数理解析研究所講究録 1206 巻 2001 年 134-143

134

双曲型空間の平均曲率 1 をもつ曲面の全曲率
山田光太郎

九州大学

(YAMADA Kotaro, Kyushu University)

概要

ユークリッド空間の極小曲面の全曲率は, その曲面の性質を表す重要な不変量である. 特に, 全曲率は, Osserman の不等式とよぱれる (一般的に 2 次
元リーマン多様体に対して成り立つ Cohn-Vossen の不等式より強い) 不等式を満していることが知られている. 本稿では, それに対応する 3 次元双曲型空間の, 平均曲率 1 をもつ曲面 (CMC-I 曲面) の全曲率およひ双対全曲率の概念を紹介し, それらがみたすいくっがの性質を紹介する.

1

極小曲面の全曲率

ユークリッド空間
への向きづけ可能な極小曲面を, リーマン面 $M$ からの共形はめ込み $f:Marrow R^{3}$ によって実現しておく. すると, $f$ は $M$ 上の有理型関数 $f$ と正則 1 次微分形式 によって,$R^{3}$$R^{3}$$\omega$(1.1)$f(z)=2{\rm Re}$$\alpha$,$\alpha:=\frac{1}{2}(1-g^{2}, \sqrt{-1}(1+g^{2}),$ $2g)\omega$

句と, 平行移動の差を除いて表すことができる (Weierstrass 表現公式). ただし, 積
分は $M$ 上の基点
から $z\in M$ に向かう経路につぃてとるものとする. ここで’
$z_{0}$$g:Marrow C\cup\{\infty\}$は,$S^{2}$と $C\cup\{\infty\}$ を立体射影で同一視することで, 曲面のガウス写像と見なすことができる. 式 (1.1) で与えられる極小曲面の第一基本形式,
第二基本形式は, それぞれ$ds^{2}=(1+g\overline{g})^{2}\omega\varpi$,と表すことができる. 正則 2 次微分
ガウス曲率とすると,(1.2)
本稿は, 2$II=-Q-\overline{Q}$$Q$,$Q=\omega dg$

はホップ微分とよぼれてぃる. さらに $K$ を$d \sigma^{2}:=(-K)ds^{2}=\frac{4dgd\overline{g}}{(1+g\overline{g})^{2}}$

1 年 1 月 24 日から 26 日までの期間で開催された数理解析研究所研究集会 「部分”多様体の幾何学」での講演 “Total curvature of CMC-I surfaces inの内容に加筆したもので本稿の内容は, Wayne Rossman (神戸大学), 梅原雅顕 (広島大学) との共同研究の或果$H^{3}$$,\hslash\epsilon_{;}\mathrm{b}$135
は, ガウス写像 \sim こよる$C\mathrm{U}\{\infty\}$上の球面計量 (定曲率 1 の計量) の引き戻しを与えている. 関係式(1.3)$d\sigma^{2}\cdot ds^{2}=4Q\cdot\overline{Q}$はガウスの方程式と同値である. (1.2) より, (1.1) で与えられる曲面 $f$ の絶対全
曲率は

(1.4)
TA(f) $:= \int_{M}(-K)$ dA=g. による $M$ の像の重複を数えたとなることがわかる. ただし,

dA は計量$ds^{2}$$S^{2}$の中での面積から誘導される $M$ の面積要素である.

以下, (1.1) で与えられる極小曲面は, 完備かつ有限全曲率をもつ, と仮定する.
このとき, 次が成り立つ (たとえば Osserman [8] 参照):

・リーマン面 $M$ は, コンパクトリーマン面から有限個の点$(n\geq 1)$ をとり除いたものと共形同値である. 除いた点$\overline{M}$$p_{1},$$\ldots,$$\{p_{1}, \ldots,p_{n}\}$$p_{n}$

は曲面のエンドとよぼれる.

・ガウス写像$g$は・ホップ微分 $Q$ は$\overline{M}$$\overline{M}$上の有理型関数に拡張される.
上の有理型な 2 次微分に拡張される.

とくに, ガウス写像の有理性と (1.4) より,(1.5)

TA(f)=4\pi $\deg g\in 4\pi Z$となることがわかる.

