膜構造物の簡易膜張力測定装置の開発
陳 商煜*
大森博司**

梗概

大空間建築に多用される膜構造物では、構造物の竣工後において膜面に導入されている張力レベルを適切に維持する必要がある。しかしながら、これを正確に測定できる装置は無論、測定の方法も未だ確立されておらず、現場では熟練した技術者の勘に頼った作業が行われているのが現状である。本論文では、膜材の張力を精度よく測定するために、音波を用いた簡易膜張力測定法を提案し、実験的にその精度を検証する。また、膜材の張力を精度良く測定するためには、空気の付加質量の影響を正しく考慮する必要がある。この空気の付加質量が膜の振動に及ぼす影響についても理論的に評価する。

1

はじめにとが可能で、これができれば膜構造物の設計施工の技術分近年、数多く設計されるようになった膜構造物の最大の野に対する貢献は非常に大きい。

弱点は張力の正確な維持管理が困難であることである。施

本報では、上述の膜張力測定の理論および検証実験結果

工の初期張力導入の段階では、膜の巻き取り器具などの反を報告する。膜張力を精度よく測定するためには空気の付力により、ある程度把握することができるが、竣工後はこ加質量の影響を正しく考慮する必要があるが、ここでは最れを定量的につかむことが非常に困難である。 ところが

小二乗法により近似的に考慮する方法と、空気の付加質量強風によるばたつき（フラッタリング）や雨水の局部的滞を流体反力として扱って理論的に評価した場合について併留（ポンディング）は膜の破断につながる致命傷になるこせて記述する。
Tyともあり、竣工後に膜構造物に生じている膜張力の大きさスピーカーを知ることは、維持管理の観点から大変重要で、これを可能とする技術に大きな期待が寄せられている。
膜張力の測定に関する技術は、これまでにいくつか試み境界Txbが成されてきており、実際に現場で利用されているものもyある。しかし、膜張力を定量的に把握することからは程遠

x

い精度であり、ほとんど役に立っていないのが現状である。

膜面

Ty

さらに、膜材料の直交異方性の特徴により、膜面の縦糸と図 1 測定装置の概略図

横糸には別々の張力が導入されることもあるが、それを別々に測定することは従来の技術では不可能である。
本研究では、図 1 のように、音波を用いた測定技術を提案する。その原理は図 2 のような長さ a × b の長方形の境界面を持つ膜面を可聴域の振動数を持つ音波で加振し、膜Txa2

図 2 膜面の境界部

基礎理論
x, y 方向の張力が異なる膜の運動方程式は次のように表される。とで、間接的に膜面に作用している張力を測定するもので∂2w ∂2w  ∂2w+  2 Tx + 2 Ty  = p2∂y∂t ∂xある。理論的には、直交二方向の張力を別々に測定するこ

ここで、w = w( x, y, t ) は膜面の面外のたわみ、t は時間、 p面の持つ固有振動数近傍で起こる共振振動数を測定するこ*名古屋大学大学院環境学研究科

大学院生

**

名古屋大学大学院環境学研究科教授

工学博士

−ρ

（1）

は外圧、 ρ は膜の単位面積当たりの質量を表している。また、 Tx , Ty はそれぞれ x, y 方向の単位長さ当たりの張力を表している。

3検証実験
本研究で提案する張力測定装置は、膜張力を音波加振により非接触かつ高精度に測定するものである。

式（1）を満足する w, p として次のような変数分離形の関数を考える。

図 3 に示すように装置は、スピーカー、音源部、レーザー変位計測部、箱形境界部、並びに記録装置からなる。スiωtw = W ( x, y ) e ,p = P ( x, y ) eiωt（2）

ピーカーは音源部からの電圧を受け、適量の大きさと振動数を持つ音波を発信し、レーザー変位計測部は音波を受け式（2）を式（1）に代入すると次式が得られる。
∂ W2

ρω 2W + 2 ∂x

Tx +∂W T y  = P∂y 2
て共振する膜面の変位を非接触で計測する。境界部は、そ2（3）m, n = 1, 2,L割を持つ。境界部は 20cm×30cm の平面形状としている。
二軸引張装置により、検証実験を行った。今回の実験に周辺固定の短形膜を考えると、振動形 Wmn ( x, y ) はmπxnπyWmn = C mn sin
sinabの端部を膜面に接触させることで膜面に振動境界を作る役

おいて利用した膜材は膜材料 A 種で、概略の形状は図 2 に（4）示されているとおりである。スリット部分以外の膜面の大きさは 40cm×40cm、面密度は約 1.3kg/m2 である。膜面にと表すことができ、これを式（3）に代入すると次式を得る。

