離散数学及び演習 講義4半順序（partial order）（復習）

離散数学及び演習講義 4 2014. 5. 8（木）2 項関係 R⊆A2 は A 上の半順序である


R は反射的，反対称的，かつ推移的である

x R y … x  R y， xRy（R の意味で y は x より大きい） 教科書では半順序のことを単に順序と書いている．

束（教科書 pp.16-19）ec

例： A＝{ a，b，c，d，e }R＝{（a，a）,（a，b）,（a，c）,（a，d ）,（a，e）,（b，b）,（b，c）,（b，e）,（c，c）,（c，e）,（d，d）,（d，e）,（e，e） }教科書･･･野崎昭弘：離散系の数学、近代科学社

dba

R は反射的，反対称的，かつ推移的だから，R は半順序である

2上界，上限（復習）B… x …

任意の x ∈ B に対して，x  a半順序集合（A， ），B⊆A に対して，
 a∈A は B の上界（upper bound）である

B

a は B の上界であり，かつ，B の任意の上界 x に対して，a  x

例： （A， ）：右図，B＝{ 2，3，6 }aa∈A は B の最小上界（least upper bound）（上限（supremum））
である … a＝lub B， sup BAa

半順序集合（A， ），B⊆A に対して，
 a∈A は B の上界（upper bound）である
上界，上限（続き）

A12A

B の上界 … 6，12B の上限 … 6

43 B

2a は B の上界であり，かつ，B の任意の上界 x に対して，a  x12A

Bの上界集合B の上界 … 6，12B の上限 … 6 （B ）46

上限は上界の最小元である

23 B




上限は上界の最小元である… x …

任意の x ∈ B に対して，x  a

例： （A， ）：右図，B＝{ 2，3 }6aa∈A は B の最小上界（least upper bound）（上限（supremum））
である … a＝lub B， sup B

Bの上界集合

a1

13B
… x …

任意の x ∈ B に対して，x  aa は B の上界であり，かつ，B の任意の上界 x に対して，a  x

例： （A， ）：右図，B＝{ 2，3 }

B の上界 … 4，6，12B の上限 … なし

上限は上界の最小元である
 上界が存在しても，上限が存在するとは限らない．

半順序集合（A， ），B⊆A に対して，
 a∈A は B の下界（lower bound）である

Ba∈A は B の最小上界（least upper bound）（上限（supremum））
である … a＝lub B， sup B
a12A
423 Ba

任意の x ∈ B に対して，a  xaa は B の下界であり，かつ，B の任意の下界 x に対して，x  a

例： （A， ）：右図，B＝{ 2，3，6 }6B の下界 … 1
B の下限 … 112A
42
下限は下界の最大元である
 下界が存在しても，下限が存在するとはBの限らない．

63 B

1下界集合51xa∈A は B の最大下界（greatest lower bound）（下限（infimum））
である … a＝glb B， inf B

Bの上界集合…

Aa

半順序集合（A， ），B⊆A に対して，
 a∈A は B の上界（upper bound）である
下界，下限（復習）A…

上界，上限（続き２）4

16離散数学及び演習 講義4束（lattice）


半順序集合（A， ）は完備（complete）である




束（続き）


A の任意の部分集合 B に対して，B の上限と下限が存在する．

L の任意の有限部分集合 B に対して，B の上限と下限が存在する．

例： （{a，b，c}， ）： 右図

半順序集合（L， ）は束（lattice）である


半順序集合（L， ）は束（lattice）である

L の任意の有限部分集合 B に対して，B の上限と下限が存在する．

sup φ＝ a，inf φ＝ c，
sup {a}＝ a，inf {a}＝ a，sup {b}＝ b，inf {b}＝ b，sup {c}＝ c，inf {c}＝ c，
sup {a，b}＝ b，
inf {a，b}＝ a，sup {a，c}＝ c，
inf {a，c}＝ a，sup {b，c}＝ c，
inf {b，c}＝ b，
sup {a，b，c}＝ c， inf {a，b，c}＝ a
ゆえに，L は束である．










