修士論文

極低温分子の共振器増幅光トラップの研究
指導教員
小芦雅斗

教授

平成 28 年 2 月提出

東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻

37-146564 藤本晃吉

i

目次
第1章
1.1
1.2
1.3
1.4

序論
研究背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
極低温極性分子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2
3
4

第 2 章 理論的背景
2.1 分子準位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Born-Oppenheimer 近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 角運動量の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 誘導ラマン断熱遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 光と原子の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 光トラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
9
11
16
20

第 3 章 共振器増幅光トラップ系の構築
3.1 ABCD 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 共振器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 共振器の安定条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 共振器の共鳴条件と Finesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 共振器増幅光トラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Cavity trap の仕組み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Pound-Drever-Hall 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 実験系の構築 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 実験系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 共振器へのモードマッチング . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 共振器ロックの安定化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Enhancement factor の測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 トラップ周波数とノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 ファイバーアンプの ASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
27
28
28
30
33
34
36
38
39
42
46
49
50
56

第 4 章 振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験
4.1 PA 分子の散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 共振器による 1064 nm 増幅時の分子のイオン化スペクトル . . .
4.1.2 自動ロックの遅延 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
59
60
63

目次

ii

4.2
4.3

4.1.3 共振器ロックシステムの改良 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 PA 分子散乱時の STIRAP 信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
真空度による分子の寿命の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
振動回転基底状態分子の Cavity trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 PA 分子の拡散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 振動回転基底状態分子のトラップ . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 87 Rb のトラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
69
72
74
74
75
80

第 5 章 まとめと展望

81

付 録 A 共振器ロックの回路図
A.1 ロック回路 (自動ロック) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 プリント基板のロック回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85
85
86

謝辞

89

参考文献

91

iii

図目次
ドップラー冷却の概念図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
磁気光学トラップの仕組み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1 2 原子分子の振動と回転の自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 41 K87 Rb 分子の最低基底状態の電子ポテンシャル . . . . . . . . . . . .
2.3 41 K87 Rb 分子の最低基底状態の電子ポテンシャルに束縛された振動準位
2.4 Hund’s case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 STIRAP を行う 3 準位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 STIRAP による分子の遷移 [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 振動・回転基底状態への遷移 (左）、振動基底・回転第 2 励起状態への遷
移 (右)[43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 2 準位系原子と光の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 誘導）吸収、誘導放出、自然放出とアインシュタインの A 係数、B 係数2.10 axial 方向のポテンシャルエネルギーの勾配 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 radial 方向のポテンシャルエネルギーの勾配 . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 87 Rb の基底状態 5S1/2 の分極率実部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 87 Rb の基底状態 5S1/2 の分極率虚部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∑2.14 40 K87 Rb の基底状態 X 1 + , v = J = 0 の分極率実部 [47] . . . . . . . .
2.15 波長 1064 nm での 87 Rb のトラップ深さおよび heating rate . . . . . . .
2.16 波長 1064 nm での 41 K87 Rb のトラップ深さおよび heating rate . . . . .

5
8
9
10
11
15
16
16
18
22
22
24
24
25
26
26

3.1 光線ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fabry-Perot 共振器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 周波数コム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 共振器の反射率およびロス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 共振器の透過スペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 ロスの違いによる線幅の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Cavity trap のイメージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Enhancement factor の共振器ロス依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 PDH 法による共振器ロックの概略図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Error signal の計算値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 ブリュースター窓の配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 p 偏光反射率と s 偏光反射率の入射角依存性 . . . . . . . . . . . . . . .

