Ver. 平成 24 年 2 月 6 日 8:16pm

修士論文

ミニマルウォーキングテクニカラーの実現に向けての格子シミュレーション

学籍番号 24B10039

富谷昭夫
素粒子論研究室（物理学専攻）

平成 24 年 2 月 6 日
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/˜akio/ﬁlebox/master.pdf

概要
現在 LHC が稼動し電弱対称性の破れが盛んに研究されている。この論文では、初めに電弱対称性の破れのヒントを与えるペスキン−竹内のパラメータについてレビューを行う。そしてそれを用いて QCD ライクなテクニカラーの破綻を説明する。次に、電弱対称性の破れ起源を説明する理論として、ミニマルウォーキングテクニカラー模型を紹介する。この模型では強結合領域での計算が必須なのでその方法として格子ゲージ理論を紹介し、最後にこの模型での仮定である固定点の探索をシミュレーションを用いて進める上で見つかった困難とその解決法、展望について述べる。

Contents
Ch.1
1.1

はじめに
はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4

第I部

Beyond The Standard Model

6

Ch.2
2.1

標準理論
標準理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 記法等について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 非可換ゲージ理論における共変微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 非可換ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 つの力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
自発的対称性の破れとヒッグス機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 ゴールドストンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 ヒッグス機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 非可換ゲージ理論でのヒッグス機構 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
電弱対称性の自発的破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 電弱対称性の破れ:SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM . . . . . . . . . . . .
2.4.2 弱い相互作用の低エネルギー有効理論 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Star quantity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 STU パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
7
8
9
11
11
12
12
13
18
18
18
23
25
30

テクニカラーモデル
テクニカラーの動機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QCD を用いた電弱対称性の破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
テクニカラーモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ETC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
テクニカラーモデルの難点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 FCNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 古い TC モデルでの S パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Walking Techniclor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
32
33
34
35
36
36
37
43

2.2
2.3

2.4

Ch.3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

3.6

1

Ch.4
4.1
4.2

摂動論からの固定点の予言
摂動論的くりこみ群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 β 関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
摂動論からの固定点の予言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

第 II 部

Field Theory on the Lattice

45
45
45
45

48

格子上の場の理論
理論のユークリッド化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
格子理論と連続理論の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ゲージ場の格子正則化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 格子ゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
スタッガードフェルミオン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 スタッガードフェルミオン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 SU (2) での Nf = 2 のスタッガードフェルミオン . . . . . . . . . . .

49
49
50
51
51
55
56
56

Ch.6
6.1
6.2

非摂動論的な有効結合定数の定義
非摂動論的なくりこまれた結合定数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TPL スキーム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 ポリャコフループ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 捻れた周期境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 捻れた平面波展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Feynman Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.5 TPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
60
60
60
61
61
63
65

Ch.7
7.1

ステップスケーリング
70
Setp Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Ch.8
8.1

先行研究
75
先行研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ch.5
5.1
5.2
5.3
5.4

第 III 部
Ch.9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6

Results and Discussions

77

結果と結論、今後の課題
理論のまとめとデータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
シミュレーション結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
問題点と解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
今後の課題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

78
78
82
82
83
85
85

付 録 A AF B の計算
A.1 散乱断面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 ファインマンルールとの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 AF B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 トレース公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 トレースの分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.3 トレース積の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.4 結合定数に起因する係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.5 不変振幅の表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.6 AF B の表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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91
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97

付 録 B 格子ゲージ理論のシミュレーション
99
B.1 経路積分による定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.2 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B.2.1 マルコフ鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B.2.2 ハイブリッドモンテカルロ法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.2.3 HMC の適用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B.3 誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.3.1 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
B.3.2 証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
付 録 C ステップスケーリング関数と β 関数の関係
112
C.1 β 関数とステップスケーリング関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
謝辞

114

関連図書

114

3

Ch.1 はじめに

1.1

はじめに

1TeV 以下の物理は、標準理論によってよく記述されている。標準理論は、ゲージ原理に基づいたゲージ理論とフェルミオンとスカラー場で構成されている。ゲージ群は、
SU (3)color × SU (2)L × U (1)Y であるが、SU (2)L × U (1)Y というゲージ対称性は低エネル
ギーでは自発的に破れており、我々が目にする電磁気学のゲージ対称性 U (1)EM となっている。このゲージ対称性の破れは、ヒッグス場と呼ばれるスカラー場が何らかの理由で真空期待値を得ることにより引き起こされる。これをヒッグスメカニズムと呼ぶ。この時、もとのヒッグス場の一部は、Z ボソン、W ボソンに吸収され、余った自由度がヒッグスボ
ソンとして観測される。
スカラー粒子であるヒッグスボソンが複合粒子である可能性を考えてみる。擬スカラー粒子であるパイ中間子は、陽子、中性子、電子と並んでかつて、素粒子だと思われてきた。現在我々は、クォークが素粒子で、パイ中間子は、アップクォークとダウンクォークのカラー相互作用による束縛状態であることを知っている。それと同様にヒッグスボソン
も我々の知らないフェルミオンの、新たなゲージ相互作用による束縛状態の可能性は無いだろうか？こういったモデルをテクニカラーモデルと言う [1]。このモデルは、QCD を元に、Weinberg らによって提唱されたが、現在は電弱相互作用の精密測定などにより否定されている。しかし、その理論計算には、QCD と同じ振る舞いをする、という仮定がされている。これは必要な仮定ではなく、QCD とは異なった振る舞いをするモデルであってもいい。また、そういったモデルは存在しうる。
QCD の漸近自由性、QED のランダウポール、標準理論の大統一など、理論の性質は、摂動論を用いて β 関数を書き下し、エネルギースケールに対する有効結合定数の振る舞いによって調べることが出来る。β 関数は、有効結合定数がエネルギー増加に伴ってどれだ
け成長するか？を表している。もし、β 関数が 0 になる有効結合定数の値が存在すれば、そこでは、理論がエネルギー、系のスケールに依らずそれにより、共形場理論になると考えられている。
非可換ゲージ理論における β 関数は、ゲージ群、フェルミオンの数、フェルミオンの表
現、によっている。また摂動 2-loop の β 関数を用いて、ある組み合わせでは、結合定数g が 0 で無い所で β 関数が 0 になる、すなわち非自明な零点を持つ事が知られている。もし、零点があればテクニカラーモデルは、前の仮定から外れ、またその他の実験からの制限も満たすことが出来る。このような β 関数の非自明な零点を持つテクニカラーモデルを
ウォーキングテクニカラー (WT) モデルという。その中でも、ゲージ群を SU (2)、随伴表
現のフェルミオンが 2 個というモデルがある。これをミニマルウォーキングテクニカラー(MWTC) モデルと呼ぶ。
4

1.1. はじめに

CH. 1. はじめにしかしながら、この非自明な β 関数の零点、くりこみ群の固定点は、結合定数が大きい、つまり摂動論の使えない領域に存在する。固定点が本当に存在するかは、非摂動論的な方法で調べる必要がある。
MWTC モデルが現実的なモデルになるためには、固定点が存在しなけらばならず、そしてその固定点の存在は、非摂動論的に調べる必要がある。そこで我々は、QCD の非摂動論的な計算に用いられてきた格子ゲージ理論のシミュレーションを用いてこの固定点を探した。そのために、非摂動論的な有効結合定数を定義し、また、ステップスケーリング
によってくりこみ群の様子を探った。
この論文では、まず標準理論の電弱理論、ヒッグスメカニズム、ST パラメータについてレビューし、そののちに MWTC のレビューを行う。そして格子ゲージ理論の手法について紹介し、最後にシミュレーション結果を載せ、現在の問題点、解決法について議論する。

5

第I部

Beyond The Standard ModelCh.2 標準理論

2.1

標準理論

2.1.1

記法等について

まず、以下で用いる表記を羅列しておく。
計量(ηµν ) = diag(1, −1, −1, −1)
質量 m の自由スカラー場のプロパゲーター

DF (p) =ip2 − m2 + iϵ

質量 m の自由ディラック場のプロパゲーター

S(p) =

i(/p + m)
p2 − m2 + iϵ

自由ゲージ場のプロパゲーター

Gµν (p) =−igµν
p2 + iϵγ5γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3(γ 5 )2 = 1(γ 5 )† = γ 5
フェルミオンカレント

j µ = ψ̄(x)γ µ ψ(x)j 5µ = ψ̄(x)γ µ γ 5 ψ(x)72.1. 標準理論

2.1.2

CH. 2. 標準理論

ゲージ理論

マクスウェル理論は以下のラグランジアンを持つ。

1
Lgauge = − Fµν F µν
4(2.1.1)

ただし、Fµν = ∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x) である。この理論は、以下のゲージ変換に対して不変である。

1Aµ (x) → Aµ (x) + ∂µ α(x)g(2.1.2)

ただし、g は結合定数である。この対称性をゲージ対称性といい、このような対称性を持
つ理論をゲージ理論という。これからは、この対称性を逆に原理とみなして理論を構成する。質量項 m2 A2µ は、ゲージ対称性を破るのでゲージ場は、質量を持つことができない。
λ 4
φ 項のようなゲージ場同士の自己結合は存在しない。
また、スカラー場の 4!
ディラック方程式に従うフェルミオンは、以下のラグランジアンを持つ。

Lfermion = ψ̄(x)(i/∂ − m)ψ(x)(2.1.3)

ただし、∂/ = γ µ ∂µ である。このラグランジアンは、フェルミオンを適当な位相回転する
下で不変である。

ψ(x) → e±iα ψ(x)(2.1.4)5

また、m = 0 のとき P± = 1±γ
2 を用いて右巻き、左巻きフェルミオンを別々に回すカイ
ラル対称性も持つ。

ψ(x) → e±iαγ5 ψ(x)(2.1.5)

一般にフェルミオンとゲージ場を同時に記述するラグランジアンは以下で与えられる。

L = Lgauge + Lfermion
1∂ − m)ψ
= − Fµν F µν + ψ̄(i/4(2.1.6)(2.1.7)

しかし、このラグランジアンは、フェルミオンの大域的な位相回転不変性をゲージ化した、
すなわち α → α(x) とした変換、ゲージ変換の下で不変でない。ゲージ対称性を持たせる
ことは可能で、微分 ∂µ を共変微分 ∂µ − igAµ ≡ Dµ に置き換えれば良い。つまり、

1
L = − Fµν F µν + ψ̄(iD/ − m)ψ
4(2.1.8)は、ゲージ対称性を持つ。この理論を量子化した理論は、Quantum Electro Dynamics(QED) と呼ばれ、多くの成功を収めた。ゲージ理論の特徴は、フェルミオンへの結合の仕方が決まっているので、ラグランジアンとただひとつの結合定数 g とフェルミオンの質量82.1. 標準理論

CH. 2. 標準理論

m を与えると後は、散乱断面積等が予言できてしまう事である。
ゲージ対称性のある場の量子論は、くりこみ可能であり、ゲージ対称性がなくなると、くりこみ可能性は保証されないため、ゲージ対称性は非常に重要である。
非可換ゲージ理論とは、一般化されたゲージ理論で、QED では場の値は数であるのに対し、非可換ゲージ理論では、行列に値を持つ。SU (Nc ) ゲージ理論ならX
Aaµ (x)Ta(2.1.9)Aµ (x) =aと、行列1 である Ta を用いて展開できる。ゲージ場が行列になるのに伴って、フェルミオンも一般に多成分になる。この成分の数は、Nc に依るのはもちろん、フェルミオンの表
現にも依る。


ψ


 ψ 

ψ(QED) → ψ(YM) =  . (2.1.10) .. 
ψ
例として、ゲージ群を SU (2) としてフェルミオンがその基本表現であるとする。

X

1
Ta = σa , (a = 1, 2, 3)
2
a
X
(Dψ)
/ i = 1ij γ µ ∂µ ψj − ig
Aaµ (Ta )ij ψj , (i = 1, 2)

Aµ =Aaµ Ta ,(2.1.11)(2.1.12)a

ただし、σa はパウリ行列である。また、ゲージ群が SU (2) としてフェルミオンがその随伴表現であるとすると、
X
1Aµ =Aaµ Ta , Ta = σa(2.1.13)2aXAbµ ψc εabc
(2.1.14)(Dψ)/ a = γ µ ∂µ ψa + g
bcと、フェルミオンがカラーの足 a を持つ。

2.1.3

非可換ゲージ理論における共変微分

群の要素 A に対し、ρ(A) を群の表現とする。まず ψ i に対するゲージ変換を以下のように導入する。

δψ i = iρ(Λ(x))i j ψ j(2.1.15)

ただし、Λ(x) は、ゲージ変換を表すゲージ群の元である。場の微分のゲージ変換は、

δ(∂µ ψ i ) = ∂(δψ i )(2.1.16)= iρ(Λ)∂µ ψ
1(リー代数の随伴表現の基底)

9i+ (∂µ ρ(Λ)ij )ψ j

(2.1.17)

2.1. 標準理論

CH. 2. 標準理論となりゲージ不変でない。ゲージ場のゲージ変換は、δAµ = −Dµ Λ とする。ただし、Dµ :=∂µ Λ − i[Aµ , Λ] である。共変微分をDµ ψ := ∂µ ψ − iρ(Aµ )ψ
と定める。この共変微分のゲージ変換を調べと

δ(∂µ ψ − iρ(Aµ )ψ)= iρ(Λ)∂µ ψ − iρ(Aµ )iΛψ − i(−i)ρ(Aµ )ρ(Λ)ψ + i(−i)ρ(Λ)ρ(Aµ )ψ
= iρ(Λ)∂ψ + ρ(Λ)ρ(Aµ )ψ
= iΛ(∂µ − iρ(Aµ )ψ)となり共変微分は、ゲージ変換に対して不変である。ρ として随伴表現をとると、ρ は次を満たす2 ものとして定義される。

ρ(Aµ )ψ = [Aµ , ψ]

(2.1.18)すると、随伴表現に対しての共変微分は、

Dµ ψ = ∂ψ − i[Aµ , ψ]

(2.1.19)となる。“カラー” の基底で共変微分を展開すると、(Dµ ψ)a Ta = ∂µ ψ a Ta − i[Aµ b Tb , ψ c Tc ](2.1.20)

後ろの交換関係は、行列の意味であるので、係数である Aµ a と ψ c はくくり出せる。交換
関係は、SU (2) ならばその構造定数である反対称テンソルをもちいて、[Ta , Tb ] = iεabc Tc(2.1.21)(Dµ ψ)a Ta = ∂µ ψ a Ta + Aµ b ψ c εabc Tc(2.1.22)なので、ここで、Aµ → gAµ として結合定数を復活させ、基底 Ta 等を書かないことにすると以下が得られる3 。

(Dµ ψ)a = ∂µ ψ a + gAµ b ψ c εabc23ad とも書く
添字の上下がおかしいが、上げ下げはクロネッカーのデルタなので問題ない

10(2.1.23)

2.2. 3 つの力

2.1.4

CH. 2. 標準理論

非可換ゲージ理論

上記の議論をまとめるとフェルミオンの結合した非可換ゲージ理論の作用は、

1
L = ψ̄(iD/ − m)ψ − tr(Fµν F µν )4(2.1.24)と与えられる。この作用は、くりこみ可能である。ψ はフェルミオンを表し、Dµ は共変微分である。Fµν は、非可換ゲージ理論の場の強さで、

Fµν =

1
[Dµ , Dν ] = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig[Aµ , Aν ]ig

(2.1.25)

最後の項が、非可換ゲージ理論特有の項で、行列の非可換性を反映し、QED ラグランジ
アンに無かったゲージ場同士の相互作用を導く。
このラグランジアンは、以下のゲージ変換に対して不変である。

ψ(x) → Ω(x)ψ(x)ψ̄(x) → ψ̄(x)Ω† (x)1
Aµ → Ω(x)∂µ Ω† (x) + Ω(x)Aµ Ω† (x)ig(2.1.26)

ここで局所ゲージ変換関数 Ω(x) を SU (Nc ) の元だとすると、SU (Nc ) ゲージ理論になる。

2.2

3 つの力

ここでは、標準理論の概要を述べる。よく知られているように標準理論は、重力を除く、強い力、弱い力、電磁気力を SU (3)color × SU (2)L × U (1)Y ゲージ理論として記述する。これにクォークとレプトンというフェルミオンを結合させたものが標準理論の全てである。
クォークは、(アップ、ダウン)、(チャーム、ストレンジ)、(トップ、ボトム) と、それぞれの組が質量以外区別できない世代という構造をなし、SU (3) の 3 表現で、カラー相互作用をする。対してレプトンは、(電子、電子ニュートリノ)、(ミューオン、ミューニュートリ
ノ)、(タウ、タウニュートリノ) とクォークと同様に世代構造を作るが、こちらは、1 表現
でカラー相互作用をしない。
また、質量のないフェルミオンは、右巻きと左巻きに分離できる。同じ世代のクォークとレプトンがそれぞれ別々に左巻きの粒子が 2 重項を組み SU (2) 相互作用をする。また、各粒子には、電荷を Q、アイソスピン4 の第 3 成分を I3 とした時 Q = I3 + Y で定義される
ハイパーチャージ Y をもっている。このハイパーチャージによって U (1)Y 相互作用をする。ゲージ変換が右巻き左巻きで異なるため、フェルミオンはゲージ不変な質量項を持つことができない5 。また、SU (2)L や U (1)Y のゲージボゾンはゲージ不変性により質量を持つことができない。すなわち、SU (3)color × SU (2)L × U (1)Y ゲージ理論にフェルミオンを結合させただけの理論では、どの粒子も質量がなく光速で飛び交うことになる。
45

カラー相互作用で区別できない各世代の組。例えばアップとダウンの組
マヨラナであれば、右巻き同士、左巻き同士で質量項を作れるが、電荷を持つことができない。

11

2.3. 自発的対称性の破れとヒッグス機構

CH. 2. 標準理論

この SU (2) カイラルゲージ対称性と U (1) ゲージ対称性は、低エネルギーでは、U (1)EMに破れている。この破れを引き起こしているのが、ヒッグス粒子である。以下では、その電弱対称性の破れのメカニズムについて述べる。

2.3

自発的対称性の破れとヒッグス機構

2.3.1

ゴールドストンの定理

ここでは、具体的に O(2) シグマモデルを考えていく。O(N ) モデルの自由度は、なので O(2) の自由度は、1 である。実スカラー場を σ(x) と π(x) とする。

1
λ
1
L = (∂φi )2 + µ2 (φi )2 − [(φi )2 ]2224N (N −1)2(2.3.1)

ただし、φi (x) = T (σ(x) π(x)) とした。この理論は Rij を 2 × 2 の直交行列として

φi → Rij (θ)φj(2.3.2)dRij (θ)という対称性がある。この対称性の無限小変換は、Rij = 1ij + θ dθ |θ=0 である。すると、ネーターの定理からネーター流は、j µ = i[(∂ µ σ)π − (∂ µ )σ] となる。ここから保存荷
R
R
Q は、0 成分の空間積分なので、Q = d3 xj 0 = i d3 xi[(∂ 0 σ)π − (∂ 0 )σ] となる。場と保存荷の交換関係は以下のようになる。

[π(0), Q] = −iσ(0)[σ(0), Q] = iπ(0)(2.3.3)

ここでスカラー場の交換関係 [φi (⃗x), φ̇j (⃗y )] = iδ ij δ 3 (⃗x − ⃗y ) を用いた。
ここで、〈0|σ(0)|0〉 = v〈0|π(0)|0〉 = 0(2.3.4)を仮定する。このとき (2.3.3) の期待値を求めてみる。

−iv = 〈0|[σ(0), Q]|0〉= 〈0|π(0)Q|0〉 − 〈0|Qπ(0)|0〉(2.3.5)(2.3.6)

ここで、Q|0〉 = 0 であるときには、つまりこの変換が真空の対称性である時には v = 0 しかない事に注意する。ここでは、v ̸= 0 としたいので Q|0〉 ̸= 0 とする。
R
3pπ(0) と Q の間に π(p) の p⃗ の固有状態の完全系 (2π)d3 (2p0 ) |π(p)〉〈π(p)| を挿入する。

Z
−iv =

d3 p
[〈0|π(0)|π(p)〉〈π(p)|Q|0〉 − 〈0|Q|π(p)〉〈π(p)|π(0)|0〉](2π)3 (2p0 )12(2.3.7)

2.3. 自発的対称性の破れとヒッグス機構

CH. 2. 標準理論

ここで、系の並進対称性を仮定すると以下の変形が出来る。
Z〈0|Q|π(p)〉 = dx3 〈0|j 0 (x)|π(p)〉Z
0 0= dx3 〈0|j 0 (0)|π(p)〉ei(⃗p·⃗x−p x )(2.3.9)= (2π)3 δ (3) (⃗p)〈0|j 0 (0)|π(p)〉e−ip x(2.3.10)0 0(2.3.8)すると (2.3.7) は、以下になる。

Z
−iv =

d3 p (3)
0 0
0 0
δ (⃗
p)[〈0|π(0)|π(p)〉〈π(p)|j 0 (0)|0〉eip x − 〈0|j 0 (0)|π(p)〉〈π(p)|π(0)|0〉e−ip x ]02pさらに規格化を 〈0|π(0)|π(p)〉 = 1 とすると

Z
−iv =

d3 p (3)
0 0
0 0
δ (⃗
p)[〈π(p)|j 0 (0)|0〉eip x − 〈0|j 0 (0)|π(p)〉e−ip x ]0
2p(2.3.11)(2.3.11) の等号が成り立つには、〈0|j 0 (0)|π(p)〉 = ivp0 であれば良い。これはローレンツ
不変性と並進対称性から以下であることが分かる。
〈0|j µ (x)|π(p)〉 = ivpµ e−ipx(2.3.12)

これが (2.3.12) がゴールドストンの定理である。これは系の性質が変わり、オペレータの期待値 (2.3.4) が 0 でなくなる、つまり自発的に対称性が破れた時にいつでも成り立つ。このとき現れる粒子は (2.3.12) の発散を見てみる、つまり pµ をかけると、左辺は保存量なので対称性がアノマリーによって壊れていないかぎり０であり、また右辺は ∝ p2 = m2 である。すなわち、このネーターカレントに結びついている粒子の質量は 0 であることが分かる。これを南部-ゴールドストーン (NG) ボゾンという。
(2.3.12) のネーター流が異なる足を持っている場合、つまり J aµ となってる場合を考えてみる。このとき以下のように拡張できる。

〈0|j µa (x)|πb (p)〉 = −iF a b pµ e−ipx(2.3.13)場の理論において、もしこの 0 質量の粒子がラグランジアンに入っていなかった場合、南部−ヨナラシニオ模型 [3] の様に複合粒子として生成する必要がある。

2.3.2

ヒッグス機構前小節で扱った扱った対称性は、(2.3.2) の様に時空点の座標 x に依存しない大局的な変換だった。θ → θ(x) の様に座標による局所的な対称性、つまりゲージ変換だとどうなるのかを見る。まず大局的な U (1) 対称性を持つ複素スカラー場の系を考えていく。

L = (∂ µ φ)† (∂µ φ) − m2 φ2 −

13

λ 4
φ
2

(2.3.14)

2.3. 自発的対称性の破れとヒッグス機構

CH. 2. 標準理論

ただし、φ は複素スカラーである。このラグランジアンは、場 φ の次の大局的 U (1) 変換に対して不変である。

φ(x) → eiα φ(x)(2.3.15)この対称性変換を局所的 U (1) 変換に、つまり α → α(x) と座標に依るようにしてみる。

φ(x) → eiα(x) φ(x)(2.3.16)するとこの局所的な変換に対しては、微分項が不変でないことが分かる。

∂µ (eiα(x) φ(x)) = eiα(x) ∂µ φ(x) + ieiα(x) φ(x)∂µ α(x)(2.3.17)

そこで、共変微分 Dµ = ∂µ − iAµ を導入する。

Dµ (eiα(x) φ(x)) = (∂µ − iAµ )(eiα(x) φ(x))= ∂µ (eiα(x) φ(x)) − iAµ (eiα(x) φ(x))= eiα(x) ∂µ φ(x) + ieiα(x) φ(x)∂µ α(x) − iAµ eiα(x) φ(x)(2.3.18)

これは、絶対値の 2 乗を取ると再び共変微分に戻る。なので、局所的な U (1) 対称性を持つ複素スカラーのラグランジアンは、ゲージ場の運動項も加えると以下である。

L = (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − m2 φ2 −λ 4 1 µνφ − F Fµν
2
41
= (Dµ φ)∗ (Dµ φ) − F µν Fµν − V (φ)
4(2.3.19)

ここで m2 を −µ2 としてみる。すると、スカラー場の感じるポテンシャル V (φ) の底が
φ = 0 では無くなる。V (φ) = −µ2 φ2 + λ2 φ4 を φ について微分するとポテンシャルの底dV (φ)/dφ|φ=φ0 = 0 は、以下である事がわかる。

µ
φ0 =

µ2
λ

¶1/2
≡ 〈φ〉

(2.3.20)

ポテンシャルの底が基底状態 (真空) を与える。この真空まわりで展開し、そこからの励起(粒子) を得よう。まず、場を次のように分解する。

1
φ = φ0 + √ (φ1 (x) + iφ2 (x))
2(2.3.21)ただし、φ1 と φ2 は実である。するとポテンシャルは、以下の様に書き換えられる。
p
√
√ 2
2µ 2
2p 2 32λµ2µ4
V (φ) = −+φ1 +λµ φ1 +
φ1 φ22
2λ
2
2
2
λ
λ
λ
(2.3.22)+ φ21 + φ12 φ22 + φ42
8
4
8

14

2.3. 自発的対称性の破れとヒッグス機構

CH. 2. 標準理論√
つまり φ1 は、m = 2µ の質量をもつ粒子になり、φ2 は、質量項を持たない NG ボゾンになる。つぎに、スカラー場の運動項 |Dµ φ|2 について考える。基底状態が変更された時、場は以下のように書き換えられる。
1|Dµ φ|2 = (∂µ φ1 )2 + e2 Aµ Aµ φ22 − e(∂µ φ1 )Aµ φ22e21+ (∂µ φ2 )2 + e2 Aµ Aµ φ20 + Aµ Aµ φ21
2
2
√
√ 2
e
µ
+ 2e∂µ φ2 A φ0 + 2e Aµ Aµ φ0 φ1 + ∂µ φ2 Aµ φ1
2
√
1
1
2
2
µ
= (∂µ φ1 ) + (∂µ φ2 ) + 2e∂µ φ2 A φ0 + e2 Aµ Aµ φ20 + . . .
22(2.3.23)(2.3.24)

前式の最後の項は、ゲージ場 Aµ の 2 次になっており、これはゲージ場の質量項になっている。すなわち、

1∆L = m2A Aµ Aµ22mA = 2e2 φ20
ゲージ場は、ゲージ対称性のために質量を持てない。しかし、今は φ0 ̸= 0 のため有限の質量を得た。何が起こったのかは、以下のようにして確認できる。まず、一般に場の理論においてプロパゲーターの真空偏極による補正は、以下のように振る舞う。Ḡµν を補正を受けたプロパゲーター、Gµν を自由場のプロパゲーター、iΠµν を 1 粒子既約な真空偏極とすると、

Ḡµν = Gµν + Gµλ iΠλρ Gρν + · · ·と書ける。Πµν をスピン 1 の成分 (横波成分) とスピン 0 の成分 (縦波成分) に分解する。
µ
¶
qµqν
qµqν
Πµν (q) = g µν − 2
Π(1) (q 2 ) + 2 Π(0) (q 2 )(2.3.25)q
q

