数理解析研究所講究録
第 1800 巻 2012 年 94-106

94

bi-differential calculus* と非線形可積分方程式
戸田 晃一 (Kouichi TODA) \dag er \d ag er

富山県立大学工学部

Faculty of Engineering,
Toyama Prefectural University

概要

双微分代数がもっ代数構造と非線形可積分系の数理に非常に深い関係があることが分かってきた．今回はその一端について報告する．

1

双微分代数
$\mathbb{C}$上の結合多元環$\Omega$が，$\mathcal{A}:=\Omega^{0}$と-双加群により直和分解$\mathcal{A}$:$\Omega=\bigoplus_{m\geq 0}\Omega^{m}$

され，更に，任意の自然数 $m,$

$n$

に対して，
$\Omega^{m}\Omega^{n}\subseteq\Omega^{m+n}$を満たすとき， を次数つき多元環 (graded algebra) という．
$\Omega$

次に，外微分形式がもつ代数構造を拡張した代数の説明に移る．そのために，外微分形式
を次のように整理し，それを，次数付き微分代数 (differential gmded algebra) と名付ける．
微分

$d$

は，
$d:\Omega^{m}arrow\Omega^{m+1}$とする線形写像である．次の性質:
性質 1

分配性:
$d(\rho+\sigma)=d\rho+d\sigma$$*$

本文中では，双微分代数とよぶことにする．

\dagger kouichi@yukawa.kyoto-u.ac.jp\ddagger 慶慮義塾大学自然科学教育研究センタ $-$

(1)

95
性質 2

次数付き Leibniz 則:

性質 3$r=\deg(\rho)^{1}$のとき，$d(\rho\sigma)=(d\rho)\sigma+(-1)^{r}\rho d\sigma$(2)$d^{2}=0$

(3)

恒等式:

をもっ演算子として定義される．

次に，-次数付き双微分代数 (bi-differential graded algebm) を定義する [1, 2, 3, 4, 5]. 双

微分 d, d は，

$d$$\overline{d}$:$\Omega^{m}arrow\Omega^{m+1}$:$\Omega^{n}arrow\Omega^{n+1}$,とする線形写像であり，次の性質:
性質 4

性質 5

分配性:
$d(\rho+\sigma)$$=$$d\rho+d\sigma$$\overline{d}(\rho+\sigma)$$=$$\overline{d}\rho+\overline{d}\sigma$,(4)

次数付き Leibniz 則: $r=\deg(\rho)$ のとき，$d(\rho\sigma)=(d\rho)\sigma+(-1)^{r}\rho d\sigma$,$\overline{d}(\rho\sigma)=(\overline{d}\rho)\sigma+(-1)^{r}\rho\overline{d}\sigma$

性質 6

(5)

恒等式:
$d^{2}=0$,$\overline{d}^{2}=0$,$dd$ $+$ $dd$ $=0$(6)をもつ演算子として定義される．
また， を任意のパラメータとして$z$$d_{z}:=\overline{d}-zd$(7)を導入すると，$d_{z}^{2}=(\overline{d}-zd)(\overline{d}-zd)=\overline{d}^{2}-z(d\overline{d}+\overline{d}d)+z^{2}d^{2}$となり，任意の$z$に対して $d_{z}^{2}=0$ という条件を課すことで，可積分条件 (6) を再現できる．

次に，双微分 d, d が満たす次数付き双微分代数を用いた非線形可積分方程式の構成手法について紹介する．
$1r$は$\rho$の次数．微分形式ならば， は 形式である，ということ．
$\rho$$r$962双微分代数による非線形可積分方程式の構成手法
次数 1 である $A(\deg(A)=1)$

を用いて，微分$\overline{d}$の代わりとなる新たな演算子$\overline{D}$を次のように定義する 2:$\overline{D}:=\overline{d}-A$

.

