数理解析研究所講究録
第 1806 巻 2012 年 200-209200

2 重 Eisenstein 級数とその周辺
田坂浩二 (九州大学数理学府)

Koji Tasaka (Kyushu university)
double shuffle relation と呼ばれる，多重ゼータ値の関係式族がある．この関係式族の特殊な場
合を考えることにより，あるモジユラー形式の間の関係式を得られることが知られている．今回，この議論を用いてレベル 2 のモジユラー形式の空間の基底を決定し，その応用として，ある 2 重

ゼータ値が張るペクトル空間の次元の評価や，平方和の表現数に関する明示公式を与える．

目次
1

Introduction and main results

1

2

Key Lemmas

43Proofs of Theorems

81

Introduction and main results

この節では，主結果 (Theorem 2 と Theorem 4) を述べ，定理のすぐ後に問題点や関連する話題を紹介する．なお，これ 6 の結果は各々 [5] と [6] でまとめられる予定である．
正の整数に対し，多重ゼータ値を次で定める:$k_{1},$$k_{2},$$\ldots,$$k_{n}(k_{1}\geq 2)$$\zeta(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n})=m>m_{2}>\cdots>m_{n}>0\sum_{1}\frac{1}{m_{1}^{k_{1}}m_{2}^{k_{2}}\cdots m_{n^{n}}^{k}}.$整数をそれぞれ “重さ “, “深さ “ と呼ぶ．深さ 2 の場合を，特に 2 重ゼータ値と呼ぶ．2 重ゼータ値は $SL$ 2(Z) のモジュラー形式と関係することが知られている ([2,4]) が，
特に重さ の 2 重ゼータ値が張る上のベクトル空間の次元に，重さ の $SL_{2}(Z)$ のモ
ジユラー形式の空間の次元が現れる．
$\sum k_{i},$ $n$

$k$

$k$

$\mathbb{Q}$

Theorem 1. (Gangl-Kaneko-Zagier [2], Kaneko [4]) 正の偶数 $k\geq 4$ に対し，$\dim\langle\zeta(r, k-r)|2\leq r\leq k-1\rangle_{\mathbb{Q}}\leq\frac{k}{2}-1-\dim S_{k}(1)$が成り立つ．ここで，$S_{k}(1)$

は重さ

$k$

の $SL_{2}(Z)$ におけるカスプ形式が張る空間である．

1

201$\Gamma_{0}(2):=\{(_{cd}^{ab})\in SL_{2}(\mathbb{Z})|c\equiv 0(mod 2)\}$ のモジュラー形式におけTheorem 1 に対し，

る類似の結果が得られた．レベル 2 の 2 重ゼータ値を次で定める:$\zeta^{oo}(r, s)=\sum_{m>n>0}\frac{1}{m^{r}n^{s}} (r\geq 2, s\geq 1)$.

$m,n:odd$

Theorem 2. (Kaneko, T. [5]) 正の偶数 $k\geq 4$ に対し f$\dim\langle\zeta^{oo}(2r, k-2r)|1\leq r\leq k/2-1\rangle_{\mathbb{Q}}\leq\frac{k}{2}-1-\dim S_{k}(2)$が成り立つ．ここで，$S_{k}(2)$

は重さ

$k$

の

$\Gamma_{0}(2)$におけるカスプ形式が張る空間である．

Remarks of Theorems 1 and 2.
1. 重さ

$k$

の 2 重ゼータ値の個数は $k-2$ 個であるので，Theorem 1 は “重さ

$k$

の2重

ゼータ値の間には，少なくとも $k-2-k/2+1+\dim S_{k}(1)(=k/2-1+\dim S_{k}(1))$に由来す個の関係式がある” ということ意味している．これらの関係式の内，$S_{k}(1)$る関係式達はモジュラー形式と同型な周期多項式と呼ばれる対象から具体的に計算できる ([2]). Theorem 2 も同様に，‘(重さのレベル 2 の偶数インデツクスの 2 重
ゼータ値の間には，少なくとも $\dim S_{k}(2)$ 個の関係式がある “ ということを意味しているが，レベル 2 の周期多項式からレベル 2 の 2 重ゼータ値の間の具体的な関係$k$式を得ることはできていない．

