修士論文

３次元光格子に閉じ込めたフェッシュバッハ分子

指導教員: 井上慎 准教授

２０１０年２月提出

東京大学大学院

工学系研究科37-086614

物理工学専攻

山陸芳之

i

謝辞
本論文は，東京大学大学院

工学系研究科物理工学専攻において，修士課程在籍中に行った研究をまとめたものです．研究の遂行にあたり，多くの方のご指導，ご協力をいただきました．この場を借りて深く御礼を申上げます．
指導教員である井上慎准教授には，修士課程の２年間，熱心に指導をしていただきました．
やりがいのある研究テーマと研究環境を与えていただき，研究に打ち込むことができたのは，先生のご指導のおかげです．ミーティングやセミナーなどでも，物理に対する鋭い考察にもとづいたコメントをしていただき，大変勉強になりました．研究を通して，様々な経験をさせていただいたことは，私にとってかけがえの無いものになったと思います．心から御礼を申上げます．

ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクトの研究統括である東京大学大学院 理学系研究科の上田正仁教授には，研究に関して多くの意見をいただきました．ERATO meeting での英語でのプレゼンテーションでは，研究の進め方や，プレゼンテーションに関して的確な指摘をしていただきました．この経験は，私にとって大きな財産となりました．
井上研究室

助教の小林淳博士には，実験における基本的なことから，丁寧に指導をしていただきました．実験において困難が生じたときも，素早く状況を把握し的確な判断を下す小林博士の姿は，いつも驚かされるばかりでした．小林博士の適切なアドバイスが無ければ，研究を進めることはできなかったと思います．また，修士論文の執筆の際も，内容に関する指摘から，誤字脱字などの細かいチェックまで，丁寧に指導をしていただきました．
電気通信大学特任准教授の岸本哲夫博士には，あらゆる実験技術について貴重なご指摘をいただきました．岸本博士のアドバイスには幾度となく助けられ，その度に実験家としてのあり方を学ばせていただきました．工作や回路作製での岸本博士の手際の良さには，学ぶべきところが多くありました．

ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクト 研究員の福原武博士とは，修士２年の１年間，同じグループで実験を行ってきました．光トラップ・光格子の実験では，ご自身の経験に基づ
き様々な実験のテクニックを教えていただきました．１年間という短い期間でしたが，ともに実験を進める中で，非常に多くのことを学ばせていただきました．研究生活全般にわたって

様々なお気遣いをかけてくださり，何をするにも未熟であった私がなんとか修士論文をまとめることができたのも，福原博士のおかげです．
博士課程２年の相川清隆氏の手際の良い実験の進め方や物理に対する深い理解には，圧倒されるばかりでした．複雑な分光データから緻密な解析によって情報を引き出していく相川氏の姿は，尊敬の対象でした．また，本研究において 87 Rb と 41 K の散乱長のデータをくださり，
大変参考になりました．
修士課程２年の藤掛陽輔氏とは，同期として２年間，共に研究生活を送ってきました．物理に関する議論では，その明快な説明の仕方は大変勉強になりました．２人で行った学会発表
も，よい経験となりました．修士論文執筆時には，共に夜遅くまで作業を続ける中で，何度となく励まされました．
修士課程１年の加藤宏平氏とは，同じ実験グループとして，共に研究を進めてきました．加
藤氏の熱意を持って実験に取り組む姿には，刺激を受けました．また，本研究で必要となる

809nm の光源は加藤氏の製作によるものです．実験を滞り無く進めることができたのも，加藤氏のおかげであり，その貢献ぶりには，どれだけ感謝しても足りないほどです．
修士課程１年の大麻浩平氏は，研究に関することから他愛のない話まで，何でも気軽に話すことができる相手でした．実験では，一つ一つの結果をきっちりと考察し，物事を進めていく
姿に，こちらも勉強させられました．ときおり研究室の帰りに食事に行ったことも，よい思い出です．
卒業研究生の斉藤祐介氏とは，共に机を並べて学位論文を執筆しました．食事時などに話した雑談は，論文執筆が行き詰まっていたときなど，良い気分転換となりました．
卒業研究生の福岡健太氏のこつこつと卒業論文を書き上げていく姿には，後輩でありながら学ばされるところが多くありました．
昨年まで井上研究室に所属しておられた，赤松大輔博士 (現 産業技術総合研究所) には，実験に関して有益なアドバイスをいただきました．実験を行う上での様々な工夫や，物理に対する独自の視点は，大変勉強になりました．
また，昨年度，修士課程で井上研究室に在籍しておられた野田開氏，林正泰氏には，配属当
初から，様々なことを丁寧に教えていただきました．野田氏とは，私が修士１年の時から，同じ実験グループで共に研究を行いました．実験装置の扱い方など，多くのことを丁寧に教えていただきありがとうございます．林氏は，実験グループは別でしたが，何でも気さくに話ができる先輩であり，配属当初，何も分からなかった自分に実験室のことを丁寧に教えていただきました．これからも長い付き合いになるかと思いますが，よろしくお願いいたします．
昨年度卒業研究生として在籍しておられた大島淳氏，森圭輔氏とは，ともに研究を進める中で，幾度となく励まされました．大島氏とは，昨年度共に実験セットアップを作る作業を行いました．あの作業は，私にとっても大きな経験となりました．森氏とは，別の実験テーマではありましたが，時には冗談を言いあったりと楽しい研究生活を送ることができました．

ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクト強相関量子制御グループのグループリーダーである向山敬博士には，ERATO meeting などで，実験を行う上で貴重なご意見をいただきました．
同グループの堀越宗一博士の研究テーマを徹底的に追及していく姿には，見習うべきものが多くありました．ERATO meeting やセミナーなどで折に触れ，様々なコメントをいただき勉
強になりました．お菓子の差し入れもとても有り難かったです．
同グループに参加しておられる上田研究室博士課程２年の中島秀太氏には，夜遅くまで実験をしている時に声をかけていただいたりと，色々とお気遣いをくださいました．修士論文執筆時にいただいた差し入れは，この論文を書き上げる上で大きな力となりました．
昨年まで同グループに所属しておられた稲田安寿博士には，研究に関してアドバイスをいた
だいただけではなく，食事時や居室などでの雑談などを通して，様々なことを教えていただきました．
同グループに所属しておられた Swarupananda Pradhan 博士には，ERATO meeing など
で，アドバイスをいただきました．

ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクト不確定性制御グループのグループリーダーである東京工業大学 上妻幹旺准教授には，ERATO meeting などを通して，示唆に富んだコメン
トをいただきました．先生の質問に答えていく中で，研究に関する理解が深まっていったと思います．
同グループに参加しておられる衛藤雄二郎博士の，素朴な疑問から物理を追究していく姿には，感銘を受けました．研究以外でも色々な話をしてくださり，けじめのついた研究生活を送ることができました．
同グループに参加しておられる上妻研究室修士課程１年の野口篤史氏とは，グループは異なりましたが，居室などで様々なことを話しました．氏の物理に対する深い理解は大変勉強になりましたし，他にも色々と楽しい話をしていただきました．
昨年まで同グループに所属しておられた，武井宣幸博士 (現 分子科学研究所)，竹内誠博士(現 情報通信研究機構) にも，セミナー時や居室などで様々なアドバイスをいただきました．
Pascal Naidon 博士，Zhang Peng 博士には，ERATO meeting などでご意見をいただきました．
電気通信大学の James Calvent 氏とは，私が井上研究室に配属されて間もない頃，共に回路や外部共振器型半導体レーザーの製作を行いました．日本に来て間もないにも関わらず，めきめきと上達していく氏の日本語には，会うたびに驚かされました．

ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクトの技術参事である榎本陽一博士，前任の技術参事の金沢工業大学

山口敦史教授，事務参事の佐藤敏彦氏，事務局の国府田愛氏，松本直子氏，

塩田美奈子氏には，研究の進行にあたり様々なサポートをしていただきました．
最後に，これまで学生生活を支えてくれた両親に感謝します．

本研究は，皆様のあたたかいご支援のもとに成り立っております．御指導・御支援いただいた皆様，ここに書ききれなかった皆様に，心より感謝申上げます．

v

目次

謝辞
第1章

i
序論

1

1.1

極低温極性分子の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

本研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

理論的背景

7

Feshbach 共鳴による束縛状態への変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

第2章

2.1

2.2

2.3

第3章

3.1

3.2

2.1.1

41

K-87 Rb の Feshbach 共鳴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2

Feshbach 分子の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

アルカリ原子気体のボース・アインシュタイン凝縮 . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1

３次元調和ポテンシャル中のボース・アインシュタイン凝縮体 . . . .

12

2.2.2

２成分ボース・アインシュタイン凝縮体の相分離／混合条件. . . . .

14

光格子中のボース・アインシュタイン凝縮体 . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.1

光トラップ・光格子の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.2

超流動-Mott 絶縁体相転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.3

Mott 絶縁体状態での Shell 構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

実験装置

25

３次元光格子と光トラップの設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.1

３次元光格子の設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.2

重力サグの補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.1.3

交差型光トラップの設計. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.4

得られるサイト数の見積もり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

光トラップ・光格子の実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

レーザー光源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.1

目次

3.3

第4章

4.1

4.2

第5章
参考文献

vi
3.2.2

ガラスセル周辺の配置図. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2.3

ガウシアンビームと ABCD 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2.4

光格子の光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2.5

扁平度調整可能な光学系の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2.6

光トラップ P 軸の光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2.7

光トラップ A 軸の光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.2.8

アライメントの方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

真空系・レーザー冷却用光源の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.3.1

レーザー冷却用の光源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.3.2

double-MOT システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.3.3

磁気トラップへのロードと蒸発冷却. . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.3.4

Feshbach 磁場の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

実験結果と考察67

41

K-87 Rb の混合 BEC の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.1.1

光トラップへのロードと偏平度の決定 . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.1.2

トラップ周波数の測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.1.3

断熱過程によるスピン操作と |1, 1i 状態での蒸発冷却 . . . . . . . . .

75

３次元光格子中の Feshbach 分子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.1

BEC の干渉パターン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.2

Pulsed Lattice によるポテンシャル深さの評価 . . . . . . . . . . . .

85

4.2.3

Feshbach 会合の実験結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

まとめと今後の展望

93
95

vii

図目次

2.1

87

Rb |1, 1i と 41 K |1, 1i の Feshbach 共鳴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

λ=1080nm の光格子中でのトンネリングレートとオンサイト相互作用の計算

21

2.3

87

Rb と 41 K の超流動-Mott 絶縁体相転移点の計算 . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1

パワー 2W のときの光格子のポテンシャル深さ . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

光トラップ中での重力サグ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.3

重力サグ補正のための光トラップの波長の選定 . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.4

重力方向のポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.5

809nm 光トラップの重力方向のビームウエストの決定 . . . . . . . . . . . .

34

3.6

(2wz , 2wy ) = (80µm, 800µm) の時の，1080nm 光トラップによるポテンシャ
ル深さとトラップ周波数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.7

光格子と 1080nm の光トラップの光源. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.8

10W ファイバーレーザーの強度ノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.9

光格子及び光トラップビームのガラスセル周辺の配置図：正面図. . . . . .

44

3.10

光格子及び光トラップビームのガラスセル周辺の配置図：上面図. . . . . .

45

3.11

ガウシアンビームのレンズによる集光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.12

光格子の光学系の設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.13

光格子の打ち返し凹面ミラーの選定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.14

光トラップのための偏平度調整可能な光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.15

扁平度調整の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.16

ファイバーからのビームの拡がりの測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.17

光トラップ P 軸のセットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.18

光トラップ P 軸セットアップの写真．

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.19

光トラップ P 軸のビームウエストの測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.20

光トラップ A 軸のセットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.21

光トラップ A 軸のビームウエストの測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

図目次

viii

3.22

光トラップにロードされた原子集団の吸収イメージ . . . . . . . . . . . . . .

63

4.1

トラップ周波数の測定方法 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.2

トラップ周波数の測定方法 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.3

波長 1080nm の光トラップ P 軸のトラップ周波数の測定結果 . . . . . . . .

72

4.4

光トラップ A 軸のトラップ周波数の測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.5

809nm 光トラップのトラップ周波数の測定結果. . . . . . . . . . . . . . .

74

4.6

ARP 及び |1, 1i 状態での蒸発冷却のシークエンス . . . . . . . . . . . . . .

75

4.7

809nm 光トラップへのロードのタイムシークエンス . . . . . . . . . . . . .

80

4.8

|F = 1, mF = 1i 状態の混合 BEC の吸収イメージング. . . . . . . . . . .

81

4.9

光格子 A 軸による |2, 2i 状態の混合 BEC の干渉パターン . . . . . . . . . .

83

4.10

B 軸，C 軸，3 次元光格子での Rb BEC の干渉パターン . . . . . . . . . . .

84

4.11

Pulsed Lattice による A 軸の回折パターンの観測 . . . . . . . . . . . . . .

87

4.12

A 軸の回折パターンの 0 次と 1 次の Population . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.13

Pulsed Lattice による B 軸の回折パターンの観測 . . . . . . . . . . . . . .

88

4.14

B 軸の回折パターンの 0 次と 1 次の Population . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.15

Pulsed Lattice による C 軸の回折パターンの観測 . . . . . . . . . . . . . .

89

4.16

C 軸の回折パターンの 0 次と 1 次の Population . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.17

3 次元光格子中での Feshbach 会合のタイムシークエンス . . . . . . . . . .

91

4.18

Feshbach 磁場掃引による原子ロス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

ix

表目次

2.1

41

K |1, 1i-87 Rb |1, 1i の Feshbach 共鳴と散乱長 0 クロス磁場 . . . . . . . .

9

2.2

41

K，87 Rb 及び 41 K − 87 Rb の散乱長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.1

2w0 =600µm，P=2W の時の光格子のパラメータ . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

809nm 及び 1080nm 光トラップのパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3

得られるサイト数の上限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.1

光トラップへのロード前後での原子数，温度，密度，位相空間密度 . . . . .

68

4.2

ビームウエストの組み立て時との比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.3

ARP の移行効率の実験結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.4

87

Rb と 41 K の |2, 2i 状態と |1, 1i 状態の間の散乱長 . . . . . . . . . . . . .

77

4.5

Pulsed Lattice による回折パターンからのポテンシャル深さの評価 . . . . .

86

1

第1章

序論
1.1 極低温極性分子の生成1995 年，アルカリ原子気体において，ボース・アインシュタイン凝縮の実現 (Bose-Einstein
Condensate;BEC)(87 Rb[1]，23 Na[2]) が報告され，1999 年には 40 K フェルミオンにおけるフェルミ縮退が実現された [3]．これらの成果をはじめとして，冷却原子系は，理想的な量子多体系の研究対象として盛んに研究がされてきた．
冷却原子系による量子縮退領域の研究が注目された理由の一つに，その高い操作性が挙げられる．そのひとつが Feshbach 共鳴を用いた粒子間相互作用の制御である．極低温領域での粒子間相互作用は，散乱長という物理量を用いて記述される．Feshbach 共鳴とは，散乱長が外場 (多くは外部磁場) により変化し，共鳴点の両側で散乱長が発散する現象である．Feshbach
共鳴は，原子核物理の分野において理論的に予測され [4]，冷却原子系では，1998 年，23 Na の

BEC において観測が報告された [5]．以後様々な原子種や異種原子混合系で Feshbach 共鳴の存在が確認されている．

Feshbach 共鳴は，２原子が散乱の際に分子の振動準位とカップリングすることが背景にあり，これを用いて，原子のペアを束縛状態へ変換することができる．このことを用いて，2003
年には 40 K2 のフェルミオン原子対における BEC の生成が報告された [6]．他にも Fehbach
共鳴の両側での BEC-BCS crossover の研究 [7] や，散乱長の絶対値が非常に大きい極限でのユニタリー気体の研究 [8] など，相互作用を広範な領域で制御できる利点を生かして様々な研究がなされている．
冷却原子気体の操作性の高さは，外部ポテンシャルのデザインが行いやすい点にも現れている．原子気体を非共鳴なレーザー光を用いてトラップする光双極子トラップの技術により，量子縮退気体を様々な形状のポテンシャルへ閉じ込めることが可能になった．特に，対向する光による定在波を用いて周期ポテンシャル中へ量子縮退気体を閉じ込める技術が開発されたことは，特筆すべきことである．2002 年には，光格子へロードされた冷却原子気体が，周期ポテ第 1 章 序論

2

ンシャルの深さの変化に伴い，超流動状態から Mott 絶縁体状態へと相転移することが実験的に観測された [9]．これは，レーザー光の強度を変化させて周期ポテンシャルの深さを自在に変化させられるという，冷却原子系ならではの特徴に基づいたものである．この実験をはじめとして，２次元系における Berezinskii-Kosterlitz-Thouless 転移 (BKT 転移) の観測 [10]，Anderson 局在の観測 [11, 12] など，光格子を用いた実験系において様々な興味深い現象が観測されている．
これまで見てきたように，冷却原子系は，広範なパラメータ領域の系を作り出し，これまで
凝縮系物理の分野では検証が困難であった領域の実験ができるという大きな特徴を持っている．このような流れの中で，近年，新たな性質を持つ量子多体系として，極低温極性分子気体が注目を集めている．これまでよく研究されてきた原子気体は，粒子間の相互作用は衝突に起因するものが主であり，短距離で等方的な相互作用に限られてきた．一方，極性分子は電場をかけることにより電気双極子が誘起され，電気双極子間の相互作用を持つ．電気双極子間の相互作用は，２分子間の相対位置を r とすると，

1
Udd (r) =4π0(d1 · d2
3(r · d1 )(r · d2 )
−
3
r
r5

)
(1.1)

という形で記述され，分子間距離の-3 乗に比例する長距離な相互作用であり，さらに電気双極子の向きによって相互作用が引力か斥力か異なるという異方性を持つ．原子系においても，磁気双極子相互作用を持つ 52 Cr の BEC の生成が報告されているが [13]，原子の持つ磁気双極子は大きさを制御することができない．極性分子は，電場により電気双極子の大きさを制御できるので，より広い領域の物性探索が可能になると期待される．理論的にも，２次元系における超流動状態から結晶状態への量子相転移 [14]，Lattice-Spin Model など固体物理のシミュ
レーション [15]，量子情報への応用 [16] など，様々な予測がなされている．
このように，極性分子は多くの可能性をもった系であるが，電気双極子相互作用が支配的となるには，式 (1.1) で表される相互作用エネルギーが熱エネルギー kB T より十分大きい領域まで冷却しなければならない．さらに，大きな電気双極子を誘起するためには，異核の振動基
底状態の分子が必要となる．しかし，分子は，レーザー冷却を適用することが難しく，直接，
極低温領域まで冷却することは困難である．レーザー冷却を用いるには，光の吸収・放出のサ
イクルを繰り返し行うために，閉じた２準位系を作る必要があるが，分子は振動・回転運動による多数のエネルギー準位が存在するため，閉じた２準位系を作ることが困難だからである．
分子の冷却の研究は，Stark Deceleration[17] や Buﬀer Gas Cooling[18] などの直接冷却による研究が行われているが，どちらも量子縮退領域までの冷却には至っていない．そこで，2 原子種を量子縮退領域まで冷却した後，それらを加熱無く会合させる方法で，極低温分子を生成する手法が研究されている．極低温原子の会合による振動基底状態の生成は，Photoassociation(PA) と Stimulated Emission Pumping(SEP) を用いた方法で 2005 年に実現されている [19]．しかし，この方法は，PA において自然放出のプロセスを用いており準位

第 1 章 序論

3

選択が難しい点や，3 準位系による SEP において中間準位への実励起を伴うため加熱がおこるなどの問題点がある．
これとは別のアプローチとして，Feshbach 共鳴と誘導ラマン断熱遷移 (STImulated Raman

