数理解析研究所講究録 1224 巻 2001 年 170-181

170

Second order admissibility of the
maximum likelihood estimator
筑波大・数学1

田中秀和(ffidekazu Tanaka)

はじめに
統計的推定問題において 1 っの目標はリスクが小さい推定量を見っけることだが, 一様に小さくなる推定量が存在することは稀である. 例えば Berkson’s
bioassay problem, っまり確率変数 $X_{\dot{l}}(i=1, \ldots, k)$ が互いに独立に, 各が$X.\cdot$($B(n, \mathrm{B}(\theta))$$P_{\dot{l}}(\theta)=\{1+\exp(-\theta-\beta \mathit{4}.)\}^{-1};\theta\in \mathrm{R}^{1}$に従うときの分統計量: 未知;の推定問題である. Berkson [3] は最小 logit$\theta$

で RaO-Black$\sum_{\dot{\iota}=1}^{k}X_{\dot{l}}$e$\beta,$$\chi^{2}$$d:\in \mathrm{R}^{1}$: 既知)

推定量を完備十恐修靴真篦衫 (Berkson 推定量) を提案し (平均 2 乗誤差の意味で) 最尤推定量とどちらが良いか議論した. また Amemiya [2]は適当な場合に対しては数値計算により Berkson 推定量のほう力$>\theta$$o(1/n^{2})$まで

漸近的に良いと結論づけた. しかし, 理論的には $o(1/n^{2})$ まで漸近的に一様に平均 2 乗誤差を小さくすることは出来ない ([11]).

Ghosh and Sinha [5] は, この問題に対して高次漸近理論の立場から 2 次漸近許容性の概念を導入して論じた(一般の高次漸近理論については [1], [4] を参照).

本論においては正則な場合に未知母数$\theta$の最尤推定量を$\hat{\theta}$とするとき,$g(\hat{\theta})$

2 次漸近許容的であるための必要十分条件を導く. また, 非正則の特別な場合として, 切断分布に従うときの未知の位置母数を とするとが g(のに対して,$\theta$きについても考察する.

2

準備
確率変数

$\theta)$,$(x\in \mathcal{X})$$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$

が互いに独立に, ある$\sigma$-有限測度をもつ分布に従っているとする. 但し,$\nu$に対する密度 $f(x$ :$\theta\in\ominus:=(\underline{\theta},\mathfrak{h}\subset \mathrm{R}$とし, 次の条件 (A. ) $\sim(A.3)$ を仮定する.
$1$

(A.1)

$f(x:\theta)$の台 $\{x\in \mathcal{X} : f(x:\theta)>0\}$ t ま$\theta$に依存しない.

は未知

171
(A2)

$f(x:\theta)$

は$\theta$に対して 3 階連続微分可能で,$f^{(i)}(x:\theta):=\partial^{i}f(x:\theta)/\partial\theta^{i}$$(i=0,1,2,3)$ とする.

(A.3)$\mu_{ijk}(\theta):=E_{\theta}[(\frac{f’}{f})^{i}(\frac{f’’}{f})^{j}(\frac{f’’’}{f})^{k}]$であり, O<I=\mu 2
定義 21$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2}$$\theta$の 2 つの推定量$\infty$$\hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2}$$(i,j, k=0,1, \ldots)$ が有限確定.

が与えられたとき, 平均 2 乗誤差の下より 2 次漸近的に良いとは, 任意の$\theta\in\Theta$$\hat{\theta}_{1}$

が

について

$E_{\theta}[( \hat{\theta}_{1}-\theta)^{2}]\leq E_{\theta}[(\hat{\theta}_{2}-\theta)^{2}]+o(\frac{1}{n^{2}})$で, ある$\theta 0\in\Theta$について$E_{\theta_{0}}[( \hat{\theta}_{1}-\theta_{0})^{2}]<E_{\theta_{0}}[(\hat{\theta}_{2}-\theta_{0})^{2}]+o(\frac{1}{n^{2}})$となることである.