2. Theorem 1 と 2 は，最良の上限を与えていることが計算機を用いて確かめられる．
各々，$\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}=\langle\zeta(r, k-r)|2\leq r\leq k-1\rangle_{\mathbb{Q}},$$\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}^{(2)}=\langle\zeta^{oo}(2r, k-2r)|1\leq r\leq k/2-1\rangle_{\mathbb{Q}}$と定めると，計算機を用いて次のような基底が得られる．

空間
に対し，この空間が奇数インデックスの 2 重ゼータ値で張 6 れることが知 6 れている ([2]). 重さ 12 でカスプ形式が現れるので，生成元から $\zeta(3,9)$ を除く$\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}$ことができる．空間$\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}^{(2)}$においては，重さ 8 でカスプ形式が現れるので，生成元から $\zeta^{oo}(6,2)$ が除かれていることがわかる．さらに数値実験を進めると，次のような予想が得られた．

2

202
Conjecture 3. 正の偶数 $k\geq 4$ に対し，$\mathcal{D}Z_{k}$は$\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}^{(2)}$を含む．

$k=6$ でさえ Conjecture 3 を証明することが出来ていない．今後，
今のところ，$\zeta^{oo}(r, s)$の間の線形関係の研究を押し進める一つの動機になれば嬉しい．

一方，2 重 Eisenstein 級数の研究から全く予期せぬ結果が得られたので，それを紹介す
る．正の整数 に対し，自然数 を 個の平方数 (または三角数) で表す方法の個数を以下
$n$

$s$

$s$

のように定める:$r_{s}(n) :=\#\{(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s})\in \mathbb{Z}^{8}|n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{s}^{2}\},$$t_{s}(n):= \#\{(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{s})\in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{s}|n=\frac{x_{1}(x_{1}+1)}{2}+\cdots+\frac{x_{s}(x_{s}+1)}{2}\}.$

これ 6 の数は Fermat や Euler 等の時代から古典的によく研究されている対象であり，類数といった代数的整数論の対象とも関連することが知られている．近年の Kac-Wakimoto

予想の解決を皮切りに，これらの数の明示公式への関心が高まりつつある．今回，2 重Eisenstein 級数を考えることの一つの応用として，これらの数の明示公式を得た．定理を述べるため，いくつか記号を準備する．正の整数 に対し，$k$$\sigma_{k-1}^{i\infty}(n)=\sum_{d|n}(-1)^{d}d^{k-1}, \sigma_{k-1}^{0}(n)=\sum_{d|,.\cdot nn/dodd}d^{k-1}$に対応する Eisenstein 級数の係数として現れる (定義は次節で与える). ここで，便宜上 $\sigma_{k-1}^{i\infty}(0)=(1-2^{k})B_{k}/2k$ とおく:
Bernoulli 数). これらある種の divisor function 達の積をとおくと，これらは各々$\Gamma_{0}(2)$のカス 7$i\infty$と$0$$(B_{k}$$\rho_{r,s}^{i\infty}(n)=\sum_{m=0}^{n}\sigma_{r}^{i\infty}(m)\sigma_{s}^{i\infty}(n-m) , \rho_{r,s}^{0}(n)=\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_{r}^{0}(m)\sigma_{s}^{0}(n-m)$

とおく．

Theorem 4. ( . [6]) 正の整数 $s\geq 2$ に対し，次を満たすような有理数 $\mu_{s}(l)(l=$$2,3,$
が一意に定まる :$T$$\ldots,$$s)$$r_{8s}(n)=(-1)^{n} \frac{2^{4s}}{(4_{\mathcal{S}}-2)!}\sum_{l=2}^{S}\mu_{S}(l)(\begin{array}{ll}4s -22l- 1\end{array}) \rho_{4s-2l-1,2l-1}^{i\infty}(n) (n\geq 0)$.

