数理解析研究所講究録 1204 巻 2001 年 85-106

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Regularity of Solutions to the Navier-Stokes Equations
Toshiaki Hishida (菱田俊明)
Department of Applied Mathematics
Faculty of Engineering
Niigata University
Niigata 950-2181 Japan

AbstractisThis article is concerned with regularity questions on the Navier-Stokes flows anddivided into two parts. In the first one asimple proof of the following result is given: a$L^{\infty}(0,T;L^{n})$weak solution to the nonstationary Navier-Stokes equation belonging to$tarrow t_{*}-0$ (from the left)
is necessarily regular if the inferior limit of $||u(t)-u(t_{*})||_{L^{n}}$ asis sufficiently small for every $t_{*}\in(0, T)$ . This is aslight improvement of the regularity
criterion due to Kozono and Sohr. In the second part the outline of “head pressureistechnique” for the proof of the following remarkable result due to Frehse andgiven: there exists aregular solution, which is not necessarily small, to the stationary
Navier-Stokes equation in five spatial dimensions. Stationary flows in such dimensions
are of interest because they are related to nonstationary flows in three spatial dimensions$u$$\mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$by dimensional analysis.

Introduction$R^{n}$

を占める非圧縮性粘性流体の運動を記述する Navier-Stokes 方程式の初期値問題$\partial_{t}u+u\cdot\nabla u=\Delta u-\nabla p$

(NS)

$\{$

$\nabla\cdot u$$=0$$u(\cdot, 0)$$=a$in $R^{n}\cross(0, T)$ ,in $R^{n}\cross[0, T)$ ,,inを考える. 流体の速度ベクトノレ $u=u(x, t)=(u_{1}(x, t),$$R^{n}$$\cdots,$$u_{n}(x, t))^{T}$と圧力 $p=p(x, t)$が未知であり, $a=a(x)=(a_{1}(x), \cdots, a_{n}(x))^{T}$ は与えられた初期関数である. 後で定常問$f=f(x)=(f_{1}(x), \cdots, f_{n}(x))^{T}$
題を考える際には, データとして方程式の右辺に外力関数を与えるが, 非定常問題においては簡単のために, $f$ 7 はスカラーポテンシャノレの勾西己で表に吸収されているとする. Leray [25][26] {こよって本格的な数学されていて, 見かけ上よ解析が開始されて以来 70 年近く経過したが, 物理的に重要な 3 次元の問題{こ対して,$p$

く知られているように, 初期関数 の大きさを制限することなしで滑ら力\supset な時間大域解を滑ら力 との一意存在を証明することは, 今なお未解決問題である. たとえ初期関数$a$$\mathrm{a}$

$a$

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しても, (NS) の解がある時刻で滑らがさを失うのがどぅか, 答えることができてぃない.
強解 (これは滑らかな解になる) の存在を直接見通しょく証明するのに最も有効な方法のひとつは, Fujita-Kato [13] によって導入された半群にょるアプローチであり, 特に我が国のスクールによるその後の成果は目覚ましいが, この方法で 3 次元大域解を得るには,どうやっても初期関数 の -norm あるいはそれより少し弱い何らがの norm (ただし$a$スケール変換$\lambda a(\lambda x)$$L^{3}$

に関して不変な norm) を小さく絞る必要がある (Kato [22]). 一方,

大きいスケールの大域解として, Leray-Hopf の弱解の存在が solenoidml な $a\in L^{2}$ に対して知られているが ([26][20]), 2 次元の場合を除いて, 構成された弱解の正則性および一意性は不明である. 弱解の正則性を研究する方向は, 大きく分けてふたつある. ひとっは
弱解が滑らかとなるためのなるべく緩い criterion を見いだすことであり, いまひとっは
なるべく良い部分正則性をもっ弱解を実際に構成することである. 後者の問題につぃて,
Leray [26] の意味の strong energy 不等式をみたす弱解 (turbulent solution) や, Schefl[er[32]-[36] および Caffarelli-Kohn-Nirenberg [3] の意味の generalized energy 不等式をみた
す弱解 (suitable weak solution) などが知られている (他に Miyakawa-Sohr [28], Struwe[39], Taniuchi [42] などを参照).
この論説の Part 1 では, 上記の前者の問題を扱う. Ohyama [30] と Serrin [37] は滑ら
かさを示しうる弱解のクラスとして時空 Lebesgue 空間 $L^{r}(0, T;L^{q})$ を導入し, その後のFabae-Jones-Riviere[5], Sohr [38], Giga [16], Struwe [39], Tala 市 ashi [41] など (こよる改良{こよって, 現在では次の criterion がわがって る: $n/q+2/r\leq 1$ をみたす $n<q\leq\infty$と $2\leq r<\infty$ に対して, 弱解が $L^{r}(0, T;L^{q})$ (こ属するならば,は滑らが, すなゎち
$u\in C^{\infty}(R^{n}\cross(0, T))$ となる.
とりわけ, $n/q+2/r=1$ をみたすクラスは次の意味において
スケール不変となり特に重要であることが, Giga [16] にょって指摘されてぃる: $\{u,p\}$ が方程式をみたすならば, そのスヶ–ノレ変換
で定められるも任意の $\lambda>0$ に対して方程式をみたし,のnorm は $n/q+2/r=1$ であるとき $\lambda>0$ 1 こ依らな . しがし, 上の criterion (こおいて, $\{q, r\}=\{n, \infty\}$ の場合が除外されてぃる. このことに関連して, Leray [26] は後$\mathrm{A}\mathrm{a}$

$u$

$u$

$u_{\lambda}(x, t)=\lambda u(\lambda x, \lambda^{2}t),p_{\lambda}(x, t)=\lambda^{2}p(\lambda x, \lambda^{2}t)$$\{u_{\lambda},p_{\lambda}\}$$u_{\lambda}$$L^{r}(0, \infty,\cdot L^{q})-$$\mathrm{A}\mathrm{a}$退自己相似解を用いて有限時間で爆発する弱解をっくることを提唱したが, その弱解はS\check ver 欣 [29] にょってそのような弱解(非自明解) の非存在が示されたので (Tsai [44] も参照), $L^{\infty}(0, T;L^{n})$ に属する弱解の滑らかさを期待する向きもあるが, 現在までのところ未解決である.
KozonO-Sohr[24] は, その部分的解答として, $L^{\infty}(0, T;L^{n})$ に属する弱解につぃて各時刻における左からの値の跳ひが小さければ, その解は滑らがとなることを証明した.
最近, 筆者は泉田健一 (新潟大学院生) との共同研究 [19] において, KozonO-Sohr の結果の易しい別証明を与えた (さらに結果自体も若干改良した) ので, その概要を Part 1 で述$L^{\infty}(0, T;L^{n})$に属している. しかし,$\mathrm{N}\mathrm{e}\check{\mathrm{c}}\mathrm{a}s-\mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}1\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}_{\mathrm{r}}$$L^{n}$

べる.

全空間上の初期値問題に対してだけ述べるが, 証明は Stokes 半群の$L^{q}$

理論にのみ依存しているので, KozonO-Sohr と同様に, 滑らがな境界をもっ有界領域・外部領域および半空間 (Iwashita [21], Ukai [45] を参照) における初期値境界値問題の弱解に対しても同じ証明を与えることができる.

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次に Part 2 では, 空間 3 次元非定常流の問題を念頭においた$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{s}\epsilon\succ \mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$による注

