数理解析研究所講究録
第 1806 巻 2012 年 176-185

176
自己相反多項式と微分方程式の標準系

東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 鈴木正俊 ( Suzuki Masatosi)
Department of Mathematics, Tokyo Institute of Technology

1. はじめに研究集会の際は “On a sequence of Hilbert spaccs of entire functions arising from the
Riemann zeta-function” というタイトルで，Riemann ゼータ関数か 6 生ずる微分方程式の標準系 (canonical system) について話した．大まかなストーリーとしては:
1. Riemann 予想を仮定すると，Riemann ゼータ関数から de Branges 空間という整関数から成るヒルベルト空間が定義できる．

2. 一般に，de Branges 空間から，ある微分方程式の標準系が定まる．(逆に微分方
程式の標準系から，de Branges 空間を定める事ができる)
3. したがつて Riemann 予想のもと，Riemann ゼータ関数からある微分方程式の標準系が定まる．そして Riemann 予想は，この標準系のハミルトニアンの半正値性に反映される．

4. このハミルトニアンは，Riemann ゼータ関数から具体的に定まるある積分核によつて定義される積分作用素のフレドホルム行列式を用いて表示できる．
といつたものであつた．この後，この話は [11] として出版されることになり，レフエリ

一氏のお陰もあつて，かなり取つ付き易い構成になつた (と思う). そういつた訳で，講演時の内容をそのままここで解説するのは，あまり有意義とは思えなくなつてしまつた．
一方，de Branges 空間や微分方程式の標準系といつたものは，数論方面ではかなりマ
イナーな話題だと思われる．そこで今回は，簡単な例を通して，整関数の零点と微分方程式の標準系のハミルトニアンとの関連を解説しようと思う．上で述べた Riemann ゼータ関数に対応すべきハミルトニアンの数値計算についても，最後に少しだけ触れる．
2. 微分方程式の標準系
定義 1. $H(b)$ を区間 $I=(b_{0}, b_{1}](-\infty<b_{0}<b_{1}\leq\infty)$ の殆ど至るところで定義された$H(b)$ がの行列値関数とする．
上殆ど至るところ半正定値な対称行列で，測度がをパラでなし 1 の部分集合上で でなく，局所的に可積分であるとき，$I$$2\cross 2$
$0$

$I$

$0$

メータとする$I$$(L_{1oc}^{1})$$z\in \mathbb{C}$上の微分方程式の系$\frac{\partial}{\partial b}[_{B(b,z}^{A(b,z})]=z[Matrix] H(b)[_{B(b,z)}^{A(b,z)}], \lim_{barrow b_{0}^{+}}[_{B(b,z)}^{A(b,z)}]=[Matrix]$を (2 次元の) 標準系と呼ぶ．また $H(b)$ をこの標準系のハミルトニアンと呼ぶ．

定義 2. 整関数 $E(z)$ について，$|E(x+iy)|>|E(x-iy)| \forall y>0$
$E(z)$ は Hermite-Biehler 条件を満たすという．
が成り立つとき，

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整関数 $E(z)$ が Hermite-Biehler 条件を満たすならば，の零点は全て実軸上にある事が知られている Lemma $5 of [4],$ Lemma $2.2 of [8| など)$ .
$E(z)\pm\overline{E(\overline{z})}$$($実整関数の組 $(A(b, z), B(b, z))$ が標準系の解であるとき，これらは各 (regular な) $b\in I$
に対して整関数で，$E(b, z)=A(b, z)-iB(b, z)$ は Hermite-Biehler 条件を満たす．これ$A(b, z),$ $B(b, z)$ の零点は全て実軸上にある．
から特に，後の話では $a=\exp(b_{1}-b)$ と変数変換した，[1, $a_{0})(a_{0}=\exp(b_{1}-b_{0}))$ 上の系$-a \frac{\partial}{\partial a}[_{B(a,z)}^{A(a,z)}]=z\{\begin{array}{l}0-110\end{array}\}H(a)[_{B(a,z)}^{A(a,z)}],$$\lim_{aarrow a_{0}^{-}}[_{B(a,z)}^{A(a,z)}]=\{\begin{array}{l}10\end{array}\},$$z\in \mathbb{C}(2.1)$$(A(a, z)$ は $A(b_{1}-\log a, z)$ などと書くべきだが，混乱は無いだろう．)
を考える．