Adiabatic Passage; STIRAP) による方法がある．Feshbach 共鳴を用いると，原子のペアを断熱的に，浅く束縛された分子状態 (束縛エネルギー〜 h × 400kHz) へほぼ 100% の効率で遷移させることができる．Feshbach 分子の状態は，原子状態と比べて STIRAP の際に用いる中間準位との波動関数の重なりが大きい．この Feshbach 分子に対して STIRAP を適用する
ことにより，振動基底状態へ高効率で遷移させることが可能になる．2008 年には JILA のグ
ループによって，Feshbach 会合と STIRAP を用いた 40 K87 Rb フェルミオンの振動基底状態の分子の生成が報告されている [20]．JILA の実験結果では，分子数は 3 × 104 ，トラップから解放された分子集団の拡散エネルギーから換算された温度は 350nK であり，高効率で振動基底状態の極低温分子を生成できていることが示されている．
現在，井上研究室ではボソンの極性分子である 41 K87 Rb の振動基底状態の分子の生成を目指している．極性分子の BEC の生成や，BEC の超流動性による新奇な物性の発現など，ボソンの極性分子はフェルミオンには無い可能性を持っており，その実験的研究は大きな意味があると言える．

1.2 本研究の目的
本研究は，ボソンの極性分子の生成のステップの一つである，41 K87 Rb の Feshbach 分子の生成を目的としている．41 K と 87 Rb の組み合わせは，どちらも散乱長が正で BEC が安定であり，Feshbach 共鳴も比較的アクセスしやすい位置にあるなどの利点がある．

Feshbach 分子から STIRAP による振動基底状態への遷移を行うために，Feshbach 分子を安定に生成することが必要不可欠となる．しかし，Feshbach 分子は，分子と他の原子や分子との衝突によって振動緩和によるロスが生じてしまうという問題点がある．フェルミオンのFeshbach 分子の場合，Pauli Blocking により同種原子間の衝突は抑制されているが，ボソ
ンーボソンの Feshbach 分子ではそのような機構は存在せず，寿命が短くなると予想される．
本研究ではこの問題を解決するために，３次元光格子を導入して１分子／サイトとなる状態を作ることで，Feshbach 分子を衝突から守る方法をとった．３次元光格子を用いて Feshbach
分子を長寿命化する方法は単原子種の Feshbach 分子に対しては既に行われており [21, 22]，

Feshbach 分子が衝突から守られていることが示されている．
このとき，光格子中に 87 Rb と 41 K を１サイトに１個ずつロードするためには，２原子種の混合 BEC を生成する必要がある．熱的原子集団の場合，光格子へロードしても各サイトに入る原子数がランダムであるため，効率的な Feshbach 分子の生成ができないためである．さらに，87 Rb と 41 K では，質量が 87/41〜2 倍程度異なるため，重力による混合 BEC の空間的

第 1 章 序論

4

分離が生じてしまい，異種原子間の相互作用を制御する際に問題となる．Rb と K の混合系の研究は，LENS のグループなどで行われているが [23]，この研究でも重力による分離により光格子中での 87 Rb と 41 K の空間的重なりは小さくなっている．本研究では，この問題の解決方
法として，光トラップの波長を選定して 87 Rb と 41 K のトラップ中心の位置を一致させる方法をとった．
以上の点を踏まえて，本研究では，

1. 87 Rb と 41 K を１原子／サイトの状態にするための３次元光格子
2. 87 Rb と 41 K の重力による空間的分離を補正するための光トラップの設計と実験系の構築を行い，Feshbach 分子を安定に生成することを目的とした．

1.3 本論文の構成
第２章では，本研究の理論的背景について述べる．まず，Feshbach 共鳴という現象を用いて，散乱長を外場により制御できることを説明する．そして，断熱的に外場を掃引すること
で，原子のペアを加熱無く束縛状態へ変換できることを説明する．また，本研究で用いた 41 Kと 87 Rb の散乱長，|F, mF i = |1, 1i 状態での Feshbach 共鳴点，Feshbach 会合における断熱条件について考察する．次に，アルカリ原子気体の BEC の基本的性質をまとめる．実験的には３次元調和ポテンシャルの中に原子はトラップされているので，この場合について，凝縮体
転移温度，全原子に占める凝縮体の割合，凝縮体のサイズを中心にまとめる．また，本研究では 41 K と 87 Rb の 2 成分 BEC を扱うので，2 成分 BEC の相分離／混合条件についても考察する．最後に，光格子中の BEC の性質について，理論的側面を説明する．周期ポテンシャル
中にロードされた BEC は，周期ポテンシャルの深さによって，超流動状態から Mott 絶縁体状態へ相転移することが知られている．光格子中の BEC の振舞いをボース・ハバードモデル
を用いて考察し，相転移点と Mott 絶縁体状態での原子の分布について考える．
第３章では，本研究で用いた実験装置について説明する．まず，Feshbach 分子を安定に生成するツールとしての３次元光格子及び光トラップの設計について述べる．衝突に弱い

Feshbach 分子を安定に生成するために，３次元光格子の各サイトに１個ずつ分子を生成することにした．そこで，Mott 絶縁体状態において１個／サイトとなるサイト数を最大にするよ
うな光格子の設計を行った．また，本研究で用いる |1, 1i 状態は磁場トラップ中ではアンチト
ラップであるため，光トラップ中で |1, 1i 状態の混合 BEC を生成する必要がある．この章では，|1, 1i 状態の混合 BEC を生成するための光トラップの設計についても述べる．最後に，真空系，レーザー光源などの実験装置について概要を説明する．
第４章では，実験結果とその考察についてまとめる．まず，光トラップ中での断熱過程による |2, 2i 状態から |1, 1i 状態への変換と，|1, 1i 状態での蒸発冷却による混合 BEC の生成につ第 1 章 序論

5

いて述べる．次に，３次元光格子中での Feshbach 分子の生成の手順及び実験結果について述べる．まず，周期ポテンシャルが作られていることの確認として，BEC の干渉パターンの確認と，Pulsed Lattice によるポテンシャル深さの評価について，方法と実験結果の考察を述べる．次に，３次元光格子中での Feshbach 分子の生成について述べる．光格子を導入した場合と導入しない場合のそれぞれについて，磁場掃引による Feshbach 会合を行い，掃引後の原子ロスを評価することにより，光格子によって Feshbach 分子が衝突から守られていることを示す．
最後に，第５章でまとめと今後の展望について述べる．

7

第2章

理論的背景
この章では，本研究の理論的背景について述べる．
まず，第 2.1 節では，Feshbach 共鳴を用いた束縛状態への変換方法について述べる．原子間の衝突を低エネルギー散乱として取扱い，散乱を特徴づける量として散乱長を導入する．次に Feshbach 共鳴という現象を用いて，外部磁場により散乱長を制御できることを説明する．

Feshbach 共鳴点をまたぐように外部磁場を断熱的に掃引することで原子状態から分子状態への変換を加熱無く行うことができる．次いで，本研究で用いた 41 K と 87 Rb の Feshbach 共鳴
点と，共鳴点近傍での散乱長の振舞いを示す．後に述べるが，散乱長の制御は，分子生成のみではなく，蒸発冷却の効率や混合 BEC の振舞いを制御する上でも非常に重要となる．最後に，Feshbach 分子の安定性について述べる．Feshbach 共鳴の観測の多くは，共鳴点近傍での非弾性散乱のレートが大きくなることによる原子ロスを観測することで行われるが，これは分子と原子の衝突による振動緩和が生じていることが背景にある．このことを言い換えると，生成された Feshbach 分子は衝突に対して弱く，そのままでは寿命が非常に短くなってしまうことを意味している．この節では，Feshbach 分子を安定に生成する方法として，３次元光格子が必要となることを説明する．
第 2.2 節では，アルカリ原子のボース・アインシュタイン凝縮体 (Bose-Einstein Conden-sate;BEC) の基本的な性質をまとめる．まずはじめに，１成分 BEC を特徴づけるパラメータを，３次元調和ポテンシャル中の場合について導出する．本節で示されたパラメータは，後に述べる光トラップの設計の際に重要となる．次に，2 成分 BEC の性質，特に異なる成分間の相互作用による空間構造の変化について議論する．なお，BEC の基本的性質については，既に理論・実験の両面でよく研究されており，[24, 25, 26] に詳しい説明がなされている．また，

2 成分 BEC については [27, 28] に詳しい説明がなされている．
つづいて，第 2.3 節において，光格子中で BEC がとる量子相について議論する．まず，光双極子力による極低温原子集団のトラップの原理と，ポテンシャル深さ，トラップ周波数，散乱レートなどの基本的なパラメータをまとめる．また，定在波により作られる光格子ポテン

第 2 章 理論的背景

8

シャルの性質についても議論する．次に，光格子にロードされた BEC の振舞いを記述するモデルとして，ボース・ハバードモデルを導入する．このモデルをもとに，周期ポテンシャルの深さによって超流動状態から Mott 絶縁体状態への相転移が起こることを説明する．そして，

Mott 絶縁体状態での原子の分布を考えることにより，各サイトに原子を１個づつロードするための条件を導く．

第 2 章 理論的背景

92.1 Feshbach 共鳴による束縛状態への変換
41

2.1.1

K-87 Rb の Feshbach 共鳴

ここでは，本研究で用いる 87 Rb と 41 K の Feshbach 共鳴の特性について説明する．本研究41
では，87 Rb，
K 共に |F, mF i = |1, 1i 状態を用いることにした．この組み合わせは，

1. 原 子 の 基 底 状 態 で あ り ，混 合 系 に お い て ２ 体 の 非 弾 性 散 乱 が 無 く 安 定 で あ る ．
87

Rb |1, 1i + 41 K |1, 1i から他の状態への散乱チャンネルは存在しない．

2. Feshbach 共鳴点が実験的に比較的アクセスしやすい位置にある．
という利点がある．
87

Rb |1, 1i − 41 K |1, 1i の Feshbach 共鳴は，G.Thalhammer らの先行研究によって観測されている [29, 30]．図 2.1 は 87 Rb |1, 1i と 41 K |1, 1i の散乱長の理論計算である [31]．これらの先行研究の結果から，Feshbach 共鳴は 100G 以下の領域では，35G 付近に幅 37G 程度の幅の広い共鳴があり，78.6G 付近に幅 1.2G 程度の幅の細い共鳴があることが分かる (表 2.1)．
本研究では，Feshbach 分子から振動基底状態の分子への STIRAP での変換効率を考え，幅の細い 78.6G 付近の共鳴を用いることにした*1 ．
表 2.2 には，87 Rb と 41 K，及び 87 Rb − 41 K の散乱長が示してある．後に述べるが，２原子種の BEC を混合するためには，異種原子間の相互作用を制御する必要がある．この時，同種粒子間の散乱長と異種粒子間の散乱長の大小が重要となる．図 2.1(b) のように，78.6G の共鳴の両側には，87 Rb − 41 K の散乱長が 0 となる点が存在する．これらの点も先行研究 [30]
によって実験的に観測されており，理論予測とよい一致を示している．この点の近傍の磁場を用いて，後述するように a2K−Rb < aK−K · aRb−Rb となるように，41 K-87 Rb 間の散乱長を制

表 2.1

41

K |1, 1i-87 Rb |1, 1i の Feshbach 共鳴と散乱長 0 クロス磁場

Experiment

Theoryzero-cross (Theory)

B0 (G)Ref

B0 (G)∆B (G)Ref

B (G)da/dB (a0 /G)

35.2±1.6

[30]

39.4

37

[31]

72.18

16.8

78.57±0.05[29, 30]

78.92

1.2

[31]

87.19

8.9

*1 STIRAP での変換効率は，始状態と中間状態の波動関数の重なりの大きさに左右される．この波動関数の重なりの指標が Franck-condon Factor であり，78.6G の方が，共鳴の幅が狭くより大きな Franck-CondonFactor を得ることができる．

第 2 章 理論的背景

10

表 2.2

87

K，87 Rb 及び 41 K − 87 Rb の散乱長Statea (a0 )

Ref

Rb |2, 2i + 87 Rb |2, 2i

109±10

[32]

60

[33]

163+57−12[34]

K |1, 1i + 41 K |1, 1i

60±2

[35]

Rb |1, 1i + 41 K |1, 1i

abg =284a0[30, 31]

41
87
87

41

K |2, 2i +41

K |2, 2i

Rb |2, 2i + 41 K |2, 2i

Rb |1, 1i + 87 Rb |1, 1i

4187

御することで，２原子種の BEC を混合させることができる．

2.1.2

Feshbach 分子の安定性

Feshbach 分子の束縛エネルギーは図 2.1(a) の上図に示すようになっている．Feshbach 分
子は浅く束縛された分子状態であり，低エネルギー側に多数の振動準位が存在する．Feshbach
分子に他の原子や分子が衝突したとき，Feshbach 分子が下の振動準位へ振動緩和し，その束縛エネルギーの差分が運動エネルギーに分配されるという過程が起こりえる．JILA の実験結果によると，40 K87 Rb のフェルミオン分子の場合，Feshbach 分子の寿命は 7.6ms である [36]．
本研究ではボソン-ボソンの Feshbach 分子を扱うため，3 体衝突を防ぐ機構が存在せず，そのままでは寿命が非常に短くなってしまう恐れがある*2 ．これを防ぐために，本研究では 3 次元
光格子を用いて，Feshbach 分子を衝突から守る方法をとった．

*2 単純な比較はできないが，例えば Na2 の Feshbach 分子の場合，Feshbach 分子と残留原子が共存している状態での寿命は 106µs である [37]．

第 2 章 理論的背景

Energy(GHz)

11

0
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20

ScatteringLength

2000
1000
0
-1000
-2000
0

20

40

60
B(G)

80

100

85

90

(a) 0〜100G

2000
ScattringLength

1500
1000
500
0
-500
-1000
-1500
-2000
60

65

75
70
80
MagneticField(G)(b) 60〜90G

図 2.1

87

Rb |1, 1i と 41 K |1, 1i の Feshbach 共鳴 [31]．

第 2 章 理論的背景

12

2.2 アルカリ原子気体のボース・アインシュタイン凝縮
2.2.1

３次元調和ポテンシャル中のボース・アインシュタイン凝縮体

理想ボース気体
理想ボース気体の場合，ボース分布関数を用いて基底状態の粒子数 N0 と励起状態の粒子数

Nex を考えると，
N = N0 + Nth
( )3
∫ ∞
g(E)
T
Nth =
dE = N
E/k
T
B
TC
e
−1
0

(2.1)
(2.2)

となる．ここで，g(E) は状態密度g(E) =E22 (h̄ω̄)3(2.3)

である．転移温度は
1

TC = 0.94h̄ω̄N 3(2.4)となり，凝縮体の割合は

N
=1−
N0

(

T
TC

) 32
(2.5)

となる．

Gross-Pitaevskii 方程式
ここでは，粒子間相互作用がある場合について，絶対零度における BEC の振舞いを記述する方程式である、Gross-Pitaevskii 方程式について述べる．原子気体が，ポテンシャル V(r)の中に閉じ込められているとすると，多体ハミルトニアンは

H=

N [ 2
∑
p
i

i=1

2m

]
+ V (ri ) + Uint

(2.6)

となる．ここで，N は粒子数であり，Uint は粒子間相互作用エネルギーを表す項である．原子間の相互作用は基本的に散乱に起因するものである．極低温における原子の散乱は s 波散乱長を用いて記述される．s 波散乱長が平均粒子間距離よりも十分小さく，２体の散乱のみを考えればよい場合，相互作用エネルギーは，Uint = U0∑i<jδ(ri − rj )(2.7)

第 2 章 理論的背景

13と表すことができ，U0 は平均場近似のもとで，4πh̄2 a
U0 =
m

(2.8)

となる．BEC では全ての粒子は１粒子基底状態 φ(r) をとるので，多体波動関数は

Ψ (r1 , r2 , . . . , rN ) =N∏φ (ri )

(2.9)

i=1

と表される．

Thomas-Fermi 近似

Thomas-Fermi 近似は，Gross-pitaevskii 方程式において運動エネルギーを無視する近似である．この近似は粒子数 N が十分大きいときには良い近似となる．

[

2

V (r) + U0 |ψ(r)|]ψ(r) = µψ(r)(2.10)µ − V (r)U0

(2.11)となる．この方程式を解くと
2n(r) = |ψ(r)| =となる．原子集団の境界は，n(r)=0 となる点であるから，V (r) = µ(2.12)

を満たす．ポテンシャルとして３次元調和型ポテンシャルを考える．

1m(ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 )2V (r) =式 (2.13) を式 (2.12) に代入することにより，BEC の大きさを示す指標 Ri
して，(2.13)(i = x, y, z) と

√
Ri =

2µ
mωi2

(i = x, y, z)(2.14)を得る．この Ri はトーマス・フェルミ半径と呼ばれる．化学ポテンシャル µ は波動関数の規格化条件を用いることにより，

152/5
µ=
2
1/3

と表される．ここで，ω̄ = (ωx ωy ωz )

Na
ā

)2/5
h̄ω̄

(2.15)

は平均トラップ周波数であり，

√
ā =

である．

(

h̄
mω̄

(2.16)

第 2 章 理論的背景

2.2.2

14

２成分ボース・アインシュタイン凝縮体の相分離／混合条件

ここでは，2 成分 BEC の振舞いについて考える．2 成分 BEC の振舞いは，先行研究によって理論的に調べられている [28, 27]．成分 1 の原子間，成分 2 の原子間の散乱長をそれぞれ

a11 ，a22 とし，成分 1 と成分 2 の原子の間の散乱長を a12 とする．2 成分 BEC を記述する
Gross-Pitaevskii 方程式は，相互作用エネルギーの項に異種原子間の相互作用に起因する部分が加わった，()
h̄2 ∇22
2−µ1 −+ V1 (r) + U11 |ψ1 (r, t)| + U12 |ψ2 (r, t)| ψ1 (r, t) = 0
2m1()
h̄2 ∇22
2+ V2 (r) + U12 |ψ1 (r, t)| + U22 |ψ2 (r, t)| ψ2 (r, t) = 0
−µ2 −
2m2

(2.17)(2.18)となる．ここで，Uij =4πh̄2 aijmij

(2.19)

であり，mij = mi (i = j)，mij = m1 m2 /(m1 + m2 ) (i 6= j) である．1 成分 BEC の場合と同様に，Thomas-Fermi 近似のもとでこの方程式を解くと，異種原子間相互作用が大きさによって，２原子種の BEC が空間的に分離する相分離構造と，空間的に混合した構造のどちらかをとることが分かる．２原子種の BEC が混合する条件は，

a212 < a11 · a22
である．

(2.20)

第 2 章 理論的背景

15

2.3 光格子中のボース・アインシュタイン凝縮体
2.3.1

光トラップ・光格子の原理

原子に対して原子の共鳴周波数から離調をつけた周波数のレーザー光を照射すると，原子には電気双極子が誘起される．これと光電場との相互作用によって作られるポテンシャルにより原子をトラップすることができる．この方法を光トラップ (Optical Dipole Trap) という．この方法に関しては，[38] でまとまった議論がなされている．
双極子ポテンシャルと散乱レート
いま，共鳴周波数 ω0 をもつ２準位原子が電場 E(r, t) = eE(r)exp(−iωt) + c.c. の中におかれており，電気双極子 p(r, t) = ep(r)exp(−iωt) + c.c. が誘起されるとする．このとき，電気双極子の大きさ p は，

p = αE(2.21)と表される．ここで，α は，複素感受率であり，ω に依存する量である．
このとき，電気双極子と電場の相互作用により作られるポテンシャルは，

1
1Udip = − hpEi = −Re (α) I220 c(2.22)となる．ここで，h. . . i は時間平均，I は光強度を表す．次に，吸収と自然放出のサイクルによるフォトンの散乱について考える．原子がレーザー光から吸収するパワーは，