$t_{8s}(n-s)= \frac{1}{(4s-2)!}\sum_{l=2}^{s}\mu_{s}(l)(\begin{array}{ll}4s -22l- 1\end{array}) \rho_{4s-2l-1,2l-1}^{0}(n) (n\geq s)$

いくつかの$\mu_{s}(l)$の表を載せておく．

3

,

203

Remarks of Theorem 4.

1. Theorem 4 は本質的に Chan 氏と Chua 氏 ([1]) によつて予想されたものである．
2.

$Imamo\overline{g}lu$

る$\lambda,$

氏と Kohnen 氏 ([3]) によつて，Theorem 4 の類似の式が得られている: あ$\lambda_{l}\in \mathbb{Q}$が存在して，$r_{8s}(n)= \lambda\sigma_{4s-1}^{i\infty}(n)+\sum_{l=2}^{2s-2}\lambda_{l}\sum_{m=0}^{n-1}\sigma_{4s-2l-1}^{i\infty}(m)\sigma_{2l-1}^{0}(n-m)$の Eisenstein 級数を各々を満たす．カスフ i と に対応する
く．すると，式 (1.1) は次の結果に帰着される ([3, Theorem 1]):$\circ$$0$$\infty$$\Gamma_{0}(2)$$G_{k}^{i\infty}$$($と$G_{k}^{0}$$S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$は$\Gamma_{0}(2)$の有理数係数のカスプ形式が張る$\mathbb{Q}$

$)$

とお

(1.2)

$\langle G_{2r}^{0}G_{k-2r}^{i\infty}|2\leq r\leq k/2-2\rangle_{\mathbb{Q}}=S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$

ここで，

垣

上のベクトル空間で

ある．

3. 係数

については，一意的に定まること以外は何も言えていない．例えばがいつも整数かどうか (講演中の松本耕二氏による指摘) は，講演後に $s=6,7,8,9$等を計算してみたところ，これ 6 の場合はかならず分母が現れることが確認された．
$\mu_{S}(l)$$\mu_{S}(l)$例:$\mu_{6}(2)=49605048/343,$$\mu_{6}(3)=$-77902500/343, $\mu_{6}(4)=$ 15741540/49,$\mu_{6}(5)=-139785750/343, \mu_{6}(6)=74727180/343.$

2

Key Lemmas
Theorem 2 と Theorem 4 の証明は，各々次の Lemma 5 と Lemma 6 に帰着される．

Lemma 5. 正の偶数 $k\geq 4$ に対し，次の集合は$\mathbb{Q}G_{k}^{i\infty}(\tau)\oplus S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$$\{G_{k}^{i\infty}(\tau), G_{2r}^{i\infty}(\tau)G_{k-2r}^{i\infty}(\tau)|2\leq r\leq[k/4]\}$の基底をなす．

Lemma 6. 正の偶数 $k\geq 4$ に対し，次の集合 $\{G_{k}^{0}(\tau), G_{2r}^{0}(\tau)G_{k-2r}^{0}(\tau)|2\leq r\leq[k/4]\}$ は$\mathbb{Q}G_{k}^{0}(\tau)\oplus S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$の基底をなす．

4

204
ここで，

$M_{k}^{\mathbb{Q}}(2)=\mathbb{Q}G_{k}^{0}\oplus \mathbb{Q}G_{k}^{i\infty}\oplusS_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$であることに注意しておく．Lemma 5 と Lemma 6の我々の証明には，レベル 2 の double shuffle relation が重要な役割を果たす．整数$s\geq 1$ に対し，レベル 2 の 2 重ゼータ値を次で定める:$r\geq$$2,$$\zeta^{oe}(r, s)=modd,neven\sum_{m>n>0}\frac{1}{m^{r}n^{S}}, \zeta^{eo}(r, s)=meven,nodd\sum_{m>n>0}\frac{1}{m^{r}n^{s}}.$既に，odd-odd 型のレベル 2 の 2 重ゼータ値は定義した．これら実数値に対し，次の double
shuffle relation が成り立つ:
Proposition 7. 整数$r,$$s\geq 2$

