数理解析研究所講究録
1197 巻 2001 年 163-175

163

ダム問題に対する時間概周期解
NORIAKI YAMAZAKI (山崎教昭), MASATO TAKAHASHI (高橋正人)
Department of Mathematics
Graduate School of Science and Technology, Chiba University (千葉大・自然科学)
AND

TAKANOBU OKAZAKI (岡崎貴宣)
Department of Mathematics
Faculty of Education, Chiba University (千葉大教育)\S 1. 序以下の楕円-放物型自由境界問題を考察する :on$v=g_{D}(t, x)$$\partial v=0$$v\leq g_{U}(t, x)$,$\Omega$$\Sigma_{D}:=\bigcup_{t\in R}\{t\}\mathrm{x}\Gamma_{D}(t)$$\Sigma_{N}:=\cup\{t\}t\in R\mathrm{x}\Gamma_{N}$$\partial v\leq 0$on
ここで、on,(1.1)

in $Q:=R\cross\Omega$ ,$\rho(v)_{t}-\triangle v=f(t, x)$(1.2),(1.3),$\partial v\cdot(v-g_{U}(t, X))=0$$\Sigma_{U}:=\bigcup_{t\in R}\{t\}\cross\Gamma_{U}(t)$

(1.4)

.

をもち、 その境界で構成されているとする。 つまり、

は $R^{N}(1\leq N<+\infty)$ の有界領域で滑らかな境界

は、 互いに素な 3 つの部分$\Gamma_{D}(t),$$\Gamma_{U}(t),$$\Gamma=\Gamma_{D}(t)\cup \mathrm{r}_{u}(t)\cup\Gamma_{N}$$\Gamma_{N}$

そして$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}_{\mathrm{r}(}\Gamma_{D}(t))>0$$\Gamma$,$\Gamma$$\forall t\in R$とする。 また、 : $Rarrow R$ は非減少リップシッツ連続関数で、 $f(t),$ $g_{D}(t),$ $g_{U}(t)$ は与えられたデータである。 上記のシステム $(1.1)-(1.4)$ は、 溜池の水位が時間とともに変化するダム問題を記述している。
上記のシステム $(1.1)-(1.4)$ の初期値問題の解の存在 -意性そしてその漸近挙動については、 既に [8, 9, 10] で議論されている。 また周期問題については、 $[5, 6]$ により$\rho$

周期解の存在とその周期安定性が議論されている。
さて本稿では、 問題 $(1.1)-(1.4)$ の時間概周期問題を考察する。 つまり 「ダムの両側にある溜池の水位が時間概周期に変化する」 として、$\bullet$

時間大域的に有界な解$\bullet$$\rho(v^{*})$$v^{*}$が–意に存在するが時間概周期であり、 漸近安定である

164ことを議論する。
さらに、 空間 2 次元の場合の数値実験結果についても述べる。 その数値実験結果により、 [5, 6, 8, 9, 10] で得られた理論結果を容易に理解することができる。
記号. 本稿を通じて、 以下の記号を用いる :$H:=L^{2}(\Omega)$,$(\cdot, \cdot):=\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}$,$X:=H^{1}(\Omega)$

inner product in $H$ ;$a(u, v):= \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla vd_{X}$.

\S 2. 仮定と主定理
まず、 概周期関数の定義を思い出そう。

定義 2.1. $W$ を完備距離空間としその距離をに対して、
そして$[t, t+l_{\mathit{6}}]\cap E_{\epsilon},h\neq\emptyset$$d_{W}$とする。 このとき、任意の定数 $\in>0$$d_{W}(h(t), h(t+\tau))<\epsilon$,$\forall t\in R,$をもつ相対稠密な集合と呼ばれる)を満たす正定数 $l_{\xi j}>0$ と (長さ$h:Rarrow
W$ を W-概周期であると言う。
が存在するとき、 関数$l_{\epsilon}$$\forall\tau\in E_{\epsilon,h}\mathrm{i}$$R$の部分集合$E_{\epsilon,h}$

概周期関数の特徴付けとして次のボッホナー判定条件がよく使われる。
$\bullet$(ボッホナー判定条件)

関数 が W-概周期であるための必要かっ十分条件は、
集合 $\{h_{t}\equiv h(\cdot+t), t\in R\}$ がバナッハ空間 $C_{B}(R, W)$ で相対コンパクトになるときである。 ここで、 $C_{B}(R;W)$ は、 $R$ から $W$ への連続で有界な関数の全体集合である。
$h$

概周期関数の他の性質については、 例えば $[2, 13]$ を参照する。
次に、上で定義された微分同相写像 $$ の族を定義する。
$\overline{\Omega}$

定義 22.

