修士論文

ILC における新しい kinematic ﬁt の開発研究
Developing a novel kinematic ﬁt for the ILC

東京大学大学院 理学系研究科物理学専攻
山下研究室 修士課程 2 年
梶原昇吾

2020 年 1 月

概要
現在国際リニアコライダー（ILC）計画が進められており、まず重心系エネルギー 250GeVで稼働させ、ヒッグス粒子を大量生成し、精密測定を行うことが期待されている。ヒッグ
ス粒子の精密測定のためにはジェットエネルギー分解能を正しく考慮して物理量の真値を求める必要がある。測定分解能および物理的制約条件を確率分布として評価し、測定値から真の値の推定値を求める手法として加速器実験で主に用いられている事象再構成手法の一つに kinematic ﬁt がある。kinematic ﬁt はジェットエネルギー分解能のように相対的に悪い測定分解能に対して特に有効であるが、ILC における kinematic ﬁt は測定分解能および物理的制約条件を表す確率分布に正規分布しか仮定できないという制限がある。本研
究では、任意の関数を適用できるような kinematic ﬁt の定式化を考え、ILC における解析ツールとして実装するところまでを目指す。本研究の現状における成果は以下の 3 点である。

1. kinematic ﬁt で測定分解能および物理的制約条件に任意の関数が導入できる定式化を考案した。
2. 任意の関数が適用できる kinematic ﬁtter を実装した。
3. 以上のファインマン図で表されるような具体的な解析対象において信号事象と背景
事象を正確に分けられるような物理模型 (測定分解能および物理的制約条件) を探索し、正しい物理模型を示唆するいくつかの結果を得た。
b
e−
H

b

Z

Z

ν

e+
ν

1 については kinematic ﬁt の詳細を説明しないと理解できない内容であるが、我々はkinematic ﬁt の定式化に最尤法を用いた。すなわち、以下に述べる尤度を最大化するような真値の推定値を求める。ここでは以下の多くの添字や変数、定数、関数の説明はしない。
ILC における従来の kinematic ﬁtter では、最尤法の観点から説明すると尤度は
(
L
∏

→ −
→ T −1 −
→ −
→
1 −
−
→
1
1
→
√
e
LN ewton (−η, ξ)= √e− 2 ( y − η ) V ( y − η )N2πσl(2π) |V |l=1のように定義されている。ここで、 √
(
−2
∏
√1 e
確率分布、 L
l=1 2πσ
1

→
− )2

−
gl →
η,ξ

(

σl

− 12

1
e
(2π)N |V |

− 12

T
→
→
→
→
y −−
η ) V −1 (−
y −−
η)
(−

→
−
−
gl →
η,ξ

(

)

σl

)2

K
( ( −
∏
→))
→
δ hk −
η, ξ
k=1

(1)
が測定分解能を表す)

が物理的制約条件を表す確率分布であるが、どちらlも正規分布である。これを任意の関数に拡張した場合の尤度は

−
→
→
→
→
L(−
η , ξ ) = f (−
y ;−
η)

L
∏

K
−
→ ∏ ( (−
−
→))
→
sl (−
η, ξ)
δ hk →
η, ξ

l=1

(2)

k=1

∏
→
−
→ −
→
→
となる。f (−y ;−η ) が測定分解能を表す確率分布、 L
l=1 sl ( η , ξ ) が測定分解能を表す確率分布で、一般の関数とした。まず、従来の kinematic ﬁt を最尤法の観点から捉えて、それを一般の関数に拡張することで、任意の関数が導入できる kinematic ﬁt の定式化がなされたことになる。(第 3 章・第 4 章)
2 については 1 で行った定式化の検証をするためにスタンドアローンで動作する kinematic
ﬁtter を製作した。最適化には準ニュートン法による逐次二次計画法を用い、一般の関数を扱えるように数値微分を導入した。(第 5 章)
3 については現状として解析対象における kinematic ﬁt を用いた事象選択の結果を出せ
るところまでは至っていないが、kinematic ﬁtter の動作を確認し、測定分解能および物理的制約条件の物理模型をどのように設定すれば正しいのか探索をしている状況である。
これについては特にジェットエネルギー、角度分解能評価の方法について詳しく述べ、現状と今後の課題を記述する。(第 6 章・第 7 章・第 8 章・第 9 章)

2目次

第 1 章 背景
1.1 標準理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 標準理論におけるヒッグス機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 実験による標準理論の検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 標準理論の問題点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2
3
7
8

第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

国際リニアコライダー計画
ILC と LHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
スピン偏極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ルミノシティー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
加速器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ILD 測定器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10
11
11
12
15

第3章
3.1
3.2
3.3
3.4

研究動機
kinematic ﬁt の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kinematic ﬁt の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
研究目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本研究の成果の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
20
21
22

第 4 章 kinematic ﬁt
4.1 kinematic ﬁt の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 OPAL Fitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Newton Fitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 新しい kinematic ﬁt の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Likelihood Fitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Lagrange の未定乗数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24
25
26
26
28
28

第5章
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6

29
29
29
30
31
32
33
34

ﬁtter のアルゴリズム
二次計画法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
逐次二次計画法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
OPAL Fitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Newton Fitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
New Fitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Likelihood Fitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Likelihood Fitter のアルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

第6章
6.1
6.2
6.3

解析対象
信号事象と主要背景事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
事象選択 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
解析対象における kinematic ﬁt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
42
46
50

第7章
7.1
7.2
7.3

ジェットエネルギー分解能ジェット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ジェットクラスタリング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ジェットエネルギー分解能の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 ジェットエネルギーの真値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 ﬁt object の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
頻度論とベイズ論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ジェット 1 本あたりのエネルギー分解能の評価 . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーの和 (E1 + E2 ) を用いる方法
7.5.2 ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーを区別して評価する方法 . . .
7.5.3 ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーを区別せずに足し上げて評価する方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
56
56
57
57
58
60
62
62
63

第 8 章 研究状況報告
8.1 ﬁtter の動作確認 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Armijo の条件と二次補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 hard conctraint の確認 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 soft constraint の確認 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 ﬁt object と soft constraint の幅の関係 . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 ﬁt object の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 ﬁt object の幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 ジェット角度分解能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 ジェットエネルギー分解能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 ジェット 1 とジェット 2 を区別して評価 . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 ジェット 1 とジェット 2 を区別せず評価 . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 ﬁt object 関数の評価基準である、σE = 2[GeV] の正規分布 . . . . .
8.4 hard constraint と soft constraint の交点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
65
65
69
69
71
72
72
75
76
77
78
79
80

第 9 章 結果と今後の課題

82

付 録 A Appendix

83

7.4
7.5

ii

64

図目次

標準理論に含まれる素粒子 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
複素スカラー場のポテンシャル項 [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ATLAS 実験におけるヒッグス質量の測定精度 [8] . . . . . . . . . . . . . .
ATLAS 実験における崩壊形式別の信号強度の測定精度 [8] . . . . . . . . .

1
4
7
8

2.1 ILC の外観 [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 電子源の詳細 [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 陽電子源の位置 [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 陽電子源の詳細 [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 ダンピングリングの配置 [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 主線形加速器の配置 [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 ILD(左) と SiD(右)[5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 ILD 崩壊点検出器の内部構造 [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 TPC[5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 ILD 測定器内の電磁カロリーメーター [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 シリコン型 (左) とシンチレーター型 (右) の電磁カロリーメーター [5] . . .
2.12 uds ジェットのエネルギー分解能 [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
12
13
13
14
15
15
16
17
18
18
19

1.1
1.2
1.3
1.4

3.1

始状態放射によるエネルギー損失 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1
5.2
5.3
5.4

最急降下法 (赤) とニュートン法 (青) の収束の違い [20] . . . . . . . . . . .
ニュートン法と準ニュートン法の収束の違い . . . . . . . . . . . . . . . . .
Armijo の条件 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
マラトス効果 [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
38
39
40

6.1 信号事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 ZH・WW 融合・ZZ 融合のファインマン図 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 ZH・WW 融合・ZZ 融合の断面積比較 [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 b ジェットエネルギー分解能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 ννqq 事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 ℓνqu qd 事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 f f 事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 eγ → νqq 事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Y 値によるジェットの本数の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 先行研究における事象選択 (1-9) 後の全事象の再構成 2 ジェット質量 (w/okinematic ﬁt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
43
43
44
45
45
45
45
48

iii

49

図目次

図目次

6.11 本研究における事象選択 (1-11) 後の全事象の再構成 2 ジェット質量 (w/okinematic ﬁt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.12 b ジェットのエネルギー毎の θ を正規分布でフィットしたときの標準偏差 σθ 50
6.13 b ジェットのエネルギー毎の ϕ を正規分布でフィットしたときの標準偏差 σϕ 51
6.14 b ジェットのエネルギー毎の ϕ を正規分布でフィットしたときの標準偏差σϕ × sin θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.15 b ジェットのジェットエネルギー毎の正規分布による θmeas − θtrue のフィット結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52()
6.16 b ジェットのジェットエネルギー毎の正規分布による sin θtrue ϕmeas − ϕtrueのフィット結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.17 Z ボソンの質量 (MC 情報) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.18 ヒッグス粒子の質量 (MC 情報) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1
7.2
7.3

7.4

b ジェットの ((E true − 重心系衝突エネルギーの半分)/重心系衝突エネルギ
ーの半分, (E meas − E true )/E true ) の散布図 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E1meas + E2meas の分布 (ννH → ννbb サンプル (DBD)) . . . . . . . . . . .
ﬁt object を E1 と E2 共に GPET 関数で ﬁt した場合の E1 (上段) と E2 (下段) の分布の違い (b ジェットサンプルのビームエネルギーは左から 40 GeV、
91 GeV、200 GeV、350 GeV、500 GeV) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ﬁt object を E1 と E2 共に GPET 関数で ﬁt した場合の E1 (上段) と E2 (下段) の分布の違い (b ジェットサンプルのビームエネルギーは左から 40 GeV、
91 GeV、200 GeV、350 GeV、500 GeV) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

収束判定を満たすまでのイテレーション数:Armijo の条件 (左) と二次補正(右):有 (赤) と無 (黒) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 ２ジェット質量 (w/ kinﬁt):Armijo の条件 (左) と二次補正 (右):有 (赤) と無(黒) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 消失質量 (w/ kinﬁt):Armijo の条件 (左) と二次補正 (右):有 (赤) と無 (黒) .
8.4 エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネル
ギー区別なし) の場合の信号事象の第 69 事象の χ2 および hard constraintの分布 (大域的最適化無) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 エネルギー ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー
区別なし) の場合の信号事象の第 69 事象の χ2 および hard constraint の分
布 (大域的最適化有) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 信号事象と背景事象における kinematic ﬁt 前後のヒッグス質量 . . . . . . .
8.7 信号事象と背景事象における kinematic ﬁt 前後の Z ボソン質量 . . . . . .
8.8 信号事象の kinematic ﬁt 後の消失質量とジェット 1 とジェット 2 のなす角の測定値の 2 次元分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 kinematic ﬁt 後の消失質量の ﬁt object の幅による比較 . . . . . . . . . . .
8.10 正規分布の標準偏差が 5GeV、10GeV、15GeV のときの χ2Likelihood の分布 .
8.11 正規分布の標準偏差が 5GeV、10GeV、15GeV のときの純度と効率 . . . .
8.12 正規分布の標準偏差が 1GeV から 5GeV まで 1GeV 刻みで見たときの純度と効率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
62

63

64

8.1

iv

66
66
67

68

68
69
70
70
72
73
74
75

図目次

図目次

8.13 角度分解能を評価した場合 (赤) と固定した場合 (黒) の純度と効率 . . . . .
8.14 エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネル
ギー区別あり) の場合の信号事象の第 1 事象の χ2 および hard constraint の
分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.15 エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネル
ギー区別あり) の場合の χ2Likelihood の分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.16 エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネル
ギー区別なし) の場合の信号事象の第 1 事象の χ2 および hard constraint の
分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.17 エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネル
ギー区別なし) の場合の χ2Likelihood の分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.18 エネルギーの ﬁt object が正規分布 (σE = 2[GeV]) の場合の信号事象の第 1
事象の χ2 および hard constraint の分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.19 エネルギーの ﬁt object が σE = 2[GeV] の正規分布の場合の χ2Likelihood の
分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.20 正規分布 (σE = 2[GeV])、ジェット 1 とジェット 2 を区別して評価した
GPET 関数、ジェット 1 とジェット 2 を区別せず評価した GPET 関数による純度と効率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.21 エネルギーの ﬁt object が正規分布 (σE = 2[GeV]) の場合の信号事象の第14 事象の χ2 および hard constraint の分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.22 エネルギーの ﬁt object が正規分布 (σE = 2[GeV]) の場合の信号事象の第23 事象の χ2 および hard constraint の分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

A.1 選択なし . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 条件１まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 条件２まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 条件３まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 条件 4 まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 条件 5 まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 条件 6 まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 条件 7 まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9 条件 8(btag1:b クォーク) まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10 条件 8(btag2:反 b クォーク) まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.11 条件 9 まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.12 条件 10 まで . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83
84
84
85
85
86
86
87
87
88
88
89

v

77
77

78
78
79
79

80
81
81

表目次

2.1

ILD と SiD の違い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1

本研究の成果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.1
6.2

ヒッグス崩壊分岐比 (SM)(MH = 125[GeV])[13] . . . . . . . . . . . . . . . 44
事象選択 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

vi

第 1 章 背景
素粒子物理学は微視的世界を記述する学問であり、標準理論は現在実験的に確認された理論で最も成功した理論である。標準理論は 2012 年、欧州原子核研究機構 (CERN) でヒッ
グス粒子の発見を以て完成したと言える。本章では標準理論がいかなる理論であるかの概要を示し、それがいかほどの精度で検証されているのか、標準理論の問題点を記述する。

1.1

標準理論

標準理論は以下の 17 種類の粒子を含んでいる。

図 1.1: 標準理論に含まれる素粒子 [1]標準理論は SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y ゲージ対称性に基づく理論である。4 つの基本相互作用である、強い相互作用、電磁相互作用、弱い相互作用、重力相互作用のうち、重力相互作用は標準理論に取り入れられておらず、重力相互作用を含めた場の量子論は現状では未完成である。標準理論では強い相互作用と電弱相互作用 (電磁相互作用と弱い相互作
用を統一した相互作用) の統一はなされていない。
素粒子はいくつかの特徴によって分けられている。まず、スピン角運動量が整数のボース粒子 (ボソン) と半整数のフェルミ粒子 (フェルミオン) に分かれる。ボース粒子は同じ

1

第 1 章 背景

1.1 標準理論

量子状態にいくつも占められ、相互作用を媒介する。光子は電磁相互作用を、グルーオン
は強い相互作用を、W ± ボソンや Z ボソンは弱い相互作用をそれぞれ媒介する。ヒッグス粒子は他の素粒子に質量を与える。これは後述する。一方、フェルミ粒子は同じ量子状態
を複数の粒子が占めることを許されないため、物質を形成することができる。標準理論に含まれるフェルミ粒子は全てスピン角運動量 1/2 であり、強い相互作用をするクォークと強い相互作用をしないレプトンに分けられる。クォークは電荷が+2/3 のアップクォーク(u)、チャームクォーク (c)、トップクォーク (t) というアップ型クォークと電荷が-1/3 のダウンクォーク (d)、ストレンジクォーク (s)、ボトムクォーク (b) というダウン型クォー
クに分かれ、レプトンは電荷を持たない電子ニュートリノ (νe )、µ ニュートリノ (νµ )、τ
ニュートリノ (ντ ) と電荷が-1 の電子 (e)、µ 粒子 (µ)、τ 粒子 (τ ) という荷電レプトンに分かれる。このうちニュートリノは標準理論の枠組では弱い相互作用しかしない。以上のよ
うにクォーク 6 種類およびレプトン 6 種類をそれぞれ電荷ごとにアップ型クォーク、ダウン型クォーク、ニュートリノ、荷電レプトンの組 3 種類ずつに分けた。それぞれの組ごとに見ると、３種類の粒子は質量が異なり、この質量階層を世代という。現在では世代は少なくとも 3 世代あることが分かっているが、それ以上の世代があるのか、なぜ質量階層構
造を持つのかは明らかでない。強い相互作用をするクォークは色 (color) という量子数を持ち、SU(3)C 三重項で記述される。SU(3) は 8 つの生成子を持ち、それが強い相互作用
を媒介するグルーオン 8 種類に対応する。弱い相互作用においては空間反転対称性が破れていることが分かっており、これはゲージ場 SU(2)L が素粒子の右巻き成分と左巻き成分のうち左巻き成分のみを変換し、右巻き成分を変換しないことで説明される。この空間反転変換で変化する性質をカイラリティーといい、右巻きと左巻きで区別される。本来フェルミ粒子は右巻き、左巻きのカイラリティーが異なる別々の質量を持たない粒子であった
はずが、ヒッグス粒子がスピノルの右巻き成分と左巻き成分を混合させることで質量を持つことができた。W ± ボソンはスピノルの左巻き成分としか結合しない。(Z ボソンは後述するように光子と混合しているので、右巻き成分とも結合しうる) これはスピノルの左巻き成分 ψL が SU(2)L 二重項
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
uL
cL
tL
νeL
νµ L
ντ L
,
,
,
,
,
(1.1)
dL
sL
bL
eL
µL
τL
としてラグランジアンに現れるのに対し、スピノルの右巻き成分 ψR は SU(2)L 一重項

uR , dR , cR , sR , tR , bR , eR , µR , τR

(1.2)

としてラグランジアンに現れることで実現される。結果として、カイラリティーにより弱い相互作用の抑制が起こる。

1.1.1

ゲージ理論

標準理論において、電磁相互作用と弱い相互作用は SU(2) × U(1) 局所ゲージ不変性を満たすように導入される。また、強い相互作用は SU(3) 局所ゲージ対称性を満たすように導入される。すなわち、SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y ゲージ変換でラグランジアンは不変ということである。この要求により相互作用を媒介するゲージボソン (グルーオン、光子、W ±ボソンや Z ボソン) が導入される。しかし、ゲージボソンの質量項はゲージ対称性を破る

2

第 1 章 背景

1.1 標準理論ために導入することができない。同様にフェルミ粒子の質量項も左巻き粒子は SU(2) 二重項、右巻き粒子は SU(2) 一重項として変換し、ゲージ変換性が異なるために質量項を導入することができない。これは、後で議論する。

1.1.2

標準理論におけるヒッグス機構

ヒッグス機構は局所ゲージ対称性を保ちながらスカラー場に有限の真空期待値を持たせることで、ゲージボソンやフェルミ粒子が質量を獲得する仕組みを説明できる。最も単純なヒッグス機構は複素スカラー場二重項を用いて構成される。ヒッグス機構は３種類のゲージボソン W ± と Z に質量を持たせるために縦偏極の自由度を与えねばならない。ヒッ∗
グス場と合わせて自由度は 4 となる。また、W ± の縦偏極自由度となる荷電場 ϕ+ = ϕ−と Z の縦偏極自由度とヒッグス場となる中性場 ϕ0 を成分に持つ。
(
)
(
)
1
ϕ+
ϕ1 + iϕ2
ϕ=
=√
(1.3)
ϕ0
ϕ3 + iϕ42
ここで、複素スカラー場のラグランジアンはL = (∂µ ϕ)† (∂ µ ϕ) − V (ϕ)(1.4)

ただし、ポテンシャル項 V (ϕ) は以下のように書ける。

()2
V (ϕ) = µ2 ϕ† ϕ + λ ϕ† ϕ

(1.5)

ここで、ポテンシャルが最小値を持つことから λ > 0 である。また、素粒子が質量を持っていなかった時代の宇宙では µ2 > 0 であり、真空は ϕ† ϕ = 0 であった (図 1.2(a)) と考えられているが、宇宙が冷えるにつれて、µ2 < 0 に変化し、素粒子が後述するように質量を獲得するに至った。真空は

1v2µ2ϕ† ϕ = (ϕ21 + ϕ22 + ϕ23 + ϕ24 ) =
=−
2
2
2λ

(1.6)

となり (図 1.2(b))、無限に縮退した最小値を持つようになった。ここで、v は真空期待値という。ただし図 1.2 は ϕ が実スカラー場一重項であるとして、1 次元で単純化して描いている。

3

第 1 章 背景

1.1 標準理論

図 1.2: 複素スカラー場のポテンシャル項 [12]式 (1.6) を満たすある一点が選ばれれば、これが自発的対称性の破れである。自発的対称性の破れの後も光子を質量 0 に保つためには、光子に縦偏極の自由度を与えてはならな
いから、ϕ0 が有限の真空期待値 v を持たねばならない。
( )10⟨0 | ϕ | 0⟩ = √
(1.7)
v
2
と選択すると、

1
ϕ(x) = √2(

ϕ1 (x) + iϕ2 (x)v + η(x) + iϕ4 (x)

)
(1.8)

とおける。ここで、ϕ1 (x)、ϕ2 (x)、ϕ4 (x) は W ± ボソンと Z ボソンの縦偏極の自由度とでき、今後理論に現れることはないため取り除くと、η(x) だけがスカラー粒子として実在であり、これを h(x) とおく。後に分かるように、この粒子は他の素粒子に質量を与える。
h(x) はヒッグス場と呼ばれる。ヒッグス二重項は()
10
ϕ(x) = √(1.9)
v + h(x)2と書ける。SU(2)L × U(1)Y 局所ゲージ対称性を理論に課すと、微分は共変微分に置き換えられる。
Y∂µ → Dµ = ∂µ + igW T · Wµ + ig ′ Bµ(1.10)
2
ここで、T = 12 σ(σ:Pauli 行列) は SU(2) の 3 生成子であり、Y は弱超電荷である。gW はSU(2)L 結合定数、g ′ は U(1)Y 結合定数である。弱アイソスピンの第３成分 IW と電荷 Qを用いると、弱超電荷 Y は(3)
Y = 2(Q − IW )(1.11)(3)と表せる。ヒッグス二重項は式 (1.11) より、Y = 1 であるから、

[
] (
)
(3)
(1)
(2)
′B
2∂
+
ig
W
+
ig
ig
W
−
iW
µ
µ
µ
W
1  µ [ W µ0]Dµ ϕ = √(1.12)
(1)
(2)
(3)
v+h
2 2
igW Wµ + iWµ2∂µ − igW Wµ + ig ′ Bµ4

第 1 章 背景

1.1 標準理論

であるから、(Dµ ϕ)† (Dµ ϕ)
1= (∂µ h) (∂ µ h)
2
(
)† (
)
1 2
µ
µ
+ gW
(v + h)2 Wµ(1) − iWµ(2)W (1) − iW (2)(1.13)
16
(
)
(
)
†
1 2
µ
µ
(v + h)2 Wµ(1) + iWµ(2)+ gW
W (1) + iW (2)
16
(
)† (
)
1
µ
+ (v + h)2 gW Wµ(3) − g ′ BµgW W (3) − g ′ B µ
8
(
)
(1)
(2)
ここで、第一項が h の運動項であり、第二項、第三項は Wµ± = √12 Wµ ∓ iWµの質
gW Wµ −g ′ Bµ(3)√2g ′ Wµ +gW Bµ
(3)

√2

の質量項を

(Dµ ϕ)† (Dµ ϕ)
1= (∂µ h) (∂ µ h)
2
1 2
1 2
†
µ
†
µ
(v + h)2 Wµ+ W ++ gW (v + h)2 Wµ+ W + + gW
8
8
)(
)
(
2 +g ′2(v+h)2 (gW
(
)
)
1
Zµ
O
4
+
Z µ Aµ2AµOO(1.14)

量項を含む。また、第四項は Zµ =gW +g ′2

および、Aµ =gW +g ′2含む。

したがって、

1
mW = vgW√ 2
1
2 + g ′2mZ = v gW
2mγ = 0(1.15)(1.16)(1.17)となり、局所ゲージ対称性を破ることなく光子に質量を与えずに W ± ボソン、Z ボソンに質量を与えることができる。ここで、Weinberg 角 θW をとおけば、標準理論はmW= cos θW
mZ

(1.18)g′= tan θW
gW

(1.19)

を予想する。式 (1.15) を用いれば、mW および、gW を測定することで、真空期待値

v = 246 [GeV](1.20)

を得る。
同様にフェルミ粒子に質量を持たせることができる。フェルミ粒子の質量項はヒッグス場を考慮しなければ左巻きスピノル ψL と右巻きスピノル ψR を用いて()
−mψψ = −m ψ R ψL + ψ L ψR
(1.21)

5

第 1 章 背景

1.1 標準理論と表せそうであるが、ψL は SU(2)L 二重項、ψR は SU(2)L 一重項であるから、ゲージ変換性が異なり、質量項をこのように構成することはできない。電子質量の生成は、SU(2)L × U(1)Y
不変な以下の項
(
)
[
(
) ]
(
)
(
) ν
ϕ+
e
∗
Le = −GeeR + eR ϕ− ϕ0(1.22)
νe e
L
ϕ0
e
L

をラグランジアンに加えることで実現できる。自発的に対称性が破れると、
(
)
1
0
ϕ= √
v+h
2

(1.23)と真空を選び直せるから、

1
1
Le = − √ Ge v (eL eR + eR eL ) − √ Ge (eL eR + eR eL ) h
2
2(1.24)

ここで、電子質量を me と置けば、

Ge =

√ me
2
v

であるから、

Le = −me ee −(1.25)meeehv(1.26)

式 (1.32) の第一項が求めていた電子の質量であり、第二項は電子とヒッグス粒子の湯川結合を表す。フェルミ粒子の質量はヒッグス粒子との湯川結合定数に比例することが分かる。ただし、湯川結合定数は任意にとれるから、式 (1.25) から電子の質量を予言することはできない。
有限の真空期待値はヒッグス二重項の中性場 ϕ0 にのみ現れるから、SU(2)L 二重項の下成分に現れるフェルミ粒子 (荷電レプトン、ダウン型クォーク) には質量を持たせられるが、上成分に現れるフェルミ粒子 (ニュートリノ、アップ型クォーク) には質量を与えられない。ニュートリノの質量起源は未解明であるため、ここでは議論しない1 。SU(2) の下
で、
)
(
ϕ+
(1.27)
ϕ=ϕ0と厳密に等しく変換する共役場(
ϕc = −iσ2 ϕ∗ =

∗

ϕ0
ϕ−

)

1
=√
2

(

−ϕ3 + iϕ4
ϕ1 − iϕ2)(1.28)

を用いると、アップクォーク質量の生成は
[
( ∗ )
( ) ]
(
)
(
) u
ϕ0
uR + uR ϕ0 ϕ+
Lu = Guu dLϕ−d(1.29)

L

1

中性フェルミ粒子であるニュートリノはディラック型質量を持つかマヨラナ型質量を持つか決着がついていない。荷電フェルミ粒子はディラック型質量を持つ。

6

第 1 章 背景

1.2 実験による標準理論の検証

をラグランジアンに加えることで実現し、同様に
(
)
1
v+h
ϕc = − √02(1.30)

として、対称性を破ることで、

1
1Lu = − √ Gu v (uL uR + uR uL ) − √ Gu (uL uR + uR uL ) h
2
2(1.31)

ここで、アップクォーク質量を mu と置けば、

Lu = −mu uu −

mu
uuh
v

(1.32)と電子と全く同様にアップクォークの質量項と湯川結合項となる。
このようにヒッグス場が本来別の粒子である左巻きフェルミ粒子と右巻きフェルミ粒子を混合させることで、質量を生む。

1.2

実験による標準理論の検証

大型ハドロン衝突型加速器 (LHC) では 2012 年にヒッグス粒子が観測され、現在標準理論と無矛盾な結果が得られている。LHC ではヒッグス粒子の観測が続けられており、2019年現在、H → bb の信号強度は 95% 信頼水準で標準理論の 0.95 ± 0.22 倍である。LHC では現在 Run2 から Run3 への移行を行っており、Run3 では重心系エネルギー 13-14TeV で稼働し、さらにルミノシティーを向上させて稼働させる HL-LHC も計画されている。以下に ATLAS 実験におけるヒッグス質量の測定精度および信号強度の現在の結果を以下に
示す。

Total

ATLAS
-1

-1

Run 1: s = 7-8 TeV, 25 fb , Run 2: s = 13 TeV, 36.1 fb

Total

Stat. only
(Stat. only)

Run 1 H → 4l

124.51 ± 0.52 ( ± 0.52) GeV

Run 1 H → γ γ

126.02 ± 0.51 ( ± 0.43) GeV

Run 2 H → 4l

124.79 ± 0.37 ( ± 0.36) GeV

Run 2 H → γ γ

124.93 ± 0.40 ( ± 0.21) GeV

Run 1+2 H → 4l

124.71 ± 0.30 ( ± 0.30) GeV

Run 1+2 H → γ γ

125.32 ± 0.35 ( ± 0.19) GeV

Run 1 Combined

125.38 ± 0.41 ( ± 0.37) GeV

Run 2 Combined

124.86 ± 0.27 ( ± 0.18) GeV

Run 1+2 Combined

124.97 ± 0.24 ( ± 0.16) GeVATLAS + CMS Run 1

125.09 ± 0.24 ( ± 0.21) GeV

123

124

125

126

127

128
mH [GeV]

図 1.3: ATLAS 実験におけるヒッグス質量の測定精度 [8]7第 1 章 背景

1.3 標準理論の問題点

ATLAS

σ(obs.)

mH = 125.36 GeV

σ(exp.)