に対し$\zeta^{o}(r)\zeta^{e}(s)=\zeta^{oe}(r, s)+\zeta^{eo}(s, r)$$= \sum_{i+j=k}(\begin{array}{l}i-1-rl\end{array})\zeta^{oe}(i, j)+\sum_{i+j=k}(\begin{array}{l}i-.l-ls\end{array})\zeta^{oo}(i, j)$,$\zeta^{o}(r)\zeta^{o}(s)=\zeta^{oo}(r, s)+\zeta^{oo}(s, r)+\zeta^{o}(r+s)$$= \sum_{i+j=k}((\begin{array}{l}i-1-r1\end{array})+(\begin{array}{l}i-1-1s\end{array}))\zeta^{\infty}(i,j)$

ここで，$\zeta^{o}(k)=\sum_{n>0:odd}n^{-k},$

は

$i,$

$j\geq 1$$\zeta^{e}(k)=\sum_{n>0:eve}$$n^{-k}$。

.

である．今後，和の取り方 $i+j=k$を動くとする．

$r\geq 1$ または $s\geq 1$ に対して拡張することができる (詳細は [5]). この場
Proposition 7 は，合，発散する項は変数 の実数係数の多項式になる．レベル 2 の double shuffle relation$T$の性質を調べるため，次のような形式空間を導入する:
Definition 8. 整数 $k\geq 2$ に対し，次の関係式を満たす変数$s=k,$ $r,$ $s\geq 1)$ と$Z_{k}^{o}$が張る$\mathbb{Q}$上のベクトル空間を$\mathcal{D}_{k}^{(2)}$$Z_{r,s}^{eo},$$Z_{r,s}^{oe},$$Z_{r}^{oo}{}_{s}P_{r,s}^{oe},$

とおく:$P_{r,s}^{oe}=Z_{r,s}^{oe}+Z_{s,r}^{eo}= \sum_{i+j=k}(\begin{array}{l}i-1-1r\end{array})Z_{i,j}^{oe}+\sum_{i+j=k}(\begin{array}{l}i-1-s1\end{array})Z_{i,j}^{oo}$

(2.1)

,

$P_{r,s}^{oo}=Z_{r,s}^{oo}+Z_{\mathcal{S},r}^{oo}+Z_{k}^{o}= \sum_{i+j=k}((\begin{array}{l}i-1-r1\end{array})+(\begin{array}{l}i-1-1s\end{array}))Z_{i,j}^{eo}$.

つまり，$\mathcal{D}_{k}^{(2)}=\frac{\langle Z_{r,k-r}^{eo},Z_{r,k-r}^{oe},Z_{r,k-r}^{oo},P_{r,k-r}^{oe},P_{r,k-r}^{oo},Z_{k}^{o}|1\leq r\leq k-1\rangle_{\mathbb{Q}}}{\langle re1ations(2.1),(2.2)\rangle}.$Lemmas の証明のために重要な，空間$\mathcal{D}_{k}^{(2)}$の性質は次である:

5$P_{r,s}^{oo}(r+$

(2.2)

205
Proposition 9. 正の偶数 $k\geq 4$ に対し，
(1)$\frac{1}{4}Z_{k}^{o}=\sum_{r=2}^{k-2}Z_{r,k-r}^{oo}.$(2) 全ての $r:evenP_{2r,k-2r}^{oe}(r=1,2, \ldots, k/2-1)$ は $P_{2r,k-2r}^{oo}(r=2,3, \ldots, [k/4])$ との$Z_{k}^{o}$$\mathbb{Q}$上のー次結合で書ける．

Proposition 9 から，空間$\langle P_{2r,k-2r}^{oe},$$\mathcal{D}_{k}^{(2)}$の部分空間として次の等式が成り立つ:$Z_{k}^{o}|2\leq r\leq[k/4]\rangle_{\mathbb{Q}}$$P_{2r,k-2r}^{oo},$ $Z_{k}^{o}|1\leq r\leq k/2-1\rangle_{\mathbb{Q}}=\langle P_{2r,k-2r}^{oo},$Remark : 空間

$D_{k}^{(2)}$は，各生成元$Z_{r,s}^{eo},$$Z_{r,s)}^{oe}Z_{r}^{oo}{}_{s}P_{r,s}^{oe},$$P_{r,s}^{oo},$$Z_{k}^{o}$

.

