修士論文

アルカリ原子の光会合の研究
指導教員

井上

慎

准教授

平成 25 年 2 月提出

東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻

37116525

上原 城児

目次
第1章
1.1
1.2
1.3

イントロダクション
研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
4
4

第 2 章 理論的背景
2.1 二原子分子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 分子の系の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 角運動量の結合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 光会合による２原子分子の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 摂動論による取扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 LeRoy-Bernstein 形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 電子基底状態と励起状態の分子ポテンシャル . . . . . . . . . . . . .

6
6
6
7
10
10
15
18

第 3 章 冷却原子集団への光会合
3.1 Rb2 の光会合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 実験方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 実験装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 タイムシークエンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 87 Rb2 (2 P1/2 )0−
g 状態の PA ラインの同定 . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 改良型 LeRoy-Bernstein 形式による振動準位の予測 . . . . . . . . .
3.2.5 振動準位の遷移の強さの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
22
24
24
26
27
30
32

第4章
4.1
4.2
4.3
4.4

35
35
38
40
41
42
43
46

PA 用光源の中心周波数安定化
中心周波数ロックのための光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ECDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transfer cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rb セルを用いた周波数のロック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 飽和吸収信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 FM サイドバンド変調法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Modulation transfer 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

第 5 章 まとめと今後の展望

49

1

付録
付録Ａ
付録Ｂ
付録Ｃ
付録Ｄ

原子と光の相互作用：輻射圧と双極子力 . . . . . . . . . . . . . . . . .
ECDL 用ロック回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
高速 PD(フォトダイオード) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
光格子のためのパスの作成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
50
56
57
61

参考文献

65

謝辞

68

2

第 1 章 イントロダクション

1.1

研究の背景

原子気体の研究では, レーザーを用いて原子を冷却・トラップする技術が 1980 年代から格段に発展を遂げていった。冷却された原子気体は, 量子統計性を示す理想的な系として注目されている。[1]例えばボーズ粒子は, 波動関数の対称化の要請によって, 同種粒子が同じ状態に存在する確率が古典的な粒子よりも多くなる。1920 年代にはアインシュタインによって, ボー
ズ粒子集団の温度を下げていくとある温度から相転移を起こし, 基底状態にマクロな数の粒子が入って凝縮を起こすことが予言されていた。これはボーズ・アインシュタイン凝縮(BEC) と呼ばれており, 実際に 1995 年には 7 Li[2], 23 N a[3], 87 Rb[4] を使った BEC が観測されている。この功績を称え, 1997 年には中性原子の冷却・トラップ技術の開発に大きく寄与した３氏に [5][6][7], 2001 年には BEC の実現に貢献した３氏にノーベル物理学賞が贈られた。多数の原子が１つのマクロな波として振る舞うという BEC の特徴から, 高感度の原子波干渉計 [8], [36] としての利用など, 物理分野での高い貢献が期待されている。一方
フェルミ粒子は, 波動関数の反対称化の要請から, 同種粒子が同じ状態をとることが許されず, フェルミ粒子集団の温度を下げていくと, 基底状態から順に状態が占有され, フェル
ミ・ディラック統計が得られる。これをフェルミ縮退と呼ぶ。1999 年には JIRA のグループが 40 K を用いて初めてフェルミ温度以下まで冷却することに成功し, フェルミ縮退に起因する蒸発冷却の著しい効率低下 (パウリブロッキング) を観測している [9]。フェルミ原
子気体の原子間相互作用を制御することによって, 超流動状態から原子対による BEC へ移行する現象 (BCS-BEC crossover) も観測されており [10][11], これらの系を用いて超伝導や超流動といった極低温物理の研究が盛んに行われている。
冷却原子を用いた実験によって様々な成果が得られる中, 近年では極低温分子への関心が高まり, 我々の研究室においても 41 K と 87 Rb という共にボゾンの原子気体を用いて41 K 87 Rb 極性分子に関する研究を行っている。粒子間距離を R とおいたとき, 冷却原子の系では衝突による短距離 (∼ 1/R6 ) で等方的な相互作用が支配的であるが, 極性分子間には新たに双極子・双極子相互作用が系に現れてくる。これは長距離 (∼ 1/R3 ) かつ異方的な相互作用であり, その効果を考慮することで, ボゾンの極低温極性分子系において新たな量子相の実現 [31], [32] が予言されている。極低温の分子を用意する上で問題となるのは, その冷却方法である。分子には振動・回転といった豊富な自由度が存在し, それゆえエネル
ギー構造は原子よりも複雑になっているため, レーザー冷却による直接的な冷却法が困難となる。そこで, 二種類の極低温原子気体を用意してから混合させ, 分子に会合させる間接的な手法がしばしば用いられる。JILA のグループでは, フェルミオンの 40 K とボソンの
87 Rb を使用しており, 光格子中で Feshbach 会合と誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP) を組み

3

第1章

イントロダクション

合わせた手法 [33], [34] を用いることによって, フェルミ縮退直前のフェルミオン 40 K 87 Rb
極性分子生成に成功している。我々の研究室では 41 K 87 Rb ボソン分子に対する STIRAPの手法が確立しており, ここに Feshbach 会合を組み合わせることで, ボソンの極低温極性
分子生成を目指している。
Feshbach 会合によって binding energy の小さい Feshbach 分子の生成を行うが, ここで問題となるのは, Feshbach 会合によってできた分子が, 他の原子や分子と衝突することによって下準位への緩和を起こし, それによる加熱でトラップロスを起こして最終的に使用できる分子の数が減少するという点である。そこで, 光を対向させてできた周期的ポテン
シャル (光格子) を形成し, 衝突抑制機構として用いている。まず光格子の各サイトに 87 Rbと 41 K 原子を１個ずつロードし, 光格子ポテンシャルを深くすることで超流動状態からMott 絶縁体状態へ相転移 [35] させ, 原子のサイト間ホッピングを抑制した後で会合させることにより, 生成分子の衝突を抑制するという手法である。ホッピングを抑制した段階
で, 分子生成に利用可能な原子の数が決まる。原子のペアから分子への変換効率を調べるためには, 光格子へロードした後の二原子集団の分布を調べる必要がある。光格子はガウシアンビームで形成されているので, Mott 絶縁体状態では shell 構造 (図 3.1) ができ, １サ
イトに同原子種が複数個入る領域が出現しうる。このようなサイトの存在も考慮しつつ,分子生成に利用可能なサイト数を調べるためには, 光格子サイト中で３種類の光会合を起こせばよい。すなわち 87 Rb2 , 41 K2 , 41 K 87 Rb への光会合を行い, 光会合された原子の数か
らサイト数を定量的に求める。これにより光格子中での混合原子気体の分布を知ることができ, 分子生成の研究の一助となる。

1.2

研究の目的

以上の点を踏まえ, 本研究では 87 Rb と 41 K の二原子種を用いて, 極低温原子集団の混合
気体を光格子中にロードした時の分布を調べるための系を構築し, KRb 分子を作成可能な
光格子サイト数の定量的な見積もりを行うことを目指す。これにより, 二原子種同時 BEC
から Feshbach 分子への生成効率が, 「同時 BEC の原子のうち, 分子生成に利用可能な原子としてロードされる効率」と「87 Rb と 41 K が１個ずついるサイトでの Feshbach 会合の効率」の２つに分離でき, 別々に測定できるようになる。

1.3

本論文の構成• 第２章では分子の量子状態について説明した後, ２原子状態からの光会合の原理について述べ, 振動状態と binding energy の関係を表すための方法として, WKB 近似の一種である ReLoy-Bernstein 形式について説明する。また, 今回行った 87 Rb2 の光会合に関係する話として, 分子の電子基底状態と励起状態に関する断熱ポテンシャ
ルの概要についても触れる。

4

1.3 本論文の構成• 第３章では 87 Rb2 の光会合に必要な周波数選定のためのトラップロス分光の実験について述べ, 得られたデータから振動回転準位の同定, 改良型 ReLoy-Bernstein 形式
による振動準位の binding energy の予測と評価, 及びこれらの遷移の強さの比較について述べる。
• 第４章では PA 用光源の中心周波数安定化を行うにあたって作製した光学系について説明する。
• 第５章では今回の研究についてのまとめと今後の課題について述べる。

5

第 2 章 理論的背景

2.1

二原子分子

分子は原子よりも多くの内部自由度を持ち, 並進運動に加えて振動・回転運動も存在す
るため, 分子の状態の記述はより複雑になる。ここでは光会合によって生成する２原子分子の状態を記述するために必要な量子数及び Hund’s case について触れ, WKB 近似の一種であり振動状態を近似的に導出する LeRoy-Bernstein 形式について述べた後, 光会合のプロセスについて記述する。

図 2.1 (a) 二原子分子の振動運動及び (b) 回転運動の模式図

原子核の運動に着目すれば, 原子は並進運動のみだったのに対して, 分子には振動と回転が新たに加わる。

2.1.1

分子の系の記述

原子の会合によってできた分子は複数個の原子核をもち, 一般に電子が核全体から受ける力は中心力ではなくなる。また, 原子核間の距離の変化は分子の振動となり, 原子核全体の配置の回転運動も加わる。以下, [19] の議論を参考にこれら全ての運動を考慮した分

6

2.1 二原子分子子のエネルギー準位を考える。分子全体のシュレディンガー方程式は

)
( −→
)
( −→
)
( −→
)
∑ ~2
∑ ~2
−
→
→
→
2
2
−
∇α −
∇i + V {Rα }, { ri }
Ψ {Rα }, {−ri } = EΨ {Rα }, {−
ri }
2Mα
2me
α
i
(2.1)
−→ −
→
と表される。Mα は α 番目の核の質量, Rα , ri はそれぞれ α 番目の原子核の位置ベクト
ル, i 番目の電子の位置ベクトルである。(α = 1, · · · , M , i = 1, · · · , N とする。) また
−→
−
→
−→ →
−→ −
→
→
{Rα } = R1 , · · · , RM , {−ri } = −r1 , · · · , −r→
N であり, 以後簡略化のため Ψ = Ψ(Rα , ri ) のよう−→ −→に表記する。V (Rα , ri ) は電子間相互作用, 原子核間相互作用, 電子-原子核間相互作用, 相対論的効果を表す項である。原子核に比べて電子は軽く, 同等の力を受けた時の加速度の違いを考えれば電子の動きまわる速度は原子核に比べて十分に速い。したがって電子の波動関数
は原子核の運動に対して常に平衡状態を満たしているとみなせるため, Born-Oppenheimer
近似を用いる。これは、原子核の運動を十分に遅いとみなして固定し, その時の核配置が作るポテンシャル中での電子群の運動を考える方法である。こうして電子群の波動関数 Ψeが従う方程式は
)
(
∑ ~2
−
→
−→ →
−→
−→ →
→
∇2i + V (Rα , −ri ) Ψe (Rα , −ri ) = U (Rα )Ψe (Rα , −
ri )
(2.2)
−
2me
(

i

−→
のように表される。得られた固有値 U (Rα ) を核運動に対するポテンシャルと考えて, 原子
核群の波動関数 Ψa がみたす方程式は
)
(
∑ ~2
−→
−→
−→
2
∇α + U (Rα ) Ψa (Rα ) = EΨa (Rα )
(2.3)
−
2M
α
α
で表される。これを解き, 得られた固有値 E と波動関数 Ψ = Ψa Ψe は (2.1) 式のよい近似−→となっている。二原子分子の場合, 断熱ポテンシャル U (Rα ) は核間距離 R のみの関数になるため, 重心運動を分離すれば中心力ポテンシャル中の粒子の運動に帰着する。この時の解は動径方向と角度方向の関数の積となり,

Ψ=

ψ(R)
Ylm (θ, ϕ)
R

(2.4)

の形になる。Ylm (Θ, Φ) は球面調和関数である。これを代入すれば ψ(R) がみたすべき式は,
( 2 2
)
~2 l2
~ d
+ U (R) +−ψ(R) = Eψ(R)(2.5)
2µ dR22µR2となる。µ は換算質量であり, l は原子核の軌道角運動量すなわち分子の回転状態を表す量子数となる。よって左辺第３項が回転による遠心力ポテンシャルを表す。 第２項の断熱ポ
テンシャルは分子や電子状態の違いによって形が異なり, R の無限遠では原子状態のエネ
ルギー準位へと漸近する。

2.1.2

角運動量の結合

前節のように, 二原子分子の系では遠心力ポテンシャル, クーロン相互作用, スピン · 軌
道相互作用がポテンシャルの項に含まれる。これらの大小関係によって角運動量がどのよ

7

第2章

理論的背景

うに結合するかが決定され, 結合の仕方に応じて分子の量子状態を表すのに適した量子数が変わる [19]。そこでこの節では, 角運動量の結合の仕方を表した Hund’s case について説明する。以下ではアルカリ原子の二原子分子を考え, 分子を構築する電子 1, 2 の持つ軌−→ →si (i = 1, 2) と表し, その量子化軸に対する射影を
道角運動量, 電子スピンをそれぞれ li , −それぞれ mli , msi とする。この２つの原子を結合させてできた分子は二電子系になり, 全
→ −
→
−
→ −
→ → −
−
軌道角運動量 L = l1 + l2 , 全スピン角運動量 S = −s1 + →
s2 , これらの分子軸方向の射影をそれぞれ ML , Σ と表記する。(ここで Λ = |ML | とおく。) 分子の回転運動は, 重心を通り分子軸に垂直な直線のまわりで起こり, その角運動量を N とする。以下では, 回転のエ
ネルギー準位間隔が小さい場合を表した Hund’s case (a) と (c) について述べる。

図 2.2 Hund’s case

Hund’s case(a) では, L と S の分子軸方向の射影 Λ と Σ が保存され, よい量子数となっている。一方 Hund’s case(c) では Λ と Σ が保存されず, Ja = L + S の射影が保存される。いずれの場合も, 全角運動量 J は J = Ω + N となっている。

