情報処理学会 インタラクション 2018
IPSJ Interaction 2018

1P03
2018/3/5

CIEDE2000 色差式を用いた量的データ表現のための配色作成法
三井稔之†1三末和男†2

概要 ：情報可視化における配色については、これまで多くの研究がなされてきた。しかし我々の知る限りでは、量的データを表現する配色の作成について色差が厳密に扱われている手法は存在しない。そこで我々は新たに、最新の色差式である CIEDE2000 色差式を用いて色差が均等な配色の作成手法を提案する。CIEDE2000 色差式は CIE76 に比べて計算が複雑であるために CIELAB 色空間の値から色差を推測することが難しい。提案手法では力学モデルを用いてCIELAB 色空間を探索することで良い配色を求める。また、提案手法では量的データに適した配色として、与えられた 2 色を元にグラデーションを作成する。この方法では RGB で表現可能なすべての 2 色から配色を作成することが可能であり、可視化の設計者はあらゆる色の利用を検討することができる。

Creating Color Scheme for Quantitative Data Using CIEDE2000
TOSHIYUKI MITSUI†1

KAZUO MISUE†2

Abstract: Many studies have been done on coloration in information visualization. However, to the best of our knowledge, there
is no way that color differences are handled strictly for the creation of color schemes that represent quantitative data. Therefore we
propose a new method of creating a color scheme with even color difference using CIEDE 2000, that is the latest color difference
formula. As CIEDE 2000 color difference formula is more complicated than the CIE 76, it is difficult to estimate the colordifference from the value of the CIELAB color space. In our proposed method, a good color scheme is obtained by searching in
the CIELAB color space using a dynamic model. In our proposed method, a gradation is created based on the given two colors as
a color scheme that is suitable for quantitative data. With this method, it is possible to create a color scheme from all two colors
that can be represented by RGB, and the visualization designer can examine using various colors.

1. はじめにCIEDE2000 色差は、CIELAB 色空間内の 2 点の座標を元に以下の式で計算される[7]。

量的データを表現するための配色には主にグラデーションが利用され、これまでもその作成についての研究がなさ

𝑑𝐸## = %&𝛥𝐿) .
𝛥𝐶 ) .
𝛥𝐻) .
𝛥𝐶 )
𝛥𝐻)
- +&- +&- + 𝑅5 &-&- … (1)
𝑘+ 𝑆+
𝑘1 𝑆1
𝑘3 𝑆3
𝑘1 𝑆1 𝑘3 𝑆3

れてきた。現在、多くの可視化ツールやプログラミング言

CIEDE2000 色差式は最新の色差式で、最もよく人間の語の可視化用ライブラリには ColorBrewer[1]の配色やそれ視覚特性を反映している。すなわち、(i)としての色差に最を元にした配色が組み込まれている。しかし、ColorBrewerも近似された(ii)としての色差である。一方で、計算式が複の配色は、数学的な理論あるいは定量的な評価に基づいた雑であることや CIELAB 色空間が歪なために、CIELAB 色ものではなく、Brewer らのチューニングによって作成され空間を均等に分割するなどの簡単な方法で色差が均一な配たものである。そのためそれらは色差の均一性を保証しな色を求めることが困難である。可視化の配色についての研い。また、用意された配色の種類には限りがあり、異なる究では、計算時間の増大やその計算式の複雑さからイメージの配色を利用したい者は独自に配色を作成する必CIE76(CIELAB 色空間上のユークリッド距離)の利用が選要に迫られる。そこで、我々は CIEDE2000 色差式を用いて、

択 さ れ る こ と が あ る [9] 。 し か し 我 々 は 、 色 差 と し て各階調間での色差が均一になるようなグラデーションを自CIEDE2000 色差を用いることでより人間の知覚に対応し由に作成する手法の開発を目指している。本論文では提案た配色が得られることをねらいとする。以下、色 A と色 Bする作成手法について述べる。また提案手法について主観の色差を𝑑𝐸 ;,= と表記する。またそれが CIEDE2000 色差で的評価を述べ、今後の方針を示す。