Pabs = hṗEi =ω
Im(α)I0 c(2.23)となる．周波数 ω のフォトンのエネルギーは h̄ω であるから，単位時間あたりのフォトンの散乱レートは，

Γsc (r) =Pabs
1=
Im(α)I(r)h̄ωh̄0 c(2.24)となる．
感受率 α は，古典的振動子モデルでは

α = 6π0 c3

1
ω02 − ω 2 − iωΓω

(2.25)となる．Γω は古典的モデルでは減衰レートであるが，原子の場合には共鳴周波数における自然放出レート Γ = ( ωω0 )2 Γω を用いて，

α = 6πω0 c3

Γ/ωo2
ω02 − ω 2 − i(ω 3 /ω02 )Γ

(2.26)

第 2 章 理論的背景

16と表される．式 (2.22)(2.24)(2.26) から，ポテンシャル及び散乱レートは，

(
)
3πc2
Γ
Γ
Udip (r) = − 3+I(r)2ω0 ω0 − ω ω0 + ω
3πc2 Γ
≈I(r)2ω03 δ

(2.27)(2.28)

)3 (
)2
Γ
ω
Γ
+
I(r)
ω0
ω0 − ω ω0 + ω( )2
3πc2 Γ
≈I(r)2h̄ω03 δ

3πc2
Γsc (r) =2h̄ω03((2.29)(2.30)となる．なお，式 (2.28)(2.30) の最後の近似は，共鳴周波数からの離調 δ = ω −ω0 が，|δ|  ω0を満たす場合に成り立つ．
式 (2.28) から，δ < 0(赤方離調) の場合，Udip < 0 となり引力ポテンシャルが作られ，

δ > 0(青方離調) の場合，Udip > 0 となり斥力ポテンシャルが作られることが分かる．また，Udip ∝

II, Γsc ∝ 2δ
δ

(2.31)

であるから，離調 δ を大きくとるほど，同じポテンシャル深さが得られる場合に散乱レートを低く抑えることができる．
これまでは理想的な２準位系原子を考えてきたが，アルカリ原子の場合には，電子のスピン軌道カップリングによる微細構造が存在する．よって，双極子ポテンシャル及び散乱レートを考える際にも，D2 線と D1 線の両方の寄与を考慮して，(

2 + P g F mF
1 − P g F mF
+
δ2
δ1
(
)
1
πc2 Γ2 2+ 2 I(r)Γsc (r) =2h̄ω03 δ22
δ1

πc2 Γ
Udip (r) =
2ω03

)
I(r)

(2.32)(2.33)となる．ここで，δ2 及び δ1 は，それぞれ D2 線及び D1 線からの離調 δ2 = ω − ωD2 ,δ1 = ω − ωD1 である．また，P = 0, ±1(直線偏光，σ ± 円偏光) であり，gF は Lande の g 因子，mF は磁気量子数である．
ガウシアンビームによる光トラップ
光トラップとして最も一般的に用いられるのが，ガウシアンビームの TEM00 モードである．ビームの伝搬方向を z 軸にとり，強度の 1/e2 半径を w(z)，パワーを P とすると，光強度

第 2 章 理論的背景

17の空間分布は，()−2r2
w2 (z)
( )2
z
1+
zR

2P
exp
I(r, z) =πw2 (z)√w(z) = w0(2.34)(2.35)となる．ここで，w0 はビームウエスト，zR = πw02 /λ はレイリー長である．式 (2.35) から，光強度は (r, z) = (0, 0) で最大となり，赤方離調をとった光を入射させれば，この点を中心としたトラップポテンシャルを作ることができる．ポテンシャル深さ U0 は式 (2.32) に

I0 = 2P/πw02 を代入したものとなる．ポテンシャル中に閉じ込められた原子集団の広がりがビーム径に対して十分小さい場合は，トラップ中心近傍で調和ポテンシャルに近似できる．式(2.35) を (r, z) = (0, 0) の近傍で展開して，[(

Udip (r) ≈ −U0 1 − 2

r
w0

(

)2
−

z
zR

)2 ]
(2.36)となる．この式から，調和ポテンシャルのトラップ周波数，及びアスペクト比は

√
ωr =

√
4U0
2U0
, ωz =
2
2
mw0
mzR
√ πw0
ωr
= 2·
ωz
λ

(2.37)(2.38)となる．

x 方向のビームウエスト wx と y 方向のビームウエスト wy が異なる楕円型ビームの場合には，(r, z) = (0, 0) での光強度が I0 = 2P/πwx wy となることと，レイリー長が，

1
1
=
2
zR
2

(

1
2
zR,x

+

1

)

2
zR,y

(2.39)

πwi2
zR,i =(i = x, y)λを満たす zR となることに注意すれば，通常のガウシアンビームに対する表式を用いることができる．なお，wx  wy の場合には，zR ≈√2 · zR,x である．

光格子ポテンシャルの形成
式 (2.32) から Udip ∝ I(r) であるから，周期的な空間強度分布をもつ光を原子集団に照射すれば，周期ポテンシャルを形成することができる．周期的な強度分布は，２本の対向するビームによって定在波を立てることで形成できる．はじめに，理想的な状況として対向する平面波の干渉による周期ポテンシャルについて考える．波数ベクトル k と −k をもつ対向する２

第 2 章 理論的背景

18

本の光が入射している状況を考える．二つの光の重ね合わせによって作られる定在波の電場振
幅は，

E(z) = E0 eikz + E0 e−ikz = 2E0 cos(kz)(2.40)となり，得られるポテンシャルは，()
V (z) = Vlat cos2 (kz) ≈ Vlat 1 − (kz)2(2.41)となる．最後の近似は z ≈ 0 の近傍での調和ポテンシャル近似である．この式から，各サイト
におけるトラップ周波数として，√
ωlat =

2k 2 Vlatm(2.42)

を得る．
ガウシアンビームを対向させた場合には，ビームの光軸方向には双曲線の，他の方向にはガウシアンの強度分布を持っているため，周期ポテンシャルに，これらの強度分布による外部コ
ンファインメントのポテンシャルを加えたものが，形成されるポテンシャルとなる一般に光軸方向のポテンシャルによる閉じ込めは，動径方向の閉じ込めに比べて非常に弱いため*3 ，軸方向には周期構造のみを考えると，得られるポテンシャルは，(V (r, z) = Vlat exp

−2r2
w02

)

(
)
2r2
cos (kz) ≈ Vlat 1 − 2 cos2 (kz)w02(2.43)となる．光トラップの場合と同様に，調和ポテンシャル近似が成り立つ場合の外部コンファイ
ンメントのトラップ周波数は，√
ωext =

4Vlat
mw02(2.44)となる．
３次元周期ポテンシャルは，３軸それぞれに対して，対向ビームによる周期ポテンシャルを作り，３対のビームを空間的に重ねることで得ることができる．このとき得られるポテンシャ*3 式 (2.38) より，例えば λ = 1µm,w0 = 100µm の時，ωr /ωz ≈ 440 である．

第 2 章 理論的背景

19
ルは，各軸によるポテンシャルの重ね合わせとして，( 2)
y + z2cos2 (kx x)
V (x, y, z) =Vlat,x exp −
wx2
( 2
)
z + x2+ Vlat,y exp −cos2 (ky y)
wy2
( 2
)
x + y2+ Vlat,z exp −cos2 (kz z)
wz2(2.45)≈ Vlat,x cos2 (kx x) + Vlat,y cos2 (ky y) + Vlat,z cos2 (kz z))
1 (+ m ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 22(2.46)となる．ここで，Vlat,i (i = x, y, z) は各軸の一次元格子のポテンシャル深さである．動径方向の外部コンファインメントのトラップ周波数は，
2=
ωext,x

4
m

(

Vz
Vy
+ 2
2
wy
wz

)
etc.

(2.47)となる．すべての軸のビームウエストおよびポテンシャル深さが等しい場合には，√
ωlat,x =

2·

4Vlat
mw02

となり，１対のビームによるコンファインメントのトラップ周波数の(2.48)√

2 倍となることに注意が必要である．

2.3.2

超流動-Mott 絶縁体相転移

ボース・ハバードモデル
ボース・ハバードモデルは，サイト間のトンネリングと，各サイトでの原子間相互作用を表わすオンサイト相互作用，および光格子ポテンシャルの空間不均一性によるサイトのエネル
ギーオフセットを取り入れたモデルで，以下のハミルトニアンで記述される．

H = −J∑hi,jiâ†i âj +

∑
i

1 ∑
[V (ri ) − µ] n̂i + U
n̂i (n̂i − 1)2i†(2.49)†

ここで，âi (âi ) は，それぞれサイト i への生成 (消滅) 演算子，n̂i = âi âi はサイト i での個数演算子であり，V (ri ) は，光格子ポテンシャルの外部コンファインメントによるサイト i のエ
ネルギーオフセット，µ は化学ポテンシャルである．
このハミルトニアンの第１項はサイト間のトンネリングを表す項であり，トンネリングの強さを表す隣接サイト i, j 間のトンネリングの行列要素 J は，サイト i に局在した１粒子ワニエ

第 2 章 理論的背景

20関数 w (x − xi ) を用いて，

∫
J =−

)
h̄2 ∇2d xw (x − xi ) −+ Vlat (x) w (x − xj )
2m
3

(

∗

(2.50)と表される．また，第３項は同一サイトに２個以上の原子が入った場合の原子間のオンサイト
相互作用を表す項である．通常，原子間の散乱ポテンシャルの有効レンジは光格子のサイト間隔に比べて小さいため，原子間の相互作用としては同一サイト内での相互作用のみを考えれば十分である．オンサイト相互作用 U はワニエ関数を用いて，4πh̄2 aU=m∫4

|w (x)| d3 x

(2.51)と表される．ここで，a は散乱長である．
トンネリングレートやオンサイト相互作用の見積もりには，式 (2.50)，(2.51) よりも，

Vlat /Er をパラメータとして表わされる以下の式を用いると便利である [39]．
(
)
√
)0.98
Vlat
Vlat
≈ 1.43exp −2.07
Er
Er
(
)(
)0.88
U
a
Vlat
≈ 5.97
Er
λlat
Er
J
Er

(

(2.52)(2.53)

ここで，Er はリコイルエネルギー h̄2 k 2 /2m であり，λlat は光格子レーザーの波長である．式(2.52)，(2.53) は，Vlat = 8〜30Er の範囲で，誤差が 1% 以下となる近似式である．
相転移点
トンネリングの項がオンサイト相互作用に比べて支配的 (J  U ) である場合，各原子はサイト間にわたって非局在化した超流動状態をとる．一方，トンネリングに比べてオンサイト相
互作用が支配的 (J  U ) である場合には，原子は各サイトに局在した Mott 絶縁体状態をとることが知られている [9]．超流動-Mott 絶縁体転移の転移点は，J と U の比が以下の式を満たす点である [39, 40]．

√U
= 2n0 + 1 + 2 n0 (n0 + 1)
zJ

(2.54)

ここで，z は最近接サイト数であり，３次元正方格子の場合には z = 6 である．また，n0 はMott 絶縁体状態における各サイトの粒子数を表す．
光格子を形成するビームの波長が 1080nm であるときの 41 K と 87 Rb の超流動-Mott 絶縁体転移点を示す．1 個/サイトの Mott 絶縁体転移点は，式 (2.54) で z = 6, n0 = 1 とすると，(√ )U= 6 × 3 + 2 2 ≈ 35
J

(2.55)

第 2 章 理論的背景

21となる点である．J および U をそれぞれ式 (2.52)，(2.53) から計算することにより (図 2.2，

2.3)，
Vlat =14Er (Rb)
16Er (K)となる．ただし，オンサイト相互作用の計算における散乱長は，表 2.2 の値を用いている．
120

100

80

10

60
40

(Hz)

(nK)

100

1

20
0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.1

Rb Onsite Interaction
K Onsite Interaction
Rb Tunneling Rate
K Tunneling Rate

図 2.2 λ=1080nm の光格子中でのトンネリングレートとオンサイト相互作用の計算

2.3.3

Mott 絶縁体状態での Shell 構造

Mott 絶縁体状態では，ボース・ハバードハミルトニアン (2.49) において，トンネリングの寄与は非常に小さく摂動として扱うことができる [41]．

H = H0 + W
∑
1 ∑
H0 =
[V (ri ) − µ] n̂i + U
n̂i (n̂i − 1)
2
i
i
∑ †
âi âj
W = −J(2.56)(2.57)(2.58)

hi,ji

ハミルトニアン (2.57) の基底としては，隣接サイト間のカップリングが無視できるので，サイ( )nâ†i |0ii をとればよい．このときの系の状態
n!

ト i に n 個の粒子が局在した状態 |nii = √1

第 2 章 理論的背景

22
Rb
SF-MI

K
SF-MI

70
60

U/J

50
40
30
20
RbU/J

10
0

図 2.3

87

KU/J

5

15

10

20

Rb と 41 K の超流動-Mott 絶縁体相転移点 (波長 1080nm の場合)．

は，状態 |nii の直積として，|ΨM I i =

M
∏

|nii

(2.59)

i=1と表される．ここで，M は粒子が入っているサイト数である．このときの系のエネルギーは，hΨM I H0 ΨM I i =∑hn H0 nii ≡i

1
Ei = −µ̃n + U n(n − 1)
2

∑

Ei

(2.60)

i(2.61)となり，これを最小にするような原子の分布が実現される．ここで，µ̃ = µ − V (r) は，各サ
イトにおけるローカルな化学ポテンシャルである．この式から系の全エネルギーを最小にするには，各サイトにおけるエネルギー Ei を最小化するように各サイトでの粒子数を決めればよいことが分かる．

Ei は，n = µ̃/U + 12 のとき最小となるが，n は非負整数値をとることから，Ei が最小とな
る条件は，

n−1<

µ
µ̃
≤
<n
U
U

(2.62)となる．外部ポテンシャルとして，等方的な調和ポテンシャル V (r) = αr 2 を考える．光格子内で n 個/サイトの領域と n+1 個/サイトの領域の境界の半径を Rn とすると，n =第 2 章 理論的背景

23[µ − V (Rn )]/U より，(Rn =µ − nU
α)1/2(2.63)となる．光格子中での原子の分布は，式 (2.63) で決まる Rn を半径とする，n 個/サイトのMott 絶縁体状態の領域が共存した Shell 構造をとる [42, 43, 44]．ポテンシャルが異方的である場合も，各方向に関して式 (2.63) で定められる半径をもつ楕円体の領域が共存する状態を考えれば良い．
本研究では，１個/サイトのサイト数が生成しうる分子数を制限するため，以下で n = 1 のサイト数について考える．式 (2.63) で決まる Rn が光格子のサイト間隔 d = λ/2 より十分大きい場合，n 個/サイトの領域の密度は一様に n/d3 とみなすことができる．得られる 1 個/サ
イトのサイト数 N2 は，各方向の半径が R0,i (i = x, y, z) である楕円体の中に含まれるサイト
数となるから，∫1
N2 = 3n(r)d3 rd4π= 3 R0,x R0,y R0,z3d

(2.64)

1

2/2 を代入して，式 (2.63) より，R0,i = (µ/αi ) 2 であるから，αi = mωext,i

4π
N2 =
3

(

2
mω̄extd22µ)− 32(2.65)となる．ここで ω̄ext は，光格子の外部コンファインメントの平均トラップ周波数 ω̄ext =1/3(ωext,x · ωext,y · ωext,z )である．さらに，

µ̃
µ
≤
=1
U
U

(2.66)

であるから，式 (2.65) において，N2 が最大となるのは，

4π
N2 =
3
である．

(

2
mω̄extd2
2U)− 32(2.67)

25

第3章

実験装置
この章では，本研究で用いた実験装置について説明する．
第 3.1 節では，光格子と光トラップの設計について述べる．第 2.1 節で述べたように，本研
究では，Feshbach 分子を安定に生成するために，３次元光格子を導入し Rb と K を１サイトに１個ずつロードした２原子種 Mott 絶縁体状態を用意することにした．このとき生成される
分子数の上限は，

1.

光格子でRb と K を１個ずつロードできるサイト数2.

光トラップ中で生成できる混合 BEC の原子数で決まる．そこで，第 2.3 節の議論をもとに，実験的制約の中で，Mott 絶縁体状態において
１原子／サイトとなるサイト数を最大にするような設計を行った．
また，２原子種を同時にトラップする場合，質量の違いから重力による空間的分離が生じ，異種原子間の相互作用制御を行う際の問題となる．本節では，トラップ中心のずれを評価し，光トラップの波長の選定により Rb と K のトラップ中心が一致することを示す．
次に第 3.2 節で，設計した光格子及び光トラップを作るための光学系，及び使用したレーザー光源について説明する．
第 3.3 節では，真空系・レーザー冷却用の光源および磁気トラップ・Feshbach 磁場の生成について概略をまとめる．第 3.3 節の詳細は，本研究室の過去の学位論文にまとめられている[45, 46, 47]．

第 3 章 実験装置

26

3.1 ３次元光格子と光トラップの設計
3.1.1

３次元光格子の設計

ここでは，２原子種 Mott 絶縁体状態を実現するための光格子の設計について述べる．光格子の設計の際に考慮すべき点は，以下の２点である．

1. 超流動-Mott 絶縁体転移点よりも深いポテンシャルを得ることができること．この条件からポテンシャル深さの下限が決定される．

2. １個/サイトのサイト数をより多くするために，外部コンファインメントのトラップ周√−3
波数を小さくすること．トラップ周波数は，ωext ∝ Vlat /w02 であり，N2 ∝ ω̄ext∝ w03となるので，ビームウエストを極力大きくすることが重要である．
実験上は，光格子に使うことができるパワーが 1 軸あたり 2W に制約されており，Vlat ∝ P/w02であるから，条件１とパワーの上限から，ビームウエストの上限を決定した．

1080nm では 41 K と 87 Rb のポテンシャル深さの比は VK /VRb = 0.87 であり，)()(
mK Vlat,K Vlat
Vlat
=
Er K
mRb Vlat,Rb Er Rb
(
)
(
)
41
Vlat
Vlat
=
· 0.87 ·= 0.41
87
Er Rb
Er Rb

(3.1)
(3.2)

となるから，41 K に対して転移点を超えるポテンシャル深さを得られるような設計を行う．転移点におけるトンネリングレートは 20Hz (K)，16Hz (Rb) である．実験上は，光格子の定在波の明瞭度や，光源のパワーが十分確保できないなどの不確定要素があるため，深さに余裕を持たせ (Vlat /Er )K = 30 のポテンシャル深さを得られる設計にした．この時，K のトンネリ
ングレートは 1.7Hz である．パワーを 2W に固定した条件で，ビームウエストを 2w0 とすると，得られるポテンシャル深さは，

Vlat
6.8 × 106=(Rb)
Er
(w0 [µm])2
2.8 × 106(K)
(w0 [µm])2となる．この計算式からビームウエストを 2w0 =600µm に決定した．
表 3.1 に，λ=1080nm，2w0 =600µm における光格子のパラメータを示す．

第 3 章 実験装置

27

200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
100

Rb
K

150

200

250

300

400

350

図 3.1 パワー 2W のときの光格子のポテンシャル深さ

表 3.1 2w0 =600µm，P=2W の時の光格子のパラメータ
87

Rb

41

Vlat /Er

75.5

31.1

Vlat /kB

7.13µK

6.23µK

トンネリングレート

J/h

3.02×10−3 Hz

1.7Hz

１サイト内でのトラップ周波数

ωlat /2π34.2kHz

46.6kHz外部コンファインメント (１軸あたり)

