数理解析研究所講究録 1204 巻 2001 年 21-33

21半線形楕円型方程式の定数解からの分岐(Bifurcation from Constant Solutions to an Elliptic Equation)
仙葉 隆 (Takasi Senba)

宮崎大学・工abstract: In this paper, Iwill consider solufions to an elliptic equation. In particular, by using the local bifurcation theory, Idescribe theexistence of non-constant solutions. Moreover, when the domain is abounded disk in two dimensional space, we describe bifurcation points
and the profile of some solutions.

1

序
本稿では以 T の半線形楕円形方程式の定数解からの局所的な分岐について述べる.

in$\urcorner d\triangle u+u=|u|^{p-1}u$
$\{$

on

$\frac{\partial u}{\partial\nu}=0$

ここで $\Omega\subset \mathrm{R}^{N}(N\geqq 2)$ は滑らかな境界$\Omega$$\Omega$,$\partial\Omega$(1),を持つ有界領域、 $p>1$ は定数、そして は正のパラメーターとする.
任意の $d>0$ に対して $u\equiv 1$ は (1) の解である. $(d, 1)$ を自明解と呼ぶ. 本稿では解の集合を考える. 特に、 自明解$\{(d, 1)\}$ から分岐する解について考える.
$d$$\{(d, u)\}\subset \mathrm{R}_{+}\cross H^{1}(\Omega)$2

自明解からの局所的分岐
この節では [3] に従い自明解からの局所的分岐について述べる.
$A=-\triangle+1$

は$L^{2}(\Omega)$$D(A)=$ { $u\in H^{2}(\Omega)|\partial u/\partial\nu=0$ on

上の自己共役作用素であり$A^{-1}$

は$L^{2}(\Omega)$$\Omega$}の対称有界作用素である. ここで、$||u||_{H^{2}(\Omega)}=||(-\triangle+1)u||_{L^{2}(\Omega)}$,$||u||_{H^{1}(\Omega)}^{2}=||.\nabla u|\{_{L^{2}(\Omega)}^{2}+||u||_{L^{2}(\Omega)}^{2}$

22とする. v=A-\searrow に対して$||v||_{H^{2}(\Omega)}^{2}= \int_{\Omega}|(-\triangle+1)v|^{2}dx=\int_{\Omega}u^{2}dx$より$||v||_{H^{1}(\Omega)}\leqq||v||_{H^{2}(\Omega)}\leqq||u||_{L^{2}(\Omega)}\leqq||u||_{H^{1}(\Omega)}$

このことと $H^{2}(\Omega)\subset H^{1}(\Omega)$ (コンパクト) より $A^{-1}$ がコンパクト作用素で、 llA-lllc(Hl(。),Hl(。))$\leqq 1$.

上の対称なであることが分かる. 従っ$H^{1}(\Omega)$て $A$ のスペクトルはすべて固有値であり、各固有値に関する固有空間の次元は有限である. このことを踏まえて、斉次ノイマン境界条件の T でのに対の固有値を $0=\mu_{0}<\mu_{1}<\mu_{2}<\cdots$ とする. この固有値
して $d_{j}=(p-1)/\mu j(j=1,2,3, \cdots)$ とおく.
に対してまた、が分岐点とは、任意の$-\triangle$$\{\mu j\}$$\epsilon>0$$(d_{*}, 1)$$\mathcal{U}=\{w\in H^{1}(\Omega)|||w-1||_{H^{1}(\Omega)}+|d_{*}-d|<\epsilon\}$に $(d, w)(w\not\equiv 1)$ なる解があることを言う.
に対して $(dj, 1)\in \mathrm{R}_{+}\cross H^{1}(\Omega)$ は (1) の分岐点であり、十分小さな $r_{0}>0$ があって、少なくとも 2 組の解の 1 パラ定理 1 各 $j=1,2,3,$$\cdots$

メータファミリー $\{(d(r), u(r))\}_{0<r<r_{0}}$ が存在し以 T の事を満たす.

(i) $d(r)arrow d_{j}$ ,(ii)$C(\overline{\Omega})$$||u(r)-1||_{H^{1}(\Omega)}=rarrow 0$の位相で$rarrow \mathrm{O}$as$rarrow \mathrm{O}$.

のとき $-d_{j}\triangle+(p-. 1)$ の固有関数に収束す

る $\{(u(r)-1)/r\}_{0<r<r_{0}}$ の部分列が存在する.

