2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石１．
"1#x を実数とし
A = x0 x +1 10 x +2 10 5 - x 10 6 - x 10 7 - x 1
とおく．整数n に対して

20 x + n 10 n +5 - x 1 = x0 5 - x 1 + n +アnであり，したがって，X = x0 5 - x 1 とおくと0A = X X+イと表せる．

10X+ ウエ 1

5 + U 17x=のとき，X =2カオであり，A = 2である．

"2#(1) 全体集合U をU = 6 x｜xは20以下の自然数 7 とし，次の部分集合
A, B, C を考える．
A = 6 x｜x\U かつxは20の約数 7
B = 6 x｜x\U かつxは3の倍数 7
C = 6 x｜x\U かつxは偶数 7集合A の補集合を A と表し，空集合をと表す．
次のキに当てはまるものを，下の～のうちから一つ選べ．

集合の関係(a) AWC(b) A3B = の正誤の組合せとして正しいものは

0a10b1
次のク



正正誤誤

正誤

正誤

キである．に当てはまるものを，下の～のうちから一つ選べ．
-1-

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石集合の関係(c) 0 A2C)3B = 6 6, 12, 18 7 1(d) 0 A2C 12B = A 30 B2C 1の正誤の組合せとして正しいものは

0c10d1

正正誤

誤

正誤

正誤

クである．

(2) 実数x に関する次の条件p, q, r, s を考える．
p: x -2 >2, q:x <0, r:x >4, s:U x 2 >4
次のケ,コに当てはまるものを，下の～のうちからそれぞれ一つ選べ．

ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

q またはr であることは，p であるための"3#ケ

必要条件であるが，十分条件ではない

十分条件ではあるが，必要条件ではない



必要十分条件である



必要条件でも十分条件でもない．また，s はr であるための

a を正の実数とし
f0 x 1 = ax 2 -20 a +3 1x -3a +21とする．2次関数y = f0 x 1 のグラフの頂点のx 座標をp とおくと

シ
p=サ+aである．
-2-コ．

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石

0 ( x ( 4 における関数y = f0 x 1 の最小値がf0 4 1 となるようなa の範囲は0(a(スである．
また，0 ( x ( 4 における関数y = f0 x 1 の最小値がf0 p 1 となるようなa の値の範囲はセ(aである．
また，0 ( x ( 4 における関数y = f0 x 1 の最小値が1であるのは
ソチ
または

a=+

a=タ] ツテトのときである．
解説"1#
220 x + n 10 n +5 - x 1 = x0 5 - x 1 + 0 x +5 - x 1n + n = x0 5 - x 1 + n +である．X = x0 5 - x 1 =5x - x 2 とおくと
20 x +1 10 6 - x 1 =-x +5x +6= X +620 x +2 10 7 - x 1 =-x +5x +14= X +14
より，0A = X X+と表せる．
x=

610X+ 14 1

5 + U 17のとき，22x -5= U 17
4x 2 -20x +25=17x 2 -5x +2=0+X =-x 2 +5x =28

A =2 % 0 2 +6 1 % 0 2 +14 1 = 2 1 % 2 3 % 2 4 = 2"2#(1)
実際にA, B, C を書き下せば，
A = 6 1,2,4,5,10,20 7
B = 6 3,6,9,12,15,18 7
C = 6 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 7(a) 1\A だが1^C なので，AWC は誤り．
-3-5n

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石(b) A3B =  で正しい．
キは．

(c) A2C = 6 1,2,4,5,6,8,10,12,14,16,18,20 7
0 A2C 13B = 6 6,12,18 7 で正しい．

(d)

A 3C = 6 6,8,12,14,16,18 7
左辺 = 0 A 3C12B = 6 3,6,8,9,12,14,15,16,18 7
B2C = 6 2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20 7
右辺 = A 30 B2C 1 = 6 3,6,8,9,12,14,15,16,18 7で，左辺=右辺．
クは．

v (d)でこの問題の場合は成立しているが，一般には

0 A 3C12B = A 30 B2C 1 が成立しないこともある（すなわち，恒等式ではない）．

(2) p において，「 x -2 >2 」は「x <0 または4< x 」と言い換えらるので，q またはr であることは，p であるための必要十分条件（）．s において，「U x 2 >4 」は「 x >4 」に等価．すなわち，条件s は「x <-4 または4< x 」である．よって，s はr であるための「必要条件であるが，十分条件ではない」（）である．
"3#
f0 x 1 = ax 2 - 20 a + 3 1x - 3a + 21a+3 2 0a+312=a x- 3a + 21aa3 29=a x- 1+- 4a + 15 aa89> 8 9?