H → γγµ = 1.17+-0.28
0.26
obs
µ

exp

= 1.00+-0.25
0.23

obs

= 1.46+-0.40
0.34

exp

= 1.00+-0.31
0.26

obs

= 1.18+-0.24
0.21

exp

= 1.00+-0.21
0.19

obs

= 0.63+-0.39
0.37

exp

= 1.00+-0.41
0.38

obs

= 1.44+-0.42
0.37

H → ZZ* µµ
H → WW* µµ
H → bbµµH → ττµµ
H → µµTotal uncertainty± 1σ on µexp= 1.00+-0.36
0.32

µ

obs

= -0.7+-3.7
3.7

µ

exp

= 1.0+-3.4
3.5

obs

= 2.7+-4.6
4.5

H → Zγµµ exp = 1.0+-4.2
4.2
Combinedµµ

obs= 1.18+-0.15
0.14

exp

= 1.00+-0.13
0.12

s = 7 TeV, 4.5-4.7 fb

-1

−1

0

1

2

3

Signal strength (µ)

s = 8 TeV, 20.3 fb-1

図 1.4: ATLAS 実験における崩壊形式別の信号強度の測定精度 [8]1.3標準理論の問題点

1.1 で述べた標準理論は現在最も成功した理論ではあるが、完成した理論とは考えられていない。以下のような問題点があり、超対称性理論や余剰次元などを用いて説明しようという試みもある。
• ニュートリノ振動
ニュートリノはフレーバーが変化し (ニュートリノ振動)、質量を持つことが知られるようになった。しかし、右巻きニュートリノを含まない標準理論ではニュートリノの質量を説明することもニュートリノ振動を説明することもできない。またニュートリノはフレーバー固有状態と質量固有状態が強く混合しており (ポンテコルボ・牧・中川・坂田行列)、8

第 1 章 背景

1.3 標準理論の問題点

これはクォークの質量固有状態とフレーバー固有状態の弱い混合 (カビボ・小林・益川行
列) とは対照的である。

• 重力相互作用が含まれていない標準理論では、基本相互作用のうち、強い相互作用、電磁相互作用、弱い相互作用を含むが、重力相互作用は取り入れられていない。理由は重力相互作用が他の相互作用より極めて小さいということだが、プランクエネルギー (≃ 1019 [GeV]) ほどのエネルギー領域で他の相互作用と同等の大きさになると考えられている。したがって、統一に期待がもたれるわけであるが、重力相互作用は繰り込みができないという問題がある。これを解決するた
めに超弦理論が期待されているが、低エネルギー領域でどのような理論を実現するかを予言できていない。

• 電化の量子化が説明できない
素粒子の電荷は量子化されているが、標準理論では、弱超電荷 Y の固有値は任意であり、
式 (1.11) から電荷の量子化を説明できない。

• 階層性問題
標準模型は典型的なエネルギースケールが MW ≃ 80 [GeV] ほどであるが、ずっと高エネ
ルギーのスケールで何らかの標準理論を超える新しい物理にとって変わられると考えられる。こうした階層性を自然に維持しようとして例えば超対称性理論などが考えられている。

• パラメータを予言できない
標準理論にはヒッグス粒子の質量や真空期待値、クォークや荷電レプトン質量、ゲージ結
合定数、カビボ・小林・益川行列 (ニュートリノ質量、ポンテコルボ・牧・中川・坂田行
列) の予言できないパラメータがある。ゆえに、もっと大きい対称性の破れとして標準理論が現れていると考えられている。

• 暗黒物質・暗黒エネルギー
宇宙のエネルギー全体に占める通常の物質 (標準理論の素粒子から構成される物質) はわず
かに 4%ほどであるという。残りは 23%は暗黒物質によるエネルギー (質量) であり、73%が暗黒エネルギーで占められるという。こうした暗黒物質の候補が余剰次元理論などで提供されている。

9

第 2 章 国際リニアコライダー計画
素粒子実験は現状の物理模型の検証および新たな物理模型の発見という目的は同じくして、加速器実験、非加速器実験や加速器実験でも円形加速器、線形加速器といった様々なアプローチがある。国際リニアコライダー (International Linear Collider) 実験は電子・陽電子衝突型の次世代線形加速器であり、日本の岩手県・宮城県にまたがる北上山地に建設が計画されている。まず、重心系衝突エネルギー 250 GeV で稼働し、500GeV、1TeV あ
るいはそれ以上のエネルギーへの拡張も期待されている。まず、250GeV でヒッグス粒子の精密測定を行い、さらなる高エネルギーでトップクォークや暗黒物質の探索を行うことが計画されている。

2.1

ILC と LHC

現在スイスジュネーブ近郊で稼働する全長 27km の円形加速器に大型ハドロン衝突型加速器 (Large Hadron Collider) がある。これは陽子と陽子を重心系エネルギー 13 TeV で衝突させて、世界最高エネルギーでの観測を実現している。陽子は電子より約 1840 倍重
いため、高い重心系エネルギーを実現できる。しかし、陽子の内部構造が複雑で、強い相互作用に伴うハドロン化の影響により、事象選択が難しい。一方、電子、陽電子は陽子と異なり、内部構造を持たないと現状考えられており、比較的クリーンな衝突を実現できるが、シンクロトロン放射1 によって、荷電粒子は運動量の大きさのInternational Linear Collider 4 乗に比例し質量の 4 乗に反比例するエネルギーを失う[24] ため、質量の小さい荷電粒子を円形加速器で加速する• 電⼦・陽電⼦衝突型250
GeV ヒッグスファクトリー
と、莫大なエネルギー損失が生じ経済的に困難が生じる。そこで、質量の小さい電子や陽• 全⻑20 kmの次世代線形加速器 →将来拡張可能
電子を加速するのにはシンクロトロン放射が発生しない線形加速器が適している。ILC は• ヒッグス粒⼦等の様々な精密測定を⾏うことが可能
線形の電子陽電子衝突型加速器であるから、シンクロトロン放射を発生させず、クリーンな環境で精密な測定ができると期待されている。また、始状態の運動学的条件が使用可能• 電⼦・陽電⼦をそれぞれ偏極できる→特定の事象である点、エネルギーの拡張が全長を伸ばすことで可能である点、後述するようにビームを抽出・抑制のスピン偏極度を変えられる点をが ILC の利点である。

国際リニアコライダー計画• 始状態の運動学的条件が使⽤可能

20

2019/12/24

ILCにおけるee → ZH → ννbb過程を⽤いたヒッグス結合定数の測定精度2

図 2.1: ILC の外観 [3]1

シンクロトロン放射は磁場により荷電粒子が軌道を曲げられることで電磁波を放射すること。

10

第 2 章 国際リニアコライダー計画

2.2

2.2 スピン偏極

スピン偏極

ILC は前述したように、電子ビームおよび陽電子ビームの偏極率を変えられる。偏極率の定義は以下の通りである。
NR − NL
P =(2.1)
NR + NL
ただし、NR はヘリシティーが右巻き (右偏極粒子) の数、NL はヘリシティーが左巻き (左偏極粒子) の数である。ここで、ヘリシティーは粒子のスピンの運動量方向への射影と運動量の向きが同じときに右巻き、逆のときに左巻きと定義され、粒子の質量が 0 であるときはカイラリティーに一致する。ILC では電子と陽電子の偏極率をそれぞれ変えられる。
それぞれの偏極率をまとめて、(P− , P+ )(2.2)
と記す。スピン偏極率を変えられることで以下の利点がある。

• 反応断面積を調節できる。
• 弱い相互作用によって起こる事象を促進、抑制できる。

2.3

ルミノシティー

[]ルミノシティー L barn−1 s−1 はビームの強度 (エネルギーではない) を表す指標であ[ ]り、断面積 σi [barn] と単位時間あたりの事象数 Ni s−1 を用いて、[ ][]Ni s−1 = σi [barn] L barn−1 s−1(2.3)と表される。(i は事象を表す)barn = 10−28 m2 である。ここで、ルミノシティーは以下のようにも書ける [7]。
nb N 2
L = frepHD(2.4)
4πσx σyここで、frep は 1 秒あたりの輸送回数、nb は 1 輸送あたりのバンチ数、N は 1 バンチあたりの粒子数、σx や σy は衝突点における垂直方向および水平方向のビームサイズである。HDはビームビーム効果などの影響を補正する係数である。ビームサイズを限りなく小さくす
れば、ルミノシティーを増やすことができるように思えるかもしれない。しかし、ビーム
ビーム効果という、ビーム同士の電磁相互作用による光子放出に伴う、ビームエネルギーの減少、背景事象の発生があり、ビームビーム効果でビームの 1 粒子あたりが放出する光1に比例する [7] から、ビームサイズを限りなく小さくすればビーム
子のエネルギーは σx +σy
1を保ったまま、ルミノシティー
ビーム効果の影響が大きくなってしまう。そこで、 σx +σy2を大きくするには、σx ≫ σy とすればよく 、ビームを偏平にしている。ILC での重心系衝突エネルギー 250GeV におけるビームサイズは σx = 729 [nm]、σy = 7.7 [nm] である [5]。
[]また、積分ルミノシティー Lint barn−1∫
Lint = L(t)dt(2.5)
が定義されており、必要な統計量の尺度として用いられる。
2

後述するようにダンピングリングでビームを偏平にする際に、ダンピングリングが地表平面上にあるため、σx が σy より大きくなる。

11for the Main Linacs in the flat-topography design variant.
The need for the extensive surface infrastructure does not make KCS a cost-effective solution forthe mountainous topography, for which DKS has been adopted.
Figure 2.6
第 2 章 国際リニアコライダー計画
The Klystron Cluster
Scheme (KCS).

5220)25
83*5$'(

加速器

6+$)7

2.4

2.4 加速器.&6%8,/',1*
./<675216

ILC の加速器は図 2.1 にもあるように、主に次の 4 つの部分からなる。
&72

&72

• 電子源

&72

&72

/,1$&7811(/• 陽電子源For both KCS and DKS, the local power-distribution systems are essentially identical, other than

• ダンピングリング
the numberof cavities being driven. A key requirement is the ability to tune remotely both the phaseand forward power to each individual cavity, thereby supporting the ±20% gradient spread in the• 主線形加速器
accelerator, and thereby maximising the average available gradient.
Electron
電子源 SourceThe
polarised
electron source is located in the central-region accelerator tunnel together with the
ILC
では偏極率の高い電子ビームを生成できる。レーザー源からの偏極したレーザーは
positron
Beam Delivery
System. The
beam is produced by a laser illuminating a strained GaAs
DC 銃において歪GaAs/GaAsP
超格子光電陰極に照射されると、通常量子効率最大1%
photocathodein a DC85%
gun,の偏極率の電子を生成する。この後偏極率や電荷が測られ、常providing the bunch train with 90 % polarisation. Two independent
程度で、少なくとも
laser
and gun systems provide redundancy.
structures are used
for bunchingand
伝導加速空洞でバンチ長が半値全幅
1nsNormal-conducting
から 20ps 程度まで圧縮されて
76MeV
まで加速
pre-acceleration
to 76 MeV, after which the beam is accelerated
toまで加速され、スピンおよび
5 GeV in a superconducting linac
される。その後エネルギーを揃えて超伝導加速空洞で
5GeV
using
21 standard ILC cryomodules. Before injection into the damping ring, superconducting
solenoids
エネルギーを制御された上で、ダンピングリングに入射する。こうして、
1 バンチあたり10
rotatethespinvectorinto
thevertical,andaseparate
superconducting
RF
structure
is
used
for
energy2.0 × 10 個の電子を含んだ 1312 バンチが 5Hz でダンピングリングへと入射していく。陽compression.
The layout of the polarised electron source 2.2
is shown
in Fig. 2.7.に示す。
電子源からの入射も同様である。電子源の詳細を図'DPSLQJ5LQJ)DUDGD\&XS
DQG0RWW/EDQG E   3RODULPHWHU
1&WXQHXSGXPS
7:%XQFKLQJ:N:
DQG3UH$FFHOHUDWLRQ
6&H/,1$& *H9(QHUJ\&RPSUHVVLRQ
6SLQ5RWDWLRQ[0:VSDUH
6&WXQHXSGXPS N:'&*XQ [[0:(QHUJ\&ROOLPDWLRQ 0: 0: 0:
9HUWLFDO&KLFDQH
63$5(0+]0+]

2.3.2

6+%
Q&

Q&

'ULYH
/DVHU
DERYH
*URXQG

NH90H9

0H9*H9

Figure 2.7. Schematic View of the Polarised Electron Source.

図 2.2: 電子源の詳細 [4]陽電子源
陽電子は図 2.3 の示すように主線形加速器から陽電子源に入射した 150GeV 250GeV の電子から生成される。基本となるアンジュレーター方式では陽電子源に入射した電子は螺
旋型アンジュレーター内でシンクロトロン放射を起こし、円偏光の光子を生成する。光子は回転する厚さ1.4cm のチタン合金の標的に当たり、電子と陽電子を電磁シャワーとして
Accelerator:
Baseline Design
ILC Technical Design Report: Volume 3, Part II1213

m description

For centre-of-mass energy below 300 GeV, the machine operates in 10 Hz mode wherea 5 Hz 150 GeV beam with parameters as shown in the table is a dedicated drive beam
positron source.
‡
K is lowered for beam energies above 150 GeV to bring the polarisation back to 30 % without adding a photon collimator before the target.

第 2 章 国際リニアコライダー計画

2.4 加速器放出する。陽電子の捕集効率を上げるためにパルスとして成形され、捕集 L バンド RF 空
ayout of the electronside of the ILC is shown in Fig. 5.1, including the relative position of the洞によって 125MeV まで加速される。双極磁石で陽電子と電子が分離されてシケインで陽systems of the positronsource. Figure 5.2 is a schematic of the positron source beamlines with
電子、電子、光子は異なる経路に分離される。陽電子のみが常伝導加速空洞で 400MeV まsion indicated, split
into two sections [85]. The upper section
the beamlines from the end
で加速され、その後、超伝導増幅線形加速器で5GeVshowsまで加速される。スピンおよびエネ
ctron main linac ルギーを制御された上で、ダンピングリングに入射する。しかしこうして得られる陽電子
to the end of the 400 MeV positron pre-accelerator. The lower section shows
ビームの偏極率は 30%ほどであり、アンジュレーターを 147m から 231m に伸ばすことで
eamlines from the end of the pre-accelerator to the end of the positron-source beamline or the
偏極率を 60%程まで増やせる (アンジュレーターの後にコリメーターで誤った偏極の光子
ning of the dampingring.
を吸収した場合)。陽電子源の詳細を図 2.4 に示す。

5.1
of Positron
relative to thee-/e+ damping ring, ~3.2km

300m radius

RTML, 7mrad
Undulator& e+ Sourcee- main linac beamline~1.1km

~11.4kmIP~1.3km~2.2km
5.3. System description

The electron beam from the main linac passes
through the undulator and a dogleg before
5.3.2
Positron production & capture 図 2.3: 陽電子源の位置 [4]nuing to the IP for collisions. These beamlines are labeled as EUPM, EUND and EDOGL in
2. For lower energy operations (CM=200 GeV, 230 GeV and 250 GeV), a dedicated 5 Hz 150 GeV
beam, alternating with the lower energy beam for physics, is used for positron production. Afterg through the EUND beamline to generate photons, this 150 GeV drive beam is then sent to adump in the beamline EPUNDDL.

The photon beam produced by the electron beam drifts through the section UPT and strikes am thick Ti-alloy target to produce an electromagnetic shower of positrons and electrons. The

hnical Design Report: Volume 3, Part II

Figure 5.4. Schematic layout of Positron Source. Beamline sections are defined in Section 5.3.

2.4: for
陽電子源の詳細[4] production, capture and transport to
Figure 5.4 shows the schematic図layout
the positron-beam
the damping rings. The photon beam generated from the helical undulator is incident on the rim of arotating titanium target (see Section 5.5.2) with 0.4 radiation-lengths thickness. The incident photon
beam has transverse size of ≥1 mm rms and electron and positron emerging from the downstreamside of the target are captured in a 0.07 mrad transverse
dynamic aperture. The target is followed
13
by a tapered magnet called the Optical Matching Device (OMD) (see Section 5.5.3) which has afield starting from <0.5 T at the target and then quickly ramped to over 3 T in ≥2 cm, and thendecays to 0.5 T over 14 cm. This OMD has wide energy acceptance and is used to match the beam

en machine pulses. In addition, the relatively large bunch separation in the main linacs means
he damping rings must be capable of injecting and extracting individual bunches without
ng the emittance or stability of the remaining stored bunches. The exact circumference has
2 章 国際リニアコライダー計画
2.4 加速器
chosen to provide第adequate
flexibility in the fill pattern allowing different timing configurations
linac. The bunch trains are separated by gaps to mitigate the fast ion instability in the electron
ダンピングリング

The superconductingルミノシティーを高めつつビームビーム効果を抑制するには偏平なビームを作る必要がRF system is operated at 650 MHz which is exactly half the linac frequency.
2 本のリングが重なっている。電子源・陽hieve the short ある。ダンピングリングは電子用と陽電子用のdamping times necessary to reduce theemittance (by roughly six orders
電子源から供給された 5GeV のビームはダンピングリングの曲線部でシンクロトロン放射
gnitude in the caseof the positron vertical emittance) within the allowed 200 ms interval,
によりビームの進行方向に平行な縦運動量 PL と垂直な横運動量 PT がシンクロトロン放射
conducting wigglers
of total length roughly 100 m are used in each dampingring.
によって運動量を失うが、直線部で補われる運動量は縦運動量
PL のみであるためにビー

σx や σy が小さくなる。ただし、水平方向に関しては量子効果としてエネルギー
The layout [96] ofムサイズ
the damping
ring is a racetrack, with long straights [97] to accommodate
による軌道のずれがあり、これがビームサイズを増加させる要因となる。垂直方向に関し
ng wigglers, RF cavities, phase trombone, injection, extraction, and circumference-adjustingてはこの効果はこの効果はほとんど影響せず、σx は σy より大きくなる。ダンピングリン
e as shown in Fig.
6.1.200ms ビームが蓄積され、その後主線形加速器に送られる。
グでは

6.1
ng-ring layout:
cumference ism; the lengthstraight ism.

Damping-ring parameters for three ILC 図
operatingmodes, corresponding
to four distinct con2.5: ダンピングリングの配置[4]tions, have been developed. Two of these operating modes utilize a 5 Hz repetition rate: theower baseline with
1312 bunches in each ring; and the high-luminosity upgrade with 2625
主線形加速器es. The third operating mode is at 10 Hz and has distinct configurations for the operation of the
主線形加速器では 15GeV で入射した電子ビームおよび陽電子ビームを 125GeV までそon and electron rings.
The parameters of these operating
modes are summarized in Table 6.2
れぞれ加速して衝突させる。ここでは2K の液体ヘリウムを用いた定常波型のニオブ製超伝導加速空洞を連結して12m のクライオモジュールを作る。空洞には高周波高強度の電場
on the current versionof the DR baseline
lattice.

をかけることが要求され、1.3GHz で平均 31.5MV/m の電場をかけることになっている。
n the 10 Hz operating
configuration, the electron linac is operated with alternating pulses, a
このクライオモジュールを多数連結させることで、主線形加速器が構成される。
nergy pulse for positron production followed by a low energy pulse for collisions. Each damping
as a pulsed time profile with beam injection/extraction times of 1 ms. In the positron ring,
am current is stored for 100 ms and then extracted, leaving the ring empty for 100 ms before
xt injection cycle. A shorter damping time is necessary to achieve the same extracted verticalance in half the nominal storage time.
14or the high-luminosity upgrade, twice the number of bunches need to be stored in the DR withbunch spacing. The doubling of the current in the rings poses a particular concern for thede this number reduces to ≥4 ns.) Short stripline kicker structures can achieve this, and extensiveon the pulser has demonstrated several technologies that can meet the specifications (Part I
on 4.4).

to Main Linac 第 2 章 国際リニアコライダー計画

2.11
atic of then RTML (theon system is a
image, with laefixed with ‘P’).
xt for explanation
subsystems.

2.5 ILD 測定器

ERTL

Damping
Rings

ELTL
ESPIN
EBC2
ETURN
EBCI

Main Linac+ BDS

The electron and positron Ring to Main 図
Linac(RTML) systems are the longest contiguous
2.6: 主線形加速器の配置 [4]lines in the ILC. The layout of the RTML is identical for both electrons and positrons, andown in Fig. 2.11. The RTML consists of the following subsystems, representing the various
ILD 測定器
ons that it must 2.5
perform:
ILD(International
Large Detector) 測定器と SiD(Silicon Detector) の 2 つのa ≥ 15 km long 5 ILC
GeVでは、
transportline (ELTL);
測定器を用いて測定することが想定されている。図 2.7 に ILD 測定器と SiD 測定器の外観
betatron- and energy-collimation
systems (in ERTL);を示す。

a 180¶ turn-around, which enables feed-forward beam stabilisation (ETURN);
spin rotators to orient the beam polarisation to the desired direction (ESPIN);
a two-stage bunch compressor to compress the beam bunch length from several millimetres toa few hundred microns, as required at the IP (EBC1 and EBC2).