定義 22$\theta$であるとは,の推定量$\hat{\theta}$$\hat{\theta}$

が 2 次漸近許容的 (second order admissible, 略して SOA)より 2 次漸近的に良い推定量が存在しないことである.

例 21 第 1 節の Berkson’s bioassay problem を考える. まず, $Q_{i}(\theta):=1-P_{i}(\theta)$ ,$p_{i}:=X_{i}/n,$ $q_{i}:=1-p_{i},$$\mathcal{P}:=(0,1)^{k}$$\chi_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{2}(\theta;\mathrm{p})$を最小にする最小 logit$\chi^{2}$

とおくと, logit$\chi^{2}$関数$:= \sum_{i=1}^{k}p_{i}q_{i}\{\log\frac{P_{i}(\theta)}{p_{i}}-\log\frac{Q_{i}(\theta)}{q_{i}}\}^{2}$

推定量は$\frac{\sum_{i=1}^{k}p_{i}q_{i}(\log\frac{p_{i}}{q_{i}}-\beta d_{i})}{k}$$(\mathrm{p}\in P)$$\hat{\theta}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}(\mathrm{p})=\{$$\sum_{i=1}p_{i}q_{i}$0$(\mathrm{p}\not\in \mathcal{P})$,172になる. このとき,$\theta$の最尤推定量と最小 logit$\chi^{2}$

推定量の平均 2 乗誤差は$E_{\theta}[( \hat{\theta}_{\mathrm{m}1}-\theta)^{2}]=\frac{1}{nI}+\frac{1}{4n^{2}I^{4}}(11I^{\prime 2}-4II’’)+o(\frac{1}{n^{2}})$,.

$E_{\theta}[( \hat{\theta}_{\mathrm{b}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}-\theta)^{2}]=\frac{1}{nI}+\frac{1}{4n^{2}I^{4}}[2(k-6)I^{2}-16I^{3}+24I^{\prime 2}+64I\sum_{\dot{l}=1}^{k}P_{\dot{l}}^{2}Q_{1}^{2}$$+I^{2} \{.\cdot\sum_{=1}^{k}(Q:-P.\cdot)\}^{2}-8II’.\cdot\sum_{=1}^{k}(Q:-P_{\dot{l}})]+o(\frac{1}{n^{2}})$

になる.

一方,

$\theta$の最尤推定量, 最小$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}\chi^{2}$

推定量は$E_{\theta}[ \hat{\theta}_{\mathrm{m}1}-\theta]=-\frac{I’}{2I^{2}n}+o(\frac{1}{n})$,$E_{\theta}[ \hat{\theta}_{\mathrm{b}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}-\theta]=.\cdot\frac{I\Sigma_{=1}^{k}(Q_{\dot{l}}-P)-2I’}{2I^{2}n}\dot{.}+o(\frac{1}{n})$となって, いずれも漸近的に偏りをもつ. そこで, それぞれの偏りを修正して,$\hat{\theta}_{\mathrm{m}1}^{*}:=\hat{\theta}_{\mathrm{m}1}+\frac{I’(\hat{\theta}_{\mathrm{m}1})}{2I^{2}(\hat{\theta}_{\mathrm{m}1})n}$:=\mbox{\boldmath $\theta$}^l。’---I(\mbox{\boldmath $\theta$}^log.t)$\sum_{=1}^{k}.\cdot\{Q_{\dot{l}}(\hat{\theta}_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}})-P.\cdot(\hat{\theta}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}})\}-2I’(\hat{\theta}_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}})2I^{2}(\hat{\theta}_{1\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}})n$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{*}$とすれば$E_{\theta}[ \hat{\theta}_{\mathrm{m}1}^{*}-\theta]=o(\frac{1}{n})$,$E_{\theta}[ \hat{\theta}_{10\dot{g}\mathrm{t}}^{*}-\theta]=o(\frac{1}{n})$となり$E_{\theta}[( \hat{\theta}_{\mathrm{m}1}^{*}-\theta)^{2}]=\frac{1}{nI}+\frac{I^{\prime 2}}{2n^{2}I^{4}}+o(\frac{1}{n^{2}})$,$E_{\theta}[( \hat{\theta}_{10\dot{g}\mathrm{t}}^{*}-\theta)^{2}]=\frac{1}{nI}+\frac{(k-2)I^{2}-4I^{3}+8I\Sigma_{1=1}^{k}P_{\dot{\iota}}^{2}Q_{\dot{l}}^{2}+2I^{\prime 2}}{2n^{2}I^{4}}.+o(\frac{1}{n^{2}})$

