P OISSON
Analise appliquée. Mémoire sur l’avantage du banquierau jeu de trente et quarante
Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 16 (1825-1826), p. 173-208<http://www.numdam.org/item?id=AMPA_1825-1826__16__173_0>© Annales de Mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Annales de Mathématiques pures et appliquées » impliquel’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Touteutilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale.
Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

AVANTAGE DU BANQUIER AU 30 ET 40.

ANALISEI73

APPLIQUÉE.

Mémoire sur l’avantage du banquier au jeu de trenteetquarante ;Par M. le B.on POISSON , de l’académie royale des Sciences.
Conseiller au Conseil royal de l’instruction publique.

( Lu à l’Académie des Sciences le 13 mars I820. )L’ÉVALUATIONdes chances, dans les jeux de hasard, a été l’origine
du calcul des probabilités, et l’objet des problèmes résolus d’abord par
Pascal, Fermât, Huyghens et les autres géomètres qui se sont les
premiers occupés de ce calcul. Ceux qui les ont suivis dans cette carrière, et particulièrement M. Laplace, ne se sont pas bornés à résoudre des problèmes de cette nature ; ils ont étendu les applications dece calcul à des questions d’un plus grand intérêt ; et la théorie
des probabilités est devenue une des branches les plus importantes dessciences mathématiques. Mais, parmi les nombreuses questions , d’espèces si différentes , qui dépendent de cette théorie , il en existe unequi n’a point encore fixé l’attention des géomètres , ou , du ruoins,
je n’ai vu nulle part qu’ils se soient occupés du calcul des chances,dans le jeu connu indifféremment sous le nom de trente et quarante ou sous celui de trente et un. A la vérité, on trouve dansl’Encyclopédie , par ordre de matières , à la suite de la description de ce jeu , une évaluation numérique des chances qu’il présente ,Tom. XYI n.0 VI , i.er décembre I825. 23

AVANTAGE DU BANQUIER
mais , avec un peu de réflexion , on s’assure aisément de l’inexac-

I74

principe sur lequel ce calcul est fondé. Cependant letrente et un étant le jeu auquel ou expose annuellement le plus
d’argent dans les jeux publics, il serait utile de reconnaître
à priori l’avantage des personnes auxquelles la ville de Paris concède le privilége exclusif de ces jeux. Cette question d’ailleurs , parla complication des conditions du jeu , est un des problèmes deprobabilité les plus curieux qu’on puisse se proposer. La plupartde ces problèmes se résolvent, comme on sait, par des méthodes
uniformes, fondées sur l’intégration des équations aux différences
finies et partielles; mais3 dans la question dont il s’agit ici, on netarde pas à reconnaître que l’usage de ces équations ne pourrait
itre d’aucun secours, et l’on est obligé , pour la résoudre , de recourir à de nouveaux moyens. Ceux que j’ai employés, dans ce
mémoire , m’ont conduit à des formules dont le développement ,suivant les puissances d’une ou de plusieurs variables, fera contitude du,,les chances du trente et quarante que l’on voudra
déterminer; de la même manière que, dans des questions moins
compliquées , le développement de la puissance d’un binome, ou
d’un polynome composé de plus de deux termes, sert à trouver
la probabilité des événemens composés , d’après celle des événemens simples. La
conséquence principale que j’en ai déduite est
qu’au jeu du trente et quarante, l’avantage du banquier est à trèspeu près égal aux onze millièmes de la somme des mises, ou ,autrement dit, qne, dans une très-longue suite de coups , celui
que l’on nomme refait de trente et un, et pour lequel le banquierprend la demi-somme des mises, doit revenir , à très-peu près,vingt-deux fois pour un millier de coups ; la probabilité de cetteproportion pouvant approcher de la certitude d’aussi près qu’on
volidra , en prolongeant le jeu convenablement.

naîtretoutesLe jeu de trente et quarante se joue avec six jeux de cartes
complets formant en tout 312 cartes. Les figures comptent pouri.

AU TRENTE ET QUARANTE.
I75
lecartesnomlesasetchacunedesautresdix,
pour
pour un ,bre de ses points. Toutes les cartes étant mêlées, on tire successivement une, deux, trois , ..... cartes, jusqu’à ce que la somme
des points des cartes tirées ait passé trente ; et l’on s’arrête aussitôt qu’elle a dépassé cette limite. On fait ensuite un second tirage, semblable au premier c’est-à-dire que l’on tire de mêtne,les cartes restantes, une deux , trois,
cartes;, jusqu’à ce
que la somme de leurs points ait surpassé trente. L’ensemble deces deux tirages forme cequ’on appelle un coup. Après le premieronunensecond, de la même manière , avec les carcoup,joue
tes restantes ; après celui-ci un troisième ; et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait épuisé Il totalité des cartes que l’on avait d’abord.
Quand ces 312 cartes sont tirées , ou bien, quand il n’en reste
pins assez pour faire un coup complet, on a achevé ce qu’on appelé une taille ; et le jeu peut ensuite recommencer , suivant les mênies règles, avec les mêmes ou d’autres cartes.
sur......

