両端で水平に弾性支持された平面アーチ状鋼構造の弾塑性座屈荷重評価
加藤史郎 *1
樋口直也 *2
中澤祥二 *3
吉野達矢 *4
小田憲史 *5
梗

概本研究では、弾性支持されたアーチの弾塑性座屈荷重の評価方法を提案する。評価の手順は以下のようになる。
(1) FEM 線形座屈解析から線形座屈荷重を算出する。ここでは、線形座屈荷重の略算法も提案する。(2) 形状初期
不整敏感性を考慮したアーチの弾性座屈の結果に基づいて、弾性座屈のための妥当なノックダウンファクターを設定する。(3) 座屈を評価するのに最も適切な部材を特定部材 (m)とする。(4)特定部材 (m) の弾性座屈軸力を基本に正規化細長比を定める。(5) この正規化細長比を用いて柱の座屈強度を求め、これを基本にしてアーチの弾塑性座
屈荷重を算定する。この一連の評価方法で得られる弾塑性座屈荷重の精度を検討し、方法の有効性を示す。
1. はじめに考慮したアーチの断面算定法の有効性を検討する。

骨組膜構造では、膜を支える構造がアーチ状の骨組の場合が多い。このアーチ状の骨組は、鋼などの細い線材で構成さ

2. 対象とする構造モデル

れているため、むくり度合いや部材特性の組み合わせによっ

2.1 アーチの半開角、部材細長比ては座屈が現れる。橋梁分野ではピン支持アーチの耐荷力に対象モデルは、図 1 に示すような下部構造を RC 柱等の弾関する研究 1,2)が蓄積されてきたが、建築構造分野、特に骨組性支持構造によって支えられた部分円弧の平面アーチである。

膜構造分野に関しては、
しばしば使用されるにもかかわらず、上部構造である部分円弧アーチは、21 個の直線部材で近似す

設計的な検討が殆ど進んでいない 3,4)。また、骨組膜構造の支る。また、アーチの弧長は任意でよいが、ここでは例として持条件としては、
上部構造であるアーチを下部構造であるRC

40[m]（l0=20[m]）を仮定する。全体形状に関するパラメータ

柱などで支える場合が多く、アーチの座屈に及ぼす下部構造としてアーチの半開角φ0 を採用し、表 1 に示すように 20[°]の影響が想定されるにも関わらず、この影響も検討されていから 5[°]毎に 40[°]までとした。なお、要素部材長は、l=2.0 [m]ない。

とし両端部材のみ l/2=1.0 [m]とした。また、下部構造は、弾そこで本研究では、下部構造の剛性を考慮でき、かつ、簡易な解析でアーチの座屈荷重を推定する方法を検討するため、性支持ばねに置換する。弾性支持水平剛性を kH として、その影響を考慮する。

両端弾性支持されたアーチの座屈を分析する。弾性支持され部材は 、 全長に わ た り 一様な 鋼管（ 弾性係数 E=205

たアーチを対象として、むくり度合い、部材特性、下部構造[kN/mm2]、降伏応力度はσy=235[N/mm2]）を想定し、節点はの水平支持剛性、積雪等による偏載荷重、および、施工によ剛接とする。部材の断面積は任意でよいが、解析例ではる形状初期不整を考慮して、座屈荷重を分析する。分析結果

A=10000[mm2]と一律とし、曲げ剛性についてはアーチ円弧のに基づいて特定部材の正規化細長比と柱の圧縮強度曲線を利

半分 l0 を近似的に座屈長さと設定し、次式の部材細長比λ0をパ用したアーチの弾塑性座屈荷重推定法 5,6)の適用性を検討し、ラメータとして採用する。部材細長比λ0は、表 2 に示すように 40

かつ、この圧縮強度曲線を利用して軸力と曲げモーメントをから 20 毎に 200 までを対象とした。

*1*2

豊橋技術科学大学建設工学系・教授, 工学博士
豊橋技術科学大学機械・構造システム工学専攻
大学院生・修士（工学）

*3
*4
*5

豊橋技術科学大学建設工学系・助教, 博士（工学）
太陽工業株式会社 技術研究所, 博士（工学）高知工業高等専門学校建設システム工学科, 工学博士

λ0 = l0 rg , rg = I y A(1)

ただし、rg は、部材の断面二次半径であり、降伏軸力 Ny、全l0Hz塑性モーメントMp、
管径d0 および管厚tは以下の式を用いる。
N y = A ⋅ σ y , M p = d 02 ⋅ t ⋅ σ y(2)

d 0 = 2 2 ⋅ l0 λ0 , t = A (π ⋅ d 0 )

(3)

L

kH

Z

φ0

R
X

CL

図 1 全体形状
表 1 全体形状諸元

2.2 弾性支持水平剛性の無次元化
図2に示すようにP =1で水平方向に載荷された両端ローラ

φ0 [deg.]

20

25

30

35

40

ー支持のアーチの変位δ0を求める。曲げ剛性のみで評価する

R [m]
L [m]
HZ [m]
l0[m]

57.3
39.2
3.5

45.8
38.7
4.3

38.2
38.2
5.1
20.0

32.7
37.6
5.9

28.6
36.8
6.7

と次式が得られる。
φ0

M ( φ ) ⋅ M (φ )

−φ0

EI

2 ⋅δ0 = ∫⋅ R ⋅ dφ(4)
表 2 部材細長比と管径

M は、P =1 による曲げモーメントである。

λ0

したがって、アーチの軸剛性 kA として、次式が定義できる。
k A = 1/(2δ 0 )

40

60

80

100 120 140 160 180 200

d0 [m] 1.41 0.94 0.71 0.57 0.47 0.40 0.35 0.31 0.28

(5)
δ0

なお、kA として次の値が得られる。
kA =

EI y
3
⎧
⎫
R 3 ⎨φ0 × ( 2 + cos 2φ0 ) − sin 2φ0 ⎬
2
⎩
⎭

P =1

(6)

Z

φ0
CL

X

図 2 アーチの水平方向剛性

弾性支持水平剛性を次式で無次元化し支持剛性倍率ξを採

β・P０

P０

用する。なお、kH は下部構造の弾性支持水平剛性である。

ξ = kH k A

P =1

φ

(7)

下部構造の kH は、RC 柱を想定しているためアーチの水平Z

CL

方向剛性 kA に比べてある程度大きなものになると仮定し、支X

図 3 荷重条件

持剛性倍率ξ は 6,7,10,15,20,30,60,100,∞を検討している。なお、

表 3 スパン L に対する初期不整量

ξ=∞はピン支持とする。また、本研究の準備計算において、当該アーチの線形座屈における１次モードが逆対称モードと

φ0 [deg.]

