IoT 時代の多センサ多アクチュエータを活用した次世代モーションコントロール
代表研究者

大西 亘

東京大学大学院工学系研究科電気系工学専攻 助教

1 はじめに半導体や液晶製造装置，工作機械の位置制御系においては，駆動側のセンサだけでなく，負荷側にもセンサを持つ例が増えている(1) (2)。コロケートが取れている駆動側のみをフィードバック(FB) し，駆動側から負荷側の特性が開ループになるものをセミクローズドループ制御，コロケートが取れていない負荷側の情報を直接 FB する制御をフルクローズドループ制御という(3) (4)。位置決めしたい点(Point of interest) (5) の近くを FB するフルクローズドループ制御の方が，ねじれ剛性やバックラッシといった駆動側・負荷 側間の伝達特性や摩擦を含めてFB するために，定常偏差など最終位置決め性能は高くなる。一方で，負荷側情報の FB は，駆動側の制御入力から負荷側の出力までの動特性に位相遅れがあるため，FB 帯域を上げにくい課題がある(6)。
駆動側・負荷側双方の情報を有効に利用し，高帯域化を狙う手法として，自己共振相殺制御(Self ResonanceCancellation: SRC) (7) が提案された。この手法は，剛体モードと主共振モードを 4 次のパラメトリックモデルとしてモデル化し，駆動側・負荷側のセンサ情報を適切な比率で内分して重心点の座標を求め（共振を“相殺”），主共振のない仮想的な系に対し高帯域 FB をする手法である。この手法は，負荷側の位置を直接 FBしていないため，負荷側の位置決め性能が保証されていないという欠点がある。この点を改良した ものに周波数分離自己共振相殺制御(Frequency Separation Self Resonance Cancellation: FS-SRC) (8) と，インナールー プに SRC を用いた速度 PI (Proportional Integral) 制御，アウターループに P (Proportional) 制
御を用いる SRC-P-PI 制御(9) がある。一連の手法は，主共振を含むパラメトリック モデルが必要な上，複数共振がある場合の設計論は陽に議論されていない。
周波数応答による FB 制御器設計法は，Ziegler-Nichols 調整法(10) をはじめ数多く提案されている。また，最適化に 基づく設計手法は，遺伝的アルゴリズム(11)，Nelder-Mead 法(12)，粒子群最適化(13) などが提案されている。凸最適化 に基づく手法は，望みの開ループ特性との差を最小化する手法(14) や，Concave-ConvexProcedure による逐次線形化 (Sequential Convex Programming: SCP) による手法(15)～(17) が提案されている。いずれの場合も，コロケート・ノンコロ ケート情報の双方が得られる場合の制御器設計法は，制御 器の構造も含めて十分に議論されているとは言えないため， 本研究ではその設計法を提案する。また，高次の制御器とな る H∞制御と比べると，制御器の次数・構造を指定できるために産業界に受け入れられやすいという利点がある。また，制御対象の摂動は，重み関数を定義するのではなく，複 数例の周波数応答データを用意すれば考慮可能である。さらに，本手法は制御対象のゲインだけでなく位相も陽に考慮して制御器パラメタを最適化する特徴がある。設定可能 な設計仕様は，位相余裕・ゲイン余裕（円条件(18) として定式化），感度関数の低域の制約，感度関数の最大値である。
本研究では，負荷側・駆動側ともにエンコーダがあり，複数共振を持つ制御対象に対し，高い外乱抑圧性能を持つ制御器を周波数応答から自動設計する手法を提案する。本手法が設計に使用する情報は，1) 1 入力
2 出力の周波数応答データ，2) 剛体モデル(ノミナルの質量と粘性係数)，である。2) の剛体モデルについては，制御器ゲイン最適化の初期値に剛体モデルに対する極配置設計を用いているためで， 正確なモデルは必ずしも必要としない。提案する制御器の形は自己共振相殺制御を用いた駆動側速度 PI 制御+負荷側 位置 P制御の SRC-P-PI 制御系であり， Affine でない形の 4 変数を持つ。各変数は，速度制御について，1) SRCのパラメタであるαの初期値決定，2) 極配置法，3) 逐次線形化， 4) Nelder-Mead 法，そして位置制御に
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ついて，5) 2 分法によるゲイン最大化，を順に用いて最適化していく。自己共振相殺制御では，1 次共振を完全に相殺するのが一般的であるが(7)，本手法ではあえて不完全に相殺する方が FB 帯域を向上できる場合があることが示された。これは，周波数応答データにより高次共振モードも考慮した結果である。 本研究において比較する従来法は，1) 駆動側速度 PI 制御+負荷側位置 P 制御の P-PI 制御(19), 2) 負荷側位置 PID制御，である。この 3 手法について，同じ制約条件でそれぞれ周波数応答を用いて最適なコントローラを設計し，精密位置決めステージを用いた実験より提案手法の有用性を示す。また，非線形最適化問題には強い初期値依存性があることが知られている(20) (21)。提案手法は最適化の初期値として，極配置法と逐次線形化を順に適用して得られた値を用いることを特色とする。提案手法は，無作為に選んだ 1000 通りの初期値に対し Nelder-Mead 法を用いた場合よりも，はるかに短い計算時間でより高い性能が得られることも示す。

