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ISSN 1340-6582

計算力学部門ニュースレター
計算力学部門ニュースレターNo.
No.71
62

November,2019
June, 2024

目次
目次

・特集：Society5.0を支える人と人工物システム・サービスの計算情報科学基盤創成へ向けて部門長 就 任 ・ 退 任の 挨 拶•Society5.0を支える人と人工物システム・サービスの計算情報科学基盤とは・部 門 長 就 任 にあたって… … … … … … … … … ………………… 東京工業大学… ………… 店橋 護…… ………… 2
ダイキン情報システム……平野 萩原
徹 ……………………2・ 部 門 長 退 任にあたって… … … … … … … … … …………………
佐賀大学… ………………
世也… …… …… 3

■

■

部門 賞
•構造・機能・ユーザ体験のモデルに基づく設計………………東京大学 ………………村上

存 ……………………7・
2 0 2 3 年 度 計 算 力 学 部 門 賞 贈 賞 報 告 … … …………………… 豊橋技術科学大学… …… 飯田 明由… ………… 4•風力発電設備のデータ駆動型異常検知技術による診断支援への転移学習の適用
九州工業大学… ………… 石原 大輔
産総研 ………………村川正宏 ………………11・ 功 績 賞を受 賞して… … … … … … … … … … … ………………… 慶應義塾大学… ………… 高野 直樹… ………… 8•Society5.0を支える計算情報科学基盤の課題と期待………………日立製作所………………13
・業 績 賞を受 賞して… … … … … … … … … … … …………………
東京農工大学……………佐々木直哉………… 山中 晃徳…
……… 1 1
・ 業 績 賞を受 賞して… … … … … … … … … … … ………………… 信州大学… ………………

吉野 正人… ……… 1 2・ 業 績 賞を受 賞して… … … … … … … … … … … ………………… 芝浦工業大学… ………… 長谷川 浩志… … … 1 4・部門からのお知らせ■ 特集 ： 情 報 科 学とC F D•第32回計算力学講演会(CMD2019)開催報告 ……………………東洋大学 ……………… 田村善昭 ………………15・ 特 集にあたって… … … … … … … … … … … … ………………… 東京大学… ……………… 長谷川 洋介… …… 1 5•KSME-JSME
Joint Symposium 開催報告 …………………………京都工芸繊維大学…… 高木知弘………………17・
高忠実な大規模非線形複雑流体データをどう活かすか… ………… 東北大学… ………………
河合 宗司…
……… 1 6
・畳み込みニューラルネッ
トワークを用いた流れ場の低次元化・推定・制御•2019年度年次大会の開催報告……………………………………東北大学 ……………… 岡部朋永 ………………20… … … … … …… … … … … … … … … … … … …………………… 慶應義塾大学… ………… 深潟 康二… ……… 2 0•第33回計算力学講演会(CMD2020)開催案内 ……………………鹿児島大学 ………… 池田 徹 ………………21・ 深 層ニューラルネットワークによる都 市 街 区微気象の超解像シミュレーション… … … … … …… … … … … … … … … … … … …………………… 東京工業大学……………

		

東京工業大学……………

大西 領… ………… 2 4安田 勇輝

・ 円管内脈動乱流における乱流統計量の予測精度向上を目的とした深層学習による時間発展予測… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …………………… 東京農工大学……………

仁村 友洋… ……… 2 7

…

村田 章

…

東京農工大学大学院… …

…

東京農工大学… …………

東京農工大学… …………

・ 深層学習を用いた非定常流れ場の時間発展予測・モード分解 …… 東海大学… ………………
…

東海大学… ………………

・Physics-informed neural network の液膜塗布プロセス解析への応用…… 東京都市大学 … …………
■

熊澤 創太
岩本 薫

下田 瑶祐… ……… 3 0

福島 直哉

白鳥 英… ………… 3 6

部門 からの お 知らせ

・ 第 36 回計算力学講演会（CMD2023）優秀講演表彰報告……… 佐賀大学………………………萩原 世也… ………… 40

・2024 年度年次大会部門企画について… ………………………… 愛媛大学………………………松浦 一雄… ………… 41

・材料力学部門 M&M・CMD 若手シンポジウム 2023 優秀講演表彰…… 早稲田大学……………………竹澤 晃弘… ………… 42
		

近畿大学………………………宍戸 信之

・ 第 37 回計算力学講演会（CMD2024）開催案内… …………… 東北大学………………………石本 淳… …………… 43※目次の表題をクリックすると、本文が表示されます。
※目次の表題をクリックすると、本文が表示されます。

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●2

部門長の就任・退任の挨拶

部門長就任にあたって
第102期部門長
店橋 護
東京工業大学
この度，萩原世也前部門長（ 佐賀大学）の後を引継ぎ，第102 期計算力学部門長を務めさせて頂くことになりました東
京工業大学の店橋護でございます．和田義孝副部門長（ 近畿大学），荻野正雄部門幹事（ 大同大学），守裕也副部門幹事（ 電気通信大学），部門運営委員会委員，各種委員会，研究会の皆様をはじめ，計算力学部門に関係される全ての皆様のご協力を頂きながら，計算力学部門の円滑な運営，さらには発展に努めさせて頂きたく存じますので，どうぞ宜し
くお願い致します．
日本 機 械 学 会 員 の 計 算 力 学 部 門 へ の 部 門 登 録 者 数 は，2024 年 4月の時点で第 1 位〜 5 位の合計で5,219 名（正員）となっております．
これは日本機械学会23部門の中では第3位の規模でございます．部門講演会である計算力学講演会では例
年多くの研究発表があり，活発な活動が続けられております．
2023年度は，第36回計算力学講演会が飯田明由先生（第100期部門長，豊橋技術科学大学）を実行委員長として，2023年
10月25日（水）〜 27日（金）に愛知県豊橋市において盛大に開催されました．有料参加数は520名であり，この参加規模は
日本機械学会の各部門が開催する部門講演会の中で第3位に位置するもので，部門の活動が非常に活発であることを示すものです．なお，講演会自体の収支差では第2位に位置しており，
学会運営的にも高く評価されておりますが，収益を上げることが講演会開催の目的ではございませんので，この順位は参考程度に留めて頂ければと存じます．部門講演会の開催は，最新の研究成果の発表，それを介した研究者間の情報交換を行うことで部門活動を活性化するためのものでございます．本年度
2024年度の部門講演会，第37回計算力学講演会は，石本淳先生（東北大学）を実行委員長として，2024年10月18日（金）〜
20日（日）に宮城県仙台市にて開催される予定でございます．
計算力学部門は，材料力学，流体工学，熱工学等の基盤的学
術分野に加えて，バイオ，ナノ・マイクロ等の新たな学術分野，
さらにはAI技術等の情報科学分野を含む分野横断型の部門
でございます．本年度も是非多くの皆様にご参加頂き，活発な議論と情報交換をされることを願っております．
計算力学部門では講習会も活発に行われております．中でも，計算力学技術者2級（固体力学分野の有限要素法解析技術者）認定試験対策講習会は約20年間にわたり継続的に開催されているものであり，昨年度の講習会は参加者数及び収益ともに日本機械学会内で第 1位でございました．受講者の多くは計算力学技術者認定試験の合格を目指した産業界の方々であり，本部門の活動が産業界にも十分認知されていることを示しております．近年では，部門間連携が日本機械学会内で推奨されておりますが，本部門では計算力学技術者2級（熱流体力学

分野の解析技術者）認定試験対策講習会を，熱工学部門及び流体工学部門との三部門合同でやはり20年近く継続開催してきております．
この講習会は部門連携企画の先駆的な取り組み

として高く評価されております．近年では，講習会「機械学習×

熱・流体工学の最先端」が熱工学部門と流体工学部門との合同企画として開催されており，毎年多数の受講者を得ております．
さらに，機械材料・材料加工部門，材料力学部門との連携企画として講習会「機械材料・材料加工のシミュレーション・
計測と力学」は本年度も開催される予定です．

分野連携企画としましては，材料力学部門と合同開催として「 M&M・CMD若手シンポジウム2023」が，第99期部門長の高野直樹先生（慶応義塾大学）のご尽力により，2023年8月7日（月）〜 9日（水）に開催されました．ここでは，若手研究者の発表セッションを介して研究交流や情報交換を活性化するとともに，中堅・シニアの研究者との議論や基調講演等を通じて，若手研究者がさらに研究分野の幅を広げるための機会も提供されました．このシンポジウムにおいて若手研究者により発表された優秀な研究成果は日本機械学会英文ジャーナル（ Mechanical Engineering Journal）にて特集号として出版される予定でございます．
国際連携企画としては，コロナ禍で延期となっていた日韓シ
ンポジウムが昨年度復活し，本年度は守裕也副部門幹事及び日韓シンポジウム担当委員会委員長（電気通信大学）により2024年9月2日（月）に東京有明にて開催予定でございます．是非とも多くの皆様にご参加頂き，コロナ禍で滞った国際交流活動を活発化して頂ければと存じます．
計算力学部門は研究会活動も非常に活発であり，逆問題解
析手法研究会，マルチスケール計算固体力学研究会，電磁流体解析関連技術研究会，設計と運用に活かすデータ同化研究会，設計情報駆動研究会が活動しております．このような研究活動を通じてそれぞれの分野の研究がさらに発展することを願っており，部門として継続して支援させて頂ければと思っております．
近年，カーボンニュートラル実現，安全・安心技術の構築，医工連携分野の開拓等，多くの解決すべき課題が山積しておりますが，これらの課題解決に計算力学が貢献できる部分は多々あるかと存じます．計算力学部門がこのよう課題解決に向けた重要な情報交換の場となることに加えて，計算力学部門の活動が新たな技術的課題や研究テーマ等の提言・提案，新たな学問領域等の創出につながるよう尽力させて頂きたく存じますので，皆様のご支援を賜りますようお願い申し上げます．

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部門長退任にあたって
第101期部門長
萩原 世也
佐賀大学

第 101 期の計算力学部門・部門長を務めました佐賀大学・

萩原世也です． 2023 年の 4 月に部門長に就任しまして，早くジウム 2023 では講演者から優秀講演表彰 2 名を表彰しました．また，部門より学会奨励賞（研究）に1 名を推薦し，受賞しも1 年が経過しました．総務委員，運営委員，部門登録者，会ました．皆様心よりお祝いを申し上げます．

ました．熱く御礼申し上げます．

イン講習会（機械学習×熱・流体工学の最先端）と計算力学

員の方々のお力添えがありなんとか任期を終えることができ

2023 年度は計算力学部門の最大行事である第 36 回計算力学講演会を豊橋市において対面で実施することができました．久しぶりに皆 様にお 会 いできて有 意 義な時 間を過ごすことができました．講演会運営にご尽力いただいた実行委
員，各 0S，フォーラムのオーガナイザの皆様に感謝申し上げます．
講演会関連では，材料力学部門との合同企画にて若手研究者を対象としたM&M ・ CMD 若手シンポジウム 2023を金沢にて合宿形式において開催しました．また，韓国機械学会(KSME)と共同の日韓シンポジウムもコロナ禍により休止されていましたが，2023 年度は韓国ソウル市で開催しました．
韓 国の方々と交 流でき大 変 良 かったと思 います．年 次 大 会
では先端技術フォーラムの開催などを継続的に行ってきています．
表彰関連で，部門賞は功績賞 1 名および業績賞 3 名の表彰を行いました．また，第 36 回計算力学講演会の講演者から優秀講演表彰 3 名，優秀技術講演表彰 2 名，若手優秀講演
フェロー賞 6 名を表彰しました． M&M ・ CMD 若手シンポ講習会では，熱工学部門・流体工学部門と合同のオンラ

技術者２級 ( 熱流体力学分野 ) 認定試験験対策講習会，計算

力学技術者２級 ( 固体力学分野の有限要素法解析技術者 ) ，さらに，機械材料・材料加工部門との合同オンライン講習会（ 機 械 材 料・ 材 料 加 工 のシミュレ ーションと計 測 ）を 開 催しました．

研究会としては逆問題解析手法研究会，マルチスケール

計算固体力学研究会，電磁流体解析関連技術研究会，設計と運用に活かすデータ同化研究会，設計情報駆動研究会，解析・設計の代替モデリング研究会が 2023 年度中に活動しております．このような研究会活動が継続的に行われ，支援が継続して行われていくことを願っております．

このように第 101 期 2023 年 度はコロナ後の新しい 形での計算力学部門を実感できたと思います．

第 102 期では部門長の店橋護教授 ( 東京工業大学 )と副部門長の和田義孝教授 ( 近畿大学 ) がますます盛り上げていただけるものと考えております．

是非とも今後とも部門活動にご支援，ご参加いただきます

ようお願い申し上げます．

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)

●4

部門賞

2023年度計算力学部門賞贈賞報告
2023年度計算力学部門表彰委員会
委員長
飯田 明由 豊橋科学技術大学（左）副委員長 石原 大輔 九州工業大学（右）計算力学部門では，1990年度より部門賞として，功績賞と業績賞の2つの賞を設けています．功績賞は，学術，技術，教育，学会活動，出版，国際交流などで計算力学の発展と進歩に幅広く顕著な貢献のあった個人に贈られます．業績賞は，計算力学の分野で顕著な研究または技術開発の業績を挙げた個人に贈られます．歴代受賞者の一覧は部門ホームページhttps://www.

jsme.or.jp/cmd/に掲載されています．2023年度（第101期）は，6月初旬に部門登録会員に向けたインフォメーションメールと部門ホームページにて「部門賞候補ご推薦のお願い」を周知し，6月28日を期日として候補者の募集を行いました．推薦のあった候補者について選考委員および表彰委員会にて慎重厳正な審査を行い，功績賞1名，業績賞3名，合計4名の受賞者を以下のように決定しました．
功績賞

高野

直樹

氏（慶應義塾大学）

業績賞

山中

晃徳

氏（東京農工大学）

業績賞
業績賞

長谷川
吉野

浩志

正人

氏（芝浦工業大学）

氏（信州大学）

第36回計算力学講演会において表彰式が執り行われ，各氏には表彰と記念品が贈呈されました．
本報レター読者の皆様にも，ご受賞4氏のご業績をご紹介し，その栄誉を広くご周知させていただきますとともに，改めて各氏へのお祝いを申し上げます．

高野直樹氏は，材料・構造の計算力学の分野において，特に複合材料や多孔質材料のマルチスケール解析，不確かさのモ

デリングおよび確率的シミュレーション，3D 積層造形に関する

シミュレーション，計算バイオメカニクスの各分野において，独

自のアプローチにより顕著な研究成果を発表し，国内外で高く評価されてきました．

繊維強化プラスチック複合材料のマルチスケール解析の研究では，大変形を考慮した非線形マルチスケール解析法の開発と，編物強化熱可塑性プラスチックの深絞り成形プロセスシミュ
レーションへの応用と実験結果との比較による検証を行われた
ほか，樹脂含侵挙動のマルチスケール解析に関する研究を行われました．
また，複雑かつランダムなミクロ構造を有する多孔質材料のモデリングのため，マイクロCT 画像を利用したボクセル

解析ならびにプリ・ポストプロセシング技術を確立し，多孔質ア

ルミナや多孔質チタンへの適用においては，実験によるマクロ

特性の計測結果との比較を行い，妥当性を確認されました．イ

メージベース・マルチスケール解析は，上記のマイクロCT のほ
かにも，FIB (Focused Ion Beam)-SEM、TEM Tomography 技術も用い，サブミクロンからナノメートルオーダーのミクロ構造のモデリングにも発展させ，ナノ粒子分散ゴムやジルコニア溶射被膜に適用し，新たな知見を得られました．

高 野 直 樹 氏 は，工 学 シミュレ ーション のVeriﬁcation andValidation (V&V)の普及にも貢献されており，学術的には不確
かさの定量的評価（ uncertainty quantiﬁcation, UQ）に関する研究を精力的に行ってこられました．特に，マルチスケール解析ではミクロ構造モデルに含まれる不確かさを考慮し，多数の物理的ランダムパラメータ，すなわち素材の物性値に含まれる不確
かさやばらつきを理論的に考慮した確率均質化法を開発されました．モンテカルロ法との比較から，その精度検証を行い，かつ，計算コストにおいてメリットがあることを示されてきました．
きわめて多数のシナリオが考えられる損傷進展を考慮した非線形問題の確率的シミュレーションにも挑戦してこられました．また，注目する物理量の確率密度関数の予測において，裾野分布を精度よく，かつ効率的に計算するために，独自のサンプリング
手法を提案し，繊維強化プラスチック複合材料のResin Transfer
Molding (RTM)プロセスシミュレーションなどに応用されています．
また，鋼材焼入れプロセスシミュレーションでは，相変態と熱伝導の問題を解き，鋼材成分のばらつきを考慮した感度解析を実施し，不確かさの伝播（ uncertainty propagation）を定量的かつ視認できる図式にまとめることに成功されました．
さらに，近年注目される3D 積層造形（アディティブマニュファ
クチャリング）で生じる幾何的な造形不良を考慮した確率的シ
ミュレーションや，内部欠陥を有する金属3D 積層造形品の疲労寿命に関するシミュレーションおよび実験を行われ，3D 積層造形品の品質保証に貢献する事前評価（バーチャルテスト）のた
めのCAE 技術の開発を行われてきました．
また，骨のバイオメカニクスの分野でも，マイクロCT イメージ
ベース・マルチスケール法の応用，確率的シミュレーションの応用による個体差のモデル化などの業績を数多くあげられ，整形外科分野，歯科分野の新しい力学的シミュレーション技術を開拓されています．たとえば，口腔インプラント手術時のドリリング
における力覚の定量化と，計算値を再現する力覚体感装置の開発により，熟練医のスキルの技術伝承に貢献する成果をあげられています．最近では，画像相関法を用いたひずみ計測により，歯科矯正器具の力学問題にも取り組まれています．
以上のように，幅広い材料の力学的シミュレーション，製造シ
ミュレーションとバイオメカニクスシミュレーションの分野で，顕著な業績をあげられ，計算力学の発展に貢献されています．
部門運営に関しては，2020 年度に副部門長，2021 年度に部門長をつとめられ，コロナ禍あけの第35 回計算力学講演会

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
をオンライン開催により成功に導いたほか，機械材料・材料加●5シミュレーションの品質・信頼性にかかわる調査・研究分科会

工部門とのシリーズ合同講習会を立ち上げるなど，部門間交流（ HQC 研究会，2009 年〜 2022 年）で専門委員，幹事として，認定試験に深く関わり，2009 年以来長年にわたり本会の専門事証へ貢献されました．以上のことから，計算力学を起点にした各にも力を注がれました．また，本会が主催する計算力学技術者
業委員会幹事として，特に固体力学分野の有限要素法解析技術者資格認定試験の運営に尽力されてきました．計算力学部門が主催する固体力学分野の2 級試験対策講習会では，関西地区の講習会講師（ 2007 年まで）にはじまり，2009 年以降は全国の講システムズエンジニアリングの観点からシミュレーションの質保種委員会の運営に対する貢献は極めて大きいといえます．

長谷川浩志氏は，1993 年9 月に日本機械学会RC112：次世

代計算力学システムに関する研究分科会にて，「二次元連続体の最適化問題―感度解析法とＧＡによる方法の比較―」と題し習会のまとめ役として，テキストの更新を含めて講習会の継続とて，遺伝的アルゴリズムをトポロジー最適化に適用した先駆的修に関しては，英文誌JCST (Journal of Computational Science

本機械学会論文集A 編，Vol.61, No.581に「ＧＡ利用による機技術者教育に大きな貢献を果たされました．
さらに，本会論文編

and Technology)の編修委員会副委員長（ 2010 年度〜 2013 年度），委員長（ 2013 年度〜 2014 年度）をつとめた後，引き続き，
現在の新学術誌に移行してもなお計算力学カテゴリ和文誌・，レター誌エディタ
英文誌エディタ（ 2013 年8月〜 2014 年度），ならびにカテゴリマネジャーを2016（ 2015 年度〜 2016 年度）
年度までつとめられました．国際交流に関しては，2015 年10 月に 開 催 し たKSME-JSME Joint Workshop on Computational
Mechanics and CAE のために組織された部門内の日韓計算力学合同シンポジウム担当委員会委員長をつとめられたほか，2022 年8 月にオンライン開催されたWCCM & APCOM2022 では現地実行委員会委員長をつとめられました．
以上の業績や貢献により，2007 年に計算力学部門業績賞を受賞され，2014 年に日本機械学会フェローとなられました．
計算バイオメカニクスの研究では2014 年に本会学会賞（論文）を受賞されています．他学会でも日本複合材料学会林賞（ 2001 年），日本計算工学会川井メダル（ 2012年），日本計算工学会功績賞（ 2023 年）などを受賞され，日本複合材料学会
フェロー，日本計算工学会フェローであられます．
1988年 東京大学工学部精密機械工学科 助手
1993年 米国ミシガン大学応用力学・機械工学科 訪問研究員
1994年 大阪大学工学部生産加工工学科 助手
1995年 大阪大学大学院工学研究科生産科学専攻 助教授
2004年 立命館大学理工学部マイクロ機械システム工学科 教授
2008 年 慶應義塾大学理工学部機械工学科 教授
⾧谷川浩志氏は，構造最適化，設計論，システムズエンジニア

リング分野における第一人者として我が国を代表する研究者であり，現在では，機械構造物の最適化分野の研究のみならず，工学教育，シミュレーションの質保証，新時代のモビリティを見据えたMaaS（ Mobility as a Service）分野での協調的最適化まで研究範囲を拡大されています．
これらの研究業績は，ものづくり
分野のみに留まらず，システム，サービスの分野に至るまで計算力学分野の技術を社会に展開，貢献されています．

日本機械学会計算力学部門の運営では，第90期計算力学部

門副幹事，第91 期計算力学部門幹事として重要な役割を果たされました．
また，2019 年度〜 2021 年度まで，人材育成・活躍支援委員会委員，2007 年度，設計工学・システム部門運営委

員会幹事を歴任されています．つぎに，関連学会では，2017 年
度から現在まで，日本計算工学会理事，2008 年度〜 2013 年度まで，日本シミュレーション学会理事を就任，日本計算工学会の研究を発表されています．
この研究の成果は，1995 年1 月に日

械構造物の位相最適化の一方法」と題して掲載されています．
この研究成果は，現在のAI 時代を鑑みると，極めて先駆的でその研究の貢献は多大であります．

つぎに，（株）CRC 総合研究所（現，伊藤忠テクノソリュー

ションズ（株），1994 年〜 2004年）では，原子力，宇宙航空，産業分野での計算工学の適用，例えば，1998 年から2004 年にはEngineous Software, Inc.と協働し，複合領域最適化や近似最適化手法を実務や研究分野で広範囲に展開し，現在のデータサ
イエンス分野の応用を実務分野で担ってこられました．例えば，自動車分野では衝突解析における可変複合モデルを用いた近似最適化，ハイブリッドメタ戦略によるスポット溶接位置の最適化，解析情報と３次元形状モデルの統合情報モデルによるエン
ジニアリング支援環境の開発などを日本機械学会，日本計算工学会での発表・論文投稿を通じて，最適化技術の産業界への普及に大きく貢献されました．
芝浦工業大学へ移動後（ 2004 年〜）は，構造最適化，設計論，工学教育，システムズエンジニアリング分野と研究分野を広げ，論文89 編，国内・国際会議255 件，書籍を6 冊出版されています． 2018 年5 月に日本計算工学会川井メダルを受賞されています．
機械構造物のトポロジー最適化・最適化研究分野では，大変形，繰り返し荷重，スプリングバック現象を考慮した材料非線形問題のレイアウト最適化を実現すべく，新たに感度解析を用いないトポロジー最適化手法を研究・開発されています．
また，脳機能計測を用いた力学的感性に基づく形状創生，FCN（ Fully
Convolutional Networks）によるイメージ画像を用いた有限要素モデルの自動生成などの計算力学×AI の研究を率先して実施されています．
新時代のモビリティを見据えたMaaS 研究の分野では，その構成要素であるBike-Sharing System に対してLSTM-GRU の組み合わせによる需要予測モデルの構築，GLS-ABC による再配置のためのルート最適化，運用コスト低減のためのシミュレー
ションとポートの最適配置を実施，さらに，レベル4 のMaaS を実「価値現するために，科研費の基盤研究（ C）の支援を受けて，創生×三方よしのMaaS 実現に向けたステークホルダー可視化
シミュレーション」を実施されています．
工学教育分野では，感性価値創出のための工学教育として，
感動把握プロセスを導入した感性価値創出のためのエンジニア
リングデザイン教育をシステム理工学部機械制御システム学科の講義・演習科目，創生設計・同演習で実施されています．
この教育研究成果は，日本工学教育協会の工学教育 Vol. 69, No. 2

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●6

にて掲載されています．

適用できる強力なモデリング手法ですが，現象論的モデリング

あげていると共に，日本機械学会計算力学部門90 期副幹事，91

ルに含まれる物性値やパラメータを実験データに基づき同定す

以上，長谷川浩志氏は，計算力学分野において顕著な業績を手法であるため，正確かつ定量的な計算結果を得るには，モデ期幹事として部門運営に非常に貢献しており，また関連諸学会

る手法が希求されます．山中晃徳氏は，この問題に対して先見野を起点とし，様々な分野に本分野の技術を掛け合わせて展開

フィールドモデリングへ応用する研究でも優れた研究成果をあ山中晃徳氏は，材料の諸特性が材料内部のミクロ組織に強く

タ同化を融合した数値シミュレーション技術を構築されました．

験のみならず数値シミュレーションを援用した材料設計技術がる数値シミュレーション技術に関する研究開発でも優れた研究の学際分野において，計算固体力学・計算材料科学・データ科

要素法を用いて，アルミニウム合金板材の多軸応力状態での変特に，ミクロ−メゾ−マクロスケールにわたる計算手法であるも展開されました．
さらに，数値材料試験法で得られる計算結果

材料モデリング技術を強みとし，世界をリードする優れた研究成

プログラミングを必要とせず，アルミニウム合金の力学特性やプの運営に対して積極的に貢献されています．
さらに，計算力学分しており，本分野の発展に多大なる貢献をされています．

依存することから，高性能な材料を効率的に創製するために，実必要とされ, 活発に研究されている中で，機械工学と材料工学学に基づく材料設計技術の先駆的研究を行ってこられました．

フェーズフィールド法と有限要素法，そしてデータ同化を用いた果をあげてこられました．

山中晃徳氏の主要な研究領域であるフェーズフィールド法

は，金属材料の凝固組織形成のモデリングに端を発し，現在で的に研究を進め，ベイズの定理に基づくデータ同化をフェーズ

げられ，2018年から5年間の間に，鉄鋼材料の固相変態，結晶粒成長，合金凝固，固相焼結において，フェーズフィールド法とデー
山中晃徳氏は，材料組織に基づき材料の力学特性を予測す

成果をあげられています 特に，均質化法に基づく結晶塑性有限形挙動を高精度で予測可能な「数値材料試験法」に関する研究を活用し，深層学習を行うことで，結晶塑性有限要素法に必要なレス加工シミュレーションに必要なデータが得られることを実証されました．この研究成果に対して，2021年度日本塑性加工学会論文賞を受賞されており，塑性加工分野においても高く評価

は材料工学分野のみならず，混相流や最適設計などの分野にもされています．最近では，計算固体力学においてもデータ同化のがら，凝固，固相変態，結晶粒成長，腐食などの金属材料での多以上のフェーズフィールド法と有限要素法，そしてデータ応用されています．山中晃徳氏は，計算固体力学を専門としな
種多様な物理現象のモデリングにフェーズフィールド法を応用し，数々の優れた研究成果を示されてきました．金属材料の凝固問題に関する研究では，GPUを用いた高速計算技術の応用を先駆的に挑戦されました．
この研究が発端となり，東京工業大学

GPUスーパーコンピューター TSUBAME2.0を用いた超大規模計算が実現し，2011年にはゴードンベル賞（特別賞）を東京工業大学青木教授の研究グループとともに共同受賞されました．
この研究成果は世界的に波及し，現在では，金属材料の凝固問題
において，GPUを用いた大規模計算が極めて活発です．
鉄鋼材料の固相変態のフェーズフィールドモデリングに関する研究においては，計算状態図と連携したオーステナイト→フェライト変態（拡散型相変態）のモデリングや多相・多結晶組織形成への応用など，当該分野の萌芽期において数々の優れた研究成果をあげられました．特に，マルテンサイト変態（無拡散型変態）で生じる組織形成と弾塑性変形を同時に解析するモデ
ルを世界で初めて提案されました．
また，フェーズフィールド法と結晶塑性理論を融合した結晶塑性フェーズフィールドモデルを提案されました．この研究成果の卓越した独創性が高く評価さ
さらに，れ，2011年に日本機械学会賞（論文）を受賞されました．
フェーズフィールド法で予測される材料組織に基づき，材料の巨視的力学特性を均質化結晶塑性有限要素法で評価するマルチ
スケールモデリング手法を構築されました．
山中晃徳氏は，ミクロ−メゾスケールのみならず，原子スケー
ルへのフェーズフィールド法の応用研究においても，優れた研究成果をあげておられます．フェーズフィールドクリスタル法を用いた研究では，結晶粒界の移動と転位構造の変化を初めて明らかにされました．
上記のようにフェーズフィールド法は，多種多様な物理現象に応用を進められています．

同 化 に関 する膨 大 な 研 究 成 果 は，数 多くの 査 読 付 学 術 論

文として出版され，研究成果が高く評価されています．また2018 年度には文部科学大臣表彰若手科学者賞（受賞対象：

フェーズフィールド法に基づ いた計算材料設計技術の研究 .
日 本 機 械 学 会 計 算 力 学 部 門 の 推 薦 ），2010 年 度 には日 本

機械学会奨励賞（研究），2019 年度には The JACM Young

Investigator Award，2021 年度には日本塑性加工学会学術賞など，一連の研究成果に対して多数の受賞があり，山中晃
徳氏の研究成果の卓越さを示しています．

山中晃徳氏は，大学での基礎研究のみならず，ニーズドリブン

な産学連携研究も積極的に取り組まれ，フェーズフィールド法に関する研究では，鉄鋼の腐食，リチウムイオン電池の劣化，結晶粒成長,データ同化，磁区構造形成など多数の国内企業と共同研究を実施し，研究成果の社会実装にも極めて意欲的であられます．
さらに，フェーズフィールド法の著書（養賢堂より2012年出版, 丸善出版より2023年出版）を出版されたほか，WCCMなどの計算力学に関する主要国際会議や日本機械学会計算力学講

演会等において，フェーズフィールド法に関するオーガナイズド

セッション等を企画し，研究成果の普及活動にも大きく貢献されています．
このように，山中晃徳氏の研究活動は，機械工学と材

料工学の学際分野において，計算固体力学と計算材料科学の両軸にデータ科学的手法を加えた独創性の高い研究を先駆的に進め，極めて優れた研究成果をもたらしてこられました．

2008年 東京工業大学大学院理工学研究科 助教
2012年 東京農工大学大学院先端機械システム部門 准教授
2021年 東京農工大学大学院先端機械システム部門 教授

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
吉 野 正 人 氏 は，数 値 流 体 力 学，特 に格 子 ボ ル ツマン 法（ Lattice Boltzmann Method; 以下LBMと記す）に関する研究で中心的役割を果たしてきた研究者の一人であり，計算手法の開発と応用に関する広範囲のテーマについて数多くの学術論●7果など，興味深い現象を再現し，メカニズムを解明されています．
また，医学部との共同研究により，LBM とは別の手法に基づく商用ソフトウェアを用いて脳動脈瘤まわりの血流解析を行い，血管分岐部に作用する壁面せん断応力と瘤の発生・破裂

文・著書を出版するとともに，関連する国内外の学会で活躍されメカニズムを解明し，理工系のみならず医学分野への貢献度

非圧縮性粘性流れの新しい計算手法であり，その特長は，複雑

氷スラリー流や昆虫の羽ばたき飛翔などの移動境界流れにています．LBM は，気体分子運動論のアナロジーを利用したは高く評価されます．

流れに対してもアルゴリズムが簡単であること，質量・運動量の関する研究について，氷スラリーの熱流動解析として，吉野正が挙げられ，計算効率の高い計算手法として注目されています．

格子ボルツマン法（熱IBLBM）を用いて，微細な氷と液体のの開発に関する研究，マイクロスケールの気液，液液，固液二相を行い，微視的な観点からの高温壁と氷粒子間の熱伝達メカの移動境界流れに関する研究，トポロジー最適化を用いた流体

ギー工学分野への貢献度も高く評価されます．
また，蝶の羽ば保存性に優れていること，および並列計算に向いていることなど
そのなかで，吉野正人氏は特に，LBM の基礎理論および手法

流解析に関する研究，氷スラリー流や昆虫の羽ばたき飛翔など-構造連成問題に関する研究などをテーマとした一連の研究において，独創的かつ有用性の高い研究実績を残してこられました．なお，2020 年1 月には，吉野正人氏らによるLBM の入門書
が丸善出版より発刊され，すでに多くの部数が販売されています．
また，2021 年12 月には，その英語版がWorld Scientiﬁc 社から出版され，
この分野の発展を牽引して来られています．
LBM の基礎理論および手法の開発に関する研究について，吉野正人氏は，大学院生の頃から，LBM における新しい
すべりなし境界条件の提案とその精度検証，ならびに漸近展
開（ S 展開）を用いて，格子ボルツマン方程式と流体力学的方
程式の関係を明らかにされました．その後，熱・物質移動解析のためのLBM の開発，LBM と有限差分法とのパフォーマン
ス比較を行った研究，多孔質内流れの熱・物質移動解析，物体を含む流路内の気泡流解析，さらに，粘弾性流体などの非ニュートン流体解析のLBMに関する研究を行い，多くの業績を上げてこられました．
マイクロスケールの気液，液液，固液二相流解析に関する研究について，微小液滴（衝突・合体・分離・混合など）および気泡流の挙動解析として，液滴衝突における合体・分離・混合現象や，雲の生成過程などの低ウェーバー数領域における微小液滴接近時の挙動の解析を行ってこられました．なかでも，二体衝突における液滴の直径比と臨界ウェーバー数（衝突後の挙動が合一から分離に遷移するウェーバー数）の関係を詳細に調べた成果は，流体力学的に重要な内容です．
さらに，最近では，ダクト内の気泡流解析に適用され，スラグ流やチャーン流などの非常に複雑な気液二相流問題の解析に成功されています．
また，微小流路内における赤血球の挙動解析（医学分
野への応用）として，赤血球に代表される粘弾性皮膜をもつ物
体が，微小スケールの流路内を流れるときの挙動を調べ，せん
断流れにおける膜の回転運動（ tank-treading 運動）やダクト
内流れにおける物体の平衡位置に関するSegré-Silberberg 効

人氏のグループが開発した熱移動を考慮した埋め込み境界 固液二相混合物である氷スラリーが流路内を流れる系の計算

ニズムの解明に取り組み，混相流分野のみならず熱・エネル

たき飛翔解析として，ひらひらと不規則で不安定な蝶の飛翔に対して，翼形状の違いや翼の柔軟性に関する空力性能比較，

さらには自由飛翔における翼の質量の影響に関する検討を行い，昆虫の飛翔メカニズムを解明することによって，生物流体分野の発展に貢献されています．

トポロジー最適化を用いた流体-構造連成問題に関する研究について，一般に最適化問題では，反復計算による計算負荷が課題となっていますが，陽解法ベースのLBM をトポロ

ジー最適化問題の解析に組み込むことにより，従来のナビエ・ストークス解法に比べて実用的な計算時間でかつ効率の良い手法の開発に成功されました．なお，本研究は，インパクトファクターの高い当該分野におけるトップクラスのジャーナルに掲載されています．
また，本研究に関しては，2016 年度日本機械学会賞（論文）を受賞しています．このように，吉野正人

氏は，主としてLBM に関連した論文がインパクトファクターの高い雑誌に数多く掲載され，また代表論文のCitation Index(CI)は，CI=563，CI=226，CI=155，CI=155，CI=145，CI=104（ Google Scholar，2023 年6 月22 日時点）など引用数も多く，
数値流体力学分野の発展に大きく貢献されてきました．一方，学会活動においては，2020年度から現在まで，計算力学部門のCM カテゴリ・アソシエイトエディタを務めるなど部門活動に貢献されています．
また，2005 年から，日本計算数理工学会の理事に就任し，学会の運営に携わることによって計算力学分野の発展に寄与する活動を行っておられます．
2000年
2004年
2004年
2007年
2012年
2014年

信州大学工学部 機械システム工学科 助手
信州大学工学部 機械システム工学科 講師

信州大学工学部 機械システム工学科 助教授
信州大学工学部 機械システム工学科 准教授
信州大学工学部 機械システム工学科 教授
信州大学学術研究院 工学系 教授

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●8

功績賞を受賞して

高野 直樹
慶應義塾大学理工学部機械工学科
この度は、日本機械学会計算力学部門功績賞をいただき、した。画像処理も試みて、正面図、上面図、側面図の写真から委員会の皆様には改めて心より御礼申し上げます。同時に、の深絞り成形に応用し、CST(2004)に掲載されました。後に、になった先生方や企業の方々にも厚く御礼申し上げます。ま多孔質チタン、多孔質圧電材料、多孔質ジルコニア溶射被膜、

ニュースレターに寄稿する機会を頂戴しましたので、これまで研究をさせていただきました。粒子分散ゴムの研究では、AFM

大変光栄に存じます。部門長、総務委員会の皆様、表彰・選考
これまでご指導いただいた諸先生方、共同研究等でお世話た、一緒に研究を行った学生さん達にも感謝しています。部門に行った研究のモーティベーションを記し、謝辞に代えさせていただきたいと思います。

まず、複合材料や多孔質材料のマルチスケールシミュレー

DIC（画像相関法）と同じくひずみ分布を計算する研究をFRP

TEM tomographyやFIB-SEMでナノスケールの世界にも入り、発泡ポリウレタン、カーボンブラック粒子分散ゴムなどの共同で観察した表面データからSTLデータを生成し、拡大模型を光造形して「触れるナノ表面」を作りましたが、後の金属3D積
層造形（アディティブマニュファクチャリング）の研究の布石がションの研究は、1993年にミシガン大学の菊池昇先生のもとあったと思います。

約 6 〜 10µmの単繊維からできているとは一見わからないで

マイクロCTイメージベース・マルチスケールシミュレーションという思いを抱いていましたので、私にとっては非常に興味あかけですが、実は私の母は両足とも人工股関節で、私が高校でスタートをきりました。
メートルオーダの構造体が、直径がすが、実は中高生の頃から目に見えない小さなものを見たい

る研究テーマでした。高校時代には素粒子に興味を持ち、今も宇宙論の素人本を読むのが趣味の一つです。東京大学工学部

精密機械工学科に入ったのも、今から思えば、「小さい」と共通

工業用材料だけでなく、骨、特に内部の多孔質な海綿骨のの研究を始めました。前記のScott J. Hollisterの講義がきっ生の頃に最初の手術をしましたので、将来は生体力学の分野
か、リハビリテーションの仕事につくことも考えていました。慶應義塾大学で、車椅子を題材にした設計演習の授業がありま点があったように思います。学科で過ごした1984-1985年頃はしたので、志願して担当させていただくこともできました。研究特に町工場の熟練技術者の匠の技への関心を持つきっかけ

ルチプロフェッショナルシミュレータ」がスタートです。医師がファクトリオートメーションを目指した時代で、製造プロセス、を得ました。
ミシガン大学から帰国して着任した大阪大学では生産加工工学科に所属し、繊維強化プラスチック（ FRP）の製造プロセスのマルチスケールシミュレーションの研究を行い

では、2003-2007年のJST CREST「生体骨医療を目指したマ
自らマルチスケールシミュレーションを使える環境を構築したいという思いでしたが、後の医歯工連携へと繋がるきっかけをいただきました。人工股関節のFEMシミュレーションは既に多ました。深絞り成形の研究はIJSS(2000, 2001)に、RTM 成形

くの研究がありましたので、主に腰椎骨の骨粗鬆症を題材とし機論(2017)に掲載されました。傾斜ミクロ構造設計というテー

り直す骨芽細胞、破骨細胞は、機械屋の私にはロボットのよう

合材料学会誌(2000)に掲載されました。また、1999-2003年度

voyage）」と相通じる点があるように感じていました。近隣の細胞同士のコミュニケーションだけで、マクロな荷重支持機能が得られるという不思議に対して、マイクロCTを用いて複雑な骨梁3次元ネットワーク構造における荷重伝達経路の解明と可視化の研究を行いました。一見、最適化された構造のように語られますが、実は無駄な骨梁もたくさんあるに違いないと思いな
がら、無駄あるいは冗長な骨梁を探すという隠れた目的を持っていました。医学系の学会で発表をしましたが、何の質問も出ないという何年かをすごした後、「個体差はどう扱うのか」というご質問をいただき、「ちょっとずつ聞いていただけるようになってきた」と感じつつ、確率的シミュレーションによって個体差を数理的に表現する研究（ Mat. Trans.2013）のきっかけをいただきました。
整形外科分野の研究は、歯科分野に広がり、口腔インプラン
ト周囲の海綿骨のイメージベースシミュレーションの研究をの研究はComposites Science and Technology(CST 2002)やマにも取り組み、拡大模型を光造形で試作した研究は日本複にNEDOシナジーセラミックスPJに加えていただき、マイクロCTイメージベースシミュレーションも始めることになりました。
これは、ミシガン滞在中に、菊池昇先生のもとで骨のマイクロCTイメージベースシミュレーションを始めていた整形外科のScott J. Hollister先生の講義に出席させていただいたおかげと思います。スライス画像から立体再構築したモデルのFEM
解析だけでなく、後には様々な分析・計測をするモルフォロ
ジーアナリシスを始めて、機論(2004)に掲載されました。この頃、大阪大学から立命館大学に移籍し、ソフト会社からの社会人ドクターの方のおかげで、美しい（自画自賛！）グラフィック
ス表示ができるようになりました。没入型表示も試みつつ、多孔体のミクロ構造のカラーグラフィクスは、宇宙論好きの私には星空の写真のようで、孔のクラスタや球状粒子のアグリゲー
トは、銀河のようだと感動しながら何度もうっとり眺めていまました。海綿骨の150µm程度の骨梁の上を動き回って骨を作に思えて、1966 年の映画「ミクロの決死圏（原題はFantastic