目すべき試みを紹介する. 上で述べたスケール変換に基づく次元解析によれば,の $L^{5}(R^{3}\cross(0, \infty))$ -norm は $\lambda>0$ に依らず, 時空 1+3 次元問題 (非定常問題) は空間 5次元問題 (定常問題) に対応していると見ることができる. 定常問題の弱解に対して, それ(こ属するときの regularity が知られており (Sohr [38], von Wahl [46], Galdi [14]),がとなるので, 滑らかな外力に対する弱解はすべて滑ら空間次元 $n\leq 4$ のときはかとなる (4 次元問題に対する Gerhardt [15] も参照). 従って, 非定常問題における $n=2$と $n=3$ の間のギャップが, 定常問題では $n=4$ と $n=5$ の間にあると考えてよい. また,$u_{\lambda}(x, t)$$L^{n}$$H^{1}\subset L^{n}$3 次元非定常問題の弱解の存在は $L^{\infty}(0, T;L^{2})\cap L^{2}(0, T;\cdot H^{1})\subset L^{10/3}(0, T;L^{10/3})$ なるクラスで示されるが, 既に述べた Serrin 型の criterion によれば, $L^{5}(0,T;L^{5})$ に属する弱解の中で示されるが, もは滑らかとなる. 一方, 5 次元定常問題の弱解の存在はに属するときは滑らかとなるのだから, 3 次元非定常問題との similarity をしそれがは 5 次元定常問題の解の正見ることができよう. このような背景のもと,則性を研究した (最初に 5 次元定常問題を研究したのは, Struwe [39] と思われる). ただし, 5 次元定常問題に対する結果が, 直ちに 3 次元非定常問題に対する知見を導く訳では決してない. しかし, 5 次元定常問題を詳しく調べることを通して, 3 次元非定常問題の解
析方法についての手がかりをさぐろうという意図がある.
5 次元定常問題に対する結論として, 外力が滑らかであるとき, 滑らかな解の存在が,と Struwe によって証明された. 有界領域の場合は, [6] と [8] の結果それぞれを組み合わせることで得られる ([11] において 6 次元有界領域の場合にも示されている). 全空間の場合は, Struwe [40] を参照. 周期境界条件の場合は, $[7][9][10][40]$ によって, 空間次元が $5\leq n\leq 15$ であるときに同様の結果が示されている. Part 2 では, 5 次元有界領域における定常問題を特に取り上げて, 1999 年 5 月 27 日の講演に沿っ
I こよる head pressure $|u|^{2}/2+p$ 1 こ着目したアイデア (head pressureて,technique) の概要を述べる. 形式的な議論・計算によって説明した部分が少なくないので,完全な証明の詳細については, 上で引用した論文を見て頂きたい. また,自身 (こよるサーベイ [12][31] もある.
氏が来日した際に, 彼らのアイデアを 3 次元非定常問題に応用で1999 年 7 月,
きる可能性について議論する機会に恵まれたが, head pressure (あるいはそれと同じ役割を果たしうる量) の評価を導くステツプ, すなわちこの論説の 22 節 (maximum property)に相当するステップにおいて本質的な困難があるようである.
$H^{1}\subset L^{10/3}$$L^{5}$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}- \mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}-\mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}- \mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$$\mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$Part 1Nonstationary Problem:
Regularity Criterion on Weak Solutions
1.1. Weak solutions in $L^{\infty}(0, T;L^{n})$簡単のため, ベクトル値関数の空間とスカラー値関数のそれを同じ記号であらわす.
上で滑らか且つ solenoidal (すなわち発散がゼロ) であって compact な台をもつベクトル$R^{n}$

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値関数のクラスをする閉包を$L_{\sigma}^{q}(R^{n})$

ばしば,

$u$

$C_{0,\sigma}^{\infty}(R^{n})$の$L^{q}(R^{n})$-nom $||\cdot||_{q}(1<q<\infty)$ に関であらわす. Part 1 を通して, 初期関数

$L_{\sigma}^{2}=L_{\sigma}^{2}(R^{n})$上の可測関数とする.

$C_{0,\sigma}^{\infty}(R^{n})$$a\in L_{\sigma}^{2}(R^{n})$とする. 以下しなどと略記する. まず, (NS) の弱解の定義を述べよう. $R^{n}\cross(0, T)$

が (NS) の弱解であるとは, $u\in L^{\infty}(0, T;L_{\sigma}^{2})\cap L^{2}(0, T;H^{1})$ であって,$\int_{0}^{T}\{-(u,\partial_{t}\phi)+(\nabla u, \nabla\phi)+(u\cdot\nabla u, \phi)\}dt=(a, \phi(.0))$を $\phi(T)=0$ なる任意の $\phi\in C^{1}([0,T];H^{1}\cap L_{\sigma}^{n})$ に対してみたすことである. ただし,-内積等の duality pairing をあらわす. すべての弱解 は, 区間$(0, T)$ のある零集合上での値 $u(t)$ を修正することによって,値関数として $[0, T)$ 上弱連続となる.
$(\cdot, \cdot)$

は $R^{n}$ における

$L^{2}$$u$$L_{\sigma}^{2}$に属する弱解は, 次のような性質をもつ$t\in[0, T)$ に対して $u(t)\in L^{n}$ となり (従って必然的に $a\in L^{n}$ ), さらに$L^{\infty}(0, T;L^{n})$$u$$(\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\epsilon\succ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{r}[23])$$L^{n}$: 任意の値関数として上で右連続である. この性質と Masuda [27] による弱解の一意性の criterion を組み合わせると, $L^{\infty}(0, T;L^{n})$ に属する弱解の一意性が得られる (後の Proposition 1.4). それでは, どのような付加条件のもとで, 弱解 $u\in L^{\infty}(0, T;L^{n})$ は滑らかとなるであろうか.
$L^{\infty}(0, T;L^{n})$ -norm で小さいときの滑らかさが Struwt[39] によって示されたほか, 大き
い解に対しては,値関数として連続ならば滑らかとなることが, von Wahl [46] [47](ただし有界領域上の問題) およひ Giga [16] によって示された. この結果は, KozonO-Sohr[24] によって, 次のように拡張された: 定数が存在して, 弱解 $u\in L^{\infty}(0, T;L^{n})$ が
各 $t_{*}\in(0, T)$ に対して$[0, T)$$L^{n}$$\epsilon_{0}>0$(1.1)$\lim_{tarrow t_{*}}\sup_{-0}||u(t)||_{n}^{n}-||u(t_{*})||_{n}^{n}\leq\epsilon_{0}$は滑らかとなる. 既に述べたように, 任意の $t\in[0, T)$ に対してをみたすならば,$u(t)\in L^{n}$ であるので, (1.1) の左辺を各 t*[こ対して考えることができる. また,はの値関数として弱連続となるので, (1.1) の左辺は非負であることに注意.
証明を見るとわかるように, (1.1) から
$u$

$u$

$L^{n}$$\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\epsilon\succ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{r}$(1.2)$\lim_{tarrow t_{*}}\sup_{-0}||u(t)-u(t_{*})||_{n}\leq 2^{1-1/n}\epsilon_{0}^{1/n}$が従い, (1.2) のもとで上記の結論が得られる.
とは別に, 3 次元有界領域上の問題に対してではあるが,da Veiga [1] も弱解 $u\in L^{\infty}(0, T;L^{3})$ が滑らかとなるための十分条件を与えた. その条件は (1.1) よりも少し弱い条件にはなっているが, やや複雑なので, ここでは述べない.
次節において我々の結果を述べ, 最後の節でそれを証明する.
$\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\succ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{r}$$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{r}\tilde{\mathrm{a}}\mathrm{o}$12. Results
主結果は, 次のとおりである.

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Theorem 1.1. ([19]) 以下をみたす定数 $\gamma>0$ が存在する: 弱解 $u\in L^{\infty}(0, T;L^{n})$ が各$t_{*}\in(0, T)$

に対して

(1.3)

$\lim_{tarrow t_{*}}\underline{\inf_{0}}||u(t)-u(t_{*})||_{n}\leq\gamma$

をみたすならば, $u\in C^{\infty}(R^{n}\cross(0, T))$ となる.

KozonO-Sohr が (1.1) から (1.2) を導いた方法に従うと, 上の定理の系として, 次の結果も得られる.

Corollary 12. ([19]) $\gamma>0$ を Theorem 1 の定数とする. 弱解 $u\in L^{\infty}(0, T;L^{n})$ が各$t_{*}\in(0, T)$

(こ対して

(1.4)

$\lim_{tarrow t_{*}}\underline{\inf_{0}}||u(t)||_{n}^{n}-||u(t_{*})||_{n}^{n}\leq\frac{\gamma^{n}}{2^{n-1}}$

をみたすならば, $u\in C^{\infty}(R^{n}\cross(0, T))$ となる.のささやかな改良にすぎないが, [19] で与えられた
Theorem 1.1 の証明方法は [24] とは異なるアイデアによるもので (Beiri da Veiga [1] のアイデアとも異なり), 幾分初等的である. 尚, KozonO-Sohr[24] は, $[0, T]$ 上で有界変分な
弱解 が滑らかとなることも示した. 実際, そのような弱解に対して, 各 $t\in(0, T)$ での値左強連続と
値弱連続性とから結局
左極限 $u(t-0)$ の存在が示され, このこととこの結果自体は$\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\epsilon\succ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{r}[24]$$u$$L^{n}$$L^{n}$