The two-stage bunch compressor includes acceleration from 5 GeV to 15 GeV in order to limit
ncrease in fractional energy spread associated with bunch compression. The acceleration isded by sections of SCRF main-linac technology. A primary challenge for the RTML systems isreservation of the emittance extracted from the damping rings; the combination of the longmpressed bunch from the damping ring and large energy spread (after compression) make the
図 2.7: ILD(左) と SiD(右)[5]g and tolerances particular demanding. However, tuning techniques developed from detailed
ations have demonstrated
acceptable
emittance growth.
ILD と SiDの違いを以下の表に示す。本研究では測定器にILD を測定して作られたサ
ンプルおよび再構成ツールを用いている。
n addition to thebeam-dynamics challenges, an RMS phase jitter of Æ0.24¶ between theon and positron bunch-compressor RF systems is specified to limit bunch arrival-time jitter
表 2.1: ILD と SiD の違い
e interaction point to an acceptable level. Beam-based feedback
ILD systems integrated
SiD into the
h-compressor low-levelRF system should be able to limit the 3.5T
phase jitter to this level.
磁束密度5T
飛跡検出器 (tracker)

m-Delivery System

電磁カロリーメータ (ECAL)
ハドロンカロリーメータ (HCAL)TPC と Si 検出器の組み合わせ
SiW or ScW
analog or semi digital+ ≠Si 検出器のみ
SiW のみdigitalLC Beam-Delivery System (BDS) is responsible for transporting the e e beams from the exit ofgh-energy linacs, focusing
them to the sizes required to meet the ILC luminosity goals, bringing
ILD 測定器は内側から崩壊点検出器・飛跡検出器・電磁カロリーメーター・ハドロンカ
into collision, andロリーメーターの順に並んでおり、
then transporting the spent beams
to Flow
the mainbeamに特化されている。各検出
dumps. In addition, theParticle
Algorithm
must perform several other critical functions:characterise the incoming (transverse) beam phase space
15 and match it into the final focus;

hnical Design Report: Volume 3, Part II

第 2 章 国際リニアコライダー計画

2.5 ILD 測定器

器の低物質量、高精度・高精細なセンサーを使用し、ソレノイドの中にハドロンカロリー
メーターまでが収まっている。ここでは本研究に重要な検出器について以下に述べる。

崩壊点検出器シリコンピクセル検出器を両面に貼った厚さ 2mm の層を半径方向に３重に連ねる設計となっている。R = 16 − 60mm に位置している。使用する技術は CMOS、FPCCD、
DEPFET などが検討されている。要求される位置分解能は以下の式の通りである。[5]σrϕ = 5[µm]

⊕

10
3

[µm]

(2.6)

p[GeV] sin 2 θ

二次崩壊点を測定することで b ジェット等の同定を正確に行えるようにする。特にヒッグ
ス粒子は b クォークへの崩壊分岐比が高く (表 6.1)、重要である。
2. ILD Tracking System

FTD-1
Cryostat; 0.2mm CFRP+1cm styrofoam+0.2mm CFRP

Beryllium shell

Ti cooling tube:
od:2mm, id:1.5mm

0.5 t

0.5t

41.5

21

20.5
82

60

Beam pipe

628

Layer 1: 10 ladders
73

2

2

8

143
146

15
164.6 175

30

2

62.5
2

1mm CFRP
1.5mm CFRP

Layer 2: 11 ladders

39
30

Layer 3: 17 ladders

65

145
80
69.6

III-2.7
nical support
re of ILD vertexr

FPC: 9mm width x 10/side +17mm width x 28/side(50um Kapton + 9um Cu)

図 2.8:[5]≥ 2 mm) cooling tube may be sufficient.
It ILD
may崩壊点検出器の内部構造
be attached at the detector
end plate. The
se of the material budget due to the titanium cooling tube on the end plate is only 0.3% X0 if
飛跡検出器
ed over the end plate.
The(TPC)
main heat source of a FPCCD based vertex detector (CCD on-chipfier and read-out ASIC)
is located near the ladder ends and the end
that theheat
飛跡検出器は荷電粒子の運動量を測定する検出器であり、Timeplate,
ProjectsoChamber(TPC)¶を採用している。
TPC Theはガス検出器であり、荷電粒子のヒットが多く得られることで高い
ected to be rather
easily removed.
cooling temperature is ≠40 C. In order to prevent
運動量分解能を実現できると期待できる。要求される運動量分解能は以下の通りである。
nsation on the cooling tube, and to avoid occupying space with a heat insulator around the[5]⊕ the inner
the inner support tube supporting the vertex detector−5and
10−3 silicon tracker should be
σ1/pT = 2 × 10
(2.7)
1×pT sin θwith dry air.

エネルギー損失量 dE
dx を測定することで Bethe-Bloch の式から、粒子識別も可能となる。
tor mechanics TPC の運動量分解能が高いことで、PFA での高いエネルギー分解能につながる。

ertex detector mechanical design implemented in the full simulation model is shown in Figure IIIis similar to the SLD vertex detector. The ladders are supported by a 2 mm thick beryllium
ate and a 0.5 mm-thick beryllium outer shell. The strength of this beryllium structure has been
ated with a finite element analysis, which showed that the largest deformation under 9.8 N
16ession along the beam lines is less than 2 µm. The whole detector is contained in a cryostatof 1 cm thick styrofoam (though only mandatory for FPCCD sensors). The material budget ofChapter 2. ILD Tracking System

第 2 章 国際リニアコライダー計画

2.5 ILD 測定器

Figure III-2.11. Left: Drawing of the proposed end-plate for the TPC. In the insert a backframe which is supporting
the actual readout module, is shown. Right: Conceptual
sketchof the TPC system showing the main parts of the
図 2.9:
TPC[5]TPC (not to scale).
Table III-2.4
Parameter
Performance and design
電磁カロリーメーター
parameters for the
rin
rout
z
TPC with standard
Geometrical parameters
electronics
and pad
329 mm 1808 mm ± 2350 mm
電磁カロリメータの主な役割は光子を同定し、エネルギーを測定することである。センreadout.
Solid angle coverage
up to cos ◊ ƒ 0.98 (10 pad rows)

サー層と吸収層を交互に重ねるサンプリング型設計となっている。吸収層は Moliere 半径
TPC material budget
ƒ 0.05 X0 including outer fieldcage in rが小さく、電磁相互作用による放射長と強い相互作用のの相互作用長が大きく異なるタン< 0.25 X0 for readout endcaps in z
グステンを用いることで、コンパクトな電磁シャワーが実現される。
に最適な高精細
Number of pads/timebuckets
ƒ 1-2 ◊ 106 /1000 per PFA
endcap2
Pad
pitch/
no.padrows
ƒ
1◊
6
mm
for
220
padrows
なセンサー層として、5mm×5mm のシリコンタイルを用いる SiWECAL と、短冊形シンin r„
ƒ 60 µm for zero drift, < 100 µm overall
チレータに Pixelated‡point
PhotonDetector (PPD) を読み出しに用いる
ScECAL の 2 種類が‡point in rz
ƒ 0.4 ≠ 1.4 mm (for zero – full drift)
提案されている。前者はエネルギー分解能を有しているのに対して、後者はソフトウェア
2-hit resolution in r„
ƒ 2 mmすることで比較的安価にによる処理で疑似タイルを再構成
Splitting ƒ
Algorithm[6])2-hit resolution in(Striprz
6 mm
dE/dx resolution
ƒ5%
SiWECAL に匹敵するエネルギー分解能を得られる。
Momentum resolution at B=3.5 T”(1/pt ) ƒ 10≠4 /GeV/c (TPC only)

are self-contained and integrate the gas amplification, readout electronics, supply voltages, andcooling [262].
2.3.1.1

Gas amplification system
The gas amplification system for a pad-based TPC will be either GEM or Micromegas (see [263] and[264] for examples of results using small prototypes). It has been demonstrated that both amplification
technologies combined with pad readout can be built as modules which cover large areas with little
dead space.
The use of Multi-Wire Proportional Chamber (MWPC) technology has been ruled out [264],
because it does not meet the ambitious performance goals.
Two or three GEM foils are stacked together to achieve sufficient charge amplification. For a
GEM readout the transverse diffusion within the GEM stack itself is enough to spread the charge over210

ILC Technical Design Report: Volume 4, Part III

17position of the electromagnetic calorimeter in the ILD detector, the trapezoidal
d how it is envisaged to be interfaced mechanically with the hadron calorimeter.
第 2 章 国際リニアコライダー計画

2.5 ILD 測定器

3.2. The electromagnetic calorimeter system-3.2
nt view withns on the alveture whiche sensitive
he electrocalorimetere. Right: Sidehe completed
and its meprotection.

into the alveoli of the mechanical stricture. The insertion process has been successfully
ented for the physics prototype with short layers and has in addition been demonstrated withf up to 1.3 m length for a mechanical demonstrator of the technological prototype. In case
ScECAL one side of the tungsten board will be equipped with scintillating strips for the x
2.10: ILDso
測定器内の電磁カロリーメーター[5]
operationof図thesmallcalled physics prototypes
the focus of thenofandsuccessful
the other sidewith strips fory direction.

ation
of technological prototypes, see e.g. [299]. These prototypes address the-3.3
tions throughagnetic come along with the realisation of highly granular calorimeters.
which
Tungsten W structure

er layers forn option (left)
he scintillator
ght).

Heat shield:0.22mm

general integration issues

PCB:1.2mm
MPPC
scintillator -X :2.0mm

ure consists of a carbon reinforced epoxy (CRP) composite structure, which
ungsten absorber plate. The carbon fibre structure ensures that the tungsten
ned distance, and provide the overall mechanical integrity of the system (theture). Into the space between two tungsten plates another tungsten plateorts on both sides the active elements, the readout structure and necessarya verydifferencecompact
structure
with(左minimal
dead
space.
The
mechanicalstructure
図2.11:)isとシンチレーター型(右)activeの電磁カロリーメーター[5]notablebetweentheシリコン型
two options
the thicknessof thesensors.
While siliconbe produced
easily witha thickness of aFigurefew 100 III-3.2
microns, shows
the scintillator
thickness needs
ranbothproposedtechnologies.
a prototype
which is 3/5
18
t least 1 mm. This is due to the size of the photo-sensor MPPC and number of photons
ructurefor the barrel. For the end-cap region alveolar layers of up to 2.5 m
d by this sensor.
ated. While in the barrel the shape of all alveolar structures is the same, three
Tungsten W slab: 2.1mm

MPPC

scintillator -Y :2.0mm

PCB:1.2mm

Heat shield :0.22mm

2.5 ILD 測定器

ハドロンカロリーメーター

I ハドロンカロリメーの主な役割は荷電ハドロンと中性ハドロンのエネルギー損失を分離し、中性ハドロンのエネルギーを測定することである。鉄の吸収層とセンサー層を重ねるサンプリング型カロリメータである。センサー層としては検討されている技術としては、3cm×3cm のシンチレータタイルと PPD の読み出しをもちいる Analog HCAL と、
1cm×1cm のガス RPC のセルを用いる Semi-Digital HCAL がある。

6.1. ILD p

すべての測定器をあわせて得られるジェットエネルギー分解能を図 2.12 に示す。

10
45 GeV Jets
100 GeV Jets
180 GeV Jets
250 GeV Jets

Z→ uds890

jRMS90(E ) / Mean (E ) [%]6j

4
et energy
otted◊| wherethrust axis.

第 2 章 国際リニアコライダー計画

4
2
0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|cos(θ)|図 2.12: uds ジェットのエネルギー分解能 [5]3ciate the calorimetric energy deposits to the particles and the confusion term ijet energy resolution is also listed. The jet energy resolution (rms90 ) is better thenergy greater than 40 GeV. The resolutions quoted in terms of rms90 should be mof approximately 1.1 to obtain an equivalent Gaussian analysing power[274]. Des
f dead material in the Monte Carlo simulation, the resolutions achieved are betw
etter than for theprevious detector model described in [198]. In part this reflects a
ヒストグラムの積分で 90% の事象数が占められる最小の積分領域を RMS 、積分領域における期待値
を Mean という。RMS /Mean は分解能が裾を引く場合に裾の影響を抑えて分解能を評価できるが、本
ments to the論文では今後使用しない。
particle flow reconstruction software. Nevertheless, it can be conclu
onal dead material associated with services
does not significantly degrade the je
19
3

90

90

90

90

第 3 章 研究動機

3.1

kinematic ﬁt の概要

素粒子実験において信号事象と背景事象を分ける事象選択は解析における最重要課題の一つである。特に信号事象の種類が数多く存在する実験においては、信号事象の種類ごとにあるいは考慮する背景事象の種類ごとに選択条件を考えなければならないが、選択条件にいかなる量を用いてどのような値で切り分ければ純度 (全事象数に占める信号事象数の割合) を最大化できるかという問いに答えるのは難しい。もちろん、多変量解析や機械学
習によって純度を最大化する選択条件を見出そうとする試みも行われてはいるが、なぜその選択条件で良いのかという物理から離れてしまい、信号事象ごと、考慮する背景事象ごとに全事象についてやり直さなければいけない。本質的には事象選択の難しさは測定値に誤差があることと、選択条件にいかなる量を用いるかを見出す必要があることであるが、測定値からより真の値に近い値を得やすくなり、かつ選択条件として「信号事象らしさ」
をどの事象でも同じ尺度で得られる解析手法がある。それが kinematic ﬁt である。

kinematic ﬁt は大型電子陽電子衝突型加速器 (LEP) 実験における W ボソンの質量解析に有効であった。現在は ATLAS、CMS などの加速器実験でも用いられている。kinematicﬁt は事象毎に物理量の測定値が測定器の分解能に従って分布することを考慮しながら、その物理量の真値の推定値同士の間に物理的な制約条件を課し、真値の推定値をより真値に近付けるという手法である。このとき測定器の分解能および物理的な制約条件は信号事象に対して満たされるように設定しておく。ゆえに信号事象に対して kinematic ﬁt を行え
ば、真値の推定値は測定器の分解能および物理的な制約条件をよく満たす。一方、背景事
象はあまりよく満たさない。このどのくらいよく満たすかを数値として「信号事象らしさ」
として選択条件として加えることができる。「信号事象らしさ」は事象毎に得られるために、背景事象が増えても全事象に対して kinematic ﬁt をやり直す必要はない。また、物理的制約条件は 4 元運動量保存則や 4 元運動量と質量の関係など自明なものであり、恣意的になり得ない。このことから、kinematic ﬁt は事象選択を原則的に機械的に行うことを可能にする。ILC においては、相対的に分解能の悪いジェットエネルギーの評価に有効であると考えられている。

3.2

kinematic ﬁt の構成

kinematic ﬁt の定式化は実験や ﬁtter の種類によって大きく異なるため、ここでは kinematic ﬁt の構成の大枠のみを述べる。3.1 でも述べたように、kinematic ﬁt は物理量の測定値が測定器の分解能に従って分布することを考慮しながら、その物理量の真値の推定値同士の間に物理的な制約条件を課し、真値の推定値をより真値に近付けるという手法であ20

第 3 章 研究動機

3.3 研究目的

るから、kinematic ﬁt に予め必要なのは測定器の分解能および物理的な制約条件である。
今後それぞれﬁt object 測定器の分解能
constraint 物理的な制約条件と呼ぶ。ただし、本論文での ﬁt object および constraint の呼称は一般に kinematic ﬁt で使われている用法と異なる可能性がある。
ここで、constraint は例えば 4 元運動量保存などのように物理量同士の関係を等式で固定するものと、崩壊幅のように物理量同士の関係をある分布に従うと想定し1 、固定しないものがあり、今後それぞれ

hard constraint 物理量同士の関係を等式で固定する constraint
soft constraint 物理量同士の関係をある分布に従うと想定する constraintと呼ぶ。kinematic ﬁt の定式化には ﬁt object、hard constraint、soft constraint の 3 つの部分が必要である。そして、kinematic ﬁt はその式を解いて、測定値から真値の推定値を得て、かつ選択条件として「信号事象らしさ」を得ることで実現される。

3.3

研究目的

kinematic ﬁt の定式化は第 4 章に譲る。ここでは kinematic ﬁt の構成を踏まえて、現状の ILC における kinematic ﬁt が抱える問題を提示し、研究動機を述べる。ILC における kinematic ﬁt とは iLCSoft[16] という線形加速器実験のためのソフトウェアとして内のkinematic ﬁt 用のパッケージとして実装されている MarlinKinﬁt[17] を指す。MarkinKinﬁtには開発された順に OPAL Fitter、Newton Fitter、New Fitter という 3 種類の kinematic
ﬁtter が存在する。これらの ﬁtter についての詳細な説明は第 4 章に譲るものの、現状のMarlinKinﬁt 全体を通した問題点は大きく以下の３つである。
1. ﬁt object に正規分布以外の関数を想定することができない
2. soft constraint に任意の関数を導入することができない
3. constraint をかけられる対象が限定されている。
1 は測定器あるいは観測量によって測定器分解能が正規分布で表せない分布となることが多く存在することから問題となる。例えば、終状態に b ジェット、c ジェットなどの重いジェットが含まれている場合に、ジェットのエネルギー分解能が非対称になり、正規分布
ではなくなる。2 は様々な影響を考慮する際に問題となる。例えば、崩壊する粒子の質量は Breit-Wigner 分布になる一方でビームの始状態放射 (Initial State Radiation; ISR) な
どの分布など様々な分布を考慮する必要があるが、soft constraint は任意の分布に対応できるようにはなっていない。3 は constraint をかけられる対象が粒子の質量の質量や運動1

崩壊する粒子の質量分布は Breit-Wigner 分布に従う

21

第 3 章 研究動機

3.4 本研究の成果の概要

量、崩壊点などに限定されており、対象を変更するのが容易ではないことから、汎用性の点と問題となる。これは constraint に任意の関数を適用できるようにすることで解決できるはずである。

Events

105
104
103
102
0

5

10

15

20

ISR energy [GeV]
図 3.1: 始状態放射によるエネルギー損失
したがって、本研究の目的は『ﬁt object および constraint に任意の関数を導入できる汎用 kinematic ﬁt を開発する』ということである。

3.4

本研究の成果の概要

本研究の成果を述べる前に、本研究がどの段階まで進んだかを予め表にしておく。なお、
詳細は後の章に述べるため、その章を参照していただきたい。

22

第 3 章 研究動機

3.4 本研究の成果の概要

表 3.1: 本研究の成果
課題

ﬁt object および constraint に任意の関数を導入できる定式化
MarlinKinﬁt と独立した kinematic ﬁtter の実装
自分の解析過程における kinematic ﬁt を行わない事象選択の実施
正しい ﬁt object 関数の評価
ISR の評価
新しい kinematic ﬁt の MarlinKinﬁt への実装

23

未了/完了

記述章

完了

第4章

完了

第5章

完了

第6章

途上

第7章

未了
未了

第4章

kinematic ﬁtkinematic ﬁt は第 3 章で述べたように物理量の最適化手法の一つである。本章では kinematic ﬁt をどのように定式化すべきかについて詳しく記述する。次に kinematic ﬁtter として現在 MarlinKinﬁt に実装されている OPAL Fitter、Newton Fitter、New Fitter という異なる 3 つの Fitter のうち、OPAL Fitter と Newton Fitter の定式化について述べる。
New Fitter については、数値計算における差異があるものの、最適化としては Newton
Fitter と同じ問題を解いているため、ここでは New Fitter の説明は割愛する。第 5 章でその差異に触れる。

4.1

kinematic ﬁt の定式化

kinematic ﬁt は ﬁt object、soft constraint、hard constraint からなると述べた。しかし、これは私が研究を始めた時点での知見であり、以下では kinematic ﬁt を詳しく説明するに当たり、MarlinKinﬁt が OPAL Fitter、Newton Fitter と改良されていく過程に沿って、現在の知見までを述べる。
まず、kinematic ﬁt は 1 事象 (ILC においては電子・陽電子の 1 回の衝突) 毎に行う。これは、事象間で物理量の相関はないからである。したがって、以下は 1 事象における議論である。

MarlinKinﬁt における kinematic ﬁt は最小二乗法の考えを応用している。最小二乗法はある測定値 y とその真値の推定値 η が y の測定誤差 (真値の推定値が η であるときの測定
値 y の分布の標準偏差) が σ であれば、(min χ2univariate =

y−η
σ

)2
(4.1)

という最小化問題を解き、真値の推定値 η に含まれる未知定数を最適化するのである。多→→→変数に拡張すると、測定値 −y とその真値の推定値が −η であれば、測定値 −y の測定誤差を共分散行列 V で表すと、
T
→
→
→
→
min χ2multivariate = (−y −−η ) V −1 (−
y −−
η)

(4.2)

→
→
となる。ここで、χ2multivariate は真値の推定値が −η のときの測定値 −y の測定分解能を表→している。したがって、これは ﬁt object にあたる。ﬁt object の測定値 −y と真値の推定→値−
η は同じ物理量に対応している。この ﬁt object に含まれる物理量についてであるが、これは実験や解析対象により選択の余地があるものの、MarlinKinﬁt では、kinematic ﬁtがジェットのエネルギー分解能評価に有効であり、カロリーメータにおけるエネルギー分
24

第 4 章 kinematic ﬁt

4.1 kinematic ﬁt の定式化

解能が相対的に悪いことから、エネルギーを含めている。また、それ以外の物理量として
は球面座標系における 2 つの角度がある。1 本のジェットにつきエネルギーと２つの角度(E, θ, ϕ) の 3 変数を評価している。ただし、4 元運動量を→→→(E, px , py , pz ) = (E, |−p | sin θ cos ϕ, |−p | sin θ sin ϕ, |−p | cos θ) (0 ≤ θ ≤ π, −π ≤ ϕ ≤ π)
(4.3)
として、図 2.1 を基に、x 軸を電子のビーム軸と陽電子のビーム軸のダンピングリングと交わる二等分線上にダンピングリングから衝突点へ向かう方向にとり、z 軸を電子のビーム軸と陽電子のビーム軸のダンピングリングと交わらない二等分線上に電子側から陽電子側に向かう方向にとり、y 軸を z 軸と x 軸に直交する右ねじの方向にとる1 。iLCSoft では質量に関しては Particle ID[18] から求めた粒子の質量を用いており、これは信頼のおける値であるとして ﬁt はしない。また、Particle Flow Algorithm[19] において、荷電粒子に関しては飛跡検出器から運動量を、中性粒子に関してはカロリーメータからエネルギーを測定し、Particle ID から求めた粒子の質量からエネルギー及び運動量のうち、求まっていない方を計算しているから、運動量はエネルギーに分解能が押し付けられているとして含めていな
い。ILC に限定しない一般の議論に戻ると、最小二乗法は通常 ηi 同士が全て独立ではなく→→ある関係を持っている。なぜなら、ηi 同士が全て独立では、式 (4.2) を解いても、−
η =−y という自明な解しか得られないからである。だから、真値の推定値 ηi 同士の関係が必要になる。例えば、4 元運動量の保存や、4 元運動量と質量の関係などである。これが constraint
−
→→ −
→
−
→
η , ξ ) = 0 を考えである。まず物理量同士の関係を等式で固定する hard constraint h (−−→た場合の定式化が、OPAL Fitter である。( ξ の説明は後述する。)

4.1.1

OPAL Fitter

OPAL Fitter は MarlinKinﬁt に 2008 年に Benno List が実装した Fitter であり [17]、χ2
−
→→ −
→
−
→
の定義は以下である。ただし、等式制約条件 2 h (−
η , ξ ) = 0 における 2 は単なる今後の規格化であり、なくても良い。
min
−
→

−
→
η,ξ

−
→
T
→
→
→
→
→
χ2OP AL (−η , ξ ) = (−y −−η ) V −1 (−
y −−
η)

−
→→ −
→
−
→
subject to 2 h (−η, ξ)= 0

(4.4)

ここで、

−
→
y : 測定値−→
η : 測定値に対する真値の推定値−→
ξ : 非測定値に対する真値の推定値
V : 共分散行列
OPAL Fitter は最小二乗法に hard constraint をかけた定式化をしていることがわかる。
−→
ここで、非測定値に対する真値の推定値 ξ というのは、測定できないが他の物理量との関係で求まる物理量の真値の推定値であり、例えば、ILC では測定できないニュートリノ
の 4 元運動量などを衝突重心系 4 元運動量の保存から導入する場合などに現れ、constraint1

電子のビーム軸と陽電子のビーム軸は 14 mrad で交わっている。

25

第 4 章 kinematic ﬁt

4.1 kinematic ﬁt の定式化にしか存在できない変数となっている。

OPAL Fitter は ﬁt object と hard constraint を備えた ﬁtter である。しかし、量子力学
では不確定性原理によって物理量の真値自体がある分布を持つことが考えられるから、真値の推定値に課す関係に幅を持たせてやる必要が生じる。これが soft constraint である。
soft constraint は hard constraint のように等式制約条件を課すのでなく、幅を持たせた
関係性を課すのであるから、これは測定値が真値を中心に幅を持っているのと同じことである。したがって、soft constraint は ﬁt object と同じように最小二乗法で課す。等式
−
→
→
gl (−
η , ξ ) = 0 を中心で満たし、それぞれ σl の幅を持っているとすれば、soft constraint を含んだ Newton Fitter は次のように定式化できる。

4.1.2

Newton Fitter

Newton Fitter は MarlinKinﬁt に 2011 年に Benno List が実装した Fitter であり [17]、ﬁt object の構成は OPAL Fitter と同様であるが、χ2 に soft constraint の項が加わった。
soft constraint の項は χ2N ewton の第二項にあたる。
( −
→)
−
→
L
g
η
,
ξ
∑ l
−
→
T −1 −
−
→
−
→
−
→
→
−
→
2
)2
min
(
χ
(
η
,
ξ
)
=
(
y
−
η
)
V
(
y
−
η
)
+
N ewton
−
→
−
→
σ
(4.5)
l
η,ξ
l=1
−
→→ −
→
−
→
subject to 2 h (−η, ξ)= 0
ここで、

L : soft constraint の数
−
→
→
gl (−
η , ξ ) : soft constraint で 0 を中心に正規分布の幅を持たせたい値−→→(σ → 0の極限で g (−
η , ξ ) = 0 の hard constraint になる)ll

σl : soft constraint の幅(正規分布の標準偏差に換算したもの)
Newton Fitter がなぜ OPAL Fitter と別に実装されたのかというと、第 5 章で述べるが、数値計算上の問題である。ここまでが MarlinKinﬁt から分かる kinematic ﬁt の知見である。

4.1.3

新しい kinematic ﬁt の定式化

ここで、現状の MarlinKinﬁt の 3 つの問題点

1. ﬁt object に正規分布以外の関数を想定することができない
2. soft constraint に任意の関数を導入することができない
3. constraint をかけられる対象が限定されている。

