⽇興リサーチレビュー

Research Report

CVaR とローレンツ曲線、ポートフォリオ
最適化問題への応⽤

2016 年 4 ⽉

資産運⽤研究所
シニア・アナリスト
⼩⼜

要

雄⼀郎

約

CVaR（Conditional Value at Risk、期待ショートフォールとも呼ばれる）は、GPIF が基本ポートフォリオ変更の際に利⽤したことや、バーゼル銀⾏監督委員会が、バリュー・アット・リスクから期待ショートフォールへの移⾏を表明したことなどを踏まえると、今後より注⽬されると考えられる。
本稿では、はじめに、CVaR の定義と最近におけるその活⽤事例について解説し、その具体的な計算⽅法として、いくつか存在するものの中から、ローレンツ曲線を利⽤して計算する⽅法を紹介する。この計算⽅法は、CVaRの計算定義を別の視点で捉えただけに過ぎないのだが、リターン分布や信頼区間の違いにより CVaR がどのようなふるまいをするのかを視覚的に捉えることができるというメリットがある。
続いて、ローレンツ曲線を利⽤して計算する CVaR の応⽤として、伝統的 4 資産（国内債券、国内株式、外国
債券、外国株式）に対して、リターン分布としてヒストリカルデータを使⽤する⽅法（ヒストリカル法）と正規分布を仮定した⽅法で、CVaR を最⼩化するポートフォリオ最適化問題を解く事例を紹介する。この事例の結果から、次の 2 点、「①期待リターンを「経済的中位（実質ベース）」として正規分布を仮定した⽅法を利⽤して計算した最適化ポートフォリオの配分が、GPIF が 2014 年 10 ⽉末に公開した基本ポートフォリオの配分と⼀致した」、「②ヒストリカル法を⽤いて計算したものは、GPIF の基本ポートフォリオに対し、国内株式はアンダーウェイト、外国債券はオーバーウェイト、国内債券、外国株式に関しては、GPIF の基本ポートフォリオに近い⽔準となった」、ということが分かった。
最後に、2 つの最適化⼿法で差異が⽣じた最⼤の要因は、それぞれの計算⼿法から得られる各資産の CVaR の⽔準の差に起因すると考えられるが、これをローレンツ曲線における「①最⼩値となる横軸の値」および「②曲線の最⼩値」を⾒ることで視覚的に把握できることを紹介する。これは、単に数値や分布関数の形状を⾒るだけでは得ることができない捉え⽅であり、ローレンツ曲線を活⽤するメリットの⼀例であるといえるだろう。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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⽇興リサーチレビュー

