解 説

管水路における地震時動水圧の発生機構
水利基盤チーム

１．はじめに振幅ߜ、周期Tの単振動−δδ0

充水した水道管や農業用管水路の閉端部や異形管部

d(t)

充水した管水路

では、地震動に伴い動水圧（以下、「地震時動水圧」）が発生する。大規模地震時には、地震時動水圧が管水0路の破損や継手部の離脱などの発生原因になり得る。

上流側

下流側

x
図－1 管水路のモデルと各種設定
管水路のモデルと各種設定
図－1

しかし、管水路における地震時動水圧の実態を捉えたデータは極めて少ない。そこで、水利基盤チームでは、地震時における管水路中の動水圧を捉えるため、現在ここに、Vは振動速度の最大値(m/s)である。以上の供用中の農業用管水路において、地震動の加速度と水モデルと条件設定において、充水した管水路における圧を常時観測している。そこで得られた観測結果は、非定常流況の基礎式3)、すなわち、次の水塊の運動方

大久保ら1)などにおいて報告されている。

程式を表す式(3)と連続の式を表す式(4)を解く。

本解説では、読者に管水路内で発生する地震時動水圧の基本的な理解を深めていただくため、地震時動水圧の理論面を解説する。簡単な条件下の管水路モデルを対象に、非定常流況の基礎式を解き、その解析解に基づいて、振動する管水路における動水圧の発生機構

1 v
H xg t

(3)v 2 vH  sg x
t



(4)

およびその動態を考察する。なお、水利基盤チーム2)

ここに、Hは圧力水頭(m)、xは閉端部からの管水路のにおいて、地震時動水圧の物理過程が模式的に解説さ

伸長方向距離(m)、vは管水路内の流速(m/s)、gは重れている。合わせて参考にしていただきたい。

力加速度(m/s2)である。また、 vs は管内における圧力波の伝播速度(m/s)であり、次の式(5)で表される。

２．振動する管水路における動水圧の発生機構
２．１

vs =基礎式からの解析解の導出

1(5)1 D  ρ + k Ee 

基本的な管水路モデルとして、図－1に示すような

ここに、kは水の弾性係数(N/m2)、Dは管の内径(m)、管体の一端が閉塞された無限に長い直線の管水路を想Eは管材料の弾性係数(N/m2)、eは管の厚さ(m)である。

定する。その管水路の閉端部を0として、管水路の伸これらの基礎式の導出は他書（例えば、横山重吉 4））長方向への距離をx(m)とする。管水路全体が管軸方に譲る。

向に振幅 δ (m)、周期T(s)で単振動している状態を仮式(3)と式(4)からHを消去すれば、次の式が導かれ定する。ここでは、その振動の変位d(m)が下流側へる。

最大（ -δ ）となる時点を時刻t = 0 sとして、次式の正 2v

弦波を設定する。
d (t ) =-δcos2πtTt(1)

式(1)の時間微分から、次式の管水路の振動速度 vb(m/s)
を得る。
vb (t ) =Vsin

2πtT

寒地土木研究所月報2πδ V = T №808

2020年８月(2)2 vs2

 2v

x 2(6)

式(6)は波動方程式と呼ばれ、その一般解は、次式で表される。
xxv(t , x)  F  t    f  t    v0vvs s 


(7)



ただし、Fおよびfはそれぞれt - x/vs，t + x/vsを変数とする任意の関数である。v 0は振動開始前の流速である。
51

この場合は、閉塞された管水路であるので、流速v0はσ (t )  ρvsV sin0である。関数F(t - x/vs)はx軸の正方向に進行する波を表し、関数f(t + x/vs)はx軸の負方向に進行する反射波を2πtT(13)表す。ここでは無限に長い管水路を仮定するので、反式(1)の変位d(t)、式(8)の流速v(t)および式(13)の動水圧 σ(t) を図－2に示す。ただし、縦軸目盛はグラフ射波は考慮しない。それゆえ、式(7)の右辺は関数F毎に異なる。流速と動水圧は同期する。管水路の変位のみが有効である。この関数Fの具体的な式は境界条の大きさが最大（ -δ または δ ）となる時点で、流速お件によって決定される。

よび動水圧は0となり、その変位の振動の中心（d = 0）

管水路の閉端部に接する水塊は管壁の振動とともにで、流速と動水圧は最大となる。

変位する。従って、閉端部（x = 0）における水塊の流この結果に従って、振動する管水路中の動水圧の発速v(t,0)は、振動速度vb(t)に等しく式(8)のように表せ

生・伝播過程を考察する。その模式を図－3に示す。

る。

振動する前の管内の水圧をP0（静水圧）とする。t = 0 sv (t ,0) v
b (t ) V sin

2πtT(8)

