Proceedings of the 20th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
August 29 - September 1, 2023, Funabashi

PASJ2023 TUP25

FEL のブロッホ・ベクトル・モデル
BLOCH VECTOR MODEL ON FEL
尾崎俊幸#Toshiyuki Ozaki#
Accelerator Facilities, KEK

Abstract

In quantum computing, the operation is presented using the bloch sphere which is a geometrical representation of thequantum state. This paper discusses the bloch vector model of a free electron laser. The theory is formulated in a moving
frame where the longitudinal electron motion is assumed to be non-relativistic. The undulator is treated as a pseudoradiation field. A quantized Hamiltonian is presented as an interaction between a non-relativistic electron and field.

1.

b → a よりも大きい。つまり、 Vab > Vba である。

はじめに量子コンピュータの開発競争が活発になっている。近年、加速器による方法[1]も提案されている。イオン列で開発された方法[2]を大規模にしようとした提案である。また、原子レーザーによる方法[3]も活発に研究されている。
本論文は、自由電子レーザー(FEL)を用いて、レーザーによる方法を大規模にしようとする提案である。
量子コンピュータの動作を説明するのに、ブロッホ・ベクトルを用いたブロッホ球による表現がある。これは、ファインマンが提案した[4]。これは２準位の原子レーザーにのみ有効である。したがって、自由電子レーザーのような相対論ビームを使うような三準位レーザーには、直接は使えない。
まず、電子に乗った系での方程式を議論する。さらに、３準位レーザーを議論する。FEL 動作をブロッホ球ベクトルで示せる事を示す。さらに基準座標系を選んで、遷移確率の２次方程式が重根をもつ場合に、２準位レーザーと似てくる可能性がある。これを論じる。

2.

時間に依存するシュレディンガー方程式と共役式に

1
0
=
ψ ( t ) c1 ( t )   + c2 ( t )  0
1
1
0
=
ψ * ( t ) c*1 ( t )   + c*2 ( t )   .
0
1
上の２式を代入し、そこから、４つの式を得る。

dc1i =c1 ( ωc ) + Vaa  + c2Vaadt
dc1*i = c1* ( ωc ) + Vaa  + c2*Vabdtdc2= c2 ( −ωc ) + Vbb  + c1Vbaidtdc2*= c2* ( −ωc ) + Vbb  + c1*Vbb .
idt

ファインマンのブロッホ球モデル

さらに、ここで、３つの実関数を定義する。

R1 ≡ c1c2* + c2 c1*原子の２つの準位にある電子の波動関数が

ψ (t ) =c1 ( t ) φ1 + c2 ( t ) φ2 =c1 |1 + c2 | 2R2 ≡ i ( c1c2* − c2 c1* )R3 ≡ c1c1* − c2 c2* .

で表されるとする。系のハミルトニアンに対してこの関数を微分する。 R1 の場合には( E0 − ωc ) φ1H 0=
φ2 ( E0 + ωc ) φ2H 0=φ1が成り立つ。系に摂動 V が加わり、ハミルトニアンは、

H= H 0 + V となる。ここで、 V は、２行２列の行列でVab VV =  aaVba Vbb dR1 dc1 *dc2* dc2 *dc1*=⋅ c2 + c1 ⋅+⋅ c1 + c2 ⋅dtdtdtdtdtである。右辺の一次微分式に、上記の４式を、各項に代入して整理する。
同様に dR2 / dt および dR3 / dt に対しても計算する。
整理すると、とする。
FEL の場合、共鳴エネルギーより高いビームエネルギーの電子を用い、運動エネルギーが電磁波エネルギーに変わるようにセットする。つまり、 a → b がdR= ω×Rdt
ここで、 R = ( R1 , R2 , R3 )であり、 ω の各成分は___________________________________________# ozaki@post.kek.jp- 356 -

