ホワイトボードで2014年度版

格子ゲージ理論入門(M1向けの)富谷昭夫 大阪大学D3akio̲at̲het.phys.sci.osaka-ac.jp
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~akio/

1
14年10月13日月曜日

目標:格子QCD(QED)が何をやっているかを大雑把につかむ。
何が出来て何が出来ないのかを知る。

(自然単位系をつかう。)

2
14年10月13日月曜日

(ほとんどの内容は、)
QEDに限る。
(ただし、ほとんどQCDと一緒)
相対論(共変的記法)、量子力学(経路積分)、ディラック方程式、マクスウェル方程式の知識を仮定
3
14年10月13日月曜日

素粒子論=(素)粒子を◯◯の言葉で表現し理解する
場の量子論
弦理論
場の量子論
場の理論 無限個の振動子の量子力学
量子力学＝遷移確率を計算する場の理論も2つの状態の遷移確率を計算する
例)S行列…粒子の移り変わりを調べる
4
14年10月13日月曜日

S行列＝LSZ還元公式+Green関数
Green関数は、(on-shellに限らない)状態の遷移確率振幅(ある時空点に粒子があるなど)場の理論(基本的な流れ)
ラグランジアン→Green関数→還元公式→S行列→断面積
Green関数さえ計算できたら良い！
(2粒子のときは、プロパゲータになる)
5
14年10月13日月曜日

相互作用する場＝連続無限個(実数と同じ数)の非調和振動子
こんなののグリーン関数なんて計算出来ないじゃん！
摂動論…結合定数で展開して調和振動子の重ね合わせで相互作用する場を近似。
展開出来ないものは、無理格子化した場の理論は性質が良いので非摂動論的に計算できたりする
6
14年10月13日月曜日

コメント※Green関数以外の観測量もある
Wilson loopなどのループ演算子
カイラル凝縮などの1点関数の時空平均※Connected Green関数の生成汎関数 W[J]W [J] =

i log[Z[J]]Green関数は、WをJで微分すれば作れる。
Wは、S行列のうち、素通りを抜いた部分に丁度に対応する。
1PI有効作用ΓからWを作れるのでΓがくりこみ可能なら全て有限にできる
Abbott, L.F. (1982) Introduction to the Background Field Method Acta Physica Polonica B13: 33-50.
http://neurotheory.columbia.edu/~larry/AbbottActPhysPol82.pdf
14年10月13日月曜日

7

対象・ヒッグス・超伝導・暗黒物質
・Top質量・ゲージ理論
・超対称性
・余剰次元・フレーバー
・超弦・場物理手法
・摂動論
・平均場近似・和則(ユニタリ­性)

・格子化
・数値計算
・AdS/CFT・局所化
・くりこみ群・トイモデル化
・サイバーグ双対性(組み合わせもあり) 8
14年10月13日月曜日

コンテンツ

1. 連続QED(ラグランジアン)、ゲージ対称性
2. 経路積分量子化、ユークリッド化、統計力学系
3. 格子化プラケット作用
4. 見たい物理と測定量↓あんまりやらない

5. 計算法(強結合展開、摂動、メトロポリス法)
6. まとめ9
14年10月13日月曜日

1

QED= 光子と電子(フェルミオン)の場の量子論
とりあえず古典論
L=

1µµ¯
Fµ F + i( µ ieAµ )4 光子=(電磁場) ↑電子(ディラック場)
Fµ =

S=µAm¯↑電子質量

Aµ4d xL :作用

ψ:4成分のスピノル、反交換γμ:4つの4x4行列スピノルに作用する。

¯=

† 0

まず、e=0としてみて、最小作用を考えてみる→マクスウェル方程式＆ディラック方程式(つまり原子~日常の世界を記述する)

