数理解析研究所講究録 1224 巻 2001 年 118-125

118

Non-Gaussian P-function and disturbance of
operation in quantum estimation for noised

coherent light

津田美幸 (Yoshiyuki TSUDA)

筑波大・数学1

はじめに量子力学では, 対象となる物理系を可分な Hilbert 空間 $H$ で表す. $H$ 上の有界線形作用素の全体を $B(H)$ で表し,
$S(H):=\{\rho\in B(H)|\rho=\rho^{*}\geq 0, \mathrm{R}(\rho)=1\}$とし, $\rho\in S(H)$ を密度作用素と呼ぶ. ただし, $A\in B(H)$ に対して, A*よ複素共役転置, $A\geq 0$ は非負定値, Tr(A) はトレースを表す.
ある可測空間に対して,$(\Omega, F(\Omega))$・ $\Pi(\emptyset)=0$・任意の(零元), $\Pi(\Omega)=I$ (単位元),$F\in \mathcal{F}(\Omega)$に対して, $\Pi(F)\geq 0$ ,・互いに素な可算列 $\{F_{n}(\in F(\Omega))\}$ に対して, $\Pi(\bigcup_{n}F_{n})=\sum_{n}\Pi(F_{n})$を満たす: $F(\Omega)arrow B(H)$ を正作用素値測度 (POVM) と呼ぶ.
量子系の測定は, 対応する Hilbert 空間 $H$ と状態を表す密度作用素 $\rho\in S(H)$ ,と POVM
測定値の可測空間の組によって定まり, 事象 $F\in F(\Omega)$ が観測される確率は$\Pi$$(\Omega, F(\Omega))$$\Pi$$\mathrm{P}\mathrm{r}(F|\rho, \Pi)=\mathrm{T}\mathrm{r}(\rho \mathrm{I}\mathrm{I}(F))$

で定義される. 密度作用素 $\rho\in S(H)$ が未知である場合には, 観測者はと POVM
を選択して観測を行い, 得られた観測値に基づいて を推定することが問題になる. これを量子推定問題と呼ぶ.
2 つの物理系で表される.
が互いに対して, 合成系はの状態は $\rho_{1}\otimes\rho_{2}\in S(H_{1}\otimes H_{2})(\rho_{1}\in S(H_{1}), \rho_{2}\in S(H_{2}))$に独立な場合,で表される.
が同型で, $\rho_{1}\in S(H_{1}),$ $\rho_{2}\in S(H_{2})$ が
となる場
内
合,
と書く.
また, 系の時間発展は, $\rho\in S(H)$ を $U\rho U^{*}\in S(?t)$ に移す unitary 作用素 $U\in$$(\Omega,F(\Omega))$$\Pi$$F\in \mathcal{F}(\Omega)$$H_{1},$$H_{2}$$H_{1}\otimes H_{2}$$\rho$$H_{1},$$H_{2}$$H_{1}\otimes H_{2}$$H_{1},$$H_{2}$$\rho_{1}=$$=\rho$$\rho^{\otimes 2}:=\rho_{1}\otimes\rho_{2}$$B(H)$

によって表される.

以下, 量子力学系の特別な場合である量子光学系について述べる. 実数体 $R$ 上の複素数値 -可積分関数全体のある完備正規直交基底を:
非負整数全体) とする. また, ( $\in C$ : 複素数体) に対して,$\mathcal{L}_{2}$$\mathcal{L}_{2}(R)$$\theta$$| \theta\rangle_{c}:=\sum_{\sim-0}^{\infty}\exp(-|\theta|^{2}/2)\frac{\theta^{n}}{\sqrt{n!}}|n\rangle_{\nu}$$|n\rangle_{\nu}(n\in N_{0}$119とする. \models )ッッ(とし,と呼ばれ, は光子数に対応する
れ, は複素振幅に対応する. さらに,$\theta\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}|\theta \mathrm{X}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\Leftarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\models \mathrm{X},$$\Leftarrow|$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\theta)_{cc}(\theta|(\epsilon \mathrm{S}(\mathcal{L}_{2}(R)))$$n$は光子数確定状態
は coherent 光状態と呼ば$(arrow \mathrm{S}(\mathcal{L}_{2}(R)))$$c$$\theta$1 :$F(N_{0})arrow B(\mathcal{L}_{2}(R))$:$\mathcal{F}(C)arrow B(\mathcal{L}_{2}(R))$$\Pi_{2}$は POVM である.