⽬次
1. はじめに
2. CVaR とローレンツ曲線
2.1 CVaR の定義
2.2 CVaR を巡る最近の事例
2.3 ローレンツ曲線を利⽤した CVaR
3. CVaR 最⼩化による伝統的 4 資産のポートフォリオ最適化（応⽤例）
3.1 最適化の⼿順
3.2 最適化の結果
3.3 ローレンツ曲線の形状⽐較
4. まとめ1. はじめにCVaR（Conditional Value at Risk）とは、ある確率(信頼区間、パーセント点) を上回るときの平均損失のことである。期待ショートフォール（Expected shortfall）とも呼ばれる。現在、規制上の所要
⾃⼰資本を算出するために使⽤されている VaR は、テールリスクを捉えることができず、重⼤な市場ス
トレスの期間における資本充⾜を確保できない可能性があるという⽋点が以前より指摘されていた。しかし、CVaR では、VaR では捉えていないある信頼区間を超えるリスクの⼤きさと期待損失額を考慮していることから、ストレス時に発⽣するテールリスクをより捉えることができる。
CVaR お よ び そ の 活 ⽤ に つ い て は 、 CVaR に よ る ア セ ッ ト ア ロ ケ ー シ ョ ン 最 適 化 問 題 がRockafellar.R.T. and S.Uryasev [2]をはじめとして数多く研究されているなど、決して新しい概念ではないが、年⾦積⽴⾦管理運⽤独⽴⾏政法⼈（GPIF）が 2014 年 10 ⽉ 31 ⽇に発表した、基本ポート
フォリオ変更の際に CVaR を利⽤したこと（[3] [4]）、2016 年 1 ⽉ 14 ⽇にバーゼル銀⾏監督委員会
が公開した「マーケット・リスクの最低所要⾃⼰資本」において、バリュー・アット・リスクから期待
ショートフォール（CVaR と同様の概念）へのリスク計測⼿法の移⾏を表明したこと[8]などを踏まえると、CVaR の実務への応⽤は、今後より注⽬されていくだろう。
CVaR の具体的な計算⽅法は、基本的に VaR の計算⽅法と同様、ヒストリカル法、分散共分散法、モンテカルロ法などが⼀般的である。ヒストリカル法以外の⼿法では、対象となるリスク資産のリターンの確率密度関数に対して、何らかの仮定を置く必要がある点も VaR と共通している。しかし、VaR と⼤きく異なるのは、確率変数 X とその確率密度関数の積を積分（部分期待値を計算）することが必要である点である。そして、この積分をどう実⾏するかが CVaR 計算の上で重要であり、CVaR 計算の負荷が増加する要因にもつながっている。
しかし、本稿で紹介するローレンツ曲線を利⽤して CVaR を計算する⽅法（Shalit.H [1]）は、この積分実⾏による負荷をやや緩和できるかもしれない。
本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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ローレンツ曲線とは、国全体の所得の格差の度合いを⽰す指標の⼀つ「ジニ係数」を算出する際に⽤いられるものであり、社会学では広く知られている。ローレンツ曲線を利⽤した計算⽅法は、CVaR の計算定義を別の視点で⾒ているだけに過ぎないのだが、リターン分布や信頼区間の違いにより CVaR がどのようなふるまいをするのかを視覚的に捉えることができるというメリットがある。
本稿では、ローレンツ曲線を利⽤して計算する CVaR の応⽤として、伝統的 4 資産（国内債券、国内
株式、外国債券、外国株式）に対して、リターン分布としてヒストリカルデータを利⽤した⽅法（ヒストリカル法）と正規分布を仮定した⽅法のそれぞれで、CVaR を最⼩化するポートフォリオ最適化問題を解く事例を紹介し、その結果の差異の要因を、ローレンツ曲線を描くことにより考察する。

2. CVaR とローレンツ曲線
2.1 CVaR の定義
CVaR（Conditional Value at Risk、条件付き VaR）とは、ある確率⽔準(パーセント点) p を下回る
ときの平均損失のことである（図表 1）。期待ショートフォール（Expected shortfall）とも呼ばれる。
VaR がある信頼⽔準における最⼤損失額を⽰しているのに対し、CVaR は信頼区間を超えるリスクの⼤きさと期待損失額を考慮しているのが⼤きく異なる点である。CVaR は、このような性質から、VaR では捉えられないとされるいわゆるテールリスクを捉えることのできる指標として期待されている。

図表 1：CVaR の概念（イメージ）

出所：⽇興リサーチセンター

2.2 CVaR を巡る最近の事例
CVaR やその活⽤については、CVaR によるアセットアロケーション最適化問題が Rockafellar.R.T.
and S.Uryasev [2]をはじめとして既に多く研究されているなど、決して新しい話題ではないが、GPIFが 2014 年 10 ⽉ 31 ⽇に発表した「基本ポートフォリオ変更」の際に CVaR を利⽤したこと（[3] [4]）、

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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2016 年 1 ⽉ 14 ⽇にバーゼル銀⾏監督委員会が公開した「マーケット・リスクの最低所要⾃⼰資本」において、バリュー・アット・リスクから期待ショートフォール（CVaR と同様の概念）へのリスク計
測⼿法の移⾏を表明したこと[8]等により、最近になってあらためて注⽬されつつある。
事例１：GPIF における基本ポートフォリオの策定
GPIF は、2014 年 10 ⽉の発表で、基本ポートフォリオ策定の際に利⽤するリスクとして、「⽬標運⽤利回りが賃⾦上昇率を下回る場合の平均的不⾜額」を採⽤したと表明した。この考え⽅はまさに CVaRの考え⽅に相当する。
【GPIF における基本ポートフォリオ策定⽅法（抜粋）】1.

