QGP粘性係数導出に向けた
Nf=2+1 QCDエネルギー運動量テンソル相関関数の研究
谷口裕介
forWHOT QCD collaboration

馬場惇, 江尻信司, 金谷和至, 北沢正清, 下条昂礼,鈴木遊, 鈴木博, Y.T, 梅田貴士

QGPの粘性係数が面白い
BNL RHIC: 高エネルギー重イオン衝突実験 (2001)
Elliptic ﬂowの発見• non central collision• 一様な黒体輻射ではない• 粒子の運動量分布に系統的な偏り• QGP中の集団運動のシグナル

QGPの粘性係数が面白い
QGP中の集団運動
強結合現象である
ボルツマン方程式による記述 Molnar, Gyulassy(2002)
衝突項の散乱断面積=50x(摂動論の断面積)
anisotropic ﬂow coeﬀ.

強結合相互作用に基づく集団運動＝流体運動
流体模型による記述 Schenke et al(2012)η∼ 0.2
粘性が極めて小さいsAdS/CFTによる予言1⌘⇠⇠ 0.08s4⇡

Policastro, Son, Starinets(2001)

場の理論で粘性係数を求めるには？
ずれ粘性: shear viscosity (Wikipedia)FUτ= =ηSh

速度 Uh

剪断応力 F
面積 S@Ui
一般化 fij = µ@xj
体積粘性: bulk viscosity (Wikipedia)@Ui
fii = µ@xi

場の理論で粘性係数を求めるには？
場の理論における応力＝エネルギー運動量テンソル
保存カレントLTµ⌫ = µ @⌫@自由ダスト流体系

Tµ⌫⌘µ⌫ Lµ ⌫= ⇢u u

各成分の意味

T000= ⇢u = ✏T0ii= ⇢u = ⇡T

111 1

=⇡ vi

エネルギー密度
運動量密度
単位時間にx方向の単位面積を抜け出す運動量密度
運動量の時間変化＝力T121 2

=⇡ v

圧力

単位時間にy方向の単位面積を抜け出す運動量密度
応力 f12場の理論で粘性係数を求めるには？
計算すべき量 hT121 2i = ⌘@ u

並進対称性の保存カレント

エネルギー 運動量01T00 T01 T02 T03
BT10 T11 T12 T13 C
CTμν =B@T20 T21 T22 T23 A
T30 T31 T32 T33
剪断応力

しかし格子上では並進対称性が無い
保存カレントでないので繰り込みが必要
Gradient ﬂowで解決！

圧力Gradient ﬂowとは？
Gradient Flow
ゲージ場のﬂow@t Aµ (t, x) =SYM
AµNarayanan-Neuberger(2006)
Lüscher(2009–)

Aµ (t = 0, x) = Aµ (x)2t: ﬂow time, dim=[長さ ]@t Aµ (t, x) = D⌫ G⌫µZ
4Aµ (t, x) = d yKt (x y)Aµ (y) + interactions

拡散方程式の一種
形式解2e x /4t
heat kernel Kt (x) =(4⇡t)D/2

p

8t の範囲で場をsmearGradient ﬂowの復習
神的視点

Gradient Flowは繰り込みスキームの一つ！
Narayanan-Neuberger(2006), Lüscher(2010), Lüscher-Weisz(2011)

ﬂowした場 Aµ (t, x) で作った演算子はscale:p

紫外発散が無い
同一点特異性が無い
おまえはもう繰り込まれている8t

非摂動論的に繰り込まれた演算子
みuniversal

込り繰

限有MS scheme

aaFµ⌫ Fµ⌫ (x, t)

吸収ﬂow

格子上の演算子

Re＜1ー

格子作用の詳細
格子演算子＞

Tμνを格子で計算する方法?
格子上でVEVを計算する
QCD Lagrangianに現れる項!
aa¯F(x)F(x)
/ (x)
µ⌫ ⇢
µ⌫ (x) D⇢¯µ⌫ (x) (x)traceを取るとQCD Lagrangianになる項
⌘⇣ !
!
aa
¯(x) µ D ⌫ + ⌫ D µFµ⇢ (x)F⌫⇢ (x)(x)

繰り込む 1. Matching係数を掛ける
2. 連続極限a→0を取る
3. t→0極限を取る

H.Suzuki, PTEP 2013, 083B03 (2013)
Makino-Suzuki, PTEP 2014, 063B02 (2014)

Irrelevant演算子との混合を解消する{Tµ⌫ } (x, t, a) = {Tµ⌫ }WT (x) +t(dim6 operator)