3. 自己相反多項式
定義 3. 実数係数の多項式 $f(x)= \sum_{i=0}^{n}c_{i}x^{n-i}$ が $c_{0}\neq 0,$ $c_{i}=c_{n-i}(0\leq\forall i\leq n)$ を満$f(x)$ を
次の自己相反多項式 (self-reciprocal polynomial) と呼ぶ．
たすとき，
$n$

自己相反多項式の根が全て単位円周上にあるのはどのような場合か，というのは基本的な問題である．これについては多くの研究があり，例えば最近では Kwon[7], Lakatos[10],Chen [1], Chinen [2, 3] などがある．大雑把に言つて，多くの結果は $f(x)$ が $x^{n}-1$ , も
しくはこれから生ずる $x^{p}+x^{p-1}+\cdots+x+1$ ( : 素数) などの円分多項式に “近い “ な$f(x)$ の根が全て単位円周上にある，という結果である．
らば，
こういつた結果は自然ではあるが，ゼータ関数， 関数に応用しようとすると，これ
$p$

$L$

らに対しては適用外になつてしまう事が多い (例えば Egorov [6] の最後の注意など).

以下では自己相反多項式の根が全て単位円周上にあるような条件を，標準系のハミル
トニアンを通して調べることを考える．

4. 自己相反多項式と標準系
自己相反多項式 $f(x)$ の最初の係数を $c_{0}=1$ と正規化しておく．
$f(x)$ の次数 が奇数$g(x)$
次の実数係数多項式$(n-1)$
により $f(x)=(x+1)g(x)$ と書けるので，以
ならば，
$n$

$n=2g$ とおく．このとき，下では偶数次の自己相反多項式のみを考える事にし，$x^{-g}f(x)=(x^{g}+x^{-g})+ \sum_{j=1}^{g-1}cj(x^{g-j}+x^{-(g-j)})+c_{g}$と書ける．これに対し $q>1$ を一つ固定して，$F(z)=F(z;q)=q^{-iz}9f(q^{iz})=2 \cos(z\log q^{g})+2\sum_{j=1}^{g-1}c_{j}\cos(z\log q^{g-j})+c_{g}$とおく．但し $g=1$ のときは和$\sum_{j=1}^{g-1}$

の部分は

$0$

とする．さらに$E_{\omega}(z)=F(z+i\omega)$,$\omega>0$

について，

(4.1)

178
$A_{\omega}(z)= \frac{1}{2}(E_{\omega}(z)+\overline{E_{\omega}(\overline{z})})=\frac{1}{2}(F(z+i\omega)+F(z-i\omega))$,$B_{\omega}(z)= \frac{i}{2}(E_{\omega}(z)-\overline{E_{\omega}(\overline{z})})=\frac{i}{2}(F(z+i\omega)-F(z-i\omega))$

,

(4.2)

と定める．( $f(x)$ が実係数なので(z-)– $=F(z-i\omega)$ であることに注意) このとき $F(z)$ ,$E\omega$$A_{\omega}(z),$$B_{\omega}(z)$は全て指数型の実整関数$(F(\mathbb{R})\subset \mathbb{R})$である．

$F(z)$ の零点が全て実軸上にある事と，自己相反多項式
実整関数 $F(z)$ の定義から，の根が全て単位円周上にある事は同値である．この前者は，任意の正数 $\omega>0$ にの零点がついて，実整関数の零点が全て実である事と同値となる．実際，の零点も全て実全て実ならば，関数論の Humitz の定理により，$F(z)$の零点が全$F(z)$のHadamard 積表示を用いて，である．逆に，指数型の実整関数
について $F(z+i\omega)$ は Hermite-Biehler 条件を満たし，て実軸上にあれば，任意の$f(x)$$A_{\omega}(z)$$A_{\omega}(z)$$F(z)= \lim_{\omegaarrow 0^{+}}A_{\omega}(z)$$\omega>0$