それぞれの正定数$:=(\theta^{1}(\cdot), \cdots, \theta^{N}(\cdot))$:$\overline{\Omega}arrow\overline{\Omega}$$R_{2}>0$$R_{1},$の族を$| \frac{\partial}{\partial x_{j}}\theta^{i}(x)|\leq R_{1}$,$R_{2}\leq \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}.J((x))\leq R_{1}$forここで、$x\in\overline{\Omega},$$i,$$j=1,2,$$\cdots,$$N$に対して、 次の性質を持つ微分同相写像
で表す :$\mathcal{M}(\overline{\Omega}, R_{1}, R2)$$| \frac{\partial}{\partial x_{j}}\overline{\theta}^{i}(x)|\leq R_{1}$,,$R_{2}\leq \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}.J(\overline{}(x))\leq R_{1}$.

$\overline{}(\cdot)=(\overline{\theta}^{1}(\cdot), \cdots, \overline{\theta}(\cdot))N$は $(\cdot)$ の逆写像で、$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}.J((x))$

は$y=(x)$ のヤコビアン $J((x))$ の行列である。
Remark 2.1. 2 つの微分同相写像$d_{f\Lambda}(_{1}, 2)$$_{1},$ $_{2}\in \mathcal{M}(\overline{\Omega}, R_{1}, R2)$に対し、 距離$:= \max|\alpha|\leq 1\in\sup_{x\Omega}|D\alpha(^{}1(x)-2(X))|_{R^{N}}$,$\overline{\Omega}$上の写像

165を考える。 ここで、はユークリッドノルムである。 この距離により、は完備距離空間となることに注意する。
$|\cdot|_{R^{N}}$$\mathcal{M}(\overline{\Omega}, R_{1,2}R)$

さて、 以下の仮定の下で問題 $(1.1)-(1.4)$ に対する概周期問題を考察する。

(A1)$\rho(\cdot)$: $Rarrow R$ は非減少リップシッツ連続関数である;(A2) 次を満たす$H^{2}(\Omega)$-概周期関数 $g\in W_{loc}^{1,2}(R;^{x})$ が存在する :(a) 任意の $t\in R$ に対して、$g(t, x)=\{$forfor$g_{D}(t, x)$$g_{U}(t, x)$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. $x\in\Gamma_{D}(t)$ ,.

$x\in\Gamma_{U}^{1}(t)$となる ;(b)$\sup_{t\in R}|g|\prime L2(t,t+1,\cdot X)<+\infty$;(A3) $f\in W_{loc}^{1,1}(R;H)$ が X-概周期で$\sup_{t\in R}|f’|_{L}1(t,t+1;H)<+\infty$を満たす。

(A4) 次をみたす正定数$\Lambda\Lambda(\overline{\Omega}, R_{1}, R_{2})$$C_{1}$と$C^{1}$-級微分同相写像 $(t, \cdot)=(\theta^{1}(t, \cdot),$が存在する :$\cdots,$$\theta N(t, \cdot))$$\in$の族 $\{(t, \cdot)\}_{t\in R}$(a)$| \frac{\partial}{\partial t}\theta^{i}(t, x)|\leq C_{1},$for$x\in\overline{\Omega}$(b) $(0, \cdot)$ がand$\overline{\Omega}$$i,$$| \frac{\partial^{2}}{\partial t\partial x_{j}}\theta^{i}(t, x)|\leq C_{1}$,$j=1,2\cdots N$ ,上で恒等写像で、(t, \Gamma \iota ノ (0))$=\Gamma_{\nu}(t)$$\forall t\in R$$(\nu=D, N, U)$となる;(c) 写像 $tarrow(t)$ は M-概周期である。
ここで、 問題 $(1.1)-(1.4)$ に対する弱形式を与える。 そしてそれを今後、 $P(f, g)$ と呼ぶことにする。 弱形式を与える前に、 任意の時間 $t\in R$ に対する $X$ の閉凸部分集合$K(t)$を$K(t):=$と定義する。

{$z\in X;z=g(t)\mathrm{a}.\mathrm{e}$. on$\Gamma_{D}(t),$$z\leq g(t)\mathrm{a}.\mathrm{e}$. on$\Gamma_{U}(t)$}166
定義 2.3. (i) $J:=[t_{0}, t_{1}],$ $-\infty<t_{0}<t_{1}<+\infty$ とし、 $f\in L^{2}(J;H)$ とする。 そのとき次を満たすとき、 関数 $v:Jarrow X$ を $J$ 上の $P(f, g)$ の解であるという : $v\in L^{2}(J, X))$$\rho(v)\in W^{1,2}(J;H)$ ,$v(t)\in K(t)$. $t\in J$,
for$\mathrm{a}.\mathrm{e}$そして$(\rho(v)t-f(t), v(t)-z)+a(v(t), v(t)-z)\leq 0$ ,(ii) $J’$ を $R$ の任意の区間とし、$\forall z\in K(t)$and a. . $t\in J$.
$\mathrm{e}$が $J’$ の任意の$(J’;H)$ とする。 このとき、コンパクト部分区間 $J$ 上で $P(f, g)$ の解であるとき、 関数 : $J’arrow X$ を区間 $J’$ 上の$f\in L_{lo}^{2}$$v$。

