数理解析研究所講究録 1206 巻 2001 年 121-133

121
A construction of Lagrangian surfaces
in the complex 2-space(Reiko Aiyama)1
Institute of Mathematics, University of Tsukuba

筑波大学数学系

複素 2 次元空間$\mathbb{C}^{2}$

相山玲子

内の Lagrangian 曲面について,Riemann 幾何の視点から研究するにあたって役立つと思われる, 具体例の構成法について述べる. ここで構成される Lagrangian 曲面は,3 次元 Euclid 空間$\mathbb{R}^{3}$内の曲面論に例えれば回転面を含む螺旋曲面 (つまり, 平均曲率一定などの条件が常微分方程式に帰着される場合)に相当するもので, 実際に, 螺旋曲面を与える共形的はめ込みの動標構を考えることによって$\mathbb{C}^{2}$への Lagrangian 共形的はめ込みを与えることができる.

最も簡単な内の平面に対応し, 球Lagrangiu 曲面の例である Lagrangian 平面はもちろんへの Lagrangian はめ込みとして良く知られた Whitney 球面はの面の全セイ的埋め込みである Euclid 球面に対応している. この ‘全セイ的曲面’ における対応関係については, 第 2 基本形式の形などからその類似性が既に指摘されていた ([RU]). 本稿で述べる内容は, その対応関係を拡張し, さらにその対応の具体$\mathbb{R}^{3}$$S^{2}$$\mathbb{R}^{3}$$\mathbb{C}^{2}$

へ的な記述を与えたとも解釈できる.
$\mathbb{R}^{3}$

内の螺旋曲面を与える共形的はめ込み$\varphi$:$U\subset \mathbb{C}arrow \mathbb{R}^{3}$のGauss 写像

: $Uarrow S^{2}$ 及び平均曲率関数 $H=H({\rm Re}(z))(z\in U)$ は, その動標構を通じての, generalized Gauss構成される Lagrangian 共形的はめ込み:
写像の反自己双対部分: $Uarrow S^{2}$ 及び Lagrangian 角度関数$\beta=\beta({\rm Re}(z))$ :の自己双対部分) に, それぞれ一
(つまり
$N$

$f$

$\mathcal{G}=(\mathcal{G}_{-}, \mathcal{G}_{+})$$Uarrow \mathbb{C}^{2}\cong \mathbb{R}^{4}$$\mathcal{G}_{-}$$Uarrow \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$$\mathcal{G}_{+}=e^{\mathrm{i}\beta}$$\mathcal{G}$致あるいは対応 $(H=-(1/2)\beta^{l})$ している.
ところで,像 $N$ :$\mathbb{R}^{3}$

内の曲面 $M$ の平均曲率が一定であること (CMC) は,$Marrow S^{2}$

が$S^{2}$の標準計量

ことがよく知られて ゝる. 一方,$|_{j}$$g_{0}$

Gauss 写によって調和写像になるとと同値である

CastrO-Urbano [CU] は Lagrangian 曲面 $M’$ の: $M’arrow(S^{2}, g_{0})$ が調和写像になる
generalized Gauss 写像の反自己双対部分場合は, Maslov 形式が共形的であること (CMF) と同値であることを示し,
CMF Lagrangian トーラスを分類した. CIVIF という条件はある常微分方程式 (sinhGordon 方程式) に帰着され, 彼等はその任意の解に応じて CMF Lagrangian トー
ラスの 1 変数族が存在することを示している. 本稿の最後 (第 4 節) では, Deluney
曲面 (すなわち CMC 回転面) 及び CMC 螺旋曲面から構成される Lagrangian 曲
面が CMF Lagrangian トーラスの具体的なはめ込みを与えていることを述べる. 例$\mathcal{G}_{-}$$d\beta$1$\mathrm{e}$-mail address: aiyama@sakura$.\mathrm{c}\mathrm{c}$.tsukuba .ac.jp

122
えば (前記の全セイ的曲面以外の) 最も簡単な場合として, 円柱に回転面としてのはめ込み写像を与えると, その動標構を通じて (Lagrangian である) Clifford トー
ラス $S^{1}(1/\sqrt{2})\cross S^{1}(1/\sqrt{2})(\subset S^{3})\subset \mathbb{C}^{2}$ が対応する.

: $M’arrow(S^{1}\subset)(S^{2}, g_{0})$ が調和写像となる Lagrangin 曲面 $M’$ は,
Hmiltonian stationary な場合であり, そのようなトーラスは最近の H\’elein-Romon: $M’arrow S^{2}\cross S^{2}$ が調和写像[HR1] の研究に詳しく調べられている.
なお,$g_{+}=e^{\mathrm{i}\beta}$$\mathcal{G}=(\mathcal{G}_{-}, \mathcal{G}_{+})$

であるのは, 平均曲率ベクトルが平行な場合であることもよく知られている事実である.