一般に, 有限な全曲率をもつ完備な 2 次元リーマン多様体 $(M, ds^{2})$ の全曲率は(1.6)$\frac{1}{2\pi}\int_{M}(-K)$$dA\geq-\chi(M)$をみたす (Cohn-Vossen の不等式) ことが知られているが, とくに, 完備極小曲面の場合は, さらに強い不等式が成立する:

定理 Ll (Osserman [8, Theorem 93]). コンパクトリーマン面
から $\{p_{1}, \ldots,p_{n}\}$を取り除いたリーマン面 $M$ からへの完備共形極小はめ込み $f:Marrow R^{3}$ の
絶対全曲率は$\overline{M}$$R^{3}$$\frac{1}{2\pi}\mathrm{T}\mathrm{A}(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{M}(-K)$

をみたす. ただし,$\chi(\cdot)$$dA\geq-\chi(M)+n=-\chi(\overline{M})+2n$はオイラー数を表す.

136
この定理の証明の概略を述べよう. 重要なことは「 の次は 」 ということである.
$2$

$1$

(1) Weierstrass 表現 (1.1) のと書ける. ただし,はのユークリッド内積の複素化である. したがって, 完備性よりが成り立つ.
に極をもたなければならず,
各エンド
をとると,

$\alpha$$ds^{2}=\langle\alpha,\overline{\alpha}\rangle$$R^{3}$$\alpha$,$\rangle$は$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}\alpha\leq-1$$p_{j}$(2) いま,$($$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}\alpha=-1$であるとして,$p_{j}$のまわりの局所座標

$z$

を用いて

$(a, b\in R^{3})$$\alpha=[(a+\sqrt{-1}b)\frac{1}{(z-p_{j})}+\mathrm{c}+\ldots]dz$と展開すると, 関係式
より, $|a|=|b|\neq 0,$が成り立つ
はの近傍で 1 価関数を与えない (留数が残ってしが, このとき,まう). これは, $f$ が $M$ からのはめ込みを与えていることと矛盾する. したがって (1 の次は 2!)である.
$\langle a, b\rangle=0$$\langle\alpha, \alpha\rangle=0$${\rm Re} \int\alpha$$p_{j}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}\alpha\leq-2$

上の (特異点をもつ) 計量をもつ, とはが $c|z-p_{j}|^{2\mu}dzd\overline{z}(c\neq 0)$ に漸近することとする. とくにがである.
のまわりで非退化なリーマン計量を与えているならであることがわかる. また,すると, 上に述べたことより,のはにおける分岐の位数に一致する. したがって,(1.2) よりRiemann-Hurwicz の関係式と (1.3) を用いて

(3) いま,$\overline{M}$$d\tau^{2}$

が, 点

$p$

でオーダー

$\mu$

$d\tau^{2}$$d\tau^{2}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}d\tau^{2}=0$$p$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}ds^{2}\leq-2$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}d\sigma^{2}$$\frac{1}{2\pi}$

$g$

$p$

TA(f)=2 $\deg g=\chi(\overline{M})+\sum$ ( の分岐の位数)$g$$= \chi(\overline{M})+\sum_{p\in\overline{M}}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}d\sigma^{2}$$= \chi(\overline{M})+\sum_{p\in\overline{M}}(\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}Q-\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}ds^{2})$$= \chi(\overline{M})+\sum_{p\in M}(\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}Q-\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}ds^{2})+\sum_{j=1}^{n}(\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}Q-\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}ds^{2})$$= \chi(\overline{M})+\sum_{p\in\overline{M}}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p}Q-\sum_{j=1}^{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}ds^{2}$$\geq-\chi(\overline{M})+2n$上の有理型 2 次微を得る. 最後の不等式は, $Q$ がコンパクトリーマン面となることを用いた.
分であることから, $Q$ の位数の総和が$\overline{M}$$-2\chi(\overline{M})$

この証明を見ると, Osserman の不等式 (定理 1.1) の等号が成り立つのは,$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}ds^{2}$$-2$ がすべてのエンドに対して成り立つことが必要十分であることがわかる.

条件をよく調べれぼ, 次が得られる:

この定理 1.2(Jorge-Meeks [4]). 極小曲面が Osserman の不等式 (定理 1.1) の等号をみたすための必要十分条件は, すべてのエンドが十分先では自己交叉をもたな

137
いことである. このことは, 各エンドがカテノイドか平面に漸近することとと同値である.

