数理解析研究所講究録
第 1815 巻 2012 年 112-123

112

積分の満たす非斉次微分方程式系を与えるアルゴリズム
An algorithm of computing inhomogeneous
differential equations for definite integrals
中山洋将
NAKAYAMA HIROMASA神戸大学大学院理学研究科 /JST CREST
DEPARTMENT OF MATHEMATICS, GRADUATE SCHOOL OF SCIENCE, KOBE UNIVERSITY*西山絢太
NISHIYAMA KENTA

神戸大学大学院理学研究科 /JST CREST
DEPARTMENT OF MATHEMATICS, GRADUATE SCHOOL OF SCIENCE, KOBE UNIVERSITY

1\dag er

イントロダクション$n$

変数$x_{1},$$\ldots,x_{n}$に対する微分作用素を$\partial_{1},$$\ldots,\partial_{n}$として，微分作用素環$D$とその部分環 $D’$ を$D=K\langle x_{1}, \ldots, x_{n}, \partial_{1}, \ldots, \partial_{n}\rangle, D’=K\langle x_{m+1}, \ldots, x_{n}, \partial_{m+1}, \ldots, \partial_{n}\rangle$

とおく．ここで，$m\leq n$ とし，係数体$I$の$x_{1},$$\ldots,$$x_{m}$$K$

は有理数体としておく．このとき，ホロノミックな左についての積分イデアル

$J$

$D$

イデアル

とは

$J=(I+\partial_{1}D+\cdots+\partial_{m}D)\cap D’$

なる左 $D’$ イデアルのことであり，積分イデアルを計算するアルゴリズムは大阿久 [6] により与えられた．被積分関数の満たす微分方程式系が

$I$

の時， の
$I$

$x_{1},$$\ldots,x_{m}$についての積分イデアル$J$

は，積分路がサイクを含む積分の満たす斉次微分方程式系を与える．
ルである，パラメータ
我々はこの積分アルゴリズムを改良することにより，積分イデアル の生成元を求めるだけでなく，各生$x_{m+1},$ $\ldots,x_{n}$$J$

成元 $P\in J$ について，$P=P_{0}+\partial_{1}P_{1}+\cdots+\partial_{m}P_{m}$となる $P_{0}\in I,$$P_{1},$$\ldots,$$P_{m}\in D$を計算するアルゴリズムを与えた．このような$P_{1}$,...,$P_{m}$

を $P$ の非斉次部分と呼ぶことにする．非斉次部分を計算することにより，パラメータを含む積分の満たす非斉次微分方程式系を得られる．
’nakayarna@math.kob\dagger nlsiyama@math.kob$arrow u$$rightarrow u$. ac jp. ac.jp113
例えば，$m=1,n=2$ として$\int_{a}^{b}e^{-x_{1}-x_{2}x_{1}^{3}}dx_{1}$の満たす微分方程式を考える．被積分関数

アル $I=\langle\partial_{1}+1+3x_{2}x_{1}^{2},$である． の生成元$J$$\partial_{2}+x_{1}^{3}\rangle$, 積分 $A(x_{2})=$における零化イデ$(すなわち，D=K\langle x_{1},x_{2}, \partial_{1}, \partial_{2}\rangle, D’=K\langle x_{2},\partial_{2}\rangle)$の$f(x_{1},x_{2})=e^{-x_{1}-x_{2}x_{1}^{3}}$に関する積分イデアルは$x_{1}$の$D$$J=\langle 27x_{2}^{3}\partial_{2}^{2}+54x_{2}^{2}\partial_{2}+6x_{2}+1\rangle=\langle P\rangle$の非斉次部分として $P_{1}=-(\partial_{1}^{2}+3\partial_{1}+3)$ が得られる．今，$P$$P=P_{0}+\partial_{1}P_{1} (P_{0}\in I)$が成り立つ．この $P$ を積分に作用させることで$P \cdot A(x)=\int_{a}^{b}\partial_{1}(P_{1}\cdot e^{-x_{1}-x_{2}x_{1}^{3}})dx_{1}=[P_{1}\cdot e^{-x_{1}-x_{2}x_{1}^{3}}]_{t=a}^{t=b}$$=-[(9x_{2}^{2}x_{1}^{4}-3x_{2}x_{1}^{2}-6x_{2}x_{1}+1)e^{-x_{1}-x_{2}x_{1}^{3}}]_{t=a}^{t=b}$が得られ，積分 $A(x)$ の満たす非斉次微分方程式が得られる．今までの積分アルゴリズムでは，積分イデア
ルの生成元だけしか得られず，非斉次部分を計算できないので，上のような計算はできなかった．
この論文では，積分イデアルの非斉次部分の計算アルゴリズムとその適用例について述べる．また，積分の満たす非斉次微分方程式系を計算する他のアルゴリズムとして，Almkvist-Zeilberger アルゴリズム ([1]) や
Chyzak アルゴリズム $([3],[4])$ , Oaku-Shiraki-Takayama アルゴリズム ([7]) などがある．それらアルゴリズ

ムと我々のアルゴリズムとの比較についても述べる．更に，我々はこの論文で述べたアルゴリズムを，数式処理ソフト $Risa/Asir$ ([11]) において実装し，パ ノ ケ-ジ nk.re stri ct on.rr ([14]) として公開している$\grave{}$$i$$\iota$