ω = (ω x , ω y , ω z )ω x ≡ (Vab + Vba ) / Proceedings of the 20th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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ω y ≡ i (Vab − Vba ) / 
1z (t ) =v0t =c 1 − 2 (1 + K 2 )  t
 2γ
ω z ≡ ω0であり、これは、ベクトル R が、Z 軸回りを歳差運動し、XY 平面で章動する事を示している。また
22122

一定速度で回転しながら進む。その半径は、

rhel=23R = R +R +R =1であり、球面上を動く。
量子コンピュータでは、 | 0〉 や |1〉 の状態から π-pulse
や π/2-pulse のレーザー光でブロッホ球面上の移動を行い、量子演算とする[5]。２準位レーザーでは原理的に実行できる。

3.

３準位レーザーとしての FEL

電子の分散関係は=Eem 2 c 4 + c 2 p 2 であり、放物線である。光子の分散関係は、 E p = cp p であり、直線である。電子が、ある状態から光子を発生したとしても、エネルギー保存則や運動量保存則を満たす到達点はない。

eB0Kである≈2γ me ku v0 γ ku

4.2 ローレンツ変換
電子が Z 軸の正方向に、速度 β = vc で進んでいるとする。実験室系を S、電子と共に動く座標系を S’とする。
ヘリカル・アンジュレーター磁場、この静磁場は、ローレンツ変換で高周波になる。

Eu′ = γβ c ( − By e′x + Bx e′y ) =Bu′ γ ( Bx e′x + By e′y )ここで、座標もローレンツ変換されている。
静磁場は ω =0 であるから、位相部分は、
ω=′ γ ( −vku ) と ku′ = γ ku になる。
FEL 入力のレーザー電磁場も、ローレンツ変換で′ γ ( E⊥ + v × B )=E⊥′ γ ( B⊥ − v × E / c 2 )=B⊥ωL′と な る 、 位 相 の 部 分 は 、=γ (ωL − β k L / c ) と=k L′ γ ( k L − βωL / c ) となる。
4.3 電子静止系での角運動量の方程式
サイクロトロン運動をするので角運動量を持つ。

Lz mvr==cmc K 2ku γ 2Figure 1: The electron and photon dispersion relations areshown. Neither emission nor absorption of a photon canoccur from an electron. However, a free electron can emit
two photons.

外部電場などによる外乱 ω があれば、回転のトルクとなる。角運動量の変化は、

Figure 1 に示すように、エネルギーの異なる２光子の場合は、保存則を満たすような解が存在する[6]。

である。この回転方程式から、遅い歳差運動と早い章動が発生する。位相項で、変動がない条件、つまり、微分のゼロが、FEL 共鳴の動作点である。
また、磁気モーメントと角運動量は

4.

dL= L ×ωdt

電子静止系での回転方程式µz = −

4.1 実験室系での運動方程式
ヘリカル・アンジュレーターの磁場はeLz2mの関係にある。

B=− B0 cos ( ku z ) ex + sin ( ku z ) ey である。磁場は、ねじのようで、回転電子の運動は

eB0sin (ωu t )x (t ) =γ me k u2 v0
eB0cos (ωu t )y (t ) = −γ me k u2 v05.

磁場の量子化

２次元平面でのサイクロトロン運動のハミルトニアンは、以下である。

2  ∂ 2∂2  1−++ γ mωc2 ( x 2 + y 2 ) .
H=2γ m  ∂x 2 ∂y 2  2
生成・消滅演算子を用いて、- 357 -

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1 1 =H ωc   bx†bx +  +  by†by +  2 2 する事を意味し、準位３に留まる。中の式は、準位３から基底の準位２に光を発する事を意味する。下の式は、電子は、直接放射しない事を意味する。
非対角要素の急激に振動する項を除くためにと書けるので、エネルギーは、=E ωc ( nx + n y + 1)

ρ13 = ρ13ei(ωt − kz )

ρ 23 = ρ 23ei(ωt − kz )00である。量子化して、離散的なものになったエネルギー準位が、ランダウ準位である。整数値に応じて、円軌道と楕円軌道がある。
平面内の運動の場合、角運動量 L で議論するほうがを定義し、さらに関数を求めることができる。電磁場による摂動があれば、近似計算ができる。

∆= ω − ω31= ω − ω32 を導入する。

容易になる。さらに、 [ H , Lz ] = 0 で可換あり、同時固有6.

