数理解析研究所講究録
1195 巻 2001 年 80-90

80

数学的連続から哲学的連続に到る省察 (1)

立教大理学部,$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}$ex.

$\mathrm{e}\mathrm{m}$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}$

. a
. a

$\mathrm{t}$$\mathrm{t}$

Fac.
Fa .
$\mathrm{c}$$\mathrm{S}\mathrm{c}$. ,$\mathrm{R}\mathrm{i}$$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}$.,kkyou Un$\mathrm{M}$$\mathrm{i}\mathrm{v}$(Tamotu

全

村田

桃山学院大文学部.

生物と無生物,から,を念頭におき,$t\mathrm{a}$)omoyama-gaku$\mathrm{i}\mathrm{n}$Un$\mathrm{i}\mathrm{v}$.

数理哲学的主題

根本的な軌道修正もありうる状態だが,今後,ここに中間報告をさせていただく.

そのためにも諸氏のご批判を得たく,

大体の方針は次の通りである.

ra

and

これは歴史的考察こそ交えているが数学史の論文ではなく,に関する論文以前の試論である.

$|\downarrow i\iota\iota$

時間,

空間はもとより,果ては心と物の弁別,

我,

我と汝,

我と彼

分類などまで,哲学の根本的問題

特にそれらの底にある 「連続性」 に注目 し,数学的連続性をそれら $-$ 般的な連続性において考察する.
沌たる 「今の今」 から出発し,その際,$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}_{\mathrm{S}}$on の純粋持続に似た混

現代数学の考察に到るが,

Be

その間を

$\mathrm{K}$a$\mathrm{n}t$

的「批son という異質なものを繋判」 の方法を学びっっ繋ごうとする.

Kan 河. とぐのは突飛に見えようが,(経験的,理論的のどちらとも分かちがたい) 本然的な現実を出発点として,現代数学が理論$-|_{-}^{-}$$\mathrm{r}\mathrm{g}$( $-$ 応) の真理性を獲得し,現実への応用も可能にするという事実を説明すべく,($\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}$ori)

な条件を満たすか,

妥当な真理の体系と見てよいか,
結論として,

またその数学はどんな性質を持つか,

また 「連続」 は,主観である 「我」 の産物であり,連続運動そのものを言語的手段によっの応用の問題に限定して,近代の古典的解析やその物理学へ

二三の問題を考える.

Dede ind-Cantor の実数論は,結している.

あ

自然科学の連続性の問題 $–$は現代数学の考察は次口以後に回し,$\mathrm{k}$連

問題提起のつもりである.

(1) 動機 $–$ 古典的な数学,$\mathfrak{o}$経験科学的側面をこの 「我」 には不可能であると主張しとしようとしている.

くまで完成した議論ではなく,

今

特に普遍

等を吟味する方向で行われる.

続運動の場たる数学的連続はともかく,て記述こ とは,その混沌がどんな先天的

私は現代数学を普遍妥当な学問とは考えず,持つものと考えている.

経験的集合論を用いる現代的枠組みの中では–

応完

しかし 「連続運動とは何か」 を考えようとすると非常に難しい.

Zenon の逆理のことまでは言わないが,連続運動の数学的代替物は強いて言え81

ば「変数 (va$\mathrm{r}\mathrm{i}$しかし変数が遮る区間をどのように動くかはable) 」 であろう.

「流れるように」 という程度の例示に止まる.

数学的に表現しにくく,

Dedekind 自身は下組分割を起こす点は $-$ つかつ唯 $-$ つ存在する」「直線の上組,大要次のようなことを書いている.

ことを 「原理」 と呼び,「人がこれを,

自分の直線の表象と致する自明なことするならば,大いに結構だが,私にも誰にもその原理の正しさを証明する力はない

直–線のこの性質を承認するのは公理であり,これによって我々は初めて直線に連続性を認めうる」 (『連続と無理数』 第 3 節)

無理数は人間の創造物と見る思想の下でこ う述べたのだろうが,彼は,人間に生来備わった 「連続」 の意識の潜在能力の自覚的表現との「創造」 を,

これは私にとって重要な論点である.

考えている.

連続運動は痴る区間での連続関数で表現されるが,原子論的に定義される.

また

1$\mathrm{i}\mathrm{m}$の方は} $i$ 論法や Cauchy「流れるような」 の説明にはほど遠い.

1

すると,

$\mathrm{i}\mathrm{m}$連続関数は極限算法

1$\mathrm{i}\mathrm{m}$区間の 「重点で連続」 として,を用い 「 $-$ 点における連続性」 を定義した上で,

され,

私は彼

の基本列で定義

特に定義域が複素平面だったりを取る時の変数の経路は黙過されることが多い.

(ついでながら,e-i による定義と基本列による定義の同等性は =選択公理を用いればできるが,さもなければ不可能と言ってよいほど困難である. )他方,

1$\mathrm{i}\mathrm{m}$連続運動の問題には自然科学から見ても難問が多い.

