有限要素解析による曲げ荷重を受けるインフレータブルチューブの形状変形特性

梗横山仁*1

古谷寛*2

概インフレータブルチューブ構造要素が曲げ荷重を受ける際の、リンクル (wrinkle) 発生から collapse に至る詳細な力学特性を、有限要素解析を通して明らかにした。実験結果ならびに理論解析との比較検討から、曲げ荷重を負荷するにつれ、周期的なリンクルが、チューブの圧縮側に発生することが示され、リンクル発生時の軸方向応力は円筒殻の圧縮座屈応力とほぼ等しい値となっていることが明らかになった。更に、インフレータブルチューブに負荷する曲げ荷重を増加させると、リンクルは周期性を失い、局所的な大きなリンクルに変化し、collapse 状態に遷移してくことが明かとなった。

1. 序論

や collapse 発生における力学特性の詳細を明らかにするこ

インフレータブル構造は、柔軟な膜材からなる構造に、気体を注入したり膨張させることにより形成させた構造物をさす。これらの構造は、古くから、風船・熱気球や飛行船などの軽量な構造物として用いられたり、ゴムボートやエアマットなど収納性を利用した構造などに用いられてきた。
また、近年では大型スタジアムのドーム屋根に用いられるだけでなく、宇宙構造工学の分野では、極めて低密度で軽量な構造を意味するゴッサマー構造 (Gossamer structures)
として、大型展開宇宙構造物の構造要素として、伸展マストや、宇宙居住空間などへの応用のために、研究・開発が進められている。このようなインフレータブル構造物のもっとも基本的な構造要素として、インフレータブルチューブが研究されている。
インフレータブルチューブは内圧により剛性を与え、梁としての特性を持たせて利用することが可能であるが、外力の影響により、しわが発生するとともに、ある限界荷重を超えると変形が急激に進む collapse と呼ばれる現象が生じ、構造物として剛性が低下し、形態を維持することができなくなる。このため、信頼性の高い構造物をインフレータブル要素を用いて構築するためには、しわ（リンクル）*1 東京工業大学

インフレータブルチューブの力学特性を力学的に明かにする研究として、Stein ら [1] は、薄肉円筒殻の力学モデルを用いて、リンクルを含む平均応力場を考えることにより、力学特性を明らかにした。インフレータブルの力学モデルとしては、薄肉の円筒殻の曲げ変形・座屈の研究を基本として考えることができ、膜材は面内圧縮力に対してしわが発生するため剛性が極めて低くなる。このことから、簡易な力学モデルとして、Comer ら [2] は膜の断面に発生する圧縮応力を零とし、片持ちのインフレータブル梁に対して、はりの理論を適用した力学モデルを提案してきた。
これらの研究を発展させて、Veldman[3] 座屈理論解析により、解析的にインフレータブルチューブの力学特性を明かにした。また、菅沼ら [4] は、膜面に生じる圧縮応力を考慮した力学モデルを用いることで、比較的精度良く collapse特性を容易に求めることが可能となることを示した。これらの研究は、断面形状が不変としたモデルを扱っているが、荷重を受けることにより偏平化が起きると考えられ、これに対して、著者ら [5] は曲げ荷重を受けるインフレー
タブルチューブの断面形状の変化を実験的に示し、断面形状変化による曲げ剛性の変化を考慮した力学モデルを提案した。

大学院修士課程*2 東京工業大学・大学院総合理工学研究科とが重要となっている。

准教授

以上の力学モデルは定量的に collapse の現象を取り扱うことができるものの、インフレータブルチューブのリンクは式 (2) で表され、φ = −d2 y/dx2 より、たわみ曲線の微分方程式は式 (3) となる。

ル発生から collapse に至る膜の変形を含む曲げ変形特性を明らかにすることはできていない。そこで、本研究では、

M
EId2 yM=−2dxEIφ=

曲げ荷重を受けるインフレータブルチューブのしわ及びcollapse 発生による形状変形特性を明らかにするために、有限要素解析により collapse 発生過程におけるしわの形状ならびに応力状態の詳細を明らかにすることを目的とする。

