次に信号 {cj [t]}t∈Z2 に対して，ポリフェーズ分解 (1) を拡張して重複を許した冗長ポリフェーズ分解

c̃ˆm,j (ξ) :=∑cj [2t + sm ]e−iξ·t ,m = 0, 1, . . . , N(3)t∈Z2を定める．ここで，等式 (2) のポリフェーズ表現を方位成分 N = 12 の場合で考えると，格子の周期性によって冗長項が生じることに注意しよう．この場合，関数列 {c̃ˆm,j }Nm=0 は独立な成分とはならないが，しかし◦m ̸= 0 の各成分は約 (15 (d − 1)) , d ∈ D に対応する一様な N = 12 方位の情報を含んでいるといえる．
格子上に定義された信号 {cj [t]}t∈Z2 に対する離散ウェーブレット変換は，ポリフェーズ分解 (1) で得たポリフェーズ成分 {ĉm,j }3m=0 に対して，リフティングスキームを適用することによって実装することができる[18]．この場合の方位選択性は N = 3 である．本研究では，冗長ポリフェーズ分解 (3) によって得た (N + 1)個のポリフェーズ成分 {c̃ˆm,j }Nm=0 の冗長性をリフティングスキームでも考慮することにより，方位選択性を最大 N = 12 まで拡張した重複変換を実現する．具体的には，冗長ポリフェーズ分解 (3) で得た (N + 1) 個のポリフェーズ成分に対してリフティングスキームを拡張しながら適用する．そのためにまずリフティングに用いられるたたみ込み作用素である，予測作用素（リフティング作用素） {Pk }k∈D と更新作用素（双対リフティング作用素）{Uk }k∈D を以下で定義する：(Pk a) [t] :=∑pk [v] a[t − v],v∈Z2(Uk a) [t] :=∑uk [v] a[t − v].

v∈Z2

ここで，数列 {pk [v] ∈ R | k ∈ D, v ∈ Z2 } は予測フィルタ，{uk [v] ∈ R | k ∈ D, v ∈ Z2 } は更新フィルタとよばれる．次に，以下のステップからなるリフティングスキームによって変換を構成する．

1. 信号 cj [t] を各フェーズ成分に分解する：c0,j [t] := cj [2t],ck,j [t] := cj [2t + sk ],k ∈ D.

2. 予 測 作 用 素 {Pk }k∈D に よ り 信 号 の 偶 数 成 分 と 詳 細 成 分 の 相 関 を 予 測 し ，N 個 の 詳 細 成 分{dk,j−1 [t]}k∈D を計算する：dk,j−1 [t] = ck,j [t] − (Pk c0,j ) [t],k ∈ D.

3. 更新作用素 {Uk }k∈D により近似成分 cj−1 [t] を計算する：∑cj−1 [t] = c0,j [t] +(Uk dk,j−1 ) [t].
k∈D

4. ノルムの正規化のために，{cj−1 [t], dk,j−1 [t]}k∈D に対して定数 K によりスケーリングを行う：cj−1 [t] = K cj−1 [t],dk,j−1 [t] = K −1 dk,j−1 [t].以上のステップは任意の分解レベル J ≥ 1 回（ ステップ 2. と 3. は n 回）繰り返すことができる．これらのステップを実行することで，平均成分 cj−J [t] と D 個の方位情報を含む詳細成分 {dk,j−J [t] | k ∈ D, L <j < J} を得る．信号の再構成には次のステップを用いる．

1. 再スケーリングを行う：cj−1 [t] = K −1 cj−1 [t],dk,j−1 [t] = K dk,j−1 [t].
3Algorithm 1 Forward liftingInput: cj [t]: signal, L: resolution level, J: decomposition level.
Require: L ≥ J, J ≥ 11: for j ← L to L − J + 1 do(0)2:cj−1 [t] ← cj [2t]3:4:5:(0)dk,j−1 [t] ← cj [2t + sk ],for i ← 1 to n do(i)

(i−1)

k∈D

dk,j−1 [t] ← dk,j−1 [t] −

∑(i)

(i−1)

pk [u] cj−1 [t − u],∑ ∑k∈D

u∈Z2

6:(i)

(i−1)

cj−1 [t] ← cj−1 [t] +(i)(i)

uk [u] dk,j−1 [t − u]k∈D u∈Z2

7:8:

end for(n)cj−1 [t] ← K cj−1 [t](n)dk,j−1 [t] ← 1/K dk,j−1 [t],10: end for9:

k∈D

図1

提案手法の周波数特性.

