複合ケープル構造の構造安定性 I~ 関する研究
一基本モデルの機造安定一
半谷裕彦・ 1，真柄栄殺・ 2
岡 村 潔 ‑E， 林 暁 光 ・ 1

務走蓮華喜

偉材、ケープル材、膜併などにより僑成される複合機造では圧縮に抵抗する棒材及び引張りに抵抗するケープル材や膜材などの役割分担がなされ，そのため軽量構造を可能としている。しかし、圧縮を受ける機材や初期張力の消失後の全体的挙動において術進安定がひとつの諜題となる。本論文では、棒材とケープル材から織成される基本モデルを利用して、この種の構造の構造安定性老調査するための基礎的事項を検討する。

1. 研 究 目 的ケープル、級、榛材(ポスト〉などによる複合唱構

ば~造を「篠合ケープル構造 J と呼ぶことにする。複合ケープル徳造の基本的な様遊原理はケープルと膜の張力とポストに生じる紬圧縮力の組合せにより抵抗する事構造システムにある。ケープルや膜材 t
こは圧縮(a) ガ ー ダ } ヲ イ プ力に対する抵抗能力(剛性)が期待できないので、自己釣合応力系を携成する初期張力を導入することにより初期剛性を確保することになる。そのため、自己釣合応力系を満足する形状の選定とともに、 (a性評価， (b)荷重量E荷による剛性〉初期張力による岡i変化， (c)初 期 張 力 導 入 状 態 及 び 荷 重 載 荷 状 態 に お ける機造安定，は複合ケーブル梅迭を殺計する場合の基本的検討事項となる。 (a)、(b)項 は 応 力 、 変 形 性 状を把握する際に必要となる剛性評価を実絡するもの)項であり、機造設計の基礎となる。しかし、 (a)、(bを理論構成するためには、 (c)項 に お い て 「 不 安 定 状態とはなっていない」ことが前提となる。
以 上 を 背景 と し て 、 本 論 文 で は 、 練 材 と ケ ー ブ ル
材からなる基本モデルを利用して、構造安定性を調図 ‑1 複 合 ケ ー プ ル 情 造 の 例査するための基礎的事項を検討する。

本l
東京大学生産技術研究所(b) ド ー ム タ イ プ

本2竹中工務庖技術研究所

一 11‑

2. 初制鳴す1，，1
竺
荷重 ・変 的 関 係

1.0，=1/5
一一 ，=1/6

本 章 で は 、 図 ‑2、 図 ‑6、 図 ー 10 に示す 3個ーー一 μの基本モデルを用い、構造形状と初期張力の効果のμ関係、および荷量・変位関係における非線形性のオー ダ ー について述べる。

コ￨
一2.
1基本モヂル ー I

p0.2
0.00.01.00.5

1.52.
0(XIO‑')o/L

図 ‑3 モ デ ル Iの 荷 量 ・ 変 位 曲 線
2.0L，c/c・，

1

1.0トー̲.
図 ‑2 基 本 モ デ ル ー I，， (XIO‑')
c
/cu

¥札口、J

基 本 モ デ ル ー Iは 4本のケ } プ ル を 対 称 位 置 に 配し、ポス トの 上 端 に 鉛 直 荷 量 Pを作用させるモデル

1.
口 仁一一一一一一一一一‑一一‑
一一‑一一一一一一c.
/c， (XIO‑')である。スパンを Lとし、ポストの長さを Hとする。

2.00.0ケープルの断面積を A、 初 期 張 力 を N 0、 ポ ス ト の 鉛

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

H./(Au，)

直方向変位を/J.とすると荷重・変位幽線は次式とな
図 ‑4 荷 量 ・ 変 位 関 係 の 非 線 形 性 の オ ー ダ ーる。

P = C，/J.+C3ム3+ C5/J.5 +・・・U2~_

し包ーし日，= (EA‑N0) 子τ + 4 ~(2‑2)