2. インフレータブルチューブの 4 点曲げ解析
本研究では、曲げ荷重を受けるインフレータブルチューしている。

I = πtr3

た 4 点曲げの解析を、Comer の理論を用いて定式化する。
図 1 は取り扱う 4 点曲げモデルとインフレータブルチューが小さく、外力の曲げモーメントによる圧縮応力よりも内圧による張力が上回っている場合は図 1(b) のように、全体が引張り応力となっているため、しわは発生していない状態である。曲げ荷重が大きくなり、曲げモーメントによる圧縮応力が、内圧による張力を上回った場合の応力分布は
図 1(b) に示すように、膜の圧縮剛性は零と仮定し、圧縮応以上より、曲げモーメントは次式のようになる。
{F l1(0 < x < l22 )()M=l22
F l1 + 2 − x( l22 < x < l1 + l22 )(5)

うにたわみ曲線の微分方程式が求まる。

0 < x < l2d2 yF l1=−dx2
Eπtr3(6)F (l1 + l22 − x)d2 y=−dx2
Eπtr3(7)発生している領域であり、しわが発生している領域の境界l2 < x < l1 + l22yl2/2l1xc

Op(4)よって、式 (4)、式 (5) を式 (3) に代入すると、以下のよ力は零としている。応力が零となっている領域は、しわがの角度を θ0 とする。

(3)

E はヤング率、I は断面二次モーメントを表しており、断面二次モーメントは式 (4) で表せる。ここで t は膜厚、r は半径を表しており、膜厚は半径に対して十分小さいと仮定

ブの変形特性を理論的に取り扱うため、内圧 p を一定としブの断面に生じる応力分布を表したものである。曲げ荷重(2)Fx

次に、しわが発生している場合について考察する。まず、しわが発生するときの曲げ荷重 Fc ならびに図 1(a) におけ

Fるしわの発生位置 xc を求める。しわが発生しているとき(a) インフレータブルチューブの 4 点曲げモデルの応力分布は図 1(b) で示され、式 (8) のように表される。

σ0θ0σ=σmσmσm (cos θ0 − cos θ)
1 + cos θ(8)チューブに生じる曲げモーメントは、式 (9) で表され、式σm(8) を用いて式 (10) となり、σm について変形すると式 (11)(b) 応力分布の仮定となる。

図 1: Comer のインフレータブルチューブモデル∫ π
まず、しわが発生していない場合の理論式を示す。対称

M= −2=れる軸応力は式 (1) のように表せる。

σ=σ0 (1 + cos θ) σm (1 − cos θ)+22(1)ここで、σ0 、σm はそれぞれ上端、下端の軸応力、θ は上端からの回転角を表している。曲率 φ とモーメントの関係

σtr cos θrdθ

(9)02性より、0 < x < l1 + l22 の範囲で考える。図 1(b) に示さ

σm =σm tr {(π − θ0 ) − sin θ cos θ}
1 + cos θM (1 + cos θ0 )2
tr {(π − θ0 ) − sin θ0 cos θ0 }

(10)

(11)

また、内圧 p と膜面に生じる軸応力の力のつり合いは、

式 (12) となり、式 (8) を用いることで式 (13) と表される。
同様に σm について変形すると式 (14) となる。

3l2
l1 + l22 − pπr2F < x < l1 + 2()
F l1 + l22 − xd2 y=−dx2Eπtr3∫ 2πpπr2=σtrdθ

(12)

02σm tr {(π − θ0 cos θ0 + sin θ0 )}1 + cos θ0=(21)3. 数値解析モデル(13)

FEM に用いた解析モデルは、文献 3) の実験で用いられたモデルと同様に、全長 410mm、荷重負荷間の距離 210mm、(14)験より求めた 165MPa とした。インフレータブルチューブ