(8)

,

$Dd$ $=0$(9)$d^{2}=0$ に加えて，
このとき，$\overline{D}^{2}=0$を満たすとき，演算子$\overline{D}$と$d$$d\overline{D}+$の組が双微分代数をなす．条件 (9) の第一式 :
$0$

$=$

$=$

$=$

$=$

$\overline{D}^{2}$$(\overline{d}-A)(\overline{d}-A)$$\overline{d}^{2}-\overline{d}\circ A-A\overline{d}+A^{2}$$\overline{d}^{2}-\overline{d}A+A^{2}$より$\overline{d}A-A^{2}=0$(10)を，第二式:$0$$=$$d\overline{D}+\overline{D}d$$=$$d(\overline{d}-A)+(\overline{d}-A)d$$=$$d\overline{d}-dA+dd$より$dA=0$(11)を，それぞれえる．ここで，ことを強調しておきたい．
方程式 (10), (11) の両方をみたす次数 1 の $A$ をみつけることは非常に難しい．しかし，どちらかを満たす $A$ を求めることはさほど難しくはない．そこで，まず片方の方程式を満たす解をみつけて，それがもう片方の方程式を満たすとしたときにでてくる情報を求めることにする．

2 これは明らかに共変微分の形をしている．このように新たな演算子を定義する手法を，dressing という．

97.

【手順】 方程式 (11)方程式 (11) は自明な解 :方程式 (10) の場合$\Rightarrow$$\phi\in \mathcal{A}$(12)$A=d\phi$をもつ．これを方程式 (10) に代入すると， が満たすべき非線形方程式 :$\phi$(13)$\overline{d}d\phi=(d\phi)^{2}$をえる．ここで，非線形方程式 (13) はとを注意しておく．但し，$\phi\mapsto\alpha\phi\alpha^{-1}+\beta(=\phi_{\alpha\beta})$は正則かっ$\alpha\in \mathcal{A}$$d\alpha=\overline{d}\alpha=0,$に対して不変であるこ$\beta\in \mathcal{A}$は $d\beta=0^{3}$ である．

【証明】$\phi_{\alpha\beta}=\alpha\phi\alpha^{-1}+\beta$$d\phi_{\alpha\beta}$

に対して，

$=$

$d(\alpha\phi\alpha^{-1}+\beta)$$=$$(d\alpha)\phi\alpha^{-1}+(-1)^{\deg(\alpha)}\alpha d(\phi\alpha^{-1})$$=$$\alpha(d\phi)\alpha^{-1}+(-1)^{\deg(\phi)}\alpha\phi d\alpha^{-1}$$=$$\alpha(d\phi)\alpha^{-1}$より$\overline{d}d\phi_{\alpha\beta}-(d\phi_{\alpha\beta})^{2}$$=$$\overline{d}\{\alpha(d\phi)\alpha^{-1}\}-\{\alpha(d\phi)\alpha^{-1}\}\{\alpha(d\phi)\alpha^{-1}\}$$=$$\overline{d}\{\alpha(d\phi)\alpha^{-1}\}-\alpha(d\phi)^{2}\alpha^{-1}$$=$$(\overline{d}\alpha)(d\phi)\alpha^{-1}+(-1)^{\deg(\alpha)}\alpha\overline{d}\{(d\phi)\alpha^{-1}\}-\alpha(d\phi)^{2}\alpha^{-1}$$=$$\alpha(\overline{d}d\phi)\alpha^{-1}+(-1)^{\deg(d\phi)}\alpha(d\phi)\overline{d}\alpha^{-1}-\alpha(d\phi)^{2}\alpha^{-1}$$=$$\alpha\{\overline{d}d\phi-(d\phi)^{2}\}\alpha^{-1}$

$=$

$0$

となり，確かに非線形方程式 (13) は，$\phi\mapsto\alpha\phi\alpha^{-1}+\beta$(注意)$d\alpha=0$$\overline{d}\alpha=0$$\bullet$であれば，に対して不変である．