Cを利用した噌分解法による解である{

お い て は 、 ポ ス ト と ケ ー プ ル の 剛 性 比 (EA)p/ (EA)cを104のオ ー ダーとしている。
nHnH
今ζ

nH

﹁﹄ Ill ‑‑aEEEBB‑Jmnud

内fm‑

m剛 側=(2・4)

ここに、このとき、 μ， 1/5 および μ， 1/6 に対して無''lmn

f‑m‑
1 ・内ζ

﹄

‑ffIF‑

内園田 ‑EElM
M附円‑+的tETeaEEEEBE JfmmnH

Hmm 9 ' ‑ n﹄nE︽ 剛 開 削 附﹄﹄

Fド旬 ﹄

川A 7L

FEE'hEEBB‑'aEBEEL﹃E J・3)0μ1=‑
1==PEE﹄K

ケープルの降伏応力を σν とし、形状パラメーターμ1を次式で定後する。

‑:ケープル長

9L
e=÷dF
工Z
Z

Aと O(ま下式I】。得分解法に︐HH
ζ︐︐n︐︑0・nmmnH

ここに2‑1)式による理論解、実線と点線は ((2・ 1)

冊、 n はケ}プルの全体座標系に対する2、次 元 化 さ れ た 荷 量 (P/Aaν〉・変位(/J./L) 幽線

方 向 余 弦 で あ る 。 図 ‑3 より両者の解は一致していを錨くと図ー 3 となる。

る。図中の荷量・変位曲線はほぼ直線となっている，=1/5μ，μ =1/6ステップ

369

図 ‑5 荷 重 の 憎 加 に よ る 制 力 の 変 化‑ 12‑12が、非線形性のオーダーを調べると図 ‑4 となる。

1.0=1/6 の場合における No/Aaν ‑C，/μ2

図 ‑4 は μ10.
8

C'0 関係を描いたものである (C，0は N
o= 0の湯合の、，μ2 =3/5a 目.6C，)。上弦ケープルと下弦ケ ープルが対称位置となっているため、 Ci (i =1，3，5) の値は N0の値に=215

μ2 =1/2b司て仏。
.

かかわらずほぽ一定となっている(図 ‑8と比較〉。

~0.
2

同図より (2・1)式の各係数 聞のオ ーダーは観略、 i
欠式
0.0
O:Oとなる。

，CsICI0=0(10・ 8)

1.
5(XIO，・)

企 /L

CJlC'0= 0(10‑3)，

C /CI0=0(1)
，

1.0

0.
5

図一 7 モ デ ル H の 荷 量 ・ 変 位 幽 線

(2‑5)

3.
0

次に、荷量の t
書加に伴う紬力の変化を観察するとCX10争雲}… ~C2/C，

図 ‑5 となる.荷量の増加により、上弦ケープルの、二下ベ̲
'.

初期張力 (No=400kg) は減少し ていき、 N = 0の時点

C ， /c ，.~、.
>
ゃ~-------・JL77:二二〉ー=τ二三¥白 .0"・uでケープルにたるみが発生する.一方、下弦ケープルでは、張力は t
智大していき、 N=Aσ"の時点で降1・0ト¥ ̲‑‑
ぞ;
.
.
‑
1
一 三 一 L一、プベごCc，，C/c，2.
0ト CXIO" )伏t
こ逮する〈本モデルでは Aσν =845 kg) 03.
00.
0

2.2 基本モデル ー E0.
2

C./C，
CX10‑・〉

0.
4".
:
ド'‑.CXIO‑・〉

0.
60.
8

司ゴコ

図 ‑8 荷 量 ・ 変 位 関 係 の 非 線 形 性 の オ ー ダ ー
基本モデ ル ‑IIは図 ‑6 に示すよ うに、上、下弦ケープルを非対称に配置 したモデル で ある.このモデルの荷量・変位 曲線はP = C ，.ð. +C 2L~2 +C 3 .ð. 3+ ・ ・・
C1内JLau

い一・+q ︐&11

住町一、lt)uN﹁L~um

LO‑+1\'l~'125=2/51(2・6)=2(EA‑No)些 +2 〈EA‑HJP
4+し，‑

図 ‑6 基 本 モ デ ル ‑II(2‑7)'31\~3'14
̲̲11
喝、‑
'
./〆
'
電司，.
.
.
"，.