α = µ13 E0 / 2β = µ23 E0 / 2とする。 E0 は電場である。
Bambini-Renieri 基 準 座 標 系 を 選 ぶ [7] 。 つ ま り 、
ω31 = ω32 が 成 り 立 つ と す る 。 さ ら に 、 変 数
上記の条件で、密度行列の時間変化式の成分は

ρ13 + i=∆ρ13 iα ( ρ33 − ρ11 ) − i βρ12密度行列の方法

6.1 ３準位系
３準位の系の量子の量子力学的状態は、３つの固有状態の線形結合である。

=
Ψ c1 ( t )ψ 1 + c2 ( t )ψ 2 + c3 ( t )ψ 3

ρ 23 + i=∆ρ 23 i β ( ρ33 − ρ 22 ) − iαρ 21ρ12 + iω12 ρ12 =iαρ 32 − i βρ13=
ρ11 iα ( ρ31 − ρ13 )=ρ 22 i β ( ρ 32 − ρ23 )

ただし、| c1 ( t ) |2 + | c2 ( t ) |2 + | c3 ( t ) |2 =1である。
多数の粒子からなる集合には、密度演算子が用いられる。まず、状態ベクトルを c j1 ( t ) | ψ j 〉 = c j 2 ( t )  c (t )  j3 と表す。状態ベクトル | ψ j 〉 をとる確率が Pj である時、密度演算子 ρ は
ρ ≡ ∑ Pj | ψ j 〉〈ψ j |j| c j1 |2 c j1c*j 2 c j1c*j 3 
= ∑ Pj c*j1c j 2 | c j 2 |2 c j 2 c*j 3 j
 c*j1c j 3 c*j 2 c j 3 | c j 3 |2 である。
6.2 ブロッホ方程式
密度行列の時間変化は

ρ33= iα ( ρ13 − ρ31 ) + i β ( ρ 23 − ρ32 ) .となる。新たな変数を文献[8]に従い導入する。

u=ρij + ρ ji
ijvij =−i ( ρ ij − ρ ji )w=ρ ij − ρ jiij

書き直すと、

u13 − v13 ∆ − β v12 = 0
u23 − v23 ∆ + α v12 = 0u23 − v23 ∆ + α v12 = 0v13 + u13 ∆ + 2ε w13 + β u12 = 0v23 + u23 ∆ + 2 β w23 + α u12 = 0w13 − 2α v13 − β v23 =0w 23 − 2 β v23 − α v13 =0u12 − α v13 + β v23 =0w12 − α v13 + β v23 =0である。さらに、以下の変数iρ = [ H int , ρ ]=R１ α1u13 + β1u22=
R２ α1v13 + β1u23であり、相互ハミルトニアンは、 H int =− µ ⋅ E ( z , t )R３ = (α12 w13 + β12 w23 + α1β1u12 ) / (α12 + β12 )であり、電気双極子モーメントの行列要素は

α1 = α / ε β1 = β / ε〈1| µ | 3〉 ≡ µ13〈3 | µ | 2〉 ≡ µ32〈1| µ | 2〉 =0を定義して、以下のように簡単化される。

