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計算力学部門ニュースレター
計算力学部門ニュースレターNo.
No.66
62

ISSN 1340-6582

November,20212019
November,

目次
目次

・特集：Society5.0を支える人と人工物システム・サービスの計算情報科学基盤創成へ向けて■

特 集 •Society5.0を支える人と人工物システム・サービスの計算情報科学基盤とは
1：計算固 体力学の深 化・進 展
・特 集にあたって … … … … … … … … … … … ……………………
近 畿 大 学… ………………
義 孝… …… …… 2
ダイキン情報システム……平野 和田徹 ……………………2・き裂
進 展 挙 動への深 層 学習の 適 用 … … … ……………………
近 畿 大 学…………………村上……………… 和田義 孝… ………… 3•構造・機能・ユーザ体験のモデルに基づく設計………………東京大学
存 ……………………7
・機械的特性の観点からの材料開発への機械学習の適用…
…… 慶 應 義 塾 大 学 … …………
•風力発電設備のデータ駆動型異常検知技術による診断支援への転移学習の適用

村 松 眞由… ………… 6・従 来の J 積 分法と任 意の荷重 経 路と有 限 変 形 を許 容する新しい三次
J 積 分法産総研 元………………村川正宏………………11… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … エムエスシーソフトウェア株… … 荒 井 皓………………13
一郎… ……… 9•Society5.0を支える計算情報科学基盤の課題と期待………………日立製作所 式会社…………佐々木直哉
・レベルセット XFEM の CFRP 積層板の損傷進展解析への適用…… 上智大 学… ……………… 長 嶋 利夫… ……… 14

特 集 2：安全で信頼できるCAEの利用を支える計算力学技術者の国内資格認定制度、及び海外資格認定制度との国際相互認証・部門からのお知らせ
・安全で信頼できる CAE の利用を支える計算力学技術者の国内資格認定制度、及び海外資格認定制度との国際相互認証•第32回計算力学講演会(CMD2019)開催報告 ……………………東洋大学 ……………… 田村善昭 ………………15……………………………………………………東芝インフォメーションシステムズ株式会社… …… 吉田 有一郎… ……… 20•KSME-JSME Joint Symposium 開催報告 …………………………京都工芸繊維大学 …… 高木知弘 ………………17
・計算力学技術者資格制度と国際相互認証（PSE）の活用と SOLIZE の取り組み•2019年度年次大会の開催報告……………………………………東北大学 ……………… 岡部朋永 ………………20… ………………………………………………………………………… SOLIZE 株式会社… ……… 岩井 信弘… ………… 24•第33回計算力学講演会(CMD2020)開催案内 ……………………鹿児島大学 ………… 池田 徹 ………………21・航 空 機 エンジン開 発品質保 証 への計算力学 技 術 者 認 定制度の活用■… … … … … … … … … … … … … … … … … … ………………… 株式会社本田技術研究所…… …
■

陳内 鉄 生… ……… 27部⾨からのお 知らせ
・講習会報告「機械学習×熱・流体工学の最先端」，3 部門合同オンライン講習会… … … … … … … … … … … … … … … … … … …………………… 東 京大 学… ………………

高木 周… ………… 29

・計算力学技術者 2 級（固体力学分野の有限要素法解析技術者）認定試験対策講習会（2021 年 9 月 1 日～ 2 日、オンライン）開催報告… … … … … … … … … … … … … … … … … … … ………………… 慶 應 義 塾 大 学 … …………

※目次の表題をクリックすると、本文が表示されます。

高 野 直樹… ……… 3 0

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)
特

集

●2

1：計算固体力学の深化・進展特集にあたって

和田 義孝
近畿大学
計算力学は学際的分野として発展してきた歴史があります。
CMDニュースレター No.59 特 集「計算力学の過去、現在、未来 〜３０年前にどのような未来を描いていたか〜」で矢川元
基先 生が計算力学部門発足当時の回顧に「 計算力学は、それ自身が先端技術として展開するとともに、既存の分野（機械学会で言えば、材料力学、熱・流体力学、機械力学、設計工学など）と密着した新たな融合体として発展するという両面を持っております。言い換えれば従来の分野を縦糸の1本1本とすれ
ば計算力学は横糸に相当すると言えましょう。」と述べております。計算力学の技術を１つの糸と考えれば、各分野の専門性も他の糸といえます。この２つがらせんを描きながら30 年を超える切磋した今、計算固体力学の深化と進展を特集させていただきました。
計算固体力学というと本来はだいぶ広範囲な領域に渡るものですが、30 年前の先端領域であった破壊力学の深化、メッ
シュレス手法の進展、マルチフィジックス、マルチスケールシ
ミュレーションの進展、そしてそれら領域とAIの融合という、最新の試みを紹介する構成になりました。本特集は、計算力学部
門広報委員会幹事である篠崎明氏（みずほリサーチ＆テクノロ

ジーズ株式会社）から相談を受け、議論を重ねた結果、寄稿いただいた諸氏の推薦をさせていただきました。また、部門長を務めていらっしゃる高野直樹先生にもご助言いただきました。
この場を借りて御礼申し上げます。

データサイエンス分野の発展により計算機科学のみならず

計算力学分 野 においても機 械 学習やA I の 技 術 から大きく影響を受けております。その影響がどのように固体力学分野に影 響を与えているか、理 解するための糸口になれば幸いです。

話は最初に戻って恐 縮 ですが、最初に紹介いたしました

CM D ニュースレター No.59 特 集のタイトルは、2017 年に近畿 大 学にてCM D2017 を企 画・開 催させていただ いたときに、矢 川元基先 生にご相談させていただき決めた特別座談会のテーマそのものです。印象 的だったのは 若 い世代の 研
究 者が大 変 興 味深 かったと感 銘を受けたことでした。情 報があふれる世の中において、過去のリアルな話は興味が湧く
対 象なのだと思われます。次の 30 年に向けて現在の取り組
みがどのようなものであるか、そして、どのように未来へつなげていくのかを皆様と一緒に模索したいと思います。

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)

顔

写

真

●3

き裂進展挙動への深層学習の適用

カラー
314ｐｘ以上

き裂進展挙動への深層学習の適用
和田 義孝
和田 義孝
近畿大学
近畿大学

1. はじめに
1.はじめに2012年に開催された大規模画像認識コンペティションである
2012 年に開催された大規模画像認識コンペティションである
ILSVR(ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge)
ILSVR(ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge)においてデ
においてディープラーニング（深層学習）1)の有効性が画像認識ィープラーニング（深層学習）1)の有効性が画像認識において示さ
において示されその可能性に多くの人々が期待する状況になっれその可能性に多くの人々が期待する状況になってもうすぐ 10てもうすぐ10年の歳月が流れようとしている。しかし、計算力学や年の歳月が流れようとしている。しかし、計算力学や数値シミュ
数値シミュレーションといった分野こそ、
ディープラーニングとのレーションといった分野こそ、ディープラーニングとの親和性が親和性が高いと期待するもののその応用方法・利用方法につい高いと期待するもののその応用方法・利用方法については徐々に
CAEを利用してては徐々に先行研究事例が増えてきているが、先行研究事例が増えてきているが、CAE を利用している企業全般にこの技術が普及しているとは言えない。もともと多くのデータ
いる企業全般にこの技術が普及しているとは言えない。
もともとを必要とする分野（材料設計、数値流体力学等）においては特徴
多くのデータを必要とする分野（材料設計、数値流体力学等）に量を抽出する多次元非線形マッピングの技術としてディープラー
おいては特徴量を抽出する多次元非線形マッピングの技術としニングの利用例が複数報告されている 2)。本稿ではサロゲートモ
2)。
本稿でてディープラーニングの利用例が複数報告されている
デル（代替モデル）への期待と現状、そして最も重要な予測の質
はサロゲートモデル（代替モデル）への期待と現状、そして最も重を高めるための重要な視点を示す。具体例として、重合メッシュ
要な予測の質を高めるための重要な視点を示す。具体例として、法によるき裂進展データを生成し、どのように学習するのがサロ
重合メッシュ法によるき裂進展データを生成し、どのように学習
ゲートモデルの構築に有効なのかを裂進展挙動の予測を通して考するのがサロゲートモデルの構築に有効なのかを裂進展挙動の察する。
予測を通して考察する。
2.サロゲートモデルへの期待と現状
2. サロゲートモデルへの期待と現状
CAE を代替するサロゲートモデルは、AI-driven CAE10) や RealCAEを代替するサロゲートモデルは、
AI-driven CAE10) やtime CAEなどと呼ぶのが適切であると思われる。しかし、まだ市
Real-time
CAEなどと呼ぶのが適切であると思われる。
しかし、民権を得たわけではない。CAEを代替することを念頭に置くと、CAEを代替することを念頭に
まだ市民権を得たわけではない。
数値を予測するためエンジニアはかなりの精度（CAEと遜色ない）
置くと、数値を予測するためエンジニアはかなりの精度（ CAEとを要求している。しかし、非線形の時間発展問題を数千から数万遜色ない）を要求している。しかし、非線形の時間発展問題を数ケースも失敗しない解析の実施は現状では不可能である。
つまり、学習データを用意するという点においても実験計画的な方法で学
千から数万ケースも失敗しない解析の実施は現状では不可能で習に必要とされるデータの総量を相当量減じる必要がある。
ある。
つまり、学習データを用意するという点においても実験計
一見、機械学習という枠組みでとらえれば大きな差がないと理画的な方法で学習に必要とされるデータの総量を相当量減じる
解されているがよく見ると分類問題とサロゲートモデルの構築で必要がある。
は、データの量、要求精度、データそのものの質などが根本的に一見、機械学習という枠組みでとらえれば大きな差がないと理異なるため適したニューラルネットワークや学習アルゴリズムな解されているがよく見ると分類問題とサロゲートモデルの構築
どを見出すためのさらなる調査・研究が必要である。
では、データの量、要求精度、データそのものの質などが根本的設計において重要な前提を図１に示す。xn は設計変数、ym は評に異なるため適したニューラルネットワークや学習アルゴリズム
価対象である。一般的に n>m であるため簡単には設計逆問題にあなどを見出すためのさらなる調査・研究が必要である。
たる f -1 (y’)が求まらない。設計とは経験による制約を与えること
ymは評
設計において重要な前提を図１に示す。
xnは設計変数、によりパレート解を求める最適化問題に置き換えている。現状でn>mであるため簡単には設計逆問題に
価対象である。
一般的には y = f (x)は CAEにより解くことが一般的であるが多くの場合で-1 (y’)が求まらない。
設計とは経験による制約を与えるこ
あたるf
計算コストが必要である。機械学習を用いたサロゲートモデルでとによりパレート解を求める最適化問題に置き換えている。
現状
は学習コストは高いが、予測コストを大幅に低減する（予測時間が 1/100
1/1000CAEなどになる）可能性がある。具体的なニューラにより解くことが一般的であるが多くの場合
ではy
= fや
(x)は
ルネットワークの構成は多くの文献やライブラリに提示されておで計算コストが必要である。
機械学習を用いたサロゲートモデル
り比較的簡単に学習を始めることができる。
では学習コストは高いが、予測コストを大幅に低減する（予測時

具体的なニューラ
間が1/100や1/1000などになる）可能性がある。

ルネットワークの構成は多くの文献やライブラリに提示されており比較的簡単に学習を始めることができる。

Generally n>m, f -1 cannot be solved
図 1 サロゲートモデルの適用箇所
図1 サロゲートモデルの適用箇所

3.ＣＡＥにおけるサロゲートモデル
3. ＣＡＥにおけるサロゲートモデル
工学応用への問題を考えると、入力と出力（予測値）の組み合工学応用への問題を考えると、入力と出力（予測値）の組み合
わせは精度そのものに直結する重要なファクターである。また、

わせは精度そのものに直結する重要なファクターである。
また、
学習データはどのように、どの程度準備すればよいのかといこともいまだ定量的かつ一般的な解釈ができていない。物理現象は空
学習データはどのように、どの程度準備すればよいのかといこと間、物性、物理量（変位、速度、ひずみ、応力、温度等）が入力ま
もいまだ定量的かつ一般的な解釈ができていない。
物理現象はたは出力されることになる。物理量を学習する位置の取扱いを一
空間、物性、物理量（変位、速度、ひずみ、応力、温度等）が入力ま
般化しなければ座標系依存の学習となる。こういった場合、そこたは出力されることになる。
物理量を学習する位置の取扱いをから法則を見出すことは困難である。形状がパラメトリックに表一般化しなければ座標系依存の学習となる。こういった場合、そ現できるのであれば、正規化し入力パラメータ数を減じることがこから法則を見出すことは困難である。形状がパラメトリックにできる。また荷重に関しても同様で特に弾性問題であれば単位力表現できるのであれば、正規化し入力パラメータ数を減じることを考え、力の入力は削減して学習させる。
ができる。また荷重に関しても同様で特に弾性問題であれば単サロゲートモデルは代替モデルとして物理現象を模擬するモデ
位力を考え、力の入力は削減して学習させる。
ルである。したがって、微分方程式を完全に代替するものではな
サロゲートモデルは代替モデルとして物理現象を模擬するモい。例えば、微分方程式を満足しているかどうかを損失として学デルである。
微分方程式を完全に代替するものでは習する手法 3)したがって、もあるが、未知の問題では当然適用できない。
これま
ない。
例えば、
微分方程式を満足しているかどうかを損失としてでパラメトリックに問題を解いていた場合、変数を可能な限り限3)もあるが、未知の問題では当然適用できない。
学習する手法定することにより現象の傾向を把握していた。例えば、ニューラ

ルネットワークを使ったサロゲートモデルであれば多数の変数を
これまでパラメトリックに問題を解いていた場合、変数を可能用いて学習し、より自由度の高いサロゲートモデルの構築が可能
な限り限定することにより現象の傾向を把握していた。
例えば、となる。しかし、非線形問題においては解析結果の取得に時間がニューラルネットワークを使ったサロゲートモデルであれば多数必要であることと解析精度の低さが問題である。繰返しの応力ひの変数を用いて学習し、より自由度の高いサロゲートモデルの構ずみ関係はヒステリシスループを示し１つのひずみ（変位）に対築が可能となる。
しかし、非線形問題においては解析結果の取して複数の応力（荷重）状態を示す。確実に学習できるとすれば得に時間が必要であることと解析精度の低さが問題である。繰
降伏局面や背応力自体を学習させることである。しかし、実際の返しの応力ひずみ関係はヒステリシスループを示し１つのひずみ降伏現象は等方硬化、移動硬化の混合で生じているうえに降伏局（変位）に対して複数の応力（荷重）状態を示す。確実に学習でき
面が連続であるとは限らない。ディープラーニングによる学習はるとすれば降伏局面や背応力自体を学習させることである。しかそういったモデル化が困難な現象に対して学習できる可能性があし、実際の降伏現象は等方硬化、移動硬化の混合で生じているる。したがって、学習結果の質を向上させる具体的な考え方を提うえに降伏局面が連続であるとは限らない。
ディープラーニング
示することが重要な知見になりうる。有限要素法は質の保証のたによる学習はそういったモデル化が困難な現象に対して学習でめの活動とその適用範囲の拡大は常に連動して進んできた。機械
きる可能性がある。
したがって、学習結果の質を向上させる具体学習とある程度の比較が可能と思われる。
この比較を表１に示す。
シミュレーションでは支配方程式およびその離散化手法により物的な考え方を提示することが重要な知見になりうる。
有限要素
理現象そのものと精度が大きく既定される。しかし、機械学習は
法は質の保証のための活動とその適用範囲の拡大は常に連動して進んできた。機械学習とある程度の比較が可能と思われる。こCMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)
多数のデータからルールを再構成するためデータそのものが対象の比較を表１に示す。
シミュレーションでは支配方程式およびそ
多数のデータからルールを再構成するためデータそのものが対象とする現象を含んでいることが保証されなければならない。支配
の離散化手法により物理現象そのものと精度が大きく既定されとする現象を含んでいることが保証されなければならない。支配
方程式の理解が必要かどうかという観点ではデータを準備するたる。
しかし、機械学習は多数のデータからルールを再構成するた方程式の理解が必要かどうかという観点ではデータを準備するために必要といえる。連立一次方程式の解法も長い歴史がある。機
多数のデータからルールを再構成するためデータそのものが対象
めデータそのものが対象とする現象を含んでいることが保証さめに必要といえる。連立一次方程式の解法も長い歴史がある。機械学習においては学習方法そのものと等価であると見なせる。機とする現象を含んでいることが保証されなければならない。支配れなければならない。
支配方程式の理解が必要かどうかという
械学習においては学習方法そのものと等価であると見なせる。機械学習では反復的に学習することが前提となる。学習結果の良否
方程式の理解が必要かどうかという観点ではデータを準備するた
観点ではデータを準備するために必要といえる。
連立一次方程械学習では反復的に学習することが前提となる。学習結果の良否はデータにも依存するがこの学習アルゴリズムは最も重要な要因
めに必要といえる。連立一次方程式の解法も長い歴史がある。機
はデータにも依存するがこの学習アルゴリズムは最も重要な要因
式の解法も長い歴史がある。
機械学習においては学習方法そのである。最後の重要要因は、ニューラルネットワークの構成方法
械学習においては学習方法そのものと等価であると見なせる。機である。最後の重要要因は、ニューラルネットワークの構成方法
ものと等価であると見なせる。
機械学習では反復的に学習するである。これは表現できる関数の次数に直接関連するため、数値
械学習では反復的に学習することが前提となる。学習結果の良否である。これは表現できる関数の次数に直接関連するため、数値ことが前提となる。
学習結果の良否はデータにも依存するがこのシミュレーションのメッシュ分割と等価であると認識できる。数はデータにも依存するがこの学習アルゴリズムは最も重要な要因
シミュレーションのメッシュ分割と等価であると認識できる。数学習アルゴリズムは最も重要な要因である。
最後の重要要因は、
値シミュレーションでは誤差評価手法により最適なメッシュを得である。最後の重要要因は、ニューラルネットワークの構成方法
値シミュレーションでは誤差評価手法により最適なメッシュを得
ニューラルネットワークの構成方法である。
これは表現できる関る方法が確立されている。機械学習においては試行錯誤によりニである。これは表現できる関数の次数に直接関連するため、数値る方法が確立されている。機械学習においては試行錯誤によりニ数の次数に直接関連するため、数値シミュレーションのメッシュューラルネットワークの構成を決める必要がある。これら比較を
シミュレーションのメッシュ分割と等価であると認識できる。数ューラルネットワークの構成を決める必要がある。これら比較を
分割と等価であると認識できる。
数値シミュレーションでは誤差
通じて予測の質向上のための具体的方法について今後議論を進め
値シミュレーションでは誤差評価手法により最適なメッシュを得
通じて予測の質向上のための具体的方法について今後議論を進め評価手法により最適なメッシュを得る方法が確立されている。機ることが急務である。
る方法が確立されている。機械学習においては試行錯誤によりニることが急務である。
械学習においては試行錯誤によりニューラルネットワークの構ューラルネットワークの構成を決める必要がある。これら比較を表
1 数値シミュレーションと機械学習の技術要素の比較：予測成を決める必要がある。
これら比較を通じて予測の質向上のた
通じて予測の質向上のための具体的方法について今後議論を進め
表 1 数値シミュレーションと機械学習の技術要素の比較：予測めの具体的方法について今後議論を進めることが急務である。
の質向上へ向けた比較ることが急務である。
の質向上へ向けた比較
機械学習!!深層学習
数値シミュレーション
機械学習!!深層学習
数値シミュレーション
数値シミュレーションと機械学習の技術要素の比較：
表表11数値シミュレーションと機械学習の技術要素の比較：予測
対象物理現象≒
データに依存支配方程式$
対象物理現象≒
データに依存
支配方程式"データ統計分析#
データ分布・特徴 （微分方程式、経験的）予測の質向上へ向けた比較の質向上へ向けた比較"データ統計分析#$
データ分布・特徴 （微分方程式、経験的）方程式の求解≒学 連立一次方程式の解法 学習方法、最適化関数、機械学習!!最適化関数、
深層学習$
数値シミュレーション
連立一次方程式の解法
学習方法、
方程式の求解≒学（ソルバー）
習手法
活性化関数などの組合$（ソルバー）
習手法
活性化関数などの組合
データに依存対象物理現象≒支配方程式
離散化（メッシュ）$
物理量変化に対応する
ニューラルネットワーク"データ統計分析#
データ分布・特徴（微分方程式、経験的）離散化（メッシュ）≒ネッ
トワー ク構成
物理量変化に対応する構ニューラルネットワーク
離散化モデル（メッシュ）成（%&'()**(&+,%#$≒ネッ
トワー ク構成
表現能力
連立一次方程式の解法
最適化関数、 $方程式の求解≒学
離散化モデル（メッシュ）学習方法、構成（%&'()**(&+,%#
表現能力$（ソルバー）
習手法
活性化関数などの組合
その他手法依存 境界条件処理、% ' ) など
転移学習など△△離散化（メッシュ）
その他手法依存 境界条件処理、% ' ) など
転移学習など物理量変化に対応する ニューラルネットワーク≒ネットワー ク構成
離散化モデル（メッシュ） 構成（%&'()**(&+,%#$
表現能力

●4

疲労き裂進展解析は、
弾性計算（ポアソン方程式）、応力拡大係数、
疲労き裂進展解析は、
弾性計算（ポアソン方程式）、応力拡大
疲労き裂進展解析は、
弾性計算（ポアソン方程式）、応力拡大係数、等価応力拡大係数、き裂進展速度、き裂進展方向を微小ステップ
係数、等価応力拡大係数、
き裂進展速度、き裂進展方向を微小ス
等価応力拡大係数、き裂進展速度、き裂進展方向を微小ステップ
で解析を行いその履歴（積分）として最終的なき裂進展形状が計
テップで解析を行いその履歴（積分）として最終的なき裂進展
で解析を行いその履歴（積分）として最終的なき裂進展形状が計算される。図2 に等価応力拡大係数、き裂進展速度およびき裂進
疲労き裂進展解析は、
弾性計算（ポアソン方程式）、応力拡大係数、に等価応力拡大係数、
き裂進展速度およ形状が計算される。
図2
算される。図 2 に等価応力拡大係数、き裂進展速度およびき裂進4)-6)
展方向を決定する経験則による式を示す。
ディープラーニング
等価応力拡大係数、き裂進展速度、き裂進展方向を微小ステップ4)-6)。
ディープ
びき裂進展方向を決定する経験則による式を示す
展方向を決定する経験則による式を示す 4)-6)。ディープラーニング
によりこれら式を陰的に再構成されるかどうかが工学分野におけで解析を行いその履歴（積分）として最終的なき裂進展形状が計
ラーニングによりこれら式を陰的に再構成されるかどうかが工によりこれら式を陰的に再構成されるかどうかが工学分野における応用のための提示すべき具体例である。
算される。図2 に等価応力拡大係数、き裂進展速度およびき裂進る応用のための提示すべき具体例である。
学分野における応用のための提示すべき具体例である。
展方向を決定する経験則による式を示す 4)-6)。ディープラーニング
Crack growth direction: Richard’s criterionによりこれら式を陰的に再構成されるかどうかが工学分野におけCracké growth direction: Richard’s criterion
2
z
æ
ö ù 2
K II
K II
る応用のための提示すべき具体例である。
÷ ú (*1)ù
j = !ê A é
+ Bç
da
K
ç K æ+ K +KKII ÷ ú ö
÷ ú
II
III ø
è+ BI ççK + K + K û ÷ ú
ê K I + K II + K III
j0 < 0°for ëKII > 0 and j0 > 0°for KIIè< 0I and KIII ≧0 III ø û0z

j 0 ëê= !KêIA+ K II + KII III

(*1)

Crack
Richard’s
j0 growth
A=140°,
B=-70°.
< 0°for
KIIdirection:> 0 and j0 > 0°for
KII < 0 andcriterion
KI ≧0
A=140°,
B=-70°.
é

æ
ö ù
K II
K II
Crackj 0growthç÷ ú= ! ê A rate: Paris’s+ Blaw
ç÷
Crack growthê K + Krate:
n + K Paris’s
I + K II + K III ø úè Klawûda / dN =ë C DIK eq II (*2) III

(

2

)

(DK eq )nj0 >(*2)0°for/ dN 1=KC
j0da<K0°for
KII < 0 and K≧0II > 02and
2
2I
I

j0

y

da

j0

y

x

Crack front

z

(*1)

Crack front

j0

x
da
y

K eqA=140°,=+KB=-70°.
K1 I + 4(a 1 K II ) + 4(a 2 K III )2
2
x
Crack front
K eq2= 2I +K I + 4(a 1 K II ) + 4(a 2 K III ) (*1)
22arate:
a
=
K
/
K
and
/ KIIIc
ic
IIc
Crack
growthlaw Material
2 = KicParis’s
1
Material
A533B
steel E=206GPa, ν=0.3/ KIIc and a= Kic / KIIIc
1 = Kican2
a1da=a/1.155,
A533B-12
steel
E=206GPa, ν=0.3, n＝3.23
C=1.67×10= C2 =D1.0
a1dN= 1.155,
aK2eq= 1.0 (*2)-12, n＝3.23
C=1.67×10
KI 1
2
2
2
6),7)
(*1)
(
)
(
)
K
=
+
K
+
4
a
K
+
4
a
K
図
6),7)
1
2
I
II
III
き裂進展則にかかわる法則とパラメータ
図eq22 き裂進展則にかかわる法則とパラメータ26),7)
図 22 き裂進展則にかかわる法則とパラメータ
Material
a1 = Kic / KIIc and a 2 = Kic / KIIIc
A533B steel E=206GPa, ν=0.3
a1 = 1.155, a 2 = 1.0-12, n＝3.23
学習データは重合メッシュ法(以下C=1.67×10(以下s-FEM)によるき裂進展解析
s-FEM)
によるき裂進展解
学習データは重合メッシュ法
(*1)
2

(

)

学習データは重合メッシュ法(以下 s-FEM)によるき裂進展解析
を用い約
5,000
のデータを生成した。データをもとに、オートエ
6),7)オート
5,000のデータを生成した。データをもとに、
析7)7)を用い約
図25,000
き裂進展則にかかわる法則とパラメータを用い約のデータを生成した。データをもとに、オートエ
ンコーダ、事前学習、ドロップアウトなどのディープラーニング
エンコーダ、
事前学習、ドロップアウトなどのディープラーニング
ンコーダ、事前学習、ドロップアウトなどのディープラーニングの技術を用いて総学習数
12 万回を行った。
s-FEM
によるき裂進展
学習データは重合メッシュ法(以下s-FEM)によるき裂進展解析
万回を行った。
s-FEMの技術を用いて総学習数の技術を用いて総学習数1212万回を行った。
s-FEMによるき裂進によるき裂進展解析と同様に機械学習によるき裂進展速度の予測は
1 サイクル当
7)
を用い約
5,000
のデータを生成した。データをもとに、オートエ
1サイク
展解析と同様に機械学習によるき裂進展速度の予測は解析と同様に機械学習によるき裂進展速度の予測は 1-12サイクル当たりの進展量ではない。1
サイクル当たりの進展量は 10 のオー
ンコーダ、事前学習、ドロップアウトなどのディープラーニング-12-12の
1
サイ
クル当たりの進展量はル当たりの進展量ではない。
たりの進展量ではない。1 サイクル当たりの進展量は 1010のオー
ダーのため、そのサイズではメッシュ生成ができない。したがっの技術を用いて総学習数12万回を行った。
s-FEM
によるき裂進展
オーダーのため、そのサイズではメッシュ生成ができない。したダーのため、そのサイズではメッシュ生成ができない。したがって、最小メッシュサイズあたりに何サイクル必要か計算すること
解析と同様に機械学習によるき裂進展速度の予測は
1 サイクル当がって、最小メッシュサイズあたりに何サイクル必要か計算するこて、最小メッシュサイズあたりに何サイクル必要か計算すること
で、き裂進展数値シミュレーションを連続的に行う。図
3 -12
に進展
計算力学の分野に機械学習を導入するための、我々の重要な前たりの進展量ではない。1
サイクル当たりの進展量は
10
に進
とで、
き裂進展数値シミュレーションを連続的に行う。
図3のオーで、き裂進展数値シミュレーションを連続的に行う。図に進展△
計算力学の分野に機械学習を導入するための、我々の重要な前
その他手法依存
境界条件処理、%')など
転移学習など形状を示す。き裂進展開始直後では大きな差異が左右のき裂先端提をいかに列挙する。
ダーのため、そのサイズではメッシュ生成ができない。したがっ形状を示す。き裂進展開始直後では大きな差異が左右のき裂先端
展形状を示す。
き裂進展開始直後では大きな差異が左右のき裂提をいかに列挙する。
部位でみられる。しかし、き裂進展が進むにつれ
s-FEM の結果とて、最小メッシュサイズあたりに何サイクル必要か計算すること
部位でみられる。しかし、き裂進展が進むにつれ
s-FEM
の結果と
s-FEM
の
先端部位でみられる。
しかし、き裂進展が進むにつれ計算力学の分野に機械学習を導入するための、我々の重要な一致する。荷重方向に対して斜めに存在するき裂が繰返し荷重を§ 計算力学の分野に機械学習を導入するための、我々の重要な前
数十から数千のデータ数（統計的な分布を示せないこともあ
で、き裂進展数値シミュレーションを連続的に行う。図3 に進展一致する。荷重方向に対して斜めに存在するき裂が繰返し荷重を§ 前提をいかに列挙する。
数十から数千のデータ数（統計的な分布を示せないこともあ 受けると急激にその向きを変え、その後はほぼ水平に進展する。
結果と一致する。
荷重方向に対して斜めに存在するき裂が繰返りうる）
形状を示す。き裂進展開始直後では大きな差異が左右のき裂先端提をいかに列挙する。
受けると急激にその向きを変え、その後はほぼ水平に進展する。
りうる）
数十から数千のデータ数（統計的な分布を示せないこと
し荷重を受けると急激にその向きを変え、その後はほぼ水平に進展方向を変える学習データ数は全体の学習データ数のわずか§ • 測定できるパラメータも数個から最大でも十数個（計測のコ部位でみられる。しかし、き裂進展が進むにつれ
s-FEM の結果と進展方向を変える学習データ数は全体の学習データ数のわずか§測定できるパラメータも数個から最大でも十数個（計測のコ 4％程度にしか存在しない。
もありうる）
進展する。
進展方向を変える学習データ数は全体の学習データ一致する。荷重方向に対して斜めに存在するき裂が繰返し荷重を§ スト高く経験により判断したパラメータである）
数十から数千のデータ数（統計的な分布を示せないこともあ
4％程度にしか存在しない。
スト高く経験により判断したパラメータである）
測定できるパラメータも数個から最大でも十数個（計測の4％程度にしか存在しない。
数のわずか§ • 実験計画的な2 水準で計測することも多い（統計処理不可、受けると急激にその向きを変え、その後はほぼ水平に進展する。
りうる）§
実験計画的な2 水準で計測することも多い（統計処理不可、コスト高く経験により判断したパラメータである）
進展方向を変える学習データ数は全体の学習データ数のわずか§ 線形の回帰は成立）
測定できるパラメータも数個から最大でも十数個（計測のコ線形の回帰は成立）
実験計画的な2水準で計測することも多い（統計処理不§ • 実験ではそれなりの程度でノイズを含むが、平均が真値を期4％程度にしか存在しない。
スト高く経験により判断したパラメータである）§
実験ではそれなりの程度でノイズを含むが、平均が真値を期可、線形の回帰は成立）待できない（重回帰が重宝される理由の１つ）§
実験計画的な2 水準で計測することも多い（統計処理不可、待できない（重回帰が重宝される理由の１つ）
実験ではそれなりの程度でノイズを含むが、平均が真値• 線形の回帰は成立）を期待できない（重回帰が重宝される理由の１つ）
これらは一般的なデータサイエンスが期待しているデータの性質§ これらは一般的なデータサイエンスが期待しているデータの性質
実験ではそれなりの程度でノイズを含むが、平均が真値を期を満足できない可能性がある。
待できない（重回帰が重宝される理由の１つ）
これらは一般的なデータサイエンスが期待しているデータの性を満足できない可能性がある。
質を満足できない可能性がある。
5.き裂進展サロゲートモデル
これらは一般的なデータサイエンスが期待しているデータの性質
5.き裂進展サロゲートモデル
本稿では、疲労き裂進展を具体事例としてディープラーニング
4. き裂進展サロゲートモデルを満足できない可能性がある。
本稿では、疲労き裂進展を具体事例としてディープラーニング 図図33 機械学習によるき裂進展予測と重合メッシュ法によるき裂
機械学習によるき裂進展予測と重合メッシュ法による技術を適用しき裂進展挙動が予測できるかどうかを検証した。き
本稿では、疲労き裂進展を具体事例としてディープラーニング
図3
機械学習によるき裂進展予測と重合メッシュ法によるき裂技術を適用しき裂進展挙動が予測できるかどうかを検証した。きき裂進展（黒実線：初期き裂、灰破線：重合メッシュ法、濃灰：進展（黒実線：初期き裂、灰破線：重合メッシュ法、濃灰：サロ
裂中心位置を原点としき裂先端位置およびき裂が向いている方向
5.き裂進展サロゲートモデル
技術を適用しき裂進展挙動が予測できるかどうかを検証した。
進展（黒実線：初期き裂、灰破線：重合メッシュ法、濃灰：サロ
裂中心位置を原点としき裂先端位置およびき裂が向いている方向
サロゲートモデルによる予測）
ベクトルから進展方向ベクトルおよび進展速度を学習し進展サイ
ゲートモデルによる予測）
本稿では、疲労き裂進展を具体事例としてディープラーニング
き裂中心位置を原点としき裂先端位置およびき裂が向いている
ベクトルから進展方向ベクトルおよび進展速度を学習し進展サイ
ゲートモデルによる予測）
クル数および方向（き裂形状）の予測を行った。この予測はFEM
図
3 機械学習によるき裂進展予測と重合メッシュ法によるき裂技術を適用しき裂進展挙動が予測できるかどうかを検証した。き
この問題を解消した新たな学習データセットを重合メッシュ
方向ベクトルから進展方向ベクトルおよび進展速度を学習し進
クル数および方向（き裂形状）の予測を行った。この予測は FEM
解析を一切行わずに予測されるため、き裂進展位置から次のき裂
この問題を解消した新たな学習データセットを重合メッシュ法
進展（黒実線：初期き裂、灰破線：重合メッシュ法、濃灰：サロ
裂中心位置を原点としき裂先端位置およびき裂が向いている方向法により生成した。
データの概要は、初期き裂の角度を2.5°きざ
展サイクル数および方向（き裂形状）の予測を行った。この予測解析を一切行わずに予測されるため、き裂進展位置から次のき裂
この問題を解消した新たな学習データセットを重合メッシュ法
進展位置を逐次予測する方法である。つまり、完全な解析レスでにより生成した。
データの概要は、
初期き裂の角度を 2.5°きざみ
ベクトルから進展方向ベクトルおよび進展速度を学習し進展サイ
ゲートモデルによる予測）
0
°
から
87.5
°
、
4倍
みで
進展位置を逐次予測する方法である。つまり、完全な解析レスでFEM解析を一切行わずに予測されるため、き裂進展位置からはにより生成した。き裂進展直後５ステップまでのデータを
データの概要は、初期き裂の角度を 2.5°きざみ予測が可能である。
でに増やした。
0°から 87.5°、き裂進展直後５ステップまでのデータを4
倍
クル数および方向（き裂形状）の予測を行った。この予測はFEM
最初の５ステップ目までは、オリジナル＋4予測が可能である。
次のき裂進展位置を逐次予測する方法である。
つまり、完全な解で 0°からつまり、
87.5°、き裂進展直後５ステップまでのデータを4倍
解析を一切行わずに予測されるため、き裂進展位置から次のき裂
この問題を解消した新たな学習データセットを重合メッシュ法
倍＝5倍のデータ数となった。データ拡張は、入力データのみに
析レスで予測が可能である。
進展位置を逐次予測する方法である。つまり、完全な解析レスでにより生成した。データの概要は、初期き裂の角度を 2.5°きざみ予測が可能である。
で 0°から 87.5°、き裂進展直後５ステップまでのデータを 4 倍
7)CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●5±２％ノイズを与えた。このとき注意すべきはノイズの平均値は5. おわりに

リジナルデータと一致する必要がある。50万回の学習結果をめには、技術や知見の集積が重要である。工学問題への適用に０、つまり、ノイズを入れた入力データの平均値は正解となるオ

図4に示す。ほぼ完全に一致しており全体にわたる累積の誤差は0.5%未満であった。図5は２つのき裂のき裂進展予測に適用した。データ拡張を施す部分がき裂進展とともに変化するためこのケースでは一様にデータ拡張を適用した。
形状はやはり曲がる
部分での形状に差異が見られるがき裂全長はほぼ正しく、保守的な評価が可能であることが分かる。

ディープラーニングおよびそれらを工学問題へ実用化するた向けた実用化が日々進行している。機械学習を実施する方法も様々な分野の知見を適用し、さらにここで示したデータの質の考え方などにより、効果的・効率的なサロゲートモデルの構築が可能な事例が明らかになりつつある。一方で複雑な問題へ適用可能とするために、多くの事例、知見の獲得およびその共有が急務
である。

参考文献

図4

データ拡張を行った高精度予測値：初期き裂角度45°、

初期き裂角度は学習データから除外ししているため未学習
データの予測、全体進展結果

図5

相互作用によるき裂進展予測：縦と横の比を４：１として横方向の縮尺を変更した図、相互作用を表現するためにき裂先端の相対位置および進展方向を追加し、学習し予測き、データ

拡張は一様に適用したため曲がりの予測精度は良くないが、き裂全長の予測は一定の精度かつ保守的に評価

1） A. Krizhevsky，I. Sutskever and G. E. Hinton，ImageNet
Classiﬁcation with Deep Convolutional，Advances in
Neural Information Processing Systems 25 (NIPS 2012)(2012)
2） 和田義孝, 日本機械学会第30回計算力学講演会講演論文集，大阪 (2017)3） Shengze Cai, Zhiping Mao, Zhicheng Wang, Minglang
Yin, George Em Karniadakis, Physics-informed neuralnetworks (PINNs) for ﬂuid mechanics: A review, Acta
Mechanica Sinica, arXiv:2105.09506 (2021)
4） 和田義孝，ディープラーニングによる工学問題へのアプ
ローチ（偏微分方程式の学習からき裂進展挙動の予測まで），Prometech Simulation Conference 2018 (2018)5） H. A. Richard，M. Fulland，M. Sander S. N.，Fatigue
Fract. Eng. Mater Struct.，28，pp. 3-12 (2005)P. C. Parisand F. Erdogan，J. bas. Eng. Mater. Trans. ASME，Ser. D，85，pp. 528-533 (1963)
6） 菊池正紀，高橋 真史和, 田義孝，Y. Li,重合メッシュ法を用いた疲労き裂進展シミュレーション(第2報二つの段違いき裂の相互作用の検討），機論A，74，745 (2008)

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●6

機械的特性の観点からの材料開発への機械学習の適用
顔 写
顔
写
カラー

真
真

村松 眞由
カラー
タイトル 機械的特性の観点からの材料開発への機械学習の適用
314ｐｘ以上 慶應義塾大学理工学部機械工学科
タ
名イ
前トル
村松機
眞械
由的特性の観点からの材料開発への機械学習の適用
314ｐｘ以上
名
所前
属 村
慶松
應眞
義由
塾大学理工学部機械工学科
1. はじめに像する手法が注目されている．
生成モデルは，訓練データの特徴
所属 慶應義塾大学理工学部機械工
学
科を抽出できるとともに，訓練データに似たデータを生成すること

人 工知 能(Artiﬁcial Intelligence: AI)という言葉は1956年の1. はじめにダート
マス会議で計算機科学者ジョン・マッカーシーが使用した．
1. 人工知能(Artificial
はじめにIntelligence:AI)という言葉は1956 年のダート
1959年にIBM
エンジニアが定義している．
機械学習という言葉は人工知能(Artificial
Intelligence:AI)という言葉は
マス会議で計算機科学者ジョン・マッカーシーが使用した．機械
次AI年のダートブームの
機械学習はその後，何度かの冬の時代を経て，第31956
マス会議で計算機科学者ジョン・マッカーシーが使用した．機械学習という言葉は1959 年に IBM エンジニアが定義している．機只中にいるとしばしば言われる．
学習という言葉は何度かの冬の時代を経て，1959 年に IBM エンジニアが定義している．機械学習はその後，第 3 次 AI ブームの只機械学習ではコンピューターに「推論」や「探索」をさせることに械学習はその後，何度かの冬の時代を経て，第 3 次 AI ブームの只中にいるとしばしば言われる．
より，特定の問題に対する解を提示する．
その過程ではデータに中にいるとしばしば言われる．
機械学習ではコンピューターに「推論」や「探索」をさせること「知識」として対する演算処理，統計処理を行う．
第2次AIブームで機械学習ではコンピューターに「推論」や「探索」をさせることにより，特定の問題に対する解を提示する．その過程ではデータ
3
次
AI
ブームは，
ビッグデー
データを入力することが提案され，第により，特定の問題に対する解を提示する．その過程ではデータに対する演算処理，統計処理を行う．第 2 次 AI ブームで「知識」
タと呼ばれる大規模データやその取り扱いが成熟したことによりに対する演算処理，統計処理を行う．第2第次3AI
としてデータを入力することが提案され，次ブームで「知識」
AI ブームは，ビ生じた．
したがって，計算機パワーの向上やネッとしてデータを入力することが提案され，第 3トワークの発達に
次 AI ブームは，ビッグデータと呼ばれる大規模データやその取り扱いが成熟したこ
AIブームが起こっていると言える．
より現在のッグデータと呼ばれる大規模データやその取り扱いが成熟したことにより生じた．したがって，計算機パワーの向上やネットワーとにより生じた．したがって，計算機パワーの向上やネットワー
1950年代〜 60年代にかけて起こっ
一方，
計算力学という分野もクの発達により現在のAI ブームが起こっていると言える．
クの発達により現在のAI ブームが起こっていると言える．
一方，計算力学という分野も1950 年代～60 年代にかけて起こ
特に固体の構造解析で頻繁に用いられる有限要素法ている．
一方，計算力学という分野も1950 年代～60 年代にかけて起こっている．
特に固体の構造解析で頻繁に用いられる有限要素法の1956年のBoeingエンジニアである
Turnerやカリの最初の論文は，っている．
特に固体の構造解析で頻繁に用いられる有限要素法の最初の論文は，1956
年のBoeingエンジニアである
Turnerやカリワシントン大学のMartinらによって発表
フォルニア大学のCough，
最初の論文は，1956
年のBoeingエンジニアである
Turnerやカリ
フォルニア大学のCough，ワシントン大学のMartin らによって発(1)と言われ，ダートマス会議と同じ年に発表されている．
構
された
(1)
フォルニア大学のCough，ワシントン大学の Martin らによって発と言われ，ダートマス会議と同じ年に発表されている．
表された
造解析も盛んに研究が進み，急速に発展したが，やはり計算機パ表された (1)と言われ，ダートマス会議と同じ年に発表されている．
構造解析も盛んに研究が進み，急速に発展したが，やはり計算機
ワーの向上が大きな要因であることは間違いない．
構造解析も盛んに研究が進み，急速に発展したが，やはり計算機
パワーの向上が大きな要因であることは間違いない．
別々の分野から独立して発展してきた機械学習と構造解析でパワーの向上が大きな要因であることは間違いない．
別々の分野から独立して発展してきた機械学習と構造解析でああるが，近年その融合研究が盛んにおこなわれている．
その背景別々の分野から独立して発展してきた機械学習と構造解析であるが，近年その融合研究が盛んにおこなわれている．その背景ににはやはり計算機とネッ
トワークの発達がある．
筆者はこれまで構るが，近年その融合研究が盛んにおこなわれている．その背景にはやはり計算機とネットワークの発達がある．筆者はこれまで構造解析を使った研究に従事し，組織を有する材料の機械特性をはやはり計算機とネットワークの発達がある．筆者はこれまで構造解析を使った研究に従事し，組織を有する材料の機械特性を数