定理 1 は次の定理から導かれる.
定理 2をヒルベルト空間、そして各 $d>0$ に対して $\Phi=\Phi(d, \cdot)\in$
は以 T のことを満たすとする.
$\mathcal{E}$$C^{2}(\mathcal{E}, \mathrm{R})$$D\Phi’(u)=D\Phi_{u}(d, u)=(a+d)Lu+H(u)$ .

への双対写像とする. つまは非負対称作用素であり、.
を満たすものとする. そして $H$ は 上の作用素でありここで $a>0$

りは定数、 $D$ は$(u, v)\epsilon*\mathrm{x}\mathcal{E}=(Dv, u)\epsilon_{\mathrm{X}}\epsilon$$||L||c(\epsilon,\epsilon)\leqq 1$$||H(u)||=o(||u||)$ ,$\mathcal{E}$から$\mathcal{E}^{*}$$L\in \mathcal{L}(\mathcal{E}, \mathcal{E})$$\mathcal{E}$$||H’(u)||c(\epsilon,\epsilon)=o(1)$as$uarrow \mathrm{O}$23を満たすものとする. このとき、$\lambda_{*}<1$

が$L$の孤立固有値でその固有空間の次元が有限であるとするとし、 $\lambda_{*}=d_{*}/(a+d_{*})$ とするとは以下の方程式の解の分岐点である.
$\mathcal{F}=D\Phi’(u)-du=(a+d)Lu+H(u)-du$

さらに $r_{0}>0$ と$\mathcal{F}=0$in$\mathcal{E}$$(d_{*}, 0)$.

(2)の解の族 $\{(d_{i}(r), u_{i}(r))\}_{0<r<r0}(i=1,2)$ が存在

して以 T を満たす.
(i) 任意の $r\in(0, r_{0})$ に対して $||u_{i}(r)||=r$ を満たし$(d_{i}(r), u_{i}(r))arrow(d_{*}, 0)$

as $rarrow 0$

in$\mathrm{R}_{+}\cross H^{1}(\Omega)$

となる.

(ii)

$P$

を

に関する

$\lambda_{*}$$L$の固有空間への射影作用素とするとき$||u_{i}(r)-Pu_{i}(r)||=o(r)$as $rarrow 0$が成り立つ.

の固有空間を $N$ とし、 $P=$ ProjN,に関する
定理 2 の証明:の対称性よりとおくとき$L$$\lambda_{*}$$L$$P^{[perp]}=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}N[perp]$$PL=LP$,(3)$P^{[perp]}L=LP^{[perp]}$に対して $u=v+w\in N\oplus N^{[perp]}$ とおくときが成り立つ. 任意の(3) より (2) 式は以 T の 2 式と同等であることがわかる.
$u\in \mathcal{E}$$(a+d)Lv+PH(v+w)=dv$ ,(4)$(a+d)Lw+P^{[perp]}H(v+w)=dw$ .

(5)$F(d,v, w)=(a+d)Lw+P^{[perp]}H(v+w)-dw$ とおくと
$F_{w}(d, v, w)=(a+d)L-d\mathrm{i}\mathrm{d}+P^{[perp]}H’(v+w)$となるから$d_{*}$

が孤立固有値であることと $H’(0)=0$ より $F_{w}(d, 0,0)=$$(a+d)L$ -did は $|d_{*}-d|<<1$ を満たすとなる。従って、$\mathrm{R}_{+}$

における$d_{*}$$d$の近傍–\Xi 像$N$ における 0 の近傍[こ関して$\mathcal{U}(d_{*}),$$\mathcal{N}^{[perp]}$上\emptyset --$\text{対}\backslash$24$\mathcal{O}$, そして$\mathcal{U}(d_{*})\cross \mathcal{O}$から$\mathcal{N}^{[perp]}$への$C^{1}$

関数 $\phi(d, v)$ が存在して以 T を満たす.
$F(d, v, \phi(d, v))=0$ ,$\phi(d, 0)=0$.

(6)

つまり、 $\phi(d, \cdot)=-\{(a+d)L-d\mathrm{i}\mathrm{d}\}^{-1}P^{[perp]}H(\cdot+\phi(d, \cdot))$ が成り立つ.

この

ことと $H(u)=o(||u||)$ より$||\phi(d,v)||=o(||v+\phi(d, v)||)$.

