数理解析研究所講究録 1204 巻 2001 年 114-127

114
粘性解の
(On

$L^{p}$$L^{p}$

理論についてtheory of viscosity solutions)
石井克幸 (Katsuyuki Ishii)

神戸商船大学

Abstract. This note presents abrief introduction of L. A. Caffarelli-M. C.
Crandall-M. Kocan-A. Swiqch [3]. In [3] They provide aunified treatment oftheory of viscosity solutions of second order elliptic PDE’s with measurable
ingredients.
$L^{p}$

1Introduction
考える方程式は以下のものとする.

(1.1)$-a(x)\Delta u(x)-f(x)=0$$\Omega\subset \mathcal{R}^{N}$in$\Omega$,は有界領域で $a(x)$ は$a(x)=1$とする. ただし,$\Omega_{1}\subset\Omega$in$\Omega_{1},$

$=2$

in

$\Omega\backslash \Omega_{1}$,はルベーグ可測とする.

1983 年に提出されて以来, 粘性解の概念は非発散形の非線形偏微分方程式に対する解の存在, 一意性に関する研究に大きな貢献をしている. しかし, 正則
性等の粘性解の性質に関してはほとんど論じられていなかった. 1988, 1989 年に N. S. Trudinger [13], [14], L. A. Caffareffi [1], [2] によって粘性解の正則性に関する研究が発表された. その後, L. Wang [15], L. Escauriaza [7] 等の論文が現われ, 現在も研究が進展している.
その中で, L. A. Caffarelli-M. G. Crandall-M. Kocan-A. wiech [3] では粘性解の理論の基礎について一つの枠組みを与えた. このノートでは上のような簡単な方程式に限定し, 彼らの結果を紹介することにする.
$\acute{\mathrm{S}}$$L^{p}$

2Preliminaries
まず,$L^{p}$-粘性解の定義を与える. $p>n/2,$$f\in L_{loc}^{p}(\Omega)$と仮定する.

定義 2.1 $u\in C(\Omega)$ が (1.1) の-粘性劣解 (resp.,-粘性優解) とは次の事
柄が成り立つときをいう. 任意のをとる. このとき,
と開
集合
が存在して
$L^{p}$$L^{p}$$\varphi\in W_{loc}^{2,p}(\Omega)$$\epsilon>0$$\mathcal{O}\subset\Omega$$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)\geqq(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}., \leqq)\epsilon$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. in$\mathcal{O}$115
はで極大値 (resp., 極小値) を取らない. $u\in C(\Omega)$が戒り立つならば,が (1.1) の-粘性解であるとは が (1.1) の -粘性劣解, かつ Lp-粘性優解$\mathcal{O}$$u-\varphi$$L^{p}$$L^{p}$$u$であるときをいう.

この定義を説明するために従来の粘性解の定義を思い出そう.
定義 22 $u\in C(\Omega)$ が (1.1) の粘性劣解 (resp., 粘性優解) とは次の事柄が成で極をとる. このとき, $u-\varphi$ がり立つときをいう. 任意の大値 (resp., 極小値) を取るならば,$\hat{x}\in\Omega$$\varphi\in C^{2}(\Omega)$$-a(\hat{x})\Delta\varphi(\hat{x})-f(\hat{x})\leqq(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}., \geqq)0$が成り立つ. $u\in C(\Omega)$ が (1.1) の粘性解であるとはつ粘性優解であるときをいう.

が (1.1) の粘性劣解, か$u$

定義 2.1 の原形は L. A. Caffarelli [2] によって与えられた. 要は定義 22 の対偶である. 定義 2.1 では, $a,$ $f$ の可測性を考慮して, それを修正をしたものとなっている. また, 定義 2.1 は以下のことと同値であることが簡単に分かる.
$u\in C(\Omega)$ が (垣) の-粘性劣解 (resp.,-粘性優解) であるとは, 任意ので極大値 (resp., 極小値) を取ったとすに対して $u-\varphi$ が$L^{p}$$L^{p}$$\hat{x}\in\Omega$$\varphi\in W^{2,p}(\Omega)$れば,$\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}.\lim\inf_{\wedge}(-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x))\leqq 0$$xarrow x$

resp.,
が成り立つ. これは各が存在してとを意味する.

$\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}.\lim_{xarrow}\sup_{\hat{x}}(-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x))\geqq 0$$\epsilon,$$r>0$ に対して,$n$次元ルベーグ測度が正の集合を満たすこ$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)\leqq(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}., \geqq)\epsilon(x\in A)$$A\subset B_{f}(\hat{x})$が連続になるための$p>n/2$ という制限は定義 2.1 に現れるテスト関数
条件である. このとき, $W^{2,p}$ に属する関数はほとんど至るところ 2 回微分可$\varphi$能である (cf. A. P. Calder\’on-A. Zygmund[4]).

-粘性解に対して, テスト関数を従来のものと同じようにた場合の粘性解を -粘性解と呼ぶことにしよう。 即ち,$L^{p}$$C^{2}$

関数から取っ$C$

定義 23 $u\in C(\Omega)$ が (1.1) の $C$ -粘性劣解 (resp., $C$ -粘性優解) とは次の事柄をとる. このとき, $\epsilon>0$ と開集合が成り立つときをいう. 任意の$\varphi\in C^{2}(\Omega)$$\mathcal{O}\subset\Omega$が存在して$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)\geqq(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}., \leqq)\epsilon$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. in$\mathcal{O}$はで極大値 (resp., 極小値) を取らない. $u\in C(\Omega)$が成り立つならば,が (1.1) の-粘性解であるとは が (1.1) の $C$ -粘性劣解, かつ C-粘性優解$u-\varphi$$C$であるときをいう.