20

25

30

35

40

なる範囲は、ξ が 7 程度以上でると判断できたので、以下でL/1000 [mm]

39.19

38.74

38.20

37.56

36.83

2

2

の議論は、ξ が 10 以上の場合に限定する。
1.0

2.3 荷重条件、形状初期不整荷重分布として等分布と偏載を想定する。円弧アーチ部分の両端節点以外のすべての節点に載荷するものとし、座屈計

z

2

⎛ N ⎞
⎛ M ⎞ ⎛M ⎞+ ⎜ y ⎟ +⎜ Z ⎟ =1⎜⎜ N y ⎟⎟⎜ M yp ⎟ ⎜ M Zp ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠

0.8

y
弾塑性ばね

節点

x
弾性はり

剛域

0.6
0.4

算のための基本荷重として節点あたり P0=9.8[kN]を設定する。

0.2

評価方法の妥当性の検討で使用する非線形解析では、この荷0.0

重に比例した荷重を用いる。ここで、雪荷重を想定する偏載

N Ny

M Mp
0.0

図 4 両端ばねモデル

0.2

0.4

0.6

0.8

図 5 降伏曲面

1.0

は、図 3 に示すように偏載度βを採用し、偏載度β=1/3 を用い

4. 線形座屈荷重の略算法、
弾性座屈荷重推定のためのノックる。β=1.0 に対応する分布は、等分布荷重となる。

ダウンファクター

評価方法で必要となるノックダウンファクターを設定する

4.1 両端ピン支持の線形座屈荷重の評価 等分布荷重の場合

ため、完全形状（完全な部分円弧）だけではなく、形状初期等分布荷重を受ける両端ピン支持されたアーチの線形座屈不整のあるアーチについて座屈解析を実施する。形状初期不荷重の推定値 es Pcrlin( ∞ ) を略算法から求める。

整は、円弧アーチ部分の両端節点以外すべての節点に鉛直成

E.Hurlbrink9)によれば、等分布荷重を受ける円弧アーチの線分のみ導入し、分布形状は完全形状の一次の線形座屈モード

形座屈荷重 qcrlin は式(12)のように表される。ただし、単位長さと相似形とする。ただし、不整量は鉛直成分の最大値 wi0 が当たりの荷重である。

スパン L の 1/1000（表 3）となる形状初期不整量とする。

qcrlin =EI y ⎛ π 2
⎞
⋅
− 1⎟
3 ⎜ 2
R ⎝ φ0⎠(12)

3. 座屈解析法
3.1 線形座屈解析
ここで提案する評価方法では、
線形座屈荷重が必要となる。

また、円弧アーチの膜力の釣合式
N0
= q0
R

このための解析法として多くは、はり要素の線形剛性マトリより、式(14)が得られる。

ックス[KL]および幾何剛性マトリックス [KG]を利用した次の⎞N crlin EI y ⎛ π 2= 3 ⋅ ⎜ 2 − 1⎟ ；R
R ⎝ φ0⎠

一般固有値解析が使用される。評価方法の提案の過程で必要となる線形座屈において、本研究でもこの方法を使用して、線形座屈荷重と座屈モードを求める 7)。

N crlin =(13)

π 2 EI y ⎛ φ02 ⎞⋅ ⎜1 −⎟ (14)
R 2 ⋅ φ02 ⎝ π 2 ⎠本研究では、対象としている円弧アーチは扁平なものを想定しているため、(φ0/π)2 が 1 に比べ十分小さいので、式(15)[ K L ] − λ [ KG ] = 0
lin
cr

(8)

のように考えることが出来る。
N crlin =3.2 弾性座屈解析、弾塑性座屈解析

π 2 EI yl02(15)

本評価方法では直接には必要でないが、評価方法の妥当性

従って、扁平なアーチの単位長さ当たりの線形座屈荷重 es qcrlin

検討の過程で使用する座屈解析では、幾何学的非線形性と材は式(16)、1 節点当たりの線形座屈荷重は式(17)となる。式(17)

料学的非線形性を考慮する。数値解析 8)は、荷重-変位曲線のを用いることで等分布荷重を受ける扁平なアーチの線形座屈初期段階を荷重増分法、それ以降は変位増分法を用いる。弾荷重 es Pcrlin( ∞ ) を推定することが出来る。

性座屈荷重および弾塑性座屈荷重は、荷重-変位曲線の最初の極大点を採用した。
解析に用いる 1 要素を図 4 に示す。部材の両端に部材降伏

esqcrlin =1 π EI y
⋅ 2
R
l0

(16)

es

Pcrlin( ∞ ) = l × es qcrlin

(17)

2

を表現するばねを設定し、ばねの軸剛性 KAx および曲げ剛性
KBy, KBz は、式(9), (10), (11)に示す値を設定した。部材降伏後、式(17)で得られた線形座屈荷重 es Pcrlin( ∞ ) とマトリックス法の弾塑性ばねは、図 5 で示す降伏曲面を流動すると仮定する。

線形座屈解析により得られた線形座屈荷重 Pcrlin( ∞ ) を比較し、また、はり要素は弾性体と仮定し、部材両端の剛域長さはゼ

線形座屈荷重推定式の有用性を確認する。

ロとする。
なお下部構造の水平剛性は、弾性ばねで表現する。
E⋅A
K Ax = 1000 ⋅(9)l
K By = 1000 ⋅E ⋅ Iyl

E ⋅ IZK Bz = 1000 ⋅l(10)

図 6 に線形座屈解析より求めた線形座屈荷重 Pcrlin( ∞ ) と線形座
屈荷重推定式(17)による線形座屈荷重 es Pcrlin( ∞ ) の比を示す。平
均値μ=1.001、標準偏差σ=0.01であり、 es Pcrlin( ∞ ) には十分な推定精度がある。つまり、
es

(11)

Pcrlin( ∞ ) ≒ Pcrlin( ∞ )に等しいと言える。

(18)

4.2 両端ばね支持の線形座屈荷重の評価 等分布荷重の場合

1.2

Pcrlin( ∞ )esPcrlin( ∞ )μ = 1.001
σ = 0.010

等分布荷重を受ける両端ばね支持されたアーチの線形座屈1.1

荷重 es Pcrlin(ξ ) を推定する略算法を提案する。
等分布荷重を受ける両端ばね支持されたアーチに対して、半開角φ0、部材細長比λ0 を変化させマトリックス法で線形座

1.0
0.9

屈解析を進め、線形座屈荷重 Pcrlin(ξ ) を求める。 Pcrlin(ξ ) と等分布荷重を受ける両端ピン支持されたアーチの線形座屈荷重

λ0

0.8
20

40

60

Pcrlin( ∞ ) の比を図 7 に示す。横軸は、支持剛性倍率ξ である。

支持剛性倍率ξ が増大すると、座屈荷重は、両端ピン支持されたアーチに近づく。この傾向は、半開角φ0 や細長比λ0 に

80

100

120

140

160

180

200

220

図 6 線形座屈荷重推定式の検定
1.2

Pcrlin(ξ ) Pcrlin( ∞ )は殆ど無関係である。
そこで、支持剛性倍率ξ を 10 以上に制限し、最小二乗法で1.1近似する式(19)を求めた。
f (ξ ) =eslincr (ξ )Plin
cr ( ∞ )P=1
1 − 0.225 ⋅ e −0.047ξ

式(19)

(19)

ξ

1.0

Pcrlin( ∞ ) ≒ Pcrlin( ∞ ) が成り立つ場合、両端ピン支持されたアーチの線形座屈荷重推定式 (17)と式(19)より、両端弾性支持さ

0

Pcrlin(ξ ) = f (ξ ) ⋅ es Pcrlin( ∞ )