Puisque l’on s’arrête , dans chaque tirage , dès qu’on a dépassétrente, et puisque 10 est le plus haut point qu’une carte puisse amener, il s’ensuit que chaque tirage ne peut présenter que 10 points
différens , dont le plus petit sera 3 i et le plus grand 40. En ajoutant les points de toutes les cartes qui composent six jeux complets,
la somme est égale à 2040. Chaque coup employa au plus 80 et
au moins 62 de ces points ; le nombre des coups qui composeront
et 2040 62,
une taille entière sera donc toujours compris entre

2040 80ou

entre

25 et 32.

qu’un coup soit commencé chaque joueur parie contre
le banquier, pour l’un ou l’autre des deux tirages dont ce coupsera composé. Le tirage qui amène le plus petit point , ou le moinséloigné de trente , est celui qui gagne. Le banquier paye aux joueurs
qui ont parié pour ce tirage une somme égale à celle qu’ils ont
jouée, et il prend les mises des joueurs qui ont parié pourl’auAvant,

DU BANQUIER
deux
les
Si
tirages amènent des points égaux , ettirage (*).
40 et 40 , lesupérieurs à 3i , comme 32 et 32 , 33 et 33,
coup est nul : le banquier ne paye ni ne reçoit rien pour ces sortes de coups ; de sorte que s’il eu était de même pour le coup
3I et 3I , le banquier n’aurait évidemment aucun avantage, et lejeu serait parfaitement égal entre les joueurs et lui. Maislorsqu’ilarrive ce qu’on appelle un refait de 31 , ou autrement dit, si lesdeux tirages d’un même coup amènent ce nombre , le coup n’est
pas réputé nul , et le banquier prend la moitié des mises de tous
les joueurs. L’avantage du banquier au jeu de trente et quarante,
est donc égal , pour chaque coup , à la demi-somme de toutes lesmises , multipliée par la probabilité du refait de 3 l, relative à
ce coup. Ainsi, l’objet principal de ce mémoire consiste à déterminer cette probabilité. Mais nous allons , auparavant , résoudre
plusieurs problèmes de hasard qui n’avaient point encore été traités jusqu’ici, et dont cette détermination rie sera plus qu’une ap-

AVANTAGE

I76

tre

....

plication particulière.
renferme xi boules portant le numéro i , x2 boules portant le numéro 2, X J boules portant le numéro 3 , ...".. ,enfin xi boules portant le numéro i , le plus haut de tous ceux
dont les boules sont marquées ; on tire successivement une, deux ,trois,
boules, sans les remettre dans l’urne, après qu’elles
2.

Une

urne

......

(*) Communément , pour plus de commodité , les joueurs, qu’on appelleaussi les pontes, placent leurs mises sur le bord de deux cartons circulaires ,l’un noir, répondant au premier tirage de chaque coup, et l’autre rouge,répondant au second; et de là vient que, dans quelques localités , le trente
et quarante est aussi appelé la rouge et noire, et qu’on dit parier pour lacouleur noire ou pour la rouge, suivant qu’on parie pour le premier ou
pour le second tirage.
J. D. G.

AU

en sont

TRENTE ET

QUARANTE.
177
sorties ; cette suite de tirages se continue, jusqu’à ce quela somme des numéros amenés par les boules ait atteint ou surpassé un nombre donné x : on demande la probabilité que cettesomme sera égale au nombre x ?
Soit s le nombre total des boules contenues dans l’urne ; en sortequ’on ait

ai , des nombres entiers ou nuls,
moindresrespectivement
que xI , x2 , x3 , ..... xi , ou qui leursoient tout au plus égaux : et faisons aussi

Désignons par a1 , a2 , a3 ,.....

Par les premières règles du calcul des probabilités , si l’on fait unnombre n de tirages successifs, sans remettre les boules dans l’urne,
la probabilité d’amener d’abord uj boule n.· I , ensuite a2 boules
n° 2, puis a3 boules n.° 3 .... , enfin ai boules n.° / i , sera ex-

priniée paradoptant, en général , avec quelques géomètres pour la commodité typographique l’expression k’, comme le symbole de 1.2.
3 .... k. Pour en déduire la probabilité d’ametier, dans un ordre
quelconque, en n tirages, a, bo’ules n.° I , 0,. boules n.° 2, a,boules n 0 3,
ai boules n.° i, il faudrait multiplier cette quantité par le nombre I.2 3.... n de permutations dont sont suscepti-.
en

....

numéros amenés , si tous ces numéros étaient différens; mais, à cause que les numéros égaux ne doivent pas êtrepermutés entre eux , il faudra multiplier la probabilité
ment obtenue seulement par

bles lesnprécédem-

AVANTAGE

I78

ce

DU

BANQUIER

qui donnera un produit qui pourra s’écrire ainsi

Or, en intégrant , depuis y=o jusqu’à y=I , on aen

faisant donc, pour abréger

observant qne la somme des exposans aI , da, a3 , ..... aiégale à n , ce produit deviendra doncetest

La somme des numéros amenés par cette suite de tirages sera aI +2a2 +3a3+....+ia ; or , d’après l’énoncé du problème cettesomme doit être égale à x ; la probabilité demandée par cet énoncé
sera donc égale à la somme des valeurs que l’on déduira de l’expression (s+I)(I-y)sYdy. en y donnant aux nombres aI , a2 ,ai , toutes les valeurs, y compris zéro, qui satisfont à l’équaa3 ,
tion
.....