数値シミュレーショ
ンにより評価してきた．
近年は，機械学習を用
造解析を使った研究に従事し，組織を有する材料の機械特性を数
値シミュレーションにより評価してきた．近年は，機械学習を用いて機械的特性の観点から材料開発を行う手法を提案しており，
値シミュレーションにより評価してきた．近年は，機械学習を用いて機械的特性の観点から材料開発を行う手法を提案しており，(2)を紹介する．
いて機械的特性の観点から材料開発を行う手法を提案しており，
本稿では，
ポリマーアロイを取り上げた研究例 (2)を紹介する．
本稿では，ポリマーアロイを取り上げた研究例
本稿では，ポリマーアロイを取り上げた研究例 (2)を紹介する．
2. 2.背景背景2. 炭素繊維強化プラスチックに代表される複合材料は広く産業利背景
炭素繊維強化プラスチックに代表される複合材料は広く産業
炭素繊維強化プラスチックに代表される複合材料は広く産業利用され，より優れた比剛性や機能性を実現する材料が模索されて利用され，より優れた比剛性や機能性を実現する材料が模索さ用され，より優れた比剛性や機能性を実現する材料が模索されている．
複合材料のマトリックス樹脂を構成するポリマーアロイは，れている．
複合材料のマトリックス樹脂を構成するポリマーアロイ
いる．
複合材料のマトリックス樹脂を構成するポリマーアロイは，異種高分子の混合物である．ポリマーアロイには図に示すよ
は，異種高分子の混合物である．
ポリマーアロイには図11 に示すよう異種高分子の混合物である．ポリマーアロイには図1に示すような様々な相分離構造が知られており，この構造が複合材料の性能
うな様々な相分離構造が知られており，この構造が複合材料の性な様々な相分離構造が知られており，この構造が複合材料の性能を左右する．相分離構造と性能の関係は実験で盛んに調査されて能を左右する．
相分離構造と性能の関係は実験で盛んに調査さ(3) ほか，自己無撞着場理論を用いた数値解析による構造予測を左右する．相分離構造と性能の関係は実験で盛んに調査されて
いる
(3)
ほか，
自己無撞着場理論を用いた数値解析による構造
れている(3) ほか，自己無撞着場理論を用いた数値解析による構造予測(4)．しかしながら，実験や数値解析は時間や計算資源な
いる
も行われる
(4)．
しかしながら，実験や数値解析は時間や計算予測も行われるも行われる(4)．しかしながら，実験や数値解析は時間や計算資源などのコストが大きいため，ポリマーアロイ相分離構造の性能を正資源などのコストが大きいため，ポリマーアロイ相分離構造の性
どのコストが大きいため，ポリマーアロイ相分離構造の性能を正
確かつ高速に予測する順解析手法が求められている．さらに材料
能を正確かつ高速に予測する順解析手法が求められている．
さら確かつ高速に予測する順解析手法が求められている．さらに材料開発においては，要求される機能・性能から，必要となる材料のに材料開発においては，要求される機能・性能から，必要となる材開発においては，要求される機能・性能から，必要となる材料の構造・組織を提案し，その実現プロセスを提示する逆解析の枠組
料の構造・組織を提案し，その実現プロセスを提示する逆解析の構造・組織を提案し，その実現プロセスを提示する逆解析の枠組
みの確立も望まれている．近年，機械学習を取り入れた順解析・(5)．特に逆解析においては，
枠組みの確立も望まれている．
近年，機械学習を取り入れた順解
みの確立も望まれている．近年，機械学習を取り入れた順解析・
生成モ
逆解析に期待が寄せられている(5)．
生成モ
逆解析に期待が寄せられている(5)．特に逆解析においては，
デルを用いてデータの分布を潜在変数空間（z 空間）に写像する手
特に逆解析においては，
析・逆解析に期待が寄せられている
デルを用いてデータの分布を潜在変数空間（z
空間）に写像する手法が注目されている．生成モデルは，訓練データの特徴を抽出で生成モデルを用いてデータの分布を潜在変数空間（ z 空間）に写法が注目されている．生成モデルは，訓練データの特徴を抽出できるとともに，訓練データに似たデータを生成することができる．
きるとともに，訓練データに似たデータを生成することができる．

ができる．
以上の背景から本稿では，機械学習を通した，材料の以上の背景から本稿では，機械学習を通した，材料の構造から物
以上の背景から本稿では，機械学習を通した，材料の構造から物性値を予測する順解析，および物性値から構造を予測する逆解析
構造から物性値を予測する順解析，および物性値から構造を予性値を予測する順解析，および物性値から構造を予測する逆解析を行う枠組みを提案し実際に構築することを目的とする．具体的測する逆解析を行う枠組みを提案し実際に構築することを目的を行う枠組みを提案し実際に構築することを目的とする．具体的な例としては，材料の構造に「ポリマーアロイの相分離構造」
を，とする．
具体的な例としては，材料の構造に「ポリマーアロイの相な例としては，材料の構造に「ポリマーアロイの相分離構造」
を，物性値に「Young率」を取り上げ，提案する枠組みを構築する．
まを取り上げ，提案する枠組み
分離構造」
を，物性値に「 Young率」
物性値に「Young 率」を取り上げ，提案する枠組みを構築する．また，構造を表現する記述子は「画像」を利用する．
を構築する．また，構造を表現する記述子は「画像」を利用する．
た，構造を表現する記述子は「画像」を利用する．
提案する枠組みの概要
3.3. 提案する枠組みの概要
3. 提案する枠組みの概念図を図提案する枠組みの概要
2 に示す．順解析は，畳み込みニ
提案する枠組みの概念図を図2 に示す．順解析は，畳み込み
提案する枠組みの概念図を図 2 に示す．順解析は，畳み込みニューラルネットワーク（Convolutional
Neural Network，CNN：青矢
ニューラルネットワーク（ Convolutional Neural Network，CNN：ューラルネットワーク（Convolutional
Neural Network，CNN：青矢印）で実現する．CNN は深層学習の一手法であり，画像等の空間青矢印）で実現する．CNN は深層学習の一手法であり，画像等印）で実現する．CNN は深層学習の一手法であり，画像等の空間情報を縮約して予測に重要な特徴を獲得する．ポリマーアロイのの空間情報を縮約して予測に重要な特徴を獲得する．ポリマー
情報を縮約して予測に重要な特徴を獲得する．ポリマーアロイの相分離構造の画像解析は，CNN が上手く機能すると期待される．
CNNが上手く機能するとアロイの相分離構造の画像解析は，(6) （Generative
相分離構造の画像解析は，CNN が上手く機能すると期待される．
Adversarial
逆解析は，敵対的生成ネットワーク(6)(6) （Generative（ Generative
期待される．
逆解析は，敵対的生成ネットワーク
Adversarial
逆解析は，敵対的生成ネットワーク
Network，
GAN：緑矢印）と CNN を組み合わせたモデルに対して，
Adversarial
Network，GAN：緑矢印）とCNN は深層生成モデル
を組み合わせた
Network，
GAN
：緑矢印）
と CNN
を組み合わせたモデルに対して，
ランダムサーチを行うことで実現する．GAN

GAN はモデルに対して，
ランダムサーチを行うことで実現する．
ランダムサーチを行うことで実現する．GAN
は深層生成モデルの一手法であり，学習を経て訓練データの特徴が獲得された潜在の一手法であり，学習を経て訓練データの特徴が獲得された潜在変数を利用し，訓練データに類似したデータを生成する．ここで深層生成モデルの一手法であり，学習を経て訓練データの特徴
変数を利用し，訓練データに類似したデータを生成する．ここでは，GAN が持つ低次元の潜在変数を網羅的に探索することで，想が獲得された潜在変数を利用し，訓練データに類似したデータは，GANが持つ低次元の潜在変数を網羅的に探索することで，想定した物性値を持つ構造の特定を試みる．この枠組みには次のよを生成する．ここでは，GAN が持つ低次元の潜在変数を網羅的定した物性値を持つ構造の特定を試みる．この枠組みには次のよ
うな利点がある．想定した物性値を持つ構造の特定を試みる．
に探索することで，うな利点がある．
(1) 実験で合成されたポリマーアロイ構造の画像で訓練した
この枠組みには次のような利点がある．
(1) GAN
実験で合成されたポリマーアロイ構造の画像で訓練したは，実現可能なポリマーアロイ構造に類似した構造（ 1）実験で合成されたポリマーアロイ構造の画像で訓練した
GAN は，実現可能なポリマーアロイ構造に類似した構造を持つ画像を出力する．
GANは，実現可能なポリマーアロイ構造に類似した構造を(2) を持つ画像を出力する．
GAN が持つ潜在変数が，材料の相図などの，明示的に与持つ画像を出力する．
(2) えられていない特徴を獲得する可能性がある．
GAN が持つ潜在変数が，材料の相図などの，明示的に与（ 2）GAN が持つ潜在変数が，材料の相図などの，明示的に与えられていない特徴を獲得する可能性がある．
えられていない特徴を獲得する可能性がある．

Fig.1
Fig. 1ポリマーアロイ相分離構造
ポリマーアロイ相分離構造
Fig. 1 ポリマーアロイ相分離構造

Fig.2
Fig. 2提案する枠組みの概要
提案する枠組みの概要

Fig. 2 提案する枠組みの概要

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●7

Fig.3 訓練データの体積分率とYoung率の関係
Fig.
Fig.33 訓練データの体積分率と訓練データの体積分率とYoung
Young率の関係
率の関係

Fig.4 潜在変数空間の平面例
Fig.
Fig.44 潜在変数空間の平面例
潜在変数空間の平面例（ 3）その他の物性値に対してこの枠組みを適用する場合は，順(3)(3) その他の物性値に対してこの枠組みを適用する場合は，その他の物性値に対してこの枠組みを適用する場合は，
順
順
CNNのみを再構築すればよい．
解析を行う
Fig.
3
訓練データの体積分率と
Young
率の関係
解析を行う
解析を行う
CNN
CNN のみを再構築すればよい．
のみを再構築すればよい．
Fig.訓練に時間のかかる
3 訓練データの体積分率とYoung 率の関係
GAN を再学習する必要がな（ 4）その際，(4)(4) その際，その際，訓練に時間のかかる
訓練に時間のかかるGANGAN を再学習する必要がな
を再学習する必要がな(3)
その他の物性値に対してこの枠組みを適用する場合は，順
いため，計算コストが低い．
いため，計算コストが低い．
いため，計算コストが低い．
(3) その他の物性値に対してこの枠組みを適用する場合は，順解析を行う CNN のみを再構築すればよい．
解析を行う
CNN
のみを再構築すればよい．
4. 方法(4) その際，訓練に時間のかかる GAN を再学習する必要がな
44 方法
方法(4) その際，訓練に時間のかかる GAN を再学習する必要がな
いため，計算コストが低い．
4.1 構造からYoung
率を予測するCNNの構築
4.1
4.1 構造から
構造から
Young
Young
率を予測する率を予測するCNN
CNNの構築の構築
いため，計算コストが低い．
Young率を予測するモデル
ポリマーアロイの相分離構造からYoung
ポリマーアロイの相分離構造からポリマーアロイの相分離構造から
Young 率を予測するモデルを，率を予測するモデルを，
4 方法
CNNを用いて構築した．
これは，構造から物性値を計算す
を，
CNN
CNN
を用いて構築した．
を用いて構築した．
これは，これは，構造から物性値を計算する順解
構造から物性値を計算する順解
44.1方法
構造から Young 率を予測する CNN の構築析に当たる．ポリマーアロイを析に当たる．ポリマーアロイを
22 種ポリマーの混合物と仮定し，
種ポリマーの混合物と仮定し，2 種ポリマーの混合物と仮る順解析に当たる．
ポリマーアロイを4.1構造から Young
率を予測する
CNN
ポリマーアロイの相分離構造から
Youngの構築
率を予測するモデルを，ポリマーアロイの相分離構造を
ポリマーアロイの相分離構造を
22次元の構造として扱う．訓練に次元の構造として扱う．訓練に
2 次元の構造として扱う．
定し，
ポリマーアロイの相分離構造を
ポリマーアロイの相分離構造からYoung率を予測するモデルを，CNNを用いて構築した．これは，構造から物性値を計算する順解
は，は，乱数から人工的に生成した構造を持つ擬似ポリマー画像x
乱数から人工的に生成した構造を持つ擬似ポリマー画像x
と，
と，
訓練には，
乱数から人工的に生成した構造を持つ擬似ポリマー
CNNを用いて構築した．
これは，構造から物性値を計算する順解
析に当たる．ポリマーアロイを 2 種ポリマーの混合物と仮定し，Reuss-Voigt
Reuss-Voigt
モデルを用いて計算したモデルを用いて計算した
Young
Young
率
率
E
E
を用いた．
を用いた．
析に当たる．ポリマーアロイを種ポリマーの混合物と仮定し，と，Reuss-Voigt モデルを用いて計算した
Young 率Eを用
画像x
ポリマーアロイの相分離構造を
22 次元の構造として扱う．訓練に作成した擬似ポリマー画像
作成した擬似ポリマー画像xx に対して，に対して，Reuss-Voigt
Reuss-Voigt モデルを用
モデルを用
ポリマーアロイの相分離構造を
2次元の構造として扱う．訓練にいた．
は，乱数から人工的に生成した構造を持つ擬似ポリマー画像x と，
いて
いて
Young
Young
率
率
E
E
を計算した．擬似ポリマー画像の各要素が持つを計算した．擬似ポリマー画像の各要素が持つは，乱数から人工的に生成した構造を持つ擬似ポリマー画像xに対して，Reuss-Voigt
モデルをと，
作成した擬似ポリマー画像x
Reuss-Voigt
モデルを用いて計算した
Young
率 E を用いた．
値は[0,1]値は[0,1]の範囲の値を取り，の範囲の値を取り，その要素における
その要素における
2E
2 種ポリマーの割
種ポリマーの割
Reuss-Voigt
モデルを用いて計算した
Young
率
を用いた．
Young 率E を計算した．擬似ポリマー画像の各要素が持用いて作成した擬似ポリマー画像
x に対して，Reuss-Voigt モデルを用
合を表す．
合を表す．
そのため，
そのため，各要素の各要素のxYoung
Young
率は割合に基づいて率は割合に基づいて
22 種ポ
種ポ作成した擬似ポリマー画像
に対して，Reuss-Voigt モデルを用いてYoung
率 E を計算した．擬似ポリマー画像の各要素が持つ[0,1]の範囲の値を取り，その要素における2 種ポリマー
つ値は
リマーの
リマーの
Young
Young
率の内挿で求めた．なお，2種ポリマーにはポリ
種ポリマーにはポリ
いて Young
率 率の内挿で求めた．なお，2Eを計算した．擬似ポリマー画像の各要素が持つ値は[0,1]の範囲の値を取り，その要素における2 種ポリマーの割Young6（En率は割合に基づいての割合を表す．
そのため，各要素のプロピレン（Ep
プロピレン（Ep
=
=
1350
1350
MPa）とナイロン
MPa）とナイロン6（En==22600
2600MPa）を想MPa）を想値は[0,1] の範囲の値を取り，その要素における
種ポリマーの割
合を表す．
そのため，
各要素の
Young 率は割合に基づいて2 種ポ2 定した．図種ポリマーのYoung
率の内挿で求めた．
なお，
2 種ポリマー
定した．図33に擬似ポリマー画像の例と，それに対応するに擬似ポリマー画像の例と，それに対応する
Young
合を表す．
そのため，
各要素の Young 率は割合に基づいて2Young
種ポ
リマーの
Young
率の内挿で求めた．なお，2種ポリマーにはポリ）とナイロン
6（ En = 2600にはポリプロピレン（ Ep = 135066 MPa率を示した．横軸はナイロン率を示した．横軸はナイロン
の体積分率
の体積分率
ϕ，縦軸はポリプロピ
ϕ，縦軸はポリプロピ
リマーの
Young
率の内挿で求めた．なお，2種ポリマーにはポリ
プロピレン（Ep=図1350MPa）とナイロン 6（En = 2600
MPa）を想MPa）を想定した．
3 に擬似ポリマー画像の例と，
それに対応
レンの
レンの
Young
Young 率に対するその構造の率に対するその構造の
Young
Young
率の割合
率の割合
E=Ep
E=Ep
を示
を示
プロピレン（Ep=
1350
MPa）とナイロン
6（En
=
2600
MPa）を想定した．図 3 に擬似ポリマー画像の例と，それに対応する
Young
Young
率を示した．
横軸はナイロン
6の体積分率φ，
縦軸はするしている．Voigt
している．Voigt
モデルと
モデルと
Reuss
Reuss
モデルの間に分布するデータをモデルの間に分布するデータを定した．図
3 に擬似ポリマー画像の例と，それに対応する
Young率を示した．横軸はナイロン
6 の体積分率 ϕ，縦軸はポリプロピ
生成したことを確かめた．
生成したことを確かめた．
Young 率に対するその構造のYoung 率の割合
ポリプロピレンの率を示した．横軸はナイロン
6の体積分率ϕ，縦軸はポリプロピ
レンの Young 率に対するその構造の Young 率の割合 E=Ep を示
4.2
潜在変数から構造を出力する
GAN
GAN
の構築
の構築
Ep 潜在変数から構造を出力するを示している．
Voigt モデルとReuss
モデルの間に分布す
E=4.2
レンのYoung 率に対するその構造のYoung率の割合 E=Ep を示している．Voigt
モデルと Reuss モデルの間に分布するデータをポリマーアロイの相分離構造を出力するモデルを，GAN
ポリマーアロイの相分離構造を出力するモデルを，GANるデータを生成したことを確かめた．
している．Voigt
モデルと
Reuss
モデルの間に分布するデータを生成したことを確かめた．
（Wasserstein（Wasserstein
GAN）を用いて構築した．これは，物性値から構造GAN）を用いて構築した．これは，物性値から構造生成したことを確かめた．
4.2 潜在変数から構造を出力する GAN の構築
4.2
潜在変数から構造を出力するGANの構築を出力する逆解析に利用する．
を出力する逆解析に利用する．
GAN
GANの訓練データとして，の訓練データとして，実験で実験で4.2 潜在変数から構造を出力する
GANの構築
ポリマーアロイの相分離構造を出力するモデルを，GAN合成されたポリマーアロイ相分離構造の画像を用意した．実験画
合成されたポリマーアロイ相分離構造の画像を用意した．実験画
ポリマーアロイの相分 離 構 造を出力するモデルを，GAN
ポリマーアロイの相分離構造を出力するモデルを，GAN（Wasserstein(7)-(13)(7)-(13) GAN）を用いて構築した．これは，物性値から構造から引用し，全部でから引用し，全部で50
50 種類の実験画像を得た．各種類の実験画像を得た．各
像は論文
像は論文
（Wasserstein
GAN）を用いて構築した．これは，物性値から構造（ Wasserstein
GAN）を用いて構築した．
これは，物性値から構を出力する逆解析に利用する．
GAN の訓練データとして，実験で画像に対して，data
画像に対して，dataaugmentation
augmentation
を施して画像の数を増やした．
を施して画像の数を増やした．
を出力する逆解析に利用する．
GANの訓練データとして，実験でGANの訓練データとして，
実造を出力する逆解析に利用する．
合成されたポリマーアロイ相分離構造の画像を用意した．実験画
合成されたポリマーアロイ相分離構造の画像を用意した．実験画(7)-(13)験で合成されたポリマーアロイ相分離構造の画像を用意した．
から引用し，全部で 50 種類の実験画像を得た．各
像は論文
5.
5.
結果と考察
結果と考察
(7)-(13) から引用し，全部で 50 種類の実験画像を得た．各
像は論文(7)-(13)augmentation
から引用し，
全部で50 種類の実験画像を
実験画像は論文
画像に対して，data
を施して画像の数を増やした．
訓練データから
訓練データから 1000
1000
枚をランダムに選び訓練を行った．訓練
枚をランダムに選び訓練を行った．訓練
画像に対して，dataaugmentation
を施して画像の数を増やした．
得た．各画像に対して，data augmentationを施して画像の数を増次元の潜在変数のうち22 成分に着目して，成分に着目して，
潜在
潜在済みの済みのGANGAN のの44 次元の潜在変数のうち
5. 結果と考察
やした．
変数を変化させることで生成されたポリマーアロイ相分離構造の変数を変化させることで生成されたポリマーアロイ相分離構造の5. 訓練データから結果と考察
1000 枚をランダムに選び訓練を行った．訓練
画像を図
画像を図
44 に示す．
に示す．
図図44から，
から，
潜在変数
潜在変数zz に応じて構造に応じて構造xx が連続が連続訓練データから
1000枚をランダムに選び訓練を行った．訓練
5. 済みの結果と考察
2 成分に着目して，潜在GAN の 4 次元の潜在変数のうち済みのGAN の 4 次元の潜在変数のうち 2 成分に着目して，潜在変数を変化させることで生成されたポリマーアロイ相分離構造の1000 枚をランダムに選び訓練を行った．訓練
訓練データから変数を変化させることで生成されたポリマーアロイ相分離構造の
画像を図
4
に示す．
図 4 から，潜在変数に応じて構造 x 潜在
が連続
2 z成分に着目して，済みのGAN の4 次元の潜在変数のうち画像を図 4 に示す．図 4 から，潜在変数 z に応じて構造 x が連続

変数を変化させることで生成されたポリマーアロイ相分離構造的に変化しており，類似した構造が潜在変数平面上で近くなるよ
的に変化しており，類似した構造が潜在変数平面上で近くなるよ図44から，
潜在変数z に応じて構造x が連続の画像を図4に示す．
Fig.
潜在変数空間の平面例
うに分布している様子が観察できた．横方向はヘキサゴナル構造
うに分布している様子が観察できた．横方向はヘキサゴナル構造
Fig. 4 潜在変数空間の平面例
的に変化しており，類似した構造が潜在変数平面上で近くなるよからラメラ構造への変化を表現しており，縦方向は構造の細部のからラメラ構造への変化を表現しており，縦方向は構造の細部の的に変化しており，類似した構造が潜在変数平面上で近くなるように分布している様子が観察できた．
横方向はヘキサゴナル構
変化を表現しているといえる．続いて，4変化を表現しているといえる．続いて，4次元の潜在変数から次元の潜在変数から 33
的に変化しており，類似した構造が潜在変数平面上で近くなるように分布している様子が観察できた．横方向はヘキサゴナル構造
造からラメラ構造への変化を表現しており，
縦方向は構造の細つを選んで，Young
つを選んで，Young率の分布の様子を潜在変数空間にプロットし率の分布の様子を潜在変数空間にプロットしうに分布している様子が観察できた．横方向はヘキサゴナル構造
からラメラ構造への変化を表現しており，縦方向は構造の細部の4率は特定の潜在変数
次元の潜在変数かzz
部の変化を表現しているといえる．
続いて，
た結果を図
た結果を図
55 に示す．
に示す．図図55 から，
から，高
高
Young
Young 率は特定の潜在変数からラメラ構造への変化を表現しており，縦方向は構造の細部の変化を表現しているといえる．続いて，4次元の潜在変数から 33つを選んで，
Young率の分布の様子を潜在変数空間にプロッらに強く依存しており，に強く依存しており，
Young
Young 率率EE に応じて分離して分布しているに応じて分離して分布している変化を表現しているといえる．続いて，4次元の潜在変数から 3つを選んで，Young率の分布の様子を潜在変数空間にプロットし5に示す．
図5 から，
高Young率は特定の潜在変トした結果を図様子が観察できた．
様子が観察できた．
しかしながら，しかしながら，
多くの
多くの
zz と
と
EE の関係は識別可の関係は識別可つを選んで，Young率の分布の様子を潜在変数空間にプロットした結果を図 5 に示す．図 5 から，高 Young 率は特定の潜在変数 zzに強く依存しており，
Young
率Eに応じて分離して分布して数能なものではなく，ほとんどランダムに分布しているような関係
能なものではなく，ほとんどランダムに分布しているような関係た結果を図 5 に示す．
図 5 から，Young 率は特定の潜在変数 zに強く依存しており，
Young
率E 高
に応じて分離して分布しているになっていることがわかった．また，Eになっていることがわかった．また，Eを一つ定める際には，候を一つ定める際には，候とE の関係は識いる様子が観察できた．
しかしながら，
多くのzに強く依存しており，
Young
率
E
に応じて分離して分布している様子が観察できた．しかしながら，多くの z と E の関係は識別可
補となる
補となる
z
z
は複数存在することが確認された．したがって，本問は複数存在することが確認された．したがって，本問別可能なものではなく，
ほとんどランダムに分布しているような様子が観察できた．
しかしながら，多くの z と E の関係は識別可
能なものではなく，ほとんどランダムに分布しているような関係関係になっていることがわかった．
また，
E を一つ定める際には，能なものではなく，ほとんどランダムに分布しているような関係になっていることがわかった．また，E を一つ定める際には，候になっていることがわかった．また，Eを一つ定める際には，候は複数存在することが確認された．
したがって，本候補となるz補となる z は複数存在することが確認された．したがって，本問補となる
zは複数存在することが確認された．したがって，本問
問題は，E からz を求める問題としては解が一つに定まらない不Fig.
Fig.55Young
Young率潜在変数空間への投影率潜在変数空間への投影
Fig. 5 Young 率潜在変数空間への投影
Fig.5 5Young
Young率潜在変数空間への投影率潜在変数空間への投影
Fig.

Fig.
Fig.66 ランダムサーチの実行例
ランダムサーチの実行例 (E*=200(E*=200MPa)
MPa)
Fig.
ランダムサーチの実行例 (E*=200 MPa)
Fig.6
ランダムサーチの実行例(E*=200(E*=200
MPa)
Fig.
66ランダムサーチの実行例
MPa)

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)
良設定問題であると判断される．よって，本モデルでのYoung 率
E と潜在変数z の関係は，機械学習による回帰が困難な関係であると推測され，逆解析においては，データの関係に依存しない
ランダムサーチのような手法が最適であると考えられる．

目標とするYoung 率をE= 2000 MPa と設定してランダムサー

チを用いた逆解析を行った結果を図6 に示す．反復回数は1000回とした．図6 からわかるように，反復計算を繰り返すことで出力値E は徐々に目標値E に近づいている．1000 回のランダムサー

チを終えた出力値E は目標値E に十分に近い値を示している．
また，GAN の出力画像もポリマーアロイに特徴的な構造を呈し

ている．
6.

結論
機械学習とランダムサーチを用い，ポリマーアロイの相分離構

E から構造を出力する
造からYoung 率E を予測する順解析と，逆解析手法を提案し実行した．その結果，ポリマーアロイ相分離構造からE を精度よく予測できること，および指定したE を有するポリマーアロイ構造を予測できることを示した．

今後は自己無撞着場理論に基づくシミュレーション結果を構造として利用したGANの開発を実施予定であり，均質化法を用いて計算した複数の機械物性値を使用するCNNの開発も目指している．訓練データを様々な手法で取得し，学習モデルを構築していくことで，本フレームワークを高精度化することができる．
さらに，本手法の機械的特性を変えることで，金属やセラミックなどの他材料へと展開することも可能であり，広く応用できると考えられる．
謝辞

本研究は，修士2年生平出和也君が主に実施しました．ここに謝意を示します．また，本研究は，内閣府総合科学技術・イノベー「統合ション会議の戦略的イノベーション創造プログラム（ SIP)
型材料開発システムによるマテリアル革命」（管理法人：JST）に
よって実施されました．この場を借りて御礼申し上げます．
文献（ 1） Turner, M.J., Clough, R.W., Martin, H.C. and Topp, L.J.,“Stiffness and deﬂection analysis of complex structures”,

Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 23, pp. 805823, 1956.
（ 2） Hiraide, K., Hirayama, K., Endo, K., Muramatsu, M.,“Application of deep learning to inverse design of phaseseparation structure in polymer alloy”, Computational
Materials Science, Vol. 190, pp. 110278, 1-9, 2021.

●8（ 3） Orimo, Y., Hotta, A., “Stress-strain behavior, elastic

recovery, fracture points, and time-temperature
superposition of an OOT-possessing triblock copolymer”,
Macro-molecules, Vol. 44, pp. 5310-5317, 2011.
（ 4） Matsen, M. W., Schick, M., “Stable and unstable phasesof a diblock copolymer melt”, Physical Review Letters,Vol. 72, pp. 2660-2663, 1994.
（ 5） Sanchez-Lengeling, B., Aspuru-Guzik, A., “Inverse
molecular design using machine learning: Generativemodels for matter engineering”, Science, Vol. 361, pp.
360-365, 2018.
（ 6） Goodfellow, I., Pouget-Abadie, J., Mirza, M., Xu, B.,
Warde-Farley, D., Ozair, S., Courville, A., Bengio, Y.,“Generative Adversarial Nets”.
（ 7） Ruzette, A., Leibler, L., “Block copolymers in tomorrowʼsplastics”, Nature Materials, Vol. 4, pp. 19-31, 2005.
（ 8） Nuopponen, M., Nuopponen, M., Laukkanen, A.,
Hirvonen, S.-P., Rytelä, M., Turunen, O., Tenhu, H.,
Mezzenga, R., Ikkala, O., Ruokolainen, J., “Phase
behavior and temperature-responsive molecular ﬁlters
based on self-assembly of polystyrene”, Macromolecules,
Vol. 40, pp. 5827-5834, 2007.
（ 9） Lee, C. H., Tung, S.-H., “Microdomain control in block
copolymer-based supramolecular thin ﬁlms throughvarying the grafting density of additives”, Soft Matter,
Vol.7, pp.5660-5668, 2011.
（ 10）Kim, J. Y., Jin, H.M., Jeong, S.-J., Chang, T., Kim, B.H.,
Cha, S.K., Kim, J.S., Shin, D.O., Choi, J.Y., Kim, J.H.,
Yang, G.G., Jeon, S., Lee, Y.-G., Kim, K.M., Shin, J.,
Kim, S.O., “Bimodal phase separated block copolymer/
homopolymer blends self-assembly for hierarchicalporous metal nanomesh electrodes”, Nanoscale, Vol. 10,
pp. 100-108, 2018.
（ 11）Vukovic, I., Brinke, G.t., Loos, K., “Block copolymer
template-directed synthesis of well-ordered metallic
nanostructures”, Polymer, Vol. 54, pp. 2591-2605, 2013.
（ 12）Yokoyama, H., “Fabrication of nanoporous andnanofoamed materials using microphase separation ofblock co-polymers”, International Polymer Science andTechnology, Vol. 41, pp. 7-12, 2014.
（ 13）櫻井伸一，正本順三，野村春治, ”スチレン系ブロック共重合体のミクロ相分離構造制御と物性発現”, 日本ゴム協会
誌, Vol. 72, pp. 526-534, 1999.

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顔
顔 写
写 真
真
顔
写
真
カラー
カラー
顔 写 真
カラー
314ｐｘ以上
顔314ｐｘ以上
写 真
カラー
314ｐｘ以上
カラー
314ｐｘ以上
314ｐｘ以上●9

従来の J 積分法と任意の荷重経路と有限変形を許容する
新しい三次元 J 積分法

従
従来
来の
のJ
積分
分法
法と
と任
任意
意の
の荷
荷重
重経
経路
路と
と有
有限
限変
変形
形を
を許
許容
容す
する
る新
新し
しい
い三
三次
次元
元J
積分
分法
法
J積
J積
荒
井
皓
一
郎
従
の J皓積
荒来
井
一分
郎法と任意の荷重経路と有限変形を許容する新しい三次元 J 積分法
荒井
皓一郎
従荒
来
の
積
分
法
と任
意の
荷重
経路
と有
限変形を許容する新しい三次元 J 積分法
J
エ
ム
エ
ス
シ
ー
井
皓
一
郎
エムエスシーソフトウェア株式会社
エムエスシーソ
ソフ
フト
トウ
ウェ
ェア
ア株
株式
式会
会社
社
従荒
来井
の J皓
積一
分郎
法と任意の荷重経路と有限変形を許容する新しい三次元 J 積分法
エムエスシーソフトウェア株式会社
荒皓ス
一シ郎ーソフトウェア株式会社
エ井
ムエ
ここでW
iは領域表
は初期配置に基づくひずみエネルギ密度，ni nは領域表面
ここで W000は初期配置に基づくひずみエネルギ密度，
エムエスシーソフトウェア株式会社 ここで W は初期配置に基づくひずみエネルギ密度，ni は領域表面

