数理解析研究所講究録
第 1800 巻 2012 年 49-61

49

数学史から見た Navier-Stokes 方程式の微視的記述関数の論争に見る物理的構成と数学的記述
流体数理古典理論研究所 増田 茂
E-mail: hj9s-msd@asahi-net.or. jp
Abstract1

One of the Poisson themes is the reducibility of sum into integral, namely, how to calculate the microscopically descriptive function of attraction and repulsion for formulation of fluid equations. In 1819, Poisson
discussed the so-called ‘Poisson equahons’ inl Memoire sur l’integrirtzon de quelques equatzonsauxdifferences partielles, et particulq\‘erement de l’equatzon generale $du$ mouvement des fluides \’elastiques [17].
Since these earlier papers of these sort of issues, he discusses ([lS, 19, 20]) with Navier ([14, 15, 16]), andintroduces [26], in which he developes his new ideas of these problems between the integral and sum in the
additional note, (\S 7, “Notes et Additions” [26, pp.264-300]) immediately after issuing his main theories of
fluid [23, 25].
This note may be one of the last descriptions on these issues. We couldn’t follow Navier’s comments
whether Navier gave his opinion against it or not. Navier passed away after 5 years since Poisson’s thesis[26] in 1836, and moreover, Poisson in 1840. We think this is the last counterargument by Poisson to Navier.
We introduce these scientific disputes between Poisson and Navier, and other book reviewers. We show
below our translation of the French narrations in Japanese, and of our own in English. In the all citations$Fr$ , etc. mean the function of distance:
below of original, $fr,$, viz. $f(r),$$F(r)$ , etc., sic respectively,
except for $rR$ in $\sum rR$ .
$s$$li\gamma oe^{l}aires$$\varphi r,$$r$$\varphi(r),$$2$\S 1. Introduction
We begin with the discussion about Poisson‘s integral methods of partial differencial
fluid equations before and after he issues the microscopically-descriptive $[MD]$ equations of fluid dynamics[18, 21, 23, 25, 26]. In 1819, Poisson introduced the so-called ‘Poisson equations’ in [17], which was the only
paper relating to fluid before $MD$ fluid equations. And in which, he proposes the transforming methods fromsum into integral to solve the partial differential equations, saying:3

A d\’efaut de m\’ethodes g\’enerales, dont nous manquerons avait \^etre encore long-temps, il $m’ a$sembl\’e que ce qu’il avait de mieux \‘a faire, c’e’tat de chercher \‘a int\’egrer isol\’ement les \’equations aux$y$diff\’erences partiellles les plus importantes par la nature des questions de
et de physiquequi conduisent. ‘est la 1‘objet que je me suis propos\’e dans ce nouveau m\’emoire. [17, p.123]$m\mathfrak{X}anique$

$C$

$y$

「普遍的諸方式が恐らくなおしばらく出来ないなら、 取るべき最良のものがあった、 即ち、 それは個別に積分するのに、 偏微分方程式を導出した力学や物理の性質によって最も重要なものを探す事であったように思える。 これがこの新しい論文で私の言う積もりだった目的である。」 $[17, p. 123]$

He considers that it is the best to integrate separately each term of partial differential equations. By using
this principle, Poisson [17] explains various methods of integral corresponding to the equations such as : (1)general kinetic equations of fluid/(2) distribute equations of the heat in the solid corps. (heat equations)/(3)equations of vibrating surface. (wave equation) $/(4)$ second-order linear equations with two variable (Laplace
equations) (5) general remarks on the linear equations with constant coefficients. (including Poisson equations).
About ten years later, he changes his principle to describe the general $MD$ equations of elastic solid and elastic
fluid, owing to continuum theory.

\S 2. Separate integration of the elastic fluid equations before $MD$ Poisson remarks in the section“Remarques
sur \’e equations\‘a coefficients constants”, about the followin two equations
withand . 4 He expresses transforming the sum of paticular solutions satisfying the partial equations$lin\epsilon’eaires$$\mathfrak{X}en\acute{\epsilon}erales$$\sum$$\int$$\varphi$

respectively : $p,$ $p’,$ $p”,$$\cdots$

into the integral separately.

‘equation qui d\’eterminara sera ‘un degr\’e \’egal \‘a 1‘indice de la plus haute difference partielle,
relative \‘a , qui soit contenue dans 1‘\’equation$p’,$ $p”$ ,; en d\’esignant ses par, onpourra les emplyer succivement dans la valeur de ; on pourra aussi changer arbitrarement lesquantit\’ee $A,$
, et prendre pour la somme des valeurs particuli\‘eres qui r\’esulteront de ceschangements; ce qui donnera
$L$

$p$

$d$

$t$

$propos\mathfrak{X}$$p,$$\cdot\cdot\cdot$$\varphi$

$g,$

$h,$

$\cdots$$\varphi$

101/16/2012

2If over one parameter, they express it as $f(r, \cdots)$ .
3To establish a time line of these contributor, we list for easy reference the year of their birth and death:

Euler(17071783), d’Alembert(1717-1783), Lagrange(1736-lsl3), LaPlace $(1749-1S27)$ , Fourier(176&1830), Gauss $(1777-1S55)$ , Navier(17851836), $Pois\infty n(17S1-1S40)$ , Cauchy $(1789-1S57),$ $Stok\propto(1819-1903)$ .
4Here, we should write integral symbol, however, 。isson usae asingle sign .
$\mathfrak{B}\iint\cdots\iint$$P$$\int$

50$\Rightarrow$$\varphi=\sum Ae^{(tp+gx+hy+\cdots)}+\sum Ae^{(tp’+gx+hy+\cdots)}+\cdots$(1)$\varphi=\int e^{(tp+gx+hy+\cdots)}f(g, h, \cdots)dgdh\cdots+\int e^{(t+gx+hy+\cdots)}p’f’(g, h, \cdots)dgdh\cdots+\cdots$(2)

Les limits de ces int\’egrales resteron indetermin\’ees; en sorte qu‘elles ne son pas des int\’egrales
definies. La substitution de la charact\’eristique‘a Pas change’ de nature, la valeur de : cetted\’erni\‘ere exPression est toujours une s\’erie ‘exponentiell\’es multipli\’ees par des coefficients arbitrairea,
dont chaque terme satisfait isolement \‘a 1 ‘equation aux diff\’erences Partielles ProPos\’ees; et les fonctions$f’,$, \’etant arbitraires, et pourvant \‘etre discontinues, ces deux exPressions (1) et (2) sont\’equival\’entes 1‘une \‘a 1‘autre. [17, pp. 171-2]$\sum,$$n$$\varphi$

$d$

$f,$

$\cdots$「記号の置き換えは本来的に、 の値を変えていない : っまり、最後の式 (2) が常に任意の係数の掛かるある指数の級数で、 各項は出された偏微分方程式を個別に満たしている ; 関数 $f,$ $f’\cdots$ が任意で、 しかも不連続になり得るのに、 これらの二つの式 (1) と (2) は互いに等価である。」 [17, p.172]$\sum$$\varphi$

He explains the separating integration of the following example equations of wave as the same with (2).
pp. 173-6]

([17,

$)$

$\frac{d^{2}\varphi}{dt^{2}}=a^{2}(\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}+\frac{d^{2}\varphi}{dy^{2}}+\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}})$$\Rightarrow$$\varphi=\sum Ae^{(atp+gx+hy+kz)}+\sum A’e^{(-atp+gx+hy+kz)}$$\{\begin{array}{l}\frac{a}{2\pi}\sum Bpe^{(g(x+x’)}e^{(h(y+y’)}e^{(k(z+z’)}\equiv f(x+x’,y+y’, z+z’),\frac{1}{2\tau}\mathscr{S}_{t}\sum B’e^{(g(x+x’)}e^{(h(y+y’)}e^{(k(z+z’)}\equiv F(x+x’, y+y’, z+z’)\end{array}$$x’=at$ coe ,
$u$

.. .