26

第 4 章 kinematic ﬁt

4.1 kinematic ﬁt の定式化を考えてゆく。これを考える前に、最小二乗法を定義に戻って考え直す必要がある。まず、
χ2multivariate は多変数正規分布からなる尤度 (N : ﬁt object に含まれる物理量の数)→ −→ T −1 −
→ −
→
1 −
1
→
Lmultivariate (−η)= √e− 2 ( y − η ) V ( y − η )(2π)N |V |(4.6)

の対数をとり負号をつけたものが定義である。ただし、|V | は V の行列式である。最尤法
で尤度を最大化するとき χ2 を最小化することになるから、これは最小二乗法である。こ
−
→
→
こで、(−
η , ξ ) 同士の関係、すなわち constraint をさらにこの尤度に取り入れることを考える。すると、対数に負号をつけたものが χ2OP AL および χ2N ewton を再現することを考えれば、尤度 LOP AL および LN ewton は

( ( −
→ −
→ T −1 −
→ −
→ ∏
1 −
−
→
→))
1
→
→
e− 2 ( y − η ) V ( y − η )LOP AL (−η, ξ)= √δ hk −η, ξ(2π)N |V |
k=1
K

(

L
∏

→ −
→ T −1 −
→ −
→
1 −
−
→
1
1
→
√
LN ewton (−η, ξ)= √e− 2 ( y − η ) V ( y − η )eN2πσ(2π) |V |
l
l=1

− 12

(4.7)

→
−
−
gl →
η,ξ

(

)

σl

)2

K
( ( −
∏
→))
→
δ hk −
η, ξ
k=1

(4.8)
K は hard constraint の数、L は soft constraint の数を表す。hard constraint の部分は便宜
上デルタ関数で表した。すると、現状の MarlinKinﬁt の問題点の 1 と 2 が理解できるだろ
−
→
−
→
→
→
う。尤度 LOP AL (−η , ξ ) および尤度 LN ewton (−η , ξ ) は ﬁt object を第一因数に含んでいる−→→が、正規分布に限定されている。尤度 LN ewton (−η , ξ ) は soft constraint を第二因数に含む
点で OPAL Fitter で扱えなかった soft constraint が扱えるようになったが、これも正規分布である。これを任意の関数に拡張することが目的である。ここで、「現状の MarlinKinﬁtの 3 つの問題点」において ﬁt object については「ﬁt object に正規分布以外の関数を想定することができない」と記しながら、soft constraint については「soft constraint に任意の関数を導入することができない」と異なる表現をしたのは、実は MarlinKinﬁt では Newton
Fitter で質量にのみこの定式化で Breit-Wigner 分布を仮定した soft constraint をかけられるようになっているからである。MarlinKinﬁt では、Breit-Wigner 分布の幅 Γl を以下の式で正規分布の幅 σl に対応させて計算している。
→
−

1
π

−
η , ξ )|
∫ |gl (→
Γl

0

→
−

1
1
dx = √
2
1+x2π−
η , ξ )|
∫ |gl (→σlx2

e− 2 dx(4.9)

0

しかし、ﬁt object も soft constraint も任意の関数が使えないことに変わりはない。3 については定式化ではなく実装上の問題で、例えば Breit-Wigner 分布を仮定した constraint は
質量にはかけられるが運動量にはかけられない [17]。
−→→
したがって、我々が目指すべき kinematic ﬁt の定式化は LN ewton (−η , ξ ) の第一因数である ﬁt object および第二因数である soft constraint を一般の関数に置き換えれば実現できる。これを置き換えた尤度は以下のようになる。

−
→
→
→
→
L(−
η , ξ ) = f (−
y ;−
η)

L
∏

−
→
→
sl (−
η, ξ)

l=1

K
( ( −
∏
→))
→
δ hk −
η, ξ
k=1

27

(4.10)

第 4 章 kinematic ﬁt

4.2 Lagrange の未定乗数法→→
ここで、ﬁt object は確率密度関数 f (−y ;−η ) で表され、soft constraint は確率密度関数
−
→
−
→
−
→
−
→
sl ( η , ξ ) で表されている。ただし、f ( y ; η ) のセミコロン (;) の左は確率変数であり、右は条件を表す定数であって確率変数ではないことを述べておく。こうして kinematic ﬁt の
−
→
→
→
→
一般の定式化ができたわけであるが、Newton Fitter の定式化を f (−y ;−η ) および sl (−η, ξ)が正規分布であるときに再現するように我々の ﬁtter の最適化問題を尤度の対数をとり、負号をつけ、正規分布の指数の係数 12 のために 2 倍することで定式化した。

4.1.4

Likelihood Fitter

現状我々が開発している Fitter は尤度の考えに基づいているから、Likelihood Fitter(仮称) と呼ぶことにする。Likelihood Fitter では以下のように χ2 を定義している。

min

−
→
−
→
η,ξ

−
→
→
→
→
χ2Likelihood (−η , ξ ) = −2 ln f (−
y ;−
η)−2

L
∑

−
→
→
ln sl (−
η, ξ)

l=1

−
→→ −
→
−
→
subject to 2 h (−η, ξ)= 0(4.11)

これにより、ﬁt object および soft constraint に任意の分布を導入し、かつ constraint を任意の対象にかけられる ﬁtter を実装するものである。ただし、χ2 と記してはいるが、この
χ2 はカイ二乗分布に従わないため、単なる記号であると考えていただいてよい。実際には尤度の対数を取り、負号をつけたものを規格化のために 2 倍したのであり、負対数尤度(negative log likelihood) とでも呼ばれるものである。ここで、実際に式 (4.4)、式 (4.5)、式 (4.11) を最適化するにあたり、解析的には次に述べる Lagrange の未定乗数法を用いる。

4.2

Lagrange の未定乗数法→→→
関数 f (−x ) を等式制約条件 −c (−x ) のもとで最小化したい、すなわち、
min
−
→

→
f (−
x)

x

−
→
→
→
subject to −
c (−
x)= 0

(4.12)

を解きたい場合、以下の Lagrange 関数を考える。

−
→
−
→ →−
→
→
L(−
x , λ ) = f (−x ) − λ T−c (→x)(4.13)−→
ただし、 λ は Lagrange の未定乗数で、最適化が完了すると決定する。
−→→→
これを、各変数 (−x , λ ) に対する極値問題として解き、f (−x ) が最小になる極値を探すことで最適化が完了する。

28

第5章

ﬁtter のアルゴリズム

本研究では、準ニュートン法を用いた逐次二次計画法で χ2likelihood を等式制約条件の下で最小化する。まず、逐次二次計画法を説明しその後,OPAL Fitter、Newton Fitter、New
Fitter および Likelihood Fitter の計算方法を逐次二次計画法の考えを用いて説明する。その後、逐次二次計画法を利用した χ2likelihood の最適化アルゴリズムについて詳しく述べる。

5.1

二次計画法

従来の Fitter や自分の Fitter で用いられている原理を説明するため、まず、二次計画問
題

1−
→
→
→
→
x T Q−
x +−
q T−
x
2
x
−
→ −
→
→
subject to A−
x − b = 0
min
−
→

(5.1)

を考える。ただし、Q は実対称行列とする。この問題を Lagrange 未定乗数法で解くことを考えると、Lagrange 関数は

−
→
−
→
−
→
1 →T −
→
→
→
→
x Q→
x +−
q T−
x − λ T (A−x − b)(5.2)
LQP (−x, λ) = −
2
−
→
−
→
→
と書ける。この極値問題を解くため、Lagrange 関数を各変数 (−x , λ ) で偏微分して 0 と
置くと、
−
→ −
−
→
−
→
→
→
→
→
∇ x LQP (−x , λ ) = Q−x +−q − AT λ = 0
−
→
−
→ −
−
→
→
→
→
− ∇ L (−
x , λ ) = A−x − b = 0λ

QP

これを行列でまとめて表記すると、
(
)(
) (
)
−
→
→
x
−−
q
Q −AT
=
−
→
−
→
A
O
λ
b

(5.3)
(5.4)

(5.5)

となるから、この連立一次方程式が解ければ、最適解が求まる。

5.2

逐次二次計画法

MarlinKinﬁt は OPAL Fitter 、Newton Fitter 、New Fitter の順に改善されてきた。
これらの Fitter は全て逐次二次計画法によるものである。逐次二次計画法は非線型計画−→→法の一種であり、逐次近似法である。逐次近似法は最適化で初期値 (−x 0 , λ 0 ) から最適解29

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.3 OPAL Fitter

−
→
−
→
−
→
→
→
→
(−
x ∗ , λ ∗ ) を求める際、ν 番目の値 (−x ν , λ ν ) から (ν + 1) 番目の値 (−x ν+1 , λ ν+1 ) に逐次解を更新していく方法である。
(
) (
) (
)
−
→
−
→
−
→
x ν+1
xν
pν
=
+ −
(5.6)
−
→ν+1
−
→ν
→
sν
λ
λ
今、以下の非線形計画問題を考える。

min
−
→

→
f (−
x)

x

−
→
→
→
subject to −
c (−
x)= 0

(5.7)

逐次二次計画法では、解を更新する際に部分問題として以下の二次計画問題を解く。
−→ν T −
−
→ν −
→ν −
→ −
→
→T −
→ν −
→ν −
→ν
min
p ∇x ∇T
x LSQP (x , λ ) p + ∇ x f ( x ) p
−
→
pν

[−
→ ]T →ν −→ →T −−→→
subject to ∇ x −c (xν ) −p +→c (−x ν) = 0

(5.8)

→
−
→ −
ただし、LSQP (xν , λν ) は Lagrange 関数
−
→ −
→
−
→ T→ −→
LSQP (xν , λν ) = f (−x ν) − λ ν −
c (→
x ν)

(5.9)

である。これを式 (5.1) と比較すると、

−
→
→
x =−
pν
−
→ −
→
λ = λ ν+1
−
→ν −
→ν
−
→ −
→
Q = ∇x ∇T
x LSQP (x , λ )
−
→ →ν
−
→
q = ∇ x f (−
x )
[−
→ ]T
→ →T −A = ∇ x−c (xν )−→→→
b = −−c (−x ν)であるから、これを式 (5.5) に代入して、
 −
) ( −
)
→ν
−
→ −
→ −
→
−
→ν −
→ν  ( −
→T −
→ −
→
→
ν
ν)
∇x ∇T
p
x LSQP (x , λ ) − ∇ x c (x )
−
∇
f
(
x
x
[−
 −

=
→ν+1
→ −
−
→ ]T
→
→
−−
c (−
x ν)
λ
∇ x→
c T (xν )O(5.10)(5.11)(5.12)(5.13)(5.14)(5.15)(5.16)

これを解くことで、次のステップを得る。この式はニュートン法による定式化と同じである。逐次二次計画法は式 (5.8) をニュートン法を再現するように定義しただけなのである。

5.3

OPAL Fitter

OPAL Fitter は正規分布の ﬁt object と hard constraint を含む kinematic ﬁtter である。OPAL Fitter では厳密には逐次二次計画法を用いてはいない。4.1.1 で記したように
OPAL Fitter では以下のように非線形計画問題を定義している。
−
→
T
→
→
→
→
→
min
χ2
(−
η , ξ ) = (−y −−η ) V −1 (−
y −−
η)
−
→
−
→
η,ξ

OP AL

−
→→ −
→
−
→
subject to 2 h (−η, ξ)= 030(5.17)

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.4 Newton Fitter

ここから式 (5.16) を用いて逐次二次計画法で各イテレーション毎に解く連立一次方程式を構成するところであるが、[] OPAL Fitter では式 (5.16) における等式制約条件の二階微分の→ν T −
→T −
−
→ −
→
項∇ ∇
λ →
c (−
x ν ) を含めておらず、
x

x

 −
) ( −
)
→ −
→
−
→ →T −→ ( −
−
→ν
→ −
→
→
ν
ν)
∇x ∇T
− ∇ x−c (xν )px f( x )
−
∇
f
(
x
x
 [−
 −
=
→ν+1
→ −
−
→ ]T
→
→
−−
c (−
x ν)
λ
∇ x→
c T (xν )O(5.18)

を用いているために、厳密な逐次二次計画法ではない。式 (5.18) を構成すると、→ −→  −
−
→ −
→ −

→
→
V −1
O
− ∇ η h T (η ν , ξ ν )η ν+1 − −
ην
→ −
→  −
−
→ −
→ −

→
−
→ 

O
O
− ∇ ξ h T (η ν , ξ ν )   ξ ν+1 − ξ ν 

 [
]
]
[
−
→ν+1
→ −
→ T
→ −
→ T −
−
→ −
→ −
→ −
→ −
λ
∇ η h T (η ν , ξ ν )∇ ξ h T (η ν , ξ ν )
O


(
)
−
→
→
V −1 −y − ην



=
O


−
→−
−
→
→
ν
ν
−h(η , ξ )(5.19)−→−→→となる。これを (−η ν+1 , ξ ν+1 , λ ν+1 ) について解くことをイテレーション毎に繰り返す。
ただし、逆行列の計算には掃き出し法 (Gaussian elimination) を用いている [10]。OPAL
Fitter では、メリット関数による直線探索法を採用し、Armijo の条件でステップサイズを調整している [17]。

5.4

Newton Fitter

Newton Fitter は従来の OPAL Fitter を soft constraint が適用可能なように改良された
kinematic ﬁtter である。Newton Fitter では、非線形計画問題を
−
→
L
→
∑
−
→
gl (−
η, ξ) 2T −1 −
−
→
−
→
−
→
→
−
→
2
min
χN ewton ( η , ξ ) = ( y − η ) V ( y − η ) +
(
)
−
→
−
→
σl
(5.20)
η,ξ
l=1
−
→−
−
→
−
→
subject to 2 h (→η, ξ)= 0で定義している。Newton Fitter は OPAL Fitter に対して正規分布を基にした
soft[] con→ν T −
→T −
−
→ −
→
−
→
ν
straint の項が加わったこと、等式制約条件の二階微分の項 ∇ ∇λc ( x ) を考慮
xx

した逐次二次計画法の定式化である式 (5.16) を用いていること点で異なる。厳密な逐次二次計画法、すなわちニュートン法の定式化を用いているから Newton Fitter である。ここで、簡単のため、
(
)
−
→
η
−
→
a =
(5.21)−→
ξ−→→とまとめて表記すると、式 (5.20) は −η と ξ の区別なく以下のように定式化できる。

min
−
→
a

→
χ2N ewton (−
a)

−
→→
−
→
subject to h (−
a)= 0
31

(5.22)

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.5 New Fitter

式 (5.16) を構成すると、
[
]


(
)
−
→ν T −
→−
→T −
−
→ −
→T 2
−
→ −
−
→
→
→
ν
ν
ν
→
→
h ( a ) −∇a h ( a )  −a ν+1 − −aν ∇ a ∇ a χN ewton ( a ) − λ
−
→ν+1


[−
→ −
→ −
→ ]T
λ
∇ a h T (aν )
O
( −
)
→
→
− ∇ a χ2N ewton (−
a ν)
=
−
→ →ν
− h (−
a )(5.23)
これを gsl linalg LU decomp[15] で LU 分解し、gsl linalg LU invert[15] で LU 分解から逆行列を求めている。逆行列が存在しない場合は擬似逆行列で代用している。直線探索法で
(
)
−
→
→
a ν+1 − −aν
あるが、メリット関数は使われておらず、ステップの L∞ -ノルム1 が 5−→ν+1 −→λ− λν
を超えた場合に、ステップに ステップの 5L∞ −ノルム をかけて、5 を超えないように補正して
いる。

5.5

New Fitter

New Fitter はステップサイズの限度をステップの最大ノルムではなく、Armijo の条件、
Wolf の条件、Goldstein の条件 [9](ただし、Wolf の条件は参考文献内では曲率条件 (curvature
condition) と呼ばれている。) から選択してかけられるようになっており、Newton Fitterに修正を加えたものである。メリット関数による直線探索法を採用している。また、厳密
な逐次二次計画法である式 (5.16) と OPAL Fitter で用いている逐次二次計画法である式(5.18) を選択できるようになっており、通常は式 (5.18) を用いることになっている。

図 5.1: 最急降下法 (赤) とニュートン法 (青) の収束の違い [20]
→
1∀ −

→
u ∈ Rn の Lp -ノルム ||−u ||p (p ≥ 1) は以下のように定義される。
{
(∑n
)1
→
p p
||−
u ||p =
(1 ≤ p < ∞)d=1 |ud |−→|| u ||∞ = maxd |ud |32(5.24)

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6 Likelihood Fitter

OPAL Fitter で用いている逐次二次計画法と厳密な逐次二次計画法の違いは等式制約条
−
→
→
件 h(−
a ) = 0 を満たす曲線に最急降下法で下るか、ニュートン法で下るかの違いである。
最急降下法では、勾配情報のみからステップを決めるために、解に遠回りになってしまう
場合がある。一方、ニュートン法は勾配情報に加えて、曲率情報も用いるため、収束が速い。図 5.5 は最急降下法 (赤) とニュートン法 (青) の収束の経路を描いている。厳密な逐次−→→二次計画法の場合は等式制約条件 h(−a ) = 0 を満たす曲線に降下するのが速いのである。

5.6

Likelihood Fitter

第 4 章で Likelihood Fitter の最適化問題を以下のように定義した。

min

−
→
−
→
η,ξ

−
→
→
→
→
χ2Likelihood (−η , ξ ) = − ln f (−
y ;−
η)−

l=1

−
→→ −
→
−
→
subject to h (−η, ξ)= 0→
ここから、Newton Fitter と同様に、−
a =

L
∑

(

−
→
η
−
→
ξ

−
→
→
ln sl (−
η, ξ)

(5.25))
を定義すれば、同様に式 (5.16) を構成

して、


]
[

(
)
−
→ν T −
→−
→T −
−
→ −
−
→ −
→T 2
−
→
→
→
ν
ν
ν)
−
→
→
(
a
)
−
λ
h
(
a
)
−
∇
∇
∇
χ
h
(
a
a
a ν+1 − −aν
Likelihood
 a a

−
→ν+1


[−
→ −
→ −
→ ]T
λ
∇ a h T (aν )
O
( −
)
→
→
− ∇ a χ2Likelihood (−
a ν)
=
−
→ →ν
− h (−
a )(5.26)となる。
我々は MarlinKinﬁt を変更するのではなく、現在スタンドアローンで動作する Fitter を製作した。理由としては以下が挙げられる。

• MarlinKinﬁt のクラスの継承関係が複雑であり [17]、汎用化が難しいと判断したため。
• ZH → ννbb では、消失質量に soft constraint をかける必要があるが、MarlinKinﬁtでは消失物理量に soft constraint をかけることができないため2 。
• 現状の MarlinKinﬁt は ﬁt parameter の誤差伝播も計算しているが、我々の定式化では誤差伝播まで考慮できていないため。
最終的には MarlinKinﬁt への実装を実現したいが、現状ではスタンドアローンで解析を行っている。開発環境は C++である。

2

消失物理量は観測できない粒子 (ニュートリノなど) の物理量33

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6.1

5.6 Likelihood Fitter

Likelihood Fitter のアルゴリズム

我々が作成した Likelihood Fitter のアルゴリズムは以下の特徴を持っている。
[]−→ν T −
→−
−
→ −
→T 2
−
→
→
ν
ν
• ヘッセ行列 ∇ a ∇ a χLikelihood ( a ) − λh ( a ) の計算を厳密に行うのではな
く、damped BFGS 法 [9] による準ニュートン法を用いることで、正定値行列 B ν で近似する。

• Armijo の条件を用いてステップサイズの調節を行う直線探索法を用いている。
• 一般の関数の微分を取らなければいけないことから、数値微分を行っていて、導関数を手動計算する必要がない。
• 大域的最適化のため、hard constraint 上で一定間隔でサンプリングを行い、その最小値の点を初期解としているために局所解に収束しにくくなっている。
これらの特徴より、式 (5.27) を次のように修正する。
)→ →ν  ( −
−
→ −
→
Bν
− ∇ a h T (−
a )
pν
 [−
 −
→
→ −
→ −
→ ]T
∇ a h T (aν )O
λ̂ ν+1( −)→→− ∇ a χ2Likelihood (−
a ν)
=
−
→ →ν
− h (−
a )
ここで、

( −
)
→
pν
−
→
λ̂ ν+1(5.27)(5.28)

はステップサイズを評価するために一旦フルステップを保持する必要があり、このように書いた。
以下では、本研究で作成した Likelihood Fitter の準ニュートン法を用いた逐次二次計画法のアルゴリズムを述べる。

アルゴリズムkinematic ﬁt は事象毎であるから、このアルゴリズムを事象毎に繰り返す。
• 大域的最適化のために、hard constraint を満たす点上で hard constraint を満たす
エネルギー (E1 , E2 ) の組み合わせを E1 1GeV 毎にとってくる (ただし角度は測定値のまま)。そして、χ2Likelihood に (E, θ, ϕ) をエネルギー (E1 , E2 ) の各点で代入して、一番小さい χ2Likelihood のときの (E1 , E2 ) を取ってくる。(角度 (θ, ϕ) は測定値のま−→−→ま) これを、初期値とする。ただし、未定乗数 λ の初期値は 0 とする。準ニュートン法を用いるから、ヘッセ行列の近似行列の初期値 B 0 は単位行列 I とする。また、(µ, η, τ, ρ) = (0, 0.2, 0.8, 0.5) とする。
以降は各イテレーションごとに繰り返す。

34

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6 Likelihood Fitter

1. 準ニュートン法を用いた逐次二次計画法に基づき、
( −
) 
)
→ →ν −1 ( −
−
→ −
→ 2
→
−
→
ν)
Bν
− ∇ a h T (−
a )
pν
−
∇
χ
(
a
a
Likelihood−→=  [−
−
→ →ν
→ −
→ −
→ ]T
− h (−a )∇ a h T (aν )O
λ̂ ν+1(5.29)
gsl linalg LU decomp[15] で LU 分解し、gsl linalg LU invert[15]で式 (5.28) を計算する。ただし、で LU 分解から逆行列を求めるのは Newton Fitter と同様である。ここで、
−
→
−
→
→
λ̂ ν+1 − λ ν = −sν
(5.30)と定義する。

2. µ が以下の不等式
−
→T 2
T
→
→
→
→
pν
∇ χLikelihood (−a ν )−p ν + 12 −p ν Bν −µ≥−→−(1 − ρ) || h (→a ν )||(5.31)

1を満たせば、µ は更新しない。満たさなければ、µ に右辺の値を代入する。ただし、
−
→ →ν
−
→ →ν
a )||1 は h (−a ) の L1 ノルム|| h (−∑−→ →ν
|| h (−a )||1 =|hk (aν )|K(5.32)

k=1

である。ここで、α = 1 とおく。

3. メリット関数

−
→ →ν
→
→
ϕ1 (−
a ν ; µ) = χ2Likelihood (−a ν ) + µ|| h (−a )||1(5.33)

−
→
→
→
→
→
→
ϕ1 (−
a ν + α−p ν ; µ) ≤ ϕ1 (−a ν ; µ) + ηα ∇ T ϕ1 (−a ν ; µ)−pν(5.34)

に対して、不等式が満たされれば、4 に進む。満たされなければ、次に進む。
−→(二次補正 始) α = 1 であれば、下に記す二次補正の方法を用いて p̂ ν を計算する。
そして不等式

−
→
−
→
→
→
→
→
→
ϕ1 (−
aν +−
p ν + p̂ ν ; µ) ≤ ϕ1 (−a ν ; µ) + η ∇ T ϕ1 (−a ν ; µ)−pν

(5.35)−→→→
を満たせば、−
pν を−
p ν + p̂ ν に置き換えて 4 に進む。不等式を満たさなければ、αを τ α に置き換えて、3 の先頭に戻る。α ̸= 1 であれば、次に進む。(二次補正 終)α を τ α に置き換えて 3 の先頭に戻る。

4.

