引張荷重を受ける正方形膜に生じるリンクルの計測と解析
小木曽 望 ∗1
伊藤 亜矢 ∗2
岩佐 貴史 ∗3
梗

概本研究では，軽量宇宙構造としての利用が期待されている膜面構造に生じるリンクルを高精度に予測するために地上計測実験と非線形有限要素法による解析結果を比較する．地上計測実験としては，重力の影響を受けにくいように膜面を垂直に設置した実験装置を開発し，頂点に引張荷重を負荷した正方形膜面に生じるリンクルをレーザー変位計で計測する．その計測結果と MITC シェル要素を用いた擬似分岐座屈解析に基づく非線形有要素法による解析結果とを比較し，解析精度を検証する．それらの比較に基づき，リンクル形状を高精度に推定するための解析モデルについて考察する．

1. 緒論

らに，宇宙空間で利用する大型膜面構造に対しては，地上軽量で収納効率の高い膜材は，ソーラーセイルやインフ実験が困難なことが予測され，シミュレーションによる性レータブルアンテナなどの大型軽量宇宙構造物の重要な構能実証を中心として開発を進めていくことが不可欠となる．

成要素と考えられている．しかし，膜材は曲げ剛性が非常そのため，大型宇宙膜面構造を実現するには，リンクルに小さく，圧縮に対してほとんど抵抗することができない解析の高精度化が必要となる．そこで，本研究では，引張ため，圧縮荷重のもとではリンクルが発生する．膜面に発荷重を受ける正方形膜面構造に生じるリンクルに対して，生したリンクルは，膜構造物の力学特性だけでなく，その実験によるリンクル計測結果と FEM によるリンクル解析運用性能にも影響を与える可能性がある．したがって，膜とを比較し，その差異に対する誤差要因に対して考察する．

面構造物の設計には，リンクルの生じる領域が極力少なくなるような設計を行うことが重要である．

2. リンクル計測実験

膜面に生じるリンクル解析として，秋田らは張力場理論1)に基づいて定式化したリンクル量を提案 し，膜面に生じ2,3)るリンクルを最小化する形状を求めてきた本研究では，膜面に生じるリンクル形状におよぼす重力の影響を小さくするために，膜面を地面に対して垂直に支．他方，この持し，頂点に引張荷重を負荷して膜面に張力を与えてリン手法は，計算量は軽減されているが，張力場理論に基づいクルを計測する．そのために製作した装置を Fig. 1(a) に示ているため，膜面の面外変形を定量的に示すことができないという問題がある．面外変形を定量的に示すことができ
4)

るシェル要素を用いたリンクル解析 と比較することで，最5)適化によるリンクル低減の効果を示している が，十分とはいえない．
最適形状に対するリンクル低減の効果をより正確に示す
ためには，リンクル解析を計測実験により検証することが必要である．模型実験における膜面の面外形状の測定法に
6,7,8)

は，CCD カメラを用いた写真測量法
10)9)や格子投影法 ，静4,11)電容量方式変位計 やレーザー変位計などの非接触式変位計が行われている．いずれの手法においても，地上計測においては，重力や空気の影響を考慮する必要がある．さ12)

す ．この実験装置は，水平度 0.5mm/m, 鉛直アクチュエー
タの鉛直度を 0.1mm/m の精度で調整している．
膜材は厚さ 12.5µm のカプトンフィルム (東レデュポン製，50H) であり，一辺の長さ 400mm の正方形である．この膜材の物性値を Table 1 に示す．頂点 A, B, D は，Fig. 1(b) に示すように，厚さ 25µm，幅 30mm のカプトンテープで補強し，テザーとプーリーを介して引張荷重 (頂点 B,D に 9.8N，頂点 A に 1.96N) を負荷する．底部の頂点 C は，Fig. 1(c)に示すようにテザーを介して，フレームに固定する．なお，これらの頂点において，荷重の偏りやねじり変形を防ぐためにテザーは 2 本用い，テープに取り付けた金具を介して，2 本のテザーを平行に保っている．また，膜面に一様荷重∗1

大阪府立大学大学院 工学研究科 航空宇宙工学分野 准教授 博士 (工学)∗2大阪府立大学大学院 工学研究科 航空宇宙工学分野∗3

鳥取大学大学院 工学研究科 宇宙機械工学専攻 准教授 博士 (工学)Laser displacement sensor
AMembraneTeatherDB
TapeC
WeightMotorized linear actuator
Fig. 2: Wrinkled membrane on experimental equipment(a) Experimental equipment