束（L， ）は完備束（complete lattice）である


完備半順序集合は束であるが，束は完備であるとは限らない．

（L， ） は完備である．




束L


半順序 が明らかな場合は，単に，束 L という．

cba78束（続き２）束（続き３）

半順序集合（L， ）は束（lattice）である

L の任意の有限部分集合 B に対して，B の上限と下限が存在する．



L の任意の有限部分集合 B に対して，B の上限と下限が存在する．



例： （{a，b，c，d}， ）： 右図


半順序集合（L， ）は束（lattice）である

例： 以下はいずれも束である．
esup φ＝ a，inf φ＝ d，
sup {a}＝ a，inf {a}＝ a，…
sup {a，b}＝ b，inf {a，b}＝ a，…
sup {b，c}＝ d，inf {b，c}＝ a，
sup {a，b，c}＝ d，
inf {a，b，c}＝ a，…
sup {a，b，c，d}＝ d， inf {a，b，c，d}＝ aゆえに，L は束である．

dedecbcbcbcddbaaaa910

束（続き４）
定理

半順序集合（L， ）は束（lattice）である

半順序集合（A， ）は束であるとき，かつそのときに限り，任意の x，y∈A に対して，{ x，y } の上限と下限が存在する．

L の任意の有限部分集合 B に対して，B の上限と下限が存在する．

例： （L，）： 右図


例： （A， ）：右図
上限

sup {b，c} は存在しない．
ゆえに，L は束ではない．

f+abcd{b，c} の上界集合debcaa11aabcdbbbdd

下限ccdcdddddd・abcdaaaaabababcaacc

任意の x，y∈A に対して，{ x，y } の上限と下限が存在するので，A は束である．

dabcddbca122離散数学及び演習 講義4証明

証明（続き）


半順序集合（A， ）は束であるとき，かつそのときに限り，任意の x，y∈A に対して，{ x，y }の上限と下限が存在する．

半順序集合（A， ）は束であるとき，かつそのときに限り，任意の x，y∈A に対して，{ x，y }の上限と下限が存在する．
 b） 「任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在するならば，

a）「A が束であるならば，任意の x，y∈A に対して，{ x，y } の上限と下限が存在する」とb） 「任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在するならば，A は束である」の両方を示す．

A は束である」を示す．
a） A が束であると仮定すると，A の任意の有限部分集合 B に対して，B の上限と下限が存在する．
特に， { x，y }⊆A に対して， { x，y } の上限と下限が存在する．

b） 「任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在する」を仮定して，「A の任意の有限部分集合 An ＝{a1，a2，…，an}に対して，An の上限と下限が存在する」 を示す．
b） n に関する帰納法により，「An の上限と下限が存在する」を示す．
b-1） （基底段階） 「A1 ＝{a1} の上限と下限が存在する」を示す．
b-2） （帰納段階） 「Ak ＝{a1，a2，…，ak} の上限と下限が存在する」
を仮定して，「Ak+1 ＝{a1，a2，…，ak，ak+1} の上限と下限が存在する」を示す．

1314

証明（続き２）証明（続き３）b） 任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在するならば，A は束である．
b） 任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在するならば，A は束である．

「任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在する」を仮定して， n に関する帰納法により，「A の任意の有限部分集合 An ＝{a1，a2，…，an} に対して，An の上限と下限が存在する」 を示す．
b-1） （基底段階） 「A1 ＝{a1} の上限と下限が存在する」を示す．

「任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在する」を仮定して， n に関する帰納法により，「A の任意の有限部分集合 An ＝{a1，a2，…，an} に対して，An の上限と下限が存在する」 を示す．
b-2） （帰納段階） 「Ak ＝{a1，a2，…，ak} の上限と下限が存在する」
を仮定して，「Ak+1 ＝{a1，a2，…，ak，ak+1} の上限と下限が存在する」を示す．
b-1）（基底段階） A1＝{a1} の上限と下限はともに a1である．

b-2-1） 「Ak+1 ＝{a1，a2 …，ak，ak+1} の上限が存在する」と
b-2-2） 「Ak+1 ＝{a1，a2 …，ak，ak+1} の下限が存在する」の両方を示す．
15



