> = A> → B> , donc nous avons juste à dériver le jugement `n A> → B> :6

1.2 Calcul propositionnel pédagogique minimal1) `n A> par hypothèse de récurrence ;2) `n B> par hypothèse de récurrence ;3) B> , A> `n B> par (P-Hyp), 1 et 2 ;4) B> `n A> → B> par (→i ) et 3 ;5) `n B> → (A> → B> ) par (→i ) et 4 ;6) `n A> → B> par (→e ), 5 et 2.
Nous allons maintenant comparer l’expressivité de CPM et de N-CPM. On
remarque immédiatement que N-CPM ne permet pas de prouver plus de choses
que CPM, puisque il est une restriction de CPM :Lemme 1.2.2. Pour tout jugement Γ `n F dérivable, le jugement Γ `m F est
dérivable.
Démonstration. Immédiate par récurrence sur la dérivation de Γ `n F .
Réciproquement, tout ce qui est prouvable dans CPM est prouvable dans N-CPM :Lemme 1.2.3. Pour tout jugement Γ `m F dérivable, le jugement `n Γ → F est
dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `m F :(Ax) : nous avons juste à dériver le jugement `n Γ → > :Γ `m >
1) `n Γ> par le lemme 1.2.1 ;2) `n > par (N-Ax) ;3) >, Γ `n > par (P-Hyp), 1 et 2 ;4) `n > → Γ → > par (→i ) et 3 ;5) `n Γ → > par (→e ), 2 et 4 ;(Hyp) : nous avons juste à dériver le jugement `n (Γ, F ) → F :Γ, F `m F1) `n Γ> par le lemme 1.2.1 ;2) `n F> par le lemme 1.2.1 ;3) Γ, F `n F par (P-Hyp), 1 et 2 ;4) `n (Γ, F ) → F par (→i ) et 3 ;Γ, A `m B(→i ) : par hypothèse de récurrence le jugement `n Γ → A → BΓ `m A → B
est dérivable, et comme Γ → A → B = (Γ, A) → B le jugement `n (Γ, A) →B est dérivable ;Γ `m A → B Γ `m A(→e ) : nous avons juste à dériver le jugement `n Γ →Γ `m B
B:
7

Chapitre 1 : Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordre1) `n Γ> par le lemme 1.2.1 ;2) `n Γ> → (A → B)> par le lemme 1.2.1 ;3) `n Γ> → A> par le lemme 1.2.1 ;4) Γ, Γ → (A → B), Γ → A `n Γ par (P-Hyp), 1, 2 et 3 ;5) Γ, Γ → (A → B), Γ → A `n Γ → (A → B) par (P-Hyp), 1, 2 et 3 ;6) Γ, Γ → (A → B), Γ → A `n A → B par (→e ), 5 et 4 ;7) Γ, Γ → (A → B), Γ → A `n Γ → A par (P-Hyp), 1, 2 et 3 ;8) Γ, Γ → (A → B), Γ → A `n A par (→e ), 7 et 4 ;9) Γ, Γ → (A → B), Γ → A `n B par (→e ), 6 et 8 ;10) Γ → (A → B), Γ → A `n Γ → B par (→i ) et 9 ;11) Γ → (A → B), `n (Γ → A) → Γ → B par (→i ) et 10 ;12) `n (Γ → (A → B)) → (Γ → A) → Γ → B par (→i ) et 11 ;13) `n Γ → (A → B) par hypothèse de récurrence ;14) `n (Γ → A) → Γ → B par (→e ), 12 et 13 ;15) `n Γ → A par hypothèse de récurrence ;16) `n Γ → B par (→e ), 14 et 15.
Proposition 1.2.4. Pour toute formule F , le jugement `n F est dérivable si etseulement si le jugement `m F est dérivable.
Démonstration. Immédiate à l’aide des lemmes 1.2.2 et 1.2.3.
Bien que CPM et N-CPM soient équivalents du point de vue des théorèmes,
nous ne savons encore rien sur les jugements de N-CPM quand leur contexte n’est
pas vide : nous allons montrer qu’il existe des jugements dérivables dans CPM qui
ne sont pas dérivables dans N-CPM. On définit deux ensembles de formules, Nv
et Nf , avec Nv construit à la manière de l’ensemble des formules vraies et Nf à lamanière de l’ensemble des formules fausses : la seule différence consiste à faire dela formule > un élément de Nf .
Définition 1.2.4. Pour toute formule F , les relations F ∈ Nv et F ∈ Nf sontdéfinies simultanément par récurrence sur F :F = > : F 6∈ Nv et F ∈ Nf ;F = α : F 6∈ Nv et F ∈ Nf ;F = A → B : F ∈ Nv si et seulement si A ∈ Nf ou B ∈ Nv , et F ∈ Nf si etseulement si A ∈ Nv et B ∈ Nf .
Lemme 1.2.5. Pour toute formule F , F ∈ Nf si et seulement si F 6∈ Nv .
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : nous avons > ∈ Nf et > 6∈ Nv ;F = α : nous avons α ∈ Nf et α 6∈ Nv ;8

1.2 Calcul propositionnel pédagogique minimal
F = A → B : nous traitons les deux sens de l’équivalence séparément :– supposons que A → B ∈ Nf : par définition nous avons A ∈ Nv et B ∈ Nf ,donc par hypothèse de récurrence nous avons A 6∈ Nf et B 6∈ Nv ; ainsi
A → B 6∈ Nv ;– supposons que A → B 6∈ Nv : par définition nous avons A 6∈ Nf et B 6∈ Nv ,donc par hypothèse de récurrence nous avons A ∈ Nv et B ∈ Nf ; ainsi
A → B ∈ Nf .
L’ensemble Nf est conçu pour qu’il hérite de certaines propriétés des formulesréfutables ; en particulier, dans tout système cohérent, si on peut dériver une formule réfutable F sous les hypothèses Γ, alors Γ contient une formule réfutable :Lemme 1.2.6. Pour tout jugement Γ `n F dérivable, si F ∈ Nf et Γ 6= ∅ alors
l’ensemble Γ ∩ Nf est habité (i.e. non vide).
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `n F :(N-Ax) : par hypothèse nous avons Γ = ∅, ce qui est absurde ;`n >F ∈ Γ `n σ·Γ(P-Hyp) : par hypothèse nous avons F ∈ Γ et F ∈ Nf , doncΓ `n FF ∈ Γ ∩ Nf ;Γ, A `n B(→i ) : par définition de F ∈ Nf nous avons A ∈ Nv et B ∈ Nf ;
Γ `n A → B
par hypothèse de récurrence l’ensemble (Γ ∪ {A}) ∩ Nf est habité, donc deux
cas se présentent :– A ∈ Nf : d’après le lemme 1.2.5 nous avons A 6∈ Nv , mais nous avons
A ∈ Nv par définition de F ∈ Nf , ce qui est absurde ;– Γ ∩ Nf est habité : ce cas est immédiat ;Γ `n A → B Γ `n A(→e ) : deux cas se présentent :Γ `n B– A ∈ Nf : par hypothèse de récurrence sur Γ `n A l’ensemble Γ ∩ Nf est
habité ;– A 6∈ Nf : d’après le lemme 1.2.5 nous avons A ∈ Nv et par hypothèse nous
avons B ∈ Nf , donc A → B ∈ Nf ; ainsi, par hypothèse de récurrence surΓ `n A → B, l’ensemble Γ ∩ Nf est habité.
Comme la formule > est dans Nf , elle se comporte comme une formule réfutable ;plus précisément, si > est dérivable sous un ensemble non vide d’hypothèses, alors
l’une des hypothèses est dans Nf ; mais dans certain cas, une telle hypothèse nepeut advenir sans contradiction, dans le cas par exemple ou elle est la formule> → >. Le jugement > → > `n > n’est donc pas dérivable :9Chapitre 1 : Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordre
Proposition 1.2.7. Le jugement > → > `n > n’est pas dérivable.
Démonstration. Nous avons > ∈ Nf , donc d’après le lemme 1.2.6 nous avons> → > ∈ Nf . Comme > ∈ Nf nous avons > → > ∈ Nv , donc > → > 6∈ Nfd’après le lemme 1.2.5, ce qui est absurde.

1.2.2

Tentative améliorée

Le comportement du calcul N-CPM ne possède pas des propriétés souhaitables ;puisque toutes les formules sont motivables dans N-CPM, on s’attend à ce que tous
les jugements dérivables dans CPM le soient également dans N-CPM. Le problème
est causé par la règle (N-Ax) ; en effet, cette règle contraint beaucoup trop lescontextes des jugements qu’elle permet de dériver : elle les contraint à être vide.
Pourtant, il suffirait que le contexte introduit soit seulement motivable pour obtenir
une règle plus en adéquation avec les autres. On décide alors de remplacer la règle(N-Ax) par la règle (P-Ax) :` σ·Γ(P-Ax)Γ `p >
afin d’obtenir un système pédagogique ayant de bonnes propriétés :Définition 1.2.5. Le calcul propositionnel pédagogique minimal, abrégé en PCPM, est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `p F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (P-Hyp), (→i ) et (→e ), ainsi que de la règle suivante :`p σ·Γ
(P-Ax)Γ `p >On dit qu’un jugement Γ `p F est dérivable quand il existe une dérivation dans
P-CPM dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
Nous allons tout de suite vérifier que le jugement > → > `p > est dérivable afinde se rendre compte que le nouveau système est plus expressif que l’ancien :Exemple. dérivation du jugement > → > `p > :1) `p > par (P-Ax) ;2) > `p > par (P-Hyp) et 1 ;3) `p > → > par (→i ) et 2 ;4) > → > `p > par (P-Ax) et 3.
101.3 À propos de la négation
De plus, puisque N-CPM est une restriction de P-CPM, toutes les formules sontmotivables dans P-CPM : il suffit pour chaque formule de mener dans P-CPM lapreuve qu’elle est motivable dans N-CPM. Il reste à vérifier que tout jugementdérivable dans CPM est également dérivable dans P-CPM :Proposition 1.2.8. Pour tout contexte Γ et toute formule F , le jugement Γ `p F
est dérivable si et seulement si le jugement Γ `m F est dérivable.
Démonstration. Nous démontrons successivement les deux sens de l’équivalence :⇐) nous démontrons cette implication par récurrence sur la dérivation deΓ `m F ; tous les cas sont immédiats excepté pour les règles (Ax) et (Hyp) :(Ax) : le jugement `p Γ> est dérivable d’après le lemme 1.2.1 ;Γ `m >
ainsi nous pouvons appliquer la règle (P-Ax) afin de dériver le jugement
Γ `p > ;(Hyp) : les jugements `p Γ> et `p F> sont dérivables d’après leΓ, F `m F
lemme 1.2.1 ; ainsi nous pouvons appliquer la règle (P-Hyp) afin de dériverle jugement Γ, F `p F ;⇒) la démonstration de cette implication est immédiate par récurrence sur ladérivation du jugement Γ `p F .

1.3

À propos de la négation

1.3.1

Calculs propositionnels classiques et intuitionnistes

Maintenant que l’on dispose d’une méthode produisant un calcul propositionnelpédagogique minimal satisfaisant, nous allons l’appliquer à des calculs sur l’implication et la négation afin d’observer le comportement de la contrainte pédagogiqueen présence de formules absurdes. Nous enrichissons la notion de formule à l’aide
du symbole ⊥ dénotant la formule absurde :Définition 1.3.1. Les ⊥-formules propositionnelles du premier ordre, abrégées en⊥-formules, sont définies par récurrence comme suit :– la constante propositionnelle > (la ⊥-formule vraie) est une ⊥-formule ;– la constante propositionnelle ⊥ (la ⊥-formule absurde) est une ⊥-formule ;– les variables propositionnelles α, β, γ, . . . sont des ⊥-formules ;– si A et B sont des ⊥-formules, alors A → B est une ⊥-formule.
Pour toute ⊥-formule F , la ⊥-formule F → ⊥ est appelée la négation de F etelle est notée ¬F . On définit ensuite les contextes constitués de ⊥-formules et les
11Chapitre 1 : Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordre
substitutions sur les ⊥-formules, afin de disposer de tous les objets nécessaires àla définition de calculs sur l’implication et la négation :Définition 1.3.2. Les ⊥-contextes et les ⊥-jugements sont définis à partir des⊥-formules de manière analogue aux contextes et au jugements (voir la définition
1.1.2).
Définition 1.3.3. Les ⊥-substitutions sont définis à partir des ⊥-formules demanière analogue aux substitutions (voir la définition 1.2.1), en ajoutant quel’image de la constante ⊥ par une ⊥-substitution σ est ⊥.
Il y a essentiellement deux manières de décrire le comportement de la négation ;la première correspond à la négation dans les calculs intuitionnistes et la secondeà la négation dans les calculs classiques. Dans les calculs intuitionnistes, la règle(⊥i ) est la seule régissant le symbole ⊥ :
Γ`⊥
(⊥i )
Γ`F
et elle correspond à la formalisation de la règle du ex falso. Elle nous permet deconstruire le calcul propositionnel intuitionniste :Définition 1.3.4. Le calcul propositionnel intuitionniste, abrégé en CPI, est définipar :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des ⊥-jugements de la formeΓ `i F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrence àl’aide des règles (Ax), (Hyp), (→i ) et (→e ), ainsi que de la règle suivante :Γ `i ⊥(⊥i )Γ `i FOn dit qu’un ⊥-jugement Γ `i F est dérivable quand il existe une dérivation dans
CPI dont la dernière règle utilisée produit ce ⊥-jugement.
De même, dans les calculs classiques, la règle (⊥c ) est la seule régissant le symbole⊥:
Γ, ¬F ` ⊥(⊥c )
Γ`Fet elle correspond à la formalisation de la règle d’élimination de la double négation.
Elle nous permet de construire le calcul propositionnel classique :Définition 1.3.5. Le calcul propositionnel classique, abrégé en CPC, est défini
par :
12

1.3 À propos de la négation– sa morphologie, constitué par l’ensemble des ⊥-jugements de la formeΓ `c F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrence àl’aide des règles (Ax), (Hyp), (→i ) et (→e ), ainsi que de la règle suivante :Γ, ¬F `c ⊥(⊥c )Γ `c FOn dit qu’un ⊥-jugement Γ `c F est dérivable quand il existe une dérivation dans
CPC dont la dernière règle utilisée produit ce ⊥-jugement.
Notons que CPC est suffisamment puissant pour que la conjonction et la disjonction y soient définissables ; pour deux formules A et B la conjonction A ∧ B est
définissable par la formule ¬(A → ¬B) et la disjonction A ∨ B est définissable
par la formule ¬A → B. La situation est différente dans CPI car la conjonction
et la disjonction n’y sont pas définissables. Cependant, nous sommes seulementintéressés par la présence de la négation ; l’expressivité de CPI est donc suffisante.

1.3.2

Pédagogisation de la négation

La pédagogisation des calculs CPI et CPC se fait comme celle de CPM : enremplaçant respectivement les règles (Ax) et (Hyp) par les règles (P-Ax) et (PHyp) :Définition 1.3.6. Le calcul propositionnel pédagogique intuitionniste, abrégé en
P-CPI, est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des ⊥-jugements de la formeΓ `pi F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (P-Ax), (P-Hyp), (→i ), (→e ) et (⊥i ).
On dit qu’un ⊥-jugement Γ `pi F est dérivable quand il existe une dérivation dans
P-CPI dont la dernière règle utilisée produit ce ⊥-jugement.
Définition 1.3.7. Le calcul propositionnel pédagogique classique, abrégé en PCPC, est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des ⊥-jugements de la formeΓ `pc F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (P-Ax), (P-Hyp), (→i ), (→e ) et (⊥c ).
On dit qu’un ⊥-jugement Γ `pc F est dérivable quand il existe une dérivation dans
P-CPC dont la dernière règle utilisée produit ce ⊥-jugement.
13

Chapitre 1 : Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordre
Nous allons démontrer que dans CPI et CPC, les dérivations contiennent uniquement des formules, c’est-à-dire des ⊥-formules ne contenant pas le symbole ⊥.
On démontre d’abord que pour toute formule σ·F , F est une formule, ce qui nous
permettra de vérifier l’absence de ⊥ dans les ⊥-formules motivées dans les règles(P-Ax) et (P-Hyp) :Lemme 1.3.1. Pour toute ⊥-formule F et pour toute ⊥-substitution σ, si σ·F est
une formule alors F est une formule.
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : > est une formule ;F = ⊥ : soit σ une ⊥-substitution et supposons que σ · ⊥ soit une formule ;nous avons σ·⊥ = ⊥ donc ⊥ est une formule, ce qui est absurde ;F = α : α est une formule ;F = A → B : soit σ une ⊥-substitution et supposons que σ·F soit une formule ;nous avons σ·F = σ·A → σ·B, et par hypothèse de récurrence A et B sontdes formules, donc A → B est une formule.
Puis on démontre l’absence de ⊥ dans les dérivations de CPI :Lemme 1.3.2. Pour tout ⊥-jugement dérivable Γ `pi F , tous les éléments del’ensemble Γ ∪ {F } sont des formules.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `pi F :`pi σ·Γ(P-Ax) : par hypothèse de récurrence les éléments de σ ·Γ sont desΓ `pi >
formules, donc d’après le lemme 1.3.1 les éléments de Γ sont des formules ;ainsi Γ ∪ {F } est un ensemble de formules ;F ∈ Γ `pi σ·Γ(P-Hyp) : par hypothèse de récurrence les éléments de σ · ΓΓ `pi F
sont des formules, donc d’après le lemme 1.3.1 les éléments de Γ sont desformules ; ainsi Γ est un ensemble de formules ;Γ, A `pi B(→i ) : par hypothèse de récurrence les éléments de Γ ∪ {A, B}Γ `pi A → B
sont des formules, donc Γ ∪ {A → B} est un ensemble de formules ;Γ `pi A → B Γ `pi A(→e ) : par hypothèse de récurrence les éléments deΓ `pi BΓ ∪ {A → B} sont des formules, donc Γ ∪ {B} est un ensemble de formules ;Γ `pi ⊥(⊥i ) : par hypothèse de récurrence ⊥ est une formule, ce qui estΓ `pi Fabsurde.

14

1.3 À propos de la négation
Enfin, on démontre de même que les ⊥-formules dans les dérivations de CPC sontdes formules :Lemme 1.3.3. Pour tout ⊥-jugement dérivable Γ `pc F , tous les éléments del’ensemble Γ ∪ {F } sont des formules.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `pc F . La démonstration est
analogue à celle du lemme précédent, donc nous ne traitons que le cas de la règle(⊥c ) :
Γ, ¬F `pc ⊥(⊥c ) : par hypothèse de récurrence ⊥ et ¬F sont des formules,Γ `pc Fce qui est absurde.

L’absence du symbole ⊥ dans les dérivations de CPI et CPC a une conséquenceimportante sur les versions pédagogiques respectives de ces systèmes : les règles(⊥i ) et (⊥c ) ne peuvent plus être utilisées car elles requièrent la présence de laformule ⊥ dans les jugements constituant leurs prémisses. Les calculs P-CPI et
P-CPC sont donc équivalents à CPM :Proposition 1.3.4. Pour tout ⊥-jugement dérivable Γ `pi F , le jugement Γ `p F
est un jugement dérivable.
Démonstration. D’après le lemme 1.3.2 les éléments de Γ ∪ {F } sont des formules,
donc le ⊥-jugement Γ `p F est un jugement. Montrons par récurrence sur ladérivation de Γ `pi F que Γ `p F est dérivable ; la démonstration est immédiate
sauf pour le cas de la règle (⊥i ) :Γ `pi ⊥(⊥i ) : ⊥ est une formule d’après le lemme 1.3.2, ce qui est absurde.
Γ `pi F
Proposition 1.3.5. Pour tout ⊥-jugement dérivable Γ `pc F , le jugement Γ `p F
est un jugement dérivable.
Démonstration. D’après le lemme 1.3.3 les éléments de Γ ∪ {F } sont des formules,
donc le ⊥-jugement Γ `p F est un jugement. Montrons par récurrence sur ladérivation de Γ `pc F que Γ `p F est dérivable ; la démonstration est immédiate
sauf pour le cas de la règle (⊥c ) :Γ, ¬F `pc ⊥(⊥c ) : ⊥ et ¬F sont des formules d’après le lemme 1.3.3, ce quiΓ `pc Fest absurde.

15

Chapitre 1 : Calculs propositionnels pédagogiques du premier ordre
Ces deux résultats achèvent notre étude des calculs P-CPM, P-CPI et P-CPC, tous
les trois équivalents à CPM. Le calcul propositionnel minimal est donc dans unsens implicitement pédagogique ; la présence de la contrainte pédagogique montre
son utilité dans la construction de calculs sans négation. Mais le symbole ⊥représentant l’absurdité est un élément ad hoc : le retirer des ⊥-formules nepose aucun problème. il n’en est pas de même dans les calculs où l’absurdité estdéfinissables ; par exemple, le calcul propositionnel intuitionniste du second ordre
est un calcul indécidable dans lequel l’absurdité est définissable : l’élimination
de l’absurdité y est un problème impossible à résoudre algorithmiquement. La
contrainte pédagogique est un moyen d’ajouter suffisamment d’informations dansles preuves afin de résoudre ce problème. L’étude de ce calcul, dans le chapitre suivant, va nous permettre d’éprouver la contrainte pédagogique et en plus de déduire
les règles pédagogiques régissant la conjonction, la disjonction et l’existence car ces
trois opérateurs logiques sont définissables au second ordre.

16

Chapitre 2
Calculs propositionnels
pédagogiques du second ordre
2.1

Rappels sur le calcul propositionnel du second ordre

Le calcul propositionnel intuitionniste du second ordre porte sur l’implication etle quantification universelle des variables propositionnelles. Son apparente simplicité cache une grande expressivité ; on peut y définir la conjonction, la disjonction,le quantificateur existentiel et la négation ; c’est un calcul indécidable, donc trèscomplexe. Nous allons tenter de le pédagogiser.
Comme toujours, on définit les formules en premier :Définition 2.1.1. Les formules propositionnelles du second ordre, que nous appelons formules dans ce chapitre en l’absence d’ambiguı̈té, sont définies par récurrence comme suit :– la constante propositionnelle > (la formule vraie) est une formule ;– les variables propositionnelles α, β, γ, . . . sont des formules ;– si A et B sont des formules, alors A → B est une formule ;– si α est une variable propositionnelle et A est une formule, alors ∀α.A est
une formule.
On note F l’ensemble des formules et V l’ensemble des variables propositionnelles.
Afin d’alléger l’écriture des formules, nous écrivons A → B → C les formules de laforme A → (B → C). De même, nous écrivons ∀α.A → B les formules de la forme∀α.(A → B).
Puis on définit les ensembles d’hypothèses, c’est-à-dire les contextes :17

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordreDéfinition 2.1.2. Un contexte propositionnel du second ordre est un ensemble
fini de formules, et dans ce chapitre nous les appelons contextes. Un jugement propositionnel du second ordre est un triplet noté Γ `2id F , avec Γ un contexte, F une
formule et id un identifiant textuel. Dans ce chapitre, les jugements propositionnels
du second ordre sont appelés jugements.
Le contexte vide est représenté par le mot vide ; ainsi, pour toute formule F ettout identifiant id, le jugement ∅ `2id F s’écrit également `2id F . De plus, pour
tous contextes Γ et ∆, le contexte Γ ∪ ∆ est noté Γ, ∆. En particulier, pour toute
formule A, le jugement Γ ∪ {A} `2id F est noté Γ, A `2id F .
Dans une formule, chaque quantificateur lie une variable à une formule, demanière à ce que cette variable n’ait d’occurrences significatives qu’à l’intérieurde la formule sous le quantificateur : toute occurrence de la variable quantifiée à
l’extérieur de la formule sous le quantificateur correspond à une variable distincte,l’identité des symboles étant considéré comme un hasard syntaxique. Nous allons
introduire les définitions permettant de distinguer les variables quantifiées desvariables non quantifiées :Définition 2.1.3. Pour toute formule F , l’ensemble Vl(F ) des variables libres deF est un ensemble de variables propositionnelles défini par récurrence sur F :F = > : Vl(F ) = ∅ ;F = α : Vl(F ) = {α} ;F = A → B : Vl(F ) = Vl(A) ∪ Vl(B) ;F = ∀α.A : Vl(F ) = Vl(A) \ {α}.
S
Par extension, pour tout contexte Γ nous notons Vl(Γ) l’ensemble G∈Γ Vl(G).
Quand Vl(F ) = ∅, nous disons que la formule F est close.
Définition 2.1.4. Pour toute formule F , l’ensemble Vq(F ) des variables quantifiées de F est un ensemble de variables propositionnelles défini par récurrence
sur F :
F = > : Vq(F ) = ∅ ;F = α : Vq(F ) = ∅ ;F = A → B : Vq(F ) = Vq(A) ∪ Vq(B) ;F = ∀α.A : Vq(F ) = {α} ∪ Vq(A).
Le propre d’une variable quantifiée universellement est de représenter de manière uniforme n’importe quelle formule. Nous avons donc besoin de substitutions :Définition 2.1.5. Une substitution σ est une fonction de domaine fini Dom(σ) àvaleurs dans l’ensemble des formules.
Pour toute substitution σ, on note Vl(σ) l’union des ensembles Vl(σ(α)) pour toutα ∈ Dom(σ).
182.1 Rappels sur le calcul propositionnel du second ordre
Chaque variable devra pouvoir être substituée à une formule du moment qu’il
n’y a aucune confusion entre les variables libres et les variables quantifiées ; ainsichaque substitution devra être adaptée à la formule à laquelle elle est appliquée :Définition 2.1.6. Pour toute substitution σ et pour toute formule F , on dit que
σ est adaptée à F quand l’ensemble Vl(σ) ∩ Vq(F ) est vide.
Définition 2.1.7. Pour toute formule F et pour toute substitution σ adaptée à F ,l’application de σ à F , notée σ·F , est définie par récurrence sur F comme suit :F = > : σ·F = >;σ(α) si α ∈ Dom(σ) ;F = α : σ·F =α sinon ;F = A → B : σ·F = σ·A → σ·B ;F = ∀α.A : σ·F = ∀α.σ\α ·A.
Pour éviter toute confusion, nous écrivons µ·σ·F les applications de substitutions
de la forme µ·(σ·F ). Pour alléger la manipulation des applications de substitutions,nous introduisons une fonction de composition des substitutions :Lemme 2.1.1. Soient F une formule, σ une substitution adaptée à F et µ une
substitution adaptée à σ ·F . Notons µ σ la substitution [µ·σ; µ|(Dom(µ)\Dom(σ)) ] ;alors µ·σ·F = µ σ·F .
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : nous avons µ·σ·> = > et > = µ σ·>, donc µ·σ·> = µ σ·> ;F = α : trois cas se présentent :– α ∈ Dom(σ) : nous avons α 6∈ Dom(µ) \ Dom(σ), donc µ·σ ·α = µ σ ·α
par définition de ;– α ∈ Dom(µ)\Dom(σ) : nous avons α 6∈ Dom(σ), donc σ·α = α, µ·σ·α = µ·α
et ainsi µ·σ·α = µ σ·α par définition de ;– α 6∈ Dom(µ) ∪ Dom(σ) : nous avons µ·σ·α = α et Dom(µ σ) = Dom(µ) ∪Dom(σ), donc µ σ·α = α et ainsi µ·σ·α = µ σ·α ;F = A → B : par hypothèse de récurrence nous avons µ · σ · A = µ σ · A etµ·σ·B = µ σ·B, donc µ·σ·(A → B) = µ σ·(A → B) ;F = ∀α.A : deux cas se présentent :– α ∈ Dom(µ σ) : nous avons µ·σ ·∀α.A = ∀α.A et µ σ ·∀α.A = ∀α.A,
donc µ·σ·∀α.A = µ σ·∀α.A ;– α 6∈ Dom(µ σ) : nous avons µ·σ·∀α.A = ∀α.µ·σ·A, et par hypothèse derécurrence nous avons µ·σ·A = µ σ·A, donc µ σ·∀α.A = ∀α.µ σ·A ;ainsi µ·σ·∀α.A = µ σ·(∀α.A).

19

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
Il est fréquent d’avoir recours à des variables libres de toute contrainte, qui nesont ni quantifiées et qui n’ont aucune propriété imposée ; de telles variables sontdites fraı̂ches :Définition 2.1.8. Une variable fraı̂che pour une formule F est une variable n’apparaissant pas dans F . Par extension, une variable fraı̂che pour un ensemble deformules Γ est une variable fraı̂che pour chacun des éléments de Γ. L’ensemble desvariables fraı̂ches d’un contexte Γ est noté Fr(Γ).
Les variables liées sont destinées à représenter n’importe quelle formule ; ainsi
leur nom importe peu ; on est même parfois obligé de les renommer pour éviter
qu’elle ne prennent le nom de variables libres. Pour pouvoir librement renommer
les variables liées d’une formule, on introduit la relation d’α-équivalence ; deux formules sont α-équivalentes quand elles ne diffèrent que par le nom de leurs variables
liées :Définition 2.1.9. Pour toutes formules A et B, la relation d’α-équivalence entre
A et B, notée A =α B, est définie par les règles suivantes :> =α >α =α α(α> )(αvar )A =α A0 B =α B 0(α→ )A → B = α A0 → B 0[α\γ]·A =α [β\γ]·B γ ∈ Fr(A, B)(α∀ )∀α.A =α ∀β.B
Quand la relation A =α B est vérifiée, on dit que les formules A et B sont αéquivalentes.
Enfin, nous définissons les règles de déduction du calcul propositionnel intuitionniste du second ordre :Définition 2.1.10. Le calcul propositionnel du second ordre, abrégé en CP2 , estdéfini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2 F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles suivantes :Γ `2 >
20(Ax)

2.2 Calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogiqueΓ, F `2 F
Γ, A `2 B(→i )Γ `2 A → B(Hyp)Γ `2 A → B Γ `2 A(→e )
Γ `2 BΓ `2 A α 6∈ Vl(Γ)(∀i )Γ `2 ∀α.AΓ `2 ∀α.A(∀e )Γ `2 [α\U ]·AΓ ` 2 A A =α B(=α )Γ `2 BOn dit qu’un jugement Γ `2 F est dérivable quand il existe une dérivation dans
CP2 dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.

2.2

Calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogique

2.2.1

Présentation du calcul

L’étude du calcul CPM dans le chapitre précédent nous a permis de dégager
une méthode de pédagogisation : remplacer les règles (Ax) et (Hyp) par les règles(P-Ax) et (P-Hyp) ; nous allons appliquer directement cette méthode au calcul
CP2 :Définition 2.2.1. Le calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogique, abrégé en F-CP2 , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2f F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (→i ), (→e ), (∀i ), (∀e ) et (=α ), ainsi que des deux règles
suivantes :`2f σ·Γ(P-Ax)
Γ `2f >F ∈ Γ `2f σ·Γ(P-Hyp)Γ `2f FOn dit qu’un jugement Γ `2f F est dérivable quand il existe une dérivation dans
F-CP2 dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
La contrainte pédagogique n’est pas toujours facile à utiliser quand on n’y est
pas habitué ; c’est pourquoi nous proposons un exemple simple de dérivation dans
F-CP2 :
Exemple. dérivation du jugement `2f ∀α.(∀β.β → α) → α :21

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre1) `2f > par (P-Ax) ;2) β `2f > par (P-Ax) et 1 ;3) `2f β → > par (→i ) et 2 ;4) `2f ∀β.β → > par (∀i ) et 3 ;5) ∀β.β → α `2f ∀β.β → α par (P-Hyp) et 4 ;6) ∀β.β → α `2f > → α par (∀e ) et 5 ;7) ∀β.β → α `2f > par (P-Ax) et 4 ;8) ∀β.β → α `2f α par (→e ), 6 et 7 ;9) `2f (∀β.β → α) → α par (→i ) et 8 ;10) `2f ∀α.(∀β.β → α) → α par (∀i ) et 9.
L’objet indispensable pour un système pédagogique est la motivation, que nousdéfinissons de suite :Définition 2.2.2. Soit C un calcul dont la morphologie est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2id F . Pour tout contexte ∆, une motivationde ∆ dans C est une substitution σ telle que les jugements `2id σ·Γ soient dérivables.
Quand un contexte admet une motivation dans C, on dit qu’il est motivable dans C.
De plus, une motivation d’une formule F dans C est une motivation du singleton{F } dans C.
La première question qui vient à l’esprit concerne la nature des motivations :sont-elles composées de formules closes ou non ? Intuitivement, une substitution
close correspond à un exemple concret, entièrement déterminé, comme par exemple
un numéral en arithmétique : 0, 1, 2... Au contraire, une substitution ouverte
représente un exemple générique n’étant pas suffisamment contraint pour représenter un objet unique ; dans le cas de l’arithmétique, un tel exemple pourrait correspondre à la donnée d’un entier pair quelconque. Il est légitime de se demander si
une formule motivable par une substitution ouverte peut toujours être motivée parune substitution close qui préciserait l’exemple, comme on peut toujours choisir unnuméral divisible par 2, par exemple 12, pour compléter une motivation consistanten la donnée d’un entier pair quelconque. Pouvoir toujours compléter les motivations incomplètes est une propriété souhaitable ; nous démontrons ci-dessous que
F-CP2 possède cette propriété :Lemme 2.2.1. Pour toute formule F , si σ est une motivation de F dans F-CP2 ,alors pour toute substitution µ adaptée à σ·F la substitution µ σ est une motivation
de F dans F-CP2 .
Démonstration. Par récurrence sur n le nombre d’éléments de l’ensemble Vl(σ·F ) :n = 0 : dans ce cas la formule F est close, donc µ σ ·F = σ ·F ; le jugement`2f σ·F est dérivable par hypothèse, donc le jugement `2f µ σ·F est dérivable ;22

2.2 Calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogiquen = n0 + 1 : soient W l’ensemble à n0 éléments et α la variable tels que Vl(σ ·F ) = W ∪ {α} ; par hypothèse le jugement `2f σ · F est dérivable, et nousdérivons le jugement `2f ∀α.σ·F par la règle (∀i ) ; par hypothèse de récurrence
le jugement `2f µ|W ·(∀α.σ ·F ) est dérivable, et nous avons µ|W ·(∀α.σ ·F ) =∀α.µ|W σ·F car α 6∈ W par définition ; finalement nous dérivons le jugement`2f µ σ·F par la règle (∀e ).