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行いました。研究成果の一つとして、口腔インプラント手術にミュレーションと組み合わせた研究（ IJMS 2017 ）を開始しまできる力覚体感装置の開発があります。シミュレーションにはだけでしたが、後にアルミ合金、チタン合金が使えるようになおける顎骨のドリリング荷重のシミュレーションと、それを再現

個体差を表現する確率的シミュレーションを開発しました。教した。最初は国内での造形受託サービスはマルエージング鋼ると次々に試作し、最近は純チタン、銅合金も経験し、材料ご育用装置として開発し、バーチャルに手術経験を増やし、失敗とにノウハウが異なることも実感しました。現場の技術者のノ術中のリスク回避ができる能力の養成と、熟練医から学生へのては科学的、理論的に究明されていないケースも多く、これ

例（医療事故）も含めた経験知を増やしていただき、実際の手技術伝承を目指しました。発想としては、冒頭に記した町工場の熟練工の方の技術伝承と同じです。教授がオノマトペで伝えようとしていた指先の感覚を数値化でき、力覚体感装置は共同研究先の東京歯科大学の5 年生の登院実習の授業で活用

いただきました。この研究は、9年間を費やして2016年に日本
口腔インプラント学会で機器展示し、授業も試用段階から本格運用に至りました。研究のきっかけは、私の研究室に配属された卒論生がセンサの研究がやりたい、将来はMan-machine

ウハウは、非常に曖昧な表現をされ、なぜそうなるかについを確率変数として数理的、定量的に表現できないかと現在模索中です。 2014 年当時は受託造形サービス企業も保有しているノウハウはまだ限定的で、やがて訪れる技術伝承にも役立つと思って始めた研究ですが、大学での研究は遅々として進まず、現場のノウハウだけ先行して増えていくという悲しい
状況ではあります。この間、FEMを用いた歯科補綴物の疲労

寿命のばらつきの造形前予測の研究にも取り組み、歯科分野のジャーナルに複数の論文が掲載されました。経験知に基づinterfaceの仕事に就きたいというので、考えに考えて力覚セン

く人間の新しいアイディアの着想は、未経験のパラメータのて行った研究でした。その学生さんが研究室に来なければ、力点から、経験知のランダムパラメータ表現に現在取り組んでサではどうかと提案し、確率的シミュレーションの研究と並行し覚体感装置は絶対に生まれなかったといえます。

小さいもの好きの私は、2004-2007年に立命館大学理工学

部マイクロ機械システム工学科に移り、MEMSの勉強をしました。やはり製造プロセスに興味があるため、ウェットエッチング

組み合わせへの挑戦、すなわち、知識の外挿にあるという視います。こうした研究も、学生との出会いから生まれたものであるのが、大学教員ならではのことかなと感じます。

以 上 のように、計 算 力 学を 核としたいろいろな 研 究 が、学生との出会いや共同研究者との縁で始まり、多くの方々のプロセスシミュレーション等の研究を行い、直接的に測定でき

ご支援、ご助力により成し得たものであると改めて認識してかつての部門英文誌JCST(2011)に掲載されました。後のパラ

さて、本稿の最後に、計算力学部門で担当させていただいたない偏微分方程式のパラメータのキャリブレーションを行い、メータ空間の可視化やサンプリングの研究の種がここにあったと思います。

おります。

ことを述べたいと思います。

まず、部門の論文編修を担当したのは、JCSTから新学術誌

慶應義塾大学に着任した2008年から、V&Vを議論する委員（ MEJ、MEL、機論）に移行する時期でした。 JCSTを管轄し用いて裾野分布に着目した研究がJCST(2012)に掲載されましを運営してきましたが、部門設立 25 周年で開催された国際会に加えていただき、最初はモンテカルロシミュレーションをた。また、不確かさのモデリングと一次展開近似による確率的シミュレーションの研究（ Acta Mechanica 2016, 2018, 2019）
やノイマン展開近似の研究（ MEL2020）を行いました。不確かさのパラメタリゼーションと統計的計測、多次元ランダムパラ

メータ空間の可視化とサンプリングの2点に焦点を絞って、複合材料（機論2017、MEJ 2017）だけでなく、鋼材焼入れを対象として、調達段階での鋼材成分のわずかなばらつきという不確かさが伝播していく過程を定量化、可視化してみました（機論2020）。
不確かさは製造プロセスに起因することが多く、その例として、アディティブマニュファクチャリングに取り組みました。
大阪大学の生産加工工学科の前身が溶接工学科であったた
め、卒修論審査で溶接のことを見聞きしていたことも幸いしました。最初のきっかけは、メタラジーを勉強してバイオに興味を持っているイタリアからの留学生がやってきた2014 年 9月時点に遡ります。まだ日本国内ではドイツやアメリカの金属 3Dプリンタの導入と造形受託サービスが始まったばかりでした。失敗経験に基づくノウハウが必要ということで、骨のスキャフォールドを想定したSTLデータを複数の受託サービス
企業に送って造形発注しました。納品されて感動すると同時に、よく見ると造形不良が多く見つかったため、もう1 回発注し直しても同じことが起こり得るのではないかと思い、確率的シていた編修委員会では、計算力学講演会で英語セッション
会 議 ICMS2012 (International Computational Mechanics

Symposium)を機に、その翌年から「企業におけるCAEおよび産学官連携の事例」というOSを、企業の方を委員に含む
編修委員会が中心となって開始しました。ありがたいことに、今も継続していただいております。
さらに、ソフトベンダーの方々のご協力を得て、「市販CAEソ
フトによる難問題のモデリング・シミュレーション」というOSも始めました。
これらは、自分が30代前半の頃、講演会での発表に質問していただいた企業の方がおられ、私はそれがきっかけで前記のNEDOシナジーセラミックスPJに呼んでいただいたと思っているので、そうした経験を若い研究者の皆さんにも味わってほしい、若い研究者のために企業の方から活発な質問をいただける環境を作ってあげたいという思いで始めたものです。最近の講演会会場にはベンダー、ユーザ双方の企業の方がお越しいただけるようになったと思います。
計 算 力 学 技 術 者 認 定 試 験（ 固 体 力 学 分 野の有 限 要 素 法
解析技術者）にも長く携わりました。本年 3 月には本事業の20 周年記念式典が開催されました。この間、計算力学部門が主催する固体 2 級試験対策講習会の関西地区、関東地区とオンライン講習会に携わりました。現在は、塩谷隆二先生（ 東洋大学）と和田義孝先生（ 近畿大学）にバトンタッチさせていただきました。

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
2021年度（第99期）には部門長を拝命しました。部門幹事の伊井仁志先生（東京都立大学）には、翌年の表彰委員会とも大変にお世話になりました。
この場をお借りして改めて感謝申し上げます。
また、総務委員会、運営委員会の皆様の厚いご支
援ご助力を賜りましたこと、心より御礼申し上げます。副部門長だった2020年度は、鹿児島大学で予定していた計算力学講演会を中止せざるを得ず、かわりにCMD2020計力スクウェア研
究報告集を編纂し、皆さんの計算力学講演会離れに繋がらないよう努めました。 2021年度には、北海道大学がホストとなりオンライン講演会を再開することができました。 2022年度は鹿児島大学に再度ホストをお願いしましたが、他部門がハイ
ブリッド形式に挑戦されている中、完全オンライン形式を早々に決め、満を持して2023年度の豊橋で完全対面式の講演会を再開しました。豊橋では、準備会の段階から実行委員に加えていただき、菊池昇先生（株式会社トヨタコンポン研究所 取締役
所長）を特別講演にお招きし、ソフトベンダー様のご協力を得て4件のランチョンセミナーを企画いたしました。
他の部門行事では、機械材料・材料加工部門（ M&P部門）と合同で始めた講習会「機械材料・材料加工のシミュレーショ
ンと計測」は、第1回：3D積層造形（ 2021年12月1日）、第2回：複合材料の成形加工（ 2022年6月16日）、第3回：金属AMの応用と潮流（ 2023年6月20日）と数を重ね、第4回：材料への治癒・修復機能付与（ 2024年6月18日）の準備中です。第4回「機械から材料力学部門（ M&M部門）にも加わっていただき、材料・材料加工のシミュレーション・計測と力学」と名称を改めました。今後も、シリーズ開催してまいりますので、ご関心のあるトピックをお教えいただければ幸いです。
また、M&M部門が開催しておられた若手シンポジウムに計算力学部門も参画させていただくことになり、2023年8月7日に「 M&M・CMD若手シンポジウム」が金沢で開催されました。
計算力学部門幹事もつとめられた松田哲也先生（筑波大学）●10

が開催委員長だったこともあり、当部門から竹澤晃弘先生（早稲田大学）、宍戸信之先生（近畿大学）に企画運営陣に加わっていただきながら、スムーズにM&M部門に合流できたと思います。
コロナ禍で若手研究者のはつらつとした講演発表を対面で拝見する機会が失われていた中、M&M 部門の副部門長、部門長をなさっていた荒井政大先生（名古屋大学）とのご相談が実を結び、本部門も若手研究者向けの企画（表彰もあります！）をスタートできたことは大変喜ばしく思っています。

ほかに、2015年に早稲田大学で開催された日韓シンポジウ

ム（ KSME-JSME Joint Symposium on Computational

Mechanics & CAE）を担当いたしました。滝沢研二先生（早稲田大学）と一緒に企画、運営に携われたことは大変よい思い出です。
このとき韓国側の代表者であったHeoung-Jae Chun先生（ Yonsei大学）とは深く交流させていただき、2016年ソウルでのWCCMでの再開後、2018年にはサバティカルイヤーを慶應義塾大学で過ごされました。日韓シンポジウムもコロナ禍で中断されていましたが、今年9月に再開されるとのことで、大変喜ばしいことです。
さらに、松本敏郎先生（名古屋大学）のご尽力
により2018年以来となる最適化シンポジウム（ OPTIS）が開催されたとのことで、コロナの爪痕を一切感じさせない計算力学
部門の活動は、店橋護部門長（東京工業大学）のもとで始まったばかりの102期に益々発展されることを祈念しています。私自身も講演会OSや講習会のお手伝いをさせていただき、栄誉ある功績賞の恩返しができればと考えています。
偶然にも、豊橋で菊池昇先生がいらっしゃる場で表彰式を行っていただき、夜のプライベートな食事会で菊池先生からお祝いのお言葉を頂戴したのは、この上ない幸せでした。
ミシガン大学に行く際にいろいろと助けていただいた奥田洋司先生（ 東京大学）をはじめ、多くの方々とのご縁のおか げであることに深く感 謝しております。この度は誠にありがとうございました。

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●11

業績賞を受賞して

山中 晃徳
東京農工大学大学院工学研究院先端機械システム部門
この度は、栄えある計算力学部門業績賞を賜り、誠に光栄に存じます。
これまでにご指導、ご鞭撻を賜りました先生方、研究を推進してくださった学生の皆様に厚く御礼申し上げます。本稿では、これまで私が行ってきましたフェーズフィールド法に関連する研究を振り返りながら、様々な機会を与えてくださった計算力学部門への感謝の気持ち、そして私が抱く今後への想いについ

私がこれまで研究対象としてきた鉄鋼材料の固相変態は、
オース

テナイト相を母相としてフェライト変態、
パーライト変態、
ベイナイト変態、
マルテンサイト変態と多様かつ複雑な変態挙動を示します。
私は前述の研究スタイルに従い、
これら全ての固相変態を扱うことができるPFモデリングを構築することを主な研究テーマのひとつとしてきました。
この研究の過程では、弾塑性理論や結晶塑性理論とPFモデて申し上げたく存じます。

リングを組み合わせた研究を進め、
日本機械学会論文集A編に論て冨田佳宏先生（現 名誉教授）のご指導のもとで、変態誘起塑性

なところも多々あったと思いますが）、2010年に日本機械学会賞（論体的には、漸近展開近似に基づく数学的均質化法と有限要素法をせたばかりの私にとっては、極めて大きな励みなったことを記憶して私が計算力学に関連した研究をはじめましたのは、神戸大学に具（ TRIP）鋼に関する卒業論文研究のテーマを頂いたときです。

その解析に、
用いた、TRIP鋼の変形挙動解析に関するものでした。

TRIP鋼のミクロ組織形態を取り込むことを狙い、鉄鋼材料における固相変態のモデリングと数値シミュレーションの研究を行うこととなりました。
この研究テーマは、機械工学（固体力学）と材料工学（材料組織学）の学際領域研究ですので、機械系の学部学生だった私には知識が足りませんでしたが、材料の化学組成や温度によって多様に変化する鉄鋼材料の固相変態の奥深さに感嘆し、魅了されていったのを記憶しています。
また、当時はインターネットでは十分な情報を得ることは難しく、図書館の蔵書や過去の文献を徹底して調査することで、「毎日が未知との遭遇で好奇心を掻き立てられる思い」でした。
振り返れば、こうした知的好奇心を刺激される感覚が、研究者の道を決めるためにとても重要だったと思います。
フェーズフィールド（ PF）法の研究を開始したのは、大学院に進
私と同じ大学（別学部）におられた高木学した2005年からのことで、
知弘先生（現 京都工芸繊維大学教授）のご指導を賜りました。PF
法の起源を辿れば古いのですが、代表的なものはCahnとHilliardの不均一系の自由エネルギー記述やそれに基づく相分離シミュ
レーションです。
私がPF法を学びはじめた2000年代前半は、PF法
が凝固組織形成のモデリング方法として、学術界で認識され、凝固以外の多様な現象への展開が急激に進展した頃と言えます。
鉄鋼
材料の固相変態に対する適用も報告されはじめており、合金凝固現象に対するPFモデルを鉄鋼材料の固相変態に応用した研究報
告が先駆的でした。
その後2006年ごろには、多結晶材料のミクロ組
織変化を扱えるマルチフェーズフィールド（ MPF）法を用いたオーステナイト→フェライト変態のモデリングの研究成果報告があり、当時としてはかなりの計算コストを要したであろう3次元シミュレー
ションの美しい結果に驚くと同時に、自らもやってみたいと強く思った次第です。
そしてこの頃は、博士後期課程に進学し、大学の研究者になることを決めたころでもあり、PF法を自らの強みとしつつも、広範な分野へと積極的に展開する研究スタイルにしようと決めました。
これから博士後期課程への進学や研究者の道を目指す方々
も、自らにあった研究スタイルを認識してもらうことが重要ではない
かと思います。

文を掲載して頂きました。
この論文については（いま振り返れば未熟文）を賜ることができました。
この受賞は、研究者キャリアをスタートさいます。
この経験も踏まえると、若手研究者や大学院生が日々努力している研究成果を計算力学講演会等の場で激励することは、計算力学の発展のためにも極めて重要であると思っています。

上記のようなこれまでの研究を振り返ると、新しい研究への筋道

やひらめきのきっかけの多くは異分野融合でした。
なかでも、東京工業大学の青木尊之先生との共同研究では、PFシミュレーションのGraphics Processing Unit（ GPU）スパコンTSUBAMEを用いた超大規模計算に携わることができました。
これにより、前述の3次元シミュレーションへの願いを叶わせることができたのみならず、PF

シミュレーションの計算時間を削減できたことで、実験結果と直接比較できる時間・空間スケールに到達できるようになってきました。

2012年ごろから開始したデータ同化に関する研究へ
そしてこれが、と繋がっています。

データ同化は、気象学や地震学などの地球科学分野で発展してきた統計学的手法です。
データ同化には、様々なアルゴリズムがありますが、私の研究グループではベイズの定理に基礎を置く逐次・
非逐次データ同化手法に焦点を当てています。
このデータ同化の研究については、東京大学地震研究所の長尾大道先生にご指導を仰ぎ、大学院生に取り組んでもらいました。
担当してくれた大学院

生は、異分野の方々に懸命に学び、データ同化アルゴリズム（アンサンブルカルマンフィルタ）を習得してきてくれました。
そのおかげで、現在では種々のデータ同化アルゴリズムを活用し、独自のデータ同化手法を提案するに至っています。

私は、機械工学のみならず材料工学、計算工学に関連した学協会に育てて頂きましたが、日本機械学会計算力学部門では、
熱力学・流体力学・材料力学を含む広範かつ多様な分野を専門とする研究者やエンジニアの方々にお会いする機会を賜ってきました。研究成果発表や交流を通じて、様々な方々に出会い、その機会を有効に活用して、自分一人ではできないことを成し遂げていくことが、研究の醍醐味であり、喜びであると思っております。今後も多くの方々と共創しながら、「毎日が未知との遭遇

で好奇心を掻き立てられる思い」を忘れずに計算力学分野での研究に邁進し、後進の育成（教育）にも貢献していく所存です。

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●12

業績賞を受賞して

吉野 正人
信州大学学術研究院 工学系
この度は、日本機械学会 計算力学部門業績賞をいただき、大変光栄に存じます。
これまでご指導・ご支援いただいた先生方に心より御礼申し上げます。

私が熱流体解析、特に格子ボルツマン法（ Lattice Boltzmann
Method、以下LBMと記す）の研究に取り組み始めたのは、1995
年に京都大学大学院工学研究科 化学工学専攻 修士課程の学生になった時でした。LBMとは、流体を有限個の速度をもつ仮
想粒子の集合体（格子気体モデルとよばれる）で近似し、各粒子の衝突と並進とを粒子の速度分布関数を用いて逐次計算し、そのモーメントから巨視的流れ場を求める非圧縮性粘性流体の数値計算法です。当時、数年前にカリフォルニア工科大学での留学を終えて日本に帰って来られた指導教員の稲室隆二先生から、LBMという新しい手法の研究をしてみませんか？と言ってくださ
り、まったくこの分野の研究を知らなかった私は、
とにかく先生のご指導のもと研究を始めました。研究にとって、「新規性」があるということはとても重要なことではありますが、当然のことながら専門書や文献を検索してもほとんど見つからず、わからないことばかりで苦労したことを覚えています。最初は、LBMにおける境界条件の提案や格子ボルツマン方程式とナビエ・ストークス方
程式との関係について研究を行い、基礎理論の確立に向けて取り組みました。
博士後期課程に進学してからは、化学工学の分野でよく扱われる充填層のような多孔質構造内の熱流動に興味があり、LBMを用いた複雑流路内の移動現象解析に関する研究を行いました。特に、多孔質構造内の圧力損失の計算結果が、層流域から乱流域まで既存の実験式と非常によく一致したことは、本手法の妥当性、有効性を示す観点から重要であると言えます。
また、多孔質のように流路が複雑な流れ場では、局所的に圧力が変化するため圧力の緩和に時間を要し、通常のCFD解析では計算効率が悪くなると言われています。
これに対しLBMでは、流速や圧力などの巨視的変数を直接計算する手法ではないため、非常に計算効率が良くこれが大きなメリットの一つと考えられます（実際には、当時LBMしか知らなかった私はそのメリットを感じることはなかったのですが、大学教員になって他の手法を計算するよ
うになってから、はじめて実感しました）。
しかしながら、研究を進めていく上でうまくいくことばかりではありませんでした。私は1997年7月、博士後期課程1回生の時に英 国Swanseaで開 催された国 際 会 議（ 10th International
Conference on Numerical Methods for Laminar and TurbulentFlow）に参加し、初めて英語で口頭発表しました。準備したプレゼンは何とかうまくいったと思ったのですが、質疑応答の時間にはほとんど質問やコメントがなく、座長の先生も困っている様
子でとても寂しい思いをしました。
もちろん、当時LBMの研究者
は海外を含めて非常に少なかったことも理由の一つではありま

すが、反響がなかったことに対して発表後に指導教員から「もうLBMの研究は止めようか」と言われた時には、私の博士課程の研究や論文は今後どうなるのか？！と、一瞬ドキッとしたことを今でも覚えています。

博士後期課程修了後の2000年には、信州大学工学部 機械シ

ステム工学科に助手として着任しました。その後、講師、助教授（後に准教授）になってしばらくの間は、引き続き複雑流路内流れを中心に、従来法を含めた数値計算の研究を行っていましたが、2000年代半ば以降になるとLBMによる二相流解析の研究が盛んに行われるようになり、私もその頃から気液・液液二相系
LBMの研究に従事することになりました。当時の二相流計算では、シャープな界面をいかに正確に捉えることができるか、またどの程度の高密度比の二相流を安定に計算できるかなど、難しい課題がありました。
この20年ほどの間に、これらの課題をほぼ克服した多くの二相系LBMが提案されてきていますが、現時点でも完全に確立されたとは言い難く、今日でもまだ研究が行われている段階です。今後、この分野の研究がさらに進展することを期待しています。
教授になってからは、当研究分野の発展に向けての活動にも取り組んできました。例えば、日本機械学会の部門研究会「格子ボルツマン法の基礎と応用に関する研究会」の幹事を務め、現
これまで当研在でも年2回のペースで研究会を開催しています。
究室では、移動境界流れの数値解析がご専門の鈴木康祐准教
授と共同で、LBMによる微小液滴の衝突・混合現象の解明、管内氷スラリー流の熱流動解析、蝶やトンボなどの昆虫の羽ばたき飛翔解析、融解・凝固を考慮した自由表面格子ボルツマン法の開発などについて、学生とともに研究を行ってきました。
さらに最近、稲室先生、鈴木先生と一緒に、研究結果をまとめた共著書「格子ボルツマン法入門−複雑境界および移動境界流れの数
値計算法−」が2020年に丸善出版より発刊され、翌2021年にはその英語版An Introduction to the Lattice Boltzmann Method̶A Numerical Method for Complex and Moving Boundary Flows
がWorld Scientiﬁc 社から出版されました。
これらの業績も合わせて評価していただいたと確信しており、あらためて感謝申し上
げる次第です。
本賞の受賞に際し、私が研究を始めてから30年が経った今思うのは、長年かけて一つのことをやり遂げる難しさ、大切さをあらためて認識したことであります。前述のように私自身も、良い結果が出ず研究の行き詰まりから、LBMの研究をもう止めようかと思ったことも何度かありました。
しかしながら、私の性格なのかもしれませんが、実際にやり残したことがあるとついつい気になってしまい、いつの間にかまた再開していたことも何度かありました。最近は、短期間での成果を求める研究が多いように感じていますが、いつかは実を結ぶことを信じて、長CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●13

年かけて従事する研究も重要であることを若手研究者に伝え誉教授 稲室隆二先生、本賞にご推薦いただきました名古屋大

最後になりましたが、学生時代の恩師であり、時には厳しく、時して心より御礼を申し上げます。
また、LBMのみならず、計算力たいと思っています。

には温かくご指導いただきました京都大学名誉教授 荻野文丸

先生、今日に至るまで熱心にご指導いただきました京都大学名学教授 松本敏郎先生をはじめ関係の先生方に、この場をお借り

学分野、計算力学部門の益々の発展を祈念し、受賞の御礼といたします。

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●14

業績賞を受賞して長谷川 浩志
芝浦工業大学システム理工学部機械制御システム学科
この度は，日本機械学会計算力学部門業績賞という大変栄誉ある賞を頂き，ありがとうございました．本賞を受賞するに至るまでには，私の恩師である故川面恵司先生（芝浦工業大学），大
学院時代に初めてトポロジー最適化の講義をして頂いた鈴木克
幸先生（東京大学），CRC総合研究所（現，伊藤忠テクノソリュー
ションズ）に入るきっかけを頂いた渡辺隆之氏，CRC時代の業務を通じてEngineous Software，MSCソフトウェア，芝浦工業大学へ移ってからはHexagon Manufacturing Intelligenceと，長きにわたり公私共に大変お世話になった加藤毅彦氏，計算力学分野の諸先生方と企業の皆様方，CRCの諸先輩方と同僚の皆様，
研究室の後輩と学生の皆さんなど，沢山の協働・交流とご支援
ご鞭撻を頂き，このような賞を頂くことができました．改めて，感謝の意を表します．
私の研究活動は，1992年に芝浦工業大学大学院の講義，計算力学特論で鈴木克幸先生からトポロジー最適化を教授して頂いたことからスタートしました．学部の卒業研究では，エキスパー
トシステムによる二足歩行ロボットの知識ベースの構築を研究していたことから，現在ではよく知られている遺伝的アルゴリズ
ムと出会い，GEのSiu Tong博士による遺伝的アルゴリズムの適用に驚かされ，GAの将来性と可能性を強く感じたことが思い出されます．1993年9月には，修士学生にも関わらず日本機械学会RC112：次世代計算力学システムに関する研究分科会にて，「二次元連続体の最適化問題―感度解析法とＧＡによる方法の比較―」と題して，遺伝的アルゴリズムをトポロジー最適化に適用した研究を発表する機会を得ることができました．
この発表に対する大坪英臣先生（東京大学名誉教授）の優しいコメント
は今でも耳に残っております．
また，同時期に荒川雅生先生（早稲田大学）も遺伝的アルゴリズムによるトポロジー最適化の研究をなされていたことから，このアプローチに間違いないという大きな支えになっていました．
この研究成果からスタートしたＧ
Ａ利用による機械構造物のトポロジー最適化研究が，私のキャリアの原点になったと思っております．
この研究は，後輩の朝山
正輝氏（ニコン），鶴田靖氏（ SUMCO），安納達弥氏（アカツキ），
鈴木雄作氏（ JSOL）がいなければ，素晴らしい成果を得ることはできませんでした．その後，修士課程を経て，計算力学分野の老舗企業，CRC総合研究所に就職します．
1994年から2004年までの10年間のCRC時代のエンジニア
リング業務は，原子力，宇宙航空，産業分野と多岐にわたるものでした．プラントエンジニアリング向けの配管3DCADを用いた設計支援システムの開発や遠隔リアルタイムモニタリング
システム の 開 発 で は，PLM (Product Lifecycle Management)
や BIM (Building Information Modeling) ，IoT の は しりを経験させて頂き，東京工業大学の横山正明先生（名誉教授）のもとで博士号を取得することができました．1998年からのEngineous Softwareとの協業では，加藤毅彦氏とCRCの先輩である酒井新吉氏と共に，複合領域最適化や近似最適化手法

を実務や研究分野で広範囲に展開することができました．
このEngineous Softwareは，Siu Tong博士が創業した会社で，一緒に仕事をすることができるとは全く考えていなかったことから，素晴らしい経験を頂き，現在のデータサイエンス分野の応用を実
務で一足先に担うことができたと考えております．
2004年からの芝浦工業大学での教育研究活動では，CRC時
代の様々な分野の実務経験が大変役立ち，機械構造物の最適化分野の研究のみならず，シミュレーションの質保証，工学教
育，新時代のモビリティを見据えたMaaS（ Mobility as a Service）
分野での協調的最適化まで，自身の研究活動の幅を広げることができ，計算力学分野を起点として様々な分野に計算力学の技術と知見を掛け合わせ，展開することができるようになったと思っております．
日本機械学会計算力学部門の運営では，第90期計算力学部
門副幹事，第91期計算力学部門幹事という重要な役割を部門の諸先生のご支援のおかげで果たすことができました．
また，2019
年度〜 2021年度まで，山本誠先生（第102期日本機械学会会長，東京理科大学）のもと人材育成・活躍支援委員会に参加させて頂き，関連学会では，2017年度から現在まで日本計算工学会理事，2024年度から副会長，2008年度〜 2013年度まで日本
シミュレーション学会理事をさせて頂きました．日本計算工学会
では，同じタイミングで功績賞を授与された高野直樹先生（慶應義塾大学）と理事会，講演会やシミュレーションの品質・信頼性にかかわる調査・研究分科会（ HQC研究会，2009年〜 2022年）などでご一緒させて頂き，様々な気づきや刺激を頂くことができました．
また，ご推薦をして頂いた萩原世也先生（部門長，佐賀大学）とは，日本酒を頂きながら楽しい議論ができたこと，大変感謝をしております．HQC研究会では，CRCの元上司である中村均氏（横浜国立大学）の推薦のもと参加させて頂き，第76期業績賞を受賞されている吉田有一郎氏（東芝インフォメーションシ
ステムズ）と共に，システムズエンジニアリングの観点からシミュ
レーションの質保証に対する貢献ができたと考えております．計算力学部門，関連学会の運営にも，微力ながら貢献することができたのではないかと思っております．
さらに，部 門 表 彰 式 が 行 わ れた第 36 回 計 算 力 学 講 演 会（ CMD2023）の特別講演が，トポロジー最適化の第一人者である菊池昇先生（トヨタコンポン研究所代表取締役所長）であったことは，素晴らしい巡り合わせであると感じております．
菊地昇先生の熱量のある想いは，30年間の研究活動の振り返りと，未来の世界を切り開くための人材育成のために，これからやらなければならないことを改めて気づかされ，後押しをして頂きました．
本賞の受賞は，諸先生，諸先輩，同僚，研究室の後輩と学生との出会いがなければかないませんでした．改めて感謝の意を表します．
これからも計算力学部門の発展に貢献できるように邁進していく所存です．
ご指導ご鞭撻のほどよろしくお願い致します．

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●15

特集：情報科学とCFD特集にあたって「情報科学とCFD」
長谷川 洋介東京大学 生産技術研究所「地球シミュレータ」に始まり、「京」、そして現在の「富岳」に至るまで、過去２０年の間にスーパーコンピュータの処理能力は1 万 倍 以 上 向 上し、数 値 流 体 力 学 (Computational Fluid
Dynamics: CFD)によって扱うことができる流れの自由度は飛躍的に向上した。その結果、我々の身の回りの機械システム内部の流れを忠実にシミュレーション上で再現できるようになりつつある。
これに伴い、産業界においても、大規模熱流体シミュ
レーションが実施されるケースも多くなり、現象解明、製品開発において必要不可欠な技術に発展した。一方で、工学で見られる流れは一般にレイノルズ数が大きく、形状も複雑であることから、単一条件の流れの詳細なシミュレーションを行うことは、
現在の最先端の計算機をもってしても容易ではない。さらに、
仮にそのような詳細なシミュレーションが実行できたとしても、優に１０億を超えるような空間格子点上で得られる流れの時
系列データを処理し、その背後にある物理を理解することはさらに困難な課題といえよう。
このような背景の中、最近の10年間で急速に発展し、注目を集めているのが、CFDと情報科学の融合である。一言に「融合」と言っても、その応用事例は幅広い。まず、膨大なシミュ
レーション結果をネットワークに読み込ませることにより、データの後処理に機械学習を応用することが考えられる。それにより流れ場の低次元表現や低次元モデルの開発が期待できる。
このように超多自由度の流れ場を低次元の潜在空間に落とし込むことができれば、流れ場の制御や推定の可能性が拓ける。
また、コントローラに機械学習を適用し、コントローラと流体シ
ミュレーションを連成することにより、新しい制御則の開発も考えられる。一般に大きなスケールの流れは幾何学的条件や境界条件の影響を強く受ける一方、小さいスケールの流れは普遍性を有することが知られているため、微細な流体運動を機械学習で適切にモデル化できれば、飛躍的に低解像度、低コス
さらに、トのCFDによって、高精度な流れの予測も期待できる。
CFDはニュートン力学に基づく支配方程式を各格子点で解くものであるから、低次元の潜在空間の情報が与えられれば、元の超多自由度の流れ場を決定論的に復元できる可能性もある。
これらの試みは、機械学習が注目される以前から行われてきたが、近年の機械学習で用いる各種ライブラリの普及とGPU
等のハードウェアの高速化／大規模化に伴い、その利用のハードルが大きく下がり、扱うことができるデータ量も飛躍的に増大している。今後、基礎研究のみならず、応用研究においても機械学習は必要不可欠なツールとなるであろう。

一方で、機械学習で用いられる深層ニューラルネットワー

クは入力と出力の間の複雑な関係性を表現するツールに過ぎず、仮に何らかの関係性を抽出できたとしても、そこからどのように物理的知見を抽出し、人間の理解に繋げるのかという問題が残されている。単なる学習データの学習に留まらず、その背後にある物理的普遍性を機械学習により抽出できるのか、そのためにはどの程度の学習データが必要なのか等、依然として未解明な点も多い。これらの課題については、まずは大学や研究機関において先駆的研究を実施し、その有効性、適用可能性が確認された後、産業界に普及するものと考えられる。その意味では、今日の機械学習の状況は、
３０〜４０年前の CFD 黎明期の状況に近いと言える。

本ニューズレターでは、熱流体現象に対する機械学習の応用において、最前線で研究を進めている研究者に最新の研究事例を紹介いただいた。まず、東北大学の河合教授には、富岳を用いた大規模流体解析の意義と得られた大規模デ ータへ の 機 械 学 習 の 応 用を通じた新たな 展 開 につ いて解説いただいた。次に、慶應義塾大学の深潟教授には、流れの低次元化、それに基づく限られたセンサ情報に基づく
流 れ 場の推 定、制 御の可 能 性につ いて最 近の研 究 成 果をご紹介いただいた。東京工業大学の大西教授、安田博士には、都市流れにおける低次元データから高解像度データの
復 元 に関 する研 究 事 例を 解 説 いただ いた。東 京 農 工 大 学の 岩 本 教 授 の 研 究 室 に所 属 する仁 村 博 士 には、脈 動 制 御を施した円 管 乱 流 にお いて過 去 の 流 れ 場 の 履 歴 から将 来の流れ場の状態を推定する機械学習のフレームワークをご紹介いただいた。東海大学の福島研究室の下田氏には、機械 学 習を用 いて空 間のみならず時 間 方 向を含めた流 れの低次元表現の試みを紹介いただいた。最後に、東京都市大学の白 鳥 教 授には、深 層ニューラルネットワークに物 理 法 則を組み込むことによる、計測データの同化、パラメータ推定に関する試みを解説いただいた。

本ニューズレターで紹介されている事例は、機械学習の応用事例の一部に過ぎず、現在、世界中で精力的な研究が展開されている。読者の皆様が、本ニューズレターを通じて
熱 流 体 工 学にお ける機 械 学 習の応 用の可 能 性を感じていただくとともに、今 後 の 課 題 や 新たな 応 用 例を考えるきっかけとなれば、この上ない幸せである。末尾になりますが、

お 忙しい 中 執 筆 いただ いた研 究 者 の 皆 様 に心より御 礼申し上げる。

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)●16

高忠実な大規模非線形複雑流体データをどう活かすか河合 宗司
東北大学 大学院工学研究科

航空宇宙工学専攻

1 はじめに「高忠実な流体シミュレーションをすると何が分かるのですか？」と聞かれたことはないでしょうか．
（正確には，「 LES(large-eddy simulation) をすると何が分かるのですか？」と聞かれたと記憶しています）．
航空宇宙分野が扱う流れは，レイノルズ数が高く，かつ衝撃波も伴う圧縮性流体を取り扱う必要性から，特に工学的応用問
題や産業界では，時間平均化操作を施した渦粘性近似に基づ
くRANS（ Reynolds-averaged Navier-Stokes）解析の利用が多いのが現状です．著者は，そのような中で冒頭の質問を受けました．工学的応用の見地から，RANS解析で得られる時間平均諸量からの性能予測や現象理解を大きく上回るものが得られるのかと聞かれていると感じ，はっとしたのを良く覚えています．
もちろんRANSが複雑な乱流現象に対してその予測精度が十分でないことはしばしば事実ですし，高忠実な流体シミュ
レーションデータからは，乱流構造や乱流のダイナミクス，乱流統計量など，流体現象の詳細の理解が深まりますなどと言えることはありますが，何かそれは本質では無いと強く感じたのを覚えています．
一方で，(これまでの）高忠実な流体シミュレーションを推進
するモチベーションの一つは，少なくとも航空宇宙分野では，
RANS解析で予測することが困難な工学的に重要な流れを高忠実に予測したいという点にあったように思います．言い換えると，これはRANSが複雑な乱流現象に対してその予測精度が十分でないことへの代替とも言えます．例えばその典型的な例は，航空機の最大揚力予測です．最大揚力予測ができるようになれ
ば，航空機開発にイノベーションを起こすだろうとも言われています．実際，NASAのCFD Vision 2023では2030年までに達成すべき目標の一つとして，これまで困難であった実飛行・高レイノ
ルズ数条件における最大揚力付近の航空機全機周り剥離流れの予測があげられています．
またアメリカ航空宇宙学会（ AIAA）
でもHigh-Lift Prediction Workshop（ HLPW）で，最大揚力の予測精度についての議論が現在も行われています（現在はHLPW-5が開催中であり，一つ前のHLPW-4のsummary paperを参照のためあげておく[2]）.
ここで初めの質問「高忠実な流体シミュレーションをすると何が分かるのですか？」に戻ると，この質問は，これまで予測困難だった現象が予測できるようになったら，予測の向上以上に（ RANS解析でも得られる）時間平均諸量からの性能予測や現象理解を超える何か大きなゲインがあるのですか？という本質的な問いだと考えることもできます．私たちは，高忠実な流体シ
ミュレーションで得られる時間・空間方向に高忠実に解像された莫大な流体データを十分に活用できているでしょうか．そこではデータ科学との関わりがこれまで以上に重要になってくると実感しています．本ニュースレター執筆の機会をいただき，ここでは私たちが抱えている課題を通して，高忠実な流体シミュレー

ションとデータ科学との関わりやその重要性を簡単にではありますが記したいと思います．
2

高忠実な流体シミュレーションの現状

LESのような高忠実な流体シミュレーションは，今や学術研究の多くで利用されています．一方，実際の工学的応用問題や産業界で積極的に利用されているかというと，そうとも言えないのが現状だと思います．その原因として、大きな計算資源が必要という側面があげられることが多いと思いますが，その他にも根本的な課題がいくつかあると私は考えています．
まずそもそも産業界が扱うような複雑な形状に対して，LESで必要となる数十〜

数百億点規模の格子が作成できない，もしくは，作成できるとしても計算時間よりも長い時間がかかるという課題があったりします．
これはいくら早いコンピュータが開発されても解決する課

題ではありません．また高忠実なLESを阻害する数値散逸を多用しないと，特に複雑形状解析では計算が安定に進まないなどの課題もあります．
このような中，高忠実な流体シミュレーションによる航空機離着陸時の複雑な形状と高い迎角による剥離を伴う空力予測（航空機の最大揚力予測）は，航空機開発における次世代のイノベーションに繋がりうる技術として，CFD Vision

2023やAIAA HLPWでも取り上げられるなど大きく期待されています．
ここではまず高忠実な流体シミュレーションの現状として，航空機の最大揚力予測を紹介します．

私たちの研究グループでは，上記の課題を克服し，高忠実な流体シミュレーション（ LES）の抜本的な展開を目指して，圧縮性流体解析基盤ソルバー FFVHC-ACEを開発しています[3]．

FFVHC-ACEは3つのキー学術成果は，(1) 完全自動格子生成を可能とする階層型等間隔直交格子法，(2) 高忠実な圧縮性

流体解析を可能とする数値散逸なしに安定なKEEPスキーム，(3) 高レイノルズ数流れのLESを可能とする壁面モデルLES，で構成されています．図1および2は，三菱重工グループの方々がFFVHC-ACEを用いて，三菱スペースジェット実機フライト試験のLESに成功した例となります．著者の知る限り，産業界による初の民間旅客機全機LESです．
高忠実な流体シミュレーションにより，今まで困難であった
航空機の最大揚力予測が達成されている点に加えて，ここで特筆すべきは，3つのキー学術成果により，ユーザーは形状データ（ STLデータ）を入力するだけで，高忠実なLESが完全自動で可能となっている点です．すなわち，ユーザーを問わない高品
質・高忠実な完全自動LESが可能となっていることが実証され

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)

3
3

●17

にそれぞれ10倍程度のスケール差があるとすると，
これらマルチ
えている課題を通してその辺りを議論できればと思いえている課題を通してその辺りを議論できればと思いスケールな現象を時間方向に解像するデータとして最低限1000
ます．
ます．
スナップショットは必要となり，データ量としては約0.5PBとなります．学術界のみならず産業界にとっても高忠実な流体シミュ

33 高忠実な流体シミュレーションの課題とデータ科学
高忠実な流体シミュレーションの課題とデータ科学
レーションが可能となりつつある現在，得られるこの高忠実な大規模非線形複雑流体データを，どのようにして十分に活用する
例えば，前章で紹介した数百億点レベルの計算で得
例えば，前章で紹介した数百億点レベルの計算で得かが大きな課題となっていると実感しています．実際この規模のられる高忠実な流体現象のスナップショットデータはられる高忠実な流体現象のスナップショットデータはデータを扱うと，活用する以前に，そもそも可視化することさえ困約約 500GB
500GB 程度になります．流体現象の時間スケールは，程度になります．流体現象の時間スケールは，難な現状に直面します．また主に学術研究で扱うような比較的
乱流境界層スケールの現象から，翼弦長スケールの現乱流境界層スケールの現象から，翼弦長スケールの現単純な形状や重要と思われる現象が事前にある程度分かって
図象，さらには低周波現象が加わると翼弦長の 10
図11 三菱スペースジェット実機フライト試験の壁面モデル
三菱スペースジェット実機フライト試験の壁面モデル
10 倍程度倍程度
図1 三菱スペースジェット実機フライト試験の壁面モデルLES． 象，さらには低周波現象が加わると翼弦長のいれば，従来からの統計量や流れ場を解析する手法が使えるで
LE
LE 析．
析．Q
Q 値等値面による乱流渦（三菱重工グループ提値等値面による乱流渦（三菱重工グループ提の現象までが共存することになります．仮にそれぞれ
Q 値等値面による乱流渦（三菱重工グループ提供）[3]． の現象までが共存することになります．仮にそれぞれしょう．
しかし一方で，図1に示すように複雑形状かつ様々な複雑
供）
[3]．
．
供） [3]
10倍程度のスケール差があるとすると，これらマルチ
10 流体現象が干渉し合う流れ場では，倍程度のスケール差があるとすると，これらマルチ
重要な現象が高次元データ

スケールな現象を時間方向に解像するデータとして最スケールな現象を時間方向に解像するデータとして最の森の中に埋もれ，例えば，揚力に効いている重要な現象を抽1000 スナップショ
スナップショ
ットは必要となり，データ量と低限
1000
ットは必要となり，データ量と低限出することさえ困難な状況になります．
実際に私たちも旧態依然