はじめに
は
1.
はじ
じめ
めに
に
1.
式
面上での単位法線ベクトル，ujは変位，ijΠ
ijは公称応力である．
J
積分は破壊力学的評価指標の一つとして構造物の健全性評価
上での単位法線ベクトル，uは公称応力である．式(1)j は変位，Π
J
積分は破壊力学的評価指標の一つとして構造物の健全性評
上での単位法線ベクトル，u
はじめにni は領域表面0
ここでW0 は初期配置に基づくひずみエネルギ密度，
1. J 積分は破壊力学的評価指標の一つとして構造物の健全性評価
j は変位，Πij は公称応力である．式(1)0%%0に広く用いられている．Rice[1]によって提案された
J
積分は，実
は図1
に示すき裂先端を囲む経路Γ
によって囲まれる領域𝐴𝐴
に散
(1)
は図
1
に示すき裂先端を囲む経路Γ
によって囲まれる領域
A
%
%
ε
ε
じめに
# によって囲まれる領域𝐴𝐴# に散は初期配置に基づくひずみエネルギ密度，
ni は領域表面
Wに示すき裂先端を囲む経路Γ
1.価に広く用いられている．
Rice[1]によって提案された
J積分は， ここでに広く用いられている．Rice[1]によって提案された
J 積分は，実は図1
Jは積分は破壊力学的評価指標の一つとして構造物の健全性評価
上での単位法線ベクトル，uj は変位，Π
ij は公称応力である．式(1)
#
#
%
はじめに
ni は領域表面
ここでW0 は初期配置に基づくひずみエネルギ密度，
1. J験評価法や数値解析法に関する様々な研究が行われてきた．現在
逸するエネルギを評価する式として定義される．積分経路Γ
の半% ij は公称応力である．式(1)%% の半に散逸するエネルギを評価する式として定義される．
積分経路#
積分は破壊力学的評価指標の一つとして構造物の健全性評価
上での単位法線ベクトル，uは変位，Π
j験評価法や数値解析法に関する様々な研究が行われてきた．現在
逸するエネルギを評価する式として定義される．積分経路Γ
実験評価法や数値解析法に関する様々な研究が行われてきた．
に広く用いられている．Rice[1]によって提案された J 積分は，実は図1 に示すき裂先端を囲む経路Γ# によって囲まれる領域𝐴𝐴# に散Jでは実験評価法の規格化[2]や商用有限要素法解析ソルバーへの実積分は破壊力学的評価指標の一つとして構造物の健全性評価
上での単位法線ベクトル，u0 → 0 であることから，
j は変位，Π
%ij は公称応力である．式(1)% %径
き裂の進展によって解放されるエネルに広く用いられている．Rice[1]によって提案された
J 積分は，実は図1に示すき裂先端を囲む経路Γ
→ 0であることから，き裂の進展によって解放されΓ
では実験評価法の規格化[2]や商用有限要素法解析ソルバーへの実径εεεの半径ε→ 0 であることから，き裂の進展によって解放されるエネル# によって囲まれる領域𝐴𝐴# に散験評価法や数値解析法に関する様々な研究が行われてきた．現在
逸するエネルギを評価する式として定義される．積分経路Γ
[2]や商用有限要素法解析ソル
現在では実験評価法の規格化# の半%%に広く用いられている．Rice[1]によって提案された
J
積分は，実
は図1
に示すき裂先端を囲む経路Γ
によって囲まれる領域𝐴𝐴## に散%装なども行われており，広く活用されている．
ギを表す式といえる．
験評価法や数値解析法に関する様々な研究が行われてきた．現在
逸するエネルギを評価する式として定義される．積分経路Γ
るエネルギを表す式といえる．
装なども行われており，広く活用されている．
ギを表す式といえる．
# の半では実験評価法の規格化[2]や商用有限要素法解析ソルバーへの実径
ε → 0 であることから，き裂の進展によって解放されるエネル%
バーへの実装なども行われており，広く活用されている．
験評価法や数値解析法に関する様々な研究が行われてきた．現在
逸するエネルギを評価する式として定義される．積分経路Γ
%0# の半
J 積分はき裂進展によってき裂の長さや面積が増大する際に解の半径εε →式(1)を直接計算すること
では実験評価法の規格化[2]や商用有限要素法解析ソルバーへの実ε 積分経路Γ→ 0 であることから，#% ε
積分はき裂進展によってき裂の長さや面積が増大する際に解 径ギを表す式といえる．
積分経路Γ
→き裂の進展によって解放されるエネル0 であるため，であるため，
式(1)を直接計算することの半径ε→00であるため，式(1)を直接計算するこ
積分経路Γ
装なども行われており，広く活用されている．
# の半径
JJ積分はき裂進展によってき裂の長さや面積が増大する際にでは実験評価法の規格化[2]や商用有限要素法解析ソルバーへの実
径 ε → 0 であることから，き裂の進展によって解放されるエネル%%
法されるエネルギを評価する式であり，任意の経路の積分によっはできない．そこで，経路Γの外側に任意の経路Γ
% を考える．経0
装なども行われており，広く活用されている．
ギを表す式といえる．
#% の外側に任意の経路Γ
0を考える．
法されるエネルギを評価する式であり，任意の経路の積分によっはできない．そこで，経路Γを考える．経J 積分はき裂進展によってき裂の長さや面積が増大する際に解
積分経路Γ#% の半径ε →0 であるため，
式(1)を直接計算することとはできない．
そこで，経路Γ
# εの外側に任意の経路Γ
解放されるエネルギを評価する式であり，任意の経路の積分に ギを表す式といえる．
装なども行われており，広く活用されている．
%%%て評価が可能な経路独立性を有することが知られている．経路独路Γ
式(1)にガウスの発散定理% と経路Γ
% で囲まれる閉領域を考え，%%0#
J法されるエネルギを評価する式であり，任意の経路の積分によっ
積分はき裂進展によってき裂の長さや面積が増大する際に解
積分経路Γ
の半径
ε
→
0
であるため，
式(1)を直接計算すること
路Γ# と経路Γ
で囲まれる閉領域を考え，式(1)にガウスの発散定理
0で囲まれる閉領域を考え，#%と経路Γ
はできない．そこで，経路Γを考える．経式(1)にガウスの発経路Γ
# の外側に任意の経路Γ
ε
Jて評価が可能な経路独立性を有することが知られている．経路独
積分はき裂進展によってき裂の長さや面積が増大する際に解
積分経路Γ
式(1)を直接計算すること
よって評価が可能な経路独立性を有することが知られている．
# の半径 ε → 0 であるため，%%立性は定式化の際に導かれるものであり，この際の仮定からJJ 積を適用すると以下の式が得られる．
%%
法されるエネルギを評価する式であり，任意の経路の積分によっはできない．そこで，経路Γの外側に任意の経路Γ
を考える．経立性は定式化の際に導かれるものであり，この際の仮定から
積を適用すると以下の式が得られる．
%%#て評価が可能な経路独立性を有することが知られている．経路独路Γ
と経路Γ
で囲まれる閉領域を考え，式(1)にガウスの発散定理#
法されるエネルギを評価する式であり，任意の経路の積分によっ
散定理を適用すると以下の式が得られる．
# の外側に任意の経路Γ を考える．経
経路独立性は定式化の際に導かれるものであり，
この際の仮定J はできない．そこで，経路Γ%%分には比例負荷問題に対してのみ適用可能という制約が生じる．
て評価が可能な経路独立性を有することが知られている．経路独で囲まれる閉領域を考え，式(1)にガウスの発散定理% を適用すると以下の式が得られる．
%
分には比例負荷問題に対してのみ適用可能という制約が生じる．
# と経路Γ
立性は定式化の際に導かれるものであり，この際の仮定から
J 積J 路Γ路Γ
て評価が可能な経路独立性を有することが知られている．経路独と経路Γで囲まれる閉領域を考え，式(1)にガウスの発散定理#
J 積分には比例負荷問題に対してのみ適用可能という制約から
𝜕𝜕𝑢𝑢
積分を弾塑性繰返し荷重問題などの非比例負荷状態となる問題に
𝜕𝜕𝑢𝑢(( 0 𝑑𝑑Γ %%%立性は定式化の際に導かれるものであり，この際の仮定から
J 積 J を適用すると以下の式が得られる．
を適用すると以下の式が得られる．
積分を弾塑性繰返し荷重問題などの非比例負荷状態となる問題に分には比例負荷問題に対してのみ適用可能という制約が生じる．
𝐽𝐽𝐽𝐽 =(𝑊𝑊'% 𝑛𝑛& − 𝑛𝑛' Π'(
立性は定式化の際に導かれるものであり，この際の仮定から
J積
=
𝑛𝑛
−
𝑛𝑛
Π
0 𝑑𝑑Γ
(𝑊𝑊
'
&
'
'(
𝜕𝜕𝑋𝑋
"
J
積分を弾塑性繰返し荷重問題などの非比例負荷状が生じる．
適用した場合，経路独立性は失われ，J)分には比例負荷問題に対してのみ適用可能という制約が生じる．
𝜕𝜕𝑋𝑋(&&
𝜕𝜕𝑢𝑢
適用した場合，経路独立性は失われ，J 積分は物理的意味を失う．
積分は物理的意味を失う．
積分を弾塑性繰返し荷重問題などの非比例負荷状態となる問題に)"分には比例負荷問題に対してのみ適用可能という制約が生じる．
J J
%
𝐽𝐽
=
𝑛𝑛
−
𝑛𝑛
Π
0
𝑑𝑑Γ %
(𝑊𝑊
'
&
' '(
態となる問題に適用した場合，
経路独立性は失われ，J積分は物𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑋𝑋
これまでに様々な積分を弾塑性繰返し荷重問題などの非比例負荷状態となる問題に
( &
𝜕𝜕𝑢𝑢
"
これまでに様々な JJ 積分の拡張手法が提案されており，その一つ
積分の拡張手法が提案されており，その一つ%適用した場合，経路独立性は失われ，J
積分は物理的意味を失う．
積分を弾塑性繰返し荷重問題などの非比例負荷状態となる問題に()*%= '(𝑊𝑊(𝑊𝑊𝑛𝑛&𝑛𝑛−
𝑛𝑛 Π'( 0%%𝑑𝑑Γ0%𝜕𝜕Π𝑑𝑑Γ % 𝜕𝜕𝑢𝑢(𝜕𝜕∗
𝐽𝐽 =𝐽𝐽 '𝑛𝑛& −*' Π'(' 𝜕𝜕𝑊𝑊として非比例負荷問題へ適用可能なT𝜕𝜕𝑋𝑋&− 𝜕𝜕Π'(𝜕𝜕 * 𝑢𝑢𝑢𝑢(( 0 𝑑𝑑𝐴𝐴%% (2)"*積分[3]，T!∗ 積分[4]がある．
𝜕𝜕𝑊𝑊
J積分は物理的意味を失う．
積分の拡張手法が提案され理的意味を失う．
これまでに様々な適用した場合，経路独立性は失われ，J'( 𝜕𝜕𝑢𝑢(
)
𝜕𝜕𝑋𝑋
"
−
lim
(
として非比例負荷問題へ適用可能な
T積分は物理的意味を失う．
積分[3]，T! 積分[4]がある．
'
これまでに様々なJ 積分の拡張手法が提案されており，その一つ適用した場合，経路独立性は失われ，J
&
)
− #→%
lim ' " " ( 𝜕𝜕𝑋𝑋&% − 𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋& −
−Π
Π'(
(2)
'( 𝜕𝜕𝑋𝑋*' 𝜕𝜕𝑋𝑋& 0 𝑑𝑑𝐴𝐴
+
,+
*
#→%
これらは二次元問題を仮定した導出を行っており，三次元問題へ
𝜕𝜕𝑋𝑋& 𝜕𝜕Π
𝜕𝜕𝑋𝑋'(' 𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑋𝑋(&
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕 ' 𝜕𝜕𝑋𝑋𝑢𝑢( &T 積分[3]，ており，その一つとして非比例負荷問題へ適用可能な
これまでに様々な積分の拡張手法が提案されており，その一つ+ " ,+"!! 𝜕𝜕𝑊𝑊
これらは二次元問題を仮定した導出を行っており，三次元問題へ
これまでに様々なJJ積分の拡張手法が提案されており，その一つとして非比例負荷問題へ適用可能な
T*積分[3]，T!∗ 積分[4]がある．
%− lim '−
− *Π'( * 𝑢𝑢
0 𝑑𝑑𝐴𝐴
(2)
∗ ∗
%( %
*
𝜕𝜕Π 𝜕𝜕Π𝜕𝜕𝑢𝑢の適用には定式化上の課題がある．筆者はT∗ 積分[4]がある．
'( 𝜕𝜕𝑢𝑢( & 𝜕𝜕 𝑢𝑢( 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑋𝑋#→% + "𝜕𝜕𝑊𝑊*積分[4]がある．
"𝜕𝜕𝑊𝑊
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
!∗ 積分[4]の定義に基づとして非比例負荷問題へ適用可能な
積分[3]，T
Tこれらは二次元問題を仮定した導出を行っており，三次元問題へ
これらは二次元問題を仮定した導出を行ってお' 𝜕𝜕𝑋𝑋'(𝜕𝜕𝑋𝑋
として非比例負荷問題へ適用可能な
T*T積分[3]，T%0&𝑑𝑑𝐴𝐴%の適用には定式化上の課題がある．筆者はTε!
! 積分[4]がある．
− lim− Π'( 0 𝑑𝑑𝐴𝐴
(2)
! 積分[4]の定義に基づ' ( ,+(! − &−'( ( −
− lim
Π
(2)
'
'(
ここで，弾性体もしくは全ひずみ理論を仮定し，物体力がないこ"𝜕𝜕𝑋𝑋&𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋#→%#→%
𝜕𝜕𝑋𝑋'& 𝜕𝜕𝑋𝑋& 𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋
いて，
JJ 積分の定式化を再定義し，
ここで，弾性体もしくは全ひずみ理論を仮定し，物体力がないこ∗+"!" ,+𝜕𝜕𝑋𝑋
ここで，弾性体もしくは全ひずみ理論を仮定し，物体力がないこ& ' 𝜕𝜕𝑋𝑋&*積分+ " ,+
これらは二次元問題を仮定した導出を行っており，三次元問題へ! &これらは二次元問題を仮定した導出を行っており，三次元問題へ
いて，積分の定式化を再定義し，三次元の非比例負荷問題に対し三次元の非比例負荷問題に対しり，三次元問題への適用には定式化上の課題がある．
筆者はTεの適用には定式化上の課題がある．筆者はT! 積分[4]の定義に基づとを仮定すると，式(2)の右辺第二積分の被積分関数は
00 となり，∗∗ても経路独立性を有する手法を提案している[5]．
とを仮定すると，式(2)の右辺第二積分の被積分関数はとなり，ここで，弾性体もしくは全ひずみ理論を仮定し，物体力がないこの適用には定式化上の課題がある．筆者はT0となり，とを仮定すると，
式(2)の右辺第二積分の被積分関数はの適用には定式化上の課題がある．筆者はTても経路独立性を有する手法を提案している[5]．
! 積分[4]の定義に基づ! 積分[4]の定義に基づいて，J 積分の定式化を再定義し，三次元の非比例負荷問題に対し[4]の定義に基づいて，J積分の定式化を再定義し，三次元の非比例∗ ここで，弾性体もしくは全ひずみ理論を仮定し，物体力がないこ
右辺第一積分のみが残る．
ここで，弾性体もしくは全ひずみ理論を仮定し，物体力がないこ
本稿では従来のJ
積分の定式化上の適用限界について示し，T∗右辺第一積分のみが残る．
とを仮定すると，式(2)の右辺第二積分の被積分関数は0となり，
J積分の定式化を再定義し，三次元の非比例負荷問題に対し
いて，
J
積分の定式化を再定義し，三次元の非比例負荷問題に対し!
右辺第一積分のみが残る．
本稿では従来のJ
積分の定式化上の適用限界について示し，Tても経路独立性を有する手法を提案している[5]．
負荷問題に対しても経路独立性を有する手法を提案している[5]． !
0 となり，とを仮定すると，式(2)の右辺第二積分の被積分関数は0 となり，
積分[4]の概要を紹介する．さらに筆者が提案する任意の荷重経路∗ とを仮定すると，式(2)の右辺第二積分の被積分関数はても経路独立性を有する手法を提案している[5]．
右辺第一積分のみが残る．
ても経路独立性を有する手法を提案している[5]．
積分[4]の概要を紹介する．さらに筆者が提案する任意の荷重経路
本稿では従来のJJ積分の定式化上の適用限界について示し，積分の定式化上の適用限界について示し，T*積!
Tε
本稿では従来の𝜕𝜕𝑢𝑢(∗
右辺第一積分のみが残る．
∗
𝜕𝜕𝑢𝑢
%
%
右辺第一積分のみが残る．
と有限変形を許容する新しい三次元
J
積分法[5]の概要について紹
本稿では従来のJ
積分の定式化上の適用限界について示し，T(
本稿では従来のJ 積分の定式化上の適用限界について示し，T
𝐽𝐽𝐽𝐽 =
lim
0 𝑑𝑑Γ#%! !
と有限変形を許容する新しい三次元J 積分法[5]の概要について紹
積分[4]の概要を紹介する．さらに筆者が提案する任意の荷重経路
= #→%
lim '
𝑛𝑛&& −− 𝑛𝑛
𝑛𝑛'' Π
Π'((𝑊𝑊 % 𝑛𝑛' " (𝑊𝑊[4]の概要を紹介する．
さらに筆者が提案する任意の荷重経路
分'( 𝜕𝜕𝑋𝑋& 0 𝑑𝑑Γ##→% )𝜕𝜕𝑋𝑋(&
𝜕𝜕𝑢𝑢
介する．
積分[4]の概要を紹介する．さらに筆者が提案する任意の荷重経路)!"!
積分[4]の概要を紹介する．さらに筆者が提案する任意の荷重経路%介する．
と有限変形を許容する新しい三次元
J
積分法[5]の概要について紹𝐽𝐽 = lim ' (𝑊𝑊 𝑛𝑛& − 𝜕𝜕𝑢𝑢𝑛𝑛' Π
0 𝑑𝑑Γ#%
J 積分法[5]の概要についてと有限変形を許容する新しい三次元( '(𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑋𝑋
( %&#→%と有限変形を許容する新しい三次元
J J積分法[5]の概要について紹"% 𝑛𝑛 %− 𝑛𝑛 Π
𝐽𝐽
=
lim
0
𝑑𝑑Γ
(𝑊𝑊
と有限変形を許容する新しい三次元積分法[5]の概要について紹
)
'
&
'
'(
#
!
介する．
𝐽𝐽 #→%= lim" ' (𝑊𝑊 𝑛𝑛& − 𝑛𝑛'𝜕𝜕𝑋𝑋
Π'(𝜕𝜕𝑢𝑢 0 𝑑𝑑Γ#%
&𝜕𝜕𝑢𝑢
(&
#→%
紹介する．
)! )"
𝜕𝜕𝑋𝑋
%
介する．
従
来
の
積
分
と
そ
の
拡
張
手
法
2.
J
( 0 𝑑𝑑Γ %
!
介する．
=
𝑛𝑛
−
𝑛𝑛
Π
(3)
(𝑊𝑊
'
%
%
従来の J 積分とその拡張手法
2.
= ' " (𝑊𝑊 𝑛𝑛&& − 𝑛𝑛'' Π'((3)'( 𝜕𝜕𝑋𝑋& 0 𝑑𝑑Γ
)
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑢𝑢
"
経
路
積
分
を
用
い
た
積
分
法
2-1.
J
&
(
)
%
%
経
路
積
分
を
用
い
た
積
分
法
2-1.
J
従
来
の
積
分
と
そ
の
拡
張
手
法
2.
J
𝜕𝜕𝑢𝑢
= ' % (𝑊𝑊 𝑛𝑛& − 𝑛𝑛
0 𝑑𝑑Γ
(3)
従来のJ積分とその拡張手法( '('Π
𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑋𝑋
従
来
の
拡
張
手
法法
2. 図
JJ積
( %
" 𝑛𝑛& %− 𝑛𝑛' Π'(='(3) (3) %
(𝑊𝑊
)(𝑊𝑊
従1
来に示すような，き裂を有する二次元の物体を考える．ここ
の積
積分
分と
とそ
その
の
拡
張
手
2.
1経
に示すような，き裂を有する二次元の物体を考える．ここ=𝑛𝑛& − 𝑛𝑛'𝜕𝜕𝑋𝑋Π'(& 0 𝑑𝑑Γ0&𝑑𝑑Γ%%%の積分と任意に設定した経路Γ
路
分
を
用
い
た
分
法
2-1.図
J積
0
"'
上式から，き裂先端を囲む経路Γ
%)# εの積分と任意に設定した経路
𝜕𝜕𝑋𝑋&
上式から，
き裂先端を囲む経路Γ
2-1.
経経路積分を用いたJ積分法
路積分を用いた J 積分法き裂進展方向を X1 とした初期配置に2-1.
上式から，き裂先端を囲む経路Γ
)"# の積分と任意に設定した経路Γ
では有限変形問題を仮定し，積分を用いた J 積分法
2-1.
では有限変形問題を仮定し，
き裂進展方向を X1 とした初期配置に
図経1路に示すような，き裂を有する二次元の物体を考える．ここの積分が等価であることが示される．これがJ積分の経路独立性%%
0の積分が等価であることが示される．
図の積分が等価であることが示される．これがJ 積分の経路独立性
これがJ 積分の経路独Γ
上式から，き裂先端を囲む経路Γ
基づく直交座標系上で議論を進める．
この時，積分は次の式で定# の積分と任意に設定した経路Γ
%%に示すような，き裂を有する二次元の物体を考える．
ここで 上式から，き裂先端を囲む経路Γ
図111に示すような，き裂を有する二次元の物体を考える．ここ
図に示すような，き裂を有する二次元の物体を考える．ここ基づく直交座標系上で議論を進める．
この時，積分は次の式で定では有限変形問題を仮定し，
き裂進展方向を
XJJ1 とした初期配置に# の積分と任意に設定した経路Γ
%%である．なお，式(2)の右辺第二積分はき裂先端で可積分ではない
上式から，き裂先端を囲む経路Γ
の積分と任意に設定した経路Γ
では有限変形問題を仮定し，
き裂進展方向をXとした初期配置に1#である．なお，式(2)の右辺第二積分はき裂先端で可積分ではないの積分が等価であることが示される．これがJ 積分の経路独立性
立性である．
なお，式(2)の右辺第二積分はき裂先端で可積分では義される[6]．
では有限変形問題を仮定し，
き裂進展方向をX1 とした初期配置には有限変形問題を仮定し，
き裂進展方向をX1Jとした初期配置に
J 積分の経路独立性
義される[6]．
基づく直交座標系上で議論を進める．
この時，積分は次の式で定 の積分が等価であることが示される．これがため，直接計算することは困難である[3]．従来のJJ 積分の定式化基づく直交座標系上で議論を進める．この時，J 積分は次の式で定の積分が等価であることが示される．これがJ．
積分の経路独立性ため，直接計算することは困難である[3]．従来の積分の定式化である．なお，式(2)の右辺第二積分はき裂先端で可積分ではない[3]
従来のJ積分の定式
ないため，直接計算することは困難である𝜕𝜕𝑢𝑢
基づく直交座標系上で議論を進める．
J 積分は次の式で定J積分は次の式で基づく直交座標系上で議論を進める．
この時，である．なお，式(2)の右辺第二積分はき裂先端で可積分ではない𝜕𝜕𝑢𝑢(( 0この時，%%義される[6]．
では，前述の仮定によって第二積分の計算を回避している．
𝐽𝐽𝐽𝐽 =
lim
𝑑𝑑Γ
(1)
(𝑊𝑊
'
% 𝑛𝑛& − 𝑛𝑛' Π'(%
義される[6]．
である．なお，式(2)の右辺第二積分はき裂先端で可積分ではない#
では，前述の仮定によって第二積分の計算を回避している．
=
lim
𝑛𝑛
−
𝑛𝑛
Π
0
𝑑𝑑Γ
(1)
(𝑊𝑊
'
ため，直接計算することは困難である[3]．従来のJ積分の定式化#→% )"&' '( 𝜕𝜕𝑋𝑋&#
化では，前述の仮定によって第二積分の計算を回避している．
義される[6]．
ため，直接計算することは困難である[3]．従来のJ 積分の定式化#→% [6]
定義される
𝜕𝜕𝑋𝑋(&
𝜕𝜕𝑢𝑢)!"! ． %ため，直接計算することは困難である[3]．従来のJ 積分の定式化(
では，前述の仮定によって第二積分の計算を回避している．
𝐽𝐽 =
lim
𝑛𝑛
−Π𝑛𝑛' Π𝜕𝜕𝑢𝑢
0%𝑑𝑑Γ#%(1) では，前述の仮定によって第二積分の計算を回避している．
(𝑊𝑊
%
&
'(
𝐽𝐽 =
lim#→%
𝑛𝑛
−
𝑛𝑛
0
𝑑𝑑Γ
(1)
𝜕𝜕𝑢𝑢
' '(𝑊𝑊
' '(
#
(
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
%&
域
2-2.
!
では，前述の仮定によって第二積分の計算を回避している．
𝐽𝐽 = #→%lim '𝑛𝑛& − 𝑛𝑛' Π'(𝜕𝜕𝑋𝑋& 0&𝑑𝑑Γ#%(1))" )(𝑊𝑊2-2.
領域積分法を用いた三次元J積分法
領
域積
積分
分法
法を
を用
用い
いた
た三
三次
次元
元J
積分
分法
法
2-2. 領J積#→% )!"
𝜕𝜕𝑋𝑋&!
二次元問題であれば式(3)の経路積分を用いてJJ 積分計算が可能
積分計算が可能
領分
域法
積
分
法
を
元
J 積分法
領二次元問題であれば式(3)の経路積分を用いて
域積
を
用
い
た用
三い
次た
元三
積
分法
2-2. 2-2.
J次(3)の経路積分を用いて
J積分計算が可二次元問題であれば式だが，三次元問題には適用できない．近年では
J
積分の数値解法
領
域
積
分
法
を
用
い
た
三
次
元
積
分
法
2-2.
J
だが，三次元問題には適用できない．近年では積分の数値解法
二次元問題であれば式(3)の経路積分を用いて
J
積分計算が可能二次元問題であれば式(3)の経路積分を用いてJ 積分計算が可能
J積分の数値解能だが，三次元問題には適用できない．近年ではとして，有限要素法との相性が良く，三次元問題にも適用可能な二次元問題であれば式(3)の経路積分を用いてJ 積分計算が可能
として，有限要素法との相性が良く，三次元問題にも適用可能なだが，三次元問題には適用できない．近年では
J 積分の数値解法
だが，三次元問題には適用できない．近年では
J 積分の数値解法
法として，有限要素法との相性が良く，三次元問題にも適用可能
領域積分法[7]が主に用いられる．
だが，三次元問題には適用できない．近年では
J
積分の数値解法
領域積分法[7]が主に用いられる．
として，有限要素法との相性が良く，三次元問題にも適用可能なとして，有限要素法との相性が良く，三次元問題にも適用可能な[7]が主に用いられる．
な領域積分法
領域積分法を用いた三次元として，有限要素法との相性が良く，三次元問題にも適用可能な
領域積分法を用いた三次元 JJ 積分法を導く．き裂前縁接線方向
積分法を導く．き裂前縁接線方向
領域積分法[7]が主に用いられる．
領域積分法[7]が主に用いられる．
J 積分法を導く．き裂前縁接線方
領域積分法を用いた三次元をX
領域積分法[7]が主に用いられる．
を領域積分法を用いた三次元
X33 とし，とし，図図1
1 の二次元形状に奥行きを持たせる形で三次元問題の二次元形状に奥行きを持たせる形で三次元問題
領域積分法を用いた三次元
J 積分法を導く．き裂前縁接線方向
J 積分法を導く．き裂前縁接線方向とし，
図1の二次元形状に奥行きを持たせる形で三次元問
向をXへの拡張を行う．図2の領域中心のき裂前縁上でq(X3
領域積分法を用いた三次元
J 積分法を導く．き裂前縁接線方向
を X3を
とし，
図 1 の二次元形状に奥行きを持たせる形で三次元問題への拡張を行う．図2 の領域中心のき裂前縁上でq(X33)) >> 0，面0，面X3 とし，
図 1 の二次元形状に奥行きを持たせる形で三次元問題
0
0
0 とし，
0 上で
A'
,
A'
q(X
)＝0
となり，連続かつ1
回微分可能なスカラー2の領域中心のき裂前縁上でq(X)>
0，面題への拡張を行う．
図33をへの拡張を行う．図X
図1の二次元形状に奥行きを持たせる形で三次元問題
1ε2εへの拡張を行う．図2の領域中心のき裂前縁上で
q(X
)
>
0，面
3
3
A'1ε , A'2ε 上で q(X3)＝02となり，連続かつ1 回微分可能なスカラーの領域中心のき裂前縁上でq(X3) > 0，面
0'00 ,A' 00 q(X
値関数)を式(1)の両辺に導入し，Xに対して微小長さ
Δ
3
3
A
上でq(X
)＝
0
となり，
連続かつ
1
回微分可能なスカラー値2の領域中心のき裂前縁上で
q(X
)
>
0，面
1
ε
2
ε
3
A'01εへの拡張を行う．図
, A'
上で
q(X
)＝0
となり，連続かつ1
回微分可能なスカラー
3
値関数
Δ の範
の範
2ε
A'
q(X3)＝0 となり，連続かつ1 回微分可能なスカラー33)を式(1)の両辺に導入し，X3 に対して微小長さ
1ε , A'2ε 上で0囲で積分する．
0値関数)を式(1)の両辺に導入し，X
Δ の範
A'1ε
, q(X
A'2ε3上でとなり，連続かつ
1 回微分可能なスカラー
関数q(X3)を式(1)の両辺に導入し，X3に対して微小長さΔの範囲
3 に対して微小長さ3)＝0囲で積分する．
値関数
q(X3q(X)を式(1)の両辺に導入し，X3 に対して微小長さ Δ の範囲で積分する．
値関数
q(X3)を式(1)の両辺に導入し，X3 に対して微小長さΔ の範で積分する．
囲で積分する．
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑢𝑢(( 0 𝑞𝑞(𝑋𝑋 )𝑑𝑑S%% (4)
%
lim
𝑛𝑛
'
- )𝑑𝑑S# (4)
囲で積分する．
)𝑑𝑑𝑋𝑋-- =𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋-- )𝑑𝑑𝑋𝑋
= #→%
lim '
𝑛𝑛&& −−𝜕𝜕𝑢𝑢𝑛𝑛''(Π
Π'(0𝑞𝑞(𝑋𝑋(𝑊𝑊 % 𝑛𝑛'∆ 𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋'/" (𝑊𝑊'( 𝜕𝜕𝑋𝑋&#
𝜕𝜕𝑋𝑋(&)𝑑𝑑S% (4)%%𝜕𝜕𝑢𝑢∆ - )𝑑𝑑𝑋𝑋- = lim ' #→%/%!"!𝑛𝑛& − %図𝑛𝑛𝑛𝑛' Π'(− 𝑛𝑛 Π0 𝑞𝑞(𝑋𝑋(𝑊𝑊' 𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋%- 0 𝑞𝑞(𝑋𝑋#
図1
1 き裂を有する物体とき裂先端を囲む経路Γ
き裂を有する物体とき裂先端を囲む経路Γ##% ,, 任意の経路Γ
任意の経路Γ %)𝑑𝑑𝑋𝑋)𝑑𝑑S
𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋
=
lim
(4)
(𝑊𝑊
'
'
#→%
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
&
'
'(
#
& 𝜕𝜕𝑢𝑢∆/#→%( &0, 任意の経路Γ
%
%
!
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
0
%
図11 き裂を有する物体とき裂先端を囲む経路Γ
図
ε
%
%
!
# , 任意の経路Γ
𝑛𝑛& − 𝑛𝑛' Π'(
0 𝑞𝑞(𝑋𝑋- )𝑑𝑑S#% (4)' ∆𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋- )𝑑𝑑𝑋𝑋- = lim ' /(𝑊𝑊図 1 き裂を有する物体とき裂先端を囲む経路Γ
き裂を有する物体とき裂先端を囲む経路Γ
# , 任意の経路Γ
#→% /"
𝜕𝜕𝑋𝑋&∆!
図 1 き裂を有する物体とき裂先端を囲む経路Γ#% , 任意の経路Γ %CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●10な場合，式(1)と式(3),式(1)と式(3),(6)は等価ではなく，(6)は等価ではなく，式(3),式(3),(6)を用いた計算結(6)を用いた計算結な場合，な場合，式(1)と式(3), (6)は等価ではなく，式(3), (6)を用いた計算結果の物理的意味は希薄となる．
果の物理的意味は希薄となる．
な場合，式(1)と式(3), (6)は等価ではなく，式(3), (6)を用いた計算結果の物理的意味は希薄となる．
2-4.
Tε*積分
果の物理的意味は希薄となる．
な場合，式(1)と式(3), (6)は等価ではなく，式(3), (6)を用いた計算結∗2-4.現在までに様々な
積分
2-4.
TT!∗∗!積分J 積分の拡張手法が提案されている．その
2-4.
T
積分
! ∗
果の物理的意味は希薄となる．
現在までに様々な積分の拡張手法が提案されている．その一
現在までに様々な
JJ 積分の拡張手法が提案されている．その一
2-4.
T! 積分
Tε*積分[4]がある．Tε*積分
一つに非比例負荷問題に適用可能な
現在までに様々な J 積分の拡張手法が提案されている．その一∗∗ 積分[4]がある．T∗∗ 積分は図 10
つに非比例負荷問題に適用可能なT
つに非比例負荷問題に適用可能なT
積分[4]がある．T
現在までに様々なJ
積分の拡張手法が提案されている．その一!
!∗!∗!積分は図 1
は図1のき裂先端領域Aε を微小だが有限な領域であると仮定しつに非比例負荷問題に適用可能なT
1! 積分[4]がある．T! 積分は図2-4. T!∗ 積分%% を微小だが有限な領域であると仮定して導出さ∗∗のき裂先端領域𝐴𝐴0のき裂先端領域𝐴𝐴を微小だが有限な領域であると仮定して導出さつに非比例負荷問題に適用可能なT
積分[4]がある．T##%!
! 積分は図 1て導出され，き裂の進展によって領域A
ε 内で散逸するエネルギ
のき裂先端領域𝐴𝐴# を微小だが有限な領域であると仮定して導出さ現在までに様々なJ
積分の拡張手法が提案されている．その一%% 内で散逸するエネルギを評価する
れ，き裂の進展によって領域𝐴𝐴れ，き裂の進展によって領域𝐴𝐴
のき裂先端領域𝐴𝐴%# を微小だが有限な領域であると仮定して導出さ#%#内で散逸するエネルギを評価する
を評価する式と定義される．
二次元の領域積分法を用いた場合，∗∗れ，き裂の進展によって領域𝐴𝐴つに非比例負荷問題に適用可能なT# 内で散逸するエネルギを評価する∗% ! 積分[4]がある．T! ∗積分は図式と定義される．二次元の領域積分法を用いた場合，T
積分は以1式と定義される．二次元の領域積分法を用いた場合，Tれ，き裂の進展によって領域𝐴𝐴!∗!積分は以# 内で散逸するエネルギを評価する*積分は以下の式で定義される%
T.
式と定義される．二次元の領域積分法を用いた場合，Tεのき裂先端領域𝐴𝐴を微小だが有限な領域であると仮定して導出さ! 積分は以#下の式で定義される．
下の式で定義される．
式と定義される．二次元の領域積分法を用いた場合，T!∗ 積分は以下の式で定義される．
れ，き裂の進展によって領域𝐴𝐴%# 内で散逸するエネルギを評価する
下の式で定義される．
𝜕𝜕𝑢𝑢( 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) %∗𝜕𝜕𝑢𝑢∗
式と定義される．二次元の領域積分法を用いた場合，T! 積分は以=−−'−ΠΠ'('( 𝜕𝜕𝑢𝑢(( 00𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) 𝑑𝑑𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐴𝐴%%(𝑊𝑊%%%𝛿𝛿𝛿𝛿&'&' −'𝑇𝑇𝑇𝑇#∗#∗ =
(𝑊𝑊
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
" ,+"" (𝑊𝑊 𝛿𝛿
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝑇𝑇
=
−
−
Π
0
𝑑𝑑𝐴𝐴
𝜕𝜕𝑢𝑢
'
"
&
'
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)
+
&
'
#
&'
'(
(
+ ,+!!
下の式で定義される．
𝜕𝜕𝑋𝑋& 0𝜕𝜕𝑋𝑋'" ,+"𝑇𝑇#∗ = −+'𝑑𝑑𝐴𝐴%(𝑊𝑊 % 𝛿𝛿&' − Π'(!
𝜕𝜕𝑋𝑋& 𝜕𝜕𝑋𝑋'+ " ,+"!
𝜕𝜕𝑢𝑢( 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)𝜕𝜕** 𝑢𝑢%%%% 𝜕𝜕Π
𝜕𝜕Π
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑊𝑊
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑑𝑑𝐴𝐴𝑢𝑢 (𝜕𝜕𝑊𝑊
𝑇𝑇#∗ = −Π'('('% &'−−'( 𝜕𝜕𝑢𝑢(( 0−'−ΠΠ𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝐴𝐴%%(7)(7)(𝜕𝜕𝑊𝑊𝛿𝛿
'+",+"((𝑊𝑊𝜕𝜕Π𝜕𝜕 * 𝑢𝑢*(( 00𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝐴𝐴
−
−
−
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
'(
'('( '𝜕𝜕𝑋𝑋% 𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋&(&& −𝜕𝜕𝑋𝑋𝑢𝑢&&(0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝐴𝐴% (7)𝜕𝜕𝑋𝑋− '++"",+
𝜕𝜕Π
𝜕𝜕𝑊𝑊,+"!!"! ( 𝜕𝜕𝑋𝑋&& − 𝜕𝜕𝑋𝑋'' 𝜕𝜕𝑋𝑋'( 𝜕𝜕𝑢𝑢( Π'( 𝜕𝜕𝑋𝑋''𝜕𝜕
%
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
" ,+
−+'
( & − '& − Π'( '& 0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝐴𝐴 (7)!
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&+ " ,+"! 𝜕𝜕𝑋𝑋%&𝜕𝜕Π'( 𝜕𝜕𝑢𝑢(𝜕𝜕 * 𝑢𝑢(
𝜕𝜕𝑊𝑊
−'
−
− Π'(
0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝐴𝐴% (7)(式(2),(5)の右辺第二積分を計算することはできないが，式(7)の右式(2),(5)の右辺第二積分を計算することはできないが，
式(7)
式(2),
(5)の右辺第二積分を計算することはできないが，式(7)の右𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&
" ,+"
+
!
式(2), (5)の右辺第二積分を計算することはできないが，式(7)の右%% を有限な領域として扱うため，可積分でない
0
辺第二積分は領域𝐴𝐴を有限な領域として扱うため，可積分でない
辺第二積分は領域𝐴𝐴式(2), (5)の右辺第二積分を計算することはできないが，式(7)の右#の右辺第二積分は領域A
ε を有限な領域として扱うため，可積
辺第二積分は領域𝐴𝐴#%# を有限な領域として扱うため，可積分でない%∗∗ 積分は定0
き裂先端領域を領域𝐴𝐴に含むことで計算可能となる．T
き裂先端領域を領域𝐴𝐴に含むことで計算可能となる．T
辺第二積分は領域𝐴𝐴%#%#を有限な領域として扱うため，可積分でない
分でないき裂先端領域を領域A!∗!積分は定ε に含むことで計算可能となる．
き裂先端領域を領域𝐴𝐴式(2),(5)の右辺第二積分を計算することはできないが，式(7)の右# に含むことで計算可能となる．T
! 積分は定%∗常き裂進展問題の評価などに適用されている[4]．
常き裂進展問題の評価などに適用されている[4]．
に含むことで計算可能となる．T
*積分は定常き裂進展問題の評価などに適用されている! 積分は定Tき裂先端領域を領域𝐴𝐴
[4]．
ε
% #
常き裂進展問題の評価などに適用されている[4]．
を有限な領域として扱うため，可積分でない
辺第二積分は領域𝐴𝐴%%#
式(7)は二次元問題を仮定して導かれる．き裂先端領域𝐴𝐴
き裂先端領域𝐴𝐴を微小0式(7)は二次元問題を仮定して導かれる．
常き裂進展問題の評価などに適用されている[4]． ∗ #%#を微小(7)
は二次元問題を仮定して導かれる．
き裂先端領域A式
εを%式(7)は二次元問題を仮定して導かれる．
き裂先端領域𝐴𝐴# を微小
き裂先端領域を領域𝐴𝐴% JJ 積# に含むことで計算可能となる．T! 積分は定だが有限な領域と仮定する場合，二次元問題であれば通常の積だが有限な領域と仮定する場合，二次元問題であれば通常の式(7)は二次元問題を仮定して導かれる．
き裂先端領域𝐴𝐴# を微小
微小だが有限な領域と仮定する場合，二次元問題であれば通常だが有限な領域と仮定する場合，二次元問題であれば通常のJ積
常き裂進展問題の評価などに適用されている[4]．
分と同様の式展開となるが，三次元問題では異なる．この点を整分と同様の式展開となるが，三次元問題では異なる．この点を整だが有限な領域と仮定する場合，二次元問題であれば通常の
J積%
J積分と同様の式展開となるが，三次元問題では異なる．
このの式(7)は二次元問題を仮定して導かれる．
分と同様の式展開となるが，三次元問題では異なる．この点を整き裂先端領域𝐴𝐴# を微小理し，J積分を再定義したものが提案する新しい積分法[5]であ理し，J積分を再定義したものが提案する新しい
JJ 積分法[5]であ分と同様の式展開となるが，三次元問題では異なる．この点を整理し，J積分を再定義したものが提案する新しい
J 積分法[5]であJ積分を再定義したものが提案する新しい
J積分法
点を整理し，
だが有限な領域と仮定する場合，二次元問題であれば通常のJ積る．
る．
理し，J 積分を再定義したものが提案する新しい J 積分法[5]である．
[5]である．
分と同様の式展開となるが，三次元問題では異なる．この点を整る．
理し，J積分を再定義したものが提案する新しい
J三積分法[5]であ
任意
意
の荷
荷重
重経
経路
路と
と有
有限
限変
変形
形を
を許
許容
容す
する
る新
新し
しい
い三
次元
元JJ積
積分
分
の
次
3.3. 任
路
と
有
限
変
形
を
許
容
す
る
新
し
い
三次元 J 積分3.る． 任意の荷重経∗∗提案手法[5]はT
積分と同様にき裂の進展に伴って，微小な有限提案手法[5]はT任意の荷重
経路と有限変形を許容する新しい三次元 J 積分
3.
!∗!積分と同様にき裂の進展に伴って，微小な有限3.提案手法[5]はT任意の荷重経路と有限変形を許容する新しい三次元J積分! 積分と同様にき裂の進展に伴って，微小な有限%% に散逸するエネルギを評価する式として三次元
∗
領域𝑉𝑉
積分法を
領域𝑉𝑉
に散逸するエネルギを評価する式として三次元JJ積分法を提案手法[5]はT
積分と同様にき裂の進展に伴って，微小な有限
#
#%
!
領域𝑉𝑉
に散逸するエネルギを評価する式として三次元積分法を*積分と同様にき裂の進展に伴って，
重経路と有限変形を許容する新しい三次J元#任
3. 提案手法
J 積分
[5]
は
T
%意の荷
ε
再定義したものである．
再定義したものである．
領域𝑉𝑉# に散逸するエネルギを評価する式として三次元
J微小な有
積分法を
∗
0
再定義したものである．
提案手法[5]はT%% を有限な領域として扱う場合，J 積分の導! 積分と同様にき裂の進展に伴って，微小な有限J積分
限領域V
ε に散逸するエネルギを評価する式として三次元三次元問題で領域𝑉𝑉
三次元問題で領域𝑉𝑉再定義したものである．
##%を有限な領域として扱う場合，J 積分の導%三次元問題で領域𝑉𝑉を有限な領域として扱う場合，J
積分の導
領域𝑉𝑉
に散逸するエネルギを評価する式として三次元
J
積分法を
#
#
%
法を再定義したものである．
出初期段階で三次元問題であることを考慮した式展開が必要とな
出初期段階で三次元問題であることを考慮した式展開が必要とな三次元問題で領域𝑉𝑉# を有限な領域として扱う場合，J 積分の導出初期段階で三次元問題であることを考慮した式展開が必要とな0再定義したものである．
%% を微小な有限領域であるとる．詳しい導出は省略するが，領域𝑉𝑉
J積分の三次元問題で領域Vる．詳しい導出は省略するが，領域𝑉𝑉
ε を有限な領域として扱う場合，
出初期段階で三次元問題であることを考慮した式展開が必要とな##%を微小な有限領域であると様の性質である．
%
る．詳しい導出は省略するが，領域𝑉𝑉を微小な有限領域であると#三次元問題で領域𝑉𝑉を有限な領域として扱う場合，J積分の導%#仮定して導出を進めると以下の式が得られる．
仮定して導出を進めると以下の式が得られる．
導出初期段階で三次元問題であることを考慮した式展開が必要る．詳しい導出は省略するが，領域𝑉𝑉# を微小な有限領域であると仮定して導出を進めると以下の式が得られる．
出初期段階で三次元問題であることを考慮した式展開が必要とな0仮定して導出を進めると以下の式が得られる．
となる．
詳しい導出は省略するが，領域Vε を微小な有限領域であ%𝜕𝜕𝑢𝑢((
𝜕𝜕𝑢𝑢
る．詳しい導出は省略するが，領域𝑉𝑉%% # を微小な有限領域であると%%='−𝑛𝑛𝑛𝑛'ΠΠ'( 𝜕𝜕𝑢𝑢( 00𝑑𝑑Γ
𝑑𝑑Γ
(𝑊𝑊 𝑛𝑛𝑛𝑛&−' (𝑊𝑊
𝐽𝐽𝐽𝐽 =.
ると仮定して導出を進めると以下の式が得られる
𝜕𝜕𝑋𝑋&&0( 𝑑𝑑Γ##%#𝐽𝐽 = '))"!"! (𝑊𝑊 % 𝑛𝑛%&& − 𝑛𝑛'' Π'(
仮定して導出を進めると以下の式が得られる．
'( 𝜕𝜕𝑋𝑋𝜕𝜕𝑢𝑢
"𝜕𝜕𝑋𝑋
𝐽𝐽 =)'
𝑛𝑛
−
𝑛𝑛
Π
0
𝑑𝑑Γ#%
(𝑊𝑊
&
' '( &!
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑢𝑢&(
)"!
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝜕𝜕
%%
−'
(Π-(
𝑑𝑑𝐴𝐴
(8)
'
𝜕𝜕𝑢𝑢((( 00𝑑𝑑𝐴𝐴
𝜕𝜕 (Π
−
(8)
-(𝜕𝜕𝑢𝑢%&#% " 𝜕𝜕𝑋𝑋%&#𝜕𝜕𝑋𝑋
𝐽𝐽 = ' (𝑊𝑊
−
𝑛𝑛
Π
0
𝑑𝑑Γ
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
− '++"𝑛𝑛
(Π
0
𝑑𝑑𝐴𝐴
(8)
𝜕𝜕𝑢𝑢
&
𝜕𝜕
&
'
'(
#
&
-(
&#%
(
#!
#!
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
" 𝜕𝜕𝑋𝑋𝜕𝜕𝑋𝑋&& 0 𝑑𝑑𝐴𝐴&#
)!
−+'
(Π-(
(8)
#!
𝜕𝜕𝑋𝑋&
+"#! 𝜕𝜕𝑋𝑋𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕
(
%
−'
(Π-(
0 𝑑𝑑𝐴𝐴&#(8)
図2 き裂前縁近傍の無限小の領域Vε0 と任意の積分領域V0%% を厚さ方向に縮退
上式は図33に示す領域の中央部にある，領域𝑉𝑉に示す領域の中央部にある，領域𝑉𝑉
上式は図
𝜕𝜕𝑋𝑋
" 𝜕𝜕𝑋𝑋0##%を厚さ方向に縮退
0
0
&
+
0
図22 き裂前縁近傍の無限小の領域V
き裂前縁近傍の無限小の領域Vε0εと任意の積分領域と任意の積分領域VV0#!
を厚さ方向に縮退
上式は図 3 に示す領域の中央部にある，領域𝑉𝑉
図#%%% とそれを囲む経路Γ% の積分によって，領%したディスク状の領域𝐴𝐴
図 2 き裂前縁近傍の無限小の領域Vε と任意の積分領域Vしたディスク状の領域𝐴𝐴
上式は図 3 に示す領域の中央部にある，領域𝑉𝑉#の積分によって，領#%#とそれを囲む経路Γ#%# を厚さ方向に縮退したディスク状の領域𝐴𝐴
図 2 き裂前縁近傍の無限小の領域V0ε と任意の積分領域 V0# とそれを囲む経路Γ
# の積分によって，領
%
%
%
%
域𝑉𝑉
に散逸するエネルギを評価する式である．三次元問題で領域
2-3. 経路独立性とJ積分の適用限界
域𝑉𝑉したディスク状の領域𝐴𝐴0##%に散逸するエネルギを評価する式である．三次元問題で領域# とそれを囲む経路Γ
# %の積分によって，領
経路
路独
独立
立性
性と
とJJ積
積分
分の
の適
適用
用限
限界
界
上式は図
に示す領域の中央部にある，領域V
2-3. 経ε を厚さ方向に縮域𝑉𝑉
2-3.
# に散逸するエネルギを評価する式である．三次元問題で領域33に示す領域の中央部にある，領域𝑉𝑉%% を有限な領域として扱う場合，%# を厚さ方向に縮退
0
𝑉𝑉#上式は図式(1)と同様の右辺第一積分に加0
経2路独立性と J 積分の適用限界
2-3.経路独立性は物体力がないことを仮定し，𝑉𝑉を有限な領域として扱う場合，
式(1)と同様の右辺第一積分に加域𝑉𝑉に散逸するエネルギを評価する式である．三次元問題で領域#
図
き裂前縁近傍の無限小の領域Vと任意の積分領域V00% #弾性体もしくは全% ε とそれを囲む経路Γ
%
経路独立性は物体力がないことを仮定し，弾性体もしくは全ひ𝑉𝑉したディスク状の領域𝐴𝐴を有限な領域として扱う場合，
式(1)と同様の右辺第一積分に加経路独立性は物体力がないことを仮定し，弾性体もしくは全ひ
経路独立性と J 積分の適用限界 ε2-3.
εの積分によって，#退したディスク状の領域A# とそれを囲む経路Γ# の積分によって，領えて，右辺第二積分を考慮する必要がある．
経路独立性は物体力がないことを仮定し，弾性体もしくは全ひえて，右辺第二積分を考慮する必要がある．
𝑉𝑉#% %を有限な領域として扱う場合，
式(1)と同様の右辺第一積分に加0ひずみ理論を仮定することによって導かれる．
後者の仮定によっずみ理論を仮定することによって導かれる．
後者の仮定によって，えて，右辺第二積分を考慮する必要がある．
ずみ理論を仮定することによって導かれる．
後者の仮定によって，
経路独立性は物体力がないことを仮定し，弾性体もしくは全ひに散逸するエネルギを評価する式である．
三次元問題で領域Vε域𝑉𝑉に散逸するエネルギを評価する式である．三次元問題で領域#
従来法と同様に，式(8)に対して領域積分法[7]を適用する．式(8)ずみ理論を仮定することによって導かれる．
後者の仮定によって，従来法と同様に，式(8)に対して領域積分法[7]を適用する．式(8)えて，右辺第二積分を考慮する必要がある．
経J路
独立性と J 積分の適用限界
2-3.従来の0%
従来の積分法は適用できる問題が比例負荷問題に限定される．
J積分法は適用できる問題が比例負荷問題に限定さて，従来法と同様に，式(8)に対して領域積分法[7]を適用する．式(8)
従来のJ 積分法は適用できる問題が比例負荷問題に限定される．
ずみ理論を仮定することによって導かれる．
後者の仮定によって， 𝑉𝑉領域V式(1)と同様の右辺第一積式(1)と同様の右辺第一積分に加ε を有限な領域として扱う場合，# を有限な領域として扱う場合，の両辺にスカラー値関数
