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はじめに

本書は，
『演習で理解する基礎物理学–力学–』の続編として，理工系学部学生の基礎課程における電磁気学の教科書として編まれたものです．電磁気学は力学と並んで物理学の基礎をなす重要な柱となる分野のひとつです．
しかし，電磁気学は力学に比べるとその内容が多方面にわたり，難解であるといわれています．
力学は対象となる現象は直接，目に見える物体の運動を扱うため，日常的な感覚でとらえやすく，
物理法則も比較的シンプルで全体像がイメージしやすいが，電磁気学の対象となる現象は目に見えても，その本質がすっきりしない上，物理法則も多岐にわたるため，全体像がイメージしにく
いことに原因があるものと思われます．
その理由として考えられるのは，基本的には力学はミクロからマクロ領域まで，質量が関与する物理学で，質量の織りなす物理法則も比較的単純で，日常的な感覚で捕らえやすいが，電磁気学はミクロの電荷の作る電場と，電荷の運動，すなわち電流の作る磁場が関与する物理学で，これらが織りなす物理法則は，複雑さを増し日常的な感覚を超えていることにありそうです．
このような観点から，第 0 章では，摩擦電気と磁石に始まる電気と磁気の正体が電荷とその運動にあり，やがて主役として登場する電場と磁場といった場の概念の導入により，電磁気学へと飛躍的に発展していく歴史的過程を丹念にたどることにより，力学と同様に感覚的に親しみを覚え，なるほどと納得して使える物理，応用できる物理にしていくことを目指します．
この目標を達成するため，本書は次のような編集方針で執筆しました．
（1） 章立ては，高校の教科書と同様，電磁気の歴史に沿う流れ（静電気—電流—電流と磁場—電
磁誘導—電磁波）にする．
（2） 重要な概念と法則は高校教科書程度の平易な表現で説明してあり，式の導出も詳しく行なう．
（3） ややレベルが高いが，専門の電磁気学では重要になる事項は「発展」欄に掲げ，次のステッ
プにつなげる役割をもたす．
（4） 図を多用し，法則や式の持っている意味が視覚的にも理解できるように工夫する．
（5） 物理法則とその使い方の理解を容易にするために，例題と演習を豊富に入れ詳解する．例題
は本文に記述した内容の確実な理解を助けるために設ける．演習問題は物理法則を，具体的に使いこなせる力をつけるため，応用的テーマも取り上げる．
（6） 物理法則の定式化で必要となる数学は，高校で習う微積分やベクトルのレベルを念頭においてやさしく説明し，大学の基礎数学で習う事項は付録に掲げ，力学編の付録とあわせて活用すmain :

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iv

れば，他書を参考することなく理解できるよう工夫する．
本書を力学編と合わせて読むことにより，この宇宙の中で，主役を演じる質量と電荷とは性質は異なるが，非常に似たはたらきがあることに気がつけばしめたものです．質量があると，その周りの空間をゆがめて重力場をつくり出す．同様に，電荷があると電場をつくり，電荷が運動す
ると磁場をつくり出す，さらにミクロのレベルでは電荷による電気力が万有引用に比べて圧倒的に大きいが，マクロな宇宙レベルでは逆に万有引力が電気力に打ち勝つ，なぜでしょう．電荷は質量と異なり正負の 2 種類あることに原因があるのです．このように一見力学と電磁気学は関係がなさそうですが，自然の奥深いところで互いに関連しあっていることが見てとれます．将来，質量と電荷のブラックホールやダークマター（暗黒物質）との関係が解明され，質量星に対応した電荷星が発見されるかもしれません．
理工系学部の学生のみなさんに対して，電磁気学の基礎について十分な知識を与えるとともに，専門分野の橋渡しに役立つことが現下の目的ですが，長期的には，宇宙の始まりであるビッグバ
ンから宇宙の終わりであるビッグクランチまで質量と電荷がどう関わっていくのか，質量と電荷の他に第 3 の場を作る物理量はないのかなど，宇宙の本質に迫るヒントを与えることができれば，
こんなすばらしいことはありません．
さあ，はじめはバラバラだったいろいろな法則が最後にマクスウエルの方程式に鮮やかにまとめられて，電磁波が発生するフィナーレを迎えるストーリーを堪能しましょう．
最後に，本書の執筆にあたり，“わかりやすい電磁気学” を常日頃要望され，この目標達成のため，長い執筆時間を与えてくださった共立出版の寿日出男氏と本書の出版にあたってお世話になった共立出版の中川暢子氏に深く感謝いたします．
2016 年 10 月

