第３学年

１単元（題材）名

数学科

学習指導案

「円の性質」～方べきの定理～

２ 単元（題材）の目標○観察、操作や実験などの活動を通して、円周角と中心角の関係を見いだして理解し、それを用いて論理的に考察し表現できるようにする。
【関心・意欲・態度】○円周角と中心角の関係などの円の性質を、具体的な場面で活用して論理的に考察し、それを説明できるようにする。
【数学的な見方・考え方】○円周角と中心角の関係を理解し、それが説明できることを知る。
【数学的な技能】○円周角の定理の逆の意味を理解する。
【知識・理解】３単元の指導計画（全１０時間）
１節 円周角と中心角５時間
２節 円の性質の利用
３時間
章末
２時間

４ 本時の計画（１０時間目／全１０時間）(1)本時のねらい
方べきの定理について、三角形の相似を証明することを通して、円周角の定理を具体的な場面で活用することができる。
(2)前時の内容■評価規準(観点／方法) ○留意点
○隣 同士 の２ 人
導 入
１ ゲーム感覚 T1 ゲームをします。２人組でじゃんけんをして先攻後攻を決め 組でゲームをすで、交差するて下さい！先攻は好きなように弦 AB を書きます。後攻は弦 る。
線分の長さをAB に交わるように弦 CD を書きます。交点をＰとし、ＡＰ測りながら、×ＢＰが先攻の得点、ＣＰ×ＤＰが後攻の得点です。得点が ○赤 ペン と青 ペンを用意させ関係性を見い高い方が勝ちです。【問題１】
る。
だす。
学習活動

教師の働き掛けと予想される児童生徒の反応

S1 全部小数。計算めんどくさ…。
S2 う～ん…あんまり変わんないな…
S3 かけると…えっ？まさかの同点！？
S4 勝ったー！真ん中通れば勝ちじゃん！
T2 何か必勝法が見つかりましたか？
S5 直径を通れば勝ち！
T3 そうですか･･･皆 さん同じ意見で すか？
S6 いや！（直径に）勝てる方法はきっとある！！？
T4 そうですよね！悔しいので直径に勝つ方法を探してきてください！
今日の宿題にします！【問題２】○全員に予想をさせる。
○電卓配布○Ａ Ｐと ＢＰ を赤、ＣＰとＤＰを青で強調し、関係性を見いだせる手伝いをする。

(3)

本時の展開
学習活動

■評価規準(観点／方法) ○留意点
○電卓・赤ペン・青ペン・
T5 さて、前時ではこんな勝負をしましたね？（前
導 入定規・円の用紙を準備
１ 直径最強説を 時の復習）する
打ち破り、ＡＰ直径を倒す方法は見つかりましたか？
○比較的小さい円の方
× Ｂ Ｐ ＝ Ｃ Ｐ S7 無い！直径最強！
が、誤差が小さい印象
× Ｄ Ｐ の 関 係 S8 いや！ありました！かける数を小さくすれば を受ける。
性を予想する。勝てます！
○前時の終了後、数名のT6 どういうことですか？
生徒と直径を倒す方法
S9 AP と BP のどちらかを１より短い長さにすれ を探しておく。
ば、AP×BP の値は小さくなります！例えばこんな風に･･･！
S10 おぉぉぉ！最強説が崩れた！
T7 すごいですね！皆さんも少○生徒から「同じ」というし言葉が出なかったときやってみてください！に、 ＡＰ×ＢＰ＝Ｃ
S11 本当だ！勝った！
Ｐ×ＤＰという関係性
S12 んっ？やっぱり直径が勝を導きだしやすくする
ための手立てった…
①前時のＡＰ×ＢＰとＣ
S13 っていうか、ほぼ同じになる？
Ｐ×ＤＰの数値をプリT8 !?「同じ」ってどういうこと？
ントにまとめておく。
S14 だから、ＡＰとＢＰ、ＣＰとＤＰをそれぞれか（ほぼ同値のみを記載しておく）
けると②必勝法があるかないか大体同じ数値になる。の結論を生徒に求め、S15 でも、似てるけど完璧に同じにはならない何故無いのかを説明さよ？
せる。
T9 なるほど…。誤差はあるけど、ほとんど等しい ③塾で習っている生徒がいれば揺さぶりのチャ値になりそうってことか…。定規も正確さにかけンスるし…。どうすれば等しくなるって事が言えるの？
S16 !!?まさか…証明か…。
展２