(7)

従って、 $||\phi(d, v)||=o(||v||)$ となる。また、$F_{d}=\{(a+d)L-d\mathrm{i}\mathrm{d}\}\phi_{d}+(L-\mathrm{i}\mathrm{d})\phi+P^{[perp]}H’\phi_{d}=0$$||H’(u)||_{\mathcal{L}(\mathcal{E},\mathcal{E})}=o(1)$,$||\phi(d, v)||=o(||v||)$

より $||\phi_{d}(d,v)||=o(1)$ . 一方、 $v\in N$ に対して$(a+d)\lambda_{*}v+PH(v+\phi)-dv\in N$.

ここで、$G(d, v)=(a+d)\lambda_{*}+(H(v+\phi), v)||v||^{-2}-d$

とおくと$G(d, 0 \rangle=(a+d)\lambda_{*}-d=\frac{a}{a+d_{*}}(d_{*}-d)$$G_{d}= \frac{-a}{a+d_{*}}\neq 0$.

従って、陰関数定理より $v=0$ の近傍で定義され、連続的微分可能な関数 で以下を満たすものが存在する.
$\psi$$G(\psi(v), v)=0$

今、 $\chi(v)=\phi(\psi(v), v)$ とおくとき$\chi$,$\psi(0)=d_{*}$

は $N$ から.

$\mathcal{N}^{[perp]}$(8)への連続的微分可能

な閃数となる. さらに (7) より$||\chi(v)||=o(||v||)$

as $varrow 0$

(9)

25
$t\in \mathrm{R}$1 こ対$+P^{[perp]}H(v+tz+\chi(v+tz))=0$(10)(6) より任意の z\in N、十分小さな$v$

そして十分小さなして

垣 $a+\psi(v+tz)]L-\psi(v+tz)i\mathrm{d}\}$ $\chi(v+tz)$(10) を $t=0$ において微分すると$[(a+\psi(v))L-\psi(v)\mathrm{i}\mathrm{d}]\chi’(v)z+P^{[perp]}H’(v+\chi(v))(z+\chi’(v)z)$$+(\psi’(v), z)(L-\mathrm{i}\mathrm{d})\chi(v)=0$(11)が成り立つ. 同様に (8) より$(\lambda_{*}-1)(\psi’(v), z)+(H’(v+\chi(v))(z+\chi’(v)z),v)||v||^{-2}$$+(H(v+\chi(v)), z)||v||^{-2}-(H(v+\chi(v)), v)(v, z)||v||^{-4}=0$ .

(12)のとき $(a+\psi(v))L-\psi(v)\mathrm{i}\mathrm{d}$ が有界な逆作用素を持つことと$H’(0)=0$ に注意すると、 (9) (11) そして (12) より $varrow \mathrm{O}(v\neq 0)$ の$||v||<<1$

とき$||\chi’(v)z||$$\leqq$$C[|(\psi’(v), z)|||\chi(v)||+||P^{[perp]}H’(v+\chi(v))||(||z||+||\chi’(v)z||)]$$\leqq$$C( \frac{||H’(v+\chi(v))||}{||v||}+\frac{||H(v+\chi(v))||}{||v||^{2}})||z||||\chi(v)||$$+C||P^{[perp]}H’(v+\chi(v))||||z||$$=$$o(1)||z||$

.

(13)

(13) より $\chi’(v)$ を $v=0$ に連続的に拡張すると $\chi’(0)=0$ を得る.
関数として定義さ上でがとを $N$ における 0 の近傍ではれているものとする. $\mathcal{M}=\{v+\chi(v)|v\in \mathcal{V}\}$ とおく. そのとき多様体になる.
次元 $n\equiv\dim N$ の
口 B(r)
いま、 $r>0$ を$B(r)\equiv\{x\in \mathcal{E}|||x||<r\}$ とおく.
$\mathcal{V}$$\psi$$\mathcal{V}$$C^{1}$$\chi$$\mathcal{M}$$C^{1}$$D(r)\equiv \mathcal{M}$が次元 $n-1$ のコンパクト
こで$C^{1}$

多様体となるように十分小さくとる.

