卒業論文「２原子種の同時レーザー冷却の研究」

指導教員

井上 慎

准教授

平成 23 年 2 月提出

東京大学 工学部 物理工学科

03-090532
03-090562

大久保

拓哉

松田

太一

3

目次

第1章

序論

5

1.1

研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Zeeman slower の原理

7

第2章

2.1

レーザー冷却とは. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Zeeman Slower の基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82.3

原子の準位と Zeeman 分裂. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82.4

磁場の種類と偏光の向き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92.5transverse heating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6

slowing に用いる光源の周波数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

第3章

磁場およびコイルの設計

13

3.1

磁場の理論値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2

２原子種の Zeeman slowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.3

磁場勾配の条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.4

slower の長さの決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5

コイルのデザイン

3.6

コイルの巻き方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18oven およびその他の真空系

21

4.1

関連する基本的内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.2

oven の設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3

cold plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4

diﬀerential pumping tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5

真空系全体の概要

第4章

第5章. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

slower 用 laser 光源の用意

35

5.1

ECDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2

飽和吸収分光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

FM sideband 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4

injection locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5

repump 光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.6

current modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.7

oﬀset lock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.8

検出用の光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.9

全体図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

37

4

目次
第6章

Zeeman slower の製作及び評価

51

6.1

2 つの原子種に共通なもの . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2

カリウムについて

第7章

まとめと今後の展望

61

付録 A

回路図

63

A.1

周波数 lock 回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

A.2

slave laser 用保護回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A.3

高速 photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.4

AOM ドライバ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.5

ホモダイン検出用フォトダイオード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

64
64
67

5

第1章

序論
1.1 研究の背景
1.1.1 歴史的背景
19 世紀末、物理学の分野は Newton 力学と Maxwell 電磁気学を２本の支柱とする古典物理学によって数多くの成功を収めていた一方で、原理に関わるさまざまな問題点を露呈しつつあった。 その代表例が、黒体輻射のスペクトルの理論的説明と、Rutherford による原子模型において原子の周りを周回する電子の電磁波放出によるエネルギー損失の問題である。この難問に解決の光明を与えたのが、20 世紀のはじめに Plank が輻射問題を説明したことに端を発する量子論の誕生である。量子論はこれまで古典力学が説明できなかった数々の問題を解決するだけでなく、当時では到底信じることのできないような事象を数多く予言した。そのひとつが Bose-Einstein 凝縮、すなわち BEC である。Einstein は、物理学の歴史の中で理論的に奇跡の年と呼ばれる 1905 年に光量子論を発表したのをはじめとして、量子論の発展に多大な貢献と影響を及ぼしたが、その彼が 1925 年に彼の論文において BEC の存在を予言した。しかし、BEC の「同じ準位に粒子が無制限に入ることができる Bose 粒子は極低温・高密度下でただひとつの基底状態に縮退・凝縮する」という現象は、理論的には整合性がとれていても、現実的に起こりえるかどうかという点で当時の物理学者の間では懐疑的な意見が支配的であった。低温にすれば気体は液化・凝固してしまうというのが常識であり Einstein の理論的モデルは実現不可能だと考えられていたし、そもそも、そのような極低温の原子を作ること自体が当時は不可能だとも思われていた。そして長らく BEC は机上の空論であるとみなされていた。
一方、彼が BEC を予言する以前の 1917 年、彼は量子論に基づきメーザー (MASER,Microwave Amplification by

Stimulated Emission of Radiation) とレーザー (LASER,Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) の理論的基礎となる論文、「放射の量子論について」を発表していた。それから数十年後の 1950 年代にはメーザーが、1960 年初頭代にはルビーレーザーをはじめとして、He-Ne レーザーや半導体レーザーなど様々な種類のレーザーが次々と世界で初めて開発された。これらレーザーの本格的な応用は 1970 年に始まり、これにより様々な研究分野の開拓が行われた。そしてレーザーが可能にしたもののひとつが、レーザーを用いて原子を極低温にまで冷却するレーザー冷却の手法である。レーザー冷却の簡単な原理については第一章で述べるが、レーザー冷却は単純な準位構造をもつアルカリ原子等を、原子気体が液化するより速く室温より高い温度から 100µK 〜mK の温度にまで冷却することを可能にするという驚くべき手法である。この方法の発明により、冷却原子の研究は飛躍的に進歩することになる。ただ、BEC の実現には原子を 100nK ほどにまで冷却する必要があり、まだ BEC の実現には届かなかった。

1.1.2 BEC の実現とその物理的性質
そしてついに、Einstein がその存在を予言してから 70 年後の 1995 年、BEC の実現が 3 つのグループによってそれぞれ異なる原子種で立て続けに成功した。その年のたった４ヶ月のあいだに、Cornell と Wieman ら (Colorado大) が 87 Rb[1]、Ketterle ら (MIT) が 23 Na[2]、Hulet ら（Rice 大）が 7 Li[3] の BEC の実現を成功させたのである。彼らはいずれも、レーザー冷却に加え蒸発冷却を行うことで BEC への転移温度に到達した。

BEC の実現の成果が評価され、上記の Cornell と Wieman、Ketterle に対して 2001 年にノーベル賞が贈られた。
しかし、BEC の実現がこの研究分野における最終到達点ではなく、彼らの BEC 実現の後も、むしろ多くの科学者に

6

第1章

序論

よって精力的に BEC の研究が行われた。それは BEC が事前に想定されていたよりも多様で興味深い物理的性質を示す系であることが明らかになってきたからである。BEC のもとでは原子間の弱い相互作用を外部磁場や入射する
レーザーなどによってコントロールすることが可能であり、そういった系のふるまいを制御しながら観察できるというのは非常に貴重である。原子を光格子ポテンシャルの中に並べて相互作用を制御することで、通常では実現できな
いような特殊な結晶を作り出し、そこでの量子的ふるまいや、Mott 絶縁体と超流動体との間の相転移 [4] などの極めて特殊な現象を観察することができる。これ以外にもいまだに性質の分かっていない、他には存在しないような未知の状態を数多く作り出すことができると考えられており、この分野の持つ可能性は未知数であると言える。

1.2 研究の目的
1.2.1 井上研における研究
井上研究室では極低温の 41 K 87 Rb 分子を生成し、そこでの相互作用とそれによる物理的ふるまいを研究することを目標としている。非極性原子気体では原子間の相互作用は主に van der waals 力という短距離（原子間距離 r の-6乗に比例）で等方的な衝突に限られる。それに対し、 41 K 87 Rb などの極性分子では電気双極子の間の相互作用がメインとなるが、それは van der waals 力に比べ長距離（r の-3 乗に比例）まではたらき、しかも異方的な相互作用である。このような特異な相互作用をするマクロな量子系の振る舞いはいまだ未解明であり、基礎的にも応用面でも魅力的な系である。

1.2.2 我々の研究とその目的
井上研では現在、極低温の 87 Rb 原子と 41 K 原子を作るために Double-MOT システムを採用している。MOT とは magnet-optical-trap（磁気光学トラップ）の略で、レーザーのドップラー冷却と空間的な磁場勾配による Zeeman

shift を組み合わせて低温の原子気体を捕捉する手法である [5]。Doble-MOT システムでは MOT を２つ用い、まず一つ目の MOT に 87 Rb 原子と 41 K を低い真空度で集め、そこから必要な 87 Rb 原子と 41 K を選択的に真空度の高い２つ目の MOT に load する。これにより高い真空度と大きい原子数を実現できる。高い真空度は BEC を生成・維持するのに非常に重要である。冷却原子を MOT に load するには Double-MOT とは異なる方法として Zeeman

slower を用いる方法がある。現在の井上研のセットアップでも実験はできているが、この Zeeman slower を用いることにより Double-MOT より単位時間に多くの原子を MOT に load することができ、それは MOT に維持できる原子数を増やすことにつながる。これによって、原子数の問題で今まで見えなかった、あるいは見づらかった信号を明瞭に観測できるようになるということが期待される。我々が作る Zeeman slower は、井上研で必要とされる 87 Rb 原子と 41 K を一台で同時に冷却し MOT に load できるものである。これは Double species Zeeman slower と呼ばれる。

1.3 本論文の構成
本論文では、第一章で Zeeman slower に関する基本的な原理を説明する。Zeeamn slower のシステムは大きく分けて、磁場を作るコイル、原子線を出す oven、および必要なレーザーを得るための光学系の３つの部分に分かれており、第二章でコイル、第三章で oven、第四章で光学系について説明する。また、第五章で実験結果、第六章でまとめと今後の展望について述べる。

7

第2章

Zeeman slower の原理
この章では、Zeeman slower の原理と、それを理解するのに必要な基本的知識について説明する。

2.1 レーザー冷却とはレーザー冷却の基本原理は、原子にその共鳴光を照射して光を連続的に吸収させ、光子の運動量を与えることで減速させることである。
一般に、光はエネルギー = hν
運動量 =

hν
h
= = ~k
c
λ

(2.1)
(2.2)

を持つひとつの粒子、すなわち光子とみなすことができる。ここで h はプランク定数、ν は光の周波数、c は光速、λは光の波長、k は波数である。したがって、原子の質量を m とすると、原子の進行方向から原子に対向するように共鳴光を照射したとき、運動量保存則により光子一回の吸収あたりに

vrec =

~k
m

(2.3)

だけ原子は減速されることになる。ここで vrec は反跳速度 (recoil velocity) と呼ばれる。ただし、その直後に原子は光子を放出しその際同じ vrec の大きさだけ運動量を得る。しかし自然放出の方向はランダムであるので、この吸収・放出のサイクルを繰り返すことにより自然放出の効果は平均するとゼロになり、原子を一定方向に減速させることが可能になる。

図 2.1

光の吸収および放出のイメージ

8

第 2 章 Zeeman slower の原理

2.2 Zeeman Slower の基本原理
レーザー冷却の原理は上で述べたとおりであるが、 87 Rb 原子で 5S1/2 ⇒ 5P3/2 の遷移 (λ ≈ 780[nm]) を用いた場
合 vrec ≈ 5.88 × 10−3 [m/s] であるので、原子線の原子を例えば 300[m/s] だけレーザー冷却により減速しようとすると300' 51000 回
5.88 × 10−3

(2.4)

ほど光を吸収させなければならない。しかし、原子が減速されていくにつれて Doppler 効果により、原子の共鳴周波数が連続的に変化していき共鳴から外れてしまうので、単一の周波数の光を何度も吸収させて原子線の減速を行うには工夫が必要になる。Zeeman slower は、原子に外部から磁場をかけて原子の位置に依存するような適切な Zeeman

shift を起こし、Doppler shift とあわせて常に単一の周波数の光に原子線中の原子が共鳴するようにする装置である。
これにより原子線のうちある一定の速度以下の原子を、ことごとくある一定の速度にまで次々と連続的に減速させることが原理の上では可能になり、一定時間に大きな数の減速された原子を MOT に load することができるというのが Zeeman slower の利点である。
したがって Zeeman slower を作るうえでは、大きく分けて、適切な Zeeman shift を起こすためのコイル、原子線を出すための oven および真空系、原子を減速させるための光の３つの部分を設計および用意する必要がある。

2.3 原子の準位と Zeeman 分裂~ 中のアルカリ原子の、Zeeman shift に関係する部分の Hamiltonian H は近似的に次のように書ける
外部磁場 B[6],[7]。
H=µB~ + gs S~ + gI I)
~ ·B
~
(gL L
~

(2.5)

~ 、S
~ 、I~ はそれぞれ電子の軌道角運動量、電子スピン核運動量および核スピン角運動量の演
ここで µB は Bohr 磁子、L算子であり、gL 、gS および gI はそれぞれ電子の軌道角運動量、電子スピンおよび核スピンの g-factor を表す。gL ≈ 1、gS ≈ 2、gI  gL , gS である。

~ とS
~ の相互作用により S1/2 やP3/2 などの微細構造（fine structure) や、
一般に原子の準位は外部磁場がなくても L~ L~ + S)~ の相互作用により F = 1, F = 2 などのさらに細かい超微細構造 (hyperfine structure) に分裂してI~とJ(=いる。
87

Rb 原子と 41 K 原子についてはともに核スピン I = 3/2 なので、S 軌道 (L = 0, S = 1/2, J = 1/2) はF = 1(= 3/2 − 1/2) と F = 2(= 3/2 + 1/2) の２つの準位に、P 軌道の D1 線 (L = 1, S = 1/2, J = 1/2) も同様に F = 1 と F = 2 の２つの準位に、P 軌道の D2 線 (L = 1, S = 1/2, J = 3/2) は F = 0(= 3/2 − 3/2) からF = 3(= 3/2 + 3/2) までの４つの準位に分裂している。
外部磁場によるエネルギーシフトの寄与が fine structure の分裂に比べて小さいような弱い磁場のもとでは~ とS~ の項は全角運動量 J~ を用いて記述でき、
J = L + S が良い量子数となり、上の式の L
H=

µB
~ ·B
~
(gJ J~ + gI I)
~

(2.6)

となる。ここでJ(J + 1) − S(S + 1) + L(L + 1)
J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)
+ gS
2J(J + 1)
2J(J + 1)
J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)
'1+
2J(J + 1)

gJ = gL

(2.7)
(2.8)

~ 、S
~お
である。外部磁場の寄与が hyperfine structure の分裂よりも小さいようなさらに弱い磁場のもとでは、上の L~ (= J~ + I)
~ についても言えて、よびJ~ について言えた同様のことが J~、I~およびF
H=µB ~ ~
gF F · B~(2.9)