;,=と表記する。
ある場合は、𝑑𝐸##

CIEDE2000 と CIE76
色差には、人間が感じる 2 色の心理的差異(i)と、色空間

2. 関連研究上での 2 色の距離(ii)という 2 つの意味がある[10]。(ii)の色可視化における配色研究は多岐にわたる。ここでは特に差は色空間に依存し、それぞれの色差式から計算される数量的データを表現する配色の研究について言及する。これ値で表現される。

まで、可視化用配色作成のためのいくつかのツールが開発†1 筑波大学
University of Tsukuba.
mitsui@vislab.cs.tsukuba.ac.jp†2 筑波大学
University of Tsukiuba.
misue@cs.tsukuba.ac.jp© 2018 Information Processing Society of Japan456

情報処理学会 インタラクション 2018
IPSJ Interaction 2018

1P03
2018/3/5

されてきたが、量的データを表現する配色を扱うものとしンが作成可能である。しかし、CIEALB 色空間は均等色空て は 、 Bergman の PRAVDAColor[3] や 、 Brewer の間として設計されたものの、知覚的に非均等であることがColorBrewer[1]、Mittelistadt らの ColorCAT[2]といったツーわかっている[5]。

ルが挙げられる。これらのツールは量的データの表現に限

4.3 CIELAB + CIEDE2000

らず、可視化用の配色作成を支援するもので、ユーザは可CIEDE2000 色差式は、現在最も知覚的均一性を確保する視化するデータの尺度や次元に応じて適した配色を作成あ色差式である。この式は、CIELAB 色空間から 2 色を与えるいは選択する。ただし、これらのツールは配色の作成にると色差を返すが、計算式が複雑であり CIELAB 値の変化おいて、色差が厳密には考慮されていない。

によって色差がどう変化するのか、CIE76 に比べて推測がまた Wijffelaars らは、CIELUV 色空間と呼ばれる均等色難しい。例えば色 A と色 B の色差を考える時、色 B の L空間を用いたカラーパレッ ト作成の研究[4]を行った。

値を 1 変化させると、CIE76 では色差はその値に比例してCIELUV 色空間は CIELAB 色空間と同じように均等色空間変化するが、CIEDE2000 ではその限りではない。また、

であるが、ユークリッド距離や CIEDE2000 色差では彼らにCIELAB 色空間で 2 色を結ぶ線分を𝑛 − 1等分するような配とって思うような配色が得られなかったため、彼らは独自

色は CIEDE2000 色差が均等ではない。の距離関数を定義して配色の作成を行った。

3. 良い配色の条件

5. 提案手法
理 想 的 な 配 色 を 作 成 す る た め に は 、 CIELAB と本研究で扱う量的データ表現のための理想的な配色につCIEDE2000 の 組 み 合 わ せ が 適 し て い る が 、 作 成 に はいて述べる。色を利用して、量的データをその値の分布にCIELAB 色空間内の探索が必要である。本節では、CIELABよらず均等な𝑛段階に分割して表現する場合を考える。こ色空間を探索して配色を作成する手法を説明する。のとき、以下に示すⅠ~Ⅲの条件を満たす配色を理想的な(𝑛)をもとに、開始⾊が𝑝C 、終了⾊が𝑝Q であるような𝑛階調配色とする。
I.
II.

配色は𝑛階調のグラデーションである。(以下本論文(開始⾊と終了⾊を含む)のグラデーションを作成する。⾊では 𝑖 階調目の色を 𝑝A として表す)はCIELAB⾊空間で表現し、点𝑥で⾊𝑥のCIELAB⾊空間上で隣り合う階調の色差(𝑝A と𝑝ABCの色差)は𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1の座標を表す。の範囲において一定である。すなわち、 𝑑𝐸 EF,EG =III.