態$|\theta\rangle_{cc}\langle\theta|$$\Pi_{1}$を光子数測定,に対して, 光子数測定$\Pi_{1}$$(\Pi_{1}(\{n\})=|n\rangle_{\nu\nu}\langle n|)$,$(\Pi_{2}(\eta)d^{2}\eta=|\eta\rangle_{cc}\langle\eta|d^{2}\eta)$

をヘテロダイン測定と呼ぶ. Coherent 状を行うと, 測定値 の確率分布は Poisson 分$\Pi_{2}$

$n$

布であり,
$\mathrm{R}(|\theta\rangle_{cc}\langle\theta|\Pi_{1}(\{n\}))=\exp(-|\theta|^{2})|\theta|^{2n}/n!$となる. また, coherent 状態

値$\eta$

に対してヘテロダイン測定の確率分布は 2 変量 Gauss 分布であり,Tr$|\theta\rangle_{cc}\langle\theta|$

2 を行うと, 測定$(| \theta\rangle_{cc}\langle\theta|\Pi_{2}(\eta))d^{2}\eta=\frac{1}{\pi}\exp(-|\eta-\theta|^{2})d^{2}\eta$

となる.

任意の

$\rho\in S(\mathcal{L}_{2}(R))$

に対して,

(1.1)

$\rho=\int\int_{C}|\zeta\rangle_{cc}\langle\zeta|P(\zeta)d^{2}\zeta\in S(\mathcal{L}_{2}(R))$となる (超) 関数$P(\cdot)$が存在し,関数と呼ぶ (Walls and Milburn [3]). 特に,$\mathrm{P}$$\rho_{\theta,\sigma^{2}}:=\frac{1}{2\pi\sigma^{2}}\int\int_{C}|\zeta\rangle_{cc}\langle\zeta|\exp(-\frac{|\zeta-\theta|^{2}}{2\sigma^{2}})d^{2}\zeta$(1.2)

を coherent 光の熱雑音状態と呼ぶ.

2複素振幅と熱雑音の推定のHayashi [1] は (1.2) の状態族に対する推定問題を考え, 漸近的に最適な測定方法と推定量を提案した. まず,を beam splitter を用いた物理的操作によって,個の独立な状態$S_{1}:=\{\rho_{\theta,\sigma^{2}}|\theta\in C, \sigma^{2}\in R, \sigma^{2}>0\}$$\theta,$$2\sigma^{2}$$2^{m}$$\rho_{\theta,\sigma^{2}}^{2^{m}}$$\rho_{\theta,\sigma^{2}}^{\otimes 2^{m}}\mapsto U_{m}\cdots U_{1}\rho_{\theta,\sigma^{2}}^{\otimes 2^{m}}U_{1}^{*}\cdots U_{m}^{*}=\rho_{0,\sigma^{2}}^{\otimes 2^{m}-1}\otimes\rho_{\sqrt{2^{m}}\theta,\sigma^{2}}$(2.1)と時間発展させる. ただし, $1\leq j\leq m$ に対して
$U_{j}$$:= \prod_{k=1}^{2^{m-j}}\exp(\frac{\pi}{4}$とし, $1\leq l\leq 2^{m}$ に対して,とする. また, 消滅作用素$a$$a_{l}$

’ は

は

$l$

(

$a_{2jk-\gamma-l}$a 公 k-a2jka2jk-2j-1))

番目の系に対する消滅作用素, al*t よ生成作用素
番目の系の coherent 光ベクトルの Hamiltonian

$l$

120
であり, 任意の複素数$\theta$と任意の$\eta(\epsilon \mathcal{H},$$1\ovalbox{\tt\small REJECT} j<l-1,$$l+l<j\ovalbox{\tt\small REJECT}$