$\Rightarrow$$\varphi=$$y’=at\sin u\sin v$ ,$z’=at\sin u\cos v$$\int\int f(x+x’, y+y’, z+z’)t\sin ududv+\frac{d}{dt}\iint F(x+x’, y+y’, z+z’)t\sin ududv$$=$$\int\int f(x+at\cos u,y+at\sin u\sin v, z+at\sin u\cos v)t\sin ududv$$+$$\frac{d}{dt}\iint F(x+at\cos u,$ $y+at\sinu\sin v,$ $z+at$ sinu

cos $v)t\sin ududv$

In 1829, moreover, Poisson improved this superficial method of integral of wave equations in [22].
Today, we can use the method of MAC, SMAC, or etc., as the solvers of Poisson-equation for the computer,however, Poisson’s integral was one of the best superficial computations we could want without the computer.

\S 3. $MD$ equations of elastic solid and fluid by sum instead of integral Poisson [18, 21] uses twofunctions $fr$ andto calculate three elements of force. Here, $fr$ means $f(r)$ , and is the radius of sphere$\frac{d^{1}fr}{dr}$$r$of a molecular activity.

$r^{2}=\phi^{2}+\psi^{2}+\theta^{2}$,$(r’)^{2}=(\phi+\phi’)^{2}+(\psi+\psi’)^{2}+(\theta+\theta’)^{2}$,$r^{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+(z_{1}-\zeta_{1})^{2}$,

Poisson says: ‘at the same degree of approximation’, we get the differential form :$r’=r+ \frac{1}{r}(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)$He gets the three elements of force $P,$ $Q,$
(1)

$Poisson\sum[25]$$R$$\frac{1}{r}fr’=\frac{1}{r}fr+(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)\frac{d.\frac{1}{r}fr}{rdr}$$\Rightarrow$by$\sum$

instead of$\int$

respectively : if we put$F \equiv\frac{d_{r}^{1}fr}{dr}$, then(3)$\{P=\Sigma fr+\Sigma(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)_{\alpha}\prec^{\phi_{\overline{r}}}.FR=\Sigma,fr+\Sigma(\phi\phi,+\psi\psi,+\theta\theta,)\theta+_{\alpha r}^{\dot{r}}FQ=\Sigma\frac{\frac\zeta}{\frac{(\theta+\theta)\zeta(\phi+\phi’)\zeta(\psi_{\mathscr{J}r}^{\alpha^{3}r}+\psi’)}{\alpha^{3}r}}fr+\Sigma(\phi\phi’+\psi\psi’+\theta\theta’)\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha}F$

uses two same functions with (8) : $fr$ and$\frac{d^{1}fr}{dr}$to calculate three elements of force : $P,$ $Q,$

$R$

by

\S 4. Capillary action with ordinary description Poisson described previously this theme in the article
no.31 of text. We cite this paragraphs itemizing and comparing two items as follows: Poisson doesn use at
all of sum except for $\sum R,1\hslash\sum rR$ [$26$ , pp.30-31] and $\sum R’[26, p.68]$ , in which he explains the mathematical
exceptions, as well as in The Note, however, in the parent part to The Note [26], he isn necessary for using of
sum instead of integral, and uses the ordinary deduction from the hydrostatic equations.
$t$

$t$

51
\S 5. Circular argument asserting consistency between physical theory and mathematical principle
Poisson [18, 21, 23, 25] expresses two elastic constants of molecular forces defined in the sphare of an arbitary
molecular activity of $M$ with sum as follows :$\frac{2\pi}{3}\sum\frac{r^{3}}{\alpha^{\delta^{r}}}fr\equiv K$,$\frac{2\pi}{15}\sum\frac{r^{5}}{\alpha^{5}}\frac{d.\frac{1}{r}fr}{dr}\equiv k$.

(4)These endless disputes started with Navier reply [14] to Poisson‘s critical descriptions [18, 21] about Navier’s
calculus by integral, which we can summarize as ‘Circular argument asserting consistency between physicaltheory and mathematical principle’ in (Fig.1). J.M.C.D., a book reviwer, 5 speaks for Poisson, summarisiitg
the issues of our problem :$s$

Poisson が Navier の理論を拒否するには二つの理由がある。 総和法 (sum) は積分による十分な近似式でも置き換える事に同意出来ないこと、 こうした納得の行く数式変換を想定しても物体の自然状態の中で、任意の二つの分子間活動がゼロになるという仮説を受け入れられないこと、である。 (J27)6

J.M.C.D. points out the theory of continuum from the viewpoint of scientific history :.

ある物体が堅いものであれ固体であれ、 それを構成する部分の分離に抗する力はゼロか我々が論じているその状態では存在しない。 我々がこの分離を実行する事を求める時にしか、 また、 分子間距

離を少しでも変更しようとする事しか生じ始めない o 即ち、 もし、 このカを積分で表すならば、 物体
が自然状態の中で値がゼロとなって、 分子間距離で何らかの変位が生じた後でもなお、 言わば、 物体.

がその部分が分離していても何らの抵抗にも抗しない事が生じるようになる。 これはちょっとへんな事になる。 $(J*2)$

Navier が 1821 年に分子の活動に論及し連続体として物体を見なす事を報告していたのと同じ方程
この分子のアクションを考察する手法は Laplace
が元々毛細管現象の理論を導出するのに使っていたものだ。 Navier はその後で弾性体の理論にこの手式を Poisson もつかんでいた事は後程説明しよう。

.

法を導入するのに好都合な考え方を得たのだ。 しかし、 全ての学者は連続体の分子を想定していた。
そして、 Poisson が計算において物体の実際上の構造と一致した最初だ。 (J5-1)
付言すれば、 連続体の仮説は現実的には全く不正確であるが、 科学の中では大きな足跡を果たし、Laplace の理論は学者達からその果たした役割から賞賛の目で迎えられた。 分子活動についてのこの考察は、 大量の特殊問題において、 就中、 弾性体理論において果たさねばならなかった全ての特別の仮説を取り除くのに計り知れない利点があった。 (J5-2)

Another book reviewer, Cournot [4] introduces Navier [12] physical theory and mathematical principle as
the ‘consumption’7 in his conclusion: 「 (Navier の) この応用は間違いなく、 分析するだけの彼の相当な素質を示しているが、 ある物理的理論の価値や、 ある原理の真理に関しては沢山の蓄積された近似の後で分かるのではな
いか? 結局、 Navier の新理論はほんの少しだけ、 (これまでの) 経験主義から流体の振舞いと(時間と頭の) 浪費についての科学にしてくれたのか? 我々はある似たような問題を解決するために過大評価してはならない。 せめて$s$

興味のある応用分野の全ての方々にこの論文の一読をお薦めするしかない。」

Ces applications montrent sans doute un grand talent pour manier 1‘analyse; mais peut-on
prononcer avec certitude sur la valeur ‘une th\’eorie physique et la v\’erit6 ‘un principe apr\‘es tant$d’ approximations$ accuml\’ees ? En un mot, la nouvelle theorie de M.Navier rendra-t-elle moins empirique la science de la conduite et de la d\’epense des fluides? Nous ne pr\’esumerons pas assez de nous
pour r\’esoudre une semblable question, et nous ne pouvons que recommander la lecture de m\’emoire\‘a tous ceux que ce genre ‘applications int\’eresse.
A.C. [4, pp.13-14]
$d$