173となる. そこで, 両者の $1/n^{2}$ の係数の差については$D(\hat{\theta}_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{*},\hat{\theta}_{\mathrm{m}1}^{*})$

$:$

=J 慝

$2n^{2}I^{4}\{E_{\theta}[(\hat{\theta}_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{*}-\theta)^{2}]-E_{\theta}$[(\mbox{\boldmath $\theta$}^話一$\theta)^{2}$

]

$\}$

$=(k-2)I^{2}-4I^{3}+I^{\prime 2}+8I \sum_{i=1}^{k}P_{i}^{2}Q_{i}^{2}\geq 0$になる. 何故なら, 簡単な計算から(i) $k=1$ のとき$D(\theta_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{*},\hat{\theta}_{\mathrm{m}1}^{*})=0$.

(ii) $k=2$ のとき$D$($\hat{\theta}_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{*}$, \mbox{\boldmath $\theta$}^話) $=4(P_{1}Q_{1}+P_{2}Q_{2})(P_{1}Q_{1}-P_{2}Q_{2})^{2}$$+\{P_{1}Q_{1}(Q_{1}-P_{1})+P_{2}Q_{2}(Q_{2}-P_{2})\}^{2}\geq 0$.

(iii) $k\geq 3$ のとき$D(\hat{\theta}_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{*},\hat{\theta}_{\mathrm{m}1}^{*})$$=(k-2)I^{2}-4I^{3}+I^{\prime 2}+8I \sum_{i=1}^{k}P_{i}^{2}Q_{i}^{2}$$= \sum_{i=1j}^{k}\sum_{=1}^{k}P_{i}Q_{i}P_{j}Q_{j}[(k-3)-4I$

十$\frac{1}{2}$$\{(Q_{i}-P_{i})+(Q_{j}-P_{j})\}^{2}+6(P_{i}Q:+P_{j}Q_{j})]$.

ここで負と成り得る項 [ま $-4I^{\grave{}}.\# 1$ であり $0<I\leq k/4$ である. また$I= \frac{k}{4}\Leftrightarrow P_{i}=Q_{i}=\frac{1}{2}$,$(i=1, \ldots, k)$

であるから$D( \hat{\theta}_{1\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{t}}^{*},\hat{\theta}_{\mathrm{m}1}^{*})\geq\sum_{i=1j}^{k}\sum_{=1}^{k}P_{i}Q_{i}P_{j}Q_{j}[-3+\frac{1}{2}\{(Q_{i}-P_{i})+(Q_{j}-P_{j})\}^{2}$$+6(P_{i}Q_{i}+P_{j}Q_{j})\rceil=0$.

174
よって, 任意のに対して$\theta\in \mathrm{e}$$(k-2)I^{2}-4I^{3}+I^{\prime 2}+8I. \sum_{1=1}^{k}P_{\dot{l}}^{2}Q^{2}.\cdot\geq 0$,$(k=1,2, \ldots)$が示される.

次に, 推定量のクラス$\mathcal{T}:=\{\hat{\theta}+\frac{1}{n}c(\hat{\theta})|c(\cdot)\in C^{1}\}$

を考える.

ここで

最尤推定量,$C^{1}$$\hat{\theta}_{c}:=\hat{\theta}$.

は連続微分可能な関数の全体とする. 以下》

十

と表す.