国内債券のリターンは、フォワードルッキングなリスク分析を踏まえ、財政検証における⾜下からの⻑期⾦利推移シナリオに基づき計算された想定投資期間の平均収益率を使⽤。

2.

国内株式、外国債券、外国株式のリターンは、いずれも短期⾦利にリスクプレミアムを加えたものを使⽤。

3.

基礎となる実質短期⾦利は、「経済中位ケース」では財政検証との整合性を考慮し、過去の短期⾦利を基準として推計したもの、「市場基準ケース」では実質⻑期⾦利から⻑短スプレッドを差し引いたものを使⽤。

4.

リスク値と相関係数は過去 20 年のデータを利⽤して推計したものを利⽤。

5.

制約条件は、「外国株式≧外国債券」「⽬標リターン≧運⽤⽬標（名⽬賃⾦上昇率 1.7％ ）」、「ウェイト合計＝１」、「運⽤⽬標を下回る確率≦全額国内債券運⽤の場合に運⽤⽬標を下回る確率」

6.

各資産のウェイトは 5%刻みで計算。

7.

以上の条件のもとで、CVaR を最⼩にするポートフォリオを選定。

出所：[3]、[4]より⽇興リサーチセンターが作成

図表 2：GPIF の基本ポートフォリオ
国内債券

国内株式

外国債券

外国株式

変更前

60%

12%

11%

12%

変更後

35%

25%

15%

25%

短期資産
5%

出所：GPIF

事例 2：バーゼル銀⾏監督委員会による期待ショートフォールへのリスク計測⼿法の移⾏表明
バーゼル銀⾏監督委員会1は、トレーディング勘定の資本賦課に係る抜本的⾒直しに対する過去 3 度の市中協議2を経て、2016 年 1 ⽉ 14 ⽇に、上位機関である中央銀⾏総裁・銀⾏監督当局⻑官グループが1

国際⾦融危機の発⽣や拡⼤を防⽌し、⾦融システムの安定確保を図るため、各国の中央銀⾏、銀⾏監督当局や国際機関との連携・協⼒する⽬的により 1974 年に設置された国際機関。

2

最初の市中協議は 2012 年 5 ⽉[5]、⼆度⽬の市中協議は 2013 年 10 ⽉[6]、三度⽬の市中協議は 2014 年 12 ⽉[7]に⾏われた。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

4⽇興リサーチレビュー合意したとおり、マーケット・リスクの最低所要⾃⼰資本の最終規則⽂書を公表したが、この中で「VaRから期待ショートフォール（Expected Shortfall, ES）への移⾏」を表明している。
バーゼル銀⾏監督委員会は、2007 年から 2008 年にかけての深刻な市場ストレス環境を受けて、ス
トレス VaR の導⼊（バーゼル 2.5）を⾏ったが、依然 VaR には、以下のような弱点があると指摘していた。
【VaR の弱点】
a.

トレーディング勘定における信⽤リスクを⼗分に捉えることができなかったこと。

b.

銀⾏にテールリスクを取るインセンティブを与えたこと。

c.

流動性リスクを捉えられなかったこと。

d.

市場環境が異常時においても平常時の相関を想定していたため、ヘッジや分散効果によるリスク低減に対する認識が⽢くなってしまったこと。

出所：“Explanatory note on the revised Minimum capital requirements for market risk”[8]より、⽇興リサーチセンターが作成

こうした VaR の弱点を解消するために、提案されたのが「期待ショートフォール」（CVaR と同じ概念）である。バーゼル銀⾏監督委員会は、「期待ショートフォール」の利点について、以下のように指摘している[8]。
【期待ショートフォール(ES)の利点】
a.