ξ ゲージでゲージ場のプロパゲーターは、
µ
¶
qµqν
−i
µν
µν
g − (1 − ξ) 2
G (q) = 2
q + iϵqµ¶µ µ ν¶
µ
ν
−i
q q
−iξ
q q
µν
= 2
g − 2
+ 2
q + iϵqq + iϵq2

15(2.3.26)

2.3. 自発的対称性の破れとヒッグス機構

CH. 2. 標準理論

µ ν

ここで、g µν − q q2q は横波成分への射影になっていることに注意する。すなわち qµ をかけると消える。射影の性質を用いると補正を受けたプロパゲーターは以下のように書ける。
µ
¶·
¸
qµqν
−i
−i
−i
µν
(1) 2
Ḡµν = g − 2+iΠ (q ) 2+ ···q
q 2 + iϵ q 2 + iϵ
q + iϵ¸µ µ ν¶·
−iξ
−iξ
−iξ
q q
(0) 2
+
iΠ (q ) 2
+ · · · (2.3.27)+
q2
q 2 + iϵ q 2 + iϵ
q + iϵ
¶
·
¸
µ
−i
−i
qµqν
(1) 2
µν
1 + iΠ (q ) 2+ ···= g − 2q
q 2 + iϵq + iϵµ µ ν¶
·
¸
q q
−iξ
−iξ
(0) 2
+
1 + iΠ (q ) 2+ ···(2.3.28)
q2
q 2 + iϵq + iϵ
µ
¶
·
¸−1
qµqν
−i
−i
(1) 2
= g µν − 2
1
−
iΠ
(q
)
q
q 2 + iϵq 2 + iϵ·¸µ µ ν¶−iξ
−iξ −1
q q
(0) 2
1
−
iΠ
(q
)
+
(2.3.29)
q2
q 2 + iϵq 2 + iϵµ µ ν¶
µ
¶
q q
1
1
qµqν
−i
−iξ
µν
+
= g − 2
−i
2
2
2
(1)
2
(0)
q
q + iϵ 1 − iΠ (q ) q2 +iϵqq + iϵ 1 − iΠ (q 2 ) −iξ
q 2 +iϵµ=g µν −qµqν
q2¶µ µ ν¶
−i
q q
−iξ
+
2
(1)
2
2
2
q
q − Π (q ) + iϵ
q − ξΠ(0) (q 2 ) + iϵ

(2.3.30)(2.3.31)(2.3.31) の第 2 式は、ゲージ変換のパラメータを含むので物理的でなく、散乱振幅等の物
理量の計算結果には現れない。Π(1) (q 2 ) を 0 周りでテイラー展開すると、¯(1) (q 2 ) ¯
dΠ
¯
+ ···
(2.3.32)
Π(1) (q 2 ) = Π(1) (0) + q 2
¯
2
¯2
dq
q =0

となる。これを (2.3.31) の第一項に代入すると、
µ
¶
qµqν
−i
¯
+ ···
= g µν − 2(1) 2 ¯dΠqq 2 − Π(1) (0) − q 2 dq2(q ) ¯ 2 + · · · + iϵ
q =0
µ
¶
µ
ν
q q
−i
¶
µ
+ ···
= g µν − 2¯(1)qdΠ(1) (q 2 ) ¯Π (0)2+ · · · + iϵ
q 1 − q2 − dq2 ¯ 2
q =0
µ
¶
µ
ν
q q
−i
´
³
∼ g µν − 2
+ ···
(1)
Π
q
q 2 1 − q2(0) + iϵ

16(2.3.33)(2.3.34)(2.3.35)

2.3. 自発的対称性の破れとヒッグス機構

CH. 2. 標準理論

(2.3.25) に代入してみると、
µ
¶
qµqν
µν
µν
Π (q) = g − 2
Π(1) (q 2 ) + · · ·
q

¯
µ
¶
µ
ν
(1) (q 2 ) ¯qqdΠ¯Π(1) (0) + q 2= g µν − 2
¯
2
¯2
q
dq
µ
=
∋

qµqν
g µν − 2
q

¶

µ

qµqν
Π(1) (0) + g µν − 2
q¶(2.3.36)
+ ··· + ···(2.3.37)q =0¯(1) (q 2 ) ¯
dΠ
¯
q2
¯
2
¯2
dq

q µ q ν (1)
Π (0)
q2

+ ···

(2.3.38)q =0(2.3.39)となり、Πµν (q) の言葉で言うと極があるという事である事が分かる。2 次元シュウィンガー
モデルではアノマリーからこの質量が与えられる。アノマリー以外では、この極は理論にある 0 質量粒子から与えられる。
√
ファインマンルールを (2.3.22) と (2.3.23) から読み取る。 2eφ0 Aµ ∂ µ φ2 という項から√得られるファインマンルールは、i 2(−i)eφ0 q µ = mA q µ と書ける。これは、ゲージ場と結合することにより、ゲージ場が NG ボゾンに変わる相互作用、または逆の過程を表す。
またゲージ場の質量項 12 m2A Aµ Aµ は、im2A g µν というファインマンルールに対応する。質量の無いスカラー粒子のプロパゲーターは qi2 と書けることに注意すると、真空偏極への寄与は最低次で、iiΠµν (q) = im2A g µν + (mA q µ ) 2 (−mA q ν )
q
¶
µ
µqν
q
= im2A g µν − 2
q(2.3.40)(2.3.41)となって、ゼロ質量粒子がゲージ場と結合してる時には、その粒子が極をつくり、質量項をつくる6 。
ここで、(2.3.22) と (2.3.23) を見てみる。実は、φ2 (x) はゲージ自由度を用いて消去できる。つまり α(x) が各時空点で自由に選べる事を用いる。φ2 (x) は φ(x) の虚数部分を表す。
φ(x) のゲージ変換は、(2.3.16) で与えられる様に位相を回転させる物であるので、ゲージ変換によって φ(x) は常に実に取れ、このとき φ2 は常に 0 である。このゲージをユニタリ
ティゲージという。NG ボゾンはいなくなったわけではなく、質量を持ったゲージ場の縦波成分として食われた。
実は、余分なスカラー場は必要ない。ゲージ場が NG ボゾンに変わる過程があればいいが、(2.3.13) を見ると、自発的に破れた対称性のネーター流があれば代わりになる事がわかる。
ファインマンルールを読み取ると、その過程のヴァーテックスは −gk µ F a j となる。これを用いて (2.3.40) とその上で行ったことを繰り返せば良い。さらに、この理論の中に質量ゼロの粒子がなかったとしても、複合粒子でも構わない。後で紹介するテクニカラーにおいてこの考え方を用いる。
6
ゲージ不変性のワード高橋恒等式からこの極がない事がしめせるのでゲージ対称性がある場合には、量子論でもゲージ場のプロパゲーターには極が生成されない。

17

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

2.3.3

CH. 2. 標準理論

非可換ゲージ理論でのヒッグス機構

非可換ゲージ理論では Aµ は行列になるので、共変微分を通してゲージ場と結合するスカラー場がある場合には多成分になる。ゲージ群を G とする。そのスカラー場を φi としよう。このとき群 G は φ をもって φi → (1 + iαa ta )ij φj と表現されているとする。φi 実としておき、もし n 個の複素場なら 2n 個の実場で書き換えておく。ta は、純虚数で反対称なので、tij a = iTij a としておくと T a は実で反対称になる。共変微分は、

Dµ φ = (∂µ − igAaµ ta )ij φj= (∂µ + gAaµ T a )ij φjとなるので、運動項は以下である。

11
1(Dµ φ)2 = (∂µ φ)2 + gAaµ (∂µ φi )Tij φj + g 2 Aaµ Abµ (T a φ)i (T b φ)j2
22(2.3.42)

ここで、ある φi が真空期待値を得たとしよう。

〈φi 〉 = (φ0 )i
この真空期待値の周りで展開する。すると、ゲージ場の質量項は、

m2ab = g 2 (T a φ0 )i (T b φ0 )i1∆L = m2ab Aaµ Abµ2(2.3.43)m2aa = g 2 (T a φ0 )2 ≥ 0(2.3.45)(2.3.44)質量行列の対角成分をみると、となりゲージ場の質量項が半正定値を取る事がわかる。また T a φ0 = 0 の時には、この生成子の方向のゲージ場は質量を得ない。T a φ0 = 0 という事は、この T a は真空をかえない。つまり対称性である。逆に T a φ0 ̸= 0 の時、この T a は真空をかえる。つまり対称性が破れている事を示す。
また、非可換ゲージ理論の場合でも、真空偏極への寄与は可換の時と同様である。

2.4

電弱対称性の自発的破れ

2.4.1

電弱対称性の破れ:SU (2)L × U (1)Y → U (1)EM

ゲージ場の質量項
この小節では、グラショウ・ワインバーグ・サラム (GWS) 理論のレビューを行う。まずゲージ群として SU (2)、U (1) を持つゲージ場 4 つ Aµ a (a = 1, 2, 3) と Bµ 、スカラー場
φ を考える。スカラー場 φ は、U (1) の下でチャージ 12 と振る舞う様にする。
a aβ

φ → eiα τ ei 2 φ
18(2.4.1)

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論a

ただし τ a = σ2 は、規格化したパウリ行列である。このスカラー場をヒッグス場という。
これを以下のようにパラメータ付ける!
Ã
1
ξ2 + iξ1(2.4.2)φ= √φ0 − iξ32
しかし、SU (2) ゲージ変換の自由度を用いるとゲージ変換により、2 重項の上を消去し、かつ下を実数にできる。以後このユニタリティゲージを取ることにする。そして、φ が真空期待値を得るとする。
Ã !
10〈φ〉 = √
(2.4.3)v
2
この真空の対称性を調べる。群の無限小変換の生成子を δα 、δβ とし、δ = δα + δβ とする。
まず場の無限小変換を考える。

δα φ = iαa τ a φi
δβ φ = β1φ2(2.4.4)(2.4.5)真空の変換は、

Ã !
Ã
!
Ã
!
1 1 v
1 2 −iv
1 3
0
2δα φ0 = i α
+i α
+i α
2
2
2
0
0
−v
Ã !
√
1
0
2δβ φ0 = i β2v√(2.4.6)(2.4.7)α1 = α2 = 0, α3 = β という組で δφ = 0 となる。すなわち、この理論の 4 つのゲージ場の内、組合せにより、1 つをゼロ質量に出来る。のこりの 3 つはスカラー場により質量を得る。
実際にゲージ場の質量項を導出する。スカラー場の共変微分は以下である。
1Dµ φ = (∂µ − igAa µ τ a − i g ′ Bµ )φ2(2.4.8)

ただしゲージ場 Aaµ , Bµ の結合定数を g, g ′ とした。この運動項で φ を 〈φ〉 に置き換えた項の 2 乗から質量項がでるのでそこのみ考える。
Ã !
´
1³
1 ′
1 ′ µ
v
a
a
bµ b
∆L =
v 0 (gA µ τ + g Bµ )(gA τ + g B )
2
2
2
0

=

¢
1 v2 ¡ 2 1 2
g (Aµ ) + g 2 (A2µ )2 + (−gA3µ + g ′ Bµ )22 4(2.4.9)

ここで、場の線形結合を取りなおしゲージ場の質量行列を対角化する。

1Wµ± ≡ √ (A1µ ∓ iA2µ )2
1
Zµ ≡ p(gA3µ − g ′ Bµ )
2
′2
g +g
19

(2.4.10)(2.4.11)

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

それぞれの場の質量は、

gv
2
p
v
mZ = g 2 + g ′22mW =(2.4.12)(2.4.13)で与えられる。残りの自由度は、

Aµ = p1
g 2 + g ′2

(gA3µ + g ′ Bµ )(2.4.14)であり、これは電磁気学のベクトルポテンシャルで質量を持たない。ハイパーチャージを
Y 、アイソスピンを T a として、共変微分は、

Dµ = ∂µ − igAaµ T a − ig ′ Y Bµ(2.4.15)である。Wµ± 、Zµ0 、Aµ の言葉で書くと、アイソスピンの昇降演算子を T ± = T 1 ± iT 2 と
して、

1
gg ′
g
Zµ (g 2 T 3 − g ′2 Y ) − i p
Aµ (T 3 + Y )Dµ = ∂µ − i √ (Wµ+ T + + Wµ− T − ) − i p2
g 2 + g ′2
g 2 + g ′2
(2.4.16)と分かる。Aµ の前に付いている結合定数が素電荷に対応するので、

e= p

gg ′
g 2 + g ′2とわかり、また電荷 Q = T 3 + Y という関係は、弱い相互作用における中野西島ゲルマン則である。弱い相互作用のパラメータとして、ワインバーグ角を以下で定義する。
Ã
! Ã
!Ã
!
Zµ
cos θW − sin θW
A3µ=(2.4.17)Aµsin θWcos θWBµすなわち、

cos θW = psin θW = pgg 2 + g ′2g′
g 2 + g ′2である。このワインバーグ角を用いて共変微分を書き直すと以下になる。
ggZµ (T 3 − sin2 θW Q) − ieAµ Q
Dµ = ∂µ − i √ (Wµ+ T + + Wµ− T − ) − i
cos θW2(2.4.18)(2.4.19)(2.4.20)

この共変微分を通してゲージボゾンは、フェルミオン、ヒッグスボゾンと相互作用する。
まとめると、GWS 理論のインプットは 3 つであり、結合定数 g 、g ′ 、真空期待値 v である。これらの組の代わりに別の 3 つをとっても等価である。
ここで、後の議論に用いる ρ パラメータを定義しておく。

ρ=m2W
m2Z cos θW(2.4.21)

これは標準模型を調べる実験で重要になる。ツリーレベルでは ρ = 1 となり、実験からもρ ∼ 1 がわかっている。つまり、標準模型のループ補正が小さいことを示す。

20

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

フェルミオンとの結合

W ボゾンは、左巻きフェルミオンとしか結合しない。古典的なレベルでは、右巻きと左巻きフェルミオンとがゲージ場と異なる結合様式を持っていても問題は生じない7 。以下
では、世代を 1 つとして考えていく8 。
フェルミオンは γ 5 を用いて以下のようにカイラリティごとに分解できる。
1 + γ5ψ2
1 − γ5
ψL =
ψ
2

ψR =

(2.4.22)(2.4.23)

共役なフェルミオンは、ψ̄ = ψ † γ 0 で定義されるので、

1−γ
ψ¯R = ψ̄21+γ5ψ¯L = ψ̄2
5

(2.4.24)(2.4.25)となる。あとで詳しく述べるが、右巻きフェルミオンと左巻きフェルミオンはゲージ場の違う表現になる。
ここで質量項以外のフェルミオンの運動項を右巻き、左巻きの表示で書いてみる。

ψ̄(i/∂ )ψ = ψ¯R (i/∂ )ψR + ψ¯L (i/∂ )ψL(2.4.26)となり、右巻き左巻きが分離する。一方で質量項は (γ 5 )2 = 1 に注意すると、

1 − γ5 1 − γ5ψ22= mψ¯R ψLmψ̄ψ = mψ̄(2.4.27)(2.4.28)となり、右巻き左巻きフェルミオンが結合している。ここで、問題が起こる。なぜなら右巻きと左巻きでゲージ変換が異なっているので質量項はゲージ不変性を破ってしまう。実はフェルミオンの質量項は、ヒッグスとの湯川結合から与えられる事になる。つまりヒッグス場を φ、湯川結合定数を y と書くと、GWS 理論では、右巻きフェルミオンは、1 重
項、左巻きフェルミオンとヒッグス場は 2 重項として SU (2) ゲージ変換を受けるのでゲー
ジ不変な質量項は、

L = y ψ¯L · φψR + h.c.

(2.4.29)として、φ が真空期待値を得ることで質量が生成される。しかしこの論文では、湯川結合
やクォークの質量固有状態とゲージ固有状態のズレを表す小林・益川行列を扱わないので、以後質量項を考えないことにする。
7

量子効果をあらわす三角ダイアグラムを含むループダイアグラムからアノマリーと呼ばれる古典論で存在する対称性が壊れてしまう現象がおこりうる。ただし標準理論ではクォークが 3 色、レプトンが無色、クォー
クとレプトンの二重項の数が絶妙に調整され、結果、クォークとレプトンの世代の数が同じであればアノマリーがキャンセルすることが示されている。
8
世代が増えても質量以外は区別がつかないのでそのままコピーを増やせば良い。だが宇宙論、LEP の実
験から Z ボゾンより軽いニュートリノの世代数はほぼ 3 だとわかっている。

21

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

今も述べたが、SU (2) ゲージ変換に対して右巻きフェルミオンは変換せず、左巻きフェルミオンは、2 重項の様に変換する。また、U (1)Y の変換性は以下のようにして決まる。
中野西島ゲルマン則 Q = T3 + Y があるので、アイソスピン T3 を決めるとハイパーチャー
ジ Y が決められてしまう。右巻きフェルミオンに対しては、T 3 = 0 すなわち Y = Q とする。また左巻きフェルミオンは、
!
Ã
νe
EL =
(2.4.30)
e−
Ã ! L
u
QL =
(2.4.31)d
Lとアイソスピンが割り当てられる (上が + 12 、下が − 21 )。ただし、νe は電子ニュートリノ、
e− は電子、 u はアップクォーク、d はダウンクォークである。まとめると、以下のチャー
ジがフェルミオンに割り当てられる。この表のハイパーチャージが等しいもの同士が 2 重

νeL
e−
L
uL
dL
e−
R
uR
dR
νeR

Q

T3

Y

0
−1

1
2
- 12
1
2
- 12

− 12
− 12

0
0
0
0

−1

2
3

− 13
−1
2
3

− 13
0

1
6
1
6
2
3

− 13
0

表 2.1: フェルミオンのチャージの割り当て項として変換する。右巻きニュートリノは、チャージを持たないので相互作用せず見えない。実際には、質量が存在し見ることはそれを通して存在が確認されているが以降では無視する。
するとフェルミオン部分は、

Lfermion = ĒL (iD)E/ L + ēR (iD)e/ R + Q̄L (iD)Q/ L + ūR (iD)u/ R + d¯R (iD)d/ R
この内の 1 つの共変微分を具体的に書くと、Aaµ 、Bµ の表記で、
µ
¶
1 ′
µ
a
a
Q̄L (iD)Q/ L =Q̄L iγ ∂µ − igA µ T − i g Bµ QL
6(2.4.32)(2.4.33)となる。これをゲージ場の質量固有状態で書きなおすと、(2.4.17) を用いた煩雑な計算の後、
!
Ã
!#
" Ã
g′
g
g′
g
³
´
cos
θ
−
sin
θ
)
u
(
sin
θ
+
cos
θ
)
u
(
W
W
L 2
W
W
L 2
6
6
+ Aµ
Q̄L (iD)Q/ L ∼ u¯L d¯L γ µ Zµ′′dL (− g2 cos θW − g6 sin θW )dL (− g2 sin θW + g6 cos θW )(2.4.34)22

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論と書ける。同様の計算を他の項にも施すと、

Lfermion =ĒL (i/∂ )EL + ēR (i/∂ )eR + Q̄L (i/∂ )QL + ūR (i/∂ )uR + d¯R (i/
∂ )dR
µ+
µ−
µ
+ g(Wµ+ JW+ Wµ− JW
+ Zµ0 JZµ ) + eAµ JEM(2.4.35)

ただし、

1
µ+
JW
= √ (ν̄L γ µ eL + ūL γ µ dL )(2.4.36)2
1µ−JW= √ (ēL γ µ νL + d¯L γ µ uL )(2.4.37)
2
·
µ ¶
µ
¶
¡
¢
1
1
1
JZµ =
ν̄L γ µ
νL + ēL γ µ − + sin2 θW eL + ēR γ µ sin2 θW eR
cos θW
2
2
¶
µ
¶
µ
2
2
2
µ
2
µ 1
− sin θW νL + ūR γ − sin θW uR+ ūL γ
2 3
3
¶
µ
¶ ¸
µ
1
1 1
sin2 θW dR(2.4.38)+ d¯L γ µ − + sin2 θW dL + d¯R γ µ
2 3
3
µ ¶
µ ¶
2
1
µ
µ
µ
µ
¯
JEM = ēγ (−1) e + ūγ +u + dγ −d(2.4.39)33µJEM
は、たしかに電磁気学の電流になっている。

2.4.2

弱い相互作用の低エネルギー有効理論

弱い相互作用は、低エネルギーで以下のラグランジアンで記述される。

Lef f = LW + LZ
4GF
LW = √ (ēL γ µ νL + d¯L γ µ uL )(ν̄L γµ eL + ūL γµ dL )
2

2
X
4GF
LZ = √ ρ 
f¯γ µ (T 3 − sin2 θW Q)f 2
f(2.4.40)(2.4.41)(2.4.42)

ただし f はすべてのフェルミオンを走る。LW は、荷電カレントによる相互作用、LZ は
中性カレントによる相互作用をあらわし、ρ はその相互作用の相対的強さを決める定数である9 。Q は電荷、GF は次元 ([GeV]−2 ) を持った結合定数でフェルミ定数と呼ばれる。ここで、SU (2) ゲージカレントを以下のように定義する。
X
J µa =f¯γ µ T a f(2.4.43)f

すると、有効ラグランジアンは以下のようになる。

¤
4GF £
µ
Lef f = √ (J µ1 )2 + (J µ2 )2 + ρ(J µ3 − sin2 θW JEM)22
9実験から ρ ≅ 1 とわかっている。

23(2.4.44)2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

このラグランジアンはくりこみ可能ではない。そこでラグランジアンの GF とカレントとカレントの相互作用を見てみると、結合定数とプロパゲーター、ただし質量のある粒子の低エネルギーでのもの、の役割をしていると思える。
¯¯
g¯GF ∼ 22
q − m ¯q2 →0
実際に、(2.4.36-2.4.39) と、ゲージ場のプロパゲーターがユニタリティゲージ10 で
µ ν

〈W

µ+

W

ν−

〉=

q q
g µν − m
2W(2.4.45)

q 2 − m2Wµ ν

〈Z Z 〉 =µν

g µν − qmZq 2(2.4.46)

q 2 − m2Zで与えられる事をもちいると GWS 理論では、
" µν
#
qµ qν
2
g
−
2
e
m
ν−
W
J µ+
LW (GWS) =JW
q 2 − m2W
2 sin2 θW W

LZ

(GWS)

(2.4.47)" µν qµ qν #g − mZ 2
e2
µ
ν
µ3
2
(J ν3 − sin2 θW JEM)=(J − sin θW JEM )22q 2 − m2Z
sin θW cos θW(2.4.48)と分かる。対応関係は、LW (GWS) と LZ (GWS) で q 2 → 0 で Lef f と比較すると、

GF
e2
√ =
8 sin2 θW m2W
2
GF
e2
√ ρ=
8 sin2 θW cos2 θW m2Z2(2.4.49)(2.4.50)

もしくは、

GF = √

1
,
2v 2

ρ=1

(2.4.51)と分かる。
ここでボゾンプロパゲーターの分子にある q µ q ν の項は、外線の運動方程式を用いると、外線に現れる粒子の質量 mf に比例する。ここで、mZ , mW ∼ 100GeV であるので、mf がm2

トップクォークでない限り、ボトムクォークでも 5GeV なので m2f ∼ 0.0025 となり無視でZ

きる11 。このときには、

·
¸
e2
1
µ+
LW
=
J
JW µ−
(2.4.52)
2 sin2 θW W q 2 − m2W
·
¸
e2
1
µ
(GWS)
µ3
2
LZ
=
(J − sin θW JEM ) 2(Jµ3 − sin2 θW Jµ EM )q − m2Z
sin2 θW cos2 θW(2.4.53)
(GWS)

10
11

ゴーストが分離するゲージで、ツリーレベルの計算には便利ではあるが、くりこみ可能性が自明でない。
外線にトップクォークが出るような時は考えなおさないといけない。

24

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論と書ける。これが古典的な GWS のラグランジアンである。ここに出てきたパラメータは
すべて裸の量であり、くりこまれるべき量であることに注意する。

2.4.3

Star quantity

ここでは実験と比較しやすいケネディ-リンの “星付き量”(Star quantities) を定義する。
まず、GWS 理論のインプットは 3 つで、SU (2) の結合定数 g と U (1) の結合定数 g ′ そして真空期待値 v である。この 3 つですべての量が予言可能になる。
しかし、実験で精密に測れるのは上で挙げた 3 つの量ではない。そこで理論のインプットとして精密測定されている、量子ホール効果などから決められる微細構造定数 α、Z ボゾ
ンの質量 mZ 、そしてミューオンの寿命から決められるフェルミ定数 GF を代わりに用いることにする。具体的には、g 、g ′ 、v と α、mZ 、GF の関係式を用いれば良い。
ケネディ−リンの星付き量は、前節に出てきた有効ラグランジアンに入っている結合定数 e を運動量や量子補正の入った量として e0 → e⋆ (q)、sin2 θW → s2⋆ (q)、cos2 θW → c2⋆ (q)5と置き換えて定義する12 。フェルミオンを明示的に書き L = 1−γ
2 として中性カレントに関係する項は、
１
Lef f = e2⋆ QQ′ (f¯γµ f ) 2 (f¯′ γ µ f ′ )
q
e2⋆ ¯
Z⋆
+ 2 2 (f γµ [I3 L − s2⋆ Q]f ) 2(f¯′ γµ [I3 L − s2⋆ Q]f ′ )s⋆ c⋆q − m2⋆(2.4.54)と書ける。ただし Z⋆ は Z ボゾンの場のくりこみ定数で f 、f ′ はすべてのフェルミオンを意味し、Q は電荷、I3 はアイソスピンの第 3 成分である。また、この節で出てくる m0 は
前節ででてきたラグランジアンに入ってる裸の Z ボゾンの質量 mZ を意味し、この節でmZ と書いた時は測定された値を意味することにする。
星付き量と量子補正の効果 Π(q 2 ) と結びつける。以下に出てくる e などは裸の量である。
ゲージボゾンの量子補正は以下のゲージボゾンの 2 次の項を誘導する。

11µνΠγγ gµν Aµ Aν + ΠZZ gµν Z µ Z ν + ΠZγ gµν Z µ Aν + ΠW W gµν W + W −2
2(2.4.55)

ただし、q µ q ν に比例する項は、外線に当たると外線に現れるフェルミオンの質量に比例
すると同時にゲージボゾンの質量に反比例し、効かないとして落とした。1 ループでの散乱への寄与で効く項は以下のようになる。

Lef f =³

eQf¯γµ fe ¯2
cs f γµ (I3 L − s Q)f )´Ã

q 2 − Πγγ
−ΠZγ

−ΠZγ
q 2 − m20 − ΠZZ!−1 ÃeQf¯′ γ µ f ′e ¯′ µ2′
cs f γ (I3 L − s Q)f )(2.4.56)

繰り返すが、前節に出てきた θW は、g 、g ′ を用いて定義されていた。以下でも、どの実験値用いて定義されているかを明確する必要がある。しかし星付き量と Π を比較するまでの暫くの間は、定義されているものとして扱う。
1225!

2.4. 電弱対称性の自発的破れZ

CH. 2. 標準理論

Z

γ

Z

ΠZZ

ΠZγ

γ

γ

W

W

Πγγ

ΠW W
図 2.1: 真空偏極µただし s = (sin θW )bare 、c = (cos θW )bare 、e =

26

√ gg

′

g 2 +g ′2¶
とおいた。ここで真ん中bare2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論の行列を G と名付けておくと、以下のように変形できる。
Ã!−1q 2 − Πγγ
−ΠZγ
G≡
−ΠZγ
q 2 − m20 − ΠZZ
!#−1
"Ã
! Ã
0
ΠZγ
q 2 − Πγγ
0
−
=
ΠZγ
0
0
q 2 − m20 − ΠZZ

Ã
!Ã
Ã
!−1
0
Π
q 2 − Πγγ
q 2 − Πγγ
0
Zγ
1 −
=
0
q 2 − m20 − ΠZZΠZγ00(2.4.57)(2.4.58)0
q 2 − m20 − ΠZZ!−1 −1(2.4.59)
Ã
=
Ã
∼
=
Ã

1
q 2 −Πγγ001q 2 −m20 −ΠZZ

1q 2 −Πγγ001q 2 −m20 −ΠZZ

1

0

0

1
q 2 −m20 −ΠZZ

q 2 −Πγγ

=

∼
=

=

!"

