P. 204§9.4 理想Bose気体: Bose凝縮

理想Bose気体: 粒子間の相互作用、粒子の大きさがないℏ𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐𝒆𝒆𝒌𝒌 =𝟐𝟐𝟐𝟐(9.32)

エネルギーは各粒子の和 𝑬𝑬 = ∑𝒌𝒌 𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒆𝒆𝒌𝒌
全粒子数 𝑵𝑵 = ∑𝒌𝒌 𝒏𝒏𝒌𝒌 = ∑𝒌𝒌 𝒇𝒇𝒌𝒌
𝟏𝟏

Bose統計 𝒇𝒇𝒌𝒌 = 𝜷𝜷 𝒆𝒆 −𝝁𝝁𝒆𝒆𝒌𝒌−𝟏𝟏(9.31)(9.33,34)(9.35)µは全粒子数 N の条件から決められるµ: 化学ポテンシャル(電子の場合はフェルミエネルギー EF)Bose-Einstein分布の特徴
f (E ) =Bose-Einstein分布:

1exp[(E − µ ) / k BT ] − 1(E - µ) / kBT >> 1 の場合: Maxwell-Boltzmann近似に漸近 (古典領域)

f (E)・𝑬𝑬 → 𝝁𝝁 で 𝑬𝑬 − 𝝁𝝁 −𝟏𝟏 に従って発散・𝒇𝒇(𝑬𝑬) ≥ 𝟎𝟎 でなければいけないので、BE統計は、𝑬𝑬 ≥ 𝝁𝝁 のみで意味がある・E の最小値を 0 にとると、𝝁𝝁 < 𝟎𝟎 のみ許される
1.2T = 300 K
1kBT = 26 meV
0.8𝟏𝟏𝑬𝑬 − 𝝁𝝁0.60.40.2000.1
E - µ (eV)0.20.3

P. 204§9.4 理想Bose気体: Bose-Einstein凝縮の概要

𝑁𝑁/𝑉𝑉 =

1𝜆𝜆𝑇𝑇

3 𝐹𝐹3/2 𝛼𝛼 ≤1𝜆𝜆𝑇𝑇

3 𝐹𝐹3/2 0 =2.612𝛼𝛼 = −𝛽𝛽𝜇𝜇, 𝑦𝑦 = 𝛽𝛽𝑒𝑒𝜆𝜆𝑇𝑇 3

矛盾: Bose分布では入れる粒子数の上限はないのに、積分形にすると上限が現れる
1
原因: 𝑓𝑓(𝑒𝑒) =は 𝑒𝑒 = 𝜇𝜇 で無限大に発散するので、 𝜇𝜇 = 0 のときは、
exp 𝛽𝛽 𝑒𝑒−𝜇𝜇 −1

𝑵𝑵 𝒆𝒆 ∝ 𝒆𝒆 との積分が 0 にならずに基底状態の粒子数 𝒏𝒏𝟎𝟎 が有限になる

そもそも: Bose粒子は一つの状態にいくつでも入れる=> T = 0 では n0 = N, nk = 0 (k = 1, 2, ･･･)
T > 0 では k > 0 の状態にも励起される。
温度が低くなると、励起準位だけでは全粒子を収容できなくなる=> 𝜇𝜇 = 0 となり、大部分の粒子は k = 0 (基底状態) にある: Bose凝縮
Bose凝縮: n0 が全粒子数程度の大きな数になる(a) T > Tc と (b) T < Tc の粒子数分布

(a)

(b)

宮下精二、熱・統計力学

Bose-Einstein分布の粒子数の積分形？

磯井恒丸、熱学・統計力学

状態密度 (2S+1 = 1)

𝑵𝑵 𝒆𝒆 /𝑽𝑽 =Bose-Einstein分布では:𝟐𝟐𝝅𝝅 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑/𝟐𝟐𝒉𝒉𝟑𝟑𝒆𝒆 (9.41)

𝑵𝑵/𝑽𝑽 =𝝀𝝀𝑻𝑻 =𝟑𝟑𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 𝟐𝟐𝒉𝒉𝟐𝟐𝒉𝒉𝝀𝝀𝑻𝑻 𝟑𝟑

𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶:熱的ド・ブロイ波長

𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒌𝒌𝑩𝑩 𝑻𝑻

𝜶𝜶 = −𝜷𝜷𝝁𝝁𝒚𝒚 = 𝜷𝜷𝒆𝒆

𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶 =𝑽𝑽

𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶∞
1𝑁𝑁/𝑉𝑉 = ∫0 𝐷𝐷(𝑒𝑒)𝑑𝑑𝑑𝑑exp 𝛽𝛽 𝑒𝑒−𝜇𝜇 −1𝟐𝟐𝝅𝝅 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑/𝟐𝟐 ∞𝒆𝒆=𝑑𝑑𝑑𝑑∫0 exp 𝛽𝛽 𝑒𝑒−𝜇𝜇 −1𝟐𝟐𝝅𝝅ℏ 𝟑𝟑

𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 3/2
𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶
𝒉𝒉𝟐𝟐𝜶𝜶 = −𝜷𝜷𝝁𝝁, 𝒚𝒚 = 𝜷𝜷𝒆𝒆

=𝟏𝟏𝝀𝝀𝑻𝑻 𝟑𝟑

𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶∞ 𝒚𝒚𝝈𝝈−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑭𝑭𝝈𝝈 𝜶𝜶 =𝒅𝒅𝒅𝒅∫
𝚪𝚪(𝝈𝝈) 𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒚𝒚+𝜶𝜶 −𝟏𝟏・ 𝒚𝒚 → 𝟎𝟎 で収束するためには 𝜶𝜶 > 𝟎𝟎 である必要
・ 𝜶𝜶 → ∞: 𝑭𝑭𝝈𝝈 𝜶𝜶 ∝ 𝒆𝒆−𝜶𝜶(9.48)
𝒆𝒆−𝒏𝒏𝜶𝜶∞(9.49)
・ 𝜶𝜶 > 𝟎𝟎: 𝑭𝑭𝝈𝝈 𝜶𝜶 = ∑𝒏𝒏=𝟏𝟏 𝝈𝝈𝒏𝒏
・ 𝑭𝑭𝝈𝝈 𝜶𝜶 は𝜶𝜶 = 𝟎𝟎 で最大値を取る
𝟏𝟏・ 𝑭𝑭𝝈𝝈 𝟎𝟎 = ∑∞𝒏𝒏=𝟏𝟏 𝒏𝒏𝝈𝝈 = 𝜻𝜻(𝝈𝝈)Riemannの𝜻𝜻 (ツェータ) 関数 (9.50)
𝐹𝐹3/2 0 = 2.612𝚪𝚪(𝝈𝝈): Γ関数、 𝝈𝝈!を自然数に拡張𝚪𝚪 𝒛𝒛 + 𝟏𝟏 = 𝒛𝒛𝚪𝚪 𝒛𝒛 , 𝚪𝚪 𝟏𝟏/𝟐𝟐 = 𝝅𝝅, 𝚪𝚪 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶

𝑁𝑁/𝑉𝑉 =

Bose-Einstein積分 𝑭𝑭𝝈𝝈 𝜶𝜶Bose-Einstein分布の粒子数の積分形の矛盾
𝐹𝐹𝜎𝜎 𝛼𝛼 =𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶 =𝑦𝑦 𝜎𝜎−1∞1𝑑𝑑𝑑𝑑∫𝛤𝛤(𝜎𝜎) 0 𝑒𝑒 𝑦𝑦+𝛼𝛼 −1𝟏𝟏𝝀𝝀𝑻𝑻

𝟑𝟑

𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶(9.47)

𝑭𝑭𝝈𝝈 𝜶𝜶 は 𝜶𝜶 = 𝟎𝟎 で最大値を取るので、𝑵𝑵
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏= 𝟑𝟑 𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶 < 𝟑𝟑 𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟑𝟑
𝑽𝑽
𝝀𝝀𝑻𝑻
𝑵𝑵
𝟏𝟏< 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟑𝟑
𝑽𝑽
𝝀𝝀𝑻𝑻𝝀𝝀𝑻𝑻と、𝑵𝑵𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦𝐦/𝑽𝑽 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
粒子数密度𝟏𝟏𝝀𝝀𝑻𝑻 𝟑𝟑= 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔

𝑵𝑵は存在しえない？？
𝑽𝑽𝝀𝝀𝑻𝑻𝟑𝟑
𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 𝟐𝟐𝒉𝒉𝟐𝟐𝑵𝑵に対して𝑽𝑽
3/2
𝟏𝟏𝑵𝑵> 𝑻𝑻
𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝑽𝑽

別の表現: 粒子数密度𝑻𝑻𝒄𝒄 𝑵𝑵𝒉𝒉𝟑𝟑=𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩

では 全粒子を収容できなくなる？？

以上の𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶

𝑵𝑵/𝑽𝑽 =

磯井恒丸、熱学・統計力学

𝟑𝟑
𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 𝟐𝟐
𝒉𝒉𝟐𝟐

P. 204§9.4 理想Bose気体: Bose-Einstein凝縮

全粒子数 𝑁𝑁 = 𝑛𝑛0 + 𝑁𝑁𝑁(9.37,43)𝛼𝛼 = −𝛽𝛽𝜇𝜇, 𝑦𝑦 = 𝛽𝛽𝑒𝑒

(9.37,42)

