数学展望 I レポート問題 [2] (6 月 16 日)(1) 以下の問題の中から ２題を選び 解答し, 提出すること. 締め切りは 7 月 10 日 (月) とする.
(2) A4 の大きさのレポート用紙 (表面のみ 使用) に解答すること.
(3) (2) の他に表紙 1 枚をつけ, 氏名と学籍番号を記入し, レポート名「数学展望 I 第２回レポート」を明記すること.
(4) 作成にあたっては, 講義で学んだどのような結果を用いたか, また, どのような考え方をして答えを導いたかができるだけ明確にすること.

問 1. 次の条件をすべてみたす正の整数 N のうち, 最小のものを求めよ:

(a)
(b)
(c)

N は 17 で割ると余りが 2 である.
N は 61 で割ると余りが 58 である.
N は 103 で割ると余りが 1 である.

(解答する際のヒント)• N を見い出すには, 第６回に講義で説明した中国式剰余定理を用いるとよい.
• 中国式剰余定理の利用にあたって, n1 ≡ 1 (mod 17), n1 ≡ 0 (mod 61 · 103) を満たすようなn1 を見つけることが必要であるが, それにはユークリッドの互除法を利用すると良いだろう.
• 求めた N が確かに条件を満たすことを確認することが望ましい.

問 2. 平面 R2 内の単位円を n 等分して正 n 角形 P0 P1 · · · Pn−1 を作る :Pk

2kπ2kπ, sincosnn
(k = 0, 1, . . . , n − 1)

この正 n 角形の P0 を P1 まで回転させて得られる合同変換を A とし, A の逆回転を A−1 , A をk 回続けて行なう変換を Ak のように書くとき, 折り返しを含まない合同変換は,

E = A0 , A = A1 , . . . , An−1の n 個である. ただし, E は恒等変換 (P0 を P0 にうつす変換) を表す.
Ak を何回か行なうと, P0 を P0 にうつす恒等変換になる. そのような回数の最小値, すなわち,o(Ak ) = min{ ∈ Z |  は正の整数, (Ak ) = E}
を Ak の位数と言う. このとき, 次の各問に答えよ.

(1) 正 12 角形に対して, P0 の行き先を追うことにより, 「折り返しを含まない合同変換」
E, A, A2 , . . . , A11 の位数をそれぞれ求めよ.
(2) 一般に, Ak の位数はnで与えられることを示せ.
(n, k)

各 n に対して, ϕ(n) = #{k ∈ Z | 1 ≤ k ≤ n, o(Ak ) = n} とおく.

(3) ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(12) = 4 を示せ.
(4)1ϕ(n)=となるような整数 n を全て決定せよ.
n2(解答する際のヒント)• (1) 例えば, A3 : P0 → P3 → P6 → P9 → P0 (= P12 ) だから, o(A3 ) = 4 である. ここでは, (2)の公式を用いないこと.
nに対して• (2) を示すには,  = (n,k)
k(i) A = E と,(ii) Akm = E =⇒ m は  で割りきれるを示せばよい.
• (3) は (1) から従う. 12 = 3 · 4 であるが, ϕ(12) = ϕ(3) · ϕ(4) となっているのは偶然だろうか？
• (4) 小さい n に対していろいろと計算してみれば候補は見つかるだろう. 完全に決定するのは難しいかも知れないが, 部分的成果でもよい.

問 3. 正４面体の合同変換について考える. 正４面体の頂点を P1 , P2 , P3 , P4 とするとき,
1 2 3 4は, σ =のように４次の置換として表すことができる.
2 3 1 4
1 2 3 41 2 3 4は (123) =のように３つの頂点のみを動かす(1) (12)(34) =2 3 1 42 1 4 3型の置換の２個の積で表すことができる. 具体的に表せ.
(2) 正４面体の合同変換の全体は上に述べた対応により４次交代群 A4 をなす. ４次交代群の元を３つの型に分けてすべて書き出せ. また, それぞれの型の代表元はどのような回転軸を持つかを説明せよ.
(3) ４次交代群の各元は互換 (２個の文字のみを動かす変換) の偶数個の積で表すことができる
ことを示し, 互換 ((12) としてよい) に対応する合同変換は存在しないことを導け.
(4) R3 内の回転では「｛向き」(３つの１次独立なベクトルから作られる行列式の符号) が変化しないことに注意して, 前問の結論を幾何学的に説明せよ.
(解答する際のヒント)• (1) は実際, 各面の三角形を回転させて, 欲しい形と比較してみよう.
• (2) は講義の要約を参照して実際に元を書きだしてみよう.
• (3) 実際, ４次交代群の各元は丁度２個の互換の積で書ける. 後半は互換が偶置換でないことに注意せよ.
−→ −−→ −−→• 中心を原点にとれば, OA, OB, OC は１次独立である. 前問のような互換を１回行うと行列式の符号が変わる, という事実は線形代数学で習っているだろう.

問 4. 正６面体の合同変換は, 正６面体の４つの対角線 P1 Q1 , P2 Q2 , P3 Q3 , P4 Q4 に関する置換を引き起こす. また, 異なる合同変換は異なる置換を引き起こす.

これより, 正６面体群は自然に４次対称群の部分群とみなすことができる. 正６面体の６つの面をF1 , . . . , F6 とする.

(1) 次の事実に注意して, 正６面体群の位数は 24, 特に, 正６面体群＝４次対称群 S4 となることを示せ.
(a) 各 i = 1, . . . , 6 に対して, F1 を Fi にうつす合同変換が存在する.
(b) F1 を Fi にうつす合同変換 σ, σ  の違いは Fi をその中心の周りに回転させるだけの違いである.
(2) 面 F1 を四角形 P1 P2 P3 P4 , 面 F2 を四角形 P1 P4 Q2 Q3 とするとき, F1 を F2 にうつす合同変換を表す置換を具体的に書け. また, (34) に対応する合同変換はどのようにして得られるかを説明せよ.
(3) 互換 (12) を置換 σ = (123) と τ = (1234) のいくつかの積の形に表せ.
(4) ２つの置換 σ = (123) と τ = (1234) を含む S4 の部分群は自分自身に他ならないことを証明せよ. また, この事実を合同変換の視点から説明せよ.
(解答する際のヒント)• (1) は講義における説明をもう少し丁寧にしたものである. 「さいころ」だと思えば考えやす
いのではないだろうか.
• (2) 最初の変換は４回で元に戻るから, 位数が４の元に対応している. 後半は P Q の違いを無視して, 上面の頂点の変化に注目するのがポイントである.
• (3),(4) ラグランジェの定理「有限群 G の部分群 H の位数は G の位数の約数である. 特に,G に属する元の位数についても同様である. 」を用いると, (4) の部分群は位数が 12 の倍数で, 24の約数であることがすぐに分かる. また, (1234) は奇置換なので, それは 4 次交代群に含まれず,S4 自身である, という流れになる. ここでは, (3) のように必要な互換を全部表してしまえばよい.
実際, すべての互換, 従って, すべての置換は (12), (13), (14) の積でかけてしまう.

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問 5 (予告編).

(発展) 正 12 面体群が５次交代群 (に同型) であることを説明せよ.