27
29
31
31
32
32
35
36
37
38
39
40

1.1
1.2

iv

図目次

3.13 実験のセットアップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 実験系 (上から見た写真) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 実験系 (横から見た写真) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.16 ファイバーアンプ出射後のビーム形状 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.17 f =300 mm レンズ後のビーム形状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.18 共鳴時の共振器からの透過光のビーム形状 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.19 f =1000 mm レンズ後のビーム形状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.20 共振器のモードマッチング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.21 反転増幅後の Error signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.22 アルミ板によるロックの更なる安定化 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.23 ロック時の Error signal の FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.24 パルスレーザーの振動によるロックの不安定化 . . . . . . . . . . . . . .
3.25 定盤の振動抑制によるロックの安定化 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.26 Enhancement factor の測定方法 1:ブリュースター窓からの反射光を測定
3.27 Enhancement factor の測定方法 2: 共振器からの透過光を測定 . . . . .
3.28 Enhancement factor の測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.29 高速 PD 回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.30 レーザーを入れたとき (Sampling 5 kHz) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.31 レーザーを入れたとき (Sampling 5 MHz) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.32 レーザーを切ったとき (Sampling 5 kHz) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.33 レーザーを切ったとき (Sampling 5 MHz) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.34 パワースペクトル密度の測定 (0-2.5 kHz) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.35 パワースペクトル密度の測定 (0-2.5 MHz) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.36 ASE 測定箇所 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.37 ASE 測定 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.38 ASE 測定 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.39 ASE 測定 (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
42
42
43
43
44
44
45
45
46
47
48
48
49
49
50
54
54
54
55
55
55
55
56
57
57
58

4.1 41 K87 Rb 分子の電子ポテンシャル 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 実験系:光のパス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Cavity-lock システム 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 実験のタイムシーケンス 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 イオン化スペクトル 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 イオン化スペクトル 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 自動ロックの時間的な遅れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 fiber amplifier 出力の電圧依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Cacity-lock システム 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 実験シーケンス 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 共振器内パワーの時間変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 AOM 使用時の共振器内パワーの時間変化 . . . . . . . . . . . . . . . .

60
61
62
62
63
63
64
65
66
66
67
68

v
4.13 AOM 使用時と Contol voltage 使用時の共振器内パワーの時間変化の比較
4.14 実験シーケンス 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 STIRAP レーザーロックの概略図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 STIRAP 信号 (without 1064 nm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17 STIRAP 信号 (with low power 1064 nm) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18 STIRAP 信号 (with high power 1064 nm) . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19 分子寿命 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20 分子寿命 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21 分子寿命 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22 分子寿命-真空度比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.23 41 K と 87 Rb の蛍光-120 ms 周期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.24 41 K と 87 Rb の蛍光-240 ms 周期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.25 PA 分子の拡散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.26 41 K87 Rb 分子の電子ポテンシャル 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.27 振動回転基底状態分子の Cavity trap with low power 1064 nm . . . . .
4.28 振動回転基底状態分子の Cavity trap with high power 1064 nm . . . . .
4.29 振動回転基底状態分子の Cavity trap-low power と high power の比較 .
4.30 トラップ中心とパルスレーザーとの位置ずれ . . . . . . . . . . . . . . .
4.31 87 Rb の Cavity trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68
69
70
71
71
71
72
73
73
73
75
75
75
76
78
78
79
79
80

自動ロックの回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
プリント基板のロック回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
OP470 を使用した場合のロック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
OP470 を使用した場合のロック-FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TL084 を使用した場合のロック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TL084 を使用した場合のロック-FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85
86
87
87
87
88

A.1
A.2
A.3
A.4
A.5
A.6

vii

表目次
2.1

87

Rb の遷移 [46] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1

代表的な光学要素の ABCD 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.1
4.2

41

K87 Rb のトラップパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Rb のトラップパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77
77