なって, (1.1) から (1.4) までの左辺 {まいずれもゼロとなるのである.
とそ
証明の比較のため, まず KozonO-Sohr の方法について述べる. [24] では, 弱解れを係数とする移流摂動項をもつ Stokes 方程式 $\partial_{t}v+Av+P(u\cdot\nabla v)=0$ の弱解 を,の適当な近傍において同定した (射影 $P$ と Stokes 作用素 $A$ は 13 節で(1.2) をみたす
は Introduction で述べた Serrin のクラスに属するので, 結果として $u(=v)$ {ま
導入).
$u$

$v$

$t_{*}$$v$

滑らかとなる. 上のような摂動項をもつ Stokes 方程式の解の構成においては, Giga-Sohr[18] による線型放物型発展方程式の maximal regularity の理論を用いた.
一方, Theorem 1.1 の証明では, 弱解 と Kato [22] による Navier-Stokes 方程式自身の
$u$

の一意性の
の適当な近傍において同定する (強解を, (1.3) をみたす
を越えて
criterion によって). それには, $u(t_{*}-\delta)\in L^{n}$ を初期値と見たときに, 強解が存在するような $\delta>0$ を実際に取れることが示されればよい. 従って, 強解の存在区間のならば, (NS) の強解の存在区間の長さ長さが問題となる. もし $q>n$ に対しての有界集合に属によって下から評価できる (例えば Giga [16]). 換言すれば,をする初期関数 に対して, 存在区間の長さを一様に取れる. しかし, このことは $q=n$ のによって定まるわけではない. ただし,ときには正しくなく, 存在区間の長さは$\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\epsilon\succ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{r}[23]$$t_{*}$$t_{*}$$a\in L_{\sigma}^{q}$$L_{\sigma}^{q}$$||a||_{q}$$a$$L_{\sigma}^{n}$$||a||_{n}$precompact 集合に属する初期関数 に対してなら, 強解の存在区間の長さを一様に取(ただしれる (例えば Brezis [2]). これらの考察から, $C([0, T);L^{n})$ あるいは
$q>n)$ に属する弱解の滑らかさが直ちにわかる. 弱解 $u\in L^{\infty}(0, T;L^{n})$ に対しては単純の$a$$L^{\infty}(0, T;L^{q})$90ではないが,に属する初期関数に対する (NS) の強解の存在区間がどのように定まるのか, Kato [22] の証明をいま一度よく見てやりさえすれば Theorem 1.1 を証明できる.
$L^{n}$

1.3. Proof of results$1<q<\infty$ に対して,空間をのように直和分解 (Helmholtz
分解) できる. ただし, $L_{\pi}^{q}(R^{n})=\{\nabla p\in L^{q}(R^{n});p\in L_{loc}^{q}(R^{n})\}$ である.
をがらへの上への射影作用素とする. 全空間上の問題に対しては,を Riesz 変換でかくことができ, また Laplace 作用素と可換になる. 従って, Stokes 作用素は$L^{q}$$L^{q}(R^{n})=L_{\sigma}^{q}(R^{n})\oplus L_{\pi}^{q}(R^{n})$$P$$L_{\sigma}^{q}(R^{n})$$L^{q}(R^{n})$$P$$D(A)=W^{2,q}(R^{n})\cap L_{\sigma}^{q}(R^{n})$,$Au=-P\Delta u=-\Delta Pu=-\Delta u$

for $u\in D(A)$となるので, Stokes 半群は熱方程式の基本解にすぎない:$(e^{-tA}f)(x)=(4 \pi t)^{-n/2}\int_{R^{n^{C^{-^{x-y}}}}}^{\bigcup_{4t}^{2}}f(y)dy$$t>0$ .

,

これを用いて, (NS) を積分方程式(1.5)$u(t)=e^{-tA}a- \int_{0}^{t}e^{-(t-s)A}P(u\cdot\nabla u)(s)ds$にかき直す. (1.5) を$a\in L_{\sigma}^{n}(R^{n})$に対して時間局所的に解くには, 半群$e^{-tA}$の $L^{q}-L^{r}$ 評

価 $(1\leq q\leq r\leq\infty, k=0,1)$(1.6)$||\nabla^{k}e^{-tA}f||_{r}\leq Ct^{-\alpha-k/2}||f||_{q}$,だけでなく, $f\in L^{q}(R^{n})(1\leq q<\infty)$ ?こ対する $e^{-tA}f$ の(1.7)$\lim_{tarrow 0}t^{\alpha}||e^{-\iota \mathrm{q}}f\lrcorner||_{r}=0$(1.8)$\lim_{tarrow 0}t^{\alpha+1/2}||\nabla e^{-tA}f||_{r}=0$$t>0$ ,
$tarrow \mathrm{O}$での挙動

if $q<r\leq\infty$ ,if $q\leq r\leq\infty$ ,が必要である. ただし, $\alpha=n(1/q-1/r)/2$ である.

Kato による局所解存在定理を, 次のように述べることができる.

Proposition 1.3. (i) ([22]) 以下をみたす定数 $\mu>0$ が存在する:$a\in L_{\sigma}^{n}(R^{n})$と $T>0$が(1.9)$\sup_{0<t\leq T}\{t^{1/4}||e^{-tA}a||_{2n}+t^{1/2}||\nabla e^{-tA}a||_{n}\}<\mu$をみたすならば, 積分方程式 (1.5) の区間 $[0, T]$ 上での一意解 $u\in C([0, T];L_{\sigma}^{n})$ が存在す
る. この解は (N ) の値強解となり, さらに $u\in C^{\infty}(R^{n}\cross(0, T])$ .
$u$

$S$

$L^{n}$

91(ii) 特に,上の解$u$$a\in L_{\sigma}^{n}(R^{n})\cap L_{\sigma}^{2}(R^{n})$は$L^{2}$と $T>0$ が (1.9) をみたすならば, (i) で得られた $[0, T]$

値強解にもなり, 従ってエネルギー等式をみたす弱解でもある.

我々の立場では, (1.9) が重要であるが, これは [22] の証明をよく見ればわかる. (1.7)と (1.8) より, 任意のに対して (1.9) をみたす $T>0$ を実際に取れることは, 言うまでもない. また, (i) で述べた解の滑らかさは, 例えば, Giga-Miyakawa [17] のsection 3 に沿って示される. 以下で, (ii) だけを簡潔に示そう.
$a\in L_{\sigma}^{n}(R^{n})$Proof of Proposition 1.3. (ii) まず,$||P(u\cdot\nabla u)||_{n/2}\leq C||u(t)||_{n}||\nabla u(t)||_{n}\leq Ct^{-1/2}$

いて積分方程式 (1.5) を評価すると, $\max\{n/2,2\}\leq q<n$ なる(1.10)

$q$

を用

に対して,

$u\in C([0, T];L_{\sigma}^{q})\cap C_{loc}^{1/2}((0, T];L_{\sigma}^{q})$を得る. 次 (こ ( $n\geq 5$ のときは), $||P(u\cdot\nabla u)||_{n/3}\leq C||u(t)||_{n/2}||\nabla u(t)||_{n}\leq Ct^{-1/2}$ を用いを評価し直すと, $\max\{n/3,2\}\leq q<n/2$ なる に対しても (1.10) を得る. この手続きを繰り返すことにより, 結局 $2\leq q<n$ なるに対して, (1.10) が得られる.
のこのことと値関数としての $(0, T]$ 上での局所 H\"older 連続性を併せると,$P(u\cdot\nabla u)$ $(t)$ の値局所 H\"older 連続性が従い, 結論が得られる. 口て (1.5)$q$$q$$L^{n}$$\nabla u(t)$$L^{2}$

KozonO-Sohr により示された次のような弱解の一意性の criterion も用いる.
Proposition 14. ([23]) および を, 初期条件 $u(0)=v(0)=a\in L_{\sigma}^{2}(R^{n})$ に対する(NS) の $(0, T)$ 上の弱解とする. $u\in L^{\infty}(0,T;L^{n})$ であり, また がエネルギー不等式
$u$

$v$

$v$

$||v(t)||_{2}^{2}+2 \int_{0}^{t}||\nabla v(\tau)||_{2}^{2}d\tau\leq||a||_{2}^{2}$,$0\leq t<T$をみたすならば, $[0, T)$ 上で $u=v$ .
以上の準備のもとで, Theorem 1.1 を証明できる.

