数理解析研究所講究録 1224 巻 2001 年 1-10

1

逐次 Bhattacharyya 型下界の達或について
小池健一

筑波大学・数学系

1(Ken-ichi Koike)

はじめに
非逐次の場合, 未知母数の関数の不偏推定量の分散に対する下界を与える式として, Cram\’er-

Rao の情報不等式があり, さらに, この不等式を精密化した Bhattacharyya の情報不等式が成り立つことが知られている. Cram\’er-Rao の情報不等式の下界の達或については, Wijsman[Wi76] や Joshi [J76] がある. 一方, Cram\’er-Rao の情報不等式を逐次推定の場合に拡張した

Wolfowitz の情報不等式 ([W047]) がよく知られているが, この場合にその下界を達或することは非常にまれであり ([D59], [Wa64], [BK66], [K94], [K96], [KA93], [KA95]), ほとんどの場
合には達或不可能であることもわか合には,$\text{っ}$てきた ([G87], [St85], [St90]).

このことは非逐次の場

指数型分布族の下では多くの場合に達或可能であることに比べて顕著な差異のように思われる. -\rightarrow 方, 逐次推定における Bhattacharyya の情報不等式に関する研究には Seth

[Se49] があるが, そこで与えられた下界は不完全なものとなっている. 最近 Akahira [A95] により, 逐次推定において費用を考慮した場合に, 推定方式に対する漸近的な Bhattacharyya
型の下界と, その下界を漸近的に達或する逐次推定方式が示され, このことは, 非逐次での推定における結果よりも強い結果を導出できるという意味で意義がある. また, Koike [K97] により, 逐次推定の場合に exact な意味での Bhattacharyya 型の下界が与えられ, 逐次二項標本抽出について考察している. ここでは, 仮定する確率分布を自然母数をもつ指数型分布とし, 下界の達或について考える.

2

逐次 Bhattacharyya 型不等式
$X,$ $X_{1},$ $X_{2},$ $\ldots$に関する) 密度関数 $f(x$ , のに従う確に関しての滑らかは実母数とする. ここで密度 $f(x$ , のに関して,を互いに独立にいずれも ( -有限測度$\sigma$

率変数とする. 但し,
さや $f(x$ , のの台, すなわち $A=\{x:f(x, \theta)>0\}$ が$\theta$

件は必要に応じて課すものとする. また,$(k=1,2)$ とするとき,$E_{\theta}[\{\ell^{(1)}(\theta, X)\}^{3}],$$\mu$$\theta$$\theta$と無関係であるといったような正則条$\ell(\theta, x):=\log f(x, \theta),$$\ell^{(k)}(\theta, x):=(\partial^{k}/\partial\theta^{k})\ell(\theta, x)$$I(\theta):=E_{\theta}[\{\ell^{(1)}(\theta, X)\}^{2}],$ $J(\theta):=E_{\theta}[\ell^{(1)}(\theta, X)\ell^{(2)}(\theta,X)],$$L(\theta):=E_{\theta}[\{\ell^{(1)}(\theta, X)\}^{4}],$$M(\theta):=E_{\theta}[\{\ell^{(2)}(\theta, X)\}^{2}]-I^{2}(\theta),$$K(\theta):=$$N(\theta):=$2$\ovalbox{\tt\small REJECT}[\{\ell^{(1)}(\theta, X)\}^{2}\ell^{(2)}(\theta, X)]+I^{2}(\theta)$とし, これらの値が有限確定とする.

また, $n=1,2,$$\ldots$に対して $\mathrm{X}_{(n)}:=(X_{1}, \ldots, X_{n})$ と表わす.
ここで$\tau$

を,となる停止則としたとき, Bhattacharyya 型の情報不等式を正$E(\tau^{3})<\infty$

則な逐次推定における場合に拡張し次の定理を得る.
定理 1(Koike [K97]). g(のを$\Theta$

上で 2 回微分可能な関数,

す) 不偏推\’E 量とする. このとき,$T_{\tau}$の分散$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}(T_{\tau})\geq(g’(\theta)$

但し,$V=V(\theta):=\{V_{ij}(\theta)\}$$V_{11}(\theta)=E(\tau)I(\theta)$$V_{12}(\theta)=V_{21}$($2\cross 2$$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}(T_{\tau})$,g”(の)$T_{\tau}$

を g(のの (正則条件を満たについて次の不等式が成り立つ.