2.4 磁場の種類と偏光の向き

9およびF (F + 1) − I(I + 1) + J(J + 1)
F (F + 1) + I(I + 1) − J(J + 1)
+ gI
2F (F + 1)
2F (F + 1)
F (F + 1) − I(I + 1) + J(J + 1)
' gJ
2F (F + 1)

gF = gJ(2.10)(2.11)と書ける。したがって、この Hamiltonian を摂動項として波動方程式を解いて得られる energy shift の一次の項 ∆Eは、∆E = µB gF mF Bz(2.12)となる。
（磁場の方向を z とする。
）mF は磁気量子数である。すなわち、Zeeman shift ∆E は磁場の大きさに対して線形になる。これは磁場の大きさが非常に小さいときの場合であるが、我々が slowing に用いる閉じた遷移（後述）S1/2 | F = 2 mF = ±2 > ⇒P3/2 | F 0 = 3 mF = ±3 > では、いずれの準位も合成角運動量が完全に磁場の方向に向いているのでどんな磁場の強さでもこの線形の式は常に成り立つ。
87

Rb も 41 K もともに I = 3/2 であるから、S1/2 F = 2 では gF = 1/2、P3/2 F 0 = 3 では gF = 2/3 である。したがって、この 2 つの閉じた遷移を用いたときの二準位間の Zeeman shift の差 ∆EZ は、∆EZ = µB ·21
· (±3) · Bz − µB · · (±2) · Bz = ±µB Bz
32(2.13)となる。複号は、+ が mF = +2 → + 3 の遷移を用いたもので、− が mF = −2 → − 3 の遷移を用いたものである。
よって、光の共鳴周波数の変化分 ∆ω は

∆ω = ±µB
Bz~(2.14)となる。ここで、µB /~ = 1.4[MHz/G] である。

2.4 磁場の種類と偏光の向き
前節で述べたように、一般に原子の準位は電子の軌道角運動量や電子スピン、核スピンの相互作用、加えて磁場の中では角運動量と磁場との相互作用によって細かく複雑に分裂しているので、一度光を吸収した原子は光を放出する
際もとの状態とは異なる準位に移ってしまう。そこでレーザー冷却では原子に単一の周波数の光を繰り返し吸収させるために、closed transition(

閉じた遷移) を用いる必要がある。

closed transition とは、特定の偏光を原子に吸収させて複雑な準位構造をもつ原子を二準位系と見なせるようにす
るような遷移の仕方である。原子が吸収・放出する偏光の種類と磁気量子数の間には次のような関係がある。

• π 偏光を吸収・放出する ⇒ 磁気量子数に変化なし• σ+ 偏光を吸収する・σ− 偏光を放出する ⇒ 磁気量子数 +1• σ− 偏光を吸収する・σ+ 偏光を放出する ⇒ 磁気量子数 −1
つまり、遷移の前後で磁気量子数の値は 2 以上変化することはできないということである。これを利用すると、以下に示すように適切な円偏光を吸収させることで複雑な準位構造をもつ原子を二準位系と見なせるようになる。我々が減速させる 87 Rb と 41 K はともに核スピン I = 3/2 のアルカリ原子であり、冷却に用いることのできる遷移は共通していて、それには 2 つの可能性がある。それは S1/2 の |F = 2 > ⇒ P3/2 の |F 0 = 3 > の遷移のうち、ひとつは原子に σ− の円偏光を吸わせて |F = 2 mF = −2 > ⇒ |F 0 = 3 mF = −3 > の遷移を起こさせるもので、もうひとつは原子に σ+ の円偏光を吸わせて |F = 2 mF = 2 > ⇒ |F 0 = 3 mF = 3 > の遷移を起こさせるものである。いずれの場合も原子が光を吸ったあと自然放出する際にまた光を吸う前と同じ磁気量子数の準位に戻る以外に選択肢がない
ので、二準位系とみなすことができる。
前節で求めたように、前者の遷移では磁場が大きくなるにつれて Zeeman shift により共鳴周波数が小さくなり、後者の遷移では逆に大きくなる。したがって、Doppler shift により原子が減速されるにしたがって原子の共鳴周波数がしだいに大きくなっていく効果を Zeeman shift で打ち消すためには、前者の遷移を用いる場合は磁場の大きさをしだいに大きくしていき（Increasing Type）、逆に後者の遷移を用いる場合は磁場の大きさを小さくしていく（Decreasing Type）必要がある。

10

第 2 章 Zeeman slower の原理

図 2.2

87

Rb および 41 K の準位図と slowing に用いる光

一般に、前者の方法のほうが優れている。それは、後者の方法だと原子が磁場の領域を抜けたあとも光に共鳴し続けてしまい、slower から MOT に到達する間に軸方向の速度成分がほぼゼロになり、それとは垂直な方向の速度成分により減速された原子が広がってしまうからである。これは MOT への原子の load の効率を悪化させるので好ましくない。一方、前者の方法だと、磁場の最後の部分で磁場が大きいところから急激に落ちてゼロに近づくため、原子と光の共鳴が磁場のピークを過ぎたところで瞬時にはずれる。これにより MOT に到達するまでの間に後者の方法のような余計な減速が行われない。したがって、我々は前者の Increasing Type を用いることにした。
ただし、Increasing Type では図 2.3 のように、|F 0 = 3 mF = −3 > の準位が Zeeman shift により |F 0 = 2 mF =−1 > などその他の準位と縮退する磁場の値が存在し、その点で閉じた遷移から原子が漏れてこれが収率を悪くする可能性があるため、これを避けるために磁場に 180[G] 程度のバイアスを印加し、このような準位の縮退がおこるよ
うな領域から充分はなれた磁場領域で減速を行うようにした。

図 2.3

87

Rb の 5P3/2 準位の Zeeman shift[7]2.5 transverse heating

11

2.5 transverse heating
原子は光を吸収したあと光をランダムな方向に自然放出するが、この効果により原子は軸方向（slowing の方向）とは垂直の方向に速度成分を持つことになり原子ビームが広がる。これは transverse heating と呼ばれる。この加熱の効果は軽い 41 K 原子のほうが大きい。初速度が vi の原子が slower 内で減速され slower 出口に到達したときの軸に垂直な方向の速度成分を vtr 、軸中心からの変位を rtr とすると、ランダムウォークの考え方からそれぞれ√√
1
2< vtr > =vrec (vi − vf )
3
√
√
1
2 >=
< rtr
vrec (vi − vf ) · τ
9(2.15)(2.16)の式で与えられる [8]。ここで τ は原子が減速されているあいだの時間で τ = 2L/vi である。我々の設計では

L ≈ 60[cm]、vi − vf ≈ 300[m/s]（後述）であり、また 41 K 原子では vrec ≈ 1.24 × 10−2 [m/s] なので、これらの値は41K 原子では√

2 > ≈ 1.1[m/s]< vtr√
2 > ≈ 2.2[mm]< rtr(2.17)(2.18)となる。

oven nozzle の位置あたりで焦点を結ぶように光を絞ることよってこの効果を抑えることができる（transverse
cooling）。また、こうすることで光のパワーを無駄なく補足可能な部分の原子線に当てることができ、平行光を入射したときに比べて Intensity が向上する。

12

第 2 章 Zeeman slower の原理

2.6 slowing に用いる光源の周波数
詳しくは第 4 章で述べるが、ここでは光源の周波数について簡単に触れておく。光源については、ECDL からの光を飽和吸収分光によって特定の遷移に lock し、そこから AO を通して必要な周波数の光を得る。
87

Rb については、図 2.4 のように 5S1/2 F = 2 ⇒ 5P1/2 の 2-3crossover の遷移に lock する。slowing 光の周波数は Zeeman shift と Doppler shift の分の 654[MHz] だけ S1/2 の |F = 2 > ⇒ P3/2 の |F 0 = 3 > の共鳴周波数より小さくしなければならないので、それも合わせて考えると AO により −521[MHz] の離調が必要になる。
41

K については、図 2.5 のように 39 K の 4S1/2 の 1-2crossover ⇒ 4P3/2 の遷移（K の 4P3/2 の hyperfine の準位

は分裂が非常に小さい）に lock するので、Zeeman shift と Doppler shift の分と合わせて、−562[MHz] ほどの離調を AO で作る。
また、両原子とも、もともと S1/2 の F = 1 の準位にいる原子を冷却に用いる closed transition のサイクルに拾い集めるため、S1/2 の F = 1 ⇒ P3/2 の F = 2 の遷移に共鳴する σ − 偏光の repump 光も slowing 光と同時に入射する。repump 光は Zeeman 分裂を起こす前に共鳴するように入れるのが効果的と思われるので、バイアス磁場に入る
前に共鳴するように入れる。ただし、Doppler shift により特定の速度周辺の原子にしか効果はないと考えられる。

Maxwell-Boltzman 分布により,、この温度で capture velocity 以下の速度の原子は速度の大きい原子のほうが多いので、capture velocity vi 周辺の速度の原子の共鳴を狙う。

図 2.4

87

Rb の共鳴光

図 2.5

41

K の共鳴光

13

第3章

磁場およびコイルの設計
この章では、slowing に必要な磁場の設計およびそれを作るコイルの設計について述べる。

3.1 磁場の理論値
減速しているあいだに原子が光から受ける加速度 a は、

a = vrecΓs
2 1 + s + (2δ/Γ)2(3.1)

で与えられる。ここで Γ は原子の自然幅で、Γ/2 は二準位系モデルにおける光の吸収・放出サイクルの単位時間あたりの回数を表す。また、s は saturation parameter と呼ばれ、光の Intensity I と原子の飽和強度 Is = 2π 2 ~cΓ/3λ3を用いて s = I/Is で定義される。δ は共鳴周波数と光の周波数の間の離調である。上の式のf≡s
1 + s + (2δ/Γ)2(3.2)の部分は原子が光を吸収する確率で、これは離調 δ が 0 のとき δ に関して最大となり、また光の Intensity が I →∞のとき f → 1 となることを表している。すなわち、原子は最大でamax = vrec

~k Γ
Γ
=
2
m 2

(3.3)

の加速度を光から受けるということになる。
原子が常に光から一定の加速度 a(< amax ) を受け続けるとすると、初速度 vi の原子が位置 z（原点を原子線から見た slower の入り口とする）で速度 v(z) にまで減速されたときに成り立つ関係式は

vi2 − v 2 (z) = 2az(3.4)

である。この vi が減速できる最大の速度 (capture velocity) となる。slower の全長を L、z = L での最終速度を vfとすると、

vi2 − vf2 = 2aLvi  vf より

vi 'としてよく、これと式 (3.4) から、

v(z) =

√
2aL

√
√
z
vi2 − 2az = vi 1 −
L

(3.5)

(3.6)

(3.7)

が得られる。
一方、Zeeman shift µB/~（Increasing Type では µ = −µB 、Decreasing Type では µ = +µB ）と Doppler shift

kv を考慮した上での原子と光の周波数の共鳴条件は、
ω0 +µB(z) = ω + kv(z)
~

(3.8)

14

第3章

磁場およびコイルの設計となる。ここで、ω0 は原子固有の共鳴周波数、ω は実際に入射するレーザーの周波数（いずれも角周波数）である。
離調 δ0 = ω − ω0 とし、式 (3.8) に式 (3.7) を代入すると、~(δ0 + kv(z))
µ
√
~
~
z
= δ0 + kvi 1 −µµLB(z) =

B(0) = B0 と書くとすると
B0 =
より、

B(z) = B0 −~~
δ0 + kviµµ~
kvi (1 −
µ

√
z
1− )
L

(3.9)

(3.10)

が得られる。

3.2 ２原子種の Zeeman slowing
以上の議論は基本的に１原子種についてのみ行われたが、２原子種を同時に Zeeman slowing するには磁場について特別に考えなければならないことがある。なぜなら、２つの種類の原子でひとつの同じ磁場を共有するからである。
前節の通り作るべき磁場の式には原子に固有な情報として波数 k および質量 m、実効的磁気モーメント µ が存在する。 87 Rb と 41 K では準位構造が同じで冷却に用いる遷移も同じなので µ は共通で、さらにその共鳴光の波長は87

Rb で λ ≈ 780[nm]、 41 K で λ ≈ 767[nm] とほとんど違いはない。λの違い（すなわち k の違い）やµ の違いは式(3.10) より capture velocity vi の違いとして表れるが、この場合 vi もほとんど同じとなる。一方原子の質量は 87 Rbのほうが 41 K より２倍ほど大きいため、 87 Rb のほうが減速されにくい。言い換えれば、式（3.1）と（3.6）から分かるように、同じ条件（同じ f と vi ) で減速するには Rb 原子のほうが約２倍長い距離を必要とするということになる。したがって磁場はより重い Rb 原子にあわせて設計しなければならない。
磁場の領域の長さ L を 87 Rb 原子にあわせて設計するということは、式 (3.6) より 41 K 原子の受ける加速度 a を過小に見積もることを意味し、すなわち 41 K 原子の光の吸収確率 f を 87 Rb 原子に比べて過小に見積もるということになる。これは、 41 K 原子から見ればかなり余裕を持った、言い換えれば無駄の多い磁場の設計であることを意味する。

3.3 磁場勾配の条件

153.3 磁場勾配の条件
原子の slowing がうまくいくかどうかに、実際に作られた磁場の勾配が大きく関わってくる。ある点で磁場にへこみがあった場合、その磁場のへこみが大きいと原子が一度共鳴から外れてしまう。しかしながら、その先で再び原子が一度共鳴に戻るような点が存在する。原子は光から最大で amax の加速度を受け続けることができるので、そこでの磁場勾配が加速度 amax を受け続けたとしたときの磁場勾配より緩やかであれば、一度共鳴から外れた原子も共鳴に復帰でき、減速を続けることができる。すなわち、

dB(z)
1 d
=
kv(z)
dz
µ0 dz
k dt dv(z)=µ0 dz dtk 1=a(z)µ0 v(z)k 1≤
amaxµ0 v(z)を常に満たすような磁場を作ればよい、ということになる。