·Hund’s case (a)電子系の相互作用とても強く, スピン · 軌道相互作用が小さくかつ回転エネルギーの寄与が無視できる時, 全軌道角運動量の射影成分 Λ が保存される。これは全スピン角運動量の射影 Σ についても同じで, この２つの和の絶対値を Ω = |Λ + Σ| と表すと, これらは−→−→ともに良い量子数となっている。分子軸方向の Ω と分子軸に垂直な N とが合成されて,
−
→ −
→
−
→ −
→
分子の全角運動量 J は J = Ω + N と表される。分子の電子状態は 2S+1 ΛΩ で表記され, Λ = 0, 1, 2, · · · に対応して Σ, Π, ∆, · · · が用いられる。Λ = 0 である Σ 状態では, 分子軸を含む平面に対する鏡映反転 σv について波動関数が対称 (反対称) かを区別するため,
Σ+ (Σ− ) と表記する。(Σ 状態以外では Λ に対して縮退した電子状態であるから, この鏡映に対して常に +, − の対称性を持つ状態が存在するので省略されている。) さらに等核二原子分子の場合, 添え字の g(gerade), u(ungerade) が右下に付いて 2S+1 Λg/u のように表8

2.1 二原子分子

記されるが, これは２つの核の中点を中心とした反転に対して波動関数が対称 (gerade) か−→
反対称 (ungerade) かを示している。回転エネルギーは回転定数 B を用いて Erot = B N2
→
→ −
−
→ −
→
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→ −
の形で書けるので, N = J − Ω 及び J · Ω = ( N + Ω ) · Ω = Ω2 であることを用いれば,

−
→
−
→ −
→
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
Erot = B( J − Ω )2 = B(J2 − 2 J · Ω + Ω ) = B(J2 − Ω2 )

(2.6)

−
→
2
となる。なお, 回転定数 B は慣性モーメント I = µr2 を用いて B = ~2I で定義される。 J−→の平方が J(J + 1), Ω の平方が Ω2 であることを用いれば次のようになる。
Erot = B(J(J + 1) − Ω2 ),J = Ω, Ω + 1, · · ·(2.7)· Hund’s case (c)重い分子など, スピン · 軌道相互作用が強く, 電子系と分子軸の結びつきはそれよりも弱→−い場合は, 分子軸方向の射影 Λ, Σ は良い量子数ではなくなる。まず全軌道角運動量 L と
−
→
−
→ −
→ −
→
−
→
全スピン角運動量 S が結びつき, Ja = L + S を形成する。 Ja の分子軸方向の射影 Ω が
−
→ −
→
−
→
良い量子数となっており, 分子軸方向の Ω と N とが合成されて, 分子の全角運動量 J は
−
→ −
→ −
→
+/−
J = Ω + N と表される。分子の電子状態は Ωg/u と表記され, 添え字は Hund’s case (a)と同じ対称性を表す。光会合によって電子励起状態に遷移した分子に関してはこの case が当てはまる。

Hund’s case は (a) から (e) まであり, 電子系と分子軸の結びつきの強さを Eax , 回転エネルギーの準位間隔を Ero , スピン · 軌道相互作用を Eso と書いてスケールを比較すると,それぞれの case は case(a) は Eax ≫ Eso ≫ Ero , case(b) は Eax ≫ Ero ≫ Eso , case(c) は
Eso ≫ Eax ≫ Ero , case(d) は Ero ≫ Eax ≫ Eso , case(e) は Eso ≫ Ero ≫ Eax のように分類される。

· 選択則
続いて, 分子準位の選択則について述べる。電子状態間の遷移は, 一般に振動回転状態の変化を伴って起こる。ここでは電気双極子遷移が支配的で, 電気四重極子遷移や磁気双極子遷移といった他の遷移は非常に小さいとする。まず回転の量子数 J は,
∆J = 0, ±1(ただし J = 0 ←→ J = 0

は除く)

パリティ(+/−) に関しては,+ ←→ −が許容 + ←→ +,− ←→ −は禁制となる。電子状態 gerade(ungerade) についても,g ←→ u が許容

g ←→ g,9u ←→ u は禁制

第2章

理論的背景

となる。ここからは Hund’s(a) と Hund’s(c) についてそれぞれ記述する。
Hund’s case(a) では, Λ が∆Λ = 0, ±1,(ただしΣ状態間はΣ+ ←→ Σ+ , Σ− ←→ Σ− のみを許容とする。)

を満たすものとし, スピン S とその射影 Σ についても∆S = 0,∆Σ = 0Ω に関しては∆Ω = 0, ±1(ただし∆J = 0 の場合はΩ = 0 ←→ Ω = 0 は禁制)となっている。
一方 Hund’s case(c) では, Ω が∆Ω = 0, ±1(ただし∆J = 0 の場合はΩ = 0 ←→ Ω = 0 は禁制)を満たすものとし, さらに Ω = 0 の状態間には

0+ ←→ 0+ , 0− ←→ 0− が許容, 0+ ←→ 0− は禁制という制限がある。しかしこれらは, Hund’s case のようにエネルギースケールが極端な場合における選択則であることに注意する。実際の分子においては回転の影響等も摂動として表れて禁制の遷移が起こりうるため, 選択則が厳密に守られているわけではない。

2.2

光会合による２原子分子の生成

2.2.1

摂動論による取扱い

ここでは, ２つのアルカリ原子がレーザー場との相互作用によって会合し分子を生成するプロセスについて記述していく。[20] の議論を参考にして, 摂動論による光会合レートの導出を行う。２原子状態に対して, レーザー場を摂動として導入する。まずアルカリ原子 A
は冷却され価電子が基底状態 (ns) にあるものを用意し, ここに周波数 ωL の光を照射する。
この時 ωL は, 原子の ns − np 間共鳴周波数 ωA から ∆L だけ赤方離調させ, ωL = ωA − ∆Lを満たす。光会合によって分子になる時,

A(ns) + A(ns) + ~ωL → A2 (Ωg/u (ns, np2 P1/2,3/2 ; v, J))(2.8)と表せる。ここで指定した分子状態は, ２原子状態 A(ns) + A(np2 P1/2,3/2 ) を dissociation
limit に持った電子状態 Ωg/u のうち, 振動回転準位が (v, J) であるものを指す。この分子状態の binding energy を Eb (v, J) と表すと, 会合前の２原子状態とのエネルギー差は~ωA − Eb (v, J) である。
ここで, N 個の原子集団に２原子間相互作用が働いている系を考えハミルトニアンを記述

10

2.2 光会合による２原子分子の生成

図 2.3 光会合に用いる分子準位の断熱ポテンシャル

原子核間距離が大きくなると, それぞれ２原子状態に漸近する。基底状態 (ns) の原子対を用意し, ~ωL = ~ωA − Eb (v, J) をみたすような
周波数 ωL を照射すると, A2 (Ωg/u (ns, np2 P1/2,3/2 ; v, J)) のエネルギー分子準位と断熱ポテンシャ
ルが一致するような原子核間距離まで近づいたところで光会合が起こる。

する。Born-Oppenheimer 近似を用いれば,

ĤN =

N ( 2
∑
p

a

2m

a=1

)
+ Hael+∑V (rab )

(2.9)

a>b

p2

a
と表せる。 2mは原子 a の運動エネルギー, Hael は原子核-電子間相互作用ハミルトニアン,→→
V (rab ) は原子 a と原子 b 間の原子間ポテンシャル (２原子間距離 rab = |−ra − −rb |) である。
ここでは特に, 会合する２原子に注目して

Ĥ0 =

2 ( 2
∑
p

)

a

a=1

2m

+ Hael+ V (r12 ) +∑V (r1a ) +

a̸=1

∑

V (r2a )(2.10)a̸=2の様に書き直す。ここでの原子密度は３体以上の衝突が無視できる程度に低く, その他の原子による２原子間ポテンシャルの影響も十分小さいものとみなして, 最後の２項の影響→→→→は無視する。ここで, 位置 −r1 , −
r2 と運動量 −p1 , −
p2 について以下のように書き換える。

→
→
−
→ −
−
r1 + −
r2 →
→
→
R0 =
, R =−
r1 − −
r2
211(2.11)

第2章

理論的背景

→
→
−
→ → −
−
→ −
p1 − −
p2
P0 = −
p1 + →
p2 , P =2
これを用いると, Ĥ0 は

P02
+ HM
2M

(2.13)P2+ H1el + H2el + V (R)2µ(2.14)

Ĥ0 =

ĤM =

(2.12)のように表される。ここで M = 2m, µ = m/2 である。この２原子分子系にレーザー光が照射されたとすると, 原子とレーザー場との相互作用がハミルトニアンに新たに加わる。
−→→
レーザー光を周波数 ωL , 波数 kL , 大きさ E0 の直線偏光 (偏光方向ベクトル −ϵL ) で, z 軸方向に進行するものとすると, レーザーが作る場は−→→E (z, t) = −ϵL E0 cos(ωL t − kL z)(2.15)と表される。レーザー光の波長が分子スケールより十分大きければ, 分子は一様な大きさの電場を感じているとみなせる。これを双極子近似といい, 原子と場の相互作用は→W (t) ≈ −(−ϵL · (D1 + D2 ))E0 cos(ωL t − kL z)(2.16)と表される。実際, 分子の核間距離 (∼ 1nm) に対しレーザー波長は 103 程度の大きさを持っているので, 良い近似となっている。この相互作用を摂動項として取り扱う。まず系の時間発展密度行列を ρ(t) とおけば, ρ(t) の運動方程式は次のように表される。

i~d
ρ(t) = [H0 + W (t), ρ(t)]dt(2.17)

ここで以下のような変形を行う。

ρ(t) = exp(−iH0 t)σ(t)exp(iH0 t)(2.18)

W (t) = exp(−iH0 t)W̃ (t)exp(iH0 t)(2.19)

これによって運動方程式はdσ(t) = [W̃ (t), σ(t)]dtとなり, 時刻 t = 0 を基準にすれば,
[
]
∫ t
d
1
i~ σ(t) = [W̃ (t), σ(0)] +W̃ (t),dτ [W̃ (τ ), σ(0)]
dt
i~
0
i~

(2.20)(2.21)

両辺積分して整理すると

1
σ(t) = σ(0) +
i~

∫ t

1
dt[W̃ (t), σ(0)] − 2
~
0

∫ t

12

0

[
dt′ W̃ (t′ ),∫ t′]dτ [W̃ (τ ), σ(0)]0(2.22)

2.2 光会合による２原子分子の生成と表される。ここで遷移する２つの準位について記述する。最初に基底状態 (ns + ns) 付
近の連続状態にいたとする。その状態を|α⟩ = |ns, ns, 2S+1 Λu,g , E, J tot , M tot ⟩(2.23)と表記する。2S+1 Λu,g は (ns + ns) を dissociation limit に持つ分子状態であり, J tot は全角運動量, その分子軸方向の射影を M tot と表す。E は相対運動のエネルギーで,

→ −
→
1 −
E = µ(V1 − V1 )2
2(2.24)と表される。次に光会合で遷移する分子準位を|n⟩ = |ns, np(2 Pja ), Ωg,u , vn , Jntot , Mntot ⟩(2.25)と表記する (|n⟩ の n は, ns, np の n とは無関係であることに注意)。Binding energy は ~δnとする。Ωg,u は (ns + np(2 Pja )) を dissociation limit に持つ分子状態であり, Jntot と Mntot
は |α⟩ と同様である。まず t = 0 のレーザー光がない時, 密度行列は

ρ(0) =Z
exp(−βHM )=T r(Z)T r(exp(−βHM ))である。(β = 1/kB T とする。) 状態 |α⟩ においては状態密度 s(E) を用いて∫
T r(Z) = dEexp(−βE)s(E)(2.26)(2.27)と表され, ３次元空間で体積 V の領域においてはs(E) =

1
4πV 3µ 2 (2E) 23hであるから,(T r(Z) =

2πµ
β

(

)3

)3

(2.28)

Vh3(2.29)exp(−βHM )(2.30)

2

したがって, t = 0 の密度行列は

h3
ρ(0) =Vβ2πµ2と表される。相互作用 W (t) によって |α⟩ から |n⟩ へと遷移したとすれば,⟨n|W (t)|α⟩ = wn (α)cos(ωL t − kL z)(2.31)と書ける。wn (α) は２つの準位に関するカップリング行列要素の関数である。これは分子−→の遷移モーメント d の行列要素をを含んでいる。状態 |α⟩, |n⟩ の動径方向の衝突波動関数−→
を Fα (R), Fn (R), ２準位間の分子の電気双極子モーメントを d , その q 方向成分を dq (R)
とすれば,
∫ ∞
∑
−
→ −
→
→
−
′
⟨n| d · ϵL |α⟩ =( ϵL )−q Mqq
dRFn (R)dq′ (R)Fα (R)(2.32)
0q,q ′ =0,±1

13

第2章

理論的背景

と表される。Mqq′ は angular factor であり, dq′ (R) は原子の ns − np 間遷移双極子モーメ
ント D に比例する。Binding energy の小さい振動状態においては, dq (R) の R 依存性が無視できて,→
wn (α) = 2~KC(Λ, Ω, Jntot , Mntot , J tot , M tot , −ϵL )Sn (α)(2.33)と表される。ここで 2K = E0 D/~ は原子のラビ周波数であり, Sn (α) は∫ ∞Sn (α) =Fn (R)Fα (R)dR(2.34)

0であり, 始状態と終状態の動径方向衝突波動関数の重なり積分である。ここで δ 近似を行う。電磁場とのカップリングは電子についてのみ考えればよいとして, C は δJ,Jn δM,Mn に比例するものとすれば,
wn (α) = 2~δJ,Jn δM,Mn K ′ Sn (α)(2.35)となる。重なり積分は, 波動関数の振幅が断熱ポテンシャルの外側の古典的転回点で大きくなる。|n⟩ 状態の古典的転回点 R0n において, 基底状態側の断熱ポテンシャルは十分フラットであると近似すれば, R ≈ R0n における波動関数 Fα (R) は(Fα (R) ≈(Fα (R) ≈2µπ 2 ~2 E

2µπ 2 ~2 E)1/4
sin(k(R − A(k)),

J =0(2.36)

kR · jJ (kR),J ̸= 0(2.37))1/4√と表される。k = 2µE/~ であり, jJ は球面ベッセル関数である。一方 |n⟩ 状態について考えると, −C3 /R3 型ポテンシャルは R ≈ R0n においてV (R) = −~δn +3C3(R − R0n )(R0n )4(2.38)のように近似でき, 波動関数 Fn (R) も同様に計算できる。以上を用いて光会合レートを考えていく。
∫

dα|α⟩⟨α| = 1⟨α|σ(t = 0)|α′ ⟩ =exp(−βE)δ(α − α′ )T r(Z)