$\mathcal{O}$

$u$

116
テスト関数の取り方から, 明らかに -粘性劣解 (resp., -粘性優解, Lp-粘性解) は $C$ -粘性劣解 (resp., $C$-粘性優解, -粘性解) である. また, , が連続な
らば C-粘性解は従来の粘性解の定義と同値になる.
$L^{p}$$L^{p}$

$C$

$a$

$f$

従来の理論において, 粘性解の大きな特徴は解の一意性 (or 比較定理) が成り立つことである (cf. M. G. Crandall-H. Ishii-P.-L. Lions [6]). そこで, 上で定$C$義した-粘性解について一意性が成り立つ力\searrow という疑問が生じる. C$L^{p_{-}},$

粘性解の場合は一意性が成り立たない. 例を挙げよう.

例 2.4 $A\subset[-1,1]$ を任意の区間 $I\subset[-1,1]$ に対して $|A\cap I|,$ $|A^{c}\cap I|>0$ が成り立つような可測集合とする.
を $A$ の特性関数とし, $f(x)=\chi_{A}-\chi_{A^{c}}$とおく. このとき $x\in(-1,1)$ に対して$\chi_{A}$$\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}.\lim_{yarrow}\inf_{x}f(y)=-1,\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}.\lim_{yarrow}\sup_{x}f(y)=1$を満たす全ての $\nu\in C^{\infty}([-1,1])$ は $-u”(x)-f(x)=0$であることより,in(-1, 1) の $C$ -粘性解である. よってディリクレ問題$|\nu’’|\leqq 1$$-u”(x)-f(x)=0$ in (-1, 1),$u(\pm 1)=0$

は無数に C-粘性解をもつ.
更に M. G. Crandall-Z. Huan [5] では空間 1 次元で係数が連続な方程式について, 連続な粘性解の一意性, 非一意性, 及び $W^{2,1}$ に属する強解の存在とそれが関数に属する粘性解の中で一意であることが示されている. この結果よ$C^{1}$り$L^{p}$-強解の存在が解の一意性に対して重要であると思われる. このことについて見ていこう.

定義 2.5 関数$u\in W_{lo\acute{c}}^{2p}(\Omega)$が (1.1) の$L^{p}$-強劣解 (resp.

$L^{p}$-強優解., Lp-強解)であるとは$-a(x)\Delta u(x)-f(x)\leqq(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}., \geqq,=)0$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. in$\Omega$を満たすときをいう.
これは D. Gilbarg-N. S. Trudinger [8] にも見られるように, 楕円型偏微分方程
式ではよく用いられる解の概念である. (1.1) の Lp-強解については次の評価が得られている: あるが存在して, $p>n-\epsilon_{0}$ , かつが (1.1) の Lp-強劣解ならば$\epsilon_{0}>0$(2.1)$u\in W_{lo\acute{c}}^{2p}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$$\sup_{\Omega}u\leqq\sup_{\theta\Omega}u+C_{1}||f^{+}||_{L^{\mathrm{p}}(\Omega)}$となる. ただし, $C_{1}=C_{1}(n, \Omega)>0$ は定数. この scaled version として(2.2)$\sup u\leqq\sup u+C_{2}r^{2-n/p}||f^{+}||\iota \mathrm{P}(B_{r}(x))$$B_{r}(x)$$\partial B_{r}(x)$117となる. ただし, $C_{2}=C_{2}(n)>0$ は$L^{p}$$r$にはよらない定数.

-粘性解と Lp-強解の関係は以下のようになっている.

補題 26 $p\geqq n,$ $f\in L^{p}(\Omega)$ を仮定する. このとき, $u\in C(\Omega)$ が (1.1) の強劣解 (resp.,-強優解) ならば, -粘性劣解 (resp., -粘性優解) である.

$L^{\mathrm{p}_{-}}$$L^{p}$$L^{p}$$L^{p}$

これは P.-L. Lions [11] t こよる $W^{2,p}$ 関数 $(p\geqq n)$ に対する最大値原理を使うと証明できる.

補題 27(1.1) の-強劣解に対して, (2.1), (2.2) が成り立つとする. $f\in$-強劣解 (resp., Lp-強優 fl りとする. このとき, $u\in C(\Omega)$ が (1.1) のである.
-粘性劣解 (resp., -粘性優解)ならば,$L^{p}$$L^{p}$$L^{\mathrm{p}}(\Omega)$$L^{p}$$L^{p}$

証明.

$u$

のとき

を (1.1) の-粘性劣解ではないと仮定する. こが存在して, 及び $u-\varphi$ の狭義最大点$L^{p}$$\varphi\in W_{loc}^{2,p}(\Omega)$-強劣解ではあるが,$L^{p}$$\hat{x}\in\Omega$$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)\geqq\epsilon>0$を満たす. すると

$u$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$

.

near

$x$

$\hat{x}$が (1.1) の Lp-強劣解であることより$-a(x)\Delta(u(x)-\varphi(x))\leqq-\epsilon$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$

.