3.4 slower の長さの決定
3.4.1 f の値
slower の長さは収率に大きく影響する。式 (3.6) より、
f=vi2
2amax L(3.11)

が成り立つ。一般に、slower の長さが短いほど立体角を考えたときに原子ビームが slower の出口まで到達する量が多くなるため、L の値は小さいほうがよい。一方、vi は原子ビームの速度分布のうち減速できる上限の速度を表すので当然 vi の値は大きいほうがよい。式 (3.11) からこの２つの効果は互いに打ち消す方向にはたらいており、これらを同時に実現するにはまず f の値をできるだけ大きくとることが重要である。

f の値を大きくするひとつの方法は、式 (3.2) から、saturation parameter s の値を大きくする、すなわちレーザーのパワーをできるだけ大きくすることである。今回我々は slave laser を用いて 50[mW] 程度のパワーを slowing 光に用いることを想定しており、また slower のチューブの内径は約 18[mm] であるので、光の Intensity は slower の出
口で 20[mW/cm2 ] ほどである。Rb 原子の飽和強度はIs = 1.6[mW/cm2 ] なので、s ≈ 12 となる。

f の値を大きくするもうひとつの方法は、実際の共鳴周波数とレーザーの周波数とのあいだの離調 δ をなるべく小
さくすることである。しかし f の値を大きくしすぎると前節の磁場勾配についての条件がきつくなる。実際には理論どおりのきれいな磁場を作り出すのは困難であるが、この δ の値をある程度認めることによって、磁場に多少の凹凸があっても光の吸収確率は落ちなくなる。我々は f = 0.8 とし、もっとも光の Intensity の低い slower の出口で

±3[G] 程度の磁場の誤差を許容できるようにした。この f の値は通常の Zeeman slower が f = 0.5 ∼ 0.7 であることが多いことを考えると磁場の勾配に関して比較的厳しい条件であるといえる。

16

第3章

磁場およびコイルの設計

3.4.2 収率と最適な L の値
f の値が決まったら、次に L と vi を決定する。収率を考えるとこの２つの値は先ほど述べたように互いに打ち消す方向にはたらき、f を固定すると収率はある L（または vi ）の値で最大値をとる。定式化によりこの最適な L および vi の値を求める。

oven の出口から出てくる原子の数密度を n とすると、oven から出てくる原子の総数 N について、原子の速度分布が Maxwell-Boltzman 分布 f (v) に従うことから

dN= nf (v) = n
d~v 3 d~x3(m2πkB T

)3/2

(
)
mv 2
exp −
2kB T

(3.12)と書ける。ここで d~x3 は oven 出口付近の微小体積、kB はボルツマン定数、T は oven の mixing chamber 内の温度である。これより、断面積 A の oven nozzle から出てくる原子ビームの z 方向（軸方向）の速度分布は、

(

)3/2
(
)
m
mv 2
exp −
2πkB T
2kB T
(
)3/2
(
)
mv 2
m
exp −
= nαAvcosθ
2πkB T
2kB T

dN= vz αAnd~v 3 dtとなる（α は oven nozle の形状に依存する係数）。
原子が oven nozzle から直進すると仮定すると、捕捉可能な原子は距離 l = L0 + L（L0 は oven nozzle から slower
入り口までの距離）だけ先の面積 A0 = πd2（d は slower tube の内側の半径）の部分に向かうものに限られる。また、~ について積分すれば捕捉可能な原
速度は capture velocity vi 以下でなければならない。したがって、この範囲で ｖ
子数が求められる。すなわち、

)3/2
(
)
m
mv 2
d~v nαAvcosθ
exp −2πkB T
2kB T
(
)3/2
(
)
∫ 2π
∫ θ0 ∫ vi
m
mv 2
2
= nαA
dφ
dθ
dv · v sinθ · vcosθ
exp −2πkB T
2kB T
0
0
0
{
(
)
(
)}
2
2
nv̄αA
mvi
mvi
=
sin2 θ0 1 − 1 +
exp −
4
2kB T
2kB T
{
(
)
(
)}
nv̄αAA0
1
mvi2
mvi2
=
1− 1+
exp −
4π (L0 + L)2
2kB T
2kB T

dN
=
dt

(

∫

3

となる。ただし、θ は z 軸からの角度で、sinθ0 ' tanθ0 ≡ d/l である。また、

√
v̄ ≡

8kB T
πm

(3.13)

は oven 内の原子の平均速度である。式 (3.13) に式 (3.6) を代入して vi を消去すると、

dN
nv̄αAA01=dt
4π (L0 + L)2

{
(
)
(
)}
maL
maL
1− 1+
exp −
kB T
kB T

(3.14)となり、f と T を固定した場合捕捉可能な原子数（収率）は L のみの関数になる。この関数は L に関して最大値をとるので、もっとも最適な slower の長さ L を決定することができる (図 3.1)。
我々の場合 T = 300[K]、L0 = 20[cm]、f = 0.8 を想定しているので、収率と slower の長さ L との関係は図 3.1 のよ
うになり、これより L = 56[cm]、vi ' 314[m/s] とした。ピーク付近ではあまり収率に差はないので、装置自体のサイズが小さくなることを考え L = 56[cm] とした。この L = 56[cm] という値は通常の Rb 用の Zeeman slower に比べて短く、これは f の値を比較的大きくとったことによる。なお、41 K の capture velocity は 314 × 767/780 ≈ 308[m/s]となる。

3.5 コイルのデザイン

17

図 3.1

収率の L 依存性

3.5 コイルのデザイン
slower の長さ L が決まったので作るべき磁場の形が決定した。この目的の磁場を実現するようなコイルの巻き方と流す電流の値を決めなければならない。Biot-Savart の法則より、電流 I が流れる半径 r の円電流が軸上（円電流の中心を原点とする）の z の位置に作る磁場 B(z) は、B(z) =µ0 I
r2
2 (z 2 + r2 )3/2

(3.15)と書ける。ここで µ0 は真空の透磁率である。コイルのつくる磁場はこの円電流が導線の太さのぶん等間隔に並んだものとして考えることができる。このモデルによって理想的な磁場になるべく近づき、かつ巻きやすいような導線の太さ、電流、巻き方を決定する。
我々はバイアス磁場として 180[G] を設定しており、これに必要な電流を流そうとすると相当な発熱が生じる（約100[W]）。したがって、バイアス部分には断面が一辺 3.5mm の正方形の水冷可能な中空銅管を用いることにした。このバイアス部分は一層のみで作り、それに必要な電流は 51[A] である。一方、減速のためのなめらかな勾配はこの太くて大電流の流れる銅線で作るのは困難であるため、直径 1.5mm の丸銅線を使用しバイアスコイルの外側に巻くことにした。また、全体の巻き数を減らすためこの外側部分は図 3.2 のように前半（コイル A）と後半（コイル B）の二つに分け、それぞれ 1[A] と 2.2[A] で設計した。ただこの電流値だと slower の最後の部分の急勾配で大きな磁場を作り出すのが困難であるため、バイアスコイルの最後の部分だけは複数回 (最下層 + 横 4 × 4 層 + 1 回）巻き、また小さい補助コイル (電流値約 8[A]）も用意した。これも直径 1.5mm の丸銅線で作り、巻き数は 横 3 × 6 層 でサイズは小さい。この補助コイルの電流を変えることで、原子の最終速度を調節することができる。また巻き易さを考え、これらのコイルは互いに別々に巻いた上で外側のコイルをバイアスコイルに挿入するという手法をとった。
なお、コイルの材料には耐熱性の高いものを用いている。これは chamber にコイルを挿入したあとコイルごとマ
イルドベーク（130 ℃程度）できるようにするためである。1.5mm の丸銅線にはポリアミドイミド被膜銅線（耐熱温度 250 ℃）、四角銅管には耐熱温度 150 ℃のものを、接着剤にはアレムコボンド 820(アレムコプロダクツ社製、耐熱
温度 204 ℃）を用いた。
コイルの中を貫通する chamber の nipple(ICF34) の部分は、コイルを挿入することを考え一方の frange を半月状に割ったものにしている。こうすることで、コイルを挿入してから frange を取り付けることが可能になり、コイルの内側の tube の径を frange に合わせて大きくする必要がなくなる。径をなるべく小さくすればコイルの電流値が少なくて済むし、slower 最後の磁場が MOT の領域に到達する大きさを抑えることができるということを考慮してのこと

18

第3章

図 3.2

磁場およびコイルの設計

コイルの概形である。
しかしながら、nipple の両端の径は 21.3mm で、nipple のその他の部分の外径 19mm よりも 2.3mm 出っ張っているので、コイルの内側の tube はこれが中を貫通できるような内径でなければならない。我々はその tube として、
外径 1 inch, 肉厚 1.5mm, 内径 22.4mm、長さ 65cm の tube(ステンレス sus316、非磁性）を用いた。しかしこれでは tube と nipple の間に隙間が空いてしまうので、その間はアルミでできた外径 22mm、肉厚 1.5mm、内径 19mmの半円状の tube で隙間を埋めた（図 3.3）。

図 3.3コイルの tube と chamber の間の設計

3.6 コイルの巻き方
具体的な銅線の巻き方と、これによる磁場の設計値はそれぞれ以下の図 3.4 および図 3.5 のようになった。

図 3.4

コイルの各層における巻き数

3.6.1 設計上の注意点
コイル同士のあいだではどうしても隙間が空いてしまい理論磁場をそのまま作るのが困難であるので、そこでは磁場の勾配がほぼゼロであるような磁場の接続領域を設けた。図 3.5 の位置 28cm あたりの部分である。また、最後の磁場が急激に上昇する部分も正確に磁場を作るのが困難なので、ここでも設計に少し余裕を持たせた。これにより設計された磁場は理論磁場より合計で 2cm ほど長くなり、58cm ほどになった。また、コイル自体の長さは、設計上これより 4cm ほど長い 62cm になった。

3.6 コイルの巻き方

19

図 3.5

磁場の設計値と理論値の比較

3.6.2 コイルを巻く上での注意点
設計では銅線の間隔は 1.5mm としているが、実際はこれより巻き密度が小さくなることが予想される。したがって、間隔 1.5mm で図 3.4 のように巻き方を計算したあと、実際に巻くときは巻き数を数えるのではなく、各層で1.5mm× 巻き数の長さを計算し、その長さを基準に各層をどこまで巻くかを決めた。これにより、たとえ巻き密度が設計と異なってもコイルに流す電流を調整することで設計した磁場が得られるようになる。
巻くときは順番として、まず外径 1 inch、長さ 65cm の tube にバイアスコイルを巻きつけた。そして、バイアスコ
イルの磁場を図った上で、これによる磁場の誤差を修正するようにコイル A とコイル B の設計値を修正した。また、バイアス部分のコイルを含めた直径を測ると最大で 33mm ほどであったので、これより太い 34mm の径のアルミの棒を用意し、これを治具として外側のコイル２つを巻いていった。その際、外側のコイルは巻き終わったあとこの芯から抜かなくてはならないので、滑りを良くするため予め芯にはワックスを塗っておき、さらにクッキング・シート（オーブンでクッキーなどを焼くときに下に敷く紙）を二重に巻きいた。また、その外側をカプトンテープでまんべんなくぐるぐる巻きに固定した。これは、後で横から芯をハンマーで叩いて芯をコイルから抜くのに備え、コイルの強度を高めておく必要があるからである。実際、これをせずに一つ目の外側のコイルを巻いたあと芯を抜こうとハンマーで叩いていたら、コイルが衝撃に耐えられず壊れてしまった。

3.6.3 きれいな磁場を作るための工夫
実際に巻く上で重要なのは、いかに設計したものに忠実に巻いて磁場の設計値を再現できるかである。我々は旋盤を用いて常に一定の張力をかけながら巻いた。バイアスコイルについては四角銅線から成り、ほとんど一層なので巻き方に特に問題はない（四角銅線のコイルの巻き方は [10] 参照)。
しかし、外側の丸銅線のコイルについては工夫すべき点がある。というのも、丸銅線を用いると二層目以降を巻いているときに一段下の層の溝の部分に上の層が埋まる形で引きずられてしまう。端で下の層からひとつ上の層に移る
とき進行方向が下の層と逆向きになるため (図 3.6 参照）、その溝の傾きは上の層と下の層で一致せず、これによって銅線は一周ごとに一回下の層の溝からその隣の溝に移る必要があり、その際溝ではない盛り上がった部分に乗り上げてしまう。これによりコイルが歪む効果は層が増えるごとに積み重なっていくので、10 層以上を巻く今回のような場合は無視できない磁場の凹凸を生む要因となる。したがって我々は一層巻き終えるごとに銅線を切断し、すべての層

20

第3章

磁場およびコイルの設計を同じ側の端から巻いていき最後に両端を外側から接続するという方法をとった。この巻き方は [11] を参考にした。
この巻き方では、すべての層で銅線の巻き密度が等しくなるという大きな利点もある。

図 3.6

丸銅線のコイルの巻き方

実際に巻いたコイルの磁場のプロファイルの結果は第５章に記載した。

21

第4章

oven およびその他の真空系
この章では、第 2 章で説明した Slower に原子を供給する oven およびその他の真空系について説明する。2 原子種
同時レーザー冷却の本質はこの章で説明する two species oven にある。
この章の構成は以下のようになる。まず初めに原子ビームや希薄気体の流れに関する基本的な事柄を概説する。その次に今回製作した two species oven について説明する。最後に oven 外における cold plate、diﬀerential pumping

tube について説明し、真空系全体の概要について述べる。

4.1 関連する基本的内容
4.1.1 気体分子運動論に関連するもの
この節では原子・分子ビームにおける速度分布及び平均自由行程・衝突断面積について説明する。前者は oven か
ら出た原子のうち Zeeman Slowing が可能な原子の割合を計算するのに必要である。また後者は oven の設計の基準として必要になる。
ビーム中における速度分布
気体分子同士の衝突を無視でき、かつその気体が閉じた箱の中にあるならばその気体の速度分布はマクスウェルの速度分布に従う。この系全体の粒子数を N 、粒子の質量を m とし、T を系の温度とする。dN を v ∼ v + dv の速度をもつ粒子数、α =√2kB T /m とするとマクスウェル分布では
dN4N= √ 3 v 2 exp(−v 2 /α2 )
dv
πα