AU TRENTE ET QUARANTE.
I79
si
nons
Donc,
désignons par YI la somme de tuutes les valeursde Y qui répondent 1t à ces valeurs de a, ,a2 , a3 ,
ai , et par,,",

X la probabilité demandée, nous aurons

Maintenant, prenons une indéterminée t, et supposons qu’on fasseleproduit des séries suivantes :si l’on ordonne ce produit par rapport aux puissances de t, il estévident , d’après la forme de Y, que la somme YI des valeurs decette quantité ne sera autre chose que le coefficient de ix dans lasérie qu’on obtiendra ; d’ailleurs, les i facteurs du produit sontles développemens des puissances

donc, à cause de xI+x2+x3+.... +xi=s, YI sera le coefficientde tx , dans ledéveloppement du produit

DU BANQUIER
etprobabilité X sera aussi le coefficient de lx
dans le développement de

AVANTAGE

180

par conséquent , lal’intégrale étant prise, comme précédemment , depuis y=o jusqu’à y=I.
3. Pour résoudre le même problème par le moyen des équations
aux différences finies, j’observe que la probabilité demandée est une
fonction du nombre x et des nomhres x1 , x2 , x3 ,x1 , etlalepremier tirage,
désigne
je
Après
.....

par Zx , x1 , x

cette fonction

.

.....

xi

deviendra l’une des quantitéssuivant que la boule sortie portera quelqu’un des numéros I , 2 ,3,i , respectivement. Les probabilités de ces événemens sontd’ailleurs respectivement......

ior, ilestévident que la

probabilité

avant

le

premier tirage

est

AU

TRENTE ET

181

QUARANTE.

égale à la somme des probabilités qui auront lieu après , multipliées
chacune par la probabilité de l’événement auquel elle répoud : c’est
ce principe qui sert à mettre en équation la plupart des problèmes de probabilité ; et, dans la question présente , il en résulte
que nous aurons

Le même raisonnement

montreque , si l’onax= a , a étant

plus petit que i , on aura

Tom. XVI.

24

AVANTAGE DU BANQUIEREn comparant cette équation à la précédente , on voit que , pour
182

qu’elle y soit comprise et pour que l’équation (I) subsiste , pourx i , il est nécessaire de supposer la fonction Z égale à l’unité, quand x=o, et nulle , pour toutes lesvaleurs négatives de x plus petites que i , abstraction faite du signe,
toutesles valeurs dequelles que soient d’ailleurs les autres variables x, , x2 , x3 , ...xi.
Cela étant , en faisant successivement x=I , x=2, x=3, ..... ,dans l’équation (1), on en déduirax;-i , ......, à lala première de ces équations ,mettant aussi successivement xI2013I, x22013I,

place de xI 2 x2 , x3 ....., danson pourra ensuite éliminer les quantités,contenues

dans les autres , et Yon aura

AU

et

TRENTEET

QUARANTE.

I83

de même, au moyen de celles-ci, on obtiendrait

ainsi de suite,
De cette manière, on calculera aisément la probabilité demandée,lorsque x sera un petit nombre ; mais le calcul deviendra impraticable, dès que ce nombre sera un peu considérable ; et il faudra
alors recourir à l’intégrale générale de l’équation (i). Cette équation
linéaire a ses coefficiens friables ; néanmoins , si l’on multiplie tons
ses termes par s, ses coefficiens ne renfermeront les variables qu’all
prernier degré ; circonstance d’après laquelle il sera possible d’intégrer l’équation (ï) par le moyen des intégrales définies. Mais
cette méthode ne conduirait que très-difficilement à la solution duproblème que nous nous sommes proposé; c’est pouquoi nous nons
bornerons à vérifier que la solution que nous avons trouvée satisfait à l’équation (I)et

4 Soit, pour y parvenir,

03A3 indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs entièreset positives de x , y compris x=o, et jusqu’à x=~. Les valeursDU BANQUIER(le la fonction Z qui repondent à des x négatives étant nulles, d’après
ce qu’on a dit plus haut, on aura

I84

AVANTAGEi’ étant un nombre entier et positif; et, à cause que cette fonction
il est égale à l’unité quand x=o, le premier terme de la fonction T
sera aussi égal à un. Si donc nous multiplions l’’équation (i) partx, que nous donnions ensuite à x toutes les valeurs comprises depuis .x= 1 jusqu’à x=~, et que nous fassions la somme de toutes les équations
qui répondent à ces valeurs , nous aurons pourrésultat.

D’ailleurs , en ayant égard à l’expression de X , trouvée à la fin
du n.° ir , et qui doit aussi être la valeur de la fonction Z, onvoit qu’on doit avoir

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

185

l’intégrale étant prise depuis y=o jusqu’à y = 1 ; la question consiste donc à vérifier que

cettevaleur de la fonction T satisfait àl’équation (2) , quelle que soit la variable /.
Or, je faiset, pour abréger,l’équation précédente devientl’intégrale devra être prise depuis u=o jusqu’à u=~. En mettant successivement, dans cette équation précédente xI2013I, x22013I ,xi2013I à la place de xI , x2 , x3 ,xi , et, en mêmex32013I,
s2013I à la place de s, on aura
temps,
et

.....