$V^{-1}(g’(\theta)$, g”(の)’行列) とし,,(\mbox{\boldmath $\theta$})=E(\mbox{\boldmath $\tau$}){J(の $+K(\theta)$ }$V_{22}(\theta)=E(\tau)\{-3I^{2}$$+2I( \theta)E\{T\sum_{n=1}^{\tau}\ell^{(1)}(\theta, X_{n})\}$,(の $+L(\text{の}+M(\theta)+2N(\theta)\vdash 2E(\tau^{2})I^{2}$ (の$+4E \{\tau\sum_{n=1}^{\tau}\ell^{(1)}(\theta, X_{n})\}\{J(\theta)+K(\theta)\}+4E[\tau\{\sum_{n=1}^{\tau}\ell^{(1)}(\theta, X_{n})\}^{2}]I(\theta)$とし,$|V|\neq 0$とする. 等号が成立するための必要十分条件は,と b(のがあって$T_{\tau}$

が次を満たすことである:$\theta$にのみ依存する関数 a(の$T_{n}( \mathrm{x}_{(n)})=\frac{a(\theta)}{\prod_{j=1}^{n}f(x_{j},\theta)}\{\frac{\partial}{\partial\theta}\prod_{j=1}^{n}f(x_{j}, \theta)\}+\frac{b(\theta)}{\prod_{j=1}^{n}f(x_{j},\theta)}\{\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}}\prod_{j=1}^{n}f(x_{j}, \theta)\}$$+g(\theta)$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. $\{\tau=n\}$ for all$n\geq 1$

.

(2.1)

(証明略)
注意.

定理 1 の特別な場合として, 確率 1 で$V_{11}(\theta)=nI(\theta),$$V_{22}(\theta)=n$$\tau\equiv n$となるときを考えると,$V_{12}(\theta)=V_{21}(\theta)=n\{J(\theta)+K(\theta)\}$

$V$

の或分は

,

{-3I2(\mbox{\boldmath $\theta$})+L(の十 M(\mbox{\boldmath $\theta$})+2N(\mbox{\boldmath $\theta$})}+2n2I2(のとなる. このとき, 上の $V$ を用いて作られる下界は, 通常 (非逐次の場合のとき) の Bhat-tXh ば狩 a 型の下界に等しくなる (ZX 化 [Z71]).

3

逐次 Bhattacharyya 型下界の達成$\{P_{\theta}\}$を確率空間 $(\Omega, F)$ 上の確率分布族とする. ただしを, 互いに独立に同一分布に従う$(\Omega, \mathcal{F})$$\theta\in\Theta\subset \mathbb{R}^{1}$

上の確率変数列とする.

$X_{1}$とする.

$X_{1},$ $X_{2},$の可測空間を$\ldots$$(\mathcal{X}, B, \mu)$3とする. ただし,$\mathcal{X}\subset \mathbb{R}^{1}$

この節では,る.

$X_{1},$ $X_{2},$

で,

$B$

は

$\mathcal{X}$のBorel 集合族,を$(\mathcal{X}, B)$

上の \sigma -有限測度とすの密度を$\ldots$$\frac{\mathrm{d}P_{\theta}^{X}}{\mathrm{d}\mu}(x)=\exp(\theta x-\gamma_{\theta})$とする. ただし,$\mu$$P_{\theta}(X_{1}\in \mathbb{R}^{1}-\mathcal{X})=0,$

上の実数値関数とする. ここでは,$\theta$$\Theta$は,$x\in \mathcal{X},$$\theta\in\Theta$$\int_{\mathcal{X}}\mathrm{e}^{\theta x}\mathrm{d}\mu(x)<\infty$

なる最大の開区間,

は$\gamma_{\theta}$$\Theta$の実数値関数 g(のの推定問題を Ghosh [G87] に従って考える.
次の正則条件を仮定する.

(i) g(のは $$ 上で 2 回微分可能な, 恒等的に定数にならない の関数である.
はを満たす.
について停止則(ii) 各は g(のの不偏推定方式で $14(T_{\tau})<\infty$ を満たす.
(iii) 推定方式$\theta$$\theta\in\Theta$$\tau$$E_{\theta}(\tau^{3})<\infty$$(\tau, T_{\tau})$

密度の定義から$\mathrm{e}^{\gamma\theta}=\int_{\mathcal{X}}\mathrm{e}^{\theta x}\mathrm{d}\mu(x)$となる.