(4.1)

となる*1 。(Ramsey[12] より。) しかしビーム中における速度分布にマクスウェル分布をそのまま適用することはできない。気体が閉じた箱の中にいるわけではないからである。

oven と、それから離れた検出計からなる系を考える (図 4.1)。単位時間に oven から出る原子の数は、単位時間に
oven のノズルの断面積と等しい面積の壁に衝突する原子の数に等しいと考えられる。したがってその速度分布は式(4.1) に比例する。一方単位時間あたりに検出計に飛び込む気体原子の数はさらにその原子の速度に比例すると考えられる。したがってビームの強度を単位時間あたりに検出計に飛び込む気体原子の数で定義すると、そこでの速度分

図 4.1 原子/分子ビームの模式図*1 速度分布を極座標で表し、角度成分および位置座標成分について積分したもの。

22

第 4 章 oven およびその他の真空系

布はI(v) =

2I0 3
v exp(−v 2 /α2 )
α4

(4.2)

となる。ここで I0 はビームの強度である*2 。
平均自由行程及び衝突断面積
参考文献 [26] によれば、原子気体がマクスウェル分布に従いかつ系が 1 種類の気体からなるならば、各原子気体の平均自由行程 l は粒子密度をｎ、衝突断面積を σ として

1
l= √
2nσ

(4.3)

で与えられる。2 種類の原子の混合気体 A,B の場合には、たとえば A の平均自由行程は

1
lA = √
2nA σA + σA,B nB (1 + mA /mB )1/2

(4.4)

と与えられる。ここで σA は気体 A どうしの衝突の断面積、σAB は気体 A と気体 B の衝突の断面積である。また

mA , mb はそれぞれ原子 A,B の質量を表わす。気体が理想気体であると仮定すると p = nkB T より
lA = √kB T
2pA σA(1 種類の気体からなるとき)(4.5)

lA = √kB T
2pA σA + σA,B pB (1 + mA /mB )1/2

(2 種類の気体からなるとき)(4.6)

ただし pA , pB は各気体の系における分圧、T は系の温度を表わす。
衝突断面積の計算は Stan [17] にある Massey-Mohr の公式(
σ = 5 × 1011

C
v̄

)2/5
(4.7)

を用いて行う。ここで C は各原子気体のファンデルワールス係数、v̄ は平均の速さ (cm/s) である。v̄ は

√
v̄ =

8kB T
πm

(4.8)

で与えられる。C の値は、Fontana [22] に記載された値を用いる*3 。すなわち、

CRb = 1590 × 10−60 erg · cm6−60

CK = 1630 × 10

erg · cm

6

(4.9)
(4.10)

衝突断面積の温度依存性を図 4.2 に示す。図から温度依存性が小さいと判断できるので、それぞれの原子気体の衝
突断面積として σRb = 1.4 × 10−17 m2 , σK = 1.2 × 10−17 m2 の値を採用する。常温における空気の衝突断面積と比べて、およそ１ケタ大きくなっていることに注意する。
22, σK = 4πrKと表各原子気体が半径 rRb , rK の剛体球とみなせるとすると、衝突断面積はそれぞれ σRb = 4πrRb

される。この関係から rRb , rrmK の値を求めると、rRb = 1.1nm, rK = 1.0nm になる。一方 Rb と K の衝突断面積 σRb,K は rRb , rK を用いて σRb,K = π(rRb + rK )2 と表される。したがって σRb,K = 1.4 × 10−17 m2 である。

4.1.2 希薄気体の流れに関するもの
流れの種類とコンダクタンス
真空系内において、ある断面を通って気体が流れている状況を考える。その面における圧力を p、その断面を単位
時間に流れる気体の体積を S とおくと、気体の流量 q は q = pS と表される。q の単位には P a · m3 /s などが用いら*2 検出計の面積および oven と検出計の距離の因子は I0 に含まれている。
*3 この値は理論的に計算された値である。

4.1 関連する基本的内容

23

図 4.2

衝突断面積の温度依存性

れる。また q は、流れる単位時間にある領域（円筒など）を通過する原子の数を N 0 (atoms/s) とすると N 0 と流量 qとの間には q = N 0 kB T という関係がある。
圧力 p1 の領域から p2 の領域へ q の流量があるとき、p1 , p2 , q にはコンダクタンス C を介して q = C(p1 − p2 ) という関係がある。oven では p1  p2 という状況を考えるので、以下では特に必要な場合を除いて q = Cp1 とする。
またコンダクタンスはすべて円筒状の穴に対するものとする。
以下で希薄気体の流れの種類ごとにコンダクタンスの式を述べる前に、その分類について簡単に説明する。平均自由行程が系の代表長さ（円筒状の穴の場合は円筒の直径）より十分大きい場合の流れを分子流と呼ぶ。分子流においては気体原子同士の衝突よりも気体原子と管壁との衝突が流れに大きく影響する。一方平均自由行程が系の代表長さより十分小さいときの流れは粘性流と呼ばれる。粘性流では分子流とは逆に気体原子同士の衝突の流れに対する影響が大きくなる。また系の代表長さと平均自由行程で考えたとき分子流と粘性流の中間的な領域の流れを中間流と呼ぶ。
系の代表長さと平均自由行程の比をクヌーセン数と呼ぶ。このクヌーセン数で希薄気体の流れを分類することもできる。たとえば参考文献 [16] ではクヌーセン数 0.01 以下を粘性流、0.3 以上を分子流、その間の領域を中間流としている。以下で説明する oven の設計においてもこの基準を採用した。
次にそれぞれの流れにおけるコンダクタンスの式を述べる。分子流でかつ円筒が十分長い場合は円筒の直径を D 、
長さを L として

1
C=
6

√

2πkB T D3m
L(4.11)

π D4p̄
128 ηL(4.12)である。
粘性流のときは、粘性係数を η としてC=

ただし L は円筒の長さであり、p̄ = (p1 + p2 )/2 である。また η は、気体の平均速度 v̄ を用いて

mv̄
η= √
2 2σ

(4.13)

で与えられる。
中間流のコンダクタンスについては、Knudsen の実験式が以下で与えられる。
4

π D
1
C=
p̄ +
128 ηL
6

√

√
3

1+

kB T p̄D

2πkB T Dm η√m
L 1 + 1.24 kB T p̄Dm(4.14)

η

このコンダクタンスを圧力の関数として log-log プロットした概形を図 4.1.2 に示す。この式は粘性流のコンダクタン
スと分子流のコンダクタンスを滑らかにつないだものである。

24

第 4 章 oven およびその他の真空系

図 4.3

中間流コンダクタンスの圧力依存性

oven 内の物理量のふるまい

図 4.4 一方の気体のふるまい

この節では気体の流れがもう一方の種の chamber に逆拡散はないと仮定し、片方の種類に話を限定する（図 4.4）。

reservoir における温度 T がある一定の値であり、したがって蒸気圧 p が定まった場合を考える。それぞれのノズルのコンダクタンスを C, C 0 とおくと、oven の外の圧力が十分小さいとして

q = Cp000

q = C (p − p)

(4.15)(4.16)

定常状態では（逆拡散がない限り）q = q 0 であるので、

Cp = C 0 (p0 − p)∴)p =(4.17)0C
p0
C + C0(4.18)

4.2 oven の設計

25

この式より、p と T が決まると chamber 内の圧力 p0 が定まることが分かる。したがって状態方程式 p = nkB T よりn=

C0 T 0 0n
C + C0 T(4.19)

すなわち、reservoir の温度が上がると chamber 内の密度が下がることが分かる。
注意すべき点は、p0 が reservoir の物理量 p, T でほぼ決まることである。仮に C, C 0 が温度によらない定数だとす
ると*4 、p0 は p すなわち T だけで定まる。つまり chamber 内の温度に依存しない。なので温度を上げると状態方程式により粒子密度 n は小さくならざるを得ないのである。したがって chamber における平均自由行程は reservoir の温度が高くなるほど長くなるといえる。また、温度が高く圧力が等しいと粒子数密度は小さくなるが、これは一つ一つの粒子がより頻繁に壁に衝突して圧力の値を維持している、と見ることができる。

4.2 oven の設計
4.2.1 load 数の目標
Rb について87

Rb を 3 秒で 1010 個検出計の領域に load する。すなわち、1 秒あたりに検出計に入る 87 Rb の原子数を

3 × 109 atoms/s とする。
原子同士の衝突が無視できるなら、 87 Rb は beam 中における Maxwell の速度分布に従う。この分布のうち減速される 87 Rb 原子の割合は、oven の温度（＝速度分布の詳細な形）に依存する。また我々の設計した Zeeman Slower においてトラップできる速度の上限は 312m/s となっている。このことと、reservoir のとりうる温度の範囲から ovenの温度および入射する 87 Rb 原子の割合を決定する。
想定する温度のおよその値は、T 0 ' 300 ◦ C ' 570K とした。これは主に Mixing nozzle において原子流が粘性流
あるいは中間流になるという条件から来る平均自由行程についての議論、および nozzle の温度が系の中で一番高いという条件から制限されている。またノズルにおける詰まりをなくすための余裕も見積もっている。
このように温度を想定すると、速度分布に従って分布する原子のうち減速可能な速度の原子は全体の 1/4 から 1/5になる。また 87 Rb の natural abundance は 28 ％であるので、検出計の領域に入る全 Rb 原子の数は、単位時間当たり 6 × 1010 atoms/s でなければならない。
ここまでの議論では、速度が 312m/s 以下の原子はすべてトラップされると仮定されていることに注意する。無論実際にはそうはならない。またその他想定外の要因によってビーム中の原子数が少なくなりうる。そのため MOTの領域に入る原子の数を多めに見積もらなければならない。このために目標の原子数にかける係数を安全係数と称する。今回の設計では、安全係数 10 をとる。すると結局検出計の領域に入る全 Rb 原子の数は、単位時間当たり

6 × 1011 atoms/s となるように設計することになる。
K について同様の議論をカリウムについても行う。 41 K は、 87 Rb の 1 ％程度あればよい。したがって 1 秒あたりに検出計領域に入る 41 K の原子数を 3 × 107 atoms/s とする。
上記と同様の温度と速度分布に関する議論より、想定する温度における減速可能な速度のカリウム原子の割合は全体の 6〜7 ％程度であることが分かる。また 41 K の natural abundance は 6.7 ％であるので、結局検出計の領域に入る全Ｋ原子の数は、単位時間当たり 8 × 109 atoms/s でなければならない。安全係数についての議論も同様で、目標を 10 倍して 8 × 1010 atoms/s となる。

4.2.2 dual species oven およびその満たすべき条件
dual species oven
ここでは Stan [17] に基づき dual species oven の原理について説明する。3 種類以上の場合についても同様である。

*4 実際には C, C 0 は温度依存性があるが、非常に小さい。

26

第 4 章 oven およびその他の真空系

図 4.5

dual species oven の模式図

dual species oven のそもそもの動機は、1 つの oven から 2 種類の原子を出すことである。そうすれば各原子種毎に Zeeman Slower を作る必要がなくなるという利点がある。
この場合、単純に 1 つの chamber に 2 つの原子種を入れればよいというわけにはいかない。なぜなら、そうすると各原子種の温度が独立に操作できず、単位時間に出る原子数の比が固定されてしまうからである。その比は chamber
内の蒸気圧で決まるが、それは原子種に特有の値であり必ずしも同じオーダーにならない。たとえば Stan[17] で述べられているリチウムとナトリウムの場合、同じ温度におけるリチウムの蒸気圧はナトリウムの 1/1000 程度でしかな
く、多量のリチウムを出すとナトリウムを出しすぎてしまうという問題がある。
そのため各原子種毎に chamber を作り、温度を独立に変化させられるようにする必要がある。そうすれば各原子種の蒸気圧、ひいては単位時間に oven から出る原子の数も独立に制御できるからである。

dual species oven の模式図は図 4.5 のようになる。図において i 番目の (i = 1, 2)reservoir における蒸気圧、コン
ダクタンス、流量を pi,R , Ci , qi,R とし、i 番目の原子種の mixing chamber における分圧を PM とおくと

qi,R = Ci (Pi,R − P pM ) ' Ci pi,Rとなる。一番右側の式に移るとき pi,R  pM と仮定した。ここで oven nozzle のコンダクタンスを C0 、oven nozzle
を通って slowing coil に向かう流量を qi,T とおくと

qi,T = C0 pi,M = qi,R − pi,M

∑

Cj

j6=i

である。第二項は他の reservoir への逆拡散を表す。各 mixing nozzle のコンダクタンスが oven nozzle のコンダクタ
ンスより十分小さければ、i 番目の reservoir から出た原子のほとんどが oven nozzle を通って slower に向かう。
このとき考慮すべきことは、もとの reservoir と異なる reservoir への逆拡散を抑えることである。なぜなら逆拡散した原子はビームとして slower に行かないのでそのまま損失になるからである。
これを最小限に抑えるためには、reservoir から mixing chamber への原子の流れを粘性流にすればよい。粘性流では原子同士の衝突が無視できないので対向方向から進入してきた異種原子を mixing chamber へと押し戻すことができる。この条件から reservoir-mixing chamber 間のコンダクタンスはかなり悪くしなければならない。
一方 mixing chamber から slower に出て行く原子の流れは、分子流でなければならない。なぜならそうしないとビームにおける速度分布の式 (4.2) を適用できなくなるためである。
これらに加えて、コンダクタンスの悪い reservoir-mixing chamber 間における原子の詰まり、mixing chamber 内
における原子同士の衝突による化学反応の可能性も考慮しなければならない。これらについては単純に温度を上げれば解決される。とくに詰まりを防止するためには、reservoir-mixing chamber 間の温度を oven 全体で最も高くしなければならない。以上の要請により dual species oven の温度は通常の single species oven よりかなり高くなる。
満たすべき条件
以上の議論より、dual species oven を設計する際に考慮すべき条件を要約すると以下のようになる。

