■N o.： FA-45■分類：疲労強度・寿命

Q

多軸応力場における疲労解析方法を教えて下さい．

参照 QNo.：FB-15，FB-27，FB-28

A

多軸応力場における疲労解析の方法の前に，多軸応力場における強度解析の方法を示す．多軸応力場は，３つの主応力σ1，σ2，σ3 (σ1>σ2>σ3)で表示する．出発点は，降伏強度(降伏点又は耐力)である．降伏条件にはトレスカ(Tresca)条件とミーゼス(Mises)条件がある．
トレスカ条件は最大せん断応力条件ともいい，単軸換算の相当応力σeq と単軸の降伏強度σY の関係を，次式で表示する．
𝜎𝜎𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎3 = 𝜎𝜎𝑌𝑌

(1)

ミーゼス条件はせん断ひずみエネルギー条件ともいい，単軸換算の相当応力σeq と単軸の降伏強度σY の関係を，次式で表示する．

𝜎𝜎𝑒𝑒𝑒𝑒 =1√2

�(𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎2 )2 + (𝜎𝜎2 − 𝜎𝜎3 )2 + (𝜎𝜎3 − 𝜎𝜎1 )2 = 𝜎𝜎𝑌𝑌

(2)

対象とする材料によって結果は異なるが，一般的にミーゼス条件はトレスカ条件よりも実験結果とよく一致する．また，トレスカ条件はミーゼス条件よりも保守的な予測となる．
上記の降伏条件は，降伏強度を超えたひずみ硬化塑性体の弾塑性応力-ひずみ関係にも拡張され，構造の塑性崩壊が解析されている．以前は，塑性崩壊の解析に，解析が容易（式の形が単純）なトレスカ条件が適用されてきた．しかし，計算力学の進歩により，トレスカ条件の優位性は失われ，現在ではミーゼス条件の適用が一般的になっている．圧力容器の塑性崩壊圧力の解析が，典型的な例である．
一方，疲労解析には，トレスカ条件が適用されてきた．この状況は，現在でも変わらない．ASME
ボイラーと圧力容器規格 Section Ⅷ，Division 2 では，応力解析と疲労解析を規定している．疲労解析ではトレスカ条件の相当応力を「応力強さ」として用いる．応力強さ S の 1 サイクルの変動範囲の最大値 Smax と最小値 Smin から繰返し応力強さの振幅 Sa と平均 Sm を算出する．

𝑆𝑆𝑎𝑎 =𝑆𝑆𝑚𝑚 =𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2(3)𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2(4)単軸の疲労曲線に，上記の Sa と Sm を適用し，多軸応力場における疲労強度または疲労寿命を予測する．
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1圧力容器の場合の例を示す．内圧 P を保持する圧力容器の円筒胴(内外径比 K)の内面では，周方向応力σθ，軸方向応力σZ，径方向応力σr の 3 軸応力場となる．

𝜎𝜎𝜃𝜃 =𝜎𝜎𝑧𝑧 =1 + 𝐾𝐾 2
𝑃𝑃
𝐾𝐾 2 − 11

𝐾𝐾 2 − 1𝜎𝜎𝑟𝑟 = −𝑃𝑃(5)

𝑃𝑃(6)

(7)

応力強さ S は，次式となる．

𝑆𝑆 = 𝜎𝜎𝜃𝜃 − 𝜎𝜎𝑟𝑟 =2𝐾𝐾 2𝑃𝑃
𝐾𝐾 2 − 1(8)圧力の 1 サイクルを 0→P→0 とすれば(片振り)，繰返し応力強さの振幅 Sa と平均 Sm は次式となる．

𝑆𝑆𝑎𝑎 =
𝑆𝑆𝑚𝑚 =𝐾𝐾 2
𝑃𝑃
𝐾𝐾 2 − 1(9)𝐾𝐾 2𝑃𝑃𝐾𝐾 2 − 1(10)

疲労解析にミーゼス条件ではなく，トレスカ条件を適用する理由は，明確に示されていない．以下
では，疲労き裂の発生と進展のメカニズムに基づき，トレスカ条件を考察する．
最大せん断応力τmax は，最大主応力σ1 と最小主応力σ3 の応力差として，次式で与えられる．

𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎32(11)σ1 軸を材料の表面とし，σ1 軸とσ3 軸の平面で材料の断面を表示して，図 1 に示す．図 1 において，σ1 の主応力面はσ3 軸を含む紙面に垂直な面，σ3 の主応力面はσ1 軸を含む紙面に垂直な面(材料表面)であり，最大せん断応力面は 2 つの主応力面を分割する面となる．
圧力容器の場合の例で示したように，σ3=-P となる場合がある．それを除けば，σ3 は自由表面に垂直な応力成分で，0 となる．したがって，多軸応力場であっても，材料表面は平面応力状態(σ1とσ2 の 2 軸応力)で，しかもσ2 とσ3 (=0)に関係なく，σ1 だけで，τmax の大きさと方向が決まる．この場合に，最大せん断応力面と 2 つの主応力面のなす角度は，45°である．σ3 が 0 ではない場合には，σ3 の大きさによってこの角度は変化する．
最大せん断応力面に沿ってすべりが生じ，すべり面分離の結果として，疲労き裂が発生する．すなわち，多軸応力場であっても，疲労き裂の発生のメカニズムは単軸応力の場合と同じである．
次に，疲労き裂の進展のメカニズムを考察する．図 1 には，σ3 軸に関して対称形をなすもう一つの最大せん断応力面を示す．最大主応力σ1 の繰返しに伴い，2 つの最大せん断応力面で，交互にCopyright © 2015 The Japan Welding Engineering Society, All Right Reserved.

2すべりが生じる．σ1 軸とσ3 軸の交点の位置をき裂先端とすれば，すべり面分離の結果としてき裂が開口し，進展する．き裂が進展する面は 2 つの最大せん断応力面を分割するσ1 の主応力面である．また，き裂の進展方向はσ3 軸の方向である．すなわち，多軸応力場であっても，疲労き裂の進展のメカニズムは，単軸応力の場合と同じである．疲労き裂は最大主応力面に沿って進展し，主破面を形成する．
ミーゼス条件の相当応力には，方向性がない．したがって，疲労き裂の発生と進展のメカニズムに基づき，ミーゼス条件を考察することはできない．
以下では，代表的な多軸応力場を取り上げ，応力強さ(トレスカ条件)を適用する疲労解析の方法を示す．
すでに示した圧力容器の場合，周方向応力に残留応力σres の存在を仮定すれば，応力強さ S
は，次式となる．

𝑆𝑆 =2𝐾𝐾 2
𝑃𝑃 + 𝜎𝜎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐾𝐾 2 − 1(12)したがって，繰返し応力強さの振幅 Sa と平均 Sm は，次式となる．

𝑆𝑆𝑎𝑎 =
𝑆𝑆𝑚𝑚 =𝐾𝐾 2𝑃𝑃𝐾𝐾 2 − 1(13)𝐾𝐾 2𝑃𝑃 + 𝜎𝜎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
𝐾𝐾 2 − 1(14)残留応力は振幅に寄与しないが，平均に寄与する．多軸応力場における疲労解析では，振幅と平均への寄与を見極める必要がある．
円形断面の軸にねじりモーメントを負荷する場合，軸表面のせん断応力をτとすれば，中間主応力σ2 が自由表面に垂直な応力(σ2=0)で，最大主応力σ1=τと最小主応力σ3=-τの 2 軸応力場となる．したがって，応力強さ S は，次式となる．
𝑆𝑆 = 𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎3 = 𝜏𝜏 − (−𝜏𝜏) = 2𝜏𝜏

(15)

ねじりモーメントの 1 サイクルを正負(両振り)とすれば，繰返し応力強さの振幅 Sa と平均 Sm は，次式となる．

𝑆𝑆𝑎𝑎 = 2𝜏𝜏(16)𝑆𝑆𝑚𝑚 = 0(17)この場合には，軸表面において，疲労き裂は最大せん断応力面(軸を含む面または軸と垂直な面)に沿って発生した後，最大主応力面(軸と 45°をなす面)に沿って進展する．
材料表面が流体環境に接し，流体の温度変動がある場合には，熱応力が発生する．材料表面の熱応力σT は等 2 軸応力場で，最小主応力σ3 が材料表面に垂直な応力(σ3=0)となる．したがって，
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応力強さ S は，次式となる．

𝑆𝑆 = 𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎3 = 𝜎𝜎𝑇𝑇(18)

温度差ΔT の 1 サイクルの熱応力範囲をΔσT とすれば，繰返し応力強さの振幅 Sa と平均 Sm は，次式となる．

𝑆𝑆𝑎𝑎 =
𝑆𝑆𝑚𝑚 =∆𝜎𝜎𝑇𝑇2(19)∆𝜎𝜎𝑇𝑇2(20)鋼の場合，ΔT=100(℃)で，Sa=110(MPa)となる．

この場合は等 2 軸応力場であるから，最大せん断応力面に方向性はない．したがって，材料表面には亀甲状のき裂が無数に発生する．ただし，配管の内面で，曲げモーメントが負荷される場合には，式(20)の Sm に曲げ応力が加算され，複数き裂の位置と数は限定され，き裂は最大主応力面(軸と垂直な面)に沿って進展する．
多軸応力場における疲労解析の古典的な例が，引張り(または曲げ)とねじりの組合せ応力の場合の疲労限度の予測式である．負荷は両振りの同位相で，多くの材料の実験結果がある．実験結果に対して，トレスカ条件は保守的で，ミーゼス条件は比較的よく一致し，よく合う楕円の実験式が提案されている．．

σ1
τmax

σ3τmax

図 1 最大せん断応力面

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