$d\alpha^{-1}=-\alpha^{-1}(d\alpha)\alpha^{-1}=0$であれば，$\overline{d}\alpha^{-1}=0$となる．同様にして，C’ ある．

【手順】 方程式 (10)方程式 (11) の場合
方程式 (10) を満たす解の一つとして，に対して$\Rightarrow$$g\in \mathcal{A}$(14)$A=(\overline{d}g)g^{-1}$3d-定数という．一般に -定数であっても，-定数，つまり今の場合であれば，$d$$\overline{d}$$\overline{d}\beta=0$とはならない．

98がある．実際，$\overline{d}A-A^{2}$$=$$\overline{d}\{(\overline{d}g)g^{-1}\}-\{(\overline{d}g)g^{-1}\}\wedge\{(\overline{d}g)g^{-1}\}$$=$$(\overline{d}^{2}g)g^{-1}+(-1)^{1}(\overline{d}g)\wedge\{-g^{-1}(\overline{d}g)g^{-1}\}-(\overline{d}g)g^{-1}\wedge(\overline{d}g)g^{-1}$$=$$(\overline{d}g)g^{-1}\wedge(\overline{d}g)g^{-1}-(\overline{d}g)g^{-1}\wedge(\overline{d}g)g^{-1}$

$=$

$0$

.

このとき，方程式 (11) こ解 (14) を代入すると， が満たすべき非線形方程式 :$\downarrow$

$g$

(15)

$d\{(\overline{d}g)g^{-1}\}=0$をえる．ここで，非線形方程式 (15) は注意しておく．但し，$\alpha\in \mathcal{A}$$\phi\mapsto\gamma\phi\delta(=\phi_{\gamma\delta})$

は正則かつ

$d$

-定数，

$\beta\in \mathcal{A}$に対して不変である 4 ことをは正則かつ -定数である．
$\overline{d}$ある事実についてコメントしておく:
方程式 (15) 左辺において，$drightarrow\overline{d},$$grightarrow g^{-1}$とした式$=\overline{d}\{(dg^{-1})g\}$$=\overline{d}[\{-g^{-1}(dg)g^{-1}\}g]$$=-\overline{d}\{g^{-1}dg\}$$=-[\{-g^{-1}(\overline{d}g)g^{-1}\}dg+(-1)^{\deg(g^{-1})}g^{-1}ddg]$$=g^{-1}(\overline{d}g)g^{-1}dg-g^{-1}\overline{d}dg$$=g^{-1}(\overline{d}g)g^{-1}dg(g^{-1}g)+g^{-1}d\overline{d}g$$=-g^{-1}(\overline{d}g)\{-g^{-1}(dg)g^{-1}\}g+g^{-1}d\overline{d}g(g^{-1}g)$$=g^{-1}[-(\overline{d}g)(dg^{-1})+(ddg)g^{-1}]g$$=g^{-1}[(-1)^{\deg(\overline{d}g)}(\overline{d}g)(dg^{-1})+$(ddg) $g^{-1}]g$$=g^{-1}[d\{(\overline{d}g)g^{-1}\}]g^{-1}$となり，もし$g$が非線形方程式 (15) の解であるならば，$\overline{d}\{(dg^{-1})g\}=0$$g^{-1}$またはは非線形方程式$\overline{d}\{g^{-1}dg\}=0$の解となる．

非線形方程式 (15) と (13) を結ぶ，場の変換は，解 (14) と (12) より，$(\overline{d}g)g^{-1}=d\phi$

4 このとき， はカイラル対称性をもつという．
$g$$(=A)$(16)