$x$

near

$\hat{x}$が言える. (2.2) より, 小さな $r>0$ に対して$u( \hat{x})-\varphi(\hat{x})\leqq\sup(u$.

$-\varphi)$$\partial B_{r}(x\gamma$

が戒り立つ. これは$\hat{x}$カ$\grave{\grave{>}}$$u-\varphi$の狭義最大点であることに矛盾する.

$\mathrm{o}$-強解になるか ? ということについては後で述べることにす-粘性解がる. 上の補題と同じことが半凸 (半凹) 関数についても成り立つ.
$L^{p}$$L^{p}$

補題 28(1.1) の-強劣解に対して (2.1), (2.2) が成り立つとする.
$f\in L^{p}(\Omega)$ とする. $u\in C(\Omega)$ をで半凸 (半凹) かつ$L^{p}$

また$\Omega$$-a(x)\Delta u(x)-f(x)\underline{\leq}0$

まを満たすとする. このとき,には (2.1), (2.2) を満たす.
$u$$L^{p}$(resp.,$\geqq 0$)-粘性劣解 (resp.,$\mathrm{a}.\mathrm{e}$$L^{p}$. in$\Omega$-粘性優解) である. 更

$u$

$f$

証明は省略する. $C$ -粘性解と Lp-粘性解の関係は次の補題のとおりである.

補題 29 $a,$ $f\in C(\Omega)$ と仮定する. (垣) に対して (2.1), (2.2) が成り立つとする. このとき $u\in C(\Omega)$ が (1.1) の $C$ -粘性劣解 (resp., $C$ -粘性優解) ならば,
-粘性劣解 (resp.,-粘性優解) である.
$L^{p}$$L^{p}$

118-粘性劣解でないと仮定しよう. すを (1.1) の $C$ -粘性劣解であるが,証明.
での狭義最大点,$x_{0}:u-\varphi$ の
ると,
が存在して
$L^{p}$$u$$B_{2r}(x_{0})\subset\Omega,$(2.3)$\varphi\in W_{lo\acute{c}}^{2p}(B_{2r}(x_{0})),$$B_{r}(x_{0})$$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)\geqq\epsilon>0$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. in$B_{r}(x_{0})$を小さく取り直すなどして, $u(x_{0})$としてよい. 更 [ニ, 簡単のた$\varphi(x_{0})=3\delta>0,$ $u(x)-\varphi(x)\leqq-3\delta$ onの C-粘性劣解であるこ
が
とおくと
とする
.
(1.1)
$w=u-\varphi$
め,が成り立つ.

$\psi$に定数を加減したり,-$r$$\partial B_{r}(x_{0})$$\varphi\in C^{2}(\Omega)$

とより

$w$

$u$

は

in

$-a(x)\Delta w(x)-g(x)=0$$B_{r}(x_{0})$$(g(x)=f(x)+a(x)\Delta\varphi(x)\in C(B_{r}(x_{0}))$の $C$ -粘性劣解である.

(2.3) より

(2.4)

$g\leqq \mathrm{O}$inであるから,$B_{r}(x_{0})$$||g^{+}||_{L^{\mathrm{p}}(B_{r}(x\mathrm{o}))}=0$を得る. $\eta>0$ に対して$w^{\eta}(x)= \sup_{y\in B_{2r}(x\mathrm{o})}(w(y)-\frac{1}{2\eta}|y-x|^{2})$とおくと,$w^{\eta}$

は半凸であり, 十分小さな$\eta$に対して$-a(x)\Delta w^{\eta}(x)-\tilde{g}(x)\leqq 0$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. in$B_{r}(x_{0})$が戒り立つ. ただし, $\tilde{g}(x)=\max\{g(z)||z-x|\leqq C_{1}\sqrt{\eta}\}$ で $C_{1}>0$ は定数.の性質, 上の微分不等式については R. Jensen [9], R. Jensen-P.-L. Lions-P.
は (2.1), (2.2) を満たす.
E. Souganidis [10] を参照. また, 補題 28 より$||w^{\eta}-w||c(B_{r}(x\mathrm{o}))arrow 0(\etaarrow 0)$ であるから, 十分小さな $\eta>0$ に対して$w^{\eta}$$w^{\eta}$$\max w^{\eta}\geqq\delta,w^{\eta}\leqq-\delta$on$\partial B_{r}(x_{0})$$B_{r}(x\mathrm{o})$を得る. 定義より$||\tilde{g}-g||c(B_{r}(x\mathrm{o}))arrow 0(\etaarrow 0)$ なので (2.4) と合わせて矛盾を得る.

が言えて, (2.2) とこれらの不等式より$\delta\leqq||\tilde{g}^{+}||_{L^{\mathrm{p}}(B_{r}(x\mathrm{o}))}$$\mathrm{o}$

先程触れた Lp-粘性解の一意性については以下が威り立つ.