半径 35.65mm、膜厚 46mm、ポアソン比 0.3、ヤング率は実pπr(1 + cos θ0 )σm =2t {(π − θ0 ) cos θ0 + sin θ0 }の端と荷重負荷部分は剛体要素を用い、拘束条件は、チューブの左端の z 軸回りを回転自由とし、右端は x 軸方向なら式 (11)、式 (14) より、次式が導かれる。

M=

pπr3 [(π − θ0 ) − sin θ0 cos θ0 ]2 [(π − θ0 ) cos θ0 + sin θ0 ]びに z 軸回りの回転自由を仮定した。また、支持部におい(15)ての摩擦などの軸方向剛性をモデル化するため、右端には軸方向にばね要素を設置している。図 2 の点 A は、初期状曲げモーメントが最大となるのは、0 < x < l22 の範囲なので、式 (15) において、M = F l1 、θ0 = 0 とすること態における (x,y,z)=(0,0,35.65) のチューブ上の点を示している。解析には ABAQUS[7] を用い、4 節点曲面汎用シェで、しわが発生するときの曲げ荷重が式 (16) のように示ルを用いた。

される。
10(mm)

10(mm)

y, v

Fc =pπr32l1p(16)Az, wx, uAF

また、しわの領域の境界位置 xc は、式 (15) において、)(M = F l1 + l22 − xc 、θ0 = 0 とすることで式 (17) のよy, v

210(mm)35.65(mm)kF410(mm)

図 2: FEM 解析モデル

うになる。

4. 荷重変位関係
l2pπr3x = l1 + −22F(17)また、0 < x < xc における断面二次モーメントは、しわが発生している 0 < θ < θ0 は剛性がないとすると、式(18) となる。

本解析では、荷重間の軸方向を 200 等分割、周方向に220 等分割し、チューブ内圧は、実験と対応させるため
p = 1.0kP a とした。図 3 は、荷重‐変位関係を表したものであり、破線と実線は、図 2 の点 A における有限要素解析結果であり、それぞればね剛性 k = 0N/mm、 k =0.2N/mm とした場合の結果である。ここで、点線は Comer
I = tr {(π − θ0 ) + sin θ0 cos θ0 }3(18)の理論解析結果、白の点は実験結果を示している。実験では、F = 1.5N で collapse が発生し、k = 0N/mm とした

式 (3)、式 (5) ならびに式 (18) より、しわが発生している
場合のたわみ曲線の微分方程式は以下のように導かれる。

0 < x < l2F l1d2 y=−23dx
Etr {(π − θ0 ) + sin θ0 cos θ0 }l2 < x < l1 + l22 − pπr2F場合の有限要素解析では、F = 1.0N からしわが生じ始め、
F = 1.4N から collapse が発生した。k = 0N/mm の場
合、collapse 発生前は実験とほぼ一致しているが、collapse発生後は実験結果および Comer の理論解析結果よりも接(19)線剛性が小さくなっている。これは、支持部の摩擦の影響や、内部の空気量を調整するためのチューブの影響が考え3)
F l1 + l22 − xd2 y=−dx2
Etr3 {(π − θ0 ) + sin θ0 cos θ0 }られ、ばね剛性を k = 0.2N/mm として解析を行った場(合、collapse 発生前までは k = 0N/mm の場合とほぼ一致(20)しており、collapse 発生後は k = 0N/mm の場合よりも接線剛性が大きくなり、実験結果とほぼ一致している結果が得られた。このことから、collapse 発生後は軸方向剛性の影響が顕著に表れることが明らかになった。ここで、ばね同様の結果が示されおり、定性的にほぼ一致していることが示されており、数値解析結果の妥当性が確認できた。ま1.6た、図 8 は、荷重に対するひずみエネルギーを示したもの1.4であり、collapse が発生した F = 1.53N において、ひず1.2みエネルギーが低下していることからも、安定な不伸長の1モードへ変化したことが確認できる。

0.8FEM result (k=0N/mm)
FEM result (k=0.2N/mm)
Experimental result
Comer’s theory

