A NNALES SCIENTIFIQUES DE L’É.N.S.

L. BACHELIER
Théorie de la spéculation
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 17 (1900), p. 21-86<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0>© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1900, tous droits réservés.
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THEORIEI)KLA S P É C U L A T I O N ,Ï^K M. L. BACHELIER.

ÏNTBODUCTION.

Les influences qui déterminent les mouvements de la Bourse sontinnombrables, des événements passés, actuels ou même escomptables,
ne présentant souvent aucun rapport apparent avec ses variations, serépercutent sur son cours.
A côté des causes en quelque sorte naturelles des variations, interviennent aussi des causes factices : la Bourse agit sur elle-même et lemouvement actuel est fonction, non seulement des mouvements antérieurs, mais aussi de la position de place.
La détermination de ces mouvements se subordonne à un nombre
infini de facteurs : il est des lors impossible d'en espérer la prévision mathématique. Les opinions contradictoires relatives à ces variations se partagent si bien qu'au même instant les acheteurs croient à,la hausse et les vendeurs à la baisse.
Le Calcul des probabilités ne pourra sans doute jamais s'appliquer
aux mouvements de la cote et la dynamique de la Bourse ne sera
jamais une science exacte. !
Mais il est possible d'étudier mathématiquement l'état statique dumarché à un instant donné/c'est-à-dire d'établir la loi de probabilitédes variations de cours qu'admet à cet instant le marché. Si le marché,en effet, ne prévoit pas les mouvements, il les considère comme étant

22

1- BACH EU KH.

plus ou moins probables, et celle probabilité [Nuit n'évaluer malbéinatiquement
La recherche d'une formule qui l'exprime ne paraît pas Jusqu'à cejour avoir été publiée; elle sera Fohjet (le ce travail.
J'ai cru nécessaire de rappeler d'abord quelques notions théoriques- relatives aux,opérations de bourse en y joignant œr(ams aperçus non"veaux indispensables à nos recherches ultérieures.
LES O P É K A T I O M S DE BOUBSE.

Opérations de bourse. — II 1 y a1 deux sortes d'opôrat loïw à terme :Les opérations fermes;
Les opérations à prime.
Ces opérations peuvent se combiner à r î n f i n i , d'autaol. que l'on {.mtesouvent plusieurs sortes de primes.
Opérations fermes. — Les opérations a terme fermes sont ab^otîirîHm)analogues à celles du comptant, mais on r<^kî seulement des difIÏ*rences à une époque fixée d'avance et appelée /iffifit/cuinn. Hih* a lienle dernier jour de chaque mois,
Le cours établi le jour de la liquidation ot auquel on nîppwle (mil^les opérations du mois est le, cwr^ de compmsalùm.
1, L'acheteur ferme ne limite ni son gain ni ga perU% il gagne h di(K"rence entre le prix d'achat et le prix de vente, si la vente esî jaiie midessus du prix d'achat, il 'perd la difÏerence si ia veîîle est, (aidî audessous.
1
II ya perte pour le vendeur ferme qui rachète plus liant -qîut miprimitivement vendu, il y a gain dans le cas contraire, ^Reports. - L'acheteur au comptant touche ses coupons c-j pn»f nni.
server indéfiniment ses'titres. Une opération a terme (npirant a 'hliquidation, 1-acheteur à terme doit, pour conserver Ha mmtum m^qu'a la 1 liquidation suivante, payer au vendear mw mdcrrmhé <lil^report ( ).
(^),Pour la définition 'complète dos report Jô nmvoie mix ihmu^ ^hu^

THÉORIE DE LA SPÉCULATÏO^.

2.3

Le report varie à chaque l i q u i d a t i o n ; sur la rente il est en moyennede 0^,18 par 3^, mais il peut être plus élevé ou n u l ; il peut mêmeêtre négatif, on l'appelle alors déport; dans ce cas, le vendeur indemnise l'acheteur.
Le j o u r du détachement du coupon, l'acheteur à terme reçoit duvendeur le m o n t a n t de ce coupon. En même temps, le cours baissed'une somme égale; acheteur et vendeur se trouvent donc immédiatem e n t après le détachement du coupon dans la même position relative
qu'avant cette opération.
On voit que si. l'acheteur a l'avantage de toucher les coupons, parcontre, il doit en général payer des reports. Le vendeur, au contraire,
touche les reports, mais il paye les coupons.
Rentes reportables. — Sur la rente, le coupon de o^.'p par trimestre
représente o11'11^,^ par mois, alors q u e le report est presque toujours
inférieur à o^, 20* La différence est donc à l'avantage de l'acheteur; delà est venue l'idée d'acheter des rentes pour les faire reporter indéfinimentCette opération est dite de la renie reportable; nous étudierons plus
loin ses prohabilités de réussite.
Cours équivalents, — Pour bien nous rendre compte du mécanisme
des coupons et des reports, faisons abstraction de toutes les autres
causes de variation des cours.
Puisque tous les trois mois sur la rente au comptant est détaché
un coupon de 0^,75 représentant l'intérêt de l'argent de racheteur,la rente au comptant doit logiquement monter chaque mois de 0^,2,5.
Au cours actuellement coté correspond un cours q u i , dans trente
jours, serait plus élevé de 0^,25, dans quinze jours de 0^,12,5, etc.
Tous ces cours peuvent être considérés comme éc/uwale/us.
La considération des cours équivalents est beaucoup plus compliquée lorsqu'il s'agit d'opérations à terme- II est d'abord évident que
si le report est nul, le terroe doit se comporter comme le comptant etque le cours doit logiquement monter de 0^,25 par mois.
Considérons maintenant le cas où le report serait de 0^,25. Prenons

24

L. BACHELIER*

l'axe des x pour représenter les temps {fig. î)> la longueur OA représente un mois compris entre deux liquidations dont Fane correspond
au point 0 et Fautre au point A.
Kig, ï.

Les ordonnées représentent les cours.
Si AB équivaut ào^'^^, la marche logique do la rente uu comptant,sera représentée par la li^'ne droite QBE ( ( ) ,Considérons maintenant le cas où le report serait de 0^2;^ Un pmi
avant la liquidation, le comptant et le ferme seront au même cours 0:
puis, l'acheteur à terme devant payer o^sn de report, le cours 1 duferme sautera brusquement de 0 en G et suivra pendant tout lu mob
la ligne horizontale CB. En B, il se (confondra dc 1 nouveau ww 'h cours
du comptant pour augmenter tout à coup de o^a^ en I11), etc.
Dans le cas ou le report est une quantité donnée corrHspondani à lalongueur 0F, le cours devrait suivre la ligne FB, puig GE, et mim d<*suite. La rente à terme doit donc logiquement dans ce1 cag, d'urii*
l i q u i d a t i o n à l'autre, monter d'une quantité représenlée par FC qu'on
pourrait appeler le complément du reportTous les cours de F à B de la ligne FB sont equimim^ pour leg di»^rentes époques auxquelles ils correspondent,
En réalité, Fécarl entre le terme et le comptant ne se détend n^
d-une façon absolument régulière et FB n^st pas une droite main laconstruction qui vient d'être faite au début du niojg peut ^ répéter H
une époque quelconque, représentée par,le point N.
'OOn suppose,qu'il n'y a pas de détachomelU do ^m daiw Ym^m^ iwwW
co qui d adieurs ne changeraU rien à la dànoritollon. ' !
' " 1 ! ! ! •ll••ll(*<llliïJ;THÉORIE .DE LA SPÉCULATION.

25

Soit NA le temps qui. s'écoulera entre l'époque N considérée et laliquidation représentée par le point A.
Fis. aPendant le temps NA, la rente au comptant doit logiquement monter de AB, proportionnel à NA. Soit N'F l'écart entre le comptani et leterme, tous les cours correspondant à la ligne FB sont équiçalents.
Cours vrais. — Nous appellerons cours vrai correspondant à uneépoque le cours équivalent correspondant à cette époque.
La connaissance du cours vrai a une très grande importance, jevais étudier comment on le détermine*
Désignons par b la quantité dont doit logiquement monter la rentedans l'intervalle d'une journée. Le coefficient b varie généralement
peu, sa valeur chaque jour peut être exactement déterminée.
Supposons que n jours nous séparent de la liquidation, et soit Cl'écart du terme au, comptant.
t5n n jours, le comptant doit monter de ^—^ centimes, le termeétant plus élevé de la quantité C ne doit monter pendant ces n jours
que de la quantité — — C, c'est-à-dire pendant un jour de- ^.,-.C =::,-(^~6G).
n \ âo)bn ''On a donc^^.^(S^—ôC).
bn'l/à. moyenne des cinq dernières années donne^==0^264.
Ami. de /.* Kc« jNormalc. 3^ Séné» Tome XVIL — JANVIJKII 1900»

26

L. BACHEÏJEH.

Le cours vrai correspondant à w jours sera égal au cours coteactuellement, augmenté de la quantité ynl^
Représentation géométrique des opérations fermes» — Une opération
peut se représenter gôornétriquement d'une façon ires simple, Faxe
des x représentant les différents cours et taxe des y les bénétiees correspondants.
Je suppose que j'aie fait un achat ferme au cours représenté pur 0.
que je prends pour origine. Au cours x =: ()A, l'opération donne pourFig. 3. ,bénéfice ,r; et comme, foi'donnée correspondante doil, aire égale aubénéfice, AB == OA; l'achat fcrijfjio est donc représeiité par la ligîîe Olî
inclinée à 45° sur la ligne des cours.
Une vente ferme se représenterait d^ine façoiî inverstL
Primes. — Dans l'achat ou la •vente1 fermer acheté» rn et. veîideïirs
s'exposent à une perte théoriquement illimitée. l)a«H le marché à
prime, l'acheteur paye le litre plus cher que dai-fô le ea^ du marché
ferme, mais sa perte eu baisse est limitée d'avance h une eertaiîîe
somme qui est le montant'de la prime,
Le vendeur de prime a l'avantage de vendre plus clier, mm il ite
peut avoir pour bénéfice que le montant de la prime»O n ' f a i t 1 aussi, des'primes à la baisse qui limiiterïi la perte du mi^
deur; dans ce cas, l'opération se fait à îin coi,ïfôinferie«r if celui (lufarme.
On ne traite'ces primes à la baisse que dana la spéeuliitiolt mir \mmarchandises; dans la spéculation .sur ICB valeur^ 011 obtient ww
prime à la baisse en vendant ferme et en achetant ^imultaîiémerîl à

THÉORIE Ï)E LA SPÉCULATION.

^

prime. Pour fixer les idées, je ne m'occuperai que des primes à lahausse.
Supposons, par exemple, que le 3 °/o <^te 10^ au début du mois;
si nous en achetons 3ooo ferme, nous nous exposons a une perte qui
peut devenir considérable s'il se produit une forte baisse.
Pour éviter ce risque, nous pouvons acheter une prime dont 50e ( 1 )en payant, non plus ïo/j.1111» mais 10^,15, par exemple; notre coursd'achat est plus élevé, il est vrai, mais notre perte reste limitée quelleque soit la baisse à So0 par 3^, c'est-à-dire à Soo^'.
L'opération est la même que si. nous avions acheté du fermeà ïo/i.^îSy ce ferme ne pouvant baisser de plus de 50e, c'est-à-diredescendre au-dessous de loS^Ôô.
Le cours de 103^,65, dans le cas actuel, est le pied de la prime.
On voit que le cours du pied de la prime est égal au cours auquelelle est négociée, diminué du montant de la prime.
Réponse des primes. ~~ La veille de la liquidation, c'est-à-dire F avantdernier jour du mois, a lieu la réponse des primes. Reprenons l'exemple
précédent et supposons qu'à cet instant de la réponsele cours de larente soit inférieur à 103^,65, nous abandonnerons notre prime, qui,sera le bénéfice de notre vendeur.
Si, au contraire, le cours de la réponse est supérieur à 103^,65,
notre opération sera transformée en opération ferme; on dit dans ce
cas que la prime est levée.
En résumé, une prime est levée ou abandonnée suivant que le coursde la réponse est inférieur ou supérieur au pied, de la prime.
On voit que les opérations à prime ne courent pas jusqu'à la liquidation; si la prime est levée à la réponse, elle devient du ferme et seliquide le lendemain.
Dans tout ce qui suivra, nous supposerons que le cours de compensation se confond avec le cours de la réponse des primes; cette hypothèse est justifiable, car rien n'empêche de liquider ses opérations àla réponse des primes,( i ) On dit une prime clûnt pour une prirms de oi Von emploie la nôtaiicm ï(>4,i5/5opour désigner une opéraîJon faite nu cours de jo/î1'''',^ dont 50e,û8t» BMîîi'EUEn.

Écart des prîmes. — ï/écart entre le cours du ferme et échu d*une
prime dépend d'un ^rand nombre de facteurs et varie sans cesse.
Au même instant, l'écart est d'autant plus grandi que la prime est
plus faible; par exemple,. la. prime dont M^' est évidemment meilleur
marché que la prime dont 2-5^
I/écart d'une prime décroît plus ou moin^ regulier(*îîïent de(>nis le1
commencement du mois juaqu^àlâ veille de la réponse» liionienlou eel• éôart.devient1 très faible,
Mais, suivant les circonstance^ il peut w détendre tre^ irrégulièrement et se trouver plus grand quelques jours avant la réponHe qiuui
commencement du moiâ,Primes pour fin prochain. — On traite de^ primea non seixlernerït
pour fin courant, mais aussi pour fin proc'haîrL î/écart (le celles-ci CHt
nécessairement plus grand que celui den primeB fin courant, mab jî
est plus faible qu'on ne le croirait m fai%mt la difïérenee entî*e lecours de la prime et celui du. ferme; il faut en efÏel (iédtlire (Je cetécart apparent rirnporfance dïî repori fin coîiranl.
Par exemple, l'écart moyen de la prime/^'it /p jotirs de Ja réjïonse
est en moyenne de 7^; mais, comme te repor! inoyeîî wi de 17%l'écart n'est en réalité que de 5^",
Le détachement d'utn coupon fa}t.haig8cr lecoure de la 1 prime cl'iiiîe
valeur égale à limportânee du coupon. Si, par exemple, 'j'achète, lea septembre, une prime /25*1 à ic^Sû fin w lira rît, te émirs de riîaprime sera devenu îoy^^ le 16 septembre après le détadielîîerît ducoupon*
Le cours du'pied de la prime sera xoS^So.
Primes pour 1e1 lendemain. — On traite, surtout en codhse, den• primesdont 5e et quelquefois dont lo^ pour le lendemain.
La réponse pour 1 ces petites primes a lien tous les JOUTH à 2^
Les1 primes en général. - Dans un marché à prime pour îîrse éetîéariee

donnée, il y a deux facteurs à considérer : l'importance de h prime etson écart du ferme.