これと同等の事実が [14] でも示されている. 簡単な証明は, [6] の appendix を参照されたい.
注意 L3. 高次元のユークリッド空間 $R^{n}(n>3)$ の極小曲面 (余次元 $n-2$ ) も,
ワイエルストラス型の表現公式をもつ. この場合も定理 1.1 と同じ不等式が成立する (Chern-Osserman の不等式 [3]). とくに, 等号が成立するのは, 各エンドが,の 3 次元部分空間
ある内のカテノイドまたは平面に漸近することである$R^{3}$$R^{n}$[6].
さらに, 一般に複素半単純リー群 $G$ をそのコンパクト実型 $H$ でわることによって得られる非コンパクト型対称空間 $G/H$ 内の曲面で, ある種の正則性の仮定一「右ガウス写像」が正 一をみたすものに対して, 正則なデータから曲面を定める,
ワイエルストラス型の表現公式が存在する [5]. とくにの場合は,の CMC-I 曲面のとなって, 次の節で述べる
Bryant 表現公式と一致する. また, たとえば持ち上げ (次節参照) がの対角行列からなる部分群に値をもつ場合のみを考えるならぼ,の極小曲面に対するワイエルストラス表現公式が得られる.
このような曲面に対して CMC-I 曲面に対して次節で定義するような, 「双対絶対全曲率」 とよばれる量が定義されるが, これは, Osserman 型の不等式をみたす
ことがわかる [5].
$\mathrm{H}\mathrm{I}\mathrm{J}$$G=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$$H^{3}$$G/H=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)/\mathrm{S}\mathrm{U}(2)=H^{3}$$\mathrm{S}\mathrm{L}(n+1, C)$$R^{n}$

極小曲面の絶対全曲率は$4\pi$の整数倍となるが, さらに Osserman の不等式より,与えられた全曲率をもつ極小曲面の位相型は有限通りしかない. このことから, 小
さい絶対全曲率をもつ極小曲面の分類は意味をもつ. 絶対全曲率が以下の場
合の分類は学部程度の演習問題である (分類結果は, 平面, カテノイド, Enneper曲面) が,
以下の分類が F. Lopez[7] によってなされている.
$4\pi$$8\pi$

2

双曲型空間の平均曲率 1 をもつ曲面

2.1

準備と例

.

3 次元双曲型空間$H^{3}$, 平均曲率 1 をもつ曲面 (CMC-I 曲面) は,$R^{3}$の極小曲面と類似の性質をもつ. とくに, Weierstrass 型の表現公式があることが知られている
リーマン面 $M$ から定曲率 -1 の 3 次元双曲型空間
への共形はめ込み$f:Marrow H^{3}$ の平均曲率が 1 ならば, $M$ の普遍被覆から複素り一群への正則はめ込み $F:Marrow \mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$ が存在して,$H^{3}$$\overline{M}$$\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$$f=FFarrow$,$F^{-1}dF=(\begin{array}{ll}g -g^{2}1 -g\end{array})\omega$

138をみたす. ただし,
る.

$g$

は

$\overline{M}$上の有理型関数,$\omega$は$\overline{M}$上の正則 1 次微分形式であ

ここで,$H^{3}=\mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)/\mathrm{S}\mathrm{U}(2)=\{a^{l}\overline{a}|a\in \mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)\}$と見なしている.

$f$の第一基本形式, 第二基本形式は極小曲面の場合と同様に,$ds^{2}=(1+g\overline{g})^{2}\omega\overline{\omega}$,$II=-Q-\overline{Q}+ds^{2}$,$Q=\omega dg$の持ち上げ,と表すことができる. 以下 $F$ を曲面
を第 2 ガウス写像, $Q$ を
ホップ微分とよぶ.
いま, はめ込み $f:Marrow H^{3}$ のガウス曲率を $K$ とすると $K\leq 0$ が成り立つので, 絶対全曲率$f$$g$

TA(f) $:= \int_{M}(-K)dA\in[0, +\infty]$
は意味をもつ. ただし, dA はから誘導される面積要素である. 極小曲面の場$d\sigma^{2}:=(-K)ds^{2}$合と同様に,
は定曲率 1 の計量を与え,$ds^{2}$$d \sigma^{2}:=(-K)ds^{2}=\frac{4dgd\overline{g}}{(1+g\overline{g})^{2}}$.

