数理解析研究所講究録
第 1817 巻 2012 年 80-86

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既約擬エルミート対称空間内の実形の分類について
東京理科大学理学部第二部数学科

坊向伸隆

Nobutaka Boumuki
Department of Mathematics, Tokyo University of Science\S 1 序\S 2 擬エルミート対称空間の定義\S 3 実形の定義\S 4 実形の決定方法\S 5 余談
1. 序

本稿では，既約擬エルミート対称空間 $G/R$ 内の実形 $M$ の分類について考察する．
擬エルミート対称空間はエルミート対称空間を一般化した概念であり，既約エル$Jaffee[Ja2],$ $[Ja3]$ によって非コンパクトミート対称空間 $G/K$ 内の実形 $M$ は，先ず，型既約エルミート対称空間 $G/K$ 内の実形 $M$ が分類され，その後，Leung[Le] によってコンパクト型既約エルミート対称空間 $G/K$ 内の実形 $M$ も分類された．また，実形 $M$ は $G/K$ 内の全実全測地的部分多様体 with $\dim_{\mathbb{C}}G/K=\dim_{\mathbb{R}}M$ であるため，分類 [Le] と Takeuchi の全実全測地的部分多様体の分類 [Ta2] は同値となる．従って，既約擬エルミート対称空間 $G/R$ 内の実形 $M$ を分類する事は，分類結果 [Ja2],[Ja3], [Le], [Ta2] の一般化を導くことになる．

2. 擬エルミート対称空間の定義
実形は部分多様体の一種であるため，それだけで意味を成すものではなく，全空間があってはじめて意味を成す．今回，全空間として扱うものは既約擬エルミート対称空間である．先ずは，擬エルミート対称空間の定義を復習しておく:$G/R$ をアフィン対称空間とする．この定義 2.1 (cf. Berger [Be]). $G$ を連結リー群，$G/R$ が擬エルミートである
時，$gef$-不変複素構造 on $G/R,$ $\exists g:G$-不変擬リーマン計量 on $G/R$$Y\in T(G/R)$ .
s.t. $g(JX, JY)=g(X, Y)$ for$\exists_{J:}G$$\forall x,$

注意 2.1. (i) は擬ケーラー計量になる．(ii)エルミート対称空間という．
$g$

$g$

$G/R$ をが正定値 or 負定値の場合，$G/R$
ここで，(擬) エルミート対称空間の例を挙げる (cf. 例 2.1). 例 2.1 に於いて，$G$のはから誘導されている事に注目されたい (但しが元の複素構造リー代数を表す).
$J$$T\in \mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$81と置く．今より，(擬) エノレ例 2.1. $G:=SU(1+n)=\{g\in SL(1+n, \mathbb{C})|t\overline{g}=g^{-1}\}$ミート対称空間 $(G/R, J, g)$ を構成しよう．

(Step 1) 先ず，アフィン対称空間 $G/R$ を構成する，写像 $\sigma:Garrow G$ を$\sigma(g):=I_{1,n}\cdot g\cdot I_{1,n}$で定めると， はリー群$\sigma$$G$

for $g\in G,$$I_{1,n}:=(\begin{array}{ll}-1 OO I_{n}\end{array})$の回帰的自己同形写像となり，その固定点集合$G^{\sigma}$は$b\in U(1),$ $B\in U(n)\}=S(U(1)\cross U(n))$$G^{\sigma}=\{(\begin{array}{ll}b OO B\end{array})\in SL(1+n, \mathbb{C})$.

$R:=S(U(1)\cross U(n))$ と置くと，$G/R$ はアフィン対称空間となる．1
従って，$G/R$ 上の複素構造(Step 2) 続いて，$J$を構成する．原点 $0\in G/R$ に於ける接空間 $T_{o}(G/R)$ は$T_{o}(G/R)=\{(\begin{array}{llll}0 z_{1} \cdots z_{n}-\overline{z}_{l} \vdots -\overline{z}_{n} O_{n} \end{array})|z_{p}\in \mathbb{C}\}$である．よって，$T:= \frac{\sqrt{-1}}{1+n}(\begin{array}{ll}n OO -I_{n}\end{array})$と置くと，ad $T(X)=\sqrt{-1}X$ for$\forall_{X\in T_{o}(G}/R$