本稿の第 1 節では,$\mathbb{C}^{2}$内の任意の Lagrangian 曲面に対して, Lagrangian 角度の定義及び generalized Gauss 写像について復習し, 「与えられた Lagrangian 角度をもつ

Lagrangian 曲面のはめ込みは,ある Dirac 型方程式の解の代数的な組み合わせとして表される」 という [Al](cf. [A2]) で得られた公式を紹介する 2. この Dirac 型方程式と,内の曲面の Weierstrass-Kenmotsu-Konopelchenko 表現公式 3 の可積$\mathbb{R}^{3}$

分条件が同じになる特殊な場合があることから, 本稿に述べるところの Lagrangian

曲面の構成法に思い至った. 第 2 節では,$\mathbb{R}^{3}$内の曲面のこの可積分条件が, その適当な動標構 (adapted framing) を用いてどのように表されていたかを復習し, adapted

framing が Lagrangian 曲面を与える場合があることをみる. 第 3 節で, 実際に螺旋曲面の adapted framing から構戒される Lagrangian はめ込みを書き下す. この結果は, 同じ Lagrangian 角度をもつ Lagrangian 共形的はめ込みに 1 変数族が存在する場合があることも示している.

1Representation formula for Lagrangian surfacesin$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{C}^{2}$をEuclid 4 次元空間$=(-x_{3}, -x_{4}, x_{1}, x_{2})$($x_{1}+\mathrm{i}x_{3},$$M$$x_{2}+$$(\mathbb{R}^{4}, \langle, \rangle)$

で標準的複素構造 $J(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$を持つものとする. すなわち,$\mathbb{C}^{2}$の複素座標系を$(x_{1}^{\mathrm{C}}, x_{2}^{\mathrm{C}})=$

辷 4) と表す.

を Riemann 面とし,

$f=(f_{1}^{\mathbb{C}}, f_{2}^{\mathbb{C}})$:$Marrow \mathbb{C}^{2}$を Lagrangian 共形的はめ込みとする.
各接空間 $f_{*}T_{p}M$ の向き付けられた正規直交基底を {を$\mathbb{C}^{2}$の複素列ベクトノレとみて,

2 ここで紹介する公式は,ら$\mathbb{C}^{2}$$|\det(\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2})|=1$$\mathrm{e}_{1}$, e2} と与えておく.

を得る. よって,$\mathrm{e}_{1}^{\mathrm{C}}=(1,0),$$\mathrm{e}_{1}$, e2$\mathrm{e}_{2}^{\mathrm{C}}=$

曲面上の一価なデータ (Dirac 型方程式の解) に対しては必ずその曲面かへの一価なはめ込みを対応させることができると言うもので, その意味で eierstraes 型の表現

公式とは異なるものである.
3 例えば, [KT] を参照されたい.

123とすると, 各点 $p\in M$ で$(0, 1)\in \mathbb{C}^{2}$$\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}_{2}=e^{1\beta(p)}\mathrm{e}_{1}^{\mathbb{C}}\wedge \mathrm{e}_{2}^{\mathbb{C}}$となるように関数$\beta$:$Marrow \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$を定めることができる. この$\beta$を $f$ の Lagrangian角度と呼ぶ.
一方,をこの$\mathcal{G}(p)=$

ている.

[

$\mathrm{e}_{1},$$\mathrm{e}_{1}\Lambda$$\mathrm{e}_{2}\in f_{*}T_{p}M$e2] と置くと,

実ウェッジ積空間$\bigwedge_{-}^{2}(\cong \mathbb{R}^{3})$を$\mathcal{G}$$\mathbb{R}^{4}$の実ベクトルとみて, 実ウエツジ積の正規化

は $f$ }こ対する$\wedge^{2}(\mathbb{R}^{4})$が自己双対空間に直和分解されることから,と反自己双対部分$\mathcal{G}_{-}(p)=[(\mathrm{e}_{1}\Lambda \mathrm{e}_{2})^{-}]$

2 つの単位 2 次元球面$S^{2}$

generalized Gauss 写像を定め$\mathcal{G}(p)$$\bigwedge_{+}^{2}(\cong \mathbb{R}^{3})$は自己双対部分

I こ分解され, generalized Gauss 写像$\mathcal{G}$は: $Marrow S^{2}\cross S^{2}$と見なされる. さらに, $f$ が Lagrangian であることは,の赤道上に含まれることを意味する.
$\beta$$\mathcal{G}_{+}(p)=[.(\mathrm{e}_{1}\wedge \mathrm{e}_{2})^{+}]$

への写像の組$\mathcal{G}=(\mathcal{G}_{-}, \mathcal{G}_{+})$

角度と反自己双対空間$S^{2}$

自己双対部分$\mathcal{G}_{+}$の立体正射影によって, 四は,の像が$S^{2}$

Lagrangianを用いて,$\mathcal{G}_{+}=e^{\mathrm{i}\beta}$:$Marrow S^{1}\subset \mathbb{C}\cup\{\infty\}\cong S^{2}$,と表されている.

さて,:$F=(F_{1}, F_{2})$$Marrow \mathbb{C}^{2}$を$( \frac{F_{1}}{F_{2}})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\begin{array}{ll}e^{-\mathrm{i}\beta/2} \mathrm{i}e^{\mathrm{i}\beta/2}\mathrm{i}e^{-\mathrm{i}\beta/2} e^{\mathrm{i}\beta/2}\end{array})( \frac{f_{1}^{\mathbb{C}}}{f_{2}^{\mathbb{C}}})$と定めると,$F$は次の Dirac 型方程式を満たしている.

$(\begin{array}{ll}0 \partial_{z}-\partial_{\overline{z}} 0\end{array})(\frac{F_{1}}{F_{2}})=\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}\beta_{z} 00 \mathcal{B}_{\overline{z}}\end{array})( \frac{F_{1}}{F_{2}})$

ここで,

また,

$z$

.

は $M$ 上 (局所的に 4) 定義されている等温座標とする.

