数理解析研究所講究録 1224 巻 2001 年 160-169

160
Sequential elimination procedure for selecting the s bestnormal populations with unknown variance
筑波大・数学系

青木充 (Mitsuru Aoki)

Institute of Mathematics, University of Tsukuba

1. INTRODUCTION
個の独立な正規母集団 $\pi::N(\mu:, \sigma^{2}),$ $i=1,$$k(\geq 2)$てのパラメーターは未知である.

$\mu$: の順序付けをん, この順序関係も未知である. 本論文では,

formulation を用いて$\mu[k],$$\ldots,$$\mu[k-s+1]$$k$$\ldots,$があるとする. ここで, 全$\mu[1]\leq\cdots\leq\mu[k]$と表記する. もちろBechhofer (1954) の indifference zoneを持つ $s(1\leq s\leq k-1)$ 個の母集団を選択する問題を考える. そのとき, 与えられる$\delta^{\star}(>0)$と$P^{\star}\in(1/(\begin{array}{l}ks\end{array}),$$1)$とで書かれる確率的要求$P(CS)\geq P^{\star}$を課すとする. ここで,る.

$\Omega^{\mathrm{c}}(\delta^{\star})$whenever$\mu=(\mu_{1}, \ldots, \mu_{k}),$を indifference zone と呼び,

Bechhofer (1954) は$\sigma$$\Omega(\delta^{\star})=\{\mu :“$\mathrm{C}\mathrm{S}$”(1.1)$\mu\in\Omega(\delta^{\star})$\mu_{[k-s+1]}-\mu_{[k-s]}\geq\delta^{\star}\}$であは “Correct Selection” の略記である.

が既知と仮定して, この問題に解を与えた.

$\sigma$が既知である

仮定をはずし, ただし $s=1$ のとき, Bechhofer, Dunnett and Sobel (1954) は Stein(1945) の二段階法を用いて (1.1) 式を満たす解を与えた.

$s$が–. 般の場合,

Aoshimaand Aoki (2000) は, Mukhopadhyay and Duggan (1999) の二段階法を改良して (1.1)
式を満たす解を与え, さらに解の漸近有効性を 2 次のオーダーまで明らかにした.
一方, 上記の研究とは別の方向性として, 推測の判定を多段階に分けて, 初期の段階で判定を行うことができる母集団については以後のサンプリングの対象からは除外する Paulson (1962) の Elimination 法を応用することも考えられる. 実際, Paulson(1964) は$\sigma$る. その後,が既知と仮定して $s=1$ の場合に Elimination 法を用いた解を与えていHartmann $(1988,1991)$ は Paulson (1964) に用いられる不等式を改良することで Elimination 法に必要となる標本数の削減を行い,さらに$\sigma$が既知である仮定をはずして (1.1) 式を満たす Elimination 法による解を $s=1$ の場合に与えた.

161
本論文は, $s=1$ の条件をはずし一般の$s$の場合について (1.1) 式を満たす Elimi-nation 法による解を与え, その有効性を研究する.
まず,2 節において$s$が一般の場合の Elimination 法を提案し, (11) 式を満たす解を与えることを証明する. 3 節において, 2 節で与えた Elimination 法による解の有効性を, Elimination 法を用いない場合の解との比較によって標本数と確率の両面から数値的に考察する.

2. PROCEDURE
固定された大きさ $m(\geq 2)$ の初期標本$X_{ij},$$j=1,$$\ldots,$$m$を各母集団 $\pi_{i}(i=1, \ldots, k)$から抽出し, 標本平均 $\overline{X}_{im}=\sum_{j=1}^{m}X_{ij}/m$ と標本分散$S^{2}= \sum_{i=1j}^{k}\sum_{=1}^{m}(X_{ij}-\overline{X}_{im})^{2}/\nu$を計算する. ある正整数[こもとづいて$j$,$\nu=k(m-1)$に対して \lambda =\mbox{\boldmath $\delta$}\star /(2 力とおく.