御法川幸雄
新居

毅人

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目

次

第０章 電気と磁気から電磁気学への歩み …………………………………………………… 1
1■ 電気と磁気の発見

1■ 電気と磁気の研究の始まり

2■ 電気と磁気の法則の発見■ 電池の発見2
2■ オームの法則の発見■ 電気と磁気の相互関係

2■ 磁石の正体は分子電流3■ 電磁誘導発見の芽生え

3■ 電磁誘導の法則の発見

3■ 電場と磁場の概念の誕生
電磁気ポルカ444■ 変位電流の発見■ アンペール・マクスウェルの法則の発見

5■ マクスウェルの方程式の発見■ 電磁波の予言

5■ 電磁波の検出

55■ ローレンツ力の発見■ 電磁気学の完成

45

超巨大ブラックホールからの電磁波と重力波

6

第１章 電荷とクーロンの法則 ………………………………………………………………… 8
1.1 原子の構造と電気の正体 ……………………………………………………………………… 8■ 原子の構造と電荷8■ 原子の構造とイオンができるしくみ■ 電気量（電荷）保存の法則
■ 帯電列

9

9

8

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目

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9

■ 静電気力9■ 静電気力と万有引力

1.2 クーロンの法則 ……………………………………………………………………………… 1010■ 静電気力（クーロン力）

10■ 重ね合わせの原理

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 12

第２章 電

場 ………………………………………………………………………………… 22

2.1 電場 …………………………………………………………………………………………… 22
■ 電場

22
22

■ 電場の重ね合わせ■ 静電気力と重力

22

2.2 連続的に分布する電荷がつくる電場 ……………………………………………………… 2323■ 電荷が体積分布する場合

23■ 電荷が面分布する場合

24■ 電荷が一様分布する場合

2.3 電気力線とガウスの法則 …………………………………………………………………… 24
24■ 電気力線■ 球の中心から出る電気力線の数

24■ 閉曲面内の電荷から出る電気力線の数■ ガウスの法則

26

26

2.4 ガウスの法則の応用 ………………………………………………………………………… 27■ 直線上に分布した電荷による電場

27■ 平面上に分布した電荷による電場

27■ 2 つの平面に分布した電荷による各領域における電場■ 球内に分布した電荷による電場

28

29

2.5 導体と不導体 ………………………………………………………………………………… 30
■ 導体

30

■ 不導体

30

2.6 静電誘導 ……………………………………………………………………………………… 31■ 静電誘導31■ 導体表面付近の電場

32■ 静電遮蔽（しゃへい）

33

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 34

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目

第３章 電

次

vii

位 ………………………………………………………………………………… 50

3.1 電位 …………………………………………………………………………………………… 50
50

■ 電位

51

■ 電位差

51

■ 点電荷による電位■ 複数の点電荷による電位5253■ 連続的に分布する電荷による電位■ 電位とエネルギー保存の法則

53

3.2 等電位面 ……………………………………………………………………………………… 5353■ 等電位面（線）54■ 等電位線と電気力線

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 56

第４章 コンデンサー …………………………………………………………………………… 72
4.1 コンデンサー ………………………………………………………………………………… 72■ コンデンサー

72■ 平行板コンデンサーの電気容量

724.2 コンデンサーの接続 ………………………………………………………………………… 73■ 並列接続73■ 直列接続73

4.3 静電エネルギー ……………………………………………………………………………… 74■ 静電エネルギー■ 電場のエネルギー7475■ 電池のした仕事 = 静電エネルギー + ジュール熱

75

4.4 誘電体と分極電荷 …………………………………………………………………………… 75
75

■ 誘電体
■ 分極電荷

76■ 誘電体を挿入した場合の電気容量
発展77

電束密度 …………………………………………………………………………………… 78

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 82

第５章 電流 ………………………………………………………………………………… 94

5.1 オームの法則 ………………………………………………………………………………… 94
■ 電流

94

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目

次

94

■ 導体を流れる電流

95■ オームの法則

5.2 抵抗の接続 …………………………………………………………………………………… 96■ 直列接続96■ 並列接続96

5.3 ジュール熱 …………………………………………………………………………………… 97■ ジュール熱

97

97

■ 電力

5.4 キルヒホッフの法則 ………………………………………………………………………… 97■ キルヒホッフの第 1 法則

97

■ キルヒホッフの第 2 法則

98

■ 具体的な適用法

98

5.5 コンデンサーの充電と放電 ………………………………………………………………… 99
■ 充電

99

■ 放電

100
101

■ エネルギー保存の法則■ 伝導電流と変位電流

101

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 102

第６章 磁

場 ………………………………………………………………………………… 116

6.1 ローレンツ力 ………………………………………………………………………………… 116
■ 磁気力

116

■ ローレンツ力116

6.2 電流にはたらく力（アンペールの力） …………………………………………………… 117■ まっすぐな導線にはたらくアンペールの力

117■ まっすぐでない導線にはたらくアンペールの力

117

6.3 ビオ・サバールの法則 ……………………………………………………………………… 118■ ビオ・サバールの法則

118■ 直線電流がつくる磁場

119■ 円電流がつくる磁場■ 磁気モーメント

119

119

■ ソレノイドがつくる磁場120■ 電気双極子モーメントと磁気モーメント120

6.4 平行な直線電流の間にはたらく磁気力 …………………………………………………… 121■ 平行電流の間にはたらく力

121■ 1A の定義と透磁率 μ0 の定め方

121

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目

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ix

6.5 アンペールの法則 …………………………………………………………………………… 122122■ アンペールの法則■ 複数の導線電流がある場合のアンペールの法則