3
よって，頂点のx 座標p =1+aa は正の数だから，p >1 である．よって，頂点は定義域0 ( x ( 4 内に存在するか，定義域よりも右側である．
最小値がf0 4 1 となるのは，p が定義域の右端かそれより右側にある場合である．
よって，+p =1+3)4a0< a (1また，最小値がf0 p 1 となるのは，頂点が定義域内にあるときだから，30<1+ ( 4a-4-2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石

1(a+i) 0< a ( 1 のとき
f0 4 1 =5a -3=14より，a =5ii) 1 ( a のとき
9f0 p 1 =-4a +15- =1aより，4a 2 -14a +9=0
これを1 ( a で解いて，

7a=+] 13

4

２．
"1#

四角形ABCDにおいて，3辺の長さをそれぞれAB=5，BC=9，CD=3，対角線ACの長さをAC=6とする．このとき
アウ，sin 4ABC =cos 4ABC =イ] エオ

ここで，四角形ABCDは台形であるとする．
次のカには下の～から，

キには!から当てはまるものを一つずつ選べ．

CD カ AB ･ sin 4ABC であるから キ<

辺ADと辺BCが平行=

である．

>

辺ABと辺CDが平行

したがって

BD=である．
"2#ク] ケコ

ある陸上競技大会に出場した選手の身長（単位cm）と体重（単位はkg）のデータが得られた．男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループに分けると，それぞれのグループの選手数は，男子短距離が328人，男子長距離が271人，女子-5-

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石

短距離が319人，女子長距離が263人である．

(1) 次ページの図1および図2（省略）は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループにおける，身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である．
次のサ!

シに当てはまるものを，下の～のうちから，一つずつ選べ．

ただし，解答の順序は問わない．

図1および図2から読み取れる内容として正しいものは，サ!

シである．



四つのグループのうちで範囲が最も大きいのは，女子短距離グループである．



四つのグループのすべてにおいて，四分位範囲は12未満である．



男子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大階級に中央値が入っている．



女子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大の階級に第一四分位数が入っている．



すべての選手の中で最も身長の高い選手は，男子長距離グループの中にいる．



すべての選手の中で最も身長の低い選手は，女子長距離グループの中にいる．



男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第3四分位数はともに180以上182未満である．

(2) 身長をH ，体重をW とし，X をX =H
100

8 92で，Z をZ =Wで定義する．次ページ
Xの図3（省略）は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループにおけるX とW のデータの散布図である．ただし，原点を通り，傾きが15，20，2530である四つの直線¥ 1 , ¥ 2 , ¥ 3 , ¥ 4 も補助的に描いている．また，次ページのの図4（省略）の(a)，(b)，(c)，(d)で示すZ の四つの箱ひげ図は，男子短距離，男子長距離，女子短距離，女子長距離の四つのグループのいずれかの箱ひげ図に対応している．
次のス，セに当てはまるものを，下の～のうちから一つずつ選べ．

ただし，解答の順序は問わない．

図3および図4から読み取れる内容として正しいものは，-6-ス，セである．

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石

まず，各箱ひげ図の四分位範囲を見てみると，(a)が最も数値が高く，次に(b)，(c)がいずれも中央値20付近で散布し，（d)の数値が最も低いことが分かる．さらに(b)の方が(c)よりもZ の最小値が低く15付近のものがあるのに対し，(b)よりも(c)の方が最大値が高く，30付近のものがあることが分かる．これと散布図を比較して，(a)男子短距離，(b)女子短距離，(c)男子長距離，(d)女子長距離のものであることが分かる．
四つのグループのすべてにおいて，X とW には負の相関がある．