2.2.2

Non-nullité syntaxique des jugements

Dans [31], Nelson introduit le concept d’implication nulle : une implication
A → B est nulle quand la formule A est fausse quel que soit l’instanciation de ses
variables libres. Dans le cas contraire, l’implication est dite non-nulle. La nullité
est principalement un concept sémantique car il fait intervenir la notion de vérité.
Comme nous travaillons dans un contexte purement syntaxique, nous introduisonsle concept d’implication syntaxiquement nulle : une implication A → B est syntaxiquement nulle quand la formule A n’est pas motivable ; dans le cas contraire,l’implication est syntaxiquement non-nulle. La non-nullité est une propriété trèsforte qui n’est évidemment pas toujours vérifiée ; en particulier, le calcul F-CP2
admet des occurrences d’implications nulles dans certaines dérivations :Exemple. dérivation du jugement `2f (∀α.α) → (∀α.α) :1) `2f > par (P-Ax) ;2) β `2f β par (P-Hyp) et 1 ;3) `2f β → β par (→i ) et 2 ;4) `2f ∀β.β → β par (∀i ) et 3 ;5) `2f (∀α.α) → (∀α.α) par (∀e ) et 4.
La formule ∀α.α, définissant l’absurde dans CP2 , n’est évidemment pas motivable
car CP2 est un calcul cohérent ; l’implication (∀α.α) → (∀α.α) est donc nulle dans
F-CP2 ; elle l’est également dans CP2 . Comme ∀α.α est une formule close, ellen’est pas motivable ; donc l’implication (∀α.α) → (∀α.α) est aussi syntaxiquement
nulle.
La propriété de nullité des jugements est définissable de la même manière quela nullité des implications : un jugement Γ ` F est nul quand la conjonction desformules de Γ est fausse quel que soit l’instanciation de ses variables libres. Demême, le jugement Γ ` F est syntaxiquement nul quand le contexte Γ n’est pas
motivable. Nous allons démontrer que dans F-CP2 , tous les jugements apparaissantdans les dérivations sont non-nuls. Définissons d’abord formellement la non-nullité
des jugements :Définition 2.2.3. Soit C un calcul dont la morphologie est constitué par l’ensemble
23Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
des jugements de la forme Γ `2id F . Un jugement Γ `2id F est syntaxiquement nonnul quand son contexte Γ est motivable dans C.
On prouve maintenant la non-nullité des jugements dérivables dans F-CP2 :Lemme 2.2.2. Pour tout jugement Γ `2f F dérivable, le contexte Γ est motivabledans F-CP2 .
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `2f F , les cas des règles (→e ),(∀i ), (∀e ) et (=α ) étant analogues :`2f σ·Γ(P-Ax) : σ est une motivation de Γ dans F-CP2 ;Γ `2f >F ∈ Γ `2f σ·Γ(P-Hyp) : cas analogue à (P-Ax) ;Γ `2f F
Γ, A `2f B(→i ) : par hypothèse de récurrence le contexte Γ ∪ {A} est moΓ `2f A → B
tivable dans F-CP2 , donc Γ est motivable dans F-CP2 ;Γ `2f A → B Γ `2f A(→e ) : par hypothèse de récurrence le contexte Γ estΓ `2f B
motivable.
La non-nullité d’un jugement Γ ` F ne concerne que le contexte Γ ; mais on
peut montrer que la motivation de Γ constitue par déduction une motivation deF :Lemme 2.2.3. Pour tout jugement Γ `2f F dérivable et pour toute substitution σadaptée à Γ, si les jugements `2f σ·Γ sont dérivables alors le jugement `2f σ·F est
dérivable.
Démonstration. Posons Γ = {F1 . . . Fn } et Dom(σ) = {α1 . . . αm }. Nous dérivons
le jugement `2f F1 → . . . → Fn → F par applications successives de la règle(→i ). Puis nous dérivons le jugement `2f ∀α1 . . . ∀αm .F1 → . . . → Fn → F parapplications successives de la règle (∀i ). Puis nous dérivons le jugement `2f σ·F1 →. . . → σ·Fn → σ·F par applications successives de la règle (∀e ). Enfin, nous dérivons
le jugement `2f σ·F par applications successives de la règle (→e ).
Ainsi, tout jugement Γ `2f F dérivable, en plus de sa non-nullité, admet une propriété plus forte : les formules dans Γ ainsi que F sont motivables par la même
motivation :Proposition 2.2.4. Pour tout jugement Γ `2f F dérivable, l’ensemble Γ ∪ {F } est
motivable dans F-CP2 . En particulier, Γ `2f F est syntaxiquement non-nul.
Démonstration. D’après le lemme 2.2.2 le contexte Γ est motivable dans F-CP2 ,et donc d’après le lemme 2.2.3 la formule F est motivable dans F-CP2 .
24

2.2 Calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogique

2.2.3

La règle d’affaiblissement

Dans le calcul F-CP2 , la règle usuelle d’affaiblissement :Γ `2 F(Aff)Γ, U `2 F
n’est plus dérivable car la formule U ajoutée au contexte Γ n’est pas forcément
motivable, par exemple quand U = ∀α.α. Même dans le cas où U est une formule
motivable, le nouveau contexte Γ ∪ {U } ne l’est pas forcément, par exemple quandΓ = {> → α} et U = α → ⊥, comme l’atteste le lemme suivant :Lemme 2.2.5. Le jugement > → α `2f α est dérivable et la formule α → ⊥ est
motivable dans F-CP2 , mais le jugement > → α, α → ⊥ `2f α n’est pas dérivable.
Démonstration. Voici la dérivation du jugement > → α `2f α :1) `2f > par (P-Ax) ;2) > `2f > par (P-Ax) et 1 ;3) `2f > → > par (→i ) et 2 ;4) > → α `2f > → α par (P-Hyp) et 3 ;5) > → α `2f > par (P-Ax) et 3 ;6) > → α `2f α par (→e ), 4 et 5.
La formule α → ⊥ est motivable dans F-CP2 car le jugement `2f ⊥ → ⊥ estdérivable. Supposons que le jugement > → α, α → ⊥ `2f α soit dérivable. Le
contexte {> → α, α → ⊥} est motivable dans F-CP2 d’après la proposition 2.2.4.
Soit [α ← U ] une motivation de {> → α, α → ⊥} dans F-CP2 ; les jugements`2f > → U et `2f U → ⊥ sont dérivable, donc le jugement `2f > → ⊥ est dérivable,
ce qui est absurde compte tenu de la consistance de F-CP2 .
On peut dériver des règles d’affaiblissements dans F-CP2 , mais elles doivent prendre en compte la contrainte pédagogique, comme toutes les règles manipulant lecontexte des jugements. Nous proposons en remplacement de la règle (Aff) la règle
d’affaiblissement faiblement pédagogique (F-Aff) :Γ `2f F `2f σ·(Γ, U )(F-Aff)Γ, U `2f F
et nous allons démontrer qu’elle est dérivable dans F-CP2 . Dans ce but, nous
prouvons ci-dessous une propriété des contextes motivables séparément ; si Γ et ∆sont deux contexte motivables séparément, le contexte Γ ∪ ∆ est motivable dèsque leurs ensembles respectifs de variables libres sont disjoints ; dans ce cas, onpeut toujours dériver Γ, ∆ `2f F à partir d’une dérivation de Γ `2f F quand ∆ nepartage aucune variable libre avec Γ et F :25

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
Lemme 2.2.6. Pour tout jugement Γ `2f F dérivable et pour tout contexte ∆motivable dans F-CP2 par une substitution µ, si Vl(Γ, F ) ∩ Vl(∆) = ∅ alors lejugement Γ, ∆ `2f F est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `2f F , les seuls cas nonimmédiats étant ceux des règles (P-Ax), (P-Hyp) et (∀i ) :`2f σ·Γ(P-Ax) : par hypothèse nous avons Vl(Γ) ∩ Vl(∆) = ∅ ; donc les juΓ `2f >gements `2f [σ|Vl(Γ) ; µ|Vl(∆) ]·Γ et `2f [σ|Vl(Γ) ; µ|Vl(∆) ]·∆ sont dérivables, et ainsi
nous dérivons le jugement Γ, ∆ `2f F par la règle (P-Ax) ;F ∈ Γ `2f σ·Γ(P-Hyp) : ce cas est analogue à (P-Ax) ;Γ `2f FΓ `2f A α 6∈ Vl(Γ)(∀i ) : par hypothèse de récurrence, le jugement Γ, ∆ `2f A
Γ `2f ∀α.A
est dérivable ; par hypothèse, nous avons Vl(A) ∩ Vl(∆) = ∅ ; donc α 6∈Vl(Γ, ∆) ; ainsi on dérive le jugement Γ, ∆ `2f ∀α.A par la règle (∀i ).
On peut alors prouver la validité de la règle (F-Aff) dans F-CP2 :Proposition 2.2.7. Pour tout jugement Γ `2f F dérivable et pour toute formule U
telle que Γ ∪ {U } soit motivable dans F-CP2 , le jugement Γ, U `2f F est dérivable.
Démonstration. Nous dérivons le jugement `2f Γ → F par la règle (→i ). Définissons
la substitution µ comme étant un renommage des variables contenues dans l’ensemble Vl(Γ, F ) telle que nous ayons une dérivation du jugement `2f µ·(Γ → F )dans laquelle aucune des variables contenues dans Vl(Γ, U ) n’apparaisse. Posons
Dom(µ) = {α1 , · · · , αn } et βi = µ·αi pour tout i ∈ {1, · · · , n} :1) Γ, U `2f µ · (Γ → F ) d’après le lemme 2.2.6 ;2) Γ, U `2f ∀β1 . · · · ∀βn .µ · (Γ → F ) par (∀i ) et 1 ;3) Γ, U `2f Γ → F par (∀e ) et 2 ;4) Γ, U `2f Γ par (P-Hyp) sachant que Γ ∪ {U } est motivable dans F-CP2 ;5) Γ, U `2f F par (→e ), 3 et 4.

2.2.4∀α.α ne définit pas l’absurde

On sait, grâce à la proposition 2.2.4, que certains jugements dérivables dans
CP2 ne sont pas dérivables dans F-CP2 , par exemple le jugement ∀α.α `2f ∀α.α
car la formule ∀α.α n’est pas motivable. Mais on ne sait pas encore si on peut
prouver ou non tous les théorèmes de CP2 dans F-CP2 . C’est pourquoi nous allons
exhiber un théorème de CP2 qui n’est pas prouvable dans F-CP2 . Nous allons en
26

2.2 Calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogiquefait démontrer un résultat plus fort en caractérisant dans F-CP2 le comportement
de la constante ⊥ définie par la formule ∀α.α.
Notation 2.2.1. La formule ∀α.α est notée ⊥. Pour toute formule F , la formule
F → ⊥ est appelée la négation de F et elle est notée ¬F .
Nous comptons mettre en évidence l’impossibilité de faire de ⊥ une formule absurde dans F-CP2 , en montrant qu’on peut la remplacer par une variable fraı̂chedans toutes les dérivations. Pour cela, nous définissons une transformation qui
remplace dans chaque formule les occurrences de la formule ⊥ par une variablefraı̂che :Définition 2.2.4. Pour toute formule F et pour toute variable γ fraı̂che pour F ,nous définissons la formule Fγ par récurrence sur F :F = > : Fγ = > ;F = α : Fγ = α ;F = A → B : Fγ =
 Aγ → Bγ ;γ si A = α ;F = ∀α.A : Fγ =∀α.Aγ sinon.
La preuve du résultat attendu sera faite par récurrence sur les dérivations ; pourtraiter le cas de la règle (∀e ), nous avons besoin d’un lemme de substitution :Lemme 2.2.8. Pour toutes formules F et U , et pour toute variable γ fraı̂che pourF et U , si la substitution [β\U ] est adaptée à F alors ([β\U ]·F )γ = [β\Uγ ]·Fγ .
Démonstration. La substitution [β\Uγ ] est adaptée à Fγ quand [β\U ] est adaptéeà F car Vl(U ) ∩ Vq(F ) = Vl(Uγ ) ∩ Vq(Fγ ). Nous démontrons maintenant le lemmepar récurrence sur F :F = > : nous avons ([β\U ]·>)γ = > et > = [β\Uγ ]·>γ , donc ([β\U ]·>)γ =[β\Uγ ]·>γ ;F = α : deux cas se présentent :– α = β : nous avons ([β\U ]·α)γ = Uγ et [β\Uγ ]·αγ = Uγ , donc ([β\U ]·α)γ =[β\Uγ ]·αγ ;– α 6= β : nous avons ([β\U ]·α)γ = α et [β\Uγ ]·αγ = α, donc ([β\U ]·α)γ =[β\Uγ ]·αγ ;F = A → B : par hypothèse de récurrence nous avons ([β\U ]·A)γ = [β\Uγ ]·Aγet ([β\U ]·B)γ = [β\Uγ ]·Bγ , donc ([β\U ]·(A → B))γ = [β\Uγ ]·(Aγ → Bγ ) ; pardéfinition (A → B)γ = Aγ → Bγ , donc ([β\U ]·(A → B))γ = [β\Uγ ]·(A →B)γ ;F = ∀α.A : deux cas se présentent :– A = α : nous avons ∀α.A = ⊥, ([β\U ]·⊥)γ = γ et [β\Uγ ]·⊥γ = γ, donc([β\U ]·∀α.A)γ = [β\Uγ ]·(∀α.A)γ ;27

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre– A 6= α : deux cas sont à considérer :– α = β : nous avons ([β\U ] · ∀α.A)γ = ∀α.A)γ et [β\Uγ ] · (∀α.A)γ =(∀α.A)γ , donc ([β\U ]·∀α.A)γ = [β\Uγ ]·(∀α.A)γ ;– α 6= β : nous avons ([β\U ]·∀α.A)γ = ∀α.([β\U ]·A)γ , et par hypothèse derécurrence nous avons ([β\U ]·A)γ = [β\Uγ ]·Aγ , donc ([β\U ]·∀α.A)γ =∀α.[β\Uγ ]·Aγ et ainsi ([β\U ]·∀α.A)γ = [β\Uγ ]·(∀α.A)γ .
De même, nous avons besoin du lemme suivant pour traiter le cas de la règle (=α ) :Lemme 2.2.9. Pour toutes formules F et G, si F =α G alors Fγ =α Gγ .
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de F =α G :> =α >(α> ) : par définition nous avons >γ = >, donc >γ =α >γ ;(αvar ) : par définition nous avons αγ = α, donc αγ =α αγ ;α =α αA = α A0 B = α B 0(α→ ) : par hypothèse de récurrence nous avons Aγ =α
A → B =α A0 → B 0
A0γ et Bγ =α Bγ0 , et par définition nous avons (A → B)γ = Aγ → Bγ et(A0 → B 0 )γ = A0γ → Bγ0 , donc (A → B)γ =α (A0 → B 0 )γ par la règle (α→ ) ;[α\δ]·A =α [β\δ]·B δ ∈ Fr(A, B)(α∀ ) : deux cas se présentent :∀α.A =α ∀β.B
– A = α : par hypothèse nous avons δ =α [β\δ] · B, donc [β\δ] · B = δet B = β ; ainsi (∀α.A)γ = γ et (∀β.B)γ = γ ; nous en déduisons que(∀α.A)γ =α (∀β.B)γ par la règle (αvar ) ;– A 6= α : par hypothèse de récurrence nous avons ([α\δ]·A)γ =α ([β\δ]·B)γ ,et d’après le lemme 2.2.8 nous avons ([α\δ]·A)γ = [α\δ]·Aγ et ([β\δ]·B)γ =[β\δ] · Bγ , donc ∀α.Aγ =α ∀β.Bγ par la règle (α∀ ) ; par définition nous
avons ∀α.Aγ = (∀α.A)γ et ∀β.Bγ = (∀β.B)γ , donc (∀α.A)γ =α (∀β.B)γ .
Le dernier lemme nécessaire à la preuve par récurrence concerne le cas des règles(P-Ax) et (P-Hyp) ; en effet, il nous faut garantir que la transformation substituant
les occurrences de la formule ⊥ ne produit pas des formules non motivables à partirde formules motivables :Lemme 2.2.10. Pour toute formule F et pour toute variable γ fraı̂che pour F , si
F est motivable dans F-CP2 alors Fγ est motivable dans F-CP2 .
Démonstration. Supposons que le jugement `2f σ · F est dérivable. Nous avons
F = [γ\⊥]·Fγ , donc le jugement `2f σ·[γ\⊥]·Fγ est dérivable. Ainsi Fγ est motivabledans F-CP2 par σ [γ\⊥].
28

2.2 Calcul propositionnel du second ordre faiblement pédagogique
On montre enfin que le remplacement de ⊥ par une variable fraı̂che dans les formules d’une dérivation produit une dérivation valide :Lemme 2.2.11. Pour tout jugement Γ `2f F dérivable, le jugement Γγ `2f Fγ estdérivable.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `2f F :`2f σ·Γ(P-Ax) : Γ est motivable dans F-CP2 , donc Γγ est motivable d’aprèsΓ `2f >le lemme 2.2.10 ; ainsi nous dérivons Γγ `2f >γ avec la règle (P-Ax) ;F ∈ Γ `2f σ·Γ(P-Hyp) : cas analogue à (P-Ax) ;Γ `2f F
Γ, A `2f B(→i ) : par hypothèse de récurrence Γγ , Aγ `2f Bγ est dérivable,Γ `2f A → B
ainsi nous dérivons Γγ `2f Aγ → Bγ par la règle (→i ) ; par définition Aγ →Bγ = (A → B)γ donc nous avons une dérivation de Γγ `2f (A → B)γ ;Γ `2f A → B Γ `2f A(→e ) : par hypothèse de récurrence Γγ `2f Aγ etΓ `2f BΓγ `2f (A → B)γ sont dérivables ; par définition Aγ → Bγ = (A → B)γdonc nous avons une dérivation de Γγ `2f Aγ → Bγ ; ainsi nous dérivons
Γγ `2f Bγ par la règle (→e ) ;Γ `2f A α 6∈ Vl(Γ)(∀i ) : deux cas se présentent :Γ `2f ∀α.A
– A = α : dans ce cas nous avons une dérivation du jugement Γ `2f ⊥,et d’après la proposition 2.2.4 le jugement `2f ⊥ est dérivable, ce qui est
absurde compte tenu de la concistance de F-CP2 ;– A 6= α : par hypothèse de récurrence le jugement Γγ `2f Aγ est dérivable,
et ainsi nous dérivons Γγ `2f ∀α.Aγ par application de la règle (∀i ) ; pardéfinition (∀α.A)γ = ∀α.Aγ , donc nous avons une dérivation deΓγ `2f (∀α.A)γ ;Γ `2f ∀α.A(∀e ) : par hypothèse de récurrence le jugement Γγ `2f (∀α.A)γΓ `2f [α\U ]·A
est dérivable ; deux cas se présentent :– A = α : dans ce cas nous avons une dérivation de Γ `2f ⊥, ce qui est
absurde ;– A 6= α : par définition (∀α.A)γ = ∀α.Aγ ; ainsi nous avons une dérivationde Γγ `2f ∀α.Aγ et nous dérivons Γγ `2f [α\Uγ ]·Aγ avec la règle (∀e ) ; d’aprèsle lemme 2.2.8 nous avons ([α\U ]·A)γ = [α\Uγ ]·Aγ , donc nous avons unedérivation de Γγ `2f ([α\U ]·A)γ ;Γ `2f A A =α B(=α ) : par hypothèse de récurrence Γγ `2f Aγ est dérivable ;Γ `2f B
29

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordred’après le lemme 2.2.9 nous avons Aγ =α Bγ , et ainsi nous dérivons Γγ `2f Bγ
par la règle (=α ).
La proposition 2.2.11 traite des jugements ; cependant, on peut le restreindre en
un résultat sur les théorèmes :Proposition 2.2.12. Le jugement `2f F est dérivable si et seulement si le jugement`2f ∀γ.Fγ est dérivable.
Démonstration. Nous traitons séparément les deux sens de l’équivalence :⇒) cas immédiat par le lemme 2.2.11 ;⇐) supposons que le jugement `2f ∀γ.Fγ soit dérivable ; nous dérivons `2f [γ\⊥]·Fγ par la règle (∀e ), et comme [γ\⊥]·Fγ = F nous avons une dérivation de`2f F .
Comme la formule ⊥ peut toujours être remplacée par une variable fraı̂che, elle
perd complètement ce qui la distingue d’une constante indéfinie : on ne peut plus
prouver dans F-CP2 que ⊥ implique toutes les formules. En particulier, `2f ∀α.⊥ →α n’est pas un théorème de F-CP2 :Proposition 2.2.13. Le jugement `2f ∀α.⊥ → α n’est pas dérivable.
Démonstration. Supposons que le jugement `2f ∀α.⊥ → α soit dérivable. Le jugement `2f ∀γ.∀α.γ → α est dérivable d’après la proposition 2.2.11, ce qui est
absurde compte tenu de la consistance de F-CP2 .
Ce résultat peut paraı̂tre étonnant compte tenu de la dérivabilité de `2f ⊥ →∀α.α. On constate alors que la quantification universelle ne commute pas avec
l’implication : pour toutes formules F et G telles que α 6∈ Vl(G), la formule∀α.F → G n’est pas équivalente à la formule F → ∀α.G.
Même si ⊥ ne définit pas l’absurde dans F-CP2 , nous ne savons pas si il existe
une formule B telle que `2f ∀γ.B → γ. Si une telle formule existe, alors elle est
équivalente à la formule ∀α.> → α :1) `2f ∀α.B → α par hypothèse ;2) ∀α.β → α `2f ∀α.β → α par (P-Hyp) et 1 ;3) ∀α.β → α `2f β → γ par (∀e ) et 2 ;4) `2f (∀α.β → α) → β → γ par (→i ) et 3 ;5) `2f ∀β.(∀α.β → α) → β → γ par (∀e ) et 4 ;6) `2f (∀α.> → α) → > → γ par (∀e ) et 5 ;7) `2f (∀δ∀γ.(δ → > → γ) → (δ → γ aisément dérivable ;8) `2f (∀α.> → α) → γ par instantiation de 7, et 6 ;30

2.3 Calcul propositionnel pédagogique du second ordre9) `2f ∀γ.(∀α.> → α) → γ par (∀i ) et 8.
La méthode utilisée pour montrer que ∀α.α ne définit pas l’absurde ne peut malheureusement pas être appliquée à ∀α.> → α : contrairement à ∀α.α, la formule∀α.> → α est décomposable sous la forme [β\U ]·V , avec U 6= ∀α.> → α ; on apar exemple ∀α.> → α = [β\>]·∀α.β → α ; cela signifie que cette formule ne peut
pas être considérée comme un élément atomique du calcul.

2.3

Calcul propositionnel pédagogique du second ordre

2.3.1

Présentation du calcul

Nous avons constaté que le jugement `2f ⊥ → ⊥ est dérivable, ce qui est
gênant pour un système pédagogique. Il n’est pas souhaitable que des formules
non motivables puissent apparaı̂tre dans les formules des dérivations d’un calcul pédagogique. On remarque que la preuve de `2f ⊥ → ⊥ demande aux variables quantifiées de pouvoir être instanciées par des formules non motivables.
Pour éviter de rencontrer des sous-formules non motivables dans une dérivation, il
suffit de n’autoriser que l’instanciation des variables quantifiées par des formules
motivables. Ainsi, nous allons remplacer la règle (∀e ) par la règle (P-∀e ) :Γ `2p ∀α.A `2p σ·U(P-∀e )
Γ `2p [α\U ]·Aafin de définir le calcul propositionnel pédagogique du second ordre :Définition 2.3.1. Le calcul propositionnel pédagogique du second ordre, abrégé
en P-CP2 , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2p F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (P-Ax), (P-Hyp), (→i ), (→e ), (∀i ) et (=α ), ainsi que dela règle suivante :Γ `2p ∀α.A `2p σ·U(P-∀e )
Γ `2p [α\U ]·A
On dit qu’un jugement Γ `2p F est dérivable quand il existe une dérivation dans
P-CP2 dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.

2.3.2

Non-nullité syntaxique des implications

Dans F-CP2 , tous les jugements sont syntaxiquement non-nuls. Nous allons
montrer que dans P-CP2 , toutes les implications sont syntaxiquement non-nulles.
Formellement, on définit la non-nullité des implications comme suit :31

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordreDéfinition 2.3.2. Soit C un calcul dont la morphologie est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2id F . Une implication A → B est syntaxiquement non-nulle quand la formule A est motivable dans C.
Nous allons en fait prouver un résultat plus fort que la non-nullité syntaxique desimplications : la motivabilité de toutes les sous-formules des formules apparaissantdans une dérivation de P-CP2 . Toutes ces sous-formules sont de plus motivables parla même motivation, c’est-à-dire qu’il existe des motivations qui motivent toutes
les formules motivables ; il s’agit des motivations triviales, et les formules sont alors
dites héréditairement trivialement motivables :Définition 2.3.3. Soit C un calcul dont la morphologie est constitué par l’ensemble
des jugements de la forme Γ `2id F :– une substitution σ est triviale dans C quand le jugement `2id σ ·α est dérivable
pour toute variable α ∈ Dom(σ) ;– un contexte Γ est trivialement motivable (TM) dans C quand Γ est motivablepar une substitution triviale dans C ;– un contexte Γ est héréditairement trivialement motivable (HTM) dans C
quand l’ensemble de toutes les sous-formules des éléments de Γ est TM dansC.
Pour toute formule F , nous écrivons F> la formule F dans laquelle toutes lesvariables libres sont remplacées par >.
On montre tout d’abord dans les deux lemmes qui suivent que le calcul P-CP2
partage des propriétés avec F-CP2 :Lemme 2.3.1. Pour tout jugement Γ `2p F dérivable et pour toute substitution σtriviale dans P-CP2 adaptée aux éléments de Γ ∪ {F }, si σ est une motivation deΓ dans P-CP2 alors σ est une motivation de F dans P-CP2 .
Démonstration. La démonstration est analogue à celle du lemme 2.2.3. Quelquesprécautions doivent être prises lors de l’utilisation de la règle (P-∀e ) à la place dela règle (∀e ) : comme la substitution σ est supposée triviale dans P-CP2 , elle peutêtre utilisée sans danger lors de l’application de la règle (P-∀e ).
Lemme 2.3.2. Soit F une formule motivable dans P-CP2 par la substitution σ.
Pour toute substitution µ triviale dans P-CP2 , la substitution µ σ est une motivation de F dans P-CP2 .
Démonstration. La démonstration est analogue à celle du lemme 2.2.1. Quelquesprécautions doivent être prises lors de l’utilisation de la règle (P-∀e ) à la place dela règle (∀e ) : comme la substitution µ est supposée triviale dans P-CP2 , elle peutêtre utilisée sans danger lors de l’application de la règle (P-∀e ).
32

2.3 Calcul propositionnel pédagogique du second ordre
Puis on démontre que toute motivation triviale reste triviale quand on lui appliqueune motivation triviale, ce qui nous permettra de les compléter et éventuellement
de les rendre closes :Lemme 2.3.3. Pour toutes substitutions µ et σ triviales dans P-CP2 telles que µsoit adaptées aux formules σ ·α pour tout α ∈ Dom(σ), la substitution µ σ est
triviale dans P-CP2 .
Démonstration. Soit α une variable contenue dans Dom(σ). Par hypothèse, le jugement `2p σ·α est dérivable, et d’après le lemme 2.3.2 le jugement `2p µ σ·α est
dérivable. Ainsi la substitution µ σ est triviale dans P-CP2 .
De même que le calcul F-CP2 , le calcul P-CP2 permet de dériver la règle d’affaiblissement faiblement pédagogique (F-Aff) :Lemme 2.3.4. Pour tout jugement Γ `2p F dérivable et pour toute formule U telleque Γ ∪ {U } soit motivable dans P-CP2 , le jugement Γ, U `2p F est dérivable.
Démonstration. Analogue à la preuve de la proposition 2.2.7.
Pour montrer que toutes les motivations triviales motivent les formules motivables,
il faut pouvoir les substituer les unes aux autres ; pour cela, on démontre un lemme
permettant de remplacer dans une formule toute sous-formule prouvable par n’importe quelle formule prouvable :Lemme 2.3.5. Soit Γ ∪ {F } un ensemble de formules HTM dans P-CP2 . Pour
toutes substitutions σ et µ triviales dans P-CP2 et adaptées à F telles que
Dom(σ) = Dom(µ), si le jugement Γ `2p σ · F est dérivable alors le jugementΓ `2p µ·F est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : supposons que Γ `2p σ · > soit dérivable ; nous avons σ · > = > et
> = µ·>, donc nous avons une dérivation de Γ `2p σ·> ;F = α : supposons que Γ `2p σ·α soit dérivable ; deux cas se présentent :– α ∈ Dom(σ) : par hypothèse la substitution µ est triviale dans P-CP2 ,donc le jugement `2p µ · α est dérivable ; par hypothèse le contexte Γ est
motivable dans P-CP2 , donc le jugement Γ `2p µ·α est dérivable d’après lelemme 2.3.4 ;– α 6∈ Dom(σ) : dans ce cas nous avons une dérivation du jugement Γ `2p α ;par hypothèse Dom(σ) = Dom(µ), donc µ · α = α et nous avons unedérivation de Γ `2p µ·α ;33

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
F = A → B : supposons que le jugement Γ `2p σ ·(A → B) soit dérivable ; lecontexte Γ est HTM dans P-CP2 , donc il existe une substitution π triviale
qui motive Γ dans P-CP2 et d’après le lemme 2.3.3 la substitution π µ est
triviale dans P-CP2 ; la formule A est HTM dans P-CP2 , donc il existe une
substitution ρ triviale qui motive A dans P-CP2 , et d’après les lemmes 2.3.2
et 2.3.3 nous pouvons supposer les domaines Dom(π) et Dom(ρ) suffisamment grands pour que nous ayons Dom(ρ) = Dom(π µ) ; par hypothèse derécurrence sur le jugement `2p ρ·A le jugement `2p π µ·A est dérivable, donc
π motive l’ensemble Γ∪{µ·A} dans P-CP2 et ainsi nous dérivons le jugement
Γ, µ·A `2p σ·(A → B) à l’aide du lemme 2.3.4 ; le jugement Γ, µ·A `2p µ·A est
dérivable par la règle (P-Hyp), donc par hypothèse de récurrence le jugement
Γ, µ · A `2p σ · A est dérivable et ainsi nous dérivons Γ, µ·A `2p σ ·B par larègle (→e ) ; par hypothèse de récurrence Γ, µ·A `2p µ·B est dérivable, et ainsi
nous dérivons Γ `2p µ·(A → B) par la règle (→i ) ;F = ∀α.A : supposons que le jugement Γ `2p σ ·∀α.A soit dérivable ; deux cas
se présentent :– α ∈ Dom(σ) :– α 6∈ Dom(σ) : nous avons σ·∀α.A = ∀α.σ·A et nous dérivons alors Γ `2p σ·A
par la règle (P-∀e ) ; par hypothèse de récurrence le jugement Γ `2p µ·A est
dérivable et ainsi nous dérivons Γ `2p ∀α.µ · A par la règle (∀i ) ; nous avons
Dom(σ) = Dom(µ), donc µ · ∀α.A = ∀α.µ · A et ainsi nous avons unedérivation de Γ `2p µ·∀α.A.
La preuve que toutes les formules présentes dans les dérivations de P-CP2 sont
HTM se fera par récurrence sur les dérivations. Le lemme suivant nous permettra
de traiter les cas des règles (P-Ax), (P-Hyp) et (P-∀e ), qui sont les règles nécessitantde motiver le contexte de leurs prémisses :Lemme 2.3.6. Soient F une formule et σ une substitution adaptée à F . Si σ ·F
est HTM dans P-CP2 alors F est HTM dans P-CP2 .
Démonstration. Posons σ 0 = σ|Dom(σ)∩Vl(F ) ; ainsi nous avons σ ·F = σ 0 ·F . Soit G
une sous-formule de F . La formule σ 0 ·G est une sous-formule de σ 0 · F , donc σ 0 · G
est HTM : il existe une substitution triviale ρ telle que `2p ρ σ 0 ·G soit dérivable.
D’après le lemme 2.3.5 le jugement `2p τ|Dom(ρ) σ 0 · G est dérivable. D’après la
proposition 2.3.2 le jugement `2p τ
σ 0 · G est dérivable. Nous démontrons demanière analogue que le jugement `2p τ σ 0 ·α est dérivable pour toute variableα ∈ Dom(σ 0 ). Ainsi la substitution τ σ 0 est triviale. D’après le lemme 2.3.5 lejugement `2p τ ·G est dérivable, donc G est TM.
Le lemme suivant servira à traiter le cas de la règle (P-∀e ) :34

2.3 Calcul propositionnel pédagogique du second ordre
Lemme 2.3.7. Pour toutes formules U et F HTM dans P-CP2 , et pour toutevariable α telles que la substitution [α\U ] soit adaptée à F , la formule [α\U ]·F
est HTM dans P-CP2 .
Démonstration. Soit H une sous-formule de [α\U ]·F . Deux cas se présentent :– H est une sous-formule de U : la formule U est HTM donc H est TM ;– il existe une sous-formule G de F telle que H = [α\U ] · G : la formule U
est HTM donc il existe une substitution triviale ρ telle que le jugement`2p ρ·U soit dérivable. D’après le lemme 2.3.5 le jugement `2p τ|Dom(ρ) ·U est
dérivable. D’après la proposition 2.3.2 le jugement `2p U> est dérivable. Demême, le jugement `2p G> est dérivable. Posons µ = [α\U> ; τ|Vl(G)\{α} ]. La
substitution µ de domaine Vl(G) est triviale, donc d’après le lemme 2.3.5 lejugement `2p µ·G est dérivable. Nous avons µ·G = ([α\U ]·G)> , donc nous
avons une dérivation de `2p ([α\U ]·G)> . Ainsi la formule [α\U ]·G est TM.
Le cas de la règle (=α ) nécessite le lemme suivant :Lemme 2.3.8. Pour toutes formules F et G, et pour toute substitution σ adaptéeà F et G, si F =α G alors σ·F =α σ·G.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de F =α G :> =α >(α> ) : nous avons σ·> =α σ·> car la relation =α est réflexive ;(αvar ) : nous avons σ·α =α σ·α car la relation =α est réflexive ;α =α αA =α A 0 B =α B 0(α→ ) : par hypothèse de récurrence nous avons σ·A =α
A → B =α A0 → B 0
σ·A0 et σ·B =α σ·B 0 , et par définition nous avons σ·(A → B) = σ·A → σ·B
et σ ·(A0 → B 0 ) = σ ·A0 → σ ·B 0 , donc σ ·(A → B) =α σ ·(A0 → B 0 ) par larègle (α→ ) ;[α\γ]·A =α [β\γ]·B γ ∈ Fr(A, B)(α∀ ) : par hypothèse de récurrence nous
∀α.A =α ∀β.B
avons σ\{γ} ·[α\γ]·A =α σ\{γ} ·[β\γ]·B ;σ\{γ}[α\γ] = [α\σ\{γ} ·γ; σ\{γ,α} ]= [α\γ; σ\{γ,α} ]= [α\γ] σ\{γ,α}de même σ\{γ} [β\γ] = [β\γ] σ\{γ,β} , donc [α\γ]·σ\{γ,α}·A =α [β\γ]·σ\{γ,β}·B ;ainsi par la règle (α∀ ) nous obtenons ∀α.σ\{γ,α} · A =α ∀β.σ\{γ,β} · B ; parconséquent σ\{γ} · (∀α.A) =α σ\{γ} · (∀β.B), mais comme γ est une variablefraı̂che pour ∀α.A et ∀β.B nous avons σ·(∀α.A) =α σ·(∀β.B).
35

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre

Enfin, voici le lemme principal, celui qui démontre que toutes les formules contenues dans les dérivations de P-CP2 sont HTM :Proposition 2.3.9. Pour tout jugement Γ `2p F dérivable, l’ensemble Γ ∪ {F } est
HTM dans P-CP2 .
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `2p F :`2p σ·Γ(P-Ax) : Soit F 0 un élément de Γ ; par hypothèse de récurrence σ ·Γ `2p >
F 0 est HTM, donc d’après le lemme 2.3.6 la formule F 0 est HTM ; ainsi
l’ensemble Γ ∪ {>} est HTM ;F ∈ Γ `2p σ·Γ(P-Hyp) : le raisonnement est analogue à celui du cas (PΓ `2p FAx) ;Γ, A `2p B(→i ) : par hypothèse de récurrence l’ensemble Γ ∪ {A, B} estΓ `2p A → B
HTM, et la formule A → B est TM d’après la proposition 2.3.1 ;Γ `2p A → B Γ `2p A(→e ) : par hypothèse de récurrence l’ensembleΓ `2p BΓ ∪ {A, B} est HTM ;Γ `2p A α 6∈ Vl(Γ)(∀i ) : le raisonnement est analogue à celui du cas (→i ) ;Γ `2p ∀α.A
Γ `2p ∀α.A `2p σ·U(P-∀e ) : par hypothèse de récurrence σ · U est HTM,Γ `2p [α\U ]·A
donc d’après le lemme 2.3.6 la formule U est HTM ; par hypothèse de récurrence l’ensemble Γ ∪ {A} est HTM, donc d’après le lemme 2.3.7 la formule[α\U ] · A est HTM ;Γ `2p A A =α B(=α ) : par hypothèse de récurrence A est HTM, donc BΓ `2p Best HTM d’après le lemme 2.3.8.
Parmi toutes les motivations triviales, on distingue la motivation remplaçant toutes
les variables libres des formules par la constante >, qui représente la plus simple
des motivations triviales ; on l’appelle par abus de langage la motivation >. Elle
est déjà présente dans le chapitre 1 car dans P-CPM, toutes les formules sontmotivables par >. Le lemme 2.3.9 nous permet de montrer qu’il en est de mêmedans P-CP2 , à la différence que dans P-CP2 , il n’y a que les formules motivables
qui le sont par >, c’est-à-dire toutes les sous-formules des formules contenues dansles dérivations de P-CP2 :36

2.4 Définition des connecteurs logiques
Proposition 2.3.10. Pour tout jugement Γ `2p F dérivable, les jugements `2p G>
sont dérivables pour toute sous-formule G d’une formule appartenant à Γ ∪ {F }.
Démonstration. Soit G une sous-formule d’une formule dans Γ ∪ {F }. D’après la
proposition 2.3.9, la formule G est HTM dans P-CP2 : il existe une substitution
σ triviale dans P-CP2 telle que `2p σ ·G soit dérivable. D’après le lemme 2.3.5, lejugement `2p τ|Dom(σ)·G est dérivable. Par la proposition 2.3.2, `2p τ ·G est dérivable.
Ainsi `2p G> est dérivable.
Ce résultat nous permet d’affirmer, à l’instar de Heyting [20] mais pour des raisons
totalement différentes, que seules les propositions vraies apportent du sens dans les
logiques propositionnelles sans négation. On notera qu’à la différence de Heyting,nous pensons que les logiques propositionnelles sans négation ont un contenu trèsriche et sont aussi expressives que les logiques propositionnelles usuelles, ce quenous vérifierons dans la section 2.5.
Comme toutes les formules motivables sont motivables par une substitution
commune, par exemple la substitution >, la règle d’affaiblissement faiblementpédagogique peut être grandement simplifiée dans P-CP2 ; par conséquent, la règle
d’affaiblissement pédagogique (P-Aff) :Γ `2p F `2p σ·U(P-Aff)Γ, U `2p F
est dérivable dans P-CP2 .
Il nous semble important de remarquer que le calcul P-CP2 capture toutes les
propriétés démontrables usuellement dans le calcul usuel CP2 , même si la preuve
du résultat n’est pas d’une grande profondeur ; en effet, la notion de formule motivable est destinée à constituer la « bonne » notion de formules dans les systèmes
pédagogiques, puisque les formules non motivables sont totalement absentes detoute dérivation :Proposition 2.3.11. Pour toute formule close F HTM dans P-CP2 , le jugement`2 F est dérivable si et seulement si le jugement `2p F est dérivable.
Démonstration.
⇒) la formule F est close et HTM dans P-CP2 , donc `2p F est dérivable ;⇐) si `2p F est dérivable alors `2 F est dérivable.

2.4

Définition des connecteurs logiques

Dans CP2 , en tant que calcul du second ordre, la conjonction, a disjonction etl’existence sont définissables [35]. Il en est de même dans F-CP2 ; mais dans P-CP2 ,37

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
les règles régissant la disjonction sont altérées par la contrainte pédagogiques. Nous
allons exposer cela en détail pour chaque connecteur logique en reprenant leurdéfinition usuelle dans le cadre des calculs pédagogiques. Notons que la négation
est également définissable dans CP2 ; mais on ne peut pas l’exprimer dans le calcul
P-CP2 à cause de la non-nullité syntaxique des implications apparaissant dans lesdérivations. Dans F-CP2 , la situation est plus complexe car nous ignorons si oui
ou non une formule absurde y est définissable ; considérant la définition usuelle del’absurde à l’aide le la formule ∀α.α, la proposition 2.2.13 nous permet de répondre
par la négative dans ce cas particulier.

2.4.1

Conjonction

Nous allons prouver que les règles d’introduction et d’éliminations de la conjonction restent les mêmes dans F-CP2 et P-CP2 .
Définition 2.4.1. La conjonction A ∧ B des formules A et B est définie par laformule ∀γ.(A → B → γ) → γ, dans laquelle γ est une variable fraı̂che pour A et
B.
Règle d’introduction
Dans le cas de F-CP2 , la règle d’introduction de la conjonction est dérivable :Proposition 2.4.1. La règle

Γ `2f A Γ `2f B(∧i ) est valide dans F-CP2 .
Γ `2f A ∧ B

Démonstration. Supposons que les jugements Γ `2f A et Γ `2f B soient dérivables.
À l’aide de la proposition 2.2.4 le contexte Γ ∪ {A, B} est motivable dans F-CP2 .
1) Γ, A, B `2f > par (P-Ax) ;2) Γ, A, B `2f A → B → > par (→i ) et 1 ;3) Γ, A, B, A → B → γ `2f A → B → γ par (P-Hyp) et 2 ;4) Γ, A, B, A → B → γ `2f A par (P-Hyp) ;5) Γ, A, B, A → B → γ `2f B → γ par (→e ), 3 et 4 ;6) Γ, A, B, A → B → γ `2f B par (P-Hyp) ;7) Γ, A, B, A → B → γ `2f γ par (→e ), 5 et 6 ;8) Γ, A, B `2f (A → B → γ) → γ par (→i ) et 7 ;9) Γ, A, B `2f ∀γ.(A → B → γ) → γ par (∀i ) et 8 ;10) Γ `2f A → B → ∀γ.(A → B → γ) → γ par (→i ) et 9 ;11) Γ `2f A par hypothèse ;12) Γ `2f B → ∀γ.(A → B → γ) → γ par (→e ), 10 et 11 ;13) Γ `2f B par hypothèse ;14) Γ `2f ∀γ.(A → B → γ) → γ par (→e ), 12 et 13 ;38

2.4 Définition des connecteurs logiques15) Γ `2f A ∧ B

par définition et 14.