司、句、ー____

1
1
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1、、、;::;:1c11.̲/'〆，、、、、、司工
二1、司、‑.
‑1.
.
.
"、1
1
匂~レぺ~.，?
i9'‑

吋レベゆμ2 = 1/2μ2 =3/5I

ステップ

1.0μ2Lμ22.
051015

図 ‑9 荷 重 の t普加による紬カの変化‑ 13 ‑19ここに、 N0、 NIは下弦及び上弦ケープルの初期(L0= .
v'HI2+張力. L0、 LIは部材長である。

+(L/2)2 ，

1.
02+(L/2)2
L1= .
v'H20.
8()。ここで、

注 目.
6b"'ι
之次の形状パラメーターを導入する。

μμ1μ2=』 LH
I+H2ζL(2‑8)

左右のポスト0.
2=114 に対 して、 μEの{直を変化させた場合の1.0

荷重・変位曲線を描くと図 ー?となる。この場合においても、理論解と増分解はほぼ 一致している。荷量・変位関係における非線形性のオ ーダーを調べる

d/L1.52.
0(X10‑3)

図ー 11 モ デ ル 皿 (a)の 荷 量 ・ 縦 変 位 曲 線=と図 ‑8 となる。 μ2 0.5 においては、基本モデル
1.0ー Iと一致することから、 C2= C.=・・・ =0 となる。

右のポスト

0.
8非線形性のオ ーダ}はC2IC
I0=0(10‑2)，

CI/CI
0=0(1)，

C3/C
I
0=0(10‑3)(0.6忌b(2・9)4疋てιCIは対称性がくずれると剛性が増加し， C3はそQ.

日.
2の逆の傾向 となっている。

J
欠に、荷重の t哲加に伴う軸カの変化を観察すると日.
0=伏が， μ2 3/5 の犠合は上弦ケープルのたるみが先=行する。 μ2 112 の場合は降伏とたるみがほぼ同時

1.0t:./ L0.0

図 ‑9 となる。 μ2 =215 の場合は 下弦ケープルの降図 ‑ 12に生じている〈図 ‑5参照〉。

1.5
2.
0(XIO一りモ デ ル 血 (a)の 荷 量 ・ 横 変 位 曲 線

1.02.
3 基本モデル ‑ill

右のポスト

0.
8~、

急

b0.6

哩
疋
〆
、

" 0.4

左右のポスト

Q.

日.
2

主乙j

L々L

0.
5l
図 ー 13

図 ‑10 基 本 モ デ ル ー 皿デルー Iと E とを組み合わせて事構成した平面モデル

モ デ ル 邸 (b)の 荷 重 ・ 縦 変 位 曲 線

0.
8である。ここでは、本モデルを用いて荷重分布の遣(いによる輸力及び変位分布の差を観察する。荷重分b布として次の 3種類を採用する。

~0.6"'0・4て下繍(+)

Q.

増分荷重ム P
I= 10kg(b) P2=P3=~PI;

増分荷重I:::.P
I=15kg1.
52.
0(X10‑3)

1.0

基本モデル ー E は図 ‑10 に示すよ うに、基本モ(a) P
I=P2=P3;

1.
0d/L

0.
20.00.0(c) P
2= ~PI; P3=~PI ， 増 分 荷 重 品 =15kg

0，51.0d /し

図一 11 ~図 ー 1 6 はポストの縦変位・荷重関係

‑ 14‑

1.52.
0(Xl0‑')

図 ‑14 モ デ ル 国 (b)の 荷 重 ・ 検 変 位 曲 線

1.01.
日上C+) 下 (・〉O.日

0.
8〔、0.6r0.6>

b>b‑<ご5自.4
¥ー。
0.
2

̲.
.
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A‑.
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..