ωext /2π

27.7Hz37.7Hz

外部コンファインメント (３次元)ωext /2π

39.2Hz53.3Hz

光散乱レートΓsc

5.39×10−2 Hz

4.33×10−2 Hz

反跳エネルギーEr /kB

94.5nK

200nK

反跳周波数

ωr = Er /h̄

1.97kHz

4.18kHz

ポテンシャル深さK第 3 章 実験装置

3.1.2

28

重力サグの補正

ここでは，重力による光トラップの中心位置のずれを評価し，それを補正する方法について述べる．光トラップによるポテンシャルを調和ポテンシャル Udip = mωx2 x2 /2 で近似する．
これに重力を加えたポテンシャルは，

(
)2
mg 2
1
1
g
2 2
2
−
U (x) = mωx x + mgx = mωx x + 2
2
2
ωx
2ωx2

(3.3)

となる．よってトラップ中心はガウシアンビームの中心点からずれることになる．これを重力サグと呼ぶ．重力サグの大きさは，

sag = −

g
ωx2

(3.4)

となり，重力方向のトラップ周波数で決まることが分かる．トラップ周波数は，式 (2.37) から分かるように，質量とポテンシャル深さで決まる．本研究では，蒸発冷却を行う光トラッ
プと光格子に用いる波長として 1080nm を選定したが，この波長では 41 K と 87 Rb のポテン
シャル深さの比は VK /VRb = 0.87 であり，トラップ周波数の比は ωK /ωRb ∼ 1.5 となる．

λ = 1080nm の Rb と K の相対位置のずれを図 3.2 に示す．
この図には，BEC の典型的なサイズとして，原子数を N=1×105 ，水平方向のトラップ
周波数を ωy = ωz = 2π × 50Hz とした時のトーマス・フェルミ半径の値も示してある．

λ = 1080nm では重力方向のトラップ周波数が 200Hz 程度までの領域では，重力サグと BECの大きさがほぼ等しく２成分の空間的重なりが小さいことが分かる．
この問題の解決方法として，本研究では両原子種でトラップ周波数が等しくなるような波長*1 式 (2.37) より，を選定し，41 K と 87 Rb のトラップ中心を一致させる方法をとった [48]．

√
√
ωK
UK
mK
=
·
=1
ωRb
URb
mRb
URb
mRb
87
⇒
=
=
∼ 2.1
UK
mK
41

(3.5)

となるような波長が存在すれば，トラップ周波数を等しくすることができる．87 Rb の D2 ，D1
線はそれぞれ 780nm，795nm，41 K の D2 ，D1 線はそれぞれ 767nm，770nm である．ポテン
シャル深さは離調に反比例し，質量の重い 87 Rb の方が共鳴線が長波長側にあることから，式(3.5) を満たす波長は赤方離調側に存在する．
図 3.3 に，800-1100nm での 41 K と 87 Rb のトラップ周波数の比 ωK /ωRb の計算結果を示す．計算には D2 線と D1 線の両方の寄与を考慮した．このプロットから，式 (3.5) をみたす
*1 図 3.2 から分かるように，２原子種の重なりを大きくするために，重力方向のトラップ周波数を大きくする方法もある．

第 3 章 実験装置

29

波長は λ = 808.8nm であり，両原子種に対して赤方離調側に存在することが分かる．よって，ガウシアンビームを用いて，引力ポテンシャルによるトラップを作ることが可能である．

100
RbThomasFermiRadiusKThomasFermiRadius

10

1
0

100

200

300

41
λ = 1080nm
K と 87 Rb の相対位
˛ の場合の，光トラップ中での重力サグによる˛˛ g˛
置のずれ ∆sag = ˛ ω2 − ωg2 ˛．図中には，原子数を 1×105 ，水平方向のトラップ周波数

図 3.2

Rb

K

を ωy = ωz = 2π × 50Hz と仮定した時の，重力方向のトーマス・フェルミ半径も示した．

第 3 章 実験装置

30

1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0.98
0.96
0.94
0.92
0.9
805

1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
800

807

809

900 1000 1100
wavelength(nm)

811

813

815

wavelength (nm)図 3.3

各波長における 41 K と 87 Rb のトラップ周波数の比 ωK /ωRb の計算結果．計算には D2 線と D1 線の両方の寄与を含めた．

第 3 章 実験装置

31

3.1.3

交差型光トラップの設計

ここでは，|F, mF i = |1, 1i 状態の混合 BEC を生成するための光トラップの設計について述べる．重力によるサグの補正として用いる光トラップの波長 809nm は，87 Rb の D1 線

795nm に近く散乱レートが高くなってしまうため，熱的原子集団をトラップして蒸発冷却を行うことは難しい．そこで，

1. 波長 1080nm の光トラップへロードして蒸発冷却により BEC を生成
2. 蒸発冷却後 1080nm 光トラップから 809nm 光トラップへ BEC を移し替える
3. ３次元光格子を立ち上げるという手順をとることにした．この節では，まず３次元光格子へのロードのための 809nm 光
トラップの設計について述べ，次に混合 BEC 生成のための 1080nm 光トラップについて述
べる．

809nm 光トラップの設計の方針は以下の通りである．
1. ビームウエストをできる限り大きくすること．光格子中で得られるサイト数は 809nm
光トラップ + 光格子のトラップ周波数で決まるため，トラップ周波数をできる限り小さくする必要があるからである．ビームウエストの上限は，用意できる光源のパワーで決まる．

2. フォトン散乱レートを抑え，光格子へのロードにかかる時間よりも十分長い寿命を確保すること．Γsc ∝ I0 ，U0 ∝ I0 であるから，散乱レートを抑えるためには光トラップのポテンシャル深さ U0 を浅くしなければならない．しかし，ポテンシャル深さは BECを支えられるだけの深さ ( 1µK 程度) は必要である．さらに以下で述べるように，重力方向はビームウエストを大きくするほど U0 を大きくする必要があるので，散乱レートを抑えるという条件から，重力方向のビームウエストの上限が決まる．
これらの条件を踏まえて，809nm 光トラップのビームウエストを決定する．
まず重力方向のポテンシャルについて考える．光トラップの重力方向のビームウエストを

2wz ，ポテンシャル深さを U0 とすると，重力を加えたポテンシャルは，()
2z 2U (z) = Udip (z) + mgz = −U0 exp − 2 + mgz
wz

(3.6)

となる．光トラップはポテンシャル形状がガウシアン型であり，重力方向のビームウエストが大きいとポテンシャルが極小点を持たず，原子をトラップすることができない (図 3.4)．光ト

第 3 章 実験装置

32

ラップによるポテンシャルの勾配は，

)
(
dUdip
4U0
2z 2
= 2 z exp − 2
dz
wz
wz

(3.7)

であり，z=-w0 /2 で最小となる．この点での勾配が重力を加えたときに負となればポテンシャ
ルは極小点を持ち，極大値と極小値の差が正味のポテンシャル深さとなる．重力方向のポテン
シャルが極小点を持つ条件は，
0
Udip

(w )
0

2

=

2U0 1
√ > mgwz e(3.8)

である．実際には，式 (3.8) を満たし，さらに極大値と極小値の差が 1µK 程度となるような設計を行う．
図 3.5 に，重力方向のビームウエストを変化させたときに，重力を考慮したポテンシャル深さが 1µK となるために必要な U0 と，そのときの散乱レート及びトラップ周波数を示す．図3.5 の計算では，Rb に対して Γsc =0.5Hz 程度となるように，重力方向のビームウエストを
2wz =80µm に決定した．

第 3 章 実験装置

33

15
gravity
10
5
0
-5
-10
-15
-20

図 3.4

-3

-2

-1

0

1

2

重力方向のポテンシャル. この計算では，光トラップによるポテンシャル深さをUdip = 10µK と仮定した．ビームウエストが大きくなり，トラップ周波数が小さくなるに
つれ，光トラップによるポテンシャルが重力に負けてしまい，原子を捕捉することができな
くなる．

3

第 3 章 実験装置

34

1.0

200

0.9

Rb

0.8

K

180

Trap frequency

0.7

160
140

0.6

120

0.5

100

0.4

80

0.3

60

0.2

40

0.1

20

0

0
40

60

80

100

120

140

160

図 3.5 809nm 光トラップの重力方向のビームウエストの決定．重力方向のビームウエス
トが大きくなるほど，同じポテンシャル深さを得るためには，より大きな光トラップのポテ
ンシャル深さが必要になる．この時，光散乱レートも大きくなってしまう．光格子へのロードに十分な寿命 (本研究では 1 秒とした) を得るために，散乱レートが 1Hz 程度となるような設計を行った．

第 3 章 実験装置

35

次に，水平方向のビームウエストを決定する．水平方向のビームウエストは，用意できるパワーの上限を考慮した上で，できる限り大きくすることが重要である．本研究では，用意できる光源のパワーが最大で 100mW 程度であることから，水平方向のビームウエストを

2wy =800µm とした．
この時，レイリー長は zR =7.9mm であり，光軸方向のトラップ周波数は ωz =2π×0.8Hz と非常に小さくなってしまう．光軸方向の閉じ込めを作るために交差型光トラップ (あるいは，クロスビームトラップ) の配置にする．クロスビームの設計の最に注意すべき点は，

1. Tc や密度を考慮して，蒸発冷却を行い BEC を生成できるトラップ周波数を確保する
こと．

2. 重力方向のポテンシャルには影響を及ぼさないこと．
の２点である．これらの点を考慮して，表 3.2 に示すように，クロスビームによるトラップ周
波数を ωx ≈ 2π × 30Hz とし，ビームウエストを 2w0 〜160µm とした．

1080nm の光トラップの設計は，809nm 光トラップとのモードマッチを考えた設計を行う．
実験では，磁気トラップで 1µK 程度まで冷却した原子気体を光トラップへ移し，1080nm のク
ロスビームトラップ中で蒸発冷却を行う予定である．809nm ビームと 1080nm ビームのビー
ムウエストを等しくすると，パワーを調整してポテンシャル深さをそろえればモードマッチをとることができる．λ=1080nm，(2wz , 2wy ) = (80µm, 800µm) としたとき，ポテンシャル深さは，

U0 /kB [µK] =5 × P [W ]4.38 × P [W ](87 Rb)(41 K)となる (図 3.6)．光トラップ中では，原子気体の温度とポテンシャル深さの関係は，

kB T =

U0， η = 7〜10
η

(3.9)

となることが知られている [49]．このため，T〜1µK 程度の熱的原子集団をトラップするためには U0 /kB =10µK 程度のポテンシャル深さが必要となる．図 3.6 の計算から，P=2W とす
れば，10µK 程度のポテンシャル深さを得ることができる．正味のポテンシャル深さは，この値に重力の効果を取り入れたものとなる．2W は十分用意できるパワーであるので，本研究では 1080nm 光トラップのビームウエストも (2wz , 2wy ) = (80µm, 800µm) とした．
表 3.2 に，これまでの設計による光トラップのパラメータをまとめる．

第 3 章 実験装置

15

36

500
Rb Potential Depth
K Potential Depth

400

10
300

200

5
100

K Trap Frequency
Rb Trap Frequency

0

0

0.5

1

2

1.5

2.5

3

0

Power (W)
図 3.6 (2wz , 2wy ) = (80µm, 800µm) の時の，1080nm 光トラップによるポテンシャル
深さと重力方向のトラップ周波数

3.1.4

得られるサイト数の見積もり

以上の設計で得られる１個/サイトのサイト数の上限を見積もる．サイト数の上限 N2 は，式 (2.65) において，平均トラップ周波数に以下の Ω̄ を代入した値となる．
1/3Ω̄ = (Ωx Ωy Ωz )√22
Ωi = ωODT,i+ ωext(3.10)(i = x, y, z)(3.11)

ここで，ωODT はクロスビーム光トラップのトラップ周波数，ωext は光格子の外部コンファイ
ンメントのトラップ周波数である．表 3.3 に，トラップ周波数と N2 の値を示す．設計通りのトラップが得られた場合，

N2 =3.7 × 104 (Rb)
3.3 × 104 (K)となる．

第 3 章 実験装置

37

表 3.2 809nm 及び 1080nm 光トラップのパラメータ．ポテンシャル深さには，重力の寄与も含めてある．x 方向に関しては，共に波長 1080nm を用いた場合のトラップ周波数を示している．

1080nmU/kB

Γsc(ωz ,ωy ,ωx )/2π

Tc for N=5×104
Tc for N=1×104

809nm

P=2W

P=1W

P=100mW

Rb

4.8µK

780nK

940nK

K

6.0µK

2.0µK

460nK

Rb

7.6×10−2 Hz

3.8×10−2 Hz

0.47HzK

6.1×10−2 Hz

3.1×10−2 Hz

0.1Hz

Rb

(250,25,25)Hz(170,17,25)Hz(180,18,25)HzK(340,34,34)Hz(240,24,34)Hz(180,18,34)Hz

Rb

70nK

71nK

K

96nK

79nK

Rb

41nK

42nK

K

56nK

46nK

表 3.3

得られるサイト数の上限
87

41

Rb

K

ωODT /2π

ωext /2πΩ/2π

ωODT /2π

ωext /2πΩ/2π

重力方向 (x 方向)

178Hz

39.2Hz

183Hz

178Hz

53.3Hz187Hz

水平方向 (y,z 方向)

17.8Hz39.2Hz42.3Hz17.8Hz53.3Hz55.7HzΩ̄/2π

69.7Hz83.9HzN2

3.7×104

3.3×104

設計値からのずれの影響
次に設計値からのずれがサイト数の上限に与える影響を考える．表 3.3 から分かるように，
重力方向のトラップ周波数が最も大きく，N2 のずれはこの値の変化に最も敏感であると考えられる．以下で，重力方向のビームウエストの変化に対する N2 の変化について考える．
重力方向のビームウエストが設計値からずれた場合，ポテンシャル深さを設計値と同じにす

第 3 章 実験装置

38

るためには，水平方向のビームウエストを変化させる必要がある．このとき，

ωODT,z ∝1
wzとなり，I0 =2P/πwy wz であるから，I0 を一定値にして wz を変化させると，

2P
1
1
·
∝
πI0 wzwz
1
ωODT,y ∝
∝ wz
wy
wy =

のように，水平方向の光トラップによるトラップ周波数は重力方向のビームウエストに比例して変化する．このときの N2 の変化は，x 方向のトラップ周波数を一定と仮定すると，−1

N2 ∝ (Ωx Ωy )

((
∝

)
)
( 2
) −1/2
1+ A · wz + B
wz2(3.12)となる．A,B は光トラップのポテンシャル深さや，光格子のトラップ周波数を含んだ定数である．

第 3 章 実験装置

39

3.2 光トラップ・光格子の実験装置
3.2.1

レーザー光源

光格子及び交差型光トラップに用いるレーザー光源としては，波長 1064nm(古河電工社製，最大出力 5W，線幅 <10kHz) 及び波長 1080nm(Seed 光: NP Photonics 社製，Amp: Nufern
社製，最大出力 10W，線幅 <10kHz) のファイバーレーザーを用いた．波長の選択に際しては，41 K 及び 87 Rb の共鳴線から十分に離調をとることと，Feshbach 分子及び振動基底状態の分子の共鳴から外れていることが重要である．ファイバーレーザーを用いる利点としては，ビームがファイバーから出射されるため，空間モードがきれいなガウシアンビームになっており，ファイバーカップリングなどが行いやすいという点が挙げられる．
図 3.7 に，光格子と光トラップ用の光源のセットアップの概要図を示す．ファイバーレー
ザーは戻り光に対して非常に弱く，戻り光の処理が重要である．特に，本研究ではビームをミラーで打ち返して光格子を構成しているため，通常よりも戻り光が大きくなることが予想される．このため，各ファイバーレーザーに対してアイソレータを２台ずつ配置した．共に２台で60dB 以上の Isolation level を確保している．
光源から出射されたビームは，2w=1mm 程度の平行光になるようにビーム整形を行っている．これは音響光学素子 (Acousto-Optic Modulator; AOM) の active aperture やファイ
バーカップラのビーム径が約 1mm であるためである．また，2w=1mm のビームのレイリー
長は zR =727mm であるので，AOM やファイバーカップリングを行うパス (約 600mm 程度)の間は，ほぼ平行光と見なすことができる．
ビーム整形後の光は，λ/2 波長板と偏光ビームスプリッタ (Polarizing Beam Splitter; PBS)
を用いて各々の軸へパワーの分岐がなされ，その後に AOM を通している．AOM は，それぞれの軸が他の軸のビームと干渉することを避けるために周波数差をつけることと，AOM に入射する RF 信号のパワーを調節することで各々のビームのパワーを調節する，という役割がある．使用した AOM は 80MHz 及び 110MHz のものであり (Crystal Technology 社製，3080-197,3110-197)，回折効率は 80〜90% である．
AOM で回折された光は，ファイバーを用いて真空系が乗っている定盤に運ばれる．ファイバーカップラは Thorlabs 社製の F230FC-C を用いた．また，ファイバーはシングルモー
ド，偏波面保持，アングルカットファイバーの 5m のものを使用した (OZ Optics 社製，

PMJ3A3A-980-6/125-3-5-1)．ファイバーを用いると，空間的に離れた場所に光を運ぶことができるだけではなく，空間モードのクリーニングも行うことができる．また，光格子のアライメントする際には，ミラーで打ち返した光をファイバーにカップリングさせるようにアライメ
ントを行えば，行きのビームと打ち返されたビームを精度よく合わせることができる．

第 3 章 実験装置

40

EOT

10W ﬁber laser(seed: NP Photonics
amp: Nufern)
1080nm

AOM-80MHzODT(A)axis0th beam
AOM-110MHz-1th beam

ODT(P)axisAOM
110MHzLattice(C)axisAOM
80MHz

Lattice(B)axis5W ﬁber laser(FURUKAWA)
1064nm

EOT

OFR
AOM
110MHzLattice(A)axis

Isolatorhalf waveplate

Fiber coupler(Thorlabs F230FC-C)

PBS

Fiber: Single mode,
Polarization maintaining(OZ optics 980nm-6/125)

図 3.7 光格子と 1080nm の光トラップの光源の模式図．10W の fiber laser と 5W のfiber laser の２台を使用している．光格子には１軸あたり２ W，光トラップ (P) 軸にも２W 必要であり，単純にパワーを分配すると不足してしまう．光トラップの P 軸は，光格子へのロードの際は 809nm の光トラップに切り替わり不要となるため，AOM の０次光と−１次光を使い分けて光格子に必要なパワーを確保した．

第 3 章 実験装置

41

809nm 光トラップの光源
蒸発冷却による BEC 生成の後，重力サグ補正のために用いる 809nm の光トラップの光源
は，外部共振器型半導体レーザー (External Cavity Diode Laser;ECDL) により 809nm の種光を作った後に，slave laser,Tapered Ampliﬁer(TA) を用いてアンプし実験に必要なパワー

100mW を確保している．
光源の強度ノイズ光トラップや光格子に用いる光源が，典型的な実験時間より速い周期の強度揺らぎを持っていると，原子をトラップしている間にポテンシャル深さが変わってしまうため，実験に悪影響を及ぼす恐れがある．また，光トラップや光格子のトラップ周波数と，光源の強度ノイズが，2 ωtrapωint.noise=(n : 整数)
2π
n 2π(3.13)

を満たすと，パラメトリックヒーティングによって原子集団が加熱されてしまうため [50]，何らかのフィードバックによってノイズを消す必要がある．図 3.8 に，10W のファイバーレー
ザーの強度ノイズの測定結果を示す．光トラップのトラップ周波数 (<1kHz) の範囲では，問題となる強度ノイズは無いことを確認した．
一方，光格子の反跳周波数 (Rb:2kHz,K:4.3kHz) に近い周波数で強度ノイズが見られ，光格子へロードする際に加熱につながる恐れがある．

1.23kHz から等間隔に強度ノイズがあるが，これは，ファイバーアンプの電源として用いているスイッチング電源のスイッチングノイズが原因として考えられる．そこで，電源をシリー
ズ電源 (菊水電子工業社製，PAN60-6A) に交換して再度測定を行ったが，同じ周波数で強度ノイズが生じている．ノイズの周波数が等間隔であることなどから，アンプの電源系統に発振が起こっている可能性が考えられる*2 ．
また，5W のファイバーレーザーに関しては目立った強度ノイズは見られなかった．

*2 将来的には AOM を用いて強度安定化を行う必要がある．

第 3 章 実験装置

42$"
10/.-,(+*')('&

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!"