2 勺に対

して
$a_{l}v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{l-1}\otimes|\theta\rangle_{c}\otimes v_{l+1}\otimes\cdots\otimes v_{2^{m}}$$=\theta v_{1}\otimes\cdots\otimes v_{l-1}\otimes|\theta\rangle_{c}\otimes v_{l+1}\otimes\cdots\otimes v_{2^{m}}$が成り立つ. POVM

$\Pi$

:

$F(N_{0}^{2^{m}-1}\cross C)arrow \mathrm{C}_{1}(\mathcal{L}_{1}(R)^{\otimes 2^{m}})$を$\Pi(\{n_{1}\}, \ldots, \{n_{2^{m}-1}\}, \eta)d^{2}\eta$$=\Pi_{1}(\{n_{1}\})\otimes\cdots\otimes\Pi_{1}(\{n_{2^{m}-1}\})\otimes\Pi_{2}(\eta)d^{2}\eta$$=|n_{1}\rangle_{\nu\nu}\langle n_{1}|\otimes\cdots\otimes|n_{2^{m}-1}\rangle_{\nu\nu}\langle n_{2^{m}-1}|\otimes|\eta\rangle_{cc}\langle\eta|d^{2}\eta$で定義する. すると, 測定値1$(n_{1}, \ldots, n_{2^{m}-1}, \eta)\text{の}\mathrm{o}\mathrm{e}\text{率分}*1\mathrm{h}$,$(\rho_{0,\sigma^{2}}^{\otimes 2^{m}-1}\otimes\rho_{\sqrt{2^{m}}\theta,\sigma^{2}}\Pi(\{n_{1}\}, \ldots, \{n_{2^{m}-1}\}, \eta))d^{2}\eta$$= \frac{1}{(2\sigma^{2}+1)^{2^{m}-1}}(\frac{2\sigma^{2}}{2\sigma^{2}+1})^{n_{1}+\cdots+n_{2^{m}-1}}\frac{1}{2\sigma^{2}}\exp(-\frac{|\eta-\sqrt{2^{m}}\theta|^{2}}{2\sigma^{2}})d^{2}\eta$となる. そこで,.
${\rm Re}(\theta),$${\rm Im}(\theta),$$\overline{\eta}_{1}:={\rm Re}(\eta)/\sqrt{2^{m}}$とすると,$\overline{\eta}1,\overline{m},\overline{n}$,$2\sigma^{2}$の推定量をそれぞれ$\overline{m}:={\rm Im}(\eta)/\sqrt{2^{m}}$,$\hat{\kappa}_{2}:=\sum_{j=1}^{2^{m}-1}\frac{n_{j}}{2^{m}-1}$は不偏推定量となり, その共分散行列は$(\begin{array}{llll}\sigma^{2}/2^{m} 0 0 0 \sigma^{2}/2^{m} 0 0 0 2\sigma^{2}(1+2\sigma^{2})/(2^{m} -\mathrm{l})\end{array})$となる. これは,$\rho_{\theta,\sigma^{2}}^{\otimes 2^{m}}$に対する RLD Fisher 情報行列による不偏推定量の共分散行

列のトレースの下限$\sigma^{2}/2^{m-1}+2\sigma^{2}(1+2\sigma^{2})/2^{m}$と漸近的に一致している. この意味で最適な測定, 推定方法である.