e 0 とする。この系は、ある特殊な変換をしてもラグランジアンの形が変わらない。

形変わらない→対称性
1014年10月13日月曜日

ある特殊な変換

1Aµ + ⇥µ (x)eAµ¯ei (x)¯e i (x)この時空点(x)に依存した変換をU(1)ゲージ変換という※U(1)=フェルミオン1つを位相回転(=実自由度2個を混ぜる=O(2))(元々は、AをB,Eに焼きなおす時の不定性だったが現代的には、上の変換に対する不変性のことを指す。)※ (⇥µieAµ ) (x)⇤µ (x)⇤µ=⇤µ (ei (x) )Aµ¯ µ⇥(⇤=ei (x) [i⇤µ ⇥(x) + ⇤µ ]1
Aµ + ⇥µ (x)e( µ ieAµ ) µ (x)ei (x) ( µieAµ )µ¯ µ⇥(⇤⇥(x)
1114年10月13日月曜日

ieAµ )

ieAµ ) µ (x)
µ⇥(x)

2

古典論から量子論に行くには、経路積分(肩に乗せて積分)してやればOK

リッド化 L =1
Fµ F µ + ¯i( µ4ieAµ ) µm¯

成するので、まず理論をユークリッド化する事を考える。
QEDR 4i d xL[A, , ¯]
¯LDAµ D D e。QED の作用は、以下で与えられる。
!
!
1(ゲージ理論は、ゲージ固定しないと経路積分がWell-deﬁnedじゃないけど4µν4=−dxF
F+dxψ̄(iD/ − m)ψ
(5.1.1)CH. 5.
µν 今は、適切に処理されてると思う。)
D
5.2. 格子理論と連続理論の関係
4
ユークリッド化=時間座標を虚時間だと思ってみる。(正当化は、ʼʻ解析接続ʼʼ)数関数の方に載せそれを重みとして経路積分を行えば、QEDのR 4ある。i をくくりだしてまとめるとユークリッド化したQEDの作用は
¯dxL
[A,,]
E
¯DADDe1µ換えによりユークリッド化する 。
SQED (eucl) = SG (eucl) + SF (eucl)!
⎧1(eucl)4⎨x0 → −ixS=dxFµν Fµν
G44!
(5.1.2)⎩A0 → +iA4
S (eucl) = d4 xψ̄(D/ + m)ψ
(ピュアゲージから符号を決める)

F2 = −1 をかけ、重みとして経路積分を行えば良い。非可換
この作用にi
グラスマン数ってどう扱うのか？
ジ場の作用は、以下になる。
様に行うことができる。 1214年10月13日月曜日!

フェルミオン積分{ 1, 2} = 1 2 +2 1 = 0

つまり、 1 2 =2 1

2つの独立なグラスマン数＝複素自由度(1次元)のとき、

2d0d¯0d1d¯ ¯1(と、定義する。

= ¯2 = 0 なので、指数関数は、

e=1 ¯
すると積分は、{d , d¯} = 0 より、¯d¯d e ¯ = 11314年10月13日月曜日

dd =)
d

2次元以上への拡張
12

¯1

¯¯2

¯ = ¯1 1 + ¯2 2(¯ ) = 2¯1 1 ¯2 2 となる。高次は消える。
2以上より、 e ¯ = 1(¯1 1 + ¯2 2 ) + ¯1 1 ¯2 2d¯d = d¯1 d 1 d¯2 d 2 なので積分は、d¯d e ¯ = 1となって不変
1414年10月13日月曜日

変数変換{⇥=MT⇥¯ = ¯ N

M、Nは、直交行列と思っておくとして、今度はαを独立なグラスマン数だと思い直す。

⇥1 ⇥2 = (M11 1 + M12 2 )(M21 1 + M22 2 )= (M11 M22 M12 M21 ) 1 2= (det M ) 1 2
一方で、積分は、変数の表示によらないはずなので、d¯⇥1 d⇥1 d¯⇥2 d⇥2 f (⇥, ⇥¯) =d¯ 1 d 1 d¯ 2 d 2 f ( , ¯ )即ち、ヤコビアンは、d⇥1 d⇥2 = (det M )15
14年10月13日月曜日

1d 1d 2となる。

(det M N )1d¯ d e¯N T Mとすると、

M N =ATd¯ d e¯A= det A

2次元から無限次元へ一般化すると、R¯D/= DetD/

D ¯D e=elog DetD//= etr log De(eucl)eff
SE [A] = SG+
16
14年10月13日月曜日=1RLf [A]d4 xLf