-強劣解に対して (2.1), (2.2) が成り立つとする. $f\in$
定理 2.10 (11) のをそれぞれ (1J) の Lp-粘とする.
-強優解 (resp., -強劣解) とする. このとき,性劣解 (resp.,-粘性優解),
である. 特 [こ$u\leqq\psi$ (resp., $\psi\leqq u$ ) on
ならば $u\leqq\psi$ (resp., $\psi\leqq u$ ) on
ならば $u=\psi$$u1\psi$ がそれぞれ (1.1) の-強解で $u=\psi$ on-粘性解,on である.
$L^{p}$$L^{p}(\Omega)$$u\in C(\overline{\Omega}),$$\psi\in W_{lo\acute{c}}^{2p}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$$L^{p}$$L^{p}$$L^{p}$$\overline{\Omega}$$\partial\Omega$$L^{p}$$\overline{\Omega}$$L^{p}$$\partial\Omega$

119
この定理の証明には (1.1) に対する次の補助方程式と Alexandorff-BakelmanPucci 型の最大値原理を用いる. $u\in C^{2}(\Omega)$ とすると $a(x)$ においた仮定より$- \underline{\Delta}u(x)\equiv 2.\sum_{\lambda.\leqq 0}\lambda:+\sum_{\lambda_{i}>0}\lambda_{i}\leqq-a(x)\Delta u(x)\leqq.\sum_{\lambda.\leqq 0}\lambda:+2.\sum_{\lambda.>0}\lambda:\equiv-\overline{\Delta}u(x)$が成り立つ. ここで,は $D^{2}u(x)$ の固有値. $-\mathrm{A}u(x),$$\{\lambda_{i}\}$$-\overline{\Delta}u(x)$extremal operator と呼ばれる一様楕円型作用素である ([3] では
号を使っている). この作用素を使って以下の補助方程式を得る.
補題 2.11 $f\in L^{p}(\Omega)$ とする. $u\in C(\Omega)$ が (1.1) の性優解) ならば,$u$$L^{p}$という記-粘性劣解 (resp., Lp-粘

は

(2.5)
(2.6)
の

$L^{p}$

は Pucci の$\mathcal{P}^{\pm}$in$-\underline{\Delta}u(x)-f(x)=0$$\Omega$in$(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}., -\overline{\Delta}u(x)-f(x)=0$-粘性劣解 (resp.,$L^{p}$$\Omega$)-粘性優解) である.

証明は易しいので省略する.
命題 212$f\in L^{n}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$とする. 定数 $C_{1}>0$ が存在して以下を満たす.

$u\in C(\overline{\Omega})\mathrm{B}\grave{\grave{>}}$

in$-\underline{\Delta}u(x)-f(x)\leqq 0$の$\{u>0\}$C-粘性解ならば$\sup_{\Omega}u^{+}\leqq\sup_{\partial\Omega}u^{+}+C_{1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(\Omega)||f^{+}||_{L^{n}((u))}\mathrm{r}++$を満たす. ただし,$\Gamma^{+}(w)=$同様に{$x\in\Omega|\exists p\in \mathcal{R}^{n}\mathrm{s}.\mathrm{t}$$u\in C(\overline{\Omega})$. $w(y)\leqq w(y)+\langle p,y-x\rangle$ for

}

が

in

$-\overline{\Delta}u(x)-f(x)\geqq 0$の$y\in\Omega$$\{u<0\}$C-粘性解ならば$\sup_{\Omega}u^{-}\leqq\sup_{\partial\Omega}u^{-}+C_{1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(\Omega)||f^{-}||_{L^{n}(\mathrm{r}+_{\mathrm{t}^{u}}-))}$

を満たす.

長くなるので証明は省略する. 補題 2 垣より (1.1) の解についてもこの命題の主張が成り立つ.
定理 2.10 の証明.
$u-\psi$ とする.

$u$が$L^{p}$$L^{p}$$\psi$$L^{p}$-粘性劣解となる. すると
on となり, $u\leqq\psi$ on$\overline{\Omega}$$w\underline{\leq}0$$w\underline{\leq}0$$\overline{\Omega}$

on

を得る.

$w$

in

$-a(x)\Delta w(x)=0$$L^{p}$-粘性劣解, Lp-粘性優-粘性劣解, が -強優解の場合を証明する. $w=$
[ま-強優解なのでかつ (2.4) の$\psi\in W_{lo\acute{c}}^{2p}(\Omega)$の$L^{p}$$\partial\Omega$$\Omega$に注意して命題 212 を使うと$\mathrm{o}$120
3Results
ます次の補題から証明する.
補題 3.1 $p>n-\epsilon_{0}(\exists\epsilon_{0}>0)$ とし,condition) を満たすとする. 更 [ニ,$\Omega$は一様外錐条件 (uniform exterior coneとする.

$f\in L^{p}(\Omega)_{f}\psi\in C(\partial\Omega)_{J}\Omega’\mathrm{C}\mathrm{C}\Omega$

とき$C_{1}>0$ が存在して以下が成り立っ.
$u,$
をそれぞれ (2.5) の Lp-強劣解, (2.6) の Lp-強優解とし\sim $=v=\psi$を満たon
すとする. このとき $C_{1}>0$ はこのような $u,$に関して有界である. 更に ,こ$\text{の}$$C_{0},$$v\in W_{lo\acute{c}}^{2p}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$$\partial\Omega$

$v$

$u$

は

$v$

(3.1)

$||u||_{W^{2,\mathrm{p}}(\Omega’)},$(3.2)$||u||_{L(\Omega)}\infty,$$||v||_{W^{2,\mathrm{p}}(\Omega’)}\leqq C_{0}(||\psi||_{L(\partial\Omega)}\infty+||f||_{L^{\mathrm{p}}(\Omega)})$$||v||_{L(\Omega)}\infty\leqq||\psi||_{L(\partial\Omega)}\infty+C_{1}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(\Omega))^{2-n/p}||f||_{L^{\mathrm{p}}(\Omega)}$

を満たす.
明.

in

$\Omega$についてのみ証明する.
を $f_{j}arrow f$ inとなる関数列とする. D. Gilbarg-N. S. Trudinger [8] より$u$$\{fj\}\subset C^{\infty}(\Omega)$$-\mathrm{A}u(x)-f_{j}(x)=0$

は古典解をもっので, それをin$\Omega$,$u=\psi$on$L^{p}(\Omega)$かっ$\mathrm{a}.\mathrm{e}$.