2

$D$

$.$

加群の積分アルゴリズム$D$
この節では，加群における積分アルゴリズムを解説する．

微分作用素環 $D=K\langle x_{1},$ $\ldots,x_{m},x_{m+1},$$\ldots x_{n},\partial_{1},$$\ldots,\partial_{m},\partial_{m+1},$$\ldots,\partial_{n}\rangle$, とその部分環 $D’=K\langle x_{m+1},$$\ldots,x_{n},\partial_{m+1},$ $\ldots,\partial_{n}\rangle$$m\leq n)$を定めておく．ただし，
$($

$D$

の環同型写像$\mathcal{F}$を$\mathcal{F}(x_{i})=\{$ $x_{i}(m+1\leq t\leq n)-\partial_{i}(1\leq i\leq m)$$\mathcal{F}(\partial_{i})=\{\begin{array}{l}x_{i} (1\leq i\leq m)\partial_{i} (m+1\leq i\leq n)\end{array}$

なるものとし，Fourier 変換と呼ぶ．
ホロノミック左 $D$ イデアル $I$ の$x_{1},$$\cdots,x_{m}$につぃての積分イデアル $J$ とは$J=(I+\partial_{1}D+\cdots+\partial_{m}D)\cap D’$

なる左 $D’$ イデアルである．

アルゴリズム 1 $(D 加群の積分アルゴリズム，[6], [s])$入力 : ホロノミック左 $D$ イデアル

$I$

の生成元．

重みベクトル $w=(w_{1}, \ldots,w_{m},w_{m+1}, \ldots,w_{n})$ で$w_{1},$$\ldots,$$w_{m}>0,w_{m+1}=\cdots=w_{n}=0$ を満たす

もの．

出力 :

1.

$I$

の

$\mathcal{F}(I)$$x_{1},$$\ldots,$ $x_{m}$についての積分イデアルの生成元．

に対し $w$ についての制限加群の計算．具体的には次のように行う．

(a) 左 $D$ イデアル$\mathcal{F}(I)$の単項式順序 $<(-w,w)$ につぃてのグレブナ基底$\{h_{1}, \ldots, h_{l}\}$

を計算．

114
の重みベクトル $(-w, w)$ についての generic(b) 左 $D$ イデアル
を $b(s)$ の非負最大整数根とする．
$\mathcal{F}(I)$$b$

関数 $b(s)$ を計算．

$s_{0}$(c)がない時，制限加群は であり，積分イデアルは

$D’$

$0$

$s_{0}$となり，アルゴリズムを終了．

(d) $m_{i}=$ ord $(-w,w)(h_{i})$ ,,$\mathcal{B}_{d}=\{\partial_{1}^{i_{1}}\cdots\partial_{m^{m}}^{:}|i_{1}, \ldots,i_{m}\in \mathbb{Z}_{\geq 0},i_{1}w_{1}+\cdots+i_{m}w_{m}\leq d\}(d\in \mathbb{Z}_{\geq 0})$

$r=\#\{(i_{1}, \ldots,i_{m})|i_{1}, \ldots, i_{m}\in \mathbb{Z}_{\geq 0}, i_{1}w_{1}+\cdots+i_{m}w_{m}\leq s_{0}\}$(e)$8= \bigcup_{i=1}^{l}\{\tilde{h}_{i\beta}:=\partial^{\beta}h_{i}|\partial^{\beta}\in \mathcal{B}_{s_{0}-m_{i}}\}$とし，$\mathcal{B}=\{h_{i\beta}:=\tilde{h}_{i\beta}|_{x_{1}=\cdots=x_{m}=0}|\tilde{h}_{\mathfrak{i}\beta}\in\tilde{\mathcal{B}}\}$

ここで，$\tilde{h}_{i\beta}|_{x_{1}=\cdots=x_{m}=0}$$\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{B})$を返す．

を微分作用素の標準的な表示$\sum c_{u,v}x^{u}\partial^{v}$の形に直してからを代入する操作を表す．

$x_{1}=0,$ $\ldots,$ $x_{m}=0$2.

は，$\overline{h}_{i\beta}$

とおく．

を $(D’)^{r}$ の元たちとみなし，それらの生成する左 $D’$ 加群を $M$ とおく．

ここで具体的な対応について説明する．

$\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{B})$ついての階数が$s_{0}$の各元の$\partial_{1},$$\ldots,\partial_{m}$

の指数は

$0$

$(-w,w)$ にであり，以下であることから，$\sum_{i_{1}w_{1}+\cdots+:_{m}w_{m}\leq so}Q_{1},\ldots,i_{m}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{m}^{i_{m}}(c_{i_{1},\ldots,i_{m}}\in D’)$の形に書ける．これを$(D’)^{r}$の元$(q_{1},\ldots,\iota_{m})_{i_{1}},\ldots,\iota_{m}$とみなす．

3. 左 $D’$ 加群 $M$ に対し， に対応する位置が最小になるような $POT$ (Position Over Term) 項順序に
$x^{0}$

ついて，グレブナ基底を計算する．その生成元の中で， に対応する成分以外が全て になっている
ものを取り出し，その 成分たちからなる集合が の積分イデアルの生成系になる．
$0$$x^{0}$$I$$x^{0}$

