数理解析研究所講究録
1197 巻 2001 年 196-206

196

Stability and Instability of Standing Waves for Nonlinear
Schr\"odinger Equations with Harmonic Potential
東北大理福泉麗佳 (Reika Fukuizumi)

Mathematical Institute, Tohoku Univ.

1. 序
調和ポテンシャル項を伴った非線形シュレディンガー方程式$i\partial_{t}u=-\triangle u+|x|^{2}u-|u|^{p-1}u$の定在波 (standing wave) 解る.

,のりヤプノブの意味での安定性について考え$e^{i\omega t}\phi\omega(x)$(NLS) において $u=u(t, x)$ は複素数値の未知関数,のときは, さらにソボレフ空間
する. 定在波$e^{i\omega t}\phi\omega(x)$の解になるためには,$\phi_{\omega}(x)$$\omega\in \mathbb{R}$$e^{i\omega t}\phi_{\omega}(x)$が (NLS)は定常問題の解でなければならないが, 以下では,$S_{\omega}$$1<p<\infty$ で, $n\geq 3$

は実のパラメータであり,$-\triangle\phi+\omega\emptyset+|_{X|^{21}}\emptyset-|\phi|^{p-}\emptyset=0$

明解のうち, 作用$n\in \mathrm{N},$における劣臨界条件 $p<1+4/(n-2)$ を仮定$H^{1}(\mathbb{R}^{n})$

において,

(NLS)

$(t, x)\in \mathbb{R}^{1+n}$$\phi_{\omega}(x)$は,$\omega$,$x\in \mathbb{R}^{n}$

を 1 つ固定したとき,$(\mathrm{S}\mathrm{P})$$(\mathrm{S}\mathrm{P})$の非自を最小にする解 (基底状態解) であるとする. 基底状態解に対応する定在波解を基底定在波解と呼ぶことにする. 調和ポテンシャル項を伴わない場合,(NLS) は非線形光学やプラズマ物理などのモデル方程式として現れ, 基底定在波解のリヤプノブ安定性については 20 年程前に調べられて完全に分かっている ([1, 3, 22]参照). その後, これらの結果は, 非線形クラインゴルドン方程式などを含む抽象的なハミルトン系に対する孤立波解の安定性に関する –般論として, Grillakis, Shatah andStrauss $[7, 8]$ にまとめられている. 本報告で扱う調和ポテンシャル項を伴った場合は,磁気トラップされた/+“ 一ズアインシュタイン凝縮のモデル方程式として, $n=p=3$の場合の (NLS) が現われる (例えば [21] 参照). 基底定在波解のリヤプノブ安定性は
これまで $[19, 23]$ などで考察されている. なお, 調和ポテンシャルでないポテンシャルの項がついた場合に関しては $[6, 16]$ などで研究されている. ポテンシャル項を伴った

197
場合, Grillakis, Shatah and Strauss $[7, 8]$ による –般論における安定性及び不安定性に関する十分条件を直接, 具体的に確かめるのが困難である場合が多く, 様々な工夫が必要になることに注意する. ここでは, そのような工夫の –端を紹介したい.

2. 問題の設定
今の場合, エネルギー空間として$\Sigma:=\{v\in L2(\mathbb{R}n, \mathbb{C}) :||v||_{\Sigma}<\infty\}$,$||v||^{2}\Sigma=(v, v)_{\Sigma}$,$(v, w)_{\Sigma}:={\rm Re} \int_{\mathbb{R}^{n}}\{\nabla v(x)\cdot\overline{\nabla w(X)}+|x|^{2}v(X)\overline{w(X)}\}d_{X}$と定義し, 実ヒルベルト空間$\Sigma$

上で (NLS) を考える. ソボレフ空間$H^{1}(\mathbb{R}^{n})$における劣臨界条件 $p<1+4/(n-2)$ よりエネルギー汎関数$E(v):= \frac{1}{2}||\nabla v||_{L}2+2\frac{1}{2}||Xv||_{L}22-\frac{1}{p+1}||v||^{p1}Lp+1+$

は$\Sigma$上定義され, この空間で (NLS) を考えることは自然である.

