統計数理（2020）
第 68 巻 第 1 号 5–24
©2020 統計数理研究所

特集「複雑な依存構造を持つデータの統計解析法 — コピュラとその周辺 — 」［総合報告］

接合関数モデルにおける統計的推測
塚原 英敦†（受付 2019 年 6 月 10 日；改訂 8 月 5 日；採択 8 月 7 日）

要旨

本論文では，多変量分布 F からの標本を用いて，F の接合関数に関する推測を，その周辺分
布は未知のまま行う方法について解説する．この状況下では，G 十分性という基準に従えば，各座標ごとの順位から成るベクトルにのみ依存する方法が望ましいことになる．経験接合関数
やその変形版は接合関数のノンパラメトリックな推定量であり，順位のみを通じてデータに依存する．その漸近的性質をまず簡潔に復習した後，順位相関係数のような接合関数の汎関数の推定量の性質を見ていく．さらに，接合関数が母数化されている場合に，そのパラメータをセミパラメトリックに推定するいくつかの方法を，擬似尤度推定量を含む順位近似 Z 推定量クラスにとりわけ重点を置いて考察する．続いて，独立性検定を含む一般的な適合度検定を手短に再検討する．最後に，これまで述べた推定・検定法を実際に適用する際に必要不可欠である，
経験接合関数に基づくいくつかのリサンプリング法について詳しく検討する．
キーワード：接合関数，G 十分性，経験接合関数，セミパラメトリック推定，適合度
検定，ブートストラップ法．

1.

はじめに

Xi := (Xi1 , . . . , Xid ), i = 1, . . . , n を独立に同一分布に従う d 次元確率ベクトルとし，その d次元分布関数 F が連続であるとする．このとき，良く知られた Sklar の定理から F に対して一C を用いて意的に定まる接合関数（copula）(1.1)

F (x1 , . . . , xd ) = C(F1 (x1 ), . . . , Fd (xd )),(x1 , . . . , xd ) ∈ Rdと書ける．ここで，F1 , . . . , Fd は 1 次元周辺分布関数である．よって，d 次元連続分布関数のパラメータで母数化された族と全体を Pd と書くと，Pd は (F1 , . . . , Fd , C) という（無限次元）
みなすことができる．
各 i ∈ {1, . . . , n} と j ∈ {1, . . . , d} に対して，X1j , . . . , Xnj における Xij の順位を Rij,n と書
き（各座標ごとの順位），Ri,n := (Ri1,n , . . . , Rid,n ) とおく．すなわち，(1.2)

Rij,n =n½{Xkj ≤ Xij }.

k=1

Fj は連続であるから，Uij := Fj (Xij ), i ∈ {1, . . . , n} は U (0, 1) 分布に従い，(Ui1 . . . , Uid )，i ∈ {1, . . . , n} は独立，そして分布関数が C である分布に従う．また，Rij,n は U1j , . . . , Unj における Uij の順位と一致することに注意する．
†

成城大学 経済学部：〒 157–8511 東京都世田谷区成城 6–1–20

統計数理

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第 68 巻 第 1 号 2020

本稿では，F1 , . . . , Fd が未知の場合に，データ X1 , . . . , Xn に基づく C に関する統計的推測手法について，これまでのこの分野での研究結果を概説する．次節では，順位ベクトルの G 十分性を示して，順位に基づく方法がある種の望ましさの基準を満たすことを説明する．接合関
数 C のノンパラメトリック推定量として経験接合関数を定義し，その漸近的性質を第 3 節で述
べた上で，第 4 節では，順位相関係数などの接合関数の汎関数を考え，対応する経験接合関数
プラグイン推定量の漸近的な結果を示す．第 5 節では，接合関数 C が Cθ と有限次元パラメータ θ で母数化されている場合に，θ をセミパラメトリックに推定する方法をいくつか紹介する．
第 6 節では，C に関する様々な適合度検定を，C がある接合関数族 C に属するという帰無仮説の検定として統一的に整理して概観する．最後に第 7 節で，上記の推定・検定を行う際に必要なリサンプリング法について，これまでに提案されている手法を詳述する．接合関数に関する基本的な知識はある程度仮定して話を進めるが，それについては Nelsen（2006）や塚原（2008）などを適宜参照していただきたい．
2.

順位統計量の G 十分性

2.1 G 十分性の一般論
まず，伝統的な統計的決定理論の枠組みを導入する．X を標本空間，A を X 上の σ 集合（θ = θ な
体とし，可測空間 (X , A ) 上の確率測度の族 {Pθ }θ∈Θ が識別性条件を満たすとする
らば, Pθ = Pθ ）．そして，標本空間 X 上の変換群 G が与えられているとする．すなわち，Gは X からそれ自身への（可測な）
全単射の集合で，（i）g1 , g2 ∈ G に対して，g2 g1 ∈ G（g2 g1 は g1 と g2 の合成）（ii）g ∈ G に対して，g −1 ∈ Gを満たす．さらに，G から Θ 上の変換群 G への準同型写像 g → g が存在し，Pθ (A) = Pgθ (gA)が成り立つとする．このとき，確率分布族 {Pθ }θ∈Θ は G 不変であるという．
パラメータ空間 Θ は，ある Θ1 と Θ2 について直積空間 Θ = Θ1 × Θ2 と書けるものとし，そ（nuisance parameter）である場合に，θ2 に対の要素を θ = (θ1 , θ2 ) と書く．θ1 が局外パラメータをどう定義するかという問題は古くから議論されする十分性（部分十分性（partial suﬃciency））てきており，いくつかの概念が提案されている（Rémon, 1984 や Severini, 2000 参照）．ここでは群の考え方を用いた流儀を述べて，接合関数モデルに適用する．
定義 2.1. （Barnard, 1963）(X , A ) からある可測空間 (T , B) への可測写像，すなわち統計量 T が与えられたとする．このとき，T が θ1 未知の下で θ2 に対して G 十分（G -suﬃcient forであるとは，次の 3 つの条件が成り立つことをいう．
θ2 in the absence of knowledge of θ1 ）（i）g ∈ G は Θ1 上推移的に作用し，かつ θ2 は変えない．すなわち，任意の θ ∈ Θ と g ∈ Gに対して，Θ1 上の変換 g  があって gθ = (g  θ1 , θ2 ) が成り立つ．また，任意の θ1 , θ̃1 ∈ Θ1 に対して，θ1 = g  θ̃1 となる g  が存在する．
（ii）T は G 不変である：すべての g ∈ G , x ∈ X に対して，T (gx) = T (x)．
（iii）S を任意の G 不変な統計量とするとき，T を所与とした S の条件付き分布は θ2 に依存しない．
で最初に与えられたとされるが，上記の形は Sprott（1965）に従っ
この定義は Barnard（1963）
から（iii）
が自動的に成り立つ条件を与えている）．その骨子は，た（この論文は，上の定義で（ii）