を被積分関数の満たす微分方程式系としたとき，その積分イデアルは積分の満たす斉次微分方程式系にのに関する定積分
対応している．まず，ホロノミ ノ クな関数
$I$$\grave{}$$\grave{}$$f(x_{1}, \ldots,x_{n})$$x_{1},$$\ldots,x_{m}$$A(x_{m+1}, \ldots,x_{n})=\int_{R}f(x_{1}, \ldots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m}, R=\prod_{i=1}^{m}[a_{i},b_{i}]$を考える． の$f$

任意の$p\in J$$D$

における零化イデアル $I=Ann_{D}f$ の$x_{1},$$\ldots,x_{m}$に関する積分イデアルを

$J$

とすると，

に対して，
$p- \sum_{i=1}^{m}\partial_{i}p_{i}\in I$となるような$p_{1},$$\ldots,p_{m\in D}$

が存在する．この微分作用素$p$を積分 $A(x_{m+1}, \ldots,x_{n})$ に作用させると，微分方程式$p \cdot A(x_{m+1}, \ldots,x_{n})=\int_{R}p\cdot fdt=\int_{R}\sum_{i=1}^{m}(\partial_{i}p_{i})\cdot fdt=\sum_{i=1}^{m}\int_{R}\partial_{i}(p_{i}\cdot f)dt$が得られる．つまり，積分イデアルの元たち
たちが

3

$0$

$p$

は，

$A(x_{1}, \ldots,x_{m})$(1)の積分領域として式 (1) の最右辺の積分となるようなものを取ったとき，$p\cdot A(x_{m+1},\ldots,x_{n})=0$ という斉次微分方程式を満たす．

積分の満たす非斉次微分方程式系を与えるアルゴリズム

この節では，前節の積分アルゴリズムを改良して，積分イデアルの非斉次部分の計算アルゴリズムを与える．また，このアルゴリズムの応用として，積分が満たす非斉次な微分方程式系を得られることを述べる．

115
前節の最後の議論から，式 (1) の右辺が$p_{i}(1\leq i\leq m)$ を具体的とならないような積分領域の場合は，$0$に求める必要がある．

定理 1
ホロノミックな左 $D$ イデアル$I$の積分イデアルを $J\subset D’$ とする．このとき，任意の $p\in J$ に対して

(2)$p- \sum_{i=1}^{m}\partial_{i}p_{i}\in I$

を満たす微分作用素 $p_{i}\in D(1\leq i\leq m)$ をアルゴリズミックに計算できる．

証明アルゴリズム 1 を適用して積分イデアル

$J$

の生成系

$\{g_{1}, \ldots,g_{t}\}$を得る．この各生成元に対して示せば十分である．アルゴリズム 1 の 3. より，$q_{ji\beta}\in D’$と表現される．また，この$q_{ji\beta}$

を用いて$g_{j}(1\leq j\leq t)$$g_{j}=\Sigma_{i,\beta}q_{ji\beta}\mathcal{F}^{-1}(h_{i\beta})$はグレブナ基底計算における履歴を参照することで計算できる．また，$\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta})=\mathcal{F}^{-1}(\partial^{\beta}h_{i})=\mathcal{F}^{-1}(\partial^{\beta})\mathcal{F}^{-1}(h_{i})$あったから，$\{\mathcal{F}^{-1}(h_{1}), \ldots,\mathcal{F}^{-1}(h_{l})\}$であり，$\mathcal{F}(I)$の生成系 (特にグレブナ基底) がは $I$ の生成系となり，$\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta})\in I$$\{h_{1}, \ldots,h\iota\}$

でである．従って，$I \ni\sum_{i,\beta}q_{ji\beta}\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta})=g_{j}-(g_{j}-\sum_{i,\beta}q_{ji\beta}F^{-1}(\tilde{h}_{i\beta}))$$=g_{j}- \sum_{i,\beta}q_{ji\beta}(\mathcal{F}^{-1}(h_{i\beta})-\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta}))$$=g_{j}- \sum_{i,\beta}q_{ji\beta}(\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta}|_{x_{1}=\cdots=x_{m}=0})-\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta}))$$=g_{j}- \sum_{i,\beta}q_{ji\beta}\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta}|_{x_{1}=\cdots=x_{m}=0}-\tilde{h}_{i\beta})$と変形できる．ここで，の各項は$\tilde{h}_{i\beta}|_{x_{1}=\cdot\cdot=x_{m}=0}-\tilde{h}_{i\beta}$$\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta}|_{x_{1}=\cdots=x_{m}=0}-\tilde{h}_{i\beta})$の各項は$\partial_{1},$$\ldots,\partial_{m}$$x_{1},$$\ldots,x_{m}$のいずれかで左から割り切れるので，のいずれかで左から割り切れる．従って，$\sum_{i,\beta}q_{ji\beta}\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta}|_{x_{1}=\cdots=x_{m}=0}-\tilde{h}_{i\beta})=\sum_{i=1}^{m}\partial_{i}p_{ij}$と書き直せばよい．

I

アルゴリズム 2(非斉次部分の計算アルゴリズム)

入力 : ホロノミック左 $D$ イデアル

$I$

の生成元．

重みベクトル $w=(w_{1}, \ldots,w_{m},w_{m+1}, \ldots,w_{n})$ で$w_{1},$$\ldots,w_{m}>0_{w_{m+1}=\cdots=w_{n}=0}$

もの．

出力 :

$I$

の

$x_{1},$$\ldots,x_{m}$についての積分イデアルの生成元

各生成元 $g_{j}(1\leq i\leq t)$ に対して$\{g_{1}, \ldots,g_{t}\}.$$g_{j}-\Sigma_{i=1}^{m}\partial_{i}p_{ij}\in I$

を満たす $p_{ij}\in D.$

1. アルゴリズム 1 を適用．

2.