1
q 2 −Πγγ
Π′Zγ
q 2 −m20 −ΠZZ
1q 2 (1−Π′γγ )Π′Zγq 2 −m20 −ΠZZ

Ã

1−
!"

Ã

1+


!

+

Π′Zγ
2
q −m20 −ΠZZ
1q 2 −m20 −ΠZZ
Π′Zγq 2 −m20 −ΠZZ
1q 2 −m20 −ΠZZ0ΠZγq 2 −Πγγ0
ΠZγ
q 2 −Πγγ

ΠZγ
q 2 −m20 −ΠZZ0ΠZγq 2 −m20 −ΠZZ!#−1
(2.4.60)!#(2.4.61)

0

0
ΠZγ
1
q 2 −Πγγ q 2 −m20 −ΠZZ

ΠZγ
1q 2 −Πγγ q 2 −m20 −ΠZZ0(2.4.62)

(2.4.63)(2.4.64)

ただし途中で、分母の Πγγ は 1 ループの寄与ではないとして落とした。また Π∗∗ ≡ Πq∗∗2 とした。これを (2.4.56) に代入し星付き量 (2.4.54) と比較できる形に変形すると以下である。
Ã

!
Π′Zγ
1
³
´
¯′ γ µ f ′2 (1−Π′ )2 −m2 −Π
eQ
f
q
q
ZZ 
e ¯
γγ
0
Lef f = eQf¯γµ f cs
f γµ (I3 L − s2 Q)f ) Π′Zγe ¯′ µ2′
1
cs f γ (I3 L − s Q)f )22
22
q −m0 −ΠZZ

q −m0 −ΠZZ

(2.4.65)e21
Qf¯γµ f 2 Q′ f¯′ γ µ f ′1 − Π′γγ
q
£
¤
£
¤
1
e2
f¯′ γµ I3′ L − (s2 − csΠZγ )Q′ f ′+ 2 2 f¯γµ I3 L − (s2 − csΠZγ )Q f 22c s
q − m0 − ΠZZ(2.4.66)∼=1
ここで Z のくりこみ条件を考える。Z のプロパゲーター q2 −m2 −Π
0

ZZ (q

2)

の極は q 2 = m2Zにあるべきである。なので

m2Z − m20 − ΠZZ (m2Z ) = 0
27(2.4.67)2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

これにより裸の質量 m0 を取り除く。ここで、ΠZZ (q 2 ) を m2Z まわりでテイラー展開す
ると、
¯
¯
2
2
2
2
2
2
2 dΠZZ ¯
q − m0 − ΠZZ (q ) = q − mZ − (q − mZ )− Πres (q 2 )(2.4.68)2dq ¯q2 =m2
Z
!
Ã
¯
¯
dΠZZ ¯∼(q 2 − m2Z − Πres (q 2 ))(2.4.69)= 1−
dq 2 ¯q2 =m2
Z¡¢
ここで、Πres (q 2 ) は、O (q 2 − m2Z )2 の寄与を書いたがこれは、
¯
¯
2
2
2
2
2 dΠZZ ¯Πres (q ) = ΠZZ (q ) − ΠZZ (mZ ) − (q − mZ )dq 2 ¯q2 =m2(2.4.70)Zである。(2.4.69) をみてみると、Z ボゾンの波動関数くりこみがわかる。
以上により、2 つの Lef f 、つまり、運動量などに依存する星付き量で書いた (2.4.54) と Πで書いた (2.4.66) を比較できるようになった。

11= 2 (1 − Π′γγ )2e⋆es2⋆ = s2 − cs − Π′ZγÃ!
¯e2dΠZZ ¯¯
c2 s 2Z⋆ = e21+⋆
dq 2 ¯q2 =m2
2 2c⋆ s ⋆

Z

m2⋆ = m2Z + Πres
理論のインプット (測定量) は α、mZ 、GF 、そしてそれから決められる θW なのでそれを用いて書きなおすと、

1 ∼ 1(1 − [Π′γγ (q 2 ) − Π′γγ (0)])
=
e2⋆
4πα

(2.4.71)s2⋆ = s2 − cs − Π′Zγ

(2.4.72)(そのまま)¯¯
c2 − s2 ′dΠZZ ¯−Z⋆ ∼ΠZγ= 1 − Π′γγ +dq 2 ¯q2 =m2
cs
Z(2.4.73)¯¯dΠZZ ¯m2⋆ = m2Z + ΠZZ (q 2 ) − ΠZZ (m2Z ) − (q 2 − m2Z )dq 2 ¯q2 =m2
Z(2.4.74)

左辺は、直接測ることができ、右辺の 3 つの量、第 2 式以外は精密に測れているので、Πの効果を見ることが出来る。さらに s⋆ を除くものは全て有限である。s⋆ の式 (2.4.72) は右辺にそのまま裸の値を持ち有限かどうか不明であるので、Z ボゾンのプロパゲーターの極での e⋆ (mZ ) 定義された θW を用いて定義する。

"

e2 (m2 )sin 2θW |Z ≡ √ ⋆ Z 2
2GF mZ
28#1/2(2.4.75)

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

精密測定される値 α と m2Z 、GF と真空偏極 Π、裸の量 v 、s、e との関係は以下のようになる。

4πα = e2 (1 + Π′γγ (0))
e2 v 2+ ΠZZ (MZ2 )24c2 sµ¶GFΠ1√ = 2 1 − 2W W
2v
c m2Z
2
m2Z =

(2.4.76)(2.4.77)(2.4.78)以上から θW |Z と s は、以下のように関係する。

sin2 θW |Z = s2 + δ(s2 )= s2 + 2cs · δθW(2.4.79)(2.4.80)

ここでは微分の連鎖則を用いた。最後に現れた δθW は以下の等式を用いる。

δ sin 2θsin 2θ
cos 2θ· 2δθ
=sin 2θ
cos2 θ − sin2 θ=δθcos θ sin θδ(ln(sin 2θ)) =(2.4.81)(2.4.82)(2.4.83)

すると、

δθW =

cs

δ(ln(sin 2θW ))(2.4.84)

2c2 s2δ(ln(sin 2θW ))c2 − s2(2.4.85)c2 − s2なので θW |Z と s の関係式は、

sin2 θW |Z = s2 +sin 2θW は α, GF , m2Z の関数であるので、微分の連鎖則より、¶µ
δm2Z2c2 s2δα δGF22
sin θW |Z = s + 2−− 2
c − s2 α
GF
mZ
µ
¶
2
2
ΠW W (0) ΠZZ (m2Z )2c s′2Πγγ − 2 2 −=s + 2c − s2c mZ
m2Z(2.4.86)(2.4.87)

この s2 を s2⋆ = s2 − csΠ′Zγ に代入して、

s2⋆ = sin2 θW |Z −2c2 s2c2 − s2µ¶ΠW W (0) ΠZZ (m2Z )′Πγγ − 2 2 −− csΠ′Zγ (q 2 )
c mZ
m2Z

(2.4.88)s⋆ は、次で与えられる AfF B で求めることが出来る。
R1
AfF B ≡

0 d cos θR0− e+ →f f¯)dσ(e− e+ →f f¯)− −1 d cos θ dσ(ed cos
d cos θθR1dσ(e− e+ →f f¯)
d cos θ−1 d cos θ
29(2.4.89)

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

これは、電子と陽電子の正面衝突によってフェルミオン f と f¯ が生じた時に、もとの電子から見て前方に飛び出すものと、後方に飛び出すものとの差をとったものである。右辺は、Qf を粒子 f の電荷、I3f をアイソスピンの第 3 成分として、

"¡
# "¡
#
¢2
¢2
I3f + s2⋆ Qf − (s2⋆ Qf )2
3 − 21 + s2⋆ − (s2⋆ )2=¡¢
4 − 1 + s2⋆ 2 + (s2⋆ )2(I3f + s2⋆ Qf )2 + (s2⋆ Qf )22(2.4.90)fとなるので AF B から s2⋆ が求められる13 。
この節の最後に、ループからの寄与である Πγγ 、ΠZγ 、ΠZZ から結合定数をくくりだしてオーダー 1 の量として以下を定義する14 。

Πγγ = e2 ΠQQ(2.4.91)e2(Π3Q − s2 ΠQQ )cse2
ΠZZ = 2 2 (Π33 − 2s2 Π3Q + s4 ΠQQ )c se2
ΠW W = Π11
cs
ΠZγ =

(2.4.92)(2.4.93)(2.4.94)

だたし、U (1)EM は破れていないので、Π11 = Π22 である。
右辺の量は理論、つまりラグランジアンを与えられれば具体的に計算可能である。例えば
標準理論を用いて計算することも可能である。

2.4.4

STU パラメータ

GWS 理論への補正として真空偏極 Πij (q 2 )、i, j = 1, 2, 3, Q を考えた。これの独立なとり方を考える。i, j のとり方は全部で 4×4
2 = 8 通りある。前節では以下の組み合わせが現れた。
(1, 1) = (2, 2)(3, 3)(3, Q)(Q, Q)
このうち、U (1)EM のカレントは保存するので、ΠQQ (0) = Π3Q (0) = 0 となり、自由度は2 つ減り 8 − 2 = 6 個になる。GWS 理論ではインプットは 3 つ必要だった。GWS 理論はくりこみ可能なので 3 つのパラメータを用いてくりこむことになる。一般に真空偏極には発散が現れるのでこの 3 つに対応するものは値が決まってしまうので 6 − 3 = 3 つだけが独立 (かつ有限) になる。これが S, T, U パラメータである。

13
14

付録参照
Πij の i, j に対応するのは、SU (2) の足 a = 1, 2, 3 と U (1) を意味する Q である。

30

2.4. 電弱対称性の自発的破れ

CH. 2. 標準理論

Πij (q 2 ) を q 2 ∼ 0 でテイラー展開すると、¯
dΠij (q 2 ) ¯¯Πij (q ) = Πij (0) +q2 + · · ·dq 2 ¯q2 =02(2.4.95)

理論を考えるスケールを M としておく。すなわちこの展開は、q 2 /M 2 = 0 の周りの展開であるとする。すると、最初の 2 項はそれぞれ O(M 2 )、O(q 2 ) で寄与する。しかし第 3 項目以降は、次数が O((q 2 )2 /M 2 ) 以上の寄与になるので効かない。
以上の事実を用いて S, T, U パラメータを定義する。くりこまなくても有限になる組み
合わせは、星付き量を取り扱った時を参考にして、£¤αS ≡ 4e2 Π′33 (0) − Π′3Q (0)
αT ≡

e2

[Π11 (0) − Π33 (0)]c2 s2 m2Z£¤
αU ≡ 4e2 Π′11 (0) − Π′33 (0)(2.4.96)(2.4.97)(2.4.98)¯dΠij (q 2 ) ¯
ここで、Π′ij (0) =と再定義した。これは O((q 2 )2 /M 2 ) を無視すると、先ほdq 2 ¯q 2 =0
Π (q 2 )どの定義 Π′ij (0) = ijq2 に等しい。
前節の星付き量を S, T, U と結びつける。これは、星付き量と真空偏極 Π の関係式より
O((q 2 )2 /M 2 ) 無視する近似で以下である。

1
1
≅0
−
2
e⋆ 4πα(2.4.99)s2⋆ − sin θW |Z ≅

¸
·
α
1
2 2
S−c s Tc2 − s2 4αS
4c2 s2m2⋆ − m2Z ≅ 0
Z⋆ − 1 =(2.4.100)(2.4.101)(2.4.102)

さらに導出はしないが、中性カレントと荷電カレントの低エネルギー有効理論から、ρ⋆ (0)−1 = αT であることがわかる。
実際に、ヒッグスを除いた標準理論からの S パラメータへの寄与はトップクォーク、ボ
トムクォークの質量を mt , mb として、

S SM =

1
1 mt[1 − ln]
6π
3 mb(2.4.103)と計算される。mt = 175(GeV)、mb = 5(GeV) とすると、おおよそ S SM ∼ 0.0098 となる。
S パラメータの測定値は、2010 年の Particle data book によると、S exp = 0.01±0.10(−0.08)である。
この章をまとめると、GWS 理論は、くりこみ可能なゲージ理論であり、実験値を説明できるが、ループ効果を考えるとヒッグスセクターからは、S パラメータに対し負の寄与が必要であるということである。

31

Ch.3 テクニカラーモデル

3.1

テクニカラーの動機

我々は、標準理論におけるゲージ対称性の破れによく類似した、超伝導体や QCD におけるカイラル対称性の破れを知っている。超伝導体は、巨視的には、ギンツブルグ・ラン
ダウ理論でよく記述されている。このとき巨視的な波動関数 Ψ で理論が記述される。しかし、微視的な理論である BCS 理論によるとこれは基本的な自由度ではなく、クーパー対の密度を表すに過ぎない。クーパー対の凝縮がゲージ対称性の自発的破れを引き起こしている。
また、かつてパイオンは (疑) スカラーの素粒子だと思われていたが、現在は、クォークこそが基本自由度であり、パイオンはその複合粒子に過ぎない。
以下のような面白い関係が存在する。ゲージ相互作用を無視するとヒッグス場は SU (2)L ×
SU (2)R 対称性を持つ。前章ででてきた、ゲージ固定する前のヒッグス場 (2.4.2)Ã!
1
ξ2 + iξ1φ= √φ0 − iξ3
2を思い出してみる。右辺を1
M ≡ √ (φ0 + ⃗τ · ξ⃗ )2

(3.1.1)

ここで ⃗τ = (τ 1 , τ 2 , τ 3 ) はパウリ行列である。SU (2)L だけゲージ化してみる。このとき、
a3共変微分を Dµ M = ∂µ M − igWµa τ2 M + ig ′ M Bµ τ2 とすると、ヒッグスのラグランジア
ンは、

i m2
λ
1 h
L = tr Dµ M † Dµ M − M tr[M † M ] − tr[M † M ]22
2
4

(3.1.2)となる。これはシグマモデルのラグランジアンであり、かつてパイオンを記述するのに用いたものである。そして質量項の符号を逆であると仮定することにより GWS 理論の枠組
みに乗ることが出来る。現在において、シグマモデルのラグランジアンがパイオンを記述するといったときには、低エネルギー有効理論という意味でしか無く、より高エネルギーではクォークというフェルミオンで記述されているという事を考えると、ヒッグスもそうではないか？と思うのは自然である。
テクニカラーモデルとは、象徴的に言うと、ヒッグス粒子 = テクニフェルミオンの複合粒子

32

3.2. QCD を用いた電弱対称性の破れ

CH. 3. テクニカラーモデルというモデルである。ただし、テクニフェルミオンの複合粒子は、スカラー以外にもベクトル状態などがあるので、新粒子の質量スペクトルを導く。
標準理論は、現実世界を 1TeV より下のエネルギースケールでよく記述している。しかし、これが最終理論だとは考えられていない。その理由は、標準理論の最後のパズルピー
スであるヒッグス粒子に次の問題点が存在することである。・ヒッグスの 2 次発散問題・
ヒッグスの 4 点結合の自明性・フレーバーの起源の謎などである。テクニカラー理論およびエクステンデッドテクニカラー (ETC) を用いるとその問題が解決できる。
以下ではまず、ヒッグス場を導入しなくても電弱対称性を破ることが出来ることを示す。
そののち、それを元にテクニカラー理論を導入し、さらになぜ破綻するのかを議論する。
そして最後に改良されたテクニカラー理論についての可能性について考える [4]。

3.2

QCD を用いた電弱対称性の破れ

この節では、多くの問題を起こすヒッグス場なしで電弱対称性を破ることを考える。
nG = 3 をクォークとレプトンの世代として標準的な SU (3) × SU (2) × U (1) のラグランジ
アンを書き下す。

1
1
1
LSTD = Gµν A Gµν A − Wµν a W µν a − Wµν 0 W µν 0
4
4
4
nG ³
X
µ
µ
µ
+
q̄iαL iγµ Dαβ
qiβL + ūiαR iγµ Dαβ
uiβR + d¯iαR iγµ Dαβ
diβR
i=1

+ L̄iL iγµ Dµ LiL + ¯liR iγµ Dµ liR¢(3.2.1)

ここで、α, β = 1, 2, 3 はカラー SU (3) の足で、グルーオンの QCD 相互作用は、g A=1,2,···8 、また電弱の SU (2) ゲージボゾンは、W a=1,2,4 で、W 0 は U (1) のものである。SU (3)、SU (2)、U (1) のゲージ結合定数はそれぞれ、gs 、g 、g ′ としておく。場の強さのテンソ
AA
B C
ルは、グルーオンは GAµν = ∂µ gν − ∂ν gµ + gs fABC gµ gν である。クォークの 2 重項に対µしての共変微分は、Dαβ = (∂ µ − ig/2τa W aµ − ig ′ /6W 0µ )δαβ − igs (λA /2)
ここで、電弱相互作用を一旦忘れてみる。するとラグランジアンは以下の大域的なカイ
ラル-フレーバー対称性を持つ1 。

Gχ = SU (2nG )L × SU (2nG )R(3.2.2)

そして QCD 相互作用は、低エネルギーで自発的にカイラル対称性を破る。

〈Ω|ūiαL ujβR |Ω〉 = 〈Ω|d¯iαL djβR |Ω〉 = −δij δαβ ∆q(3.2.3)対称性が、対角な SU (2nG )V まで落ちる。すると 4n2G − 1 個の擬スカラーの NG ボゾンが出る。[] によると低エネルギーで ∆q ∼ 4πfπ 3 と与えられる。ただし fπ = 93MeV はパ
イオンの崩壊定数である。

1

例えば 1 世代モデルの時、SU (2)L × SU (2)R の対称性がある。

33

3.3. テクニカラーモデル

CH. 3. テクニカラーモデル

ここで電弱相互作用を思い出す。SU (2) × U (1) のクォークカレントと NG ボゾンの結√合定数は、 nG fπ で与えられる。質量のない粒子は、真空偏極 Πabµν の極として現れるの2
で q = 0 の付近では、µ¶
gA gb nG fπ2
ab2
Πµν (q) = (qµ qν − q gµν )+ 正則な項(3.2.4)
4q 2
ここで、a, b = 0, 1, 2, 3 で g0 = g ′ , g1,2,3 = −g とした。電弱対称性は、SU (2) × U (1) →U (1)EM となる。このとき、標準模型と同じように場の組み換えを行う。

W± =gW 3 − g ′ W 0
Z= p
g 2 + g ′2

W 1 ∓ iW 2√,2(3.2.5)

この時にゲージボゾンの質量は NG ボゾンの寄与から√
1p 2
g + g ′2 nG fπ(3.2.6)2pとなる。のこりの光子についても A = (g ′ W 3 + gW 0 )/ g 2 + g ′2 と同様になり、かつ質量を得ない。NG ボゾンは、Z や W の縦波として吸われた。以上をダイナミカルヒッグス
メカニズムと呼ぶ [5]。
しかし、このモデルは明らかに破綻している。なぜなら、mZ と mW の質量が実験値に比べ 1000 倍ほど軽すぎるからだ。また、残ってるカイラルフレーバー対称性も大きすぎる。更にレプトンはカラー相互作用をしないので質量を得ることができない。
ただ、唯一 ρ パラメータについては成功していて、
1 √mW = g nG fπ ,
2

ρ=

mZ =

m2W
=1
m2Z cos2 θW(3.2.7)となり、実験値 ρ ∼ 1 と非常によく合う。この予言の原因をたどってみると、元の対称性
Gχ がカストディアル対称性 SU (2) × SU (2) を含み、さらにこれが SU (2) × U (1) を含むからだと分かる。

3.3

テクニカラーモデル

上に挙げたモデルの問題を解決するのはそんなに難しくない。つまり、エネルギース
ケールである fπ が電弱スケールで、更にレプトンもゲージ群の非自明な表現になるような新たな漸近自由なゲージ相互作用を導入すれば良い。このゲージ群を GT C と書き、このようなモデルをテクニカラーモデルと呼ぶ。このゲージ相互作用の結合定数を αT C と書いておく。この結合定数は、数百 GeV より下では、QCD と同じように強くなるとする。
そこでテクニフェルミオンがテクニカラー相互作用により凝縮を起こし電弱対称性が破れると考えるのである。以下では単純な場合を考えていく。
ND を右巻き、左巻きテクニフェルミオンの 2 重項 TiL,R = (Ui , Di )L.R の数としておく。
TL が電弱 SU (2) の 2 重項として、TR が 1 重項として変換するとする2 。テクニフェルミ
2つまり、クォークと同じ。違いは、カラー相互作用するかテクニカラー相互作用をするか、である、

34

CH. 3. テクニカラーモデル

3.4. ETC

オンは、質量 0 とするので、以下のカイラル-フレーバー対称性を持つ。

Gχ = SU (2ND )L × SU (2ND )R ⊃ SU (2)L × SU (2)R(3.3.1)

αT C が低エネルギーで大きくなると、テクニフェルミオンは凝縮する。
〈Ω|ŪiαL UjβR |Ω〉 = 〈Ω|D̄iαL DjβR |Ω〉 = −δij δαβ ∆T(3.3.2)対称性は、Sχ = SU (2ND ) ⊃ SU (2)V まで落ちる。なので、NG ボゾンは崩壊定数を FπT
2 − 1 個出ることになる。∆ ∼ 4πF 3 を仮定する。すると前の議論と同様にとして 4NDT
πT

1 p
mW = g ND FπT ,
2

mZ =

p
1p 2
g + g ′2 ND FπT = mW / cos θW
2(3.3.3)となる。対称性が Gχ から Sχ へ破れるスケールを ΛT C として以下のようであるとしておく。
p
FπT = Fπ / ND
(3.3.4)

ΛT C = O(FπT )(3.3.5)以上により、問題を起こすヒッグス場なしで電弱対称性を破り、かつ、ρ パラメータも正しく再現するモデルが構築できたことになる。
クォークがカイラル対称性を破り、ハドロンの世界になるという現象とまったく同じメカ
ニズムで電弱対称性の破れが説明できたことになる。
ただし、未だにレプトン、クォークのフレーバーについては問題が残っている。これを解決するのがエクステンデッドテクニカラー (ETC) である。

3.4

ETC

標準理論では、フェルミオンの質量はヒッグスとの湯川結合で与えられる。しかしテクニカラー理論においては、スカラーヒッグスがラグランジアンに入ってはないので、湯川結合がなく、すべてのフェルミオンは質量 0 のままである。さらに、テクニフェルミオン
のカイラル対称性の自発的破れでは、残る対称性が多すぎるのが難点であった。
QCD パイオンの時を思い返してみると、パイオンは質量 0 であるべきであるが、GWS
から来る僅かな質量により、QCD を通して 140MeV 程度の質量を得る。カイラル対称性
は、GWS 理論からの質量により、厳密な対称性ではなくなっている。
これを参考にしてみると、テクニカラー理論にも上の理論があり、それが対称性を破っていると考えるのは自然である。上の理論をエクステンデッドテクニカラー (ETC) と呼ぶ。
ETC のエネルギースケールを MET C 、その破れのスケールを ΛET C とする。ETC 相互
作用は、テクニフェルミオン、クォーク、レプトンをも結びつける (図 3.1)。ETC の詳細を考えない事にするが、それでもテクニカラースケールでは、以下の相互作用が誘導され
うる。

αab

T̄ λa T T̄ λb Tψ̄λa ψ ψ̄λb ψT̄ λa T ψ̄λb ψ
+
β
+
γ
+ ···
ab
ab
Λ2ET CΛ2ET CΛ2ET C35(3.4.1)

3.5. テクニカラーモデルの難点

CH. 3. テクニカラーモデル

エネルギー
TR

ETC

R

ETC

TL

L

TC

TR

TL

L

R
凝縮

TR

SM

TL

L

R

Higgs

L

R

~ m¯

図 3.1: ETC と TC そして SM。T はテクニフェルミオン、ψ は標準理論のフェルミオン。
TR と TL の間に飛んでいる線はテクニグルーオンである。

ここで λ は ETC の生成子である。この αab を含む項から、テクニカラーの凝縮の後に標準理論のフェルミオンの質量が誘導される。

mq ∼

2
gET
C
〈T̄ T 〉ET C
2
METC(3.4.2)mq は、標準理論のフェルミオンの質量で、gET C は ETC スケールでの ETC の結合定数である。また、〈T̄ T 〉ET C は ETC スケールでのテクニカラー凝縮の値である。

3.5

テクニカラーモデルの難点

ここからは、なぜテクニカラーモデルが死んだと言われるかについて述べる。そこから制限のかからないモデル、ミニマルウォーキングテクニカラーへの緒をつかむ。

3.5.1

FCNC

前節の (3.4.1) の γab の項は、標準理論のフェルミオン間の 4 点相互作用を表す。この項により、フェルミオンフレーバーを変えるカレント FCNC(Flavor changing neutral current)36

3.5. テクニカラーモデルの難点

CH. 3. テクニカラーモデルが出てくる。FCNC は、実験により厳しく制限されている。しかし、ETC を考えるモデルであると、クォーク質量と同程度の大きさで FCNC が起こってしまう。異なるエネル
ギースケールの物理を結ぶくりこみ群の考え方3 に従うと、µZ ΛET C¶〈T̄ T 〉ET C = expd(ln µ)γm (α(µ)) 〈T̄ T 〉T C
(3.5.1)
ΛT C

といった具合にテクニカラー凝縮の値が変化する。もし、テクニカラー理論が QCD と同じ様な理論であれば、

α(µ) ∝

1,ln(µ)(µ > ΛT C )(3.5.2)

この時、テクニフェルミオンの質量項の異常次元は γm ∝ α(µ) すると、テクニカラーの凝縮は、くりこみ群に従ってµ¶
ΛET C γm〈T̄ T 〉ET C ∼ ln
〈T̄ T 〉T C
(3.5.3)
ΛT Cとなり、3 桁違えば 3 倍等、対数的に大きくなる。オーダーは変わらないのでナイーブな議論では、これを無視し、

mq ∼

2
gET
C
Λ3T C , 〈T̄ T 〉T C ∼ Λ3T C
2
MET
C(3.5.4)

そうすると、FCNC とクォーク質量が共に ΛET C 連動してしまう。

3.5.2

古い TC モデルでの S パラメータ

以下では、ペスキン−竹内の S パラメータをテクニカラー理論で求める時に用いた QCDの和の規則についてレビューする。

QCD の和則
ここでは、QCD の和則 (QCD sum rule) についてレビューする。和の規則は、1. 解析性、2. ハドロン描像での知見、3.q 2 → ∞ での摂動論、を結びつけ新たな情報を得るという物である。ペスキン−竹内のパラメータに必要な真空偏極は、以下の形をしていた。
ZΠµν (k) = −i d4 xe−ikx 〈0|Jµ (x)Jν (0)|0〉(3.5.5)= (gµν −kµ kν
)Π(k 2 ) + kµ kν の項
k2(3.5.6)

Π(k 2 ) を k 2 = s の関数と見た時、特異性は Re[s] > 0 の領域にしか現れない事を仮定する (図R3.2)。この時に s が大きい所でどうなっているかを調べる。まず d4 xe−ikx 〈0|ψ̄γµ ψ ψ̄γν ψ|0〉の次元が 2、(q 2 gµν − qµ qν ) の次元も 2 であることを考えると Π(s) は漸近的に q 2 よりは
3[2]、次章参照