四つのグループのうちでZ の中央値が一番大きいのは，男子長距離グループである．



四つのグループのうちでZ の範囲が最小なのは，男子長距離グループである．



四つのグループのうちでZ の四分位範囲が最小なのは，男子短距離グループである．



女子長距離グループのすべてのZ の値は25より小さい．



男子長距離グループのZ の箱ひげ図は(c)である．

以上より，!を選択．

(3) n を自然数とする．実数値のデータx 1, x 2 , …, x n およびw 1 , w 2 , …, w n に対して，それぞれの平均値を

x=x1 + x2 +… +xn，nw=w1+w2+…+wnn

とおく．等式0x 1 + x 2 + … + x n1 w = n x w などに注意すると，偏差の積の和は0x 1 - x 10w 1 - w 1 + 0x 2 - x 10w 2 - w 1 + … + 0x n - x 10w n - w 1= x 1w 1 + x 2w 2 + …x nw n となることがわかる．

x w



ソ0 x w1

ソに当てはまるものを，次の～のうちから一つ選べ．

2

nx w

解説

"1#
余弦定理より-7-

n2x w

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石AB 2 + BC 2 - AC 2
2 % AB % BC
25 +92-62=
2%5%9cos 4ABC =7=
9sin 4ABC =] 8 921-

794] 2=

9AB ･ sin 4 ABC=

20U 228>>399よって，CD  < AB ･ sin 4ABC
仮にADSBC とすると，AB ･ sin 4ABC は台形の高さに相当するから，CD ) AB ･ sin 4ABC でなければならない．ところがCD<AB ･ sin 4ABCなので，ADTBC である．よって，ABSCD ．

キはを選択．このとき，辺CDの頂点Cがわの延長上BE5ED となるように点Eをとると，各頂点の配置は下図のようになる．4ABCが鋭角であることを考慮した．

AB

C

E
4ABC=4BCEなので，CE=BC ･ cos 4BCE =9 %

7=794 2
BE=BC ･ sin 4BCE =9 % U =4U 29
よって，-8-D

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石BD 2 = BE 2 + ED 2= 04U 2 1 2 + 0 7 + 3 1 2= 32 + 100=132
BD= U 132 =2U 33+"2#(1)


四つのグループのうちで範囲が最も大きいのは，女子短距離グループである．
.



四つのグループのすべてにおいて，四分位範囲は12未満である．
.



女長の第一四分位数は161．女長の度数最大は165～170だから間違い．

最高身長は男子短距離選手の中にいるから間違い．

すべての選手の中で最も身長の低い選手は，女子長距離グループの中にいる．
.

.

すべての選手の中で最も身長の高い選手は，男子長距離グループの中にいる．
.



男長の中央値は176，度数最大階級は170～175だから間違い．

女子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大の階級に第一四分位数が入っている．



それぞれの四分位範囲は，男短10，男長9，女短9，女長9だから正しい．

男子長距離グループのヒストグラムでは，度数最大階級に中央値が入っている．
.



男短50，男長43，女短42，女長35だから，間違い．

最低身長は女子短距離選手の中にいるから間違い．

男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第3四分位数はともに180以上182未満である．
.

男短の中央値は181，男長の第3四分位数は181で正しい．

いじょうより，!を選択．

(2)
まず，各箱ひげ図の四分位範囲を見てみると，(a)が最も数値が大きく，次に(b)，(c)がいずれも中央値20付近で散布し，（d)の数値が最も低いことが分かる．さらに(b)の方が(c)よりもZ の最小値が低く15付近のものがあるのに対し，(b)よりも(c)の方が最大値が高く，30付近のものがあることが分かる．これと散布図を比較して，(a)男子短距
離，(b)女子短距離，(c)男子長距離，(d)女子長距離のものであることが分かる．
四つのグループのすべてにおいて，X とW には負の相関がある．
.



四つのグループのうちでZ の中央値が一番大きいのは，男子長距離グループである．
.



概ね右肩上がりなので，正の相関がみられるから間違い．
中央値が大きいのは(a)で男子短距離だから間違い．

四つのグループのうちでZ の範囲が最小なのは，男子長距離グループである．
.

Z の範囲が最小なのは(d)で，女子長距離だから間違い．
-9-2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石

四つのグループのうちでZ の四分位範囲が最小なのは，男子短距離グループである．

.

(a)の男子短距離は四分位範囲が最も大きいので間違い．

女子長距離グループのすべてのZ の値は25より小さい．

.

(d)の箱ひげ図より，最大値は25を切っているから正しい．

男子長距離グループのZ の箱ひげ図は(c)である．

.