q(X33)を導入し，き裂前縁接線方向)を導入し，き裂前縁接線方向に
従来のJ 積分法は適用できる問題が比例負荷問題に限定される．
の両辺にスカラー値関数
q(X
XX33に
従来法と同様に，式(8)に対して領域積分法[7]を適用する．式(8)経路独立性は物体力がないことを仮定し，弾性体もしくは全ひ
非比例負荷問題では式(2),(5)の右辺第二積分を消去した仮定が成(2), (5)の右辺第二積分を消去した
れる．
非比例負荷問題では式の両辺にスカラー値関数
q(X3)を導入し，き裂前縁接線方向 X3 に非比例負荷問題では式(2),(5)の右辺第二積分を消去した仮定が成
従来のJ 積分法は適用できる問題が比例負荷問題に限定される．
えて，右辺第二積分を考慮する必要がある．
分に加えて，
右辺第二積分を考慮する必要がある．
対して微小長さΔの範囲で積分する．
非比例負荷問題では式(2),(5)の右辺第二積分を消去した仮定が成の両辺にスカラー値関数 q(X3)を導入し，き裂前縁接線方向 X3 にずみ理論を仮定することによって導かれる．
後者の仮定によって， 対して微小長さΔの範囲で積分する．
立せず，右辺第二積分の影響が無視できなくなる[8]．非比例負荷
対して微小長さΔの範囲で積分する．
立せず，右辺第二積分の影響が無視できなくなる[8]．非比例負荷
非比例負荷問題では式(2),(5)の右辺第二積分を消去した仮定が成[8]．
仮定が成立せず，
右辺第二積分の影響が無視できなくなる
従来法と同様に，式(8)に対して領域積分法[7]を適用する．式(8)従来法と同様に，式(8)に対して領域積分法[7]を適用する．式
立せず，右辺第二積分の影響が無視できなくなる[8]．非比例負荷
対して微小長さΔの範囲で積分する．
従来の J 積分法は適用できる問題が比例負荷問題に限定される．
問題に式(3),(6)を適用した場合，
経路独立性は成立せず，
積分経路問題に式(3),(6)を適用した場合，
経路独立性は成立せず，
積分経路立せず，右辺第二積分の影響が無視できなくなる[8]．非比例負荷(3),(6)
を適用した場合，
経路独立性は成立
非比例負荷問題に式の両辺にスカラー値関数
q(X3)を導入し，き裂前縁接線方向
X3 に(8)の両辺にスカラー値関数q(X3)を導入し，き裂前縁接線方向問題に式(3),(6)を適用した場合，
経路独立性は成立せず，
積分経路
非比例負荷問題では式(2), (5)の右辺第二積分を消去した仮定が成や積分領域の設定によって
J
積分の計算結果は異なる．このようや積分領域の設定によって
J
積分の計算結果は異なる．このよう問題に式(3),(6)を適用した場合，
経路独立性は成立せず，
積分経路
対して微小長さΔの範囲で積分する．
J積分の計算結果はせず，積分経路や積分領域の設定によって
X3に対して微小長さΔの範囲で積分する．
や積分領域の設定によって
J 積分の計算結果は異なる．このよう立せず，右辺第二積分の影響が無視できなくなる[8]．非比例負荷や積分領域の設定によってJと式
積分の計算結果は異なる．このよう
(1)
(3),
(6)
は等価ではなく，
式
(3),
異なる．
このような場合，式
問題に式(3), (6)を適用した場合，経路独立性は成立せず，積分経路(6)を用いた計算結果の物理的意味は希薄となる．
や積分領域の設定によって
J 積分の計算結果は異なる．このようここで ∫∫ q(Xq(X3))dX
dX3 == ∆Aとし，ΔA∆Aとし，ΔAを仮想き裂進展面積とする．
を仮想き裂進展面積とする．
ここでここで ∫∆∆∆ q(X33 ) dX33 = ∆Aとし，ΔA を仮想き裂進展面積とする．
ここでを仮想き裂進展面積とする．
ここで ∫∆ q(X3 ) dX3 = ∆Aとし，ΔAとし，ΔAを仮想き裂進展面積とす
また，
は図22で示す領域内で一定であると仮定する．
で示す領域内で一定であると仮定する．
さらに領域
また，
JJは図
さらに領域
また，
J は図
2 で示す領域内で一定であると仮定する．
さらに領域
Jは図
2で示す領域内で一定であると仮定する．
さらに
る．
また，
0
00また，
0
)
ここで
q(X
dX
=
∆Aとし，ΔA
を仮想き裂進展面積とする．
Vを含む任意の積分領域
Vを考え，q(X)の定義を領域
V000の内部の内部J∫は図 23で示す領域内で一定であると仮定する．
さらに領域
Vε0εを含む任意の積分領域
V 0 を考え，q(X333)の定義を領域 V
0 ∆
0
0
V
を含む任意の積分領域
Vを考え，q(X)の定義を領域
Vの内部を含む任意の積分領域
V
を考え，
q
(
X
)
の定義を領域V
領域V
3
3
ε 0 ε
0 q(X)に拡張しq(X)とする．q(X)は図の領域中心のき裂前縁上でVε を含む任意の積分領域
V0 を考え，q(X3)の定義を領域 V の内部に拡張しq(X)とする．q(X)は図22の領域中心のき裂前縁上でq(X)また，J は図2 で示す領域内で一定であると仮定する．
さらに領域
に拡張し
q(X)とする．q(X)は図q(X)の内部に拡張しq(X)とする．q(2Xの領域中心のき裂前縁上で)は図2の領域中心のき裂前縁
表面でq(X)＝0
q(X)＝0となる連続かつ回微分可能な関かつ領域
q(X)とする．q(X)は図2 の領域中心のき裂前縁上でq(X)となる連続かつ11回微分可能な関>> 0に拡張し
VV000表面で00かつ領域
0
0
0
Vを含む任意の積分領域
Vを考え，q(X)の定義を領域
V
の内部
(
X
)
>
0
かつ領域V
表面でq
(
X
)
＝
0
となる連続かつ
1回微分上でqq(X)＝0 となる連続かつ
1 回微分可能な関> 0ε かつ領域 V 表面で3000 の表面で囲まれた閉領
00となる連続かつ表面でq(X)＝01回微分可能な関
>
0
かつ領域
V
と領域V
数と定義する．
ここで積分領域
V
数と定義する．ここで積分領域 V 0と領域Vε0ε0の表面で囲まれた閉領に拡張し q(X)とする．q(X)は図の領域中心のき裂前縁上でq(X)と領域Vε0 の表面で囲可能な関数と定義する．
ここで積分領域V数と定義する．
ここで積分領域
V2と領域Vε の表面で囲まれた閉領
00域を考え，式(4)に対してガウスの発散定理を適用する．積分領域と領域V数と定義する．
ここで積分領域
V
域を考え，式(4)に対してガウスの発散定理を適用する．積分領域
ε の表面で囲まれた閉領
0(4)に対してガウスの発散定理を適用すまれた閉領域を考え，式> 0 かつ領域 V 表面で q(X)＝0 となる連続かつ 1 回微分可能な関域を考え，式(4)に対してガウスの発散定理を適用する．積分領域
表面でq(X)＝0
q(X)＝0であることを用いて式を整理すると以下の式がV000域を考え，式(4)に対してガウスの発散定理を適用する．積分領域
表面でであることを用いて式を整理すると以下の式がVる．
0 表面でq(X)＝0であることを用いて式を整理する
積分領域V
ここで積分領域
V0 と領域V0ε の表面で囲まれた閉領
表面で
q(X)＝0であることを用いて式を整理すると以下の式がV数と定義する．
0
得られる．
表面で
q(X)＝0であることを用いて式を整理すると以下の式がV得られる．
と以下の式が得られる．
域を考え，式(4)に対してガウスの発散定理を適用する．積分領域
得られる．
得られる．
𝜕𝜕𝑢𝑢( 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) %V0 表面で11q(X)＝0 であることを用いて式を整理すると以下の式が
𝜕𝜕𝑢𝑢=−− 1 limlim'−ΠΠ'('( 𝜕𝜕𝑢𝑢(( 00𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) 𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉%%(𝑊𝑊%%%𝛿𝛿𝛿𝛿&'&' −'𝐽𝐽𝐽𝐽 =
(𝑊𝑊
#→%
∆𝐴𝐴
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝐽𝐽 = − ∆𝐴𝐴1#→%
lim '00"",0𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿),0!"! (𝑊𝑊 𝛿𝛿%&' − Π'( 𝜕𝜕𝑋𝑋𝜕𝜕𝑢𝑢
得られる．
&&0( 𝜕𝜕𝑋𝑋
'' 𝑑𝑑𝑉𝑉 %∆𝐴𝐴 #→%
𝜕𝜕𝑋𝑋& 0𝜕𝜕𝑋𝑋'" ,0 "𝐽𝐽 = −
lim0'
𝑑𝑑𝑉𝑉(𝑊𝑊 𝛿𝛿&' − Π'(!
∆𝐴𝐴 #→% 0 ",0"𝜕𝜕𝑋𝑋& 𝜕𝜕𝑋𝑋'
!%
* 𝑢𝑢
*
𝜕𝜕𝑢𝑢
%
1
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)
𝜕𝜕Π
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕
( 𝜕𝜕 𝑢𝑢((𝜕𝜕𝑊𝑊 𝜕𝜕Π11 −𝜕𝜕𝑊𝑊% '('( 𝜕𝜕𝑢𝑢((%* 𝑢𝑢 0
𝛿𝛿&'
− Π−
𝑑𝑑𝑉𝑉
−𝐽𝐽 1=lim
lim∆𝐴𝐴− 𝜕𝜕Π−𝜕𝜕𝑋𝑋
𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉%%%(5)(5)'lim '((𝜕𝜕𝑊𝑊"%(𝑊𝑊−−ΠΠ'('(0 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑋𝑋
𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉''( 𝜕𝜕𝑢𝑢( '(*('𝑢𝑢 0% 𝜕𝜕𝑋𝑋" ,0#→%∆𝐴𝐴1#→%
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
&
" ,0"" (
0
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
− ∆𝐴𝐴
lim
−
−
Π
0
𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉
(5)
𝜕𝜕Π
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕
'00"#→%
&
'
&
'
&
𝜕𝜕𝑊𝑊
!
&
' '( & (
'
&(
'(
,0!!
%
∆𝐴𝐴 #→%
𝜕𝜕𝑋𝑋& −𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋& − Π'(𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋& 0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉 (5)" ,0 "−
lim0'(!
∆𝐴𝐴 #→% 0 ",0"𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&!
𝜕𝜕 * 𝑢𝑢(1
𝜕𝜕𝑊𝑊 % 𝜕𝜕Π'( 𝜕𝜕𝑢𝑢(−(5)の右辺第二積分の被積分関数には式
lim '−− Π'( (2)の右辺第二積分と0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉 % (5)(式(5)の右辺第二積分の被積分関数には式(2)の右辺第二積分と同式(5)の右辺第二積分の被積分関数には式(2)の右辺第二積分と同式∆𝐴𝐴 #→% 0 ",0!" 𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&
式(5)の右辺第二積分の被積分関数には式(2)の右辺第二積分と同じ項が含まれる．経路積分の場合と同様に，弾性体もしくは全ひ
式(5)の右辺第二積分の被積分関数には式(2)の右辺第二積分と同じ項が含まれる．経路積分の場合と同様に，弾性体もしくは全ひ同じ項が含まれる．
経路積分の場合と同様に，弾性体もしくは全じ項が含まれる．経路積分の場合と同様に，弾性体もしくは全ひずみ理論を仮定し，物体力がないことを仮定すると，式(5)の右辺
じ項が含まれる．経路積分の場合と同様に，弾性体もしくは全ひひずみ理論を仮定し，物体力がないことを仮定すると，式(5)の右ずみ理論を仮定し，物体力がないことを仮定すると，式(5)の右辺
式(5)の右辺第二積分の被積分関数には式(2)の右辺第二積分と同ずみ理論を仮定し，物体力がないことを仮定すると，式(5)の右辺
第二積分は消去でき，右辺第一積分のみが残る．
ずみ理論を仮定し，物体力がないことを仮定すると，式(5)の右辺
辺第二積分は消去でき，右辺第一積分のみが残る．
第二積分は消去でき，右辺第一積分のみが残る．
じ項が含まれる．経路積分の場合と同様に，弾性体もしくは全ひ
第二積分は消去でき，右辺第一積分のみが残る．
第二積分は消去でき，右辺第一積分のみが残る．
𝜕𝜕𝑢𝑢( 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) %𝜕𝜕𝑢𝑢
ずみ理論を仮定し，物体力がないことを仮定すると，式(5)の右辺
11=−− 1 limlim'−ΠΠ'('( 𝜕𝜕𝑢𝑢(( 00𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) 𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑉𝑉%%(6)(𝑊𝑊%%%𝛿𝛿𝛿𝛿&'&' −'𝐽𝐽𝐽𝐽 =(6)(𝑊𝑊#→%∆𝐴𝐴1#→%𝜕𝜕𝑋𝑋𝜕𝜕𝑋𝑋
𝐽𝐽 = − ∆𝐴𝐴
lim '00"",0(6)𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿),0!"!" (𝑊𝑊 𝛿𝛿%&' − Π'( 𝜕𝜕𝑋𝑋
第二積分は消去でき，右辺第一積分のみが残る．
&&0( 𝜕𝜕𝑋𝑋
'' 𝑑𝑑𝑉𝑉 %
#→%
∆𝐴𝐴
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
" ,0
𝐽𝐽 = −
lim0'
𝑑𝑑𝑉𝑉
(6)
(𝑊𝑊 𝛿𝛿&' − Π'( & 0 '!
∆𝐴𝐴 #→% 0 ",0"𝜕𝜕𝑋𝑋& 𝜕𝜕𝑋𝑋'!
0 に対する体積分で計算することが可能なた𝜕𝜕𝑢𝑢1
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)
上式は積分領域V(
𝐽𝐽 = −lim '0
𝑑𝑑𝑉𝑉 %(6)(𝑊𝑊 % 𝛿𝛿&' − Π'(に対する体積分で計算することが可能なため，
上式は積分領域
V000"に対する体積分で計算することが可能なため，
上式は積分領域
#→% V
∆𝐴𝐴
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
&
'
め，
有限要素法の数値積分を使って容易に計算することができ
0,0!
上式は積分領域 V に対する体積分で計算することが可能なため，有限要素法の数値積分を使って容易に計算することができる．ま
上式は積分領域
V0 0に対する体積分で計算することが可能なため，有限要素法の数値積分を使って容易に計算することができる．まは任意に設定した領域であるため，式(6)はる．
また，積分領域V
有限要素法の数値積分を使って容易に計算することができる．ま00 は任意に設定した領域であるため，式(6)は積分領
た，
積分領域
V
有限要素法の数値積分を使って容易に計算することができる．ま
た，
積分領域
V
は任意に設定した領域であるため，式(6)は積分領(3)の経路独積分領域の設定に依存しない性質をもつ．
これは式
上式は積分領域
V0 に対する体積分で計算することが可能なため，た，
積分領域 V0 は任意に設定した領域であるため，式(6)は積分領
0域の設定に依存しない性質をもつ．これは式(3)の経路独立性と同た，積分領域 V は任意に設定した領域であるため，式(6)は積分領域の設定に依存しない性質をもつ．これは式(3)の経路独立性と同.
立性と同様の性質である
有限要素法の数値積分を使って容易に計算することができる．ま
域の設定に依存しない性質をもつ．これは式(3)の経路独立性と同様の性質である．
域の設定に依存しない性質をもつ．これは式(3)の経路独立性と同様の性質である．
た，積分領域 V0 は任意に設定した領域であるため，式(6)は積分領様の性質である．
様の性質である．
域の設定に依存しない性質をもつ．これは式(3)の経路独立性と同CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)
𝜕𝜕𝑢𝑢(
0 𝑞𝑞(𝑋𝑋-)𝑑𝑑S#%' 𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋- )𝑑𝑑𝑋𝑋- = ' (𝑊𝑊 𝑛𝑛& − 𝑛𝑛' Π'(
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
&
/!
∆
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑢𝑢 (% % 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛' Π'( ( 0 𝑞𝑞(𝑋𝑋)𝑑𝑑S%%)𝑑𝑑𝑋𝑋 = ' (𝑊𝑊𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋)𝑑𝑑𝑋𝑋− 𝑛𝑛' Π'( 𝜕𝜕𝑋𝑋0 𝑞𝑞(𝑋𝑋- -)𝑑𝑑S''𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋- - - -= ' "(𝑊𝑊 𝑛𝑛& &
# #
&
𝜕𝜕𝑢𝑢
∆
/
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑢𝑢
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝑗𝑗
&(
∆
/! !
)𝑑𝑑𝐴𝐴-01𝜀𝜀)𝑑𝑑S−'
𝑑𝑑𝑋𝑋-#%(8)' % 𝑛𝑛& H−Π𝑛𝑛
0-𝑞𝑞(𝑋𝑋(𝑊𝑊' 𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋- )𝑑𝑑𝑋𝑋- =3𝑗𝑗' Π'( I 𝑞𝑞(𝑋𝑋𝜕𝜕𝑋𝑋1 𝜕𝜕𝑋𝑋&∆/∆"! 𝐴𝐴01𝜀𝜀 𝜕𝜕𝑋𝑋3𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑢𝑢𝑗𝑗𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕0
𝑗𝑗 I 𝑞𝑞(𝑋𝑋 )𝑑𝑑𝐴𝐴
𝑑𝑑𝑋𝑋(8)−−'' ''V00 𝜕𝜕𝑋𝑋
HΠH3𝑗𝑗Π3𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑋𝑋I𝜕𝜕𝑢𝑢
𝑞𝑞(𝑋𝑋 )-𝑑𝑑𝐴𝐴01𝜀𝜀 1𝜀𝜀𝑑𝑑𝑋𝑋(8)-q(X3)の定
図 3 に示すような積分領域を考え，スカラー値関数
3∆ 𝐴𝐴0𝐴𝐴1𝜀𝜀𝜕𝜕𝑢𝑢1𝑗𝑗 1 ( 𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕
%
%
3
∆
0
)𝑑𝑑S
𝐽𝐽𝐽𝐽(𝑋𝑋- )𝑑𝑑𝑋𝑋𝑛𝑛& −0 𝑞𝑞(𝑋𝑋- =−''( I 𝑞𝑞(𝑋𝑋- 1𝜀𝜀HΠ𝑛𝑛3𝑗𝑗' Πスカラー値関数q
𝑑𝑑𝑋𝑋#-(X3)の定(8)'" (𝑊𝑊'1𝜀𝜀 0を考え，
図3'に示すような積分領域V- )𝑑𝑑𝐴𝐴
義を積分領域
V0 内に拡張する．
0積分領域の中心部に位置するき裂/∆
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋1𝜕𝜕𝑋𝑋&!
3
図3 ∆3に示すような積分領域に示すような積分領域を考え，スカラー値関数
q(X𝐴𝐴01𝜀𝜀 0V3)の定
図Vを考え，スカラー値関数
q(X
)の定
3
0
0 内に拡張する．
積分領域の中心部に位置するき義を積分領域V
前縁上でq(X) >0V
0，積分領域表面上でq(X) = 0 であり，領域Vε 内部
0
義を積分領域内に拡張する．
積分領域の中心部に位置するき裂
𝜕𝜕𝑢𝑢𝑗𝑗
図3 に示すような積分領域
V0𝜕𝜕を考え，スカラー値関数
q(X3)の定義を積分領域
V 内に拡張する．
積分領域の中心部に位置するき裂00(X>)0q(X)は一定であり，X> 0−，'
積分領域表面上でqX0) であり，領域V=- )0𝑑𝑑𝐴𝐴であり，裂前縁上でqのX1 -X2 面内でHΠ3𝑗𝑗3 方向にのみ変化する連続かI(𝑞𝑞(𝑋𝑋0 (8)'ε1𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑋𝑋- 領域V
前縁上で
q(X)
0，積分領域表面上で
q(X)
=
ε 内部
0
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
義を積分領域内に拡張する．
前縁上でq(X) >V0，積分領域表面上で
q(X)1 = 0 であり，領域V0ε 内部
3積分領域の中心部に位置するき裂∆
𝐴𝐴1𝜀𝜀
つ一回微分可能な関数と定義する．
内部のX(X )は一定であり，
X3方向にのみ変化する連
1 -X
2面内でq
0
のX1X-X
q(X)は一定であり，X
1 -X面内で2 面内で3 方向にのみ変化する連続か
前縁上で0，積分領域表面上で内部の方向にのみ変化する連続か0
2 q(X) > q(X)は一定であり，X3q(X)% = 0 であり，領域V
図3に示すような積分領域
Vを考え，スカラー値関数
q(X3ε)の定式(8)の右辺第一積分について，領域𝑉𝑉− V0ε の表面で囲まれる
続かつ一回微分可能な関数と定義する．
つ一回微分可能な関数と定義する．
の
X
-X
面内で
つ一回微分可能な関数と定義する．
0q(X)は一定であり，X3 方向にのみ変化する連続か
1
2
義を積分領域 V 内に拡張する．積分領域の中心部に位置するき裂
00
閉領域を考え，ガウスの発散定理を適用する．さらに，右辺第二(8)の右辺第一積分について，領域V%0%−-−V
式式(8)の右辺第一積分について，領域𝑉𝑉
ε0Vの表面で囲まれるε の表面で囲まれる
つ一回微分可能な関数と定義する．
0
式(8)の右辺第一積分について，領域𝑉𝑉Vであり，領域Vε の表面で囲まれる
前縁上で
q(X)
>
0，積分領域表面上でq(X)=0
積分に対してXガウスの発散定理を適用する．
ε 内部
3 に関する部分積分を行うと以下の式が得られる．
0%
閉領域を考え，
さらに，右辺第二積
閉領域を考え，ガウスの発散定理を適用する．さらに，右辺第二式(8)の右辺第一積分について，領域𝑉𝑉−Vの表面で囲まれる
閉領域を考え，ガウスの発散定理を適用する．さらに，右辺第二εの X1 -X2 面内で q(X)は一定であり，X3 方向にのみ変化する連続か積分に対してX3 に関する部分積分を行うと以下の式が得られる．
に関する部分積分を行うと以下の式が得られる．
分に対してX
閉領域を考え，ガウスの発散定理を適用する．さらに，右辺第二積分に対して𝜕𝜕𝑢𝑢( 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) %1 3 X3 に関する部分積分を行うと以下の式が得られる．
つ一回微分可能な関数と定義する．
%
𝐽𝐽
=
−
𝛿𝛿
−
Π
0
𝑑𝑑𝑉𝑉
(𝑊𝑊
'
&'
'(
積分に対してX3 "に関する部分積分を行うと以下の式が得られる．
0%∆𝐴𝐴 0 ",0𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
式(8)の右辺第一積分について，領域𝑉𝑉−&' Vε の表面で囲まれる!
𝜕𝜕𝑢𝑢1
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)(𝜕𝜕𝑢𝑢
1
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)%(%%%(𝑊𝑊𝛿𝛿% 𝛿𝛿&'−−ΠΠ'( 0 0*𝑑𝑑𝑉𝑉
閉領域を考え，ガウスの発散定理を適用する．さらに，右辺第二𝐽𝐽 𝐽𝐽==−−1∆𝐴𝐴'' " (𝑊𝑊" 𝜕𝜕𝑊𝑊 &' 𝜕𝜕Π'( 𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋'𝜕𝜕𝑑𝑑𝑉𝑉𝑢𝑢(( & 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)
%
𝜕𝜕𝑢𝑢
" !(
∆𝐴𝐴
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
1 '0 "0,0,0
(
&
'
−
−
−
Π
%
% 0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉
𝐽𝐽 = −∆𝐴𝐴 'Π''(𝜕𝜕𝑋𝑋& 0 '( 𝜕𝜕𝑋𝑋'𝑑𝑑𝑉𝑉(𝑊𝑊
積分に対してX3!"に関する部分積分を行うと以下の式が得られる．
𝜕𝜕𝑋𝑋&%𝛿𝛿%&' −
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
* 𝑢𝑢&
0 "",0
!"
*
∆𝐴𝐴
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕Π
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕
1
𝜕𝜕𝑊𝑊
&
'
'(
(
(
0 ,0! 𝜕𝜕𝑊𝑊𝜕𝜕Π'( 𝜕𝜕𝑢𝑢( − Π 𝜕𝜕 𝑢𝑢( 0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉
1 '%−− ∆𝐴𝐴−−Π'( '( 𝜕𝜕𝑋𝑋* 𝜕𝜕𝑋𝑋0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉 %(" ( 𝜕𝜕𝑋𝑋%𝜕𝜕𝑢𝑢
1' "0 ",0𝜕𝜕𝜕𝜕Π𝑞𝑞(𝑿𝑿)
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋(&−
𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑋𝑋
&
'
'
&
0
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕
𝑢𝑢
"
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
∆𝐴𝐴
𝜕𝜕𝑊𝑊
!
1
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)'((& 1𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑋𝑋'&+ 0',0 '( Π3𝑗𝑗%& − ' 𝑑𝑑𝐴𝐴
(9)
𝐽𝐽 = − ∆𝐴𝐴' ∆ ! 𝐴𝐴(𝑊𝑊𝛿𝛿&' 1− 𝜕𝜕𝑋𝑋Π'(30− Π'( 𝑑𝑑𝑉𝑉 % 0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉 %∆𝐴𝐴1 10 ",0!" 01𝜀𝜀 𝜕𝜕𝑋𝑋&𝜕𝜕𝑋𝑋𝜕𝜕𝑢𝑢𝜕𝜕𝑗𝑗𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑞𝑞(𝑿𝑿)' 𝜕𝜕𝑋𝑋& 0 𝜕𝜕𝑋𝑋'𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&𝜕𝜕𝑢𝑢
𝑞𝑞(𝑿𝑿)
𝑗𝑗
0 1𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑋𝑋(9)++ ∆𝐴𝐴'' ''0Π3𝑗𝑗Π3𝑗𝑗% 𝜕𝜕𝑋𝑋 𝜕𝜕𝑋𝑋 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴(9)1𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑋𝑋1𝜕𝜕𝜕𝜕𝑋𝑋
3
𝜕𝜕𝑢𝑢1𝑗𝑗 𝜕𝜕Π𝜕𝜕𝑋𝑋
1 ∆ ∆ 𝐴𝐴01𝜀𝜀𝐴𝐴𝜕𝜕𝑊𝑊
𝑞𝑞(𝑿𝑿)
𝜕𝜕 * 𝑢𝑢(1∆𝐴𝐴1𝜀𝜀'(3 𝜕𝜕𝑢𝑢( 0%−+ '' '( Π3𝑗𝑗 − #% 内で𝑑𝑑𝐴𝐴−
Π𝑋𝑋'(- X3 に関する微係数だ
0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉 (9)1𝜀𝜀 𝑑𝑑式(9)の右辺第三積分は，領域𝑉𝑉
q(X)が
𝜕𝜕𝑋𝑋
∆𝐴𝐴∆𝐴𝐴0 "∆,0!" 𝐴𝐴01𝜀𝜀𝜕𝜕𝑋𝑋& 𝜕𝜕𝑋𝑋1 𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋&' 3𝜕𝜕𝑋𝑋&
けが非0 値であることを利用すると，右辺第一積分にまとめるこ%ε#0%内でq
内でq(X)が3 に関する微係数だ(9)の右辺第三積分は，
領域V(q(X)がX) がX
式式(9)の右辺第三積分は，領域𝑉𝑉
𝜕𝜕𝑢𝑢𝑗𝑗 𝜕𝜕#𝑞𝑞(𝑿𝑿)3に関する微係数だ
1
式(9)の右辺第三積分は，領域𝑉𝑉
内でX3X
に関する微係数だ+
𝑑𝑑𝐴𝐴01𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑋𝑋(9)' ' Π3𝑗𝑗とができる．さらに物体力がないことを仮定すると最終的に以下%
けが非0値であることを利用すると，右辺第一積分にまとめるこ
値であることを利用すると，右辺第一積分にまとめるこ∆𝐴𝐴 ∆ 𝐴𝐴01𝜀𝜀𝜕𝜕𝑋𝑋1 #𝜕𝜕𝑋𝑋内で式(9)の右辺第三積分は，領域𝑉𝑉
q(X)が X3 に関する微係数だ
0値であることを利用すると，
けが非3 右辺第一積分にまとめること
けが非の式が得られる．
とができる．さらに物体力がないことを仮定すると最終的に以下ができる．
さらに物体力がないことを仮定すると最終的に以下のけが非0 値であることを利用すると，右辺第一積分にまとめることができる．さらに物体力がないことを仮定すると最終的に以下%%の式が得られる．
式が得られる．
とができる．さらに物体力がないことを仮定すると最終的に以下
式(9)の右辺第三積分は，領域𝑉𝑉
q(X)が X3 に関する微係数だの式が得られる．
𝜕𝜕𝑢𝑢(# 内で1
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)
%
𝐽𝐽けが非
=
−
𝛿𝛿
−
Π
0
𝑑𝑑𝑉𝑉 %(𝑊𝑊'&''(の式が得られる．
0
値であることを利用すると，右辺第一積分にまとめるこ∆𝐴𝐴 0 "
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
&
'
𝜕𝜕𝑢𝑢( 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)1
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿) %𝜕𝜕𝑢𝑢% % 𝛿𝛿&' − Π'( ( 0%𝐽𝐽==−−1 '' (𝑊𝑊𝑑𝑑𝑉𝑉(𝑊𝑊
𝐽𝐽とができる．さらに物体力がないことを仮定すると最終的に以下𝛿𝛿&' − Π'( 𝜕𝜕𝑋𝑋0 𝜕𝜕𝑋𝑋 𝑑𝑑𝑉𝑉∆𝐴𝐴"
𝜕𝜕𝑢𝑢&(&𝜕𝜕 *𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)
∆𝐴𝐴
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋
11 0 "0' '% 𝜕𝜕𝑊𝑊 %𝑢𝑢(
𝐽𝐽の式が得られる．
= −− ' (𝑊𝑊 (𝛿𝛿&' − Π−'(Π 0𝑑𝑑𝑉𝑉 %%(10)'∆𝐴𝐴
𝜕𝜕𝑋𝑋'0 𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉'( &∆𝐴𝐴 0 "0 ",0!" 𝜕𝜕𝑋𝑋&% % 𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋'*𝜕𝜕𝜕𝜕𝑋𝑋
* 𝑢𝑢&
1
𝜕𝜕𝑊𝑊
(
𝜕𝜕
𝑢𝑢
1
𝜕𝜕𝑊𝑊
%
(
%
Π'(( 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑿𝑿)
𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉(10)
1 ∆𝐴𝐴'' %(" ( 𝜕𝜕𝑋𝑋%−−Π𝜕𝜕𝑢𝑢−−
0 0𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉
(10)
%
𝜕𝜕𝑋𝑋
" ,0 𝛿𝛿'𝑢𝑢
𝐽𝐽 = − ∆𝐴𝐴−& &Π'( '( 𝜕𝜕𝑋𝑋
0𝜕𝜕𝑋𝑋
0,0
𝜕𝜕' *𝜕𝜕𝑋𝑋" ! &'
𝜕𝜕𝑋𝑋
1' 0 "(𝑊𝑊𝜕𝜕𝑊𝑊(& & 𝑑𝑑𝑉𝑉%!
∆𝐴𝐴 0'
𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋' 0%𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉
"
−
−Π
(10)
(
式(10)はき裂前縁を含む微小な有限領域𝑉𝑉'(&∆𝐴𝐴 0 ",0!" 𝜕𝜕𝑋𝑋&
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋& # の内部で散逸するエネ∗ルギを表す式として
J 積分の再定義を行ったものであり，T%! 積分
式(10)はき裂前縁を含む微小な有限領域𝑉𝑉の内部で散逸するエネ
式(10)はき裂前縁を含む微小な有限領域𝑉𝑉
𝜕𝜕 * 𝑢𝑢( % #%#の内部で散逸するエネ
1𝜕𝜕𝑊𝑊 %
0%と同様に，き裂前縁近傍の領域を領域𝑉𝑉に含むことで計算が可能∗(10)はき裂前縁を含む微小な有限領域Vの内部で散逸する
式ルギを表す式として
#
ε
−
−
Π
0
𝑞𝑞(𝑿𝑿)𝑑𝑑𝑉𝑉('%∗ !(10)J積分の再定義を行ったものであり，T
積分の再定義を行ったものであり，T
積分'(
式(10)はき裂前縁を含む微小な有限領域𝑉𝑉ルギを表す式として∆𝐴𝐴 0 ",0!" J𝜕𝜕𝑋𝑋
𝜕𝜕𝑋𝑋' 𝜕𝜕𝑋𝑋& # の内部で散逸するエネ! 積分&である．また，式(10)の導出には全ひずみ理論を仮定していない．
%
J積分の再定義を行ったものであり，
Tε*エネルギを表す式として∗%と同様に，き裂前縁近傍の領域を領域𝑉𝑉に含むことで計算が可能#
ルギを表す式として J 積分の再定義を行ったものであり，Tと同様に，き裂前縁近傍の領域を領域𝑉𝑉! 積分% # に含むことで計算が可能
0
そのため任意に設定した積分領域𝑉𝑉に関する積分から計算が可積分と同様に，
き裂前縁近傍の領域を領域V%
ε に含むことで計算である．また，式(10)の導出には全ひずみ理論を仮定していない．
と同様に，き裂前縁近傍の領域を領域𝑉𝑉である．また，式(10)の導出には全ひずみ理論を仮定していない．
%# に含むことで計算が可能%
式(10)はき裂前縁を含む微小な有限領域𝑉𝑉能であり，積分領域𝑉𝑉の設定に依存しない，いわゆる経路独立性# の内部で散逸するエネ%% に関する積分から計算が可が可能である．
また，式(10)の導出には全ひずみ理論を仮定してそのため任意に設定した積分領域𝑉𝑉である．また，式(10)の導出には全ひずみ理論を仮定していない．
そのため任意に設定した積分領域𝑉𝑉に関する積分から計算が可∗ルギを表す式として
J 積分の再定義を行ったものであり，T
を有する．
! 積分
%
0 に関する積分から%%能であり，積分領域𝑉𝑉の設定に依存しない，いわゆる経路独立性
いない．
そのため任意に設定した積分領域V
そのため任意に設定した積分領域𝑉𝑉に関する積分から計算が可能であり，積分領域𝑉𝑉の設定に依存しない，いわゆる経路独立性%%と同様に，き裂前縁近傍の領域を領域𝑉𝑉
領域𝑉𝑉# はエネルギの散逸を評価する領域を設定するものであ# に含むことで計算が可能%
0 の設定に依存しない，
を有する．
いわゆる経
計算が可能であり，積分領域V能であり，積分領域𝑉𝑉の設定に依存しない，いわゆる経路独立性を有する．
%
である．また，式(10)の導出には全ひずみ理論を仮定していない．
る．そのため，非比例負荷問題では領域𝑉𝑉# に対する依存性が生じ%#% はエネルギの散逸を評価する領域を設定するものであ
領域𝑉𝑉
を有する．
路独立性を有する．
領域𝑉𝑉はエネルギの散逸を評価する領域を設定するものであ%#
そのため任意に設定した積分領域𝑉𝑉に関する積分から計算が可るが，従来のJ 積分では物理的意味が希薄となる非比例負荷問題% % に対する依存性が生じる．そのため，非比例負荷問題では領域𝑉𝑉
領域𝑉𝑉#ε%0はエネルギの散逸を評価する領域を設定するものではエネルギの散逸を評価する領域を設定するものである．そのため，非比例負荷問題では領域𝑉𝑉%
領域V# #に対する依存性が生じ能であり，積分領域𝑉𝑉の設定に依存しない，いわゆる経路独立性に対しても物理的解釈が可能な計算結果が得られる．
% 0
るが，従来のJ J積分では物理的意味が希薄となる非比例負荷問題
積分では物理的意味が希薄となる非比例負荷問題
る．そのため，非比例負荷問題では領域𝑉𝑉るが，従来の# に対する依存性が生じある．
そのため，非比例負荷問題では領域Vε に対する依存性がを有する．
に対しても物理的解釈が可能な計算結果が得られる．
るが，従来のJ
積分では物理的意味が希薄となる非比例負荷問題に対しても物理的解釈が可能な計算結果が得られる．
%
生じるが，
従来の
領域𝑉𝑉
はエネルギの散逸を評価する領域を設定するものであ数値
析例 J積分では物理的意味が希薄となる非比例負荷
4.
#解に対しても物理的解釈が可能な計算結果が得られる．
%
る．そのため，非比例負荷問題では領域𝑉𝑉問題に対しても物理的解釈が可能な計算結果が得られる．
J 積分法である# に対する依存性が生じ例
4.大変形弾塑性繰返し荷重問題に対して，従来の
数数
値値
解解
析析
例
4.るが，従来のJ 積分では物理的意味が希薄となる非比例負荷問題
式(6)と提案手法である式(10)を適用した数値解析例を紹介する[9]．
大変形弾塑性繰返し荷重問題に対して，従来の積分法である
数値解析例
4.
大変形弾塑性繰返し荷重問題に対して，従来のJ J積分法である
4.
数値解析例
に対しても物理的解釈が可能な計算結果が得られる．
図 4 に示す CT 試験片モデルに対して繰返し負荷を与える大変
式(6)と提案手法である式(10)を適用した数値解析例を紹介する[9]．
大変形弾塑性繰返し荷重問題に対して，従来のJ J積分法である
式(6)と提案手法である式(10)を適用した数値解析例を紹介する[9]．
積分法であ大変形弾塑性繰返し荷重問題に対して，
従来の形弾塑性有限要素法解析を実施した．得られた荷重変位曲線を図
図4 4に示すに示すCT
CT試験片モデルに対して繰返し負荷を与える大変
試験片モデルに対して繰返し負荷を与える大変
式(6)と提案手法である式(10)を適用した数値解析例を紹介する[9]．
図
数
値
解
析
例
4.
(6)と提案手法である式 (10)を適用した数値解析例を紹介
5る式に示す．解析結果として得られた物理量を用いて式(6),式(10)に形弾塑性有限要素法解析を実施した．得られた荷重変位曲線を図
図 4 に示す CT 試験片モデルに対して繰返し負荷を与える大変
形弾塑性有限要素法解析を実施した．得られた荷重変位曲線を図
大変形弾塑性繰返し荷重問題に対して，従来のJ 積分法である
よる
J
積分計算を行った．
J
積分の計算には図
6
に示す
3
種類の積
[9]
．
する
5に示す．解析結果として得られた物理量を用いて式(6),に示す．解析結果として得られた物理量を用いて式(6),式(10)に式(10)に形弾塑性有限要素法解析を実施した．得られた荷重変位曲線を図5式(6)と提案手法である式(10)を適用した数値解析例を紹介する[9]．
CT試験片モデルに対して繰返し負荷を与える大変
図4に示す
よる
J
積分計算を行った．
J
積分の計算には図
6
に示す
3
種類の積
5 に示す．解析結果として得られた物理量を用いて式(6),式(10)による
J 積分の計算には図 6 に示す 3 種類の積
図J4積分計算を行った．
に示す CT 試験片モデルに対して繰返し負荷を与える大変
形弾塑性有限要素法解析を実施した．
得られた荷重変位曲線
よる
J
積分計算を行った．
J
積分の計算には図
6
に示す
3
種類の積
形弾塑性有限要素法解析を実施した．得られた荷重変位曲線を図を図5に示す．解析結果として得られた物理量を用いて式(6), 式
5 に示す．解析結果として得られた物理量を用いて式(6), 式(10)による J 積分計算を行った．J 積分の計算には図 6 に示す 3 種類の積●11(10)による% J 積分計算を行った．J 積分の計算には図6に示す3種
分領域𝑉𝑉を使用し，経路独立性の検証を行った．また，式(10)の計0を使用し，%
経路独立性の検証を行った．
また，式
類の積分領域V
算では領域𝑉𝑉
2 層の要素として計算を行った．
# をき裂前縁から% % を使用し，
分領域𝑉𝑉
経路独立性の検証を行った．
また，
式(10)の計
0
分領域𝑉𝑉を使用し，経路独立性の検証を行った．
また，
式(10)の計(10)の計算では領域V
をき裂前縁から
2層の要素として計算をε
従来法と提案手法を用いて算出した板厚中央部のき裂前縁節点%% % をき裂前縁から算では領域𝑉𝑉層の要素として計算を行った．
分領域𝑉𝑉
を使用し，
経路独立性の検証を行った．
また，式(10)の計
算では領域𝑉𝑉
2 2層の要素として計算を行った．
# #をき裂前縁から
行った．
での
J
積分値の推移を図7 に示す．従来の J 積分法である式(6)の%従来法と提案手法を用いて算出した板厚中央部のき裂前縁節点
算では領域𝑉𝑉
従来法と提案手法を用いて算出した板厚中央部のき裂前縁節点# をき裂前縁から 2 層の要素として計算を行った．
計算結果は，負荷の増加に伴って徐々に経路独立性が失われる．
従来法と提案手法を用いて算出した板厚中央部のき裂前縁
でのJ 積分値の推移を図に示す．従来のJ 積分法である式(6)のJ 積分法である式(6)の従来法と提案手法を用いて算出した板厚中央部のき裂前縁節点でのJ 積分値の推移を図7 7に示す．従来の
%
分領域𝑉𝑉
を使用し，
経路独立性の検証を行った．
式(10)の計
有限変形弾塑性問題では単軸負荷であっても変形の増加に伴ってJ 積分値の推移を図7に示す．従来のJまた，積分法である式
節点での計算結果は，負荷の増加に伴って徐々に経路独立性が失われる．
でのJ積分値の推移を図7に示す．従来のJ積分法である式(6)の計算結果は，負荷の増加に伴って徐々に経路独立性が失われる．
%
算では領域𝑉𝑉
2 層の要素として計算を行った．
非比例負荷状態となる．また，圧縮負荷によって顕著に経路独立# をき裂前縁から(6)の計算結果は，負荷の増加に伴って徐々に経路独立性が失わ
有限変形弾塑性問題では単軸負荷であっても変形の増加に伴って計算結果は，負荷の増加に伴って徐々に経路独立性が失われる．
有限変形弾塑性問題では単軸負荷であっても変形の増加に伴って従来法と提案手法を用いて算出した板厚中央部のき裂前縁節点性が崩れることもわかる．
一方で提案手法である式(10)は，積分領
れる．
有限変形弾塑性問題では単軸負荷であっても変形の増加
非比例負荷状態となる．また，圧縮負荷によって顕著に経路独立
有限変形弾塑性問題では単軸負荷であっても変形の増加に伴って非比例負荷状態となる．また，圧縮負荷によって顕著に経路独立での J 積分値の推移を図 7 に示す．従来のJ 積分法である式(6)の域の設定に関わらず，常に同等のJ積分値が得られる．この結果に伴って非比例負荷状態となる．
また，圧縮負荷によって顕著に性が崩れることもわかる．
一方で提案手法である式(10)は，
積分領
非比例負荷状態となる．また，圧縮負荷によって顕著に経路独立性が崩れることもわかる．
一方で提案手法である式(10)は，
積分領
計算結果は，負荷の増加に伴って徐々に経路独立性が失われる．
から提案手法は非比例負荷問題に対しても経路独立性を有するこ域の設定に関わらず，常に同等のJ積分値が得られる．この結果(10)
経路独立性が崩れることもわかる．
一方で提案手法である式性が崩れることもわかる．一方で提案手法である式(10)は，
積分領域の設定に関わらず，常に同等のJ 積分値が得られる．この結果
有限変形弾塑性問題では単軸負荷であっても変形の増加に伴ってとがわかる．
から提案手法は非比例負荷問題に対しても経路独立性を有するこは，積分領域の設定に関わらず，常に同等のJ積分値が得られる．
域の設定に関わらず，常に同等の J 積分値が得られる．この結果
から提案手法は非比例負荷問題に対しても経路独立性を有するこ
非比例負荷状態となる．また，圧縮負荷によって顕著に経路独立
さらに，式(10)を用いて算出した最終圧縮負荷終了時点での J 積とがわかる．
から提案手法は非比例負荷問題に対しても経路独立性を有するこ
この結果から提案手法は非比例負荷問題に対しても経路独立性とがわかる．
性が崩れることもわかる．
一方で提案手法である式(10)は，
積分領
分値のき裂前縁上の分布を図8 に示す．ここでは式(10)の計算結果
さらに，
式(10)を用いて算出した最終圧縮負荷終了時点でのJ積とがわかる．
さらに，
式(10)を用いて算出した最終圧縮負荷終了時点でのJ積を有することがわかる．
域の設定に関わらず，常に同等のJ積分値が得られる．この結果と式(10)の右辺第一積分，右辺第二積分を分離した結果をそれぞれ
分値のき裂前縁上の分布を図8に示す．
ここでは式(10)の計算結果
さらに，
式(10)を用いて算出した最終圧縮負荷終了時点でのJ積
分値のき裂前縁上の分布を図8 に示す．ここでは式(10)の計算結果
さらに，
式(10)を用いて算出した最終圧縮負荷終了時点でのから提案手法は非比例負荷問題に対しても経路独立性を有するこ示す．右辺第一積分は従来のJ 積分法と等価である．非比例負荷 Jと式(10)の右辺第一積分，右辺第二積分を分離した結果をそれぞれ
分値のき裂前縁上の分布を図8に示す．
ここでは式(10)の計算結果と式(10)の右辺第一積分，右辺第二積分を分離した結果をそれぞれ
積分値のき裂前縁上の分布を図
8
に示す．
ここでは式
(10)
の計算
とがわかる．
状態であるため，経路独立性は失われ，積分領域の設定によって示す．右辺第一積分は従来の積分法と等価である．非比例負荷と式(10)の右辺第一積分，右辺第二積分を分離した結果をそれぞれ示す．右辺第一積分は従来のJ J積分法と等価である．非比例負荷(10)の右辺第一積分，
右辺第二積分を分離した結果を
結果と式
さらに，
式(10)を用いて算出した最終圧縮負荷終了時点でのJ積異なる値となる．また，右辺第二積分は0 ではない何等かの値を状態であるため，経路独立性は失われ，積分領域の設定によって示す．右辺第一積分は従来のJ に示す．
積分法と等価である．非比例負荷状態であるため，経路独立性は失われ，積分領域の設定によって分値のき裂前縁上の分布を図8
ここでは式(10)の計算結果
J
積分法と等価である．
非それぞれ示す．
右辺第一積分は従来の持つことがわかる．このことから，非比例負荷問題では従来法の異なる値となる．また，右辺第二積分は0 0ではない何等かの値をではない何等かの値を状態であるため，経路独立性は失われ，積分領域の設定によって異なる値となる．また，右辺第二積分はと式(10)の右辺第一積分，右辺第二積分を分離した結果をそれぞれ
右辺第二積分を消去した仮定が成立しないことがわかる．非比例
比例負荷状態であるため，
経路独立性は失われ，積分領域の設持つことがわかる．このことから，非比例負荷問題では従来法の異なる値となる．また，右辺第二積分は0 ではない何等かの値を持つことがわかる．このことから，非比例負荷問題では従来法の示す．右辺第一積分は従来のJ 積分法と等価である．非比例負荷負荷問題では，
式(10)の右辺第二積分を考慮することによって経路定によって異なる値となる．
また，右辺第二積分は0ではない何等右辺第二積分を消去した仮定が成立しないことがわかる．非比例持つことがわかる．このことから，非比例負荷問題では従来法の右辺第二積分を消去した仮定が成立しないことがわかる．非比例状態であるため，経路独立性は失われ，積分領域の設定によって独立性が成立することがわかる．
かの値を持つことがわかる．
このことから，非比例負荷問題では負荷問題では，
式(10)の右辺第二積分を考慮することによって経路
右辺第二積分を消去した仮定が成立しないことがわかる．非比例負荷問題では，
式(10)の右辺第二積分を考慮することによって経路異なる値となる．また，右辺第二積分は0 ではない何等かの値を
従来法の右辺第二積分を消去した仮定が成立しないことがわか
独立性が成立することがわかる．
負荷問題では，
式(10)の右辺第二積分を考慮することによって経路独立性が成立することがわかる．
持つことがわかる．このことから，非比例負荷問題では従来法のる．非比例負荷問題では，式(10)の右辺第二積分を考慮すること
独立性が成立することがわかる．
右辺第二積分を消去した仮定が成立しないことがわかる．非比例によって経路独立性が成立することがわかる．
負荷問題では，式(10)の右辺第二積分を考慮することによって経路独立性が成立することがわかる．