であり, 回転波近似を用いて時刻 t における |n⟨ 状態の存在確率は∫
1exp(−βE) 1 − cos((ωn − ω − ωL )t)⟨n|σ(t = 0)|n⟩ = 2 dα|wn (α)|22~
T r(Z)(ωn − ω − ωL )2(2.39)(2.40)(2.41)

である。特に連続状態の中の |αr ⟩(エネルギー準位 Er ) と共鳴して会合するなら,⟨n|σ(t = 0)|n⟩ =πexp(−βE)|wn (αr )|2t2~
T r(Z)(2.42)

であり, 時刻 t の時点で生成した分子数は

Nn (t) =N (N − 1)⟨n|σ(t)|n⟩2
14(2.43)

2.2 光会合による２原子分子の生成

よって全原子数のうち単位時間当たりに光会合する比率はRn (Er ) =πN
exp(−βEr )|wn (αr )|24~
T r(Z)(2.44)となって, 代入して計算すると, 光会合のレートは(Rn (Er ) =

3
2π

)3/2

∑
hN 3
λth exp(−βEr )K 2
δJ,Jn δM,Mn Sn2 (αr )2V(2.45)

J,M√と表される。λth = h β/3µ は熱的ド・ブロイ波長であり, 和の部分には 2Jn + 1 の縮重度も考慮されているが記号を省略する。この式から分かるとおり, 会合レートは原子集団の温度や原子質量の − 23 乗に比例し, レーザー光の強度や原子集団密度に比例する。重なり積分を用いると, Jn = 0 の時は(
Rn (Er ) =

3
2π

)3/2

hN 3
sin2 (kr (R0n − A(kr )))λth exp(−βEr )K 2
2V
(3Er ~δn )1/2

(2.46)

Jn ̸= 0 の時は(
Rn (Er ) = (2Jn + 1)

3
2π

)3/2

JJ2 +1/2 (kr R0n )hN 3
λth exp(−βEr )K 2 n 2 ′2V(3~ ωm δn )1/2

′
ωm
=

~
2µ(R0n )2(2.47)(2.48)のように表される。

2.2.2

LeRoy-Bernstein 形式

分子の断熱ポテンシャルと振動準位の binding energy の関係性を記述する方法として,[21] の議論を参考に WKB 近似の一種である LeRoy-Bernstein 形式について導出する。分子の断熱ポテンシャルが原子状態に漸近していくようなモデルとして,V (R) = Eatom −

Cn
,
Rn

n≥3

(2.49)のような形のものを考える。Eatom が分子の dissociation limit におけるエネルギーである。Bohr-Sommerfeld の量子化条件を用いると, 振動準位 v にいるエネルギー E を持った
分子は,
√ ∫ R
+√
2µ
1
E − V (R)dR = (v + )(2.50)
π~ R−
2をみたす。R+ , R− は, この振動において原子核間距離が V (R) = E をみたす外側と内側の古典的転回点を表す。ここで左辺を β をおく。
√ ∫ R
+
2µ
dv
dR
dβ
√
=
=
(2.51)
dE
dE
h R−
E − V (R)

15

第2章

理論的背景

であり, これは振動準位の状態密度を表す。積分値は V (R) ≈ E をみたす領域の影響を大きく受ける。ここで, R− が十分小さいとして 0 に近似し, ϵ = Eatom − E を用いると,
√ ∫ R
+
2µ
dβ
dR
√
=−
(2.52)dE
h 0− ϵ + Cn /Rn
1

さらに R を R+ = (Cn /ϵ) n によって規格化した変数 x = R/R+ を用いて変形すると,

dβ
dE

√

1 ∫
n
1
2µ Cnnx2√dx= −h ϵ n+2
1 − xn2n0
1 √√2µ Cnn π Γ( 12 + n1 )= −h ϵ n+2n Γ(1 + n1 )2n(2.53)

これを両辺 E で積分することで, LeRoy-Bernstein 形式

vD − v = Hn−1 ϵ 2nn−2√
Hn−1 =(2.54)

1

2µ Cnn Γ( 12 + n1 )π ~(n − 2) Γ(1 + n1 )(2.55)

が導き出される。vD は積分定数で, この整数部分が断熱ポテンシャル中にできる振動準位の数を表している。一番高い振動準位を vmax とすれば, 小数部分 δ = vD − vmax はquantum defect となる。励起状態の断熱ポテンシャルにおいて, 例えば古典的転回点付近
で resonant dipole-dipole 相互作用 (∼ 1/R3 ) が支配的な場合を考える。この時の近似として n = 3 を代入すると,
ϵ = (H3 )6 (vD − v)6(2.56)の形で表される。
この近似では, R のべき乗の項を１個としてあり, quantum defect が v の値に関わらず一定となっているが, 実際のポテンシャルは多重極展開によってV (R) = Eatom −

∑ Cn
n

Rn

(2.57)のように表した方がより正確であり, 核間距離の変化に応じて他のべき乗の項の影響も変化するから, quantum defect にも変化が生じる。したがって binding energy の小さい準位を用いて深い準位の binding energy を予測しようとするならば, v と ϵ の関係性をより厳密に記述するためにさらなる補正が必要となる。[22] ポテンシャルを３つの領域に分けて,
c , Rc とおく。この時, 古典的転回点付近におけるポテンシャルを
その境界を内側から R−+

V (R) = Eatom −

Cn
Rn

c
R+
≤ R ≤ R+c
V (R) = D + C(R−
− R)

16

c
R− ≤ R ≤ R−

(2.58)(2.59)

2.2 光会合による２原子分子の生成
c は原子間斥力が大きい領域, Rc ≤ R ≤ Rに従うものとして近似する。R− ≤ R ≤ R−++
は漸近型ポテンシャルに十分近い領域を表し, それらの中間領域で２つのポテンシャルを繋いでいる。この場合,
√ ∫ R
+
2µ
dβ
dR
√
=
dE
h R−
E − V (R)√√ ∫ Rc ∫ Rcn
1/n ∫ 1
−
+
2µ Cn
2µ
dR
x 2 dx√√+= −+(2.60)
n+2/2n
n
c
c
h ϵ
h R−
E − V (R)R−
R+ /R+ 1 − xのようになる。binding energy の小さい準位では R+ は大きく, 漸近型のポテンシャルに
c /R とおき, 右辺第 1 項の積分を y ≪ 1 としてテイ従う領域も広くなる。そこで y = R++
ラー展開を使って近似する。
√
n
n
∫ 1
∫ y
π Γ( n1 + 12 )x 2 dxx 2 dx√√=−n Γ( n1 + 1)
1 − xn1 − xny0√)(nπ Γ( n1 + 12 )
2
n+2
n
+1
−
y2
y + ···=1+n Γ( n1 + 1) n + 22(3n + 2)√( )−( 1 + 1 )n2
π Γ( n1 + 12 )
2
Cn
c n
+1
≈
−
(R+ ) 2(2.61)1n Γ( n + 1) n + 2ϵ

図 2.4 LeRoy-Bernstein 形式の改良のためのモデル

断熱ポテンシャルを３つの領域に分けてcc考える。それぞれ漸近型ポテンシャル領域 (R+≤ R ≤ R+ ), 斥力ポテンシャル領域 R− ≤ R ≤ R−,c
c
その中間領域 R− ≤ R ≤ R+ である。

続いて, 右辺第２項の積分部分について計算する。binding energy の小さい準位ではc についての積E − D ≈ Eatom − D と近似できることを用いると, 斥力領域 R− ≤ R ≤ R−

17

第2章

理論的背景

分は,

∫ Rc

−

R−

√

dR
E − V (R)

=
≈

√
2 E−D
C
√
∫ Rc
−
2 Eatom − D
dR
√
=
′
C
Eatom − V (R)
R−

′ はE
c
′
と書き表せる。R−
atom = D + C(R− − R− ) をみたす値である。
よって右辺第２項は,
)
√ (√
∫ Rc
∫ Rc
+
+
2µ 2 Eatom − D
dR
dR
√
√
≈
+
c
h
C
E − V (R)
Eatom − V (R)
R−
R−
√
∫ Rc
+
2µ
dR
√
=
+
′
h
Eatom − V (R)R−(2.62)(2.63)となる。これらを代入して両辺 E で積分すると,vD − V ≈ Hn−1 ϵ 2n + γϵ
n−2√(2.64)

1

2µ Cnn Γ( 12 + n1 )Hn−1 =
π ~(n − 2) Γ(1 + n1 )
√
√
∫ Rc
+
2 2µ
2µ
dR
− 12
c n
+1
√
γ=−
Cn (R+ ) 2+′(n + 2)hh
Eatom − V (R)R−(2.65)(2.66)

が得られる。これが改良型の Leroy-Bernstein 形式である。新たに γϵ の項が加わっている。

2.2.3

電子基底状態と励起状態の分子ポテンシャル

超微細構造を無視した時, 電子基底状態における二原子分子は Hund’s case(a) を用いて
1 Σ+ と 3 Σ+ の２つの状態に分けられる。核間距離が十分に小さいところでは交換相互作
gu

用が強くなって急速に増大し, 核間距離が離れていくと van der Waals 力が支配的となり,
どちらも２原子状態 ns + ns 状態へと漸近していく。

18

2.2 光会合による２原子分子の生成

図 2.5 基底状態の Born-Oppenheimer ポテンシャル [23]基準としている。Hund’s case(a) を用いて

1

Rb2 の 5s+5s をエネルギーの3 ++Σg と Σu の２つの状態に分けられる。

励起状態の分子ポテンシャルについて, 非相対論的な描像で考えると, 断熱ポテンシャ
ルは Hund’s case に従って ns + np 状態へ漸近していく８つのポテンシャルとなっている。
これらは, Σ と Π, g(gerade) と u(ungerade), パリティ+ と − によって区別される。図 2.5は, 核間距離が小さい領域における, Hund’s case(a) で表現した非相対論的な断熱ポテン
シャルである。これらはみな, resonant dipole-dipole 相互作用による ∼ 1/R3 型のポテン
シャルへ漸近する。Hund’s case(a) で表される核間距離が小さい領域は, このポテンシャ
ルが良い近似になっている。一方 dissociation limit 付近の２原子状態は, 微細構造によって 5s + 5p1/2 と 5s + 5p3/2 に分離するから, 相対論的効果であるスピン・軌道相互作用を含めて断熱ポテンシャルを考える必要がある。そこで, 相対論的効果を含めた Morve-Pichler
モデルを考える。[25] このモデルでは, ∼ C3 /R3 の resonant dipole とスピン・軌道相互作用が組み合わさり, 図 2.7 のようになる。Rb 原子のような重いアルカリ原子による分子の場合, resonant dipole-dipole 相互作用に加えて van der Waals 力といった高次の項や相対論的効果の寄与を考えた補正が重要となる。

19

第2章

理論的背景

図 2.6 電子励起状態の Born-Oppenheimer ポテンシャル [23]非相対論的描像のため, ス

ピン・軌道相互作用を考慮していない。Hund’s case(a) を用いて８つの状態に分けられる。[24]図 2.7 Movre-Pichler モデル [25] を使った電子励起状態の断熱ポテンシャル [23]

スピン・軌道相互作用を考慮して dissociation limit は 5s + 5p1/2 と 5s + 5p3/2 に分裂。Hund’s case(c)が適用され, 16 個の状態に分けられる。

20

第 3 章 冷却原子集団への光会合
この章では, 我々が行った冷却原子気体に対する光会合の実験について記述する。我々は87 Rb と 41 K という共にボゾンの原子気体を用いている。1.1 節で述べたとおり, 41 K 87 Rbの Feshbach 分子を生成する際, この分子が他の原子や分子との衝突によって下準位へと緩和すると, 加熱してトラップロスを起こすため, 最終的に使用できる分子の数が減少する。
そのため, 我々の研究室では光格子を用いて１サイトに 87 Rb と 41 K 原子を１個ずつロー
ドし, 光格子ポテンシャルを深くすることで超流動状態から Mott 絶縁体状態へ転移させ,原子のホッピングを禁じてから会合させることにより, 衝突を抑制する手法をとっている。

図 3.1 ガウシアンビームで作った光格子中での Mott 絶縁体状態が作る shell 構造

光格子にオフセットが乗ることで, サイトによってロードされた原子数 n に違いが生じる。光格子が深い場
合や原子密度が高い場合は化学ポテンシャル µ が高くなって n が 2 以上のサイトが現れる。中央
ほど１サイトに入る原子数が多くなっている。

K 原子や Rb 原子にとって, ガウシアンビームで作られた光格子 (光の波長 λ=1080nm)
21

第3章

冷却原子集団への光会合のポテンシャルは, ビーム中心が最も深く外側に行くにつれてポテンシャルが高くなるよ
うなオフセットが乗っている。このように不均一な光格子領域に原子集団をロードした場
合, 光格子領域の各サイトの化学ポテンシャル µ が等しくなるように原子が分布して平衡状態となるため, 光格子ポテンシャルを深くして Mott 絶縁体状態にした時, 図 3.1 のように原子数が整数個ロードされたサイト領域が層状に分布する shell 構造を構築する。BECのような密度の高い (∼ 1014 cm−3 ) 原子気体をロードした場合, 光格子の作るポテンシャ
ルが深いと１サイトに同じ原子が複数個ロードされるような状況が起こり, KRb 分子の生成可能なサイト数が減少する。
たとえ１サイトに２種類の原子種が存在しても, 分子生成に使われない余剰の原子が存在すれば, 分子はサイト内でこれと衝突を起こす。したがって原子対から分子生成の変換効率を調べるには, 光格子へのロード後に, 分子生成に利用できるサイト数を定量的に測定できることが望ましい。そこで 87 Rb2 , 41 K2 , 41 K 87 Rb の 3 種類の光会合を行うための系が必要となる。最初の２つは１サイトに重複して同じ原子がロードされたサイト数を調
べ, ３つ目は２種類の原子がロードされたサイト数を調べるものである。光格子はガウシ
アンビームの中心でポテンシャルが深くなるから, ２つの shell 構造が同じ中心から広がっていると考えればよく, ３種類の P A ロスシグナルから得られた原子数から, Rb と K が１つずつロードされたサイト数を見積もることができる。
P A のロスシグナルを得るにあたって, どの分子準位に向けた PA を行うかを選定する必要がある。そこでまず 87 Rb2 の PA を行って, 振動準位がどこにあるのかを探索し, 見つかった振動準位への PA による遷移の強さを比べることにした。

