J. Plasma Fusion Res. Vol.95, No.4 (2019)１
５５‐１７２

プロジェクトレビュー

特異値分解固有モードを利用した磁場設計（核融合装置技術から応用した磁場設計）
Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition(Magnetic Design Methods Developed in Fusion Research and Their Applications)
阿 部 充 志＊ABE Mitsushi
日立製作所ヘルスケアビジネスユニット核融合加速器部核装置設計グループ（原稿受付：２
０
１
８年１
０月１
１日）

目標磁場を実現する起磁力配置を求める逆問題は，核融合装置を含む磁気応用機器の設計や実験で頻繁に出現する．ここでは，打ち切り特異値分解（TSVD）正則化を適用してきた例を紹介する．トカマク装置実験では，構造物上の電流を考慮したポロイダル磁場分布再構成と多変数制御型ポロイダル磁場コイルを用いた負帰還制
御，それに，面電流表現と結びつけてステラレータ用モジュラーコイル設計手法開発に適用した．ここでのTSVD 正則化では，SVD 固有モードを，強度と磁場分布に注目して，選択する特徴が有る．核融合以外の分野にも応用している．MRI 装置の磁場に関し，振幅３ppm 以下の均一磁場を作る起磁力配置設計，励磁後の精密磁場調整法の確立および能動磁気シールド構造を持つ傾斜磁場コイル設計に適用した．現在，素粒子（ミューオン）の
磁気・電気モーメント精密計測用で，MRI 以上の均一磁場を持つ磁石設計に適用している．
Keywords:
singular value decomposition, truncated SVD, tokamak, poloidal field control, Hitachi Tokamak HT-2, magnetic design,
MRI, magnet, homogenous magnetic field, gradient field coil.

１．はじめにた［８］．また，小型トカマク装置日立トカマク HT-2
［９‐２２］

実験装置の磁場分布を求めるには，Biot-Savart の法則やでも，数十点のポロイダル磁場・電流の計測値からポロイ

有限要素コードを用いて，与えられた電流や磁気モーメン

ダル磁場の再構成［９，１３，１４］を行った．HT-2 では，プラズト（MM:Magnetic Moment）分布等の起磁力配置から磁場

マと構造物（特に真空容器）の磁気的相互作用を把握する

分布を計算する．一方，磁気応用機器の設計では，目標とことを実験目標とした［１０，
１３‐２２］ため，真空容器に誘起さする磁場分布を発生できるコイル等の起磁力配置を求めれる電流の把握が重要であった．特異値分解（SVD: Singu-

る．後者はいわゆる逆問題であり，磁気応用機器の設計でlar Value Decomposition）［２３‐２５］を利用して，真空容器なは必ず解く必要のある問題である［１］．核融合装置の設計

どに誘起される誘導電流を，数個のSVD固有電流分布の組でもコイル配置設計や PFC（Poloidal Field Coil）電流配分

み合わせで表現し，ポロイダル磁場分布の再構成に利用しに存在する［２］．また，磁気共鳴撮像（MRI: Magnetic Reso-

た［１５］．また，超伝導トカマク装置 TRIAM‐１M にも適用

nance Imaging）装置などの高精度な磁場を必要とする機

し，低温部の低抵抗部材を流れる誘導電流に起因すると考器，多くは超伝導利用であるが，電流や磁性体の配置を正えられる誤差磁場を考慮した計測磁場入力型の２次元（2確に求める逆問題に加え機器設置後に計測された誤差磁場

D: two-dimensional）平衡計算コード［１３］を通して閉じ込の補正磁場を生成する MM 配置を求める逆問題（シミング

め特性の把握を行った［２６］．

計算）もある［３，
４］．

さらに，SVD による正則化に注目し，単なる打ち切り特

このような逆問題は，核融合分野では実験遂行時にも存

異値分解（TSVD: Truncated SVD）でなく，SVD 固有モー

在する．プラズマ位置形状や表面位置を実時間で制御する

ド（以下では簡単に固有モードと書く場合もある）の強度

負帰還（FB: Feedback）制御の演算も逆問題である．また，と磁場分布の有意性に注目して固有モードを選択する正則

限られた点数の磁場・電流計測データを用いて，プラズマ化手法として，HT-2 での磁場制御や，核融合以外の分野で付近のポロイダル磁場分布を空間連続的に把握（再構成）

磁気応用機器の（目標磁場を実現する起磁力配置設計）にする磁場計測手法［５‐７］が代表的な逆問題として存在する．

適用した．磁場関連を主としたプラズマ計測にSVDを応用

筆者も，この磁場再構成を Double-III で行い，プラズマ閉

した例は，近年，本学会誌でも取り上げられている［２７‐

じ込め特性が，プラズマ表面位置に依存することを把握し２９］が，HT-2 実験での SVD 応用は先駆的でもあり，実際＊現在の所属は，高エネルギー加速器研究機構素粒子原子核研究所，〒３
１
９
‐
１
１
０
６ 茨城県那珂郡東海村白方２０３‐１ 高エネ研東海キャンパス
author’s e-mail: abemk@post.kek.jp

１５５!2019 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019

的でもあった．そのため，HT-2 実験での良好な結果を受け述べる．次に，核融合装置設計への応用として，準軸対称て，TSVD 正則化を応用する磁気応用機器の磁場設計に応ステラレータ CHS-qa 磁場設計で検討したモジュラーコイ

用した．核融合装置設計への応用として，準軸対称ステラ

ル形状の算出手法を紹介する．後半では，MRI 装置や基礎

レータ CHS-qa［３０］
磁場設計で検討したモジュラーコイル

物理実験用磁石に応用した磁場設計を報告する．特に，こ形状の算出手法［３１］を開発した．また，トロイダル磁場

こでのTSVD正則化には，個々のSVD固有モードの磁場分

リップルを低減するように，フェライト鋼 F８２H 配置の最布と強度を把握して，選択する特徴がある．この点に注目

適化にも適用した［３２］．その後，核融合以外で，MRI 装置

して記述する．

製品開発で磁場設計に適用し，さらに，基礎物理実験用の

２．最小二乗法と正則化

磁石設計に応用している．
核融合実験関連とその他の応用先は，互いに異質な分野

ある磁場分布を持つ磁気応用機器を設計する場合，そのであるが，問題を解くための共通手法として，TSVD 正則

磁場を発生する電流分布 I を求め（磁場設計），それを保持化を適用してきた．電流から磁場への応答行列 A に対しできる構造（耐電磁力，耐電圧，電流密度，冷却など）をて，目標磁場分布 B TG を再現する電流分布 I （B TG＝AI ：設計していく．磁場設計の部分で逆問題を解く．目標磁場

例として電流で記述）を求める手法として使ってきた．こ

分布として，多くの場合，磁束密度（Wb/m2）分布であるのような問題で，逆問題解法の要は A の逆行列を求めるこが，磁束（Wb）分布を考えることもある．多数個の磁場評とである．しかし，一般に A は非正則なので，逆行列は存価点（MFEP: Magnetic Field Evaluation Point）上の磁場分

在せず，正則化法を使う［１］．筆者は，固有モードの強度と

布 B（要素 "#は $番目 MFEP の磁場）と電流分布 I（要素

磁場分布に注目したTSVD正則化を利用した最小二乗法を番目電流値）の関係は，線形方程式系，#$は %用いて，満足する磁場性能を持つ機器の磁場設計を行って

B ＝AI

きた．

（１）

で 表 現 で き る．電 流 か ら 磁 場 へ の 応 答 行 列 A の 要 素

代表的な正則化手法［１］として，Tihonov 正則化と本記事で取り扱う TSVD 正則化がある．後者には次の利点があ!#$!
"!
!"は $番目電流が j 番目 MFEP に作る単位電流あたると考える．

り の 磁 場 強 度 で あ り，Biot-Savart の 法 則 等 で 算 出 し，（!）単位電流（起磁力）あたりの磁場強度（特異値）が大（MFEP数）×（電流要素数）の次元を持つ．目標の磁場分布

きな（低次）固有モードから選択する．したがって，最B TG を再現する電流配分は A の逆行列を用いることで把握

小の起磁力で必要な磁場を発生する電流分布を選択すできる．しかし，一般的にはAは非正則で式（１）はill-posed

る機能を TSVD が持っている．

問題であるため，B TG を近似的に再現する電流分布I を，最（"）固有モード数と磁場分布の近似精度には明確な関係が

小二乗法［２４］により算出する．つまり，あり，得られる精度を把握しながら，低次成分で起磁tTG‖2＝（B TG−AI ）（B−AI ）→ 最小 （２）‖（B TG−AI ）

力配置を検討できる．

の電流分布 I の近似解を求める．この解は，I について微分（#）各 SVD 固有モードと目標磁場分布を比較することで，使用する固有モードから実機で必要とする起磁力配置

して，極値を持つ条件から，を把握できる．

（AtA）I ＝AtB TG（$）分布電流（例えば，トカマク装置の真空容器を流れる（３）誘起電流）のように自由度の多い起磁力配置についてを解くことで得られる．ここで上添え字t は転置行列であも，磁場に対して大きな寄与を持つ起磁力分布をあらることを示す．
（AtA）は正方行列なので，多くの場合，逆かじめ把握して選択し，必要な精度を確保しながら，行列を算出でき，式（３）を利用すれば，下記である．

自由度を減少させて議論できる．

−1 t TGAB
I ＝（AtA）

これら利点については，実機設計例で示していくが，上記（４）

項目全体に共通していることは，固有モードの選択を通じ

最もよく知られた逆問題解法であるが，この式で算出するて派生することである．正則化は線形方程式系の逆計算を電流分布に基づいた磁気応用機器設計は難しい．多くの場安定に行う手法であるが，以下では上記特徴を引き出すた合，必要以上の磁場精度を振幅（要素 Ij の最大・最小値のめに，固有モードに注目して，その加算で逆問題を解く．

差異）の大きなI で発生する解を得て，過大な電流値を算出したがって，正則化というより，有益な固有モードの抽出する．このため，磁場設計には使えない．

とその利用方法についての議論となる．つまり，本記事の機器設計に必要な解I は，適度な精度で，実現可能な電流

表題のように SVD 固有モードを使用した磁場設計の議論

分布を与えるものである．これに対して，磁場精度とI の実である．

現性を取引する手法としての正則化法があり，代表的に本プロジェクトレビュー（以下では記事と略す）の趣旨

は，Tihonov 法と TSVD 法の正則化がある［１］．以下，本記は，上記の特徴を反映した固有モード利用の磁場設計技術

事では，TSVD 法を応用した議論となる．
行列 A に SVD を適用するとを，核融合技術の応用として紹介することである．著者が応用・発展させた次の内容で紹介する．まず，HT-2 実験で