図 3 き裂前縁近傍の微小な有限領域𝑉𝑉#% と任意の積分領域 V0% % と任意の積分領域 0V0
き裂前縁近傍の微小な有限領域𝑉𝑉
図図
3 3 き裂前縁近傍の微小な有限領域𝑉𝑉# #と任意の積分領域 V
図 3 き裂前縁近傍の微小な有限領域𝑉𝑉#%0と任意の積分領域 V0 0
図3 き裂前縁近傍の微小な有限領域Vε と任意の積分領域V

図 3 き裂前縁近傍の微小な有限領域𝑉𝑉#% と任意の積分領域 V0

図 4 有限要素法解析モデル(CT 試験片)有限要素法解析モデル(CT試験片)
試験片)
図図
4 4 有限要素法解析モデル(CT
図 4 有限要素法解析モデル(CT 試験片)
図 4 有限要素法解析モデル(CT 試験片)
図4 有限要素法解析モデル(CT試験片)CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)

●12

おわりに
おわりに
本稿では従来のJ積分法の適用限界と，筆者が提案する任意
本稿では従来の J 積分法の適用限界と，筆者が提案する任意の
おわ
わり
りに
に
5.
J積分法[5]の概の荷重経路と有限変形を許容する新しい三次元
お5.
荷重経路と有限変形を許容する新しい三次元J 積分法[5]の概要に
本稿では従来のJ
積分法の適用限界と，筆者が提案する任意の要について示した．
本稿では従来の J 積分法の適用限界と，筆者が提案する任意のついて示した．
荷重経路と有限変形を許容する新しい三次元積分法[5]の概要に
従来のJ 積分法は導出時の仮定から，比例負荷問題に対して
荷重経路と有限変形を許容する新しい三次元
JJ 積分法[5]の概要に
従来の J 積分法は導出時の仮定から，比例負荷問題に対してのついて示した．
ついて示した．
のみ適用可能という制約がある．非比例負荷問題に対して従来
み適用可能という制約がある．非比例負荷問題に対して従来のJ
従来の JJ 積分法は導出時の仮定から，比例負荷問題に対しての積分法は導出時の仮定から，比例負荷問題に対しての従来のJ積分法を適用した場合，経路独立性は失われ，得られたの積分法を適用した場合，経路独立性は失われ，得られた
J 積分値J 積
み適用可能という制約がある．非比例負荷問題に対して従来の JJ
み適用可能という制約がある．非比例負荷問題に対して従来の分値の物理的意味は希薄になる．一方で提案する新しい三次元の物理的意味は希薄になる．一方で提案する新しい三次元
J 積分
積分法を適用した場合，経路独立性は失われ，得られた JJ 積分値
積分値
積分法を適用した場合，経路独立性は失われ，得られた
J積分法では，従来法のような仮定を用いずに導出を行うため，
法では，従来法のような仮定を用いずに導出を行うため，非比例の物理的意味は希薄になる．一方で提案する新しい三次元 JJ 積分
積分の物理的意味は希薄になる．一方で提案する新しい三次元負荷問題に対しても常に経路独立性が成立する．
非比例負荷問題に対しても常に経路独立性が成立する．
法では，従来法のような仮定を用いずに導出を行うため，非比例法では，従来法のような仮定を用いずに導出を行うため，非比例%0
提案する新しい三次元J 積分法はき裂先端の領域𝑉𝑉
J積分法はき裂先端の領域V
提案する新しい三次元# に散逸する
ε に散逸す負荷問題に対しても常に経路独立性が成立する．
負荷問題に対しても常に経路独立性が成立する．
エネルギを評価する式として
J 積分を再定義したものである．そ%J 積分を再定義したものである．
るエネルギを評価する式として提案する新しい三次元 JJ 積分法はき裂先端の領域𝑉𝑉
積分法はき裂先端の領域𝑉𝑉#% に散逸する
提案する新しい三次元%# に散逸する
0のためエネルギの散逸を評価する領域𝑉𝑉# の設定に対する依存性の設定に対する依そのためエネルギの散逸を評価する領域V
ε
エネルギを評価する式として JJ 積分を再定義したものである．そ
積分を再定義したものである．そエネルギを評価する式としてが生じる．しかしながら，従来のJ 積分法では物理的意味が希薄%
J積分法では物理的意味が存性が生じる．しかしながら，従来ののためエネルギの散逸を評価する領域𝑉𝑉の設定に対する依存性のためエネルギの散逸を評価する領域𝑉𝑉##% の設定に対する依存性となる非比例負荷問題に対しても物理的意味のある結果を得るこが生じる．しかしながら，従来のJ積分法では物理的意味が希薄
希薄となる非比例負荷問題に対しても物理的意味のある結果をが生じる．しかしながら，従来の J 積分法では物理的意味が希薄とが可能である．提案手法によって非比例負荷問題に対しても経となる非比例負荷問題に対しても物理的意味のある結果を得るこ得ることが可能である．
提案手法によって非比例負荷問題に対しとなる非比例負荷問題に対しても物理的意味のある結果を得るこ
路独立性を保証することができる．しかしながら，提案手法が評とが可能である．提案手法によって非比例負荷問題に対しても経ても経路独立性を保証することができる．
しかしながら，提案手とが可能である．提案手法によって非比例負荷問題に対しても経価上どこまで有効であるかの検証には実験等を交えた更なる研究
路独立性を保証することができる．しかしながら，提案手法が評法が評価上どこまで有効であるかの検証には実験等を交えた更路独立性を保証することができる．しかしながら，提案手法が評が必要である．
価上どこまで有効であるかの検証には実験等を交えた更なる研究
価上どこまで有効であるかの検証には実験等を交えた更なる研究なる研究が必要である．
本手法は有限変形弾塑性問題や弾塑性繰返し荷重問題以外にも，が必要である．
が必要である．
本手法は有限変形弾塑性問題や弾塑性繰返し荷重問題以外
残留応力問題や傾斜機能材料に対しても経路独立性を有すること
本手法は有限変形弾塑性問題や弾塑性繰返し荷重問題以外にも，本手法は有限変形弾塑性問題や弾塑性繰返し荷重問題以外にも，にも，残留応力問題や傾斜機能材料に対しても経路独立性を有が示されている[10]．また，筆者は提案手法に基づいた J 積分範
残留応力問題や傾斜機能材料に対しても経路独立性を有すること
残留応力問題や傾斜機能材料に対しても経路独立性を有すること[10]．また，筆者は提案手法に基づいたすることが示されている
囲ΔJの領域積分表示の提案も行っている[11]．従来のJ 積分範囲が示されている [10]．また，筆者は提案手法に基づいた[10]．また，筆者は提案手法に基づいた J 積分範
積分範
ΔJが示されているJの定式化はごく限られた問題でしか経路独立性が成立しない
積分範囲ΔJの領域積分表示の提案も行っている[11]J．
従来のJ
囲ΔJの領域積分表示の提案も行っている[11]．従来の
J
積分範囲
囲ΔJ
の領域積分表示の提案も行っている[11]．従来のJ 積分範囲が，提案する
J 積分範囲ΔJの領域積分表示を用いることで経路独
積分範囲ΔJの定式化はごく限られた問題でしか経路独立性がΔJの定式化はごく限られた問題でしか経路独立性が成立しない
ΔJ の定式化はごく限られた問題でしか経路独立性が成立しない
立性が保証される．今後，低サイクル疲労き裂進展解析への適用
積分範囲ΔJの領域積分表示を用いる
成立しないが，提案するJの領域積分表示を用いることで経路独が，提案する JJ 積分範囲ΔJ
積分範囲ΔJ
が，提案するの領域積分表示を用いることで経路独が期待される．
ことで経路独立性が保証される．今後，低サイクル疲労き裂進展
立性が保証される．今後，低サイクル疲労き裂進展解析への適用立性が保証される．今後，低サイクル疲労き裂進展解析への適用
解析への適用が期待される．
が期待される．
謝が期待される．
辞

5.

Displacement δ[mm]図図
5 5 有限要素法解析によって得られた荷重変位曲線
有限要素法解析によって得られた荷重変位曲線
図 55 有限要素法解析によって得られた荷重変位曲線
有限要素法解析によって得られた荷重変位曲線
図

図 6 J 積分計算に使用する積分領域𝑉𝑉 %0
図66 JJ積分計算に使用する積分領域V
図
積分計算に使用する積分領域𝑉𝑉%%図6 J 積分計算に使用する積分領域𝑉𝑉

図 7 従来法である式(6)と提案手法である式(10)を用いて算出した
板厚中央部のき裂前縁節点での J 積分値の推移
図
従来法である式(6)と提案手法である式(10)を用いて算出した
図777 従来法である式(6)と提案手法である式(10)を用いて算出した図
従来法である式(6)と提案手法である式(10)を用いて算出した
板厚中央部のき裂前縁節点での JJJ積分値の推移
積分値の推移積分値の推移板厚中央部のき裂前縁節点での板厚中央部のき裂前縁節点での図 8 最終圧縮負荷終了時点での式(10)，右辺第一積分，右辺第二積分のき裂前縁上の分布
図888 最終圧縮負荷終了時点での式
最終圧縮負荷終了時点での式(10)，右辺第一積分，右辺第二図(10)，
右辺第一積分，右辺第二
図最終圧縮負荷終了時点での式(10)，右辺第一積分，右辺第二積分のき裂前縁上の分布
積分のき裂前縁上の分布
積分のき裂前縁上の分布

5.

本研究の一部は JSPS 科研費 JP16K05988 の助成の下で実施さ
謝
辞
謝辞
謝
辞
れてきた．謹んで謝意を表す．
本研究の一部は
JSPSJSPS
科研費
JP16K05988の助成の下で実施さ科研費
JP16K05988の助成の下で実本研究の一部は本研究の一部は
JSPS
科研費
JP16K05988の助成の下で実施されてきた．謹んで謝意を表す．
施されてきた．謹んで謝意を表す．
れてきた．謹んで謝意を表す．
参考文献[1] 参考文献
Rice, J. R., A path independent integral and the approximate analysis
参考
考文
文献
献
参
of strain concentration by notches and cracks, Journal of Applied
[1]
Rice,
J. R.,
R.,A
path
independent
integral andandthe approximate
approximate
analysis
Rice,
J. A
R.,path
A independentpath
independent
integraland the analysis［ 1］Rice,[1]
J.
integraltheMechanics, Vol.35, No.2 (1968), pp.379-386.
ofapproximate
strain concentration
concentration
by notches
notchesandcracks, Journal
Journalbyof
ofnotches
Appliedanalysisofstrainandconcentrationofstrainbycracks,Applied[2] ASTM E1820-15a, Standard Test Method for Measurement of
Mechanics,
Vol.35,
No.2(1968),
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Mechanics,
Vol.35,No.2 (1968),
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and cracks,
Journalof Applied
Mechanics, Vol.35, No.2
Fracture Toughness, ASTM International, West Conshohocken, PA,[2] ASTM
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E1820-15a,
Standard
Test
Methodfor Measurement
Measurement ofof[2]
E1820-15a,
Standard
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Methodfor(1968), pp.379-386.
2015．
Fracture Toughness,
Toughness, ASTM
ASTM International,International, WestWest Conshohocken,
Conshohocken, PA,
PA,］Fracture
ASTM
Test Methodfor[3]［ 2Atluri,
S. N.,E1820-15a,
Nishioka, T.Standard
and Nakagaki,
M., Incremental
path2015．
2015．
Measurement
Toughness,
ASTMmechanics,
independent
integralsofinFracture
inelastic anddynamic fracture[3]
Atluri, S.
S. N.,
N., Nishioka,
Nishioka, T.
T. andand Nakagaki,
Nakagaki, M.,
M., Incremental
Incremental pathpath[3] Atluri,International,
West
Conshohocken,
PA,
2015
．
Engineering Fracture Mechanics, Vol. 20, No.2 (1984),
pp.209-244.
independent
integralsininelastic
anddynamic
fracturemechanics,
integrals
in inelastic
andNakagaki,
dynamic fracture
mechanics,］independent
Atluri,S.Atluri,N., Nishioka,
T. andM., Incremental[4]［ 3Okada,H. andS. N., Further
studies on the characteristics
ofEngineering Fracture
Fracture Mechanics,
Mechanics, Vol.
Vol. 20,
20, No.2
No.2 (1984),(1984), pp.209-244.
pp.209-244.
Engineering
integrals
inelastic
and dynamic
stableincrack
propagationin ductile
the path-independent
T*ε integral: Plane stress[4] Okada,Okada, H.
H. andand Atluri,
Atluri, S.
S. N.,N., Further
Further studies
studies onon thethe characteristics
characteristics ofof[4]
fracturemechanics,
Engineering
Fracture
Mechanics,
materials,
Mechanics,
Vol.23,No.4 (1999),
pp.339* Computational*ε integral: Plane stress stable crack propagation in ductile
theT
the T integral: Plane stress stable crack propagation in ductile
352.Vol.ε 20, No.2 (1984), pp.209-244.
materials, Computational Mechanics,
Mechanics, Vol.23,
Vol.23, No.4
No.4 (1999),(1999), pp.339pp.339materials,］ Okada,Computational
H. and Atluri, S. N.,任意の荷重経路と有限変形
Further studies
on the[5]［ 4荒井皓一郎，岡田裕，遊佐泰紀,
352.
352.
を許容する新しい三次元
characteristics of the JTε*積分法の提案,日本機械学会論文
integral: Plane stress stable[5]
荒井皓一郎，岡田裕，遊佐泰紀, 任意の荷重経路と有限変形
任意の荷重経路と有限変形[5] 荒井皓一郎，岡田裕，遊佐泰紀,
集, Vol.
84,
No.863(2018),
18-00115.
crack
propagationinductilematerials,
Computationalを許容する新しい三次元 JJ 積分法の提案,日本機械学会論文
積分法の提案,日本機械学会論文を許容する新しい三次元[6] Atluri,
S. N., Energetic
approaches
and path-independent
integrals in
Mechanics,
Vol.23,
No.4(1999),
pp.339-352.
集, Vol.
Vol. 84,
84, No.863
No.863 (2018),(2018), 18-00115.
18-00115.
集,
fracturemechanics,
inComputational
Methods
intheMechanicsof［ 5］Atluri,
荒井皓一郎，
岡田裕，
遊佐泰紀
任意の荷重経路と有限変[6]
S. N.,
N., Energetic
Energetic
approaches
and, path-independent
path-independent integrals
integrals inin[6]
Atluri, S.
approaches
andFracture(Editedby
Atluri,S.
N.),
North-HollandPress(1986).
J
積分法の提案,
日本機械学会形を許容する新しい三次元
fracture mechanics,
mechanics, inin Computational
Computational Methods
Methods inin thethe Mechanics
Mechanics ofoffracture, Vol. by
84,Atluri,
No.863(2018),
18-00115.Press (1986).
論文集(Edited
Fracture
S.
N.),
North-Holland
Fracture (Edited by Atluri, S. N.), North-Holland Press (1986).

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)［ 6］ Atluri, S. N., Energetic approaches and path-independent

integrals in fracture mechanics, in Computational
Methods in the Mechanics of Fracture (Edited by Atluri,
S. N.), North-Holland Press (1986).
［ 7］ Nikishkov, G. P. and Atluri, S. N., Calculation of
fracture mechanics parameters for an arbitrary threedimensional crack, by the ʻequivalent domain integral ʼ
method, International Journal for Numerical Methods inEngineering, Vol.24, No.9 (1987), pp.1801-1821.
［ 8］ Koshima, T. and Okada, H., Three-dimensional
J-integral evaluation for ﬁnite strain elastic-plastic
solid using the quadratic tetrahedral ﬁnite element andautomatic meshing methodology, Engineering Fracture●13

Mechanics, Vol.135 (2015), pp.34-63.
［ 9］ 荒井皓一郎，有限変形弾塑性繰返し荷重問題に適用可
能な新しいJ積分とJ積分範囲ΔJ，東京理科大学大学院，
2019, 博士論文
［ 10］Okada, H., Ishizaka, T., Takahashi, A., Arai, K., Yusa,
Y., 3D J-integral evaluation for solids undergoing large
elastic–plastic deformations with residual stresses andspatially varying mechanical properties of a material,
Engineering Fracture Mechanics, Vol. 236, 107212(2020),
pp. 1-27.
［ 11］荒井皓一郎，岡田裕，遊佐泰紀，有限変形弾塑性問題に適用可能なJ積分範囲ΔJの三次元領域積分表示の提案，Vol. 84, No. 867 (2018), 18-00309

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●14

レベルセット XFEM の CFRP 積層板の損傷進展解析への
適用
顔 写 真
顔 写 真
カラー
カラー
314ｐｘ以上
314ｐｘ以上

長嶋 利夫
上智大学「レベルセット XFEM の CFRP 積層板の損傷進展解析への適用」「レベルセット XFEM の CFRP 積層板の損傷進展解析への適用」「レベルセット XFEM の CFRP 積層板の損傷進展解析への適用」
長嶋利夫
筆者は2000年頃からXFEMに着目し，様々な委託研究や共同
1. はじめに
長嶋利夫
上智大学
研究を通じてXFEMを用いた応用研究を継続的に実施してい智大学XFEMに関する最初のXFEM (the eXtended FEM)上の誕生を
論文 [1,2]が公表された1999年とするのならば，それから20年以上が過ぎた(2021年9月現在). 現に，2009年9月にECCOMAS
1.
はじめに(EuropeanCommunity on Computational Methods in Applied
1. はじめに
Science)のThematic会 議の一つとしてXFEM2009がドイツの
XFEM (the eXtended FEM)の誕生を XFEM に関する最初の論文
アーヘンで開催され，筆者も出席する機会を得たが，会議初
XFEM (the eXtended FEM)の誕生を XFEM に関する最初の論文[1,2]が公表された 1999 年とするのならば，それから 20 年以上が[1,2]が公表された
1999 年とするのならば，それから 20 年以上がBelytschko先 生によるプレナリーレクチャーの冒
頭で，日の過ぎた(2021 年9 月現在). 現に，2009 年9 月にECCOMAS (European
年9 月現在).
現に，2009 年9 月にECCOMAS (European
XFEM10周年」というスライドが示されたことを覚えている．
「過ぎた(2021
Community on Computational Methods in Applied Science)の ThematicCommunity on[1,2]Computational
Methods
in Applied Science)の Thematicには
XFEMという表記はなく，それらの題目
もっとも文献会議の一つとして XFEM2009 がドイツのアーヘンで開催され，筆会議の一つとして
XFEM2009
がドイツのアーヘンで開催され，筆FEMによるき裂進
は，それぞれ「リメッシングを最小限にした者も出席する機会を得たが，会議初日のBelytschko
先生によるプ者も出席する機会を得たが，会議初日のBelytschko
先生によるプ
FEM」と読める．
展」，「リメッシング不要のき裂進展のためのレナリーレクチャーの冒頭で，「XFEM10 周年」というスライドがレナリーレクチャーの冒頭で，「XFEM10 周年」というスライドがさらに記憶をたどると，2000年11月に豊橋市で開催された計示されたことを覚えている．もっとも文献[1,2]には
XFEM という示されたことを覚えている．もっとも文献[1,2]には XFEM という表記はなく，
それらの題目は，それぞれ「リメッシングを最小限に13回計算力学講演会）
算力学部門（以下本部門）の講演会（第表記はなく，それらの題目は，それぞれ「リメッシングを最小限にした
FEM によるき裂進展」，「リメッシング不要のき裂進展のため
先 生をお 招きして，“ The Element Free GalerkinにBelytschko
した FEM によるき裂進展」，「リメッシング不要のき裂進展のためのFEM」と読める．さらに記憶をたどると，2000
年 11 月に豊橋
Methodand Level Sets”という題目で特別講演をいただいた．
の FEM」と読める．さらに記憶をたどると，2000 年 11 月に豊橋市で開催された計算力学部門（以下本部門）の講演会（第13 回計1994年にBelytschko先生が，メッシュを
少し補足をしておくと，
市で開催された計算力学部門（以下本部門）の講演会（第13 回計算力学講演会）にBelytschko
先生をお招きして，“The
Element
Free
Element
FreeElement
Galerkin
使わずにき裂進展解析を行う方法として
算力学講演会）に Belytschko 先生をお招きして，
“The
Free
Galerkin
Method and Level
Sets”という題目で特別講演をいただい
Method: EFGM）[3]を公表した．
Galerkin(エレメント
Method andフリーガラーキン法
Level Sets”という題目で特別講演をいただいた．少し補足をしておくと，1994 年に Belytschko 先生が，メッシEFGM
は，移 動 最 小 二 乗 法（ Moving
Least Squares
Method:た．少し補足をしておくと，1994
年に Belytschko
先生が，メッシ
ュを使わずにき裂進展解析を行う方法として Element Free Galerkin
ュを使わずにき裂進展解析を行う方法として
Element Free Galerkin
MLSM）により節点情報だけから形状関数を生成する方法を用
Method (エレメントフリーガラーキン法: EFGM）[3]を公表した．
Method (エレメントフリーガラーキン法:
EFGM）[3]を公表した．
いることが特徴である．
以降，国内外の計算力学の研究分野にEFGM は，移動最小二乗法（Moving Least Squares Method: MLSM）
EFGM は，移動最小二乗法（Moving Least Squares Method: MLSM）[4]（当時はメッシュレス法と呼ばれてい
おいてメッシュフリー法
により節点情報だけから形状関数を生成する方法を用いることがにより節点情報だけから形状関数を生成する方法を用いることがた）に関する研究が盛んに行われるようになった．
本部門の講演特徴である．
以降，国内外の計算力学の研究分野においてメッシュ特徴である．
以降，国内外の計算力学の研究分野においてメッシュ
会でもメッシュフリー法のOSが組まれるようになり，多くの論文
フリー法[4]（当時はメッシュレス法と呼ばれていた）に関する研フリー法[4]（当時はメッシュレス法と呼ばれていた）に関する研と聴衆が集まるようになっていた．さて，そのときのBelytschko
究が盛んに行われるようになった．本部門の講演会でもメッシュ究が盛んに行われるようになった．本部門の講演会でもメッシュ
先生の特別講演の内容はレベルセッ
ト
XFEMの話が中心だった
フリー法のOS が組まれるようになり，
多くの論文と聴衆が集まる
フリー法の OS が組まれるようになり，多くの論文と聴衆が集まるようになっていた．
さて，そのときの先生の特別講演の[5]にはBelytschko
EFGMによるき裂解析に不と記憶しているが，その予稿ようになっていた．さて，そのときの Belytschko 先生の特別講演の内容はレベルセット
XFEMの話が中心だったと記憶しているが，連続関数の拡充とレベルセット法を用いることにより，き裂形状
内容はレベルセット XFEM の話が中心だったと記憶しているが，その予稿[5]にはEFGM によるき裂解析に不連続関数の拡充とレベの表現が劇的に容易になることを述べた上で，この方法をFEM
その予稿[5]にはEFGM によるき裂解析に不連続関数の拡充とレベ
ルセット法を用いることにより，き裂形状の表現が劇的に容易にに適用したものとして文献[1,2]が紹介されている．
ルセット法を用いることにより，き裂形状の表現が劇的に容易になることを述べた上で，この方法を FEM に適用したものとして文学問においては，用語が重要であることは言うまでもないが，なることを述べた上で，この方法を FEM に適用したものとして文献[1,2]が紹介されている．
2000
年当時は，本部門を含めて筆者の属する国内の研究コミュ
献[1,2]が紹介されている．
学問においては，用語が重要であることは言うまでもないが，学問においては，用語が重要であることは言うまでもないが，
XFEMをエックスFEMとかエックスフェムのよ
ニティーでは，2000 年当時は，本部門を含めて筆者の属する国内の研究コミュニ2000 年当時は，本部門を含めて筆者の属する国内の研究コミュニうに呼んでいたが，いつのまにか日本語では拡張有限要素法とティーでは， XFEM をエックス FEM とかエックスフェムのようティーでは， XFEM
をエックス FEM とかエックスフェムのよう呼ぶようになった．
これは誰が最初に言い出したのか筆者にはに呼んでいたが，いつのまにか日本語では拡張有限要素法と呼ぶに呼んでいたが，いつのまにか日本語では拡張有限要素法と呼ぶ
記憶がない．一方，同時期にGFEM(Generalized FEM)と呼ばようになった．これは誰が最初に言い出したのか筆者には記憶がようになった．これは誰が最初に言い出したのか筆者には記憶がれる手法が，
国際学会や学術雑誌で多数論文発表されている．
ない．一方，同時期にGFEM(Generalized FEM)と呼ばれる手法が，ない．一方，同時期に GFEM(Generalized FEM)と呼ばれる手法が，GFEMとXFEMとの差異は曖昧で，本稿で後述するPUFEMの国際学会や学術雑誌で多数論文発表されている．GFEMと XFEM
国際学会や学術雑誌で多数論文発表されている．GFEM と XFEMとの差異は曖昧で，
本稿で後述する PUFEM のうち不連続性を有XFEMである
うち不連続性を有する拡充関数を用いる方法がとの差異は曖昧で， 本稿で後述する PUFEM のうち不連続性を有する拡充関数を用いる方法が
XFEM であるという説明もしばしばという説明もしばしばなされるが，文献[6]によれば，GFEMとする拡充関数を用いる方法が XFEM であるという説明もしばしばなされるが，文献[6]によれば，GFEM
XFEMは，同じものとされている． と XFEM は，同じものとさなされるが，文献[6]によれば，GFEM と XFEM は，同じものとさ
れている．
れている．
筆者は 2000 年頃から XFEM に着目し，様々な委託研究や共同
筆者は 2000 年頃から XFEM に着目し，様々な委託研究や共同研究を通じて XFEM を用いた応用研究を継続的に実施している．
研究を通じて XFEM を用いた応用研究を継続的に実施している．
主な対象分野は，金属材料からなる配管や圧力容器と CFRP（炭素
主な対象分野は，金属材料からなる配管や圧力容器と CFRP（炭素る．主な対象分野は，金属材料からなる配管や圧力容器とCFRP（炭 素 繊 維 強 化 複 合 材 料, Carbon Fiber Reinforced Plastic:
繊維強化複合材料,
Carbon Fiber Reinforced 前者については，
Plastic: CFRP）積層材料
CFRP）積層材料の強度試験片である．
破壊力
繊維強化複合材料, Carbon Fiber Reinforced Plastic: CFRP）積層材料の強度試験片である．
前者については，
破壊力学パラメータである
学パラメータであるK値やJ積分を用いたき裂進展解析に，後者の強度試験片である．前者については，破壊力学パラメータであるKについては結合力モデルを用いた損傷進展解析に，
値や J 積分を用いたき裂進展解析に，後者については結合力モ
XFEMを応K 値や J 積分を用いたき裂進展解析に，後者については結合力モデルを用いた損傷進展解析に，XFEM
を応用している．
用している．
デルを用いた損傷進展解析に，XFEM を応用している．
以下，
本稿では，
まず XFEM に関する基本事項を解説してから，XFEMに関する基本事項を解説して
以下，本稿では，まず
以下，
本稿では，
まず XFEMに関する基本事項を解説してから，筆者が取り組んでいる結合力モデルを用いた準三次元 XFEM によから，筆者が取り組んでいる結合力モデルを用いた準三次元
筆者が取り組んでいる結合力モデルを用いた準三次元 XFEM による CFRP 積層板の損傷進展解析について紹介する．
る CFRP
積層板の損傷進展解析について紹介する．
XFEM
による
CFRP積層板の損傷進展解析について紹介する.
2.2. XFEMの概要
2. XFEMの概要
XFEM の概要

2.1 PUFEMとXFEM
2.1 PUFEM と XFEM
2.1PUPUFEM
とFEM
XFEM
条件とは
などで用いられる形状関数を構成する個のPU 条件とは
FEM などで用いられる形状関数を構成する
mm個のPU 条件とは FEM などで用いられる形状関数を構成する m 個のになる次式のような条件をいう．
すべての節点についての総和が1になる次式のような条件をいう．
すべての節点についての総和が1
すべての節点についての総和が1になる次式のような条件をいう．
m（1）∑∑mNNI (x()x=) =1 1
（1）
I
I =1

で用いられる形状関数も，式(1)の条件を満足する．
前述したEFGMで用いられる形状関数も，前述したEFGM
式(1)の条件を満足する．
前述したEFGM で用いられる形状関数も，式(1)の条件を満足する．
PUFEM[7]によれば，
PU PU
PUFEM
[7]によれば，
この条件を満足する形状関数を用いこの条件を満足する形状関数を用いて変PUFEM [7]によれば，この PU 条件を満足する形状関数を用いて変位場の近似を次式のように表す．
て変位場の近似を次式のように表す．
位場の近似を次式のように表す．
mh（2）u h= ∑mN I (x)(u I + f (x)a I )（2）
u =I =∑
1 N I ( x)(u I + f ( x)a I )
I =1

I =1

ここに
(x)は局所的に導入される拡充(enrich:(enrich:エンリッチ)
エンリッチ)関数関数
ここにff (x)は局所的に導入される拡充
ここに f (x)は局所的に導入される拡充 (enrich: エンリッチ) 関数
であり，aは拡充関数の導入により追加された基底関数
N
(x)
f
I
I
a
は拡充関数の導入により追加された基底関数N
(x)
f(x)
(x)
であり
，
I
I
であり，a
I は拡充関数の導入により追加された基底関数 NI (x) f (x)についての節点自由度である．
についての節点自由度である．
についての節点自由度である．
f (x)として解の特性を表す関数を用いることにより，数値解の精度
数値解の精
f (x)として解の特性を表す関数を用いることにより，
f (x)として解の特性を表す関数を用いることにより，数値解の精度を向上させることが期待できる．
度を向上させることが期待できる．
を向上させることが期待できる．
式(2)において，様々な f (x)の選択が可能であるが，その中でも(2)において，様々なf (x)の選択が可能であるが，その中でも
式
式(2)において，様々なf (x)の選択が可能であるが，その中でもf (x)として不連続性を有する関数を用いる方法が XFEM である．
ff (x)
として不連続性を有する関数を用いる方法がXFEM
XFEMである．
である．
(x)として不連続性を有する関数を用いる方法が文献[2]においては，線形破壊力学で扱われるような，二次元き裂
文献[2]においては，線形破壊力学で扱われるような，二次元き裂
文献[2]においては，線形破壊力学で扱われるような，二次元き裂問題において f (x)として変位場の漸近解を構成できる 4 つの基底問題において f(x)(x)として変位場の漸近解を構成できるつの基底として変位場の漸近解を構成できる44つの基底問題においてf関数を用いる方法が提案された．
関数を用いる方法が提案された．
関数を用いる方法が提案された．
θθ
γ 1 = r cos( θ), γ 2 = r sin( θ),2γ 1 = r cos( ), γ 2 = r sin(2 ),2θ2θ
γ 3 = r sin( θ) sin θ , γ 4 = r cos( θ) sin θ
γ 3 = r sin(2 ) sin θ , γ 4 = r cos(2 ) sin θ
2

(3)
(3)

2

=0
ここに，r,θθは二次元き裂先端を原点とする極座標であり，ここに，r,
は二次元き裂先端を原点とする極座標であり，θ=0θがここに，r, θ は二次元き裂先端を原点とする極座標であり，θ=0 ががき裂先端における（仮想）き裂進展方向になるように設定する．
き裂先端における（仮想）き裂進展方向になるように設定する．
き裂先端における（仮想）き裂進展方向になるように設定する．
式(3)で用いる
つの基底関数は，EFGM
EFGMによるき裂解析によるき裂解 析[8]で[8]で式(3)で用いる44つの基底関数は，
式(3)で用いる 4 つの基底関数は，EFGM によるき裂解析 [8]でMLSM
による形状関数の基底関数として提案されたものである．
MLSM
による形状関数の基底関数として提案されたものである．
MLSM による形状関数の基底関数として提案されたものである．
実際，文献[8]の題目に”Enriched”という表記が見られる．
実際，
文献[8]の題目に”Enriched ”という表記が見られる．
実際，文献[8]の題目に”Enriched”という表記が見られる．
式(3)における γ2 に着目すると，この関数はθ=±πで不連続に
式(3)における γ2 に着目すると，この関数はθ=±πで不連続になる．このことは，き裂開口面において変位が不連続になることをなる．このことは，き裂開口面において変位が不連続になることを意味する．γ2 のような関数は分岐関数(branch function)と呼ばれる．
意味する．γ2 のような関数は分岐関数(branch function)と呼ばれる．
文献[1]では，き裂先端だけではなくき裂から離れた点において
文献[1]では，き裂先端だけではなくき裂から離れた点において

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●15

式(3)におけるγ2に着目すると，この関数はθ=±πで不連続になる．
このことは，き裂開口面において変位が不連続になることを意

味する．γ2のような関数は分岐関数(branch function)と呼ばれる．
も，式(3)で表される漸近解基底関数に座標変換を施しながら適用
文献[1]では，き裂先端だけではなくき裂から離れた点においてしている．これに対して文献[2]は，き裂先端近傍のみ漸近解基底
も，式(3)で表される漸近解基底関数に座標変換を施しながら適も，式(3)で表される漸近解基底関数に座標変換を施しながら適用を，それ以外のき裂近傍においてヘビサイドステップ関数を用い用している．
これに対して文献[2]は，き裂先端近傍のみ漸近解基している．これに対して文献[2]は，き裂先端近傍のみ漸近解基底
る． それ以外のき裂近傍においてヘビサイドステップ関数を用
底を，も，式(3)で表される漸近解基底関数に座標変換を施しながら適用を，それ以外のき裂近傍においてヘビサイドステップ関数を用いなお，定式化においては，次式に示すようなシフティングと呼ばも，式(3)で表される漸近解基底関数に座標変換を施しながら適用いる．
している．これに対して文献[2]は，き裂先端近傍のみ漸近解基底
る．
れる近似表現も可能である．
している．これに対して文献[2]は，き裂先端近傍のみ漸近解基底
なお，定式化においては，次式に示すようなシフティングと呼ばを，それ以外のき裂近傍においてヘビサイドステップ関数を用い
なお，定式化においては，次式に示すようなシフティングと呼ばmを，それ以外のき裂近傍においてヘビサイドステップ関数を用い
h
(4)
る．
=
u ∑ N I (x) {u I + ( f (x) − f (x I ))a I }れる近似表現も可能である．
れる近似表現も可能である．
る．
I =1
なお，定式化においては，次式に示すようなシフティングと呼ば
m
h
(4)
なお，
式(4)を用いることにより，位置(x I ))a I } I における節点変位
N I (x) {u I + ( 次式に示すようなシフティングと呼ば
f (x) −xfI にある節点=u定式化においては，∑れる近似表現も可能である．
I =1hれる近似表現も可能である．
u (xI)が完全に一致する．このことは，変位に基uI と変位場の近似m(4)m N I ( x) {u I + ( f ( x) x
f (x I ))a I } I における節点変位=uh ∑−I にある節点式(4)を用いることにより，位置
本（変位）境界条件を与えるとき都合がよい．
h
(4)
1
=
I
(
)
(
(
)
(
))
N
f
f
=
+
−
u
x
u
x
x
a
{ I)が完全に一致する．このことは，変位に基∑I uh(xI
I
I } Iにおける節点変位u I(4)を用いることにより，
位置xIにある節点u式
I と変位場の近似
I =1
I における節点変位式(4)を用いることにより，位置
xI にある節点
h(x )が完全に一致する．
と変位場の近似u
このことは，
変位に基本
本（変位）境界条件を与えるとき都合がよい．
I
2.2 レベルセット法
式(4)を用いることにより，位置
xI にある節点 I における節点変位hu
I と変位場の近似 u (xI)が完全に一致する．このことは，変位に基（変位）
境界条件を与えるとき都合がよい．
前述したように，EFGMにおいてき裂をモデル化する方法とし
uh(xI)が完全に一致する．このことは，変位に基uI と変位場の近似
本（変位）境界条件を与えるとき都合がよい．
2.2
レベルセット法て，レベルセット法と組み合わせる方法が導入された[5]．レベル
本（変位）境界条件を与えるとき都合がよい．
2.2
レベルセット法
前述したように，EFGMにおいてき裂をモデル化する方法としセット法は計算流体力学の分野などで時々刻々と変化する自由表
2.2
レベルセット法て，レベルセット法と組み合わせる方法が導入された[5]．レベル
EFGMにおいてき裂をモデル化する方法と前述したように，面の形状を表現し追跡できる数値解析手法である[9]．XFEM にお
2.2
レベルセット法
前述したように，EFGMにおいてき裂をモデル化する方法としセット法は計算流体力学の分野などで時々刻々と変化する自由表[5]．レ
して，レベルセット法と組み合わせる方法が導入された
いても，き裂形状を符号付き距離関数(Signed
Distance Function:
前述したように，EFGMにおいてき裂をモデル化する方法として，レベルセット法と組み合わせる方法が導入された[5]．レベル
面の形状を表現し追跡できる数値解析手法である
[9]．
XFEM
にお
ベルセット法は計算流体力学の分野などで時々刻々と変化すSDF)で表現したうえで，その節点値を用いてき裂形状を数値化すて，レベルセット法と組み合わせる方法が導入された[5]．レベル
セット法は計算流体力学の分野などで時々刻々と変化する自由表
いても，き裂形状を符号付き距離関数(Signed
Distance
Function:
る自由表面の形状を表現し追跡できる数値解析手法であるる方法が導入され[10]，以降レベルセットXFEM
が標準的なXFEM
セット法は計算流体力学の分野などで時々刻々と変化する自由表面の形状を表現し追跡できる数値解析手法である[9]．XFEM におSDF)で表現したうえで，その節点値を用いてき裂形状を数値化す解析手法となる．
[9]．XFEMにおいても，き裂形状を符号付き距離関数(Signed面の形状を表現し追跡できる数値解析手法である[9]．XFEMにおいても，き裂形状を符号付き距離関数(Signed
Distance
Function:る方法が導入され[10]，以降レベルセットXFEM が標準的なXFEM
図１に示すように，二次元問題においてき裂線を表現するため
いても，き裂形状を符号付き距離関数(Signed
Distance
Function:
Distance
Function:
SDF)で表現したうえで，
その節点値を用いSDF)で表現したうえで，その節点値を用いてき裂形状を数値化す解析手法となる．
に，き裂線 Γ とその延長 Γ EXT に関する符号付き距離関数
φ と，きSDF)で表現したうえで，その節点値を用いてき裂形状を数値化す[10]，以降レベルセッ
ト
てき裂形状を数値化する方法が導入される方法が導入され[10]，以降レベルセットXFEM
が標準的なXFEM
図１に示すように，二次元問題においてき裂線を表現するため
裂先端においてき裂線に垂直な直線に関する符号付き距離関数′
Γる方法が導入され[10]，以降レベルセットXFEM
が標準的なXFEM
XFEM
が標準的な
XFEM
解析手法となる．
解析手法となる．
に，き裂線
Γ とその延長 Γ EXT に関する符号付き距離関数φ と，きを次式で定義する[11]．
ψ図１に示すように，二次元問題においてき裂線を表現するため解析手法となる．
図１に示すように，二次元問題においてき裂線を表現するため
裂先端においてき裂線に垂直な直線
Γ′ に関する符号付き距離関数
図１に示すように，二次元問題においてき裂線を表現するため(5.1)
に関する符号付き距離関数φ
と，
に，
き裂線Γ
とその延長Γ
に，き裂線=
φとその延長( x)
min ΓxEXT− xに関する符号付き距離関数
sign(n + ( x ) • (x − x ))
Γ
EXT
φ と，き
を次式で定義する[11]．
ψ
x∈Γ∪Γ
とその延長
に，き裂線
EXT に関する符号付き距離関数φ と，きΓΓ
裂先端においてき裂線に垂直な直線
Γ′ に関する符号付き距離関数' に関する符号付き距
き裂先端においてき裂線に垂直な直線Γ
(5.1)
裂先端においてき裂線に垂直な直線=
φ ( x)
min x − x sign(+n +Γ(′xに関する符号付き距離関数) • (x − x ))を次式で定義する[11]．
(5.2)
ψ
x
∈Γ∪Γ
を次式で定義する
[11]
．
離関数ψ
ψ (=
x) min x − x sign(n′ ( x ) • (x − x ))x∈Γ′
ψ を次式で定義する[11]．
(5.1)=
φ ( x)
min x − x sign+ (n + ( x ) • (x − x ))(5.2)
x∈Γ∪Γ において上側を向く法線ベクトル，(5.1)
は，ここに n + =′+ は，
ψx − x −sign) min(n′ (nx )+ •( x(x) •−(xx))− x ))
Γ
n
xxき裂線
x
φ ((=
min
sign
∈Γ′
xx∈Γ∪Γ
き裂先端において直線 Γ′ におけるリガメント側を向く法線ベクト+=− x sign(n′+ ( x ) • (x − x ))ψ (き裂線x) minΓxにおいて上側を向く法線ベクトル，は，
ここにn′(5.2)n + は，
ルである．
x∈Γ′
(5.2)
ψ
x) min x − x sign(n′+ ( x ) • (x − x ))(=き裂先端において直線におけるリガメント側を向く法線ベクト′Γx∈Γ′
レベルセット XFEM においては，要素内の任意の位置での符号は，
き裂線 Γ において上側を向く法線ベクトル，は，
ここにn+′+は，
き裂線Γ
において上側を向く法線ベクトル，n'き
ここにnn++ は，ルである．
+
φ I, ψ I と有限要素の形状関数
付き距離関数を，それらの節点値は，き裂線において上側を向く法線ベクトル，
ここに
Γn′+ は，NIn
き裂先端において直線におけるリガメント側を向く法線ベクト′
Γ'におけるリガメント側を向く法線ベク
トル
裂先端において直線Γ
レベルセット XFEM においては，要素内の任意の位置での符号を用いて次式で近似評価する．
き裂先端において直線
Γ′ におけるリガメント側を向く法線ベクト
ルである．
である．
付き距離関数を，それらの節点値mm φ I, ψ I と有限要素の形状関数 NI
(6)
ルである．
レベルセット,においては，)ψ I
φ (x) = ∑ XFEM
N I (x)φI においては，要素内の任意の位置での符号ψ (x) = ∑ N I (x要素内の任意の位置での符を用いて次式で近似評価する．
XFEM
レベルセット1
1==
II
レベルセット XFEM においては，要素内の任意の位置での符号
φ I, ψ I と有限要素の形状関数 NI付き距離関数を，それらの節点値mm
ψIと有限要素の形状関号付き距離関数を，
それらの節点値φ(6) NIψ I II,と有限要素の形状関数
付き距離関数を，それらの節点値I,)ψ
φ (x) = ∑ N I (x)φI , ψ (x) = ∑ N φ
式(6)を用いて，式(2)または(4)の(x)を表すことができる．
I f( xを用いて次式で近似評価する．
1
1
=
=
I
I
を用いて次式で近似評価する．
数N
Iを用いて次式で近似評価する．
mm(6)(x)ψ I
φ ( x) = ∑式(6)を用いて，式(2)または(4)のf I(x)を表すことができる．
m N I ( x)φI , ψ ( x) = ∑
m N
(6)
′
Γ
I =1 N ( x)φ ψ( x ) I =1
φ ( x) = ∑I , ψ ( x) = ∑ N I ( x)ψ I
x I
I =1
I =1
+
n′
式(6)を用いて，式(2)または(4)の f (x)を表すことができる．
′
Γ(x)を表すことができる．
ψ ( x)
式(6)を用いて，式(2)または(4)のfx
φ ( x)
式(6)を用いて，式(2)または(4)のf (x)を表すことができる．
n′+
+
Γ′¢
ψ
x
(
)
n
G′
φ ( x) x xΓψ y( x( )x )x′+nn¢+ ++′nn
φ ( xf)( x )
EXT