$g_{j}=\Sigma_{i,\beta}q_{ji\beta}\cdot \mathcal{F}^{-1}(h_{i\beta})$を満たす$R_{j}=g_{j}- \sum_{i,\beta}q_{ji\beta}\mathcal{F}^{-1}(\tilde{h}_{i\beta})$3.

$p_{ij}$を出力．

を$q_{ji\beta}$を計算．

$R_{j}= \sum_{i=1}^{m}\partial_{i}p_{ij}$と書き直す．

を満たす

116
例 1(積分イデアルとその非斉次部分の計算例)
積分の満たす非斉次微分方程式を考える．被積分関数を$A(x_{2})= \int_{a}^{b}e^{-x_{1}^{2}x_{2}}dx_{1}$

その零化イデアルは，とする．

である．積分アルゴリズム (アルゴリズム 1) に従い， の$I$$I=\langle\partial_{1}+2x_{1}x_{2},\partial_{2}+\partial_{1}^{2}\rangle$$x_{1}$$f(x_{1},x_{2})=e^{-x_{1}^{2}x_{2}}$についての積分イデアルを計算する．

(アルゴリズム 1 の手順)$($

設定 $)n=2,m=1,D=K\langle x_{1},x_{2},\partial_{1},\partial_{2}\rangle,D’=K\langle x_{2},\partial_{2}\rangle,w=(1,0)$

1.

$I$

の Fourier 変換 $\mathcal{F}(I)=\langle x_{1}-2x_{2}\partial_{1},$(a)$\mathcal{F}(I)$の $<(-w,w)$$\partial_{2}+\partial_{1}^{2}\rangle$についてのグレブナ基底 $\mathcal{H}=\{h_{1}=x_{1}-2x_{2}\partial_{1},$$h_{2}=\partial_{2}+\partial_{1}^{2},$$h_{3}=2x_{2}\partial_{2}+$$x_{1}\partial_{1}+1, h_{4}=4x_{2}^{2}\partial_{2}+2x_{2}+x_{1}^{2}\}$(b)$\mathcal{F}(I)$の $(-w, w)$ についての generic$b$

関数は $b(s)=s(s-1)$ であり，その非負最大整数根は$s_{0}=1$(d)$\mathcal{B}_{1}=\{1, \partial_{1}\}$, グレプナ基底の各元$h_{i}$の $(-w, w)$

についての階数は $m_{1}=1,$ $m_{2}=2,$ $m_{3}=$$0, m_{4}=0.$(e)$\tilde{\mathcal{B}}=\{h_{1}, h_{3}, \partial_{1}h_{3}, h_{4},\partial_{1}h_{4}\},$$\mathcal{B}=\{-2x_{2}\partial_{1},2x_{2}\partial_{2}+1,2x_{2}\partial_{1}\partial_{2}+2\partial_{1},4x_{2}^{2}\partial_{2}+2x_{2},4x_{2}^{2}\partial_{1}\partial_{2}+2x_{2}\partial_{1}\}$

2.

$\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{B})=\{2x_{2}x_{1},2x_{2}\partial_{2}+1, -2x_{1}x_{2}\partial_{2}-2x_{1},4x_{2}^{2}\partial_{2}+2x_{2}, -4x_{1}x_{2}^{2}\partial_{2}-2x_{1}x_{2}\}$$M=\{(0,2x_{2}), (2_{X_{2}}\partial_{2}+1,0), (0, -2_{X_{2}}\partial_{2}-2), (4x_{2}^{2}\partial_{2}+2_{X_{2}},0), (0, -4x_{2}^{2}\partial_{2}-2x_{2})\}$

3. 左 $D’$ 加群 $M\subset(D’)^{2}$ の $POT$ 項順序についてのグレブナ基底は $\{(0,x_{2}), (2x_{2} 島 +1, 0)\}$ となるので，積分イデアルの生成元は $g=2x_{2}\ +1$ となる．
(アルゴリズム 2 の手順)
積分イデアルの生成元 $g=2x_{2}\partial_{2}+1$ について，先の計算結果から，

である．

$g=\mathcal{F}^{-1}(h_{3}|_{x_{1}=0})$$I\ni \mathcal{F}^{-1}(h_{3})=g-(g-\mathcal{F}^{-1}(h_{3}))=g-\mathcal{F}^{-1}(h_{3}|_{x_{1}=0}-h_{3})$だから，$g=$ ( $I$ の元)$+\mathcal{F}$となり， の非斉次部分が$g$