証明（続き４）b-2-1） 「Ak+1 ＝{a1 ，a2， …，ak，ak+1} の上限が存在する」を示す．
b-2） Ak ＝{a1，a2，…，ak} ⊆A の上限 sup Ak が存在すると仮定する（帰納法の仮定）．
このとき， sup Ak ∈A，かつ， ai sup Ak （i＝1，2，…，k）．
b-2-1-1）Ak+1 ＝{a1，a2，…，ak，ak+1} ⊆A とする．

b-2-1-2）「 u は Ak+1 の最小上界である」を示す．

・ 「 Ak+1 の任意の上界 u’ に対して， u  u’ 」を示す．

b-2-1-2） Ak+1＝{a1，a2，…，ak，ak+1} の任意の上界 u’ に対して， aiA

任意の x，y∈A に対して { x，y }の上限が存在するから，特に，{sup Ak，ak+1} のAk+1上限 u も存在する．
Ak
このとき，ai sup Aku （i＝1，2，…，k），

b-2-1） 「Ak+1 ＝{a1，…，ak，ak+1} の上限が存在する」を示す．
 u 」を示す．

かつ， ak+1u．
ゆえに，u は Ak+1 の上界である．

16b-2）（帰納段階）「Ak ＝{a1，a2，…，ak} の上限と下限が存在する」を仮定して，
b-2-1-1） 「Ak+1 の上界 u が存在する」を示す．
・ 「任意の ai ∈Ak+1 に対して， aib-2-1-2） 「 u は Ak+1 の最小上界である」を示す．

証明（続き５）b-2）（帰納段階）「Ak ＝{a1，a2，…，ak} の上限と下限が存在する」を仮定して，
b-2-1-1） 「Ak+1 の上界 u が存在する」を示す．

・ 「任意の ai ∈Ak+1 に対して， ai  u 」を示す．

AAk ＝{a1，a2，…，ak} ⊆ Ak+1 だから，u’ u’u’ は Ak の上界でもある．

uu’ ．
ゆえに， sup Aku’ だから，ak+1u’ は {sup Ak ，ak+1 }の上界である．
ところが， b-2-1-1） から，Ak+1 の上界 u はsup Ak
…

a1，a2，…，ak（i＝1，2，…，k，k+1）．

ak+1{sup Ak，ak+1} の上限だから，u u’．
b-2-1） ゆえに， Ak+1 ＝{a1，a2，…，ak，ak+1} の上限は存在する．

173u
sup Ak

Ak+1Ak

…

a1，a2，…，akak+118

離散数学及び演習 講義4証明（続き６）

結び，交わり束 L に対して，
 a，b ∈ L の結び（join）

b） 任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在するならば，A は束である．
b） 「任意の x，y∈A に対して { x，y } の上限と下限が存在する」を仮定して，「A の任意の有限部分集合 An に対して， An の上限と下限が存在する」を示す．
b-1） （基底段階） 「A1 ＝{a1} の上限と下限が存在する」を示す．

b-2） （帰納段階） 「Ak ＝{a1，a2，…，ak} の上限と下限が存在する」
を仮定して，Ak+1 ＝{a1，a2，…，ak，ak+1} の上限と下限が存在する」を示す．
{a，b}の上限 （sup {a，b}）a，b ∈ L の交わり（meet）
… a＋b， a∪b… a・b， a∩b{a，b}の下限 （inf {a，b}）
a＋bb-2-1） 「Ak+1 ＝{a1，a2 ，…，ak，ak+1} の上限が存在する」と

b-2-2） 「Ak+1 ＝{a1，a2 ，…，ak，ak+1} の下限が存在する」の両方を示す．
b-2-2） 同様に， Ak+1 の下限が存在することを示せる．
b-2）a以上から，A の任意の有限部分集合 An の上限と下限は存在する．