$d$

$d$

5We haven’t identified this person in $BSM(11)$ until now. The authors use usually the anonym in $BSM$. As the same example,
Cournot [4] issues the book review on Navier [12] over the signature of A.C. in the same $BSM(10)$ .
6We put the paragraph number of each disputers. This $J2T$ is the 27-th paragraph by J.M.C.D.[9]. By the same way, we mean
$A:Arago[1],$ $N:Navier[16]$ , Note: Poisson[26]. In bellow, we call this note The Note.
7We mean the ‘consumption’ of time or all sort of resouces including intellectual activities, etc.
’

52

Fig.1. Circular argument assertmg consistency between physical theory and mathematical principle
NavierPoisson (including by J.M.C.D.)
この力を積分で表すならば係数がゼロになる。 cf. (7)
この力を積分で表せない事は証明している。
$a^{2}$$\Leftrightarrow$

物体の自然状態で常に相殺されている。 即ち、 力: $P$ が通常ゼロであるか、 または、 力はゼロでないが、 それらの差し引きではゼロである。 (N9)$\Downarrow$$\Downarrow$

これらの力 (attraction と repulsion) の合力を積分で表す事が出来る。

アクションを分離した分子についてのある級数は定積分で表すことは出来ない。
それは全ての分子のアクションを表す距離の関数の性質を保持するものであり、 ゼロでは矛盾する。
の総和で表す$\sum$$\Downarrow$$f\downarrow$

Poisson が分子のアクションの成分を表す総和 (sum) が積分で取り替えられないという事を言い張ることの根拠はPoisson は反対に 2 つの分子が積み重ねて自然状態の中でも何らかのアクションを呈すると想定する。
そして、 この状態を可能とするために、彼は条件 : $\sum r^{3}f(r)=0$ を導いた。
しかし、 この条件は積分記号を使わないので$\sum r^{5}d[\frac{1}{r}f(r)]=0$ とはならずに済み、各項は Poisson の式からは消滅しない。 (J26)
条件 : $\int r^{3}f(r)dr=0$ と、 方程式の各項から必然的に出て来る消滅の必要性を結論づけている。 (J27)「もし、 部分積分によると、 $f(r)$ は両極値でゼロである
事に注意すれば、 $k=-K$ となる」 事だ。
まず、 「もし $r^{4}f(r)$ が両極値でゼロとすれば」 とある点。

次に〆 $f(r)=0$ に対応する極値としてゼロになる事を受け入れなければならない義務はない点である。
関数 $f(r)$ として採用出来る無数の形式が存在する事、
このため、 この状況が成立しなくなる事である。 (N23)$\ddagger[$$\Downarrow$

Navier も私と同じ方程式を出した。 これを積分でやったのがNavier の係数 だ。 Navier は否定しているが、と Navier の は同じだ。 (cf Table 1, no.l,4)
私の係数$\epsilon$$a^{2}$$\Leftrightarrow$$\epsilon$......

.
.

$\Downarrow$

私の係数

.
.

$\epsilon$と Poisson の係数$a^{2}$とは同じものではな$4_{\text{。}}^{\backslash }$私の式はその特別な場合 (Navier の式で弾性が色々な方向で同じ時) 当て嵌る。 (Cauchy[3])こうなれば、 Navier にどうしたら自然界で物質の全ての個所で積み重ねたアクション無しで、 物体の構成を理解させる事が出来るか考えるしかないのだ。 (A3)
結局、 Navier の新理論はほんの少しだけ、 経験主義から流体の振舞いと浪費についての科学にしたのか? (Coumot[4]).

同じ方程式は非圧縮流体の場合で Navier が得ているが私のものは Poisson がやったものに近い。 (Stokes[27])We start with citing Poisson’s explanation of result using sum instead of integral from (4) as follows :\S 14. Cette \’equation donne lieu de faire une remarque importante; c’est que les sommes
du no.6, que reprbSentent les lettres $K$ et , ne peuvent \^etre chang\’ees en des integrales, quoique
la variable croisse dans chacune ‘elles par de tr\‘es-petites diff\’erences \’egales \‘a ; car si cettetransformation \’etait possible, serait zero en m\^eme temps que $K$ ; d’o\‘u il r\’esulterait qu‘apr\‘es lechangement de forme du corps, les forces $P,$ $Q,$ , seraient nulles comme auparavant, et que desforces donn\’ees qui agiraient sur le corps ne pourraient se faire \’equilibre, ce qui est inadmissible.
Pour faire voir que s‘\’evanouirait au m\^eme temps que $K$ , observons qu’on aurait$\sum$

$k$

$d$

$r$

$\alpha$

$k$

$R$

$k$

$K= \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{3}}{\alpha^{6}}$

frdr,

(5)

,

$k= \frac{2_{J}\prime r}{15}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{5}}{\alpha^{6}}d.\frac{1}{r}fr$

par , et remplagant ces signes par ceux de 1‘int\’egration.
en multipliant sous les signes
Or, si l’on int\‘egre par partie, et si 1‘on fait attention que $fr$ est nulle aux deux limites, il en$\sum$$\frac{dr}{\alpha}$r\’esultera(6)$k=- \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{r^{3}}{\alpha^{6}}frdr=-K$.

ce qui montre que la quantit\’e $K$ \’etant nulle, on aurait aussi $k=0$ . [ , pp.398-399, \S 14]\S 16. Je substitute, en outre, dans les \’equations (3) \‘a la place de $P,$ , etc., leurs valeurs,
et je suppose le corps homog\‘ene; en observant que $K=0$ , il vient
$18$

$Q$

(6)

$\{\begin{array}{l}X-\frac{d^{2}}{dt}ru+a^{2}(\frac{d^{2}}{dx}\tau u+\frac{2}{3}\frac{d^{2}v}{dydx}+\frac{2}{3}\frac{d^{2}w}{dzdx}+\frac{1}{3}=+\frac{1}{3}=d^{2}dzu)=0,Y_{t}^{2}-\frac{d}{d}\tau^{v}+a^{2}(_{d}=+\frac{2}{3}\frac{d^{2}u}{dxdy}+\frac{2}{3}\frac{d^{2}w}{dzdy}+\frac{1}{3}dx=d^{2}v+\frac{1}{3}=)=0,Z_{t}^{2}-\frac{d}{d}\tau^{w}+a^{2}(_{dz}^{d^{2}}=^{w}+\frac{2}{3}\frac{d^{2}u}{dxdz}+\frac{2}{3}\frac{d^{2}v}{dydz}+\frac{1}{3}\varpi+\frac{1}{3}=)=0,\end{array}$$P^{e}$(7)

53
etant un coefficient, \’egal \‘a . Ces \’equations ont la m\^eme forme que celles qui ont \’et\’edonn\’ees par $M.Navier^{8}$ , et qu’il a obtenues en partant de 1‘hypoth\‘ese que lesdu corps,
apres son changement de forme, s’attirent proportionnellement aux accroissements de leurs distances
mutuelles; et en admettant, de plus, que les resultantes de ces forces peuvent ‘exprimer par desintegrales, ce qui rendrait nul le coefficient , ainsi qu‘on 1‘a vu plus haut. Les \’equations relatives \‘ala surface, form\’ees de la m\^eme mani\‘ere, se trouvent aussi dans le M\’emoire de M.Navier. [18, pp.4034, \S 16]$a^{2}$$\frac{3k}{\rho}$$mol\mathfrak{X}uleS$$s$$a^{2}$

Our issue is about (5) of the elastic body, which paper is previous to the fluid. (cf. In Table 1, the entry no.
1,3 and 4 discuss elastic body.) Poisson says his consistency between physics and mathematics on the expression(5) and (7) :こうして、 それらの attraction と熱による分子の相互のアクションしか作用されない自然状態と見られる物体の状態の中で、 分子を分離している区間ではこの方程式が物体の全ての個所で成り立っている事等が存在せねばならない。 もし、 熱の新たな量をそこに取り入れれば、 同じ距離を保って repulsive force が attractive force で出来る量を変えずに増大する。 分子の区間がこの方程式が存在し続けるように増大する必要がある。