A＝!ui!#v ti ，の SVD 応用で，ポロイダル磁場の再構成手法と FB 制御を
１５６

（５）

Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. Abeであり，磁場分布を表す基底 ui と，これに一対一に対応しる．筆者の磁場設計で TSVD 正則化を使ってきた理由のひた電流分布の基底 vi および相互の換算係数（T/A）と考えることのできる特異値 $.の組み合わせを，固有モード番号

とつがこれである．
２．
１ 各固有モード強度に注目した TSVD 正則化$について加算した式で表現できる．通常，特異値 $.の大きさの順に固有モードの番号 $を付ける．これを用いてなもの（低次）から加算し，必要な精度が得られる "$A＊＝（AtA）−1At を求めると，番目で打ち切るが，式（７）を参考にすると，固有モードのA＊＝（AtA）−１At＝ Σviu ti /$.，TSVD 正則化では，一般的に，式（７）で，特異値の大き寄与は１番目固有モードの特異値との比の $!"$.で解 I に反（６）映されることが解る．言い換えると，ill-posed は $!"$$が発散していくような行列 A を持つ問題と理解できる．この意である．これが A の一般逆行列であることは，式
（５，
６）か
＊

＊

ら，AA A＝A が成り立つ（つまり，AA は無作用）ことで味で，$$が小さいため，わずかな磁場しか発生できなきな確認できる．つまり，SVD を用いることで容易に一般逆行

い高次固有モードは不必要であり，加算から除外する．こ列を求めることができる．この結果，I を，れを，磁気応用機器の磁場設計に応用してきたが，筆者のI ＝!（u ti B TG）vi/$i

TSVD 正則化では，加算に選択する条件に，固有モードが（７）

有意な磁場分布を持ち，強度を持つことを条件に加えた．

で求めて，逆問題を解く．和は，固有モード番号 $についつまり，ill-posed の問題による発散を防ぎ，近似解を求めて行い，必要な磁場精度が確保できる固有モード番号 "$るために，各固有モードで磁場に対して下記のように，実で加算を打ち切り（Truncated），低次（大きな $i）の SVD

現できる電流で有意な寄与を持つ固有モードのみを選択・固有モードのみ加算に加える．全ての固有モードを加算す

加算して目標の磁場を近似的に発生できる起磁力配置を求ると通常の最小二乗法（式（４））である．この場合，高次める．

（小さな $i）の固有モードを含めて加算するため，分母に小固有モードの選択のために，式（７）を書き直して，さな $i を持つ項の加算で，解が不安定となり，過大な電流!""
vi#.,&"
I ＝!viu ti B TG/$.＝ ! %/$.，を求めることにつながる．TSVD 正則化は，低次の固有（１１）として，下記の固有モード強度，

モードを加算し，発生する磁場は些細として高次成分を無視して，妥当な電流で磁場を近似的に再現する．加算する!""%/#.,&＝u ti B TG"

固有モードの選択については，次節で議論する．

（１２）

一方，Tihonov 正則化は式（３）に誤差 #を含ませ，で，固有モードを加算する．ここで，%/はMFEP数で，B TG（AtA＋#"LtL）I ＝AtB TGの次元数である．ここでは，固有モード強度を規格化する

（８）

!"
"
ために %/
で割っている．再現磁場 B REC は，電流 I でも計算できるが，MFEP 点での磁場は，とする．L は線形な行列であり，単位行列であれば，上式
は，#に 応 じ て 電 流 I を 小 さ く す る 解 を 求 め る．行 列!"" ,&B REC ＝ ! %/
#. ui

２ t
L L）は正則となるため，求める電流配分（逆問題（AtA+#解）I は，I ＝（AtA＋#"LtL）−1AtB TG

である．TSVD 正則化による逆問題の解法，特に式（１１），（９）（１３）の加算を模式的に図１に示す．SVD で，磁場と電流分布の基底と特異値を求め，式（１２）の #.,& を図の右側の様に求め，左側のように，式（１１），（１３）の加算を実行する．加である．その解は，SVD 固有モードを用いて示すと，"
u ti B TG］v i
I ＝!［&
$.
$."
"#"%
'
$

（１３）

算する固有モードを多くすると，上部左側のように細かく（１０）振動する解になることが多いが，固有モード数を適数にすである．ただし，式（１０）では L を単位行列とした．和は，固ると，実現性のある解を獲る．TSVD で加算する固有モー

有モード番号 $について行う．式（７）と式（１０）を比較する

ドの選択は，下記の様に考える．

と，Tihonov 正則化では，$.##となる固有モード番号付近

１）残差磁場 B RE が目標値 #0以下となるように加算，で加算を打ち切り，おおよそ同様な解を出力すると理解で!"" ,&B RE＝B TG−B REC＝ B TG−! %/#. ui

きる．ただし，通常，Tihonov 正則化では，（AtA+#"LtL）（１４）の逆行列を求めて計算を実行すると，固有モードを意識す

で，加算する固有モード数 "$ を多くすると，残差磁ることはない．式（２）と式（８）の意味を考えると，磁場場は小さくなる．下記の振幅（PP: peak-to-peak）が目

B TG を再現する時に式（２）に｜LI｜を小さくする条件を追標値以下となるまで固有モードを加算する．つまり，加したことになる．L として単位行列を用いれば，式
（１０）

+%
+%
!*+*% #!(#
!#
!!('
0
)
-

で電流ノルム｜I｜を小さくする条件を加えたことになる（１５）となる "$ を選ぶ．

が，単位行列以外の L を使うことも可能であり，電流以外のパラメータを小さくする条件を加えることも可能であ２）SVD 固有モードの磁場分布と強度に注目，る．しかし，Tihonov 正則化では，打ち切りが緩やかに行式（５）で説明したように，磁場基底 ui，電流基底 vi

われるために，本来必要でない高次（小特異値）成分が解および特異値 $.で $番目の固有モードを構成する．

に入り込み，電流を大きくする可能性がある欠点が存在す

個々の磁場基底 ui が必要であるものかを，（!）#.,&
１５７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019

３．核融合装置での磁場制御・磁場設計
本記事の計算手法は，TSVD 正則化を用いた最小二乗法であるが，固有モードの強度や磁場分布に注目する点に特徴がある．SVD 固有モードをすべて加算すれば，近似精度はよくなる．しかし，前節の議論からわかるように，小特異値の固有モードまで利用すると，不安定な解になり易い．ここでは，必要以上の精度は求めないことで，妥当な磁場分布を得てきた実験例を議論していく．
３．
１ トカマク実験での特異値分解応用
小型装置の日立トカマク HT-2（図２）は，１９８６年１２月に運転開始［９］し，２００３年３月にシャットダウンされた．計測
磁場からポロイダル磁場分布の再構成を重要な計測手段と
図１

打ち切り特異値分解正則化を用いた逆問題解法の模式的説
明．

し，ポロイダル磁場のFB制御に，式（１１），（１２）を利用してが有意な大きさか？（!）目標磁場に必要な固有モーを最小二乗法で求める磁場近似手法であるが，より正確

SVD 固有モード強度を制御する方法を用いた．
前者は，計測磁場を再現するようにトロイダル方向電流

ドか？から判断した上で，加算する．ui は MFEP での（磁場近似の残差が小さい）に再構成するために，真空容器

磁場を示しているのみであるが，vi で計算する単位電に流れる誘導電流が作る磁場の再構成に固有モードの重ね流分布あたりの磁場分布 b（vi）を固有モードの磁場分合わせを利用した［１５］．真空用機器などのトカマク装置構

布とすると理解しやすい．

造物に誘起される電流を考慮するポロイダル磁場再構成

３）必要電流強度の実現性，は，近年取り上げられている［２８，２９］が，ここでは，８０年

式（１１）で各電流 !
"が実用的に実現できる範囲である．

末から９０年代中期にかけてプラズマと構造物の磁気的相互以上の条件で打ち切り次数 "! や加算する固有モードを作用を考慮する工夫を施した磁場再構成手法を紹介する．

設定するが．上記の３項目を同時に満たさない場合もあ

後者では，低一周電圧・抵抗での放電開始［１５，
１
７，
１８］や

る．たとえば磁石の設計であれば，電流配置を考えている

プラズマ対向壁をフェライト鋼 F82Hとした放電
［１９，
２０，
２１］

領域が不適切，もしくは過大な目標磁場領域の大きさや精を可能とした TSVD 応用の FB 制御法とポロイダル磁場再度等の原因がある．この場合，検討している幾何学的体系

構成法を述べる．これらを通して TSVD 応用が実用的な手や磁場仕様を再検討することになる．

法であることを紹介する．
３．
１．
１ ポロイダル磁場の再構成

以下では，TSVD 正則化による逆問題解法を応用した磁気応用機器の磁場設計例を示すが，電流 I と磁束密度 B

最初に，HT-2 実験の基礎的とした計測磁場に基づく 2Dの関係（式（１））からの議論だけでなく，他の組み合わせポロイダル磁場分布の再構成を述べる．この手法としての場合もある．例えば，磁場 B ではなく，磁束 ! をする場

は，プラズマ電流分布を単に数本の円電流で近似する方法

合，入力側では，電流 I でなく磁気モーメント分布 M とす

［９，１５］とプラズマ電流の 2D 平衡分布に基づく方法［１３］のる場合もある．

２種類を開発した．それぞれ，SHP（SHaPe）と FITEQ（FITted EQuilibrium）と 呼 ん だ．通 常 の 実 験 で は 前 者

図２

日立トカマク HT-2 実験室の写真（左：１９９２年頃）と本体の模式図（右）．

１５８Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. Abeトル I を（SHP）を用いた．一方，FITEQ は，ディスラプション時のプラズマ挙動の把握［１４］，ハロー電流の推定［２２］および

I ＝"
#
#
#
#
#
#
#
#
#
$$!
$$!
)!!
)"!
)#!
)$!
&+!!
&+%!
*!!
*"!
*(#

TRIAM-1MのOHプラズマ閉じ込め特性の把握に利用した＝（IP, IHY, IV）［２６］．これらには TFC の持つ誤差磁場や構造物の影響に（１６）

よるポロイダル磁場も考慮した．後者の影響には，HT-2とし，真空容器壁電流 IV から磁場への応答関数 AV を Biot

では真空容器上の誘導電流［９，１０，１５］と磁化した F82H に-Savart の法則で求めると，MFEP に IV が作る磁場 B V は次

よる磁場
［１９‐２１］であり，TRIAM‐１M では TFC（トロイダ式で表すことができる．

ル磁場コイル）の極低温部の安定化導体や輻射シールドにB V ＝AVIV誘起される誘導電流による磁場［２６］である．

（１７）

この AV に SVD を適用し，真空容器上の電流 IV はHT-2 では図３の様に真空容器電流を扱っている［１５］．
上側に応答行列を特異値分解して得た固有PFC電流配分vi

vVi
IV＝! #*',から，ポロイダル 断 面 で 磁 場 分 布 を 算 出 し た 磁 場 分布

（１８）b（vi）を固有磁場分布として示し，下側には，放電開始時ののように，真空容器壁上の SVD 固有電流分布 vVi の加算で磁場再構成における残差磁場を時系列で示す．真空容器電表現する．この固有モードが図３上部である．#*',は i 番目