ある信頼区間を超えるリスクの⼤きさおよび期待損失額を考慮することができ、VaR では計測できなかったテールリスクを捉えることができる。

b.

バーゼル 2.5 の⽅針に沿った形で、重⼤な市場ストレスの期間を計測することができる。

c.

流動性リスク規制の枠組みにおいて、流動性ホライズン（ストレス環境下において、市場価格に影響を与えることなくリスク回避もしくはヘッジができるまでの時間）を変化させるというコンセプトを導⼊できる。

出所：“Explanatory note on the revised Minimum capital requirements for market risk”[8]より、⽇興リサーチセンターが作成

2.3 ローレンツ曲線を利⽤した CVaR
CVaR を計算する⽅法には、ヒストリカル法、リスク資産のリターン分布を仮定してそれを解析的ないし数値解析によって求める⽅法、モンテカルロシミュレーションによって求める⽅法などがある。
本稿では、Shalit.H[1]に基づき、ローレンツ曲線を利⽤して CVaR を計算する⽅法を紹介する。この計算⽅法は、CVaR の計算定義を別の視点で捉えただけに過ぎないのだが、リターン分布や信頼区間の違いにより CVaR がどのようなふるまいをするのかを視覚的に捉えることができるというメリットがあ

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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⽇興リサーチレビュー

る。
ローレンツ曲線とは、国全体の所得の格差の度合いを⽰す指標の⼀つ「ジニ係数」を算出する際に⽤いられるものであり、世帯を所得の低い順番に並べ、横軸に世帯の累積⽐、縦軸に所得の累積⽐として作成される。そして、この曲線の形状を⾒て所得の配分の状況を把握することができる。
図表 3：ローレンツ曲線とジニ係数（イメージ）

ジニ係数は、 A / (A + B) で定義される。

出所：⽇興リサーチセンター

このローレンツ曲線と CVaR との関係は、次のようにして理解することができる。
あるリスク資産の時系列データをリターンが低い順に昇順で並び替えたものをとし、それらが発⽣する確率をとすると、このリスク資産のローレンツ曲線

は、次式で表わされる。

ここで、 は信頼区間を表す。また、は以下のように定義される値とする3。

⼀⽅、CVaR は次のように書くことができる。

3

本稿のように離散的データを扱う場合には、k(p)が整数となるような p を選ぶ。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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ここにローレンツ曲線の定義を代⼊すると、CVaR は、となり、これは点におけるローレンツ曲線上の点と原点を結ぶ直線の傾きにマイナスを掛けた値となっている。

3. CVaR 最⼩化による伝統的 4 資産のポートフォリオ最適化（応⽤例）
ローレンツ曲線を利⽤して計算する CVaR の応⽤として、伝統的 4 資産（国内債券、国内株式、外国
債券、外国株式）に対して、リターン分布としてヒストリカルデータを利⽤する⽅法（ヒストリカル法）と正規分布を仮定した⽅法のそれぞれで、CVaR を最⼩化するポートフォリオ最適化問題を解く事例を取り扱い、その結果を GPIF の基本ポートフォリオと⽐較してみたい。

3.1 最適化の⼿順
ここでは、以下の条件、⼿法の下で最適化問題を解く。
a.

伝統的 4 資産の期待リターンと⽬標リターンは、「年⾦積⽴⾦管理運⽤独⽴⾏政法⼈ 中期計画の変更について（平成２６年１０⽉３１⽇）」[3]（図表 5）に記載されている値を利⽤する。

b.

最適化は、「経済的中位ケース（実質的なリターン）」、「市場基準ケース（実質的なリターン）」の 2 つの期待リターンを⽤いて、それぞれ⾏う。

c.

CVaR の計算は、「リターン分布がヒストリカルデータに従うと仮定した⽅法（ヒストリカル法）」と「（多重）正規分布を仮定する⽅法」の 2 通り計算する。

d.

「ヒストリカル法」では、図表 4 の指数における、1996 年 1 ⽉から 2015 年 12 ⽉までの毎⽉の 12 ヶ⽉リターン（240 個の系列）を利⽤する4。

e.