Il en est de même dans le cas de P-CP2 :Proposition 2.4.2. La règleΓ `2p A Γ `2p B(∧i ) est valide dans P-CP2 .
Γ `2p A ∧ B

Démonstration. Cette preuve est analogue à celle de la proposition 2.4.1.
Règles d’élimination
Dans le cas de F-CP2 , les règles d’éliminations de la conjonction sont dérivables ;on ne traite que le cas de la règle d’élimination gauche, la règle d’élimination droiteétant analogue :Proposition 2.4.3. La règle

Γ `2f A ∧ B(∧el ) est valide dans F-CP2 .
2
Γ `f ADémonstration. Supposons que le jugement Γ `2f A ∧ B soit dérivable. À l’aide dela proposition 2.2.4 le contexte Γ ∪ {A ∧ B} est motivable dans F-CP2 .
1) Γ `2f ∀γ.(A → B → γ) → γ par hypothèse ;2) Γ `2f (A → B → A) → A par (∀e ) et 1 ;3) Γ `2f > par (P-Ax) ;4) Γ, α, β `2f α par (P-Hyp) et 3 ;5) Γ `2f α → β → α par (→i ) et 4 ;6) Γ `2f ∀α.∀β.α → β → α par (∀i ) et 5 ;7) Γ `2f A → B → A par (∀e ) et 6 ;8) Γ `2f A par (→e ), 2 et 7.

Il en est de même dans le cas de P-CP2 :Proposition 2.4.4. La règleΓ `2p A ∧ B(∧el ) est valide dans P-CP2 .
Γ `2p ADémonstration. Cette preuve est analogue à celle de la proposition 2.4.3. Cependant, aux lignes 2 et 7, nous devons motiver dans P-CP2 les formules A et B pourappliquer la règle (P-∀e ) à la place de la règle (∀e ) ; mais A et B sont des formules
motivables dans P-CP2 d’après la proposition 2.3.9.
39

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre

2.4.2

Disjonction

Nous allons prouver que les règles d’introductions et d’élimination de la disjonction restent les mêmes dans F-CP2 . Cependant, même si la règle d’éliminationusuelle de la disjonction est valide P-CP2 , ce n’est pas le cas pour les règles d’introductions.
Définition 2.4.2. La disjonction A ∨ B des formules A et B est définie par laformule ∀γ.(A → γ) → (B → γ) → γ, dans laquelle γ est une variable fraı̂chepour A et B.
Règles d’introduction
Dans le cas de F-CP2 , les règles d’introductions de la disjonction sont dérivables ; on ne traite que le cas de la règle d’introduction gauche, la règle d’introduction droite étant analogues :Proposition 2.4.5. La règle

Γ `2f A(∨il ) est valide dans F-CP2 .
Γ `2f A ∨ B

Démonstration. Supposons que le jugement Γ `2f A soit dérivable. À l’aide de laproposition 2.2.4 le contexte Γ ∪ {A} est motivable dans F-CP2 .
1) Γ `2f > par (P-Ax) ;2) Γ, β `2f > par (P-Hyp) et 1 ;3) Γ `2f β → > par (→i ) et 2 ;4) Γ `2f ∀β.β → > par (∀i ) et 3 ;5) Γ `2f B → > par (∀e ) et 4 ;6) Γ `2f A → > par (∀e ) et 4 ;7) Γ, A → γ, B → γ, A `2f A → γ par (P-Hyp), 5 et 6 ;8) Γ, A → γ, B → γ, A `2f A par (P-Hyp), 5 et 6 ;9) Γ, A → γ, B → γ, A `2f γ par (→e ), 7 et 8 ;10) Γ, A `2f (A → γ) → (B → γ) → γ par (→i ) et 9 ;11) Γ, A `2f ∀γ.(A → γ) → (B → γ) → γ par (∀i ) et 10 ;12) Γ `2f A → ∀γ.(A → γ) → (B → γ) → γ par (∀i ) et 11 ;13) Γ `2f A par hypothèse ;14) Γ `2f ∀γ.(A → γ) → (B → γ) → γ par (→e ), 12 et 13 ;15) Γ `2f A ∨ B par définition et 14.
Dans le cas de P-CP2 , la règle usuelle ne fonctionne plus. Si du jugement Γ `2p A
on veut dériver le jugement Γ `2p A ∨ B, la proposition 2.3.10 impose à la formule B d’être motivable ; mais dans la règle usuelle, la formule B est arbitraire,éventuellement non motivable. Il faut alors altérer les règles d’introductions afin40

2.4 Définition des connecteurs logiquesde garantir que la formule introduite est motivable, ce que permettent les règlespédagogiques d’introduction de la disjonction (∨il ) et (∨ir ) :Proposition 2.4.6. La règleΓ `2p A `2p σ·B(P-∨il ) est valide dans P-CP2 .
Γ `2p A ∨ B

Démonstration. Cette preuve est analogue à celle de la proposition 2.4.5. Cependant, aux lignes 5 et 6, nous devons motiver dans P-CP2 les formules A et B pourappliquer la règle (P-∀e ) à la place de la règle (∀e ) ; mais A est une formule motivable dans P-CP2 d’après la proposition 2.3.9 et B est une formule motivable dans
P-CP2 par hypothèse.
Règle d’élimination
Dans le cas de F-CP2 , la règle d’élimination de la disjonction est dérivable :Proposition 2.4.7. La règle

Γ `2f A ∨ B

Γ, A `2f C
Γ `2f CΓ, B `2f C(∨e ) est valide

dans F-CP2 .
Démonstration. Supposons que les jugements Γ `2f A ∨ B, Γ, A `2f C et Γ, B `2f C
soient dérivables.
1) Γ, A `2f C par hypothèse ;2) Γ `2f A → C par (→i ) et 1 ;3) Γ, B `2f C par hypothèse ;4) Γ `2f B → C par (→i ) et 3 ;5) Γ `2f ∀γ.(A → γ) → (B → γ) → γ par hypothèse ;6) Γ `2f (A → C) → (B → C) → C par (∀e ) et 5 ;7) Γ `2f (B → C) → C par (→e ), 2 et 6 ;8) Γ `2f C par (→e ),4 et 7.
Il en est de même dans le cas de P-CP2 :Proposition 2.4.8. La règleΓ `2p A ∨ B

Γ, A `2p CΓ `2p CΓ, B `2p C(∨e ) est valide

dans P-CP2 .
Démonstration. Cette preuve est analogue à celle de la proposition 2.4.7. Cependant, à la ligne 6, nous devons motiver dans P-CP2 la formules C pour appliquer
la règle (P-∀e ) à la place de la règle (∀e ) ; mais C est une formule motivable dans
P-CP2 d’après la proposition 2.3.9.
41

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre

2.4.3

ExistenceTout comme la conjonction, le quantificateur existentiel est un opérateur sanshistoire dans les calculs F-CP2 et P-CP2 : les règles usuelles d’introduction etd’éliminations y sont dérivables.
Définition 2.4.3. Pour toute formule A, la formule ∃.A est définie par la formule∀γ.(∀.A → γ) → γ, dans laquelle γ est une variable fraı̂che pour A.
Règle d’introduction
Dans le cas de F-CP2 , la règle d’introduction du quantificateur existentiel est
dérivable :Proposition 2.4.9. La règle

Γ `2f [\U ]·A(∃i ) est valide dans F-CP2 .
Γ `2f ∃.A

Démonstration. Supposons que le jugement Γ `2f [\U ]·A est dérivable. À l’aide
de la proposition 2.2.4 le contexte Γ ∪ {[\U ] · A, A} est motivable dans F-CP2 .
1) Γ, [\U ]·A, A `2f > par (P-Ax) ;2) Γ, [\U ]·A `2f A → > par (→i ) et 1 ;3) Γ, [\U ]·A `2f ∀.A → > par (∀i ) et 2 ;4) Γ, [\U ]·A, ∀.A → γ `2f ∀.A → γ par (P-Hyp) et 3 ;5) Γ, [\U ]·A, ∀.A → γ `2f [\U ]·A → γ par (∀e ) et 4 ;6) Γ, [\U ]·A, ∀.A → γ `2f [\U ]·A par (P-Hyp) et 3 ;7) Γ, [\U ]·A, ∀.A → γ `2f γ par (→e ), 5 et 6 ;8) Γ, [\U ]·A `2f (∀.A → γ) → γ par (→i ) et 7 ;9) Γ, [\U ]·A `2f ∀γ.(∀.A → γ) → γ par (∀i ) et 8 ;10) Γ `2f [\U ]·A → ∀γ.(∀.A → γ) → γ par (→i ) et 9 ;11) Γ `2f [\U ]·A par hypothèse ;12) Γ `2f ∀γ.(∀.A → γ) → γ par (→e ), 10 et 11 ;13) Γ `2f ∃.A par définition et 12.
Il en est de même dans le cas de P-CP2 :Proposition 2.4.10. La règleΓ `2p [\U ]·A(∃i ) est valide dans P-CP2 .
Γ `2p ∃.A

Démonstration. Cette preuve est analogue à celle de la proposition 2.4.9. Cependant, à la ligne 5, nous devons motiver dans P-CP2 la formules U pour appliquer
la règle (P-∀e ) à la place de la règle (∀e ) ; mais U est une formule motivable dans
P-CP2 d’après la proposition 2.3.9.
42

2.5 Traductions
Règle d’élimination
Dans le cas de F-CP2 , la règle d’élimination du quantificateur existentiel est
dérivable :Proposition 2.4.11. La règle

Γ `2f ∃.A

Γ, A `2f C
Γ `2f C

 6∈ Vl(Γ, C)(∃e ) est va-

lide dans F-CP2 .
Démonstration. Supposons que les jugements Γ `2f ∃.A et Γ, A `2f C soientdérivables.
1) Γ `2f ∀γ.(∀.A → γ) → γ par hypothèse ;2) Γ `2f (∀.A → C) → C par (∀e ), 1 et  6∈ Vl(Γ, C) ;3) Γ, A `2f C par hypothèse ;4) Γ `2f A → C par (→i ) et 3 ;5) Γ `2f ∀.A → C par (∀i ) et 4 ;6) Γ `2f C par (→e ), 2 et 5.

Il en est de même dans le cas de P-CP2 :Proposition 2.4.12. La règleΓ `2p ∃.A

Γ, A `2p CΓ `2p C

 6∈ Vl(Γ, C)(∃e ) est va-

lide dans P-CP2 .
Démonstration. Cette preuve est analogue à celle de la proposition 2.4.11. Cependant, à la ligne 2, nous devons motiver dans P-CP2 la formules C pour appliquer
la règle (P-∀e ) à la place de la règle (∀e ) ; mais C est une formule motivable dans
P-CP2 d’après la proposition 2.3.9.

2.5

Traductions

Comparer l’expressivité respective de CP2 et des calculs pédagogiques n’est pas
immédiat puisque, d’après les propositions 2.2.13 et 2.3.10, il existe des théorèmesde CP2 qui ne sont pas prouvables dans F-CP2 ni dans P-CP2 . La contraintepédagogique change la signification des opérateurs logiques ; par exemple, la quantification universelle dans P-CP2 porte uniquement sur les formules motivables ;ces calculs ne partagent plus exactement les mêmes notions : il est alors nécessairede passer par l’intermédiaire d’une traduction pour les comparer.
43

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre

2.5.1

γ-traduction

Friedman [10] définit une traduction, la A-traduction, permettant entre autresde plonger le calcul propositionnel intuitionniste dans le calcul propositionnel minimal. Nous définissons ci-dessous la γ-traduction en nous inspirant du travail deFriedman pour plonger le calcul CP2 dans F-CP2 et P-CP2 . Notons que plonger
F-CP2 et P-CP2 dans CP2 est trivial puisque ces deux calculs pédagogiques sontdes restrictions du calcul intuitionniste.
Définition 2.5.1. Soit F une formule et γ une variable fraı̂che pour F . La γtraduction de F , notée F γ , est définie par récurrence sur F :F = > : Fγ = >;F = α : Fγ = α ∨ γ ;F = A → B : F γ = Aγ → B γ ;F = ∀α.A : F γ = ∀α.Aγ .
La γ-traduction doit préserver l’équivalence des formules par rapport aux dérivations ;en particulier, deux formules α-équivalentes doivent rester α-équivalentes après
traduction :Lemme 2.5.1. Pour toutes formules F et G, si F =α G alors F γ =α Gγ .
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de F =α G :> =α >(α> ) : par définition nous avons >γ = >, donc >γ =α >γ ;(αvar ) : par définition nous avons αγ = α ∨ γ, donc αγ =α αγ ;α =α αA = α A0 B = α B 0(α→ ) : par hypothèse de récurrence nous avons Aγ =α
A → B =α A0 → B 0
A0 γ et B γ =α B 0 γ , et par définition nous avons (A → B)γ = Aγ → B γ ainsique (A0 → B 0 )γ = A0 γ → B 0 γ ; donc (A → B)γ =α (A0 → B 0 )γ par la règle(α→ ) ;
[α\δ]·A =α [β\δ]·B δ ∈ Fr(A, B)(α∀ ) : par hypothèse de récurrence nous
∀α.A =α ∀β.B
avons ([α\δ]·A)γ =α ([β\δ]·B)γ . Par une récurrence immédiate sur A nous
avons ([α\δ]·A)γ = [α\δ]·Aγ ; de même nous avons ([β\δ]·B)γ = [β\δ]·B γ ;donc ∀α.Aγ =α ∀β.B γ par la règle (α∀ ) ; par définition nous avons ∀α.Aγ =(∀α.A)γ et ∀β.B γ = (∀β.B)γ , donc (∀α.A)γ =α (∀β.B)γ .
Pour plonger CP2 dans ses variantes pédagogiques, il faut que la γ-traduction
transforme toute formule en une formule motivables, ce que nous démontrons dansles deux lemmes suivant :44

2.5 Traductions
Lemme 2.5.2. Pour toute formule F et pour toute variable γ fraı̂che pour F , lejugement γ `2p F γ est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : le jugement γ `2p > est aisément dérivable ;F = α : le jugement γ `2p α ∨ γ est facilement dérivable ;F = A → B : par hypothèse de récurrence le jugement γ `2p B γ est dérivable.
Dérivons maintenant le jugement `2p [γ\>]·Aγ :1) γ `2p Aγ par hypothèse de récurrence ;2) `2p γ → Aγ par (→i ) et 1 ;3) `2p ∀γ.γ → Aγ par (∀i ) et 2 ;4) `2p > par (P-Ax) ;5) `2p > → [γ\>]·Aγ par (P-∀e ), 3 et 4 ;6) `2p [γ\>]·Aγ par (→e ), 4 et 5.
Ainsi Aγ est motivable dans P-CP2 ; et nous dérivons γ, Aγ `2p B γ avec larègle (P-Aff). Nous dérivons alors le jugement γ `2p (A → B)γ par applicationde la règle (→i ).
F = ∀α.A : par hypothèse de récurrence le jugement γ `2p Aγ est dérivable.
Nous avons γ 6= α car γ est une variable fraı̂che pour ∀α.A ; ainsi nousdérivons le jugement γ `2p (∀α.A)γ par application de la règle (∀i ).
Lemme 2.5.3. Pour toute formule F et pour toute variable γ fraı̂che pour F , lejugement `2p [γ\>]·F γ est dérivable.
Démonstration. Voici la dérivation du jugement `2p [γ\>]·F γ :1) γ `2p F γ par le lemme 2.5.2 ;2) `2p γ → F γ par (→i ) et 1 ;3) `2p ∀γ.γ → F γ par (∀i ) et 2 ;4) `2p > par (P-Ax) ;5) `2p > → [γ\>]·F γ par (P-∀e ), 3 et 4 ;6) `2p [γ\>]·F γ par (→e ), 4 et 5.
Pour que la γ-traduction soit compatible avec les règles (∀e ) et (P-∀e ), il fautqu’elle commute avec l’application des substitutions :Lemme 2.5.4. Soient F et U deux formules, Γ un contexte HTM et γ une variablefraı̂che pour Γ ∪ {F, U } distincte de α. Le jugement Γ `2p [α\U γ ]F γ est dérivablesi et seulement si le jugement Γ `2p ([α\U ]·F )γ est dérivable.
Démonstration. Notons µ la substitution [α\U ], et µγ la substitution [α\U γ ]. Nous
allons prouver le lemme par récurrence sur F :45

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
F = > : nous avons µγ ·>γ = > et (µ·>)γ = > ;F = β : deux cas se présentent :– β = α : nous avons (µ·α)γ = U γ et U γ·αγ = U γ ∨γ. Si Γ `2p U γ est dérivable
alors Γ `2p U γ ∨γ est dérivable. D’après le lemme 2.5.2, le jugement γ `2p U γ
est dérivable ; donc si Γ `2p U γ ∨γ est dérivable alors Γ `2p U γ est dérivable.
– β 6= α : nous avons (µ·β)γ = β γ et µγ ·β γ = β γ ;F = A → B : – supposons que le jugement Γ `2p µγ ·(A → B)γ soit dérivable.
La formule (µ · A)γ est motivable dans P-CP2 d’après le lemme 2.5.3 ; doncelle est HTM d’après la proposition 2.3.9.
1) Γ, (µ·A)γ `2p (µ·A)γ par (P-Hyp) ;2) Γ, (µ·A)γ `2p µγ ·Aγ par hypothèse de récurrence ;3) Γ, (µ·A)γ `2p µγ ·(A → B)γ par hypothèse ;4) Γ, (µ·A)γ `2p µγ ·Aγ → µγ ·B γ par définition ;5) Γ, (µ·A)γ `2p µγ ·B γ par (→e ), 2 et 4 ;6) Γ, (µ·A)γ `2p (µ · B)γ par hypothèse de récurrence ;7) Γ `2p (µ·A)γ → (µ·B)γ par (→i ) et 6 ;8) Γ `2p (µ · (A → B))γ par définition.
– supposons que le jugement Γ `2p (µ · (A → B))γ soit dérivable. Les formules U γ et Aγ sont motivables dans P-CP2 d’après le lemme 2.5.3 ; donc
elles sont HTM d’après la proposition 2.3.9. Ainsi la formule µγ · Aγ est
HTM d’après le lemme 2.3.7.
1) Γ, µγ ·Aγ `2p (µ·(A → B))γ par hypothèse ;2) Γ, µγ ·Aγ `2p (µ·A)γ → (µ·B)γ par définition ;3) Γ, µγ ·Aγ `2p µγ ·Aγ par (P-Hyp) ;4) Γ, µγ ·Aγ `2p (µ·A)γ par hypothèse de récurrence ;5) Γ, µγ ·Aγ `2p (µ·B)γ par (→e ), 2 et 4 ;6) Γ, µγ ·Aγ `2p µγ ·B γ par hypothèse de récurrence ;7) Γ `2p µγ ·Aγ → µγ ·B γ par (→i ) et 6 ;8) Γ `2p µγ ·(A → B)γ par définition.
F = ∀β.A : – supposons que le jugement Γ `2p µγ ·(∀β.A)γ soit dérivable.
1) Γ `2p µγ ·(∀β.A)γ par hypothèse ;2) Γ `2p µγ ·∀β.Aγ par définition ;3) Γ `2p µγ ·Aγ par (P-∀e ) et 2 ;4) Γ `2p (µ·A)γ par hypothèse de récurrence ;5) Γ `2p ∀β.(µ·A)γ par (∀i ) et 4.
Par α-équivalence nous pouvons supposer que β 6∈ Vl(U ). Nous avons alors∀β.(µ·A)γ = (µ·∀β.A)γ . Ainsi nous avons une dérivation deΓ `2p (µ·∀β.A)γ .
– Supposons que Γ `2p (µ·∀β.A)γ soit dérivable. Par α-équivalence nous pouvons supposer que β 6∈ Vl(Γ, U ). Nous avons alors ∀β.(µ·A)γ = (µ·∀β.A)γ .

46

2.5 Traductions1) Γ `2p (µ·∀β.A)γ par (P-Hyp) ;2) Γ `2p ∀β.(µ·A)γ par définition ;3) Γ `2p (µ·A)γ par (∀e ) et 2 ;4) Γ `2p µγ ·Aγ par hypothèse de récurrence ;5) Γ `2p µγ ·∀β.Aγ par (∀i ), 4 et β 6∈ Vl(Γ) ;6) Γ `2p µγ ·(∀β.A)γ par définition.
Nous pouvons maintenant démontrer que la γ-traduction plonge CP2 dans P-CP2 ,et également dans F-CP2 puisque toutes les dérivations dans P-CP2 sont valides
dans F-CP2 :Lemme 2.5.5. Pour tout jugement dérivable Γ `2 F , le jugement Γγ `2p F γ estdérivable, avec γ une variable fraı̂che pour Γ ∪ {F }.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `2 F ; les cas des règles (→i ),(→e ) et (∀i ) sont immédiats, et les cas des règles (Ax) et (Hyp) sont analogues :(Ax) : d’après le lemme 2.5.3, les jugements `2p [γ\>]·Γγ sont dériΓ `2 >vables. Ainsi le jugement Γγ `2p >γ est dérivable avec la règle (P-Ax).
Γ `2 ∀α.A(∀e ) : par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ `2p (∀α.A)γΓ `2 [α\U ]·A
est dérivable. D’après le lemme 2.5.3, le jugement `2p [γ\>]·U γ est dérivable.
Ainsi le jugement Γγ `2p [α\U γ ] · Aγ avec la règle (P-∀e ). Ainsi, d’après lelemme 2.5.4, le jugement Γγ `2p ([α\U ]·A)γ est dérivable.
Γ ` 2 A A =α B(=α ) : par hypothèse de récurrence Γγ `2p Aγ est dérivable ;Γ `2 Bd’après le lemme 2.5.1 nous avons Aγ =α B γ , et ainsi nous dérivons Γγ `2p B γ
avec la règle (=α ).
Il nous reste à démontrer la réciproque du plongement de CP2 dans P-CP2 via la
γ-traduction.
Définition 2.5.2. Pour toute formule F , nous définissons la formule F ⊥ commeétant la formule [γ\⊥]·F γ .
Nous montrons alors que les deux formules F et F ⊥ sont équivalentes CP2 :Proposition 2.5.6. Pour toute formule F , le jugement `2 F ↔ F ⊥ est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : le jugement `2 > ↔ > est dérivable ;47

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre
F = α : le jugement `2 α ↔ (α ∨ ⊥) est aisément dérivable ;F = A → B : – dérivons le jugement `2 (A → B) → (A → B)⊥ :1) A → B, A⊥ `2 A⊥ par (Hyp) ;2) A → B, A⊥ `2 A⊥ → A par hypothèse de récurrence ;3) A → B, A⊥ `2 A par (→e ), 1 et 2 ;4) A → B, A⊥ `2 A → B par (Hyp) ;5) A → B, A⊥ `2 B par (→e ), 3 et 4 ;6) A → B, A⊥ `2 B → B ⊥ par hypothèse de récurrence ;7) A → B, A⊥ `2 B ⊥ par (→e ), 5 et 6 ;8) A → B `2 (A → B)⊥ par (→i ) et 7 ;9) `2 (A → B) → (A → B)⊥ par (→i ) et 8.
– dérivons le jugement `2 (A → B)⊥ → (A → B) :1) (A → B)⊥ , A `2 A par (Hyp) ;2) (A → B)⊥ , A `2 A → A⊥ par hypothèse de récurrence ;3) (A → B)⊥ , A `2 A⊥ par (→e ), 1 et 2 ;4) (A → B)⊥ , A `2 (A → B)⊥ par (Hyp) ;5) (A → B)⊥ , A `2 B ⊥ par (→e ), 3 et 4 ;6) (A → B)⊥ , A `2 B ⊥ → B par hypothèse de récurrence ;7) (A → B)⊥ , A `2 B par (→e ), 5 et 6 ;8) (A → B)⊥ `2 A → B par (→i ) et 7 ;9) `2 (A → B)⊥ → (A → B) par (→i ) et 8.
F = ∀α.A : – dérivons le jugement `2 (∀α.A) → (∀α.A)⊥ :1) ∀α.A `2 ∀α.A par (Hyp) ;2) ∀α.A `2 A par (∀e ) et 1 ;3) ∀α.A `2 A → A⊥ par hypothèse de récurrence ;4) ∀α.A `2 A⊥ par (→e ), 2 et 3 ;5) ∀α.A `2 ∀α.A⊥ par (∀i ) et 4 ;6) `2 (∀α.A) → (∀α.A)⊥ par (→i ) et 5.
– dérivons le jugement `2 (∀α.A)⊥ → (∀α.A) :1) (∀α.A)⊥ `2 (∀α.A)⊥ par (Hyp) ;2) (∀α.A)⊥ `2 A⊥ par (∀e ) et 1 ;3) (∀α.A)⊥ `2 A⊥ → A par hypothèse de récurrence ;4) (∀α.A)⊥ `2 A par (→e ), 2 et 3 ;5) (∀α.A)⊥ `2 ∀α.A par (∀i ) et 4 ;6) `2 (∀α.A)⊥ → (∀α.A) par (→i ) et 5.

Ainsi nous pouvons prouver la réciproque du lemme 2.5.5 :Lemme 2.5.7. Pour tout jugement Γγ `2p F γ dérivable, le jugement Γ `2 F est
dérivable, avec γ une variable fraı̂che pour Γ ∪ {F }.
482.5 Traductions
Démonstration. Le jugement Γγ `2p F γ est dérivable par hypothèse, donc le jugement Γγ `2 F γ est dérivable. De Γγ `2 F γ nous dérivons `2 Γ⊥ → F ⊥ . Lesjugements `2 Γ → Γ⊥ et `2 F ⊥ → F sont dérivables d’après la proposition 2.5.6.
Ainsi le jugement `2 Γ → F est dérivable, de même que le jugement Γ `2 F .
Grâce aux lemmes 2.5.5 et 2.5.7, nous avons les outils pour démontrer que laγ-traduction préserve la notion de dérivation :Proposition 2.5.8. Le jugement Γ `2 F est dérivable si et seulement si le jugement Γγ `2p F γ est dérivable, avec γ une variable fraı̂che pour Γ ∪ {F }.
Démonstration. Conséquence immédiate des lemmes 2.5.5 et 2.5.7.
Ainsi, les calculs CP2 , F-CP2 et P-CP2 sont aussi puissants les uns que les autres
du point de vue de la dérivabilité.

2.5.2

Traduction de CP2 dans F-CP2

Pour qu’une traduction soit pertinente, il faut non seulement qu’elle préserve
la dérivabilité, mais aussi que les formules restent équivalentes même après traduction. Le lemme 2.5.6 atteste que pour toute formule F , la formule F ⊥ estéquivalente à F . Il reste à prouver que F est un théorème de CP2 si et seulement
si F ⊥ est un théorème de F-CP2 , afin de montrer que F ⊥ est une traduction fidèlede F dans F-CP2 :Proposition 2.5.9. Pour toute formule F , le jugement `2 F si et seulement si lejugement `2f F ⊥ est dérivable.
Démonstration. Deux cas sont à considérer :⇒) supposons que le jugement `2 F est dérivable. D’après la proposition 2.5.8,
le jugement `2p F γ est dérivable. Donc le jugement `2f F γ est dérivable.
Nous dérivons le jugement `2f ∀γ.F γ avec la règle (∀i ), puis nous dérivons lejugement `2f F ⊥ avec la règle (∀e ).
⇐) supposons que le jugement `2 F ⊥ soit dérivable. Alors le jugement `2 F ⊥est dérivable. Nous dérivons le jugement `2 F à l’aide de la proposition 2.5.6.

Ainsi F-CP2 est un calcul qui a la même puissance expressive que CP2 , comptetenu de la traduction des formules F en F ⊥ .
49

Chapitre 2 : Calculs propositionnels pédagogiques du second ordre

2.5.3

Traduction de CP2 dans P-CP2

Dans F-CP2 , la formule F ⊥ est une traduction fidèle de la formule F ; maiselle peut contenir des occurrences de la formule ⊥, ce qui rend cette traduction
inapplicable dans le cas de P-CP2 . En remplacement, nous définissons la formule
F ∗ par la formule ∀γ.F γ . On remarque d’abord que la traduction de F en F ∗préserve les théorèmes :Proposition 2.5.10. Pour toute formule F , le jugement `2 F est dérivable si etseulement si le jugement `2p F ∗ est dérivable.
Démonstration. Deux cas sont à considérer :⇒) supposons que le jugement `2 F soit dérivable. D’après la proposition
2.5.8, le jugement `2p F γ est dérivable. Nous dérivons le jugement `2p F ∗ avec
la règle (∀i ).
⇐) supposons que le jugement `2p F ∗ soit dérivable. Alors le jugement `2 F ∗est dérivable. Nous dérivons le jugement `2 F ⊥ avec la règle (∀e ), puis nousdérivons le jugement `2 F à l’aide de la proposition 2.5.6.

Dans le cas des formules dérivables, la traduction de F en F ∗ préserve l’équivalence
des formules :Proposition 2.5.11. Pour toute formule F , si l’un des deux jugements `2 F et
`2p F ∗ est dérivable, alors le jugement `2 F ↔ F ∗ est dérivable.
Démonstration. Deux cas se présentent :– supposons que le jugement `2 F soit dérivable. Le jugement `2p F ∗ estdérivable d’après la proposition 2.5.10. Le jugement F ∗ `2 F est alorsaisément dérivable, de même que le jugement F `2 F ∗ . Nous dérivons ainsi
les jugements `2 F → F ∗ et `2 F ∗ → F avec la règle (→i ).
– supposons que le jugement `2p F ∗ soit dérivable. Le jugement `2 F est
dérivable d’après la proposition 2.5.10. Nous concluons alors comme dansle cas précédent.

Malheureusement, l’équivalence des formules n’est pas préservé pour toutes lesformules ; c’est le cas de la formule (α → β) → β :Proposition 2.5.12. Il existe une formule F telle que le jugement `2 F ↔ F ∗ nesoit pas dérivable.
50

2.5 Traductions
Démonstration. Posons F = (α → β) → β et supposons que le jugement `2 F ↔
F ∗ soit dérivable. Dons `2 F → F γ est dérivable. Ainsi le jugement (α → β) →β `2 ((α ∨ γ) → (β ∨ γ)) → (β ∨ γ) est dérivable. En substituant γ par α et βpar ⊥, nous obtenons une dérivation du jugement (α → ⊥) → ⊥ `2 ((α ∨ α) →(⊥ ∨ α)) → (⊥ ∨ α). La formule (α ∨ α) → (⊥ ∨ α) est dérivable dans CP2 et laformule ⊥ ∨ α est équivalente à α dans CP2 ; donc le jugement (α → ⊥) → ⊥ `2 α
est dérivable, ce qui est absurde. Nous concluons par contradiction que le jugement`2 F ↔ F ∗ n’est pas dérivable.
Cependant, on peut faire en sorte que les formules F et F ∗ soient toujours équivalentes ;mais il faut alors se placer dans un calcul classique :Proposition 2.5.13. Posons B = (> → γ) ∨ (γ → ⊥). Pour toute formule F , lejugement `2 F ↔ ∀γ.B → F γ est dérivable.
Démonstration. Deux cas sont à considérer :⇐)1) ∀γ.B → F γ `2 ∀γ.B → F γ par (Hyp) ;2) ∀γ.B → F γ `2 ((> → ⊥) ∨ (⊥ → ⊥)) → F ⊥ par (∀e ) et 1 ;3) ∀γ.B → F γ `2 (> → ⊥) ∨ (⊥ → ⊥) aisément dérivable ;4) ∀γ.B → F γ `2 F ⊥ par (→e ), 2 et 3 ;5) ∀γ.B → F γ `2 F par la proposition 2.5.6 et 4 ;6) `2 (∀γ.B → F γ ) → F par (→i ) et 5.
⇒)1) F, B `2 (> → γ) ∨ (γ → ⊥) par (Hyp) ;2) F, B, > → γ `2 [γ\>]·F γ par le lemme 2.5.3 ;3) F, B, > → γ `2 F γ car γ et > sont supposés équivalents ;4) F, B, γ → ⊥ `2 F par (Hyp) ;5) F, B, γ → ⊥ `2 F ⊥ par la proposition 2.5.6 and 4)
6) F, B, γ → ⊥ `2 F γ car γ et > sont supposés équivalents ;7) F, B `2 F γ par (∨e ), 1, 3 et 6 ;8) F `2 B → F γ par (→i ) et 7 ;9) F `2 ∀γ.B → F γ par (∀i ) et 8 ;10) `2 F → ∀γ.B → F γ par (→i ) et 9.
Ce résultat laisse penser qu’il existe une traduction fidèle entre CP2 et P-CP2 .
Nous étudierons ce point dans la section 3.5 du chapitre 3.

