産能大学紀要

第２５巻第２号（別刷）

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定

A Derivation of Disaggregate Behavioral Model by Entropy Theory
and Estimation of Parameter

2005年

坂野匡弘

２月

Masahiro Sakano

Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定
A Derivation of Disaggregate Behavioral Model by Entropy Theory
and Estimation of Parameter

坂野匡弘

Masahiro Sakano

Abstract
Disaggregate behavioral model has been applied for transportation mode. This study
clarified problems in the estimation process of its parameter. The distribution of theerror term of the model, an average and dispersion are obvious and the maximum likelihood method or the nonlinear least square method may do the parameter estimation ofthis model. In this study, from the viewpoint of transportation mode choice as an alternative action, model derivation by the Entropy theory that Shannon devised was carriedout. The distribution of the error term became obvious by a model's following multinomial distribution, too. The nature of the error term of the model which became distinct
was used, and parameter estimation was done by maximum likelihood method.
The value requested, however, Gauss-Newton method that the second differential calculus omitted was used for the calculation. That made likelihood the biggest, since it isclose to the linear form, though a model is a nonlinear form.
要約
現在、交通機関選択モデルとして多用されている離散型選択モデルを取り上げ、パラメータ推定プロセスにおける問題点を明らかにした。モデルパラメータを非線形最尤法または非線形最小二乗法で行うために誤差項の分布が明確でなくてはならない。本研究では交通選択が二者択一の行動であることに着目し、Shannon が考案したEntropy理論によるモデル導出を行うことによりモデルの分布を明確にし、非線形最尤法によりパラメータの推定を行った。
非線形最尤法では２次の微分を省略したガウス・ニュートン法を用いたところ、ニュートン法の結果とほぼ一致した。
2004年9月29日

受理25エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定

はじめに交通行動分析を集団の特性として分析した集団分析から、個人の行動に重点をおいた離散型選択モデルが開発され、多くの分野で利用されている。特に交通計画の分野においては交通機関選択に欠かせない重要なモデルとなっている。個人の交通機関の選択は、ある交通機関を選択するかしないかの二者択一情報として捉えることができる。このことは情報の1ビットに相当し、選択確率は０、１の値をとる。このことに着目しShannonが考案したEntropyを利用し離散型選択モデルの導出を行った。交通機関を選択する確率分布は多項分布を仮定してモデルを誘導したので誤差項の分布、さらに分布の平均と分散も明確になった。
パラメータ推定はモデルの誤差項の分布、分散が明確になったのでAitkenの一般化最小二乗法または最尤法の適用が可能となった。双方の結果ととして得られる正規方程式は同じになるが本研究では最尤法を用いた。正規方程式はパラメータに関して非線形となるが比較的線形に近いことからガウス・ニュートン法を用いたが良好な結果が得られた。モデル適用例として北海道と本州間の生活雑貨の輸送データを用いた。北海道、本州間の全輸送の８割が内航運輸に委ねられ残りの2割の生活雑貨がJRとフェリーでシェア争いにしのぎを削っている。
荷主がJRとフェリーを選択する状況を離散型選択モデルを用いて数値計算を行ったが高い的中率が得られた。
１

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの構築（１）エントロピーと選択行動
個人 の交通機関の選択は、ある交通機関を選択するか、しないかの二者択一の情報として捉えることができる。このことは情報理論における1ビットの情報量に相当する。
いま個の交通機関から交通機関 を選択する、またはしないという事象の情報量はShannonによると（１．
１）
ただし、個人 が交通機関 を選択する確率となる。交通機関を選択するという情報量の期待値は

（１．
２）

26

Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005となる。これがShannonのエントロピー（Entropy）であり、不確定な状況を確定するのに要する平均情報量となる。つぎに、
現在良く利用されている多肢選択の離散型選択モデル（ロジットモデル）をエントロピーを用いて導出する。
交通機関 を選択する効用を要因の一次結合で表すと要因の数（１．
３）となる。
事象に対する選択確率をとすると情報の期待値は（１．
４）となる。
（２）離散型選択モデルの導出
離散型選択モデルを導出するためにエントロピーを最小にするような確率を求める。しかし、条件１のみでラグランジュ乗数法でエントロピーを最小にするとという不確定な状況が得られる。本論文ではのどれかが で他は となる状況を求めるのが目的である。確定状況を得るためにエントロピー がの範囲で最小になるようにするため、次の条件２を付加した。