この式(8)が境界条件である。ここで、関数Fを次式において、閉端部における水圧はP0である。管水路が上流側に変位するとき（t = 0 s～0.5T s）、閉端部の管壁に接する水塊は管壁に押されて上流向きの速度で変のように仮定する。
(9)

式(9)は、x = 0（閉端部）において式(8)と同形となる。
それゆえ、式(9)は式(8)の境界条件を満たすので、式(6)の解である。
次に圧力水頭Hを表す解を求める。式(9)を式(3)に代入して、次の式(10)を得る。
H
2πV2π x cos  t  xgTT  vs 変位 d(t)d vs σ変位、流速、動水圧x
2π x v(t , x)  F  t    V sin
 t  v  v
Ts s 流速 v(t)ρvs V

動水圧 σ(t)V00.25

0.50

0.75

0.10

1.25

t

−δ

(10)

図－2

 水路モデルにおける変位、流速および動水圧の経管時変化

さらに、式(10)をxで積分して、Hを求めれば、
2πV
2π x H cos  t   dx
gTT  vs vVx 2π  s sin
 t    H 0g
T  vs 閉端部(11)が得られる。積分定数H0は振動前の圧力水頭である。
そこで、振動によって発生する動水圧 σ(Pa) は、2π x σ (t , x)  ρg ( H  H 0 )  ρvsV sint   T  vs 

t=0s

0.25T s(12)充水した管水路

下流側

0.75T s

高水圧
上流側

圧力計 P

V
（最大速度）

P

PV（最大速度）

PTsP

1.25T sP

振動する管水路における動水圧の発生・伝播

過程

以上に記した解析解に基づけば、振動に伴う動水圧の発生・伝播過程は、次のように説明される。
先ず、閉端部（x = 0）における動水圧の時間変化は、式(12)にx = 0を代入して、次の式(13)のように表せる。
52

低水圧

0.50T sとなる。
２．２振動（周期T）の変位

圧力波の波長：vs T m （数百m）

図－3 軸方向に振動する管水路の閉端部における動水管圧の発生・伝播過程の模式図
寒地土木研究所月報№808

2020年８月

位するため、閉端部近傍の水圧はP0より高くなる。まるシミュレーションが必要であろう。しかし、大久保

た、管水路が下流側に変位するとき（t = 0.5T s～T s）、ら5)において、式(14)に基づく理論式から算出した動閉端部の管壁に接する水塊は閉端部の管壁に追従して水圧の最大値は、観測で得られた地震時動水圧の最大下流向きの速度で変位するため、閉端部近傍の水圧は値に概ね合致することが示されている。すなわち、式P0より低くなる。この閉端部における水圧の上昇（高(14)に基づく理論式は、地震時動水圧の最大値を推定水圧）と下降（低水圧）は、式(5)に示す圧力波の伝する実用的な方法になり得る。

播速度vsで水中を伝わる。このとき、管水路内の任意（文責：大久保天）の定点に設置された圧力計には、高水圧のピークと低水圧のピークが0.5Ts（振動の半周期）毎に繰り返し参考文献観測される。すなわち、管水路の振動周期と同周期の圧力波が管水路内を伝播する。ここでの圧力計が示す

1)

大久保天、立石信次、今泉祐治、中村和正：農業

水圧の変化量が、振動に伴い発生する動水圧、すなわ

用管水路における地震時動水圧の事例報告、寒地

ち地震時動水圧である。

土木研究所月報、No.783、pp.2-7、2018.
2)

２．３

ラスト力、地震時動水圧、寒地土木研究所月報、振動速度の最大値と動水圧の最大値の関係

地震時動水圧が管水路へ与えるダメージの評価指標として、第一に動水圧の最大値を見積もることが重要である。本管水路モデルの動水圧の最大値 σmax は式

No.788、pp.54-57、2019.
3)すなわち、動水圧の最大値 σmax は振動速度の最大値V

技術書、社団法人農業農村工学会、pp.221-237、2009.
4)に比例する。ただし、式(14)は、あくまで正弦波を入力として管水路が単振動するという仮定に基づくもの

設計「パイプライン」基準、基準の運用、基準及び運用の解説、

(14)



農林水産省農村振興局整備部設計課：土地改良事
業計画設計基準及び運用・解説(13)の振幅であるので、次の式(14)で表される。
σ max = ρvsV

水利基盤チーム：パイプラインの中の水圧、ス

横山重吉：水撃圧入門、日新出版、pp.143-151、
1979.

5)

大久保天、中村和正、今泉祐治、寺田健司、南雲である。実際の地震動は振幅と周期が不規則に変化す

人、川口清美：地震動の大きさと農業用管水路にる複雑な波である。それゆえ、地震動に伴い発生する発生する地震時動水圧の関係、寒地土木研究所月

動水圧の動態を明らかにするためには、数値計算によ

報、No.805、pp.36-42、2020.

寒地土木研究所月報№808

2020年８月

53