(20)

es

Pcrlin( ∞ ) = l ×

1 π EI y
⋅ 2
R
l0

(21)

40

60

80

100

120

図 7 座屈荷重比-支持剛性倍率関係 (等分布荷重)

れたアーチの線形座屈荷重 es Pcrlin(ξ ) の近似式(20)が得られる。
es

20

1.1

Pcrlin(ξ )esPcrlin(ξ )μ = 1.005
σ = 0.01721.0等分布荷重を受ける両端ばね支持されたアーチの線形座屈
荷重推定式である式(20)の有用性を確認するため、線形座屈解析により得られた線形座屈荷重 Pcrlin(ξ ) の es Pcrlin(ξ ) に対する比

ξ

0.9
0

を図 8 に、 Pcrlin(ξ ) の es Pcrlin( ∞ ) に対する比を図 9 に示す。

20

式(20)の十分な推定精度が確認できる。したがって等分布荷(20)が線形座屈荷重推定に使用できる。
また、図 9 から水平弾性支持とピン支持の線形座屈では、
座屈荷重にそれほど大きな差が無いことが理解できる。平均値μ=1.081、標準偏差σ=0.055 であり、式(20)ほど精度は高くないが、両端ばね支持されたアーチの線形座屈荷重として、ピン支持の線形座屈荷重を代用することが可能である。

60

80

100

120

図 8 線形座屈の推定式

図 8 において、平均値μ=1.005、標準偏差σ=0.017 であり、重を受ける扁平な両端弾性支持アーチの線形座屈荷重推定式

40

1.3

Pcrlin(ξ )esPcrlin( ∞ )μ = 1.081
σ = 0.055

1.2

1.1

1.0

ξ

0.9
0

20

40

60

80

図 9 線形座屈の推定式

100

120

4.3 形状初期不整のある弾性支持アーチの弾性座屈荷重とノッ
クダウンファクターα0(ξ )1.2

α 0(ξ )

μa = 0.838
σ a = 0.037

本評価法では、ノックダウンファクターが必要となる。座屈前の幾何学的非線形性や形状初期不整は座屈荷重に影響す1る。
弾性座屈荷重に与える初期不整の影響を定量化するため、ノックダウンファクターα0(ξ )を次のように定義する。ここで、
lincr (ξ )

P

0.8

は、形状初期不整の無いアーチが弾性支持された場合の線形座屈荷重、 Pcrel(ξ , imp ) は形状初期不整がある場合の座屈荷

20重である。なお、初期不整として表 3 の値を用いる。

α 0(ξ ) =Pcrel(ξ , imp )Pcrlin(ξ )

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

図 10 細長比-座屈低減係数の関係(等分布荷重, ξ =100)

(22)
1.2

図 10 は等分布荷重、図 11 は偏載荷重の場合であるが、支

λ0

0.6

α 0(ξ )

μa = 0.583
σ a = 0.019

1

持剛性倍率ξ =100 の初期不整導入アーチにおける細長比λ0 とα0(ξ )の関係を示している。なお、同じ細長比λ0 に対して半開角φ0=20～40 のアーチのα0(ξ )が示されている。細長比λ0=40 あたりでは、α0(ξ )がほかのものに比べやや低い値を示す傾向が見られるが、細長比λ0 の大小による変化は比較的少ない。ま

0.8
0.6

λ0

0.4
20

40

言える。一方、偏載荷重ではノックダウンファクターの値が1.2

図 12 は等分布荷重、図 13 は偏載荷重の場合であるが、半1.0

開角φ0=20 の初期不整導入アーチにおける支持剛性倍率ξと0.8

α0(ξ )の関係を示す。支持剛性倍率ξ が 40 から 20 に低下するに

0.6

つれ、α0(ξ )は曲線を描き低下している。これらから、半開角

0.4

φ0 や細長比λ0 の変化による座屈前の幾何学的非線形性に与える影響は小さいが、支持剛性倍率ξ による影響は大きいこと

お、安全側で評価するため、図 14 および表 4 に示すように

α 0(ξ ) = μα − 2σ α

(23)

140

160

180

200

220

λ0

200
⋅⋅
⋅
40

ξ

0.0
0

20

40

60

80

100

120

図 12 支持剛性倍率-座屈低減係数の関係(等分布荷重, φ0 =20°)

1.2

α 0(ξ )

1.0

λ0

0.8

200
⋅⋅
40

0.6
0.4

と、各支持剛性倍率での平均値μαから標準偏差σαの 2 倍を差0.2

し引いたものをノックダウンファクターα0(ξ )として用いる。

0.0

なお、
任意のξに関しては線形補間して値を定めるものとする。

120

0.2

クターの値が、等分布に比べ小さくなる傾向にある。

標準として扱うこととする。この理由は 5 節以降に示す。な100

α 0(ξ )

が理解できる。やはり、偏載荷重の方が、ノックダウンファ
ここでは、等分布荷重時のノックダウンファクターα0(ξ )を、80

図 11 細長比-座屈低減係数の関係(偏載荷重, ξ =100)

た、標準偏差σαは小さいことから半開角φ0 の影響も小さいと等分布荷重に比べ小さくなる傾向にある。

60

ξ
0

20

40

60

80

100

120

図 13 支持剛性倍率-座屈低減係数の関係(偏載荷重, φ0 =20°)

表 4 各支持剛性倍率ξ での座屈低減係数

4.4 等分布荷重を受ける形状初期不整のある弾性座屈荷重の近似的評価

4.1 節、4.2 節で両端ピン支持された円弧アーチ及び両端弾性支持された円弧アーチの線形座屈荷重の推定式を議論し、推定式(20)で線形座屈荷重が精度良く得られることがわかった。4.3 節では、座屈前の幾何学的非線形性や形状初期不整が座屈荷重に与える影響をノックダウンファクターα0(ξ )で評価した。したがって、これらを用いることで形状初期不整のあ

1.2

る等分布荷重に対するアーチの弾性座屈荷重が、式(24)で近Pcrel(ξ ) = α 0(ξ ) × f (ξ ) × l × R ×μα

σαα0(ξ )= μα-2σα

0.228
0.245
0.317
0.435
0.543
0.672
0.792
0.838
0.905

0.011
0.012
0.017
0.027
0.038
0.042
0.039
0.037
0.035

0.207
0.222
0.284
0.380
0.467
0.588
0.714
0.763
0.835

α 0( ξ )μξ

1.0

似的に評価できる。
es

ξ
6
7
10
15
20
30
60
100
∞

0.8

π EI
2

l 20

0.6

(24)

0.2

なお、1 次線形座屈モードが逆対象モードとなる場合について議論しており、ここでは、10≦ξとなる領域に限定する。

ξ

0.0
0

20

40

60

80

ほど大きな差はないため以降の議論では f (ξ)は 1.0 とする。

Initial yield(β =1/3, imperfect)A

φ0=30, λ0=100, ξ=100 のアーチについて、図 16.a、16.b にそ

Initial yield(β =1, perfect)