0.5PB
しては約
とした時間平均統計量から揚力や抗力，
平均圧力分布や表面流
0.5PB となります．学術界のみならず産業界となります．学術界のみならず産業界
しては約にとっても高忠実な流体シミュレーションが可能となり線などから議論は進めるものの，
高忠実かつリッチな大規模流にとっても高忠実な流体シミュレーションが可能となりつつある現在，得られるこの高忠実な大規模非線形複雑体データを十分に活用できているとは言えない状況です．
つつある現在，得られるこの高忠実な大規模非線形複雑
今まで困難であった，完全自動でユーザーを問わない高品
流体データを，どのようにして十分に活用するかが大き流体データを，どのようにして十分に活用するかが大き

質・高忠実な流体シミュレーションが可能となりつつある今，こな課題となっていると実感しています．実際この規模のな課題となっていると実感しています．実際この規模のれまで扱ったことがないような大規模複雑流体データをどう解
データを扱うと，活用する以前に，そもそも可視化する
データを扱うと，活用する以前に，そもそも可視化する
図2
2 三菱スペースジェ
三菱スペースジェット実機フライト試験の最大揚力予測
ット実機フライト試験の最大揚力予測
図
図2 三菱スペースジェット実機フライト試験の最大揚力予測（三菱重工グループ提供）[3]．
．
（三菱重工グループ提供） [3]（三菱重工グループ提供）[3]．

ユーザーは形状データ（
ユーザーは形状データ（STL
STL データ）を入力するだけデータ）を入力するだけ

ています．
これは，
これまで困難であった，
誰が実施しても高忠実LESが完全自動で可能となっている点でで，高忠実なで，高忠実な LES が完全自動で可能となっている点でな流体データを取得することが可能な時代が始まっているとも
す．すなわち，ユーザーを問わない高品質・高忠実な完

す．すなわち，ユーザーを問わない高品質・高忠実な完
全自動
LES が可能となっていることが実証されていまが可能となっていることが実証されていま
全自動 LES
生成の手間はありません（さらに言うと，ウォータータイトなSTL
す．これは，これまで困難であった，誰が実施しても高す．これは，これまで困難であった，誰が実施しても高データである必要もありません）．
また完全自動で格子生成から忠実な流体データを取得することが可能な時代が始まっ
忠実な流体データを取得することが可能な時代が始まっ
安定・高速なLESまでシームレスに実現できることから，計算自ているとも言えます．格子は自動で生成されますので，ているとも言えます．格子は自動で生成されますので，体で流体計算の専門性が問われることもありません．
計算に要
今までのような格子生成の手間はありません（さらに言今までのような格子生成の手間はありません（さらに言言えます．格子は自動で生成されますので，今までのような格子する時間も，一様流が主翼の空力平均翼弦長を流れる時間の計

うと，ウォータータイトな STL データである必要もあ

STL データである必要もあうと，ウォータータイトな
30億点のGrid1の計算で「富岳」
全系の約0.5%（ 768ノー
算に，

りません）
．また完全自動で格子生成から安定・高速なりません）．また完全自動で格子生成から安定・高速な
2時間，186億点のGrid2では全系の約2%（ 3456
ド）
を使って約
LES
までシームレスに実現できることから，計算自体
LES までシームレスに実現できることから，計算自体ノード）を使って約7時間となります．格子生成についても，640で流体計算の専門性が問われることもありません．計算
億点の格子であっても約20分程度で自動的に生成可能です．いで流体計算の専門性が問われることもありません．計算に要する時間も，一様流が主翼の空力平均翼弦長を流れ
Industrial LESが現実味を帯びてきたと言っても過言ではよいよに要する時間も，一様流が主翼の空力平均翼弦長を流れない時代になりつつあるのではないでしょうか．
る時間の計算に，30 億点の
億点の Grid1
Grid1 の解析で「富岳」全の解析で「富岳」全
る時間の計算に，30LESが役立つのに計算ができるだけで十分
ただ真の意味で0.5%ノード）を使って約
2
系の約
0.5%（
（768
768
ノード）を使って約
2 時間，時間，186
186 億点
億点
系の約
LES
で得られる
でしょ
うか．
またここで初めの質問に戻りますが，のGrid2 では全系の約では全系の約 2%2%（（3456
3456 ノード）を使って約ノード）を使って約 7
7の Grid2
高忠実な大規模非線形複雑流体データをどう扱い，
どうフル活
時間となります．格子生成についても，640 億点の格子時間となります．格子生成についても，640 億点の格子用するかの方が重要ではないでしょうか．次の章では，私たちがであっても約 20 分程度で自動的に生成可能です．いよ析し，そのポテンシャルを十分に活かすかの重要性は以前にもことさえ困難な現状に直面します．また主に学術研究でことさえ困難な現状に直面します．また主に学術研究で増して高まっています．
この課題に対し，
データ科学との関わりが扱うような比較的単純な形状や重要と思われる現象が扱うような比較的単純な形状や重要と思われる現象がこれまで以上に重要になってくることは事実でしょう．
また私たち事前にある程度分かっていれば，従来からの統計量や流事前にある程度分かっていれば，従来からの統計量や流は，データ科学の活用によって，高忠実な大規模非線形複雑流れ場を解析する手法が使えるでしょう．しかし一方で，れ場を解析する手法が使えるでしょう．しかし一方で，体データである高次元データの中から重要なダイナミクスを抽11 に示すように複雑形状かつ様々な複雑流体現象が図に示すように複雑形状かつ様々な複雑流体現象が図 出し，その後の解析やモデリング，制御などの指針を示せるよう干渉し合う流れ場では，重要な現象が高次元データの干渉し合う流れ場では，重要な現象が高次元データのなことを期待して，高忠実な流体シミュレーションとデータ科学

森の中に埋もれ，例えば，揚力に効いている重要な現
森の中に埋もれ，例えば，揚力に効いている重要な現に関する研究を進めています．本章では，データ科学による大規象を抽出することさえ困難な状況になります．実際に私象を抽出することさえ困難な状況になります．実際に私模非線形複雑流体データの解析事例として，2つ，(1) 大規模時
たちも旧態依然とした時間平均統計量から揚力や抗力，
たちも旧態依然とした時間平均統計量から揚力や抗力，
系列データのモード解析，および(2) 非線形流体現象の入出力
平均圧力分布や表面流線などから議論は進めるものの，
関係解析，について私たちがどのようにデータ科学を利用し，大平均圧力分布や表面流線などから議論は進めるものの，
高忠実かつリッチな大規模流体データを十分に活用でき
規模流体データの活用につなげようとしているかについて，まだ高忠実かつリッチな大規模流体データを十分に活用できているとは言えない状況です．
まだ目的の達成には不十分な状況ですが紹介します．
ているとは言えない状況です．

今まで困難であった，完全自動でユーザーを問わない
今まで困難であった，完全自動でユーザーを問わない
3.1 大規模時系列データのモード解析例
高品質・高忠実な流体シミュレーションが可能となりつ
高品質・高忠実な流体シミュレーションが可能となりつ
高次元データの低次元化やキーダイナミクスの抽出手法としつある今，これまで扱ったことがないような大規模複雑
つある今，これまで扱ったことがないような大規模複雑て固有直交分解（ Proper Orthogonal Decomposition: POD）や流体データをどう解析し，そのポテンシャルを十分に活流体データをどう解析し，そのポテンシャルを十分に活動的モード分解（ Dynamic Mode Decomposition: DMD）などの
かすかの重要性は以前にも増して高まっています．このかすかの重要性は以前にも増して高まっています．この
モード解析手法があげられます．
課題に対し，データ科学との関わりがこれまで以上に課題に対し，データ科学との関わりがこれまで以上に一般的にこれらの手法は，スナップショットデータを縦に，重要になってくることは事実でしょう．また私たちは，重要になってくることは事実でしょう．また私たちは，その時系列データを横に並べた行列 X を取り扱います．行列データ科学の活用によって，高忠実な大規模非線形複雑データ科学の活用によって，高忠実な大規模非線形複雑
X のサイズは，高忠実な大規模流体データを取り扱う場合，縦流体データである高次元データの中から重要なダイナ
流体データである高次元データの中から重要なダイナの長さが格子点数×物理量から成り，数百億から数千億規模
ミクスを抽出し，その後の解析やモデリング，制御などの超縦長行列になります．この超大規模行列を扱うことの難し
ミクスを抽出し，その後の解析やモデリング，制御などであっても約 20 分程度で自動的に生成可能です．いよいよIndustrial LES
LES が現実味を帯びてきたと言っても過が現実味を帯びてきたと言っても過いよ Industrialの指針を示せるようなことを期待して，高忠実な流体シさは想像に難くないでしょう．すなわち，高次元データの低次の指針を示せるようなことを期待して，高忠実な流体シ
言ではない時代になりつつあるのではないでしょうか．
3 言ではない時代になりつつあるのではないでしょうか．
高忠実な流体シミュレーションの課題とデータ科学
ミュレーションとデータ科学に関する研究を進めていま
元化やキーダイナミクスの抽出として一般的に使われるような
LES が役立つのに計算ができるだけが役立つのに計算ができるだけ ミュレーションとデータ科学に関する研究を進めていま
ただ真の意味でLES
ただ真の意味で例えば，前章で紹介した数百億点レベルの計算で得られる高モード解析手法であっても，高忠実な大規模流体データを対す．本章では，データ科学による大規模非線形複雑流体
す．本章では，データ科学による大規模非線形複雑流体で十分でしょうか．
LES で得られる高忠実な大規模非で得られる高忠実な大規模非で十分でしょうか．LES
忠実な流体現象のスナップショッ
トデータは約500GB程度にな データの解析事例として，
象にした途端に困難さを伴います．
22 つ，
つ，(1)
(1) 大規模時系列デー
大規模時系列デー
データの解析事例として，
線形複雑流体データをどう扱い，どうフル活用するかの線形複雑流体データをどう扱い，どうフル活用するかのります．
流体現象の時間スケールは，乱流境界層スケールの現[4]を参照してもらえればと思いますが，私た
詳細は参照文献(2)
非線形流体現象の入出力関タのモード解析，およびタのモード解析，および (2) 非線形流体現象の入出力関方が重要ではないでしょうか．次の章では，私たちが抱象から，翼弦長スケールの現象，さらには低周波現象が加わると方が重要ではないでしょうか．次の章では，私たちが抱ちは超大規模データの厳密なPOD/DMDを可能とする近似を係解析，について私たちがどのようにデータ科学を利用
係解析，について私たちがどのようにデータ科学を利用
翼弦長の10倍程度の現象までもが共存することになります．仮
用いない並列化アルゴリズムを提案することで，高忠実な大規抱えている課題を通してその辺りを議論できればと思います．

規模行列を扱うことの難しさは想像に難くないう．すなわち，高次元データの低次元化やキーダでしょう．すなわち，高次元データの低次元化やキーダ
忠実な大規模非線形複雑流体データのモード解析例をイナミクスの抽出として一般的に使われるようなモー示しました．本節では制御の指針にもなりうる，どのよ

示しました．本節では制御の指うな流れ現象が入力となって，
ド解析手法であっても，高忠実な大規模流体データを対うな流れ現象が入力となって，出力としてどのような現象が誘起されるか，非線形流体●18
CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)象にした途端に困難さを伴います．
手法であっても，高忠実な大規模流体データを対象が誘起されるか，非線形流体現象の入出力関係を探る
解析例について紹介します．
た途端に困難さを伴います．
詳細は参照文献 [4] を参照してもらえればと思います
解析例について紹介します．
図 4 上は，衝撃波の大規模題となっさらにDMDで[4] を参照してもらえればと思いますは参照文献 模流体データのモード解析を可能にしています．
POD/DMD を可が，私たちは超大規模データの厳密な図 4 上は，衝撃波の大規模な前後方向の振動を伴う
主翼断面形状翼型の遷音速バ
基底を十分に多く取らないと高精度なは，用いる r 個のPODPOD/DMDの再現にを可たちは超大規模データの厳密な能とする近似を用いない並列化アルゴリズムを提案する
主翼断面形状翼型の遷音速バフェット現象の LES デー
タ [6] です．衝撃波と乱流境界DMDが困難であることが分かっています．
これに対して，
ハンケ
タを目のる近似を用いない並列化アルゴリズムを提案する[6] です．衝撃波と乱流境界層との干渉により境界層タことで，高忠実な大規模流体データのモード解析を可能剥離が発生し，衝撃波が低周波
DMDを行うことで，比較的少ない
POD
基底でル行列を用いて生かすこ，高忠実な大規模流体データのモード解析を可能にしています．さらに DMD では，用いる r 個の POD剥離が発生し，衝撃波が低周波で前後に自励振動する興
味深い現象です．比較的単純なDMDが可能となることを示しています．
ここでハンケル
正確なつの話題
います．さらに DMD では，用いる r 個の POD
基底を十分に多く取らないと高精度な DMD が困難であ味深い現象です．比較的単純な現象だと思われるかもしれませんが，長年に渡ってその行列とは，複数のスナップショットデータを縦に並べた数千億規
実な大規
十分に多く取らないと高精度な DMD が困難であることが分かっています．これに対して，ハンケル行列
れませんが，長年に渡ってその自励振動メカニズムは理模の超縦長行列ですが，上記の並列化アルゴリズムを用いるこ
解されていない現象の一つです
したいとが分かっています．これに対して，ハンケル行列を用いて DMD を行うことで，比較的少ない POD 基底
は，航空機遷音速とで，厳密なDMDが可能となっています．図3解されていない現象の一つです．自励振動メカニズムやその入出力関係が理解できれ
いと思いて DMD を行うことで，比較的少ない POD 基底DMD が可能となることを示しています．ここ
で正確な
（圧力）
[5]に対しバフェット現象の高忠実な大規模LESデータその入出力関係が理解できれば，自励振動周波数が事前に特定でき，さらには入力となお本
な DMD が可能となることを示しています．ここでハンケル行列とは，複数のスナップショ
ットデータを遷音て，並列化ハンケルDMDでモード解析を実施した例です．
前に特定でき，さらには入力となる現象を断ち，衝撃波振動を抑制するような制御方法
バー FF
ケル行列とは，複数のスナップショットデータを縦に並べた数千億規模の超縦長行列ですが，上記の並列
速バフェット現象とは，高速で飛行する航空機の主翼上で衝撃振動を抑制するような制御方法の確立にも繋がります．
ただ非線形性が強い流体現象
初め，北べた数千億規模の超縦長行列ですが，上記の並列化アルゴリズムを用いることで，厳密な DMD が可能と波が非定常に振動する現象であり，航空機の飛行安全性に関わただ非線形性が強い流体現象において，何が入力で何がその結果となる出力なのか，
大阪大学
DMD
が可能と
ゴリズムを用いることで，厳密なット現象のなっています．図 3 は，航空機遷音速バフェ
る重要な現象となります．
後退翼では衝撃波の大規模な前後方
LES データのresolvent解析
図4 主翼遷音速バフェット現象
がその結果となる出力なのか，そのメカニズムも含め，発生する力学現象の入出力関
図 4 主翼遷音速バフェット現象 LES データのresolvent 解のスパコ
3 は，航空機遷音速バフェット現象のいます．図 向の振動に加えて，衝撃波のスパン方向の振動が翼端に向けてˆ に対して，並高忠実な大規模 LES データ（圧力）[7]析
．下左図： （入力モード）f[5]；下右図：q̂（出力モード）．
発生する力学現象の入出力関係の理解は非常に困難に[7]．下左図：fˆ（入力モード）；下右図：
q̂（出力モーなることが多いのが現状だと思います．
データ（圧力） [5] に対して，並な大規模 LES
移流する特徴的なバフェッ
トセル構造を持つことが知られてい列化ハンケル DMD でモード解析を実施した例です．遷
色は圧力変動分布．
なることが多いのが現状だと思います．当然のことでは
ド）．色は圧力分布．
ありますが「高忠実に複雑な流幸いですでモード解析を実施した例です．遷ンケル DMDます．
図3は，複雑な大規模流体データから，特徴的な衝撃波の音速バフェット現象とは，高速で飛行する航空機の主翼ありますが「高忠実に複雑な流体現象を再現した」が，直ちに「現象が理解できる．設が起こっていることを示しています．新たな視点から複
バフェッ
トセル構造
（衝撃波のスパン方向の振動構造）の抽出
フェット現象とは，高速で飛行する航空機の主翼然のことではありますが「高忠実に複雑な流体現象を再現した」
上で衝撃波が非定常に振動する現象であり，航空機の飛直ちに「現象が理解できる．設計や制御に生かせる」に謝辞結びつかないことを痛感する毎雑な流体現象のキーとなる本質的な挙動を特定し，抽出に成功している例です．
が，直ちに「現象が理解できる．設計や制御に生かせる」に結び
撃波が非定常に振動する現象であり，航空機の飛行安全性に関わる重要な現象となります．後退翼では衝結びつかないことを痛感する毎日です．その意味でも，
高忠実な流体シミュレーショ
できるのではと期待して研究を進めていますが，数値
これまでにない大規模データのモード解析を可能としている
つかないことを痛感する毎日です．その意味でも，
高忠実な流体性に関わる重要な現象となります．後退翼では衝
本研究
撃波の大規模な前後方向の振動に加えて，衝撃波のスパ
高忠実な流体シミュレーションが実施可能となるのはゴールではなく，スタートだと点は確実に一歩前進なのですが，
一方で，
バフェッ
トセル現象のresolvent
モードを安定に得ることの困難さ
振動のないシミュレーションが実施可能となるのはゴールではなく，スター
大規模な前後方向の振動に加えて，衝撃波のスパ
速プログン方向の振動が翼端に向けて移流する特徴的なバフェッ
ゴールではなく，スタートだと実感します．
図 4 下は，この力学現象の入周波数が事前にある程度分かっていたので抽出できたという側
トだと実感します．
や，得られたモードに対する物理的解釈の困難さなど，の振動が翼端に向けて移流する特徴的なバフェ
ッ
設計技術
3
は，複雑
トセル構造を持つことが知られています．図
resol図 4 下は，この力学現象の入力と出力の関係を面は否めず，データ科学による大規模非線形複雑流体データのvent 解析で示した例です[7]．
resolvent解
図4下は，この力学現象の入力と出力の関係を
こちらもまだまだ課題が多いのが現状です．
構造を持つことが知られています．図 3 は，複雑よび「航な大規模流体データから，特徴的な衝撃波のバフェットvent
解析で示した例です[7]．
Resolvent
解析は，レイノフル活用という観点では，
まだまだ課題が多いのも事実です．
レイノルズ分解した
析で示した例です[7]．Resolvent解析は，Navier-Stokes 方
ルズ分解した模流体データから，特徴的な衝撃波のバフェット
けた実証
セル構造（衝撃波のスパン方向の振動構造）の抽出に成4
おわりにNavier-Stokes
方程式から導かれる入出力
ルズ分解したˆ におNavier-Stokes
方程式から導かれる入出力関係式q̂=Hfにおける，res
関係式ているか
造（衝撃波のスパン方向の振動構造）の抽出に成れたもの功している例です．
ける，
resolvent作用素
作用素 H を特異値分解することで，入出力関係
resolventを特異値
関係式 q̂ = Hfˆ における，分解することで，入出力関係の況ですがいる例です．
本特集記事では著者の狭い見識に基づく話として，高資源の提ˆ
これまでにない大規模データのモード解析を可能との入力モードf と出力モードq̂を抽出するデータ解析手法です．
分解することで，入出力関係の入力モードfˆ と出力モード q̂ を抽出するデータ解析手法
までにない大規模データのモード解析を可能と忠実な大規模非線形複雑流体データをどう活かすか，高議論の詳細は参考文献[7]を参照していただくとして，resolvent hp22016
q̂ を抽出するデータ解析手法です．議論の詳細は参考
ドしている点は確実に一歩前進なのですが，一方で，バ
文献 [7] を参照していただくとる点は確実に一歩前進なのですが，一方で，バ
忠実な流体シミュレーションの現状と課題，またデータ
フェットセル現象の周波数が事前にある程度分かってい解析結果は，
衝撃波の上流に伝播する圧力波と翼後縁付近の[7]を参照していただくとして，
resolvent 解析結果
文献
は，衝撃波の上流に伝播する圧トセル現象の周波数が事前にある程度分かってい科学の重要性について紹介しました．航空宇宙分野を含たので抽出できたという側面は否めず，データ科学によ
圧力変動が入力となり，出力として非定常な衝撃波自励振動がの抽出手
は，衝撃波の上流に伝播する圧力波と翼後縁付近の圧力
1) Slot
変動が入力となり，出力として抽出できたという側面は否めず，データ科学によめ，今や学術界だけでなく産業界でも高忠実な大規模起こっていることを示しています．新たな視点から複雑な流体現composi変動が入力となり，出力として非定常な衝撃波自励振動
Gro
LES の時代
流体シミュレーションを活用する Industrial
象のキーとなる本質的な挙動を特定し，抽出できるのではと期
Decom- 図図3 3航空機遷音速バフェッ
航空機遷音速バフェット現象
データのハンケル
203
ト現象LES LES
データのハンケル
DMD
待して研究を進めていますが，数値振動のないresolventモードに入ってきたと言っても過言ではない時代になってきて
られます．
DMD
解析
[4]
．色は表面圧力分布．
aero
解析[4]．色は表面圧力変動分布．
を安定に得ることの困難さや，得られたモードに対する物理的解
います．計算手法の高度化や自動格子生成などの基礎学
2) Kiriータを縦釈の困難さなど，
こちらもまだまだ課題が多いのが現状です．
術成果，さらには計算機の性能が上がり，これまでは予
nick
る大規模非線形複雑流体データのフル活用という観点取り扱い 3.2 非線形流体現象の入出力関係解析
測困難であった複雑な流体現象が，ユーザーを問わず高edd
体データ では，まだまだ課題が多いのも事実です．
おわりに
前節では，複雑流体現象の理解の一助となりうる，高忠実なcus
忠実に予測することが可能になってきています．そこで量から成 大規模非線形複雑流体データのモード解析例を示しました．本
本特集記事では著者の狭い見識に基づく話として，高忠実な
3.2 非線形流体現象の入出力関係解析例
111
は，形状も現象も複雑な系の数百億点規模の高忠実な大ます．こ 節では制御の指針にもなりうる，どのような流れ現象が入力と大規模非線形複雑流体データをどう活かすか，高忠実な流体
前節では，複雑流体現象の理解の一助となりうる，高3) Asa規模非線形複雑流体データをどう十分に活用するかが難くない なって，出力としてどのような現象が誘起されるか，非線形流体
シミュレーションの現状と課題，またデータ科学の重要性につTam
忠実な大規模非線形複雑流体データのモード解析例を
大きな未知の課題となっており，データ科学との関わり
いて紹介しました．
航空宇宙分野を含め，今や学術界だけでなやキーダ 現象の入出力関係を探る解析例について紹介します．
Kaw
示しました．本節では制御の指針にもなりうる，どのよがこれまで以上に重要になっていると実感しています．
く産業界でも高忠実な大規模流体シミュレーションを活用する
図4上は，衝撃波の大規模な前後方向の振動を伴う主翼断面
うなモー
grid
うな流れ現象が入力となって，出力としてどのような現解析手法の高度化や計算機の性能が上がると，それらにIndustrial
LESの時代に入ってきたと言っても過言ではない時
ータを対 形状翼型の遷音速バフェット現象のLESデータ[6]です．衝撃波
tion
象が誘起されるか，非線形流体現象の入出力関係を探る
応じて，扱う現象やデータの複雑化・大規模化が起こる
代になってきています．
計算手法の高度化や自動格子生成などと乱流境界層との干渉により境界層剥離が発生し，衝撃波が低4) Asa
解析例について紹介します．
のは一般的な事実であり，今まさに私たちは，これまでの基礎学術成果，
さらには計算機の性能が上がり，これまでは予dec
思います 周波で前後に自励振動する興味深い現象です．比較的単純な現図 4 上は，衝撃波の大規模な前後方向の振動を伴う
測困難であった複雑な流体現象が，ユーザーを問わず高忠実象だと思われるかもしれませんが，長年に渡ってその自励振動メにない規模の大規模データの解析の必要性に直面する
mat
MD を可
LES デー
主翼断面形状翼型の遷音速バフェット現象のに予測することが可能になってきています．
そこでは，
形状も現
カニズムは理解されていないのが現状です．
自励振動メカニズという転換点にきていると考えています．事実，従来の5) Tam提案する
タ [6] です．衝撃波と乱流境界層との干渉により境界層
象も複雑な系の数百億点規模の高忠実な大規模非線形複雑流
ムやその入出力関係が理解できれば，自励振動周波数が事前
son
解析手段では対応が困難な状況が生じています．
析を可能剥離が発生し，衝撃波が低周波で前後に自励振動する興体データをどう十分に活用するかが大きな未知の課題となってに特定でき，
さらには入力となる現象を断ち，衝撃波振動を抑制
AIA
高忠実な大規模非線形複雑流体データから，キーとな
個の PODおり，
データ科学との関わりがこれまで以上に重要になっている
するような制御方法の確立にも繋がります．
ただ非線形性が強味深い現象です．比較的単純な現象だと思われるかもしる本質的な流体挙動をどのように抽出し，理解につなげ
困難であと実感しています．
解析手法の高度化や計算機の性能が上がる
い流体現象において，
何が入力で何がその結果となる出力なのれませんが，長年に渡ってその自励振動メカニズムは理ていくかは，少なくとも私たちにとって喫緊の大きな課
ケル行列 か，そのメカニズムも含め，発生する力学現象の入出力関係のと，それらに応じて，扱う現象やデータの複雑化・大規模化が起解されていない現象の一つです．自励振動メカニズムやOD 基底 理解は非常に困難になることが多いのが現状だと思います．当
こるのは一般的な事実であり，今まさに私たちは，これまでにな
その入出力関係が理解できれば，自励振動周波数が事す．ここ前に特定でき，さらには入力となる現象を断ち，衝撃波
データを
振動を抑制するような制御方法の確立にも繋がります．
記の並列
ただ非線形性が強い流体現象において，何が入力で何クスの抽出として一般的に使われるようなモーCMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
い規模の大規模データの解析の必要性に直面するという転換点にきていると考えています．事実，従来の解析手段では対応が困難な状況が生じています．

●19

引用文献

[1]

高忠実な大規模非線形複雑流体データから，キーとなる本質的な流体挙動をどのように抽出し，理解につなげていくかは，少なくとも私たちにとって喫緊の大きな課題となっています．
なにしろ，高忠

実に複雑な流体現象の再現には成功しているにも関わらず，その[2]

貴重なデータを目の前にし，現象を理解し，設計や制御に十二分に生かすことができていないのですから．
本特集記事が一つの話

題提供となり，今まさに転換期を迎えている高忠実な大規模流体

データのデータ科学研究の発展に貢献したいと思いますし，また[3]

本研究分野の発展に期待したいと思います．

なお本特集記事で紹介した圧縮性流体解析基盤ソルバー

FFVHC-ACEは，スーパーコンピュータ「富岳」を初め，北海道

大学，東北大学，東京大学，名古屋大学，大阪大学，最先端共同

HPC基盤施設（ JCAHPC）所有のスパコンにインストールされ無償で利用可能となっています．産業界の方々も含め，ぜひご活用頂けましたら幸いです．

[4]

[5]

謝辞
本研究成果の一部は，文部科学省「富岳」成果創出加速プログラム「航 空 機フライト試 験を代 替する近 未 来 型 設 計[6]

技術の先導的実証研究（ JPMXP1020200312）」，および「航空機デジタルフライトが拓く機体開発DXに向けた実証研究（ JPMXP1020230320）」の 一 環として行 わ れ たものであり，
スーパーコンピュータ「富岳」の計算資源の提供を受け実施しま．
した（ hp200137, hp210168, hp220160, hp230197, hp240203）[7]

Slotnick, J., Khodadoust, A., Alonso, J., Darmofal, D.,
Gropp, W., Lurie, E., & Mavriplis, D.: CFD vision 2030
study: A path to revolutionary computational aerosciences,
NASA CR 2014–218178 (2014)
Kiris, C. C., Ghate, A. S., Browne, O. M. F., Slotnick,J., & Larsson, J.: HLPW-4: Wall-modeled largeeddy
simulation and lattice-Boltzmann technology focus group
workshop summary, J. Aircraft, 60 (2023) 1118–1140.
Asada, H., Tamaki, Y., Takaki, R., Yumitori, T., Tamura,S., Hatanaka, K., Imai, K., Maeyama, H., & Kawai, S.:
FFVHC-ACE: fully automated Cartesiangrid- based
solver for compressible large-eddy simulation, AIAA J.,
61 (2023) 3466–3484.
Asada, H. & Kawai, S.: Parallelized dynamic mode
decomposition for large-scale ﬂow data with Hankel
matrix, in preparation (to be submitted).
Tamaki, Y. & Kawai, S.: Wall-modeled LES of transonicbuffet over NASA-CRM using FFVHC-ACE, AIAA J.,
Articles in Advance (2024).
Fukushima, Y. & Kawai, S.: Wall-modeled large-eddy
simulation of transonic airfoil buffet at high Reynolds
number, AIAA J., 56 (2018) 2372-2388.
Iwatani, Y., Asada, H., Yeh, C.-A., Taira, K., & Kawai, S.:
Identifying the self-sustaining mechanisms of transonic
airfoil buffet with resolvent analysis, AIAA J., 61 (2023)
2400–2411.

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)

顔

写

真 

カラー
314ｐｘ以上
1． はじめに● 20

畳み込みニューラルネットワークを用いた流れ場の低次元
ニュース レターの 原稿執筆 フォーム
化・推定・制御
深潟 康二
畳み込みニューラルネットワークを用いた流れ場の低次元化・推定・制御
慶應義塾大学 理工学部 機械工学科

深潟 康二
慶應義塾大学 理工学部 機械工学科
ゆる普通の深層ニューラルネットワークである全結合型の多層

現在，Googleフォトに代表される顔画像認識や，ChatGPT
1や. Stable
はじめDiffusionにに代 表される生 成 系 AIの 普 及 など，第 3
現在，Google フォトに代表される顔画像認識や，ChatGPT
や
次人工知能ブームの真っ只中であるが，ここ数年，幅広く理StableDiffusionに代表される生成系
AIの普及など，第3
次人工知
工 学の諸 問 題に対して機 械 学 習 技 術を応 用する試 み が 急
能ブームの真っ只中であるが，ここ数年，幅広く理工学の諸問題速に展開している．筆者のグループにおいても，科研費基盤Aに対して機械学習技術を応用する試みが急速に展開している．筆「機械学習による乱流ビッグデータの特徴抽出手法の構築」
者のグループにおいても，科研費基盤 A「機械学習による乱流ビ(2018~2020年度，課題番号18H03758) および，後継課題であッグデータの特徴抽出手法の構築」(2018~2020 年度，課題番号
る科研費基盤S「機械学習を活用した革新的流れ制御パラダ
18H03758) および，後継課題である科研費基盤 S「機械学習を活
21H05007)イムの創出と実践」(2021~2025年度，課題番号用した革新的流れ制御パラダイムの創出と実践」(2021~2025年度，の補助を受け，
円柱周り流れやチャネル乱流といったカノニカ
課題番号21H05007)の補助を受け，円柱周り流れやチャネル乱流
ルな流れやその制御に対する機械学習の応用可能性に関すといったカノニカルな流れやその制御に対する機械学習の応用可
畳み込みニュー
る調査を行っている[1, 2]．本稿ではこのうち，
能性に関する調査を行っている[1,2]．本稿ではこのうち，畳み込ラルネットワークを用いた流れ場の低次元化，推定，および流みニューラルネットワークを用いた流れ場の低次元化，推定，および流れの制御に関する研究例を紹介する．
れの制御に関する研究例を紹介する．

22．
. 機械学習を用いた流れ場の低次元化
機械学習を用いた流れ場の低次元化 いわゆる機械学習の登場前にも流れ場の低次元化手法は存在し，いわゆる機械学習の登場前にも流れ場の低次元化手法は流体力学分野における代表例としては固有直交分解(Proper
存在し，流体力学分野における代表例としては固有直交分解
Orthogonal
Decomposition:POD) [3]が挙げられる．例えば，直接数(Proper Orthogonal
Decomposition:POD) [3]が挙げられる．例
値シミュレーション(Direct
Numerical
Simulation:
DNS)で得られた(Direct
Numerical
Simulation:
えば，直接数値シミュレーション
高解像度の流れ場データ q があったとする．ここで，q の計算点DNS)で得られた高解像度の流れ場データ q があったとする．
こ
数を Ng，異なる時刻で得られたスナップショットの枚数を Nt とすこで，q の計算点数をNg，異なる時刻で得られたスナップショット
ると，q のデータ次元は Ng ×Nt となる．POD を用いた流れの低次の枚数をNtとすると，q のデータ次元はNg ×Ntとなる．PODを元化では，これを少数（Nr << Ng）の直交する基底を用いて近似す
用いた流れの低次元化では，これを少数（ Nr << Ng）の直交するることになる．
基底を用いて近似することになる.
筆者のグループにおける研究で主に用いる機械学習モデルは，筆者のグループにおける研究で主に用いる機械学習モデ
畳み込みニューラルネットワーク（Convolutional Neural Network;
Neuralルは，[4]
畳み込みニューラルネッ
トワーク（ Convolutional
CNN）を用いたオートエンコーダ（CNN-AE）
である．CNNのNetwork;CNN）[4]を用いたオートエンコーダ（
CNN-AE）で構造は動物の視覚野をモデル化したものであり，局所の画像に複数枚のフィルタを畳み込むことでその特徴を抽出するものである．
ある．CNNの構造は動物の視覚野をモデル化したものであり，各フィルタを構成する重み係数は，予め定められた損失関数を最局所の画像に複数枚のフィルタを畳み込むことでその特徴を小化すべく数多くのデータを用いて「学習」を行うことによって抽出するものである．各フィルタを構成する重み係数は，予め定最適化される．重み係数の更新にはいわゆる普通の深層ニューラめられた損失関数を最小化すべく数多くのデータを用いて「学習」を行うことによって最適化される．重み係数の更新にはいわパーセプトロン (MLP) と同様，誤差関数の値をネットワーク内で逆伝播させる「バックプロパゲーション」によって行われるが，
ルネットワークである全結合型の多層パーセプトロン(MLP) とMLPと異なり，CNNでは結合が局所に限定されていること，およ同様，誤差関数の値をネットワーク内で逆伝播させる「バックプロパゲーション」
によって行われるが，MLP と異なり，
CNN
ではびフィルタの重みが各層で共有されているこ
とにより，
同じ入力
結合が局所に限定されていること，およびフィルタの重みが各層次元のMLPと比べて非常に少ない計算量で学習が行えることがで共有されていることにより，同じ入力次元の MLP と比べて非常利点であり，高次元データが頻繁に表れる流体場データにも適に少ない計算量で学習が行えることが利点であり，高次元データ
したネットワーク構造である．
また，上流側の層から下流側の層が頻繁に表れる流体場データにも適したネットワーク構造である．
にかけて次元を削減していくことにより，入力データの特徴を抽
また，上流側の層から下流側の層にかけて次元を削減していくこ
象化でき，ノイズ等に対してもロバストになることもCNNを用いとにより，入力データの特徴を抽象化でき，ノイズ等に対してもたネットワークの長所である．
ロバストになることも CNN を用いたネットワークの長所である．
図1に一連の研究で主に用いているCNN-AEの基本構造 [5]
図1 に一連の研究で主に用いているCNN-AE の基本構造 [5] を
を示す．
入力データ
q は流れ場のデータ（速度場，圧力場，渦度示す．入力データq は流れ場のデータ（速度場，圧力場，渦度場
場など）
であり，
我々の扱っている問題では10万程度の次元をなど）であり，我々の扱っている問題では10 万程度の次元を持つ持つベクトルである．
入力データ
q はCNN-AEのうち入力側のベクトルである．入力データ
q は CNN-AEのうち入力側の半分で半分であるエンコーダ部によって次元圧縮され，中間部のネット
あるエンコーダ部によって次元圧縮され，中間部のネットワーク
を通り，CNN
デコーダ部で次元拡大され，出力ベクトルが得られワークを通り，
CNNデコーダ部で次元拡大され，出力ベクトルがる．CNN-AEではこの出力ベクトルが入力ベクトルと一致するよ得られる．CNN-AEではこの出力ベクトルが入力ベクトルと一う，CNNを構成するフィルタの重み係数の最適化，即ち学習が行致するよう，
CNNを構成するフィルタの重み係数の最適化，即ちわれるが，学習済のネットワークではその一番圧縮された部分の学習が行われるが，学習済のネットワークではその一番圧縮さ潜在変数ベクトルr が入力ベクトルの情報を抽象化した形で十分れた部分の潜在変数ベク
トル r が入力ベクトルの情報を抽象化に含んでいることになる．なお，この図では中間部を MLP としたした形で十分に含んでいることになる．なお，この図では中間部構造としているが，流れ場を単純に低次元化する場合には MLP ををMLPとした構造としているが，流れ場を単純に低次元化する
挟まずエンコーダとデコーダを直結させても良く，逆に時系列を場合にはMLPを挟まずエンコーダとデコーダを直結させても良扱う場合には MLP の代わりに再帰的ニューラルネットワークのく，逆に時系列を扱う場合にはMLPの代わりに再帰的ニューラ一種である Long Short Term Memory (LSTM)や後で紹介する代数的
ルネットワークの一種であるLong Short Term Memory (LSTM)
操作のレイヤーを挟むこともある．
や後で紹介する代数的操作のレイヤーを挟むこともある．
3. CNN-AE の応用例
3．CNN-AEの応用例
 表 1 に筆者のグループで行った研究のうち，CNN-AE を用いた
CNN-AEを用い
表1に筆者のグループで行った研究のうち，流れ場の低次元化および推定への応用例[ 6-18]を示す．このうち[6-18]を示す．
このた流れ場の低次元化および推定への応用例
モード分解型
CNN-AE (MD-CNN-AE) [6]では，CNN
エンコーダで

では，CNNエン
うちモード分解型CNN-AE (MD-CNN-AE)
低次元化された各モードに対してそれぞれ
CNN[6]デコーダを用意して復元するため，また階層型
CNN-AE [7]では，寄与の大きな構
CNNデコー
コーダで低次元化された各モードに対してそれぞれダを用意して復元するため，また階層型CNN-AE [7]では，寄与

CNN-AEの基本構造(K. Fukami,
K. Hasegawa,T. Nakamura,
M. Morimoto,andFukagata,
K. Fukagata,
SN Comput.
Sci.
2, (2021).
図1図 1
CNN-AEの基本構造(K. Fukami,
K. Hasegawa,T. Nakamura,
M. Morimoto,and K.
SN Comput.
Sci. 2,
467
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License4.0.)
467 (2021).Copyright
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TheAuthor(s)Author(s) 2021. Published4.0.)

CMD Newsletter No. 71 (June.,ニ2024)
ュース レターの 原稿執筆 フォーム● 21

表 1 CNN-AE を用いた流れ場の低次元化および推定への応用例
Reference

対象の流れ場

入力データ

出力データ

ネットワーク備考

基本
Murata et al. [6]2 次元円柱周り流れ

速度場

速度場

MD-CNN-AE

Fukami et al. [7]2 次元円柱周り流れ／

速度場／2 次元断面速度場

速度場／2 次元断面速度場

階層型 CNN-AE

チャネル乱流Morimoto et al. [8]2 次元減衰乱流

渦度場＋瞬時レイノルズ数

渦度場

Nakamura &角柱周り流れ2 次元断面速度場

2 次元断面速度場

Fukagata [9]超解像および離散センサからの推定
Fukami et al. [10]2 次元減衰乱流

低解像度の渦度場

高解像度の渦度場

DSC/MS

Morimoto et al. [11]2 つの円柱の周りの流低解像度の渦度場

高解像度の渦度場

Up-sampling CNN

2 次元円柱周り流れ／

低解像度・低時間分解能の高解像度・高時間分解能のDSC/MS

2 次元減衰乱流／チャ

渦度場／速度場

渦度場／速度場

2 次元円柱流れ／

渦度／海面温度／断面速度

渦度場／海面温度場／断面

NOAA 海面温度デーの離散センサデータ＋セン

速度場

タ／チャネル乱流

サ位置画像

れFukami et al. [12]ネル乱流
Fukami et al. [13]Voronoi 分割

異なる情報，異なる断面や，2 次元場から 3 次元場の推定Morimoto et al. [14]角柱周り流れ2 次元断面 PIV 粒子画像

2 次元断面速度場

Nakamura et al.