よく知られているように (例えぼ Barndorff-Nielsen [B78])$\ovalbox{\tt\small REJECT}(X_{1})=\gamma_{\theta}’,$が成り立つ.
て,$V_{\theta}(X_{1})=\gamma_{\theta}’’,$$E_{\theta}(X_{1}-\gamma_{\theta}’)^{3}=\gamma_{\theta}’’’,$

さらに, 第 2 節の垣よ$\ell(\theta, x)=\theta x-\gamma_{\theta}$$E_{\theta}(X_{1}-\gamma_{\theta}’)^{4}=\gamma_{\theta}^{\prime\prime\prime\prime}+3(\gamma_{\theta}’’)^{2}$となるから,$I,$ $J,$ $K,$ $L,$ $M,$ $N$,につい

簡単な計算により$I(\theta)=\gamma_{\theta}’’,$$J(\theta)=0,$$K(\theta)=\gamma_{\theta}’’’,$$M(\theta)=N(\theta)=0$$L(\theta)=\gamma_{\theta}^{\prime\prime\prime\prime}+3(\gamma_{\theta}’’)^{2},$となる. 従って, 定理 1 の Bhattacharyya 型下界の $V$ の或分は
$V_{11}=\gamma_{\theta}’’E(\tau),$$V_{12}=V_{21}= \gamma_{\theta}’’’E(\tau)+2\gamma_{\theta}’’E\{\tau\sum_{n=1}^{\tau}\ell^{(1)}(\theta, X_{n})\}$,$V_{22}= \gamma_{\theta}^{\prime\prime\prime\prime}E(\tau)-2(\gamma_{\theta}’’)^{2}E(\tau^{2})+4\gamma_{\theta}’’’E\{\tau\sum_{n=1}^{\tau}\ell^{(1)}(\theta, X_{n})\}$$+4 \gamma_{\theta}’’E[\tau\{\sum_{n=1}^{\tau}\ell^{(1)}(\theta, X_{n})\}^{2}]$で与えられる.

(2.1) 式より, この下界の達或の必要十分条件は,$\{\frac{\partial}{\partial\theta}\tau\prod_{i=1}^{\tau}f(x_{i}, \theta)\}/\prod_{i=1}^{\tau}f(x_{i}2$$T_{\tau}$

が

, のと

$\{\frac{\partial}{\partial\theta}\prod_{i=1}^{\tau}f(x_{i}, \theta)\}/\prod_{i=1}^{\tau}f(x_{i}$, のの線形関数となる, すなわち

$T_{n}(\mathrm{x}(n))=a_{\theta}(S_{n}(\mathrm{x}(n))-n\gamma_{\theta}’)+b_{\theta}\{-n\gamma_{\theta}’’+(S_{n}(\mathrm{x}(n))-n\gamma_{\theta}’)^{2}\}$$+g(\theta)$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$

.

(3.1)
$\{\tau=n\},$$\forall_{n\geq}1$4である. ただし?

定理 2.

$\mathrm{x}_{(n)}=(x_{1}, \ldots, x_{n}),$定理 1 の下界を$\theta_{0}\in\Theta$$S_{n}( \mathrm{x}_{(n)})=\sum_{=1}^{n}\dot{.}x_{i}$とする. まず, 次が分かる.

で達或する推定方式について, 各$\theta\in\Theta$について$c_{1}S_{\tau}^{2}+c_{2}\tau S_{\tau}+c_{3}\tau^{2}+c_{4}S_{\tau}+c_{5}\tau=c_{6}$が,についてほとんど至るところ成り立つ. 但し,$P_{\theta}$

数で,$a.\cdot(i=1,2, \ldots, 6)$は$\theta$に依存する定. $>0,$ $c_{6}>0$ を満たす.

$\sum_{=1}^{5}.\cdot c_{1}^{2}$(証明) (3.1) 式は,$P_{\theta}$

に関して, ほとんどいたるところ$T_{\tau}=a_{\theta}(S_{\tau}-\tau\gamma_{\theta}’)+b_{\theta}(-\tau\gamma_{\theta}’’+(S_{\tau}-\tau\gamma_{\theta}’)^{2})+g(\theta)$が成り立つことを示している.