開

教師の働き掛けと予想される児童生徒の反応【学習課題】「ＡＰ×ＢＰ＝ＣＰ×ＤＰ」は正しいといえるだろうか？（証明してみよう）

ＡＰ×ＢＰ＝
ＣＰ×Ｄ Ｐと なること を証明 す S17る。

どうするんだ？さっぱり分からん！

○前々時に取り組んだ復習問題（円と相似の証
S18 何かノートにヒント無いかな？
明と長さを求める問題）を想起させ、ノーS19 …ノートのこの問題、形が似てるな…
トからヒントを与える。また、板書の AP
S20 とりあえず、相似な三角形の証明をしてみよ と BP は赤字に、CP とう…。
DP は青字にして、以前のノートから想起し
S21 ＡＰ：ＣＰ＝ＤＰ：ＢＰか…だからなんだ？
やすくする。
【①見通しの共有】

S22

あっ！外々中々で出るじゃん！

T10おぉ！ＡＰ×ＢＰ＝ＣＰ×ＤＰが証明できましたね！ということは S13 さんの予想は…
成り立つ！

S23
３

条件変更した○ＡＰ：ＤＰ＝ＣＰ：Ｄ【まとめ】
状態 でも ＡＰ×
Ｐも可三角形の相似を証明し、相似比が等しいことから
ＢＰ ＝Ｃ Ｐ×Ｄ
○時間の経過によってＡＰ×ＢＰ＝ＣＰ×ＤＰとなる。
Ｐとな るかを 予
は、証明を文字で表さ想し、証明する。
ずに、言葉で説明する
T11 なるほど…ということは、点Ｐをどこに動か にとどめる。
しても、ＡＰ×ＢＰ＝ＣＰ×ＤＰとなるのですね。では…
こ ん な 風 に 動 か し て み た ら ど う で し ょ う ■これまでの学習を活かか！？
し、未習の問題にも積極的に取り組み、仲間
S24 え？何が？と協力しながら証明できる。（関心、思考）
T12 いや…こんな形でもＡＰ○PC を使い、交点Ｐを×ＢＰ＝ＣＰ×ＤＰは成り円の外に出した図形を立つかなと思って…。
示す。
○Geogebra を使って、円S25 無理でしょ！の中で交点Ｐを動かす。
S26 でも測ってみると…なりそうだよ！？
T13○発展的な問題なので、グループでの話し合い
S27 また証明かぁぁ！
も組織する。
【②対話の手引きの提示】
S28 どうせこれも三角形の相似でしょ！？ってこ ○補助線の引き方（ACとは…と BD）によっては、
S29 とりあえず、バッテン（AD と BC）を書くか 内接する四角形の性質…
が必要になる。
S30 円周角は一緒だから…相似だ！やっぱり、Ａ
Ｐ：ＣＰ＝ＤＰ：ＢＰになるからＡＰ×ＢＰ＝ ■仲間と協力して課題解
ＣＰ×ＤＰだ！
決に励むことができ
S31 えっ？どうやるの？
る。（関心・意欲）
S32

では…この形も…

ヒントはこれ！同じ弧から出る円周角は同じ ■三角形の相似から相似大きさだったでしょ？そうすると、この２角が 比を見つけ出し、関係…
性を導き出せる。（思S33 なるほど！
考）T14 何気なく引いた円の弦ですが、意外な関係性 ○「方べきの定理」を知終 末
４学習を振り返り、がありましたね！この関係性は「方べきの定 り、 次回への興味を引く。
次回へ の指針 を理」と呼ばれています。
示す。
T15 次回は…さらに引っ張ったこの形（右図）を…
S34

えぇぇぇ！

T16

それでは、本時の振り返りをしてもらいたいと思います。「今日の授業で困ったことは」「解決の際に使った考え方は」という言葉から、本時を振り返ってみてください。

【③学習作文による振り返り】(4)本時の評価・既習事項を活かし、未習の問題にも積極的に取り組み、仲間と協力して課題解決に励むことができる。
（関心・意欲・態度／振り返り用紙）
・三角形の相似から相似比を見つけ出し、方べきの定理の関係性を導き出せる。（思考・判断・表現／振り返り用紙）