$\partial\Omega$とする.
に対しても (2.1), (2.2) は成り立っ
ので, $uarrow uj,$ $farrow fj$ に置き換えて (3.2) が成り立っ. 簡単のため, $\Omega’=B_{R}(0)$$u_{j}$$u_{j}$とし,$\Psi_{k}(u)=\sup_{0<\rho<1}(1-\rho)^{k}R^{k}||D^{k}u||_{L^{\mathrm{p}}(B_{\rho R})},$$(k=0,1,2)$とおくと D. Gilbarg-N. S. Trudinger [8] と同じ方法で,

(3.3)

.

$\Psi_{2}(u_{j})\leqq C_{3}(R^{2}||f_{j}||_{L^{\mathrm{p}}(B_{R})}+\Psi_{1}(u_{j})+\Psi_{0}(u_{j}))$が導ける. また, 補間不等式より$\Phi_{1}(u_{j})\leqq\epsilon\Psi_{2}(u_{j})+\frac{C_{4}}{\epsilon}\Psi_{0}(u_{j})$を ’ る. これと (3.2), (3.3) を組み合わせて (3.1) を得る.
従って, (部分列を取$\epsilon$

ることにより)$ujarrow\exists u\in W_{loc}^{2,p}(\Omega)$

weakly in$W_{lo\acute{c}}^{2p}(\Omega)(jarrow+\infty)$となる. 写像 $D^{2}uarrow-\mathrm{A}u$ の弱下半連続性よりー Au(x)-f(x)\leqq 0
がゎかり,(3.2) を得る.

最後に

$u\in C(\overline{\Omega})$を示す.

$-\mathrm{A}(u_{j}-u_{k})-(f_{j}-f_{k})=0$

in$\Omega,$$u_{j}-u_{k}=0$on$\partial\Omega$121(3.1) よりと$(j,karrow+\infty)$$\sup_{\Omega}(u_{j}-u_{k})^{-}\leqq C_{2}||f_{j}-f_{k}||_{L^{\mathrm{p}}(\Omega)}arrow 0$となる. 同様 [こ $\sup_{\Omega}(u_{j}-u_{k})^{+}arrow 0(j, karrow+\infty)$ であることが– るのでであること力\leq 言える.
は Cauchy 列である. よって$\overline{\underline{\simeq}}\check{\mathrm{x}}$$0$$u\in C(\overline{\Omega})$$\{u_{j}\}\subset C(\overline{\Omega})$

この補題の結果として次のような最大値原理を得る. これは命題 212 の拡張でもある.

>\emptyset o[‘ ]‘題

32とする. 定数 $C_{1}>0$ が存在して以下を満たす.

$f\in L^{n}(\Omega)$in$-\underline{\Delta}u(x)-f(x)\leqq 0$の$u\in C(\overline{\Omega})$$\{u>0\}$

L\searrow 粘性解ならば$\sup_{\Omega}u^{+}\leqq\sup_{\partial\Omega}u^{+}+C_{1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(\Omega)||f^{+}||_{L^{n}((u))}\mathrm{r}++$を満たす. 同様に

$u\in C(\overline{\Omega})$がin$-\overline{\Delta}u(x)-f(x)\geqq 0$の$\{u<0\}$Ln-粘性解ならば$\sup_{\Omega}u^{-}\leqq\sup_{\partial\Omega}u^{-}+C\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(\Omega)||f^{-}||_{L^{n}(}\mathrm{r}+_{\mathrm{t}^{u}}-))$

を満たす.

は一様外錐条件を満たすとしてよい.
を $||fj-f||_{L^{n}(\Omega)}arrow 0$ となる関数列とする. 補題 31 より

証明. 最初の主張のみを示す.
$C^{\infty}(\Omega)$$\Omega$$-\underline{\Delta}\psi_{j}(x)-(f_{j}(x)-f(x))\leqq 0$

in$\Omega$,$\psi_{j}=0$が取れ, (3.2) より$wj=u+\psi j-||\psi j||_{L}\infty(\Omega)$ とおくと, $wj$ {まを満たす$\psi j\in W_{loc}^{2,n}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$$-\underline{\Delta}w_{j}(x)-f_{j}(x)=0$

in

on$\{f_{j}\}\subset$$\partial\Omega$$||\psi_{j}||\iota\infty(\Omega)arrow 0$である.

$\Omega$はこの方程式の C-粘性劣解にな-粘性劣解である. $f_{j}\in C(\Omega)$ なのでることは定義よりチェックできる. 故に, 命題 212 を使っての$w$

$L^{n}$$\sup_{\Omega}$

wj+\leqq s \Omega p$w_{j}^{+}+C_{1}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(\Omega)||f_{j}^{+}||_{L^{n}(\Gamma(w))}+$

を得る. ここで, $jarrow+\infty$ とすることで証明が終わる.

