数理解析研究所講究録
第 1804 巻 2012 年 65-69

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二段階法による正規分布の分散の最小リスク問題
新潟大学自然科学

磯貝英一 (Eiichi Isogai)

Graduate School of Science and Technology,
Niigata University

秋田大学教育文化

宇野力 (Chikara Uno)

Department of Mathematics,

Akita University

1. 問題$X_{1},$ $X_{2},$ $X_{3},$$\ldots$

は独立で次の同一の正規分布に従う確率変数列とする。
$f_{\mu,\sigma}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\} (-\infty<x<\infty)$

ただし，母平均分散$\sigma^{2}$(1.1)と母分散はともに未知である。 ここでは，母の点推定問題を考える。 大きさ $n(\geq 2)$ の無作為標本に対して，$\mu\in(-\infty, \infty)$$\sigma^{2}\in(0, \infty)$$X_{1},$ $X_{2},$ $\ldots X_{n}$$\overline{X}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$とおき，標本分散$S_{n}^{2}$

により母分散および$\sigma^{2}$$S_{n}^{2}= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X}_{n})^{2}$を推定する。 このとき，損失関数として$L_{n}(S_{n}^{2};\sigma^{2})=(S_{n}^{2}-\sigma^{2})^{2}+cn, c>0$を考える。 ここで， は既知の正の定数で，単位標本当たりの観測費用を表ゎす。 リス$c$

クは$R_{\eta}(c)=E\{L_{n}(S_{n}^{2};\sigma^{2})\}=2\sigma^{4}/(n-1)+cn$で与える。 リスクをできるだけ小さくするように母分散問題である。 上のリスクを最小にする標本の大きさ$n=n^{*}=n_{0}+1$ ,となる。 簡単のために$n^{*}$

ここで，$n$$\sigma^{2}$を推定する問題が最小リスクの値は$n_{0}=\sqrt{2}c^{-1/2}\sigma^{2}$(1.2)

を整数とすると，最小リスクは $R_{m}\cdot(c)=2cn_{0}+c$ となる。

$\sigma^{2}$は未知であるため，(1.2) で与えられる最適標本数 は未知であり，実際には利用できない。 そこで，逐次手法を用いてこの問題を考える。
本研究では，過去の経験等から$n^{*}$(1.3)$\sigma^{2}>\sigma_{L}^{2}$となる母分散$\sigma^{2}$の下界$\sigma_{L}^{2}(>0)$

が既知であると仮定して，二段階法を用いる。 Mukhopad-hyay and Duggan (1997) は正規分布の母平均のもとで観測費用$c$の逐次推定問題を考え，(1.3) の仮定が十分小さいとき，二段階法の 2 次漸近有効性を示した。 Aoshima$\mu$and Takada (2000) はこの 2 次漸近有効性を精密化した。 Uno and Isogai (2002) はべき

66の最小リスク問題を考えた。 Mukhopadhyay and Duggan (2001) は指数分布$\lambda>\lambda_{L}(>0)$ となるが既知の下界の尺度母数 の最小リスク問題に対して，$\sigma^{r}(r\neq 0)$$\lambda_{L}(>0)$$\lambda$$\lambda$であることを仮定して二段階法を扱った。本研究では，正規分布 (1.1) の母分散の最小リスク問題に対する二段階法を提案し，観測費用 C が十分小さいとき，リスクの漸近展開を与える。

2. 二段階法(1.2) の$n^{*}$に基づいて，次のような二段階法を定義する。 まず，初期標本数として次を与える。

(2.1)$m \equiv m(c)=\max\{m_{0}, [\sqrt{2}c^{-1/2}\sigma_{L}^{2}]^{*}+1\}$

ここで，$m_{0}(\geq 2)$

標本$X_{1},$$\ldots,$$X_{m}$はあらかじめ与えた整数，$[x]^{*}$に基づいて標本分散$N \equiv N(c)=\max\{m,$$S_{m}^{2}$

は $x$ より小さい最大整数である。 初期を計算し，$[\sqrt{2}c^{-1/2}S_{m}^{2}]^{*}+1\}$

および

(2.2)

$N=M+1$$X_{m+1},$を得る。 この手法では必ずを求める。 次に，二段階目の標本抽出を行い，を用二段階目に少なくとも 1 つの観測を行うのが特徴である。 すべての標本いてを推定する。 このとき，リスクはによって母分散$\cdots,$$X_{N}$$X_{1},$$\cdots,$$X_{N}$$\sigma^{2}$$S_{N}^{2}$$E\{L_{N}(S_{N}^{2};\sigma^{2})\}=E\{(S_{N}^{2}-\sigma^{2})^{2}+cN\}$で与えられる。 最小リスク問題における逐次手法の良さの基準として，次のリグレットを用いる。
$\omega(c)=E\{L_{N}(S_{N}^{2};\sigma^{2})\}-R_{n^{*}}(c)$リグレットの値が小さいほど，逐次手法は良いと見なすことができる。

3. 主結果(1.3) を仮定する。
$T=\sqrt{2}c^{-1/2}S_{m}^{2}, U_{c}=[T]^{*}+1-T$とおき，$\triangle$。

$=-n_{\overline{0}^{1}}E[(U$。

$- \frac{1}{2})\{W_{m-1}-(m-1)\}^{2}]$$W_{m-1}=(m-1)S_{m}^{2}/\sigma^{2}$ は自由度 $m-1$ のカイニ乗分布に従う。とする。 ここで，

Uno and Isogai (2011) により，二段階法 (2.1), (2.2) は 2 次漸近有効性をもつことが分かる。
定理 3.1.

(2 次漸近有効性) $carrow 0$ のとき，$E(N-n^{*})= \frac{1}{2}+O(c^{1/2})$.