接合関数モデルにおける統計的推測

7

θ1 が未知であるということを，θ2 に対する推測を行う場合に G 不変な統計量に基づくべきであるという要請と捉え，その上で古典的な十分性の定義を当てはめるということである．デーという観点からいえば，まず不変性によって，次いで十分性による
タの縮約（data reduction）
縮約を行うという考え方と解釈できる．これは，Hall et al.（1965, p. 579）による不変的十分性という概念と一致する．
（invariantly suﬃcient）
条件（i）から，写像 θ = (θ1 , θ2 ) → θ2 は変換群 G の下での最大不変量となる．よって，G 不変な統計量の分布は θ2 にのみ依存する．この事実は Lehmann（1986, Theorem 6.3）に述べられているが，不変性によりパラメータ空間も縮約され，θ2 が共通の θ = (θ1 , θ2 ) をすべて同一視することを意味する．この意味で θ1 は局外パラメータということなのである．
上記のような群構造をもつモデルは，Barndorﬀ-Nielsen et al.（1989）の流儀では変換モデルと呼ばれている．Severini（2000）では，上記の設定および定義 2.1（i）の（transformation model）
状況を指して複合変換モデル（composite transformation model）と呼んでいる．Rémon（1984）
は，（通常の意味での）十分統計量の最大不変量による縮約であることを Barnard（1963）による G 十分性の定義としているが，これでは十分性と不変性による縮約の順序が定義 2.1 とは異なっている．縮約の結果が十分性と不変性の適用順序によらないための一般的条件は Hall etに与えられている（鍋谷, 1978, 5.4 節も参照）．また，Severini（2000, Section 8.3.3）でal.（1965）
最大不変量のことを G 十分と呼んでいるが，これは Barnard（1963）の定義とは異なる．
上記の定義が適用される最も単純かつ古典的な例は以下のものである．
X = Rn とし，θ = (μ, σ) ∈ R × R+ に対して，Pθ を平均 μ，分散 σ 2
例 2.2. （正規分布族）の正規分布の n 個の直積とする（すなわち，標本 X1 , . . . , Xn が i.i.d. N (μ, σ 2 ) ということであ，すなわち，x = (x1 , . . . , xn ) に対して，gc x =る）．変換群 G は平行移動群（translation group）
n(x1 +c, . . . , xn +c) とすると，g c θ = (μ+c, σ) となる．そして，S = [(n−1)−1 i=1 (Xi −X)2 ]−1/2
が μ 未知の下で σ に対して G 十分となる．
2.2 接合関数モデルにおける順位の G 十分性などのある種の問題では，C が興味の対象となるパラメータ独立性検定（Blum el al., 1961）
で，周辺分布 Fj , j ∈ {1, . . . , d} は局外パラメータとみなされる．このような場合，C に関する
統計的推測において順位に基づく統計量を用いることの正当化は通常，座標毎の狭義単調増加
変換の下での不変性に基づいて議論されている．しかし，単に不変だというだけでは順位に基づく方法の良さを示していることにはならない．そこで，2.1 節において導入した定義 2.1 の意味での G 十分性を一つの最適性と捉えて，それを順位統計量について示そう．
g1 , . . . , gd を R 上の連続な狭義単調増加関数で，gj (R) = R, j ∈ {1, . . . , d} を満たすものとし，

⎛

x11
⎜ x21
⎜
X=⎜ .
⎝ ..
xn1

に対して，g : Rn×d → Rn×d を

⎛

x12
x22
..
.
xn2

g1 (x11 )⎜ g1 (x21 )⎜gX = ⎜.
⎝ ..
g1 (xn1 )

...
...
..
.
...

g2 (x12 )g2 (x22 )..
.
g2 (xn2 )

⎞

x1d
x2d ⎟
⎟
n×d
.. ⎟ ∈ R
⎠
.
xnd

...
...
..
.
...

⎞

gd (x1d )gd (x2d ) ⎟
⎟
⎟
..
⎠
.
gd (xnd )

統計数理

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第 68 巻 第 1 号 2020で 定 義 す る ．そ し て ，こ の よ う な 変 換 全 体 を G で 書 き 表 す と ，こ れ は Rn×d 上 の 変 換
群 と な る ．さ ら に ，Cd を d 次 元 接 合 関 数 全 体 ，D を 1 次 元 連 続 分 布 関 数 全 体 と し ，
Θ := {θ = (F1 , . . . , Fd , C) ∈ D d × Cd } とおくと（上述の記法でいえば，Θ1 = D d , Θ2 = C ），d 次
元連続分布関数の全体 Pd はパラメータ θ で母数化された族とみなせ，{Pθ⊗n }θ∈Θ が標本空間
Rn×d 上の確率分布族となる．
命題 2.3. 確率分布族 {Pθ⊗n }θ∈Θ は G 不変である．
証明.

対応する準同型写像 g はgθ = (F1 ◦ g1−1 , . . . , Fd ◦ gd−1 , C)

(2.1)

で与えられるから，接合関数の単調変換下での不変性（塚原, 2008, 定理 2.8）より主張は明らかである．
i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , d} に対して，x1j , . . . , xnj の中での xij の順位を rij とし，順位ベ
クトルを並べた行列を

⎛

r11
⎜ r21
⎜
R = R(X) := ⎜ .
⎝ ..
rn1

r12
r22
..
.
rn2

...
...
..
.
...

⎞

r1d
r2d ⎟
⎟
.. ⎟ = (r1 , r2 , . . . , rd ). ⎠rndと書き，順位統計量と呼ぶ．
定理 2.4. 定義 2.1 の意味で，順位統計量 R は 1 次元周辺分布関数 (F1 , . . . , Fd ) が未知の下で，接合関数 C に対して G 十分である．
（- iii）
を確かめればよい．準同型写像 g は（2.1）で与えられており，
証明. 定義 2.1 の条件（i）（i）は明らかに満たされる．また，順位は狭義単調増加変換の下で不変だから，R が G 不変であることも自明である．次に，S を任意の G 不変な統計量とする．R を所与とするということ
は，(r1j , . . . rnj ) の逆順列を (s1j , . . . snj ) とするとき，Rn×d の (n!)d 個の順序錐による分割の中で，Kr := Kr1 × · · · × Krd , ただし Krj := {x ∈ Rn : xs1j < · · · < xsnj }上に限定するということにほかならない．ところが，各 Krj 内の任意の 2 点は適当な連続かつ狭義単調増加関数 g で互いに変換可能であるから，S はこの上で一定となる．よって，R を所与とした S の条件付き分布は C に依存しない．したがって，定理の主張が示された．
次節以降では，接合関数 C に関する統計的推測の様々な方法について包括的に解説する．
注意 2.5. 上に述べた接合関数モデルに対しての順位統計量の部分十分性は，Hoﬀ（2007）に簡単に述べられている．
3.

接合関数のノンパラメトリック推定

第 1 節で導入した設定を思い出そう：Xi := (Xi1 , . . . , Xid ), i = 1, . . . , n は d 次元連続分布関
数 F からの iid 標本である．F が連続である場合には，その Sklar 分解（1.1）における接合関数Cは

接合関数モデルにおける統計的推測(3.1)

C(u) = F (F1− (u1 ), . . . , Fd− (ud )),9u = (u1 , . . . , ud ) ∈ [0, 1]dで与えられることが容易にわかる．ここで，任意の 1 次元分布関数 H に対して，その分位
は H − (u) := inf{x ∈ R : H(x) ≥ u} である．よって，上式における F および関数（quantile）
F1− , . . . , Fd− を対応する経験分布関数・経験分位関数で置き換えれば，C の自然なノンパラメ
トリック推定量が得られる．すなわち，j ∈ {1, . . . , d} に対して，
1
½{Xij ≤ xj },nn

Fnj (xj ) :=1½{Xi1 ≤ x1 , . . . , Xid ≤ xd }nn

Fn (x) :=

i=1

i=1

と定義するとき，経験接合関数（Deheuvels, 1979）
Cn は−
Cn (u) := Fn (F−n1 (u1 ), . . . , Fnd (ud ))(3.2)

で定義される．また，これを少し変形したバージョンである “順位に基づく経験接合関数” は次の式で定義される：
1
nn

C̃n (u) :=

(3.3)

d

i=1 j=1

接合関数研究分野では，(3.4)

Ûi :=

1
Ri,n =
n+1

½

Rij,n
≤ uj .
n+1



Rid,n
Ri1,n
,
,...,
n+1
n+1

i = 1, . . . , nを擬似観測値（pseudo-observations）と呼ぶことが多い（Ghoudi and Rémillard, 2004）．よって，（3.3）は擬似観測値に基づく経験分布関数であるということができる．
同順位がない場合には，(3.5)