THÉOHIK DE LA, SPÉCULATION.

29

II est bien évident que pi as une prime est forte, plus son écart est
petiL
Pour simplifier la négociation des primes, on les a ramenées à trois
types en faisant sur l'importance de la prime et sur son écart les trois
hypothèses les plus simples :T° L'importance de la prime est constante et son écart est variable;
c'est cette sorte de prime qui se négocie sur les valeurs; par exemple,
sur le 3 °/o on traite des primes /50e, /25e et /xo 0 .
2° L'écart de la prime est constant et son importance est variable;
c'est ce qui a lieu pour les primes à la baisse sur les valeurs (c'està-dire la vente ferme contre achat à prime).
3° L'écart delà prime est variable ainsi que son, importance, mais
ces deux quantités sont toujours égales. C'est ainsi que l'on traite lesprimes sur les marchandises. Il, est évident qu'en employant ce derniersystème on ne peut traiter à un moment donné qu'une seule prime
pour la même échéance.
Remarque sur les primes. — Nous examinerons quelle est la loi qui
régit les écarts des primes; cependant nous pouvons, des maintenant,faire une remarque assez curieuse :Une prime doit être d'autant plus forte que son écart est plus faible.
Ce fait évident ne suffit pas pour montrer que l'usage des primes soit
rationnel.
J'ai en effet reconnu, il y a plusieurs années, qu'il, était possible enl'admettant d'imaginer des opérations où l'un des contractants gagnerait à tous les cours.
Sans reproduire les calculs, élémentaires mais assez pénibles, je mecontente de présenter un exemple.
L'opération suivante :A.chât d'une unité/ï^,
Vente de quatre unités /50e,
Achat de trois unités /25e,
donnerait un bénéfice à tons les cours pourvu que l'écart du, /25e au /50e
soi!, au plus le tiers de l'écart dû /5<^ au /ï^.

30

t. BACriEUKB.

Nous verrons que des écarts semblables ne se ïTmumircmtjm'îuus
dans la pratique,
Représentation géométrique des opérations à prime. •— Proposonsnous1 de représenter géométriquement un achat à primer
Prenons, par exemple, pour origine le cours du ferme w monMmt
où la prime dontA a été traitée; s o î t E i t e cours r e l î i t i f d e celte prime
on son écart*
Athdessus du pied de la prime, c^t-à-dire an cour^fl^ — h) représenté par le point A, l'opération est assimilable à une opération ferme
traitée air cours E< ; elle est donc représentée par la ligne CBF, Audessous du cours EI "— A, la perte est constante et^ par milite» l'opération est représentée par la ligne brisée DGF.
Fi g* 4,oA— .„. . .,.-,. . .,. .,. .„.,. . . „. ............. ^...............y
1
0

'

C

La vente 1 à prime ^e représenterait d^uino façon inverse.
Écarts vrais. — Jusqu'à présent nous n^mmn parlé <jiie des écartH
cotés, les seuls dont on s'occupe ordinîrirement; ce neKorït cep(»ïîdanl
pas11 eux qui ^'introduiront dans notre théorie, maia bien je» àmrîfî
imis^ c'est-à-dire les écarts entre les cours ûw priiïieg et Je» eoiirH
vrais^ correspondant à la réponse des primeg* Le cours dont, if s^gilétant supérieur au cours coté (à moins que le report soit m^mew
à 25e, ce qui est rare),, il en résulte que Fécm vrai d'rme prime (*Nt
inférieur à son écart coté.
L'écart vrai d'une prime traitée n jours avant 'h réponHe nera égal li1
son ^ écart diminué de la quantité nh.
L'écart1 vrai d'une prime, pour fin prochain sera égal à son écart coté
diminué de la, quantité [25 '-h {n '-" 3o)6'L

THÉORIE DE LA SPÉCULATION*

3l

Options. — On traite sur certains marchés des opérations en quelquesorte intermédiaires entre les opérations fermes et les opérations à
prime, ce sont les options.
Supposons que So111 soient le cours d'une marchandise. Au lieu d'acheter une unité au cours de 30^ pour une échéance donnée, nous
pouvons acheter une option du double pour la même échéance à Sa1"1',
par exemple. Il faut entendre par là que pour toute différence au-dessous du cours de S^1'1', nous ne perdons que sur une unité, alors que
pour toute différence au-dessus, nous gagnons sur deux unités.
Nous aurions pu acheter une option du triple à 33^, par .exemple,
c'est-à-dire que, pour toute différence au-dessous du cours de 33^
nous perdons sur une unité, alors que pour toute différence au-dessus
de ce cours nous gagnons sur trois unités. On peut imaginer des options d'un ordre multiple, la représentation géométrique de ces ope"
rations ne présente aucune difficulté.
On traite aussi des options à la baisse^ nécessairement au mêmeécart que les options à la hausse du. même ordre de multiplicité.
LES PBOBABILITÉS BANS LES OPÉRATIONSDE BOURSE,

Probabilités ! dans les opérations de bourse, ,— On peut considérer
deux sortes de probabilités :1° La probabilité que l'on pourrait appeler maîMmatique, c'est
celle que l'on peut déterminer a priori; celle que l'on étudie dans lesjeux de hasard.
2° La probabilité dépendant de faits à venir et, par conséquent,impossible à prévoir d'une façon mathématique*.
C'est cette dernière probabilité que cherche a prévoir le spéculateur, il, analyse les raisons qui peuvent influer sur la hausse ou sur labaisse et sur l'amplitude des mouvcffîfônts* Ses inductions sont absolument personnelles, puisque sa contre-partie a nécessairement l'opinion inverse.
11 semble que le marché^ c'est-à-dire Fenseœble des spéculateurs,lie doit croire à un instant donné ni à la hausse, ni à la .baisse?

32'

L. BACiïELIEH.

puisque, pour chaque cours coté, il y a autant d'acheteurs que devendeurs.
En réalité, le marché croit à la hausse provenant de la différence
entre les coupons, et les reports; les "vendeurs font un léger sacrifice
qu'ils considèrent comme compensé.
On peut ne pas tenir compte de cette différence, à la condition deconsidérer les cours vrais correspondant à la liquidation, main le^opérations se réglant sur les cours cotés, le vendeur paye ladifférence.
Par la considération des cours vrais on peut dire :Le marché ne croit, à un instant donne, ni à la hausse, ni à la baù^du cours vrai.

Mais, si le marché ne croit ni à la hausse» ni à la babge du COUI'H
vrai, î,l peut supposer plus ou moins probables des mouvemontH d'une
certaine amplitude.
La détermination de la loi de probabilité qu'admet le mardié à uninstant donné sera l'objet de cette élude,
L'espérance mathématique. — On appelle ^pémncc mûthémulqw
d'un bénéfice éventuel 1 le 1 produit de ce bénéfice par la probabilité
correspondante.
Uespérance mathématique totale d'un joueur sera, la somme den produits des bénéfices éventuels par les probabilités correHporîdarxtes,
Ïl est évident qu'un joueur ne sera ni avantagé, ni lé^é si mm espérance mathématique totale est nulle*
On dit alors que le jeu est équitable.
On sait que les jeux de courses et tous ceux qui sont pratiquég ihm
les maisons de jeu ne sont pas équitables ; la maison de jeu on ledonneur s^il s'agit de ^ paris aux courses, jouent avec une eHperance po' sitive, et les pontes avec une espérance négative.
^ Dans ces sortes de jeux les pontes n'ont pas le choix entra l'opération qu'ils font etsa contrepartie; comme il n'en est paa de même kla Bourse, il peut sembler curieux que ceg jeux ne mimi ps^ équitables, le vendeur acceptant a prwri m désavantage si les reporte Hôot
inférieurs aux coupons* 1TïïÉOBIE DE LA. SPÉCULATION.

•

33

L'existence d'une seconde sorte de probabilités explique ce fait qui
peut sembler paradoxal.
L'avantage inathématiqne. — L'espérance mathématique nous indique si un jeu est avantageux ou non : elle nous apprend de plus ceque le jeu doit logiquement faire gagner ou faire perdre; mais elle nedonne pas un coefficient représentant, en quelque sorte, la valeur
i ntri nsequ e du j eu.
Ceci va nous amener à introduire une nouvelle notion : celle del'avantage mathématique»
Nous appellerons avantage mathématique d'un joueur le rapport deson espérance positive à la somme arithmétique de ses espérances positive et négative.
L'avantage mathématique varie comme la probabilité de zéro à un, il
est égal à ^ quand le jeu est équitable.
Principe de l'espérance mathématique» — On peut assimiler Fâcheteur au comptant à un joueur; en effet, si le titre peut monter après
l'achat, la baisse est également possible. Les causes de cette hausse
ou de cette baisse rentrent dans la seconde catégorie de probabilités.
D'après la première le titre ( i ) doit monter d^une valeur égale àl'importance de ses coupons; il en résulte qu'au point de vue de cettepremière classe de probabilités :L'espérance mathématique de l'acheteur au comptant est positive.
Il est évident qu'il en sera de même de l'espérance mathématiquede l'acheteur à terme si le report est nul, car son opération sera
assimilable à celle de l'acheteur au comptant.
Si le report sur la rente était de 2^\ l'acheteur ne serait pas plus
avantagé que le vendeur.
On peut donc dire :Les espérances mathématiques de l'acheteur et du vendeur sontmilles quand le report est de 2^\
Quand le report est inférieur à 2^, ce qui est Je cas ordinaire :( l i ) Je considère le cas le plus nimpio d'un titre à revenu, fixe, sinon ranimer» talion durovônu Hormi 000 probabilité do la seconde classe.
Ànn. <'/(* i' Kc. Normale, 3e Scric, T<')m<* 'XVH. "•11- jANVtlt';H ïcjoo,5

34

ï'* ÏUCÎÎKLÏKÎÎ»L^espérance mathématique (le rachel<mr est positive, celle duvendeur est négative.
Il faut toujours remarquer (|'si'il ^agît u n i q u e m e n t de la première
sorte de probabilités.
D'après ce qui, a été vu précédelinjiioul, ou peut toujours considérer
le report comme étant de ^ à la condition de remphicer h* coiirK
coté par le cours vrai correspondant à la l i q u i d a t i o n ; ^i doiic» ou cou-sidère,ces cours vrais ou peut dire que :Les espérances mathématiques de niclîeleiir et du vendeur Boutnulles.
An point de vue des reporte ou peut considérer h réponni* desprimes comme se confondant avec la liquidation^ donc îLes espérances mathématiques de l'aclieteur et du vmuîmir de»primés sont nulles.
En résumé, la considération des cours vrais periîîot d'énoucer w
principe fondamental :L'espérance ma/Jt-ema'lù/ue du spéculateur est nulles

II faut bien se rendre con'ipte do la ^énénifité de w prim'ipfï : IIsignifie que le marché, à on inslaut donné, cmisidi'n* cornnn» îiy^nt uw
espérance nulle non seulement ICH opérations tr^itîtbieg wimUmïmïi,mais encore^ celles qui seraient banéeg wr un rîîoiivelîiarït iiltérJeur descours.
Par exemple, j'achète de la rente avec rintenlicm de ta reyendre
lorsqu'elle aura monté do 50e", l'eHpéniuco de cette opération complexe est nulle absolument comme ^i j'avais rinteutîon de» î^veridî^^ma rente en liquidation ou à un moment queIcorKiue,
L'espérance d'une opération .ne peut être positive ou rïégatmujiics^il se produit un mo-uveTOent deg courg, aprwndh mt rîtille.
Forme générale de la courbe de prohabilité. — La prdmhîjité (NMirque le cours y soit coté à une. époque donnée csl1 une fonction de y.
On pourra représenter cette proimbîlité par J'ordonrîécHl'une (mirb^
dont les abscisses correspondront ^uïx.difÏmmts wur^.
Il est évident qiio' le cour» considéré p^r le rnarclîé wîïww le pîtfô
probable est le cours vrai aciuci : ni (e .mareliû eu jugeait uuiwnmîi,il coterait non pas ce cours, mais m autre plug (H| nmm élevé.

THÉORIE DE LA SPÉCULATION.

'

35

Dans la suite de cette étude, nous prendrons pour origine des coordonnées le cours vrai correspondant à l'époque donnée. Le cours
pourra varier entre — x^ et 4- œ; x^ étant le cours absolu actuel.
Nous supposerons qu'il puisse varier entre — co et + oo; la probabilité d'un écart plus grand que oc^ étant considérée a priori comme tout
à fait négligeable.
Dans ces conditions, on peut admettre que la probabilité d'un écart
à partir du cours vrai est indépendante de la valeur absolue de cecours, et que la courbe des probabilités est symétrique par rapport aucours vrai.
Dans ce qui suivra, il ne sera question que du cours relatif, l'origine
des coordonnées correspondra toujours au cours vrai actuel.
La loi de probabilité. — La loi, (le probabilité peut se déterminer par
le principe de la probabilité composée»
Désignons parj^^, la probabilité pour que, à l'époque t, le cours
se trouve compris dans rintervalle élémentaire ^ ûc •+- dx.
Cherchons la probabilité pour que le cours z soit coté à l'époque/,, 4-1^ le cours oc ayant été coté à l'époque t^
En vertu du principe de la probabilité composée, la probabilité
cherchée sera égale au produit de la probabilité pour que le cours oc
soit coté à l'époque ^, c'est-à-dire p y ^ ^ d x ^ multipliée parla probabilité pour que, le cours x étant coté à l'époque t^ le cours z soit coté
à l/époque z.i +- /a, c'est-à-dirCy multipliée parj^_,^,, dz.
La probabilité cherchée est donc
P.'; k P^\ /a dxclz.