(NLS) に対する初期値問題は$\Sigma$において時間局所的に適切であり) 解が存在する限り, エネルギーと粒子数の保存則が成り立つことが知られている.

命題 1(Cazenave [2] の 9.2 節, Oh [17]) For any$0$

and a unique solution $u(t)\in C([0, T),$$E(u(t))=E(u_{0})$ ,$\Sigma)$$u_{0}\in\Sigma$, there exist $\tau=T(||u_{0}||\Sigma)>$of (NLS) with$||u(t)||_{L}22=||u_{0}||^{2}L^{2}$’$u(\mathrm{O})=u_{0}$$t\in[0, T)$satisfying.

In addition, the virial identity(VI)$\frac{d^{2}}{dt^{2}}||xu(t)||^{2}L2=8P(u(t))$

holds for $t\in[0, T)$ , where$P(v):=|| \nabla v||_{L}22-||xv||_{L}^{2}2^{-}\frac{n(p-1)}{2(p+1)}||v||^{p1}L\mathrm{p}+1+$

次に,$(\mathrm{S}\mathrm{P})$.

の基底状態解を定義するために, 作用と呼ばれるエネルギー空間$\Sigma$汎関数 & 及び別の汎関数んを$S_{\omega}(v):=E(v)+ \frac{\omega}{2}||v||_{L^{2}}^{2}=\frac{1}{2}||\nabla v||_{L}^{2}2+\frac{\omega}{2}||v||_{L^{2}}2+\frac{1}{2}||xv||_{L}^{2}2^{-}\frac{1}{p+1}||v||^{p1}Lp+1+$$I_{\omega}(v):=\langle S_{\omega}’(v), v\rangle=||\nabla v||2L^{2}+\omega||v||_{L^{2}}^{2}+||xv||^{2}L^{2^{-}}||v||_{L^{\mathrm{p}+1}}p+1$

,

上の

198
と定義する. 定常問題

は作用$(\mathrm{S}\mathrm{P})$$S_{\omega}$のオイラーラグランジュ方程式$S_{\omega}’(\emptyset)=0$と同値であることに注意する.
定義 制約条件付き最小化問題$\inf\{s_{\omega}(v) :の最小化元全体の集合を任意の$0$$\phi_{\omega}(x)\in \mathcal{G}_{\omega}$$\mathcal{G}_{\omega}$で表し,$\mathcal{G}_{\omega}$$(\mathrm{S}\mathrm{P})$$S_{\omega}’(\phi_{\omega})=0$

は,$\phi_{\omega}(x)\in \mathcal{G}_{\omega}$$\omega$の基底状態解と呼ぶ.

$\eta\in \mathbb{R}$$I_{\omega}(\phi_{\omega})=\langle S_{\omega}’(\emptyset\omega), \phi\omega\rangle=0$

が存在して

かつ

$S_{\omega}’(\emptyset\omega)+\eta I_{\omega}’(\phi\omega)=$$\langle I_{\omega}’(\phi\omega), \phi_{\omega}\rangle\neq 0$が成り立つ. さらに, $S_{\omega}’(v)=0$ をみたす任意のに対して $I_{\omega}(v)=0$ が成り立つので,

すなわち,

の元を

に対して, ラグランジュ乗数が成り立つ. このとき,を得る. よって,

v\in\Sigma\backslash \{0\}, I_{\omega}(v)=0\}$の定義により,$\mathcal{G}_{\omega}$

を 1 つ固定したとき,$(\mathrm{S}\mathrm{P})$$S_{\omega}(\phi_{\omega})\leq S_{\omega}(v)$より $\eta=0$$v\in\Sigma\backslash \{0\}$が成り立つ.