.....

mais , en différentiant U par rapport à u , on a

I86

AVANTAGEet, si l’on compare
clut facilement

cette

DU

BANQUIER

équation aux précédentes , on en con-

Au moyen de ces résultats, l’équation (.2) devientmais , en intégrant par parties , il vientà la limite u=o, ou a

U=I ; à la limite u=~, on a

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

I87

parce que U est le produit de s facteurs du premier degré par rapport à u; on aura doncceqUI rend identique l’équation (3) qu’il s’agissait de vérifier.

5. Maintenant, proposons-nous ce second problème : les mêmes
choses étant posées que dans le premier, on fait une première
suite de tirages que l’on continue jusqu’à ce que la somme desnuméros amenés ait atteint ou surpassé le nombre x ; ensuite ,sans remettre les numéros sortis , on fait une seconde suite de tirabes , que l’on prolonge jusqu’à ce que la somme des numéros
amenés ait de même atteint ou surpassé un nombre aussi donnéx’ , on demande la probabilité qu’on obtiendra, à la fois, la sommex, dans la première opération , et la somme x’ , dans la seconde ?
Comme dans le premier problème, la probabilité d’amener , dansla première suite de tirages et dans un ordre quelconque , aI boules n.° i , a2 boules n.° 2, a3 boules n.° 3
ai boules n.° i,
.....

se.a

exprimée parévénement ayant eu lieu , la probabilité d’amener à la seconde
suite de tirages, aussi dans un ordre quelconque, bI boules n.° I ,b2 boules n.° 2 , b3 n.° 3,
bi boules n.° i, zB sera
cet

....

188

AVANTAGE

DU

BANQUIER

désignant respectivement par n et n’ les nombres de numéros
qui composent le premier et le second tirages , c’est-à-dire , enen

faisant

La probabilité de la succession de ces deux événelnens l’un à l’autre sera le produit des deux probabilités qui leur correspondent ,lequel produit pourra s’écrire ainsi

or ,

en

intégrant depuis y=o jusqu’à y= 1 , et depuis z=o jusqu’à

z=I, nous avonsde plus en. faisant 03B1=I , après la différentiation , nous avons aussice

qui change la dernière équation en celle-ci

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

et, au moyen de ces valeurs et de celles deproduit sera égal à

en

n

et

189

n’, le précédent

faisant , pour abréger

ou l’on désigne par Xm , en général , le produit

l’indice m étant un des nombres compris depuis iL’énoncé du problème exige que l’on ait

jusqu’à i.

donc, si l’on donne aux nombres entiers positifs aI , a2 , a3 , ...
bi, tontes les valeurs possibles qui satisfont
ai ,bI , b2 , b3 ,à ces - conditions, qu’on appelle PI la somme des valeurs correspondantes de P , et p la probabilité demandée par ce même énoncé ,....

on auraTom. XVI.

25

AVANTAGE DU BANQUIER
Mais, t et 03B8 étant deux indéterminées différentes, on peut reI90

garder Xm comme le coefficient du produit tmem. 03B8mbm, dans le développement de la puissanced’où l’on conclut que PI

sera

le coefficient de tx03B8x’, dans le dé-veloppement du produit

ordonné suivant les puissances et produits de puissances de t et 9 ;donc enfin, à cause de s=xI+x2+x3+.....+xi, la
p , qu’il s’agit de déterminer sera le coefficient de tx03B8x’, dans ledéveloppement de cette quantité

probabilité

qu’on doit faire 03B1=I, après la différentiation indiquée, et prendre les intégrales depuis y=o et z=o, jusqu’àense souvenant

y=I etz=r.

Si, au lieu d’une ou de deux suites de tirages, comme dansle premier ou le second problème que nous venons de résoudre,
il y en avait trois ou un plus grand nombre, l’analise précédente conduirait à la solution de la question; mais il suffit à l’objet principal de ce mémoire d’avoir considéré le cas de deux suites detirages, qui est en effet celui que présente le trente et quaratne,d’après les règles de ce jeu , énoncées plus haut.

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

I9I

6. Pour appliquer la solution du second problème au calcul desdifférentes chances du trente et quarante , il suffit de remplacer lesboules numérotées que nous avons considérées par des cartes qui porteront les numéros marqués par leur nombre de points , lesquelss’étendront, par conséquent, depuis ijusqu’à 10 ; les figures comptant pour ce dernier nombre. On aura, par exemple, la probabilité du refait de 31 , à un coup quelconque de ce qu’on appelle une taille , en faisant x=x’=3I , et prenant pour xI, x2 ,X3 ,xi , les nombres de cartes de chaque espèce qui ne sontsorties
aux coups précédens ; en sortepas
que cette probabilité ,et l’avantage du banquier qui en dépend , varieront d’un coup à
un autre d’une même taille, à raison des cartesdéjà sortes. Mais
il est important d’observer que, pour déterminer l’avantage du banquier, avant que le jeu commence , c’est-à-dire , la fraction de chaque mise qu’on devrait lui abandonner pour qu’il renonçât à cetavantage pendant toute la durée du jeu, il suffit de calculer la probabilité du refait de 3I, au premier coup seulement , ou quand
les six jeux de cartes avec lesquels on joue sont encore complets.
En effet , lorsque ces cartes ont été mêlées , s’il existe une chancequelconque pour qu’un événement A arrive au premier coup etun événement B à un autre coup , au dixième , par exemple ; ily a exactement la même chance pour que l’événement B arrive
au premier coup et l’événement A au dixième ; car on peut former un autre arrangement de toutes les cartes , qui ne diffère decelai que le hasard a donné qu’en ce que les cartes qui sortent
au premier coup sont remplacées par celles qui sortent au dixième
et vice versâ ; et , comme ces deux arrangemens sont également
possibles , il en résulte qu’avant que le jeu commence la probabilité d’un refait de 3I est la même pour le premier coup, pour ledixiè1ne , ou pour tout autre coup. Elle ne varie, pendant la durée
du jeu, que pour les joueurs qui ont la connaissance des cartes sorties ; mais un joueur qui ne ne les connaîtrait pas devrait parierla même somme à tous les coups ,pour l’arrivée d’un refait de 3r.
......