導入する直交二方向の張力パターンを表 1 に示す。
加振はファンクションジェネレータを用いて通常のスウ 2 2n 2 2 m ρω − π  2 Tx + 2 Ty C mnWmn ( x, y ) = P( x, y ) （5）
b

a

式（5）は、外力 p により膜面を振動させたとき、左辺で示される振動形状になることを表している。今、膜面が自由振動する場合を考えると、左辺の係数がゼロとなるので、

1ρ⋅m2n2Tx + 2 T y2ab置を置いた状態での音波加振実験の様子を示している。
測定実験から求められた結果を図 5 に示す。横軸は設定した張力のパターンを表しており、縦軸は測定実験から求められた値をそれぞれの設定応力で割った値であり、1 に近いほど精度が良いことを示している。

固有円振動数 ω mn は次のようになる。
ω mn = πィープ加振を行った。図 4 は測定装置および膜面に試験装m, n = 1, 2,L（6）ファンクション
ジェネレータスピーカー

Sweep 加振

膜面の固有円振動数から直交二方向の張力を推定するこアンプ（ 増幅）測定装置
レーザー変位計とを考える。 2πf = ω の関係式を用いると、固有振動数 f mn

データロガー（ 記録部）

は次のようになる。
f mn =m21n2⋅ Tx 2 + T y 24ρab

膜面

図3（7）
表1

いま 2 種類の異なった加振音源の振動数 f1 , f 2 に対して膜面が共振したとき、式（7）より次式が成立する。
等張力

m2n22
Tx 2 + T y 2 = 4 ρf1
a1b1
Tx

m2n22+ T y 2 = 4 ρf 22a2b2（8）実験の概略図張力パターン（単位：kgf/cm）

Tx

Ty

Tx

Ty

Tx

Ty

Tx

Ty

Tx

Ty

1.0

1.0

3.0

3.0

5.0

5.0

10.0

10.0

20.0

20.0

2.0

1.0

6.0

3.0

10.0

5.0

20.0

10.0

1.0

2.0

3.0

6.0

5.0

10.0

10.0

20.0

異張力

ここで、Tx , Ty はそれぞれ互いに直交方向の膜張力、 a1 , b1は振動数 f1 の、 a2 , b2 は振動数 f 2 の、それぞれ加振音源境界面の各辺の長さを表し、m, n は振動モードの波の数を示す。
（8）式より、共振時における膜面の固有モードとそのときの固有振動数が測定できれば、 Tx , Ty の直交二方向の膜張力を別々に求めることができることが分かる。

図4

実験装置及び測定実験の様子

測定応力/設定応力 Tex/Ttx, Tey/Tty

1.5

表2○ Y方向推定応力/設定張力
1.4□ X方向推定張力/設定張力

実験番号

1.3

設定応力
(真の膜張力）式（11）から推定された膜張力

1.2
1.1

n 回実験

123…

i…

n{T0 }1{T0 }2{T0 }3…

{T0 }i…

{T0 }n{T }1{T }2{T }3…

{T }i…

{T }n1.0
n0.9

e=0.8

∑{e} {e}ti（13）ii =10.7

ここで、式（9）の ρ に、空気の付加質量の影響が混入し0.6ていると考え、これが振動数の関数として次式のように表0.5
(1.1)

(1.2)

(2.1)

(3.3)

(3.6)

(5.5)

(5.10)(6.3)

されるものと仮定する。

(10.5) (10.10)

X,Y方向設定応力 Tt(kgf/cm)

図5ρ = ρ ( f ) = ρ ( 0) + ρ (1) f + ρ ( 2) f 2

測定結果（14）式（14）の係数を式（13）で表される誤差を最小化するよ4

空気の付加質量の近似的評価
図 5 の実験結果では、高張力になるにつれて精度が落ちうに決めることにする。振動数ベクトル { f } は次のようになる。ていくことが分かる。その原因の一つとして、膜面上の空
 ρ ( f 1 ) f1 2 
 ( ρ ( 0 ) + ρ (1) f1 + ρ ( 2 ) f1 2 ) f1 2 { f } = 4
 = 4
222
ρ ( f ) f ( ρ ( 0 ) + ρ (1) f + ρ ( 2) f ) f  （15）
22 
222 



気が膜面の共振時に空気バネの役割を果たして、膜面に何らかの影響を与えた可能性が考えられる。ここでは膜面の共振振動数が空気の付加質量に影響されると仮定して、最{ }周辺固定の短形膜で、2 種類の異なった加振音源の振動式（8）で m = n =1数 f1 , f 2 に対して膜面が 1 次共振したとき、{ }{ }= ρ ( 0 ) f 2 + ρ (1) f 3 + ρ ( 2 ) f 4