従つて$A_{\omega}(z)$$($と $B_{\omega}(z))$ の零点は全て実であることが言える．

したがつて $F(z)$ の零点が全て実である事と，任意の $\omega>0$ について

$E_{\omega}(z)$が Hermite-

Biehler 条件を満たす事は同値となる．ゆえに $F(z)$ の零点が全て実ならば，各 $\omega>0$
は de Branges 空間とそれに付随する標準系を定める．この標準系のについて，$E_{\omega}(z)$ハミルトニアンを $H_{\omega}=H_{\omega}(a)$ で表す．

$A_{\omega}(z)$は偶関数，$B_{\omega}(z)$は奇関数なので，deは対角型になる．(de Branges 空間と標準系の関連にBranges 空間の一般論によりついては Lagarias [8, 9] が良い．筆者の [11-13] もこれを参考にした部分が多い．deBranges [4, 5] では標準系は積分方程式の形で書かれている．)$H_{\omega}$

以下ではハミルトニアン$H_{\omega}$を$g$$f(x)$ の根が全てが小さい場合に具体的を書き下し，単位円周上にあるという条件が， にどの様に反映されているのかを観察する，$H_{\omega}$

4.1.

$9=1/2$ ” の場合．先に $n$ が偶数の場合のみを考えると宣言したが，あえて $n=1$$(g=1/2)$ の場合を考える．正規化された 1 次の自己相反多項式は $f(x)=x+1$ に限る．このとき $F(z)=(q^{iz}+q^{-iz})=2\cos(z\log q)$ であり，対応する実整関数$A_{\omega},$$B_{\omega}$は$A_{\omega}(z)=(q^{\omega}+q^{-\omega})\cos(z\log q) , B_{\omega}(z)=(q^{\omega}-q^{-\omega})\sin(z\log q)$となる．ここで天下りに$A_{\omega}(a, z)=(q^{\omega}+q^{-\omega})\cos(z\log(q/a))$,$B_{\omega}(a, z)=(q^{\omega}-q^{-\omega})\sin(z\log(q/a))$とおくと，これらは明らかに実整関数で$[_{B_{\omega}(1,z)}^{A_{\omega}(1,z)}]=[_{B_{\omega}(z)}^{A_{\omega}(z)}], \lim_{aarrow q^{-}}[_{B_{\omega}(a,z)}^{A_{\omega}(a,z)}]=F(0+i\omega)\{\begin{array}{l}10\end{array}\}$であり，$m_{\omega}(a)=(q^{\omega}+q^{-\omega})/(q^{\omega}-q^{-\omega})$(定数関数) に対して$-a \frac{\partial}{\partial a}\{\begin{array}{l}A_{\omega}(a,z)B_{\omega}(a,z)\end{array}\}=z\{\begin{array}{l}0-110\end{array}\}H_{\omega}(a)[_{B_{\omega}(a,z)}^{A_{\omega}(a,z)}],$$H_{\omega}(a)=\{\begin{array}{ll}m_{\omega}(a)^{-1} 00 m_{\omega}(a)\end{array}\}$(4.3)

が成り立つ．明らかに$H_{\omega}(a)$は任意の $\omega>0$ に対して $1\leq a<q$ で正定値である．

179
したがつて

と正規化すれば),は標準系の解になつている．ゆえに任意の $\omega>0$ について $A_{\omega}(z)=A_{\omega}(1, z)$ の零点は全て実である$F(z)$ の零点は全て実である．
から，$(A_{\omega}(a, z) \mapsto\frac{A_{\omega}(a,z)}{F(i\omega)}$$(A_{\omega}(a, z), B_{\omega}(a, z))$$F(z)=2\cos(z\log q)$ の零点は全て実である事が，標準系を用いて証明さ以上により，という自明な正値性である．
れた．根拠となつたのは$q^{\omega}-\Gamma^{\omega}>0(\omega>0)$

ならば $f(x)=x^{2}+c_{1}x+1$ の 2
4.2. $g=1$ の場合．判別式による判定法から，つの根の絶対値は共に 1 である．以下の通り，同様の条件が標準系から導かれる．
$f(x)=x^{2}+c_{1}x+1$ のとき $F(z)=2\cos(z\log q)+c_{1}$ であり，対応するは$|c_{1}|\leq 2$$A_{\omega},$$A_{\omega}(z)=(q^{\omega}+q^{-\omega})\cos(z\log(q/a))+c_{1},$$B_{\omega}$$B_{\omega}(z)=(q^{\omega}-q^{-\omega})\sin(z\log(q/a))$ .