$\theta=\theta_{0}$で上式が成立すれぼ任意の定から, g(のは定数関数ではないので,なる
ずに $g(\theta_{0})-g(\theta_{1})>0$ としてよい.
の差を取ると$g(\theta_{1})\neq g(\theta_{0})$$\theta_{1}$$\theta$

で上式が成立する. 仮を選ぶ. ここで一般性を失わ$T_{\tau}$$c_{1}S_{\tau}^{2}+c_{2}\tau S_{\tau}+c_{3}\tau^{2}+c_{4}S_{\tau}+c_{5}\tau=g(\theta_{0})-g(\theta_{1})$となり題意を得る.

1

定理 2 から, 逐次の Bhattachar 禍 a の下界を達或する推定方式では,$S_{\tau}$と$\tau$がある 2 次曲面上に集中していることが分かる. このことは, 逐次の Cram\’er-Rao の下界 (Wolfowiztとの下界) を達或する推定方式では,がある超平面上に集中していることと比べて顕$S_{\tau}$$\tau$

著な差異であるといえる.
ここでは $b_{\theta}=0$ となる場合を考える. また,なわち任意の定理 3.

$\tau$$m\in \mathrm{N}$を,

以下では停止則として狭義の逐次停止則, すについて $P_{\theta}(\tau=m)<1$ が成り立つとする. このとき次が成り立っ.

$I=\{n_{1}, n_{2}, \ldots\}(1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq\cdots)$

適当な正則条件の下で, 定理 1 の下界を$\theta=\theta_{0}\in\Theta$

でのみ正の確率をとる停止則とする.

で達或し,$b_{\theta_{0}}=0$となるための必要十分条件は次の通りである.

( , \beta はある条件を満たす定数),$\alpha$$\{\begin{array}{l}k\mathrm{A}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{|}\mathrm{l}..\tau=\inf\{n\in I...\sum_{=1}^{n}X\dot{.}=\alpha+\beta n\}\oe\not\in\acute{\pi}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{R}..g(\theta)=A+B\alpha(\gamma_{\theta}’-\sqrt)^{-1}ffl_{\mathrm{k}^{\Xi}}^{\mathrm{r}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}..T_{\tau}=A+B\tau \mathrm{a}.\mathrm{e}.P_{\theta}\end{array}$(証明) (十分性) (3.2) 式と Wald の等式 (Chow et al. [CRT56]) より$\alpha-(\gamma_{\theta}^{J}-\beta)E_{\theta}(\tau)$となるので,$E_{\theta}(\tau)=\alpha(\gamma_{\theta}’-\beta)^{-1}$(3.2)$0=E_{\theta}\{S_{\tau}-\tau\sqrt{\theta}\}=$

5を得る. 2 次モーメントに対する Wald の等式 (Chow et al. [CRT56]) から,$\gamma_{\theta}’’E_{\theta}(\tau)=$$E_{\theta}(S_{\tau}-\tau\gamma_{\theta}’)^{2}=E_{\theta}\{\alpha-(\gamma_{\theta}’-\beta)\tau\}^{2}$

Var(\mbox{\boldmath $\tau$})$=\alpha\gamma_{\theta}’’(\gamma_{\theta}’-\beta)^{-3}$,

3 次モーメントに関しては, Koike [K97] の Lemma 22 から

同様に,$E \{\tau-\alpha(\gamma_{\theta}’-\beta)^{-1})\}^{3}=\frac{\alpha\sqrt{}’’}{\gamma’-\underline{\mathrm{e}}ta}+,\frac{3\alpha\gamma^{\prime\prime 2}}{(\gamma-\beta)^{3}}$を得るので, これらを代入すれぼ単純な計算で等号成立が示される.