3$\mathrm{P}$関数が Gaussian でない場合

しかし, 実際には, (1.2) における Gaussian の仮定は必ずしも成り立っわけではなく, むしろそうでない場合が多い. そこで, (垣戸こおいて, 3 次と 4 次の cumulant
が有限であるが必ずしも 0 ではない場合について考える. ただし, cumulant は以下のように定まる. まず, $\beta:=-\beta_{1}/2+i\beta_{2}/2$ ( , 鳥 $\in R$ ) に対して, の正規順特性関数を$\beta_{1}$$\rho$$\chi_{N}(\beta):=\mathrm{b}\{\rho\exp(\beta a_{1}^{*})\exp(-\beta^{*}a_{1})\}$

121で定義する (Walls and Milburn [3]). 次に, $j,$ $k(\in N)$ に対して cumulant を$\kappa_{j,k}:=\frac{\partial^{j}}{\partial\beta_{1}^{j}}\frac{\partial^{k}}{\partial\beta_{2}^{k}}\log(\chi_{N}(0))$

で定義する. また, $\kappa_{j,k}=\kappa_{k,j}(j+k\geq 2)$ と仮定する.
, の推定問題に拡張される.
すると, 前節の問題設定は,に対して, POVM
(2. 1)&こよって状態を変化させた後の状態
から兇砲茲訛 定を行う. 得られた測定値$\kappa_{1,0},$$\kappa_{0,1},2\kappa_{2,0}$$U_{m}\cdots U_{1}\rho^{\otimes 2^{m}}U_{1}^{*}\cdots U_{m}^{*}$$(n_{1}, \cdots, n_{2^{m}-1}, \eta)$$\kappa_{1,0},$$\kappa_{0,1},$$\kappa_{2}:=2\kappa_{2,0}$

の推定量

,

$\hat{\kappa}_{1,0}:={\rm Re}(\eta)/\sqrt{2^{m}}$,$\hat{\kappa}_{1,0}:={\rm Im}(\eta)/\sqrt{2^{m}}$$\hat{\kappa}_{2}:=\sum_{j=1}^{2^{m}-1}\frac{n_{j}}{2^{m}-1}$を定めると, 以下が成り立つ.
定理 3.1 $\kappa_{1,1}=\kappa_{3,0}=\kappa_{2,1}=\kappa_{1,2}=\kappa_{0,3}=\kappa_{3,1}=\kappa_{1,3}=0$ ならば,$E(\hat{\kappa}_{0,1})=\kappa_{0,1}$,$V( \hat{\kappa}_{1,0})=V(\hat{\kappa}_{0,1})=\frac{\kappa_{2,0}+1/2}{2^{m}}$,$E(\hat{\kappa}_{1,0})=\kappa_{1,0}$,$E(\hat{\kappa}_{2})=2\kappa_{2,0}$

,

(3.1)

$V( \hat{\kappa}_{2})=2\kappa_{2,0}\frac{1+2\kappa_{2,0}}{M_{*}}+2\frac{M+1}{3MM_{*}}(\kappa_{4,0}+\kappa_{2,2})$となる. ただし, $M:=2^{m},$ $M_{*}:=2^{m}-1$ とする.

4Beam splitter の透過率の確率モデ
また, Hayashi [1] では, (2.1) の unitary 変換を実行する際に用いられる beam
splitter の透過率が 1/2 であることを仮定しているが, 実際に使われる beam splitterの透過率は理想的な値 (1/2) から少しずれていることが多い. そこで,に対して, (2.1) &こおを推定する問題において, 互いに独立な実数値確率変数$\kappa_{1,0},$$\kappa_{0,1},$$\kappa_{2}$$\epsilon_{j,k}$

いて$U_{j}$$:= \prod_{k=1}^{2^{m-j}}\exp((\pi/4-\sqrt{2}\epsilon_{j,k})$($a_{2jk-2^{j-l}}^{*}$

a2jk–a2*jka2jk-公-1))となるモデルを考える. ただし, 共通の分散 $V(\epsilon):=V(\epsilon_{j,k})(>0)$ は十分小さいとし,$E(\epsilon_{j,k})=E((\epsilon_{j,k})^{3})=0$,$E((\epsilon_{j,k})^{4})=3V(\epsilon)^{2}$とする. $\{\cos(\pi/4-\sqrt{2}\epsilon_{j,k})\}^{2}$ は, $(j, k)$ 番目の beam splitter の透過率に対応する.