よって，この積分$A(x_{2})$-1 $(h_{3}|_{x_{1}=0}-h_{3})=$ ( $I$ の元)$\partial_{1}x_{1}$$+\mathcal{F}$-1 $(-x_{1}\partial_{1})=$ ( $I$ の元)$+\partial$1$x_{1}$

だとわかる．

は，$(2x_{2}\partial_{2}+1)\cdot A(x_{2})=[x_{1}f(x_{1},x_{2})]_{x_{1}^{1}=a}^{x=b}$なる非斉次微分方程式を満たすことがわかる．

多重積分についても，アルゴリズム 2 を繰り返し用いることにより，その非斉次微分方程式系を求めることが可能である．

定理 2(多重積分の満たす微分方程式系を求めるアルゴリズム)
多重積分$F(x_{m+1}, \ldots,x_{n})=\int_{a_{1}}^{b_{1}}\cdots l_{m}^{b_{m}}f(x_{1}, \ldots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{m} (m\leq n)$を考える．被積分関数$F(x_{m+1}, \ldots,x_{n})$$f(x_{1},$ $\ldots,x$のの満たす ホロノミックな微分方程式系が得られれば，多重積分の満たす非斉次微分方程式が得られる．

117
証明 [概略] $m=1$ のときは，アルゴリズム 2 を適用する．
$m\geq 2$ のときは，アルゴリズム 2 を用いて，$m$

個の $m-1$ 重積分に分解できるので，それを繰り返せばよい．ここでは，簡単のため $m=2$ の場合について，多重積分$F(x_{3}, \ldots,x_{n})=\int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}f(x_{1}, \ldots,x_{n})dx_{1}dx_{2} (2\leq n)$の満たす微分方程式系を求めるアルゴリズムについて説明する．
被積分関数 $f(x_{1}, \ldots,x_{n})$ の満たすホロノミックな微分方程式系を

$I$

とし， の
$I$

についての積分イ$x_{1},x_{2}$デアル$J=(I+\partial_{1}D+\partial_{2}D)\cap D’ (D’=K\langle x_{3}, \ldots,x_{n},\partial_{3}, \ldots,\partial_{n}\rangle)$を計算する． のある元$J$

きる． を積分
$P$

$F$

$P$

をとってくると，$P=P_{0}+\partial_{1}P_{1}+\partial_{2}P_{2}$$(P_{0}\in I,P_{1},P_{2}\in D)$と表すことがでに作用させると，$P \cdot F=\int_{a_{2}}^{b_{2}}(P_{1}\cdot f|_{x_{1}=b_{1}}-P_{1}\cdot f|_{x_{1}=a_{1}})dx_{2}+\int_{a_{1}}^{b_{1}}(P_{2}\cdot f|_{x_{2}=b_{2}}-P_{2}\cdot f|_{x_{2}=a_{2}})dx_{1}$となる．ここで，右辺の第 1 項目の積分を$F_{1}$, 被積分関数を $fi$ とし，右辺の第 2 項目の積分を$F_{2}$, 被積分

関数をゐとする．
積分$I_{1}$$F_{1}$の満たす微分方程式系を計算するために，被積分関数 $fi$ の満たすホロノミックな微分方程式系を計算する．Oaku のアルゴリズムを用いて $fi$ の零化イデアルを計算してもよいが， から次のように$I$して計算することもできる．

イデアル商 $I;P_{1}$ はを零化するホロノミックイデアルである．$(Q\in I;P_{1}$ とすれば

$P_{1}\cdot f$

なわち $(QP_{1})\cdot f=0$ . また $I$ がホロノミックより $I;P_{1}$ はホロノミック．)$I;P_{1}$ のノミツクイデアル」1 を得るには，にして，$P_{1}\cdot f|_{x_{1}=a_{1}}$の$x_{2}$$QP_{1}\in I$

についての制限イデアルを計算してやればよい．同様$fi=P_{1}\cdot f|_{x_{1}=b_{1}}-P_{1}\cdot f|_{x_{1}=a_{1}}$$I_{1}$

は$J_{1}\cap$

すを零化するホロを零化するホロノミックィデアルゐも得られる．

零化するホロノミックィデアル$I_{1}$$x_{1}=b_{1}$$P_{1}\cdot f|_{x_{1}=b_{1}}$をゐで得られる．

についての積分イデアル$K_{1}=(I_{1}+\partial_{2}D_{1})\cap D’ (D_{1}=K\langle x_{2},x_{3}, \ldots,x_{n},\partial_{2},\partial_{3}, \ldots,\partial_{n}\rangle)$を計算する．

のある元

とができ，

を積分恥に作用させると，$K_{1}$$P^{(1)}$$P^{(1)}$をとってくると，$P^{(1)}=P_{0}^{(1)}+\partial_{2}P_{2}^{(1)}$$(P_{0}^{(1)}\in K_{1},P_{2}^{(1)}\in D_{1})$と表すこ$P^{(1)}\cdot F_{1}=P_{2}^{(1)}\cdot f_{1}|_{x_{2}=b_{2}}-P_{2}^{(1)}\cdot fi|_{x_{2}=a_{2}}$となる．積分