こ\Phi |っ(。を考えるとき、少なくとも最大値と最小値をとる二つの極値を持つ.
以 T で、 $\Phi|v(r)$ のすべての極値 が $D\Phi’(u)=du$ を満たすことを 0
う. ただし、 $u=v+\chi(v),$ $d=\psi(v)$ である. このことを仮定すると任意のとき $v_{r}arrow 0$ となるから $v_{r}+\chi(v_{r})arrow 0$ そしての $v_{r}\in D(r)$ は$v$$rarrow \mathrm{O}$$\psi(v_{\Gamma})arrow d_{*}$

が成り立つ. したがって、定理を得る.

26
$u$

を \Phi |っ。) の極値とすると任意の $\phi\in TD(r)_{u}$ に対して

(14)$(D\Phi’(u), \varphi)=0$が成り立つ. ただし、 $TM_{x}$ は多様体 $M$ の表す. ここで$x$における接ベクトル空間を$TD(r)_{x}=T\mathcal{M}_{x}\cap T(\partial B(r))_{x}$そして$T(\partial B(r))_{x}=\{\varphi\in \mathcal{E}|(\varphi, x)=0\}$.

従って、$TD(r)_{x}=\{\varphi\in T\mathcal{M}_{x}|(\varphi,x)=0\}$

このことと (14) より任意の$\varphi\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{u, TD(r)_{u}\}$

.

に対して

(15)

$(D\Phi’(u)-r^{-2}(D\Phi’(u), u)u,$ $\varphi)=0$が成り立つ. 以 T で (15) を用いて $\Phi’(u)=du$ を導く. ただし、 $u=$
$v+\chi(v),$ $d=\psi(v)$ とする.
[こ対してであれば、ある$u=v+\chi(v)$ が成り立つからの作り方より$u\in \mathcal{M}$$v\in \mathcal{V}$$\chi$$P^{[perp]}D\Phi’(u)=\psi(v)\chi(v)$(16)$(D\Phi’(u),\chi(v))=\psi(v)||\chi(v)||^{2}$(17)が戒り立つ. 従って、が成り立つ. また、$\psi$の作り方と $\lambda_{*}||v||^{2}=(Lv, v)$ より(18)$(D\Phi’(u), v)=\psi(v)||v||^{2}$が成り立つ. (17)-(18) より任意の $v\in D(r)$ に対して$(D\Phi’(u), u)=\psi(v)||u||^{2}=\psi(v)r^{2}$

従って、$\psi(v)=r^{-2}(D\Phi’(u), u)$

.

.

(19)

27
このことと (15) より任意の$\varphi\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{u, TD(r)_{u}\}$$(D\Phi’(u)-\psi(v)u, \varphi)=0$(6)、つまり $P^{[perp]}(D\Phi’(u)-\psi u)=0$ より任意の

に対して

.

(20)

$\varphi\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{u, TD(r)_{u},N^{[perp]}\}\equiv$

に対して

$W$

(21)

$(D\Phi’(u)-\psi(v)u,\varphi)=0$が成り立つ.
を示せば $D\Phi’(u)=du$ がわかる. $u=v+\chi(v)_{\text{、}}\chi(u)\in N^{[perp]}$ を満たすが存在することに注意する. 従ってをを $TD(r)_{u}$ の基底とする. さらにが成立する.
$W=\mathcal{E}$$W=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{v, TD(r)_{u}, N^{[perp]}\}$$v\in \mathcal{V}$$v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3},$$v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3},$$\cdots,$ $v_{n}$$\chi’(v)x|x\in N\}$が

$v_{n}$$\cdots,$ $v_{n-1}$$T\mathcal{M}_{u}$の基底となるように定める.

$T\mathcal{M}_{u}=\{x$

十だから$v+\chi’(v)v=\Sigma_{i=1}^{n}\beta_{i}v_{i}$

.

(22)

である. もしそうでないなら(22) においてとなり十分小さな に対して$\beta_{n}\neq 0$$TD(\epsilon)_{u}$$v+\chi’(v)v\in$$v$$(v+\chi’(v)v, u)=0=||v||^{2}+(\chi’(v)v, \chi(v))=||v||^{2}+o(||v||^{2})$

.