(2.3)

を $\zeta^{eo}(r, s),$ $\zeta^{oe}(r, s)$ ,の 2 重ゼータ値が張る空間に送ることで，レベ)への全射な対応が得られる (レベル 2 の 2 重ゼータ値が double shuffle relation を満たすはに落ちことが本質). この場合，空間るので，Proposition 9 だけではこの空間の次元の最良な評価は得られないことが分かる．
以降， (resp. o) で偶数全体 (resp. 奇数全体) を表し， は複素上半平面の元とする．
まず，2 重 Eisenstein 級数を次で定義する:$\zeta^{oo}(r, \mathcal{S}),$$\zeta^{o}(r)\zeta^{e}(s),$ $\zeta^{o}(r)\zeta^{o}(s),$$\triangleright$$\zeta^{o}(k)$$\langle P_{2r,k-2r}^{oe},$$2$$P_{2r,k-2r}^{oo},$ $Z_{k}^{o}|1\leq r\leq k/2-1\rangle_{\mathbb{Q}}$$e$$\langle\pi^{k}\rangle_{\mathbb{Q}}$$\tau$$G_{r,s}^{ABCD}( \tau):=\frac{1}{(2\pi i)^{r+s}} \sum_{m\tau+n>m’\tau+n’>0,m\in A,n\in B,m\in C,n\in D},,\frac{1}{(m\tau+n)^{r}(m’\tau+n’)^{s}}$

.

(2.4)

$A,$ $B,$$m\tau+n>0$ は $m>0$ か $m=0$ ならば $n>0$ と定
ここで，
をとり，
$m\tau+n>m’\tau+n’$ は $(m-m’)\tau+(n-n’)>0$ で定まる．級数 (2.4) はめる．すると，$r>2,$ $s>1$ において絶対収束する．上記の記号を用いて，Eisenstein 級数を以下のよう$C,$ $D\in\{e, 0, \mathbb{Z}\}$に定義する:$G_{k}( \tau);=\frac{1}{(2\pi i)^{k}}\sum_{m,n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(m\tau+n)^{k}}m\tau+n>0=\frac{\zeta(k)}{(2\pi i)^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{(k-1)!}\sum_{n>0}\sigma_{k-1}(n)q^{n},$$G_{k}^{i\infty}( \tau):=\frac{1}{(2\pi i)^{k}} \sum_{m\tau+n>0,m\in e,n\in 0}\frac{1}{(m\tau+n)^{k}}=\frac{\zeta^{o}(k)}{(2\pi i)^{k}}+\frac{(-1)^{k}}{2^{k}(k-1)!}\sum_{n>0}\sigma_{k-1}^{i\infty}(n)q^{n},$$G_{k}^{0}( \tau):=\frac{1}{(2\pi i)^{k}} \sum_{m\tau+n>0,m\in 0,n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(m\tau+n)^{k}}=\frac{(-1)^{k}}{(k-1)!}\sum_{n>0}\sigma_{k-1}^{0}(n)q^{n}.$二つ目の等式は，定義級数が絶対収束するところ $(k\geq 3)$ において，Lipschitz の公式を用いて得られる. 偶数 $k\geq 4$ に対し，これらはモジュラー形式になつており，奇$(q=e^{2\pi i\tau})$数に対しては，非零な上半平面上の正則関数を与える．
Lemma 5 の証明は，次の定理から導かれる．
$k$