Pmof of Theorem 1.1. すで (こ 1.1 節でも述べたよう {ニ, (NS) の弱解$u$が $L$ “ $(0, T;L^{n})$となるに属するとき, 任意の $t\in[0, T)$ に対して
[23] . 与えられた弱解 $u\in L^{\infty}(0,T;L^{n})$ に対して, $t_{*}\in(0, T)$ を任意に固定し, 便利のたをめ, $(0, t_{*})$ 上の関数
$u(t)\in L_{\sigma}^{n}(R^{n})\cap L_{\sigma}^{2}(R^{n})$$(\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\succ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{r}$$)$$\psi$$\psi(\delta)=\sup_{0<t\leq 2\delta}\{t^{1/4}||e^{-tA}u(t_{*}-\delta)||_{2n}+t^{1/2}||\nabla e^{-tA}u(t_{*}-\delta)||_{n}\}$for$\delta\in(\mathrm{O}, t_{*})$

によって定める. (1.3) の左辺が十分小さいという条件のもと, 適当な $\delta\in(0, t_{*})$ に対して, $\psi(\delta)<\mu$ が実現されることを示そう. ただし,のような$\delta$$\mu$

は (1.9) における正定数である. そが存在しないと仮定する. このとき, (1.6) によって,$\mu\leq\psi(\delta)\leq\sup_{0<t\leq 2\delta}\{t^{1/4}||e^{-tA}u(t_{*})||_{2n}+t^{1/2}||\nabla e^{-tA}u(t_{*})||_{n}\}+C_{0}||u(t_{*}-\delta)-u(t_{*})||_{n}$92に対して成り立つ (が任意の(1.7) と (1.8) によって,$\delta\in(0, t_{*})$$C_{0}$は$\delta$に依らない正定数). $\deltaarrow+0$ とすれば,$\mu\leq C_{0}\lim_{\deltaarrow+}\inf_{0}||u(t_{*}-\delta)-u(t_{*})||_{n}$.

これより, が (1.3) を $\gamma=\mu/2C_{0}$ でみたしていると, 矛盾である. 従って, Proposition 1.3が存在して, 初期条件 $v(t_{*} -\delta)=u(t_{*}-\delta)$
より, そのような に対して, 適当なが $(t_{*}-\delta, t_{*}+\delta)$ 上で構成される. Proposition 1.4 により,をみたす滑らかな弱解
口$[t_{*}-\delta,t_{*}+\delta)$ 上で $u=v$ となるので, $u\in C^{\infty}(R^{n}\cross(t_{*}-\delta, t_{*}+\delta))$ が示された.
$u$$\delta\in(0, t_{*})$

$u$

$v$

Proof of Comllary1.2.
$\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{o}\mathrm{n}\epsilon\succ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{r}[24]$$\mathrm{T}\mathrm{h}\infty \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}1.1$.

から Corollary 12 を導くやり方 (こ関しては,と全く同じである. すなわち, Clarkson の不等式$||u(t)-u(t_{*})||_{n}^{n}+||u(t)+u(t_{*})||_{n}^{n}\leq 2^{n-1}(||u(t)||_{n}^{n}+||u(t_{*})||_{n}^{n})$値弱連続であるので, 上において $tarrow t_{*}-0$ とを用いる. 弱解 $u\in L^{\infty}(0, T;L^{n})$ はしたときの下極限をとると, (1.4) から (1.3) が従う. 口$L^{n}$Part 2Stationary Problem:
Smooth Solutions
Existence of$5\mathrm{D}$

2. 1. Results$\Omega$を$R^{5}$

は十分滑らかとして, 同次 Dirichlet 境界条件 (粘着条上での定常 Navier-Stokes 方程式の境界値問題の有界領域, その境界件) のもとで$\Omega$$\partial\Omega$inin$-\Delta u+u\cdot\nabla u+\nabla p=f$$(NS)^{\theta}$$\nabla\cdot u=0$

$\{$

on

$u=0$

$\Omega$$\Omega$,,$\partial\Omega$,とする. このとき, $(NS)^{s}$ の弱解 $\{u,p\}$を考える. Part 2 を通して, 外力関数
上の可測関数の組 $\{u,p\}$ が $(NS)^{s}$が存在する (どんな空間次元 $n\geq 2$ でも). ここに,$\nabla\cdot u=0,p\in W^{1,5/4}(\Omega)$ (ただし$p\text{血}=0$ ) であって,の弱解であるとは,$f\in L^{\infty}(\Omega)$$\Omega$$u\in H_{0}^{1}(\Omega),$$\int_{\Omega}$$(\nabla u, \nabla\varphi)+(u\cdot\nabla u, \varphi)+(\nabla p, \varphi)=(f, \varphi)$に対してみたすことである.
を任意の問題は, 5 次元の場合に $f$ の大きさに制限なく, 内部正則性をみたす弱解を少なくともひとつ見つけることである. 定理を述べよう.
$\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$

Theorem 2.1. ([6] [8])(2.1)

$f\in L^{\infty}(\Omega)$とする. このとき, 任意の $q\in(1, \infty)$ (こ対して$u\in W_{lo\mathrm{c}}^{2,q}(\Omega)$,$p\in W_{lo\mathrm{c}}^{1,q}(\Omega)$

93となる $(NS)^{s}$ の弱解 $\{u,p\}$ が存在する.
$\{u,p\}$ の regularity もをみたすとなるので, Theorem
上昇していく. 結果として, もし $f$ が滑らかならば, $\{u,p\}\}$ま滑ら力
1\check かし, 空間次元 $n\leq 4$ の場合と違って, すべ$f$の regularity が上昇すると, それ [こ応じて, (2.1)$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{B}\mathrm{f}\mathrm{i}\not\in$$\mathrm{a}$2.1 は滑らかな解の存在定理と見てよい.

ての弱解の滑らかさを示すことは困難である.
をみたす解の存在
Theorem 2.1 #垢適当な $\alpha\in(0,1)$ に対して次の weight 何 estimateから導かれる: 任意の部分領域
心半径 $R>0$ の開球 $B_{R}(x_{0})$ がに対して定数 $C=C(\Omega_{0})>0$ 力\leq 存在して, 中に含まれるなら ,$\Omega_{0}\subset\subset\Omega$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\mathrm{h}.$$\Omega_{0}$$x_{0}$(2.2)$\int_{B_{R}(x\mathrm{o})}.\frac{|\nabla u(x)|^{2}}{|x-x_{0}|}dx\leq CR^{\alpha}$.

を意味する. (2.2) が成り立つため{こ {ま, $R>0$ の 」 ざいと
は,
ただし,
(こ関
上での積分{まスケーノレ変換
きが問題となる. また, 関数 $|\nabla u(x)|^{2}/|x|$ ののして不変であることに注意. (2.2) の左辺の積分が有限であること {ま, の regularity$\alpha>0$程度を表していると見ることができるが, (2.2) の評価式はさら {こ右辺の $R$ の指数$/$$\Omega_{0}\subset\subset\Omega$$\mathrm{a}$$\overline{\Omega_{0}}\subset\Omega$$\lambda u(\lambda x)$$R^{5}$

$u$

の分だけ
から

$u$

の

regularity が良いことを示している. 実際, Morrey 空間で捉えると, (2.2)

が従う. ここで, ふたつの指数 $1\leq q<\infty$ と $0\leq\lambda\leq n$ {こ対して,に対してであって且つ任意の$\nabla u\in \mathcal{L}_{loc}^{2,1+\alpha}(\Omega)$$f\in L_{loc}^{q}(\Omega)$$\Omega_{0}\subset\subset\Omega$$\sup_{B_{R}\subset\Omega 0}R^{-\lambda}\int_{B_{R}}|f(x)|^{q}dx<\infty$で表し, これを (局所化された) Morrey 空となる関数 $f$ 全体からなる空間をに含まれる開球 B。全体 (こわたる. Morrey エ
間という. ただし, 上式の上限は,で定まる指数 2*{こ間の Sobolev 型埋蔵定理 ([4]) によって, $1/2’=1/2-1/(4-\alpha)$. たが従うので,から対して,より,だし, $1/r=1-1/(4-\alpha)$ である. 仮定$-\Delta u+\nabla p=f-u\cdot\nabla u\in \mathcal{L}_{loc}^{r,1+\alpha}(\Omega)$となるので, Stokes 方程式 (こ対する Morrey 空を得る. 再び埋蔵定理を用 ‘て上の議論の正則性理論 ([4]) により, $D^{2}u,$$D^{2}u,$のすべて$u,$を繰り返すことにより, 最終的には, 任意の $q<\infty$ に対して,に属する) ことがわ力 1 り, (2.1) \mbox{\boldmath $\delta$}\leq 証明される. のに属する (従ってが上記の bootstrapping
regularity (Morrey 指数) を $\alpha>0$ だけ余分に稼 ‘だこと [こより,{こ関が確かに働いて, regularity が上昇していくことに注意する. スケーノレ変換
bootstrapping {まして不変な norm までの regularity か得られて な とき {ま, 通常のに依らな 力 , [3] の (1.20) や [39] のうまくいかない. (尚, (2.2) では $C>0$ が$\mathcal{L}_{loc}^{q,\lambda}(\Omega)$$\Omega_{0}$$\nabla u\in \mathcal{L}_{loc}^{2,1+\alpha}(\Omega)$$u\cdot\nabla u\in \mathcal{L}_{loc}^{r,1+\alpha}(\Omega)$$u\in \mathcal{L}_{loc}^{2^{*},1+\alpha}(\Omega)$$f\in L^{\infty}(\Omega)=\mathcal{L}^{r,5}(\Omega)\subset \mathcal{L}_{loc}^{r,1+\alpha}(\Omega)$$7\mathrm{B}7\vee \mathrm{C}^{\backslash }\backslash$$\mathrm{A}$$\nabla p\in \mathcal{L}_{loc}^{r,1+\alpha}(\Omega)$$\nabla u,$$\mathcal{L}_{loc}^{q,1+\alpha}(\Omega)$$\nabla p,p$$u$