(23)

このことは
力叶分小さければ $v=0$ 力城り立つ.
さらが成立する.
従って、$||u||=||v+\chi(v)||=r$ l こ矛盾する.
が成立するからに (22) より従って、 もし$||v||$$\beta_{n}\neq 0$$v_{n}\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{v, TD(r)_{u},N^{[perp]}\}=W$(24)$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{T\mathcal{M}_{u},N^{[perp]}\}\subset W$が成立する. (24) と$\chi’(v)\in \mathcal{L}(N,N^{[perp]})$$y=$より、任意の$y\in \mathcal{E}$に対して$(P+\chi’(v)P)y+(P^{[perp]}-\chi’(v)P)y$$\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{T\mathcal{M}_{u},N^{[perp]}\}\subset W$が成立する.

従って、$W=\mathcal{E}$

を得る.

た.

定理 2 を用いて定理 1 を示す.

このことより、定理 2 が示され口

28
定理 1 の証明: $d=dj(j=1,2,3, \cdots)$ を固定する. また積とノルムを$(u, v)= \int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla vdx+\int_{\Omega}u$ $vdx$.

,$H^{1}(\Omega)$の内$||u||=\sqrt{(u,u)}$とおく. $w=u-1$ とおくとき$-u+|u|^{p-1}u=$$(w+1)+|w+1|^{p-1}(w+1)$$=$$(p-1)w+|w+1|^{p-1}(w+1)-1-pw$$=$$(p-1)w+O(w^{2})$as $warrow 0$[こ注意し $p_{0}(\xi)=|\xi+1|^{p-1}(\xi+1)-1-p\xi$ ,$\chi(\xi)p_{0}(\xi)+(1-\chi(\xi))p_{0}(1/2)$$p(\xi)=\{$$\chi(\xi)p_{0}(\xi)+(1-\chi(\xi))p_{0}(-1/2)$

とおく. ただし、$\chi\in C_{0}^{\infty}(\mathrm{R}),$$\chi(\xi)=\{$$0\leqq\chi\leqq 1,$if
if$\xi\geqq 0$$\xi\leqq 0$$\chi(\xi)=\chi(-\xi)_{\text{、}}$

1if $\xi\in[0,1/4]$
0if $\xi\in[1/2, \infty)$とする. さら [こ $P( \xi)=\int_{0}^{\xi}p(s)ds,$ $\Phi(w)=\int_{\Omega}\{(p-1+d)w^{2}/2+P(w)\}dx$
とおくと. 実際、 は 関数であり$\Phi\in C^{2}(H^{1}(\Omega), \mathrm{R})$$p$$|p( \xi)|\leqq\min(C, C|\xi|^{2})$$\int_{\Omega}p(w)\varphi dx|$より,

$C^{1}$$|p_{\xi}( \xi)|\leqq\min(C,C|\xi|)$$\leqq$$C \int_{\Omega}|w||\varphi|dx$$\leqq$$C||w||_{L^{2}(\Omega)}||\varphi||_{L^{2}(\Omega)}$$\leqq$$C||w||_{H^{1}(\Omega)}||\varphi||_{H^{1}(\Omega)}$

(25)

(26)

$\Phi’(\cdot)\in C(H^{1}(\Omega), \mathcal{L}(H^{1}(\Omega), \mathrm{R}))=C(H^{1}(\Omega), H^{-1}(\Omega))$

だし、.

$\Phi’(w)\varphi=\int_{\Omega}\{(p-1+d)w-p(w)\}\varphi dx$

同様にして

,

$\Phi’’(w)(\eta,\varphi)=\int_{\Omega}\{(p-1+d)\eta\varphi+p_{\xi}(w)\eta\varphi\}dx$となる. た29
より$\Phi’’(w)\in \mathcal{L}(H^{1}(\Omega)\cross H^{1}(\Omega), \mathrm{R})$$H^{1}(\Omega),$$\mathrm{R}))$

ここで

. 従って

$\Phi’’\in C(H^{1}(\Omega), \mathcal{L}(H^{1}((\Omega)\cross$となる.

$\mathcal{E}=H^{1}(\Omega).,$$A=-\triangle+1$

in$\Omega$with$\partial/\partial\nu=0$$D\Phi’(w)=A^{-1}((p-1+d)\mathrm{i}\mathrm{d}+p(w))$

on$\partial\Omega$

とすると-

.

さら (こ $a=p_{\urcorner}1,$ $Lw=A^{-1}w,$ $H(w)=A^{-1}p(w)$ とおくと$L\in \mathcal{L}(\mathcal{E}, \mathcal{E})$は対称作用素であり,$||H(w)||_{H^{1}(\Omega)}^{2}=| \int_{\Omega}p(w)A^{-1}p(w)dx\leqq||p(w)||_{L^{2}(\Omega)}^{2}$.