本⼿法では、ある2⾊(𝑝C , 𝑝Q )とグラデーションの階調数

本⼿法ではCIELAB⾊空間での中間⾊(𝑝. , … , 𝑝QSC )の初期

𝑑𝐸 EG,EH = ⋯ = 𝑑𝐸 EJKF,EJ である。

配置を決定した後、⼒学モデルを利⽤して漸次的に修正を

𝑝A と𝑝ABL の色差は𝑑𝐸 EF,EG の𝑘倍である。すなわち、⾏うことでグラデーションを作成する。いくつかの初期配𝑑𝐸EM ,EMNO= 𝑘𝑑𝐸

EF ,EGである。ただし、𝑘は 1 以上𝑛 − 𝑖以下の整数である。

4. 色空間本研究では、色を CIELAB 色空間で表現し、その値から
CIEDE2000 色差を計算する。ここでは、3 節で述べた理想置について⼒学モデルを適⽤し、得られた配⾊の中から最も良いと考えられるものを選択する。初期配置の決定と⼒学モデルによる修正について、5.1および5.2で述べる。5.3
では最終的にグラデーションを選択する評価指標について述べる。
5.1 初期配置の決定的なグラデーションを作成することにおいて、この色空間与えられた 2 色から𝑛階調のグラデーションを作成すると色差の組み合せが適当であるかどうかについて述べる。には、与えられた 2 色を除いた𝑛 − 2個の色を決めなければ4.1 RGB、HSVならない。中間色𝑝A (2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 , 𝑛 ∈ ℤ)は以下の式で定め

RGB や HSV は、一般に馴染み深い色空間である。ただる点𝑞A について、𝑞ASC と𝑞A を対角にとり各辺が CIELAB 色し、これらの色空間は均等色空間ではないため、数値を単空間の 3 軸に平行な直方体の内部かつ、CIELAB 色空間に純に変化させるだけでは条件Ⅱを満たすような、色差が一収まる(RGB で表現可能な)領域からランダムに決定する。

定の配色を作成することは不可能である。
4.2 CIELAB+CIE76
CIELAB 色空間は、色を L*,a*,b*の 3 値で表現する均等色空間である。CIE76 は CIELAB 色空間でのユークリッド

𝑞A はすなわち、点𝑝C と点𝑝Q を含む線分𝑝C 𝑝Qを𝑛 − 2等分する点列の中の、𝑝C から𝑖番目の点であり、𝑞C = 𝑝C である。
𝑞A = 𝑝C + (𝑖 − 1)

𝑝Q − 𝑝C𝑛−2… (2)距離であり、(ii)としての色差の一種である。CIE76 を色差

仮に、CIELAB 色空間において𝑝C と𝑝Q を結ぶ線分上からとして利用することで 3 節で述べたような条件を満たすグ

その線分を𝑛 − 1分割する𝑛 − 2点を選択すると、力学モデラデーションを容易に作成することができる。例えば、2 色

ルの探索空間がその線分上に限られることになる。

を結ぶ線分からその長さを𝑛 − 1等分する𝑛 − 2点を決定す

CIELAB 色空間での線分上に、3 節で述べたⅠ~Ⅲの条件をることで 3 節で述べたⅠ~Ⅲの条件を満たすグラデーショ© 2018 Information Processing Society of Japan457

情報処理学会 インタラクション 2018
IPSJ Interaction 2018

1P032018/3/5

図 1. 提案手法で作成可能な配色例

図 2. 青色を含む作成結果

Figure 1. Examples of color scheme created by our method

Figure 2. Color scheme including blue

満たす 色の組 み合 わせが 存在 する とは限 らな いため、良い配色を得ることができた。

CIELAB 色空間での線分上だけを探索することは望ましく

5.3 選択ない。

我々の経験では 5.2 で述べた力学モデルは、中間色の初期配置に対する依存度が高く、良い結果を得るには良い初5.2 力学モデル
5.1 に述べた方法で点列𝑃(𝑝C , … 𝑝A , … , 𝑝Q )を作成し、力学期配置を与える必要がある。しかし、現状ではよい初期配モデルを用いて修正する。点𝑝A (2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 , 𝑛 ∈ ℤ)に対し置がどのようなものか判明していないため、配色を幾つかて働く力𝐹A を以下のよう定義する。

作成し、最良であると考えられるものを最終的に選択する

𝐹A = 𝑑ASC,A 𝑢ASC,A + 𝑑A,ABC 𝑢ABC,AE ,E𝑑A,\ = 𝑑𝐸 M ] − ^^^^^^
𝑑𝐸##

… (3)

##𝑢A,\ =その際、前後の色差の分散と、条件Ⅲにある𝑘の誤差の総和

𝑝A − 𝑝\(以下倍率誤差の総和と呼ぶ)が小さいものが最良であると_𝑝A − 𝑝\ _して評価する。分散𝑠 .および、倍率誤差の総和𝑆fL はそれぞれ以下の式で表される。