$L_{loc}^{q}(\Omega)$$\mathrm{A}$$\lambda u(\lambda x)$$\mathrm{a}$$\text{し}$$|,\mathrm{a}$$\mathrm{A}$$\grave{\grave{1}}$$x_{0}\in\Omega_{0}$$\mathrm{A}\mathrm{a}$(1.11) は (2.2) の局所版である)
まず, [6] ?こによる (2.2) をみたす解の存在の証明 ま以下のようである.
$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{s}\in\succ \mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}$おいて, maximum property

94(–|u2|2+p)+\in L 二 (\Omega )(2.3)

をみたす弱解の存在が示された. ここで, $|u|^{2}/2+p$ ( 動圧+静圧) は head pressure と呼ばれる. $( \cdot)_{+}=\max\{\cdot, 0\}$ を意味するので, (2.3) は head pressure がほとんど到る所上に有界であることを示している. 次に, [8] において, maximum property (2.3) を有する
弱解はすべて, 適当な $\alpha\in(0,1)$ に対して (2.2) をみたす (従って滑らがになる) ことが示された. この結果自体は, 任意の次元 $n\geq 5$ で成立する. 一方, [6] で与えられた (2.3)
をみたす解の存在証明は, 5 次元に対してのみ有効である (後に, [11] で 6 次元の場合にも拡張された).
次節において, (2.3) をみたす弱解の構成につぃて述べる. duality を用いた (2.3) の証
明を実現するには, 少なくともおよびとなる近似解が必要となる. 弱解の構成方法と全く独立に, [8] の主張 ”(2.3)\Rightarrow (2.2)’’ は示されるが,$=$$u_{\epsilon}\in L^{4}(\Omega)$$p_{\xi}\in L^{\mathit{4}/3}(\Omega)$$\{u_{\epsilon},p_{\epsilon}\}$最後の節では簡単のために, 次節で構成された解が (2.2) をみたすことを, 楕円型方程式
系に対して知られている hole fflling technique (cf. Widman [48]) にょって示す.
2.2. Maximum property
本節では, 次の命題の証明の概略につぃて述べる.
Proposition 2.2. ([6])$\{u,p\}$$f\in L^{\infty}(\Omega)$とする.

が存在する.

このとき, (2.3) をみたす (NS 戸の弱解

. まず, head pressure を$w= \frac{|u|^{2}}{2}+p$

とおき, $\{u,p\}$ を滑らかとして, $w$ のみたす方程式を導こう. 等式の右辺のに Navier-Stokes 方程式を代入すると, $u\cdot(v\cdot\nabla u)=v$ .

$\Delta^{u_{2}^{2}}[perp]=u\cdot\Delta u+|\nabla u|^{2}$$\Delta u$ュ–|u2|2$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(NS)^{\mathit{8}}$$=u\cdot\nabla w+|\nabla u|^{2}-f\cdot u$$\mathrm{u}\mathrm{u}_{2^{-}}^{2}$に注意して,.

により得られる圧力方程式(2.4)$\Delta p=-\nabla\cdot(u\cdot\nabla u)+\nabla\cdot f$

を上式に加えると, ( $\nabla\cdot u=0$ のもとでの) 等式 .

$(u\cdot\nabla u)-|\nabla u|^{2}+|\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u|^{2}=0$にょり, 方程式$-\Delta w+u\cdot\nabla w=-|\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u|^{2}+f\cdot u-\nabla\cdot f$を得る. ただし,.

$| \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u|^{2}=\sum_{1\leq:<j\leq 5}(\partial u_{j}/\partial x_{1}$には不等式 (head pressure inequality)$-\partial u:/\partial x_{j})^{2}$である. これより, $w$ は形式的

95
(2.5)

$-\Delta w+u\cdot\nabla w\leq f\cdot u-\nabla\cdot f$

をみたすので, maximum property (2.3) を期待できそうである.

さて, $(NS)^{s}$ の弱解をどのように構成すると, (2.3) を実際に証明できるであろうか. 構
成法を考えるために, (2.3) を導くアイデア (duality method) を形式的な議論によって述
全体では上で $\zeta=1,$を任意に固定する. さらに, そのべよう. 部分領域に対して,も固定する. 与えられた$0\leq\zeta\leq 1$となる cut-Off 関数$\Omega$$\Omega_{0}$$\Omega_{0}\subset\subset\Omega$$x_{0}\in\Omega_{0}$$\zeta\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$$-\Delta G-u\cdot\nabla G$(2.6)$=\delta_{x\mathrm{o}}$

$\{$

$G$

in

on

$=0$

$\Omega$,$\partial\Omega$,をみたす $G=G(x;x_{0})\geq 0$ , すなわち (2.5) の左辺の作用素の共役 $-\Delta-u\cdot\nabla$ の Greenに集中した Dirac 超関数である. (2.5) に関数を用いる. ただし, \mbox{\boldmath $\delta$}x。は質量が点を掛けて得る等式を組み合わせると, 部分積$\zeta G\geq 0$ を掛けて得る不等式と(2.6) に
$x_{0}$$\zeta w$

分によって,(2.7)$w(x_{0})\leq(G, -2\nabla\zeta\cdot\nabla w-w\Delta\zeta+(u\cdot\nabla\zeta)w)+(f\cdot u, \zeta G)+(f, \nabla(\zeta G))$となるので, この右辺を評価できればよい.
を掛けて積分する際に上記の発見的考察を正当化するには, 少なくとも, (2.5) に$u\cdot\nabla w\in L_{loc}^{1}(\Omega)$が要求される. これは, 弱解のクラスよりわかる $u\in L^{10/3}(\Omega)$ と$\zeta G$$p\in L^{5/4}(\Omega)$からは得られないことに注意する. もし(2.8)$u_{\epsilon}\in L^{4}(\Omega)$をみたす $(NS)^{s}$ の近似解$\{u_{\epsilon},p_{\epsilon}\}$,$\nabla p_{\epsilon}\in L^{4/3}(\Omega)$が得られると, それに対しては,$u_{\epsilon} \cdot\nabla(\frac{|u_{\epsilon}|^{2}}{2}+p_{\epsilon})=u_{\epsilon}\cdot(u_{\epsilon}\cdot\nabla u_{\epsilon}+\nabla p_{\epsilon})\in L^{1}(\Omega)$となり, 以下に見るように, 上で述べた duality method を近似解のレベルで押し進めることができる.
)(ただし(2.8) のクラスに属する近似解を見つけるには, $(NS)^{s}$ の左辺に$\epsilon|u|^{2}u$を人工的に加えた近似方程式の境界値問題$\nabla\cdot u=0$

in
in

$u=0$

on

$-\Delta u+u\cdot\nabla u+\epsilon|u|^{2}u+\nabla p=f$$(NS)_{\epsilon}^{s}$$\{$$\Omega$$\Omega$,,$\partial\Omega$,$\epsilon>0$96を考えればよい. というのは, これに形式的に$u$を掛けると,$||\nabla u||_{2}^{2}+\epsilon||u||_{4}^{4}=(f,u)$となるからである (Part 2 においては,

域上での$L^{q}$

norm を以外の領であらわし,-norm については領域を明示する). 害際に, Galerkin 法によって,$L^{q}(\Omega)$の$||u_{\zeta}||_{H^{1}(\Omega)}^{2}+\epsilon||u_{\mathcal{E}}||_{4}^{4}+||p_{\epsilon}||_{W^{1,b/4}}(\Omega)\leq C_{1}$,$\Omega$$||\cdot||_{q}$$||p_{\Xi}||_{W^{1,4/3}}(\Omega)\leq C_{2}(\epsilon)$を構成できる. ただし, $C_{1}>0$ は に依存しない定数である. 適当な部分列に沿って $\epsilonarrow+0$ としたときのの弱極限関数 $\{u,p\}$ は,をみたす (NS): の弱解$\{u_{\epsilon},p_{\epsilon}\}$$\epsilon$$\{u_{\epsilon},p_{\epsilon}\}$$(NS)^{\epsilon}$の弱解となる. こうやって得られた弱解 $\{u,p\}$ が (2.3) をみたすことを示そう.