$S=(S_{1}, S_{2})$:$Marrow \mathbb{C}^{2}$を$( \frac{S_{1}}{S_{2}})=[(\begin{array}{ll}0 \partial_{z}-\mu_{z} 0\end{array})- \frac{1}{2}(\begin{array}{ll}\beta_{z} 00 \beta_{\overline{z}}\end{array})] (\begin{array}{l}\overline{F_{1}}F_{2}\end{array})$

と定める.

(1.1)

このとき,

$f$

による $M$ 上の誘導計量は$f^{*}d\mathrm{s}^{2}=(|S_{1}|^{2}+|S_{2}|^{2})|dz|^{2}$

4 方程式 (1.1) は等温座標系の取り方によらない.

.

(1.2)

124
Generalized Gauss 写像の反自己双対部分$\mathcal{G}_{-}\ovalbox{\tt\small REJECT} Marrow S^{2}$

は,を複素 1 次元射$S^{2}$

影空間 $CP^{1}$ と見なしたとき斉次座標によって,$g_{-}=[S_{1;}S_{2}]$と表すことができる 5. さらに,$S$:

$Marrow \mathbb{C}P^{1}\underline{\simeq}s^{2}$も (1.1) とよく似た次の Dirac 型方程式を満たしている.

$(\begin{array}{ll}0 \partial-\overline{\partial} 0\end{array})(\frac{S_{1}}{S_{2}})=\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}-b 00 -\beta_{z}\end{array})( \frac{S_{1}}{S_{2}})$

.

(1.3)

この方程式 (1.3) は次の方程式の可積分条件である.
$df=(1/\sqrt{2})e^{\mathrm{i}\beta/2}\{(-S_{2}, S_{1})dz-\mathrm{i}(\overline{S_{1}}, \overline{S_{2}})\Gamma z\}$.

この方程式の解としての Lagrangian immersion $f$ の定式 (化ま, H\’elein-Romon[HR2]内の Lagrangian 曲面の Weierstrass 型表現公式 6 にあたるものである. それに対して, 論文 [Al, A2] では,
内の Lagrangian 曲面は Dirac 型方程の与えた$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{C}^{2}$

式 (1.1) の解自身によって表現されることを示している 7. っまり, 次のようにしてLagrangian 曲面片を得ることができる.
定理 1. $U$ を複素平面内の領域とする.

$U$上定義された$C^{1}$

級関数$\beta$に対して,を Dirac 型方程式 (1.1) の 1 っの解とし, $S=(S_{1}, S_{2})$ ::を (1.2) のように定める. もしが上いたるところで 0 でなければ,$F=(F_{1}, F_{2})$$Marrow \mathbb{C}^{2}$$\mathbb{C}$$Uarrow \mathbb{C}^{2}$

$S$

$U$

$f=(1/\sqrt{2})e^{\mathrm{i}\beta/2}(F_{1}-\mathrm{i}\overline{F_{2}},$は Lagrangian 角度$\beta(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 2\pi)$の$F_{2}+\mathrm{i}\neg F_{1}$Lagrangian 共形的はめ込み$f$:$Uarrow \mathbb{C}^{2}$

を定

める.

Lagrangian 共形的はめ込み度$\beta$$f$:$Marrow \mathbb{C}^{2}$の平均曲率ベクトによって $B=(1/2)J\nabla\beta$ と表される. よって,るのは$\beta$$f$$J^{\cdot}\mathrm{s}B$は Lagrangian 角

が極小 Lagran 一曲面を与えが一定であることと同値であり, さらに上記の写像 $F=(F_{1}, F_{2})$ :$Marrow \mathbb{C}^{2}$

が正則であることと同値である. このことは, 良く知られた次の結果を導く.
系 (Chen-Morvan [CM]).
面は,$\mathbb{R}^{4}$$\mathbb{C}^{2}\underline{\simeq}\mathbb{R}^{4}$

内の (向き付けられた) 極小 Lagrangian 曲に適当な直交複素構造をとり直して,

5 写像 $S=(S_{1}, S_{2})$ :(例えば, [AA] を参照)

$Marrow \mathrm{C}^{2}$$\mathbb{C}^{2}$内の複素正則曲線とみなせる.

は ‘Gauss 写像’ $g_{-}$ : $Marrow S^{2}$ のスピン表現とみなすことができる.

内の一般の曲面はその generalized Gauss 写像の両部分によって eierstrass
型表現される ([K1], [KL]). [KL] において登場する.
のスピン表現を用いて表された曲面の可積分条件は (1.1) や (1.3) と同種の Dirac 型方程式 (2.1) である.
$6\mathbb{R}^{4}$$\mathcal{G}=(\mathcal{G}_{-}, \mathcal{G}+)$$\mathcal{G}_{-},$$\tau[\mathrm{A}1]$$\mathcal{G}+$では Lagrangian よりも拡張された概念である総実曲面に対して表現公式を与えてぃる.