99
で与えられる．この変換 (16) を Miura 変換とよぶことにする．このとき，非線形方程式 (15)と (13) は，(見かけ上) 双対な関係に言い換えることができる:(pseudoduality) にある，という．このことは，次のようの組が非線形方程式 (Miura 変換) : $(\overline{d}g)g^{-1}-d\phi=0$ の解であるとき，は非線形方程式 (15) の，は非線形方程式 (13) の，それぞれ解となっている$(g, \phi)$$g$$\phi$$A=(\overline{d}r’)g^{-1}$$d((\overline{d}g)g^{-1})=0$,$\dagger$$\prime r’\uparrow;\prime’..$$\overline{d}A-AA=0$$;,$$dA^{\mathfrak{j}}=$む$\overline{d}d\varphi=d\phi d[oslash] A=d\phi|’=\downarrow$

新しい演算子

$D_{z}$

を次のように共変微分の形で定義する :$D_{z}$$:=$$\overline{D}-zd$$\overline{d}_{z}-A$

.

(17)

このとき，

(18)

$D_{z}^{2}=0$は可積分条件 (9) を与え，非線形方程式 (13) は，dd $+\overline{d}d=0$ および$d\{(d\phi)\phi\}=(d^{2}\phi)\phi+(-1)^{1}(d\phi)^{2}=-(d\phi)^{2}$に注意すると，$0=-\overline{d}d\phi+(d\phi)^{2}=d[\overline{d}\phi-(d\phi)\phi]$と書くことができる．ある$\varphi\in A$

を導入すると，
$[$

$]$

内を

$\overline{d}\phi-(d\phi)\phi=d\varphi$とかくことができる．この式の両辺に左から$\overline{d}$を演算させると，$a$ $[\overline{d}\phi-(d\phi)\phi]=\overline{d}d\varphi$$\Leftrightarrow$$(d\overline{d}\phi)\phi+(d\phi)\wedge(\overline{d}\phi)=-d\overline{d}\varphi$$\Leftrightarrow$$d\{(d\phi)\phi+d\varphi\}\phi+(d\phi)\wedge\{(d\phi)\phi+d\varphi\}=-d\overline{d}\varphi$$\Leftrightarrow$$\{(d^{2}\phi)\phi\vee+(-1)^{1}(d\phi)^{2}+d^{2}\vee\varphi\}\phi+(d\phi)^{2}\phi+(d\phi)\wedge(d\varphi)=-d\overline{d}\varphi$$0$$\Leftrightarrow$$0$$-\{(d^{2}\vee\phi)\varphi+(-1)^{1}(d\phi)\wedge(d\varphi)\}+d\overline{d}\varphi=0$$0$$\Leftrightarrow$$d\{-(d\phi)\varphi+\overline{d}\varphi\}=0$

(19)

100
となる．よって，
$\{$

$\}$

内を，再度，ある$\psi\in \mathcal{A}$

を用いて，

(20)

$\overline{d}\varphi-(d\phi)\varphi=d\psi$とかくことができる．また，この式の両辺に左から$\overline{d}$を演算させることで，同様の計算を続けることができる．

これまでの一連の計算は以下のように，条件 (18) を可積分条件としてもつ線形方程式:$D_{z}W(z)=0$(21)にまとめることができる．ここで，$W(z):=I+ \sum_{n\geq 1}W_{n}z^{-n}$(22)である．そのことをみていく．
$W(z)=I+ \sum_{n\geq 1}W_{n}z^{-n}=I+W_{1}z^{-1}+W_{2}z^{-2}+\ldots$

より，$D_{z}W(z)$$=$$(\overline{d}-A-zd)(I+W_{1}z^{-1}+W_{2}z^{-2}+\ldots)$

$=$

...