1.96N

400mm

A

9.8N

D(b) Loaded corner stiffened by Kapton tapeB

9.8N

m0m
4016.6mm
C(c) Fixed cornerFig. 1: Experimental equipment and membrane settingが負荷されるように，金具取付け位置を調整している．
このときに膜面に生じるリンクルの様子を Fig. 2 に示す．

fixFig. 3: Membrane modelTable 1: Memblane property
Young’s modulus E [MPa]2959.6
Poisson’s ratio ν0.34Dimension[mm] 400 × 400
Thickness t[µm]12.5詳細は後述するが，水平方向に貫通する振幅の大きなリンクルが生じ，頂点付近には振幅の小さな短いリンクルが生点 A, C の近傍に生じるリンクルを計測するために，水平じている．

方向に移動させて面外変位を計測する．

リンクル計測には，レーザ−変位計 (KEYENCE 社製， 3. 非線形有限要素法によるリンクル解析
LK-G80，分解能: 0.2µm) を用いる．レーザー変位計を鉛 3.1 幾何学的非線形有限要素解析直方向に移動させるために，一軸アクチュエータ (オリエ本研究では，リンクル解析のための非線形有限要素解析

ンタルモーター社製，EZSM3E060MK) に取り付けている． 法として，FEAP(Finite Element Analysis Program)13)を用いその移動速度を調整することで，0.2mm 間隔で変位を計測 る．シェル要素には，MITC（Mixed Interpolation of Tensorialすることが可能である．また，この鉛直方向一軸アクチュ
エータを水平方向一軸アクチュエータ (オリエンタルモーComponent）シェル要素14)を用いる．MITC 要素の特徴として，以下の 4 点があげられる．

ター社製，EZSM4E050MK) に搭載し，水平方向へも移動レーザー変位計を移動させながら面外変位を計測する．そ1. 薄肉，厚肉双方のシェルに適用でき，薄肉シェル要素においても Locking 現象が生じない．のときの水平方向間隔は 16.6mm とする．また，上下の頂2. 剛体モード以外の虚偽のゼロ固有値を持たない．

ができる．本研究では，Fig. 3 に示すように，鉛直方向に

T2

Set initial displacement(0)i =0
U = UiniA

Evaluate increments

B

T1T140 x 40 meshes-1 (i)∆U = KT R

i=i+140 x 30 meshes

040

Evaluate tangent stiffness matrix
and residual vectorp(i)(i)
KT =R = f − p( U )U u = (i)u30

DUpdate displacement vector
(i+1)
(i)
U = U + ∆U
EndC

Fig. 4: Wrinkle analysis flow, f = p(U)fixed(a) FEM mesh3. 要素のゆがみに対して，解の精度が損なわれない．
4. 要素内の任意の点に対して，ゼロを含む一定ひずみを表現できる．

MembraneForce

これらの特徴は，リンクル現象のような極めて幾何学的非Tape線形性の強い現象を解析するのに適している．
膜面に発生するリンクルは分岐座屈現象の一種であり，(b) Experimental condition at corner

リンクル発生後に別の経路へ移行する不安定な現象である．
しかし，今回の実験モデルでは，載荷によって生じたリン

Fig. 5: FEM model

クルが，載荷とともに形状を大きく変化させるような飛び

端 A に外力 T 2 を与える．このとき，頂点 C では 30mm の移り現象などの不安定な現象は生じないものと考え，解の辺を固定し，その他の荷重負荷頂点には，30mm の辺に対経路を追跡するにあたっては，Newton-Raphson 法を適用すする等価な分布荷重として引張荷重を負荷している．

る．また，解析の収束性を向上させるために Line-Search 法

実験条件を厳密に再現するためには，矩形膜の初期形状を適用する．接線剛性マトリクスを計算する際に各節点でを全視野で計測し，その結果を初期条件に用いて解析を行定義されるディレクターの回転項に有限回転項を考慮するう必要がある ．しかし，本研究の計測実験では矩形膜のことで，解析ステップごとに完全な接線剛性マトリクスを初期形状を全視野で計測することが困難なため，初期不整15)16)計算し ，解析の収束性と安定性を確保している．この解を矩形膜の面外方向に正規乱数で与える疑似分岐座屈解析

析のフローを Fig. 4 に示す．

を採用する．そして，解析の収束性を考慮し，初期不整の
17)

3.2 解析モデル
１辺 0.4m×0.4m，膜厚 12.5µm の矩形膜の頂点部に現れるリンクル形状を求めるために，Fig. 5(a) に示すように，節点数 8241，要素数 8000 で要素分割を行う．また，幅 30mmのテープで補強した領域をモデル化するために，解析モデ
ルでは，Fig. 5(b) に示すように，テープで補強した領域を削除した形状 (厳密には八角形) とする．