の適用される問題はその重要な例だが,$\mathrm{t}$の非保存力の介在が本質的に利く.

摩擦は

が,

これを都合よ く

1が近似的にでも有効に使えるのは,$\mathrm{i}\mathrm{m}$$(\mathrm{a}\mathrm{d} \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{c})$「連続運動とは何か」 を,すべきか,(吉田洋 $-$$\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{t}$

実際には摩擦など

on 体系の本来の対象ではない

取捨しないと実際の現象を解明できない.

つまり理論以上に経験的事実による.

実数論と同じ程度にでも 「数学化」 するにほどう

そもそもそれは可能なのか,$\text{『}$

停止な・ど,

そもそも機関車が列車を牽引でき

New on 力学の作用と反作用だけでは説明できず,

るかすら,

発進,

それともそれは 「数学本来の職掌外」

零の発見』 末尾参照) なのだろうか,

これらは私にとって,事の出発点となった根本的な疑問である.
しかしそこに到る前に,$\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{i}\eta$d-Ca

な現代数学が理論的に辻褄の合う ( on$\mathrm{k}$$\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}$$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{t}$的連続論を含めて,ent) な体系と認められ,集合実在論的かつそれか

人間の経験実現実にも寄与するというのはどんな根拠に基づくのかを問いたい.
換言すれば,

観念と経験の二本足に立つ人間の思考は,を満たすべきか,そのためにどんな条件

またその数学は多 くの学者が考えたように,絶対的な真理なのか,

私はそこまで考察を進めたい.

本当に普遍的,(数学的連続性に関して

82

集合論の

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s})$等に言及せねばならないが,や$\mathrm{G}_{0}^{1}’ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}$

Kan

この設問は

的である.

$\mathrm{t}$もりで事を運ぶこ とにした.
まで遡らせ,

第二には

私はそれを彼の 『純粋理性批判

私は先ず考察の初めを

Kant は「連続 (Kon inの「索引」 に「連続」 はあるが,$\mathrm{t}\mathrm{k}\mathrm{e}$Sy$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}$”$\mathrm{P}$rolegomeと略)$\mathrm{n}\mathrm{a}’\cdot$)つon の実存論的な面に経験から階層的に展開された $-$ 種のma$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}$

何故か

Me ne

an

on

$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{S}$$\mathrm{H}$には多数の章句が引用されているが,版の$\mathrm{i}$$\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{k}$

「時空は

”

$\mathrm{r}$$\mathrm{K}$$z\mathrm{u}$

’

an

用

岩波文庫版

KDRV” の「事項索引」(F.

”$\mathrm{K}\mathrm{D}\mathrm{R}\mathrm{V}$$\mathrm{t}\mathrm{s}$quanta’$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{U}\mathrm{a}$[時間の連続性は流れで表される」 「連続は延長の質」 など,類が主で,(” KDRV”$\text{』}$

無理ないこ とだが説明は不十分だと思う.

例の提示や分類が主で,

Ra

] y-

) 」 という言葉をあちこちで用いるが,$\iota\iota \mathrm{i}\mathrm{L}^{\vee}\mathrm{a}\mathrm{t}\tau’$$\mathrm{t}$にはない$\mathrm{a}$第二の点はまだ模索中である (下の第 4 節参照).

経験科学と見るからだが,”

an

KDRV’ が目標としたような数学の真理の超越的普遍性”

それは私が現代数学を,の救済を捨てた.

$\mathrm{d}$これは次回に送る. )彼に従って 「内容よりもその精神を学ぶ」 (cf.

に学んだが,

なお,

また超準解析 (non standa r

Cohen のモデル,

は,連続性とは何かの説明らしきものはあっても,もう$\# 1\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}$

)

である」

用例の提示や分–

つ立ち入った吟味はない.
また,

Can

Canto

と思うが,

Kan

が

$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}$に与えた批判的コメントは全体として当たっていない$\mathrm{t}$の無理数論を$\mathrm{r}$Kan$\mathrm{t}$の「連続」 概念の内容としてみることはかまわないであろう (拙著 『数学と哲学との間』 第 2 部第 2 章参照.
文については,科学基礎論学会で述べたように論旨に修正の要がある. )”KDRV” から何を学び,

(2)
(2-1)

Kan

$\mathrm{t}$は,論も採らず,”’$\mathrm{K}\mathrm{D}\mathrm{R}\mathrm{V}$

何を捨てるかの輪郭

天降り的な第 $-$ 原理の学,

形而上学を捨て,観念と経験の二本足に立とうとする.

見は相対的で普遍性を持たず,出所が問題である.

しかも彼は,

人間の外に 「物自休 (その受容能力は 「感性自体は持ち出せないから,言えるのは,

原理のその事実を支えるために理

これが彼の 「批判」 である.

