数理解析研究所講究録
第 1800 巻 2012 年 72-78

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非線形 Klein-Gordon 型格子における Discrete Breather の安定性
NTT コミュニケーション科学基礎研究所 吉村 和之 (Kazuyuki Yoshimura)
NTT Communication Science Laboratories
概要

Discrete Breather とは，非線形格子系における空間的に局在した周期振動解である．非調和結合を持つ 1 次元非線形 Klein-Gordon 型格子に関して，anti-continuous limit 近傍において種々の Discrete Breather 解の存在を証明し，それらの線形安定性解析を行った．DiscreteBreather 解の線形安定性の波形に対する依存性を明らかにした．

1

はじめに空間的離散性を有する非線形力学系において，空間的に局在した振動モードが存在し得ることが知られている．この局在モードの存在は，武野らにより最初に指摘され [1, 2], Discrete Breather(DB), または，Intrinsic Localized Mode (ILM) と呼ばれている．DB は，現実の物理系における普遍的な励起構造の一つであると考えられており，実際に種々の系において実験的にも観測されている．例えば，ジョセフソン結合素子系 [3,4], 非線形光導波路アレイ [5], カンチレバーアレイ[6,7] 等で定在型 DB が観測されている．また，進行波型 DB についても，雲母結晶においてその存在を示す実験結果が報告されている [8]. これまでに成された DB 研究の進展に関しては，例えば，解説記事 [9] やレビュー論文 [10,11,12,13] を参照されたい．
定在型 DB は，力学系の運動方程式の局在した時間周期解として定義される．数理的な観点からは，定在型 DB を表す周期解の存在証明，および，安定性解析が基本的な問題である．これまでに，定在型 DB を表す局在周期解の厳密な存在証明が，種々の手法により与えられている[14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. 最初の存在証明は，MacKay と Aubry により，各粒子がオンサイトポテンシャルを持ち，他の粒子と弱い相互作用をするような非線形格子系のクラスに対して与えられた [14]. これらの系において，anti-integrable limit, もしくは，anti-continuous limit と呼ばれる相互作用が無い極限では，系は各粒子がオンサイトポテンシャル中を独立に振動する振動子の集団となる．この極限では，1 個の粒子だけが周期振動し他の粒子が静止しているような自明な DB 解が存在する．MacKay と Aubry は，時間反転対称な周期関数の空間で陰関数定理を用いて，自明な DB 解が弱い相互作用が在る場合に延長可能であることを証明している．anti-continuous limit

dinger 格子や 2 原子 Fermi–Pasta-Ulamは有用な概念であり，他の格子系，例えば，非線形(FPU) 格子 [16] における DB 解の存在証明にも応用されている．
定在型 DB 解の安定性については，これまでに，主として anti-continuous hmi-t 近傍において調べられている．この極限においては，1 粒子だけが励起している自明な DB 解以外にも多数の$Schr\ddot{\circ}$

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自明な周期解が存在し，それらの波形はコード列と呼ばれる整数の組によって表現されることが知られている [14]. anti-continuous limit で 1 粒子のみ励起している自明周期解，および，複数個の粒子が励起している自明周期解からの延長により得られる周期解は，それぞれ，single-siteDB, multi-site DB と呼ばれる．近年，弱結合の非線形 Schr\"odinger 格子において，任意のコード列に付随する DB 解について，その線形安定性とコード列との間に簡単な関係が存在することがPelinovsky らによって明らかにされた [21]. また，付随する同次ポテンシャル格子を経由した自明周期解の 2 段階延長による手法が提案され，2 原子 FPU 格子に対して，任意のコード列に付随する DB 解の安定性定理が得られている [22].
重要な非線形格子系のクラスとして，オンサイトポテンシャルを持つ粒子が相互作用する系が挙げられる．非線形 Klein-Gordon 格子は，各粒子が非調和オンサイトポテンシャルを有し，かっ，再隣接粒子と調和ポテンシャルを介して相互作用する格子系である．この格子モデルは，上述のクラスに属する代表的なモデルであり，mti-continuous limit 近傍における DB 解の安定性について詳しく調べられている [23,24,25,26]. 一方で，相互作用が非調和項のみのポテンシャルに置き換えられた非線形 Klein-Gordon 型格子も重要なモデルの一つである．このモデルは，指数関数より速く振幅が空間的に減衰する compactlike DB と呼ばれる局在モードを有することが知られている [27, 28, 29, 30, 31, 321. この格子モデルにおいても，anti-continuous limit 近傍において，コード列により特徴付けられる多数の single-site もしくは multi-site (compactlike) DB 解が存在する．しかしながら，それらの周期解の安定性とコード列の関係は明らかにされていない．よって，本研究では，弱非調和結合を持つ非線形 Klein-Gordon 型格子に関して，任意のコード列に付随する DB 解に適用可能な安定性定理を与える．この定理は，DB 解の安定性と付随するコード列の関係を与える．以下では，2 節で本研究で扱う格子モデルとその anti-continuous hmi-t を説明し，3 節で主結果を示す．

