数理解析研究所講究録 1206 巻 2001 年 114-120

114

Chen invariant of CR-submanlfolds
笹原徹 (Tooru Sasahara)

北海道大学大学院理学研究科

Department of Mathematics, Hokkaido University

1

序
1 975 年の論文 ([7]) で B.Y.Chen と C.S.Houh は次のような汎関数の臨界点を研究した。
: $M^{n}arrow(N, ds^{2})$ を次元リーマン多様体のはめ込みとし、 $K$ をそのコンパクト領域とする。 $K$ の境界を固定する滑らかな変分: $Karrow(N, ds^{2})$ , $\phi 0=\phi$ に対して$\phi$$n$$\phi_{t}$$\mathcal{W}(\phi_{t})=\int_{K}|H|^{n}dv$,

は平均曲率、 また $dv$ はに関する体積要素である。 $N$ が (擬) ユーク
リツド空間で $n=2$ の時は Willmore 汎関数であり、 また理論物理学の bosonic string theory
では Polyakov extrinsic action という名で登場する
任意の $K$ とその境界を固定する
任意の変分に対してを stationary 部分多様体 ( $n=2$ のときとなる時、は Willmore 曲面) と言う。 $n>2$ の場合、そのような例は trivial なものを除いてほとんど知られていなかった。最近 Chen は $|H|$ に関する不等式を構或し、 その等号を満たすものとして trivial でない例を構或した。彼はそれを Id 一部分多様体と名付けた
それらは、 各点での外空間からのテンションが最も少なく、 ゆえに stationary 部分多様体の中でも特別なもの (“理想的”) である。 また M. Barros と 0. Garay はの Hopf 部分多様体としての stationary 部分多様体を構或した ([1])。 これに関しては、 最後の章を見て頂きたい。今回
は、複素空間形、 6 次元球面内の Ideal
部分多様体に関するいくっかの局所的な分類について紹介する。
ここで $|H|$$\phi_{t}^{*}(ds^{2})$$([13])_{\text{。}}$$M^{n}$$\frac{d}{dt}(\mathcal{W}(\phi_{t}))|_{t=0}$$([5])_{\text{。}}$$S^{7}$$\mathrm{R}^{8}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$2Chen 不変量
を平面に関する断面曲率とする。接空間の正規直交基に対してでのスカラー曲率 を $\tau(p)=\sum_{:<j}K(e:\wedge e_{j})$ と定義する。 を次元$r\geq 2$ のの部分空間とし、 $\{e_{1}, \ldots, e,\}$ を の正規直交基とした時、 のスヵラー曲率$\tau(L)$ を, $1\leq\alpha,\beta\leq r$ と定義する
整数 $k\geq 0$ に対して $S(n, k)$ を次の条件を満たす 2 以上の整数の -tuple $(n_{1}, \ldots, n_{k})$ の集合とする:$K(\pi)$$e_{1},$$\ldots,$$\pi\subset T_{p}M^{n_{\text{、}}}p\in M^{n}$$e_{n}$$T_{p}M^{n}$

$p$

$L$

$\tau$$L$$T_{\mathrm{p}}M^{n}$$L$$\tau(L)=\Sigma_{\alpha<\beta}K(e_{\alpha}\wedge e\rho)$$\text{。}$$k$$n_{1}<n$,$n_{1}+\cdots+n_{k}\leq n$

.

115
を
と書く。各 -tuple(を固定した時、のようなリーマン不変量を定義した ([5])。
$\mathrm{S}(n, k)$

$n$

$k$

$\mathrm{S}(n)$$n$” $\ldots,$$n\mathfrak{d}arrow \mathrm{S}(n)$$\delta(n_{1}, \ldots,n_{k})(p)=\tau(p)-\inf\{\tau(L_{1})+\cdots+\tau(L_{k})\}$に$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}$て Chen は次

,

(2.1)