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$

人間は感覚器官を介してのみ外界と繋がり,るとするのである.

しかし経験からの総合的知

数学や或る種の自然科学の 「真理」 が経験を性がどんな要件を満たすべきかを吟味する.
彼はその立場上,

また獅我論も素朴実在原理に発する分析的知見は合理的だが,超えた普遍性を持つことを認め (先天的綜合判断),

い.

但しこの論

an

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}$) 」 を認めまいとする.

精神がそれを直観 (An chau$\mathrm{s}$$\iota|\mathrm{n}\mathrm{g}$」 と呼ばれるが,物$(\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t})$受容される材料 (質料) がどこから来るかは言えな

感性には先天的に 「時間」 と「空間」 の二つの形式 (Fo形相) が備わっていて,)す

人間の認識はこの二つの形式の下で秩序付けられ,$\mathrm{r}\mathrm{m}$

,

感

83

性を通じて獲得される,の外的な意識,ということである.

時間は内的な意識であり,空間は感性が世界を理解するため

何れにせよ経験から来たものではな

芝居で言えば舞台と進行に擬せられよう.

い.

直観が感性の働きであるのに対して,
ばれ,

(a)

カテゴリイ (Ka

量: 単

多忙性,

全体性 ;

(b) 質: 実在性,

否定性,

制限性 ;

–

関係,

$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}$様相] を参照して) に分類される.

$\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{o}T\mathrm{i}\mathrm{e}$性,and) 」 と呼12$(=4\mathrm{x}3)$即ち,: 実体と属性, 原因と結果, 能動受動の相互関係
様相 : 可能性と不能性, 現実的存在と非現実, 必然性と偶然性

(c)

関係

(d)

これらは悟性の先天的な (a
く,

質,

[量,

当時の論理学での判断表

種の基本要素,考える働きは 「悟性 (V$\mathrm{p}_{\Gamma \mathrm{j}_{0}}\mathrm{r}\mathrm{j}$) 基本形式であって経験から来たものではな

しかもあらゆる判断はこの形式に則って行われるべき形式規定である.

Kan

感性と悟性は

において完全に切り離されると共に (” 感性は思考せず,$\mathrm{t}$悟性は直観しない”),

相携えて人間の思考を主体的に創り出す.

但し感性と悟性のこの割り切り方は多少気になるので後で検討する.
時間,

空間,

カテゴリイなどは感性,

悟性の何れとも違うメタ的働きで 「先天的」 なものだが,話を進める内に,「対象」 に纏める,

メタのメタ的要素が必要になる,的 ($\mathrm{t}$ran$\mathrm{s}\mathrm{z}$enden$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}$ラバラな感覚を,こと (統覚作用) 」 と呼ばれる.

同じ

[APPe

–

$\mathrm{e}\mathrm{x}$mach$\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{i}$Selbs bewus$\mathrm{t}$$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}$)’悟性の働きを $-$ 郭の

この種の要素は 「超越論触覚などの受け取る佃々バ

つの 「物自休」 の持つ諸側面として統on])る所以などの議論がそれで,$\mathrm{s}$

耳.

例えば眼,

$\bullet$

考内容を $-$ つの事象に纏める働き,

zendentale

精神の中には感性,のようだが,や,–的に解釈する

一旦カテゴリイによって分かたれた思

それらが万人に共通な普遍妥当性を獲得す

この最後の認識の主体は 「超越論的自意識 ($\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}$)$\rfloor$である.

これらは $-$ 種の’ お助け神 (この種のものを持ち込まなければ,自体」 と「精神」 を繋ぐことは出来ないと思われる.

$\mathrm{t}$$\mathrm{d}$

ran

eu

$\mathrm{s}-$$\mathrm{s}$

到達不能な 「物私もやがて 「今の今」. という ものの中にその種のものを導入するであろう.
しかしその前に,思考作用である悟性の働きを,感覚を介して感性に捉えられるようにする仕事が残っている、 人間が外界と繋がる道は最終的にはこれ以外にないからである.

投影しようとする.

そこで

例えば

(a)

$\mathrm{t}$は,この議論は図式論「構想力の超越論的機能 (と呼ばれる.

Kan$\mathrm{t}$ran

各カテゴリイの働きを 「時間」 の中に($\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}$en en tale Funk$\mathrm{d}$$\mathrm{S}\mathrm{Z}$$\mathrm{t}\mathrm{i}$smus)onen de

難解な部分だが後の議論に関係があるので,の量のカテゴリイには時間の列,と呼ばれ,$\mathrm{s}\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{i}$

この働きはldungs$\mathrm{k}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{t}$

)

$|$

」

少し詳しく述べる.

即ち数を ;(b) の質には時間の内容をなす感覚を ;(C) の関係には時間の順序を ;(d) の様相には時間の経過

84などと対応させ,に結びつけられた感覚を,

それと共に感覚の側にもそれぞれ「」 内は原文の要約である.