節点当たりの荷重）を受ける弾性、弾塑性の荷重-変位関係をA示す。注目節点は、アーチ頂部である図 15 の A 点とする。 Initial yield

屈荷重は、逆対称変形による分岐で決まり、98.7[kN]であり、形状初期不整があると弾性座屈荷重は、91.9[kN]まで低下する。この低減度合いについては、既に、4.3 節で触れ、評価式を与えた。
（ⅱ）一方、弾塑性座屈荷重においては、完全形状
アーチの 76.5[kN]に比べ形状初期不整導入アーチは、68.7[kN]まで低下させた。これは、形状初期不整導入アーチでは完全形状アーチに比べ曲げモーメントの値がやや大きく、部材の塑性化を早期化し、耐力を低下させるからである。
図 16.c、16.d は、φ0=30, λ0=100, ξ=100 のアーチが偏載荷重を受ける場合の結果である。完全形状と初期不整導入アーチの弾性、弾塑性の荷重-変位関係を示す。注目節点は、アーチ頂部である図 15 の A 点とする。（ⅰ）偏載荷重を受けるアーチの場合、弾性座屈荷重は、完全形状アーチと初期不整導入ア

Initial yield(β =1/3, perfect)

Initial yield(β =1, perfect)

れぞれ完全形状と初期不整導入アーチの等分布荷重（P は 1合である。
（ⅰ）等分布荷重を受ける完全形状アーチの弾性座

120

Initial yield(β =1, imperfect)

5.1 弾塑性座屈性状

なお、perfect と imperfect は形状初期不整がない場合とある場

100

図 14 支持剛性倍率-座屈低減係数の関係（等分布荷重；表 1,2 のすべてのモデル）

ただし、f (ξ)は、図 9 に示すようにピン支持においてもそれ

5. 弾塑性座屈性状および弾塑性座屈耐力の評価法の提案

μξ − 2σ ξ

0.4(β =1/3, imperfect)

CL
図 15 注目節点

Initial yield(β =1, imperfect)
Initial yield(β =1/3, perfect): 初期降伏部材と部材端ーチとも線形座屈荷重から低下するが、節点当たり P=95[kN]
前後とほとんど同じで、かつ、等分布荷重の座屈荷重とほぼ等しくなる。（ⅱ）一方、弾塑性座屈荷重においては、等分布荷重での完全形状アーチが 76.5[kN]であったのに比べ偏載荷重での完全形状アーチは 36.1[kN]と低い値を示している。また、等分布荷重での形状初期不整導入アーチが 68.7[kN]であったのに対して偏載荷重での形状初期不整導入アーチは 34.6[kN]と低下する。これは、偏載荷重では等分布荷重に比べ曲げモーメ
ントの値が大きく、主に曲げモーメントが部材の塑性化を早期化
し、耐力を低下させるからである。

P[kN]

250
250

200
200

el
cr ( ∞ )

P
150
150

250

Pcrlin( ∞ ) = 106.5
Pcrlin(ξ =100 ) = 108.4 200= 104.9el − plcr ( ∞ )P= 99.6elcr (ξ =100 )

P
100
100

elastic

Pcrel(−ξ pl=100 ) = 76.5

P

00

11

0.5
0.5

1.5
1.5

N Ny

1.01.0

0

0.5
0.5

11

ξ = 100
0
0.0

0.2
0.2

0.4
0.4

0.6
0.6

0.8
0.8

0

22

1.5
1.5

曲げモーメントの影響がやや大きい

ξ= ∞el − plcr (ξ =100 )P
00elastic= 38.3Pcrlin( ∞ ) = 159.7
Pcrlin(ξ =100 ) = 162.5

200

150

Pcrel( ∞ ) = 99.4

Pcrel(ξ =100 ) = 97.4
= 36.1
11

0.5
0.5

50

22

1.5
1.5

0

el − plcr (ξ =100 )

P
00

0.2

0.8

0.8

0.6

ξ= ∞

1 0.0
0
1.0

0.2
0.2

0.4
0.4

0.6
0.6

0.8
0.8

0.4

0.0

1
1.0

ξ = 10000.0(b) imperfect, 等分布荷重

0.2
0.2

0.4
0.4

0.6
0.6

0.0

0.8
0.8

δ ZA [m]

11

0.5
0.5

22

1.5
1.5

曲げモーメントの影響が大きい（但し、形状初期不整の影
響は現れにくい）ξ = 100

0.2

0.2

ξ = 100

0.0(a) perfect, 等分布荷重

1.0

0.4

Pcrel(ξ =100 ) = 95.4
= 34.6(d) imperfect, 偏載荷重

1.0

曲げモーメントの影響が大きい

elastic

Pcrel(−∞pl) = 36.6

100

0.6

0.4

0.20.2

P

100

50

0.6

0.40.4

Pcrel( ∞ ) = 101.5
el − plcr ( ∞ )単位：[kN]250= 159.7= 162.5(c) perfect, 偏載荷重(b) imperfect, 等分布荷重
図 16 P - δ Z 関係 (φ0=30, λ0=100)

曲げモーメントの0.8
影響は比較的小さい

0.60.6

P= 68.71.0

ξ=∞0.80.8elastic

Pcrel(ξ =100) = 91.9

22 00

P
P

150

= 97.5el − plcr (ξ =100 )lincr ( ∞ )lin
cr (ξ =100 )

200

=77.4
el
cr ( ∞ )50(a) perfect, 等分布荷重

00.0

P

100

50
50
00

el − plcr ( ∞ )150= 98.7250

Pcrlin( ∞ ) = 106.5
Pcrlin(ξ =100 ) = 108.411.0(c) perfect, 偏載荷重

ξ= ∞

M Mp
0
0.0

0.2
0.2

0.4
0.4

0.6
0.6

0.8
0.8

1
1.0

(d) imperfect, 偏載荷重

図 17 N - M 相関(φ0=30, λ0=100)
120120P[kN]
Initial yieldξ = 100

100100
8080
6060

100
80

4040

Initial yield
ξ= ∞
40

2020

20

00

50
50

120

Initial yieldξ = 10000

500 1000
1000 1500
500
1500

0

Initial yield
ξ= ∞2000 2500
2000
2500 0 0(a) perfect, 等分布荷重

500 1000
1000 1500
500
1500

50

Initial yield

40
40
ξ= ∞
30
30

60

P[kN]

20
20

Initial yield
ξ= ∞

30

Initial yieldξ = 100

Initial yieldξ = 100

20

10
10

00
2000 2500
2000
2500 0(b) imperfect, 等分布荷重

4010N [kN]

0

500
500

1000
1000 0 0(c) perfect, 偏載荷重

500
500

1000
1000

(d) imperfect, 偏載荷重

図 18 P - N 関係(φ0=30, λ0=100)
等分布荷重を受けるアーチに関して、図17.a、17.b に最初に全形状アーチと同じ線形的な N -M 相関を示しているが、やや塑性化する部材の N -M 相関、図 18.a，18.b に荷重－断面力