ここで天下りに$A_{\omega}(a, z)=\{\begin{array}{ll}(q^{\omega}+\Gamma^{\omega})\cos(z\log(q/a))+c_{1}\cos(z\log(q^{0}/a)) , 1\leqa<\sqrt{q},(q^{\omega}+q^{-\omega}+c_{1})\cos(z\log(q/a)) , \sqrt{q}\leq a<q,\end{array}$$B_{\omega}(a, z)=\{$ $(q^{\omega}+q^{-\omega}-c_{1}) \frac{(q^{\omega}-q^{-\omega})\log(q/a))}{(q^{\omega}+q^{-\omega})}\sin(z(q^{\omega}-q^{-\omega})\sin(z+c_{1}\frac{(q^{\omega}-q^{-\omega})}{(q^{\omega}+q-\omega),\log(q/a))},\sin(z\log(q^{0}/a)),$$\sqrt{q}\leq a<q1\leq a<\sqrt{q},$とおく．このとき $(A(a, z), B(a, z))$ は $1\leq a<q$ の各点で について偏微分可能であり，$a$$(A_{\omega}(1, z), B_{\omega}(1, z))=(A_{\omega}(z), B_{\omega}(z)),$ $\lim_{aarrow q}-(A_{\omega}(a, z), B_{\omega}(a, z))=F(0+i\omega)(1,0)$となる．しかも$m_{\omega}(a)=\{\begin{array}{l}(q^{\omega}+q^{-\omega})1\leq a<\sqrt{q}(q^{\omega}-q^{-\omega}) ’(q^{\omega}+q^{-\omega})(q^{\omega}+q^{-\omega}+c_{1})\overline{(q^{\omega}-q^{-\omega})(q^{\omega}+q^{-\omega}-c_{1})}’ \sqrt{q}\leq a<q\end{array}$とすれば微分方程式の系 (4.3) が成り立つ．このは任意の $\omega>0$ について正定値である．

$m_{\omega}(a)$の表示から，$|c_{1}|\leq 2$

ならば$H_{\omega}(a)$したかつて $|c_{1}|\leq 2$ な 6 ば$(A_{\omega}(a, z) \mapsto\frac{A_{\omega}(a,z)}{F(i\omega)}$と正規化すれば),$(A_{\omega}(a, z), B_{\omega}(a, z))$の零点はは標準系の解になつている．ゆえに任意の $\omega>0$ について
$F(z)=2\cos(z\log q)+c_{1}$ の零点は全て実である．
全て実であるから，
4.3. $g=2$ の場合．自己相反多項式 $f(x)=x^{4}+c_{1}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+1$ の根が全て単位$f(x)=(x^{2}+d_{1}x+1)(x^{2}+d_{2}x+1)(d_{1}, d_{2}\in \mathbb{R})$ と分解できるか
円周上にあるならば，$c_{1}=d_{1}+d_{2},$ $c_{2}=d_{1}d_{2}+2$ により $f(x)$ の根が全て単位円周上にあるようなら，$A_{\omega}(z)=A_{\omega}(1, z)$$(c_{1}, c_{2})$の範囲を求める事ができる．この範囲は以下のようにして標準系から導かれるものと同じになる．
いまの場合 $F(z)=2\cos(z\log q^{2})+2c_{1}\cos(z\log q)+c_{2}$ で，対応する$A_{\omega},$$B_{\omega}$$A_{\omega}(z)=(q^{2\omega}+q^{-2\omega})\cos(z\log q^{2})+c_{1}(q^{\omega}+q^{-\omega})cos(z\log q)+c_{2},$$B_{(v}(z)=(q^{2\omega}-q^{-2\omega})\sin(z\log q^{2})+c_{1}(q^{\omega}-q^{-\omega})\sin(z\log q)$

.