122■ 電流が広がって流れている場合のアンペールの法則

123

6.6 運動している電荷による磁場 ……………………………………………………………… 123
123−→
6.7 磁場 B に関するガウスの法則 …………………………………………………………… 124−→■ 磁場 B に関するガウスの法則
124
発展 磁性体 ……………………………………………………………………………………… 125■ 運動している電荷による磁場

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 130
発展

ローレンツ力を受けながら運動する荷電粒子 ………………………………………… 150

第７章 電磁誘導 ………………………………………………………………………………… 153
7.1 電磁誘導の法則 ……………………………………………………………………………… 153■ 電磁誘導153■ ファラデーの電磁誘導の法則■ 誘導起電力の発生パターン

154
155

7.2 自己誘導 ……………………………………………………………………………………… 155■ 自己誘導

155■ ソレノイドの自己インダクタンス

156

7.3 コイルに蓄えられるエネルギー …………………………………………………………… 156
156■ 磁場のエネルギー

7.4 LC 振動回路 ………………………………………………………………………………… 157■ 振動電流157■ LC 振動回路のエネルギー保存の法則

158

7.5 相互誘導 ……………………………………………………………………………………… 159■ 相互誘導159

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 160

第８章 交流 ………………………………………………………………………………… 172

8.1 交流の発生 …………………………………………………………………………………… 172
172■ 交流の発生8.2 交流回路 ……………………………………………………………………………………… 173■ RLC 並列回路
■ 並列共振174173main :

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x

目

次

■ RLC 直列回路

174

175

■ 直列共振8.3 交流の実効値 ………………………………………………………………………………… 175
175■ 交流の実効値■ 平均消費電力と力率

176

例題・演習問題 …………………………………………………………………………………… 178

第９章 マクスウェルの方程式と電磁波 …………………………………………………… 192
9.1 変位電流 ……………………………………………………………………………………… 192
192■ 変位電流193■ アンペール・マクスウェルの法則

9.2 マクスウェルの方程式 ……………………………………………………………………… 193■ マクスウェルの方程式（積分形）

193■ マクスウェルの方程式（微分形）

194

9.3 電磁波 ………………………………………………………………………………………… 194■ 平面電磁波194■ 平面電磁波の性質

196

例題 ………………………………………………………………………………………………… 197

付録Ａ 微分方程式 ……………………………………………………………………………… 200
A.1 微分方程式………………………………………………………………………………… 200

A.2 1 階微分方程式…………………………………………………………………………… 201

A.3 2 階微分方程式…………………………………………………………………………… 204

付録Ｂ ベクトル解析—ベクトルの微分—
B.1 スカラー場とベクトル場……………………………………………… 210………………………………………………………………… 210

B.2 ∇（ナブラ）（ベクトル微分演算子） …………………………………………………… 210
B.3 grad ϕ = ∇ϕ （スカラー場の勾配） ………………………………………………… 210 =∇·A （ベクトル場の発散） ………………………………………………… 210
B.4 divA
 =∇×A （ベクトル場の回転）………………………………………………… 211
B.5 rotA
B.6 Δ （ラプラシアン） ……………………………………………………………………… 211

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目

次

xi

付録Ｃ ベクトル解析 —ベクトルの積分— ……………………………………………… 214
C.1 線積分……………………………………………………………………………………… 214

C.2 面積分……………………………………………………………………………………… 215

C.3 ガウスの発散定理………………………………………………………………………… 216

C.4 ストークスの定理………………………………………………………………………… 216

演習問題の解答 …………………………………………………………………………………… 218
索

引 ………………………………………………………………………………………………… 249

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第0章

電気と磁気から電磁気学への歩み■ 電気と磁気の発見
いろいろな電気と磁気の現象は，古代ギリシャからすでに知られていた．紀元前 7 世紀頃，ターレスは毛皮でこすったこはく（化石化した樹脂）が麦わらの小片などを引きつける摩擦電気力について記している．また，アリストテレスは電気なまずが獲物を気絶させたり人間にショックを与える電気現象についてコメントしている．
紀元前 1 世紀頃，詩人のレクレティウスは小アジアのマグネシア (Magnesia) 地方に産出する
天然の磁石である磁鉄鉱 (Fe3 O4 ) がこすらなくても鉄を引きつける電気力とは異なる神秘的な力について記している．電気を表す electricity はこはくを意味するギリシャ語の elektron に，磁気を表す magnet は Magnesia という地名に由来するといわれている．
しかし，この頃は電気力と磁気力は自然界に存在する不思議な力と認識し，好奇の対象ではあってもそれ以上にはならなかった．11 世紀頃，中国やアラビアの船乗り達は，水に浮かべた磁鉄鉱がなぜ常に北を指すかわからないまま羅針盤（方位磁針）として用いたとの文献が見つかっている．13 世紀後半から少しづつ磁気と電気を学問の対象として取り上げ始めた．