幾何非線形性が強くなり、また、曲げモーメントの発生も増大すの関係を示す。なお、最初に塑性化する部材は、図 15 のる。しかし、荷重・軸力、あるいは荷重・曲げモーメント関係は依Initial yield（ β =1,Imperfect）などに示しており、○印の点の然として線形性が強い。ただし、完全形状に比較して、やや早応力を用いている。（ⅰ）等分布荷重を受ける完全形状アーチ

期に部材降伏が発生する。

では、ある程度の値の曲げモーメントが発生するため、部材の（ⅲ）これらの傾向は、支持剛性倍率ξ=∞での両端ピン支持ア塑性化に曲げモーメントが関与する。しかし、部材の降伏に至るーチと比較すると、より強調される。

まで荷重・軸力、また、荷重・曲げモーメント関係はほぼ線形とな

偏載荷重を受けるアーチに関して、図 16.c、16.d に最初に塑る。

性化する部材の部材端の N -M 相関、図17.c，17.dに荷重ー断（ⅱ）一方、初期不整導入したアーチは、載荷初期ではほぼ完

面力の関係を示す。（ⅰ）偏載荷重を受ける完全形状アーチで

は載荷初期から降伏に至るまで大きく曲げの影響を受け、等分して特定部材(m)と定義する。

布荷重時とは異なり曲げが支配的となった。（ⅱ）ただし、荷重－断面力関係は、ほぼ線形性を保つ。（ⅲ）初期不整を導入し5.3 正規化細長比たアーチでは、ほぼ完全形状アーチと同じ N -M 相関を示して特定部材(m)に関して定める正規化細長比を用いて、弾性座

おり、弾塑性座屈荷重にも、両者の差は殆どなく、曲げモーメン

屈軸力あるいは弾塑性座屈軸力をまとめる。座屈前の幾何学的トの影響が大きく現れ、初期不整の影響はあるものの、弾塑性

非線形性や形状初期不整が座屈荷重に与える影響を考慮する

座屈荷重には直接現れない。（ⅳ）また、支持点における支持ために、マトリックス法から求める線形座屈軸力 N crlin( m ) に表 4 お

剛性の影響も大きく現れない。

よび式(23)に示すノックダウンファクターα0(ξ )を乗じて得られる弾これらのことを勘案すると、（ⅰ）偏載荷重の影響は、荷重－断性座屈応力度を用いて、特定部材(m)の正規化細長比 Λ e( m ) を面力関係に強く現れ、特に、曲げモーメントが大きく発生して部式(25)のように定義する。

材の塑性化が早められ耐力に至ることが理解できる。したがって、この影響は、軸力と曲げモーメントの強度相関で評価する必Λ e( m) =Nyα 0(ξ ) ⋅ N crlin( m )(25)

要がある。（ⅱ）また、等分布荷重時には、ある程度形状初期不整の影響が現れ、偏載荷重時においても形状初期不整の影響

5.4 弾性座屈軸力

は等分布荷重時とほぼ同程度にあると考えられる。しかし、偏載

図 19 は等分布荷重を受ける支持剛性倍率ξ =100 の両端弾荷重の影響がより大きく現れる。（ⅲ）したがって、耐力の評価に性支持アーチにおける弾性圧縮強度 N crel (ξ ) 、 N crel (ξ ,imp ) と正規あっては、幾何非線形による座屈軸力を適切に評価し、一方で、化細長比の関係を示す。N crel (ξ ) は完全形状の場合、N crel (ξ ,imp ) は

材料非線形では曲げモーメントと軸力の相関を適切に評価する

形状初期不整のある場合の結果であり、形状初期不整量は表ことが肝要であることが理解できる。

3 の値を用いた。図 20 は偏載荷重の場合の弾性座屈軸力である。なお、弾性座屈解析によって得られた弾性座屈荷重

5.2 特定部材
これまで述べてきたアーチの挙動では、特に、偏載荷重を受ける場合には曲げモーメントの影響が耐力に及ぼす効果がPcrel(ξ ,imp ) を用いて、部材軸力 N crel (ξ ,imp ) に次式で換算している。

同様に、5.5 節で用いる部材軸力 N crel (−ξpl,imp ) も同様の手順で算出している。

大きいことが判明しているので、これを考慮した耐力推定をまず議論すべきとも考えられる。しかし、ここでは、まず、

N crel (ξ ,imp ) =N 0 elN⋅ Pcr (ξ ,imp ) , N crel (−ξpl,imp ) = 0 ⋅ Pcrel(−ξ pl,imp )
P0
P0

(26)

曲げモーメントの影響が大きくないと仮定し、議論を進め、後ほど、曲げモーメントの影響を考慮することとする。
部分円弧アーチでは軸力はほぼ一様であるが、その中でも軸応力度が一番大きな部材があるはずであり、他の部材より

ここで P0 は節点荷重、N0 は特定部材の軸力であり、N0 はP0 に対して線形弾性解析から求めるものとする。
等分布荷重では完全形状アーチの弾性座屈軸力（図 19）は、早く塑性化する可能性が高いことが想定される。曲げモーメ

ほぼ、オイラー座屈曲線（1/ Λ e2( m ) ）に沿い、特に、形状初ントの影響が大きくない場合、あるいは、ドームのような場

期不整がある場合には1/ Λ e2( m ) でよく近似できている。偏載

合で殆ど曲げモーメントが小さい場合には、このような分析が従来からなされてきた。6,8)
そこで、この部材が耐力に至れば、アーチに荷重の増加は期待できないと考えると、アーチの耐力はこの部材が弾塑性
座屈軸力に至る荷重として推定できることになる。
本研究では、部分円弧アーチでのすべての圧縮部材 j のうち線形座屈解析から得られる線形座屈軸力 N crlin( j ) と降伏軸力

N y ( j ) の比が最大となる部材を、最も座屈に関係する部材と荷重では、完全形状の場合、形状初期不整のある場合はともに、同一の式1/ Λ e2( m ) でよく近似できている。このような性質は、ここで仮定した形状初期不整に関して、他のパラメー
タ（異なるξ、φ0、λ0）のアーチについても成立しており、弾el
性座屈軸力 N cr
として、N crel / N y = 1/ Λ e2( m ) が適用できることが理解できる。

N crel N y

9.0

9.0

：Perfect：Imperfect

8.0

7.0

6.0

6.0

1 Λ 2e( m)

4.0

3.0

3.0

修正 Dunkerley 式

Λ e( m )
1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

AIJ 基準式

1.0

0.0
0.5

修正 Dunkerley 式

2.0

AIJ 基準式

1.0

0.0

1 Λ 2e( m)

5.0

4.0

2.0

：Perfect：Imperfect

8.0

7.0

5.0

N crel N yΛ e( m )

0.0
0.0

3.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

図 20 正規化細長比-弾性圧縮強度の関係(偏載荷重, ξ =100, α 0(ξ ) =0.76)

図 19 正規化細長比-弾性圧縮強度の関係(等分布荷重, ξ =100, α 0(ξ ) =0.76)

N crel − pl N y

1.2

5.5 弾塑性座屈軸力（圧縮強度）とその評価法
図 21、22 にマトリックス解析から求めた部材座屈軸力

1.0

N crel (−ξpl) 、 N crel (−ξpl,imp ) を示す。 N crel (−ξpl) は完全形状、 N crel (−ξpl,imp ) は形