#

2"3%"

(b) 0〜50kHz

図 3.8 10W ファイバーレーザーの強度ノイズ．レーザーからの出力をビームサンプラーで一部分岐し，PhotoDiode(PD) で観測した結果を FFT したものを示している．

第 3 章 実験装置

43

3.2.2

ガラスセル周辺の配置図

図 3.9，3.10 に光格子と光トラップのビームのガラスセル周辺の配置を示す．３軸の光格子のビームはそれぞれ dichroic mirror(CVI Melles Griot 社製，1064nm&1080nm: 反射，767nm&780nm: 透過) を用いて MOT 光に重ねるパスになっている．それを R=508mm の凹面ミラー (保護膜付金コート) で打ち返すことにより光格子を構成している (凹面ミラーの選定については次節を参照のこと)．BEC を生成するための交差型光トラップは，重力を支える
ビームである P 軸*3 に 1080nm/809nm を用い，P 軸の軸方向のコンファインメントとして用いる A 軸には 1080nm を用いる．809nm は dichroic mirror を透過するため，光格子のビー
ムと重ねることができない．そこで，ガラスセルの長軸方向から入射させることにした．光トラップの A 軸は，PBS を用いて光格子 A 軸のビームに重ねる構成にした．

*3 1st セル側から push 光と mF pumping光 が入射しているので，P 軸と呼ぶ．

第 3 章 実験装置

図 3.9

光格子及び光トラップビームのガラスセル周辺の配置図：正面図．光格子のビーム

は dichroic mirror を用いて MOT 光に重ねている。光格子はビームを凹面ミラーを用いて反射させることで構成している．

44

第 3 章 実験装置

45

DamperDichroicmirror(767nm,780nm:Transmit
1064nm,1080nm:Reﬂect)
Mirror(ProtectedGold)

Mirror(Dielectric)

Concavemirror(R=508mm,ProtectedGold)
Polarizing
Beamsplitter

図 3.10 光格子及び光トラップのガラスセル周辺の配置図：上面図．光格子 A 軸と光トラップ A 軸は PBS で同じパスに重ねている．それらを dichroic mirror で MOT 光に重ねた．光格子 A 軸のアライメントでは，サイドイメージングのシステムを使うことで，ビームを原子の位置に合わせることができる．

第 3 章 実験装置

3.2.3

46

ガウシアンビームと ABCD 行列

ここでは，光トラップや光格子の設計の際に用いるガウシアンビームのいくつかの式について，簡単にまとめる [51]．図 3.11 のようにビームウエスト 2w0 ，波長 λ のガウシアンビーム
を焦点距離 f のレンズで集光する場合を考える．このときレンズによって集光された光のビー
ムウエスト 2w00 と焦点までの距離 z 0 は，Mr
f(
)2 , M r = z − fz0
1 + z−fM=√(3.14)

w00 = M w0 , (z 0 − f ) = M 2 (z − f ), 2z00 = M 2 (2z0 )(3.15)となる．ここで，M は倍率，Mr は幾何光学近似の下での倍率を表わし，z0 (z00 ) はそれぞれ
ビームウエスト 2w0 (2w00 ) でのレイリー長 z0 = πw02 /λ を表わしている．
次に，焦点にビームウエストにレンズを置いた場合を考える．入射ビームのレイリー長 z0
がレンズの焦点距離 f よりも十分長い場合，入射光は平行光とみなすことができる．直径 D の平行光を焦点距離 f のレンズで集光した時，得られるビームウエストは，

2w0 =

4f λ
πD

となる．

図 3.11 ガウシアンビームのレンズによる集光(3.16)

第 3 章 実験装置

47

3.2.4

光格子の光学系

光格子の設計は，第 3.1 節で述べたように 2w0 =600µm のビームウエストとしている．
ま ず ，こ の ビ ー ム ウ エ ス ト を 得 る た め の 光 学 系 に つ い て 説 明 す る ．実 験 装 置 の 配 置 の都 合 で ，(A),(B),(C) 軸 の パ ス は そ れ ぞ れ ，ビ ー ム 整 形 の ス ペ ー ス か ら 原 子 の 位 置 ま で300mm,700mm,500mm のスペースを取らなければならない．また，MOT 光などと干渉しないような配置をとる必要がある．このような制約を踏まえて，図 3.12 に示すような光学系を設計した．

z 000 (mm)f1 (mm)z 00 (mm)2w00 (µm)

z 0 (mm)

f2 (mm)z (mm)

(A)

55

75

75

91

86

75

300

(B)

55

50

55

91

115

100

700

(C)

55

50

50

91

85

75

500

図 3.12 光格子の光学系の設計．ファイバーカップラから出射された光をレンズ f1 で１度集光させた後，レンズ f2 の焦点距離とレンズを置く位置を調整することにより，原子の位置で 2w0 = 600µm のビームウエストを得ている．レンズは全て plano-convex

lens(Thorlabs, B-coating) を使っている．

次に打ち返しの凹面ミラーの選定について説明する．一般に曲率半径 R の凹面ミラーは，
焦点距離 f = R/2 のレンズと等価と考えてよい．本研究で用いた実験装置では，打ち返しミラーを原子の位置から 200mm の距離に配置しなければならない．式 (3.15) を用いて，

2w0 = 600µm，z = 200mm として様々な R の凹面ミラーを置いたときに得られる打ち返し
ビームのビームウエストを図 3.13 に示す．この結果から，R=508mm のとき，反射されたビームのビームウエストが 2w0 = 570µm となり，入射ビームに最も近いビームを得ることができると分かった．この結果から，光格子の打ち返しミラーには R=508mm の球面ミラー(Edmund 社製，保護膜付金コート) を選択した．

第 3 章 実験装置

48

Atom

400

Mirror

350
300
250
200
150
100
-200

Input beam
R=200mm
R=406mm
R=508mm
R=609.6mm-100

0
z (mm)

100200

図 3.13

光 格 子 の 打 ち 返 し 凹 面 ミ ラ ー の 選 定 ．z=0mm の 位 置 に 原 子 が あ る と し ，z=200mm で入射光を反射させたときのビーム径を計算した．

ビームウエストが設計よりも大きくなると，パワーが不足し十分なポテンシャル深さを得られない恐れがある．設計より小さくなった場合は，ポテンシャル深さは問題ないが，光格子ポテンシャルの外部コンファインメントのトラップ周波数が，ビームウエストに反比例して大きくなる．

第 3 章 実験装置

49

3.2.5

扁平度調整可能な光学系の構成

交差型光トラップは第 3.1 節で述べたように，(P) 軸は 2wy × 2wz = 80µm × 800µm の扁
平度 10 の楕円ビームであり，また (A) 軸も重力方向に長い楕円型ビームを用いる設計を行っている．しかし，初めから大きな偏平度のビームを用いると，

1. ポテンシャル深さを深くできないので，アライメントがしにくい．
2. ビームウエストが設計より大きくなると，十分なポテンシャル深さを得られない恐れがある．
などの不安要素がある．光学系の設計では，これらの問題を解決するために，ビームの偏平度を調整できるような光学系を構成した．
以下で，まず偏平度を調整できる光学系の原理について説明する．まず，図 3.14(a) に示す
ように，扁平をさせずに必要なビームウエストのガウシアンビームを作る光学系を組む．このときに，光学系の中間に一度焦点を持たせることが重要である．ビームウエストで 80µm 程度のビームを得る場合，イメージングレンズの直前で 8〜9mm 程度のビーム径が必要になるため，ファイバーからのビームをコリメーションレンズを使わずに出射させた．これを焦点距離の等しい２枚のレンズで 1:1 のイメージング系を組んで１度集光させた後，必要となる倍率のイメージング系を組んでビームウエストを作る，という構成にする．
次に，図 3.14(b) のように，中間の焦点付近に焦点距離 fc のシリンドリカルレンズを導入
し，中間焦点とシリンドリカルレンズの距離を x とする．このとき，シリンドリカルレンズによって，イメージング系の後で作られるビームウエストの大きさと位置が変化する．このときシリンドリカルレンズが作用しない方向のビームウエストの位置で，ビーム径がどう変化するかを考える．fc  x であるとすると，シリンドリカルレンズによってビームは defocusing されることになる．簡単のため光線光学近似で考え，焦点からのビームの広がり角を θ とし，後段のイメージング系を行列表現することにより，

[
][
][
][
1 b
1
0 1 a−x10 1 −1/f 1 0
1
−1/fc
[
]
2
− ab fxC
(
)
(
)
=
2
− fa 1 − fxC − fxfC + 1 − ffC][][ ]0 1 x 01 0 1 θ(3.17)となる．このように，ビーム径はシリンドリカルレンズの位置に対して 2 次関数的に変化する
ことが分かる．

第 3 章 実験装置

図 3.14 光トラップのための偏平度調整可能な光学系．まず扁平させない光学系で，必要なビームウエストが得られるような系を組む．このとき途中に一度焦点を持たせることが重要である．この系の途中にある焦点の位置にシリンドリカルレンズを入れて，焦点からの距離 x を調整することにより偏平度の調整が可能になる．

50

第 3 章 実験装置

51

1mm

1mm

図 3.15 扁平度調整の例．後に述べる光トラップ A 軸のセットアップで，シリンドリカル
レンズの位置を変えたときのビーム径の変化をビームプロファイラで測定した．左図のようにシリンドリカルレンズが焦点の位置にあれば丸いビームを得ることができる．シリン
ドリカルレンズの位置を動かすと右図のように扁平させることができる．

第 3 章 実験装置

3.2.6

52

光トラップ P 軸の光学系

図 3.17 に光トラップ P 軸のセットアップを示す．この軸はセットアップから焦点までの距
離を 500mm 以上とる必要があるため，最後のレンズを f=500mm とした．式 3.16 から，平行光を f=500mm のレンズで集光してビームウエスト 2w0 =80µm を得る場合，必要な平行光のビーム径は，

D=

2 × 500mm × 1.08µm= 8.6mm
π × 40µmである．ファイバーからのビームの広がりは図 3.16 に示すようになっており，この結果から

f=50mm のレンズでコリメートすると，得られる平行光のビーム直径は，D ∼ 0.1 × (50 − 5) + 3 = 7.5mm(3.18)となる*4 ．そこで１枚目のレンズに f=50mm を選定し，倍率 10 の光学系を組むことにした．

(この系は初段のイメージング系が 1:1 ではないが，２枚目と３枚目のレンズの焦点距離が同じなのでトータルの倍率は，M=75/50 × 500/50=10 となる．)
この軸は 1080nm と 809nm の２種類の波長を用いるため*5 ，色収差に注意する必要がある．
実験では，1080nm の交差型光トラップで BEC を生成した後，809nm の光トラップへ BECを移すことを計画しており，両波長でビームウエストの位置が異なると，移行の際に原子集団が動き加熱につながる恐れがあるためである．一般に，色収差の補正のためにはアクロマート
レンズが用いられる．市販されているアクロマートレンズの大半は，波長による焦点距離のずれが設計波長の焦点距離に対して 0.1% 程度となっている．
本研究でも，色収差の補正のためアクロマートレンズ (Thorlabs 社製,B-coating,650nm-

1050nm) を使用することにした．しかし，この軸の光学系は M=10 という高い倍率の系であるため，アクロマートレンズを用いても色収差を補正しきることができない．一般に倍率 Mのイメージング系の縦倍率 (軸方向の倍率) は M 2 程度となる．よって，初段のイメージング
系で f=50mm のレンズを使い，次に倍率 M=10 のイメージング系を通した場合，1080nm と809nm の軸上色収差は，50mm × 10−3 × 2 × 102 = 10mm程度になると予想される．これは 2wx × 2wy = 80µm × 800µm のビームのレイリー長 7mm
よりも大きいため，同じパスから 809nm と 1080nm のビームを出射させることは難しい．そこで，809nm と 1080nm のビームを別々のファイバーから出射させ，マイクロメータ付きの*4 入手できるレンズの焦点距離は離散的であり，完全にビーム径を一致させることはできない．
*5 将来的には STIRAP の 650nm,900nm も出射させる予定であり，合計 4 波長のビームを通すことになる．

第 3 章 実験装置

53

diameter(mm)5
y=0.12x+3.04

4.5
4
3.5

y=0.10x+2.66

3verticalhorizontal

2.5
2
0

2

4

6
8
z(mm)

101214(a) fiber:シングルモード，アングルカットファイバー,core 直径 4µm(OZ-Optics PMJ3A3A-633-4/125)，測定波長 809nm

diameter(mm)54.5
y=0.10x+3.30

4
3.5
3

y=0.12x+3.12

verticalhorizontal

2.5
2
0

2

4

6
8
z(mm)

101214(b) fiber:シングルモード, アングルカットファイバー，core 直径 6µm(OZ-Optics PMJ3A3A-980-6/125), 測定波長 1064nm

図 3.16 ファイバーからのビームの広がりの測定．z=0mm がファイバーからの距離およ
そ 5mm に対応している．

第 3 章 実験装置

54

ステージで 1080nm のファイバーアダプタの位置を調整することにより，色収差を補正することにした (図 3.17 の A の部分)．その後，ダイクロイックミラーを使って２つの平行光を重ねた後，f=75mm のレンズで集光して中間焦点を作る構成にした．この方法により軸方向のビームウエストのずれは補正できるが，ビームを分けたことで，動径方向の位置のずれが生じる可能性がある．この問題を解決するため，もう１枚のミラーを配置し，マイクロメータ付のミラーマウント (シグマ光機社製，MHB-50DM，微調ネジピッチ 0.05mm，あおり角の微調分
解能:約 0.0008 度/div) を使って精度よく２本のビームウエストの位置を合わせられる構造にした．また，光軸方向の焦点の位置を微調できるように，f=500mm のイメージングレンズをマイクロメータ付きのステージにのせた (図 3.17 の C の部分，可動範囲 30mm)．実際にセットアップしたものは，図 3.18 のようになっている．
図 3.19 に P 軸のセットアップのビームウエストの測定結果を示す．レンズ端によるフリンジの影響やその他の収差の影響によって，実際に得られた鉛直方向のビームウエストは，波長809nm に対して 2wx =90µm，波長 1064nm に対して 2wx =110µm であった．また，水平方向のビームウエストは f=50mm のシリンドリカルレンズにより，最大で約 1mm まで調整できる．水平方向のビームウエストの変化を２次関数でフィッティングした結果は，となった．

2wy [µm] = 171 + 9.90(x[mm] − 12.1)2(λ = 809nm)(3.19)

2wy [µm] = 110 + 13.1(x[mm] − 12.0)2(λ = 1064nm)(3.20)

第 3 章 実験装置

55

図 3.17 光トラップ P 軸のセットアップ．図に示した光学系は全て１枚のブレッドボード
上に組まれており，ビームウエストの調整をした後にメインのセットアップに組み込むことができる．1080nm と 809nm の光トラップを同じパスに重ねることにより，光トラップのアライメントを簡略化できるようにした．将来的には 809nm のポートから STIRAP に用いる 650nm と 900nm の光も出射させる予定である．

第 3 章 実験装置

図 3.18 光トラップ P 軸のセットアップの写真．上図のようにブレッドボード上に組んだセットアップを，下図のようにメインのセットアップに組み込んだ．

56

第 3 章 実験装置

57

809nm 2wx
1064nm 2wx
809nm Xp
1064nm Xp

1000
800

400
300
200

600

100

400

0

200

-100

0

-200
2

4

6

8

10

focus position (µm)

diameter (µm)

1200

12

Cylindrical lens position (mm)(a) 水平方向のビームウエスト及びビーム位置の変化．2wx はビーム直径，Xp はビーム位置を示している

809nm 2wz
1064nm 2wz
809nm Zp
1064nm Zp

1000
800

400
300
200

600

100

400

0

200

-100

0

-200
2

focus position (µm)

diameter (µm)

1200

4
6
8
10
12
Cylindrical lens position (mm)(b) 重力方向のビームウエスト及びビーム位置の変化．2wz はビーム直径，Zp はビーム位置を示している

図 3.19 光トラップ P 軸のビームウエストの測定結果．横軸の数値は，実際のセットアッ
プにおけるマイクロメータの読みの値である．

第 3 章 実験装置

3.2.7

58

光トラップ A 軸の光学系

光トラップ A 軸の設計方針は，基本的には P 軸と同じである．この軸は 1080nm のみを使用するので色収差は考慮しなくてよい．この軸はセットアップから焦点まで，800mm 以上距離をとる必要があるため，最後のイメージングレンズとして f=750mm を選定した．そして，２段目のイメージング系で３枚目のレンズの位置をコリメーションの位置からずらすことにより，800mm 先に焦点を持つような構成とした (図 3.20)．図 3.21 に A 軸のセットアップのビームウエストの測定結果を示す．得られた水平方向のビームウエストは，2wz =170µm であった．また，鉛直方向のビーム径は最大で約 1.2mm まで調整できる．鉛直方向のビーム径の変化を２次関数でフィッティングした結果は，

2wz [µm] = 175 + 58.4(x[mm] − 7.18)2であった．

(3.21)

第 3 章 実験装置

59

図 3.20 光トラップ A 軸のセットアップ．このセットアップも一枚のブレッドボード上に組み，ビームウエストの調整後にメインのセットアップに組み込んだ．

第 3 章 実験装置

60

800
1064nm 2wx
1064nm Xp

1000

400

800
600

0

400

-400

200
0
2

4

6

8

10

12

focus position (µm)

diameter (µm)

1200

-800
14

Cylindrical lens position (mm)(a) 水平方向のビームウエストとビーム位置の変化．2wx はビーム直径，Xp はビーム位置を示している．

800
1064nm 2wz
1064nm Zp

1000
800
600

400
0

400

-400

200
0
2

4

6

8

10

12

focus position (µm)

diameter (µm)

1200

-800
14

Cylindrical lens position (mm)(b) 重力方向のビームウエストとビーム位置の変化．2wz はビーム直径，Zp はビーム位置を示している．