ⅰ)目的関数
エントロピー を最小にする。
⇒ 最小

（１．
５）

ⅱ)条件1
確率の和は1である。
（１．
６）

ⅲ)条件2
（１．
７）
：事象に対応する実現確率、 ：効用

ここで未定乗数としての要因を用い、Lagrange関数を（１．
８）と設定する。

27エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定を最大にするを求めるために（１．
９）と微分をおこなう。
（１．
９）式より
（１．10）（１．11）
が得られる。
（１．10）式より（１．12）
が導かれる。この（１．12）を（１．11）式に代入すると（１．13）となる。
（１．12）、（１．13）式より（１．14）

が導びかれた。
（１．14)式の指数部は効用を表すので（１．15）と表すことができる。したがって一般性を失うことなく、（１．15）式を次式のように置く。
（１．16）

28

Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005

ここにとするとは定数項を表すことになる。

よって導出された離散型選択モデルは（１．17）

ここに：交通機関 の選択確率：モデルのパラメータ：交通機関 の選択の効用の要因数である。

２ 最尤法による離散型選択モデルの推定１で導出した離散型選択モデルのパラメータ推定に先立ち（１．17）式を次のように拡張する。

（２．
１）

ここに、：誤差項,：選択確率,：効用の要因の数,：効用関数で：交通機関を選択する個人：効用関数の係数：個人の数,：選択する交通機関の数である。
（２．
１）式においては多項分布で期待値と分散は（２．
２）十分大なる に対して は中心極限値定理により（２．
２）式より誤差項の分散29の正規分布に近づく。

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定（２．
３）となる。ベクトルを（２．
４）（２．
５）として、誤差項に関し次の仮定をおく〔仮定１〕誤差項の期待値は０である。
〔仮定２〕誤差項の分散はで共分散は０ したがって分散共分散行列はとする。すなわち分散は観測点毎に不均一とし、共分散は０とする。
〔仮定３〕誤差項 はとする。

30

Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005

誤差項は互いに独立であるとする。このときの同時分布密度は次のようになる。

（２．
６）
ここで を誤差項 の分散共分散行列とすると、は の密度関数は（２．
７）となる。また、であるので（２．
６）式の関係は次式によって表すことができる。

（２．
８）
ここで

（２．
９）とし、標本観察値の尤度を とすると、
（２．
８）式より
（２．10）となる。両辺の対数をとると（２．11）と表すことができる。ここでの推定値をの推定値を とすると（２．12）31

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定と表すことができるので、ととの残差ベクトルを改めてとおくと（２．13）となる。さらに、（２．11）式の対数尤度は（２．14）となる。ここでのヤコビ行列（Jacobian Matrix)をとし、（２．15）（２．16）とし、を導入すると（２．14）式を最大にする解は、（２．17）の極値を求めることになり、非線形連立方程式を解く問題に帰着される。
この方程式を次のニュートン法で解く。

をの近傍で２次の項までTaylor展開する（２．18）

である。

が正定値であるとすると（２．17）式の2次関数の極値は最小点となるか

ら（２．18）式の２次の項で打ち切った式を０とおくと（２．19）
この（２．19）式の解を次の点とする。すなわちが正則ならば（２．20）

32

Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005として与えられる。

はにおけるヘッセ行列（Hessian)で（２．21）

である。
（２．17）式よりを求めると（２．22）（２．23）となる。ここで に高い精度を要求しても最終的に求める選択率の精度が高々程度であるので（２．23）式の２次微分の右辺第2項を0に近いと見做して（２．24）とするガウス・ニュートン法を用いることにする。
（２．22）式と（２．24）式を点において考えると（２．19）式は（２．25）となる。これを次の停止基準（termination criterion）を満たすまでについて行う。

収束判定定数
次にJacobian Matrix開する。

に対してのを求める。式の煩雑さをさけるため、特にの場合について展は（２．26）と微分される。

33

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定

同様に（２．27）と微分される。
（２．26）、（２．27）式から帰納的に次式を得る。
（２．28）
に対しての微分は（２．29）となる。同様に（２．30）と微分される。
（２．29）、（２．30）式を一般化すると（２．31）となる。さらに、（２．28）、（２．31）式をまとめると（２．32）
が得られる。これらの結果よりによる

34はSanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005

（２．33）となり、は（２．34）である。
を用いるとは（２．35）と表すことができる。同様には（２．36）
ここで、（２．35）、（２．36）式のとなる。これより数列