である。
は互いに直交する $T_{p}M$ の部分空間で $\dim Lj=nj,$ $j=1,$
さらに彼は実 $2n$ 次元ケーラー多様体に対して次のような不変量 を定義した。定義は次のとおりである任意の -tuple $(2n_{1}, \ldots, 2n_{k})\in S(2n)$ に対して、
ここで$L_{1},$$k$$L_{k}$$\ldots,$$\ldots,$$\delta^{c}$:$k$$\delta^{c}(2n_{1}, \ldots, 2n_{k})=\tau-\inf\{\tau(L_{1}^{c})+\cdots+\tau(L_{k}^{c})\}$

ここで$L_{1}^{c},$$\ldots,$$L_{k}^{c}$

,

(2.2)

は互いに直交する $T_{p}M^{2n}$ の複素部分空間でそれぞれの次元は$2n_{1},$$\ldots,$$2n_{k}$である。

3-部分多様体に関する Chen の不等式$\mathrm{C}\mathrm{R}$概エルミート多様体のが存在することである。

-部分多様体とは、次の二つの条件をみたす微分可能な接分布 $H$$\mathrm{C}\mathrm{R}$Hp は $JH_{p}=H_{p}’$ ,Hp の直交補空間
Totally real でも holomorphic でもない
対象は全て proper とする。

$\mathrm{C}\mathrm{R}$(3.1)$H_{p}^{[perp]}$

は

.

(3.2)

$JH_{p}^{[perp]}\subset T_{p}^{[perp]}M$-部分多様体を proper と呼ぶ。 これから先、扱うを正則断面曲率 $4c$ の $m$ 次元複素空間形とする。 $H$ の次元が $2n$ であるようなの $(2n+p)$ 次元-部分多様体 $M^{2n+p}$ は、次の不等式を満たす。

$\tilde{M}^{m}(4c)$$\tilde{M}^{m}(4c)$$\mathrm{C}\mathrm{R}$

,

(3.3)

$\delta(n_{1}, \ldots, n_{k})$$\leq$$c(n_{1}, \ldots, n_{k})|H|^{2}+b(n_{1}, \ldots, n_{k})+3n(c=1)$$\delta(n_{1}, \ldots, n_{k})$$\leq$$c(n_{1}, \ldots, n_{k})|H|^{2}-b(n_{1}, \ldots, n_{k})-3n+\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{k}n_{i}$ここで各 $(n_{1}, \ldots, n_{k})\in S(2n+p)$ にの定数である。

$*\uparrow\backslash \dagger_{\vee}$

で $c(n_{1}, \ldots, n_{k})$ と$b(n_{1}, \ldots, n_{k})$$c(n_{1}, \ldots, n_{k})=\frac{n^{2}(n+k-1-\sum n_{j})}{2(n+k-\sum n_{j})}$$(c=-1)$ .

(3.4)

は次で与えられる正,$b(n_{1}, \ldots, n_{k})=\frac{1}{2}(n(n-1)-\sum_{j=1}^{k}nj(nj-1))$.

上記の不等式の等号をみたすものを-ideal CR-部分多様体と呼ぶ。
外空間が一般の場合には任意の部分多様体は次の不等式を満たす。
$(n_{1}, \ldots, n_{k})$$\delta(n_{1}, \ldots, n_{k})\leq c(n_{1}, \ldots, n_{k})|H|^{2}+\tilde{\delta}(n_{1}, \ldots, n_{k})$ここで $\tilde{\delta}(n_{1}, \ldots, n_{k})=\tilde{\tau}|_{T_{\mathrm{p}}M}-\inf\{\tilde{\tau}(L_{1})+\cdots+\tilde{\tau}(L_{k})\},\tilde{\tau}|_{T_{p}M}=\sum_{i<j}\tilde{K}(e_{i}\wedge e_{j}),$$\tilde{K}$は外空間の曲率テンソルである。

(3.5)$L_{j}\subset T_{p}M$

,

116
4

の Ideal CR-部分多様体$\mathrm{C}H^{m}(-4)$$\mathrm{C}H^{m}(-4)$の $(2n+1)$ 次元 $(2, \ldots, 2)$ -ideal CR-部分多様体は局所的に次のようにして得られる。