■ 電気と磁気の研究の始まり

1269 年，ピエール・マリコートは磁針を用いて球形にした磁石（磁鉄鉱）のまわりの磁気力の方向をたどり力線 (lines of force) を描くとそれらはすべて両端の点に収束することを発見した．
この 2 つの点を磁石の磁極（N 極，S 極）と名付けた．

1600 年，イギリスのギルバートは「磁石について」(De Magnete) を著し，地球自身が巨大な磁石であることを示唆した．吊された棒磁石が地理学的 N 極を向く端を N 極と呼んだ．これは，1つの磁石の N 極は他の磁石の S 極を引きつけ，N 極をはねつけることを意味する，したがって地理学的 N 極は磁石の S 極になる．棒磁石を 2 つに割るとそれぞれがまた 2 つの磁気力を発するようになるため，N 極と S 極は分けることができないことにも言及している．さらに，ギルバート
は電気と磁気の現象は異なる原理の力によることを始めて示した．まさつ電気はこはくにかぎらず，多くの他の物質でもこすることによって生じることを明らかにした．電気的 (electricus) という言葉も初めて用いた．
電気の研究では，1750 年にアメリカのフランクリンは系統的な摩擦電気の実験から電気には「正の電気」と「負の電気」があることを見出した．また，2 つの物体をこすり合わせると，電気main :

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2

第 0 章 電気と磁気から電磁気学への歩みの一部が一方の物体から他方の物体へ移動し，2 つの物体は異符号で等量の電気を帯びる（電気量は保存される）ことを示唆した．今日，電気や電気量（電気の量）は電荷 (charge) と呼ばれている．1752 年には「たこあげ実験」を行い，雷の稲妻の本性は電気現象（空中放電）であることを明らかにした．

■ 電気と磁気の法則の発見
イギリスで産業革命が起こった 18 世紀後半に大きな転機が訪れる．これまでの電気と磁気の現象が従う規則を法則として表現する方法がとられ始めた．1750 年頃にイギリスのジョン・ミッ
チェルはねじり天秤を考察し，磁石の磁極が互いに引力あるいは斥力を及ぼし合うこと，またこれらの力が磁極間の距離の 2 乗に反比例することを証明した．

1772 年，イギリスのキャベンディシュは帯電した金属球の間にはたらく電気力は球間の距離の2 乗に反比例することを実験的に確かめた．
1785 年，フランスのクーロンはねじれ天秤を用いた精密測定を行い，電気を帯びた物体間にはたらく静電気力は，それぞれの物体が帯びた正負を区別する電気量の積に比例し，物体間の距離の 2 乗に反比例すると表現した．これは「クーロンの法則」と呼ばれている．
磁石の磁極（N 極，S 極）間にはたらく磁気力についても逆 2 乗の法則が成り立つことを実験で示した．クーロンの法則は電気と磁気の世界で初めて発見された「法則」といわれている．

■ 電池の発見

1791 年に生理学者であるイタリアのガルバーニはカエルの脊髄に真鍮のフックをつけ，カエルを鉄柵に吊し，フックが鉄柵に触れるとカエルの筋肉がけいれんすることを発見した．彼は，この現象は「動物電気」によるものと考えた．

1796 年，イタリアのボルタは，ガルバーニの「動物電気」はカエルの体そのものが電気を発生させているものではなく，2 種類の金属の接触により摩擦電気とは異なる電気が発生したものであることを発見した．

1799 年に彼は 2 種類の金属（Cu と Zn）対の組合せで電気の流れである電流を連続的に供給できる「ボルタのパイル」と呼ばれる電池を発明した．電池の発明は，人類が初めて定常的な電流を手にしたことを意味し，電気と磁気の数量的な研究が一気に進む契機となった．

■ オームの法則の発見
電気の分野では，1826 年にドイツのオームは電流の流れ方を数量的に調べた結果，電流，電位差（電圧），抵抗という概念を導入すると，これらはきれいな形にまとまることを発見した．これはオームの法則と呼ばれている．

■ 電気と磁気の相互関係
磁気の分野では，1820 年にデンマークのエールステッドは電流が流れている導線の近くの磁針が振れることを偶然に発見した．これは電流が磁気効果を生み出すこと意味しており，今まで別物と考えられていた電気と磁気が奥深いところで密接にからみあっていることが明らかにされたmain :

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3

最初の年であった．これを契機に電気と磁気が相互に関連していることを示す重要な研究結果が相次いで発表されていった．しかも，電気と磁気が従う「法則」を数式で表す手法がとられるよ
うになる．

1820 年に，フランスのビオとサバールは任意の形の導線を流れる電流のつくる磁場（磁気力がはたらく空間）を数式で表すことに成功した．1820 年に，フランスのアンペールは電流の流れている 2 本の平行導線間に磁気力（アンペールの力）がはたらくことを発見した．その実験結果を電流とそのまわりにできる磁場との関係を式で表すアンペールの法則にまとめた．1821 年頃には，磁石の正体が少しづつ明らかになっていく．