Le cours pouvant se trouver à l'époque ^ dans tous les intervalles dx compris entre —00 et 4-^ la probabilité pour que lecours s soit coté à l'époque ^ + ta sera
4-.^fp^,t,]pw,f.^dx dz.

La probabilité de ce cours ^ à l'époque ^ •+"^y a aussi pour ex"pression /^/,.K,; on a donc^-^

PS, t^h ^z = /«/-»«P^ h P^-\ 4 ^ ^z

36

ï- BACliKLIEB*

OU

.4^

Pz, t^'h ^(t/J.-. »P^\l,Pî-^\^ ^telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la ûnictiori p .
Cette équation estvériflée^ comme nous aîloriH U voir, par la (onctionp^k(r^\
Remarquons des main tenant que l'on doit avoir/Ï41]•?

f«^—e&/•*- t ' l ^ l l IB3trB

pdxz=K |1^ - ••^ -r.; i,*.1'/— yst

L'intégrale classique qui figure dans le premier'ternie 1 a pour valeur^—j» on a donc B = A^TC et, par suitep^Ae^^.

En posant x^ o, on obtient A s^^^ c'est-à-dire : A <*ga.h lîi proliîibilité du cours coté actuellorïKînt,II faut donc établir que la fonction
p ;,:. 1 : p^^i^",où p^ dépend du temps, satisfait bien à l'ôquatio.iî de (umdition cidessus.
Soient p ^ et, p^ les quantités correspondant à p^ et î^lative^ mm
temps ^ et^^, il faut prouver que l'oxpressionf^/^^'^^'^x^^^^^"^3^»//„.„.,^

peut se .mettre sous la forme A^r-^; A oi B ne dépendant que d»temps.
Cette intégrale devient, en remarquant qui» z eM iine <;(HîMlaiîte,ih/h ^!ilï sï r' .r^^^^-^^^ s'r ^
ou
11 1

'

1

.

-^-^;
f -(.^T^i-^..^
/t n

Pi^<?

1

^/ .....y,

^

\

^^N/^

THÉOB.ÏE DE LA SPÉCULATION.

3yposons^^"^'--T^1^-^;VPÎ-+-PÏ

nous aurons alors,.,„.. _.^ r-.-,-^,-^I^ÏZl^

V^-^

J

^

L'intégrale ayant pour valeur ï , nous obtenons finalement_El^_ ^T^ÎT'^Î^PÏ

Cette expression ayant la forme désirée, on doit en, conclure que la
probabilité s'exprime bien par la formule3,„. _ y. ^-""TC/^.r
/0
P—PQ^
,

dans laquelle^o dépend du, temps.
On voit que la probabilité est régie par la loi de G-auss déjà célèbre
dans le Calcul des probabilités.,Probabilité en fonction du temps. •— La formule antéprécédente nous
montre que les paramètres p^f(l) satisfont à la relation fonctionnelle, ^ ^ rwrw .
./^(^+^)^^^^^^^

différcntions par rapport à l^ puis par rapport à t^. Le premier membre
ayant la même forme dans les deux cas, nous obtenons/'(^^./'(A)fw^/n^y!

. .

Cette relation ayant lieu, quels que soient ^ et ^3, la valeur commune des deux rapports est constante, et l'on af'W^Cf^k},d/où
'orf(t) ^pQ = — >^tH, désignant une constante-

IJ"

L. UACllELIUK.

Nous avons donc pour expression de la probabilité
H -"•"ï3/>-•--•1:: .-_ <..
' .
V^Espérance mathématique. - L'espérance comîspondîtnf, ;m cours ;va poup valeurH,» ^-î.";'*;8^eL'espérance positive totale est donc
H,i; -?-""?.."

ïl.v
^t .
lr ^-^1»1__„. ëy -^^ „;„ _y.
^t
JK

Vt
^ï

" " " ' " " STCll
27T 11

Nous prendrons pour constante, dans notre étude, l'cspcrancfî mathématique ^-correspondant à t === ï; nous aurons donc

k

-^

0

«

""^r

L'expression définitive de la. prohabilil.é csl dow
p.—,__ .••'-.
c 'iit*'/aîr/'/i 'L'espérance mathématique/""/p x d;c •sx k \l~l.

"v

est proportionnelle à la racine carrée du temps.
Nouvelle détermination de la loi de probabilité. -.. L'expression de hfonct,on^ peut s'obtenir en suivant une voie diHcrJ, d ;,nous avons employée.
"'-'-»-"(• (JIH,
Je suppose que deux événements contraires A <.t H ;,;<,„(, pour pro
10
habilites respect vos p et a == T • nl P» „,, l )rr.h l•"""«"""P -^^.,u.4,...i,..LZ•/: : •:^
11

11

mî
ffÀ^m»»^'^l(n^—a)^F î.-........,..,,,„.,,,.,,.,,,,,,,,,,,__THÉORIE DE LA SPÉCULATION*

3()

C'est un des termes du développement de (p 4- y)^.
La plus grande de ces probabilités à lieu poura == mpet(m — a) = w/y.

Considérons le terme dont l'exposant â e p e s t m p ^ / t , la probabilité
correspondante est„-——...-...„.

,,'.." ..-..-_____ j-ïHrip+h /-/me/—//(tnp^h)\{mq—h}\1'

La quantité À est appelée V écart.
Cherchons quelle serait Fespérance mathématique d'un joueur qui
toucherait une somme égale à Fécart quand, cet écart serait positif.
Nous venons de voir que la probabilité d'un écart h est le terme dudéveloppement de (p 4- qY1 dans lequel l'exposant de p est mp 4" À etcelui de q, mq — À. Pour obtenir l'espérance mathématique correspondant à ce terme, il faudra wultiplier cette probabilité r>ar À; orh •= q ( mp -h A ) — p( mq — h)y

mp 4"" h et mq — h sont les exposants de p et de q dans le terme de{'P 4" y)7^ Multiplier un terme
r/iy

par
vr/ — a^ '~~=pq/VU\- — •- ?
\P^}

c'est prendre la dérivée par rapport h p., en retrancher la dérivée parrapport à y, et multiplier la difterence par py.
Poor obtenir l'espérance mathématique totale, nous devons donc
prendre les termes du développement de (p 4"^)^ pour lesquels h est
positif, c'est-à-dire
pm 4, ^m~-i ^ ^ l n ' . i ' n t ' w . ' l ) , pin—i^^ . . , 4.- .....„m..:r ^ P c l/ ^ ' î .
i * '-ï
w/7 ! /ru/ \et retrancher la dérivée par rapport à y de la dérivée par rapport àjr?,pour multiplier ensuite le résultat par/?<7.
La dérivée du second terme par rapport à q est égale à la dérivée d'à
premier par rapport à p , la dérivée du troisième par rapport à q est là
dérivée du second par rapport h p , et ainsi de suite. Les termes se dé-^.O

L, BACÎÎ'EUBÎÎ.

truisent donc deux à deux et il ne reste» que la dérivée du dernier par
rapport à p.,.._/^.,^...,-.- p w p q^^i mrnî.
m.p \ n'y'i l '** /La valeur moyenne de l'écart h serait égale an double de celtequantité.
Lorsque le nombre m est suffisamment grand, on peut s i m p l i f i e r les
expressions précédentes en faisant usage de la formule aHjrnptotiqiic*
de Stirling^,,n î "•= y^n^^^Ttfi.

On obtient ainsi pour l'espérance mathén'xatiqiie la valeur\1 rnp(.fV^'ÎT

La probabilité pour que l'écart h solt<ïooipris entre A et li •"-•+- dhw^'àpour expression-•^^^\/^ TT mp<lNous pouvons appliquer la théorie qui précède îi notre étude. On
peut supposer le ternp^ divisé en intervalles très petite àli de ^orte que^ === mA^; pendant le temps à'i le courB variera probal)lc*rïNmt tri*H jN.ni.
Formons la somme des produits des écarts qui peuvent exister ill'époqueA^ par les probabilités
correspondantes 1 ; c'eHt-à-dire (fl t p^d^^
1
1
'
„ ,,
*
p étant la probabilité de l'écart x.
Cette1 intégrale doit être finie, car, par suite de la petitesse Hupposéede A^ les écarts considérables ont une probabilité évanouira nie. Cotte
intégrale exprime du reste une espérance rïîatlîériiatiqtîe, qui ne peutêtre finie si elle correspond à un intervalle de temps treN petit,*
Désignons par ^œ le double de la, valeur de 1 Intégrale d-de^itô^
Ao? sera la moyenne des écarts ou l'écart moyen, peîïdaiît le teînpB Al.
Si le nombre m desépre-uves est très grand et HÎ la proltabilité mfcela'même 1 à chaque épreuve^nous pourrons supposer qtAe le cour» varie

4I

THÉORIE DE LÀ SPÉCULATION.

pendant chacune des épreuves Al de Fécart moyen A.r; la hausse A<^
aura pour probabilité ;•? comme aussi la baisse — A;r.
La formule qui précède donnera donc, en y faisant p ^. (j •==. -^ laprobabilité pour que, à l'époque ty le cours soit compris entre x et
x -i- dx, ce sera
â.r^A/-â-rJ

a d^^ÏU
^/2iTI:V^ou, en posant H == --7= y^»\/27Z:,•, ,H ff.::^/^>

TCÎI2,r3- ——/——-""^

L'espérance mathématique aura pour expression\/ï_ \/7-

aT^r^/Ai^"' 2 7 1 1 1 1 "Si nous prenons pour constante l'espérance mathématique k correspondant à t= l, nous trouvons, comme précédemment,
A'2
n rr: —--L_ 6^"' ^"îuï/".
2 7T A' \/?

Les formules précédentes donnent A^ ==== y—^; la variation moyenne
pendant cet intervalle de temps est'2\/rtSi nous posons a; === /zA^, la probabilité aura pour expression

^ ^^^
/—

f,S

V^r y^z

Courbe des probabilités. — La fonction
p-zp^^p^9
peut se représenter par une courbe dont l'ordonnée est maxirna àArm. de l'Éc. Nûr/nale. 3e Sério. Tome X V I Î . —- JÂMViEft IQOO.

^

/p

L< I5A<;1JEL11-11.

l'origine et qui présente deux points d'inflexion poura' :=.: .± ».—-.,-,,,,: :•;::.„,,L ^TT k \ j l .

p^w

Ces mêmes valeurs de x sont aussi lea abscisses dos rrumma et
minima des courbes d'espérance mathématique, dont l'équation est
j=:::±^a\

La probabilité du cours x est une fonction de £; elle croît jnsqmt
une certaine époque et décroît ensuite. La dérivée ff/)- ^ a lomjiîe/•%t^: ^.^. ]^ probabilité du course eatdone maxima quand ce cours
correspond au point d'inflexion de la courbe des probabilités
Probabilité dans un intervalle donné.

L'intégrale_„„î......., r ,r ^ ^,,, ^ r 1 ^,^ ^^^u,^J,n'est pas exprimable en termes finis, mais on peut donner wn développement en sériei Ig(^) 3

^C^

^^)7

v"L

i

i.a

T;i;3 ' '"]'

"7= | ex — ——— -i. '.___. _ •'

,

1 i+

.1

j

Cette série converge assez lentement pour les Vîtîcurs trcs forfcH
de ca^LapIace a donne pour ce cas l'iutégrale défime sous la formed'une fraction continue fort aisée à calculer2ïc,f\/ir , ,v, 4- .~^,r^-.-.i^1 ": J 1 1 1 1 - .

danslaquellea^ —1- <1
ac^

THÉORIE DE L\ SPECULATION,

4^

Les induites successives sont
r

i-t-a

i ~h 2 a3i+3aï -(- 9 a -î- 8 a 2

r -+• 5 a32

î. -{- 6 a -+- '^i^ 'i -l-ioa ~l- 15^*

II existe an autre procédé permettant de calculer l'intégrale ci-dessus
quand x est un grand nombre.
On a

r"

j

^•S ^^. ^

J,

r^ ï

J

.7,

____ ^,^ ^ ^ ^2^

en intégrant par parties, on obtient alors/'•OT/,—.fS/'•'•°/ ^^/.,.=i_^ [
Jy

^^

—fZf
2..r

//„

^d^

J,^

^

2

f" rf.~^Li3 /..

CÏ3

4^

J,,

•

4^"'^'^'

3^ f ^-.^ li3^ ,/^^ ^ ^ ^ + t^ii
2.X

4

A?3

^•'^

J

rf

8^'"

"lt"*

Le terme général de la série a pour expression
Lj^LPizil)^^î^l^n+l
Le rapport d'un terme au précédent dépasse] l'unité lorsquein 4- î >4^' 2 - La série diverge donc à partir d'un certain terme. On
peut obtenir une limite supérieure de l'intégrale qui sert de reste.
On a, en effets•r . 3 . 5 . . . (2/z "h :i)———————-,—«——~—.——»—«-«^«r^n—iF .———i»^—,e-'^ // y f^ „,......_.^^————,_____-.,_,„____
1 . 3 . 5 . . . (a/î + ï) /y^i»-»J^.a/A4-2

•

''*'

^a^-i

t?

j

î

^._____.
dx^a^-.i1^_ 1 . 3. 5. . . ( 2 n — ï ) _ ^"""' --•••"---—^•^•^"^^^^o»Or cette dernière 'quantité est le terme qui précédait l'intégrale.
Le terme complémentaire est donc toujours plus petit que celui, qui leprécède.

On, a édité des tables donnant les valeurs de l'intégrale
C(j)^-..4 ( e-^dy.
\/r.^o44

L. HACïBUEB

On aura évidemmentf]^p^::ll-:-ïef-...^^.4^ WY/TT^;

I.a probabilité,T!
/'a/rcW/$= f />^::^i^i4 /
/»'»

.,7,.