が成り立つ.
さらに, 曲面上の点 $f(p)$ を出発して, 平均曲率ベクトル (単位法線ベクトル)を初速にもつ測地線が,の理想境界 H3 $=C\cup\{\infty\}$ に定める点を $G(p)$ とす
ると, $G:Marrow C\cup\{\infty\}$ は正則写像 (すなわち, 有理型関数) となる. これを双曲的ガウス写像とよぶ. 持ち上げ $F=(F_{1j}.):,j=1,2$ を用いれぼ,$H^{3}$$G= \frac{dF_{11}}{dF_{21}}=\frac{dF_{12}}{dF_{22}}$である.
持ち上げが $F$ であるような CMC-I はめ込み $f:Marrow H^{3}$ に対して, $F$ の逆行列に対応する CMC-I はめ込み $f^{\#}:=(F^{-1})(^{\overline{t}}F^{-1}):Marrow H^{3}$ が考えられる. これをもとの曲面 $f$ の双対とよぶ [19]. $f$ の双曲的ガウス写像, 第 2 ガウス写像, ホッ
プ微分をそれぞれ $G,$ $g,$ $Q$ とすれぼ, $f\#$ の双曲的ガウス写像, 第 2 ガウス写像,
ホップ微分は, それぞれ $g,$ $G,$ $-Q$ で与えられる. はめ込み $f\#$ 自体は一般に $M$
上でしか定義されないが, 第一基本形式 $ds^{2\#}=(1+G\overline{G})^{2}|Q/dG|^{2}$の普遍被覆
は $M$ 上 1 価であるから, そのガウス曲も $K\#$ も $M$ 上 1 価な関数となる. したがって,$\overline{M}$$\mathrm{T}\mathrm{A}(f^{\#}):=\int_{M}(-K^{\#})dA^{\#}$

により, 双対絶対全曲率を定義することができる.
極小曲面の場合と同様, 絶対全曲率 TA(f) は, 第 2 ガウス写像の像の球面上での面積を表すのに対し, TA(f#) は双曲的ガウス写像の像の面積を表している.

139
例 21(Horosphere). 持ち上げ $F$ が$F(z)=(_{az}^{1}$

$01)$

:

$(a\in C\backslash \{0\})$$Carrow \mathrm{S}\mathrm{L}(2, C)$

で与えられる CMC-I はめ込み $f=FF:Carrowarrow H^{3}$ を horosphere という. これは完備平坦な CMC-I 曲面で, とくに TA(f)=0 となる.
例 22(Enneper’s cousin [1]). データ $g=z,$ $\omega=adz(a\in C\backslash \{0\})$ で与えられる CMC-I はめ込み $f:Carrow H^{3}$ を Enneper’s cousin とよぶ. この名前は, 同
じデータから Weierstrass 表現 (1.1) によって得られる極小曲面が Enneper 曲面
は 1 対 1 で, その像は球面から 1 点を除いたものなであることによる. とくに,ので, TA(f) $=4\pi$ である. また, 双曲的ガウス写像は $G=a^{-1}\tanh z$ で与えられに真性特異点をもつから, TA(f#)=\infty である.
れ,$g$$\infty$

この曲面の双対は,絶対全曲率が$\infty$かつ, 双対絶対全曲率が$4\pi$

であるような曲面となる.

例 23(Catenoid cousin [1]). 正の数

(2.1)

とすると,

$l$

と,

$F=\sqrt{\frac{\delta^{2}-l^{2}}{\delta}}(_{\frac{}{l}z^{-(\delta+l)/2}}^{\frac{1}{l-\delta+\delta 1}z^{(\delta-l)/2}}$$f=FFarrow$は$C\backslash \{0\}$$g= \frac{\delta^{2}-l^{2}}{4l}z^{l}$から,$H^{3}$$l$l こ等しくない正の整数$\delta$に対して,$\frac{-l)\frac{\delta-l}{(\delta+4l}z}{4l}z^{(l-\delta)/2}(\delta+l)/2)$への完備な CMC-I はめ込みで,$Q= \frac{\delta^{2}-l^{2}}{4z^{2}}dz^{2}$,$G=z^{\delta}$

この曲面は catenoid cousin [1] とよぼれる回転面のときは, 曲面はある catenoid cousin の 重被覆となる.
である. また,
は $M:=C\backslash \{0\}$ 上で 1 価でなく, その普が整数でないときは, $F,$
ここで,
となる.

とくに $\delta=1$ のとき,$\delta\geq 2$$\delta$$l$$g$

遍被覆上でのみ意味をもつ. 一方, $G$ はその定義から $M$ 上の有理型関数である.
この曲面の絶対全曲率は TA(f)=4\pi 1, 双対絶対全曲率は TA(f#)=4\pi \mbox{\boldmath $\delta$} である.
例 24(Warped catenoid cousin [15, 11, 12, 13]). とくにき, (2.1) の $F$ に対して,$F_{b}:=F(\begin{array}{ll}1 -b0 1\end{array})$$l$が正の整数のと$(b>0)$

とおく. すると, $f_{b}:=F_{b}F_{b}:arrow C\backslash \{0\}arrow H^{3}$ は, 例 23 と合同でない CMC-I 曲
面を与える. とくに,
$g= \frac{\delta^{2}-l^{2}}{4l}z^{l}+b$,$Q= \frac{\delta^{2}-l^{2}}{4z^{2}}dz^{2}$である. この曲面を warped catenoid cousin とよぶ.