$=$

計算略

$-( dW_{1}+A)+\sum_{n\geq 1}(\overline{d}W_{n}-AW_{n}-dW_{n+1})z^{-n}$なので，線形方程式 (21) が任意の$z$で成り立っためには，関係式 :$A=-dW_{1}$ ,(23)$dW_{n+1}=\overline{d}W_{n}-AW_{n}=\overline{D}W_{n}$(24)および $n\geq 1$ に対して漸化式 :$W_{1}=-\phi$ とすると，関係式 (23) は，方程式 (11) の自明な解が成り立たなければならない．

$n=1$ のとき，漸化式 (24) は，(12) を再現できる．そして，$dW_{2}=\overline{D}W_{1}=-\overline{d}\phi+(d\phi)\phi$(25)$n=1$ のときの漸化式 (24) は，関係式 (19) をえる．同となる．よって，とすれば，$W_{3}=-\psi$ とすることで，関係式 (20) をえる．こ$n=2$ のときの漸化式 (24) は，様にして，$W_{2}=-\varphi$

れを繰り返すことで，同様の結果を帰納的にえることができる．

101
3

双微分代数による非線形可積分方程式に対する数理解析手法
非線形可積分系の構成だけではなく， cklund 変換，Darboux 変換，Lax 対，厳密解，保$B\ddot{a}$存量を構成することも可能である [2,4,5].

3.1

B\"acklund 変換

また，ここで新たな演算子:$D_{z}’:=d_{z}-A’$,$\deg(A’)=1$を導入する．これが，次の演算子 $G(z)=I+Fz^{-1}(\deg(F)=0)$ を用いて，(26)$D_{z}’=G(z)\circ D_{z}oG(z)^{-1}$と与えられたとき，変換 (26) は (elementary)$B\ddot{a}$cklund (BT) 変換となっている．BT

変換 (26) は$dF$$\overline{d}F$$=$$A-A’$ ,

(27)

$=$

A’F–FA(28)と等価である．(ここまでは一般論であり，これ以降は可積分系の問題に特化する．)【証明】(26) 式は$D_{z}’oG(z)=G(z)\circ D_{z}$なので，左辺は，do $F=dF+(-1)^{0}Fd=dF+Fd$ (do $I=dI+(-1)^{0}Id=Id$ ($D_{z}’oG(z)$$\overline{d}oI$$\overline{d}oF$

についても同様) およびについても同様) に注意すると，$=$$(d_{z}-A’)o(I+Fz^{-1})$$=$$-zId+(I\overline{d}-A’-dF-Fd)+(\overline{d}F+F\overline{d}-A’F)z^{-1}$$=$$(I+Fz^{-1})o(d_{z}-A)$$=$$-zId+(I\overline{d}-A-Fd)+(F\overline{d}-FA)z^{-1}$となり，右辺は$G(z)oD_{z}$となる．よって，両辺の$z^{0}$$z^{-1}$$z^{0}$と $z^{-1}$ の係数を比較すると，:$dF+A’=A$:$\overline{d}F-A’F=-FA$$\Rightarrow$(27) 式$\Rightarrow$(28) 式

102
をえる．

方程式 (11) の自明な解 (12):(29)$\{\begin{array}{l}A=d\phi,A^{l}=d\phi’\end{array}$

を BT 変換 (27) に代入すると，一度積分
$F$

$=$

$(d^{-1})$

でき

(30)

$\phi-\phi’-C$$dC=0$ である 5. そして，自明な解 (29) と等式 (30) を BT 変換 (28) に代をえる．ここで，

入すると，

(31)

$\overline{d}(\phi-\phi’-C)=(d\phi’)(\phi-\phi’-C)-(\phi-\phi’-C)d\phi$

をえる．これがと$\phi$$\phi’$(が満たす非線形方程式の間) を結ぶ BT 変換である．

他方で，方程式 (10) の自明な解 (12):(32)$\{\begin{array}{l}A=(\overline{d}g)g^{-1},A’=(\overline{d}g’)(g’)^{-1}\end{array}$

を BT 変換 (28) に代入すると，$F$をえる．ここで，(33)$g’\mathcal{K}g^{-1}$$=$$\overline{d}\mathcal{K}=0$である 6.