EXT

EXT

EXT

φ ( x)

+ +
nΓ
n
n+

Γ

Γ EXT

き裂先端
ΓG
延長されたき裂線 G EXT
図１ Γ 符号付き距離関数による二次元き裂の表現
Γ EXT
図1 符号付き距離関数による二次元き裂の表現 Γ EXT

図１ 符号付き距離関数による二次元き裂の表現
図１ 符号付き距離関数による二次元き裂の表現

漸近解基底関数XFEMにより二次元線形弾性き裂進展問題が解かれた後，すぐに三次元問題に拡張された．三次元問題においても，等方性
2.3 漸近解基底関数(3)の漸近解基底関数が用いられる．き
線形弾性体については式
XFEM により二次元線形弾性き裂進展問題が解かれた後，すぐ裂問題において用いられるき裂先端近傍の漸近解基底関数は，
2.3
漸近解基底関数に三次元問題に拡張された．
三次元問題においても，等方性線形弾
き裂先端近傍の変位場の漸近解を再構成できるものを用いる
XFEM
により二次元線形弾性き裂進展問題が解かれた後，すぐ性体については式(3)の漸近解基底関数が用いられる．き裂問題に
2.3
漸近解基底関数
べきである．
したがって，等方性以外の直交異方性体中のき裂やに三次元問題に拡張された．
三次元問題においても，等方性線形弾
おいて用いられるき裂先端近傍の漸近解基底関数は，き裂先端近2.3
漸近解基底関数
XFEM
により二次元線形弾性き裂進展問題が解かれた後，すぐ異種材界面き裂に対しては，厳密にはそれらに対応する変位場
性体については式(3)の漸近解基底関数が用いられる．き裂問題に傍の変位場の漸近解を再構成できるものを用いるべきである．しXFEM により二次元線形弾性き裂進展問題が解かれた後，すぐに三次元問題に拡張された．
三次元問題においても，等方性線形弾. 異種材の漸近解を再構成できる基底関数を用いる必要がある
おいて用いられるき裂先端近傍の漸近解基底関数は，き裂先端近たがって，等方性以外の直交異方性体中のき裂や異種材界面き裂に三次元問題に拡張された．
三次元問題においても，等方性線形弾性体については式(3)の漸近解基底関数が用いられる．き裂問題に[12]や，直交異方性材の界面き裂[13]に対する基底関
界面き裂
傍の変位場の漸近解を再構成できるものを用いるべきである．しに対しては，厳密にはそれらに対応する変位場の漸近解を再構成性体については式(3)の漸近解基底関数が用いられる．き裂問題において用いられるき裂先端近傍の漸近解基底関数は，き裂先端近たがって，等方性以外の直交異方性体中のき裂や異種材界面き裂数が提案されている．
できる基底関数を用いる必要がある. 異種材界面き裂 [12]や，直おいて用いられるき裂先端近傍の漸近解基底関数は，き裂先端近傍の変位場の漸近解を再構成できるものを用いるべきである．しに対しては，厳密にはそれらに対応する変位場の漸近解を再構成
XFEMは線形弾性問題だけではなく，非弾性問題，非線形問
交異方性材の界面き裂[13]に対する基底関数が提案されている．
傍の変位場の漸近解を再構成できるものを用いるべきである．したがって，等方性以外の直交異方性体中のき裂や異種材界面き裂できる基底関数を用いる必要がある.
異種材界面き裂 [12]や，直題にも拡張可能である．
たとえば，応力ひずみ関係がべき乗則でXFEM は線形弾性問題だけではなく，非弾性問題，非線形問題
たがって，等方性以外の直交異方性体中のき裂や異種材界面き裂に対しては，厳密にはそれらに対応する変位場の漸近解を再構成
交異方性材の界面き裂[13]に対する基底関数が提案されている．
にも拡張可能である．たとえば，応力ひずみ関係がべき乗則で表さ表される非線形弾性材料についてのき裂先端近傍の応力場とに対しては，厳密にはそれらに対応する変位場の漸近解を再構成できる基底関数を用いる必要がある.
異種材界面き裂 [12]や，直XFEM は線形弾性問題だけではなく，非弾性問題，非線形問題
れる非線形弾性材料についてのき裂先端近傍の応力場としては，
HRR（ Hutchinson, Rice, Rosengren）解が知られておりしては，できる基底関数を用いる必要がある.
異種材界面き裂[12]や，直交異方性材の界面き裂[13]に対する基底関数が提案されている．
にも拡張可能である．
たとえば，
応力ひずみ関係がべき乗則で表さ解
HRR（Hutchinson,
Rice,
Rosengren）解が知られており[14]，HRR
交異方性材の界面き裂[13]に対する基底関数が提案されている．
[14]
，HRR
解を再構成できる漸近解基底も提案され[15]，弾塑
XFEM
は線形弾性問題だけではなく，非弾性問題，非線形問題
れる非線形弾性材料についてのき裂先端近傍の応力場としては，を再構成できる漸近解基底も提案され[15]，弾塑性XFEM 解析に
XFEM
は線形弾性問題だけではなく，非弾性問題，非線形問題
XFEM
解析に用いられている．
性にも拡張可能である．
たとえば，
応力ひずみ関係がべき乗則で表さ
HRR（Hutchinson,
Rice,
Rosengren）解が知られており[14]，HRR
解用いられている． たとえば，応力ひずみ関係がべき乗則で表さにも拡張可能である．
れる非線形弾性材料についてのき裂先端近傍の応力場としては，を再構成できる漸近解基底も提案され[15]，弾塑性XFEM
解析に2.4 拡充節点範囲
れる非線形弾性材料についてのき裂先端近傍の応力場としては，HRR（Hutchinson,
Rice, Rosengren）解が知られており[14]，HRR 解用いられている．
2.4き裂先端近傍の漸近解基底に関する拡充節点を与える範囲
拡充節点範囲HRR（Hutchinson,
Rice, Rosengren）解が知られており[14]，HRR
解を再構成できる漸近解基底も提案され[15]，弾塑性XFEM 解析にき裂先端近傍の漸近解基底に関する拡充節点を与える範囲につを再構成できる漸近解基底も提案され[15]，弾塑性XFEM
解析にについては任意性があり，き裂先端を含む要素を構成する節点用いられている．
2.4
拡充節点範囲いては任意性があり，き裂先端を含む要素を構成する節点だけを用いられている．
Topological Enrichment法と，き裂先端を含むだけを拡充する
き裂先端近傍の漸近解基底に関する拡充節点を与える範囲につ拡充する Topological Enrichment 法と，き裂先端を含む適当な範囲
2.4
拡充節点範囲適当な範囲に含まれる節点を拡充するGeometrical Enrichment
いては任意性があり，き裂先端を含む要素を構成する節点だけをに含まれる節点を拡充する
Geometrical Enrichment 法が提案されて
2.4
拡充節点範囲き裂先端近傍の漸近解基底に関する拡充節点を与える範囲につ法が提案されている[16]．一方，
ヘビサイド関数を拡充する節点
拡充するTopological Enrichment
法と，き裂先端を含む適当な範囲
いる[16]．一方，ヘビサイド関数を拡充する節点は，必要最小限のき裂先端近傍の漸近解基底に関する拡充節点を与える範囲については任意性があり，き裂先端を含む要素を構成する節点だけをは，必要最小限の範囲の節点を拡充しなければならない．
に含まれる節点を拡充する
Geometrical Enrichment 法が提案されて範囲の節点を拡充しなければならない．
いては任意性があり，き裂先端を含む要素を構成する節点だけを拡充する
Topological Enrichment 法と，き裂先端を含む適当な範囲
いる[16]．一方，ヘビサイド関数を拡充する節点は，必要最小限の要素を構成する節点がすべて拡充されていない要素はブレン
要素を構成する節点がすべて拡充されていない要素はブレンデ
拡充する
Topological Enrichment
法と，き裂先端を含む適当な範囲に含まれる節点を拡充する
Geometrical
Enrichment 法が提案されて範囲の節点を拡充しなければならない．
[17]
．
ブレンディ
ング要素においては，
一般
ディ
グ要素と称される
ィグ要素と称される[17]．
ブレンディング要素においては，一般にに含まれる節点を拡充する
Geometrical
Enrichment法が提案されている[16]．一方，ヘビサイド関数を拡充する節点は，必要最小限の要素を構成する節点がすべて拡充されていない要素はブレンデに拡充した関数を再構成することが保証されないので，解の収拡充した関数を再構成することが保証されないので，解の収束性
いる[16]．一方，ヘビサイド関数を拡充する節点は，必要最小限の範囲の節点を拡充しなければならない．
ィグ要素と称される[17]．
ブレンディング要素においては，
一般に2 に示すよう束性に悪影響を及ぼす可能性がある．
例として，図に悪影響を及ぼす可能性がある．例として，図2 に示すような範囲の節点を拡充しなければならない．
要素を構成する節点がすべて拡充されていない要素はブレンデ
拡充した関数を再構成することが保証されないので，解の収束性
XFEM
による二次元き裂解析において，”C”は漸近解基底関数の拡XFEMによる二次元き裂解析において，”C”は漸近解基底関な要素を構成する節点がすべて拡充されていない要素はブレンデ
ィグ要素と称される[17]．
ブレンディング要素においては，
一般にに悪影響を及ぼす可能性がある．例として，図2 に示すような
充節点，”J”はヘビサイド関数の拡充節点とする[11]．
この場合，
要
J
”はヘビサイド関数の拡充節点とする[11]．この数の拡充節点，”ィグ要素と称される[17]．
ブレンディング要素においては，一般に拡充した関数を再構成することが保証されないので，解の収束性
XFEM
による二次元き裂解析において，”C”は漸近解基底関数の拡素Aは，要素を構成する
4
つの節点で漸近解基底関数が拡充され拡充した関数を再構成することが保証されないので，解の収束性
場合，要素Aは，要素を構成する4つの節点で漸近解基底関数がに悪影響を及ぼす可能性がある．例として，図2 に示すような
充節点，”J”はヘビサイド関数の拡充節点とする[11]．
この場合，要ているので，PU条件により漸近解を完全に再構成できる．一方，に悪影響を及ぼす可能性がある．例として，図2 に示すようなPU条件により漸近解を完全に再構成で拡充されているので，
XFEM
による二次元き裂解析において，”C”は漸近解基底関数の拡
素要素
A は，要素を構成する
4
つの節点で漸近解基底関数が拡充されBによる二次元き裂解析において，は，要素を構成する 4 つの節点のうち2 つだけしか漸近解
XFEM
つの節点のうち2つだけしきる．一方，
要素Bは，要素を構成する4”C”は漸近解基底関数の拡
充節点，”J”はヘビサイド関数の拡充節点とする[11]．
この場合，要ているので，PU条件により漸近解を完全に再構成できる．一方，基底関数が拡充されていないので，漸近解を完全に再構成できな
充節点，”J”はヘビサイド関数の拡充節点とする[11]．
この場合，要か漸近解基底関数が拡充されていないので，
素
AB
は，要素を構成する
4 つの節点で漸近解基底関数が拡充され
要素
は，要素を構成する
4 つの節点のうち 2 漸近解を完全に再つだけしか漸近解い．
一方，
ヘビサイド関数を拡充する場合にはブレンディグ問題は素
A
は，要素を構成する
4
つの節点で漸近解基底関数が拡充されているので，PU条件により漸近解を完全に再構成できる．一方，構成できない．一方，
ヘビサイド関数を拡充する場合にはブレン基底関数が拡充されていないので，漸近解を完全に再構成できな生じない．なお，ブレンディグ問題に合理的に対処した
XFEM 解ているので，PU条件により漸近解を完全に再構成できる．一方，要素
B
は，要素を構成する
4 つの節点のうち2 つだけしか漸近解
ディグ問題は生じない．
なお，
ブレンディグ問題に合理的に対処
い．
一方，ヘビサイド関数を拡充する場合にはブレンディグ問題は
析手法も提案されている[18,
19]．
要素
B
は，要素を構成する
4
つの節点のうち
2
つだけしか漸近解
基底関数が拡充されていないので，漸近解を完全に再構成できな
したXFEM解析手法も提案されている[18, 19]．
生じない．なお，ブレンディグ問題に合理的に対処した
XFEM 解基底関数が拡充されていないので，漸近解を完全に再構成できない．
一方，
ヘビサイド関数を拡充する場合にはブレンディグ問題は
析手法も提案されている[18, 19]．
い．一方，ヘビサイド関数を拡充する場合にはブレンディグ問題は再生可能要素生じない．なお，ブレンディグ問題に合理的に対処した
XFEM 解生じない．なお，ブレンディグ問題に合理的に対処した
ブレンディング要素 XFEM 解析手法も提案されている[18, 19]．
析手法も提案されている[18, 19]． C 再生可能要素
漸近解基底を拡充する節点
J
J
J
J
J
J

J

J

J

C

J

J

J

C C
C C

J
JJ
J
J
J

J
J
J
J
J
J

C

C C
C C
C C
C AC
要素
C C

要素 B

ブレンディング要素
ヘビサイド関数を拡充する節点
J 再生可能要素
C 漸近解基底を拡充する節点
再生可能要素ブレンディング要素
ブレンディング要素
ヘビサイド関数を拡充する節点J
C 漸近解基底を拡充する節点
C 漸近解基底を拡充する節点
ヘビサイド関数を拡充する節点J
ヘビサイド関数を拡充する節点J

図2 ブレンディング問題

ブレンディング問題
要素 図２
A
要素
B

図１ 符号付き距離関数による二次元き裂の表現 Γ
EXT

き裂線

2.3

2.5 要素のパーティション
図２
ブレンディング問題
要素A
要素 B
2.5 要素のパーティション
XFEMもFEM要素と同様に弱形式で表される支配方程式を離散
A
要素 B
XFEM も FEM と同様に弱形式で表される支配方程式を離散化
図２
ブレンディング問題
化するための数値積分が用いられる．
しかしながら，XFEMで不
2.5
要素のパーティション
で不連するための数値積分が用いられる．しかしながら，XFEM
図２ ブレンディング問題
連続な関数を拡充する場合には被積分関数は不連続となるの
XFEM も FEM と同様に弱形式で表される支配方程式を離散化
2.5
要素のパーティション
FEMで利用されるようなルジャンドル-ガウス積分を
で，通常の
で不連
するための数値積分が用いられる．しかしながら，XFEM
2.5XFEM
要素のパーティション
も FEM と同様に弱形式で表される支配方程式を離散化
XFEM も FEM と同様に弱形式で表される支配方程式を離散化で不連するための数値積分が用いられる．しかしながら，XFEMするための数値積分が用いられる．しかしながら，XFEM で不連CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●16

続な関数を拡充する場合には被積分関数は不連続となるので，通常の FEM で利用されるようなルジャンドル-ガウス積分を直接適直接適用できない．
その場合には，要素を複数個の部分領域に用できない．
その場合には，要素を複数個の部分領域に分割し，そ
分割し，その領域内での被積分関数が不連続性を含まないようの領域内での被積分関数が不連続性を含まないようにしたうえで，にしたうえで，数値積分する必要がある．このように有限要素を数値積分する必要がある．このように有限要素を複数個の部分領
複数個の部分領域に分割することをパーティションと呼ぶことが域に分割することをパーティションと呼ぶことがある．パーティある．パーティションされた領域の数値積分には，ルジャンドルションされた領域の数値積分には，ルジャンドル-ガウス積分が適
ガウス積分が適用される．ただし，近似関数は単純な多項式であ用される．ただし，近似関数は単純な多項式であるとは限らないのるとは限らないので，積分点数の選択には注意が必要である．
で，積分点数の選択には注意が必要である．
図3に，二次元き裂問題についてのXFEM解析において四角形
図 3 に，二次元き裂問題についての XFEM 解析において四角形[11]を示す．
図3 (a)
は，き裂先端を含要素をパーティションした例
要素をパーティションした例[11]を示す．図3 (a)は，き裂先端を含は，
き裂先端を含む場合である．
図3 (a)3に示す
まない場合，
図3 (b)
まない場合，図3 (b)は，き裂先端を含む場合である．図(a)に示
ようにき裂線が要素を完全に切断する要素を切断要素と呼ぶ．
こ
すようにき裂線が要素を完全に切断する要素を切断要素と呼ぶ．
4つの三角形形状の部分領域に分割される．
一方，図3 (b)3の場合，
この場合，4つの三角形形状の部分領域に分割される．一方，図(b)に示すようにき裂先端が要素に含まれる要素をき裂先端要素とに示すようにき裂先端が要素に含まれる要素をき裂先端要素と呼ぶ．この場合，7つの三角形形状の部分領域に分割される．
呼ぶ．
この場合，7つの三角形形状の部分領域に分割される．
P1

P1

P3
P4

き裂

き裂

P6
き裂先端

P3
P4

(a) 切断要素

2.6

P7

P2

P2

P5

(b) き裂先端要素

図3 XFEM解析における有限要素のパーティション
図 3 XFEM 解析における有限要素のパーティション
結合力モデル

DugdaleやBurenbrattは，
き裂先端近傍の塑性域の大きさを線
2.6
結合力モデル形破壊力学の枠組みで評価するために，結合力モデル(Cohesive
Dugdale や Burenbratt は，き裂先端近傍の塑性域の大きさを線形破壊力学の枠組みで評価するために，結合力モデル(Cohesive
Zone
Zone
Model: CZM) を用いた[20]．CZMにおいては，
き裂先端近Model: CZM) を用いた[20]．CZM においては，き裂先端近傍に分傍に分布する結合力が作用するものとし，その分布をき裂面の表布する結合力が作用するものとし，その分布をき裂面の表面力と面力と相対変位との関係で表現する．
あらかじめ損傷が発生する
相対変位との関係で表現する．あらかじめ損傷が発生する可能性
CZMを導入しておくことにより，応力可能性がある領域に適切ながある領域に適切な CZM を導入しておくことにより，応力に基づに基づく損傷の発生とエネルギーに基づく損傷の進展を考慮しく損傷の発生とエネルギーに基づく損傷の進展を考慮して，損傷て，損傷過程におけるき裂の非線形挙動をモデル化できる．
様々過程におけるき裂の非線形挙動をモデル化できる．様々な材料の結合力モデルをな材料の損傷に対するCZMが提案されている．
損傷に対する CZM が提案されている．結合力モデルを FEM モデ
FEMモデルに組み込む場合には，通常インターフェース要素が用
ルに組み込む場合には，通常インターフェース要素が用いられる．
XFEMを用いる場合には，変位の不連続性を表現でいられる．
XFEM を用いる場合には，変位の不連続性を表現できる変位場のきる変位場の近似関数が用いられる．
一方，結合力モデルを導入
近似関数が用いられる．一方，結合力モデルを導入したき裂（結合
したき裂（結合力き裂）の先端においては特異性が消失するの
力き裂）の先端においては特異性が消失するので，漸近解基底関数で，漸近解基底関数を拡充することは妥当ではない．
そのため，漸を拡充することは妥当ではない．
そのため，漸近解基底関数を用い近解基底関数を用いずに，
き裂先端での変位の不連続性を表現
ずに，き裂先端での変位の不連続性を表現できるき裂先端要素が二次元三角形要素について定式化され，XFEM による結合力き裂
できるき裂先端要素が二次元三角形要素について定式化され，解析[21]に用いられた．
XFEM
による結合力き裂解析[21]に用いられた．
3.3. 準三次元XFEMによるCFRP積層板の損傷進展解析
準三次元 XFEM による CFRP 積層板の損傷進展解析

は損傷が発生することがあり，さらにこのような損傷が積層板の圧縮強度を低下させる危険性がある．このような衝撃損傷を有す
層構造の損傷進展過程を模擬できる数値シミュ
レーション手法のる積層構造の圧縮強度はCAI(Compression
After
Impact)強度と呼ば
CFRP の損傷形態である層間確立が期待されている．
そのために，
れ，積層材料を用いた航空機構造設計における重要な強度評定のはく離，マトリクス割れ，
繊維破断を表現できる損傷モデルを導入し一つとなっている．
このような背景において，CFRP
積層構造の損FEMモデルによる強度解析が試みられている．
筆者も，
CFRP積
た
傷進展過程を模擬できる数値シミュレーション手法の確立が期待
層板のマトリクス割れや層間はく離をCZMでモデル化したFEMやされている．そのために，CFRP の損傷形態である層間はく離，マXFEMによる損傷進展解析を実施してきた[22-26]．
ここでは，文トリクス割れ，繊維破断を表現できる損傷モデルを導入した FEM
献[26]に公表したCFRP積層平板の静的押し込み試験を対象としモデルによる強度解析が試みられている．筆者も，CFRP 積層板の実施したXFEMによる損傷進展解析を紹介する．
マトリクス割れや層間はく離を CZM でモデル化した FEM や
XFEM による損傷進展解析を実施してきた[22-26]．ここでは， 文
3.1 解析手法
献[26]に公表した CFRP 積層平板の静的押し込み試験を対象とし
CFRP積層板のプライ層間の多数のプライ層から構成される
実施した
XFEM による損傷進展解析を紹介する．
はく離損傷を模擬するために，通常のFEMで用いられるインター

CZMを導入する．
また，プライ層のマトリク
フェース要素を用いて3.1 解析手法
ス割れを模擬するために，割れが発生する可能性がある部分に多数のプライ層から構成される CFRP 積層板のプライ層間のは
XFEMを用いて不連続面を設定し解析対象がく離損傷を模擬するために，
通常のCZM
FEMを考慮する．
で用いられるインターフ
ェース要素を用いて CZM を導入する．
また，プライ層のマトリク
ド関数だけ平板状の積層板であれば，
文献[27]に示したヘビサイ
ス割れを模擬するために，割れが発生する可能性がある部分にを拡充した二次元三角形要素を用いたXFEMモデルを厚さ方向
XFEM を用いて不連続面を設定しCZMモデルを考慮する．解析対象がXFEM[28](図4参照)を用に押し出して得られる準三次元
平板状の積層板であれば，
文献[27]に示したヘビサイド関数だけをいることができる． CZMとしてCamanhoら[29]により提案され拡充した二次元三角形要素を用いた XFEM モデルを厚さ方向に押た，混合モードを考慮できるバイリニア型の結合力モデルに準拠
し出して得られる準三次元XFEM モデル[28](図4 参照)を用いるこする方法を用いる．
図5(a)にバイリニア型のCZMにおける等価きとができる． CZM として Camanho ら[29]により提案された，混
一般にCZMを裂面相対変位δmと表面力の関係を模式的に示す．
合モードを考慮できるバイリニア型の結合力モデルに準拠する方
用いた損傷進展解析は，たとえ線形弾性材料を想定した微小変法を用いる．図 5(a)にバイリニア型の CZM における等価き裂面相
CZMの表面力とき裂面相対変位との非線形関係に形問題でも，CZM を用いた
対変位δm と表面力の関係を模式的に示す．一般により，材料非線形問題となる．
この問題をニュート
ンラプソン法に
損傷進展解析は，たとえ線形弾性材料を想定した微小変形問題で基づく陰解法で解く場合には，しばしば収束解が得られないこと
も，CZM の表面力とき裂面相対変位との非線形関係により，材料がある．
これは，図5(a)に示すバイリニア型の軟化直線部分に原因
非線形問題となる．この問題をニュートンラプソン法に基づく陰Higuchi ら [22]は，があるとされる．
この問題を解決するために，解法で解く場合には，しばしば収束解が得られないことがある．
こ
れは，
図
Ridha
ら5(a)に示すバイリニア型の軟化直線部分に原因があるとさ[30]が連続体損傷モデルを用いたCFRPの損傷進展解れる．この問題を解決するために，Higuchi[22]は，
Ridha ら
Zig-zag CZM（ら
ZCZM）を導入した．
析に用いた方法を参考にして[30]が連続体損傷モデルを用いた
CFRPの損傷進展解析に用いた
ZCZMにおいては，図5(b)に示すように，バイリニア型の軟化直線方法を参考にしてZig-zag CZM（ZCZM）を導入した．ZCZMにお部分を，ジグザグ状の線分に置き換えることによりニュート
ンラプ
いては，図 5(b)に示すように，バイリニア型の軟化直線部分を，ジソン法による反復計算の収束性の問題を改善できる．
グザグ状の線分に置き換えることによりニュートンラプソン法による反復計算の収束性の問題を改善できる．
3.2
解析プログラム
前述した方法をプログラム実装して，準三次元 XFEMコード
3.2 解析プログラム
NLXP3Dを開発した[23,24,28]．NLXP3Dは，二次元平面におい
前述した方法をプログラム実装して，準三次元 XFEM コードてマトリクス割れをレベルセット法でモデル化しバイリニア型の
NLXP3D を開発した[23,24,28]．NLXP3D は，二次元平面においてCZMを導入し，幾何学的非線形性と圧子と積層板間の接触を考マトリクス割れをレベルセット法でモデル化しバイリニア型の慮した損傷進展解析が実施可能である．
解法として，ニュートンラ
CZM を導入し，幾何学的非線形性と圧子と積層板間の接触を考慮
プソン法による陰解法，
中央差分法による陽解法を用いることがした損傷進展解析が実施可能である．解法として，ニュートンラプ
できる．
ソン法による陰解法，中央差分法による陽解法を用いることができる．
3.3 解析モデルおよび検証解析結果[26]高比強度，高比剛性を有するCFRP積層材料は，典型的な軽量
高比強度，高比剛性を有する CFRP 積層材料は，典型的な軽量構造である航空機の一次構造への利用が拡大されている．
一方，構造である航空機の一次構造への利用が拡大されている．一方，
CFRP積層板は厚さ方向に繊維が存在せず，材料の特性が層間
CFRP 積層板は厚さ方向に繊維が存在せず，材料の特性が層間で連で連続でないので面外荷重に弱く，低速衝撃によっても積層板内続でないので面外荷重に弱く，低速衝撃によっても積層板内部に部には損傷が発生することがあり，さらにこのような損傷が積層に示すような周辺を支持した長さ150mm, 幅100mm, 厚さ
3.3図6解析モデルおよび検証解析結果[26]4mm
CFRP 積層板（積層構成：[45/0/90/-45]）に
図 の擬似等方性
6 に示すような周辺を支持した長さ150mm,
幅 100mm,2s厚さ4mm16mmの擬似等方性CFRP 積層板（積層構成：[45/0/90/-45]2s）に直の球面状の圧子を準静的に押し込んだ場合の損傷進
直径
径 16mm の球面状の圧子を準静的に押し込んだ場合の損傷進展解[31, 32]と比較した．
図7(a) に示すような
展解析を実施し試験結果有する積層構造の圧縮強度はCAI(Compression After Impact)

なお，
本解析に
プライ当たり6本のマトリクス割れをモデル化する．

な強度評定の一つとなっている．
このような背景において，CFRP積

陰解法により損傷解析を実上昇を考慮できるZECZMを用いる．

板の圧縮強度を低下させる危険性がある．
このような衝撃損傷を強度と呼ばれ，積層材料を用いた航空機構造設計における重要

有限要素モデルに対して，メッシュと独立に図7(b)に示すような各おいては，前述したZCZMに加えて圧縮応力によるせん断強度の析を実施し試験結果[31, 32]と比較した．図 7(a) に示すような有限要素モデルに対して，メッシュと独立に図 7(b)に示すような各プ
CMD Newsletter
No. 66 (Nov., 2021)
ライ当たり
6 本のマトリクス割れをモデル化する．なお，本解析においては，前述した ZCZM に加えて圧縮応力によるせん断強度
析を実施し試験結果[31,32]と比較した．図に示すような有限析を実施し試験結果[31,32]と比較した．図7(a)7(a)に示すような有限施し，
圧子の押し込み量と荷重の関係を実験結果と比較して図8の上昇を考慮できる
ZECZMを用いる．陰解法により損傷解析を要素モデルに対して，メッシュと独立に図7(b)に示すような各プ要素モデルに対して，メッシュと独立に図7(b)に示すような各プ実施し，圧子の押し込み量と荷重の関係を実験結果と比較して図8に示す．
図8には，10本のマトリクス割れをモデル化した場合の結析を実施し試験結果[31,32]と比較した．図 7(a) に示すような有限ライ当たり
6 本のマトリクス割れをモデル化する．なお，本解析
ライ当たり
本のマトリクス割れをモデル化する．なお，本解析に示す．図86 には，10
本のマトリクス割れをモデル化した場合の要素モデルに対して，メッシュと独立に図7(b)に示すような各プ果も示している．
解析結果は実験結果と概ね整合している．
また，
においては，前述した
ZCZMに加えて圧縮応力によるせん断強度においては，前述した
ZCZMに加えて圧縮応力によるせん断強度
結果も示している．
解析結果は実験結果と概ね整合している．
また，
ライ当たり
6 本のマトリクス割れをモデル化する．なお，本解析
X線CTにより
荷重低下点直後においてプライ層間の損傷分布をの上昇を考慮できる
ZECZMを用いる．陰解法により損傷解析をの上昇を考慮できる
ZECZMを用いる．陰解法により損傷解析を
荷重低下点直後においてプライ層間の損傷分布を
X 線9CT
によりにおいては，前述した
ZCZM に加えて圧縮応力によるせん断強度に示す．
図
撮影し画像処理された結果を解析結果と比較して図実施し，圧子の押し込み量と荷重の関係を実験結果と比較して図実施し，圧子の押し込み量と荷重の関係を実験結果と比較して図8 8
撮影し画像処理された結果を解析結果と比較して図9 に示す．図の上昇を考慮できる
ZECZMを用いる．陰解法により損傷解析を
9において実験の損傷形状をよく再現できる結果を“〇”で，
概ね再
に示す．図
8
には，10
本のマトリクス割れをモデル化した場合のに示す．図8 には，10 本のマトリクス割れをモデル化した場合の9 において実験の損傷形状をよく再現できる結果を“〇”で，概ね実施し，圧子の押し込み量と荷重の関係を実験結果と比較して図8現できる結果を“△”で示してある．
結果も示している．
解析結果は実験結果と概ね整合している．
また，結果も示している．
解析結果は実験結果と概ね整合している．
また，再現できる結果を“△”で示してある．
に示す．図 8 には，10 本のマトリクス割れをモデル化した場合の荷重低下点直後においてプライ層間の損傷分布を
X線により
荷重低下点直後においてプライ層間の損傷分布を
X線
CTCT
により
結果も示している．
解析結果は実験結果と概ね整合している．
また，撮影し画像処理された結果を解析結果と比較して図9に示す．図撮影し画像処理された結果を解析結果と比較して図9に示す．図荷重低下点直後においてプライ層間の損傷分布を X 線 CT により
9 において実験の損傷形状をよく再現できる結果を
9 において実験の損傷形状をよく再現できる結果を“〇”で，概ね
撮影し画像処理された結果を解析結果と比較して図9“〇”で，概ねに示す．図再現できる結果を“△”で示してある．
再現できる結果を“△”で示してある．
9 において実験の損傷形状をよく再現できる結果を“〇”で，概ね●17

図 7 6 本のマトリクス割れを考慮した CFRP 積層板のXFEM モデル再現できる結果を“△”で示してある．
(a) 二次元三角形要素モデルとき裂の定義 (c) XFEMによるマトリクス割れのモデル化

図 76 本のマトリクス割れを考慮した
6 本のマトリクス割れを考慮した
CFRP
積層板の
図7
CFRP
積層板の
XFEM
モデル
XFEM モデル
図 7 6 本のマトリクス割れを考慮した
CFRP 積層板のXFEM モデル(c) XFEMによるマトリクス割れのモデル化(a) 二次元三角形要素モデルとき裂の定義(c) XFEMによるマトリクス割れのモデル化(a) 二次元三角形要素モデルとき裂の定義(a) 二次元三角形要素モデルとき裂の定義 (c) XFEMによるマトリクス割れのモデル化(b) 三次元５面体要素(d) インターフェース要素によるはく離のモデル化

図4 準三次元XFEMによるCFRP積層板のモデル化
図 4 準三次元 XFEM による CFRP 積層板のモデル化(b) 三次元５面体要素(b) 三次元５面体要素(d) インターフェース要素によるはく離の(d) インターフェース要素によるはく離の
モデル化
モデル化
(b) 三次元５面体要素(d) インターフェース要素によるはく離のモデル化
図 4準三次元
準三次元
XFEM
による
CFRP
積層板のモデル化
図4
XFEM
による
CFRP
積層板のモデル化

図 8 押し込み量と荷重との関係[26]図 4 準三次元 XFEM による CFRP 積層板のモデル化
4.
(a) バイリニア型CZM(b) Zig-zag CZM (ZCZM)

図 5 バイリニア型の CZM と Zig-zag CZM(a) バイリニア型CZM(a) バイリニア型CZM(b) Zig-zag(ZCZM)(b) Zig-zag
CZMCZM(ZCZM)

圧子
CZMとZig-zag
Zig-zag
図5 ϕ16バイリニア型の(a) バイリニア型CZM(b)
CZM CZM(ZCZM)
積層板45
図 5バイリニア型のバイリニア型のCZMと Zig-zag
CZM
図5
CZM
と Zig-zag
CZM
0
90

-45
図 5 バイリニア型の CZM と Zig-zag CZM
ϕ16 ϕ16

圧子
圧子

ϕ16

圧子

積層板
積層板
積層板
Y

Z

Supported
Window

X(a) QSI試験
Y
Y

Z
Z

YX
X

Z

X

(b)

図 6 CFRP
積層平板の QSI 試験
Supported
Supported
Window
Window

Supported
Window

QSI試験(a) (a)
QSI試験

45
0
90
-45
-45
90
45 45
0 0
45
90 90
45 -45
-45
90
0 45
45
0
90
0 0
45
-45
90 90
45 -45
-45
0 -45
-45
90 90
90
-45
積層構成
0 0
-45
45 45
90 -45
-45
0 90
90
45
0 0
-45
45 45
90
0
45

積層構成
(b) (b)
積層構成

(b)
(a)
図 6CFRP
CFRP
積層平板の
QSI
試験積層構成図QSI試験
6
積層平板の
QSI
試験

図
試験
図66 CFRP
CFRP積層平板の積層平板のQSI
QSI試験

おわりに

図 8押し込み量と荷重との関係[26]
押し込み量と荷重との関係[26]図8
本稿では，EFGM→PUFEM→Enriched
EFGM→XFEM+レベルセ
図 レベルセット
8 押し込み量と荷重との関係[26]
ット法といった，
XFEM の開発の過程を概説した後，4. おわりにおわりに
4.
その応用例として筆者が実施している
CFRP 積層板の静的押し込
4. おわりにみ試験を対象とした損傷進展解析結果を示した．解析の詳細につ4.
おわりにEFGM→XFEM+レベルセ
本稿では，EFGM→PUFEM→Enriched
EFGM→XFEM+レベルセ
EFGM→
XFEM+
レ
本本稿では，EFGM→PUFEM→Enriched
稿 では，EFGM→PUFEM→Enriched
いては文献[26]を参照されたい．なお，レベルセット
XFEMのもット法といった，
レベルセットXFEMの開発の過程を概説した後，ット法といった，
レベルセットXFEMの開発の過程を概説した後，う一つ応用分野として，破壊力学パラメータの評価およびき裂進の開発の過程を概説
ベルセッ
ト法といった，レベルセットXFEM
本稿では，EFGM→PUFEM→Enriched
EFGM→XFEM+レベルセ
その応用例として筆者が実施している
CFRP
積層板の静的押し込
その応用例として筆者が実施している
CFRP
積層板の静的押し込
展解析があるが，紙面の都合で割愛した．
これについては，
いずれ
ット法といった，
レベルセットXFEM の開発の過程を概説した後，
CFRP
積層板の静
した後，その応用例として筆者が実施しているみ試験を対象とした損傷進展解析結果を示した．解析の詳細につみ試験を対象とした損傷進展解析結果を示した．解析の詳細につまた機会があれば紹介したい．
その応用例として筆者が実施している
CFRP
積層板の静的押し込
的押し込み試験を対象とした損傷進展解析結果を示した．解析
いては文献[26]を参照されたい．なお，レベルセット
XFEMのもいては文献[26]を参照されたい．なお，レベルセット
XFEMのもみ試験を対象とした損傷進展解析結果を示した．解析の詳細につの詳細については文献[26]を参照されたい．なお，レベルセット
う一つ応用分野として，破壊力学パラメータの評価およびき裂進う一つ応用分野として，破壊力学パラメータの評価およびき裂進文
献 のもう一つ応用分野として，破壊力学パラメータの評価おいては文献[26]を参照されたい．なお，レベルセット
XFEM のも
XFEM
展解析があるが，紙面の都合で割愛した．
これについては，
いずれ
展解析があるが，紙面の都合で割愛した．
これについては，
いずれ
う一つ応用分野として，破壊力学パラメータの評価およびき裂進[1]Belytschko
T.
and
Black
T.,
Elastic
crack
growthinfiniteelements
with
よびき裂進展解析があるが，紙面の都合で割愛した．これについまた機会があれば紹介したい．
また機会があれば紹介したい．
展解析があるが，紙面の都合で割愛した．
いずれminimal remeshing,International Journal これについては，
for Numerical Methods
inては，いずれまた機会があれば紹介したい．
また機会があれば紹介したい．
Engineering, Vol.45 (1999), pp.602-620.
文献 献
文
[2]
文Moës
献 N., Dolbow J. and Belytschko T., A finite element method forT. andBlack
T., Elastic
crack
growthin finiteelements[1] [1]
Belytschko
T. andBlack
T., Elastic
crack
growthin finiteelements
withwith文
献Belytschko
crack
growth
without
remeshing,International
Journalfor
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minimalremeshing,International
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Methods
minimalremeshing,International
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J. andBelytschkoT.,finite
A finiteelement
method[2] [2]
MoësDolbow
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methodfor forEngineering,
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crack
growth
without
remeshing,International
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crack N.,
growth
without
remeshing,International
Journalformethod
Numerical[2] Moës
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T., A finite
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Vol.46,(1999),
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Engineering,
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crack growth without remeshing, International Journal for Numericalelement
method forVol.46,
crack(1999),
growth
without remeshing,
Methods
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International Journal for Numerical Methods inEngineering, Vol.46, (1999), pp.131-150.

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)●18(a)実験結果(b)XFEM/6s splits/ ZECZM
9 プライ層間における分布について損傷進展解析と試験結果との比較[26][32]
図9 図
プライ層間における損傷分布について損傷進展解析と試験結果との比較[26][32][3]Belytschko
Belytschko
Y. Y.
L., Element
free Galerkin[3]T., LuT.,
Y. Lu
Y. andGuandL., GuElement
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[19] Shibanuma
K.
and
Utsunomiya
T.,
Reformulationof XFEM basedon
Journal for Numerical Methods in Engineering,
Vol.64,
PUFEM
for solving
problem caused by blending elements, Finite(2005),
pp.1033-1056.
Elements
inAnalysis
andDesign,Vol. 45 (2009),[17] Chessa J., Wang H.
and Belytschko
T.,pp.806-816.
On the[20] de Borst
R.,
Crisfield
M.
A.,
RemmersJ.
J.
C.
Verhoosel
C. ofV.,
construction of blending elements forand
local
partition
Nonlinear
FiniteElement
AnalysisofSolidsandStructures,
Secondunity enriched ﬁnite elements, International Journal
Edition, John Wiley & Sons (2012).
for Numerical Methods in Engineering, Vol.57, (2003),[21] Zi G. and Belytschko T., New crack-tip elements for XFEM andpp.1015-1038.
applications to cohesive cracks, International Journal for Numerical[18] Fries T. P. , A corrected XFEM approximation without
Methods in Engineering, Vol.57 (2003), pp.2221-2240.
problems
in blending
elements,T.,International
Journal of[22] Higuchi
R., Okabe
T. and Nagashima
Numerical simulation
for
Numerical
Methods
inEngineering,
Vol.75(2008),
progressive damage and failure in composite laminatesusing
pp.503-532.
XFEM/CZM
coupled approach, Composites Part A, Vol.95 (2017), pp.
[19]
Shibanuma K. and Utsunomiya T., Reformulation of
197-207.
XFEM basedon PUFEM
for solving problem caused[23] 島崎紗緒里,
長嶋利夫,
結合力モデルを用いた準三次元
by blending elements, Finite Elements in Analysis andDesign, Vol. 45 (2009), pp.806-816.

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[21] Zi G. and Belytschko T., New crack-tip elements for
XFEM and applications to cohesive cracks, International
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[23] 島崎紗緒里, 長嶋利夫, 結合力モデルを用いた準三次元
XFEMによるCFRP積層板の損傷進展解析, 日本計算工学会論文集 (2017) Paper No.20170008.
[24] 王晨宇, 長嶋利夫，Zig-zag型結合力モデルを用いたFEM
によるCFRP積層板の準静的押し込み試験解析, 日本計算工学会論文集, (2020) Paper No.20200009.
[25] Higuchi R., Warabi S., Yoshimura A., Nagashima
T.，Yokozeki T. and Okabe T., Experimental andnumerical study on progressive damage and failure incomposite laminates during open-hole compression tests,
Composites Part A,Vol.145(2021).
[26] 王晨宇, 長嶋利夫，準三次元 XFEMを用いたCFRP積層
板の準静的押し込み試験解析, 日本機械学会論文集,

●19

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

Vol.87, No.895, No.20-00432 (2021).
長嶋利夫 澤田昌孝，き裂先端要素を用いたXFEMによる二次元き裂解析,日本機械学会論文集 A編, Vol. 78, No.
796, pp. 1642-1655 (2012).
Nagashima T. and Sawada M., Development of adamage propagation analysis system based on level set
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Ridha M., Wang C.H., Chen B.Y. and Tay T.E., Modellingcomplex progressive failure in notched composite
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Composites Part A, Vol.58 (2014), pp. 16-23.
Abisset E., Daghia F., Sun X.C., Wisnom M.R. andHallett S.R., Interaction of inter- and intralaminardamage in scaled quasi-static indentation tests: Part 1 –Experiments, Composite Structures, Vol.136 (2016), pp.
712-726.
Sun X.C., Wisnom M.R. and Hallett S.R., Interactionof inter- and intralaminar damage in scaled quasistatic indentation tests: Part 2 – Numerical simulation,
Composite Structures, Vol.136 (2016), pp. 727-742.