小二乗法により誤差最小化を考える。

 f 2  f 2  f 3  f 2  f 4  f 2 

ここで、 {f 2 }= 4 1 2  , {f 3 }= 4 1 3  , {f 4 }= 4 1 4 とすれば、次式が成立する。
式（13）で表された誤差を式（14）の係数 ρ ( 0) , ρ (1) , ρ ( 2) に112T + 2 T y = 4 ρf12 x
a1b1

より最小化するための条件式は次のようになる。
（9）112T + 2 T y = 4 ρf 22 x
a2b2

∂e=0，
∂ρ ( k )k = 0, 1, 2（16）

こ こ で 、 Tx , Ty は そ れ ぞ れ 互 い に 直 交 方 向 の 膜 張 力 、結局、式（16）を解くことによって近似式（14）の各係数

ai , bi (i = 1, 2) は振動数 f i の加振音源境界面の長さ、また ρは次のように得られる。

は膜面密度を表す。（9）式を次式のように表す。

ρ ( 0) = 1.310546[A]{T } = { f }1 2 b1 ,1 
2b2 （17）ρ ( 2) = 7.653458 × 10 −6T Ty 

{T } =  x  , { f } = 4 ρ  f1 2 2

したがって、空気の付加質量の影響は式（9）の面密度 ρ f 2 式（10）から膜張力 {T } は次式によって求められる。

{T } = [A] { f }−1（11）

ここで、固有振動数 { f }i の異なる実験結果が n 回行われたと 仮 定 す る と 、 表 （ 2 ） に 示 す よ う に 、 {T0 }i と {T }i(i = 1, 2, 3, L n) を得る。ここで、 {T }i = [A] { f }i を表す。し−1

たがって、誤差ベクトル {e}i は次式で構成される。

{e}i = {T }i − {T0 }i = [A]−1 { f }i − {T0 }i（12）1.5

測定応力/設定応力 Tex / Ttx, Tey / Tty

 1
 2a
ここで、 [A] =  1
 1
a 2
 2

ρ (1) = 3.059431× 10 −3（10）● 付加質量考慮 Y方向 推定張力/設定張力
1.41.3■ 付加質量考慮 X方向 推定張力/設定張力○ 付加質量非考慮 Y方向 推定張力/設定張力□ 付加質量非考慮 X方向 推定張力/設定張力

1.2
1.1
1.00.90.80.7
0.60.5(1.1)

(1.2)

(2.1)

(3.3)

(3.6)

(5.5)

(5.10)(6.3)

X,Y方向設定応力 Tt(kgf/cm)

全体の誤差の尺度として次式を考える。
図6

誤差最小化による結果(10.5) (10.10)

xを次式で評価することによって考慮できることになる。
ρ = ρ ( f ) = 1.310546 + 3.059341 × 10 −3 f + 7.653458 × 10 −6 f 2 （18）r1a

図 6 の中で ● と ■ の記号は、式（18）で求められた膜dr1

面密度を、膜張力算定式である（9）式に用いることによdA
drdθ θϕ5yrって得られる付加質量の影響を考慮した結果を示している。
r=aU0

空気の付加質量の理論的考察
ここで、空気の付加質量を流体反力として扱い、膜の振図7境界を持つ円形板の放射面動に及ぼす付加質量の影響を理論的に評価する。
5.1 無限平面境界板を有する円形板の放射インピーダンス
板の振動による媒質の影響は、振動板に無数の点音源が媒質中で音を放射するとき、それらが振動板に及ぼす影響

ただし、 k は波数、 a は振動板の半径、 c は音速で、 J 1 を第 1 種のベッセル関数、 K1 を第 1 種変形ベッセル関数とすれば、 R1 (2ka), X 1 (2ka) はそれぞれ次のような級数で表される。に置き換えることができる。板の振動によって媒質中に音を放射すると、振動面にも音圧が生じ、板の振動を抑える

R1 (2ka) = 1 −ように働く。したがって、板を媒質中で真空中と同じ速度で振動させるためには余分な力が必要となる。よって、音の放射を考えるとき、音圧の反作用による余分なインピーダンスを考えなければならない。この余分のインピーダン
スを放射インピーダンス（Radiation Impedance）といい、X 1 (2ka) =
2 J 1 (2ka)  (2ka) 2 (2ka) 4(2ka) 6= −+− ⋅ ⋅ ⋅  (24）2222ka2 ⋅ 4 ⋅6 2⋅ 4 ⋅6 ⋅8 2⋅4
2 K1 (2ka) 4  2ka (2ka) 3(2ka) 5= − 2+ 2 2 − ⋅ ⋅ ⋅ 2π 3(2ka)
3 ⋅5 3 ⋅5 ⋅7