1

第 1 章 序論
1.1

研究背景

レーザー発振が成功されて以降、レーザー技術を駆使して様々な分野で科学の発展が進んできた。ここで取り上げるのはその中でも特に、冷却原子と呼ばれる分野である。離散的なエネルギー構造を持つ原子は、単色性に優れたレーザーとの相性が非常に良い。実際に光の吸収と放出を巧みに利用することで、室温の原子気体を 100 µK という極低温の温度領域まで冷やすことが可能であり、その原理は図 1.1 に示すドップ
ラー冷却で説明できる [1]。ここでは簡単のために二準位系の原子を考えるが、ドップラー冷却による冷却温度の限界は共鳴の線幅 Γ で決まり、理論的には最低到達温度 TD
は TD = ℏΓ/2kB で表される [2]。さらに冷却に加えて原子を捕獲する技術として 1987
年に磁気光学トラップ (MOT:Magneto Optical Trap) が確立された [3]。その仕組みは
図 1.2 に示すように、磁場に勾配をかけることでゼーマンシフトの位置依存性を作り、原子に働く輻射圧が常に磁場中心に向かうようにするものである [1]。
㍽ᑕᅽ ᑠ

㍽ᑕᅽ ኱
ǀ

䝺䞊䝄䞊ග

ཎᏊ

䝺䞊䝄䞊ග
྾཰䛾ᙉ䛥

ʘϬ
ʘфʘϬ

ʘфʘϬ
ʘ

ʘϬ

࿘Ἴᩘ

図 1.1 ドップラー冷却の概念図。共鳴から負に離調したレーザー光を対向して照射することで、原子は常に自身に向かってくるレーザー光を吸収し、減速する。

図 1.2 磁気光学トラップの仕組み。輻射圧に位置依存性を持たせ磁場中心に原子をトラップ
する。

第1章

2

序論

原子は温度が下がるにつれて、古典的な粒子の振舞いから一変し波としての性質を顕著に表すようになる。その究極が Bose-Einstein 凝縮 (BEC) と呼ばれる相転移であるが、この BEC を実現させるにあたり重要なのが、密度 n と熱的ドブロイ波長 λdB で√定義される位相空間密度 ρ = nλ3dB = n(h/ 2πmkB T )3 である。位相空間密度が意味するところは、一辺が λdB 程度の箱の中に何個の粒子が存在するかであり、量子統計力学によればその値が約 2.6 になったとき突如としてマクロな数のボース粒子が最低基底状態を占有し、BEC が起きる。位相空間密度の定義から、BEC の実現のためには温度を下げ密度を上げることが必須であるが、MOT のみでは前述のドップラー冷却の限界により困難である。しかしながら、MOT に加え磁気トラップ ([4],[5],[6],[7],[8],[9]) と蒸発冷却 [10] の技術を組み合わせることで、量子縮退領域まで位相空間密度を上げることが可能になり、実際に BEC の理論的な予言がなされてから ([11][12]) 約 70 年後の1995 年に、アルカリ原子の 23 Na[6] と 87 Rb[5] において実現に成功しノーベル物理学賞の受賞対象となった。
また、冷却原子系において強みと言えるのが、系の次元 [13] や相互作用の強さ ([14][15])に関して制御可能であるという点であり、これを利用して BCS-BEC クロスオーバー[16] や超流動-Mott 絶縁体転移 [17] など様々な成果が上がっており、現在もこの分野で盛んに研究が進んでいる。

1.2

極低温極性分子レーザー冷却の技術によって確立された極低温原子系の発展は目覚ましいものがある一方で、我々の研究室で着目しているのは極性分子の系である。極性分子が原子と特に異なる点は電気双極子モーメントが大きいことである。原子の相互作用は互いの衝突によってのみ記述され、その相互作用ポテンシャルは r−6 に比例するファンデルワー
ルスポテンシャルであり短距離で等方的なものである。その一方で極性分子の相互作用
は電気双極子モーメント µ に由来し、その相互作用ポテンシャルは式 (1.1) で記述される。r−3 に比例する相互作用は長距離で異方的であり、原子系とは全く異なる新たな物
理現象を期待できる。また、極低温極性分子の系を利用した量子計算が DeMille によって最初に提案されている [18]。他にも [19][20][21][22] などの応用が挙げられている。
()µ1 · µ2 3(r · µ1 )(r · µ2 )
1
−
(1.1)
Udd =
4πϵ0
r3
r5
極低温極性分子の生成の方法としては、極性分子を直接冷却する手法 (直接法）と極低温に冷却した原子を用意しそれらを会合させる手法（間接法）がある。分子は原子と異なり、電子状態に加え、新たに振動と回転状態という二つの自由度が加わる。そのためエネルギー構造が非常に複雑となり、一般的にはレーザー冷却による直接法が効きにくいという難点がある。しかしながら、直接法の例として、十分冷えた He との衝突を利用した Buﬀer-gas 冷却 [23] や電場勾配で分子線を減速させる Stark 減速器 [24]などあり、レーザー冷却を使わない手法として冷却分子への道が拓けたことになる。ところがこれらの場合、到達温度が mK のオーダーに止まってしまい、我々の目指す極1.3 本研究の目的