図 3.21 光トラップ A 軸のビームウエストの測定結果．横軸は，実際のセットアップにおけるマイクロメータの読みである．

第 3 章 実験装置

61

3.2.8

アライメントの方法

次に，光トラップのビームをアライメントする方法について述べる．BEC のサイズ (トーマス・フェルミ半径) は 2µm 程度と非常に小さいため，初めから BEC に対してトラップ光をアライメントすることは難しい．まずはイメージングシステムを使って，ビームの位置を粗調する．次に磁気トラップへロードされた直後の原子集団に対してアライメントを行う．この状
態では原子集団の温度が高くトラップ光では影響が見えないため，Rb 原子の共鳴光をパスに通してアライメントを行った．光トラップのパスはダイクロイックミラーが入っており，共鳴光の大部分は反射されて原子まで届かないが，数 % の透過光で十分影響を見ることができる．
本実験ではファイバーから 200µ W 程度出射されており，実際に原子まで届いているのは数 µW 程度と考えられる．照射時間は 10ms から 100ms 程度である．光トラップのパスからの共鳴光が原子にあたっている場合は，その影響によって原子数が減少するので，原子数の増減から光が当たっているかどうかを判断できる．このようにして粗調をした後，徐々に蒸発冷却を行って原子集団のサイズを小さくしていき，最終的には，共鳴光を用いて BEC 直前の原子集団に対してアライメントを行った．
その後トラップ光を出射させてトラップできるかどうかを見る．はじめは，できるだけ多くパワーを入射して深いポテンシャルを作った方が影響が見やすい．アライメントの初期は蒸発
冷却後 TOF(20ms 程度) をかけている間にトラップ光を照射して，原子の位置に変化があるかを観察した．また，トラップ光がきちんとあたるようになると，光トラップの光軸方向に原子集団が伸びるようになる (図 3.22(b)，3.22(c))．このようにある程度影響が見えた後で，
磁気トラップから光トラップへのロード (本研究では，250ms で光トラップを立ち上げた後，250ms で磁気トラップを徐々に下げた．) を行い光トラップで保持できるかを見る．そして保持時間が長くなるようにアライメントを微調する．また，徐々に光トラップのポテンシャル深さを浅くして，浅いトラップでも原子を保持できるようにするようにアライメントを微調す
る．このようにして１本のビームでトラップできるように微調を行えばよい．
光格子のビームも基本的な方針は同じである．まずは，ビームを打ち返さずにシングルビー
ム光トラップのアライメントを行う．しかし，ビームウエストが 2w0 =600µm と大きいため，
１本のビームでトラップすることができない．そこで，アライメントが終わっている光トラッ
プへ原子をロードした後に，光格子のパスへトラップ光を入射させて，交差型光トラップを組
むようにした．シングルビームトラップの場合，例えば，U0 =10µK ，w0 =40µm の時，軸方向のトラップ周波数は ωz =2π×1.5Hz であり，2w0 =600µm でも 2W で ωr /2π=10Hz 程度のトラップ周波数を得ることができるので，交差型光トラップを組むことは可能である．２本のビームの交差領域へ原子が集まることを確認した後，打ち返しのビームのアライメントを行う．打ち返し光が再びファイバーカップリングして光源側の定盤へ戻るようにアライメントす第 3 章 実験装置

62

ると，精度よく合わせることができる．戻ってきたビームはアイソレータの偏光素子のポートから出射されるため，ここへ戻ってくるパワーが多くなるようにアライメントを行った．本研
究で組んだセットアップでは，アイソレータへ戻ってくる光は 10〜20% 程度であった．

第 3 章 実験装置

63(a) 磁気トラップでの蒸発冷却後 TOF20ms(b) 光トラップ P 軸によるシングルビームトラップ(c) 光トラップ A 軸によるシングルビームトラップ(d) 交差型光トラップ

図 3.22光トラップにロードされた原子集団の吸収イメージ．3.22(a) は磁気トラップでの蒸発冷却後 TOF20ms のイメージである．3.22(b)，3.22(c) はそれぞれ P 軸，A 軸のシン
グルビームトラップの in trap イメージである．原子集団が光トラップの軸方向に伸びる様子が観測されている．3.22(d) は P 軸と A 軸の交差型光トラップにロードされた原子集団の TOF20ms 後の吸収イメージである．原子が交差領域に集まっており，等方的に広がっている．

第 3 章 実験装置

64

3.3 真空系・レーザー冷却用光源の概要
3.3.1

レーザー冷却用の光源

Rb と K のレーザー冷却用の光源は，全て半導体レーザーで構成されている．まず ECDL
を飽和吸収分光によって各々の原子の共鳴線へロックする．Rb は Cooling 用と Repump 用に２台の ECDL を使用している．K は，Cooling 光と Repump 光の周波数が近く AOM で周
波数差をつけられる領域なので，１台の ECDL で全ての種光を作っている． ECDL で作られた種光は Probe 光などの光と MOT(Magneto-Optical Trap) 用の光にパワーの分岐がなされた後，それぞれ AOM のダブルパスを通して周波数の調整を行う．その後 MOT 光は slavelaser へ injection lock され，さらに TA を使ってパワーを増幅している．

3.3.2

double-MOT システム

本研究で使用する真空装置は，double-MOT システムの構成をとっている．1st cell 側はRb と K の蒸気で満たされた状態になっており，真空度は 1〜5×10−9 Torr 程度となっている．
原子源としては，Rb はアンプル，K はアンプルとディスペンサーを使用している．1st cell
での MOT で捕獲された原子は，push 光によって超高真空の 2nd cell 側へ運ばれる．1st cellの領域と 2nd cell の領域は差動排気によって真空度に差がつく構造になっており，2nd cell の真空度は <2×10−11 Torr となっている．2nd cell へのローディングは Rb と K を同時に行っ
ている．

3.3.3

磁気トラップへのロードと蒸発冷却

2nd cell での MOT によって捕獲された原子は，C-MOT(Compressed-MOT) によって圧縮されたあと蒸発冷却を行うため磁気トラップへロードされる．本研究で用いた装置では，

Ioﬀe-Pritchard 型トラップの構成をとっており，Cloverleaf コイルにより動径方向の磁場勾配を作り，Curvature コイルによって軸方向の磁場勾配を作っている．これらのコイルで作られた磁場トラップの底の磁場を下げるために，Antibias コイルが配置されている．磁気トラップ
へロードする際，その後の蒸発冷却でスピン交換衝突による加熱を避けるため，mF -pumping
光によって |F = 2, mF = 2i 状態へ光ポンピングを行っている．磁気トラップのトラップ周
波数は(ωr , ωz ) =2π × (325, 15) Hz (41 K)
2π × (223, 10) Hz (87 Rb)となっている．

第 3 章 実験装置

65

磁 気 ト ラ ッ プ 中 で の 蒸 発 冷 却 は Rb 原 子 の 超 微 細 構 造 間 の 遷 移 |F = 2, mF = 2i ⇒|F = 1, mF = 1i に対応するマイクロ波を用いて行っている．K 原子は Rb 原子を冷媒とした共同冷却により冷却される [52]．現状では，磁気トラップへロードされる原子数の比を主にローディング時間で調整し，協同冷却を行っている．

3.3.4

Feshbach 磁場の生成

Feshbach 磁場は，磁気トラップの Antibias コイル (2.16G/A) を用いて生成している．磁気トラップでの蒸発冷却後，光トラップへのロード時は Curvature コイルが量子化軸を定めている．これを Antibias コイルによる Feshbach 磁場へ切り替かえる際には，Feshbach 磁場
用電源 (菊水電子工業社製，PAN16-50A，16V,50A) を立ち上げた後，Curvature コイル用電源を立ち下げるというシークエンスにした．

67

第4章

実験結果と考察4.1

41

K-87 Rb の混合 BEC の生成

本節では，光トラップ中での |F, mF i = |1, 1i 状態の混合 BEC の生成の実験結果について述べる．実験手順は，

1. 磁気トラップ中で蒸発冷却された 41 K と 87 Rb の混合原子気体を交差型光トラップへロード

2. 断熱過程 (Adiabatic Rapid Passage; ARP) を用いて |2, 2i 状態から |1, 1i 状態へ変換
3. 光トラップのポテンシャル深さを下げて |1, 1i 状態での蒸発冷却となっている．
まず，第 4.1.1 節で，光トラップへのロードと扁平度の決定について説明する．次に，第4.1.2 節で光トラップのトラップ周波数の測定方法と測定結果を示す．トラップ周波数の測定することで，ガラスセル内で設計通りのトラップが作られているかどうかが分かる．また，光格子へのロードの際にはトラップ周波数が１個／サイトのサイト数を制限するので，トラップ
周波数の測定は重要である．次に第 4.1.3 節で，ARP による内部状態の操作方法と移行効率の実験結果について述べる．次に光トラップ中での蒸発冷却による混合 BEC の生成について述べる．

第 4 章 実験結果と考察

4.1.1

68

光トラップへのロードと偏平度の決定

光トラップへのロードは，図 4.2 のはじめの部分に示したように行っている．磁気トラッ
プ中の蒸発冷却により 1µK 以下まで原子集団を冷却した後，250ms かけて光トラップを立ち上げた後，250ms かけて磁気トラップを下げる方法をとった．扁平度の決定は，809nm 光
トラップでのパワーを考慮して行った．1080nm 光トラップで蒸発冷却を行い，|2, 2i 状態の

BEC を生成した後，809nm 光トラップへ移行する．ここで 809nm のパワーを 75mW に固定し，扁平度を変化させる*1 ．同じパワーでは，扁平度を大きくするほどポテンシャル深さが浅くなるため，いずれ原子がトラップできなくなる．809nm 光トラップへの移行後，トラップされる原子数が 1080nm 光トラップとほぼ同じになるような扁平度を調べた結果，P 軸の扁平度を 4.6(シリンドリカルレンズの位置は，マイクロメータの読みで 6.5mm) に決定した．*2 また，現状では，より多くのパワーを P 軸に使用し，光トラップによる蒸発冷却前の原子数を増やしたいので，A 軸は扁平度の調整を行わなかった．
光トラップへのロード前後の原子数，温度，密度，位相空間密度は，表 4.1 に示すようになっている．ここに示した値は |1, 1i 状態の混合 BEC を生成するために必要となる典型的なパラメータであり，光源などの状態によって左右されることを付記しておく．
表 4.1

光トラップへのロード前後での原子数，温度，密度，位相空間密度．両原子種ともに |2, 2i 状態 (ARP 前) の数値である．

Rb

K

原子数

5〜7×105

7〜9×104

温度

400〜700nK

300〜500nK

密度〜 1 × 1013 /cm3

〜 6 × 1012 /cm3

位相空間密度

〜 0.5

〜 0.7

*1 扁平度の調整によりビームの位置も動いてしまうため，再度微調整が必要である．
*2 後に説明するが，移し替えによる原子ロスは，この状況でも 10 ％程度である．

第 4 章 実験結果と考察

69

4.1.2

トラップ周波数の測定

トラップ周波数の測定方法としては，トラップ中の原子集団に振動を誘起し集団運動を観測する方法を選択した．*3 調和ポテンシャル中の原子の集団運動には，重心位置の振動運動と，

Cloud size の振動運動の 2 種類があり，それぞれの第 1 励起のモードを，Sloshing mode とBreathing mode と呼ぶ．Sloshing mode では，振動運動の周波数がトラップ周波数となる．
一方，Breathing mode は，原子集団中のある２つの原子に着目し，それらが逆位相で振動しているような運動であり，サイズ変化の周波数がトラップ周波数の２倍となる．
本研究では，全方向のトラップ周波数を Sloshing mode の観測により測定した．*4 振動を誘起する方法としては，以下の２種類の方法を使い分けた．

1. 磁気トラップから解放する瞬間に，光トラップを照射して振動させる方法．磁気トラッ
プと光トラップのトラップ中心のずれを利用して振動を誘起する (図 4.1)．この方法は
図 4.4 の測定で用いた．

2. 光トラップへ１度ロードした後，光トラップのパワーを瞬間的に強くして振動させる方法．瞬間的に閉じ込めを強くたあと元のパワーに戻すことにより，振動を誘起する (図4.2)．この方法は，図 4.3 及び図 4.5 の測定で用いた．

Magnetic
Trap

ODT

t
図 4.1

トラップ周波数の測定方法 1．まず，磁気トラップでの蒸発冷却により BEC を生成する．その後 BEC を磁気トラップから解放し，直後に光トラップの光を照射する．磁気トラップと光トラップの位置のずれにより，振動が誘起される．

*3 他には，パラメトリックヒーティングにより原子集団を加熱する方法がある．光トラップのパワーに AOM などを用いて強度変調をかけ原子集団の加熱によるロスを観測する．変調周波数が式 (3.13) を満たすときのみ，
原子集団が加熱される．
*4 Breathing mode では，振動運動に原子間相互作用の寄与が含まれる．BEC を用いてトラップ周波数を測定する場合は，密度が高いため，原子間相互作用の寄与によってトラップ周波数の測定値が小さくなる可能性がある．

第 4 章 実験結果と考察

図 4.2

トラップ周波数の測定方法 2．光トラップへロードされた原子集団を蒸発冷却してBEC を生成する．蒸発冷却は P 軸のポテンシャル深さを下げることにより行う．蒸発冷却後，1ms だけ P 軸のパワーを 2.5W まで上げて Sloshing mode を誘起する．その後，元のパワーに戻してポテンシャル中を振動させ，中心位置の変化を観測する．この測定では，

Curvature coil による磁場によって，量子化軸を定めている．

70

第 4 章 実験結果と考察

71

図 4.3 に 87 Rb における波長 1080nm の交差型光トラップ中でのトラップ周波数の測定結果を示す．水平方向の測定では振動が減衰しているが，この原因としては振動の途中で原子集団が加熱され，一部の原子がトラップから外れてしまうことや，別の振動モードにエネルギーが移る場合などが考えられる．トラップ周波数の測定結果とパワーから P 軸のビームウエスト
を逆算すると，2wz × 2wy = 84 × 350 µm となり，偏平度は 4.2 となる．なお，この見積もりにおいては，重力方向については A 軸の寄与は無視している．
次に，図 4.4 に 87 Rb における光トラップ A 軸のトラップ周波数の測定結果を示す．この測定は，A 軸のみのシングルビーム光トラップ中で測定を行った．トラップ周波数とパワーから逆算して得られるビームウエストは 2wz × 2wx = 230 × 180µm である．

PP axis =1W，PAaxis =360mW のときの交差型光トラップのトラップ周波数は，(ωx , ωy , ωz ) =2π × (250, 60, 45) (Hz) (Rb)
2π × (330, 80, 62) (Hz) (K)となる．
次に Rb の |2, 2i 状態の BEC の 809nm 光トラップ中でのトラップ周波数の測定結果を示す (図 4.5)．測定は Rb の |2, 2i 状態の BEC を用いて行った．フィッティングから得られた
トラップ周波数は，(ωz , ωy ) = 2π × (148, 48) (Hz) (Rb)
であり，この結果から逆算して得られるビームウエストは，(2wz , 2wy ) = (110, 340) (µm)
である．
全方向の，トラップ周波数の測定から得られるビームウエストと組み立て時のテストで測定したビームウエスト (図 3.19，図 3.21) を比較すると，表 4.2 のようになる．これらの結果から，ビームウエストに関して，1080nm では，(P) 軸はテスト時よりもビームウエストが小さく，(A) 軸はテスト時とほぼ同じビームウエストが得られている．1080nm(P) 軸に関しては，
光格子への混合 BEC のロード時には 809nm 光トラップに切り替わるので，ビームウエストのずれに関しては問題としないことにした．一方，809nm ではテスト時よりもビームウエス
トが大きい結果となった．ミラーやガラスセルなどの影響によりビームウエストが大きくなっているか，非調和項の寄与によりトラップ周波数を小さく見積もっている可能性が考えられる．今回は，1080nm 光トラップから 809nm 光トラップへ BEC をロスなくロードできていることから，このまま実験を進めることにした．

第 4 章 実験結果と考察

72

300

Zc(pixel)

295
290
285

Paxis:P=1W
Aaxis:P=360mW

280

ﬁttingfunction:

275

0

4
6
time(ms)

2

8

10

(a) z 方向 (重力方向) の測定結果

Yc(pixel)

300

Paxis:P=1W
Aaxis:P=360mW

280
260
ﬁttingfunction:

240
220

0

5

10

15 20 25time(ms)3035(b) y 方向 (水平方向) の測定結果

重力方向 (z 方向)

水平方向 (y 方向)

z0

293±1

pixel

y0

270±2

pixel

A

4.7±0.8

pixel

A

33±8

pixel

τ

19±8

ms

ω

2π ×(59±4)Hz

φ3.6±0.3ω

2π × (250±7)φ4.2±0.3

Hz

図 4.3 波長 1080nm の光トラップ P 軸のトラップ周波数の測定結果．測定は P 軸と A
軸による交差型光トラップの中で，87 Rb の BEC に対して行った．4.3(a):z 方向 (重力方向)，4.3(b):y 方向 (水平方向) の結果を示している．

第 4 章 実験結果と考察

73

position(pixel)

500

Aaxis:P=2W

450

Zc
Xc

400
350
300
250
200

0

2

4
6
8
time(ms)重力方向 (z 方向)

1012

水平方向 (x 方向)

z0

290±5

pixel

x0

400±5

pixel

A

30±6

pixel

A

43±7

pixel

ω

2π × (136±7)Hzω

2π × (106±4)Hz

φ-3.2±0.3φ-3.3±0.2

図 4.4 光トラップ A 軸のトラップ周波数の測定結果．

表 4.2

ビームウエストの組み立て時との比較

トラップ周波数の測定から得た値

組み立て時の測定値

1080nm (P) 軸 (2wz ,2wy )(84µm,350µm)(110µm,508µm)

809nm (P) 軸 (2wz ,2wy )(110µm,340µm)(89µm,483µm)

1080nm (A) 軸 (2wz ,2wx )(230µm,180µm)(187µm,181µm)

第 4 章 実験結果と考察

74

410

809nm:75mW
Aaxis:360mW

Zc(pixel)

405
400
395
390
385

0

2

4

6
8 10 12 14time(ms)(a) z 方向 (重力方向) の測定結果

280

809nm:75mW
Aaxis:360mW

Yc(pixel)

275
270
265
260
255
250
0

5

15

10

20

25

30

time(ms)(b) y 方向 (水平方向) の測定結果

重力方向 (z 方向)

水平方向 (y 方向)

z0397.8±0.4

pixel

y0

265.5±0.9

pixel

A

9.9±0.5pixel

A

9.4±1.3pixelω

2π × (148±2)Hzω

2π ×(48±2)Hzφ0.61±0.09

φ

3.5±0.3

図 4.5 809nm 光トラップのトラップ周波数の測定結果．測定は P 軸と A 軸による交差型
光トラップの中で，87 Rb の BEC に対して行った．4.3(a):z 方向 (重力方向)，4.3(a):y 方
向 (水平方向) の結果を示している．

第 4 章 実験結果と考察

75

4.1.3

断熱過程によるスピン操作と |1, 1i 状態での蒸発冷却

ここでは，まず，断熱過程 (Adiabatic Rapid Passage;ARP) を用いた |F, mF i = |2, 2i 状
態から |1, 1i 状態への変換の手順について説明する．次に，|1, 1i 状態での蒸発冷却による混
合 BEC の生成について説明する．ARP とは，ある磁場における状態 |2i と状態 |1i の間に対応する共鳴周波数のラジオ波 (Radio Frequency;RF)，あるいはマイクロ波を照射し，その周波数に対応する共鳴磁場をまたぐように磁場掃引を行うことで，|1i から |2i へ (あるいはその逆へ)，高い効率で加熱無く遷移させることができる手法である (磁場を固定して周波数を掃引してもよい)．ARP による状態操作の効率は，断熱条件を満たすように磁場または周波数を掃引すれば，理論上は 100% である．

図 4.6 ARP 及び |1, 1i 状態での蒸発冷却のシークエンス．光トラップ A 軸は全てのシークエンスを通して，トラップ周波数が ωx =2π×50Hz となるパワー (360mW) に固定している．ARP による |2, 2i 状態から |1, 1i 状態への移行の確認方法としては，まず，Probe
光のみを照射して |2, 2i 状態のみをイメージングし，その後に，Repump 光と Probe 光を同時に照射して，|1, 1i 状態の原子もイメージングする方法をとっている．

第 4 章 実験結果と考察

76

スピン交換衝突を考慮した 87 Rb-41 K 混合系における ARP の手順本研究では，87 Rb と 41 K を共に |2, 2i 状態から |1, 1i 状態へ遷移させる必要があり，このとき

