数理解析研究所講究録 1224 巻 2001 年 114-117

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Shape of an approximately unbiased test for thebioequivalence problem
津田美幸 (Yoshiyuki TSUDA)

筑波大・数学1

はじめに確率変数 $X,$ $S$ は互いに独立で, $X$ は平均 $\theta(|\theta|<\infty)$ , 分散 $\sigma^{2}(>0)$ の正規分布
は自由度 $n$ のカイ 2 乗分布に従い,に従うとする. ただ$N(\theta, \sigma^{2})$し,仮説$\theta,$$\sigma^{2}$$S^{2}/\sigma^{2}$$\chi_{n}^{2}$は未知の母数とする. あらかじめ定められた許容限界 $\Delta(>0)$ に対して,$\ovalbox{\tt\small REJECT}$:$|\theta|\geq\Delta \mathrm{v}\mathrm{s}$.

$H_{1}$:$|\theta|<\Delta$

を有意水準 $\alpha(0<\alpha<1/2)$ で検定する. この問題は, bioequivalence 問題と呼ばれ, 医薬の分野で用いられている (Brown, Hwang and Munk [1]). この問題に対して, Schuirmann [4] は尤度比検定の性質を用いることを提案した. ところで,に対する完備十分統計量はならば,$\emptyset\iota$$\theta=\pm\Delta$$\sigma^{2}$$R_{\pm}:=\sqrt{(X\mp\Delta)^{2}+S^{2}}$ただし, 複号同順である. 検定
Neyman 構造を持つ, すなわち,である.

$\phi$が不偏ならば,$\phi$は相似検定であり,(1.1)$E_{(\pm\Delta,\sigma^{2})}(\phi|R_{\pm})=\alpha$が確率 1 で成り立つ. Brown et al. [1] は, 再起的な方法により, (1.1) が成り立っ検定の構成法を提案し,$\alpha\geq\alpha_{*}:=\int_{0}^{\pi/4}(\sin\beta)^{n-1}/B(n/2,1/2)$を構成可能であることを示した. Munk [2] は, $n=1,$ $\alpha=1/3$ の場合にとは異なる不偏検定が存在してを構成し, あるは UMP 不偏検定ではないことが明となることを数値的に示した. これにより,ならば$\phi_{U}$$\phi u$$\sigma^{2}$$\phi_{M}$$E_{0,\sigma^{2}}(\phi_{M})>E_{0,\sigma^{2}}(\phi_{U})$$\phi_{U}$

らかになった.の場合に対しては, Munk [3], Tsuda $[5, 6]$ によって Brown
et al. [1] の方法が拡張され, 近似的な不偏検定を構成する方法が提案された.
型の検定はTsuda [6] は,を含むある検定の族のなかで許容的であること
さらにを示し,$\alpha<\alpha_{*}$$\phi_{A}$$\emptyset u$$\phi_{M}$の場合に, 任意の $x,$ $x’,$ $s(|x|<|x’|, s>0)$ に対して,$\phi_{A}(x’, s)=1$

ならば $\phi_{A}(x, s)=1$(1.2)

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図 1: 点 $C,$ $D,$ $E,$ $F$ の配置.となることを示した. ただし,$\alpha_{**}$$:=$$\int_{0}^{\arctan(1/\sqrt{2})}(\sin\beta)^{n-1}d\beta/B(n/2,1/2)$$\{$

00458606
00237103$(n=3)$ ,$(n=4)$である. 本論では, Tsuda [6] に従って (1.2) を証明する.

2

主結果とし, $A:=(-\Delta, 0),$ $B:=(\Delta, 0)$ とする. 実数
まず, 標本空間 x-s の原点をを任意に固定し, $C:=(0, C_{2}),$ $D:=(D_{1}, D_{2}),$ $E:=$ ( , E2), $F:=(F_{1}, F_{2})$ をとなるよう こ定め, distdist(A, $C$ )間の Euclid 距離を表す (図 1).
る. ただし, dist(P, $Q$ ) は点 $P,$$\mathit{0}$$0$$C_{2}$$(A, E)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A, F)$$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A, D)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\mathrm{B}, E)$$Q$

Brown et al. [1] は, dist(O,$D$)$\geq 1$の場合 [こ$P_{-\Delta}\{\angle OAC<\eta<\angle OAD|R_{-}\}\geq P_{-\Delta}\{\angle OAE<\eta<\angle OAF|R_{-}\}$(2.1)

が確率 1 で成り立つことを示した. ただし, $\eta:=\arctan(S/(X+\Delta))(\arctan(\infty):=$のある関数 $c(n, \alpha)$ に対して$\pi/2)$ とする. Tsuda[6] は $n,$[ことなる場合にも (2.1) が成り立つことを示した. その証明のための補題を以下示す.

