老隻壬当F そ，-ーフソレ輔自E送車ë a.::>柑配送~ヨEヌË1生乙乙開町すーる責汗多吉
一分岐座屈としての錬れ座屈 一
半谷裕彦削，

株暁光制

真 柄 栄 毅 S2，

岡 村 潔 *2

椋走妻主事

ケープルと棒材によって構成される複合ケ}プル締造に軸対称荷重が作用する場合、分岐座去を述べた後、屈としての全体的な援れ座屈が発生する。本論文では、分岐座屈の解析 j

Zetlinタイプと Geigerタイプを解析モデルに選び、初期張力をパラメータとして、探れ座屈の発生基準と援れ座屈発生後の挙動を調査する。

1. 研究目的

2. 復合ケープル構造における涙れ座屈

著者等はケープルと線材によって申告成される複合ケ

基本モデルは輪対称徳造であり ，軸対称荷重の作用ープル構造の構造安定性について継続的に研究を実施下においては輪対称変形が進行する。この場合におけしている 1・2>。複合ケ ープル構造はケープルによる張る荷重・変位曲線は基本釣合経路と名付けられている。

力とポストに生じる軸圧縮力の組合せにより抵抗する

I性行列を利
この釣合経路を数値解析するため、幾何同J帯構造システムである。ケープルには圧縮力に対する抵去を線用する。その場合、妓 S
裏側用した修正荷量増分 i

抗能力〈剛性〉が期待できないので、自己釣合応力系性行列は次式となる。

性を布陣成する初期張力を導入することにより，初期防l[IK]:: [KI!+lKo]を確保することになる。そのため、 (a)自己釣合応力系
ママ，ー.

[IKI!] :弾性剛性行 91J， [lKo] :幾何 剛性を満足する形状の選定， (b)初期張力による剛性評価，

ι̲'‑，
.

(c)荷量載荷による剛性変化， (d)初 期 張 力 導 入 状 態 及行予IJである。

び荷重載荷状態における衝造安定，は複合ケ}プル構造を設計する場合の基礎事項である。

荷重を増加させて行くと接線剛性行列の行列式 の 値は減少していき、項(d)における機造安定に関しては，(2・1)IK 1::0の時点で周方向への援れモード による分岐座屈が発生する。さらに、分岐~屈後、(1)部材レベル分岐経路に沿って変形が進行する。この場合の概念図(1I)基本平函構造システムレベルを抱くと図ー 1となる。この図で、変位 Dは援れ方向〈血〉全体制摩造システムレベルへの変位である。完全系の場合、座屈前においては軸の 3レベルにおける問題が生じてくる。各項の典型例:0となる。 Pcrの点で、対称変形のみが生じるので D:(1)ポストの面外~屈1>，IK 1=0 となり、 D:#0のモードが出現する。さらをあげると，(1I)ケ}

プル張力の消失による面内不安定 2>， (皿〉周方向へに、初期不整のある不完全系の場合には、分岐点の出の全体的な探れ座屈，等である。

現しない非線形荷重・変位曲線となる。以上を前提と本論文では、紬対称荷量を受ける場合における周方して、向への全体的な綬れ~屈を述べる。
本l
東京大学生産技術研究所(1) 図一 1に対応する荷重・変位曲線の追跡
ね竹中工務庖技術研究所‑21‑

‑・・・・・圃
.
.
.
.
.
‑‑

(2) 分岐座屈荷重の決定

t
管分区間内において、門acI
aurin
展開すると、(3) 安定分岐点であるか不安定分般点であるか

仇{の調査

(t):
:;dit+ 村 it
2+(4) 分岐座屈後の釣合経路の追跡

λ(t) :;:
入 t+す入t2+・(3‑3)

を研究目標として数値解析を実行した.

tの 2次項まで採用して、基礎方程式に代入し、 tの次数毎に重症理すると、次式のようになる。

P[IK]
{dl}
=:{f}入(3‑4)

[IK]
{d1}
+{r(d1) } = { f } λ ( 3・5)0(a)安定分岐点

D0(b)不安定分岐点

釣合経路は剛性行列式の値によって、二種類の状態に分けられる。

[al‑ IIKI*Oの場合、 [K‑つが存在することに

図一 1: 分岐点と分岐後幽線より、

削川r({?
んHM
昨
い…
門
=…
可…
…
[医3. 座屈点とその分類

t
阿=[II
K‑
ワ1
引
引]
明]
{川附f引
{げ山}

哲分法、
員提何学的非線形問題の解析においては、荷量 t
変位増分法及び弧長法などが利用されている。

つt{cIl}=[IK‑](α{f'}λぺ.
{r(d)})

aも 幅

広〈使用されている荷重増分法は、援線剛性を利用し、t
普分区間内で線形化することにより、問題を解決する(3‑6)