流を多数の線輪電流（トロイダル方向円電流）に分割し，固有モードの電流値で，２．
１節の議論を利用すれば，固有

磁場計測値から最小二乗法で電流値を決めるが，このまま!""モード強度 $,と，#"#,の関係がある．磁場残差,',!%- vi $

では磁場計測点数以上に電流が存在して ill-posed 問題であ".をる．そこで，変数を減少させるために SVD を利用した．線vVi）｝2→最小"."!{σB MS−（APIP+AHYIHY+AV! #*',輪電流値からプラズマ領域の磁束への応答行列を算出し，（１９）

これに SVD を適用して得る固有モード（図上側）の電流分
布をポロイダル磁場コイル（PFC）の様に扱い，その大きとする電流配分（IP, IHY, IVM）を決めて，これらの電流からさを PFC 電流やプラズマ電流（４〜５成分）と共に計測磁

ポロイダル断面全体のポロイダル磁場分布を再構成する．

場を再現するように最小二乗法で決めた［９，
１０，
１５］．

ここで，IVM の要素は #*',であり，σは重みの対角行列で成HT-2 では真空容器渦電流の再現精度を向上させるため分として計測誤差の逆数を持つ．電流に対しては通常重みに，真空容器壁を挟んで内外に磁気センサを配置させ，かは用いない．この方法で精度良く，数値的には安定に，ポつ，PFC には磁束ループを配置して，プラズマを囲む３面

ロイダル磁場分布を再構成した．式（１８），（１９）の加算は９の磁場計測面を持っていた．つまり，磁場評価点（MFEP）

個の固有モードについて実行していたが，多くの場合，第の計測磁場分布をBMSとしこれを再現するための電流ベク

１番目#*'!が誘導電流による磁場の支配的な大きさを持っていた［１５］．
図４に ポ ロ イ ダ ル 磁 場 分 布 の 再 構 成 例 を 示 す［１５，１８］．５８個程度の電磁データ（電流，磁束，磁場）を利用している．鉄芯による磁場は解析式で補正し，TFC が作る誤差磁場成分としての半径方向（水平）磁場 !&として５ガウス（トロイダル磁場 1.0 T）を加えている［１３］．TFC
由来の誤差磁場は磁気センサで直接的に計測することはできない．しかし，計測磁場を元に 2D 平衡磁場の再構成を行
うときに，プラズマに働く上下方向の力を零とし，上下位置を安定化した計算のために必要な !& を TFC 由来の誤差磁場とした［１３］．図３の放電開始プラズマには閉じた磁気面は存在しないために，ここでは単にプラズマ電流位置のみが把握できていると考える．
一周抵抗を0.3 mΩに小さくした［１８］ために，真空容器を流れる電流IV は8 kAで，この実験のプラズマ電流IP＝20 kAと比較して無視できなく，真空容器壁の内外で１００ガウス程度のポロイダル磁場の差がある．しかし，再構成された放電開始直前のポロイダル磁場は真空容器内にヌル点を持ち，かつ，高速度カメラによる放電開始時のプラズマ位置

図３

真空容器を流れる電流の SVD 固有モード分布（上）と放電開始時の規格化した残差２乗和の時間変化の比較（下：文
献［１５］Fig. 3（a）より引用）．真空容器電流は ● では SVD
固有モード分布，× では三角関数による分布，の重ね合わせで表現した．SVD では残差が小さく精度良くポロイダル
磁場分布が再構成できる．

とよく一致している．つまり，真空容器に無視できない電流が流れても，精度良くポロイダル磁場が再構成できていることが解る．
図３下側には計測値の最小２乗近似の残差誤差と計測誤差推定値の比を２乗加算した値を放電時刻ごとに示した．
１５９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019

図５
図４

低一周抵抗真空容器での放電開始時（IP = 0.9 kA）の磁場解
析結果（上：左側はポロイダル磁場強度分布，右側は磁束線分布，文献［１５］Fig. 6，Fig. 7 より引用）と放電波形（上右（文献［１
８］，Fig. 7より引用）），下側は再構成磁場の精度確認のための高速度カメラによる写真（主半径の小側のリミッタ部分が左端）．

超伝導トカマク TRIAM‐
１M における 2D 平衡磁場の FITEQによる再構成結果．左：全ポロイダル磁場の磁束分布とプ
ラズマ断面形状．● は SHP で求めたプラズマ表面位置で磁気軸付近の６個の x がプラズマを模擬した電流位置．右：プラズマおよびPFC以外からのポロイダル磁場．文献［２６］，Fig. 6，Fig. 7
（b）
より引用．

３．
１．
２ ポロイダル磁場の多変数 FB 制御

真空容器上の電流をフーリエ級数で近似した場合（図中では OLD）に比べて，SVD 固有分布の重ね合わせの方が精度

HT-2 では巻き戻しのない PFC を使い，SVD 固有モード

良く磁場分布を近似できたことが解る［１５］．この方法で，強度を調整する考え方で，ポロイダル磁場分布の多変数負

図４の様に精度良くポロイダル磁場を再構成できるように帰還制御を行った［１７，
１８］．制御結果は前記のポロイダル

なり，放電開始時やディスラプション時においても精度良

磁場再構成手法で確認した．FB 制御［１７］に使った固有

くポロイダル磁場を把握できるようになった［１５，１６］．

モード磁束分布（ここでは磁場でなく磁束分布を扱う）の一方，超伝導トカマク装置では，TFC がつくる誤差磁場

等磁束線（磁力線）を図６右側に，ポロイダル断面で示す．

以外に，極低温・低抵抗の構造材に誘起された電流による左側には，応答行列 A の算出体系を模式的に示した．単位

磁場も考慮する必要がある．これらを考慮した 2D 平衡磁

PFC 電流がプラズマ表面付近の磁束評価点に作る磁束の場の再構成手法は，超伝導トカマク装置 TRIAM‐１M で，大きさ［Wb/A］が要素 !'(である．図６の磁束分布は，A

平衡磁場の把握やエネルギー閉じ込め特性の把握にも利用を特異値分解して得た固有 PFC 電流配分 vi から，ポロイダ

した．TRIAM‐１M では，磁場計測はプラズマを取り囲むル断面で磁場分布を算出したもの b（vi）である．特異値（こポロイダル断面で１本の閉曲線上であり，渦電流が流れるの場合，Wb/A に相当）の大きな固有モードおよびプラズ

構造物を取り囲む配置ではなかったが，極低温部の構造物

マの平衡に有意な固有モードを使うことで，より小さな電に誘起される電流が発生する磁場分布はプラズマや PFC

流でによる磁場分布とは異なる分布であり，分離して求めることが可能であった．TFC のプラズマ側位置にトロイダル方まり，計測点位置の目標磁束分布を決めておき ΦTG，計測
値 ΦMS との誤差 "φ＝ΦTG−ΦMS を補正するようにコイル電

向一様な 2D 分布電流面を配置し，SVD 固有モード強度を，流を FB 制御する．つまり，補正する PFC 電流 I FB は図６

PFC やプラズマ電流配分と共に最小二乗法で計測磁場かの固有モードを用いて，式（１１），（１２）で算出する．予め定ら求めた．この考え方で平衡磁場を図５のように把握できめた参照電流値との加算を行って PFC 電流の指令値とした．PFC による磁場（垂直磁場‐
３０２ガウス）とは別に無視て電源に入力した．

予め決めたポロイダル磁束分布を FB 制御した．つできない大きさ（１０％の垂直磁場減少）の磁場を把握でき

図６右には固有モード６個を磁束分布図で示す６組のた．この磁場も考慮して，プラズマの 2D 平衡電流・磁場分

PFC の固有電流分布から磁束分布を計算し，等磁束線分布

布を 求 め エ ネ ルギ ー 閉 じ 込 め 時 間 が 特 性 を 議 論 し た．

を示している．１番目と３番目の磁力線（等磁束面）形状

TRIAM-1M は高磁場・大アスペクト比が特徴であった．

は似ているが，３番目ではプラズマ中心が磁束符号の変化

$ !!!
（"!
：#), κ, $)はそれぞれプラ
それまで，%!
#)κ !!
#"$) %$*

位置で，プラズマとの相互インダクタンスが零である．１

ズマの大半径，楕円度および小半径）［３３］が 1.0 前後で成り番目はプラズマ領域で磁束を持つ変流器モードとしてプラ立つことが示されてた新アルカトール則が，%*"1.75〜1.85

ズマ電流（"
３番目はそれぞれ，水平&）制御に用いた．２，の変流器プラズマについても成り立つことを示した［２６］．

磁場，垂直磁場に対応するものと理解できる．４，５番目は四重極磁場であるが，ポロイダル断面内で９０度だけ磁極方向が回転して，相互に独立である．しかし，５番目は上下反対象であり，実際の運転に用いる必要はない．最後の固有モードは６重極磁場である．しかし，HT-2 の電源容量
1.5 kA の最大値を使っても５ガウス程度の磁場であり，効１６０

Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. Abe３．
２ TSVD 利用のコイル形状計算手法 DUCAS
磁気閉じ込めの核融合装置の設計にTSVDを使った例としてステラレータ用モジュラーコイル設計［３１］とトロイダ
ル磁場リップルを低減の F８２H 配置最適化手法［３２］がある．ここでは，より汎用性のある前者を紹介するが，この計算手法は DUCAS［３１］（Design tool Using Current potential And SVD）と呼んでいる．
DUCAS は任意の磁場分布を入力とし，TSVD 法で式
図６

PFC からポロイダル磁場への SVD 固有モード．左：計算体
系（文献［１７］Fig. 6より引用），右：固有モード磁力線分布（文献［１７］Fig. 9 より引用）．４番目，６番目の固有モード
は FB 制御には不使用．

（１）を解いて，あらかじめ配置した薄板曲面上の電流分布を求める．このときの変数は，核融合装置の渦電流［３４‐３６］を把握することに使われて来た電流ポテンシャル（CP:Current Potential）である．他のモジュラーコイル型ステ