$v$$P(f, g)$ の弱解と呼ぶ。

(iii) $J’=[t_{0}, +\infty),$$(J’;H)$ そして $u_{0}\in H$ とする。 このとき、 関数。
が $J’$ 上で $P(f, g)$ の弱解で$f\in L_{lo}^{2}$: $J’arrow X$

in $H$$\rho(v(t_{0}, \cdot))=u_{0}$をみたすとき、$v$

を $J’$ 上の $P(f, g)$ に対する初期値問題 $CP(f, g)$ の弱解と呼ぶ。

$v$

さて、 $P(f, g)$ の概周期問題に対する主定理を述べる。
定理 2.1.

$(Al)-(A\mathit{4})$を仮定する。 このとき、$\sup_{t\in R}|v(*t)|_{H}<+\infty$となる $R$ 上の $P(f, g)$ の大域解$v^{*}$

が–意に存在する。

定理 22. 定理 2.1 と同じ仮定をし、を定理 2.1 で得られた大域的に有界な–意解は H-時間概周期である。とする。 そのとき、$v^{*}$$\rho(v^{*})$

定理 23. 定理 2.1 の条件を仮定する。 そのとき、 初期値$+\infty)$ , $(t_{0}\in R)$ 上の任意の $CP(f, g)$ の解に対して、$\rho(v(t\mathrm{o})),$

もつ$[t\mathrm{O},$$v(t\mathrm{o}\mathrm{I}\in K(t_{0})$を$v$$\rho(v(t, \cdot))$となる。 ここで、$-\rho(v^{*}(t, \cdot))$$v^{*}$$arrow 0$

in $H$ and weakly in $X$ as $tarrow+\infty$

は定理 2.1 で得られた大域的に有界な–意解である。

定理 2.1, 2.2, 2.3 の詳しい証明は、 [12] を参照する。

3. 数値実験データ
この節では、 $P(f, g)$ の数値実験を行う際のデータについて述べる。
実際、空間 2 次元の数値実験を行う。そのとき、 ダムを長方形領域 $\Omega:=(0,2)\cross(0,4)$とし、 ダムの両側の溜池の水位をそれぞれとする。
$\Omega$$h_{1},$$h_{2}$

167

そして、 数値実験の為の空間刻みは、$\triangle x=\triangle y=\frac{1}{20}$とし、 時間刻みは、$\triangle t=\frac{1}{1000}$.

.

,.とする。
また、 ダム内の湿気を表す saturation 関数’.

$\cdot$$/.\cdot.P:.\cdot$$\rho$: $Rarrow R$ として、1

if $z\in[0, +\infty)$$\frac{1}{1-\mathrm{o}.05z}$

if $z\in(-\infty, 0]$$\rho(z):=\{$を考える。

4. 定常問題の数値実験
この節では、 2 次元ダム問題 $P(f, g)$ の定常問題について考察する。 $P(f, g)$ の定常問題については、 既に $[9, 10]$ で議論されている。 その理論結果は、 以下のとおりである。
(定常問題) (cf. [9, 10])と source term $f$ がそれぞれ定数である溜池の水位とする。 このとき、 ダム問題 $P(f, g)$ の定常解が–意に存在する。
そして、 任意の初期値問題 $CP(f, g)$ の解
on $[t_{0}, +\infty),$ $(t_{0}\in R)$ に対して、$h_{1},$$h_{2}$$v^{\infty}$$v$$\rho(v(t))arrow\rho(v^{\infty})$となる。

in $H$ and weakly in $X$(as $tarrow+\infty$ )168

数値実験を通してこの理論結果を検証してみる。

(数値データ) 簡単にする為、 source termを無視する。 つまり、 $f\equiv 0$ とする。 そして、 ダム $\Omega:=(0,2)\cross(0,4)$ の両側の溜池の水位をそれぞれ$h_{1}\equiv 3$$f$$h_{2}\equiv 1$とする。

(数値実験結果 (I))次の初期状態を考察する。

図1

さて、 ダム内の湿気を表す関数$\rho(v)$の積分値$\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}\rho(v(t, X))dX$の値の時間変化を考察する。 その積分値は、 おおざっぱに言うと、 ダム内の水の量を表している。 図1 を初期値とした場合、 次の数値実験結果を得た。

169

始めは、 積分値が増えたり減ったりしている。 しかし、 ある程度時間が経つと –定の値になった。

(数値実験結果 (II))