$a_{\lambda}=\eta\nu S^{2}/\delta^{\star}$

とおき,$W_{\lambda}=[a_{\lambda}/\lambda]$$\lambda$に依存して決まる $\eta(>0)$

を定義する. ここで,も小さな最大の整数とする. もしも $m>W_{\lambda}$ であれぱ実験を終了し,の大きい方から$s$番目までの$\pi_{i}$を選択する. もし$[c]$$\overline{X}_{im},$は$c$$i=1,$

より$k$$\ldots,$

であれば,$m\leq W_{\lambda}$$\overline{X}_{jm}<\overline{X}_{[k-s+1,m]}-\frac{a_{\lambda}}{m}+\lambda$に該当する
ら$s$$\pi_{j}$を母集団選択の対象から除外する.

番目の –Xi。をさす. 除外されずに残っているる. この手順を $r=m+1,$$W_{\lambda}$$\ldots,$

ここで,$\pi_{i}$$\overline{X}[k-s+1,m]$は大きい方かからは標本を 1 つずつ追加すについて繰り返し, 各段階で(2.1)$\overline{X}_{jr}<\overline{X}_{[k-s+1,r]}-\frac{a_{\lambda}}{r}+\lambda$に該当する団が$s$$\pi_{j}$を母集団選択の対象から除外していく. 上記のある段階で残りの母集個になった場合, 実験を終了し, それらの母集団を選択する. また,$r=W_{\lambda}$の段階で $s+1$ 個以上の母集団が残っている場合, それらの各母集団からさらに標本を 1 つずつ追加して,$\overline{X}_{iW_{\lambda}+1}$の大きい方から$s$番目までの$\pi_{i}$を選択する.

162

$k$

$X\mathrm{E}\mathrm{R}$$\mathrm{E}\mathrm{E}\ovalbox{\tt\small REJECT} j\ \lambda=\delta^{\star}/(2j)\mathfrak{l}C*\backslash \}\mathrm{b}\vee \mathrm{C},$$j$$\sum(-1)^{:+1}$( $1-$ \mbox{\boldmath $\delta$}り/2) $(1+(2j-i)i\eta/j)^{-\nu/2}=1-P^{\star}1/(s(k-s))$(2.2)$:=1$の解$\eta$[こよる$a_{\lambda}=\eta\nu S^{2}/\delta^{\star}$解を与える. ここで,.

$\delta_{1j}$を用いるとき, 上記 Elimination 法は (1.1) 式を満たす

は Kronecker symbol とする.

定理の証明には, 次の補題を用いる.

補題$\{W(t), 0\leq t\leq\infty\}\text{を}$drift$\mu(>0)\text{の}$を与えられる定数とする. そのとき,Brownian motion &b, $m(>0)$ &A $(>0)$$\lambda=\mu/(2j)$

で $T$ が $|W(T)|\geq\lambda(m-T)$ なるsymmetric stopping time ならば, 不等式(2.3)$P_{\mu} \{W(T)<0\}\leq.\sum_{1=1}^{j}(-1)^{:+1}(1-\delta_{\dot{l}j}/2)\exp\{-2m(2j-i)i\}$が成り立つ. ここで,.}ま Kronecker symbol とする.

$\delta_{1j}$定理の証明
表記を簡潔にするため, ここではprocedure を 2 つの母集団$\pi_{\dot{l}},$$\pi_{j}$$\mu[\dot{l}]$を持つ母集団をに用いたとき,で表す. そのとき, 選択されるべき母集団$\pi_{k},$$\ldots,$$\pi_{\dot{l}}$で表すことにする. また,が除外される事象を$\pi_{j}$$\pi_{k-s+1}$$\{\pi_{i}\gg\pi_{j}\}$が procedure によって選択されない事象は,$\bigcup_{:=k-s+1}^{k}\bigcup_{\ell\neq\dot{l}}\{\pi_{\ell}\gg\pi:\}$なる事象に含まれる. ここで,ド. モルガンの法則を用いることで$P(CS) \geq P\{\bigcap_{:=k-s+1}^{k}\bigcap_{\ell\neq i}\{\pi_{i}\gg\pi_{\ell}\}\}$が成り立つ. 選択されるべき母集団からの標本$S^{2}$$X_{:1},$$\ldots,$$X_{iW_{\lambda}+1},$$i=k-s+1,$とを与えた条件付きで考えると, 事象 $\{\pi:\gg\pi\ell\},$ $i=k-s+1,$は独立になるので$\ldots,$$k;\ell=1,$$k$$\ldots,$$\ldots,$と$k-s$

