2010/10/20�

市川浩樹
愛媛大学 地球深部ダイナミクス研究センター

(1) マグマオーシャン（MO）の紹介(2) マグマオーシャンでの数値計算

2 /44

temperature�

地球の集積時、表層は隕石の衝突により、高温だった。

radius�

Kaula, 1979
表層が溶けていた（マグマオーシャン）

3 /44

金属の液滴Wood et al, 2006

マグマオーシャン(MO) (≥ 400km)
固体のシリケイト

マグマオーシャンでは、鉄とシリケイトが溶融している。�
鉄は表面張力により、1cm程度の液滴を形成する。
マグマオーシャン中を液滴が下降していく → iron rain�
この過程で熱や元素もコア・マントルに分配される�

4 /44

マグマオーシャンの底で金属とシリケイトは平衡状態にあった。�
しかし�Single Stage model を仮定すると、Ni, Co, V, Cr, Mn, Nb 等が、マントル・コア間で化学平衡になったであろう P-T条件（マントルは一様と仮定）と、マグマオーシャンの底のP-T条件は食い違う（マグマオーシャンの底の温度 ＝ シリケイトの融点）�
Wade and Wood, 2005�

金属とシリケイトが、平衡状態になったP-T条件はシリケイト
5 /44の融点よりも大分温度が高いことが示唆�

（1）酸素フガシティを時間変化させながら、大きくなっていく�Wade and Wood 2005, Wood et al., 2009 らのモデル�
（2）Single stage modelでも金属相に酸素を2~5wt%入れると説明できる。Corgne et al., 2009 �
これらのモデルはマグマオーシャンの底で化学平衡になるとしている。�
そもそもマグマオーシャンの底で化学平衡になるか？？�

6 /44

液体のシリケイトと金属が接しているところで化学平衡状態に落ち着く。�
化学平衡状態は液体と液体が接しているところ、特に、液滴の状態で生じる（Rubie et al., 2003）
分離前�
マグマオーシャン+ 金属の液滴�

分離後�
マグマオーシャン�
金属の液体層�

シリケイトの融点�

分離過程での温度場を計算しないと化学平衡が計算できない。�

7 /44

1cmの液滴を全球規模の数値モデルで計算するのは不可能�

ミクロモデル(~cm スケール)

マクロモデル(1000km スケール)(Ichikawa et al., 2010,
Ichikawa and Labrosse, 2010)�

パラメタリゼーション�
1) ミクロモデルはフルの流体計算で行う
2) ミクロモデルから金属の液滴の速度をパラメータ化する
3) 求めたパラメタリゼーションをマクロモデルに導入
惑星規模の熱構造、化学分配�

8 /44

9 /44

Rubie et al., 2003 の次元解析(inspired by Stevenson, 1990)
液滴のサイズは1cmくらいのオーダー

重力
抵抗力

表面張力

L ~ 数cm
金属U ~ 数m/s
三つの力のバランス → ~1cm drop

定常的なサイズ分布に達するか？ どの程度の時間で？�

10 /44

表面張力 ≥ 抵抗力 = 重力→1cmより小さいサイズのものができてもよい
液滴の形の効果

衝突や合体過程も取り入れた数値計算を行う。
11 /44

表面張力�パラメータの値。
ρs= 3750 kg/m^3ηs = 0.01~10Pa s
ρm= 7800 kg/m^3 ηm = 0.01 ~10Pa s
α = 6x10^-5s : silicate

cp= 10^3 1/K
m : metal

km = 7.8 W/(K・m)
ks = 3.75 W/(K・m)

g = 10 m/s^2

σ = 1 N/m
12 /44力学的に重要モルトン数 :(m: metal, s: silicate)
力学的には重要でない
熱伝導率の比 : km / ks

粘性比 : ηm/ηsプラントル数 : νs/ κs密度比 : ρm/ρs
金属の体積比 : f
本研究では、ηm、ηs、f を変化させた。�
発表では粘性率のみを変化。 ηm/ηs = 1, f = 5.76 %�
13 /44

(Moving-Particle Semi-implicit)

Koshizuka and Oka, 1996

微分演算子は重み関数を用いて離散される。

Weight function

Koshizuka, 2002
ポアソン方程式を解くことにより、非圧縮性を確保�

2.5�

€

0�

2.1
y=−1x5�

14 /44単位体積あたりの表面張力�

:界面の法線ベクトル

法線ベクトル → SPHの微分モデルで。
平均曲率 → MPS法の微分モデルで。

∇Σ ⋅ nIchikawa and Labrosse 2010�

SPH: Smoothed Particle Hydrodynamics�

15 /44

→ 液滴のサイズや速度をきちんと調べ、流れの形態や熱エネルギーの分配も調べる

2D シミュレーション ( Nomura et al., 2001の表面張力モデル)
3D シミュレーション (Ichikawa et al., 2010の表面張力モデル)

