産能大学紀要

第２６巻

時系列モデルARMA過程の推定について

Estimation on Process of ARMA Time Series Model

2006年

坂野匡弘

２月

Masahiro Sakano

第２号（別刷）Sanno University Bulletin Vol.26 No. 2 February 2006

時系列モデルARMA過程の推定について
Estimation on Process of ARMA Time Series Model

坂野匡弘

Masahiro Sakano

Abstract
Many papers and books have been published on the subject of achieving the steadystate of the SARIMA time series model, which contains seasonal factors and its estimation. However, these papers or books do not always provide optimum methods fordoing this. Therefore, many users depend on commercially available software. This
paper studies the estimation of the steady-state time series model. Time series models
are non-linear in nature. Maximum likelihood estimation or the least squares method
is generally used for estimation. The least squares method is used for estimation in thisresearch, and the Gauss-Newton method is used to find the solutions of the normalequations. Favorable results are acquired.
1 はじめに
経営戦略または経営計画における予測手法として時系列分析は重要な要件である。
現在時系列分析に関する文献および論文が多く発表され,ソフトウェアも専用パッケージの形で市販されている。しかし、市販ソフトは機能的にクローズされており企業のソフトの一部にプラグインするようなオープンな形のソフトウェアは存在しない。ソフト開発のためには市販本からアルゴリズムを読み取ること自体大変困難である。文献の大半は時系列の性質に関する学術的記述が主で、実用化のための時系列の定常化の確定的方法、推定の具体的な方
2005年 10月3日 受理73

時系列モデルARMA過程の推定について法に触れている文献が少ないと思われる。本研究は定常化された時系列の推定に関し詳細に記述しアルゴリズムも付け加えた。
定常化の各論に関しては多くの文献に紹介されているので、定常化の過程は概略の記述に留めた。
なお、本研究で行った理論の実証のために、時系列の定常化、推定はすべて筆者がVBAで作成したプログラムを用いた。
2 時系列データの定常化概説
時系列データの定常化の各々は多くの文献に紹介されているので詳細は割愛し、全体としてどのような方法で定常化を行ったかの概略を述べたい。
時系列データは傾向変動（Trend :T）,循環変動（Cyclic fluctuation :C）,季節変動（Seasonalvariation :S）不規則変動（Irregular motion :I）の要素で結合されていると考えられる。これらの変動要素を含んだ時系列がモデルとして表現される。

季節変動の除去は中心化12項移動平均法を用いて除去する方法、12個のダミー変数を用いて季節指数を推定し原系列から除去する方法、センサス局法ⅡＸ−11による除去が考えられる。本研究では中心化12 ヶ月移動平均を試みたが時系列データの両端に6項ずつの欠項が生じそれを埋めるためにセンサス局法同様のアルゴリズムが必要となるので本研究ではセンサス局法ⅡＸ−11を用いて原系列から季節変動を除去しを得た。

原系列に含まれる循環変動はいわゆる景気変動（Business fluctuation）である。
1年以上の大きな変動要素である循環変動の除去は周期も長く除去することは困難を極める。
本研究では、Blackman-Tukey法またはFFT法によりスペクトルを求め、求まった周波数（周期）のフーリエ級数を用いて1年以上の周期変動を除去した。
原型列から循環変動、季節変動を除去した系列は過去から現在まで無限の和を持った時系列である。すなわち、1次あるいは2次以上の傾向を持った非定常な時系列データである。ｄ次の多項式を含んだ系列の傾向変動除去はｄ階の差分をとることにより傾向がなくなり定常な時系列に変換される。しかし、不規則変動を含む系列にｄ階の階差をとることにより移動平均の繰り返しで生ずるスラッスキー・ユール効果と同様な原系列にはない波形が生ずる。
そこで階差を用いずｄ次の多項式回帰分析を用いて傾向変動を除去し、時系列を得た。

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3モデルの推定3.1

モデルの同定モデルの偏自己相関は次で切断（cut-off）され、0であることが知られている。自己偏相関を解き、に関する次の方程式が近似的に正規分布に従うことを利用し、帰無仮説の検定を行い切断される点を求め、3.2

は次以上では常にモデルの次数 を決定した。

モデルの同定モデルの 次の自己相関

自己相関は次で切断されそれ以上では常に0になる。

は漸近的に正規分布に従うことを利用し、帰無仮説の検定を行い、切断点を求めの を決定した。の同定

3.3
まずモデルの同定を行いモデルの次数 を決定し、これを次数 をと変えながら残差系列に対する数 を決定する。これを繰り返しを最適な3.4

時系列モデルの推定モデル（3．1）

ここに、モデルの同定を行い、次（Akaike s Information Criterion）の値が最小となるとした。

平均値回りのする。

はパラメータである。

（3．1）式を書き替えると
（3．2）

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時系列モデルARMA過程の推定について

つぎに、の推定値を 、 の推定値を とするとき、残差 をで表すと（3．3）となる。
よってパラメータとするとき、に対する二乗和の最小化問題となる。
（3．4）
ここで

（3．5）

さらに、とし、のヤコビ行列（Jacobian Matrix）を（3．6）とすると（3．4）式の最小解は76

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（3．7）
となり非線形連立方程式を解く問題に帰着される。