図 3.2 光格子を使った生成分子の衝突抑制機構の概念図

１サイトに Rb 原子と K 原子を１個ずつロードして, Mott 絶縁体状態に転移させホッピングを起こらなくしてから会合する。右図のように余剰の原子が存在するサイトは分子生成に利用できない。

3.1

Rb2 の光会合

光会合によるトラップロスは, MOT 後の冷却原子気体 (密度 ∼ 1010 cm−3 ) よりもBEC(密度 ∼ 1014 cm−3 ) の方が大きいシグナルが得やすい。そこで Rb の BEC を用意し

22

3.1 Rb2 の光会合て PA を行った。この時, どの分子状態に励起させるのかによって必要な周波数が決まる。
基底状態の Rb 原子同士から生成される分子の電子状態について考えると, Hund’s case(a)3 +によれば X 1 Σ+
g 状態と a Σu 状態の２つが考えられる。ここで使用している Rb の BEC

図 3.3 Rb の PA を行う分子ライン−
基底状態側は a3 Σ+
u であり, そこから 0g 状態へ会合させる。

は, 磁場トラップ中で集めた |F = 2, mF = 2⟩ 状態の原子をそのまま ODT 中に入れて生成している。|F = 2, mF = 2⟩ = |mI = 32 , mJ = 12 ⟩ は F = I + 12 かつ mF = F をみたす
ので, doubly polarized 状態となっている (87 Rb は I = 23 )。doubly polarized 状態同士で分子を作ったときの全スピン角運動量は S = 1 となり, トリプレットであるから, a3 Σ+u 状態の方であると考えられる。この分子状態からの光会合について, 選択則を考える。[19]電気双極子遷移による選択則が支配的だと考えれば, 等核二原子分子についての電子状態の選択則は∆Λ = 0, ±1(3.1)となって, Σ 状態からでは Σ, Π 状態への遷移が可能である。それに加えてg(gerade) ←→ u(ungerade)を満たさなくてはならない。また, Σ 状態間ではパリティ(+/-) に関しても制限があり,+ ←→ +,− ←→ −

23

第3章

冷却原子集団への光会合に限られることになる。励起状態については 5s + 5p1/2 と 5s + 5p3/2 に dissiciation limitがあるものに分類でき, その電子状態の数を Hund’s case(a)(Hund’s case(c)) で分けると,
5s + 5p1/2 の方は４種類 (６種類), 5s + 5p3/2 の方は６種類 (１０種類) になる。Hund’scase(a) で書いた励起状態のうち, D1 ライン (795nm) の 5s + 5p1/2 に漸近してトリプレッ
33
トかつ gerade であるものは 3 Σ+
g と Πg であり, Πg のポテンシャルはもう一方に比べて非常に浅く, 豊富な数の振動準位は期待できない。よって 3 Σ+
g の方を選び, この電子状態中における振動準位を観測することにした。なお, 光会合の遷移が強くなるのは核間距離にして外側の古典的転回点付近であり, この領域では Hund’s case(c) が適応することを考−慮する必要がある。Hund’s case(a) における 3 Σ+
g は, Hund’s case(c) の領域では 0g と 1g−が対応している。そこで今回, Pruvost [27] と Boesten [28] のデータを参考に, 0g で指定されたポテンシャルに関する振動準位を観測することにした。

3.2

実験方法

3.2.1

実験装置

·PA 用レーザー光源
光会合のシグナルの探索にあたっては周波数をスキャンできる必要があり, パワーが数
W/cm2 程度必要であった。そこで今回, Spectra-Physics 社の Matisse-TX を PA 用光源として使用した。これはリングチタンサファイアレーザーで, 付随している reference cavityの共振器長を変えることで周波数のスキャンを可能にしている。パワーは 1W 以上まで発振でき, PZT のフィードバックによってモードホップ無しに数十 GHz のスキャンができる他, 線幅も 30kHz 未満に抑えられている。ただしレーザーの発振による加熱等でリング
キャビティ長が変化し, 中心周波数のドリフトが生じる。我々の実験では, 100s で 10M Hz
程度のドリフトが確認できた。使用した波長形は８桁分 (つまり 100THz から 10MHz の位まで) 表示されるので, これを確認しながら原子気体に照射する直前に PA 光の周波数をセットした。
· 光学系
図 3.4 は今回の実験に使用した原子気体をトラップするチャンバーの周辺である。磁気光学トラップ (MOT) から原子気体を光双極子トラップ (ODT) に移し変えた後, ODT 中での蒸発冷却によって BEC を生成する。この時点で原子数は N∼ 1.6 × 105 程度であり, 原子数
揺らぎは ±10% である。ODT 中の BEC に対して PA 光を照射するため, 図 3.4 のように,光格子用の光 (1080nm) が通るパスに重なるよう, ダイクロイックミラーの裏側から光を通すことにした。Matisse-TX から出た光を光ファイバーで運び, レンズで絞った後ダイク
ロイックミラーを透過し, ODT の中心に当たるようにしている。チャンバーを通った先には光格子調節用の CCD カメラが設置してあり, カメラの像を見ながら光格子と PA 光のパスが一致するように調節する。この時レンズによって，PA 光の直径は 800µm の大きさに絞られており, 直径約 100µm の BEC がビームの中心と重なるようにした。Matisse-TX からシングルモードファイバーで送ることのできたパワーは最大で 104mW であり, パワー
密度は 16W/cm2 まで上げることができる。ファイバー中での光のパワーのロスは誘導ブ
リルアン散乱によるものが大きい。今回使用したシングルモードファイバーでのロスは約90% と大きかったのに対して, マルチモードファイバーでは約 24% となっていて, 最大で24

3.2 実験方法

図 3.4 PA 光のパス

左端のファイバーからでた光は, 写真中央にある大きなダイクロイックミ

ラーの所で光格子用のパスと重なるよう調節している。

760mW も送ることができた。しかし PA を行うにあたっては数 W/cm2 あれば十分であり, 実際にはシングルモードファイバー前で NE フィルターを用いてパワーを落としてから PA を行っている。また, PA 光は光会合の瞬間だけ照射するので, 図 3.4 のように光ファ
イバー出射直後にシャッターを設置している。原子の冷却 · トラップ, PA, 原子のイメー
ジングに係る装置の操作は全て, LabView というソフトに組んだプログラム上で行っている。シャッターの開閉もこの中に組み込むため, TTL 信号によって操作できるようなシャッタードライバーを作成した。図 3.5 に作成したシャッタードライバの回路図を示す。

25

第3章

冷却原子集団への光会合

図 3.5 シャッタードライバの回路図

3.2.2

タイムシークエンス

前節で書いたとおり, MOT から PA のロス測定までの全プロセスは LabView 上に組んだシークエンスに基づいて動いている。１サイクルの概要は以下のようになる。

• 磁気光学トラップ (MOT) によって原子を集める。集まった原子数に比例して, 原子集団が MOT 光を散乱する量が増えていくので, 蛍光量がある一定量を超えた時点でTTL 信号を発生させ, 次のプロセスに移る。
• 磁場勾配を強くして圧縮した後, 磁場トラップ中で 31 秒間蒸発冷却を行う。高い運動エネルギーを持った原子から選択的に捨てていくことで, 再熱分布化を経て, より低い温度の原子集団になる。
• 光双極子トラップ (ODT) 中に原子を移し, 光強度を下げてポテンシャルを浅くしていくことにより, さらに 2 秒間蒸発冷却を行う。この過程で原子集団を BEC に相転移させる。
• ODT 中に保持された BEC に対して, シャッターを開いて PA 光を照射する。照射時
間は LabView 上で, 周波数は Matisse commander 上で適宜選択する。
• PA 光シャッターを閉じ, 原子に共鳴する probe 光で吸収イメージングを行う。こうして得られた原子集団の分布に ﬁtting を行い, 原子数を算出してロスの様子を観測する。
１サイクルに要する時間はおよそ 80 秒であり, 主に MOT 中に原子が一定量ロードされるまでの時間と磁場トラップ中での蒸発冷却によって占められている。これらのシークエ
ンスをインターバル無しで繰り返すことで, コイルの温度が熱平衡に達し, 生成する BEC

26

3.2 実験方法の数も安定になる。10 サイクル程繰り返して安定になったのを確認してから PA 光を入れ始め, 1 サイクルごとに照射する周波数を 10MHz ずつずらしていく。 なお波長計の値は,一方向へのスキャン中における相対的な誤差は 10MHz 未満だが, 測定日によって PA 共鳴
ラインの値が ±30M Hz のずれを生じうるので, 波長計の値は ±30M Hz の精度であることに留意する。

3.2.3

87

Rb2 (2 P1/2 )0−
g 状態の PA ラインの同定

Pruvost と Boesten の文献を参考に, まず v=188-190 の振動準位周辺について観測を行った。図 3.6 は, 2 つの参考文献の振動準位の一部である。87 Rb(5s1/2 , F = 2) と 87 Rb(5p1/2 , F ′ =

図 3.6 参考文献による振動準位と binding energy

ただし Pruvost [27] は ±0.017cm−1 の精度, Boesten [28] は回転準位 J = 2 のシグナルのみで ±0.003cm−1 の精度となっている。

2) 間のエネルギー差が 12578.876cm−1 であるから, 2 つの dissociation limit 5s1/2 +5s1/2 (ともに F = 2) と 5s1/2 (F = 2) + 5p1/2 (F ′ = 2) のエネルギー差も 12578.876cm−1 であり, この 5s + 5p1/2 からの binding energy を並べてある。なお, Pruvost の文献におけるロスシグ
ナルは, 回転準位を区別せずに振動準位ごとに列挙されていて波長計の精度が ±500M Hz
である。 Boesten は回転準位 J = 2 に関して ±0.003cm−1 の精度で列挙してある。
まず v = 190 の振動準位の振動準位を探すため, 376.860T Hz の周辺でスキャンを行った。この時, PA 光のパワーは 8.28W/cm2 で照射時間は 50ms とした。図 3.7 は, PA 光の周
波数が f = 376.86035(3)T Hz のところにロスシグナルが現れている様子をプロットしたものである。この時の binding energy は 8.168(1)cm−1 であり, これは Pruvost の v = 190のデータから ±500M Hz の精度内にあるので, v = 190 のシグナルといえる。ここでさらに J を同定するには, その振動準位における回転定数が必要である。その値は次の v=189
において得られた値を用いることにして, v=190 の回転準位の同定は後述する。なお, このシグナルをローレンチアンで ﬁtting すると, 半値全幅は 37(20)MHz となった。PA 光の周
波数は 10MHz の桁までしか計測できないため, ﬁtting の値の不確かさも 10MHz オーダーとなっている。
続いて, v = 189 の振動準位を探すため, 376.823T Hz の周辺でスキャンを行った。この時,
PA 光のパワーは 2.97W/cm2 で照射時間は 160ms とした。図 3.8 は, f = 376.82356(3)T Hzと f = 376.82393(3)T Hz にロスシグナルが現れている様子をプロットしたものである。
v = 190 では２つのピークは見えていなかったが, ここでは 370(30)MHz 離れた２つのロスシグナルが現れた。Binding energy はそれぞれ 9.395(1)cm−1 と 9.383(1)cm−1 であり,
27

第3章

冷却原子集団への光会合

図 3.7 振動準位 v=190 周辺の PA ロスのシグナル

f = 376.86035(3)T Hz にピークが現れている。Fitting による FWHM は 37(20)MHz となった。

図 3.8

振動準位 v=189 周辺の PA ロスのシグナル

f = 376.82356(3)T Hz と f =376.82393(3)T Hz にピークが現れている。Fitting による FWHM はそれぞれ 26(20)MHz と9(7)MHz となった。

どちらも Pruvost の v = 189 のデータから ±500M Hz の精度内にあるので, v = 189 のシグナルといえる。Boesten のデータ (J=2) が 9.387(3)cm−1 であるから, 9.383(1)cm−1の方が J = 2 で, そこから 370(30)MHz 深い 9.395(1)cm−1 の方が J = 0 に対応していると考えられる。シグナルをローレンチアンで ﬁtting すると, 半値全幅は J = 2 の方が9(7)MHz, J = 0 の方が 26(20)MHz となった。なお, 回転定数 B を用いて, J=0 と J=2 のエネルギー差は 6B と表されるから, 6B=370(30)MHz より, この振動準位における回転定
数は B = 62(5)M Hz であった。
さらに, v = 188 の振動準位を探すため, 376.783T Hz の周辺でスキャンを行った。
この時も, PA 光のパワーは 2.97W/cm2 で照射時間は 160ms とした。図 3.9 は, f =376.78344(3)T Hz にロスシグナルが現れている様子をプロットしたものである。この時の binding energy は 10.733(1)cm−1 であり, これは Pruvost の v = 188 のデータから±500M Hz の精度内にあるので, v = 188 のシグナルといえる。ここで, 87 Rb2 (2 P1/2 )0−g

28

3.2 実験方法

図 3.9 振動準位 v=188 周辺の PA ロスのシグナル

f = 376.78344(3)T Hz にピークが現れている。Fitting による FWHM は 23(9)MHz となった。

状態の断熱ポテンシャルの形状を考える。図 2.7 より, binding energy が 10cm−1 程度の深さでは, 1cm−1 の変化に対して古典的転回点の位置 (∼ 20Å) は殆ど変化せず回転定数は一定とみなせるので, v=189 周辺では 6B = 370(30)M Hz とする。Boesten の値 (J=2) から 370(30)MHz ずらして J = 0 に換算すると 10.736(4)cm−1 となって 10.733(1)cm−1 がおさまるため, このロスシグナルは J = 0 であると考えられる。
先ほど同定できなかった v=190 の回転準位に関しても同様の方法をとる。6B = 370(30)M Hz
を用いて Boesten の値を J=0 に換算すると 8.172(4)cm−1 となる。すると 8.168(1)cm−1
は誤差の範囲で一致するため, J=0 であると同定できる。
以上をまとめると 3 つの振動準位から得られたシグナルは図 3.10 のようになる。