に応ずる条件が大要次のように要請される.
直観の公理 (Ax$(\mathrm{a}’)$An chauung) : 「直観は全て外延量なり. 」 要$\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}$$\mathrm{s}$するに感覚には時間の長さが伴う と言うことらしい.
知覚の先取り (An$(\mathrm{b}’)$$\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{i}$Pa$\mathrm{t}\mathrm{i}$onen de$\mathrm{r}$Wahlne$\mathrm{h}\mathrm{m}$eng) : 「感覚の対象をなす実在的なものは内包量つま り度を持つ. 」 要するに感覚されたものはその刺激を内的に持つと言うことらしい.
経験の類推 (Analo$(\mathrm{c}’)$de$\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{e}$$\mathrm{r}\mathrm{D}\{\mathrm{r}\mathrm{f}3\mathrm{h}$rung): 「経験は知覚の必然的結合によってのみ可能なり. 」 例えば, 「本休」 を持続の変わらぬ感覚に 「属性」

を変化の感覚に対応させる等,

時間の持続と感覚の持続の結びつき方を関係のカテゴリイに対応させることであろう,

経験的思考一般の公準$(\mathrm{d}’)$haup t):($\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}$a$\mathrm{t}\mathrm{e}$de$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}$或る感覚が時間内に生ずる (可能的,en$\mathrm{D}$en en$\prime 1\mathrm{I}\mathrm{b}\mathrm{e}$$\mathrm{k}$必然的等の) 様態を,r-

一般的に規定することであろう.
実は 「」 以外の説明には私の誤解した点があるかも知れない.

くKanの感性と悟性の過度なまでの峻別は,$\mathrm{t}$する現代数学を,

思考の世界と感覚の世界を如何

ただし決定的なことは,に繋ぐかの苦心に発するのであろう.

(i)

Kan

$\mathrm{t}$”KDRV” に不満な点

疑問な点

は下る程度ものを知った者を相手にしている.
この姿勢はこれでよいか.

知識は初めから前提しているが,い意味の経験から生じたと考えうるものだから,
尤も,

になる.

私は無謀を承知で(老いの $-$ 徹 !?).

それに挑もうとしているわけである(2-2)

無限集合を多用

このように 「時間」 の中に 「投影」 するというのは無理であ

この種の試みを企てる者はここを克服する覚悟がいる.

り,

しかしともか$\cdot$

従って論理学なとの論理法則なども広これを不問にするのは多少気論理を前提しないで理論的学問など出来ないから,

これは微妙で難しい問いである.

概念の峻別には過度に見えるものもある.

上記の感性と悟性のように,$(\mathrm{i}\mathrm{i})$しかしそこに重大な配慮のある場合も少なくなく,のカテゴリィの分類もその例だが,余地はあろう.

”慎重な考慮を要する.

1$2’(\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-1}||$

KDRV” の全体的構図の変更と共に再吟味の

これは今考えている最中の問題である.

思惟における言語の役割がほとんど考察の対象になっていないのは,$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$時代的制約のせいであろうが,今日の我々 としては深く考えねばならない (第 」
$/$

節参照).
$(\mathrm{i}\mathrm{v})$クリ$\text{ッ}$よく知られていることだが,Kan

ド的な幾何学と数論であり,

記号代数さえほとんど考慮されていない.

$\mathrm{t}$の「純粋数学」 の主たる材料はユー

85

また 「純粋自然学」 は,

Deさがある」 を論ずる体の,を残している.

従って$\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{t}$Kanの「物の本質は延長」 に対して 「物には重$\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}$on

力学よ りずっと古典的な 「自然学」 の雰囲気の「批判」 は内容的に現在の用に立たず,$\mathrm{t}$は原理的に全く新しい考慮が必要である (その以上のような見地から,

私は”$\mathrm{K}\mathrm{D}$

It

–

それに

部は第 5 節参照).

にその展開に先立っ部分を追加し,’$\mathrm{V}$その到達目標に重大な修正を加えようとしているわけである.

(3)

出発点 ; 「今の今」(3-1) 「今の今」 と連続

第 1 節で触れたように,
自然数,

は,

De

$\mathrm{d}\mathrm{e}]_{(}\mathrm{i}$nd-Can or の実数の連続性が説得力を持つの$\mathrm{t}$有理数などの古典的対象の上に無限集合の対象化という方法を加えた現代数学の枠組みの中のことで,それが経験的空間や時間の連続性を支えるとするのは, 「連続」 の直観に対する以下では 「今」 と略称する.

それは 「今」 というこのこの 「今」 は「永遠の今」 などとも呼ばれるが,瞬間にしかないことが分かる,

過去はその瞬間における 「記憶」 の中に,未来は換言すれば記憶から上向きに 「類推」 することの中にあるだけで,
その 「瞬間」 は極めて短い時間といり,

虚心に見れば,通りのつの解釈である.