正しい．

以上より，!を選択．

(3)

0x 1 - x 10w 1 - w 1 + 0x 2 - x 10w 2 - w 1 + … + 0x n - x 10w n - w 1n

= P 0x k - x 10w k - w 1
k=1nn

nn

= P x kw k - x P w k - w P x k + P x w
k=1

k=1

k=1

k=1

n

= P x kw k - x 0 n w 1 - w 0 n x 1 + n x w
k=1n= P x kw k - n x w
k=1

よって，選択肢は．

３．
一般に，事象A の確率をP0 A 1 で表す．また，事象A の余事象を A と表し，二つの事象A, B の積事象をA3B と表す．
大小2個のさいころを同時に投げる試行において
A を「大きいさいころについて，4の目が出る」という事象
B を「2個のさいころの出た目の和が7である」という事象
C を「2個のさいころの出た目の和が9である」という事象とする．

(1) 事象A ，B ，C の確率は，それぞれ
ア

ウ，P0 B 1 =P0 A 1 =イカ，P0 C 1 =エオである．
キ(2) 事象C が起こったときの事象A が起こる条件付き確率はであり，事象A
ク-10-2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石ケが起こったときの事象C が起こる条件付き確率はである．
コ(3) 次の サ，シに当てはまるものを，下の～のうちからそれぞれ一つ選べ．

ただし，同じ，おなじものを繰り返し選んでもよい．

P 0 A 3B 1

サ

P0 A 1P0 B 1

P 0 A 3C 1

シ

P0 A 1P0 C 1



<=

>

(4) 大小2個のさいころを同時に投げる試行を2回繰り返す．1回目に事象A3B が起こり，ス

2回目に事象 A 3C が起こる確率はである．三つの事象A, B ,C がいずれもちょセソタチ
うど1回ずつ起こる確率はである．
ツテ解説

(1)
根元事象を0 大の目，小の目 1 で表す．
事象A, B, C を集合で表せばA = 6 0 4, 1 1, 0 4, 2 1, 0 4, 3 1, 0 4, 4 1, 0 4, 5 1, 0 4, 6 1 7
B = 6 0 1, 6 1, 0 2, 5 1, 0 3, 4 1, 0 4, 3 1, 0 5, 2 1, 0 6, 1 1 7
C = 6 0 3, 6 1, 0 4, 5 1, 0 5, 4 1, 0 6, 3 1 7
全事象は6 % 6=36 通りだから，

6P0 A 1 ==36

166，P0 B 1 ==36

164，P0 C 1 ==36(2)
A3C = 6 0 4, 5 1 7 だから，
C が起こったときのA が起こる条件付き確率P C0 A 1 は
P C0 A 1 =P 0 A 3C 1
11=& =
P0 C 136914

A が起こったときのC が起こる条件付き確率P A0 C 1 は-11-192018センター数学Ⅰ!A解説
P A0 C 1 =茗渓予備校 平石
1P 0 A 3C 111=& =P0 A 13666(3)A3B = 6 0 4, 3 1 7 だから，P0 A3B 1 =1111．P0 A 1P0 B 1 = % =．
366636

よって，
P 0 A 3B 1
P 0 A 3C 1 =P0 A 1P0 B 1=1111で，P0 A 1P0 C 1 = % =だから，366954

P 0 A 3C 1>

P0 A 1P0 C 1u この設問では問うてはいないが，事象の独立の定義「P0 X3Y 1 = P0 X 1P0 Y 1 」
より，事象A と事象B は独立であるが，事象A と事象C は独立でないといえる．

(4)A 3C = 6 0 3, 6 1, 0 5, 4 1, 0 6, 3 1 7 より，P0 A 3C1 =1．また各試行は独立だから，1回目12にA3B ，2回目に A 3C である確率は，P 0 A 3B 1 % P 0 A 3C 1 =11=%36121432

実は，ここまでの部分が前振りとなっているのだが，次の文章が分かりづらくなっている．試行は2回であるのに対し，「3つの事象がちょうど1回ずつ」とある．これは，前振りの部分と合わせると，次のように解釈できる．事象B と事象C は同時に起こることはないので，これらは別々の試行に割り振る必要がある．残りの事象A は，事象B または事象C と同時に起こる必要がある．よって，確率P0 A3C 1 % P0 A 3B1 =