AVANTAGE DU BANQUIER
192
Cette considération fort simple rend possible la détermination del’avantage du .banquier, en la réduisant au calcul de la seule chancequi a eu lieu au premier coup. Observons aussi qu’on pourrait déterminer cet avantage, en calculant la probabilité du refait de 3I,
à un autre coup choisi à volonté ; mais il faudrait faire une hypothèse sur les cartes sorties aux coups précédens, et multiplier
la probabilité qu’on trouverait par celle de cette liypothèse cequi rendrait le calcul extrêmement compliqué.
7. Au premier coup, que nous nous bornons à considérer, lesnombre de 3I2 ; les neuf premiers nombres xI,x2 ,x3 ,x9 , sont tous égaux à 24; le dixième seul XI0 est difet
férent , quadruple de chacun des premiers. Ainsi , il faudra fairecartes sont au.....

Soient de plus , pour abréger s

ensuiteet, enfin,

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

I93

où l’on fera 03B1=I , après ladepuis y==oetdifférentiation , en intégrant ensuite
z=o, jusqu’à y=I et z=I. La question se ré-duira à calculer le coefficient de

t3I03B83I, dans le développement desuivant
lespuissances et produits de puissances
quantité U,
de t et 9. Le nombre des facteurs de Y, et la grandeur de leurs
exposans, rendraient impraticable le calcul rigoureux de ce coefficient ; mais on peut réduire l’inégrale fYdy " en une série convergente au moyen de laquelle oii obtiendra , à tel degré d’approximation qu’on voudra, la valeur du coefficient demandé.
Pour cela, soit
cettenous aurons

et, par

une

suite

les indices o etid’intégrations par parti es , nous en conclurons

indiquant respectivement qu’il faut faire y==o

; après différentions. Cette série est une de celles que M.
Laplace a donné , pour calculer par approximation , les intégrales
et y=I

AVANTAGE DU BANQUIER
I94
nombres. Il est aisé de s’assurer
des fonctions degrandsque laneàdonneraitenlaseconde partie , qui répond
y=I,
déveloplesdesuivantet
det et (),
puissances
puissances
produitspantque des termes dans lesquels la somme des exposans de ces va-

riables surpasseraient xI+2x2+3x3+ .....+I0xI0 ; en sorte quenous devons en faire abstraction dans la question présente ; donc,à cause de Yo=I , nous aurons simplementi

Nous aurons aussi

Si donc nous développons le dénominateur de cette expression suivant les puissances de y, et que, m étant un nombre quelconque , nous fassions

il en résultera

et , en substituant cette valeur dans celle de fYdy , on trouvera

A cause du nombre et de la

grandeur des quantités xI , x2 ,

AU

TRENTE ET

QUARANTE.
I95
lesrenferment
,
,
Z2
,
x3 ,
qu’ellesZ
expressions ZI
ont de grandes valeurs, et toutes du même ordre de grandeur,..... XI0 ,....

d’où îl résulte quesérie est très-convergente y du moins dansses premiers termes ; car les coefficiens numériques
qui se trouvent
à leurs numérateurs croissent indéfiniment , et Unissent par rendre
cette série divergente. Mais, en s’en tenant à la partie dans laquelle elle est convergente on aura une expression très-approchée
defYdy; et , si nous nous bornons d’abord à sorl premier termecettenous aurons

pour la valeur correspondante de U.
La valeur de Z est la même chose queIenfaisant, pour abréger,Si on la substitue dans U, et que l’on y fasse 03B1=I, après avoir
effectué la différentiation indiquée, on aura

et enintégrant, depuis z=o jusqu’à z=I , il vient

AVANTAGE DU BANQUIER
les
deux
Or ,
symboles T et 0398 représentant des fonctions semblables de t et 9, les coefficiens des mêmes puissances de leurs varialeles respectives seront les marnes dans les développe mens des deux

I96

puissances

désignant donc par k le coefficient de t3I , dans le premier desdeux développemens, et appelant p la probabilité du refait de 3I,
ou le coefficient de t3I03B83I, ddns ledéveloppement de U, nous
auronsde sorte qu’il ne reste plus qu’à calculer la valeur numérique decoefficient k.

ce

8. Avant d’effectuer ce calcul y nous observerons que la quantité
k serait la probabilité de 31 simple, et, par couséquent, k2 celledu refait de 31, si l’on remettait les cartes dans lejeu , à mesure
qu’elles sortent. En effet , dans cette hypothèse , il est aisé de voir,d’après la théorie des combinaisons que la probabilité d’amenerune somme donnée x, dans un nombre déterminé m de tirages
successifs., n’est autre chose que le coefficient de tx , dans le dé-veloppement de la puissanceou

de Tm sm ; par conséquent , la probabilité d’amener cette mêmenombre quelconque de tirages sera. le coefficient de
tn dans le développement de la série
somme en un

