政射先書店 5 巻第 3 号(1 992年}

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放射光基礎講座 ( その 3 )高エネルギー物理学問究所宮原

10 .

恒星k.
:s2~x ， kv"~~.
.
"2~t民L.
'k<~JL.
J ・ Y- L

高輝度光の案件( 1) *'_ズ縮退度‑ ‑ ‑11'. e ・ー--

LI" _= --幽・nll;' n)l'ηz=O.. 土 1 ， :1 2,……

前号において，向由 m子レーザーとの閲辿で商.

(34)

問{度光の必要性についてのべた。ここでは尚師度光とは.どのような条件を満すむのであるのかもで表わされるから.畑限個の k が存在することにう少し詳しく考察してみよう。

なる 。

jffi常，高制度光と 3え U:，r低エミッタンス」

1:式 では周期的境界長件を用いたので，

Ox. n~ ・n r は正負どちらの iit[ もとれるようになっとか「同折限界」という l :~説と結びつけられて論て いる。これと民むる境界柴件すなわち空胴の境じられ ることが多い。これらの言葉，;t ，簡単に言界での振幅をゼロとするという条件で';l ， 例えばえば放射光ビームをどれだけ幅n くて電lírf にできる

k戸 πn，.; /~とな るが.この場合は n~ をぜロまたはかということにかかわっている。光の蹴!WJttをJ5'正の轄散に限定しないと，店直披で 2 つの披を数えると . 光を無限に捌くしてかっ完全に平行にすえすぎてしまう。

ることは不ロIfIEであることから「回折限界 j といればT モ ー ドの散を考えるときは (34) 式と何の矛う概念が生まれた。 -}j， 光M. r という考えJjに盾む生じない。

たつと.光を初く、Iq fにすることは.

そ の空間内さで (34) 式を，n~ をゼロまたは 正の散と限定すk宝仙l でみると， kx 軸， ky ~dl，のI:IJ能なモードのうち.凶 )j向のモード数を減ら

k z 舶に規則止しくならんだ格子点がみられるはず

すことに相 当する。モード散を減らすと.全体とてある 。 この拍子点の数を教えるには . k.， y， t が非しての光凪子数が一定ならば，協・に大きいとして，，iill統体近似を叩いる。そうすI つのモード当りの光虫子の数をI自大させ るこ とになる。 そこで.

ると，

ζ の節では，モ ー ド と 光E 子散との閣保から.

栴子点の散はk空間内の微少体的 dk馬出{~kz内に合まれる

ポ ー ズ縮退lJ! nn を返す式を導 いておこう。 こ の n目(長)(話) ( 長)仏仇仇は， 前号の (20)式内の ßk<zと本質的に同等なものである。
まずモートの教を d算 するには適 当 な空胴共振器を考える必要がある。こ ζ ではやとなる。ここで副札口は正負両為・の値をとることレーザーのよができる。さらに dkidk ~dkt を h空間内の半径 k =うな凹商践を用いた空胴ではなく，簡単の た めにI
kI の球面上の原さ dk の徹少体制k町kdQ でおきか

長 さが Lx . L y ，しの 3 辺で作られた1ft方体の空胴える 。ここ で出2 は徹少立 体角である。 そ うするを考えてみる。光のモ ー トは波数ペクトルと.協子点の数はk -( k x・ k r . k~) と いう 3 つの散の綱合せで表わさ) れム LllL，L1k 2d.kd.Q

るから ， 実空間で考 えるより，波数空間で考えるほうがわかりやすい。

k~.

5π-k~ I kt は それぞれ‑41‑(C) 1992 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

264

放射光第 5 巻第 3 号(1992 年)となる。ここで，光の自由度は 1 つのモードにつで表わされる。また実際のエネルギーの流れを表いて 2 つあることを思い出してもらいたい。 2 つのわすポインティグ・ベクトル N ，すなわち単位面自由度とはその偏光状態に関するものであり，た積・単位時間あたりのエネルギーの流れは INI=

とえば右円偏光と左円偏光など独立な 2 つの基底

cU で表わされるが，これが通常われわれが光強度をもつことを意味する。したがって格子点の数をI(ω)dω とよんでいるものに等しい。以上より，直2 倍したものがモードの数 llM であり方体 (LxLyLz) 内の光子数を llL とし，そのエネル噌GQ。，臼K・K
唱AUL 一3L一MM-一x‑tIL‑nM

ギーを hω とすると

(35)

ll
L=ULxLyLz/(hω)(39)

で表わされる。これを k=ω/c を用いて ω で表わすと

かつN=cU=I(ω)dω

LvLーL'7(36)nnu= 千千士三 ω2dωdQ4πvcvとなるから

ll
L=LX
LyLZI(ω)dω / (hωc)となる。上式に関連して，いくつか有用な式を導いておこう。まず， ω= え /(271c)

(40)

(41)

を用いて (36) 式を変形するとと書くこともできる。以上より，ボーズ、縮退度 llBは，ILxLv
Lz¥
1 ﾀ \3(36) と (41) を用いて。

ll
L 4π3 C2I(ω)