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右‑
̲
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‑
一一.
.
.
.
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.
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.
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デ=.
.
.
.
←‑
戸
一'
守.叫虐献 ヲ部

0.0
0.
0

之
仏

車中.
5

1.0

目

t./ L

0.
2

a
昏
ド‑‑‑品占a1.
5
CX10‑')

左日.
0日.
02.
0

図 ‑15 モ デ ル 山 (c)の 荷 重 ・ 縦 変 位 幽 線

0.
5

図 ‑161.0
t./ L

1.
5CX10‑')

2.
0

モ デ ル 血 (c)の 荷 受 ・ 績 変 位 幽 綴

0.8

LJLtZ

r、団、"'"，.
‑.
.

0.
5手b‑<o〉〉 0・̲
.
、.
.
cr
、

日.3

<、

0.
10.0

1
トて
『

μ10.
30.
2

図 ‑ 18 材 料 に よ る 限 界 曲 線 の 変 化

〆町、三.
)

0.
7.

/'‑一一一一ー一一ーμー
一2ー=0一.
6‑
一一
『933

図ー 17

荷量状態による純力の変化b量で示したものである.図ー 11 ‑ 図 ー 14 に示す
ように、対称荷量の場合は荷量と変位の関係は線形B.
20.
0なっている. 非 対 称 荷 量 の 犠 合 ( 図 ‑15 .図ー 16 )には、やや曲線となっており、左右のポストの縦方は、左右のポス トの変位が大きくなっている。

し0.
3となっており 、 検 方 向 の 変 位 は 縦 変 位 の ほ ぼ 1/10と中央ポストの縦変位が大きく、非対称荷重の場合にμ2=0.5

¥ 0.
4〉

向の変位は逆関係となっている.対称荷重の窃合は~‑<および様変位・荷量関係をt./L‑P/Aσ" の無次元

図 ‑ 19.
白‑‑uHoi010.20.2μ1μ2に よ る 限 界 幽 線 の 変 化関係する。上弦ケープルのたるみと下弦ケープルの降伏が同時に発生する場合の限界方程式を求めるとi欠式となる。

3. わるみと降伎の発生領縫図 ‑6 に示す基本モデル ‑llを利用して、たるみ，と降伏の発生領域を検討する.荷重の増加とともに，ケープルの張力は初期張力 Neから治大してくる.上Ne. N，).ケ}が先に発生するかは，初期張力 (プルの降伏張 力 (Nν=Aaν) . 形 状 ( μ " μ 2)に

1‑ v.‑‑，‑ 4μfμ22 ' EAJ，}市b+μ 2μ22 ) 忠 一 { 山 +μ 2(1‑μ2)2

上弦ケープルの張力は初期張力 N，から減少し、下弦弦ケーブルのたるみと下弦ケーブルの降伏のどちらト，/
1‑2 (1+. 1， ，)也 1= (0.25μ 2μ2 I(3‑1)

図ー 18 は μ2=0.5 (H，= H2)の喝合において、2， 1
2種 類 の 材 料 E=2.1Xl06 kg/cm.6Xl06 kg/cm2l
こ対する限界幽線である.横輸は形状パラメータ μ:‑ 15 ‑

で、縦紬は Na/しである。幽線より上の領域では、下弦ケ ー フ ル が 先 に 降 伏 に 達 す る 。 反 対 に 、 下 の 領

ド域では、上弦ケーブルのたるみが先行する。限界状
まぽ Na/Nν=0.5 となっている 。
態は μ1>1では、 ll

また、同図より、材料による差は僅かであることがわかる。

μ~~

図ー 19 は形状パラメータ μE が変化する場合〈HI"*H2)の 限 界 曲 線 の 変 化 を 示 し た も の で あ る 。 こ(a)両 外の 繍 合 、 縦 軸 は 下 弦 ケ ー プ ル の 初 期 張 力 Naと降伏張ν の比 (Na/れ)を示す。 μ2が 0.5より大きくな力N(b)面 内