155=%36361296

スと，を合わせて，これらを2回の試行のいずれに割り振るかを考慮すると，セソタ

求める確率は1582%+=2 %
=432
1296
1296

89４．
(1) 144を素因数分解すると

-12-

181

2018センター数学Ⅰ!A解説ア茗渓予備校 平石ウ%

144= 2イであり，144の正の約数の個数は エオ 個である．

(2) 不定方程式
144x -7y =1で整数解x, y の中で，x の絶対値が最小になるのはx=カ，

y = キクであり，すべての整数解は，k を整数としてx=ケk+カ，

y = コサシk + キクと表される．

(3) 144の倍数で，7で割ったら余りが1となる自然数のうち，正の約数の個数が18個である最小のものは144 %スであり，正の約数の個数が30個である最小のものは144% セソ である．

解説-13-

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石(1)4144= 22%

正の約数の個数は315 個．

(2) 不定方程式144x -7y =1 をユークリッドの互除法を用いて解く．
144=7 % 20+4
7=4 % 1+3
4=3 % 1+1
逆にたどって，

4-3 % 1=4- 0 7-4 % 1 1 % 1=1+4 % 2-7 % 1=1

0 144-7 % 20 1 % 2-7 % 1=1+ 144 % 2-7 % 41=1
これと144x -7y =1 から一般解を求めると，1440 x -2 1 =70 y -41 1
144と41は互いに素だから，整数k を用いて，
x -2=7k ，y -41=144k
よって一般解は
x =7k +2 ，y =144k +41 (k は整数)
このうち，x の絶対値が最小のものは，k =0 のとき，
x =2 , y =41(3) (2)より144x =7y +1 のx の一般解は整数k を用いて，x =7k +2 と表せる．
ところで(1)より144= 2 4 % 3 2 だから，正の約数が18個であるとき，x =7k +2 が因数3をもっているとすると，0 4 +1 1 % 0 3 +1 1 =20 個以上の約数をもってしまうので不適．また，7k +2 が2，3以外の素因数を持ったとすると，

0 4 +1 1 % 0 2 +1 1 % 0 1 +1 1 =30 個以上の約数をもってしまうので不適．したがって，ちょうど18個になるのはk =0 のとき，x =2で，144 % 2= 2 5 % 3 2 となるときである．
また，正の約数が30個となるのは30=5 % 3 % 2 なので，7k +2 が2，3以外の素数となるときである．自然数とあるので，最小のものはk =3 のときx =５．
¦ABCにおいてAB=2，AC=1，4A=90,とする．

-14-23である．

2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石ア

4Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると，BD=] イである．

ウ
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると，
エオ

キクであるから，BE=

AB ･ BE=カ
次のコである．
ケには下の～から，

サには!から当てはまるものを一つずつ選べ．

BEBD

コABであるから，直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点 サBCの側の延長上にある．
<=その交点をFとすると，BFの長さが求まり，次のタ

CF=AF>A

Cシセであるから，CF=スである．したがって，
ソCF
BF=であることがわかる．
ACABには下の～当てはまるものを一つ選べ．

点Dは¦ABFのタ．

内心である



外心である



外心，内心，重心のいずれでもない

解説-15-



重心である2018センター数学Ⅰ!A解説茗渓予備校 平石AECDBF

BC= U 1 2 + 2 2 = U 5 であることと，線分ADが4Aの二等分線であることから，
2BD=] 5．

32 5
方べきの定理より，AB ･ BE= BD = U
32BE=20& AB=
982209= 9．

10．

9BE
1035==U%BD
932U 5AB
22 5== U
BC5U5
だから，

BEABBEBD
<である．これは，すなわち<ということ
BDBCABBCだから，ABに対するBEの比率よりも，BCに対するBDの比率が大きいことを意味する．したがって，直線ACと直線DEは点Cの延長上で交わる．メネ
ラウスの定理より，

CF
BDAE=1%%AFCDBE-16-2018センター数学Ⅰ!A解説+茗渓予備校 平石

10CFCDBE
19== %=%
AFBDAE21029
AC:CF=3:5 だから，
CF=AC %

5=
388 995853

また，

BF= U AB 2 + AF 2 =よって，AB:BF=2:すなわち，] 8 9 ]
22+83

2=

100
10=93

10=3:53CF
BF=ACAB

これは，直線BCが4Bの二等分線であることを意味する．
よって，点Dは三角形ABFの角の二等分線の交点だから，
内心である．

-17-