は

180
家たしても天下りだが，$\mu(x)=x+x^{-1},$ $\nu(x)=x-x^{-1}$ として，
$A_{\omega}(a, z)^{1\leq a<\sqrt{q}}= \mu(q^{2\omega})\cos(z\log(q^{2}/a))+c_{1}\frac{\mu(q^{2\omega})+1}{\mu(q^{\omega})}\cos(z\log(q/a))$$+c_{2} \cos(z\log(q^{0}/a))+\frac{c_{1}}{\mu(q^{\omega})}cos(z\log(q^{-1}/a))$$\sqrt{q}\leq a<q=\frac{\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})+c_{1}}{\mu(q^{\omega})}\cos(z\log(q^{2}/a))$$+c_{1} \frac{\mu(q^{4\omega})+\mu(q^{2\omega})+(2-c_{2})}{\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})-c_{1}}\cos(z\log(q/a))$$+ \frac{c_{2}\mu(q^{4\omega})+(2c_{2}-c_{1}^{2})\mu(q^{2\omega})+(2c_{2}-c_{1}^{2})}{\mu(q^{4\omega})+2\mu(q^{2\omega})-c_{1}\mu(q^{\omega})+2}\cos(z\log(q^{0}/a))$$q\leq a<q\sqrt{q}=\mu(q^{5\omega})+(1+c_{2})\mu(q^{3\omega})+(2-c_{1}^{2}+c_{2})\mu(q^{\omega})$$\cos(z\log(q^{2}/a))$$\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})-c_{1}$$+c_{1} \frac{\mu(q^{4\omega})+\mu(q^{2\omega})+(2-c_{2})}{\mu(q^{3\omega})+\mu(\phi^{v})-c_{1}}cos(z\log(q/a))$$q\sqrt{q}\leq a<q^{2}=(\mu(q^{2\omega})+c_{1}\mu(q^{\omega})+c_{2})\cos(z\log(q^{2}/a))$,$B_{\omega}(a, z)^{1\leq a<\sqrt{q}}= \nu(q^{2\omega})\sin(z\log(q^{2}/a))+c_{1}\frac{\nu(q^{3\omega})}{\mu(q^{2\omega})}\sin(z\log(q/a))$$+c_{2} \frac{\nu(q^{2\omega})}{\mu(q^{2\omega})}\sin(z\log(q^{0}/a))+c_{1}\frac{\nu(q^{\omega})}{\mu(q^{2\omega})}\sin(z\log(q^{-1}/a))$$\sqrt{q}\leq a<q=\frac{\nu(q^{4\omega})-c_{1}\nu(q^{\omega})}{\mu(q^{2\omega})}\sin(z\log(q^{2}\int a))$$\nu(q^{6\omega})+\nu(q^{4\omega})+(1-c_{2})\nu(q^{2\omega})$$+c_{1}\sin(z\log(q/a))\overline{\mu(q^{5\omega})+\mu(q^{3\omega})+c_{1}\mu(q^{2\omega})+2\mu(q^{\omega})}$$+ \frac{c_{2}\nu(q^{5\omega})+(c_{2}-c_{1}^{2})\nu(q^{3\omega})}{\mu(q^{5\omega})+\mu(q^{3\omega})+c_{1}\mu(q^{2\omega})+2\mu(q^{\omega})}\sin(z\log(q^{0}/a))$$q\leq a<q\sqrt{q}^{\nu(q^{5\omega})+(1-c_{2})\nu(q^{3\omega})+(c_{1}^{2}-c_{2})\nu(q^{\omega})}=$$\sin(z\log(q^{2}/a))$$\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})+c_{1}$$\frac{\nu(q^{9\omega})+\cdots+(c_{2}^{2}.-c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}^{2}-c_{2}+1)\nu(q^{\omega})}{\mu(q^{8\omega})+\cdot\cdot+(6+4c_{2}-2c_{1}^{2})}\sin(z\log(q/a))$$q\sqrt{q}\leq a<q^{2}=v(q^{\omega})(\mu(q^{4\omega})+(2-c_{2})\mu(q^{2\omega})+(2+c_{1}^{2}-2c_{2}))$$\mu(q^{\omega}) (\mu(q^{4\omega})+c_{2}\mu(q^{2\omega})+(2-c_{1}^{2}))$$\cross(\mu(q^{2\omega})-c_{1}\mu(q^{\omega})+c_{2})\sin(z\log(q^{2}/a))$$(q\leq a<q\sqrt{q} での B_{\omega}(a, z)$ の表示は少々長いので一部省略した)
このとき
とおく．
$1\leqa<q^{2}$の各点で について偏微分可能であり，$(A(a, z), B(a, z))$ は先と同様に，$a$181$(A(1, z), B(1, z))=(A_{\omega}(z), B_{\omega}(z)),$ $\lim_{aarrow q^{-}}(A(a, z), B(a, z))=F(O+i\omega)(1,0)$. しかも$m_{\omega}(a)1 \leq a<\sqrt{q}=\frac{\mu(q^{\omega})\mu(q^{2\omega})}{\nu(q^{\omega})[\mu(q^{2\omega})+2]}$$\sqrt{q}\leq a<q=\frac{\mu(q^{\omega})\mu(q^{2\omega})[\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})+c_{1}]}{\nu(q^{\omega})[\mu(q^{2\omega})+2][\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})-c_{1}]}$$q\leq a<q\sqrt{q}= \mu(q^{\omega})[\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})+c_{1}][\mu(q^{4\omega})+c_{2}\mu(q^{2\omega})+(2-c_{1}^{2})]$$v(q^{\omega})[\mu(q^{3\omega})+\mu(q^{\omega})-c_{1}][(\mu(q^{4\omega})+(2-c_{2})\mu(q^{2\omega})+(2+c_{1}^{2}-2c_{2})]$$q \sqrt{q}\leq a<q^{2}=\frac{\mu(q^{\omega})[\mu(q^{4\omega})+c_{2}\mu(q^{2\omega})+(2-c_{1}^{2})][\mu(q^{2\omega})+c_{1}\mu(q^{\omega})+c_{2}]}{\nu(q^{\omega})[\mu(q^{4\omega})+(2-c_{2})\mu(q^{2\omega})+(2+c_{1}^{2}-2c_{2})][\mu(q^{2\omega})-c_{1}\mu(q^{\omega})+c_{2}]}$に対して，微分方程式の系 (4.3) が成り立つ．この表示から$\frac{4+c_{1}}{4-c_{1}}\geq 0, \frac{8-2c_{1}^{2}+4c_{2}}{8+c_{1}^{2}-4c_{2}}\geq 0, \frac{2+2c_{1}+c_{2}}{2-2c_{1}+c_{2}}\geq 0$