0.60.40.2

同様の実験結果を用いて、collapse 発生前のしわの波長について、数値解析結果と実験結果の比較を行うと、有限要素解析では、しわの波長は約 4.7mm であり、実験では0024681012deflection, v (mm)
図 3: 曲げ荷重〜曲げ変形曲線
剛性 k = 0.2N/mm は、チューブの軸方向剛性の約 5% であった。以降は、ばね剛性を k = 0.2N/mm として解析を行った。

約 4.5mm であり、ほぼ一致した結果が得られていることが確認できた。
y-coordinate (mm)bending load, F (N)

21.83534

F=1.1N
F=1.2N
F=1.3N
F=1.4N
F=1.5N33323130-100 -80 -60 -40 -20020406080 100x-coordinate (mm)5. しわと collapse の形成

図 4: リンクルの形成過程
曲げ荷重の増加によるしわの形状変化を示したものが図wave length of wrinkle (mm)4 であり、チューブ上部の膜面位置を縦軸に、軸方向の位置を横軸にとっている。図 4 より、荷重が増加するにつれて、しわの振幅が大きくなっていることが認められる。
このしわの周期性を検討するため、しわ波長について、曲げ荷重をパラメータとして示したものが、図 5 である。

F = 1.1N の場合、4.3mm と 5.9mm の成分の波長が認め765432101られるが、荷重を増加させると、F = 1.2N , 1.3N , 1.4N ,次に、曲げ荷重を F = 1.5N から更に増加させたときの、しわの形状を示したものが図 6 である。点線は、F = 1.50Nの場合を示しており、規則的なしわの形状が認められる。
しかし、F = 1.50N から曲げ荷重を増加させた F = 1.52Nの場合には、x = −38mm, 28mm, 38mm の各位置で、大きなしわが発生し、規則的なしわの形状が失われてくる。更

y-coordinate (mm)はほぼ一定のまま振幅が大きくなっていくことが示された。

1.41.6

図 5: しわ波長に対する曲げ荷重の影響

1.5N においてほぼ一定の波長となり、その値は 4.7mm となっている。このことから、荷重が増加するに伴い、波長1.2bending load, F (N)3332

F=1.50N
F=1.52N
F=1.53N

313029-100 -80 -60 -40 -20020406080 100x-coordinate (mm)

図 6: collapse の形成過程に曲げ荷重を大きくし、F = 1.53N とすると、F = 1.52Nで生じた大きなしわは、x = −49mm, −39mm, 39mm の位置においてさらに大きなしわへと変化している。また、

F = 1.53N の場合、大きなしわの周辺以外の部分では、規則的なしわは消失していることが認められる。

6. インフレータブルチューブの応力状態
次にチューブの応力状態について示す。図 9、10 は〜a3)、図 7(b1〜b3) に示す。図 7(a1〜a3) は有限要素解析

x=0mm と x=39mm における、曲げ荷重に対するチューブ上部の軸方向応力の変化を示したものである。どちらの位置においても、しわが生じ始めた F=1.0N から collapse結果であり、図 7(b1〜b3) は実験結果を示している。図 7

発生前の F=1.5N において、軸方向応力はは -0.136MPa とより、collapse 発生前は軸方向のみに周期的なしわが発生なり、ほぼ一定の値となっている。式 (22) に示す円筒のしていることが認められるが、collapse 発生後、周方向へ軸圧縮の座屈理論から求まる座屈応力 [6] と比較すると、しわが生じ不伸長の座屈モードに近い変形モードへと変化

σcr =-0.133MPa となり、ほぼ一致した結果となっていることが確認できた。

斜め上方から見た場合のチューブのしわの形状を図 7(a1していることが認められる。このことは、実験においても

(a2) collapse 発生 (FEM)(b1) リンクル発生 (実験)stress in x delection, σx (MPa)(a1) リンクル発生 (FEM)

0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-0.1
-0.20(b2) collapse 発生 (実験)

0.5

11.52

bending load, F (N)(a3) collapse 状態 (FEM) (b3) collapse 状態 (実験)
図 7: リンクル発生から collapse 状態への変形過程