(

−
→
a ν+1
−
→ν+1
λ

)

(
=

と解を更新する。

35−→→
a ν + α−pν−→ν→λ + α−sν)(5.36)

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5. 収束判定として−→• 勾配ベクトルの L1 ノルム || ∇ T
10−4−→• 勾配ベクトルの L1 ノルム || ∇ T

5.6 Likelihood Fitter

[

−
→
→
χ2Likelihood (−a ν+1 ) − λ ν+1

T−
→−
h (→
a ν+1 )

]
||1 <

[
]
→−
−
→ν+1 T −
−
→
→
2
ν+1
ν+1
χLikelihood ( a)− λh(a) ||1 →∞−→ →ν
• hard constraint の L1 ノルム || h (−a )||1 = 0• α < 10−12のいずれかを満たしたらイテレーションを抜ける。ただし、1000 回目イテレーショ−→→
ンでは下の収束判定をいずれも満たさなくても抜ける。抜けたら (−a ν+1 , λ ν+1 ) を解とする。抜けなければ、以下に記す準ニュートン法の手続きに従って、更新した
解と B ν で B ν+1 を計算し、次のイテレーションに進む。
以下にアルゴリズム中に使われている、技術の詳細を記す。

数値微分
実際には、多変数関数の偏導関数を計算しているが、ここでは無関係な変数は定数と考え、一変数関数の導関数を議論する。一変数関数の導関数は

df
f (x + ∆x) − f (x)(x) = lim
∆x→0
dx
∆x

(5.37)

で定義される。ここで、f (x) が微分可能であれば、∆x を限りなく 0 に近付けられれば、
f (x+∆x)−f (x)dfは dx(x) に収束するが、数値計算上は ∆x を限りなく 0 に近付けることはで∆x
きないため、∆x を微少量で近似する。ここで、f (x + ∆x) の Taylor 展開

f (x + ∆x) = f (x) +df(x)∆x + O((∆x)2 )dx(5.38)

より、数値微分として

f (x + ∆x) − f (x)df(x) =+ O(∆x)dx∆x(5.39)と定義すると、これは二点微分と呼ばれ、Taylor 展開を有限で打ち切ることによる打ち切り
誤差が O(∆x) で発生する。これをできるだけ小さくするために、f (x + ∆x) と f (x − ∆x)の Taylor 展開df
1 d2 f(x)∆x +(x)(∆x)2 + O((∆x)3 )
dx
2 dx2
df
1 d2 ff (x − ∆x) = f (x) −(x)(∆x)2 + O((∆x)3 )(x)∆x +dx
2 dx2

f (x + ∆x) = f (x) +(5.40)(5.41)

から、(式 (5.40)-式 (5.41))/2 を計算すると、

df
f (x + ∆x) − f (x − ∆x)(x) =+ O((∆x)2 )
dx
2∆x
36

(5.42)

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6 Likelihood Fitterという三点微分を得る。三点微分は打ち切り誤差が O((∆x)2 ) に改善する。同様に、五点微分は

df−f (x + 2∆x) + 8f (x + ∆x) − 8f (x − ∆x) + f (x + 2∆x)(x) =+ O((∆x)4 ) (5.43)dx
12∆xとなり、n 点微分の場合は打ち切り誤差は O((∆x)n−1 ) となる。しかし、打ち切り誤差の他に丸め誤差を考慮する必要がある。f が丸め誤差を O(δ) で含むとすると、数値微分は
δO( ∆x) で含む。だから、n 点微分の場合の誤差は、

O((∆x)n−1 ) + O(δ)∆x(5.44)

打ち切り誤差と丸め誤差の絶対値の和が最小となるように ∆x を選ぶと、n 点微分の場合、∆x は相加相乗平均の大小関係の等号成立条件より、√
n∆x = O( δ)(5.45)であり、そのときの誤差は1

O(δ 1− n )(5.46)となる。これより、数値微分の点数を無限に増やせば誤差は O(δ)、すなわち f の丸め誤差まで改善するが、点数が有限では、どうしても下位の桁に誤差が発生することがわかる。
ここで、double 型の精度は 2 進法で 53 桁であるから、f が O(1) と仮定すると、今回は三点微分を使い、

δ = O(2−53 ) ≈ O(10−15 )(5.47)√
3∆x = O( δ) = O(10−5 )(5.48)ととればよい。このときの誤差は、O(10−15×(1− 3 ) ) = O(10−10 )1(5.49)となる。今回は ∆x を ヘッダファイル ﬂoat.h で宣言されている FLT EPSILON にしており、そのオーダーは 10−5 であるから、良い精度であると考えられる。

準ニュートン法

OPAL Fitter、Newton ﬁtter、New Fitter では、ヘッセ行列
−
→ν −
→ν
−
→ −
→
∇x ∇T
x LSQP (x , λ )(5.50)

を計算するにあたり、解析微分を用いていた。これらの ﬁtter では、ﬁt object、soft constraintが正規分布と決まっており、constraint も質量または運動量と決まっており、関数が定まっているため、手動で計算した導関数から各点の値をイテレーション毎に計算するということをしていた。即ち、ヘッセ行列は厳密であった。一方、Likelihood Fitter では、厳密なヘッセ行列の代わりに、近似したヘッセ行列を用いている。この厳密なヘッセ行列の代わりに、近似したヘッセ行列を用いる方法を準ニュートン法という。一般の関数のヘッセ行

37

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6 Likelihood Fitter

列は必ずしも正定値にならないため、収束が保証されず、ニュートン法を用いるのは危険である。近似したヘッセ行列を damped BFGS 法を用いて常に正定値に保つことができる。また、一般の関数を導入したことにより、数値微分を行っているが、厳密にヘッセ行列を計算する場合に比べ、計算量を減らすことができる。ただ、収束に関してはニュートン法より準ニュートン法は若干遅い。しかし、ヘッセ行列を damped BFGS 法を用いて常に正定値に保つことで、常に降下方向にステップをとり続け、確実に最適解にたどり着け
るようになる。以下、damped BFGS 法の計算法について述べる。
まず、正定値実対称行列 B ν が与えられているとする。sν 、y ν を以下の式で定義する。

−
→
→
→
sν =−
x ν+1 − −
xν
−
→
−
→
−
→
−
→
→
y ν = ∇L(−x ν+1 , λ ν+1 ) − ∇L
SQP

(5.51)
→ν+1
−
→ν −
)
SQP ( x , λ(5.52)→
ここで、−
r ν を以下のように定義する。
−→→→
r ν = θν −y ν + (1 − θν )B ν −sν
ただし、θν は

{
ν

θ =

1

→
→
sν
0.8−
s ν TBν −−→→→→s ν TBν −s ν −−s ν T−
yν

T →ν
T
→
→
→
(−
sν −
y ≥ 0.2−s ν Bν −
s ν)
T →ν
T
→
→
→
(−
sν −
y < 0.2−s ν Bν −s ν)(5.53)(5.54)

で定義される。
B ν の更新は

T
→
→
Bν −
s ν−
s ν Bν
rν rν TB ν+1 = B ν − −+(5.55)
T
T →ν
→
→
−
→
s ν Bν −sνsν −rである。この更新は B ν が正定値であれば、B ν+1 も正定値であることを保証する。すなわ
ち、B 0 をある正定値行列にとれば、正定値行列でヘッセ行列が近似できる。通常、B 0 は→−→ −単位行列にとる。このようにして、ヘッセ行列を常に正定値に取ることで、LSQP (xν , λν )を常に降下方向に押し進める。
ニュートン法(ヘッセ⾏列が負定値)
準ニュートン法(ヘッセ⾏列が
正定値)

変曲点
変曲点

最適解

図 5.2: ニュートン法と準ニュートン法の収束の違い

1 次元の場合にニュートン法と準ニュートン法の収束の違いを表した図が図 5.6.1 である。準ニュートン法ではヘッセ行列を常に正定値に取れ、これは 1 次元では 2 階微分が正であることに対応する。すると、上に凸の領域ではニュートン法は最適解から離れていってしまうが、準ニュートン法では凸性に関係なく、降下させることができるのである。
38

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6 Likelihood Fitter

直線探索法
今、非線形計画問題

min
−
→

→
f (−
x)

x

(5.56)−→→→
subject to −
c (−
x)= 0

を考える。この等式制約条件つき最適化問題における直線探索法では、降下方向にステッ
(
)
−
→
pν
プ
を決め、次にそのステップの方向にどれくらい動かすかというステップサイ
−
→
sν
)
(
) (
)
(
−
→
−
→
−
→
x ν+1
xν
pν
ν
ν
+α
ズ α を探索して、次の解=に更新する。最初にメ
−
→ν+1
−
→ν
−
→
s ν 3 . 1 . S T E P L E N G T H 33
λ
λ
リット関数

→
→
→
→
ν
THE WOLFE
ϕ1 (−x CONDITIONS; µ) = f (−x ) + µ||−c (−a ν )||1(5.57)−→νを定義し、降下方向にステップ
sufficient decrease inptheを決め、次にそのステップの方向にどれくらい動かす
objective function f , as measured by the following inequality:
かというステップサイズ α を探索することで最適化を進める。MarlinKinﬁt では直線探索
f (xk + αpk ) ≤ f (xk ) + c1 α∇ f kT pk ,(3.4)
法を採用している。今回も直線探索法でアルゴリズムを組んでいる。このステップサイズ
α はメリット関数 for some constant c1 ∈ (0, 1). In other words, the reduction in f should be proportional toand the directional∇ fνkT pk . Inequality (3.4) is sometimes
both the step length
→
→
→
→
ϕ1 (−
a να;k µ)= f (−x ) +derivative
µ||−
c (−
a
)||1
(5.58)
A popular inexact line search condition stipulates that αk should first of all givecalled the Armijo condition.
The sufficient decrease condition is illustrated in Figure 3.3. The right-hand-side ofに対して、(3.4), which is a linear function, can be denoted by l(α). The function l(·) has negative slope−→−→ν ; µ)the graph of φ for small positive values of (5.59)
c11∈( (0,liespabovec1 ∇ f kT pk , but because ϕa ν1),+it α
α. The sufficient decrease condition states that α is acceptable only if φ(α) ≤ l(α). The
on which this condition is satisfied are shown in Figure 3.3. In practice, c1 is chosen
が最小になるようなintervals
α を決まればよいが、これよりもっと緩い条件で良い。すなわち、メto be quite small, say c1 $ 10−4 .
リット関数の降下量
The sufficient decrease condition is not enough by itself to ensure that the algorithm−→→
ν from−makes reasonablebecause,weFigure3.3, it is satisfied for all sufficiently (5.60)
a ν ; µ)− ϕ1as(−a seep ν ; µ)ϕ1 (progress+ α→small values of α. To rule out unacceptably short steps we introduce a second requirement,
−
→
→
→
the
which requires αk to satisfy
が α と方向微分 ∇ Tcalled
ϕ1 (−a νcurvature; µ)−p νcondition,に比例すると考えて、→∇ f (x+ αk pk )T pk ≥ −c ∇ f T p ,→ν
→
→
→
→
ϕ1 (−
a ν + α−p ν ; µ) < ϕ1 (−ak ν ; µ)+ ηα ∇2 T ϕk 1 (k −a ; µ)−pν(3.5)(5.61)

for some constant c2 ∈ (c1 , 1), where c1 is the constant from (3.4). Note that the left-handside is simply the derivative φ ' (αk ), so the curvature condition ensures that the slope of φ at
これを Armijo の条件といい、ステップの上限を与える。以下の図からメリット関数をα
αk is greater than c2 times the initial slope φ ' (0). This makes sense because if the slope φ ' (α)の一次関数 ℓ(α) を基準にして切り分けていることが分かる。
φ (α) = f(xk+ α pk )
l( α)

α

acceptable

acceptable

Figure 3.3

Sufficient decrease condition.

図 5.3: Armijo の条件 [9]39第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6 Likelihood Fitter

マラトス効果逐次二次計画法では、メリット関数の評価で解に近づく良いステップが拒否され、収束が遅れてしまうことがある。これをマラトス効果という。例として、以下の問題を考える。

f (x1 , x2 ) = 2(x21 + x22 − 1) − x1minx1 ,x2

subject to x21 + x22 − 1 = 0

15.5.

(5.62)THE MARATOS EFFECT

図 5.6.1 はこの例題で実際に Maratos 効果が起きる場合の概念図である。

contours of fxkθxk + pkx*

Figure 15.8
Maratos Effect: Example 15.4.
Note that the constraint is nolonger satisfied after the stepfrom xk to xk + pk , and theobjective value has increased.

constraint x12 + x 22 = 1

図 5.4:(Pマラトス効果[9]❏ EXAMPLE 15.4
OWELL [255])∗ , x∗ )=(1,0)
Considerthe problem
この問題の最適解は (xであるが、図 5.6.1 のようなステップが選ばれた場
1 2合、これは解に近づくにもかかわらず、f2 の等高線を登ってしまい、かつ等式制約条件もmin f (x1 , x2 ) ! 2(x1 + x22 − 1) − x1 , subject to x12 + x22 − 1 ! 0.
(15.34)
満たさなくなるため、メリット関数を増加させて、棄却されてしまう。こうした解に近づ
くステップの棄却が行われて収束が遅れてしまうことがあるのである。
One can verify (see Figure 15.8) that the optimal solution is x ∗ ! (1, 0)T , that thecorresponding Lagrange multiplier is λ∗ ! 32 , and that ∇x2x L(x ∗ , λ∗ ) ! I .
Let us consider an iterate xk of the form xk ! (cos θ, sin θ )T , which is feasible for any
次に述べる二次補正によって、この問題を緩和する。
value of θ . Suppose that our algorithm computes the following step:

二次補正

pk !

!

sin2 θ
− sin θ cos θ",(15.35)Maratos 効果による問題を緩和する方法の一つとして、二次補正がある。これは、ステッ
プによって等式制約条件が満たされない点に移らないように、等式制約条件を2 次まで近which yields a trial point
似してやるという方法である。具体的な定式化として、通常、逐次二次計画法では式 (5.8)!
"
cos θ + sin2 θ
のように
[−
.
−
→ ]Txk→+ν pk !
→ −
−
→
→
→
∇ →
c T (xν ) −
p +−
c (−
xsinν )θ (1= −0cos θ )(5.63)
x−→と一次近似しているが、ここから求まる、
p ν を基に、もう一度
By using elementary trigonometricidentities, we have that
[−
]
T
−
→
−
→
→ −
−
→
−
→(−
→
→
ν
2x
∇ x→
c Tk (+xνp)k − xp̂∗ %ν2 ++−p ν ) %x=k −0 x ∗ %2 ! 2| sin(θ/2)|, (5.64)! 2csin(θ/2),%x40441

第 5 章 ﬁtter のアルゴリズム

5.6 Likelihood Fitter−→
一次近似で p̂ ν を求めてやることを考えれば、()[−→ν ] [−→ν ]T [−
→ν ] −1 −
−
→ν
→ −
→ −
→ −
→
→
→
→
→
→
T −
T −
T −
p̂ = − ∇ x c (x )∇ x c (x )∇ x c (x )
c (−
xν +−
p ν)

(5.65)[−−→→ →T −→ ]Tに左から ∇ x −c (xν ) をかけると式 (5.65) になることから式 (5.65) から p̂ ν が計算される。メリット関数が減少せず、かつ α = 1 の場合に二次補正を行う。

41

第 6 章 解析対象
kinematic ﬁt の性能を評価するにあたり、解析する反応過程が必要である。本章では本研究における信号事象と主要背景事象およびその特徴を述べ、kinematic ﬁt を用いる下準
備として物理量による事象選択を行っておく。kinematic ﬁt は物理量による事象選択を行ったうえでさらに純度を高めるという目標や、物理量による事象選択を行わなくともこれと同水準あるいはそれ以上の純度を実現するという目標があるものの、本研究においては現在はまだ kinematic ﬁt がどのような場合に有効かを評価するには至っていない。最後にこの信号事象における kinematic ﬁt の具体的定式化について述べる。

6.1

信号事象と主要背景事象

信号事象

e+ e− → ZH → ννbb 事象
b
e−
H

b

Z

Z

ν

e+
ν

図 6.1: 信号事象
この事象を信号事象とする理由は以下の通りである。

1. 250GeV でのヒッグス粒子主要生成、崩壊過程であること
2. エネルギー分解能が非対称となる b ジェットを含んでいること
3. b クォーク以外はニュートリノで測定されず、b クォークの信号がきれいに見えること42

第 6 章 解析対象

6.1 信号事象と主要背景事象

4. soft constraint を Z ボソンの質量をかけられること
1 について、電子と陽電子が始状態の場合のヒッグス主要生成過程は図 6.2 の 3 過程が考えられる。図 6.2 の上段の過程は ZH 過程、中段の過程は WW 融合過程、下段の過程はZZ 融合過程という。標準理論におけるヒッグス質量 mH = 125[GeV]、偏極率 (P− , P+ ) =(−0.8, +0.3) におけるそれぞれの過程の反応断面積を図 6.3 に示す。ZH 過程は赤、WW 融
合過程は青、ZZ 融合過程は緑である。ZH 過程は重心系エネルギー 250GeV におけるヒッ
グス主要生成過程である。また、標準理論におけるヒッグス粒子の崩壊分岐比を表 6.1 に示す。これより H → bb はヒッグス主要崩壊過程である。
e−

Z

Z

e+

H

ZH 過程

e−

ν

W−
H
W

e+

WW 融合過程

e−

+

ν

e−

Z
H

図 6.3: ZH・WW 融合・ZZ 融合の断面積比
較 [21]Ze+

ZZ 融合過程e+

図 6.2: ZH・WW 融合・ZZ 融合のファイン
マン図
また２について、b クォークは第 7 章で述べるようにハドロン化した後、メソンから崩壊する際にニュートリノを放出する場合があり、これは消失物理量となるため、例えば bジェットのエネルギー測定値はエネルギーの低い方に裾を引いた非対称分布となる。こうしたエネルギー分解能は正規分布では表せず、現在の MarlinKinﬁt では扱えないのである。

43

第 6 章 解析対象

6.1 信号事象と主要背景事象

a.u.

表 6.1: ヒッグス崩壊分岐比 (SM)(MH = 125[GeV])[13]
崩壊過程

崩壊分岐比

H → bb
H → WW∗
H → τ +τ −H → gg
H → cc
H → ZZ ∗H → γγ

0.578
0.216
0.064
0.086
0.029
0.027
0.002

0.1

EMC
jet =20.0 GeV

0.08

Ejet =45.5 GeV

MC

EMC
jet =100.0 GeV

0.06
0.04
0.02
0

0

20

40

60

80

100

120

Rescaled Ejet [GeV]
図 6.4: b ジェットエネルギー分解能
図 6.1 は b ジェットのエネルギーの真値が 20.0GeV(赤)、45.5GeV(緑)、100.0GeV(青) におけるジェットのエネルギーの測定値の分布である。ただし、IDR(ILD Design Report)1 を測定器モデルに想定したサンプルの e+ e− → Z → bb サンプル (以下 b ジェットサンプル) を用いて図 6.1 を作った。7.2 で述べる Durham アルゴリズムを用いてジェット 2 本にまとめ上げた後のジェット 1 本のエネルギーの測定値を横軸に、事象数を縦軸にとっている。(e+ e−の重心系衝突エネルギー (40.0GeV(赤)、91.0GeV(緑)、200.0GeV(青)) 毎にジェットエネ
ルギーの真値をビームエネルギーの半分 (20.0GeV(赤)、45.5GeV(緑)、100.0GeV(青)) に規格化したときの測定値の分布である (測定値も真値の規格化で等倍されている)。) ジェッ
トエネルギーの真値については第 7 章で述べる。3 については kinematic ﬁt で非正規分布を扱えるようにするという目的に焦点を絞るために単純化するものである。ただしニュー
トリノは観測されないため、4 元運動量の保存を物理的制約条件としてかけられないとい1

現時点での最新の ILD モデルとソフトウェアの設計書

44

第 6 章 解析対象

6.1 信号事象と主要背景事象

う難しさもある。4 は hard constraint と soft constraint の両方の確認ができるという意味合いである。信号事象の特徴として• s 過程 (e+ e− の衝突でできる重心系で静止している Z ボソンからヒッグス粒子と Z
ボソンは逆方向に等方的に崩壊する。)• 2 jet の質量=ヒッグス粒子の質量• missing 質量=Z ボソンの質量• 孤立した荷電レプトンを終状態に含まないが挙げられる。

主要背景事象• ννqq(4f (sznu,zz) sl) 事象• lνqu qd (4f ww sl) 事象• f f (2f z (l,h)) 事象• eγ → νqq((ae,ea) vxy) 事象qe−qu (qd )
e−

Z

W

q

q d (q u )

Z

ν
e+

ℓ(νℓ )

WZ+e

ν ℓ (ℓ)ν

図 6.6: ℓνqu qd 事象

図 6.5: ννqq 事象
e−

f

e−

νe

Z
W−

qu

γ

e+

qd

f

図 6.8: eγ → νqq 事象

図 6.7: f f 事象

45

第 6 章 解析対象

6.2 事象選択

ここで、上のファインマン図で示す過程は 1 つの背景事象に含まれるたくさんの過程の 1
つであることに注意してほしい。1 つの背景事象というのは、主に終状態の粒子で区別されるものである [22]。

6.2

事象選択

シミュレーション条件√
重心系エネルギー s = 250 [GeV]
スピン偏極度 (P− , P+ ) = (− 0.8, +0.3)
ヒッグス崩壊分岐比 (SM) (BR(H → bb) = 57.8%)∫
積分ルミノシティ Ldt = 900[fb−1 ]測定器モデル DBD (2012)[5]2

事象再構成の手順
粒子再構成 PFA[19]ジェット再構成 Durham アルゴリズム(すべての事象に対して、粒子を２本のジェットにまとめあげる。7.2 参照)
ジェットフレーバー同定 Btag[14]以上の環境で解析を行った。

選択条件

1. 80 < Mmiss < 140 [GeV]√→→
Mmiss = (Ecm − E1 − E2 )2 − (−p1 + −p2 )2
2. 20 < PT vis√ < 70 [GeV]
PT vis =(p1 x + p2 x )2 + (p1 y + p2 y )2

3. PLvis < 60[GeV]
PLvis = |Pz 1 + Pz 2 |4. Ncharged > 10
Ncharged :2 本のジェット中の全荷電粒子数
5. Pmax < 30[GeV]
Pmax :PFO 中の運動量の大きさの最大値
2

検出器詳細基礎設計書 (Detailed Baseline Design)(2012 年) に基づく測定器シミュレーションを行った
サンプルを用いている。

46

第 6 章 解析対象

6.2 事象選択

6. Y23 < 0.02
Y23 :ジェットの本数を 3 本から 2 本に束ねるときの Y 値 (7.2 Durham アルゴリズム
参照)
7. 0.2 < Y12 < 0.8
Y12 :ジェットの本数を 2 本から 1 本に束ねるときの Y 値 (7.2 Durham アルゴリズム
参照)
実際には 2 本までしか束ねていないが、仮想的に 1 本まで束ねた場合の値である。
8. 105 < Mjj < 135[GeV]√→→
Mjj = (E1 + E2 )2 − (−p1 + −p2 )2
9. bprob1,2 > 0.5 bprob1,2: b ジェット選定 [14]10. coplanarity < 3.08
coplanarity:xy 平面上に射影したジェット 1、ジェット 2 の運動量のなす角(0 ≤ coplanarity ≤ π)
11. cos j12 < −0.46
cos j12:衝突重心系から見たときのジェット１とジェット 2 のなす角
まず、1 は消失質量に Z ボソンの質量を要求することで、崩壊元に Z ボソンを含まない過程を排除する。2 は消失粒子 (Z ボソンから崩壊するニュートリノ) がない事象を排除するために横運動量 PT vis に下限を設ける。ただし、信号事象は Z ボソンの 2 体崩壊であり、消失運動量に上限もあるから、横運動量 PT vis に下限を設ける。3 は t 過程は縦運動
量 PLvis が大きくなる傾向があるため、t 過程を排除するために、縦運動量 PLvis に上限を設ける。4 は終状態がレプトンのみの事象を排除するため、荷電粒子数 Ncharged に下限を設ける。5 は孤立荷電レプトンは運動量が大きくなる傾向があり、終状態に孤立荷電レプ
トンを含む事象を排除する他、2f 過程のように終状態の粒子の運動量が大きい事象を排除する。Y 値の定義は 7.2 に譲るが、Y 値はジェットを何本まで束ねるのが適切かの指標になる。ジェットを n 本まで束ねるのが適切である場合、Yn,n+1 まで Y 値は小さく、Yn−1,nから大きくなる傾向がある。ここで、図 6.9 に Y 値の大小とジェットの本数の関係を示した。6 は信号事象はジェット 2 本、ニュートリノ 2 本なので、Y23 は小さくなる。7 はニュートリノのためにブーストされているから Y12 は大きくはないが 1 ジェットではないので小さくもない。8 は 2 ジェット質量にヒッッグス粒子の質量を要求する。9 は Btag[?]
で b クォークらしさを課す。10 は f f 事象のように 2 個のフェルミ粒子が逆方向に放出される事象を排除し、11 はヒッグスより軽くブーストされやすい Z から qq に崩壊し、2 本のジェットのなす角が小さくなる事象 (ννqq) を排除する。なお、1-9 の選択条件は先行研
究 [23] で行われていたもので、本研究で追加した選択条件は 10 と 11 である。

47

第 6 章 解析対象

6.2 事象選択

Y値 ⼩

Y23

⼤

⼩
signal

Y12

4 jet

2f

⼤

図 6.9: Y 値によるジェットの本数の評価
事象選択結果を表 6.2 に載せる。ここで終状態が信号事象と同じ ννqq 事象が多く残る。
今後の章で kinematic ﬁt の確認を行う際、背景事象は全て ννqq 事象を用いた。また、先行研究では eγ や γγ を始状態とする事象は含まれていなかったが、今回含んで解析したことで、先行研究の事象選択 (1-9) でほとんど残らないことを確認した。
表 6.2: 事象選択
条件番号

選択条件
事象生成数3

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

3

80 < Mmiss < 140 [GeV]
20 < PT vis < 70 [GeV]
PLvis < 60[GeV]
Ncharged > 10
Pmax < 30[GeV]
Y23 < 0.02
0.2 < Y12 < 0.8
105 < Mjj < 135[GeV]
bprob1,2 > 0.5
coplanarity < 3.08[rad]cos j12 < −0.46

ννH(H → bb)

ννH

(H
→bb)

40333
35087
31620
31181
31181
29077
21837
20164
17925
11327
10902
10816

29447
18773
16668
16238
15447
13635
4640
4397
3795
44
42
40

反応断面積と積分ルミノシティーから求まる

48

ννqq

lνqu qdff

1.02e+6 9.89e+6 8.19e+7500845 1.15e+6 7.73e+6318747 804038 658021
173041 563153 460775
173007 563138
99090
152515 368915
45531
111609
91723
32126
88250
76468
25126
11657
27196
11720
1373
21
1976
1326
21
315
1072
21
315

2f,4f other eγ → νqq
4.87e+7
2.03e+6
1.27e+6
987929189194
44629
15869
12799
6116
82
78
74

1.11e+6
431090310855192999192978173796133085
98468
2963
5
5
5

eγ,γγ other
1.82e+8
1.82e+8125534
27683
5895
1574
692
552
240
7
0
0

第 6 章 解析対象

6.2 事象選択-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.8
-1

1800
nnH
1600
4f_(sznu,zz)_sl
1400
4f_ww_sl
1200(ae,ea)_vxy
1000
2f_z_(l,h)
800
other
600
400
200
0
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Di-jet mass(GeV)
図 6.10: 先行研究における事象選択 (1-9) 後の全事象の再構成 2 ジェット質量 (w/o kinematic ﬁt)-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.10
-1

1600
1400
1200
1000

nnH
4f_(sznu,zz)_sl
4f_ww_sl(ae,ea)_vxy
2f_z_(l,h)