■ 磁石の正体は分子電流

1820 年の終わり頃，フランスのアラゴは電流の流れているソレノイドの中の鉄は磁石になることを見出している．1821 年にアンペールは電流の流れているコイルを吊すと棒磁石のようにふるまう（コイル面の法線方向が磁針のように南北を指す）ことや，電流の流れている 2 本の導線が互いに力を及ぼし合うことを発見している．このことから，彼はコイルに流れている電流が磁石と同等であるとの考えに達した．そして磁石の中にミクロなループ電流（これを分子電流と呼んだ）を無数に含み，向きがそろうと磁石の側面に沿ったマクロなループ電流になるという分子電流モデルを提案した．

■ 電磁誘導発見の芽生え

1825 年，アラゴはのちの電磁誘導発見への道を拓いた重要な発見をしている．早く回転する磁
石が銅の円盤を回転させたり，逆に早く回転する円盤が磁針を回転させることを示した．また，回転する円盤の上に吊されたソレノイドがその向きを変えることも観察している．電気と磁気の間に密接な関係があることがヘンリーとファラデーによって独立に実証されていく．1830 年，アメリカのヘンリーはアラゴの円盤の謎を解くきっかけになる「磁気の変化が電気をひき起こす」現
象を観察している．

■ 電磁誘導の法則の発見
自然界の持つ法則の対称性から，電気か磁気が生じるなら，磁気から電気が生じるだろうといろいろ試みられたがうまくいかなかった．つまり，時間的に変化しない定常電流は磁場をつくれたが，定常磁場からは電場（電気力がはたらく空間）をつくれなかった．1831 年に，イギリスのファラデーは定常電流を流したコイル 1 のつくる磁場中におかれたコイル 2 には電流が流れない
が，コイル 1 のスイッチを ON，OFF にした瞬間にコイル 2 に電流が流れることを観測した．さらに，コイル 1 の代わりに磁石を用いて同様の実験を行ったところ，磁石を静止させておくとコ
イル 2 に電流が流れないが，磁石をコイル 2 の中に入れたり出したりするとき，コイル 2 に電流が流れることも観測した．これらの結果をもとに，ファラデーは磁気から電気を生じる現象「電磁誘導」を「ファラデーの電磁誘導の法則」にまとめている．磁気から電気を生じさせるためには，電流が時間的に変化したり，磁石が運動して磁場を時間的に変化させなければならないことがわかったのである．

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第 0 章 電気と磁気から電磁気学への歩み■ 電場と磁場の概念の誕生
この頃から，電気と磁気の現象を「電場」や「磁場」で解釈する「場」の考え方が生まれてくるのである．ファラデーは磁石の磁極が発する「磁場」や電流が発する「磁場」やそれらを視覚化する力線 (ﬁeld line) の考えを導入したが，数式表現は行わなかった．
ドイツの数学者であるガウスは，ある面を流れる流体の流線に似た電荷が発する「電場」の力
線—電気力線—を考え，ある面を貫く電気力線の本数に対応する電気力線束 (electric ﬂux) という量を導入し，クーロンの法則と等価なガウスの法則を定量的な形で表現した．

Coffee break
電磁気ポルカ1852 年，ウィーン工科大学の学生を支援する舞踏会のためにヨハン・シュトラウス 2 世は
「電磁気ポルカ」（2015 年ウィーン・フィルのニューイヤー・コンサートで演奏された）を作曲している．これは，電気と磁気に関する諸法則発見のきっかけを作ったエールステッドの功績を讃えるためといわれている．

■ 変位電流の発見
ファラデーの電磁誘導の法則は，時間的に変化する磁場が電場を生むことを意味している．電場と磁場の対称性から，変化する電場は磁場を生むことが予想された．この現象は簡単に見つからなかった．しかし，1864 年にイギリスのマクスウェルが，定常電流がつくる磁場に対して成り立つアンペールの法則が，時間変化している非定常電流に対しては成り立たない場合があることに気がついたことにより事態が大きく動いていく．
コンデンサーを電源につなぎ充電する場合，導体部分には時間的に変化する伝導電流が流れ始めるが，極板間の空間には伝導電流は流れていない．したがって，導体部分にはアンペールの法則が適用できるが，極板間には適用できない．明らかに電流の保存の法則を破っている．マクス
ウェルは，この矛盾に気がつき，アンペールの法則を生かすためには，コンデンサーの極板間に何かが流れているとひらめいた．コンデンサーの極板間の時間的に変化する電場を電流とみなし，この電流もふつうの伝導電流と同じように磁場をつくる新しい源になるという考えに達し，この不思議な電流を変位電流と名づけた．

■ アンペール・マクスウェルの法則の発見
こうしてマクスウェルは，アンペールの法則に変位電流を取り込み，定常，非定常いずれでも成り立つ，拡張されたアンペールの法則を提唱した．1864 年のことである．これは，アンペール・
マクスウェルの法則と呼ばれている．

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5■ マクスウェルの方程式の発見
この法則も考慮に入れて，マクスウェルは，それまでに発見された電気と磁気に関するすべての法則が，次のような 4 つの方程式で統一的に記述できることを見つけた．