Strain Energy (Nmm)

161412108stress in x delection, σx (MPa)

図 9: 曲げ荷重〜軸方向応力 (x = 0mm)
0.50.40.30.20.10-0.1-0.2
060.5

11.52

bending load, F (N)
図 10: 曲げ荷重〜軸方向応力 (x = 39mm)

42は負の値となっている。図 6 における規則的なしわが存在

000.5

1.51.53

12

しない x= -20mm から x = 15mm においては、周方向応力は約 σr =0.788MPa となっており、曲げ荷重を付加していな

bending load, F (N)い時の内圧のみの場合の周方向応力 σr =0.775MPa とほぼ

図 8: 歪みエネルギー〜曲げ荷重曲線同じ値となっている。図 14 より、x 軸方向応力は、collapse発生前の規則的なしわが発生している場合は、周方向応力

1σcr = √3(1 − ν 2 )(Etrと同様にしわの形状に対応して周期的に変化しており、約)(22)

σx =-0.136MPa となっている。collapse 発生後、大きなしわが発生した x=-39mm,39mm の両側において、x 軸方向応

図 11、12 はは x=0mm と x=39mm における、曲げ荷重に力は引張り応力となっていることが示されている。また、対するチューブ上部の軸方向応力の変化を示したものであ

x=-20 から x=15mm においては、規則的なしわが発生していたときの σx =-0.136MPa よりも小さな圧縮応力となっており、図 4 のしわの存在していない部分に対応している。

る。周方向応力は、F=1.0N から F=1.5N においても、x 軸方向の位置により異なる応力となっており、軸方向に生じているしわの影響が顕著に表れると考えられる。図 13、14は、F=1.50N, 1.52N, 1.53N におけるチューブ上部全体の周方向応力 σr と x 軸方向応力 σx を示したものである。図 13

F=1.53N からさらに曲げ荷重を大きくし、F=1.8N の場合のチューブ形状と、応力状態を図 15、16、17 に示す。
図 15 に示されているように、図 5 で示されている x =則的なしわの形状に対応して周期的な変化が認められる。

−39mm, 39mm におけるしわは、F=1.8N では x=-39mmにおいてのみひとつの大きなしわとなり、めり込みが生じcollapse 発生後は、大きなしわが生じている x= -49mm, -ていることが示されている。図 16、17 より、大きなしわ39mm, 39mm の位置において、周方向応力は小さな値またが生じている x=39mm の位置では、周方向、x 軸方向ともより、周方向応力は、collapse 発生前の F=1.50N では、規00.5

11.52

circumferencial stress , σr (MPa)circumferencial stress , σr (MPa)

1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
0-0.2
-0.4
-0.6
-0.8

1.5
10.5
0-0.5
-100 -80 -60 -40 -20 0

図 13: リンクル形成過程における周方向応力の軸方向分布

stress in x delection , σx (MPa)circumferencial stress , σr (MPa)

図 11: 曲げ荷重〜周方向応力 (x = 0mm)
1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
0-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.5

11.5

20 40 60 80 100x-coordinate (mm)bending load, F (N)0F=1.50N
F=1.52N
F=1.53N

20.3
F=1.50N
F=1.52N
F=1.53N

0.20.10-0.1-0.2-100 -80 -60 -40 -20 020 40 60 80 100

x-coordinate (mm)bending load, F (N)
図 12: 曲げ荷重〜周方向応力 (x = 39mm)

図 14: リンクル形成過程における軸方向応力の軸方向分布に圧縮応力になっていることが示されており、x=50mm にことがしめされた。このことから、鉛直幅の減少により断おける x=39mm に比べて小さいしわの位置でも同様にど面二次モーメントが小さくなり、collapse 発生後の急激なちらも圧縮応力になっている。また、x = −20mm から曲げ剛性の低下のひとつの要因となっていると考えられる。

x = 35mm においては、軸方向応力は引張り応力となっており、これは図 15 のめり込みにより曲率が大きくなっている部分で、しわの発生していない部分に対応している。