0.8

状初期不整のある場合である。ともに、式(26)で座屈荷重を0.6

部材軸力に換算したものである。なお、形状初期不整は表 30.4の値を用いた。

0.2

部材の座屈軸力の推定式として、連続体シェルを対象に検修正 Dunkerley 式

AIJ 基準式

0.0

討された経験式である式(27)の修正 Dunkerley 式 および、式

0.5

1.0

2.0

2.5

3.0

3.5

Λ e( m )N crel − pl N y

1.2

1 Λ 2e( m)2⎛N ⎞ ⎛N ⎞Λ e2( m ) ⋅ ⎜ cr ⎟ + ⎜ cr ⎟ = 1.0⎜ Ny ⎟ ⎜ Ny ⎟⎝⎠ ⎝⎠⎧1 − 0.24 ⋅ Λ⎪
4N cr ⎪⎪ 1 + ⋅ Λ e2( m )
=⎨
15
Ny ⎪
9
⎪
2
⋅
Λ
13
⎪⎩
e( m)

1.5

図 21 正規化細長比-弾塑性圧縮強度の関係(等分布荷重, ξ =100, α 0(ξ ) =0.76)(28)の日本建築学会鋼構造設計規準の短期許容圧縮応力度 10)2e( m )：Perfect：Imperfect

0.0

8)

（以下、AIJ 基準式）を採用する。

1 Λ 2e( m)(27)：Perfect：Imperfect

1.0
0.8

修正 Dunkerley 式

0.6

for

Λ e2( m ) ≤ 1

0.6

for

Λ e2( m ) ≥ 1

0.6

AIJ 基準式

0.4

(28)

0.2
0.0
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Λ e( m )図 22 正規化細長比-弾塑性圧縮強度の関係(偏載荷重, ξ =100, α 0(ξ ) =0.76)

λcr aλcrel − pl

図 21 の等分布荷重では、弾塑性座屈軸力（圧縮強度）は、式(27)、(28)でよく近似される。一方、偏載荷重の場合には、
図 22 に示すように弾塑性座屈軸力は修正 Dunkerley 式等を大きく下回る。この原因は、偏載荷重を受けるアーチでは部材に生ずる曲げモーメントにより早期に部材の降伏が生ずるか：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

3.0

2.4
2.0

らである。この点については、以下の方法で問題点の解消を

Λ e( m )

1.0

行う。

0

0.5

1.5

2

2.5

3

3.5

図 23 座屈耐力評価(等分布荷重, perfect, ξ =∞)5.6 許容座屈係数を用いた弾塑性座屈荷重の評価
曲げの影響を考慮した許容座屈係数を用いて弾塑性座屈荷重を評価する方法を議論し、以下に弾塑性座屈荷重の評価法
を示す。

1

4.0

λcr aλcrel − pl：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

まず、部材に軸力のみが作用するときの許容弾塑性座屈軸
力（圧縮強度） a N crel − pl 及び座屈応力度 aσ crel − pl を定めるため

3.0に修正 Dunkerley 式に安全率を導入した式(29)と式(28)の AIJ基準式を推定式として採用する。また、弾性座屈軸力 a N crel 及
び座屈応力度 aσ crel を定める式(30)として正規化細長比による

2.0

1.4
1.0
0

オイラーの座屈曲線を用いる。

0.5

Λ

⎛ F ⋅ a N crel − pl ⎞ ⎛ FSM ⋅ a N crel − pl ⎞⋅ ⎜ SB⎟⎟ + ⎜⎜⎟⎟ = 1.0
⎜
Ny
Ny
⎝
⎠ ⎝
⎠

Λ e2( m ) ⋅N crel
= 1.0
Ny

1.5

2

2.5

3

3.5

Λ e( m )図 24 座屈耐力評価(等分布荷重, imperfect, ξ =∞)

2

2
e( m)

1

(29)

λcr aλcrel − pl

a

(30)

4.0

ここで、FSB と FSM はそれぞれ、表 5 に示すものであり、弾

3.0：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

性座屈に対する安全率と材料に対する安全率である。FSB=2.50, FSM =1.75は、
Kollarらによって提案された値11)であり、AIJ（長期）と AIJ（短期）は学会式に準拠した許容応力度に対する安全率、そして、Ultimate の 1.00 は終局耐力に対する

2.0

1.4
0

0.5

1

1.5

力に対する安全率 1.0 のみについて行っている。
これらの許容弾性、弾塑性座屈軸力は特定部材(m)の正規化
4.0

λcr

a

λcrel − pl

表 5 安全率
FSB
FSM

Kollar2.50
1.75

AIJ(長期)
2.17
1.50

AIJ(短期)
1.44
1.00

Ultimate
1.00
1.00

2.5

3

3.5

：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

ての部材に適用する応力として採用する。各部材の基本荷重

P0 に対するアーチの許容座屈係数は式(31)を用いて求める。

2

図 25 座屈耐力評価(偏載荷重, perfect, ξ =∞)安全率 1.0 である。ただし、今回は、式(29)に関しては終局耐

細長比に基づき得られた値であるが、アーチを構成するすべΛ e( m )

1.0

3.0

2.0

1.3
1.0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

図 26 座屈耐力評価(偏載荷重, imperfect, ξ =∞)3.5

Λ e( m )軸力と曲げモーメントの強度相関式として式(31)の線形式
を用いれば、未知数である耐力係数 aλcrel − pl が簡単に求められる。
また、許容応力度設計等でしばしば利用される式であり、

λcr

4.0

a

λcrel − pl：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

3.0

実用的でもある。ここで、線形弾性解析により得られる基本
荷重 P0 を受ける両端弾性支持されたアーチ部分の曲げモー

2.1

2.0

メント M0(j)および軸力 N0(j)を用いる。
aλcrel − pl ⋅ N 0( j )Aeffc ( j ) ⋅ aσ crel − pla±Λ e( m )1.0

λcrel − pl ⋅ M 0( j )a el − pl⎛λcr ⋅ N 0( j ) ⎞⎟Z eff ( j ) ⋅ σ y ⋅ ⎜1 −⎜A( j ) ⋅ aσ crel ⎟⎠
⎝

= 1.0

0

(31)

ここで、本論では鋼管を想定しているので、有効断面積は

0.5

1

1.5

2

2.5

3.5

図 27 座屈耐力評価(等分布荷重, perfect, ξ =60)

λcr

4.0

a

λcrel − pl：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

Aeffc ( j ) = π ⋅ d 0 ⋅ t( j ) 、断面係数は Z eff ( j ) = π ⋅ d ⋅ t( j ) 4 である。
20

アーチ部分のすべての部材において式(31)で座屈荷重係数

33.0を計算した後、各部材の許容座屈係数から最小となるものを、
2.0

そのアーチの許容座屈係数として採用する。

1.9
1.0
0

5.7 弾塑性座屈荷重の評価

20、30、60、100、∞に対応して求める。結果を図 23 から図を省略する。それぞれ等分布荷重を受ける両端弾性支持アー

11.5

λcr aλcrel − pl

2.5

3

3.5

Λ e( m )：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

チおよび偏載荷重を受ける両端弾性支持アーチの許容座屈係数 aλcrel − pl と λcr の比を座屈耐力と示す。なお、形状初期不整2

図 28 座屈耐力評価(等分布荷重, imperfect, ξ =60)

