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序文

「大学に入ると，物理は数学になり，数学は哲学になる」という言葉を聞いたことがあります．その理由の 1 つは高校で習う数学にあると思います．誤解を恐れずに極論を言えば，高校で学ぶ数学は微分積分を除けばほぼ紀元前にできた数学なのです．現代の物理を正確に語るには，高校在学中では数学の準備ができていないということです．必要な道具を高校の最後に学んだので，大学に入ると，物理の本質をようやく語れるようになった．それを表現した言葉が「物理は数学になる」ではないでしょうか．
大学で数学科の学生を教えていると物理の知識がないというより，物理に対する恐怖心さえもっていることをしばしば感じます．「大学に入ったら，物理は数学に」なったのですから，数学が得意ならば物理を学ぶチャンスが来たことに気づいて欲しいと思っています．数学と物理は切っても切れない縁がありますから，物理を学ぶことで数学に新しい視点を得ることができるでしょう．
微分積分は物理から生まれ，物理のために発展してきた面もあります．物理の重要な手段である微分方程式をその方向から眺めてみました．言い換えれば「数学から物理を学び，物理から数学を学ぶ」を本書の目標の 1 つにしました．
数学が哲学になったと揶揄される理由は，一見不自然とも，無駄とも思える ε–δ 法に代表される数学の抽象化でしょう．抽象化の理由がわからない人にとって，抽象化された数学は哲学にみえるのではないでしょうか．数学を抽象化するには理由と目的があります．抽象化がどのように生まれ，そしてどれほど自然で必要なことであるかを，抽象化の例である関数空間や作用素を微分方程式を通して考えてみることをもう 1 つの目標としました．最後の章に，コンピュータによる微分方程式のシミュレーションについて述

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iv

序4/221文

べました．このシミュレーションは微分方程式の基礎理論である解の存在の証明から生まれてきたのです，つまり，解の存在の証明という抽象的な数学から実用的な解のシミュレーションの基礎が作られたのです．情報科学の発展とともに，コンピュータに入れればすべて解決するという風潮があります．単に解法を学ぶだけでなく，深い数学の知識なしに軽はずみに使用すれば間違いを生じることもわかって欲しいと思います．
筆者は物理の専門家ではありません．誤解しているところもあるかと思います．微分方程式を学びながら，数学の立場から見た物理の世界を楽しんでもらえたらと願っています．
共立出版の大越隆道さんには執筆を勧めて頂き，さらに大谷早紀さんと共に原稿を何度も読み返して，貴重な御意見を頂きました．また，大東文化大学の水谷正大さんには物理に疎い筆者に詳しいアドバイスを頂きました．さらに，日本大学の科目等履修生である澤田勉さんには，原稿を丁寧に読んで頂き，原稿の誤りや言葉遣いまでいろいろと御指摘頂きました．四人の方にこの場をお借りして感謝の意を表したいと思います．澤田さんはコンピュータの世界でご活躍され，現役を退かれてから，数学に興味をもたれ，勉学に励んでいらっしゃるその姿勢にも感銘しております．

2015 年森kbdbook6b<2015/03/20>:

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5/221目次

1第 1 章 ニュートンの運動方程式と惑星の運動1.1 運動方程式を導こう ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 11.2 月の運動 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 71.3 天動説と地動説，物の見方 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 121.4 地球表面での運動 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 17第 2 章 自然から微分方程式を導こう252.1 社会科学と微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 252.2 身近な微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 272.3 物理を用いた実用的な微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 372.4 偏微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 432.5補足 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 51

第 3 章 微分方程式の解を見てみよう573.1 1 次元線形微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 573.2 2 次元線形微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 593.3 ベクトル場，解を目で見よう ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 63第 4 章 解ける微分方程式は解こう

79

4.1変数分離形 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 79

4.2同次形 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 82

4.3完全微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 84

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6/221目次4.4定数変化法 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 88

4.5級数解法 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 93

4.6ラプラス変換を用いる解法 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 98

4.7その他の解ける微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・103

第 5 章 関数の集合を考えよう

111高階の線形微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・111

5.15.2より一般の線形微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・119

5.3定数係数の線形微分方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・124

5.4特性方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・126

5.5微分作用素 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・128

第 6 章 ものの見方を変えて，古典力学に学ぼう1336.1 第一積分，保存量 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1336.2 ハミルトン力学系 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1396.3 ラグランジュ形式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1416.4 変分法 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・143第 7 章 微分の意味するもの，そして進んだ物理学

155

7.1ベクトル解析 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・155

7.2マクスウェルの方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・161

7.3シュレディンガー方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・168

7.4ナビエ・ストークス方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・171

7.5ボルツマン方程式 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・179

7.6補足：線積分，面積分 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・182

第 8 章 微分方程式の解をコンピュータで求めよう1958.1 オイラー法 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1958.2 解の存在と一意性 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1988.3 コンピュータによるよりよい解法を目指して ・・・・・・・・・・・・204索引