図 ‑20ると限界曲線は上方向に移動している。

ポストのモデル化

1T1T

図 ‑18 および図一 19 は 初 期 張 力 の 大 き さ を 決める場合の資料として利用できる。

4. ポ ス ト の 面 外 安 定
複合ケ ープ ル 構 造 の 具 合 例 と し て 、 図 ‑1に示す
ケープルド}ム等がある。ケープルドームは図ー 1

寸T2(b)に示すように、母線方向の基本平面布構造システムを周方向に配置し、フープケープルで結合したものである。そのため、①節材レベル，②基本平面権造システムレベル，③全体布陣造システムレベル，の 3レベルにおける機造安定問題が生じてくる。代表例
をあげると、(1):ポス トのオイラ}座屈、 (n) :(ill):聞方

5向への全体的な探れ座屈，等がある。本章では複合4ケー ブル張力の消失による面内不安定，

gv‑¥)
晶

ポス トの 面 外 安 定 住 を 検 討 す る ほ 1。

qo

ケープル構造の布陣進安定において基本となる 1個の24.1解 析 モ デ ル

AHV剛川︐L︑J b︐OO

υA

υαO( 変位の4Ha聞H

hytr面

ι変性

nvd

J︐

q b20 (a)に示すように、ポスト上，下端の面外剛性 K
I、K2 を有する解析モデルを作成する。 KIは初期張力をq4トの 面 外 安 定 性 を 考 え る た め 、 図 ‑20 (b)を 図 ‑図I、 01、 PI、 R2、 02とする。このポスに示すように RAHVυn‑00

図ー 20 に示す 1個 の ポ ス ト 円 を 考 え る 。 荷 量 をP、ポスト長をし、初期張力による自己釣合応力を図K0/
K0'

持 つ ケ ー プ ル の 面 外 方 向 へ の 剛 性 ( 図 ー21 )であK
2はフ ー プケープルの剛性である。そのため、通常では K
2>>KIが成立している。
り、

1.04.
2面 外 剛 性 の 評 価対称b)か ら 分 か る よ う に 、 ポ ス ト の 上 端 に
図 ‑20の(集まるケープルは必ずしもポストと直交しているわ
け で は な い 。 そ の た め 、 図 ‑22、 図 ‑23 に示す
ように、ポストとケープルがある角度を有している

一16一0.0。
。

010020β

図 ‑23 初 期 国 外 剛 性 と 角 度 。 の 関 係

i(y，‑Y2)2

場合における函外剛性の評価を行い、角度の量三響をd.'=;

考えてみる.

(4・4)となる.上式を用いると全ポテンシャルエネルギ‑

n1、
まロ=Ak，y，2+A
k2y22‑，;!
(y，‑Y2)2 (4・5)
2L，sn/sY =o、 sn/SY2=0 より国有方程式を)
式の備を零とするこ作成し、係数マトリクスの行 9
図 ‑2lj'

張 力 Tを 受 け る ケ ー プ ル の 変 位とにより座屈荷量は次式で得られることになる。

=す長 L

Pc，

まず、図ー 24 に示すように，ボストとケープル
受ける gJH.
オ
長 Lのケープルに対して、荷量 Fと変位=ーーム
ι一一長，/長2+1 L= (長，)Ld.との関係を求めると(4・ 1)

次式となる.

(N上式より、張力 T を受ける 1個のケープルに対し

T、Pc，= II:α ド ILk，=TIしとなる。

、'¥=1 L.
.
' )(4‑1)式はd.が大きくなるにつれて、非線形となる

=

(4・7)

(4‑3)式を代入すると 1個のポストの面外座屈荷量は

2Te'=; "，'d.