125
Adapted framing of surfaces in2$\mathbb{R}^{3}$

方程式 (1.1)(及ひ (1.3)) を含めて, ポテンシャル部分が一般に複素関数 $p=p(z,\overline{z})$で与えられている Dirac 型方程式

について一般に解を得ることは難しく思われる. しかし,ある場合のこの方程式 (2.1) は,

3 次元 Euclid 空間$\mathbb{R}^{3}$

(2.1)

,

$(\begin{array}{ll}0 \partial_{z}-b_{z^{-}} 0\end{array})(\frac{\Phi_{1}}{\Phi_{2}})=(\begin{array}{l}0p0\overline{p}\end{array})(\frac{\Phi_{1}}{\Phi_{2}})$が実関数で$p=p(z, \overline{z})$内の曲面の Weierstrass-

Kenmotsu-Konopelchenko 表現公式における可積分条件として現れることが知られに対しへの共形的はめ込みている (cf. [KT]). 実際に, Riemann 面 $M$ からの adapted framingが実である Dirac 型方程式 (2.1) の解がて, ポテンシャル$\mathbb{R}^{3}$$\varphi$$p$$\varphi$として以下のように局所的に求められる.
を特殊ユニタリ群 $SU(2)$ より生戒される部分ベクトル空間$\mathbb{C}^{2}$$\mathrm{g}\mathfrak{l}(2;\mathbb{C}))$と次のように同一視しておく:$\mathrm{x}=(x_{1}^{\mathbb{C}}, x_{2}^{\mathbb{C}})=(x_{1}+\mathrm{i}x_{3}, x_{2}+\mathrm{i}x_{4})\vdash i\underline{\mathrm{x}}=(_{x_{2}^{\mathbb{C}}}^{x_{1}^{\mathrm{C}}}$$\mathbb{R}^{3}$はを$\mathbb{R}^{3}$$\mathbb{C}^{2}$$\mathbb{R}\cdot SU(2)(\subset$

内の $x_{1}\equiv 0$ である実部分空間とみなし,の標準基底を表すものとする.

$SU(2)$ の$\mathrm{e}_{2}$$\mathbb{R}^{3}$$=(0,1),$.

$-_{2}^{\overline{\mathbb{C}}} \frac{x}{x_{1}^{\mathbb{C}}})$$\mathrm{e}_{3}=(\mathrm{i}, 0),$への次の作用は,$\mathbb{R}^{3}$$\mathrm{e}_{4}=(0, \mathrm{i})$の正規直交基底全体への推移的かつ等長的作用となる.
$\mathrm{h}\cdot \mathrm{x}=\mathrm{h}\underline{\mathrm{x}}\mathrm{h}^{*}$$z=x+\mathrm{i}y$はを $M$ 上の等温座標とし, 共形的はめ込み$\varphi^{*}d\mathrm{s}^{2}=e^{2\lambda}|dz|^{2}$

トル場とし,$U$

上で,$(\mathrm{h}\in SU(2), \mathrm{x}=(\mathrm{i}x_{3}, x_{2}+\mathrm{i}x_{4})\in \mathbb{R}^{3}\subset \mathbb{C}^{2})$$\varphi$のと与えられているとする. また,$\varphi$:$N$$Marrow \mathbb{C}^{2}$を$\varphi$.

による誘導計量} こ対する単位法ベク

Gauss 写像を $N$ : $Marrow S^{2}$ とする. このとき,$M$の各点の近傍写像:$\underline{\Phi}=(\begin{array}{ll}\Phi_{1} -\overline{\Phi_{2}}\Phi_{2} \overline{\Phi_{1}}\end{array})$$\varphi_{x}=(1/4)\underline{\Phi}\cdot \mathrm{e}_{4}$,$Uarrow 2e^{\lambda/2}\cdot SU(2)\subset \mathbb{R}\cdot SU(2)(\cong \mathbb{C}^{2})$$\varphi_{y}=(1/4)\underline{\Phi}\cdot \mathrm{e}_{2}$,$\text{を}$$N=(1/4)e”\underline{\Phi}\cdot \mathrm{e}_{3}$となるように定義することができる. この写像 $\Phi=(\Phi_{1}, \Phi_{2})$ :$Uarrow \mathbb{C}^{2}$を$\varphi$のとすると, この adaptedの平均曲率を
adapted framing と呼ぶこと}こする.
は, $p=-(1/2)e^{\lambda}H_{\varphi}$ である Dirac 型方程式 (2.1) を満たしている. まframing内の曲面の可積分条件になっている.
た, その Dirac 型方程式が$H_{\varphi}$$\varphi$$\Phi$$\mathbb{R}^{3}$$\varphi$

126
もし一

$H_{\varphi}$

が $x$ にしかよらない関数とみなせるように等温座標 $z=x+\mathrm{i}y$ がとれたとしたら,とおいて, 定理 1}こよって,$F=\Phi$$\beta=\beta(x)=-2\int(e^{\lambda}H_{\varphi})(x)dx,$(一般には退化点があるかもしれないが) Lagrangian 共形的はめ込み
で Lagrangian 角度 $\beta=\beta(x)$一般に一$H_{\varphi}$$x$:$Uarrow \mathbb{C}^{2}$をもっものが得られることになる.

が 1 変数関数と見なせる場合の全てを挙げることは著者にはまだわからないでいる.
も$f$

しかし, 少なくとも螺旋曲線については$e^{\lambda}$

およひ$H_{\varphi}$のどちらのみの関数とみなせる等温座標 $z=x+\mathrm{i}y$ がとれる.