3

低温の世界へは一桁以上足りない。そこで、現在の主流としてはやはり間接法を用いた極低温極性分子の生成である。
間接法としては、主に光会合 [25] と Feshbach 会合 [15] がある。これまでにも異種原子間において光会合 ([26],[27],[28])、Feshbach 会合 ([29],[30]) それぞれの手法で極低温
極性分子の生成に成功している。特に近年で目立った進展は、2008 年に JILA のグループが、Feshbach 会合で生成した浅く束縛されたフェルミオンの 40 K87 Rb 分子を誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP) により振動回転基底状態へ遷移させることに成功した事例である [31]。また、当研究室でも先行研究において、光会合によって浅く束縛されたボソンの 41 K87 Rb 分子を STIRAP により同じく振動回転基底状態へ遷移させることに成功している [32]。間接法の場合、生成する分子は振動準位に関して大きい状態にあるため、STIRAP によってコヒーレントに分子を基底状態へ遷移できることは非常に強力であり、振動回転基底状態の極性分子は大きな電気双極子モーメントを有する点でも意義があると言える。

1.3

本研究の目的

これまで冷却原子系の発展、極低温極性分子生成を目指した研究を紹介してきたが、本研究では、極低温極性分子を作るにあたりまた別のアプローチを考える。前述の通り、先行研究で光会合と STIRAP の組み合わせにより、高効率で振動回転基底状態の極性分子を生成することに成功しており、特に、Feshbach 会合を用いる場合に比べて圧倒的に実験の繰り返しレートが早いという点がメリットとしてある。ただしその分、光会合で生成される分子の温度も高い (約 100 µK) ため更なる冷却が必要となってくる。そこで考えるのが、光トラップにより振動回転基底状態の分子を捕獲し、同時にトラップした原子との協同冷却によって温度を下げるという手法である。具体的には、
41 87
K Rb 分子の場合、41 K 原子との化学反応が生じてしまう一方で、87 Rb 原子との化学反応が起きず、非弾性衝突によるロスレートが抑えられ、協同冷却を上手く働かせられると期待できる。本研究で目指すところは、深いポテンシャルを作り分子をトラップすることであるが、そのためには非常に高い強度のレーザー光を照射する必要がある。その一方でビーム径を絞り過ぎても分子集団との重なりが悪くなり十分な数をトラップできなくなってしまう。したがって、共振器を組み、その内部でパワーを増幅させ十分な深さのポテンシャルを作ることを試みる。分子捕獲の手段としては磁気ト
ラップもありうるが、今回トラップしたい振動回転基底状態の分子はスピン一重項の電子ポテンシャルに束縛されており、磁場との相互作用が起きない。したがって光ト
ラップが必要不可欠となる。
本論文では、光トラップのための共振器の系の構築とその評価、および光トラップに至るまでに行ったこと、そして振動回転基底状態の 41 K87 Rb 分子がトラップされたことを確認できたと判断する結果を報告する。