F 2T sin

では、(4・6)も<<長 tの場合にはが直交している湯合を基準として考える.張力 Tを=2(4‑8)

具合修)1については、文献 [2]を参照していただきたい.

が、図ー 22 は H， H2の犠合における 面外剛健の変=L 且益，+H2を一定化を示したものである。図 ‑23 はH Hとして、角度 Pを変化させた場合の初期面外剛性の本論文では縫合ケープル徳造の帯構造安定性を基本変化を図示したものである。ポストとケープルが直モデルを利用して検討した。その主な内容を箇条容交 し て い る 場 合 〈 も = T/L) を基準として、角度がに示すと(1) 荷重の槽加に伴う隣住変化ある場合は(2) 非線形性のオーダー=α よ =( l ‑ J ! 2 . ) よ く 4‑2)
H' L

(3) たるみによる不安定の発生

αは角度に依存する低減係量生である。

(4) ケープルの降伏

ポストの上端に N個のケープルが結合されている(5) たるみと隙伏の発生領域

壕合には(6) ポストの函外安定長，N=I:ad.
.
.
.
i¥'=1等である。本論文では，平面相摩造システムレベルを叩(4・3)~l中心として鍛っている。今後、全体構造システムレベルの検討が必要であり、その具合例 としては，周4.
3 面外座屈荷重方向への全体的な強要れ~屈、などがあげられる.

金主主盛[1]I.YA門AGUCHI etal.
:<<A Study on theHechanism and Structu
ralBehaviorsof CableOome>>Proc.IASSSym
posium，Beijing，Oct.
1987[2] 半 谷 裕 彦 ほ か : r複合ケ}プル槍造の構造安定 性 に 関 す る 研 究 ー ポ ス トの面外安定についてー」
図 ‑25 ポ ス ト の 函 外 座 屈;日本建築学会大会学術講演梗徴集，昭和 63年10月

図 ‑25 tこ示すように、面外座屈後の上、下端の変位を Y、， Y2とすると、輸方向の変位 A は‑ 17

STRUCTURAL STABILITV OF HVBRID CABLE STRUCTURES‑INVESTIGATION BY USE OF FUNDA門ENTAL 門ODELS‑
1
Vasuhiko HANGAI・

Hideki門AGARA・
2

Kiyoshi OKA門URA. and Xiaoguang LIN・
12SYNOPSIS
Hybrid cable structures.which are constituted of cabl
es，membranes，posts，etc.，have thestructural characteristics such that tension stresses are transmitted by cables and me聞branes，and in the other hand. compression stresses are transmi
tted by postS. Since cables and闇e剛 branes have no stiffness for compression，initial stiffness has to be given by theintrod
uction of initial tension which satisfies the self‑equilibrated stress syste町1. SO，thefollowing items are considered to be studied: (1) Determination of configurations which satisfy
the self‑equilibrated stress syste聞 ， (2) Estimation of initial stiffness by the introduction of
initial tension，(3) Structural behaviours due to loading，and (4) Structural stabiIityin theinital tension state and the loaded state. The items of (1) through (3) are bases for theo be treated under thestructural design of hybrid cable structures. However，these items have t
condition that the considered hybrid cable structure is not in the unstable state.
Based on the above perspective，
fundamental behaviours of structural stabi1it
y for hybridcablen the paper by use of simple models. 門ain contents are as follows.
structures are exa聞 ined i(a) Load‑displacement relations considering higher order non
linear terms and estimate ofnonlinear ter圃s，(b) Occurrence conditions of slackness and yield of cables，(c) structural behaviours under the unsy聞metrical loadings，and(d) Out‑of‑plane buckli
ng of a post.

本1 Institute of Industrial Science. University of Tokyo

本2 T
akenaka Techni
cal Research Laboratory，Takenaka Komuten Co.，Ltd.

‑ 18