QSC^^^^^^𝑑𝐸## =ことで、局所的最適解に陥ることがないようにしている。

1E` 𝑑𝐸##M,MNF
𝑛−1

QSC

𝑠. =

AaC

1.
E ,E
`g𝑑𝐸##M MNF − ^^^^^^
𝑑𝐸## h𝑛−1

すなわち、力𝐹A は点𝑝A とそれを基準とした前後の点に対する「色差の偏差」×「単位ベクトル」 の和である。提案

Q

手法ではすべての中間色についてそれぞれに働く力𝐹A を計𝑆∆L = ` ` kQ

AaC \aC算し同時に加算する。その加算を 1 ステップとし、1 ステ
C… (4)AaC

E ,E𝑑𝐸##M l
E ,E𝑑𝐸##F G− |𝑗 − 𝑖|k… (5)

分散が 0 であれば条件のⅡを、倍率誤差の総和が 0 であップ後の点𝑝b を点𝑝A) としたとき、𝑝A) ＝𝑝b + 𝐹A として計算す
c

れば条件のⅢを満たす。よって、これらが小さい配色がよる。𝑡は 1 以上の実数とする。これは各ステップの変化量をり理想的な配色に近く、良い配色であると考えることがで抑えることによって、点𝑝A が振動あるいは発散することをきる。

防ぐための定数である。これを、前後の色差の分散が十分に小さくなるまで繰り返すことで、5.1 で作成した点列を修正する。筆者らの経験では、𝑡は 1.5 から 2 の範囲において

図 3. 図 1(A3)を用いた可視化
Figure 3. Visualization using Fig.1 (A3).

© 2018 Information Processing Society of Japan

6. 作成可能な配色例とその応用
まず、提案手法を用いて作成した配色を図 1 に示す。(A)図 4. 図 1(B2)を用いた可視化
Figure 4. Visualization using Fig.1 (B2).

図 5. 図 1(C)を用いた可視化
Figure 5. Visualization using Fig.1 (C).

458

情報処理学会 インタラクション 2018
IPSJ Interaction 2018

1P03
2018/3/5のグループはそれぞれ白から赤・緑・青へのグラデーショが多くなるあるいは指定した開始色と終了色の色差が小さンである。(B)のグループは有彩色から有彩色へのグラデーい場合には、隣接する階調が判別不可能であるような配色ションである。これらはどちらも正負どちらか一方の値をを作成してしまう可能性が、他の手法に比べて高い。

持つ量的データの表現に利用することができる。(C)は(A)を 2 つ組み合わせることで作成することができ、正負の値7. 議論を持った量的データの表現に利用することができる。これ

6 節に示したことから、提案手法を用いて種々の 2 色からの配色は、3 節で述べた手法において、生成する数を 50

ら量的データの表現に利用可能な配色の作成が可能であるとし、力学モデルの終了条件を𝑠 . ≤ 0.01、反復上限回数をことがわかる。一方で、提案手法には改良の余地が存在す1000 回として作成した。図 3 には(A3)を利用したコロプレる。5.3 でも述べたが、提案手法の力学モデルは初期配置へスマップを、図 4 には(B2)を利用したヒートマップを、図の依存度が高く、よい初期配置を与える必要がある。その5 には(C)を利用したコロプレスマップを示す。主観的では初期配置の決定において、現在は 5.1 で述べた単純な決定あるが、各図において判別のつきにくい段階はなく、また法を採用しているが、今後は初期配置から力学モデルを経どこかの段階が突出している印象もない。これにより、こて配色が変化する様子を検証し、良い配色を得やすい初期れらの配色が量的データの表現に利用可能であることが考配置について分析していく。
また、青色方向のグラデーションの作成が困難であるこえられる。
次に、提案手法で作成した配色と、CIELAB 色空間の線とが課題として挙げられる。提案手法で作成された青色方分上を等間隔に区切ったもの、そして ColorBrewer の配色

向を含む配色の 1 つを図 2 に示す。図 2 のグラデーションを 、 𝑠 . と 𝑆fL に つ い て 比 較 す る 。 比 較 す る 配 色 は 、は白から青のグラデーションの途中に紫が含まれており自ColorBrewer2.org での Sequential Single Hue に用意された 6然なグラデーションに感じづらくなってしまっている。こ種の配色(5-class)と、それらの開始色と終了色をもとに作成