C̃n − Cn ∞ :=sup |C̃n (u) − Cn (u)| ≤u∈[0,1]ddnが成り立つことが容易にわかる．
（3.2）と（3.3）はどちらも順位のみに依存するため，それらの確率分布は C を通してのみ F に依存する．
√
Cn の漸近挙動を調べるために，経験接合過程（empirical copula process）を Gn := n(Cn − C)で定義する．[0, 1]d 上の実数値有界関数全体に sup ノルム · ∞ を備えたバナッハ空間を
∞ ([0, 1]d ) で表す．そして，曲がりくねった矢印  は，van der Vaart and Wellner（1996）
で定義された意味での弱収束を表すとする．
経験接合関数が C の一様強一致推定量，すなわち Cn − C ∞ → 0, P -a.s. が成り立つことらによって古くから知られていた．Fermanian et al.（2004）や Tsukahara
は Deheuvels（1979）（2005）は，C の偏導関数 Ċj = ∂C/∂uj , j ∈ {1, . . . , d} が [0, 1]d 全域で連続であるという条件の下で，経験接合過程 Gn に対する収束定理を得ていたが，その仮定は Segers（2012）により裾依存性をもつ接合関数に対しても成り立つ条件に弱められた．
定理 3.1. （Segers, 2012）各 j ∈ {1, . . . , d} について，接合関数 C は集合 {u ∈ [0, 1]d : 0 <uj < 1} 上で連続な 1 次偏導関数 Ċj (u) = ∂C(u)/∂uj をもつと仮定すると，∞ ([0, 1]d ) においてGn  GC ,n→∞が成り立つ．ここで，

統計数理

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第 68 巻 第 1 号 2020

GC (u) := UC (u) −dĊj (u) UC (1, uj , 1)j=1

であるが，(1, uj , 1) は第 j 成分が uj で，その他のすべての成分が 1 の d 次元ベクトル，UC はC でピン止めされたブラウンシート（C-pinned Brownian sheet），すなわち連続な軌道をもつ平均 0 のガウス過程で，共分散関数がCov{UC (u), UC (v)} = C(u ∧ v) − C(u) C(v),u, v ∈ [0, 1]dで与えられるものである．また，u ∧ v は成分毎に最小値をとったベクトル，すなわち，u ∧ v = (min(u1 , v1 ), . . . , min(ud , vd )) である．
√
式（3.5）より，C̃n (u) を用いた経験接合過程 G̃n := n(C̃n − C) についても同じ結果が成り立
つことは明らかである．
Cn や C̃n は階段関数であるから，接合関数の性質の中で連続性や周辺分布の一様性は満たし得ない．これを満たす接合関数の推定量として，Segers et al.（2017）では次式で定義される経
験ベータ接合関数が提案されている：
1nn

Cβn (u) =

(3.6)

d

u ∈ [0, 1]dFn,Rij,n (uj ),i=1 j=1

ここで，u ∈ [0, 1] と r ∈ {1, . . . , n} に対して，
n  

n s

Fn,r (u) =s=rsu (1 − u)n−s = P[Bin(n, u) ≥ r]

はベータ分布 B(r, n + 1 − r) の分布関数である．この経験ベータ接合関数は真の接合関数であるだけでなく，平滑化パラメータが不要であること，リサンプリングが非常に容易であることなどの利点を兼ね備えている．また，Segers et al.（2017）では，経験ベータ接合関数の小標本でのパフォーマンスが他の接合関数推定量と比べて良いこともモンテカルロ・シミュレーショ
ンで示されている．この経験ベータ接合関数に基づくリサンプリング法については，第 7 節で
後述する．
4.

接合関数の汎関数の推定

前節の漸近的な結果を用いることによって，接合関数の汎関数の推定量に対する漸近分布も導くことができる．最もよく知られているものは，次の 2 つの順位相関係数であろう（Kendall：
and Gibbons, 1990） 1 1C(u1 , u2 ) dC(u1 , u2 ) − 1

τ (C) := 40

（Kendall の τ ）0

 1 1(4.1)[C(u1 , u2 ) − u1 u2 ] du1 du2

ρ(C) := 120（Spearman の ρ）

0

それぞれの
（伝統的な）
標本版は

 
2K
sign[(Xk1 − Xi1 )(Xk2 − Xi2 )],n(n − 1)
n−1

τ̂ :=
(4.2)

n

i=1 k=i+1






6
1
12
Ri1,n Ri2,n − 3n(n + 1)2 = 1 −ρ̂ :=2n(n − 1)
n

i=1


i

(Ri1,n − Ri2,n )2n(n2 − 1)

接合関数モデルにおける統計的推測11で定義される．これらは τ (Cn ) や ρ(Cn ) とは若干異なる形となるが（Tsukahara, 2000)，漸近分
布は同等となるため，以下ではこれらのプラグイン推定量を考える．C は連続微分可能で偏導関数 Ċj (j = 1, 2) をもつと仮定すると，√

n(ρ(Cn ) − ρ) = 12√n[Cn (u1 , u2 ) − C(u1 , u2 )] du1 du2



は 12
DC (u1 , u2 ) du1 du2 に 弱 収 束 す る ．こ の 分 布 は 平 均 0 の 正 規 分 布 で あ る が ，そ の分散を書き下すのは面倒である．しかし，C(u1 , u2 ) = u1 u2 =: λ，すなわち Xi1 と Xi2 ,（Brownian pillow）となるから，直接的な計算
i = 1, . . . , n が独立であれば，Dλ はブラウン枕
 λD (u1 , u2 ) du1 du2 の分散は 1 となることがわかる．これは標本 Spearman 順位相により 12
関係数の独立性帰無仮説の下での漸近分散に等しくなっていることも確かめることができる．
（Kendall and Gibbons, 1990 参照）
一般に，[0, 1]3 上の任意の関数 J に対して，



S(C) :=

J(u1 , u2 , C(u1 , u2 )) du1 du2と定義し，対応する標本版 S(Cn ) を Spearman 型順位統計量と呼ぶことにする．すると，上のρ(Cn ) は J(u1 , u2 , w) = 12(w − u1 u2 ) の場合に対応する．この型の統計量に対する漸近分布は，
Gaenssler and Stute（1987）
で得られている．



定理 4.1. 関数 J は w に関して連続な偏導関数 J 3 (u, v, w) をもち，supu,v,w J 3 (u1 , u2 , w) <√∞ を満たすとすると， n(S(Cn ) − S(C)) は平均 0，分散 

σ 2 (S) := var

J 3 (u1 , u2 , w)Z(u1 , u2 ) du1 du2の正規分布に分布収束する．ただし，σ 2 (S) > 0 と仮定し，Z(u1 , u2 ) はZ(u1 , u2 ) := ½{ξ1 ≤u1 , ξ2 ≤u2 } − C(u1 , u2 )− Ċ1 (u1 , u2 )(½{ξ1 ≤u1 } − u1 ) − Ċ2 (u1 , u2 )(½{ξ2 ≤u2 } − u2 )で定義される確率過程，(ξ1 , ξ2 ) は分布関数 C に従う確率ベクトルである．
T (Cn ) に対する漸近論はより複雑である．Spearman 型順位統計量の場合と同様に，[0, 1]3 上の関数 J に対して，