Theorem 1$U$をの領域とし、$\mathrm{C}^{n}$

め込みとする。写像

$z$

:

:

$\Psi$$\mathrm{R}^{2}\cross Uarrow \mathrm{C}_{1}^{m+1}$$Uarrow \mathrm{C}^{m-1}$

を $\delta^{c}(2, \ldots, 2)=0$ をみたす正則等長はを次で定義する$z(u, t, w_{1}, \ldots, w_{n})=(-1-\frac{1}{2}|\Psi|^{2}+iu,$:$- \frac{1}{2}|\Psi|^{2}+iu,$ $\Psi)e^{:t}$

.

(4.1)

の群作用で不変であり、 さらはそのとき $(z, z)=-1$ で、は $\mathrm{C}H^{m}(-4)$ の $2n$ 次元正則分布をもつ $(2n+1)$ 次元 CR-部分多様体でに商空間.
に対して、内積は-ideal である。ここで $z,$で定義されている。
逆に、 $m>n+1$ の場合、 linearly full であるような $\mathrm{C}H^{m}(-4)$ の $2n$ 次元正則分布をもつ$(2n+1)$ 次元 $CR$ -部分多様体で-ideal ものは、 $\mathrm{C}H^{m}(-4)$ の剛性運動を除いて一意$H_{1}^{1}:=\{\lambda\in \mathrm{C}:\lambda\overline{\lambda}=1\}$$z(\mathrm{R}^{2}\cross U)$$z(\mathrm{R}^{2}\cross U)/\sim$$(z, w):=-z_{0}\overline{w}_{0}+\Sigma_{k=1}^{m}z_{k}\overline{w}_{k}$$w\in \mathrm{C}_{1}^{m+1}$$\delta(2, \ldots, 2)$$\delta(2, \ldots, 2)$に、そのようにして得られる。

-ideal を調べることであるが、今の所分類するには程次の目標はやはり一般の遠い状況である。そこでもう一度 $(2, \ldots, 2)$ -ideal の性質を見直してみる。それらの平均曲率
ベクトル場は平行であり、 さらに JH （ 向の形作用素の固有値が一定であることが分かる。
そこで次の問題を考える。
$(n_{1}, \ldots, n_{k})$CR 一部分多様体の平均曲率ベクトル場は平行であるか ?
方向の形作用素の固有値が一定であるような Ideal$(Q1)\mathrm{I}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}$(Q2)$JH^{[perp]}$

CR 一部分多様体を分類せよ。
まず、 (Q1) の答えとして次の結果を得た。
内の $(2n+p)$ 次元 Ideal CR-部分多様体の平均曲率ベクトル場は平行である。特に、 $p=1,$ $m>n+1$ で linearly full ならぼ、 non-minimal でかつ $\mathrm{C}H^{m}(-4)$ のholomorphic circle で foliate される また $p>1$ ならば、 minimal で $\mathrm{C}H^{m}(-4)$ の geodesicと単位法ベクトノレ
ここで $holomo7phic$ cixleとは、単位接ベクトノレ
で foliate されるを満たすような circle のことである。
がTheorem 2$\mathrm{C}H^{m}(-4)$$\text{。}$$\gamma(s)$$\gamma’$$\text{。}$$\xi$$|\langle\sqrt, J\xi\rangle|=1$-部分多様体が内の $(2n+p)$ 次元
Corollary 3の積分曲線が、要十分条件は、平均曲率一定でかつholomorphic circle になることである。
$\mathrm{C}H^{m}(-4)$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathcal{H}^{[perp]}$$(2\mathrm{n})$$\mathrm{C}H^{m}(-4)$-ideal となるための必の曲率$\underline{2}n_{2}A^{\underline{1}}|H|$を持つ