122
定理 4.1 $\kappa_{1,1}=\kappa_{3,0}=\kappa_{2,1}=\kappa_{1,2}=\kappa_{0,3}=\kappa_{3,1}=\kappa_{1,3}=0$ ならば,$E(\hat{\kappa}_{1,0})=\kappa_{1,0}$,$E(\hat{\kappa}_{0,1})=\kappa_{0,1}$,$E( \hat{\kappa}_{2})=2\kappa_{2,0}+2\frac{Mm(\kappa_{1,0}^{2}+\kappa_{0,1}^{2})+2(2M_{*}-m)\kappa_{2,0}}{M_{*}}V(\epsilon)+O(V(\epsilon)^{2})$,$V( \hat{\kappa}_{1,0})=V(\hat{\kappa}_{0,1})=\frac{(2V(\epsilon)+1)^{m}\kappa_{2,0}+1/2}{2^{m}}$となり, さらに,$\kappa_{2,2}=0$ならば,$=2 \kappa_{2,0}\frac{1+2\kappa_{2,0}}{M_{*}}+2\frac{M+1}{3MM_{*}}\kappa_{4,0}+\{18M(2M_{*}-m)\kappa_{2,0}$$V(\hat{\kappa}_{2})$$+8M(2M_{*}-m)\kappa_{2,0^{2}}+3mM^{2}(\kappa_{0,1^{2}}+\kappa_{1,0^{2}})(1+4\kappa_{2,0})$$+4(4M^{2}-3m-4) \kappa_{4,0}\}\frac{2V(\epsilon)}{3MM_{*}^{2}}+O(V(\epsilon)^{2})$(4.1)となる. ただし, $M:=2^{m},$ $M_{*}:=2^{m}-1$ とする.

系 4.1$\hat{\kappa}_{2}$と$\kappa_{2}$$MSE=$の平均 2 乗誤差 $MSE$ は$\frac{3\kappa_{2,0}+6\kappa_{2,0}^{2}+(1+2^{-m})\kappa_{4,0})}{3M_{*}}$+2$\{2(3MM_{*}^{2}m(\kappa_{0,1}^{2}+\kappa_{1,0}^{2})$$+6M_{*}^{2}(-2+2M-m+2Mm\kappa_{0,1}^{2}+2Mm\kappa_{1,0}^{2})\kappa_{2,0}$$+24(2M_{*}^{3}-M_{*}^{2}m)\kappa_{2,0}^{2}$$+ \frac{4}{M}(-4+6M+4M^{4}-8^{(}1+m)-3M_{*}^{2}m)\kappa_{4,0}\}\frac{V(\epsilon)}{3M_{*}^{4}}$$+O(V(\epsilon)^{2})$

である.

5

今後の課題
以上のように, Hayashi [1] の提案した実験を精密化したが, この他にも, (2.1) のunitary 変換を実行する際に用いられる光ファイバーのエネルギー損失も考える必要がある. さらに, 光子数測定をする光検出器の量子効率, dark count の影響, 複数光子の識別可能性 (Kim, Takeuchi and Yamamoto [2]) なども考慮する必要がある. これらのモデル化とその解析は今後の課題である.

123

本論文に対して多くの有益な助言を下さった理化学研究所脳科学総合研究セン
ター脳数理研究チームの林正人氏に感謝致します.