共変微分 Aμ以上によりDAµ eeff
SE[A]ボゾン=普通の数の多重積分
統計力学系とほぼ同じ。ほぼ、というのは、測度が違って、今は、連続個の無限積になってる。

4DAµ =dAµ (x)µ<x<

統計系では、

Ndxii
もし、時空xを何らかの意味で、離散化できれば、統計系に落ちる→格子化

1714年10月13日月曜日

※単純に時空を切ってしまう(運動量空間で高周波数を捨てる。)と、ラグランジアンのAに関するゲージ不変性がめちゃくちゃになる。

Aµ1
Aµ + ⇥µ (x)eどうするか？

※ゲージ対称性が無いと、くりこみ可能性を損ねる。

※ナイーブには:(ゲージ対称性=光子の質量項が無い→ゲージ対称性を壊してはいけない！)※摂動論→ゲージ固定が必要(プロパゲータの定義、ハミルトニアンの定義)
格子ゲージ理論→ゲージ固定が要らない。

1814年10月13日月曜日

3 格子化＝正則化の一種
場の理論は、正則化がいる。(紫外発散)
例¯(x) (x)←ゲージ不変、同一時空点にともなう発散有i (x)e¯e i (x)¯正則化？

Point Splitting正則化
lim ¯(y) (x)yx

これなら発散はない。ゲージ不変性？

¯(y)U (y, x) (x) という量を考えてみる。
lim U (y, x) = 1yx

U (y, x)ei (y) U (y, x)e i (x)こんなUを構成できるか？
1914年10月13日月曜日

できるU (x, y)xexp[ieAµ (x)dx ]µyx

1µexp[ie(Aµ (x) + ⇥µ (x))dx ]eyx= exp[iexAµ (x)dx + iµyyx= exp[ie⇥µ (x)dx ]µAµ (x)dxµ + i (x)i (y)]y= ei (x) U (x, y)e i (y)OK

Wilson Lineと呼ぶ。
(x,yという離れた点の局所演算子積だがゲージ不変に保てる。)
20
14年10月13日月曜日

Wilson Lineの物理的意味

x

U (x, y) = exp[ieAµ (x)dx ]µy= exp[ieµ1dxd ]Aµ (x)
d0
1= exp[ieAµ (x)ẋ d ]µ01= exp[ie0= exp[i{A0 (x)ẋ0 + Ai (x)ẋi }d ]1dt⇤+ eA(x)· ⇤v }d ]{ e⇥(x)d0

電磁場中の荷電粒子の作用(の経路積分)のポテンシャル部分

x<21

14年10月13日月曜日

y<Wilson Lineを使うとゲージ不変な物体が作れる。

W (C) = exp[ieAµ (x)dx ]µC

CWilson loop

物理的な見方
時間><

粒子、反粒子が対生成対消滅する過程(とも見れる。)

22
14年10月13日月曜日

紫外発散(運動量の上限→ )を適切に処理するには、正則化が必要
カットオフ(運動量に上限をいれておく)→格子間隔(時空の最小単位を導入する。)†1n+µ̂,n[a]=1/[mass]
U=Uan,n+µ̂Un,n+µ̂n + µ̂ n

最小単位=理論の中の無限小距離無限小の大きさの正方形ウィルソンループを考える。

x+ˆ

実は、作用が出てくる

x + µ̂ + ˆ

図 5.1: リンク変数>>>xµ̂ μ方向への単位ベクトル>x + µ̂

aµan 1 , nnは無次元数を無次元の数の組 nx==(n2 , n3 , n4 ) とし、µう。さらに U (x, x + µ̂) = Un,n+µ̂ とする。これ
無限小ウィルソンライン=”リンク変数”、µµ