800
600
400

other

200
0
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Di-jet mass(GeV)
図 6.11: 本研究における事象選択 (1-11) 後の全事象の再構成 2 ジェット質量 (w/o kinematicﬁt)49

第 6 章 解析対象

6.3 解析対象における kinematic ﬁt

図 6.10 は先行研究における事象選択 (1-9) 後の全事象の再構成 2 ジェット質量 (w/okinematic ﬁt)、図 6.11 は本研究における事象選択 (1-11) 後の全事象の再構成 2 ジェット質量 (w/o kinematic ﬁt) を表している。ννqq(4f (sznu,zz) sl) 事象および f f (2f z (l,h)) 事象が排除されていることが分かる。2 ジェット質量は大きく質量が低い方に裾を引いている。

6.3

解析対象における kinematic ﬁtδθ

信号事象を定めたので、χ2Likelihood の具体的定式化ができる。しかし、ﬁt object のエネ
ルギーについては、非対称のエネルギー分解能を評価することからやや複雑な手続きを踏む必要がある。したがって、ﬁt object のエネルギー分解能評価は第 7 章に譲り、ここでは ﬁt object のうち角度および soft constraint と hard constraint の表式を記す。
まず、信号事象の終状態は 2 本のジェットと 2 本のニュートリノである。ここで、ジェットは 1 本につき (E, θ, ϕ) を ﬁt object に入れるのは 4.1 で述べた。ニュートリノは観測できないのでニュートリノの物理量は ﬁt object には含めない。ﬁt object の角度 (θ, ϕ) は正規分布として、ﬁt object に含む。

[GeV]

0.04

20
45.5

0.03

100

0.02

175

0.01
0

250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|cosθ|

図 6.12: b ジェットのエネルギー毎の θ を正規分布でフィットしたときの標準偏差 σθ

50

6.3 解析対象における kinematic ﬁt

δφ

第 6 章 解析対象

[GeV]

0.2

20

0.15

45.5
100

0.1

175

0.05
250

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|cosθ|

δφ * sinθ

図 6.13: b ジェットのエネルギー毎の ϕ を正規分布でフィットしたときの標準偏差 σϕ

[GeV]

0.04

20
45.5

0.03

100

0.02

175
250

0.01
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|cosθ|

図 6.14: b ジェットのエネルギー毎の ϕ を正規分布でフィットしたときの標準偏差 σϕ ×sin θ
上図は θ の分解能、ϕ の分解能および ϕ の分解能 × sin θ を | cos θ| を横軸にプロットしたものである。ただし、IDR サンプルの b ジェットサンプル (e+ e− → bb) を用いている。
ヒストグラム の右に表示されているエネルギーはサンプルの重心系衝突エネルギーの半分の値である。ただし、ジェット 1 とジェット 2 は区別なくジェットとみなしてヒストグラ
ムを作った。ヒストグラムを正規分布でフィットしたのは下図となる。ただし、横軸は (bジェットサンプルのジェットの放出角度の測定値)-(b ジェットサンプルのパートンの放出角度) に θ の場合は何もかけず、ϕ の場合はこれに sin θtrue (ただし、θtrue は b ジェットサ

51

第 6 章 解析対象

6.3 解析対象における kinematic ﬁt

ンプルのパートンの放出角度、ϕtrue も同様) をかけたものを用いている。これは、ジェット角度分解能 σθ は θ に依存せず、E にのみ依存させてよいと上図から読み取れ、また、
ジェット角度分解能 σϕ に関しては立体角を考慮して、sin θσϕ が E にのみ依存させて良いと読み取れるからである。m
57797

Mean
Std Dev
χ 2 / ndf

− 0.0003243
0.062095257 / 123
0.08088 ± 0.00057−0.0004399 ± 0.0001956
0.04484 ± 0.00025

p0
p1
p2

0.1

s/2 = 45.5 GeV {|cosθ|<0.7}

hbb_E91
Entries59399
Mean−5.139e −05
Std Dev0.03851
χ2 / ndf
6170 / 98
p00.1609 ± 0.0011
p1−7.843e −06 ± 9.639e −05
p2
0.02222 ± 0.00012

0.2

s/2 = 100 GeV {|cosθ|<0.7}

a.u.

a.u.

hbb_E40
Entriesa.u.

s/2 = 20 GeV {|cosθ|<0.7}

hbb_E200
Entries60332
Mean
4.552e −05
Std Dev0.03017
χ2 / ndf
7156 / 100
p00.2886 ± 0.0020
p1
2.138e −05 ± 5.284e −05
p2
0.01218 ± 0.00007

0.3

0.15
0.2
0.1

0.05

0.1
0.05

0

0.5

0
−1

1

mc
δθ ≡ θrecj -θjs/2 = 175 GeV {|cosθ|<0.7}

hbb_E350

a.u.

EntriesMean
Std Dev
χ2 / ndf
p0
p1
p2

0.3

61303
0.0001164
0.02777004 / 95
0.416 ± 0.003
2.86e −05 ± 3.65e −05
0.008494 ± 0.000036

−0.5

0

0.5

0
−1

1

mc
δθ ≡ θrecj -θjs/2 = 250 GeV {|cosθ|<0.7}

hbb_E500
Entries61103
Mean−0.0001165
Std Dev0.02543χ2 / ndf
6186 / 96
p00.4706 ± 0.0027
p1−4.42e −05 ± 3.26e −05
p2
0.00762 ± 0.00003

0.4
0.3

−0.5

0

0.5

1

mc
δθ ≡ θrecj -θjGaussian-Sigma {|cosθ|<0.7}

χ2 / ndf

sigma (p2)

−0.5

a.u.

0
−1

p0

1.291e −05 ± 1.855e −07

p1

1.125 ± 0.008894

p2

5.399 ± 0.2842

27.15 / 2

0.04
0.03

0.2

0.2

0.1

0.1

0
−1

0
−1

0.02
0.01
−0.5

0

0.5

1

mc
δθ ≡ θrec
j -θj

−0.5

0

0.5

1

0

mc
δθ ≡ θrec
j -θj

50

100

150

200

250

s/2 [GeV]

図 6.15: b ジェットのジェットエネルギー毎の正規分布による θmeas − θtrue のフィット
結果

a.u.
0.1

57797
0.001698
0.059155368 / 106
0.08484 ± 0.00059
0.001305 ± 0.000186
0.04231 ± 0.00023

s/2 = 45.5 GeV {|cosθ|<0.7}

hbb_E91

0.2

Entries

59399

Mean
Std Dev
χ 2 / ndf

0.0009406
0.037035824 / 98
0.161 ± 0.001
0.0007593 ± 0.0000965
0.02225 ± 0.00012

p0
p1
p2

s/2 = 100 GeV {|cosθ|<0.7}

a.u.

hbb_E40
EntriesMean
Std Dev
χ2 / ndf
p0
p1
p2

a.u.

s/2 = 20 GeV {|cosθ|<0.7}

hbb_E200

0.3

Entries

60332

Mean
Std Dev
χ 2 / ndf

0.0006543
0.027896798 / 85
0.2844 ± 0.0020
0.0004637 ± 0.0000537
0.01241 ± 0.00007

p0
p1
p2

0.15
0.2
0.1

0.05

0.1
0.05

0

0.5

0
−1

1

(φrec-φmc)*sinθmcjs/2 = 175 GeV {|cosθ|<0.7}

a.u.

0

Entries

61303

Mean
Std Dev
χ 2 / ndf

0.0004283
0.025936777 / 93
0.4029 ± 0.0025
0.0003027 ± 0.0000377
0.00879 ± 0.00004

p0
p1
p2

0.5

0
−1

1

(φrec-φmc)*sinθmcjhbb_E350

0.3

−0.5

j

s/2 = 250 GeV {|cosθ|<0.7}

hbb_E500

0.4

Entries

61103

Mean
Std Dev
χ 2 / ndf

0.0004098
0.024
6002 / 87
0.4584 ± 0.0026
0.0002476 ± 0.0000336
0.007833 ± 0.000030

p0
p1
p2

0.3

−0.5

0

0.5

1

(φrec-φmc)*sinθmc

j

j

j

Gaussian-Sigma {|cosθ|<0.7}

χ2 / ndf

sigma (p2)

−0.5

a.u.

0
−1

p0

1.301e −05 ± 1.994e −07

p1

1.189 ± 0.009873

p2

8.468 ± 0.3298

0.04

17.29 / 2

0.03

0.2

0.2

0.1

0.1

0.02
0.01
0
−1

−0.5

0 rec

0.5
mc

mc1

(φ -φ )*sinθ
j

j

0
−1

−0.5

0 rec

0.5
mc

mc1

(φ -φ )*sinθ
j

j

0

50

100

150

200

250

s/2 [GeV]()
図 6.16: b ジェットのジェットエネルギー毎の正規分布による sin θtrue ϕmeas − ϕtrue のフィット結果図 6.15 および図 6.16 は左上から b ジェットサンプルのビームエネルギーの半分が 20GeV、52

第 6 章 解析対象

6.3 解析対象における kinematic ﬁt

45.5GeV、100GeV、175GeV、250GeV における θ および ϕ のそれぞれの正規分布におけるフィット結果である。ただし、統計量を確保するために θ に関して | cos θ| < 0.7 を満たすものについてまとめてヒストグラム にしている。| cos θ| が大きいものはビーム軸方向に飛び、分解能が相対的に悪いため除外する。正規分布でフィットした標準偏差を横軸をビームエネルギーの半分としてプロットしたものが右下である。これを関数
f (x; A, B, C) = Ax +

B
x+C

(6.1)

でフィットしたものである。このように内挿して間の点を求める。
以下では χ2Likelihood の具体的表式について述べる。ただし、xmeas は物理量 x の測定
値、xtrue は物理量 x の真値である。また、添字 1 と 2 はジェット 1 とジェット 2 を表し、
E1meas ≥ E2meas となるように 1 と 2 が決まる。まずは ﬁt object 部分についてである。角度については前述したように σθ (E)、sin θσϕ (E) より、σθ (E)、σϕ (E, θ) を計算する。

χ2f it object = − 2 ln f (E1meas , E2meas , θ1meas , θ2meas , ϕmeas, ϕmeas; E1true , E2true , θ1true , θ2true , ϕtrue, ϕtrue)
1
1
1
1− 2 ln fE (E1meas , E2meas ; E1true , E2true )
1

− 12

1

− 12

− 2 ln √e2πσθ21( measθ1(− 2 ln √e2πσϕ2 1

true
−θ1
σθ
1

)2

ϕmeas
−ϕtrue
1
1
σϕ
1

)2

)2

(

)2

− 12

1

− 12

− 2 ln √e2πσθ22− 2 ln √( meas

1

e

θ2

true
−θ2
σθ
2

ϕmeas
−ϕtrue22σϕ22πσϕ2 2= − 2 ln fE (E1meas , E2meas ; E1true , E2true ))2 ( meas)2( meas− θ1trueθ2− θ2trueθ1++ ln 2πσθ21 + ln 2πσθ22
+
σθ1
σθ2
)2 ( meas)2( meas− ϕtrue
ϕ2− ϕtrue
ϕ1
1
2+++ ln 2πσϕ2 1 + ln 2πσϕ2 2
σ ϕ1
σ ϕ2
(6.2)
ただし、角度分解能の σ(E, θ) は本来真値の関数としてとるべきだが、今回は測定値の関数となっている。また、σ(E, θ) 変数 E については、b ジェットサンプルの重心系エネル
ギーの半分としている。soft constraint に関して Z ボソンの質量は Breit-Wigner 分布に従うから、

χ2sof t constraint = − 2

L∑

sl (E1true , E2true , θ1true , θ2true , ϕtrue, ϕtrue)11

l=1= −2 ln(1+1Mmis −MZ

)2

(6.3)

ΓZ
2

ただし、MZ = 91.1876[GeV]、ΓZ = 2.5[GeV] である。これは、図 6.17 に信号事象の Z ボ
ソンから崩壊したニュートリノの MC 情報を用いて Z ボソンの質量をヒストグラムで表せ53

第 6 章 解析対象

6.3 解析対象における kinematic ﬁt

ば、Breit-Wigner 分布 (青線) でフィットすると概ね当てはまることからも明らかである。
ただし、重心系 4 元運動量を

 

ECM
250[GeV] p  x CM   1.75[GeV] 
=
(6.4)

 

 py CM   0[GeV] pz CM

0[GeV]

として4 、
2
Mmis= (ECM − E1true − E2true )2
→
→
− (p
− |−
p | sin θtrue cos ϕtrue − |−p | sin θtrue cos ϕtrue )2
x CM

1

2
1
1
2
2
−
→
−
→
true
true
true
true 2− (py CM − | p 1 | sin θ1 sin ϕ1 − | p 2 | sin θ2 sin ϕ2 )→→− (pz CM − |−p 1 | cos θ1true − |−p 2 | cos θ2true )2

とすれば、




EventsMmis =

(6.5)

√

2
M2
(Mmis
≥ 0)
√ mis
2
 − −M 2
mis (Mmis < 0)(6.6)

fit (Breit-Wigner)
generator-level

103
102
10
60 70 80 90 100 110 120

MZ→νν [GeV]
図 6.17: Z ボソンの質量 (MC 情報)
4

電子のビーム軸と陽電子のビーム軸は 14 mrad で交わっているから、px CM = 250 sin( 14×10
21.75[GeV]

54

−3

) ≃

第 6 章 解析対象

6.3 解析対象における kinematic ﬁt

Events

HiggsMassMC

60000
40000
20000
0
100

110

120

130

140

150

MH [GeV]
図 6.18: ヒッグス粒子の質量 (MC 情報)
ヒッグス粒子の崩壊幅は MC 情報で図 6.18 のように無視されているため、hard constraintとするのがよいであろう。hard constraint は−→ true true true true true trueh (E1 , E2 , θ1 , θ2 , ϕ1 , ϕ1 ) = Mjj − MH

(6.7)

と書ける。ただし、MH = 125[GeV] であり、Mjj は 2 ジェット質量で、2
Mjj= (E1true + E2true )2
→
→
− (|−
p | sin θtrue cos ϕtrue + |−p | sin θtrue cos ϕtrue )2
1

1

1

1

2

2

2

2

→
→
− (|−
p 1 | sin θ1true sin ϕtrue+ |−p 2 | sin θ2true sin ϕtrue
)2
1
2
→
→
− (|−
p | cos θtrue + |−p | cos θtrue )2
1

ここで、

→
|−
p i| =

√

(6.8)

2

2

Eitrue − m2i(6.9)と定義される。ここで、mi は Particle ID[18] から計算されるジェットの質量である。最適化に当たり xtrue が変数となり、最適解へ収束してゆく。ここで、kinematic ﬁt に精通した方であれば、なぜヒッグス粒子の質量と Z ボソンの質量を両方 constraint に入れ、
フィット対象としたか疑問に思われるかもしれない。kinematic ﬁt はフィットしない量を残しておき、フィットしない量がどの程度フィット後に信号事象で想定される値に近いかで信号事象と背景事象を分ける方法もある。しかし、今回は ﬁt object および constraintに用いる物理模型を完全に再現し、信号事象が確実にフィットされ背景事象はフィットされにくいという ﬁtter を目指しているから、物理模型の誤りを吸収してしまう自由度を設けず、かつ信号事象を確実に ﬁt するため、すべての constraint をフィット対象としているのである。

55

第 7 章 ジェットエネルギー分解能
事象再構成においてはジェットエネルギーの分解能を特に考慮する必要がある。ここではまず、ジェットについて簡単に説明し、ジェットのエネルギー分解能を評価して ﬁt
object 関数のエネルギーの部分を正しく構築するところまでを目指す。

7.1

ジェット

クォークやグルーオン (以下、まとめてパートンと呼ぶ) といった強い相互作用に関与する粒子は色という量子数を持つ。しかし、観測される粒子は色を持たない白色の状態であり、パートンは単体で観測することはできない。こうしたパートンは生成してから色を持たない白色のバリオンやメソン (以下、まとめてハドロンと呼ぶ) といった粒子になるま
でにハドロン化という過程を経る。このハドロン化で生成したハドロンと元のパートンは多数のパートンの相互作用でハドロン化が起きるために対応づけることができない。ハドロン化を経て多数のハドロンなどからなる多数の粒子の束が観測される。この粒子の束をジェットという。

7.2

ジェットクラスタリング

強い相互作用によるハドロン化が起きた結果、ハドロンの粒子群であるシャワーが観測される。ハドロンがどのパートンから生成したか同定することはできないから、原理的にシャワーを元のパートン毎に分離することはできない。しかし、元来同一の粒子であったであろう２粒子をまとめ上げることを繰り返すことで、仮想的にシャワーを目的の本数のジェットに分離することができ、これをジェットクラスタリングという。今回の解析ではジェットクラスタリングに LCFIPlus[14] の Durham アルゴリズムを用いている。Durram
アルゴリズムにおける Y 値は以下の式で定義される。[11]()
2 min{k,l} Ek2 , El2
Y =(1 − cos θkl )
(7.1)
2
Evis
ここで、ジェットとは目的の本数までまとめ上げた状態の粒子の束を指し、目的の本数にまとめ上げるまでの現在の粒子の束を擬ジェットと呼ぶことにする。定義として {k,l} はまとめ上げたい擬ジェットの組み合わせであり、Ei は擬ジェットのエネルギー、θkl は k
番の擬ジェットと l 番目の擬ジェットのなす角である。Evis はジェットクラスタリング対
象の粒子のエネルギーの総和である。ジェットは次の手順でまとめ上げる。
まとめ上げるべき全ての擬ジェットの組み合わせ {k,l} について、Y 値を計算し、Y 値が最も小さい組み合わせ {k,l} のジェットをまとめて、1 つのジェットにする。このとき、まとめ上げられた擬ジェットの四元運動量は和をとる。これを繰り返し、目標のジェットの56

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.3 ジェットエネルギー分解能の評価本数になるまで繰り返す。
こうして、擬ジェットは目標のジェット本数までまとめ上げられるが、この本数は任意である。したがって、Durham アルゴリズムにおいてはまとめ上げるジェットの本数は任意に選べる。今回は終状態が b クォーク対であるから、2 本までまとめ上げる。

7.3

ジェットエネルギー分解能の評価

サンプル b ジェットサンプル e+ e− → bb(IDR)
信号事象の偏りの影響を受けず、測定器の分解能だけを評価したい。解析は DBD サ
ンプルで行っているが、b ジェットサンプルは DBD サンプルには存在しないため、
IDR サンプルの b ジェットサンプルを用いた。
ジェットクラスタリング Durham アルゴリズム
ジェットエネルギー分解能の評価において重要な点は 2 つである。

• ジェットエネルギーの真値をどう定義するか• (E true , E meas ) の組から ﬁt object はどのように構成するかそれぞれについて見ていく。ただし、E true 、E meas はジェットエネルギーの真値と測定値の関係である。

7.3.1

ジェットエネルギーの真値

ハドロン化前後の粒子を対応づけることは原理的にできないと 7.1 で述べた。ゆえに、ジェットエネルギーの真値は測定値がハドロン化後の情報であるから、ハドロン化後の情報を採用すべきである。以下に本解析で用いたジェットエネルギーの真値の定義方法を述べる。

1. e+ e− の衝突で生成されたクォークやグルーオンがハドロン化した後の粒子をシミュ
レーションしたものである MC Particle の全ての粒子 (モンテカルロ情報なので、ニュートリノも含む) の (3 元) 運動量と測定値によりジェットクラスタリングされたジェットの (3 元) 運動量のなす角の最も小さいジェットにその MC Particle の粒子
は属することにする。(ただし、ニュートリノは親の B メソンや C メソンと運動量の向きが大きく異なる場合があるため、親粒子の運動量で判定する)
2. そのジェットに属することになった MC Particle の全ての粒子のエネルギーを足し合わせる。(ただし、ニュートリノは判定に使うのは親だが足すのはニュートリノ自身のエネルギーであるから注意する。)
これで、各事象、ジェット 1 とジェット 2 毎に (E true , E meas ) の組ができる。

57

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.3.2

7.3 ジェットエネルギー分解能の評価

ﬁt object の構成

各事象、ジェット 1 とジェット 2 毎に (E true , E meas ) の組ができたが、現状では b ジェッ
トサンプルの重心系衝突エネルギーは 40GeV、91GeV、200GeV、350GeV、500GeV と 5 点(各点 50000 事象) しかない。さらに、E true は若干のずれがあるとはいえ、多くは b ジェッ
トサンプルの重心系衝突エネルギーの半分付近に分布している。したがって、E meas に比べて、E true は局所的に分布していることになる。このことを踏まえて ﬁt object をどのように構成するかについて述べる。図 7.1 は b ジェットサンプルにおいて、横軸を (E true -重心系衝突エネルギーの半分)/重心系衝突エネルギーの半分、縦軸を (E meas − E true )/E true
とおいたときの散布図であり、上段はジェット 1、下段はジェット２である。また、左から順に b ジェットサンプルの重心系衝突エネルギーは 40GeV、91GeV、200GeV、350GeV、500GeV である。この図からわかることは、ジェット 1 よりジェット 2 の方が非対称性が大きいこと、E true は重心系衝突エネルギーの半分付近に多く位置していることである。前者の理由はジェット１はジェット 2 より E meas が大きいために、ハドロン化後にニュートリノを出すレプトン崩壊やセミレプトン崩壊をあまり起こしていないことが考えられる。
後者の理由は b ジェットサンプルでは 2 つの b クォークが back to back に出るためにエネルギーが偏りにくいことが考えられる。

ﬁt object の確率密度関数であるが、これには２通りの構成方法がある。
方法 1 真値の推定値が E true であるときの測定値 E meas の分布を用いる方法
方法 2 測定値が E meas であるときの真値の推定値 E true の分布を用いる方法
方法１は E meas に比べて、E true は局所的に分布している場合でも比較的容易に準備できる
反面、イテレーション毎に分布を取り直す必要がある。方法 2 は局所的に分布している場
合は準備が煩雑になるがイテレーション毎に分布を取り直す必要がない。以下に方法 1 お
よび方法 2 における ﬁt object 構成方法を述べる。なお、本研究では方法 2 を用いている。
方法 1
方法 1 は真値の推定値が E true であるときの測定値 E meas の分布を用いる方法であるか
ら、真値の推定値が E true である事象を多く集めればよい。

1. E true の多くは重心系衝突エネルギーの半分付近に位置していることを考えると、
E true を重心系衝突エネルギーの半分に規格化して、E meas をそれに比例させて重心系衝突エネルギーの半分/E true 倍すれば、真値の推定値が E true である事象を多く集められる。
2. これを用いて真値の推定値が E true であるときの測定値 E meas の分布をサンプルの重心系衝突エネルギー毎に作り、同じ関数で重心系衝突エネルギー毎にフィットする。
3. 関数のフィット値を縦軸に、E true を横軸にしてサンプルの重心系衝突エネルギーの数だけフィット値をプロットしてこの点を通る関数で内挿する。
4. これで任意の E true の値に対して測定値 E meas の分布を作ることができるようになる。これを、E meas での積分が 1 になるように規格化した分布が ﬁt object になる。
58

mc

mc

rec

j1

1

0.6

mc

Std Dev y 0.09287

Std Dev x 0.05017−0.03289

0.01943

Mean xMean y48051

h2Dj1_40

Entriess = 40 GeV

0.6

1

0.8

0.0501

Std Dev x

Std Dev y2j2(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.0768mc

Std Dev y

Std Dev x
0.138

0.05311−0.1343−0.02482

Mean xMean y49041

h2Dj2_91
Entriess = 91 GeV

j1(E - s /2)/ s /2

j2

(E - s /2)/ s /2

−1−0.5−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.8

−0.6

0

0.2

0.4

−0.4

1

0.6

1

0.8

−0.4

10

10

mc

Std Dev y

Std Dev x 0.05312−0.01784

0.02489

Mean xMean y49041

h2Dj1_91
Entriess = 91 GeV−1−0.5−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

−0.2

mc

−0.1740.1437

Mean y−0.01936

Mean x

1

10

2

10

1

0.8

−0.2

0

0.2

0.4

48051

h2Dj2_40

Entriess = 40 GeV

j1(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

j1

j1

j1

mc

mc

rec

0.8

(E -Ej1 )/E

mc

mc

rec

(E -Ej1 )/E

j2

mc

rec

j2

2

1

10

10

1

10

2

10

mc
mc
rec

1

0.06992

Std Dev ymc

0.05259

Std Dev x−0.01247

0.02502

Mean xMean y49718

Entriesh2Dj1_200

s = 200 GeV

0.6

1

0.8

mc

Std Dev y

Std Dev x

Mean y0.133

0.05262−0.1155−0.02497

Mean xj2(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4 −0.3−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

49718

Entriesh2Dj2_200

s = 200 GeV

j1(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4 −0.3−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

2

1

10

10

1

10

2

10

3

10

mc
mc
rec

1

mc

Std Dev y

0.0715

Std Dev x 0.05223−0.01282

0.02504

Mean xMean y49921

Entriesh2Dj1_350

s = 350 GeV

0.6

1

0.8

mc

Std Dev y−0.11070.1308

Std Dev x 0.05223

Mean y−0.02498

Mean xj2(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

49921

Entriesh2Dj2_350

s = 350 GeV

j1(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

j1

j1

j1

j1

j2

mc
rec
j2

mc

(E -Ej2 )/E(E -Ej1 )/E

mc(E -Ej2 )/E(E -Ej1 )/E
j2

mc
rec
j2

2

1

10

10

1

10

2

10

3

10

mc
mc
rec

1

mc

Std Dev y 0.07189

Std Dev x 0.05036−0.01361

Mean xMean y49966
0.02355

Entriesh2Dj1_500

s = 500 GeV

0.6

1
0.8

mc

Std Dev y−0.1097

0.1288

Std Dev x 0.05039

Mean yMean xj2(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4 −0.3−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