»

T

*•>

, '2

%

^^o

^-/.^),

pour que le cours x soit atteint ou, dépassé à l'époque ^ croît, constamment avec le temps. Si t était infinie elle seraît éga'le îi •l^ résultatévident.
La probabilité
^yw-

/

T

/^ /W^ ^^

pd^^^

'

^.
VÎT
^

*/r,

1

^WÂ

.r-

2 ^ÏSÂ"^pour que le cours se trouve compris h répoque /, <lan^ rinl^mllo
fini <r^ x^ est nulle pour / :-: o (*t pour i^.^, Kllc est niîixiîîiîi
lorsque»• „,•;:.

Y.,....^ »•/l1-11-^?^

Si nous supposons l'intervalle x^ x^ très petite ïiou^ retrouvaîi»pour époque de la probabilité ïnaxiroa
,y"
1

^ 2^^

Écart probable. — Nous appelleronH ïûnm l'iritcrvallo ri:: a tel qiie,
au bout du, temps /,1e cours ait a u t a n t de chances de reMer co.rnprh
dans cet intervalle que de chances de h déparerLa q u a n t i t é a se détermine par l'équation

ç'p^ ^,'»

•A,

ou
(•» (

a

\ . - '

Wv^y "yTÎIÉOKIE DE LA SPÉCULATION.

/,5c'est-à-dire0^:2 x o , 47^9 ^^^==1^88^^;

cet intervalle est proportionnel à la racine carrée du temps.
Plus généralement, considérons l'intervalle ± j3 tel que la probabilité pour que, à l'époque t, le cours soit compris dans cet intervalle
soit égale à Uy nous aurons/ == ~
I^ p dxJ,-2

OU

ef__\^,\â/c^07

Nous voyons que cet intervalle est proportionnel à la racine carrée
du temps.
Rayonnement de la probabilité. — Je vais chercher directement
l'expression de la probabilité <S pour que le cours x soit atteint ou
dépassé à l'époque t. Nous avons vu précédemment qu'en divisant letemps en intervalles très petits A^, on pouvait considérer, pendant
un intervalle A^ le cours comme variant de la quantité fixe et très
petite A;r,Je suppose que, à l'époque t, les cours x,^ x^,, x^ x^,x^ ...
différant entre eux de la quantité A^, aient pour probabilités respectives : pn^, pn^i^ pn, pn+^ pn+^, .-• De la connaissance de ladistribution des probabilités à l'époque t, on déduit aisément la distribution des probabilités à l'époque 14- A^ Supposons, par exemple,
que le cours x^ soit coté à l'époque l; à l'époque t 4-A^ seront cotésles cours x^^ ou ^«,. La probabilité^, pour que le cours Xy, soit
coté à l'époque t, se décomposera en deux probabilités à l'époquel+àl; le cours <r^ aura de ce fait pour probabilité 4^ <ït le coursx^ aura du même fait pour probabilité PJt^t Si le cours x^^ est coté à l'époque t + A/y c'est que, à l'époque ty
les cours ^^ ou x^ ont été cotés; la probabilité du cours x^ à

4^L» MCin-:UEK<l'époque ^ + \t est donc ^^^t^; celle Un cours ^ est, à la mêmeépoque, ^l^^:1, celle du cours ^,,, est /^•B41^/^•.•1:1^ été,Pendant le temps A(Î, le cours ^ a, on quoique sorte, énm vers lecourse,., la probabilité • «»p n ; le cours ^^ a, émÎB vers le cour^ ^/,, laprobabilité ^1- Si ^ est plus grand que /^,,» réchange de probabilité est ^=^±1 de ^ vers /r^,.
On peut donc dire :Chaque cours oc rayonne pendant l'élément de temps wr$ le (mm mùw
une quantùédeprobabtiàéproporlwnnelle à la d'i/erenae de Iwn probesbilùe's,

Je dis proportionnelle, car on doit tenir compte du rapport de à;v à A/,
La loi qui précède peut, par analogie avec certaine» théories physiques, être appelée la loi du rayonnement ou de diffusion de la prohabilité.
Je considère la probabilité (P pour que le eour^ .r se troim11 àl'époque / dans rintewille x, ce et j'évalue l^aceroisseinexit de .cotteprobabilité pendant le tenips A/'.
Soit p la probabilité du cours x à l'époque ^ p ^ -^ r/^ Évaluons î,iprobabilité qui, pendant le temps A^ passe, en quelque^orte, à traverHle cours ^; c'est, d'après ce qui vient d'être d i t , r

f . dp\t dp .,i ^^^(p~^~--p)^^-^^..^^^

c désignant une constante.
Cet accroissement de probabilité a aussi pour expression -^'A/. On
a doncà^s ,._, o.
c-.-^ys — ^C'est une équation de Fourier.
La théorie qui précède suppose les variations de cour» discontinueson peut arriver à l'équation de Fourier sans faire cette hypothèse, enTHEORIE DE LA SPÉCULATION.

^7

remarquant que dans un intervalle de temps très petit A^, le cours
varie d'une façon continue, mais d'une quantité très petite inférieureà £, par exemple.
Nous désignerons par TS la probabilité correspondant à j) et relative
à A^.
D'après notre hypothèse, le cours ne pourra varier qu'à l'intérieur
des limites ± c dans le temps A^ et l'on aura par suite42

fr ' vs dx .=- i.

Le cours peut être x — m à l'époque t\ m étant positif et plus petitque s; la probabilité de cette éventualité estp^.^.
La probabilité pour que le cours x soit dépassé à l'époque / -j~A^,
ayant été égal à x — m à l'époque l, aura pour valeur, en vertu du principe dô la probabilité composée,
^£
P^m j

rsdx.

Jg, ^ y/t

Le cours peut être cZ'+w, à répoque /; la probabilité de cetteéventualité est/^+^.
La probabilité pour que le cours soit inférieur à oc à l'époque / 4- A^,ayant été égal à x -h- m à l'époque t, aura pour valeur, en vertu duprincipe précédemment invoqué,r" CT Clx.

P^-m |
11

S— M

L'accroissement de la probabilité $, dans l'intervalle de temps A^
sera égal à la somme des expressions telles que..S(p^-m—P^+m) j^dx

t- £-"//î

pour toutes les valeurs de m depuis zéro jusqu'à e.
Développons les expressions de^.^ et p^z en négligeant les termes
qui contiennent m3, nous aurons
, ,'
(lUy

p^m^P^—^'J^^
dp.yP^,u+P^^^^'

48
L. 3.ïÀcn'EiiEn.
L'expression ci-dessus devient alors
—

dp r"

,

J
i
p, •/nm aa;.
dx,*'" ]£ — / / / .

L'accroissement clierché a donc pour valeuradx- p^rj^rmamnr dx dm..

L'intégrale ne dépend pas de x, de t ou de p , c'est une consiante.
L'accroissement de la probabilité $ a donc bien, pour expression
ï dp
î5 dsc'L'équation de Fourier a pour intégrale'•' ^ A'-"--)" •""•/^ /r 8 y ® \ ..,„„£?

La fonction'arbitraire / s e détermine par les'considérations suivantes :On doit avoir Q == - si .y==ô, l ayant une valeur positive mielconque ; et <S == o lorsque t est négatif.
En posant x == o dans l'intégrale ci-dessua, on a^^/(^r^^^^^AV2^oc'est-à-direy (^ :::,:: ^1_ 1 pouro. o,
V%y7î'f(£)^o,pour^i<o<Cette dernière égalité nous montre que l'intégrale t aura ses éléments'nuls tant que t— ^ sera plus petit que zéro, c'est-à-dire tant que/•it2 y» 2,^•* -y*a sera'plus petit que -—^; on doit doneprenidre pour limite inférieure

THÉOIUF. DÎ5 LA SPÉCULATION.

4<)dans l'intégrale 9?, la quantité —c-^-: et l'on a\/2 V/^__ a 8

/.»

Q^

-: |

6- ^ cla .

V/2v/ï

/TSOou, en re mpiaçant ^
t/

.•>»

/'» 2 ^par ^ — f

c .r

^r^c^

^TrJ,..,.
'nJ^^^2 /7T
JT:J /..r

,

l

'-' 0

" ()

2/?

î

œ:

2

a

e-^ ^À,'TTt/n^Tr.

formule précédemment trouvée,
Loi des écarts de primes. — Pour connaître la loi qui régit le rapport
de l'importance des primes et leurs écarts, nous appliquerons a l'acheteur de prime le principe de l'espérance mathém.atiquc :L'espérance mathématique de l'acheteur de prime est nulle.

Prenons pour origine le cours vrai. du ferme Çfîg. 5)*
SoHp la probabilité au cours ± ,'y, c'est-à-dire dans le cas actuel laprobabilité pour que la réponse des primes ait lieu au cours :±: «r.
Soit m, + h l'écart vrai de la prime dont h.
Exprimons que l'espérance mathématique totale est nulle.
Fi^. 5.

OL rw

Nous évaluerons cette espérance :x° Pour les cours compris entre -- co et rny2°»» :m et m + h^3°»»m •4- A et +• co.
Ânn. de l'Èc» Normale, 3^ Série. Tome XVII,— FÉVÏUJKR 1900.

5o

L. BÀCHEtjr.n.
i° Pour tous les cours compris entre 4-00 dm, la primo est, abnndonnée, c'est-à-dire que racbeteur subit une porte h. Son espérance
mathématique pour un cours compris dans Fintervalle donné est donc
— p h et pour tout l'intervalle^—1- h \p dx,

* • 1 "»" w

2° Pour un cours x compris entre m et W-+-Â» la perle de racbeteur sera m -+- h — x\ l'espérance mathématique correspondante sera—p(m 4-À — oc) et pour l'intervalle entier^m 4 h— f*- //ï

p Cm "4- h — ^ ) rf.r,

3° Pour un cour§ oo compriB- entre m + h et co, le bénéfice del'acheteur sera œ — m — À; l'espérance mathématique correspondante
sera/?(^ — m — //.) et pour toutTintmaIlo^^(.r — /;.?, — h) r?.y\*'ni[fi

Le principe de l'espérance totale donnera donof'€'/"^^i If

p ( x — .m - // ) ^.r -.- ^^îp ( m 4" A -- ^ ) ^.r -- h f p r^r — o»/,.»1'^'mou, en faisant les réductions,
r*

/-*»

h'-\-m < 1 l p d x ::,1,:' /^ p ^ d . r ,
- /^
« /^

Telle est l'équation aux intégrales définies qui établit ime relation
entre les probabilités,, les écarts de prime et leur importance.
Dans le cas où le pied de la prime tomberait du côté de^ x négatifs,
comme le montre la fig. 6, m serait négatif et l'on arriverait à larelationa h .+•" ^m .^ • ^ kr""111p d x — fr^ p x d ^ ,».. -.„^<./-.„ m

Par suite de la symétrie des probabilités, la fonction p devant êtreTIÎÉOniE DE LA SPÉCULATION.

5î

paire, il en résulte que les deux équations ci-dessus n'en forment
qu'une.
Fi<ï. 6,

En difïerentiant, on obtient l'équation différentielle des écarts deprime^dm^ ^^f ê t a n t l'expression de la probabilité dans laquelle on a remplacéepar/??.
Prime simple, — Le c^ le plus sjpple des équations ci-dessus est
celui où m == o, c'est-à-dire celui où l'importance de la prime est é^ale
à son écart. On appelle prime simple cette sorte de prime, la seuleque l'on traite dans la spéculation sur les marchandises.
Les équations ci-dessus deviennent, en posant m = o et en dési^
gnant par a la valeur de la prime simple,/••SO/''tO?

• * 11a^ f paîdjc=: S —^e"177^7^ =: k ^/L^û^o °-7TA'y<î'f'^L'égalité a ^ j0 p x d x montre que la prime simple est égale à l'espérance positive de l'acheteur ferme; ce fait est évident, puisque lepreneur de prime verse la somme a au donneur pour j o u i r des avantages de l'acheteur ferme, c'est-à-dire pour avoir son espérance positive sans encourir ses risques.
De la formule

/

:

eo

p ûc dx -•= k \/ff

02

ï- îîAr-iirjJKK.

.nous déduisons le principe suivant, ini des plus i m p o r t a n t s de» noireétude :
La valeur de la prime simple doit être proporlwnndk à la moine carrée
du temps.
Nous avons vu précédemment que l'écart probable était donné parla formule
a=î,688^\/i:= i ,688^

L'écart probable s'obtient donc en multipliant la prinw moyenne
par le'nombre constant ï,688; il est donc très facile à calculer q u a n dil s'agit de spéculations sur les marchandises puisque, dan^ ce cas» laquantité a est connue.
La formule suivante donne FexpresBion de la probabilité en fonction
de a
:yï

T) "•- ••1 1!t 1 ÎT // î^^_, ?

' ' '~' ""' 2TT^

La probabilité dans un intervalle donné aura pour expre^ion rhi"tégrale1,p' „ ^:L— — / (î ^^dx
^aj,

ou
ï

/

U^

U^
2

2 TT ci \ 'ï 2 T: a1

î^4

î 60 ^ a1\
r2678 Tr a^ " * " / *Cette probabilité est indépendante de a et, par suite, (lu lempg» m u,
au lieu d'être un nombre donné, est un paramètre de la forme u^ba;
par exemple, si u =""" a,
/,/î
y
Ï
Ï
î
1/ ? d-z?
== —
— .—,
-i- —.—,— . . . -:;,,, û,? -î 5;^.
î

Jy

"

âTT

24 7:'

320 ^

' ' '

pm

L'intégrale j p d x représente la probabilité de réussite
du preneur!
^nde prime simple. Or
.

•

^

^
y
^
1 p ^ r ^ - - / p^,^:,.ol,343.
v^

"

^.n

Ï1ÎÉOÎUE DE LÀ SPÉCULATION.

53

Donc :£a proba/nhié de réussite du preneur de prime simple est indépendantede F époque de l'échéance; elle a pour valeuro,345.

1/espérance positive de la prime simple a pour expression/•»wfp (,%' — ci ) dx ::::;:• o, 58 a.