T (C) :=

J(u1 , u2 , C(u1 , u2 )) dC(u1 , u2 )とおき，T (Cn ) を Kendall 型順位統計量と呼ぶことにする．J(u1 , u2 , w) = 4w − 1 ととれば
τ (Cn ) が得られる．この Kendall 型順位統計量の漸近分布は次の定理で与えられる．
定理 4.2. J(u1 , u2 , w) は (0, 1)3 上で連続微分可能であるとし，偏導関数∂J(u1 , u2 , w)
∂J(u1 , u2 , w)
∂J(u1 , u2 , w)
, J 2 (u1 , u2 , w) =, J 3 (u1 , u2 , w) =
,
∂u1
∂u2
∂w
√
は一様に有界であると仮定する．このとき， n(T (Cn ) − T (C)) は平均 0，分散
J 1 (u1 , u2 , w) =2

σ (T ) := var J(ξ1 , ξ2 , C(ξ1 , ξ2 )) +[J 3 (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))(½{ξ1 ≤u1 , ξ2 ≤u2 } − C(u1 , u2 ))+ J (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))(½{ξ1 ≤u1 } − u1 ) + J (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))(½{ξ2 ≤u2 } − u2 )] dC(u1 , u2 )
1

2

統計数理

12

第 68 巻 第 1 号 2020の正規分布に分布収束する．ただし，σ 2 (T ) > 0 と仮定し，(ξ1 , ξ2 ) は定理 4.1 と同様に分布関
数 C に従う確率ベクトルである．
式の記法を用いて概略だけを述べておこう．まず，証明は Shorack and Wellner（1986）√

n(T (Cn ) − T (C))



J 3 (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))Gn (u1 , u2 ) dCn (u1 , u2 ) +=J(u1 , u2 , C(u1 , u2 )) dGn (u1 , u2 ) + Rnと書ける．ここで，Rn = oP (1) である．1 番目の積分は



J 3 (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))GC (u1 , u2 ) dC(u1 , u2 )に収束する．2 番目の積分もJ(u1 , u2 , C(u1 , u2 )) dGC (u1 , u2 ) に収束する．定理 3.1 と部分積分を用いた直接的な計算によって，これら 2 つの確率変数間の共分散構造は



J 3 (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))Z(u1 , u2 ) dC(u1 , u2 )（Z(u1 , u2 ) は定理 4.1 で定義された確率過程である）と



J(ξ1 , ξ2 , C(ξ1 , ξ2 )) −


+


+

J(u1 , u2 , C(u1 , u2 )) dC(u2 , u2 )[J 1 (u1 , u2 , C(u1 , u2 )) + J 3 (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))Ċ 1 (u1 , u2 )](½{ξ1 ≤u1 } − u1 ) dC(u1 , u2 )[J 2 (u1 , u2 , C(u1 , u2 )) + J 3 (u1 , u2 , C(u1 , u2 ))C 2 (u1 , u2 )](½{ξ2 ≤u2 } − u2 ) dC(u1 , u2 )との間の共分散構造と同じであることが示される．これら 2 つを加えるといくつかの項が相殺し合って，定理に述べた形の漸近分布が得られることがわかる．
注意 4.3. 以上の議論は大雑把であるが，より厳密には汎関数デルタ法（van der Vaart andを用いて，ある種の関数微分可能性を示すことにより証明すること
Wellner, 1996, Section 3.9）もできる．他の依存性尺度については，Nelsen（2006, Chapter 5）とそこでの引用文献を参照
せよ．
5.

セミパラメトリック・モデルにおける推定

本節では，iid 標本 Xi , i ∈ {1, . . . , n} の母集団分布関数 F の接合関数 C が母数化されているセミパラメトリックモデルを考える：
F (x1 , . . . , xd ) = Cθ (F1 (x1 ), . . . , Fd (xd )),θ ∈ Θ ⊂ Rm .

このモデルにおける推定問題とは，周辺分布関数 F1 , . . . , Fd が未知のまま θ を推定することである．
5.1 順位近似 Z 推定
Cθ が 絶 対 連 続 で ，θ に 関 し て 微 分 可 能 な 密 度 関 数 cθ を も つ と 仮 定 し ，ċθ :=(∂cθ /∂θ1 , . . . , ∂cθ /∂θm ) とおくと，上記問題に対する尤度関数は，

接合関数モデルにおける統計的推測

13ncθ (F1 (Xi1 ), . . . , Fd (Xid ))f1 (Xi1 ) · · · fd (Xid )i=1と書ける．もし F1 , . . . , Fd が既知であれば，尤度方程式nċθ (F1 (Xi1 ), . . . , Fd (Xid ))
i=1cθ (F1 (Xi1 ), . . . , Fd (Xid ))=0の解が通常の最尤推定量となる．しかし，それらは未知であるため，スケールを変えて n + 1
で割った経験分布関数で代用することにすると，結局それは (F1 (Xi1 ), . . . , Fd (Xid )) を式（3.4）の擬似観測値 Ûi で置き換えることと同じになる．さらに，ċθ /cθ を一般の推定関数 φ( · , θ) で置き換えると，(5.1)

n

φ[Fn1 (Xi1 ), . . . , Fnd (Xid )] = 0i=1という推定方程式が得られる．ただし，φ( · , θ) = (φ1 ( · , θ), . . . , φm ( · , θ)) は (0, 1)d 上の Rm 値関数で，φk (u, θ) dCθ (u) = 0,k ∈ {1, . . . , m}を満たさなければならない．このとき，方程式（5.1）の解 θ̂nRAZ を θ の順位近似 Z 推定量と（5.1）の解は擬似尤度呼ぶ（Tsukahara, 2005）．そして，特に，φ( · , θ) = ċθ /cθ のときには，
推定量（pseudo-likelihood estimator）と呼ばれている（Genest et al. 1995)．他の例については，
Tsukahara（2005）
を参照されたい．
この順位近似 Z 推定量 θ̂nRAZ に対する漸近論を展開するために，次の定義をおく．
定義 5.1. （i）Q は [0, 1] 上の実数値連続関数 q で，(0, 1) 上では正の値をとり，1/2 に関して
1対称，[0, 1/2] 上では増加関数で， 0 {q(t)}−2 dt < ∞ を満たすものの全体である．
（ii）関数 r : (0, 1) → (0, ∞) が u 形であるとは，1/2 に関して対称であり，(0, 1/2] 上で増加関数であることをいう．
（iii）0 < β < 1 と u 形関数 r に対して，

rβ (t) =r(βt)

if 0 < t ≤ 1/2;r{1 − β(1 − t)}

if 1/2 < t ≤ 1.

とおく．ある 0 の近傍におけるすべての β > 0 に対して，(0, 1) 上 rβ ≤ Mβ r となるような定数
Mβ が存在するならば，r を再生 u 形関数と呼ぶ．そして，再生 u 形関数の全体を R と書く．
Q と R に属する関数で典型的な例は
q(t) = {t(1 − t)}α , 0 < α < 1/2,

r(t) = D{t(1 − t)}−τ , τ ≥ 0, D ≥ 0である．
一般的な正則条件として，次のような条件が必要である．
（A.1）各 θ と k ∈ {1, . . . , m} に対して，φk ( · , θ) : (0, 1)d → R は連続微分可能であり，その偏導関数を φjk = ∂φk /∂uj , j ∈ {1, . . . , d} としたとき，関数 rj ∈ R, r̃j ∈ R と qj ∈ Q (j ∈ {1, . . . , d})
が存在し，