ただし、伝統的 4 資産それぞれのリターンの平均値が、図表 5 の期待リターンと⼀致するようにリターン系列を平⾏移動（全リターン系列に対し、各資産のリターンの過去平均値を引き、期待リターンを⾜すという操作）をさせておく。なお、240 個のリターン系列の⼀つが発⽣する確率
を 1/240 とする。

f.

「正規分布を仮定する⽅法」では、図表 5 の期待リターンと相関⾏列を持つ多重正規分布関数を
利⽤する。

4

このリターン系列の相関⾏列は、国内債券・国内株式間を除き、GPIF が前提としている相関⾏列と近い値となる。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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⽇興リサーチレビューg.

CVaR の信頼区間（p 点）は、⽬標リターンを下回る確率とする5。

h.

「外国株式≧外国債券」「期待リターン≧⽬標リターン（名⽬賃⾦上昇率 1.7％6）」、「ウェイト合
計＝１」、「運⽤⽬標を下回る確率≦全額国内債券運⽤の場合に運⽤⽬標を下回る確率」という条件のもとで、式(3)より CVaR を計算し、CVaR を最⼩にするポートフォリオを選定する。

i.

各資産のウェイトは 5%刻みで変化させる。

なお、上記のうち、a、b、g、h、i は、GPIF と共通している条件、⼿法であり、c、d、e、f は、GPIFの公開資料を基に本稿が独⾃で設定した条件、⼿法である。
図表 4：ヒストリカル法で利⽤する指数
国内債券

国内株式

外国債券

外国株式

⽇興債券パフォーマ

⽇興株式パフォーマ

シティグループ世界国債インデッ

MSCI 世界株式インデックス

ンスインデックス

ンスインデックス

クス（円建て円ヘッジなし）（円建て円ヘッジなし）

出所：⽇興リサーチセンター

図表 5：GPIF が前提としている期待リターンと資産間の相関⾏列
国内債券
実質的なリターン
経済的中位
実質的なリターン
市場基準

国内株式

外国債券

外国株式

-0.20%

3.20%

0.90%

3.60%

-0.10%

3.10%

1.40%

4.10%

資産間の相関⾏列
国内債券

国内株式

外国債券

外国株式

国内債券

1.00

国内株式

-0.16

1.00

外国債券

0.25

0.04

1.00

外国株式

0.09

0.64

0.57

1.00

出所： GPIF 資料より、⽇興リサーチセンターが作成

5

CVaR の計算では 5%タイル値が使われることが多いが、本稿では GPIF にならい、臨界値として、⽬標リターン＝賃⾦上昇率

6

GPIF によれば、運⽤⽬標は 1.7%だが、短期資産を 2%保有するとみなし、そのリターン減少分を逆算すると、経済中位ケーを利⽤した。
スで 1.77%、市場基準ケースで 1.76%を確保することが必要とのことであるため、本稿でもこの値を⽤いた。[3]
本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

8⽇興リサーチレビュー

3.2 最適化の結果
それぞれの最適化⽅法に基づき計算した最適ポートフォリオは、次のようになった。
図表 6：最適ポートフォリオの結果
期待リターン：経済的中位（実質的なリターン）
最適化⽅法
ヒストリカル法による
CVaR を最⼩化
正規分布を仮定して計算した
CVaR を最⼩化
参考：
GPIF の基本ポートフォリオ

国内債券

国内株式

外国債券

外国株式

ヒストリカ

正規分布を

ル法による

仮定した

CVaR

CVaR

40.00%

40.00%

5.00%

15.00%

6.25%

8.64%

35.00%

25.00%

15.00%

25.00%

7.18%

8.25%

35.00%

25.00%

15.00%

25.00%

-

-

ヒストリカ

正規分布を

外国債券

外国株式

ル法による

仮定した

CVaR

CVaR

期待リターン：市場基準（実質的なリターン）
最適化⽅法
ヒストリカル法による
CVaR を最⼩化
正規分布を仮定して計算した
CVaR を最⼩化
参考：
GPIF の基本ポートフォリオ