をの近傍で2次の項までテーラー展開すると

（3．8）
である。

が正定値であるとすると（3．9）式の2次関数の極値は最小点となるか

ら
（3．9）

この（3．10）式の解を次の点とする。すなわちが正則ならば（3．10）

として与えられる。

はにおけるヘッセ行列（Hessian）でである。
（3．8）式より（3．11）
を求めると（3．12）（3．13）

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時系列モデルARMA過程の推定について

ここで、（3．14）式の2次微分の右辺第2項は第1項に比較して極小であると、仮定し省略すると（3．14）
すなわち、ガウス・ニュートン法を用いることになる。この（3．15）式と（3．13）式より（3．
11）式は（3．15）
として、次の停止基準（termination criterion）を満たすまでについて行う。

（3．16）

次にはを求めるためにを求める

に関して非線形であるので をで微分すると（3．17）（3．18）

が得られる。これらの結果よりによる

78はSanno University Bulletin Vol.26 No. 2 February 2006

（3．19）（3．20）（3．21）

最小二乗法であるのでの値は観測されていないのでこれらの値を0とおいた。
その結果はそれぞれ以下のようになる。

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時系列モデルARMA過程の推定について（3．22）（3．23）（3．24）（3．23）、（3．24）、（3．25）式の，，（3．16）式を表すと

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を用いて

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（3．25）となるので、数列3.5を停止基準を満たすまで求めることができる。

推定アルゴリズム[step01]
モデルの同定（の決定）[step02]
初期値の設定[step03][step04]
残差の計算

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時系列モデルARMA過程の推定について[step05]
Jacobian Matrixの計算[ step06]
Hessianの計算[step07]の更新[step08]
収束判定：収束判定定数を満たしていればstep09へ,満たしていなければを行ってstep04へ[step09]
終了

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4 計算例
本研究で用いたデータはいささか古いが1947年1月から1970年12月までの米国の新規住宅建設費である。図1は原データにセンサス局法ⅡＸ−11により季節変動調整を行った結果で、図2は除去された季節指数である。

図1 米国新規住宅建設費（単位100万ドル）（出典 米国商務省 1971 Business Statistics）

図2 除去された季節指数83

時系列モデルARMA過程の推定について調整された時系列

系列より多項式回帰分析により傾向変動を除去した系列を図3に示す。
除去された系列を用いて1年以上の周期をもつ景気変動の周期を調べるためにBlackman-Tukey法によりスペクトルを求めた結果が図4である横軸は周波数をとったが、周波数の逆数より周期を求めると57．6ケ月であった。求めた周期のフーリエ級数を用いて示したのが図5である。

図3 傾向変動除去後の系列

図4 景気変動の周期

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系列の景気変動 を

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図5 フーリエ級数を用いた景気変動の抽出

さらに系列から景気変動 を除去したのが図6である。

図6 景気変動を除去した

景気変動を除去した系列
すなわち系列系列に本論分の推定を行い次の結果が得られたでであった。相関係数、AICとも良い結果が得られた。観測値と推定値がほぼ一致していることが図7のグラフより明らかである。

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時系列モデルARMA過程の推定について

図7

系列の推定結果

5 おわりに計算例で示したとおり、時系列モデルの定常化に関しては（1）季節性の除去
センサス局法ⅡＸ−11を用いる（2）傾向変動の除去
多項式回帰により傾向を推定し除去する。
（3）景気変動の除去
Blackman-Tukey法または高速フーリエ変換によるスペクトルにより景気変動の周期を求め、求まった周期のフーリエ級数を用いて景気変動を除去する。
推定に関しては、非線形最小二乗法により時系列モデルの推定を行う。その際時間する残差に関しては、観測値が無いのでに対とおくことにより推定可能であり、正規方程式もガウス・ニュートン法で十分良好な結果が得られた。
以上により、現実のデータに対し時系列モデルの定常化および定常化された時系列モデルに関する推定に関し実証を行うことができた。

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6 参考文献1）花村綾、坂野匡弘、唐沢豊 「SARIMA過程に従う時系列データの定常化とモデルの推定」
日本ロジスティクス・システム学会第7回全国大会予稿集2004
2）尾崎統、北川源四郎「時系列解析の方法」 朝倉書店
3）A・C・ハーベイ著 国友直人／山本拓訳「時系列モデル入門」東京大学出版会
4）W・ヴァンデール著 蓑谷千凰彦、廣松毅訳「時系列入門」 多賀出版
5）廣松毅、浪花貞夫著「経済時系列分析」 多賀出版
6）R・J・ブロックウエル、R・A・デービス著逸見功、田中稔、宇佐美嘉弘、渡辺則生訳「時系列解析と予測」 シーエーピー出版
7）溝口敏行、刈屋武昭著「経済時系列入門」日本経済新聞社
8）中塚利直著「時系列解析の数学的基礎」教育出版
9）杉原左右一著「時系列の統計的研究」 東洋経済新報社
10）藤井光昭著「時系列解析」 コロナ社
11）原田康平著「経済時系列再考」九州大学出版会
12）北川源四郎、赤池弘次著「時系列解析の実際Ⅰ」
13）北川源四郎、赤池弘次著「時系列解析の実際Ⅱ」

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