$F_{2}$

についても同様に， の零化イデアル$f_{2}$$I_{2},$$I_{2}$の$x_{1}$につぃての積分イデアル$K_{2}$

を計算する．

上の結果から$P^{(1)}\cdot P\cdot F=P^{(1)}\cdot F_{1}+P^{(1)}\cdot F_{2}$なる式が得られ，右辺の第 1 項目の積分は計算できる．第 2 項目の積分を計算するためた， :$P^{(2)}P^{(1)}\in K_{2}$
算し，その中の元をとれば，となり，で計算ができる．結局，$K_{2}$$P^{(2)}$$P^{(1)}$を計$P^{(2)}P^{(1)}\cdot F_{2}$$P^{(2)}P^{(1)}P\cdot F=P^{(2)}P^{(1)}\cdot F_{1}+P^{(2)}P^{(1)}\cdot F_{2}$により，積分 $F$ についての非斉次な微分方程式が得られたことになる．1

118
注意 1

非斉次微分方程式系$\ell_{1}\cdot f=g_{1}, \ldots,\ell_{p}\cdot f=g_{p} (\ell_{i}\in D’,g:において，$\ell_{p}\rangle$$\langle\ell_{1},$$\ldots,$

が $D’$

はホロノミック関数)$におけるホロノミックイデアルとなるとき，この非斉次微分方程式系を，非斉次ホロノミック系と呼ぶことにする．$m=1$ のとき，2 の出力は非斉次ホロノミック系であるが，$m\geq 2$のとき，出力が常に非斉次ホロノミツク系であるかどうかは未解決である．しかし，得られた微分方程式系が非斉次ホロノミック系でないときは，後に解説する Oaku-Shiraki-Takayama アルゴリズム ([7]) を用いて，
非斉次ホロノミック系にすることができる．

4

既存のアルゴリズムとの比較

4.1

Almkvist-Zeilberger アルゴリズムの満たす の非斉次微分方程2 変数の hyperexponential function $F(t, x)$ について，定積分$AZ$ アルゴリズム) ([1])
アルゴリズム(
式を計算するアルゴリズムとして，Almkvist-Zeilbergerがある．こ$\int_{a}^{b}F(t, x)dt$

こで，hyperexponential function とは，各変数について$\log$$x$

微分が有理関数となるような関数のことである．

アルゴリズム 3( $AZ$ アルゴリズム，[1])入力:hyperexponential function $F(t, x)$
出力:

$x$

の微分作用素$\overline{S}(x, \partial_{x})$と hyperexponential function $G(t, x)$ で次の微分方程式を満たすもの．
$\overline{S}(x,\partial_{x})\cdot F(t,x)=\partial_{t}\cdot G(t,x)$

さらに $G(t, x)$ $=$ (有理関数) $F(t, x)$ も成り立つ．

連続版の Gosper アルゴリズムと未定係数法を繰り返し用いて計算を行っている．
例2$\int_{0}^{\infty}e^{-t-xt^{3}}dt$の被積分関数 $F(t,x)=e^{-t-xt^{3}}$ に対して $AZ$ アルゴリズムを適用してやると，$\overline{S}(x, \partial_{x})\cdot F(t,x)=\partial_{t}\cdot G(t,x)$が成り立つ微分作用素$\overline{S}(x, \partial_{x})$と hyperexponential function $G(t, x)$ が得られる．
$\overline{S}(x,\partial_{x})=27x^{3}\partial_{x}^{2}+54x^{2}\partial_{x}+6x+1$$G(t,x)=(-9t^{4}x^{2}+3t^{2}x+6tx-1)F(t,x)$多項式 $H(t,x)=(-9t^{4}x^{2}+3t^{2}x+6tx-1)$ とおき，上の式を変形すれば，$(\overline{S}(x,\partial_{x})-\partial_{t}H(t,x))\in Ann_{D_{2}}F(t,x)$$\overline{S}(x,\partial_{x})$が，零化イデアル Ann$D_{2}F(t,x)$の$t$についての積分イデアル$(Ann_{D_{2}}F(t,x)+\partial_{t}D_{2})\cap D_{1}$119に含まれることがわかる．

$(ただし，D_{2}=K\langle x,t,\partial_{x},\partial_{t}\rangle,D_{1}=K\langle x,\partial_{x}\rangle としておく．)$

この場合は，積分ア

ルゴリズムによる計算結果と全く同じ結果を返している．Risa $/Asir$ でこのアルゴリズムを実行した結果は次の通り．

$-9(-[27^{\wedge}3*dx^{\wedge}2+54*x^{\sim}2*dx+6*x_{3*\exp}+1[1481]((-t-x^{*}t^{\wedge}3)_{\wedge}x.t)*x-\exp$

4.2

Chyzak アルゴリズム

Chyzak アルゴリズム ([3], [4], [5]) は未定係数法と Ore algebra におけるグレブナ基底の理論を用いたア

ルゴリズムであり，Ore algebra に含まれる様々なクラスを扱うことができる．例えば，和や積分の満たす差分方程式や微分方程式，それらの q- アナログ等を扱える．有理関数体係数の微分作用素環$R:=K(x, t)\langle\partial_{x},$$\partial_{t}\rangle$

においては， アルゴリズムの適用範囲をホロノミック関数にまで拡張したものとなっている．以下がChyzak アルゴリズムである．
$AZ$

アルゴリズム 4(Chyzak アルゴリズム ([4], Algorithm 2))
入力: $f(x, t)$ を零化するホロノミックイデアルの生成系 $B.$

出力:

1.

