工業反応装置特論
講義時間：火曜/木曜6限
場所：8-1A
担当：山村

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静的表面張力（σ）
純水（25℃） σ=72 mN/m = 72 mJ/m2（理科年表より）単位長さ当たりに作用する力
単位面積当たりのエネルギー（表面エネルギー）

F=sL

周の長さL

エネルギーとしての表面張力
針金aＬ

液膜の上下面がそれぞれ可動針金に接している。表面張力sを単位面積当たりのエネルギーと考えると

液膜
Ｆ針金を距離aだけ動かすのに必要な仕事はW  s  2aL [ J / m 2 ][m 2 ]  [ J ]仕事は力と距離の積なので可動針金
側面図

Ｆ

可動針金に作用する力をFとすると
W  Fa F  2 s L [N ]従ってσは単位長さ当たりに作用する力に相当

3表面張力とは気相表面にいる分子は、引力相互作用の半分を失っているため「不幸な」状態にある。
液相（ドゥジャンヌら、表面張力の物理学
奥村剛訳、吉岡書店(2003)より抜粋）

教科書にある表面張力の模式図

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表面張力の起源：密度分布気相

斥力rA

界面相

rC rBrBrA
距離rC

バルク液相

現実の液体分子の配置はもっとランダム

レナード・ジョーン型
ポテンシャル5

任意の自由表面形状における毛管圧
x方向のみに液体厚み h( x)が変化する場合を考え る。
毛管圧力は気液界面の 曲率1 / rを用いて次式で定義す る。
p  s / r (1)自由表面の曲率rは幾何学から
1d 2 h dx 2
r 1  (dh / dx) 2 3 / 2(2)

(1)(2)を組み合わせると
p  sd 2 h dx 2

1  (dh / dx) 2 3/ 2x方向の液体の広がりに 対して膜厚の変化が十 分dh
小さな場合は 1が成り立つので、分母第2項は無視小でdxd 2hp  s 2dx6

２次元凹凸を持つ液体膜y

曲率半径rA

曲率半径rB

Airh(y)表面張力s(a)(b)x s  s 
点Ａでは d 2 h dx 2  0  p A   ( 0) RA  RAs s
点Bでは d 2 h dx 2  0  pB     ( 0)RB
 RB 

圧力差による流れによって、液体表面の凹凸は自発的に減衰（levelingと呼ばれる現象）
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円柱に働く毛管圧
表面が円柱形状の場合

円柱表面の座標は次式で表される。
h(  y )  R 2  x 2
微分すると
dhx
 2dx( R  x 2 )1/2

yAxR0L (>>R)

d 2hR2 2dx 2( R  x 2 )3/2
従って毛管圧力はd 2hs R2p  s 2  2dx( R  x 2 )3/2
円柱中央での圧力はx  0を代入して
p s R2R3s
R8半円柱に働く毛管圧（別解）LR

液体の半円柱の底面（面積2LR）の上下における圧力差をpとする

定常状態と仮定すると液滴底面に働く力の釣り合いより半径Rの液柱s  2 L  p  2 LRs p R9円柱に働く毛管圧（別解）気体

L

気体中にある半径 R、長さLの液相円柱を考える。
気相と液相の界面には 表面張力sが作用している。

液体2R

側面図R+drrR
液体

円柱の半径がdrだけ広がるとき、円柱 表面積はdA  2 ( R  dr ) L  2RL  2Ldrだけ増加するので、必 要な仕事は
dW  sdA  2sLdr
この仕事をするために 作用する力はdW  Fdr F  2sL
円柱内の液相の圧力を pin、円柱外の気体の圧力 をpoutとすると、円柱外から 作用する力は円柱表面 積2RLとpoutの積とFの和であるので、平衡 状態での力の釣り合い より
2RLpout  2sL  2RLpin

気体断面図 pin  pout sR10

3つのルール
I.

界面上の任意の点Ａについて、点Ａを通る法線ベクトルnをとる。ベクトルnを含み且つ互いに直交する２つの平面上に、界面に沿った円を描く

II.

円の中心が液体内部にあるときは曲率半径の符号を正に、外部にあるときは負に取る

III. 液体内外の圧力差は正の物性定数σを用いて次式で表される（ラプラスの定理, Laplace 1805)
気液界面 11 p  s  
 *  RA RA 

平面a+RA液体A+RA*
平面b

ただし符号は左図の場合

nくびれを持つ液柱RA

 11 
点A p A  s * R
 A RA 

RA*
AnRB*

RB B

www.yumegazai.comn

 1
1点B p  s *B RB RB 

Q1． ΔpA < ΔpBが成り立つ場合
液柱はどのように変形するか？
a. 球に近づくb. 分裂する

c. 円柱に近づく

Q2．液体外の圧力が一定の場合
ΔpA < ΔpBとなる条件は何か？

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２枚の平板に挟まれた液柱

waterColumn(s=70mN/m)

R*=100mm
R*=5mm

R=5mmR=100mm

1 1 
p  s   * 
R R 
11 
 (70 10 3 )

66 
5 10  100 10
 13kPa
負圧 （平板を吸い寄せる力）p  13kPa
正圧 （分裂の駆動力）
13（注）合一も分裂も生じない安定な液柱形状が存在球に働く表面張力
一般的な３次元物体であれば、曲率半径の異なるR, R*を用いて

1 1 
p  s   * 
R R 
（例）半径Rの球

2s
R  R を代入すればp R*

液滴底面（面積πR2）の上下における圧力差をpとする

（例）別解

2R

定常状態と仮定すると液滴底面に働く力の釣り合いよりs  2R  p  R 22s

 p R14

Report 3 capillary pressure (毛管圧）

氏名Consider a liquid column with radius R. The surface position of the column is expressed ash( y )  R 2  x 2 , where the origin of the x coordinate is at the center of the column.
Q1. Derive Eq. (1).
d 2hR2(1)dx 2( R 2  x 2 )3 / 2
Q2. Derive the equation (2) for capillary pressure at x=0 in the liquid column. The liquid pressure relative to theatmospheric pressure is given by p  sd 2 h / dx 2 where s denotes the surface tension of the liquid.

ps(2)
RQ3. Two liquid columns of radius R merge when they contact. Explain the physical reason why the columns
merge to become one bigger column based on the capillary pressure.

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