2格子モデルと anti-continuous limit
本研究では，非調和結合を持つ 1 次元非線形 Klein-Gordon 型格子を考える．系のハミルトニアンは次式で与えられる．
$H= \sum_{n=1}^{N}(\frac{1}{2}p_{n}^{2}+U(q_{n}))+\epsilon\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{k}(q_{n+1}-q_{n})^{k}$

ここで，

(1)

,はパラメータ
は，それぞれ， 番目の粒子の座標と運動量を表す．
$k\geq 4$ は偶数とする．(1)であり，式において，左側の和は $N$ 個のハミルトニアン振動子を表し，右側の和は最隣接粒子間に働く非調和相互作用ポテンシャルを表している．系 (1) の境界条件は，自由端条件である．また，極限が，系 (1) の anti-continuous limit である．オンサイトポテ$q_{n}\in \mathbb{R},$$p_{n}\in \mathbb{R}$$\epsilon\in \mathbb{R}$$n$$\epsilon=0$

ンシャル $U$ としては，以下の関数形を仮定する．
$U(X)= \frac{1}{2}X^{2}+\frac{\alpha}{k}X^{k}$

,(2)

74
ここで， はゼロでない実定数とする．変数$\alpha$$q_{n},$$p_{n},$$t$のスケール変換により，一般性を失うことな$U$ は，$\alpha=-1$$\alpha=+1$ のときハードポテンシャル，く，定数 は $\alpha=\pm 1$ とすることができる．のときソフトポテンシャルとなる．
ハミルトニアン (1) より導出される運動方程式は次式で与えられる．
$\alpha$(3)$\ddot{q}_{n}+q_{n}+\alpha q_{n}^{k-1}-\epsilon(q_{n+1}-q_{n})^{k-1}+\epsilon(q_{n}-q_{n-1})^{k-1}=0$系 (1)$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

こおいて，anti-continuous limit$(\epsilon=0)$の場合を考える．このとき，運動方程式は，各成分が互いに分離した以下のような方程式となる．
$\ddot{q}_{n}+q_{n}+\alpha q_{n}^{k-1}=0$.

(4)

したがって，運動方程式には以下の形をした周期解が存在する．
$q_{n}(t)=\sigma_{n}\varphi(t;a)$$\sigma_{n}\in\{-1,0,1\}$ であり，ここで，$\varphi(t;a)$,$n=1,$$\ldots,$

$N$

(5)