(必要性) 定理 1 において$\theta$

で下界を達或し, (3.1) 式で$T_{n}=a_{\theta} \sum_{i=1}^{n}\ell^{(1)}$なので,$b_{\theta}=0$

とすると

(3.3)

( , xi)+g(\mbox{\boldmath $\theta$})=a\mbox{\boldmath $\theta$}{Sn(x(n))-n\gamma \mbox{\boldmath $\theta$}’}+g(の$\theta$

Chow et al. [CRT65] より(3.4)$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{\theta}(T_{\tau})=a_{\theta}^{2}E_{\theta}(\tau)\gamma_{\theta}’’$となる. 一方下界は,$(g’,g”) \frac{1}{|V|}(\begin{array}{ll}V_{22} -V_{12}-V\mathrm{l}2 V_{11}\end{array}) (\begin{array}{l}g’g,\end{array})=\frac{1}{|V|}(g^{\prime 2}V_{22}-2g’g’’V_{12}+g^{\prime\prime 2}V_{11})=:v_{\theta}(\geq 0)$

なので,(3.4) 式から

$a_{\theta}^{2}=v_{\theta}/\{E_{\theta}(\tau)\gamma_{\theta}’’\}$, すなわち$a_{\theta}=\{v_{\theta}/E_{\theta}(\tau)\gamma_{\theta}’’\}^{1/2}$を得る. ここで,$P_{\theta}$

が互いに絶対連続なので,(3.3) 式が成立する. 従って,について $E_{\theta}(T_{\tau})=g(\theta_{0})$で$v_{\theta_{0}}\neq 0$を得る.

$v_{\theta_{0}}=0$とするととなってしまう.

$k,$ $m\in \mathrm{N}(k>m)$$\theta=\theta_{0}$で (3.3) 式が成立すれぼ任意の$a_{\theta_{0}}=0$

より$T_{n}\equiv g(\theta_{0})$$\theta$となり, 任意ので$\theta$

これは g(のが定数関数でないことに矛盾するのについて?

$\mathrm{x}_{(k)}\in\{\tau=k\},$ $\mathrm{x}_{(m)}’\in\{\tau=m\}$に対して,(3.3) 式から
$T_{k}(\mathrm{x}(k))-T_{m}(\mathrm{x}_{(m)}’)=a_{\theta_{0}}$を得,$g(\theta_{0})\neq g(\theta_{1})$なる$\theta_{1}\in\Theta${$(S_{k}(\mathrm{x}(k))-S_{m}(\mathrm{x}_{(m)}’))-(k$-m)\gamma \mbox{\boldmath $\theta$}’。}(3.5)

についても同様に$T_{k}(\mathrm{x}(k))-T_{m}(\mathrm{x}_{(m)}’)=a_{\theta_{1}}\{(S_{k}(\mathrm{x}(k))-S_{m}(\mathrm{x}_{(m)}’))-(k-m)\gamma_{\theta_{1}}’\}$

を得る.
$a_{\theta_{0}}$(3.6)

この 2 式を等値して{( (x(k))-Sm(x’(m)))–(k-m)\gamma \mbox{\boldmath $\theta$}’。}$S_{k}$.

$=a_{\theta_{1}}\{(S_{k}(\mathrm{x}(k))-S_{m}(\mathrm{x}_{(m)}’))-(k-m)\gamma_{\theta_{1}}’\}$,

6$(S_{k}(\mathrm{x}(k))-S_{m}(\mathrm{x}’(m)))(a_{\theta_{0}}-a_{\theta_{1}})=(k-m)(\gamma_{\theta_{0}}’a_{\theta_{0}}-\gamma_{\theta_{1}}’a_{\theta_{1}})$

となる.

ここで,

$a_{\theta_{0}}=a_{\theta_{1}}$

とすると,

となるので

$\mathrm{Y}_{0}_{\theta}a_{\theta_{0}}-’\gamma_{\theta_{1}}a_{\theta_{1}}=0$

(3.7)

.

を得る.

$\mathrm{Y}_{0}_{\theta}=\prime f_{\theta_{1}}$これを (3.1) 式に代入すれぼ$T_{k}(\mathrm{x}(k))=a_{\theta_{0}}(S_{k}(\mathrm{x}(k))-k\gamma_{\theta_{0}}’)+g(\theta_{0})=a_{\theta_{1}}(S_{k}(\mathrm{x}(k))-k\gamma_{\theta_{1}}’)+g(\theta_{1})$より,$g(\theta_{0})=g(\theta_{1})$. これは$\theta_{0}$と$\theta_{1}$の取り方に矛盾. よって$a_{\theta_{0}}\neq a_{\theta_{1}}$を得る. このとき(3.7) 式から$\frac{S_{k}(\mathrm{x}_{(k)})-S_{m}(\mathrm{x}_{(m)}’)}{k-m}=\frac{\sqrt{\theta}0a_{\theta_{0}}-\sqrt{\theta}1a_{\theta_{1}}}{a_{\theta_{0}}-a_{\theta_{1}}}=:\beta$( と無関係)$\theta$とおける. よって
$S_{k}(\mathrm{x}(k))-\beta k=S_{m}(\mathrm{x}_{(m)}’)-\beta m$となる. いま,$\{\tau=k\}\cap\{\tau=m\}=\emptyset$より,$\mathrm{a}.\mathrm{e}$$d_{(m)}$$S_{k}(\mathrm{x}(k))=\alpha+\beta k$.