1. Oven nozzle で Rb,K ともに分子流になる／ Beam の角度分布計算のための必要条件
2. Mixing nozzle では Rb,K ともに粘性流あるいは中間流になる（nozzle は長めにとる）／逆拡散を防ぐため・
条件 5，も見よ3. Oven nozzle, mixing nozzle の温度が全体で最も高くなるようにする／ nozzle の穴がつまるのを防ぐため
4. Mixing chamber 内で化学反応が起きない4.2 oven の設計

27

5. Mixing chamber から各 reservoir への逆拡散が起きない (Rb が K の reservoir へ、あるいはその逆）
また、oven の外における真空度に関する条件について

1. Slower 直前の領域の圧力を 10−8 torr のオーダーにするが加わる。これは oven というよりもむしろ後述の cold plate および diﬀerential pumping tube にかかる条件である。以後この条件に基づいた設計について説明する。

4.2.3 実際の設計
reservoir への拡散が起きないための条件の検討
２種類の原子がいるときの平均自由行程は

lA = √kB T
2pA σA + σA,B pB (1 + mA /mB )1/2

(2 種類の気体からなるとき)である。ここで前節で計算した数値を代入すると (SI 単位系)

8.1 × 10−7 T
pK + pRb
7.0 × 10−7 Tlres,Rb =pRb + 1.3pK
lres,K =(for K in Rb reservoir)(4.20)(for Rb in K reservoir)(4.21)

ここで pK , pRb は各 reservoir 内での分圧であることに注意する。Rb reservoir 内の K の分圧（およびその逆）は十分小さいと仮定すると（これは各 reservoir 内において逆拡散してきた原子が十分少ないことに相当）

8.1 × 10−7 T
pK
5.4 × 10−7 Tlres,Rb =pRblres,K =(for K in Rb reservoir)(4.22)(for Rb in K reservoir)(4.23)

Stan [17] の条件ではこれが mixing nozzle の直径より小さくなければならない。直径は 1mm から 1cm のオーダーにしかできないので、これらの式に温度として T = 570K を代入すると、圧力は少なくとも 1Pa ' 0.01torr 程度の大きさになる。このとき原子流は粘性流ではなく、中間流として振舞う。
図 4.6 に各原子種の蒸気圧曲線を示す。原子流が中間流として振る舞い、かつ nozzle の温度が全体で最も高いものであるためには nozzle の温度を最低でも 220 ◦ C ' 490K にしないといけない。この条件から、温度の下限が定まる。
実際には nozzle の温度は詰まり防止も考慮して 300 ◦ C ' 570K を想定している。

Rb mixing nozzle の検討
前節で示した平均自由行程は「自分の reservoir とは別の reservoir 内における平均自由行程」であった。これに対し、「自分の reservoir 内における平均自由行程」を Rb について計算すると (SI 単位系)

lres,Rb =7 × 10−7 T
pK(for Rb in Rb reservoir)となる。これが mixing nozzle の直径より十分小さければ粘性流とみなせる。
どの程度小さくするかの問題であるが、ここでは後述の他の要素との兼ね合いも考えてクヌーセン数を 0.05 程度ととることにした。そのためにここでは、Rb の蒸気圧を 5Pa 程度 (10−2 torr 程度) とする。このとき T = 570K では
平均自由行程は 0.08mm となる。
決定したクヌーセン数と平均自由行程からノズルの直径がとるべき値が定まる。今回の設計ではそれが 1.6mmとなる。これと想定する温度および可能な限りの長さ (75mm) からコンダクタンスの値は式 4.14 より Cmix,Rb =9 × 10−6 m3 /s となる。nozzle を長くしたのは原子同士が十分な回数衝突をすることで逆拡散を防ぐためである。
またこのときの Rb の流量は qK = 5 × 10−5 Pa · m3 /s となる。したがって単位時間当たりに出る原子の数は

6 × 1015 atoms/s となる。

28

第 4 章 oven およびその他の真空系

図 4.6

各原子の蒸気圧の温度依存性

図 4.7 mixing nozzle

K mixing nozzle の検討
K についても同様の議論を行う。「自分の reservoir 内における平均自由行程」を K について計算すると (SI 単位系)

lres,K =6 × 10−7 T
pK(for K in K reservoir)となる。これが mixing nozzle の直径より十分小さければ粘性流とみなせる。
どの程度小さくするかの問題であるが、ここでは後述の他の要素との兼ね合いも考えてクヌーセン数を 0.1 程度ととることにした。そのためにここでは、K の蒸気圧を 3Pa 程度 (10−2 torr 程度) とする。このとき T = 570K では平均自由行程は 0.1mm となる。
決定したクヌーセン数と平均自由行程からコンダクタンスの直径がとるべき値が定まる。今回の設計ではそれが 1.0mm となる。これと想定する温度および可能な限りの長さ (75mm) からコンダクタンスの値は式 4.14 より

Cmix,K = 2 × 10−6 m3 /s となる。nozzle を長くしたのは原子同士が十分な回数衝突をすることで逆拡散を防ぐためである。またこのときの K の流量は qK = 6 × 10−6 Pa · m3 /s となる。したがって単位時間当たりに出る原子の数は

8 × 1014 atoms/s となる。
oven における目標
ここで oven から単位時間に出る原子数（これは reservoir から単位時間当たりに出る原子数に等しい―逆拡散が起きなければ）のうち、どの程度が検出計の領域に届くべきかを考える。検出計の領域は oven nozzle から 1m 離れたところにある 0.5cm2 の領域とする。この領域が円形だとすると、その円の半径は 4mm になる。このことから、

4.2 oven の設計

図 4.8

29

全原子数と検出計の領域に入る原子数の比。oven の nozzle の長さと直径の比にほぼ比例している。

図 4.9 検出計の領域に入る原子数の L=0 のときとの比。上と同じくほぼ比例している。

30

第 4 章 oven およびその他の真空系

図 4.10oven nozzle

oven に垂直な軸からのビームの向きのずれは
0.004= 0.004rad = 0.23◦1まで許容されることになる。

Dayton [18] によれば、原子流が分子流であるとき nozzle の半径 r と長さ L の比でビーム強度の角度分布を調節できる。下に上記の許容角度内に入る原子の oven から出る全原子に対する割合、およびその長さが無視できる場合に対する比を図 4.8,4.9 に示す。

Rb、K それぞれの mixing nozzle を検討した結果である流量についての結論と節 4.2.1 における検出計の領域における目標から、oven から出る全原子数に対する検出計領域に入る原子数の割合が決まる。その比はおよそ 0.0001 つまり一万分の一である。これより図 4.9 から L/r = 12.5 と定まる。これによって、oven nozzle の形に一つ条件が加わった。
このとき、oven から出るルビジウム原子の数は、6 × 1015 atoms/s となる。一方カリウムは、8 × 1014 atoms/s になる。

oven nozzle の設計
oven nozzle についてはすでに長さと直径の比について条件がある。加えてコンダクタンスは mixing nozzle のそれより十分大きくなければならない。oven nozzle においては流れは分子流とみなせるので、長い円筒における分子流のコンダクタンスの式を用いる。

1
C=
6

√

2πkB T D3m
L(4.24)

このとき D = 4.8mm, L = 29mm とすると Cmix,Rb = 3 × 10−4 m3 /s = 0.3 L/s となる。このときルビジウムの
圧力は 0.1Pa = 1 × 10−3 torr、カリウムの圧力は 0.1Pa = 1 × 10−3 torr となっている。この oven nozzle と mixing

nozzle の圧力比は、Stan [17] のそれと同じ程度の値になっている。また、圧力が mixing chamber と比べて 1/20 になっているので、平均自由行程は 20 倍になり、たしかに oven nozzle においては分子流になっている。

consumption rate について
上記の設定では oven から出る原子はいずれについても 1.0 × 1015 atoms/s 程度であった。仮にルビジウムの原子数は 6.0 × 1015 atoms/s であるので、グラム換算で 8.5 × 10−7 gram/s だけ消費していることになる。これの逆数をとり単位を変えると、単位質量を消費するのにかかる時間は 330hours/g となる。仮に 10g の Rb を oven に入れて
週 5 日、1 日 10 時間装置を使うとすると、1 年程度もつ数字である。カリウムについては 8 × 1014 atoms/s である
ので、グラム換算で 5.2 × 10−8 gram/s だけ消費していることになる。逆数をとり単位を変えると、単位質量を消費するのにかかる時間は 5400hours/g となる。仮に 10g の K を oven に入れて週 5 日、1 日 10 時間装置を使うとすると、2 年程度もつ数字である。

4.3 cold plate31

4.3 cold platecold plate は Zeeman Slower の oven と slower の間に挟まれた、圧力を下げることを目的とする板のことである。
アルカリ原子気体は cold plate と接触すると液相あるいは固相に状態変化し、cold plate に付着する。こうして coldplate まわりの圧力が低下する。そのため cold plate の温度は適切に調整されなければならない。
今回の実験では cold plate に銅を用いた。それは熱伝導の良さのためである。なぜなら気体原子が付着するとき、必ず熱が発生するからである。その熱を速やかに吸収し気体原子が cold plate 表面から離れて気相に戻ることを防がなければならない。
この機構から、cold plate は一種のクライオポンプとしてはたらいていると見ることができる。すると低圧限界は、
参考文献 [13] によれば cold plate の温度における気体の蒸気圧である。たとえば 30 ℃のときは、ルビジウムの蒸気
圧が 10−6 torr であることから、この値が低圧限界となる。（カリウムの蒸気圧はこれより一ケタ低い。）
そのため cold plate の温度を下げることが低圧の環境を実現する上では重要になる。たとえば、10 ℃まで下げればルビジウムの蒸気圧が 10−7 torr となるので十分な低圧が実現できる。
今回はどの程度 cold plate が機能するか未知数であるので、30 ℃の蒸気圧である 10−6 torr になると見積もることにする。

cold plate のデザインは図 4.11 のようにした。長い板の部分に原子ビームが通る穴をあけ、上から別の部品でねじ止めする。このようにすることで穴の高さの微調ができるようになる。また cold plate は上部からペルチェ素子で冷却し、ペルチェ素子の熱は水冷により取り除く。

4.4 diﬀerential pumping tube
diﬀerential pumping tube は一言で言えば細長い円筒であり、その前後で圧力の差をつけるために用いられる。ただし検出系の領域に飛んでいく原子ビームをさえぎってはならない。圧力の比を大きくするためにはできる限り円筒のコンダクタンスが小さいことが望ましいが、この条件から円筒の半径について下限が存在することになる。
今回は、cold plate のある 6-way cross とイオンポンプにつながる 6-way cross の間に直径 5mm、長さ 100mm のdiﬀerential pumping tube を用意した。これは 6-way cross の大きさや真空系のその他の要素との兼ね合いを考慮した限りでは直径については最小、長さについては最大の値である。このとき tube のコンダクタンスは、ルビジウムについては 0.089L/s、カリウムについては 0.13L/s となる。したがってこの diﬀerential pumping tube の後では、
イオンポンプの排気速度が 70l/s であると仮定すると式 4.11 より圧力が前の 6-way cross（cold plate のあるところ）の 1/800 になる。前の内容と合わせるとこれで Slower 前の部分で 10−8 torr を実現できる。

4.5 真空系全体の概要
最後に真空系全体の概要を示す。イオンポンプおよびゲージがついている 6-way cross では上下に view port がついており、鉛直方向に光を入射させられるようになっている。また Zeeman Slower のコイル内部の筒もそれ自身コ
ンダクタンスを持ち、その値は diﬀerential pumping tube のおよそ 6.6 倍になる。そのため初めに真空を作るときはoven 側と Slower 側の 2 箇所から同時に 2 台の pumping station を用いた。

32

第 4 章 oven およびその他の真空系

図 4.11 cold plate の設計図

図 4.12 diﬀerential pumping tube

4.5 真空系全体の概要

33

図 4.13 oven の設計図

図 4.14

Zeeman slower 全体。手前のアルミホイルに包まれた部分が oven である。

35

第5章

slower 用 laser 光源の用意
第 2 章で述べたように、Zeeman Slowing に必要な光の周波数はルビジウム、カリウムそれぞれについて

1. slowing 光――原子ビームに対向方向からあてることでビームを減速させるため
2. repump 光――closed transition から外れた原子を closed transition に戻すための 2 種類、合計 4 種類である。またこれらとは別に slowing の検出用光源が必要になる。この章では、これらの周波数をどのように用意したかについて述べる。
まず初めに、全体の周波数の基準となる ECDL(External Cavity Diode Laser) について説明する。その次に、その周波数の安定化のために用いた FM sideband 法について述べる。その次に、slowing 光に必要なパワーを得るために用いた injection locking について説明する。その次に、repump 光のために必要な slowing 光のサイドバンドおよびオフセットロックについて述べる。最後に、それらを含めた光学系全体の概要について説明する。