そして、 関数 $f(r)$ がそこでは同じでない事から、 それからの熱の膨張、物質的な違いの中で差異が生じる。 この式は重要な事を喚起する原因となる。それは No 6
での総和
$k$

$\Sigma$は $K$ と$k$がそれで表わされているが、 これを積分へ変更出来ない事だ。 ここに、変数$r$はと同様に極めて微小な差異で表す個々のそれの中で増大する。 しかるにもしこの変換が可能ならば、$\alpha$は $K$ と同時にゼロとなる。 ここから物体の変形による力の要素 $P,$ $Q,$ $R$ は変形しても以前と同じゼロとなり、 物体に作用する加えられた力は平衡状態とは成り得ないという結果が生じる。 これは受け入れられない事だ。

According to J.M.C.D., Poisson‘s physical conception are as follows :oPoisson は反対に 2 つの分子が積み重ねて自然状態の中で何らかのアクションを呈すると想定する。 そして、 この状態を可能とするために、彼は条件 :$\Sigma r3f(r)=0$ を導いた。 しかし、 この条件
は積分記号を使わないので $\sum r^{5}d[\frac{1}{r}f(r)]=0$ とはならずに済み、 各項は Poisson の式からは消滅しない。 (J26)
条件 : $\int r^{3}f(r)dr=0$ と、 方程式の各項から必然的に出て来る消滅の必要性を結論づけている。
(J27)

.

.

Navier explains null of molecular activity in his last PaPer [16] as follows:

弾性固体は極めて微小な距離に置かれた分子の集合体として認識されている。これらの分子は積み

重ねて、 2 つの相反するアクション、即ち attraction からなる固有力と熱の原理で齎される repul-sionに影響を及ぼす。 ある分子 $M$ と近くにある任意の分子 $M’$ の間には、 この 2 つの力 (attraction とrepulsion) の差である $P$ が存在し、物体の自然状態ではトータルなアクションである $P$ は分子 $M$ が平衡状態であるからゼロ即ち相互に相殺される。 物体の形状が変更されればアクション $P$ は異なる差の値垣となり、 全ての力 : 垣と物体に働く力の間で平衡状態となり、 それによって形状の変位が生じる。 (N7-1)

・どれも 2 つの部分 とに分かれる垣があると常に理解してよい。 最初の はもし、 単独で存在すると想定すれば、 全ての力 : の中で平衡状態となり、 同様の方法から、 物体の自然状態では全ての力 : $P$ の中で平衡状態になる。 力: はこうして相互に相殺されるので、 平衡状態は残ったと物体に作用する力との間で存在することが必要となろう。 (N7-2)$\pi$$\pi’$

$\pi$

$\pi$

.
.

$\pi$

$\pi’$

こう仮定すれば、 ここで原理として、 もう一つの力が任意の $MM’$ にある 2 つの物質の分子のそしてこれがこの 1 っだけを物体に作用する力と平衡状態にするものであり、 それぞれに (微小と想定する) 形状の変化が 2 つの分子間の距離 $MM’$ を変えた量に比例している。 (N7-3)
この力は距離 $MM’$ が増大すれば attraction こなり、減小すれば repulsion になる。 それに、分子の力を非常に接近した分子間にしか存在しないもの、 そして急減少する値を持ち、 両者がます$\pi’$

間で物体の形状の変化によって生成されるという事を得る。
$\Pi’$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

ます遠ざかる分子に対して未知の法則に従うものと看倣す。 (N7-4)
Arago が強調し、 コメントしている語句を見てみよう。 物体の自然状態ではトータルなアクションはゼロか相互に相殺される。 この語句は排他的ではない。 トータルなアクション は物体の各点で

$P$

$P$

消滅するか、 あるいは差し引きの結果がゼロ。 この言い回しでは明らかに読者に次の二者択一を任せられている。即ち、全ての力 : $P$ がゼロ。 あるいは力はゼロでないがそれらの差し引きではゼロ。私はこの問題を曖昧のままにしていた。 計算の設定には全く依存しないこの点について説明するのは必要でなかったからである。 (N9)・この点について説明することは決して不必要ではないと思う。事実、 アクション: $P$ が混同される事.

を避けた事に注意願いたい。 アクション: $P$ は物体の自然界で存在し、8By Poisson‘s footnote:Tomefootnote : Tome VII de ces Memoires, which is Navier[ll].

54

.

.

個々の分子に対して物体の変位状態の中で成立する新たなアクション垣の部分である
態になる。

$\pi$

と平衡状

個々の分子に対してこの状態で同様に平衡状態となろうとする。 (NIO-I)

このように区別をすることによって読者は力 : $P$ を随意に、 有限の値やゼロに想定する事ができる。
(読者には) 力:を想定する自由があるので、力: は私の説明によって、個々の分子が相殺するのに都合の良い値を持った、 力: $P$ とは別のものであり、 私が提唱する原理は常に存続する。 (N10-2)
私の Arago への手紙 (ACP,1829 年 1 月号 103 頁) で
$\pi$

$\pi$

..
.

数学的問題をまだ設定しないのに、 物質の構成に関して抱いている考えを説明する事、Poisson のそれとの違いを明確にする事、
私は 2 者択一をして、 物体の自然状態では任意の 2 つの分子間の attraction と repul-sion が相互に消滅する事、即ち、 これらの分子間で存在するアクション (これを $P$ とする) がゼロである事を受け入れたと述べた。 Arago は「 つの同じ分子が違った方法で積み重ねて作用していて、 物体が外力からのアクションを受ける受けないに拘らず、 この作用を受けるという事からこういう結果になった」 と判断している。 以上が実際に私の考えている所だ。 (Nll)
Arago は「物理学者は恐らく (Navier の) この仮説に難を呈するだろう。 それがため大きな困難がもたらされ、 どうしたら私が物質の全ての点が、積み重ねてアクションがない自然界の中で、 物体の構成を理解出来るか示すしかない」と付け加えている。 私はこの話には私の意見に対抗できるどんな根拠も見つけられない。 もし何方かがこの問題に関してもっと説明して欲しいと望むならば私はこう言うであろう : 「自然界で 2 つの分子 $M,$ $M’$ の attraction は距離の $MM’$ がどうであれ熱の存在による repulsion によって正確に相殺されることが認識できる」 と。 (N12)$2$

At last, Navier may mend and correct his ideas of null which is attacked from all the physical disputer.

\S 6. “ Notes and Additions” to [26]$1|6.1$ Purposes of his new theory
Poisson criticises both Laplace and Gauss on the paper of capillaryaction.

.

On a vu que je m’ecarte aussi de la Mechanique c\’eleste, en ce qui concerne 1‘explication
des ph\’enom\‘enes qui ont lieu quand le liquide atteint 1‘extr\’emit\’e superieure du tube. La
d\’emonstration que Laplace avaitde 1‘invariabilit\’e de 1‘angles compris entre les nomales \‘a la surface du liquide et \‘a celle du tube, men\’ees par chaque point situ\’e \‘a une distanceinsensible de leur commune intersection, ‘a pas paru satisfaisante ;et M. Gauss en a dono\’e une autre tr\‘es \’el\’egante, et qui ne laisse rien \‘a d\’esirer, lorsqu’on fait
abstraction de la variation de densit\’e du liquide pr\’es de sa surface et pr\’es de celle du tube.
$dom\mathfrak{X}$.

$n$Poisson tells his selling point :En eyant \’egard \‘a cette variation, dont la loi est inconnu, $j’ ai$ d\’emonstr\’e la m\^eme proposition,
dans le chapitre III,9 d’une mani\’ere qui, je crois, ne peut laisser aucun doute.