11 一一 |ωZdωdQ
M‑ ~ |ームムニ\--~-À3J¥2πc)llB= 可 =hω3dQ.
.
.
.
.
1LxLvし ¥dω(42)=21 ーニ汁ニ 1'::::: dQ¥ A"Iα}

1LxLv
Lz¥dE
¥ ﾀ3 I E=21 ームムニ 1 ::‑dQ(37)となる。これから 1 (w) についてのいくつかの表現

I(ω)= 弊LMQcv(43)=色主 dQ(44)4πv

上式を p(E)dEdQ と表わすと

7r

ρ(E) =2(咋Lz) ~ι ー(38)が得られる。という，エネルギー状態密度が得られる。

(44) と (41) より

LxLyLzhω3nL=fq ヮ

さて，以上のようにして，与えられた空胴内の4πvc “llBdQdω /(hωc)

2LxLv
Lz .
'"dﾀ

電磁場のモードを与える式が得られたので，次に=寸ド llBdQ す(45)

行うことは，通常の光ビームの強度と光子数とを結び、つける式を得ることである。まず，単位体積あたりの電磁場のエネルギー U は，ガウス単位系でという ω も h も含まない関係式も得られる。

次に行うべきことは通常の放射光の強度の表式に近い形で表わすことである。まず (45) より
え3ll
Lﾀll
B
=2LxLエ dQ dﾀ

U=(E2+H2)/(8π)

‑48‑

(46)

放射光第 5 巻第 3 号(1992年)

265いま，

Lx , Ly , Lz と dQ のかわりに，体積 V =nox

昧を理解するには，光のビームの振まいを記述すOyC ，および立体角 dQ =nox.o y・内の光子数を N p がるための「位相空間」という概念、が必要である

知られているとすると，これはちょうど面積が，これについては後に詳しくふれることにしよnoXo y を微小立体角 dQ をもって一秒間に通過するう。ここでは，とりあえず輝度を B p とおいて (47)光子数に等しい。よって (46) をかきかえてを次のように書換えてみる。

nQ=̲
B‑np~N一一一一,pえ3 ~ 1ﾀnB~2 口pτz(47)2π20XOyOX'Oy' C dﾀ(50)という関係が得られるので，これから nB を見つもこの式は，輝度が与えられたときに，ボーズ縮退ることができるのである。 (47) 式を見れば明かな

度を見積るためには厳密ではないがきわめて有用

ように分母が小さいほど，すなわちビームサイズな式である。しかし実際に， B p の値を代入すると

ox , Oy および発散角。x' ， Oy' が小さいほど nB が大きには注意することが二つある。その一つは，光きくなるのである。これらの値を最小限にしたの量子の密度は，瞬間的な量が重要なので，輝度にが，ついても瞬間的な最大値を用いたほうがよいとい[""回折限界」に相当するが，後にのべるようにこの限界ではうことである。蓄積リング内の電子ビームはパンチ状になっているから，平均電流よりも，パンチσx 0'
x=0y0'y=ﾀ/(4π)

内に集中した最大電流が重要であるということになる。平均値に比べてその最大値がどのくらい大である。したがって (47) はきくなるのかを示すファクターを F とすると

IIR‑8ANpA-16πN p ﾀC dÀωdÀと書き表わすことができる。例としてえ/ dﾀ=103 ,ω= 10 ,17F=Imax/Iav=Co/(ffiBLB)(48)-一一一一一­.
tlで与えられる。ただし，Np=10 photons/sec の場合を考えると
13および平均電流，(51)

Imax , Iav は，瞬間最大電流

Co , ffiB および L B はそれぞれリングの周長，蓄積パンチ数および 1 ケのパンチの長さである。特に単パンチで運転しているとき，nB~5.0F は非常に大きな値になる。もう一つの注意すべとなり，1 に比べて十分大きい値が得られること

き点は，単位の統ーである。輝度の単位の中には，になる。

放射光の強度を表すのに「輝度( Brilliance)J とmrad-2という量が含まれているが，メートルで統一する場合には ，いう単位が用いられることが多い。[""輝度」の単B p に 10 12 をかけなければならない。

photons/(sec ・ mm ・ mrad ・ 0 .1 %以上の注意をふまえて具体的な例を見積ってみb.
w.)という単位が用いられることが多い。この=101600ﾁ=10- 8 m , Bpよう。第一の例としてえ = 1

単位と (47) 式と比較してみると

photons/(sec.mm ・ mrad ・ 0.1 % b.w.) の場合を位としては，2mm- 2 ,222考えると，え/ dﾀ=10 3 に注意して輝度~。

pN(49)

π “ σxσ yOx.Oy'

1033X 10llB- 玄 X 10‑ X1016X 1012X 一一一τB24=1.6x1
0‑2Fという類似性があることがわかる。この関係の意

‑49‑

266

放射光第 5 巻第 3 号(1992 年)となる。多パンチ・モードでは F~ 10 ，単パンが含まれていないことに注意されたい。元来 (40)