5.1 ECDL
一般にレーザーダイオード（LD）には、他のレーザー光源と比べて小型・安価であるといった利点を持つ。しかし一方で共振器長が短いため一般にレーザー光の線幅が大きく、原子の特定の遷移を起こす用途には使いづらい。
そこで実効的な共振器長を大きくすることで線幅を狭くした半導体レーザー光源が外部共振器付半導体レーザー（External Cavity Diode Laser:ECDL）である。今回製作した ECDL は図 5.1 のように LD の一方の端面と回折格子で外部共振器を構成しており、これによって共振器長が数十倍になっている。このような形の ECDL は Littrow

Configuration と呼ばれ、大きなパワーを取り出しやすいという利点を持つ。
図 5.1 において LD の直後にレンズがあるのは、LD から出た光を collimate するためである*1 。また回折格子の裏側にはピエゾ素子があり、これで外部共振器の長さを微調整することで ECDL の発振周波数を最大で 10GHz 程度調
節することができる。
またこの ECDL では、回折格子で反射された光が外に出て行く前に一回ミラーで反射される形になっている。これは回折格子の LD に対する角度を調節したことによる光路のずれを小さくするためである*2 。
製作した ECDL の LD に流す電流 I に対しレーザー光のパワー P をプロットしたものを図 5.3 に示す。ECDL
モードでの発振が始まる threshold 電流及びパワーの電流に対する比例係数は LD の直線偏光と回折格子の角度の関係により異なる*3 。より多くの光を LD に戻すような偏光の向きの場合、threshold 電流が小さくなる一方で外に出す光が少なくなるため電流を大きくしてもパワーをあまり取り出せない。逆に LD に戻す光が少ない場合は threshold
電流が高めになるがより多くのパワーを取り出せるという利点を持つ。今回は偏光の向きを縦*4 にしたときに LD に戻す光が少なくなるような向きで回折格子を取り付けた。また回折格子は回折効率を減らすためにあえて紫外線用*1 LD から出た光を collimate するには、LD から 10〜20m 離れたところで光の広がりがなるべく小さくなるようにレンズと LD の距離を調整しなければならない。もちろん途中に焦点があってはいけない。
*2 実際研究の期間中に ECDL の発振周波数が一つ隣のモードに移ってしまい、回折格子の LD に対する角度を調整しなければならなくなったことが何度かあった。
*3 より正確には、回折格子の偏光依存性により異なる。
*4 水平面に対して垂直な向きの直線偏光

36

第5章

slower 用 laser 光源の用意

図 5.1 ECDL の模式図

図 5.2 実際に製作した ECDL を上から見た図。右の 9pin のケーブル 2 本がそれぞれ LD Controller, Temperature Controller につながっている。右上の BNC ケーブルは PZT につながっている。

のものを用いた。そして Rb 用 ECDL の偏光は横*5 に、K 用 ECDL のそれは縦にした。実際図 5.3 において Rb 用ECDL は K 用のそれと比べて hreshold 電流が低く電流を多く流してもパワーがあまり大きくならないとわかる。
線幅の評価については、製作した ECDL と別の ECDL との Optical Beat をとることで行なった。その結果によると今回製作した ECDL の線幅は 1〜2MHz となり、我々の研究テーマに対して十分な狭さであることが確認できた。

*5 水平方向の直線偏光5.2 飽和吸収分光37

図 5.3 ECDL の出力の注入電流依存性

5.2 飽和吸収分光
実験に用いるレーザー光の周波数は単に線幅が狭いだけでは不十分であり、長期的な安定性すなわちドリフトがな
いことが要求される。これを達成するために我々は FM サイドバンド法を用いた周波数ロックを行った。この節ではその前提となるアルカリ原子の飽和吸収分光について説明する。
飽和吸収分光はドップラーフリー分光法の一種であり、そのスキームは図 5.4 のようになる。通常考えられるように対象とする原子のセルに Probe 光をあてただけでは気体原子の運動によるドップラー広がりを避けることはできな
い*6 が、Probe 光と逆の向きから Pump 光*7 をさらにあてることでそれを避けることができる。なぜなら Pump 光が十分に強ければ光の進行方向の速度が小さい原子のほとんどが Pump 光によって励起状態になり、Probe 光と共鳴しなくなるからである。
図 5.5,5.6 にルビジウムとカリウムの D2 遷移の飽和吸収分光スペクトルを示す。ルビジウムについてはスペクトルにおける各ピークが超微細構造準位に対応している。カリウムについては超微細構造分裂がルビジウムより一ケタが小さいため、飽和吸収分光ではそれが見えない。またカリウムについては飽和吸収信号がそもそも小さいため、セルを約 60 ℃に加熱して飽和吸収信号の測定を行った。
なお、上記の飽和吸収分光の説明では対象とする原子が 2 準位系であることを仮定していた。実際には原子は多準位系であるのでその効果が飽和吸収分光にも表れてくる。それが準位間のクロスオーバーである。クロスオーバーは
ドップラーシフトのために Pump 光によって励起される準位と Probe 光によって励起される準位が異なるために見かけ上の遷移が飽和吸収信号に現れることである。
以下でクロスオーバーが起きる仕組みを簡単に説明する。まず Probe 光の進行方向の速度成分とそれと逆向きで大きさの同じ速度成分を持つ原子が存在するとする。各原子に共鳴する周波数は、原子たちの速度に応じたドップラー
シフトだけずれたものとなる。いま Probe 光の進行方向を正の向きとしてその方向の速度成分の大きさを v であらわすとする。もとの光の周波数を ν0 とし、それぞれの速度を持つ原子のドップラーシフトを考慮した周波数を ν1 , ν2
とすると

(
v)
ν1 = ν0 1 −c(v)
ν2 = ν0 1 +c*6 常温で数百 MHz 程度あり、ドップラー広がりがあると励起状態の超微細構造分裂が見えない。
*7 Pump 光の周波数は Probe 光のそれと等しくする。

(5.1)

38

第5章

slower 用 laser 光源の用意

図 5.4 飽和吸収分光の系の模式図

図 5.5 ルビジウムの飽和吸収分光の系。右上の EOM は後述の FM sideband 法のために用いる。

図 5.6 カリウムの飽和吸収分光の系。カリウムは飽和吸収信号が小さいためヒーターテープで約 65 ℃にセルを加熱して信号を測定した。

5.3 FM sideband 法39

図 5.7 Rb の D2 線の飽和吸収信号。左側の吸収信号が 85 Rb の F = 3 からの遷移、右側のが 87 Rb の F = 2からの遷移である。

図 5.8 K の D2 線の飽和吸収信号。中央の大きな吸収が 39 K のクロスオーバーである。

となる。よってν0 =ν1 + ν2
2(5.2)

したがって ν1 , ν2 がどちらも原子の遷移に共鳴する周波数であると仮定すると、クロスオーバーがおきるときのもと
もとのレーザー光の周波数は二つの共鳴周波数のちょうど中間であるといえる

5.3 FM sideband 法
この節では前節で説明した飽和吸収分光を踏まえて FM sideband 法について述べる。FM sideband 法は、ある周波数での信号を基準にしてその（周波数の）前後で符号の異なる信号を作り出すものである。このような信号を

40

第5章

slower 用 laser 光源の用意

図 5.9 FM sideband 法の模式図作ることができれば、その符号に応じたフィードバックをかけることで周波数の長期的安定化を図ることができる。
フィードバック用の lock 回路は Appendix 記載した。
以下では FM sideband 法がどのようにフィードバックに必要な信号を作り出すかについて説明する。まずその系の概要を図 5.9 に示す。以下では図 5.9 のそれぞれの場所における光電場あるいは RF について説明することでフィードバックに必要な信号が生成される過程を説明する。
まず (a) における光は EOM およびセルを通過する前の Probe 光であり、以下それをEa = E0 eiωt
とおく。また (b) における RF は Function Generator で発生させた電気信号であり*8 、以下それをVb = V0 sin ω 0 t
とおく。次に、(c) における光は EOM を通過したがセルを通過していない光であり、0

Ec = E0 ei(ωt+α sin ω t)なる位相変調がかかっている。EOM にかけている電圧の大きさはその Half Wave Voltage より十分小さいので

α  1 とみなせる。このとき α の一次まで展開してEc = E0 eiωt (1 + α sin ω 0 t)())
0α ( iω0 t= E0 eiωt 1 +e− e−iω t
2i

(5.3)
(5.4)

となる。次に、(d) における光は原子気体の入ったセルを通過した光であり、周波数に依存した振幅の変調を受ける。
それを F (ω) とおくと、

E d = F Ec
)
(
0
0
α
α
= E0 F (ω)eiωt 1 + F (ω + ω 0 ) ei(ω+ω )t − F (ω − ω 0 ) ei(ω−ω )t
2i
2i

(5.5)
(5.6)

となる。次に (e) における電気信号は Photodiode に入射するレーザー光の強度に比例する電圧であり、これを Ve と
おくとVe ∝ Ed∗ Ed
0α∝ (F (ω)∗ F (ω + ω 0 ) − F (ω)F (ω − ω 0 )∗ ) eiω t20α+ (F (ω)F (ω + ω 0 )∗ − F (ω)∗ F (ω − ω 0 )) e−iω t2+ Const + (2ω 0 で振動する項)

(5.7)

(5.8)

*8 Monitor out で観測する微分信号にはこの信号の周波数に対する依存性があり、それがおよそ 20MHz であった。これは EOM の周波数依存性と Photo diode の応答の速さで決まると考えられる。

5.4 injection locking41となる。これらのうち一定の大きさの信号は交流信号のみを取り出すことによって、2ω 0 で振動する信号は振動が速すぎて Mixer が応答できないことによって落とされる。ここで用いた高速 Photodiode の回路は Appendix に示す。
0

次に (f) における電圧 Vf は Photodiode の出力と Function generator の出力の積であり、Ve に eiω t をかけた信号となる。このうち 2ω 0 で振動する項は振動が速すぎて lock 回路で応答できないので落とすと

Vf ∝α(F (ω)F (ω + ω 0 )∗ − F (ω)∗ F (ω − ω 0 ))
2

(5.9)

ここで ω ∼ 1014 Hz, ω 0 ∼ 107 Hz であることから ω  ω 0 であり、

(
)
0
α 0
F (ω + ω 0 )∗ − F (ω)∗ F (ω) − F (ω − ω )Vf ∝ ω F (ω)+ F (ω)
2
ω0
ω0
(
)
d
d
α
' ω 0 F (ω) F (ω)∗ + F (ω)∗ F (ω)
2
dω
dω
α
d
= ω 0 F (ω)F (ω)∗
2 dωαd= ω 0 |F (ω)|22 dω(5.10)(5.11)(5.12)(5.13)|F (ω)|2 はセルを通過したことによる光の強度変調、すなわち飽和吸収信号そのものと考えられる。したがって
Frequency Mixer 後の出力は飽和吸収信号を微分したものに比例するといえる。したがって飽和吸収信号がピーク値をとる周波数において電圧がゼロになるようにゼロ点を調節すれば（これは lock 回路で行う）、その前後で電圧の符号が異なり、それに応じたフィードバックをかけることができる。以上が FM sideband 法の概要である。
図 5.10、5.11 に実際の微分信号を示す。これは lock 回路の Monitor out から見たものである。

5.4 injection locking
初めに製作した ECDL だけでは、AOM による周波数のシフトや光ファイバーとのカップリングによる損失のため

Zeeman Slowing に必要なパワーを確保できない。そのため我々はもともとの ECDL を master としてそれとは別にslave laser を製作し必要なパワーを確保した。
slave laser は Optical Isolator を通して master laser の光が入射することでそれと同じ周波数で発振するレーザー
光源である。その概要を図 5.12 に示す。調整済みの Isolator の出力側の PBS に偏光を調整した master laser の光を入れると*9 、この光は Isolator 内を通過して入力側へと出ていく。この光の path と slave laser の path を一致させると master laser の光がちょうど LD のゲイン媒質に入射して LD の同じ周波数での発振を誘起し slave 発振が起こる。これを injection locking と呼んでいる*10 。

Isolator と slave laser の間の λ/2 波長板は、水平面に対し斜めに傾いた master laser の光の偏光を調整するためにある。なぜならこの偏光のままミラーに入射すると、ミラーの入射面に対する偏光によって反射により生じる位相差が異なるため反射後の光の偏光が直線偏光でなくなり、injection locking の効率が落ちるためである*11 。LD のほ
うもこの波長板を通った上で Isolator を通過するパワーが最大となるように slave laser 内部で回転させ最適化しておく。
我々の製作した slave laser は 2mW の master laser の光の入力で最大 30mW の出力を取り出すことに成功した。
これは Zeeman slowing に必要な最低限のパワーであり、これによって Slowing が可能になると考えられる。図 5.15に得られた IP プロットを示す。とくにカリウムでは電流値が大きくなるにつれて出力のパワーが単純に比例して大きくなるわけではないことが分かる。このような電流値では LD の動作が不安定であり、自然放出が増幅されている。

*9 我々が用いた Isolator はこの部分が本来入力側から出力側へ通る光の path に垂直でなかった。この方向を確かめるにはわざと Isolatorの調整を崩して入力側から入れた光が出力側の PBS ではじかれるようにすればよい。
*10 master laser の光を増幅している、ととらえてもよい。
*11 master laser の光は LD で発振するレーザーの偏光と同じ向きにそろえると injection locking の効率が上がる。

42

第5章

slower 用 laser 光源の用意

図 5.10 Rb の飽和吸収信号の微分信号。今回は 87 Rb の F = 2 からの遷移のうち、信号が最も大きい

2-3crossover にロックをかけた。青い線がもともとの飽和吸収信号、紫の線がその微分信号である。

図 5.11

K の飽和吸収信号の微分信号。信号が最も大きい 39 K の crossover にロックをかけた。青い線がもともとの飽和吸収信号、紫の線がその微分信号である。

5.5 repump 光
この節で説明する repump 光および次節で説明する pump 光は Zeeman slowing に必須の光ではない。あるとslowing の効率を上昇させることができる光である。
図 5.16 に図 2.4 を再掲する。この図のように repump 光は何らかの原因によりいったん closed transition から外れてしまった原子を closed transition に戻す役割を担う。slowing 用の光と同様に原子ビームの対抗方向から入射する。これによって最後まで減速される原子の増大が見込まれる。