自分の実存を徹底的に内観すれば,これに対して,期待,––

そこには元来,瞬で,「類推」 もない.
ところが,

流れ 「動いている」 と見えると同時に,ない」 とも見える始末の悪いもので,個ノ無縫塔」 である.

つま りそれは,

その連続感

連続的に休みな く「今」 という $-$ 点において 「動いていその意味でその–点だけを切り離すのは

実際, 「今」 を捉えようと意識する途端に 「今」 はもはやその「今」 でなくなり,してしまう.

–

また 「記憶」 も自分の連続の感覚を内省的に吟味すれば,その反面,の源もまたこの 「今」 にあることに気付く.

不可能に近い.

数学的点のような文字

時間も空間も我も他者もなく,あるのはただ禅家のいわゆる 「眼前更にましてそれを言葉で表現しようとすれば 「今」 は雲散霧消

この意味では 「今」 は「離散的」 「非連続」 だが, 「今」 を介して $-$ 切が 「連続」 して動いていることも疑えない実感である.

的連続を含めて,

運動,

時間,

空間,

「今」 にまつわる (連続のような,

そして私は数学

或いは意識などの連続性の遠い源泉を,連続でないような) この 「連続性」 におこう

とする.

この考えは
記憶』 など),異なり,$\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}$on の純粋持続と似ているが (『思想と動くもの』 『物質と彼がその 「混沌」 たる内観の中に真の形而上学建設を期するのと私はそこから 「脱出」 して純粋理性の問題に近づこ うとして,沌を 「今」 と名付け,Be$\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{s}$on の「純粋持続」 とは区別するのである.

その混

86

私がここで 「混沌」 と言ったのは,寓話からの連想である.

第七 「応帝王篇」 にあるの世話になった二人の王$-|$$\mathrm{r}^{-}\underline{\alpha\rfloor \text{と「忽}|/\backslash j|}’\Omega_{\sim}.\epsilon’( b_{\mathrm{S}}’$に「と混日沌」につは見, 穴聞をきあ’ け食べら’ 「息混をす 6 るは七っ日の穴がんなだいと事いをう見が,$\text{に},\text{瞬間の意})$

て,

[混沌

王

『荘子』 内篇,

彼へのお礼にと日に $-$ つづつ穴をあけたら 「混沌」 は七日で死んだという.

「今」 は正にこの 「混沌」 であって,,$\ovalbox{\tt\small REJECT}|$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }\text{の^{}-}$

仕事を例えば 「いま」と分析あるいは表現することと見れば, 「今」 にまつわる難しさも,
わらず,

時間,

ここ

$|$

それにも拘

空間を導入したくなる気持ちも分かるであろう.

なお $-$ つ連想されるのはイ ンド哲学における 「刹那滅」 の考えである.

良く知らない分野の難解な説だが,
切の現象,

存在,

の「今」 とは少し違う.

とは無縁に見える.

私

少なくとも理論的科学の性格を考えるという私の狙い

しかし私自身は 「今」 の中に潜在的能力を求め,万象が瞬間に創造され,それによ

ここにも学ぶところはあるかも知

瞬間に消滅するとなると,西洋哲学における 「実体 (Substanz) 」 のようなものはどう考えればよいのか.
続’–

ここには仏教の無常観が根底にある由で,って 「混沌」 を脱出しようとしている点で,ただ,この存在論は,精神活動を包括する 「ダルマ (法) 」 は「 $-$ 瞬だけ存在し消滅しながら連続’ する」 とするが,

れない.

で言えば,

知り得た範

私の

という言葉を添えたのは,

’連

そこに

それを救済するためかと思われるが,そ$\check{\mathcal{D}}f_{\mathrm{d}_{\backslash }}^{\backslash }\nearrow D$と「今」 の難しさは元のままである.

Zenon の逆理などを初め,尤もこの類の連続論は,り,

そのほとんどは空しい試みに終わっている.

古今東西に多くの例かあしかも,暴虎凋河というか,

私もまたここに足を踏み入れざるを得なくなっているのである !
(3-2) 企画と難点

まず私の意図を示すと,

私は上でこの 「今」 に時空や運動,「連続性」 の発端を認めたが,の中に用意しようと考える.
越的自意識などのこうとしている.

$\mathrm{t}$ran$\mathrm{s}\mathrm{z}$更にの” KDRV ’$\mathrm{t}$感性と悟性の弁別,

即ち,enden ta 1

そしてこの

Kan

の道具立てをこの 「今カテゴリと呼ばれる諸概念等を,[今」 からの脱出は,ないし意識の$\triangleleft’$

の分類,

-

超

この 「今」 にお「今」 のいわば 「殺し方」

如何に懸かっていると考える.
$-$ つ仕方は,Kanとは言わぬまでも)ることであろう.