(1) hosi 電場についてのガウスの法則(2) 磁場についてのガウスの法則(3) 電磁誘導のファラデーの法則(4) 電流・磁場についてのアンペール・マクスウェルの法則である．この方程式群をマクスウェルの方程式とよんでいる．こうして，マクスウェルのひらめきによって導入された変位電流を橋渡しにして電場が磁場を生む現象も数式化された．

■ 電磁波の予言
さらに，彼は 1873 年に電荷も伝導電流もない真空中や空気中の場合について，方程式 (1)〜(4)を解くと驚くべき結果が予言できることを発見した．変位電流を取り込んだ方程式 (4) によれば，伝導電流がなくても，運動する電荷が発する電場の時間的変化があればそのまわりに磁場を生み出す．磁場が生じるということは，磁場が変化することである．磁場の変化があると方程式 (3)より今度は，そのまわりに電場を生み出す．こうして，電場と磁場は互いに相手を源として生み出しあいながら，からみあって電磁波（横波）としてどちらも光速に等しい速さで空間を伝わっていくこと，すなわち「光は電磁波（の一種）である」ことを予言した．

■ 電磁波の検出

1888 年にドイツのヘルツによる一連の火花放電の実験で，マクスウェルの予言した通り電磁波
が空間を光の速さ（1 秒間に 30 万 km）で伝播し，これが光と同一の性質（反射，屈折，回折，偏光）をもつことを実証した．こうして，磁場とは運動する電荷によって発生する，また，加速度運
動する電荷の振動（火花放電）にともなって電磁波が発生することが次第に明らかになっていく．
このように，はじめは互いに無関係だと考えられていた電気 (electricity) と磁気 (magnetism)
は電場 (electric ﬁeld) と磁場 (magnetic ﬁeld) という「場 (ﬁeld)」を通して統一され，電磁気学(Electromagnetism) が完成の域に達していく．
■ ローレンツ力の発見
ところで，19 世紀後半にもう一つ大きな発見が行われている．1892 年にオランダのローレン
ツは電磁場（電場と磁場をまとめていう）の中を運動する電荷は電場から電気力を，磁場から磁気力を受けることを発見し，定式化した．電気力と磁気力を合わせた電磁気力，または磁気力をローレンツ力という．

■ 電磁気学の完成
ビオ・サバールの法則は，電流が磁場をつくることを表す．これから，電流は運動する電荷でmain :

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第 0 章 電気と磁気から電磁気学への歩みあるから，運動する電荷は磁場をつくることが予想される．1876 年にアメリカのローランドは，
帯電（電気を帯びること）した円板を回転させると，そのまわりに磁場が発生することを発見した．これは，運動している電荷も電流と同じように磁場をつくることを示したはじめての実験であった．これから，電気力と磁気力について次のようにまとめることができる．電荷はそのまわりに電場をつくり，その中にある別の電荷はこの電場による力（電気力）がはたらく．この場合，どちらの電荷も静止していても運動していてもよい．電荷が運動すると，そのまわりに電場のほかに新たに磁場をつくり，その中にある別の運動している電荷には，この磁場による力（磁気力）が加わる．電気力とは電荷（静止していても運動していてもよい）どうしが及ぼし合う力，磁気力とは運動している電荷どうしが及ぼし合う力ということができる．電場と磁場の共通の源は電荷であり，磁場の源は運動する電荷であることがますます明白になっていく．
マクスウェルの方程式とローレンツ力を合わせて用いると，電磁気学で学ぶほとんどすべての電磁現象を表すことができる．こうして，古典電磁気学は完成していく．
これが，電気と磁気から電磁気学に至る大まかな発見の歴史である．本書では，「電気と磁気の正体は何か」という謎の解をひとつずつ解き明かしていった先人達の歴史の流れを参考にして，「電磁気学のエッセンシャル」を演習を通して体系的に理解していくことを目指す．

Coffee break
超巨大ブラックホールからの電磁波と重力波

マクスウェルが理論的に導いた，空間を光速で横波として伝わる電磁波は，ヘルツによって初めて実験的に検証された．赤外線や紫外線，Ｘ線，ガンマ線なども，電波や可視光線と同じ電磁波の一種である．電磁波のスペクトル図を下に掲げる．可視光線の波長領域は，電磁波全体からみるとわずか (380–750 nm)(1 nm = 10−9 m) 領域を占めているにすぎない．紫

(380–450 nm)，青 (450–495 nm)，緑 (495–570 nm)，黄 (570–590 nm)，橙 (590–620 nm)，
赤 (620–750 nm) である．
電荷があると空間をゆがませる．この電荷が加速度運動するとゆがみが空間を伝わる．これが電磁波である．質量についてはどうであろうか．日常世界で加速度運動する質量と力の関係はニュートンの運動法則の式で表されている．宇宙規模ではどうなるだろうか．巨大な質量があると空間をゆがませる．この質量が加速度運動すると，質量で生じたゆがみが重力波となって光速で空間を伝わる．重力波の存在は，1916 年にアインシュタインの一般相対性
理論によって予言された．しかし，時空のさざなみである重力波を直接検出するには長い年月を要した．2016 年 2 月に転機が訪れた．