.

Poisson insists his new theory :.
.
.

La consid\’eration de cet angle est \’egalement indispensable, lorsqu‘on veut d\’etermner lepoids n\’ecessaire pour d\’etacher lm disque solide de la surface ‘un liquide, 1‘une des questions
pas, ce me semble, consid\’eree sous sonles plus in&’ressantes des cette tk’orie, que 1‘onv\’eritable point de vue.
En effet, le disque et le liquide \’etant $soulev’ae$ graduellement par un poids qui croit par p\’etites
parties, ce poides et la hanteur correspondantes du liquides sont, \‘a chaque instant, des fonctions
de 1‘angle qui reprbsente 1‘inclination de la normale \‘a la surface de 1‘ar\‘ete du disque sur unplan horizontal;
$i$

$d$

$n’ av\mathfrak{X}t$$i$c’est lorsque ces fonctions atteiguent leur maximum par rapport \‘a , que le disque se d\’etache
du liquide ;$i$

et il en r\’esulte la condition ‘aprdS laquelle on d\’etermine la grandeur du poids propre \‘a op\’erer
la s\’eparation du disque et du liquide.
$d$$9Bquation$ relative au contour de la surface capillaire. [26, pp.77-97]

55$1|6.2$ Essential constitution of corps, andpaticularly of fluid ; nature of the molecular forces
Poisson explains two sorts of mutual action consisted of atrraction and molecular force, and moreover the latterincludes attraction and repulsion:.

Toutes les parties de la mati\‘ere sont soumises \‘a deux sortes d’actions mutuelles.
‘une de ces forces est attractive, ind\’ependante de la nature des corps ou de leurs,
proportionnelle au produit des masses, et en raison inverse du carr\’e des distances ; elle s’etendind\’efiniment dans 1‘espace, et produit la pesanteur universelle et tous les ph\’enom\’enes qui sontdu ressort de la m\’ecanique c\’eleste.
$oL$ ‘autre est en partie attractive et en partie r\’epulsive; elle d\’epend dela nature des mol\’ecules
et des leur quantit\’e de calorique. On attribue la partie attractive \‘a la mati\’ere pond\’erable, etla partie r\’epulsive au calorique ; et, en effet, celle-ci change ‘intensit\’e, quoique le poids desmol\’ecules n’ait pas chang\’e.
‘exc\’es de 1‘une sur l’autre est ce qu’on appele proprement la force mok’culaire.
Elle tend \‘a rapprocher ou \‘a \’ecarte les molecules, selon que l’action de la mati\’ere pond\’erable
est plus grande ou moindre que 1‘action calorifique.
Son intensit\’e d\’ecroit tr\‘es rapidement quand la distance des molecules augmente, et devient
tout-\‘a-fait insensible, des que cette distance a acquis une grandeur sensible.

.
.

$L$

$mol\mathfrak{X}uleS$

$d$

$L$

$0$

Poisson explains attraction and repulsion:
Ainsi, tous les mouvenens que nous obserbons, nous devons les attribuer \‘a des forces d’attraction
ou de r\’epulsion, pour lequelles l’action est \’egale \‘a la r\’eaction, et qui varient avec les distances,suivant une des deux lois prec\’edentes. Les vibrations des corps \’elastiques et la communication dumouvement, soit par le choc, soit par la pression, r\’esultent de la force qui n’est sensible qu’\‘a desdistances insensibles, $c’ est$-\‘a-dir de la mol\’eculaire.

.
..
.
.
.
.
.
$0$

Soient $m$ et $m’$ les masses de deux molecules voisines, et c’ leurs quantit\’es de calorique, $M$
et $M’$ leurs centres de gravit\’e, et la distance $MM’$ ;et consid\’erons l’action mutuelle de ces deux molecules.
Supposons ‘abord leurs dimmensions tr\‘es petites par rapport \‘a 1‘intervalle qui les s\’epare.
‘action dont il s’agit se r\’eduira alors \‘a une force unique,suivant la droit $MM’$ , et dont
1‘intensit\’e sera une fonction de , que nous repr\’esenterons par;
en m\^eme temps, leur r\’epulsion mutuelle sera proportionelle au produit de et , et leurattraction au produit de $m$ et $m’$ .
En consid\’erant la force comme positive ou comme negative, selon qu’eUe tendra \‘a augmenterou \‘a diminer la distance , sa valeur sera 1‘exc\‘es de la r\’epulsion sur 1‘attraction ;et si 1‘on suppose que 1 ‘attraction r\’eciproque de la mati\‘ere pond\’erable et du calorique, qui retientcelui-ci dans chaque mol\’ecule, s’e’tend au-dehors, il faudra retrancher de cet exc\‘es l’attraction
du calorique attach\’e \‘a $m’$ sur la mati\‘ere de $m$ , et celle de la mati\’ere de $m’$ sur le calorique
attach\’e \‘a $m$ , lesquelles forces seront proportionelles, la premi\‘ere au produit $mc’$ .
De cette mati\‘ere, la valeur compl\‘ete de sera
$c$

$r$

$d$

$L$

$diri_{o}\sigma \mathfrak{X}$

$R$

$r$

$c$

$c’$

$R$

$r$

$R$

(S)

$R=cc’\gamma-mm’\alpha-mc’\beta-m’c\beta’$

les coefficiens, \’etant des quantit\’es positives.
Le premier sera indep\’endent de la nature de $m$ et de celle de $m’$ , le seconde d\’ependra de l’uneet de 1‘autre, le triosi\’eme ne d\’ependra que de la nature de $m$ , et le quatri\’eme de celle de $m’$ .
$\gamma,$$\alpha,$$\beta,$$\beta’$.

Poisson reduces the last three terms of (8) to one term:
En r\’eumissante ces trois derniers termes en un seul, on pourra \’ecrire la valeur deforme :..

$R$

sous la$R=Fr-fr$
Chacune des deux fonctions $Fr$ et $fr$ n’aura que des positives;
et si 1‘on fait abstraction de 1‘attraction en raison inverse du carr\’e des distances, qui n’aucune
influence sensible sur les ph\’enom\‘enes d\’ependans de la force moleculaire proprement dite, cesvaleurs d\’ecroitront tr\‘es rapidement sans alternative, \‘a mesure que la variable augmentera,
et elles deviendront insensibles pour toute valeur sensible de .
$et$

$r$

$r$

56

..

Pour une certaine valeur de cette distance, on pourra avoir $Fr=fr$ et $R=0$ ;le signe de sera diff\’erent en-deg\‘a et audel\‘a, soit que la r\’epulsion $Fr1$ ‘emporte ‘abord sur
1‘attraction $fr$ , soit que le contraire ait lieu \‘a 1‘\’egard de ces deux forces.
$d$

$R$

[26, pp.269-271]
Reducibility from sum into integral on a function made with attraction and $/or$ repulsion
We discuss whether the sum is reducible into integral or not. Poisson points out this problem. We use the,below according to the then generally descriptive style.
expressions:as follows :Poisson expresses the sum of the function$1|6.3$$\varphi 0\equiv\varphi(0),$$\varphi\epsilon\equiv\varphi(\epsilon),$$\varphi 2\epsilon\equiv\varphi(2\epsilon)$–$\varphi x$

Soit
une fonction donnee de la variable . Faisons croitre par des diff\’erences constantes
dont la grateur sera repr\’esent\’ee par ; supposons que les valeurs de s‘etendent depuis.
jusqu’a $x=\infty$ ; et par la somme des valeurs correspondantes de
$x$

$x$

$\varphi x$$x=\epsilon$

$x$

$p$

$\epsilon$$p$$\varphi x$$p= \sum_{x=i\epsilon,i\in N}^{\infty}\varphi x=\varphi\epsilon+\varphi 2\epsilon+\varphi 3\epsilon+\varphi 4\epsilon+\cdots$

Here, using the integral of the function$\varphi x$.