6

206
Theorem 10. 正の整数 $k\geq 3,$ $k=r+s(r, s\geq 1, (r, \mathcal{S})\neq(1,1))$ に対し，
$Z_{k}^{o}=G_{k}^{i\infty}(\tau), Z_{r,s}^{eo}=G_{r,s}^{eeeo}(\tau), Z_{r,s}^{oe}=G_{r,s}^{\infty ee}(\tau), Z_{r,s}^{oo}=G_{r,s}^{eoeo}(\tau)$,$P_{r,s}^{oe}=G_{r}^{i\infty}(\tau)G_{s}(\tau)/2^{s}+\delta_{r,2}G_{S}(\tau)’/2^{s+3}s+\delta_{s,2}G_{r}^{i\infty}(\tau)’/8r,$$P_{r,s}^{oo}=G_{r}^{i\infty}(\tau)G_{s}^{i\infty}(\tau)+(\delta_{r,2}+\delta_{s,2})G_{k-2}(\tau)’/8(k-2)$$’:=q\cdot d/dq,$と置くと，これらは double shuffie relation (2.1-2) を満たす．ここで，$\delta$はク

ロネッカー記号である．
変数

$r,$

$s$

が $\geq 1$ を動くため，2 重 Eisenstein 級数や Eisenstein 級数の定義を拡張する必要があるが，その詳細は論文 [5] に譲る．
Proof of Lemma 5.
Lemma 5 を証明する．まず，Eisenstein 級数の定義から次がわかる．
$G_{k}^{0}(\tau)=G_{k}(\tau)-G_{k}(2\tau) , G_{k}^{i\infty}(\tau)=G_{k}(2\tau)-2^{-k}G_{k}(\tau)$.

ここから，簡単な計算により$G_{2r}^{0}(\tau)G_{k-2r}^{i\infty}(\tau)=(2^{2r}-1)G_{2r}^{i\infty}(\tau)G_{k-2r}(\tau)/2^{k-2r}-G_{2r}^{i\infty}(\tau)G_{k-2r}^{i\infty}(\tau)$を得る．すると，Proposition 9 により，

$G_{2r}^{i\infty}(\tau)G_{k-2r}(\tau)/2^{k-2r}$$2,3,$ $\ldots,$ $[k/4])$と$G_{k}^{i\infty}(\tau)$のが$G_{2r}^{i\infty}(\tau)G_{k-2r}^{i\infty}(\tau)(r=$線形結合で書けることがわ力 るので，以下を得る :$\grave{}$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}G_{k}^{i\infty}\oplus\langle G_{2l}^{0}G_{k-2l}^{i\infty}|2\leq l\leqk/2-2\rangle_{\mathbb{Q}}\subset\langle G_{k}^{i\infty}, G_{2r}^{i\infty}G_{k-2r}^{i\infty}|2\leq r\leq[k/4]\rangle_{\mathbb{Q}}.$

ところで，Imamoglu 氏と Kohnen 氏の結果 (1.2) により，左辺$=\mathbb{Q}G_{k}^{i\infty}\oplus S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$である．

右辺の生成元の個数と $\dim S_{k}(2)=[k/4]-1$ から，次元の評価により$\mathbb{Q}G_{k}^{i\infty}\oplus S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)=\langle G_{k}^{i\infty}, G_{2r}^{i\infty}G_{k-2r}^{i\infty}|2\leq r\leq[k/4]\rangle_{\mathbb{Q}}$を得る．
口同様に，Lemma 6 は次の定理から導かれる．
Theorem 11. 正の整数 $k\geq 2,$ $k=r+s(r, s\geq 1)$ に対し，
$Z_{k}^{o}=G_{k}^{0}(\tau), Z_{r,s}^{eo}=G_{r,s}^{e\mathbb{Z}0\mathbb{Z}}(\tau),Z_{r,s}^{oe}=G_{r,s}^{0\mathbb{Z}e\mathbb{Z}}(\tau), Z_{r,\epsilon}^{oo}=G_{r,s}^{0\mathbb{Z}oZ}(\tau)$$P_{r,s}^{oe}=G_{r}^{0}(\tau)G_{s}(2\tau)+\delta_{r,2}G_{s}(2\tau)’/4s+\delta_{s,2}G_{r}^{0}(\tau)’/4r,$$P_{r_{)}s}^{oo}=G_{r}^{0}(\tau)G_{s}^{0}(\tau)+(\delta_{r,2}+\delta_{s,2})G_{k-2}^{0}(\tau)’/4(k-2)$と置くと，これらは double shuffie relation (2. 1-2) を満たす．
の 2 重 Eisenstein 級数のとき同様，Theorem 11 の右側の関数において変数を $\geq 1$ に拡張しなくてはならない．これら詳細は論文 [6] に譲る．Theorem 11 に