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

I97

qu’on peut à volonté arrêter au x.me terme ou prolonger à l’illfini;on ypeut aussi ajouter l’unité ; et alors elle devient égale à I I-T s

qu’il fallait démontrer.
Il résulte de cette remarque qu’à raison du grand nombre decartes que l’on emploie au trente et quarante, la probabilité du3I au premier coup est peu différente de ce qu’elle serait , si l’ons’assujétissait à remettre les cartes dans le talon , à mesure qu’elles sont sorties. Ce résultat qui aurait aussi lieu au premier coup
pour toutes les autres chances du jeu , est évident en lui-même ;et on peut le considérer comme une vérification de la méthoded’approximation employée dans le numéro précédent.
ce

9. Faisons usage présentement des valeurs numériques de s, xI ,x2 , x3 , ..... xI0. Nous aurons

où l’on a fait , ponr abréger ,On conclut de lâTom. XVI26

I98
et, enAVANTAGE

DU BANQUIER
développant d’abord suivant les puissances de tI0, il vient

rejette les termes sulvans de cette série , qui contiendraient lapuissance t40 et des puissances supérieures de t. Il est aisé deprendre le coefficient de t3I , dans chacun des quatre termes queOnl’on conserve ; et, en faisant la somme de ceson aura la valeur exacte de k; savoir :quatre coefficiens,

J’effectue les différentiations indiquées ; puis au2,
moyen de a=I 13

je réduis cette formule en nombres ; et , en poussant l’approximation jusqu’aux décimales du sixième ordre, je trouved’où il résultetrès-pénible , si l’on voulait avoir égard
termes suivans du développement dean second terme , et aux
nous
avons
fYdy, quenégliges. En tenant cornpte du second terme ,Le calcul deviendrait

AU

TRENTE ET QUARANTE.
I99
trouvé
doit
être
de
la
valeurdip
j’ai
première
approchéequeminuée de 0,000026 ; les termes suivans ne changeraient pas cettevaleur dans les six premières décimales ; ainsi , l’on peut prendre

pour la probabilité du refait de 3I , au commencement du jeu.

D’après ce qu’on a dit plus haut , on aura l’avantage du banquier, en multipliant cette valeur de p par la demi-somme deles mises ; en sorte que , pour racheter cet avantage , avant
que le jeu commence , chaque joueur devrait convenir de donner
au banquier, à tous les coups, y compris les coups nuls , les onzemillièmes, à très-peu près, de l’argent qu’il voudra exposer.
toutesLes problèmes des numéros 2 et 5 comprennent aussi lesautres chances du trente et quarante. Si l’on veut par exemple ,calculer la probabilité d’amener le nombre 32 , on supposera
d’abord , dans le problème du numéro 2, que l’on continue lasuite des tirages , jusqu’à ce qu’on ait atteint ou dépassé 32 ;ainsi , on fera la limite x=32 , et on déterminera , par l’analise de ce numéro, la probabilité d’amener cette limite ; mais, cetteprobabilité ne sera pas encore celle qu’il faut connaître ; car , d’après
les conditions du jeu , on doit amener le nombre 32 , sans avoir
passé par le nombre 3 r. Or , la probabilité de cet événement est
évidemment égale à celle qu’on aura calculée, comme on vient dele dire , moins la probabilité d’amener d’abord 31 et ensuite i ,laquelle probabilité se calculera par l’analise du numéro 5 , en prenant x=31 et x’=I. Ces calculs , déjà très-longs par rapport au
nombre 32 , le seraient encore bien plus pour les nombres supérieurs 33 , 34 , 35 ,Mais, si l’un veut connaître les probabilités d’amener ces différens nombres , seulement au premier coup,on pourra supposer qu’on remet les cartes dans le jeu, à mesure
qu’elles sont sorties ( n.° 8 ) ; les calculs seront alors faciles à
10.

.....

AVANTAGEDU

BANQUIER
exécuter, et l’erreur que l’on commettra sera peu considéralble ,200

ainsi qu’on l’a vu par l’exemple du calcul relatif au 3 r.
Adoptons donc cette hypothèse approximative, et désignons généralement par kn le coefficient de t30+n, dans le développementde

I I-T s,

n

étant

un

des nombres I , 2 , 3,

....

10.

Ce coef-

ficient exprimera la probabilité d’amener 30+n , en continuant les
tirages , jusqu’à ce qu’on ait atteint ou dépassé ce nombre. Soit,en même temps, p,, la probabilité d’amener ce même nornbre , sanspasser par l’un des nombres inférieurs 31, 32, ....30+n2013I ; lorsque la quantité kn aura été calculée pour les 10 valeurs de n comprises depuis n = i jusqu’à n=I0 , il sera aisé d’en conclure lesI0 valeurs correspondantes de pn, qui sont celles
qu’il s’agit dedéterminer.
En effet , puisqu’on remet les cartes dans le talon , à mesure
qu’elles sortent, la probabilité d’amener un as , après avoir amené

I I3 kI , par la règle ordinaire des événemens
p2=k2 - I I3 kI . De même, laposés; par conséquent,3i , sera égale à

com-on auraprobabilité d’amener un as, après avoir amené 32 , d’une manière
quelconque, et celle d’amener un deux, après avoir amené 3 1
seront I I3kI et I I3 k 2. ; or, en soustrayant ces deux probabilitésde celle qui est représentée par k3 , on aura la probabilité d’amener 33, sans avoir passé ni
par 3i ni par 32 ; nous aurons donc
p3=k3-I I3k2-I I3kI. En continuant ce raisonnement, on formera cette suited’équations

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

201

moyen desquelles tout le calcul est réduit à déterminer les va-

auleurs numériques des10

quantités kI , k2 , k3 ,.....

kI0 , dont lapremière est déjà connue.
11.