2 実験装置2-1 制御対象制御対象として用いる 1 軸の精密位置決めステージを Fig.
1 に示す。入力は Linear motor からの電流 u(t) である。図中，Table と Carriage の間に Leaf spring (板バネ) がある
ため，Carriage 側がコロケート系であり，Table 側がノンコロケート系となっている。Carriage と Table 側にそれぞれ 1nm の分解能のリニアエンコーダ を持つ。コロケート側の位置・速度をそれぞれ p1, v1 とし， ノンコロケート側の位置・速度をそれぞれ p2, v2 とする。 Table 側に加工対象物がある想定のため，位置決め目標は p2 である。
2-2 周波数応答データの取得
Fig. 2 に，Fig. 1 の ステージの入力電流から速度までの周波数特性を示す。システム同定のための入力信号の生成と周波数応答の測定に は Frequency domain identification(22) (23)を 用 い た 。 入 力 信 号 u(t) は ， 下 式 で 示 さ れ る
Multisine を用いた。

ただし，N は印加する周波数点の数，fi は i 番目の周波数，ϕi は i 番目の正弦波の位相を表す。Crest factor を最小化する ように位相 ϕi を最適化する。手法の詳細は文献(23)を参照 されたい。実際に印加した同定信号を Fig. 3 お
よび Fig. 4 に示す。Fig. 4 に示すとおり，S/N 比を向上させるため，予 め同定した電流制御系の閉ループ伝達関数の逆特性の重み をつけ，高周波域に重点的にエネルギを印加している。こ のように，印加する信号の周波数重みを細かく調整できる ことが，Chirp 信号やランダム信号に対してMultisine の 優位な点である。 Fig. 2 から，コロケート側である Pv1 はまず 1 次モードは反共振，次に共振を持っていることがわかる。一方で，Pv2 はノンコロケート系であるため，まず共振を持ち，次に反共振を持っている。剛体モードについて 1 次近似したモデルをPn とし，下式で定義する。

本提案手法は，周波数応答データと，剛体モードを表すノミナルモデル Pn(s) のみを制御系設計に利用す2
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る。

3 実験装置
本節では，周波数応答に基づく SRC-P-PI 制御の設計法を提案する。
ブロック図を Fig. 5(a) に示す。 SRC を用いた際の速度制御系の制御対象の周波数応答はで与えられる。ただし，ωk は測定した周波数点の周波数であり，添字の k はデータ番号を示す。よって，速度制御系の開ループ特性はとなる。ただし，ρはゲインであり，PI 制御であるため𝜌𝜌 =𝑇𝑇