$P(x, \partial_{x})\cdot f=\sum_{i}\eta_{i}\partial_{x}^{i}f=\partial_{t}[Q(x, t, \partial_{x}, \partial_{t})\cdot f]$$B$

を満たす作用素のペア $(P, Q)$ .

のグレブナ基底 $G$ を計算して，$R/Annf$ の基底

2. $L=0,1,2,$$\ldots$(a) 未定係数$\{\partial_{x}^{\alpha}\partial_{t}^{\beta}\}_{(\alpha,\beta)\in I}$を得る．

として以下を繰り返す．
$\phi_{\alpha,\beta}\in K(x,t),$$\eta_{i}\in K(x)$を導入して，$\partial_{t}\sum_{(\alpha,\beta)\in I}\phi_{\alpha,\beta}\partial_{x}^{\alpha}\partial_{t}^{\beta}-\sum_{i=0}^{L}\eta_{i}\partial_{x}^{i}$

を $G$

(b)
(c)

$\phi_{\alpha,\beta},$

で割り算して，基底$\eta_{i}$$\{\partial_{x}^{\alpha}\partial_{t}^{\beta}\}_{(\alpha,\beta)\in I}$の一次結合に書き直す．

の連立系と見て解を計算する．

もし，解ければ $(P, Q)$ を返す．ただし，$P= \sum_{i=0}^{L}\eta_{i}\partial_{x}^{i},$ $Q= \sum_{(\alpha,\beta)\in I}\phi_{\alpha,\beta}\partial_{x}^{\alpha}\partial_{t}^{\beta}.$

このアルゴリズムには Chyzak 自身による実装があり，Maple のパッケージ Mgfm ([12]) として公開されている．このパッケージ中の関数 creative-telesc。ping は，デフォルトでは，アルゴリズム中のステップ 2 を更に繰り返して，得られた作用素たちによって生成されるイデアルがホロノミックになるまで繰$P$り返される．

計算時間を比較してみると，一般には，グレブナ基底計算の方が未定係数法より計算コストが大きいので，多くの問題において，Chyzak アルゴリズムの方が我々のアルゴリズムより速い．しかし，出力の微分作用素の階数が高く項の数が少ないような問題では，我々のアルゴリズムの方が早くなることがある．以下にそのような例を示す．
例3
定積分$F(x, y)= \int_{a}^{b}\frac{1}{xt+y+t^{10}}dt.$120の満たす非斉次微分方程式系を計算する．以下は，我々のアルゴリズム ( $Risa/Asir$ のパ ノケージ nk-restri $ct$ ion)$\grave{}$

によって計算した時の出力であり，計算にはおよそ 1.3 秒を要した．

以下は，Maple12 上で Chyzak アルゴリズム (パツケージ Mgfun [12]) によって計算したときの出力であり，計算にはおよそ 50 秒を要した．
with (Mgfun):$f;=1/(x*t\star y+t^{\sim}10)$ ;ts: $=time()$ :creative $-telescoping(f, [x: : diff, y; :diff], t; : diff)$ ;time $()-tsi$

49. 583

これらの計算は共に，Intel Xeon 5450 $(3\cdot 00GHz),$ $32GB$ のメモリを搭載した計算機で行った．

4.3

Oaku-Shiraki-Takayama アルゴリズム$OST$ アルゴリズム) は，各有限区間 $[a, b]$ における
Oaku-Shiraki-Takayama によるアルゴリズム (以降，積分を Heaviside 関数を用いて 上の積分とみなして積分アルゴリズムを適用し，積分の満たす斉次微分方程式を得るアルゴリズムである．つまり，今 $Y(t)$ を $Y(t)=0(t<0),$ $Y(t)=1(t\geq 0)$ で定義される関$\mathbb{R}$数とすると，$\int_{a}^{b}u(t, x)dt=\int_{-\infty}^{\infty}Y(t-a)Y(b-t)u(t, x)dt$であるから，左辺の満たす斉次微分方程式を得るために，右辺の非積分関数の満たす微分方程式系を入力として積分アルゴリズムを適用するということである．彼らは Heaviside 関数と $u(t, x)$ の積の満たす微分方
程式系を与える方法として以下の 2 種類を与えている．
(a) Heaviside 関数の性質を利用する方法(b) $D$ 加群のテンソル積の計算を用いる方法

前者は入力の微分方程式系を多項式倍する程度の処理で済むので計算は直ちに終了するが，その出力がホロノミックであるかどうかは分かっていない．つまり，その後の積分アルゴリズムの停止性は保証されない．

121
後者は $u(t, x)$ の満たすホロノミック系を入力とすれば，積の満たすホロノミック系を得ることができるので，その後の積分アルゴリズムの停止性は保証される．しかし，テンソル積の計算のコストは非常に大きい．
ここでは前者を用いて計算する方法を $OST$ アルゴリズム , 後者を用いて計算する方法を $OST$ アルゴリと呼ぶことにする．詳しくは [7, Chap 5] を参照．
$a$