^a

Double prime. — Le stellage on double prime est tonné de l'achat
simultané d/une prune a la hausse et à la baisse (primes simples). Il
est facile de voir que le donneur de stellage est en bénéfice dans l'intervalle •••-— 20, 4'1- 2a; sa probabilité de réussite est donc
/•'^

2 /
J

o

-7

o,

pela; ::.r= ^ — ~- 4- ——4 — , . .:= o,56.
*
TT
^TI^
iOTr

La probabilité du preneur de stellage est ûy44*

Espérance positive du stellager"^a f p ( <:y — ^ a ) rte == o, 55 a.
*"1' i'/K, Coefficieîi.t d^Bstabilité. — Le coefïîcient^, précédemment introduit,
est 1e1 coeffifiient d' 1 instabilité ou de nervosité de la valeur^ c'est lui qui
mesure son état statique. Sa tension indique wi état d'inquiétude; sa
faiblesse, au contraire, est l'indice.d'un état de calmeCe coetïîcient est donné directement dans la spéculation sur lesmarchandises par la formulea ^r: k\l t^mais dans là spéculation sur les valeurs on ne peut le calculer que parapproximation, comme nous allons le voir*
Série des écarts de prime. — I/équation aux intégrales définies desécarts do prime n^est pas exprimable'en termes finis quand la quan-54

î- BA(U1ELÎEH.

tité m, différence entre l'écart de la prime et son importance À, n'est
pas nulle,
Cette équation conduit à la série
1

^

m
2'

w2
l\7i:ani'
96 T:2 a'4

rn^ï 920 TÎ:" «tt' ' * "1'

Cette relation, dans laquelle la quantité a désigne l'importance dela prime simple, permet de calculer la valeur de a quand on connaît
celle de m, ou inversement.
Loi approximative des écarts de prime- — La série qui précède peuts'écrireh ==.; û —/(m).

Considérons le produit de la prime h par son écart (m 4- A) îh(în 4- h} == [a ""-/( m)] [m "•{•" a —"/( /^)] ;dérivons-en m, nous aurons^[/< (m + h)] "= A^ ) [m •4-" ^ -/(m)] 4- [^ -/(^)J ^ -/'(^J»Si nous posons m = o, d^où /(w) ^ o^ /'(^) ^ 1^ <^îtte dérivées'annule; nous devons en conclure que :Le produit d'une prime par •§ûn écart est mwimuyn yua/ïd Icifacteurs de ce produit sont égauy s cest le ca$ de la primé simple.

Dans les environs de son maximum, le produit (m question doit peu
varier. C'est ce qui permet souvent de détermiïier apprôximâtivemexit aparla formule
h(m+h)ï=:a^elle donne pour a une valeur trop faible.
En ne 1 considérant'que les trois premiers termes dô la^érie^ mobtient^ ( Â 4 - w ) = a 2 " m^qui donne pour a mie valeur trop forte,TUÉOÏUE DE LÀ SPÉCULATION.

5.ï

Dans la plupart des cas, en prenant les quatre premiers termes dela série, on obtiendra une approximation très suffisante; on aura ainsi_ 7: ( ^h -+-jw) ^^^r^^j^.^^^~'4"TrAvec cette même approximation on aura pour valeur de m en fonctionde am = 71: a ±: i/TT2 a 2 — ^^'^^^ ^Admettons pour un instant la formule simplifiéeh {m -h h) ^c^-^I^t.

Dans la spéculation sur les valeurs les primes à la hausse ont une
importance h constante^ l'écart m + h est donc proportionnel au
temps.
V écart des primes à la hausse, dans la spéculation sur les valeurs y est
sensiblement proportionnel'à la dwée de leur échéance et au carré de Vin»stabiMtê^Les primes à la baisse, sur les valeurs (c'est-à-dire, la vente ferme
contre achat à prime) ont un écartA constant et une importance m 4- A
variable. Donc :•î^ importance des primes à la baisse, dans la spéculation sur les valeurs^
est se'n$iblern€nt proportionnelle à la durée de leur échéance et au carré del^instabilité,

Les deux lois qui précèdent ne sont qu'approchées,
Options. — Appliquons le principe de l'espérance mathématiqueà l'achat d'une option d'ordre n traitée à l'écart r.
L'option d'ordre n peut. être considérée comme se composant dedeux opérations :. ^ , 1!
x° Un achat ferme d'une unité au cours r$
a° IJa achat ferme de (n — ï) unités au cours TV cet achat n'étant à
considérer que dans l'intervalle r, 30-

56• L. BACHELmi.

La première opération a pour espérance rnîitliéTnati.cjlît 1 — /-, la,seconde a pour espérance/•*"( ^ , — J ) ^ ^(.r— /•)<&',«„/,.

On doit donc avoir
80/1' = ( n ' — î )p ( .y — r ) ^/.rou, en remplaçant p par sa valeur,•p ::-" .J—^'^^S
2 7T 0et, en développant en série,.
* n H- xr2/•^ûTra 3 —Tta--— 1 - 1 ' 111 -- 1 - 11 -/''-!- •-111- "— 7,.-111---11-^ 4 - . . .••-:::• o.
^—l

2

4^^^

En ne conservant que les trois premiers termes on obtient

Si n == 2,r^:QMa.

L'écart de l'option dit double doU être environ les deu^ iim de la valeurde la prime simple.

Si n =-= 3,/' ::ll.r: I,0()()^,

L'écart de l'option du triple doit éire supérieur de un dixième wwn
à la valeur de /a prime simple»

Nous venons de voir que les écarts des options sont appimbiativement proportionnels à la quaniiié a.
Il en résulte que la probabilité de réussite de ces opérations ert
indépendante de la durée de réchéance.
La probabilité de réamte de l'optùm du double est 0,394, l'opéfndon
réussit quatre fois sur dix.

THÉOHÏE DE LASPÉCULATION.

^

La probabilité de l'option du triple est o,33, l'opération réussit une fois
nur trois.

L'espérance positive de l'option d'ordre n est

r00 p{x — r ) clx,

// f
«/,.

et commer——————————
^

^

^:

r"

f

J
,
.

? ( ^ .„.
/

,. J

fi y

'

l'espérance cherchée a pour valeur --^-r, c'est-à-dire i.,36a pourl'option du doul)le et 1,64^ |)our l'option du triple.
En vendant ferme et en achetant simultanément une option dn
double, on obtient une prime dont l'importance est / == o,68a et dontl'écart est le double de r.
La probabilité de réussite de l'opération est o,3o.
Par analogie avec les opérations à prime, nous appellerons opium»
stellage d'ordre n, l'opération résultant, de deux options d'ordre n, à
la hausse et à la baisse,
L'option stellage du second ordre est une opération fort curieuse;
entre les cours :±rla perte est constante et é^ale à ar. La perte d i m i n u eensuite progressivement jusqu'aux cours ± 3r, où, elle s'annule,
11 y a bénéfice en dehors de l'intervalle ::fc 3r\
La1 probabilité est o,/p.
O P É R A T I O N S FERMES.

Maintenant que nous avons achevé l'étude générale des probabilités
nous allons l'appliquera la recherche des probabilités des principales
opérations débourse en commençant par les plus simples, les opérations fermes et les opérations à prime, et nous terminerons par l'étude
des combinaisons de ces opérations.
La théorie de la spéculation sur les marchandises, beaucoup plus
simple que celle des valeurs, a déjà-été traitée; nous avons, en effet,
Aun, clé V'.A'r» Nor'maie, 3* Sér:î<1! Toxtte XVU* <•—«• F&vaiKii ïç^oo.

8

.58

L.

(îAaiS^LÏEH.

calculé la probabilité et l'espérance des primes simples des stellages
et des options.
La théorie des opérations de bourse dépend, de deux coefficients : b
et k.
Leur valeur, à un instant donné, peut se déduire facilement del'écart du terme au comptant et de l'écart d'une prime quelconque.

Dans l'étude qui va suivre, nous ne nous occuperons que de larente 3 °/(p qui estj^une des valeurs sur laquelle on t r a i t e régulièrement des primes.
Nous prendrons pour valeurs de h et k leurs valeurs moyennes
pour les cinq dernières années (ï8()4 à 1898), c'est-à-direb —: 0,264,
k :•.:-•-, f>('le temps est exprimé en jours et l'unité de variation est le centime).
Nous entendrons par valeurs calculéea celles qui sont déduites desformules de la théorie avec les valeurs ci-dessus données aux cons t a n t e s h et /'.
Les valeurs observées sont celles que l'on déduit directement de ta
compilation des cotes durant, ce même espace de temps de 3iH()4 ii
ï8c)8 ( r ).

Dans les Chapitres q u i vont suivre nous aurons constammeril à
connaître les valeurs moyennes de la q u a n t i t é a à différentes époques:la formule
a-: ^\/1.

donne
Pour 45 Jou rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a -::: 33,54
"
?»
»

3o
w
i (>

»
»»
'/

. . . . . , . , . . . . . , . . . , , . . . . . ' a ;— %7 5 3H
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (t s"1"1 •r^y 31), , . . . . - . . . . . . . . . , . . . , . , . a — i f»,ï 'î

Pour un j o u r , il semble que l'on devrait avoir a ^5; maiH danstous les calculs de probabilités où il s'agit de:' moyennes on ne peiït
poser t == ï pour un jour.
( 1 ) TouLes les observations soîii oxinHUîS (!o la Cote de la /Swrse.et d<î la Bwiffïw.

TiïÉORlîî DE LA SPÉCULATION.

5<)

En effet, il y a 365 jours dans l'année, mais seulement 807 jours de,'r) /•> •-•bourse. Le jour moyen de la bourse est donc t =-= ^; il donneo0"7^=f>,45.

On peut taire la même remarque pour le coefficient &. Dans tous
les calculs relatifs à un jour de bourse on doit remplacer, b par
/
36J,
,„ .,
h == —^h :,;.,., <:>3ï3.
wj

Écart probable. — Chercbons l'intervalle de cours ( — a , +-a) telque, au b o u t d ' n n mois, la rente ait autant de chances de se trouverdans cet intervalle que de chances de se trouver en dehors.
On devra avoirfpela':^ y )

»/(>

d/ou
os=:±/i6.

Pendant les (k) derniers mois, 33 (bis la variation a été circonscrite
entre ces limites et 27 (bis elle les a dépassées.
On peut chercher de môme l'intervalle relatif a un j o u r ; on a ainsi,a ^ :„':,.: 9.
Sar x45,2 observations, 8 ï 5 fois la variation a été inférieure à 9*',Dans la question q u i précède, nous avons supposé que le cours
coté se c o n f o n d a i t avec le cours vrai ; dans ces conditions, la probabilité et l'espérance mathéinalique de l'aclieteur et du vendeur sont lesmêmes. En réalité, le cours coté est inférieur au cours vrai de laquantité/^, si n est le nombre de j o u r s séparant de l'échéance.
L'écart probable de 4^' d^ part et d'antre du cours vrai correspond à
l'intervalle compris entre 54<1> en hausse au-dessus du cours coté et
38^ en baisse au-dessous de ce cours.
Formule de la probabilité dans le cas général. — Pour trouver laprobabilité de la hausse pour une période de n jours, il faut connaître

GO

L. B A C H K L Î K Ï i .

l'écart nb du cours vrai au cours coté; la probabilité est dors é^ale à/

p r/y.

J^rih

La probabilité de la baisse sera égale à l'unité d i m i n u é e de la probabilité de la hausse,
Probabilité de l'achat an comptant.
Cherchons la probabilité deréussite d'un achat au comptant destiné à être revendu dans 3o jours,
On doit remplacer dans la formule précédente la quantité nb par 25.
La probabilité est alors égale à 0,64 :L'opération a deux chances sur trois de réussir,
Si Pon veut avoir la probabilité pour un an, on doit remplacer laquantité nb par 3oo. La formule a -= /c\/t donne^::r:95,5.

On trouve que la probabilité est
0,89.
Neuf/où $ur dix un achat de renie au comptant produit un béné/tw
au bout d'un an.

'Probabilité de l'achat ferme. — Cherchons la probabilité de réussite
d'un achat ferme ellectué au début du mois.
On anh "';.;; 7 ? 9 1 ,^ =- a"7,3K»

On en déduit que :La probabilité do la hminse o a t . . . . . . . , . . , , , , o, •')•)»
baiseo " .. ^ . . . , . . . , , . o,/;,^

La probabilité de Fâchât croît avec le temps; pour un an, on an •— 365,

nb — 96,36,a- 9^, 5,

La probabilité a tflors pour valeur o,6SQuand, on effectue un achat ferme pour le revendre au bout d'un an,
on a deux chances sur trois de réussir»

THÉOSUE DE LA SPÉCULATION.

6îe

II est évident que si le report mensuel était de 25 la probabilité del'achat serait o,5o.
Avantage mathématique des opérations fermes. —- II me paraît indispensable, comme je l'ai déjà fait remarquer, d'étudier l'avantage mathématique d'un jeu dès qu'il n'est pas équitable, et c'est le cas desopérations fermes.
Si nous supposons h == o, l'espérance mathématique de l'achat
ferme est a — a = = o . L'avantage de l'opération est — = - commed'ailleurs dans tout jeu équitable.
Cherchons l'avantage mathématique d ' u n achat ferme de n jours en
supposant b > o. L'acheteur aura, pendant cette période, touché lasomme nb provenant de la différence entre les coupons et les reports,
et son espérance s e r a a — a + / ^ ; son avantage mathématique sera
donc
a 4- nb
2 ci "-h fïb

L'avantage du vendeur serait
20 ""l- nb

Occupons-nous spécialement du cas de l'acheteur. •Quand ^ ^ > o son avantage mathématique croît de plus en plus
avec n; il est c o n s t a m m e n t supérieur à la prohabilité.
P o u r ' u n mois, l'avantage de l'acheteur est o,563 et sa probabilité o,55. Pour un an, son avantage est 0,667 et sa probabilité o,65.
On peut donc dire que ;l^amntage (F une opération fe'nne est à peu près égal à sa probabilité.