16 /44周期境界重力赤：金属
青：シリケイト10cm × 10cm
実際の計算では 40,000 以上の計算粒子を使用

以下のスライドでは粘性が1 Pa sを例として紹介
2Dの計算(Nomura et al., 2001を使用)をいろいろなパラメータで実行
17 /44
3Dは1 Pa sの計算だけ。�

実時間で10秒½倍速
分裂のタイムスケールは小さい
赤色が金属�

いたる所で分裂、合体がおこる。液滴同士の相互作用が大きい

18 /44

初期サイズの異なる二つの初期値

case 1case 2 (256 個)

液滴（金属）とシリケイトの体積比は同じ
19 /44

液滴の平均サイズ

mean radius (m)0.015

case 1case 20.01

Case 10.005

Case 2005

10time (s)15

平均サイズ ~ 4mm (Rubie et al., 2003~0.5cm)
10秒後ぐらいには同じ定常状態になっている。

20 /44

定常状態における液滴のサイズ分布

number fraction

0.250.2

Case 1, 1 Pa s, 5.76% (9435)
Case 2, 1 Pa s, 5.76% (6829)

Case 10.150.1

Case 20.05
000.005

0.010.015
radius (m)0.02 液滴のサイズ分布も同じ
 液滴のサイズには下限（case 2の初期サイズより大きい）が存在する。
→ 小さい液滴は生成されない。
21 /44

平均速度 (metal) : ~ 0.15 m/s

Falling velocity of metal

Case 1Case 2
Rubie et al., 2003
V ~ 0.5m/s
Rubie et al., 2003と同じくらいの速度
22 /440.3

0.05

velocity (m/s)

0.2
0.04

0.1
0.0

0.03

−0.1

0.02

−0.2
−0.3

0.01

−0.4
−0.50.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012

radius (m)0.00

23 /44半径�速度�η >> 1 Pa s, 粘性が支配的η << 1 Pa s, 慣性力が支配的
at η = 1 Pa s.
24 /44

熱は相境界でおもに発生している。

Mean temperature of each phase
The temperature difference isconstant due to advection

25 /44

6cm × 6cm × 12cmの領域、約24万粒子�

26 /44衝突や分離の結果1cm程度の液滴を速やかに形成。
( Rubie et al., 2003の結果と同じくらい) 定常状態は初期サイズによらない。定常状態には即座に落ち着く → 定常状態の量だけ知っていればよい。
 定常状態での液滴の最小サイズの存在。

→ マグマオーシャン中では金属はシリケイトから、ほぼ完全に分離する。
27 /44

1cmの液滴を全球規模の数値モデルで計算するのは不可能�

ミクロモデル(~cm スケール)

マクロモデル(1000km スケール)(Ichikawa et al., 2010,
Ichikawa and Labrosse, 2010)�

パラメタリゼーション�
1) ミクロモデルはフルの流体計算で行う
2) ミクロモデルから金属の液滴の速度をパラメータ化する
3) 求めたパラメタリゼーションをマクロモデルに導入
惑星規模の熱構造、化学分配�

28 /44

1cmの液滴を全球規模の数値モデルで計算するのは不可能�

ミクロモデル(~cm スケール)

マクロモデル(1000km スケール)(Ichikawa et al., 2010,
Ichikawa and Labrosse, 2010)�

パラメタリゼーション�
1) ミクロモデルはフルの流体計算で行う
2) ミクロモデルから金属の液滴の速度をパラメータ化する
3) 求めたパラメタリゼーションをマクロモデルに導入
惑星規模の熱構造、化学分配�

29 /44

初期条件�

各タイムステップごとに解いている式（球対称の差分式）�
質量保存の式 ← 物質の流れを計算
 運動量保存 → パラメータ化＋静水圧平衡 エネルギー保存の式 ← 温度を計算
 元素の移流方程式 ← 各元素の移動を計算
 メタルとシリケイトの状態方程式 ← 密度の計算
 重力の式 ← 地球の圧縮性を考慮（各グリッドを縮める）
差分法で計算�

31 /44

1.

ミクロ計算を様々なパラメータで繰り返し行う。

2.

その結果から、簡略化された運動方程式
um = f 1(φm) f2(g ,η,ρ)を導く（球対称一次元モデル）。
um: 金属の鉛直方向速度
Φm:金属の体積分率
f1 : ミクロモデルの結果から推定した関数
f2 : 次元解析から推定した関数
ｇ : 重力加速度
η: 粘性率ρ: 密度

32 /44

一タイムステップごとに下記の計算を行う�
(1)物質移動�(2)縮める�

各セル内の質量を保存させながら�収束するまで繰り返し�
状態方程式�
33 /44

6

Radial direction [106 m]

鉄の体積分率�
温度(104K)�

~2000kmの深さのマグマオーシャンの場合�1dimensionlesstimeが約11.6日�
*t = 0.0

4

200.0

0.20.40.60.8Volume fraction !