チャネル乱流壁面せん断応力場＋壁面圧

3 次元速度場[15]
Nakamura &力場
乱流遷移境界層

壁面せん断応力場＋壁面圧

複数の角柱が置かれ

壁面せん断応力＋１つの断た乱流境界層面における 2 次元断面速度

Fukagata [9]Morimoto et al. [16]上空の 2 次元断面速度場

力場
上空の 2 次元断面速度場

場
Moriya et al. [17]チャネル乱流上空の 2 次元断面速度場

壁面近傍の 2 次元断面内速度場

Matsuo et al. [18]角柱周り流れ2 次元断面速度場

3 次元速度場

表 2 CNN-AE を用いた低次元化に基づく，流れ場の時間発展のモデリングの例
Reference

対象の流れ場

入力データ

出力データ

時間発展の扱い

Fukami et al. [19]チャネル乱流2 次元断面速度場

2 次元断面速度場

MLP

Hasegawa et al. [20]2 次元円柱周り流れ

速度場＋レイノルズ数

速度場

LSTM

Hasegawa et al. [21]2 次元鈍頭物体周り流れ

速度場＋物体形状画像

速度場

LSTM

Nakamura et al. [22]チャネル乱流

3 次元速度場

3 次元速度場

LSTM

Fukami et al. [23]2 次元円柱周り流れ

速度場

速度場

SINDy （非線形微分方程式）

Ishize et al. [24]2 次元円柱周り流れ

速度場

速度場

LEAE （線形差分方程式）

造から順番に段階的に学習を行うため，低次元の潜在空間で何が抽出されているかの解釈が可能となる．これらの研究結果から，の大きな構像」や，離散センサからの流れ場全体への推定，実CNN-AE は基本的には POD と同様の分解を行っているが，活性化験データ（ PIV粒子画像）からの速度場の推定，さらには2次元関数に含まれる非線形性がモデル性能を向上させていること，ま断面速度場データからの3次元速度場の推定（図2）などに用いた１つの非線形 MD-CNN-AE モードには複数の POD モードが順ることも可能である[9, 14-18]．

序良く内包されていることが分かった．この結果は、従来の POD
モードとの解釈可能な対応関係を維持しながら，CNN-AE が POD
面速度場の時間発展の例[19]では，MLPを用いて2時刻間の速よりも低次元の流れ場の特徴抽出に使用できる可能性を示唆して度場の関係を学習しているが，これは，時間離散化したNavierいる．また，流れ場の特徴抽出ができるという特性を利用し，低Stokes方程式の代理モデルを構築していることに相当する．こ解像度の流れ場データから高解像の流れ場情報を推定する「超解うして得られた代理モデルである「機械学習乱流生成器」を流発展のモデリングの例[19-24]を示す．チャネル乱流の2次元断て使用することで，ドライバDNS（入口境界条件を生成するため

表2には，CNN-AEを用いた低次元化に基づく，流れ場の時間

入・流出境界を持つチャネル乱流のDNSの入口境界条件とし

ニニ
ュュ
ーー
スス
レレ
タタ
ーー
のの
原原
稿稿
執執
筆筆
フフ
ォォ
ーー
ムム

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 22

Linear
SystemExtracting
Autoencoder(LEAE)の3 Linear
SystemExtracting
Autoencoder(LEAE)の構構
造造
図図
3図3Linear
SystemExtracting
Autoencoder(LEAE)の構(Ishize
etal.,arXiv:2311.08624(2023).
Copyright©
The
Author(s)(Ishize
etal.,arXiv:2311.08624(2023).
Copyright©
The
Author(s)造 (Ishize et al., arXiv:2311.08624 (2023). Copyright © The
2023.
Creative
CommonLicense4.0.)License 4.0.)
2023.
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CommonLicense
4.0.)
Author(s)2023.
Creative
Common常微分方程式は非線形のため，潜在変数の次元が十分に小さくな
常微分方程式は非線形のため，潜在変数の次元が十分に小さくない場合には，現代制御理論を適用することが難しくなってくる．
い場合には，現代制御理論を適用することが難しくなってくる．
そこで，潜在空間では線形のシステム方程式に従うよう制約を加そこで，潜在空間では線形のシステム方程式に従うよう制約を加えた上でCNN-AEを学習させようという目的で提案したネットワ
えた上でCNN-AEを学習させようという目的で提案したネットワーク構造がLinear
Linear
SystemExtracting
Autoencoder(LEAE)[24]であであーク構造がSystemExtracting
Autoencoder(LEAE)[24]
Morimoto,
andFukagata,
SN
Comput.
Sci.
306(2024).
Copyright
Morimoto,
K.K.
Fukagata,
SN
Comput.
Sci.
5, 5,
306
(2024).
Copyright
Copyright©andThe
Author(s)
2024,
under
exclusive
licencetoる．図3 3ににLEAELEAEの構造を示す．時間発展はの構造を示す．時間発展はLinear
LinearOrdinary
Ordinary
る．図©
The
Author(s)
2024,
under
exclusive
licencetoSpringer
Nature©
The
Author(s)
2024,
under
exclusive
licencetoSpringer
NatureSpringer Nature Singapore Pte Ltd 2024.)
Difference
Equation(LODE)
layerと名付けた層で行っており，ここDifference
Equation(LODE)
layerと名付けた層で行っており，ここSingaporeLtd2024.)
Singapore
PtePteLtd2024.)
では線形なシステム方程式dr/dt
dr/dtの数値積分を行っている．
では線形なシステム方程式==
ArArの数値積分を行っている．
とができる．
この状態方程式に対し，例えば線形2次レギュレーに別途行う周期境界条件でのDNS）を用いる従来手法よりも低LEAEではこの制約のもと，同時刻の場と次時刻の場を同時に再ではこの制約のもと，同時刻の場と次時刻の場を同時に再LEAE(Linear Quadratic Regulator:
LQR)を適用することにより，計算コストで，同等の精度を持つDNSが行えることが示されてタ構築するよう，CNN-AEの重みとシステム行列の学習を行う．
の重みとシステム行列
A Aの学習を行う．
像」や，離散センサからの流れ場全体への推定，実験データ（PIV粒粒 構築するよう，CNN-AE像」や，離散センサからの流れ場全体への推定，実験データ（PIV
[19]
．
また，
LSTM
を用いた時間発展モデルの構築におい
DNSによって確いる
円柱にはたらく揚力変動を抑制できることが同様に，円柱表面からの吹出し・吸込みなどの制御入力を加え同様に，円柱表面からの吹出し・吸込みなどの制御入力
mmを加え子画像）からの速度場の推定，さらには2 次元断面速度場データから子画像）からの速度場の推定，さらには2 次元断面速度場データから
CNN-AEによって流れ場を
[24]
．
また，
LEAE
の学習方法に関しては，
シンては，
まず同時刻のデータを用いた
かめられているた場のデータを用いて制御行列
Bの学習を行うことにより，dr/dt
た場のデータを用いて制御行列
Bの学習を行うことにより，dr/dt
3 次元速度場の推定（図2）などに用いることも可能である[9,14-18]．
のの
3 次元速度場の推定（図2）などに用いることも可能である[9,14-18]．
LSTM
低次元化し，
低次元の潜在ベク
トルの時間発展に対して
プレクティ
ック解法にヒントを得た方法を用いることで，時間方
Bmという形で制御を加えた状態方程式を得ることができという形で制御を加えた状態方程式を得ることができ
ArAr
++
Bm
2 には，CNN-AEを用いた低次元化に基づく，流れ場の時間 = = 表表
2 には，CNN-AEを用いた低次元化に基づく，流れ場の時間
る．この状態方程式に対し，例えば線形次レギュレータ(Linear
を用い，予測された次時刻での潜在ベクトルをCNNデコーダで[26]．
向への対称性を向上させられることも確認できている
2 2次レギュレータ(Linear
発展のモデリングの例[19-24]を示す．チャネル乱流の次元断面 る．この状態方程式に対し，例えば線形発展のモデリングの例[19-24]を示す．チャネル乱流の
2 2次元断面Quadratic
Regulator:
LQR)を適用することにより，円柱にはたらく
Quadratic
Regulator:
LQR)を適用することにより，円柱にはたらく復元することで，物理空間での時間発展予測を可能としている．
速度場の時間発展の例[19]では，MLPを用いて
2 時刻間の速度場の速度場の時間発展の例[19]では，MLPを用いて
2 時刻間の速度場の4. おわりに
揚力変動を抑制できることが
DNS
によって確かめられている[24]．
揚力変動を抑制できることが
DNS
によって確かめられている[24]．
関係を学習しているが，これは，時間離散化したNavier-Stokes方程式
関係を学習しているが，これは，時間離散化したNavier-Stokes方程式
SparseIdentiﬁcation of
非線形ダイナミクスの抽出手法である
CNN-AEはシンプルな構造，従来手法より優れた低次元化やまた，LEAEの学習方法に関しては，シンプレクティック解法にの学習方法に関しては，シンプレクティック解法にまた，LEAEの代理モデルを構築していることに相当する．こうして得られた代理の代理モデルを構築していることに相当する．こうして得られた代理
Nonlinear
Dynamics (SINDy) [25]を用いる場合にも，まず同時効率的な特徴抽出を可能とする機械学習手法である．
また，付ヒントを得た方法を用いることで，時間方向への対称性を向上さヒントを得た方法を用いることで，時間方向への対称性を向上さモデルである「機械学習乱流生成器」を流入・流出境界を持つチャネ
モデルである「機械学習乱流生成器」を流入・流出境界を持つチャネ刻のデータを用いたCNN-AEによって流れ場を低次元化し，潜加的な情報（レイノルズ数，
物体形状など）や，
時間発展を扱う
せられることも確認できている[26]．
せられることも確認できている[26]．
ル乱流のDNS
DNSの入口境界条件として使用することで，ドライバの入口境界条件として使用することで，ドライバ
DNS
ル乱流の
DNS
SINDyを用いることで，潜在在空間における時間発展に対して手法と組み合わせて用いることで，多様な問題に用いることがで（入口境界条件を生成するために別途行う周期境界条件でのDNS）
DNS）（入口境界条件を生成するために別途行う周期境界条件での変数ベクトルが従う非線形常微分方程式を同定している．
このきる可能性が秘められている．
現在までのところ，筆者のグルーりにわわりにを用いる従来手法よりも低計算コストで，同等の精度を持つ
DNSが行 4. 4. おおを用いる従来手法よりも低計算コストで，同等の精度を持つDNSが行場合には，非線形常微分方程式を数値積分し，CNNデコーダでCNN-AE
CNN-AEはシンプルな構造，従来手法より優れた低次元化や効プで対象とした流れ場は比較的簡単なものに限られているが，はシンプルな構造，従来手法より優れた低次元化や効えることが示されている[19]．また，LSTMを用いた時間発展モデルを用いた時間発展モデル
えることが示されている[19]．また，LSTM
復元することで，物理空間での時間発展予測を可能としている．
率的な特徴抽出を可能とする機械学習手法である．また，付加的率的な特徴抽出を可能とする機械学習手法である．また，付加的MD-CNN-AEを「富岳」上で25,250ノード
他研究グループではの構築においては，まず同時刻のデータを用いた
CNN-AEによっての構築においては，まず同時刻のデータを用いた
CNN-AEによって
CNN-AEとSINDyを用いた時間発展モデルの場合には，低な情報（レイノルズ数，
物体形状など）や，
時間発展を扱う手法とな情報（レイノルズ数，
物体形状など）や，
時間発展を扱う手法と流れ場を低次元化し，低次元の潜在ベクトルの時間発展に対して流れ場を低次元化し，低次元の潜在ベクトルの時間発展に対して3次元流れに適用した例も報
並列実装し，より高レイノルズ数の次元ダイナミクスが常微分方程式で表されるため，
状態方程式組み合わせて用いることで，多様な問題に用いることができる可組み合わせて用いることで，多様な問題に用いることができる可LSTMを用い，予測された次時刻での潜在ベクトルを
CNN
デコーダ
LSTM
を用い，予測された次時刻での潜在ベクトルをCNN
デコーダ[27]．今後の研究の進展にご期待頂ければ幸いで告されている
と評価関数に基づく現代制御理論を適用してフィードバック
能性が秘められている．現在までのところ，筆者のグループで対で復元することで，物理空間での時間発展予測を可能としている．非 能性が秘められている．現在までのところ，筆者のグループで対で復元することで，物理空間での時間発展予測を可能としている．非ある．
を用制御を設計することが可能となってくる．
ただし，SINDy
象とした流れ場は比較的簡単なものに限られているが，他研究グ
象とした流れ場は比較的簡単なものに限られているが，他研究グ
線形ダイナミクスの抽出手法であるSparseSparseIdentification
Nonlinear
線形ダイナミクスの抽出手法である
Identification
ofof
Nonlinear
ループでは
MD-CNN-AEを「富岳」上でを「富岳」上で25,250ノード並列実装
ノード並列実装
いて得られる常微分方程式は非線形のため，潜在変数の次元
ループでは
MD-CNN-AE
25,250
謝辞
Dynamics(SINDy)[25]を用いる場合にも，まず同時刻のデータを用
Dynamics(SINDy)[25]を用いる場合にも，まず同時刻のデータを用し，より高レイノルズ数の
3研次元流れに適用した例も報告されて3 次元流れに適用した例も報告されてが十分に小さくない場合には，現代制御理論を適用することいた
CNN-AEによって流れ場を低次元化し，潜在空間における時間 し，より高レイノルズ数のいた
CNN-AEによって流れ場を低次元化し，潜在空間における時間
本 稿で 紹 介した 一 連 の究 は 科 研 費 基 盤A（課 題 番 号
いる[27]．今後の研究の進展にご期待頂ければ幸いである．
いる[27]．今後の研究の進展にご期待頂ければ幸いである．
発展に対してSINDy
SINDy
を用いることで，潜在変数ベクトルが従う非線形発展に対してを用いることで，潜在変数ベクトルが従う非線形が難しくなってくる．そこで，
潜在空間では線形のシステム方程
18H03758）および科研費基盤S（課題番号21H05007）の補助
常微分方程式を同定している．この場合には，非線形常微分方程式
常微分方程式を同定している．この場合には，非線形常微分方程式
CNN-AEを学習させようという式に従うよう制約を加えた上でを受けたものである．深見開君（現・UCLA博士研究員）をはじ
謝謝
辞辞を数値積分し，CNNデコーダで復元することで，物理空間での時間
デコーダで復元することで，物理空間での時間を数値積分し，CNN
Linear System Extracting
目的で提案したネットワーク構造がめとする研究室学生・卒業生、および共同研究者の皆さまに深本稿で紹介した一連の研究は科研費基盤
A（課題番号
18H03758）
本稿で紹介した一連の研究は科研費基盤
A（課題番号
18H03758）
発展予測を可能としている．
発展予測を可能としている．
Autoencoder(LEAE) [24] である．図 3にLEAEの 構 造 を 示
く感謝いたします．
および科研費基盤
S（課題番号
21H05007）の補助を受けたものでS（課題番号
21H05007）の補助を受けたもので
CNN-AE
SINDy
を用いた時間発展モデルの場合には，低次元 および科研費基盤
 CNN-AEとと
SINDy
を用いた時間発展モデルの場合には，低次元
す．時間発展はLinear Ordinary Difference Equation (LODE)ある．深見開君（現・UCLA博士研究員）をはじめとする研究室
博士研究員）をはじめとする研究室
ダイナミクスが常微分方程式で表されるため，状態方程式と評価 ある．深見開君（現・UCLA
ダイナミクスが常微分方程式で表されるため，状態方程式と評価
参考文献
layerと名付けた層で行っており，ここでは線形なシステム方程
学生
・
卒業生、
および共同研究者の皆さまに深く感謝いたします．
学生
・
卒業生、
および共同研究者の皆さまに深く感謝いたします．
関数に基づく現代制御理論を適用してフィードバック制御を設計
関数に基づく現代制御理論を適用してフィードバック制御を設計
式 dr/dt = Ar の数値積分を行っている． LEAEではこの制約[1] 深潟康二，“機械学習の乱流への応用”，日本機械学会誌，することが可能となってくる．ただし，SINDyを用いて得られる
することが可能となってくる．ただし，SINDyを用いて得られる
Vol. 124, No. 1232, pp. 10-13 (2021).
のもと，同時刻の場と次時刻の場を同時に再構築するよう，[2] Fukagata, K., “Reduced order modeling of ﬂuid ﬂows
CNN-AE の 重 みとシステム 行 列Aの 学 習 を 行う．同 様 に，using convolutional neural networks,” J. Fluid Sci.
円柱表面からの吹出し・吸込みなどの制御入力mを加えた
図2 CNN-AEを用いた2次元断面における速度場データから
CNN-AEを用いた
2 次元断面における速度場データから
22CNN-AEを用いた
3図
次元速度場の推定(M.2 次元断面における速度場データから
Matsuo,K. Fukami, T. Nakamura,の図の3 次元速度場の推定(M.
Matsuo,K.
Fukami,3 次元速度場の推定(M.
Matsuo,Fukami,T. T.
Nakamura,
M.M.
M.のMorimoto,and K. Fukagata,
SN K.
Comput.
Sci.
5,Nakamura,
306 (2024).

場 のデ ータを 用 いて制 御 行 列Bの 学 習 を 行うことにより，
dr/dt = Ar + Bm という形で制御を加えた状態方程式を得るこ[3]

Technol., Vol. 18, Paper JFST0002, (2023).
平邦彦，“固有直交分解による流体解析: 1. 基礎”，ながれ，CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
Vol. 30, pp. 115-123 (2011).
[4] LeCun, Y., Bottou, L., Bengio, Y. and Haffner,P., “Gradient-based learning applied to document
recognition,” Proc. IEEE, Vol. 86, pp. 2278-2324 (1998).
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Comput. Sci., Vol. 2, Paper 467 (2021).
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mode decomposition with convolutional neural networks
for ﬂuid dynamics,” J. Fluid Mech., Vol. 882, Paper A13(2020).
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reconstruction of turbulent ﬂows with machine learning,” J.
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106047 (2023).

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
顔 写 真
顔 写 真
カラー
カラー
314ｐｘ以上
314ｐｘ以上
顔● 24

深層ニューラルネッ
トワークによる都市街区微気象の超解像シミュレーション
深層ニューラルネットワークによる都市街区微深層ニューラルネットワークによる都市街区微気象の超解像シミュレーション

写真気象の超解像シミュレーション

大西 領、安田勇輝
カラー
領大
、学
安田学
勇術
輝国際情報センター
東大
京西工業
深
層
ニ
ュ
ー
ラ
ルネッ
トワーク安田る勇輝（右）
都市街区微気象の超解像シミュレーション
領（左）,314ｐｘ以上東京工業大学 学大西
術
国際
情報センに
タよー

東京工業大学 学術国際情報センター
eddy simulation)モデルとして実行される。MSSG の大気コンポーネ1. はじめに
大西 領、安田勇輝
eddy
simulation)モデルとして実行される。
MSSG の大気コンポーネ
1.
はじめに
１.
はじめに
LES(Large-eddy
simulation)モデルとして実行される。
MSSG
ントの力学過程は非静力学方程式系に基づく。
その支配方程式は、
都市街区スケールの即時的な熱・風況予測情報があれば、安全な
東京工業大学 学
術国際情報
セ
ン
ター
ントの力学過程は非静力学方程式系に基づく。
その支配方程式は、
都市街区スケールの即時的な熱・風況予測情報があれば、安全なの大気コンポーネントの力学過程は非静力学方程式系に基方程式、圧力方程式である。それらに加ドローン運航や熱中症リスクを抑えた人流誘導などの高度な情報
都市街区スケールの即時的な熱・風況予測情報があれば、安 連続の式、Navier-Stokes
連続の式、Navier-Stokes
方程式、圧力方程式である。それらに加ドローン運航や熱中症リスクを抑えた人流誘導などの高度な情報
Navier-Stokes 方程式、づく。
その支配方程式は、連続の式、
全なドローン運航や熱中症リスクを抑えた人流誘導などの高度
え、水物質の輸送方程式を含む各種物理過程（雲微物理過程、熱社会サービスが可能となる（図１）。このような都市街区の“微気eddy simulation)モデルとして実行される。MSSG の大気コンポーネ1. はじめにえ、水物質の輸送方程式を含む各種物理過程（雲微物理過程、熱社会サービスが可能となる（図１）。このような都市街区の“微気圧力方程式である。それらに加え、水物質の輸送方程式を含な情報社会サービスが可能となる（図１）。
このような都市街区
象（建物や社会活動の影響を強く受ける地表付近の気象現象）”の安全な放射過程など）の方程式も計算される。
ントの力学過程は非静力学方程式系に基づく。その支配方程式は、
都市街区スケールの即時的な熱・風況予測情報があれば、放射過程など）の方程式も計算される。
象（建物や社会活動の影響を強く受ける地表付近の気象現象）”のむ各種物理過程（雲微物理過程、
熱放射過程など）の方程式の“微気象（建物や社会活動の影響を強く受ける地表付近の気連続の式、Navier-Stokes
方程式、圧力方程式である。それらに加ドローン運航や熱中症リスクを抑えた人流誘導などの高度な情報
図３に、MSSGを用いて得られた東京駅近傍の気温の３次元分予測には、地形だけでなく、建物や人工排熱などの社会活動の影図３に、MSSGを用いて得られた東京駅近傍の気温の３次元分予測には、地形だけでなく、建物や人工排熱などの社会活動の影も計算される。
象現象）”の予測には、地形だけでなく、建物や人工排熱などの 布を示す。この図の右下円には、銀座通りに立った人の目線でのえ、水物質の輸送方程式を含む各種物理過程（雲微物理過程、熱社会サービスが可能となる（図１）。このような都市街区の“微気響を考慮するための、数メートルメッシュでの高解像度の熱・流布を示す。この図の右下円には、銀座通りに立った人の目線での響を考慮するための、数メートルメッシュでの高解像度の熱・流図３に、MSSGを用いて得られた東京駅近傍の気温の３次元
放射過程など）の方程式も計算される。
象（建物や社会活動の影響を強く受ける地表付近の気象現象）”の
社会活動の影響を考慮するための、数メートルメッシュでの高解
気温分布の可視化画像が示されている。ビルの日陰側（右側）に体解析が必要となる。このような微気象シミュレーションは計算
気温分布の可視化画像が示されている。ビルの日陰側（右側）に体解析が必要となる。このような微気象シミュレーションは計算分布を示す。
この図の右下円には、銀座通りに立った人の目線で
図３に、MSSGを用いて得られた東京駅近傍の気温の３次元分予測には、地形だけでなく、建物や人工排熱などの社会活動の影
像度の熱・流体解析が必要となる。
このような微気象シミュレー
比べ、日向側（左側）の気温が高い様子がわかる。たかだか３０m
負荷が非常に大きい。例えば、2km四方の領域を5m 解像度で、
比べ、
日向側
（左側）
の気温が高い様子がわかる。
たかだか３０m
負荷が非常に大きい。例えば、2km四方の領域を5m
解像度で、布を示す。この図の右下円には、銀座通りに立った人の目線でのの気温分布の可視化画像が示されている。
ビルの日陰側（右側）
響を考慮するための、数メートルメッシュでの高解像度の熱・流ションは計算負荷が非常に大きい。例えば、2km四方の領域をの幅しかない通りであっても、その両端で熱環境が大きく異なる
30 分先までを予測するのに、スパコンを使っても数時間かかる。
気温分布の可視化画像が示されている。ビルの日陰側（右側）に体解析が必要となる。このような微気象シミュレーションは計算
30 分先までを予測するのに、スパコンを使っても数時間かかる。
に比べ、日向側（左側）の気温が高い様子がわかる。たかだか
5m解像度で、30分先までを予測するのに、スパコンを使っても の幅しかない通りであっても、その両端で熱環境が大きく異なる
予測にかかる時間を1,000分の1 1程度に劇的に低減しないとリア
比べ、
日向側（左側）の気温が高い様子がわかる。
たかだか３０m
負荷が非常に大きい。例えば、2km四方の領域を 5m 解像度で、ことがわかる。同様に風況も大きく異なる。隣の街路で風況が大ことがわかる。同様に風況も大きく異なる。隣の街路で風況が大予測にかかる時間を1,000分の程度に劇的に低減しないとリアmの幅しかない通りであっても、その両端で熱環境が大きく
３０
数時間かかる。予測にかかる時間を1,000分の1程度に劇的に低きく異なるだけでなく、同じ街路であっても場所によって風向ま
ルタイムサービスを実現することはできない。
の幅しかない通りであっても、その両端で熱環境が大きく異なる
30
分先までを予測するのに、スパコンを使っても数時間かかる。
きく異なるだけでなく、同じ街路であっても場所によって風向ま
ルタイムサービスを実現することはできない。
異なることがわかる。同様に風況も大きく異なる。隣の街路で風減しないとリアルタイムサービスを実現することはできない。
でも大きく変わることもある。
近年、著者らの研究グループでは、深層学習を援用した
AI
シミ
ことがわかる。同様に風況も大きく異なる。隣の街路で風況が大予測にかかる時間を 1,000 分の 1 程度に劇的に低減しないとリアでも大きく変わることもある。
近年、著者らの研究グループでは、深層学習を援用した
AI
シミ
況が大きく異なるだけでなく、同じ街路であっても場所によって近年、著者らの研究グループでは、深層学習を援用したAIシ
きく異なるだけでなく、同じ街路であっても場所によって風向ま
ルタイムサービスを実現することはできない。
ュレーション技術を開発し、街区微気象つまり街区熱環境に関すュレーション技術を開発し、街区微気象つまり街区熱環境に関す
風向までも大きく変わることもある。
ミュレーション技術を開発し、街区微気象つまり街区熱環境にでも大きく変わることもある。
近年、著者らの研究グループでは、深層学習を援用した AI シミ
る高解像度予測情報をリアルタイムに取得することを可能にした。
る高解像度予測情報をリアルタイムに取得することを可能にした。
関する高解像度予測情報をリアルタイムに取得することを可能ュレーション技術を開発し、街区微気象つまり街区熱環境に関す
具体的には、超解像と呼ばれる低解像度画像から高解像度画像を
具体的には、超解像と呼ばれる低解像度画像から高解像度画像をにした。
具体的には、超解像と呼ばれる低解像度画像から高解る高解像度予測情報をリアルタイムに取得することを可能にした。
作成する技術を活用した超解像シミュレーション法を開発した[1]。
作成する技術を活用した超解像シミュレーション法を開発した[1]。
像度画像を作成する技術を活用した超解像シミュレーション法
具体的には、超解像と呼ばれる低解像度画像から高解像度画像を
本稿では、この手法に基づいた街区熱環境の高解像度予測情報創
本稿では、この手法に基づいた街区熱環境の高解像度予測情報創[1]。本稿では、この手法に基づいた街区熱環境の高を開発した作成する技術を活用した超解像シミュレーション法を開発した[1]。
出に関する当研究グループの取り組みを紹介する。
出に関する当研究グループの取り組みを紹介する。
解像度予測情報創出に関する当研究グループの取り組みを紹
本稿では、この手法に基づいた街区熱環境の高解像度予測情報創出に関する当研究グループの取り組みを紹介する。
介する。

街区微気象シミュレーション
2. 2.
街区微気象シミュレーション
2. 2.街区微気象シミュレーション
街区微気象シミュレーション
Multi-Scale
Simulator
Geoenvironment(MSSG)
2.12.1
Multi-Scale
Simulator
forforthetheGeoenvironment(MSSG)
2.1
Multi-Scale
Simulatorforthe
Geoenvironment(MSSG)(MSSG)
2.1
Multi-Scale
Simulatorforthe
Geoenvironment
早稲田大学、海洋研究開発機構、東京工業大学が中心となって早稲田大学、海洋研究開発機構、東京工業大学が中心となって早稲田大学、海洋研究開発機構、東京工業大学が中心となって
Multi-Scale
Simulator
the
Geoenvironment(MSSG)(MSSG)[2-4]と呼ばれる早稲田大学、
東京工業大学が中心となっMulti-Scale
Simulator
forforthe海洋研究開発機構、
Geoenvironment[2-4]と呼ばれる
Multi-Scale Simulator for the Geoenvironment (MSSG) [2-4]と呼ばれる
マルチスケール大気海洋結合モデルの開発が進められている。図てMulti-Scale Simulator for the Geoenvironment (MSSG) [2-4]マルチスケール大気海洋結合モデルの開発が進められている。図マルチスケール大気海洋結合モデルの開発が進められている。図２に示すように、MSSG
は全球（グローバル），領域（メソ）、おと呼ばれるマルチスケール大気海洋結合モデルの開発が進め２に示すように、MSSG
は全球（グローバル），領域（メソ）、お
２に示すように、MSSG
は全球（グローバル），領域（メソ）、および都市（マイクロ）スケールの大気海洋シミュレーションをシ，領域られている。
図２に示すように、MSSGは全球（グローバル）
よび都市（マイクロ）スケールの大気海洋シミュレーションをシよび都市（マイクロ）スケールの大気海洋シミュレーションをシームレスに実行できる。都市街区スケールを対象としたシミュレ（メソ）、および都市（マイクロ）スケールの大気海洋シミュレー
ームレスに実行できる。都市街区スケールを対象としたシミュレ
ームレスに実行できる。都市街区スケールを対象としたシミュレーションの際には、境界層モデルを用いず、いわゆるLES(Largeションをシームレスに実行できる。
都市街区スケールを対象としーションの際には、境界層モデルを用いず、いわゆるLES(Largeーションの際には、境界層モデルを用いず、いわゆるLES(Large-

図２：
Multi-Scale
Simulator
for the Geoenvironment(MSSG)
図２
Simulatorfor
図２：： Multi-Scale
Multi-Scale
Simulator
for thetheGeoenvironment
Geoenvironment
図２：Multi-Scale
Simulatorforthe
Geoenvironmentが対象とする待機現象のスケール一覧。MSSGは全地球スケー(MSSG)が対象とする待機現象のスケール一覧。MSSG は全(MSSG)が対象とする待機現象のスケール一覧。MSSG
は全(MSSG)が対象とする待機現象のスケール一覧。MSSG
は全
ルから都市街区の微気象までを扱うことができる。
地球スケールから都市街区の微気象までを扱うことができ
地球スケールから都市街区の微気象までを扱うことができ
地球スケールから都市街区の微気象までを扱うことができ

る。
る。
る。

たシミュレーションの際には、境界層モデルを用いず、いわゆる

図３：MSSG を用いた微気象シミュレーション結果例。2015
図３：MSSGを用いた微気象シミュレーション結果例。2015
2015
図３：
年MSSG
8 月 7を用いた微気象シミュレーション結果例。
日 14:30 の東京駅付近の気温分布の３次元可視化画
図３：MSSGを用いた微気象シミュレーション結果例。2015
年88月日 14:30の東京駅付近の気温分布の３次元可視化画
年
月像。MSSG
7日714:30の東京駅付近の気温分布の３次元可視化画を用いた都市街区の熱環境シミュレーションによ

年
8MSSG
月7日
14:30 の東京駅付近の気温分布の３次元可視化画を用いた都市街区の熱環境シミュレーションにより像。
像。MSSGを用いた都市街区の熱環境シミュレーションにより得られた動画は日本科学未来館のyoutubeチャンネルから視図１：微気象予測情報を活用した未来社会サービス
図１：微気象予測情報を活用した未来社会サービス

図１：微気象予測情報を活用した未来社会サービス
図１：微気象予測情報を活用した未来社会サービス

像。MSSGを用いた都市街区の熱環境シミュレーションによyoutubeチャンネルから視得られた動画は日本科学未来館のり得られた動画は日本科学未来館のyoutubeチャンネルから視聴できる[5]．
[5]．
聴できるり得られた動画は日本科学未来館のyoutubeチャンネルから視聴できる[5]．
聴できる[5]．

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 25

⾼解像度(HR)シミュ
レーション

⾼解像度(HR)シミュ
⾼解像度(HR)シミュ
レーション
レーション
超解像シミュレーションシステム

深層学習

超解像シミュレーションシステム
低解像度(LR)
超解像シミュレーションシステム

深層学習
深層学習

シミュレーション

低解像度(LR)
低解像度(LR)予測結果
低解像度(LR)
シミュレーション
シミュレーション

⾼解像度(HR)結果

⾼解像度(HR)結果
⾼解像度(HR)結果

⾼解像度(HR)予測情報

低解像度(LR)予測結果

⾼解像度(HR)予測情報
図４：超解像シミュレーションシステム。高解像度（high低解像度(LR)予測結果
⾼解像度(HR)予測情報

resolution,HR）計算結果を用いて深層学習させておいた超図４：超解像シミュレーションシステム。
高解像度（ high図４：超解像シミュレーションシステム。高解像度（high図４：超解像シミュレーションシステム。高解像度（high解像resolution,
（SR）
器に、
低解像度
（low-resolution,LR）計算結果を）計算結果を用いて深層学習させておいた超resolution,HRHR）計算結果を用いて深層学習させておいた超resolution, HR）計算結果を用いて深層学習させておいた超渡し、HR予測結果を超高速に生成する。
SR
）器に、
低解像度
（ low-resolution,
LRLR））計算結果を
解像
（（SR）
解像
器に、
低解像度
（low-resolution,
計算結果を
解像渡し、
（SR）
器に、
低解像度
（low-resolution,
LR）
計算結果を
HR予測結果を超高速に生成する。
渡し、HR 予測結果を超高速に生成する。
予測結果を超高速に生成する。
3 渡し、HR
超解像シミュレーション法による街区微気象のリアル

図５：気象―微気象連結シミュレーションによる微気象シミュレーション。建物を考慮しない気象シミュレーション（左図５：気象―微気象連結シミュレーションによる微気象シミ
図５：気象―微気象連結シミュレーションによる微気象シミュ
図５：気象―微気象連結シミュレーションによる微気象シミ側）の結果を微気象シミュレーション（右側）の初期値およュレーション。建物を考慮しない気象シミュレーション（左レーション。
建物を考慮しない気象シミュレーション（左側）のュレーション。建物を考慮しない気象シミュレーション（左び境界値に用いる。
結果を微気象シミュレーション（右側）の初期値および境界値側）の結果を微気象シミュレーション（右側）の初期値およ側）の結果を微気象シミュレーション（右側）の初期値およに用いる。
び境界値に用いる。
び境界値に用いる。
SR
20m解像度

5m解像度

[℃]
SR
SR
20m解像度
5m解像度
20m解像度
5m解像度
[℃]
[℃]

3. 超 解 像シミュレ ーション法 による街 区 微 気 象 のリアル
タイム予測
3
超解像シミュレーション法による街区微気象のリアル
3
超解像シミュレーション法による街区微気象のリアル
タイム予
測
3.1 超解像シミュレーション法
タイム予測
タイム予測
数メートル解像度での微気象シミュレーションには、スーパコ
3.1 超解 像シミュレーション法
3.1 超解像シミュレーション法
3.1
超解像シミュレーション法
ンピュータを使った膨大な計算が必要である。実際の社会サービ
数メートル解像度での微気象シミュレーションには、スーパコ
数メートル解像度での微気象シミュレーションには、スーパコ
数メートル解像度での微気象シミュレーションには、スーパコ
スへの適用を考える際には、計算量の軽減、計算時間の削減が必
ンピュータを使った膨大な計算が必要である。実際の社会サー
ンピュータを使った膨大な計算が必要である。実際の社会サービ
ンピュータを使った膨大な計算が必要である。実際の社会サービ要となる。
近年、著者らのグループでは深層学習を活用した
AI 融
ビスへの適用を考える際には、計算量の軽減、計算時間の削減
スへの適用を考える際には、計算量の軽減、計算時間の削減が必スへの適用を考える際には、計算量の軽減、計算時間の削減が必合シミュレーションによる計算時間の劇的な削減に成功した。具が必要となる。
近年、
著者らのグループでは深層学習を活用した
要となる。
近年、
著者らのグループでは深層学習を活用した
300 x 300 m
[m/s]
要となる。
近年、
著者らのグループでは深層学習を活用した
AI 融AI 融
体的には、図４に図解する、深層ニューラルネットワークを用いAI
融合シミュレーションによる計算時間の劇的な削減に成功し合シミュレーションによる計算時間の劇的な削減に成功した。具合シミュレーションによる計算時間の劇的な削減に成功した。具た超解像（SuperResolution,SR）技術[6]を活用した超解像シミュレ
10m高度断図６：３次元超解像の結果例。
上段が地上から約10mた。
具体的には、
図４に図解する、
深層ニューラルネットワーク
図６：３次元超解像の結果例。
上段が地上から約
高度断300 m
x 300 m体的には、図４に図解する、深層ニューラルネットワークを用い
300 x 300[m/s] [m/s]体的には、図４に図解する、深層ニューラルネットワークを用いーション法を開発した。
なお、
超解像とは，
低解像度（lowresolution,
面における気温分布、下段が同高度断面における南北風の分を用いた超解像（ Super Resolution, SR）技術[6]を活用した超た超解像（SuperResolution,SR）技術[6]を活用した超解像シミュレ 面における気温分布、下段が同高度断面における南北風の分た超解像（SuperResolution,
SR）
技術[6]を活用した超解像シミュレ
図６：３次元超解像の結果例。
上段が地上から約10m 高度断LR）画像から高解像度（highresolution,HR）画像を生成する技術と比べて低解像度
（中、
20m
布を示す。
真値（左、5m解像度）
図６：３次元超解像の結果例。
上段が地上から約10m 高度断
解像シミュレーション法を開発した。
なお、超解像とは，低解像度
布を示す。
真値
（左、
5m
解像度）
と比べて低解像度（中、20m
ーション法を開発した。
なお、
超解像とは，
低解像度（lowresolution,ーション法を開発した。なお、超解像とは，低解像度（low resolution,である。
面における気温分布、下段が同高度断面における南北風の分
解像度）の結果は街路を解像できない。一方、丸印で示される（ low resolution, LR）画像から高解像度（ high resolution, HR）
面における気温分布、下段が同高度断面における南北風の分
LR）画像から高解像度（highresolution,HR）画像を生成する技術 解像度）の結果は街路を解像できない。一方、丸印で示されLR）画像から高解像度（highresolution,HR）画像を生成する技術
超解像器を学習させるには、大量の学習データセットと多大な
5m解像度）
解像度）
は街路を解像できるだけで箇所超解像結果
（右、
布を示す。
真値（左、
5m 解像度）と比べて低解像度
画像を生成する技術である。
布を示す。
真値（左、
5m
と比べて低解像度（中、（中、
20m 20mである。
る箇所超解像結果（右、5m 解像度）は街路を解像できるだけである。
学習時間が必要となる。
しかし、学習済み超解像器を用いてLR
結なく、街路内の細かい分布状態まで真値に近い結果を示す。
超解像器を学習させるには、大量の学習データセットと多大解像度）の結果は街路を解像できない。一方、丸印で示され解像度）の結果は街路を解像できない。一方、丸印で示され超解像器を学習させるには、大量の学習データセットと多大な超解像器を学習させるには、大量の学習データセットと多大なでなく、街路内の細かい分布状態まで真値に近い結果を示す。
果をHR
情報に補間する推論は非常に短時間で実行される。このな学習時間が必要となる。
しかし、学習済み超解像器を用いてる箇所超解像結果（右、5m 解像度）は街路を解像できるだける箇所超解像結果（右、5m 解像度）は街路を解像できるだけ学習時間が必要となる。
しかし、学習済み超解像器を用いてLR
結学習時間が必要となる。
しかし、学習済み超解像器を用いてことを利用して、リアルタイム性を確保する。実際、HR
を LR
5m 結
解
LR結果をHR情報に補間する推論は非常に短時間で実行され物理法則を学習させず、画像のみを学習させたものはイメー
でなく、街路内の細かい分布状態まで真値に近い結果を示す。
果をHR
情報に補間する推論は非常に短時間で実行される。このでなく、街路内の細かい分布状態まで真値に近い結果を示す。
果をHR 情報に補間する推論は非常に短時間で実行される。この
像度、LR
を 20m
解像度とした場合、2km
四方の街区に対する
30を
る。
このこ
とを利用して、
リアルタイム性を確保する。
実際、HR0の超解像に分類される。
ジ超解像と呼ばれ、物理考慮レベル
物理法則を学習させず、画像のみを学習させたものはイメージことを利用して、リアルタイム性を確保する。実際、HRことを利用して、リアルタイム性を確保する。実際、HR
を分程度
5mを
解5m 解
分先までの
HR 予測結果をリアルタイムに更新できる（15m解像度、LRを20m解像度とした場合、2km四方の街区に対す
Onishi et al. (2019)[1]はイメージ超解像であった。
続いて、物理超解像と呼ばれ、
物理考慮レベル0 の超解像に分類される。
Onishi像度、LRを 20m
解像度とした場合、2km
四方の街区に対する
像度、LR
を 20m
解像度とした場合、2km
四方の街区に対する
30 30
で更新できる）。
物理法則を学習させず、画像のみを学習させたものはイメージ
HR予測結果をリアルタイムに更新できる（ 1分
る30分先までの物理法則を学習させず、画像のみを学習させたものはイメージ
1の超解像器を開発した[8]。
さらに、２次元マップを
考慮レベル
et
al.
(2019)[1]はイメージ超解像であった。続いて、物理考慮レベ
分先までのHR 予測結果をリアルタイムに更新できる（1
分程度
分先までの
HR 予測結果をリアルタイムに更新できる（1分程度
超解像と呼ばれ、
物理考慮レベル0 の超解像に分類される。
程度で更新できる）。
超解像と呼ばれ、
物理考慮レベル0 の超解像に分類される。
OnishiOnishi
ル対象とする超解像から３次元空間を対象とする超解像に発展さ
1 の超解像器を開発した[8]。さらに、２次元マップを対象とすで更新できる）で更新できる）。 。
3.2 物理超解像
et[9]
al.。
(2019)[1]はイメージ超解像であった。続いて、物理考慮レベ
etal. (2019)[1]はイメージ超解像であった。続いて、物理考慮レベ
そこでは、
質量保存則を損失関数に導入した物理考慮せたる超解像から３次元空間を対象とする超解像に発展させた[9]。そ3.2 物 理 超 解 像
深層学習を用いた超解像は、我々が世界に先駆けて都市街区のル
1の超解像器を開発した[8]。さらに、２次元マップを対象とす
ル
1 の超解像器を開発した[8]。さらに、２次元マップを対象とす
レベル２の超解像を開発した。
こでは、質量保存則を損失関数に導入した物理考慮レベル２の超
3.2 物理超解像
3.2
物理超解像
深層学習を用いた超解像は、我々が世界に先駆けて都市街
微気象現象に適用したのを初めとして、現在では、流体現象や宇る超解像から３次元空間を対象とする超解像に発展させた[9]。そる超解像から３次元空間を対象とする超解像に発展させた[9]。そ
図５に、教師データを作成するためのMSSGシミュレーション
解像を開発した。
深層学習を用いた超解像は、我々が世界に先駆けて都市街区の深層学習を用いた超解像は、我々が世界に先駆けて都市街区の区の微気象現象に適用したのを初めとして、現在では、流体現象
宙物理などのさまざまな分野で盛んに用いられている（例えば、
こでは、質量保存則を損失関数に導入した物理考慮レベル２の超こでは、質量保存則を損失関数に導入した物理考慮レベル２の超
4,000セットをの設定を概説する。
このシミュレーションにより、
図５に、教師データを作成するためのMSSG シミュレーション
微気象現象に適用したのを初めとして、現在では、流体現象や宇微気象現象に適用したのを初めとして、現在では、流体現象や宇や宇宙物理などのさまざまな分野で盛んに用いられている
（例
[7]）
。
特に、
著者らは深層ニューラルネットワークに物理を学習さ解像を開発した。
解像を開発した。
超える大量のデータセッ
トを構築した。
図６に、その教師データの設定を概説する。このシミュレーションにより、4,000 セットを宙物理などのさまざまな分野で盛んに用いられている（例えば、
宙物理などのさまざまな分野で盛んに用いられている（例えば、トワークに物理をえば、[7]）。特に、著者らは深層ニューラルネッ
せることに焦点を当て、基礎学術研究を進展させてきた。
Onishi et
図５に、教師データを作成するためのシミュレーション
図５に、教師データを作成するためのMSSGMSSG
シミュレーションを用いて学習させた深層ニューラルネットワークによる３次元超える大量のデータセットを構築した。図６に、その教師データ
[7]）
。特に、
著者らは深層ニューラルネットワークに物理を学習さ
[7]）
。
特に、
著者らは深層ニューラルネットワークに物理を学習さ学習させることに焦点を当て、基礎学術研究を進展させてきた。
al. (2019)[1]では、超解像の物理考慮レベルを下のようにレベル0～の設定を概説する。
このシミュレーションにより、4,000 セットを超解像の例を示す。
街路内の詳細な気象変数の分布形状までをの設定を概説する。
このシミュレーションにより、4,000 セットをを用いて学習させた深層ニューラルネットワークによる３次元超せることに焦点を当て、基礎学術研究を進展させてきた。
せることに焦点を当て、基礎学術研究を進展させてきた。
OnishiOnishi
et etOnishi et al. (2019)[1]
では、超解像の物理考慮レベルを下のよ
3 まで定義した。
超える大量のデータセットを構築した。図６に、その教師データ再現できることがわかる。
超える大量のデータセットを構築した。図６に、その教師データ解像の例を示す。街路内の詳細な気象変数の分布形状までを再現
al.うにレベル(2019)[1]では、al. (2019)[1]では、超解像の物理考慮レベルを下のようにレベル0～ 0～
0 〜 超解像の物理考慮レベルを下のようにレベル3まで定義した。
を用いて学習させた深層ニューラルネットワークによる３次元超また、物理考慮レベル３として、
回転対称性を有するニューラ
を用いて学習させた深層ニューラルネットワークによる３次元超できることがわかる。
3 まで定義した。
3超解像器の物理考慮レベルまで定義した。
[10]。
また、空間のルネッ
トワークを用いた超解像器を開発した
解像の例を示す。街路内の詳細な気象変数の分布形状までを再現
解像の例を示す。街路内の詳細な気象変数の分布形状までを再現
また、
物理考慮レベル３として、
回転対称性を有するニューラル
Level 0: Image SR method
超解像だけでなく、時間と空間を同時に超解像する深層ニューできることがわかる。
できることがわかる。
ネットワークを用いた超解像器を開発した[10]。また、直近では、超解像器の物理考慮レベル
超解像器の物理考慮レベル
超解像器の物理考慮レベル
Level
1: Physics SR that utilizes supplemental HR information
ラルネッ
トワークの開発にも取り組み、
さらには超解像とデータ
また、
物理考慮レベル３として、
回転対称性を有するニューラル
また、
物理考慮レベル３として、
回転対称性を有するニューラル
空間の超解像だけでなく、時間と空間を同時に超解像する深層ニLevel 0: Image SR method
LevelLevel
0: Physics
Image
SR
0: Image
SR method2:
SRmethodthatutilizes statistical theory for mapping between LR
同化を同時に行う時空間同時・超解像データ同化法の開発に
ネットワークを用いた超解像器を開発した[10]。また、直近では、ネットワークを用いた超解像器を開発した[10]。また、直近では、ューラルネットワークの開発にも取り組み、さらには超解像とデLevel 1: Physics SR that utilizes supplemental HR information
LevelLevel
1: andPhysicsSR
that
supplemental
HR information
1:HR
Physics
SRutilizes
that utilizes
supplemental
HR information
images[11]。
成功した
空間の超解像だけでなく、時間と空間を同時に超解像する深層ニ
空間の超解像だけでなく、時間と空間を同時に超解像する深層ニータ同化を同時に行う時空間同時・超解像データ同化法の開発にLevel 2: Physics SR that utilizes statistical theory for mapping
LevelLevel
2:
SR thatstatisticaltheorytheory
forequations
mapping
betweenLR LR
2: Physics
SRutilizes
that utilizes
statisticalfor mapping
between3: Physics
directlyutilizes
governing
直近では、物理考慮レベル２の超解像器に関して、生成モデューラルネットワークの開発にも取り組み、さらには超解像とデューラルネットワークの開発にも取り組み、さらには超解像とデ成功した[11]。
between LR and HR images
and HR
andimages
HR images
ルの一種である拡散モデルを用いた深層ニューラルネッ
トワー
ータ同化を同時に行う時空間同時・超解像データ同化法の開発にータ同化を同時に行う時空間同時・超解像データ同化法の開発に
直近では、物理考慮レベル２の超解像器に関して、生成モデルのLevel 3: Physics SR that directly utilizes governing equations
LevelLevel
3: Physics
SR thatutilizes
governing
equations
3: Physics
SRdirectlythat directly
utilizes
governing
equations
や、建物を考慮しない
100m
解像度の気象スケール情報
ク[12]
成功した[11]。
成功した[11]。