統計数理

14

第 68 巻 第 1 号 2020d|φk (u, θ)| ≤|φjk (u, θ)| ≤ r̃j (uj )rj (uj ),j=1

rl (ul ),j ∈ {1, . . . , d},

l=j

および

 d


(0,1)d2
rj (uj )dCθ (u) < ∞,rl (ul )dCθ (u) < ∞,j=1

qj (uj )r̃j (uj )(0,1)dj ∈ {1, . . . , d}l=jが成り立つ．
（A.2）θ0 は写像 θ → φ(u, θ) dCθ0 (u) の一意的な零点である．
（A.3）各 j ∈ {1, . . . , m} に対して，φj (u, θ) は dCθ に関して (0, 1)d 上 2 乗可積分である．
（A.4）φ(·, θ) は θ について微分可能で，そのヤコビ行列φ̇(u, θ) =∂φk (u, θ)
∂θl



m×m

は次の条件を満たす：φ̇(u, θ) は u と θ について連続であり，ある dCθ 可積分関数 h(u) が存在
して， φ̇(u, θ) ≤ h となる．
（A.5）m × m 行列 A0 = φ̇(u, θ0 ) dCθ0 (u) は非特異である．
一般によく用いられる接合関数の多くについて，擬似尤度推定量に対応する φ( · , θ) = ċθ /cθ が上記の条件を満たすことは簡単に確かめられる．
以上の正則条件の下で，順位近似 Z 推定量に対する漸近分布が得られる．
（A.1）（- A.5）
を仮定する．n → ∞ のとき，推定方程式（5.1）に対する解 θ̂n が定理 5.2. 条件√
存在し，θ の真値 θ0 に収束する確率は 1 に近づく．さらに，n → ∞ のとき， n(θ̂n − θ0 ) は平−1
−1
均 0，共分散行列 A0 Σ0 A0 の正規分布に分布収束する．ここで，ξ を分布関数 Cθ0 に従う確率ベクトルとするとき，
Σ0 = var φ(ξ, θ0 ) +d φj (u, θ0 )(½{ξj ≤ uj } − uj ) dCθ0 (u)

j=1

である．
5.2 他の推定法
最小距離推定．2 つの接合関数 C と D の距離 γ(C, D) が与えられているとき，経験接合関数
Cn と Cθ の距離 γ(Cn , Cθ ) を最小化する θ の値を推定値とする方法を最小距離推定法という．
すなわち，最小距離推定量は
θ̂nMD := arg min γ(Cn , Cθ )
θで定義される．γ の例としては，

{C(u) − D(u)}2 duγ(C, D) =（Cramér-von Mises 距離）(0,1)dγ(C, D) =supu∈(0,1)d|C(u) − D(u)|（Kolmogorov–Smirnov 距離）

接合関数モデルにおける統計的推測





{

γ(C, D) =c(u) −

d(u) }2 du

15（Hellinger 距離）(0,1)dなどが考えられる．ここで，c と d はそれぞれ C と D の接合密度関数を表す．そのため，
Hellinger 距離を用いるためには，カーネル法などによって接合密度関数の推定を行う必要がある．これらの推定量はある種の頑健性をもつと期待されるが，その詳細については調べられてで得られている．
いない．漸近分布は Tsukahara（2005）
順位相関反転推定．d = 2，m = 1 の場合を考える．4 節で述べたように，Kendall と Spearmanの母順位相関係数（4.1）
は接合関数 C の汎関数として定義されるが，本節での設定のように Cが母数化されて Cθ となっている場合には，θ の関数となる．それらをそれぞれ τ (θ)，ρ(θ) と書くことにする．ここで積率法との類似で，これらを標本順位相関係数（4.2）と等号で結び，それらを θ について解いて得られる推定量θ̂τ = τ −1 (τ̂ ),θ̂ρ = ρ−1 (ρ̂)

を順位相関反転推定量と呼ぶ（積率法推定量とも呼ばれる）．この方法は，τ (θ) や ρ(θ) が θ の簡単な関数である場合に有効であり（その例については，塚原, 2008 参照），2 次元の場合にしか適用できない方法ではあるが，しばしばより複雑な最適化計算を要する推定方法の初期値として用いられることがある．τ 反転推定量は，Oakes（1982）（Clayton 族）と Genest（1987）（Frank 族）で考察されている．
本節で紹介した推定方法は計算機言語 R でパッケージ ‘copula’ として実装されているが，その詳細についてはそのマニュアルである Hofert et al.（2018）や Hofert et al.（2019）を参照してや Kojadinovic and Yan（2010）で報告されているモンテカルロ・シ
ほしい．Tsukahara（2005）
ミュレーションによる比較実験では，2 次元の主だった接合関数族について，平均 2 乗誤差が小さいという意味で，擬似尤度推定量が最良の推定量であるという結論が得られている．Chen
では，篩
（sieve）
法によるセミパラメトリック最尤推定量がセミパラメトリックなet al.（2006）
意味で漸近的に最適な推定量であることが示されている．しかし，周辺分布がすべて未知の場
合には，有限標本においてこの複雑な方法が擬似尤度推定量を凌駕するというようなシミュ
レーション結果は得られていない．
6.

適合度検定

本節では，C に関する様々な検定を短く概観する（より詳細な解説論文としては，Fermanian,2013 や Genest et al., 2009 がある）．C に関する検定問題は，ある接合関数の族 C について，/ C に対して検定するという形で表現できる．
帰無仮説 C ∈ C を対立仮説 C ∈d例 6.1.（i）独立性の検定：C = {Π}，Π(u) = j=1 uj は独立接合関数．
（ii）古典的な適合度検定：C = {C0 }，C0 は所与の接合関数．
（iii）パラメータ族の適合度検定：C = {Cθ }θ∈Θ ．
（iv）対称性の検定：C = {C : (1, . . . , d) の任意の置換 (π1 , . . . , πd ) に対して，C(u1 , . . . , ud ) =C(uπ1 , . . . , uπd )}．
1/n（v）極値依存性の検定：C = {C : 接合関数 C∗ が存在して C = limn→∞ C∗n (u1/n
1 , . . . , ud )}．
（vi）アルキメデス型の検定：C = {C : C(u) = φ−1 (φ(u1 )+· · ·+φ(ud )), φ は d 単調な生成素 }．
–これらの検定問題に対する検定統計量の多くは，経験接合関数に基づくものである．
（i）（iii）については，5.2 節で最小距離推定量を考えた際に導入した，2 つの接合関数 C と D の距
離 γ(C, D) を用いて，

統計数理

16

第 68 巻 第 1 号 2020

inf γ(Cn , C)C∈Cという形の検定統計量が基本的である．γ としては，5.2 節で挙げた Cramér-von Mises 距離，
Kolmogorov-Smirnov 距離のほかに，積分で重みをつける

2[Cn (u) − C(u)] wn (u) dCn (u),Dn :=Dn :=[0,1]d[Cn (u) − C(u)]2 wn (u) du[0,1]dといった Anderson-Darling 型のものも考えられる．Genest et al.（2009）では，KolmogorovSmirnov 距離に基づく検定は，多くの場合に検出力が他の検定よりも小さいことがシミュレー
ション実験により報告されている．
（iv）の検定として，d = 2 の場合には

 1 1[Cn (u1 , u2 ) − Cn (u2 , u1 )]2 dCn (u1 , u2 )00の形の検定統計量が自然に考えられる（Genest et al., 2012; Harder and Stadtmüller, 2017）は，
d > 2 の場合への拡張を論じている．
（vi）の問題はより複雑であり，定義とは異なる C の便利な特徴づけが必要となる．
（v）（v）とについては，いわゆる Kendall 分布を用いる検定法や Pickands 従属性関数の推定量と経験接合関数に基づくものなどが提案されているが，詳しくは Bücher and Kojadinovic（2015）を参照
については，d = 2 の場合に Bücher et al.（2012）が検定方式を提案しているが，されたい．（vi）
d > 2 の場合への拡張は困難なようである．
√
これらの検定について，漸近的な帰無分布は経験接合過程 n(Cn − C) の極限分布から導くことができることが多い．しかし，Fermanian（2013）にも述べられているように，漸近分布か
ら p 値，あるいは臨界値を求めることは 2 段階の近似を要することになるため実用的でない．
よって，いくつかのリサンプリング法が提案されているのだが，これは次節の話題である．
7.