カスプ
$r,$

$s$

$i\infty$$G_{k-2r}^{0}(\tau)G_{2r}^{i\infty}(\tau)=2^{-2r}((2^{2r}-1)G_{2r}^{0}(\tau)G_{k-2r}(2\tau)-$より，Proposition 9 が適用でき，$G_{2r}^{0}(\tau)G_{k-2r}^{0}(\tau))$を用いることにより，Lemma 5 の証明と同様の方法で Lemma 6 が導か

れる．

7

207

3

Proofs of Theorems

残りの紙面で，主結果の証明を簡単に紹介する．
Proof of Theorem 2.

まず，空間$\mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}$を次で定める:$\mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}:=\langle G_{2r,k-2r}^{eoeo}(\tau)|1\leq r\leq k/2-1\rangle_{\mathbb{Q}}.$

2 重 Eisenstein 級数

は -級数としての定数項に $\zeta^{oo}(r, s)/(2\pi i)^{-r-s}$ を持つ (級数$G_{r,s}^{eoeo}(\tau)$$q$での定義を与えていないが，Fourier 展開の計算からすぐわかる．). すると，定数項をとる
射影 :が得られる．これにより，次の完全系列を得る:$\pi$$\mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}arrow\overline{\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}}^{(2)}:=\langle(2\pi i)^{-k}\zeta^{oo}(2r, k-2r)|1\leq r\leq k/2-1\rangle_{\mathbb{Q}}$$0arrow ker\piarrow \mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}arrow\overline{\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}}^{(2)}arrow 0.$

これより，$\dim_{\mathbb{Q}}\overline{\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}}^{(2)}=\dim_{\mathbb{Q}}\mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}^{(2)}=\dim_{\mathbb{Q}}\mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}-\dim_{\mathbb{Q}}ker\pi$

数から，$\dim_{\mathbb{Q}}\mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}\leq k/2-1$を得る．Theorem 10 より，がわかる．生成元の個$G_{2r,k-2r}^{eoeo}(\tau)+G_{k-2r,2r}^{eoeo}(\tau)+G_{k}^{i\infty}(\tau)=G_{2r}^{i\infty}(\tau)G_{k-2r}^{i\infty}(\tau)+\delta_{r,2}G_{k-2}(\tau)’/2^{3}(k-2)$となる．これと和公式 (Proposition9 (1)) から，Lemma5 を用いて$\mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}\supset\langle G_{k}^{i\infty}(\tau), G_{2r}^{i\infty}(\tau)G_{k-2r}^{i\infty}(\tau)|2\leq r\leq[k/4]\rangle_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}G_{k}^{i\infty}(\tau)\oplus S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$を得る．ところで，空間で，$ker\pi\supset S_{k}^{\mathbb{Q}}(2)$$ker\pi$は，$\mathcal{D}\mathcal{E}_{k}^{(2)}$の定数項を持たないものが張る部分空間であるのとなる．すなわち，$\dim ker\pi\geq\dim S_{k}(2)$ .