Pour les obtenir,

fonctiondéveloppons, comme dans le n.° 9

I I-Ts , suivant les puissances de tI0,

etlacontinuons ledéveloppement jusqu’à la puissance t40 inclusivement ; nous aurons

enfaisant comme plus hauta=24 s=I I3. Développonsensuitechaque terme , suivant les puissances de t, et prenons la somme
des coeûiciens de t30+n, il vient202

AVANTAGE

DU

BANQUIER

si n est un des nombres I , 2 3 ,g ; mais, dans le cas de n=I0,
il faudra ajouter à cette valeur de kn la quantité 8Ia4 , égale
0,002836 , à nn millionidème près, laquelle provient du cinquième
terme de l’expression précédeute , qui a 8Ia4t40 pour premier termede son développement suivant les puissances de t.
.....

Au moyen de cette formule, on trouvera, en s’arrêtant aux décimales du 5.e ordre

kI=0,I4806,
k2=0,I4930,

k3=0,I5039,
k4=0,I5I33,
k5=0,I52I3,
k6=0,I5278,

k7=0,I5329,
k8=0,I5365 ,k9=0,I5386,
kI0=0,I5376,
d’où l’on conclut

AU

TRENTE ET

QUARANTE.

203(*) Dans l’article de l’Encyclopédie cité au commencement de ce ménaoire,aussi déterminé ces mèmes probabilités, en supposant qu’elles sontentre elles comme les nombres de cartes différentes qui peuvent terminerles points auxquels elles répondent. Ainsi , par exemple, 31 peut être terminé par toutes les cartes du jeu , depuis l’as jusqu’au dix, tandis quele point 40 ne peut finir que par un dix ; et, comme au commencement
du jeu, il y a 13 cartes de numéros différens , dont quatre dix seulement,
il en résulterait, suivant l’article cité, que la probabilité du 31 devraitêtre égale à trois fois et un quart celle du point 40 ; ce qui ne s’accordeen a

pas avec les résultats que nous trouvons ; et il en serait de même des probabilités des autres points. Mais il est facile de voir que ce raisonnement
est inexact. En effet , ils est bien vrai que le 3Ipeut venir d’un tirage qui
aurait amené d’abord 3o et ensuite i , ou bien 29 et ensuite 2, ou bien
28 et- ensuite 3 ,...... ou bien enfin 2i et ensuite to. Il est également vrai
que le point 4o ne peut venir que par un tirage qui amènerait d’abord 30
et ensuite I0; mais , pour que les probabilités de ces évènemens composées

204

AVANTAGE

DU

BANQUIER

Comme un des dix événemens auxquels se rapportent ces probabilités doit nécessairement arriver, la somme de leurs valeurs doitêtre égale à l’unité , ce- qui a effectivement lieu, à un cent millième près.
Ces valeurs de pI , p2 , p3 ,pI0, serviront a régler le sortle
ou le parti despremier des deux tirages dont
joueurs , après
un coup est
composé. Supposons , par exemple, que ce tirage ait
amené le point 34, et soit a la mise d’un joueur qui a parié pourle second tirage ; s’il arrive le point 34 au second tirage, le coup
est nul, ce qui vaut a pour Ie joueur : s’il arrive un point moindre que le point 34, le joueur aura gagné, ct il recevra 2a ; enfin , s’il arrive un point supérieur à 34 , il aura perdu et ne recevra rien. Ce qu’il faudrait lui donner, si l’on renonçait à jouer le second coup, calculé d’après la règle de l’espérance mathématique,est douc égal à ( p4+2p3+2p2+2pI)a , on a (0,94387 a , ainsi ,Il aura déjà perdu (0,056I3)a, ou à peu près cinquante-six millièmes de sa mise. Quand le premier tirage a amené 35, le coupest à l’avantage des joueurs qui ont parié pour le second tirage.
et leur parti est égal à ( I,I668I)a; la mise étant toujours représentée par a.
Les carrés p22, p32, p42, .... pI02, seront res probabilités des coups
nuls 32 et 32, 33 et 33, 34 et 34,
40 et 40, calculées toujours dans l’hypothèse où l’on remet les cartes dans le jeu à mesure qu’elles sont sorties ; mais il sera plus exact de multiplier ces
.....

.....

carrespar le rapport

s+I s=3I3 3I2, commenous i avons fait pré-fussent entre elles comme leurs nombres respectifs I3 et 4 , il faudrait queles probabilités d’amener les nombres 21 , 22, 23,30, par la première
n’a
du
ce
fussent
pas lieu, comme an peut s’enpartiequitirageégales,.....

assurer( Note de M. Poisson ).