造ゐが次で得られる:) が成立するので，1 点$0$での複素構$J$に拡張でき$J_{o}:=adT|_{T_{o}(G/R)}.$$R=\{g\in G| Ad(g)T=T\}$ だから， を $G/R$ 上の複素構造
更に，$J_{o}$$Ad(g)X:=g\cdot X\cdot g^{-1}$ forる．ここで，$(G/R, J)$ 上の (擬) エルミート計量(Step 3) 最後に，$X\in \mathfrak{g}.$$g$を構成する．原点$0$に於ける (擬) リーマン計量 g。を次で定める: $X,$ $Y\in T_{o}(G/R)$ に対して，$g_{。}(X, Y) :={\rm Re}(H(tX\overline{Y}))$$g_{0}(X, Y)=g$ $(Ad(r)X, Ad(r)Y)$ for
すると，から， を $(G/R, J)$ 上の (擬) エルミート計量$\forall_{r}\in R$。

$g_{0}$$g$&.
$g$$(J_{o}X, J_{0}Y)=g_{0}(X, Y)$。に拡張できる．以上で，(擬) エルミート対称空間 $(G/R, J, g),$ $G/R=SU(1+n)/S(U(1)\cross U(n))$ , が構成された．
$1SU(1+n)/S(U(1)\cross U(n))$ は複素射影空間$\mathbb{C}P^{n}.$だ

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3. 実形の定義
擬エルミート対称空間は擬ケーラー多様体である cf. 注意 $2.1-(i))$ . 実形は擬ケーラー多様体内の部分多様体の一種であると云える:$($$M$ を $N$
定義 3.1. $(N, J, g)$ を擬ケーラー多様体，の空でない部分集合とする．この$M$が$(N,J,g)$内の実形である
時，$gef$の回帰的反正則等長変換の 1 つの連結成分に一致する．

$\exists_{\hat{f}:}(N, J, g)$st. $M$ が$N^{\hat{f}}:=\{x\in N|f(x)=\wedge x\}.$
ここで，$N^{\hat{f}}$注意 3.1. (i) $(N, J, g)$ の回帰的反正則等長変換

や$N^{\hat{h}}$$\hat{h}$には，一般に，$N^{\hat{h}}=\emptyset$となる場合

が 2 つ以上の連結成分から成る場合がある．(ii) 実形 $M$ は多様体となり，更に，次の性質 (ii.1), (ii.2), (ii.3) をもつ (cf. 定理 5.1):(ii. 1) $M$ は $(N, J, g)$ 内の全実部分多様体であり，誘導計量(ii.2) $M$ は $(N, g)$ 内の全測地的部分多様体;(ii.3) $M$ は $(N, J, g)$ 内のラグランジュ部分多様体．

$g|_{M}$は非退化;

ここで，(擬) エルミート対称空間内の実形の例を挙げておく:
例 3.1. $(G/R, J, g),$ $G/R=SU(1+n)/S(U(1)\cross U(n))$ , を例 2.1 の (擬) エルミート$(G/R, J, g)$ の$G/R$ 内の実形を構成しよう．そのために，対称空間とする．今より，回帰的反正則等長変換 を構成したい．先ず，写像 : $Garrow G$ を次で定める:$\hat{\eta}$$\eta$

for $g\in G=SU(1+n)$ .

$\eta(g):=tg^{-1}(=\overline{g})$すると， はリー群$\eta$$G$

回帰的微分同形写像の回帰的自己同形写像となり，を満たす．そのため，$\eta(R)\subset R$$\hat{\eta}:G/Rarrow G/R$を次で定義できる:$\hat{\eta}(gR):=\eta(g)R$

for $gR\in G/R.$

この方は反正則かつ等長的である．実際，$J_{o}=$ $ad$ $T|_{T_{o}(G/R)},$だから$\hat{\eta}$$T= \frac{\sqrt{-1}}{1+n}(\begin{array}{ll}n OO -I_{n}\end{array})$は反正則であり，$g_{0}(X, Y)={\rm Re}(Tr(tX\overline{Y}))$の固定点集合は $SO(1+n)/S(O(1)\cross O(n))$$SO(1+n)/S(O(1)\cross O(n))$ が構成された．
$2SO(1+n)/S(O(1)\cross O(n))$ は実射影空間$\mathbb{R}P^{n}.$だから$\hat{\eta}$は等長的でもある．
$\hat{\eta}$となる．2 よって，$(G/R, J, g)$ 内の実形

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4. 実形の決定方法
既約擬エルミート対称空間の 「既約」 という用語を言い換えて (cf. 命題 4.1), その後，定理 4.1 を紹介する．
命題 4.1 (cf. Shapiro [Sh]). $G$ を連結単純リー群，$G/R$ を擬エルミート対称空間とする．この時，次は同値である:$G/R$ が既約