れは、力学モデルにおいて CIEDE2000 色差式中𝑅5 の項をした配色である。図 6 に、各配色での隣接する階調の色と考慮していないためだと考えられる。この項は、CIE76 での色差についての箱ひげ図を示す。表 1 で、これらの配色は青色の色相において色弁別楕円が回転しまうことを修正における𝑆fL を示す。また、表 2 には提案手法で作成し、比するものである[7]。青と紫は CIELAB 色空間上で非常に近較 に 用 い た 配 色 の CIELAB 値 を 掲 載 す る 。 な お 、い場所に分布しており、回転を考慮しないために紫方向のColorBrewer(CB)は ColorBrewer の配色を、CIELAB(LAB)は力が青方向に比べて大きくなってしまっていると考えられ

CIELAB 色 空 間 を 等 間 隔 に 区 切 っ た 配 色 を 、る。これについては力学モデルに色相についての制限など

ProposedMetho(PM)は提案手法で作成した配色を表していを与えることを検討している。
次に、低彩度色を回避できないという問題が有る。正負る。
図 6 を見ると、他の手法に比べて提案手法の分散は非常一方の量的データを表現する際、開始色と終了色が高彩度に小さく、表 1 を見ると提案手法で作成した配色の倍率誤であり、中間色が低彩度であることは好ましくない。実際、差の総和が最も小さいことがわかる。これらにより、提案

ColorBrewer では低彩度部分を避けるような設計がされて手法で作成した配色が、3 節で述べた理想的な配色に最もいる。しかし、本提案手法では、CIELAB 色空間上で低彩近いことがわかる。それに対して ColorBrewer の配色は、提案手法に比べて分散が大きく、倍率誤差の総和も大きい。
分散が大きいということは、色の変化が均一でないということであり、倍率誤差の総和が大きければ、値の比較が難しくなってしまう可能性がある。
一方で図 6 より、提案手法の色差の平均が他の手法のそれに比べて小さい傾向にあることがわかる。つまり、階調表 1. 各手法で作成した配色の倍率誤差の総和
Table 1. 𝑆rL of each color scheme
RedGreenBlue

OrangePurple

GraysCB

4.994

3.916

9.596

7.576

13.37

27.97

LAB

1.598

1.918

4.350

2.094

1.476

11.39

図 6. 各手法で作成した配色における隣接する階調との色差を示す箱ひげ図
Figure 6. Color difference between adjacent

PM

0.929

0.728

0.665

1.009

© 2018 Information Processing Society of Japan

1.158

2.572

tone levels of each color scheme.

459

情報処理学会 インタラクション 2018
IPSJ Interaction 2018

度を挟んで位置する 2 色を入力として与えた場合、低彩度

1P03
2018/3/5表 2. 提案手法で作成し比較に用いた配色の CIELAB 値部分を回避するような計算は行われない。
提案手法を利用することで、あらゆる 2 色からグラデー

Table 2. Color values(CIELAB) of color schemes

ションを作成することができるが、得られた配色が必ずしmade using the proposed method

も量的データの表現に効果的であるとは限らない。
例えば、

Color

1

2

3

45

L

92.76475.23861.16448.56335.516a7.43115.08027.43440.89156.645る配色を設計しているのかは考慮されないため、設計者が

b

9.148

12.76221.71728.48241.316

誤った知識に基づいて配色を作成すると、結果としてデー

L

96.44179.22465.14952.83239.775a-5.737-12.215-22.783-37.053-39.563

b5.9118.999

14.74723.26727.883

L

95.79776.77061.18049.12633.916a0.268

0.698

1.580

3.132

3.197

b-6.274-15.279-27.582-48.935-47.443

L

94.81978.03465.24351.83439.805a

4.150

10.52822.47132.44945.545b

9.472

15.99030.64535.26350.989L

95.10274.21759.97545.62326.995

a

1.622

7.501

21.88136.14237.871b-3.137-10.554-27.597-44.645-50.437

L

97.23272.57753.47436.45114.68

a0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

b0.000

0.000

0.000

0.0000.000

色差が非常に小さく各段階での見分けがつかないことが考えられる。また、配色の設計者がどのようなデータに対すRedタに適していない配色を利用してしまう可能性がある。

Green

また、CIELAB 色空間が歪であることや、RGB 色空間のように馴染みのある空間でないことから、数値だけで色を想像したり、想像する色から数値を決定したりすることがBlue非常に難しい。そこで、より効率的に配色を作成可能にする環境の構築、例えば ColorBrewer や Colorgorical[8]のようなツールや、chroma.js のようなプログラミング言語ライブOrange