【証明】
自明な解 (32) を，BT 変換 (28) に代入すると，$\overline{d}F=A’F-FA=(\overline{d}g^{l})(g’)^{-1}F-F(\overline{d}g)g^{-1}$$=$$\overline{d}(Fg)=g’(g’)^{-1}(\overline{d}g’)(g’)^{-1}Fg$$(g’)^{-1}\overline{d}(Fg)=(g’)^{-1}(\overline{d}g’)(g’)^{-1}Fg$$\Leftrightarrow$$\overline{d}\{(g’)^{-1}Fg\}=0$$\Leftrightarrow$となり，一度積分$(\overline{d}^{-1})$

でき，$(g’)^{-1}Fg=\mathcal{K}$$\Leftrightarrow$$F=g’\mathcal{K}g^{-1}$-定数であっても，である．但し，可積分系の数理解析であれば，として差し支6 一般的には -定数であっても，である．但し，可積分系の数理解析であれば，として差し支5 一般的には$d$$\overline{d}C\neq 0$$\overline{d}C=0$

えはない．
$\overline{d}$えはない．

$d\mathcal{K}\neq 0$$d\mathcal{K}=0$

103
をえる．

自明な解 (32) と等式 (33) を BT 変換 (27) に代入すると，(34)$d(g’\mathcal{K}g^{-1})=(\overline{d}g)g^{-1}-(\overline{d}g’)(g’)^{-1}$をえる．これが$g$と $g’$ (が満たす非線形方程式の間) を結ぶ BT 変換となっている．

Miura 変換 (16) に，二つの $F(30)$ と (33) を代入して，一度積分 $(d^{-1})$ すると，二つのBT 変換 (31) と (34) を結ぶ変換:$\phi-\phi’-C=g’\mathcal{K}g^{-1}$(35)$\overline{d}\psi=(d\phi)\psi+(d\psi)\triangle$

(36)

をえる．

3.2

Darboux 変換$\psi$

に対する線形系 :を考える．この線形系 (36) の可積分条件より，$\{dd\phi-(d\phi)^{2}\}\psi-(d\psi)\{\overline{d}\triangle-(d\Delta)\triangle\}=0$をえる．ここで，二番目の

$\{$

$\}$

内に注目し，(37)$\overline{d}\triangle-(d\triangle)\Delta=0$のとすれば，線形系 (36) の可積分条件は，非線形方程式 (13) と等価となる．いま，ときの線形系 (36) に対する正則 (invertible) な解ををとする．このとき， は線形系 :$\triangle=\triangle’$$\psi=\theta$$\theta$(38)$\overline{d}\theta=(d\phi)\theta+(d\theta)\triangle’$を満たし，単純計算の結果，等式:$\overline{d}(\theta\Delta’\theta^{-1})=(d\phi’)\theta\Delta’\theta^{-1}-\theta\triangle’\theta^{-1}(d\phi)$をえる．(e-)BT 変換 (31) と見比べると，等式 (39) はば成り立っことが分かる．故に，$\phi’:=\phi+\theta\Delta’\theta^{-1}-C’$$\theta$$dC’=0$が $\phi^{l}-\phi+d$-定数の形であれ

(40)

により
を与える関係式 (40) が，Darboux 変換である．そして，こを Darboux 変数 (または行列) とよぶ．

とかける．こののときの,$\theta\Delta’\theta^{-1}$(39)$\phi$と$\theta$$\phi’$

104
3.3

modffied Miura 変換

線形系 (36) の波動関数$\psi$が正則だと仮定し，その正則な解を $\psi=g$ だとすると，線形系(36) は(41)$\{\overline{d}g-(dg)\Delta\}g^{-1}=d\phi$とかける．このとき，可積分条件 $d^{2}\phi=0$ は，(42)$d[\{\overline{d}g-(dg)\Delta\}g^{-1}]=0$とかける． に対する非線形方程式 (42) は，modified Miura 変換とでもよぶべき変換 (41)$g$により， に対する非線形方程式 (13) と双対な関係となっている．
$\phi$

このとき，

(43)