𝑵𝑵′ /𝑽𝑽 =𝟑𝟑

𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 𝟐𝟐
𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 (𝜶𝜶)𝒉𝒉𝟐𝟐𝐹𝐹𝜎𝜎 𝛼𝛼 =∞1𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑∫𝛤𝛤(𝜎𝜎) 0 exp(𝑦𝑦+𝛼𝛼) −1

基底状態は e = 0なので、𝑛𝑛0 =1exp −𝛽𝛽𝛽𝛽 −1−𝛽𝛽𝛽𝛽 = ln 1 +1
𝑛𝑛0~

(9.47)(9.45)

1𝑛𝑛0

Bose凝縮では n0 が全粒子数程度の大きな数になる=> Bose凝縮が起こる条件: 𝜶𝜶 = −𝜷𝜷𝝁𝝁 → 𝟎𝟎
このとき、基底状態 e = 0 近傍では 𝑓𝑓 𝑒𝑒 =𝝁𝝁 = 𝟎𝟎の粒子数分布

宮下精二、熱・統計力学

1𝑘𝑘 𝑇𝑇~ 𝐵𝐵 と 𝑵𝑵 𝒆𝒆
exp 𝛽𝛽𝑒𝑒 −1𝑒𝑒

∝ 𝒆𝒆 との積分が 0 にならず、 𝒏𝒏𝟎𝟎 個の粒子を基底状態に収容できるようになる。

P. 209§9.4 理想Bose気体: 転移温度

𝑵𝑵′ /𝑽𝑽 =𝟑𝟑𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 𝟐𝟐𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 (𝜶𝜶)𝒉𝒉𝟐𝟐(9.47)

で T を一定として N’ をプロットすると９－５図になる
最大値は 𝑭𝑭𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝜶𝜶 = 𝜻𝜻 𝟑𝟑/𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 から
𝑵𝑵′ 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 /𝑽𝑽 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔

𝟑𝟑𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 𝟐𝟐𝒉𝒉𝟐𝟐

𝜶𝜶 = −𝜷𝜷𝝁𝝁 = 𝟎𝟎 のとき、
𝑵𝑵 = 𝒏𝒏𝟎𝟎 + 𝑵𝑵′ 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎

９－５図N’ の α依存性

９－６図α の T 依存性(9.52)(9.53)

𝟑𝟑

𝑵𝑵
𝑵𝑵′ 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩𝑻𝑻 𝟐𝟐>＝𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝑽𝑽𝒉𝒉𝟐𝟐𝑽𝑽がBose凝縮の起こる条件となる。

3(9.54)2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑚𝑚𝐵𝐵𝑇𝑇𝑐𝑐 2
𝑁𝑁/𝑉𝑉 = 𝑁𝑁 ′ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 /𝑉𝑉＝2.612(9.55)ℎ2𝟐𝟐/𝟑𝟑
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝑵𝑵𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝒉𝒉𝟐𝟐 𝟐𝟐/𝟑𝟑
𝑻𝑻𝒄𝒄 ==
𝝆𝝆
(9.56)
𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟐𝟐𝝅𝝅𝒎𝒎𝒎𝒎𝑩𝑩(a) T > Tc と (b) T < Tc の粒子数分布.

で Tc を定義すれば、(9.54)式より、
Bose凝縮の起こる条件は𝑻𝑻 < 𝑻𝑻𝑻𝑻: 転移温度宮下精二、熱・統計力学

Bose凝縮の化学ポテンシャル: プログラム
プログラム: bose_condensation.py
使用法: python bose_condensation.py [Fs|mu] Tmin Tmax Tstep alphamin alphamax
使用例１: python bose_condensation.py Fs 3 4.5 0.2 0 0.5 0.002
3.0~4.5 Kの範囲で0.2K毎に、Fσ(α) を α = 0 ~ 0.5, 0.02ステップで計算してN(T)をプロット
使用例２: python bose_condensation.py mu 2.5 4.5 0.01
2.5~4.5 Kの範囲で0.01K毎に EF, N’, n0 などを計算して α(T) = µ(T) / kBT をプロット
EFの計算は二分法、数値積分はintegrate.quad()を使っている

使用例１

使用例２

N’max(4.5K)µ(3.7K) µ(4.5K)
N
4.5K
3.1K

例題２： 液体 4Hem = 6.64×10-27 kg
N = 2.18×1022 cm-3
TC = 3.14 K