次に、 (Q2) の答えとして次の結果を得た。
の linearly $fi\iota ll(2n+1)$ 次元 Ideal $CR$ 部分多様体とする。 JHTheorem 4 $M$ を方向の形作用素の固有値が一定であるための必要十分条件は、 $M$ の Hopf fibration によるが局所的に、剛性運動を除いて、次のいずれかになっていることである。
poe-image$\mathrm{C}H^{m}(-4)$$\hat{M}$117の場合、 ((i)(ii) $k<n$ の場合、
$k\ovalbox{\tt\small REJECT} n$$4.\mathfrak{y}$で表されたもの。
は次で与えられる。

$z\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{D}Uarrow \mathrm{c}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$z(s, t, x_{1}, x_{2}, \ldots, y_{1}, y_{2})=(g(x, y)e^{-(1-\alpha^{2})is},$$\frac{\alpha\sqrt{(1-\alpha^{2})}}{1-\alpha^{2}}e^{\frac{1-\alpha^{2}}{\alpha}:t},$$\phi(x, y)e^{-(1-\alpha^{2}):\epsilon})$

,

(4.2)

ここで $\alpha=\sqrt{\frac{k}{2n-k}},$ $-|g|^{2}+| \phi|^{2}=-\frac{1}{1-\alpha^{2}}$ であり、また $z_{1}=(g(x, y)e^{-(1-\alpha^{2})is},$ $0,$ $\phi(x, y)e^{-(1-\alpha^{2}):s})$は$\mathrm{C}_{1}^{m}$のLorentz 計量を持つ $CR$ 部分多様体で次を満たす:

次の条件を満たすような正規直交基底(a)(b) 第二基本形式 の形は、$\{E_{1}, \ldots, E_{2n},\tilde{E}_{2n+1}\}$が各点で存在する。

$E_{2l}=iE_{2l-1}(l=1, \ldots, n),\tilde{E}_{2n+1}=\ovalbox{\tt\small REJECT}^{1}1-\alpha\frac{\partial}{\partial s}$$\tilde{h}$$\tilde{h}(E_{2r}, E_{2r})=\sqrt{1-\alpha^{2}}i\tilde{E}_{2n+1}-\phi_{r}\tilde{\xi}_{r}$$\tilde{h}(E_{2r-1}, E_{2r})=i\phi\tilde{\xi}_{r}$

,

(4.3)

,

$\tilde{h}(E_{2r-1}, E_{2r-1})=\sqrt{1-\alpha^{2}}i\tilde{E}_{2n+1}+\phi_{r}\tilde{\xi}_{r}$

(4.4)

,

$\tilde{h}(X_{i}, X_{j})=\tilde{h}(X_{i},\tilde{E}_{2n+1})=0$,$(i\neq j)$

(4.5)

(4.6)

$\tilde{h}(\tilde{E}_{2n+1},\tilde{E}_{2n+1})=-\sqrt{1-\alpha^{2}}i\tilde{E}_{2n+1}$

ここで $X_{j} \in\tilde{L}_{j}:=Span\{E_{n_{1}+\cdots+n_{j-1}+1}, \ldots, E_{n_{1}+\cdots+n_{j}}\}(j=1, \ldots, n)_{f}n_{1}=\cdots=n_{n}=\frac{2n}{k},$は関数で、$\tilde{\xi}_{r}\#\mathrm{h}i\tilde{E}_{2n+1}$$\phi_{r}$に直交する単位法ベクトル場である。