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さて，リグレットの 2 次漸近展開は次の定理で与えられる。
定理 3.2.

$carrow 0$のとき，$\omega(c)/c=4+2(\sigma^{2}/\sigma_{L}^{2})+\triangle_{c}+o(1)$,ここで，$|\triangle_{c}|\leq(\sigma_{L}^{2}/\sigma^{2})+O(c^{1/2})$

である。

注．(i)

定理 1 より，$\omega(c)/c>5+o(1) (carrow 0)$ .

Starr and Woodroofe (1972) and Woodroofe (1977) は次の純逐次法を考えた。 ただし，仮定 (1.3) は必要としない。

(ii)$N^{*}= \inf\{n\geq m:n\geq\sqrt{2}c^{-1/2}S_{n}^{2}+1\}$$carrow 0$ として，このとき，$[E\{L_{N^{*}}(S_{N^{*}}^{2};\sigma^{2})\}-R_{n^{*}}(c)]/c=6+0(1)$が成り立つことを示した。 定理 3.2 から，もし 2させるという観点から，純逐次推定方式$S_{N^{*}}^{2}$$(\sigma^{2}/\sigma_{L}^{2})+\triangle_{c}>2$

は二段階推定方式

ならば，リスクを減少より漸近的に優れて$S_{N}^{2}$いると言える。
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$のバイアスは次の定理で与えられる。

定理 3.3.

$carrow 0$のとき，$E(S_{N}^{2})=\sigma^{2}-\sqrt{2}c^{1/2}+O(c^{3/4})$.

定理 3.3 を考慮して，次の偏り補正方式を提案する。
(3.1)$\delta_{N}=S_{N}^{2}+\sqrt{2}c^{1/2}$

偏り補正方式に対するリスクは $E\{L_{N}(\delta_{N};\sigma^{2})\}=E\{(\delta_{N}-\sigma^{2})^{2}+cN\}$ で与えられる。 $-$段階法 (2.1), (2.2) と偏り補正方式 (3.1) に対するリスクの比較を行う。 次の定理から，偏り補正方式に対するリスクは二段階推定方式に対するリスクより 2 つ分の単位$\delta_{N}$$S_{N}^{2}$

標本当たりの観測費用が少ないことが分かる。 従って，偏り補正はリスクを減少させるという意味で効果がある。
定理 3.4.

$carrow 0$のとき，$E\{L_{N}(S_{N}^{2};\sigma^{2})\}-E\{L_{N}(\delta_{N};\sigma^{2})\}=2c+O(c^{5/4})$.

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4. シミュレーション結果を推定する。 (2.1) で $m_{0}=2$ とし，nO 50, すなわ
従って，に対して (2.1), (2.2) の二段階法を 1$c=0.0008,$ $n^{*}=51$ に取って，ち，00 万回の繰り返しを行い，その平均を取った。 表 1, 表 2 において，$L_{2}(c)/c$$-n_{0}^{-1}(U_{c}-2^{-1})\{W_{m-1}-(m-1)\}^{2},$$N,$はそれぞれ，$N(O, 1)$ を考える。

$\sigma^{2}=1$$=$$\sigma_{L}^{2}=0.2,0.4$$\overline{N},\overline{S}_{N}^{2},\overline{\delta}_{N},$$S_{N}^{2},$$\overline{\omega}_{1}/c,\overline{\omega}_{2}/c$$\triangle_{c}-,$$L_{1}(c)/c,$$\delta_{N},$の平均である。 ただし，

and

$L_{1}(c)=L_{N}(S_{N}^{2};\sigma^{2})-R_{n^{*}}(c)$$s(\cdot)$

は推定量$(\cdot)$$L_{2}(c)=L_{N}(\delta_{N};\sigma^{2})-R_{n^{*}}(c)$.の標準誤差を表わす。

これらの表から，下界$\sigma_{L}^{2}$が増加するとき，単位標本当たりの観測費用に対するリグ

レット $\omega(c)/c$ は減少することが分かる。 また，リスクを減少させるには偏り補正が有効であることも分かる。従って，シミュレーション結果により定理の正当性が確認できる。
表 1.

$\sigma_{L}^{2}=0.2,$$\sigma^{2}=1,$$n^{*}=51$$\overline{N} \overline{S}_{N}^{2} \overline{\delta}_{N} \triangle_{c}- \overline{\omega}_{1}/c \overline{\omega}_{2}/c$51.524682

0.951123

0. $991123$

bias ofbias of-0.008877$\overline{S}_{N}^{2}$$-0.048877$$-0.000394$

18.930961

16.043268$\overline{\delta}_{N}$$s(\overline{N}) \mathcal{S}(\overline{S}_{N}^{2}) s(-\triangle_{c}) s(\overline{\omega}_{1}/c) s(\overline{\omega}_{2}/c)$0.023586

0.000217

0.000229

表 2.

$\sigma_{L}^{2}=0.4,$$\sigma^{2}=1,$0.109879

0.104002$n^{*}=51$$\overline{N} \overline{S}_{N}^{2} \overline{\delta}_{N} \triangle_{c}- \overline{\omega}_{1}/c \overline{\omega}_{2}/c$51.515002

0.957132

0. $997132$$-0.000247$

9.127811 6.841029

bias ofbias of$-0.042868 -0.002868$$\overline{S}_{N}^{2}$$\overline{\delta}_{N}$$\mathcal{S}(N) \mathcal{S}(\overline{S}_{N}^{2}) s(\triangle_{c}) s(\overline{\omega}_{1}/c) s(\overline{\omega}_{2}/c)$0.0161550.000212

0.000417

0.084408 0.081057

5. 謝辞
本研究は科学研究費の補助金，磯貝英一 (23540128), 宇野力 (20540102) により行われた。

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参考文献

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