,

$G=z^{\delta}$

140
2.2

全曲率

以下,

をリーマン面 $M$ から$f:Marrow H^{3}$をその第一基本形式とする. 双対曲面
ると,$ds^{2}$

補題 25([19, 21]). 計量
である.

$ds^{2}$への共形的な CMC-I はめ込み,とすから定まる $M$ の計量を$H^{3}$$f^{\#}$$ds^{2\#}$が完備であることと$ds^{2\#}$が完備であることは同値

以下,は完備とする. このとき, TA(f)<\infty または TA(f#)<\infty ならば,次が成り立つ [1]$ds^{2}$:・リーマン面 $M$ は, コンパクトリーマン面から有限個の点 $\{p_{1}, \ldots,p_{n}\}$$(n\geq 1)$ をとり除いたものと共形同値である. 除いた点は曲面のエンドとよぼれる.
$\overline{M}$$p_{1},$・ホップ微分 $Q$ は$\overline{M}$$\ldots,$$p_{n}$

上の有理型な 2 次微分に拡張される.

上の錐的特異点をも・とくに, TA(f)<\infty なら計量 $d\sigma^{2}=(-K)ds^{2}$ は,はの近くでつ計量に拡張される. したがって, エンド$\overline{M}$$d\sigma^{2}$$p_{j}$$(\mu j>-1)$$\bullet$$|z-p_{j}|^{2\mu_{j}}dzd\overline{z}$に漸近する.

$\mathrm{T}\mathrm{A}(\mathrm{f}^{\#})<\infty$

なら, 双曲的ガウス写像 $G$ は上の有理型関数である.

$\overline{M}$でがいえるが, CMC-I 曲が完備ならぼ, 各エンド
計量面の場合は, さらにとはなり得ないことを示すことができる.
のオーダーが整数であるので, このことから Ossermanの極小曲面の場合はの 1 価性がいえなの不等式が従うことをすでに見たが, CMC-I 曲面の場合はいことから, 計量のオーダーが非整数値をとりうる. したがって,$ds^{2}$$p_{j}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathrm{p}_{j}}ds^{2}\leq-1$$R^{3}$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{p_{j}}ds^{2}=-1$$ds^{2}$$g$$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}_{\mathrm{P}j}ds^{2}<-1$から得られる結論は次のようになる.
定理 2.6([15]).
の完備な CMC-I 曲面の絶対全曲率は Cohn-Vossen 不等式 (1.6) の等号をみたさない$H^{3}$:$\frac{1}{2\pi}\int_{M}(-K)$$dA>-\chi(M)$.

一方, 双曲型ガウス写像は $M$ 上 1 価な正則関数であるから, TA(f#) は整数倍の値をとり, Osserman 型の不等式をみたす:

定理 2.7([19, 2]).

$H^{3}$$4\pi$のの完備な CMC-I 曲面の双対絶対全曲率は$\frac{1}{2\pi}\int_{M}(-K\#)dA\#\geq-\chi(M)+n=-\chi(\overline{M})+2n$をみたす. さらに, 等号が成り立つための必要十分条件は, すべてのエンドが十分先では自己交叉をもたないことである 1.

1[19] では, 等号条件が, すべてのエンドが正則 (すなわち, 双曲的ガウス写像がその点に真性

141
2.3

全曲率が小さい曲面の分類

定理 2.6 と 2.7 により, 絶対全曲率または双対絶対全曲率がある値で上から押さえられていれぼ, その曲面の位相型の可能性は有限個であるので, これらの全曲率が小さい CMC-I 曲面の分類をすることは意味がある. とくに, (双対) 絶対全以下の場合は, 次のように完全な分類ができる.
曲率が$4\pi$

定理 28(Rossman-Umehara-Yamada [11]). 完備 CMC-I はめ込み $f:Marrow$の双対絶対全曲率が TA(f#)\leq 4\pi をみたしているならぼ, $f$ は次のいずれかに合同である$H^{3}$:$\bullet$$\bullet$$\bullet$$\bullet$Horosphere (TA $(f\#)=\mathrm{T}\mathrm{A}(f)=0$ ).
Enneper’s cousin (例 22) の双対 (TA(f#)=4\pi ).