,

は初期条件 $\varphi(0;a)=a>0,\dot{\varphi}(0;a)=0$ を満たす以下の微分方程式の定数でない周期解を表す．

(6)$\ddot{\varphi}+\varphi+\alpha\varphi^{k-1}=0$(6) 式は，ポテンシャル$U(\varphi)=\varphi^{2}/2+\alpha\varphi^{k}/k$を持つ 1 自由度ハミルトン系の運動方程式と見なは $\varphi=0$ の近傍で下に凸なので，(6) 式は，ある値より小さな $a$ に対して周すことができる．
$\alpha=+1$ のときは，任意の $a>0$ に対して周期解期解を持つ．
$U(\varphi)$$0<a<a_{0}$ なる範囲ののときは，$a$に対し周期解$\varphi(t;a)$$\varphi(t;a)$$\alpha=-1$が存在する．一方，が存在する．ただし，$a_{0}=|\alpha|^{-1/(k-2)}$である．
$\alpha=+1$ の場合， はに関して狭に連続的に依存する．
$\alpha=-1$ の場$\lim_{aarrow+\infty}T(a)=0$$\lim_{aarrow0}T(a)=2\pi$と義の単調減少関数であり，を満たす．一方，合， は に関して狭義の単調増加関数でり，$\lim_{aarrow 0}T(a)=2\pi$ と $\lim_{aarrow a_{0}}T(a)=+$oo を満たす．

周期解$T$$T$$\varphi(t;a)$の周期 $T$ は，パラメータ

$T$

$a$

$a$

$a$

$\alpha=+1$ の場合，任意の $T_{1}\in(0,2\pi)$
は $a$ の狭義の単調関数であるため，逆関数 $T^{-1}$ が存在する．

$\alpha=-1$に$T(a)=T_{1}$ なる $a\in(O, +\infty)$ が一意に定まる．
に対し，の場合，任意の$\alpha=+1$ かつ $T\in(0,2\pi)$ ,もし$T(a)=T_{2}$ なる $a\in(0, ao)$ が一意に定まる．したがって，
対し，$\alpha=-1$ かつ $T\in(2\pi, +\infty)$ のとき， -周期解$a(T)$ は与え
くは，が存在する．ただし，$T_{2}\in(2\pi, +\infty)$$T$$\varphi(t;a(T))$の初期変位を表す．上述のように $\alpha=+1$ かつ $T\in(0,2\pi)$ , もしくは，$\alpha=-1$ かつ $T\in(2\pi, +\infty)$ の条件下では，(6) 式の-周期解 $\varphi(t;a(T))$ が存在するので，任意のコード列に対して，(5) 式で与えられるような系 (1) の -周期解とが anti-continuous hmit で存在する．すなわち，は，(5) 式で与えられる$\Gamma(t;\sigma, T)=(q_{1}, \ldots, q_{N},p_{1}, \ldots,p_{N})$を自明な周期解とを用いて，である．このられた周期$T$から定まる$\varphi$

$T$

$T$

$\sigma=(\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{N})\in\{-1,0,1\}^{N}$$\Gamma(t;\sigma, T)$$\Gamma(t;\sigma, T)$$q_{n}$$\Gamma(t;\sigma, T)$$p_{n}=\dot{q}_{n}$呼ぶことにする．
は，コード列 が $N$ に比して少数の非ゼロ成分からなるとき，対応する自明な周期解空間的に局在した自明な single–site DB 解，もしくは，mdti-site DB 解を表す．例えば，$\sigma=(\ldots, 0,1,0, \ldots)$ のとき自明な single-site DB$\sigma=(\ldots, 0,1, -1,0, \ldots)$ のときは自明
は，解，$\sigma$$\Gamma(t;\sigma, T)$$\Gamma(t;\sigma, T)$75
な two-site DB 解を表す．非自明な DB 解は，このような自明な DB 解を$\epsilon\neq 0$の場合に延長することにより得られる．本稿では，より一般的な任意のコード列 を扱い，対応する自明な周期解からの延長により得られる非自明な周期解について，その存在と安定性に関する結果を$\sigma$$\Gamma(t;\sigma, T)$述べる．

3

主結果

定理を述べるために，コード列 の関数をいくっか導入する． を粒子数$\sigma$$p$$N$の約数とし，コード列の部分集合 $S_{p}^{N}\subseteq\{-1,0,1\}^{N}$ を以下のように定義する．
$S_{p}^{N}=${$(\sigma_{1},$$\ldots,$$\sigma_{N});\sigma_{lp+i}=\sigma_{i}$for even ,$l$$\sigma\iota_{p+i}=\sigma_{p+1-i}$for odd ,$l$$i=1,$ $\ldots,p$ }(7)