３ 関数

を用いて（２．25）式を表すとを停止基準を満たすまで求めることができる。の離散化

離散型選択モデル35

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定は定義域、値域の連続関数である。形状は図１に示すとおり、1/2で変曲点、1を漸近線にもつロジスティック曲線となる。

図１ 離散型選択モデルの形状

このロジスティック曲線はパラメータ の値により形状が変わる。
交通工学の分野では推定されたの値に従い次のように離散化して選択確率を求めている。
４ パラメータ の誤差がいま、とに及ぼす影響の関係を（４．
１）で表す。の絶対誤差をとすると、にはの誤差が生ずるのでこれらの関係を（４．
２）
で表し、のまわりにTaylor展開すると

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Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005

（４．
３）となるので、が非常に小さいと仮定し、２nd order以上を省略すると（４．
３）式は近似的に（４．
４）と表すことができる。
（４．
１）
、
（４．
２）
、（４．
４）式より絶対誤差は（４．
５）と表すことができる。
（４．
１）式をの離散型選択モデル（４．
６）

で表すと（４．
１）
、
（４．
６）
、（２．
３１）式より（４．
７）となるから、（４．
７）式を各について書き直すと

（４．
８）

37

エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定（４．
９）が得られる。
（４．
５）
、
（４．
６）
、
（４．
８）
、
（４．
９）式より絶対誤差は（４．10）となる。一般には絶対値評価されている場合が多いので相対誤差は（４．11）（４．12）
として表すのが一般的である。全体のおおよその相対誤差を把握するため（４．13）を用いる。

38Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005

５ モデル適用例
前節までの方法を北海道本州間の貨物輸送における輸送手段選択モデルのパラメータ推定に適用した。用いたデータは平成１２年１月に北海道内の荷主を対象に、利用輸送手段（鉄道、フェリー）、運賃、所要時間について実態調査を行ったものである。
輸送機関選択モデルは：選択確率、 ：運賃に対するパラメータ、 ：所要時間に対するパラメータである。
最尤法によるパラメータ推定結果と選択確率の推定結果を表１、表２、表３に示す。
表１

最尤法によるパラメータ推定結果

反復数

パラメータ

相対誤差

パラメータ

相対誤差

初期値
１２３４５６７８0-2.194144-3.635860-4.880005-5.586803-5.745291-5.751507-5.751516-5.751516

2.194145
0.657074
0.342187
0.144835
0.028368
0.001082
0.000002
0.0000000-0.359133-0.592087-0.781481-2.882770-0.904460-0.905279-0.905280-0.905280

0.359133
0.648658
0.319876
0.129611
0.024570
0.000906
0.000001
0.000000

39エントロピー理論を用いた離散型選択モデルの導出とパラメータ推定

表２ 鉄道選択確率の推定結果
荷主番号1234567891011121314151617181920212223

観測値
00100010000011000100100

推定値
00100010000011100101100表３ フェリー選択確率の推定結果

**

荷主番号
1234567891011121314151617181920212223

観測値
11011101111100111011011

推定値
11011101111100011010011**

表２、表３における＊は実測値と推定値が等しくない観測点を示す。
が表１に示される誤差をもつ場合、４で述べた方法で択率の伝播誤差=であった。３で述べたとおりへの伝播誤差を求めたところ選の精度は高々程度であるので の精度は十分であると思う。
６ おわりに
これまで離散型選択モデルは交通計画の多くの例に適用され、重要な役目を果たしてきている。しかし、その理論的背景にはいくつかの問題点があり、仮定の検証も行われずにモデルが適用されてきた。
本研究で示したエントロピー理論から導出した離散型選択モデルは、既存のモデルと同じ結果を与え、かつモデルモデル導出の理論的整合性が明確になったと考えている。
参考文献
１）土木学会：非集計行動モデルの理論と実際、p16、1995
２）林知己夫：数量化の方法、東洋経済新報社、1974
３）交通工学研究会編：やさしい非集計分析、p25、1993
４）ビリングスレイ：渡辺毅・十時東生共訳：確率論とエントロピー、数学叢書４、40

Sanno University Bulletin Vol.25 No. 2 February 2005

吉岡書店、1968
５）今野浩・山下浩著：非線形計画法、日科技連、1978
６）中川徹・小柳義夫著：非線形最小二乗法による実験データ解析、東京大学出版会、1982

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