3Lagrangian surfaces constructed from helicoidal
surfaces in$\mathbb{R}^{3}$$\mathbb{R}^{3}$

内の螺旋曲面とは, 螺旋運動で不変な曲面であり, 局所的に$\varphi(r, \theta)=(\varphi_{2}, \varphi_{3}, \varphi_{4})=(h(r)+h_{0}\theta, r\cos\theta, r\sin\theta)$と表すことができる. ここでは,えている 8. 螺旋曲面$\varphi$$x_{2}$

軸のまわりのピッチを生戒する関数 $h(r)$ は, 平均曲率とが可能である. よって,の adapted ffming$\varphi$

町の螺旋運動を考$h_{0}(\in$$H_{\varphi}$

によって書き下すこもそこから書き下され, 前節に述Lagrangian 曲面が作れる. 以下にその結果をまとめておく.

べた方針に従って,なお, 螺旋曲面についての記法・計算は [K2] を参考にした.
$\beta=\beta(s)$

を区間

$I$

上の

$C^{1}$

級関数として与えておく.

$U(s)= \int_{0}^{s}\sin\beta(u)$

とおき,
り,

du,

$V(s)= \int_{0}^{s}$複素数値関数 $(U+\mathrm{i}V)(s)$ の極座標表示を$U+\mathrm{i}V=re^{2\mathrm{i}\psi}$$L_{h_{0}}(s),$ $h_{h_{0}}(s)$及ひ). また,$\theta_{h_{0}}(s, t)$$(\beta+2\psi)(s)=\phi(s)$coe$\beta(u)$duとする (っま$(r(s), 2\psi(s))$と記す. 定数$h_{0}$

に対して, 関数を次のように定める:,$L_{h_{0}}(s)=\sqrt{r(s)^{2}+h_{0}^{2}}$$h_{h_{0}}(s)= \int_{0}^{s}\frac{L_{h_{0}}(u)}{r(u)}\cos\phi(u)$$\theta_{h_{0}}(s,t)=t-h_{0}\int_{0}^{s}\frac{\cos\phi(u)}{r(u)L_{h_{0}}(u)}du$

平均曲率が $H_{\varphi}=-\cdot(1/2)\beta’(s)$ である, ピッチ$\varphi_{h_{0}}(s, t)=(h_{h_{0}}(s)+h_{0}\theta_{h_{0}}(s,t),$du.
$h_{0}$の螺旋曲面は,$r(s)\cos\theta_{h_{0}}(s, t),$$r(s)\sin\theta_{h_{0}}(s, t))$,$(s, t)\in I\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})$8 ピッチ $h_{0}=0$ のときは, 螺旋曲面$\varphi$は回転面に他ならない.

,

127と表される.
$y\ovalbox{\tt\small REJECT} t$

ここで,$\varphi_{h_{0}}$として等温座標}こよる誘導計量は次の通りであり,$z\ovalbox{\tt\small REJECT} x+\mathrm{i}y$が得られているの adapted framing $F=F_{h_{0}}=(F_{1}, F_{2})$ :$\varphi_{h_{0}}$du,$I\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})arrow \mathbb{C}^{2}$は$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\varphi_{h_{0}}^{*}d\mathrm{s}^{2}=ds^{2}+L_{h_{0}}(s)^{2}dt^{2}=L_{h_{0}}^{2}|dz|^{2}$

この螺旋曲面$x\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} L_{h_{0}}(u)^{4}$.

以下のように求められる.
$F_{1}(s, t)= \sqrt{2(L_{h_{0}}(s)+h_{0})}\sin\frac{\phi(s)+\theta_{h_{0}}(s,t)}{2}$$- \mathrm{i}\sqrt{2(L_{h_{0}}(s)-h_{0})}\sin\frac{\phi(s)-\theta_{h_{0}}(s,t)}{2}$,$F_{2}(s, t)=- \sqrt{2(L_{h_{0}}(s)+h_{0})}\cos\frac{\phi(s)+\theta_{h_{0}}(s,t)}{2}$$- \mathrm{i}\sqrt{2(L_{h_{0}}(s)-h_{0})}\cos\frac{\phi(s)-\theta_{h_{0}}(s,t)}{2}$

この $F=F_{h_{0}}$に対して,$S=S_{h_{0}}=(S_{1}, S_{2})$:$I\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})arrow \mathbb{C}^{2}$.

を (1.2) G こよって定めると,

Sh0=-(i/2)Fh。
となっている. よって,なる点を除いては,$S$$|S_{1}|^{2}+|S_{2}|^{2}(=e^{\lambda})=L_{h_{0}}$であり, 回転面の場合の $r=0$ とは 0 にはならない. 従って, 定理 1 によって,Lagrangian 角度 $\beta=\beta(s)$ である Lagrangian はめ込み $f=f_{h_{0}}$ :が構成される.

この$f_{h_{0}}$$F=F_{h_{0}}$から$I\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})arrow \mathbb{C}^{2}$は次の形に書き下される.

$f_{h_{0}}(s, t)=\gamma_{h_{0}}(s)\tilde{f}_{h_{0}}(s, t)$,$\gamma_{h_{0}}(s)=\sqrt{L_{h_{0}}(s)}e^{-\mathrm{i}\psi(s)}$,,$\eta_{h_{0}}(s)=\arctan\sqrt{(L_{h_{0}}(s)+h_{0})/(L_{h_{0}}(s)-h_{0})}$$\tilde{f}_{h_{0}}(s, t)=\sqrt{2}(\cos(\theta_{h_{0}}(s, t)/2-\eta_{h_{0}}(s))+\mathrm{i}\sin(\theta_{h_{0}}(s, t)/2+\eta_{h_{0}}(s))$,$\sin(\theta_{h_{0}}(s, t)/2-\eta_{h_{0}}(s))-\mathrm{i}\cos(\theta_{h_{0}}(s, t)/2+\eta_{h_{0}}(s)))$このとき,$f_{h_{0}}$.