が’ KDRV”$\cdot$$\mathrm{t}$で行った事を理論

正しいと仮定するとき,

これは

Ka

$\mathrm{n}\mathrm{t}$が,$\mathrm{K}$とよび,$\mathrm{K}$

が

(普遍妥当

「今」 の満たすべき条件を吟味す

数学が普遍妥当的真理であるために人間の理性はどんな条件を満たすべきかを考えたのと似た考え方である.
それには先ず論理の基本法則,はならない.

例えばKan$\mathrm{t}$の強調した矛盾律などがなくてここまで来れば 「 今」 は既にある程度まで混沌を脱しており,験や言葉が介在してくる $-$ 種の学問的常識の成り立つ中間段階だが,($\mathrm{K}$

an

経
$t$

も

$|$

$J^{\cdot}$

87

よくそうするように)その形成には深熱りせず,

論理法則は既に成立し,数学なども出来ていると考えてよいであろう,
くのが 「我」 の同承認,–性の自覚, 「汝」 「他者」 等の弁別,「感性」 「悟性」 の区別,

入などと,

大体

Kan

この段階を

$\mathrm{t}$$\mathrm{J}$

と呼ぶ.

それらの同

これに続
–

「時間」 「空間」 の導入, 「カテゴリの跡を辿りつつ進める.

古典

/;

性等の
」 の導

その議論を展開できるために,「今」 はその原動力としてどんな潜在能力を持たねばならぬかを 「批判」 しょうとするのである.

ばならないが,

大山鳴動鼠

これは手間がかかり,原理的な障碍はない.

見落としのないように慎重でなけれ尤も,

これだけでは格別な新し味はなく,匹と言われるかもしれない.

–

私が現に考えている 「今」 の持つ潜在能力とは,「記憶」 「弁別」 「分類」 「対応付け」 「投影」 または 「類推」
である.

(この分類については次回までに,

この内,

特に 「記憶」 は,なお修正がありうる. )混沌の中から 「 自分」 を意識するのと相前後して,寝ても起きても自分が常に自分であることの自覚を呼び起こす.

私はこの自意識の持続を, 「連続」 の遥かな源と考えるのである.

他方, 「弁別」 は混沌に目鼻を付けてその 「連続」 を破る力として,意識の源と見られ.

ひいては 「数」 の概念の源と見られてもよい.

一旦異なるとして弁別されたものの間に,「分類」 は,不連続のと見られるものを仕分けする契機と考える.

Kan

$t$

何らかの意味で同類

では 「判断$(\mathrm{U}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{j}1.)$」 の力の源の $-$ つと考えてよいであろう.

記憶,

弁別,

分類は,

基本的な 「論理」 の形作られるについての土台である.

考えていることをもう少し具休的に言う と,中から自分,

母親,

その他を記憶,弁別,

他者 (例えば母) を自分に 「対応付け」を働かせる.

分類するが,

といった具合である.

自分をその他者に 「投影」 して 「類推」

人,

動物,

植物,

他方,

無生物などが分類され(「対応付け」 を特記したのは,図式論に似た形で扱うための伏線で,混沌のその分類で自分と似た子供がよ く使う擬人法はこの系列に属する表現法である.

この類推の可能不能の程度によって,る,

例えば嬰児は本能的に,現代数学を

この対応付けを駆使して,Kan$\mathrm{t}$の思考の世界を

記号的象徴によって感性界に移そうという下心である. )さて問題はこれからで, 「現代数学」 と「言葉」 の処理が要る.

未完成の部分だが,その下絵だけでも書き留めておこう.

勿論,

これは

[以下は今口の加筆で,

8 月目集会では話さなかった事を含む. ]先ず言葉については,観念が言葉によって観念の中に投影されて 「概念的世界」 が形成されるという最後の段階が難しい.

ここには言語の発生と概念界の$d$成立という問題があるからである.

現在は,精神の世界の中に学問的常識の世

88

界

$($

1 ,

1,

界にも,

Kan

J),

界 (上記の...

,$\mathrm{K}$$\mathrm{t}$

(同じく

など,

いくつかの階層を設け,

$)$

(L)

日常言語

現代数学 (の或る部分) の成立する世

K),

的世界

古典数学の言$(\mathrm{L}^{*})$$arrow \mathrm{r}_{\mathrm{t}}\overline{\mathrm{r}}i|\urcorner-$

それに対応して言語の世

それを超える $-$ つまたは多数,の現代的理論言語などの階層を作ることを考えている.

それらの世界の問に,単純な拡大あるいはメタ拡大のような階層が作れないかと模索しているが,むしろそれらの階層が曼陀羅になったり,だ成案はない.

an

堂々巡りを始めたのでは困るのである.