（25）

放射インピーダンス Z r は駆動力 Fr と速度 U 0 の比で定義されるので、次式のように書ける。

振動板の振動に影響を及ぼす。
Zr =

図 7 のように円形平面音源が、角振動数を ω （rad/s）としたとき、複素速度 U 0 = U 0 ejωtで運動しているものとす

Fr = Z r ⋅ U 0 e jωtる。円形平面音源上の微小面積 dA の振動によって、距離 r1離れた同じ平面上の任意の dA′ に生じる速度ポテンシャルdφ は次式で与えられる。
Udφ = 0 e − jkr1 dA
2πr1（19）

したがって、媒質中の振動方程式は次のようになる。
m∂ 2ξ∂ξ+ Rm+ sξ = F e jωt − Z rU 0 e jωt = ( F − Z rU 0 )e jωt （28）∂t∂t 2式（28）を解くと円形板の速度は次式で与えられる。

シャル φ は、（19）式を振動面全体の面積 S で積分するこup =とによって得られる。

∫e − jkr1dAr1S（20）( F − Z rU 0 )e jωt
Rm + j (ωm − s / ω )（29）

円形板の動きを、 u p = U 0 e jωt と仮定すれば、式（29）から次式が得られる。

微小面積 dA′ の音圧を p 、媒質の密度を ρ 0 としたとき式（20）から次式を得る
p = ρ0（27）数を表す。

したがって、振動面全体によって dA′ に生じる速度ポテン

U02π（26）

ここで、 m は質量、 Rm は減衰定数、 s は円形板の剛性係

ここで、 k = ω c （波数）である。

φ =Fr= ρ 0 cπa 2 (R1 (2ka) + jX 1 (2ka) )U0jωρ 0∂φ= jωρ 0φ=
U0dA′
2π∂t

∫

e − jkr1dAr1S（21）U0 =F
Rm + j (ωm − s / ω ) + Z r（30）U0 =F
Zm + Zr（31）dA′ 上に働く力は pdA′ であるから、振動面全体に働く力 Fr

ここで、Z m = Rm + j (ωm − s / ω ) は機械的インピーダンス、Z rは次のようになる。

は放射インピーダンスであって、実部の放射抵抗 Rr 、虚Fr =∫pdA′ =Sjωρ 0U02πS∫ ∫eS− jkr1r1= ρ 0 cπa 2 (R1 (2ka) + jX 1 (2ka) ) ⋅ U 0
dA  dA′


（22）
（23）

部の放射リアクタンス X r の和で定義されており、次のように書ける。
Z r = Rr + jX r（32）0.020

ここで、 ρ membrane は膜材の面密度、 ∆ρ は付加された面密度0.0180.018を表す。

拡大

付加質量（kg）

0.016

膜材の面密度に対して付加される面密度の割合を次式で0.0160.014評価する。

0.0120.014

0.010

050

100150

200

ρ = ρ ( f ) = ρ membrane 1 +0.008

∆ρ ρ membrane （36）

0.006
0.004

また、理論的に評価した長方形平面の付加膜面密度も同様0.002にして得られる。ただし、 ∆ρ = ∆m ab で求められる。この

0.0000

図8200400600800

1000 1200f 振動数(Hz)

1400

1600

18002000

2 つの付加面密度の割合を図 9 に示す。
誤差最小化では、付加質量の影響が振動数に依存して高円形板に等価な長方形平板の付加質量くなり、振動数 200Hz 付近では割合が 80%までに近づくことが分かる。

すなわち、円形板を速度が U 0 になるように駆動するには U 0しかし、理論的評価では、低振動数領域で付加質量の影方向に Fr に等しい力を加えなければならないことが分かる。

響はほぼ一定であって、膜の振動に及ぼす空気の影響は、式（23）の実部、放射抵抗は U 0 と同位相の力であって面密度が 20%増加した膜が真空中で振動するのと同じであエネルギーを消費するが、放射リアクタンスである虚部はU 0 より位相が 90°進み、ただ空気を前後に動かすだけで、ることが分かる。空気の付加質量の理論的考察による結果を図 10 に示す。