$c(\hat{\theta})/n$$\hat{\theta}$

を$\theta$の

そこで, 任意の $d(\cdot)\in C^{1}$ に対して

とおくと$h(\cdot):=d(\cdot)-c(\cdot)$$E_{\theta}[( \hat{\theta}_{d}-\theta)^{2}]-E_{\theta}[(\hat{\theta}_{c}-\theta)^{2}]=\frac{1}{n^{2}}[h^{2}(\theta)+2h(\theta)(c(\theta)-\frac{\mu_{110}(\theta)}{2I^{2}(\theta)})+2\frac{h’(\theta)}{I(\theta)}]+o(\frac{1}{n^{2}})$となる. ここでー $\mu 110/2I^{2}$ は最尤推定量
り$E_{\theta}[\hat{\theta}-\theta]=-\mu_{11}0/(2nI^{2})+o(1/n)$あるための必要十分条件は, 任意の(2.1)
かつ, ある$h^{2}(\theta)+2h(\theta)$$\theta_{0}\in \mathrm{e}$(2.2)$\hat{\theta}$の bias の $1/n$ の係数である.

である. よって \mbox{\boldmath $\theta$}^。が$\theta\in \mathrm{e}$(c(のー$\theta$っまに対して SOA でについて$\frac{\mu_{110}(\theta)}{2I^{2}(\theta)}$)$+2 \frac{h’(\theta)}{I(\theta)}\leq 0$について$h^{2}( \theta_{0})\dotplus 2h(\theta_{0})(c(\theta_{0})-\frac{\mu_{110}(\theta_{0})}{2I^{2}(\theta_{0})})+2\frac{h’(\theta_{0})}{I(\theta_{0})}<0$となることである. このことより Ghosh and Sinha [5] は Karlin の定理 $([6],[8])$を用いて, 次の事実を示した.
補題 21([5]). 修正最尤推定量るための必要十分条件は, ある$\hat{\theta}_{c}=\hat{\theta}+c(\hat{\theta})/n$$\theta_{0}\in \mathrm{e}$が$\theta$に対して$\mathcal{T}$

で SOA であに対して, 次の (2.3), (2.4) が成り立つ

ことである.

(2.3)$\overline{J}:=\int_{\theta_{0}}^{\overline{\theta}}I(\theta)\exp\{-\int_{\theta_{0}}^{\theta}(c(u)-\frac{\mu_{110}(u)}{2I^{2}(u)})I(u)du\}d\theta=\infty$

かつ

(2.4)

$\underline{J}:=\int_{\underline{\theta}}^{\theta_{0}}I(\theta)\exp\{\int_{\theta}^{\theta_{0}}(c(u)-\frac{\mu_{110}(u)}{2I^{2}(u)})I(u)du\}d\theta=\infty$.

175
例 22 (続). Ghosh and Sinha [5] は, この定理を用いて$\mathrm{S}\mathrm{O}\mathrm{A}$でないことを示し, また Berkson 推定量$\hat{\theta}_{\mathrm{B}}$$\theta$の最尤推定量$\hat{\theta}$

はは $k\geq 4$ のとき SOA であり,

$k<4$ のとき SOA でないことを示した.

3

本論
まず, 関数$c(\cdot)$のクラスを$\mathrm{C}_{\theta}:=\{(\alpha+\frac{5}{2})\frac{\mu_{110}}{I^{2}}+(\beta-1)\frac{\mu_{300}}{I^{2}}|\alpha,$$\beta\in \mathrm{R}\}$に制限し, 修正最尤推定量のクラスを1とする.

$:= \{\hat{\theta}+\frac{c(\hat{\theta})}{n}|c(\cdot)\in \mathrm{C}_{\theta}\}$

ここで $(\alpha, \beta)=(-3/2,1)$とすると漸近期待値不偏推定量,$(\alpha, \beta)=$$(-5/2,7/6)$ とすると漸近中央値不偏推定量が得られる. また $I’=2\mu_{110}-\mu_{300}$を用いると (2.1), (2.2) の左辺は,$\overline{J}=I(\theta_{0})\int_{\theta_{0}}^{\overline{\theta}}\exp\{-\int_{\theta_{0}}^{\theta}(\alpha\frac{\mu_{110}(u)}{I(u)}+\beta\frac{\mu_{3}\mathrm{m}(u)}{I(u)})du\}d\theta$$\underline{J}=I(\theta_{0})\int_{\underline{\theta}}^{\theta_{0}}\exp\{\int_{\theta}^{\theta_{0}}(\alpha\frac{\mu_{110}(u)}{I(u)}+\beta\frac{\mu_{3\mathrm{m}}(u)}{I(u)})du\}d\theta$になる. Takagi [9] は修正最尤推定量$g(\cdot)$$\hat{\theta}_{c}$が$\mathcal{T}0$