1. Rb の ARP を先に行う
2. K の ARP を先に行う
3. Rb と K の ARP を同時に行うという３通りの選択肢がある．ARP のプロセス自体はどの手順でも高効率での遷移が可能であると考えられるが，途中で |2, 2i 状態と |1, 1i 状態が共存するため，共存状態での非弾性散乱が原因でロスや加熱がおこる可能性がある．そこで，共存状態で起こりうる散乱過程について考察する．
まず，２体の散乱過程について考える．このとき起こりうるプロセスとして，|2, 2iRb + |1, 1iK → |1, 1iRb + |2, 2iK(4.1)|2, 2iK + |1, 1iRb → |1, 1iK + |2, 2iRb

(4.2)

の２通りを考える*5 ．この時，超微細構造準位の交換によって右辺と左辺のエネルギー差が運動エネルギーとして分配されると考えられる．87 Rb と 41 K の超微細構造分裂の大きさは，
87

Rb F = 2 ⇔ F = 1：h × 6.834 GHz
41

K F = 2 ⇔ F = 1：h × 254 MHzであるから [53, 54]，(4.1) のプロセスでは加熱が生じることが分かる．一方 (4.2) の過程では，散乱後の状態の方がエネルギーが高いため，このプロセスは起こらないと考えられる．そこで本研究では，Rb の ARP を先に行う手順をとることにした．

ARP の実験結果と考察
図 4.6 に ARP 及び |1, 1i 状態での蒸発冷却のシークエンスを示す．ARP は，Rb,K ともに
磁場掃引によって行う．Rb は 30ms で 0.3G，K は 10ms で 0.3G の幅を掃引した*6 ．Rb の

ARP は 30G 付近の磁場で行っている．これは，ARP 後に残った |2, 2i 状態の原子を共鳴光で除去する際，Zeeman shift を考慮して周波数をずらす必要があるが，AOM で周波数を合わせられる範囲が限られているために，高磁場での |2, 2i 状態の除去ができないためである．Rb*5 この他にも mF -pumping されなかった |2, 1i 状態が関わるプロセスも存在するが，|2, 1i 状態の原子数は|2, 2i 状態の原子数の 10 ％以下で寄与は小さいと考えられるので，ここでは式 (4.1),(4.2) を考える．
*6 0.3G より狭い掃引幅でも ARP を行うことはできるが，ショット毎に磁場の揺らぎがあるため，周波数が共鳴からずれ効率が揺らぐという問題がある．掃引幅をある程度広くとることで，ショット毎の磁場揺らぎの問題を回避している．

第 4 章 実験結果と考察

77

を 30G で ARP した後，70G 付近まで磁場を上げて K の ARP を行う．K の ARP を行う磁場は，ARP 後，Rb|1, 1i-K|1, 1i 間の散乱長が 0 付近となり三体衝突レートを抑えられるように，72.5G 付近に設定した．
表 4.3 に，熱的原子集団 (T:500〜700nK) に対する ARP による移行効率の結果を示す．

Feshbach 磁場の揺らぎにより移行効率の正確な評価は難しいが，おおよそ，Rb:〜50%，K:〜
50% 程度であり ARP によりロスが生じている．この原因を探るために，３体衝突によるロスについて考察する．一般に３体衝突レートは K3 ∝ a4 というように散乱長の 4 乗に比例することが知られている [55]．87 Rb と 41 K の |2, 2i 状態と |1, 1i 状態の４通りの組み合わせの散乱長は表 4.4 のようになるため，Rb を先に ARP した場合，-2200a0 という散乱長が負で，その絶対値が非常に大きい共存状態を経ることになる．このことが原因で，Rb を先に ARPした場合でも，ARP にかかる時間によって３体衝突によるロスが生じると考えられる．なお，
87

Rb |1, 1i 状態と 41 K |2, 2i 状態の共存状態の寿命は，温度 1µK 程度，密度 n0 〜1013 /cm3 の条件で 100ms 程度であった．
表 4.3 ARP の移行効率の実験結果

ARP+|2, 2i 状態除去後の |1, 1i 状態の原子数

移行効率

Rb

〜4 × 105〜50%

K〜5 × 104

〜50%

表 4.4

87

Rb と 41 K の |2, 2i 状態と |1, 1i 状態の間の散乱長．

State

Scattering lengthrefRb |2, 2i+K |2, 2i

163+57−12 a0[34]

Rb |2, 2i+K |1, 1i

80a0

[56]

Rb |1, 1i+K |2, 2i-2200a0[56]

Rb |1, 1i+K |1, 1i

abg =284a0 ，Feshbach Resonence[30]

第 4 章 実験結果と考察

78

混合 BEC の ARP について
ここでは，|2, 2i 状態の混合 BEC の ARP についてコメントする．これまでで述べたように，Rb と K の混合原子集団の ARP では，Rb-K 間の散乱に起因するロスが原因で，移行効率が悪くなることが分かっている．よって，Rb と K を空間的に分離できれば，Rb-K 間の散乱が抑制され ARP の移行効率を上げることができると考えられる．1080nm 光トラップ中では，Rb と K の BEC は重力により空間的に分離しているため，混合 BEC に対して ARP を行うと，移行効率が上がると予想される．このような目的で混合 BEC に対して ARP を行ったが，ARP 後に原子ロスがあり効率が上がらなかった．原因としては，２原子種の BEC が完全には分離しておらず，わずかな重なりが原因で，引力相互作用により BEC が崩壊してしまうことなどが原因として考えられるが，現状では，詳細は調べられていない．

第 4 章 実験結果と考察

79

光トラップ中での蒸発冷却
光トラップ中での蒸発冷却は，P 軸のパワーを下げてポテンシャル深さを浅くすることにより行った．|1, 1i 状態では Feshbach 共鳴を用いて散乱長を制御することができる．蒸発冷
却は，Collision Rate(∝ a2 ) が大きいほど短い時間で行うことができる．今回は，K-Rb 間のCollision Rate を上げて蒸発冷却の効率あげる狙いで，aK−Rb ≈ 250a0 となる 78G 付近の磁場で蒸発冷却を行った．蒸発冷却の初期原子数は，表 4.3 に示す通りであり，Rb の原子数が多い状態からスタートする．磁気トラップ中での共同冷却とは違い，どちらの原子種も冷却のプロセスで同程度原子数が減少すると考えられるが，実際には重力の効果によって Rb 原子の方が多くトラップから外れていくためである．
図 4.8(a) に，光トラップ中での蒸発冷却により生成した，|1, 1i 状態の混合 BEC の吸収イ
メージングを示す．原子数は NK =1.7×104 ，NRb =2.4×104 である．この原子数は，装置のコ
ンディションが最もよい時の値であり，光トラップへロードされた Rb と K の原子数の比により，原子数のばらつきがある．原子数としては，光格子へロードできるサイト数と同程度となっている．

809nm 光トラップへのロード
ここでは，1080nm の交差型光トラップで生成された混合 BEC の 809nm 光トラップへの移し替えについて述べる．809nm へのロードの際に注意すべき点は，

1. 原子ロスや加熱がないように，断熱的にロードすること
2. 混合 BEC の相分離が起こらないように，Feshbach 共鳴を用いて，Rb-K 間の散乱長を0 付近にすることの２点である．図 4.7 に，809nm 光トラップへの移行のシークエンスを示す．まず，1080nm
交差型光トラップで生成された混合 BEC に対して，809nm 光トラップを 50ms かけて立ち上げる．その後，50ms で 1080nm 光トラップの P 軸のパワーを下げる．Feshbach 磁場は，蒸発冷却を行った 78G 付近から散乱長ゼロクロス磁場である 87.2G 付近まで瞬時に上げる．
図 4.8(b) は，809nm 光トラップへの移し替え前後での，混合 BEC の吸収イメージングである．移し替えにより原子数が 30 ％程度少なくなっているが，移し替えた後でも十分な原子数を確保できている．また，809nm 光トラップ中での Rb BEC の寿命は 1s 程度であり，光格子を立ち上げるための時間 (100ms 程度) よりも十分長い寿命を確保できている．

Magnetic
Field

809nm
ODT

1080nmODT (P)

第 4 章 実験結果と考察

80

1W

75mW

87.2G
Resonance

78G
50ms

50ms

t

図 4.7 809nm 光トラップへのロードのタイムシークエンス

第 4 章 実験結果と考察

81

TOF30.7ms

TOF31.3ms(a) 1080nm 光 ト ラ ッ プ 中 で の 混 合 BEC の 吸 収 イ メ ー ジ ン グ ．(左)41 K，
TOF30.7ms，NK =3.6×104 ，(右)87 Rb，TOF31.3ms，NRb =3.6×104

TOF30.7ms

TOF31.3ms(b) 809nm 光トラップへロード後の混合 BEC の吸収イメージング．(左)41 K，
TOF30.7ms，NK =2.8×104 ，(右)87 Rb，TOF31.3ms，NRb =2.9×104|F = 1, mF = 1i 状態の混合 BEC の吸収イメージング．一度のシークエンスで Kと Rb を共にイメージングするために，両原子種で TOF の時間が少し異なっている．
図 4.8

第 4 章 実験結果と考察

82

4.2 ３次元光格子中の Feshbach 分子
この節では，３次元光格子を用いた実験結果について述べる．まず，定在波による周期ポテンシャルが形成できていることの確認として，|F, mF i = |2, 2i 状態の混合 BEC を用いた
干渉パターンの確認を行った．さらに，pulsed lattice による回折パターンから，光格子のポテンシャル深さを見積もり設計値からのずれを評価したので，それらについて説明する．最後に，３次元光格子中で Feshbach 共鳴をまたぐように磁場を掃引して原子ロスを観測したので，この結果について考察する．

4.2.1

BEC の干渉パターン

図 4.9 に，|2, 2i 状態の混合 BEC の光格子 A 軸による干渉パターンの観測結果を示す．

|2, 2i 状態の混合 BEC を 809nm 光トラップへロードした後，100ms かけて光格子 A 軸をパ
ワー約 400mW まで立ち上げた．その後，瞬時に光トラップ及び光格子を切り，約 30msTOFをかけた*7 ．±1 次の干渉ピークは，速度 2h̄k/m を持った原子集団であり，0 次と ±1 次のピークの間隔は，2h̄kt/m となることが予想される．図 4.9 の結果では，0 次と 1 次のピーク
間隔は，

Rb : 68[pixel] × 4.2[µm/pixel] = 286µm
K : 138[pixel] × 4.2[µm/pixel] = 580µmとなる．これは計算で求められる以下の値とよく一致している．

2h̄kt=266µm (Rb)m
544µm (K)
干渉パターンの確認を Rb の |2, 2i 状態を用いて B 軸，C 軸に対しても行い，さらに 3 軸全てを立ち上げた場合の干渉パターンも確認した (図 4.10)．

*7 撮像のタイミングの都合で，K は 30.7ms，Rb は 31.3ms と若干 TOF の時間が異なっている．

第 4 章 実験結果と考察

83

TOF30.7ms

TOF31.3ms(a) 吸収イメージング
139

137
67

68

K
IntegratedOD(a.u.)

2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0

IntegratedOD(a.u.)

2.5

Rb

2.0
1.5
1.0
0.5
0
0

100

200
300
Position(pixel)

400(b) フィッティングの結果

図 4.9

光格子 A 軸による |2, 2i 状態の混合 BEC の干渉パターン

第 4 章 実験結果と考察

84(a) B 軸による干渉パターン(b) C 軸による干渉パターン(c) 3 次元光格子による干渉パターン

図 4.10B 軸，C 軸，3 次元光格子での Rb BEC の干渉パターン

第 4 章 実験結果と考察

85

4.2.2

Pulsed Lattice によるポテンシャル深さの評価

ここでは，Pulsed Lattice を用いた光格子のポテンシャル深さの見積もりの方法について説明する [57]．この方法は，トラップから解放された BEC に対してパルス的に光格子を照射し，定在波による原子集団の回折パターンを観測する方法である．光格子の照射時間を変化させると，回折された原子集団の割合が振動する様子が観測される．この振動の周期から，光格子のポテンシャル深さを見積もることができる．

3 次元調和ポテンシャル中にトラップされている BEC に対して，トラップを解放した直後にパルス的に光格子のビームを照射する．この時，初期の BEC の波動関数は光格子ポテン
シャル中での固有状態ではない．t=0 における波動関数を |Ψ(t = 0)i = |ψq i とすると，この状態は，ブロッホ状態 |n, qi を用いて，|Ψ(t = 0)i =∞∑|n, qi hn, q ψq i

(4.3)

n=0

と展開できる．ブロッホ状態は，運動量 p = q + 2mh̄k の平面波状態を用いて，|n, qi =∞∑an,q (m) |ψq+2mh̄k i

(4.4)

m=−∞

と表わすことができる．この式から，hn, q ψq i = a∗n,q (0) となるから，BEC は光格子中で，|Ψ(t)i =∞∑a∗n,q (0) exp (−iEn (q)t/h̄) |n, qi

(4.5)

n=0

のように時間発展する．光格子を照射する時間を τ とする．TOF 後の測定の基底である，運動量 q + 2mh̄k の平面波状態で，|Ψ(τ )i を記述した時の |ψq+2mh̄k i の係数 bq (m) は，

bq (m) =∞∑n=0

a∗n,q (0)an,q (m) exp)(
En (q)
τ
−i
h̄

(4.6)

となる．この exponential の項の寄与によって，照射時間 τ によって，運動量 q 状態と

q + 2mh̄k の状態を振動することになる．今，光格子は静止しており，q = 0 とする．光格
子ポテンシャルの深さが浅い場合には，時間発展によって現れるのは，p=0 と p = ±2h̄k の状態のみと考えても良い．このとき光格子の照射時間によって，p=0 と p=±2h̄k の状態のPopulation が振動することになるが，この振動の周期は，光格子中での基底状態と 2 番目のバンドのエネルギーギャップに対応した周波数 (E2 − E0 )/h となる．図??は，Pulsed Latticeによって得られた回折パターンの吸収イメージングである．このイメージングから回折パター

第 4 章 実験結果と考察

86

ンを，

f (x) =

∑
i

(
)
[
((
))]3/2(x − xc,i )2(x − xbg )2
Ai max1−,0+ Abg exp −
+ Y0
d2i
d2bg

(4.7)

によってフィッティングし，運動量成分ごとの原子数の比を求めてプロットしたものが，図4.11〜4.16 である．フィッティングの結果から，Population の振動の周波数及びポテンシャ
ル深さは表 4.5 の様になった．最大でこの値の 3 倍程度までポテンシャル深さを上げられるので，Mott 絶縁体状態にすることは可能である．B 軸のみポテンシャル深さが浅い結果となったが，これは打ち返しビームのモードが行きのビームと合っていないことや光源に何らかのノイズがのっていることが原因として考えられる．
表 4.5 Pulsed Lattice による回折パターンからのポテンシャル深さの評価．

成分

測定時のパワー (mW)

Y0

A

f

φ

τ (µs)

Vlat,Rb [Er ]A 軸 p=0

740

0.47

0.37

0.16

1.9

39

20

B 軸 p=0

550

0.61

0.35

0.1

1.5

64

11

C 軸 p=0

560

0.52

0.38

0.15

1.8

42

16

第 4 章 実験結果と考察

87

図 4.11 Pulsed Lattice による A 軸の回折パターンの観測．

1.0

Population

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

10

20

30

40

図 4.12 A 軸の回折パターンの 0 次と 1 次の Population．

50

第 4 章 実験結果と考察

88

図 4.13 Pulsed Lattice による B 軸の回折パターンの観測．

1.0

Population

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

20

40

60

80

図 4.14 B 軸の回折パターンの 0 次と 1 次の Population100

第 4 章 実験結果と考察

89

図 4.15

Pulsed Lattice による C 軸の回折パターンの観測．

1.0

Population

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

20

40

60

80

図 4.16 C 軸の回折パターンの 0 次と 1 次の Population100

第 4 章 実験結果と考察

4.2.3

90

Feshbach 会合の実験結果

次に，3 次元光格子を用いた Feshbach 会合の実験結果について述べる．Feshbach 会合のタイムシークエンスは，図 4.17 に示すようになっている．まず，87.2G 付近の散乱長ゼロク
ロス磁場で用意された 809nm 光トラップ中の |1, 1i 状態の混合 BEC に対して 100ms で 3 次
元光格子を立ち上げる．その後 20ms で Feshbach 共鳴点をまたぐように，87G から 77G ま
で磁場掃引を行う．この後に原子をイメージングすると，Feshbach 分子は観測されないので，原子数が減少すると予想される．さらに，会合後の分子状態に対して逆方向に磁場掃引を行い解離させると，Feshbach 分子がロスしていなければ，分子になっていた原子も観測されるため，原子数が再び増加すると予想される．結果は図 4.18 のようになった．イメージングはゼ
ロ磁場で行っており，このときの Feshbach 分子の束縛エネルギーは，図 2.1 から 170MHz 程度である．Probe 光は原子の |2, 2i ⇒ |3, 3i の遷移に共鳴するようになっており，原子の自然
幅 6MHz よりも分子の束縛エネルギーの方が十分大きいので，原子のみをイメージングすることができる．Feshbach 会合後に原子数が減少しており，Feshbach 分子が生成されていることが示唆される．しかし，会合後に逆方向に磁場を掃引して分子を原子状態に戻しても，原子数が増加しなかった．これは，Feshbach 会合時にロスが生じているか，光格子による Feshbach
分子の安定化がなされていないことを意味している．この原因の一つとして，3 次元光格子へのロード時のヒーティングが考えられる．BEC がヒーティングによって熱的原子集団になり，

1 サイトに 1 原子ずつロードすることができていない可能性がある．ヒーティングの原因としては，光源の強度ノイズ (3.2.1 節を参照) や，オプティクスの機械的振動による光格子のサイ
ト位置の振動，光格子ビームの周波数ノイズが考えられる．

第 4 章 実験結果と考察

91

図 4.17 3 次元光格子中での Feshbach 会合のタイムシークエンス．

図 4.18 Feshbach 磁場掃引による原子ロス．

93

第5章

まとめと今後の展望
本研究は，41 K87 Rb のボソン-ボソンの Feshbach 分子を，振動緩和によるロスから守り長寿命化することを目的として行った．
衝突による振動緩和を防ぐために，3 次元光格子を導入して各サイトに１個づつ Feshbach
分子を生成する方法をとった．生成できうる分子数は，87 Rb と 41 K を共に 1 原子／サイトずつロードできるサイト数で制限される．光格子へのロードの際，熱的原子集団では各サイトに入る原子数がランダムであるため，効率的なロードができない．高効率で１サイト１原子ずつロードするために，BEC に対して断熱的に光格子を立ち上げ Mott 絶縁体状態にする方法をとった．Mott 絶縁体状態での各サイトに入る原子数の分布を考え，１原子／１サイトとなる
サイト数を最大化するような光格子の設計を行った．また，重力による 2 原子種の BEC の空間的分離を補正するために，87 Rb と 41 K のトラップ周波数が等しくなる λ=809nm の光トラップを導入した．809nm 光トラップから光格子へのロードによって得られるサイト数は，

3 × 104 と見積もった．
Feshbach 会合の出発点となる |F, mF i = 1, 1 状態の混合 BEC を，波長 1080nm の交差型
光トラップ中での蒸発冷却により生成した．まず，磁気トラップ中で T< 1µK まで蒸発冷却された |2, 2i 状態の 87 Rb と 41 K の混合原子気体を，交差型光トラップへロードし，ARP に
より |1, 1i 状態へと変換した．ARP は温度〜500nK 程度の熱的原子集団に対して，87 Rb を先に行い，移行効率は Rb:〜50%，K:〜50% となった．ARP 時の原子ロスは 87 Rb |1, 1i 状態と 41 K |2, 2i 状態の３体衝突によるものであると考えられる．ARP 後，K-Rb 間の散乱長が250a0 程度となる磁場 78G で蒸発冷却を行うことにより，|1, 1i 状態の混合 BEC を生成した．
原子数は NRb 〜2.8 × 104 ，NK 〜2.8 × 104 程度である．
光格子中へ 87 Rb と 41 K の極低温混合原子気体をロードし，Feshbach 共鳴をまたぐように
磁場掃引を行った．光格子を導入しない場合には，Feshbach 磁場の掃引後，保持時間を長くするとヒーティングが起こり熱的原子集団となる様子が観測された．3 次元光格子へ混合 BECをロードした場合，ヒーティングにより効率的に 1 原子/1 サイトロードすることができてい第 5 章 まとめと今後の展望