51

52

Chapitre 3
Calculs propositionnels
pédagogiques d’ordre supérieur
3.1

Rappel sur les calculs propositionnels d’ordre supérieur

Dans le calcul propositionnel du second ordre, la quantification universelle
porte uniquement sur des variables représentant des formules. On voudrait pouvoirégalement manipuler à l’intérieur du calcul des objets représentant des propriétés
portant sur des formules, qu’on appelle des prédicats propositionnels. Les objets
sur lesquels portent un prédicat ainsi que la nature des objets produits par leprédicat sont décrits par son genre :Définition 3.1.1. Les genres sont définis par récurrence comme suit :– la constante ? (le genre des formules) est un genre ;– si κ et ι sont des genres, alors κ ⇒ ι est un genre.
Afin d’alléger l’écriture des genres, nous écrivons κ ⇒ ι ⇒ θ les genres de la formeκ ⇒ (ι ⇒ θ). Tous les genres sont de la forme κ1 ⇒ · · · ⇒ κn ⇒ ?, et sont notés−→n ⇒ ? ; quand n = 0, cette notation représente le genre ?. Les formules sont deκgenre ? et les prédicats portant sur des objets de genre κ et produisant des objets
de genre ι ont pour genre κ ⇒ ι. Il ne reste plus qu’à définir les prédicats :Définition 3.1.2. Les prédicats sont définis par récurrence comme suit :– la constante > est un prédicat de genre ? ;– les variables propositionnelles ακ , β ι , γ ν , . . . sont des prédicats de genre κ, ι,
ν, . . . ;– si A et B sont des prédicats de genre ?, alors A → B est un prédicat degenre ? ;53

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur– si ακ est une variable propositionnelle de genre κ et A un prédicat de genre?, alors ∀ακ .A est un prédicat de genre ? ;– si ακ est une variable propositionnelle de genre κ et A un prédicat de genre
ι, alors λακ .A est un prédicat de genre κ ⇒ ι ;– si A est un prédicat de genre κ ⇒ ι et B un prédicat de genre κ, alors AB
est un prédicat de genre ι.
Pour tout prédicat P et tout genre κ, la notation P : κ signifie que le prédicat P
est de genre κ. Toute variable propositionnelle ακ pourra être notée α en l’absenced’ambiguı̈té sur son genre. Afin d’alléger l’écriture des prédicats, nous écrivons
A → B → C les prédicats de la forme A → (B → C) et ∀ακ .A → B les prédicats
de la forme ∀α.(A → B). De même, nous écrivons ABC les prédicats de la forme
A(BC) et λακ .AB les prédicats de la forme ∀α.(AB). Les prédicats de la forme AB
ont la précédence la plus forte : le prédicat AB → C dénote le prédicat (AB) → C.
−→
Les prédicats de la forme λα1κ1 . · · · λαnκn .P sont notés λαnκ .P , et quand n = 0 cettenotation représente le prédicat P . Les prédicats de la forme P Q1 · · · Qn sont notés−→
P Qn , et quand n = 0 cette notation représente le prédicat P .
On remarque que les formules sont des prédicats particuliers ne portant sur aucun
objet :
Définition 3.1.3. Les formules propositionnelles d’ordre supérieur, que nous appelons formules dans ce chapitre en l’absence d’ambiguı̈té, sont les prédicats degenre ?.
Selon la complexité des genres des prédicats, ceux-ci seront plus ou moins expressifs ; cette expressivité est représentée par l’ordre des prédicats : plus l’ordre est
grand, plus le prédicat est capable d’exprimer des propriétés d’un haut niveaud’abstraction ; en particulier, l’ordre des arguments pouvant être passés en argument à un prédicat est toujours strictement inférieur à l’ordre de ce prédicat ; lanotion d’ordre dépend donc essentiellement des genres :Définition 3.1.4. Pour tout genre κ, l’ordre Ord(κ) de κ est un entier défini parrécurrence sur κ :κ = ? : Ord(κ) = 2 ;κ = ι ⇒ θ : Ord(κ) = max(Ord(ι) + 1, Ord(θ)).
Nous écrivons Nω le compactifié de l’ensemble N. Pour tout couple (m, n) ∈ N2ω ,nous écrivons Jm; nK l’ensemble {i ∈ Nω | m ≤ i et i ≤ n}, c’est-à-dire l’intervalle
des éléments de Nω compris entre m et n.
Une fois qu’un ordre est associé à chaque genre, on peut définir ce qu’est l’ordred’un prédicat :54

3.1 Rappel sur les calculs propositionnels d’ordre supérieurDéfinition 3.1.5. Pour tout prédicat P et pour tout n élément de J2; ωK, leprédicat P est dit d’ordre n si l’ordre de tous les genres des sous-prédicats de
P est inférieur à n.
Comme toujours dans les calculs hypothético-déductifs à la Gentzen-Prawitz, nous
avons besoin de contextes, qui sont des ensembles d’hypothèses :Définition 3.1.6. Soit n un élément de J2; ωK. Un contexte propositionnel d’ordre
n est un ensemble fini de formules d’ordre n. Dans ce chapitre nous les appelons
contextes d’ordre n, ou plus concisément contextes en l’absence d’ambiguı̈té. Dansle cas où n est égal à ω, les contextes d’ordre ω sont également appelés contextes
propositionnels d’ordre supérieur.
Un jugement propositionnel d’ordre n est un triplet noté Γ `nid F , avec Γ uncontexte d’ordre n, F une formule d’ordre n et id un identifiant textuel. Dans ce
chapitre, les jugements propositionnels d’ordre n sont appelés jugements d’ordre
n, ,ou plus concisément jugements en l’absence d’ambiguı̈té. Dans le cas où n est
égal à ω, les jugements d’ordre ω sont également appelés jugements propositionnels
d’ordre supérieur.
Le contexte vide est représenté par le mot vide ; ainsi, pour tout élément n deJ2; ωK, pour toute formule F d’ordre n, et pour tout identifiant id, le jugement∅ `nid F s’écrit également `nid F . De plus, pour tous contextes Γ et ∆ d’ordre n, lecontexte Γ ∪ ∆ est noté Γ, ∆. En particulier, pour toute formule A d’ordre n, lejugement Γ ∪ {A} `nid F est noté Γ, A `nid F .
Les variables propositionnelles sont destinées à être éventuellement quantifiées universellement : il nous faut distinguer les variables libres des variables quantifiéescomme dans le cas du calcul propositionnel du second ordre, étudié dans le chapitre
précédent :Définition 3.1.7. Pour tout prédicat P , l’ensemble Vl(P ) des variables libres deP est un ensemble de variables propositionnelles défini par récurrence sur P :P = > : Vl(P ) = ∅ ;P = ακ : Vl(P ) = {α} ;P = A → B : Vl(P ) = Vl(A) ∪ Vl(B) ;P = ∀ακ .A : Vl(P ) = Vl(A) \ {α} ;P = λακ .A : Vl(P ) = Vl(A) \ {α} ;P = AB : Vl(P ) = Vl(A) ∪ Vl(B).
S
Par extension, pour tout contexte Γ nous notons Vl(Γ) l’ensemble G∈Γ Vl(G).
Quand Vl(F ) = ∅, nous disons que le prédicat F est clos.
Définition 3.1.8. Pour tout prédicat P , l’ensemble Vq(P ) des variables quantifiées de P est un ensemble de variables propositionnelles défini par récurrence
sur P :
55

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
P = > : Vq(P ) = ∅ ;P = ακ : Vq(P ) = ∅ ;P = A → B : Vq(P ) = Vq(A) ∪ Vq(B) ;P = ∀ακ .A : Vq(P ) = {α} ∪ Vq(A) ;P = λακ .A : Vq(P ) = {α} ∪ Vq(A) ;P = AB : Vq(P ) = Vq(A) ∪ Vq(B).
Pour instancier les variables quantifiées dans les prédicats, on a besoin de substitutions :Définition 3.1.9. Une substitution σ est une fonction de domaine fini Dom(σ) àvaleurs dans l’ensemble des prédicats.
Pour toute substitution σ, on note Vl(σ) l’union des ensembles Vl(σ(α)) pour toutα ∈ Dom(σ).
Définition 3.1.10. Pour toute substitution σ et pour tout prédicat P , on dit que
σ est adaptée à P quand l’ensemble Vl(σ) ∩ Vq(P ) est vide.
Définition 3.1.11. Pour tout prédicat P et pour toute substitution σ adaptée à
P , l’application de σ à P , notée σ·P , est définie par récurrence sur P comme suit :P = > : σ·P = >;σ(α) si α ∈ Dom(σ) ;P = ακ : σ·P =α sinon ;P = A → B : σ·P = σ·A → σ·B ;P = ∀α.A : σ·P = ∀α.σ\α ·A ;P = λα.A : σ·P = λα.σ\α ·A ;P = AB : σ·P = (σ·A)(σ·B).
Pour éviter toute confusion, nous écrivons µ·σ·F les applications de substitutions dela forme µ·(σ·F ). Ci-dessous nous démontrons que la composition des substitutions
est correctement définissable :Lemme 3.1.1. Soient F une formule, σ une substitution adaptée à F et µ une
substitution adaptée à σ ·F . Notons µ σ la substitution [µ·σ; µ|(Dom(µ)\Dom(σ)) ] ;alors µ·σ·F = µ σ·F .
Démonstration. Analogue à la preuve du lemme 2.1.1.
Nous savons distinguer les variables libres des variables liées ; mais certaines variables libres doivent parfois représenter des objets les plus généraux possibles ; àcet effet, nous introduisons la notion de variables fraı̂ches d’ordre supérieur :56

3.1 Rappel sur les calculs propositionnels d’ordre supérieurDéfinition 3.1.12. Une variable fraı̂che pour un prédicat P est une variable n’apparaissant pas dans P . Par extension, une variable fraı̂che pour un ensemble deprédicats ∆ est une variable fraı̂che pour chacun des éléments de ∆. L’ensemble
des variables fraı̂ches d’un contexte Γ est noté Fr(Γ).
Les variables quantifiées ne représentent que des positions dans les prédicats :leur nom n’a aucune importance sinon pour les distinguer des autres variables etnous considérons que deux prédicats ne différant que par le nom de leurs variables
quantifiées ont la même signification ; on dit alors qu’ils sont α-équivalents :Définition 3.1.13. Pour tous les prédicats P et Q, la relation d’α-équivalence
entre P et Q, notée P =α Q, est définie par les règles suivantes :> =α >ακ =α ακ(α> )(αvar )A =α A0 B =α B 0(α→ )A → B = α A0 → B 0[ακ \γ]·A =α [β κ \γ]·B γ ∈ Fr(A, B)(α∀ )∀ακ .A =α ∀β κ .B
[ακ \γ]·A =α [β κ \γ]·B γ ∈ Fr(A, B)(αλ )λακ .A =α λβ κ .B
A =α A 0 B =α B 0(αapp )
AB =α A0 B 0
Quand la relation P =α Q est vérifiée, on dit que les prédicats P et Q sont αéquivalentes.
Les prédicats sont définis comme des fonctions opérant sur d’autres prédicats ; leurévaluation produit des prédicats syntaxiquement différents mais ayant la mêmesignification ; on dit alors qu’ils sont β-équivalents :Définition 3.1.14. Pour tous les prédicats P et Q, la relation de β-équivalence
entre P et Q, notée P =β Q, est définie par les règles suivantes :> =β >α κ =β α κ
57

(β> )
(βvar )

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
A =β A0 B =β B 0(β→ )A → B =β A 0 → B 0
A =β A0(β∀ )∀α .A =β ∀ακ .A0
κ

A = β A0(βλ )λακ .A =β λακ .A0
A =β A0 B =β B 0(βapp )
AB =β A0 B 0A =β B(βsym )
B =β AA =β B B =β C
(βtrans )A =β C(βred )
(λακ .A)B =β [ακ \B]·A
Quand la relation P =β Q est vérifiée, on dit que les prédicats P et Q sont βéquivalents.
Après toutes ces définitions, nous pouvons maintenant définir les calculs propositionnels d’ordre supérieur :Définition 3.1.15. Pour tout n élément de J2; ωK, le calcul propositionnel d’ordren, abrégé en CPn , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `n F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles suivantes :Γ `n >(Ax)

Γ, F `n F(Hyp)Γ `n A → B Γ `n A(→e )
Γ `n BΓ, A `n B(→i )Γ `n A → BΓ `n A ακ 6∈ Vl(Γ)(∀i )Γ `n ∀ακ .AΓ `n ∀ακ .A(∀e )Γ `n [ακ \U ]·AΓ ` n A A =α B(=α )Γ `n BΓ ` n A A =β B(=β )Γ `n B
58

3.2 Calculs propositionnels faiblement pédagogiques d’ordre supérieur
Le calcul CPω est également appelé le calcul propositionnel d’ordre supérieur. On
dit qu’un jugement Γ `n F est dérivable quand il existe une dérivation dans CPndont la dernière règle utilisée produit ce jugement.

3.2

Calculs propositionnels faiblement pédagogiques d’ordre supérieur

3.2.1

Présentation des calculs

Nous allons reprendre notre première méthode de pédagogisation, introduite
dans le chapitre 1, afin de l’appliquer au calcul CPn . Dans le chapitre 2, nous
avons utilisé cette méthode pour pédagogiser le calcul CP2 et nous avons obtenu lecalcul F-CP2 dans lequel l’absurdité ⊥, définie par la formule ∀α.α, est autorisée àapparaı̂tre dans les formules des dérivations, tandis que le jugement `2f ∀α.⊥ → αn’est pas dérivable. Nous sommes alors tentés de penser que F-CP2 n’est pas un
calcul dans lequel l’absurdité est définissable. Nous allons voir ce qu’il en est dansle cas des calculs d’ordre supérieur.
Définition 3.2.1. Pour tout n élément de J2; ωK, le calcul propositionnel faiblement pédagogique d’ordre n, abrégé en F-CPn , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `nf F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (→i ), (→e ), (∀i ), (∀e ), (=α ) et (=β ), ainsi que des deuxrègles suivantes :`nf σ·Γ(P-Ax)
Γ `nf >F ∈ Γ `nf σ·Γ(P-Hyp)Γ `nf FLe calcul F-CPω est également appelé le calcul propositionnel faiblement pédagogique d’ordre supérieur. On dit qu’un jugement Γ `nf F est dérivable quand il existe
une dérivation dans F-CPn dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
Dans les dérivations, il convient de motiver les contextes introduits, comme dansl’exemple suivant :Exemple. dérivation du jugement `ωf ∀β ?⇒? .(∀α? .(α → βα)) → β(∀α? .(α → βα)) :1) `ωf > par (P-Ax) ;2) α `ωf (λα? .>)α par (P-Ax) et 1 ;3) `ωf α → (λα? .>)α par (→i ) et 2 ;4) `ωf ∀α? .(α → (λα? .>)α) par (∀i ) et 3 ;59

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur5) ∀α? .(α → βα) `ωf ∀α? .(α → βα) par (P-Hyp) et 4 ;6) ∀α? .(α → βα) `ωf (∀α? .(α → βα)) → β(∀α? .(α → βα)) par (∀e ) et 5 ;7) ∀α? .(α → βα) `ωf β(∀α? .(α → βα)) par (→e ), 5 et 6 ;8) `ωf (∀α? .(α → βα)) → β(∀α? .(α → βα)) par (→i ) et 7 ;9) `ωf ∀β ?⇒? .((∀α? .(α → βα)) → β(∀α? .(α → βα))) par (∀i ) et 8.
Bien que la notion de motivation soit bien définie dans le cas des formules, elle
ne l’est pas encore dans le cas général des prédicats. Pour l’instant, nous ne disposons pas des résultats nécessaires pour justifier le choix d’une définition de la
motivabilité des prédicats ; la définition suivante est donnée par anticipation car
nous en avons besoin dans certaines preuves ; nous justifierons plus tard le fait quela motivation d’un prédicat P corresponde à la motivation de la formule P :Définition 3.2.2. Pour tout genre κ et pour tout prédicat P : κ, la formule P estdéfinie par récurrence sur κ :κ=?: P =P;κ = ι ⇒ θ : P = ∀αι .P α.
Si ∆ = {P1 , · · · , Pn } est un ensemble de prédicats, alors ∆ dénote l’ensemble{P1 , · · · , Pn }.
Les calculs d’ordre supérieur font beaucoup appel aux applications de substitutions, ne serait-ce qu’à cause de la règle (∀e ) ; la preuve que l’application des substitutions commute avec la transformation P constitue une propriété techniqueincontournable :Lemme 3.2.1. Soit σ une substitution. Pour tout prédicat P : κ, nous avons
σ·P = σ·P .
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : nous avons P = P et σ·P = σ·P par définition ; donc σ·P = σ·P ;κ=θ⇒ι:
σ·P =
=
=
=
=

σ·∀αθ .P α∀αθ .σ·P α∀αθ .σ·(P α) par hypothèse de récurrence∀αθ .(σ·P )α car α 6∈ Dom(σ)σ·PComme la transformation P constitue une formule représentant P du point de vue
de la motivabilité, il est nécessaire qu’elle ne change pas le sens des prédicats, enparticulier par rapport à la β-équivalence :60

3.2 Calculs propositionnels faiblement pédagogiques d’ordre supérieur
Lemme 3.2.2. Soit κ un genre. Pour tout prédicats P : κ et Q : κ, si P =β Q
alors P =β Q.
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : nous avons P = P et Q = Q ; donc P =β Q ;κ=θ⇒ι:
1) P =β Q par hypothèse ;2) αθ =β αθ par (βvar ) ;3) P α =β Qα par (βapp ), 1 et 2 ;4) P α =β Qα par hypothèse de récurrence ;5) ∀ακ .P α =β ∀ακ .Qα par (β∀ ) et 4.
Ainsi P =β Q.
Voici donc comment on définit les motivations des prédicats :Définition 3.2.3. Soient n un élément de J2; ωK et C un calcul dont la morphologie est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `nid F . Pour tout
ensemble ∆ de prédicats, une motivation de ∆ dans C est une substitution σ telleque les jugements `nid σ·Γ soient dérivables. Quand un ensemble de prédicats admet
une motivation dans C, on dit qu’il est motivable dans C. De plus, une motivationd’un prédicat P dans C est une motivation du singleton {P } dans C.
Chaque motivation peut être close ou non, comme nous l’avons expliqué dans lechapitre précédent. Dans le cas ces calculs d’ordre supérieur, dès qu’un prédicat
est motivable par une motivation ouverte, alors on peut toujours la motiver parune motivation close ; on a alors la garantie qu’un exemple abstrait peut toujoursêtre précisé en un exemple concret :Proposition 3.2.3. Soit n un élément de J2; ωK. Pour toute formule F d’ordre n,si σ est une motivation de F dans F-CPn , alors pour toute substitution µ d’ordren adaptée à σ·F la substitution µ σ est une motivation de F dans F-CPn .
Démonstration. Analogue à la preuve de la proposition 2.2.1.

3.2.2

Non-nullité syntaxique des jugements

La notion de non-nullité syntaxique des jugements, introduite dans le chapitre
précédent, se généralise facilement aux calculs d’ordre supérieur :Définition 3.2.4. Soient n un élément de J2; ωK et C un calcul dont la morphologie
est constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `nid F . Un jugementΓ `nid F est syntaxiquement non-nul quand son contexte Γ est motivable dans C.
61

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
Nous démontrons de suite que dans les calculs F-CPn tous les jugements sontsyntaxiquement non-nuls :Lemme 3.2.4. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `ωf F dérivable,le contexte Γ est motivable dans F-CPn .
Démonstration. Analogue à la preuve du lemme 2.2.2.
Nous avons également la propriété que les motivations se propagent par dérivabilitédes hypothèses aux conclusions :Lemme 3.2.5. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `nf F dérivable
et pour toute substitution σ adaptée à Γ, si les jugements `nf σ·Γ sont dérivables,
alors le jugement `nf σ·F est dérivable.
Démonstration. Analogue à la preuve du lemme 2.2.3.
Ainsi, dans tout jugement dérivable, le contexte et la conclusion sont motivables
par la même motivation ; ceci signifie que toutes les variables libres sont représentables par le même exemple dans toutes les formules d’un jugement :Proposition 3.2.6. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `nf F
dérivable, l’ensemble Γ ∪ {F } est motivable dans F-CPn . En particulier, Γ `nf F
est syntaxiquement non-nul.
Démonstration. D’après le lemme 3.2.4 le contexte Γ est motivable dans F-CPn ,et donc d’après le lemme 3.2.5 la formule F est motivable dans F-CPn .

3.2.3

La règle d’affaiblissement

La règle d’affaiblissement usuelle :Γ `n F(Aff)Γ, U `n F
n’est plus dérivable dans les calculs F-CPn car la formule U introduite dans lecontexte n’est pas forcément motivable.
Lemme 3.2.7. Soit n un élément de J2; ωK. Le jugement > → α `nf α est dérivable
et la formule α → ⊥ est motivable dans F-CPn , mais le jugement > → α, α →(∀α? .α) `nf α n’est pas dérivable.
Démonstration. Analogue à la preuve du lemme 2.2.5.
62

3.2 Calculs propositionnels faiblement pédagogiques d’ordre supérieur
Nous démontrons alors que la règle d’affaiblissement faiblement pédagogique :Γ `nf F `nf σ·(Γ, U )(F-Aff)Γ, U `nf F
est valide dans les calculs F-CPn .
Proposition 3.2.8. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `nf F
dérivable et pour toute formule U telle que Γ ∪ {U } soit motivable dans F-CPn , lejugement Γ, U `nf F est dérivable.
Démonstration. Analogue à la preuve du lemme 2.2.7.

3.2.4

Les théorèmes de CPn sont prouvables dans F-CPn+1

La proposition 2.2.13 affirme que le jugement `2f ∀α.⊥ → α n’est pas dérivable ;donc F-CP2 ne démontre pas tous les théorèmes de CP2 . Cependant, nous allonsdémontrer que pour tout n > 2, les théorèmes de CPn−1 sont des théorèmes deF-CPn . Pour cela, il suffit d’exprimer toutes les preuves des théorèmes de CPn sousla forme de preuves à la Hilbert, dans lesquelles il n’y a pas besoin de contextes,
et donc il n’y a pas besoin de les motiver :Lemme 3.2.9. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `n F dérivable,
le jugement `n+1
Γ → F est dérivable.
fDémonstration. Par récurrence sur la dérivation du jugement Γ `n F :(Ax) :
Γ `n >→− −1) `n+1∀γn? .→
γn → > aisément dérivable ;f
n+12) `f Γ → > par (∀e ) et 1 ;F ∈Γ(Hyp) :
Γ `n F→− −1) `n+1∀γn? .→
γn → γi aisément dérivable avec 1 ≤ i ≤ n ;f2) `n+1
Γ→F par (∀e ) et 1 ;fnΓ, A ` B(→i ) : par hypothèse de récurrence, le jugement `n+1
Γ→A→nf
Γ` A→BB est dérivable ; donc nous avons une dérivation du jugement `n+1
(Γ, A) →fB;Γ `n A → B Γ `n A(→e ) :
Γ `n B→−−−−γn → α → β) → (→γn → α) → (→γn → β) immédiat ;1) `n+1∀γn? .∀α? .∀β ? .(→fn+12) `f (Γ → A → B) → (Γ → A) → (Γ → B) par (∀e ) et 1 ;63

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur3) `n+1
Γ → A → B par hypothèse de récurrence ;f4) `n+1(Γ → A) → (Γ → B) par (→e ), 2 et 3 ;f
n+15) `f Γ → A par hypothèse de récurrence ;4) `n+1
Γ → B par (→e ), 4 et 5 ;fΓ `n A α 6∈ Vl(Γ)(∀i ) :
Γ `n ∀ακ .A→−−−1) `n+1∀γn? .∀δ κ⇒? .∀α? .(→γn → δα) → (→γn → ∀ακ .δα) aisément dérivable ;f2) `n+1(Γ → (λακ .A)α) → (Γ → ∀ακ .(λακ .A)α) par (∀e ) et 1 ;f
n+13) `f (Γ → A) → (Γ → ∀ακ .A) par (=β ) et 2 ;4) `n+1
Γ → A par hypothèse de récurrence ;f
n+15) `f Γ → ∀ακ .A par (→e ), 3 et 4 ;Γ `n ∀ακ .A(∀e ) :
Γ `n [ακ \U ]·A→−−−1) `n+1∀γn? .∀δ κ⇒? .(→γn → ∀ακ .δα) → (→γn → δU ) aisément dérivable ;
f
n+1
κ
κ
2) `f (Γ → ∀α (λα .A)α) → (Γ → (λακ .A)U ) par (∀e ) et 1 ;3) `n+1(Γ → ∀ακ .A) → (Γ → [ακ \U ]·A) par (=β ) et 2 ;f4) `n+1
Γ → ∀ακ .A par hypothèse de récurrence ;f
n+15) `f Γ → [ακ \U ]·A par (→e ), 3 et 4 ;Γ `n A A =α B(=α ) : par hypothèse de récurrence, le jugement `n+1
Γ→f
Γ `n BA est dérivable ; nous avons A =α B par hypothèse ; donc nous avons Γ →A =α Γ → B par la règle (α→ ) ; ainsi nous dérivons le jugement `n+1
Γ→Bf
par la règle (=α ) ;Γ `n A A =β B(=β ) : par hypothèse de récurrence, le jugement `n+1
Γ→f
Γ `n BA est dérivable ; nous avons A =β B par hypothèse ; donc nous avons Γ →A =β Γ → B par la règle (β→ ) ; ainsi nous dérivons le jugement `n+1
Γ→Bf
par la règle (=β ).
Grâce au lemme précédent, nous pouvons démontrer que pour n ≥ 2, tout théorèmede CPn est un théorème de F-CPn+1 :Proposition 3.2.10. Soit n un élément de J2; ωK. Pour toute formule F , si lejugement `n F est dérivable alors le jugement `n+1
F est dérivable.
fDémonstration. Immédiat par le lemme 3.2.9.
Ainsi, dans les calculs F-CPn pour n ≥ 3, le jugement `nf ∀α.⊥ → α est dérivable :la négation est définissable dans ces calculs F-CPn . Le calcul F-CP2 fait exception.
Quand n = ω, nous avons donc un résultat encore plus fort : tout théorème deCPω est un théorème de F-CPω .
64

3.3 Calculs propositionnels pédagogiques contraints d’ordre supérieur

3.3

Calculs propositionnels pédagogiques contraints d’ordre supérieur

3.3.1

Présentation des calculs

Malgré la non-nullité syntaxique des jugements dans les calculs F-CPn , lanégation y est définissable dès que n est supérieur ou égal à 3. Pour obtenir un
calcul dans lequel la négation disparaı̂t, nous allons appliquer aux calculs CPn laméthode de pédagogisation qui nous a permis de construire le calcul pédagogique
P-CP2 dans le chapitre précédent. P-CP2 est un calcul dans lequel toutes les formules et sous-formules apparaissant dans les dérivations sont motivables. Noussouhaitons obtenir des calculs d’ordre supérieur jouissant des mêmes propriétésque P-CP2 . Il faut d’abord donner un sens à la notion de motivation appliquée aux
prédicats d’ordre supérieur pour pouvoir remplacer la règle (∀e ) par la règle (P-∀e ).
On remarque que le prédicat λα? .α représentant l’identité sur les formules ne doitpas être motivable sous peine de pouvoir dériver `n ⊥ → ⊥, avec ⊥ = ∀α? .α :1) `3 > par (P-Ax) ;2) `3 [γ ?⇒? \λβ ? .>]·∀α? .γα par (∀i ) et 1 ;3) ∀α? .γα `n ∀α? .γα par (P-Hyp) et 2 ;4) `3 (∀α? .γα) → (∀α? .γα) par (→i ) et 3 ;5) `3 ∀γ ?⇒? .(∀α? .γα) → (∀α? .γα) par (∀i ) et 4 ;6) `3 (∀α? .(λβ ? .β)α) → (∀α? .(λβ ? .β)α) par (P-∀e ), 5 et λβ ? .β motivable ;7) `3 (∀α? .α) → (∀α? .α) par (=β ) et 6.
Ne pas avoir le droit de motiver l’identité impose de très fortes restrictions sur la
notion de motivation ; on ne peut pas se contenter d’imposer la motivabilité duprédicat pour seulement certains arguments, par exemple ceux qui sont motivables :il faut que le prédicat soit motivable quelque soit ses arguments. C’est pourquoi
nous avons choisi de définir qu’un prédicat P est motivable quand la formule
P = ∀ακ .∀β ι · · · .P αβ · · · est motivable. Avec cette définition, nous obtenons une
version de la règle (P-∀e ) adaptée aux calculs d’ordre supérieur :Γ `n ∀ακ .A `n σ·U(P-∀e )
Γ `n [ακ \U ]·A
Cependant, nous ne pouvons toujours pas appliquer cette méthode de pédagogisation sans précaution ; la présence d’objets d’ordre supérieur pose d’autres difficultés ; par exemple la règle (=β ) permet de faire apparaı̂tre la formule ⊥ dansl’importe quelle dérivation par β-expansion :1) `3 > par (P-Ax) ;2) `3 (λα? .>)⊥ par (=β ) et 1.
De même, la règle (=β ) peut générer dans les formules des prédicats d’ordresupérieur non motivables :65

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur1) `3 > par (P-Ax) ;2) > `3 > par (P-Ax) et 1 ;3) `3 > → > par (→i ) et 2 ;4) > → > `ωf > par (P-Ax) et 3 ;5) `3 (> → >) → > par (→i ) et 4 ;6) `3 (λα? .(α → α) → α)> par (=β ) et 5.
Dans ce jugement, le prédicat non motivable est λα? .(α → α) → α :Lemme 3.3.1. Le prédicat λα? .(α → α) → α n’est pas motivable dans F-CPω .
Démonstration. Supposons que le prédicat λα? .(α → α) → α soit motivable dans
F-CPω . Alors le jugement `ωf ∀α? .(λα? .(α → α) → α)α est dérivable.
1) `ωf ∀α? .(λα? .(α → α) → α)α2) > `ωf ∀α? .(α → α) → α par (=β ) et 1 ;3) `ωf (α → α) → α par (∀e ) et 2 ;4) `ωf > par (P-Ax) ;5) α `ωf α par (P-Hyp) et 4 ;6) `ωf α → α par (→i ) et 5 ;7) `ωf α par (→e ), 3 et 6 ;8) `ωf ∀α? .α par (∀i ) et 7.
F-CPω est un sous-système de CPω ; donc le jugement `ω ∀α? .α est dérivable, ce
qui est absurde compte tenu de la cohérence de CPω .
Nous sommes alors conduits à contraindre la relation de β-équivalence pour ne
pas qu’elle puisse décomposer des prédicats motivables en plusieurs prédicats
éventuellement non motivables :Définition 3.3.1. Soit C un calcul dont la morphologie est composée des jugements de la forme Γ `nid , avec n un élément de J2; ωK et id un identifiant textuel.
Pour tous les prédicats P et Q, la relation de β 0 -équivalence entre P et Q, notée
P =β 0 Q, est définie par les règles (β> ), (βvar ), (β→ ), (β∀ ), (βλ ), (βapp ), (βsym ) et
(βtrans ), ainsi que de la règle suivante :`npc σ·∀ακ .A `npc σ·B(P-βred )(λακ .A)B =β 0 [ακ \B]·A
Quand la relation P =β 0 Q est vérifiée, on dit que les prédicats P et Q sont β 0 équivalents.
Compte-tenu de toutes ces observations, nous sommes en mesure de définir descalculs pédagogiques d’ordre supérieur dans lesquels, nous verrons cela plus loin,
tout sous-prédicat P tel que la formule P soit absurde disparaı̂t des formules
apparaissant dans les dérivations :66

3.3 Calculs propositionnels pédagogiques contraints d’ordre supérieurDéfinition 3.3.2. Pour tout n élément de J2; ωK, le calcul propositionnel pédagogique contraint d’ordre n, abrégé en PC-CPn , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `npc F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (P-Ax), (P-Hyp), (→i ), (→e ), (∀i ) et (=α ) ainsi que desdeux règles suivantes :Γ `npc ∀ακ .A `npc σ·U(P-∀e )
Γ `npc [ακ \U ]·AΓ `npc A A =β 0 B(=β 0 )
Γ `npc B
Le calcul PC-CPω est également appelé le calcul propositionnel pédagogique contraint d’ordre supérieur. On dit qu’un jugement Γ `npc F est dérivable quand il
existe une dérivation dans PC-CPn dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.

3.3.2

Non-nullité sémantique des implications

Les calculs PC-CPn satisfont la propriété de non-nullité des implications ; enparticulier, pour tout sous-prédicat P des formules apparaissant dans les dérivations, la formule P est instanciable en une formule vraie au sens de la sémantiquebooléenne à deux valeurs de vérité :Proposition 3.3.2. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `npc Fdérivable et pour tout sous-formule G d’une formule de Γ ∪ {F }, il existe une
substitution σ telle que la formule σ·G soit vraie dans la sémantique booléenne.
Démonstration. Afin de prouver la présente proposition, nous avons besoin dusystème P-CPn défini dans la section suivante. En effet, d’après la proposition
3.4.20, il existe une substitution σ telle que la formule σ·G soit close et démontrable
dans le calcul P-CPn . Le calcul P-CPω est une extension consistante du calcul
PC-CPn dans la sémantique booléenne ; donc la formule σ · G est vraie dans lasémantique booléenne.

3.3.3

Certaines implications sont syntaxiquement nulles

Il est regrettable que les calculs PC-CPn pour n ∈ J3; ωK ne satisfassent
pas la propriété de non-nullité syntaxique des implications. En effet, nous allons
construire un jugement `3pc G → G dérivable tel que la formule G, close, ne soit pas
motivable dans PC-CPω . Tout d’abord, nous construisons la formule G requise :67

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
Lemme 3.3.3. Soient V = ∀α? .α → α, H = ∀α? .γ(> → α) et G = ∀γ ?⇒? .H →γV . Le jugement `ωpc G n’est pas dérivable.
Démonstration. Toutes les dérivations dans le système CPω admettent une forme
normale (voir [13]). Supposons qu’il existe une dérivation en forme normale dujugement `ω G. Ainsi le jugement H `ω γV possède une dérivation en forme
normale dans laquelle une application de la règle (Hyp) dérive le jugement H `ω H,
suivie par une séquence d’applications des (→e ) et (∀e ). Nous pouvons uniquement
appliquer la règle (∀e ) sur le jugement H `ω H afin de dériver un jugement de laforme H `ω γ(> → U ). Nous ne pouvons appliquer ni la règle (→e ) ni la règle(∀e ) sur le jugement H `ωγ (> → U ) ; donc nous avons γ(> → U ) = γV , ce qui
est contradictoire puisque la formule V n’est pas de la forme > → U . Ainsi lejugement `ω G n’est pas dérivable. Comme PC-CPω est un sous-système de CPω ,le jugement `ωpc G n’est pas dérivable.
Ensuite, nous dérivons le jugement `3pc G → G :Lemme 3.3.4. Soient F = ∀γ ?⇒? (∀α? .γ(> → α)) → γβ et G = [β\∀α? .α → α]·F .
Le jugement `3pc G → G est dérivable.
Démonstration.
1) `ωpc > par (P-Ax) ;2) `ωpc (λβ ? .>)(> → α) par (=β ) et 1 ;3) `ωpc [γ ? \λβ ? .>]·∀α? .γ(> → α) par (∀i ) et 2 ;4) ∀α? .γ(> → α) `ωpc ∀α? .γ(> → α) par (P-Hyp) et 3 ;5) ∀α? .γ(> → α) `ωpc γ(> → >) par (P-∀e ), 4 et 1 ;6) `ωpc (∀α? .γ(> → α)) → γ(> → >) par (→i ) et 5 ;7) `ωpc [β ? \> → >]·F par (∀i ) et 6 ;8) F `ωpc F par (P-Hyp) et 7 ;9) `ωpc F → F par (→i ) et 8 ;10) `ωpc ∀β ? .F → F par (∀i ) et 9 ;11) `ωpc ∀α? .α → α aisément dérivable ;12) `ωpc G → G par (P-∀e ), 10 et 11.
Enfin, nous démontrons que pour tout n ∈ J3; ωK le calcul PC-CPn admet au moins
une implication syntaxiquement nulle :Proposition 3.3.5. Il existe une formule G close telle que le jugement `ωpc G → G
soit dérivable et que le jugement `ωpc G ne soit pas dérivable.
Démonstration. Soit G = ∀γ ?⇒? (∀α? .γ(> → α)) → γ(∀α? .α → α). D’après lelemme 3.3.4, le jugement `ωpc G → G est dérivable. D’après le lemme 3.3.3, lejugement `ωpc G n’est pas dérivable.
683.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur

3.4

Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur

3.4.1

Présentation des calculs

Nous avons construit dans le lemme 3.3.3 une formule G non dérivable dans
PC-CPω telle que le jugement `3pc G → G soit dérivable. Par conséquent, aucun
des calculs PC-CPn pour n ∈ J3; ωK ne vérifie la non-nullité syntaxique des implications. Cependant, la formule G n’est pas non plus dérivables dans CPω ; donc
la contrainte pédagogique n’est pas trop restrictive, ce n’est pas à cause d’elle que
G n’est pas dérivable. De plus, le calcul PC-CP2 , équivalent à P-CP2 , admet lanon-nullité syntaxique des implications. En observant la preuve du lemme 3.3.3, on
se rend compte que l’impossibilité de démontrer la formule G est due au fait de nepas pouvoir substituer des prédicats équivalents dans les formules prouvables ; or, il
se trouve que PC-CP2 admet cette propriété. Nous allons donc enrichir les calculs
PC-CP2 afin que tous les prédicats équivalents soient librement substituables dansles formules démontrables. La notion de prédicats équivalents n’est correctementdéfinie que dans le cas des formules ; pour généraliser cette notion, nous définissons
l’égalité extensionnelle entre les prédicats :Définition 3.4.1. Soit κ un genre. Pour tous les prédicats P : κ et Q : κ, l’égalité
extensionnelle entre P et Q, notée P =κ Q, est une formule définie par récurrence
sur κ :
κ = ? : A =κ B est définie par la formule A ↔ B ;κ = ι ⇒ θ : A =κ B est définie par la formule ∀αι .Aα =θ Bα.
Nous définissons alors les calculs pédagogiques extensionnels d’ordre supérieur :Définition 3.4.2. Pour tout n élément de J2; ωK, le calcul propositionnel pédagogique d’ordre n, abrégé en P-CPn , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `np F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrence àl’aide des règles (P-Ax), (P-Hyp), (→i ), (→e ), (∀i ), (P-∀e ), (=α ) et (=β 0 ),ainsi que de la règle suivante :Γ `np [ακ \A]·F Γ `np A =κ B(Ext)Γ `np [ακ \B]·F
Le calcul P-CPω est également appelé le calcul propositionnel pédagogique d’ordresupérieur. On dit qu’un jugement Γ `np F est dérivable quand il existe une dérivation dans P-CPn dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
69

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur

3.4.2

Non-nullité syntaxique des implications

Nous allons démontrer que pour tout n élément de J2; ωK, les calculs P-CP2
respectent la propriété de non-nullité syntaxique des implications, dont la définition
est facilement généralisée à l’ordre supérieur :Définition 3.4.3. Soient n élément de J2; ωK et C un calcul dont la morphologie
est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `nid F . Une implication
A → B est syntaxiquement non-nul quand la formule A est motivable dans C.
Nous allons en fait prouver un résultat plus fort : tous les sous-prédicats des formules apparaissant dans les dérivations des calculs P-CPn sont motivables par une
seule et même motivation, la motivation > qui remplace toutes les variables libresακ par les prédicats >κ définis ci-dessous :Définition 3.4.4. Pour tout genre κ, le prédicat >κ est défini par récurrence surκ:κ = ? : >κ = > ;κ = ι ⇒ θ : >κ = λαι .>θ .
Nous observons que le prédicat >κ est de genre κ.
Pour toute formule F , nous écrivons F> la formule F dans laquelle toute variablelibre ακ est remplacée par >κ . Une substitution triviale est une substitution dont
toutes les formules constitutives sont démontrables. Dans le chapitre 2, nous avons
introduit la notion de formules héréditairement trivialement motivables, c’est-àdire des formules dont toutes les sous-formules sont motivables par une substitution
triviales. Il est fréquent pour prouver un théorème sur une propriété simple de faireappel à des propriétés plus complexes ; c’est notre cas ici, car pour montrer que
toutes les sous-formules dans les dérivations des calculs P-CPn sont motivables par>, il faut prouver un résultat plus fort : que toutes les formules dans les dérivations
sont uniformément trivialement motivables. Une formule est uniformément motivable quand toutes ses sous-formules sont motivables par des motivations dont
les objets associés aux mêmes variables sont identiques ; ceci signifie qu’une motivation uniforme associe les mêmes exemples aux mêmes variables quelque soit lasous-formule. Comme les motivations uniformes sont très proches de la structuredes formules, elles permettent de mener des preuves plus naturelles :Définition 3.4.5. Soient n élément de J2; ωK et C un calcul dont la morphologie
est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `nid F . Pour tout prédicat
P et pour toute substitution σ triviale dans C, on définit par récurrence sur P lapropriété d’être uniformément trivialement motivable par σ (abrégé en σ-UTM)
dans C :P = > : P est σ-UTM dans C ;70