で狭義単調連続微分可能な関数に対して, 任意の変換 \eta =g(のに関して不変に SOA であるためのの集合を与えた.
定理 31(Takagi[9]). 修正最尤推定量$\hat{\theta}+\frac{1}{n}(\frac{3\mu_{110}(\hat{\theta})-\mu_{3}\mathrm{m}(\hat{\theta})}{2I(\hat{\theta})^{2}})$は$\mathcal{T}0$

において, 任意の母数変換に関して独立に SOA である.

$(\alpha, \beta)$

176
本論では, 修正最尤推定量 。を変換した推定量であるための必要十分条件を与える. ます,$g(\ovalbox{\tt\small REJECT}_{c})$が g(のに対して SOA$h()\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}d()-\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$

とおくと, デルタ法より
$E_{\theta}[\{g(\hat{\theta}_{d})-g(\theta)\}^{2}]-E_{\theta}[\{g(\hat{\theta}_{c})-g(\theta)\}^{2}]$$= \frac{g^{\prime 2}(\theta)}{n^{2}}[h^{2}(\theta)+2h(\theta)(c(\theta)-\frac{\mu_{110}(\theta)}{2I^{2}(\theta)}+\frac{3}{2I(\theta)}\frac{t’(\theta)}{g’(\theta)})+2\frac{h’(\theta)}{I(\theta)}]+o(\frac{1}{n^{2}})$を得る. このことと (2.1), (2.2), 補題 2.1 から, 次の事実が成り立っ.

定理 3.2の$g(\theta)$に対する推定量$g(\hat{\theta}_{c})$が SOA であるための必要十分条件は, 次(3.1), (3.2) が成り立つことである.

,$(3.1) \overline{K}:=\int_{\theta_{0}}^{\overline{\theta}}I(\theta)|g’(\theta)|^{-3/2}\exp\{-\int_{\theta_{0}}^{\theta}(c(u)-\frac{\mu_{110(\mathrm{u})}}{2I^{2}(u)})I(u)du\}d\theta=\infty$

かつ

(3.2)

$\underline{K}:=\int_{\underline{\theta}}^{\theta_{0}}I(\theta)|g’(\theta)|^{-3/2}\exp\{\int_{\theta}^{\theta_{0}}(c(u)-\frac{\mu_{110(u)}}{2I^{2}(u)})I(u)du\}d\theta=\infty$

系 31$c(\cdot)\in \mathrm{C}_{\theta}$

十分条件は, ある

(3.3)

のとき

$g(\theta)$$\theta_{0}\in \mathrm{e}$に対する推定量$g(\hat{\theta}_{c})$.

が SOA であるための必要に対して, 次の (3.3), (3.4) が成り立っことである.

$\overline{L}:=\int_{\theta_{0}}^{\overline{\theta}}|g’(\theta)|^{-3/2}\exp\{-\int_{\theta_{0}}^{\theta}(\alpha\frac{\mu_{110}(u)}{I(u)}+\beta\frac{\mu_{31\mathrm{D}}(u)}{I(u)})du\}d\theta=\infty$

,

かつ

(3.4)

4

.