次の初期状態を考察する。

図2

さて、 図 2 を初期値とした場合、 次の数値実験結果を得た。

170

始めのうちは、積分値が単調に減っていくが、 ある程度時間が経つと $-$ 定の値になった。 しかもその値は、 数値実験結果 (I) とほぼ–致する。 (その誤差は、 $10^{-8}$ であった。) つまり、 有限時間で積分値がほぼ– 致した。 これは、 $[9, 10]$ で得られた理論結果が正しいということを意味している。 実際、 時間 $T=500$ (計算回数 500000) のとき、以下の定常と思われる状態を得た。

5. 時間周期問題の数値実験
この節では、 2 次元ダム問題 $P(f, g)$ の時間周期問題について考察する。 $P(f, g)$の時間周期問題については、 既に $[5, 6]$ で議論されている。 その理論結果は、 以下のとおりである。

(周期間題) (cf. [5, 6])

溜池の水位 $h_{1}(t),$$h_{2}(t)$とsource term $f(t)$ がそれぞれ時間周期であるとする。 つまり、
$h_{1}(t)=h_{1}(t+T_{1}),$$h_{2}(t)=h_{2}(t+T_{2})$and $f(t)=f(t+T_{3})$ ,$\forall t\in R$

171とする。 ただし、 周期と乃の比は有理数で、 乃は周期と乃の最小公倍数とする。 このとき、 ダム問題 $P(f, g)$ の時間-周期解が–意に存在する。
$[t_{0},+\infty),$$(t_{0}\in R)$ に対して、
そして、 任意の初期値問題 $CP(f, g)$ の解on$T_{1}$$T_{1}$$T_{3}$$v_{P}$$v$

in $H$ and weakly in $X$$\rho(v(t))-\rho(v_{p}(t))arrow 0$(as $tarrow+\infty$ )となる。

数値実験を通して立場からこの理論結果を検証してみる。

(数値データ) 簡単にする為、source term $f\equiv 0$ とする。そして、ダム $\Omega:=(0,2)\cross(0,4)$の両側の溜池の水位をそれぞれ$h_{1}(t)= \cos(\frac{2}{3}\pi t)+2.5$,$h_{2}(t)=0.5\cos(\pi t)+0.7$ ,$\forall t\in R$とする。 すると、 $T_{1}=3,$ $T_{2}=2$ となるので、 $P(f, g)$ は時間周期 $T_{3}=6$ を持つ時間周期ダム問題となる。

(数値実験結果 (I))
果を得た。

図 1 と同様な初期状態を考察する。 このとき、 次の数値実験結172
始めは、 積分値が増えたり減ったりしている。 しかし、 ある程度時間が経つと時間周期 6 をもつ時間周期の値になった。

(数値実験結果 (II))
結果を得た。

図 2 と同様な初期状態を考察する。 このとき、 次の数値実験

この場合も同様に、 始めは、 積分値が増えたり減ったりし、 ある程度時間が経つと時間周期乃 $=6$ をもつ時間周期の値になった。 しかもその値は、 数値実験結果 (I) とほぼ– 致する。 つまり、 有限時間で時間周期 $T_{3}=6$ をもつ時間周期状態になった。

これは、 $[5, 6]$ で得られた理論結果が正しいということを意味している。

6. 時間概周期問題の数値実験
この節では、 2 次元ダム問題 $P(f, g)$ の時間概周期問題について考察する。 つまり、2 節で得られた $P(f, g)$ の時間周期問題の理論結果を数値実験をとおして再確認する。

173(数値データ) 簡単にする為、 source term $f\equiv 0$ とする。そして、ダム $\Omega:=(0,2)\cross(0,4)$の両側の溜池の水位をそれぞれ$h_{1}(t)= \cos(\frac{2}{3}\pi t)+2.5$,$h_{2}(t)=0.5\cos(2t)+0.7$ ,$\forall t\in R$とする。 すると、 $T_{1}=3,$ $T_{2}=\pi$ となり、 その 2 つの周期の比は、 無理数となる。 よってこの場合、 ダム問題 $P(f, g)$ は時間概周期となる。

(数値実験結果 (I))

図 1 と同様な初期状態を考察する。 このとき、 次の数値実験結果を得た。

始めは、 積分値が増えたり減ったりしている。 しかし、 ある程度時間が経つと上記のような時間変化することがわかった。

(数値実験結果 (II))
結果を得た。

図 2 と同様な初期状態を考察する。 このとき、 次の数値実験

174

この場合も同様に、 始めは、 積分値が増えたり減ったりし、 ある程度時間が経つと数値実験結果 (I) とほぼ– 致することがわかった。 この $-$ 意な挙動が時間概周期であるかどうかは、 数値実験結果のデータからは、 わからない。 しかしここで、 定理 23 を適用することにより、 上記のグラフが–意な時間概周期であることがわかる。 つまり、有限時間で定理 23 が成立することが、 この数値実験から予想される。

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