ロ122
補題 3.1 から導かれる別の結果は-粘性解の微分可能性である (命題 34,
定理 35). ただし,などのような評価は伴わない. ます, 記号を準備する.
$L^{p}$$||Du||_{L^{\mathrm{p}}}$$D^{2,+}u(x)= \{(p, X)\in \mathcal{R}^{n}\cross S^{n}|u(x+h)\leqq u(x)+\langle p, h\rangle+\frac{1}{2}\langle Xh, h\rangle$$+o(|h|^{2})(harrow 0)\}$,$D^{2,-}u(x).= \{(p, X)\in \mathcal{R}^{n}\cross S^{n}|u(x+h)\geqq u(x)+\langle p, h\rangle+\frac{1}{2}\langle Xh, h\rangle$$+o(|h|^{2})(harrow 0)\}$.

命題 3.$ $p>n-\epsilon_{0}(\exists\epsilon_{0}>0)$ とし, $f\in L^{p}(\Omega)$ とする. このとき,
次元
ルベーグ測度 0 の集合が存在して, もし が (垣) の Lp-粘性劣解$n$$N’\subset\Omega$(resp.,$L^{p}$-粘性優解),$x\in\Omega\backslash N’,$$u$$(p, X)\in D^{2,+}u(x)$(resp., $(p,$ $X)\in D^{2,-}u(x)$ )ならば$-a(x)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(x)\leqq(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}., \geqq)0$が成り立つ.
この命題は Ll 粘性解は次元ルベーグ測度 0 の集合を除けば, 従来の粘性解の定義を満たすことを意味する.
証明.
とする.

$\mathrm{C}\subset \mathcal{R}\cross \mathcal{R}^{n}\cross S^{n}$$n$を稠密とする.

$\mathcal{L}(r,p, X)$

を次を満たす $x\in\Omega$ の全体(3.4) $\lim_{rarrow 0}\frac{1}{|B_{r}(x)|}\int_{B_{r}(x)}|(-a(y)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(y))-(-a(x)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(x))|^{p}dy=0$
ルベーグの定理より各 $(r,p, X)$ に対してので,$\mathcal{E}=$$\mathcal{L}(r,p, X)$は$\Omega$と同じ測度をもっ$\mathcal{L}(r, p, X)$$\cap$$(r,p,X)\in C$

もそうである. (1.1) は $X\in S^{n}$ に関して連続で, それは. $x\in\Omega$ に対して一様であるから, 全ての $(r,p, X)$ に対してである.
$\mathrm{a}.\mathrm{e}$$\mathcal{E}\subset \mathcal{L}(r,p, X)$

I こ対してために, -a(x^)trX-f(x^)\geqq \mbox{\boldmath $\delta$} $>0$ を仮定して矛盾を導$\hat{x}\in \mathcal{E},$$(p, X)\in D^{2,+}u(\hat{x})$を示したい. そのとしてよい.

$-a(\hat{x})\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(\hat{x})\leqq 0$$\text{く}.\hat{x}=0$$(p, X)\in D^{2,+}u(0)$

より

(3.5)

$u(x) \leqq u(0)+\langle p, x\rangle+\frac{1}{2}\langle Xx, x\rangle+o(|x|^{2})$$\{$$-a(0)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(0)>\delta>0$.

,

任意の $\eta>0$ に対して $X$ を $X+2\eta I$ に置き換えることで $r_{0}>0$ が存在して$u(x)<u(0)+ \langle p,x\rangle+\frac{1}{2}\langle Xx, x\rangle-\eta|x|^{2}$

for $0<|x|\leqq r_{0}$

123
が言える.
$\varphi(x)=u(0)+\langle p, x\rangle+\frac{1}{2}\langle Xx,x\rangle+\psi(x)$とする. (3.4) と (3.5) よりうまく補助関数$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)$$\psi$

を構成して矛盾を導く. $B_{r}(0)$ で$\geqq-a(x)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(x)-\underline{\Delta}\psi(x)$となる. ここで補題 3.1 より

in
on$-4\psi(x)\geqq-a(0)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(0)+a(x)\mathrm{t}\mathrm{r}X+f(x)$$\{$$\psi(x)=0$$B_{r}(0)$,$\partial B_{r}(0)$を満たす $\psi\in W_{loc}^{2,p}(B_{r}(0))\cap C(\overline{B_{r}(0)})$ を取る. すると,

in$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)>-a(0)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(0)>0$$B_{r}(0)$,$||\psi||_{L^{\infty}(B_{r}(0))}$$\leqq Cr^{2-n/p}\{r^{n/p}(\frac{1}{r^{n}}J_{B_{r}(0))}|-a(0)\mathrm{t}\mathrm{r}X-f(0)+a(x)\mathrm{t}\mathrm{r}X+f(x)|^{p}dx)\}$$(rarrow 0)$$\leqq o(r^{2})$$u(0)-\varphi(0)=$となる. 2 番目の不等式 (ま (2.2) G こよる. $u-\varphi\leqq-\eta r^{2}/2$ as$B_{r}(0)$$-\psi(0)=o(r^{2})$ であるから, 小さな $r>0$ に対して $u-\varphi$ は上で最大値を取る. これは -粘性劣解の定義に矛盾する. 故に, $N’$ =\Omega 珂とおけば, 証
明が終わる.
$rarrow \mathrm{O},$$L^{p}$$\mathrm{o}$-粘性劣解 (resp., (2.6) のとし, $u\in C(\Omega)$ を (2.5) ののほとんど至るところではとする.
-粘性優解)
2 回優微分
このとき,が (1.1) の可能 (劣微分可能) である. 特に,-粘性解ならば, はほとん
ど至るところ 2 回微分可能で (1.1) をのほとんど至るところで満たす.