大きさは膜厚に対して 1/10 程度となるように設定する ．

4. 計測結果と解析結果の比較
4.1 リンクル分布の比較
膜面全体の実験計測結果を Fig. 6(a) に，解析結果をFig. 6(b) に示す．
実験においては，Fig. 3 に示したように，レーザー変位計を鉛直方向に移動させながら計測した面外変位に，上下要素分割において，中央の正方形部は 40 × 40 の均一なの頂点 A および C 付近だけを水平方向にレーザー変位計を正方形要素とし，各頂点に向かう台形部は 40 × 30 の四辺移動させながら計測した結果を重ね合わせた面外変位を示形要素を用いる．また，頂点に向かっても，四辺形要素がしている．計測結果は，上下の頂点 A および C 付近に凹凸つぶれないように分割幅を変えている．

があるように見えるが，これは，計測ラインが 16.6mm 間

境界条件は，計測実験条件に合わせて，矩形膜の下端 Cを完全固定し，残りの水平頂点 (B, D) に外力 T 1 を，最上隔と広いために生じた作図上の補間による差異であり，実際にはこのような凹凸は存在しない (Fig. 2 参照)．

(mm)
432

10-1-2(a) ExperimentFig. 7: Minor stress distribution by FEM analysis(mm)
41.96NupperA
centerleft1

right1

3

left22right2

left3

right3&1

9.8N

9.8N

B0C fix-1-2lowerFig. 8: Position of compared line segment(b) FEM analysis
Fig. 6: Comparison of wrinkle distributions

さて，実験と解析の両方において，引張荷重の大きな水

Table 2: Comparison of maximum displacement at center-lineExperiment FEM analysis
Positive side
1.853
1.706
Negative side-2.019-2.645平方向にはっきりとした面外変位がみてとれる．さらに，水平方向頂点だけでなく，上下の頂点にも近傍には複数本荷重点近傍に現れる小さなリンクルに対しては，Fig. 9(c),の細かいリンクルが表れている．FEM 解析で得られた最小(d) に示すように，波数は一致しているようだが，リンクル形状が一致しているとは言いがたい．これは，周辺部のたるみ (slack) による変形が影響していると考えられる．

主応力分布を Fig. 7 に示す．リンクルに沿って，最小主応力が負の値をとっており，解析で得られた面外変位はリンクルによるものと判断できる．
なお，実験結果に見られる周辺部の大きな面外変位については後述することとする．

次に，Fig. 8 に示す上下の頂点に近い 2 つの水平線上の面外変位の計測結果と解析結果を Fig. 10 で比較する．鉛直方向の荷重自体が小さいために，上下頂点付近に生じてい次に，Fig. 8 に示す鉛直方向のライン上における面外変るリンクルの振幅は，水平方向頂点 B, D 近傍のリンクル位の計測結果と解析結果を比較する．水平方向荷重点 B, D振幅よりも小さく，複数のリンクルに対してほぼ同じ振幅を結ぶ中央に生じる大きなリンクル形状は Fig. 9(a)∼(d) のとなっている．

それぞれの断面において，実験と解析でほぼ一致している．

実験結果では，周辺部が slack の影響で大きな面外変形

しかし，振幅，周期ともに解析の方が実験よりも大きな値が生じているために，リンクル本数が左右で非対称となっとなっている．Fig. 9(a) 中央部での変位は，Table 2 に示すている．そのために，解析結果とリンクル本数が異なってように，プラス側では実験値と解析値は比較的近い値であいるが，リンクルの振幅，周期ともに，実験と解析でほぼるが，マイナス側ではその差が大きい．

一致している．

4Experiment

Vertical Disp. (mm)Vertical disp. (mm)4FEM

20-2Experiment
20FEM-2-4-40100

200300400Location (mm)

0500

100

44Experiment

Vertical Disp. (mm)Vertical disp. (mm)500(a) Upper(a) Center

20-2100Experiment
20FEM-2-4FEM-40200300400Location (mm)2003004005000100Location (mm)200300400Location (mm)500(b) Lower(b) Right 1
Fig. 10: Wrinkle distributions along horizontal line segment
Vertical disp. (mm)4Experiment

響，(ii) 切断時の塑性変形の影響などを考えてきたが，今2回，膜を詳細に観察したことにより，これらの影響は小さいと判断した．実験に使用した膜面は，幅 500mm のロール0状から，幅方向に平行となるように一辺 400mm の正方形-2に切り出している．その巻きグセの影響が大きければ，対FEM