�𝑘𝑘𝑣𝑣𝑣𝑣 , 𝑘𝑘𝑣𝑣𝑣𝑣 � と定義する。このように，複数センサを用いる制御器の構造では，速度 FB 制御系の開ループ周波数特性が調整パラメタに対して Affine とはならない。本提案手法では，最終的に適用する非線形最適化手法である Nelder-Mead 法(20) (24) に適切な初期値を与えるた
め，極配置法と逐次線形化法を順に適用していく。

3-1 周波数応答を用いた一次共振を相殺するαの最適化
自己共振相殺制御では，αを 2 慣性系の 4 次モデルにおける慣性比に取ることで，共振モードを“相殺”し不可観測にする(8)。このようなαを，𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 と定義す る。本節では，これを周波数応答を用いた最適化問題として定式化し，𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 を数値的に求める手法を提案する。
𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 は，1 次共振を“相殺” することから，下式に定義する最適化問題を解くことによって，1 次共振付近のゲイン特性をフラットにするαを求める。

ここで，𝜔𝜔𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 と𝜔𝜔𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 は 1 次共振によって，ゲイン・位相が変化する範囲の周波数である。

3-2 極配置設計による PI 制御初期ゲイン設定
1 次モデルに対する，重根配置の極配置設計による 1 パラメタチューニングにより，初期 PI 制御ゲインを求める。PI 制御の伝達関数を下式に示す。

電流指令値から速度までのノミナルモデルに対し，PI 制御によって速度閉ループ系の根を(𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝑣𝑣 )2 に極配置する ゲインは，で与えられる。ゆえ，開ループ特性は𝐿𝐿(𝑗𝑗𝜔𝜔𝑘𝑘 , 𝜔𝜔𝑣𝑣 ) = 𝑃𝑃(𝑗𝑗𝜔𝜔𝑘𝑘 )𝐶𝐶(𝑗𝑗𝜔𝜔𝑘𝑘 , 𝜔𝜔𝑣𝑣 )となる。𝜔𝜔𝑣𝑣 の最大値は，以下の最適化問
題を２分法により解いて求める。ただし，𝛼𝛼 = 𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 とする。

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ここで，上式はゲイン余裕と位相余裕に関する円条件(18)による制約である。位相余裕をΦm，ゲイン余裕を gm とす ると，ナイキスト線図上のこの 2 点を通り，かつ臨界点を 内部に含む円盤の中心(-σ, j0) および半径 rm はこの後に，Step 5 を用いて Cp を設計した例を SRC-P-PI (Case 1) とする。
3-3 逐次線形化による Cpi のゲイン更新
Step 2 では 1 パラメタチューニングであったが，Step 3 では PI 制御器の kvp と kvi を設計仕様の制約を満たしつつ，周波数応答を用いて独立に調整をする。ここで，問題を Affine にするため，𝛼𝛼 = 𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 と固定している。 制御器の周波数応答と開ループの周波数応答は定式化する最適化問題はと表される。Ω𝑔𝑔𝑔𝑔 は感度制約の 0dB クロスオーバ周波数であり，これを最大化することで感度関数全体を可能な限り右に抑え込む役割がある。また，上式は凸関数の差 (difference of convex: DC) であり，非凸であるため，テーラー展開によりそれぞれ線形近似を 行う(15)～(17)。

これを繰り返し計算することで局所最適解を求めることができる。Ω𝑔𝑔𝑔𝑔 は２分法により最適化され，feasibility problem を YALMIP (26) と MOSEK(27) により解いた。 この後に，Step 5 を用いて Cp を設計した例を SRC-P-PI (Case 2) とする。
3-4 Step 4. Nelder-Mead 法による非線形最適化
このステップでは，非線形最適化手法の一つで ある Nelder-Mead 法を適用し，凸近似せずに SRC のαも含めて非線形最適化問題として解く。初期値には Step 3 で用いた𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 と Cpi を用いる。𝛼𝛼𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 と定義する。
この後に Step 5 を用いて Cp を設計した例を SRC-P-PI (Case 3) と する。
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研究調査助成報告書 第35号 2020年度3-5 Step 5. ２分法による Cp の最大化
アウターループのいち制御器を Cp=kpp とすると，開ループ特性はとなる。ゆえ，ゲイン余裕・位相余裕と感度関数の最大値の制約を満たす最大の比例ゲイン kpp は，以下の最適化問題を２分法で解くことにより求まる。