したがって，結論を得る:$\dim \mathcal{D}\mathcal{Z}_{k}^{(2)}\leq\frac{k}{2}-1-\dim S_{k}(2)$.
口Proof of Theorem 4.
標準的な theta 関数$T(\tau)$と$\theta(\tau)$を以下で定める:$T( \tau):=\sum_{n\geq 0}q^{n(n+1)/2}, \theta(\tau):=\sum_{n\in \mathbb{Z}}q^{n^{2}}$このとき，整数 $s\geq 1$ に対し，
$T( \tau)^{8s}=q^{S}\sum_{n\geq 0}t_{8s}(n)q^{n}\in M_{4s}^{\mathbb{Q}}(2)=\mathbb{Q}G_{4s}^{i\infty}(\tau)\oplus \mathbb{Q}G_{4s}^{0}(\tau)\oplus S_{4s}^{\mathbb{Q}}(2)$8208が知られている．モジユラー形式$T(\tau)^{8s}$は，明らかにる．すると，Lemma 6 により次を満たすような有理数に含まれてい$\mu_{s}(l)(l=2,3, \ldots, s)$ が一意的$\mathbb{Q}\cdot G_{4s}^{0}(\tau)\oplus S_{4s}^{\mathbb{Q}}(2)$$\alpha,$に定まる:$T( \tau)^{8s}=\alpha G_{4s}^{0}(\tau)+\sum_{\iota=2}^{s}\mu_{s}(l)G_{2l}^{0}(\tau)G_{4s-2l}^{0}(\tau)$

無限遠点での位数 ord $\infty^{T(\tau)^{8s}=s\geq 2}$ から， は$\alpha$$0$.

に他ならない．これにより，$T( \tau)^{8s}=\sum_{\iota=2}^{s}\mu_{s}(l)G_{4s-21}^{0}(\tau)G_{2l}^{0}(\tau)$を得る．係数を比較して，$t_{Ss}(n)$の公式を得る :$T( \tau)^{8s}=q^{s}\sum_{n\geq 0}t_{8s}(n)q^{n}$$= \sum_{n>0}(\sum_{l=2}^{s}\frac{\mu_{s}(l)}{(4s-2l-1)!(2l-1)!}\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_{4s-2l-1}^{0}(m)\sigma_{2l-1}^{0}(n-m))q^{n}$$= \frac{1}{(4s-2)!}\sum_{n>0}(\sum_{l=2}^{s}\mu_{s}(l)(\begin{array}{ll}4s -22l-1 \end{array}) \rho_{4s-2l-1,2l-1}^{0}(n))q^{n}$一方，$r_{Ss}(n)$の公式に対し，次の事実を用いる:(1)$T(\tau)^{8s}|(\begin{array}{ll}0 -12 0\end{array})=2^{-6s}\theta(\tau+1/2)^{8s},$(2)$G_{k}^{0}(\tau)=2^{k/2}G_{k}^{i\infty}(\tau)|(\begin{array}{ll}0 -12 0\end{array}).$ここで，$f( \tau)|(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})=(ad-bc)^{k/2}(c \tau+d)^{-k}f(\frac{a\tau+b}{c\tau+d})$は通常の slash operator である．(1),(2) を用いることにより，次の式を得る:$\theta(\tau+1/2)^{8s}=2^{8s}\sum_{l=2}^{s}\mu_{s}(l)G_{4s-2\iota}^{i\infty}(\tau)G_{2l}^{i\infty}(\tau)$係数を比較すると，$r_{8s}(n)$.

の公式を得る :$\theta(\tau)^{8s}=\sum_{n\geq 0}r_{8s}(n)q^{n}$$=2^{8s} \sum_{n\geq 0}(-1)^{n}(\sum_{l=2}^{s}\frac{\mu_{S}(l)}{2^{4s}(4s-2l-1)!(2l-1)!}\sum_{m=0}^{n}\sigma_{4s-2l-1}^{i\infty}(m)\sigma_{2l-1}^{i\infty}(n-m))q^{n}$$= \frac{2^{4s}}{(4s-2)!}\sum_{n\geq 0}(-1)^{n}(\sum_{\iota=2}^{S}\mu_{s}(l)(\begin{array}{l}-24s2l-l\end{array})\rho_{4s-2l-1,2l-1}^{i\infty}(n))q^{n}.$口

最後に，集会中お世話になりました世話人の野田工先生と，今回講演の機会を紹介してくださいました赤塚広隆さんに深くお礼申し上げます．

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