3.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
P = ακ : si α ∈ Dom(σ) alors P est σ-UTM dans C ;P = A → B : si σ motive P dans C et si A et B sont σ-UTM dans C, alors
P est σ-UTM dans C ;P = ∀ακ .A : si σ motive P dans C et si A est [σ\α ; α\U ]-UTM dans C pour
toute formule U dérivable dans C, alors P est σ-UTM dans C ;P = λακ .A : si σ motive P dans C et si A est [σ\α ; α\U ]-UTM dans C pour
toute formule U dérivable dans C, alors P est σ-UTM dans C ;P = AB : si σ motive P dans C et si A et B sont σ-UTM dans C, alors P est
σ-UTM dans C.
On démontre ci-dessous que la composition de deux substitutions triviales est une
substitution triviale :Proposition 3.4.1. Soit n un élément de J2; ωK. Pour toutes substitutions σ et
µ triviales dans P-CPn telles que, pour tout α ∈ Dom(σ), la substitution µ soit
adaptée aux formules σ·α, la substitution µ σ est triviale dans P-CPn .
Démonstration. Soit α ∈ Dom(µ σ) ; deux cas se présentent :– α ∈ Dom(σ) : par hypothèse, le jugement `np σ · α est dérivable ; posons−→
Dom(µ) = {βiκ | 1 ≤ i et i ≤ n} ; le jugement `np ∀βnκ .σ · α est dérivableà l’aide de la règle (∀i ) ; ainsi, comme µ est une substitution triviale, lejugement `np µ σ·α est dérivable à l’aide de la règle (P − ∀e ) ;– α ∈ Dom(µ) \ Dom(σ) : nous avons µ σ · α = µ · α ; comme µ est une
substitution triviale, le jugement `np µ σ·α est dérivable.
Il est important de pouvoir compléter les motivations ouvertes et des motivations
closes. La proposition suivante garantit que c’est toujours le cas pour les motivations triviales :Proposition 3.4.2. Soient n un élément de J2; ωK et F une formule motivabledans P-CPn par la substitution σ. Pour toute substitution µ triviale dans P-CPn ,la substitution µ σ est une motivation de F dans P-CPn .
Démonstration. Par hypothèse, le jugement `np σ·F est dérivable. Posons Dom(µ) =−→{βiκ | 1 ≤ i et i ≤ n} ; à l’aide de la règle (∀i ), nous dérivons le jugement `np ∀βnκ .σ·F ;ainsi, à l’aide de la règle (P-∀e ), nous dérivons le jugement `np µ σ·F .
De même que dans les calculs F-CPn , la règle d’affaiblissement faiblement pédagogique (F-Aff) est valide dans les calculs P-CPn :Lemme 3.4.3. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `np F dérivable
et pour toute formule U telle que Γ ∪ {U } soit motivable dans P-CPn , le jugement
Γ, U `np F est dérivable.
71Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieurDémonstration. Analogue à la preuve de la proposition 3.2.8.
Dans tout jugement pédagogiquement dérivable, on s’attend à ce que les formules
admettent une motivation qui associe le même objet à toutes les variables libres
identiques apparaissant dans le jugement. Le lemme suivant garantit que les motivations des hypothèses sont également des motivations des conséquences :Lemme 3.4.4. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement Γ `np F dérivable
et pour toute substitution σ triviale dans P-CPn adaptée aux éléments de Γ ∪ {F },si σ est une motivation de Γ dans P-CPn alors σ est une motivation de F dans
P-CPn .
Démonstration. La démonstration est analogue à celle du lemme 3.2.5. Quelquesprécautions doivent être prises lors de l’utilisation de la règle (P-∀e ) à la placede la règle (∀e ) : comme la substitution σ est supposée triviale dans P-CPn , ellepeut-être utilisée sans danger lors de l’application de la règle (P-∀e ).
Pour tout prédicat P , P est la représentation de P sous la forme d’une formule ;ainsi, démontrer P et Q pour deux prédicats P et Q garantit qu’ils sont extensionnellement égaux :Lemme 3.4.5. Soit n un élément de J2; ωK. Soient Γ un contexte trivialement
motivable, κ un genre, et F : κ et G : κ deux prédicats. Si les jugements Γ `np F
et Γ `np G sont dérivables, alors le jugement Γ `np F =κ G est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : les jugements Γ `np F et Γ `np G sont dérivables par hypothèse ; lesensembles Γ ∪ {F } et Γ ∪ {G} sont trivialement motivables d’après le lemme
3.4.4 ; donc les jugements Γ, F `np G et Γ, G `np F sont dérivables d’après lelemme 3.4.3. Les jugements Γ `np F → G et Γ `np G → F sont dérivables parla règle (→i ) ; ainsi le jugement Γ `np F =? G est dérivable.
κ = ι ⇒ θ : les jugements Γ `np F et Γ `np G sont dérivables par hypothèse.
Nous avons F = ∀αι .F α ; donc Γ `np F α est dérivable par la règle (P-∀e ). Demême, le jugement Γ `np Gα est dérivable. Par hypothèse de récurrence, lejugement Γ `np F α =θ Gα est dérivable ; ainsi le jugement Γ `np F =κ G est
dérivable par la règle (∀i ).
Dans les calculs P-CPn , on peut substituer une sous-formule prouvable par une
autre formule prouvable dans l’importe quelle dérivation, ce qui nous permettrade remplacer n’importe quelle motivation triviale par la motivation > :72

3.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
Lemme 3.4.6. Soit n un élément de J2; ωK. Soient Γ un contexte trivialement
motivable dans P-CPn et F une formule. Pour toutes substitutions σ et µ triviales
dans P-CPn et adaptées à Γ ∪ {F } telles que Dom(σ) ∩ Vl(F ) ⊆ Dom(µ), si lejugement Γ `ωp σ·F est dérivable, alors le jugement Γ `ωp µ·F est dérivable.
Démonstration. σ et µ sont deux substitutions triviales dans P-CPn ; donc, d’aprèsle lemme 3.4.1, µ σ est une substitution triviale dans P-CPn . D’après le lemme
3.4.5, le jugement Γ `np µ σ·α =κ µ·α est dérivable pour tout ακ ∈ Dom(µ). Par
hypothèse, le jugement Γ `np σ·F est dérivable ; donc le jugement Γ `np µ σ·F est
dérivable d’après le lemme 3.4.2. Ainsi, le jugement Γ `np µ·F est dérivable par larègle (Ext).
Nous allons maintenant démontrer les propriétés attendues des motivations uniformes ; la première propriété est que toute motivation uniforme est une motivation :Lemme 3.4.7. Soit n élément de J2; ωK. Pour tout prédicat P et pour toute substitution σ triviale dans P-CPn , si P est σ-UTM dans P-CPn alors σ motive P
dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur P ; nous traitons uniquement les cas P = > et
P = ακ , les autres cas étant immédiats d’après la définition 3.4.5 :P = > : nous avons σ·> = > ; donc σ motive P dans P-CPn ;P = ακ : nous avons α ∈ Dom(σ) et σ est triviale ; donc σ motive P dans
P-CPn .
La seconde propriété est que toute motivation uniforme d’un prédicat est une
motivation uniforme de tous les sous-prédicats de ce prédicat :Lemme 3.4.8. Soient n un élément de J2; ωK et σ une substitution triviale dans
P-CPn . Pour tout prédicat U : κ et P tel que ακ ∈ Vl(P ) et que [ακ \U ] soit adaptéeà P , si [ακ \U ]·P est σ-UTM dans P-CPn alors U est σ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur P :P = > : ce cas est immédiat ;P = β ι : deux cas se présentent :– β = α : nous avons [ακ \U ] · P = U ; comme [ακ \U ] · P est σ-UTM dans
P-CPn , U est également µ-UTM dans P-CPn ;– β 6= α : nous avons α 6∈ Vl(P ), ce qui est contradictoire ; on en déduit
alors le résultat par l’absurde ;P = A → B : comme α ∈ Vl(P ), nous avons soit α ∈ Vl(A), soit α ∈ Vl(B) ;dans chacun des deux cas, le prédicat U est σ-UTM dans P-CPn par hypothèse de récurrence ;73

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
P = ∀β ι .A : par α-équivalence, on peut supposer que β 6= α ; soit V une formule dérivable dans P-CPn ; comme α ∈ Vl(P ), nous avons α ∈ Vl(A) ;par hypothèse de récurrence, le prédicat U est [σ\β ; β\V ]-UTM dans P-CPn ;comme la substitution [α\U ] est adaptée à P , nous avons β 6∈ Vl(U ) ; ainsi,
d’après le lemme 3.4.11, le prédicat U est σ-UTM dans P-CPn ;P = λβ ι .A : analogue au cas précédent ;P = AB : analogue au cas P = A → B.
La troisième propriété est qu’une motivation uniforme est une motivation instanciant toutes les variables libres des prédicats qu’elle motive :Lemme 3.4.9. Soit n élément de J2; ωK. Pour tout prédicat P et pour toute substitution σ triviale dans P-CPn , si P est σ-UTM dans P-CPn alors Vl(P ) ⊆ Dom(σ).
Démonstration. Immédiate par récurrence sur P .
Enfin, la quatrième propriété restaure le statut de représentant de chaque formule
P en montrant que pour qu’un prédicat P soit uniformément motivable, il suffit
que la formule P soit uniformément motivable :Lemme 3.4.10. Soit n élément de J2; ωK. Soit κ un genre. Pour tout prédicat
P : κ et pour toute substitution σ triviale dans P-CPn , si P est σ-UTM dans
P-CPn alors P est σ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : nous avons P = P ; donc P est σ-UTM dans P-CPn ;κ = ι ⇒ θ : nous avons P = ∀αι .P α ; donc pour toute formule U dérivabledans P-CPn la formule P α est [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ; par hypothèsede récurrence, pour toute formule U dérivable dans P-CPn , le prédicat P α
est [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ; ainsi P est [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ;par α-équivalence, on peut supposer que α 6∈ Vl(P ) ; ainsi le prédicat P est
σ-UTM d’après le lemme 3.4.11.
La propriété suivante est spécifique aux calculs pédagogiques propositionnels ; elle
affirme que toutes les motivations triviales uniformes sont équivalentes, donc interchangeables :Lemme 3.4.11. Soit n élément de J2; ωK. Pour tout prédicat P et pour toute
substitution σ triviale dans P-CPn , si P est σ-UTM alors pour toute substitution
triviale µ telle que Vl(P ) ⊆ Dom(µ), P est µ-UTM.
Démonstration. Par récurrence sur P :74

3.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
P = > : soit µ une substitution triviale telle que Vl(P ) ⊆ Dom(µ) ; P estµ-UTM dans P-CPn ;P = ακ : soit µ une substitution triviale telle que Vl(P ) ⊆ Dom(µ) ; nous avonsα ∈ Dom(µ) ; donc le jugement `np µ·α est dérivable ;P = A → B : soit µ une substitution triviale telle que Vl(P ) ⊆ Dom(µ) ;– σ motive P dans P-CPn ; donc, d’après le lemme 3.4.6, µ motive P dans
P-CPn ;
– A et B sont σ-UTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, A et B
sont µ-UTM dans P-CPn ;ainsi P est µ-UTM dans P-CPn ;P = ∀ακ .A : soit µ une substitution triviale telle que Vl(P ) ⊆ Dom(µ) ;– σ motive P dans P-CPn ; donc, d’après le lemme 3.4.6, µ motive P dans
P-CPn ;
– soit U une formule dérivable dans P-CPn ; A est [σ\α ; α\U ]-UTM dans
P-CPn ; par hypothèse de récurrence, A est [µ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ;ainsi P est µ-UTM dans P-CPn ;P = λακ .A : analogue au cas P = ∀ακ .A ;P = AB : analogue au cas P = A → B.

La preuve que toutes les formules des dérivations des calculs P-CPn sont uniformément trivialement motivables se fait par récurrence sur les dérivations ; lelemme suivant concerne les cas des règles contenant des preuves de motivations,comme les règles (P-Ax) et (P-Hyp) :Lemme 3.4.12. Soit n un élément de J2; ωK. Soient P un prédicat, et σ et µ deux
substitutions triviales dans P-CPn . Si le prédicat σ · P est µ-UTM dans P-CPn ,alors pour toute substitution ρ triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) = Dom(σ) ∪Dom(µ), P est ρ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur P :P = > : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle queDom(ρ) = Dom(σ) ∪ Dom(µ) ; P est ρ-UTM dans P-CPn ;P = ακ : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) =Dom(σ) ∪ Dom(µ) ; nous avons α ∈ Dom(ρ) ; donc le jugement `np ρ · α
est dérivable ; ainsi P est ρ-UTM dans P-CPn ;P = A → B : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) =Dom(σ) ∪ Dom(µ) ;– µ motive σ·P dans P-CPn ; donc µ σ motive P dans P-CPn ; nous avons
Dom(µ σ) = Dom(σ) ∪ Dom(µ) ; donc, d’après le lemme 3.4.6, ρ motive
P dans P-CPn ;75

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur– σ·A et σ·B sont µ-UTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, A et
B sont ρ-UTM dans P-CPn ;ainsi P est ρ-UTM dans P-CPn ;P = ∀ακ .A : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) =Dom(σ) ∪ Dom(µ) ;– µ motive σ·P dans P-CPn ; donc µ σ motive P dans P-CPn ; nous avons
Dom(µ σ) = Dom(σ) ∪ Dom(µ) ; donc, d’après le lemme 3.4.6, ρ motive
P dans P-CPn ;– soit U une formule dérivable dans P-CPn ; σ ·A est [µ\α ; α\U ]-UTM dans
P-CPn ; par hypothèse de récurrence, A est [ρ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ;ainsi P est ρ-UTM dans P-CPn ;P = λακ .A : analogue au cas ∀ακ .A ;P = AB : analogue au cas P = A → B.
Le lemme suivant concerne les cas des règles faisant appel à des substitutions,comme les règles (Ext) et (P-∀e ) :Lemme 3.4.13. Soient n un élément de J2; ωK, κ un genre et ακ une variable.
Soient P et U : κ deux prédicats. Pour toutes substitutions σ et µ triviales dans
P-CPn , si P est σ-UTM dans P-CPn et U µ-UTM dans P-CPn , alors pour toute
substitution ρ triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) = (Dom(σ) \ {α}) ∪ Dom(µ),
le prédicat [ακ \U ]·P est ρ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur P :P = > : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle queDom(ρ) = (Dom(σ) \ {α}) ∪ Dom(µ) ; le prédicat [ακ \U ] · P est ρ-UTM
dans P-CPn ;P = β κ : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) =(Dom(σ) \ {α}) ∪ Dom(µ) ; deux cas se présentent :– β = α : d’après le lemme 3.4.11, U est ρ-UTM dans P-CPn ; d’après lelemme 3.4.7, ρ motive U dans P-CPn ; nous avons U = [ακ \U ]·P , donc ρ
motive [ακ \U ]·P dans P-CPn ; ainsi [ακ \U ]·P est ρ-UTM dans P-CPn ;– β 6= α : le prédicat P est σ-UTM dans P-CPn ; comme P-CPn est cohérent,le jugement `np P n’est pas dérivable ; donc β ∈ Dom(σ) ; ainsi β ∈ Dom(ρ)
et le jugement `np ρ·P est dérivable ; comme P = [ακ \U ]·P , le prédicat[ακ \U ]·P est ρ-UTM dans P-CPn ;P = A → B : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) =(Dom(σ) \ {α}) ∪ Dom(µ) ;– d’après le lemme 3.4.11, P est ρ-UTM dans P-CPn ; donc ρ motive P dans
P-CPn d’après le lemme 3.4.7 ; de même, ρ motive U dans P-CPn ; donc la
substitution [ακ \ρ·U ] est triviale dans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.6, le76

3.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
jugement `np [ρ\α ; ακ \ρ·U ]·P est dérivable ; nous avons [ακ \ρ·U ; ρ\α ]·P =ρ·[ακ \U ]·P ; ainsi ρ motive [ακ \U ]·P dans P-CPn ;– A et B sont σ-UTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, [ακ \U ]·Aet [ακ \U ]·B sont ρ-UTM dans P-CPn ;ainsi [ακ \U ]·P est ρ-UTM dans P-CPn ;P = ∀β κ .A : soit ρ une substitution triviale dans P-CPn telle que Dom(ρ) =(Dom(σ) \ {α}) ∪ Dom(µ) ;– d’après le lemme 3.4.11, P est ρ-UTM dans P-CPn ; donc ρ motive P dans
P-CPn d’après le lemme 3.4.7 ; de même, ρ motive U dans P-CPn ; donc la
substitution [ακ \ρ·U ] est triviale dans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.6, lejugement `np [ρ\α ; ακ \ρ·U ]·P est dérivable ; nous avons [ακ \ρ·U ; ρ\α ]·P =ρ·[ακ \U ]·P ; ainsi ρ motive [ακ \U ]·P dans P-CPn ;– soit U une formule dérivable dans P-CPn ; A est [σ\α ; α\U ]-UTM dans
P-CPn ; par hypothèse de récurrence, [ακ \U ]·A est [ρ\α ; α\U ]-UTM dans
P-CPn ;
ainsi [ακ \U ]·P est ρ-UTM dans P-CPn ;P = λακ .A : analogue au cas P = ∀β κ .A ;P = AB : analogue au cas P = A → B.
Les deux lemmes suivants concernent le cas de la règle (Ext) :Lemme 3.4.14. Soit n élément de J2; ωK. Soit κ un genre. Pour tout prédicat
P : κ et Q : κ, et pour toute substitution σ triviale dans P-CPn , si P =κ Q est
σ-UTM dans P-CPn alors P et Q sont σ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : supposons que la formule P ↔ Q soit σ-UTM dans P-CPn ; donc P
et Q sont σ-UTM dans P-CPn ;κ = ι ⇒ θ : supposons que la formule ∀αι .P α =θ Qα soit σ-UTM dans P-CPn ,avec α ∈ Fr(A, B) ; soit U une formule dérivable dans P-CPn ; la formule
P α =θ Qα est [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence,les prédicats P α et Qα sont [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ; donc P et Q sont
[σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ; ainsi, d’après le lemme 3.4.11, les prédicats P
et Q sont σ-UTM dans P-CPn .
Lemme 3.4.15. Soient n un élément de J2; ωK et σ une substitution triviale dans
P-CPn . Pour tous prédicats P , U : κ et V : κ, si [ακ \U ]·P , U et V sont σ-UTM
dans P-CPn alors [ακ \V ]·P est σ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur P :P = > : ce cas est immédiat ;77

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
P = β ι : deux cas se présentent :– β = α : nous avons [ακ \V ]·P = V ; comme V est σ-UTM dans P-CPn ,[ακ \V ]·P est également µ-UTM dans P-CPn ;– β 6= α : nous avons [ακ \U ]·P = [ακ \V ]·P ; comme [ακ \U ]·P est σ-UTM
dans P-CPn , [ακ \V ]·P est également σ-UTM dans P-CPn ;P = A → B : par hypothèse de récurrence, [ακ \V ]·A et [ακ \V ]·B sont σ-UTM
dans P-CPn ; [ακ \U ] · P est motivable par σ dans P-CPn ; donc, d’après lelemme 3.4.6, [ακ \U ]·P est motivable par σ dans P-CPn ; ainsi [ακ \V ]·P est
σ-UTM dans P-CPn ;P = ∀β ι .A : par α-équivalence, on peut supposer que β 6= α ; soit W une
formule dérivable dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, [ακ \V ]·A est[σ\β ; β\W )-UTM dans P-CPn ; [ακ \U ]·P est motivable par σ dans P-CPn ;donc, d’après le lemme 3.4.6, [ακ \U ] · P est motivable par σ dans P-CPn ;ainsi [ακ \V ]·P est σ-UTM dans P-CPn ;P = λβ ι .A : analogue au cas précédent ;P = AB : analogue au cas P = A → B.
Les deux lemmes qui suivent sont liés au cas de la règle (=α ) :Lemme 3.4.16. Soient n un élément de J2; ωK et σ une substitution triviale dans
P-CPn . Pour tout prédicat P et pour tout prédicat U dérivable dans P-CPn , si P
est [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn alors [α\γ]·P est [σ\γ ; γ\U ]-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur P :P = > : nous avons [α\γ] · P = > ; donc [α\γ] · P est [σ\γ ; γ\U ]-UTM dans
P-CPn ;
P = β κ : deux cas se présentent :– β = α : nous avons [α\γ]·P = γ ; donc [α\γ]·P est [σ\γ ; γ\U ]-UTM dans
P-CPn ;
– β 6= α : nous avons [α\γ]·P = β et β ∈ Dom(σ) car P est [σ\α ; α\U ]-UTM
dans P-CPn ; donc [α\γ]·P est [σ\γ ; γ\U ]-UTM dans P-CPn ;P = A → B : immédiat par récurrence sur A et B ;P = ∀β κ .A : supposons que P soit [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ; soit V un
prédicat dérivable dans P-CPn ; par α-équivalence on peut supposer que α 6∈
Dom(σ)∪{α} ; ainsi A est [σ\α ; α\U ; β\V ]-UTM dans P-CPn ; par hypothèsede récurrence, [α\γ]·A est [σ\γ ; γ\U ; β\V ]-UTM ; le jugement `np [σ\γ ; γ\U ]·[α\β]·P est dérivable dans P-CPn car [σ\γ ; γ\U ]·[α\β]·P = [σ\α ; α\U ]·P ;ainsi [α\γ]·P est [σ\γ ; γ\U ]-UTM dans P-CPn ;P = λβ κ .A : analogue au cas précédent ;P = AB : immédiat par récurrence sur A et B.

783.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
Lemme 3.4.17. Soient n un élément de J2; ωK et σ une substitution triviale dans
P-CPn . Pour tout prédicat A et B, si A =α B alors A est σ-UTM dans P-CPn si
et seulement si B est σ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de A =α B :> =α >(α> ) ce cas est immédiat ;(αvar ) ce cas est immédiat ;α κ =α α κ
A = α A0 B = α B 0(α→ ) supposons que la formule A → B soit σ-UTM dans
A → B =α A0 → B 0
P-CPn . Ainsi les formules A et B sont σ-UTM dans P-CPn . Par hypothèsede récurrence, les formules A0 et B 0 sont σ-UTM dans P-CPn . Le jugement`np σ · (A0 → B 0 ) est aisément dérivable par la règle (=α ). Ainsi la formule
A0 → B 0 est σ-UTM dans P-CPn . L’autre sens de l’implication est analogue.
[ακ \γ]·A =α [β κ \γ]·B γ ∈ Fr(A, B)(α∀ ) supposons que la formule ∀ακ .A∀ακ .A =α ∀β κ .B
soit σ-UTM dans P-CPn . Soit U une formule dérivable dans P-CPn . La formule A est [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn . D’après le lemme 3.4.16, la formule[α\γ] · A est [σ\γ ; γ\U ]-UTM dans P-CPn . Par hypothèse de récurrence, laformule [β\γ]·B est [σ\γ ; γ\U ]-UTM dans P-CPn . D’après le lemme 3.4.16,
la formule B est [σ\β ; β\U ]-UTM dans P-CPn . Le jugement `np σ·∀β κ .B est
aisément dérivable par la règle (=α ). Ainsi la formule ∀β κ .B est σ-UTM dans
P-CPn . L’autre sens de l’implication est analogue.
[ακ \γ]·A =α [β κ \γ]·B γ ∈ Fr(A, B)(αλ ) analogue au cas précédent ;λακ .A =α λβ κ .B
A =α A0 B =α B 0(αapp ) supposons que le prédicat AB soit σ-UTM dans
AB =α A0 B 0
P-CPn . Les prédicats A et B sont σ-UTM dans P-CPn . Par hypothèse derécurrence, les prédicats A0 et B 0 sont σ-UTM dans P-CPn . Le jugement`np σ·(A0 B 0 ) est aisément dérivable par la règle (=α ). Ainsi le prédicat A0 B 0est σ-UTM dans P-CPn . L’autre sens de l’implication est analogue.
Le lemme suivant concerne le cas de la règle (=β 0 ) :Lemme 3.4.18. Soient n un élément de J2; ωK et σ une substitution triviale dans
P-CPn . Pour tout prédicat A et B, si A =β 0 B et si tous les prédicats motivés dansla dérivation de A =β 0 B par une substitution µ sont µ-UTM, alors A est σ-UTM
dans P-CPn si et seulement si B est σ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de A =β 0 B :79Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur> =β 0 >(β> ) ce cas est immédiat ;(βvar ) ce cas est immédiat ;α κ =β 0 α κ
A =β 0 A0 B =β 0 B 0(β→ ) supposons que la formule A → B soit σ-UTM
A → B =β 0 A0 → B 0
dans P-CPn . Ainsi les formules A et B sont σ-UTM dans P-CPn . Par hypothèse de récurrence, les formules A0 et B 0 sont σ-UTM dans P-CPn . Le
jugement `np σ·(A0 → B 0 ) est aisément dérivable par la règle (=β 0 ). Ainsi laformule A0 → B 0 est σ-UTM dans P-CPn . L’autre sens de l’implication est
analogue.
A =β 0 A 0(β∀ ) supposons que la formule ∀ακ .A soit σ-UTM dans∀ακ .A =β 0 ∀ακ .A0
P-CPn . Soit U une formule dérivable dans P-CPn . La formule A est[σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn . Par hypothèse de récurrence, la formule A0
est [σ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn . Le jugement `np σ · ∀ακ .A0 est aisémentdérivable par la règle (=β 0 ). Ainsi la formule ∀ακ .A0 est σ-UTM dans P-CPn .
L’autre sens de l’implication est analogue.
A =β 0 A0(βλ ) analogue au cas précédent ;λακ .A =β 0 λακ .A0
A =β 0 A0 B =β 0 B 0(βapp ) supposons que le prédicat AB soit σ-UTM dansAB =β A0 B 0
P-CPn . Les prédicats A et B sont σ-UTM dans P-CPn . Par hypothèse derécurrence, les prédicats A0 et B 0 sont σ-UTM dans P-CPn . Le jugement`np σ·(A0 B 0 ) est aisément dérivable par la règle (=β 0 ). Ainsi le prédicat A0 B 0est σ-UTM dans P-CPn . L’autre sens de l’implication est analogue.
A =β 0 B(βsym ) supposons que le prédicat A soit σ-UTM dans P-CPn . Par
B =β 0 A
hypothèse de récurrence, le prédicat B est σ-UTM dans P-CPn . L’autre sens
de l’implication est analogue.
A =β 0 B B =β 0 C(βtrans ) supposons que le prédicat A soit σ-UTM dansA =β 0 C
P-CPn . Par hypothèse de récurrence, le prédicat B est σ-UTM dans P-CPn ;donc, par hypothèse de récurrence, le prédicat C est σ-UTM dans P-CPn .
L’autre sens de l’implication est analogue.
`np µ·∀ακ .A `np µ·B(P-βred )(λακ .A)B =β 0 [ακ \B]·A⇒) supposons que le prédicat (λακ .A)B soit σ-UTM dans P-CPn . Pour
toute formule U dérivable dans P-CPn , le prédicat A est [σ\α ; α\U ]-UTM
dans P-CPn et le prédicat B est σ-UTM dans P-CPn . D’après le lemme
3.4.13, le prédicat [ακ \B]·A est σ-UTM dans P-CPn .
80

3.4 Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur⇐) supposons que le prédicat [ακ \B]·A soit σ-UTM dans P-CPn . D’après lelemme 3.4.9, nous avons Vl(∀ακ .A) ⊆ Dom(µ). Nous avons Vl(∀ακ .A) ⊆Vl([ακ \B]·A). D’après le lemme 3.4.9, nous avons Vl([ακ \B]·A) ⊆ Dom(σ).
Ainsi Vl(∀ακ .A) ⊆ Dom(σ) ; d’après le lemme 3.4.11, la formule ∀ακ .A
est σ-UTM. Pour toute formule U dérivable dans P-CPn , la formule A
est [σ\α ; α\U ]-UTM ; ainsi, d’après le lemme 3.4.10, pour toute formule
U dérivable dans P-CPn , le prédicat A est [σ\α ; α\U ]-UTM. De même,le prédicat B est σ-UTM dans P-CPn . D’après le lemme 3.4.7, σ motive∀ακ .A dans P-CPn ; donc σ motive ∀ακ .(λακ .A)α dans P-CPn grâce àla règle (=β 0 ) ; ainsi le prédicat λακ .A est σ-UTM dans P-CPn . Ainsi leprédicat (λακ .A)B est σ-UTM dans P-CPn .
Voici enfin le lemme principal, celui qui montre que toutes les formules dans lesdérivations des calculs P-CPn sont uniformément trivialement motivables :Proposition 3.4.19. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement dérivableΓ `np F et pour toute substitution µ triviale adaptée à Γ ∪ {F }, si Vl(Γ ∪ {F }) ⊆Dom(µ) alors Γ ∪ {F } est µ-UTM dans P-CPn .
Démonstration. Soit µ une substitution triviale adaptée à Γ ∪ {F } telle que Vl(Γ ∪{F }) ⊆ Dom(µ). Montrons par récurrence sur la dérivation de Γ `np F que Γ ∪ {F }est µ-UTM dans P-CPn :`np σ·Γ(P-Ax) : notons ρ la substitution dont le domaine est Vl(σ ·Γ) telleΓ `np >que ρ·α = >κ pour toute variable ακ ∈ Dom(ρ). Soit G ∈ Γ ; par hypothèsede récurrence, la formule σ · G est ρ-UTM dans P-CPn ; d’après le lemme
3.4.12, la formule G est µDom(σ) -UTM dans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.11,
la formule G est µ-UTM dans P-CPn ; ainsi Γ∪{>} est µ-UTM dans P-CPn ;F ∈ Γ `np σ·Γ(P-Hyp) : analogue au cas précédent ;Γ `np F
Γ, A `np B(→i ) : par hypothèse de récurrence, les formules dans Γ∪{A, B}Γ `np A → B
sont µ-UTM dans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.7, la substitution µ motive Γdans P-CPn ; donc µ motive la formule A → B dans P-CPn d’après le lemme
3.4.4 ; ainsi Γ ∪ {A → B} est µ-UTM dans P-CPn ;Γ `np A → B Γ `np A(→e ) : par hypothèse de récurrence, Γ ∪ {A, B} est µΓ `np B
UTM dans P-CPn ;Γ `np A ακ 6∈ Vl(Γ)(∀i ) : soit U une formule dérivable dans P-CPn ; par hyΓ `np ∀ακ .A
pothèse de récurrence, Γ ∪ {A} est [µ\α ; α\U ]-UTM dans P-CPn ; d’après le81

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieurlemme 3.4.7, la substitution µ motive Γ dans P-CPn ; donc µ motive la formule ∀ακ .A dans P-CPn d’après le lemme 3.4.4 ; par conséquent, ∀ακ .A estµ-UTM dans P-CPn ;Γ `np ∀ακ .A `np σ·U(P-∀e ) : notons ρ la substitution dont le domaine estΓ `np [ακ \U ]·A
Vl(σ·U ) telle que ρ·α = >κ pour toute variable ακ ∈ Dom(ρ). par hypothèsede récurrence, la formule σ · U est ρ-UTM dans P-CPn ; d’après le lemme
3.4.12, la formule U est µDom(σ) -UTM dans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.11,
la formule U est µ-UTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, Γ ∪{∀ακ .A} est µ-UTM dans P-CPn ; donc A est [µ\α ; α\>κ ]-UTM dans P-CPn ;d’après le lemme 3.4.13, la formule [ακ \U ]·A est µ-UTM dans P-CPn ; ainsiΓ ∪ {[ακ \U ]·A} est µ-UTM dans P-CPn ;Γ `np [ακ \A]·F Γ `np A =κ B
(Ext) : par hypothèse de récurrence, Γ est µΓ `np [ακ \B]·F
UTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, la formule A =κ B estµ-UTM dans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.14, les prédicats A et B sont µUTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, la formule [ακ \A] · F estµ-UTM dans P-CPn ; par hypothèse de récurrence, la formule A est µ-UTM
dans P-CPn ; donc, d’après le lemme 3.4.15, la formule [ακ \B]·F est µ-UTM
dans P-CPn ;Γ `np A A =α B(=α ) : par hypothèse de récurrence, Γ ∪ {A} est µ-UTM
Γ `np Bdans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.17, la formule B est µ-UTM dans P-CPn ;ainsi Γ ∪ {B} est µ-UTM dans P-CPn ;Γ `np A A =β 0 B(=β 0 ) : par hypothèse de récurrence, Γ ∪ {A} est µ-UTM
Γ `np Bdans P-CPn ; d’après le lemme 3.4.17, la formule B est µ-UTM dans P-CPn ;ainsi Γ ∪ {B} est µ-UTM dans P-CPn .
Par conséquent, nous avons la propriété de non-nullité syntaxique des jugements
dans les calculs P-CPn par la proposition suivante :Proposition 3.4.20. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement dérivableΓ `np F , le jugement `np (G)> est dérivable pour tout sous-prédicat G des formules
dans Γ ∪ {F }.
Démonstration. Soit τ la substitution qui à toute variable ακ associe le prédicat>κ . D’après la proposition 3.4.19, l’ensemble Γ ∪ {F } est τ -UTM dans P-CPn . Soit
G un sous-prédicat d’une formule dans Γ ∪ {F }. D’après la proposition 3.4.8, laformule G est τ -UTM dans P-CPn . Ainsi, d’après le lemme 3.4.7, G est motivablepar τ dans P-CPn .
82

3.5 Traductions
En particulier, toutes les formules motivables sont motivables par >, ce qui nous
permet de simplifier la règle d’affaiblissement faiblement pédagogique (F-Aff) àl’aide de la règle d’affaiblissement pédagogique (P-Aff) :Γ `np F `np σ·U(P-Aff)Γ, U `np F
Le dernier résultat important concerne les propriétés des formules motivables exprimables dans les calculs P-CPn ; le résultat est que toutes les propriétés desformules motivables exprimables usuellement, c’est-à-dire dans CPn , sont exprimables dans P-CPn ; ainsi ces calculs pédagogiques capturent toutes les propriétés
qui concernent la bonne notion de formules dans les systèmes pédagogiques :Proposition 3.4.21. Soient n un élément de J2; ωK et σ une substitution triviale
dans P-CPn . Pour toute formule F close et σ-UTM dans P-CPn , le jugement `n F
est dérivable si et seulement si le jugement `np F est dérivable.
Démonstration.
⇒) la formule F est close et UTM dans P-CPn ; donc le jugement `np F est
dérivable ;⇐) supposons que le jugement `np F soit dérivable ; P-CPn est un sous-systèmede CPn , donc le jugement `n F est dérivable.

3.5

Traductions

Nous introduisons ici une traduction inspirée d’une part de la A-traduction
de Friedman [10] et d’autre part des traductions négatives de Gödel-KolmogorovKuroda servant à plonger le calcul propositionnel classique dans la logique minimale. Notre but est de montrer que les calculs CPn et P-CPn sont équivalents
modulo notre traduction. Nous commençons par définir les calculs propositionnels
classiques d’ordre supérieur :Définition 3.5.1. Pour tout n élément de J2; ωK, le calcul propositionnel classiqued’ordre n, abrégé en CCPn , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `nc F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (Ax), (Hyp), (→i ), (→e ), (∀i ), (∀e ), (=α ), (=β ) et (Ext),
ainsi que de la règle suivante :Γ `nc ¬¬F(¬¬e )
Γ `nc F
83

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
Le calcul CCPω est également appelé le calcul propositionnel classique d’ordresupérieur. On dit qu’un jugement Γ `nc F est dérivable quand il existe une dérivation dans CCPn dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
Pour toute formule F et pour toute variable γ ? , la formule F → γ est notée ¬γ F
et la formule ¬γ ¬γ F est notée ¬¬γ F . Dans les traductions négatives, la doublenégation ¬¬F , ici remplacée par la double pseudo-négation ¬¬γ F , joue un rôle primordial ; nous avons besoin de la généraliser pour pouvoir lui donner un sens dansle cadre des prédicats d’ordre supérieur ; ainsi, l’équivalent de la double négationd’un prédicat P est représenté par une double pseudo-négation généralisée Θγ (P ) :Définition 3.5.2. Pour tout prédicat P de genre κ et pour toute variable γ ? fraı̂chepour P , le prédicat Θγ (P ) est défini par récurrence sur κ :κ = ? : Θγ (P ) = ¬¬γ P ;κ = ι ⇒ θ : Θγ (P ) = λαι .Θγ (P Θγ (α)).
Nous définissons maintenant notre traduction de CCPc dans P-CPn , la γ-traduction d’ordre supérieur :Définition 3.5.3. Pour tout prédicat P et pour toute variable γ ? fraı̂che pour P ,le prédicat Pγ est défini par récurrence sur P :P = > : Pγ = P ;P = ακ : Pγ = Θγ (P ) ;P = A → B : Pγ = Aγ → Bγ ;P = ∀ακ .A : Pγ = ∀ακ .Aγ ;P = λακ .A : Pγ = λακ .Aγ ;P = AB : Pγ = Aγ Bγ .
Pour que la γ-traduction fonctionne bien, il faut qu’elle possède de bonnes propriétés ; il faut tout d’abord qu’elle transforme tout prédicat en un prédicat motivable ; la preuve de ceci est l’objet des deux lemmes suivants :Lemme 3.5.1. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout prédicat P de genre κ etpour toute variable γ ? fraı̂che pour P , si P est motivable dans P-CPn alors leprédicat Θγ (P ) est motivable dans P-CPn par la substitution [γ\>].
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : Nous avons [γ\>]·Θγ (P ) = (P → >) → >, donc il suffit de dériver lejugement `np (P → >) → > :1) `np σ·P par hypothèse ;2) P `np > par (P-Ax) et 1 ;3) `np P → > par (→i ) et 2 ;4) P → > `np > par (P-Ax) et 3 ;84

3.5 Traductions5) `np (P → >) → > par (→i ) et 4.
κ = ι ⇒ θ : Le prédicat P est motivable par hypothèse, donc il existe une substitution σ telle que le jugement `np σ·∀αι .P α soit dérivable. Ainsi le jugement`np ∀αι .σ ·P α est dérivable. Par hypothèse de récurrence, le prédicat Θγ (α)
est motivable dans P-CPn , donc le jugement `np σ·P Θγ (α) est dérivable parla règle (P-∀e ) ; ainsi le prédicat P Θγ (α) est motivable dans P-CPn . Par
hypothèse de récurrence, le jugement `np [γ\>] · Θγ (P Θγ (α)) est dérivable.
Nous dérivons le jugement `np [γ\>]·∀αι Θγ (P Θγ (α)) par la règle (∀i ). Nousavons Θγ (P ) =β ∀αι .Θγ (P Θγ (α)) ; ainsi le prédicat Θγ (P ) est motivabledans P-CPn .