直近では、物理考慮レベル２の超解像器に関して、生成モデルの直近では、物理考慮レベル２の超解像器に関して、生成モデルのCMD Newsletter No. 71 (June., 2024)

● 26

参考文献
[1] R. Onishi, D. Sugiyama and K. Matsuda, Super-Resolution Simulation[1] R. Onishi, D. Sugiyama and K. Matsuda, Superfor Real-Time Prediction of Urban Micrometeorology”, SOLA, 15 (2019)
Resolution Simulation for Real-Time Prediction of Urban
178-182.
Micrometeorology”, SOLA, 15 (2019) 178-182.
[2] K. Takahashi, R. Onishi, Y. Baba, S. Kida, K. Matsuda, K. Goto and H.
[2] K. Takahashi, R. Onishi, Y. Baba, S. Kida, K. Matsuda, K.
Fuchigami, Challenge toward the prediction of typhoon behaviour and
Goto and H. Fuchigami, Challenge toward the prediction
down pour, J. Phys.: Conf. Ser., 454 (2013) 012072.
of typhoon behaviour and down pour, J. Phys.: Conf. Ser.,[3] R. Onishi and K. Takahashi, A Warm-Bin–Cold-Bulk Hybrid Cloud
454 (2013) 012072.
Microphysical Model, Journal of the Atmospheric Sciences, 69 (2012)[3] R. Onishi and K. Takahashi, A Warm-Bin–Cold-Bulk
1474-1497
Hybrid Cloud Microphysical Model, Journal of the[4] K. Matsuda, R. Onishi and K. Takahashi, Tree-crown-resolving largeAtmospheric Sciences, 69 (2012) 1474-1497
eddy simulation coupled with three-dimensional radiative transfer model,[4] K. Matsuda, R. Onishi and K. Takahashi, Tree-crownJ. Wind Eng. Indust. Aerodyn. 173 (2018) 53-66.
resolving large-eddy simulation coupled with three[5] MiraikanChannel, 東 京 ヒ ー ト ア イ ラ ン ド :dimensional radiative transfer model, J. Wind Eng. Indust.
youtu.be/EMm9La3riNA
Aerodyn. 173 (2018) 53-66.
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EMm9La3riNA
Vision, 184-199 (2014).
[6] C. Dong, C.C. Loy, K. He and X. Tang, Learning a deep
[7] K. Fukami, K. Fukagata and K. Taira, Super-resolution reconstruction
convolutional network for image super-resolution, Inof turbulent
flowswith machine
J. Fluid
Mech.,
870, 106-120
EuropeanConference
on learning,
Computer
Vision,184-199(2019)(2014).
[8]
Y.
R. Onishi,
Y. Hirokawa,
Kolomenskiy
and D. Sugiyama,[7] K.Yasuda,
Fukami,K. Fukagata
and K.D.Taira,Super-resolution
Super-Resolutionof
Near-Surface
Temperature
Utilizingreconstruction of turbulent ﬂows with machine learning, J.PhysicalQuantities
for Real-Time
Predictionof Urban Micrometeorology, Building
Fluid Mech.,
870, 106-120(2019)
andEnvironment,
209,108597(2022).
[8] Y. Yasuda, R. Onishi, Y. Hirokawa, D. Kolomenskiy and D.
[9] Y.
Yasuda, and
R. Onishi, Rotationally
EquivariantTemperature
Super-Resolution of
Sugiyama,
Super-Resolutionof Near-Surface
Velocity
Fieldsin
Two-Dimensional
Flows
Using
Convolutional
Utilizing Physical Quantities for Real-Time Prediction of Neural
Networks,
Machine Learning,
1, 026107(2023)
Urban APL
Micrometeorology,
Building
and Environment,
209,[10]Y.
Yasuda,R.
OnishiandK.
Matsuda,"Super-resolutionof three108597 (2022).
and Rotationallyvelocity forEquivariant
building-resolving[9]dimensional
Y. Yasuda,temperature
and R. Onishi,
Super- urban
micrometeorology
usingphysics-guided
convolutional
neuralResolution of Velocity Fields in Two-Dimensional Flowsnetworks
withUsingimageConvolutional
inpainting techniques,"
Building and
Neural Networks,
APLEnvironment,
Machine 243,
110613(2023)1, 026107 (2023)
Learning,[11]
Y.
Yasudaand
R. Onishi,
Super-Resolution[10] Y. Yasuda, R.
Onishiand K.Spatio-Temporal
Matsuda, "Super-resolutionof Data
Assimilation(SRDA) Utilizing
Deep
Networks
with Domain
three-dimensionaltemperature
andNeural
velocity
for buildingGeneralization,
JournalofAdvancesinModeling
Earth
Systems,
resolving urban micrometeorology using physics-guided 15, 11,e2023MS003658(2023)
convolutional
neural networks with image inpainting[12]techniques,"
宮下和也, 安田勇輝,
深層生成モデル（拡散モデル）
Building 大西領,
and Environment,
243, 110613
による順圧ジェット流れの超解像,
第 37 回数値流体力学シンポジ(2023)
ウム,[11]
Y. 名古屋,Yasuda(2013)
and R. Onishi, Spatio-Temporal Super[13]Resolution
小野寺孔明,
安田勇輝,
大西領,
気象予測情報の都市街路ス
Data
Assimilation(SRDA)
Utilizing Deep
ケールへの深層超解像,
第Domain
37 回数値流体力学シンポジウム,
Neural Networks with
Generalization, Journal 名古屋, (2013)
of Advances in Modeling Earth Systems, 15, 11,
参考文献

低解像度⼊⼒（100m 解像度気象）

超解像結果（5m解像度）

図７：100m解像度の建物を考慮しない気象シミュレーション

図７：100m
解像度の建物を考慮した微気象予測情報への結果から、5m解像度の建物を考慮しない気象シミュレーショ

ン結果から、5m
解像度の建物を考慮した微気象予測情報へ
2019 年 8 月 15日 14 時 21 分を対象
３次元超解像結果例。

の３次元超解像結果例。
2019 年 8 月 15 日 14 時 21 分をとした3次元気温分布が示されている。
対象とした 3 次元気温分布温度が示されている。

を、建物を考慮する5m 解像度の微気象スケールに一気に３次元超解像する深層ニューラルネットワークの開発に成功し一種である拡散モデルを用いた深層ニューラルネットワーク[12]た[13] 。図７に、建物を考慮しない気象シミュレーション結果
や、建物を考慮しない 100m 解像度の気象スケール情報を、建物から、建物を考慮した微気象予測情報へ超解像した結果をを考慮する 5m 解像度の微気象スケールに一気に３次元超解像す示す。緩やかな分布変化しか持たない情報から、街区や建物る深層ニューラルネットワークの開発に成功した[13]。
図７に、建の影響で小スケールの分布が形成される様子が見られる。こ物を考慮しない気象シミュレーション結果から、建物を考慮した
れは微気象シミュレーション結果と整合的であることが確認
微気象予測情報へ超解像した結果を示す。緩やかな分布勾配しかされた。
持たない情報から、街区や建物の影響で小スケールの分布が形成
4. おわりにされる様子が見られる。これは微気象シミュレーション結果と整合的であることが確認された。
街区微気象シミュレーションの計算コストは甚大であり、シミュレーション科学の力だけに頼っていたのでは、そのリアル

4. おわりに
タイム予測の実現には長い年月がかかる。データ科学の力を
街区微気象シミュレーションの計算コストは甚大であり、シミ利用すれば、そのボトルネックを解消できる。著者らは、デーュレーション科学の力だけに頼っていたのでは、そのリアルタイ
タ科 学とシミュレ ーション科 学の融 合 技 術である超 解 像シ
ム予測の実現には長い年月がかかる。データ科学の力を利用すれミュレーション法を開発し、それを用いた街区微気象のリア
ば、そのボトルネックを解消できる。著者らは、データ科学とシルタイム予測に取り組んでいる。
これまでに、深層ニューラル
ミュレーション科学の融合技術である超解像シミュレーション法
ネットワークに物理を学習させ、時間と空間を同時に、かつ、
データ同化までを同時に行う時空間同時・超解像データ同を開発し、それを用いた街区微気象のリアルタイム予測に取り組化法の開発に成功している。
んでいる。これまでに、深層ニューラルネットワークに物理を学
深層ニューラルネットワークを用いた超解像は単なる補間習させ、時間と空間を同時に、かつ、データ同化までを同時に行ではない。代数的な補間では、複数の物理量、マルチスケー
う時空間同時・超解像データ同化法の開発に成功している。
ル性、対称性を考慮できない。
しかし、深層ニューラルネット
深層ニューラルネットワークを用いた超解像は単なる補間ではワークは高次元空間においてデータ間の関係性を見出すこない。
代数的な補間では、複数の物理量、マルチスケール性、対称とができる。見出された関係性を人間が理解するのは難しい性を考慮できない。しかし、深層ニューラルネットワークは高次という問題は残るが、例えば、微気象予測というサービスを元空間においてデータ間の関係性を見出すことができる。見出さ実現する点ではそれは必須ではない。つまり、データ科学をれた関係性を人間が理解するのは難しいという問題は残るが、例
利用することで、サービスオリエンテッドな予測技術を実現
えば、微気象予測というサービスを実現する点ではそれは必須でできる。
はない。つまり、データ科学を利用することで、サービスオリエ
ンテッドな予測技術を実現できる。
謝辞

大規模数値シミュレーションは海洋研究開発機構の地球謝辞
シミュレ ータを 用 いて行 わ れ(project ID: 1-23007)、機 械 学
大規模数値シミュレーションは海洋研究開発機構の地球シミュ
習は地球シミュレータおよび東京工業大学のTSUBAME3.0
レータを用いて行われ(project ID: 1-23007)、機械学習は地球シミュ
を用いて行われた。この成果の一部は、国立研究開発法人新
レータおよび東京工業大学の TSUBAME3.0 を用いて行われた。こエネルギー・産業技術総合開発機構（ＮＥＤＯ）の委託業務の成果の一部は、国⽴研究開発法⼈新エネルギー・産業技術総合（ JPNP22002）の結果得られたものです。最後に、執筆の機会を開発機構（ＮＥＤＯ）の委託業務（JPNP22002）の結果得られたも与えてくださった編集委員会に感謝いたします。
のです。最後に、執筆の機会を与えてくださった編集委員会に感謝いたします。

e2023MS003658 (2023)[12] 宮下和也, 安田勇輝, 大西領, 深層生成モデル（拡散モデル）による順圧ジェット流れの超解像, 第37回数値流体力
学シンポジウム, 名古屋, (2013)[13] 小野寺孔明, 安田勇輝, 大西領, 気象予測情報の都市街路
スケールへの深層超解像, 第37回数値流体力学シンポジ
ウム, 名古屋, (2013)

顔

写

真

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
カラー
顔 写 真
顔 写 真
314ｐｘ以上
カラー
カラー
314ｐｘ以上
314ｐｘ以上

円管内脈動乱流における乱流統計量の予測精度向上を目的とした深層学習による時間発展予測
円管内脈動乱流における乱流統計量の予測精度向上を目的とした
円管内脈動乱流における乱流統計量の予測精度向上を目的
仁村 友洋
東
京
農
工
大
学
工け
学る
研乱
究流
院統計
先量
端の
機予
械測
シ精
ス度
テム部門 (写真)
円管内脈動乱流に深
お
層学
習に
よる時
間発
展予
測向上を目的とした
熊澤 創太 東京農工大学大深
学層
院学工
学
府
機時
械間
シ発
ス展
テ予
ム測
工学専攻
習究
に院
よる
とした深層学習による時間発展予測
仁村 友洋 東京農工大学 工
学研
先端
機械
シス
テム部門 (写真)
村
田
章
東
京
農
工
大
学
工
学
研
究
院
先
端
機
械
シ
ス
テ
ム部
門 (写真)
仁
村
友
洋
東
京
農
工
大
学
工
学
研
究
院
先
端
機
械
シ
ス
熊澤 創太 東京農工大学大学院 工学府 機械システムテ
工ム
学部
専門
攻
岩
本
薫 太
東
究学
院先端機械システム部門
先仁村友洋
東京農工大学
工学研究院
(門
写真
熊
東京
京農
農工
工大
大学
学
大工
学学
院研
機端
械機
シ械
スシ
テス
ムテ
工ム
学部
専
攻 )
村澤
田 創
章
東
京
農
工
大
学
工
学
研工
究院府 先
端
機
械
シ
ス
テ
ム
部
門
熊澤村創太
東京農工大学大学院
工学府
機械システム工学専攻
田
章
東
農
研
機
本, 岩本
薫 薫
東京
京東京農工大学
農工
工大
大学
学 工
工学
学工学研究院
研究
究院
院 先
先端
端
機械
械シ
シス
ステ
テム
ム部
部門
門
村田岩章
先端機械システム部門
岩本 薫
東京農工大学 工学研究院 先端機械システム部門

1.
1. はじめにはじめに
石油や天然ガスなどを輸送するパイプラインでは，乱流摩擦抵
1.石油や天然ガスなどを輸送するパイプラインでは，乱流摩はじめに抗によるエネルギー損失が問題となっている．摩擦抵抗低減手法
1.石油や天然ガスなどを輸送するパイプラインでは，乱流摩擦抵
はじめに擦抵抗によるエネルギー損失が問題となっている．
摩擦抵抗
の一つに，
円管内部の空間平均圧力勾配を周期的に時間変化させ，石油や天然ガスなどを輸送するパイプラインでは，乱流摩擦抵低減手法の一つに，円管内部の空間平均圧力勾配を周期的に抗によるエネルギー損失が問題となっている．摩擦抵抗低減手法
流れを加減速させる脈動制御がある．Mannaand Vacca(1)は正弦波
抗によるエネルギー損失が問題となっている．摩擦抵抗低減手法
Manna
時間変化させ，流れを加減速させる脈動制御がある．
の一つに，円管内部の空間平均圧力勾配を周期的に時間変化させ，状の脈動波形を与えた円管内脈動乱流のLarge eddy simulation
を行の一つに，円管内部の空間平均圧力勾配を周期的に時間変化させ，
(1)
(1)
and
Vacca
は正弦波状の脈動波形を与えた円管内脈動乱流
流れを加減速させる脈動制御がある．Manna and Vacca は正弦波
(1)い，最大27%の抵抗低減効果を得た．脈動制御で入力する圧力勾流れを加減速させる脈動制御がある．Manna
and
Vacca
は正弦波
Large eddy simulationを行い，最大27%の抵抗低減効果を得の状の脈動波形を与えた円管内脈動乱流の
Large
eddy
simulation
を行
配の時間変化波形は無数に考えられる一方で，十分な精度でモデ状の脈動波形を与えた円管内脈動乱流のLarge eddy simulation を行た．
脈動制御で入力する圧力勾配の時間変化波形は無数に考えい，最大27%の抵抗低減効果を得た．脈動制御で入力する圧力勾ル化をせずに乱流統計量を再現できる直接数値計算(Direct
い，最大27%の抵抗低減効果を得た．脈動制御で入力する圧力勾られる一方で，十分な精度でモデル化をせずに乱流統計量を再配の時間変化波形は無数に考えられる一方で，十分な精度でモデ
numerical
simulation, DNS) による最適化は，計算コストの高さから配の時間変化波形は無数に考えられる一方で，十分な精度でモデ(Direct numericalsimulation, DNS)に現できる直接数値計算
ル化をせずに乱流統計量を再現できる直接数値計算(Direct困難である．
ル化をせずに乱流統計量を再現できる直接数値計算(Direct
よる最適化は，計算コストの高さから困難である．
numerical simulation,
DNS) による最適化は，計算コストの高さから
Matsubaraetal.は脈動流の計算コスト削減を目的として，深層学習
etal.は脈動流の計算コスト削減を目的として，
Matsubara
深numerical
simulation, DNS) による最適化は，計算コストの高さから困難である．
(3)
で脈動流の流れ場の時間発展を予測する学習モデルを構築した．
層学習で脈動流の流れ場の時間発展を予測する学習モデルを困難である．
Matsubara et al.は脈動流の計算コスト削減を目的として，深層学習(2)．
しかし，脈動流の抵抗低減効果を評価するためのレイノルズせん断
しかし，
脈動流の抵抗低減効果を評価するためのレ構築したMatsubara et al.は脈動流の計算コスト削減を目的として，深層学習
で脈動流の流れ場の時間発展を予測する学習モデルを構築した(3)．
(3)
応力(Reynolds shear stress,
RSS) の予測精度が十分ではない．また，(Reynolds
shear stress, RSS) の予測精度
イノルズせん断応力で脈動流の流れ場の時間発展を予測する学習モデルを構築した．
しかし，脈動流の抵抗低減効果を評価するためのレイノルズせん断(3)(2)
Matsubaraetal.
が予測精度を検証した脈動流は抵抗低減率が小さ
etal.
­
Matsubaraが予測精度を検証したが十分ではない．
また，
しかし，脈動流の抵抗低減効果を評価するためのレイノルズせん断
応力 (Reynolds shear stress, RSS) の予測精度が十分ではない．また，(0 ~ 15%) に留まっており，脈動流は抵抗低減率が小さい範囲
い範囲(0 ~ 15%)に留まっており，より大きな抵抗低減効果が得られ
応力(Reynolds
shear
stress, RSS) の予測精度が十分ではない．また，
Matsubara
et al.(3)
が予測精度を検証した脈動流は抵抗低減率が小さより大きな抵抗低減効果が得られる脈動流に対する学習モデル
る脈動流に対する学習モデルの予測精度は未検証である．
Matsubara et al.(3)が予測精度を検証した脈動流は抵抗低減率が小さ
い範囲 (0 ~ 15%) に留まっており，より大きな抵抗低減効果が得られの予測精度は未検証である．
本研究の目的は，Matsubara
et al.(3)によって提案された学習モデル
い範囲(0 ~ 15%) に留まっており，より大きな抵抗低減効果が得られる脈動流に対する学習モデルの予測精度は未検証である．
et al.­(2)によって提案された学習
Matsubara
本研究の目的は，の広範な抵抗低減効果を有する脈動流を対象にRSS 予測精度向上
る脈動流に対する学習モデルの予測精度は未検証である．
本研究の目的は，Matsubara et al.(3)によって提案された学習モデル
RSS予
モデルの広範な抵抗低減効果を有する脈動流を対象にさせることである，はじめに，モデルのRSS の予測精度向上を目的と本研究の目的は，Matsubara et al.(3)によって提案された学習モデルの広範な抵抗低減効果を有する脈動流を対象に
RSS RSS
予測精度向上の予測精測精度向上させるこ
とである，
はじめに，
モデルの
して，新たにRSS を入出力に追加した学習モデルを構築し，予測精の広範な抵抗低減効果を有する脈動流を対象にRSS 予測精度向上させることである，はじめに，モデルのRSS の予測精度向上を目的と度向上を目的として，新たにRSSを入出力に追加した学習モデ度を検証した．次に，複数の異なる抵抗低減率を有する脈動流に対しさせることである，はじめに，モデルのRSS の予測精度向上を目的として，新たにRSS を入出力に追加した学習モデルを構築し，予測精ルを構築し，
予測精度を検証した．
次に，複数の異なる抵抗低減てモデルの予測精度を検証した．
して，新たに RSS を入出力に追加した学習モデルを構築し，予測精度を検証した．次に，複数の異なる抵抗低減率を有する脈動流に対し率を有する脈動流に対してモデルの予測精度を検証した．
度を検証した．次に，複数の異なる抵抗低減率を有する脈動流に対してモデルの予測精度を検証した．
2.
計算手法てモデルの予測精度を検証した．
2.
計算手法
本研究は脈動流の流れ場を DNS で再現し，図 1 にその計算領域
図1にその計算領2.本研究は脈動流の流れ場をDNSで再現し，計算手法の概略を示す．円管の半径方向をr，円周方向を θ，主流方向を z と定2.本研究は脈動流の流れ場を計算手法
域の概略を示す．
円管の半径方向をr，
円周方向をθ，主流方向をDNSで再現し，図1 にその計算領域
義する．支配方程式は非圧縮性流れの連続の式とNavier-Stokes方程本研究は脈動流の流れ場をDNSで再現し，図1にその計算領域の概略を示す．円管の半径方向をr，円周方向をτθ，主流方向をz と定zと定義する．
支配方程式は非圧縮性流れの連続の式とNavier2式である．また，時空間平均した壁面せん断応力
w [N/m ] と密度 ρの概略を示す．円管の半径方向をr，円周方向を θ，主流方向を z と定義する．支配方程式は非圧縮性流れの連続の式とNavier-Stokes方程
3
Stokes方程式である．
また，時空間平均した壁面せん断応力τ
[kg/m ] で定義される摩擦速度 uτ [m/s]，円管半径 R [m]，動粘性係数w2義する．支配方程式は非圧縮性流れの連続の式とNavier-Stokes方程式である．また，時空間平均した壁面せん断応力
τw τ[N/m] と密度と密度ρ [kg/m3] で定義される摩擦速度u[m/s]，
円管半ρν[N/m[m2/s]2] によって定義される摩擦レイノルズ数Reとして計算をτ を 1802式である．また，時空間平均した壁面せん断応力
τ
[N/m
]
と密度
ρ
3
w [m]，動粘性係数[kg/m]で定義される摩擦速度u[m/s]，円管半径Rτ 128, 256) で，格子解像度は，(∆r+,
2 (96,
によって定義される摩擦レイノル
径R [m]，
動粘性係数ν
行った．格子数は(Nr, Nθ, N[mz) =/s]2 3] で定義される摩擦速度 uτ [m/s]，円管半径 R [m]，動粘性係数
[kg/m
ν+∆θ,
[m ∆z
/s]+)によって定義される摩擦レイノルズ数Reを)+180Rズ数Re= (0.35−2.24,
8.83, 8.83) である．ここで，(180として計算を行った．
格子数はτ (NNθとして計算を, τNとz)ν =で無
(96,
τ を
r,は，u
+
ν [m2/s] によって定義される摩擦レイノルズ数Re
τ を 180 として計算を行った．格子数は
(N
,
N
,
N
)
=
(96,
128,
256)
で，格子解像度は，(∆r,r
θz次元化した値で，壁面近傍に対するスケーリングを表す．境界条件は
128, 256) で，格子解像度は，(∆r+, R+∆θ, ∆z+) = (0.35−2.24, 8.83,++++
行った．格子数は
(N
,
N
,
N
)
=
(96,
128,
256)
で，格子解像度は，(∆r
r 8.83,
θ z 8.83) である．ここで，( ) は，uτ と ν で無,
R
∆θ,
∆z
)
=
(0.35−2.24,+ は，
θ,8.83)z 方向に周期境界条件，壁面に滑りなし条件を与えた．本研究では，uτとνで無次元化した値で，ここで，( )8.83,
R+∆θ,である．
∆z+) = (0.35−2.24,
8.83)
である．ここで，( )+ は，u壁面近傍
τ と ν で無次元化した値で，壁面近傍に対するスケーリングを表す．境界条件は*式(1)において周期T，振幅
A*を変化させ，正弦波状に圧力駆動されに対するスケーリングを表す．
境界条件はθ,z方向に周期境界条次元化した値で，壁面近傍に対するスケーリングを表す．境界条件は
θ, z 方向に周期境界条件，壁面に滑りなし条件を与えた．本研究では，る流れ場を計算した．ここで，<> は θ,本研究では，
z 方向に対する空間平均操作
件，式(1)において周θ,z 壁面に滑りなし条件を与えた．
方向に周期境界条件，壁面に滑りなし条件を与えた．本研究では，*
式(1)において周期Tで無次元化した値を示す．本研究では，以下の，振幅 A*を変化させ，正弦波状に圧力駆動されを，()* * は uτ および
R
*
*
*
，
振幅A
を変化させ，
正弦波状に圧力駆動される流れ場を期T
式(1)において周期
T ，振幅 A を変化させ，正弦波状に圧力駆動される流れ場を計算した．ここで，<> は θ, z 方向に対する空間平均操作
る流れ場を計算した．ここで，<> は θ, z 方向に対する空間平均操作
計算した．
<
>
はθ,
z方向に対する空間平均操作を，( )*を，()* は uここで，およびR
で無次元化した値を示す．本研究では，以下のτ
*を，(τおよびRで無次元化した値を示す．
) は uτ および R で無次元化した値を示す．本研究では，以下のはu
本研究では，以下の式で表される圧力勾配● 27式で表される圧力勾配𝑑𝑑𝑝𝑝∗
2𝜋𝜋𝑡𝑡 ∗式で表される圧力勾配(1)− " ∗ & = 2 + 𝐴𝐴∗ sin ∗
(1)
𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑇𝑇
式で表される圧力勾配
∗
∗
𝑑𝑑𝑝𝑝
2𝜋𝜋𝑡𝑡
*
*
(1) ~ 397 %
おいて，周期，振幅
A*+を変化させることで，-0.82~ 39 %の範囲の∗ *= 2− "T
𝐴𝐴∗ sin
おいて，周期
𝑑𝑑𝑝𝑝
2𝜋𝜋𝑡𝑡∗ ∗∗ &T ，振幅 A を変化させることで，-0.82
𝑑𝑑𝑧𝑧
∗
(1)
− "7 種類の異なる抵抗低減率を有する脈動流の& = 2 + 𝐴𝐴 sin 𝑇𝑇 ∗種類の異なる抵抗低減率を有する脈動流のDNSデータを取得した．
∗
DNS
の範囲の
𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑇𝑇
おいて，周期 T*，振幅 A*を変化させることで，-0.82 ~ 39 %の範囲の 7
データを取得した．
おいて，周期 T*，振幅 A*を変化させることで，-0.82~ 39 %の範囲の 7
DNS データを取得した．
3.種類の異なる抵抗低減率を有する脈動流の深層学習
種類の異なる抵抗低減率を有する脈動流の DNS データを取得した．
3.
DNS深層学習で取得した脈動流の流れ場を対象に，r–z 断面における 96 ×3.
深層学習
256 の格子点数分の流速データを使用した．Matsubaraal. (3)の学習
z断面における
DNSで取得した脈動流の流れ場を対象に，r–et
3.DNS
深層学習
で取得した脈動流の流れ場を対象に，r–z断面における96 ×
モデルにおいて入出力を変更し，図2に示すCAE
LSTM-TDNN seq96DNS
× 256の格子点数分の流速データを使用した．Matsubaraet(3) 96 ×で取得した脈動流の流れ場を対象に，r–z 断面における256の格子点数分の流速データを使用した．Matsubara
et
al.
の学習
to-seq(2)モデル(3)を用いて流れ場の時間発展を予測した．モデル内部(3)の学習モデルにおいて入出力を変更し，図2に示すCAEal.
­
256 の格子点数分の流速データを使用した．Matsubara
et al. の学習
LSTM-TDNN
seqでモデルにおいて入出力を変更し，図2に示すCAE
CAE 低次元モードに対しての正規化を行っている．学習モデルへ
LSTM-TDNN
seq-to-seqモデルを用いて流れ場の時間発展をモデルにおいて入出力を変更し，図2に示すCAE
LSTM-TDNN
seqto-seq
モデル(3)を用いて流れ場の時間発展を予測した．モデル内部(3)の入出力物理量 Matsubara et al. の主流方向流速 uz と半径方向流速予測した．
モデル内部でCAE低次元モードに対しての正規化を
to-seqモデル(3)を用いて流れ場の時間発展を予測した．モデル内部
CAE 低次元モードに対しての正規化を行っている．学習モデルへ
urでに加え，新たに
RSS を追加し，(uz, ur, uz'ur') とした．ここで，( )'は主でCAE 低次元モードに対しての正規化を行っている．学習モデルへ­行っている．
学習モデルへの入出力物理量Matsubara
et al. (2)のの入出力物理量Matsubara et al. (3)の主流方向流速 uz と半径方向流速
流方向及び周方向平均かつ位相平均された値からの変動成分を表(3)の入出力物理量Matsubaraetal.
の主流方向流速uと半径方向流速zと半径方向流速uに加え，新たにRSSを追加し，主流方向流速u
rur, uz'ur') とした．ここで，( )'は主
ur に加え，新たに
RSS を追加し，(u1z, 周期としたときの各位相の平均
し，位相平均とは1z回の脈動制御を
u(uRSSここで，を追加し，(ur に加え，新たにz, ur, uz'ur') とした．ここで，( )'は主( )'は主流方向及び周方向平均かつ
流方向及び周方向平均かつ位相平均された値からの変動成分を表
z, ur, uz'ur') とした．
流方向及び周方向平均かつ位相平均された値からの変動成分を表し，位相平均とは
1 回の脈動制御を 1 周期としたときの各位相の平均
位相平均された値からの変動成分を表し，位相平均とは1回のし，位相平均とは 1 回の脈動制御を 1 周期としたときの各位相の平均

Fig. 1 Schematic of the computational domain.
Fig. 1 Schematic of the computational domain.
Fig. 1 Schematic of the computational domain.
Fig. 1 Schematic of the computational domain.

Fig. 2 Entire structure of CAE LSTM-TDNN seq-to-seq model. The
low-dimensional modes obtained by Encoder evolves temporally using
Fig. 22 Entire
Entire structure
ofof
CAE
LSTM-TDNN
seq-to-seq
model.model.
TheFig.
structure
CAE
LSTM-TDNN
seq-to-seq
LSTM-TDNN.
The temporal
evolutionof the flow
fieldsis model.
recoveredFig.
2
Entirestructureof
CAE
LSTM-TDNN
seq-to-seq
The
low-dimensionalmodes obtained
by Encoder
temporallyThe
low-dimensionalmodes
obtained
byevolves
Encoder
evolvesusingby
Decoder.
The
flowfieldsconsistofthreephysicalquantities.
low-dimensional modes obtained by Encoder evolves temporally using
LSTM-TDNN.
TheLSTM-TDNN.
temporal evolutionof temporalthe flow fields
is recovered
temporally
using
The
evolutionof the
LSTM-TDNN. The temporal evolution of the flow fields is recovered
byDecoder.
The
flowfieldsconsistofthreephysicalquantities.
ﬂow ﬁelds is recovered by Decoder. The ﬂow ﬁelds consist of
by Decoder. The flow fields consist of three physical quantities.
three physical quantities.

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 28を意味する．学習データを 100 < t* < 200 の流れ場，テストデータはそを変更する必要性がある．
*の先の脈動制御を1周期としたときの各位相の平均を意味する．
200 < t < 300 の流れ場とした．学習データの 8 割を訓練デー
学習4.2. 広範な抵抗低減効果を有する脈動流の学習・予測
タ，2 割を検証データとし，検証データは過学習が起こる前に学習を*テストデータはその先の200
データを100 < t < 200の流れ場，
広範な抵抗低減効果を有する脈動流の学習・予測を意味する．学習データを100 < t* < 200の流れ場，テストデータはそ< 4.2.
を変更する必要性がある．
異なる7種類の抵抗低減率を有する脈動流を入力に与えて作停止する早期打ち切りの判定に用いた．モデルの学習時はAdam
法* < 300の流れ場とした．
*
学習データの8割を訓練データ，
2割をtの先の200 < t < 300 の流れ場とした．学習データの8 割を訓練デー
異なる
7 種類の抵抗低減率を有する脈動流を入力に与えて作成し成した学習モデルによって予測した結果を示す．
図5にレイノルを意味する．学習データを
100
< 200
の流れ場，テストデータはそを変更する必要性がある．
を意味する．学習データを
100< t<*(学習回数)<t* 200の流れ場，テストデータはそを変更する必要性がある．
を用いて，学習率を0.001，エポック数
は真値との差が減タ，2割を検証データとし，検証データは過学習が起こる前に学習を検証データとし，
検証データは過学習が起こる前に学習を停止
ズせん断応力RSSのMAEを𝜙DNSiの時空間平均値に対するにレイノルズせん断
4.2.
広範な抵抗低減効果を有する脈動流の学習・予測
の先の
200
< 300
の流れ場とした．学習データの8 割を訓練デー た学習モデルによって予測した結果を示す．図5の先の200< t<* <t* 300の流れ場とした．学習データの8 割を訓練デー
少する間とした．また，モデルの出力を再帰的に入力することで流れ停止する早期打ち切りの判定に用いた．モデルの学習時はAdam 法する早期打ち切りの判定に用いた．モデルの学習時はAdam法
割合で示す．
図5から，抵抗低減率が高い脈動流を対象としたと異なる
7
種類の抵抗低減率を有する脈動流を入力に与えて作成しRSS の MAE を𝜙𝜙DNS i の時空間平均値に対する割合で示す．
タ，2割を検証データとし，検証データは過学習が起こる前に学習を割を検証データとし，検証データは過学習が起こる前に学習を 応力
タ，24.2.広範な抵抗低減効果を有する脈動流の学習・予測
広範な抵抗低減効果を有する脈動流の学習・予測
場の時間発展の予測精度を検証した．
4.2.
を用いて，学習率を0.001，エポック数(学習回数)
は真値との差が減を用いて，学習率を0.001，
エポック数(学習回数)
は真値との差きほどMAEの割合が大きいことが分かる．
これは，
抵抗低減効
にレイノルズせん断
停止する早期打ち切りの判定に用いた．モデルの学習時は
Adam
停止する早期打ち切りの判定に用いた．モデルの学習時はAdam
法法 図た学習モデルによって予測した結果を示す．図5
5異なるから，抵抗低減率が高い脈動流を対象としたときほど
MAE の割異なる
7 種類の抵抗低減率を有する脈動流を入力に与えて作成し7 種類の抵抗低減率を有する脈動流を入力に与えて作成し少する間とした．また，モデルの出力を再帰的に入力することで流れが減少する間とした．
また，モデルの出力を再帰的に入力するこ果が大きい脈動流では，を用いて，学習率を0.001，エポック数(学習回数)(学習回数)は真値との差が減は真値との差が減 合が大きいことが分かる．これは，抵抗低減効果が大きい脈動流では，を用いて，学習率を0.001，エポック数
応力
RSS の MAE を𝜙𝜙DNS i脈動に伴うRSSの位相変化が大きくなの時空間平均値に対する割合で示す．
4. 結果
場の時間発展の予測精度を検証した．
た学習モデルによって予測した結果を示す．図5にレイノルズせん断
た学習モデルによって予測した結果を示す．図5にレイノルズせん断とで流れ場の時間発展の予測精度を検証した．
るためである．
抵抗低減効果の大きい脈動流では，加速期間に少する間とした．また，モデルの出力を再帰的に入力することで流れ 図
少する間とした．また，モデルの出力を再帰的に入力することで流れ5から，抵抗低減率が高い脈動流を対象としたときほど
MAE の割脈動に伴うRSSの位相変化が大きくなるためである．抵抗低減効果の4.1. レイノルズせん断応力を追加した学習・予測
応力
RSS
MAE
を𝜙𝜙DNS
i の時空間平均値に対する割合で示す．
応力
RSS
のの
MAE
を𝜙𝜙DNS
i の時空間平均値に対する割合で示す．
場の時間発展の予測精度を検証した．
RSSが大きく減少する一方で，減速期間にRSSが大きく増大する
場の時間発展の予測精度を検証した．
合が大きいことが分かる．これは，抵抗低減効果が大きい脈動流では，
4.
4. 結果
結果
Matsubara
et al. (3) のモデルに対して，レイノルズせん断成分を入大きい脈動流では，加速期間に
RSS が大きく減少する一方で，減速5 から，抵抗低減率が高い脈動流を対象としたときほど
MAE
の割
図図
5 から，抵抗低減率が高い脈動流を対象としたときほど
MAEの割ため，抵抗低減効果が小さく定常流に近い脈動流と比較して学脈動に伴うRSSの位相変化が大きくなるためである．抵抗低減効果の習が難しいことがわかる． RSS が大きく減少する一方で，減速
Matsubara
et al.
のモデルに対して，レイノルズせん断成分を入大きい脈動流では，加速期間に*て周期4.1.
T4.1.
= レイノルズせん断応力を追加した学習・予測
5，振幅
A*al.
= 5(2)のときの流れ場を学習させて，時間発展を脈動に伴うRSSの位相変化が大きくなるためである．抵抗低減効果の脈動に伴うRSSの位相変化が大きくなるためである．抵抗低減効果のレイノルズせん断応力を追加した学習・予測のモデルに対して，レイノルズせん断成分 近い脈動流と比較して学習が難しいことがわかる．
Matsubaraet
次に，図5において特に抵抗低減率が高くMAEの割合が高力に加えた予測を行った結果を示す．ここでは，脈動のパラメータとし期間に RSS が大きく増大するため，抵抗低減効果が小さく定常流に(3) (3) のモデルに対して，レイノルズせん断成分を入Matsubaraetal.
Matsubaraetal.
のモデルに対して，レイノルズせん断成分を入大きい脈動流では，加速期間に
RSSが大きく減少する一方で，減速が大きく減少する一方で，減速させた．図3に加速開始時にあたる位相
t/T
=
0.0
と，減速開始時に大きい脈動流では，加速期間にRSS
を入力に加えた予測を行った結果を示す．
ここでは，
脈動のパラ
次に，図
5 において特に抵抗低減率が高く
MAE の割合が高かっ4倍にした際のかった二つの脈動流に対して総学習データ量をて周期 T* = 5，振幅 A* = 5 のときの流れ場を学習させて，時間発展を近い脈動流と比較して学習が難しいことがわかる．
***
力に加えた予測を行った結果を示す．ここでは，脈動のパラメータとし力に加えた予測を行った結果を示す．ここでは，脈動のパラメータとし期間にRSSが大きく増大するため，抵抗低減効果が小さく定常流に= 5，振幅A = 5のときの流れ場を学習させメータとして周期T
期間にRSSが大きく増大するため，抵抗低減効果が小さく定常流にあたる位相t/T = 0.5 における主流方向流速
uz の瞬時の流れ場を示た二つの脈動流に対して総学習データ量を4倍にした際のMAE を
MAEを図5中に示す．図5から，抵抗低減効果の大きい脈動流をさせた．図3 に加速開始時にあたる位相 t/T = 0.0 と，減速開始時に次に，図 5 において特に抵抗低減率が高く MAE の割合が高かっ*T* = 5，振幅*A* = 5 のときの流れ場を学習させて，時間発展を
て周期
て周期
T
=
5，振幅
A
=
5
のときの流れ場を学習させて，時間発展をて，時間発展をさせた．図3に加速開始時にあたる位相t/T= 0.0 図近い脈動流と比較して学習が難しいことがわかる．
す．位相ごとの流速の増減の様子はDNS と予測結果で一致してお学習対象とした場合，学習データ量を増やすことによりMAEは5近い脈動流と比較して学習が難しいことがわかる．
中に示す．図 5 から，抵抗低減効果の大きい脈動流を学習対象
あたる位相 t/T = 0.5 における主流方向流速 uz*の瞬時の流れ場を示*た二つの脈動流に対して総学習データ量を 4 倍にした際の MAE をさせた．図3に加速開始時にあたる位相
t/T
=
0.0
と，減速開始時に=0.5における主流方向流速uと，
減速開始時にあたる位相t/Tさせた．図3に加速開始時にあたる位相
t/T
=
0.0
と，減速開始時にz
次に，図5において特に抵抗低減率が高くMAEの割合が高かっ次に，図5において特に抵抗低減率が高くMAEの割合が高かっ
減少し，高精度で乱流統計量を予測することができることがわり，定性的に流れ場を予測できた．
とした場合，学習データ量を増やすことによりMAEは減少し，高精度
す．位相ごとの流速の増減の様子は DNS と予測結果で一致してお図
5中に示す．図5から，抵抗低減効果の大きい脈動流を学習対象**の瞬時の流れ場を示す．
位相ごとの流速の増減の様子はDNSと
あたる位相
= 0.5
における主流方向流速
あたる位相t/Tt/T= 0.5
における主流方向流速
uz uの瞬時の流れ場を示た二つの脈動流に対して総学習データ量を4 倍にした際のMAE
z の瞬時の流れ場を示た二つの脈動流に対して総学習データ量を4 倍にした際の
MAE
をを
かった．
図4り，定性的に流れ場を予測できた．
に予測されたレイノルズせん断応力RSSの主流方向及び周方で乱流統計量を予測することができることがわかった．
とした場合，学習データ量を増やすことにより MAE は減少し，高精度予測結果で一致しており，定性的に流れ場を予測できた．
す．
位相ごとの流速の増減の様子はDNSと予測結果で一致しておす．
位相ごとの流速の増減の様子はDNSと予測結果で一致してお5 中に示す．図5 から，抵抗低減効果の大きい脈動流を学習対象
図図
5 中に示す．図5 から，抵抗低減効果の大きい脈動流を学習対象
4)は位
向平均かつ位相平均された値の半径方向分布を示す．ここで(図4に予測されたレイノルズせん断応力RSS の主流方向及び周方
で乱流統計量を予測することができることがわかった．
図4に予測されたレイノルズせん断応力RSSの主流方向及びり，定性的に流れ場を予測できた．
り，定性的に流れ場を予測できた．
とした場合，学習データ量を増やすことによりMAEは減少し，高精度とした場合，学習データ量を増やすことによりMAEは減少し，高精度
相平均された値を表す．Matsubara
et al. (3) のモデルは t/T = 0.5 にお4)は位
向平均かつ位相平均された値の半径方向分布を示す．ここで(周方向平均かつ位相平均された値の半径方向分布を示す．
ここ
図4に予測されたレイノルズせん断応力RSSの主流方向及び周方 で乱流統計量を予測することができることがわかった．
図4に予測されたレイノルズせん断応力RSSの主流方向及び周方で乱流統計量を予測することができることがわかった．
〜
いて極大値の過小評価が見られたのに対し，本研究のモデルはす
0.5 4にお相平均された値を表す．Matsubara
et al. (3) のモデルは(3) =のモデル
で()は位相平均された値を表す．Matsubara
et al.t/T
4)は位
向平均かつ位相平均された値の半径方向分布を示す．ここで()は位
向平均かつ位相平均された値の半径方向分布を示す．ここで(べての領域で過大評価や振動が見られた．式(2)を用いて平均絶対 本
いて極大値の過小評価が見られたのに対し，本研究のモデルはすはt/T= 0.5において極大値の過小評価が見られたのに対し，(3) (3) のモデルは t/T = 0.5 にお相平均された値を表す．Matsubaraのモデルは t/T = 0.5 にお相平均された値を表す．Matsubara
et etal.al.
べての領域で過大評価や振動が見られた．式(2)を用いて平均絶対誤差 MAEを算出した．
研究のモデルはすべての領域で過大評価や振動が見られた．
式
t/T = 0.5
いて極大値の過小評価が見られたのに対し，本研究のモデルはすいて極大値の過小評価が見られたのに対し，本研究のモデルはす
誤差
MAE を算出した．
(2)を用いて平均絶対誤差MAEを算出した．
)
t/T = 0.5
べての領域で過大評価や振動が見られた．式(2)を用いて平均絶対
べての領域で過大評価や振動が見られた．式(2)を用いて平均絶対1
t/T = 0.0
)
(2)
MAE
=
:;𝜙𝜙
−
𝜙𝜙
;
()* '
誤差
MAE
を算出した．
誤差
MAEを算出した．
𝑁𝑁 1 "#$%. '0.00.5t/Tt/T
==
0.5
(2)
MAE =
'+, :;𝜙𝜙"#$%. ' − 𝜙𝜙()* ' ;𝑁𝑁 ) )'+,
11
t/Tt/T==
0.00.0
このとき，このとき，Nを観測点の数，𝜙𝜙をモデルによる予測値，
Pred.
MAE
:;𝜙𝜙
𝜙𝜙()*
(2)(2);
MAE= = :;𝜙𝜙
−' i−
𝜙𝜙
"#$%.
"#$%.
()*
'; '
𝑁𝑁 𝑁𝑁
𝜙
このとき，Nを観測点の数，
𝜙Pred.' iをモデルによる予測値，
このとき，このとき，Nを観測点の数，𝜙𝜙DNS
Pred. i をモデルによる予測値，
(3)