1.0

初期のφ分布�
分離後のシリケイトと金属の境目の温度が非常に高い�
シリケイトの融点よりも遙かに高温で化学平衡�

34 /44

35 /44

メタルとシリケイトの分配� Ni, Co, V, Cr, Mn: Chabot and Agee, 2003, Chabot et al., 2005
 Ni, Co, V, Cr, Mn, Nb: Wood et al., 2008, Wade and Wood, 2005
 Ni, Cr, Mn, Nb: Corgne et al., 2008

金属中の軽元素（O,S,C,Si）の効果。

問題点
 実験結果によって、かなり結果が食い違う。
 高温、高圧への外挿は誤差がかなり多い�

MOでの代表的なP-T条件をとりあえず計算してみる�

36 /44

深さの2800kmのMOの計算結果。

MOの底のP-T条件�
129GPa, 4270K�

Temperature [103 K]

各元素の局所的な分配の結果から、MOの平均的な10.0
P-T 条件を見積もった。
8.0
6.0
4.0
2.00.00

Ni free (Wade & Wood 2005)
Co free (Wade & Wood 2005)
V free (Wood et al. 2009)
Cr free (Wood et al. 2009)
Mn free (Wade & Wood 2005)
Nb free (Wood et al. 2009)

102030 40 50 60
Pressure [GPa]70809037 /44

10.0

8.0

Temperature [103 K]

Temperature [103 K]

10.0

6.0
4.0
2.00.00

Ni free (Corgne et al. 2008)
Cr free (Corgne et al. 2008)
Mn free (Corgne et al. 2008)
Nb free (Corgne et al. 2008)

102030 40 50 60
Pressure [GPa]

誤差が少ない場合�

708090

8.0
6.0
4.0
2.00.00

Ni free (Chabot et al. 2005)
Co free (Chabot et al. 2005)
V free (Chabot & Agee 2003)
Cr free (Chabot & Agee 2003)
Mn free (Chabot & Agee 2003)

102030 40 50 60
Pressure [GPa]7080

誤差が大きい場合�

MOの深さを変えて、P-T条件を見積もった。�

38 /4490

（マグマオーシャンの下の部分を混ぜたとき）�
7.0

7.0

Effective P-T condition
Initial P-T condition at the base3

Temperature [10 K]

6.03

Temperature [10 K]

6.0

Effective P-T condition
Initial P-T condition at the base

5.0
4.0
3.0
2.00

5.0
4.0
3.050100
150
Pressure [GPa]2002502.0050100150
Pressure [GPa]200

MOの底でのP-T条件（融解曲線）と平衡になるP-T条件には、かなり開きがある。（温度は高め、圧力は低め）�
39 /44250

全球が溶融した場合�
8.0

初期金属分布�Effective P-T condition
Initial P-T condition at the base

7.5
7.0

Radial direction [10 m]

66.5
2-100A

6.0
5.5
2-51.1D

5.0

422-100C
2-51.1D (remixed)

4.5
4.00Case A
Case B
Case C
Case D

2-100B

3Temperature [10 K]

600.0

50100
150
200
Pressure [GPa]250

次に個別の元素ごとに見てみる�

0.20.40.60.8Volume fraction !

300

40 /441.0

 Ni, Co, V, Cr, Mn: Chabot and Agee, 2003, Chabot et al., 2005
 Ni, Co, V, Cr, Mn, Nb: Wood et al., 2008, Wade and Wood, 2005
 Ni, Cr, Mn, Nb: Corgne et al., 2008

41 /44

Ni, Co�

Ni, Co�103

103

Ni, free, Wade & Wood 2005
Ni, free, Corgne et al. 2008

Bulk partition (metal/silicate)Ni (!IW = -2.0), Chabot et al. 2005

Bulk partition (metal/silicate)

Co (!IW = -2.0), Chabot et al. 2005

102

101

10Co, free, Wade & Wood 2005

102

101

00

2000
4000
Magma ocean depth [km]6000

10002000
4000
Magma ocean depth [km]6000

実線はMOの底の条件での分配 点は計算結果の分配 点からのびる線の先はMOより下部が混ざることを考えたとき


2000kmくらいの深さのMOを仮定すると調和的�

42 /44

V, Cr, Mn, Nb（軽元素なし）�

V, Cr, Mn, Nb（Oが3wt%）�

Oを入れるとだいぶ変化
Sを入れても、あまり変わらない�
43 /44 マグマオーシャンの深さは1500~2500km程度が調和的 より高温、高圧の実験データが必要（分配係数の外挿による誤差が非常に大きい） 金属の層は熱的に成層→初期のコアの温度が高い可能性（Basal MO？、初期のダイナモの熱源？）

44 /44