の非自明解のうち, 作用 & を最小にする解である.
$(\mathrm{S}\mathrm{P})$の基底状態解の存在は, 埋め込み$\Sigma\subset L^{2}(\mathbb{R}^{n})$がコンパクトであることから,標準的な変分法により簡単に示すことができる.
命題 2

for anyLet$\lambda_{1}:=\inf\{||\nabla v||_{L^{2}}2+||xv||_{L^{2}}2 :$\omega\in(-\lambda_{1}, \infty)$. Then,$\mathcal{G}_{\omega}$

is not empty.

ここで, ポテンシャル項を伴わない場合,に注意する. なお,||v||_{L^{2}}^{2}=1, v\in\Sigma\}$$\lambda_{1}=n$であり,$\lambda_{1}$$\omega\leq 0$のときは基底状態解が存在しないことに対応する固有関数は $\Phi(x)=e^{-1}x|^{2}/2$ であることが知られている.

最後に, 安定性の定義を与えておく.
定義 Let$\Omega$be asubset of$\Sigma$there exists $\delta>0$ such that if
solution $u(t)$ of (NLS) with. We say that$\Omega$is stable for (NLS) if for any$\inf\{||u_{0^{-}}w||_{\Sigma} ; w\in\Omega\}<\delta$ , then the. satisfies$u_{0}\in\Sigma$$u(\mathrm{O})=u_{0}$exists for all $t\geq 0$ and satisfies$\sup_{t\geq 0}\inf\{||u(t)-w||_{\Sigma}= w\in\Omega\}<\mathit{6}$Otherwise,$\Omega$standing wave

is said to be unstable. Moreover, for$e^{i\omega t}\phi_{\omega}$$\hat{\mathrm{c}}>0$

is stable if$\mathcal{G}_{\omega}$.

$\phi_{\omega}\in \mathcal{G}_{\omega}$is stable, and that

, we shall say that the$e^{i\omega t}\phi_{\omega}$

is unstable if$\mathcal{O}_{\omega}$

is

199
unstable, where
一般に$(\mathrm{S}\mathrm{P})$$=\{e^{i\theta}\phi_{\omega} :$\mathcal{O}$\theta\in \mathbb{R}\}$。

.

であるが逆の包含関係はわからない. $n\geq 2$ で$\mathcal{O}_{\omega}\subset \mathcal{G}_{\omega}$$\omega>-\lambda_{1}$のときにはの解の –意性が証明されている ([9], [10], [12] などを参照). したがってが成り立つので\Omega$\equiv \mathcal{O}_{\omega}$の安定性として定義できる. しかし $n=1$ のときは$\mathcal{G}_{\omega}=\mathcal{O}_{\omega}$$\mathcal{G}_{\omega}=\mathcal{O}_{\omega}$が成立するのか未だわからないので, このような安定性と不安定性との間にギャップが生じてしまうような定義になる.

3. 既知の結果と予想
まずポテンシャルを伴わない場合に対する既知の結果について簡単に振り返る. すなわち,$i\partial_{t}u=-\triangle u-|u|^{p-1}u$,(NLSO)$(t, x)\in \mathbb{R}^{1+n}$

及び対応する定常問題$-\triangle\emptyset+\omega\phi-|\phi|^{p-1}\emptyset=0$について考える. ここで,$n\in \mathrm{N},$

,

(SPO)

$x\in \mathbb{R}^{n}$$1<p<\infty$ で, $n\geq 3$ のときはさらに $p<1+4/(n-2)$を仮定する. このとき, 任意の $\omega>0$ に対して (SPO) のソボレフ空間
る正油球対称解$\psi_{\omega}(x)$$\mathcal{G}_{\omega}^{0}=\{e\psi_{\omega}i\theta(\cdot+y) :$\mathcal{G}_{\omega}^{0}$は\theta\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}^{n}\}$で与えられる. つまりポテンシャル項を伴わない場合はすべての$\mathcal{G}_{\omega}^{0}$に属すが–意的に存在する (–意性に関しては [11] を参照). よって,任意の $\omega>0$ に対して, (SPO) の基底状態解全体の集合