は任意の $\omega>0$ について正定値である．これからが 2 直線$2c_{1}-c_{2}-2=0,2c_{1}+c_{2}+2=0$ と放物線 $c_{1}^{2}-4c_{2}+8=0$ に囲まれた領域かその境界ならば$H_{\omega}(a)$$(c_{1}, c_{2})\in \mathbb{R}^{2}$$F(z)$ の零点が全て実であることが分かる．この領域は $c_{1}=d_{1}+d_{2},$に含まれていれば，$c_{2}=d_{1}d_{2}+2$

を $|d_{i}|\leq 2(i=1,2)$ の範囲で動かした領域と一致している．

4.4. $g\geq 3$ の場合．以上のようにして，自己相反多項式の根が全て単位円周上にあるた,めの条件が，標準系のハミルトニアンを通して求め 6 れることを見た．一般に$A_{\omega}(a, z)$は $1\leq a<q^{g}$ 内の $2g$ 個の区間 $q^{j/2}\leq a<q^{(j+1)/2}(0\leq i\leq 2g-1)$ 毎に定義された について偏微分可能な関数になるが，すでに $g=2$ で片鱗が見えるようでの表示は急速に複雑化してゆく．
に， が大きくなるにつれて一般の $2g$ 次の自己相反多項式 $f(x)$ について，対応するをの場合はこれに従つて手計算でこ計算するアルゴリズムは出来ており，実際に$B_{\omega}(a, z),$$m_{\omega}(a)$