辺 AB, DC と対辺 AD, BC で異なった傾向が見られるはず-40100200300400500

等しい．また，膜面の切り出しにおいては，膜面の下に薄Location (mm)(c) Right 2

Vertical disp. (mm)4であるが，Fig. 6(a) に示すように，周辺部のたわみはほぼい紙を敷き，その紙が切れないように膜を切り出している
ため，切り出し時に切断面の塑性変形はほとんど生じてい

Experimentないと考えられる．

2他方，Fig. 7 に示したように，周境界付近の応力はほぼゼロで slack 状態にある．このことから，周辺部の初期不0

整や重力の影響により，引張荷重を負荷した際にある種の-2安定状態として，このような形状になるものと考えられる．

FEM

周辺部のたわみは，中央部の大きなリンクルに対しては-40

100200300

400500Location (mm)(d) Right 3
Fig. 9: Wrinkle distributions along vartical line segment

4.2 周辺部のたわみの比較
前節の Fig. 6 からわかるように，解析と実験においては周辺部のたわみの形状が大きく異なっている．実験における周辺部のたわみについて，これまでは (i) 巻きグセの影

ほとんど影響がないと考えられるが，荷重端近傍に生じるリンクルに対しては，Fig. 9(d) に示すように周辺部のたわみの影響を受ける．
解析結果においても，Fig. 6(b) に示すように，周辺部には slack 状態の影響と考えられる変形がみられ，その変形方向は一方向ではなく，不規則となっている．このような変形状態は，乱数で与えた小さな初期不整からの変形によって生じたものと考えられる．
今後は，解析においてはさらに細かい要素分割や高次要素の使用，初期不整の影響などのさらなる検討が必要である．また，現在の計測方法では初期形状の影響をみることができないため，周辺部の影響を詳細に観察できる計測方法を考案することが必要となる．

5. 結論
本研究では，頂点に引張荷重を受ける正方形膜面に生じるリンクルに対して，実験計測結果と FEM 解析によるリンクル分布との比較を行った．実験においては，膜面を鉛直に設置することで，重力の影響を最小限に抑えた状態でのリンクル計測を実現している．解析においては，MITCシェル要素を用いた疑似分岐座屈解析に基づく非線形有限要素解析を採用し，さらに，頂点付近の要素分割を細かくすることで，高精度化をめざした．
解析で得られたリンクル形状と計測実験で得られた面外変形形状に対して，膜面全体の分布は，広い範囲で一致していることを示した．さらに，いくつかの代表的な計測線上での比較を通して，解析で得られたリンクル形状が高い精度で実験結果に一致していることを示した．
また，実験で得られた膜境界部のたわみについて考察し，さらなる高精度化のための課題について述べた．
謝辞
本研究は，宇宙航空研究開発機構宇宙科学研究所の戦略的開発研究費「先進軽量構造システムの研究」からの支援をいただいた．ここに謝意を表する．

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16) Jacobson, M. B., Iwasa, T. and Natori, M. C., Quantifying
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17) 岩佐貴史, 名取通弘, 樋口健, 野口裕久, 円形張力膜のリンクル現象に関する幾何学的非線形解析, 膜構造研究
論文集, No.16, pp. 7-14, 2002.
18) Wong, Y. W. and Pellegrino, S., Wrinkled Membranes,
Part 3: Numerical simulations, Journal of Mechanics ofMaterials and Structures, Vol. 1, No. 1, pp. 63-95, 2006.

Comparison between Experiment and FEM Analysis of Square Membrane Wrinklingunder Tension Load Applied at Corners
Nozomu KOGISO ∗1)
Aya ITO ∗2)
Takashi IWASA ∗3)

SYNOPSIS
This research adresses wrinkle distribution of the square membrane structure by tension loads applied at corners. The measurement system is built as the spuare membrane set in upright position and the wrinkle distribution is measured by using laser
displacement sensor that is set at a horizontal-vertical stage composed of linear actuators. On the other hand, numerical solution
is evaluated through geometrically nonlinear finite element analysis using MITC(Mixed Interpolation of Tensile Components)
shell elements. In comparison of numerical results with wrinkle measurement results, the significant factors that give rise todifference between analysis and experiment is discussed to develop an accurate wrinkling analysis model.
*1)
*2)
*3)

Dr.-Eng., Associate Professor, Osaka Prefecture University
Graduate Student, Osaka Prefecture University
Dr.-Eng., Associate Professor, Tottori University