5.6 current modulation43

図 5.12 injection locking の模式図

図 5.13 Rb 用 slave laser の系。今回使用した Optical Isolator ではかなりきつい角度から seed light を入れな
いと slave laser 側に届かなかった。

図 5.14 K 用 slave laser の系。右下の VCO および Mixer は後述する repump 用のサイドバンドを発生させるためのものである。

なお、repump 光は Zeeman slower 内部において特定の一ヶ所でしか効果がないことを注意しておく。なぜならば

Zeeman 分裂によって準位間のエネルギー差がビームの進行方向の場所ごとに異なるからである。

5.6 current modulation
我々ははじめ repump 光を slave laser に電流変調をかけることで発生させることを試みた。なぜならばそうすることでレーザー光源を別に作る必要がなくなるからである。
電流変調によって発生する光は以下のように表現される。いま slave laser の周波数は master laser のそれにより決まっており、slave laser の LD に流す電流で変化するのは光のパワーあるいは振動電磁場の振幅、および LD の屈折率である。位相変調については後者の屈折率の変化が寄与する*12 。

*12 EOM と原理的に同じである。

44

第5章

slower 用 laser 光源の用意

図 5.15 slave laser の出力の注入電流依存性

図 5.16

repump 光の意味

図 5.17 currentmodulation

カリウム用 slave laser で repump 光を発生させるのに用いた RF 信号源を図に示す。しくみは AOM ドライバとまったく同じで、VCO の発振周波数と Mixer にかける定電圧を調整することで RF の周波数と信服を調整できるようになっている。 カリウム用 slave laser で発生させた repump 光による信号を図 5.17 に示す。これは FSR が750MHz の Fabry-Perot 共振器の長さを周期的に変えて共振器を出た光を PD で測定したものである。

5.7 oﬀset lock45

図 5.18 (a) サイドバンドがない時の Fabry-Perot 共振

図 5.19 (b) サイドバンドを立てたときの Fabry-Perot

器の信号。FSR は 750MHz である。

共振器の信号

図 5.20 oﬀsetlock の概念図

5.7 oﬀset lockcurrent modulation による repump 光の発生には、RF のパワーを効率よく LD に送ることが必要になる。必要なRF の周波数が 200MHz 程度であるカリウムの場合は十分な強度の repump 光が得られたが、6.8GHz の離調をつける必要があるルビジウムの場合はカリウムの場合よりも一ケタ大きなパワーを用意したにもかかわらず必要なパワーの repump 光を用意することができなかった。
そこで 6.8GHz の離調がついた周波数を用意するために、ECDL をもう一台用意し 6.8GHz の離調をつけて周波数をロックすることにした。このために用いた周波数ロックの方法を以下で説明する。基本的なアイデアは図 5.20 のようになる。まず別の方法で周波数を安定化させたレーザー光源と、周波数を安定化させるレーザー光源の光のうなりを測定する。このとき測定用の PD にはうなりの周波数に応答できる高速なものが必要となる。このうなりの信号
を Power Splitter で分岐させ異なる長さの経路を通した上で Phase Detector に入れる。このとき二つの経路を経た
うなりの信号には以下の式で表される位相差が生じている。

δφ = 2π ×

δf δL
0.66c

ここで δf は二つの光の周波数差すなわちうなりの周波数、δL は Power Splitter と Phase Detector 間の信号の経路の長さの差である。c は真空中における光速であるが、それにかかっている 0.66 は使用したケーブルの波長短縮率である。Phase Detector はこの位相差に応じた出力を出す。
図 5.21 に位相差に対する Phase Detector の出力電圧を測定したグラフを示す。今回使用した Phase Detector では位相差が π/2 + nπ(n は整数) となるときに出力がゼロになることがわかる。その前後で電圧の符合が異なるため、この出力を Lock 回路に入れて周波数を安定化させたいレーザー光源にフィードバックすれば、δf だけ離調のついた
周波数へのロックが実現される。またうなりの信号と別の周波数の信号（図では VCO で発生させている）を Mixerにかけた出力を Power Splitter に入れてロックをかけることで光の周波数の離調 δf を調整することができる。
図 5.22 に実際に周波数安定化に用いたスキームを示す。必要な離調が 6.8GHz と大きくそのままではそれ以降の

46

第5章

図 5.21slower 用 laser 光源の用意

今回使用した phasedetector の出力の位相差に対する依存性。

図 5.22

実際に採用した oﬀsetlock のスキーム装置が応答できないため、分周器を用いて周波数を 270MHz とした。その前に RF amp が入っているのは PD の
出力が分周器への入力には小さすぎるためである。次に、Mixer でうなりの信号とかけあわせる VCO には、Mini

Circuits の ZOS-300+ を用いた。これによりうなりの信号は Mixer の出力では 0〜150MHz の周波数になる。また
Mixer のあとにも RF amp があるが、これは Mixer の出力がそのままではPhase Detector への入力には小さすぎるためである。この RF amp は帯域が 130MHz までで、分周器と VCO から生じる高調波による不要な周波数成分をカットする LPF の役割も果たしている。またロックされたうなりの周波数は Spectrum Analyzer で測定した。

5.8 検出用の光
今まで説明してきた光はすべて slowing 用の光である。Zeeman slowing を検出する時にはそれ用に別の光が必要になる。

Zeeman slowing 検出のためには、Rb の repump 用の光源を用いた。その概要を図 5.23 に示す。測定方法の詳細については第五章で述べる。

5.9 全体図
最後に光学系全体の概要を図 5.24,5.25 に示す。ルビジウム、カリウムそれぞれについて master ECDL から出た
光は Isolator を通った後整形され 1mW 程度が FM sideband 法による周波数ロックのために PBS で分けられる。
残りの光は slave laser に入射する分については AOM を通って必要なだけ周波数をずらした後ファイバーカップリ
ングさせる。残りについては pump 光にまわす。

5.9 全体図

47

Zeeman slower の乗った定盤の図 5.25 では、右側で master laser からの光で slave laser を発振させる。また左側
で Rb の slave laser と repump 用 ECDL を合わせてオフセットロックをとるようにした。

図 5.23 検出用光源の光学系。橙色の線は真空系の高さまで上げた光を表す。

48

第5章

図 5.24 master ECDL の定盤における光学系

slower 用 laser 光源の用意

5.9 全体図

図 5.2549

zeeman slower の定盤における光学系。橙色の線は真空系の高さまで上げた光を表す。またこれはカリウムの測定におけるセッティングである。

51

第6章

Zeeman slower の製作及び評価
この章においてはこれまでの説明を踏まえて実際に製作した Zeeman Slower について説明する。まず初めに oven
やコイルなど 2 つの原子種に共通な部分について説明する。その次に各原子種のビームおよび減速の結果について説明する。

6.1 2 つの原子種に共通なもの
6.1.1 磁場のプロファイル
我々が実際に製作したコイルの作る磁場は図 6.1 のようになった。磁場はガウスメーターを用いてコイルの中心軸上の磁場を計測した。コイルの磁場と設計値との誤差は 3[G] まで抑えることができ、このコイルは原子を減速する上で充分正確な磁場を作ることが分かった。。コイル A とコイル B の巻き密度は想定よりも小さくなったので、その分電流値を設計値より上げ、それぞれ 1.03[A],2.30[A] となった。バイアスコイルと補助コイルはそれぞれ 51[A],11[A]である。バイアスコイルの、slower 出口での磁場の値が想定より小さかったので、補助コイルの電流値が想定より大きくなった。ただし、実際に slower として用いる際にはさらに最適化が必要である。

図 6.1 コイルの作る磁場の実測値と設計値の比較

6.1.2 ヒーターテープの巻き方および正しい温度勾配の作り方
第 3 章の設計により、two species oven の温度はかなり高めに設定されている。加えて各 nozzle の温度が oven
全体のうちで最も高くならなければならない。実際温度勾配を適切に作らなければ原子ビームが oven から出てこな

52

第 6 章 Zeeman slower の製作及び評価

図 6.2

図 6.3

コイルの写真ヒーターテープの巻き方かった。
今回の oven では 5 本のヒーターテープおよび 5 つのスライダックを用いて必要な温度勾配をを実現した。その巻
き方は図 6.3 のようになる。各原子の ampule が入った reservoir は、ほかの箇所となるべく独立に温度を調整できる
よう間にアルミホイルを挟んでヒーターテープを二重に巻いた。
また温度を測定するための熱伝対は図 6.4 のように 6 箇所に設置した。各ノズルと ampule の間に 50 ℃程度の温度差をつけたときに原子ビームが出ていることが確認できた。
原子ビームが出ていることは、初めに cold plate 横の view port がコーティングされたことで確認することができた。そのコーティングの様子を図 6.5 に示す。このコーティングは view port にヒーターテープを巻いて 100 ℃まで
加熱して１時間そのままにしておくと取り除くことができた。

6.1 2 つの原子種に共通なもの

53

図 6.4

熱伝対の取り付け箇所。上段右側が oven nozzle、上段左側が mixing chamber、中段右側が K mixing
nozzle、中段左側が Rb mixing nozzle、下段右側が K ampule holder、下段左側が Rb ampule holder である。

図 6.5 コーティングされた viewport

6.1.3 真空度および cold plate について
今回用意した真空においては、第３章の図 4.5 からわかるように真空度の到達目標がある ion pump 前の領域が最も真空度を高めにくい構造になっている。このためターボポンプを用いた段階ではここの真空度を 1 × 10−6 torr までしか上げることができなかった。しかし、iom pump を用いると 3 × 10−8 torr まで真空度を上げることができた。

54

第 6 章 Zeeman slower の製作及び評価

図 6.6 probe 光のパス。参照用の光として原子ビームと重ならない光も入射し、原子ビームと重なる光との差をとる。

6.1.4 原子ビームおよび Zeeman slowing の検出方法
今回製作した Zeeman slower の性能を評価するためには、Zeeman coil の後における原子ビーム強度および減速された原子の数を検出する必要がある。そのためには原子ビームの向きに対して垂直な方向の view port からレーザー
光（probe 光）を入射し、原子ビームによる吸収あるいは蛍光を用いればよい。レーザーの周波数を共鳴周波数の前後である程度変化させれば、共鳴する周波数のときだけ原子が光を吸収し、蛍光を等方的に出す。
今回検出する対象はトラップされていない原子であり、蛍光による検出はそれが弱すぎたため行うことができなかった。一方吸収による検出では、吸収されない分の光がオフセットとして信号に加わるという問題がある。今回の測定では原子ビームに入射した光のうち 99 ％以上は吸収されないまま透過するので、単純に光を検出するとオフセッ
トが信号と比べて非常に大きくなり、信号の検出が難しくなるという問題がある。
この点を解決するために、我々は検出用の光とは別にパワーの等しい参照用の光を用意し、それらの信号の差を取ることで原子ビーム由来の信号を測定した。この方法ではオフセットを打ち消すことができるため、信号だけを増幅して取り出すことができるという利点がある。この検出に用いた回路は Appendix に記す。斜めに原子ビームに入射する光の吸収はドップラー広がりを持つ。それがそのまま原子ビームの進行方向についての Maxwell-Boltzmann 分

6.2 カリウムについて

55

布に対応するので、probe 光の吸収信号は原子ビームの速度分布を見ていることになる。ドップラー広がりは原子ビームと probe 光の角度が小さいほど大きくなる。
以下では得られた吸収の信号から原子ビームの強度すなわち単位時間当たりにある断面を通過する原子数を求める
計算について説明する [8]。求める強度を Φ とし、その平均速度を v 、密度を n とし、原子ビームの通る断面が直径 lの円であるとする。このときこの円形の領域を単位時間当たりに通過する原子数は

( )2
l
πl2
Φ = nπv=nv24と表せる*1 。
一方吸収信号については、原子ビームの領域に入射した光の強度と透過した光の強度をそれぞれ Iin , Itr とし、これらは透過率を T として

Iin = Itr Tの関係で結ばれている。この T は probe 光の領域における原子の密度 n を用いて

T = exp−∫n(x)σdxと表せる。ここで x は probe 光の進行方向に沿った積分であり、σ は光の散乱断面積である。この関係式から、

optical densityD が∫D = − ln T =n(x)σdxで定義される。原子の密度が一定であると仮定すると、

D ' nσl
よって原子線の強度は

Φ=

πl
Dv
4σ

と表される。

6.2 カリウムについて
我々は当初、 41 K について Zeeman slowing を行う予定であった。しかし測定して得られた信号が予想以上に小さかったため、カリウムについては同位体比の大きい 39 K について減速を試みた。 39 K について減速が可能であれば、信号の計測等について改善すれば 41 K の減速も可能であると考えられるためである。 39 K の減速に必要な周波数の
図 2.5 を図 6.7 に再掲する。

6.2.1 oven の温度およびコイルに流れる電流の設定測定においては、oven の 6 箇所の温度をそれぞれ• Rb ampule -104.5 ℃• K ampule - 284.2 ℃• Rb mixing nozzle -237.2 ℃• K mixing nozzle - 240.4 ℃• mixing chamber - 196.6 ℃• oven nozzle - 259.2 ℃とした。K ampule の温度が設計時の温度より高い値であるが、こうすることで十分な大きさの信号が見えた。
39

K 用には、coil に流れる電流を 41 K 用とは別の電流値に設定する必要がある。コイル A については 1.20A、コ

イル B については 2.86A、補助コイルについては 30A とした。Bias コイルは用いなかった。
*1 ここでは平均速度を用いているが、測定したデータから原子ビームの強度を算出するときは速度分布の各速度値を用いた。