$\underline{L}:=\int_{\underline{\theta}}^{\theta_{0}}|g’(\theta)|^{-3/2}\exp\{\int_{\theta}^{\theta_{0}}(\alpha\frac{\mu_{110}(u)}{I(u)}+\beta\frac{\mu_{31\mathrm{D}}(u)}{I(u)})du\}d\theta=\infty$

例

例 4.1 (尺度母数の推定). 密度関数が $f(x : \theta)=f(x/\theta)/\theta,$ $\Theta=(0, \infty)$ の場合を考える. まず$I(\theta)$$=$$\frac{1}{\theta^{2}}\int\frac{(f(t)+tf’(t))^{2}}{f(t)}dt=:\frac{A}{\theta^{2}}$

,

177

$\mathrm{p}_{300}(0)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\ovalbox{\tt\small REJECT} 1(f(1)\ovalbox{\tt\small REJECT} 1^{\ovalbox{\tt\small REJECT}’}(\mathrm{Z}))^{3}$$\mu 11\mathrm{o}(\theta)$$=$$\overline{L}=\infty$$\circ\theta^{3}$$- \frac{1}{\theta^{3}}\int\frac{1}{f(t)}\{f(t)+tj’(t)\}\{2f(t)+4tf’(t)+t^{2}f’’(t)\}dt=:-\frac{C}{\theta^{3}}$となる. このときり$\ovalbox{\tt\small
REJECT}$$dt\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small
REJECT}-$$f(t)^{2}$$\theta^{3}$$g(\theta):=\theta^{\delta}$とすれば $2\alpha C-2\beta B-3A\delta+5A\geq 0$ のときに限になり, また $2\alpha C-2\beta B-3A\delta+5A\leq 0$ のときに限りる. よって系 3.1 より $2\alpha C-2\beta B-3A\delta+5A=0$ のときに限り$\underline{L}=\infty$になは$g(\theta)$$g(\hat{\theta}_{c})$に対して SOA である.

例 42(Berkson’s bioassay problem). ます,$I( \theta)=\sum_{i=1}^{k}P_{i}(\theta)(1-P_{i}(\theta))$,$\mu_{110}(\theta)=\mu_{300}(\theta)=I’(\theta)=\sum_{i=1}^{k}P_{i}$(\mbox{\boldmath $\theta$})(l-Pi(の)(l-2Pl.(\mbox{\boldmath $\theta$}))となる. このとき $g( \theta)=E_{\theta}[\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{k}R_{i}]=I(\theta)$ の推定問題を考える.

定量, Berkson 推定量の bias の $1/n$ の係数{ま, それぞれ
$b_{\mathrm{B}}( \theta)=-I’(\theta)/I(\theta)^{2}+\sum_{i=1}^{k}(1-2P_{i}(\theta))/2\mathrm{I}(\theta)$$\theta$の最尤推$b_{\mathrm{m}1}(\theta)=-I’(\theta)/2I(\theta)^{2}$になる. よって, 最尤推定量に対しては$\overline{K}=\int_{\theta_{0}}^{\infty}I(\theta)|\mu_{110}(\theta)|^{-3/2}\exp\{\int_{\theta_{0}}^{\theta}\frac{I’(u)}{2I(u)}du\}d\theta$$= \frac{1}{|I(\theta_{0})|^{1/2}}\int_{\theta_{0}}^{\infty}|\frac{I(\theta)}{\mu_{110}(\theta)}|^{3/2}d\theta=\infty$,$\underline{K}=\int_{-\infty}^{\theta_{0}}\mathrm{I}(\theta)|\mu_{110}(\theta)|^{-3/2}\exp\{-\int_{\theta}^{\theta_{0}}\frac{I’(u)}{2I(u)}du\}d\theta$$= \frac{1}{|I(\theta_{0})|^{1/2}}\int_{-\infty}^{\theta_{0}}|\frac{I(\theta)}{\mu_{110}(\theta)}|^{3/2}d\theta=\infty$となる. また, Berkson 推定量$\hat{\theta}_{\mathrm{B}}$,$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

に対しては$\overline{K}=\int_{\theta_{0}}^{\infty}I(\theta)|\mu_{110}(\theta)|^{-3/2}\exp\{-\int_{\theta_{0}}^{\theta}(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}(1-2P_{i}(u))-\frac{I’(u)}{I(u)})du\}d\theta$