37

3.5. テクニカラーモデルの難点

Π(s)CH. 3. テクニカラーモデル
Im

s

Re

図 3.2: Π(k 2 ) を s = k 2 の関数と見た時の複素平面での振る舞い。バツ印は極を表す。特異性が s の実軸正の所にのみ現れる。

やく成長しない事がわかる。q 2 が大きい所では、摂動論が使えるので、その寄与を見てみると 1 ループでは、ベクトル、軸性ベクトルからそれぞれ、
Z
d4 l
1
1
V ···
γν )
(3.5.7)tr(γ µ(2π)4k/ + /l /l
Z
1
d4 l
1
γν γ5 )
(3.5.8)A···
tr(γ µ γ 54(2π)
k/ + /l/lという寄与が出る。しかし {γ µ , γ 5 } = 0、(γ 5 )2 = 1 なのでベクトルカレントと軸性ベクト
ルカレントの寄与はキャンセルする。高次についても同様である。従って差が出るとすれ
ば非摂動効果である。q 2 の特異性に基づいて、対称性で許される項を並べて展開すると、

Z
〈

4

iqx

d xe

(Fµν )2µνmψ̄ψVµ (x)Vν (0)〉 ∼ 〈C (q)V /A I(0)gµν 〉 + 〈C (q)V /A 2 gµν 〉 + 〈〉 + ···
qq2(3.5.9)12

ここで、各項を見てみると、右辺第 2 項は元が質量のない理論なら出現し得ない項であり、第 3 項は、特異性により消えるはずである。つまり第 1 項から寄与が現れる。そして
ΠV V (s) − ΠAA (s) を考えてみると、これは無限遠で 1/s よりはやく大きくならない。図3.3 の積分経路に従って以下の積分を考える。
I
1ds(ΠV V (s) − ΠAA (s))(3.5.10)2C 2πi s − Q
ただし、C = C1 + C2 + C3 、Q は経路の内側の点である。すると、(3.5.10) の積分は留数
定理により以下の様に変形できる。
Z
Z
ds
ds
1
ΠV V (Q2 ) − ΠAA (Q2 ) = (+)(ΠV V (s) − ΠAA (s))(3.5.11)
2πi
2πi
s
−
Q2
C1
C2

38

3.5. テクニカラーモデルの難点

CH. 3. テクニカラーモデル
Im

s

Π(s)
C3

Q
C2

Re
C1

図 3.3: 積分経路

ここで、C3 の積分の寄与が無限遠で落とせる事を用いた。ΠAA−V V = ΠV V − ΠAA とし、変形して4 、Z ∞ds
12
ΠAA−V V (Q ) =(ΠV V −AA (s + iϵ) − ΠV V −AA (s − iϵ))(3.5.12)2πi s − Q2
Z ∞ds Im (ΠV V −AA (s))=(3.5.13)πs − Q2となる。ただし積分の下限は、最低質量状態より下に取る。この関係式を分散関係式とよぶ。ここで、あとで示す以下の関係式を用いる。

Π(k) = 実部 − iX2πδ(k 2 − m2Hn )m2Hn fH
n(3.5.14)n

ただし、Hn は n 番目のハドロン状態を表し、fHn はそのハドロンの崩壊定数である。この式でベクトル-ベクトルの寄与を作り、そこから軸性ベクトルの寄与を引いて虚部を取ると、

Im[ΠV V −AA (q 2 )] = −sπX[fV2n δ(s − m2V ) − fA2 n δ(s − m2A )](3.5.15)nとなり、分散関係の分子をハドロンのスペクトルを用いてかけた。以下の Π′ を前章の様に定義する。

¡¢
ΠV V −AA (q 2 ) ≡ q 2 Π′V V (q 2 ) − Π′AA (q 2 ) − ΠAA (0)4(3.5.16)

不変振幅 M(q 2 ) に対して s = q 2 として、s の複素関数と見てみる。Re[s] 以外で解析的なとき、M(s) = [M(s∗ )]∗を課すと、M(s) = Re[M(s)] + iIm[M(s)] として、

Re[M(s + iϵ)] =Re[M(s − iϵ)]Im[M(s + iϵ)] = − Im[M(s − iϵ)]とわかるので、これを用いる。

39

3.5. テクニカラーモデルの難点

CH. 3. テクニカラーモデル

ただし最後の項はパイオンによる寄与である。分散関係を用いると、Z ∞ds Im (Π′V V (s) − Π′AA (s))ΠV V −AA (q 2 ) = q 2− ΠAA (0)πs − q20(3.5.17)

そして両辺で q 2 → ∞ としてみると、左辺は O(q −4 ) で 0 になる事がわかる。一方右辺は、
Z
ds
R.H.S = −Im(Π′V V (s) − Π′AA (s)) − ΠAA (0)(3.5.18)
π
Z
1
ds
− 2
sIm(Π′V V (s) − Π′AA (s))(3.5.19)
q
π
µ ¶
1
+O
(3.5.20)q4なので、第 1 項 = 0 と第 2 項 = 0 がそれぞれ要請される。(3.5.15) より、第 1 項は、X(fV2n − fA2 n ) = fπ2(3.5.21)n

第 2 項からは、

X(m2Vn fV2n − m2An fA2 n ) = 0(3.5.22)nとわかる。これがワインバーグの和の規則である。QCD はアイソスピン対称性をもつが、テクニカラーも同様だとする。このとき、

1
J3µ = (JVµ − JAµ )2µJQ = JVµ + JYµ(3.5.23)(3.5.24)なので、1
Π33 = (ΠV V + ΠAA )41
Π3Q = ΠV V
2

(3.5.25)(3.5.26)

ここで、S パラメータの定義に代入すると、

S = −4π[Π′V V (q 2 ) − Π′AA (q 2 )]|q2 =0となる。これに今までの分散関係、スペクトルの式を用いると、
Ã
!
X fρ2
fa21n
n
S = 4π
− 2
m2ρn
ma1n
n

(3.5.27)(3.5.28)

ただし ρ は最低質量のベクトル粒子とその励起状態で、a1 は最低質量の軸性ベクトル粒子の寄与である。ここで QCD の実験結果引用すると、高エネルギー側でベクトル粒子と軸性ベクトルの寄与はキャンセルする事が知られている。これは高エネルギー側で正しい

40

3.5. テクニカラーモデルの難点

CH. 3. テクニカラーモデル

摂動論の結果からも納得出来る。そこに先ほどの和の規則を適用する。高エネルギーからの寄与が無いので、最初の励起状態の寄与のみを取り入れることにする。この時には、
fρ2 − fa21 = fπ2 そして m2ρ fρ2 − m2a1 fa21 = 0 となる。すると fρ2 と fa21 について解けて

fρ2 =

m2a1
f2
m2a1 − m2ρ π(3.5.29)

fa21 =m2ρ
f2
m2a1 − m2ρ π(3.5.30)

QCD の実験結果は大雑把に
fπ = 93MeV(3.5.31)mρ = 770MeV(3.5.32)

ma1 = 1000MeV(3.5.33)である。QCD と同じダイナミクスがテクニカラーが起こっていると仮定する。すると、エネルギースケールが違うだけなので、fπ = 250GeV とすれば良く、大体 2500 倍してみると、

fπ = 250GeV(3.5.34)mρ ∼ 200GeV(3.5.35)

ma1 ∼ 2.5TeV(3.5.36)となる5 。よって S パラメータは、

Ã

!
fρ2
fa21
−
m2ρ m2a1
Ã
!
m2ρ
fπ2
= 4π 2 1 + 2
mρ
ma 1

S∼
= 4π

∼ 0.29218 . . .

(3.5.37)(3.5.38)(3.5.39)となる。ゲージ群を SU (N ) に拡張しラージ N 展開などより系統だった手法でも大きな正の S パラメータを予言してしまい、これにより、テクニカラーは死んだと言われる。

スペクトルについて
ここでは (3.5.14) を示す。まず一般のハドロンのカレントの相関関数を定義する。
Z
Iµν (k) = d4 keikx 〈0|T [Vµ (x)Vν (0)]|0〉(3.5.40)5

全スケールを 2500 倍しても比の形なので実は関係がなかった。

41

3.5. テクニカラーモデルの難点

CH. 3. テクニカラーモデル

そして時間順序積を分解し、中間にハドロンの完全系を挟む6 。
Z ∞
Z
d3 p
⃗ X
(ik0 −ϵ)t〈0|Vµ (x)|Hn (⃗p)〉〈Hn (⃗p)|Vν (0)|0〉=
dte
d3 xe−ik·⃗x(2π)3 2p̂
0
n
Z 0
Z
d3 p
0
⃗ X
+
〈0|Vν (0)|Hn (⃗p)〉〈Hn (⃗p)|Vµ (x)|0〉
dte(ik +ϵ)t d3 xe−ik·⃗x(2π)3 2p̂−∞n
ただし p̂0 =q

ˆ 0=m2Hn + p⃗2 である。また、(−k)

q(3.5.41)m2Hn + (−⃗k)2 = k̂ 0 ここで系の並進対称性を仮定し Vµ (x) = eixP Vµ (0)e−ixP としてみる。すると第 1 項ではハドロン状態に作用して Vµ (0)e−ixp̂ 、第 2 項でも同様にして Vµ (0)eixp̂ となる。δ 関数の定義を用いると以下のようになる。
XZ ∞100Iµν (k) =〈0|Vµ (0)|Hn (⃗k)〉〈Hn (⃗k)|Vν (0)|0〉
dte(ik −ik̂ −ϵ)t
0
2
k̂
0
n
XZ 0
1
0
0
〈0|Vν (0)|Hn (⃗k)〉〈Hn (⃗k)|Vµ (0)|0〉(3.5.42)+dte(ik +ik̂ +ϵ)t
0
2
k̂
−∞
n
そして t 積分を実行すると、

Iµν (k) =

X

−1

1

ik 0 − ik̂ 0 − ϵ 2k̂ 0

n

X

+1

〈0|Vµ (0)|Hn (⃗k)〉〈Hn (⃗k)|Vν (0)|0〉

1〈0|Vν (0)|Hn (⃗k)〉〈Hn (⃗k)|Vµ (0)|0〉(3.5.43)と分かる。k 0 を含む最初の分数について以下が成り立つ。
· µ
¶
¸
±1
∓i
1
0
0
=
= ∓i P± iπδ(k ± k̂ )ik 0 ± ik̂ 0 ± ϵ
k 0 ± k̂ 0 ∓ iϵ
k 0 ± k̂ 0
µ
¶
1
= ∓iP
+ πδ(k 0 ± k̂ 0 )k 0 ± k̂ 0

(3.5.44)+n

ik 0 + ik̂ 0 + ϵ 2k̂ 0(3.5.45)

ただし P は主値の意味である。これを用いると以下のようになる。
¾
X½ µ 1 ¶
100Iµν (k) =iP+ πδ(k − k̂ )〈0|Vµ (0)|Hn (⃗k)〉〈Hn (⃗k)|Vν (0)|0〉
0 − k̂ 0
0
k
2
k̂
n
µ
¶
¾
X½
1
1
+
−iP
+ πδ(k 0 + k̂ 0 )〈0|Vν (0)|Hn (⃗k)〉〈Hn (⃗k)|Vµ (0)|0〉
0
0
0
k
+
k̂
2
k̂
n

(3.5.46)
さて、中間状態としてベクトルメソンが効くとして考えを進めることにする。このとき、状態を以下のように置く。

〈0|Vµ (0)|Hn (⃗k)〉 ⇒ 〈0|Vµ (0)|⃗k, ϵ(k)〉 ≡ mHn fHn ϵλµ (k)6

箱の中にハドロンを入れて離散的な状態を定義して体積を無限大にして状態を定義する。

42(3.5.47)

CH. 3. テクニカラーモデル

3.6. WALKING TECHNICLORP(λ)(λ) (λ)∗k̂ k̂
ただし ϵµ は偏極ベクトルであり、 (λ) ϵµ ϵν = −(gµν − µ 2 ν ) をみたす。中間状態でk̂
はすべての偏極が平等に現れるとして以下のように出来る。
X½ µIµν (k) =
iP
n

+

X½

¶

1
k 0 − k̂ 0
µ

−iP

n

¾
+ πδ(k − k̂ )
0

¶

1

2k̂ 0

(gµν −k̂µ k̂νk̂ 2

2)m2Hn fHn¾ˆ ν
ˆ µ −k−k−1
2)m2Hn fH
+ πδ(k + k̂ )(gµν −
n
2
ˆ
2k̂ 0
−k
(3.5.48)0

k 0 + k̂ 0

−1

0

0

実部、虚部に分け、δ 関数の性質7 を用いて

Iµν (k) = 虚部 −Xπδ((k 0 )2 − (k̂ 0 )2 )(gµν −nk̂µ k̂νk̂ 2

2)m2Hn fHn(3.5.49)

さらに δ((k 0 )2 − (k̂ 0 )2 ) = δ((k 0 )2 − ⃗k 2 − m2Hn ) = δ(k 2 − m2Hn ) なのでこれにかけられるk̂ は k に置き換えて良い。

Iµν (k) = 虚部 −Xπδ(k 2 − m2Hn )(gµν −nkµ kν 2 2
)mHn fHn
k2(3.5.50)

真空偏極 Πµν の定義は Iµν の i 倍なので結局、足のついていない寄与は、

Π(k) = 実部 − iX2πδ(k 2 − m2Hn )m2Hn fH
n(3.5.51)

n

となる。

3.6

Walking Techniclor

前節での議論は、すべて QCD と同じダイナミクスを仮定してきた。ならば、QCD とは異なる振る舞いをする非可換ゲージ理論8 が存在すれば良いと考えられる。つまり、高エネルギー側で漸近自由性をもつが、低エネルギー側で有効結合定数が発散しない、もっと極端には、成長すらしない、すなわち低エネルギー側でくりこみ群の固定点が存在する
理論で有ればよい。この様に、くりこみ群の固定点を仮定するテクニカラー理論をウォー
キングテクニカラー (WT;Walking Technicolor) と呼ぶ。
まず、クォーク質量と小さな FCNC の両立だが、質量に相当するµZ ΛET C¶〈T̄ T 〉ET C = expd(ln µ)γm (α(µ)) 〈T̄ T 〉T CΛT C

1
δ(x2 − a2 ) = 2|a|[δ(x − a) + δ(x + a)] ただし a ̸= 0
高エネルギー側で有効結合定数が発散する理論は、理論が自明性を含んでいる。なので少なくとも今知られている場の理論においては、非可換ゲージ理論であるべきである。
7

8

43

CH. 3. テクニカラーモデル

3.6. WALKING TECHNICLOR∗ (α∗ )が ΛET C に直接依存しなければ良い。α が定数 α∗ ならば、異常次元 γ(α(µ)) も定数 γmになり、µ¶Z ΛET C∗∗〈T̄ T 〉ET C = exp γm (α )d(ln µ)

µ
=

ΛT C

ΛET C
ΛT C

∗ (α∗ )
¶ γm

〈T̄ T 〉T C

∗ (α∗ ) ∼ 1 の時、Λγm
ET C と ΛT C が 3 桁違えば、凝縮の値も 3 桁ずれることになり、質量と FCNC の連動をなくすことが出来る。
さらに S パラメータについては、先行研究 [13] を引用する。彼らは、固定点が存在する様な理論のスペクトルをシュウィンガーダイソン方程式を固定点の周りでラダー近似して次の関係式を得た。

m2A − m2V =≅Fπ 2[m − 2aΣ(0)2 ]FA V(3.6.1)

つまり、ワインバーグの和の規則が固定点の存在により一部変更を受ける。ただし、Σ(0)はテクニフェルミオンの自己エネルギーで a は正のオーダー 1 の定数であり、Σ(0) ≈√2πFπ / NT C を用いた。すると、S パラメータは、·S ≅ 4πFπ212aΣ(0)2
1
+
−
m2V
m2A
m2V m2A¸(3.6.2)となる。これにより S パラメータの問題は、必ずしも問題ではなくなった9 。
次節では、固定点の存在する理論が摂動論の範囲内で予想されることを説明する。

9

実際に問題になり得るかは、数値計算等で精査すべきである。

44

Ch.4 摂動論からの固定点の予言

4.1

摂動論的くりこみ群

4.1.1

β 関数

場の理論は、摂動の高次で発散する。これを取り除くのが (摂動論的な) くりこみである。
くりこみは、無限大を取り除くのでどれだけの量を有限に残すか自由度が存在し、それを固定するのがくりこみ条件である。くりこみ条件には、エネルギースケール µ の指定とその時の結合定数の指定が必要である。その結合定数をくりこまれた結合定数 (Renormalized
coupling constant)gR と呼ぶ。しかし、くりこみ条件の指定は人為的なモノなので、自然はそれに依らないはずである。異なるエネルギースケールで異なるくりこまれた結合定数を持つ理論が同様の理論を表し、それぞれのスケールでグリーン関数が同様の摂動展開形を持つという要請をすると、有効結合定数 gR (µ) を定義することが出来る。この様に理論のエネルギー依存性を調べると、くりこみ群という概念が出てくる。くりこみ群とは、エネルギースケールを動かす変換を群の演算する群である1 。
β 関数とは、有効結合定数 g(µ) のエネルギー依存性をあらわす。

β(g) =dg(µ)
d log(µ)(4.1.1)β 関数は、理論が与えられると摂動展開で求める事ができる。β 関数が正ならエネルギーが大きくなると、有効結合定数 g(µ) もそれに従って大きくなる。また、β 関数が負ならエネ
ルギーが大きくなると、有効結合定数 g(µ) もそれに従って小さくなり、ついには g(µ) = 0と自由理論になる。これを漸近自由性とよぶ。
くりこみ群の変換は通常、高エネルギー側から低エネルギー側へ行う。このくりこみ群
変換で結合定数が動かない領域が存在すれば、くりこみ群の赤外固定点 (Infrared Fixed
point;IRFP) であると言う (図 4.1)。

4.2

摂動論からの固定点の予言

QCD のみでなく非可換ゲージ理論のより一般の β 関数を考えてみる。表現 r のディラッ
クフェルミオンが Nf フレーバーが SU (N ) ゲージ理論に入っているとき、[7] によると、
摂動 2-loop までの β 関数は以下で与えられる。
β(g) = −
1

β1 5
β0 3
g −
g
2
(4π)
(4π)4

ただし、逆元が無いので、正確には半群である。

45(4.2.1)

4.2. 摂動論からの固定点の予言

CH. 4. 摂動論からの固定点の予言

gR (Coupling constant)
Asymptotic non-free(QED)
Asymptotic free(QCD)
Ideal Walking case

Infrared
Fixed Point

Energy
図 4.1: 理論による結合定数のエネルギー依存性

β0 と β1 は、表現 r とゲージ群 G、フレーバー数 Nf に依存して
11
4
C2 (G) − T (r)Nf
3
3
34 2
20
β1 = C2 (G) − C2 (G)T (r)Nf − 4C2 (r)T (r)Nf
3
3

β0 =

(4.2.2)(4.2.3)である。ここで Nf = 2、G = SU (2)、r = adjoint としてみる。すると表 4.1 から T (r) =N = 2、C2 (r) = N = 2 = C2 (G) と分かり、β0 と β1 は、

β0 = 2(4.2.4)β1 = −40(4.2.5)と求まる。β 関数の非自明な (g ̸= 0) 固定点を g ∗ とすると、上記の関係式と β(g ∗ ) = 0
から

(4π)2
20
∼ 7.89(g ∗ )2 =(4.2.6)と求まり、上記のパラメータの時、理論に赤外固定点があると分かる。フレーバー、ゲージ群がともに非可換ゲージ理論では最小であることから、このモデルをミニマルウォーキ
ングテクニカラーという。(図 4.2)[6] 。
しかし g ∗ ≫ 1 なので摂動の予言は意味を持たない。実際にこの固定点が存在するかは、
非摂動論的な手法を用いる必要がある。そこで我々は、格子ゲージ理論の数値シミュレー
ションによってこの固定点の探索を行った。
前章で議論したとおり、テクニカラー理論が現実的であるには、ETC が必須である。しかし、少なくとも TC 理論だけで、赤外固定点が存在し、異常次元 γ ∗ が十分大きくない

46

4.2. 摂動論からの固定点の予言

CH. 4. 摂動論からの固定点の予言といけない。この研究では、テクニカラーセクターのみで、つまり質量 0 のテクニフェル
ミオンとテクニグルーオン場 (SU(2) のゲージ場) のみでシミュレーションを行い赤外固定
点の探索を行った。
表 4.1:

r
Fund
Adj

T (r)

C2 (r)

1
2

N 2 −12N

N

N

N2 − 1Nd(r)

図 4.2: コンフォーマルウィンドウ。縦軸がフレーバー数で横軸が “カラー” の数。灰色の帯がが基本表現、青が反対称表現、赤が対称表現、緑が随伴表現である。この帯に入っていると赤外固定点を持つ可能性がある。帯の上は、漸近自由性のなくなる線で下限は、カイラル対称性の破れが起こらない線。点線は、バンクス・ザックス固定点が存在する [6]。

47

第 II 部

Field Theory on the LatticeCh.5 格子上の場の理論
連続理論において、非可換ゲージ理論の赤外での振る舞いを調べるには摂動論は使えない。この時に重要なツールになるのが格子ゲージ理論である。格子ゲージ理論の特徴は、ゲージ対称性を保ったまま理論を正則化できることである。格子理論と連続理論は、くりこみ群でつながっているので、格子上で物理を調べることは、連続理論で物理を調べる事に等価である。さらに格子理論の利点は、有限自由度である事からシミュレーションを用いることにより非摂動論的に精密に物理量を求めることができる。
格子ゲージ理論において自由度はゲージ場 Aµ ではなく、以下で述べるようにリンク変数と呼ばれるウィルソンラインが基本的な自由度になる。また、格子上でフェルミオンを記述するには連続理論にはない障害が存在する。この章では、[8][9] を元に格子上で場の理論を展開する方法を述べる。

5.1

理論のユークリッド化

格子上に場の理論を構成するので、まず理論をユークリッド化する事を考える。QEDを例に考えることにする。QED の作用は、以下で与えられる。
Z
Z
1
4
µν
SQED = −d xF Fµν + d4 xψ̄(iD/ − m)ψ
(5.1.1)4
この作用に i を掛けて指数関数の方に載せそれを重みとして経路積分を行えば、QED の計算ができる。次の置き換えによりユークリッド化する1 。
x0 → −ix4(5.1.2)
A0 → +iA4
この置き換えによりゲージ場の作用は、以下になる。
Zi
d4 xFµν Fµν
SG =4(5.1.3)

ただし µ, ν は 1, 2, 3, 4 を走る。これにより exp(iSG ) は Aµ に関して指数関数的に減少する関数になった。共変微分は、ユークリッド化しても変更は受けずに Dµ = ∂µ + ieAµ で

1
ピュアゲージの時には、Aµ = ∂µ Λ(x) である。x0 → −ix4 とすると、∂0 → +i∂4 となることからこの組み合わせで正しい。

49

5.2. 格子理論と連続理論の関係

CH. 5. 格子上の場の理論ある。i をくくりだしてまとめるとユークリッド化した QED の作用は以下になる。

SQED (eucl) = SG (eucl) + SF (eucl)
Z1(eucl)
SG=
d4 xFµν Fµν
4Z(eucl)
SF= d4 xψ̄(D/ + m)ψ

(5.1.4)(5.1.5)(5.1.6)

この作用に i2 = −1 をかけ、重みとして経路積分を行えば良い。非可換ゲージ理論でも同様に行うことができる。

5.2

格子理論と連続理論の関係

格子化された理論と、連続理論の関係についてのべる。連続極限は、格子間隔 a を 0 にする極限であるが、場の理論という立場からすると、連続理論と格子理論は、くりこみ群で結ばれていて、その変換自身が連続極限に対応してといえる。
これに関連する重要な話題として、漸近自由な理論は、格子化しても連続極限を取ることができる、という事である。格子間隔を a とする。理論の最小の長さを与えるこのパラ
メータはエネルギー次元は −1 であり、a−1 は理論における最大のエネルギーを表すことになり、“カットオフスケール” を与える。。例えば、QCD の β 関数は次の式で与えられる。

β(g) = µdg(µ)= −b0 g 3 (µ) − b1 g 5 (µ) + · · ·dµ(5.2.1)

11
102
ただし、b0 = 16π
2 、b0 = 16π 2 である。β 関数を理論の “カットオフスケール”1/a から ΛLまで2 積分する。
Z ΛL
Z ∞
dµ
1
dg 2
=
(5.2.2)2b0 g0 g 4 (µ)(1 + bb1 g 2 (µ))
1/a µ0g0 は “カットオフスケール”1/a で定義された “裸” の結合定数である3 。すなわち g(1/a) = g0である。このとき、ln(ΛL a) = −1b1− 2 ln(b0 g02 ) + O(1)22b0 g02b0

つまり、−

ΛL a = (b0 g0 )

b1
2b2
0

−

e

1
2
2b0 g0(5.2.3)なので、a→0⇔ g02 → 02

(5.2.4)(5.2.5)

ここで ΛL は有効結合定数が発散するエネルギーとして選んだ。1/g(ΛL ) = 0
カットオフスケールとは、理論が定義されるエネルギースケールだったので。自然な定義である。今は格子正則化によって理論が定義されている。
350

5.3. ゲージ場の格子正則化

CH. 5. 格子上の場の理論と、連続極限 (カットオフ無限大) で裸の結合定数 g0 が 0 ときちんと定義されている。言い換えれば、くりこみ群の紫外固定点が g = 0 である事である。このとき、参照しているエ
ネルギースケールでは非自明な有効結合定数が存在し、非自明な連続理論が実現できる。

5.3

ゲージ場の格子正則化

5.3.1

格子ゲージ理論

Lattice QED
格子上のゲージ理論を考えたいが、格子上の場の理論なので場は、格子点上で定義されることになる。このとき、1. 格子上でもゲージ対称性を壊さない。
2. 単純な連続極限で古典的な作用に戻る。
の 2 つを指導原理にしておく。
連続な場の理論で、フェルミオン同士が有限だけ離れた ψ̄(x)ψ(y) という量を考えてみる。
この量をゲージ不変に出来るだろうか？実際にゲージ変換してみると、ゲージ変換の関数
を G(x) と書くと、

ψ̄(x)ψ(y) → ψ̄(x)G−1 (x)G(y)ψ(y)(5.3.1)となる。間に現れた量がキャンセルすれば良い。そこで、ウィルソンライン (シュウィン
ガーの線積分) と言われる量、Ry

U (x, y) = eie x dzµ Aµ (z)(5.3.2)を考える。U (x, y) は U (1) の要素であることに注意する。Aµ をゲージ変化すると、Aµ −i 1e ∂µ α(x) となり U (x, y) → G(x)U (x, y)G(y)−1 である。予め ψ̄(x)ψ(y) の間に挟んでおくと、以下の双一次形式は、ゲージ変換に対して不変になる。
Ryψ̄(x)U (x, y)ψ(y) → ψ̄(x)eie x dzµ Aµ (z) ψ(y)(5.3.3)次に、格子点間隔ほど離れてる点を考えるために無限小だけ x から離れた y として y = x+ϵを考える。

ψ̄(x)ψ(x + ϵ) →ψ̄(x)U (x, x + ϵ)ψ(x + ϵ)†ψ̄(x + ϵ)ψ(x) →ψ̄(x + ϵ)U (x, x + ϵ)ψ(x)(5.3.4)(5.3.5)