b）b

ゆえに， Ak+1 の上限と下限は存在する．

a・b

ゆえに，A は束である．
1920

結び，交わり（続き）

定理

例： 半順序集合（P（{a，b，c}），⊆）
A，B∈ P（{a，b，c}） （ A，B⊆ {a，b，c}）

束 L と任意の a，b，c，d ∈L に対して，次の（1）～（4）が成り立つ．
（1） a  b ならば， a＋c  b＋c，a・c  b・c（2） a  b かつ c  d ならば，a＋c  b＋d，a・c  b・d（3） （a・b）＋（a・c） a・（b＋c）（4） a＋（b・c） （a＋b）・（a＋c）

結び A＋B ＝ sup{A，B} ＝ A∪B 交わり A・B
＝ inf {A，B} ＝ A∩B


{a，b，c}
{a，b}

{a，c}

{b，c}

{a}

{b}{c}

φ21

22定理

証明
（1） a  b ならば， a＋c  b＋c

束 L と任意の x，y∈L に対して，次の（1）～（3）はa＋c は {a，c}の上限（最小上界）
 b＋c は {a，c}の上界であることを示す．

互いに同値である．
（1） x  y（2） x＋y ＝ y（3） x・y ＝ x

明らかに，b  b＋c かつ c  b＋c．
a  b であり， は推移的だから， a  b＋c．
ゆえに， b＋c は {a，c}の上界である．
ところが， a＋c は {a，c}の上限だから，a＋c  b＋c．

23244

離散数学及び演習 講義4証明

証明（続き）

束 L と任意の x，y∈L に対して，次の（1）～（3）は互いに同値である．

（1） x  y（2） x＋y ＝ y

束 L と任意の x，y∈L に対して，次の（1）～（3）は互いに同値である．

（1） x  y（3） x・y ＝ xa） 「（1）と（2）は同値である」とb） 「（1）と（3）は同値である」の両方を示す．
 a-1）「（1）が成り立つならば，（2）も成り立つ」と
 a-2）「（2）が成り立つならば，（1）も成り立つ」を示す．

（2） x＋y ＝ y（3） x・y ＝ xa） 「（1）と（2）は同値である」とb） 「（1）と（3）は同値である」の両方を示す．
 a-1）「（1）が成り立つならば，（2）も成り立つ」と
 a-2）「（2）が成り立つならば，（1）も成り立つ」を示す

a-2） （2）が成り立つと仮定する．
このとき，x  x＋y ＝y だから，（1）が成り立つ．
b） 同様に証明できる．

a-1） （1）が成り立つと仮定する．
このとき，明らかに，y は {x，y} の上界である．
そこで，u を {x，y} の任意の上界とすると，y  u．
ゆえに，y は {x，y} の最小上界（上限）である．
したがって，（2）が成り立つ．
2526

定理

証明
（1） x＋y ＝ y＋x，x・y ＝ y・x（4） x＋x＝ x，x・ x＝ x

束 L と任意の x，y，z∈L に対して，次の（1）～（4）が成り立つ．
（1） x＋y ＝ y＋x，x・y ＝ y・x（2） x＋（y＋z）＝（x＋y）＋z，x・（y・z）＝（x・y）・z（3） x＋（x・y）＝ x，x・（x＋y）＝ x（4） x＋x＝ x，x・ x＝ x＋，・ の定義から明らか．

（2） x＋（y＋z）＝（x＋y）＋z

x＋（y＋z） は {x＋y，z} の上限であることを示す．
a） 「x＋（y＋z） は {x＋y，z} の上界である」を示す．

b） 「x＋（y＋z） は {x＋y，z} の最小上界である」を示す．

（交換則（commutative law））

（結合則（associative law））

「x＋y  x＋（y＋z）， z  x＋（y＋z） 」を示す．

「 {x＋y，z} の任意の上界 u’に対して，x＋（y＋z）  u’ 」を示す．

x＋（y＋z）＝u とおく．
a） u は {x，y＋z} の上限だから，x u， y＋z  u．
ゆえに， y  u， z  u．
したがって，u は {x，y}の上界であり，x＋y  u．
以上から，u は {x＋y，z} の上界である．