リサンプリング法

以上見てきたように，接合関数の従属パラメータの区間推定や一般のクラスに属するかどうかの有意性検定を行うためには，何らかの形でリサンプリング法を適用しなければならないことが多い．本節では，経験接合過程のブートストラップ法についてこれまで提案されてきたものを再考察した上で，新たに我々が提案している経験ベータ接合関数に基づくリサンプリング
手法についても簡単に述べる．
7.1 直接的ブートストラップ(Wn1 , . . . , Wnn ) を多項分布 Mult(n; 1/n, . . . , 1/n) に従う確率ベクトルとし，標本 X1 , . . . , Xnとは独立であるとする．そして，
(7.1)

∗−
C∗n (u) = F∗n (F∗−n1 (u1 ), . . . , Fnd (ud )),ただしF∗n (x) :=

1
Wni
n
n

d

i=1

j=1

½{Xij ≤ xj },1
Wni ½{Xij ≤ xj },nnF∗nj (xj ) :=i=1

j ∈ {1, . . . , d}接合関数モデルにおける統計的推測

17

とおく．
ブートストラップに関する漸近論のために，van der Vaart and Wellner（1996, Section 2.9）にならって，データを所与とした条件付き分布の確率収束を定義する．まず，
BL1 := {h : ∞ ([0, 1]d ) → R,

h ∞ ≤ 1 かつすべての x, y ∈ ∞ ([0, 1]d ) に対して |h(x) − h(y)| ≤ x − y ∞ }とおく．X̂n が W をランダムな重みとする，∞ ([0, 1]d ) におけるブートストラップ過程の列であるとき，記号PX̂n  X, n → ∞W

はsup |EW h(X̂n ) − Eh(X)| → 0（外確率収束）h∈BL1かつ，すべての h ∈ BL1 に対してEW h(X̂n )∗ − EW h(X̂n )∗ −→ 0Pが成り立つことを意味する．ここで，EW はデータ X1 , . . . , Xn を所与とした，重み W に関する条件付き期待値を示す記号であり，h(X̂n )∗ と h(X̂n )∗ はそれぞれ全データ X1 , . . . , Xn , W に関する最小可測優関数（minimal measurable majorant）と最大可測劣関数（maximal measurable
である．
minorant）
Fermanian et al.（2004）
は，∞ ([0, 1]d ) において
√
P
(7.2)
n(C∗n − Cn )  GC , n → ∞Wが成り立つことを示した．
（3.3）のいま (Wn1 , . . . , Wnn ) は上と同様の確率ベクトルとし，順位に基づく経験接合関数
ブートストラップ版を
1
Wni
n
n

C̃∗n (u) =

(7.3)

i=1

d

½
j=1

∗
Rij,n
≤ uj
n

で定義する．ここで，
∗
Rij,n
=

(7.4)

n


Wnk ½{Xkj ≤ Xij }.

k=1である．ブートストラップ標本には高い確率で同順位が起こるため，C∗n と C̃∗n については，式（3.5）の不等式は成り立たないが，
(7.5)





sup C∗n (u) − C̃∗n (u) = Op (n−1 log n),u∈[0,1]dn → ∞.

が成り立つことを示すことができる（証明は Kiriliouk et al., 2019 参照）．このため，経験接合，（3.3）のどちらをブートストラップしても，漸近的には同等となる．
関数として（3.2）
7.2 偏導関数の推定値を用いた乗数ブートストラップ法
このアプローチは Remillard and Scaillet（2009）で提案されたものである．Z1 , . . . , Zn を，
データとは独立な iid 確率変数で，E(Zi ) = 0，Var(Zi ) = 1 と

統計数理

18

第 68 巻 第 1 号 2020

 ∞Zi 2,1 :=P(|Zi | > x) dx < ∞0を満たすものとする．そして，C̃Zn (u) :=

(7.6)

1
Zi
n



n

d

i=1

j=1

½

(n)

Rij
≤ uj
n



と
(7.7)

β̃n (u) :=

√

n


1
n[C̃Z
n (u) − Z n C̃n (u)] = √nを定義する．ただし，Z n := n−1

n



d

½

(Zi − Z n )

i=1

j=1

(n)

Rij
≤ uj
n


,

Zi である．

i=1

Remillard and Scaillet（2009）への補足．Remillard and Scaillet (2009, p. 383) にちょっ
ここで修正しておく．
とした誤りが存在するため（Cn (u) = · · · から始まるページ中段の式）
Uij := Fj (Xij ) とおくと，(Ui1 , . . . , Uid ), i ∈ {1, . . . , n} は分布関数 C に従う iid 確率ベクトルとなる．さらに，1
Gn (u) :=nn1Gnj (uj ) :=½{Uij ≤ uj }ndn½{Uij ≤ uj },i=1 j=1i=1√とおくと，∞ ([0, 1]d ) において UCn(Gn − C)  UC が成り立つ．このとき，uj ∈ [0, 1],n :=j ∈ {1, . . . , d} と i ∈ {1, . . . , n} に対して−{Uij ≤ G−
n (uj )} = {Xij ≤ Fn (uj )}, a.s.

が成り立つことを見るのは容易である．よって，−−−Gn (G−n1 (u1 ), . . . , Gnd (ud )) = Fn (Fn1 (u1 ), . . . , Fnd (ud )), a.s.

が結論される．ここで，右辺は定義より Cn (u) に等しいことに注意する．
ここで，


1 
UZ
Zi
n (u) := √nと定義すると，
1UZn (u) = √

n

n

i=1

n

d

i=1

j=1

½{Uij ≤ uj } − Gn (u)

 d



√

½{Uij ≤ uj } − C(u) − Z n n(Gn (u) − C(u)),

Zi
j=1

C
となり，右辺第 2 項は一様に 0 に確率収束する．ゆえに，∞ ([0, 1]d ) において UZn  U が成立
CCは，U と U を 2 つの互いに独立な C でピン止めされた
する．Remillard and Scaillet（2009）Z
CC
ブラウンシートとして，“無条件の” 収束 (UCn , Un )  (U , U ) を主張しているが，これは van
der Vaart and Wellner (1996, Corollary 2.9.3)，あるいはより直接的に Kosorok (2008, Corollary10.3) を適用すれば直ちに得られる結果である．

1 
βn (u) := √
Zi
n
n

(7.8)

i=1

 d



½

{Uij ≤ G−
nj (uj )} − Cn (u)j=1

接合関数モデルにおける統計的推測

19−−とおくと，βn (u) = UZ
（合成写像に関する）連続写像定理
n (Gn1 (u1 ), . . . , Gnd (ud )) が成り立ち，−という事実，そして UC のパスの連続性かと Gnj − I ∞ → 0, a.s.（I は [0, 1] 上の恒等関数）
ら，∞ ([0, 1]d ) において βn  UC が結論される．
Remillard and Scaillet（2009）では，下記の偏導関数推定量を用いた確率過程の無条件の収束を示しているが，ここではより興味深い条件付きの収束が成立することに注意する．すなわ
より，∞ ([0, 1]d ) において，
ち，Kosorok（2008, Theorem 10.4）
PCUZ
n  U ,

n→∞

Z

P

C
であり， G−が従う．
nj − I ∞ → 0, a.s. が成り立つことより，βn  UZ

各 j ∈ {1, . . . , d} に対して，偏導関数 Ċj (u) = ∂C/∂uj (u) はˆ (u) =Ċj⎧
Cn (u1 , . . . , uj−1 , 2h, uj+1 , . . . , ud )⎪,uj ∈ [0, h)
⎪
⎪
2h
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Cn (u1 , . . . , uj−1 , uj + h, uj+1 , . . . , ud ) − Cn (u1 , . . . , uj−1 , uj − h, uj+1 , . . . , ud )
⎪
⎪
,
⎪
⎨
2h