ただし、無限小しか離れていないので、

U (x, x + ϵ) = eieϵ·A(x)51(5.3.6)

5.3. ゲージ場の格子正則化

CH. 5. 格子上の場の理論†
Un+µ̂,n = Un,n+µ̂
n + µ̂ nn + µ̂

Un,n+µ̂n

図 5.1: リンク変数となる。格子点の座標を無次元の数の組 n = (n1 , n2 , n3 , n4 ) とし、µ 方向の単位ベクトルを µ̂ と書くことにしよう。さらに U (x, x + µ̂) = Un,n+µ̂ とする。これをリンク変数と呼ぶことにする。このとき、†
Un+µ̂,n = Un,n+µ̂(5.3.7)

U (1) ゲージ変換を考えよう。Un,n+µ̂ = eiφµ (n) と書ける。ただし φµ (n) は位相で φµ (n) =[0, 2π] である。a を格子間隔、c を後で決める定数として φµ (n) = caAµ (n) としよう。a が十分小さい時には、
Un,n+µ̂ = 1 + icaAµ(5.3.8)つまり c = e とすれば正しく連続極限に一致することが分かる。そこで、

Uµ (n) ≡ Un,n+µ̂ = eieaAµ (n)(5.3.9)(lat)と置き、これもリンク変数と呼ぶ。格子上の作用 SG は、ゲージ不変に作りたい。なのでウィルソンライン (リンク変数) でループを作る4 。そこで以下の量を考える。

Uµν (n) = Uµ (n)Uν (n + µ̂)Uµ† (n + ν̂)Uν† (n)(5.3.10)

この量をプラケット (plaquette) と呼ぶ。ここで (5.3.10) を格子間隔 a が小さいとして展n+ˆUµ† (n + ˆ)

U (n + µ̂)

U † (n)nn + µ̂ + ˆ

Uµ (n)

n + µ̂

図 5.2: プラケット

開してみる。(5.3.9) より、

Uµν (n) = exp (ieaAµ (n)) × exp (ieaAν (n + µ̂))× exp (−ieaAµ (n + ν̂)) × exp (−ieaAν (n))= exp [iea {(Aν (n + µ̂) − Aν (n)) − (Aµ (n + ν̂) − Aµ (n))}]2= eiea Fµν (n)4(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)

QED の時は、ループでなくてのゲージ不変であるが、非可換ゲージ理論の時はループにする必要がある。

52

5.3. ゲージ場の格子正則化

CH. 5. 格子上の場の理論

ただし、Fµν (n) =1[{(Aν (n + µ̂) − Aν (n)) − (Aµ (n + ν̂) − Aµ (n))}]a(5.3.14)と置いた。これは連続極限 (a → 0) でゲージ場の微分を含む Fµν (x) に戻る。
更に以下の量の a → 0 での展開を考える。
·
¸
1 XX
1
†
1 − (Uµν (n) + Uµν (n))(5.3.15)e2 n µ<ν
2
·
´¸
1 XX
1 ³ iea2 Fµν (n)−iea2 Fµν (n)
= 2
1−
e
+e
(5.3.16)e n µ<ν
2
·
µ
¶¸
1 XX
1
1 2 4 2
1 2 4 22
2
= 2
1−
1 + iea Fµν − e a Fµν + · · · + 1 − iea Fµν − e a Fµν + · · ·e n µ<ν2
2
2(5.3.17)XX

1
a4 Fµν (n)Fµν (n) + O(a6 )
2
n µ<ν
X X1
=
a4
Fµν (n)Fµν (n) + O(a6 )
4
n
µ,ν

=

(5.3.18)(5.3.19)

すなわち a → 0 で

¸ Z
·
1 XX
1
1
†
1 − (Uµν (n) + Uµν (n)) ≈ d4 x Fµν (x)Fµν (x)2e n µ<ν2
4(5.3.20)と分かる。なので格子上のゲージ場の作用として、

SG [U ] =1 X
1[1 − (UP + UP† )]2e2(5.3.21)

Pと取ることにする。ただし P は、境界 P を持つプラケットの中のリンク変数の正の方向の積を表す。

Lattice QCD
これからは、非可換ゲージ理論を格子上にのせる事を考える。第 I 部でも述べたが、多成分である非可換ゲージ理論に拡張は、
 1 
ψ
³
´
 .. 
ψ →  .  , ψ̄ → ψ̄ 1 . . . ψ̄ N
(5.3.22)Nψ¯ →とすれば良い。G を SU (N ) の元とすると、大域的な変換は、ψ(x) → Gψ(x)、ψ(x)ψ̄(x)G−1 となり、非可換ゲージ理論は、この変換をゲージ化した変換の下で不変であるという理論であり、このときゲージ場 Aµ (x) は実数ではなく行列に値を取ることになる。
53

5.3. ゲージ場の格子正則化

CH. 5. 格子上の場の理論

QED を格子に載せた方法をそのまま拡張することを考える。非可換ゲージ理論では、対応するリンク変数 Uµ (n) は行列に値を取ることになるが再びUµ = eiφµ (n)(5.3.23)とおこう。ただし φµ (n) は、SU (N ) のリー代数に属するエルミート行列である。
正しく連続極限に一致するかは別として、再びプラケットを用意する。

Uµν (n) = Uµ (n)Uν (n + µ̂)Uµ† (n + ν̂)Uν† (n)(5.3.24)

この量のトレースはウィルソンループなので非可換ゲージの下でもゲージ不変な量になっている。格子上の非可換ゲージ理論の作用を SG と書くことにする。
¸
XX·
1
†
SG = ctr
1 − (Uµν (n) + Uµν(n))(5.3.25)2n µ<ν
ただし、c は連続極限が正しく規格化されるように決める定数である。U (1) の時と同様に

φµ (n) = g0 aAµ (n)(5.3.26)と置く。ただし g0 は裸の結合定数、a は格子間隔である。格子上の場のテンソルを Fµνとし、

Uµν (n) = eig0 a Fµν (n)2(5.3.27)と置く。a → 0 での展開には次の Baker-Campbell-Hausdorﬀ の公式を用いる。
1eA eB = eA+B+ 2 [A,B]+···
ここで、φµ (n + ν) ≈ φµ (n) + a∂ν φµ (n) + · · ·≈ g0 aAµ (n) + g0 a2 ∂ν Aµ (n) + · · ·(5.3.28)Fµν (n) −→ Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig0 [Aµ , Aν ](5.3.29)を用いると、a → 0 で Fµν は、
a→0となることがわかる。ここで1
SG (cont) = tr
2Z
d4 xFµν Fµν(5.3.30)

として、

g2
SG → c 0 SG (cont)2
54(5.3.31)

5.4. スタッガードフェルミオン

CH. 5. 格子上の場の理論で一致するように c を決めるとすると c = 2/g02 と分かる。N > 1 に対して、

SG SU (N ) = β

X
1
[1 −
tr(UP + UP† )]2N(5.3.32)

Pとなる。SU (N ) の基底を λ と書き、規格化は tr(λB λC ) = 2δBC としとすると、β = 2N
g2
0

た時にこの基底を用いて Fµν を展開する。

Fµν =

X
B

B
Fµν

λB
2

(5.3.33)

この時、連続理論の作用は、

SG(cont)

Ã
!Ã
!
Z
B
D
X
X
1
4
B λ
Dλ
= tr d x
Fµν
Fµν
2
2
2
B
D
Z
1
B B
=
d4 xFµνFµν
4(5.3.34)(5.3.35)である。
以上により、格子上でゲージ理論が展開できるようになった。

5.4

スタッガードフェルミオン

格子上にフェルミオンを載せる事を考える時に、以下の定理が存在する。
¶
ニールセン・二宮の定理³

以下を満たす格子上のフェルミオンを構成したとする。

1. 並進対称性
2. カイラル対称性
3. エルミート性
4. 双一次形式
5. 局所性
このとき、カイラリティ+ と − の粒子が同数だけ出現する。すなわちダブラーが生
じる。

µ

´

ダブラーとは、元々理論に入っていたフェルミオンに、加え、格子化した副作用として出てきてしまった余分なフェルミオンであり、ダイナミクスに影響を与えうる。これは、時空を格子化した時に運動量が周期性を帯びることによる。
格子上でフェルミオンを構成するためには、何か厳密な対称性を犠牲にするか、ダブ
ラーを認めなければならない。

55

5.4. スタッガードフェルミオン

CH. 5. 格子上の場の理論

格子上のフェルミオンとして、ウィルソンフェルミオン、スタッガードフェルミオン、さらにドメインウォールフェルミオン、オーバーラップフェルミオンなどが知られている。
ウィルソンフェルミオンは、格子作用特有の a/L の連続極限で消える項を加えることでカイラル対称性を顕に壊してダブラーを封じている。後者２つは、“格子上の” カイラル対称性を厳密に保つが、ここでは触れない。以下で説明するスタッガードフェルミオンは、ダ
ブラーをフレーバーと解釈し理論を記述することにより厳密なカイラル対称性もつ。

5.4.1

スタッガードフェルミオン

スタッガードフェルミオンは、以下の格子上の作用で記述される。

h
³
´i
1X
ηµ (x) χ̄(x) Uµ (x)χ(x + µ̂) − Uµ† (x − µ̂)χ(x − µ̂)
2 xµ
1Xχ̄(x)D(x, y)χ(y)=2 x,yS stag =(5.4.1)(5.4.2)

ただし、χ は 1 成分のフェルミオンをあらわす。また、ηµ (x) はスタッガードフェイズと呼ばれディラック行列の構造をηµ (x) = (−)x1 +···+xµ−1(5.4.3)と表現する。また、

D(x, y) =Xnoηµ (x) Uµab (x)δx+µ̂,y − Uµ†ab (x − µ̂)δx−µ̂,y(5.4.4)µである。このとき対応する連続理論では、Nf = 2[d/2] = 4 の理論を構成する [8][9]。
"
#
2
X¯
▽
▽
1
µ
µ
(5.4.5)
S stag = 2+ (γ5 ⊗ tµ t5 )+ m(1 ⊗ 1) ψ̂(N )ψ̂(N ) (γµ ⊗ 1)
2
2
N0
N,µ

ただし N a = x、ta = γa 、N02 は規格化定数、ψ̂ は格子間隔 a で無次元化したディラック
フェルミオンである。

5.4.2

SU (2) での Nf = 2 のスタッガードフェルミオン

ここでは SU (2) 非可換ゲージ理論で Nf = 2 のスタッガードフェルミオンを実現する方法の概要を述べる。

擬フェルミオン法
まずシミュレーションでフェルミオンを計算する方法である擬フェルミオンについて簡単に述べる。格子シミュレーションは計算機を用いて行われるので、グラスマン数である

56

5.4. スタッガードフェルミオン

CH. 5. 格子上の場の理論

フェルミオンを直接扱えない。そこで、フェルミオンを先に積分してしまう。そして積分結果である det[D(U ) + m] を考え、外場中のフェルミオンを表現し、その後ゲージ場で積分することになる。以下では簡単のために、Nf フレーバーのフェルミオンだけの系を考える。すると、
Z
Dψ̄Dψ exp(−ψ̄DNf ψ) = det[DNf ](5.4.6)となる。ただし、ψ̄DNf ψ ≡Nf Z
X

d4 xψ̄j (x)D/ ij ψi (x)(5.4.7)i,jという表記を用いた。このとき Dψ =NFYDψi である。

i

ディラック演算子はフレーバーについて対角なので、
µZ
¶N f
Z
Dψ̄Dψ exp(−ψ̄DNf ψ) =Dψ̄Dψ exp(−ψ̄D1 ψ)= det[D1 ]Nf(5.4.8)(5.4.9)Nf が偶数の時を考える。D† = γ 5 Dγ5 と det[AB] = (det A)(det B)、(γ 5 )2 = 1 より、det[D1 ]Nf = det[D1 D1 ]Nf /2(5.4.10)= det[D1† D1 ]Nf /2(5.4.11)とできる。(det A)−1 = det[A−1 ] と、グラスマン数のガウス積分が det を出すのに対し、ただの数のガウス積分は 1/ det を出す事を思い出すと、

det[D1† D1 ]Nf /2 = (det[D1† D1 ]−Nf /2 )−1Z∝ Dφ† Dφ exp(−φ† [D† D]−1
Nf /2 φ)(5.4.12)(5.4.13)³´
ただし、T φ = φ1 , φ2 , · · · , φNf /2 とおいた。この Nf /2 個の複素ボゾンを擬フェルミオンと呼ぶ。まとめると、
Z
Z
Dψ̄Dψ exp(−ψ̄DNf ψ) ∝ Dφ† Dφ exp(−φ† [D† D]−1
N /2 φ)f(Nf は偶数)(5.4.14)となる。

Nf = 2 のスタッガードフェルミオン
ここからは、具体的にスタッガードフェルミオンのディラック演算子 Dstag を考え、かつ m = 0 としておく5 。Dstag は、連続理論で縮退した Nf = 4 の理論を記述する。なので
5m ̸= 0 でも話は変わらない

57

5.4. スタッガードフェルミオン

CH. 5. 格子上の場の理論

1/2

det[Dstag ] が計算できれば、連続理論で Nf = 2 が実現できることになる。まず、擬フェルミオンでスタッガードフェルミオンを表現する事を考える。
†(det[Dstag ])2 ∝ (det[Dstag
Dstag ])
Z†
∝ Dφ† Dφ exp(−φ† [Dstag
Dstag ]−1 φ)

ここで、次の表記を導入する。

Ã
φ=
φ† =

³

φe
φo

(5.4.15)(5.4.16)!

(φe )†(5.4.17)(φo )†´(5.4.18)(5.4.19)

ここで φe は偶数番目の、φo は奇数番目の格子上の擬フェルミオンを表す。Dstag の具体的な表式を見ると、Dstag は以下の構造を持つ事が分かる。
Ã
!
0 Deo
Dstag =
Doe
0
Ã
!
†
0 Doe
†
Dstag =
†
Deo
0
すなわち、

Ã
†
Dstag
Dstag ≡(D† D)ee0†0(D D)oo!
(5.4.20)†となり、Dstag Dstag では、奇数格子点上の擬フェルミオンと偶数格子点上の儀フェルミオンの寄与が完全に分離する。式で書くと、
Z†2(det[Dstag ]) ∝ Dφ† Dφ exp(−φ† [Dstag
Dstag ]−1 φ)(5.4.21)µZ¶=
Dφe† Dφe exp(−φe† [(D† D)ee ]−1 φe ) × (e ↔ o)
(5.4.22)
ここで、偶数サイトの寄与と奇数サイトの寄与が全く同じである、という事実を用いる6 。
µZ
¶2
2
e†
e
e†
†
−1 e
(det[Dstag ]) ∝Dφ Dφ exp(−φ [(D D)ee ] φ )(5.4.23)

D† D は正定なので、符号の不定性なしに、
Z
det[Dstag ] ∝ Dφe† Dφe exp(−φe† [(D† D)ee ]−1 φe )(5.4.24)

6
これは、D† D が、偶数サイト同士、奇数サイトどうししか結ばず、混じり合わない事により全く同じ系のコピーが２つになるため。

58

5.4. スタッガードフェルミオン

CH. 5. 格子上の場の理論と書ける。こうして、スタッガードフェルミオンを格子に載せることができた。
ここで、SU (2) の表現が実表現しかない事を用いる7 ために φ = φR + iφI と分解する。
Z
³
´
†
−1 e
det[Dstag ] ∝ dφeR dφeI exp −φe†
[(D
D)
]
φ
+
(R
↔
I)
(5.4.25)
ee
R
R

·Z
=

dφeR exp

´ ¸2
³
e†
†
−1 e
−φR [(D D)ee ] φR

(5.4.26)

すなわち、

Z
1/2

det[Dstag ]

∝

´
³
†
−1 e
dφeR exp −φe†
[(D
D)
]
φ
ee
R
R

(5.4.27)

右辺の量は数値計算で、擬フェルミオンを偶数サイトの寄与だけ拾いそしてその実部をとることで求められる。一方で左辺の量は Nf = 4/2 = 2 のフェルミオンを記述している。
以上の方法により、スタッガードフェルミオンを用いて Nf = 2 のシミュレーションを行った。

ある生成子の表現をを Ta とおく。ある行列 S を用いて STa S −1 = −Ta∗ を満たせる時、表現が実であるという。SU (2) の表現はすべて実であることが知られている。随伴表現の時は、実際に行列の要素はすべて実数になる (3 次元回転行列)。
759

Ch.6 非摂動論的な有効結合定数の定義

6.1

非摂動論的なくりこまれた結合定数の定義ある考えたい物理量を O とする。量子論において物理量は、期待値を取られるべきものである。期待値を求める操作は、摂動論とは関係ない。その期待値を 〈O〉NP と呼ぶことにする。(NP は、Non-Perturbative の意味である。)
一方、場の量子論において通常物理量を求めるには、結合定数による摂動論を用いて計算する。裸の結合定数で定義された理論の摂動の最低次を 〈O〉tree とよぶことにする。ここで g0 を裸の結合定数として、物理量が 〈O〉tree = kg02 と表されるものだとする。ただし kは系による因子である。このとき、くりこまれた結合定数を2〈O〉NP ≡ kgR(6.1.1)と定義する。
すると、もし何らかの非摂動論的な方法で物理量の期待値を求められたとき、tree で求めた k を用いて (6.1.1) により、くりこまれた結合定数を
2
gR
=

1
〈O〉NP
k

(6.1.2)のように求めることができることになる。
以下では、〈O〉NP を非摂動論的な方法である、格子ゲージ理論のシミュレーションを用いて求める事を念頭におき、物理量 O を具体的に考え、因子 k を各物理量に対して求める。

6.2

TPL スキーム

ここでは、物理量 O として、捻れた周期境界条件を課したポリャコフラインを用いることにする。この方法を TPL スキーム (Twisted Polyakov loop Scheme) と呼ぶことにする。以下では、非摂動論的なくりこまれた結合定数を求めるのに TPL を用いる準備としてに、格子上での摂動論の最低次での k を求める。

6.2.1

ポリャコフループ

まず、通常のポリャコフループを定義する。格子空間を L3 × T とする。ただし、T とL は整数である。そして周期境界条件をとる。このとき時間方向のポリャコフループは以60

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義下で定義される。

Pt (x, y, z) = tr [Ut (x, y, z, 0)Ut (x, y, z, 1) · · · Ut (x, y, z, T )]TY= tr 
Ut (x, y, z, j)

(6.2.1)(6.2.2)j=0

つまり、時間方向のリンク変数の積であり、周期境界条件とトレースによりこの量はゲージ不変である。以下では格子サイズを L4 とする。

6.2.2

捻れた周期境界条件

ポリャコフループの 0 モードを消すために、捻れた (Twisted な) 境界条件を用いる。つまりリンク変数に対しての境界条件として、以下をもちいることにする。
U (x + ν̂L) = Ω U (x)Ω† ,ν̂ = x̂, ŷνµν µ(6.2.3)
Uµ (x + ν̂L) = Uµ (x),ν̂ = ẑ, t̂
ただし Ων は以下を満たすものとする。

(Ων )Nc = (−)Nc −1 1Ωx Ωy = zΩy Ωx³
ただし、z = exp

2πik
Nc

(6.2.4)´(つまり 1 の n 乗根)、Ων は SU (Nc ) の元である。上記の条件は、リンク変数が t、z 方向に格子サイズだけ進んだ時、余計な位相がかけられるということである。
リンク変数でなく、ゲージ場自身の境界条件をどうすべきだろうか。Uµ (x) = exp (ig0 Aµ (x))
とすると1 以下のようにすれば良いことがわかる。
A (x + ν̂L) = Ω A (x)Ω† ,ν̂ = x̂, ŷνµν µAµ (x + ν̂L) = Aµ (x),ν̂ = ẑ, t̂

6.2.3

捻れた平面波展開

ゲージ場を平面波展開 (フーリエ展開) することを考える。これは作用を運動量表示しプ
ロパゲーターを作る時に必要である。しかし今の場合、境界条件により普通の平面波展開
することができない。そこで、両立するために以下の展開を考える。

Aµ (x) ≡1 X
Γk Ãµ (k)eikx+ikµ /2
L4(6.2.5)k1
この章では、格子間隔を a として、aA(x) ≡ Â(x) として無次元化しこれを再び A(x) と呼びなおしている。また、格子サイズ L も a を用いて無次元化したものを L と呼びなおしている。

61

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義

ゲージ場 Aµ の µ 成分なら、平面波から eikµ /2 だけずらした波で展開する。Ãµ (k) と Γkは、カラーの足を持っているが書かないことにする。ただし、Ων Γk Ω†ν =eikν L Γk , ν̂ = x̂, ŷ(6.2.6)kν ≡kνph + kν⊥(6.2.7)k ph = 2π nphνL νk ⊥ = 2π n⊥νL− L2 ≤ nph
ν < 2

n⊥
ν = 0, 1, · · · , Nc − 1

Nc L ν

⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
−n⊥
Γk ≡Ωx y Ωny x z (nx +ny +1)(nx +ny )/2(6.2.8)(6.2.9)最後の式は、Γk が SU (Nc ) の元であることを示している。
¶
証明

³

ここで、

Ων Γk Ω†ν = eikν L Γk , ν̂ = x̂, ŷを示す。まず ν = x のとき、
−n⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

n⊥

Ωx Γk Ω†x = Ωx y Ωx Ωny x Ω†x z (nx +ny +1)(nx +ny )/2
n⊥

†

†

⊥

ここで、ΩΩ† = 1 なので、Ωx Ωy x Ωx = (Ωx Ωy Ωx )nx = z nx Ωy x より、⊥= z nx Γkとなる。一方でまた、
2π

ph

⊥

1

2π

⊥

eikx L = ei L (nx + Nc nx )L = ei Nc nx⊥= z nx(k = 1)

次に、ν = y のときは、
−n⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

Ωy Γk Ω†y = Ωy Ωx y Ω†y Ωny x z (nx +ny +1)(nx +ny )/2
⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

= (Ωy Ωx Ω†y )−ny Ωny x z (nx +ny +1)(nx +ny )/2Ωx Ωy = zΩy Ωx より Ωy Ωx = z̄Ωx Ωy なので、⊥⊥

= (z̄)−ny Γk = z ny Γk⊥

さらに eiky L = z ny なので成り立つ。

µ

´

62

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義

¶
証明

³

⊥
n⊥
x → nx + Nc とした時でも Γk の唯一性が損なわれない事を示す。
−n⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

Γ′k ≡Ωx y Ωny x +Nc z (nx +ny +1)(nx +ny )/2
n⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

=Ωx y Ωny x (−1)Nc −1 z (nx +ny +1)(nx +ny )/2 z Nc (nx +ny +1/2) z Nc /2⊥⊥=Γk (−1)Nc −1 (z Nc )nx +ny z

2

Nc (Nc +1)2

定義により z Nc = 1 なので、=Γk (−1)Nc −1 z

Nc (Nc +1)2·2πi Nc (Nc + 1)
=Γk exp [πi(Nc − 1)] exp
Nc2¸=Γk exp [πi(Nc − 1) + πi(Nc + 1)]=Γkよって唯一に定まる。

µ

6.2.4

´

Feynman Rule

この節では摂動論を展開するために、捻れた境界条件の下でのゲージ場のプロパゲー
ターの表式を得る。まず、格子上のゲージ作用は、以下で与えられる。

Sg =

h
i
2 XX
†
†
Re
tr
1
−
U
(x)U
(x
+
µ̂)U
(x
+
ν̂)U
(x)
µ
ν
µ
ν
g02 x µ>ν(6.2.10)

このリンク変数を展開し、作用をゲージ場で書きなおす。まず、

Uµ (x)Uν (x + µ̂)Uµ† (x + ν̂)Uν† (x)≈ exp [ig0 (Aµ (x) − Aµ (x + ν̂) − Aν (x) + Aν (x + µ̂))]≡ exp [ig0 Xµν (x)](6.2.11)

この表式を作用 Sg に入れる。

·
µ
¶¸
2 XX
(ig0 )2 2
Sg ≈ 2
Re tr 1 − 1 + ig0 Xµν (x) +Xµν (x)2
g0 x µ>ν
XX¡ 2¢=
Re tr Xµν
(x)
x µ>ν

¢
1 XX ¡ 2=
tr Xµν (x)2 x µ>ν

(6.2.12)63

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義

ここで、Aµ の式を Xµν に代入する。
o1 X n
Xµν (x) = 4
Γk Ãµ (k)eikx+ikµ /2 (1 − eikν ) − Ãν (k)eikx+ikν /2 (1 − eikµ )Lki
1 X ikx+i(kµ +kν )/2 h ikµ /2e(e− e−ikµ /2 )Ãν (k) − (eikν /2 − e−ikν /2 )Ãµ (k) Γk
= 4
L
k
´
1 X ikx+i(kµ +kν )/2 ³(6.2.13)= 4k̂µ Ãν (k) − k̂ν Ãµ (k) ΓkeLk

ただし k̂ = 4

P

³

µ sin

kµ
2

´
とおいた。よってゲージ作用 Sg は運動量表示で、Γ は行列の足があるのでトレースになり、以下のようになる。
1 X X X i(k+q)x+i(k+q)µ /2+i(k+q)ν /2
Sg = − 8
e
2L
q
x
k
³
´³
´
× tr (Γk Γq ) k̂µ Ãν (k) − k̂ν Ãµ (k) q̂µ Ãν (q) − q̂ν Ãµ (q)(6.2.14)(6.2.15)

トレース tr (Γk Γq ) は、Ω を用いて以下のように変形できる。
¶
µ
−m⊥
−n⊥
y
y
m⊥
n⊥
x
x
tr (Γk Γq ) =tr Ωx Ωy Ωx Ωy
⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

× z (nx +ny +1)(nx +ny )/2 z (mx +my +1)(mx +my )/2
¶
µ
n⊥
−n⊥
y
y
−n⊥
n⊥
(n⊥
+n⊥
)2
x
x
x
y
=δn⊥
tr Ωx Ωy Ωx Ωy
⊥ δ ⊥
⊥ z
x +mx ,0 ny +my ,0(6.2.16)Ωµ の表式を用いて最後のトレースを求める。
¢ ⊥
¡
⊥ n⊥
n⊥
−1 ny
= z̄ ny Ωx y
Ωy Ωx y Ω−1
y = Ωy Ωx Ωy(6.2.17)

なので、
⊥

n⊥

⊥ ⊥

n⊥

(2)

⊥ 2

⊥ ⊥

(2)

⊥

⊥

x = z̄ nx ny Ω yΩny x Ωx y Ω−nxy(6.2.18)となる。よって、⊥ 2

tr (Γk Γq ) = Nc δk⊥ +q⊥ ,0 z (nx ) +nx ny +(ny )⊥≡ Nc δk⊥ +q⊥ ,0 z (n ,n )よって作用は、´³´ ⊥ ⊥Nc X ³
Sg = − 4k̂µ Ãν (k) − k̂ν Ãµ (k) −k̂µ Ãν (−k) + k̂ν Ãµ (−k) z (n ,n )2L

(6.2.19)(6.2.20)k

Pkph
ただし k̂ 2 = 4 µ sin2 2µ 、(kµ = kµ + kµ⊥ ) である。A · · · A の形にすると、挟まれた部分の逆数がプロパゲーターになる。
³´
1
1 2Nc X
⊥ ⊥
2
Ã
(−k)
δ
k̂
−
k̂
k̂
Ãν (k)z 2 (n ,n )(6.2.21)
Sg =
µ
µν
µ
ν
4
2 L
k

64

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義

ここから、ゲージ場のプロパゲーターを求めることができるが、以下に注意する。
すなわち Aµ (x) は、SU (Nc ) の元なので tr (Aµ ) = 0 でなければならないが、ゲージ場 Aµ (x)の展開式は (6.2.5)、さらに Γk⊥ = 0 なので、n⊥ = 0(mod N ) に対して Ãµ (k ph , k ⊥ ) = 0
でなければならない。それを踏まえ χk⊥ ≡ 1 − δk⊥ ,0 とすると、〈Ãµ (−k)Ãν (k)〉 =1
L4 (4)⊥ ⊥ 1(2)
δ(q+k)ph ,0 δ(q+k)⊥ ,0 χk⊥ z − 2 (n ,n ) δµν
2Nc
k̂ 2

(6.2.22)となる。これにより摂動計算ができるようになった。

6.2.5

TPL

TPL の相関関数の比を gR の定義に用いるので、摂動から k を求める。
そのためにまず、TPL を定義する。x 方向の TPL は、

 
L−1
Y
2πi
Px (y, z, t) ≡ tr Ux (x = j, y, z, t) Ωx  e− Nc L yj=0と定義される。これは、境界条件と無矛盾である。

65(6.2.23)

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義

¶
証明

³

まず定義より、L−1YPx (y + L, z, t) = tr 

Ux (x = j, y + L, z, t) Ωx  e− Nc L (y+L)
2πi

j=0

トレースの内側は Ux に対する境界条件を入れ、またトレースの外側の指数関数の Lの部分は z の定義により z −1 と分かるので、
 

L−1
Y
2πi
= tr 
Ωy Ux (x = j, y, z, t)Ω†y  Ωx  e− Nc L y z −1
j=0

Ωy Ω†y = 1 より、






L−1
Y

= tr Ωy Ux (x = j, y, z, t) Ω†y Ωx  e− Nc L y z −1
2πi

j=0
†

トレースの巡回性、Ωy Ωx Ωy = zΩx より、
 

L−1
Y
2πi
Ux (x = j, y, z, t) Ωx  e− Nc L y=tr 
j=0=Px (y, z, t)µ´

ポリャコフループを g0 の 1 次まで摂動展開する。

 
L−1
Y
2πi
Ux (x = j, y, z, t) Ωx  e− Nc L y
Px (y, z, t) = tr 
j=0

= tr

Ã"L−1
Y

#

!