パラメータ tとして、荷量 t
普分パラメータ λを選定すると、方法である.しかし、分岐座屈点では解の唯一性が成

A =昼
ム =1
d入

立せず、分岐経路の追跡が困難となる.一方、変位相;.‑ 坐」
主 ‑ 1¥^‑ d入2 ‑ v(3・7'

量分パラメータの分法では、座屈点の近傍において、 t(3‑6)と(3・7)式を (3・3)式に代入すると、解 d(λ 〉が選択が難しくなる.

求められる.
本鎗文では， ~益何学的非線形性問題の t普分方程式に主要動法を適用し、摂動方程式を導入する。次いで、第d(入)=[K‑t]({f}λ ーを {r(cD)}
入 2)

(3‑8)

一領動方程式の解を有する条件を一般逆行~IJ を利用し
【bl.llKl=oの場合、一般逆行列理論を利用すて定式化し、この条件より座屈点の分類を行う.分岐点において、上述の条件を考慮することにより、分峨ると、 (3・4)式の解の存在条件と解は次式で l経路を追跡する簡便な解析法を提案する.

えられる。

増分区間において、総遺体に有限要繁法や差分法を適用して、幾何学的非線形性問題に対する総数型の基礎方程式を求めると 、 次の式となる.
[K]{d}+F2+F3+ ・・・ =:{F}(3‑1)(3‑10[K‑B<]T=[K‑K][IK]T=[IK][I
K‑]T=[IK‑]1(3・ 1[IK‑K]=[IK‑]
T[IK]
T=[KIK‑]
T=[IK
I
K‑]

(3・12

これによ って、ここに， λは荷量港分パラメータである。増分パ ラメータ λと変位 dを任意のパ ラメータ tの関数と考え、{d1}=[K‑]{f}A+[I‑K‑IK]{a}[IKK‑)T=[KK‑)

モード {f} で表すと 、(3‑2)(3・9'

一 般逆行列の定後及び剛性行 ~IJ の対称性より、F2と F3t
ま高次項である。荷量ベ クトル {F} を荷量[K]{d}=:{f}λ[I‑KIK‑]{f}入=0

放に‑22‑

(3・13)[IT‑lKIK‑]
T=[IT‑
KIK‑]

極限点における座屈モードは [(‑KK‑]の線形独立なベクトルとなり、また、(3‑14)[(‑KIK‑]
T{f}λ=0
座屈点を単純座屈点とすると、なるので、αと fとは直交していることが分かる。さらに、一般
逆行列の定義 を用いると、

rank[1K]=n‑1とrank[(‑IKIK‑]=Iになる。

1個であることが分かる.

3・ 17)
式より
分岐点では g=Oが成り立っており、 ((9)式に代入すると、解の存在条件は次式になる.

{f}
T
[K‑]
T
[ff‑KlK‑]={f}T[K‑][I‑lKK‑]f}T(IK‑‑lK‑
KlK‑]
={f}
T
[lK‑‑K‑]=0
(43)
={

従って、

・

[(‑lK
lK‑]
は 1個の独立な列ベクトルを持っている。

3・ 14)と(3・ 10)式は次式となる。
それを αとすると、 (よって、{α} と[lK‑]{f}は直交しており、相互に独6)式より、立であることが分かる。放に、 (3・ 1{{占}=[;ー]{f}A+ι{α}ここに、(3‑15){~} = {~}占 1+ 行}α2g =αTf

座屈点では角曜の存在条件より (3‑15)式が成立しなければならない .
1K 1より、[K]の最小固有値を C1とすると、座屈点は C1=Oで与えられる. g A=0より、 g=0 (分岐点〉、 g:;tO、 λ=0 (飛移点)となる。分岐点は、さらに、 A=0 (対称分岐点〉、

ここに、分岐点においては、 2個の独立なモードが存在しており、分岐経路はこれらのモードの組合せで与えられることを示している.
対称分岐点では、 A=Oであるから、占 2=0となり、A:;t0 (非対称分岐点〉と分類される。以上をまとめると、図 ‑2となる。

αhα2は任意のパラメ ー タである.上式は、(4‑4)式は次式となる。
α‑凡ω

川ω

(4・5)