これは，特定の対称性を持つコード列からなる集合である．例として，$N=9,$ $p=3$ の場合をのような形をしたコード列からなる集合考える．このとき， は，である．ただし，果 $\in\{-1,0,1\},$ $i=1,2,3$ である．以下 を固定して考える．
が与えられたとき)となるような部分集合
がいくっか存在する．任意の に対して，$(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{3}, c_{2}, c_{1}, c_{1}, c_{2}, c_{3})$$S_{p}^{N}$$N$$\sigma\in S_{p}^{N}$$\sigma\in\{-1,0,1\}^{N}$$S_{p}^{N}$$\sigma$

なので，そのような部分集合は少なくとも 1 つは存在する．与えられた の対称性を特徴付けるために，以下の関数を定義する． を symmetry index と呼ぶことにする．

$\sigma\in S_{N}^{N}$$\sigma$$s(\sigma)$$s(\sigma)$

定義 1. $\sigma\in\{-1,0,1\}^{N}$ が与えられたとき，$N$ の約数, かっ，$p’<p$ なる $N$ の任で，意の約数に対してはとなるものが存在する．このとき，$s(\sigma)=p$ と定義する．
$\sigma\in S_{p}^{N}$$p$$\sigma\not\in S_{p}^{N}$集合$\mathcal{A}$を，$\mathcal{A}=\{1,2, \ldots, N\}$と定義する．さらに， を，コード列$\mathcal{A}_{\sigma}$集合とする．すなわち，$\mathcal{A}_{\sigma}=\{n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{m}\},$と定義する． が$\sigma$の非ゼロ成分の添え字個の非ゼロ成分を含み，と$n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{m}$ であると仮定する． に含まれる非ゼロ成分$\mathcal{A}_{\sigma}=\{n;\sigma_{n}\neq 0\}\subseteq \mathcal{A}$$\sigma$$m$$\sigma$$\sigma_{n_{i}}$$\sigma_{n_{i+1}}$に対応する$\sigma_{n_{i}}=\sigma_{n_{i+1}}$関数$\Gamma(t;\sigma, T)$の隣接する 2 つの励起格子点を考える．これらの格子点ペアについて，のとき同位相であると言い，$N_{I}(\sigma)$$\sigma_{n_{i}}=-\sigma_{n_{i+I}}$のとき反位相であると言うことにする．

を次式で定義する．

$N_{I}(\sigma)=\{\begin{array}{ll}0 if m=1,\sum_{i=1}^{m-1}\frac{1}{2}|\sigma_{n_{i}}+(-1)^{L_{i}}\sigma_{n_{i+1}}| if m\geq 2,\end{array}$(8)$L_{i}=n_{i+1}-n_{i}$ は隣接する励起格子点の位置とここで，の間の距離を表す．この関数とタイプ(i)(ii) のペア数を与える．それは， に含まれる隣接励起格子点ペアの内，次のタイプらは，(i) 距離 が偶数の同位相ペア，および，(ii) 距離 が奇数の反位相ペアである．したがって，単一格子点が励起される $m=1$ の場合，もしくは，$m\geq 2$ で にタイプ (i), (ii) のペアが含が成立する．
まれない場合に限り，$n_{i+1}$$N_{I}(\sigma)$$n_{i}$$\sigma$$L_{i}$$L_{i}$$\sigma$$N_{I}(\sigma)=0$76
次に，関数 NII$(\sigma)$を次式で定義する．

(9)$N_{II}(\sigma)=\{\begin{array}{ll}0 if m=1,\sum_{i=1}^{m-1}\frac{1}{2}|\sigma_{n_{i}}+\sigma_{n_{i+1}}| if m\geq 2.\end{array}$に含まれる同位相の隣接励起格子点ペアを与える関数である．したがって，単一格子点$m\geq 2$ でに含まれる全ての隣接励起格子点ペアが反位が励起される $m=1$ の場合，もしくは，相である場合に限り，NII $(\sigma)=0$ が成立する．
非自明な周期解の存在および安定性に関する定理は，以下のように述べられる．定理の証明については，文献 [33] を参照されたい．
これは$\sigma$$\sigma$定理 1.