以後、nを整数に限る。 2314年10月13日月曜日

U=1+icaAµn,n+µ̂る。このとき、
ieaAµU(n)(n + µ̂)U † (n)
Uµ (n) ≡ Un,n+µ̂=e†= e とすれば正しく連続極限に一致することが分かる。そこで、
Un+µ̂,n = Un,n+µ̂(5.3(lat)iφµ (n) と書ける。ただしれもリンク変数と呼ぶ。格子上の作用
Sは、ゲージ不変に作り
ieaA(n)µφージ変換を考えよう。Un,n+µ̂=enn+µ̂Gµ (n) は位相で φµ (n)Uµ (n) ≡ Un,n+µ̂=eUµ (n) 4ある。
a を格子間隔、c を後で決める定数として
φµ (n) = caAµ (n) としよう。aンライン(リンク変数) でループを作る 。そこで以下の量を考える(lat)
ここからウィルソンループをつくる。
、これもリンク変数と呼ぶ。格子上の作用
Sは、ゲージ不変にい時には、
図 5.2: プラケット† G†
Uµν (n) = Uµ (n)Uν (n + µ̂)Uµ (n4 + ν̂)Uν (n)ルソンライン (リンク変数) でループを作る。そこで以下の量を考Un,n+µ̂= 1 + icaAµ(5.3
リンク変数4つの積(無限小ウィルソンループ)＝プラケット
ラケット(plaquette)と呼ぶ。ここで (5.3.10)を格子間隔a が小さ開してみる。
(5.3.9) より、††= e とすれば正しく連続極限に一致することが分かる。そこで、
Uµν (n) = Uµ (n)Uν (n + µ̂)Uµ (n + ν̂)Uν (n)Uµν (n) = exp (ieaAµ (n))U×† (nexp+(ieaA+ µ̂))
νµ(nieaA(n)ˆ)µ = e
ゲージ場の格子正則化
CH.
5.
格U(n)
≡U
(5.3µn,n+µ̂n+µ̂+ˆをプラケット (plaquette)(5.3.10)n+ˆ と呼ぶ。ここで× exp(−ieaA(n + ν̂)) × exp (−ieaA(n))を格子間隔 a が
µ

ν

(lat)
これもリンク変数と呼ぶ。格子上の作用は、ゲージ不変に作りたい。な†−SA= exp [iea {(Aν (n + µ̂)(n))
GUµ (n +ν ˆ) − (Aµ (n + ν̂) − Aµ (n))}]n + µ̂ + ˆ
ソンライン (リンク変数2) でループを作る4 。そこで以下の量を考える。

し、n+ˆiea Fµν (n)=eU † (n)U (n + µ̂)††
Uµν1(n) = Uµ (n)Uν (n + µ̂)Uµ (n + ν̂)Uν (n)(5.3.
4
QED の時は、ループでなくてのゲージ不変であるが、非可換ゲージ理論の時はループにする必Fµν (n) =[{(Aν (n + µ̂) − Aν (n)) − (Aµ (n + ν̂) − Aµ (n))}]

プラケット (plaquette)と呼ぶ。ここで(5.3.10) を格子間隔a が小さいとしてaU (n + µ̂)
U † (n)
52 n + µ̂n†
+いた。これは連続極限 (a →U0)Fµν (x) に戻るµ (n でゲージ場の微分を含む
Uµˆ)(n) n + µ̂ + ˆn+ˆ24以下の量の a → 0 での展開を考える。
14年10月13日月曜日

ただし、

1Fµν (n) = [{(Aν (n + µ̂) − Aν (n)) − (Aµ (n + ν̂) − Aµ (n))}]a(5.3.14)と置いた。これは連続極限 (a → 0) でゲージ場の微分を含む Fµν (x) に戻る。
更に以下の量の a → 0 での展開を考える。
"#!
!
11
†
1−(U(n)+U(5.3.15)µνµν (n))
βe2 n µ<ν
2
"
#$%!
!
1
1 iea2 Fµν (n)−iea2 Fµν (n)=β1−e+e(5.3.16)
2e n µ<ν
2"&'#!
!
11
1 2 4 2
1 2 4 222=β1−
1 + iea Fµν − e a Fµν + · · · + 1 − iea Fµν − e a Fµν + · · ·2e n µ<ν222βを任意係数としておいて、=!!

連続理論に一致する様、β=1/e^2として、

41

an µ<ν

=!