5.分岐経路の解析
鍾限点では、 (4‑2)式から理解できるように、 t普分
パラメータの数は 1個となる (α1を与えることにより、子図 ‑2: 座屈点の分類占が得られる).そのため、座屈後の釣合経路を比較的簡単に求めることが出来る。占 1として、変位の一成

4. 座屈モード分を選ぶと変位憎分法となる。

極限点〈飛移点〉では A=Oが成立している。 A=

分岐 ae屈後の釣合経路を求めるには、 (4‑4)式におけ0を (3・ 16)式に代入すると、る占 1と占 2の組合せを求める必要がある.以下、その{dI}=αdα}(4・1) 解析法を述べる。第二模動式 (3‑5)式が解を有する条件

lま上式を書き換えると、[m‑KlK‑]T({f}λー{11'"(占)}={O}{~}={~}ål
川(AJ.
〉
正τ=A .
J
正. (五 A)T=瓜 A. A A A =A. J.
正A.
J正=瓜‑23ー(5・1)

で、かっ、分厳点では g=αTf=0が成立しているか事態が生じると、座屈点、において、釣合経路の追跡は欠式とな る。
ら、 上式は i不可能となる。以上の事態を避けるため、 一般逆行列の計算に特異値分解法を利用し、以下に述べる工夫を

αTr(d)=O(5・2)tJ'う。
[IK)を特異値分解すると、上式において、ベクトル αと rの r成分を品 r、 frで
表 すと 、 (5・2)式は[IK)=[リ )[L]['I)TN

Larfr=O)(5・30‑'(6・ 1)=([.
)[V]:ni欠の直交行列、

ここに、 [リ)T[リ)[L): n.
i
欠の対角行列，である.対角行列;を上式に (4・4)
式を代入し、盤理すると、

ag(a1，a2，•.•.
an)[玄]=dia(α1)+2bα1α2+c(α2)=0(5‑4)とすると、一般逆行列は次式で与えられる。

上式より、ClIとCl2の比が 2個求められる。つまり、

i=1，2κi=手1.

[L‑]=diag(al‑，a2‑'・・・・，an‑)(6‑3)

al<σ2 主~....;:;; anとすると、座屈点に於いては、(5‑5)"'1(6・2)

σ1=0となるから、結局、上式を (4・4)式に代入すると、{~l= サ行}

al‑=O

(6‑4)

ai
‑=.
J一ki) 占2(6‑5)

i=2，・・・，nσz(5‑6)

以上を用いると、一般逆行列はCl I を~分パラメータとして与えることにより、2個[K‑]=[V][L][リアの κdこ対応する分岐経路が解析できる。
なお、本論文で扱う援れ~屈は対称分岐座屈であり 、(4‑5)
式、 (5・6)式を比絞することにより、 κi=0に対応する。

(6・6)

数値解析上では IKI= oである点を厳密に求めることは不可能である.そこで、 (6‑4)
、 (6‑5)式を以下の普分パラメータと tと I
IK1との関ように修正する。 t=tcrの点、 Aで係を様式的に錨くと図 ‑3となる. t

6. 数値解析法
釣合経路上の I点が座屈点 Ci:近づくと、II
K1王寺 Oとなり、数値不安定の生じる領減となる。この領域内
では、釣合経路の数値解析には注意が必要である。

*II
K1 0の点においては、 (3・8)式を利用して釣合経路を求めれば良い。

1
1K1=0となる.微小量 E を与えて、 tcr壬 tく Eの範囲において、￨今 Oとなる E を与える〉。このとき、 (6‑4)、 (6・5)式を次式で解析することとする。

[K‑I]の計算に不安定がある場合には、[IK‑)を用いれば安定した解が得られる。

なぜなら、

11K1*0の場合、

σ1‑=0士=σi[IK‑I)=[K‑)となることによる。

IK I=oの座屈点においては、 (4・2)式、あるいは、(4‑4)式を求めることになる。この場合、[K‑)の評IIK1
与 Oが成り立っとする (1K>t~terに対して1(6・7)i=2，'.，n(6・8)f:以上の修正により、座屈点近傍の釣合経路が解析可能となる.

価が必要となる. II
K1の値が零でなく 、 ほ ぽ零であるとすると、[IK‑)を計算すると [IKーっとなる。そ以上で述べた方法を利用し、輪対称荷重を受ける複1Iのため、 (3・10)式の([‑IK‑IK)は[rr‑1K‑K]=[O]と6)式の {α}なり、 (3・17. 縫合ケープル梅造への適用={o}となる。このような合ケ}プル自構造の 全体採れ座屈の解析を行う.