Lemme 3.5.2. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout prédicat P et pour toutevariable γ ? fraı̂che pour P , le prédicat Pγ est motivable dans P-CPn par la substitution [γ\>].
Démonstration. Montrons par récurrence sur P que le jugement `np [γ\>]·Pγ estdérivable :P = > : [γ\>]·>γ = > et le jugement `np > est dérivable avec la règle (Ax) ;P = ακ : d’après le lemme 3.5.1, le prédicat αγ est motivable dans P-CPn parla substitution [γ\>].
P =A→B :1) `np [γ\>]·Aγ par hypothèse ;2) `np [γ\>]·Bγ par hypothèse ;3) [γ\>]·Bγ , [γ\>]·Aγ `np [γ\>]·Bγ par (P-Hyp), 1 et 2 ;4) [γ\>]·Bγ `np [γ\>]·(A → B)γ par (→i ) et 3 ;5) `np [γ\>]·Bγ → [γ\>]·(A → B)γ par (→i ) 4 ;6) `np [γ\>]·(A → B)γ par (→e ), 5 et 2.
P = ∀ακ .A : par hypothèse de récurrence, le jugement `np [γ\>]·Aγ est dérivable. Nous avons γ 6= α ; ainsi nous dérivons le jugement `np [γ\>]·(∀ακ .A)γavec la règle (∀i ) ;P = λακ .A : par hypothèse de récurrence, le jugement `np [γ\>]·Aγ est dérivable. Nous avons γ 6= α ; ainsi nous dérivons le jugement `np [γ\>]·∀ακ .(Aγ )avec la règle (∀i ) ; nous avons Aγ =β 0 (λακ .Aγ )α ; donc le jugement `np [γ\>]·∀ακ .(λακ .Aγ )α est dérivable par la règle (=β 0 ) ; ainsi la formule Pγ est motivable par [γ\>] dans P-CPn ;– P = AB : soit κ ⇒ ι le genre du prédicat A ; par hypothèse de récurrence, lejugement `np [γ\>]·∀ακ .Aγ α est dérivable et Bγ est motivable dans P-CPn ;donc le jugement `np [γ\>]·Aγ Bγ est dérivable avec la règle (P-∀e ) ; ainsi leprédicat P est motivable par [γ\>] dans P-CPn .
85

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur

Les deux lemmes suivants servent à prouver que notre double pseudo-négationgénéralisée peut-être éliminée lors de l’application de substitutions :Lemme 3.5.3. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout prédicat P : κ, pour tout
ensemble Γ motivable dans P-CPn et pour toute variable γ ? fraı̂che pour P , lejugement Γ `np Θγ (Θγ (P )) =κ Θγ (P ) est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : nous avons Θγ (P ) = ¬¬γ P et Θγ (Θγ (P )) = ¬¬γ ¬¬γ P ;
n¬γ P par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;1) Γ, ¬¬γ P, ¬γ P, ¬¬γ ¬¬γ P `p ¬n2) Γ, ¬¬γ P, ¬γ P, ¬¬γ ¬¬γ P `p ¬γ P par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;3) Γ, ¬¬γ ¬¬γ P, ¬γ P, ¬¬γ P `np γ par (→e ), 1 et 2 ;4) Γ, ¬¬γ ¬¬γ P, ¬γ P `np ¬γ ¬¬γ P par (→i ) et 3 ;5) Γ, ¬¬γ ¬¬γ P, ¬γ P `np ¬¬γ ¬¬γ P par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;6) Γ, ¬¬γ ¬¬γ P, ¬γ P `np γ par (→e ), 4 et 5 ;7) Γ, ¬¬γ ¬¬γ P `np ¬¬γ P par (→i ) et 6 ;8) Γ `np ¬¬γ ¬¬γ P → ¬¬γ P par (→i ) et 7 ;donc le jugement Γ `np Θγ (Θγ (P )) → Θγ (P ) est dérivable ;1) Γ, ¬¬γ P, ¬γ ¬¬γ P `np ¬γ ¬¬γ P par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;2) Γ, ¬¬γ P, ¬γ ¬¬γ P `np ¬¬γ P par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;3) Γ, ¬¬γ P, ¬γ ¬¬γ P `np γ par (→e ), 1 et 2 ;4) Γ, ¬¬γ P `np ¬¬γ ¬¬γ P par (→i ) et 3 ;5) Γ `np ¬¬γ P → ¬¬γ ¬¬γ P par (→i ) et 4 ;donc le jugement Γ `np Θγ (P ) → Θγ (Θγ (P )) est dérivable ; ainsi le jugement
Γ `np Θγ (Θγ (P )) =κ Θγ (P ) est dérivable ;κ = ι ⇒ θ : soit β ι une variable fraı̂che pour Γ et P ; par hypothèse de récurrence, le jugement Γ `np Θγ (Θγ (P Θγ (β))) =θ Θγ (P Θγ (β)) ; par hypothèsede récurrence, le jugement Γ `np Θγ (Θγ (β)) =ι Θγ (β) ; ainsi le jugement
Γ `np Θγ (Θγ (P Θγ (Θγ (β)))) =θ Θγ (P Θγ (β)) est dérivable à l’aide de la règle(Ext) ; le jugement Γ `np Θγ (P Θγ (Θγ (β))) =β 0 Θγ (P )Θγ (β) est aisémentdérivable ;
ainsi
nous
dérivonslejugement
Γ `np Θγ (Θγ (P )Θγ (β)) =θ Θγ (P Θγ (β)) à l’aide de la règle (=β 0 ) ; par la règle(=β 0 ) nous dérivons également le jugement Γ `np Θγ (Θγ (P ))β =κ Θγ (P )β ;ainsi le jugement Γ `np Θγ (Θγ (P )) =κ Θγ (P ) est dérivable à l’aide de la règle(∀i ).
Lemme 3.5.4. Soient n un élément de J2; ωK et Γ un ensemble motivable dans
P-CPn . Pour tout prédicat P : κ, pour tout prédicat U : ι motivable dans P-CPn
tel que la substitution [αι \Θγ (U )] soit adaptée à P et pour toute variable γ ? fraı̂chepour P , le jugement Γ `np [αι \Θγ (U )]·Pγ =κ [αι \U ]·Pγ est dérivable.
863.5 Traductions
Démonstration. Par récurrence sur P ; le cas P = β κ est le seul cas non immédiat :P = β κ : deux cas se présentent :– β = α : nous avons [αι \U ] · αγ = Θγ (U ) et [αι \Θγ (U )] · αγ =Θγ (Θγ (U )) ;d’après le lemme 3.5.3, le jugement Γ `np Θγ (Θγ (U )) =κ Θγ (U ) est dérivable ; ainsi le jugement Γ `np [αι \Θγ (U )]·Pγ =κ [αι \U ]·Pγ est dérivablepar la règle (Ext) ;– β 6= α : nous avons [αι \Θγ (U )]·βγ =βγ ; donc le jugement Γ `np [αι \Θγ (U )]·Pγ =κ [αι \U ]·Pγ est aisément dérivable.
Dans les traductions négatives, les traductions des formules admettent l’élimination de la double négation ; dans notre cas, la double négation d’un prédicat transformé P s’écrit Θγ (Pγ ) ; il faut alors que Θγ (Pγ ) soit extensionnellement égale àPγ :Lemme 3.5.5. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout prédicat P : κ, pour tout
ensemble Γ motivable dans P-CPn et pour toute variable γ ? fraı̂che pour P , lejugement Γ `np Θγ (Pγ ) =κ Pγ est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur P :P = > : nous avons >γ = > et Θγ (>γ ) = (> → γ) → γ ; ainsi le jugement`np Θγ (top) =κ >γ est aisément dérivable ; nous dérivons alors le jugement
Γ `np Θγ (P ) =κ Pγ à l’aide de la règle (P-Aff) ;P = ακ : nous avons αγ = Θγ (α) et Θγ (αγ ) = Θγ (Θγ (α)) ; ainsi le jugement
Γ `np Θγ (P ) =κ Pγ est dérivable d’après le lemme 3.5.3 ;P = A → B : nous avons Θγ (A → B γ ) = ¬¬γ (A → B)γ et (A → B)γ = Aγ →Bγ ;1) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ , (A → B)γ `np (A → B)γ par (P-Hyp)
et 3.5.2 ;2) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ , (A → B)γ `np Aγ par (P-Hyp) et 3.5.2 ;3) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ , (A → B)γ `np Bγ par (→e ), 1 et 2 ;4) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ , (A → B)γ `np ¬γ Bγ par (P-Hyp) et 3.5.2 ;5) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ , (A → B)γ `np γ par (→e ), 3 et 4 ;6) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ `np ¬γ (A → B)γ par (→i ) et 5 ;7) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ `np ¬¬γ (A → B)γ par (P-Hyp) et 3.5.2 ;8) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ , ¬γ Bγ `np γ par (→e ) et 7 ;9) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ `np ¬¬γ Bγ par (→i ) et 8 ;10) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ `np (¬¬γ Bγ ) → Bγ par hypothèse de récurrence ;11) Γ, ¬¬γ (A → B)γ , Aγ `np Bγ par (→e ), 9 et 10 ;12) Γ, ¬¬γ (A → B)γ `np (A → B)γ par (→i ) et 11 ;13) Γ `np (¬¬γ (A → B)γ ) → (A → B)γ par (→i ) et 12 ;donc le jugement Γ `np Θγ (Pγ ) =κ Pγ est dérivable ;87

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur1) Γ, Pγ , ¬γ Pγ `np ¬γ Pγ par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;2) Γ, Pγ , ¬γ Pγ `np Pγ par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;3) Γ, Pγ , ¬γ Pγ `np γ par (→e ), 1 et 2 ;4) Γ, Pγ `np ¬¬γ Pγ par (→i ) et 3 ;5) Γ `np Pγ → ¬¬γ Pγ par (→i ) et 4 ;donc le jugement Γ `np Pγ → Θγ (Pγ ) est dérivable ; ainsi le jugement
Γ `np Θγ (Pγ ) =κ Pγ est dérivable ;P = ∀αι .A : nous avons Θγ (∀αι .A) = ¬¬γ (∀αι .A) et (∀αι .A)γ = ∀αι .Aγ ;ιιn1) Γ, ¬¬γ (∀α .A)γ , ¬γ Aγ , (∀α .A)γ `p ∀αι .Aγ par (P-Hyp) et 3.5.2 ;2) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ , ¬γ Aγ , (∀αι .A)γ `np > par (P-Ax) et 3.5.2 ;3) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ , ¬γ Aγ , (∀αι .A)γ `np Aγ par (P-∀e ), 1 et 2 ;4) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ , ¬γ Aγ , (∀αι .A)γ `np ¬γ Aγ par (P-Hyp) et 3.5.2 ;5) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ , ¬γ Aγ , (∀αι .A)γ `np γ par (→e ), 3 et 4 ;6) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ , ¬γ Aγ `np ¬γ (∀αι .A)γ par (→i ) et 5 ;7) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ , ¬γ Aγ `np ¬¬γ (∀αι .A)γ par (P-Hyp) et 3.5.2
8) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ , ¬γ Aγ `np γ par (→e ),6 et 7 ;9) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ `np ¬¬γ Aγ par (→i ) et 8 ;10) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ `np (¬¬γ Aγ ) → Aγ par hypothèse de récurrence ;11) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ `np Aγ par (→e ), 9 et 10 ;12) Γ, ¬¬γ (∀αι .A)γ `np ∀αι .Aγ par (∀i ) et 11 ;13) Γ `np (¬¬γ (∀αι .A)γ ) → ∀αι .Aγ par (→i ) et 12 ;donc le jugement Γ `np Θγ (Pγ ) =κ Pγ est dérivable ; comme dans le casprécédent, le jugement Γ `np Pγ → Θγ (Pγ ) est dérivable ; ainsi le jugement
Γ `np Θγ (Pγ ) =κ Pγ est dérivable ;P = λαι .A : nous avons (λαι .A)γ=λαι .Aγ et Θγ ((λαι .A)γ )=ιι
λα .Θγ ((∀α .Aγ )Θγ (α)) ; par hypothèse de récurrence, le jugement
Γ `np Θγ (Aγ ) =κ Aγ est dérivable ; ainsi le jugement Γ `np λαι .Θγ (Aγ ) =κλαι .Aγ est dérivable ; à l’aide du lemme 3.5.4, le jugement
Γ `np λαι .Θγ ([α\Θγ (α)] · Aγ ) =κ λαι .Aγ est dérivable par la règle (Ext) ;le jugement Γ `np [α\Θγ (α)]·Aγ =β 0 (λαι .Aγ )Θγ (α) est aisément dérivable ;ainsi le jugement Γ `np Θγ ((λαι .A)γ ) =κ λαι .Aγ est dérivable par la règle(=β 0 ) ; nous avons alors une dérivation du jugement Γ `np Θγ (pγ ) =κ Pγ ;P = AB : soit ι ⇒ κ le genre du prédicat A ; nous avons (AB)γ = Aγ Bγ etΘγ ((AB)γ ) = Θγ (Aγ Bγ ) ; par hypothèse de récurrence, le jugement
Γ `np Θγ (Aγ ) =ι⇒κ Aγ est dérivable ; d’après le lemme 3.5.2, le prédicat
Bγ est motivable ; ainsi le jugement Γ `np Θγ (Aγ )Bγ =κ Aγ Bγ est motivable ;comme Θγ (Aγ ) = λαι .Θγ (Aγ Θγ (α)), nous avons une dérivation du jugement
Γ `np λαι .Θγ (Aγ Θγ (α))Bγ =κ Aγ Bγ ; le jugement Γ `np λαι .Θγ (Aγ Θγ (α))Bγ=β 0
Θγ (Aγ Θγ (Bγ )) ; est aisément dérivable ; ainsi le jugementnΓ `p Θγ (Aγ Θγ (Bγ )) =κ Aγ Bγ est dérivable à l’aide de la règle (=β 0 ) ; par88

3.5 Traductions
hypothèse de récurrence, le jugement Γ `np Θγ (Bγ ) =ι Bγ est dérivable ; ainsi
le jugement Γ `np Θγ (Aγ Bγ ) =κ Aγ Bγ est dérivable à l’aide de la règle (Ext) ;nous avons alors une dérivation du jugement Γ `np Θγ (pγ ) =κ Pγ ;Pour que les substitutions se comportent bien après traduction, il est nécessaireque la γ-traduction et l’application de substitution commutent :Lemme 3.5.6. Soit n un élément de J2; ωK. Soient P : κ et U : ι deux prédicats.
Soient γ ? une variable fraı̂che pour P et U , et αι une variable différente de γ. Le
jugement `np [αι \Uγ ]·Pγ =κ ([αι \U ]·P )γ est dérivable.
Démonstration. Notons µ la substitution [αι \U ] et µγ la substitution [αι \Uγ ]. Nous
prouvons le lemme par récurrence sur P :P = > : nous avons µγ·>γ = > et (µ·>)γ = > ; de plus le jugement `np > =? >est dérivable ; ainsi le jugement `np µγ ·Pγ =κ (µ·P )γ est dérivable ;P = β κ : deux cas sont à considérer :– β = α : nous avons µγ·αγ = Θγ (Uγ ) et (µ·α)γ = Uγ ; d’après le lemme 3.5.5,
le jugement `np Θγ (Uγ ) =ι Uγ est dérivable ; ainsi le jugement `np µγ ·Pγ =κ
(µ·P )γ est dérivable ;– β 6= α : nous avons µγ ·βγ = βγ et (µ·β)γ = βγ ; d’après le lemme 3.5.2,
le prédicat βγ est motivable ; ainsi le jugement `np βγ =κ βγ est aisémentdérivable ; donc le jugement `np µγ ·Pγ =κ (µ·P )γ est dérivable ;P = A → B : le jugement Γ `pe (µ·(A → B))γ =? (µ·(A → B))γ est aisémentdérivable ; nous avons (µ·(A → B))γ = (µ·A)γ → (µ·B)γ ; donc nous avons
une dérivation du jugement Γ `pe (µ·A)γ → (µ·B)γ =? (µ·(A → B))γ ;par hypothèse de récurrence, les jugements Γ `pe µγ · Aγ =? (µ·A)γ etΓ `pe µγ · Bγ =? (µ·B)γ sont dérivables ; ainsi le jugement Γ `pe µγ · Aγ →µγ ·Bγ =? (µ·(A → B))γ est dérivable à l’aide de la règle (Ext) ; nous avonsµγ·(A → B)γ = µγ·Aγ → µγ·Bγ ; ainsi nous avons une dérivation du jugementΓ `pe µγ · (A → B)γ =? (µ·(A → B))γ ; nous avons alors une dérivation dujugement Γ `pe µγ ·Pγ =? (µ·P )γ ;P = ∀β θ .A : le jugement Γ `pe (µ·∀β θ .A)γ =? (µ·∀β θ .A)γ est aisément dérivable ; par α-équivalence, nous pouvons supposer que β 6= α ; ainsi nous
avons (µ·∀β θ .A)γ = ∀β θ .(µ·A)γ ; donc nous avons une dérivation du jugement Γ `pe ∀β θ .(µ·A)γ =? ∀β θ .(µ·A)γ ; le jugement Γ `pe (µ·A)γ =?
(µ·A)γ est alors aisément dérivable ; par hypothèse de récurrence, le jugementΓ `pe µγ ·Aγ =? (µ·A)γ est dérivable ; ainsi le jugement Γ `pe µγ ·Aγ =? (µ·A)γ
est dérivable à l’aide de la règle (Ext) ; le jugement Γ `pe ∀β θ .(µγ · Aγ ) =?
∀β θ .(µ·A)γ est alors aisément dérivable ; nous avons µγ ·(∀β θ .A)γ = ∀β θ .(µγ ·Aγ ) ; ainsi nous avons une dérivation du jugement Γ `pe µγ · ∀β θ .A)γ =?
89

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur(µ·∀β θ .A)γ ; nous avons alors une dérivation du jugement Γ `pe µγ · Pγ =?
(µ·P )γ ;P = λβ θ .A : analogue au cas précédent ;P = AB : analogue au cas P = A → B.
De même, il est souhaitable que la γ-traduction et l’égalité extensionnelle commutent :Lemme 3.5.7. Soient n un élément de J2; ωK et Γ un ensemble motivable dans
P-CPn . Soient P : κ et Q : κ deux prédicats. Soient γ ? une variable fraı̂chepour Γ ∪ {P, Q}. Si le jugement Γ `np (P =κ Q)γ est dérivable, alors le jugement
Γ `np Pγ =κ Qγ est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur κ :κ = ? : supposons que le jugement Γ `np (P ↔ Q)γ soit dérivable ; soit δ ? unevariable fraı̂che pour Γ ∪ {P, Q} ; par définition, nos avons Pγ ↔ Qγ =∀δ ? .((Aγ → Bγ ) → (Bγ → Aγ ) → ¬¬γ δ) → ¬¬γ δ ;n?
1) Γ `p ∀δ .((Aγ → Bγ ) → (Bγ → Aγ ) → ¬¬γ δ) → ¬¬γ δ par hypothèse ;n2) Γ `p [γ\>]·Bγ par le lemme 3.5.2 et la règle (P-Aff) ;3) Γ `np ((Aγ → Bγ ) → (Bγ → Aγ ) → ¬¬γ (Aγ → Bγ )) → ¬¬γ (Aγ →Bγ ) par (P − ∀e ), 1 et 2 ;4) Γ `np ¬¬γ (Aγ → Bγ ) ↔ (Aγ → Bγ ) par le lemme 3.5.5 ;5) Γ `np ((Aγ → Bγ ) → (Bγ → Aγ ) → (Aγ → Bγ )) → (Aγ → Bγ )par (Ext), 3 et 4 ;6) Γ `np (Aγ → Bγ ) → (Bγ → Aγ ) → (Aγ → Bγ ) aisément dérivable ;7) Γ `np Aγ → Bγ par (→e ), 5 et 6 ;donc le jugement Γ `np Aγ → Bγ est dérivable ; de même, le jugement
Γ `np Bγ → Aγ est dérivable ; ainsi le jugement Γ `np aγ ↔ bγ ; nous avons
alors une dérivation du jugement Γ `np Aγ =? Bγ ;
κ = ι ⇒ θ : supposons que le jugement Γ `np (P =κ Q)γ soit dérivable ; soitαι une variable fraı̂che pour Γ ∪ {P, Q} ; nous avons alors une dérivation
du jugement Γ `np ∀αι .(P α =θ Qα)γ ; ainsi le jugement Γ `np (P α =θ Qα)γest dérivable à l’aide de la règle (P − ∀e ) ; par hypothèse de récurrence, lejugement Γ `np P αγ =θ Qαγ est dérivable ; d’après le lemme 3.5.5, le jugement Γ `np Pγ =κ Θγ (Pγ ) est dérivable ; ainsi nous avons une dérivation
du jugement Γ `np Pγ =κ λαι .Θγ (Pγ Θγ (α)) ; le jugement Γ `np Pγ α =κ(λαι .Θγ (Pγ Θγ (α)))α est dérivable à l’aide de la règle (P − ∀e ) ; le jugement Γ `np (λαι .Θγ (Pγ Θγ (α)))α =β 0 Θγ (Pγ Θγ (α)) est aisément dérivable ;nous dérivons alors le jugement Γ `np Aγ α =κ Θγ (Pγ Θγ (α)) à l’aide de larègle (=β 0 ) ; nous avons αγ = Θγ (α) ; ainsi nous avons une dérivation dujugement Γ `np Pγ α =κ Θγ ((P α)γ ) ; d’après le lemme 3.5.5, le jugement903.5 Traductions
Γ `np P αγ =κ Θγ ((P α)γ ) est dérivable ; nous dérivons alors le jugement
Γ `np Pγ α =κ (P α)γ à l’aide de la règle (Ext) ; de même, nous dérivons le jugement Γ `np Qγ α =κ (Qα)γ ; nous dérivons alors le jugement Γ `np Pγ α =θ Qγ αà l’aide de la règle (Ext) ; le jugement Γ `np ∀αι .Pγ α =θ Qγ α à l’aide de larègle (∀i ) ; ainsi nous avons une dérivation du jugement Γ `np Pγ =κ Qγ .
Parmi toutes les propriétés qui doivent être conservées après traduction, on compteévidemment l’α-équivalence :Lemme 3.5.8. Soit n un élément de J2; ωK. Soient P : κ et U : κ deux prédicats.
Soit γ ? une variable fraı̂che pour P et Q. Si P =α Q est dérivable alors Pγ =α Qγ
est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de P =α Q :> =α >(α> ) ce cas est immédiat car >γ = > ;(αvar ) la relation =α est réflexive ; donc nous avons αγ =α αγ ;α κ =α α κ
A = α A0 B = α B 0(α→ ) par hypothèse de récurrence, nous avons Aγ =α
A → B =α A0 → B 0
A0 γ et Bγ =α B 0 γ ; nous avons alors Aγ → Bγ =α A0 γ → B 0 γ par la règle(α→ ) ; ainsi nous avons Pγ =α Qγ ;[αι \δ]·A =α [β ι \δ]·B δ ∈ Fr(A, B)(α∀ ) par hypothèse de récurrence, nous∀αι .A =α ∀β ι .B
avons ([ακ \δ]·A)γ =α ([β κ \δ]·B)γ ; par une récurrence immédiate sur A nous
avons ([αι \δ]·A)γ = [αι \δ]·Aγ ; de même, nous avons ([β ι \δ]·B)γ = [β ι \δ]·Bγ ;nous avons alors ∀αι .Aγ =α ∀β ι .Bγ par la règle (α∀ ) ; ainsi nous avons Pγ =αQγ ;[αι \δ]·A =α [β ι \δ]·B δ ∈ Fr(A, B)(αλ ) analogue au cas (α∀ ) ;λαι .A =α λβ ι .B
A =α A0 B =α B 0(αapp ) analogue au cas (α→ ).
AB =α A0 B 0
Pour montrer que la β 0 -équivalence est stable par traduction, nous avons besoin
des deux lemmes suivants :Lemme 3.5.9. Soient n un élément de J2; ωK et Γ un ensemble motivable dans
P-CPn . Soient P : κ et Q : κ deux prédicats motivables dans P-CPn . Si P =β 0 Q
alors le jugement Γ `np P =κ Q est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur κ :91

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieurκ = ? : comme P et Q sont motivables, le jugement Γ `np P =? P est aisémentdérivable ; par hypothèse nous avons P =β 0 Q ; donc le jugement Γ `np P =? Q
est dérivable à l’aide de la règle (=β 0 ) ;κ = ι ⇒ θ : soit αι une variable fraı̂che pour Γ ∪ {P, Q} ; par hypothèse nous
avons P =β 0 Q ; donc nous avons P α =β 0 Qα par la règle (βapp ) ; par hypothèse de récurrence, le jugement Γ `np P α =θ Qα est dérivable ; nousdérivons alors le jugement Γ `np P =κ Q à l’aide de la règle (∀i ).
Lemme 3.5.10. Soient n un élément de J2; ωK et Γ une ensemble motivable deformules. Soient P : κ et Q : κ deux prédicats. Soit γ ? une variable fraı̂che pourΓ ∪ {P, Q}P . Si P =β 0 Q est dérivable alors le jugement Γ `np Pγ =κ Qγ estdérivable.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de P =β 0 Q :(β> ) nous avons Pγ =β 0 Qγ car >γ = > ; les prédicats Pγ et Qγ> =β 0 >sont motivables dans P-CPn d’après le lemme 3.5.2 ; ainsi nous dérivonsΓ `np Pγ =? Qγ à l’aide du lemme 3.5.9 ;(βvar ) la relation =β 0 est réflexive ; donc nous avons αγ =β 0 αγ ; lesα κ =β 0 α κprédicats Pγ et Qγ sont motivables dans P-CPn d’après le lemme 3.5.2 ; ainsi
nous dérivons Γ `np Pγ =κ Qγ à l’aide du lemme 3.5.9 ;A =β 0 A0 B =β 0 B 0(β→ ) par hypothèse de récurrence, nous avons Aγ =β 0
A → B =β 0 A0 → B 0
A0 γ et Bγ =β 0 B 0 γ ; nous avons alors Aγ → Bγ =β 0 A0 γ → B 0 γ par la règle(β→ ) ; nous avons Pγ =β 0 Qγ ; les prédicats Pγ et Qγ sont motivables dans
P-CPn d’après le lemme 3.5.2 ; ainsi nous dérivons Γ `np Pγ =κ Qγ à l’aide
du lemme 3.5.9 ;A =β 0 A 0(β∀ ) par hypothèse de récurrence, nous avons Aγ =β 0 A0 γ ;∀αι .A =β 0 ∀αι .A0
nous avons alors ∀αι .Aγ =β 0 ∀αι .A0 γ par la règle (β∀ ) ; nous avons Pγ =β 0 Qγ ;les prédicats Pγ et Qγ sont motivables dans P-CPn d’après le lemme 3.5.2 ;ainsi nous dérivons Γ `np Pγ =κ Qγ à l’aide du lemme 3.5.9 ;A =β 0 A0(βλ ) analogue au cas (β∀ ) ;λαι .A =β 0 λαι .A0
A =β 0 A0 B =β 0 B 0(βapp ) analogue au cas (β→ ) ;AB =β A0 B 0A =β 0 B(βsym ) par hypothèse de récurrence, nous avons Aγ =β 0 Bγ ; nous
B =β 0 A
avons alors Bγ =β 0 Aγ par la règle (βsym ) ; les prédicats Pγ et Qγ sont moti92

3.5 Traductions
vables dans P-CPn d’après le lemme 3.5.2 ; ainsi nous dérivons Γ `np Pγ =κ Qγ
à l’aide du lemme 3.5.9 ;A =β 0 B B =β 0 C(βtrans ) par hypothèse de récurrence, nous avons Aγ =β 0
A =β 0 C
Bγ et Bγ =β 0 Cγ ; nous avons alors Aγ =β 0 Cγ par la règle (βtrans ) ; lesprédicats Pγ et Qγ sont motivables dans P-CPn d’après le lemme 3.5.2 ; ainsi
nous dérivons Γ `np Pγ =κ Qγ à l’aide du lemme 3.5.9 ;`np µ·∀αι .A `np µ·B(P-βred ) nous avons Pγ = (λαι .Aγ )Bγ ; d’après le(λαι .A)B =β 0 [αι \B]·A
lemme 3.5.2, les formules Aγ et Bγ sont motivables dans P-CPn par la
substitution [γ\>] ; comme γ 6= α, la formule ∀αι .Aγ est motivable dans
P-CPn par la substitution [γ\>] ; ainsi nous avons Pγ =β 0 [α\Bγ ] · Aγ ; lesprédicat Pγ et ([α\B]·A)γ sont motivables d’après le lemme 3.5.2 ; d’aprèsle lemme 3.5.6, le jugement Γ `np [α\Bγ ] · Aγ =κ ([α\B]·A)γ est dérivable ;ainsi le prédicat [α\Bγ ] · Aγ est motivable ; d’après le lemme 3.5.9, le jugement Γ `np Pγ =κ [α\Bγ ] · Aγ est dérivable ; nous dérivons le jugement
Γ `np Pγ =κ [α\B]·Aγ à l’aide de la règle (Ext) ; nous avons alors unedérivation du jugement Γ `np Pγ =κ Qγ .
Nous pouvons maintenant prouver la première moitié de la propriété de préservation de la déductibilité par γ-traduction ; si un jugement est dérivable dans CCPn ,alors sa traduction est dérivable dans P-CPn :Lemme 3.5.11. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement dérivable Γ `nc F ,le jugement Γγ `np Fγ est dérivable, avec γ ? une variable fraı̂che pour Γ ∪ {F }.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `nc F :(Ax) d’après le lemme 3.5.2, les jugements `np [γ\>]Γγ sont dériΓ `nc >vables ; ainsi le jugement Γγ `np >γ est dérivable par la règle (P-Ax) ;F ∈Γ(Hyp) d’après le lemme 3.5.2, les jugements `np [γ\>]Γγ sont dériΓ `nc F
vables ; ainsi le jugement Γγ `np Fγ est dérivable par la règle (P-Hyp) ;Γ, A `nc B(→i ) par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ , Aγ `np Bγ estΓ `nc A → B
dérivable ; le jugement Γγ `np Aγ → Bγ est dérivable à l’aide de la règle (→i ) ;nous avons alors une dérivation du jugement Γγ `np A → B γ ;Γ `nc A → B Γ `nc A(→e ) par hypothèse de récurrence, les jugementsΓ `nc BΓγ `np (A → B)γ et Γγ `np Aγ sont dérivables ; le jugement Γγ `np Bγ est
alors dérivable à l’aide de la règle (→i ) ;93

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieurΓ `nc ∀ακ .A(∀e ) par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ `np (∀ακ .A)γΓ `nc [ακ \U ]·A
est dérivable ; ainsi nous avons une dérivation du jugement Γγ `np ∀ακ .Aγ ;d’après le lemme 3.5.2, le jugement `np [γ\>] · Uγ est dérivable ; ainsi nousdérivons le jugement Γγ `np [ακ \Uγ ]·Aγ à l’aide de la règle (P-∀e ) ; d’aprèsle lemme 3.5.6, le jugement Γγ `np [ακ \Uγ ]·Aγ =? ([ακ \U ]·A)γ est dérivable ;nous dérivons alors le jugement Γγ `np ([ακ \U ]·A)γ avec la règle (Ext) ;Γ `nc A ακ 6∈ Vl(Γ)(∀i ) par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ `np Aγ
Γ `nc ∀ακ .A
est dérivable ; nous avons ακ 6∈ Vl(Γ) ; donc ακ 6∈ Vl(Γγ ) ; le jugement
Γγ `np ∀ακ .Aγ est alors dérivable à l’aide de la règle (→i ) ;Γ `nc [ακ \A]·F Γ `nc A =κ B
(Ext) par hypothèse de récurrence, le jugeΓ `nc [ακ \B]·F
ment Γγ `np (A)κ B)γ est dérivable ; d’après le lemme 3.5.7, le jugement
Γγ `np Aγ =κ Bγ est dérivable ; par hypothèse de récurrence, le jugement
Γγ `nc ([ακ \A]·F )γ est dérivable ; d’après le lemme 3.5.6, le jugement
Γγ `np [ακ \Aγ ] · Fγ =? ([ακ \A]·F )γ est dérivable ; nous dérivons alors lejugement Γγ `nc [ακ \Aγ ] · Fγ à l’aide de la règle (Ext) ; ainsi le jugement
Γγ `nc [ακ \Bγ ]·Fγ est dérivable à l’aide de la règle (Ext) ; d’après le lemme
3.5.6, le jugement Γγ `np [ακ \Bγ ] · Fγ =? ([ακ \B]·F )γ est dérivable ; nousdérivons alors le jugement Γγ `nc [ακ \B]·F γ à l’aide de la règle (Ext) ;Γ `nc A A =α B(=α ) par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ `nc AγΓ `nc Best dérivable ; d’après le lemme 3.5.8, nous avons Aγ =α Bγ ; ainsi le jugement
Γγ `nc Bγ est dérivable à l’aide de la règle (=α ) ;Γ `nc A A =β 0 B(=β 0 ) par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ `nc AγΓ `nc Best dérivable ; d’après le lemme 3.5.2, les formules Aγ et Bγ sont motivables
dans P-CPn ; d’après le lemme 3.5.10, le jugement Γγ `np Aγ =? Bγ estdérivable ; ainsi le jugement Γγ `nc Bγ est dérivable à l’aide de la règle (Ext) ;Γ `nc ¬¬A(⊥⊥e ) par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ `nc (¬¬A)γΓ `nc Aest dérivable ; nous avons (¬¬A)γ = (Aγ → ⊥γ ) → ⊥γ et ⊥γ = ∀α? .¬¬γ α ;n1) Γγ , ¬γ Aγ , Aγ , ¬γ α `p Aγ par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;2) Γγ , ¬γ Aγ , Aγ , ¬γ α `np ¬γ Aγ par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;3) Γγ , ¬γ Aγ , Aγ , ¬γ α `np γ par (→e ), 1 et 2 ;4) Γγ , ¬γ Aγ , Aγ `np ¬¬γ α par (→i ) et 3 ;5) Γγ , ¬γ Aγ , Aγ `np ⊥γ par (∀i ) et 4 ;6) Γγ , ¬γ Aγ `np Aγ → ⊥γ par (→i ) et 5 ;7) Γγ , ¬γ Aγ `np (Aγ → ⊥γ ) → ⊥γ par hypothèse de récurrence et (P-Aff) ;94

3.5 Traductions8) Γγ , ¬γ Aγ `np ⊥γ par (→e ), 6 et 7 ;9) Γγ , ¬γ Aγ `np > par (P-Ax) et le lemme 3.5.2 ;10) Γγ , ¬γ Aγ `np ¬¬γ γ par (∀e ), 8 et 9 ;11) Γγ , ¬γ Aγ , γ `np γ par (P-Hyp) et le lemme 3.5.2 ;12) Γγ , ¬γ Aγ `np γ → γ par (→i ) et 11 ;13) Γγ , ¬γ Aγ `np γ par (→e ), 10 et 12 ;14) Γγ `np ¬¬γ Aγ par (→i ) et 13 ;ainsi le jugement Γγ `np ¬¬γ Aγ est dérivable ; d’après le lemme 3.5.5, le juge¬γ Aγ ; ainsi nous dérivons
ment Γγ `np Θγ (Aγ ) =κ Aγ ; nous avons Θγ (Aγ ) = ¬le jugement Γγ `np Aγ à l’aide de la règle (Ext).
Pour démontrer la seconde moitié de la propriété de préservation de la déductibilité par γ-traduction, nous faisons appel aux deux lemmes qui vont suivre ; pour
tout prédicat P , nous notons P⊥ le prédicat [γ\⊥]·Pγ et Θ⊥ (P ) le prédicat [γ\⊥]·Θγ (P ) :Proposition 3.5.12. Soit n un élément de J2; ωK et Γ un ensemble de formules.
Pour tout prédicat P : κ d’ordre n, le jugement Γ `nc P =κ P⊥ est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur P :P = > : le jugement Γ `nc > =? > est aisément dérivable ;– P = ακ : par récurrence sur κ :κ = ? : le jugement Γ `nc α =? ¬¬α est aisément dérivable ;κ = ι ⇒ θ : nous avons α⊥ = λβ ι .Θ⊥ (αΘ⊥ (β)) ; par hypothèse de récurrence, le jugement Γ `nc β =ι Θ⊥ (β) est dérivable ; le jugement Γ `nc α⊥ =κα⊥ est aisément dérivable ; donc le jugement Γ `nc α⊥ =κ λβ ι .Θ⊥ (αβ) est
dérivable par la règle (Ext) ; par hypothèse de récurrence, le jugement
Γ `nc αβ =θ Θ⊥ (αβ) est dérivable ; donc le jugement Γ `nc α⊥ =κ λβ ι .αβ
est dérivable par la règle (Ext) ; le jugement Γ `nc α⊥ =κ α est alorsaisément dérivable ;P = A → B : par hypothèse de récurrence, les jugements Γ `nc A =? A⊥ etΓ `nc B =? B⊥ sont dérivable ; le jugement Γ `nc A → B =? A → B
est aisément dérivable ; ainsi le jugement Γ `nc A → B =? A⊥ → B⊥ estdérivable à l’aide de la règle (Ext) ; nous avons alors une dérivation du jugement Γ `nc A → B =? (A → B)⊥ ;P = ∀β ι .A : par hypothèse de récurrence, le jugement Γ `nc A =? A⊥ estdérivable ; ainsi le jugement Γ `nc ∀β ι .A =? ∀β ι .A⊥ est dérivable ; nous avons
alors une dérivation du jugement Γ `nc ∀β ι .A =? (∀β ι .A)⊥ ;P = λβ ι .A : soit θ le genre du prédicat A ; par hypothèse de récurrence, lejugement Γ `nc A =θ A⊥ est dérivable ; nous avons A =β (λβ ι .A)β et A⊥ =β(λβ ι .A)⊥ β ; ainsi le jugement Γ `nc (λβ ι .A)β =θ (λβ ι .A)⊥ β est dérivable par95

Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
la règle (=β ) ; nous dérivons alors le jugement Γ `nc λβ ι .A =θ (λβ ι .A)⊥ à
l’aide de la règle (∀i ) ;P = AB : analogue au cas P = A → B.
Lemme 3.5.13. Soit n un élément de J2; ωK. Pour tout jugement dérivableΓγ `np Fγ , le jugement Γ `np F est dérivable, avec γ ? une variable fraı̂che pourΓ ∪ {F }.
Démonstration. Supposons que le jugement Γγ `np Fγ soit dérivable ; donc le jugement Γγ `nc Fγ est dérivable car P-CPn est un sous système de CCPn ; le jugement`nc Γγ → Fγ est dérivable par la règle (→i ) ; le jugement `nc ∀γ ? .Γγ → Fγ estdérivable par la règle (∀i ) ; le jugement `nc Γ⊥ → F⊥ est dérivable par la règle (∀e ) ;d’après le lemme 3.5.12, les jugements `nc Γ =? Γ⊥ et `nc F =? F⊥ sont dérivables ;ainsi le jugement `nc Γ → F est dérivable à l’aide de la règle (Ext) ; nous dérivons
alors aisément le jugement Γ `nc F .
Nous pouvons alors grâce aux lemmes 3.5.11 et 3.5.13 prouver la préservation dela dérivabilité des jugements par γ-traduction :Proposition 3.5.14. Soit n un élément de J2; ωK. Le jugement Γ `nc F est dérivable si et seulement si le jugement Γγ `np Fγ est dérivable, avec γ ? une variablefraı̂che pour Γ ∪ {F }.
Démonstration. D’après les lemmes 3.5.11 et 3.5.13.
La γ-traduction, bien que très utile pour traduire les jugements, ne permet pas
de traduire les théorèmes car il existe des formules F qui ne sont pas équivalentesà leur γ-traduction Fγ . Prenons une variable α? , sa γ-traduction (α → γ) → γ,
puis supposons que le jugement `ωc ((α → γ) → γ) =? α soit dérivable ; alors lejugement `ωc ((α → γ) → γ) → α est dérivable, de même que le jugement `ωc ((α →>) → >) → α par instanciation de γ ; comme le jugement `ωc (α → >) → > est
dérivable, on obtient une dérivation de `ωc α ce qui contredit la cohérence de CCPω .
C’est pourquoi il nous faut définir une autre traduction, dérivée de la γ-traduction :Définition 3.5.4. Pour tout prédicat P , on définit le prédicat P? comme étant∀γ ? .Pγ .
Nous avons deux propriétés à démontrer : la première est la préservation de ladérivabilité par notre traductions et la seconde est l’équivalence dans CCPn desformules et de leur traduction. Voici d’abord la démonstration de la préservationde la dérivabilité :Proposition 3.5.15. Soit n un élément de J2; ωK. Pour toute formule F , le jugement `nc F est dérivable si et seulement si le jugement `np F? est dérivable.
963.5 Traductions
Démonstration. D’après la proposition 3.5.14.
Enfin, voici la preuve de l’équivalence dans CCPn des formules et de leur traduction :Proposition 3.5.16. Soit n un élément de J2; ωK. Pour toute formule F d’ordren, le jugement `nc F =? F? est dérivable.
Démonstration.
1) F? `nc ∀γ.Fγ par (Hyp) ;n2) F? `c F⊥ par (∀e ) et 1 ;3) F? `nc F =? F⊥ d’après la proposition 3.5.12 ;4) F? `nc F par (Ext), 2 et 3 ;5) `nc F? → F par (→i ) et 4 ;ainsi le jugement `nc F? → F est dérivable ; dans CCPn la règle du tiers-exclu est
dérivable ; plus précisément, le jugement F `nc ((γ → ⊥) → Fγ ) → (γ → Fγ ) → Fγ
est dérivable ;1) F, γ → ⊥ `nc F par (Hyp) ;2) F, γ → ⊥ `nc F =? F⊥ d’après la proposition 3.5.12 ;3) F, γ → ⊥ `nc F⊥ par (Ext), 1 et 2 ;4) F, γ → ⊥ `nc γ → ⊥ par (Hyp) ;5) F, γ → ⊥, ⊥ `nc ⊥ par (Hyp) ;6) F, γ → ⊥, ⊥ `nc γ par (∀e ) et 5 ;7) F, γ → ⊥ `nc ⊥ → γ par (→i ) et 6 ;8) F, γ → ⊥ `nc γ =? ⊥ par 4 et 7 ;9) F, γ → ⊥ `nc Fγ par (Ext), 3 et 8 ;10) F `nc (γ → ⊥) → Fγ par (→i ) et 9 ;11) F, γ `nc [γ\>]·Fγ d’après le lemme 3.5.2 ;12) F, γ `nc > par (Ax) ;13) F, γ `nc γ → > par (→i ) et 12 ;14) F, γ, > `nc γ par (Hyp) ;15) F, γ `nc > → γ par (→i ) et 14 ;16) F, γ `nc γ =? > par 13 et 15 ;17) F, γ `nc Fγ par (Ext), 11 et 16 ;18) F `nc γ → Fγ par (→i ) et 17 ;19) F `nc ((γ → ⊥) → Fγ ) → (γ → Fγ ) → Fγ par la règle du tiers-exclu ;20) F `nc (γ → Fγ ) → Fγ par (→e ), 19 et 10 ;21) F `nc Fγ par (→e ), 20 et 18 ;22) F `nc F? par (∀i ) et 21 ;23) `nc F → F? par (→i ) et 22 ; ainsi le jugement `nc F → F? est dérivable ;le jugement `nc F =? F? est alors dérivable.