(1 + ig0 Ax (x, y, z, t) + · · · ) Ωxe− Nc L y
2πi

x=0

=

L−1
X

ig0 tr (Ax (x, y, z, t)Ωx ) e− Nc L y
2πi(6.2.24)

x=0

Px∗ (y, z, t) =

L−1
X

³

(−ig0 )trAx (x, y, z, t)Ω†x´

2πi

e Nc L y(6.2.25)

x=0

ここで、Px (y, z, t) と Px∗ (0, 0, 0) の相関関数を求める。すると前述の結果より、摂動の最低次で以下であることがわかる。

〈Px (y, z, t)Px∗ (0, 0, 0)〉 = g02

L−1
X L−1
X

h
i
2πi
e− Nc L y 〈tr [Ax (x, y, z, t)Ωx ] tr Ax (x′ , 0, 0, 0)Ω†x 〉x=0 x′ =0(6.2.26)66

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義

y と z の和を取り t = L/2 とし、右辺を運動量表示にする。
X〈Px (y, z, L/2)Px∗ (0, 0, 0)〉 = g02

L−1
X L−1
XX

e− Nc L y2πix=0 x′ =0 y,zy,z

× tr [Γk Ωx ] tr

h

XX
q

k

Γq Ω†xi〈Ãx (k)Ãx (q)〉1L8ikx x+iky y+ikz z+ikt L/2ex′

× eiqx eikx /2 eiqx /2(6.2.27)

Γk の性質を用い、すべての Γ を Ω に書き換え、トレースを計算する。
·
¸
−n⊥
y
n⊥
(n⊥
+n⊥
+1)(n⊥
+n⊥
)/2
x
x
y
x
y
tr [Γk Ωx ] = tr Ωx Ωy zΩx= δn⊥
δ ⊥ Nc z
y ,1 nx ,0(6.2.28)

もう一方も同様にして、
¸
·
h
i
−m⊥
y
m⊥
(m⊥
+m⊥
+1)(m⊥
+m⊥
)/2 †
†
x
x
y
x
y
Ωx
tr Γq Ωx = tr Ωx Ωy z= δm⊥
δ ⊥ Ncy ,−1 mx ,0(6.2.29)

すると相関関数はプロパゲーターの表式より、
L−1
X
X L−1
X X − 2πi y X 1 L4 (4)(2)〈Px (y, z, L/2)Px∗ (0, 0, 0)〉 = g02
e Nc Lδ(q+k)ph ,0 δ(q+k)⊥ ,0
8
L 2Nc
′
y,z
y,z
x=0 x =0k,q(6.2.30)⊥⊥× χk⊥ z − 2 (n ,n )
1

1

k̂ 2
× Nc δn⊥δ ⊥ z × δm⊥δ ⊥ Ncy ,1 nx ,0y ,−1 mx ,0′× eikx (x−x )+iky y+ikz z+ikt L/2(6.2.31)

和を取りまとめると、X
g 2 Nc X X 1 ikx (x−x′ )+iky − N2πiL y ikz z ikt L/2c〈Px (y, z, L/2)Px∗ (0, 0, 0)〉 = 0 4
e
e e
2
2L
k̂
′
y,z
x,x ,y,z nph(6.2.32)
ここで kµ は、µ
kµ =2π ph 2π ph
2π 2π ph 2π phn , n +
, n , n
L x L yNc L L z L t, 0,である。そこで kµ = (0, N2π
cLX¶(6.2.33)

2πnphtL ) とすると、

g 2 Nc X〈Px (y, z, L/2)Px∗ (0, 0, 0)〉 = 0
2

y,z

=

g02 Nc
2

nph
t

1
k̂ 2

e

ph
2πnt
L/2
L

X

4 sin
−L
≤n< L
2
2
67

2

³

(−)n
´
¡ ¢
π
2 πn
Nc L + 4 sin
L(6.2.34)

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義

一方、捻っていない z 方向のポリャコフループの相関関数は定義からLYPz (x, y, t) = tr Uz (x, y, j, t)

(6.2.35)j=0

よって以下である。

X〈Pz (x, y, L/2)Pz∗ (0, 0, 0)〉 = L2 Nc2(6.2.36)xy

これらの比をとり、くりこまれた結合定数を定義する物理量とする。
P∗y,z 〈Px (y, z, L/2)Px (0, 0, 0)〉
P
〈O〉 ≡
∗
xy 〈Pz (x, y, L/2)Pz (0, 0, 0)〉
X
g02
(−)n
=
³
´
tree
¡ ¢
π
2
2 πn
2Nc L2 L+4sin
L 4 sin
Nc L
L
− ≤n<
2

(6.2.37)(6.2.38)2

つまり k は、〈O〉tree = kg02 より、以下であることがわかる。

k=

1
8Nc L2

X
≤n< L
−L
2
2

sin2

³

(−)n
´
¡ ¢
π
2 πn
Nc L + sin
L(6.2.39)(6.2.37) を非摂動論的に求めることが出来れば、(6.2.39) を用いてくりこまれた結合定数を求めることができる。この量の格子化誤差は、(a/L)2 から始まる。なので連続極限は、この量の (a/L)2 → 0 の外挿に対応する。以下に各格子サイズに対する k を求めるプログ
ラムのソースコードを載せる。

68

6.2. TPL スキーム

CH. 6. 非摂動論的な有効結合定数の定義¶
Calculate k of TPL sheme³

cc calculation value of k(twbc Polyakov loop)c
implicit none
integer n,L,Nc
double precision k,c_fac,pi,num,dem
pi=atan(1.0d0)*4.0d0
open(17, file=’input.dat’, status=’old’)
C input.dat = N_c Lattice-size
C ex. 2 20
read (17,*) Nc, L
close(17)num=0.d0
dem=0.d0
c_fac=1/dble(8*L*L*Nc)
do n = -L/2 , L/2 -1
num=dble((-1)**n)
dem=sin(pi/dble(Nc*L))**2.0d0
dem=dem+sin(dble(n)*pi/dble(L))**2.0d0
k=k+num/dem
end dok=k*c_fac
write(*,*)1.d0/dble(L),1.0d0/k,’#L=’,L
END

µ

69

´

Ch.7 ステップスケーリング

7.1

Setp Scaling

ここでは、有限サイズで結合定数のエネルギー依存性を調べる手法であるステップス
ケーリングについて述べる。前章までで、有限格子サイズで、裸の結合定数 β = 4Nc /g02
2 (L, β) という量に対応する有効結合定数 gR (L, β) を求める手法を述べた。ここで、u = gRを定義しておく。また以下では、格子サイズを格子間隔 a を用いて無次元化したものを格子サイズ L と呼ぶことにする。横軸に裸の結合定数、縦軸にくりこまれた結合定数にしたグラフを書くと以下のようになる (図 7.1)。このとき、図の左のほうが強結合領域、右側が弱結合領域 (高エネルギー側) である。
これは、各格子サイズ、我々の今回の場合 L − 6, 8, 12, 16 について描くことになる。こ2
u = gR

= 3.5

=4

=5

=6

L

6

= 10

=

4Nc
g02

図 7.1: データのイメージ図。横軸が裸の結合定数、縦軸が有効結合定数 u。エラーバーは
統計誤差である。つまり多数回シミュレーションを行えば小さくなるものである。右側が高エネルギー側で摂動が良い。

こでの図は、見やすい様に書いたイメージ図である。そして、得たデータを適当な関数で統計誤差の寄与を入れて β の内挿する (図 7.2)。具体的なフィット関数は次章で述べるが、高エネルギー側で、摂動論に合う様に選んだ。
すべての格子サイズについて β の内挿を行う (図 7.3)。ここまでで、ステップスケーリ
ングの準備が終了した。次からがステップスケーリングである。
まず、理論のエネルギースケールはわからないので、ある高エネルギースケールである
2 を決め結合定数になる、というくりこみ条件を設定する。つまり、インプットの u0 = gRてやる。そしてその u0 を返すような β を小さい格子 L − 6, 8 で求めてやる (図 7.4)。次70

CH. 7. ステップスケーリング

7.1. SETP SCALING2
u = gR

= 3.5

=4

=5

=6

L

6

= 10

=

4Nc
g02

図 7.2: β の内挿。横軸が裸の結合定数、縦軸が有効結合定数 u。
2u = gR

L
L
L
L

16
12
8
6

=

4Nc
g02

図 7.3: 全格子サイズでの β の内挿。横軸が裸の結合定数、縦軸が有効結合定数 u。

に、小さい格子で決めた β で測った、大きい格子 L − 12, 16 での u を求める (図 7.5)。
今まで行なってきた操作がどういう事に対応するかを別の図を用いて考えてみる。
2 を決めてやる。そしてその u を返すような β を小さい格子 L−6, 8
インプットの u0 = gR0で求めてやる (図 7.6)。この図は、横軸が 1/L つまり、格子の粗さに対応し、原点が連続極限に対応している。縦軸は、有効結合定数 u である。
次に、L − 6 で u0 になるような β で L − 12 での u を求める。同様に、L − 8 で u0 にな
るような β で L − 16 での u を求める。この時、格子サイズは 2 倍になっているのでエネ
ルギースケールとしては、半分になっている (図 7.7)。一般のステップスケーリングでは、この比率を s としている。この時には、格子サイズは s 倍、エネルギースケールは 1/s 倍になる。
ステップスケーリングの最後の手続きとして連続極限を取る (図 7.8)。ここで、元の有効結合定数が u0 で s = 2 のステップスケーリングなので出てきた有効結合定数を σ(u0 , s = 2)と呼ぶことにする。これはステップスケーリング関数と呼ばれる。連続極限は、外挿なので、どのような関数が良いかはわからない。本来は、3 点以上で、線形関数と、定数フィットを比べる、などをするべきであるが、今は 2 点の定数フィット (2 点の平均) によって連71

CH. 7. ステップスケーリング

7.1. SETP SCALING2
u = gR

L
L
L
L

16
12
8
6

u0

1

=

2

4Nc
g02

図 7.4: ステップスケーリングその 1。横軸が裸の結合定数、縦軸が有効結合定数 u。
2u = gR

L
L
L
L

16
12
8
6

u2
u1

1

=

2

4Nc
g02

図 7.5: ステップスケーリングその 2。横軸が裸の結合定数、縦軸が有効結合定数 u。

続極限をだした。
まとめると、(図 7.9) の様になる。ステップスケーリングを用いると、以下の事がわかる。ある有効結合定数 u を決め、そして格子サイズを倍にする、つまりエネルギースケー
2 がどれだけ大きくなる
ルを半分にしたとき、対応する連続極限での有効結合定数 u = gRかを調べることが出来る。
今までの説明してきたステップスケーリングの手続きを繰り返し、σ(u, s)/u をプロットすると、(図 7.10) の様になる。σ(u, s)/u は、有効結合定数の成長率を表す。この数値シミュレーションによって求めた有効結合定数の成長率が 1 の線を切るとそこで成長が止まる事になるのでくりこみ群の固定点 u∗ の発見ということになる。

72

CH. 7. ステップスケーリング

7.1. SETP SCALING2
u = gR

u0

Cont.lim.

1
8

2

1
6

2

2

a
L

図 7.6: ステップスケーリングその 1 。横軸が格子の粗さ、原点が連続極限。縦軸は、有効結合定数 u。

2
u = gR

格子サイズ2倍=エネルギースケール半分
u2Cont.lim.

2

1
16

u1

1
12

s=2

2

1
8

2

1
6

2

2

a
L

図 7.7: ステップスケーリングその 2 。横軸が格子の粗さ、原点が連続極限。縦軸は、有効結合定数 u。

2
u = gR(u0 , 2)Cont.lim.

u2

1
16

2

u1

1
12

連続極限
2

図 7.8: ステップスケーリングその 3

73

a
L

2

CH. 7. ステップスケーリング

7.1. SETP SCALING2
u = gR

格子サイズ2倍=エネルギースケール半分(u0 , 2)u2

Runningu1

u0Cont.lim.

1
16

2

1
12

2

1
8

2

1
6

2

a
L

2

図 7.9: ステップスケーリング(u, 2)/u ~成長率

摂動論

1
u

u

図 7.10: ステップスケーリングでの固定点の発見のイメージ図。

74

Ch.8 先行研究

8.1

先行研究

MWTC モデルの固定点探索を格子シミュレーションを用いて先行研究として、[10] や[11] がある。ここでは [10] に限って結果を紹介したい。彼らは格子上で有効結合定数を定義するのにシュレーディンガー汎関数を用いている事、格子上のフェルミオンとして、
ウィルソンフェルミオンを用いていることが我々の研究との大きな違いである。ウィルソ
ンフェルミオンは、我々の用いているスタッガードフェルミオンと違い、カイラル対称性を顕に破っている。また、格子作用に O(a/L) の格子化誤差が含まれている。この事により連続極限から遠いので連続極限を調べるのに向いていない。シュレーディンガー汎関数
も格子化誤差が同様に O(a/L) から始まるので連続極限を調べることについては、我々の手法のほうが優れているといえる。連続極限は 3 つのデータ点の平均 (定数フィット) を用

図 8.1: ステップスケーリング関数 Σ(4/3, u, a/L) と a/L のグラフ。誤差棒は定数フィットの連続極限と線形フィットの差 (連続極限に伴う系統誤差) である

いて出している。連続極限に伴う系統誤差として、定数フィットと一番粗い L − 6 のデー
タを捨てた 2 点の 1 次関数の切片の差を用いている。これは大変不満足であり、我々はより精密に連続極限を取ることを考えた。

75

8.1. 先行研究

CH. 8. 先行研究

彼らの得た結論は、固定点は g 2 = 2.0 − 3.2 にあり、そこで異常次元は 0.05 < γ < 0.56という値を得ている。

図 8.2: σ(u, 4/3)/u と u の結果グラフ。黒の誤差棒は統計誤差のみで、赤の誤差棒は定数
フィットの連続極限と線形フィットの差 (連続極限に伴う系統誤差) である

76

第 III 部

Results and Discussions

Ch.9 結果と結論、今後の課題

9.1

理論のまとめとデータ

前章までで議論したことをまとめると、標準理論を超える物理模型として電弱精密測定をクリアしうる MWTC モデルを考えると、くりこみ群の赤外固定点と 1 程度の異常次元が必要だった。ここで言う MWTC モデルとは、随伴表現のフェルミオン Nf = 2 の SU (2)ゲージ理論である。
今回は、固定点発見のために 4 次元格子上のシミュレーションを行った。異常次元は、測定していない。ゲージ場の配位生成はハイブリッドモンテカルロ法を用い、格子フェルミオンとしてスタッガードフェルミオンを用いた。具体的に測定した量は、x, y 方向に Twisted
boundary condition を課したポリャコフループの相関関数の比である (6.2.37)。
P〈Px (y, z, L/2)Px∗ (0, 0, 0)〉Py,z≡ r poly∗
xy 〈Pz (x, y, L/2)Pz (0, 0, 0)〉
これを以後 r poly と呼ぶことにする。この r poly にツリーからくる因子 1/k を掛ければくりこまれた結合定数の 2 乗が定義できた。
解析に用いたデータセットは以下のとおりである (表 9.1 -9.4)。1conf= 200(Trj) としているので、250conf の場合、標本が 250(conf) × 200(Trj) = 50000 個あることになる。

L-6
β
#conf

10
250

8
250

7
250

6
250

5.5
250

5
250

4.5
250

4
250

3.5
250

3.25
250

4.5
250

4
250

3.5
250

3.25
250

表 9.1: 配位数

L-8
β
#conf

10
250

8
250

7
250

6
250

5.5
250

5
250

表 9.2: 配位数
ポリャコフループの相関関数の比の測定値 r-poly は、各 β = g42 、各 L で以下のように0なった (表 9.5 -9.8)。

78

9.1. 理論のまとめとデータ

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

L-12
β
#conf

10
250

8
250

7
250

6
250

5.5
250

5
250

4.5
250

4
250

3.5
250

3.25
-

4.5
168

4
128

3.5
90

3.25
-

表 9.3: 配位数

L-16
β
#conf

10
298

8
308

7
227

6
221

5.5
199

5
147

表 9.4: 配位数

L- 6
β
10.00
8.00
7.00
6.00
5.50
5.00
4.50
4.00
3.50
3.25

r poly6.429(55)×10−3
7.947(58)×10−3
9.090(84)×10−3
1.079(96)×10−2
1.147(11)×10−2
1.277(11)×10−2
1.394(21)×10−2
1.581(23)×10−2
1.839(23)×10−2
2.032(29)×10−2

表 9.5: L-6 における各 β = g42 での r pory の測定値と統計誤差
079

9.1. 理論のまとめとデータ

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

L- 8
β
10.00
8.00
7.00
6.00
5.50
5.00
4.50
4.00
3.50
3.25

r poly6.733(63)×10−3
8.390(80)×10−3
9.718(11)×10−3
1.114(14)×10−2
1.231(17)×10−2
1.331(20)×10−2
1.481(22)×10−2
1.752(26)×10−2
2.017(36)×10−2
2.044(50)×10−2

表 9.6: L-8 における各 β = g42 での r pory の測定値と統計誤差
0

L- 12
β
10.00
8.00
7.00
6.00
5.50
5.00
4.50
4.00
3.50

r poly6.864(80)×10−3
8.685(17)×10−3
1.019(17)×10−2
1.149(21)×10−2
1.307(26)×10−2
1.449(27)×10−2
1.627(30)×10−2
1.810(47)×10−2
2.100(51)×10−2

表 9.7: L-12 における各 β = g42 での r pory の測定値と統計誤差
080

9.1. 理論のまとめとデータ

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

L- 16
β
10.00
8.00
7.00
6.00
5.50
5.00
4.50
4.00
3.50

r poly7.270(14)×10−3
8.968(15)×10−3
1.001(21)×10−2
1.249(27)×10−2
1.345(33)×10−2
1.498(54)×10−2
1.635(52)×10−2
1.907(87)×10−2
2.28(10)×10−2

表 9.8: L-16 における各 β = g42 での r pory の測定値と統計誤差
0

L
6
8
12
16

a
-4.20±0.23-1.91±0.30-0.61±0.63
0.72±0.82

b10.89± 1.04
6.14±1.40
5.89±2.96
3.75± 4.38

χ2 /d.o.f
1.42± 0.77
1.62± 0.86
0.92± 0.59
0.84± 0.76

表 9.9: #1 のフィット関数の係数と χ2 /d.o.f

81

9.2. 解析9.2

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

解析

まず統計誤差の評価は、#bin= 25 のジャックナイフ法で行った。実際にステップスケー
リングを行うために、各ビン、各格子サイズごとに前述した β の内挿を内挿を行った。

β v.s. gR2(L,β)
1.4’L-6.dat’f(x)gR2(L,β)

1.2
1
0.8
0.6
0.4
3

4

5

6

7

8

9

10

β
図 9.1: L-6 での β の内挿、縦軸が u = gR (L, β) 横軸が β = 4/g02 。f (x) は内挿関数 u(β)。
誤差棒は統計誤差

フィットパラメータを a、b として内挿関数

u=

a
4
b
+
+
β β2 β3(9.2.1)として β の内挿を行った。フィットの良さの指標である χ2 /d.o.f. はすべてのビン、すべての格子サイズで 1 程度だった (表 9.9)。

9.3

シミュレーション結果

用いたリソースは、大阪大学 RCNP にあるベクトル型スーパーコンピュータの SX-8 と京都大学基礎物理学研究所 (YITP) にあるスカラー型スーパーコンピュータ SR16000 である。
以下がシミュレーションで得たデータを解析した結果である (図 9.7)。縦軸が σ(u, 2)/u、
横軸が有効結合定数 u で、赤い点がステップスケーリング (定数フィット) の中心値で赤い線が統計誤差、青い線が摂動論 (2 ループ) の結果を用いた σ(u, 2)/u1 で、緑色の線が成長率
σ(u, s)/u = 1 を表す。一番上の 0 番目は入力値で、その下左からステップ番号、σ(u, 2)、
1

付録参照

82

9.4. 問題点と解法

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

β v.s. gR2(L,β)
1.4’L-8.dat’f(x)gR2(L,β)

1.2
1
0.8
0.6
0.4
3

4

5

6

7

8

9

10

β
図 9.2: L-8 での β の内挿、縦軸が u = gR (L, β) 横軸が β = 4/g02 。f (x) は内挿関数 u(β)。
誤差棒は統計誤差

統計誤差である。また、u = 0.4 からスタートしたステップスケーリングは、以下のとおりになった (表 9.10)。

# stepσ(u, 2)

0
1
2
3
4
5
6

4.00000000000000×10−1
4.270(56)×10−1
4.585(13)×10−1
4.955(23)×10−1
5.401(37)×10−1
5.951(57)×10−1
6.654(88)×10−1

表 9.10: u=0.4 から始めたステップスケーリング。

9.4

問題点と解法なぜこのような結果に至ったか考察し、今後の方針を述べる。まず (図 9.7) について考察する。この図で気になるのは、エラーバーの大きさである。これは L-16 の低い β の統計が足りない事がある。先行研究の統計は分からないので、[10] と比較はできないが今後も統計を貯めることでこの問題は解決できる。

83

9.4. 問題点と解法

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

β v.s. gR2(L,β)
1.4’L-12.dat’f(x)gR2(L,β)

1.2
1
0.8
0.6
0.4
3

4

5

6

7

8

9

10

β
図 9.3: L-12 での β の内挿、縦軸が u = gR (L, β) 横軸が β = 4/g02 。f (x) は内挿関数 u(β)。
誤差棒は統計誤差

さらに、明らかな問題点としては、連続極限が 2 点の定数フィットしかできていない事である。これでは、連続極限 (外挿) で生じる系統誤差を評価できない。連続極限の系統誤差を評価するには、3 点の定数フィットと 3 点線形フィットを比べる必要がある。
s = 2 のスキームで、3 点の連続極限を今の格子セットでやるには、L-6,8,10 を小さい方の格子、L-12,16,20 を大きい方の格子とするしかないが2 、L-20 は、今回の解析に間に合わなかった。時間をかければこれも可能である。
s = 1.5 のスキームで、3 点の連続極限を今の格子セットでやるには、L-6,8,10 を小さい方の格子、L-9,12,15 を大きい方の格子とするしかない。この時には、L の内挿という操作
で L-9、L-15 のデータを作らなければならない。具体的には L-8、L-10 から L-9 を作り、L-12、L-16 から L-15 を作る3 。今回の解析では、これも間に合わなかった。理由は、以下である。
今回、シミュレーションを大きい β 、すなわち弱結合から順に行なっていった。しかし
β − 3 以下になると、同じ配位数を作るシミュレーションする時間が約 1000 倍ほど4 になってしまった。この現象を解明するために我々は、シミュレーションコストの低い L-4 のシ
ミュレーションでプラケットの平均値の質量依存性をしらべたり、β とプラケットの値が2

コードの設計上、奇数サイズの格子は作れない。また、L-4 は格子化の影響が大きい
しかし、実際には、2 つの格子サイズから 1 つの格子サイズを作ればいいという規則はなく、より大きい
もしくは、より小さい格子のデータを含む 3 点の 2 次式によるフィットも試し、値がそんなにかわらないか
どうかを調べる必要がある。
4
リープフロッグの時の離散化のステップを 1600 分の 1 程度にしないとフェルミオンのソルバーが解き終
わらずにエラーになるため。
384

9.5. 結論

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

β v.s. gR2(L,β)
1.4’L-16.dat’f(x)gR2(L,β)

1.2
1
0.8
0.6
0.4
3

4

5

6

7

8

9

10

β
図 9.4: L-16 での β の内挿、縦軸が u = gR (L, β) 横軸が β = 4/g02 。f (x) は内挿関数 u(β)。
誤差棒は統計誤差

どう相関するかを調べたが原因は分からなかった。
[14] によると、格子化による紫外固定点の出現が原因の可能性がある。その研究でも同様にある β 以下のシミュレーションが走らないという現象が見られた。そこで、プラケッ
ト作用に、負の β を持つ随伴表現のプラケットを足すことでより低い β のシミュレーショ
ンが可能になった。そこで今後我々も低い β のシミュレーションを行うため [14] に従って随伴表現のプラケットを加える事を計画している。これは、シミュレーション中の’ フォー
ス’ の計算式を一部変更するだけで可能なのですぐにでも行う予定である。

9.5

結論

今回のシミュレーションでは固定点の発見には至らなかった。原因は、3 つある。1 つ目
は、統計数が足りないこと。2 つ目は、L-20 のデータがない事。3 つ目は、格子化による
紫外固定点の出現である。前の 2 つは、シミュレーション回数を増やす事で解決出来る。
3 つ目は随伴表現のプラケットを加えることで回避が可能であると思われる。

9.6

今後の課題

結論で述べたとおり、先ずは作用の改良を行い、かつ統計を貯め固定点の存在に決着をつける。
次に FCNC 問題の要である異常次元の決定を行う。

85

9.6. 今後の課題

CH. 9. 結果と結論、今後の課題

β v.s. gR2(L,β)
1.4’L-6.dat’
L-6’L-8.dat’
L-8’L-12.dat’
L-12’L-16.dat’
L-16

gR2(L,β)

1.2
1
0.8
0.6
0.4
3

4

5

6

7

8

9

10

β
図 9.5: L-6,8,12,16 での β の内挿、縦軸が u = gR (L, β) 横軸が β = 4/g02 。誤差棒は統計
誤差

さらには、ウォーキングモデルでは、シュウィンガーダイソン方程式のはしご近似で S パ
ラメータを負にしうる、という予言が正しいかを、格子シミュレーションを用いて S パラ
メータの直接の決定により確かめたい。
もし、固定点が存在し、異常次元が十分大きければ、フェルミオンに質量を入れて、このモデルの質量スペクトルを調べたい。そしてテクニハドロンによるダークマターが現実的なのか？と宇宙論への応用も考えたい。

86

9.6. 今後の課題

CH. 9. 結果と結論、今後の課題(a/L)2 v.s. gR2(L,β)
0.54

input
Step1
Cont.lim.
Step2
Cont.lim.