4 実験検証4-1 設計仕様と実験条件
Fig. 1 に示す 1 軸の精密位置決めステージを用い，提案手法の実験検証を行った。ゲイン余裕は 6 dB，位相余裕は 30 度として設計を行った。 この条件では，感度関数の最大値は 6.04 dB 以下であることが保証されるため(28)，感度関数に関する制約は陽には与えなかった。また，感度制約の m はプラントの積分性と制御器の積分器を考慮し，m=2 とおいた。
設計されたパラメタを Tab. 1 に示す。サンプリング周期 は 400us とした。t = 0.0 s に 1 A の入力端外乱を印加し た。再現性を示すため，実験は各 10 回行い，Fig. 9, 11, 12 では重ね書きをして示した。O.25
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≦t≦0.8 にける位置決め
誤差の 2 ノルムおよび最大値の，10 回の実験の平均を Tab. 2 に示す。
4-2 提案手法の設計結果
SRC 適用後の制御入力から加速度までの周波数応答を Fig. 6 に示す。1 次共振のある周波数帯で，ゲインおよび位相特性が平坦になっていることが分かる。
SRC-P-PI 制御の各設計結果を Tab. 1 および Fig. 7 に示 す。また，SRC の適用した制御入力から速度までの周波数 応答を Fig. 8 に示す。Fig. 8 から，SRC-P-PI (Case 3) にお けるαopt では 1 次共振を不完全に相殺する結果となっ ている。これは，Fig. 2 から，90 Hz 付近の 2 次共振のゲインがコロケート側(Pv1) で大きく，ノンコロケート側(Pv2) で小さいため，α を 1 に近づけると 2 次共振のゲインが下 がるためであると考えられる。結果として，Fig. 7(a) から， SRC-P-PI (Case 3) においてはナイキスト線図の 1 次共振・ 2 次共振がほぼ同じ大きさの円を描いて円条件の制約に接することで，帯域を最大化している。また，Fig. 7(b) から， 最適化のステップを経るごとに，感度関数の低域のゲイン がさらに低減されていることが分かる。
SRC-P-PI (Case 1, 2, 3) の各手法のステップ外乱抑圧応 答を Fig. 9 に示す。Fig. 9(a) および Tab.
2 から，SRC-P-PI (Case 3) においては，Case 1 と Case 2 に比べてそれぞれ位置決め誤差の最大値および2 ノルムが減少し，外乱抑圧性能が向上したことが示された。
4-3 Nelder-Mead 法の初期値依存性提案手法で は，非線形最適化アルゴリズムの Nelder-Mead 法の初期値として，α を一次共振を相殺する