図 3.10 振動準位 v=188, 189, 190 の PA ロスシグナル

ciation limit は 12578.876cm−1 である。

29

精度は ±0.001cm−1 であり, disso-

第3章

冷却原子集団への光会合

3.2.4

改良型 LeRoy-Bernstein 形式による振動準位の予測

この節では, binding energy の浅い振動準位を複数用いて, 別の振動準位の binding
energy を予測する。第２章で示したように, 改良型の LeRoy-Bernstein 形式を用いれば,
振動準位は
n−2
vD − v ≈ Hn−1 ϵ 2n + γϵ(3.2)
の形で表される。[22] によれば Hund’s case(c) において, ns + np1/2 を dissiciation limitに持つ 0−
g のポテンシャルの主要項は,

V0−= −A −g

4C32
2C6Π + C6Σ 2C8Π + C8Σ
−
−
3AR6
3R6
3R8

(3.3)

の形で表されて, 1/R3 の項は主要項になっていない。そこで, Hn の値に関しては n = 6とし, Pruvost が用いた値 (H6 )3 = 1.0041(20) × 10−3 を使用した。この時,vD − v ≈ H6−1 ϵ 3 + γϵ
1

(3.4)

の式を用いて ﬁtting を行うと, Pruvost のデータから vD = 210.375(4), γ = 0.0336(6) が得られ, Boesten のデータからは vD = 210.393(8), γ = 0.0349(10) が得られた。一方で,今回得られた我々のデータ (v=188-190) からは, vD = 210.374(29), γ = 0.0323(31) が得られた。

図 3.11 改良型 LeRoy-Bernstein 形式を用いて得た ﬁtting パラメータと v=186 の予測値

これらをまとめると, vD と γ は表 3.11 のようになった。それぞれのパラメータを用いると, v=186 の振動準位の binding energy は Pruvost では 13.741(7)cm−1 , Boesten では回転準位 J = 2 が 13.730(14)cm−1 (J=0 に換算すると, 370(30)M Hz ≈ 0.012(1)cm−1 より,
13.742(15)cm−1 ) となり, それぞれの予想値が誤差の範囲内で一致した。我々のデータでは13.758(49)cm−1 となっており, 取得したデータ点の少なさによって予測値の誤差がやや大きいが, 前の２者の値を誤差の中に含んでいる。これらの予想より, 我々は v = 186 のシグナルが 13.758cm−1 から ±1.5GHz の範囲内にあると予測し, PA 光のパワーを 2.97W/cm2 ,照射時間を 160ms にして周波数のスキャンを行った。その結果, f = 376.69308(3)T Hz に
おいて小さなロスのピークを観測した。
この時の binding energy は 13.747(1)cm−1 であり, Pruvost の値から得た予想値から±500M Hz の精度内にいるので, このシグナルは v = 186 のものと考えられる。また, シグナルを ﬁtting すると, 半値全幅は 7(8)MHz となった。Boesten の値からの予測値を用いると, 13.747(1)cm−1 は J = 0 に換算した予測値の誤差の範囲内におさまているから, J=030

3.2 実験方法

図 3.12 振動準位 v=186 周辺の PA ロスのシグナル

f = 376.69308(3)T Hz にピークが現れている。Fitting による FWHM は 7(8)MHz となった。

のシグナルであると考えられる。
改良型 LeRoy-Bernstein 形式を用いて振動準位の場所を予測し, 実際に v = 186 のシグナルを見つけることができたが, 我々のデータからの予測は参考文献と比べてもデータ点が少ないため, ﬁtting パラメータの値から振動準位を正確に予測するのは難しい。今回の観測によって v = 186 のデータが加わったことで, ﬁtting パラメータは vD = 210.385(12),γ = 0.0335(11) となった。これを繰り返して ﬁtting パラメータを更新していけば, 未観測の振動準位の深さをより正確に予測できるようになると期待できる。

31

第3章

冷却原子集団への光会合

3.2.5

振動準位の遷移の強さの比較

光格子中の原子の ﬁlling を見るためには, 遷移が強い PA ラインを使うことが望ましい。
そこで, すでに観測できた PA ラインの遷移の強さを比較することにした。PA 用光源を,ロスがピークになる周波数に設定し, シャッター時間を変えて原子数の減少を測定した。この時の, 原子数の減少について考える。ODT 中での原子数の時間変化を微分方程式で表すと,Ṅ = −γ1 ⟨n⟩IN − γ2 IN(3.5)と表される。右辺第１項は PA によるロスであり, PA 光のパワー I と原子密度 ⟨n⟩ に比例するため, この２つに依存しない比例定数 γ1 を用いて積の形で表している。右辺第２項はPA 光による原子の光散乱であり, PA 光のパワーに比例するため, これに依存しない比例定数 γ2 との積の形で表した。どちらも PA 光のパワーに比例しているが, PA のロスは原子の密度にも比例する。なお, ODT 中での原子の寿命は 7 秒程度であり, ここでは 0∼100ms
での推移を考えているため, ODT 光の散乱による影響は小さいものとして無視した。ここ
で, トーマス · フェルミ近似を用いれば, BEC の中心密度は N 2/5 に比例する。そこで, 比2
例定数 Γ1 を γ1 ⟨n⟩ = Γ1 N 5 を満たす定数として用いれば,
7Ṅ = −Γ1 IN 5 − γ2 IN(3.6)と表せる。この近似は, 原子数が初期原子数 N0 と近い値をとる領域で成り立つ。PA 共鳴
光を当て続けると BEC は数が減少し, そのたびに密度は下がり, PA によるロスの効果は相対的に小さくなる。今, PA によるロスが支配的である状態を考え, 右辺第 2 項を無視して計算すると,
(
)− 5
2
2 25
N (t) = N0 1 + N0 Γ1 It
5
2≈ N0 (1 − N05 Γ1 It)(3.7)と表せるから, これを用いて ﬁtting を行う。Fitting に使ったデータは, 原子数が初期原子数の 7 ∼ 8 割程度に減る時刻までとした。v=189(J=0), v=188(J=0) は 40ms まで,
v=186(J=0) は 160ms までの値を採用しており, パワーはどれも 2.97W/cm2 にしてある。
図 3.13 −図 3.15 は, v=189,188,186 における原子数のロスの時間変化を表したものである。 これらの ﬁtting から, 初期原子数 N0 および Γ1 I を求めると, 表 3.16 のようになる。
Fitting パラメータの Γ1 I が大きいほど, PA によるロスが大きくなるので, 強い遷移が起こっているかどうかが比較できる。ここではパワーを 2.97W/cm2 に統一してあるので, こ
こでは Γ1 の比較ができる。表 3.16 より, v=186 の遷移は他の２つより 5 倍程度弱いことが分かる。また, v=189 と v=188 では, 誤差を含めるとほぼ同じ強さの遷移であるということも分かった。
以上の実験から, PA に用いるラインとして, 強い遷移がどれであるかを測定によって定量的に見積もることができることが分かった。前節の方法によって振動準位を見つけ, この実験の手法を組み合わせることによって, 87 Rb2 の PA に適した強い遷移を選定することが可能となった。毎サイクルで生成する BEC の数の揺らぎ (今回の実験では ±10% であった。) を少なくしたり, 測定回数をもっと増やすことで, より高い精度で比較することも可能になると思われる。

32

3.2 実験方法

図 3.13 v=189 PA 共鳴光の照射時間と原子数 近似式が適用できる 0-40ms の領域で ﬁttingを行った。

図 3.14 v=188 PA 共鳴光の照射時間と原子数 近似式が適用できる 0-40ms の領域で ﬁtting
を行った。

33

第3章

冷却原子集団への光会合

図 3.15 v=186 PA 共鳴光の照射時間と原子数 近似式が適用できる 0-160ms の領域で ﬁttingを行った。

図 3.16 PA のロスに対する ﬁtting

それぞれの PA ラインについての初期原子数 N0 と, 遷移の強さを表す Γ1 I が求まる。

34

第 4 章 PA 用光源の中心周波数安定化
前章では, 周波数スキャンによって PA のロスシグナルを得て, 87 Rb2 の光会合に適した
周波数の選定方法について述べたが, 実際に選定した周波数を用いるにあたっては, PA 用
光源の周波数ドリフトを解消しなくてはならない。得られたシグナルの半値全幅は細いもので 20M Hz 程度であるため, 100 秒で 10M Hz 程度のドリフトを起こす Matisse-TX の周波数をロックする機構が必要である。そこで我々は, PA 用光源の周波数ドリフトを防ぐための系を作成し, 光格子中での ﬁlling の測定に安定的に使用できる光源を用意することを目指した。

4.1

中心周波数ロックのための光学系

この節では, PA 用光源の周波数ロックを行うために必要な光学系及び装置について述べる。図 4.1 はロックを行う光学系の概略図である。PA 用光源 (オレンジ) に 2 つの光
源 (ECDL1, ECDL2) と transfer cavity が系に加わっている。ECDL(外部共振器型半導体レーザー) の光のパスは, それぞれ ECDL1(赤) と ECDL2(緑) で区別してある。今回作成した２つの ECDL については 4.2 節で詳しく述べる。
まず最初に, 原子の共鳴周波数を基準とし, ECDL1 をこの共鳴周波数にロックすることを行う。87 Rb2 と 41 K 87 Rb の PA ラインについては参考となる文献がいくつか存在するが[27] [28] [29], ともに Rb 原子の D1 ラインである 795nm 付近に現れることが確認されている。そこで, 周波数の基準として真空中に Rb 原子の封入されたセルを用いることにした。このセルに対して Rb 原子に共鳴する周波数の光を照射すると, 光は原子によって散乱され透過光の強度が減少する。この性質を利用し, レーザー光が常に共鳴周波数になる
ようフィードバックをかけることによって, 周波数を原子の共鳴にロックすることが可能となる。ECDL を用いた周波数ロックの方法としては, FM サイドバンド法や Modulationtransfer 法がしばしば用いられる。図 4.1 は FM サイドバンド法によるロック法の概略図を示している。
次に, こうしてロックされた ECDL1 の光源 (周波数 f0 ) を基準にして, transfer cavity
をロックする。これにより cavity にロックできる周波数は

fn = f0 + n · F SR

n = 0, ±1, ±2, · · ·(4.1)に限定される。FSR は transfer cavity のフリースペクトラルレンジである。ロックされた
cavity に対し, 今度はもう一方の ECDL2 をロックする。(Rb セルにロックした ECDL が
ECDL1, transfer cavity にロックした ECDL が ECDL2 である。) ECDL2 は PA ラインに近い周波数にセットしておき, それを transfer cavity にロックする。ここでは ECDL2 が

35

第4章

PA 用光源の中心周波数安定化

n = n′ の櫛にロックされたとする。最後に PA 用光源と ECDL2 のビートを観測し, ビー
ト周波数 fbeat が一定になるように PA 用光源をロックする。
これによって PA 用光源の周波数はf = fn ± fbeat = f0 + n′ · F SR ± fbeat(4.2)にロックされるので, この値が PA ライン fP A に一致するようにビート周波数 fbeat をセッ
トすればよい。

36

4.1 中心周波数ロックのための光学系

図 4.1 PA 用光源の中心周波数安定化のための光学系の概略図

ECDL1, ECDL2, PA用光源のパスをそれぞれ赤, 緑, オレンジで表している。ECDL1 は Rb の共鳴周波数にロックされており, その光はファイバー通過後に Transfer cavity に入る。Cavity 透過シグナルを使ってtransfer cavity をロックした後, ECDL2 の光を cavity に入れ, cavity 透過シグナルを使ってECDL2 の周波数をロックする。最後に PA 用光源と ECDL2 のビートをとり, ビート周波数が一定になるように PA 用光源をビートロックする。

37

第4章

PA 用光源の中心周波数安定化

4.2

ECDL

ECDL(external-cavity diode laser) は, 回折角に波長依存性のあるグレーティングを用いて外部共振器を形成することで, レーザーダイオードの線幅を狭窄化して発振させる。
外部共振器の方法には Littrow 型と Littman 型がある。Littrow 型は, 入射角と同じ方向に回折光を戻して LD とグレーティング間で共振器を形成し, 反射光 (グレーティングの 0
次回折光) を外へ出射する方式である。Littman 型は, 回折光をミラーでグレーティングに

図 4.2 ECDL の外部共振器の配置(a)Littrow 型 回折光を LD に戻し, LD とグレー

ティング間を外部共振器とする。(b)Littman 型

回折光をミラーで返して LD に戻す。

打ち返して LD に戻すことで共振器を形成し, 同じく反射光を外へ出射する。どちらの方
式も, LD 単体に比べて共振器長が大きくなることで線幅を狭窄化し, 共振器で増幅されることで発振波長のパワーを大きくできる。共振器長を短く設計できる Littrow 配置は安定した発振モードを得られるため, 本実験では Littrow 型を採用した。この配置は, 線幅がやや太くなるものの, 取り出せるパワーが大きくなるという利点もある。回折光の波長と回折角の関係はd(sinθi − sinθf ) = nλ(4.3)
と表される。d はグレーティングの格子定数, θi はグレーティングに対するレーザー光の入射角, θf は回折角, λ は光の波長, n は回折角の次数である。0 次回折光は θf = θi をみたすので, 反射光である。回折光を LD に戻そうとするなら, θf = −θi より,

sinθf =

nλ
2d

(4.4)

をみたせばよい。今回使用したグレーティングは d = 1800/mm であり, λ = 795nm で計算すると, １次回折光は入射角を約 45.7◦ にすればよいことが分かる。(今回の条件では,
n = 0, 1 以外は式をみたさないので, １次回折光以外では Littrow 型の配置ができない。)

38

4.2

図 4.3 作成した ECDLECDLLDC と TED は D-SUB コネクタによって外部接続されている。グレーティングの裏側にある PZT は, BNC ケーブルで外部からシグナルを入力して動かす。