97Chapitre 3 : Calculs propositionnels pédagogiques d’ordre supérieur
On en conclut que les calculs classiques d’ordre supérieur et les calculs pédagogiques d’ordre supérieur partagent la même expressivité via une traduction dont lapertinence par rapport au sens intuitif des formules reste malheureusement assez
faible : le fait qu’il existe une traduction qui fonctionne ne signifie pas qu’on puissel’appliquer systématiquement à des théorèmes classiques afin d’obtenir à peu defrais un équivalent positif. La possibilité de reformulation existe, mais c’est aumathématicien de choisir la bonne manière de reformuler ses théorèmes de manièresatisfaisante par rapport aux objets qu’il étudie.

98

Deuxième partie
Systèmes fonctionnels
pédagogiques

99

100

Chapitre 4
λ-calcul pédagogique simplement
typé
4.1

λ-calcul simplement typéLe λ-calcul a été créé par Alonzo Church [3] dans les années 1930 pour tenter defournir un fondement aux mathématiques plus naturel que la théorie des ensembles.
Il est composé de variables x, y, z, . . . représentant des fonctions, d’applications tu
de fonctions t à des fonctions u, et d’abstractions λx.t qui à toute fonction x associela fonction t, x étant une variable. Il y a une analogie très forte entre le λ-calcul
et la théorie naı̈ve des ensembles : les fonctions correspondent à des ensembles,
les applications tu sont associées aux appartenances u ∈ t et les abstractions λx.t
représentent les définitions d’ensembles {x | t}. Le λ-calcul hérite alors de tous
les paradoxes entachant la théorie naı̈ve des ensembles ; mais dans ce cas précis,
ce qui est un inconvénient pour les ensembles est un avantage pour les fonctions ;l’existence de points fixes pour tous les ensembles produit des incohérences, commedans le paradoxe de Russell, mais dans le cas des fonctions cela nous permet deprogrammer récursivement et ainsi de représenter tout ce qui est calculable : leλ-calcul est le prototype des langages de programmation fonctionnels.
Toujours dans les années 1930, Arendt Heyting [19] et indépendamment Andreii Kolmogorov [23] explicitèrent la signification informelle des opérateurs logiques dans la logique intuitionniste, donnant ainsi naissance à l’interprétation de
Brouwer-Heyting-Kolmogorov, ou BHK-interprétation. Chaque connecteur logique
est interprété en termes de preuves : une preuve de A ∧ B est un couple composé
d’une preuve de A et d’une preuve de B, une preuve de A ∨ B est composéesoit d’une preuve de A, soit d’une preuve de B, une preuve de A → B est une
construction qui transforme toute preuve de A en une preuve de B, etc. Chaquepreuve intuitionniste possède alors un contenu algorithmique qui laisse présager
101Chapitre 4 : λ-calcul pédagogique simplement typé
l’existence de processus associés aux preuves. À la fin des années 1960, William
Howard [21] exprima clairement le lien entre les preuves intuitionnistes et les processus en identifiant les preuves à des fonctions du λ-calcul, lien déjà en gestation
dans les travaux de Haskell Curry [8] : il porte aujourd’hui le nom d’isomorphismede Curry-Howard.
L’identification des preuves et des programmes fonctionnels motiva la construction de systèmes dans lesquels les preuves sont représentés par des fonctions du
λ-calcul et les formules sont des spécifications des fonctions, c’est-à-dire des descriptions du contenu informatique des fonctions : ce qu’elles calculent, commenton peut les utiliser, avec quelles données, etc ; dans ce contexte, les formules sontappelés types ; de tels systèmes sont dits fonctionnels. Le plus simple des systèmes
fonctionnels est sans doute le λ-calcul simplement typé, introduit par Church [4]à la fin des années 1930 ; il correspond via l’isomorphisme de Curry-Howard au
calcul propositionnel minimal décrit dans le chapitre 1 ; nous allons le présenter
dans cette section.
Nous commençons par définir les types des fonctions :Définition 4.1.1. Les types simples, que nous appelons types dans ce chapitre enl’absence d’ambiguı̈té, sont définis par récurrence comme suit :– la constante > est un type ;– les variables α, β, γ, . . . sont des types ;– si A et B sont des types, alors A → B est un type.
Afin d’alléger l’écriture des types, nous écrivons A → B → C les types de la forme
A → (B → C).
Puis nous définissons les λ-termes, qui sont les fonctions du λ-calcul correspondant
aux preuves :Définition 4.1.2. Les λ-termes propositionnels du premier ordre, que nous appelons λ-termes dans ce chapitre en l’absence d’ambiguı̈té, sont définis par récurrence
comme suit :– la λ-constante o est un λ-terme ;– les λ-variables x, y, z, . . . sont des λ-termes ;– si x est une λ-variable, A un type et t un λ-terme, alors λxA .t est un λterme ;– si t et u sont des λ-termes, alors tu est un λ-terme.
Afin d’alléger l’écriture des λ-termes, nous écrivons tuv les λ-termes de la forme(tu)v. De même, nous écrivons λxA .tu les λ-termes de la forme λxA .(tu). Lesdérivations dans les systèmes fonctionnels ont la même structure que celle dansles systèmes formels ; comme nous utilisons la déduction naturelle à la GentzenPrawitz pour écrire les dérivations, nous avons besoin d’une notion de contexte
adaptée :102

4.1 λ-calcul simplement typéDéfinition 4.1.3. Un λ-contexte propositionnel du premier ordre est un ensemble
fini de couples x : A, ou x est une λ-variable et A un type, tel que pour toutx : A ∈ Γ et pour tout y : B ∈ Γ, si x = y alors A = B ; dans ce chapitre nous
les appelons contextes quand aucune ambiguı̈té n’est à craindre. Un λ-jugement
propositionnel du premier ordre est un triplet noté Γ `1id t : F , avec Γ un contexte,t un λ-terme, F un type et id un identifiant textuel. Dans ce chapitre, les λjugements propositionnels du premier ordre sont appelés jugements quand cela neprête pas à confusion.
Le contexte vide est représenté par le mot vide ; ainsi, pour tout λ-terme t, pour
tout type F et tout identifiant id, le jugement ∅ `1id t : F s’écrit également `id t : F .
De plus, pour tous contextes Γ et ∆, le contexte Γ∪∆ est noté Γ, ∆. En particulier,pour tout type A, le jugement Γ ∪ {A} `1id t : F est noté Γ, A `1id t : F . Nous avons
alors tous les pérequis nécessaires à la définition du λ-calcul simplement typé :Définition 4.1.4. Le λ-calcul simplement typé, abrégé en λC1 , est défini par :– sa morphologie, constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `1λ t :F;– sa syntaxe, constituée par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles suivantes :Γ `1λ o : >(Ax)

x:F ∈Γ(Hyp)Γ `1λ x : FΓ `1λ t : A → B Γ `1λ u : A(→e )Γ `1λ tu : B

Γ, x : A `1λ t : B(→i )Γ `1λ λxA .t : A → B

On dit qu’un jugement Γ `1λ t : F est dérivable quand il existe une dérivation dansλC1 dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
Les dérivations y sont analogues à celles du calcul CPM, excepté qu’elles serventà typer des λ-termes :Exemple. dérivation du jugement `1λ α → (α → β) → β :1) x : α, y : α → β `1λ y : α → β par (Hyp) ;2) x : α, y : α → β `1λ x : α par (Hyp) ;3) : xα, y : α → β `1λ yxβ par (→e ), 1 et 2 ;4) x : α `1λ λy α→β .yx : (α → β) → β par (→i ) et 3 ;5) `1λ λxα .λy α→β .yx : α → (α → β) → β par (→i ) et 4.
103

Chapitre 4 : λ-calcul pédagogique simplement typé

4.2

λ-calcul pédagogique simplement typéLa méthode de pédagogisation introduite dans le chapitre 1 est directement
applicable à λC1 grâce à l’isomorphisme de Curry-Howard. Nous avons juste besoin de définir ce qu’est une motivation dans le cadre des λ-calculs typés. Une
motivation est essentiellement une substitution, qu’il nous faut alors définir sur les
types mais aussi sur les λ-termes, puisqu’ils sont annotés par des types :Définition 4.2.1. Une substitution σ est une application des types dans les types,
déterminée par un ensemble de variables noté Dom(σ) et par une application f
des variables dans les types. Pour tout type F l’image de F par σ, notée σ·F , estdéfinie par récurrence sur F comme suit :F = > : σ·F = > ;F = α : σ·F = f(α) si α ∈ Dom(σ), et σ·F = α sinon ;F = A → B : σ·F = (σ·A) → (σ·B).
L’ensemble Dom(σ) est appelé le domaine de la substitution σ.
Définition 4.2.2. Pour tout λ-terme t et pour toute substitution σ, l’applicationde σ à t, notée σ·t, est définie par récurrence sur t comme suit :t = o : σ·t = t ;t = x : σ·t = t ;t = λxA .u : σ·t = λxσ·A .u ;t = uv : σ·t = σ·uσ·v.
Les types simples ne contiennent aucune sorte de quantification sur les variables ;en revanche, les λ-variables sont quantifiées par la λ-abstraction : il nous faut donc
définir ce que sont les λ-variables libres et quantifiées :Définition 4.2.3. Pour tout λ-terme t, l’ensemble Vl(t) des λ-variables libres det est un ensemble de λ-variables défini par récurrence sur t :t = o : Vl(t) = ∅ ;t = x : Vl(t) = {x} ;t = λxA .u : Vl(t) = Vl(u) \ {x} ;t = uv : Vl(t) = Vl(u) ∪ Vl(v).
Quand Vl(t) = ∅, nous disons que le λ-terme t est clos.
Définition 4.2.4. Pour tout λ-terme t, l’ensemble Vq(t) des λ-variables quantifiées de t est un ensemble de λ-variables défini par récurrence sur t :t = o : Vq(t) = ∅ ;t = x : Vq(t) = ∅ ;t = λxA .u : Vq(t) = {x} ∪ Vq(u) ;t = uv : Vq(t) = Vq(u) ∪ Vq(v).
104

4.2 λ-calcul pédagogique simplement typé
De même que nous avons défini les substitutions sur les types, nous allons définir
les substitutions sur les λ-termes :Définition 4.2.5. Une λ-substitution σ est une fonction de domaine fini Dom(σ)
à valeurs dans l’ensemble des λ-termes.
Pour toute λ-substitution σ, on note Vl(σ) l’union des ensembles Vl(σ(x)) pour
tout x ∈ Dom(σ).
Définition 4.2.6. Pour toute λ-substitution σ et pour tout λ-terme t, on dit que
σ est adaptée à t quand l’ensemble Vl(σ) ∩ Vq(t) est vide.
Définition 4.2.7. Pour tout λ-terme t et pour toute λ-substitution σ adaptée à t,l’application de σ à t, notée σ·t, est définie par récurrence sur t comme suit :t = o : σ·t = o;σ(x) si x ∈ Dom(σ) ;t = x : σ·t =x sinon ;At = λx .u : σ·t = λxA .σ\x ·u ;t = uv : σ·t = σ·uσ·v.
Soient Γ un contexte, F un type, σ une substitution et id un identifiant. On note
`1id σ·F les jugements de la forme `1id t : σ·F . De même, les ensembles de jugements`1id σ·F avec x : F ∈ Γ sont notés `1id σ·Γ.
Équipés de substitutions, nous pouvons maintenant pédagogiser λC1 :Définition 4.2.8. Le λ-calcul pédagogique simplement typé, abrégé en P-λC1 , estdéfini par :– sa morphologie, constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `1λp F ;– sa syntaxe, constituée par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles (→i ) et (→e ), ainsi que des deux règles suivantes :`1λp σ·Γ(P-Ax)`1Γλp o : >x : F ∈ Γ `1λp σ·Γ(P-Hyp)Γ `1λp x : F
On dit qu’un jugement Γ `1λp t : F est dérivable quand il existe une dérivation
dans P-λC1 dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
Sans dérivation pédagogique, il nous était impossible de définir les motivations
puisque celles-ci font appel à la notion de preuve ; nous sommes maintenant enmesure de les introduire :105

Chapitre 4 : λ-calcul pédagogique simplement typéDéfinition 4.2.9. Soit C un calcul dont la morphologie est constitué par l’ensemble
des jugements de la forme Γ `1id F . Pour tout contexte ∆, une motivation de ∆dans C est une substitution σ telle que pour tout x : F ∈ ∆ il existe un λ-terme t telque le jugement `1id t : σ·F soit dérivable. Quand un contexte admet une motivation
dans C, on dit qu’il est motivable. De plus, une motivation d’une formule F dansC est une motivation du singleton {F } dans C.

4.3

Traduction

Nous avons montré dans le chapitre 1 que le calcul pédagogique P-CPM estéquivalent au calcul usuel CPM ; il en est de même dans les systèmes formels. Pour
tout type F , la notation F> représente le type F dans lequel toutes les variables
ont été remplacées par >. De même, pour tout λ-terme t, on note t> le λ-termet dans lequel tous les types A y apparaissant sont remplacés par A> . Pour tout
contexte Γ, on note Γ> l’ensemble des couples x : F> tels que x : F ∈ Γ. Dans
P-CPM, toutes les formules sont motivables ; de même, dans P-λC1 , tous les types
admettent une instance typant un λ-terme :Lemme 4.3.1. Pour tout type F , il existe un λ-terme t tel que le jugement `1λp t :F> soit dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : nous avons >> = > ; ainsi le jugement `1λp o : F> est dérivable par larègle (P-Ax) ;F = α : nous avons α> = > et on conclut comme dans le cas précédent ;F = A → B : nous avons F> = A> → B> ;1) `1λp u : A> par hypothèse de récurrence ;2) `1λp v : B> par hypothèse de récurrence ;3) x : B> , y : A> `1λp x : B> par (P-Hyp), 1 et 2 ;4) x : B> `1λp λy A> .x : A> → B> par (→i ) et 3 ;5) `1λp λxB> .λy A> .x : B> → (A> → B> ) par (→i ) et 4 ;6) `1λp (λxB> .λy A> .x)v : A> → B> par (→e ), 5 et 2.
ainsi il existe un λ-terme t tel que le jugement `1λp t : (A → B)> soitdérivable.
Ce résultat a pour conséquence l’équivalence de la typabilité dans λC1 et P-λC1 :Proposition 4.3.2. Soient Γ un contexte, t un λ-terme et F un type. Le jugementΓ `1λ t : F est dérivable si et seulement si le jugement Γ `1λp t : F est dérivable.
Démonstration. Nous démontrons successivement les deux sens de l’équivalence :106

4.4 Normalisation⇐) immédiat par récurrence sur la dérivation du jugement Γ `1λp t : F ;⇒) par récurrence sur la dérivation de Γ `1λ t : F ; les cas (→i ) et (→e ) sontimmédiats :(Ax) : d’après le lemme 4.3.1, nous pouvons dériver `1λp Γ> ;
Γ `1λ o : >ainsi le jugement Γ `1λp > est dérivable à l’aide de la règle (P-Ax) ;x:F ∈Γ
(Hyp) : d’après le lemme 4.3.1, nous pouvons dériver `1λp Γ> ;
Γ `1λ x : F
ainsi le jugement Γ `1λp F est dérivable à l’aide de la règle (P-Hyp).
Notons que λC1 et P-λC1 typent exactement les mêmes λ-termes : ils représentent
non seulement la même logique mais également le même langage de programmation, dont les programmes sont spécifiés à l’identique.

4.4

Normalisation

En tant que programmes, les λ-termes sont des processus exécutables ; leurévaluation consiste essentiellement à instancier les paramètres dans les abstractions
par les termes qu’ils représentent : quand une application est de la forme (λx.t)u, onsait que la λ-variable x représente le λ-terme u, l’évaluation d’une telle application
produit alors le λ-terme [x\u]·t. Cette manière d’exécuter les λ-termes se nomme
β-réduction :Définition 4.4.1. Pour tous les λ-termes t et t0 , la relation de β-réduction entret et t0 , notée t β t0 , est définie par les règles suivantes :
o
x

β x

u
λx .u

β u

A

u

β u

0

uv
t

0
β t

t
(λxA .u)v

(βo )

β o

(βλvar )
0

β λx

A

.u0

(βλ )

v β v0(βλapp )0 0β uv
t0 β t00(βtrans )00
β t
β [x\v]·u107(βλred )Chapitre 4 : λ-calcul pédagogique simplement typé
Quand on ne peut plus réduire un λ-terme, cela signifie que le programme associé
a achevé son exécution et on obtient alors la donnée correspondant au résultat del’évaluation. Un λ-terme qui représente un résultat est dit en forme normale :Définition 4.4.2. Un λ-terme t est en forme normale quand pour tout λ-terme u
tel que t β u on a t = u.
Quand on évalue un λ-terme, ses propriétés statiques ne changent pas : il calcule
toujours la même chose, il admet toujours les mêmes arguments et on peut toujours
s’en servir de la même manière. cela signifie que le type d’un λ-terme doit rester
stable par β-réduction :Proposition 4.4.1. Soient Γ un contexte, t et u deux λ-termes et F un type. Si
le jugement Γ `1λp t : F est dérivable et t β u, alors le jugement Γ `1λp u : F est
dérivable.
Démonstration. Supposons que le jugement Γ `1λp t : F soit dérivable ; d’aprèsla proposition 4.3.2, le jugement Γ `1λ t : F est dérivable ; λC1 est stable par βréduction ; donc le jugement Γ `1λ u : F est dérivable ; ainsi, d’après la proposition
4.3.2, le jugement Γ `1λp u : F est dérivable.
Le type d’un λ-terme représente ce qui est calculé par ce terme ; comme quelquechose est calculé, on s’attend à obtenir cette chose à la fin de l’évaluation ; cela
implique que toute évaluation termine ; on dit alors que les λ-termes typables sontnormalisables :Proposition 4.4.2. Soient Γ un contexte, t un λ-terme et F un type. Si le jugement Γ `1λp t : F est dérivable alors il existe un λ-terme u en forme normale tel
que t β u et que le jugement Γ `1λp u : F soit dérivable.
Démonstration. Supposons que le jugement Γ `1λp t : F soit dérivable ; d’après la
proposition 4.3.2, le jugement Γ `1λ t : F est dérivable ; tous les λ-termes typables
dans λC1 admettent une forme normale ; donc il existe un λ-terme u tel que t β uet que le jugement Γ `1λ u : F soit dérivable ; d’après la proposition 4.3.2, lejugement Γ `1λp u : F est dérivable.
La normalisation des termes n’est pas une propriété qui va de soi : il existe destermes qui n’admettent aucune forme normale, comme par exemple (λx.xx)(λx.xx)
qui se réduit nécessairement en lui-même mais qui n’est pas en forme normale ;cependant, ce terme n’est pas typable : tous les termes typables sont normalisables.

108

Chapitre 5
λ-calcul pédagogique du second
ordre
5.1

λ-calcul du second-ordre

Dans le calcul propositionnel minimal, quand on cherche à prouver le théorème
A → A, on passe généralement par les étapes suivantes :1) A `m A par (Hyp) ;2) `m A → A par (→i ) et 1.
Le λ-terme isomorphe à cette preuve est la fonction identité λxA .x sur les λtermes de type A. On remarque qu’on peut démontrer de même n’importe quelthéorème de la forme α → α, dont la preuve correspond au λ-terme λxα .x :en substituant n’importe quelle formule B à la variable propositionnelle α, onobtient un λ-terme de type B → B. Intuitivement, pour toute formule α, nous
disposons d’un processus construisant une preuve de α → α : ceci correspond à
une BHK-interprétation de la quantification universelle de la variable α appliquéeà la formule α → α, c’est-à-dire la formule ∀α.α → α. Au niveau des λ-termes,
pour tout type α, le λ-terme λxα .x est de type α → α : le processus décrit par la
BHK-interprétation de la quantification universelle correspond à l’application d’un
λ-terme à un type qui s’évalue de la même manière d’une β-réduction ; en notant
Λα.λxα x le λ-terme de type ∀α.α → α, on exprime la production d’un λ-terme detype A → A de la manière suivante :(Λα.λxα x)A[α\A]·λxα x

On remarque que le symbole Λ joue un rôle analogue au symbole λ. En intégrantcette construction aux λ-termes, on obtient un λ-calcul typé par des formules propositionnelles du second ordre ; ce système formel correspond via l’isomorphismede Curry-Howard au calcul CP2 ; il a été introduit indépendamment par Jean-Yves
109

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre
Girard et John Reynolds dans les années 1970 sous le nom de λ-calcul polymorphe
du second-ordre. Nous allons le présenter dans cette section. On commence pardéfinir les types :Définition 5.1.1. Les types du second ordre, que nous appelons types dans ce
chapitre en l’absence d’ambiguı̈té, sont définis par récurrence comme suit :– la constante > est un type ;– les variables α, β, γ, . . . sont des types ;– si A et B sont des types, alors A → B est un type ;– si α est une variable et A un type, alors ∀α.A est un type.
Afin d’alléger l’écriture des types, nous écrivons A → B → C les types de laforme A → (B → C). De même, nous écrivons ∀α.A → B les types de la forme∀α.(A → B).
Puis on distingue les variables libres des variables quantifiées :Définition 5.1.2. Pour tout type F , l’ensemble Vl(F ) des variables libres de F
est un ensemble de variables défini par récurrence sur F :F = > : Vl(F ) = ∅ ;F = α : Vl(F ) = {α} ;F = A → B : Vl(F ) = Vl(A) ∪ Vl(B) ;F = ∀α.A : Vl(F ) = Vl(A) \ {α}.
S
Par extension, pour tout contexte Γ nous notons Vl(Γ) l’ensemble x:G∈Γ Vl(G).
Quand Vl(F ) = ∅, nous disons que le type F est clos.
Définition 5.1.3. Pour tout type F , l’ensemble Vq(F ) des variables quantifiéesde F est un ensemble de variables défini par récurrence sur F :F = > : Vq(F ) = ∅ ;F = α : Vq(F ) = ∅ ;F = A → B : Vq(F ) = Vq(A) ∪ Vq(B) ;F = ∀α.A : Vq(F ) = {α} ∪ Vq(A).
Définition 5.1.4. Une variable fraı̂che pour un type F est une variable α telleque α 6∈ Vl(F ) ∪ Vq(F ). Par extension, une variable fraı̂che pour un contexte Γ est
une variable fraı̂che pour chacun des types apparaissant dans Γ. L’ensemble desvariables fraı̂ches d’un contexte Γ est noté Fr(Γ).
Enfin, on définit les substitutions sur les types :Définition 5.1.5. Une substitution σ est une fonction de domaine fini Dom(σ) àvaleurs dans l’ensemble des types.
Notation 5.1.1. Pour toute substitution σ, on note Vl(σ) l’union des ensembles
Vl(σ(α)) pour tout α ∈ Dom(σ).
1105.1 λ-calcul du second-ordreDéfinition 5.1.6. Pour toute substitution σ et pour tout type F , on dit que σ est
adaptée à F quand l’ensemble Vl(σ) ∩ Vq(F ) est vide.
Définition 5.1.7. Pour tout type F et pour toute substitution σ adaptée à F ,l’application de σ à F , notée σ·F , est définie par récurrence sur F comme suit :F = > : σ·F = >;σ(α) si α ∈ Dom(σ) ;F = α : σ·F =α sinon ;F = A → B : σ·F = σ·A → σ·B ;F = ∀α.A : σ·F = ∀α.σ\α ·A.
Après avoir défini les types, on introduit les λ-termes qu’ils vont typer :Définition 5.1.8. Les λ-termes propositionnels du second ordre, que nous appelons λ-termes dans ce chapitre en l’absence d’ambiguı̈té, sont définis par récurrence
comme suit :– la λ-constante o est un λ-terme ;– les λ-variables x, y, z, . . . sont des λ-termes ;– si x est une λ-variable, A un type et t un λ-terme, alors λxA .t est un λterme ;– si t et u sont des λ-termes, alors tu est un λ-terme ;– si α est une variable et t un λ-terme, alors Λα.t est un λ-terme ;– si t est un λ-terme et A un type, alors tA est un λ-terme.
Afin d’alléger l’écriture des λ-termes, nous écrivons tuv les λ-termes de la forme(tu)v et λxA .tu les λ-termes de la forme λxA .(tu), avec u et v des λ-termes ou
des types selon les circonstances. De même, nous écrivons Λα.tu les λ-termes de laforme Λα.(tu). Puis on distingue les λ-variables libres des λ-variables quantifiées :Définition 5.1.9. Pour tout λ-terme t, l’ensemble Vl(t) des λ-variables libres det est un ensemble de λ-variables défini par récurrence sur t :t = o : Vl(t) = ∅ ;t = x : Vl(t) = {x} ;t = λxA .u : Vl(t) = Vl(u) \ {x} ;t = uv : Vl(t) = Vl(u) ∪ Vl(v) ;t = Λα.u : Vl(t) = Vl(u) ;t = uA : Vl(t) = Vl(u).
Quand Vl(t) = ∅, nous disons que le λ-terme t est clos.
Définition 5.1.10. Pour tout λ-terme t, l’ensemble Vq(t) des λ-variables quantifiées de t est un ensemble de λ-variables défini par récurrence sur t :t = o : Vq(t) = ∅ ;t = x : Vq(t) = ∅ ;111

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordret = λxA .u : Vq(t) = {x} ∪ Vq(u) ;t = uv : Vq(t) = Vq(u) ∪ Vq(v) ;t = Λα.u : Vq(t) = Vq(u) ;t = uA : Vq(t) = Vq(u).
Comme pour les types, il nous faut introduire les substitution sur les types ; enpremier lieu, les λ-termes étant annotés par des types, nous allons donner un sensà l’application d’une substitution sur les formules à un λ-terme :Définition 5.1.11. Pour tout λ-terme t et pour toute substitution σ adaptée aux
types apparaissant dans t, l’application de σ à t, notée σ·t, est définie par récurrence
sur t comme suit :t = o : σ·t = t ;t = x : σ·t = t ;t = λxA .u : σ·t = λxσ·A .u ;t = uv : σ·t = σ·uσ·v ;t = Λα.u : σ·t = Λα.σ\α ·u ;t = uA : σ·t = σ·uσ·A.
Puis nous définissons les substitutions sur les λ-termes :Définition 5.1.12. Une λ-substitution σ est une fonction de domaine fini Dom(σ)
à valeurs dans l’ensemble des λ-termes.
Pour toute λ-substitution σ, on note Vl(σ) l’union des ensembles Vl(σ(x)) pour
tout x ∈ Dom(σ).
Définition 5.1.13. Pour toute λ-substitution σ et pour tout λ-terme t, on dit que
σ est adaptée à t quand l’ensemble Vl(σ) ∩ Vq(t) est vide.
Définition 5.1.14. Pour tout λ-terme t et pour toute λ-substitution σ adaptée à
t, l’application de σ à t, notée σ·t, est définie par récurrence sur t comme suit :t = o : σ·t = o;σ(x) si x ∈ Dom(σ) ;t = x : σ·t =x sinon ;At = λx .u : σ·t = λxA .σ\x ·u ;t = uv : σ·t = σ·uσ·v ;t = Λα.u : σ·t = Λα.σ·u ;t = uA : σ·t = σ·uA.
Le système fonctionnel associé au calcul CP2 doit contenir une notion de contexte
pour qu’il reste en accord avec la structure des systèmes de déduction naturelle àla Gentzen-Parwitz :112

5.1 λ-calcul du second-ordreDéfinition 5.1.15. Un λ-contexte propositionnel du second ordre est un ensemble
fini de couples x : A, ou x est une λ-variable et A un type, tel que pour toutx : A ∈ Γ et pour tout y : B ∈ Γ, si x = y alors A = B ; dans ce chapitre nous
les appelons contextes quand aucune ambiguı̈té n’est à craindre. Un λ-jugement
propositionnel du second ordre est un triplet noté Γ `2id t : F , avec Γ un contexte,t un λ-terme, F un type et id un identifiant textuel. Dans ce chapitre, les λjugements propositionnels du second ordre sont appelés jugements quand cela neprête pas à confusion.
Le contexte vide est représenté par le mot vide ; ainsi, pour tout λ-terme t, pour
tout type F et tout identifiant id, le jugement ∅ `2id t : F s’écrit également `2id t : F .
De plus, pour tous contextes Γ et ∆, le contexte Γ∪∆ est noté Γ, ∆. En particulier,pour tout type A, le jugement Γ ∪ {A} `2id t : F est noté Γ, A `2id t : F . Dansles types, le nom des variables quantifiées ne sert qu’à les distinguer des autres
variables puisqu’elle représente potentiellement n’importe quel type ; deux type nedifférant que par le nom de leur variables libres ont la même signification ; ceci est
formalisé par la relation d’α-équivalence :Définition 5.1.16. Pour tout type A et B, la relation d’α-équivalence entre A et
B, notée A =α B, est définie par les règles suivantes :> =α >α =α α(α> )(αvar )A =α A0 B =α B 0(α→ )A → B = α A0 → B 0[α\γ]·A =α [β\γ]·B γ ∈ Fr(A, B)(α∀ )∀α.A =α ∀β.B
Quand la relation A =α B est vérifiée, on dit que les termes A et B sont αéquivalents.
Nous avons enfin tous les outils nécessaire à la définition du λ-calcul du second
ordre :
Définition 5.1.17. Le λ-calcul du second ordre, abrégé en λC2 , est défini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2λ t :F;113Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre– sa syntaxe, constituée par l’ensemble des dérivations définies par récurrenceà l’aide des règles suivantes :Γ `2λ o : >(Ax)

x:F ∈Γ(Hyp)Γ `2λ x : FΓ `2λ t : A → B Γ `2λ u : A(→e )Γ `2λ tu : B

Γ, x : A `2λ t : B(→i )Γ `2λ λxA .t : A → BΓ `2λ t : A α 6∈ Vl(Γ)(∀i )Γ `2λ Λα.t : ∀α.A

Γ `2λ t : ∀α.A(∀e )Γ `2λ tU : [α\U ]·AΓ `2λ t : A A =α B(=α )Γ `2λ t : B
On dit qu’un jugement Γ `2λ t : F est dérivable quand il existe une dérivation dansλC2 dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.

