工業反応装置特論
講義時間：火曜/木曜6限
場所：8-1A
担当：山村

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本講義のMISSIONCOATING = 界面を作る技術であることを理解する□ 潤滑理論の基礎式を導出できる□ ブレード塗布時の速度・圧力分布を算出できる□ 毛管力を考慮したFilm Profile Equation(FPE)を導出できる□ 1D-FPEの線形安定性解析から，安定操作条件を導出できる□ スロットダイ塗布のコーティングウィンドウを決定できる□ 粘弾性流体に対するMaxellモデルを導出できる□ 動的粘弾性測定より貯蔵・損失弾性率を算出できる□ 高分子混合物に対するCahn-Hilliard Equation (CHE)を導出できる□ CHEの線形安定性解析から構造形成条件を決定できる□ シミュレータを用いた簡単なプロセス設計ができる

・次回開始時にレポート提出 (submit your report at the beginning of next class)
納期に遅れたレポートは成績に反映しない (report delayed is not accepted)
・講義資料を公開 (Refer documents on the web: www.che.kyutech.ac.jp/chem22
・必要に応じて期末試験を行う (Exam if needed)

単位幅当たりの流量(q)速度分布をy  0からHまで積分すると単位長さ当たりの流量qはHq   u ( y )dy0

単位はm2/s3圧力分布がない場合：Couette flowy

速度分布は
Hu(ｙ)

0xUQ. 速度分布が直線の流れをクエット（Couette）流という。厚みHのクエット流の単位幅当りの流量qが次式で表されることを示せ。

1q  HU2y)
Hy  0からHまで積分すると

u ( y )  U (1 

単位長さ当たりの流量qはHq   u ( y )dy0y U  1  dyH0HHy U y 2H01
 HU22圧力分布のみがある場合：Poiseuille flowy

速度分布をy  0からHまでH0積分すると、単位長さu(ｙ)x当たりの流量qはHQ. 流れ方向に一定の圧力勾配dp/dx (<0)
があるNewton流体の層流では、速度分布は次の２次曲線で表される。

1 dp 2u( y) ( y  Hy )2  dx
この厚みHのポアズイユ流の単位幅当りの流量qが次式で表されることを示せ。

H3dpq( )12  dxq   u ( y )dy0H

1 dp 2( y  Hy )dy2  dx0H

1 dp  yHy 2  dx  32 0321 dp  H 3  2  dx  6 H3dp
q ( )  012  dx

２つの流れの組み合わせ 予想される速度分布を描け(a) dp/dx<0(b) dp/dx=0 x（Couette流れ）(c) dp/dx>06

潤滑理論の基本的な考え方

 一定速度で右方向へ移動する平板と静止ブレードとの間の層流を考える
 流れ場には流れ方向に一定の圧力勾配dp/dxがある(a) dp/dx<0(b) dp/dx=0 x（クエット流れ）(c) dp/dx>0(d) dp/dx>07一般的な場合
流量は２つの流れの線形和で表されるq

1 dp 3H12  dx

圧力勾配による
ポアズイユ流れ1HU2(1)

基板走行による
クエット流れ以下に証明を示す。必要な情報は・運動量収支
・物質収支
・境界条件（壁面で流体は静止）8一般的な場合：潤滑理論（１）yU1u(ｙ)

H(x)

0Wx

U2

運動方程式
（後述のシェルバランスより）
d 2u dp 2 dydx
 Newton流体を仮定
 重力無視 詳しい導出は後頁

1回積分してdu 1 dpy  C1dy  dx
もう1回積分してu

1 dp 2y  C1 y  C22  dx

境界条件y  0 : U  U 2 ,y  H ( x) : U  U1から

U1  U 2 1 dp
HH
2  dxC2  U 2C1 9一般的な場合：潤滑理論（２）よって速度分布はu

1 dp 2  U1  U 2 1 dp y  
H  y  U 22  dx
2  dx  H(2)y  0からH ( x)まで積分すると単位長さ当たりの流量qはHq   u ( y )dy0

 1 dp 2  U1  U 2 1 dp  y  H  y  U 2 dy2  dx
2  dx  H
0 
HHH

 U1  U 2 1 dp   y 2 
1 dp  y 3 H     U 2 H   2  dx  3  0  H
2  dx   2  0


1 dp 3 1  U1  U 2 1 dp  2H  H  H  U 2 H
6  dx2 H2  dx 10一般的な場合：潤滑理論（３）
整理すると
q

1 dp 3 1H  U1  U 2 H
12  dx2(3)U1=0（静止ブレード）, U2=U（移動壁）とすれば式(3)は式(1)に一致
式(3)を整理すると

dp 6  U1  U 2  12 q2dx
HH3(4)

式(4)を式(2)に代入すれば、与えられた（単位幅あたりの）流量qにおける速度分布が算出できる

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基礎式の導出(1)
Airx
W U1

Hy0gsinｙu(ｙ)

xg

U2yにおけるシェル面積はWxなので単位時間にyからシェル内へ流入するx方向の運動量は( yxWx)y

同様にy  yからシェル外へ流出するx方向の運動量は( yxWx)y  yxにおけるシェル面積はWyなのでxにおいてシェルへ作用する圧力は(Wyp) xx  xにおいてシェルへ作用する圧力は(Wyp) x  x
シェル体積はWxyなのでシェルに作用する重力は(Wxy ) g sin 
従って定常状態を仮定すると運動量収支から
0  (Wyp) x  (Wyp) x  x  ( yxWx)   ( yxWx)yyy (Wxy ) g sin 12基礎式の導出(2)yAir

xWgsin

H

ｙu(ｙ)
0x
ニュートン流体ならばは一定なのでシェル体積Wxyで除すと
0

p x  x  p x

 yx y  y   yx y  yx
yx  0, y  0ではdp d yx0  g sin dx dy

ニュートン流体ならば yx   0g

 g sin dpd 2u0     2  g sin dxdy(6)重力が厚み方向に作用する場合は

  0なのでdpd 2u0  2dx
dyduであるからdy

dp d  du      g sin dx dy  dy 13

Report 1 film thickness in blade coating

氏名Consider a laminar one-dimensional flow of Newtonian fluid confined between
a stationary solid blade and a substrate moving at a constant speed, U.
yA constant pressure gradient, dp/dx, is imposed on the fluid along the x direction.
H represents the clearance (gap) between the blade and substrate surfaces.
Q1. Solve the equation of motion (1) and derive Eq. (2), where  represents the shearviscosity of the fluid and q [m2/s] denotes the volume flow rate per unit length.

d 2u dp
dy 2 dx(1)

HxU22q  y 
3q  yu ( y )  3  U     4  U   U (2)H  H 
2H  H
Q2. Show that the flow rate satisfies Eq. (3) when we have a linear velocity distribution in the y direction.
HUq
(3)
2

Q3. Plot u/U against y/H at different dimensionless flow rates q/(HU) to determine critical flow rate, at which a reverse
flow appears in the flow channel in the opposite direction to the substrate motion.

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