u ∈ [h, 1 − h]

j
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Cn (u1 , . . . , uj−1 , 1, uj+1 , . . . , ud ) − Cn (u1 , . . . , uj−1 , 1 − 2h, uj+1 , . . . , ud )
⎪
⎪
,
⎪
⎪
2h
⎪
⎩

uj ∈ (1 − h, 1]で推定できる．h  n−1/2 ととると，すべての Ċj ，j ∈ {1, . . . , d} が [0, 1]d 上で連続であるならP
ば， Ċˆj − Ċj ∞ −→ 0 となる．最後に
pdmαn(u) := βn (u) −dˆ (u)β (1, u , 1)
Ċ
j
n
j

j=1

とおくと， Ċˆj − Ċj ∞ −→ 0 であるから，Slutsky の補題と連続写像定理により，αnpdm  GC
P

P

Zが得られる．
に対するブートストラップ中心極限定理である．次
上記の結果は標準の経験接合関数（3.2）
について，（7.7）で定義された β̃n についても同様の結果がに，順位に基づく経験接合関数（3.3）
成り立つことを示そう．まず，1 
βn (u) − β̃n (u) = √
Zi
n
n

(7.9)

i=1

 d



d

½

½{Fnj (Xij ) ≤ uj }{Xij ≤ F−
nj (uj )} −

j=1

j=1

1 
−√
Zi (Cn (u) − C̃n (u)),
n
n

a.s.

i=1

となり，右辺の第 2 項は
（3.5）
により Op (n−1 ) である．さらに，（7.5）の証明と同様の議論によ√り，（7.9）の右辺第 1 項の絶対値は d/ n max1≤i≤n |Zi | によって押さえられる．Z1 , Z2 , . . . は同
じ分布に従い（ここでは独立性は不要である），E(Zi2 ) < ∞ を満たすから，|Zi | Pmax √ −→ 0
n

1≤i≤n

P

P

となる．よって，（7.9）の右辺第 1 項は一様に op (1) であり， βn − β̃n ∞ −→ 0，そして β̃n  UC
Z

統計数理

20

第 68 巻 第 1 号 2020が成り立つ．
pdmα̃n(u) := β̃n (u) −dˆ (u)β̃ (1, u , 1)
Ċ
j
n
j

j=1

と定義すると，上と同様の議論から α̃npdm

P GC が得られる．
Z

注意 7.1. 同じ論法を用いて，一般の交換可能な重み (Wn1 , . . . , Wnn ) に対して，
C∗n − C̃∗n ∞ = op (n−1/2 )を示すことができる（c.f.（7.5））．
Bücher と Dette による修正．Bücher and Dette（2010）
では，より使い勝手の良い次のような改良版が提案されている．ξ1 , . . . , ξn を，データとは独立な正の iid 確率変数で，E(ξi ) = μ,nVar(ξi ) = τ 2 > 0 と ξi 2,1 < ∞ を満たすものとし，ξ n := n−1 i=1 ξi ，1  ξinξnnC◦n (u) :=i=1

d½{Xij ≤ F−
nj (uj )}j=1

とおく．ξi を標準化して Zi = (ξi − μ)/τ と書くと，
μ√μ1 n(C◦n (u) − Cn (u)) =·√(Zi − Z n )
τ
n
ξn
n

i=1

d

½{Xij ≤ F−
nj (uj )} =j=1μ
· βn (u)ξn√となる．よって，βn◦ := n(μ/τ )(C◦n − Cn ) は実際 βn と近いことがわかる．同様に，
C̃◦n :=とおけば，

1  ξi
n
ξn
n

d

i=1

j=1

½{Fnj (Xij ) ≤ uj }μ√μn(C̃◦n (u) − C̃n (u)) =· β̃n (u)τξn√となり，β̃n◦ := n(μ/τ )(C̃◦n − C̃n ) は β̃n とほぼ同等である．
P
Bücher and Dette （2010）の 主 張 で あ る βn◦  UC は Kosorok （2008, Theorem 2.6）と◦F−
nj − I ∞ → 0, a.s. を用いれば従う．また，β̃npdm◦αn(u) := βn◦ (u) −ξP UC も成り立つから，ξdˆ (u)β ◦ (1, u , 1)
Ċ
j
j
n

j=1

と
pdm◦
α̃n
(u) := β̃n◦ (u) −

d

j=1

が GC を条件付きで近似することがわかる．

ˆ (u)β̃ ◦ (1, u , 1)
Ċ
j
j
n

接合関数モデルにおける統計的推測

21

7.3 他のリサンプリング法
Bücher and Dette（2010）
では第 3 の方法も提案されているが，彼らのシミュレーション実験によれば，有限標本では偏導関数の推定値を用いた乗数ブートストラップ法が最良という結果が報告されているので，ここでは省略する．
（iii）の適合度検定に対しては，
例 6.1



[0,1]d[Cn (u) − Cθ̂n (u)]2 dCn (u)の形の検定統計量が最も検出力が大きいとの大規模シミュレーション結果がある（Genest et al.,2009）．その形から明らかなように，このタイプの統計量については，擬似観測値に基づくパラメトリック・ブートストラップ法が有効である．また，5.1 節で述べた順位近似 Z 推定量，あるいはその特殊ケースである疑似尤度推定量に基づく信頼区間を構成する場合にも，同方法を適用することが可能である．
式で定義した経験ベータ接合関数 Cβn を用いたリサンプリング法を簡潔最後に，（3.6）に説明しよう．実際，分布関数 Cβn に従う V を発生させるのは極めて簡単である：順位
Rij,n = rij , j = 1, . . . , d を所与として，
1. {1, . . . , n} から無作為に 1 つを選び，I とする．
2. それとは独立に Vj# ∼ B(rIj , n + 1 − rIj ), j ∈ {1, . . . , d} を発生させる．
3. V # = (V1# , . . . , Vd# ) とおく．

このアルゴリズムを n 回繰り返せば，データ X1 , . . . , Xn を所与として，Cβn からの n 個の独立な確率ベクトル Vi# = (Vi1# , . . . , Vid# ), i = 1, . . . , n を発生させることができる．経験ベータ接合関数は経験接合関数の平滑化版と考えることができるので，上のリサンプリング法は一種の（Efron, 1982 や Shao and
平滑化ブートストラップ（smoothed bootstrap）とみなすこともできる．この方法では同順位が起こることがないため，安定的にリ
Tu, 1995, Section 3.5 を参照せよ）
サンプリングすることができる．Kiriliouk et al.（2019）では，この方法に関する漸近的妥当性を証明し，いくつかの区間推定や対称性の検定について包括的なモンテカルロ・シミュレー
ションを行って比較分析しており，Cβn を用いたリサンプリング法は多くの場合に有望な選択肢となり得ることが示されている．
謝

辞査読者の有益なコメントに感謝する．また，本研究は JSPS 科研費 JP18H00836 の助成を受けたものである．

参

考

文

献

Barnard, G. A. (1963). Some logical aspects of the ﬁducial argument, Journal of the Royal StatisticalSociety (B), 25, 111–115.
Barndorﬀ-Nielsen, O. E., Blæsild, P. and Eriksen, P. S. (1989). Decomposition and Invariance of
Measures, and Statistical Transformation Models, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
Blum, J. R., Kiefer, J. and Rosenblatt, M. (1961). Distribution free tests of independence based on thesample distribution function, Annals of Mathematical Statistics, 32, 485–498.
Bücher, A. and Dette, H. (2010). A note on bootstrap approximations for the empirical copula process,