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)● 20

特集2：安全で信頼できるCAEの利用を支える計算力学技術者の国内資格認定制度、及び海外資格認定制度との国際相互認証

安全で 信頼できるCAEの利用を支える計算力学技術者の国内資格認定制度、及び海外資格認定制度との国際相互認証
吉田 有一郎
東芝インフォメーションシステムズ株式会社

写
1. 顔
はじめに

真

タイトル 安全で信頼できる CAE の利用を支える計算力学技術者の国内資格
固体力学分野の有限要素法解析技術者、
熱流体力学分野の解認定制度、及び海外資格認析技術者、定制度と振動分野の有限要素法解析技術者のの国際相互認証
3分野のそれぞカラー
製造業で計算機を使い仮想試作を実現して生産性を向上す
れで、初級、2級、1級、上級アナリスト認定の4レベルの認定事業
前
吉Aided田有一
郎（名ComputerEngineering）と呼るという考え方をCAEお
314ｐｘ以上が行われている。
属 (1)と言われる。
東芝イン（
フ本来の）広ォメーショテムズ株式会2019
社 年からは計算力学技術者資格認定事業
いンシス
んだのはSDRC社のJ.R.所Lemon
委員会（委員長：長嶋利夫上智大教授、副委員長：店橋護東工（ Computer Aided Design）、CAM
意味のCAEの範囲にはCAD（ Computer Aided Manufacturing（ Computer Aided
1. はじめに ）、CAT

Testing）、PDM（ Product Data Management： 製 品 デ ー タ 管製造業で計算機を使い仮想試作を実現して生産性を向上すると（ Product
Lifecycle Management：製品ライフサイク理）、PLM
いう考え方をCAE （Computer
Aided Engineering）
と呼んだの
AR/VR
（
Augmented
Reality/
ル管理）等も含まれる。
現在では(1)
は SDRC 社の J.R. Lemon と言われる。
（本来の）広い意味のVirtualReality）、IoT（ Internetof Things）、機械学習Machine
CAE
の範囲には
CAD
（Computer
Aided
Design（）、CAM
Learning）、
MES（
Manufacturing
Execution
System：製造実行（Computer Aided Manufacturing）、CAT（Computer Aided
システム）等も含まれるだろう。
Testing）、PDM（Product Data Management：製品データ管理）、
一般的には、設計・製造の検討事項をモデル化しシミュレー
PLM（Product Lifecycle Management：製品ライフサイクル管理）ションで検討する（ Modeling ＆ Simulation）部分をCAEと考え、等も含まれる。現在では AR/VR（Augmented Reality/Virtual
CAEに関連する工学、計算機科学、及び数学の学術的な研究にReality）、
IoT（Internet of Things）、
機械学習（Machine Learning）、
関連する分野を計算力学と考えることが多いように感じる。
MES（Manufacturing Execution System：製造実行システム）等
企業におけるCAEの利用では、CAE投資から得られる利益をも含まれるだろう。
確実にするため、目的に適う妥当な結果を得る必要がある。
目的
一般的には、設計・製造の検討事項をモデル化しシミュレーシに適う妥当な結果が利益に繋がることがビジネスの視点から見ョンで検討する（Modeling ＆ Simulation）
部分を CAE と考え、
広い意味のCAEとの連携も重要である。
たCAEの品質であり、CAE に関連する工学、計算機科学、及び数学の学術的な研究に関ISO9001品質マネジメントシステムの視点では、CAEの品質連する分野を計算力学と考えることが多いように感じる。
を支えるのはツール、プロセス、要員の3つの要素である。要員
企業における CAEプロセスを運用するため、の利用では、CAE 投資から得られる利益を
CAE投資の効果
がツールを使用し、確実にするため、目的に適う妥当な結果を得る必要がある。目的（質保証）は重を確実にする施策としてCAE要員の力量の保証に適う妥当な結果が利益に繋がることがビジネスの視点から見た要である。本稿では日本機械学会の計算力学技術者資格認定
CAEの品質であり、広い意味のCAE との連携も重要である。
の現状、日本機械学会上級アナリストと英国
NAFEMS
制度(2),(3)(4)の国際相互認証、
ISO9001
品質マネジメントシステムの視点では、CAEの品質
PSE及び海外におけるPSEの活用事例につを支えるのはツール、プロセス、要員の3 つの要素である。要員
いて紹介する。
がツールを使用し、プロセスを運用するため、CAE 投資の効果を
2. 日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度確実にする施策として CAE 要員の力量の保証（質保証）は重要で
2002
日本
機 械 学 会 の計算力学 技 術 者 資 格 認 定 制 度は、(2),(3)ある。
本稿では日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度の年3月から日 本 機 械 学 会 の工 学 教 育 センター
（そ
の (4)
後、能
現状、日本機械学会上級アナリストと英国
NAFEMS
PSE
の国
力
開
発
促
進
機
構、イノベーション
センターと改編）の下際相互認証、及び海外における PSE の活用事例について紹介すに設けられた「計算力学技術者基準と認定に関する検討委員会」
る。
（委員長：吉村忍東大教授、幹事：長嶋利夫上智大教授）が中

2003年4月に、「固体力学分野の心となって準備が進められた。
2.
日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度
有限要素法解析技術者」の認定に関する試行（パイロットスタ
日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度は、
2002 年 3 月か
2003
年
12
月に固体力学分野の有限要素法解
ディー）
が行われ、
ら日本機械学会の工学教育センター（その後、能力開発促進機構、析技術者を対象とした計算力学技術者2級の認定事業が開始しイノベーションセンターと改編）の下に設けられた「計算力学技術者基準と認定に関する検討委員会」（委員長：吉村忍東大教授、た。筆記試験に基づく計算力学技術者資格認定は世界最初と考
幹事：長嶋利夫上智大教授）が中心となって準備が進められた。
えられる。これ以降、分野とレベルの拡大が行われ、現在では、
2003 年 4 月に、「固体力学分野の有限要素法解析技術者」の認定に関する試行（パイロットスタディー）が行われ、2003 年 12 月に固体力学分野の有限要素法解析技術者を対象とした計算力学技
術者 2 級の認定事業が開始した。筆記試験に基づく計算力学技術

大教授、幹事：高野直樹慶応義塾大教授）としての活動になり、者資格認定事業委員会（委員長：長嶋利夫上智大教授、副委員長：
国内の代表的な計算力学技術者資格認定制度になった。2014
店橋護東工大教授、幹事：高野直樹慶応義塾大教授）としての活
年からは上級アナリストと英国NAFEMSのPSE（ Professional
動になり、国内の代表的な計算力学技術者資格認定制度になった。
Simulation）の国際相互認証も開始した。
2014
年からEngineer
は上級アナリストと英国
NAFEMS2020
の 年度は
PSE
COVID19のため認定試験は初級と上級アナリストのみが実施さ（Professional
Simulation Engineer）の国際相互認証も開始した。
2021年からは新体制（委員長：店橋護東工大教授、副委
れた。
2020
年度は
COVID19 のため認定試験は初級と上級アナリスト
のみが実施された。2021
年からは新体制（委員長：店橋護東工大
員長：神谷恵輔愛知工大教授、幹事：高野直樹慶応義塾大教授）
教授、副委員長：神谷恵輔愛知工大教授、幹事：高野直樹慶応義塾
CBT（Computer Basedになり、COVID19対策として1、2級試験は大教授）になり、COVID19
対策として
1、2
級試験は
CBT
Testing）で実施する予定である。
図１に2003年から
2019年の受験（Computer
Based
Testing）で実施する予定である。
図１に 2003
2万人、合格者の累計は約1万人者数を示す。
受験者数の累計は約年から 2019 年の受験者数を示す。受験者数の累計は約 2 万人、になっている。図２に2020年における全受験者の所属産業分野
合格者の累計は約 1 万人になっている。図２に 2020 年におけるを示す。
幅広い産業分野からの受験者が大多数を占めている。
企
全受験者の所属産業分野を示す。幅広い産業分野からの受験者が目的に適う妥当な結果を得るために計算業におけるCAE利用で、力学技術者資格取得者が貢献していることが推察される。
1800
1600

Solid mecahnics

1400

Thermal fluid

1200

178

Vibration

1000
800

109 114 219

600
400

519 609 613 572

200 295
0
3 4

5

6

7

254

258

687 7628304

298 328803 865 898

275 277272

322 388 415

249 270 279 282
433 489 445 489

908 881 881 966 913 927 920

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Fig.1 Number of applicants in 2003 - 2019

No response on employment
Educational
7%
Other companies
2%
5%
Manufacturing/automobiles
Research Institutes
13%3%Architectural
Manufacturing/electrical3%
13%
Commissioned software computation
Manufacturing/materials
11%
11%
Software development/sales
11%
Manufacturing/machineries
21%

Fig.2 Distribution of industrial affiliation of applicants
大多数を占めている。企業における CAE 利用で、目的に適う妥当な結果を得るために計算力学技術者資格取得者が貢献しているこCMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)● 21

上級アナリスト取得者は133名である。上級アナリストの認定

照できるソフトウェアシステム。個人の教育を計画し結果をモニ

析経験を有し、さらにCAE解析プロジェクトを企画・マネジメン

PSEの要件は、「①ソフトウェアの使用経験及び②設計・製品認定に利用される解析の経験を含めた解析経験を詳述した資料と、③主張したい力量レベル（標準（ Standard。十分に文書化された手順に基づき独力で解析ができる）、上級（ Advanced。
独力で解析と妥当性確認を計画できる）のいずれか）を提示しNAFEMSのアセッサの面接を受ける」である。NAFEMSは2013年6月からPSEの認定を開始している。PSEには書類審査のみで面接無しの初級（ Entry）もある。
NAFEMS及びPSEは共に英国と欧 州における産官学連 携（英国におけるの成果事例と考えられる。Chartered Engineer
技術者資格）等を認定する英国の規制当局である技術評議会（ Engineering Council）が PSEの 運 用を監 査し、NAFEMSがPSE資格の認定を実施している。

レベルは、「理論及び実務の両面において幅広く深い知識と解トできるとともに、高い倫理観を持ち、顧客や社会に対してプレゼンテーションできる。」である。ここで解析プロジェクトの企画・
マネジメントとは「 CAE 解析プロジェクトにおいて，CAE 解析タ

スク全般の企画立案，及び得られる解析精度や信頼性の保証，結果の活用法について実質的な責任を持ってあたれる能力のこと。プロジェクトの企画立案ではプロジェクトの目的と成果目標を定め、品質、コスト、納期の計画を立て、実施に際しては、計画を達成するためにリスクを考慮し、リソース（人、物、費用）を管理し、必要に応じ力量不足の要員の教育等を織り込み、各所に工夫を重ねプロジェクトを実施する。」である。

上級アナリストは複雑で難易度の高いCAE課題の解決を自身で企画し、プロジェクトチームを主導して遂行し、同時に人材も育成する力量がある。CAE投資の効果をより強化したい企業にとり上級アナリストは重要な要員と考えられる。

（国際上級アナ
国際相互認証でPSEを取得した上級アナリスト

リスト）は累計46名、上級アナリストを取得したPSEは累計2名でターすること等ができる。

4.

国際相互認証の方法
日本機械学会は2014年1月に上級アナリストとPSEが等価であるという国際相互認証に関する覚書を締結し、2014年8月からあり、相互の認証が実現している。

固体力学と熱流体力学の上級アナリストのPSE申請受付を開始

3.

等価だが、計算力学技術者の力量の考え方に関して上級アナリ

NAFEMSとPSE
英国DTI（ Department of Trade and Industry）は、産学の要 請 に 基 づ き、NEL（ National Engineering Laboratory, East

Kilbride, Scotland）の中に商用有限要素法ソフトウェアの完成 度を高めるためのプロジェクトを置いた。その結果「有限要素法と関連技術の安全な信頼できる利用の促進」を目的と（ National Agency for Finite Element
し て1983 年 に NAFEMS
Methods and Standards）が 設 立 され1990年 にNPOとして 独立した。NAFEMSは1985年から2020年までに構造 解 析中心に52種類のベンチマークテストマニュアルを発行し、商用構
造解析ソフトウェアの多くは品質保証プロセスの一部として
NAFEMSベンチマークテストを 利用している。NAFEMSは1989年にISO9001:1987に基づく構造解析の品質保証マニュア（ Quality System Supplement）(5)を発行した
（文献
（ 5）
ル、QSS
は 第2版 ）。2020 年 に はASME V&V Committeeと 協 力して
ISO9001:2015 に 基 づ くESQMS:01（ Engineering Simulation
Quality Management Standard）(6)を発行している。
ISO9001:2015を有限要素解析の品質マネジメントに適用する際の重要ポイントは、①精度検証された解析コード、②適切な解析プロセス、③力量ある計算力学技術者（力量は知識及び技能を適用できる、実証された能力）である。
NAFEMSは1990年代末から計算力学技術者資格制度であ（ Registered Analyst）Schemeを 開 発・ 運 用した。2010
るRA
年から2012年 にはEU資 金を得て企 業、大 学と共 にEASIT2（ Engineering Analysis and Simulation Innovation Transfer）プ
ログラムを実施し、成果の一つとして新RAであるPSEを開発した。EASIT2は力量ある計算力学技術者が保有すべき知識とス
キルを定めることを目的とし、下記の成果物を得た。
①Educational Base : 優秀な計算力学技術者が保有すべき力量を詳細に説明した記述の集合。
「 有限要素法」、「 計算流体力学」、「動力学と振動」等、解析分野毎に分かれている。
②Competency Framework：個人のスキルを記録し、履歴を参した（振動も2015年に開始）。上級アナリストとPSEは基本的にストとPSEで異なる部分がある。上級アナリストのPSE申請手順を以下に示す。

上 級アナリストが国際相互 認 証をしているPSE認定は標 準と上級（ Advanced）の2種類である。
また、専門分野とし（ Standard）
ただし、熱流体力学の上級アナて表1の17分野が選択可能である。

リストが選択可能な分野はCore Computational Fluid DynamicsとFundamentals of Flow, Heat and Mass Transferであり、振動分

野の上級アナリストが選択可能な分野はDynamics and Vibration,

Noise and Acoustics, Multi-body Dynamicsである。
Competency Frameworkは、Educational Baseを内蔵しており、表1に示す各技術分野に対し、学習すべき力量の記述をそれぞれ50 〜 60項目以上有している。
各記述は、内容の難易度に応じたStandardまたはAdvancedの区別と、学習用の参考書を有している。
Standardを申請する場合はStandardの力量記述を、Advancedを申請する場合は、Standard及びAdvancedの両方の力量記述を学習する必要がある。PSE申請者は、申請する技術分野の力量記述の中で自身の業務に相応しい力量記述をすべて学習したことを自己申告する必要がある。
各技術分野は、力量記述を学習した事に加え、十分な職務経験を有している事が必要である。上記の条件を満たしていれば、複数の技術分野を申請する事が可能である。表 2にStandardとAdvancedの満たすべき能力の比較(4)を示す。StandardとAdvancedの差異は｢独力で解析戦略と妥当性確認の計画を立てられる力量｣、「専門家として認められること」、「スキルと専門性で他者を育成できること」である。表2の能力は項目により自己申告（ Self）またはProfessional Engineer相（ Referee）による証明が必要である（日本機
当の2人以上の証人
械学会を経由せず個人申請する場合）。
日本機械学会は、PSE申請を希望する上級アナリストから認定を希望する技術分野とレベルの申告を受け、上級アナリスト面
接時の提出資料に基づいて申告された内容を審査し審査結果をNAFEMSへ提出する。

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)● 22

Table 1 NAFEMS Technical Areas
Table11NAFEMSNAFEMS Technical Areas
Table
1 Core Finite Element Analysis Technical Areas

1 Core Finite Element Analysis
1 CoreFiniteElement Analysis
2 CoreComputational
Fluid Dynamics (CFD)
2 Core Computational Fluid Dynamics (CFD)
2 CoreComputational
Fluid
Dynamics
3 Mechanics,
Elasticity
andStrength(CFD)of Materials
3 Mechanics, Elasticity and Strength of Materials
3 Mechanics,
Elasticity andStrengthof Materials
4 Beams, Membranes,
Platesand Shells
4 Beams, Membranes, Plates and Shells
4 Beams,
Membranes,
PlatesandandShellsFundamentals
of Flow,
Heat
Mass Transfer
5Fundamentals of Flow, Heat and Mass Transfer(CFD)
of Flow, Heat and Mass Transfer
5Fundamentals
5 (CFD)
6 Materials for Analysis and Simulation(CFD)
6 Materials for Analysis and Simulation
6 Materials
for Material
Analysis andand Structures
Simulation
7 Composite
7 Composite Material and Structures
7 Composite
8 Fatigue Material and Structures
8 Fatigue
8 Fatigue
9 Flaw Assessment and Fracture Mechanics
9 Flaw Assessment and Fracture Mechanics
9 10
Flaw
Assessment and Fracture
Mechanics
Thermo-MechanicalBehavior
10 Thermo-Mechanical Behavior
10 11
Thermo-MechanicalBehavior
Buckling and Instability
11 Buckling and Instability
11 12
Buckling
andandInstability
Dynamics
Vibration (Vibration)
12 Dynamics and Vibration (Vibration)
12 13
Dynamics
andVibration(Vibration)(Vibration)
Noise andAcoustics
13 Noise and Acoustics (Vibration)
13 14
Noise
and Acoustics(Vibration)
Multi-bodyDynamics(Vibration)
14 Multi-body Dynamics (Vibration)
14 15
Multi-bodyDynamics(Vibration)
Nonlinear
Geometric
Effects and Contact
15 Nonlinear Geometric Effects and Contact
15 16Nonlinear
Geometric Effects and Contact
Plasticity
16 Plasticity
16 17
Plasticity
Creep and Time-Dependency
17 Creep and Time-Dependency
17 Creep and Time-Dependency

CORE
CORE
CORE
BACK
BACK
GROUNDBACKGROUNDGROUNDPOSSIBLE
POSSIBLE
SPECIALISMSPOSSIBLE
SPECIALISMS
SPECIALISMS

5. 国際上級アナリストへのアンケート調査
5. 国際上級アナリストへのアンケート調査
国際上級アナリストへのアンケート調査
国際上級アナリストへのアンケート調査
5.5.
日本機械学会は2020 年に国際上級アナリストへの無記名によ日本機械学会は2020 年に国際上級アナリストへの無記名によ日本機械学会は2020年に国際上級アナリストへの無記名によ
年に国際上級アナリストへの無記名によ日本機械学会は2020
るアンケート調査を実施し、PSE
認証にメリットを感じているかるアンケート調査を実施し、PSE認証にメリットを感じているか
認証にメリットを感じているかるアンケート調査を実施し、PSE
どうか、どうなれば
PSE
認証のメリットが向上するか、PSE
申請
るアンケート調査を実施し、PSE認証にメリットを感じているか
どうか、どうなればPSE
PSE認証のメリットが向上するか、PSE
認証のメリットが向上するか、PSE申請
申請
どうか、どうなれば作業の難易度、
日本機械学会とNAFEMSのサポート内容は適切か
PSE認証のメリッ
トが向上するか、
PSE申請作
どうか、
どうなれば作業の難易度、
日本機械学会とNAFEMSNAFEMSのサポート内容は適切かのサポート内容は適切か
作業の難易度、
日本機械学会と他を調査した。40
名の国際上級アナリストから20件の回答を頂業の難易度、日本機械学会とNAFEMSのサポート内容は適切か他を調査した。40名の国際上級アナリストから名の国際上級アナリストから2020件の回答を頂
件の回答を頂他を調査した。40いた。アンケート結果の一部を紹介する。図
3に
PSE
認証のメリ
40名の国際上級アナリストから20件の回答を頂他を調査した。
いた。アンケート結果の一部を紹介する。図
3
に
PSE
認証のメリ
いた。アンケート結果の一部を紹介する。図
3 に PSE 認証のメリットに対する回答を示す、図 3 では 65%の回答者はメリットを感いた。
アンケート結果の一部を紹介する。
図3にPSE認証のメリッットに対する回答を示す、図では65%の回答者はメリットを感65%の回答者はメリットを感ットに対する回答を示す、図33ではじ、35%はメリットを感じてない。自由記述欄のメリットの内容
3では
65%の回答者はメリッ
トを感じ、トに対する回答を示す、
図
じ、35%はメリットを感じてない。自由記述欄のメリットの内容
じ、35%はメリットを感じてない。自由記述欄のメリットの内容
は、(1)PSE を名刺に入れ、PSE を知っている人から評価された。
35%はメリッ
トを感じてない。
自由記述欄のメリッ
トの内容は、(1)は、(1)PSE
を名刺に入れ、PSEを知っている人から評価された。
は、(1)PSE
を名刺に入れ、PSEを知っている人から評価された。
(2)ソフトウェアベンダの対応が丁寧になった。(3)解析依頼者からPSEを名刺に入れ、PSEを知っている人から評価された。
(2)ソフ(2)ソフトウェアベンダの対応が丁寧になった。(3)解析依頼者から(2)ソフトウェアベンダの対応が丁寧になった。(3)解析依頼者からの信頼が増した。(4)NAFEMS（から案内が来る）Web セミナー参の信頼が増した。(4)NAFEMS（から案内が来る）Web
セミナー参(3)解析依頼者からの信トウェアベンダの対応が丁寧になった。
の信頼が増した。(4)NAFEMS（から案内が来る）Web
セミナー参
加を通じ海外の計算力学技術者と交流できた。他がある。
加を通じ海外の計算力学技術者と交流できた。他がある。
(4)NAFEMS（
から案内が来る）
Web
セミナー参加頼が増した。
加を通じ海外の計算力学技術者と交流できた。他がある。
PSE 認証にメリットを感じない回答者も、上級アナリスト及びPSE認証にメリットを感じない回答者も、上級アナリスト及び認証にメリットを感じない回答者も、上級アナリスト及びを通じ海外の計算力学技術者と交流できた。
他がある。
PSE
の知名度が向上すれば認証のメリットは向上すると考えていPSEの知名度が向上すれば認証のメリットは向上すると考えていPSEの知名度が向上すれば認証のメリットは向上すると考えていPSE
認証にメリットを感じない回答者も、上級アナリスト及びる。図には示さないが PSE 申請作業の難易度に対しては、普通又る。図には示さないがPSE
PSE申請作業の難易度に対しては、普通又申請作業の難易度に対しては、普通又る。図には示さないがPSEの知名度が向上すれば認証のメリットは向上すると考えては簡単という回答は70%。日本機械学会及び
NAFEMS のサポーは簡単という回答は70%。日本機械学会及び70%。日本機械学会及びNAFEMSNAFEMSのサポーのサポー
は簡単という回答はトに対しては普通又は良いが100%だった。
普通いる。
図には示さないがPSE申請作業の難易度に対しては、
トに対しては普通又は良いが100%だった。
トに対しては普通又は良いが100%だった。
又は簡単という回答は70% 。日本機械学会及びNAFEMSのサ
6. 海外における PSE 活用事例 100%だった。
ポートに対しては普通又は良いが海外におけるPSE
PSE活用事例
活用事例
6.6. 海外における先端微細半導体の製造工程で使用するリソグラフィ装置はアル
先端微細半導体の製造工程で使用するリソグラフィ装置はアル6.先端微細半導体の製造工程で使用するリソグラフィ装置はアル海外におけるPSE活用事例
ゴン・フッ素（ArF）光源や、極端紫外（EUV）光源を用いる。液ゴン・フッ素（ArF）光源や、極端紫外（EUV）光源を用いる。液ゴン・フッ素（ArF）光源や、極端紫外（EUV）光源を用いる。液浸
ArF や EUV の装置はオランダ ASML が極めて大きなシェアを
先端微細半導体の製造工程で使用するリソグラフィ装置はア
浸ArF
ArFや
やEUV
EUV
の装置はオランダASML
ASMLが極めて大きなシェアをが極めて大きなシェアを(7)．
浸の装置はオランダ
はリソグラフィ装置開発における構造
・流体
占めている
ArF
）
光源や、極端紫外（ EUV）光源を用いる。
ルゴン・フッ素
（ASML
(7)．
ASML
はリソグラフィ装置開発における構造
・
流体
占めている
(7)．
ASML
はリソグラフィ装置開発における構造
・
流体
占めている
等のシミュレーションを正しく実施するため、NAFEMS PSE を導
ArF
や
EUV
の装置はオランダ
ASMLが極めて大きなシェア
液浸等のシミュレーションを正しく実施するため、NAFEMS
PSEを導を導等のシミュレーションを正しく実施するため、NAFEMS
Level+以上
入し独自の Entry
Level+(8)を設定した。ASML は Entry PSE(7)．ASML(8)はリソグラフィ装置開発における構造・を占めているを設定した。ASML
は
Entry
Level+以上
入し独自の
Entry
Level+(8)を設定した。ASML
Entry Level+以上
入し独自のEntry Level+ CAE ソフト利用 IDはを発行し、解析品質を認定した技術者だけにNAFEMS
流体等のシミュレーションを正しく実施するため、を認定した技術者だけにCAE
CAE ソフト利用 ID を発行し、解析品質を認定した技術者だけにのレベルを維持している。 ソフト利用 ID を発行し、解析品質(8)を設定した。ASMLはEntryのレベルを維持している。
PSEを導入し独自のEntry
Level+のレベルを維持している。
富岳の A64FX CPU は設計に 7nmfinfet(9)を採用し、TSMC が製(9)を採用し、TSMC が製
富岳のA64FXCPU
CPUは設計に
は設計に7nmfinfet
7nmfinfet(9)を採用し、TSMC
Level+
以上を認定した技術者だけにソフト利用IDを発行
が製
富岳の
A64FX
造した。リソグラフィ装置は液浸ArFCAE利用と推察する。計算力学
造した。リソグラフィ装置は液浸ArF利用と推察する。計算力学
し、解析品質のレベルを維持している。
造した。リソグラフィ装置は液浸
ArFNAFEMS
利用と推察する。計算力学
が利用する最先端の HPC の開発にPSE が貢献しているが貢献しているが利用する最先端のHPCの開発に
NAFEMSPSE
PSE
(9)
はの開発に
設 計 に7nmﬁnfetをが貢献している
採用し、TSMC富岳 のA64FX CPUが利用する最先端の
HPC
NAFEMSが製造した。リソグラフィ装置は液浸ArF利用と推察する。計算力学が利用する最先端のHPCの開発にNAFEMS PSEが貢献

Table 2 PSE Certification Levels
Table22PSE
PSECertification
CertificationLevels
LevelsTable
Advanced Level
Standard Level

Advanced Level
Standard Level
The Candidate:
The Candidate:
Advanced Level
Standard Level
The Candidate:
The Candidate:sufficient knowledge andsufficient knowledge andThehasCandidate:
ThehasCandidate:has sufficient knowledge
andhas sufficient knowledge
andof theoryof theory
hascomprehension
sufficient knowledge
andto employ
hascomprehension
sufficient knowledge
andto employ
comprehensionof theory
employcomprehensionof theory
employavailable softwaretoolstoto
inemploya safe comprehension
available softwaretoolstoto
inemploya safecomprehensionof theoryof theory
available
softwaretools asinspecified
a safeavailable
softwaretools asinspecified
a safeand effective
mannerand effective
manneravailable
softwaretools ina safeavailable
softwaretools ina safeandeffective
manneras specified andeffective
manneras specified& advancedlevel
byeffective
the standardlevel
the standard
andmanneras competency
specified andbyeffective
manneras specified
1by thelevel
standard levelincompetency
bycompetence
the standard & advanced
thestatements
the relevant by& advancedinlevelstandardfoundlevel competency
the standardstatements
1 by the1 statementscompetencestatements in the
found
the PSE
relevant
relevant Technicaltechnicalfoundareasinin
ofthe
thecompetencestatementsAreasin theof thestatements
relevant
relevant
Technical Areasof thetechnical
areas of the PSE
PSE Competency
Tracker;
Competency
relevant
Technical Areasof thetechnical
areas Tracker;of the PSE
PSE Competency Tracker;
Competency Tracker;
PSE Competency Tracker;
Competency Tracker;
is able to employ available software plans analysis strategies andis tools
able toemployavailable
softwareplans
analysis strategies anda safe available
andeffective
mannervalidation
is abletoinemploy
softwareplans
analysisstudies;
strategies andtools
in a safeand effectivefollowing
manner validation studies;
and
tools
inworka safeindependently,
and effective mannervalidation studies;work independently,
following
2and
awork
well-definedprocedure
without
andindependently,
following
2 well-definedprocedure without
supervision;procedure
2 aawell-definedwithout
supervision;
supervision;is aware of their own limitations
is able to work independently on ais whenawarefacedof theirown
limitations
is rangeable toofwork
independently
on a
with
new
or novelcomplexand novelon
tasks;
isof theirown
limitations
is ableto work
independentlya
3 awarefaced with new or novel
range of complex and novel tasks;
problems;
3 whenfaced with new or novel
range of complex and novel tasks;
3 whenproblems;
problems;
conducts appropriate verification conducts appropriate verification
conducts
appropriate
verification
conducts
appropriate
verificationand validation
activities
to ensure conducts
and validation
activities
to ensureconducts
appropriate
verification
appropriate
verificationand validation
activities
toanalyses
ensure andvalidation
activities
toanalyses
ensurethe resultsof their
the resultsof theirandvalidation
activities
to ensureandthatvalidation
activities
to ensure4 thatthattheresultsof their analyses
thattheresultsof their analyses
are
fit
for
purpose.
are
fit
for
purpose;4 thatresults of their analyses
that the results of their analyses
4 are thefit for purpose.
are fit for purpose;are fit for purpose.
are fit for purpose;
5
5
6
6

5
6

-

-

-

is acknowledged as an expert;
is acknowledged as an expert;
is acknowledged
as anskills
expert;is able to use theirandis expertiseable to use
theirskillsandtomentorothers.
is able to use their skills
andexpertise to mentor others.
expertise to mentor others.

事例と推察する。Apple のモバイル SoC（System on a Chip）A14
事例と推察する。Apple のモバイルのモバイル SoC（Systemon
onaaChip）A14
Chip）A14
事例と推察する。AppleEUV が利用される。最新モバ
Bionic は 5nm プロセス(10)を採用しSoC（System(10)を採用し EUV が利用される。最新モバ
Bionicはは5nm
5nmプロセス
プロセス(10)を採用し EUV が利用される。最新モバ
Bionic
イル機器の開発にもNAFEMS
PSEのモバイルが貢献している。2023
年にはしている事例と推察する。
Apple
SoC
（ Systemon a
イル機器の開発にもNAFEMSPSE
PSEが貢献している。2023が貢献している。2023年には
年には
(11)で
イル機器の開発にもNAFEMS(10)Intelのクライアント
PC
用
CPU
等に
EUV
が採用される予定Chip）A14 Bionicは5nmプロセス を採用しEUVが利用され
(11)で
Intel
のクライアント
PC
用
CPU
等に
EUV
が採用される予定
(11)で
Intel
のクライアント PC 用 CPU 等に EUV が採用される予定ある。
る。
最新モバイル機器の開発にもNAFEMS PSEが貢献していある。
ある。
る。2023年にはIntelのクライアントPC用CPU等にEUVが採用される予定(11)である。

Fig.3 Benefit of PSE Certification
Fig.3Benefit
BenefitofofPSE
PSECertification
Certification
Fig.3
7. おわりにおわりにおわりに
7.7.7. おわりに
日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度の現状、英国
日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度の現状、英国
日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度の現状、英国
NAFEMSと PSE、上級アナリストの PSE 申請の方法、及び海外に
日本機械学会の計算力学技術者資格認定制度の現状、
英国
NAFEMSととPSE、
PSE、
上級アナリストのPSE
PSE申請の方法、申請の方法、
及び海外に
NAFEMS
上級アナリストの
及び海外に
おける
PSE
の活用事例を紹介した。
NAFEMSとPSE、上級アナリストのPSE申請の方法、及び海外におけるPSE
PSEの活用事例を紹介した。
の活用事例を紹介した。
おける
国際上級アナリストがNAFEMS コミュニティとの交流を通じ
PSEの活用事例を紹介した。
おける
国際上級アナリストがNAFEMS コミュニティとの交流を通じコミュニティとの交流を通じ国際上級アナリストがNAFEMSて成長し、シミュレーション技術でイノベーションを加速する事
NAFEMS
コミュニティとの交流を通じ国際上級アナリストがて成長し、シミュレーション技術でイノベーションを加速する事て成長し、シミュレーション技術でイノベーションを加速する事て成長し、シミュレーション技術でイノベーションを加速する事
により、計算力学技術者資格認定制度の知名度も向上することを期待する。

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)
文献（ 1） Lemon, J.R., Tolani, S.K., Klosterman, A.L., Integration

and Implementation of Computer-Aided Engineering andRelated Manufacturing Capabilities into the Mechanical
Product Development Process, CAD-Fachgesprach,(1980), pp.161-183.
（ 2） http://www.jsme.or.jp/cee/cmnintei.htm（ 3） 吉村 忍, 計算力学技術者認定事業の概要, 日本機械学会
誌, Vo.121, No.121, (2018), pp.10-12.
（ 4） http://www.nafems.org/professional-development/
certiﬁcation/（ 5） Smith, J.M., Quality System Supplement to BS EN ISO
9001 Relating to Engineering Analysis in the Design andIntegrity Demonstration of Engineered Products Issue
2.0, NAFEMS R0013, 1999.
（ 6） Smith, J.M., Quality Management Standard: Engineering
Simulation Quality Management Standard, NAFEMSESQMS:01, 2020.

● 23（ 7） 湯之上隆, 半導体装置市場、報じられない地殻変動…カギ握る台湾TSMCの動向、中国市場の挙動不審. /https://biz-journal.jp/2019/11/post_126627.html（ 8） Huizinga, F., Introducing PSE within ASML. /https://www.nafems.org/events/nafems/2017/asml-psecertiﬁcation/（ 9） 新庄直樹, HPCフォーラム スーパーコンピュータ
「富岳」の
開発. /
https://www.ssken.gr.jp/MAINSITE/
event/2019/20190820-hpcf/lecture-04/20190820_HPCF_
shinjo.pdf（ 10）後藤弘茂, Appleデバイスの次の心臓となるSoC「 AppleA14」.
/ https://pc.watch.impress.co.jp/docs/column/
kaigai/1279689.html（ 11）笠原一輝, Intel、
半導体技術首位の座を2025年に奪還する
意欲的な新ロードマップ. /https://pc.watch.impress.co.jp/docs/news/1340262.html

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)● 24

計算力学技術者資格制度と国際相互認証（PSE）の活用と SOLIZE の取り組み
顔

写

真

カラー
１.

顔4 ｐ
写ｘ 以
真
31

はじめに
カラー
上

岩井 信弘
SOLIZE株式会社
計算力
学技術者資格制度と国際相互認証（PSE）の活用と SOLIZE の取り組み

SOLIZE 株式会社学」，
「熱流体力学」，「振動」の3分野の別を記載することが本

計算力学技術者資格制度と国際相会事務局により推奨されています
互認証（PSE）の活用と SOLIZE取の場合は，
り組み より(8)．一方のPSE本会が認証する計算力学技術者（ CAE技術者）資格制度(1)
１． 31
はじ4めｐ
にｘ 以
しは Advanced の別を NAFEMS に登録します．
SOLIZE 株式会社
細かな分野であるTechnical Areasと，専門性の度合いであるは，
2003年から始まり，固体力学，熱流体力学，
振動の3分野に分本会が認証する計算力学技術者（CAE技術者）資格制度(1)は，
表 1 に Technical Areas を示します．このうち No. 1～16 までが，上
Standard ないしはAdvanced の別をNAFEMSに登録します．

かれ，初級，2級，1級，上級アナリストの順に難易度が上がります．
2003 年から始まり，固体力学，熱流体力学，振動の3 分野に分か
１．
はじめ2に級以上からは，書類審査に加えて学科試験ないし各分野とも，
れ，初級，2 級，1 級，上級アナリストの順に難易度が上がります．
本会が認証する計算力学技術者（CAE技術者）資格制度(1)は，は面接試験（口頭試問）が課されます．
各分野とも，
2 級以上からは，書類審査に加えて学科試験ないしは
2003
年から始まり，固体力学，熱流体力学，振動の3 分野に分か
図1に2021年8月26日現在の各分野，各級の合格者数累計を示
面接試験（口頭試問）が課されます．
れ，初級，2 級，1 級，上級アナリストの順に難易度が上がります．
図 1 (2)に．
2021
年 8 月 26 日現在の各分野，各級の合格者数累計を
3分野を合わせた合格者の累計は2級，1級，上級のします
各分野とも，2 級以上からは，書類審査に加えて学科試験ないしは示します(2)．
32428
分野を合わせた合格者の累計は
2 級，1 級，上級の5916名，
名，133名となり，CAEを専門とする実務家に順に，面接試験（口頭試問）が課されます．
順に，5916
名，2428 名，133 名となり，CAE を専門とする実務家
とって，
既にデファクトスタンダードになっていると考えます．
図 1 に 2021 年 8 月 26 日現在の各分野，各級の合格者数累計をにとって，既にデファクトスタンダードになっていると考えます．
2014年から，示します(2)．
3 計算力学技術者についての国際相互認証制度が分野を合わせた合格者の累計は 2 級，1 級，上級の2014 最上位の上級アナリストは，年から，計算力学技術者についての国際相互認証制度が始始まり，工学設計・解析・シミュレー
順に，5916 名，2428 名，133 名となり，CAEを専門とする実務家
まり，
最上位の上級アナリストは，
工学設計・解析・シミュレーシ
NAFEMS(3)(4)のションコミュニティのための国際団体であるにとって，既にデファクトスタンダードになっていると考えます．
ョンコミュニティのための国際団体である NAFEMS(3)(4)の CAE
CAE
技術
者認定資格
PSE
(Professional
Simulation
Engineer)2014 年から，計算力学技術者についての国際相互認証制度が始
技術者認定資格 PSE (Professional Simulation Engineer)(5)の認証を申(5)の認証を申請することができます(6)(7)．PSE認証希望者は，
まり，
最上位の上級アナリストは，工学設計・解析・シミュレーシ
請することができます(6)(7)．PSE 認証希望者は，本会に申請書をョンコミュニティのための国際団体である
NAFEMS(3)(4)の CAE
本会に申請書を提出することにより，
本会計算力学技術者資格
提出することにより，本会計算力学技術者資格認定事業委員会内
技術者認定資格 PSE (Professional Simulation Engineer)(5)の認証を申WGにより審査が認定事業委員会内に設置された国際相互認証に設置された国際相互認証 WG により審査が行われ，その判定結請することができます(6)(7)．PSE
認証希望者は，本会に申請書をNAFEMS
事務局に提出されます．
以降
行われ，その判定結果が果が NAFEMS 事務局に提出されます．以降 NAFEMS が指定する提出することにより，本会計算力学技術者資格認定事業委員会内
NAFEMSが指定する所定の事務的手続をすることで，PSE認証所定の事務的手続をすることで，PSE認証が交付され,国際上級アに設置された国際相互認証
WG により審査が行われ，その判定結,
国際上級アナリストと名乗ることができます．
が交付されナリストと名乗ることができます．
果が NAFEMS 事務局に提出されます．以降 NAFEMS が指定する（ NAFEMSと本会との相互認証数）と本会との相互認証
図
図22に
にPSE
PSEの累積合格者数の累積合格者数（NAFEMS所定の事務的手続をすることで，PSE 認証が交付され,国際上級ア
(2)
．
2021
年
8
月
26
日現在，
固体力学分野数）の履歴を記しますの履歴を記します(2)．2021 年 8 月 26 日現在，固体力学分野の上ナリストと名乗ることができます．
級アナリストからの認証者数が 30 名，熱流体分野から19 名，振30名，熱流体分野から19名，の上級アナリストからの認証者数が
図 2 に PSE の累積合格者数（NAFEMS と本会との相互認証数）
動分野から 1 名，
合計
5050
名です．
図
1
名，
合計
名です．
図11に記した本会認定の上級アに記した本会認定の上級
振動分野から
の履歴を記します(2)．2021 年 8 月 26 日現在，固体力学分野の上ナリストの 38％が38％がPSE
PSE認証を受けたことになります．
認証を受けたことになります． 19 名，振アナリストの級アナリストからの認証者数が30 名，熱流体分野から動分野から 1 名，合計 50 名です．図 1 に記した本会認定の上級ア
２.
上級アナリストとPSEとの差異
２．上級アナリストと PSE との差異
ナリストの 38％が PSE 認証を受けたことになります．
本会認証の上級アナリストとNAFEMS 認証
認証 PSE
PSEとは，とは，基本的
基本的
本会認証の上級アナリストとNAFEMSに同等の資格である旨の合意のもと，国際相互認証が行われていに同等の資格である旨の合意のもと，
国際相互認証が行われて
２．上級アナリストと PSE との差異
ます(6)(6)．但し，その保持・利活用において，以下点に差異があ．但し，その保持・利活用において，
以下22点に差異があいます
本会認証の上級アナリストとNAFEMS 認証
PSEとは，基本的るため，記載します．
るため，記載します．
に同等の資格である旨の合意のもと，国際相互認証が行われてい資格の有無(1) 永久．但し，その保持・利活用において，以下ます(6)2 点に差異があ(1)
永久資格の有無
上級アナリストは，5 年ごとに更新審査(書類審査)をする必用がるため，記載します．
上級アナリストは，5年ごとに更新審査(書類審査)をする必用ありますが，
資格保持から10年目である2回目の更新をすると，の有無(1) 永久資格資格保持から
10年目である
2回目の更新をするがありますが，相互認証の対象となります．筆者がPSEの認証を受けた際のにTechnicalAreas
を 示します．
このうち
No. 1 〜 17まで
表1Advanced
しはの別をNAFEMSに登録します．
Technical
Areasは以下です．
が，筆者がPSEの認証を受けた際の表相互認証の対象となります．
1 に Technical Areas を示します．このうちNo. 1～16 までが，Ø
Beams
Membranes
PlatesandShells–Advanced
Technical
Areasは以下です．
相互認証の対象となります．筆者が PSE の認証を受けた際のØCore
FiniteElement Analysis
Advanced
Membranes
Plates –andShells – Advanced▶ Beams
Technical
Areasは以下です．
ØMaterials
forAnalysisandSimulation
Advanced
Core
FiniteElement
Analysis–▶ Beams Membranes Plates and ShellsAdvancedØ––AdvancedØ
Mechanics,
Elasticity
and Strengthof Materials– Advanced
Analysis
and–Simulation– Advanced▶ MaterialsØCore Finitefor
Element
Analysis
Advanced「熱流体力学」，「振動」の3 分野の別を記載することが本会事務
野である
Technical
Areas と，専門性の度合いである
Standard ないTechnical
Areas（No. 18～26 は適用除外．文献(7)(10)を筆者が改変）
図２ NAFEMS－PSE（国際上級アナリスト）累積合格者数(2)は，相互認証の前提となる上級アナリストについても，
2 回目以降再度の更新を必要としない永久資格となります．
2回有者は，相互認証の前提となる上級アナリストについても，の更新が必要となります．
但し，PSEを失効するなどで保持してい一方，PSE は定期更新が必要な資格制度であるため，
PSE 保有者
目以降の更新が必要となります．
但し，PSEを失効するなどでない場合は，上級アナリスト資格は，永久資格になります．本情は，相互認証の前提となる上級アナリストについても，
2 回目以降保持していない場合は，
上級アナリスト資格は，永久資格にな