49966
−0.02349

Entriesh2Dj2_500

s = 500 GeV

j1(E - s /2)/ s /2

−1−0.5 −0.4 −0.3−0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

j1

j1

j2
mc

rec

mc

(E -Ej2 )/E(E -Ej1 )/E

mc(E -Ej2 )/E

j2

j2(E -Ej2 )/E

j2

2

1

10

10

1

10

2

10

3

10

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.3 ジェットエネルギー分解能の評価

図 7.1: b ジェットの ((E true − 重心系衝突エネルギーの半分)/重心系衝突エネルギーの半分, (E meas − E true )/E true ) の散布図
59

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.4 頻度論とベイズ論

しかし、各イテレーションで真値の推定値 E true が動くために、イテレーション毎に E measの分布を作り直す必要が生じる。

方法 2
方法２は測定値が E meas であるときの真値の推定値 E true の分布を用いる方法であるか
ら、測定値が E meas である事象を多く集めればよい。しかし、方法 1 と同様の手法をとろうとすると、E true に比べて、E meas は広がって分布しているから、測定値が E meas である事象が少ない。方法１で行ったように E meas に比例させて E true の値をスケーリングしても、統計量を稼ぐためには E meas の値を大きくずらさなければならず、統計処理の点で問題が生じる。そこで、方法１を経由して ﬁt object の確率変数を E meas から E true に変更した。この変更する手続きを以下に述べる。

1. E meas での積分が 1 になるように規格化した真値の推定値が E true であるときの測定値 E meas の分布を真値の推定値 E true を横軸を E meas 、縦軸を確率密度として任意の E true の値に対して描く。
2. ある事象において測定値が E meas であれば測定値の分布から測定値が E meas である
ときの確率密度を横軸を E true にしてプロットする。
3. これをあらゆる E true でくまなくプロットし、E true での積分が 1 になるように規格化した分布が ﬁt object になる。
これは測定値が得られる各事象毎にあらゆる E true の値で、くまなくプロットしなければならないが、イテレーション毎には分布を作り直す必要がなく、高速である。ただし、今回は方法２を ﬁt object にのみ適用したが、本来は constraint も含めた尤度全体に適用しなければならない。この場合、デルタ関数の数値計算上の取り扱いが難しいため、方法 1を用いた方が良い。実は方法１は頻度論、方法２はベイズ論に基づく解釈である。この旨を 7.4 で述べる。現在はベイズ論を ﬁt object に適用し、constraint には適用していないという誤った状況であり、これを修正するのは今後の課題とする。

7.4

頻度論とベイズ論

確率密度関数をどのように定義するかは頻度論とベイズ論の 2 通りの定義がある。頻度→→論は物理量の真値の推定値が −η であるときに物理量の測定値が −y である確率密度関数を−→→用い、ベイズ論は物理量の測定値が y であるときに物理量の真値の推定値が −η である確−→率密度関数を用いる。すなわち、確率変数を頻度論では物理量の測定値 y とし、ベイズ→論では物理量の真値の推定値 −η とする。
頻度論における確率密度関数
→
→
fF (−
y ;−
η)
(7.2)
ベイズ論における確率密度関数

→
→
fB (−
η ;−
y)

60

(7.3)

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.4 頻度論とベイズ論

ただし、セミコロン (;) の左は確率変数の実現値である変数、右は条件を示す定数である。
つまり、両者の確率密度関数は条件付き確率密度を表しており、確率変数と条件が入れ替わっただけである。両者の関係を説明すると、ベイズ論におけるの確率→→=物理量の測定値が−y であるときに物理量の真値の推定値が−
η である確率=→→
物理量の測定値が−y でありかつ物理量の真値の推定値が−
η である確率−→
物理量の測定値が y である確率

ここで、→物理量の測定値が−y である確率−→→=物理量の測定値が y でありかつ物理量の真値の推定値が−
η である確率を→すべての−η について足し上げた確率−→( η の周辺確率)
であり、

→
→
物理量の測定値が−y でありかつ物理量の真値の推定値が−
η である確率−→=物理量の真値の推定値が η である確率→→× 物理量の真値の推定値が−
η であるときに物理量の測定値が−y である確率−→=物理量の真値の推定値が η である確率 × 頻度論におけるﬁt object の確率→→より、物理量の真値の推定値が −η である確率密度を π(−η ) と置くと、両者の関係式とし
て、
→
→
→
fF (−
y ;−
η )π(−
η)
→
→
fB (−
η ;−
y)= ∫
(7.4)
−
→
−
→
−
→
→
′
′
f ( y ; η )π( η )d−η′F→が得られる。頻度論とベイズ論の関係式には物理量の真値の推定値が −η である確率密度−→−→π( η ) が含まれるが、π( η ) は事前情報がない通常の場合は一様分布にとる。一様分布に→とると、頻度論とベイズ論で物理量の真値の推定値 −η は同じ推定値となる。式 (??) の分
母は単に規格化である。ただし、kinematic ﬁt 後の尤度を比較する場合は、確率密度関数を規格化しておく必要があるため、規格化を考慮しておくべきである。ここからは頻度論とベイズ論のそれぞれにおける確率密度関数を用いたときの取り扱いの違いを述べる。
頻度論→→
頻度論では物理量の真値の推定値が −η であるときに物理量の測定値が −y である確率密→度関数を用いるから、物理量の真値の推定値 −η を条件として確率密度関数を定める。し→かし、物理量の推定値は分からないのであるから、数値計算で −η が更新されたら、確率密度関数を作り直す必要がある。そのため、計算に時間がかかる。
ベイズ論

→
→
物理量の測定値が −y であるときに物理量の真値の推定値が −η である確率密度関数を用−→→いるから、物理量の測定値 y を条件として確率密度関数を定める。ここで、測定値 −y は61

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.5 ジェット 1 本あたりのエネルギー分解能の評価→
事象毎に既知であり、数値計算で −η が更新されても、確率密度関数を作り直す必要はない。そのため、高速である。ただし、本来は尤度全体においてベイズ論の確率密度関数を用いるべきであるが、今回は ﬁt object にしか用いていないのと、式 (7.4) におけるデルタ関数の処理が難しいため、尤度全体で方法を統一する場合は頻度論を推奨する。

7.5

ジェット 1 本あたりのエネルギー分解能の評価

ﬁt object のエネルギー分解能を得る際に、信号事象を用いると、今回は統計量が不足してしまう。したがって、b ジェットサンプルを用いる。ここではジェット 1 本あたりのジェットエネルギー分解能を構成する方法としていくつかの候補を述べる。

7.5.1

ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーの和 (E1 + E2 ) を用いる方法

これは uds ジェットのようにエネルギー分布が対称な場合に用いられていた方法で、ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー分解能が共に標準偏差 σ の正規分布で表されていると仮定すると、誤差伝播により、ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーの和 E1 + E2 の分√
解能は 2σ となるから、ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーの和 E1 + E2 の分解能が分かっていれば、ジェット 1 本あたりのエネルギー分解能を計算できるということであった。しかし、今回は b ジェットを扱っているために E1 + E2 の分布は図 7.2 となる。

図 7.2: E1meas + E2meas の分布 (ννH → ννbb サンプル (DBD))

62

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.5 ジェット 1 本あたりのエネルギー分解能の評価

ここで、フィットしているのはガンベル分布という以下の確率密度関数で表される確率分布である。
x−µ
1 x−µ
−e η
η
f (x; µ, η) = e(7.5)
η
まず、E1 + E2 の分布が非対称であるから、正規分布を仮定する上記の方法でジェット 1 本あたりのエネルギー分解能を求めることはできない。また、図 7.1 でジェット 1 とジェット
2 のエネルギーの分布が異なることからもこの方法ではジェット 1 本あたりのエネルギー分解能を構成するのは難しいことがわかる。

7.5.2

ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーを区別して評価する方法

ジェット 1 本あたりのエネルギーの真値を定義できるようになったので、7.5.1 の方法
をジェット 1 本のエネルギーを直接評価できる方法に置き換える。以下では E true を 7.3
で記述した方法で計算するものとする。ここで、ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー分
布が異なるということを述べた。そこで、ジェット 1 とジェット 2 を区別し、それぞれをE true 毎にフィットすることを考える。フィットには、ジェット 1、ジェット 2 共に以下のGPET 関数を用いた。
{
1 x−µ 2N e− 2 ( σ )[] (x ≥ k)f (x; µ, σ, N, k, b) =
(7.6)
x−µ
2
2 /2
− 12 ( x−µ
)
−k(
)
k
σ
σ
N be
+ (1 − b) ee(x < k)
ただし、N は規格化でありx=

E meas − E true
E1true(7.7)

フィット結果を以下に載せる。横軸は上で定義した x で、縦軸は確率密度である。
0.08931χ 2 / ndf

301 / 90p00.05478 ± 0.00071

p1− 0.01488 ± 0.00078

p2

0.06639 ± 0.00083

p3− 1.048 ± 0.026

0.04

hS_E91_j1

s/2 = 45.5 GeV

Entries17617− 0.01142

Mean
Std Dev

0.07634

χ 2 / ndf

700.5 / 102
0.07756 ± 0.00092

p0

0.08

p1

0.00413 ± 0.00050

p2

0.04392 ± 0.00053

p3− 0.8631 ± 0.0187

hS_E200_j1

s/2 = 100.0 GeV

Entries

0.12

Mean

0.1

hS_E350_j1

s/2 = 175.0 GeV
21212

Entries− 0.008697

Mean

Std Dev

0.0714

χ 2 / ndf

1061 / 108

p0

0.09661 ± 0.00107

p1

0.008755 ± 0.000376

p2

0.03347 ± 0.00039

p3− 0.7555 ± 0.0147

22746

0.06986

χ 2 / ndf

920.4 / 113
0.1028 ± 0.0011

p0

0.1

hS_E500_j1

s/2 = 250.0 GeV

Entries− 0.00979

Std Dev

p1

0.00607 ± 0.00035

p2

0.03172 ± 0.00036

p3− 0.7525 ± 0.0139

23770− 0.01118

Mean

a.u.

− 0.02537

Std Dev

a.u.

13226

Mean

a.u.

a.u.

Entriesa.u.

hS_E40_j1

s/2 = 20.0 GeV

0.06

0.1

Std Dev

0.07226

χ 2 / ndf

928.3 / 117

p00.1035 ± 0.0011

p1

0.003589 ± 0.000349

p2

0.03207 ± 0.00036

p3− 0.789 ± 0.015

0.08

0.06

0.06
0.05

0.04
0.02

1

hS_E40_j2

s/2 = 20.0 GeV

Entries

13236

a.u.

0

Std Dev

0.1465

χ 2 / ndf

414.8 / 92

p0

0.04226 ± 0.00051

p1− 0.08268 ± 0.00174

p2

0.05616 ± 0.00111

p3− 0.3749 ± 0.0093

0.03

0.5

mc
(Erec
-Emc
j1 )/Ej1
j1

Entries17625

0

Std Dev

0.1419χ 2 / ndf

599.8 / 93

p00.052 ± 0.001

p1

0.5

mc
(Erec
-Emc
j1 )/Ej1
j1

hS_E200_j2

s/2 = 100.0 GeV

Entries

21210

0
−0.5

0

Std Dev

0.1391χ 2 / ndf

581.3 / 101

p00.05715 ± 0.00056

0.5

mc
(Erec
-Emc
j1 )/Ej1
j1

Entries

22749

−0.5

0

Std Dev

0.134

χ 2 / ndf

429.5 / 100

p00.06028 ± 0.00057

0.5

mc
(Erec
-Emc
j1 )/Ej1
j1

1

hS_E500_j2

s/2 = 250.0 GeV

Entries− 0.1224

Mean

0.06

−1

1

hS_E350_j2

s/2 = 175.0 GeV− 0.129

Mean

0.06

−1

1

23773
− 0.1218

Mean
Std Dev

0.06

0.1318

χ 2 / ndf

522.6 / 99

p0

0.06173 ± 0.00057− 0.03201 ± 0.00105

p1− 0.01549 ± 0.00085

p1− 0.01484 ± 0.00078

p1− 0.01883 ± 0.00079

p2

0.0332 ± 0.0007

p2

0.02505 ± 0.00060

p2

0.02351 ± 0.00054

p2

0.02456 ± 0.00053

p3− 0.2359 ± 0.0058

p3− 0.1833 ± 0.0047

p3− 0.1789 ± 0.0045

p3− 0.1957 ± 0.0047

0.04
0.04

0.04

0.04

0.02

0.02

0.02

0.03

0.02

0.02
0.01

0
−1

0
−0.5

− 0.1435

Mean

0.05

0
−1

1

hS_E91_j2

s/2 = 45.5 GeV− 0.1783

Mean

0.04

−0.5

a.u.

0.5

a.u.

0

mc
(Erec
-Emc
j1 )/Ej1
j1

0.02

a.u.

−0.5

0
−1

a.u.

0
−1

0.05

0.04

0.02

0.01

−0.5

0

0.5

mc
(Erec
-Emc
j2 )/Ej2
j2

1

0
−1

−0.5

0

0.5

mc
(Erec
-Emc
j2 )/Ej2
j2

1

0
−1

0
−0.5

0

0.5

mc
(Erec
-Emc
j2 )/Ej2
j2

1

−1

0
−0.5

0

0.5

mc
(Erec
-Emc
j2 )/Ej2
j2

1

−1

−0.5

0

0.5

mc
(Erec
-Emc
j2 )/Ej2
j2

1

図 7.3: ﬁt object を E1 と E2 共に GPET 関数で ﬁt した場合の E1 (上段) と E2 (下段) の分
布の違い (b ジェットサンプルのビームエネルギーは左から 40 GeV、91 GeV、200 GeV、
350 GeV、500 GeV)63

第 7 章 ジェットエネルギー分解能

7.5.3

7.5 ジェット 1 本あたりのエネルギー分解能の評価

ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーを区別せずに足し上げて評価する
方法

b ジェットサンプル (e+ e− → Z → bb) と異なり、信号事象 (ZH → ννbb) に関してはヒッグス粒子がブーストされているためにジェットクラスタリングにおけるジェットの分
かれ方が b ジェットサンプルと異なることが予想できる。したがって、ジェット 1 とジェット 2 を区別せずにヒストグラムを作り、それをフィットすることで、ジェット 1 とジェッ
ト 2 のエネルギー分解能の分布を共通化してしまうということである。これのフィットにも GPET 関数を用いた。(b ジェットサンプルのビームエネルギーは左上から 40 GeV、91
GeV、200 GeV、350 GeV、500 GeV)

0.04

96102
−0.10340.141472 / 136
0.03974 ± 0.00019−0.0521 ± 0.0005
0.07946 ± 0.00048−0.6423 ± 0.0053

0.03

hS_E91s/2 = 45.5 GeV

EntriesMean
Std Dev
χ2 / ndf
p0
p1
p2
p3

0.06

98082
−0.07608
0.1262487 / 135
0.05237 ± 0.00026−0.0129 ± 0.0004
0.04946 ± 0.00037−0.4354 ± 0.0041

0.08
0.06
0.04

0.02

0.02

0.01

0

rec

0.5
mc

0
−1

mc 1

(Ej -Ej )/Ej
hS_E350a.u.

Entries99842
Mean−0.06177
Std Dev
0.1162χ2 / ndf
4702 / 151
p0
0.06811 ± 0.00037
p1−0.000458 ± 0.000323
p2
0.03299 ± 0.00028
p3−0.3556 ± 0.0038

0.08
0.06

−0.5

0

rec

0.5
mc

mc 1

(Ej -Ej )/Ej

0
−1

−0.5

0

rec

0.5
mc

mc 1

(Ej -Ej )/Ej

hS_E500

s/2 = 250.0 GeV

Entries99932
Mean−0.06164
Std Dev
0.1148
χ2 / ndf
4637 / 155
p00.0701 ± 0.0004
p1−0.002203 ± 0.000326
p2
0.03247 ± 0.00028
p3−0.3627 ± 0.0039

a.u.

−0.5

s/2 = 175.0 GeV

0.08
0.06

0.04

0.04

0.02

0.02

0
−1

Entries99436
Mean−0.06401
Std Dev
0.1181χ2 / ndf
4311 / 141
p0
0.06262 ± 0.00033
p1−0.001189 ± 0.000314
p2
0.0371 ± 0.0003
p3−0.3731 ± 0.0035

0.04

0.02

0
−1

hS_E200

s/2 = 100.0 GeV

a.u.

a.u.

EntriesMean
Std Dev
χ2 / ndf
p0
p1
p2
p3

a.u.

hS_E40s/2 = 20.0 GeV

−0.5

0

rec

0.5
mc

mc 1

(Ej -Ej )/Ej

0
−1

GPET

−0.5

0

rec

0.5
mc

mc 1

(Ej -Ej )/Ej

図 7.4: ﬁt object を E1 と E2 共に GPET 関数で ﬁt した場合の E1 (上段) と E2 (下段) の分
布の違い (b ジェットサンプルのビームエネルギーは左から 40 GeV、91 GeV、200 GeV、
350 GeV、500 GeV)
なお、内挿にはf (x; A, B, C) = Ax +
を用いた。

64

B
x+C

(7.8)

第 8 章 研究状況報告
以下の解析においては、第 6 章における事象選択 1-11 のうち、kinematic ﬁt で特に絞ることができる 1 の Mmis および 8 の Mjj 以外の選択条件をかけた後のものを kinematic
ﬁt している。また、スピン偏極率は (P− , P+ ) = (−1, +1) である。信号事象は e+ e− →ZH → ννbb(ただし、サンプルの特性上 ZH 過程と WW 融合過程を完全に分けることはできないため、 ννbb のニュートリノのフレーバーが電子ニュートリノ でないことを要求
し、WW 融合過程を除外している。)、背景事象は、6 章での事象選択において最もよく残り、Higgs の質量を Mjj に課して絞るのが特に有効な ννqq 過程のうちの 4f sznu sl 過
程 (終状態のニュートリノが電子ニュートリノである ννqq 過程) を用いた。
ここからは現状の Likelihood ﬁtter の動作確認および ﬁt object のエネルギー分解能に試した種々の関数を紹介しながら、性能評価していく。以下特に記載がない場合は準ニュートン法による逐次二次計画法で Armijo 条件および二次補正、大域的最適化を行っているものとする。

8.1

ﬁtter の動作確認

まず、以下の議論は hard constraint としてヒッグスの質量、soft constraint として Z
ボソンの質量をかけ、準ニュートン法による最適化を行っているものとする。また、信号
事象については上記の事象選別をして残るうちの最初の 10000 事象のみを扱う。背景事象は上記の事象選別をして残る 1711 事象を扱う。角度分解能については第 6 章で導入した方法を用いるものとする。

8.1.1

Armijo の条件と二次補正

以下では、特に記さない限り ﬁt object にジェット 1 とジェット 2 のエネルギーを区別せずに足し上げて評価する方法で導入した GPET 関数を用い、角度分解能の評価を行った場合の大域的最適化を行った場合の結果に Armijo の条件を用いた場合と用いない場合
および二次補正を行った場合と行わない場合の信号事象の収束判定を満たすまでのイテレーション数、kinematic ﬁt 後の 2 ジェット質量、消失質量のプロットを載せる。ただし、Armijo の条件無の場合は第 5 章のアルゴリズムの 3 を行わない。また、二次補正無の場
合はアルゴリズムの 3 の二次補正 (始) から二次補正 (終) までを行わない。
Armijo の条件は収束に大きく寄与していることがわかる。特に、hard constraint はArmijo の条件を課した場合は完璧に効いており、ステップサイズの調整が非常に重要であることがわかる。また、二次補正によって顕著な改善は見られなかった。Maratos 効果があまり発生していないからと考えられる。soft constraint が Armijo の条件および二次65

第 8 章 研究状況報告

8.1 ﬁtter の動作確認

補正有でもうまく効いていない (対数をとると顕著) のは物理模型が悪い、例えば ISR を考慮していないなどの影響が消失質量に押しつけられているためと考えられる。
second order correction

2500

EventsEventsArmijo condition

w/ Armijo condition

2000

w/ second order correction

103

w/o Armijo condition

w/o second order correction

1500

2

10

1000

10
500

1
0

0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

number of iteration

number of iteration

図 8.1: 収束判定を満たすまでのイテレーション数:Armijo の条件 (左) と二次補正 (右):有(赤) と無 (黒)104second order correction

EventsEventsArmijo condition

w/ Armijo condition

w/o Armijo condition

103

104

103

102

102

10

10
0

50

100

150

w/ second order correction

200

Di-jet mass[GeV]

w/o second order correction

0

50

100

150

図 8.2: ２ジェット質量 (w/ kinﬁt):Armijo の条件 (左) と二次補正 (右):有 (赤) と無 (黒)

66

200

Di-jet mass[GeV]

第 8 章 研究状況報告

8.1 ﬁtter の動作確認

second order correction

EventsEventsArmijo condition104
w/ Armijo condition

w/ second order correction

3000

103
w/o Armijo condition

w/o second order correction

102

2000

10

1000

1

0

50

100

150

200

250

Missing mass[GeV]

0
89

90

91

92

93

94

図 8.3: 消失質量 (w/ kinﬁt):Armijo の条件 (左) と二次補正 (右):有 (赤) と無 (黒)大域的最適化
大域的最適化1 が機能していることを示すために、大域的最適化によって収束点が変わった例を下図に示す。この図はある測定値に対して、(E1true , E2true ) を変化させたときの、
χ2Likelihood および、χ2f itobject と χ2sof tconstraint の分布である。ただし、角度 (θtrue , ϕtrue )に関しては測定値に固定している。ただし、大域的最適化無の場合の初期値は測定値とし、有の場合は第 5 章で述べたように、hard constraint 上の点をサンプリングして、最もχ2Likelihood の小さい点を初期値に最適化を始めることで、初期値依存性をなくしている。
−→−→
未定乗数 λ の初期値は常に 0 である。

1

第 5 章で述べたように、hard constraint 上の点をサンプリングして、最も χ2Likelihood の小さい点を初期値に最適化を始めることで、初期値依存性をなくしている。

67

95

Missing mass[GeV]

第 8 章 研究状況報告

8.1 ﬁtter の動作確認∑|h(x)| : hard constraints norm sum
25

80

20

Ej2 [GeV]

100

60
40

mkf
-3.9185
init

20
0

60

80 100 120 140

100

3

80

2.5

Ej2 [GeV]χ2 : fit objects + soft constraints [ev=69, hdecay=5]

15

60

10

40

5

20

0

0

2
mkf

1
0.5
60

80 100 120 140

Ej1 [GeV]
χ2sc : soft constraints only

100

25

80

20

60

15
mkf
-3.9186

100

25

80

20

Ej2 [GeV]fo

Ej2 [GeV]0

Ej1 [GeV]χ2 : fit objects only

40

1.5

init

60

10

init

40

15

mkf
1.2204e-05
init

10

5
20

20

5

0
0

60

0

80 100 120 14060

80 100 120 140

Ej1 [GeV]0

Ej1 [GeV]

図 8.4: エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区別なし) の場合の信号事象の第 69 事象の χ2 および hard constraint の分布 (大域的最適化無)∑|h(x)| : hard constraints norm sumχ2 : fit objects + soft constraints [ev=69, hdecay=5]

80

25
20

mkf
init
-4.6429100

Ej2 [GeV]

Ej2 [GeV]

100

3

80

60

15

60

40

10

40

20

5

20

0

0

0

2.5
mkf
init

2
1.5

60

80 100 120 140

1
0.5
60

80 100 120 140

Ej1 [GeV]
χ2sc : soft constraints only

χ2 : fit objects only
fo

25
20

mkf
init
-4.6442

15

60

100

Ej2 [GeV]

Ej2 [GeV]

100
80

0

Ej1 [GeV]

10

40

25

80

20

60

15

40

10

20

5

mkf
init
0.0012728

5
20
0
0

60

0

80 100 120 140

Ej1 [GeV]

60

80 100 120 140

0Ej1 [GeV]

図 8.5: エネルギー ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区別なし) の場合の信号事象の第 69 事象の χ2 および hard constraint の分布 (大域的最適化有)68

第 8 章 研究状況報告

8.1 ﬁtter の動作確認

ジェット 1 とジェット 2 のエネルギーを区別せずに足し上げて評価する方法で導入した GPET 関数をエネルギーの ﬁt object として信号事象の第 69 事象を見ている。この図にある init(緑色)、mkf(青色)、2 点はそれぞれ kinematic ﬁt の初期値、kinematic ﬁt の結果の値を表している。また、mkf の点の下の書いてある数字はフィット後の χ2Likelihood 、
χ2f it object 、χ2sof t constraint のそれぞれの値である。これより、大域的最適化で χ2Likelihoodは-3.9185 から-4.6429 に小さくなっており、これが大域的最適解かは分からないが、この方法により局所的最適解から抜け出せる可能性があることと、逐次二次計画法だけでは局所的最適解に陥る可能性があることを示している。ここで、χ2sof t constraint の分布で途中で滑らかでないように見えるのは、6.6 のように消失質量 Mmis を定義しているからである。また、GPET 関数に関しては実装上 χ2Likelihood に指数関数および対数関数を使う必要があるため、これによる桁落ちが図の白くなっている部分に現れている。

8.1.2

hard conctraint の確認

hard constraint について信号事象と背景事象で両方効いていることを調べるために、同
じくジェット 1 とジェット 2 のエネルギーを区別せずに足し上げて評価する方法で導入した GPET 関数をエネルギーの ﬁt object として用い、kinematic ﬁt 前後で信号事象および背景事象について 2 ジェット質量を比較した。これにより、信号事象でも背景事象でも問題なく hard constraint が効くことが分かる。

104
w/o kinematic fit

BKG

EventsEvents

SIGNAL mH=125[GeV]mH=125[GeV]103
w/o kinematic fit

w/ kinematic fit

w/ kinematic fit

103

102

102

10

10

1
60 80 100 120 140 160 180

60 80 100 120 140 160 180

Di-jet mass [GeV]