AU TRENTE ET QUARANTE.
205
cédemment (n.° 7), en calculant ladu 31 de refait.

probabilité

En

appelant donc y la probabilité d’un coup nul quelconque ,nous auronsce

qui donne, en effectuant le calcul numérique ,Dans une longue suite de coups , les événemens arrivent, à trèspeu près, proportionnellement à leurs probabilitès respectives. Ainsi ,le rapport du nombre des coups nuls au nombre total des coupss’écartera peu d’être celui de 881 à 10000; et d’après lad’un refait de 3i , que nous avons trouvée ( n.° 7), le rapport
du nombre des refaits au nombre des coups joués , y compris lescoups nuls , sera , à très-peu près, égal à celui de 21967 à I000000.
Mais ces proportions sont des limites dont les résultats du hasard
devront s’approcher indéfiniment , à mesure que le nombre descoups deviendra plus grand ; et l’on peut déterminer , pour chaquenombre de coups, la probabilité que ces résultats ne s’écarterontpas de leurs limites an-delà d’une quantité donnée.
En désignant par n le nombre total des coups, par m celui
des refaits de 3 l, par p la probabilité d’un refait , par r la proI2.

probabilité

babilité que la différence

m n2013p

sera

comprise entre deux limitesdonnées et représentées parontrouveraTom. XVI.

27

A V A N T A G E DU BANQUIER

206

l’intégrale commençant avec t, e étant la base des logarithmes néle rapport de la circonférence au diamètre. Quandpériens, etla variable t augmentera , la probabilité r approchera davantage de
03C9l’unité ou de la certitude ; mais, en même temps , les limites dela différence m n 2013p seront plus étendues. Au

contraire, lorsque tdiminuera ces limites seront plus étroites; mais la probabilité r,

qui leur correspond s’afiâiblira et finira pai devenir très-petite etpeu différente deQuand elle sera égale à I 2, on Qiurra indifféremment espérer que
cette

différence m n -p, tombera en dedans ou en dehors de ces

limites. La variable t restant la même, si le nombre n augmente
i idéfiniment, la probabilité r variera très-peu, et les limites de la

différence m n2013p décroîtront de plus en plus ; de manière qu’on
pourra toujours prendre n assez grand pour que ces limites tombent au-dessous de toute quantité donnée. Si l’on considérait ladinéreuce m2013np, entre le nombre m des refaits observés , et lenombre np des refaits calculés d’après leur probabilité p, les limites de cette différence seraientlaprobabilité r étant la même que précédemment. Ces limites(*) Tlléorie andlitidue des probabilités , pag. 280.

AU TRENTE ET Q U A R A N T E.
207s’étendront de plus en plus , à mesure que le nombre n augmentera, mais elles croîtront moins rapidement que ce nombre, et seulement dans le rapport de sa racine carrée.
En mettant pour p la valeur 0,02I967, les limites de la diffé
rence m2013np deviendront

Si l’on a , par exemple , n=I000000, etyaura

la probabilité r que le nombremqu’on prenne t=3 , ildes refaits observés sera

compris entre
Pour calculer la valeur de r, on prendra d’abord l’intégrale que son
expression renferme, depuis t=o jusqu’à t=~ ; ce qui donne

puis on retranchera de cette intégrale sa valeur prise depuis t=3
jusqu’à t=~ , valeur qui sera donnée par la série

dans laquelle on fera t = 3 . On trouve, de cette manièreL

r=0,9998 ;de sorte qu’il y a près de 5ooo à parier contre i que. sur un
million de coups le nombre des refaits ne sera pas moindre que
2I345, et n’excédera pas 22539. Si le nombre observé sortait deces limites, il serait
très-probable qu’il y a eu erreur involontaire,que quelqu’un a trompé au jeu.
On peut se demander quelle doit être la valeur de t pour laquelle on aurait r=I 2: cette valeur sera donnée par l’équation
ou

208

AVANTAGE DU BANQUIER AU 3o ET 40.

négligeant d’abord le second terme de son second membre, on
trouve que la valeur de t est à très-peu près égale à 0,45. Si l’on
fait ensuite t=0,45+x, et que l’on détermine x, en négligeant son
carré et ses puissances supérieures, on trouveEnd’où il resuite qu’il y a un contre un à parier que sur un grandnombre n de coups, le nombre m des refaits sera compris entre
les deux limites

Ainsi, sur un million de coups, par exemple, il sera indifférent
de parier que le nombre de refaits différera de 2I967, en plus ou
en moins, d’un nombre plus grand ou d’un nombre plus petit que 92.
En général, lorsque deux -joueurs jouent l’un contre l’autre , à
jeu égal, il y a la probabilité r que le nombre des parties quel’un des deux, sans désigner lequel, gagnera de plus que l’autre,
sur un très-grand nombre de coups, n’excédera pas le double det2p(I2013p)n, en faisant dans ce double p=I 2 ; ce qui donne t2n.
Si donc on prend pour t la valeur qui répond à r== f , il y aura
nn contre un à parier que la différence entre les nombres departies gagnées par les deux joueurs n’excédera pas

qui fait 630, par chaque million de parties. Il y aurait donc
du désavantage à parier, par exemple que l’un des joueurs gagnerait moins de 600 parties de plus que l’autre , et de l’avantage àparier que la différence des parties gagnées n’excéderait pas 65o parties.
ce