（吸収則（absorptive law））（冪等則（idempotent law））
27

28

証明（続き）

定理
半順序集合（A， ）が束であるならば， （A， ）は（2） x＋（y＋z）＝（x＋y）＋z

x＋（y＋z） は {x＋y，z} の上限であることを示す．
1） 「x＋（y＋z） は {x＋y，z} の上界である」を示す．

2） 「x＋（y＋z） は {x＋y，z} の最小上界である」を示す．



交換則，結合則，吸収則，および，x  y iff x＋y＝y「x＋y  x＋（y＋z）， z  x＋（y＋z） 」を示す．

「 {x＋y，z} の任意の上界 u’に対して，x＋（y＋z）u’」を示す．

を満たす．
x＋（y＋z）＝u とおく．
b） u’ を {x＋y，z} の任意の上界とする．
このとき， x＋y  u’，z  u’．さらに，x  u’， y  u’．
ゆえに，u’ は {y，z}の上界であり，y＋z  u’．
したがって，u’ は {x，y＋z} の上界である．
ところが，u は {x，y＋z}の上限だから，u  u’．
a）から， u は {x＋y，z} の上界だから， u は{x＋y，z} の上限である．

P iff Q （P if and only if Q）
Q であるとき，かつそのときに限り，P であるP と Q は必要十分前の２つの定理から明らか．

29305離散数学及び演習 講義4定理

証明
集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義されるとき，それらが吸収則を満たすならば，冪等則も満たす．

集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義されるとき，それらが吸収則を満たすならば，冪等則も満たす．

（3） x＋（x・y）＝ x，x・（x＋y）＝ x
 （4） x＋x＝ x，x・ x＝ x

吸収則「x＋（x・y）＝ x，x・（x＋y）＝ x」を仮定して，冪等則「x＋x＝ x， x・ x＝ x 」を示す．

（吸収則（absorptive law））吸収則が成り立つと仮定する．
任意の x，y∈A に対して，x＋（x・y）＝ x だから，特に，y の代わりに x＋y を用いると， x＋（x・（ x＋y ））＝ x．
x・（x＋y）＝ x だから， x＋x ＝ x．
同様に， x・x ＝ x．

（冪等則（idempotent law））

x＋y，x・y が定義される

任意の x，y∈A に対して， x＋y，x・y ∈A がそれぞれ一意に定まる．
3132

定理

証明
集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．

集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．

a）「（A， ）は半順序集合である」を示す．

b）「任意の x，y ∈A に対して，{x，y}の上限と下限が存在する」を示す．


代数系（集合とその上での演算の組）としての束 演算＋から半順序 を定義


半順序集合（A， ）は束であるとき，かつそのときに限り，任意の x，y∈A に対して，{ x，y } の上限と下限が存在する．

a-1）「  は反射的である」を示す．

a-2）「  は反対称的である」を示す．
a-3）「  は推移的である」を示す．

33

34

証明（続き）

証明（続き２）

集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．
集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．

a）「（A， ）は半順序集合である」を示す．
a-1）「  は反射的である」を示す．

a）「（A， ）は半順序集合である」を示す．
a-1）「任意の x∈A に対して，x  x」を示す．

a-2）「 は反対称的である」を示す．

a-2）「任意の x，y∈A に対して，x  y かつ y  x ならば，x＝y」を示す．
a-2） 任意の x，y∈A に対して， x  y かつ y  x と仮定する．
a-1）「任意の x∈A に対して，x＋x＝x 」を示す．