場の理論で粘性係数を求めるには？
計算すべき量 ⟨T (x)⟩β12しかし熱平衡系では hT12i =0

流体は非平衡非平衡効果を実時間形式の外場として取り入れる
外場として導入された揺らぎからの緩和過程を見る
ZZ t Zh T̂ij (t, ~x)ineq =ds d3 x0
d⌧ h T̂ij (s i⌧, ~x) T̂kl (0, ~x0 )i @k ul (~x0 )00

久保の応答関数
ずれ粘性⌘=

Z 1

dt0

並進対称性

Zd3 x0Z0d⌧ h T̂12 (ti⌧, ~x) T̂12 (0, ~0)i

スペクトル関数
久保の応答関数は格子上では計算できない

Z0d⌧ h T̂ij (ti⌧, ~x) T̂kl (0, ~0)i

解析接続を使ってEuclid空間上の相関関数に変換する
間を取り持つもの＝スペクトル関数

ρ(k) = d 4 xe −ikx ⟨[T12(x), T12(0)]⟩∫βshear viscosity⌘=Z 10dt

Z

3 0d x⇢(k0 , ~0)= lim
k0 !02k0Z0d⌧ h T̂12 (ti⌧, ~x) T̂12 (0, ~0)isha1_base64="MLx3msEZVfqRg6z77gQBPkHvfT0=">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</latexit>

sha1_base64="MLx3msEZVfqRg6z77gQBPkHvfT0=">AAADPXichVHNbtNAEB6bvxJ+GuCCxMUiKkolGq0DogkSooILx/4QWqnbRuvNOl7FsS17EzWs/AK8AAdOICGEeAkkLrwAh7wAEgJxKVIvHJh1XKCHwljenf1+Zmd3vSSUmSJkatknTp46fWbubOXc+QsX56uXLj/J4lHKRYfHYZxueSwToYxER0kViq0kFWzohWLTGzw0/OZYpJmMo8dqkoidIetH0pecKYS61SmVkXJ6u/pWvkdDFvVDQQOmNE0CmdeXJFVsdJOOBdd7+eJfDJmBBMG0cHU19YRieeWeqdhFZldj5qtJTv2Ucd0bGDDXTZrIEqI8zgKnwGkofFU3uy2VXFFNN3Oayn6gFnNNMxkdqo9KUBPE9YL53ValW62RBiHEdV3HJO7yHYJJu91qui3HNRRGDcpYjatvgEIPYuAwgiEIiEBhHgKDDL9tcIFAgtgOaMRSzGTBC8ihgt4RqgQqGKIDHPu42i7RCNemZla4Oe4S4p+i04EF8om8JfvkI3lHvpCfx9bSRQ3TywRnb+YVSXf+2dWNg/+6hjgrCP64/tmzAh9aRa8Se08KxJyCz/zjp8/3N+6uL+gb5BX5iv2/JFPyAU8QjX/w12ti/QWYBzi8Zef4pNNstBvu2u3ayoPyJebgGlyHOl73MqzAI1iFDnDrviWsyIrt9/Zn+5v9fSa1rdJzBY6EffALznXgnw==</latexit><latexit

sha1_base64="MLx3msEZVfqRg6z77gQBPkHvfT0=">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</latexit><latexit

sha1_base64="MLx3msEZVfqRg6z77gQBPkHvfT0=">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</latexit><latexit<latexit

格子計算の問題点
スペクトル関数Z
d3 xh ˆ( i⌧, ~x) ˆ(0, ~0)i =0

ρ(k0, 0 )⃗η = lim
2k0k0→0

Breit-Wigner ansatz

⇢(!)
F=!
1 + b2 (!
F+2!0 )
1 + b2 (! + !0 )2Z 1

τは離散化された有限個の点2
dk0 cosh k0 ⌧⇢(k0 , ~0)2⇡sinh k0 2⇣⇢(!)=+ ✓(!
22!
1+b !
⌘⇡

⌘

病的な逆解き問題

スペクトル関数のモデル化で回避
hard thermal loop ansatz
A! 3!0 )!
tanh 4T

Whatsʼ new?
Gradient Flowを使って格子上のエネルギー運動量テンソルを定義する
格子上の非摂動論的な繰り込みを与える
Nf=2+1 QCDへの応用
本邦初公開
m⇡
⇠
0.6
a〜0.07[fm],
heavyudquark•m⇢• T=174ー464 MeV

Shear viscosity
Breit-Wigner ansatz

T=232 MeV (Nt=12)

2⟨ΔTij(x4)ΔTij(0)⟩0.15χ /dof2.5

T=232 MeV (Nt=12)

20.1
1.5

0.05

10.5

0000.5

11.5

2

flow time

-0.05
024

flow time=0.5
flow time=1.0

6x4

8

10

flow time=1.5
flow time=2.0

12

ﬂow time⇢(!)
F=!
1 + b2 (!