, Poisson says,$\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi 0$

will become an approximate value of sum of the function$\varphi x$, which is expressed in (11).

$\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$We

. here is the point of Poisson‘s Note, then we cite from his original:$t1\dot{u}n1_{\backslash }$, sera ume valeur $approach’ae$ de la somme
par etde‘int\’egrale; et l’on a vu, dans mon M\’emoire sur Calcul $num\epsilon’rique$ des Int\’e grales $k’fines^{10}$ , que la diff\’erence deces deux quantit\’es peut s‘exprimer Par une autre int\’egrale d\’efinie, de sorte que 1‘on aura exactement(9). [26, p.278]$L$$\int_{0}^{\infty}\varphi xdx,$$diVis\mathfrak{X}$$diminu\mathfrak{X}$$\epsilon$$\frac{1}{2}\varphi 0$$p$を引いた値は総和 の近似値となる。 これについては私で割った積分値(x) 血からの論文” $Cdcul\cdots$ ” $(footnote10)$ に書いたが、 これらの二つの値の崖が別の定積分で表される、 そのため正確に (9) 式となる。
[26, P278]$\epsilon$$\int_{0}^{\infty}$$p$$\frac{1}{2}\varphi(0)$$\varphi$

We show the difference of integral from sum as following :$p= \frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi 0+\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}$Here,$\frac{2}{\epsilon}$coe$\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$

(9).

is necessary for adjustment of the series (11). We use a known result:$1+ \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots=\frac{\pi^{2}}{6}$$a \equiv\frac{1}{2\pi^{2}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{12}$,$a’ \equiv\frac{1}{8\pi^{4}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{720}$,,$a” \equiv\frac{1}{32\pi^{6}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{6}}=\frac{1}{30240},$$\cdots$.

$i\in N$

Here, we consider the following description:$p= \frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx-\frac{1}{2}\varphi-a\epsilon\varphi’+a’\epsilon^{3}\varphi’’’-a’’\epsilon^{5}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}+\cdots$

.

(10)

where by applying integration by parts to the second integral in (9), we get the series of tems having both evenpower of and odd differential of . This means that according to Poisson:$\epsilon$$\varphi x$

Par le proc\’ed\’e de 1‘int\’egration par partie, on r\’eduira la second int\’egrale contenue cette formule, en une s\’erie
suivant les puissances paires de , dont les coefficiens renfermeront les, relatives aux deux values extr\’emes de .
diff\’erentielles impaires de$ordom\mathfrak{X}$$\epsilon$$\varphi x$$1Tome$ VI des Nouveaux Memoires de $lA\infty\alpha mie$ des Sciences, 1827, pp.571-604.

$x$

57
Namely, if $mod (i, 2)=1,$$(i\in \mathbb{N})$$\frac{2}{\epsilon}l_{0}^{\infty}[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}]\varphi xdx$

, for$cos\frac{1}{2}i\pi=0$, then the second integral in (9) is developed as follows:$=$$\frac{2}{\epsilon}[\frac{\epsilon}{2i\pi x}\sum\sin\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi x]_{0}^{\infty}-\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\frac{\epsilon}{2i\pi x}\sum\sin\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi’xdx$$=$$\frac{2}{\epsilon}[(\frac{\epsilon}{2i\pi x})^{2}\sum\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi’x]_{0}^{\infty}-\frac{2}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}(\frac{\epsilon}{2i\pi x})^{2}\sum\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}\varphi’’xdx$

$=$

$=$

$\frac{2}{\epsilon}(-\frac{\epsilon^{2}\varphi’}{(2\pi)^{2}}\sum\frac{1}{i^{2}}+\frac{\epsilon^{4}\varphi’’}{(2\pi)^{4}}\sum\frac{1}{i^{4}}-\frac{\epsilon^{6}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}}{(2\pi)^{6}}\sum\frac{1}{i^{6}}+\cdots)$$=$$-a\epsilon\varphi’+a’\epsilon^{3}\varphi’’’-a’’\epsilon^{5}\varphi^{\prime\prime\prime\prime\prime}+\cdots$

.

(11)

$a’,$ $a”$ are thewheresame coefficients as (10). In the two limit value $x=\infty$ and $x=0$ , it reserves only theterm at lower limit $x=0$ of the third terms in (10). Because

.
.

$a,$

this function$\varphi’,$$\varphi,$$\varphi’’,$$\varphi x$$\cdots$

and all the differential coefficients evaporate at $x=\infty$

are the values of$\varphi x,$$-dPd^{\frac{x}{x}},$$\neg d^{2}\varphi xdx-,$$\cdots$

which correspond to that at $x=0$ .

In this paper, Poisson asserted that in a singular case using integral, all the terms in (10) evaporate except for
top two terms, then we must use sum (9) as follows :De plus, \‘a quelque terme que 1‘on arr\^ete la s\’erie (10), le reste qu’il faudra ajouter pour avoir lavaleur exacte de , sera exprim\’e par une int\’egrale d\’efinie, dont la valeur changera
d’unterme \‘al‘autre, et dont on pourra assigner des limites qui feront conna\^itre si la s\’erie est convergente.
Dans le M\’emoire cit\’e, $j’ ai$ examin\’e en d\’etail le cas singulier ol\‘i le rest est constant, et o\‘u les termesde la s\’erie (10)tous, except\’e les deux premiers; ce qui oblige de recourir \‘a 1‘\’equation(9) pour calculer Ia valeuer de .
$y$

$p$

$g\acute{e}\mathfrak{X}ralement$$\underline{s’ evanouissent}$$p$

Poisson asserted also that :En g\’eneral, si 1‘on prend pourune fonction du genre de celles qui varient tr\‘es rapidment
et sont insensibles d\’es que la variable a aquis une grandeur sensible, les quantit\’es ;seront toutes du m\^eme ordre de grandeur;pour que la se’rie des produits :,, et, \‘a plus forte raison, la s\’erie (10), soient tr\‘es rapidment d\’ecroissantes,
il suffira donc que soit tr\‘es petite, eu \’egard \‘a l’etendue des valeurs sensibles de;et, dans cette hypoth\‘eese, la seconde integrale que contient la formule (9) sera toujours unequantit\’e extr\^emement petite,-soit qu‘elle se d\’eveloppe en s\’erie suivant les puissances de ,-soit que ce d\’eveloppement n’ait pas lieu, \‘a cause que toutes les quantitee,sont \’egales \‘a zero.
$e$$\varphi x$.
.

$\varphi x,$$\varphi,$$x_{d^{\frac{x}{x}}}^{d_{B}},$$x^{2} \frac{d^{2}\varphi x}{dx^{2}},$$\epsilon^{2}\varphi’’,$$\epsilon\varphi’,$$\epsilon^{3}\varphi’’’$$x^{3} \frac{d^{3}\varphi x}{dx^{3}},$$\cdots$$\cdot\cdot\cdot$$\epsilon$$\varphi x$$\epsilon$$\varphi’,$

Reducible examples of sum transformable into integral We suppose
constants.
$\dagger\lceil 6.4$.

by putting$\epsilon\equiv\beta\alpha$$c’,$$\alpha,$$\alpha’,$$\varphi’’’,$$\cdots$$\cdots$are positive

ユ$\varphi x=ce^{-}$$\Rightarrow$, then (10) becomes(12)$p=c( \frac{1}{\beta}-\frac{1}{2}+a\beta-a’\beta^{3}+a’’\beta^{5}-\cdots.)$and supposing that$\beta$were an infinitesimal ffaction, then(13)

$p= \frac{c}{\beta}=\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$$\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$

$c,$$\varphi’’,$is the first term of (12), then sum equals to integral.