$\sigma\neq 0$,$\alpha=+1,$ $T\in(0,2\pi)$ , または，$s(\sigma)=p$ と仮定する．さらに，かつ，$\alpha=$が存$T\neq n\pi,$であり，を満たすと仮定する．このとき，定数と について解析的，かっ，で在し，のとき，系 (1) の -周期解の族の場を満たすものが存在する．
は，ならば，個の不安定特性乗数を有し線形不安定である．
合に限り線形安定であり，それ以外の場合は一方，ならば，NII $(\sigma)-N/p+1=0$ の場合に限り線形安定であり，それ以外の場合は$-1,$ $T\in(2\pi, +\infty)$$\epsilon\in(-\epsilon_{c}, \epsilon_{c})$$\epsilon_{c}>0$$n\in \mathbb{N}$$T$$\Gamma_{\epsilon}(t;\sigma, T)$$\Gamma_{0}(t;\sigma, T)=\Gamma(t;\sigma, T)$$\epsilon$$t$$\alpha\epsilon>0$$\Gamma_{\epsilon}(t;\sigma, T)$$N_{I}(\sigma)=0$$N_{I}(\sigma)$$\alpha\epsilon<0$$N_{II}(\sigma)-N/p+1$ 個の不安定特性乗数を有し線形不安定である．

注 1. コード列$\sigma$の symmetry index が $s(\sigma)=p$である場合， には少なくとも $N/p-1$ 個の同位相の隣接励起格子点ペアが含まれる．したがって，任意の$\sigma$$\sigma$に対して，NII $(\sigma)-N/p+1\geq 0$が成り立っ．

参考文献[1] S. Takeno, K. Kisoda, and A. J. Sievers, “Intrinsic localized vibrational modes in anharmonic crystals: stationary modes,” Prog. Theor. Phys. Suppl. 94, 242-269 (1988).

[2] A. J. Sievers and S. Takeno, “ Intrinsic localized modes in anharmonic crystals,” Phys. Rev.
Lett. 61, 970-973 (1988).

[3] E. Trias, J. J. Mazo, and T. P. Orlando, “Discrete breathers in nonlinear lattices: Experimental detection in a Josephson array,” Phys. Rev. Lett. 84, 741-744 (2000).
[4] P. Binder, D. Abraimov, A. V. Ustinov, S. Flach, and Y. Zolotaryuk, “ Observation ofbreathers in Josephson ladders,” Phys. Rev. Lett. 84, 745-748 (2000).

[5] H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A. R. Boyd, and J. S. Aitchison, “Discrete
spatial optical sohtons in waveguide arrays,” Phys. Rev. Lett. 81, 3383-3386 (1998).

77[6] M. Sato, B. E. Hubbard, A. J. Sievers, B. Ilic, D.A. Czaplewski, and H. G. Craighead,“Observation of locked intrinsic localized vibrational modes in a micromechanical oscillator
array,” Phys. Rev. Lett. 90, 044102 (2003).
[7] M. Kimura and T. Hikihara, “Coupled cantilever array with tunable on-site nonlinearityand observation of localized oscillations,” Phys. Lett. A 373, 1257-1260 (2009).

[8] F. M. Russell and J. C. Eilbeck, “ Evidence for moving breathers in a layered crystal insulator
at 300 $K,$ ” Europhysics Lett. 78, 10004 (2007).
[9] 武野正三，” 格子力学と非線形波動，” 数理科学 9, 54-61 (1995).

[10] S. Aubry, “Breathers in nonlinear lattices: Existence, linear stability and quantization,”
Physica $D103,201-250$ (1997).
[11] S. Flach and C. Willis, “Discrete breathers,” Phys. Rep. 295, 181-264 (1998).
[12] S. Aubry, “Discrete breathers: localization and transfer of energy in discrete Hamiltonian
nonlinear systems,” Physica $D216,1-30$ (2006).