果は小さい．そのため，６重極磁場は予め決めた電流値のラレータ用のコイル形状設計にも使われた［３７，３８］．MRI

みで通電した．

装置設計分野では流れ関数［３９‐４１］として利用されている．

一方，磁場計測にも固有モード強度の概念を応用した．

CP は節点の周りを周回する電流（節点の MM とも理解で

リミッタ表面であらかじめ決めた磁束分布 !を決め，磁束きる）で，多数の節点を周回する電流の組み合わせで，面の誤差 "!を固有モード分布 ui の内積 "!
・ui から求める誤上の電流分布を表現する．ただし，端に配置された接点で差磁場の固有モード強度を零とするように FB 制御の入力
計測磁場とした．図７にこの配置を示す．MFEPとしては，（'!in, out, top, bot）は４点のみであるが，この４点で近!
似的に内積 "!
・ui を求めた．この SVD 固有モード強度を制御する考え方で PFC 電流制御を行い，"!，プラズマ位置#!!
%!#および楕円度をそれぞれ独立（非干渉）に FB 制御"
した．プラズマ表面に比べて，図７の MFEP の磁束は，プラズマ表面より，&"#"!#"だけ低い値であるため，目標磁束を変更することで，&"の変更を通じてプラズマ位置断面形状を制御した．ここで，&"，#"，!#"はそれぞれ，'番目位（m），
置（'!in, out, top, bot）の，プラズマ表面までの距離
半径（m），およびプラズマ表面に平行なポロイダル磁場強度（T）である．
図８は，放電の途中で，プラズマ断面形状のみ変更した
場合の電流波 形 とポ ロ イ ダ ル 磁 場 分 布 図 で あ る．時刻

図７

磁束の計測・負帰還制御のポロイダル断面位置（文献［１７］Fig. 7 より引用）．

図８

プラズマ位置・断面形状の負帰還制御例，上：放電波形（文献［１７］Fig. 14 より引用），下：プラズマ断面形状：（文献［１７］Fig. 15 より引用）．

10〜20 ms で４重極磁場（図６の５番目固有モード）を強くした．代表的な PFC 電流としてプラズマ直上下の HY3コイルの電流を "）と共に示す．HY3 コイ!，一周電圧（$#
ル電流の増加にもかかわらず，"!，$#共に不変である．また，下側には HY3 コイル電流の増加前後と，増加中の時刻
で，プラズマ周囲の磁束分布を示した．プラズマ電流・位置は変化してないが，断面形状が縦長に変化しており，"!
やプラズマ位置とは独立（非干渉）に，プラズマ断面形状が制御できたことがわかる．
この制御法では，固有モードの磁束分布を従来から利用されてきた垂直磁場や４重極磁場と対比することで磁場制
御系の機能の把握が容易であった．この後，HT-2 では，この制 御 法 を 用 い て，（!）低 一 周 電 圧 で の 放 電 開 始［１７］，（"）低一周抵抗真空容器での放電［１８］，および，
（#）磁性
体（F８
２H）第一壁での放電［１９］の実験を可能にした．そのうち，（"）については，図４に示した．
以上のように TSVD 正則化を HT-2 実験に用いた結果か
ら，磁場調整に利用できると考えた．そして，TSVD を磁気応用機器の磁場設計に応用できるように，以下の磁場設
計手法を開発した．
１６１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019

は周回せず，三角要素が存在する部分のみに電流が流れ

件を組み込んで式（２１）を解く．これは，行列 A にこれらる．目標磁場を近似的に再現する CP 値分布の計算法としの条件の行列 R を用いて，サイズの小さい行列 A’（＝RA）て，TSVD を利用し，CHS-qa［３０］を対象として，DUCASに書き換えて解く．この考え方は，薄板近似の渦電流解析を開発した．この DUCAS は，それまでの他の同様な計算［３４‐３６］と同じである．DUCAS では，周期境界と接続条件

手法［３７，
３８］と比べると，任意の電流面形状に応用可能まを使って，モジュラーコイル型ステラレータのコイル形状

た磁場再現精度を容易に調整可能，極めて良好な精度可能を求めている．また MRI 用 ASGC（能動磁気シールド型傾の 利 点 が あ る．こ れ ら の 利 点 は４．
１節 の MRI へ の 応 用［４２，４３］を可能とした理由となった．
電流面を三角要素の集合で表現し，各節点に CP 値を与え，その分布が与える電流分布が，目標の磁場を再現する
ように，CP 値分布を決める手法である．この要素とその集合の曲面の例を図９に示す．図の３節点の CP 値（"１，"２，"３）から三角要素面内の電流ベクトル（A/m）は
＋"（X
＋"（X
（!
i＝{"（
（２０）
!）
１ X3−X2）
2
3
1−X3）
2−X1)}/
で求まる．ここで ""は i 番目節点の CP 値で，!は要素の面積である．この表現法は，薄板近似で核融合装置などの設計で渦電流分布を算出する手法と同じであるが，渦電流解
析では回路方程式で電流分布を決める［３４‐３６］のに対して，
DUCAS では TSVD を利用した最小二乗法で決める．数千の節点で曲面｛電流面（CCS: Current Carrying Surface）｝を定義し，式（２０）で表す要素電流に対して磁場評価点の磁場を Biot-Savart の法則で算出して整理すると，式
（１）
と同様，
B ＝AT

（２１）

のように整理できる．ここで，B は MFEP 上の磁場分布を示すベクトルであり，DUCAS ではプラズマ表面に垂直な磁場成分である．A は Biot-Savart の法則で計算した非正則な応答行列であり，T は節点CP値の分布を示すベクトルで１節の議論のよある．この式で目標磁場B TG を与えれば，２．
うに TSVD 正則化を用いて解くことができる．また，電流面上でCP等高線を描くと，これが電流の流線であり，これに沿って切り出すとコイル形状を得る．

図１
０ CHS-qa のコイル形状を算出する DUCAS の計算体系（上）および DUCAS で求めた流線と流線から切り出したモジュラーコイル形状（下）．それぞれ，文献［３１］，Fig. 8 およびFig. 12 より引用．

一般には参考文献［３１，４２，４３］のように境界条件や対称条

図９三角要素と電流ポテンシャルによる DUCAS の計算体系．
文献［３１］，Fig. 1 および Fig. 2 より引用．

図１
１ DUCAS 計算による線電流群を用いて計算した磁力線のポアンカレプロットで示す磁気面形状．文献［３１］，Fig. 13
より引用．

１６２

Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. Abe４．
１．
１ MRI 磁石の静磁場設計

斜 磁 場 コ イ ル：Active Shield Gradient field Coil）の 設 計［４３］では，対称条件以外に，２面の電流面を繰り返し計算

MRI では極めて一様な強度の磁場分布を必要とする．診で解き，２種類の目標磁場分布に矛盾しない電流分布を求断用の全身 MRI 装置（1.5，3.0 T の超電導磁石利用）［３，
４］

める．こ の MRI 用 GC（傾 斜 磁 場 コ イ ル：Gradient field

では，直径40 cm球体内で磁場変動が3 ppm（peak-to-peak）

Coil）の設計については後で詳しく述べる．

以下程度である．このように均一な磁場分布を得るには，

図１０は CHS-qa のモジュラーコイルに適用した計算体系

磁石設置現場での磁場調整（シミング）［３，４］も必要であるの図である．電流面と MFEP を配置した面（目標磁場分布

が，磁石設計時に均一な磁場分布を持つ能力を磁石に与えを入力する）を示している．MFEP はプラズマ表面に配置ておく必要がある．この状況は，SVD を用いることで理解され，このプラズマ表面に平行な磁力線を発生する磁場としやすいことを見いだした．また，この考えの応用で開発なるように，式（２１）を TSVD 利用の最小二乗法で解き，CPした MRI 装置は主に図１２左の垂直磁場機（1.2 T）である

分布 T を求める．T の等高線から求めたコイル形状を図１０が，ここではより一般的なシリンダ形状の水平磁場型 MRI下部に示す．また，このコイル形状（線電流）から磁場を（図１２右）磁石で記述する．SVD 固有モードを利用する点

計算し，磁力線を追跡して求めたポアンカレプロットをは同じである．

図１１に示す．この手法で，目標磁場としたプラズマ表面にこの起磁力（ここではコイルブロック CB: Coil Block）配

沿った磁気面が構成されていることがわかる．また，磁場置の計算手順を図１３［４５］に模式的に示す．３段階に分けて精度は加算する固有モード数で任意に調整できることも示算出する．MRI 用磁石には，強磁場を発生する主コイルブした．この計算コードは DUCAS と呼ぶことにしたが，スロック（MC-CB: Main coil CB）と磁石周囲への漏れ磁場をテラレータ実機の設計に使う機会はまだ無い．しかし，

遮 蔽 す る シ ー ル ド コ イ ル（SC-CB:Shield coil CB）が あ

４．
１節に記述するように，MRI 装置の設計調整（シミング）

る．MC-CB 配置は均一な強磁場を発生するように決め，と GC の実機製品設計に応用した．

SC-CB の半径位置と電流は MC-CB が持つ MM をほぼ打ち消すように決める．変更された SC-CB の磁場を考慮して４．TSVD 正則化を応用した磁場設計

MC-CB 配置を決め，新たな MC-CB 配置による MM を打ち以上の計算手法を MRI 装置の磁場設計に応用［４２‐４９］消す SC-CB 配置を再度決める．このように，SC-CB と MC-した（図１２）．また，高精度磁場を必要とする基礎物理実験

CB 配置は繰り返し計算で決める．以下では，均一磁場を発用磁石の設計にも適用中である［５０］．これらを紹介する．

生する MC-CB 配置設計手法を説明する．

４．
１ MRI 用磁石の静磁場設計と調整

Step‐１では，目標の磁場強度と均一度を持つようにソレ

MRI では３種類の電磁場を利用する．それらは，ノイド状に連続的に同軸配置した円電流（FL 電流：Fila-

１）強 い 静 磁 場 で 非 常 に 一 様 な 磁 場 分 布｛た と え ば，ment Loop 電流）の電流分布を算出する．つまり，FL 電流

40 cm 球体内で±1.5 ppm 以内の磁場強度振幅｝．

を，MRI 磁石で主に磁場を作る主コイル位置に円筒状に配２）空間的に強度勾配を持つ磁場分布でパルス磁場（たと置し，外部への漏れ磁場を零に近づけるため，全体としてえ ば 強 度 勾 配 は 撮 像 空 間 内 で X ，Y ，Z の３方 向

MM を打ち消すシールドコイルを置く．FL 電流は計算結に 40 mT/m）．

果に基づいて主コイルを構成する CB に，以後の Step で置

３）高周波（1.5 T であれば，周波数は約 63.866 MHz）

き換える．この Step‐１では，FL 電流配置を表すベクトルである．１）で特に 0.7 T 以上の強磁場 MRI 装置では超伝I に 対 し て，MFEP の 磁 場 分 布 B は，式（１）の よ う に，導磁石を使っている．ここでは１），２）のSVD利用の設計