付録 A

定理の証明

定理 3.1 の (3.1) 以外は定理 4.1 に含まれる. ここでは, 定理 3.1 の (3.1) と定理
4.1 を示す.
証明

まず, $1\leq j\leq m$ に対して,(5.2)$U_{j}\cdots U_{1}\rho^{\otimes 2^{j}}U_{1}^{*}\cdots U_{j}^{*}$の$2^{j}$番目の系の$\mathrm{P}$関数$g_{j}$の cumulant を$\kappa_{1,0}^{(j+1)}=\sqrt{2}\kappa_{1,0}^{(j)}$,$\kappa_{k,l}^{(j)}$とすると, $1\leq j<m$ に対して,$\kappa_{0,1}^{(j+1)}=\sqrt{2}\kappa_{0,1}^{(j\rangle}$$\kappa_{2,0}^{(j+1)}=(1+2V(\epsilon))\kappa_{2,0}^{(j)}$$\kappa_{3,0}^{(j+1)}=\frac{1+6V(\epsilon)}{\sqrt{2}}\kappa_{3,0}^{(j)}$,,$\kappa_{1,1}^{(j+1)}=(1+2V(\epsilon))\kappa_{1,1}^{(j)}$,,$\kappa_{2,1}^{(j+1)}=\frac{1+6V(\epsilon)}{\sqrt{2}}\kappa_{2,1}^{(j)}$$\kappa_{4,0}^{(j+1)}=24V(\epsilon)^{2}\kappa_{2,0}^{(j)}+(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})\kappa_{4,0}^{(j)}$$\kappa_{3,1}^{(j+1)}=(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})\kappa_{3,1}^{(j)}$

,

,

,

$\kappa_{2,2}^{(j+1)}=8V(\epsilon)^{2}\kappa_{2,0}^{(j)}+(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})\kappa_{2,2}^{(j)}$という漸化式が成り立つから, $1\leq j\leq m$ に対して,$\kappa_{1,0}^{(j)}=\sqrt{2}^{j-1}\kappa_{1,0}$,$\kappa_{0,1}^{(j)}=\sqrt{2}^{j-1}\kappa_{0,1}$$\kappa_{2,0}^{(j)}=(2V(\epsilon)+1)^{j-1}\kappa_{2,0}$,,$\kappa_{1,1}^{(j)}=\kappa_{3,0}^{(j)}=\kappa_{2,1}^{(j)}=\kappa_{3,1}^{(j)}=0$,$\kappa_{4,0}^{(j)}=24V(\epsilon)^{2}\kappa_{2,0^{\frac{(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})^{j-1}-(1+2V(\epsilon)^{2j-2}}{-1/2+2V(\epsilon)+2V(\epsilon)^{2}}}}^{2}$$+(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})^{j-1}\kappa_{4,0}$,$\kappa_{2,2}^{(j)}=8V(\epsilon)^{2}\kappa_{2,0^{\frac{(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})^{j-1}-(1+2V(\epsilon)^{2j-2}}{-1/2+2V(\epsilon)+2V(\epsilon)^{2}}}}^{2}$$+(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})^{j-1}\kappa_{2,2}$124となる. 従って,,$E(\hat{\kappa}_{1,0})$$=$$\int\int_{C}{\rm Re}(\eta)g_{m}(\eta)\mu(d^{2}\eta)=\kappa_{1,0}$$E(\hat{\kappa}_{0,1})$$=$$\int\int_{C}{\rm Im}(\eta)g_{m}(\eta)\mu(d^{2}\eta)=\kappa_{0,1}$$V(\hat{\kappa}_{1,0})$$=$$V( \hat{\kappa}_{0,1})=\int\int_{C}{\rm Re}(\eta)^{2}g_{m}(\eta)\mu(d^{2}\eta)-\kappa_{1,0}^{2}$$=$$\frac{(2V(\epsilon)+1)^{m}\kappa_{2,0}+1/2}{2^{m}}$,を得る. また, (5.2) の 24 目以外の系の 関数は共通であるから, それをの 2 変量 cumulant をし,とすると,$\mathrm{P}$$h_{j}$=0 フ$\lambda_{1,0}$$=$$\lambda_{1,0}=\lambda_{3,0}=\lambda_{2,1}$$\lambda_{2,0}$$=$$(2V(\epsilon)+\mathfrak{y}\kappa_{2,0}^{(j-\mathfrak{y}}+4V(\epsilon)(\kappa_{1,0}^{(j-1)})^{2}$$\lambda_{1,1}$$=$$(2V(\epsilon)+1)\kappa_{1,1}^{(j-1)}+4V(\epsilon)\kappa_{1,0}^{(j-1)}\kappa_{1,0}^{(j-1)}$$\lambda_{4,0}$$=$$24V(\epsilon)^{2}(\kappa_{2,0}^{(j-1)})^{2}+(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})\kappa_{4,0}^{(j-1)}$,,$+24V(\epsilon)(2V(\epsilon)+1)\kappa_{3,0}^{(j-1)}\kappa_{1,0}^{(j-1)}+96V(\epsilon)\kappa_{2,0}^{(j-1)}(\kappa_{1,0}^{(j-1)})^{2}$$\lambda_{3,1}$$h_{j}$$\lambda_{k,l}$