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第1章ニュートンの運動方程式と惑星の運動

私たちの接する自然はとても複雑です．中には到底予測のつかない複雑な振る舞いをする現象も少なからず存在します．しかし，どんなに複雑な自然現象でも単純な法則から導かれるに違いないという信仰に近い考え方が自然科学にはあります．現在でも，量子力学や相対性理論を含むすべての物理法則を記述する究極の方程式を求めようと世界中の科学者が切磋琢磨しています．
りんごは手を離せば地上に落ちるが，月は落ちてこないという現象にニュートン (Isaac Newton, 1642–1727) は着目したと言われています．真偽はともかく，ニュートンはこの 2 つのまったく異なる運動を 1 つの法則で記述できないかと考えたのでしょう．そして，物事を単純化する道筋として，微小な時間を考えれば，基本原理が導き出せるに違いないと思いついたのではないでしょうか．筆者の勝手な思い込みかもしれませんが，この考え方に沿って，運動方程式を導いてみましょう．

1.1 運動方程式を導こうまず，1 次元の運動を考えましょう．t で時間，x(t) で時刻 t における質点の位置を表しましょう．そのとき，x(t) − x(s) は時刻 s から時刻 t までの間に質点が移動した距離を表します．したがって，x(t) − x(s)t−sはその間の平均速度になります．

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第 1 章 ニュートンの運動方程式と惑星の運動v

平均速度ts図 1.1速度の変化

x(t, x(t))(s, x(s))
ts図 1.2位置の変化

時刻 s から時刻 t までの速度 v(t) の変化を図 1.1 で表すと，実線で表したv(t) と x 軸とで囲われた図形の面積が時刻 s から t の間の移動距離になりますので，それと平均速度を表す点線と x 軸で囲われた長方形の面積が一致します．一方，位置を x(t) で表すと図 1.2 にあるように (s, x(s)) と (t, x(t)) を結ぶ点線の傾きが平均速度です．数式で表せば∫ t

1t−sv(τ ) dτ =sというわけです．

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pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0):x(t) − x(s)t−smain:<2016/1/29>(18:38)

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1.1 運動方程式を導こう

3

ここで，微小時間を考えようとニュートンは考えたのでしょう．

v(t) = lims→tx(t) − x(s)t−sをもって，時刻 t における速度 v(t) を定義しました1) ．改めて確認しますが，ある時刻における速度および微分という概念はこの式をもって定義されたわけです．ニュートン以前にも速度という概念はあったでしょうが，それはあくまで平均速度だったということです．高校の数学に戻れば

y = x(t)という関数を考えたとき，微分はその傾きですから，速度 v(t) は点 (t, x(t)) における曲線 x(t) の傾きになっています．ニュートンの偉いところは，速度を考えただけでなく，さらにその微分を考えたことです．

a(t) = v ′ (t)a(t) は加速度，すなわち速度の変化を表す量です．急激な速度の変化が力をおよぼすことは電車が加速するときには後ろに，ブレーキをかけると前に体がもっていかれることから，私たちも経験によって知っています．ニュートンの時代に電車はなかったでしょうが，質量の重いものほどより力を受けることは，満員電車で人とぶつかったときに感じていることでしょう．彼はこれをF = maという式にまとめました．F は力，m は質点の質量です．この式に加えて，3つの基本原理をニュートンの運動法則としてまとめました．

1)

1.

等速直線運動2.

運動方程式 F = ma

3.

作用・反作用の法則

ニュートンは ẋ と表したそうで，現在でも物理では用いられています．x′ はラグランジュ， dxdt はライプニッツによる記法だと聞いています．

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第 1 章 ニュートンの運動方程式と惑星の運動

これらの詳しい話は物理の本に任せて先へ話を進めましょう．ニュートンはこの 3 原則から，りんごは落下し，月は落下しないという矛盾を解き明かしたのです．それを振り返ることにしましょう．
すべてのことをニュートン一人で作ったように言われがちですが，微分や積分という概念はほぼ同時期にライプニッツ (Gottfried Wilhelm Leibniz,1646–1716) も考えていました．ということは，一人の天才によるブレークスルーという側面はもちろんありますが，それと同時に微分という概念が作られる機が熟していたとも言えます．ライプニッツは曲線の傾きとして微分を考え，高校数学でやるように，曲線の極大極小を関数の増減表から導くということを考えだしました．微分の先陣争いはニュートンのイギリスとライプニッツのドイツという国家を巻き込んだ争いになったことは有名です．どの時代にも名誉欲に目がくらんだ人間というものは存在するものです．
さらに，ニュートンが万有引力の法則を見つける前に，ケプラー (JohannesKepler, 1571–1630) が惑星の運動に関する法則（ケプラーの 3 法則）1.