$a$

$g$

$a\approx q^{g}$$A_{\omega}(a, z),$$B_{\omega}(a, z)_{)}m_{\omega}(a)$$g= \frac{1}{2},1$$g=2$ の場合はこのアルゴリズムに従つて計算機に計算させた．しかし
れらを計算し，

現時点では，これ 6 の関数を係数との有理式として (意味が良く分かる形で) 書き下すところまでは考察が及んでいない．このため，一般の場合はもう少し整理してから発表することにしたい．
$c_{1},$$\cdots,$$c_{g}$$q^{\omega}$

5. 補足
今回根が全て単位円周上にあるような自己相反多項式に対応するハミルトニアンを計算することを試みたが，もともとの動機は [11] にある Riemann ゼータ関数に対応すべきハミルトニアンを計算する事にあつた (※ [11] のにあがこの小論のたる). そちらではハミルトニアンを積分作用素のフレドホルム行列式により表示したのだが，この表示では $0<\omega\leq 1$ でのハミルトニアンの半正値性を数値計算的に調べる$m_{\omega}(a)^{2}$$m_{\omega}(a)$$\omega>1$のにあまり都合がよろしくなかつた．これは積分作用素の積分核の可積分性が，$1/2<\omega\leq 1$ では $L^{2},0<\omega\leq 1/2$ では
だがでは連続，でない，のように の値$L^{1}$

によって変化していく事による．

$L^{2}$$\omega$182
そこで Riemann ゼータ関数の積分表示の Riemann 和による表示$\frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)=\int_{1}^{\infty}\sqrt{x}\phi(x)(x^{s-\frac{1}{2}}+x^{-(s-\frac{1}{2})})\frac{dx}{x}$$(s= \frac{1}{2}-iz)$$= \lim_{Tarrow\infty}\lim_{qarrow 1+}\log q\sum_{k=0}^{\frac{1}{1}4}q^{\frac{k}{2}}\phi(q^{k})(q^{ikz}+q^{-ikz})L_{og^{\frac{T}{q}\rfloor}}^{O}$$( \phi(x)=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(x^{2}\frac{d}{dx}\sum_{n\in Z}\exp(-\pi n^{2}x^{2})))$に着目して，Riemann ゼータ関数に対応すべ

きハミルトニアンを，次数の大きな自己相反多項式に対応するハミルトニアンによつて近似することを考えたのである．

の有が10程度でもかなりの理式として計算機に計算させようとすると，その複雑さから時間がかかる (プログラミングの不味さもあるかもしれないが). しかし具体的に与えられた自己相反多項式については， が大きくてもハミルトニアンをそれなりに早く計先に述べたように，自己相反多項式に対応するハミルトニアンを係数$c_{1},$$\cdots,$$c_{9}$$g$$g$

算できる．そこで上の Riemann 和を参考にして，自己相反多項式 $f_{T,g}(x)$ を$f_{T,g}(x)= \log q\sum_{k=0}^{g}q^{\frac{k}{2}}\phi(q^{k})(x^{2g-k}+x^{k}) , q=T^{\frac{1}{g}}$と定義し，これに対応するハミルトニアン
例えば$\zeta(s)$$m_{\omega}(a;T, g)$を計算してみる．