チ・モードでは F~ 100 程度と考えられる。したが式には空胴のサイズ、 Lx， y， z は含まれていないから，ってたとえば単パンチモードでは1(ω) もそれらを含まない。したがって，ボーズ縮llB‑1.6

退度も (42) 式の表現では空胴のサイズを含んでいという結果が得られることになる。次の例としないのである。しかしこれは見かけ上の話であて，いわゆる「第三世代」の高輝度リングを考えって，てみよう。この場合，

1(ω) は単位面積当りのエネルギーに関係しているから，本来 Lx ，Bp の値は 2 ケタ増大してL y を分母に含んでいると考10 18 程度になり，またパンチ長も短かく周長が長えられる。それ故，最終的な式 (47) には，くなって，単パンチモードでは F-10 程度になる

Lx(=σx) ，のでのである。また，以上の式に含まれている dQ とい

33llB‑1.6x10

Ly(=Oy) を含んでいるがしを含まない

う立体角は，あまり大きくできないことを注意し程度のボーズ縮退度が得られると予想される。さておこう。それは (40) において，ポインティンらにまた，巨大な周長をもったリングを用いる

グ・ベクトルを事実上，単一の方向に限定して，「第四世代」型の計画では B p の値は，さらに 3 ケスカラー量にしてしまっているからである。しかタ以上も大きくなると考えられるので llB は 10 程しそれにもかかわらず，(35) ,(36) および (37)度が期待される。

式は，モード数の計算であるから，dQ を 4π ラジア

6(47) 式を見ると明らかなように，ボーズ縮退度ンにわたって積分したものも厳密に正しい。たとはえ 3 に比例しているので短波長になるほど急激にえば (38) を dQ について積分した，エネルギー状態小さくなる。したがって，短波長領域になるほ密度はど，大きな輝度が必要となるのである。

ILv
Lv
L7¥1ﾀ3 IE,p'(E)= 8π 卜Lムーと);_

以上までの話で，放射光の強度とポーズ縮退度がどのように関連しているかについて，ある程度イメージをつかんでいただけたと思う。

(47) より(52)で与えられるのである。

明かなように，ボーズ縮退度はビーム・サイズやこの節の最後に，ボーズ縮退度を用いた表式がビームの発散角と密接に結びついていることは特なぜ重要であるかについて少しふれておこう。そに注目すべきである。この式の分母に表われていれは，量子力学的な遷移確率 W が以下のようにしる量は放射光ビームの横方向のふるまいに関係して llB と関連しているからである。まず，光を量子ている。特に，後に述べる「回折限界」という条化しない半古典的扱いでは件では横方向のモードはただ l ケになってしまっ

w= 坐ピI(ω)
l<r>
12;j lγcていることがわかる。ボーズ縮退度は，元来 (42)(53)

式のように，各モード当りの縮退度で表わされているから，モードの数が減れば，縮退度が大きくで表わされる。この式の分母の 3 は，全立体角をなるのは当然のことである。特にレーザー用の共考えているために現れるファクターである。この振器は強度を重視する場合は横方向の占有モード式に (43) 式を全立体角で積分したものを代入するを単一にして用いられるように設計されている。とこれに比べて縦方向には非常に多数のモードが存=生二ω31<r>1 2 llB3hc

在することは，共振器の Lz が大きいことから導か;Jれる当然の結論である。ただし (47) 式には直接 Lz(54)Fhdnu

267(， 四 2年}

第 5 巻第 3 号

放射光い式l孟 ω ー 2lfC I)， を問いて 12? き闘えることができる。屯描財が一回煽動する時 IUl 内に遮移する雌率る。このとき"微細構造定数が e パ hc) ~ 1/ 137 でli. 叔極-f退轄1 J9 1J悪品 l <r>1 と控長との比の Z乗あることに控忘する。そうすると例えばに比例し，なおかっ入射光子融のポーズ縮過度に比例するということを立昧している。

32;
r3c l く r> ~137), 1

また，

(55)

w= 一一一一一一-n ，-,(54) , (55) およひ (57) は.

2 光子眼収なn〉一 zv'一・IAω〈一,Ea，aυ-cι

--a-r一庁

W

ギ4Fはた

どの多光 f. 過程の起りやすきについてのI=t去を勺えてくれる。例えは 2 光(.服収の雄市は，工不ル(56)

ギ-~{弘の状態栴肢が岡しとすれば.

(56) 式にl < r>l~ n91(l 3n 可をかけた作成のオーダーとなるから. D~ が十分に太きければ尚い配中で 2 光子眼という!則{系がれJ られる。

(54)
. (55) および印刷~;t~は語、噂蹴収についてl以か起こり仰るわけである。この怠昧では，第三の点現である。放 t 11 については . Js帯以 ~11 と m 然

l仕代または第四世代の vuv . 軟 X 綿の拙射光触に脱出の阿h を考噂して，おいては，口i 叫 "Jt レーザーでおきるような多光子

nß のかわりに町 + 1 とす

過fJi， Jf:~型:Wl~が起きることが期待されるのでる必・認がある。

(56) バの物.f111郎J な内・作 e;t • きわめて1I)'Il' ， であある 。

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‑‑e‑.

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