命題 3.4$L^{n}$$f\in L_{lo\mathrm{c}}^{n}(\Omega)$$L^{n}$$u$$\Omega$$L^{n}$$u$$u$$\Omega$

証明. 劣解の場合のみを証明する. $y\in\Omega,$ $0<R<1$ を $B=B_{R}(y)\subset\Omega$ となるように固定する. $k\geqq 1$ に対して,$u_{k}=u- \frac{k}{2}(|x-y|^{2}-R^{2})$とおく. このとき$u_{k}$

は$-\underline{\Delta}u_{k}(x)-f(x)\leqq-\underline{\Delta}u(x)-f(x)+2kn\leqq 2kn$

を$L^{n}$

in-粘性劣解の意味で満たす. 命題 32 上り $B$ 上で$u_{k}(x)$$\leqq\sup_{\partial B}u_{k}+CR(||f||_{L1B)}+k|\Gamma(u_{k}, B)|^{1/n})$$\leqq\sup_{\partial B}u+CR(||f||_{L(B)}+k|\Gamma(u_{k}, B)|^{1/n})$

$B$

124
となる. ただし, $C$ は $k\geqq 1,$ $R\leqq 1$ とは無関係な定数.

$\inf_{B}u+kR^{2}/2\leqq$

より$\sup_{B}u_{k}$$\inf_{B}u+\frac{k}{2}R^{2}\leqq\sup_{B}u+CR(||f||_{L(B)}+k|\Gamma(u_{k}, B)|^{1/n})$

を 2 回優微分可能な$E^{+}(v)$$\Omega$

内の点の集合とすると,.
,$E^{+}(u_{k})=E^{+}(u)$であることが簡単にわかる. 上の不等式で $karrow+\infty$ とした後, 少し変形すると$\Gamma(u_{k}, B)\subset E^{+}(u_{k})$$( \frac{1}{2C})^{n}\leqq\frac{|E^{+}(u)\cap B_{R}(y)|}{R^{n}}$を得る. よって,となる全ての $y\in\Omega,$ $0<R<1$ に対して$\overline{B_{R}(y)}\subset\Omega$$\frac{1}{\omega_{n}}(\frac{1}{2C})^{n}\leqq\frac{|E^{+}(u)\cap B_{R}(y)|}{|B_{R}(y)|}$が従う. ここで $g(x)=\chi_{E+}(u)^{\mathrm{c}}(x)$ とおくと,対して$g(y)$

従って,$\mathrm{a}.\mathrm{e}$.

で, 任意の $y\in\Omega$ (こ$=$$\frac{1}{|B_{R}(y)|}\int_{\Omega}g(x)dx+\frac{1}{B_{R}(y)}\int_{\Omega}(g(y)-g(x))dx$$\leqq$$. \frac{|\Lambda^{\mathrm{T}}(u)\cap B_{R}(y)|}{|B_{R}(y)|}.+\frac{1}{|B_{R}(y)|}\int_{\Omega}|g(y)-g(x)|dx$

く$1- \frac{1}{2\omega_{n}}(\frac{1}{2C})^{n}$$y\in\Omega$に $|E^{+}(u)|=|\Omega|$$g\in L_{loc}^{1}(\Omega)$$(Rarrow 0)$

で $g(y)=0$ であることがわかり, $|E^{+}(u)^{c}|=0$ となる. 故

となり,

$u$

は

$\Omega$のほとんど至る所で 2 回優微分可能である.

後半の主張は補題 211, 命題 33 と一般化された Rademacher-Stepanov の定理 (cf. A. P. Calder\’on-A. Zygmund [4], E. Stein [12]) を使って示される.

$0$

この命題を用いて, Lp-粘性解に対しても同様の結論が得られる.
とし, $p>n-\epsilon_{0}(\exists\epsilon_{0}>0)$ と仮定する. $u\in C(\Omega)$ を(2.5) の -粘性劣解 (resp., (2.6) の -粘性優解) とする. このとき ま 上が (1.1)でほとんど至る所 2 回優微分可能 (resp., 劣微分可能) である. 特に,
かつの(1.1) を-粘性解ならば, は 上ほとんど至る所で 2 回微分可能,満たす.
定理 3.5$f\in L_{loc}^{p}(\Omega)$$L^{p}$$L^{p}$$u$$\Omega$$u$$L^{p}$$u$が (2.5) の証明.
て補題 31 より$u$$L^{p}$$\Omega$-粘性劣解の場合のみを証明する. 各$-\mathrm{A}\psi(x)-f(x)\geqq 0$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. in$B_{r}(x)$$B_{r}(x)\subset\Omega$

に対し

125
すると, $u-\psi$ は
in $B_{r}(x)$ の -粘性劣解 (よって L 一粘性劣解) となる. 命題$u-\psi$はより. in $B_{r}(x)$ で 2 回優微分可能である. は $B_{r}(x)$ でほと
3.4
はんど至る所 2 回微分可能であることより,. in $B_{r}(x)$ で 2 回優微分可を満たす関数を取ることができる.