4.1.
レイノルズせん断応力を追加した学習・予測力に加えた予測を行った結果を示す．ここでは，脈動のパラメータとし
4.1.
レイノルズせん断応力を追加した学習・予測
4.結果
結果
4.
(3)

期間に
RSS が大きく増大するため，抵抗低減効果が小さく定常流に合が大きいことが分かる．これは，抵抗低減効果が大きい脈動流では，合が大きいことが分かる．これは，抵抗低減効果が大きい脈動流では，'+,'+,
𝜙𝜙DNS i を DNS の値とする．MAE
は 0.11 となり，Matsubara et al. の(3)
Matsubara et al.et(2)al.
の0.05
iをDNSの値とする．MAEは0.11となり，𝜙𝜙のDNS i を DNS の値とする．MAE は 0.11 となり，Matsubaraと比較して増加したことから，モデルのRSSの予測精度は低下
0.05 と比較して増加したことから，モデルのRSS の予測精度は低下し(3) (3)の
𝜙𝜙DNS
DNSの値とする．MAE
0.11となり，Matsubara
al.
𝜙𝜙DNS
DNS
の値とする．MAE
はは0.11となり，Matsubara
et et
al.低
の
iを
たと言える．予測精度が低下した要因として，次元圧縮されたCAEiをしたと言える．
予測精度が低下した要因として，次元圧縮されたたと言える．予測精度が低下した要因として，次元圧縮された
CAE 低
0.05
と比較して増加したことから，モデルのRSSの予測精度は低下し0.05と比較して増加したことから，モデルのRSSの予測精度は低下し次元モードと入力としたレイノルズせん断応力との相関が小さく，CAE
CAE低次元モードと入力としたレイノルズせん断応力との相関
次元モードと入力としたレイノルズせん断応力との相関が小さく，CAEたと言える．予測精度が低下した要因として，次元圧縮されたCAEたと言える．予測精度が低下した要因として，次元圧縮されたCAE
低低による適切なRSSCAEによる適切なRSSの次元圧縮・拡張が行われなの次元圧縮・拡張が行われなかったことが考えられが小さく，による適切な
RSS の次元圧縮・拡張が行われなかったことが考えられ次元モードと入力としたレイノルズせん断応力との相関が小さく，CAE
次元モードと入力としたレイノルズせん断応力との相関が小さく，CAEる．よって，RSSの精度向上にはよって，
CAE の次元圧縮過程または圧縮率かったことが考えられる．
RSSの精度向上にはCAEの次る．よって，RSSの精度向上には CAEの次元圧縮過程または圧縮率による適切な
RSSの次元圧縮・拡張が行われなかったことが考えられによる適切な
RSSの次元圧縮・拡張が行われなかったことが考えられ
元圧縮過程または圧縮率を変更する必要性がある．

このとき，このとき，Nを観測点の数，𝜙𝜙0.05 と比較して増加したことから，モデルのRSS
このとき，このとき，Nを観測点の数，𝜙𝜙をモデルによる予測値，
Pred.
i をモデルによる予測値，Pred.
iの予測精度は低下しMAE of Reynolds shear stress [%]T = 0.0 and dashed line denotes value at t / T = 0.5.
Reynolds
shear
stressradialdirection.
Solid
line
denotesvalue
Reynolds
shear
stressin inradialdirection.
Solid
line
denotes
value
at at
t/ t/
8080
= 0.0
and
dashedline
denotesvalue
t / =T 0.5.
= 0.5.
T =T 0.0
anddashedline
denotes
value
at at
t/ T
1x
used
7070
1xtraining
training data
data used
8080
4x
used
4xtraining
training data
data used60
MAE MAEof Reynolds
of Reynolds
shear stressshear stress[%] [%]
MAE of Reynolds shear stress [%]る．よって，RSSの精度向上にはCAEの次元圧縮過程または圧縮率る．よって，RSSの精度向上にはCAEの次元圧縮過程または圧縮率

Fig. 4 Proﬁles of streamwise-, circumferential-,
Fig.
4 Profiles of streamwise-,circumferential-,andphase-averaged
andReynolds
shear stressinphase-averaged
radialdirection.
Fig. 4phase-averaged
Profiles of streamwise-,circumferential-,
andReynolds
shear
stressinradialdirection.
Solid
line
denotesvalue at t /Solidlinesheardenotes
atdirection.
t / T = 0.0
andReynolds
stressvalue
in radialSolidlinedasheddenotesline
valuedenotes
at t /
Fig.
4
Profilesofstreamwise-,circumferential-,andphase-averaged
Fig.
4
Profilesofstreamwise-,circumferential-,andphase-averaged
Tvalue= 0.0 andline denotes value at t / T = 0.5.
at t dashed/ T = 0.5.

60
7070

5050

6060

4040

training
data
used
1x1x
training
data
used
training
data
used
4x4x
training
data
used

5050

3030

4040

202030
30

1010
2020

010010
-5-5

15
25
35
4545
15
25
35
Drag reduction rate [%]Drag reduction rate [%]
55
1515
2525
3535
4545
Drag
reduction
rate[%]
Fig. 5 The ratio of MAE totime-space
averaged
Reynolds
shear stressDrag
reduction
rate
[%]
00
-5 -5

55

Fig. 5 The ratio of MAE to time-space averaged Reynolds shear stresswhen drag reduction rate and amount of training data changes.
Fig. 3 Visualization of streamwise velocity in the r-z cross sectional plane.
Fig.
5The
The
ratio
MAE
to
time-space
averaged
Reynolds
shear
stress
Fig.
55The
ratio
of of
MAE
to
time-space
averaged
Reynolds
shear
stresswhen
dragreduction
rate
and
of
training
datachanges.
Fig. 3Fig.
Visualizationof streamwise
velocityvelocity
in the r-zincrosssectional
Fig.
ratio
MAE
toamounttime-space
averaged
Reynolds
shear
3 Visualizationof streamwise
the r-zcross plane.
(a) and (b) are at t / T = 0.0; (c) and (d) are at t / T = 0.5.
when
drag
reductionrateandamounttraining
datachanges.data
Fig.
3 at
Visualizationofstreamwise
in
the
cross
sectional(a) and(b)aret / T = (a)0.0;ofand(c)andat/ tT/ =
Tin=
0.5.
when
drag
reductionrateandamountof oftraining
datachanges.
Fig.
3 Visualization
streamwisether-zr-zcross
sectional
stresswhendrag reductionrateandamountoftraining
sectional
plane.
(b) (d)are areatvelocity
tvelocity
0.0;
(c)
and
(d)
are atplane.
t plane.
/andt / =T 0.0;
= 0.0;
and= 0.5.
and(b)(b)
areareat at
t/ T(c)(c)
and(d)(d)
areareat at
t / tT/ =T 0.5.
changes.
T(a)
=(a)
0.5.

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)5.

まとめ
円管内脈動乱流の流れ場の時間発展を深層学習により予測した．レイノルズせん断応力の予測精度向上を目的としてMatsubara et al.(2)が提案した学習モデルの入出力にレイノルズ

せん断応力を新たに追加し，同一の脈動パラメータの流れの時

間進展場を予測させた．
しかしながら，レイノルズせん断応力の予測精度向上には至らなかった．
また，抵抗低減効果が大きな脈動流に対する学習・予測を検証するために複数の抵抗低減率を有する脈動流を学習したモデルの予測精度を検証した．

その結果，十分な学習に必要な総データ量は，同一の脈動パラ● 29

メータの流れ場の予測に必要な入力データ量よりも増えるものの，高精度で流れ場を予測可能であることを示した．
参考文献（ 1）Manna, M. and Vacca, A., “Spectral Dynamic of Pulsating

Turbulent Pipe Flow”, Computers and Fluids, 37(7),(2008), pp.825-835.
（ 2）Matsubara, K., Mitsuishi, A., Iwamoto, K., and Murata,A., ʻʻPrediction of Pulsating Turbulent Pipe Flow by Deep
Learning with Generalization Capabilityʼʼ, Int. J. Heat andFluid Flow, 104, (2023), 109214.

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 30

深 層 学 習を用 いた非 定 常 流 れ場 の 時 間 発 展
予測・モード分解
下田 瑶祐（左），福島
東海大学

直哉（右）

1. はじめに水や空気などの流れは，自然界や工学機器，日常生活の様々な場面で現れ，重要な役割を果たしている．気象現象は空気や水の大規模な流れによって形成される．地球温暖化の影響など

により，近年，熱波，豪雨，干ばつなどの異常気象が増えており，

それらの防災，減災対策が求められている．工学においては，航空機や自動車，パイプラインなどにおける抵抗，エンジンや熱交換器の効率は機器内外の流れによって支配されている．地球環

境・エネルギー問題の高まりから，熱流体機器の効率向上がますます求められている．
また，日常生活においては，上下水道や空調・換気のシステムが，快適で衛生的な環境を支えている．
より快適な生活を求める人々の欲求に応えるためには，それらのシステムを常に運転し続けるとともに，その性能を向上し続ける必要がある．
このように，流れを伴う現象は自然界から日常生活まで幅広い領域に現れることから，その現象を深く理解し，高精

図1 深層学習モデルのモデル構造の概略図と時間的・空間的処理における各モデルの特徴度に予測し，自由自在に制御することは，人々の生活を安全で豊かにするだけでなく，持続可能な社会を形成する上で，必要不可欠である．

流れを理解，予測，制御する試みは古くから多くの人々によって行われてきている．一方で，流れ，特に乱流の持つ強い非線形性とそれに伴うマルチスケール性などのために，現在においても数多くの課題が残されている．計算機，計測機器のソフトウェア・ハードウェアの発達により，直接数値計算な

どの数値計算，レーザー計測などの実験により，流れに関す進めている深層学習を用いた流れ場の理解の深化，予測精度の向上に向けた研究成果について簡単に紹介する．非定常流れ

場の時間発展予測に関する試みから始め，非定常流れ場の非線形動的モード分解を紹介する．
さらに，解釈可能性の向上に向けた半決定論的モード分解の提案，複雑な非定常流れのモード分

解に向け学習コストの低減を目指した重み共有型CNNモード
分解モデルの提案までを紹介する．

るデータが時空間的に取得できるようになり，それらのデー

2.

れらのデータを可視化や統計的処理を通じて活用し，流れの雑に変化する非定常流れである．非定常流れの時間変化を数値

る．人間の手によるデータの解析は，その専門知識や経験とDNS）やラージエディシミュレーション（ Large Eddy Simulation,
LES）が一般的な手法として幅広く用いられている．これらの手法は流れの支配方程式に基づいており，予測の根拠は明瞭である．一方，DNSやLESによる非定常流れ，特に乱流の予測には，膨大な計算資源や計算時間を要求される．そのため，非定常流
れ場のより低計算コストで精度が比較的高い予測手法への要求が高く，流れ場の時間発展予測への深層学習モデルの適用について検討が進められている[5]．
本稿では，非定常流れの時間発展予測を行う深層学習モデルを構築し，一例として，レイノルズ数 ReD=U∞ D/ν=100 の2次元単円柱周り流れへ適用した事例を紹介する．非定常流れは時空間的変動を有することから，時間的・空間的処理を得意とする
深層学習手法を組み合わせ，モデルによる時空間的処理を可能とする必要がある．主要な深層学習手法の中では，空間的依存関係を有するデータに対しては畳み込みニューラルネットワーク，時間的依存関係を有（ Convolutional Neural Network, CNN）

タを集積し，流れ場のビッグデータが構築されてきている．こ理解，予測，制御などに関する研究は大きな進展をみせてい直感を両立させながら，柔軟な発想で行えることがメリットであると考えられる．一方で，機械学習などの機械によるデータ

解析は，データ処理の自動化と大規模化に長けている．また，特徴の抽出を高精度でかつ一貫して行うことができる利点を有するが，解釈可能性及び説明可能性に課題がある．

近年，深層学習や機械学習は，様々な分野で活用されている．

画像・映像処理の分野での画像分類，物体検出，画像生成，
自然

言語処理における言語翻訳，音声認識，文章生成をはじめとし，
医療，金融，ロボティクスなど様々な分野で利用され，その応用範囲は急速に拡大されている．深層学習の流体力学への適用も進められており，幅広く多くの研究が進められている[例えば，1,

2]．
さらに，深層学習が非線形の解析手法となり得ることから，乱流をはじめとした非線形な流れの解析手法としての適性の高さが期待されている．

以上，いささか大きな背景からはじめたが，本稿では著者らが深層学習を用いた非定常流れの時間発展予測[3, 4]
熱流体機器における流れの多くは乱流であり，時空間的に複的に予測する際，直接数値計算（ Direct Numerical Simulation,

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 31分布の予測を行うよう，それぞれのモデルの学習を行う．次に，学習済みのそれぞれのモデルに10個の時間ステップ分の速度・圧力の時空間分布を与え，流れ場の時間発展予測を行う．

図2に，時間発展予測の最終時刻である時刻t=96.68における主流方向速度u，主流垂直方向速度v，圧力pの瞬時場分布をそれぞれ示す．図3に，各時刻の主流方向速度u，主流垂直方

向速度v，圧力pの正解(CFD)と各モデルによる予測との相関

図2 t=96.68における主流方向速度uと主流垂直方向速度v，圧力pの瞬時場分布 (CFD及び各モデルの予測)

図3 流れ場 (主流方向速度uと主流垂直方向速度v，圧力p) に関するCFDと各モデルによる予測との相関係数

係数の時間変化を示す．瞬時場分布や相関係数の観点から，
ConvLSTMモデル及びConv3Dモデルによる予測では，流れ場の位相ずれによる誤差が小さく，流れ場の時系列変化を高精度に予測することができることが分かる．これは，深層学習による非定常流れ場の時間発展予測において，時間的処理と空間的処理を分離せず，同時に時空間的処理を行うことの重要性を示唆している．また，Conv2D+LSTMモデルと比較し，Conv2D+ConvLSTMモデルの予測精度が高いことは，空間情報を維持しながら時間的処理を実行することが重要であることを示す．なお，これらの深層学習モデルによる非定常流れ場の予測精度は学習への依存性があることを注記しておく．今回は，各モデルともに学習済みモデルを複数用意し，各モデルについて予測精度が最も高いモデルを用いて，比較を行なっている．
本稿では単円柱周りの層流を例に取り上げているが，乱流場の時間発展予測に関する深層学習の適用[6, 7]も進められている．層流に比べて，乱流において時空間的な変化ははるかに複雑となる．そのような乱流場における時間発展予測において，時空間的な次元縮約・拡張を考慮した深層学習モデルはより重要性を増すことが期待される．
3.

するデータに対しては長・短期記憶（ Long Short-Term Memory,

LSTM）が有効であるとされている．そこで，これらの深層学習手法を組み合わせ，空間的・時間的処理の方法が異なる4つのモデルを構築し，流れ場の予測に対して与える影響を調査する．
図1に，構築した4つのモデルの構造とそれぞれの時間的・空間的処理の特徴について示す．Conv3Dモデルは，2次元非定常流の流れ場の2次元空間及び時間の3次元分布について，3次
元畳み込みによる処理を通じて，時空間的な縮約・拡張により特徴を抽出する．ConvLSTMモデルは，LSTMに畳み込み処理を導入することで時空間的処理を可能とした畳み込みLSTM
ネットワーク（ Convolutional LSTM, ConvLSTM）を用い，時空間的な縮約・拡張を行う．Conv2D+ConvLSTMモデルは，流れ場の空間的縮約と拡張をConv2D による2次元畳み込み処理によって実行し，縮約された低次元空間において空間情報をこ維持した状態でConvLSTMにより時空間的処理を実行する．
のモデルにおけるConvLSTMをLSTMに置き換えたモデルが，Conv2D+LSTMモデルである．Conv2Dによる空間的縮約と拡張は同様であり，低次元空間の時間的処理はLSTMを用いて実行する．
ここで，LSTMは1次元データの処理に特化していること
から，空間情報を喪失した状態で時間的処理を行うこととなる．

主 流 速 度U∞と円 柱 直 径Dで 定 義されるレイノルズ 数 は
ReD=U∞ D/ν=100の2次元単円柱周り流れを対象とし，4つのモデルにより流れ場の予測を行い，空間的・時間的処理の方法が

流れ場の与える影響を調査する．
まず，現在及び過去10個の時

間ステップ分の速度・圧力の時空間分布を与え，次時刻の空間

CNNを用いた非定常流れの非線形時空間モード分解[8]流れ場の高精度な予測を行うためには，流れの現象の理解が必要不可欠である．流れ場の理解を促進する解析手法の一つとして，流れ場のモード分解が挙げられる．モード分解とは，ある現象を表すデータから，現象を構成する特徴的なモード（低次元基底）を抽出する手法である．DNSや実験計測によって得られた流れ場のデータベースを活用し，流れ場のモード分解に関する研究が活発に進められている．
これまで流体工学の分野で幅広く適用されているモード分解の手法として，線形的解析手法である固有直交分解（ Proper Orthogonal Decomposition, POD）
や動的モード分解（ Dynamic Mode Decomposition, DMD）が挙げられる．一方で，流れ，特に乱流は強い非線形現象であるため，その本質的理解には非線形的解析手法の適用が期待される．そこで，流体工学分野において，非線形的解析手法となり得る深層学習を活用し，乱流などの流れ場の非線形モード分解がしかし，深層学習による非線形
進められている[9, 10, 11, 12]．

モード分解の適用事例において，その多くが空間的な分解であり，時空間的なモード分解はほとんど行われていない．本稿では，非定常流れの時空間的な非線形モード分解を行なう深層学
習モデルを構築し，非定常流れ場に適用した事例を紹介する．

図4に，構築した深層学習モデルである3次元CNNモード分

解（ 3D-CNN-MD）モデルの概略図を示す．本モデルはCNNとオートエンコーダを組み合わせたモデルである．
まず，流れ場の3次元（ 2次元空間及び時間）分布にConv3Dによる畳み込み処理を行い，流れ場の時空間的特徴を抽出し，潜在空間における潜在ベクトルへと縮約する．次に，得られたモード（潜在ベクトル

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)

● 32

する．

本事例では，深層学習を用いた非線形な動的モード分解を行うため，3D-CNN-MDモデルを構築し，非定常流れの一例として

2次元単円柱周り流れ場へ適用した．学習済みのモデルにより，良好に再構築された流れ場と，それぞれ時空間的に異なる特徴を有する分解された流れ場を獲得できた．乱流をはじめとした非定常流れは，時空間的により複雑な変化を有する現象である．本手法を応用することにより，流れの動的な特性など非定常
流れの現象の理解を深化が進めば，低次元モデルなどによる予測精度の向上，流れの制御効率の向上を期待できる．

図4 3D-CNN-MDモデルの概略図

4.

深層学習による半決定論的モード分解モデルの提案[13]第3章において，深層学習を用いた非線形時空間モード分解

手法について説明した．深層学習の一般的な特徴であるが，本手法を用いた場合，潜在空間内のモードや分解された流れ場の特性は，学習への依存性が存在する．
これは学習における確率的な過程によるものであり，深層学習の高い表現力をもたらす一方で，特徴抽出の過程や分解された流れ場に対する解釈

可能性，説明可能性の不足を生じさせる．本章では，分解された流れ場の特性の解釈可能性の向上に向け，第3章で説明した

3D-CNN-MDモデルを拡張し，制約された潜在空間のモードから分解された流れ場を獲得する半決定論的モード分解を行う深層学習モデルについて提案する．

本モデルの概略図を図6に示す．本モデルでは，潜在空間のモードを制約し，制約を受けたモードから分解された流れ場を
図5 速度 u, v，圧力pの瞬時場分布：CFDによる流れ場（入力），
モデルによって再構築，分解された流れ場

得る．潜在空間のモードは人間によって意図を持って与えることが可能であるため，分解された流れ場の特性などの解釈可能性の向上を計ることができる．モデルはエンコーダモデルとデコーの成分）それぞれを入力と一致する次元へと拡張し，分解されダモデルの2つのモデルで構成される．エンコーダモデルでは，対応する分解された流れ場の時空間分布を足し合わせると，入される．人間によって与えられた教師モードと出力された低次元

常流れの一例として，主流速度と円管直径で定義されるレイノ

デコーダモデルには，エンコーダモデルから出力された低次元

ルを適用する．潜在空間におけるモードの数を3個とし，流れ場のモードは分解された流れ場へ拡張される．分解された流れ場

た流れ場の時空間分布が得られる．
さらに，それぞれのモードに力した流れ場の再構築した流れ場が得られる．本稿では，非定ルズ数が ReD=U∞ D/ν=100 の2次元単円柱周り流れに，本モデの時空間分布を動的な非線形モードに分解，分解された流れ場の特性を評価する．

ある時刻における速度u，v, 圧力pの瞬時場分布を図5に示す．
ここでは，入力された流れ場（すなわち，正解），再構築された流れ場に加えて，3つに分解された流れ場をそれぞれ示す．再構築された流れ場において，速度・圧力のそれぞれの分布は，
入力データと非常に良く一致を示しており，位相ずれも観察され流れ場の時空間分布は潜在空間における低次元モードに圧縮モードが一致するようにエンコーダモデルの訓練が行われる．
モードが入力される．入力されたモード群は分解され，それぞれの総和がデコーダモデルの出力となり，エンコーダモデルの入力を再構築するよう，
デコーダモデルの訓練が行われる．

本モデルをレイノルズ数がReD=U∞ D/ν=100 の2次元単円柱周り流れに適用した例を紹介する．潜在空間の教師モードとして，異なる周期を有する3つの正弦波を与える．それらの周期はカルマン渦の放出周期と一致する周期に加え，その1/2倍，1/3倍と設定する．図7 (a)に示すように，訓練されたモードは，教師モー

ない．モデルによる再構築された流れ場とCFDによる流れ場とドに非常に近い波形として得ることができる．図7 (b)に，モデルに0.98以上と非常に高い．3つのモードに分解された流れ場を築された流れ場は，入力された流れ場（ CFDによる流れ場）と非の相関係数は，データセットの全時刻において，速度・圧力とも
みると，第1モードの流れ場は定常であり，元の流れ場の時間平

によって再構築，分解された流れ場の瞬時場分布を示す．再構
常に良好な一致を示す．
さらに，分解された流れ場は，潜在空間

均分布に似た分布を示す．一方，第2モードと第3モードの流れのモードと調和した特性を有することを示している．最も低い周マン渦と同程度の周期で同程度の大きさの流れの構造を有す．

大きさの構造を持つ分解された流れ場が得られる．一方で，最も第2モードに比べて小さく，時間的に高周波数な変動を示す．第

CFDによる流れ場の時間平均分布に似た分布を示す．
本章では，分解された流れ場の特性の解釈可能性を向上させることを目的として，制約された特性を持つ潜在空間のモードか場は非定常である．第2モードは，円柱の後流域において，カル

第3モードは，後流域に物理量の値及び構造の大きさがともに，

2モードが80.6%の運動エネルギーを持ち，支配的である．第1
モードと第3モードはそれぞれ約10％の運動エネルギーを保有

カルマン渦と同周期かつ同程度の波数を持つ第1モードからは，高い周波数を持つ第3モードから得られる流れ場は定常であり，

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 33

図6 半決定論的CNNモード分解モデルの概略図

図8 WS-MDモデルの概略図
レイヤー数とパラメータ数を削減するため，重みを共有する1つの共通デコーダから，複数の分解された流れ場を獲得することができる．
このモデルを，ReD=U∞ D/ν=100 の非周期性の強い

並列二円柱周り流れに適用し，分解された流れ場の特性を評価する．
図7 (a) 潜在空間における教師モードと訓練済みモード，(b) モデルにより再構築・分解された流れ場の瞬時場分布

ら分解された流れ場を獲得する半決定論的CNNモード分解モ
デルを紹介した．
さらに，深層学習による制約付きモード分解手法として，分解された流れ場における運動エネルギーなどに制

WS-MDモデルの概略図を図8に示す．本モデルの特徴は，各モードに対して共通のデコーダから分解された流れ場を抽出することにある．重みを共有する1つの共通デコーダから，複数の分解された流れ場を獲得することで，モデル内のレイヤー数とパラメータ数を削減することができる．WS-MDモデルは，エン

コーダとデコーダの2つの部分から構成される自己教師ありオー

約を課す手法についても，現在，研究を進めている．本手法の応トエンコーダである．エンコーダ部分では，流れ場の瞬時場分布の特性に対する解釈可能性，説明可能性の向上が可能となり，モードがそれだけで共有デコーダに入力されると，それぞれの5.

ダにモード番号を明示的に示すために，各モードに対するモー

用が進むことにより，分解された流れ場および深層学習モデル
流れの現象の理解が深化することが期待される．

複雑な非定常流れの特徴抽出のための重み共有型CNN

モード分解モデルの提案[14]第3章で説明した3D-CNN-MDモデルは，モード数と同数のデコーダが必要とされる．そのため，モード数が増加した場合，モデル内のデコーダの数も増加し，モデル自体の規模が増大する．また，そのほかの深層学習を用いたモード分解モデルにおいても，モード数が増加するとモデルの規模が拡大する傾向にある[7, 8, 9, 10]．流れ場の再構築において数多くの潜在変数がが潜在空間のモード（潜在ベクトル）に縮約される．潜在空間のモードが識別されず，再構築精度が低下する．そこで，WS-MD

モデルのデコーダにおいては，まず，潜在空間に対して，デコー

ド番号をラベリングする配列を連結する．モード番号を連結された潜在空間は，各モードに分解される．分解された各モードは，
単一デコーダによって分解された流れ場に拡張される．最終的に，分解された流れ場の総和が入力の再構築された流れ場となる．すべての再構築の過程は，完全に共通のモデル変数を有す
る単一のデコーダにより実行される．流れ場をl個のモードに分解する場合，WS-MDモデルにおける単一の共通デコーダのパ必要となる複雑な流れ，特に乱流に対して，これらの手法を適用

ラメータの総数は，l個の独立したデコーダから構成される一般が著しく増加し，学習コストが増大する．そこで本章では，複雑なWS-MDモデルを2次元並列二円柱周り流れ場に適用し，l =4
モードまたはl =16モードの流れ場へ分解する例を紹介する．図9に，モデルに入力した流れ場，すなわちCFDによる計算結果（正解データ），l =4モードのWS-MDモデルによって再構築された
流れ場，分解された流れ場（主流方向速度u，スパン方向速度v，する場合，必要とされるモード数が増大，モデルのパラメータ数

流れ場の非線形なモード分解を行い，その流れの理解の深化を可能とするために，学習コストを低減化する，重み共有型CNN

モード分解モデル（ Weight-sharing CNN Mode Decomposition

Model, WS-MDモデル）を提案する．
このモデルは，モデル内の的なモード分解モデルのデコーダに比べ，1/lに減少する．

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 34

た．本手法を応用することで，マルチスケールで強い非線形性を有する複雑な現象である乱流場の非線形モード分解において，その学習コストの低減に寄与することが期待される．
6. まとめ

本稿では，乱流をはじめとした非定常流れについて，より詳細な現象の理解の深化，高精度・低計算負荷な時間発展予測手法を目指し，我々が進めている研究の成果を紹介した．具体的には，深層学習を用いた非定常流れ場の時間発展予測，非線形

動的モード分解，解釈可能性を高める半決定論的モード分解、
学習コストを低減した重み共有型CNNモード分解モデルの提案について述べた．
これらの研究の応用・発展により，深層学習を用いた流れの解析において，流れのさらなる理解の深化と予測精度の向上に寄与することが期待される．

深層学習の流体力学への適用は，これまで解決が難しかった

図9 速度 u,v，圧力p の瞬時場分布：CFDに流れ場，4モード分

解のモデルによって再構築，分解された流れ場

表1 MD-CNN-AEモデルとWS-MDモデルのパラメータ数と1回あたりの平均学習時間（ 4モード，16モード分解の場合）

流体力学の課題に新たな光を与え，流れの理解・予測・制御などに革新的な知見をもたらす多くの可能性を秘めていると考えられる．著者らの研究がこの分野の発展に寄与し，ひいては人々の安全で豊かな生活，持続可能な社会の形成のささやかなる一助となることを期待し，今後も研究を進めていく．
謝辞
本稿における研究は，JSPS科研費21H05007，22K03932の助成を受けたものです．
参考文献

[1]

圧力p）の瞬時場分布を示す．瞬時場に加えて，相関係数，位相ポートレートなどの観点から，再構築された流れ場は，入力した[2]

流れ場と定量的に非常に良く一致している．分解された流れ場の特性について観ると，WS-MDモデルにおける単一のデコー

ダから，モード毎に異なる特性を持つ分解された流れ場が得ら[3]

れることが分かる．

デコーダを共有することによる学習コスト削減の効果を明らかとするため，表1に，l=4及びl=16モードの一般的なモード分

解モデル（ MD-CNN-AEモデル）とWS-MDモデルに関して，そ[4]

れぞれモデルが持つパラメータ数と，Nvidia Telsa V100を1基用いて学習をした際の1回あたりの平均学習時間を示す[14]．
WS-MDモデルにお けるパラメータ数は，MD-CNN-AEモデ
ルに対してl=4の時は25.7%，l =16の時は12.9%まで減少する．
WS-MDモデルでの学習時間は，MD-CNN-AEモデルと比較して，l =4の時は48.8%，l =16の時は35.6%まで短くなる．学習時間の短縮率が，モデルパラメータ数の減少割合より小さい理由
は，共有デコーダに対してモード数に比例した回数の順伝播及び逆伝播の実行が必要になるためである．
本章では，複雑な流れ場の非線形なモード分解を行い，その流れ場の理解を深化するために，学習コストを低減化する
WS-MDモデルを紹介した．重みを共有する1つの共通デコーダ
から，複数の分解された流れ場を獲得することで，モデル内のレイヤー数とパラメータ数を削減し，モデルパラメータ数，学習時間の観点より，学習に要する計算コスト低減の効果を確認でき

[5]

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pn.3515-18-01.