0.52

gR2(L,β)

0.5
0.48
0.46
0.44
0.42
0.4

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

(a/L)2

図 9.6: Σ(a/L, u, 2) と (a/L)2 の結果グラフ。誤差棒は統計誤差のみである。緑の線がインプットの u、赤が 1 回目のステップで、青が赤をインプットとした時のステップ。左端が連続極限 (外挿)。

図 9.7: σ(u, 2)/u と u の結果グラフ。誤差棒は統計誤差のみである

87

付 録A

AF B の計算

ここでは、[2][12] を元に散乱断面積の定義を述べ、前方散乱と後方散乱のズレである
AF B を求める。この量は、電弱対称性の機構に依存する量である。

A.1

散乱断面積

S 行列は、始状態 i の状態ベクトルを終状態 f の状態ベクトルに移す演算子 (行列) として定義される。
〈f |S|i〉(A.1.1)

しかし、この中には相互作用をせずに素通りする効果を含んでる。素通りには興味が無い
ので、S 行列の内で相互作用を記述する部分を切り出す。

S = 1 + iT

(A.1.2)

ここで 1 は素通りの効果をあらわし、T は遷移行列と呼ばれ始状態 i から終状態 f へ遷移する確率振幅を表す。以下ではスピン 0 の粒子から散乱断面積を求め、あとでスピンのある粒子に対して拡張する。
まず 2 体から 2 体への散乱過程 a(pa ) + b(pb ) → c(pc ) + d(pd ) を考えてみる。この過程の遷移行列を、運動による部分をくくりだして

Tf i = (2π)4 δ 4 (pa + pb − pc − pd )Na Nb Nc Nd Mf i

(A.1.3)と書く。(A.1.3) において遷移のダイナミクスの情報は、ローレンツ不変で不変振幅と呼ばれる Mf i に含まれている。N は、波動関数の規格化定数に依存した規格化定数である。
ここでは、体積 V の中に 2E 個の粒子が含まれているように規格化を行う。すなわち N =√1 として自由場の波動関数がV

1
φ(x) = √ e−ipx(A.1.4)VRとして
ρdV = 2E を導く。(A.1.3) の全てとなる。これは ρ = i(φ∗ ∂0 φ − ∂0 φ∗ φ) = 2E
Vの N に N = √1 を代入すると、V
Tf i = (2π)4 δ 4 (pa + pb − pc − pd )

88

1
Mf i
V2

(A.1.5)

A.1. 散乱断面積付 録 A. AF B の計算

以上が確率振幅である。場の量子論においては、全時空点で反応が起こっているため、遷移確率密度 (単位時間、単位体積あたりの遷移確率) のみが意味を持つ。衝突による遷移確
率密度は、

Wf i =|Tf i |2
TV

(A.1.6)と与えられる。ただし T は反応時間である。ここでデルタ関数をフーリエ変換で表示した
Z
1
VT[δ 4 (Q)]2 → δ 4 (Q)d4 xeiQx (Q = 0) = δ 4 (Q)(A.1.7)(2π)4(2π)4という関係式を用いると遷移確率密度 Wf i は、

Wf i =(2π)4 4
δ (pa + pb − pc − pd )|Mf i |2
V4

(A.1.8)となる。遷移確率密度 (A.1.8) に、可能な終状態の数をかけると出てくる粒子数になり、それを入射フラックス (∼ 入ってくる粒子数) で割れば、微分散乱断面積 σ を得られる。
運動量空間で p⃗ = (px , py , pz ) から p⃗ + d⃗
p = (px + dpx , py + dpy , pz + dpz ) にある粒子が体V d3 p
積 V に閉じ込められている場合の状態数は (2π)
3 である。
3

Vd p
規格化は、V の中に 2E の粒子がいるようにしてあるので、1 粒子あたりの状態数は (2π)
3 2E
3

3

V d pcV d pdである。よって、a + b → c + d という過程の可能な終状態の数は (2π)
3 2E (2π)3 2E となる。
cd
入射フラックス F についてはまずこの過程を b 粒子の静止系で考えてみる。この時には、a
単位面積を単位時間に通り過ぎる a 粒子の数は 2E
vin | である。ただし ⃗vin は入射してくV |⃗b
る a 粒子の速度である。そして標的である b 粒子の単位体積あたりの数は、 2EV である。
2Ea 2Eb
なので、a 粒子 b 粒子による入射フラックスは、F = |⃗vin | V V となる。
上記をまとめると微分散乱断面積を以下のように得る。

11δ 4 (pa + pb − pc − pd )|⃗vin |4Ea Eb (2π)2d 3 pc d 3 pd
×|M(a + b → c + d)|22Ec 2Eddσ(a + b → c + d) =(A.1.9)

規格化体積 V は (A.1.9) から消えている。これは元々V が自然なパラメータではないので当然である。なので V = 1 としても一般性を失わないので以後こうする。また対応する波動関数の規格化は N = 1 となる。
a と b の一般の正面衝突では、実験系の入射フラックス F = |⃗vin |2Ea 2Eb の ⃗vin (これは入射してくる a 粒子の速度) は、⃗vrel (a と b の相対速度) に置き換えられる。F は、ローレンツ不変な形に書き換えられ、

F = |⃗vin |2Ea 2Eb = 4|⃗va − ⃗vb |Ea Eb
q= 4(|⃗
pa |Ea + |⃗pb |Eb ) = 4 (pa · pb )2 − m2a m2b

89(A.1.10)

A.1. 散乱断面積付 録 A. AF B の計算となるので、

1
1dσ(a + b → c + d) = q
δ 4 (pa + pb − pc − pd )
2
(2π)
2
2
2
4 (pa · pb ) − ma mb
×

d 3 pc d 3 pd
|M(a + b → c + d)|22Ec 2Edとなる。
偏極していないなら、フェルミオンなどのスピンを持った粒子に一般化するには、スピンの自由度は終状態では足し上げられ、初期状態においては平均されているから(A.1.9)X2
1
2
2|Mf i | に置き換えればよい。
に現れる |Mf i | を |Mf i | = 4
spin

ただしフェルミオンについて波動関数の規格化は、s をスピンとして以下であるとする。

v̄ (s) (p)v (s) (p) = −2mū(s) (p)u(s) (p) = 2m,(A.1.11)

そして完全性は、Xu(s) (p)ū(s) (p) = p
/+m

s

X

v (s) (p)v̄ (s) (p) = p/−m(A.1.12)sである。ただし p/ = pµ γµ である。この式と γ 行列のトレースを用いて散乱断面積を求める。
まとめると、2 体散乱の微分散乱断面積は、

11dσ(a + b → c + d) = q
δ 4 (pa + pb − pc − pd )
2(2π)
4 (pa · pb )2 − m2a m2b
×d 3 pc d 3 pd X
|M(a + b → c + d)|22Ec 2Ed(A.1.13)spinとなり、これを積分すれば全断面積になる1 。また特にあとで用いる重心系のとき微分断
面積は、
µ ¶
dσ
∝ |M(a + b → c + d)|2
(A.1.15)dΩ CMと簡単になる。

1

以下の公式が便利である。

d3 p= θ(p0 )δ(p2 − m2 )d4 p
2E
ここで θ(x) は階段関数である。

90(A.1.14)

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF B

崩壊幅
以降の計算には用いないが崩壊幅も同様に求まる。質量 M の粒子が n 個の粒子に崩壊する幅は、親粒子の静止系で以下のように書かれる。

dΓ(M → 1 + 2 + · · · n)1
1=
|Mf i |2 δ 4 (pa + pb − p1 − p2 − · · · − pn )(3n−1)
2M (2π)d 3 p1 d 3 p2
d 3 pn×···2E1 2E2
2En(A.1.16)

この崩壊幅を異なる終状態について足すと全崩壊幅が得られ、それ逆数が親粒子の寿命に
なる。

A.1.1

ファインマンルールとの関係

まず、ファインマンルールはラグランジアンが与えられるとそこから読み取ることが出来る。そして特定の過程に対する不変振幅 Mf i は、ファインマンルールをもちいて外線、プロパゲーター (内線)、そしてヴァーテックスを組み合わせファインマンダイアグラムをかき、反応過程を表す起こりうる全てのファインマンダイアグラムを足し上げれば良い (ただし、外線だけがつながった図形は素通りの効果を表すので除いておく)。つまり Mf i
は、

iMf i = { 外線とつながった i → f となるダイアグラムの全ての和 }なので、ラグランジアンが与えられると散乱断面積を求めることが出来ることになる。
ラグランジアン L の場について 2 次の部分 L0 は、ファインマンルールとしてプロパゲータを生み出し、より高次の部分 Lint はバーテックスのルールを生み出す。具体的には、
iLint の摂動になる。

A.2

AF B

AF B (FB;Forward Backward Asymmetry) は、偏極していない電子と陽電子が正面衝突し、反応後出てきた粒子の入射電子から見た前方に出ていく粒子の数と後方から出ていく
数の差 (非対称性) をはかる量である (図 A.1)。これを数式を用いて書くと、
R1
AfF B ≡

0 d cos θR0− e+ →f f¯)dσ(e− e+ →f f¯)− −1 d cos θ dσ(ed cos
d cos θθR1dσ(e− e+ →f f¯)
d cos θ−1 d cos θ(A.2.1)の様に表現できる。つまり、

dσ(e− e+ → f f¯)

91(A.2.2)

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF B

AfF B
p4

f
e−

θ
p2

e+

p1

z

f̄
p3
f

図 A.1: AF B の図

f¯

e+
p1

p3
q
Z
p4

e−

p2

f

時間
図 A.2: ファインマンダイアグラムの表式が得られれば良いことになる。前節までの議論を用いるために、まず不変振幅 Mを求める。これは、以下の様なファインマンダイアグラムで表される (A.2)。そして、ファインマンルールは以下である (図 A.3) (図 A.4)。
すなわち不変振幅は、

iM = v̄(p1 )iΓµe u(p2 )iGµν ū(p4 )iΓνf v(p3 )(A.2.3)となる。これの絶対値の 2 乗 2 の初状態のスピン平均と終状態のスピン和をとったものが必要である。ここで単純化のために次の近似を行う。つまり、外線に現れるフェルミオンが途中
2

まず、数の複素共役とエルミート共役が同じで γ 0 のエルミート性により、(ūΓµ v)∗ = (ūΓµ v)† = (u† γ 0 Γµ v)† = v † (Γµ )† γ 0 u(A.2.4)とできる。(γ µ )† = γ 0 γ µ γ 0 と {γ µ , γ 5 } = 0 なので、(ūΓµ v)∗ = v̄Γµ u
である事を用いる。

92(A.2.5)

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF Bu

入射する粒子v̄

入射する反粒子ū

出ていく粒子v

出ていく反粒子図 A.3: 外線のファインマンルール
バーテックスf µf µiΓµf = i(gLγ PL + gR
γ PR )
PL =1 − γ5
1 + γ5, PR =
22

f µ 5= i(gVf γ µ − gA
γ γ )
f
f
gVf = gL
+ gR
f
f
f
gA
= gL
− gR

ゲージ場のプロパゲータ

q q

µ ν
−i(gµν − m2 )z

q 2 − m2z + i�q

= −iGµν

図 A.4: バーテックスとゲージ場のプロパゲーターのルール

2

m
−ig
に飛ぶゲージボゾンに比べ十分軽いとき、すなわち mf2 ≪ 1 である時、Gµν (q) ∼= q2 −m2µν+iϵzZとできることを用いる。このとき、

1X
MM∗(A.2.6)
4
spin
µ
¶2 X
1
1
=
v̄(p1 )Γµe u(p2 )ū(p4 )Γf µ v(p3 )v̄(p3 )Γf ν u(p4 )ū(p2 )Γνe v(p1 )4 q 2 − m2Z + iϵ

|M|2 =

spin(A.2.7)³´2
これはスピノルの足をあらわに書き、 q2 −m12 +iϵ = f (q 2 ) とすると、Z|M|2 =f (q 2 ) Xv̄a (p1 )Γµe ab ub (p2 )ū(p4 )c Γf µ vd (p3 )v̄(p3 )f Γf ν f g ug (p4 )ū(p2 )h Γνe hi vi (p1 )
cd
4
spin

(A.2.8)93

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF B

P
P
外線に現れるフェルミオンの質量を無視するので、 spin ui (p)ūj (p) = spin vi (p)v̄j (p) =p/ij 、ただし p2 = E 2 − |⃗p|2 = 0、となるので=

f (q 2 )tr[/p1 Γµe p/2 Γνe ]tr[/p4 Γf µ p
/ 3 Γf ν ]4(A.2.9)

ここで、
f µ 5
Γµf = gVf γ µ − gAγ γと置く。ただしfgVf = gLf + gR

(A.2.10)f
f
gA= gLf − gR

(A.2.11)ffである。つまり各 Γf µ には、gV γ µ もしくは −gA γ µ γ 5 が入ることになる。これを展開すると、24 = 16 項出てくることになる。

A.2.1

トレース公式用いる γ 行列のトレース公式を列挙する。1 つ目は、

tr[/pγ µ /q γ ν ] = 4(pµ q ν + pν q µ − (p · q)g µν )(A.2.12)

この式の特徴は、µ と ν について対称であることである。2 つ目は、γ 5 を含むものでtr[/
pγ µ /q γ ν γ 5 ] = −4iϵαµβν pα qβ(A.2.13)ただし ϵαµβν は完全反対称テンソル ϵ0123 = 1 である。この式の特徴は、µ と ν について反対称であることである。また、完全反対称テンソルについては、

ϵαµβν ϵρµσν = −2(δ α ρ δ β σ δ α σ δ β ρ )(A.2.14)

を用いる。

A.2.2

トレースの分類

ここで、各トレースについて考えてみると、次の 4 パターン存在する事がわかる。

1. tr[/
pγ µ /q γ ν ] · · · VV 型
2. tr[/
pγ µ /q γ ν γ 5 ] · · · VA 型
3. tr[/
pγ µ γ 5 /q γ ν ] · · · AV 型
4. tr[/
pγ µ γ 5 /q γ ν γ 5 ] · · · AA 型
94

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF B

VV 型と VA 型については、トレース公式の項目で記したとおりである。AV 型について
は、{γ µ , γ 5 } = 0 から
tr[/pγ µ γ 5 /q γ ν ] = −tr[/pγ µ /q γ 5 γ ν ]µ(A.2.15)ν 5= tr[/
pγ /q γ γ ](A.2.16)となり、VA 型に等しい。また、AA 型であるが、(γ 5 )2 = 1 より、

tr[/pγ µ γ 5 /q γ ν γ 5 ] = −tr[/pγ µ /q γ 5 γ ν γ 5 ](A.2.17)= tr[/
pγ µ /q γ ν γ 5 γ 5 ](A.2.18)µ(A.2.19)ν= tr[/
pγ /q γ ]となり VV 型に等しい。

A.2.3

トレース積の分類上の議論を用いるとトレースの積として

1. VV·VV
2. VV·VA
3. VA·VAの 3 種のみが独立である。しかし VV 型は µν について対称、VA 型は µν について反対称なので、縮約を取ると VV·VA は恒等的に 0 である。つまりまとめると VVVV 型と VAVA型の 2 種類のみが独立で (図 A.5) の様になる。ここで具体的に VVVV 型と VAVA 型の表V ∼γ
A ∼ γ µγ 5
µ

V

A

V
A

V
A

V
A
V
A

V
A
V
A

V �= 0A= 0
V=0
A �= 0V=0
A �= 0V �= 0A= 0
V= 0A �= 0V �= 0A= 0V �= 0A= 0
V= 0A �= 0

トレース積の型

VV ·VVVV ·VV

VA·VA
VA·VA
VA·VA
VA·VA
VV ·VVVV ·VV係数(結合定数)gVe gVe gVf gVf
f f
gVe gVe gA
gA

e f f
gVe gAgV gA
e e f fgV gA gV gA
e f f
gVe gAgV gA
e e f fgV gA gV gAe e f fgA
gA gV gVe e f fgA
gA gA gAΓµe Γνe Γf µ Γf νtrtr
図 A.5: トレース積の分類とその係数

95

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF B

式をを求めておく。VVVV 型は、トレース公式を用いると、結合定数に起因する係数を除
いて、VVVV の項 ∝ tr[/p1 γ µ p/2 γ ν ]tr[/p4 γµ p/3 γν ]

(A.2.20)= 16[2(p1 · p4 )(p2 · p3 ) + 2(p1 · p3 )(p2 · p4 ) − 3(p1 · p2 )(p3 · p4 )](A.2.21)

ここでフェルミオン質量を無視する近似 (p1 · p2 ) = m2e = 0 なので結局、

VVVV の項 ∝= 32[(p1 · p4 )(p2 · p3 ) + (p1 · p3 )(p2 · p4 )](A.2.22)である。
また、VAVA 型は、トレース公式を用いると、結合定数に起因する係数を除いて、

VAVA の項 ∝ tr[/p1 γ µ p/2 γ ν γ 5 ]tr[/p4 γµ p/3 γν γ 5 ]= 32[(p1 · p4 )(p2 · p3 ) − (p1 · p3 )(p2 · p4 )](A.2.23)(A.2.24)

である。

A.2.4

結合定数に起因する係数

現れる結合定数の積の組み合わせは (図 A.5) を見ると、次の通りである。

1. gVe gVe gVf gVf · · · VVVV 型の係数
f f
2. gVe gVe gA
gA · · · VVVV 型の係数
e g e g f g f · · · VVVV 型の係数
3. gA
A V V
e g e g f g f · · · VVVV 型の係数
4. gA
A A A
e g f g f · · · VAVA 型の係数
5. gVe gA
V A

1 ∼ 4 は、VVVV 型の係数である。これを (A.2.10)(A.2.10) を用いて gL と gR の言葉に直してすべて足すと、
f 2
e 2 f 2e 2 f 2VVVV 型の係数の和 = 4(gLe )2 (gLf )2 + 4(gLe )2 (gR) + 4(gR) (gL ) + 4(gR
) (gR )
(A.2.25)となる。また、VAVA 型の係数も同様に、
f 2
e 2 f 2e 2 f 2
VAVA 型の係数 = 4(gLe )2 (gLf )2 − 4(gLe )2 (gR) − 4(gR) (gL ) + 4(gR
) (gR )と求まる。

96

(A.2.26)

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF B

不変振幅の表式

A.2.5以上をまとめると、M の表式は以下のようになる。
i
h
f 2
f 2
e 2 f 2
|M|2 = 64f (q 2 ) {(gLe )2 (gLf )2 + (gLe )2 (gR) }(p1 · p4 )(p2 · p3 ) + {(gLe )2 (gR) + (gR) (gL ) }(p1 · p3 )(p2 · p4 )(A.2.27)
ここで重心系に移る。このとき p1 から p4 は以下のようにとる。

p1 = (E, −⃗p)(A.2.28)

p2 = (E, p⃗)(A.2.29)

p3 = (E, −⃗q)

(A.2.30)

p4 = (E, ⃗q)(A.2.31)

すると、M の中の運動量の内積は、以下のようになる3 。

(p1 · p4 )(p2 · p3 ) = E 4 (1 + cos θ)2(A.2.32)(p1 · p3 )(p2 · p4 ) = E 4 (1 − cos θ)2(A.2.33)なので不変振幅は、
h
i
f 2
f 2
e 2 f 2
|M|2 = 64f (q 2 ) {(gLe )2 (gLf )2 + (gLe )2 (gR) }{E 4 (1 + cos θ)2 } + {(gLe )2 (gR) + (gR) (gL ) }{E 4 (1 − cos θ)2 }(A.2.34)

h

i
f 2
f 2
e 2 f 2∝ {(gLe )2 (gLf )2 + (gLe )2 (gR) }{E 4 (1 + cos θ)2 } + {(gLe )2 (gR) + (gR) (gL ) }{E 4 (1 − cos θ)2 }µ∝dσd cos θ(A.2.35)¶(A.2.36)
CM

となる。

A.2.6

AF B の表式

前小節で得た式をを cos θ について積分すれば、AF B を得る。表記を簡単にするために、(1 ± cos θ)2 の係数を
f 2
A = {(gLe )2 (gLf )2 + (gLe )2 (gR) }E 4(A.2.37)f 2
e 2 f 2B = {(gLe )2 (gR) + (gR) (gL ) }E 4

(A.2.38)と置く。この時 AF B は、
R1
R0
2
2
2
2
0 d cos θ(A(1 + cos θ) + B(1 − cos θ) ) − −1 d cos θ(A(1 + cos θ) + B(1 − cos θ) )AF B =
R1
2
2−1 d cos θ(A(1 + cos θ) + B(1 − cos θ) )(A.2.39)
例えば (p1 · p4 ) を求めてみると、(p1 · p4 ) = E + p⃗·⃗
q = E + |⃗p||⃗
q | cos θ = E + E cos θ = E (1 + cos θ)
となる。
3

2

2

97

2

2

2

付 録 A. AF B の計算

A.2. AF B
となる。

Z b
a

£
¤x=b
d cos θ(1 ± cos θ)2 = (1 ± x)3 x=aを用いると、

AF B の分子 = 2(A − B)
8
AF B の分母 = (A + B)
3
なので、

3A−B
4A+B
f
f
f
e )2 (g f )2 ]3 [(gLe )2 (gL )2 + (gLe )2 (gR )2 ] − [(gLe )2 (gR )2 + (gRL=
4 [(g e )2 (g f )2 + (g e )2 (g f )2 ] + [(g e )2 (g f )2 + (g e )2 (g f )2 ]AfF B =

L

L

L

R

L

R

R

R

L

(A.2.41)Le )2 ][(g f )2 − (g f )2 ]3 [(gLe )2 − (gRLR=
4 [(g e )2 + (g e )2 ][(g f )2 + (g f )2 ]L

(A.2.40)(A.2.42)Rf
gLf = I3f − sin2 θW Qf 、gR= sin2 θW Qf とした後、さらにパラメータをケネディ−リンの星付き量に sin θW → s⋆ と読み替えてみると、AfF B =

3 [(− 12 + s2⋆ )2 − (s2⋆ )2 ][(I3f − s2⋆ Qf )2 − (s2⋆ Qf )2 ]4 [(− 12 + s2⋆ )2 + (s2⋆ )2 ][(I3f − s2⋆ Qf )2 + (s2⋆ Qf )2 ]f

これが本文で出てきた AFB の表式である。

98(A.2.43)

付 録B

B.1

格子ゲージ理論のシミュレーション

経路積分による定式化

量子論において物理量は、その期待値のみを予言できる。経路積分によって量子化を行うと、ある物理量 O の期待値は以下である。
Z
1
DφO(φ)eiS[φ](B.1.1)〈O〉 =Z
R
ただし、φ(x) は場、S[φ] = d4 xL[φ(x) ] は作用、Z は分配関数 (〈1〉 ≡ 1 とする規格化因子)である。ユークリッド化した理論において iS → −S (eucl) となるので、物理量を求める時
Z
1
〈O〉 =
DφO(φ)e−S[φ](B.1.2)Zを求めれば良い。格子ゲージ理論の作用は以下であった。
Z
S = SG (U ) + SF (ψ, ψ̄, U ) = SG (U ) + d4 x(ψ̄(D(U ) + m)ψ)(B.1.3)

ただし D(U ) ≡ D/ としディラック演算子と呼ぶ。O をゲージ場 U とフェルミオン ψ 、ψ̄を含む任意の演算子であるとするとその期待値は今の作用 S をもちいてZ
DU Dψ̄DψO(ψ̄,ψ,U ) e−S
Z〈O〉 =(B.1.4)−S
DU Dψ̄Dψeとなる。計算機上でフェルミオンのようなグラスマン数は扱うことができない。そこで、先にフェルミオンを積分してしまう。
¯
Z
Z
¯
δ δ
−S
−SG (U )(B.1.5)
DU Dψ̄DψO(ψ̄,ψ,U ) e =DU eO(− , , U )ZF (η̄, η)¯¯δη δ η̄η,η̄=0
ただし ZF (η̄, η) は、フェルミオンの生成汎関数で、·Z¸
Z
4
ZF (η̄, η) ≡ Dψ̄Dψ exp
d x(−ψ̄(D + m)ψ + ψ̄η + η̄ψ)R

−1 (U )η)4

= det[D(U ) + m]e d x(η̄(D+m)(B.1.6)(B.1.7)であり、また η と η̄ はフェルミオン的なソース項である。O(ψ̄, ψ, U ) に ψ ψ̄ という因子を含む項がある時を考える (もしなければ η̄ 、η 微分で 0 になる)。ψ は η̄ の微分に、ψ̄ は −η の微99B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーションδ δδ δ
分に、それぞれ置き換えるので η 同士の反可換性より δηδ η̄ ZF (η̄, η) となる。 δη δ η̄ ZF (η̄, η)
は、(B.1.7) を見ると (D + m)−1 (U ) つまりプロパゲーターを表すことがわかる。よって
この時、上の微分の組は演算子 O の中でディラック演算子の逆、フェルミオンプロパゲー
ター (D + m)−1 (U ) にすれば良く、実際の操作としては、ψ̄(x)ψ(y) → (D + m)−1x,y (U ) と表現すれば良い事になる。
格子上のディラック演算子 D の足を具体的に書くと、g
AB
D(U ) = D(U )AB,fxy,αβ = δf g D(x, y)αβ(B.1.8)x = na、y = n′ a は座標 (a を格子間隔、n, n′ は整数)、A, B はカラー、α, β はスピノル
f, g はフレーバーの足をそれぞれ表す。

B.2

詳細釣り合いを満たすマルコフ過程

この節では、期待値をとる配位の集団を生成するアルゴリズムであるハイブリッドモン
テカルロ (HMC) 法の前提について述べる。まずは、その基礎付けを与える。

B.2.1

マルコフ鎖

マルコフ過程とは、確率過程の一種で、現在の系の状態と、次の状態を決めれば、次の状態への遷移確率が現在の状態と次の状態にのみ依るというものである。また、このマルコフ過程の生成する列のことをマルコフ鎖と呼ぶ。状態を C 、状態間の遷移確率を
P (C → C ′ ) とし、適当な仮定として、任意の 2 状態が有限回数のマルコフ過程で移り変わる遷移確率が 0 でない (˜エルゴート性)、任意の状態は何回遷移してもその状態に留まったり戻ったりする確率が０でない、初期状態にもどる事ができる回数の期待値と回数の 2乗の期待値が有限である、を置くとマルコフ過程は以下を満たす。

Peq (C) =X

Peq (C ′ )P (C ′ → C)

(B.2.1a)

Peq (C)O(C)(B.2.1b)

C′

〈O〉 =

X
C

ただし Peq (C) は無限回のマルコフ過程の後に状態 C に辿り着く確率で、初期状態に依らPず、各 C ごとに唯一定まる1 。さらに C Peq (C) = 1 と規格化されているとする。
ここでマルコフ過程 P (C → C ′ ) が詳細釣り合いの原理′

e−S(C) P (C → C ′ ) = e−S(C ) P (C ′ → C)

(B.2.2)を満たしかつ、規格化条件

X

P (C → C ′ ) = 1

C′1

上記はすべて要証明で、[8][9] 参照

100(B.2.3)