対して$H^{1}(\mathbb{R}^{n})$$\mathcal{G}_{\omega}^{0}=o_{\omega}0=\{e^{i\theta}\psi_{\omega}(\cdot+y) :\theta\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}^{n}\}$$n\in \mathrm{N}$と$\omega>0$になのである (前節参照). さらに,

は $p<1+4/n$ のとき任意の $\omega>0$ に対して (NLSO)に対して安定 ([3] を参照)

であり, $p\geq 1+4/n$ のとき任意の $\omega>0$ に対して不安定である ($p>1+4/n$ の場合は[1], $p=1+4/n$ の場合は [22] を参照). これから, $p=1+4/n$ は (NLSO) の基底

定在波解の安定性不安定性に関する臨界幕であることが分かる. Grillakis, Shatah

and Strauss $[7, 8]$ による –般論では, 安定性及び不安定性に関する十分条件は $\omega>0$の関数$d(\omega)=S_{\omega}(\psi_{\omega})$を用いて与えられる. すなわち, $d”(\omega_{1})>0$ であれば$\mathcal{G}_{\omega_{1}}$

は安

200
定であり, 逆に, $d”(\omega_{1})<0$ であれば$\lambda^{2/(p-1})u(\lambda x, \lambda^{2}t),$$\lambda>0$$\mathcal{G}_{\omega_{1}}$は不安定である. (NLSO) はスケ一] 変換, に関して不変であるから,$\psi_{\omega}(x)=\omega^{1/(p1}-)\psi_{1}(\sqrt{\omega}X)$が成り立ち, $d(\omega)=\omega^{2/(-})-n/2+1dp1(1)$ が成り立つ. これから, $\omega>0$ に依らず, $p=1+4/n$が臨界幕になることが分かる. これに対して, ポテンシャル項を伴う場合は, このようなスケール不変性は存在しないので, 実際にどのようにどいう問題が生じる. 最後に,$\phi_{\omega}\in \mathcal{G}_{\omega},$$d”(\omega)$を計算すればよいか,$d(\omega)=S_{\omega}(\phi_{\omega})=,E(\phi_{\omega})+(\omega/2)||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$に対して$d’(\omega)=\langle s_{\omega}’(\emptyset\omega), \partial\omega\phi_{\omega}\rangle+\overline{2}\perp||\phi\omega||^{2}L^{2}=||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}\overline{2}\perp$

だから,の増減を調べればよいことに注意する.

$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$

ポテンシャルを伴った場合に,$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$の増減を具体的に調べるのは–般には困難であるが, Rose and Weinstein [19] は $n=1$ で線形作用素 $-\triangle+V(x)$ が固有値をもつ

ような, 有界かつ $\lim_{|x|arrow\infty}V(X)=0$ を満たすポテンシャル $V(x)$ を伴った場合に対して$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$

を数値計算した. 彼らの数値計算結果から, 調和ポテンシャルを伴った場合に対して次が予想される.

(予想 1)
波解$P$$e^{i\omega t}\phi\omega(x)$は任意とする.

$-\lambda_{1}$に十分近い$\omega>-\lambda_{1}$は安定であろう.

$P>1+4/n$ のとき, 十分大きい(予想 2)

に対して, (NLS) の基底定在$\omega$に対して (NLS) の基底定在波解は不安定であろう.

$e^{i\omega t}\phi\omega(x)$4. 予想に対する主結果
この節では, 前節の予想に関して得られた結果について報告する. 以下では断りなく,$n\in \mathbb{N},$$1<p<\infty$ で $n\geq 3$ のときは $P<1+4/(n-2)$For

仮定 (A)$C^{1}$$\epsilon>0$

there is afamily of ground states

mapping on the interval

定理 1, ( F. [4] )$\omega_{k}arrow-\lambda_{1}$$P\geq 3$

and$(-\lambda_{1}, -\lambda_{1}+\epsilon)$$\phi_{\omega}$such that$\{\omega_{k}\}$$\lambda_{1}$is asuch that $\omega_{k}<0$ ,is stable.

という仮定を加えれば, (A) を仮定しなくてもよく, さらにらずに一$\omega\mapsto\phi_{\omega}$.