2. 偶数成分 c0,j [t] を再構成する：c0,j [t] = cj−1 [t] −∑(Uk dk,j−1 ) [t].

k∈D

3. 奇数成分 {cki ,j [t]}i=1,2,3 を再構成する：cki ,j [t] = dki ,j−1 [t] + (Pki c0,j ) [t],k i ∈ Di ,D1 : = {4ℓ + 1 | 0 ≤ ℓ < N/4},D2 : = {4ℓ + 3 | 0 ≤ ℓ < N/4},D3 : = {2ℓ + 2 | 0 ≤ ℓ < N/2}.
4. c0,j [t] と cki ,j [t], i = 1, 2, 3 を合成して，cj [t] を再構成する．
冗長性と周期性により，ステップ 3. における ki の取り方は信号の再構成に影響を与えないことに注意しよう．リフティングスキームを用いた変換を，通常の離散ウェーブレット変換として実装する際の手順をそれぞれ Algorithm 1 と Algorithm 2 に示す．この実装方法を通常のフィルタ処理による変換と解釈した場合の周波数特性の一例を図 1 に示す．各方位ベクトル {sm }Nm=0 に対応する指向特性を有するフィルタを，意図通りに設計できていることが図から確認できる．従来の方位選択性 N = 3 の冗長ウェーブレット変換である定常ウェーブレット変換の冗長性は 3J + 1 である．これに対して，本手法は方位選択性を N = 12 まで拡張しながら冗長性を (N × J + 1)/4 に制限している．このため，計算量と方位分解能の意味で効率的な変換になっている．一方で N = 6 とすれば，冗長性◦をさらに低減させながら約 (30 (d − 1)) , d ∈ D の一様な 6 方位の詳細成分を得ることができる．したがって，本手法は冗長性と方向分解能のトレードオフを考慮しながら，選択的に方位性を定められる利点があるといえる．

4

図5

圧縮結果（左：従来法，右：提案法）

図6

圧縮結果（左：従来法，右：提案法）

参考文献[1] J. Antoine, P. Carrette, R. Murenzi, and B. Piette, Image analysis with two-dimensional continuouswavelet transform, Signal Process., 31 (1993), 241–272.
[2] R. Bamberger and M. Smith, A filter bank for the directional decomposition of images: theory anddesign, IEEE Trans. Signal Process., 40 (1992), 882–893.
[3] E. Candès and D. Donoho, New tight frames of curvelets and optimal representations of objectswith piecewise C 2 singularities, Comm. Pure and Appl. Math., 56 (2004), 216–266.
[4] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Regional Conf. Series in Appl. Math., SIAM,7

Philadelphia, 1992.
[5] M. Do and M. Vetterli, The contourlet transform: an eﬃcient directional multiresolution imagerepresentation, IEEE Trans. Image Process., 14 (2005), 2091–2106.
[6] R. Duﬃn and A. Schaeﬀer, A class of nonharmonic Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc., 72(1952), 341–366.
[7] K. Fujinoki and O. Vasilyev, Triangular wavelets: an isotropic image representation with hexagonalsymmetry, EURASIP Journal on Image and Video Processing, 2009 (2009), 1–16.
[8] C. Heil, WHAT IS ... a Frame? Notices of the American Mathematical Society, 60 (2013), 1–3.
[9] N. Kingsbury, Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals, Appl. Comput.
Harmon. Anal., 10 (2001), 234–253.
[10] J. Kovačević and M. Vetterli, Nonseparable multidimensional perfect reconstruction filter banksand wavelet bases for Rn , IEEE Trans. Inform. Theory, 38 (1992), 533–555.
[11] D. Labate, W. Lim, G. Kutyniok, and G. Weiss, Sparse multidimensional representation usingshearlets, in Wavelets XI, edited by M. Papadakis, A. F. Laine, and M. A. Unser, SPIE Proc. 5914(2005), SPIE, Bellingham, WA, 254–262, 2005.
[12] S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Academic Press, 2008.
[13] B. Olshausen and D. Field, Emergence of simple-cell receptive field properties by learning a sparsecode for natural images, Nature, 381 (1996), 607–609.
[14] E. Simoncelli, W. Freeman, E. Adelson, and D. Heeger, Shiftable multiscale transforms, IEEETrans. Inform. Theory, 38 (1992), 587–607.
[15] G. Strang and T. Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge Press, 1996.
[16] W. Sweldens, The lifting scheme: a custom-design construction of biorthogonal wavelets, Appl.
Comput. Harmon. Anal., 3 (1996), 186–200.
[17] W. Sweldens, The lifting scheme: a construction of second generation wavelets, SIAM J. Math.
Analysis, 29 (1997), 511–546.
[18] W. Sweldens and P. Schröder, Building your own wavelets at home, ACM SIGGRAPH coursenotes, 1996.

8

〈発題名表資料〉

掲載誌・学会名等

発表年月

A Note on Curvelets and MultiscaleDirectional Transforms

京都大学数理解析研究所講究録

2019 年 2 月

DirectionalLifting-basedWaveletTransforms and their Applications

TheNinthInternationalConference on Information2018 年 12 月

2 変数関数の時間周波数解析について

釧路高専第 8 回若手理・工学セミナー

2018 年 8 月リフティングスキームによるウェーブレットの構成法

日本応用数理学会論文誌

2018 年 6 月

Multi-LappedDirectionalWaveletTransforms and Their Applications toImage AnalysisHaarWaveletDecompositionsSpherical Sound Fields

onAdvanced Innovation powered byMathematicsPlatform,“Signal Analysis and TimeFrequency Analysis”The12thInternationalConferenceonInnovativeComputing, Information andControl

2017 年 10 月

2017 年 8 月

A Two-dimensional Lapped DirectionalWavelet Transform with DirectionalLifting

The 11th International Societyfor Analysis, its Applicationsand Computation Congress2017 年 8 月

A Lapped Directional Wavelet TransformBased on B-Splines

The14thInternationalConference on Wavelet Analysisand Pattern Recognition2017 年 7 月9