$m=n+1$ の時、 $\delta^{c}(2, \ldots, 2)=0$ の条件と (4.3)-(4.6) の条件は常に満たされているので、Theorem 5 と Theorem 8 より $M$ が余次元 3 の場合には、 JH （ 向の形作用素の固有値が一定であるような Ideal
部分多様体は完全に分類できる。
$M^{2n+1}$
上には almost contact structure が入ることはよく知られているが、-部分多様体
この構造は上に自然に almost complex structure を定める。 これが積分可能なとき $M^{2n+1}$ を normal と呼ぶ。 Th 8 において、方向の形作用素の固有値が一定であるという条件を normal に置き換えても同じ結果が得られる。
$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$M^{2n+1}\cross \mathrm{R}$$J\mathcal{H}^{[perp]}$5$\mathrm{C}P^{m}(4),$$\mathrm{C}^{m}$の Ideal CR-部分多様体の 3 次元前章では $\mathrm{C}H^{m}(-4)$ の normal ideal CR を分類した。 この章ではの分類を述べる。高次元の場合は今の所よく分かっていない。 $\mathrm{C}H^{m}(-4)$ のnormal ideal$(2n)$ -ideal CR は常に ${\rm Min}\{\tau(L^{2n})\}=\tau(H)$ であるが、内ではそうとは限らない。 では、 その条件を満たすものはどれくらいあるだろうか。その答えが以下の poposition
6,8 である。
$\mathrm{C}P^{m}(4),$$\mathrm{C}^{m}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathrm{C}P^{m}(4),$ $\mathrm{C}^{m}$

Proposition 5$\mathrm{C}^{m}$の 3 次元 (2)-ideal $CR$ -部分多様体で$\mathrm{C}^{m}$の $2n+1$

nomal なものは$\mathrm{C}\cross \mathrm{R}arrow \mathrm{C}\cross \mathrm{C}$に限る。

Proposition 6
たすものは

次元 $(2n)$ -ideal $CR$ -部分多様体で ${\rm Min}\{\tau(L^{2n})\}=\tau(H)$ を満
はの Kaehler 部分多様体でに限る。 ここで$N^{2n}\cross \mathrm{R}arrow \mathrm{C}^{\mathrm{m}-1}\cross \mathrm{C}$$N^{2n}$$\mathrm{C}^{\mathrm{m}-1}$

118の 3 次元 (2)-ideal $CR$ -部分多様体で normal なものはProposition 7の geodesic sphere に限る。
半径$\mathrm{C}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}P^{m}(4)$$\mathrm{C}P^{2}(4)$の$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

Proposition 8$\mathrm{C}P^{m}(4)$の $2n+1$ 次元 $(2n)$ -ideal $CR$ -部分多様体で ${\rm Min}\{\tau(L^{2n})\}=\tau(\mathcal{H})$を満たすものは存在しない。

-部分多様体において normal という条件と ${\rm Min}\{\tau(L^{2n})\}=\tau(H)$ という条件の間にどれくらい差があるのか分からない。たまたま 3 次元の場合に normal の方が強はい条件になっているかもしれない。高次元の場合には以外に normal-idealは normal
存在するのかどうか今のところ分からない。 また、 C7”(4) の 3 次元 (2)-idealの$\mathrm{C}^{m}$$(2\mathrm{n})$-ideal$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathrm{C}^{\mathrm{n}}\cross \mathrm{R}$$(2\mathrm{n})$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$という条件を外しても6$\mathrm{C}P^{2}(4)$に入ることが分かるが、 それらを分類するには至っていない。

の Ideal CR-部分多様体$S^{6}$

3 次元部分多様体に対してが成り立つ。 この等号を満たすもの
を (2)-ideal と呼ぶ。 $S^{6}(1)$ は nearly Kaehler structureを持つことは良く知られているが、$S^{6}(1)$の$\delta(2)\leq 2+\frac{9}{4}H^{2}$$J$

F. Dillen と L. Vrancken は $(S^{6}(1), J)$ の (2)-ideal totally r 一部分多様体を完全に分類した
また、 R. Deszcz, F. Dillen, L. Verstraelen, L. Vrancken らは、それらが quasi-Einstein
であることを示した ([8])。前章同様、 ${\rm Min}\{\tau(L^{2})\}=\tau(H)$ を満たす (2)-ideal
はどれくら$([11])_{\text{。}}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$いあるか調べる。

Theorem 9 ${\rm Min}\{\tau(L^{2})\}=\tau(H)$ を満たす 3 次元 (2)-ideal CR-部分多様体は存在しない。
$\mathrm{C}H^{m}(-4)$の(2)-ideal は