エネルギーを消費しない成分である。これらを角振動数で割れば、加速度に関係する質量の次元を持つ量を得る。こ2.0

れは、常に正であって、円形板の質量 m に付加的な質量を● 誤差最小化近似加える役割をする。これが放射による付加質量で次式で表○ 理論

1.8X (2ka )X∆m == r = ρπa 2 1kω
kc
Xr

5.2（33）

円形板面積に等価な長方形板の放射インピーダンス

1+∆ρ/ρmembrane

される。

各辺の長さが a = 0.3m 、b = 0.2m である長方形平面の振動

1.61.41.21.0による放射インピーダンスを同じ面積を持つ等価円板に置0.8換して求める。すなわち、 a × b(= 0.2m × 0.3m) = πr 2 を満足す

0204060る、半径 r = 0.1382m を考える。ただし、長方形平面は円形
図9板に近似されたものとする。その結果を図 8 に表す。
図 8 を見ると付加質量は、振動数の関数であって、振動数領域では、振動体の密度が媒質に比べて高くないときは無視できないものであり、その値は一定値となることが分かる。
5.3

空気の付加質量の影響の考察

誤差最小化で仮定した、付加質量加味の全膜面密度式は次式で与えられている。
ρ = ρ ( f ) = 1.31056 + 3.059341 × 10 −3 f + 7.653458 × 10 −6 f 2 （34）

式（34）は膜面の振動に関わる全密度であるから次のよう

1.4

ρ = ρ ( f ) = ρ membrane + ∆ρ

（35）

140

160

180

付加面密度の割合

1.3

付加質量考慮 X 方向 測定張力/設定応力
付加質量考慮 Y 方向 測定張力/設定応力
付加質量非考慮 X 方向 測定張力/設定応力
付加質量非考慮 Y 方向 測定張力/設定応力

1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
(1,1) (1,2) (2,1) (3,3) (3,6) (5,5) (5,10) (6,3) (10,5) (10,10)

X,Y方向設定張力 Tt(kgf/cm)

図 10に書ける。

100120f 振動数(Hz)1.5

測定応力/設定応力 Tex / Ttx, Tey / Tty

数の増加につれてその影響は少なくなる。しかし、低振動

80

付加質量の影響の検討

200

6まとめ

参考文献

本研究では、膜張力を定量的に、二方向別々に、高い精度で測定でき、かつ現場で実用化できる膜張力の測定方法[1]として音波を用いた方法を提案し、実験により精度の検討を行った。また、誤差の原因の一つと考えられる空気の付行った。

明児：膜張力の非接触測定法の開発に関する実2002[2]

陳

商煜，候興国，呉明児，大森博司：空気の付加質量を考慮した簡易膜張力測定法に関する研究，日本建築大会学術講加質量の影響を経験則により近似的に考慮した場合と、等価な円形板を用いて理論的に評価した場合について検討を

大森博司，呉験的研究，日本建築大会学術講演梗概集（北陸），B‑1，pp.847‑848，

演梗概集（北海道），B‑1，pp.917‑918，2004[3]

Stephens & A.E.Bate : Acoustics and Vibrational Physics,
Edward Arnold Ltd.，pp.687‑715，1966誤差最小化近似では、付加質量が振動数とともに変化す[4]

早坂寿雄：音響工学概論，日刊工業新聞社，pp.121‑142，1977

ると仮定したが、理論的評価により、付加質量が振動数の[5]太田光雄編：基礎物理音響学，朝倉書店，pp.81‑113，1990

関数でありながらも低振動数ではほぼ一定の値を持ち、高振動数になるに従って消失することが明らかになった。実験では膜の固有振動数が最大 200Hz を超えないので、付加質量の影響はここで問題としている振動数域では振動数に関係なく一定であるといえる。
以上の成果に基づいて、今後は膜張力の簡易測定装置の試作を進める予定である。

Development of Measurement Equipment of Membrane Stress for Membrane Structures
Sang Wook JIN *, Hiroshi OHMORI **SYNOPSIS
This paper presents a basic concept of a new method for measuring the tension stresses of the membrane materials,
which is based on resonance phenomenon induced by the sound waves.

Evaluation scheme for the added masseffect on vibration of the membrane is discussed, where two different approaches are adopted.

It is shown that the

proposed measurement scheme can be used for the prediction apparatus of the membrane tension stresses, where theaccuracy of the measurement can be achieved by proper consideration of the added mass effect of the surrounding air.
More precise scheme for evaluation of the added mass effect as well as production of the measurement device ofmembrane stresses are next subjects for the future work.

* Graduate Student, Department of Environmental Engineering and Architecture, Graduate School of Environmental Studies,
Nagoya University** Dr.-Eng. Prof., Department of Environmental Engineering and Architecture, Graduate School of Environmental Studies,
Nagoya University