による誘導計量は$f_{h_{0}}^{*}d\mathrm{s}^{2}=L_{h_{0}}(s)^{-1}ds^{2}+L_{h_{0}}(s)dt^{2}=L_{h_{0}}|dz|^{2}$と $K=-(2/L_{h_{0}})K_{\varphi}$
Gauss 曲率 $K$ は, \mbox{\boldmath $\varphi$}h。の Gauss 曲率の関係にあるとわかる. また, Lagrangian 曲面 fh。の generalized Gauss 写像のの適当な合同変換によって) 螺旋
反自己双対部分 -J (R/2\pi 句 \rightarrow S2 は, (の Gauss 写像 $N=N_{h_{0}}$ と一致している.
曲面である. よって,$f_{h_{0}}$$\mathcal{G}$$\varphi_{h_{0}}$の$K_{\varphi}$$\cross$$S^{2}$

128のとき,$h_{0}=0$$\tilde{f}_{0}=\tilde{f}_{0}(t)=e^{\mathrm{i}\pi/4}(\cos(t/2-\pi/4), \sin(t/2-\pi/4))$

であり,Lagrangian 曲面$f_{0}(s, t)=\gamma_{0}(s)\tilde{f}_{0}(t)$は,の全測地的 (Lagrangian) 曲線 (大円)$S^{2}(\underline{\simeq}\mathrm{c}P^{1})$$\tilde{f}_{0}(t)$と平面正則曲線$\gamma_{0}(s)$によって与えられている. これは, [RU] において与えられている $n$ 次元複素空間内の Lagrangian 部分多様体の例の $n=2$ の場合になっている.

$\mathbb{C}^{n}$が 0 とは限らない場合,$h_{0}$$\mathrm{i}x_{4})\}$

こよって,$\tilde{f}_{h_{0}}(s, t)$$\mathbb{C}^{2}$の座標変換$\iota$:$(x_{1}+\mathrm{i}x_{3}, x_{2}+\mathrm{i}x_{4})\mapsto>(x_{1}+\mathrm{i}x_{2},$$x_{3}+$

は$(\iota\circ\tilde{f}_{h_{0}})(s, t)=\exp[\theta_{h_{0}}(s,t)/2-\eta_{h_{0}}(s)]\cdot(1, -\mathrm{i}\exp(2\mathrm{i}\eta_{h_{0}}(s)))$とみなせる.

これは,内の (全測地的) 曲線 $\alpha(s)=\exp(2\mathrm{i}\eta_{h_{0}}(s))$$S^{2}$のHopf 束による持ち上げによってできる曲面 (Hopf トーラス) である.

$S^{3}arrow S^{2}$

以上に述べたことは, 次のような結果を含んでいる.

定理 2. 与えられた関数 $\beta(s)\in C^{1}(I)$ に対して,$2\pi)$

Lagrangian 角度がである Lagrangian 等長的はめ込みの 1 変数族が存在する. ただし,

$M_{h_{0}}$$L_{h_{0}}(s)^{-1}ds^{2}+L_{h_{0}}(s)dt^{2}$

は区間 $I$ と$\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$をもつものであり,$\{f_{h_{0}} :M_{h_{0}}arrow \mathbb{C}^{2}|h_{0}\in \mathbb{R}\}$の直積空間$L_{h_{0}}\neq 0$(mod$\beta(s)$$I\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})$で計量と仮定して 1 る.

4Lagrangian surfaces with conformal Maslov form
-般に,式

$d\beta$$\mathbb{C}^{2}$内の Lagrangian 曲面 $f$ :において, 共形的な Maslov 形$Marrow \mathbb{C}^{2}$をもつ (CMF) 9 とは, その generalized Gauss 写像の反自己双対部分$\mathcal{G}_{-}$:

が調和写像であることを意味する ([CU]). CastrO-Urbano[CU] は, CMF
Lagrangian 曲面では等温係数を与えている関数 が常微分方程式 (sinh-Gordon$Marrow \mathrm{S}^{2}$$u$方程式) $u”+\sinh 4u=0$ の解に帰着できることを示し,

内の Delaunay 曲面$\mathbb{R}^{3}$(つまり CMC 回転面) との類似性を指摘している. 彼らは Frenet 方程式の解として CMF Lagrangian 曲面を与え, その性質を調べているが, 具体的なはめ込みの形は与えていない. 本節では, 前節の構戒法を利用して,を具体的に与える.
まず,$\beta$:CMF Lagrangian はめ込み$\cdot$[CU] での論法に従うと, CMF Lagrangian はめ込み

$Marrow \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$$f$の Lagrangian 角度

は, $M$ 上の適当な等温座標 $z=x+\mathrm{i}y$ の下で 1 変数関数 $\beta=\beta(x)$と見なせることを注意しておく.
9 すなわち,$f$による誘導計量を$f^{\mathrm{r}}d\mathrm{s}^{2}=e^{2u}|dz|^{2}$とするとき,$(e^{-2u}\beta_{z})_{z}=0$

.