ここで$|p(w)|^{2} \leqq\min(C, C|w|^{4})\leqq C|w|^{q}$

ただし $2<q< \min(4,2N/(N-2))$ . 従って$||H(w)||_{H^{1}(\Omega)}\leqq C||w||_{L^{q}(\Omega)}^{q/2}=o(||w||_{H^{1}(\Omega)})$また (25) より$|p_{\xi}(w)|\leqq C|w|^{q/(q-2)}$$||H’(w)\varphi||_{H^{1}(\Omega)}$

.

となるから

$\leqq$$C||p_{\xi}(w)\varphi||_{L^{2}(\Omega)}$$\leqq$$C||w||_{L^{q}(\Omega)}||\varphi||_{L^{q}(\Omega)}\leqq||w||_{H^{1}(\Omega)}||\varphi||_{H^{1}(\Omega)}$.

従って$||H’(w)||_{\mathcal{L}(H^{1}(\Omega),H^{1}(\Omega))}\leqq C||w||_{H^{1}(\Omega)}$.

そして $\sigma(L)=\{d_{j}\}_{j=1,2,3}\ldots$ . は重複度有限の固有値である. 定理 2 よりの分岐点である. つま$d=dj$ (こ対して $(d, 0)\mathfrak{l}\mathrm{h}D\Phi’(u)=du$ in$H^{1}(\Omega)$

,

り、任意の

$\varphi\in H^{1}(\Omega)$に対して$\int_{\Omega}\{(p-1+d)w+p(w)\}\varphi dx=d\int_{\Omega}\nabla w\cdot\nabla\varphi dx+d\int_{\Omega}w\varphi dx$

従って $w$ (ま$-d\triangle w+dw.=(p-1+d)w+p(w)$$\{$$\partial w$$\overline{\partial\nu}=0$

in
on

.

$\Omega$$\partial\Omega$.

30の解であり $|p(w)|\leqq C|w|$ であることと elliptic regularity より、とならば $||w||_{L\infty(\Omega)}<1/4$ が成り立つ. このことより定理 2 の中の
任意の $r\in(0, r_{0})$ に対して以下を満たす $(d:(r), w_{i}(r))(d=1,2)$ が存在$||w||_{H^{1}(\Omega)}<\prec$$r_{0}$$1$

する.
$-d\triangle w_{i}+dw_{i}=(p-1+d)w_{i}+p\mathrm{o}(w_{i})$
$\{$

in
on

$\frac{\partial w_{i}}{\partial\nu}=0$$||w_{i}(r)||_{H^{1}(\Omega)}=r$$\Omega$$\partial\Omega$.

また定理 2 の (iii) より $\{w_{i}(r)/r\}$ は部分列をとると一 $d(0)\triangle+(p-1)$の位相で収束する.
の固有関数にonin withこのことと $||w||_{L(\Omega)}\infty<1/4_{\text{ }}||w_{i}(r)||_{H^{1}(\Omega)}=r$ そして effiptic regularity$\Omega$$H^{1}(\Omega)$$\partial\Omega$$\partial/\partial\nu=0$、

より $\{w(r)/r\}=\{(u(r)-1)/r\}$ がることがわかる.

3$\Omega$$C(\overline{\Omega})$の位相で当該の固有値に収束す
口の時の分岐点について$\Omega=\{x\in \mathrm{R}^{2}||x|<1\}$

定理 1 の (iii) より分岐点の近くでの $u(r)$ の形状は一 dj $\triangle+(p-1)$ inの固有関数の形状に近い事がわかる. 従って、
onwith$\partial\Omega$$\partial/\partial\nu=0$

分岐点近くの解の形状を知るためには当該の固有関数の形状を調べればよい.

ここでは $N=2_{\text{、}}\Omega=D=\{x\in \mathrm{R}^{2}||x|<1\}$ の場合の固有関数を調べる.

そのためにはー$\triangle$

on

$D$

with

$\partial/\partial\nu=0$

十分である. 以後前述の作用素をー$x=(x_{1}, x_{2})=(r\cos\theta, r\sin\theta)$$\triangle_{N}$on$\partial D$の固有関数を調べればと書く.

