School of Information-Oriented Management
School of Management

No.1

September 2016

1881−2171

産業能率大学紀要

第 巻Vol. 37

産業能率大学紀要

SANNO University Bulletin

ISSN

第37巻

37第 号

2016年第1号
9月

1

研究ノート

Research Note
The Third Report on Special Determinants and Chebyshev Polynomials

Takuma Teshirogi
Yutaka Katsuma ………1

年 ９月

20
16

産業能率大学SANNO University

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

手代木琢磨
勝間豊

…………1

「産業能率大学紀要」執筆要項

産業能率大学紀要審査委員会

1 ．投稿資格
次の条件を満たすものとする。
⑴ 産業能率大学情報マネジメント学部・経営学部および自由が丘産能短期大学の専任教員を原則とする。
⑵ 共著の場合には、少なくとも一名は、上記⑴の資格を有するものであること。
⑶ 本務校を持たない産業能率大学情報マネジメント学部・経営学部および自由が丘産能短期大学の兼任教員。
⑷ 上記⑴、⑵、⑶以外で、紀要審査委員会が適当と認めた者。
2 ．原稿の種類
原稿は、邦文もしくは欧文の、他の刊行物に未発表のもので、論文、研究ノート、事例研究、資料、その他（書評、紹介、報告）のいずれかに該当するものに限る。
3 ．原稿構成
原稿には、次のものを含むこと。
⑴ 邦文および欧文の表題。
⑵ 邦文および欧文で書かれた執筆者名と所属。
⑶ 論文と研究ノートの場合は150語程度の欧文抄録。
4 ．原稿の量および投稿方法⑴ 14,000字前後とする。
⑵ 欧文原稿の場合は、A ４判の用紙を用い、ダブルスペースで30枚以内を原則とする。
⑶ 完成原稿をメール添付にて事務局宛に送付する。手書きは不可。なお、セキュリティ上、パスワードを設定し、送信履歴を残す。
5 ．表記⑴ 原則として、常用漢字、現代かなづかいを用いる。
⑵ 表題の脚注（a）学会等に発表している場合には、「本論文は、学会名、講演会名、発表日、場所、において発表した。
」というように注記する。
（b）原稿受理日は、事務的に入れる。
⑶ 章、節などの記号
章の記号は、１. ２.……、節の記号は、１. １、１. ２……、２. １、２. ２……のように付ける。
⑷ 脚注
 ⑴、⑵のように、注記の一連番号を参照箇所の右肩に書き、注記そのものは、本文の最後に一連番号を付けてまとめる。
（例）……価格理論の一部として、取り扱われていることになり⑴……（本文）⑴ 価格理論では、このことを特に「機能的分配の理論」と呼んでいる。
（注記）⑸ 文献の引用
文章の一部に引用文献の著者名を含む場合は、著者名、続いて文献の発行年度を〔 〕で囲む
（例1）
文章の外で文献を引用する場合は、著者名、発行年度を〔 〕で囲む（例2）同一著者、同一年度の文献を複教個引用する場合は、発行年度の次に a , b ,……と一連の記号を付ける。
（例1）文章中の引用
Minsky と Papert〔1969〕のパーセプトロンでは……岩尾〔1979a〕は、すでに述べた…

（例2）文章の外の引用
関係完備制が証明された〔Codd 1971a〕
Example〔von Neumann and Morgenstern 1944〕⑹ 参考文献本文中で引用した文献は、参考文献として著者名のアルファベット順にまとめる。書誌記述は、単行図書の場合は『著者名：書名、出版社、出版年、（その単行図書の一部を引用する場合には）ページ』の順に記述する。
（例1）和書の場合
テイラー，Ｆ . Ｗ . 著 上野陽一訳編：科学的管理法、産業能率短期大学出版部、1969（例2）洋書の場合
Ablial.J.R.：Data Semantics, Proc.IFIP Working Conference on Data Base Management, NorthHolland, 1974, pp.1-60
雑誌の場合は『執筆者名：表題、雑誌名、巻（号）、出版年、ページ』の順とする。
（例1）和雑誌の場合
小田稔：マイクロ波の朝永理論、科学、49（12）, 1979, pp.795-798（例2）洋雑誌の場合
Kipp, E.M.：Twe1ve Guides to Effecive Human Relations in R. ＆ D., Research Management,
7(6), 1964, pp.419-428⑺ 図・表
図・表は、一枚の用紙に一つだけ書き、図・表のそれぞれに、図1 − 1（Figure 1-1）
、表1 − 1（Table 1-1）のように一連番号を付け、タイトルを記入する。
6 ．投稿期日９月刊行の号は４月上旬、２月刊行の号は９月中旬を締め切りとする。ただし、投稿は随時受け付ける。
7 ．投稿原稿の審査
原稿の採否は紀要審査委員会において決定する。採用された原稿について、加筆、修正が必要な場合は、一部の書き直しを要求する場合がある。また、表記などの統一のため、紀要審査委員会で一部改める場合もある。なお、原稿のテーマによっては紀要審査委員以外のものに原稿の査読を依頼することがある。
8 ．執筆者校正
校正は執筆者の責任において行うこととする。
（校正段階における加筆は、印刷の進行に支障を来すので、完全原稿を提出すること。
）
9 ．著作物の電子化と公開許諾
本誌に掲載された著作物の著作権は執筆者に帰属するが、次の件は了承される。
⑴ 執筆者は、掲載著作物の本文、抄録、キーワードに関して紀要審査委員会に「電子化公開許諾書」を提出し、著作物の電子化及び公開を許諾するものとする。共著の場合は、すべての執筆者の提出が必要である。
⑵ 上記により難い場合は、紀要審査委員会に相談する。
10．掲載論文の別刷掲載された論文１編につき、本誌１部、別刷100部を無償で執筆者に贈呈する。別刷100部以上は有料とする。
（1991.6.5）（1994.7.6改正）（2003.1.7改正）（2003.9.17改正）（2013.4.29改正）（2015.4.24改正）