図 4.3 は, 今回作成した ECDL である。前節の系を用意するにあたって, ２台の ECDL が必要となった。まず取り付けてある LD は, 温度によって ASE(自然放射増幅光) の波長が変化し, およそ 0.2nm/K である。波長を安定的に使用するには LD の温度を一定に保つ必要があり, ペルチェ素子とサーミスタを取り付け, Thorlab 社の温度コントローラ TED200Cを使って安定化している。サーミスタは温度によって抵抗値が敏感に変化する素子であり,
一般的には
(
(
))
1
1
R(T ) = R0 exp Bval
−
(4.5)
T
T0
の形で変化する。我々が使用したサーミスタ NTC10kΩ は Bval [K] = 4300 ± 130 であり,
25◦ (T = 298.15K) で R = 10000Ω となっている。TED200C は, サーミスタが指定された
抵抗値になるようにペルチェ素子に電流を送り, 温度調節対象を加熱 · 冷却する。ペルチェ
素子と LD はアルミ板や治具を介して接しており, 効率よく熱伝導を行うため, 境界面にシリコーンを塗ってある。LD には, 流す電流のコントローラとして Thorlab 社の LDC202C
を使用しており, 流す電流はノイズ除去のためのローパスフィルタを通してから送られる。
LD 直前には静電気破壊防止のためのダイオード回路を取り付けてある。グレーティングには PZT 素子が取り付けてあり, 周波数ロックの際のフィードバック信号を送ることで外部共振器長が変化し, 波長の調節が可能となる。PZT フィードバックに加えて電流フィー
ドバックもできるよう設計したが, 今回の PA 用基準周波数光源としては PZT フィード
バックのみの使用で十分な性能が得られる。

39

第4章

PA 用光源の中心周波数安定化

ECDL1 の発振スペクトルを見ると, ASE の中心は 813nm であるが, 今回使用する波長である 795nm 付近で発振するようグレーティングの角度を調節している。ASE の端ではうまく発振できないことから, 温度を 23◦ C から 18◦ C に変更した。図 4.4(a) は調節後の図 4.4 (a)ECDL1 の I-P プロットなっている。(b)ECDL2 の I-P プロット

発振閾値 97mA を超えると, 傾き 0.6934mW/mA と発振閾値 89mA を超えると, 傾き 0.5724mW/mAとなる。

ECLD1 の I-P プロットである (温度は 12.804kΩ ∼ 18.3◦ C)。発振閾値は 97mA であり,125mA で 20mW 以上出ていることから, ロックに必要なパワーは得られている。同様にして ECDL2 も調節し, 87 Rb2 の PA ライン付近で発振するようグレーティングを調節してある。温度は 13.506kΩ ∼ 17.0◦ C に設定した。図 4.4(b) は, ECDL2 の I-P プロットで
ある。

4.3

Transfer cavity

この節は, 同研究室 4 年の鈴木君との共同研究である。ECDL1 によって基準となる周波数が用意できても, 直接その光を使って PA 光の周波数をロックするのは難しい。なぜなら, ２つの光の周波数は数百 GHz も離れているため, ビートを使ってロックするには
フォトダイオードの帯域が THz オーダーまで対応する必要が出てしまうからである。しかし transfer cavity を介すれば, このような困難は解消され, GHz オーダーの帯域で十分となる。その方法は 4.1 節で述べた通りで, 基準となる光で cavity をロックすることで, その周波数から FSR の整数倍離れた周波数の光が cavity にロックできるようになる。このcavity は, ２つの球面ミラーと PZT 素子とガラス管で構成されている。球面ミラーの焦点は f = 100mm であり, ガラス管と PZT の長さの和も 100mm の共焦点共振器である。
よって cavity 長を L とおくと, FSR は

F SR =

40

c
4nL

(4.6)

4.4

Rb セルを用いた周波数のロックと表せる (c は光速, n は光路の屈折率を表す。) ので, FSR = 750MHz となる。これは我々の波長計の測定精度より大きいので, transfer cavity にロックされた光の周波数を波長計で測定すれば, 何番目の櫛にロックされたかを知ることができ, 基準周波数と FSR から正確な周波数を算出することができる。周波数をロックしたレーザー光を cavity に入射させ,cavity の PZT に三角波の電圧をかけた時の透過光強度の様子を観測すると, PZT の長さが時間変化することにより, cavity の共振周波数が光の周波数に一致した時に強度のピークが現れる。このシグナルの FWHM から, cavity の Finesse を求めることができる。

F SR
F W HM

(4.7)

√
π R
F innese ≈
1−R

(4.8)

F innese =cavity のミラーの反射率 R を用いれば,と近似的に表されるが, このミラーは反射率 99% なので, Finnese∼300 となる。
ここで, 使用する transfer cavity に求められる条件について考える。温度によって cavity
長が変化すると, FSR が変化する。基準となる 795nm の光で cavity ロックを行うとき,
FSR=750MHz なので, およそ 5 × 105 番目の櫛がロックに使われることになる。この櫛をn 番目の櫛とおくと, FSR が約 1.5kHz ずれた時に n 番目の櫛の位置がちょうど 1FSR 分動
くことになって, 1 つ隣の櫛がロックに使われることになる。隣の櫛にロックされた影響は,cavity にロックされる光の波長のずれとして現れる。例えば, 795nm から 10cm−1 離れた光をロックする場合, 40FSR 離れたところの櫛が使われるので, 1.5kHz の 40 個分で 60kHz
ずれた波長にロックされる。ECDL の線幅 ∼ 1M Hz, cavity 信号の FWHM∼ 2M Hz であることを考えれば, このずれは大きな問題にはならない。PA ラインの FWHM も 10M Hz
程度である。よって Rb2 や KRb のための PA 用光源のロックについては, 基準を Rb のD1 ラインにしている限りは cavity 長の変化はあまり気にならない。一方, K2 用 PA 光源
をロックする場合は状況が異なる。PA 用光源として K の D1 ライン 770nm 付近の波長を使用するなら, 795nm との周波数差 7.25THz は 9600FSR 分以上ある。Cavity 長が変わり,795nm 光による１つ隣の櫛を使った cavity lock が行われた時, 770nm のところでの櫛の位置はおよそ 15MHz ずれてしまう。これでは PA ラインの FWHM と同じオーダーであるから問題となる。つまり, 温度や大気圧が及ぼす FSR の影響を考慮して, 795nm の基準
光が常に n 番目の櫛でロックがかかる必要がある。今回は 795nm に近い Rb2 の PA のためのセットアップの構築を目指しているので, 特に温調等の対策は必要ない。したがって, 図4.1 のセットアップで中心周波数ロックを行う。(なお, cavity の材質は石英ガラス管 90mmと PZT 10mm であり, 線膨張率はそれぞれ 5.6 × 10−7 /K と 5 ∼ 10 × 10−6 /K であるから, 温度が 0.1K 変化すると cavity 管が約 16nm 動く。よって cavity 温度が 1.3K 変化すると共焦点共振器の 1 往復分の光路長が 1FSR 分変化する。同じ大気圧下で同じ櫛にロックをかけるなら, 温度変化は ±0.3K 以内に収まるよう調節し続けることが望ましい。)

4.4

Rb セルを用いた周波数のロック

この節では, 作成した ECDL1 と Rb セルを用いた周波数ロックについて述べる。

41

第4章

PA 用光源の中心周波数安定化

図 4.5

4.4.1

87

Rb と 85 Rb の D1 ラインにおける超微細構造

飽和吸収信号

原子共鳴周波数にロックを行うためには, 共鳴付近で周波数に敏感な透過光シグナルが必要であり, そのためには原子の運動によるドップラー効果を解消する必要がある。Probe
光のみの場合では, 気体の運動によるドップラー広がりが起きて, ブロードな吸収信号しか得られない。ここで, 静止した原子に共鳴する周波数の光を用意して二手にわけ, セルの両側から照射した場合を考える。その時, 光の進行方向に速度成分を持つ場合は, ドップ
ラー効果によって光と共鳴にならず, 速度成分がほぼ 0 になる場合だけ光と共鳴する。まず十分に強い光 (pump 光とする) を入れることで, 速度成分がほぼ 0 の原子はほとんどがこれと共鳴して励起状態に上がる。それにより, 励起した原子は反対側からの光 (probe 光とする) と共鳴しなくなって透過光にくぼみが現れる (Lamb dip)。このくぼみは v ≈ 0 の原子によってもたらされるので, ドップラー広がりも無く, 共鳴周波数付近で鋭いシグナ
ルとなる。多準位系においては, このくぼみは共鳴周波数の位置だけでなく, 2 種類の共鳴周波数の中間にも現れる (クロスオーバー)。２つの共鳴周波数をそれぞれ f1 , f2 とおく。
周波数 f0 の光の進行方向に対して速度 v と-v である原子がいたとすると, それぞれの原子が感じる周波数は f0 (1 − v/c) と f0 (1 + v/c) であり, これがそれぞれ f1 と f2 に等しくなるような周波数 f0 があれば, この f0 でクロスオーバーが起きる。この条件を満たす時,
f0 = (f1 + f2 )/2 となっている。
図 4.6 は, 飽和吸収信号を得るための概略図である。Pump 光は飽和強度 Isat 程度入れ,
セル内で原子の励起が起きている領域に重なるように probe 光を入れてフォトダイオードで観測する。
Rb セルを使って実際に観測したものが図 4.8 である。probe 光のみでは図 4.7 のようにフラットだった透過光シグナルが, pump 光を入れることで新たなピークが現れる。この３
つは 85 Rb : F = 3 → F ′ = 2, 85 Rb : F = 3 → F ′ = 3 とこれらのクロスオーバーである。

42

4.4

Rb セルを用いた周波数のロック

図 4.6 飽和吸収分光の概略図

図 4.7 Rb セルに probe 光のみを入れたときのシグナル

黄色が ECDL1 の PZT に入力している三角波 (アンプ前), 水色が PD で見た probe 光強度

4.4.2

FM サイドバンド変調法

FM サイドバンド変調法は, 飽和吸収の信号を使って微分信号を得るために, probe 光をEOM で変調する方法である。まず EOM には function generator から周波数 ωm の正弦波を入力しておく。この EOM を通ることによって周波数 ω の光は位相変調される。EOMに入力した電圧が half wave voltage より十分小さければ, この光は ω ± ω ′ のサイドバン
ドを含む３つの周波数の和に近似できる。具体的には変調によって()
E = E0 exp i(ωt + δsin(ω ′ t))≈ E0 exp(iωt)(1 + δsin(ω ′ t))δ= E0 exp(iωt)(1 + (exp(iω ′ t) − exp(−iω ′ t))
2i

(4.9)

と表される。セルを通過するとき, 周波数に応じて位相や振幅の変化に違いがあるため,
(
)
′ δ
′
′ δ
′
E = E0 T (ω)exp(iωt) + T (ω + ω ) exp(i(ω + ω t)) − T (ω − ω ) exp(i(ω − ω t))
2i
2i(4.10)

43

第4章

PA 用光源の中心周波数安定化

図 4.8 Pump 光を入れた上で probe 光をセルに照射して得られた飽和吸収信号′

3 → F = 2,

85

85

RbF =

′

RbF = 3 → F = 3 とそのクロスオーバーである。

のように表され, これが PD に入って E ∗ E に比例した電圧信号になり, DC 成分と 2ω ′ で振動する項を落としてからミキサーで混ぜれば, Lock 回路に入力される信号は

δ
V = (T (ω)T ∗ (ω + ω ′ ) − T ∗ (ω)T (ω − ω ′ ))2

(4.11)に比例し, 最後に ω ≫ ω ′ を用いて近似すれば,δdV ≈ ω ′ |T (ω)|22 dω(4.12)と表せる。よって強度の振幅変調の微分となる。飽和吸収信号も強度の変調であり, 信号のピークで微分信号が 0 になるようにして, 常に電圧を 0 に戻すようなフィードバック回路でロックすれば, 飽和吸収信号のピークの値に周波数をロックできることになる。図 4.9と図 4.10 は, FM サイドバンド法のセットアップと系の概略図である。

図 4.9 FM サイドバンド法の概略図

44

4.4

Rb セルを用いた周波数のロック

図 4.10 FM サイドバンド法のセットアップ

図 4.11 FM サイドバンド法による透過光 (青) と微分信号 (紫)図 4.11 −図 4.13 は, FM サイドバンド法による微分信号を観測したものである。飽和吸収の時と同じ 85 Rb : F = 3 → F ′ = 2, 85 Rb : F = 3 → F ′ = 3 とそのクロスオーバーのところを観測した。pump 光は 1.2mW で直径 5mm であり, Rb の飽和強度 4.49mW/cm2 と同程度にしてある。probe 光は 0.3mW で直径 5mm である。LPF を入れることで, ノイズが除去されたきれいな微分信号を得た。３つのピークのうち, クロスオーバーの微分信号が一番大きかったので, ここにロックをかけたところ, 特に大きな振動がない限りは少な
くとも 5 時間以上ロックがかかり続けているので, 周波数のロックはできていると思われる。ロックがとばないようにするためには, 光学系を取り付けたブレットボードに振動がのらないようにする等, 雑音除去の仕組みが必要と思われる。

45

第4章

PA 用光源の中心周波数安定化

図 4.12 FM サイドバンド法による透過光と微分信号（LPF あり）

図 4.13 FM サイドバンド法による透過光と微分信号（LPF あり）を使ってロックした時のシグナル

大きな振動等が無ければこの状態で周波数はロックされ続ける。

4.4.3

Modulation transfer 法

Modulation transfer 法は, pump 光を EOM に通してからセルに入射させた状態で, probe
光をそのままセルを通過させることによって微分信号を取り出して周波数ロックを行うという手法である [30]。これは非線形な効果によって probe 光とそのサイドバンドと pump
光が４光波混合を起こしてもう片側のサイドバンドを形成する。この方法の利点は, フラットでバックグラウンドの無いところに分散型のシグナルが出るという点である。これにより, 共鳴周波数のところとシグナルが 0 になるところが一致する。もう１つは, ４光波混合のプロセスを用いているために closed transition の遷移があると, そこに大きなシグナ
ルが得られるという点である。我々が用いている D1 ラインには closed transition はない
が, オフセットがのらない分, 周波数の基準として正確な値にロックされることを期待して modulation transfer の系を組んだ。図 4.14 は, modulation transfer 法のセットアップと系の概略図である。
ここでも, 85 Rb : F = 3 → F ′ = 2, 85 Rb : F = 3 → F ′ = 3 のクロスオーバーを用いてシグナルを観測した。pump 光のパワーは 2mW で, probe 光は 0.5mW, ビーム直径は共に5mm である。PA の集光具合の違いで S/N が悪くなっているが, LPF を通すことできれいなシグナルを得られた。この closed transition が無い遷移で試したところ, 原子の共鳴周