B ＝AI と 表 さ れ る．こ こ で，応 答 行 列 A の 要 素 !"#は j

例を述べる．これら２つに，それぞれ，HT-2 で使った固有番目 FL の単位電流が i 番目 MFEP に作る磁場である．

モード強度の調整［１７，１８］の考え方と準軸対象ステラレー

B は MFEP の磁場分布を軸方向成分（"!"）で構成する．

タのモ ジ ュ ラ ー コ イ ル 設 計 に 用 い た DUCAS を 応 用 し

MRI では磁場の絶対値 "で均一な磁場が必要であるが，起た．両者の考え方による MRI 磁場設計を行った．

磁力配置検討は軸方向成分 "! で定式化する．必要な均一

図１
２ MRI 装置の外観写真．左：垂直磁場型，右：水平磁場型．

１６３

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019に等しくなるように調整する．つまり，磁場が得られた段階では，磁場強度の変動分は通常，主磁場が 0.5 T から 3.0 T であっても，１ガウス（3.0 T に対して!!
"#$#."uti B CB!
'/% #.,'

33.3 ppm peak to peak）以下であり，半径方向成分 !+ も同（２２）程度以下である．そのため，!- と ! の差異は 0.02 μT 以下である．この調整は，図１４（a）上図で，両矢印で書かれた断と な り，MRI で 必 要 な 均 一 度 の 数 ppm（し た が っ て

面片位置を調整する．×印の CB 内径と全長は通常求める

1 μT〜10 μTの磁場振幅）に対して十分小さい．そこで，均磁石の仕様で決まるため，設計者もしくは磁石使用者の入一磁場を発生する磁石の磁場設計では !- を評価する．つ

力値である．CB 断面長方形の辺で矢印の部分を移動させまり，B の要素は &番目磁場評価点に対して !-.である．こてこの辺上に発生する電流から MFEP 上の磁場への応答の考えは，４．
１．
３項で議論するシミング計算（計測磁場から行列を作り，その特異値分解で得られる電流と磁場の固有磁場を補正して均一磁場分布に調整するための磁気モーメ（A/m2）とモードを利用する．例えば，CB の電流密度を "%ント配置 M を求める計算）でも同じであり．軸方向成分

し，軸方向幅を"$),変化させるとすると，半径大側の断面!- でシミング計算も定式化する．

辺上に電流

参考文献
［４４，
４５］では，ソレノイド状に配置した円線輪&%,*!%#,$"$),), ""%#

電流から均一磁場を予定する領域の磁場への応答行列 A（２３）の SVD 固有モードを重ね合わせて MRI で必要とする電流が現れる．軸方向位置の移動についても同様に軸方向の両分布（式（７））を算出し，その電流分布から詳細な磁場分

端辺に同じ電流密度 "% で電流が現れると考える．図の両布を算出し，必要とする均一度を得る条件を検討した．こ

矢印数と同じで，６個のCBの場合，
１６個の固有モードがあの段階では図１３の Step-1 に示したように連続的に分布する

り，そのうち８個が軸方向に対称なものである．ここでは，電流であり，次の Step-2 では電流分布の山になった位置にMFEP を球体の VOI（Volume Of Interest）表面上に配置

MC-CB を配置する．その結果，式（７）で加算する固有モー

し，その間の応答行列を作成する．その後は，２．
１節のド数と実際に配置する MC-CB 数が同数であり，通常のTSVD 正則化を用いる．
得られた SVD 固有モード８個を図１４（a）下に示す．各枠

MRI では MC-CB 数は６個であることも解った．
他研究に Step-1 相当部に，Tihonov 正則化を使い電流分で，横軸は軸方向位置 %で，縦軸は半径方向位置 $として，布を検討した例［５１，５２］がある．しかし，TSVD のような

VOI と CB および FL 電流の位置を示している．各枠の右側

CB 数との関係は見通せないので，式（８）の定数#を決定すにはStep-1のSVD固有モードを示し，左側にStep-2のSVD

るには，#を試行錯誤的に変更しながら式（９）を計算し，

固有モードを示している．各枠の上部には電流分布の基底

妥当な #を求める．また，式（１０）の議論でも指摘したようを示す．また，下部の半円形部には磁場分布の基底を示す．

に，高次成分が入り込み，起磁力で不利になる可能性があ

各枠の上部には固有モード番号（MODE 番号）と，２つのる．一方で TSVD では CB 数との関係が明確であり，設計

磁場分布の基底の内積（uiCBtuiFL）を示している．すべての状況を把握し易く，かつ，不必要な高次成分も解に入り込

枠で 0.99 を超えており，２つの磁場分布基底はほぼ同じ分

まない点が有利である．

布 を 示 し て い る．し た が っ て，Step-1 で 得 た 磁 場 分 布

Step-2 では，Step-1 で得られた電流をまとめて，数個のは，離散配置の CB 群でも同じ磁場分布を得ることが可能

CB に置き換える．CB は同軸・離散配置である．Step-2

であると言える．つまり，Step-1 で実現可能と判断されたでは各 CB の巻き線数は実数とし，CB 全体の電流（AT:

磁場分布，均一度は，離散化したCBでも実現できると結論

Ampere-Turn）と断面形状は連続的（実数として）に変化できる．この性質を利用して，uiFLtB CB で計算する固有させて，CB 配置を最適化する．CB の配置や位置形状は CB

モード強度 #.$# を配置で計算できる磁場分布 B CB と Step-1 で求めた磁場の基#.$# % #.,' "#.&(

底で，固有モード強度 #$#.が，目標磁場の固有モード強度（２４）とするように図１４（a）上図の断面辺位置を調整する．
各枠の右側には，３個の数値が書かれているが，それぞれ上から，特異値（ここでは T/A）
，２乗平均磁場強度（T）および磁場振幅（T）を，3.0 T 一様磁場を 40 cm 直径
球の VOI 表面で実現するために必要な値を書いている．番
号が大きく（高次で小特異値）なるほど，磁場強度が小さくなる．MODE13 では 1 ppm（3 T）以下の寄与となっている．したがって，これ以上高次の固有モードを考慮する必要は無い．また MODE13 で は，例 え，大 き な 強 度 誤 差（３０％）が あ っ て も，0.3 ppm 以 下 の 磁 場 誤 差 で し か な
く，無視できる．したがって，MODE１
１までは正確に調整するが，MODE13 は磁石の製作性を優先して調整する
図１
３ 静磁場磁石の起磁力配置設計手順．文献［４５］，Fig. 1 より引
用．

［４５］．
Step-3 では導体の巻き数を CB 毎に整数化する．導体の１６４

Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. Abe

図１４（a） ソレノイド状の連続電流分布モデルによる均一磁場分布の計画．上：コイル断面の調整部分（矢印），下：コイル配置の調整に用いる固有モード．文献［４５］，Fig. 4，Fig. 5 より引用．

経験磁場や電源，永久電流スイッチ，それにクエンチ時の一方，［４１］などの他手法では，均一度と起磁力（AT）を

電圧や導体の温度上昇などの設計項目を考慮した上で，導組み合わせた値を最小化する方法をとるが，最急降下法や体径と素線電流を決め，巻き線配置，巻き線数（したがっアニーリングで行う．この場合，Step-1 で立てた計画からて CB 断面形状）を設計する．この段階では，各 CB の巻き離れて解を求め，必ずしも計画通りの解にならないこと

数は整数化されているので，iCB と呼ぶことにする．Step-3

や，起磁力配置（CB 数など）と求める磁場の関係が把握しでは，iCB の断面形状は決まっているので，位置（半径位置難い点に問題があると考えている．また，従来の多くの磁!，と軸方向位置 "）のみの変更により磁場分布を最適設

石設計やシミング計算では，［５３，５４］のように，撮像領域計する．図１４（b）にはStep-3での固有モードを示す．６個のの磁場分布を球面調和関数に展開し，最低次（均一磁場）

CB，１２個の自由度で，６個の軸対称 SVD 固有モードを持以外の項を零に近づけるように線形計画法やアニーリング

つ．この６個の磁場分布基底も，Step-1 の基底とほぼ同じ法で起磁力配置を調整する．しかし，各球面調和関数に対分布を持つことが解っており，強度を Step-1 の固有モード

応した起磁力配置は正確には決められないので，高次成分

強度に合わせる．さらに高次の固有モードは調整されないが不正確になる［５４］．一方，SVD を使う本記事の提案手法

が，小さな磁場であるため，均一度への影響は極めて小さ

では磁場分布と起磁力配置が対応しており，高次成分によい．

る誤差磁場もその大きさを把握できる．また，TSVD では，求めた起磁力配置例を図１５に示す．左側は Step-2 の結式（７）のように低次成分から加算するので，求める解は

果，右側は Step-3 の結 果 で あ る．と も に 3.0 T±1.5 ppm「電流当たりの磁場強度が強い」の条件を含む．そのため，の磁場強度等高線が均一磁場を必要とする領域を規則的に小さい起磁力で，必要な起磁力配置を決めることができる

取り囲んであり，精度よく均一磁場分布が得られていること考えている．さらに，非線形材料を含む体系（例えば鉄とを示している．以上の起磁力配置設計手法で使用する

yoke 有り）でも応用可能であることは参考文献［４６］で示SVD 固有モードは５−７個の軸対称モードである．"#-1

した．

の奇数番号であるが，#が１大きくなると，特異値（ここで以上の議論は，より一般的に使われている水平磁場機

は T/m の単位）は約１桁小さくなり，同じ大きさの電流で（図１２右）の磁場設計として議論したが，同じTSVD応用のも，発生する磁場は１桁小さくな っ て い く．こ のため，考えで垂直磁場機｛開放型 MRI（図１２左）｝の磁 場設計#!#（MODE13）では，#!!の約 1/106 の特異値であり，［４７］を行い，製品化している．この開放型機は 1.2 T の磁場発生できる磁場強度は 1 ppm 以下である．また，主コイルであり，製品出荷開始後１１年となるが，これ以上の磁場強数と #の間には密接な関係があることもわかった．主コイ