$c(n, \alpha)<\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(O, D)<$$\alpha$$\Delta$

補題 2.1 $n=2$ かつ dist(O, $D$ ) $<\Delta$ , ならば, (2.1) が成り立つ.
証明$P_{-\Delta}\{\angle OAC<\eta<\angle OAD\}$$=$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,E)^{2}-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,C)^{2}}{16\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,C)}$$>$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,E)^{2}-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,C)^{2}}{16\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A,E)}$$=$$P_{-\Delta}\{\angle OAE<\eta<\angle OAF\}$

. 口

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補題 22 $n=4$ かつ dist(O, $D$ )証明$r_{1}:=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A, C),$$<\Delta$, ならば, (2.1) が成り立つ.

$r_{2}:=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(A, D)$とすると$P_{-\Delta}\{\angle OAC<\eta<\angle OAD\}-P_{-\Delta}\{\angle OAE<\eta<\angle OAF\}$$= \frac{(r_{1}+r_{2})(r_{1}-r_{2})^{2}}{r_{2}^{3}}h(r_{2})$となる. ただし,$h(r_{2}):=$$\frac{-3}{16r_{1}}+\frac{3r_{1}}{64}-\frac{r_{1}^{3}}{256}+(\frac{3}{64}-\frac{3}{16r_{1}^{2}}-\frac{r_{1}^{2}}{256})r_{2}$$-( \frac{3}{16r_{1}^{3}}-\frac{3}{16r_{1}}-\frac{r_{1}}{256})r_{2}^{2}$$+( \frac{1}{128}+\frac{3}{64r_{1}^{2}})r_{2}^{3}+(\frac{3}{64r_{1}^{3}}+\frac{1}{256r_{1}})r_{2}^{4}$$- \frac{r_{2}^{5}}{256r_{1}^{2}}-\frac{r_{2}^{6}}{256r_{1}^{3}}$とする. $\sqrt{3/2}<r_{1}<\sqrt{2}$ ならば,,$h(r_{1})$$=$$\frac{-9}{16r_{1}}+\frac{r_{1}}{8}>0$$h’(r_{1})$$=$$\frac{3}{4}-\frac{9}{16r_{1}^{2}}>0$$h”(r_{1})$$=$$\frac{-3}{8r_{1}^{3}}+\frac{39}{32r_{1}}-\frac{3r_{1}}{32}>0$$h”’(r_{1})$$=$$- \frac{9}{16}+\frac{45}{32r_{1}^{2}}>0$$=$$- \frac{45}{32r_{1}^{3}}(r_{2}-\frac{5r_{1}+\sqrt{5}\sqrt{144+17r_{1}^{2}}}{30})$$h^{\prime\prime\prime\prime}(r_{1})$,,,$\cross(r_{2}-\frac{5r_{1}-\sqrt{5}\sqrt{144+17r_{1}^{2}}}{30})|_{\mathrm{r}=t1}2$$h”(\sqrt{4-r_{1}^{2}})$,$=$$\frac{9}{8r_{1}^{3}}-\frac{57}{32r_{1}}<0$$=$$\frac{15}{16r_{1}}-\frac{5r_{1}}{32}+(\frac{1}{8}-\frac{1}{32r_{1}^{2}})\sqrt{4-r_{1}^{2}}>0$.となるから, $h”(r_{2})$ の形状はとなる. よって, (2.1) が示された.

口117
補題 23 $n=1$ または $n=3$ , かつ, dist(O, $D$ )証明$<\Delta$, ならば, (2.1) が成り立つ.

$n=1,2,3,4$ に対して,$P_{-\Delta}\{\angle OAF<\eta<\angle OAD\}/P_{-\Delta}\{\angle OAC<\eta<\angle OAE\}$

は単調に増加する. よって, 補題 2.1, 22 より, (2.1) が成り立つ. 口
また, x-s 平面上の領域$A_{1},$$A_{2}$

を$A_{1}:=$$\{(x, s)|x>0, (x-\Delta)\tan(\zeta)<s<(x+\Delta)\tan(\zeta)\}$ ,$A_{2}:=$$\{(x, s)|x>0, -(x+\Delta)\tan(\zeta)<s<(\Delta-x)\tan(\zeta)\}$で定めると,$P_{-\Delta}\{(X, S)\in A_{1}\}<P_{-\Delta}\{(X, S)\in A_{2}\}$である. 以上のことを用いて, Tsuda [6] は (1.2) を示した.

参考文献[1] Brown, L. D., Hwang, J. T. and Munk, A. (1997). An unbiased test for thebioequivalence problem. Ann. Statist., 25, 2345-2367.

[2] Munk, A. (1999). Anote on unbiased testing for the equivalence problemanother christmas tree. Statist. Probab. Lett., 41, 401-406.

[3] Munk, A. (2000). An unbiased test for the average equivalencesmall sample case. J. Statist. Plann. Infer., 87, 69-86.

$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}-\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$[4] Schuirmann, D. J. (1987). Acomparison of the two one-sided test procedureand the power approach for assessing the equivalence of coverage bioavailabil. J. Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 15, 657-680.
$\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{y}$[5] Tsuda, Y. (1999). The approximation of an unbiased test with asmall level forthe bioequivalence problem. Commun. Statist.-Theory and Meth., 28, 1105-1114.
[6] Tsuda, Y. (2000). On the bioequivalence problem and atesting hypothesisproblem for the bivariate normal distribution. J. Japan Statist. Soc., 30, 213-236.