46

4.4

Rb セルを用いた周波数のロック

図 4.14 Modulation transfer 法のセットアップ

図 4.15 Modulation transfer 法による透過光 (青) と微分信号 (紫)

波数ではなくクロスオーバーで一番大きなシグナルを得た。FM サイドバンドのシグナルと比べると, たしかにオフセットがのっていないことが確認できた。Modulation transfer法においても, 前節と同じロック回路を用いてクロスオーバーに周波数ロックをかけたが,こちらも大きな振動が無い限りはロックされた状態が継続したため, ロックが可能である
ことが確かめられた。
以上より, どちらの方法も長期的な周波数ロック法として利用できることがわかった。FM
サイドバンド法は微分信号にオフセットが乗ってロックされる周波数にずれが生じるが ,これは大きく見積もっても 1MHz であり, PA 用光源として必要な線幅の狭さが数 MHz であることを考えると, オフセットは問題にならないことが分かる。よって周波数の基準としてはどちらの方法も満足であることが分かった。今回は, ロックが外れにくく大きな微分信号が得られる FM サイドバンド法による基準を用意し, transfer cavity のロックに使用することにした。

47

第4章

PA 用光源の中心周波数安定化

図 4.16 Modulation transfer 法による透過光と微分信号（LPF あり）

図 4.17 Modulation transfer 法による透過光と微分信号（LPF あり）を使ってロックした時
のシグナル

48

第 5 章 まとめと今後の展望

本研究では, Rb 原子が複数個ロードされたサイト数を計測するために必要な, 87 Rb2 への光会合を行う装置の作成を目指した。その中で筆者の得た成果について記述する。

• 87 Rb2 の 0−
g 状態への光会合を行うのに適した振動準位を探すため, ODT 中の Rb
BEC に対して PA 用光源のレーザーを照射し, 複数の準位について周波数をスキャンしながら PA によるロスシグナルを観測した。
•

得られた複数のシグナルについて, 振動回転状態の同定を行った。

• 観測した振動準位の binding energy から, 改良型の LeRoy-Bernstein 形式を用いて別の振動準位の binding energy を予測し, 実際に振動準位 (v=186) の探索に成功した。この方法を用いることで, まだ観測できていない振動準位も順次見つけることができる。
• 振動準位への遷移の強さを測定し, 複数の準位間で比較を行った。それにより, 87 Rb2の PA を行うのに適した準位の選定が可能となった。
• PA 用光源の中心周波数安定化のための系を構築するため, 基準となる光源として
ECDL を Rb セルにロックするための系を作った。その上で, ２種類あるロックの方
法をそれぞれ試し, それぞれの微分信号を比較を行い, FM サイドバンド法による周波数基準を用意した。

なお, 本研究で行った光会合に用いる振動準位の選定は, Rb2 だけではなく K2 や KRbにも使用できる手法である。今回確立したシステムを用いて３種類の PA 光源が用意でき
れば, 光格子中にロードされた二原子種混合気体の, 格子サイト中での分布を定量的に調べられるようになると期待できる。
今後の展望としては, 周波数の選定と並行して PA 用光源の中心周波数ドリフトを防ぐための系の構築も進め, transfer cavity と ECDL2 を介して PA 用光源をロックし, ドリフ
トを防ぐことによって PA 用光源として常時使用できる系の完成を目指す。

49

付録Ａ
子力

原子と光の相互作用：輻射圧と双極全系の記述と原子に働く力の導出
原子に対して準位間の共鳴周波数に対応した光が入射した時の相互作用を考える。原子系, レーザー場, 相互作用ハミルトニアンを ĤA ,ĤF , Ĥint とおくと, 電気双極子近似のもとで全系のハミルトニアン Ĥ はĤ = ĤA + ĤF + Ĥint∑p̂2+
Ei |i⟩⟨i|
2M
i
(
)
∑
1
†
~ωk âk âk +
ĤF =
2
ĤA =

(5.1)

(5.2)

(5.3)

k

Ĥint = −µ̂ · Ê(r)(5.4)と表される [13]。*1
ここで M は原子の質量, p̂ は重心の運動量演算子, Ei は原子の固有状態 |i⟩ に対応する†
エネルギー固有値であり, ωk は波数 k で規定される電磁場モードの周波数, âk 及び âk はその電磁場モードの生成・消滅演算子である。µ̂ は原子の双極子モーメント演算子で,

µ̂ =

∑

⟨i|µ̂|j⟩|i⟩⟨j|

(5.5)

i,j

のように {|i⟩} の固有関数形で表される。また電場の演算子 Ê(r) も,Ê(r) =∑

Ek (âk + â†k )

(5.6)

k

と書ける。ここで原子の大きさが光の波長に比べて十分に小さいことから, 電場は原子内で一様であるとする。以下では簡単のため, 原子は基底状態 |1⟩, 励起状態 |2⟩, ２準位間共鳴周波数 ω0 の２準位原子系とする。この時, 原子の双極子モーメント演算子はµ̂ = µ(|2⟩⟨1| + |1⟩⟨2|)

(5.7)

*1
相互作用には原子とレーザー場の相互作用の他に, 真空場との相互作用 Ĥvac が存在する。Ĥvac を考えることで自然放出が導出されるが, 自然放出は等方的なので, 原子に働く平均の力は 0 となる。表式は後述。

50

付録

図 5.1 ２準位原子系とレーザー場の相互作用となるので, 回転波近似*2 を行うことで, 相互作用ハミルトニアン Ĥint は∑~gk (|2⟩⟨1| + |1⟩⟨2|)(âk + â†k )Ĥint =k≈∑~gk (|2⟩⟨1|âk + |1⟩⟨2|â†k )

(5.8)

k

と表される。
ここで gk = −µ · Ek /~ である。以上より, 全系のハミルトニアン Ĥ はĤ = Ĥ0 + Ĥ1

(5.9)

(
)
2
∑
∑
p̂2
1
†
~ωk âk âk +Ĥ0 =+Ei |i⟩⟨i| +2M
2(5.10)

i=1

Ĥ1 =

∑

k

(
)
~gk |2⟩⟨1|âk + |1⟩⟨2|â†k(5.11)kと表される。
ここで相互作用表示に変更し,

ĤI = eiH0 t/~ Ĥ1 e−iH0 t/~ =∑~gk (|2⟩⟨1|âk e−i(ωk −ω0 )t + |1⟩⟨2|â†k ei(ωk −ω0 )t )(5.12)kと表すことにする。これにより, 系を記述する波動関数 ψI は, i~ ∂ψ∂t ψ = Ĥψ の解である
ψ(t) を用いて∂ψIi~= ĤI ψI ,
ψI = eiĤ0 t/~ ψ(t)(5.13)∂t*2|2⟩⟨1|â†k は電磁場の光子を１つ増やして原子を励起状態に遷移させるという意味を持ち, エネルギー保存
側からこれが起こる確率は小さい。|1⟩⟨2|âk も同様に小さく, これらを無視できるとして近似する。

51

付録

の形で表される。
更に, 入射するレーザー光を周波数 ω の単一モードであるとし, 半古典論によってレーザー場を古典的な平面波 E(t) = E0 cos ωt とみなせば, 相互作用ハミルトニアン ĤI は

ĤI = −)~ΩR (r) ( −i(ϕ(r)+δt)e|2⟩⟨1| + ei(ϕ(r)+δt) |1⟩⟨2|
2(5.14)となる。ここで ΩR (r) = |µ|E0 /~ はラビ周波数, δ = ω − ω0 は離調, ϕ(r) は電気双極子
モーメント µ の位相因子で µ = |µ|eiϕ(r) である。この時, この２準位原子系の状態 |ψ⟩ は|ψ⟩ = c1 (t)|1⟩ + c2 (t)|2⟩(5.15)

ρ̂ = |ψ⟩⟨ψ|(5.16)

ρij = ⟨i|ρ̂|j⟩ = ci (t)c∗j (t)(5.17)の形で表される。密度行列 ρ̂ はとなる。
以上をまとめると, ２準位原子と古典的な単一モードレーザー場が相互作用している系のハミルトニアン Ĥ は, Ĥ0 = ĤA + ĤF （ĤA , ĤF はそれぞれ２準位原子系, レーザー場のハミルトニアンを表す。）, 原子系とレーザー場の相互作用ハミルトニアン ĤI , 原子系と真空場の相互作用ハミルトニアン Ĥvac を用いてĤ = Ĥ0 + ĤI + Ĥvac(5.18)

(
)
2
∑
p̂2
1
†
Ĥ0 =
+
Ei |i⟩⟨i| + ~ω â â +2M2

(5.19)i=1

ĤI = −
Ĥvac =~Ω (r) (∑)
e−i(ϕ(r)+δt) |2⟩⟨1| + ei(ϕ(r)+δt) |1⟩⟨2|(5.20)~gk (|2⟩⟨1|âk e−i(ωk −ω0 )t + |1⟩⟨2|â†k ei(ωk −ω0 )t )(5.21)

R

2kと記述される。原子の重心運動は, ハイゼンベルクの運動方程式から,

dr̂
1
∂ Ĥ
p̂
= [r̂, Ĥ] =
=
dt
i~
∂ p̂
M

(5.22)dp̂1∂ Ĥ= [p̂, Ĥ] = −= −∇ĤI − ∇Ĥvac
dt
i~
∂r̂

(5.23)であるので, 原子に働く平均の力 ⟨F̂(r, t)⟩ は

52

付録

⟨F̂(r, t)⟩ = −⟨∇ĤI ⟩ − ⟨∇Ĥvac ⟩)~ΩR (r) ( −i(ϕ(r)+δt)= ⟨∇[e|2⟩⟨1| + ei(ϕ(r)+δt) |1⟩⟨2| ]⟩2= Fd (r, t) + Fr (r, t)(5.24)Fd (r, t) = ~u(t)∇ΩR (r)(5.25)Fr (r, t) = ~ΩR (r)v(t)∇ϕ(r)(5.26)

u(t) = ℜ{ρ12 exp[−i{δt + ϕ(r)]}(5.27)

v(t) = ℑ{ρ12 exp[−i{δt + ϕ(r)]}(5.28)となる。Fd はラビ周波数 ΩR (r) の空間的な変化によって生まれる双極子力, Fr は位相 ϕ(r)の空間変化によって生まれる輻射圧である [14][15]。

輻射圧と双極子力
密度行列 ρ(t) を用いて, 原子の内部状態についての運動方程式を立てる。
( )
dρ(t)
1
dρ
= [ĤA + ĤI , ρ] +dt
i~dt spon(5.29)

真空場との相互作用を考えることで自然放出が導かれるが, ここでは現象論的に減衰項を導入することにし, Γ を励起準位からの緩和率とする。自然放出により, 双極子モーメントの位相緩和も引き起こされるから,

(

dρ(t)
dt

)
= Γρ11 |1⟩⟨1| −
spon

Γ
Γ
ρ12 |1⟩⟨2| − ρ21 |2⟩⟨1| − Γρ22 |2⟩⟨2|22と表される。ここで w(t) = (ρ22 − ρ11 )/2 とおけば,


 
  
u(t)
δ + ϕ̇ 0
u(t)
− Γ2
0
d 

 
  
Γ
ΓR   v(t)  +  0 
 v(t)  = −δ − ϕ̇ − 2
dt0−ΩR −Γ
w(t)
w(t)
− Γ2

(5.30)(5.31)となってブロッホ方程式に帰着する。この定常解を求めれば,

u=−

δ
s
,
ΩR 1 + s

v=−

Γ
s
,
2ΩR 1 + s

w=−

1 1
21+s

(5.32)となる。ここで s は飽和パラメータであり,

s=

I/I0
,
1 + (2δ/Γ)2

53

2Ω2
I
= 2R
I0
Γ

(5.33)

付録

また I0 は飽和強度を表す。ρ11 + ρ22 = 1 であるから, この時 ρ22 は

ρ22 =

Ω2R
1 s
= 2
21+s
4δ + 2Ω2R + Γ2

(5.34)となっている。
以上から, 輻射圧 Fr (r, t) を求める。光軸付近のレーザー光を平面波で近似して ϕ(r) =−k · r とすれば, (2.26), (2.32), (2.34) からFr (r, t) = ~kΓρ22(5.35)と表され, レーザー周波数 ω に関するローレンツ分布となっている。レーザー光からの光子運動量 ~k と自然放出レート*3 の積となっており, 輻射圧は単位時間あたりに原子がレーザー光から受け取った運動量の和を表している。レーザーからの光子は同じ向きの運動量~k を持ち, 吸収される度にその方向に原子の運動量変化が起きる一方, 自然放出による緩和では, 光子の放たれる方向がランダムである。そのため自然放出による運動量変化の寄与は平均して 0 ということになり, 光子の吸収と放出の１サイクルでは, 原子の運動量は平均して ~k 変化する。このサイクルは, 原子が光子を散乱する過程とみなせる。そのため, このサイクルによって原子が受ける単位時間あたりの平均運動量変化を散乱力と呼び,
Fscat (r, t) と表すことにすると, これは結局輻射圧 Fr (r, t) と同じ表式になるので,Fscat (r, t) = ~kΓρ22
I/IsatΓ= ~k
2 1 + I/Isat + 4δ 2 /Γ2(5.36)となる。このサイクルは自然放出過程においてエネルギーの散逸を伴うため, 原子の冷却に用いることができる。

双極子力 Fd (r, t) はラビ周波数 ΩR (r) の定義から, 振幅 E0 が空間依存性を持つようなレーザー場において生じる力である。完全な平面波であるならば電場の振幅は一定であるから, ∇ΩR = 0 となって双極子力は働かない。しかし我々が使う一般的なレーザー光はガ
ウシアンビームであり,

[
(
)]
ωB
1
k
2
2
E(r) = E0
exp i(kz − ϕ(z)) − (x + y )
+i
ω(z)
ω(z)2
2R(z)
√
√
(
)2
λz
z2
ω(z) = ωB 1 +
=
ω
1
+
B
2n
πωB
z02
[
( 2 )2 ]
(
)
πωB n
z02
R(z) = z 1 +=z 1+ 2λzz
*3

緩和率 Γ と原子が励起状態にある確率 ρ22 の積で表される。

54(5.37)(5.38)(5.39)