$w_{\epsilon}=|u_{\epsilon}|^{2}/2+p_{\epsilon}$

がみたす方程式を形式的に求めると,$-\Delta w+u\cdot\nabla w=-|\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}u|^{2}+\epsilon\nabla\cdot(|u|^{2}u)-\epsilon|u|^{4}+f\cdot u-\nabla\cdot f$となるが (混乱がないときは添字(2.9)$\epsilon$

をしばしば省く), 実際に$-\Delta w+u\cdot\nabla w\leq\epsilon\nabla\cdot(|u|^{2}u)+f\cdot u-\nabla\cdot f$の弱型式が非負な test 関数に対してみたされているので, (2.5) の代わりに (2.9) を考えることになる. 関数を, その台が $B_{1}(0)$ に含まれていて $\int_{B_{1}(0)}\rho dx=1$ をみたすよう [こ固定する.
[こ対して, $\delta_{x0,h}(x)=h^{-5}\rho((x-x_{0})/h)$ とお$\rho\in C_{0}^{\infty}(R^{5})$$0<h<\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x_{0}, \partial\Omega)$$|_{\sqrt}\mathrm{a}$て, (2.6) の代わりに,$-\Delta G_{h,\epsilon}-u_{\epsilon}\cdot\nabla G_{h,\epsilon}$(2.10)$=\delta_{x_{0},h}$

in

$=0$

on

$\{$

$G_{h,e}$$\Omega$,$\partial\Omega$,の弱解 $(0\leq)G_{h,\epsilon}=G_{h,\epsilon}(x;x_{0})\in H_{0}^{1}(\Omega)$ を考える. 以下の議論を完全にするには, 係数をさらに滑らかな関数で近似する必要があるが, それは議論の中心部分でないので省にとする. (2.10) の test 関数として
く.
をとると,
より,

$u_{\epsilon}$$\beta\geq 0$$G_{h,\epsilon}^{\beta+1}$$(u_{\epsilon}\cdot\nabla G_{h,\epsilon}, G_{h,\epsilon}^{\beta+1})=0$.

$\frac{\beta+1}{(\beta/2+1)^{2}}||\nabla G_{h,\epsilon}^{\beta/2+1}||_{2}^{2}=(\delta_{x\mathrm{o},h},G_{h,\epsilon}^{\beta+1})$

これより,

.

$||G_{h,e}||_{5(\beta+2)/3}^{\beta+2}=||G_{h,\epsilon}^{\beta/2+1}||_{10/3}^{2}\leq C||\nabla G_{h,\epsilon}^{\beta/2+1}||_{2}^{2}\leq C(\beta+2)^{2}||\delta_{x_{0},h}||_{\infty}||G_{h,\epsilon}||_{\beta+1}^{\beta+1}$

これが任意のに対して成り立つので, Moser の iteration technique によって,無関係な定数 $C(h)>0$ が存在して,$\beta\geq 0$$\epsilon$に97$||G_{h,\epsilon}||_{\infty}\leq C(h)$$\beta=0$.

のときの上の計算の最初へ戻ると,$||\nabla G_{h,\in}||_{2}^{2}\leq||\delta_{x\mathrm{o},h}||_{1}||G_{h,\epsilon}||_{\infty}\leq C(h)$も得られる.
$\{G_{h,\epsilon}\}$のこれより, $h>0$ を固定して, 適当な部分列に沿って $\epsilonarrow+0$ とすれば,の極限として求めでの弱極限関数は, 先にを得る. この$G_{h}$$G_{h}$$H_{0}^{1}(\Omega)$$\{u_{\epsilon}\}$た $(NS)^{s}$ の弱解 $u$ を係数にもつ問題$-\triangle G_{h}-u\cdot\nabla G_{h}=\delta_{x_{0},h}$(2.11)$\{$$G_{h}=0$

in ,
,
on
$\Omega$$\partial\Omega$の弱解になっている.

さて, (2.7) を導いたのと同じ考え方で (2.9) および (2.10) の test 関数をそれぞれ取ると, (2.7) に対応する不等式を得ることができるが, それにおいて $h>0$ を固定しての種々の位相での収束 (例えば, Rellich の定
および
とすれば,

$\epsilonarrow+0$$\{u_{\epsilon}\},$$\{w_{\epsilon}\}$$\{G_{h,\epsilon}\}$理により, 適当な Lebesgue 空間上では強収束) によって, 先に求めた $(NS)^{s}$ の弱解
それから定まる head pressure $w$ は(2.12)$u$と$(\delta_{x_{\mathrm{O}},h},\zeta w)\leq(G_{h}, -2\nabla\zeta\cdot\nabla w-w\Delta\zeta+(u\cdot\nabla\zeta)w)+(f\cdot u, \zeta G_{h})+(f, \nabla(\zeta G_{h}))$をみたすことがわかる. ここで, (2.12) の右辺を $h>0$ に無関係に評価したい. $\beta>0$ とする. (2.11) の test 関数として $\psi_{h}=G_{h}/(1+G_{h}^{\beta})^{1/\beta}$ をとると, $(u\cdot\nabla G_{h}, \psi_{h})=0$ (こより,$\int_{\Omega}\frac{|\nabla G_{h}|^{2}}{(1+G_{h}^{\beta})^{1+1/\beta}}dx=(\delta_{x_{0},h},\psi_{h})$ .

$\leq 1$.

任意に小さい $\beta>0$ に対して, Sobolev の不等式と上の評価を組み合わせると,$||G_{h}||_{5(1-\beta)/3} \leq C||\nabla G_{h}||_{5(1-\beta)/(4-\beta)}\leq C_{\beta}+\frac{1+\beta}{2}||G_{h}||_{5(1-\beta)/3}$に対して, 次のような $h>0$ に依存しない評価が得られた: 任意の$C_{r}’>0$ が存在して,$q\in[1,5/3)$ と任意の $r\in[1,5/4)$ に対して, それぞれ定数となる. 従って,$G_{h}$$C_{q},$(2.13)$||G_{h}||_{q}\leq C_{q}$,$||\nabla G_{h}||_{r}\leq C_{r}’$.

これらの評価は, Lebesgue 空間上で見る限り, 作用素一 $\Delta-u\cdot\nabla$ の Green 関数の点のそれと同じであることを示している. さらに, Moser の iteration
での挙動がーtechnique (この iteration は 5 次元ゆえにうまくいき, 6 次元以上ではだめになる) によつ$\Delta$$x_{0}$

98て, 任意の compact 集合$K\subset\Omega\backslash \{x_{0}\}$に対して, $h>0$ に依存しない定数 $M_{K}>0$ が存

在して,(2.14)$||G_{h}$llL へ (K)$\leq M_{K}||G_{h}||_{q}$.

ただし, $q<5/3$ は固定されている. (2.13) およびに対する (2.14) によっに無関係に評価できる. 一方, (2.12) の左辺は,て, (2.12) の右辺を $h>0$ ととしたときに $w(x_{0})$ へ収束する. 実際,aに対して,の Lebesgue 点となるので, a上ほとんど到る所
より,に対して,$K=\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[\nabla\zeta]$$x_{0}\in\Omega_{0}$$harrow+\mathrm{O}$$\mathrm{a}.x_{0}\in\Omega_{0}$$L^{1}(\Omega)$$\Omega$$\zeta w\in L^{5/3}(\Omega)\subset$$\zeta w$$|(\delta_{x\mathit{0},h}, \zeta w)-w(x_{0})|$$\mathrm{a}.x_{0}\in\Omega_{0}$$\leq$$\frac{1}{h^{5}}\int_{B_{h}(x_{0})}\rho(\frac{x-x_{0}}{h})|(\zeta w)(x)-(\zeta w)(x_{0})|dx$$\leq$$\frac{C}{|B_{h}(x_{0})|}$$|(\zeta w)(x)-(\zeta w)(x_{0})|dx$

Bh(勾)は $harrow+\mathrm{O}$ としたときにゼロヘ収束するからである. 以上より, 任意のて, $w$ は$\Omega_{0}$$\Omega_{0}\subset\subset\Omega$に対し上ほとんど到る所上に有界となり, (2.3) が示された.