$\{\tau=k\},$ $\{\tau=m\}$を固定して $\{\tau=k\}$ で$\mathrm{a}.\mathrm{e}$$\mathrm{x}_{(k)}$を動かして. $\{\tau=k\}$となる. 以上は各 $k\in I$ について成り立ち, (3.2) 式の停止則の命題が成立する. 次に被推定関数について考える. まず, Wald の等式から$E_{\theta}(S_{\tau})=E_{\theta}(\alpha+\beta\tau)=\alpha+\beta E_{\theta}(\tau)=E_{\theta}(X_{1})E_{\theta}(\tau)=\gamma_{\theta}’E_{\theta}(\tau)$

なので, 任意の$\theta$\iota.\sim\rightarow ついて$E_{\theta}( \tau)=\frac{\alpha}{\sqrt{\theta}-\beta}$が成り立つ. 仮定より,$\mathrm{r}\alpha>0$$0<E_{\theta}(\tau)<\infty,$

かっを得る. 一方, (3.3) 式に$a_{\theta},$\beta \leq in\mbox{\boldmath $\theta$}f%」 または$S_{k}(\mathrm{x}(k))$$\theta=\theta_{0},\theta_{1}$から$\sqrt{\theta}$$\mathrm{r}\alpha<0$は単調増加なのでかっ$\beta\geq\sup_{\theta}\gamma_{\theta}’$

」

を代入して

$T_{n}(\mathrm{x}(k))=g(\theta)+\alpha v_{\theta}+v_{\theta}(\beta-\gamma_{\theta}’)n$となり, ここで, (3.8) 式で$\sqrt{\theta}’>0$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. $\{\tau=n\}$$n=k,m$ ,$\theta=\theta_{0},$$\theta_{1}$(3.8)とした式を等値して$(b_{\theta_{1}}-b_{\theta_{0}})m=a_{\theta_{0}}-a_{\theta_{1}}=(b_{\theta_{1}}-b_{\theta_{0}})k$

(3.9)

7
を得る. ただし,は$a_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$が定数 $A,$$a_{\theta_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}\ovalbox{\tt\small REJECT} g(\theta_{i})+\alpha v_{\theta_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}},$$b_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$b_{\theta_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}\ovalbox{\tt\small REJECT}(\beta-\gamma\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}})v_{\theta_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}(i\ovalbox{\tt\small REJECT} 0,1\ovalbox{\tt\small REJECT} k\neq m$

が定数 $B$ のときのみ成立することが分かる. よって$A\ovalbox{\tt\small REJECT} g(\theta_{i})+\alpha v_{\theta_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}(i\ovalbox{\tt\small REJECT} 0,1)$

より, (39) 式,$v_{\theta_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}}\ovalbox{\tt\small REJECT} B(\beta-\ovalbox{\tt\small REJECT})^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$, すなわち$g(\theta_{i})=A-\alpha v_{\theta}:=A-\alpha B(\beta-\gamma_{\theta}’.\cdot)^{-1}(i=0,1)$となる. (3.3) 式に $g(\theta_{i})=A+B\alpha(\gamma_{\theta}’-\beta)^{-1},$$T_{n}=A+Bn$$v_{\theta_{i}}=B(\beta-\gamma_{\theta}’)^{-1},$$n\geq 1$$\{\tau=n\},$$S_{n}=\alpha+\beta n$

を代入して

,

すなわち
$T_{\tau}=A+B\tau$を得る. ここで,$P_{\theta}$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$. $P_{\theta}(\theta=\theta_{i}, i=0,1)$

は互いに絶対連続なので,$T_{\tau}=A+B\tau$が任意の$\theta$で成立する. よって $T_{\tau}=A+B\tau$ の期待値をとれぼ定理の命題が成立する.