‑24‑

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⑥⑫
II tcr(b)図 ‑3: 座屈点近傍の IIKIの動き⑬

復合ケ ープル構造の特徴を示す基本モデルとして、@.Jー
錦、⑮ノぜ~2 \J③\⑤43.::¥ ."'^̲白/工 7

図 ‑4、図 ‑5に示す Type‑AとType‑Bを採用する。これらのモデルは実験用に作成した小型モデルで、本来Zetlinタイプを修正して作成しの Geigerタイプおよび'ている。初期張力を図中に示す。

(a) 節点と部材の番号

輪対称荷量として、各節点に Pの鉛直方向荷重を作用した。不完全系としては，上弦節点の周方向に α Pの荷重初期不護老作用している。
図 ‑6は荷重の増加に伴う IIKIの値の変化を図示

1K1=oとなっている。しかし、したもので、 A点で 1不完全系の場合には 11K1=oの点、は出現していない。
なお、 Type‑Aの B点は分岐座屈後のケープル張力が消失したことによる剛性消失に対応している〈図‑15)。
図 -7 ~ 図一 12は節点の荷量・変位幽線を示したもので、図 ‑7，図ー 10が 図 ‑1に対応するものである。 A点において分岐座屈が生じ、その後、周方向への分岐後変位が発生している様子が理解できる。座屈荷重は Type‑A(11.91kgf) 、 Type‑B(9.68kgf) であった。分岐後経路は荷重の培加とともに上昇しており、安定分岐点であることが分かる。図 -13~ 図 -20

上弦ケーブルはケープル張力の変化を示したものである。大部分のケーアルでは、援れ座屈後において、張力増加が生じている。このことは，安定分岐点であることに対応している.しかし、図ー 15に示すように Type‑Aのケー
プル 9においては、座屈後に張力の減少が生じ、 B点において張力が消失している。一方、 Type‑Bにおいては、全ての張力が座屈後に噌加しており、援れ座屈に対して安定な構造システムであることが分かる。

皇ι 量立下弦ケ}ブル

本論文は複合ケープル布陣造の全体的な援れ~屈解析を目的として、の提案，(1)座屈点近傍の釣合経路の追跡 t
去C2) 一般逆行列の数値解析法に特異値分解を利用 する座屈点における簡便な数値解析法の 提案、'‑25‑争r 12 ‑(b) 初期張力

図 ‑ 4: Geigerタイフ'CType‑A)‑・・・・・.

F竃・(3) 探れ 1
A屈の数値解析，を行ったものである.数値解析の結果、複合ケ ープル車躍進の援り座屈は安定分岐点であることが分かった.なお、銀れ座屈荷重の略算法は文献 [4]で級っている。
⑫室主茎量[J]半谷、真柄、岡村、綜: 複合ケ}ブル構造の機造
こ関する研究ーポストの面外安定について一，安定 t
日本建築学会大会学術講演梗概集. 1988，
p
p.J363

⑫ @

⑤ ⑦トー
一‑ー
12‑1364.

[2]半谷、真柄、岡村、休: 複合ケープル機造の構造安定に関する研究

一基本モデルの術進安定一、

膜車摩造研究論文集 '88，日本膜織進協会， 1988，
p
p.J1‑18.
D.A.，
Perdikaris，P.C.
and Kanj，N.:[3] Gasparini，(a) 節点と郎材の番号

Dyna聞 icand Static Behaviour of Cable Dome
門odel，Journal of StructuralEngineering，

Vol.115，
No.2，
1989，
pp.363‑381.

[4] 半谷、真柄、岡村、林: 複合ケープル布陣遣の構造安定に関する研究

一敏対称荷量下における鋲れ座屈 (I)，(n)ー，日本建築学会大会学術務演梗領̲
， 1989，pp.1207 1210.
・Y.L，"Applicatio of the Generalized[5] HANGAI，
Inverseto the Geometrically"
Problems，

S門 Archives，Nonlinear

Vol.6，

1981，

pp.129・1
65.
[6] HANGAI.
Y.，"Numerical Analysis in the Vicinity
閃 ralizedInv
erse，"of Critical Points by the GeIASS Bulletin. No.
95f，1987，pp.23・26.
[7J GRAYBILL，F.A.， "Introduction to(b) 初期張力門atrices

図 ‑5: Zetlinタイプ (Type‑B)

with Application in Statistics，Wadsworth
PubIishing Company，1969.
8.
02.0‑.

三 6.0・)( 1.5}0?