94

ない．この原因は，光格子ビームの強度ノイズ，周波数ノイズ，オプティクスなどの機械的振動が考えられ，この改善が今後の展望として挙げられる．
さらに，Feshbach 会合後，残留原子を共鳴光により除去することも重要である．このとき，

Feshbach 分子の準位は原子の準位と非常に近いため，残留原子を rf 周波数掃引によって |1, 1i状態から |2, 2i 状態へ遷移させた後，共鳴光を用いて原子を除去する必要がある．また，rf 会
合による Feshbach 分子の束縛エネルギーの測定も今後の展望である．Feshbach 分子の生成
後は，STIRAP を用いた振動基底状態の分子の生成が目標となる．

95

参考文献
[1] M.H. Anderson, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, and E.A. Cornell. Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor. Science, 269, p.
196, 1995.
[2] K.B. Davis, M.O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn,and W. Ketterle. Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms. Phys. Rev.
Lett., 75, 3969, 1995.
[3] B. Demarco and D.S. Jin. Onset of Fermi Degeneracy in a Trapped Atomic Gas.
Science, 285, 1703, 1999.
[4] H. Feshbach. Uniﬁed theory of nuclear reactions. Ann. Phys., 19, 287, 1962.
[5] S. Inouye, M. R. Andrews, J. Stenger, H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn, and
W. Ketterle. Observation of Feshbach Resonances in a Bose-Einstein Condensate.
Nature, 392, p. 151, 1998.
[6] M. Greiner, C.A. Regal, and D.S. Jin. Emergence of a Molecular Bose-Einstein
Condensate from a Fermi Gas. Nature, 426, 537, 2003.
[7] C.A. Regal, M. Greiner, and D.S. Jin. Observation of Resonance Condensation of
Fermionic Atom Pairs. Phys. Rev. Lett., 92, 040403, 2004.
[8] J. Kinast, A. Turlapov, J.E. Thomas, Q. Chen, J. Stajic, and K. Levin. Heat Capacityof a Strongly Interacting Fremi Gas. Science, 307, 1296, 2005.
[9] Markus Greiner, Olaf Mandel, Tilman Esslinger, Theodor W. Hänsch, and Immanuel
Bloch. Quantum Phase Transition from a Superﬂuid to a Mott Insulator in a Gas ofUltracold Atoms. Nature, 415, p. 39, 2002.
[10] Z. Hadzibabic, P. Kruger, M. Cheneau, B. Battelier, and J.B. Dalibard. BerezinskiiKosterlitz-Thouless Crossover in a Trapped Atomic Gas. Nature, 441, 1118, 2006.
[11] G. Roati, C. D’Errico, L. Fallani, M. Fattori, C. Fort, M. Zaccanti, G. Modugno,
M. Modugno, and M. Inguscio. Anderson Localization of a Non-interacting BoseEinstein Condensate. Nature, 453, 895, 2008.

参考文献

96

[12] J. Billy, V. Josse, Z. Zuo, A. Bernard, B. Hambrecht, P. Lugan, D. Cl é ment,
L. Sanchez-Palencia, P. Bouyer, and A. Aspect. Direct Observation of Anderson
Localization of Matter Waves in a Controlled Disorder. Nature, 453, 891, 2008.
[13] J. Stuhler, A. Griesmaier, T. Koch, M. Fattori, T. Pfau, S. Giovanazzi, P. Pedri, and
L. Santos. Observation of Dipole-Dipole Interaction in a Degenerate Quantum Gas.
Phys. Rev. Lett., 95, 150406, 2005.
[14] H.P. Büchler, E. Demler, A. Micheli M. Lukin, N.Prokof’ev, G. Pupillo, and P. Zoller.
Strongly Correlated 2D Quantum Phases with Cold Polar Molecules: Controlling theShape of the Interaction Potential. Phys. Rev. Lett., 98, 060404, 2007.
[15] G. pupillo, A. Micheli, H.P. Büchler, and P. Zoller. Condensed Matter Physics with
Cold Polar Molecules. arXiv:0805.1896v1.
[16] D. DeMille. Quantum Computation with Trapped Polar Molecules. Phys. Rev. Lett.,
88, 067901, 2002.
[17] J. van Veldhoven, H.L. Bethlem, and G. Meijer. ac Electric Trap for Ground-State
Molecules. Phys. Rev. Lett., 94, 083001, 2005.
[18] Magnetic Trapping of Calcium Monohydride Molecules at Millikelvin Temperatures.
J.D. Weinstein and R. deCarvalho and T. Guillet and B. Friedrich and J.M. Doyle.
Nature, 395, 148, 1998.
[19] Jeremy M. Sage, Sunil Sainis, Thomas Bergeman, and David DeMille. Optical Production of Ultracold Polar Molecules. Phys. Rev. Lett., 94, 203001, 2005.
[20] K.-K. Ni, S. Ospelkaus, M.H.G. de Miranda, A. Péer, B. Neyenhuis, J.J. Zirbel,
S. Kotochigova, P.S. Julienne, D.S. Jin, and J. Ye. A High Phase-Space-Density Gas
of Polar Molecules. Science, 322, p. 231, 2008.
[21] G. Thalhammer, K. Winkler, F. Lang, S. Schmid, R. Grimm, and J. Hecker Denschlag. Long-Lived Feshbach Molecules in a Three-Dimensional Optical Lattice. Phys.
Rev. Lett., 96, 050402, 2006.
[22] T. volz, N. Syassen, D. M. Bauer, E.Hansis, S.Dürr, and G.Rempe. Preparation ofa Quantum State with One Molecule at Each Site of an Optical Lattice. Nature
Physics, 2, p. 692, 2006.
[23] J. Catani, L. De Sarlo, G. Barontini, F. Minardi, and M. Inguscio. Degenerate BoseBose Mixture in a Three-dimensional Optical Lattice. Phys. Rev. A, 77, 011603(R),2008.
[24] C.J. Pethick and H. Smith. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge
University Press, Cambridge, second edition, 2008. ISBN: 978-0-521-84651-6.
[25] Franco Dalfovo, Stefano Giorgini, Lev P. Pitaevskii, and Sandro Stringari. Theory of

参考文献

97

Bose-Einstein Condensation in Trapped Gases. Rev. Mod. Phys., 71, p. 463, 1999.
[26] W. Ketterle, D.S. Durfee, and D.M. Stamper-Kurn. Making, Probing and Understanding Bose-Einstein Condensates. arXiv:cond-mat/9904034v2.
[27] Tin-Lun Ho and V.B. Shenoy. Binary Mixtures of Bose Condensates of Alkali Atoms.
Phys. Rev. Lett., 77, p. 3276, 1996.
[28] M. Trippenbach, K. Göral, K. Rza̧żewski, B. Malomed, and Y B Band. Structure of
Binary Bose-Einstein Condensates. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 33, p. 4017,
2000.
[29] G. Thalhammer, G. Barontini, J.Catani, F. Rabatti, C. Weber, A. Simoni, F. Minardi, and M. Inguscio. Collisional and Molecular Spectroscopy in an Ultracold
Bose-Bose Mixture. New J. of Phys., 11, 055044, 2009.
[30] G. Thalhammer, G. Barontini, L. De Sarlo, J. Catani, F.Minardi, and M. Inguscio. Double Species Bose-Einstein Condensate with Tunable Interspecies Interactions.
Phys. Rev. Lett., 100, 210402, 2008.
[31] Andrea Simoni, Matteo Zaccanti, Chiara D’Errico, Marco Fattori, Giacomo Roati,
Massimo Inguscio, and Giovanni Modugno. Near-threshold Model for Ultracold KRb
Dimers from Interisotope Feshbach Spectroscopy. Phys. Rev. A, 77, 052705, 2008.
[32] H.M.J.M. Boesten, C.C. Tsai, J.R. Gardner, D.J. Heinzen, and B.J. Vehaar. Observation of a Shape Resonance in the Collision of Two Cold 87 Rb Atoms. Phys. Rev.
A, 55, 636, 1997.
[33] H.M.J.M. Boesten, J.M. Vogals, J.G.C. Tempelaars, and B.J. Verhaar. Properties
of Cold Collisions of 39 K Atoms and of 41 K Atoms in Relation to Bose-Einstein
Condensation. Phys. Rev. A, 54, R3726, 1996.
[34] G. Ferrari, M. Inguscio, W. Jastrzebski, G. Modugno, and G. Roati. Collisional
Properties of Ultracold K-Rb Mixtures. Phys. Rev. Lett., 89, 053202, 2002.
[35] H. Wang, A.N. Nikolov, J.R. Ensher, P.L. Gould, E.E. Eyler, W.C. Stwaller,
J.P. Burke Jr., J.L. Bohn, Chris. H. Greene, E. Tiesinga, C.J. Williams, and P.S.
Julienne. Ground-state Scattering Lengths for Potassium Isotopes Determined by
Double-resonance Photoassociative Spectroscopy of Ultracold 39 K. Phys. Rev. A,
62, 052704, 2000.
[36] J.J. Zirbel, K.-K. Ni, S. Ospelkaus, J.P. D’Incao, C.E. Wieman, J. Ye, and D.S. Jin.
Collisional Stability of Fermionic Feshbach Molecules. Phys. Rev. Lett., 100, 143201,
2008.
[37] T. Mukaiyama, J.R. Abo-Shaeer, K. Xu, J.K. Chin, and W. Ketterle. Dissociation
and Decay of Ultracold Sodium Molecules. Phys. Rev. Lett., 92, 180402, 2004.

参考文献

98

[38] Rudolf Grimm and Matthias Weidemüller. Optical Dipole Trap For Neutral Atoms.
arXiv:physics/9902072v1.
[39] Fabrice Gerbier, Artr Widera, Simon Fölling, Olaf Mandel, Tatjana Gericke, andImmanuel Bloch. Interference Pattern and Visibility of a Mott Insulator. Phys. Rev.
A, 72, 053606, 2005.
[40] D. van Oosten, P. van der Straten, and H.T.C. Stoof. Quantum Phases in an Optical
Lattice. Phys. Rev. A, 63, 053601, 2001.
[41] B. DeMarco, C. Lannert, S. Vishveshwara, and T.-C. Wei. Structure and Stabilityof Mott-insulator Shells of Bosons Trapped in an Optical Lattice. Phys. Rev. A, 71,063601, 2005.
[42] Gretchen K. Campbell, Jongchul Mun, Micah Boyd, Patrick Medley, Aaron E. Leanhardt, Luis G. Marcassa, David E. Pritchard, and Wolfgang Ketterle. Imaging theMott Insulator Shells by Using Atomic Clock Shifts. Science, 313, p. 649, 2006.
[43] Simon Fölling, Artur Widera, Torben Müller, Fabrice Gerbier, and Immanuel Bloch.
Formation of Spatial Shell Structure in the Superﬂuid to Mott Insulator Transition.
Phys. Rev. Lett., 97, 060403, 2006.
[44] Fabrice Gerbier, Simon Fölling, Artur Widera, Olaf Mandel, and Immanuel Bloch.
Probing Number Squeezing of Ultracold Atoms across the Superﬂuid-Mott Insulator
Transition. Phys. Rev. Lett., 96, 090401, 2006.
[45] Kiyotaka Aikawa. Preparation of Ultracold Atomic Sources towards Ground State
Polar Molecules. Master’s thesis, The University of Tokyo, 2008.
[46] Kai Noda. Bose-Einstein Condensates in an Optical Lattice. Master’s thesis, The
University of Tokyo, 2009.
[47] 新栄拓人, 野田開. 41 K の蒸発冷却のための磁気トラップの製作. 卒業論文, 2007, 東京
大学.

[48] Silke Ospelkaus-Schwarzer. Quantum Degenerate Fermi-Bose Mixtures of 40 K and87

Rb in 3D Optical Lattices. PhD thesis, Universität Hamburg, 2006.

[49] K.M. O’Hara, M.E. Gehm, S.R. Granade, and J.E. Thomas. Scaling Laws for Evaporative Cooling in Time-dependent Optical Traps. Phys. Rev. A, 64, 051403(R),2001.
[50] S. Friebel, C. D’Andrea, J. Walz, M. Weitz, and T.W. änsch. CO2 -laser optical latticewith cold rubidium atoms. Phys. Rev. A, 57, R20, 1998.
[51] B.E.A. Saleh and M.C. teich. FUNDAMENTALS OF PHOTONICS. Wiley, New
Jersey, second edition, 2007. ISBN: 978-0-471-35832-9.
[52] G. Modugno, G. Ferrari, G. Roati, R.J. Brecha, A. Simoni, and M. Inguscio. Bose-

参考文献

99

Einstein Condensation of Potassium Atoms by Sympathetic Cooling. Science, 294,
p. 1320, 2001.
[53] Daniel

Adam

Steck.

Rubidium

87

D

Line

Data.

availableat

http://steck.us/alkalidata.
[54] E. Arimondo, M. Inguscio, and P. Violino. Experimental Determinations of theHyperﬁne Structure in the Alkali Atoms. Rev. Mod. Phys., 49, 31, 1977.
[55] J.P. D’Incao and B.D. Esry. Scattering Length Scaling Laws for Ultracold Three-Body
Collisions. Phys. Rev. Lett., 94, 213201, 2005.
[56] K. Aikawa. private communication.
[57] J.H. Denschlag, J.E. Simsarian, H. Häﬀner, C. McKenzie, A. Browaeys, D. Cho,
K. Helmerson, S.L. Rolston, and W.D. Phillips. A Bose-Einstein Condensate in an
Optical Lattice. J. Phys.B: At. Mol. Opt. Phys., 35, 3095, 2002.
[58] 稲田安寿. 極低温フェルミオン原子 6 Li における s 波及び p 波対形成. PhD thesis, 東京
大学, 2009.

[59] 藤掛陽輔. 電磁場による極低温原子の内部状態の制御. Master’s thesis, 東京大学, 2010.
[60] 大島淳. 光トラップ中の極低温混合気体の相互作用制御. 卒業論文, 2009, 東京大学.
[61] John Weiner, Vanderlei S. Bagnato, sergio Zilio, and Paul S. Julienne. Experiments
and Theory in Cold and Ultracold Collisions. Rev. Mod. Phys., 71, p. 1, 1999.
[62] Jean Dalibard.

Collisional Dynamics of Ultra-cold Atomic Gases.

In Proceed-ing of the International School of Physics Enrico Fermi, Course CXL: BoseEinstein condensation in gases, 1998.

available at http://www.phys.ens.fr/ dal-ibard/publications/varenna98.pdf.
[63] A.J. Moerdijk, H.M.J. Boesten, and B.J. Verhaar. Decay of Trapped Ultracold Alkali
Atoms by Recombination. Phys. Rev. A, 53, p. 916, 1996.
[64] J. Söding, D. Guéry-Odelin, P. Desbiollesand F. Chevy, H. Inamori, and J. Dalibard.
Three-body Decay of a Rubidium Bose-Einstein Condensate. Appl. Phys. B, 69, p.
257, 1999.
[65] C. Ospelkaus, S. Ospelkaus, L. Humbert, P. Ernst, K. Sengstock, and K. Bongs.
Ultracold Heteronuclear Molecules in a 3D Optical Lattice. Phys. Rev. Lett., 97,
120402, 2006.
[66] Thorsten Köhler, Krzysztof Göral, and Paul S. Julienne.

Production of Cold

Molecules via Magnetically Tunable Feshbach Fesonances. Rev. Mod. Phys., 78,
p. 1311, 2006.
[67] Cheng Chin, Rudolf Grimm, Paul Julienne, and Eite Tiesinga. Feshbach Resonancesin Ultracold Gases. arXiv:cond-mat.others/0812.1496v1.

参考文献

100

[68] Francesca Ferlaino, Steven Knoop, and Rudolf Grimm. Ultracold Feshbach Molecules.
arXiv:cond-mat.other/0809.3920v1.
[69] Paul S. Jullienne, Eite Tiesinga, and Thorsten Köhler. Making Cold Molecules by
Time-dependent Feshbach Resonances. arXiv:cond-mat.other/0312492v3.
[70] E. Hodby, S.T. Thompson, C.A. Regal, M. Greiner, A.C. Wilson, D.S. Jin, E.A.
Cornell, and C.E. Wieman. Production Eﬃciency of Ultracold Feshbach Molecules
in Bosonic and Fermionic Systems. Phys. Rev. Lett., 94, 120402, 2005.
[71] C. Weber, G. Barontini, J. Catani, G. Thalhammer, M. Inguscio, and F. Minardi.
Association of Ultracold Double-species Bosonic Molecules. Phys. Rev. A, 78, 061601,
2008.
[72] G. Barontini, C. Weber, F. Rabatti, J. Catani, G. Thalhammer, M. Inguscio, andF. Minardi. Observation of Heteronuclear Atomic Eﬁmov Resonances. Rhys. Rev.
Lett., 103, 043201, 2009.
[73] C.C. Bradley, C.A. Sackett, J.J. Tollett, and R.G. Hulet. Evidence of Bose-Einstein
Condensation in an Atomic Gas with Attractive Interactions. Phys. Rev. Lett., 75,
1687, 1995.
[74] T. Kishimoto, J. Kobayashi, K. Noda, K. Aikawa, M. Ueda, and S. Inouye. Direct
Evaporative Cooling of 41 K into a Bose-Einstein Condensate. Phys. Rev. A, 79,031602(R), 2009.
[75] Matthew P.A. Fisher, Peter B. Weichman, G. Grinstein, and Daniel S. Fisher. Boson
Localization and the Superﬂuid-insulator Transition. Phys. Rev. B, 40, 1, 1989.
[76] Immanuel Bloch. Ultracold Quantum Gases in Optical Lattices. Nature Physics, 1,
p. 23, 2005.
[77] D. Jaksch, C. Bruder, J.I. Cirac, C.W. Gardiner, and P. Zoller. Cold Bosonic Atoms
in Optical Lattices. Phys. Rev. Lett., 81, p. 3108, 1998.
[78] Curt Wittig. The Landau-Zener Formula. J. Phys. Chem. B, 109, p. 8428, 2005.
[79] K. Góral, L. Santos, and M. Lewenstein. Quantum Phases of Dipolar Bosons in
Optical Lattices. Phys. Rev. Lett., 88, 170406, 2002.
[80] A. Micheli, G.K. Brennen, and P. Zoller. A Toolbox for Lattice-Spin Models with
Polar Molecules. Nature Physics, 2, p. 341, 2006.
[81] H.P. Büchler, A. Micheli, and P.Zoller. Three-body Interactions with Cold Polar
Molecules. Nature Physics, 3, p. 726, 2007.
[82] D.J. Heinzen, Roahn Wyner, P.D. Drummond, and K.V. Kheruntsyan. Superchemistry: Dynamics of Coupled Atomic and Molecular Bose-Einstein Condensates. Phys.
Rev. Lett., 84, p. 5029, 2000.

参考文献

101

[83] S. Kotochigova and E. Tiesinga. Controlling Poler Molecules in Optical Lattices.
Phys. Rev. A, 73, 041405, 2006.
[84] J.K. Freericks, M.M. Maśka, Anzi Hu, thomas M. Hanna, C.J. Williams, P.S. Julienne, and R. Lemański. Improving the eﬃciency of ultracold dipolar molecule formation by ﬁrst loading onto an optical lattice. arXiv:cond-mat.quant-gas/0908.1794v1.