定理 4(Linnik and Romanovsky [LR72], Ghosh [G87]).
$\ovalbox{\tt\small REJECT}(X_{1}\in \mathcal{X}_{c})>0$

ならぼ, 定理 2 の$\tau$

とも 3 つの点で正の確率をもつとき, 定理 2 の$X_{1}$$\mu$が$\mathcal{X}_{c}\subset X$

において連続では $P_{\theta}(\tau=\infty)>0$ を満たす.

定理 5(Linnik and Romanovsky [LR72], Ghosh [G87]).
以上より,

口

$\tau$$\mu$が$\mathcal{X}$において離散型で, 少なく

は $P_{\theta}(\tau=\infty)>0$ を満たす.

が 2 点でのみ正の確率をもつ (Bernoulli 試行) のときのみ考えれぼよい.

こで, 次の二つの停止則を定義する.

$\tau\equiv n(k\in \mathrm{N})$となる停止則$\tau$こを single sampling plan

を inverse(SSP(n)) という. また, $\tau=\inf\{n\in I : \sum_{i=1}^{n}X_{i}=k\}(k\in \mathrm{N})$ となる停止
sampling plan (ISP(k)) という. ここで, SSP(n) は, 狭義の停止則とはならないことに注意.
定理 2 のタイプの停止則が閉であるための条件として, 次の定理がある.
$\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{U}$$\tau$

定理 6(DeGroot [D59]). Bernoulli 試行列に対して, 定理 2 のとなるための必要十分条件は,$\tau$$\tau$

について $P_{\theta}(\tau<\infty)=1$

が SSP(n) または ISP (k) となることである.

この定理から, 閉でない, すなわち,$P(\tau=\infty)>0$

であれぼ,$E(\tau)=\infty$となり, 条件(ii) に反してしまう. 従って, 以下の定理を得る.
定理 7.

$\tau$

を,$I=\{n_{1}, n_{2}, \ldots\}(1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq\cdots)$

適当な正則条件の下で, 定理 1 の下界を分条件は次の通りである.

$\theta=\theta_{0}\in\Theta$

でのみ正の確率をとる停止則とする.

で達或し,$b_{\theta_{0}}=0$$\{\begin{array}{l}\Phi_{\acute{\hat{\grave{\wedge}}}}^{x_{\backslash }\pi}"\Re..P_{\theta}(X_{1}=1)=\frac{\mathrm{e}^{\theta}}{1+\mathrm{e}^{\theta}}=1-P_{\theta}(X_{1}=0)\not\in \mathrm{A}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{l}\mathrm{J}..\tau=\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{P}(k)\mathrm{u}ffl\acute{j\mathrm{E}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\Re..g(\theta)=A+Bk\frac{1+\mathrm{e}^{\theta}}{\mathrm{e}^{\theta}}.ffl_{\hat{j\mathrm{E}}\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{\mathrm{H}}..T_{\tau}=A+B\tau\mathrm{a}.\mathrm{e}.P_{\theta}\end{array}$となるための必要十8
注意

上の定理で,$X$, の取りうる値として$P(X, \ovalbox{\tt\small REJECT} a)\ovalbox{\tt\small REJECT} 1-P(X, \ovalbox{\tt\small REJECT} b)(a\neq b)$

4$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

または 0 としたが, これは本質的ではない.

としても同様の結果を得る.

逐次二項標本抽出への応用
この節では, 逐次二項標本抽出, すなわち, Bernouffi 試行列に対する逐次推測問題について,Bhattacharyya 型下界との関連を例を用いて論じる.
を, 互いに独立に, 共通の或功の確率 をもつ Bernouffi 試行の列, すなわち

$X_{1},$ $X_{2},$$p$$\ldots$

各 $i=1,2,$$\ldots$について, 確率ベクトル $X_{-}=(X_{1}\dot{.},X_{2}.\cdot)$ で次を満たすものとする$P_{p}\{X_{\dot{l}1}=1\}=p$

但し,$X_{j}\dot{.}\in\{0,1\}$$(j=1,2)$ ,,:$P_{p}\{X_{12}.=1\}=q(=1-p)$ ,$X_{1}.\cdot+X_{2}\dot{.}=1,$$(0<p<1)$ とする.