国内債券

国内株式

40.00%

10.00%

20.00%

30.00%

5.67%

7.49%

40.00%

25.00%

15.00%

20.00%

6.08%

7.27%

35.00%

25.00%

15.00%

25.00%--

出所：各種市場データ、GPIF 資料より、⽇興リサーチセンターが作成

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最適化ポートフォリオのローレンツ曲線は次のようになっている。
図表 7：最適化ポートフォリオのローレンツ曲線

出所：各種市場データ、GPIF 資料より、⽇興リサーチセンターが作成結果を⾒ると、「経済的中位ケース（実質的なリターン）」では、正規分布を仮定した⽅法によって求めた最適化ポートフォリオにおける各資産へのウェイトが、GPIF の提⽰する基本ポートフォリオのものと完全に⼀致した。⼀⽅、ヒストリカル法による結果は、GPIF の基本ポートフォリオに対し、国内株式はオーバーウェイト、外国債券はアンダーウェイトとなった。
「市場基準ケース（実質的なリターン）」では、ヒストリカル法および正規分布を仮定した⽅法の結果ともに GPIF の基本ポートフォリオとは異なっていたが、正規分布を仮定した⽅法の⽅が⽐較的 GPIFの結果と近いものとなった。
このように、同じ資産でも CVaR の計算⽅法により差が出るが、その最⼤の理由は、CVaR の⽔準に違い（図表 8）があることに起因すると考えられる。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

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⽇興リサーチレビュー

図表 8：伝統的 4 資産の CVaR の⽐較
期待リターン：経済的中位（実質的なリターン）
計算⽅法

国内債券

国内株式

外国債券

外国株式

ヒストリカル法

1.11%

13.57%

9.06%

15.46%

正規分布を仮定した⽅法

2.77%

17.49%

8.49%

19.09%

国内債券

国内株式

外国債券

外国株式

ヒストリカル法

1.06%

13.67%

8.65%

15.11%

正規分布を仮定した⽅法

2.70%

17.59%

8.32%

18.96%

期待リターン：市場基準（実質的なリターン）
計算⽅法

出所：各種市場データ、GPIF 資料より、⽇興リサーチセンターが作成

以下では、CVaR がどのような要因で低くなってしまうのかを、本稿で紹介したローレンツ曲線の形状から推測してみる。
はじめに、経済的中位ケース（実質的なリターン）において、ヒストリカル法と正規分布を仮定した⽅法の結果の違いの要因について考察してみたい。
まず、国内債券の CVaR は、ヒストリカル法（1.11%）に対し、正規分布を利⽤した⽅法（2.77%）
が 2 倍以上の⽔準で⼤きくなっている（図表 8）。計算⽅法により 2 倍以上⽔準が異なるのは、この国内債券だけである。これが要因で、ヒストリカル法で計算した CVaR による最適化⽅法で求めたポート
フォリオの国内債券⽐率が、正規分布を仮定して計算した CVaR による最適化⽅法で求めたものよりも⾼くなっていると考えられる。
続いて、国内株式を⾒てみよう。国内株式の CVaR は、ヒストリカル法（13.57%）に対し、正規分布を利⽤した⽅法（17.49%）と⼤きな値になっており（図表 8）、国内債券同様に、ヒストリカル法で計算した CVaR による最適化⽅法で求めたポートフォリオの国内株式⽐率（40%）が、正規分布を仮定
して計算した CVaR による最適化⽅法で求めたもの（25%）よりも⾼くなっている。
また、外国債券と外国株式については、ヒストリカル法では、正規分布を仮定した⽅法よりも国内債
券と国内株式の CVaR が⼩さいため、これらの資産への投資⽐率が相対的に⾼まった結果、外国債券および外国株式の⽐率が低くなったと考えられる。

3.3 ローレンツ曲線の形状⽐較
CVaR の⽔準が異なることを、ローレンツ曲線の形状からより視覚的に把握してみよう。国内債券
100%の場合のローレンツ曲線は以下のようになっている。