4anすなわち a → 0 で!1µ,ν"!
!
1e2n µ<ν2Fµν (n)Fµν (n) + O(a6 )4Fµν (n)Fµν (n) + O(a6 )

# (1†
4 1
1 − (Uµν (n) + Uµν (n)) ≈ d x Fµν (x)Fµν (x)2425と分かる。なので格子上のゲージ場の作用として、14年10月13日月曜日!

(5.3.17)(5.3.18)(5.3.19)(5.3.20)

(5.3.17)!!

1a4 Fµν (n)Fµν (n) + O(a6 )2n µ<ν
! !1=a4Fµν (n)Fµν (n) + O(a6 )4nµ,ν=すなわち a → 0 で"!
!
1βe
2n µ<ν

(5.3.18)(5.3.19)# (1†4 1
1 − (Uµν (n) + Uµν (n)) ≈ d x Fµν (x)Fµν (x)24と分かる。なので格子上のゲージ場の作用として、

1 !
1†SG [U ] = β[1−(U+UPP )]2e21= 2e(5.3.20)(5.3.21)

Pと取ることにする。ただし P は、境界 P を持つプラケットの中のリンク変数の正の方向の積を表す。

Lattice QCD
これからは、非可換ゲージ理論を格子上にのせる事を考える。第 I 部でも述べたが、多成分である非可換ゲージ理論に拡張は、⎛ 1 ⎞ψ
$%⎜ .. ⎟
ψ → ⎝ . ⎠ , ψ̄ → ψ̄ 1 . . . ψ̄ N
(5.3.22)26Nψ
14年10月13日月曜日

ところで、
DAµ e

S[A]の代わりにDUµ e

SG [U]を計算してa→0でOK?
理論に”a”というパラメータが無い。
※本当は、ダメでくりこみ群に基づいて(要は、量子効果込で)議論する必要がある。
a→0を「ナイーブな連続極限」と呼んで区別したりする。
※なぜダメか？→たしかに作用(と測度)は、正則化したが、量子効果込がどうなるかは、ここまでの議論では、分からないので、不十分。

連続極限の定義は、くりこみ群から与えられる。
(漸近自由な)Yang-Millsのみが連続極限を定義できる。

27
14年10月13日月曜日

連続極限の難しい話
は、置いといて、以後は、QCD(Yang-Mills)のお話
Aμを行列にして、要所要所にトレースを入れればOK
28
14年10月13日月曜日

QED

ei (x)!(x) 2 R

ノルムを変えない様に成分を混ぜる
Yang­Mills(↓は、SU(2))

=

✓

12

◆

!ei⌦(x)

=

✓

⌦11
⌦21

⌦12
⌦22

◆✓

12◆

ノルムを変えない様に成分を混ぜる
カラー
29
14年10月13日月曜日

4

見たい物理と測定量• とじこめ(ループ演算子の期待値)• カイラル対称性の自発的破れ(ディラック演算子の固有値分布)• ハドロンスペクトラム(バリオンやメソンの質量)
ハミルトニアンわかってるのでスペクトルが予言可能• スケーリング則(物理量のスケール依存性)• 理論の相構造• 行列要素(崩壊定数、フォームファクター等)
• etc

30
14年10月13日月曜日

とじこめ＝クォーク・反クォークポテンシャルがクーロンでなく線形Wilson loopで分かる。

時間

時間>

T

<>

<=>

C

C
R
以下、T→ をとる。
31
14年10月13日月曜日

摂動的に見てみると、計算の後、=+...となるので、Treeで、グルーオンのプロパゲータをかえす。
プロパゲータ＝運動量空間でみたポテンシャル

つまり↑の左辺を非摂動論的に計算できれば、量子補正の入ったポテンシャルが手に入る。

32
14年10月13日月曜日

実際やってみると、
V(R)R

クーロン＋線形W (R, T )e

T V (R)(T)