度を持つ開放型機は未だ存在しない．これは，TSVD の考

ル数は均一磁場に必要とする固有モード強度を５０％以上のえで磁場設計したため，他の方法に比べて小さめの起磁力割合で加算する固有モード数と同じ数であった．

で設計できたことが奏功したと考えている．また，以上の
１６５

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019

図１４（b） MC-CB 設置位置移動に関連した SVD 固有モード．文献［４５］，Fig. 8 より引用．

GC 形状には２種類あり，円筒型 MRI では円筒型
［４８，
４９］，
垂直磁場型 MRI では平板型［４２，４３，５６，５７］である．ともに，
超伝導コイル磁石を用いた高磁場機（0.7 T 以上）では，撮像領域に傾斜磁場を発生させると共に，磁石構造物に対しては磁気遮蔽を能動的に行い誘導渦電流による誤差磁場と超伝導線材の温度上昇を防止するタイプの能動磁気遮蔽型
傾斜磁場コイル（ASGC）が用いられる．ここでは，DUCAS を利用した平板型 ASGC の磁場設計例［４３，５７］を示していく．
DUCAS を適用した円盤型 ASGC 磁場設計の計算体系を
図１６に示す．上側は ASGC が作る磁場の磁力線を，垂直磁
図１５ 本手法で求めた MC-CB 位置．左は Step-2 の結果，起磁力（A）は実数で連続値，右は巻き数を整数化した Step-3 の結果．文献［４
５］，Fig. 10（a）より引用．

場型 MRI 用磁石と供に模式的に矢印で示す．撮像領域（FOV: Field Of View）には座標に比例した磁場で，磁石には磁力線が向かないように磁気遮蔽するシールドコイルを持っている．対象条件を用いて太破線で囲った 1/4 領域で議論は円形コイルを用いた磁石についての議論であった

導体配置パターンの設計計算を行っている．図１６下側は計が，コイル形状が円形で無く，レーストラック型であって算モデルである．FOVに傾斜磁場を生成する主コイルと磁も TSVD 利用で，均一磁場をもつ磁石の磁場設計が可能で石に対して磁気シールドを行うシールドコイルに対応したあることも示している［５５］．

２つの電流面（CCS: Current Carrying Surface）と，磁場評

４．
１．
２ 傾斜磁場コイルの設計

価点（MFEP）の集合面（磁場評価面：MFES：Magnetic

準軸対称ステラレータ CHS-qa 用に開発した DUCAS は

Field Evaluation Surface）２枚から構成されている．

目標磁場分布を与えると，その磁場を発生する電流経路を

MFES1（FOV 表面）上で傾斜磁場を生成するように求める．この計算手法を，MRI 装置開発に応用し，さらにCCS1 電流分布を決め，これが発生する磁場を MFES2 上で装置の設置現場で利用している．それらは，傾斜磁場コイ

磁気遮蔽するように CCS2 の電流分布を決める．CCS1，

ル（GC）の 設 計［４２，
４３，
４８，
４９，
５６，
５７］と 磁 場 シ ミ ン グ 計 算

CCS2 面上の電流分布算出は，２つの MFES 上で互いの影［５８］である．ここでは前者の GC 設計について述べる．

響を考慮して目標の磁場を発生することが必要なため，繰

MRI の GC は，常伝導コイルであるが，下記の磁場を発り返し計算となる．繰り返しの終了条件は，CCS1の電流分生する．

布を決めた後でも MFES2 上の磁場が十分遮蔽されている（１）撮像領域に !!!!"のように座標に線形な強度の磁場ことである．つまり，CCS1 を新たに決めても，前回までの分布（傾斜磁場）を０−１００ガウス程度で発生させるパ計算と同じ磁場となるまで繰り返し計算を行う．通常１５回

ルス磁場コイルで，nmr 信号に位置情報を与える．

程度で収束する．傾斜磁場そのものは撮像領域端の最大磁（２）磁石側に磁気シールド．これは，磁石の金属部で渦電場に対して，数％の誤差が許されるが，シールド性能は極流が発生し，それによる誤差磁場を生成することを避めて良好なものが求められ，MFES2 上で 0.1 ガウス以下のけるためである．

残差磁場となる精度でコイルパターン（導体配線）を決めた．
１６６

Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. AbeDUCAS を使った本手法の計算過程で，CCS2（シールド際 に 得 た 固 有 モ ー ド 強 度｛式（１２）｝と 残 差 磁 場 強 度｛式

コイル配置面）上の電流ポテンシャル（CP）分布を求める（１４，１５）｝を，図１７に示す．繰り返し計算が収束後である．
この図から，固有モード数を多くとることで残差を極めて小さくできることがわかる．１６００個以上の固有モード数で十分なシールド性能を得ることができると解り，この条件
で電流パターンを設計した．一方，主コイルでは固有モー

図１８ 素線電流 500 A で離散化する導体配置の検討図．上：主コ
イル，下：シールドコイル．左は CP 値等高線，右は離散化
導体配置．文献［４４］，Fig. 13 より引用．

図１
６ ASGC 傾斜磁場コイルの計算体系．
上：垂直磁場型 MRI 用磁石の断面図と傾斜磁場コイルによる磁場の磁力線．下：傾斜磁場コイルパターンの設計計算体系．文献［４３］，Fig. 1，Fig. 2 より引用．

図１
９ DUCAS を用いた手法で試設計された傾斜磁場コイルが作る磁場分布．上：面電流，下：流線 500 A ごとの等高線で切り出した線電流による磁場を示す．各フレームで，左下部の40 cm球面付近には傾斜磁場BZ 成分を１０ガウス毎の等高線で示し，右部の等高線は傾斜磁場コイルによる磁場の強度を示す．上部分の打点領域は傾斜磁場の｜BZ｜が１ガウス以下の領域である．文献［４５］，Fig. 12 より引用．

図１
７ シールドコイル（CCS2）の固有モード数，強度と磁場精度．文献［４
３］，Fig. 8
（a）
より引用．

１６７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019

であり，作業量削減と共に，より磁場精度を向上できる．

ド数は数個で十分であった．

ポケット中の鉄量は板枚数の変更で，必要量に近似し，磁このようにして得られた電流の流線（CP 値の等高線）の例と磁場分布の例を図１８と図１９に示す．図１８にはコイルパ

気モーメントの大きさを調整できる．
j 番目磁気モーメント mj が &番目位置に作る磁場 bi は，ターンとして，上枠に主コイル（CCS1）と下枠にシールド
コイル（CCS2）の流線を描いている．電源（素線）電流を｛3（m・rij/r 2ij−mj｝/r 3ij，
b i＝（１０−7）
j rij）

500 A と し て い る．各 枠 の 左 側 に は CP 値 が，#"0，（２５）500，1000，……13500 A と 500 A 毎の等高線を書いているである．このうちの軸方向成分 %()を利用する．応答行列 A

が，この線上で渡り線を付加して平板を切り出すと，傾斜の要素は

磁場コイルが得られる．一方，右側には，250，750，1250，

#
"
"
)
｛3（m・
!)*＝（１０−7）
$)*"
)
!((*｝
j rij）)*，)*……13250 A の 250 A のオフセットした等高線を描いてい（２６）

る．図１８右側の線電流に電流 500 A が流れるとして，図１９であり，'番目位置の単位磁気モーメント（1.0 Am2）の軸の磁場を計算している．

方向成分が &番目 MFEP に作る磁場の軸方向成分強度であDUCAS による電流分布計算に基礎を置いているため

る．ポケットに配置された鉄片はほぼ軸方向（$方向）にに，CCS は 任 意 の 形 状 を と り 得 る．そ の 性 質 を 使 用 し向いて飽和磁化（鉄1 cc＝1.71 Am2）している．シミング計て，図１９では CCS2 を平板ではなく傘型にして，シールド

算ではシムポケットの磁気モーメントの配置のベクトル M

性能を 向 上 さ せ てい る．図１２左 写 真 の 実 機 で は さ ら にとこれによる MFEP 上の $成分磁場分布 B M の関係を示す

CCS1 と CCS2 の間を立体的に巻き線する立体巻き線を適行列方程式 B M＝AM から議論する．これに２．
１節の TSVD

用［５７］し，さらに漏れ磁場を減少させた．この磁気シール法を用いて，目標磁場を近似的に再現する M を求める．シド性能を向上させ，主コイルとシールドコイル間を一部結ミング計算では誤差磁場 B ER が目標磁場である．一様な磁線して小型化と両立させた立体巻線型 ASGC［５７］を商用と場分布 B０を得ようとすると，シミング計算入力の誤差磁

し，組み込んでいる．

場は，

４．
１．
３ シミング計算

B ER＝B 0−B MS

MRI 撮像で必要とする均一磁場分布は，例えば，40 cm（２７）

直径の球体（40 cmDSV:40 cm Diameter Spherical Volume）

である．B MS は計測磁場（$方向）の分布を示し，MFEP内で磁場変動の振幅（peak-to-peak）が 3.0 ppm 程度以内，数（B ER の次元）は数百程度である．また，シムポケット

45 cmDSV で 10 ppm 程度以内という均一度である．以下

数（M の次元）も数百である．以下では，計測点は５７６点，で，均一度とは FOV 内部の磁場変動振幅である．一般に，

シムポケット数は２８８個が代表的な値であり，シミング計

設計時に起磁力配置を正確に決めたとしても，製作・設置

算・作業例を通じて，TSVD 応用の有効性を議論する．

直後の磁石磁場は数百から 1500 ppm を超える均一度とな

図２１には誤差磁場 B ER 分布を示している．打点領域はる誤差磁場を持つ．これは，設計時の丸め誤差，磁石の組")$& !!であり，磁場強度 ")%'がやや強い領域である．左み立て誤差，また建屋鉄材の磁化などによる設置現場の環

図は B ER をメルカトール図法で，直径 45 cm 球表面の分布

境磁場が原因である．したがって，磁石設置時には精度良で示している．縦軸は軸方向の仰角（緯度）である，横軸

くこの誤差磁場を補正（以後，シミングと言う）する必要

は周回角度（経度）である．シミング前では誤差磁場は大がある．また，使用開始後でも，均一度が劣化した場合にきく，振幅幅（peak-to-peak）で 370 ppm（45 cmDSV）のは，保守時などにシミングを行う．均一磁場を必要とする
撮像空間の周囲に磁気モーメント（MM）を分布配置させ，その MM が作る磁場で，誤差磁場を補正する．MM の発生
源は，MRI 装置の磁場中で磁化した鉄片を使うことが多い．また，鉄片以外に，小コイル群を用いるシムコイル，永久磁石，などがある．鉄片のように，磁場中での磁化による MM を使うシミングを受動的シミング（Passive shimming）と呼ぶ．ここで取り扱う参考文献［５８，５９］も受動的シミングである．これらのシミング計算は，計測磁場を元に磁場分布を補正する MM 配置を TSVD 利用で算出する．
受動的以外のシミング計算にも応用できるものである．
図２０は円筒型 MRI 磁石のシミング体系である［５９］．通常
２４本のシムトレイを持つが，図はそのうちの１２本のシムト
レイを円筒状に配置して示している．それぞれには２４個のポケットがある．ポケットに鉄片（薄板）を配置する．シムトレイ２４本のうち，１２本を粗（coarse）シミングに利用
図２０ シミング作業の体系（水平磁場型 MRI 用磁石）．文献［５９］，Fig. 3 より引用．