8. 結論
インフレータブルチューブが曲げ荷重を受ける際の、し7. 断面形状変化

わの発生から collapse に至る膜の変形を含む曲げ変形特性を有限要素解析によって明かにした。曲げ荷重の負荷に伴曲げ荷重の増加による、チューブの断面形状の変化にい、まず円筒殻の座屈応力に近い応力で、しわがチューブついて考察する。図 18、19 は、それぞれ曲げ荷重 F =軸方向に周期的に生じ、更に荷重が大きくなるにしたがっ1.5N, 1.6N, 1.7N, 1.8N のときの、チューブの水平幅ならて、ある限界荷重で、周期性の無い大きなしわへと変化しびに鉛直幅の変化率を示したものである。collapse 発生前のて、collapse 状態になることが示された。また、collapse 状

F = 1.5N のときは、水平幅、鉛直幅どちらもほとんど変態では周期的なしわは消失し、局所的な変形へと変化する化していないが、collapse 発生後の F = 1.6N, 1.7N, 1.8Nことが示された。ここで、collapse 状態になる際には、周においては、どちらにおいても変化率が顕著に表れてい期的なしわ状態から、円筒殻の不伸長座屈モードに近い変る。特に大きなしわが発生した箇所の近傍では、水平幅形モードに移行することで collapse が形成されることが認と鉛直幅の変化が著しく、水平幅は増加する傾向にあり、められた。

鉛直幅は減少する傾向にあることが認められる。例えば、

collapse 状態になることに伴って、膜がめり込む大変形が生じ、断面形状が局所的に大きく変化するため、曲げ剛

F = 1.8N のとき、大きなしわが生じた x = 39mm において、水平幅は約 5% 増加し、鉛直幅は約 9% 減少している性の低下を招く要因となっていることが示された。

stress in x delection , σx (MPa)y-coordinate (mm)353331292725232119
F = 1.53N
17F = 1.8N
15-100 -80 -60 -40 -20 020 40 60 80 100

horizontal deformation ratio

circumferencial stress , σr (MPa)F = 1.53N
F = 1.8N

0.1
0-0.1-0.2-0.3-100 -80 -60 -40 -20 020 40 60 80 100

図 17: 軸方向応力の軸方向分布の比較

図 15: リンクル形状と collapse 形状
21.5
10.50

F = 1.53N
F = 1.8N-1-100 -80 -60 -40 -20 00.2

x-coordinate (mm)x-coordinate (mm)-0.50.3

1.06
1.04
1.02

F = 1.50N
F = 1.60N
F = 1.70N
F = 1.80N

10.98
0.96-10020 40 60 80 100-50050100x-coordinate (mm)x-coordinate (mm)

図 18: インフレータブルチューブ水平幅変化率

図 16: 周方向応力の軸方向分布の比較

7)
参考文献

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vertical deformation ratio2)

1.02
10.98
0.96
0.94
0.92
0.9-100

F = 1.50N
F = 1.60NF = 1.70N
F = 1.80N-50050100x-coordinate (mm)
図 19: インフレータブルチューブ鉛直幅変化率

MECHANICAL PROPERTIES OF INFLATABLE TUBES FOR BENDING LOAD BY FINITEELEMENT ANALYSESJin Yokoyamaa
Hiroshi Furuyab

SYNOPSIS
The mechanical properties for collapsing process of inflatable tube subject to bending load are investigated by FEM analyses.
The periodic wrinkles emerges at first on the compressive side of the inflatable tube as the bending lad increased, when the axialstress reaches the buckling stress of cylindrical shell structures. As bending load increases further, some isolated wrinkles occur
and the periodic wrinkles disappear. The stress fields and geometrical properties of the wrinkling and collapsing inflatable tube
is also discussed in detail.
a Graduate student, Tokyo Institute of Technology, Dept. of Built Environmentb Dr. Eng., Associate Professor,Tokyo Institute of Technology, Dept. of Built Environment