2.3. Weighted estimates
以下, $\{u,p\}$ を前節で構成した $(NS)^{s}$ の弱解とする. 任意の部分領域
に対して,
となる
を固定する. まず, heml pressure $w=|u|^{2}/2+p$ に対する次$\Omega_{0}\subset\subset\Omega$$\Omega_{0}\subset\subset\Omega_{1}\subset\subset\Omega$$\Omega_{1}$(少し弱い) weighted estimate が必要である: 定数 $C>0$ が存在して, 任意の
に対して,

の

(2.15)$\int_{\Omega}\frac{\eta(x)|w(x)|}{|x-x_{0}|^{3}}dx\leq C$$x_{0}\in\Omega_{0}$.

上で $\eta=1,$
は
ただし, cut-Off 関数
全体では $0\leq\eta\leq 1$ となるものを固定してある. [6] において, maximum property (2.3) から (2.15) が従うことが示された. 用いるのは, 圧力方程式 (2.4) の弱型式である. $h>0$ に対し, (2.4) の test 関数としとする. しかし, アイデアをはっきて, $\eta/(|x-x_{0}|^{2}+h^{2})^{1/2}$ を取って計算の後,りさせるために, $\eta/|x-x_{0}|$ を取って形式的に計算しよう. 後の Lemma 2.4 の証明においても同様の方針で計算するが, 上のような正則化近似によって正当化される. 部分積分により,$\eta\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$$\Omega$$\Omega_{1}$$harrow+\mathrm{O}$.

$3 \int_{\Omega}\frac{\eta((x-x_{0})\cdot u)^{2}}{|x-x_{0}|^{5}}dx=2\int_{\Omega}\frac{\eta w}{|x-x_{0}|^{3}}dx+\int_{\Omega}\frac{\eta(x-x_{0})\cdot f}{|x-x_{0}|^{3}}\text{血}+I$

ただし, は注意して$I$$\eta$の導関数を含む積分項であり,$1/|x-x_{0}|\leq C(x_{0}\in\Omega_{0}, x\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}[\nabla\eta])$$|I|\leq C(||u||_{2}^{2}+||p||_{1}+||f||_{\infty})$に

99と評価される. $w+|w|=2w_{+}$ に注意すると,(2.16)

2$\int_{\Omega}\frac{\eta|w|}{|x-x_{0}|^{3}}dx+3\int_{\Omega}\frac{\eta((x-x_{0})\cdot u)^{2}}{|x-x_{0}|^{5}}dx=4\int_{\Omega}\frac{\eta w_{+}}{|x-x_{0}|^{3}}dx+\int_{\Omega}\frac{\eta(x-x_{0})\cdot f}{|x-x_{0}|^{3}}dx+I$となるが, (2.3) より$\int_{\Omega}\frac{\eta w_{+}}{|x-x_{0}|^{3}}dx\leq||w_{+}||_{L^{\infty}(Su\psi[\eta])}\sim_{\Omega}\frac{1}{|x-x_{0}|^{3}}dx$の評価と併せると, (2.15) が得られる.
であるから, 上のさて, 本節の目的は, 次の命題を示すことである.
$|I|$

Proposition 23. ([8]) Proposition 2.1 で得られた(こ対して$u\in \mathcal{L}_{loc}^{2,1+\alpha}(\Omega)$$(NS)^{\mathit{8}}$

の弱解

$u$

は, 適当な $\alpha\in(0,1)$

をみたす.

CC
を任意に固定して, (2.2) を示そう.
に対して B2、も固定すると, 定数 $R_{0}>0$ が存在して, 任意のに対して,できる. 与えられた再び部分領域$2\subset\subset\Omega_{1}$$\Omega_{0}\subset\subset\Omega$となる$(x_{0})\subset\Omega_{1}$$x_{0}\in\Omega_{0}$$\Omega_{1}$$\Omega$と$x_{0}\in\Omega_{0}$$v_{x_{0}}(x)= \frac{|\nabla u(x)|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u(x)|^{2}+|w(x)|+|\nabla g(x)|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}}$とおく. ただし, $g\in W^{2,5/3}(\Omega)\cap W_{0}^{1,5/2}(\Omega)$ は $w=|u|^{2}/2+p\in L^{5/3}(\Omega)$ を外力項にもつ

Poisson 方程式の境界値問題$\Delta g$(2.17)

$=w$

in

$=0$

on

$\{$

$g$

$\Omega$,$\partial\Omega$,の解とする.

(2.2) を証明するには, 上の$v_{x\mathrm{o}}(x)$に対して, 次の hole fflling inequality が得られれぱ

よい.

Lemma 24. ([8]) 定数(2.18)$C_{1},$$C_{2}>0$

が存在して, 任意の$x_{0}\in\Omega_{0}$と $R\in(0$ , 九] に対して,$\int_{B_{R}(x\mathrm{o})}v_{x\mathrm{o}}(x)dx\underline{<}C_{1}\int_{A_{R}(x\mathrm{o})}v_{x\mathrm{o}}(x)dx+C_{2}R^{2}$が成り立つ. ただし, $A_{R}(x_{0})=B_{2R}(x_{0})\backslash B_{R}(x_{0})$ .

(2.18) より, その右辺の$A_{R}(x_{0})$の hole を埋めると,$(1+C_{1}) \int_{B_{R}(x\mathrm{o})}v_{x_{0}}(x)dx\leq C_{1}\int_{B_{2R}(x\mathrm{o})}v_{x_{0}}(x)dx+C_{2}R^{2}$となる. $\theta=\log_{2}(1+1/C_{1})$ とおき, $0< \alpha<\min\{\theta, 2\}$ なる$\alpha$を任意に取ると,100$\int_{B_{R}(x\mathrm{o})}v_{x_{0}}(x)dx\leq 2^{-\theta}\int_{\mathrm{R}_{R}(x_{0})}v_{x_{0}}(x)dx+MR^{\alpha}$を得る. ただし, $M=C_{2}R_{0}^{2-\alpha}/(1+C_{1})$ とおいた. 任意に与えられた $R\in(0, R_{0}]$ に対して, $R_{0}/2^{k}<R\leq$ 鳥 $/2^{k-1}$ となる自然数を取ると, 単純な iteration にょって,$k$

R(xo)\sim 訂\neq$\leq$$v_{x_{0}}(x)dx$$\int$

B、72k-l$\leq$

2-\mbox{\boldmath $\theta$}$v_{x_{0}}(x) \text{と}+M(\frac{R_{0}}{2^{k-1}})^{\alpha}$$\int$

B、72k-2$\leq$$\leq$

2-k0]B2’5\tilde x 訂 x)dx+M$\leq$$( \frac{R}{R})^{\theta}\int_{\Omega_{1}}v_{x\mathrm{o}}(x)dx+\frac{M(2R)^{\alpha}}{1-2^{\alpha-\theta}}$$\sum_{j=0}^{k-1}2^{j(\alpha-\theta)(\frac{R_{0}}{2^{k-1}})^{\alpha}}$

.

よって,

(2.19)$C_{0}=$

五$-\alpha$$\int_{\Omega_{1}}v_{x_{0}}(x)dx+\frac{M2^{\alpha}}{1-2^{\alpha-\theta}}$とおけば, 任意の $R\in(0, R]$ に対して,$\int_{B_{R}(x_{0})}\frac{|\nabla u(x)|^{2}}{|x-x_{0}|}$血$\leq C_{0}R^{\alpha}$となる. ここで, $R=$ 鳥に対する (2.18) を用いると,$\int_{\Omega_{1}}$v よ。$(x)dx\leq$$\leq$(l+Cl)\Omega l\BR 化 (x0)$\frac{C}{R_{0}}||\nabla u||_{2}^{2}+\frac{C}{R_{0}^{3}}(||u||_{2}^{2}+||w||_{1}+||\nabla g||_{2}^{2})+C_{2}R_{0}^{2}$となるので, (2.19) の $C_{0}>0$ はが得られ, Proposition 23 が示された.

$x_{0}\in\Omega_{0}$$|\nabla u(x)|^{2}/|x-x_{0}|$

上記の$v_{x_{0}}(x)$$v_{x_{0}}(x)dx+C_{2}R_{0}^{2}$$\int$に無関係な定数で評価される. 以上より, (2.2)

だけ [こ対して閉じた形の hole fflling inequality は得られず, そのためのように, その他の量も動員する必要があることは, 以下の証明で明らがとなる.