式(31)に基づいて計算された値を、支持剛性倍率ξ ＝10、15、
38 に示す。なお、ξ =15,30,100 については、紙面の都合上図

0.5

3.0

量は、表 3 を導入している。ここで、 λcr は弾塑性座屈解析によって得られる弾塑性座屈荷重 Pcrel − pl より次式で求められ
る。

2.0

1.4

Λ e( m )1.0

P el − plλcr = cr
P0

0

(32)

0.5

1.5

2

2.5

3

3.5

図 29 座屈耐力評価(偏載荷重, perfect, ξ =60)

ここに示す座屈係数の比（＝ λcr / aλcrel − pl ）は、弾塑性座屈
荷重/許容座屈荷重を示し、部材断面の強度から定まる許容座
屈荷重に対する弾塑性座屈荷重の割合を示している。この値1λcr aλcrel − pl：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

がすべて 1.0 以上であることは、安全側に評価されていることを意味する。つまり、この比は、安全に対する余裕率と言い換えることが出来る。図 23 から図 38 によれば、すべてのケースが 1.0 を上回り安全に座屈荷重評価が出来ることを示す。例えば、ξ =∞（ピン支持）の場合、断面が式(31)と修正

Dunkerley 式で設計されたアーチにおいて正規化細長比がΛ e ( m ) =1.5 のとき、余裕率は、それぞれ等分布荷重で完全形

3.0

2.0

1.3
1.0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

図 30 座屈耐力評価(偏載荷重, imperfect, ξ =60)

3.5

Λ e( m )状の場合 2.4、形状初期不整がある場合 1.4、偏載荷重で完全形状の場合 1.4、形状初期不整の場合 1.3 程度の値となる。
雪荷重のような偏載荷重では、正規化細長比の値にかかわら

λcr aλcrel − pl：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

3.0

ず、1.3～1.4 程度の値となっている。これらの結果から、式(30)、(31)を基本に、式(29)あるいは式(28)を用いれば、安全2.0側に弾塑性座屈荷重（耐力）が推定できることが理解できる。
1.0
0

0.5

6. まとめ

1.5

2

を対象として座屈解析を行い、等分布荷重及び偏載荷重につ

λcr aλcrel − pl4.03Λ e( m )3.5：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

定する実用的な方法を示した。
ここで，得られる知見を以下に示す。

2.5

図 31 座屈耐力評価(等分布荷重, perfect, ξ =20)

両端で水平に弾性支持された鉛直荷重を受ける平面アーチ

いて座屈荷重を分析した。その結果に基づいて座屈荷重を推13.01) 等分布荷重に関して平面アーチ線形座屈荷重推定式を式(20)として提案した。線形座屈荷重推定式より得られた線

2.0

形座屈荷重と線形座屈解析により得られる線形座屈荷重を比較し，線形座屈荷重推定式が十分な精度で有用であるこ

1.0
0

0.5

とを示した。

1.5

的非線形性が座屈荷重に与える影響をノックダウンファク

λcr aλcrel − pl3) 平面アーチの線形座屈荷重推定式とノックダウンファク
ターα0(ξ )を用いることで、形状初期不整のある等分布荷重を受けるアーチの弾性座屈荷重推定式を式(24)として提案

33.5

Λ e( m )

3.0

2.0

1.6
1.0
0

した。

0.5

4) 等分布荷重を受ける支持剛性倍率ξ が極めて大きいアー

1

1.5

2

2.5

3

Λ e( m )3.5

図 33 座屈耐力評価(偏載荷重, perfect, ξ =20)

チの場合は軸力が支配的であるが、支持剛性倍率ξ が小さくなる場合や偏載荷重を受ける場合、部材の降伏は曲げモーメントの影響を大きく受けることを明らかにした。

2.5：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

ターα0(ξ )は、半開角φ0 や細長比λ0 の変化による影響は小さ
いが、支持剛性倍率ξ による影響が大きいことを示した。

2

図 32 座屈耐力評価(等分布荷重, imperfect, ξ =20)

2) 初期不整 L/1000 に対する弾性座屈解析を通して，幾何学
ターα0(ξ )として図 14 を提案した。このノックダウンファク

1

4.0

λcr aλcrel − pl：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

5) 特定部材の正規化細長比と修正 Dunkerley 式に基いた部材
座屈応力度を用いて、かつ、軸力と曲げモーメントを考慮に入れて座屈荷重評価法を提案した。この方法は、円弧アーチの座屈荷重を安全に精度よく評価できることを示した。
初期不整として wi0=L/1000 及び偏載荷重としてβ =1/3 のみ検討したにすぎないため、今後の検討課題として wi0=L/500,

wi0=L/300,β =1/2, β =0 など行う予定である。

3.0

2.0

1.5
1.0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

図 34 座屈耐力評価(偏載荷重, imperfect, ξ =20)

3.5

Λ e( m )λcr aλcrel − pl<付> 許容座屈係数を用いた弾塑性座屈荷重推定法の手順
これまでに半開角φ0（むくり度合い）、細長比λ0（部材特性）、下部構造の水平支持剛性ξ、荷重条件β、形状初期不整：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

3.0

wi0 を考慮した両端弾性支持されたアーチに対して許容座屈係数 aλcrel − pl を用いた弾塑性座屈荷重推定法が有用であるこ

2.0とを 5 章で確認した。そこで、以下に弾塑性座屈荷重推定のΛ e( m )1.0

手順をまとめておく。

0

両端弾性支持されたアーチ、半開角φ0 が 45 度程度以下、支

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

図 35 座屈耐力評価(等分布荷重, perfect, ξ =10)

持剛性倍率ξ が 10 以上、等分布荷重に加え、偏載荷重で曲げモーメントの影響を大きく受ける場合も対象とし、次の手順

λcr aλcrel − pl

で簡易的に弾塑性座屈荷重を推定する。
（ステップ１）まず、基本荷重 P0 を受ける両端弾性支持されたアーチの線形座屈解析を行い、アーチ部分の j 要素の部材：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

3.0の軸力 N0(j)および曲げモーメント M0(j)を求める。
（ステップ 2）等分布荷重について線形座屈解析を進め、軸力により他の部

2.0

材より早く塑性化する可能性の高い特定部材(m)を探し出し、この部材の弾性座屈軸力α0(ξ ) N crlin( m ) から正規化細長比 Λ e( m )

1.0
0

0.5

を定める。なお、表 4、式(23)よりノックダウンファクターaN crel − pl から座屈応力度 aσ crel − pl を求める。なお、弾塑性座屈

軸力 N
ael − plcr

1.5

λcr aλcrel − pl

2.5

3

3.5

Λ e( m )：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

4.0

は修正 Dunkerley 式に安全率を導入した式(29)もしくは、式(28)の AIJ 基準式より定め、弾性座屈軸力 a N crel は2

図 36 座屈耐力評価(等分布荷重, imperfect, ξ =10)α0(ξ )を用いる。
（ステップ 3）さらに、特定部材で定める許容
弾性座屈軸力 a N crel から座屈応力度 aσ crel を、弾塑性座屈軸力