Assume (A). There exists a sequence$e^{i\omega_{k}t}\phi\omega_{k}$を仮定する.

に十分近いすべての$\omega$$\{\omega_{k}\}$という列をとに対する定在波解の安定性が言える. ポテンシャ

201
ルが国 2 でなくても $\lim_{|x|arrow\infty}V(x)=+\infty$ を満たす $V(x)$ ならば定理 1 は証明でき(NLS) の時間局所適切性やエネルギー $E$ と粒子数の保存をる. ただし今のところは仮定することになる.
定理 2( F. and Ohta [5])$\omega_{*}\in(\omega_{0}, \infty)$

any

Let $P>1+4/n$ andsuch that the standing wave solution$\omega\in(\omega_{*}, \infty)$$\phi_{\omega}(x)\in \mathcal{G}_{\omega}$$e^{i\omega t}\phi\omega(X)$. Then there existsof (NLS) is unstable for.

定理 2 は命題 1 や命題 2 の内容を仮定すれば, より -般的なポテンシャル $V(x)$ に対して証明できる. 以下は定理 2 の不安定性を証明するためだけに必要なポテンシャル$V(x)$に対する仮定である.

$(\mathrm{V}\mathrm{O})$

There exist real valued functions$V_{1}(x)$and$V_{2}(x)$such that$V(x)=V_{1}(x)+V_{2}(x)$ .

(Vl.l)$V_{1}(x)\in C^{2}(\mathbb{R}^{n})$and there exist positive constants $m$ and$0\leq V_{1}(x)\leq C(1+|x|^{m})$For any(Vl 2)$\alpha$such thaton$\mathbb{R}^{n}$$|\alpha|\leq 2$$|x^{\alpha}\partial_{x}\alpha V1(x)|\leq C_{\alpha}(1+V_{1}(x))$(V2)

There exists

$q$

$C$

such that.

, there existson$\mathbb{R}^{n}$$C_{\alpha}>0$

such that.

such that $q\geq 1,$ $q>n/2$ and$x^{\alpha}\partial_{x}^{\alpha}V_{2}(x)\in L^{q}(\mathbb{R}^{n})+L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$for$|\alpha|\leq 2$.

この不安定性の結果では $V(x)$ に対して下に有界であることや球対称性を仮定しなくてもいいことを強調しておきたい. また [4] では調和ポテンシャルを伴った場合に,$\omega>0,$$p\geq p_{0}(n)=(n^{2}+4+4\sqrt{n^{2}+1})/n^{2}$ならば$e^{i\omega t}\phi_{\omega}(x)$は不安定となることが示されている. ここで $p0(n)>1+4/n$ であるが, この定理 2 により$P$の範囲を $1+4/n$まで下げることができた.
さて, Grillakis, Shatah and Strauss $[7, 8]$ の–般論に従って$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$の増減を直接調べるのは –般には困難であるので, 定理 1 は分岐理論 ([13], [14], [15] などを参照)
によって

命題 3

$(\mathrm{S}\mathrm{P})$Putの解を捉え, 零四から分岐した解の$\lambda:=-\omega$in$(\mathrm{S}\mathrm{P})$$L^{2}$

ノルムの漸化式を用いる.

. Let $\Phi(x)$ be the eigenfunction corresponding to$\lambda_{1}$

.

202
Then,

$(\mathrm{S}\mathrm{P})$has a family of solutions

sufficiently small with$z(\mathrm{O})=0$

bifurcating from$(u(\epsilon), \lambda(\epsilon))$, where$u(_{\overline{\mathrm{C}}})=\overline{\mathrm{c}}\Phi+\mathit{6}Z(\mathit{6})$$z\in\Sigma$$(0, \lambda_{1})$for$0<\mathit{6}<\mathit{6}_{0}$is a continuous function of 6,

and $(z(\Xi), \Phi)_{\Sigma}=0$ . Moreover, we have$||u(\lambda)||_{L^{2}}2=||\Phi||^{2(p+1}L^{p}+1)/(1-p)(\lambda_{1}-\lambda)2/(p-1)+o(|\lambda 1-\lambda|2/(p-1))$.