Pmof of$Lem\pi m\mathit{2}.\mathit{4}$. 証明に用いるのは, (2.15) の他に, Navier-Stokes 方程式 (直接には後で述べる Navier-Stokes inequality), 補助的な Poisson 方程式 (2.17) および圧\lambda 方程式(2.4) である. これら 3 つの方程式 (不等式) の test 関数の取り方が重要である. まず, 22
節で構成した$(NS)^{\epsilon}$の弱解 $\{u,p\}$ は, 任意の非負な$\phi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$

に対して,

101
(2.20)
をみたす.

$\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla(u\phi)dx\leq\int_{\Omega}[w(u\cdot\nabla\phi)+(f\cdot u)\phi]dx$$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{h}\mathrm{s}\oplus \mathrm{R}\mathrm{u}\check{\mathrm{z}}\mathrm{i}\check{\mathrm{c}}\mathrm{k}\mathrm{a}[8]$は (2.20) を. Navier-Stokes inequality と呼び ([3] の意味

generalized energy 不等式の定常版である), 22 節での弱解の構成方法と {ま無関係 {ニ,
力 1 し, 22 節で構成した(2.3) をみたす弱解に対して (2.20) が成り立つことを証明した.

の$1_{\vee}$に対する Navier-Stokes
弱解に限ると議論は易しく, まず (2.8) を用いて近似解とすればよい. 尚, 一般の弱解力 $(2.20)$ をみ
inequality が得られ, それにおいてたすかどうかは, 不明である.
を,
cut-Off 関数$\{u_{\epsilon},p_{\epsilon}\}$$\grave{\grave{1}}$$\epsilonarrow+0$$\rho\in C_{0}^{\infty}(R^{5})$$0\leq\rho\leq 1$

Supp

,

$[\rho]\subset B_{2}(0)$,をみたすように取り, これを固定する. 与えられた$\rho=1$$x_{0}\in\Omega_{0}$in $B_{1}(0)$と $R\in(0, R_{0}]$ に対して,$\zeta_{x_{0},R}(x)=\rho(\frac{x-x_{0}}{R})$とおく. このとき,$x_{0},$$R$に無関係な定数 $C>0$ が存在して,(2.21)$(k=1,2)$$|| \nabla^{k}\zeta_{x\mathrm{o},R}||_{\infty}\leq\frac{C}{R^{k}}$のように略記する. (2.20) の test 関数として
以下, 簡単のため,$\phi=\zeta/(|x-x_{0}|^{2}+h^{2})^{1/2}$ を取っ$\phi=\zeta/|x-x_{0}|$ を取ると (すでに述べたように, 実際には
. 以下同じ), 簡単な計算により,て計算の後にとなる.

$\zeta=\zeta_{x_{0},R}$$harrow+\mathrm{O}$(2.22)$\int_{\Omega}\zeta(\frac{|\nabla u|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}})dx\leq J_{1}+J_{2}+J_{3}$.

ただし,$J_{1}= \int_{\Omega}w(u\cdot\nabla\frac{\zeta}{|x-x_{0}|})dx$,$J_{2}= \int_{\Omega}\frac{\zeta(f\cdot u)}{|x-x_{0}|}dx$,$J_{3}= \int_{\Omega}[\frac{(\Delta\zeta)|u|^{2}}{2|x-x_{0}|}-\frac{((x-x_{0})\cdot\nabla\zeta)|u|^{2}}{|x-x_{0}\}^{3}}]dx$である. ここで,$\zeta$の導関数を含む(2.23)
を得る. また, $f\in L$ “$J_{3}$

は $A_{R}(x_{0})$ 上の積分となり, (2.21) より$|J_{3}| \leq C\int_{A_{R}(x\mathrm{o})}\frac{|u|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}}dx$$(\Omega)$

より,

102
(2.24)$|J_{2}| \leq\frac{1}{4}\int_{\Omega}\frac{\zeta|u|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}}$

血 $+C||f||_{\infty}^{2}R^{6}$のように評価して, 第 1 項を (2.22) の左辺に吸収させる.

$J_{1}$につぃては, (2.17) の解

$g$

を

用いて

$J_{1}=- \int_{\Omega}\nabla g\cdot\nabla(u\cdot\nabla\frac{\zeta}{|x-x_{0}|})dx$のように書き直すと,(2.25)$|J_{1}| \leq\frac{1}{2}\int_{\Omega}\zeta(\frac{|\nabla u|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}})dx+C\int_{A_{R}(x_{0})}(\frac{|\nabla u|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u|^{2}+|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}})dx$$+C \int_{B_{2R}(x_{0})}\frac{|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}}$血が得られる. (2.23), (2.24) および (2.25) を (2.22) へ代入すると,(2.26)$\int_{B_{R}(x\mathrm{o})}(\frac{|\nabla u|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}})$

血$\leq C_{3}\int_{A_{R}(x_{0})}(\frac{|\nabla u|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u|^{2}+|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}})dx+C_{3}\int_{B_{2R}(x_{0})}\frac{|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}}dx+C_{3}R^{6}$となる. 従って, $|\nabla g|^{2}/|x-x_{0}|^{3}$ の $B_{R}(x_{0})$ 上での積分が必要である. まず, (2.15) におけるのと同じ cut-Off 関数
に対して, (2.17) の test 関数として $\eta/|x-x_{0}|^{3}$ を取ると$\eta$

き, $\Delta_{|x-x_{0}|}^{1}\neg=-8\pi^{2}\delta(x-x_{0})$ [こ注意すると, (2.15) を用いて g\in L 二 (\Omega ) が得られる. さらに,$\overline{g}=\frac{1}{|A_{R}(x_{0})|}\int_{A_{R}(x\mathrm{o})}g(x)dx$

とおき, (2.17) の test 関数として今度は$\zeta(g-\overline{g})/|x-x_{0}|^{3}$を取ると, 上で導いた$g\in L_{loc}^{\infty}(\Omega)$

およひ $A_{R}(x_{0})$ 上での Poincar\’e の不等式にょって,(2.27)$\int_{B_{R}(x\mathrm{o})}\frac{|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}}dx\leq C\int_{A_{R}(x\mathrm{o})}\frac{|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}}dx+C||g||_{L^{\infty}(\Omega_{1})\int_{B_{2R}(x_{0})}\frac{|w|}{|x-x_{0}|^{3}}}$を得る. $(2.26)+(1+C_{3})(2.27)$ により,(2.28)$\int_{B_{R}(\infty)}(\frac{|\nabla u|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u|^{2}+|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}})dx$

dエ

103
$\leq C_{4}\int_{A_{R}(x_{0})}(\frac{|\nabla u|^{2}}{|x-x_{0}|}+\frac{|u|^{2}+|\nabla g|^{2}}{|x-x_{0}|^{3}})dx+C_{4}\int_{B_{2R}(x\mathrm{o})}\frac{|w|}{|x-x_{0}|^{3}}dx+C_{3}R^{6}$.

あとは, $|w|/|x-x_{0}|^{3}$ の $B_{R}(x_{0})$ 上での積分を評価して, $v_{x0}(x)$ について閉じた hole fflhng
inequality をつくればよい. そのために, 再ひ圧力方程式 (2.4) を用 , その test 関数とに取り替えた (2.16) の右辺において, の導関数を含むをして, $\zeta/|x-x_{0}|$ を取る.
$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\zeta$$\zeta$$\eta$

積分項$I$

は, $p=w-|u|^{2}/2$ と表すことによって,$|I| \leq C\int_{A_{R}(x\mathrm{o})}\frac{|u|^{2}+|w|}{|x-x_{0}|^{3}}dx+C||f||_{\infty}R^{3}$と評価される. もう一度 (2.3) によって$\int_{\Omega}\frac{\zeta w_{+}}{|x-x_{0}|^{3}}dx\leq||w_{+}||_{L^{\infty}(\Omega_{1})\int_{B_{2R}(x\mathrm{o})}\frac{1}{|x-x_{0}|^{3}}dx}$となるので,(2.29)$|I|$の評価と併せて,$\int_{B_{R}(x\mathrm{o})}\frac{|w|}{|x-x_{0}|^{3}}dx\leq C\int_{A_{R}(x\mathrm{o})}\frac{|u|^{2}+|w|}{|x-x_{0}|^{3}}dx+C||f||_{\infty}R^{3}+C||w_{+}||_{L^{\infty}(\Omega_{1})}R^{2}$が得られる. $(2.28)+(1+C_{4})(2.29)$ により, (2.18) が導かれる. 口

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