178$\ovalbox{\tt\small REJECT} C_{\sim\ovalbox{\tt\small REJECT}\cdot \mathrm{I}\mathrm{u}}(\ovalbox{\tt\small REJECT}^{2}|\mu_{110}(\ovalbox{\tt\small REJECT}|^{-3/2}e^{-klJ/2}(\cdot+e^{\ovalbox{\tt\small REJECT} 4)\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}}d\theta$,$\theta_{0}$$\underline{K}=\int_{-\infty}^{\theta_{0}}I(\theta)|\mu_{110}(\theta)|^{-3/2}\exp\{\int_{\theta}^{\theta_{0}}(\frac{1}{2}\dot{.}\sum_{=1}^{k}(1-2P_{\dot{\iota}}(u))-\frac{I’(u)}{I(u)})du\}d\theta$$=C_{2} \int_{-\infty}^{\theta_{0}}I(\theta)^{2}.|\mu_{110}(\theta)|^{-3/2}e^{-k\theta/2}\prod_{\dot{\iota}=1}^{k}(1+e^{\theta+\beta d}:)d\theta=\infty$

になる.

ただし,

$C_{1},$$C_{2}$

は定数とする.

ゆえに, 定理 32 より最尤推定量もBerkaen 推定量も SOA となる.
例 4.3 (ワイブル分布の場合の信頼度関数の推定 [12]). 確率変数

$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$

が互いに独立に密度関数,$\frac{c}{\theta}(\frac{x}{\theta})^{c-1}\exp\{-(\frac{x}{\theta})^{c}\}$$(x\geq 0)$0$(x<0)$ ,$f(x : \theta)=\{$( $\theta>0$ : 未知, $c>0$ : 既知)に従うものとする. このとき
$I( \theta)=\frac{c^{2}}{\theta^{2}}$,$\mu s\mathrm{m}(\theta)=-\frac{2c^{3}}{\theta^{3}}$,$\mu_{110}(\theta)=\frac{c^{2}(c-1)}{\theta^{3}}$となる. いま, 信頼度関数$\exp\{-(\frac{t}{\theta})^{c}\}$$(t>0)$ ,1$(t\leq 0)$$g(\theta):=\{$

を考えると$\frac{c}{\theta}(\frac{t}{\theta})^{c}\exp\{-(\frac{t}{\theta})^{c}\}$$(t>0)$ ,0$(t\leq 0)$$g’(\theta)=\{$になるから$\overline{L}=C_{3}\int_{\theta_{0}}^{\infty}\theta^{3e3}\tau+\tau^{-\alpha c+\alpha+2\beta \mathrm{c}}\exp\{\frac{3}{2}(\frac{\theta}{t})^{c}\}d\theta$$=\infty$$(3c+5-2\alpha c+2\alpha+4\sqrt c\geq 0)$$<\infty$$(3c+5-2\alpha c+2\alpha+4\sqrt c<0)$$\{$$\underline{L}=C_{4}1_{0}^{\theta_{0}}$\mbox{\boldmath $\theta$}T+「\mbox{\boldmath $\alpha$}c+\mbox{\boldmath $\alpha$}+2\beta C$\exp\{\frac{3}{2}(\frac{\theta}{t})^{c}\}d\theta=\infty$,

179になる. ただし,$4\beta c\geq 0$5$C_{3},$$C_{4}$のとき (こ限りは定数とする. よって, 系 3.1 より $3c+5-2\alpha c+2\alpha+$$g(\hat{\theta}_{\mathrm{c}})$(ま $g(\theta)\}$ こ対して SOA となる.

非正則の場合位置母数の推定問題を考える.

$\theta\in \mathrm{R}^{1}$に関する) 密度関数 (
$f$

$x$

一

$\theta$$X_{1},$$\ldots,$

を (ある$X_{n}$) を持つ分布からの大きさ$n$$\sigma$

-有限測度

$\nu$

の無作為標本とし, この標本を $\mathrm{X}=(X_{1}, \ldots, X_{n})$ とする. このとき, 密度関数 $f$ に次のような条件(B. ) $\sim(B.3)$ を仮定する.
$1$$f(x)>0$$(a\leq x\leq b)$

,

(B.1)

$\{$

(B.2)

$f(x)$

は区間 $(a, b)$ において$x$に関して広義単調減少である.