F+2!0 )
1 + b2 (! + !0 )2

Shear viscosity
Breit-Wigner ansatz

T=232 MeV (Nt=12)⟨ΔTij(x4)ΔTij(0)⟩

0.15

ηs

1

T=232 MeV (Nt=12)
linear fit

linear window

0.5

0.1F
η=
1 + b 2ω02

00.05
-0.5

0-10-0.05

0.5

1

1.5

flow time

02

4

flow time=0.5
flow time=1.0

6x4

8

10

flow time=1.5
flow time=2.012

η= 0.145(51)s2Shear viscosity
Hard thermal loop ansatz

T=232 MeV (Nt=12)

2⟨ΔTij(x4)ΔTij(0)⟩0.15χ /dof5.5

T=232 MeV (Nt=12)

5
4.5

0.1

4
3.5
3
2.5

0.05

2
1.5
10

0.5
00

0.5

1

1.5

2

flow time

-0.05
02

4

flow time=0.5
flow time=1.0

6x4

8

10

flow time=1.5
flow time=2.0

12

ﬂow time

ρ(ω)
2ηAω 3=+ θ(ω − ω0)22ω
1+b ωtanh ω4TShear viscosity
Hard thermal loop ansatz⟨ΔTij(x4)ΔTij(0)⟩T=232 MeV (Nt=12)

ηs T=232 MeV (N =12)

10.15

t

linear fit
0.1

0.5

0.05

0

0-0.5

linear window
-0.05

-1
0

2

4

flow time=0.5
flow time=1.0

6x4

810

12

0

0.5

1

1.5

2

flow timeflow time=1.5
flow time=2.0η= 0.208(38)sBulk viscosity
Breit-Wigner ansatz

T=232 MeV (Nt=12)2⟨ΔTii(x4)ΔTii(0)⟩0.1

χ /dof10

T=232 MeV (Nt=12)980.0576504
32-0.05

10-0.1024

flow time=0.5
flow time=1.06x4

810

flow time=1.5
flow time=2.0

12

00.5

1
flow time

1.5

2

ﬂow time⇢(!)
F=!
1 + b2 (!

F+2!0 )
1 + b2 (! + !0 )2

Bulk viscosity
Hard thermal loop ansatz

T=232 MeV (Nt=12)2⟨ΔTii(x4)ΔTii(0)⟩0.1

χ /dof12

T=232 MeV (Nt=12)100.058604
2-0.050-0.1

024

flow time=0.5
flow time=1.06x48

10flow time=1.5
flow time=2.0

1200.5

1
flow time

1.5

2

ﬂow timeρ(ω)
2ηAω 3=+ θ(ω − ω0)22
ω1+b ωtanh ω

4TViscosity as a function of temperature
Shear viscosity
0.8

Bulk viscosity
2

Shear viscosity
Breit-Wigner
Hard thermal loop
ADS/CFT

0.6

1.5
1zeta/s

eta/s

0.4
0.2

0.5

00-0.2-0.5-0.4

Bulk viscosity
Breit-Wigner
Hard thermal loop

0100

200
300
T [MeV]

400

Breit-Wigner ﬁt ansatz

500-1150200

250

300
350
T [MeV]400450Hard thermal loop ﬁt ansatz

500

Summary
粘性係数もなんとかなりそう！？
preliminary!

AdS/CFT:η= 0.145(51) T=232 MeV (Nt=12)s1⌘⇠⇠ 0.08s4⇡

将来計画
統計数を増やす最大エントロピー法
Backus-Gilbert法

Shear viscosity
Breit-Wigner ansatz

T=232 MeV (Nt=12)

2⟨ΔTij(x4)ΔTij(0)⟩2.5χ /dof

T=232 MeV (Nt=12)

0.4

2
0.2

1.5

01

-0.2

0.5
002
small χ /dof is due to large error

-0.4
02

4

6x4

flow time=0.1

8

1012

0.5

1

1.5

2

flow time

ﬂow time⇢(!)
F=!
1 + b2 (!

F+2!0 )
1 + b2 (! + !0 )2