ズム

$b$

例

([7], Example 5.1.)$4$$v(x)= \int_{0}^{\infty}e^{(-t^{3}+t)x}dt$$v(x)$ の満たす微分方程式系を $OST$ アルゴリズムにょって計算した結果である．
以下は，:[1486] $B=[dt+(3*t^{\sim}2-1)*x,dx+t^{\sim}3-t]$$[dt+(3*t^{-}2-1)*x,dx+t^{-}3-t]$[1487] $ost_{-}integration_{-}idea1$ $(B, [t,x], [dt, dx], [1, 0], [0], [’‘ inf”])$ ;$nd_{-}wey1_{-}gr$ : Osec $(0.014\sec)$–weyl-minipoly : $0.004\sec(0.000402\sec)$: $0.004\sec$ (0.0004091sec)
generic bfct : $[[1,1], [s, 1], [s-2,1]]$: 2$B_{-}\{SO\}$
length; 3–fctr ( $BF$ )base : Osec (0.000891sec)$-integration_{-}idea1_{-}interna1$ : Osec $(0.000793\sec)$$-generic_{-}bfct_{-}and_{-}gr$

$SO$

$+$

$[-27*x^{-}3*dx^{-}3-54*x^{\sim}2*dx^{-}2+(4*x^{\sim}3+3*x)*dx+4*x^{\sim}2-3,$$27*x^{-}2*dx^{arrow}4+135*x*dx^{-}3+(-4*x^{\sim}2+105)*dx^{-}2-16*x*dx-8]$

また，以下は我々のアルゴリズムによって計算した結果である．
[1567] $B=[dt+(3*t^{-}2-1)*x,dx+t^{-}3-t]$ :$[dt+(3*t^{\sim}2-1)*x,dx+t^{-}3-t]$[1568] INT$=int$ egrat ion-ide al $(B, [t,x], [dt,dx], [1, 0] inhomo=1)$ ;: $0.$ 004001sec $(0.004164\sec)$$-nd_{-}wey1_{-}gr$weyl-minipoly : Osec $(0.002094sec)$–generic-bfct and-gr : $0.008002\sec(0.007762\sec)$
generic bfct : $[[1,1], [s, 1], [s-2, i]]$
–

$SO$

: 2

$B_{-}\{SO\}$––

length: 3

fctr ( $BF$ )$+$base : $0.004\sec(0.003639\sec)$$integration_{-}idea1_{-}$ internal: $0.008\sec(0.005342\sec)$$[[-27*x^{arrow}2*dx^{-}2-27*x*dx+4*x^{\sim}2+3], [[[[dt,-9*t*x*dx+(-6*t^{\sim}2+4)*x+3*t]], 1]]]$

我々のアルゴリズムの出力からは $v(x)$ の満たす非斉次微分方程式系として$(-27x^{2}\partial_{x}^{2}-27x\partial_{x}+4x^{2}+3)\cdot v(x)=-4x$が得られる．一方，$-4x$ の零化イデアルは$\langle x\partial_{x}-1,\partial_{x}^{2}\rangle$(3)であるから，この 2 つの生成元を (3) の両辺に左から作用させると v(x) の満たす斉次微分方程式系が得られ，$OST$ アルゴリズムにょる出カと一致する．し$OST$ アルゴリズムの出力からは右辺の非斉次部分を直接計算することは出来ない．つまり，我々のアかし，

ルゴリズムは $OST$ アルゴリズムよりも多くの情報を含んでいる．

表1は$v_{n}(x)= \int_{0}^{\infty}u_{k}(t,x)dt,\overline{v}_{n}(x)=\int_{0}^{1}u_{k}(t,x)dt(k=1, \ldots,4)$122
ただし，uk $(t, x)= \exp(-tx\prod_{i=1}^{k}(t^{2}-i^{2}))$に対して，我々のアルゴリズム (アルゴリズム 2) と $OST$ アルゴリズム a, b を適用したときの計算時間を表している．また，比較の為にアルゴリズム 1 の計算時間も示した．計算環境は CPU:Xeon X5570 $(2.93GHz)$ ,の結果を利用できるので，改めて計算する必要がないことを示している．
Memory: $48GB$ である．記号 は$\dagger$$v_{i}$

表 1: $OST$ アルゴリズムとの計算時間 $(\sec)$ の比較

計算効率の面では，アルゴリズム 2 はアルゴリズム 1 と比べて，元々計算しているグレブナ基底の中間情報を用いて非斉次部分を構成するコストが増える．一方，$OST$ アルゴリズムは，非積分関数に Heaviside 関
数をかけることで積分アルゴリズムの入カイデアルが複雑になり計算コストが増加する．コストの増加分は，$OST$ アルゴリズムの出
単に微分作用素の積や和をとるだけの計算であるアルゴリズム 2 の方が小さいが，力のように斉次微分方程式を導出する為には，非斉次部分の零化イデアルの計算が必要である．零化イデア
ルの計算は重たい場合もあり，そのコストも含めると両者のどちらが計算に有利であるかは問題に依存する．
$OST$ アルゴリズムで同一の非積分関数について積分区間を変えたものの満たす微分方程式を得たい場合，は初めから計算をやり直す必要があるが，我々のアルゴリズムは積分区間に依存しないのでその必要はない．

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