(B.3)$f(x)$

は区間 $(a, b)$ において$x$に関して 2 回連続微分可能で$f(x)=0$ $(x<a, x>b)$ .

$c_{0}:= \lim_{xarrow a+0}f(x)(0<c_{0}<\infty)$.

このとき, $\hat{\theta}=X(1)-a$ となり,$E_{\theta}[ \hat{\theta}-\theta]=\frac{1}{c_{0}n}+o(\frac{1}{n})$,$E_{\theta}[( \hat{\theta}-\theta)^{2}]=\frac{2}{c_{0}n^{2}}+o(\frac{1}{n^{2}})$(こなるから,$c(\cdot),$$d(\cdot)\in C^{1}$(こ対して $h(\cdot):=d(\cdot)-c(\cdot)$ とすると,$E_{\theta}[( \hat{\theta}+\frac{1}{n}d(\hat{\theta})-\theta)^{2}]-E_{\theta}[(\hat{\theta}+\frac{1}{n}c(\hat{\theta})-\theta)^{2}]$$\ovalbox{\tt\small REJECT}^{h(\theta)}$となる. よって,任意の$\theta\in \mathrm{R}^{1}$$\hat{\theta}+c(\hat{\theta})/n$が$\theta$$(h( \theta)+2c(\theta)+\frac{2}{c_{0}})+o(\frac{1}{n^{2}})$に対して SOA となるための必要十分条件は,について$h( \theta)(h(\theta)+2c(\theta)+\frac{2}{c_{0}})\leq 0$180でかつ, ある$\theta_{0}\in \mathrm{R}^{1}$にっ ‘て$\mathrm{A}$$h( \theta_{0})(h(\theta_{0})+2c(\theta_{0})+\frac{2}{c_{0}})<0$

となる.

参考文献
[1] Akahira, M. and Takeuchi, K. (1981). Asymptotic Efficiency of Statistical

Estimators: Concepts and Higher Order Asymptotic Effgciency., Lecture
Notes in Statistics 7, Springer, New York.
[2] Amemiya, T. (1980). The

mean squared errors of maximum likelihood and the minimum logit chi-square estimator. Ann. Statist., 8, 488-505.
$n^{-2}\infty \mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$[3] Berkson, J. (1980). Minimum chi-square, not maximum likelihood! Ann.
Statist., 8, 457-469.
[4] Ghosh, J. K. (1994). Higher

Asymptotics.

-CBMS Regional Conference Series in Probability and Statistics Volume 4.
$\alpha der$$\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{F}$[5] Ghosh, J. K. and Sinha, B. K. (1981). Aneoessary and suificient condi-tion for second order admissiblity with applications to Berkson’s bioassay
problem. Ann. Statist., 9, 1334-1338.
[6] Karlin,$\mathrm{S}$. (1958). Admissibffity for estimation with quadratic loss. Ann.

Math. Statist., 29, 406-438.
[7] Lehmann, E. L. (1998). Elements of Large-Sample Theory. Springer-verlag,

New York.
[8] Lehmann, E. L. and Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation.
Springer-verlag, New York.

181[9] Takagi, Y. (1999). Parametrization invariance with respect to second orderadmissibility under mean squared error. Ann. Inst. Statist. Math., 51, 99-

110.
[10] Takagi, Y. (1999). Parametrization invariance with respect to second orderadmissibility under general loss function. The Indian Journal of Statistics,

61, Series$\mathrm{A}$, Pt 1, 113-119.

[11] Tanaka, H. (1997). Asymptotic comparison of minimum discrepancy esti,
mators in Berkson’s bioassay model. J. Japan Statist. Soc.,$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.27,$$\mathrm{N}\mathrm{o}.2$

149-162.
[12] Tanaka, H. (1998). On reliability estimation in the Weibull case. J. Japan

Statist. Soc.,$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}.28$, No 2, 193-203.