と変換すると\acute$\triangle u=(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r})u+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}u$となり、変数分離法 $u(x)=R(r)\Phi(\theta)$ を用いると$R”+ \frac{1}{r}R’+(\mu-\frac{\kappa}{r^{2}})R=0$$\{$$\Phi’’+\kappa\Phi=0$,,$R’(1)=1$ ,31
ただし $\mu=\mu_{i}$ は$-\triangle_{N}$の固有値であり、$\Phi$

は周期の周期関数でなけ$2\pi$

ればいけないから$\Phi(\theta)=C_{1}\cos n\theta+C_{2}\sin n\theta$,

従って $\kappa=n^{2}(n=1,2,3, \cdots)$ . 従って $R$ は$R”+ \frac{1}{r}R’+(\mu-\frac{n^{2}}{r^{2}})=0$,

if $n=0$ ,$R(0)\in(-\infty, \infty)$$R(0)=0$$R(0)’=R’(1)=0$ ,if $n=1,2,3,$$\cdots$を満たさなければいけない. そのとき $R(r)=C_{3}J_{n}(\mu r)_{\text{ }}$ そして $\mu>0$
はベツセル関数である.
は $J_{n}’(\mu)=0$ の根として定まる. ここで、は以下の基本的性質を満たす ([4] を見よ).
ベツセル関数、$J_{n}$$J_{n}$

命題 1 $n=0,1,2,$$\cdots$とせよ. そのとき以 T のことが成り立つ.

as$\ovalbox{\tt\small REJECT}(r)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi r}}\cos(r-\frac{2n+1}{4}\pi)$$2 \frac{d}{dr}J_{n}(r)=J_{n-1}(r)-J_{n+1}(r)$$rarrow\infty$,.

ただし $J_{-1}=J_{1}$ である.

命題 1 より$\sqrt{\frac{2}{\pi r}}\{\cos(r-\frac{2n+1}{4}\pi+\frac{\pi}{2})-\cos(r-\frac{2n+1}{4}\pi-\frac{\pi}{2})\}$$2 \frac{d}{dr}J(r)$$-2 \sqrt{\frac{2}{\pi r}}\sin(r-\frac{2n+1}{4}\pi)$

$=$

as

$rarrow\infty$となり $J_{n}’(r)=0$ が無限個の根を持つことがわかる. それらから 0 を除いたものを
$0<\nu_{1}^{(n)}<\nu_{2}^{(n)}<\nu_{3}^{(n)}<\cdots$と書くとー$\triangle_{N}$の固有値と固有関数は,$(\nu_{j}^{(0)})^{2}$,$J_{0}(\nu_{j}^{(0)}r)$$(\nu_{j}^{(n)})^{2}$,$J_{0}(\nu_{j}^{(n)}r)\cos n\theta$$(j=1,2,3, \cdots)$,$J_{0}(\nu_{j}^{(n)}r)\sin n\theta$,$(n,j=1,2,3, \cdots)$32となる. また、それらの固有値に対応する分岐点は$(d, 1)=((p-1)(\nu_{j}^{(n)})^{-2},1)$

数表等 (たとえば、 [1] の第 3 章参照) から小さい順に数個並べると以下のようになる.
である.

0

$<$

$\nu_{1}^{(1)}=1.841\cdots$$<$$\nu_{1}^{(2)}=3.3054\cdots$$<$$\nu_{1}^{(0)}=3.832\cdots$く$\ldots$$\nu_{j}^{(n)}$の近似値を求め.

また、対応する分岐点と固有関数の概形は以 T のようになる.

固有値$(\nu_{1}^{(1)})^{2}$

の固有関数

固有値

$(\nu_{1}^{(2)})^{2}$

の固有関数

33

固有値

$(\nu_{1}^{(0)})^{2}$

の固有関数

参考文献
[1] C. Bandle, Isoperimetric Inequalities and Applications, Pitman,
Boston 1980.
[2] W. N. Ni and I. Takagi, On the existence and shape of solutions toa semilinear Neumann problem, Nonlinear diffusion equations andtheir equilibrium states, 3(Gregynog, 1989), 425-436, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 7, Birkhauser Boston 1992.
[3] P. H. Rabinowitz, Minimax Methods in Critical Point Theory with

Applications to Differential Equation, CBMS Regional Conference
Series in Mathematics 65, Amer. Math. Soc. 1986.
[4] 金子尚武 & 松本道夫, 特殊関数, 現代数学レクチャーズ C-3, 培風館, 1984.