ここで， #ま$\mathfrak{g}$$\Leftrightarrow \mathfrak{g}$が既約実単純リー代数．のリー代数を表す．

$G$

定理 4.1 を述べるために，記号 $(n.1),$ $(n.2)$ を準備しておく．
$(n.1)\mathcal{R}_{G}$: リー群の擬エルミート対称空間 $G/R$ とその実形 $M$ の組 $(G/R, M)$$G$全体から成る集合，但しは連結単純リー群，その中心 $Z(G)$ は単位元のみ，$G$

そして，そのリー代数 は既約実単純とする．
(n.2)
で $ad_{g}T$ の固有値が: 既約実単純リー代数 と，その半単純元or となるもの，および の回帰的自己同形写像 で $\eta(T)=-T$ を$\mathfrak{g}$$\tau\neq 0$$d\mathcal{R}_{\mathfrak{g}}$$\mathfrak{g}$$\pm\sqrt{-1}$$0$$\mathfrak{g}$満たすものの組定理 4.1 cf. $[Bo])$$($.

$(\mathfrak{g}, T, \eta)$$\mathcal{R}_{G}/\simeq$からリー代数とする．ここで， と$\simeq$$\eta$全体から成る集合．
$d\mathcal{R}_{\mathfrak{g}}/\sim$〜への 1:1 対応が存在する，但し$\mathfrak{g}$は $G$ のは次で定義された同値関係 (e.1) と (e.2) をそれぞれ表す:$(e.1)$$(G/R_{1}, M_{1})\simeq(G/R_{2}, M_{2})$(e.2)$(\mathfrak{g}, T_{1}, \eta_{1})\sim(\mathfrak{g}, T_{2}, \eta_{2})$

$gef$

$gef$

$\exists_{\phi}$$\exists_{f}$:$\mathfrak{g}$: $G/R_{1}arrow G/R_{2}$ , 正則相似変換
st. $f(M_{1})=M_{2}.$の自己同形写像$s.t.$ $\phi(T_{1})=T_{2}$&$\phi\circ\eta_{1}=\eta_{2}0\phi.$定理 4.1 は「既約擬エルミート対称空間 $G/R$ とその実形 $M$ の組 $(G/R, M)$ は代数的な情報
例を挙げておく:$(\mathfrak{g}, T, \eta)$から決まる」 という事を示唆している．ここで$(\mathfrak{g}, T, \eta)$の実

例 4.1. $(G/R, M)=(SU(1+n)/S(U(1)\cross U(n)), SO(1+n)/S(O(1)\cross O(n)))$ を
例 3.1 の (擬) エルミート対称空間と実形の組とする．3 これに対応するは$(\mathfrak{g}, T, \eta)$$\{\begin{array}{l}\mathfrak{g}=\mathfrak{s}n(1+n)=\{X\in\epsilon \mathfrak{l}(1+n, \mathbb{C})|t\overline{X}=-X\},T=\frac{\sqrt{-1}}{1+n}[Matrix],\eta(X) :=-tX(=\overline{X}) for X\in \mathfrak{g}.\end{array}$$3Z(SU(1+n))=\mathbb{Z}_{1+n}$であるため，正確には，定理 4.1 の適応範囲外．

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定理 4.1 より，既約擬エルミート対称空間内の実形を分類するには，同値関係除いて，元を全て決定すれば十分となる．次の様にして$(\mathfrak{g}, T, \eta)\in d\mathcal{R}_{\mathfrak{g}}$〜を$(\mathfrak{g}, T, \eta)$は決定される:$(s.1)$

任意の既約実単純リー代数(s.2) $\eta(T)=-T$ かつ ad$\mathfrak{g}$の固有値が $\pm\sqrt{-1}$ or$\mathfrak{g}^{T}$を固定する ;の半単純元 $T$ を全とその任意の回帰的自己同形写像となる$0$$\mathfrak{g}$$\eta$て求める．

任意のコンパクト単純リー代数

合，次の様にして元有空間$\mathfrak{p}$$T$と任意の回帰的自己同形写像$\mathfrak{g}$が決定される (cf. Takeuchi [Tal]):$\mathfrak{g}$$\eta$に於けるを固定した場$\eta$の (-1)-固を考える，$\mathfrak{p}:=\{Y\in \mathfrak{g}|\eta(Y)=-Y\}.$