近距離で相互作用が弱くなる(漸近自由)と長距離で強くなる性質を反映！
33
14年10月13日月曜日

※格子ゲージ理論では、ゲージ不変な演算子(ウィルソンループ等)しか測れない。
(期待値が0になってしまう)→エリツァーの定理(Elitzur thm)
※現在の方法では、有限密度系などのユークリッド化した後に作用が複素になるものは計算出来ない(符号問題, Sign problem)※微分を差分に置き換えるのでSUSYも難しい。
※カイラルゲージ理論SU(2) も難しい。
L※干渉が必要な物も無理。

34
14年10月13日月曜日

5計算法• 強結合展開• β 1/結合定数 で展開• 摂動展開• 結合定数で展開(プロパゲータが普通と違う)>=1m + i sin /p＝＞格子フェルミオン作用• ホッピングパラメータ展開• 1/mで展開• ラージN(鞍点法)• シミュレーション• メトロポリス、HMC(Hybrid Monte Carlo)、Heat Bath

効率がいいが、近似しないとつかえない。

説明する

主流、基本的にメトロポリス、ダイナミカルフェルミオン(粒子、反粒子の対生成対消滅の効果)を取り扱える35
14年10月13日月曜日

メトロポリス法 なんにでも使える。
=ランダムサンプリング＋インポータンスサンプリング
ランダムサンプリング＝すべてを調べる代わりに適当に選んだ代表者で代用する(~視聴率調査)
一様乱数=モンテカルロ

インポータンスサンプリング ＝効きそうなところを重点的におさえる。
例
P(x)←みたいな重み関数P(x)があったとする。

e S( )
W(x)この分布でのW(x)期待値
物理量
wilson loopとかxW =W (x)P (x)<x<

これをランダムサンプリングで求めるとする。

36
14年10月13日月曜日

ボルツマンウェイト(経路積分)

インポータンスサンプリング
例

P(x)
W(x)

xW

Const.
[W (x1 )P (x1 ) + W (x2 )P (x2 ) + W (x3 )P (x3 ) + W (x4 )P (x4 )]4=>ほとんどのPは、0で効率が非常に悪い。

x1 , x2 , x3 , x4一様乱数=>

偏った乱数にする。

偏り方を、ボルツマンウェイトになるようにする(要証明)

例 インポータンスサンプリング
P (x) exp[ H(x)] P大きい→H(ハミルトニアン)小さい
最初にx1 を１つ決める

x

なるべくHが小さくなる様に次の2 を決める。ただし、確率的に大きいHでもよしとする。
次の3 は、 2 から同様に作る。

xx

P(x)
W(x)

x

x1 , x2 , x3 , x4乱数を使いつつも、ちゃんと重み関数の広がり(量子効果)を含む事ができる。
37
14年10月13日月曜日

※実際のシミュレーションでは、乱数の代わりに、乱数を要素に持つ行列の内、SU(N)条件を満たすものをリンク変数として、全時空点に対して、割り振っていく。
(先のxは、Uμ(n)に対応する。)
ランダムなリンク変数を全時空点に割り振ったものを配位と呼ぶ。
スパコンでやってるのは、ほとんど配位生成。めっちゃ時間かかる。

まとめP(A)?

格子作用S場場

場xxAμ場xx

各配位で物理量を測定→平均38
14年10月13日月曜日

他にも色々。
•••
•
•
•
•
•

連続極限(くりこみ群)
Lattice QCD(強結合展開とか、スペクトルとか)、カイラル対称性
Lattice fermion(カイラル対称性と格子化の両立は出来ない)
Many Flavor QCD(コンフォーマルウィンドウ、ハイパースケーリング)→テクニカラー
格子フェルミオンの相構造
ディラックスペクトル
シミュレーションアルゴリズム
統計処理(誤差に関すること)

格子以外• 標準模型＋BSM、電弱精密測定(Sパラメータ)• (ウォーキング)テクニカラー• くりこみ群• (他にも、ニュートリノ物理、超伝導、物性系とか興味ある感じで。)
とにかく、相転移！
ぜひ議論してください。
39
14年10月13日月曜日

参考文献
青木慎也
格子上の場の理論
H.RotheLattice gauge theories
Peskin&Schroeder
An introduction to quantum ﬁeldtheories(僕の修論に↑がまとまってます)40
14年10月13日月曜日