163$P(CS)$$\geq E[P\{\bigcap_{i=k-s+1}^{k}\bigcap_{\ell\neq i}\{\pi_{i}\gg\pi_{\ell}\}\}|X_{i1},$$X_{iW_{\lambda}+1},$$\ldots,$$\geq E[\prod_{i=k-s+1}^{k}\prod_{\ell=1}^{k-s}P\{\pi_{i}\gg\pi_{l}|X_{i1},$ $\ldots,$ $X_{iW_{\lambda}+1},$を得る. この確率は$\mu_{i}$に関して,$i=k-s+1,$$i=k-s+1,$$\ldots,$$\ldots,$$k;S^{2}]$$k;S^{2}\}]$(2.4)

least favorable configuration (LFC) と呼ぱれる$\mu_{[1]}=\ldots=\mu_{[k-s]}=\mu_{[k-s+1]}-\delta^{\star}=\ldots=\mu_{[k]}-\delta^{\star}$のときに最小となり, (2.4) 式は$E[(P_{LFC}\{\pi_{k}\gg\pi_{1}|X_{k1},$$X_{kW_{\lambda}+1},$$S^{2}\})^{s(k-s)}]$$\ldots,$で下からおさえられる. ここで, Jensen の不等式を用いることによって$P(CS)\geq(E[P_{LFC}\{\pi_{k}\gg\pi_{1}|X_{k1},$$\ldots,$$X_{kW_{\lambda}+1},$$S^{2}\}])^{s(k-s)}$(2.5)$\geq(P_{LFC}\{\pi_{k}>>\pi_{1}\})^{s(k-s)}$を得る.

(2.5) 式にある $P_{LFC}\{\pi_{k}\gg\pi_{1}\}$ を評価する. 今

stopping time

$T$は$-a_{\lambda}+n \lambda\leq\sum_{i=1}^{n}(X_{ki}-X_{1i})\leq a_{\lambda}-n\lambda$(2.6)

を満たさない最小の自然数 $n(\geq m)$ となる. そこで, (2.6) 式を$\frac{-a_{\lambda}}{\sqrt{2}\sigma}+\frac{n\lambda}{\sqrt{2}\sigma}\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_{ki}-X_{1i})}{\sqrt{2}\sigma}\leq\frac{a_{\lambda}}{\sqrt{2}\sigma}-\frac{n\lambda}{\sqrt{2}\sigma}$と書き直して lemma を用いることで,$S^{2}>0$

に対して$P_{LFC} \{\pi_{1}\gg\pi_{k}|S^{2}\}\leq\sum_{i=1}^{j}(-1)^{i+1}(1-\delta_{ij}/2)\exp\{-a_{\lambda}\delta^{\star}(2j-i)i/(2j\sigma^{2})\}$$= \sum_{i=1}^{j}(-1)^{i+1}(1-\delta_{ij}/2)\exp\{-((2j-i)i\eta/(2j))(\nu S^{2}/\sigma^{2})\}$

を得る.

$S^{2}$

に関する期待値をとることで $P_{LFC}\{\pi_{1}\gg\pi_{k}\}$ の upper bound として$\sum_{i=1}^{j}(-1)^{i+1}(1-\delta_{ij}/2)(1+(2j-i)i\eta/j)^{-\nu/2}$(2.7)

$\hslash_{\acute{\mathrm{f}}^{\mathrm{B}}}^{\grave{\grave{1}}}\tau \mathrm{b}\mathcal{X}\iota,$$(2.5)$

X&(2.7)$Tk*\mathrm{f}\mathrm{l}b_{\mathrm{D}}^{\mathrm{A}}\mathrm{b}\# oarrow\ arrow \mathrm{T}^{\backslash ^{\underline{\frac{}{-}}}}\backslash \overline{\mathrm{R}}^{\mathrm{B}}\mathrm{f}\mathrm{l}l\grave{\grave{>}}\mathrm{K}_{\backslash }\backslash \mathrm{T}T$.