(1)

また, 定理 2 を示すために次の不安定性に関する十分条件を用いる.
命題 4(Ohta [18])solution$e^{i\omega t}\phi\omega(x)$Let$\phi_{\omega}(x)\in \mathcal{G}_{\omega}$. If$\partial_{\lambda}^{2}E(\phi_{\omega}^{\lambda})|_{\lambda=1}<0$of (NLS) is unstable. Here,, then the standing wave$v^{\lambda}(x):=\lambda^{n/2}v(\lambda_{X)}$for$\lambda>0$.

このような形の不安定性に関する十分条件は, Shatah and Strauss [20] の方法に基づき, Gongalves Ribeiro [6] によって初めて与えられた. その後, [18] で, ビリアル
等式 (VI) を用いて簡単な証明が与えられた. さて,$\partial_{\lambda}S_{\omega}(\phi\lambda\omega)|_{\lambda=1}=0$だから, 命題 4 における仮定量である粒子数が–定の超曲面$\phi_{\omega}(x)$グ

は,$\omega$$\partial_{\lambda}^{2}E(\emptyset_{\omega}^{\lambda})|_{\lambda=1}<0$$\{v\in X : ||v||_{L^{2}}^{2}=||\phi_{\omega}||_{L^{2}}2\}$において極小ではないことが従う. すなわち,$\phi_{\omega}^{\lambda}(x)$$||v^{\lambda}||^{2}L2=||v||_{L^{2}}^{2},$$L^{2}$から, (NLS) の保存

上エネルギー汎関数 $E$ はノルムを不変とするスケ $-$ リンを用いて具体的に不安定な方向を与えている. この十分条件に関して微分する必要がな$\partial_{\lambda}E(\emptyset_{\omega}^{\lambda})|_{\lambda=1}=$$\partial_{\lambda}^{2}E(\phi_{\omega}\lambda)|_{\lambda=1}<0$, Grillakis, Shatah and Strauss $[7, 8]$ の–般論に$\langle$

おける $d”(\omega)<0$ よりも確認しやすい, という利点がある.

5. 定理 1 の証明の概略
Grillakis, Shatah and Strauss $[7, 8]$ の–般論に従ってを目標に, 命題 3 の (1) によるにより捕まえた$(\mathrm{S}\mathrm{P})$$(\mathrm{S}\mathrm{P})$の解のの解 (分岐解) と,$L^{2}$$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$の増減を調べること

ノルムの漸化式を得る. しかし命題 3$\phi_{\omega}(x)\in \mathcal{G}_{\omega}$

が–致しているとは限らない. それについては次の補題 1 によって, 陰関数定理による –意性から一\mbox{\boldmath $\lambda$}1-の近くでは両者が–致していることがわかる.
補題 1Let$\phi_{\omega}\in \mathcal{G}_{\omega}$

こうして (1) により. Then,$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$が一\mbox{\boldmath $\lambda$}1 に十分近いとき,$||\phi_{\omega}||\Sigmaarrow 0$,の$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$$L^{2}$

as$\omegaarrow-\lambda_{1}+0$.

ノルムの振舞いの情報が得られた. つまり$\omega>-\lambda_{1}$は単調増加である, すなわち, 予想 1 が成り立つと言203
いたいところだが, $\omegaarrow-\lambda_{1}+0$ のとき$||\phi_{\omega}||_{L^{2}}^{2}$性を排除しきれていない. そこで, 定理 1 では列が振動しながら$0$に収束する可能を取るかたちの主張となって$\{\omega_{k}\}$いる.