に基づいて決定する
各 $n\geq 1$ について, $X_{n+1}$ 個めの標本を取るか否かを,がランダムになる. このとき, 確率ベクトルと, 標本の大きさ (すなわち停止則)$X_{1},$$\ldots,$$X_{n}$$Z_{\tau}=$$\tau$$(X, \mathrm{Y})=\sum_{n=1}^{\tau}X_{n}$は $p$ に対する十分統計量となる (例えば Ferguson (1967)) ので,$\mathrm{R}\mathrm{a}\infty$に基づいた統計的決定関数のみを考えれぼ良いことになる. また,BlakkweU の定理からをに基づいた停止則のみを考える. 具体的な の決め方は以下のようにする :$Z_{\tau}$$\tau$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\varphi$$\varphi(z)=(\varphi_{1}(z_{1}), \varphi_{2}(z_{2}),$を満たす関数とする. 但し,$\ldots)$はの標本空間上でで各 $n\geq 1$ については 0 または 1 のみの値をとり, 値
は, 統計家が $Z_{n}=z_{n}$ を定義される. さらに,が与えられたとき,の確率関数は観測したときに観測を止める条件付き確率を表す.
$z=(z_{1}, z_{2}, \ldots)$$Z_{n}$$\varphi_{n}$$\varphi_{n}(z_{n})$$\varphi_{n}$$Z_{\tau}$$\varphi$$P_{p}\{Z_{\tau}=(x,y)\}=c(x,y)p^{x}(1-p)^{y}$,となる. 但し, $0\leq c(x,y)\leq(x+y)!/x!y!$ とする. 以下では, 観測を停止する点 $Z_{\tau}=(X, \mathrm{Y})$を境界点 (その全体を境界領域) という.
例 1(Ko 止 e [K97]) (ISP(n)). この場合,(もしくは$NB(k;p)$ に従うので, 非逐次の場合の計算が使えて, 簡単な計算により,$\mathrm{Y}=S_{\tau}$$\mathrm{Y}=\tau-S_{\tau}$

した推定方式 $(ISP(n),T_{\tau})$ が下界を達或することが分かる. 但し,$a,$ $b,$) は負の二項分布$T_{\tau}=a\mathrm{Y}^{2}+b\mathrm{Y}+c$$c$とは定数で $a^{2}+b^{2}\neq 0$を満たす任意の定数とする.
例 2(Koike [K97]). 次の点で停止する停止則を考える: $(\tau, S_{\tau})=(0,3),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(3,0),$ $(1,1)$

この場合, 境界点は $(\tau-3)(\tau+S_{\tau}-3)=0$ を満たすから, 定理 2 の条件を満たしているが, 定理 3 や 7 の停止則の条件を満たしていない.
ここで, 停止則として推定方式$(\tau, T_{\tau})$$\tau$, その期待値 $g(p)$ の推定量として $T_{\tau}=aX^{2}+bX+c$ をとったを考える. 但し,$a,$ $b,$ $c$は定数で $a^{2}+b^{2}\neq 0$ を満たすものとする. このと.

9き, 簡単な計算により$g(p):=E_{p}(T_{\tau})=3ap(2p^{2}+1)+bp(2p^{2}-2p+3)+c$,$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{p}(T_{\tau})=3a^{2}pq(12p^{4}+12p^{3}+24p^{2}+2p+1)+2abpq(12p^{4}+24p^{2}-2p+3)$$+b^{2}pq(4p^{4}-4p^{3}+12p^{2}-6p+3)$ .

となり, さらに分散$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}_{p}(T_{\tau})$と定理 2 の Bhattacharyya 型下界との差は$2p^{3}q( \sqrt{3}a+\frac{b}{\sqrt{3}})^{2}\geq 0$となることが示される. 従って, 「下界達或」$\Leftrightarrow$「 $b=-3a$ 」 を得る.

例 1, 2 から分かるように, そこで与えられた下界達或可能な推定量は, 2 次関数でもよい. このことは, 定理 2 で示したこととは矛盾しないが, 定理 3(もしくは定理 7) で与えた条件がまだきつすぎるものであり,$1b_{\theta}\neq 0$」 の場合には, 下界達或の条件が非常に複雑な形になることが考えられること
が分かる.

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