し，残りの１２本はわずかな鉄片のみ配置する詳細（fine）シ
ミングに利用する．後者では磁石の消磁・励磁作業が不要
１６８

Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. Abe

されて $)(& がほぼ零である．

均一度である．右図は磁気軸を通る断面（右図で９０度−２７０

前記の繰り返し計算は，誤差磁場や !!値などに依存し度で &!!の面）の誤差磁場分布を示している．この図では，直径 50 cm 球面の計測磁場５７６点を，直径 70 cm 球面上て繰り返し回数は変わるが，数１０回から１
０００回超である．

に配置した電流面で，計測磁場を再現するように決め，そ図２２では，２本の縦線を示しているが，この例では #$の電流分布から磁場を再構成している（DUCAS 応用）．しを繰り返し計算途中で変更している．短い縦線は周回方向

たがって，計測面の直径 50 cm 球内部では 0.1 μT 以下の精に一様な分布を持つ固有モードであり，４．
２節で議論した度で磁場分布を再現できている．左図で は，２７０度 付近

磁石設計で用いた固有モードと考えられる．本磁石では６（'!!）で磁場の弱い領域（非打点領域）が広がっている

個の主コイルを持っており，シミングも６番目の短線に相と解る．これに対応して右図では '!!で，磁場が弱い．右当する固有モードまではシミングすることが妥当である．

図で直径 45 cm 円上に書いた小矩形が MFEP を示してい

周回方向一様の固有モード（以下では基本固有モードとる．磁場計測点は直径 50 cm 球面上であるが直径 45 cm 球呼ぶ）は，設計時に使った固有モード（図１４）である．一面 に 内 挿 し て，周 回 方 向 に１
５度 ご と に MFEP を 配 置定の割合で組み合わせることで，VOI 全体の磁場強度を均し，５７６点をシミング計算の MFEP としている．

一に調整する機能を持つ．一般に図２０のシミング体系（鉄""#図２２は，磁 場 分 布 を 式（１２）の よ う に $)"% !u ti B ER")*

片配置）では，シミング用鉄片を配置すると，磁場強度をでSVD固有モード強度に展開している．左側は図２１に示し下げる．このため目標磁場を下げてシミングを行う．このた誤差磁場の $)%' であり，右側はシミング計算で予測され影響で，B ER 中の基本固有モードは他と比べて強めの固有たシミング後の $)(& である．計測磁場は左図のようにな

モード強度を持っている．６番目の基本固有モードはシミ

り，低次モードで，大きな強度を持つ．折れ線は，式（１５）ングすべきものであるが，小特異値のため鉄量を多くする!

の残差磁場振幅を示している（左右図で同じ）．! !1.5 T（式（１１）参照）．そのため，この固有モードについては繰りに対して，10 ppm は1.5×10−5Tであり，加算する固有モー

返し計算途中で，シミング計算から外している．しかし，ドの上限 #$ を１００前後とすることで，目標の均一度（直径

完全ではないが，この基本モードについても残差固有モー45 cm 球面で 10 ppm 以下）を得ることが可能であると予測

ド強度を低下できていると，図２２で確認できる．
図２３は，左にシミング計算で予想したシミングの残差磁できる．
シミング計算では，式（１）〜式（１１）の電流 I を磁気モー場分布と，右にシミング作業後に得られた残差磁場分布，

メント M に置き換えて実行する．この場合，負の磁気モーである．中心を通る断面（縦が軸方向 (）で示している．右メント（したがって負の鉄量）を算出することもある．まの作業後の実測磁場は，シミング計算―鉄片配置の作業をた，ポケットには配置可能な最大量も存在する．そのため，
シムポケットの鉄量（磁気モーメントの大きさ）には制限をつける．鉄量に制約を課すにはSVD固有モードの高次成分（特異値の小さな固有モード）を用いる．高次成分が作る磁場は極めて弱く，均一磁場への寄与は極めて小さいので，制限外となったポケットの鉄量は，本来調整不必要な高次成分で，調整する．実際のシミング計算で，この高次成分強度を直接に計算することは難しい．参考文献［５９］では，（!）負もしくは容量超えとなったポケットの鉄量をそれぞれ，制限内（零または最大 量）に 強 制 的 に変更，（"）この時に新たに発生した誤差磁場を算出，（#）新たな

図２
２ 固有モード強度 vs 固有モード番号（左：計測磁場の誤差磁
場，右：シミング計算で予想した残差磁場）．左図：文献［５９］，Fig. 7（a）より引用．

誤差磁場を補正する鉄量を算出し加算，の計算を鉄片量が制限範囲内となるまで繰り返す．そのシミング計算の結果得られた $)(& が図２２右である．低次固有モードはシミング

図２
３ シミング後の残差磁場分布．（左：シミング計算による残差磁場の予測分布，右：シミング作業後の計測残差磁場）．
文献［５９］，Fig. 9 および Fig. 11 より引用．

図２
１ シミング前の誤差磁場分布．左：メルカトル図法で示した
直径５０cm 球面上の計測誤差磁場分布．右：Y-Z 面（上下軸方向）上の誤差磁場分布．文献［５９］．Fig. 6 より引用．

１６９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019

４回繰り返して得られた磁場分布である．実際の鉄片には数％の鉄量誤差があり，シミング計算通りの正確な配置は一度ではできない．そのため，残った誤差磁場を繰り返し作業で補正する［５９］．
図２３で，打点領域は残差が負（強磁場）の領域である．直径 45 cm の磁場評価面付近で見ると，両図で，磁場の強い
打点領域は周回方向に１２個存在することが解る．この模様は，半球の断面で示した図１５と同様である．つまり，図２３の打点領域は，CB につながり，６個の主コイルを反映した
設計磁場分布をシミングにより再現 で き る と 予 測され（左），実際にそのような残差磁場となった（右）といえる．
逆に言うと，いくらシミングを高精度で行っても，４．
１．
１項で設計した値より良好な均一度を得ることは事実上できな
いといえる．

図２
４ ミューオンビームらせん入射の軌道概念．文献［５０］，Fig. 1より引用．

４．
２ 基礎物理実験装置での磁場設計
均一な磁場分布は，MRI では質の良い（画像の歪みや偽像がない）撮像性能のためである．このような磁場は基礎
物理実験分野でも必要である．高エネルギー加速器研究機
構（KEK）
ではミューオンの磁気／電気能率（g-2/EDM）
を精度良く計測する計画があり，J-PARC（大強度陽子加速器施設）で実験準備を進めている．ミューオン g-2/EDM を，
従来に比べて精度を向上させて計測する［６０‐６２］ために，実験空間では MRI に比べ約１桁良い（均一度が小さい）均
一磁場が必要である．しかし，２．
１節および４．
１節の考え方を応用すれば，固有モード数の調整で，本実験に必要な磁場均一度を実現できる［４４，４５，５０］．
図２４は計画中の実験におけるミューオンのらせん入射軌
道［６２］を示す．上側から入り，徐々に軸方向移動速度を減らし，中心面付近（ミューオン蓄積領域）で軸方向（半径図２
５ g-2/EDM 計測実験用磁石の概念検討．半径 R‐軸方向位置
Z の 2D で検討した．文献［４９］，Fig. 2（b）および Fig. 4
より引用．

方向磁場）キッカー磁場により止められる．MRI と異なり，どのような起磁力配置の概念が必要かをまず検討した．この起磁力配置の概念を決める仕様は３件で，（!）従来以上の計測精度を得るため，良好な磁場均一度が必要 で，中 心 半 径 33.3 cm で 幅 3.0 cm，軸 方 向 高 さ
10.0 cm の円筒領域（ミューオン蓄積領域）で軸方向磁
場 !# が 3.0 T で，磁 場 変 動 は±0.1 ppm（均 一 度
0.2 ppm）の範囲である．
（"）入射領域では軸方向移動速度を弱めるために，!" "!
が必要である．
（#）超伝導磁石であり，MRI 磁石技術を応用する．永久電流モードで運転し，NbTi 超伝導線を用い，導体の最高磁場を 5.5 T 以下で，125 A/mm2 程度とする．
上記の条件を満たす起磁力配置概念を探索するために，
MRI 磁石設計と同様のステップ（図１３参照）を経て，磁石の起磁力配置概念を決めた．MRI では均一磁場の仕様が重

図２
６ g-2/EDM 磁石の起磁力配置案．文献［４９］，Fig. 11 より引用．

要であったが，ここでは，さらに（$）の !" 仕様を重要な点として検討する必要がある．
図２５は Step-1 の検討を示す．均一磁場領域を取り囲むよ$!"!
$#"!となり，入射領域（#!0.05〜1.1 m）で !" "!

うに FL 電流を配置している．MRI と同様に打点で示したを可能としている．単純なソレノイド状のFL電流配置（水磁場が高い領域（!"3.0 T）であり，起磁力源から均一磁

平磁場型 MRI 磁石状の配置，図１３参照）でも検討したが，場領域に伸びる．電流の無い領域では，$!#!
$"!$!"!
$#

この状態（$!"!
$#"!）を実現できなかった．図２５右のよで あ る が，図２５で は $!#!
$""!（#!0.0〜1.1 m）で，うに，半径小側から蓄積領域に向かって，水平面付近で磁１７０Project Review

Magnetic Design Methods Using Singular Value Decomposition

M. Abe

置してシミングできることを確認した．

場の高い領域を発生しておくことが重要であった．このため，FL 電流は蓄積領域を取り囲むように配置している．

MRI 静磁場設計に適用した方法を，ミューオンの磁気・FL 電流の一部は鉄 yoke を配置することを想定して，図２５

電気モーメント詳細計測用磁石に適用して磁石設計を進め

右の磁場分布および起磁力配置概念とした．

ている．この磁石は MRI 磁石に比べて，一桁良好な均一度

SVD 固有モード分布強度は，鉄 yoke や CB を用いて設計が必要であるが，固有モード数の調整を行えば，シミングする磁石においても，FL 電流で求めた Step-1 の固有モーを含め MRI 磁石と同じ考え方で均一磁場が実現できる．こ%#）を 求 め，Step-1
ドで そ の 強 度（式（１２）：#"$" !u ti B TG!