そのような 「数学」 がど持ち得まいから,その如何によってはこの試みの致命傷になりかねない.

次に,$\mathrm{K}$まの場合と違って普遍妥当性な$\mathrm{t}$現代数学のことは次回に論ずる予定なので概要に止めるが,

無限集合

an

の大幅な使用とそれを感性的対象へ移すこ ととが先ず問題である.

実はは” KDRV”」 について,思考作用 (悟性) から認識に到る 「判断の中で,経験の裏付けのある 「現象 (歩きをする 「仮象 (Sche$\mathrm{i}\mathrm{n}$$\mathrm{E}|\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}$nung) 」 と,

) 」 とを分かち,

Kan

少なくとも

れを避けるには,$\mathrm{t}$的世界$\mathrm{K}$$\mathrm{t}$

悟性が経験の裏付けなしに独りっの二律背反を導後者から有名ないて純粋理性の限界を示す (「超越論的弁証論のだが,$(\mathrm{U}\mathrm{r}\mathrm{t}\ominus \mathrm{i}1)$$\mathrm{K}$$(\mathrm{t}$ranenden ale$\mathrm{t}$$\mathrm{s}\mathrm{z}$$\mathrm{D}\mathrm{i}$alek$\mathrm{t}\mathrm{i}|\{)\rfloor$

では現代数学は仮象になる儂れがある.

)こ

記号的に表現されたこの数学を仮象に陥らせぬように「経験」を拡大するというような配慮を要する.

例えばメ タの世界を導入して,階層的構造を持ち込めないかというのはその $-$ つの試みで,応付け」 という契機を加えたのも,そこに「今」 の中に 「対そのための配慮なのだが,この辺はまだ詰

められていない.
その上,

Kan

私は

面を持つ学問と考え,$\mathrm{t}$と違って,現代数学を本質的には $-$ 種の経験科学てき側

それの基礎付けについても,「 (拡大された) 経験」 の阻

界へ 「数学」 が応用できる様子を考察することによって,近できないだろうかという考えももっているので,係はなかなかの難問である.

論は

Kan

$\mathrm{t}$そのような理論と応用の関しかもここには更に基本的な問題がある.

「数学」 を普遍的真理の体系と考えていたから,ったのに反し,経験的な面からも接

そこに

–

早い話が,

私の場合,

ゴリィの先天的形式性に拘らなくてもよくなりそうに見えるが,事を紛糾させる催れがある.

–はつの理論的支えがあ

私はそのような確固とした支えを持たないので,の跡をなどるだけでは済まない.

$\mathrm{K}\mathrm{a}\mathfrak{n}\mathrm{t}$

この辺りの議時空やカテ

これは却ってこういう下絵的だわごとでは話にならないが,楽屋内をさらけ出して何かの参考になればと思っている処である.
尤も,

このような議論はいうのではない.

Kan$\mathrm{t}$の避けた心理主義や歴史主義を導入しようと階層の導入にしても,それが有限の段階で停止するか,巡りを始めるか (これらは $-$ 寸考えられない力 O,

分岐するか,$\iota$堂々

あるいは無際限に上昇するか,いずれに したも私は彼がその出発点においてそのようなありうべ

89

き階層を

–

色に塗りつぶし,

勿論,

である.

この

–

事を割り切りすぎているのでないかと言いたいの連の下絵にはなお根本的な誤りがあるかもしれない.

是非忌愕のないご批判を頂きたい,
これについてなおる.

–

つ思うのは,

視覚の連続性がどんなものかという点であ視覚はもとより,脳の生理学の結果として,今日,とする説が力を持っていると聞くが,$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{e}\tau \mathrm{e}$

仮に視覚がどうなのか.

だが,$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{l}$$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{r}\ominus \mathfrak{c}\mathrm{c}$

テレビで見えるような車輪の逆回転が肉眼で見えても,

ば,

a1

で

だとすれ

理論上はよいはず

視覚の上での運動の連続性は 「今」 の中に潜在する自恵識が世界に付与した観念的なもてはないのだろうか.
が,

意識までも

私には何も言えないことだ

現在は肯定の方向で考えている.

(4)

言葉と論理の持つ離散性

言葉は経験と繋がる限りニュアンスを持つ.

詩文ではもとより,が論理的な学問的概念として精神の中に定立するとき,ンスは失われる.
んだときのことで,$-$ 方,$|$

その限りにおいて概念は離散的である.
たとえば 「「$-$ 足飛びに$\mathrm{B}$るという意味で離散的である.

$\Lambda$

である」 の段階と続性」 の介在する余地は,\dag er }ならは$|^{-}\wedge$

である」

である 1

を導くように,その歩みが跳び跳びであ「今の話に移せば,

この場合 「弁別」 は止に$\cdot$$-|$

この飛躍に連続性の介人はない.