本資料は、信頼性の高いデータから作成されておりますが、当社はその正確性・確実性に関し、いかなる保証をするものではございません。本資料は、情報提供を目的としており、投資勧誘を目的としたものではございません。証券投資に関する最終判断は、投資家ご自身の判断でなさるようにお願いいたします。本資料の著作権は当社に帰属し、本資料の転用および販売は固く禁じられております。

11⽇興リサーチレビュー

図表 9：国内債券

ローレンツ曲線の⽐較

出所：各種市場データ、GPIF 資料より、⽇興リサーチセンターが作成

図表 9 において、ヒストリカル法と正規分布を仮定した⽅法のローレンツ曲線を⽐較すると、「①最⼩値となる横軸の値：ヒストリカル法 ＞ 正規分布を仮定した⽅法」および「②曲線の最⼩値：ヒスト
リカル法 ＞ 正規分布を仮定した⽅法」となっていることがわかる。
今回の応⽤例で計算した CVaR の信頼区間（p 点）は「⽬標リターン（1.7%）を下回る場合の期待損失額」で定義されることを踏まえると、「①最⼩値となる横軸の値」が 100％に近づくほど、信頼区
間（p 点）は、分布の形状によっては例外もあるが、双⽅のリターン分布の性質が極端に違わない限り、⼀般的には⼤きくなる傾向にある7。このことは、CVaR は、式（3）で⽰した通り、信頼区間（p 点）と形式的に反⽐例することからも理解できるだろう。
また、「②曲線の最⼩値」がより下⽅になるということは、この値は式（3）の分⼦に相当するため、曲線の形状により例外はあるものの、⼀般的には CVaR が⼤きくなる傾向があることを⽰している。
以上のような原因の捉え⽅は、単に数値や分布関数の形状を⾒るだけでは得ることができない捉え⽅であり、ローレンツ曲線活⽤のメリットの⼀例である。
国内株式においても、ローレンツ曲線の形状から CVaR の値が異なっている具体的な要因を探ってみよう。

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少なくとも、「ローレンツ曲線の最⼩値および期待リターンが同程度」でかつ「ローレンツ曲線 L(x)の最⼩点を与える点から信頼区間 p までの間、L(x)の 1 次および 2 次微分係数が同程度」である限りにおいては、このように考えてよいだろう。

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図表 10：国内株式 ローレンツ曲線の⽐較

出所：各種市場データ、GPIF 資料より、⽇興リサーチセンターが作成

国内株式は、国内債券ほどではないが、「①最⼩値となる横軸の値：ヒストリカル法

＞

正規分布

を仮定した⽅法」および「②曲線の最⼩値：ヒストリカル法 ＞ 正規分布を仮定した⽅法」となっている。したがって、国内債券と同様、ヒストリカル法による CVaR の⽅が、正規分布を仮定した⽅法による CVaR よりも⼩さい傾向にあると⾔える。
⼀⽅、外国債券と外国株式のローレンツ曲線は次のようになっている。
図表 11：外国債券、外国株式

ローレンツ曲線の⽐較

出所：各種市場データ、GPIF 資料より、⽇興リサーチセンターが作成

外国債券は、図表 11 を⾒るとほぼ曲線の形状が⼀致しているため、どちらの⼿法で計算しても CVaRはほぼ⼀致し、外国株式は、図表 11 を⾒ると、ヒストリカル法の⽅が、最⼩点を与える信頼区間（p点）がわずかに右側でありかつ最⼩値がわずかに上⽅にあるため、CVaR はやや⼩さくなった。