OPÉBATIONS A PKIME.

Écart dess primes. — Connaissant la valeur 11 de a j'pour une époquedonnée, on calcule facilement l'écart vrai. par la formule
W ';= 77 Ct ±: ^TT2 0^ — 4 7Î a (a — ^ ) *62

L. BACHELIER.

Connaissant l'écart vrai on obtient l'écart coté en a j o u t a n t la q u a n tité nb à l'écart vrai; n est le nombre de jours q u i séparent de la réponse.
Dans le cas d'une prime fin prochain, on ajoute la quantité[25+(/À--3o)//].
On arrive ainsi aux résultats suivants :Prirnc^ dont '"»(>.
'l^carl eoto(•akmli^ohHcl'vd.

50,01^-0,695^,0^
9.1 /À y,. . . . . . . . . . . . . . ! ï3,^3

ï.j ,71

A 45 j o u r s . . . . . . . . . . . . . .
3o» ..............

%o»Primes do fit '25.
Ecart (îûi<5(.'aïeule.

oî»Hôrv^.

r

7^,70
37,7H
ft'ï, 177',^ Ko:î7,H.1'^r^10^ . . . . . . . . . . . . . . iy, y^417,4°A ^ ) jours..............
3o» ..............
ao" ..............

PfnHfîyi dotit 10*
ECU ri coto(•îilc^î^.
A 3o j o u r s . . . . . . . . . . . . . .
^o>' . . . . . . . . . . . . . .
îo
y ..............

f»6,1948,o^^6, <) iî^hftt.ii'vcî»
,

^<.M^
40,43
3'^, H<)

Dans le cas de la prime dont ^' pour le lendemain nous avons
h ':::" 3,zy 1:1::;:: 5,4^d'où/// .'--'.-• 0,81 ;l'écart vrai est donc 5,8i ; en y ajoutant ^ ^ ^A ^ o,3x on obtientl'écart calculé (>,ï2.
La moyenne des cinq dernières années donne 7,36.

K O H I E DE LA SPÉCULATION.

63

Les chiffres observés 'et calculés concordent dans leur ensemble,
mais ils présentent certaines divergences qu'il est indispensable d'expliquer.
Ainsi l'écart observé de la prime d o n t 10 à Séjours est trop faible;
i l est f a c i l e d'en comprendre la raison : Dans les périodes très mouvementées, alors que la prime d o n t 10 serait à un très fort écart, on necote pas celle prime ; la moyenne observée se trouve donc diminuée dece l a i t .
D'autre part, il n'est pas niable que le marché ait eu, pendant plusieurs années, une tendance à coter à de trop forts écarts les primes à
courtes échéances; il se rend d ' a u t a n t moins compte de la juste proportion des écarts que ceux-ci sont plus petits et que l'échéance est
plus proche*
II f a u t cependant ajouter qu'il semble s'être aperçu de son erreur,car en î8<)8 il a paru exagérer dans le sens inverse.
Probabilité de levée des primes, — Pour qu'une prime soit levée, il fautque le cours de la réponse des primes soit supérieur au cours du piedde la p r i m e ; la probabilité de levée est donc exprimée par l'intégrale
/ilw
i
/)d^,
^e.

8 étant le cours vrai du pied de la prime.
Cette intégrale est facile à calculer, comme on l'a vu précédemment;elle conduit aux résulta IH suivants :Probabilité dfs leçée (les prime ff dont 5o.
À 4^ journ.. . . . * . * . . . , . .
,'k>>» . . . . < . . . . . . . . .
w» ...,..,.,....*

Cale il 16(i.
o,63
o,7<
0,77

1

Obs erv^e.
0,59
0,75
o,7G

Probabilité de levée deK prunes dont 9,5,
A 45 jours. . . , . . . . < * . . . .
Sa» 1..,...-.....,.
uoft ^ , , , . . . , . . » . .
io» .,.....,-.,,..

CdÏeul^*.
o,4 ï
0,47
o,53
,o,65

, 1

Observée.
0,40
^ô
o,53
o,6^

64

I- B A C I Î E L I K R .
Probabilité de levée dcff prirnev dont (o.
Calculée.

A 3o jours.. . . . . . . . . . . . .
ao
ïô

)i
'»

.............
..............

Ohsm'vée.

0/21

0/21

o/^K
o,3(>

o

^'r>
0,'îîS

On peut dire que les primes /5o sont levées trois fois sur quatre, lesprîmes /2$ deux fois sur quatre et les primes /K) une Ibis sur quatreLa probabilité de levée de la prime dont 5e pour le lendemain
est, d'après le calcul : o,48; le résultat de if^6 observations donne
671 primes certainement levées et 76 dont la levée est douteuse; encomptant ces 76 dernières primes la probabilité serait O y 5 î , en ne lescomptant pas elle serait 0,46, soit en moyenne o,43 comme Findiquelà théorie.
Probabilité de bénéfice des primes. — Pour q u ' u n e prime donne dubénéfice à son acheteur, il f a u t que la réponse des prîmes se tasse à uncours supérieur à celui de la. prime. La probabilité de bénétice est
donc exprimée par l'intégrale

.1:.
EI

P d.^

£^ étant le cours de la prime.
Cette intégrale conduit aux résultats ci-après :Probabilité de bénéfice dea primes dont 5o»

A 4^' jours. * * . * . , . . . . . . *3o
20» ...,...,..,...
» ..,..........*

Calculée.

Observée,

o^o

^^(j

Oy/i'i<.»544o^4 îo^0Probabilité de bénéfice des prunes dont ^5.

A 45 j o u r s . - . . . . . . , . , , . .

CalculéeOb»yrv«^,

o,,3o

o,â7

3o

»

..............

o,33

Oy3t

20
ïô

» ..........,.,,» .............

o^SB
o,4t

' Gy3o0^4,0THI^OHU: Î)E LÀ SS'K<;liL,\T10IN.

65

Profnthllitc de b^néfic.c dav primer dout 10.

A 3o j o u r s , . . . . . . . . . . . . .

Cale il 1 ée.

Observée.

o,%o

o, t6

'20

»»

..............

0 y9,'À

0, l3

10

"

...... .........

0/^,7

o ,a5

On voit, qu'entre les limites (ordinaires de la pratique, .la prohabilitede réossile de Fâchai, (l'une prime varie peu,. L'achat /5o réussit<.)i.îaire lois sur dix, radial, /^ trois fois sur di'x et Fâchât / î o deux"(ois sur dix.
.D'après le calcul, racheteur de prime dont 5'' pour le lendeuiaiu auue ()rol)alHlile de reussUe de (»,34» l. î ol l )servat,ion de L^5G cotes rnonti^»que /i ro primes auraieul cerlaiueuieut donne des béneiiees et que 80
autres donneut un résullai donttîux, la, prohahilité observée est donco.iî.

OPÉRATIONS COMPLEXES.

Classification des opérationa complexes, — Comme on Irait-e du ferme
et souveut jusqu'à trois primes pour la même éolléance, on pourrait
entreprendre en même temps des opérations [riplos et même quadruples.
Les opérations triples sortent déjà dn nombre de celles que l'on
peut considérer comme classiques, l e u r élude est triîs intéressante,mais trop longue pour pouvoir être exposée ici. Nous nous bornerons
donc aux opéra fions doubles,
On peut les diviser en deux groupes suivant qu'elles contiennent
on non du ferme»
Les opérations contenant du ferme se co m poseront, d'un achat terme^td^ine venleà prime, ou inversement.
Les opérations à prime contre prime consistent dans la veule d'une
grosse prime suivie de fâchai d'une petite, ou inversement.
La proportion des achats et des ventes peut d'ailleurs varier à l'infin L
Pour mmplifîer la question, ^'H^ n'étudierons que deux proportions
très simplea ïï 0 La seconde opération porte aw le même chiffre que la première.
Afïtî» da l ' È e , Normale, H* Série- Tome XVII* «""• (^VHïKn t^oô-

966

L. TîACHRURn*

2° Elle porte sur un chiffre double.
Pour fixer les idées, nous supposerons que l'on opère au d é b u t dumois et nous prendrons pour écarts vrais les écarts moyens depuis
cinq ans : ï2,78/5o, 29,87/2;") et 58,28/110.
Nous remarquerons aussi que pour les opérations h un mois le coursvrai est plus élevé que le cours coté, de la quantité 7,91 :-^ 3oh.
Achat ferme contre vente à prime. — On acheté en réalité du ierme
au cours —3o6 == -— 7,91 et Von vend. a prime /^ au cours 4- ^9,87»
II est facile de représenter l'opération par une construction géométrique ( fig^ 7) : l'achat ferme est représenté par la droite AMB:
Fjg. 7.
/B

/
H/

/ 0

•11,,

A

^
""•^

MO == 3oh. La vente a prime est représentée par la ligne brisée CDE»
l'opération résultante sera représentée par la ligne brisée HNKL,
l'abscisse du point N sera
• l • iii -- ( %3 - i 1 - 3o//).

On voit que l'opération donne un bénéfice l i m i t é é^al à l'écart cotéde la prime; à la baisse, le risque est i l l i m i t é .
La prohabilité de réussite de l'opération est expi*imée par l'intégrale
4^f/> dx :;..:. o,GH.

'•••' —2', ... '•(»//

Si ron, avait vendu une prime /5o la probabilité de réussite auraitété ; 0,80.

11 est intéressant de connaître la probabilité dans le cas d'un report:,de 25e ( b === o).

THLOSIU: DE LASPÉCULATION.

67

Celle probabilité est 0,64 en vendant /25 et 0,76 en vendant /5o.
Si l'on revend une prime sur un achat au comptant, la probabilité
est 0,76 (in revendant /^5 et 0,86 en revendant/3o.
Vente ferme contre achat à prime. — Celte opération est inverse delà p r é c é d e n t e ; elle donne a la hausse u n e perte limitée é t a l a baisse
un bénéfice i l l i m i t é . C'est, par conséquent, une prime à la baisse, prime
dont Fécart est constant et l'importance variable, a l'inverse des primes
à la hausse.
Achat ferme contre vente du double à prime. — On achète ferme au,cours vrai •— 3o& et l'on vend le d o u b l e au cours 2("),87/25.
La J'ig. <S représente géométriquement l'oj)ération ; elle montre quele risque est, i i l h n i t é a. la hausse comme à la baisse.
yig. K.

On ga^ne entre les cours — ("5o -+" 3oh) et 5(),74 + ^ 0 ^ La probabilité de réussite
f p d.^ —..:. o, 64.

.En v e n d a n t /Ôo la probabilité sérail 0,62 et en vendant / s o on aurait pour probabilité 0,6^,
Si l'on avait acheté 2 unités f e r m e pour en vendre 3/5o, la probabil i t é a u r a i t été o^KLVê»te ferme contre achat du double à prime. — C'est l'opération in-

(;<S

L.

IS.\(niKLH':K.

verse de la précédente; elle d o n n e des bénéfices dans le cas d'une (briehausse et dans celui d'une forte baisse.
Sa probabilité est. : 0,27.
Achat d'une grosse prime contre vente d'une petite. - Je supposequ'on ait (ail s i m u l t a n é m e n t , les deux opérations s u i v a n t e s :Acheté à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......
Vendu a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i^,7 8 /"» 0^9, ^P^ 5

Au-dessous du pied de la grosse prime ("— 3 7 , 2 2 ) , les deux primes
sont abandonnées et l'on perd 25 e .
A partir du cours — 3 7 , 2 2 on est acheteur, et au cours de 1— i ^,22
l'opération est nulle. On ^a^ne ensuite jusqu'à ce que le pied de laprime /2;5, c'est-à-dire le cours 4 ,4,87 • s 0 1 1 atteint.
Alors on est liquidé et l'on }<a^ne Fécarf. En baisse on perd donc
2,5e, c'est le risque maximum; en hausse on ^a^'ne l ' é c a r t »Le risque est limité, le bénéfice l'tîsl également»
La Jlg. () représente géométriquement l'opération»
Pig. <..).

La probabilité de réussite est donnée par t'intégrales(r' p d.c r,,^ 0,^9.

- '•- 1 -12,2 ï

En achetant /2^ pour vendre /ro, la probabilité de réussite seraito,38.
Vente d'une grosse prime contre achat d'une petite. — Cette opération,
qui est la contre-partie de la précédente^ se discute sans difficulté; enTïïÉOnïR DE LV SPF/nJLATÎON.

6q

baisse on gagne la différence du. montant des primes, en hausse on
perd leur écart.
Achat d'une grosse prime contre vente d'une petite en quantité double.
Je suppose qu'on ait; f a i t l'opération suivante :Achat i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Venio du double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

j 'ï,78/50^(),87/y/>

En forte baisse, les primes sont abandonnées, elles se compensent;
c'est, une opération en blanc. Au pied de la grosse prime, c'est-à-direau cours — 37,22, on devient acheteur et l'on ^a^ne progressivementj u s q u ' a u pied de la petite ("4- 4,87^.
A ce moment, le bénéfice est m a x i m u m (42,09 centimes) et l'on
devient vendeur. On reperd progressivement le bénéfice et au, coursde 4'^î)^ ^° bénéfice est n u l .
Au delà on perd proportionnellernent à la hausse.
En résumée l'opération donne u n bénéfice l i m i t é , un risque noi a labaisse et i l l i m i t é à la hausse»
La //fi. 10 représente géométriqiiernent l'opération,
Fig. i f » .

Probabilité de l'opération en b l a n c . . . . . . . . . . . o?3<>»de bénéfice. . * . * . . . . . . . . . • . • • • • • • ^^»do porte . . , * . . . . . . . . . . . . . . • . • • • • o ? ^Vente d'une grosse prime contre achat d'une petite en quantité double.
— Lîi discussion et h représentation géométrique, de cette opération,
inverse de la précédente, ne présentent aucune difficulté. Il est inutile
de nous y arrêter.