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値に固定した上で極配置法・逐次線形化のステップ経た値を用いている。本節では，この手順の有効性を示すため，無作為に選んだ初期値に対し Nelder-Mead 法を適用した結果と比較する。Nelder-Mead 法の初期値は無作為に 1000 通り選んだ。最適化の結果得られたΩgc を Fig. 10 に示す。1000 回の試行で最大の Ω
gc が得られた例を“SRC-P-PI (NM1000)” とし，その他の 例を“SRC-P-PI (NM1000, other)” として示した。得られたゲインを Tab. 1 に示す。提案する SRC-P-PI (Case 3) よりも低いゲインで収束していることが分かる。 Tab. 3 に，両手法の計算時間を示す。NM1000 (Parallel) は MATLAB の parfor を使って CPU コア数と同じワー カー数の並列プールで計算したものである。提案手法では， Nelder-Mead 法の初期値としては 1 通りしか与えていないが，はるかに短い時間で性能の高い制御器が得られることが分かる。また，提案手法は Laptop computer を用いても 26 秒で計算が終わっており，計算時間の点でも実用的であることが分かる。
Fig. 11 に，SRC-P-PI (Case3) と SRC-P-PI (NM1000) の 外乱抑圧特性の実験結果を示す。Tab. 2 から，
SRC-P-PI (Case3) の位置決め誤差は SRC-P-PI (NM1000) に比べ，2 ノルムにおいて 5.73 倍，最大値は 3.77倍減少したことが分かる。よって，提案する最適化手順により，高い外乱抑圧性能が得られたことが示された。
4-4 P-PI 制御，PID 制御との比較
本節では，SRCP- PI 制御の制御器構造の優位性を示すため，Fig. 5 に示し た，P-PI 制御と PID 制御との比較を示す。両手法の設計法は，提案手法と同様に周波数応答データと低次ノミナルモデルのみを用いた。
設計手順としては，提案手法と同様に極配置法・逐次線形化法を順に用いた。さらに，PID 制御においては疑似微分時定数の最適化のため，逐次線形化により得られた値を初期値に Nelder-Mead 法を適用している。
この点で，提案手法と公平なゲインチューニング法を適用したと言える
3 手法の実験による比較 Fig. 12 と Tab. 2 に示す。SRCP-PI (Case 3) と PID (Case 3) の比較から，ノンコロケート 側のセンサのみでは十分な外乱抑圧性能が得られないこと が分かる。SRC-P-PI (Case 3) とP-PI (Case 2) との比較か ら，インナーループの自己共振相殺制御による帯域向上により，7.55 倍最大位置決め誤差が減少していることが分かる。以上により，SRC-P-PI 制御の制御器構造の優位性と，提案した自動設計手法の有効性が示された。

5 まとめ
本研究では，駆動側と負荷側の双方にエンコーダを持っている制御対象に対し，自己共振相殺制御をマイナーループ に持つ P-PI 制御系の自動設計法を提案した。提案手法は， 低次モデルを用いた極配置法により得られたゲインを初期値とし，逐次線形化法と非線形最適化法を順に適用するものであり，ステップを経るごとに感度関数の帯域が向上することが示された。また，無作為な初期値から非線形最適化法を適用した例に比べ，はるかに少ない計算時間で性能の高い制御器が得られることが示された。さらに，P-PI 制御およびPID 制御の周波数特性を用いた設計法と比べて外乱抑圧性能が高いことを示し，SRC-P-PI 制御の制御器構造の優位性と，提案した自動設計手法の有効性を示した。
駆動側のみならず，負荷側にもエンコーダを持つ例が増えているなかで，双方の情報を有効利用する FB 制
御系の パラメタの設計法を提案したといえる。従来の自己共振相殺制御では，2 次共振以降を考慮しないため，1 次共振を相殺する点に内分比を設定するのが一般的であった。提案した最適化法では，2 次共振以降も周波数応答データにより陽に考慮できるため，1 次共振を完全には相殺しない解の方が帯域を向上できることが示された。本手法は，パラメトリックな高次プラントモデルを必要とせず，周波数応答データの点列を用いて設計するという点で，有用性が高いと考える。今後の課題は，より次数の高い制御器の自動設計法へ拡張することが挙げられる。
また，紙面の都合上省略したが，外乱オブザーバの数理最適化に基づく自動設計にも取り組んだ。固定構
造の制御器のデータ駆動最適化を行うため，非線形最適化問題を線形行列不等式(LMI)の形に落とし込むことで，高性能な制御器を短時間の最適化計算で導出することができる手法である(24)。

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〈発題名

駆動側と負荷側情報を有効に利用するフィードバック制御器の周波数応答データによる自動設計法
Frequency
response
data
based
disturbance observer design applicable
to non-minimum phase systems

表資料〉

掲載誌・学会名等

発表年月

電気学会論文誌Ｄ2019 年 11 月

SICE Annual Conference

2019 年 9 月

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