Catenoid cousin (ffiJI 2.3 のうち$\delta=\cdot 1$

であるもの)(TA(f#)=4\pi ).

Warped catenoid cousin (例 24) のうち $\delta=1$ であるもの (TA(f#)=4\pi ).

定理 29(Rossman-Umehara-Yamada [12]). 完備 CMC-I はめ込み $f:Marrow$の絶対全曲率が TA(f)\leq 4\pi をみたしているならば, $f$ は次のいずれかに合同
である .

$H^{3}$$\cdot$$\bullet$$\bullet$$\bullet$Horosphere (TA(f) $=0$ ).

Enneper’s cousin (例 2.2)(TA(f) $=4\pi$ ).

Catenoid cousin (例 23 のうち.

$\delta=1$であるもの) で $l<1$ のもの (TA(f) $=$$4\pi l)$・例 23 のうち $l/\delta<1$ であるもの (TA(f) $=4\pi l/\delta$ ).
$\bullet$

Warped catenoid cousin (例 24)のうち $l=1$ であるもの (TA(f)=4\pi ).

極小曲面の場合, TA(f)\leq 4\pi の場合の分類は簡単な演習問題であったが, CMC1 曲面の場合, と に TA(f)\leq 4\pi の場合 (定理 29) は自明な結果ではない. 実際,$\langle$

絶対全曲率については Osserman の不等式は成立しないので, 定理 26 から曲面の種数 とエンドの数 の組合わせは $(\gamma, n)=(0,1),$ $(0,2),$ $(0,3),$ $(1,1)$ のいずれかになる. (極小曲面の場合, Osserman の不等式から, 可能性は $(\gamma, n)=(0,1),$ $(0,2)$のいずれかである.) このうち, $(0, 3)$ の場合と $(1, 1)$ の場合が存在しない, ということが定理 26 の本質的な部分である.
さらに, [11] では TA(f#)\leq 8\pi の場合, [13] では TA(f)\leq 8\pi の場合の部分的な分類が行われている.
$\gamma$$n$

特異点をもたない) かつ十分先で真性特異点もたないことと同値であることを示したが, [2] の結果
から, 非正則なエンド, すなわち双曲的ガウス写像が真性特異点をもつようなエンドは embeddedにならないことが示されたので, 等号条件はここで述べた形になる.

142
2.4

Cohn-Vossen 不等式より強い不等式

Catenoid cousin は種数 0 かつ 2 っのエンドをもっ完備 CMC-I 曲面であるから, $\chi(M)=0$ となる. この曲面の絶対全曲率はであり,のとき 0 に近づくから, Cohn-Vossen の不等式 (定理 26) は最良であることがゎかる.
一方, 種数 0 かつ 3 っのエンドをもっ完備 CMC-I 曲面の絶対全曲率は, 定理
26 より$2\pi l$$\frac{1}{2\pi}\int_{M}(-K)$$larrow \mathrm{O}$$dA\geq 1$

をみたす. ところが, 定理 29 から, TA(f)\leq 4\pi なる曲面で, 種数 0 で 3 っのエンドを持つものは存在しない. したがって,(2.2)$\frac{1}{2\pi}\int_{M}(-K)$$dA>2$(種数 0 で 3 つのエンドをもつとき)が成り立つ. すなわち, この場合は Cohn-Vossen の不等式は最良ではない.
この事実の一般化として, 次のことが成り立つ:

定理 2.10(Rossman-Umehara-Yamada[12]). 種数 0, エンドの数が $2m+1$$(m=1,2, \ldots)$ の完備 CMC-I 曲面の絶対全曲率は$\frac{1}{2\pi}\int_{M}(-K)$$dA\geq 2m$をみたす.
注意 2.11. さきに見たように, エンドの数が 2 の場合は Cohn-Vossen 不等式が最良である. また, エンドの数が 4 の場合は, 数値計算により, Cohn-Vossen の不等式の下限に十分近い絶対全曲率をもつ曲面が存在することがわかる [13].

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bolic 3-space with low total cumature $II,$ preprint,$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}.\mathrm{D}\mathrm{G}/0102035$

problems for mean curvature[13] W. Rossman, M. Umehara and K. Yamada,
total curvature), preprint,
low(with application to surfaces of
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