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以上は、ローレンツ曲線を描写することで、分布や前提の違いが CVaR の結果にどう影響を与えるのかを把握しやすくなるという⼀例である。
なお、CVaR の差異に関する別の理由として、ヒストリカルデータから計算した相関と GPIF の前提としている相関の差によることも考えられるが、この影響は軽微であった。実際にヒストリカルの相関で正規分布を仮定した⽅法にて基本ポートフォリオを計算したが、結果は変わらなかった。
また、「経済的中位ケース（実質的なリターン）」、「市場基準ケース（実質的なリターン）」で、ヒストリカル法で結果が異なったのは、使⽤している期待リターンの差によって発⽣した、他⽅で「市場基準ケース（実質的なリターン）」を⽤いた場合でのヒストリカル法と正規分布を仮定した⽅法の差異は、「経済的中位ケース（実質的なリターン）」と同様に CVaR の差によって発⽣した、と考えてよいだろう。

4. まとめ
本稿では、CVaR に関して、その定義と最近における活⽤事例について解説し、いくつか存在する計算⽅法のなかで、ローレンツ曲線を利⽤して計算する⽅法を紹介した。
CVaR は、決して新しい概念ではなく、下⽅リスクに対する耐性を測る上では有効なリスク指標のひ
とつに過ぎないが、GPIF が基本ポートフォリオ変更の際に CVaR を利⽤したことや、2016 年 1 ⽉ 14⽇にバーゼル銀⾏監督委員会が「マーケット・リスクの最低所要⾃⼰資本」において、バリュー・アッ
ト・リスクから期待ショートフォール（CVaR と同様の概念）へのリスク計測⼿法の移⾏を表明したことなどを踏まえると、CVaR とその実務への応⽤は、今後より注⽬されるだろう。
本稿の後半部分では、ローレンツ曲線を利⽤して計算する CVaR の応⽤として、伝統的 4 資産（国内
債券、国内株式、外国債券、外国株式）に対して、リターン分布がヒストリカルデータに従うと仮定した⽅法（ヒストリカル法）と正規分布を仮定した⽅法のそれぞれで、CVaR を最⼩化するポートフォリ
オ最適化問題を解く事例を紹介した。その結果、「正規分布を仮定した⽅法」を⽤いて計算した結果は、
期待リターンを「経済的中位（実質ベース）」として計算した場合、GPIF の基本ポートフォリオにおける各資産のウェイトと完全に⼀致した。⼀⽅、「ヒストリカル法」を⽤いて計算した結果は、GPIF の基
本ポートフォリオに⽐べて、国内債券および国内株式がオーバーウェイトであり、外国債券と外国株式はアンダーウェイトとなった。
差異が⽣じた要因は、各資産における「ヒストリカル法」と「正規分布を仮定した⽅法」による CVaRのローレンツ曲線の形状を⽐較することで、「①最⼩値となる横軸の値」および「②曲線の最⼩値」に起因する可能性があることがわかった。これは、単に数値や分布関数の形状を⾒るだけでは得ることができない捉え⽅であり、ローレンツ曲線活⽤のメリットの⼀例である。

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参考⽂献[1] Shalit.H (2014), “Portfolio Risk Management Using the Lorenz Curve”, The Journal ofPortfolio Management 40: pp 152-159.
[2] Rockafellar.R.T. and S.Uryasev (2000), “Optimization of Conditional Value-at-Risk”, The
Journal of Risk, Vol.2[3] 年⾦積⽴⾦管理運⽤独⽴⾏政法⼈（平成２６年１０⽉３１⽇）, 「中期計画の変更について」の記
者会⾒資料, http://www.gpif.go.jp/topics/2014/pdf/1031_midterm_plan_henkou.pdf[4] ⽶澤康博（2015）, 「基本ポートフォリオ変更に関する解説」, 年⾦と経済 Vol.34 No.2
[5] Basel Committee on Banking Supervision (2012), “Fundamental review of trading bookcapital requirements”, http://www.bis.org/press/p120503.htm[6] Basel Committee on Banking Supervision (2013), “Fundamental review of the tradingbook - second consultative document”, http://www.bis.org/press/p131031.htm[7] Basel Committee on Banking Supervision (2014), “Review of the trading book:consultative document on remaining issues” , http://www.bis.org/press/p141219.htm[8] Basel Committee on Banking Supervision (2016), “Explanatory note on the revised
Minimum capital requirements for market risk”, http://www.bis.org/bcbs/publ/d352.pdf

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