ラリの製作が必要になるだろう。
6 節には提案手法と他の手法について簡単な比較を掲載
し た が 、 将 来 的 に は 「 CIELAB+CIE76 」 や 先 行 研 究Purple(ColorBrewer 等)に比べてデータの読み取りに効果があるのか、また本手法を用いて作成された配色が真に量的データの表現に有効であるかについて、定量的な評価[6,7]ある

Gray

いは被験者実験による客観的な評価を行う必要がある。[7]で提供されるカラーマップに対する定量的な指標は、そのカラーマップの持つ特性を反映し、本手法で作成した配色が量的データの表現に適切であるかどうかを判断する材料となる。また、本論文では ColorBrewer との比較を述べたが、Wijffelaars らの研究との比較は今後の課題とする。

8. まとめ
本論文では、与えられた 2 色から色差の分散と倍率誤差の総和が小さいグラデーションを作成する手法を提案した。
これによりデザイナーあるいは可視化設計者は量的データを表現する配色について様々な色の利用を検討することが可能になる。一方で、提案手法にはいくつかの課題が存在する。7 節で議論したような課題が解決できれば、より容易によい配色を作成することができるだろう。今後は課題解決を試みるとともに、作成した配色が量的データの表現に適しているかを評価していく。

参考文献
[1]

[2]

M. Harrower and C. A. Brewer. Colorbrewer.org: an online tool for
selecting colour schemes for maps. The Cartographic Journal Vol.
40, No. 1, pp. 27–37, 2003.
S. Mittelstadt, D. Jackle, F. Stoffel, and D. A. Keim. Colorcat:
Guided design of colormaps for combined analysis tasks. Computer
Graphics Forum on Visualization (EuroVis 2015: Short Papers),
pp.115-119, 2015.

© 2018 Information Processing Society of Japan[3]

L. D. Bergman, B. E. Rogowitz, and L. A. Treinish. A rule-based
tool for assisting colormap selection. In Proceedings of the 6th
conference on Visualization’95, p. 118. IEEE Computer Society,1995.
[4] M. Wijffelaars, R. Vliegen, J. J. Van Wijk, and E.-J. Van Der Linden.
Generating color palettes using intuitive parameters. Computer
Graphics Forum, Vol. 27, No. 3, pp.743–750, 2008.
[5] M. R. Luo, G. Cui, and B. Rigg. The development of the CIE 2000
colour-difference formula: CIEDE2000. Color Research &Application, Vol. 26, No. 5, pp. 340–350, 2001.
[6] C. Ware, T. L. Turton, F. Samsel, R. Bujack, and D. H. Rogers.
Evaluating the Perceptual Uniformity of Color Sequences forFeature Discrimination. In K. Lawonn, N. Smit, and D.
Cunningham, eds., EuroVis Workshop on Reproducibility,Verification, and Validation in Visualization (EuroRV3). The
Eurographics Association, 2017. doi: 10.2312/eurorv3.20171107.
[7] R. Bujack, T. L. Turton, F. Samsel, and C. Ware. The Good, the Bad,and the Ugly: A theoretical framework for the assessment ofcontinuous colormaps. IEEE Transactions on Visualization andComputer Graphics, Vol. 24, No. 1, pp. 923-933, January 2018.
[8] C. C. Gramazio, D. H. Laidlaw, and K. B. Schloss. Colorgorical:
Creating discriminable and preferable color palettes for informationvisualization. IEEE Transactions on Visualization and ComputerGraphics, Vol. 23, No. 1, pp. 521–530, 2018.
[9] D. A. Szafir. Modeling color difference for visualization design.
IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, Vol.
24, No. 1, pp. 392-401, January 2018.
[10] Mokrzycki. W. S, Tatol. M. Color difference Delta E - A survey.
Machine Graphics and Vision, Vol. 20, No. 4, pp. 383-411, 2011.

460