10 億年以上前のブラックホール連星（太陽の質量の 30 倍程度）の合体により発生した重力波が，さざ波のように宇宙空間を伝わり地球を通過したところを，米国にある LIGO（レーザー干渉計型重力波検出器）は捉えた．人類は何千年も前から可視光領域で恒星や惑星を光学望遠鏡で観測してきた．近年，マイクロ波，赤外線，X 線，ガンマ線の観測が可能になり，事態は一変した．なかでも宇宙のビッグバンの高熱の名残りである宇宙マイクロ波背景放射

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や，ブラックホールの周辺（シュヴァルツシルト半径の外側）で発生する X 線が観測されたことで，宇宙の始まりや，ブラックホールの生じる仕組みが徐々に解明され始めた．これら
電磁波に加え，理論の域を出なかった重力波が実際に観測されたことで，いろいろなタイプのブラックホールの誕生するからくりがいっそう鮮明になる可能性が出てきた．
ブラックホールを特徴づける物理量としては，質量，角運動量，電荷がある．電磁波と重力波の共通項は時空のゆがみが光速で伝わることである．ブラックホールの連星に中性子星がある．ブラックホールや中性子星の合体が重力波源だとすると，電荷ブラックホールが存在し，これらの合体で電磁波を発生させてもよさそうである．しかし，ブラックホールからあらゆる電磁波は抜け出せないとされている．
超巨大ブラックホールの合体そのものから，重力波に伴って強い電磁波が観測されれば，質量と電荷のブラックホールでの激しいせめぎあいと，地球上での両者の静かな住み分けを支配する宇宙の大物理法則が発見されるかもしれない．
電磁波のスペクトル
20

γ
（ガンマ）
線
−14

−12

18

16

X線

紫外線

−10

−8

14

12

マイクロ波

赤外線
−6
可視光線

10

−4

−2

8
UHF

22

n

振動数
（10 Hz）

TV&FM

main :

0

6
AM
短波
2

4
長波

4
n

波長（10 m）

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第1章

電荷とクーロンの法則

1.1 原子の構造と電気の正体■ 原子の構造と電荷物体は，多数の原子からできている．その原子はさらに，

電子
9
原子核 4 Be

陽子と中性子からなる原子核と，そのまわりをまわっている電子とからできている（図 1.1）
．陽子，中性子，電子は

⊕

○ ⊕○
⊕⊕○
○ ○

「質量」という基本量をもつが，陽子や電子はこの他に「電荷」と呼ばれる基本量をもっている。この陽子や電子がも⊕陽子

つ電荷こそが電気の正体である．電子は負 (−) 電荷，陽○ 中性子

子は正 (+) 電荷をもち，中性子は電荷をもたない．陽子や約10-15m電子のもつ電荷の絶対値はこれ以上細分できない最小単位

約10-10m

図 1.1で，電気素量または素電荷といい，記号 e で表す．電荷の量を電気量，もしくは単に電荷という．電気量（電荷）の単位にはクーロン［C］が用いられ，e = 1.60 ×

表 1.1

10−19 C である（表 1.1）．原子番号 Z の原子原子を構成する基本粒子の質量と電荷
質量 [kg]
電荷 [C]
9.11×10−31 −1.60×10−19
1.673×10−27 +1.60×10−19
1.675×10−27
0

粒子 記号
電荷
e−
p
陽子
中性子
n

は，ともに Z 個の陽子と電子をもつので，原子核の電気量の総和は +Ze，電子の電気量の総和は −Ze になるので，その原子は全体とし原子の構造（ベリリウム
原子 4 Be の場合）て電気的に中性 (+Ze − Ze = 0) である．

■ 原子の構造とイオンができるしくみ
しかし，原子は電子を放出したり取りこん

放出する Na+

Na

Cl¯

Cl

だりすることがある．このようにして電荷を帯びた原子をイオンという．電子を放出した
原子は正電荷を帯びて陽イオンに，電子を取りこんだ原子は負電荷を帯びて陰イオンになる．たとえば，ナトリウム原子 Na は電子

1 個を放出してナトリウムイオン Na+ とな

11

11

17

電子を
1個失う
原子核

図 1.2

17

電子を
1個得る
電子

取りこむ

原子核がもつ陽子

原子とイオンの例（イオンのできるしくみ）

り，塩素原子 Cl は電子 1 個を取りこみ塩化物イオン Cl− になる（図 1.2）．

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1.1 原子の構造と電気の正体

Na −e− = Na+ ,9

Cl +e− = Cl−■ 電気量（電荷）保存の法則
非常に多くの原子からなる物体でも，物体中の陽子の正電荷と電子の負電荷の代数和が 0 であれば，物体全体としては電気的に中性である．しかし，電気的に中性な 2 つの物体をこすり合わせるとき，原子核と電子の結合の強さの違いのため，原子核からの束縛の弱い電子は原子から離れ，他の物体へ移る．いま，物体 A から物体 B へ n 個の電子が移動した場合を考える．このとき，A は原子核の電荷が電子の電荷より勝って，全体として +ne の，逆に B は −ne の電荷を帯びる．この結果，A は正に帯電し，B は負に帯電する．しかし，A，B を全体としてみると，電荷の増減はない．このように，物体間で電荷のやり取りがあっても，各物体のもつ電荷の代数和は変わらない．これを電気量（電荷）保存の法則という．