.

$\varphi x=ce^{-\pi_{a}}x^{2}$$\Rightarrow(\varphi x)’=c(-\frac{2x}{\alpha^{2}})e^{-\frac{x}{\alpha}\tau}2$$( \varphi x)’’=c[-\frac{2}{\alpha^{2}}+(-\frac{2x}{\alpha^{2}})^{2}]e^{-\fallingdotseq_{a}^{2}}$$\Rightarrow\varphi’=0$$\Rightarrow\varphi’’=-c(\frac{2}{\alpha^{2}})$

,

,

58
,

$( \varphi x)’’’=c[(-\frac{2}{\alpha^{2}})(-\frac{2x}{\alpha^{2}})+(-\frac{2x}{\alpha^{2}})^{3}]e^{-\frac{x}{a}\tau^{2}}\Rightarrow\varphi’’’=0$$( \varphi x)^{(4)}=c[(-\frac{2}{\alpha^{2}})^{2}+3(-\frac{2}{\alpha^{2}})(-\frac{2x}{\alpha^{2}})^{2}+(-\frac{2x}{\alpha^{2}})^{4}]e^{-\frac{x}{a}\tau}2\Rightarrow\varphi^{(4)}=c(-\frac{2}{\alpha^{2}})^{2}$

Then, in general:$\{\begin{array}{l}mod (n, 2)=0, (n\in N) \varphi^{(n)}=c(-\overline{\alpha}27)^{(n-2)}mod (n, 2)=1, (n\in N) \varphi^{(n)}=0\end{array}$Thus, all the derivatives of odd times become $(\varphi x)’=(\varphi x)’’’=(\varphi x)^{(5)}=0$, we can’t get the developing seriesof sum by second integral in (9), into the series of the power of , however, (Poisson descrived simply) if we
put$\epsilon$$\int_{0^{e^{-\frac{x}{\alpha}\sigma}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}dx\equiv\frac{1}{2}\alpha\sqrt{\pi}e^{-(\frac{2:\pi\alpha}{e})^{2}}}}^{\infty_{2}}$Correctly, according to (9),$\int_{0}^{\infty}e^{-z_{T}^{2}}a[\sum_{i=1}^{\infty}\cos\frac{2i\pi x}{\epsilon}]dx\equiv\frac{1}{2}\alpha\sqrt{\tau_{1}}e^{-(Larrow)^{2}}:\pi$then, by putting
$p=$
$=$

As

an

$\frac{2\pi\alpha}{\epsilon}\equiv\gamma,$(9) becomes as following:$c( \frac{\alpha\sqrt{\pi}}{2\epsilon}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{\prime\prime\tau}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-=ra}*+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-4(^{\simeq_{\epsilon}})^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}(\frac{2\pi\alpha}{\epsilon})e^{-9(^{=\pi\alpha})^{3}}\iota-\cdots)$(14)$\frac{c}{2\sqrt{\pi}}(\frac{\gamma}{2}-\sqrt{}+\gamma e^{-\gamma}-\gamma^{-4\gamma^{2}}+\gamma e^{-9\gamma^{3}}-\cdots)$

is a big number in the hypothesis of very small in comparison with , this series will converge extremely,
after the third terms are completely insensible. By the comparison of the first term with the second :, we can neglect the second term, then$\alpha$$\epsilon$$\gamma$$\frac{c}{2}(\frac{\sqrt{\pi}a}{\epsilon}-1)>>0$$p= \frac{c}{2\sqrt{\pi}}\frac{2\pi\alpha}{2\epsilon}=\frac{c\alpha\sqrt{\pi}}{2\epsilon}=\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$

is the $f_{irst}$
term of (14), then sum equals to integral.
1 Here, Poissonsummerizes these two examples :$\int_{0}^{\infty}\varphi xdx$

Ces deux examples suffisent pour montre que quand on supposose 1‘intervalle des valeurs suc, la somme secussives de extr\‘ement petit par rapport \‘a l’\’etendue des valeurs sensibles desne sera compos\’e que une ‘un seultransformera en une int\’egrale divisee par , touts les fois queterme, ou de plusieurs terms de m\^eme sign; mais cela n’aura par toujours lieu, lorsque cette fonction
sera composee de deux parties, des contraires.
$\epsilon$

$x$

..

$d$

$\varphi x$$\epsilon$$\eta 6.5$

$p$$\varphi x$

Poisson puts the cases of the irre-

Irreducible examples of sum intransformable into integral

ducible functions as followings:

the
the

$\varphi x$$\varphi x$

is not composed of only one term
is composed of the plural terms having inverse signes

At first, we consider the first pair of.

Because the value of
Next, if.

$\varphi x$$\varphi x$

with term having inverse signes.

$\varphi x=ce^{-\frac{x}{\alpha}}-c’e^{-\neg_{\circ}^{l}}$$\varphi x$,$\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=\frac{c\alpha}{\epsilon}-\frac{d\alpha’}{\epsilon}$

were comparable and more than$\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx,$$\varphi=c-c’$

term.
(10) does not reduce into the $f_{irst}$

evaporates with , then$x$$\varphi x=(ce^{-\frac{x}{\alpha}}-C^{;_{e^{-\neg}}^{x}}\alpha)X$,$\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=\frac{c\alpha^{2}}{\epsilon}-\frac{c’\alpha^{;2}}{\epsilon}$$\varphi=0$,$\varphi’=c-c’$59
Poisson says: this sample function may be the third term of (10), viz.,, which will become comparable
or superior to the first term, while the coefficients and are almost in the ratio of the inverse squared of$-ae\varphi’$

$c$

and

$\frac{\alpha’}{\epsilon}$$c’$$\frac{\alpha}{\epsilon}$.

At last, we consider more complicated pair ofcapable of becoming greater than we expect.

.

with term having inverse signes. We suppose is a cofficient$\varphi x=b(\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{a}}-\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{\alpha’}})$The series (10) reduces to the second term,.

$\varphi x$$\frac{1}{2}\varphi$$b$$\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=b(1-1)=0$.

$\varphi x=bx(\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{a}}-\frac{\epsilon}{\alpha}e^{-\frac{x}{a’}})$$\Rightarrow\frac{1}{\epsilon}\int_{0}^{\infty}\varphi xdx=b(1-1)=0$

The series (10) does not reduce, because all the terms are not comparable with the first term, then sum does
not equal to integral. These examples are also irreducible types from sum into integral. How would Navier
think this reason, if he had read this note ?
$\dagger|6.6$$x\varphi x$

Conclusions by Poisson Poisson concludes the difference of reducibility to integral between$\varphi x$

as follows :andJe conclus de l\‘a, conform\’ement \‘a ce qui a \’et\’e dit dans le no. 13,il que.

$0$quand la somme des valeursint\’egrale d\’efinie,$d$‘une fonction de la nature deil ‘est point \‘a craindre que la somme des valeurs de‘exception. [26, p.282]$n$$x\varphi x$$\varphi xn$‘est pas r\’eductible \‘a une

tombe en m\^eme temps dans ce cas$d$Poisson described previously this theme in the article no.31 of text. We cite this paragraphs itemizing andcomparing two items as follows :Mais cette nouvelle difficult\’e n’a plus lieu, si, comme on l’a dit tout \‘a 1‘heure, l’action $mol\mathfrak{X}ulaire$
provient de deux forces contraires, dont chacune est extr\’emement grand, eu \’egard \‘a leur diff\’erence;circonstance qui peut rendre la guantit\’e $\sum rR$ comparable et m\^eme sup\’erieure \‘a R.
Toutefois,

..
..