3. NUMERICAL RESULTS
本節では, まず, 前節で提案した手法に必要となる定数$\eta$の値を具体的に求め, さらに Monte Carlo simulation により解の有効性を標本数と確率の両面がら考察する.

パラメータの値を,$P^{\star}=.95,$に設定して (2.2) 式から$\eta$$k=2(1)10,$ $s=1(1)k-1,$ $m=10(10)30,$ $j=1(1)4$の値を数値計算したものが以下の Table 1 である.

Table 1. Values of y7$\underline{j=1}$164

165$j\ovalbox{\tt\small REJECT} 2$$\underline{j=3}$1662030

123456789123456789.096

.080
.080

.066
.072
.066

.057 .050.063 .055.063 .056.057 .055
.050

.062

.051
.051

.043
.046
.043

.037
.040
.040

.037

.032
.036
.036
.036
.032

.040 .036 .033
.044 .040 .037
.046 .042 .039
.047 .043 .040
.046 .043 .040
.044 .042 .040
.040 .040 .039
.036 .037.033.029 .026 .023 .022
.032 .029 .026 .024
.033 .030 .027 .025
.033 .030 .028 .026
.032 .030 .028 .026
.029 .029 .027 .026
.026 .026 .025
.023 .024
.022
.044
.049
.051
.051
.049
.044

$\underline{j=4}$

$m$

10

20

$s\backslash k$

1
2

3
4
5
6
7
8
9
1

2
.211

3
.173
.173

4
.142
.154
.142

6.104
.117
.120
.117
.104

7.092
.103
.107
.107
.103
.092

8.083
.093
.097
.098
.097
.093
.083

9.075
.084
.089
.090
.090
.089
.084
.075

.093

.077
.077

.064 .054 .047
.069 .060 .053
.064 .060 .054
.054 .053.047

.042
.047
.049
.049
.047
.042

.038
.042
.044
.045

.035
.039
.040
.041
.041
.040
.039
.035

.041
.044
.041

.027
.030
.031
.031
.030
.027

.025
.027
.029
.029
.029
.027
.025

2

30

3
4
5
678
91
2
3
4
5
6
7
8
9.059

.049
.049

5.120
.133
.133
.120.035
.039
.039
.035

.031
.034
.035
.034
.031

.044
.042
.038

.022
.025
.026
.027
.027
.026
.025
.022

10.069
.077
.081
.083
.084
.083
.081
.077
.069.032.035.037.038.038.038.037.035.032.021.023.024.025.025.025.024.023.021

167
2 節で与えた解の有効性について,$P^{\star}=.95,$$k=6(2)10,$ $s=2(1)k/2,$ $m=10$ の場合に 10000 回のシミュレーションを行い, 数値的な検証を行った. 正規乱数のパラメータは $\sigma=1$ とし,$\mu_{i},$$i=1,$設定して Table 1 から引いた.

$\delta^{\star}$に関しては LFC に設定した巧の値は $j=2$ に$k$$\ldots,$の値は,$\sigma$が既知であることを仮定して Elimination法を用いない Bechhofer (1954) の解に使われる標本の総数$(n^{\star})$を $20\cross k$ と $50\cross k$に固定して, そこから逆算することで設定した. 次の Table 2 は,2 節で提案した

Elimination 法における 10000 回のシミュレーションによる総標本数の平均の平均$(\overline{p})$,$(\overline{N})$,CS

実験が実際に終了するまでの段階数の上限値の平均 (\sim 。), 手法の中で設定される段階数の上限値の平均$(\overline{w})$, および, 標本数の削減率$\overline{N}/n^{\star}$を与えている.