このとき， x＋y＝y かつ y＋x＝x．

a-1） 集合 A と任意の x，y∈A に対して，吸収則が成り立つから，冪等則も成り立つ．
任意の x∈A に対して，冪等則から， x＋x ＝ x．

交換則から， x＋y＝y＋x だから， x ＝ y．
ゆえに， は反対称的である．

ゆえに，x  x だから， は反射的である．

35366

離散数学及び演習 講義4証明（続き３）証明（続き４）
集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．
 b）「任意の x，y ∈A に対して，{x，y} の上限と下限が存在する」を示す．
 b-1） 「任意の x，y ∈A に対して，{x，y}の上限が存在する」と
 b-2）「任意の x，y ∈A に対して，{x，y}の下限が存在する」を示す．
 b-1-1） 「 x＋y が {x，y}の上界である」を示す．
 b-1-2） 「 x＋y は {x，y} の最小上界である」を示す．
 b-1-1-1）「x  x＋y」と
 b-1-1-2）「y  x＋y」の両方を示す．
b-1-1-1） 任意の x，y∈A に対して，集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．
a）「（A， ）は半順序集合である」を示す．
a-3）「  は推移的である」を示す．

a-3）「任意の x，y，z∈A に対して，x  y かつ y  z ならば，x z」を示す．
a-3） 任意の x，y ，z ∈A に対して， x  y かつ y  z と仮定する．
このとき， x＋y ＝ y かつ y＋z ＝ z．
ゆえに，z ＝ y＋z ＝（x＋y）＋z ．
結合則から， （x＋y）＋z ＝ x＋（y＋z） だから，z ＝ x＋（y＋z）＝ x＋z．

ゆえに，x  z だから， は推移的である．

x＋y ＝（x＋x）＋y（冪等則）＝ x＋（x＋y ）（結合則）

ゆえに，x  x＋y ．
37

38

証明（続き５）証明（続き６）

集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．
 b-1）「任意の x，y ∈A に対して，{x，y} の上限が存在する」を示す．
 b-1-1） 「 x＋y が {x，y}の上界である」を示す．


集合 A と任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，それらは交換則，結合則，吸収則を満たすとする．このとき，
x  y iff x＋y＝yと定義すれば，（A， ）は束である．
 b-1）「任意の x，y ∈A に対して，{x，y} の上限が存在する」を示す．
 b-1-1） 「 x＋y が {x，y}の上界である」を示す．
 b-1-2） 「 x＋y は {x，y} の最小上界である」を示す．
「{x，y} の任意の上界 u に対して， x＋y  u」を示す．

b-1-1-1）「x  x＋y」とb-1-1-2）「y  x＋y」の両方を示す．

b-1-2） {x，y} の任意の上界 u に対して，x  u，y  u．

b-1-1-2） 任意の x，y∈A に対して，x＋y ＝ y＋x（交換則）＝（ y＋y ）＋x（冪等則）＝ y＋（ y＋x ）（結合則）＝ y＋（ x＋y ）（交換則）
ゆえに，y  x＋y ．
b-1-1） ゆえに， x＋y は {x，y}の上界である．

ゆえに， の定義から，x＋u ＝u，y＋u ＝ u．
ここで，（x＋y）＋u ＝ x＋（y＋u）＝ x＋u ＝ u だから，x＋y  u．
したがって， x＋y は{x，y} の最小上界である．
b-1） 以上から，任意の x，y ∈A に対して，{x，y} の上限が存在する．
b-2） 同様に，任意の x，y ∈A に対して，{x，y} の下限が存在する．
a），b）から，（A， ）は束である．

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定理（まとめ）40

まとめ

半順序集合（A， ）に関して，次の（1）～（3）は互いに同値である．

（1） （A， ）は束である

今回の講義束（A の任意の有限部分集合に上限と下限が存在する）．
（2） 任意の x，y∈A に対して，{ x，y }の上限と下限が存在する．
（3） 任意の x，y∈A に対して，x＋y，x・y が定義され，かつ，



それらは交換則，結合則，吸収則，および，

x  y iff x＋y＝y

関数（教科書 pp.3-5，26-28）

今回の演習
を満たす．



次回の講義

同値関係

（2），（3）を束の定義とする場合もある．
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