楕円軌道の法則2.

面積速度一定の法則（一定の時間に通過する扇型の面積は一定である）

3.調和の法則（公転半径の 3 乗は周期の 2 乗に比例する）を導いていたのはニュートンにとって幸運だったと思います．この 3 法則を数学的に証明できたことで，ニュートンは自分の導いた式の正しさを確認できたのです．本論に戻りましょう．ニュートンは万有引力の法則

F =GmMr2を考えました．ここで，G = 6.67259 × 10−11 m3 s−2 kg−1は万有引力定数と呼ばれるもので，m, M は 2 つの物体それぞれの質量 (kg)，rは質点間の距離 (m) です．

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11/2211.1 運動方程式を導こう

5

例 1.1（落下の法則） 地球上で，りんごの重さを m，地球の質量を M ，地球の半径を r とすると．r は約 6400 km もありますから，地表数メートルの高さであれば，地表から地球の中心までの距離 r と変わらないと考えてよいでしょう．したがって，地球がりんごを引っ張る力（もちろん，りんごが地球を引っ張る力と考えてもよい）は GMr 2 = g とおくとF = mgと表せます．g = 9.8 m/s を重力加速度と呼びます．このとき，通常の感覚に従い，座標は上に向けてプラスと考えると，重力の方向は負の方向ですからそれも考慮に入れると，運動方程式は−mg = maとなり，さらに速度 v(t) を微分した加速度 a(t) が一定値 g (a(t) = g) であることから，積分をしてv(t) = −gt + v(0)となります．ここで v(0) は時刻 0 での質点の速度（初期速度）です．さらに積分をすれば図 1.3 のように放物線

1x(t) = − gt2 + v(0)t + x(0)2xv0−mgx0

図 1.3kbdbook6b<2015/03/20>:落下の曲線，下向きの力と初期速度

pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0):tmain:<2016/1/29>(18:38)

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第 1 章 ニュートンの運動方程式と惑星の運動(vx (0), vy (0))(x(0), y(0))

図 1.4質点の軌跡となります．x(0) は時刻 0 での質点の位置（初期位置）です．
例 1.2（落下の法則 2） 2 次元で考えましょう．x を水平方向，y を縦軸方向とします．水平方向の速度と加速度を vx , ax ，垂直方向の速度と加速度を vy ,ay で表すと，水平方向には力が働かないので max = 0 ですから，積分をして，vx = vx (0), x(t) = x(0) + vx (0)t を得ます．縦軸方向は例 1.1 より，今度は縦の方向を y で表したので1y(t) = − gt2 + vy (0)t + y(0)2を得ます．ここで，(x(0), y(0)) は初期位置，(vx (0), vy (0)) は初期速度を表します．両式から，t を消去すると，りんごを初期位置 (x(0), y(0))，初期速度(vx (0), vy (0)) で投げたときの軌跡がy=−gvy (0)(x − x(0))2 +(x − x(0)) + y(0)2(vx (0))2vx (0)とよく知られているように放物線になることがわかります．図 1.3 と図 1.4 は同じ図に見えますが，図 1.3 は時間が横軸の図で，私たちには見えません．一方，図 1.4 の放物線は質点が飛んだときに私たちが実際に目にする曲線で，運動の軌跡になり，ベクトル (vx (0), vy (0)) は点 (x(0), y(0)) における接線になっていて，質点の進む方向を表しています．

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1.2 月の運動

7

1.2 月の運動りんごが地球面に落ちてくることは確かめました．次は月が地球に落ちてこないことを導きましょう．月の軌道が乗っている平面を考えて，その上に地球が中心の極座標を図 1.5 のように考えましょう．時刻 t における月の位置を(
)()

x(t)

cos θ(t)= r(t)y(t)sin θ(t)で表します．この式を微分して，月の速度は))((ddtx(t)y(t)(cos θ(t)− sin θ(t)dθdr+ r(t) (t)=(t)dtdtsin θ(t)cos θ(t)で与えられます．加速度を求めるためにもう一度微分して()()(d2dt2)cos θ(t)− sin θ(t)d2 rdr dθ= 2 (t)+ 2 (t) (t)dtdtdty(t)sin θ(t)cos θ(t)x(t))(− sin θ(t)d2 θ− r(t)+ r(t) 2 (t)dtcos θ(t)(=2d r(t) − r(t)dt2((dθ(t)dt)2 ) ()cos θ(t)dθ(t)dtsin θ(t)月の進む方向月引力

θ地球

図 1.5kbdbook6b<2015/03/20>:)