報の出典は，筆者の上級アナリストの2 回目更新後に，本会事務2回目更新後ります．
本情報の出典は，筆者の上級アナリストのの更新が必要となります．
但し，PSE を失効するなどで保持していに，本会事務局から頂いた電子メールです．
局から頂いた電子メールです．
ない場合は，上級アナリスト資格は，永久資格になります．本情(2)表示する専門分野の粒度
報の出典は，筆者の上級アナリストの2 回目更新後に，本会事務(2)表示する専門分野の粒度
上級アナリストが資格を名刺等に表記する場合は，「固体力学」
局から頂いた電子メールです．
上級アナリストが資格を名刺等に表記する場合は，「固体力，「熱流体力学」，「振動」の3 分野の別を記載することが本会事務
門
分野の粒度(2)表示する専

NumberNumber

再度の更新を必要としない永久資格となります．
上級アナリストは，
5 年ごとに更新審査(書類審査)をする必用がと，再度の更新を必要としない永久資格となります．
一方，
PSE
は定期更新が必要な資格制度であるため，
PSEPSE
保有者
ありますが，
資格保持から10年目である2 回目の更新をすると，
保
一方，PSEは定期更新が必要な資格制度であるため，

NumberNumber

局により推奨されています(8)．一方
PSE の場合は，より細かな分
上級アナリストが資格を名刺等に表記する場合は，「固体力学」，

Ø
Nonlinear
Geometric
Effects
and Contact– Advanced
Elasticity
andStrengthof Materials –▶ Mechanics,
ØMaterials forAnalysisand Simulation– AdvancedØ
Plasticity- Advanced
Ø Advanced
Mechanics,
Elasticity and Strength of Materials – Advanced
Nonlinear
Geometric
Effects and Contact– Advanced
PSE
認証者のTechnical
Areas
は，PSE-Certified
Professionals
(9)とし
▶
Ø
Nonlinear Geometric
Effects
and Contact – Advanced- Advancedて公開され，該当分野の専門家を見つけることができます．
▶ Plasticity
Ø
Plasticity - Advanced
PSE認 証者のTechnical Areas は，PSE-Certiﬁed Professionals
PSE 認証者の Technical Areas は，PSE-Certified Professionals (9)とし6000(9)として公開され，該当分野の専門家を見つけることができます．
て公開され，該当分野の専門家を見つけることができます．
5500
895
Vibration Engineering
5000
Thermal Fluid
4500
6000
Solid Mechanics
2016
4000
5500
895
Vibration
Engineering
3500
5000
Thermal Fluid
3000
4500
Solid Mechanics
2500
2016
4000
321
2000
3500
697
1500
3005
3000
1000
2500
1410
321
8
500
1
2000
74 51
3019
697
0
1500
3005
JSME
JSME
JSME
NAFEMS
1000
1410 1
Grade 2
Grade
Senior
PSE1
8
500
51
74
3019Grade
0
JSME
JSME
JSME
NAFEMS
Grade 2
Grade 1
SeniorPSE
図 1 本会認定 CAE 技術者，及び NAFEMS-PSE の累積合格者数
Grade（出典(2) の 2021 年 8 月 26 日現在の情報を筆者が編集, 以下同）
図1 本会認定CAE技術者，及びNAFEMS-PSEの累積合格者数
図1 本会認定CAE
NAFEMS-PSE の累積合格者数（出典(2) の2021
年8技術者，及び月26日現在の情報を筆者が編集, 以下同）（出典(2) の 2021 年 8 月 26 日現在の情報を筆者が編集, 以下同）60
NAFEMS-PSE (Vibration)
NAFEMS-PSE (Thermal Fluid)50
10
NAFEMS-PSE (Solid Mechanics)
60
NAFEMS-PSE (Vibration)
40
0
19
18
NAFEMS-PSE (Thermal Fluid)
50
1
0
14
0
30
NAFEMS-PSE 0(Solid Mechanics)
10
7
40
0
19
18
20
3
0
14
30
30
29
0
26
10
3
23
22
10
7
17
20
10
3
0
30
29
26
3
23
22
10 2014
2015
2016
2017
2018 2019 2020
17
10
Year
0
PSE（国際上級アナリスト）
図２ NAFEMS
2014 −
2015
2016 2017 2018 累積合格者数
2019 2020 (2)図２ NAFEMS－PSE（国際上級アナリスト）累積合格者数(2)Year
表１ 上級アナリストが相互認証を受けることができる PSE のCMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)● 25(2)資格の利活用
表1 上級アナリストが相互認証を受けることができるPSEの文献(7)(10)を筆者が改変）
Technical Areas（ No. 18 〜 26は適用除外．
対外的には，名刺に計算力学の資格を表記し，専門性の担保して，顧客に示しています．採用においても，かなり考慮していNo. NAFEMS Technical Areas
JSME Field
として，顧客に示しています．採用においても，かなり考慮しています．昇格候補者の職務経歴としても，参酌されています．
ます．昇格候補者の職務経歴としても，参酌されています．
1
Core Finite Element Analysis
Solid, Vibration

2

Core Computational Fluid Dynamics）

Thermal-Fluid

3

Mechanics, Elasticity and Strength ofSolid, Vibration

Materials
4

Beams, Membranes, Plates and Shells

Solid, Vibration

5

Fundamentals of Flow, Heat and Mass

Thermal-Fluid

Transfer
6

Materials for Analysis and Simulation

Solid, Vibration

7

Composite Material and Structures

Solid

8

Fatigue

Solid

9

Flaw Assessment and Fracture Mechanics

Solid

10

Thermo-Mechanical Behavior

Solid

11

Buckling and Instability

Solid

12

Dynamics and Vibration

Vibration

13

Noise and Acoustics

Vibration

14

Multi-body Dynamics

Vibration

15

Nonlinear Geometric Effects and Contact

Solid

16

Plasticity

Solid

17

Creep and Time-Dependency

Solid

18

Multi-physics Analysis(Excluded)

19

Multi-Scale Analysis(Excluded)

20

Probabilistic Analysis(Excluded)

21

Electromagnetics(Excluded)

22

Optimization(Excluded)23

Verification and Validation(Excluded)

24

Management General(Excluded)

25

Simulation Process Data Management(Excluded)26

PLM and CAD-CAE Integration(Excluded)

3. 弊社の取り組み
３．弊社の取り組み(1)資格取得の推奨(1)資格取得の推奨
CAE事業は，国内外に約事業は，国内外に約300
300名の
名のCAE
筆者の職掌である
筆者の職掌である CAE
CAE 専任
専任
CAE
エンジニアリング及び
CAE
技術コンサ
エンジニアを擁し，エンジニアを擁し，CAE エンジニアリング及び CAE 技術コンサ
CAEを正しく使うことで，ルティングを主な事業としています．
ルティングを主な事業としています．CAEを正しく使うことで，社会からの信任を得ることができ，エンジニア一人ひとりの技術
社会からの信任を得ることができ，
エンジニア一人ひとりの技術力の向上がそのまま事業全体のブランディングとなることに鑑み，力の向上がそのまま事業全体のブランディングとなることに鑑
CAE
専任者には本会の計算力学技術者
2 級以上，及び 及びPSE の取得
CAE
専任者には本会の計算力学技術者
2級以上，
PSEの
み，
を推奨し，支援しています．具体的支援内容は，受験料やテキス取得を推奨し，支援しています．具体的支援内容は，受験料やテト代，登録料，更新にかかる費用を会社負担としています．
キスト代，登録料，更新にかかる費用を会社負担としています．
現時点での弊社における計算力学技術者の 3 分野の 2 級取得者
現時点での弊社における計算力学技術者の3分野の2級取得の総数は 17 名（中途採用者が入社前に取得したものも含む）であ（中途採用者が入社前に取得したものも含む）で者の総数は17名
り，そのうち 1 級まで取得した者は 5 名です．更に上級まで取得あり，そのうち1級まで取得した者は5名です．更に上級まで取得した者は 2 名となり，2 名とも PSE を取得しました．
した者は2名となり，2名ともPSEを取得しました．
(2)資格の利活用
対外的には，名刺に計算力学の資格を表記し，専門性の担保と４．PSE取得の利点
４．PSE 取得の利点(1)業界における信頼(1)業界における信頼計算力学技術者の 2 級以上の 3 分野合格者の累計が 8477 名（図
計算力学技術者の2級以上の3分野合格者の累計が8477名（図１）であることに対し，PSE 取得者の累計は 50 名(図２)，す１）であることに対し，PSE取得者の累計は50名(図２)，すなわち
なわち上記の 0.6 パーセントに満たず，いまだ希少であると考え上記の0.6パーセントに満たず，いまだ希少であると考えます．権ます．権威ある公的機関から認証を受けていることと，その希少
威ある公的機関から認証を受けていることと，その希少性とか性とから，専門家間において，一層の信頼が得られると考えます．
ら，専門家間において，一層の信頼が得られると考えます．
上級アナリストは，固体力学，熱流体力学，振動の3 分野から
上級アナリストは，固体力学，
熱流体力学，
振動の3分野から選選択されることに比し，PSE の場合は，
表 1 に示す詳細なTechnical
Areasも示されます．実務のプロフェッショナルの方とお会いし，
PSEの場合は，表1に示す詳細なTechnical
択されることに比し，具体的な活動をするときは，お互いに業務経歴，発表論文や講演
Areasも示されます．実務のプロフェッショナルの方とお会いし，論文などを示すことが多いところ，PSEとその Technical
Areas を
具体的な活動をするときは，お互いに業務経歴，
発表論文や講示せば，自己紹介の代わりとなり，肩書として使えると思います．
演論文などを示すことが多いところ，PSEとそのTechnical Areas
筆者の場合，欧州系の自動車関連のメガサプライヤの日本法人にを示せば，自己紹介の代わりとなり，肩書として使えると思いま
おいて，一時期，CAE 業務から離れ，試作・実験の責任者をしてす．筆者の場合，欧州系の自動車関連のメガサプライヤの日本法いた経験がありますが，本国の CAE 部門責任者（当時の立場から人において，一時期，CAE業務から離れ，試作・実験の責任者をは「雲上人」）から，筆者が CAE を専門としていたことは認知さ（当時の立していた経験がありますが，本国のCAE部門責任者
れていました．
場からは「雲上人」）から，筆者がCAEを専門としていたことは認(2)アカデミアへのエントリーチケット
知されていました．
大学及び，大学の先生に対する履歴証明として有効かと思いま(2)アカデミアへのエントリーチケット
す．筆者の場合は，研究よりも開発が主業務であることに加え，秘匿との関係で，論文発表や講演の機会は限られます．しかし，大学及び，大学の先生に対する履歴証明として有効かと思い筆者がPSE の有資格者であることを知って下さった先生方は，当ます．筆者の場合は，研究よりも開発が主業務であることに加該分野の専門家として筆者を認知して下さり，研究者のコミュニえ，秘匿との関係で，論文発表や講演の機会は限られます．しかティへ容易に入ることができたと実感しています．
し，筆者がPSEの有資格者であることを知って下さった先生方
また，PSE をお持ちの知人は，大学との共同研究のために，当は，当該分野の専門家として筆者を認知して下さり，研究者のコ
該大学の研究室に研究員として在籍しましたが，在籍のための適
ミュニティへ容易に入ることができたと実感しています．
正の審査の際に，履歴証明の一部として PSE とその Technical Areas
また，PSEをお持ちの知人は，大学との共同研究のために，当を提示したそうです．
該大学の研究室に研究員として在籍しましたが，在籍のための(3) NAFEMS のコミュニティへの参加
Technical
適正の審査の際に，履歴証明の一部としてPSEとその参考にな
NAFEMS 主催のカンファレンスやイベントの情報は，Areasを提示したそうです．
り，CAE のトレンドウォッチングとしても有効と考えます．形式
も，(3) オンラインあるいはオンラインと面直併用となっているため，
NAFEMSのコミュニティへの参加
参加しやすくなっています．もちろん
PSE の有無にかかわらず，
NAFEMS主催のカンファレンスやイベントの情報は，参考にメンバーシップに応じた費用を払えばどなたでも参加できますが，なり，CAEのトレンドウォッチングとしても有効と考えます．形式
前述のPSE 保持者によると，PSE は自己紹介替わりに使え，チャも，オンラインあるいはオンラインと面直併用となっているため，ットなどを通じてすぐにコミュニティに入りこめた，との感想を参加しやすくなっています．もちろんPSEの有無にかかわらず，頂戴しました．
メンバーシップに応じた費用を払えばどなたでも参加できます(4) NAFEMS の教育プログラムの活用と Technical Areas の追加
が，前述のPSE保持者によると，PSEは自己紹介替わりに使え，
NAFEMS においては，CAE 分野の様々なトレーニングプログ
チャットなどを通じてすぐにコミュニティに入りこめた，との感想
ラムが整備されています(11)．形式も，e-learning, virtualを頂戴しました．
classrooms,
custom classes などあり，利用者への便宜が図られてい(4) NAFEMSの教育プログラムの活用とTechnical Areas のます．使用言語は，英語が最も多く，仏語，ドイツ語の講座もあります．学習の継続に活用できることに加え，コースごとにPSE
追加
Competenciesが記載されており，本会による相互認証の適用除外
NAFEMSにおいては，CAE分野の様々なトレーニングプロとなっている Technical Areas（表 1 の No. 18～26）を NAFEMS
グラムが 整 備されています(11)．形式も，e-learning, virtualに直接申請し，PSE に追加する際に利用できると考えます(12)．
classrooms, custom classes などあり，利用者への便宜が図ら(5)モチベーション維持
NAFEMS からの情報，コミュニティへの参加，教育プログラ

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)
れています．使用言語は，英語が最も多く，仏語，ドイツ語の講座もあります．学習の継続に活用できることに加え，コースごとにPSE Competencies が記載されており，本会による相互認証（表1のNo. 18 〜 26）の適用除外となっているTechnical Areas
をNAFEMS に直接申請し，PSEに追加する際に利用できると考えます(12)．

(5)モチベーション維持

NAFEMSからの情報，コミュニティへの参加，教育プログラムへの参加などは，CAEの勉強を継続する意識づけとなります．

また，上述のように，上級アナリストが2回の更新を経て，永久資格となることに対し，PSEは，以降も更新が必要であるため，

CAEの研鑽を続ける動機となり得ます．筆者が前職の試作・実「 PSE
験の責任者を辞してCAE 職務に戻った理由の１つとして，を失効させたくない」との思いもありました．
５.

おわりに

本記事執筆にあたり，計算力学技術者試験1級取得者3名に，PSEの存在の認否と，将来PSEを取得したいかを伺いました．結その一方で，1級取果，PSEを認知していない方は1名のみでした．
その理得者の全員が，PSE取得を考えていないとのことでした．
由を伺うと，知名度不足を全員が指摘し，「 外資に勤務するならば考慮しますが，国内企業の勤務ではメリットが分からない」「，海外においてPSEに認知度があるならば，海外取引が多い会社の方は興味を持つのではないか」などのご指摘もいただきました．
また，PSE取得者2名に，PSEの利点について伺い，そのいくつかを4章に記載しました．
回答下さった方々に感謝申し上げます．
PSEの認知度向上を強く望むとともに，本記事が PSEの利活用について知るきっかけとなれば幸甚です．

● 26

参考文献
（ 1） 本会，計算力学技術者資格認定事業委員会，https://www.

jsme.or.jp/cee/（ 2） 本会，計算力学技術者資格認定事業委員会，データ集
https://www.jsme.or.jp/cee/data/（ 3） NAFEMS, https://www.nafems.org/（ 4） NAFEMS (日本語ページ), https://www.nafems.org/
community/regional/japan/about/（ 5） NAFEMS, PSE Certiﬁcation, https://www.nafems.org/
professional-development/certiﬁcation/（ 6） 本会，計算力学技術者資格認定事業委員会，国際相互認証について, https://www.jsme.or.jp/cee/nafems（ 7） 日本機械学会上級アナリストとNAFEMS PSE の国際相互認証, 吉田有一郎, 2014, https://www.jstage.jst.go.jp/
article/jsmecmd/2014.27/0/2014.27_169/_pdf/-char/ja（ 8） 本会，計算力学技術者資格認定事業委員会，資格活用のお願い，https://www.jsme.or.jp/cee/qualifer/use（ 9） PSE Certiﬁed Professional,
https://www.nafems.org/professional-development/
certiﬁcation/pse-register-of-certiﬁed-professionalsimulation-engineers/（ 10）本会，国際相互認証申請用紙（ ver.3），様式１，https://www.jsme.or.jp/cee/uploads/sites/3/2018/08/youshiki_1.
pdf（ 11）NAFEMS Training，https://www.nafems.org/training/（ 12）NAFEMS, PSE Competency Tracker, https://www.
nafems.org/professional-development/competency_
tracker/CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)

顔写

真 航空機エンジン開発品質保証への計算力学技術者認定制度

顔 カラー
写 真
314ｐｘ以上
カラー
314ｐｘ以上● 27

航空機エンジン開発品質保証への計算力学技術者認定制度の活用
の活用

：ジ陳
航空名
機前
エン
ン内
開鉄
発生
品質保証への計算力学技術者認定制度の活用
所
属
名前 ： 陳内鉄生
陳内 株
鉄生
所属 式会社本田技術研究所 先進パワーユニット・エネルギー研究所 GT 開発室
株式会社本田技術研究所 先進パワーユニット・エネルギー研究所 GT 開発室
株式会社本田技術研究所 先進パワーユニット・エネルギー研究所 GT 開発室． はじめに
1. 1はじめに昨今の CAE 解析技術の発展は目を見張るものがある。コンピュ
はじめに 解析技術の発展は目を見張るものがある。コン
1．昨今の
CAE
ータ自体の性能の向上やソルバ・プリポストの機能向上により、昨今のCAE解析技術の発展は目を見張るものがある。
コンピュ
ピュータ自体の性能の向上やソルバ・プリポストの機能向上によCAE 解析の大規模・複雑化が進み、同時に簡易な解析であれば強ータ自体の性能の向上やソルバ・プリポストの機能向上により、解析の大規模・複雑化が進み、同時に簡易な解析であり、CAE
度解析・評価の十分な知識がなくても簡単な講習のみで解析が行CAE 解析の大規模・複雑化が進み、同時に簡易な解析であれば強れば強度解析・評価の十分な知識がなくても簡単な講習のみでえるようになった。このような進歩はスピーディな強度検討とい
度解析・評価の十分な知識がなくても簡単な講習のみで解析が行解析が行えるようになった。
このような進歩はスピーディな強度
う観点では大きな利点である一方、CAE
解析の品質保証という観えるようになった。このような進歩はスピーディな強度検討とい点ではエラーが容易に紛れ込むという問題を孕んでいる。CAE
CAE解析の品質保 解検討という観点では大きな利点である一方、う観点では大きな利点である一方、CAE 解析の品質保証という観析のエラーは製品の開発スケジュールに大きな影響を及ぼす可能証という観点ではエラーが容易に紛れ込むという問題を孕んで点ではエラーが容易に紛れ込むという問題を孕んでいる。CAE 解
性があるだけではなく、製造者責任として市場に出る前に必ず取CAE解析のエラーは製品の開発スケジュールに大きな影いる。
析のエラーは製品の開発スケジュールに大きな影響を及ぼす可能
り除かなくてはならない。開発の中で増大していく
CAE 解析の品
響を及ぼす可能性があるだけではなく、製造者責任として市場性があるだけではなく、製造者責任として市場に出る前に必ず取
ターボファ
ンエンジン
図 1 図
HF212HF120
0 ター
ボファン
エンジン
質の保証をすることは重要な課題であり、その中で社内外で統一に出る前に必ず取り除かなくてはならない。
開発の中で増大してり除かなくてはならない。
開発の中で増大していく
CAE 解析の品した基準となりうる計算力学技術者認定の意味合いは今後ますま
図 1 H
F120Certiﬁcate,
ターボフTC)ァン
エンジンその後EASA(欧州
質の保証をすることは重要な課題であり、その中で社内外で統一
いくCAE解析の品質の保証をすることは重要な課題であり、そ
ら型式認定
(Type
を取得し、
す重要になると考えられる。
はじめ日本、中国、ロシアなどの各国の航空当局の型式認定を取した基準となりうる計算力学技術者認定の意味合いは今後ますまの中で社内外で統一した基準となりうる計算力学技術者認定の航空安全機関)をはじめ日本、中国、ロシアなどの各国の航空当
航空業界は後述するように他の業界に先駆けて CAE 解析に基得している。
す重要になると考えられる。
はじめ日本、中国、ロシアなどの各国の航空当局の型式認定を取意味合いは今後ますます重要になると考えられる。
づいた型式認定を行っていることから、CAE 解析の品質保証が認 局の型式認定を取得している。
また、ホンダエアロインクは 2015 年 3 月、FAA から製造認定
航空業界は後述するように他の業界に先駆けて
CAE解析に基得している。
CAE
解析に
航空業界は後述するように他の業界に先駆けて2015年3月、FAAから製造認定
また、ホンダエアロインクは
定取得の中で重要な位置を占めている。この紙面を借りて、航空(Production
Certificate, PC)を取得し、量産エンジンの製造・出荷をづいた型式認定を行っていることから、CAE
解析の品質保証が認
また、ホンダエアロインクは 2015 年 3 月、FAA から製造認定
CAE
解析の品質保証基づいた型式認定を行っていることから、
Certiﬁcate,
PC)を取得し、量産エンジンの製造・出機エンジン認定での CAE 解析の役割と、品質保証における計算力 (Production
開始した。FAA
が新規に製造認定を発行したのは23 年ぶりであ
定取得の中で重要な位置を占めている。この紙面を借りて、航空(Production Certificate, PC)を取得し、量産エンジンの製造・出荷をが認定取得の中で重要な位置を占めている。
この紙面を借りて、FAAが新規に製造認定を発行したのは23年ぶ
荷を開始した。
学技術者資格活用の取り組みについて概要を紹介する。
る。
機エンジン認定での CAE 解析の役割と、品質保証における計算力
開始した。FAA が新規に製造認定を発行したのは 23 年ぶりであ航空機エンジン認定でのCAE解析の役割と、品質保証におけるりである。
3． 航空機エンジンの型式認定における CAE 解析の役割
学技術者資格活用の取り組みについて概要を紹介する。
る。
計算力学技術者資格活用の取り組みについて概要を紹介する。
2． ホンダの航空機エンジン事業
航空機エンジンの型式認定に関する法規は、米国においては 14
空機エンジンの型式認定における CAE 解析の役割
3． 航航空機エンジンの型式認定におけるCAE解析の役割
図１にホンダにおける航空エンジン事業の事業形態を示す。筆 3. CFR
Part33 [1](連邦規則集 14 巻 33 部) として規定されている。
ホンダの航空機エンジン事業
22.． ホンダの航空機エンジン事業
航空機エンジンの型式認定に関する法規は、米国においては 14
者が所属する株式会社本田技術研究所は本田技研工業株式会社の航空機エンジンの型式認定に関する法規は、
米国においては14
CFR Part33 は 44 個のアクティブなセクションからなってお図１にホンダにおける航空エンジン事業の事業形態を示す。筆
CFR Part33 [1](連邦規則集 14 巻 33 部) として規定されている。
図１にホンダにおける航空エンジン事業の事業形態を示す。
研究開発子会社であり、ホンダの航空機エンジン事業の中では、 14 CFRり、各セクションの中がさらに複数のパラグラフに分かれている。
Part33
[1](
連邦規則集
14
巻
33
部
)
と
して規定されている。
者が所属する株式会社本田技術研究所は本田技研工業株式会社の14 CFR Part33 は 44 個のアクティブなセクションからなってお製品の設計や型式認定書類の作成などのエンジニアリング業務を筆者が所属する株式会社本田技術研究所は本田技研工業株式
型式認定を取得するためには、このパラグラフに記載された法規
CFR Part33は44個のアクティブなセクションからなってお研究開発子会社であり、ホンダの航空機エンジン事業の中では、り、14
各セクションの中がさらに複数のパラグラフに分かれている。
担っている。一方で、量産は米国法人のホンダエアロインクが担それぞれについて、エンジンがそれらを満たしていることを実証
会社の研究開発子会社であり、ホンダの航空機エンジン事業のり、各セクションの中がさらに複数のパラグラフに分かれている。
製品の設計や型式認定書類の作成などのエンジニアリング業務を型式認定を取得するためには、このパラグラフに記載された法規っている。
しなくてはならない。
中では、製品の設計や型式認定書類の作成などのエンジニアリ
型式認定を取得するためには、
このパラグラフに記載された法規担っている。一方で、量産は米国法人のホンダエアロインクが担それぞれについて、エンジンがそれらを満たしていることを実証
ホンダは
1980
年代に航空機エンジンの基礎研究をはじめ、
2003
実証方法はあらかじめ決まっているわけではなく、型式認定申ング業務を担っている。一方で、量産は米国法人のホンダエアロっている。
それぞれについて、エンジンがそれらを満たしていることを実証しなくてはならない。
年に独自開発した 1800lbs クラスのターボファンエンジン HF118
請者が提案し FAA が承認するものである。エンジン試験、コンポ
インクが担っている。
ホンダは 1980 年代に航空機エンジンの基礎研究をはじめ、
2003
実証方法はあらかじめ決まっているわけではなく、型式認定申しなくてはならない。
で初飛行を行った。2004 年からは GE アビエーションと共同出資
ーネント試験、CAE 解析、或いはそれらの組み合わせなど、申請
年に独自開発した
1800lbs クラスのターボファンエンジン HF118
ホンダは1980年代に航空機エンジンの基礎研究をはじめ、請者が提案しFAA が承認するものである。エンジン試験、コンポ
実証方法はあらかじめ決まっているわけではなく、型式認定で GE Honda エアロエンジンズを設立し、HF118 を基に 2 社共同者が FAA に対して提案し、それを FAA 承認することによって、で初飛行を行った。
2004 年からは
GE アビエーションと共同出資
ーネント試験、CAE
解析、或いはそれらの組み合わせなど、申請
2003年に独自開発した
1800lbsクラスのターボファンエンジン
FAAが承認するものである。エンジン試験、コで推力を 2000lbs クラスに改良した HF120 を開発した。図 2 に示 申請者が提案し実証手法が決定する。但し、一部のセクションでは実証方法が明でGE Honda
エアロエンジンズを設立し、HF118
を基に 2 社共同
者がFAA に対して提案し、それをFAA 承認することによって、HF118で初飛行を行った。
2004年からはGE アビエーションとCAE解析、或いはそれらの組み合わせなど、
ンポーネント試験、す HF120 は 2013 年 12 月に FAA(米国連邦航空局)から型式認定
確に決まっていたり、FAA が推奨の実証方法をセクションの付帯で推力を2000lbs
クラスに改良した
HF120 を開発した。図2 に示
実証手法が決定する。但し、一部のセクションでは実証方法が明GE
Honda
エアロエンジンズを設立し、
HF118
を基
共同出資で
FAAに対して提案し、それをFAA 承認することによっ(Type Certificate, TC)を取得し、その後 EASA(欧州航空安全機関)を 申請者が文書(Advisory
Circular[2])として発行しているものがある。その中す HF120 は 2013 年 12 月に FAA(米国連邦航空局)から型式認定
確に決まっていたり、FAA が推奨の実証方法をセクションの付帯に2社共同で推力を2000lbsクラスに改良したHF120を開発して、実証手法が決定する。
但し、一部のセクションでは実証方法には CAE 解析で試験の結果を修正する項目や、CAE 解析の結果(Type Certificate, TC)を取得し、その後 EASA(欧州航空安全機関)を文書(Advisory Circular[2])として発行しているものがある。その中た。図2に示すHF120は2013年12月にFAA(米国連邦航空局)か
FAAが推奨の実証方法をセクションが明確に決まっていたり、そのものが実証の根拠とする項目などがあり、それらの項目ではには CAE 解析で試験の結果を修正する項目や、CAE 解析の結果(Advisory Circular[2])として発行しているものがあの付帯文書
CAE 解析を用いて法規に準拠している根拠を示すと同時に、CAEそのものが実証の根拠とする項目などがあり、それらの項目では解析自体の妥当性を示さなくてはならない。
る。
その中にはCAE解析で試験の結果を修正する項目や、CAE
CAE 解析を用いて法規に準拠している根拠を示すと同時に、CAE
そのために重要になるものの一つが、CAE 解析の品質を保証す
解析の結果そのものが実証の根拠とする項目などがあり、それ解析自体の妥当性を示さなくてはならない。
る仕組みである。航空機エンジンは、運用環境が地上から低温・CAE解析を用いて法規に準拠している根拠を示す
らの項目ではそのために重要になるものの一つが、CAE
解析の品質を保証す
低気圧下の高高度まで／砂漠から寒冷地までと多様なことから、
CAE
解析自体の妥当性を示さなくてはならない。
と同時に、る仕組みである。航空機エンジンは、運用環境が地上から低温・
FAA が CAE 解析による実証を要求していないケースでも、試験CAE解析の品質を保証
そのために重要になるものの一つが、低気圧下の高高度まで／砂漠から寒冷地までと多様なことから、のみで実証することが困難な項目が多い。例えば、機体のマニュ
FAAが CAE 解析による実証を要求していないケースでも、試験する仕組みである。
航空機エンジンは、運用環境が地上から低ーバによってエンジン内部にかかる荷重は慣性力であるため静的のみで実証することが困難な項目が多い。例えば、機体のマニュ
温・低気圧下の高高度まで／砂漠から寒冷地までと多様なことな試験で荷重を付与するのが難しく、かつ飛行条件も複雑である
ーバによってエンジン内部にかかる荷重は慣性力であるため静的
から、FAAがCAE解析による実証を要求していないケースでも、
図 1 ホンダの航空機エンジン事業形態
ため、テストベンチでの再現が困難である。他にも、試験条件をな試験で荷重を付与するのが難しく、かつ飛行条件も複雑である試験のみで実証することが困難な項目が多い。
例えば、機体のマ
ホンダの航空機エンジン事業形態
図 1 ホ図ン1ダの航空機エンジン事業形態
ため、テストベンチでの再現が困難である。他にも、試験条件をニューバによってエンジン内部にかかる荷重は慣性力であるため

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)
静的な試験で荷重を付与するのが難しく、かつ飛行条件も複雑であるため、テストベンチでの再現が困難である。
他にも、
試験条件を
結果として、型式認定に必要絞り込むのにもCAE解析が使われる。

なCAE解析の量は膨大になり、すべてのCAE解析について一つ一
そのため、
社内で統
つ妥当性をFAAに示すことは現実的ではない。

一した基準やCAE解析の品質を保証する仕組みを持つことによって、CAE解析の妥当性を包括的に示すことが、型式認定の取得には必要不可欠である。

さらに、CAE解析による実証は、CAE解析の品質保証だけでは達成することができない。
型式認定は、個々のエンジンの耐空証明審査をエンジンの型式認定審査で簡略化する仕組みであるから、型式認定の目的は量産されるエンジンすべての耐空性の実証である。
従って、型式認定は量産で発生しうるばらつきを含める必要があり、量産時の材料SPEC/製造SPECなどの品質保証計画に基づいていなくてはならない。

● 28

レンスに招かれるなど関係が全く無い訳ではない。機体側では

ブ ラ ジ ル のEmbraer社 がSPDM(Simulation process and Data
management)にPSE資格を活用している例[3]がある。各国の航NAFEMS
空局の中でも特にEASAはNAFEMSとの関係が深く、主催のカンファレンスでもEASAの事例が良く紹介されている。
このように、NAFEMS及びPSEの資格の知名度は海外では高く、十分に通用する資格であると言える。
弊社がCAE解析の品質保証に国際上級アナリスト資格を活用に取り組むのには、上記のように海外に於いてNAFEMS PSEの知名度が高く対外的にCAE解析の品質を保証するのに最適であること、海外に量産拠点(ホンダエアロインク)を持つ弊社にとって、現地法人の社員も資格が取得可能なPSE資格は都合が良いこと、PSE資格を持つことによってNAFEMS経由でCAE解析に関する幅広い情報が得られることなどがあげられる。
6.

課題と今後の展望

CAEによる実証も当然、量産の品質保証に基づいている。CAE
解析は特に材料特性の影響が大きいため、量産の品質保証システ
ムがあって初めてCAE解析の品質保証が可能であると言える。

いく取り組みの中で、いくつかの課題も見えてきた。

4．CAE解析品質保証への計算力学技術者認定制度の活用

制構築である。計算力学技術者資格は、実務能力を重視してお上で述べたように、航空業界ではCAE解析の品質が保証されていること認定を行う航空局に説明するのに、CAE解析の品質を保証する仕組みを持っていることが重要である。
弊社では現在、
下記3点を軸に設計時のCAE解析の品質保証に取り組んでいる。

I.
II.

解析担当者の能力の技能証明

一つ目は、評価者として資格を運用する場合の、資格維持の体

り、資格の更新にはその期間の実務経歴が必要になる。
評価者の資格として国際上級アナリスト資格を用いた場合、評価の数が増えるに従って実務を行う機会が減り、実解析業務を行うことが難しくなるという現状がある。

特二つ目の課題は、PSE資格に足りない項目の独自拡張である。

計算力学技術者1級取得の推奨に材料データの処理についてはPSE資格の中でも複合材の規定

上級アナリスト・NAFEMS PSE資格保持者

材料データの計測・統計処理は、単純な材料開発とは全く違った分

CAE解析評価者の能力証明

航空機エンジンに特有の強度解析の実績
III. ノウハウ/手順の文書化とメンテナンス
PSE資格保持者による確認
解析担当者の技能についてはOJTの側面もあるため資格取得の推奨にとどめている。
一 方 で 評 価 者 に は NAFEMS PSE 資 格 (Professional
Simulation Engineer, 国際相互認証制度利用)を要求し、さらに航空機エンジンに特有の項目について過去の実績や能力に基づき評価者に割り当てている。そのため、筆者の所属している部
署では筆者自身も含め複数のPSE資格保持者(国際上級アナリスト)を擁している。
また、PSEは上級アナリストよりも詳細に資格認定範囲が区切られており、26の領域についてAdvanced/Standard の2レベルの認定が行われており、国際上級アナリストの申請時には領域およびレベルの認定根拠の呈示が要求されている。弊社ではCAE
解析の評価者を選定する際は、候補者がPSEのAdvanced認定を受けている項目と評価内容を考慮し選定をしている。
ノウハウ/手順の文書化とメンテナンスという点でもPSE資格者の判断を必要とすることで、文書品質の向上を図っている。
5.

計算力学技術者認定制度をCAE解析の品質保証に活かしてがあるのみであるが、実際のところCAE解析の品質保証のための野で、それ単体で一つのカテゴリを構成する技術領域である。

最後に、相互認証可能な領域が、PSEの領域の一部にとどまっていることである。
現在PSEの26領域のうち17の領域について相互認証が認められている。
昨今適用領域が拡大している中では、

OptimizationとVeriﬁcation and Validation領域では相互認証が認められていない。
弊 社 の ようにCAE解 析 に よる 実 証 を 目 的 とした 場 合、
OptimizationとVeriﬁcation and Validation (検証、妥当性の確認)はぜひとも相互認証に含めて欲しい領域であるが、現在は個別のPSE資格の取得や社内資格制度など幅広く対応を検討している。
OptimizationやVeriﬁcation and Validationの ような 今 後 のCAE解析にとって重要な項目は、相互認証制度の発展にとっても重要だと考える。
今後の相互認証制度の拡大に大いに期待したい。
参考文献

[1]

[2]

海外における解析技術者資格とPSE資格活用の理由
航空用ガスタービンに於いては新規参入者がほぼいないこと、航空業界が解析技術の発展と共に業界が成長してきたことからと思われるが、各社独自の社内資格制度を持っており、PSE資格

を活用している事例は聞こえてこないが、NAFEMSのカンファ[3]

14 CFR Part 33
https://www.faa.gov/aircraft/air_cert/design_approvals/
engine_prop/engine_prop_regs/regs/
Advisory Circulars for 14 CFR Part33
https://www.faa.gov/regulations_policies/advisory_
circulars/index.cfm/go/document.list/parentTopicID/109
Applications of SPDM in Aircraft Structural Analysis at
Embraer, Britto Maria. R, NWC_19_481
https://www.nafems.org/publications/resource_center/nwc_19_481/

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)● 29

部⾨からのお知らせ

講習会報告「 機械学習×熱・流体工学の最先端」，
3部門合同オンライン講習会
高木 周
東京大学
計算力学部門では，昨年の9月と今年の3月に，熱工学部門・流体工学部門と合同の3部門合同オンライン講習会を開催した．コ
ロナ禍で従来の対面式での講習会の開催が困難な状況であったが，熱工学部門からの提案で，3部門合同のオンライン講習会という初の試みを行った．通常の講習会だと機械学会の会議室

や大学の講義室などを用いて最大定員100名程度で開催されるが，今回はオンライン開催であったため，参加人数の上限を引き上げることができ，実際には，100名を大幅に超える200名近い参加者があり，大変盛況であった．オンラインの強みを活かし，受講生は全国各地から講習会に参加でき，また，講師側の方も国内だけでなく，海外に在住する方にお願いすることが可能となった．実際に，3月10日に行われた講習会ではUCLAの平邦彦

先生が，アメリカ（ロサンゼルス）からオンラインで接続して講義を行ってくださるなど，従来とは異なる形式での講習会が可能と
なった．

今回は，
「機械学習×熱・流体工学の最先端」と題し，それぞれ以下の内容，講師陣で講習会を実施した．

第１回 2020年9月25日の講習会：

12:30 〜 14:00 ／機械学習の基礎 津田 宏治（東京大学）
14:10 〜 15:10 ／乱流×機械学習 深潟 康二（慶應義塾大学）
15:30 〜 16:30 ／熱ふく射×機械学習 櫻井 篤（新潟大学）
16:40 〜 17:40 ／燃焼不安定×機械学習 後藤田 浩（東京理科大学）
第２回 2021年3月10日の講習会：
11:00 〜 12:30 ／機械学習の基礎 樋口 知之（中央大学）
13:40 〜 14:40 ／乱流×機械学習 平 邦彦（ UCLA）
14:50 〜 15:50 ／伝熱×機械学習 塩見 淳一郎（東京大学）
16:00 〜 17:00 ／燃焼×機械学習 中谷 辰爾（東京大学）
第一線で活躍する蒼々たるメンバーを講師としてお迎えし，機械学習の基礎に関する大変わかりやすく，また最新の理論や手法の発展も含めた講習からはじまり，それぞれ個別の分野での具体的な応用例まで，大変興味深く，役に立つ内容であった．私自身，大変勉強になり，この企画にはぜひまた参加したいと思った次第である．計算力学部門では，この3部門合同講習会を継続して企画していく予定ですので，ぜひ皆様，今後も楽しみに！

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)● 30

計算力学技術者2級（固体力学分野の有限要素法解析技術者）
認定試験対策講習会（2021年9月1日～ 2日、オンライン）開催
報告
高野 直樹
慶應義塾大学2020年度はコロナ禍の中で中止となった計算力学技術者認（ Computer Based Test）方式で開催さ定試験は、本年度はCBTれることとなった（ https://www.jsme.or.jp/cee/）。After Coronaというよりは、With Coronaの新しい形態への移行であろうと感じている。認定試験は固体力学分野、熱流体分野、振動分野のそれぞれにおいて、2級、1級、上級アナリストがある。この認定試験を実施する計算力学技術者資格認定事業委員会と同じ学会内
ではあるが、独立した組織である計算力学部門では、2005年から固体力学分野2級試験の対策講習会を開催してきた。本講習会も2020年度は試験の中止の決定とともにお休みとなったが、本年度は2021年9月1日(水)、2日(木)の2日間の午後を使って、オンライン講習会（ Zoomを利用）として無事リスタートを切ることができた。
本年度の講習内容と講師（敬称略）は以下の通りである。

1. 数学・数値計算法の基礎
塩谷 隆二（東洋大学）
2. 固体力学の基礎
高橋 昭如（東京理科大学）
3. 有限要素法の定式化
松田 哲也（筑波大学）
4. 有限要素法の実践・要素テクノロジーの基礎
奥村 大（名古屋大学）
5. モデリング・境界条件の使い方の基礎
松本 敏郎（名古屋大学）
6. プリポスト処理・結果の検証の基礎
和田 義孝（近畿大学）

2019年度までは、関東地区、東海地区、関西地区でそれぞれ別の日程で対面形式の講習会を開催してきたが、本年度はオンラ
イン講習会の特性を生かして、各地区で担当していた講師陣がネット上で集結して実施した。対面形式だった時には朝から夕方までまる一日をかけて講習会を実施したが、オンラインでまる一
日は結構疲れる（主催者側も）と思い、午後だけを使い、しかしな
がら、各項目とも講義時間を以前より10分増やすことができ、時間不足、詰め込みという過去の課題点も若干ながら解消できた。
さらに、講習会テキストは受講者に事前に郵送で届けたが、以前よりも大きく印刷して（ 1ページにスライド2シート、以前は6シート）、総ページ数も約2.5倍の127ページとした。
なお、テキスト残部は有料（会員3,000円、非会員5,000円）で（ https://www.jsme.or.jp/event/21-44/）末
販売している。学会HP
尾の教材の案内を参照いただきたい。

これまでは10月〜 11月に開催してきたが、今年は9月1日〜 2日という早い日程となり、したがってテキストを事前郵送するために参加申込締切も8月16日となってしまった。ご参加いただけな

かった受験者も多くおられると思うので、講習会テキストを入手いただき、一人でも多く、試験対策の一助としていただければ幸いである（ニュースレター発行日が、固体力学分野2級試験が開催される12月10日までに日程的余裕があることを願いつつ）。

講習会は、認定試験の標準問題集第10版に準拠しており、基本的に標準問題集に収録された問題で構成されている。ある意

味で、分厚い標準問題集から講師陣の目で厳選したハイライトとなっているといえよう。前記の内容を網羅したコンサイスな書籍はなかなか見当たらない。講習会テキストは、問題と解説・正解のセットで構成され、ページ数のほとんどは解説である。解の検証に用いる標準問題集末尾の「よく使う材料力学公式」も掲載されており、独立した教科書としてご利用いただけるものとなっている。このことから、企業における社内教育、テレワーク中の自主的学習に最適ではないかと考える。
また、大学研究室内で学生さんにもご活用いただければ幸いである。

図 オンライン講習会のスナップショット（上：数学・
数値計算法の基礎、下：固体力学の基礎）
次年度も講習会は続行しますので、受験にかかわらず、有限要素モデリングの背景となる理論等の習得・教育にご活用ください。

CMD Newsletter No. 66 (Nov., 2021)《各行事の問い合わせ、申込先》

日本機械学会計算力学部門担当

近藤 愛美

● 31

E-mail: m.kondo@jsme.or.jp
TEL 03-4335-7610 FAX 03-4335-7618〒162-0814 東京都新宿区新小川町4番1号 KDX飯田橋スクエア2階
計算力学部門ニュースレター No. 66 : 2021年11月15日発行

編集責任者：広報委員会委員長

倉橋 貴彦

ニュースレターへのご投稿やお問い合わせは下記の広報委員会幹事までご連絡ください。
なお、各記事の文責は著者にあります。
広報委員会幹事

篠崎 明

E-mail: akira.shinozaki@mizuho-ir.co.jp
みずほリサーチ＆テクノロジーズ株式会社 サイエンスソリューション部〒101-8443 東京都千代田区神田錦町2-3
TEL 03-5281-5415 FAX 03-5281-5331