$=$

佃

,

$V(\epsilon)^{2}(\kappa_{1,0}^{(j-1)})^{2}\kappa_{1,1}^{(j-1)}+24V(\epsilon)^{2}\kappa_{1,1}^{(j-1)}\kappa_{2,0}^{(j-1)}$$+6V(\epsilon)\kappa_{1,0}^{(j-1)}(8V(\epsilon)\kappa_{0,1}^{(j-1)}\kappa_{2,0}^{(j-1)}+3(2V(\epsilon)+1)\kappa_{2,1}^{(j-1)})$$+6V(\epsilon)\kappa_{0,1}^{(j-1)}\kappa_{3,0}^{(j-1)}+12V(\epsilon)^{2}\kappa_{0,1}^{(j-1)}\kappa_{3,0}^{(j-1)}$$+(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})\kappa_{3,1}^{(j-1)}$$\lambda_{2,2}$$=$,$16V(\epsilon)^{2}(\kappa_{1,1}^{(j-1)})^{2}+16V(\epsilon)^{2}(\kappa_{0,1}^{(j-1)})^{2}\kappa_{2,0}^{(j-\mathfrak{h}}$$+16V(\epsilon)^{2}(\kappa_{1,0}^{(j-1)})^{2}\kappa_{2,0}^{(j-1)}+8V(’)^{2}(\kappa_{2,0}^{(j-\mathfrak{y}})^{2}+12V(\epsilon)\kappa_{1,0}^{(j-1)}\kappa_{2,1}^{(j-1)}$$+24V(\epsilon)^{2}\kappa_{1,0}^{(j-1)}\kappa_{2,1}^{(j-1)}+4V(\epsilon)\kappa_{0,1}^{(j-1)}(16V(\epsilon)\kappa_{1,0}^{(j-1)}\kappa_{1,1}^{(j-1)}$$+3(2V(\epsilon)+1)\kappa_{2,1}^{(j-1)})+(1/2+6V(\epsilon)+6V(\epsilon)^{2})\kappa_{2,2}^{(j-1)}$となる. 従って,$2 \kappa_{2,0}+2\frac{Mm(\kappa_{1,0}^{2}+\kappa_{0,1}^{2})+2(2M_{*}-m)\kappa_{2,0}}{M_{*}}V(\epsilon)+O(V(\epsilon)^{2})$$E(\hat{\kappa}_{2})$$=$$V(\hat{\kappa}_{2})$$= \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{2^{m-j}}V(n_{2^{m}-2^{m-j+1}}k)++\sum_{j\neq k}Cov(n_{j}, n_{k})$,$= \sum_{j=1}^{m}2^{m-j}\int\int_{C}(|\eta|^{4}+|\eta|^{2})h_{j}(\eta)\mu(d^{2}\eta)$-$\sum_{j=1}^{m}2^{m-j}\{\int\int_{C}|\eta|^{2}h_{j}(\eta)\mu(d^{2}\eta)\}^{2}+O(V(\epsilon))$となり, $V(\epsilon)=0$ ならば (3.1) を得,$V(\epsilon)\neq 0$

がっ $\kappa_{2,2}=0$ ならば (4.1) を得る.

と

125
参考文献
[1] Hayashi, M. (2000). Asymptotic quantum theory for the thermal state family.
Quantum communication, computing and measurement 2(edited by Kumar,
P. ’ariano, G. M. and Hirota, O.), Plenum, New York, 99-104.
$\mathrm{D}$[2] Kim, J., Takeuchi, S. and Yamamoto, Y. (1999). Multiphoton detection using
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[3] Walls, D. 1and Milburn, G. J. (1994). Quantum optics, Springer, Tokyo.