■ 帯電列
物体 A，B の表面を電子が移動する向

図 1.3

塩化ビニル

（図 1.3）が用いられる．たとえば，エボナ

ポリエチレン

いか，負に帯電しやすいかを表した帯電列

アクリル繊維

金属

ゴム

エボナイト

こはく

紙

木材

木綿

絹

アクリル板

ナイロン

羊毛

る．具体的には，どちらが正に帯電しやす⊕

ガラスせる物体 A，B の組み合わせによって決ま

負に帯電しやすい（電子を奪いやすい）毛皮き（A→B か B→A か）は，こすり合わ

正に帯電しやすい（電子を放出しやすい）⊖

ファラデーの帯電列

イト棒と毛皮をこすり合わせると，エボナイト棒は負に帯電し，毛皮は正に帯電する．これは毛皮からエボナイト棒へ電子の一部が移動するからである．ガラス棒を絹の布でこすり合わせると
電子はガラス棒から絹の布に移動し，ガラス棒は正に帯電する．歴史的には，エボナイト棒に帯電する電荷を負電荷，ガラス棒に帯電する電荷を正電荷と定め，それに基づいて電荷の正負が決められた．物体のもつ電荷はつねに電気素量 e の整数倍である．しかし，マクロな電気現象では，そこに現れる電荷は e に比べるとはるかに大きいから，電荷は質量と同じく連続量と見なしてもかまわない．また，どれだけの電荷がどう分布し，どう運動しているかを考えることが多く，電荷の実体が何（電子，陽子など）であるかを問題にしなくてもよい場合が多い．

■ 静電気力電荷の間には静電気力がはたらく．引力しかはたらかない質量の場合とは異なり，静電気力は電荷の正・負によって引力になったり斥力になったりする．負に帯電したエボナイトと正に帯電したガラス棒は引き合い，エボナイト棒同士，ガラス棒同士は反発し合う．このように，同種（同符号）の電荷は互いに斥力をおよぼし合い，異種（異符号）の電荷は互いに引力をおよぼし合う．
大きさが無視できる小さな点状の電荷を，力学の質点（点状の質量）に対応させて点電荷という．

■ 静電気力と万有引力
静電気力は万有引力に似ているが，その強さはミクロなスケールでは万有引力に比べて圧倒的に大きい．しかし，宇宙スケールでは引力と斥力がある静電気力は相殺されてしまうが，引力しmain :

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第 1 章 電荷とクーロンの法則

かない万有引力は足し合わされていっそう強くなる．電気振り子と電荷の間の静電気力などは万有引力と同レベルの力の大きさをもっている．自然の世界はそのスケールに応じ主役となる力が異なっている．質量に関する物理が力学であるのに対し，電磁気学は電荷および電荷の流れである電流に関する物理である．

1.2 クーロンの法則■ 静電気力（クーロン力）
原点 O に点電荷 Q （電気量 Q の電荷）があるとき，位置ベクトル r （距離 r = |r|）の点に

 [N] は，おいた電荷 q にはたらく静電気力（クーロン力） F
qQ r
qQF = k 2 = k 2 er （er は r の向きの単位ベクトル）r r
r→
F (qQ > 0)と表される．力の大きさは電荷の量（電気量）の積に比例し，距離の 2 乗に反比例する．力の方向は 2 つの電荷を結ぶ直線→
F(qQ < 0)方向で，向きは Qq > 0（Q と q が同符号）のときは 
r 方向

q

r

の斥力，Qq < 0 （Q と q が異符号）のときは −r 方向の引力となる（図 1.4）．（1.1）式を静電気力に関するクーロンの法則という．比例定数 k は SI 単位系で，

(1.1)

er
Q

1
k=
= 8.988 × 109
4πε0= c2 × 10−7 N · m2 /C2

図 1.4

静電気力（クーロン力）

である．ここで，c = 2.99792458 × 108 m/s は光速である．ε0 （イプシロン・ゼロと読む）を
真空の誘電率という．

ε0 =

107
= 8.854 × 10−12 C2 /N · m2
4πc2

である．

■ 重ね合わせの原理

n 個の点電荷 Q1 ，Q2 ，· · · ，Qn が別の点電荷 q に及ぼす力 F は，各点電荷 Qi (i = 1, 2, · · · , n)nFi で与えられる（図 1.5）．このような性質をが独立に点電荷 q に及ぼす力のベクトルの和i=1

重ね合わせの原理という．