匂と・ 0::1.0H

白H

ロH

H

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H

a: 2.00.5。
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20.00.
0

20.
0

30.0

LOAO‑P(og)

LOAO‑P(og)(b) Type‑B(a) Type‑A

図 ‑6: 荷重の増加に伴う IIKIの変化

30.0

円ノU

FO

30.0

30.0

oi20.0O 20.0"'皐}

3.0ー.00.
0

図 ‑7: 節 点 3の周方向変位・荷重曲線 (Type‑A)

30.
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4句・・。

unu誕a.J 100.00.0

内{eusa 0dOJ・ii20.0‑・3.
0

図 ー 10: 節 点 3の周方向変位 ・荷量幽綴 (Type‑B)

30.0oko

2.
0DIS
凡 AC
副 ENT
ローγ(3)

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0.5

1.0

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5

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1.
01.5

DISPLACEHENT‑DZ(3)函‑8: 節 点 3の縦方向変位・荷量曲線 (Type‑A)

図 ‑11 : 節 点 3の縦方向変位・荷量幽線 (Type‑B)

30.0

30.0

1.5.•

2.
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DISPLACEHENT‑OZ(1)OISPLACEHENT‑OZ(
竹

図 ‑9: 節 点 1の縦方向変位・荷量幽線 (Type‑A)

図 ‑12: 節 点 1の縦方向変位・荷量曲線 (Type‑B)

.
.

30.0

30.0muNnu

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LOAD‑P(kg)0.00.010.0

20.030.0

LOAD‑P(kg)

図ー 13 :敏荷によるケープル 2の張力の変化

図 ‑17: 戴荷によるケ ープル 2の張力の変化(Type‑A)(Type‑B)

‑・・圃
・・r.
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LOAO‑P(kg)

20.0

30.0

LOAO‑P(kg)

図 ‑14: 載荷によるケーブル 3の張力の変化

図 ‑18: 裁荷によるケーブル 3の張力の変化(Type‑A)(Type‑B)

凶~10.0zwト。
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0

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︽m︐・民

﹃ 'h2︐oua‑a} トt 凶ugO也 凶 JMmZ凶﹂ F'720.0nvnvnvnu
内ununua.
d30.00単。
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30.0

10.0

20.0

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0

LOAO‑P(kg)

LOAO‑P(kg)

図 ‑15 :載荷によるケープル 9の張力の変化

図 ‑19: 載荷によるケープル 9の張力の変化(Type‑A)(Type‑B)

300.0

80.0
aa

B
X

工 60.0ト・.

200.02w~ 40.0肱

弘ヨ∞ ow
JHHE

ω20.0zw
.

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10.020。
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O.。

30.0

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10.0

20.0

30.0

LO
AO‑P(kg)

図ー 16 :載荷によるケープル 11の張力 の変化

図 ‑20: 般荷によるケープル 11の張力 の変化(Type‑A)(Type‑B)

本 一一一一一:不整荷量無し(α =0)

α =1.
0一ー一ーー : α=5.0

但し、Pはt
哲分荷重で、 P=0.05 kgfとした。

円〆臼円
む

STRUCTURALSTABILITYOF HYBRID CABLE STRUCTURES
ーTorsional Buckling as a Bifurcation Buckling‑

Yasuhiko HANGAI1，
Hideki

Xiaoguang

1
LIN

2
必何RA
MAGARA2 and Kiyoshi OK

SUMMARYWh
en the sy田 netrical load apply to the symmetrical hybrid cable structures，a bifurcation

f thebuckling which reveals the torsional，asy剛 etrical deformation appears. The objective opresent paper is to examine this bifurcation buckling for two kinds of hybrid cablestru
ctures such as the Geiger type and Zetline type.
In the first of the paper，an analytical method to pursue the geometrically nonlinear
equilibrium paths in the vicinity of critical points is presented by using the generalized
e perturbation equations for the incremental equilibrium equatio
ns are derived.
inverse. 百lThen，critical points on the equilibrium path are classified into limit point andbifurcation point by using the existence condition of solution，and an analytical method for
post‑
critical paths beyond critical points is presented.
At the standpoint of the numerical analysis，it is very difficult to find numerically theexact critical point on the equilibrium path where IK
I=0. To avoid this situatエon，thesingular value decomposition method is effectively used here to obtain the generalized
inverse numerically.
In the second part of the paper，the application of the present method to the torsio
nalbuckling problem in order to examine the post‑bifurcation behaviours as well as the load
αrrying capacity of hybrid cable structures.

1 Institute of Industrial Science，University of Tokyo
2 Takenaka Technical Research Laboratory，Takenaka Komuten Co.，Ltd.

‑29‑