5.2

λ-calcul pédagogique du second-ordre

Pour pédagogiser λC2 , il faut prendre soin que le λ-calcul obtenu ait de bonnes
propriétés. Deux méthodes de pédagogisation ont été utilisées dans le chapitre 2
pour pédagogiser le calcul CP2 : la première a engendré le calcul F-CP2 ; mais ce
calcul n’admet pas la propriété de normalisation des preuves. Voici la preuve duthéorème `2f (∀α.α) → (∀α.α) :1) `2f > par (P-Ax) ;2) α `2f α par (P-Hyp) et 1 ;3) `2f α → α par (→i ) et 2 ;4) `2f ∀α.α → α par (∀i ) et 3 ;5) `2f (∀α.α) → (∀α.α) par (∀e ) et 4.
Cette preuve correspond au λ-terme (Λα.λxα .x)(∀α.α), dont la β-réduction produit le λ-terme λx∀α.α .x ; mais ce λ-terme en forme normale ne correspond à aucunedérivation de F-CP2 ; en effet, la dérivation candidate est celle-ci :1) ∀α.α `2f ∀α.α application de (P-Hyp) incorrecte ;2) `2f (∀α.α) → (∀α.α) par (→i ) et 1.
La ligne (1) de cette preuve demande à ce que la formule ∀α.α soit motivée ;mais ceci impliquerait l’incohérence du calcul. Ainsi la méthode de pédagogisation
ayant engendré F-CP2 ne convient pas. En revanche, la méthode qui a servi pourconstruire le calcul P-CP2 convient parfaitement ; nous allons l’appliquer à λC2 .
114

5.2 λ-calcul pédagogique du second-ordre
Soient Γ un contexte, F un type, σ une substitution, µ une λ-substitution et id
un identifiant. On note `2id σ ·F les jugements de la forme `2id t : σ ·F . De même,les ensembles de jugements `2id σ·F avec x : F ∈ Γ sont notés `2id σ·Γ. On dénotel’ensemble des jugements `2id µ · x : σ · F avec x : F ∈ Γ par `2id µ · σ · F . Voici
maintenant la définition de la version pédagogique de λC2 :Définition 5.2.1. Le λ-calcul pédagogique du second ordre, abrégé en P-λC2 , estdéfini par :– sa morphologie, constitué par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2λp F ;– sa syntaxe, constitué par l’ensemble des dérivations définies par récurrence àl’aide des règles (→i ), (→e ), (∀i ) et (=α ) ainsi que des trois règles suivantes :`2λp σ·Γ(P-Ax)`2Γλp o : >x : F ∈ Γ `2λp σ·Γ(P-Hyp)Γ `2λp x : F`2λp t : ∀α.A `2λp σ·U(P-∀e )`2Γλp tU : [α\U ]·A
On dit qu’un jugement Γ `2λp t : F est dérivable quand il existe une dérivation
dans P-λC2 dont la dernière règle utilisée produit ce jugement.
La notion de motivation est immédiatement transposable dans P-λC2 :Définition 5.2.2. Soit C un calcul dont la morphologie est constitué par l’ensemble
des jugements de la forme Γ `2id t : F . Pour tout contexte ∆, une motivation de∆ dans C est une substitution σ telle que pour tout x : F ∈ ∆ il existe un λterme t tel que le jugement `1id t : σ ·F soit dérivable. Quand un contexte admet
une motivation dans C, on dit qu’il est motivable. De plus, une motivation d’une
formule F dans C est une motivation du singleton {F } dans C.
L’une des conséquences immédiates de l’application de l’isomorphisme de CurryHoward sur le calcul P-CP2 est la possibilité de motiver tous les sous-types destypes apparaissant dans les dérivations de P-λC2 :Proposition 5.2.1. Pour tout jugement Γ `2λp t : F dérivable, les jugements`2λp G> sont dérivables pour tout sous-type G d’un type appartenant à Γ ∪ {F }.
Démonstration. Analogue à la preuve de la proposition 2.3.10.
115

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre

5.3

Normalisation

Après l’introduction des Λ-abstractions dans les λ-termes du second ordre, laβ-réduction se trouve altérée par rapport au cas du λ-calcul simplement typé vudans le chapitre 4. Voici à quoi elle ressemble après modifications :Définition 5.3.1. Pour tous les λ-termes t et t0 , la relation de β-réduction entret et t0 , notée t β t0 , est définie par les règles suivantes :
o

u

β x

u
λx .u

β u

β u

0

uv
u
Λα.u

t

(βλvar )

x
A

(βo )

β o

0

β λx

A

(βλ )

.u0

v β v0(βλapp )
0 0
β uv
β u

0

β Λα.u

0

(βΛ )

0

u
uA

β u

0
β t

t0 β t00(βtrans )
00
β t

t

0
β uA

(βΛapp )(λxA .u)v

β [x\v]·u(Λα.u)A

β [α\A]·u(βλred )(βΛred )Nous avons donc deux types d’évaluation des applications : celle associée aux λabstractions et celle associée aux Λ-abstractions. Pour chacune d’elles, nous allonsdémontrer qu’elles préservent le typage des λ-termes réduits. Nous nous occupons premièrement de l’évaluation associée aux λ-abstractions. Par une récurrence
immédiate sur les dérivations, on observe que l’application de la règle (λred) à un
λ-terme typé par le jugement Γ `2λ (λxA .t)u : F produit une dérivation du jugement Γ `2λ [x\u] · t : F : il est construit à partir de la dérivation du jugement
Γ, x : A `2λ t : F dans laquelle toutes les occurrences de la règle (Hyp) produisant
un jugement Γ, ∆, x : A `2λ x : A sont remplacées par la dérivation du jugement1165.3 NormalisationΓ, ∆ `2λ u : A. On remarque qu’il faut pouvoir affaiblir le contexte de Γ `2λ u : A
par le contexte ∆ ; ainsi, pour que l’on puisse typer les λ-termes réduits par larègle (λred), il faut pouvoir affaiblir tous les contexte Γ par ∆ ; nous avons besoin
de dériver la règle d’affaiblissement pédagogique (P-Aff) de la manière suivante :Γ `2λp t : F `2λp σ·U(P-Aff)Γ, x : U `2λp t : F
Notons que le λ-terme t reste le même après affaiblissement. Nous allons démontrer
que cette règle est dérivable dans P-λC2 :Proposition 5.3.1. Soient Γ un contexte, U un type et x une λ-variable n’apparaissant pas dans Γ. Pour tout jugement dérivable Γ `2λp t : F , le jugement
Γ, x : U `2λp t : F est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `2λp t : F ; on ne traite que
les cas (P-Ax) et (P-Hyp), les autres cas étant immédiats par récurrence :`2λp σ·Γ(P-Ax) d’après la proposition 5.2.1, les jugements `2λp Γ> sont`2Γλp o : >dérivables ; ainsi nous dérivons le jugement Γ, x : U `2λp o : > à l’aide de larègle (P-Ax) ;y : F ∈ Γ `2λp σ·Γ(P-Hyp) d’après la proposition 5.2.1, les jugementsΓ `2λp y : F`2λp Γ> sont dérivables ; ainsi nous dérivons le jugement Γ, x : U `2λp y : F àl’aide de la règle (P-Hyp).
Nous pouvons alors démontrer que l’application de la règle (λred) préserve letypage des λ-termes réduits :Lemme 5.3.2. Pour tout jugement dérivable Γ `2λp (λxA .t)u : F , le jugementΓ `2λp [x\u]·t : F est dérivable.
Démonstration. Par hypothèse, les jugements Γ, x : A `2λp t : F et Γ `2λp u : A sontdérivable ; nous allons prouver par récurrence sur la dérivation de Γ, x : A `2λp t : F
que le jugement Γ `2λp [x\u]·t : F est dérivable :`2λp σ·(Γ, x : A)
(P-Ax) : nous avons [x\u] · o = o ; donc nous dérivons
Γ, x : A `2λp o : >Γ `2λp [x\u]·o : > à l’aide de la règle (P-Ax) ;y : F ∈ (Γ, x : A) `2λp σ·(Γ, x : A)
(P-Hyp) : il y a deux cas à traiter :Γ, x : A `2λp t : F– y : F = x : A : par hypothèse le jugement Γ `2λp u : A est dérivable ; deplus u = [x\u]·y ; donc le jugement Γ `2λp [x\u]·y : F est dérivable ;117

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre– y : F 6= x : A : nous dérivons le jugement Γ `2λp y : F à l’aide de la règle(P-Hyp) ;Γ, x : A, y : B `2λp f : C(→i ) : par hypothèse le jugement Γ `2λp u : A
Γ, x : A `2λp λy B .f : B → C
est dérivable et d’après la proposition 5.2.1 le type B est motivable dansP-λC2 ; ainsi nous dérivons le jugement Γ, y : B `2λp u : A à l’aide de la règle(P-Aff) ; par hypothèse de récurrence, le jugement Γ, y : B `2λp [x\u]·f : C
est dérivable ; nous dérivons alors le jugement Γ, y : B `2λp [x\u]·λy B .f : F
avec la règle (→i ) ;Γ, x : A `2λp f : B → F Γ, x : A `2λp g : B(→e ) : par
hypothèsedeΓ, x : A `2λp f g : Frécurrence, les jugements Γ `2λp [x\u] · f : B → F et Γ `2λp [x\u] · g : B
sont dérivables ; donc nous dérivons le jugement Γ `2λp [x\u]·(f g) : F avec larègle (→e ) ;Γ, x : A `2λp f : B α 6∈ Vl(Γ; x : A)(∀i ) : par hypothèse de récurrence, le juΓ, x : A `2λp Λα.f : ∀α.B
gement Γ `2λp [x\u] · f : B est dérivable ; par α-équivalence, nous pouvons
supposer que α n’apparaı̂t pas dans u ; ainsi nous dérivons le jugementΓ `2λp [x\u]·Λα.f : F avec la règle (∀i ) ;Γ, x : A `2λp f : ∀α.B `2λp σ·U(P-∀e ) : par hypothèse de récurrence, le juΓ, x : A `2λp f U : [α\U ]·B
gement Γ `2λp [x\u]·f : ∀α.B est dérivable ; nous dérivons alors le jugementΓ `2λp [x\u]·(f U ) : F avec la règle (P-∀e ) ;Γ, x : A `2λ t : G G =α F(=α ) : par hypothèse de récurrence, le jugement
Γ, x : A `2λ t : FΓ `2λp [x\u]·t : G est dérivable ; ainsi nous dérivons le jugement Γ `2λp [x\u]·t :F avec la règle (=α ).
L’application de la règle (Λred) sur un λ-terme typé par le jugement Γ `2λ (Λα.t)U :[α\U ] · F produit une dérivation du jugement Γ `2λ [α\U ] · t : [α\U ] · F : il s’agit
de la dérivation du jugement Γ `2λ t : F dans laquelle toutes les occurrences de lavariable α sont remplacées par le type U . Dans le cas de P-λC2 , il faut pouvoir
motiver les types U dans tous les types [α\U ] · A tels que A apparaisse dans ladérivation de Γ `2λ t : F ; nous allons prouver que c’est toujours le cas :Lemme 5.3.3. Pour tout type U et F motivables dans P-λC2 et pour toute variable
α tels que la substitution [α\U ] soit adaptée à F , le type [α\U ]·F est motivabledans P-CP2 .
Démonstration. analogue à la preuve du lemme 2.3.7.
118

5.3 Normalisation
Ainsi nous pouvons démontrer que l’application de la règle (Λred) préserve letypage des λ-termes réduits à l’aide des deux lemmes suivants :Lemme 5.3.4. Pour tout jugement dérivable Γ `2λp t : F , si le type U est motivabledans P-λC2 alors le jugement [α\U ]·Γ `2λp [α\U ]·t : [α\U ]·F est dérivable.
Démonstration. Notons µ la substitution [α\U ] ; nous prouvons le lemme parrécurrence sur la dérivation de Γ `2λp t : F :`2λp σ·Γ(P-Ax) : nous avons o = µ·o et > = µ·> ; le contexte µ·Γ estΓ `2λp o : >motivable dans P-λC2 d’après les lemmes 5.3.3 et 5.2.1 ; nous dérivons alors
le jugement µ·Γ `2λp µ·o : µ·> avec la règle (P-Ax) ;x : F ∈ Γ `2λp σ·Γ(P-Hyp) : analogue au cas précédent ;Γ `2λp x : F
Γ, x : A `2λp f : B(→i ) : par hypothèse de récurrence, le jugement µ ·Γ `2λp λxA .f : A → B(Γ, x : A) `2λp µ · f : µ · B est dérivable ; ainsi nous dérivons le jugementµ·Γ `2λp µ·λxA .f : µ·(A → B) avec la règle (→i ) ;Γ `2λp f : A → F Γ `2λp g : A(→e ) : par hypothèse de récurrence, les jugeΓ `2λp f g : F
ments µ·Γ `2λp µ·f : µ·(A → F ) et µ·Γ `2λp µ·g : µ·A sont dérivables ; ainsi
nous dérivons le jugement µ·Γ `2λp µ·(f g) : µ·F avec la règle (→e ) ;Γ `2λp f : A β 6∈ Vl(Γ)(∀i ) : par hypothèse de récurrence, le jugement µ ·Γ `2λp Λβ.f : ∀β.AΓ `2λp µ·f : µ·A est dérivable ; par α-équivalence, nous pouvons supposer que
α 6= β ; nous dérivons alors le jugement µ·Γ `2λp µ·Λβ.f : µ·∀β.A avec larègle (∀i ) ;Γ `2λp f : ∀β.A `2λp σ·V(P-∀e ) : par hypothèse de récurrence, le jugementΓ `2λp f V : [β\V ]·Aµ·Γ `2λp µ·f : µ·∀β.A est dérivable ; le type µ·V est motivable dans P-λC2d’après les lemmes 5.3.3 et 5.2.1 ; par α-équivalence nous pouvons supposerque α 6= β et α 6∈ Vl(U ) ; nous dérivons alors le jugement µ·Γ `2λp µ·(f V ) :µ·([β\V ]·A) avec la règle (P-∀e ) ;Γ `2λ t : G G =α F(=α ) : par hypothèse de récurrence, le jugementΓ `2λ t : Fµ · Γ `2λp µ · t : µ · G est dérivable ; par une récurrence immédiate sur ladérivation de G =α F nous avons µ · G =α µ · F ; ainsi nous dérivons lejugement µ·Γ `2λp µ·t : µ·F avec la règle (=α ).

119

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre
Lemme 5.3.5. Pour tout jugement dérivable Γ `2λp (Λα.t)U : [α\U ]·F , le jugementΓ `2λp [α\U ]·t : [α\U ]·F est dérivable.
Démonstration. Par hypothèse le jugement Γ `2λp t : F est dérivable et le type U
est motivable ; d’après le lemme 5.3.5, le jugement [α\U ]·Γ `2λp [α\U ]·t : [α\U ]·F
est dérivable ; nous avons α 6∈ Vl(Γ) ; donc nous avons une dérivation du jugementΓ `2λp [α\U ]·t : [α\U ]·F .
On déduit des lemmes 5.3.2 et 5.3.5 la stabilité de P-λC2 par β-réduction :Proposition 5.3.6. Pour tout jugement dérivable Γ `2λp t : F et pour tout λ-termeu tel que t β u, le jugement Γ `2λp u : F est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de t
β u ; nous ne traitons
que les cas des règles (βλ ), (βλred ) et (βΛred ), les autres cas étant immédiats ou
analogues au cas (βλ ) :u β u0(βλ ) : posons F = A → B ; par hypothèse, le jugement
λxA .u β λxA .u0
Γ, x : A `2λp u : B est dérivable ; par hypothèse de récurrence, le jugement
Γ, x : A `2λp u0 : B est dérivable ; ainsi le jugement Γ, x : A `2λp λxA .u0 : B
est dérivable à l’aide de la règle (→i ) ;(λxA .u)v

β [x\v]·u(Λα.u)A

β [α\A]·u

5.4(βλred ) : immédiat d’après le lemme 5.3.2 ;(βΛred ) : immédiat d’après le lemme 5.3.5.

Utilité

L’isomorphisme de Curry-Howard permet de transporter des propriétés dessystèmes formels dans les systèmes fonctionnels. En particulier, le fait que dans lecalcul P-CP2 toutes les formules apparaissant dans les dérivations soient motivables
a comme contrepartie dans P-λC2 une propriété des λ-termes typables que nous
appelons l’utilité. Intuitivement, une fonction sert en tant que programme – est
utile – dès qu’on est capable de faire appel à son contenu algorithmique pourcalculer des objets. Pour un λ-terme, cela signifie qu’il existe des λ-termes qu’on
puisse lui passer en arguments. Notons qu’un λ-terme n’a apparemment qu’unseul paramètre, celui qui est quantifié par une λ-abstraction ou une Λ-abstraction.
Cependant, les fonctions à plusieurs paramètres sont représentables en considérant
qu’une suite d’abstractions définit une suite de paramètres : par exemple, le λterme Λα.λxα .x peut représenter une fonction à deux paramètres, α et x. Pour120

5.4 Utilitécela, il faut étendre l’utilité à la lumière de cette représentation en exigeant que
toute fonction utile appliquée à l’argument témoin de cette utilité produise une
fonction également utile.
La définition de l’utilité dans les λ-calculs du second ordre n’est pas immédiate
car ces systèmes sont imprédicatifs : on peut instancier une variable quantifiée
par n’importe quel type ; ainsi le λ-terme Λα.λxα .x, d’arité deux en apparence,
se révèle ne pas avoir d’arité précise ; en effet, si on l’applique à son propre type∀α.α → α, puis à lui-même, on obtient par réduction le même λ-terme Λα.λxα .x.
Cette difficulté nous a poussé à définir l’utilité à l’aide d’un point fixe, celui de la
propriété définie ci-dessous :Définition 5.4.1. Soit C un calcul dont la morphologie est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2id t : F . Soit U(t, F ) une propriété portant
sur t un λ-terme et F un type. Pour tout λ-terme t et tout type F , on définit lapropriété H(U, t, F ) par récurrence sur F :F = > : H(U, t, F ) si et seulement si le jugement `2id t : F est dérivable ;F = α : H(U, t, F ) si et seulement si le jugement `2id t : F est dérivable ;F = A → B : H(U, t, F ) si et seulement si il existe un λ-terme u clos tel quele jugement `2id tu : B soit dérivable et que H(U, tu, B) ;F = ∀α.A : H(U, t, F ) si et seulement si il existe un type U clos tel que lejugement `2id tU : [α\U ]·A soit dérivable et que U(tU, [α\U ]·A).
Nous souhaitons faire appel au théorème de point fixe de Knaster-Tarski ; il nous
faut alors prouver que la propriété H(U, t, F ) est croissante par rapport à l’argument U :Lemme 5.4.1. Soit C un calcul dont la morphologie est constitué par l’ensemble
des jugements de la forme Γ `2id t : F . Soient U(t, F ) et U 0 (t, F ) deux propriétés
portant sur t un λ-terme et F un type. Si pour tout λ-terme t et tout type F on aU(t, F ) implique U 0 (t, F ), alors H(U, t, F ) implique H(U 0 , t, F ).
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : H(U, t, F ) ne dépend pas de U ; donc le résultat est immédiat ;F = α : analogue au cas précédent ;F = A → B : supposons que H(U, t, F ) ; par définition, il existe un λ-terme uclos tel que le jugement `2id tu : B soit dérivable et que H(U, tu, B) ; parhypothèse de récurrence, H(U 0 , tu, B) ; ainsi H(U 0 , t, F ) ;F = ∀α.A : supposons que H(U, t, F ) ; par définition, il existe un type U clos
tel que le jugement `2id tU : [α\U ]·A soit dérivable et que U(tU, [α\U ]·A) ;donc U 0 (tU, [α\U ]·A) ; ainsi H(U 0 , t, F ).
Nous pouvons ainsi construire le point fixe de la propriété H(U, t, F ) :121

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre
Lemme 5.4.2. Soit C un calcul dont la morphologie est constituée par l’ensemble
des jugements de la forme Γ `2id t : F . Il existe une propriété U(t, F ) portant sur
t un λ-terme et F un type telle que pour tout λ-terme t et tout type F , U(t, F ) si
et seulement si H(U, t, F ).
Démonstration. D’après le lemme 5.4.1, la propriété H(U, t, F ) est croissante parrapport à U ; ainsi, d’après le théorème de point fixe de Knaster-Tarski, il existe
une propriété U(t, F ) telle que pour tout λ-terme t et tout type F , U(t, F ) si etseulement si H(U, t, F ).
Le prédicat U, défini dans le précédent lemme, possède des propriétés qui nesont pas exprimables par récurrence sur ses arguments car elles seraient alors mal
fondées ; elles motivent la construction de U par point fixe :Lemme 5.4.3. Soit C un calcul supposé cohérent dont la morphologie est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2id t : F . Soit U(t, F ) la propriétédéfinie dans le lemme 5.4.2 ; pour tout λ-terme t et pour tout type F :– si F = > ou F = α alors U(t, F ) si et seulement si le jugement `2id t : F est
dérivable ;– si F = A → B alors U(t, F ) si et seulement si il existe un λ-terme u clos telque le jugement `2id tu : B soit dérivable et que U(tu, B) ;– si F = ∀α.A alors U(t, F ) si et seulement si il existe un type U clos tel quele jugement `2id tU : [α\U ]·A soit dérivable et que U(tU, [α\U ]·A).
Démonstration. Par cas sur F :– F = > : par définition de H(U, t, F ), U(t, F ) si et seulement si le jugement`2id t : F est dérivable ;– F = α : analogue au cas précédent ;– F = A → B : par définition de H(U, t, F ), U(t, F ) si et seulement si ilexiste un λ-terme u clos tel que le jugement `2id tu : B soit dérivable etque H(U, tu, B), et par définition de U(tu, B), nous avons H(U, tu, B) si etseulement si U(tu, B) ;– F = ∀α.A : par définition de H(U, [], t, F ), U(t, F ) si et seulement si il existe
un type U clos tel que le jugement `2id tU : [α\U ] · A soit dérivable et que
U(tU, [α\U ]·A).
Grâce à la propriété U construite dans le lemme 5.4.2, nous sommes en mesure dedéfinir formellement ce que signifie être utile pour un λ-terme du second ordre :Définition 5.4.2. Soit C un calcul dont la morphologie est constituée par l’ensemble des jugements de la forme Γ `2id t : F . Soit U(t, F ) la propriété définie dansle lemme 5.4.2. Soit t un λ-terme tel qu’il existe un jugement Γ `2id t : F dérivable.
1225.4 Utilité
Le λ-terme t est utile dans C quand U(Λα.λxΓ .t, ∀α.Γ → F ). Le λ-terme t est
inutile dans C quand il n’est pas utile.
On se rend compte immédiatement qu’il existe des λ-termes inutiles dans λC2 , enparticulier ceux qui font intervenir des types absurdes :Proposition 5.4.4. Il existe un λ-terme inutile dans λC2 .
Démonstration. Le jugement `2λ λx⊥ .x : ⊥ → ⊥ est aisément dérivable ; commeλC2 est cohérent, il n’existe aucun terme u tel que le jugement `2λ u : ⊥ soitdérivable ; donc le terme λx⊥ .x est inutile dans λC2 .
En revanche, comme nous le supposions, tous les λ-termes apparaissant dans lesdérivations de P-λC2 sont utiles. On commence par prouver l’utilité dans P-λC2
de tous les λ-termes clos typables :Lemme 5.4.5. Pour tout jugement dérivable `2λp t : F , tel que le λ-terme t soit
clos, la propriété U(t, F ) est vérifiée.
Démonstration. Par récurrence sur la longueur de F ; nous présentons la récurrence
par cas sur F :F = > : par hypothèse, le jugement `2λp t : F est dérivable ; donc U(t, F ) ;F = α : analogue au cas précédent ;F = A → B : A est motivable dans P-λC2 d’après la proposition 5.2.1 ; comme
A est clos, il existe un λ-terme u tel que le jugement `2λp u : A est dérivable ;donc le jugement `2λp tu : B est dérivable ; de plus, U(tu, B) par hypothèsede récurrence ; ainsi U(t, F ) ;F = ∀α.A : le jugement `2λp t : ∀α.A est dérivable par hypothèse ; donc le jugement `2λp t> : [α\>]·A est dérivable ; de plus U(t>, [α\>]·A) par hypothèsede récurrence ; ainsi U(t, F ).

Puis on généralise l’utilité des termes clos à celle des termes quelconques :Proposition 5.4.6. Pour tout jugement dérivable Γ `2λp t : F , le λ-terme t est
utile dans P-λC2 .
Démonstration. Le λ-terme Λα.λxΓ .t est clos ; donc U(Λα.λxΓ .t, ∀α.Γ → F )d’après le lemme 5.4.5 ; ainsi le λ-terme t est utile dans P-λC2 .
123

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre

5.5

Traduction CPS

Les traductions CPS (Continuations Passing Style) constituent une techniquede compilation utilisée pour simplifier la compilation des langages de programmation fonctionnels [1]. Au niveau des types, les traductions CPS correspondent à desinterprétations de la logique classique dans la logique intuitionniste fondées sur les
traductions négatives de Gödel, Kolmogorov ou Kuroda. Nous allons adapter laγ-traduction étudiée dans le chapitre 2 pour plonger λC2 dans P-λC2 en nous inspirant de la traduction négative de Kolmogorov [24] telle qu’elle est utilisée dansle travail de De Groote [9] :Définition 5.5.1. Soit F un type et γ une variable fraı̂che pour F . Nous définissons la γ-traduction F γ du type F par récurrence sur F :F = > : F γ = ¬¬γ > ;F = α : F γ = ¬¬γ α ;F = A → B : F γ = ¬¬γ (Aγ → B γ ) ;F = ∀α.A F γ = ¬¬γ (∀α.Aγ ).
Nous définissons le type F γ−− par l’unique type tel que F γ = ¬¬γ F γ−− , et nous
γ−
γ−−écrivons F le type ¬γ F.
Pour que les λ-termes typables par F dans λC2 puisse être typé par F γ , nous
devons les modifier selon la transformation CPS suivante, basée sur la traduction
CPS en appel par nom de Plotkin [33] :Définition 5.5.2. Pour tout jugement dérivable Γ `2λ t : F nous définissons la
traduction CPS t du λ-terme t par récurrence sur la dérivation de Γ `2λ t : F ;les λ-variables k et m utilisées dans cette définitions sont deux variables distinctes
fraı̂ches pour t :γ−

Γ `2λ o : >(Ax) : o = λk > .ko ;x:F ∈Γ
γ−(Hyp) : x = λk F .xk ;2Γ `λ x : Fγ−Γ, x : A `2λ f : Bγ(→i ) : λxA .f = λk (A→B) .k(λxA .f ) ;2AΓ `λ λx .t : A → BΓ `2λ f : A → F Γ `2λ g : Aγ−γγ(→e ) :] f g = λk F .f (λmA →F .mgk) ;– (2
Γ `λ f g : F2Γ `λ f : A α 6∈ Vl(Γ)γ−(∀i ) : Λα.f = λk ∀α.A .k(Λα.f ) ;Γ `2λ Λα.f : ∀α.Aγ−
Γ `2λ f : ∀α.Aγ(∀e ) : f U = λk ([α\U ]·A) .f (λm∀α.A .mU γ−− k) ;2Γ `λ f U : [α\U ] · AΓ `2λ t : G G =α F(=α ) : t = t ;Γ `2λ t : F124

5.5 Traduction CPS
Les traductions CPS ont la propriété de ne pas altérer la relation de β-équivalence :deux λ-termes sont β-équivalents si et seulement si leurs traductions CPS le sont.
De plus, l’évaluation des λ-termes est correctement simulée par l’évaluation deleurs traductions CPS. L’étude complète de ces propriétés dépasse le cadre de cettethèse ; nous encourageons le lecteur à se référer aux travaux menés dans [1], [9], [30]et [35]. Le résultat principal de cette section est contenu dans la proposition 5.5.6 :pour tout jugement dérivable Γ `2λ t : F , le jugement Γγ `2λp t : F γ est dérivable.
Compte tenu des propriétés algorithmiques des traductions CPS, ce résultat met
en évidence la possibilité de représenter fidèlement et pédagogiquement les programmes typables dans λC2 à l’intérieur de P-λC2 . Comme toujours dans les
systèmes d’ordre supérieur, nous avons besoin d’un lemme de substitution :Lemme 5.5.1. Pour tout type F et U , nous avons [γ\U γ−− ]·F γ = ([α\U ]·F )γ .
Démonstration. Immédiat par induction sur F .
Dans notre contexte pédagogique, il convient que les types soient tous motivables ;il faut alors prouver que la γ-traduction transforme n’importe quel type en un typemotivable :Lemme 5.5.2. Notons µ la substitution [γ\>]. Soient F un type et Γ un contexte
motivable dans P-λC2 . Pour toute variable γ fraı̂che pour Γ ∪ {F }, le jugementΓ `2λp µ·F γ est dérivable.
Démonstration. Par récurrence sur F :F = > : nous avons µ·>γ = (> → >) → > et le jugement Γ `2λp (> → >) → >est aisément dérivable ;F = α : nous avons µ·αγ = (α → >) → > et le jugement Γ `2λp (α → >) → >est aisément dérivable ;F = A → B : par hypothèse de récurrence, le jugement `2λp µ·Aγ est dérivable ;le contexte Γ ∪ {x : µ·Aγ } est motivable dans P-λC2 ; ainsi, par hypothèsede récurrence, le jugement Γ, x : µ·Aγ `2λp µ·B γ est dérivable ; nous dérivons
alors le jugement Γ `2λp µ·(Aγ → B γ ) avec la règle (→i ) ; d’après le lemme
5.2.1, le type µ · (Aγ → B γ ) est motivable dans P-λC2 ; donc le jugementΓ `2λp (µ·(Aγ → B γ ) → >) → > est aisément dérivable ; nous avons (µ·(Aγ →B γ ) → >) → > = µ·(A → B)γ ; ainsi nous avons une dérivation du jugementΓ `2λp µ·(A → B)γ ;F = ∀α.A : par hypothèse de récurrence, le jugement Γ `2λp µ·Aγ est dérivable ;nous dérivons alors le jugement Γ `2λp ∀α.µ·Aγ avec la règle (∀i ) ; nous avons
γ 6= α ; donc nous avons ∀α.µ·Aγ = µ·∀α.Aγ ; ainsi nous avons une dérivationde Γ `2λp µ·∀α.Aγ ; le jugement Γ `2λp (µ·(∀α.Aγ ) → >) → > est aisémentdérivable ; nous avons (µ·(∀α.Aγ ) → >) → > = µ·(∀α.A)γ ; donc nous avons
une dérivation du jugement Γ `2λp µ·(∀α.A)γ .
125Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre

Pour des raisons techniques, pour tout type F il faut également pouvoir motiver
les types F γ− et F γ−− :Lemme 5.5.3. Notons µ la substitution [γ\>]. Soient F un type et Γ un contexte
motivable dans P-λC2 . Pour toute variable γ fraı̂che pour Γ ∪ {F }, le jugementΓ `2λp µ·F γ− est dérivable.
Démonstration. Analogue à la preuve du lemme précédent.
Lemme 5.5.4. Pour tout type F et pour toute variable γ fraı̂che pour F , le typeF γ−− est motivable dans P-λC2 .
Démonstration. Par cas sur F : quand F = > ou F = α, le type F γ−− est aisément
motivable, et les autres cas sont la conséquence des lemmes 5.5.2 et 5.2.1.
La γ-traduction ne doit pas altérer le sens des formules relatif aux variables quantifiées ; donc notre traduction doit rester stable par rapport aux renommage desvariables quantifiées :Lemme 5.5.5. Pour tout type F et G, si F =α G alors F γ =α Gγ .
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de F =α G :> =α >(α> ) : nous avons >γ = >γ ; ainsi nous avons >γ =α >γ ;(αvar ) : nous avons αγ = αγ ; ainsi nous avons αγ =α αγ ;α =α αA =α A 0 B =α B 0(α→ ) : par hypothèse de récurrence, nous avons Aγ =α
A → B =α A0 → B 0
A0 γ et B γ =α B 0 γ ; ainsi nous avons (A → B)γ =α (A0 → B 0 )γ à l’aide de larègle (α→ ) ;[α\δ]·A =α [β\δ]·B δ ∈ Fr(A, B)(α∀ ) : nous pouvons supposer que δ 6= γ ;∀α.A =α ∀β.B
par hypothèse de récurrence, nous avons [α\δ]·Aγ =α [β\δ]·B γ ; d’après lelemme 5.5.1, nous avons [α\δ]·Aγ = [α\δ γ−− ]·Aγ et [β\δ]·Aγ = [β\δ γ−− ]·B γ ;nous avons δ γ−− = δ ; ainsi nous avons [α\δ]·Aγ =α [β\δ]·B γ ; nous avons∀α.Aγ =α ∀β.B γ à l’aide de la règle (α∀ ) ; ainsi nous dérivons aisément∀α.Aγ =α ∀β.B γ .
Nous démontrons maintenant la proposition principale :Proposition 5.5.6. Pour tout jugement dérivable Γ `2λ t : F , le jugementΓγ `2λp t : F γ est dérivable.
1265.5 Traduction CPS
Démonstration. Par récurrence sur la dérivation de Γ `2λ t : F :(Ax) :
Γ `2λ o : >1) `2λp [γ\>]·Γγ d’après le lemme 5.5.2 ;2) `2λp [γ\>]·>γ− d’après le lemme 5.5.3 ;3) Γγ , k : >γ− `2λp k : >γ− par (P-Hyp),1 et 2 ;4) Γγ , k : >γ− `2λp o : > par (P-Ax),1 et 2 ;5) Γγ , k : >γ− `2λp ko : γ par (→e ),3 et 4 ;γ−
6) Γγ `2λp λk > .ko : >γ par (→i ) et 5 ;ainsi le jugement Γγ `2λp o : >γ est dérivable ;x:F ∈Γ
(Hyp) : 1) `2λp [γ\>]·Γγ d’après le lemme 5.5.2 ;Γ `2λ x : F2) `2λp [γ\>]·F γ− par le lemme 5.5.3 ;3) Γγ , k : F γ− `2λp k : F γ− par (P-Hyp), 1 et 2 ;4) Γγ , k : F γ− `2λp x : F γ par (P-Hyp), 1 et 2 ;5) Γγ , k : F γ− `2λp xk : γ par (→e ), 3 et 4 ;γ−
6) Γγ `2λp λk F .xk : F γ par (→i ) et 5 ;ainsi le jugement Γγ `2λp x : F γ est dérivable ;Γ, x : A `2λ f : B(→i ) : 1) `2λp [γ\>]·(Γγ , Aγ ) d’après le lemme 5.5.2 ;Γ `2λ λxA .f : A → B2) `2λp [γ\>]·(A → B)γ− d’après le lemme 5.5.3 ;3) Γγ , k : (A → B)γ− `2λp k : (A → B)γ− par (P-Hyp), 1 et 2 ;4) Γγ , k : (A → B)γ− , x : Aγ `2λp f : B γ par hypothèse de récurrence et(P-Aff) ;γ
5) Γγ , k : (A → B)γ− `2λp λxA .f : (A → B)γ−− par (→i ) et 4 ;γ
6) Γγ , k : (A → B)γ− `2λp k(λxA .f ) : γ par (→e ),3 et 5 ;γ−
γ−−7) Γγ `2λp λk (A→B) .k(λx(A→B) .f ) : (A → B)γ par (→i ) et 6 ;ainsi le jugement Γγ `2λp λxA .f : F γ est dérivable ;Γ `2λp f : A → F Γ `2λp g : A(→e ) :
Γ `2λp f g : F1) `2λp [γ\>]·Γγ d’après le lemme 5.5.2 ;2) `2λp [γ\>]·F γ− d’après le lemme 5.5.3 ;3) `2λp [γ\>]·(Aγ → F γ ) d’après le lemme 5.5.4 ;4) Γγ , k : F γ− `2λp f : (A → F )γ par hypothèse de récurrence et (P-Aff) ;5) Γγ , k : F γ− , m : Aγ → F γ `2λp m : Aγ → F γ par (P-Hyp)1, 2 et 3 ;6) Γγ , k : F γ− , m : Aγ → F γ `2λp g : Aγ par hypothèse de récurrence et(P-Aff) ;7) Γγ , k : F γ− , m : Aγ → F γ `2λp mg : F γ par (→e ),5 et 6 ;8) Γγ , k : F γ− , m : Aγ → F γ `2λp k : F γ− par (P-Hyp), 1, 2 et 3 ;127

Chapitre 5 : λ-calcul pédagogique du second ordre9) Γγ , k : F γ− , m : Aγ → F γ `2λp mgk : γ par (→e ),7 et 8 ;γγ10) Γγ , k : F γ− `2λp λmA →F .mgk : (A → F )γ− par (→i ) et 9 ;γγ11) Γγ , k : F γ− `2λp f (λmA →F .mgk) : γ par (→e ), 4 et 10 ;γγγ−12) Γγ `2λp λk F .f (λmA →F .mgk) : F γ par (→i ) et 11 ;ainsi le jugement Γγ `2λp f g : F γ est dérivable ;Γ `2λ f : A α 6∈ Vl(Γ)(∀i ) : 1) `2λp [γ\>]·Γγ d’après le lemme 5.5.2 ;Γ `2λp Λα.f : ∀α.A2) `2λp [γ\>]·(∀α.A)γ− d’après le lemme 5.5.3 ;3) Γγ , k : (∀α.A)γ− `2λp k : ∀α.Aγ− par (P-Hyp),1 et 2 ;4) Γγ , k : (∀α.A)γ− `2λp f : Aγ par hypothèse de récurrence et (P-Aff) ;5) Γγ , k : (∀α.A)γ− `2λp Λα.f : (∀α.A)γ−− par (∀i ) et 4 ;6) Γγ , k : (∀α.A)γ− `2λp k(Λα.f ) : γ apr (→e ),3 et 5 ;γ−7) Γγ `2λp λk (∀α.A) .k(Λα.f ) : (∀α.A)γ par (→i ) et 6 ;ainsi le jugement Γγ `2λp Λα.f : (∀α.A)γ est dérivable ;Γ `2λ f : ∀α.A(∀e ) : 1) `2λp [γ\>]·Γγ d’après le lemme 5.5.2 ;Γ `2λ f U : [α\U ]·A2) `2λp [γ\>]·F γ− d’après le lemme 5.5.3 ;3) `2λp [γ\>]·(∀α.Aγ ) d’après le lemme 5.5.4 ;4) Γγ , k : F γ− `2λp f : (∀α.A)γ par hypothèse de récurrence et (P-Aff) ;5) Γγ , k : F γ− , m : ∀α.Aγ `2λp m : ∀α.Aγ par (P-Hyp),1, 2 et 3 ;6) `2λp [γ\>] · U γ−− d’après le lemme 5.5.4 ;7) Γγ , k : F γ− , m : ∀α.Aγ `2λp mU γ−− : F γ par (∀e ), 5, 6 et le lemme 5.5.1 ;8) Γγ , k : F γ− , m : ∀α.Aγ `2λp k : F γ− par (P-Hyp),1, 2 et 3 ;9) Γγ , k : F γ− , m : ∀α.Aγ `2λp mU γ−− k : γ par (→e ), 7 et 8 ;γ10) Γγ , k : F γ− `2λp λm∀α.A .mU γ−− k : (∀α.A)γ− par (→i ) et 9 ;γγ11) Γγ , k : F γ− `2λp f (λmA →F .mU γ−− k) : γ par (→e ), 4 et 10 ;γ−γγ12) Γγ `2λp λk F .f (λmA →F .mU γ−− k) : F γ par (→i ) et 11 ;ainsi le jugement Γγ `2λp f U : ([α\U ]·A)γ est dérivable ;Γ `2λ t : G(=α ) : par hypothèse de récurrence, le jugement Γγ `2λp t : Gγ estΓ `2λ t : F
dérivable ; d’après le lemme 5.5.5, nous avons Gγ =α F γ ; ainsi nous dérivons
le jugement Γγ `2λp t : F γ avec la règle (=α ).

128

Conclusion
Dans cette thèse, nous avons construit toute une série de systèmes formels
propositionnels qui nous ont aidés à mieux comprendre la nature et les propriétés méta-mathématiques de la contrainte pédagogique. Du calcul minimal au
calculs d’ordre supérieur, chaque petite altération montre à quel point une logique est un édifice fragile et le moindre détail peut détruire des propriétés importantes : à chaque étape, nous avons tenté de vérifier méta-mathématiquement
les attentes que nous avions face aux systèmes pédagogiques, quitte à exhiber descontre-exemples quand elles n’étaient pas satisfaites. Dans tous les cas, nous avonsétudié la non-nullité des jugements, des implications, syntaxiquement et parfois
sémantiquement ; nous avons également jaugé l’expressivité des nouveaux systèmes
par rapport aux anciens ; tout cela afin d’obtenir des systèmes pédagogiques solides
et expressifs.
Parmi tous les systèmes formels introduits, les plus intéressants sont les systèmes P-CPM et P-CPn pour n ∈ J2; ωK : ils méritent pleinement d’être qualifiésde pédagogiques. Ils admettent tous la non-nullité des implications tout en restantaussi expressifs que les systèmes intuitionnistes usuels dont ils sont issus : CPM
et CPn . En cours d’étude, nous nous sommes rendus compte de l’importance decertaines notions, comme par exemple les motivations triviales ; en effet, dans tout
ces systèmes pédagogiques, toutes les formules motivables admettent la même motivation, la plus simple de toutes : la motivation >. Cette caractéristique a denombreuses contreparties, philosophiques tout d’abord car elle constitue l’expression mathématique que pour un énoncé sensé il n’y a qu’une seule manière d’êtrevrai : les objets effectifs n’ont qu’une seule modalité d’existence ; formelles ensuite car c’est grâce à elle que l’isomorphisme de Curry-Howard est applicable aux
systèmes formels pédagogiques, permettant ainsi l’apparition de systèmes fonctionnels pédagogiques sous la forme de λ-calculs typés : nous sommes alors en mesurede spécifier pédagogiquement des programmes informatiques. À notre connaissance, aucun système fonctionnel sans négation n’a été conçu avant les λ-calculs
pédagogiques, excepté le λ-calcul simplement typé puisqu’il est naturellement positif. De plus, les propriétés des systèmes formels se transportent dans les systèmes
fonctionnels, ce qui nous a permis d’introduire la notion d’utilité dans les λ-calculs :129

Conclusion
un programme est utile quand son contenu algorithmique est utilisable.
Il est notable que tous les chercheurs s’étant penchés sur les mathématiquessans négation n’aient jamais commencé par l’étude des logiques propositionnelles :leur travail concerne exclusivement les logiques des prédicats. De ce point de vue,
une remarque de Heyting dans [20] est frappante : il y affirme que, sans négation, il
n’y aurait aucun calcul propositionnel parce que dans ce cas seules les propositions
vraies ont un sens. À ce niveau de notre étude, nous pouvons affirmer que d’unepart seules le propositions vraies créent du sens car les formules pédagogiquessont héréditairement trivialement motivables, et que d’autre part la présente thèsen’existerait pas si il n’y avait aucun calcul propositionnel sans négation : nous pensons avoir comblé un manque dans ce domaine. La suite naturelle de notre travail
rejoint les préoccupations des autres chercheurs car elle concerne la pédagogisation
des calculs des prédicats et de leurs systèmes fonctionnels associés. La plupart desoutils nécessaires ont été développés et utilisés dans les systèmes propositionnels ;en particulier, la notion de formule uniformément motivable est primordiale dansl’étude des calculs des prédicats pédagogiques.

130

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