70

L. BACmiLlKR.

Classification pratique des opérations de bourse. — Au p o i n t de vue

pratique, on peut diviser les opérations de bourse en quatre classes;
Les opérations à la hausse.
Les opérations à la baisse.
Les opérations en prévision d'un ^rand mouvement dans un sensquelconque.
Les opérations en prévision des petits mouvements.
Le Tableau suivant résume les principales opérations à la hausse:Pï'ohahiîitu moyenne.

(report e^al(report n u l ) , (ropori înoycu). aux cotiponM).
A chat / 1 o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Achat / % 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Achat /'ÀÔ G vcmto /io .,. . . . . . . . . . .
Achat / 5 o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Achat f e r m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Achat /5o C vente 1^5 . . . . . . . . . . . . . .
Aeliat forme G vente / ^ î . . . . . . . . . . . .
»>•'/5o. . . . . . . < . . . .

o, '20
o ,33
o,3H
0^43
0,64
o, ''x')
o,7<>
o,K(»

o, ysû
o, '.H<>,3Ho,,1'î
o,5.^0, '*>()
o,r>H
<,)^o

o, '>,o
o, 33
o,3H
o^(3
o,5<>
<», ^j0,64
0,76

II suffit d'inverser ce Tableau pour obtenir réchelle des opérations
à la baisse.

P R O B A B I L I T É POUB QU^UM COU.BS SOIT A T T E I N TDANS UN INTEBVALLE DE TEMPS DONNÉ.

Cherchons la probabilité P pour qu'un cours donné c soit atteint ou
dépassé dans un intervalle de temps /,Supposons d'abord, pour simplifier, que le temps soit décomposé endeux unités, que t égale deux jours par exemple.
Soit x le cours coté le premier jour et soitj le cours du second jour
relativement à celui du premier.
Pour que Je course-soit atteint ou dépassé, îl faut que le premierjour le cours soit compris entre c et w ou que, le second Jour, il, soit
compris entre c — x et oo,

THÉOnîK DE LA SPÉCULATION.

J lDans la question actuelle, il faut distinguer quatre cas :i"*' jour.
./' compris ciifci'o ;:>" JOUI".

y compris entre :

-• x'

et

c

...„'„, ^

Q[

~^

01.

<"

<" —- ./;eLc — ,y;-•';- so

(;

et

yj

-" "-oet<? — .^'

C

('t

co

6' —1- ,z*eL-4" î0

Suit* ces quatre cas, les trois derniers sont favorables.
La p r o b a b i l i t é , pour que le cours se trouve compris dans l'intervalle dx le prernier jour et dans l'intervalle dy le second jour, serap^pydxdy^
La prohabilite P, étant par définition le rapport du nombre des cas
favorables a, celui des cas possibles, aura pour expression/•"» C/•* W/•"» W/'li^* ""' '^'+*7 »"..&© t/^r»—.^*

^ ^ ^
/(1<*

/), <'•--,<"«./.„... as v ..„-.. as,» <;/"»6l3/'» W+^ c. ^'•^ao^_^ _^'^_1 "L^-Ï_____/••» 60

J'......... w v c ^-,v

.^80

"y

/•»<"""••.:.(;'

^—«î

/» W

«-/^;•,-"» 00^e—.r

f I' é 1 é ÎTI e n t e s t ^^. ^y Ar? r/y).
Les q u a t r e intégrales du d é n o m i n a t e u r représentent les quatre caspossibles; les trois intégrales du. n u m é r a t e u r représentent les trois
cas favorables. On peut simplifier et écrire, le dénominateur étant égalà un,P ;.:..1:

/

,<'

^M

j

r- .,..-&& ^(1 ...-.• .lt'p ^ p y dx dy -i- l"/.» ^\ P x P y dx dy.

(•

v

— »

On pourrait appliquer le même raisonnement en supposant que l'on
a i t a. considérer trois jours consécutifs, puis quatre, etcCetfe méthode conduiraità des expressions de plus en plus compliquées, car le nombre des cas favorables irait sans cesse en augmentant. Il est beaucoup plus simple d'étudier la probabilité T — P pourque le cours c ne soit jamais atteint.
Il n'y a plus alors qu'un seul cas favorable quel que soit le nombre
de jours, c'est celui où le cours n'est atteint à aucun des jours considérés.

n'1

L. BACUELŒH.

La probabilité ï — P a pour expressionpC

i-P= /••-/__çci

-T,<?"-a;,/pc-x^x..^/»1/——oç^__(»/..<,•— x^...—x^ (... /^,, .../.,,„ r/,r, . . . ^,,«- / __û(3^ est le cours du premier jour;x^ est le cours du second jour relativement à celui, du premier:;x^ est le cours relatif du troisiesne jour, etc.
La détermination de cette intégrale paraissant difficile, nous résoudrons la question en employant une méthode d'appimimation.
On peut considérer le temps t comme divisé en petits intervalles A/
de telle sorte que t == mAt. Pendant l'unité de temps ai, le cours nevariera que de la quantité ± A^r, écart moyen relatif à cette u n i t é d'etemps.
Chacun des écarts ±àsc aura pour probabilité ^,Supposons que c^n^oc et cherchons la. probabilité pour q u e lecours c soit atteint précisément à. l'époque /; c'est-à-dire pour que cecours soit atteint a cette époque /, sans l'avoir jamais été antérieurement. Si, pendant les m u n i t é s de temps, le cours a varié de la quantité
nAx', c'est qu'il y a eu m—n variations en hausse et /^-'i"""'t." variations^%

en baisse.
La probabilité pour que, sur m variations, il y en ait eu /^-'illl^
favorables estwl/ï'y^m. -"- n. m, -}" //.
9.
a

\^j

Ce n'est pas cette probabilité que nous cherchons, mais le produitde cette prohabilité par le rapport du nombre des cas ou le cours
nàx est atteint à l'époque mal, ne l'ayant pas été précédemment, au
nombre total des cas on il est atteint à l'époque mât.
Nous allons calculer ce rapport.
Pendant les m unités de temps que nous considérons, il v a m
ÎH "4-" 'fl

.

.

,

m —,.... fi—;— variations en hausse et—-— variations en baisse.

* 11

THÉORIE DE LA SPÉCULATION.

^3

Nous pouvons représenter une des combinaisons donnant une
hausse de nA»r en m unités de temps par le symbole
BI H i H g . . . B m—n - • • Hw-4 nj

2àB^ i n d i q u e que, pendant la première unité de temps, il y a eu baisse;IL, qui. vient ensuite, indique qu'il y a eu hausse pendant la secondeunité de temps, elc<
Pour qu'une combinaison soit favorable, il faut que, en la lisant dedroite à gauche, le nombre des H soit constamment supérieur à celui
des B* Nous sommes ramenés, comme on voit, au problème suivant :Sur n lettres il y a m"—^ lettres H, et m—n lettres B ; quelle est la
probabilité pour que, en écrivant ces lettres au hasard et en les lisantdans un sens déterminé, le nombre des H soùy durant toute la lecture,
toujours supérieur à celui des B ?

La solution de ce problème, présenté sous une forme un peu différente, a été donnée par M. André. La probabilité cherchée est égale
Î^Lm

La probabilité pour que le cours n^x soit atteint précisément aubout de m unités de temps est doncnrn \m M — ri. m -h- fi. \2^/'Jt

3

Cette formula est approximative; nous obtiendrons une expression plus exacte en remplaçant, la quantité qui multiplie — par la valeur exacte de la probabilité à l'époque t, c'est-à-dire par/—y/S.,y^e~^.
\//n\/7C
La probabilité que nous cherchons est donc/-^a_£.,vi,^ ^ ^ ^m\/m^TC
Aïin.. de l'Éc. Normale. 3° Sorie* Tome X.VÏ1L — FÉVRIER XQOO.

XO

7/i

.L. BACHELIER.

ou, en remplaçant n par ^ T 7 r et m par SirA 2 /,Va„^V/a..... ^' îw^
2 \JT:kt^'"tTelle est F expression de la probabilité pour que le cours a soit
atteint à l'époque dt, ne l'ayant pas été antéricuremient.
La probabilité pour que le cours c ne soit pas atteint avant l'époquet aura pour valeurï ^ p ^ A r c^—.^ ^^ ^,J<

3 \/7T Â'<î V^

J'ai multiplié l'intégrale par une constante à déterminer A, parceque le cours ne peut être atteint que si la quantité désignée par m
est paire.
En posant,rt,lAlil.,5Cl

LHJU.5A I A A I 1 1 ^ 1^ »,. »•''tft,pcll^t't'^.l»»»W

y:,^..^^,

on a,„/'"S i/TCÂ't/?

X—P:rr2\/2A ^
«/(,

r-^Û,

Pour déterminer Ay posons c == co, alors P ^ o et,.,»
î = 2 y/2 A Je^ cO. == ^2 ^ÎA î

^0

donc
A^—i—,\/a\/7T

alors

c
^

St

rt^k'k i/li-?==:•--„ /,.->,. ^^V^J,

La probabilité, pour que le cours x sou atteint ou dépassé pendant l ' i n -THÉORIE DE LA SPÉCULATION.

75

tervalle (le temps t a donc pour expression

P———^f^^^.
V^Jo

La probabilité pour que le course soit atteint ou dépassé à l'époque ta pour expression, comme nous l'avons vu,î
T orîftfsJÏ
(S^l^l ^ ( ye^cTh.
2
2•\/Wo

On voit que $ est la moitié (le P*
La probabilité pour qu'un cours soit atteint ou dépassé à l9 époque t est
la moitié de la probabilité pour que ce cours soit atteint ou dépassé dansl'intervalle de temps t.

La démonstration directe de ce résultat est très simple : Le cours
ne peut être dépassé à l'époque t sans l'avoir été antérieurement.'La
probabilité $ est donc égale à la probabilité P, multipliée par la prohabilité pour que, le cours étant coté à une époque antérieure à t, soit
dépassé à l'époque l; c'est-à-dire, multipliée p a r ^ - On a donc^p.
'2

On peut remarquer que l'intégrale multiple qui exprime la probabilité î — P et qui semble réfractaire aux procédés ordinaires de calcul
se trouve déterminée par un raisonnement très simple grâce au calcul
des 1 probabilités.
Applications. — Les Tables de la fonction 8 permettent de calculer
très facilement la probabilité
p=^@/

ÛC

\2V3T k \ j t ,76,

L. BACHELIER.

La formule
.T

p ^ ï

0

2

/»2v/7CA-^

, /

c-^JÀ

V/TT ./Q

montre que la probabilité est constante, quand l'écart x est proportionnel à la racine carrée du temps; c'est-à-dire, quand il a une expression de la forme x '-=- ma. Nous allons étudier les probabilités correspondant à certains écarts intéressants.
Supposons d'abord que x —: a =•:= k\/i', la probabilité P est alors égale
à 0,69. Quand l'écart a est atteint, on peut, sans perte, revendre duferme sur la prime simple a. Donc :11 y a deux chances sur irois pour que V on puisse, sans perte, revendre
du ferme sur une prime simple.

Particularisons la question en l'appliquant à la rente 3 pour îoo;sur une période de 60 mois, 38 fois, on a pu revendre à l'écart a; ce
qui correspond à une probabilité de o,63.
Etudions maintenant le cas où, x ^ 20.
La formule précédente donne pour probabilité o,43.
Quand l'écart 20 est atteint, on peut revendre sans perte du ferme
sur une prime double.; ainsi ;II y a quatre chances sur diûo pour r/ue l'on puisse^ mns perte, revendre
du ferme sur une prime double.

Sur une période de 60 liquidations, la rente 3 pour 300 a atteint
a3 fois l'écart 20, ce qui donne pour probabilité Oy38,
L'écart 0,70 est celui de l'option du double? la probabilité eorre^
pondante est 0,78.
On a trois chances sur quatre de pouvoir^ sans perte, revendre du/erme
sur une option du double.

L'option du triple doit se traiter à un écart 1,1 a auquel correspondla probabilité 0366.

THÉORIE DE LA SPÉCULATION.

'

77

On a deux chances sur trois de pouvoir, sans perle, revendre du ferme
sur une option du triple.

Citons, enfin, comme écarts remarquables l'écart 1,70 qui correspond à une probabilité dû ~ et l'écart 2,90 qui correspond à une probabilité de yL\
Espérance mathématique apparente. — L'espérance mathématique^T/•^V/'ÏTÂ'V//^ i r ' 1 1 1 : - ? ^ — ^ . - . - —— /e--^ (0V/TrJ,,

est une fonction de x et de l; dUlérentions-la par rapport à x, nous
auronsôc^

9. ^r^^1 (^^cÛ^ ,, — -...---...——
œeiiii^^ .

W^JQ. ...1 .-,::, ^ ^TTÂV^Si l'on considère une époque déterminée /, cette espérance sera
maxima lorsque^ ^.. „'^ w ^c^êst"à"dire, quand ,^== aa, environEspérance totale apparente,temps l sera rintéffrale
1

L/espérance totale correspondant au
^w

^
JQ

Posonsr^f(a):^ f
JQ(

P.^ dx.

....,....;:^
9-r r^^11

x-^ /

.

^dk]dx.

\/TC «/o/Differentions en a, nous aurons
p»

\
\

^

^(a)^——^ e " 4 7 c r t i dœ,
''
ît^Vo

78

L. BACHELIER.

ou/^a) == 2ïca. On a donc/(a) r-rTTa^Tr/^L

L^espérance totale est proportionnelle au temps.
Époque de la pins grande probabilité. — La prohabilité
p :-: î « •L <^îî/TtA-^

^^

V^ ^O

est une fonction de x et de ^L'étude de sa variation, en considérante comme variable, no présente aucune particularité; la fonction décroît constamment quand xcroît.
Supposons maintenant que x soit constant et étudions la variationde la fonction en considérante comme variable, nous aurons en diileren liant
;»•»

2
î'îU
?
^h{•

l

()V _ X €
à('

^7:t\lt

Nous déterminerons l/époque de la probabilité maxima en a n n u l a n t
la dérivée.»•»^p_î£^!!/^

3\7)^ """""1" 2n:/cl'\/ï HTEF^ " 'S/ 5

on a alorst «.

x— ^p •

Supposons, par exemple, que x = kJÏ\, nous aurons i — 4L
y Tt

L'époque la plus probable à laquelle on peut sans perle revendre duferme sur une prime simple est située au dix-huitième dé la durée del'échéance.