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
顔写
写真
真
顔
カラー
カラー
314ｐｘ以314ｐｘ以上上

はじめに
11 はじめに● 36

Physics-informedneuralneuralnetworkの液膜塗布プロセス解析への応⽤
Physics-informed
neuralnetworkの液膜塗布プロセス解析
Physics-informed
networkの液膜塗布プロセス解析への応⽤
⽩⿃英
英
⽩⿃
への応用
東京都市⼤学所属
東京都市⼤学所属

望などに⾔及する．
白鳥 英
望などに⾔及する．
東京都市大学 理工学部 機械システム工学科

本稿では，
最近注⽬されているPhysics-informedNeural
Neural1 本稿では，はじめに最近注⽬されているPhysics-informed(1)(1) について，学習原理と逆問題への応⽤
Networks(PINNs)Networks(PINNs)
本 稿 で は，最近 注について，学習原理と逆問題への応⽤
目 され て い るPhysics-informed Neural
例を紹介する．今号の特集では情報科学のアプローチを数(1)
例を紹介する．今号の特集では情報科学のアプローチを数
Networks(PINNs) について，学習原理と逆問題への応用例を
値流体⼒学(Computational
FluidDynamics,
Dynamics,CFD)の分野
CFD)の分野紹介する．
今号の特集では情報科学のアプローチを数値流体力
値流体⼒学(Computational
Fluidに応⽤・融合させる研究について最近の動向が紹介されて(Computational Fluid Dynamics, CFD)の分野に応用・融合
学に応⽤・融合させる研究について最近の動向が紹介されている．その多くは測定データやCFDの計算結果との誤差の計算結果との誤差させる研究について最近の動向が紹介されている．
その多くはいる．その多くは測定データや CFDを最⼩化する教師あり学習，もしくは数値計算結果に基づCFDの計算結果との誤差を最小化する教師あり
測定データやを最⼩化する教師あり学習，もしくは数値計算結果に基づいた報酬を最⼤化する強化学習などのデータ駆動型の⽅法
学習，
もしくは数値計算結果に基づいた報酬を最大化する強化
いた報酬を最⼤化する強化学習などのデータ駆動型の⽅法である．流体⼒学では空間微分を含まない⽀配⽅程式は基学習などのデータ駆動型の方法である．
流体力学で扱う支配方である．流体⼒学では空間微分を含まない⽀配⽅程式は基
程式には基本的に空間微分が含まれるが，他の分野では時間常本的に登場しないが，他の分野では時間常微分⽅程式
本的に登場しないが，他の分野では時間常微分⽅程式(ODE)で記述される力学系の振る舞いをデータか
微分方程式(ODE)で記述される⼒学系の振る舞いをデータから機械学(ODE)で記述される⼒学系の振る舞いをデータから機械学
neuralら機械学習で獲得しようとする研究も多く，Runge-Kutta neural
習で獲得しようとする研究も多く，Runge-Kutta
neural習で獲得しようとする研究も多く，Runge-Kutta
(2)
(3)
(2)
(3)
network，neural
ODE
，
トワー
(2)
(3)ハミルトニアンニューラルネッ
network，neuralODE，
ハミルトニアンニューラルネッ
network ，neural ODE ，ハミルトニアンニューラルネッ(4,5)などが提案されている．
(4,5)
一方，
PINNsPINNs
はニューラルネット
クトワークが提案されている．
⼀⽅，はニューラルトワーク(4,5)が提案されている．
⼀⽅，
PINNs はニューラル
(NN)
によって
(
時間発展ではなく)シミュレーションの解ワーク
ネットワーク(NN)によって(時間発展ではなく)シミュレー
ネットワーク(NN)によって(時間発展ではなく)シミュレー
出力したそのものを近似する．
位置と時刻をNNの入力として，ションの解そのものを近似する．位置と時刻を
NNの⼊⼒
ションの解そのものを近似する．位置と時刻を NNの⼊⼒
NNを学習させるものである．
解が支配方程式を満足するようにとして，出⼒した解が⽀配⽅程式を満⾜するようにNN
NNををとして，出⼒した解が⽀配⽅程式を満⾜するように
PINNs
はブラウン大学のProf. Karniadakisの研究グループから学習させるものである．PINNsはブラウン⼤学のはブラウン⼤学のProf.
Prof.
学習させるものである．PINNs
提案され，arXivにプレプリントが掲載された2017年11月の時点
Karniadakisの研究グループから提案され，
arXiv
にプレプ
Karniadakis の研究グループから提案され，arXiv にプレプから注目を集めていたようである．2024年5月の時点での引用
リントが掲載された2017
2017年
年11
11⽉の時点から注⽬を集め⽉の時点から注⽬を集めリントが掲載された数は，Scopusで5,300回以上，Google Scholarで9,600回以上にていた2024
2024年
年55⽉の時点での引⽤数は，⽉の時点での引⽤数は，Scopusでで5,300
5,300ていた
Scopus達しており，様々な分野に応用されている．筆者らの研究グルー
回以上，Google
Scholarで9,600
回以上に達しており，回以上，Google
Scholar で 9,600 回以上に達しており，4階微分を含む偏微分
プでは，
液膜流れの分野で扱われる空間
様々な分野に応⽤されている．
筆者らの研究グループでは，様々な分野に応⽤されている．
PINNsを適用し，筆者らの研究グループでは，有効に学習させるための工夫
方程式に対して液膜流れの分野で扱われる空間44階微分を含む偏微分⽅程
階微分を含む偏微分⽅程
液膜流れの分野で扱われる空間や逆問題への応用法などを検討してきた．
以下では，その成果式に対してPINNs
PINNsを適⽤し，を適⽤し，有効に学習させるための⼯夫
式に対して有効に学習させるための⼯夫
PINNsの利点と課題や今後の展望などにの一部を紹介しつつ，や逆問題への応⽤法などを検討してきた．以下では，そのや逆問題への応⽤法などを検討してきた．以下では，その言及する．
成果の⼀部を紹介しつつ，
PINNsの利点と課題や今後の展の利点と課題や今後の展成果の⼀部を紹介しつつ，
PINNs

Physics-informedneuralneuralnetworks
networks
22 Physics-informed
2

Physics-informed neural networks

はじめに，Raissiらによって提案されたオリジナルのはじめに，Raissiらによって提案されたオリジナルのRaissiらによって提案されたオリジナルのPINNs(1)のはじめに，(1)(1) の設計と学習⽅法について概説する．対象とする
PINNs
PINNs
の設計と学習⽅法について概説する．対象とする
設計と学習方法について概説する．
対象とする問題の偏微分方問題の偏微分⽅程式(Partial
Differential
Equation:PDE)をPDE)を(Partial
Differential
Equation:
PDE)
を下記のように一般的
程式
問題の偏微分⽅程式(Partial Differential
Equation:
下記のように⼀般的に表現する．
に表現する．
下記のように⼀般的に表現する．

𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)(1)
𝐹𝐹(𝑢𝑢)≔≔𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) ++𝑁𝑁[𝑢𝑢,𝑁𝑁[𝑢𝑢,𝜆𝜆]𝜆𝜆]==00(1)
𝐹𝐹(𝑢𝑢)
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
[0,𝑇𝑇]は位置と時刻，
𝑇𝑇]は位置と時刻，
𝑁𝑁[[⋅]は⾮線形の偏
ここで，
ここで，
Ω,Ω,𝑡𝑡t 𝑡𝑡∊[0,T]は位置と時刻，
N[∙]は非線形の偏微分演
𝑥𝑥x𝑥𝑥∈∊∈Ω,∈∈[0,𝑁𝑁[[⋅]は⾮線形の偏ここで，微分演算⼦である．PINNs
では図11に⽰すように位置𝑥𝑥，に⽰すように位置𝑥𝑥，
PINNsでは図1に示すように位置x，時刻tを入力と算子である．
微分演算⼦である．PINNs
では図し，支配方程式の近似解u(t,x)
を出力とするニューラルネッ
ト
⽀配⽅程式の近似解𝑢𝑢(𝑡𝑡,𝑥𝑥)を出⼒とする𝑥𝑥)を出⼒とする
時刻𝑡𝑡を⼊⼒とし，⽀配⽅程式の近似解𝑢𝑢(𝑡𝑡,
時刻𝑡𝑡を⼊⼒とし，(NN)を構成する．当然，学習前にはこのNNで出力される
ワーク
ニューラルネットワーク(NN)を構成する．当然，学習前にニューラルネットワーク(NN)を構成する．当然，学習前にPDEを満足せず，
具体的にPDEに数値解を代入して評価す
解は
はこのNN
NN
で出⼒される解はPDEを満⾜せず，具体的にはこので出⼒される解はPDEを満⾜せず，具体的にると誤差が残る．
この誤差を最小化するようにNNの重みを更新
PDEに数値解を代⼊して評価すると誤差が残る．
この誤差
PDE に数値解を代⼊して評価すると誤差が残る．この誤差
PDEを十分な精度で満足する解を予測できるようにすることでを最⼩化するようにNN
NNの重みを更新することでの重みを更新することでPDE
PDEををを最⼩化するように
PINNs
は枠組みとしては教師あり学習であるものなる．
つまり，⼗分な精度で満⾜する解を予測できるようになる．
つまり，⼗分な精度で満⾜する解を予測できるようになる．
つまり，の，出力uを支配方程式に代入した結果はF(u)=0を要請するた
PINNs
は枠組みとしては教師あり学習であるものの，
出⼒
PINNs は枠組みとしては教師あり学習であるものの，出⼒め教師データは常にゼロであり，バルク部分の支配方程式につ𝑢𝑢を⽀配⽅程式に代⼊した結果は𝐹𝐹(𝑢𝑢)==0を要請するため
0を要請するため𝑢𝑢を⽀配⽅程式に代⼊した結果は𝐹𝐹(𝑢𝑢)いては実質的に教師データを用意する必要がない．一方，初期
教師データは常にゼロであり，バルク部分の⽀配⽅程式に
教師データは常にゼロであり，バルク部分の⽀配⽅程式に条件と境界条件については教師データを与えてNNの出力とのついては実質的に教師データを⽤意する必要がない．
⼀⽅，
ついては実質的に教師データを⽤意する必要がない．⼀⽅，
誤差を損失関数に組み込む．図1では時刻tを連続量としてNN初期条件と境界条件については教師データを与えてNNNNのの初期条件と境界条件については教師データを与えての入力に取る連続時間型のPINNsを示したが，時間方向に関し
出⼒との誤差を損失関数に組み込む．
図11では時刻𝑡𝑡を連続
では時刻𝑡𝑡を連続出⼒との誤差を損失関数に組み込む．
図てはRunge-Kutta法などで離散化して扱う離散時間型のPINNs
量としてNNの⼊⼒に取る連続時間型のPINNsを⽰した
を⽰した
量として
NN
の⼊⼒に取る連続時間型の PINNs
もRaissiら(1)で提案されている．
が，時間⽅向に関してはRunge-Kutta
Runge-Kutta法などで離散化して法などで離散化してが，時間⽅向に関しては
NNによる予測解uをPDEに代入して評価する際，
時間微分と
(1)
(1) で提案されている．
扱う離散時間型のPINNs
もRaissiら
扱う離散時間型のPINNs
もRaissiら
で提案されている．
空間微分が必要である．
差分法や有限体積法などの従来的な数NNによる予測解𝑢𝑢をによる予測解𝑢𝑢をPDE
PDEに代⼊して評価する際，時間に代⼊して評価する際，時間NN
CFD
値計算法では時空間共に離散化して微分を代数近似する．
微分と空間微分が必要である．差分法や有限体積法などの微分と空間微分が必要である．差分法や有限体積法などの従来的な数値計算法では時空間共に離散化して微分を代数
従来的な数値計算法では時空間共に離散化して微分を代数

Physics-informedneuralneuralnetworks
networks(PINNs)の構造と学習原理(PINNs)の構造と学習原理
図図11Physics-informed
図1 Physics-informed neural networks (PINNs)の構造と学習原理

近似する．CFD の発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定(aな離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤な
● 37
近似する．
CFD
の発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定近似する．
CFDの発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定CMD
Newsletter
No. 71 (June.,
2024)
近似する．
CFD
の発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定近似する．
CFDの発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定近似する．
CFDの発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定近似する．CFD の発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定労⼒が捧げられてきた．PINNs の最⼤の特徴は，この微分 (a)(a)FDM
FDM
な離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤なな離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤な
(a)
FDM
(a)
FDM
(a)
FDM
な離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤なな離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤なな離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤な(a) FDMな離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤なをNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分の発展の歴史においては，高精度で安定な離散化スキームは極労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分近似する．CFD の発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分
近似する．
CFD
の発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定に計算する点にある．NNをNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密をNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密めて重要であり，
その開発に膨大な労力が捧げられてきた．
をNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密 の出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分をNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密をNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密な離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤なする．
CFDの発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定CFDの発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定を NN の⾃動微分(Automatic Differentiation:AD)で厳密(a) FDMな離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤な𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏に計算する点にある．NN
PINNsの最大の特徴は，の出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分
この微分をNNの自動微分(Automaticに計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分(bに計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分(a) FDM
労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分に計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分に計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分
散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤な(a) FDM
キームは極めて重要であり，その開発に膨⼤なに計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合
労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分Differentiation:
AD)で厳密に計算する点にある．
NNの出力uに
𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏をNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏られてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分
(b)
PP
INN
(b)
(b)
P INN
(b)
P
INN
(b)
PINN
INN
𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏(b) P INN
を NNDifferentiation:の⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密と初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得ら対する入力xの偏微分∂u/∂xは，連鎖率によってuとxを結ぶ全に計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分
N の⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合
⾃動微分(AutomaticAD)で厳密微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合近似する．
CFD の発展の歴史を振り返ると，⾼精度で安定れる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算
𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏に計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分
各ニューロンにおける演
ニューロン間の偏微分に分解できる．
と初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得ら点にある．NN
の出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分と初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得らと初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得らと初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得らと初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得ら(a) FDMと初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得らな離散化スキームは極めて重要であり，その開発に膨⼤な微分に分解できる．
𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度
算は線形結合と初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析各ニューロンにおける演算は線形結合
𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏れる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算(b) P INNれる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算(b) P INNれる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算(b) P INNれる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算れる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算れる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算労⼒が捧げられてきた．PINNsの最⼤の特徴は，この微分と初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得らに分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合できる．することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度
各ニューロンにおける演算は線形結合的に得られる．
この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合で）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度
をNNの⾃動微分(Automatic
Differentiation:AD)で厳密れる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得ら
活性化関数であるため，偏微分は解析的に得ら
計算するこ
とで，
∂u/∂xを厳密に（浮動小数点演算の誤差程度で）みに関する勾配計算の際に AD を利⽤するため，と初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得らで）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重で）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重で）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重で）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重で）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度で）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算に計算する点にある．NNの出⼒𝑢𝑢に対する⼊⼒𝑥𝑥の偏微分
各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算
NNの学習における誤差逆伝搬法では重みに関す計算できる．
れる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算
TensorFlow
や PyTorch などの機械学習フレームワークにみに関する勾配計算の際にADを利⽤するため，
みに関する勾配計算の際にADを利⽤するため，
みに関する勾配計算の際にADを利⽤するため，
みに関する勾配計算の際にADを利⽤するため，
みに関する勾配計算の際にADを利⽤するため，で）計算できる．NN の学習における誤差逆伝搬法では重ことで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度
みに関する勾配計算の際にADを利⽤するため，，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度
𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕は，連鎖率によって𝑢𝑢と𝑥𝑥を結ぶ全ニューロン間の偏ADを利用するため，
TensorFlow
やPyTorchな AD を計算する機能が標準的に実る勾配計算の際に(b) P INN
することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度
は任意のニューロン間のTensorFlow
やや
PyTorchなどの機械学習フレームワークに
TensorFlow
PyTorchなどの機械学習フレームワークに
TensorFlow
や
PyTorchなどの機械学習フレームワークに
TensorFlow
や
PyTorchなどの機械学習フレームワークにみに関する勾配計算の際に AD を利⽤するため，
TensorFlow
や
PyTorchなどの機械学習フレームワークに計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重きる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重TensorFlow
や
PyTorchなどの機械学習フレームワークに微分に分解できる．
各ニューロンにおける演算は線形結合
AD
をどの機械学習フレームワークには任意のニューロン間の装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDE と初期条
で）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重は任意のニューロン間のADを計算する機能が標準的に実は任意のニューロン間のADを計算する機能が標準的に実TensorFlow
や PyTorchなどの機械学習フレームワークに関する勾配計算の際にAD ADを利⽤するため，は任意のニューロン間のADを計算する機能が標準的に実は任意のニューロン間のADを計算する機能が標準的に実は任意のニューロン間のADを計算する機能が標準的に実る勾配計算の際にAD を利⽤するため，は任意のニューロン間のを計算する機能が標準的に実と初等的な活性化関数であるため，偏微分は解析的に得ら
PINNsにおける損失計算する機能が標準的に実装されている．
みに関する勾配計算の際にADを利⽤するため，件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
は任意のニューロン間のAD を計算する機能が標準的に実装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDEと初期条
装されている．
PINNs
における損失関数は，と初期条
orFlow
や
PyTorchなどの機械学習フレームワークに装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDEと初期条や PyTorchなどの機械学習フレームワークに装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDEと初期条
装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDEと初期条
装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDEPDEと初期条れる．この各ニューロン間の偏微分を連鎖率に従って計算PDEと初期条件・境界条件の誤差の和として下記のよ関数は，TensorFlow
や
PyTorchなどの機械学習フレームワークに装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDE と初期条
意のニューロン間のADを計算する機能が標準的に実件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
ューロン間のAD を計算する機能が標準的に実件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
することで，𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕を厳密に（浮動⼩数点演算の誤差程度
うに定義する．
(2𝑎𝑎)
𝒥𝒥
=
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
れている．
PINNs
における損失関数は，PDEと初期条は任意のニューロン間のAD を計算する機能が標準的に実
! !
" "
# #
る．PINNs における損失関数は，
PDE と初期条
図 2 有限差分法(FDM)と PINNs によるで）計算できる．NNの学習における誤差逆伝搬法では重境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
'" '!
件の誤差の和として下記のように定義する．
装されている．
PINNs
における損失関数は，
PDE
と初期条
(2𝑎𝑎)
(2𝑎𝑎)
𝒥𝒥
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
𝒥𝒥
=
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
(2𝑎𝑎)
𝒥𝒥
=
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)を対
!𝑤𝑤
!
"
"
#
#
(2𝑎𝑎)
!
!
"
"
#
#
(2𝑎𝑎)
𝒥𝒥𝒥𝒥=
=
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
=
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
!
!
"
"
#
#
(2𝑎𝑎)
𝒥𝒥
=
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
!
!
"
"
#
#
#
2 2+
PINNs
による数値計算結果．(a,b):
図PINNsによる数値計算結果．(a,b):! ! ! ! " " " " # # #AD
図有限差分法(FDM)と2" 𝒥𝒥
有限差分法(FDM)とPINNs
による数値計算結果．(a,b):(2𝑎𝑎)
𝒥𝒥1 =図𝑤𝑤2!図𝒥𝒥𝑤𝑤図有限差分法(FDM)とPINNs
による数値計算結果．(a,b):
図2有限差分法(FDM)と有限差分法(FDM)とPINNs
による数値計算結果．(a,b):
みに関する勾配計算の際にを利⽤するため，!2
有限差分法(FDM)とによる数値計算結果．(a,b):%"+% 𝑤𝑤&# 𝒥𝒥# PINNs
図
2 有限差分法(FDM)とPINNs による'"
件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
'(2b)の．(c,d):
特定時刻における膜厚分
𝒥𝒥
=
;
;<𝐹𝐹
=𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
>?
'
'
'
"
'
'"" !''!
$ !時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,!
"!
'𝑤𝑤𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも
!! '!
" '
𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも'" 時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,
時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも(2𝑎𝑎)&
時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも'時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,
𝑤𝑤!𝑤𝑤𝒥𝒥"!𝒥𝒥+
𝑤𝑤𝑤𝑤𝒥𝒥#"𝒥𝒥+
𝑁𝑁!
時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも
!
(2𝑎𝑎)
# 𝒥𝒥
𝒥𝒥 = 𝑤𝑤!𝒥𝒥𝒥𝒥=などの機械学習フレームワークに
11(14)
時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)を
! +TensorFlow
" +"
#や
1!#
図 2 有限差分法(FDM)とPINNs
による数値計算結果．(a,b):
11PyTorch&%& 2 &有限差分法(FDM)と% %%% %& %%% &図%()1$()
ト1
PINNs
による数値計算結果．(a,b):&特定時刻における膜厚分布のスナップショッ
(2b)
(2b)
の．(c,d):%,!𝑥𝑥の．(c,d):
特定時刻における膜厚分布のスナップショッ
;<𝐹𝐹
𝒥𝒥
=
;
;<𝐹𝐹
=𝑡𝑡
,,=𝑡𝑡
>?
% 特定時刻における膜厚分布のスナップショッ%特定時刻における膜厚分布のスナップショッの．(c,d):
𝒥𝒥=
=;
;
;<𝐹𝐹
,>?
𝑥𝑥! >?
!
$%=𝑡𝑡
(2b)
$
!
'" 𝒥𝒥'𝒥𝒥の．(c,d):!
(2b)
𝒥𝒥𝒥𝒥!!=;;<𝐹𝐹=𝑡𝑡の．(c,d):;;<𝐹𝐹=𝑡𝑡,!𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥>?
(2b)!;の．(c,d):
特定時刻における膜厚分布のスナップショッ;<𝐹𝐹>?
(2b) 待できるが，'" 'は任意のニューロン間のの．(c,d):
特定時刻における膜厚$,$𝑥𝑥
𝒥𝒥(2b);;<𝐹𝐹
𝑥𝑥特定時刻における膜厚分布のスナップショッ
!!>?
!=
!
! !=
$ =𝑡𝑡!AD
!!$
! =
$ =𝑡𝑡
時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,を計算する機能が標準的に実! , 𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも
! >?
𝑁𝑁
!
𝑁𝑁
式(2)は⼀般に凸とは限時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも
𝑁𝑁
!
!
(14)
𝑁𝑁
(14)
(2𝑎𝑎)
𝑁𝑁
'
𝒥𝒥
=
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
!
𝑁𝑁
𝑁𝑁
(14)
#
!
1
!
(14)
!
!
"
"
#
#
(14)
&
!
!
(14)
%()
$()
ト
$()
ト
(14)図
1
&
%()
$()
ト
%
%%()
%()
$()
ト
2
有限差分法(FDM)とPINNs
による数値計算結果．(a,b):
%()
$()
ト
%()
$()
ト
%
%
%()
$()
ト
の．(c,d):
特定時刻における膜厚分布のスナップショッスの optimizer で⼤域的最⼩に収束す= ;<𝐹𝐹;$ ;<𝐹𝐹=𝑡𝑡! , PINNs
𝑥𝑥! >? における損失関数は，
1(2b) (2b)の．(c,d):
特定時刻における膜厚分布のスナップショッ
𝒥𝒥! = 𝒥𝒥!;
=𝑡𝑡! , 𝑥𝑥!$>?
PDEと初期条%待できるが，%式(2)は⼀般に凸とは限らないため，待できるが，
勾配ベー
待できるが，
勾配ベー𝑁𝑁装されている．
勾配ベー]& 式(2)は⼀般に凸とは限らないため，(2𝑐𝑐)
待できるが，
式(2)は⼀般に凸とは限!
𝑁𝑁!
=(14) ;[𝑢𝑢(𝑡𝑡, 𝑥𝑥 % ) 式(2)は⼀般に凸とは限らないため，−時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,𝑢𝑢式(2)は⼀般に凸とは限らないため，待できるが，
勾配ベー' ''# '#'" '!
待できるが，
式(2)は⼀般に凸とは限らないため，
勾配ベー待できるが，
勾配ベー"式(2)は⼀般に凸とは限らないため，'(14) 𝒥𝒥"ト𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも
#"
'# #'
##
図2"有限差分法(FDM)とPINNsによる数値計算結果．
(a,b):%() $()%() $()
ト
𝑁𝑁
1
"
&
1
1
件・境界条件の誤差の和として下記のように定義する．
1線形の楕円型および放物型のPDE
1%%& & %% & 待できるが，1
1スのoptimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
階階
スの
optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
1
スの
optimizer
で⼤域的最⼩に収束
%()
%
%
%
%
%
%
%
%
&
式(2)は⼀般に凸とは限らないため，
勾配ベースの
optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2%%
スのoptimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
階スの
optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
階階(2b)
待できるが，
式(2)は⼀般に凸とは限らないため，
勾配ベーの．(c,d):
特定時刻における膜厚分布のスナップショッ
%
%
&
𝒥𝒥
=
;
;<𝐹𝐹
=𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
>?
スの
optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
階'# 𝒥𝒥𝒥𝒥
%
%
%
&
)
]
(2𝑐𝑐)
)
]
(2𝑐𝑐)
%
%
%
&
)
]
(2𝑐𝑐)
𝒥𝒥
=
;[𝑢𝑢(𝑡𝑡,𝑥𝑥−𝑢𝑢=;[𝑢𝑢(𝑡𝑡,𝑥𝑥−𝑢𝑢=;[𝑢𝑢(𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
−
𝑢𝑢
!
$
'#
!
!
)
]
(2𝑐𝑐)
"
"
"
"
𝒥𝒥
=
;[𝑢𝑢(𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
−
𝑢𝑢
時間t
,
空間
x
に対応する解h(t,x)
を対数で色付けしたもの．
"
"
"
"
(2𝑐𝑐)
)
]
"
"
"
"
)
]
(2𝑐𝑐)
=
;[𝑢𝑢(𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
𝒥𝒥
−
𝑢𝑢
𝒥𝒥
=
;[𝑢𝑢(𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
−
𝑢𝑢
)
]
(2𝑐𝑐)
𝒥𝒥
=
;[𝑢𝑢(𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
−
𝑢𝑢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
𝑁𝑁
𝑁𝑁
1
𝑁𝑁𝑁𝑁
pointsを増やした極限で PINNs PDE
がP
𝑁𝑁
1
"&𝑁𝑁"
𝑁𝑁
スの optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
階線形の楕円型および放物型の%" !& %() $()線形の楕円型および放物型のPDEに対しては，residual
線形の楕円型および放物型のPDEに対しては，residual
'$ "
"%()
%()
スの optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2階" %()ト(14)特定時刻における膜厚分布のスナップショ
線形の楕円型および放物型のPDEに対しては，residual%% ) % 𝑁𝑁
線形の楕円型および放物型のPDEに対しては，residual
線形の楕円型および放物型のPDEに対しては，residual
線形の楕円型および放物型のPDEに対しては，residual=;[𝑢𝑢(𝑡𝑡𝑥𝑥"""%% ])%()−𝑢𝑢%()" , 𝑢𝑢" ]%() (2𝑐𝑐) (2𝑐𝑐)%()
𝒥𝒥" = 𝒥𝒥";[𝑢𝑢(𝑡𝑡(c,d):ット(14)(9)
𝑁𝑁" " , 𝑥𝑥" −
1
(2𝑎𝑎)
&
𝒥𝒥
=
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
+
𝑤𝑤
𝒥𝒥
𝑁𝑁"
pointsを増やした極限でPINNsが" "線形の楕円型および放物型の# 線形の楕円型および放物型の#収束することが証明されているが，PDEに対しては，residual
式(2)は⼀般に凸とは限らないため，
勾配ベー% 待できるが，%PDE'$ points
pointsを増やした極限で
PINNs
がが
PDE
の解に
C0
連続で
pointsを増やした極限で
PINNs
PDE
の解に
C0
連続で
%()
'! !
2𝐵𝐵に対しては，residual
有限差分法(FDM)とPINNs
による数値計算結果．(a,b):
PINNs
が
PDE
の解に
C0
連続で
%()
(2𝑑𝑑)
𝒥𝒥# =
;<ℬ=𝑡𝑡>図−を増やした極限でpoints
PINNs
が
PDE
の解に
C0
連続で
'
pointsを増やした極限で
PINNs
が
PDE
の解に
C0
連続で
pointsを増やした極限で
PINNs
が
PDE
の解に
C0
連続で
%?
# , 𝑥𝑥#を増やした極限で''$$$ '$#
'$ '$
(9)
1
&
𝑁𝑁
1
'" '
収束することが証明されているが(9)(9)
points を増やした極限で
PDE
の解に
C0
連続で
%PINNs
% PDE
(9)
&&
スの
optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
階
対しては，解の妥当性を担保するには
pointsPINNs
がC0 (9)
連続で
(9)
'$
(9)が，
1 %;[𝑢𝑢(𝑡𝑡
(2𝑑𝑑)
11=
𝑥𝑥)を対数で⾊付けしたも𝒥𝒥##(2𝑐𝑐)=%();<ℬ=𝑡𝑡−が𝐵𝐵の解に
1=𝒥𝒥1"1
収束することが証明されているが，⼀般の⾮線形にに収束することが証明されている
⼀般の⾮線形PDE'$&&% %%%% % %%%% ,!𝑥𝑥%%&) −%?
収束することが証明されているが，⼀般の⾮線形PDE# , 𝑥𝑥# >時間𝑡𝑡,空間𝑥𝑥に対応する解ℎ(𝑡𝑡,𝑢𝑢"%?]&& を増やした極限でが，⼀般の⾮線形
PDEに収束することが証明されているが，⼀般の⾮線形PDEPDEに収束することが証明されているが，⼀般の⾮線形
PDE
にに
(2𝑑𝑑)
">𝐵𝐵
(2𝑑𝑑)
𝒥𝒥=
=
;<ℬ=𝑡𝑡𝑥𝑥,,,#𝑥𝑥𝑥𝑥−>##">,>𝐵𝐵
−
𝐵𝐵
?−
𝒥𝒥
;<ℬ=𝑡𝑡−(9)
𝑁𝑁# 収束することが証明されている(2𝑑𝑑)&(2𝑑𝑑)
𝒥𝒥==;<ℬ=𝑡𝑡
𝑥𝑥
1
#
%𝐵𝐵
(2𝑑𝑑)
#
%%%???𝐵𝐵##,#𝒥𝒥=;<ℬ=𝑡𝑡
−
𝐵𝐵
(2𝑑𝑑)
𝒥𝒥
;<ℬ=𝑡𝑡
𝑥𝑥
>
?
&# ,1
𝒥𝒥
;<ℬ=𝑡𝑡
𝑥𝑥
>
−
(9)
#
%
1
対しては，解の妥当性を担保するに
#
%
%
𝑁𝑁
&
収束することが証明されているが，⼀般の⾮線形
PDE
に
#
#
%
#
#
#
#
%
%
%() 線形の楕円型および放物型の"?
収束することが証明されているが，の．(c,d):⼀般の⾮線形PDE に PDE%%
ら検討せざるを得ないのが現状である(2b)に対しては，residual
特定時刻における膜厚分布のスナップショッ
;<𝐹𝐹
𝑁𝑁
(2𝑑𝑑)
=
;<ℬ=𝑡𝑡, 𝐵𝐵
𝑥𝑥#𝑁𝑁>#𝑁𝑁#−
𝑁𝑁
対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが!𝐵𝐵#%=$ =𝑡𝑡! , 𝑥𝑥
対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが
! >?
%() ;
𝒥𝒥# = 𝒥𝒥#;<ℬ=𝑡𝑡
?𝑁𝑁
#𝑁𝑁
#
#%()
#𝒥𝒥%()
対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが𝑁𝑁$ は⽀配⽅程式%%()
対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが! はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁# # , 𝑥𝑥# > −𝑁𝑁! (2𝑑𝑑)ここで𝒥𝒥%()%()%()
𝑁𝑁#
ら検討せざるを得ないのが現状であ(14)
対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが%()はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁は⽀配⽅程式
ここで𝒥𝒥%() $()
ト%()pointsを増やした極限で
PINNs
が
PDE
の解に
連続で
活性化関数の滑らかさが重要であり，!
$ら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
ではら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
では'$ら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
ではの数であり，𝒥𝒥,
𝒥𝒥# はそれぞれ初期条件と境界条件に関するら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
ではC0
ら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
ではら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
では𝑁𝑁
は⽀配⽅程式
ここで𝒥𝒥はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁は⽀配⽅程式
ここで𝒥𝒥活性化関数の滑らかさが重要であり𝑁𝑁は⽀配⽅程式
ここで𝒥𝒥
ら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
では! はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，$𝑁𝑁
はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁は⽀配⽅程式
ここで𝒥𝒥
!
$
ここで𝒥𝒥
はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁は⽀配⽅程式はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
は⽀配⽅程式
ここで𝒥𝒥
滑らかでない活性化関数を用いた場合，
Residualpointsを増や待できるが，
式(2)は⼀般に凸とは限らないため，
勾配ベーら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
では! はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
$
(9)
!
$
ここで
は
PDE
の平均二乗誤差(MSE)，
は支配方程式の!
$!
$の数であり，𝒥𝒥,
𝒥𝒥
はそれぞれ初期条件と境界条件に関する
1
はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁は⽀配⽅程式で𝒥𝒥&
ＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁$ は⽀配⽅程式!
$ '#収束することが証明されているが，⼀般の⾮線形PDEに
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合
%
% #
% MSE
%
活性化関数の滑らかさが重要であり，
ReLU
やや
ELU
などの
活性化関数の滑らかさが重要であり，
ReLU
ELU
などの
活性化関数の滑らかさが重要であり，
や
ELU
などの
の誤差を評価する時空間の点である．
=𝑡𝑡! , 𝑥𝑥! >は活性化関数の滑らかさが重要であり，
やReLU
ELU
などの
𝒥𝒥はそれぞれ初期条件と境界条件に関する=;<ℬ=𝑡𝑡−
𝐵𝐵% ? 活性化関数の滑らかさが重要であり，活性化関数の滑らかさが重要であり，
ReLU
や
ELU
などの
活性化関数の滑らかさが重要であり，
ReLU
や
ELU
などの
滑らかでない活性化関数を⽤いた場% (2𝑑𝑑)%PDE
1の数であり，𝒥𝒥はそれぞれ初期条件と境界条件に関するはそれぞれ初期条件と境界条件に関する
ReLU
やなどの
ELUReLUなどのの数であり，
𝒥𝒥
はそれぞれ初期条件と境界条件に関する# , 𝑥𝑥%# > 活性化関数の滑らかさが重要であり，はそれぞれ初期条件と境界条件に関するMSEの数であり，
𝒥𝒥## はそれぞれ初期条件と境界条件に関する
ReLU
や
ELU
o#𝒥𝒥,
𝒥𝒥, 𝒥𝒥,𝒥𝒥𝒥𝒥,##の数であり，𝒥𝒥,
𝒥𝒥𝒥𝒥𝒥𝒥,
PINNsの解が厳密解と一致しなくなることが示されした極限での数であり，
スの
optimizer
で⼤域的最⼩に収束する保証はない．2
階
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
である．
=𝑡𝑡
%MSE
%
&
であり，
𝒥𝒥,
𝒥𝒥数であり，##はそれぞれ初期条件と境界条件に関する𝑁𝑁!
!
，𝒥𝒥, 𝒥𝒥#の数であり，はそれぞれ初期条件と境界条件に関する# はそれぞれ初期条件と境界条件に関する#) − 𝑢𝑢" ](2𝑐𝑐), 𝑥𝑥"り増やした極限でPINNsの解が厳密解対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが%%滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residualpointsを% %%%% % %%% 𝒥𝒥%" = %() ;[𝑢𝑢(𝑡𝑡
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residualpointsを
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residual(𝑡𝑡．
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residualpointsをpoints%=𝑡𝑡=𝑡𝑡
で" あ，りresidualpoints
とている
呼
ば呼れ
るれ．
𝑥𝑥Residual
𝑢𝑢𝑥𝑥"%% ), 𝑢𝑢と増やした極限でPINNs
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residualpointsを% )points
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residualpointsを を の解が厳密
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，を%である．
% である．
𝑁𝑁
(10)
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点である．
" , (𝑡𝑡"% ,, points
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
MSE
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residual
をはPDEの誤差を評価する時空間の点であり，
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
MSE
である．
=𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
=𝑡𝑡
"
で
あ
，
residualpoints
と
ば
る
と
．
!
!
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
である．
=𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
MSE
である．
=𝑡𝑡
である．
!
!
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
MSE
である．
=𝑡𝑡
線形の楕円型および放物型のPDEに対しては，residual
"
"
"
!
!
(10)
!
!
𝑥𝑥!%MSE>はPDEの誤差を評価する時空間の点
る．
=𝑡𝑡!% ,MSE
! !
!! !
%()
ら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNsとが⽰されている．では%% % % %%増やした極限で増やした極限でPINNsの解が厳密解と⼀致しなくなるこ
増やした極限でPINNsの解が厳密解と⼀致しなくなるこ% )%%% %PINNsとが⽰されている(10)．
の解が厳密解と⼀致しなくなるこ
PINNsの解が厳密解と⼀致しなくなるこ
増やした極限でPINNsの解が厳密解と⼀致しなくなるこ
%% ば
%れ
%る
はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
ここで𝒥𝒥
=𝑡𝑡
𝑥𝑥
,．
>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と%ℬ%𝑁𝑁%,%%)𝑢𝑢
増やした極限でPINNsの解が厳密解と⼀致しなくなるこ
増やした極限でPINNsの解が厳密解と⼀致しなくなるこ
増やした極限での解が厳密解と⼀致しなくなるこ%,,$%>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と% ．
%と(𝑡𝑡,(𝑡𝑡
あり，residualpointsと呼．
,"%,"𝑥𝑥
!ば
%(𝑡𝑡
で
あ
り
，
residualpoints呼ば．
𝑥𝑥%𝑥𝑥は⽀配⽅程式,,,はそれぞ
𝑢𝑢
𝑥𝑥
ℬ
#=𝑡𝑡
),る
り ， residual
pointsと呼ばれ(𝑡𝑡points
る
,)れ
𝑥𝑥と
,る
𝑢𝑢れ
と
residualpointsと呼ばれる．
と(𝑡𝑡(𝑡𝑡) 増やした極限ででであり，
residualpoints
と
ば
．
𝑢𝑢
と
で
あ
り
，
residual
と
呼
ば
れ
る
．
𝑥𝑥
𝑢𝑢と
と PINNs
"
"
"
%""
)と
"",)
で
あ
り
，
residualpoints
ば
れ
る
．
,
𝑢𝑢
と
(𝑡𝑡
)
esidualpoints
と
呼
れ
る
．
,(𝑡𝑡
𝑢𝑢
"ば
"#
で
あ
り
，
residualpoints
と
れ
る
,
𝑥𝑥
𝑢𝑢
と
pointsを増やした極限で
PINNs
が
PDE
の解に
C0
連続で
"#, 𝑥𝑥"#"""""" , 𝑥𝑥呼
"と
"呼
'"呼
(10)
(10) 活性化関数の滑らかさが重要であり，
(10)
$
(10)
(10)
ReLU
や
ELU
などの
(10)
(10)
(10)
とが⽰されている．
3とが⽰されている
液膜塗布プロセス解析へのPINNsの応用例%とが⽰されている% れ初期条件と境界条件に関する入力と教師のデータセットで%の数であり，%%% %とが⽰されている． ．．
とが⽰されている．とが⽰されている
．
% =𝑡𝑡
%𝑥𝑥
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ𝒥𝒥, 𝒥𝒥# はそれぞれ初期条件と境界条件に関するとが⽰されている．
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であとが⽰されている
．
(9)
%,=𝑡𝑡
,
,
ℬ
>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と
1
𝑥𝑥,ℬ>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と&はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と=𝑡𝑡=𝑡𝑡,𝑥𝑥ℬ>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と# , ℬ% >はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と𝑥𝑥,ℬ>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と
%
%
#
#
=𝑡𝑡
𝑥𝑥
,
ℬ
>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と
#
#
=𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
,
ℬ
>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と収束することが証明されているが，⼀般の⾮線形PDEに# ## #%# #%% %%(2𝑑𝑑) 3.1;<ℬ=𝑡𝑡𝑥𝑥#%る．
>, 𝑤𝑤−𝑤𝑤,𝐵𝐵𝑤𝑤%, ?𝑤𝑤は各損失項の重みであり，
液膜塗布プロセス解析への滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，
Residual points を% 𝒥𝒥#% =3 3 液膜塗布プロセス解析へのP# , 𝑤𝑤,
𝑤𝑤
は各損失項の重みであり，定数としてユーザのデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ
液膜塗布プロセスでの課題
,
𝑥𝑥
>は
PDE
の誤差を評価する時空間の点
MSE
である．
=𝑡𝑡
る．
定数としてユーザは境界条件を表す関数である．
は各損失項
あり，
!
"
#
タセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ𝑁𝑁
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ!
"#
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ!
!
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ#
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ対しては，解の妥当性を担保するには従来法と⽐較しなが%()3
液膜塗布プロセス解析への
PINNs
の応⽤例
増やした極限でPINNsの解が厳密解と⼀致しなくなるこ%% 学習対象のパラメータとすることもできる．
%
3ーが与えるか，
液膜塗布プロセス解析へのPINNs の応⽤例 PINNs
333液膜塗布プロセス解析への
PINNs
の応⽤例
𝑤𝑤#る．
は各損失項の重みであり，定数としてユーザ
液膜塗布プロセス解析への
PINNs
の応⽤例
の応⽤例
3液膜塗布プロセス解析への液膜塗布プロセス解析へのPINNsの応⽤例 では
で，residualpointsと呼ばれる． (𝑡𝑡学習対象のパラメータとすることもできる．
ーが与えるか，
𝑤𝑤!#, 𝑤𝑤は各損失項の重みであり，定数としてユーザ" , る．
定数としてユーザーが与えるか，
学習対象のパラ
液膜塗布プロセス解析への
PINNs
の応⽤例
液膜塗布プロセス解析への
PINNs
の応⽤例
,"#り
𝑤𝑤
は各損失項の重みであり，定数としてユーザ" , 𝑥𝑥" , 𝑢𝑢" )3と 3
る．
𝑤𝑤,あ,は各損失項の重みであり，
𝑤𝑤は各損失項の重みであり，定数としてユーザ
𝑤𝑤の重みであり，
,る．
𝑤𝑤
,,𝑤𝑤
𝑤𝑤
定数としてユーザ𝑤𝑤
は各損失項の重みであり，定数としてユーザ
!
"𝑤𝑤
#𝑤𝑤
る．
𝑤𝑤
定数としてユーザる．
𝑤𝑤,!!"!𝑤𝑤は各損失項の重みであり，定数としてユーザ
半導体デバイス，
ディスプレイや撮像素子のカラーフィルター
ら検討せざるを得ないのが現状である．また，PINNs
!𝑤𝑤
!"
"#
#
(10)
3.1 液膜塗布プロセスでの課題
液膜塗布プロセスでの課題##,は各損失項の重みであり，",,,𝑤𝑤
はＰＤＥの平均⼆乗誤差(MSE)，
𝑁𝑁は⽀配⽅程式
ここで𝒥𝒥3.1とが⽰されている．
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化
%
%
与えるか，
学習対象のパラメータとすることもできる．
!
$
か，学習対象のパラメータとすることもできる．
メータとすることもできる．
PINNs の学習は通常のNN と同様に勾配ベースの最適化=𝑡𝑡# , 𝑥𝑥# ,学習対象のパラメータとすることもできる．
ℬ%学習対象のパラメータとすることもできる．
>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒とーが与えるか，ーが与えるか，
学習対象のパラメータとすることもできる．
ーが与えるか，ーが与えるか，
学習対象のパラメータとすることもできる．
等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く用いられており，感ーが与えるか，
学習対象のパラメータとすることもできる．
ーが与えるか，
学習対象のパラメータとすることもできる．
半導体デバイス，ディスプレイや活性化関数の滑らかさが重要であり，
ReLU や ELU などの3.1
液膜塗布プロセスでの課題
3.1
液膜塗布プロセスでの課題法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す
NNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化の数であり，𝒥𝒥,
𝒥𝒥
はそれぞれ初期条件と境界条件に関する半導体デバイス，ディスプレイや撮学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化#
液膜塗布プロセスでの課題
3.1
液膜塗布プロセスでの課題
3.13.1
液膜塗布プロセスでの課題
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化法
3.1
液膜塗布プロセスでの課題
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す
3.1
液膜塗布プロセスでの課題
3.1
液膜塗布プロセスでの課題
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化
ルター等の製法ではフォトリソグラ
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化
光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材の塗布・乾燥プロセ
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
PINNsの学習は通常のNN
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化
滑らかでない活性化関数を⽤いた場合，points を%% と同様に勾配ベースの最適化
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
れば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
timizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算すの誤差を評価する時空間の点MSEである．
r)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す
ルター等の製法ではフォトリソグラフ
3半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
液膜塗布プロセス解析へのPINNsResidualの応⽤例! , 𝑥𝑥! >は PDEれば良い．PINNs
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ(optimizer)
にて式(2)=𝑡𝑡の損失関数の最小化問題を計算すれば良の応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
る．
𝑤𝑤
,
𝑤𝑤
,
𝑤𝑤
は各損失項の重みであり，定数としてユーザ
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
れており，感光性樹脂と揮発性溶媒法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す!
"#法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いらスが重要な役割を担う．
半導体製法ではレジスト材はエッチン法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す
増やした極限でPINNsに切の解が厳密解と⼀致しなくなるこ
法のを⽤い，
L-BFGS%%
良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
PINNs の応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下であり， residual points序盤では勾配降下法のと呼 Adam
ば
れAdam
る
． (𝑡𝑡
𝑥𝑥"% , ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら
𝑢𝑢途中で準ニュートン法のとれており，感光性樹脂と揮発性溶媒か" ,Adam" )ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら
PINNsの応用例の多くでは，
い．
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら
法のを⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGS(10)に切ーが与えるか，
学習対象のパラメータとすることもできる．
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら
塗布・乾燥プロセスが重要な役割を
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら(6, 7)
れており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材のれば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
れば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
れば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
グ工程でのマスクとして用いられ，用途を終えると除去されるのれており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材のれば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
り替える⽅式が良く⽤いられている．Optimizerの選択れば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGSに切れば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下とが⽰されている．
%%を⽤い，途中で準ニュートン法のL-BFGS に切
=𝑡𝑡
,
𝑥𝑥
,
ℬ
>はそれぞれ初期条件と境界条件に関する⼊⼒と3.1
塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担(6, 7)液膜塗布プロセスでの課題
%
#
#
を用い，
途中で準ニュートン法のL-BFGSに切り替える方式が良れており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材のれており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材のれており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材のレジスト材はエッチング⼯程でのマ塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法ではれており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材の(6, 7)
PINNsの学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化
り替える⽅式が良く⽤いられている．Optimizer レジスト材の膜厚ムラはある程度許容さの選択れており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材の塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法では
(6,
7)
法の
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGS
に切
法の
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGSに切が一般的であるため，
法の
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGSに切や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤える⽅式が良く⽤いられている．Optimizer
法の
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGSに切 れており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材の! , 𝑤𝑤" , 𝑤𝑤# の調整は学習性
法の
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGS
に切
法の
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGSに切式が良く⽤いられている．Optimizerの選択の選択(6, 7)．Optimizer
教師のデータセットであり，ℬは境界条件を表す関数であ
レジスト材はエッチング⼯程でのマス
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィ
の選択や，
式
(2)
における損失く用いられている
⽤途を終えると除去されるのが⼀般
塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法ではレジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，(6, 7)(6,(6,塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法では塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法では
7)
7)
塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法では(6, レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，
7), 𝑤𝑤" , 𝑤𝑤# の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す(6,7)
塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法では(6,．Optimizer
7)．Optimizer
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告, 𝑤𝑤式(2)における損失項の重み𝑤𝑤れることが多いようである．
一方，MEMSデバイスやカラーフィ
り替える⽅式が良く⽤いられている．Optimizerの選択!3
り替える⽅式が良く⽤いられているの選択
り替える⽅式が良く⽤いられているの選択の調整は学習性
おける損失項の重み𝑤𝑤!#" , 𝑤𝑤# の調整は学習性
り替える⽅式が良く⽤いられている．Optimizerの選択 塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法ではり替える⽅式が良く⽤いられている．Optimizerの選択
り替える⽅式が良く⽤いられている．Optimizerの選択! , 𝑤𝑤" , 𝑤𝑤
液膜塗布プロセス解析へのPINNs の応⽤例
る．
𝑤𝑤
,
𝑤𝑤
,
𝑤𝑤
は各損失項の重みであり，定数としてユーザ
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いら⽤途を終えると除去されるのが⼀般的
ト材の膜厚ムラはある程度許容され⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジスの調整は学習性能を大きく左右するが，
そ
項の重み
!
"
#
レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジス
レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，されておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されることれば良い．PINNs の応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，
ルターでは，
レジスト材を最終製品の構造物として利用する場,,,𝑤𝑤の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
𝑤𝑤,
𝑤𝑤の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤,
𝑤𝑤の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤! , 𝑤𝑤#,
𝑤𝑤,
𝑤𝑤の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤
! ,"
"
#
!
"
#
𝑤𝑤
,
𝑤𝑤
の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤
𝑤𝑤,
𝑤𝑤の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤!
"#!! "" ##
る．⼀⽅，MEMS デバイスやカラー
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであーが与えるか，
学習対象のパラメータとすることもできる．
れており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材のト材の膜厚ムラはある程度許容されるの調整指針について，
本稿執筆時点では系統だった研究の報告
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであ
⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジス
⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジスが多いようである．
⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジスておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されること⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジス
法のAdam を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGS に切されておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されること⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジス
ず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されること
合がある．
この場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジス
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
3.1
液膜塗布プロセスでの課題
スト材を最終製品の構造物として利
る．
⼀⽅，
MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，
レジる．
⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，
レジ る．⼀⽅，MEMS
PINNs の学習は通常のNNと同様に勾配ベースの最適化例が見当たらず，
問題に応じて試行錯誤的に調整されることがデバイスやカラー
塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法では(6,7) PINNsの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
いようである．
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであ
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであ
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであである．
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであが多いようである．
り替える⽅式が良く⽤いられているまり，
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の寸法精度に直結する．Optimizerの選択
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであ
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであされておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されることされておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されることされておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されることされておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されることされておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されることされておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されること
半導体デバイス，ディスプレイや撮像素⼦のカラーフィの場合はデバイスの設計によってレスト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こスト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こ
理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基多いようである．
法(optimizer)にて式(2)の損失関数の最⼩化問題を計算す
NNs の応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，スト材を最終製品の構造物として利⽤る．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
る．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジる．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジる．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジため，膜厚均一性への要求精度が極めて高くなる．
膜厚ムラの, 𝑤𝑤" , 𝑤𝑤#の応⽤例が多数存在する⼀⽅で，の調整は学習性
や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤PINNs
収束性に関する
る．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジる．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジが多いようである．
が多いようである．
!
が多いようである．
レジスト材の膜厚ムラが最終製品のが多いようである．
の場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，が多いようである．
が多いようである．
ルター等の製法ではフォトリソグラフィ技術が広く⽤いらの場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基PINNsの応用例が多数存在する一方で，収束性に関する理れば良い．PINNsの応⽤例の多くでは，序盤では勾配降下の場合はデバイスの設計によってレジ究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジス
スト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こスト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こスト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こスト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こ
理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告
スト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こスト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こPINNsの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
代表例として，基板端部で極端に厚膜になるedge-bead(11)や，
PINNsの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
PINNsの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するたPINNsの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するたPINNsの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
PINNsの応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する
れており，感光性樹脂と揮発性溶媒から成るレジスト材の(8)に基づくと，と，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期NNの万能近似定理
論的な研究は非常に少ない．
2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期
法の
Adam
を⽤い，
途中で準ニュートン法のL-BFGSに切
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨
ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであの場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，の場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，の場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，(12)が挙げられの場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDE の解と⼀致すると期されておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されることの場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基の場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，スピンコート中に発生する放射状のスジムラ
理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基の万能近似定理(8)に基理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基塗布・乾燥プロセスが重要な役割を担う．半導体製法では(6, 7)(2)の大域的最小がとPDEの解と一致すると期待できるが，式
式理論的な研究は⾮常に少ない．NN
り替える⽅式が良く⽤いられている．Optimizerの選択る．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジレジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するた
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するた
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するた
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するたが多いようである．
づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するた
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するた
づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期る．
このような膜厚ムラの予測に数値シミュレーションの活
づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDEの解と⼀致すると期
レジスト材はエッチング⼯程でのマスクとして⽤いられ，(2)は一般に凸とは限らないため，
勾配ベースのoptimizer
で大域や，式(2)における損失項の重み𝑤𝑤! , 𝑤𝑤" , 𝑤𝑤
# の調整は学習性 スト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こPINNs の応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する用が期待されるが，偏微分方程式の時間発展計算に長時間を⽤途を終えると除去されるのが⼀般的であるため，レジス
2階線形の楕円型および放物的最小に収束する保証はない．
能を⼤きく左右するが，現状では系統的な調整指針は報告の場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，理論的な研究は⾮常に少ない．NN
の万能近似定理(8)に基ト材の膜厚ムラはある程度許容されることが多いようであ要することが活用の障壁となっている．
筆者らはこの問題にに対しては，residual pointsを増やした極限でPINNsが型のPDEされておらず，問題に応じて試⾏錯誤的に調整されること
レジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するた
づくと，式(2)の⼤域的最⼩がとPDE の解と⼀致すると期
0(9)る．⼀⽅，MEMS
デバイスやカラーフィルターでは，レジPDEの解にC連続で収束することが証明されている が，一般
PINNsを適用して，膜厚ムラを回避・抑制するための最適塗が多いようである．
の非線形PDEに対しては，解の妥当性を担保するには従来法とスト材を最終製品の構造物として利⽤する場合がある．こPINNs の応⽤例が多数存在する⼀⽅で，収束性に関する 布条件を逆問題的に探索できるようにすることを目指してい比較しながら検討せざるを得ないのが現状である．
また，PINNsの場合はデバイスの設計によってレジスト膜厚が決まり，理論的な研究は⾮常に少ない．NN の万能近似定理(8)に基 る．以下では，このような液膜塗布プロセス解析における筆者
では活性化関数の滑らかさが重要であり，ReLUやELUなどのレジスト材の膜厚ムラが最終製品の⼨法精度に直結するた
づくと，式(2)の⼤域的最⼩がと PDE の解と⼀致すると期で実⾏することなどが有効であることで実⾏することなどが有効であることを報告した．また，
PINN
より詳細な定量⽐較についても既報(
より詳細な定量⽐較についても既報(14)を参照されたい．