129
$f$

が minimal でない場合, すなわち

に対して,

が一定な

を一 $=-(2H_{0})^{-1}\beta_{x}$ となるようにとる. このとき, 平均曲率$\lambda=\lambda(x)$$H_{0}$(CMC

が定数でない場合を考える. 定数 $H_{0}(\neq 0)$$\beta$$H_{0}$) で誘導計量が$e^{\lambda(x)}|dz|^{2}$

前節で述べた螺旋曲面の形で表された後述のであるような$\mathbb{R}^{3}$$\varphi h_{0},B(h_{0}, B\in \mathbb{R})$へのはめ込みは,のいずれかに局所的に合同である. ポテンシャル部分が $p=p(x)=-(1/2)e^{\lambda(x)}H_{0}=-(1/4)\beta_{x}$ のの可積分条件であるから, その解は (ある初Dirac 型方程式 (2.1) は, そのの adapted framingとみなせる. よって,期条件の下}こ), ‘ずれかのから前節のようにして構
minimal でない CMF Lagrangian 曲面 は, この$\varphi_{h_{0},B}$$F_{h_{0},B}$$\mathrm{A}$$\varphi h_{0},B$$f$

成される以下の$f_{h_{0},B}$のいずれかに少なくとも局所的に合同であるとわかる.

$\beta=\beta(s)=-2H_{0}s+\pi/2$とする.

このとき, 任意の定数 $B$ に対して,$U(s)= \frac{1}{2H_{0}}(\sin(2H_{0}s)+B)$とでき,$\mathbb{C}$$F_{h_{0},B}$,$V(s)=- \frac{1}{2H_{0}}\cos(2H_{0}s)$

内で $(U+\mathrm{i}V)(s)$ は中心 $B/2H_{0}$ で半径 $1/2H_{0}0$ の円であり, その極座

標表示 $(r(s), 2\psi(s))$ の $r(s)$ は$r(s)=r_{B}(s)= \frac{1}{2H_{0}}\sqrt{1+2B\sin(2H_{0}s)+B^{2}}$と表されている.
$\theta_{h_{0}}(s)$さらに定数$h_{0}$

に対して, 定められた関数 $L_{h_{0}}(s),$ $h_{h_{0}}(s)$ およひは次のように書ける:,$L_{h_{0}}(s)=L_{h_{0\prime}B}(s)=\sqrt{r_{B}(s)^{2}+h_{0}^{2}}$($e^{\lambda(x)}=L_{h_{0},B}(s)$$h_{h_{0}}(s)=h_{h_{0},B}(s)=.

,),$x= \int_{0}^{s}L_{h_{0},B}(u)^{-1}du$\frac{1}{2H_{0}}\int_{0}^{s}\frac{L_{h_{0},B}(u)}{r_{B}(u)^{2}}(1+B\sin(2H_{0}u))du$$\theta_{h_{0}}(s, t)=\theta_{h_{0},B}(s, t)=t-\frac{h_{0}}{2H_{0}}\int_{0}^{s}\frac{1+B\sin(2H_{0}u)}{r_{B}(u)^{2}L_{h_{0},B}(u)}$これによって,CMC$H_{0}$の螺旋曲面の 2 変数族$\{\varphi h_{0},B(s, t) :,du.

\mathbb{R}\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})arrow \mathbb{R}^{3}\}$が得られる :$\varphi h_{0\prime}B(s, t)$$=(h_{h_{0},B}(s)+h_{0}\theta_{h_{0},B}(s, t),$ただし,$\varphi h_{0},B$}こよる誘導計量$r_{B}(s)\cos\theta_{h_{0},B}(s, t),$$e^{2\lambda(x)}|dz|^{2}$$r_{B}(s)\sin\theta_{h_{0},B}(s, t))$.

は $L_{h_{0},B}^{2}|dz|^{2}=ds^{2}+L_{h_{0},B}(s)^{2}dt^{2}$ で

CMC 螺旋曲面は局所的には, 必ずある CMC 回転面 (Delaunay 曲面) かに対応して Lagrangian 角らの等長的変形で得られている. CMC 螺旋曲面
を前節のように構成すると, その generalized Gauss
度 の Lagrangian 曲面
あった.

$\varphi h_{0},B$$\beta$$f_{h_{0},B}$130
写像の反自己双対部分元球面$\mathbb{S}^{2}$$\mathcal{G}_{-}$

はの$\varphi h_{0},B$への調和写像であり,,$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{o}B}$:$fh_{0},B(s, t)=\gamma h_{0\prime}B(s)\tilde{f}h_{0\prime}B(s, t)$$\gamma_{h_{0},B(S)=}\sqrt{L_{h_{0\prime}B}(s)}e^{-\mathrm{i}\psi_{B}(s)}$Gauss 写像に一致してぃたがら, 単位 2 次
は CMF Lagrangian 曲面である$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathbb{R}\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})arrow \mathbb{C}^{2}$,,$\eta_{h_{0},B}(s)=\arctan\sqrt{(L_{h_{0\prime}B}(s)+h_{0})/(L_{h_{0\prime}B}(s)-h_{0})}$,$\tilde{f}_{h_{0},B(S,t)=\sqrt{2}(\cos(\theta_{h_{0\prime}B(s,t)/2-\eta h_{0\prime}B(S))+\mathrm{i}\sin(\theta_{h_{0\prime}B}(s,t)/2+\eta h_{0\prime}B(S))}}$$\sin(\theta_{h_{0\prime}B}(s, t)/2-\eta_{h_{0\prime}B}(s))-\mathrm{i}\cos(\theta_{h_{0},B}(s, t)/2+\eta_{h_{0\prime}B}(s)))$.

.