$\psi\in W_{lo\acute{c}}^{2p}(B_{r}(x))$$L^{p}$$-\underline{\Delta}v(x)=0$$\psi$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$$u$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$能である. 後半の主張は命題 3.4 の証明と同様にして示される.

ロ

命題 3.4 の系として次を得る.
系 36 命題 3.4 の仮定のもとで, $u\in W_{loc}^{2,p}(\Omega)$ が (1.1) の Lp-粘性解ならば,-強解 (こなる.

$L^{p}$

次の定理は従来の粘性解に関する安定性の Lp-粘性解版といえる.
定理 37 $p>n-\epsilon_{0}(\exists\epsilon_{0}>0)$ とし,とする. $u_{m}\in C(\Omega)$のを $-a_{m}(x)\Delta u(x)-f_{m}(x)=0$ in-粘性劣解 (resp., -粘性優解) とす$u\in
C(\Omega)$が$marrow+\infty$
に
る.
としたとき
上で広義一様収束すると仮定[こ対してする. また,$f_{m},$$a_{m},$$a,$$f\in L^{p}(\Omega)$$L^{p}$$\Omega$$L^{p}$$\Omega$$u_{m}$$B_{\mathrm{r}}(x_{0})\subset\Omega_{f}\varphi\in W_{loc}^{2,p}(B_{r}(x_{0}))$$g_{m}(x)=-a_{m}(x)\Delta\varphi(x)-f_{m}(x),g(x)=-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)$としたとき,(3.6)$||(g-g_{m})^{+}||_{L^{\mathrm{p}}(B_{r}(x_{0}))}arrow 0$(resp.,と仮定する. このとき
証明.

$u$

ま (1.1) の$L^{p}$)$(marrow+\infty)$-粘性劣解 (resp.,$L^{p}$-粘性優解) となる.

-粘性劣解でないと仮定する. するとが存在してとなるように取れ, 更にが (1.1) のが $B_{r}(x_{0})\subset\Omega$

$u$
$f$

$||(g-g_{m})^{-}||_{L^{\mathrm{p}}(B_{r}(x_{0}))}arrow 0$$L^{p}$$x_{0}\in.\Omega,$$\epsilon,$$\delta,$$r>0$$\varphi\in W_{loc}^{2,p}(B_{r}(x_{0}))$

(3.7)
(3.8)

$-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)>\epsilon$in$(u-\varphi)(x_{0})=0,u-\varphi<-\delta$$B_{r}(x_{0})$on,$\partial B_{r}(x_{0})$を満たす. 矛盾を導くために(3.9)(3.10)||\mbox{\boldmath $\varphi$}m||L\otimes (B,(xo))\rightarrow 0 フ$-a_{m}(x)\Delta(\varphi+\varphi_{m})(x)-f_{m}(x)\geqq\epsilon$

を満たす
は

$u$

lこ

in

$B_{r}(x_{0})$を求めよう. 求まったとすると,上で一様収束するので, (3.7), (3.8) より十分大きな $m>1$ に$\varphi_{?n}\in W_{loc}^{2,p}(B_{r}(x_{0}))\cap C(\overline{B_{r}(x_{0})})$$\overline{B_{r}(x_{0})}$

対して$\sup(u_{m}-(\varphi+\varphi_{m}))>$$B_{r}(x_{0})$$\sup(u_{m}-(\varphi+\varphi_{m}))$$\partial B_{r}(xo)$$u_{m}$

126の内点 x。で最大値を取る.
が成り立つ. すると $u_{m}-(\varphi+\varphi_{m})$ は次元ルベーグ測度が正の集
$>0$
に対して
は
-粘性劣解なので, 任意の合 $A\subset B_{s}(x_{m})$ が存在して$B_{r}(x_{\mathrm{O}})$$L^{p}$$\eta,$$u_{m}$

$n$

$s$

in

$-a_{m}(x)\Delta(\varphi+\varphi_{m})(x)-f_{m}(x)\leqq\eta$$A$となる. $\eta=\epsilon/2,$ $s=(r-|x_{0}-x_{m}|)/2$ として矛盾を得る.

さて,$-a_{m}(x)\Delta(\varphi+\varphi_{m})(x)-f_{m}(x)$$=g_{m}(x)-g(x)-a(x)\Delta\varphi(x)-f(x)-\underline{\Delta}\varphi_{m}(x)$$\geqq g_{m}(x)-g(x)+\epsilon-\underline{\Delta}\varphi_{m}(x)$となる. 補題 3.1 より$\varphi_{m}$を$\geqq-g_{m}(x)+g(x)$$\{$$\varphi_{m}=0-\underline{\Delta}\varphi_{m}(x)$inon$B_{r}(x_{0})$,$\partial B_{r}(x_{0})$を満たすものが取れ, それは (3.10) を満たす. 更に (2.2) より$||\varphi_{m}||_{L^{\infty}(B_{r}(x\mathrm{o}))}\leqq Cr^{2-n/p}||(g_{m}-g)^{+}||_{L^{\mathrm{p}}(B_{r}(x\mathrm{o}))}$

も満たし, (3.6) より (3.9) を得るので証明が終わる.
本節の結果を使うと, (1.1) に対する
詳細は [3] をご覧ください.

$L^{p}$$\mathrm{o}$-粘性解, Lp-強解の存在が証明できる.

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