$A(=d\phi)=\{\overline{d}g-(dg)\Delta\}g^{-1}$に対応するので，$\overline{d}A-A^{2}=(dA)g\Delta g^{-1}$

(44)

,

$\overline{d}g^{-1}+g^{-1}\phi’=d(\triangle g^{-1})$

(45)

,

(46)

$\phi’:=\phi+g\Delta g^{-1}+C’’$$dC”=0$ である．
をえる．ここで，4まとめ

本稿では，双微分代数を用いた非線形可積分系の構成手法および数理解析手法について報告した．紙数の関係上，具体例を挙げることができなかった．以下に，双微分代数により導出される，非線形偏微分方程式の具体例を挙げておく:(例) 行列型 potential KP 方程式$(t,x, y)$を三次元時空とし，$f=f(t, x, y)\in \mathcal{A}$ を滑らかな関数とする．演算子 d, d を，具体的に次のように与える:

(47)

,

$df$

$=$

$[ \partial_{x}, f]\xi_{1}+\frac{1}{2}[\partial_{y}+\partial_{x}^{2}, f]\xi_{2}$$\overline{d}f$$=$$\frac{1}{2}[\partial_{y}-\partial_{x}^{2}, f]\xi_{1}+[\partial_{t}-\partial_{x}^{3}, f]\xi_{2}$

.

(48)

このとき，行列場 $\phi=\phi(t, x, y)$ に対する非線形偏微分方程式 (13) は$\{\phi_{t}-\frac{1}{4}\phi_{xxx}-\frac{3}{2}(\phi_{x})^{2}\}_{x}-\frac{3}{4}\phi_{yy}+\frac{3}{2}[\phi_{x}, \phi_{y}]=0$

(49)

105
と等価となる．これが，行列型 potential KP 方程式 7 である．ここで，添え字は，その文字に関する偏微分 例えば，
を表す．
$($

$\phi_{x}:=\partial_{x}\phi)$

依存性を無視する $(\phi_{y}=0)$
方程式 8:$y$ような条件を課すと，方程式 (49) は行列型 potential $KdV$$\phi_{t}-\frac{1}{4}\phi_{xxx}-\frac{3}{2}(\phi_{x})^{2}=0$(50)に次元還元される．また， をスカラー場だと思えば，方程式 (49) は$\phi$$\{\phi_{t}-\frac{1}{4}\phi_{xxx}-\frac{3}{2}(\phi_{x})^{2}\}_{x}-\frac{3}{4}\phi_{yy}=0$(51)となる．これは (通常の) potential KP 方程式である．
多微分演算子 $d_{n}(n=1,2, \ldots, N)$ を用いた，非線形可積分系の構成や数理構造の解析に関する研究成果は，別の機会に報告したい．

謝辞
本研究は，日本学術振興会 (JSPS). ドイツ学術交流会 (DAAD) 「特定国派遣事業」および富山県立大学「特別研究費-奨励研究 (萌芽的研究) 」 からサポートを受けて行われていることを附記する．

参考文献[1] A. Dimakis and F. M\"uller-Hoissen: J. Phys.

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[4] A. Dimakis and F. M\"uller-Hoissen: Discrete and Continuous Dynamical Systems
Supplement, pp.208-pp.219 (2009).
7 非可換 potential $KP$ 方程式 [6, 7, 8, 9] のーっ．
8 非可換 potential $KdV$ 方程式 [6, 7] のーっ．

106[5] A. Dimakis, F. M\"uller-Hoissen and K. Toda:
tegrable systems, プレプリント (2011).

Bi-differential calculus approach to In-[6] K. Toda: J. High Energy Phys., $PRHEP-unesp2002/038$ (2003).
[7] M. Hamanaka and K. Toda: Phys. Lett.

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[8] A. Dimakis and F. M\"uller-Hoissen: J. Phys.

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[9] A. Dimakis and F. M\"uller-Hoissen: J. Phys.

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