の素粒子実験用磁石設計は，現在，概念設計から詳細設計の値に一致するように起磁力を配置する．これは４．
１節のに移行している段階である．
以上のように，式（１）を出発点とし，応答行列 A に SVD

MRI用磁石設計と同じ考え方であるが，ここでは，CB位置
形状だけでなく，鉄 yoke の形状も調整した．

を適用して得る固有モードを利用した逆問題解法と磁場設

その結果，得られた起磁力配置が図２６である．均一度は計について，定式化と実例を示してきた．DUCAS の計算

peak-to-peak 値で 0.13 ppm（右下図）であり，入射領域に法を用いると任意形状の面上で電流経路および巻き線配置

負の !! は存在しない（右上）．これらは，仕様条件を満たを決めることが出来る．さらに，鉄 yoke を含む体系でも精し，導体経験磁場（5.0 T）と電流密度を NbTi 線材で実現

密な磁場設計が可能であった．精密磁場を発生する磁石の可能な超伝導磁石であることを確認できた．鉄yokeには中設置時には，TSVD 応用のシミング計算で正確な磁場調整

心部に上下対称な pole（鉄）を配置し，５個の CBs ととももできた．また，均一磁場でなくても，CHS-qa や MRIに，均一磁場領域とその周辺部が図２５で計画した磁場分布

傾斜磁場コイルのように，目標磁場分布が明確であれば，と同様になっていることがわかる．このように，初期の計広い応用が可能であると考える．筆者は，この記事の読者画と同様の磁場が得られる理由は式（１２）の固有モード強度

が，特異値分解を応用した磁場設計や調整技術を，さらにを同一にしているためである．

発展させることに繋がっていくことを期待します．

以上の様に g-2/EDM 詳細計測用磁石の実現性が確認で謝きた．これを受けて，詳細設計が進められている．実機で辞

均一磁場を得るために重要なシミングには，MRI 磁石用に

本記事の内容の範囲は広く長年に渡って開発してきた

TSVD 開発した TSVD 応用のシミング計算手法（４．
１．
３項）

TSVD 応 用 の 磁 場 設 計，調 整・制 御 を ま と め た．こ の［５９］を応用する予定である．

間，多くの人に多大なご支援をいただいた，感謝を述べたい人は多い．

５．まとめと期待

まず，日立製作所エネルギー研究所（当時：以下同じ）

TSVD は，最小２乗法解を求めるために非正則な行列のの先輩・後輩に，HT-2 実験の支援に謝意を表す．また，

一般逆行列を求める逆問題解法の一つであるが，個々のHT-2 の建設・改造・実験では日立工場の核装置設計グ

SVD 固有モードの強度と磁場分布を把握して加算する

ループに多大な支援をいただいた．原子力研究所那珂研究

TSVD 法として，トカマク装置のポロイダル磁場制御，ス所の故永見博士ら Doublet III 実験チームの方々には妥協のテラレータ CHS-qa のコイル設計に適用してきた．これらない議論をいただいた．また，伊藤教授（当時）をはじめでは良好な結果を得た．小型トカマク装置 HT-2 では６個

九州大学 TRIAM‐１M 実験グループの先生方には，実験への独立に電流制御を行う多変数制御型の PFC を用いて，プ

参加と結果の議論で有益な時間を過ごさせていただいた．

ラズマの位置断面形状制御，および放電開始時のポロイダ

感謝します．

ル磁場ヌル点制御を安定に行えた．これは，相互に非干渉

DUCAS の開発課程では，核融合科学研究所の松岡教授，

な固有モード強度を FB 制御すれば，ポロイダル磁場を岡村教授には有益な指導・討論をいただいた．また，清水求める分布に安定に制御できることを意味する．一方，博士にはプラズマ形状データの提供をいただいた．感謝し

DUCAS では，従来，薄板近似の渦電流解析に用いてきた

ます．

三角面要素による面電流表現使用して，CHS-qa のモジュ

MRI 装置の磁場設計に応用した手法は，実機の磁場でそラーコイルの形状設計手法を開発した．

の正しさも確認でき，より合理的な設計手法へと進むこと以上の SVD を利用する逆問題解法技術を MRI 装置や実ができた．この課程で，旧日立メディコおよび現日立製作

験装置の設計・調整への適用を行っている．MRI の静磁場所ヘルスケア BU 柏事業所および核装置加速器部の技師た設計では，ソレノイド状のCB群に利用した．固有モードのちには多大な支援と議論をいただいた．感謝します．また，重ね合わせで到達可能な均一度を正確に把握できることを

高エネ研を中心としたミューオン g-2/EDM 共同研究チー確認した．また，MRI 撮像でパルス磁場を均一磁場に重ねムの人たちには，磁石設計にあたって，物理側面の多大なて nmr 信号に位置情報を与える GC では DUCAS を応用し議論をいただいていることにも感謝します．そして最後て，高性能な磁気シールドを持つ ASGC を設計できた．さに，昨年永眠した妻の故香代子には，この記事で述べた研らに，磁石設置後では，静磁場に組み立て誤差や周囲の鉄究生活を，強力に支えてもらいました．感謝して本記事を材による環境磁場の影響で誤差磁場が含まれる．この誤差捧げます．

磁場は，TSVD 正則化利用のシミング計算で決めた磁気

本記事は，筆者が日立製作所で長年行ってきた特異値分モーメント（多くの場合，強磁場中で磁化した鉄片）を配解を利用した磁場再構成，制御・調整および設計に関する
１７１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.95, No.4 April 2019［３
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９
３
５号，出願日２０
０
６年１
１月２
２日，登録日 平成
２
４年２月１
０日．
［４
８］阿部充志：「傾斜磁場コイルおよび核磁気共鳴撮像装置」特許第５４９７７８５号，出願日２
０
１
０
（平成２
２）
年１
１月２
６日，
年３月１
４日．
登録日２
０
１
４
（平成２
６）
［４
９］寺田将直 他：日本 AEM 学会誌 20, 606 (2012).
［５０］M. Abe et al., Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A 890,
51 (2018).
［５１］H. Zhao et al., Med. Phys. 27, 599 (2000).
［５２］H. Zhao et al., J. Magn. Reson. 141, 340 (1999).
［５３］N. Yu-Cheng et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 14, 2008
(2004).
［５４］A. Belov et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 5, 679(1995).
［５５］R. Ando et al., IEEE Trans., Appl. Supercond. 18, 1525
(2008).
［５６］K. Matsuzawa et al., J. Magn. Reson. 278, 51 (2017).
［５７］M. Abe and Y. Imamura, ''Design of Compact Planar GC
for High Field Open MRI Using the Computational Tool
DUCAS', ISMRM 19th Annual Meeting, No.3794, Montreal, Quebec, Canada 7-13 May 2011，および，阿部充志「傾斜磁場コイル及びそれを用いた核磁気共鳴断層写真装置」，特許第 4857061 号，出願日２
０
０
６
（平成１
８）
年９月
年１
１月４日．
２
６日，登録日２
０
１
１
（平成２
３）
［５
８］M. Abe, Magn. Reson. Med. Sci. 16, 284 (2017).
［５９］M. Abe et al., IEEE Trans. Appl. Supercond. 27, 4400812(2017).
［６０］T. Mibe, the J-PARC g-2/EDM collaboration, Nucl. Phys.
B - Proc. Suppl. 218, 242 (2011).
［６１］N. Saito, the J-PARC g-2/EDM collaboration, AIP Conference Proceedings 1467, 45 (2012).
［６２］H. Iinuma et al., Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A 832,
51 (2016).

数値計算手法について述べたが，２０１８年７月に茨城大学大学院理工学研究科量子線科学専攻で行った集中講義の主要部分をまとめたものである．

参考文献［１］M. Guamieri et al., IEEE Trans. Magn. 26, 622 (1990).
［２］阿部充志：「特異値分解を用いた磁場再構成・制御法と核融合研究への応用に関する研究」，総合研究大学院大学，物理科学研究科，核融合科学専攻，博士論文，乙第
１
９
３号，２
０
０
９年９月．
［３］G. Morrow, IEEE Trans. Appl. Supercond. 10, 744 (2000).
［４］T.C. Cosmus and M. Parizh, IEEE Trans. Appl. Supercond. 21, 2104 (2011).
［５］D.W. Swain and G.H. Neilson, Nucl. Fusion 22, 1409 (1982).
［６］L. L. Lao et al., Nucl. Fusion 25, 1421 (1985).
［７］L. L. Lao et al., Nucl. Fusion 25, 1611 (1985).
［８］M. Abe et al., Nucl. Fusion 29, 1659 (1989).
［９］阿部充志 他：核融合研究 61, 38 (1989).
［１０］M. Abe et al., Jpn. J. Appl. Phys. 29, 395 (1990).
［１１］T. Watari et al., Application of Intermediate Frequency
Range Fast Wave to JIPP T-IIU and HT-2 Plasma, in
Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research(Washington DC, 1990), IAEA-CN-53/E-3-3.
［１２］S. Kinoshita et al., Nucl. Fusion 32, 1465 (1992).
［１３］M. Abe and K. Takeuchi, Kakuyug!kenkyu 67, 257 (1992).
［１４］M. Abe et al., J. Plasma Fusion Res. 69, 352 (1993).
［１５］M. Abe et al., J. Plasma Fusion Res. 70, 671 (1994)［１６］阿部充志 他：プラズマ・核融合学会誌 71, 620 (1995).
［１７］M. Abe and K. Takeuchi, Fusion Technol. 29, 277 (1996).
［１８］M. Abe et al., Fusion Technol. 32, 545 (1997).
［１９］阿部充志 他：プラズマ・核融合学会誌 73, 1283 (1997).
［２０］M. Abe et al., 17th IAEA Fusion Energy Conference, Yokohama, Japan, 19-24, October 1998, IAEA-CN-69/EXP812 (CD-ROM).
［２１］M. Abe and T. Nakayama, 'Discharge and Poloidal Magnetic Field Reconstruction in a Ferritic First Wall Tokamak', Proc. 17th IEEE/NPSS Symposium Fusion Engineering 1, 104 (1997).
［２２］M. Abe et al., J. Plasma Fusion Res. 74, 491 (1998).
［２３］柳井晴夫，竹内 啓：射影行列・一般逆行列・特異値
分解（UP 応用数学選書１０）（東京大学出版会，１
９
８
３）
．
［２
４］中川 徹，小柳義夫：最小二乗法による実験データ解析（UP 応用数学選書７）（東京大学出版会，１
９
８
２）
．
［２
５］伊理正夫：一般線形代数（岩波書店，２
０
０
３）
．
［２
６］M. Abe et al., Nucl. Fusion 36, 405 (1996).
［２７］西野信博，大舘 暁：プラズマ・核融合学会誌 86, 648(2010).
［２８］M. Itagaki et al., Plasma Fusion Res. 9, 1402046 (2014).
［２９］板垣正文 他：プラズマ・核融合学会誌 91, 23 (2015).
［３０］S. Okamura et al., J. Plasma Fusion Res. Series 1, 164(1998).

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