［研究ノート］

Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 2016

特殊な行列式とチェビシェフ多項式
The Third Report on Special Determinants and Chebyshev
Polynomials
手代木琢磨Takuma Teshirogi
勝間豊

Yutaka Katsuma

Abstract
In our previous papers, the secular equation of quantum chemistry was extended to thespecial determinants. In this paper the determinants are related to the first and thesecond Chebyshev polynomials and the relationship between the two polynomials arediscussed.

1. 序 論前二報（手代木2011、手代木＆勝間（2015）において、量子化学の単純ヒュッケル法で使われる永年方程式から誘導される二種類の行列式の性質を議論した。現報ではこの二種類の行列式が Chebyshev の第一種および第二種の多項式と深く関係し、しかもこの関係を利用して、Chebyshev 多項式間の新しい関係式も誘導されることが解ったので報告する。

2. チェビシェフ多項式

2016年2月22日

受理

1

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

2

Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 20163

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

3. 特殊行列式とチェビシェフ多項式との関係
一方、第一報で定義した行列式と Chebyshev の多項式との関係を述べる。
左側が第一種の行列式、右側が第二種の行列式である。

4

Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 20165

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

6

Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 2016

4. チェビシェフの微分方程式

5. チェビシェフの微分方程式の応用
5. 1 第一種のチェビシェフ多項式の応用

7

特殊な行列式とチェビシェフ多項式8Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 20169

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

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5. 2 第二種のチェビシェフ多項式の応用

11特殊な行列式とチェビシェフ多項式

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特殊な行列式とチェビシェフ多項式

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Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 201615

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

6. チェビシェフ多項式の数値計算
6. 1 第一種の行列式から得られる行列の固有ベクトルの利用

16Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 201617

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

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Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 2016

6. 2 チェビシェフ多項式からの直接計算19

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

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Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 20167. バネの振動への応用
第一種の行列式のバネ運動への応用は前報ですでに二例掲げた。今回は長さの固定されの等しい3個のおもりをバネ～おもた空間にバネ定数、の等しい4本のバネと、質量、り～バネ～おもり～バネ～おもり～バネの順に並べた系のそれぞれのおもりの振動を計算する。左から順に各おもりの平衡の位置からの微小の変位、その変位の時間に関する一次微分、さらにその変位の二次微分をそれぞれ次のように置くと、おもりの運動のエネルギーとバネのポテンシャルエネルギーは次のようになる。

Lagrange 関数と Lagrange 方程式は次式なので、この問題に応用すると次式が得られる。

21

特殊な行列式とチェビシェフ多項式

22

Sanno University Bulletin Vol. 37 No. 1 September 2016

参考文献
窪田高弘 著：力学入門、培風館、2006
手代木 琢磨：特殊な行列式の漸化式、産業能率大学紀要、 31（2），2011, pp. 37-54
手代木

琢磨、勝間豊：特殊な行列式と三角関数（第二報）、産業能率大学紀要、36（1），2015, pp. 19-46

23

執筆者紹介（掲載順）
手代木勝間琢

2016 年 9 月現在

磨

産業能率大学情報マネジメント学部元教授

豊

産業能率大学情報マネジメント学部准教授

ご協力いただいた査読者の方々にお礼申し上げます。

産業能率大学 紀要
2016年９月30日
編
発集
行発行

第37巻1号（通巻70号）

産業能率大学紀要審査委員会
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経営学部 現代ビジネス学科
マーケティング学科〒259-1197 神奈川県伊勢原市上粕屋1573
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第 巻Vol. 37

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37第 号

2016年第1号
9月

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研究ノート

Research Note
The Third Report on Special Determinants and Chebyshev Polynomials

Takuma Teshirogi
Yutaka Katsuma ………1

年 ９月

2016

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特殊な行列式とチェビシェフ多項式

手代木琢磨
勝間豊…………1