13.0

式(30)のオイラー座屈曲線を用いる。ただし、特定部材(m)によって定められた弾性座屈軸力 a N crel 及び弾塑性座屈軸力a2.0

N crel − pl は、他の圧縮部材にも共通して適応する。
アーチ部分のすべての要素部材 j に対して式(31)で許容座

00.5

屈係数 aλcrel(−jpl) を計算する。なお、部材を鋼管と想定すると有Z eff ( j ) = π ⋅ d 02 ⋅ t( j ) 4 となる。aλcrel(−jpl) は、具体的には、次式を採用する。

λcrel(−jpl) ⋅ N 0( j )Aeffc ( j ) ⋅ aσ crel − pl4.0

λcrel(−jpl) ⋅ M 0( j )a±a el − pl⎛λcr ( j ) ⋅ N 0( j ) ⎞⎟Z eff ( j ) ⋅ σ y ⋅ ⎜1 −⎜A( j ) ⋅ aσ crel ⎠⎟⎝λel − plcr(g + g + g ) − (g + g + g ) − 4⋅ g ⋅ g

=

pl

el

m

pl

el

m

1.5

2

λcr aλcrel − plel

2 ⋅ g el ⋅ g pl

2.5

3

3.5

：Mod.Dunkerley Eq.
：AIJ Eq.

= 1.0
3.0

2.0

2

a

1

図 37 座屈耐力評価(偏載荷重, perfect, ξ =10)

効 断 面 積 は Aeffc ( j ) = π ⋅ d 0 ⋅ t( j ) 、 断 面 係 数 はaΛ e( m )

1.0

pl

(33)

1.7
1.0

g pl =

N 0( j )A effc ( j ) ⋅ aσ crel − pl， g el =N 0( j )A ( j ) ⋅ aσ crel

， gm =

M 0( j )Z eff ( j ) ⋅ σ y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

図 38 座屈耐力評価(偏載荷重, imperfect, ξ =10)

3.5

Λ e( m )各部材の許容座屈係数 aλcrel(−jpl) から最小となるものを、そのアーチの許容座屈係数 aλcrel − pl として採用し、設計荷重 P0 を乗
el − plcr

ずることで弾塑性座屈荷重 P
esaを推定することが出来る。

Pcrel − pl = aλcrel − pl ⋅ P0(34)3) 大石健次, 鈴木祥之：曲線材を含むラーメンの座屈,日本建築学会論文報告
集号外, 1967 年 10 月
4) 大石健次,：剛域を考慮した曲線材を含むラーメンの座屈, 日本建築学会学術講演梗概集（中国）, 1968 年 10 月
5) 今野 岳，山下 哲郎，加藤史郎，中澤 祥二，藤林 篤史，樋口 直也：面内
変形する円弧アーチの耐力評価法に関する一考察，日本建築学会大会学術講演

注) 対象とした構造モデルは、ほぼ現実的な規模の構成の立体アーチ状鋼構造 12）を基に設定したものである。本論文では平面アーチを対象にして弾塑性座屈荷重推定式を提案し精度良く座屈荷重を推定することができることを示したが、立体構成されたアーチ状鋼構造に対しても精度良く推定すると想定される。現在検討を進めており、別報で報告の予定である。

梗概集（九州），pp779-780，2007.8
6) 山下哲郎，加藤史郎：曲げを受ける柱の終局耐力式を用いた単層 2 方向格
子シェルの断面設計，日本建築学会構造系論文集，第 564 号，pp87-94，2003.2
7) 川井忠彦，藤田義信：有限要素法の基礎と応用シリーズ 11 座屈問題解析，
培風館，1991 年 3 月
8) 加藤史郎，金鍾敏，仁保裕：偏載荷重を受ける単層ラチスドームの座屈応

ノックダウンファクターは、形状初期不整や偏載荷重によって変化す

力度と座屈荷重に関する研究，日本建築学会構造系論文集，第 541 号，るので現実的な各種のパターンを検討する余地がある。ただし、本論文
pp.121-128，2001.3

で採用している形状初期不整量は、『建築鉄骨工事施工指針』13)に示されている製品精度の許容差（スパンLの1/1000）であること、積雪時の偏載の影響は部材に生じる曲げモーメントに含め弾塑性座屈荷重推定式

9) チモシェンコ，ギアー共著；長谷川節訳：弾性安定の理論，ブレイン図書
出版，1974
10) 日本建築学会：鋼構造設計基準，1973

で考慮しているため、提案した推定法、ノックダウンファクターの値は、
11) L Kollar and E Dulacska：Buckling of Shells for Engineers，John Wiley & Sons，国内で適用する場合には、妥当な方法と考えられる。
pp260-265，1984
12) 中澤祥二, 加藤史郎, 吉野達矢：限界耐力計算による骨組膜構造の応答評

参考文献

価 －シングルレイヤー屋根型シェルへの適応例－,膜構造研究論文集

1) 倉西正嗣, 仲威雄, 菅野誠, 平井敦, 吉識雅夫, 林毅：弾性安定要覧, （株）
2006,No.20,pp1-14,2007.3
コロナ社, 1969 年 8 月
2) 日本長柱研究委員会：HANDBOOK OF STRUCTURAL STABILITY, （株）

13) 社団法人 鋼材倶楽部建築鉄骨工事施工指針作成委員会：建築鉄骨工事施工指針( 改訂版 ),技報堂,1976.7

コロナ社, 1971 年 3 月

Evaluation of Buckling Strength of Elastically Supported Arches Based on Column Buckling Concept
Shiro KATO *1)
Naoya Higuchi *2)
Shoji NAKAZAWA *3)
Tatsuya YOSHINO *4)
Kenshi ODA *5)
SYNOPSIS
In the present paper, an effective approach is proposed to evaluate elasto-plastic buckling 1oads of elastically supported arches. The
approach is based on a concept of column buckling strength considering geometric imperfection sensitivity. The procedure is almost
similar to column buckling for tall buildings. Firstly, a linear buckling load is required. Secondly, an appropriate value for a knock down
factor for the elastic buckling is assumed considering the imperfection sensitivities. Thirdly, one member, called as a specific member (m),is selected as the most relevant to buckling. Fourthly, based on the elastic buckling axial force of the specific member (m), a generalized
slenderness is evaluated. The generalized slenderness is utilized to obtain the compressive strength, in other words, a concept for column
buckling strength is utilized in term of generalized slenderness. Finally, based on the column buckling strength, the elasto-plastic bucklingloads are evaluated. Using a systematic FEM analysis, the effectiveness is proven for design use for arch structures.
*1）

Professor, Dept. of Architecture and Civil Engineering, Toyohashi University of Technology
Graduate Student, Toyohashi University of Technology*3）
Assistant Professor, Dept. of Architecture and Civil Engineering, Toyohashi University of Technology*4）Technical Reserach Center, Taiyo Kogyo Corporation*5）
Professor, Dept. of Civil Engineering, Kochi National College of Technology*2）