である。上の式は、準位１にある電子が仮想光子を放射- 358 -R 1 − ∆R２ = 0
R = −∆R − ε R２13

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R3 = −ε R1

このように、レーザー光と擬アンジュレーター光の結合は、角運動量のように振舞う。
次に電子の演算子を作る。

表現を変え、e1Ω = R1

 R1  R =  R2 R  3εe2R20e3R3S ± = e ±2ikz
p
S3 =2k∆

電子はフェルミオンであり、通常は、反交換関係を用いるが、シュインガーに従い、ボソンとする。おそらく、原子に束縛された電子は、パウリの排他原理に従うが、自由電子には制限がないためと思われる。また、物質波と見なしている論文も多々ある。とにかく、以下の交換則を満たすとする。

として、ブロッホ方程式

R= R × Ωになる。解であるブロッホ・ベクトル

R1 ( t ) =K ∆ cos ( γ t ) − 1

R2 ( t ) = − K γ sin ( γ t ) S + , S −  = 0
 S3 , S ±  = ± S ± .

R3 ( t ) =R3 ( 0 ) + K ε cos ( γ t ) − 1
を得る。ここで、γ=∆2 + ε 2ハミルトニアンは、以下のように書き換わる。

K = εW (0) / γ 21H ω S32 + Ω ( J + S − + S + J − ) + 2ω  J + =22
ここで、 ω = 2k / m である。とした。ベクトルの長さは、=R23∑R ≠1 .
i =12i

つまり、単位長さではない。したがって、球面上ではない。特殊な動作パラメーターでしか、球面上に位置しない。

7.

新たに、電子と場の結合の演算子、シュインガー演算子を作る。

R1 =量子ブロッホ方程式

R2 =Dattoli の論文[9, 10]に従い、議論を進める。FEL の量子ハミルトニアンは

2J S − S+J −−2iR3 = J 3 .

pz2+ Ω ( aL† aU e −2ikz + aU† aL e 2ikz )
H=2m

1 
1 +  (ω + Ω )   aL† aL +  +  aU† aU +  2 2 である。ここで、 aL と aU は、それぞれレーザー光と、交換関係は、[ Rl , Rm ] = iε l ,m,k Rk[ S3 , R1 ] = −iR2
[ S3 , R2 ] = +iR1
[ S3 , R3 ] = 0 .

アンジュレーター磁場をローレンツ変換した疑似電磁場、これらを第２量子化した演算子である。
上述のファインマン変数を、演算子にする。

最後の項が意味するのは、電子の状態 es 、光子の状態 ps は、ある共通の状態 | es, ps〉 を持つ。

S3 | es=, ps〉 s | es, ps〉R3 | es=, ps〉 r | es, ps〉を満たし、電子と光子は、それぞれ固有値 s と r を持つ同時固有状態が存在する。
ハミルトニアンのエネルギー交換する部分、電子と光の相互作用の項だけを残す。

H= ω S32 + 2ΩR1 .

これらには、以下の関係がある。

さらに、 H1 = ω S32[ J l , J m ] = iε j ,m,l J k[ J , Jl ] = 0

ここで、 ε l , m , k ≡ RicciTensor

J +S − + S + J −+1 †=J1( aL aU + aU† aL )21 †=J2aL aU − aU† aL )(2i1 †=
J3aL aL − aU† aU )(21 †=JaL aL + aU† aU ) .
(2.とH=2ΩR1 に分けて計2[算する。後者は、交換するので、 R1 , H 2l≠m≠k=
1, 2, 3 。

] = 0 である。

H1 についてのハイゼンベルグ方程式を解くことで済む。

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dR1 1
1==
[ R1.H1 ] ( R1H1 − H1R1 )
dt i
i

=1=2i
12i

( ( J S + S J )(ω Sˆ ) − (ω Sˆ )( J S + S J ) )+−+−2233+−+−( ( J S ω Sˆ − ω Sˆ J S ) + ( S J ω Sˆ − ω Sˆ S J ) )+−2323+−+23−231ω  J + S − , S32  + ω  S + J − , S32 2i 1ω J +  S − , S32  + ω  J + , S32  S −2i(+−)