は $|\Im(s)|\leq 50$ では$\frac{2\pi^{\frac{s}{2}}}{s(s-1)\Gamma(s/2)}\int_{1}^{T=4}\sqrt{x}\phi(x)(x^{s-\frac{1}{2}}+x^{-(s-\frac{1}{2})})\frac{dx}{x}$は$T=4$ として次数 $2g$ を動かしてみる．パラメータ
によつて良く近似されるので．
1/2 に固定しておこう．このとき $g=20,50,100,200,300$ について $1/m_{1/2}(a;4, g)$ を$1\leq a\leq\sqrt{2}$ の範囲で描いたのが$(1\leq a\leq$ 西は比較のしやすさ
Fignre $1\sim 5$ である．のために選んだ範囲) これらの図にあるように， が小さいと $m_{1/2}(a;4, g)$ は頻繁に符$\omega$$g$は正値で局所的に連続な関数に収束して号を変えるが， が大きくなると，$m_{\omega}(a;4, g)$ の変
ゆくように見える．パラメータ をとりかえて $\omega=0.01$ などとしても，$T=4$ だと が大きい所では を増やしても $m_{\omega}(a;4, g)$
化の様子はあまり変わらない．
$T$ を大きくするとそのようなの範囲はが振動したままのような様子が観察されるが，狭まつてゆく様子が観察される．
は任意の $\omega>0$
Riemann 予想が正しいならば，Riemann ゼータ関数に対応する$m_{1/2}(a;4, g)$$g$$\omega$

$a$

$g$

$a$

$m_{\omega}(a)$に対して $1\leq a<\infty$ 上で殆ど至るところ非負な局所可積分関数となるはずだから，この観察は妥当なものに思える．

REFERENCES[1] W. Chen, On the polynomials with all there zeros on the unit circle, J. Math. Anal. and Appl.
190 (1995), 714-724[2] 知念宏司，Distribution of the zeros of certain self-reciprocal polynomials, 数理解析研究所講究録「解析的整数論とその周辺」，No. 1665 (2009), 9-16.

183

FIGURE 1. 区間 $1\leq a\leq\sqrt{2}$ における $m_{1/2}(a;T, 20)$ のグラフ．

FIGURE 2. 区間 $1\leq a\leq\sqrt{2}$ における $m_{1/2}(a;T, 50)$ のグラフ．

184

FIGURE 3. 区間 $1\leq a\leq\sqrt{2}$ における $m_{1/2}(a;T, 100)$ のグラフ．

FIGURE 4. 区間 $1\leq a\leq\sqrt{2}$ における $m_{1/2}(a;T, 200)$ のグラフ．

185

FIGURE 5. 区間 $1\leq a\leq\sqrt{2}$ における $m_{1/2}(a;T, 300)$ のグラフ．
An abundance of invariant polynomials satisfying } Riemann hypothesis, Discrete
Math. 308 (2008), no. 24, 6426-6440.
$840-$[4] . de Branges, Some Hilbert spaces of entire functions, Proc. Amer. Math. Soc. 10
$|3|$

$t$

–,

$\downarrow e$$L$$(19\acute{o}9),$$846.$[5] –, Hilbert spaces of entire functions, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N. ., 1968.
[6] A. V. Egorov, $A$ remark on the distribution of the zeros of the Riemann zeta function anda continuous analogue of Kakeya’s theorem (Russian), Mat. Sb. 194 (2003), no. 10, 107-116;$J$

translation in Sb. Math. 194 (2003), no. 9-10, 1533-1542.
[7] D. Y. Kwon, Reciprocal polynomials with all zeros on the unit circle, Acta Math. Hungar. 131(2011), no. 3, 285-294.
J. C. Lagarias, Zero spacing distributions for differenced -functions, Acta Arith. 120 (2005), no.
2, 159-184.
[9] –, Hilbert spaces of entire functions and Dirichlet -functions, Frontiers in number theory,
physics, and geometry. , Springer, Berlin, 2006, pp.
[10] P. Lakatos, On zeros of reciprocal polynomials, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 24 (2002),$L$$[8\rfloor$

$L$

$I$

$36\overline{o}-377.$

91-96.
[11] 鈴木正俊，Acanonical system of differential equations arising from the Riemann zeta-function, tobe published in “Number Theory and Their Probabilistic Aspects-Kyoto 2010”, RIMS Kokyuroku
Bessatsu series, 2012.
, Riemann ゼータ関数のある連続変形について，数理研講究録「解析的整数論の新しい展[12]開」，No. $1639(2009),$ $123-132.$, On subspaces of the Hardy space related to zeros of zeta functions, 数理研講究録「解析[13]
数論-複素関数の値の分布と性質を通して」 , 掲載予定––

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