-

$\sum$

la somme $\sum R$ \’etant irreductible, ‘apr\‘es cette circonstance m\^eme, \‘a une int\’egrale,
il n’en faut pas conclure que la m\^eme chose aura \’egalement lieu pour la somme $\sum rR$ .
$d$

On se convaincra sans peine du contraire par des exemples auxquels on appliquera la formule ‘Euler,
relative \‘a ce genre de r\’eductions, et qui montreront que
si la premiere somme est irreductible par nature de la fonction ,et malgr\’e la petitesse des diff\’erences de , la second ne le sera pas en g\’en\’erel.
$d$

$R$

$r$

Quant \‘a la‘o\‘u d\’epend la pression sur la plan, et qui fait exception \‘a la r\‘egle g\’en\’erale,-\‘a-dire qui ‘est pas r\’eductible \‘a une int\’egrale, il nous suffira ‘-avoir expliqu\’e comment ellepeut varier, suivant un rapport quelconque, pour des variations tr\‘es petite dans les intervalles moleculaires, provenant du degr\’e de condensation du liquide. [26, pp.30-31]$\underline{somme}d$$c’ est$$d$$n$Here, Poisson‘s conclusions are two points as followings ; $\sum R$ is irreducible into integral, however, $\sum rR$ isreducible into integral, although the differential of is small, because the nature of function $R$ , which express
the microscopically descriptive actions of molecules, such as attraction and $/or$ repulsion.
$r$.

\S 7. Conclusions Navier describes about what he really means of null of molecular action in nature in $N9-12$ .
Poisson summarizes his idea from the mathematical viewpoint as follows :級数 (10) を打ち切るいずれかの項で$p$の正確な値を得るために加える剰余項は定積分で表せる。 この定積分の値は一般的に項によって変化するし、その級数が収束しているかどうかを知る極限を割り当てることが出来るものである。 この論文では、$p$の計算で．剰余が定数になる場合や、．級数 (10) が最初の 2 項を除いてゼロになの値を得るために式 (10) に訴えねばならない。 (The Note)の大きな値の範囲に比べて極めて微小な の連続した値の区間 を想定する時、が単項だけで出来ている、． が同じ符号を持つ多項からなっている等の時はいつでも総和 が で割ったある積分に変換される事を示すのに十分である。 しかし、 これはこの関数が逆の符号を持つ 2 つの部分で出来る場合等の特異な場合を詳細に調べた。 これには、これらの 2 つの例は$\varphi(x)$11 [26, pp.30-31]$\varphi(x)$

$p$

$x$

$\varphi(x)$$\epsilon$$p$$\epsilon$

60
Table 1: The kinetic equations of the hydrodynamics until the “Navier-Stokes equations” were fixed. (Rem.
hydrodynamics, $N$ under entry-no: non-linear, gr.dv: grad.div,
in fluid.
in elastic,
The group of entry 5,6 and 7 show $F=3$ in fluid.
: tensor function with the main axis (the normal stress)of the Laplacian.)$HD$ :$E: \frac{\Delta}{gr.dv}$$F: \frac{\Delta}{gr.dv}$$\Delta$ている場合は常には成り立たない。 (1 乳 Note)[$26$ , pp.30-31] and $\sum R’[26, p.68]$ , in which he
Poisson doesn’t use at all of sum except for $\sum R,$
explains the mathematical exceptions, as well as in The No $te$ , however, in the parent part to The Note [26], he
isn necessary for using of sum instead of integral, and uses the ordinary deduction of the hydrostatic equations$e$$\frac{1}{h}\sum rR$$t$

as follows :Quant \‘a la somme ‘o\‘u d\’epend la pression sur un plan, et qui fait exception \‘a la r\‘egle g\’en\’erale,-\‘a-dire qui
pas r\’educible \‘a une int\’egrale, il nous suffira ‘avoir expliqu\’e comment elSepeut varier, suivant un rapport quelconque, pour des variations tr\‘es petites dans les intervallesmol\’eculaires, provenant du degr\’e de condensation du liquide. Nous n’aurons pas besoin ‘en calculer\‘ala valuer; elle d\’ependra de la pression ext\’erieure, de la pesanteur et des autres forces donn\’eesqui agissent sur le liquide; et son expression en fonction des coordin\’ees ‘un point quelconque, sed\’eduira, comme de coutoume, des \’equations de 1‘Hydrostatique.[26, p.31,713.]$d$$c’ est$$d$$n^{)}est$$d$$prop_{7}\dot{n}$$d$

In a word, we can conclude that Poisson choices sum or integral as the case may be of the material, after enoughaltemative. Navier passesd away in 1836, and we don know whether he had checked Poisson’s Note, which was
issued in 1831. Poisson passed away in 1840. The Navier-Stokes equations was fixed until 1934, which is citedby a textbook by Prandtl. (cf. Table 1, entry no. 7. For further particulars, cf. [10].) There are disputes ofsorts such as with Navier [14, 15, 16], with Fresnel, or about the application of algebraic root to transcendental
equations with Fourier [24, 6, 7, 8], however, at any rate, we should evaluate his uniqueness and rigorousness of
integral method.
$t$61
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Navier[13], 99-107).
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physique ofDenis Poisson: The evoluhon and isolation in France of his approach$2t9V:299-320,V.321-342,VI:343-367,$ $29-1(19S3VII:37-51,VIII:53-72,IX:73-94,29-4\}_{19S4}^{1983}l_{X:2S7-307}^{I:II:267-2S7}$ , III:289$m\acute{\epsilon}canique$$Sim\acute{\epsilon}on$[3] A.L.Cauchy, Sur l’equilibre et le mouvement d’un syst\‘eme de points matereels sollicites par des forces d’attraction ou
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[14] C.L.M.H.Navier, Remarques sur l’Artcle de M.Poisson, insere dans le Cahier d’aout, page 435, Annales de chimie
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(Lu: 19/juillet/l8l9. )[18] 8.D.Poisson, Memoire sur l’equilibre et le Mouvement des Corps elastiques, Annales de chimie et de physique,37(1828), 337-355. (Lu: $14/apr/1828$ . This is an extract from [21])[19] S.D.Poisson, Response \‘a une Note de M. Navier
dans le demier Cahier de ce Joumal, Annales de chimie etde physique, 38(1828), 435-440.
[20] S.D.Poisson, Lettre de M. Poisson \‘a M. Arago, Annales de chimie et de physique, 39(1828), 20 $*$ 211.
[21] S.D.Poisson, Memoire surquilibre et le Mouvement des Corps elastiques, M\’emoires de l’Academie royale desSiences, 8(lS29), 357-570, $(Lu : 14/apr/1828. )arrow$ http://gallica.bnf. $fr/ark:/12148/bpt6k3223j$[22] S.D.Poisson, Addition au M\’emoire sur l’equilibre et le mouvement des corps, inser\’e dans ce volume, M\’emoires de1‘Academie royale des Siences, 8(1829), 623-27. $(Lu: 14/apr/1828. )arrow$ http://gallica.bnf.fr/ark: $/12148/bpt6k3223j$[23] S.D.Poisson, Memoire sur \’E quilibre fiuides, M\’emoires de 1‘Academie royale des Siences, 9(1830), 1-88. (Lu :$24/nov/1828$ . $)arrow$ http: //gallica. bnf.fr $/ark:/12148/bpt6k3224v$[24] S.D.Poisson, Note sur les racines des equations tmnscendentes, M\’emoires de 1‘Academie royale des Siences, 9(1830),
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Reprint Corporation, New York and London, 1966, Mathematical and physical papers 1, 1966, 75-129, Cambridge.
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Remark: we use $Lu$ (: in FYench) in the bibliography meaning “read“ date by the referees of the journals, for exampleMAS.