56

第 6 章 Zeeman slower の製作及び評価

図 6.7

図 6.8

41

K の共鳴光磁場および slowing 光がないときの吸収信号

以下では測定した吸収信号（速度分布）について、slowing 光とコイルともに on の場合とともに oﬀ の場合の 2 通りのデータを載せる。slowing 光のパワーは 51mW とし、repump 光は oﬀ にした。

6.2.2 磁場 oﬀ、slowing 光 oﬀ のとき
図 6.8 に slowing 光と磁場がないときの F=2 の吸収信号を示す。これはそのままビーム中の Maxwell-Boltzmann
分布に対応する。以下ではこのグラフを得るために行ったデータの処理について説明する。
ゼロ点の決定図 6.9 に測定によって得られた下のデータを示す。斜めに入射した２つのビームに対応する、2 つの速度分布の信号があることがわかる。また速度分布に対応する信号とは別にオフセットがあることもわかる。データの解析においてはこのオフセットが線形であると仮定し、

y = a + bx

6.2 カリウムについて

図 6.9

57

赤い線が得られたもともとのデータである。また青い線はピエゾ素子にかける電圧に対応しており、後述の速度軸への換算に用いた。

図 6.10 元のデータからオフセットを引いたグラフ。

で fitting をかけた。そのときのパラメータ a、b の値は

a = 0.015844 ± 0.000144 V(6.1)

b = 32.879 ± 0.0648 V/s(6.2)となった。図 6.10 にオフセットを引いたグラフを示す。この図において２つの速度分布の中点に対応する値がゼロの点を分布のゼロ点として採用した。また今回は 2 つの分布のうち右側の分布について解析した。
時間軸の速度軸に対する換算
速度分布を求めるには、元のデータの時間軸を速度軸に換算する必要がある。そのためにピエゾ素子にかける電圧と FSR が 750MHz の Reference Cavity との比較を行う。図 6.11 に共振器の出力とピエゾ素子への入力の関係を示す。このデータからピエゾ素子にかける電圧と検出用光源の周波数との間に 1.12 × 109 Hz/V という関係があるとわかった。また図 6.9 のデータでは三角波の傾きが 80V/s であるので周波数に換算すると 8.96 × 1010 Hz/s であるとい

58

第 6 章 Zeeman slower の製作及び評価

図 6.11 Fabry-Perot 共振器の出力とピエゾ素子にかける三角波との対応える。
これで速度ゼロに対応する周波数を基準とする周波数軸に対する換算ができた。速度軸に換算するにはさらにドップラー効果の式

f=v sin θλを用いる。ここで f はドップラー効果による周波数のずれ、θ は検出光の原子ビームに直交する線に対するの角度、λ は検出光の波長、v は原子の速度である。今回の測定では θ は 4.7°、λ は 766.7nm である。これらの値を式に代入し周波数と時間の軸の換算式 8.96 × 1010 Hz/s を用いれば速度軸を得られる。
グラフの fitting
得られた速度軸を用いてデータに fitting を行い、分布の温度を見積もることで、図 6.8 を得る。fitting の式は

f (v) = av 2 exp(−(v/b)2 )である。ここで a、b が fitting のパラメータである。v 3 exp(−(v/b)2 ) ではなく v 2 exp(−(v/b)2 ) であるのは、原子が検出光の領域にいる時間が速度に反比例するので遅い原子ほど検出光と共鳴する回数が増えるため、そのための補正が必要だからである。

fitting パラメータの値は
a = 7.5069 × 10−7 ± 2.79 × 10−9 V/(m/s)2(6.3)

b = 497.12 ± 0.625 m/s(6.4)となった。特にパラメータ b は系の平均速度を表しており、

√
b=

2kB T
m

という関係がある。この値から温度を見積もると、308 ± 2 ℃の場合に対応することがわかった。この値は oven の熱電対で測定した温度よりも高くなっており、より信頼できる温度測定の必要性を示唆している。
また、原子ビームの強度を図 6.12 のデータから積分して計算すると、1.6 × 1010 atoms/s となる。実際には probe
光の領域に入らない原子もいるので、合計ではこの数字より数倍は大きくなると考えられる。原子ビームの速度分布を図 6.12 に示す。
これは 39 K の数字であるが、natural abundance を考えてこれが全てのカリウムの原子ビーム強度と考えて問題ない。設計時の目標は検出計の領域において 8 × 1010 atoms/s だったから、設計の数字と同じオーダーの流量を実現できたといえる。

6.2 カリウムについて

図 6.1259

原子ビーム強度の速度依存性。検出計の領域を単位時間に通過する原子数は速度の速い原子ほど多いため、図 6.8 と比べてピークが高速側に移っている。

図 6.13

磁場をかけて slowing 光を入れたときのの吸収信号

6.2.3 磁場をかけた状態で slowing 光を入射したとき磁場をかけた状態で slowing 光を入れた場合の吸収信号を図 6.13 に示す。また図 6.12 と同様に信号から算出した
原子ビーム強度の速度依存性を図 6.14 に示す。図 6.13、6.14 のいずれについても、速度が 160m/s に近いところにはっきりしたピークが見られる。これが Zeeman slowing された原子の信号である。 速度が 160m/s 以下に減速されている原子の数は、2.5 × 108 atoms/s と見積もられる。これは 41 K に換算*2 し設計時の目標と比べると、設計時における目標値（3 × 107 atoms/s）の約半分の値になっている。比較した値は安全係数をかけていない値であるので、得られたデータからは減速した原子数に何らかの原因で大きなロスが生じ、効率が悪くなっていることが示唆される。
また減速された速度は目標である 20m/s に届いていない。

*2 同位体比で考えて、 39 K における値の 1/14 の値を 41 K の値とみなせる。

60

第 6 章 Zeeman slower の製作及び評価

図 6.14

磁場をかけて slowing 光を入れたときのの吸収信号

設計時の速度まで減速できなかった原因の考察
今回我々が測定したデータでは、十分な低速まで原子を減速しきれていない。それはほとんどの原子が Zeeman

slowing における閉じた遷移から途中で外れてしまうことを意味している。
先行研究においては、多くの場合 Zeeman slowing が設計どおりにできない原因は磁場が適切に作られていないことに帰せられる。しかし我々の製作した Zeeman coil においては減速のために十分な正確さを持った磁場を製作している。そのため磁場のプロファイルが不十分であるために閉じた遷移から外れたということは考えにくい。
閉じた遷移を起こす機構としては磁場のほかには slowing 光しかないことから、原因は slowing 光にあると考えられる。特に、slowing のために必要な精度の偏光が用意できていないということが考えられる。なぜならば σ− 偏光の光に一部 σ+ 偏光の光が重なっていた場合、それと共鳴した原子は閉じた遷移から外れてしまうからである。

61

第7章

まとめと今後の展望
本研究においては、原子源である oven をはじめとする真空系、磁場を作るコイル l、減速のために必要なレーザー
光源および関連する光学系・電気回路の製作を行った。そのうちコイルは設計どおりの磁場ができていることを確認した。また oven についてはカリウムを設計どおりの数を出せていることを確認した。そして今回製作した Zeeman

slower では、1.6 × 1010 atoms/s の 39 K のうち、2.5 × 108 atoms/s を 160m/s まで減速させることに成功した。
今後の展望としては、今回製作した Zeeman slower の更なる性能の向上が必要である。たとえば今回減速した 39 Kであるが、このままでは減速させる速度の点で不十分である。またこれを 41 K に換算すると原子の個数においても当初の目標に達しておらず、さらなる改善が必要である。
加えてルビジウムの減速も確認しなければならない。当初我々が測定していた信号は、再現性がなく解析の結果ル
ビジウムの減速を示すものではないと判明したためである。これが実現しなければ本当の意味での２原子種の同時レーザー冷却は達成できない。
これらの必要事項を達成するためには、実験装置そのものの改善も必要になるかもしれない。たとえば今回測定は吸収信号を用いて行ったが、その代わりに蛍光を用いる手法も試す価値がある。また oven の温度測定の方法を改善
すれば、より定量的な原子ビームについての評価も可能になる。加えて、今回用意しながらも積極的に活用できな
かった cold plate および repump 光の評価も実用化のためには必要となるだろう。

63

付録 A

回路図
A.1 周波数 lock 回路

A.2 slave laser 用保護回路

64

A.3 高速 photodiodeA.4 AOM ドライバ

A.5 ホモダイン検出用フォトダイオード

付録 A

回路図

65

謝辞
この卒業研究を中心として井上研究室において研究生活をするにあたり、様々な方々からきめ細やかなご指導・貴重なご意見及び惜しみないご協力を頂きました。皆様には本当にお世話になりました。本論文の結びとして、最後にお世話になった方々に対して感謝の意を述べさせていただきます。
指導教員である井上慎准教授には本研究を進めるに当たって最もお世話になりました。本研究テーマは他の井上研の方々との研究とは独立した形になっており、我々のような立場であっても自由に様々なことに自分の手で取り組むことができたことは貴重な経験になりました。心から感謝申し上げます。また、理論的な問題に対しての井上先生の説明は、基本的なことから複雑なものまで非常に直感的に理解しやすいものでしたので、物理学を違った視点から理解することができ、この経験は将来物理学に関わっていくにあたり活かされていくものだろうと思います。先生のご指導のもと、私達は非常に有意義で貴重な一年を過ごさせていただくことができました。改めてここに深く感謝申し上げます。
井上研究室 小林淳助教には理論から実験手法まで幅広い分野に渡り貴重な助言を頂き非常にお世話になりました。
小林助教の何気ない一言が問題の核心に迫っていたり、私達が見落としていたことであったりというような経験が何度もあり、その度に小林助教の深い洞察力と幅広い知識・経験に裏打ちされた素早い判断に驚かされました。的確な助言とご指導深く感謝いたします。
電気通信大学 岸本哲夫准教授には、困ったときのトラブルシューティングをはじめ様々なご指導を頂きました。何か相談すると常に的確な答えが返ってくる岸本博士の姿には学ぶべき点が数多くありました。これからも岸本博士から教わったことを忘れず精進したいと思います。
また、上田マクロ量子制御プロジェクトを通じて特に関わりに深かった、強相関量子制御グループの電気通信大学
堀越宗一博士および中島秀太氏にも非常にお世話になりました。
堀越宗一博士には、ケーブルでの信号の遅延を利用したオフセットロックの手法を教えていただきました。おかげ
さまでルビジウムの repump 光を無事用意することができました。その他にも折に触れてアドバイスを頂き、研究を進めることができました。

D3 の中島秀太氏は、私達が困っているときに積極的に助言を下さり、いつも気にかけて下さいました。順序よく
問題点を明確にしていき、的確な解決策を導くその過程は非常に勉強になりました。
井上研究室の先輩方には、研究する姿を最も身近に拝見させていただき、また幾度となく親切な助言を頂き本当にお世話になりました。

D3 の相川清隆氏には、電気回路を初めとして様々なアドバイスを頂きました。周波数ロック用の回路を完成させることができたのは相川氏のおかげです。またミーティングでは研究を方向づける様々な指摘を頂き、今こうして研究をまとめるに至りました。

M2 の大麻浩平氏には、光学系のセッティングや電気回路等、様々なことを教えていただきました。何か困ったときに相談するといつも丁寧に説明してくださり、それが解決の決め手となったことも再三でした。

M2 の加藤宏平氏は、工作の仕方から光学系の基礎的な知識、論文の書き方まで、些細なことでも質問できる頼りがいのある先輩でした。加藤氏の助言のおかげで幾度となく実験や作業が前に進むことがあり非常に助けになりました。

M1 の齋藤裕介氏とは、最も年が近いということもあり、実験の手法から研究室での生活に関することなど有用な

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付録 A

謝辞

情報から、ここに載せるのもはばかられるほどのくだらない会話まで幅広い分野での心の交流がありました。私達が困っているとき問題が解決するまで親身になって共に考えて頂き、非常に心強く頼りになる先輩でした。
アメリカからの留学生である Amulya Bhagat 氏には我々の Zeeman Slower の設計、特に cold plate の設計を手伝っていただきました。我々の拙い英語のために意思疎通がうまくいかないことも何度もありましたが、氏の理解力でカバーしていただきました。
上田マクロ量子制御プロジェクトの先生方にも貴重なご指導を賜りました。
上田マクロ量子制御プロジェクトの研究総括である東京大学 上田正仁教授には、週に一度のグループミーティングにおいて貴重なご指導を頂きました。プレゼンの際にいかに相手に興味を抱かせ、伝えたいことを伝えるかという助言は深く印象に残っております。上田先生の助言を将来に活かせるよう努めていきたいと思います。
不確定性制御グループの東京工業大学 上妻幹旺准教授には、Zeeman slower の製作に関わる経験的なアドバイスを頂き非常にお世話になりました。上妻先生の助言は Zeeman slower を設計・製作する上で非常に助けになりました。
強相関量子制御グループの電気通信大学 向山敬准教授とは残念ながら直接的な関わりはありませんでしたが、グ
ループミーティングでの的確な質問や議論を通じてその深い洞察力に感銘を受けました。
上田マクロ量子制御プロジェクト事務局の技術惨事 榎本陽一氏、事務参事 佐藤敏彦氏、事務員 国府田愛氏には事務面でサポートして頂き、おかげで研究を円滑に進めることができました。心より感謝申し上げます。
また、東京大学工学部 6 号館の工作室の指導員 川端氏と佐藤氏の両氏には、機械工作の際に非常にお世話になりました。機械工作がほぼ初心者の私達に対し、初歩から分かりやすく指導して下さり非常に感謝しております。
最後に、ここに書くことのできなかった方々も含め、本研究を支援してくださった多くの方々に改めて深く御礼申し上げます。

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