PINN
パラメータ

パラメータ

x

3.3
逆問題への応⽤
3.3
逆問題への応⽤● 38
数値シミュレーションを設計開発に
数値シミュレーションを設計開発に活⽤するには，順問
時間 t
時間 t
題だけでなく，膜厚分布などの出⼒結
題だけでなく，膜厚分布などの出⼒結果を所望の状態に近(19,20)図(19,20)
3 PINNs を⽤いたデータ同化法の構成
周りの流れに対する形状最適化問題を
PINNsによって計算したづけるための⼊⼒パラメータの最適化
図 3 PINNs を⽤いたデータ同化法の構成づけるための⼊⼒パラメータの最適化や，物性値や初期条の学習には，中間変数を導⼊して微分の階数を低減するこ(16,17,18)．これらの方法では件等の不確かなパラメータを，観測デPDE自体の学習とパラメー
例がある
観測データ
め，膜厚均⼀性への要求精度が極めて⾼くなる．膜厚ムラ
件等の不確かなパラメータを，観測データを⽤いてデータ
め，膜厚均⼀性への要求精度が極めて⾼くなる．膜厚ムラとで⾃動微分の計算コストを下げること，residual
pointsタの同定を同時に行うため，計算時間を要することが実用面で同化するなどの逆問題の計算が重要での代表例として，基板端部で極端に厚膜になる
edge同化するなどの逆問題の計算が重要である．
PINNs
のオリ
の代表例として，基板端部で極端に厚膜になる
edgeを時間初期側に密に配置すること，浮動⼩数点演算を
64bit
予測値
upda te(1)の入力に取PINNsの課題になる．
著者らは未知のパラメータを(12)
ジナルの論⽂では，PINNs の損失関(1)
bead(11)や，スピンコート中に発⽣する放射状のスジムラ(12)
ジナルの論⽂では，PINNs の損失関数に観測データを教
bead(11)や，スピンコート中に発⽣する放射状のスジムラで実⾏することなどが有効であることを報告した．また，る形式にすることでPDEの学習とパラメータの同化計算を分離
PINN
師ありで組み込むことで，物性値等のが挙げられる．このような膜厚ムラの予測に数値シミュレ
パラメータ
師ありで組み込むことで，物性値等の⽀配⽅程式のパラメが挙げられる．このような膜厚ムラの予測に数値シミュレ
より詳細な定量⽐較についても既報(14)を参照されたい．
し，同化計算を高速に実行できるようなデータ同化法の枠組み
ータを同定する⽅法がーションの活⽤が期待されるが，偏微分⽅程式の時間発展
ータを同定する⽅法がdata-driven discovery の枠組みでdata-driven dーションの活⽤が期待されるが，偏微分⽅程式の時間発展(19,20)．
前述したように，PINNs
では支配方程式に予
を提案した
x
位置
⽰されている．この⽅法をベースに，
3.3
逆問題への応⽤
計算に⻑時間を要することが活⽤の障壁となっている．筆⽰されている．この⽅法をベースに，物体周りの流れに対計算に⻑時間を要することが活⽤の障壁となっている．筆測解を代入して評価する際に自動微分を用いるが，この自動微する形状最適化問題を PINNs によっ
数値シミュレーションを設計開発に活⽤するには，順問者らはこの問題に PINNs を適⽤して，膜厚ムラを回避・抑する形状最適化問題を
PINNs によって計算した例がある
時間 t
者らはこの問題に
PINNs を適⽤して，膜厚ムラを回避・抑分は学習後に解のパラメータ依存性を計算する際にも利用でき(16,17,18)．これらの⽅法では PDE ⾃体の(16,17,18)
題だけでなく，膜厚分布などの出⼒結果を所望の状態に近制するための最適塗布条件を逆問題的に探索できるように．これらの⽅法ではPDE
⾃体の学習とパラメータの制するための最適塗布条件を逆問題的に探索できるように(19,20)る．
図 3 PINNs を⽤いたデータ同化法の構成同定を同時に⾏うため，計算時間を要づけるための⼊⼒パラメータの最適化や，物性値や初期条(19,20)
することを⽬指している．以下では，このような液膜塗布
図3 PINNsを用いたデータ同化法の構成同定を同時に⾏うため，計算時間を要することが実⽤⾯ですることを⽬指している．以下では，このような液膜塗布の課題になる．
著者らは未知のパラメ
件等の不確かなパラメータを，観測データを⽤いてデータ
プロセス解析における筆者らの研究成果を中⼼に
PINNs
3.4 初期条件を可変とする拡張
め，膜厚均⼀性への要求精度が極めて⾼くなる．膜厚ムラの課題になる．
著者らは未知のパラメータを
PINNs の⼊⼒
プロセス解析における筆者らの研究成果を中⼼にPINNsに取る形式にすることで同化するなどの逆問題の計算が重要である．
PINNs のオリ PDE の学習らの研究成果を中心にPINNsの適用例を紹介する．
の適⽤例を紹介する．
の代表例として，基板端部で極端に厚膜になる
edgePINNsでは，初期条件を教師データとして損失関数に組み込に取る形式にすることでPDE の学習とパラメータの同化の適⽤例を紹介する．
(1)
計算を分離することで，同化計算を⾼(12)ジナルの論⽂では，PINNs の損失関数に観測データを教
むため，初期条件を変えた場合は再学習が必要になる．
実用的
bead(11)や，スピンコート中に発⽣する放射状のスジムラ
計算を分離することで，同化計算を⾼速に実⾏できるよう
3.2
隆起の緩和問題に関する順解析の例(13.2
隆起の緩和問題に関する順解析の例
なデータ同化法の枠組みを提案した
3.2
隆起の緩和問題に関する順解析の例(19,20)
師ありで組み込むことで，物性値等の⽀配⽅程式のパラメ
な数値シミュレーションの多くでは初期条件も不確かさを含むが挙げられる．このような膜厚ムラの予測に数値シミュレなデータ同化法の枠組みを提案した．
前述したように，
図 2(c)のように液膜中央に隆起が存在し，これが表⾯張では⽀配⽅程式に予測解を代2(c)のように液膜中央に隆起が存在し，これが表面張力に
図2(c)のように液膜中央に隆起が存在し，これが表⾯張図ータを同定する⽅法がdata-drivenPINNs
discoveryの枠組みでため，前述したデータ同化においては初期条件も同化対象のパーションの活⽤が期待されるが，偏微分⽅程式の時間発展
PINNs
では⽀配⽅程式に予測解を代⼊して評価する際に⼒によって時間と共に緩和する問題を考える．このようなよって時間と共に緩和する問題を考える．
このような曲率を
⾃動微分を⽤いるが，この⾃動微分は⼒によって時間と共に緩和する問題を考える．このような⽰されている．この⽅法をベースに，物体周りの流れに対ラメータとすることが多い．PINNsを用いたデータ同化法にお計算に⻑時間を要することが活⽤の障壁となっている．筆⾃動微分を⽤いるが，この⾃動微分は学習後に解のパラメ
曲率を持った液⾯にはラプラス圧の勾配が⽣じ，これを緩持った液面にはラプラス圧の勾配が生じ，これを緩和するようータ依存性を計算する際にも利⽤でき曲率を持った液⾯にはラプラス圧の勾配が⽣じ，これを緩する形状最適化問題を
PINNs によって計算した例がある
いては，初期条件を変えた場合に再学習が必要になるため，
初者らはこの問題に PINNs を適⽤して，膜厚ムラを回避・抑ータ依存性を計算する際にも利⽤できる．
和するような流れが駆動される．この緩和挙動は下記の⽀(16,17,18)
な流れが駆動される．
この緩和挙動は下記の支配方程式で記和するような流れが駆動される．この緩和挙動は下記の⽀期条件に対する勾配の計算ができなくなる．
この問題を解決す．これらの⽅法ではPDE
⾃体の学習とパラメータの制するための最適塗布条件を逆問題的に探索できるように
3.4
初期条件を可変とする拡張配⽅程式で記述できる． 3.4
述できる．
初期条件を可変とする拡張配⽅程式で記述できる．
4に示すような初期条件を可変とするよう
るために，
著者らは図
同定を同時に⾏うため，計算時間を要することが実⽤⾯ですることを⽬指している．以下では，このような液膜塗布
PINNs では，初期条件を教師データ
𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕
𝜕𝜕 * ℎ では，初期条件を教師データとして損失関数に組*に拡張したPINNs(21) ．
PINNsを提案した
基本的には初期条件も
𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕
𝜕𝜕 * ℎ(2)
著者らは未知のパラメータを
PINNs
の⼊⼒NN
+
=
0
Hℎの課題になる．
I
プロセス解析における筆者らの研究成果を中⼼にPINNs*
み込むため，
初期条件を変えた場合は𝜕𝜕𝜕𝜕(2) 𝜕𝜕𝜕𝜕 み込むため，
𝜕𝜕𝑥𝑥 *+Hℎ
I=0*
初期条件を変えた場合は再学習が必要になる．
の入力に取るようにしているが，初期条件の離散点を直接入力𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥に取る形式にすることでPDE の学習とパラメータの同化の適⽤例を紹介する．
実⽤的な数値シミュレーションの多く
この式は，Navier-Stokes ⽅程式に対して，
主流⽅向𝑥𝑥より実⽤的な数値シミュレーションの多くでは初期条件も不確に取ると次元が膨大になるため，
オートエンコーダによる低次元
この式は，Navier-Stokes ⽅程式に対して，主流⽅向𝑥𝑥より計算を分離することで，同化計算を⾼速に実⾏できるようかさを含むため，前述したデータ同化
膜厚⽅向の⻑さスケールが極めて⼩さいことを利⽤した潤
Navier-Stokes方程式に対して，
主流方向xより膜厚方
この式は，
3.2
隆起の緩和問題に関する順解析の例(19,20)かさを含むため，前述したデータ同化においては初期条件化を導入している．
このオートエンコーダは，想定される初期条
膜厚⽅向の⻑さスケールが極めて⼩さいことを利⽤した潤なデータ同化法の枠組みを提案した．前述したように，も同化対象のパラメータとすることが滑近似を適⽤することで得られるものであり，膜厚ℎの時向の長さスケールが極めて小さいことを利用した潤滑近似を
図2(c)のように液膜中央に隆起が存在し，これが表⾯張も同化対象のパラメータとすることが多い．
PINNs
を⽤い
PINNs
での学習に
件の変化範囲内で事前に学習させておく．
滑近似を適⽤することで得られるものであり，膜厚ℎの時
PINNs では⽀配⽅程式に予測解を代⼊して評価する際にたデータ同化法においては，初期条件
空間変動をスカラー⽅程式で記述できることから液膜流れ
適用することで得られるものであり，膜厚hの時空間変動をスカ⼒によって時間と共に緩和する問題を考える．このようなおいては，初期条件の離散点はオートエンコーダのエンコーダ
たデータ同化法においては，初期条件を変えた場合に再学
空間変動をスカラー⽅程式で記述できることから液膜流れ
⾃動微分を⽤いるが，この⾃動微分は学習後に解のパラメ(13, 12)習が必要になるため，初期条件に対す．式(2)は膜厚⽅向と主流の分野で広く⽤いられている習が必要になるため，初期条件に対する勾配の計算ができ
ラー方程式で記述できることから液膜流れの分野で広く用いら(13, 12)
曲率を持った液⾯にはラプラス圧の勾配が⽣じ，これを緩部分で次元圧縮し，これを初期条件の識別子とする．識別子の．式(2)は膜厚⽅向と主流の分野で広く⽤いられているータ依存性を計算する際にも利⽤できる．
なくなる．この問題を解決するために(13,
12)．式(2)は膜厚方向と主流方向の長さスケールをれている
⽅向の⻑さスケールをそれぞれ平均膜厚ℎ+ と代表⻑さ𝐿𝐿で，次元は，考慮する初期条件のバリエーションの範囲に基づいて和するような流れが駆動される．この緩和挙動は下記の⽀なくなる．この問題を解決するために，著者らは図4 に⽰
⽅向の⻑さスケールをそれぞれ平均膜厚ℎ+ と代表⻑さ𝐿𝐿で，*,すような初期条件を可変とするように
=
3𝜇𝜇𝐿𝐿
/𝜎𝜎ℎ
で無次元化したものであり，
𝜇𝜇は粘性
時間を𝑇𝑇
3.4
初期条件を可変とする拡張
それぞれ平均膜厚hと代表長さLで，
時間を
で
+
+
0
PINNs
の入力に与
決める必要がある．
この初期条件の識別子を配⽅程式で記述できる．
すような初期条件を可変とするように拡張した PINNs を
𝜇𝜇は粘性
時間を𝑇𝑇+ = 3𝜇𝜇𝐿𝐿, /𝜎𝜎ℎ+* で無次元化したものであり，提案した(中村 20,21) ．
基本的には初* 係数，𝜎𝜎は表⾯張⼒である．
無次元化したものであり，
μは粘性係数，σは表面張力である．図
PINNs
では，
初期条件を教師データとして損失関数に組え，
初期条件の誤差を評価する際には元の離散点hiを用いる．
𝜕𝜕ℎ𝜕𝜕𝜕𝜕ℎ
提案した(中村
20,21)．
基本的には初期条件も NNの⼊⼒ こ係数，𝜎𝜎は表⾯張⼒である．
*に取るようにしているが，初期条件の
(2)
+
Hℎ
I=0
み込むため，
初期条件を変えた場合は再学習が必要になる．
)+ ℎ
PINNsによって，初期条件を変えた場合の解をのように拡張した2(a,b)は横軸t，縦軸xに対して膜厚の常用対数log10hをプロット𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥 * 図 2(a,b)は横軸𝑡𝑡，縦軸𝑥𝑥に対して膜厚の常⽤対数logに取るようにしているが，初期条件の離散点を直接⼊⼒に
図 2(a,b)は横軸𝑡𝑡，縦軸𝑥𝑥に対して膜厚の常⽤対数log)+ ℎをプロットしたものであり，図2(a)は有限差分法(FDM)，
実⽤的な数値シミュレーションの多くでは初期条件も不確
PINNsによって予測できるようになる．この構造とするこ
同一の
(FDM)
，図
2(b)はPINNsにしたものであり，
図2(a)は有限差分法
この式は，Navier-Stokes
⽅程式に対して，
主流⽅向𝑥𝑥よりをプロットしたものであり，図2(a)は有限差分法(FDM)，
図
2(b)は
PINNs
による予測結果である．
また，
図 2(c,d)はとの利点は，
初期条件を変えた際の解の変化を自動微分によっ
2(c,d)
は特定時刻t=0(c)，
およびよる予測結果である．
また，
図
かさを含むため，前述したデータ同化においては初期条件
初期条件の膜厚⽅向の⻑さスケールが極めて⼩さいことを利⽤した潤図2(b)は PINNs による予測結果である．また，図 2(c,d)は
識別子
損失関数
初期条件の
= 0 (c)，および𝑡𝑡 も同化対象のパラメータとすることが多い．
=て計算できるようになる点であり，0.5 (d)におけるスナップシ
特定時刻𝑡𝑡(d)におけるスナップショ
ットである．
いずれの時刻において
t=0.5
データ同化において初期条件
PINNs
を⽤い
識別子
滑近似を適⽤することで得られるものであり，膜厚ℎの時
特定時刻𝑡𝑡 = 0 (c)，および𝑡𝑡 = 0.5 (d)におけるスナップシ
ョットである．いずれの時刻においてもPINNs の予測結果とができる． 初期条件
も同化対象パラメータとするこもPINNsの予測結果はFDMの結果と十分一致していることがたデータ同化法においては，初期条件を変えた場合に再学
空間変動をスカラー⽅程式で記述できることから液膜流れョットである．
いずれの時刻においても PINNs の予測結果
は FDM の結果と⼗分⼀致していることが確認できる．式u
確認できる．式(2)は空間4階微分と境界条件(13, 12)4次の非線形性を有するこ．式(2)は膜厚⽅向と主流と 習が必要になるため，初期条件に対する勾配の計算ができの分野で広く⽤いられている
4. PINNsの特徴と課題および今後の展望
はFDM の結果と⼗分⼀致していることが確認できる．式
支配方程式(2)は空間階微分と 4 次の⾮線形性を有することが特徴
PINNs4の適用例は少が特徴であり，このような方程式に対するなくなる．この問題を解決するために，著者らは図
4 に⽰x
初期条件
⽅向の⻑さスケールをそれぞれ平均膜厚ℎ+ と代表⻑さ𝐿𝐿で，
x(2)は空間
4 階微分と4 次の⾮線形性を有することが特徴
PINNsの特徴を整理しながら具体的な活用を論じ
最後に，(14,15)Autoencoder
初期条件
では，この方程式に対する
PINNsの学ない．筆者らの既報であり，このような⽅程式に対する
PINNs の適⽤例は少な
すような初期条件を可変とするように拡張した
PINNs をt
= 3𝜇𝜇𝐿𝐿, /𝜎𝜎ℎ+* で無次元化したものであり，
𝜇𝜇は粘性時間を𝑇𝑇+このような⽅程式に対するt
Autoencoder
であり，
PINNs
の適⽤例は少なPINNsの利用法として考えやすいのは，
従来的な時間発展る．
PI NN
習には，中間変数を導入して微分の階数を低減することで自動い．筆者らの既報(14,15)では，この⽅程式に対するPINNs
提案した(中村
20,21) ．
基本的には初期条件もNN の⼊⼒係数，𝜎𝜎は表⾯張⼒である．
PI NN
い．
筆者らの既報(14,15)では，この⽅程式に対する
PINNs
型の数値シミュレーションの代替として用いることであろう．
一
図4
初期条件を可変とする
PIN
微分の計算コストを下げること，residual pointsを時間初期側にに取るようにしているが，初期条件の離散点を直接⼊⼒に
図 4 初期条件を可変とする PINNs の構成(21)
図 2(a,b)は横軸𝑡𝑡，縦軸𝑥𝑥に対して膜厚の常⽤対数log ℎx

位置CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
位置密に配置すること，浮動小数点演算を64bitで実行することなど)+をプロットしたものであり，図 2(a)は有限差分法(FDM)，が有効であることを報告した．
また，より詳細な定量比較につい
図 2(b)は(14)PINNs による予測結果である．また，図 2(c,d)はても既報 を参照されたい．
特定時刻𝑡𝑡 = 0 (c)，および𝑡𝑡 = 0.5 (d)におけるスナップシ
3.3 逆問題への応用ョットである．
いずれの時刻においても PINNs の予測結果
は FDMの結果と⼗分⼀致していることが確認できる．式
数値シミュレーションを設計開発に活用するには，
順問題だ(2)は空間4階微分と4次の⾮線形性を有することが特徴
けでなく，膜厚分布などの出力結果を所望の状態に近づけるたであり，
このような⽅程式に対する PINNs の適⽤例は少なめの入力パラメータの最適化や，物性値や初期条件等の不確い．
筆者らの既報(14,15)では，この⽅程式に対する PINNs
かなパラメータを観測データを用いてデータ同化するなどの逆問題の計算が重要である．PINNsのオリジナルの論文(1)では，PINNsの損失関数に観測データとの誤差を組み込むことで，物性値等の支配方程式のパラメータを同定する方法がdata-driven
discoveryの枠組みで示されている．この方法をベースに，物体度学習を終えたPINNsは，学習対象とした時空間t ∊[0,T], x ∊ Ωの範囲内であれば，任意の(t , x)に対する解u(t , x)を即時に計算

PINNs
の優位性は
できる．
しかし，この観点では従来法に比べた
損失関数
初期条件の
識別子

高くない，と筆者らは考えている．従来型の時間発展型の計算
初期条件

u

初期条件の
識別子
初期条件
Autoencoder

境界条件

x

初期条件

t

u
PI NN

境界条件
支配方程式

図 4 初期条件を可変とする
PINNs の構成(21)x

初期条件

Autoencoder

損失関数

支配方程式

t
PINN

図4 初期条件を可変とするPINNsの構成(21)CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)
法でも，時刻ごとの解を保存しておけばリスタート計算や補間によって任意のt , xにおける解を得ることはできる．PINNsで保存する必要があるのはNNの重みデータのみなので，解そのものを保存する場合に比べれば容量は少ないが，この点で見ると単にデータ圧縮の効果しかない．筆者らは，PINNsを用いることの利点は，入力(t , x)と解 u(t , x)の非線形写像を，ニューラルネッ

トワークという線形結合と初等的な非線形関数の組合せの形式

で得られる点にあると考えている．
この形式によって解の入力に対する勾配を自動微分で計算できることは，逆問題への応用で力を発揮する．本稿では，PINNsの損失関数に教師ありとして組

み入れるのは初期条件と境界条件のみとして説明したが，観測データとの誤差や制約条件も簡単に損失関数に組み込むことができる．
このように，問題の状況に応じてデータを柔軟に取り込
むことができる点にPINNsの有用性があるといえよう．

以上，PINNsの概要と実用上の留意点を紹介し，課題や活用法について整理した．PINNsの特徴を冷静に捉えて有効に活用していくために，本稿が一助となれば幸いである．
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Networks for Linear Second-Order Elliptic and Parabolic
Type PDEs, Commun. Comput. Phys. 28(5), 2042-2074(2020)（ 10）Mishra, S. and Molinaro, R.: Estimates on thegeneralization error of Physics Informed Neural Networks(PINNs) for approximating PDEs, arXiv (2020)（ 11）Shiratori, S. and Kubokawa, T.: Double-peaked edge-beadin drying ﬁlm of solvent-resin mixtures, Phys. Fluids 27,(10), 102105 (2015)（ 12）Shiratori, S., Kato, D., Sugasawa, K., Nagano, H. andShimano, K.: Spatio-temporal thickness variation andtransient Marangoni number in striations during spin
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liquid ﬁlm ﬂows, Int. J. Numer. Methods Fluids 94(9), pp.
1359-1378 (2022)（ 15）白鳥 英, 中村 耀，杉原 伊織：Physics-Informed Neural
Networkの研究動向と液膜流れの問題への適用例, 人工知能 38(3), pp.335-344 (2023)（ 16）Lu, L., Pestourie, R., Yao, W., Wang, Z., Verdugo, F. andJohnson, S.G.: Physics-informed neural networks withhard constraints for inverse design. SIAM Journal on
Scientiﬁc Computing, Vol. 43, No. 6, pp. B1105–B1132(2021)（ 17）渡邊 翔, 長谷川 洋介：Physics-informed neural networksを用いた新たな形状最適化フレームワーク, 日本流体力学会年会 (2022)（ 18）渡邊 翔, 長谷川 洋介：PINNsを用いた円柱周り流れにおける抵抗低減及び伝熱促進のための形状最適化, 第37回
数値流体力学シンポジウム (2023)（ 19）白鳥 英, 武田 唯, 中村 耀, 山口 郁斗, 永野 秀明, 島野 健
仁郎：Physics-Informed Neural Networkを用いた高速なデータ同化法, 日本流体力学会年会 (2020)（ 20）石澤 翔，白鳥 英, 山口 郁斗, 永野 秀明, 島野 健仁郎：PINNを用いたデータ同化法による複数物性値の同時推定, 第37回数値流体力学シンポジウム (2023)（ 21）Nakamura, Y., Shiratori, S., Nagano, H., and Shimano, K.:
Physics-Informed Neural Network with Variable Initial
Conditions, in 8th Int. Conf. Heat Transfer and Fluid Flow
(HTFF) (2021)

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 40

部門からのお知らせ

第36回計算力学講演会（ CMD2023）優秀講演表彰報告

萩原 世也
佐賀大学
第 36 回 計 算 力 学 講 演 会 が 2023 年 10 月 25 日〜 27 日の日

程で愛 知 県 豊 橋 市の豊 橋 商 工 会 議 所にお いて開 催されました．講演会において座長と参加者に評価をお願いした結優秀講演表彰 3 名，優秀技術講演表彰 2 名，および日本機械学会若手優秀講演フェロー賞 6 名を表彰することとなりました . 表彰状を受賞者にお送りするとともに，本誌上に公開し果にしたがって選考を行い，計算力学部門一般表彰としてて，心よりお祝い申し上げます．
（ 以下敬称略，五十音順）● 優秀講演表彰● 日本機械学会若手優秀講演フェロー賞

大野宗一 (北海道大学)

高速凝固の定量的フェーズフィールド・モデリング志澤一之 (慶應義塾大学)

TRIP鋼における強度と延性の粒径依存性に関するPhaseﬁeld・転位-結晶塑性FEM解析
樋口祐次 (九州大学)
高分子材料の変形・破壊に関する粗視化分子動力学シミュ
レーション● 優秀技術講演表彰

小林広輝 (株式会社 豊田中央研究所)

空気圧によって歩行・登攀するソフトロボットのトポロジー
最適化

中野智宏 (計測エンジニアリングシステム株式会社)

数値シミュレーションにおける不確かさの定量化技術● 優秀講演表彰

大野 宗一

阿部能将 (京都大学)

LCAO法に基づく応力の原子軌道分解法の開発

池田善孝 (京都大学)

常誘電体SrTiO3表面の酸素空孔による分極Skyrmion，Meron の形成に関する第一原理解析
奥田大樹 (大阪工業大学)
PCB水熱酸化分解反応器の熱流動連成解析におけるPCBの粘性係数の検討
津久井康介 (東京都立大学）
細胞膜力学モデルを用いた表層内ミオシンダイナミクスによる膜突起形成の検討
西澤仁人 (信州大学）
機械学習原子間ポテンシャルの適用性評価および追加
データ生成に関する検討
YIN YUWEI (東京工業大学)
大谷翔平投手のスイーパーの AMR-LBM による空力解析
以上● 優秀技術講演表彰

志澤 一之

樋口 祐次

小林 広輝

中野 智宏

西澤 仁人

YIN YUWEI● 日本機械学会若手優秀講演フェロー賞

阿部 能将

池田 善孝

奥田 大樹

津久井 康介CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 41

2024年度年次大会部門企画について

松浦 一雄
愛媛大学
日本機械学会 2024 年度年次大会は，2024 年 9 月8日（日）から9 月11日（水）までの日程で，愛媛大学城北キャンパスに1 度の部門の枠を超えた学術交流の場として，研究成果のご発表や最新研究情報の収集，研究者ネットワークの構築な（〒790-8577 愛媛県松山市文京町 3 ）で開催される予定でどにご活用下さい．また，他部門と合同で部門同好会の開催「環境にやさチフレーズに，「 AIを活用したデジタル変革」，

ム ペ ー ジ（ https://pub.confit.atlas.jp/ja/event/jsme2024）をす．本大会は「機械工学で実現する日本産業変革」をキャッしいエネルギ変革」，「未来を担う技術人材の育成」の 3 つを主要テーマとして開催されます．特別企画や他部門とのジョ

イントセッションなどが企画されており，企業の方，学生の方を予定しています．本大会の詳細は 2024 年度年次大会ホーご覧下さい．

計算力学部門では，以下の特別企画・オーガナイズドセッ

ションを企画致しております．皆様のご参加を心よりお待ち致も含めて，多くの方にご参加頂ける内容となっております．年

しております .

【特別企画】先端技術フォーラム「 J012 解析・設計の高度化・最適化」「人の不確かさ（感情・創造性）及び知を獲得するために脳科学（計算力学部門，設計工学・システム部門）西脇 眞二（京都大（計算力学部門，設計工学システム部門，生産システム部門）

川 浩志（芝浦工業大学）

やAIの活用は可能か？」

平野 徹（ダイキン工業），山本 崇史（工学院大学），長谷学），下田 昌利（豊田工業大学）「 J031 燃料電池・二次電池とナノ・マイクロ現象」（材料力学部門，マイクロ・ナノ工学部門，熱工学部門，計算力学部門，動力エネルギーシステム部門，流体工【特別企画】ワークショップ
循環器疾患の治療デバイス・治療法の進展と工学への期待」（医工学テクノロジー推進会議，日本循環器学会，機械力学･計測制御部門，バイオエンジニアリング部 門，材料力学部

門，機素潤滑設計部門，流体工学部門，ロボティクス・メカト

ロニクス部門，熱工学部門，計算力学部門，情報・知能・精密機器部門，マイクロ・ナ ノ工学部門）

学部門），鹿園 直毅（東京大学），徳増 崇（東北佐藤 一永（東北大学），杵淵 郁也（東京大学），村松 眞由大学），田部 豊（北海道大学）（慶應大学）「 J121 1DCAE・MBDと物理モデリング」（設計工学・システム部門，
機械力学・計測制御部門，
機械材料・材料加工部門，
流体工学部門，熱工学部門，
計算力学部門）高嶋 一登（九州工業大学）（ Ohtomi Design Lab. ），山崎美稀（日立ハイテク），脇谷
大富 浩一

伸（広島大学），野間口 大（大阪大学），岩田 宜之（東芝インフラシ（鉄道総合技術研究所），西田 怜美（インテグ
ステムズ），後藤 恵一【オーガナイズドセッション】「 J011 安心安全な水素社会を創る 流体解析と計測技術」（計算力学部門，流体工学部門），月川 久義（元九州大学），錦 慎之助（帝松浦 一雄（愛媛大学），寺田 敦彦（日本原子力研京大学），鈴木 健吾（フィガロ技研），朝原 誠（岐阜
究開発機構），丸 祐介（宇宙航空研究開発機構），小林 弘明（宇宙航空研究開発
大学），茂木 俊夫（東京大学），湯川 宏（名古屋大学），武野 計二機構），加藤 喜峰（九州大学）（豊田工業大学）

お問い合わせ先：2024年度年次大会実行委員会

レーションテクノロジー），畑陽介（ブラザー工業），福江高志（金沢工業大学）「 J241 医工学テクノロジーによる医療福祉機器開発」（医工学テクノロジー推進会議，機械力学・計測制御部門，流体工学部門，
計算力学部門，バイオエンジニアリング部門，
ロボティクス・メカトロニクス部門，
情報・知能・精密機器部門，
材料力学部門，熱工学部門，
マイクロ・ナノ工学部門，
機素潤滑設計部門），宮田昌悟（慶應義塾大学），甲斐 義弘中里 裕一（日本工業大学）（東海大学），
塚本哲（防衛大学校）nenji2024@jsme.or.jp

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 42

材料力学部門 M&M・CMD若手シンポジウム
2023 優秀講演表彰
竹澤
宍戸

晃弘
信之

早稲田大学（左）近畿大学（右）材 料 力 学 部 門と本 部 門で合 同 開 催 致しました，M&M ・
CMD 若手シンポジウム 2023 にお いて，実 行 委 員 会 及びア
ドバイザ ー の 先 生 方 に評 価をお 願 いした結 果 に基 づき選考を行い，計算力学部門一般表彰として優秀講演表彰 2 名を表彰することとなりました．表彰状を受賞者にお送りするとともに，本誌上に公開して，心よりお祝い申し上げます．

（ 以下敬称略，五十音順）● 優秀講演表彰

平能敦雄（東京理科大学）

4H-SiC における電荷移動型原子間ポテンシャルを用いた転位の分子動力学シミュレーション
森田直樹（筑波大学）

グラフ構造で一般化した並列線形ソルバライブラリとマル
チスケールシミュレーションへの適用

以上

平能 敦雄

森田 直樹

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)● 43

第37回計算力学講演会（ CMD2024）開催案内

石本 淳
東北大学流体科学研究所
第37回計算力学講演会（ CMD2024）を宮城県仙台市にて，対面形式にて開催することとなりました．

CMD2024の会場は，トークネットホール仙台（宮城県仙台市，下図）です．
開催期間は2024年10月18日（金）〜 20日（日）です．
一般セッション，フォーラムに加え，27のオーガナイズドセッション（予定）を企画しており，計算力学や機械工学に関連する幅広い分野について議論できます．
まずは，4月下旬〜 6月中旬にかけて
講演申込み受付を行う予定ですので，積極的なお申込みをお待ちしております．
詳しくは，以下のホームページをご覧下さい．
講演会HP: https://www.jsme.or.jp/conference/cmdconf24/
特別講演は，東北大学流体科学研究所の大林 茂 教授にお引き受けいただきました．
航空機CAEの研究開発とDXに関する貴重な御講演を頂ける機会となりますので，是非ご参加頂ければ幸いです．
詳細は講演会HPをご覧頂ければ幸いです．
今年度は講演会で数年ぶりの情報交換会を企画しており，会仙台の夜
場は仙台駅近接のTKPガーデンシティ仙台となります．
景を一望できる高層階の会場となっておりますので，是非とも御参加いただき皆様の交流を深めていただければと存じます．
昨今
ではコロナ禍の不自由な環境からもやっと復活してきたこともありまして，皆様には是非仙台にお越しいただき，杜の都観光を満喫していただければと思っております．
今年度からの試みとして，昼食の時間を使って，広告・展示企
業様によるランチョン企業紹介を企画しております．
お弁当（有料）も用意する予定ですので，是非ご参加頂ければ幸いです．
講演会に関する主なスケジュールは以下を予定（ 2024年5月現在）しております．
参加登録に関しましては，事前登録制とさせて頂きますので，
期日内にご登録頂ければ幸いです．
講演申込受付 4月22日(月) 〜 6月21日(金)参加事前登録 8月9日(金) 〜 10月4日(金)それでは，皆様にとって充実した講演会となるように，実行委員

一同全力を尽くして参りたいと思いますので，どうぞよろしくお願い致します．

オーガナイズドセッション（予定）OS
一般セッション
OS-01 設計のための数理モデリング
OS-02 複合・連成現象の解析と力学
OS-03 計算力学と最適化
OS-04 逆問題とデータ同化の最新展開
OS-05 粒子法／メッシュフリー法とその関連技術
OS-06 オープンソースベースのCAEツールの可能性
OS-07 サロゲートモデルによる解析・最適化・不確定性評価
OS-08 フェーズフィールド法と関連トピックス
OS-09 電子デバイス・電子材料と計算力学
OS-10 量子コンピュータと計算力学
OS-11 CAE/CAD/CAM/CG/CAT/CSCW
OS-12 大規模並列・連成解析と関連話題
OS-13 半導体産業を牽引する計算機シミュレーション−結晶成長からデバイス製造の最先端技術まで−
OS-14 市販CAEソフトを用いた難問題のモデリング・シミュ
レーション
OS-15 高分子材料に関わる計算力学と機械学習及び関連話題
OS-16 計算電磁気学と関連話題
OS-17 計算バイオメカニクス
OS-18 材料・構造のマルチスケールアナリシス
OS-19 電子・原子・マルチシミュレーションに基づく材料特性評価（ OS-18, 19は合同オーラルセッションおよびポス
ターセッションも開催）
OS-20 高分子とその複合材料の変形
OS-21 破壊力学とき裂の解析・き裂進展シミュレーション
OS-22 深層学習と機械学習
OS-23 境界要素法の高度化と最新応用
OS-24 周期構造とシミュレーション技術【応用物理学会合同OS】
OS-25 企業におけるCAEおよび産学官連携の事例
OS-26 計算機支援による材料研究・開発
OS-27 計算力学/AIと社会・環境・防災シミュレーションの融合
フォーラム（予定）F-01 機械学習・統計数理と計算力学の融合による新しい価値創出（その４）〜生成AIの進展による３D形状生成・ダイ
ナミクスへの応用拡大
会場となるトークネットホール仙台（ https://www.tohoku-kyoritz.co.jp/shimin/index1.html）

本内容は2024年5月現在の予定となり，変更する可能性があります．最新の情報は講演会HPにてご確認頂ければ幸いです．

CMD Newsletter No. 71 (June., 2024)《各行事の問い合わせ、申込先》

日本機械学会計算力学部門担当

石澤 章弘

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E-mail: ishizawa@jsme.or.jp
TEL 03-4335-7610 FAX 03-4335-7618〒162-0814 東京都新宿区新小川町4番1号 KDX飯田橋スクエア2階
計算力学部門ニュースレター No. 71 : 2024年7月12日発行
編集責任者：広報委員会委員長

山田 崇恭

ニュースレターへのご投稿やお問い合わせは下記の広報委員会幹事までご連絡ください。
なお、各記事の文責は著者にあります。
広報委員会幹事森 正明

E-mail: m-mori@cybernet.co.jp
サイバネットシステム株式会社
デジタルエンジニアリング事業本部 エンジニアリング事業部 メカニカル技術部〒101-0022 東京都千代田区神田練塀町3