極大可換部分空間を取り， のワイル領域$W_{\mathfrak{a}}$$\mathfrak{a}$$\mathfrak{a}\subset \mathfrak{p}$「$ad_{\mathfrak{g}}T$の固有値が$-1$$\pm$内からor$0$」を満たす元 $\tau\neq 0$ を全て求める．
上記を実行してみよう:
例 4.2. $\mathfrak{g}=\epsilon u(1+n),$ $\eta(X)=-tX(=\overline{X})$ for$\mathfrak{p}=\{\sqrt{-1}Y|Y$$X\in \mathfrak{g}$を固定した場合．

は $(1+n)$ 次実対称行列& $trY=0\},$$\mathfrak{a}=\{\sqrt{-1}(\begin{array}{lll}y_{l} O \ddots O y_{1+n}\end{array})|y_{i} \in \mathbb{R}, \sum_{i=1}^{1+n}y_{i}=0\}.$

ここで$\alpha_{p}$:$\mathfrak{a}arrow \mathbb{R},$$1\leq p\leq n$, を$\alpha_{p}(A)$で定義し，ワイル領域$W_{\mathfrak{a}}$$:=y_{p}-y_{p+1}$$W_{\mathfrak{a}}$内から 「 ad(制限) ルート系$\emptyset^{T}$$\Sigma(\mathfrak{g}, \mathfrak{a})$$A\in \mathfrak{a}$を次で定める:$W_{\mathfrak{a}}=\{A\in \mathfrak{a}|\alpha_{p}(A)\geq 0$

このforfor$1\leq\forall_{p}\leq n\}.$$-1$ or $0J$を満たす元 $\tau\neq 0$ を全て求める．の固有値がのデインキン図式は$\pm$$1 1 1$
0 一一一$arrow$$\circ$$\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{n}$従って，$0\neq T\in W_{\mathfrak{a}}$$ad_{g}T$に対して，次が同値となる:の固有値は

$\pm$

-lor

$0$である$\Leftrightarrow 1\leq\exists_{P}\leq n$

st. $T=T_{p}.$85
そのため婿， , . . . ,$T_{2}$が求める元となる．ここで$T_{n}$を表す．

$\{T_{p}\}_{p=1}^{n}$は$\{\alpha_{p}\}_{p=1}^{n}$の双対基底$T_{p}= \frac{\sqrt{-1}}{1+n}((1+ n_{O}-p)I_{p} O-pI_{1+n-p}), 1 \leq p\leq n.$

これで， とみに，を固定した場合のが全て決定できた事になる．因$(G/馬,M_{p})\in\mathcal{R}_{G}$に対応する元は $G/R_{p}:=SU(1+n)/S(U(P)\cross$$U(1+n-p)),$ $M_{P}:=SO(1+n)/S(O(P)\cross O(1+n-p))$ である 4$\mathfrak{g}$$(\mathfrak{g}, T, \eta)\in d\mathcal{R}_{\mathfrak{g}}$$\eta$$(\mathfrak{g}, T_{p}, \eta)$

注意 4.1. $p=1$ の場合の $(G/R_{x}, M_{p})$ が例 3.1 に対応している．

既約実単純リー代数$\mathfrak{g}$れている．それに従っての回帰的自己同形写像$\mathfrak{g}$と$\eta$$\eta$は，Berger[Be] により既に決定さを固定し，例 4.2 の様にして元$T$を全て求めれば，既約擬エルミート対称空間 $G/R$ 内の実形 $M$ の分類が完成する (cf. [Bo]).

5. 余談
最後に，実形と全実全測地的部分多様体の関係について述べる:$M$ を $G/R$ の部分集
定理 5.1 (cf. [Bo]). $(G/R, J, g)$ を既約擬エルミート対称空間，合とする，但し $Z(G)$ は単位元のみから成り，$M$ は原点 $0\in G/R$ を含むと仮定する．この時，次の (i), (ii) は同値である:(i) $M$ は $G/R$ 内の実形である;(ii) $M$ は $G/R$ 内の連結，全実かつ完備全測地的部分多様体 with $\dim_{\mathbb{C}}G/R=$$\dim_{\mathbb{R}}M$であり，誘導計量$g|_{M}$が非退化．

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$4G/R_{p}$と$M_{p}$はそれぞれ複素と実グラスマン多様体．

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[Ta2] M. Takeuchi, Stability of certain minimal submanifolds of compact Hemitian symmetricspaces, Tohoku Math. . (2) 36 (1984), no. 2, 293-314.
$I$$J$