く対称的なものであり、general property を述べる。

の条件を常に満たす。ゆえに上の結果は全の (2)-ideal と似た結果となっている。次に (2)-idealの${\rm Min}\{\tau(L^{2})\}=\tau(\mathcal{H})$$\mathrm{C}P^{m}(4)$$\mathrm{C}\mathrm{R}$Theorem 10 3 次元 (2)-ideal $CR$ -部分多様体は minimal quasi-Einstein である。 さら (こ$\rho+\rho^{[perp]}=1$を満たす$\text{。}$合は $n=3,$ $m=6$ ) で

定曲率$\mathrm{c}$

ここで $\rho=\frac{2}{n(n-1)}\tau,$$R^{[perp]}$$\rho^{[perp]}=\frac{2}{n(n-1)}\sqrt{\Sigma_{i<j}^{n}\Sigma_{r<s}^{m-n}\langle R^{[perp]}(e_{i},e_{j})\xi_{r},\xi_{\mathit{8}}\rangle}$(今の場は法接続に関する曲率テンソルである。

の実空間形の部分多様体に対して次の予想がある ([10])。

?

$\rho+\rho^{[perp]}\leq c+|H|^{2}$(6.1)

余次元 1 の時は Chen の不等式 ([5]) から得られ、余次元 2 の時は ([11]) の論文で正しいことが示されている。余次元 3 以上の場合、上の予想に関する最も新しい結果として、 F. Dillen,. Smet, . Verstraelen, L. Vrancken らの結果がある$\mathrm{P}.\mathrm{J}$$\mathrm{L}$$\text{。}$Theorem 11 ([11]) $(S^{6}(1), J)$ の 3 次元 totally oeal 部分多様体に対して次が成り立つ。
,(i)$\rho+\rho^{[perp]}\leq 1$(ii)(2)-ideal であることと同様のことが$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\rho+\rho^{[perp]}=1$は同値。

に関しても言えるのかどうかは未解決である。

119
7

付録

Compact stationary 部分多様体の構或法として次の方法が知られている。 を次元 のとコンパクトリー群とし、 : $Parrow M$ を主 -束とする。
をそれぞれ $G$ 上の両側
$G$

$n$

$d\sigma^{2}$$\mathrm{G}$$\pi$$\omega$不変計量、 の接続形式とする。 $M$ の計量に対して $P$ 上の計量をと定義する。 この計量は Kahza-Klein 計量と呼ぼれている。 を $M$ の閉曲線としたとき、は次を満たす ([2])。
$P$$\tilde{h}=p^{*}(h)+\omega^{*}(d\sigma^{2})$$h$$\gamma$$\mathcal{W}(p^{-1}(\gamma))$$\mathcal{W}(p^{-1}(\gamma))=\frac{vol(G,d\sigma^{2})}{(n+1)^{(n+1)}}\int_{\gamma}(\kappa^{2})^{-\pm}dsn_{2}1$

,

(7.1)

を
の曲率である。 さらにの臨界点の集合とし、 また $N_{G}=\{p^{-1}(\gamma)\}$ とを
おき、 さらに \Sigma 。によりに制限した時の臨界点の集合を表した時、が成り立つことが知られている ([12])。
の
このように-不変、つまりと表される
次元 stationary 部分多様体は、汎関数の臨界点、 つまり generalized elastica により構或される。 これに関する論文については、 [2,3,4] を参考にして頂きたい。
ここで$\kappa$は$\sum$$\gamma$$\mathcal{W}$$\mathrm{P}$$\mathrm{G}$$\mathcal{W}$$N_{G}$$\sum\cap \mathcal{N}_{G}=\sum_{G}$$p^{-1}(\gamma)$$(\mathrm{n}+1)$$\mathcal{F}(\gamma):=\int_{\gamma}(\kappa^{2})^{\underline{n}\pm\underline{1}}2ds$

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