後、研究していく。
本論文では、ランダウ準位での議論をしたが、種々の可能性がある。電子は固有スピンを持ち、２値である。また、偏光も右回転と左回転の２値である。古典力学ではヘリカル磁場の回転方向と一致するが、量子もつれ（エンタングルメント）があれば、逆回転方向が存在することになる。今後の研究である。

参考文献([1] T. Shaftan and Boris B. Blinov, “Cold Ion Beam in a Storage
Ring as a Platform for Large-Scale Quantum Computers andSimulators: Challenges and Directions for Research and−Development”, Phys. Rev. Accel. Beams, vol. 24, p.094701,+ ω S +  J − , S32  + ω  S + , S32  J −2021.
.
[2] 占部伸二、“個別量子系の物理 イオントラップと量子情報処理”、朝倉書店、２０１７年.
AB, C A B, C + A, C B を利ここで、公式 =[3] 越野和樹、“共振器量子電磁力学 量子コンピュータの±±ハードウエアー理論”、サイエンス社、２０２０年.
用した。さらに  S3 , S  = ± S を利用して、[4] R. P. Feynman, F. L. Vernon, R. W. Hellwarth, “Geometrical
Representation of the Schrodinger Equation for solvingω + −
Maser Problems”, J. Appl. Phys., vol. 286. pp.49-52, 1957.
=J S3 S + J + S − S3 + S3 S + J − + S + S3 J − .
[5] Gennady P Berman, Gary D Doolen, Ronnie Mainieri,2iVladimir I Tsifrinnovich, “ Introduction to Quantum+Computers”, World Scientific Publishing (1998).
− S + + S3 S + や S − S=
S − + S3 S −
更 に 、 S S3 =3[6] R. H. Pantell, “ Energy and Momentum Conservation−−Requirement for Electron Interaction with Electromagneticを利用する。また交換できる項は、 S3 J = J S3 のようRadiation”, in Free-Electron Generations of Coherentに、順序を変える。最後に、Radiation, Addison-Wesler Publishing Company, pp.1-14.
+ −+ ++ −+ −[7]
Giuseppe Dattoli, Federico Nguyen, “Free Electron Laser asdR1
 J S −S J J S +S J S3 − iω 2ω a tool for fundamental Quantum Physics”, Nucl. Instrum. &dt2i
2Methods B, vol. 402, pp.336-338, 2017.
[8] R. G. Brewer, E. L. Halm, “Coherent two-photon processを得る。
Transient and Steady-state cases”, Phys. Rev. A11, pp.1641dR3
dR21649, 1975.とを、同様に計算し、まとめて、 [9] Giuseppe Dattoli,, “A Bloch-Like Model of the Free Electron
さらに、dtdtLase”, Lett. Nuovo Cimento, vol. 28, No. 8, pp.247-251,
FEL 量子ブロッホ方程式を得る。
1980.
[10] Giuseppe Dattoli and Alberto Renieri, “Free REE ElectrondR
ˆLaser Quantum Analysis”, Nucl. Instrum. & Methods, vol.
= R × Ω − iω DRdt209, pp.193-197, 1983.

[][] [(ここで)])R ≡ ( R1 , R2 , R3 )Ω ≡ ( −2Ω, 0, 2ω S3 )

( )

=Dˆ
δ i , j (δ i ,1 − δ i ,2 ) .
i, j

これは、演算子の式であり、q 数である。c 数に変換してから数値計算が可能になる。

8.

展望

本論文の冒頭で提起した問題、つまり、FEL の座標系を適切に選択し、遷移確率の２次方程式が重根になるよ
うにすれば、２準位レーザーと似てくるだろうと期待にしたが、恒等的にはならない。３準位レーザーである FEL
で、ブロッホ球面上を動作点に設定する事は、動作パラメーターの特別な選択を必要とする。
本論文における３式、つまり、古典力学の回転方程式、密度行列による半古典論の式と第２量子化による式を導いた。今後、等価なのか、近似の仕方の相違なのか、今- 360 -