離散的で,普通の意味でのニュア

これは 「今」 における 「弁別」 の契機がそのような方向に進

論理的推論は,の段階から,

しかしそれまた今日の記号論理において 「連((1 ) で述べた) 変数ないし変項 (va$\mathrm{r}\mathrm{i}$able) の形に潜記号を対象とする意味での形式的には,り込む以外にないと思われるから,

この点にも連続性は入ってこない.
そこで現代的立場での 「証明」 の外見はと言えば,
記号などの

–

系の記号列であり,味で全て離散的である.

それの構成,

これは概念の記号や演算

読み方,

解釈などはここでの意

従って 「連続」 的要素は上記の$\mathrm{v}$a$\mathrm{r}\mathrm{i}$ab 」$\mathrm{e}$に潜在する以外にない.
この点,自然数は本来,離散的なのて,これについては連続の場合ほどの原

理的な困難性はないように見える、 しかしそれでも,納法のように無限性が表面に出る定理もあり,
一見雑多に出現するので,自然数全体に亘る完全帰そもそも定理の数自身が無数て,その雑多を整理するなど大きな困鄭はあったが,れはともかく克服された (Gen$\mathrm{t}_{7}\lrcorner$en ),(完全帰納法については)$\mathrm{I}^{)}()\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{C}_{\mathrm{C}}’$$\mathrm{r}\mathrm{e}$を先天的綜合判断として明記することを」. 即したが (『科学と仮説』 ),

そ

がそれ

現代の

基礎論におけるメタ数学の基本線が 「連続的」 でなく離散的であることを考え
併せると,

彼の主張は

Kan

$\mathrm{t}$的カテゴリ$\text{ィ}$の論を補うものとして考慮に値する

90と思われる.

Po

しかし$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{a}$re 自身はそれに超人りせず,

またその跡を継いだ人もいなかったようである.

改めて私の現在の考えを結論的に言えば,

私は連続運動を言葉と論理によって明瞭確実に記述することは出来ないと考える.
しても,
ので,

連続的運動の解明を避け,$\mathrm{D}\mathrm{e}$de$\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}$Can,$\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}$の実数論にただしそれのための場を明快に構築したもただその明快さをもたらした集合論的思考法が数学史に新しい視野を拓いたのである.

時間,

空間,

運動の

連続性」 は, 「今」 のもつ (連続のよう$|$連続でないような) 「連続性」 そのものと固く結びついており,$j_{\tilde{\mathrm{A}}}$,

言葉と論理はその「連続性」 を弁別によって 「殺す」 ときに初めて成立するものであるかり,Bergson の哲学や 『荘子』 の寓話を思わせる.
論を導こうというのは,私としては,

しかしこのことだけから上の結理論的学問でなく悟りの問題であるように思われる.

例えば 「流れ」 を「流れのない」 瞬間的契機に分解する事が,らかの 「矛盾」 を含むことの 「証明」 でも出来ればよいのだが,うになって.

なかなかできない.

そしてそれはな問題の理論的解決を空しく求めた,

何

堂々巡りのよZenon の逆理に始まる似たよう

多くの有名無名の学者の嘆きにに通ずる

のである.
$*$

議論が大分ごたごたしたので,学的連続を含めて,$*$$’\backslash \triangleright^{\backslash }$ここで私の現在の結論を纏めておく.

連続運動の議論を初め,の連続的感覚などの遠い源泉を, 「今$-|$ような) 「連続性」 におこ うとする.

私は数我々に振り捨てがたい時間,

にまつわる (連続のような,

空間

連続てない

しかし言葉と論理は, 「今」 のもっこの連続性を弁別によって殺すときに初めて成立するものであり,

そしてこの意味て.

私は連続的運動を言葉と論理によって明瞭催実に記述することは出来ないと考
える.

勿論,

[付記]

その論証はまだ終わっていない.

以上は,2000 年 8 月京大数理研で行われた 「数学史の研究」 の集会での 「要項」 を大幅に修正加筆したものである.

当時は話の都合で現代数学の話を割愛したので今口もその方針で行こ うとしたが,のため 「目標はこれこれだが,たところもある.

この二点,

本稿は
ご

$\mathrm{J}^{arrow}$

けの時間が残っているか怪しいのて,で恥ずかしいが,そこの点は未決」 というような暖昧なことを書い

また 「要項」 執筆当時から大分時が経って,れなりの変化があったから,変化はないと思う.

やはりそうも行かず,$|_{=}|!\mathrm{i}$き直し同然になったが,承をお願いする.

私の考えにもそ論旨に本

実はこの先,

敢えてそうしたのである,$|’J_{1}/|^{\mathrm{t}}\backslash i$

私にとれた
下手な楽屋話

もしそこに何か関心を惹く点を見出す方がおられたら,に考えて頂けませんかと言うつもりである .

的な$[21/\mathrm{X}\mathrm{I}/2() () ()]$$-$ 緒