付録

図 5.2 レーザー光強度 I と離調 δ に対する ρ22 の変化

ϕ(z) = tan

−1

(

λz
2n
πωB

)

−1

= tan

(

z
z0

)
(5.40)

2nπωB(5.41)λの式で表されるため, 振幅が空間変化していることが分かる。このような光と原子の相互作用では, 原子に双極子力が働く。双極子力は,(2.25), (2.32), (2.33)

z0 =

~δ ∇s
4 1+s
∇Ω2R
~δ
= −
4 δ 2 + Γ2 /4 + Ω2R /2

Fd (r, t) = −(5.42)と表され, 周波数 ω に対して分散型の分布となっている。負に離調 (δ < 0) されていれば原子はレーザー光強度の増大する方向に力を受け, 正に離調 (δ > 0) されていれば逆に減少する方向へ力を受ける。この双極子力は保存力であり, そのポテンシャル U (r) はU (r) ==

~δln[1 + s]2[]Ω2R (r)/2~δ
ln 1 + 22
δ + Γ2 /4(5.43)

で表される。このポテンシャルを利用した原子のトラップは光双極子トラップ (ODT) と呼ばれる [16]。これを用いる際, レーザー光には原子の遷移の自然幅 Γ より十分大きい離調をつけるので [17][18], |δ|/Γ ≫ 1, I/I0 と近似すると,U (r) ≈ ~δ55

I/Isat(2δ/Γ)2(5.44)

付録のようになり, ポテンシャルの深さがレーザー光強度 I に比例する。双極子力は保存力であることから, エネルギーの散逸を伴わないので原子を捕捉する双極子トラップとして用いることができる。双極子トラップは蒸発冷却の他にも, 磁気モーメントを持たない原子のトラップや, 光格子の生成などにも利用されている。

56

付録Ｂ

ECDL 用ロック回路

ここでは, ECDL の周波数ロック回路を掲載する。回路は先行研究 [29] を参考に作成した。また, LD の静電気破壊防止及び LDC の高周波のノイズを除去するための回路も作成したので併せて掲載する。

図 5.3 作成したロック回路の写真 (前面)図 5.4 作成したロック回路の写真 (後面)

57

付録

図 5.5 ECDL の周波数ロック回路

フィードバック回路は PZT 側と LD の電流源 (LDC) 側に分かれており, PZT 側は低周波成分について信号を返している。

58

付録

図 5.6 LD の静電気破壊防止及び LDC の高周波ノイズ除去回路

ローパスフィルタによって

LDC の高周波ノイズが LD に流れるのを防ぎ, 中央のダイオードで静電気破壊防止回路を形成している。また, ロック回路からの current 用フィードバック信号が LDC 側に流れないよう, 間にチョークコイルが入っている。

59

付録Ｃ

高速 PD(フォトダイオード)

本研究で作成した高速 PD の回路と写真を掲載する。先行研究 [37] を参考にして作成し,PD の素子は S5971 を使用した。オペアンプ TL081 側を DC 出力, ハイパスフィルタ後のオペアンプ AD829 側を AC 出力としており, 帯域は 15MHz である。

図 5.7 高速 PD の回路図

AC 成分と DC 成分がそれぞれ出力される。

60

付録

図 5.8 高速 PD の写真

61

付録Ｄ

光格子のためのパスの作成

光格子は, ODT の光源に使用している 1080nm のファイバーレーザーを使用している。
図 5.11 は, 3 次元光格子の水平方向の 2 軸について, 作成した光源側のパスである。各軸の光格子が干渉しないように互いの偏光方向を直交させ, 周波数をずらしている。周波数をずらす方法として AOM(音響光学素子) を使用している。RF を光の入射方向と垂直に入射して AOM の結晶を格子振動させ, AOM に入った光が回折してフォノンの運動量をもらうことにより, 光の周波数を変化させる。入力する RF の周波数及び大きさによって回折効率は変化する。今回, 先行研究 [37] を参考にして作成した RF 調節用の AOM ドラ
イバの回路を記載する。

図 5.9 パスの概略図 アンプされたファイバーレーザーを分割して, AOM によって周波数をシフトさせる。

62

付録

図 5.10 AOM ドライバの回路図

VCO に加える電圧を調節して AOM に入射させる RF 周

波数を調節する部分と RF の大きさを調節する部分に分かれており, 後者は AOM 入射後の光をPD で観測し, そのパワーが一定になるようアンプを調節するフィードバック回路も含んでいる。

63

付録

図 5.11 ファイバーレーザー出射後のパス

64

参考文献
[1] J. I. Cirac, M. Lewenstein, and P. Zoller. Quantum statistics of a laser cooled
ideal gas. Phys. Rev. Lett., 72, 2977 (1994).
[2] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet. Evidence of BoseEinstein Condensation in an Atomic Gas with Attractive Interactions. Phys. Rev.
Lett., 75, 1687 (1995).
[3] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M.
Kurn, and W. Ketterle. Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms.
Phys. Rev. Lett., 75, 3969 (1995).
[4] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E.Wieman, and E. A. Cornell.
Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor. Science,
269, 198 (1995).
[5] S. Chu.

The manipulation of neutral particles.

[6] C. N. Cohen-Tannoudji.
70, 707 (1998).
[7] W. D. Phillips.
70, 721 (1998).

Rev. Mod. Phys., 70, 685 (1998).

Manipulating atoms with photons.

Rev. Mod. Phys.,

Laser cooling and trapping of neutral atoms.

Rev. Mod. Phys.,[8] I. Bloch, T. W. Hänsch, and T. Esslinger. Measurement of the spatial coherenceof a trapped Bose gas at the phase transition. Nature, 403, 166 (2000).
[9] B. DeMarco, and D. S. Jin. Onset of Fermi Degeneracy in a Trapped Atomic
Gas. Science, 285, 1703 (1999).
[10] M. Bartenstein, A. Altmeyer, S. Riedl, S. Jochim, C. Chin, J. H. Denschlag, and R.
Grimm. Crossover from a Molecular Bose-Einstein Condensate to a Degenerate
Fermi Gas. Phys. Rev. Lett., 92, 120401 (2004).
[11] T. Bourdel, L. Khaykovich, J. Cubizolles, J. Zhang, F. Chevy, M. Teichmann, L.
Tarruell, S. J. J. M. F. Kokkelmans, and C. Salomon. Experimental Study of the
BEC-BCS Crossover Region in Lithium 6. Phys. Rev. Lett., 93, 050401 (2004).
[12] S. Blatt, A. D. Ludlow, G. K. Campbell, J. W. Thomsen, T. Zelevinsky, M. M.
Boyd, J. Ye, X. Baillard, M. F ouché, R. Le Targat, A. Brusch, P. Lemonde, M.
65

参考文献

Takamoto, F.-L. Hong, H. Katori, and V. V. Flambaum. New Limits on Couplingof Fundamental Constants to Gravity Using Sr87 Optical Lattice Clocks. Phys.
Rev. Lett., 100, 140801 (2008).
[13] 久我隆弘,

量子光学 , 朝倉書店 (2003).

[14] D. J. Wineland, and W. M. Itano.
1521 (1979).
[15] J. P. Gordon, and A. Ashkin.
A, 21, 1606 (1980).

Laser cooling of atoms.

Phys. Rev. A, 20,

Motion of atoms in a radiation trap. Phys. Rev.

[16] S. Chu, J. E. Bjorkholm, A. Ashkin, and A. Cable. Experimental Observation of
Optically Trapped Atoms. Phys. Rev. Lett., 57, 314 (1986).
[17] C. S. Adams, H. J. Lee, N. Davidson, M. Kasevich, and S. Chu. Evaporative
Cooling in a Crossed Dipole Trap. Phys. Rev. Lett., 74, 3577 (1995).
[18] J. D. Miller, R. A. Cline, and D. J. Heinzen.
of atoms. Phys. Rev. A, 47, R4567 (1993).
[19] 高柳和夫,

Far-oﬀ-resonance optical trapping

原子分子物理学 , 朝倉物理学大系 (2000).

[20] P.Pillet, A.Crubellier, A.Bleton, O.Dulieu, P.Nosbaum, I Mourachko, and F
Masnou-Seeuws. Photoassociation in a gas of cold alkali atoms: I. Perturbative
quantum approach. J. Phys. B, 30, 2801 (1997).
[21] R. J. LeRoy, and R. B. Bernstein. Dissociation Energy and Long‐Range Potential
of Diatomic Molecules from Vibrational Spacings of Higher Levels. J. Chem. Phys.,52, 3869 (1970).
[22] D. Comparata. Improved LeRoy-Bernstein near-dissociation expansion formula,and prospect for photoassociation spectroscopy. J. Chem. Phys. 120, 1318 (2004).
[23] H. Kitson. Experiments on Ultracold Rb:Rydberg atoms and Rb2 molecules.
Ph.D. thesis, Swinburne University of Technology (2006).
[24] F. Speigelmann, D. Pavolini, and J-P Daudey. Theoretical study of the excitedstates of the heavier alkali dimers. II. The Rb2 molecule. J. Phys. B., 22, 2465
(1989).
[25] M. Movre, and G. Pichler. Resonance interaction and self broadening of alkali
resonance lines I. Adiabatic potential curves. J. Phys. B., 10, 2631 (1977).
[26] 鳥井寿夫, ルビジウム原子気体のボース・アインシュタイン凝縮体の生成および原
子波干渉計への応用. 博士論文, 東京大学 (2000).

66

参考文献

[27] H. Jelassi, B. Viaris de Lesegno, and L. Pruvost. Photoassociation spectroscopyof 87 Rb2 (5s1/2 + 5p1/2 0−
g long-range molecular states: Analysis by Lu-Fano graphand improved LeRoy-Bernstein formula. Phys. Rev. A, 73, 032501 (2006).
[28] H. M. J. M. Boesten, C. C. Tsai, D. J. Heinzen, A. J. Moonen, and B. J. Verhaar.
Time-independent and time-dependent photoassociation of spin-polarized rubidium.
J. Phys. B, 32, 287 (1999).
[29] 相川清隆, All-optical selective formation of ultracold molecules in the rovibrational
ground state. 博士論文, 東京大学 (2011).
[30] J. H. Shirley. Modulation transfer processes in optical heterodyne saturation spectroscopy. Optics letters, 7, 11 (1982).
[31] I. Danshita and C. A. R. Sá de Melo. Stability of Superﬂuid and Supersolid Phasesof Dipolar Bosons in Optical Lattices. Phys. Rev. Lett., 103, 225301 (2009).
[32] B. Capogrosso-Sansone, C. Trefzger, M. Lewenstein, P. Zoller, and G. Pupillo.
Quantum Phases of Cold Polar Molecules in 2D Optical Lattices. Phys. Rev.
Lett., 104, 125301 (2010).
[33] K.-K. Ni, S. Ospelkaus, M. H. G. de Miranda, A. Pe er, B. Neyenhuis, J. J. Zirbel,
S. Kotochigova, P. S. Julienne, D. S. Jin, and J. Ye. A High Phase-Space-Density
Gas of Polar Molecules. Science, 322, 231 (2008).
[34] S. Ospelkaus, A. Pe’er, K.-K. Ni, J. J. Zirbel, B. Neyenhuis, S. Kotochigova, P. S.
Julienne, J. Ye, and D. S. Jin. Eﬃcient state transfer in an ultracold dense gas ofheteronuclear molecules. Nature Physics, 4, 622 (2008).
[35] M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hänsch, and Immanuel Bloch.
Quantum phase transition from a superﬂuid to a Mott insulator in a gas of ultracold
atoms. Nature, 415, 39 (2002).
[36] M. R. Andrews, C. G. Townsend, H.-J. Miesner, D. S. Durfee, D. M. Kurn, and W.
Ketterle. Observation of Interference Between Two Bose Condensates. Science,
275, 589 (1997).
[37] 斉藤祐介, 福岡健太, 混合ボース気体の共振器増幅光トラップに向けた単一モード
DPSS レーザーの開発. 卒業論文, 東京大学 (2010).

67謝辞
本論文は, 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻井上研究室での２年間の研究をまとめたものです。この研究にあたり, 多くの方からのご指導, ご協力をいただきましたことを深く感謝致します。
指導教員である井上慎准教授には, ミーティングや日々の生活の中で, 物理学的な知識から実験における基礎的技術, 研究に対する姿勢に至るまで, 様々な面でご指導ご助言をいただきました。物理界における動向や最近の流行についての話はとても興味深く, 難しい概念を分かりやすく噛み砕いて説明される姿には感銘を受けました。とても有意義な時間を過ごさせていただき, 心より感謝申し上げます。
小林淳助教には, ミーティングや日々の雑談の中で, 実験に関する技術や手法について的
確な助言をいただきましたことに深く感謝致します。氏の研究に対する熱意や, 実験における着眼点の鋭さには目を見張るものがありました。
博士課程 2 年の加藤宏平氏には, 研究室に配属になった時から大変お世話になりました。
要領の悪い僕に, 実験の手法から装置の説明, 回路のデバッグに至るまで, 懇切丁寧に教えてくださいました。また, 僕のＰＡの実験にも協力していただき, 実験の方針についての相談や議論の相手をしてくださいました。本当にありがとうございました。
修士課程 1 年の長田有登氏とは, 修士 2 年目の時に一緒に実験を行い, とても刺激になりました。物理の知見にも長けていて, 分からないことがあったときは共に議論したり, 相談にのっていただきました。とても感謝しています。
学部 4 年の鈴木皓博氏とは, 修士 2 年の後半から一緒に実験を行いました。研究計画の段階から一緒に考えたり作業をしている中で, とても充実した時間を過ごせたと思います。
本当にありがとうございました。
学部 4 年の大久保弘樹氏と荻野敦氏の両名とは, 物理の話はもちろんのこと, 共に学び多くの刺激を受けて充実した研究生活を送ることができました。心より感謝申し上げます。
昨年度に修士課程を修了された斉藤裕介氏は, 修士 1 年の時, 実験や工作について基礎から親身になって教えてくださいました。光格子のパス構築時には, 修士過程の終盤で忙しい時期だったにもにもかかわらず僕の面倒を見てくださり, とても感謝しています。
この研究生活は僕にとってかけがえのない 2 年間になったと思います。研究活動を支えてくださった多くの皆様に深くお礼申し上げますとともに, 今後のご活躍をお祈り致します。

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