Di-jet mass[GeV]

図 8.6: 信号事象と背景事象における kinematic ﬁt 前後のヒッグス質量

8.1.3

soft constraint の確認

soft constraint も hard constraint と同様の条件で kinematic ﬁt 前後で信号事象と背景
事象の消失質量を比較した。

69

第 8 章 研究状況報告

8.1 ﬁtter の動作確認

103

BKG

EventsEvents

SIGNAL mZ=91.2[GeV]

w/o kinematic fit

mZ=91.2[GeV]103
w/o kinematic fit

w/ kinematic fit

w/ kinematic fit

102
102
10

10

1

1
60 80 100 120 140 160 180

60 80 100 120 140 160 180

Missing mass [GeV]Missing mass[GeV]

図 8.7: 信号事象と背景事象における kinematic ﬁt 前後の Z ボソン質量

cosj12

これより、soft constraint が効いていない事象が信号事象にも背景事象にも多いということが分かる。これを詳しく調べるため、 信号事象において横軸に kinematic ﬁt 後の消失質量を、縦軸に衝突重心系から見たジェット 1 とジェット 2 のなす角の測定値を２次元プロットした。なお、kinematic ﬁt で角度はあまり変化しないため、簡単のため測定値としている。

SIGNAL

−0.4
−0.5
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9
−1
70

80

90

100

110

120

130

Missing mass[GeV]
図 8.8: 信号事象の kinematic ﬁt 後の消失質量とジェット 1 とジェット 2 のなす角の測定
値の 2 次元分布70

第 8 章 研究状況報告

8.1 ﬁtter の動作確認

ここで、問題点は大きく 2 つある。

1. 消失質量が MZ = 91.2[GeV ] になっていない信号事象がある。
2. MZ = 91.2[GeV] より消失質量がやや大きいところで、分布が薄くなっている。
まず、1 について、消失質量が Z ボソンの質量にならないのは、kinematic ﬁt の物理模型に問題があると考えられる。例えば、ISR を soft constraint で考慮すると、重心系エネル
ギーが変化するから、消失質量が Z ボソンの質量に合いやすくなる。
図 8.1.3 は消失質量が 125GeV で cos j12 が-1 の点から左上方向に薄く分布した構造を持つ。これは、ヒッズス質量の hard constraint だけを考えたときに消失質量がとりうる上限値に沿っている。ヒッグス粒子から崩壊した 2 ジェットのなす角が小さくなればなるほ
ど、同じ質量を組むには大きなエネルギーを要し、Z ボソンはエネルギーをヒッグス粒子にとられて、質量の上限値が小さくなっていく。
2 について、Z ボソンの質量は Breit-Wigner 分布に従うから、本来であれば MZ = 91.2[GeV ]から消失質量が離れるにつれて段々薄くなっていくはずであるが、そうなっていない。これはバグが考えられるが、まだ見つかっていない。

8.1.4

ﬁt object と soft constraint の幅の関係

エネルギーの ﬁt object を正規分布(

1fE (E1meas , E2meas ; E1true , E2true ) = √
e
2πσ12

− 21

meas −E true
E1
1
σE
1

)2

(

1

√
e
2πσ22

− 12

meas −E true
E2
2
σE
2

)2

(8.1)
で仮定し、(σE1 , σE2 ) = (5, 5), (10, 10), (15, 15)[GeV] ととったときの消失質量の分布は図8.9 のようになっている。これから、今回の定式化では、soft constraint は ﬁt object との兼ね合いで、 ﬁt object の幅が広く、真値の推定値が自由に動くことができれば、soft
constraint は狭い幅に決まりやすく、逆に ﬁt object の幅が狭く、真値の推定値が自由に動くことを許さないのであれば、soft constraint は決まらず、広い幅を持ってしまう。最適な物理モデルをかけた場合に、2.5 GeV の最適な幅を信号事象で持つと考えられる。

71

第 8 章 研究状況報告

8.2 ﬁt object の評価

Eventssoft constraint

Gaussian sigma = 5 [GeV]

1500

Gaussian sigma = 10[GeV]

Gaussian sigma = 15[GeV]

1000

500

0

90 90.5 91 91.5 92 92.5 93

Missing mass[GeV]
図 8.9: kinematic ﬁt 後の消失質量の ﬁt object の幅による比較

8.2

ﬁt object の評価

ここからは具体的に様々な ﬁt object 関数について χ2Likelihood で信号事象と背景事象を選別し、純度 (事象選択で残っている信号事象数の同じく残っている信号事象数と背景事
象数の和に占める割合) と効率 (事象選択で残っている信号事象数の全体の信号事象数に占める割合) のプロットを作る。このとき、ﬁt object 関数については随時説明する。

8.2.1

ﬁt object の幅

エネルギーの ﬁt object の幅によって soft constraint の幅が決まることは 8.1 で見た。
そこで、適当な幅を調べるため、式 (8.1) で (σE1 , σE2 ) = (5, 5), (10, 10), (15, 15)[GeV] と変化させた。ただし、角度分解能は第 6 章で用いたもので定義している。χ2Likelihood の分
布は図 8.2.1 のようになる。

72

第 8 章 研究状況報告

8.2 ﬁt object の評価

EventsGaussian sigma = 5 [GeV]
SIGNAL

300

BKG

200

100

0
−20

0

20

40

χ2

60

Likelihood

EventsGaussian sigma = 10[GeV]600
SIGNAL
BKG

400

200

0
−20

0

20

40

χ2

60

Likelihood

EventsGaussian sigma = 15[GeV]
SIGNAL

600

BKG

400
200
0
−20

0

20

40

χ2

60

Likelihood73
図 8.10: 正規分布の標準偏差が 5GeV、10GeV、15GeV のときの χ2Likelihood の分布

第 8 章 研究状況報告

8.2 ﬁt object の評価

純度と効率のプロットはPuritySig:ZH(→ννbb), Bkg:ννqq only

1

0.98
0.96

0.94

Gaussian sigma = 5 [GeV]
Gaussian sigma = 10[GeV]

0.92
0.9
0

Gaussian sigma = 15[GeV]

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Efficiency
図 8.11: 正規分布の標準偏差が 5GeV、10GeV、15GeV のときの純度と効率
さらに、1GeV から 5GeV まで 1GeV 刻みで見た場合の純度と効率のプロットを図 8.2.1
に載せる。

74

第 8 章 研究状況報告

8.2 ﬁt object の評価

PuritySig:ZH(→ννbb), Bkg:ννqq only

1

0.995
0.99
0.985
0.98
0

Gaussian sigma = 1 [GeV]
Gaussian sigma = 2 [GeV]
Gaussian sigma = 3 [GeV]
Gaussian sigma = 4 [GeV]
Gaussian sigma = 5 [GeV]

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Efficiency
図 8.12: 正規分布の標準偏差が 1GeV から 5GeV まで 1GeV 刻みで見たときの純度と効率凡そであるが、エネルギーの ﬁt object の幅が 2GeV で純度が最大の選別となる。以下
ではエネルギーの ﬁt object 関数の基準を (σ1 , σ2 ) = (2, 2)[GeV] の正規分布として、これと様々な ﬁt object を比較していく。

8.2.2

ジェット角度分解能

ジェット角度分解能はジェットエネルギー分解能に対して固定して良いほど無視できると当初考えていた。しかし、第 6 章で述べた方法で角度分解能を評価したところ、純度がわずかに。以下は当初行っていた角度分解能を (σθ1 , σθ2 , σϕ1 , σϕ2 ) = (0.1, 0.1, 0.1, 0.1) で固定した場合と第 6 章で述べた方法で評価した場合で純度と効率を比較したプロットである。ただし、エネルギーの ﬁt object 関数を (σ1 , σ2 ) = (2, 2)[GeV ] の正規分布とした。

75

第 8 章 研究状況報告

8.3 ジェットエネルギー分解能

PuritySig:ννh(→bb), Bkg:ννqq only

1

0.99
0.98
Angle Constant

0.97

Angle Parameterized

0.96
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Efficiency
図 8.13: 角度分解能を評価した場合 (赤) と固定した場合 (黒) の純度と効率
これも凡そであるが、第 6 章で述べた方法で角度分解能を評価したほうが良いようである。効率の低いところは、χ2Likelihood が切れ上がるため、あまり意味がない。

8.3

ジェットエネルギー分解能

ジェットエネルギー分解能については第 7 章でジェット 1 本あたりのエネルギー分解能を評価することになったが、ジェット 1 とジェット 2 を区別して評価するのか、ジェット
1 とジェット 2 を区別せず評価するかについて本節で調べる。以下に大域的最適化の際の説明に用いた 2 次元プロット、χ2Likelihood の分布、純度と効率のプロットを ﬁt object がGPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区別あり)、GPET 関数 (ジェット 1とジェット 2 のエネルギー区別なし)、σE = 2[GeV] の正規分布のそれぞれで載せる。ただし、純度と効率のプロットは比較のため 1 つのプロットになっている。なお、2 次元プロットの説明は大域的最適化の節を参照してほしい。(2 次元プロットの白い部分は同様桁落ちである。)
結論を述べると、GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区別なし) の方が
GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区別あり) より純度が高く分けられていた。したがって、ヒッグス粒子がブーストされていることによるクラスタリングの効果は大きいと考えられる。また、GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区別なし) を用いても σE = 2[GeV] の正規分布よりは悪かった。しかし、σE = 2[GeV] の正規分
布は背景の物理がよく分からないので、物理模型の正しさの目安の役割である。

76

第 8 章 研究状況報告

8.3.1

8.3 ジェットエネルギー分解能ジェット 1 とジェット 2 を区別して評価∑|h(x)| : hard constraints norm sumχ2 : fit objects + soft constraints [ev=1, hdecay=5]

80

20

60

100

Ej2 [GeV]25

Ej2 [GeV]

100

15

3

80
2

60

mkf
init
24.035

mkf
init

40

10

40

20

5

20

0

0

0

60

80 100 120 140

160

Ej1 [GeV]
χ2sc : soft constraints only

χ2 : fit objects only

Ej2 [GeV]

100
20

80
60

0

60

80

20
15
mkf
init
11.811

40
20

25

60

10

mkf
init
12.224100

Ej2 [GeV]

fo

0

0

80 100 120 140

Ej1 [GeV]

40

10

20

5

0

80 100 120 14060

080 100 120 140

Ej1 [GeV]

Ej1 [GeV]

図 8.14: エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区
別あり) の場合の信号事象の第 1 事象の χ2 および hard constraint の分布

EventsGPET(J1 J2 distinguished)
SIGNAL
BKG

150
100
50
0
−20

−10

0

10

20

30

χ2

40

Likelihood

図 8.15: エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区
別あり) の場合の χ2Likelihood の分布77

第 8 章 研究状況報告

8.3.2

8.3 ジェットエネルギー分解能ジェット 1 とジェット 2 を区別せず評価∑|h(x)| : hard constraints norm sum
25

80

20

Ej2 [GeV]

100

60

100

3

80

2.5

Ej2 [GeV]χ2 : fit objects + soft constraints [ev=1, hdecay=5]

15

2

60

mkf
init
14.601

40

10

40

20

5

20

0

0

0

60

1.5

mkf
init

80 100 120 140

1
0.5
60

Ej1 [GeV]
χ2sc : soft constraints only

χ2 : fit objects only

Ej2 [GeV]

100
20

80

100

25

80

20

Ej2 [GeV]

fo

60

60
mkf
init
11.792

40
20

0
60

15

10

mkf
init
2.80980080 100 120 140

Ej1 [GeV]

40

10

20

5

0

80 100 120 14060

080 100 120 140

Ej1 [GeV]

Ej1 [GeV]

図 8.16: エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区
別なし) の場合の信号事象の第 1 事象の χ2 および hard constraint の分布

EventsGPET(J1 J2 not distinguished)

250

SIGNAL
BKG

200
150
100
50
0
−20

−10

0

10

20

30

χ2

40

Likelihood

図 8.17: エネルギーの ﬁt object が GPET 関数 (ジェット 1 とジェット 2 のエネルギー区
別なし) の場合の χ2Likelihood の分布78

第 8 章 研究状況報告

8.3.3

8.3 ジェットエネルギー分解能

ﬁt object 関数の評価基準である、σE = 2[GeV] の正規分布∑|h(x)| : hard constraints norm sumχ2 : fit objects + soft constraints [ev=1, hdecay=5]

80

20

60

100

Ej2 [GeV]25

Ej2 [GeV]

100

15

3

80
2

60

mkf
init
34.232

mkf
init

40

10

40

20

5

20

0

0

0

60

80 100 120 140

160

80 100 120 140

Ej1 [GeV]
χ2sc : soft constraints only

χ2 : fit objects only

100

25

80

20

60

100

25

80

20

Ej2 [GeV]fo

Ej2 [GeV]0

Ej1 [GeV]

15

60

15

mkf
init
22.556mkf
init
11.675

40

10

40

10

20

5

20

5

0

0

0

60

80 100 120 14060

80 100 120 140

Ej1 [GeV]0

Ej1 [GeV]

図 8.18: エネルギーの ﬁt object が正規分布 (σE = 2[GeV]) の場合の信号事象の第 1 事象の χ2 および hard constraint の分布

EventsGauss(σE=2[GeV])

600

SIGNAL
BKG

400

200

0

0

100

200

χ2

300

Likelihood

図 8.19: エネルギーの ﬁt object が σE = 2[GeV] の正規分布の場合の χ2Likelihood の分布

79

Purity

第 8 章 研究状況報告

8.4 hard constraint と soft constraint の交点

1

0.98

0.96

0.94

Gauss(σE=2[GeV])
GPET(J1 J2 distiguished)

0.92

GPET(J1 J2 not distiguished)

0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Efficiency
図 8.20: 正規分布 (σE = 2[GeV])、ジェット 1 とジェット 2 を区別して評価した GPET 関
数、ジェット 1 とジェット 2 を区別せず評価した GPET 関数による純度と効率

8.4

hard constraint と soft constraint の交点

信号事象では soft constraint と hard constraint は図 8.4 のように 1 点で交わることが望ましい。
しかし、実際には図 8.4 のように交わってしまうことがある。
こうした場合の対処の 1 つとして始状態放射 (Initial State Radiation) の導入が考えられる。ISR は衝突重心系エネルギーを変化させるので、こうした交わる場合を接する場合に補正することが可能であると考えられる。

80

第 8 章 研究状況報告

8.4 hard constraint と soft constraint の交点∑|h(x)| : hard constraints norm sum
25

80

20

Ej2 [GeV]

100

60

100

3

80

2.5

Ej2 [GeV]χ2 : fit objects + soft constraints [ev=14, hdecay=5]

15

60

40

10

40

20

5

20

0

0

0

init
mkf
3.9257

60

2
init
mkf

1.5

80 100 120 140

1
0.5
60

80 100 120 140

Ej1 [GeV]
χ2sc : soft constraints only

χ2 : fit objects only

25

80

20

Ej2 [GeV]

100

100

25

80

20

Ej2 [GeV]

fo

60

0

Ej1 [GeV]

15

60

40

10

40

10

20

5

20

5

0

0

0

init
mkf
-3.207360

80 100 120 140

15

init
mkf
7.133160

80 100 120 140

Ej1 [GeV]0

Ej1 [GeV]

図 8.21: エネルギーの ﬁt object が正規分布 (σE = 2[GeV]) の場合の信号事象の第 14 事象の χ2 および hard constraint の分布∑|h(x)| : hard constraints norm sumχ2 : fit objects + soft constraints [ev=23, hdecay=5]

80

20

60

15

60

10

40

20

5

20

0

0

0

mkf
init
-7.2236

40

60

100

3

80

2.5

Ej2 [GeV]25

Ej2 [GeV]100

280 100 120 140

1
0.5
60

80 100 120 140

Ej1 [GeV]
χ2sc : soft constraints only

25

80

20

Ej2 [GeV]

100

60

15
mkf
init
-18.36120
60

80 100 120 140

100

25

80

20

Ej2 [GeV]

fo

0

0

Ej1 [GeV]χ2 : fit objects only

40

1.5

mkf
init

60

10

40

5

20

0

0

Ej1 [GeV]

15
mkf
init
11.13710
560

80 100 120 140

0Ej1 [GeV]

図 8.22: エネルギーの ﬁt object が正規分布 (σE = 2[GeV]) の場合の信号事象の第 23 事象の χ2 および hard constraint の分布81

第 9 章 結果と今後の課題
本研究では、

1. ﬁt object に正規分布以外の関数を想定することができる
2. soft constraint に任意の関数を導入することができる
3. constraint をかけられる対象が限定されないことを目標に進めてきた。本研究で実現したことは

1. 尤度を用いて、上記の条件を満たす ﬁtter の定式化を実現した。
2. hard constraint がかかる ﬁtter を開発することができた。
3. ﬁt object および constraint の構成方法を探索し、ジェットエネルギーの真値をハドロン化後の情報を用いて計算したり、頻度論とベイズ論の取り扱いの区別などの統計的な理解が進んだ。
ただし、3 についてはまだ検証が不十分であり、課題としては• kinematic ﬁt 後に信号事象について真値に真値の推定値が近づいているかの確認をしなければならない。
• 分解能のエネルギーおよび角度依存性を忠実に再現するためにサンプルの点数をもっと増やさなければならない。
• 事象毎に ﬁtter の動作確認をし、バグが残っていないか確認しなければならない。
• イベントディスプレイを作成し、考慮していない物理現象があるか確認しなければならない。
本研究は共同研究として、山下研助教の田辺友彦氏、博士課程学生の加藤悠氏と私の共同研究で進め、それぞれ
梶原 現状の kinematic ﬁt の理解と新しい kinematic ﬁt の数学的定式化およびアルゴリズ
ムの構築、統計学的理解
田辺 kinematic ﬁtter の実装および、動作確認
加藤 ジェットエネルギーおよび角度分解能の評価を行った。今後は上記の課題に共同で取り組み、MarlinKinﬁt への実装を果たしたい。

82

付 録A

Appendix

以下では第 6 章で用いた事象選択変数の分布を示す。ある条件まで選択が終わった後の次の選択変数の分布を表し、次の選択範囲を赤く着色している。
-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb ,No Cut
-1

108

nnH

7

10

4f_(sznu,zz)_sl

6

10

4f_ww_sl

105(ae,ea)_vxy104

2f_z_(l,h)

103

other

102
10
1

0

50

100

150

200

250

Missing mass(GeV)
図 A.1: 選択なし

83

第 A 章 Appendix-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1
-1

108

nnH

107

4f_(sznu,zz)_sl

6

10

4f_ww_sl

105(ae,ea)_vxy104

2f_z_(l,h)

103

other

102
10
1

0

20

40

60

80 100 120 140 160

Transverse visible momentum(GeV)
図 A.2: 条件１まで-+

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.2-1

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

nnH

25000

4f_(sznu,zz)_sl

20000

4f_ww_sl(ae,ea)_vxy

15000

2f_z_(l,h)

10000

other

5000
0

0

20

40

60

80

100 120

140

Longitudinal visible momentum(GeV)
図 A.3: 条件２まで

84

第 A 章 Appendix-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.3
-1

nnH

105

4f_(sznu,zz)_sl

410

4f_ww_sl(ae,ea)_vxy103

2f_z_(l,h)

102

other

10
1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Number of charged particles
図 A.4: 条件３まで-+

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.4-1

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

20000
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0

nnH
4f_(sznu,zz)_sl
4f_ww_sl(ae,ea)_vxy
2f_z_(l,h)
other

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Maximum momentum(GeV)
図 A.5: 条件 4 まで

85

第 A 章 Appendix-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.5
-1

105

nnH
4f_(sznu,zz)_sl

104

4f_ww_sl(ae,ea)_vxy103

2f_z_(l,h)

102

other

10
1

0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Y23
図 A.6: 条件 5 まで-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.6
-1

104

nnH
4f_(sznu,zz)_sl

103

4f_ww_sl(ae,ea)_vxy102

2f_z_(l,h)
other

10
1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y12
図 A.7: 条件 6 まで

86

第 A 章 Appendix-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.7
-1

9000
nnH
8000
4f_(sznu,zz)_sl
7000
4f_ww_sl
6000(ae,ea)_vxy
5000
2f_z_(l,h)
4000
other
3000
2000
1000
0
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Di-jet mass(GeV)
図 A.8: 条件 7 まで-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.8
-1

104

nnH
4f_(sznu,zz)_sl

3

10

4f_ww_sl(ae,ea)_vxy102

2f_z_(l,h)
other

10
1

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Btag1
図 A.9: 条件 8(btag1:b クォーク) まで

87

第 A 章 Appendix-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.8
-1

104

nnH
4f_(sznu,zz)_sl

3

10

4f_ww_sl(ae,ea)_vxy102

2f_z_(l,h)
other

10
1

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Btag2
図 A.10: 条件 8(btag2:反 b クォーク) まで-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.9
-1

800
700
600
500

nnH

400
300
200
100
0

2f_z_(l,h)

4f_(sznu,zz)_sl
4f_ww_sl(ae,ea)_vxy

other

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

coplanarity (rad)図 A.11: 条件 9 まで

88

第 A 章 Appendix-+

Eventss = 250 GeV, (Pe ,Pe ) = (-0.8,+0.3),

òLdt = 900 fb , Cut: No.1~No.10
-1

350

nnH

300

4f_(sznu,zz)_sl

250

4f_ww_sl

200(ae,ea)_vxy
2f_z_(l,h)

150

other

100
50
0
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2

cosj12
図 A.12: 条件 10 まで

89

謝辞

本研究にあたり、田辺友彦特任助教や加藤悠先輩の弛まぬ努力、ご理解、ご指導がありました。今回は加藤悠先輩、藤井一毅先輩と私 3 代の研究でまだ途上ではありますが、新
しい kinematic ﬁt の開発の糸口を掴むに至りました。研究にあたっては私のご無理を聞いてくださり、実装と日々のご指導をいただいた田辺助教にまず感謝申し上げます。加藤悠
先輩には、ご自身がお忙しい中で、私との議論に何十時間も費やしてくださり、実装の面やで大きく貢献いただきました。山下教授には就活で心が折れそうになっていた時から毎週温かい言葉と正確なご指摘をいただき、私の研究のやる気を大きく高めていただきました。同期の茂木駿紀氏は私の性格など受け止めていただき本当に感謝しております。本研
究は国際リニアコライダー実験を対象としたものですが、今後の加速器実験にこの手法が役立てられることを願って止みません。

90

参考文献

[1] 高 エ ネ ル ギ ー 加 速 器 研 究 機 構.https://www.kek.jp/ja/newsroom/2012/08/31/
1800/[2] 林 青司. 素粒子の標準模型を超えて[3] the Linear Collider
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Collaboration.

https://ilchome.web.cern.ch/ilc/[4] Chris Adolphsen, Maura Barone, Barry Barish, Karsten Buesser, Phil Burrows,
John Carwadine et al. The International Linear Collider Technical Design Report Volume 3. Ⅱ: Accelerator Baseline Design[5] Ties Behnke, James E.Brau, Philip Burrows, Juan Fuster, Michael Peskin, Marcel
Stanitzki, Yasuhiro Sugimoto, Sakue Yamada, Hitoshi Yamamoto. The International Linear Collider Technical Design Report - Volume 4: Detectors[6] Katsushige Kotera, Daniel Jeans, Akiya Miyamoto, Tohrru Takeshita: A novel
strip energy splitting algorithm for the ﬁne granular readout of a scintillator strip
electromagnetic calorimeter.http://inspirehep.net/record/1297051[7] Daniel Schulte. Beam-Beam Eﬀects in Linear Colliders, ICFA Beam Dyn.Newslett.
69 (2016) 237-245[8] Summary plots from the ATLAS Higgs physics group.https://atlas.web.cern.
ch/Atlas/GROUPS/PHYSICS/CombinedSummaryPlots/HIGGS/[9] Jorge Nocedal and Stephen J. Wright. Numerical Optimization[10] O. Behnke, K. Kröninger, G. Schott and T. Schörner-Sadenius. Data Analysis inHigh Energy Physics[11] Stefano Moretti, Leif Lönnblad, Torbjörn Sjöstrand. New and Old Jet Clustering
Algorithms for Electron-Positron Events[12] F. Halzen, Alan D. Martin. Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern
Particle Physics[13] Mark Thomson. Modern Particle Physics[14] Taikan Suehara, Tomohiko Tanabe. LCFIPlus: A Framework for Jet Analysis inLinear Collider Studies
91

参考文献

参考文献

[15] GNU Scientiﬁc Library (GSL) 2.6 documentation. https://www.gnu.org/
software/gsl/doc/html/index.html[16] iLCSoft. https://github.com/iLCSoft[17] Benno List and Jenny List. MarlinKinﬁt. https://github.com/iLCSoft/
MarlinKinfit[18] Uli Einhaus, Uwe Krämer, Paul Malek. Studies on Particle Identiﬁcation with
dE/dx for the ILD TPC[19] J. S. Marshall, M. A. Thomson. Pandora Particle Flow Algorithm[20] http://techtipshoge.blogspot.com/2016/07/blog-post.html[21] Shin-ichi Kawada, Keisuke Fujii, Taikan Suehara, Tohru Takahashi, Tomohiko Tanabe. A study of the measurement precision of the Higgs boson decaying into tau
pairs at the ILC[22] DBD sampleshttps://ilcsoft.desy.de/dbd/generated/[23] Ono Hiroaki, Akiya Miyamoto. A study of measurement precision of the Higgs boson
branching ratios at the International Linear Collider. EPJ C73 (2013) no.3, 2343
[24] Masao Kuriki. ILC Accelerator Overview. ILC summer camp 2019.
https://agenda.linearcollider.org/event/8237/contributions/44011/
attachments/34672/53509/ILCSS2019.pdf

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