Table 2. Efficiency of the Elimination procedure$\dot{n}^{\star}=20\cross k$$\overline{N}$

$k$

$s$

10

1.202 136.807 .982
3 1.160 146.267 .983
4 1.141 153.905 .986
5 1.136 160.387 .983
2 1.243 113.159 .980
3 1.206 121.229 .982
4 1.195 127.702 .986
2 1.310 89.056 .983
3 1.286 95.506 .983

8

6$\sigma/\delta^{\star}$$\overline{p}$2$\overline{r}_{\max}$

17.56018.03218.221
18.23517.45117.81117.91017.29417.529$\overline{w}$$\overline{N}/n^{\star}$$n^{\star}$

45.88145.03344.69144.51647.03146.26046.03548.97548.611

.684
.731
.770
.802
.707
.758
.798
.742
.796

200

160

120

$n^{\star}=50\cross k$$\overline{N}$$k$$s$10234
52
38

6$\sigma/\delta^{\star}$

1.901
1.835
1.805
1.796
1.966
1.907
4 1.890
2 2.070
3 2.034$\overline{p}$307.248337.011360.539379.170
256.311282.430302.699202.539
222.423

.977
.978
.979
.982
.973
.978
.979
.976
.979

$\overline{r}_{\max}$

42.24543.43243.96843.92541.88842.98043.37440.89341.611$\overline{w}$115.580113.228112.231111.938
118.314116.711116.010123.579
122.018$\overline{N}/n^{\star}$$n^{\star}$.614.674.721.758.641.706.757.675.741

500

400300168
今回提案した Elimination 法は,$\sigma$が既知を仮定した Bechhofer (1954) の手法と比べ20% から 40% あまりも総標本数を削減して解を与えていることが分かる. \sim 。の値を見ても, すべての母集団で標本数の削減に成功していることが分かる. また, \sim 。と$\overline{w}$の値を比べることで,Elimination 法が手法の初期段階に設定される段階数の上限まで達することなく実験を効率良く終了していることが分かり, elimination 機能が有効に作動していることも見てとれる.

Remark手法の中で設定する$j$の値について, 本論文中では,場合に数値実験から推奨した $j=2$ を用いた. 今回の$s$Paulson (1964) が $s=1$ のが一般の場合について,$j$の値を $j=1(1)4$ まで動かして Table 1 を引き, その有効性を Table 2 と同様のシミュレーションを行って調べたものが, 次の Table 3 である.

Table 3. Efficiency for the several choice of$j$$\underline{n^{\star}=200}$$(k, s)$$(10,2)$$(10,3)$$(10,4)$$\sigma/\delta^{\star}$$j$$\overline{p}$$\overline{r}_{\max}$$\overline{N}/n^{\star}$

1.202 12
34
1.160 1
2

138.658
136.807138.140
139.461146.844146.267

.976
.982
.986
.986
.977
.983

17.25117.56018.01418.31717.59618.032

.693
.684
.691
.697.734.731

341
2

147.931149.586.988.988

18.49818.812.740

153.700
153.905156.284
158.129
159.339160.387
163.445
165.804

.976
.986
.990
.991
.978.983.990.991

17.76318.22118.67218.99517.78418.23518.73219.0801.141

3$(10,5)$$\overline{N}$41.136 1
2
3
4.748
.769
.770.781.791.797.802.817.829

169$n”\ovalbox{\tt\small REJECT} 160$

$s$が一般のとき, $j=.2$ は必ずしも最適でないことが見られ, 最適性に関する研究力$\grave{\grave{1}}$

今後の課題にあげられる.

REFERENCES[1] Aoshima, M. and Aoki, M. (2000). TwO-stage procedure having e ct consistency andsecond-Order properties for the best selection. Sequential Analysis, 19, 115-131.
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of normal populations with known variances. Ann. Math. Statist., 25, 16-39.
. and Sobel, M. (1954). AtwO-sample multiple decision[3] Bechhofer, R.E., Dunnett,
procedure for ranking means of normal populations with acommon unknown variance.
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