月の軌跡

pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0):))2 (cos θ(t)sin θ(t)main:<2016/1/29>(18:38)

814/221

第 1 章 ニュートンの運動方程式と惑星の運動())(− sin θ(t)d2 θdr dθ+ 2 (t) (t) + r(t) 2 (t)dtdtdt

cos θ(t)(を得ます．月と地球の間の万有引力 G mMr 2 は月と地球を結ぶ方向で −(と月から地球に向かって働きます．一方，(することから，(とsin θ(t))− sin θ(t)cos θ(t)))− sin θ(t))

cos θ(t)sin θ(t)が直交

cos θ(t)は月の進行方向であり，その方向に力は働いていcos θ(t)ません．したがって，ニュートンの第 2 法則により()22d r(t) − r(t)dt22dθ(t)dt= −GMr(t)2d2 θdr dθ(t) (t) + r(t) 2 (t) = 0dtdtdtと表せます．式 (1.2) はddt(r(t)2(1.1)
(1.2)

)

dθ(t)dt=0(1.3)とまとめることができます．(r(t), θ(t)) と (r(t + ∆), θ(t + ∆)) と原点の作る扇型の面積は，θ が 0 に近いと sinθ θ は 1 に近いことから()1r(t + ∆)r(t) sin θ(t + ∆) − θ(t)2()sin θ(t + ∆) − θ(t)1= r(t + ∆)r(t)(θ(t + ∆) − θ(t))
2θ(t + ∆) − θ(t)1
1≈ r(t)2 (θ(t + ∆) − θ(t)) + (r(t + ∆) − r(t))(θ(t + ∆) − θ(t))
2
212 dθ≈ r(t)(t)∆2dtにほぼ等しく，半径 r ，角 θ の扇型の面積は 12 r 2 θ ですから，これは微小時間∆ の間に月が移動する面積なので，∆ で割って，∆ → 0 ととれば，面積の増減に関する微分が 12 r(t)2 dθdt (t) に等しくなります．このことは時間あたりに月が移動する面積が一定であることを式 (1.3) が表していること，すなわち，ある定数 h によりkbdbook6b<2015/03/20>:

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1.2 月の運動r(t)29dθ(t) = hdtと表せることがわかります．これがケプラーの第 2 法則です．
2dt
rp = r1 と置き換え，r2 dθdt = h，すなわち， dθ = h に注意すると

dp1 dr1 dr dt1 dr=− 2=− 2=−dθr dθr dt dθh dt1 d2 r dtd2 r 1d2 p=−=−dθ2h dt2 dθdt2 h2 p2を得ます．これを式 (1.1) に代入すると，−h2 p2d2 p1− (hp2 )2 = −GM p2dθ2pとなり，比較的簡単な非斉次の線形微分方程式

d2 pGM+p= 2dθ2hを得ます．この解（特解）の 1 つはp=GMh2であることは代入すれば容易にわかります．対応する斉次形の微分方程式

d2 p+p=0dθ2の解は，θ = 0 のとき p = 0 となるように角度を定めれば

p = A cos θと表されるので，2 つをあわせてp=GM+ A cos θh2が解となります．解を求めることを急ぐあまり，あまりにお仕着せの式変形が続きましたが，この微分方程式の解き方の詳細は 4.4 節にあります．まとめ

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第 1 章 ニュートンの運動方程式と惑星の運動

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ると

r=h2 /(GM )1 + Ah2 /(GM ) cos θとなります．Ah2 /(GM ) = e とおけば，これは離心率 e の 2 次曲線

r=e/A1 + e cos θを表しています．したがって，万有引力による運動方程式の解は 2 次曲線になる，すなわち，e < 1 ならば楕円，e = 1 ならば放物線，e > 1 ならば双曲線になることになりますが，惑星は周期軌道ですので，楕円になることがわかります．
√これがケプラーの第 1 法則です．高校で習った形にしたければ r = x2 + y 2 ,x = r cos θ, y = r sin θ とおいて，上の式を考えると• e = 1 のとき，x=−A 21y +22Ae√eとおいて• e > 1 のとき，a = A(1−e2) , b =A e2 −1(x + e2 /A(1 − e2 ))2y2− 2 =12abe√e• e < 1 のとき，a = A(1−eとおいて2) , b =A 1−e2y2(x + e2 /A(1 − e2 ))2+ 2 =12abと表すこともできます．
さらに，実際の惑星では離心率は表 1.1 (p.16) にあるように，ほぼ e = 0 とみなしてよいので A = 0，すなわち，r = h2 /(GM ) となります．これを面積速度一定の法則 r 2 dθdt = h に代入すると

dθh(GM )1/2= 2 =dtrr3/2を得ます．両辺を 1 周期積分すると回転の角度は 2π になるので，周期を T とするとkbdbook6b<2015/03/20>:

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