6. 定理 2 の証明の概略$P(\phi_{\omega})=\partial_{\lambda}E(\phi_{\omega}^{\lambda})|_{\lambda=1}=0$$0$を用いて計算すると, 命題 2$\text{における仮定}\partial_{\lambda}^{2}E(\phi^{\lambda}\omega)|_{\lambda=1}<$

は(2)$\frac{||x\phi_{\omega}||_{L}^{2}2}{||\phi_{\omega}||^{p1}L\mathrm{p}+1+}<\frac{n(p-1)\{n(p-1)-4\}}{16(p+1)}$と同値であることが分かる. (2) の右辺は $p>1+4/n$ なので正定数である. したがって左辺が$\omegaarrow\infty$のとき$\phi_{\omega}(x)=\omega^{1/(p}-1)\tilde{\phi}_{\omega}(\sqrt{\omega}x)$底状態\psi 1$(x)\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})$$0$に収束することを示せばよい. ここで,とスケール変換したを考える.

$\tilde{\phi}_{\omega}(x)$$\phi_{\omega}(x)\in \mathcal{G}_{\omega}$をと, (SPO) の $\omega=1$ のときの基$\tilde{\phi}_{\omega}(x)$の満たす方程式は,$-\triangle\emptyset+\emptyset+\omega-2|x|2\emptyset-|\emptyset|p-1\phi=0$$x\in \mathbb{R}^{n}$となる.

この変形の理由はスケール変換することにより項へ持って行き,$\omega^{-2}|x|^{2}\phi$$\omega$の影響をポテンシャルのついたの項の効果が\mbox{\boldmath $\omega$}\rightarrow \infty のときに消え,$\psi_{1}(x)$が $p>1+4/n$のときに不安定であることに帰着するのではないかという予想が基盤となっているた
めである.

(3)

$\frac{||x\phi_{\omega}||_{L}^{2}2}{||\phi_{\omega}||^{p1}Lp+1+}=\frac{\omega^{-2}||x\tilde{\emptyset}\omega||_{L}^{2}2}{||\tilde{\phi}_{\omega}||^{p1}L\mathrm{p}+1+}$

なので

(4)

$\lim_{\omegaarrow\infty}\frac{\omega^{-2}||x\tilde{\emptyset}\omega||_{L}^{2}2}{||\tilde{\phi}_{\omega}||^{p}Lp+1+1}=0$を示せばよい. まず, 以下の汎関数を定義する.
$\tilde{I}_{\omega}(v):=||\nabla v||_{L}2|2+|v||_{L^{2}}2+\omega^{-}2||Xv||_{L}^{2}2^{-}||v||^{p1}Lp+1+$$I_{1}^{0}(v):=||\nabla v||^{2}L2+||v||_{L}22-||v||^{p1}Lp+1+$

.

,

204
次の補題が (4) を示すための鍵となる.
補題 2

Let

$\phi_{\omega}(x)\in \mathcal{G}_{\omega}$(i).

$\lim_{\omegaarrow\infty}||\tilde{\phi}_{\omega}||^{p1}Lp+1+=||\psi_{1}||_{Lp+1}^{p1}+$(iii)$\lim_{\omegaarrow\infty}||\tilde{\phi}_{\omega}||_{H^{1}}^{2}=||\psi_{1}||_{H^{1}}^{2}$

補題 2 の証明に関して,$\tilde{\phi}_{\omega}(x)$,$\lim_{\omegaarrow\infty}\omega^{-2}||X\tilde{\emptyset}\omega||_{L}^{2}2=0$.

v\in X\backslash \{0\},\tilde{I}_{\omega}(v)\leq 0\}$$\psi_{1}(x)$$\inf\{||v||^{p1}L\mathrm{p}+1+ :の最小化元であることを用いて,(iv)$\lim_{\omegaarrow\infty}I_{1}0(\tilde{\phi}_{\omega})=0$が制約条件付きの最小化問題$\inf\{||v||^{p1}Lp+1+ :の最小化元であること, 及び

,

(ii)

,

が

v\in H^{1}(\mathbb{R}^{n})\backslash \{0\}, I_{1}^{0}(v)\leq 0\}$$\tilde{\phi}_{\omega}(x)$と$\psi_{1}(x)$.

のノルムをお互いに比較することにより, (i) と (ii) は証明される. また, (iii) と (iV) は (i) と (ii) から直ちに導かれる.

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