^ ! Si nous supposons maintenant que X^^Î€\IT^ nous obtenonst^^i. / 1
STT

THÉORIE DE LA SPÉCULATION.

70
^ i7

TJ époque la plu$ probable à laquelle on peut sans perte revendre duferme sur une prime double est sidiée au cinquième de la durée del'échéance.

La probabilité P correspondant à l'époque t =- —— a pour valeur,-e(^)^.
Époque moyenne. ~ Lorsqu'un événement peut se produire à différentes époques, on appelle époque moyenne de l'arrivée de l'événement la somme des produits des probabilités correspondant auxépoques données par leurs durées respectives.
La durée moyenne est égale à la somme des espérances de durée.
L^époque moyenne à laquelle le cours x sera. dépassé est donc
exprimée par l'intégrale
y*80

y*^ fïp

— ^.'î «•r[ t^cu^
[ ^.^
dt

Jo

'^dn

Jo ^k\]ten posant y.^,^^ ^y 2 , elle devientT^_^_ r^^^cfy'

27^/TÏ^J^. Cette intégrale est indnie*L^époque moyenne est donc infinie.
Époque probable absolue.
P = "!" ou

Ce sera l'époque pour laquelle on aurae^^^^^^^^

2Î^^/(^"ï)on en déduit
^^2789i2.

L'épo<('ue probable 1 absolue varie, de même que l'époque la plus
probable, proportionnellement au carré de la .quantité <r, et elle est
environ six fois supérieure à l'époque la, plus probable,

80

L. BACHELIER.

Époque probable relative — II est intéressant de connaître, non seulement la probabilité pour qu'un cours <r soif coté dans un i n t e r v a l l ede temps t, mais encore l'époque probable T à laquelle ce cours doitêtre atteint; cette époque est évidemment différente de celle dont nous
venons de nous occuper.
L'intervalle de temps T sera tel qu'il y aura autant de chances pourque le cours soit atteint avant l'époque T que de chances p o u r qu'ilsoit coté dans la suite, c'est-à-dire dans l'inlervalle de temps T,^,
T sera donné par la formuler'àp., i r'àp .
—d&'=:. - \ ..'dt

\

Jo

(H

2

^

ôt

ou
1 ^ 3© (^ ——^ --.,
WTTÂVT,/.® (^^U\/7TÂV^Comme application, supposons que x ^ k \ [ i ^ la formule donne
T ==: 0,18^; donc
On a autant de chances de powoir sans perte revendre du forme surâne prime simple pendant le premier cm^/luc/ne de la dwee de rengagement que pendant les quatre autres cinquièmes.

Pour traiter un exemple particulier, supposons qu'il s'agisse de larente et que t == 3o Jours, alors T sera égal à /> Jours. Il y a donc a u t a n t
de chances, nous apprend la formule, pour que l'on puisse revendre
la rente avec l'écart a (28° en moyenne) pendant les cinq premiers
jours, que de chances pour qu'on puisse les revendre dans lesvingt-cinq jours qui suivent* Parmi les 60 liquidations sur lesquelles
portent nos observations, 38 fois l'écart a été a t t e i n t ; ï H (bis p e n d a n t
les quatre premiers jours, 2 fois pendant le cinquième et ï 8 fois
au delà du cinquième jour*L'observation est donc d'accord avec la théorie.
' Supposons maintenant que «r :=- ^ / c \ / i , nous trouvons ï ^ o,4^îor la quantité 2/c\/l est l'écart de la prime double, on peut donc dire :II y a autant de chances pour que V on puùs-e sans perte revendre du.

TÏÏÉOHÏE DE LASPÉCULATION.

82

ferme sur une prime double pendant les quatre premiers dixièmes de ladurée de l'en gaiement, ûue pendant les six cintres dixièmes.

Occupons-nous encore de la rente : nos observations précédentes
nous ont montré que, dans 23 cas sur 60 l i q u i d a t i o n s , l'écart 'ia(56° en moyenne) avait été atteint; sur ces 28 cas, l'écart a été a t t e i n tï î fois avant le ï 4 du mois et 12 fois après cette époque.
(/époque probable serait 0 , 1 1 ^ pour l'option du double et o , 2 ï /pour l'option du triple.
.Enfin, l'époque probable serait la moitié de l'époque totale si v ê t a i tégalà^,^V^

Distribution de la probabilité. — Nous avons jusqu'à présent résolu.
deux problèmes ;La recherche de la probabilité a, l'époque t.
La recherche de la probabilité pour q u ' u n cours soit a t t e i n t dans unintervalle de temps t.
Nous allons résoudre ce dernier problème d'une façon complète; il
ne suffit pas de connaître la probabilité peur que le cours soit a t t e i n tavant F é p o q u e ^ ; il fautaussi connaître la loi de prohabilité à l'époque/dans le cas ou le cours n'est pas atteint.
Je suppose, par exemple, que nous achetions de la rente pour larevendre avec un bénéfice e. Si a l'époque t la revente n'a pu êtreeffectuée, quelle sera, a cette époque, la. loi de probabilité de notre
opération?
Si le course n'a pas été atteint, cela provient do ce que la variation
maxima à Ia 1 hausse a été i n f é r i e u r e à c, alors que la baisse a pu êtreindéfinie; il y a donc dissymétrie évidente de la courbe des probabi"
lités à l'époque /.
Cherchons quelle sera la forme de cette courbe.
Soit ABCEG la courbe des probabilités à. l'époque t, en supposantque l'opération dût subsister jusqu'à cette époque (fig, u).
La probabilité pour que, a l'époque /, le course soit dépassé est
représentée par l'aire DCEG qui, évidemment, ne fera plus partie dela courbe des. probabilités dans le cas de la revente possible."An.n,d€ l'Éc. Normale. ^ Série. Torrift XVIL •••- FÉvrmm i<)ôo.

iî

82

L. BACnîKLIEÎî.

Nous pouvons même affirmer a priori que l'aire de la courbe desprobabilités devra, encore, dans ce cas, aire d i m i n u é e d ' u n e q u a n t i t éégale à DCEG-, puisque la probabilité F est le double de la probabilité
représentée par DCECx.
Fig. n.

W

Si le cours c est a t t e i n t a l'époque l^ le cours H aura, à cet, i n s t a n t ,la même probabilité que le cours II' symétrique.
La possibilité de la revente au cours c s u p p r i m e donc, en mêmetemps que la probabilité en 'II, une p r o b a b i l i t é égale en IF, et pour
avoir la probabilité à l'époque /, nous devons retrancher des ordonnées de la courbe ABC celles de la courbe G'E'CV, symétrique de <îIÎ<L
La courbe de probabilité cherchée sera donc la courbe Î)KM.
Cette courbe a pour équationaTT^^Ï

COUTS de probabilité maxima. — Pour obtenir le cours dont la probabilité est la plus grande, dans le cas où. le cours c n'a pas été a t t e i n t ,il suffit de poser ^=r o; on obtient ainsici «',x*.-.J:t_... ..}..„ ^ 1

WA^

.„„„„

^ c •— .r

Si l'on suppose c = a ^ /c\/l, on obtient;r,^ :::::•— ï ,^si l'on suppose c^ 20, on obtientx ^ ::::::— o,/i^.

THÉORIE DE LA SPÉCUÏATÎON.

83

E n f i n , on ob tiendra iltZ'^ '^ZZ. ———

C y

-

!i

si c était égal a i,33^.
Cours probable. •-" Cherchons l'expression de la probabilité dansr intervalle zéro, u; ce sera/••//-,.-.-.,.,.^- , /^•ï,/'1^^^^.,, _,L^r.U\ji.J^i^if(^--..r^^••^r ^^

^TTÂV/^,

Le premier terme a pour valeur
1

f

(

'.. \

•^^^Trï^r
Dans le second, posons^ \/7T A' \/ï?* '=^ ^ a — ,r ;ce terme deviendra,a«'/•'â/'/r/t//

^

1

^

,

y

^

ï^'•••i•nr^^f^f— - —. /^ll•""/t ^A-h - — 1^ ^.4^ /71:.4€•••••-/ ' H1^

J/ex[)res^ion clierchée de la probabilité est donc
1

(À (

u

t
''\
1 1 1 (.1 (

<fî c

t} e
il
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2 1 1 1 ' '"'"""' \^ "Vî^^^/' ' ^ ''^,^/v/y "-^^^:^^^ .

Il est intéressant d'étudier le cas où u == c pour connaître la probabilité de bénéfice d'un achat ferme lorsque le cours de revente n^apu être atteint.
La formule ci-dessus devient dans l'bypotbese u ^ c^(^....^ ^/L^f.....^^^^^^^^^\^rtf.\jl}

9t

V'^TT/V/ySupposons que c==<7^ la probabilité est alors o,o3.
Si l'écart a n'a jamais été atteint dans l'intervalle /, il n'y a que

84

L. BÀCHELïEn.

trois chances sur cent pour que, à l'époque /, le cours se trouve compris entre zéro et ci.
On peut* acheter une prime simple avec l'idée préconçue de revendre du ferme sur cette prime des que son écart sera atteint.
.La probabilité de la revente est, comme nous l'avons vu, 0,69. Laprobabilité pour que la revente n'ait pas lieu et qu'il y ait bénétîce
est o,o3 et la probabilité de perte est 0,28.
Supposons que c == 201, la probabilité est alors o, i3.
Si l'écart sa n'a jamais été a t t e i n t dans l'intervalle /, il y a treize
cliances sur cent pour que, à l'époque l, le cours se trouve compris
entre zéro et 20.
Le cours probable est celui dont l'ordonnée divise en d e u x partieségales l'aire de la courbe des probabilités. Il r^est pas possible d'exprimer sa valeur en termes finis.
Espérance réelle. — L'espérance m a t h é m a t i q u e k ^/£ •== a exprime
l'espérance d'une opération qui doit durer jusqu'à répoque /*Si. l'on se propose de réaliser l'opération dans le cas ou un certainécart serait atteint avant l'époque ( , l'espérance inathéinatique a une
valeur toute différente, variant évidemment entre zéro et k\ft quandl'écart choisi varie entre zéro et l'infini.
Soitc le cours de réalisation d'an achat, par exemple; pour obtenirl'espérance positive réelle, de l'opération, on doit ajouter a. Fespérancc de revente cP l'espérance positive correspondant au cas ou larevente n'a pas lieu, c'es-t-à-dire la quantité/ ^± ^^ _ ^^^
^c

,

.r9

[""

(îf-.r^-l

J, ^AV/;Si l'on effectue l'intégra tion,du premier terme et si Von ajoute l'intégrale entière à l'espérance de revente^cP = c — c — S/^^Kk^if^fâk^i</7T<
V7T</o^^""/<s dhyTÎÎÉOîUK DE U SPÉCULATION.

85

on o b t i e n t pour expression de l'espérance réelle
/

<•"-

\

/^Tl^v//

F = c -h /* ^ [ i - ^ ^)^c^
'-'"

e^ d^

^/7T ^OOU^ - c 4- ÂVi(i - ^'Tt^) - ce (—-——^ .

KV^^vVSi Fon suppose q u e c = = x ; , on reirouve bien r = A \ / t , On pourrait
facilement développer ^ en série; maift la formule qui précède est plus
a van lagon se» elle se calcule avec les Tables de logarithmes et aveccelles de la. (onction 0.
Pour c ^ a, on obtient^^0,71^;
on a de nié me pour û =s 20^=0,9.')^.

(.es espérances de revente étaient pour ces mêmes écarts, 0,690
et 0,8 6^.
l^/carl moyen en baisse, lorsque le cours a n'est pas atteint, a pourvaleur

^
j

^.^r

^

;ll

' ' '^l';'ll''l'lllll'll,ll''ll"'ï"
s
p (ix
J ^w
^.

PI désignant la quantité j pdx..
^01/écart moYen a donc pour valeur 2,54^ lorsque c = a et 2,160
lorsque r?^: ^a.
Si l'on suppose a = ^, on voit que l'écart moyen est égal à ici, résullat déjà obtenu,

livrerions/à litre d'exemple, le problème général relatif à l'écart aJ'achète ferme avec l'idée préconçue de revendre avec l'écart

^•)

î-

ï î A C î i E L Î E I l . ——THÉOlUr- i»S-;

LA, S P B ^ C l ' L A T I O N .

a = = / î - v / . Si à l'époque t la v e n t e n'a pu être effectuée, je vendrai q u e lque soit le cours.
Quels sont les p r i n c i p a u x résultats q u e f o u r n i t le C a l c u l des proba"b i 1 i t é s sur cet t e o p é ra t. i o n ?
L'espérance réelle positive de P o p é r a t i o n est, 0,71 a.
La prohabilité de la revente est O,(.K).
L'époque la plus probable de la revente est •^,I 0•L'époque probable de la revente est, ^ *Si la revente n'a pas l i e u , la p r o b a b i l i t é de réussite est. o,o'-i, la prob a b i l i t é de perte o,a8, l'espérance positive 0,0-2^, respérance négative o,7ï:r/; la perte m o y e n n e 2,5/ia,
La probabilité totale de réussite est o,""2.
Je ne crois pas nécessaire de présenter d ' a u t r e s e x e m p l e s ; on voh
que la théorie a c t u e l l e résout par le Calcul des p r o b a b i l i t é s la p l u p a r t
des problèmes auxquels c o n d u i t l ' é t u d e de la s p é c u l a t i o n ,Une dornière remarque ne sera peut-être pas i n u t i l e . Si, a Fé^ml dep l u s i e u r s questions traitées dans cette é t u d e , j'ai comparé les r é s u l t a t s
de l'observation à ceux d e l à , théorie, ce n ' é l a i t pas p o u r vérifier desf o r m u l e s établies par les méthodes m a t h é m a t i q u e s , mais p o u r - m o n t r e rseulement que le marché, à son i n s u , obéit à u n e loi q u i le d o m i n e ;la loi de la p r o b a b i l i t é .