B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

をみたすとする。このとき、

e−S(C)Peq (C) = P −S(C)Ce(B.2.4)が満たされることを示す。
¶
証明³(B.2.4) を仮定し、X

Peq (C ′ )P (C ′ → C)

(B.2.5)C′を考える。すると

X′

e−S(C )P=
P (C ′ → C)
−S(C ′′ )
e
′′
C
C′
X
1
′
=P
e−S(C ) P (C ′ → C)
′′ )
−S(C
′
C ′′ e(B.2.6)(B.2.7)C(B.2.8)詳細釣り合いをみたすので、

X
1e−S(C) P (C → C ′ )−S(C ′′ )e′′′C(B.2.9)X
e−S(C)P (C → C ′ )−S(C ′′ )e′′′C(B.2.10)

=P

C

=P

C

P

′
C ′ P (C → C ) = 1 と規格化されているので、

e−S(C)−S(C ′′ )C ′′ e(B.2.11)

Peq (C ′ )P (C ′ → C) = Peq (C)(B.2.12)=P
これは定義により Peq (C) なので、XC′となり、前掲の式を再現する。Peq (C) は唯一のみ存在できるので、仮定される分布以外ありえない。

µ

以上により、詳細釣り合いの原理を満たすマルコフ過程が存在すればそれを用いて我々が欲しい確率分布を再現することが出来る。すなわち (B.2.1b) に (B.2.4) を代入すると、P−S(C)C O(C)e〈O〉 = P
(B.2.13)−S(C ′ )C′ e
証明は [8][9] に載っているが、以下で述べるハイブリッドモンテカルロ法というアルゴリ
ズムは、詳細釣り合いの原理を満たすマルコフ過程である。以下では、マルコフ鎖のつく101´

B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

る状態 (配位)C は、マルコフ過程の “回数”τ でラベルされているとする。これは、n 回のマルコフ過程で作られる配位を Cn としたときの n を連続変数にしたものである。

B.2.2

ハイブリッドモンテカルロ法

このアルゴリズムは、ユークリッド化した 4 次元経路積分が、統計力学に似ているという事によっている。ここで言う統計系は、通常の統計系ではなく、シミュレーション時間、
すなわちマルコフ鎖をラベルする新しい “時間” 変数をもった統計系である。シミュレー
ション時間を時間だと思った統計系での言葉は、“· · · ” と書くことにする。“エルゴート性”と、カノニカルアンサンブルでの平均の熱力学極限が “エネルギー” が系のパラメータで決められているミクロカノニカルアンサンブルでの平均に一致する2 、という事実を用いると “古典” 経路にそった “時間” 平均として系の期待値が求まる。以下ではハイブリッド
モンテカルロ法のアイデアの動機について [9] を元に述べる。

古典統計力学との類推
ここでは、単純化のためにスカラー場の理論を考えていく。つまり作用 S[φ; β] が、ス
カラー場 φ とあるパラメータ β(例えば結合定数など) によっているとする。このとき物理
量 O の期待値は以下であった。
Z
1
DφO[φ]e−S[φ;β](B.2.14a)
〈O〉 =
Z
ただし、

Z
Z=

Dφe−S[φ;β](B.2.14b)である。時空を格子化したとすると、系の自由度は、格子上の座標 “i” でラベルされることになる。(B.2.14) は統計力学での積分に似ているが、明らかに Z は古典的なハミルトン系の分配関数はでない。しかし、共役運動量 πi を導入するとその形にでき (B.2.14) は、
Z
1O=
DφDπO[φ]e−H[φ,π;β](B.2.15a)Z̄
ただし、

H[φ, π; β] =

X1
i

Z
Z̄ =
2

π 2 + S[φ; β]2 iDφDπe−H[φ,π;β]

普通の統計力学系だと、エネルギーは系の温度によって決定されている。

102(B.2.15b)(B.2.15c)

B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーションとなる。そして積分測度は通常通りに、

DφDπ =Ydφi dπiiとなる。更にこの表式を以下のように書き換える。
RR
DφDπO[φ] dEδ(H[φ, π; β] − E)e−E
R
R〈O〉can (β) =DφDπ dEδ(H[φ, π; β] − E)e−E(B.2.16)

左辺において下付き文字で can と書いたのは、これがカノニカルアンサンブルでの平均であることをしめす。この量は β に依存する。
一方で、ミクロカノニカルアンサンブルでの平均 〈O〉mic は等エネルギー曲面上 E = H
上での平均で、与えられた β に対して、
Z
1〈O〉mic (E, β) =DφDπO[φ]δ(H[φ, π; β] − E)
(B.2.17a)
Zmic (E, β)である。ただし、Z
Zmic (E, β) =DφDπδ(H[φ, π; β] − E)

(B.2.17b)

は、エネルギー E である相空間の体積である。2 つのアンサンブル平均のつながりは、熱力学極限において考えることが出来る。系の “エントロピー” は、

s(E, β) = ln Zmic (E, β)(B.2.18)と定義できる。(B.2.16) へ (B.2.17) と (B.2.18) を代入すると以下が得られる。
R
dE〈O〉mic (E, β)e−(E−s(E,β))R〈O〉can (β) =(B.2.19)dEe−(E−s(E,β))系の自由度が十分大きい時、すなわち熱力学極限で、(B.2.19) の中の指数関数は、下式で陰的に与えられるエネルギー Ē で強いピークを示す。
¶µ∂s(E, β)=0(B.2.20)∂E
E=Ē
よって熱力学極限では、色々なエネルギーの内、強いピークのために δ 関数的にこの 1 点
E = Ē のみが状態和に寄与して、〈O〉can (β) = [〈O〉mic ]E=Ē(β)(B.2.21)となる。ただし β と Ē は (B.2.20) によって陰に関係付けられている。
この系 (B.2.15b) の運動方程式は∂H[φ, π]∂πi∂H[φ, π]π̇i = −
∂φi

φ̇i =

103

(B.2.22a)(B.2.22b)

B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

であるが、これから作られる運動がエルゴート的、つまり配位空間をすべて覆い尽くすならこの運動の軌跡を用いて、相空間内で等エネルギーな配位の代表を成すアンサンブルを作ることが出来る。計算したい物理量は運動量に依らないので、ミクロカノニカルアンサ
ンブルでの平均は、φi (τ ) の時間平均に置き換えることができる。よって、系がエルゴー
ト的であり、自由度が十分大きければ、

1〈O〉can (β) −→ [〈O〉mic ]E=Ē(β)
−→
lim
熱力学極限
エルゴート性 T →∞ T

Z T

dτ O({φi (τ )})(B.2.23)0となる。ここで軌跡 φi (τ ) は、

d2 φi
∂S[φ]
=−
dτ 2
∂φi

(B.2.24)の解であり、エネルギー Ē の初期条件をみたす3 。
このアルゴリズムの優れた点は、各点で “時間” 発展を計算すればよいので、非常に効率がよい事である。
ダメな点もある。エルゴート性は自明でなく、(B.2.22) が描く軌跡が配位空間を覆い尽くせるかはわからない事や、エルゴート的であったとしても (B.2.22) を単純にルンゲクッタ
法などで数値積分すると離散化するときに発生する系統誤差が混入しハミルトニアンが保存せずに正しい確率分布を与えなくなってしまうことだ。これを解決するために、ハイブ
リッドモンテカルロ法では、ガウス分布する乱数で与え、エルゴート性を確保し4 、またリープ・フロッグ法とメトロポリス法という手法をもちいてハミルトニアンを保存させる。
そして詳細釣り合いを満たす過程であるので正しい確率分布導くことも示すことが出来る。
つまりハイブリッドモンテカルロ法を用い、“時間” 発展を N だけ数値計算をすると、

Z
1 T〈O(β)〉 = limdτ O({φi (τ )})T →∞ T 0
µ
¶
1 X
1
≈
O({φi (n)}) + O √N nN(B.2.25)(B.2.26)とでき、経路積分で表されている左辺を右辺を用いて統計誤差のみ5 で評価できる。

HMC
ここから具体的にアルゴリズムを説明する。理論は簡単のために、ボゾンの多粒子系を考える。“時間”τ での座標を φi (τ ) とし、作用を S(φ(τ )) とする。ただし i は自由度の数だけ走り、連続場の理論にしたときに x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) となるものである。
まず、“時間”τ = 0 での配位を初期条件として、φi (τ = 0) を決める。つぎに、量子ゆら3運動はエルゴート的であるとしたので、このエネルギーを持つどんな初めの配位から (B.2.24) の積分を始めても良い。
4
運動量を乱数にしない方法を分子動力学法といい、運動量を乱数であたえて量子ゆらぎを取り入れる方
法をランジュバンアルゴリズムという [9]。
5
要証明

104

B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーションぎ (“統計系” で言うと “エルゴート性”) を含めるために、運動量 πi を以下のガウス分布
P (π) で生成する。

P (π) ∝ e−π /22(B.2.27)

この時、この系の “ハミルトニアン” は以下で与えられる。

H[φ(τ ), π(τ )] =

X1
i

2

πi 2 (τ ) + S(φ(τ ))(B.2.28)

つぎの配位を決める。具体的には以下の微分方程式にしたがって “時間” 発展させる。

∂H[φ(τ ), π(τ )]= πi (τ )∂πi (τ )∂S(φ(τ ))∂H[φ(τ ), π(τ )]=−π̇i (τ ) = −∂φi (τ )φi (τ )φ̇i (τ ) =(B.2.29a)(B.2.29b)dφ (τ )i
ただし、φ̇i (τ ) = dτである。実際に数値計算をする場合、(B.2.29) を連続変数である
τ を離散化し数値的に積分する必要がある。オイラー法やルンゲクッタ法を用いて積分することも可能であるが、毎回の “時間” 発展で離散化誤差という系統誤差が紛れ込み、シミュレーションを進めるとどんどん累積することになる。ハイブリッドモンテカルロ法では、リープ・フロッグ法という方法と確率的なテストであるメトロポリステストを組み合わせることにより、この “時間” を離散化する系統誤差の累積を消す。
∆τ = 1 だけ積分する事を考え、この “時間” を N 等分 (ϵ ≡ 1/N ) に分割する。まず積分の初期条件を与える。

φi (0) = φi(B.2.30)

πi (0) = πi

(B.2.31)

第 1 ステップとして、時間を半分進めた時の運動量を以下で作る。

1 ∂S(φ(0))πi (1/2) = πi (0) − ϵ2 ∂φi (0)(B.2.32)

次にメインステップ (n = 0, 1, 2, · · · , N − 2) として、

φi (n + 1) = φi (n) + ϵπi (n + 1/2)
πi (n + 3/2) = πi (n + 1/2) − ϵ∂S(φ(n + 1)
∂φi (n + 1)

(B.2.33)(B.2.34)を繰り返す。
最終ステップとして、

φ′i ≡φi (N ) = φi (N − 1) + ϵπi (N − 1/2)

(B.2.35)

1 ∂S(φ(N )πi′ ≡πi (N ) = πi (N − 1/2) − ϵ2 ∂φi (N )(B.2.36)105

B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

以上がリープ・フロッグ法である。
次に、メトロポリステストを行う。つまり得られた配位 φ′i と πi′ を次の “時間” の配位として以下の確率で受け入れる。∆H ≡ H[φ′ , π ′ ] − H[φ, π] として、PMet ({φ, π} → {φ′ , π ′ }) = min{1, e−∆H }(B.2.37)

つまり、“エネルギー” が下がるなら受け入れ、“エネルギー” が上がるならその差のボル
ツマンウェイトで受け入れる。受け入れられば、{φ, π} ← {φ′ , π ′ } と更新し、受け入れられなければ前の配位 {φ, π} を保持する。この操作により “時間” を離散化した系統誤差によって “エネルギー” を変化する事を防ぎ、正しい確率分布を得ることが出来る。
以上の操作を (B.2.27) から十分回数繰り返す。
HMC が詳細釣り合いを満たすことは、リープ・フロッグ法が可逆である事とメトロポリ
ステストの性質を用いて示すことができる [8][9]。

B.2.3

HMC の適用記法
この小節では、実際の非可換ゲージ理論の計算にハイブリッドモンテカルロ法と本文中で述べた擬フェルミオンを用いる方法を述べる。ここでは、D(U ) + m を単純に D(U ) と書くことにするが m = 0 でも話は何も変わらない。格子上のゲージ理論がフェルミオン
と結合している場合、上記の議論から次のハミルトニアンを持つ系のハイブリッドモンテ
カルロ法に従って運動させて、その軌跡から期待値を求めれば良い。
1X
trPl2 + SG (U ) + φ† (D† (U )D(U ))−1 φ(B.2.38)H=2l

また、“統計系” としての分配関数は以下である。
Z
Z = DUl Dφ† DφDPl e−H(B.2.39)上の表式では、擬フェルミオンの時空座標も行列の足にまとめた。また l はリンクを示しP
Pl はリンク変数 Ul の共役運動量で、ゲージ群の生成子 ta を用いて Pl = a P a ta と展開されている。
Ul の運動方程式を以下で定義する。

U̇l (τ ) = iPl (τ )Ul (τ )(B.2.40)

Pl の運動方程式は、ハミルトニアンが運動で保存するという条件、すなわち Ḣ = 0 から
決定する。
X
X
∂S(U )(B.2.41)
Ḣ =Pla Ṗla + i(Pl Ul )ij∂(Ul )ij
a
ij


X
X
∂S(U
)

(ta lUl )ij=
Pla Ṗla + i(B.2.42)∂(Ul )ija
ij

106

B.2. 詳細釣り合いを満たすマルコフ過程 付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

よって、Ṗla = −iX(ta lUl )ij

ij∂S(U )∂(Ul )ij

ただし、S(U ) = SG (U ) + φ† (D† (U )D(U ))−1 φ である。
X
∂f (U )
(ta lUl )ij
Dla [f (U )] ≡ i∂(Ul )ij(B.2.43)(B.2.44)ijという記法を導入すると運動方程式は、Ṗla = −Dla [S(U )](B.2.45)となる。この式の右辺がゲージ場の受ける “力” になる。

Full HMC
ここでは、フェルミオンの結合したゲージ理論に対する HMC の具体的なアルゴリズムを与える。

1. 初期配位 {Ul } を決める。
2. 共役運動量 Pla を分布確率 P (Pla ) ∝ e−(Pl ) /2 で生成する。
a 2∗

3. 変数 ξ を分布確率 P (ξ) ∝ e−ξ ξ で生成する。
4. ξ から疑フェルミオン φ を φ = D† (U )ξ と求める。このとき
·
³
´−1 ¸
−ξ ∗ ξ/2††
φe= exp −φ D (U )D(U )(B.2.46)である。擬フェルミオン φ は分子動力学法の時間発展の間は変化させない。
³´−1
η(τ ) = D† (U (τ ))D(U (τ ))φ(B.2.47)
この式を求めるには、(D† D)−1 の表式を求める必要があるが、それについては後の節で述べる。

5. 運動方程式に従って系の “時間” 発展を求める。
U̇l (τ ) = iPl (τ )Ul (τ )³´−1Ṗla = −Dla [SG (U )] − φ† Dla [ D† (U (τ ))D(U (τ ))]φ= −Dla [SG (U )] − η † (τ )Dla [D† (U (τ ))D(U (τ ))]η(τ )実際には、リープ・フロッグ法で計算を行う。

6. メトロポリステストを行う。
新たな変数を確率 P = min{a, e−∆H }(ただし ∆H = H ′ − H)
7. 2. へ戻り任意回数繰り返す。
以上により、HMC を用いて正しい確率分布を生成することができる。

107(B.2.48)(B.2.49)

B.3. 誤差の評価

B.3

付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

誤差の評価

誤差の評価にはジャックナイフ法 (JK 法;Jack knife method) を用いたので、それについてレビューを行う。

B.3.1

方法

まず、JK 法で正しく誤差を見積もれるかの証明の前に具体的な方法を述べる。
物理量 O の期待値を N 個の平均値で近似した時、平均値と推定される統計誤差は

1 X
Oi
N
i=1
r
〈O2 〉 − 〈O〉2
δ〈O〉 =
N −1
N

〈O〉 =

(B.3.1)(B.3.2)と与えられる。
複雑な物理量同士の関係から計算される物理量については、誤差の伝播則を用いて誤差を見積もる必要がある。
しかし、複雑な物理量の場合、誤差を過大に見積もってしまう。なぜなら、各物理量が無相関でないので、一部が相殺し真の誤差が推定誤差よりも小さくなり得るからだ。
JK 法は、そのような心配がない。
ビンサイズ (データの固まりの大きさ) が 1 の JK 法は、以下である。
まず、N 個のデータがあるとする。このとき、i 番目だけ除いた統計平均を用意する。

〈O〉i =

1 X
Ok
N −1

(B.3.3)

i̸=k

1 X
=
Ok (1 − δk,i )
N −1
N

=

1
N −1

k=1
N
X

(Ok − Ok δk,i )

k=1

1
=
(N 〈O〉 − Oi )N −1

(B.3.4)

この 〈O〉i をジャックナイフサンプルと呼ぶ。O から計算される物理量を f (O) とする。この時、JK 法では平均値と誤差は、

1 X
f (〈O〉i )N
i=1pδ〈O〉 = (N − 1)(〈f (O)2 〉 − 〈f (O)〉2 )N〈f (O)〉 =(B.3.5)(B.3.6)与えられる。これはつまり JK サンプルを用いて物理量を計算し、そののちに JK サンプ
ルで計算した物理量を平均すれば良い事を示し、また誤差についてもほぼ同様だが、2 乗

108B.3. 誤差の評価

付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーションの平均から平均の 2 乗を引いた後に、(N − 1) で割らずにむしろ掛けてルートを取って見積もれ、ということである。
f (O) = O と簡単な物理量なとき、平均値は、

1 X
〈O〉i
N
N

〈O〉 =

i=1

=

N
1 X

N

i=1

1
(N 〈O〉 − Oi )
N −1

1
=
(N 〈O〉 − 〈O〉)
N −1
= 〈O〉
と普通の平均値に一致し、また誤差も、

p(N − 1)(〈O2 〉 − 〈O〉2 )
v
Ã
!2
u
N
N
N
N
u 1 X
X
X
X
p
1
1
1
= (N − 1)t((Ok − Ok δk,i )2 ) −(Ok − Ok δk,i )) )
(
(
N
N −1
N
N −1

δ〈O〉 =

i=1

i=1

k=1

k=1

ビンサイズ n の JK 法も同様に定義される。全データ数を N = n×Nn となる様に Nn = N/n個のビンに分割する。このとき各ビンには、n 個のデータがある。ある一つのビン b のデー
タの添字集合を Bb とし、JK サンプルを〈O〉b =

X
1
Ok
N −n

(B.3.7)k∈/Bbと定義する。このとき物理量 f (O) の平均と誤差は、

1 X
f (〈O〉b )Nn
b=1pδ〈O〉 = (Nn − 1)(〈f (O)2 〉 − 〈f (O)〉2 )N〈f (O)〉 =(B.3.8)(B.3.9)と与えられる。

B.3.2

証明+···+xN
x の確率分布 Px (x) があるとする。X を X ≡ x1 +x2 N
で定義する時、PX (X) の分
布を次のように定義する。
µ
¶
Z
Z
Z
x1 + x2 + · · · + xN
PX (X) ≡ dx1 Px (x1 ) dx2 Px (x2 ) · · · dxN Px (xN )δ X −N(B.3.10)109

B.3. 誤差の評価

付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

フーリエ変換すると、
“
”
Z
Z
Z
N
dP −iP X− x1 +x2 +···+xN
PX (X) = dx1 · · · dxN Px (x1 ) · · · Px (xN )e2πi
ここで、キュミュラントと言われる量として
Z
eWx (P ) ≡ dxPx (x)eiP x(B.3.11)(B.3.12)を定義する。すると、Z
PX (X) =dP −iP X N Wx ( P )
N
e
e
2πi

(B.3.13)である。このとき X に対しては、
P

eWX (P ) ≡ eN Wx ( N )(B.3.14)としておく。キュミュラントであることを確かめるために、(B.3.12) をテーラー展開する。

eWx (P ) = 1 + iP 〈x〉 +ただし 〈A〉 ≡R(iP )2 2(iP )3 3〈x 〉 +〈x 〉 + · · ·23!

(B.3.15)

dxPx (x)A(x) である。対数を取りさらに展開すると、(iP )2 2(iP )3 3〈x 〉 +〈x 〉 + · · · )23!
(iP )2 2(iP )3 3= iP 〈x〉 +〈x 〉 +〈x 〉 + · · ·23!
(iP )2 2(iP )3 3
1− (iP 〈x〉 +〈x 〉 +〈x 〉 + · · · )2 + · · ·223!
(iP )2= iP 〈x〉 +(〈x2 〉 − 〈x〉2 ) + · · ·2Wx (P ) = log(1 + iP 〈x〉 +(B.3.16)(B.3.17)(B.3.18)(B.3.19)

すなわち、

eWx (P ) = eiP 〈x〉+(iP )2(〈x2 〉−〈x〉2 )+···
2(B.3.20)と生成汎関数の形になる。すなわち eWx (P ) を P で微分し P → 0 とすると最初の項、つまり平均が得られる。(B.3.14) を用いると X についての平均も得られ、〈X〉 = 〈x〉(B.3.21)が分かる。さらに eWX (P ) を P で 2 回微分して P → 0 とすると、X の分散が得られる。

〈(X − 〈X〉)2 〉 =〈(x − 〈x〉)2 〉N(B.3.22)

ここで得られた分散は母集団での真の分散値である。ただ、ここから分かるのは、x で計算した分散を用いて X の分散も分かる、ということである。ここから分散の推定値を見110

B.3. 誤差の評価

付 録 B. 格子ゲージ理論のシミュレーション

積もる。その際の条件は、{xi } を用いて推定値の真の平均をとると上記に戻るもの、ということである。そこで、

x1 + · · · + xN − xj
N −1
PN
( i=1 xi ) − xj=
N −1

yJ (j) ≡そして、規格化定数 A を用いて、

推定値 ≡ A PN

2
J=1 yJ (j)−N(B.3.23)(B.3.24)ÃPN
J=1 yJ (j)

N

!2 


(B.3.25)を推定値とする。すると

A=(N − 1)2

"P

2
j xj

N

µP
−

j xj

¶2 #

N

と変形できる。ここで推定値の真の平均を取ると、¸·
A
N 〈x2 〉 N 〈x2 〉 + N (N − 1)〈x〉2〈 推定値 〉 =−(N − 1)2NN=

A 〈x2 〉 − 〈x〉2
N −1
N

(B.3.26)(B.3.27)(B.3.28)となるので、A = N − 1 とすることで推定値として正しいことが分かる。つまり推定値は、

ÃP
!2 
PN
N
2
y (j)
J=1 yJ (j)
推定値 = (N − 1)  J=1 J−(B.3.29)
NNで与えられる。すなわち推定される統計誤差はこれのルートなので、
v

u
ÃP
!2 
PN
u
N
2 (j)
y
y
(j)
u
J=1 J

−
δX = t(N − 1)  J=1 J
N
N
となる。

111

(B.3.30)

付 録C

C.1

ステップスケーリング関数と β 関数の関係

β 関数とステップスケーリング関数

この章では、2 ループの β 関数とステップスケーリング関数の比 σ(u, 2)/u の関係を述
d2 (t)、t = ln(µ) と書くことにする。
べる。まず表記法として f˙ = dt
f 、u(t) = gR
まず、くりこまれた結合定数 u(t) を u0 を用いて展開する。

u(t) = u0 + c1 (t)u20 + c2 (t)u30 + · · ·(C.1.1)

ここで u˙0 = 0、u(t = 0) = u0 である。u(t) のスケール依存性が、

du(t)≡ b0 u(t)2 + b1 u(t)3 + · · ·dt(C.1.2)となるとしよう。この表式を用いて c1 と c2 を決定すると、

u(t) = u0 + b0 tu20 + (b20 t2 + b1 t)u30(C.1.3)とわかる。一方 (C.1.2) は、β 関数の定義そのものであるので、b0 と β0 の関係は、

du(t)= b0 u(t)2 + b1 u(t)3 + · · ·dtdgR (t)⇔ 2gR= b0 gR (t)4 + b1 gR (t)6 + · · ·dtdgR (t)b0
b1⇔= gR (t)3 + gR (t)5 + · · ·
dt
2
2
β0 3
β1 5
⇔ β(g) = −g −g(4π)2 R (4π)4 R(C.1.4)(C.1.5)(C.1.6)(C.1.7)とつけられる。つまり

2β0
(4π)2
2β1
b1 = −(4π)4b0 = −(C.1.8)(C.1.9)である。ステップスケーリング関数 σ(u, s) とは、エネルギースケールを 1/s にした有効結合定数の事なので、ステップスケーリング関数 σ(u, s) は、

σ(u0 , s) ≡ u (t = ln(1/s))(C.1.10)= u0 + b0 ln(1/s)u20 + [b20 (ln(1/s))2 + b1 ln(1/s)]u30
112(C.1.11)

C.1. β 関数とステップスケーリング関数
付 録 C. ステップスケーリング関数と β 関数の関係となる。なのでその比 σ(u, s)/u は、σ(u0 , s)/u0 = 1 + b0 ln(1/s)u0 + [b20 (ln(1/s))2 + b1 ln(1/s)]u20と与えられる。今回の研究では、s = 2 で行った。

113(C.1.12)

謝辞
この修士論文を書き上げるにあたり、多くの人の助けがありました。大野木さん、伊藤さん、松古さん、永谷さんを初め scicft、sccft コラボレーションの皆様。理解の遅い僕の質問に何度も答えて頂きました。この研究に欠かせなかったスパコンの運営を行なってくださった YITP や RCNP のスタッフの方々。M2 の皆様、特に田中君には修論のゼミに出てもらい議論してもらいました。研究室の運営をしてくださっているスタッフの方々。山口さんには、ゲージ場の共変微分のところが分からなかった所を教えて頂きました。深谷さんには、格子場の理論ゼミでお世話になりました。
本当にありがとうございました。

114

関連図書
[1] S. Weinberg, Phys. Rev. D 19, 1277 (1979); L. Susskind,Phys. Rev. D 20, 2619
(1979).
[2] M.E.Peskin D.V.Schroeder (1995) An introduction to Quantum Field Theory[3] Nambu, Y.; Jona-Lasinio, G. (April 1961). ”Dynamical Model of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity. I”. Physical Review 122: 345-358[4] K. Lane AN INTRODUCTION TO TECHNICOLOR (hep-ph/9401324v2)[5] R. Jackiw, and K.Johnson Phys. Rev. D8 (1973)2386[6] Dennis D. DietrichFrancesco Sannino (arXiv:hep-ph/0611341v1)[7] Supersymmetry Inspired QCD Beta Function(arXiv:0711.3745v3)[8] 青木慎也 (2005) 格子上の場の理論

シュプリンガー・ジャパン[9] Heinz J.Rothe (2005) LATTICE GAUGE THEORIES An Introduction Third Edition World Scientiﬁc[10] F.Bursa et. al. Mass anomalous dimension in SU(2) with two adjoint
fermions(arXiv:0910.4535v2)[11] T. Karavirta et. al. Nonperturbative improvement of SU(2) lattice gauge theory
with adjoint or fundamental ﬂavors(arXiv:1101.0154v1)[12] The Physics of the Standard Model and Beyond T.Moorii et. al. (2002) The Physics
of the Standard Model and Beyond World Scientiﬁc Pub Co Inc[13] T. Appelquist, F. Sannino The Physical spectrum of conformal SU(N) gauge theories (hep-ph/9806409) Phys.Rev. D59 (1999) 067702[14] A. Hasenfratz Infrared ﬁxed point of the 12-fermion SU(3) gauge model based on
2-lattice MCRG matching (arXiv:1106.5293)

115