22

統計数理

第 68 巻 第 1 号 2020

Statistics and Probability Letters, 80, 1925–1932.
Bücher, A. and Kojadinovic, I. (2015). An overview of nonparametric tests of extreme-value dependence and of some related statistical procedures, Extreme Value Modeling and Risk Analysis:
Methods and Applications (eds. D. Day and J. Yan), 377–398, Chapman & Hall/CRC, Boca
Raton, Florida.
Bücher, A., Dette, H. and Volgushev, S. (2012). A test for archimedeanity in bivariate copula models,
Journal of Multivariate Analysis, 110, 121–132.
Chen, X., Fan, Y. and Tsyrennikov, V. (2006). Eﬃcient estimation of semiparametric multivariate
copula models, Journal of the American Statistical Association, 101, 1228–1240.
Deheuvels, P. (1979). La fonction de dépendance empirique et ses propriétés: Un test non paramétriqued’indépendance, Académie Royale de Belgique, Bulletin de la Classe des Sciences, 5e série, 65,
274–292.
Efron, B. (1982). The Jackknife, the Bootstrap and Other Resampling Plans, Society for Industrial andApplied Mathematics, Philadelphia.
Fermanian, J.-D. (2013). An overview of the goodness-of-ﬁt test problem for copulas, Copulae in Mathematical and Quantitative Finance (eds. P. Jaworski, F. Durante and W. K. Härdle), 61–89,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
Fermanian, J.-D., Radulović, D. and Wegkamp, M. J. (2004). Weak convergence of empirical copula
processes, Bernoulli, 10, 847–860.
Gaenssler, P. and Stute, W. (1987). Seminar on Empirical Processes, Birkhäuser, Basel.
Genest, C. (1987). Frank’s family of bivariate distributions, Biometrika, 74, 549–555.
Genest, C., Ghoudi, K. and Rivest, L.-P. (1995). A semiparametric estimation procedure of dependence
parameters in multivariate families of distributions, Biometrika, 82, 543–552.
Genest, C., Rémillard, B. and Beaudoin, D. (2009). Goodness-of-ﬁt tests for copulas: Review and apower study, Insurance: Mathematics and Economics, 44, 199–213.
Genest, C., Nešlehová, J. and Quessy, J.-F. (2012). Tests of symmetry for bivariate copulas, Annals of
the Institute of Statistical Mathematics, 64, 811–834.
Ghoudi, K. and Rémillard, B. (2004). Empirical processes based on pseudo-observations II: The multivariate case, Asymptotic Methods in Stochastics: Festschrift for Miklós Csörgő, Fields InstituteCommunications, Vol. 44 (eds. L. Horváth and B. Szyszkowicz), 381–406, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island.
Hall, W. J., Wijsman, R. A. and Ghosh, J. K. (1965). The relationship between suﬃciency and invariance with applications in sequential analysis, Annals of Mathematical Statistics, 36, 575–614.
Harder, M. and Stadtmüller, U. (2017). Testing exchangeability of copulas in arbitrary dimension,
Journal of Nonparametric Statistics, 29, 40–60.
Hofert, M., Kojadinovic, I., Maechler, M., Yan, J. and Nešlehová, J. G. (2018). Package ‘copula’, R
package version 0.999-19, http://CRAN.R-project.org/package=copula.
Hofert, M., Kojadinovic, I., Mächler, M. and Yan, J. (2019). Elements of Copula Modeling with R,
Springer International Publishing, Cham, Switzerland.
Hoﬀ, P. D. (2007). Extending the rank likelihood for semiparametric copula estimation, Annals ofApplied Statistics, 1, 265–283.
Kendall, M. and Gibbons, J. D. (1990). Rank Correlation Methods, 5th ed., Oxford University Press,
New York.
Kiriliouk, A., Segers, J. and Tsukahara, H. (2019). On some resampling procedures with the empiricalbeta copula, http://arxiv.org/abs/1905.12466.
Kojadinovic, I. and Yan, J. (2010). Comparison of three semiparametric methods for estimating dependence parameters in copula models, Insurance: Mathematics and Economics, 47, 52–63.

接合関数モデルにおける統計的推測

23

Kosorok, M. R. (2008). Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference, Springer
Science+Business Media Inc., New York.
Lehmann, E. L. (1986). Testing Statistical Hypotheses, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York.
鍋谷清治 (1978).『数理統計学』, 共立出版, 東京.
Nelsen, R. B. (2006). An Introduction to Copulas, 2nd ed., Springer Science+Business Media Inc., NewYork.
Oakes, D. (1982). A model for association in bivariate survival data, Journal of the Royal StatisticalSociety (B), 44, 414–422.
Rémillard, B. and Scaillet, O. (2009). Testing for equality between two copulas, Journal of Multivariate
Analysis, 100, 377–386.
Rémon, M. (1984). On a concept of partial suﬃciency: L-suﬃciency, International Statistical Review,52, 127–135.
Segers, J. (2012). Asymptotics of empirical copula processes under nonrestrictive smoothness assumptions, Bernoulli, 18, 764–782.
Segers, J., Sibuya, M. and Tsukahara, H. (2017). The empirical beta copula, Journal of Multivariate
Analysis, 155, 35–51.
Severini, T. A. (2000). Likelihood Methods in Statistics, Oxford University Press, Oxford.
Shao, J. and Tu, D. (1995). The Jackknife and Bootstrap, Springer-Verlag, New York.
Shorack, G. R. and Wellner, J. A. (1986). Empirical Processes with Applications to Statistics, John
Wiley & Sons, New York.
Sprott, D. A. (1965). Transformations and suﬃciency, Journal of the Royal Statistical Society (B), 27,
479–485.
Tsukahara, H. (2000). Empirical copulas and some applications, Research Report No. 27, The Institute for Economic Studies, Seijo University, http://www.seijo.ac.jp/research/economics/
publications/reserch-report/jtmo420000000mul-att/green27.pdf.
Tsukahara, H. (2005). Semiparametric estimation in copula models, Canadian Journal of Statistics,
33, 357–375 (Erratum: ibid. (2011). 39, 734–735).
塚原英敦 (2008). 接合分布関数（コピュラ）の理論と応用,『21 世紀の統計科学 III：数理・計算の統計科, 111–146, 東京大学出版会, 東京.
学』（北川源四郎・竹村彰通 編）
van der Vaart, A. W. and Wellner, J. A. (1996). Weak Convergence and Empirical Processes: With
Applications to Statistics, Springer-Verlag, New York.

24

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 68, No. 1, 5–24 (2020)

Statistical Inference in Copula Models
Hideatsu Tsukahara
Faculty of Economics, Seijo University

In this paper, we provide an exposition of statistical inference procedures on the
copula associated with a multivariate distribution from which we have a random sample, without any knowledge of the marginal distributions. According to the G -suﬃciency
criterion, the inference should be based on vectors of coordinatewise ranks only. The empirical copula and its variants are nonparametric estimators of copula, and depend on thedata only through their ranks. Their asymptotic properties are brieﬂy reviewed. Thenestimation of functionals of the copula such as rank correlation coeﬃcients are discussed.
Semiparametric estimation of the dependence parameter of copula is also considered witha special focus on rank approximate Z-estimators which includes the well-known pseudolikelihood estimators. After a short review of general goodness-of-ﬁt testing on copulas, weconclude the paper with a detailed examination of some resampling schemes based on theempirical and related copulas, which are indispensable for carrying out the aforementioned
inference procedures in practice.

Key words: Copula, G -suﬃciency, empirical copula, semiparametric estimation, goodness-of-ﬁt testing, bootstrap.