[13] S. Flach and A. V. Gorbach, “Discrete breathers-Advances in theory and applications,”
Phys. Rep. 467, 1-116 (2008).
[14] R. S. MacKay and S. Aubry, “Proof of existence of breathers for time-reversible or Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators,” Nonlinearity 7, 1623-1643 (1994).

[15] V. Koukouloyannis and S. Ichtiaroglou, “Existence of multibreathers in chains of coupled
one-dimensional Hamltonian oscillators,” Phys. Rev. $E66$ , 066602 (2002).
[16] R. Livi, M. Spicci, and R. S. MacKay, “Breathers on a diatomic FPU chain,” Nonlinearity
10, 1421-1434 (1997).

[17] S. Flach, “Existence of localized excitations in nonlinear Hamiltonian lattices,” Phys. Rev.
$E51,1503-1507$ (1995).
[18] S. Aubry, G. Kopidakis, and V. Kadelburg, “Variational proof for hard discrete breathers
in some classes of Hamiltonian dynamical systems,” Discrete and Continuous DynamicalSystems $B1,271-298$ (2001).
[19] G. James, “ Centre Manifold reduction for quasilinear discrete systems,” J. Nonlinear Sci.
13, 27-63 (2003).
[20] G. James and P. Noble, “ Breathers on diatomic Fermi-Pasta-Ulam lattices,” Physica $D196$ ,124-171 (2004).

78[21] D. E. Pelinovsky, P. G. Kevrekidis, D. J. Fhrantzeskakis, “Stabihty of discrete solitons in
nonlinear Schr\"odinger lattices,” Physica $D212,1-19$ (2005).
[22] K. Yoshimura, “ Existence and stabihty of discrete breathers in diatomic Fermi-Pasta-Ulam
type lattices,” Nonlinearity 24, 293-317 (2011).

[23] J. F. R. Archilla, J. Cuevas, B. S\’anchez-Rey, and A. Alvarez, “ Demonstration of the stability
or instability of multibreathers at low couphng,” Physica $D180,235-255$ (2003).
[24] J. Cuevas, J. F. R. Archilla, F. R. Romero, “Effect of the introduction of impurities on thestabihty properties multibreathers at low coupling,” Nonlinearity 18, 769-790 (2005).
[25] V. Koukouloyannis and P. G. Kevrekidis, “On the stabihty of multibreathers in KleinGordon chains,” Nonlinearity 22, 2269-2285 (2009).
[26] D. Pehnovsky and A. Sakovich, “Multi-site breathers in Klein-Gordon lattices: stability,resonances, and bifurcations,” arXiv:1111.2557 (2011).

[27] P. Tchofo Dinda and M. Remoissenet, “Breather compactons in nonlinear Klein-Gordonsystems,” Phys. Rev. $E60,6218-6221$ (1999).
[28] M. Eleftheriou, B. Dey, and G. P. Tsironis, “Compacthke breathers: Bridging the continuous with the anticontinuous hmit,” Phys. Rev. $E62,7540-7543$ (2000).
[29] B. Dey, M. Eleftheriou, S. Flach, and G. P. Tsironis, “ Shape profile of compacthke discrete
breathers in nonlinear dispersive lattice systems,” Phys. Rev. $E65$ , 017601 (2001).

[30] J. C. Comte, “Exact discrete breather compactons in nonhnear Klein-Gordon lattices,”
Phys. Rev. $E65$ , 067601 (2002).
[31] A. V. Gorbach and S. Flach, “Compactlike discrete breathers in systems with nonlinear
and nonlocal dispersive terms,” Phys. Rev. $E72$ , 056607 (2005).

[32] P. Rosenau and S. Schochet, “Almost compact breathers in anharmonic lattices near thecontinuum limit,” Phys. Rev. Lett. 94, 045503 (2005).
[33] K. Yoshimura, “ Stabihty of discrete breathers in nonlnear Klein-Gordon type lattices withpure anharmonic couplings,” (submitted for pubhcation).