$f^{*}h_{0\prime}Bd\mathrm{s}^{2}=Lh_{0\prime}B(s)^{-1}ds^{2}+L_{h_{0\prime}B}(s)dt^{2}=L_{h_{0},B}|dz|^{2}$

さて,$h_{0}=0$のときの CMC $H_{0}(\neq 0)$ 回転面 $\varphi 0,B(s, t)$ は, 定数 $B$ の値によって次のように分類されることが知られている. ( $B\geqq 0$ と仮定してかまわない. )$\bullet$$B=0$ の場合:

(注 :$\bullet$$h_{0}\neq 0$$\varphi 0,0(s, t)$の場合も$0<B<1$ の場合:

は円柱面.

$\varphi_{h_{0},0}(s,$$\varphi 0,B(s, t)$$t)$は円柱面を与えている. )はアンデュロイド. すなわち, 楕円を直線軸上滑らすことなく転がしたときの焦点の軌跡として得られる曲線を生成曲線とする回転面で, 自己交差のない Delaunay 曲面である.
$\bullet$$\bullet$$B=1$ の場合:$\varphi_{0,1}(s, t)$

は同一直線上に中心をもつ半径 $1/H_{0}$ の球面列.

$1<B$ の場合:$\varphi 0,B(s, t)$はノドイト. すなわち, 双曲線を直線軸上滑らすことなく転がしたときの焦点の軌跡として得られる曲線を生成曲線とする回転面で, 自己交差のある Delaunay 曲面である.
これらに対応して構戒された CMF Lagrangin 曲面$f_{0,B}(s, t)=\gamma_{0,B}(s)\cdot e$

誉$( \cos(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{4}),$$\sin(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{4}))$:$\mathbb{R}\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})arrow \mathbb{C}^{2}$

において, 平面曲線 $\gamma_{0,B}(s)$ は Cassini の卵形線の族を形成している 10. Cassini の卵形線とは,
際に,2 つの固定点からの距離の積が一定である点の軌跡で (cf. [G]), 実
は, 2 点 $(\pm\sqrt{B/2H_{0}},0)$ からの距離の積が $1/2H_{0}$ である点の軌跡$\gamma_{0,B}(s)$$((x^{2}+y^{2})^{2}+(B/H_{0})(y^{2}-x^{2})=(1-B^{2})/4H_{0}^{2})$である閉曲線である. 特に, $B=0$の場合は円であり, $B=1$ の場合は連珠形である.

102001 年 3 月に九州大学で行われた

CMC のつどい」 において, この可能性を指摘していただいた.
そちらの世話人・参加者の皆様にもこの場を借りて感謝させていただきます.
$\mathrm{r}$131:circle$\mathrm{B}<1$

Lemniscate$\mathrm{B}>1$$\mathrm{B}=0$$\mathrm{B}=1:$

図 1: Cassini 卵形線 $\gamma 0,B(s)$$B=1$ の場合,

$f_{0,1}(s, t)$は Whitney 球面と呼ばれる球面$S^{2}$の Lagrangian はめ込みを与えている.
$B\neq 1$とする. 一般に$h_{0}$

が 0 とは限らない場合であっても,$f_{h_{0},B}(s, t)$には次のような 2 重周期性がある :$f_{h_{0},B}(s, t+4\pi)=f_{h_{0},B}(s, t)$,$f_{h_{0},B}(s+a, t)=f_{h_{0\prime}B}(s, t-b)$.

ここで, $0\leqq B<1$ のとき $a=2\pi/H_{0},1<B$ のとき $a=\pi/H_{0}$ とおいてた’$b$$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$

る. ま

は

$b= \frac{h_{0}}{2H_{0}}\int_{s}^{s+a}\frac{1+B\sin(2H_{0}u)}{r_{B}(u)^{2}L_{h_{0},B}(u)}$duで定まる定数である.

このことから次の結果が導かれる.
定理 3.

$\Gamma_{h_{0},B}$$(B\neq 1)$

はトーラス

を

$\mathbb{R}^{2}$

注. $B=0$ のとき,において $\{(a, b), (0,4\pi)\}$ によって生成される格子とする.
$\mathbb{R}^{2}/\Gamma_{h_{0},B}$から$\mathbb{C}^{2}$へのLagrangian トーラス

Hopf トーラスとみなせる. 特}こ$f_{0,0}$

CMF Lagrangian はめ込みを与える.

$f_{h_{0},0}$

第 3 節の対応に従っては$\mathbb{C}^{2}$

内の 3 次元球面$S^{3}$に含まれ,は Chfford トーラスとみなせる.

最後に $H_{0}=0$ の場合について, 注意しておく.
$(h(r), r\cos\theta, r\sin\theta)$$f_{h_{0},B}$$\mathbb{R}^{3}$内の極小である回転面$\varphi(r, \theta)=$

は, 平面 $h(r)\equiv 0$ 力\searrow カテノイド $h(r)=\cosh r$ である.
$\mathbb{C}^{2}$内の極小 Lagrangian 曲面を構成すると, 平面からは,Lagrangian である平面が得られ, カテノイドからは [C] などで Lagrangian カテ
ノイドと呼ばれているものが確かに対応している. Lagrangian カテノイ囮ま,$\mathbb{R}^{4}$

132に適当な直交複素構造をとり直して,$\mathbb{R}\mathrm{x}S^{1}$$\mathbb{C}^{2}$内の複素正則曲線 $\{(z, 1/z)\}$ とみなせるの極小 Lagrangian はめ込みである.

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