第1章

4

1.4

序論

本論文の構成本論文の構成は以下の第 1 章から第 5 章から成る。

• 第 1 章では本研究の背景となる冷却原子と冷却分子について述べ、本研究の目的と概要をまとめた。
• 第 2 章では 2 原子分子のエネルギー準位、誘導ラマン断熱遷移、光と原子の相互作用、光トラップについて理論的な解釈を述べる。誘導ラマン断熱遷移では先行研究による実験結果を載せる。
• 第 3 章では共振器の仕組み、実際の実験系における共振器増幅光トラップの構築とその性能の評価などについて述べる。
• 第 4 章では共振器増幅光トラップによって振動回転基底状態の分子をトラップし、測定によってそれを確かめた結果を述べる。それとともに最終結果に至るまでに起こった問題とそれに対する対処、および原子のトラップについてもまとめる。
• 第 5 章では本研究における実験結果のまとめを述べ、今回の結果をさらに改善させる場合に行うべきと思われる作業について言及する。

5

第 2 章 理論的背景
本章では、分子のエネルギー準位についてまとめた後、振動回転基底状態を生成す
る誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP) の理論的な背景と、光と原子の相互作用および光トラップの原理について述べる。

2.1

分子準位

本研究で対象となる 2 原子分子は、2 つの原子が結合することで、電子状態に加え、2 つの原子核の運動として振動と回転の２つの自由度が生まれる。これによって原子と比べて非常に複雑な準位構造を有する。この構造を把握するために、本節では原子核と電子の運動を分離して考える近似や、2 原子分子の角運動量の結合を記述する Hund’scase に関してまとめておく。

図 2.1 2 原子分子の振動と回転の自由度。

2.1.1

Born-Oppenheimer 近似

ここでは分子のエネルギー準位について述べるにあたり、[33],[34] を参考にしている。先に述べた通り、分子のエネルギー準位は電子状態、振動状態、回転状態と分裂するので当たり前に準位を導こうとすることは非常に困難である。しかし、電子と原子核の質量比を考えると、直感的に電子の運動スケールに比べ原子核の運動スケールは遅いので、原子核の運動を止めて（原子核の位置を固定して）電子の運動を考えるという近似が許される。この近似を Born-Oppenheimer 近似と呼ぶ。
実際に電子、振動、回転のエネルギースケールについて対比して考えてみる。まず電子状態については、核間距離 a 程度の箱の中に電子が閉じ込められた状況を考える。

第2章

6

理論的背景

電子の質量を m とし、運動量は p ∼ ℏ/a で与えられるので、電子のエネルギーは

Ee ∼

ℏ2
2ma2

(2.1)

となる。
振動状態については、質量 M の原子核が角振動数 ω で調和ポテンシャルの中を振動する状況を考える。核間距離を a だけ動かすことで電子状態を変化させることを考えると、このときの調和ポテンシャルのエネルギー増加は M ω 2 a2 /2 となり、これが電子のエネルギー変化に相当するので

M ω 2 a2
ℏ2
∼
2
2ma2
が成り立つ。したがって、振動のエネルギーは√Ev ∼ ℏω ∼

m
Ee
M

(2.2)

(2.3)

と求まる。
最後に回転の状態について、長さ a の物体が古典的に角運動量 ℏ 程度で回転運動していると考えると、回転のエネルギーはℏ2mErot ∼
∼
Ee
2
2M a
M
となる。
以上より電子、振動、回転のエネルギースケールの比をまとめると、√
m m
Ee : Ev : Erot ∼ 1 ::∼ 10000 : 100 : 1
M M

(2.4)

(2.5)

と大まかに見積もれた。これより確かに Born-Oppenheimer 近似によって分子のエネ
ルギー準位を導くことの妥当性はあると示される。また、エネルギースケールの比が電子状態 ≫ 振動状態 ≫ 回転状態であるので、分子のエネルギー準位はまず電子状態ごとに大きなエネルギースケールで分裂しており、各電子ポテンシャルに振動状態が束縛されており、各振動状態の中で回転状態が分裂しているという構造になっている。
以下で Born-Oppenheimer 近似に基づき分子準位を導くことを考える。ポテンシャ
ル V (ri Rj ) の中で運動する分子の Schrödinger 方程式は
[
]
∑ ℏ2
∑ ℏ2
−
∇2i −
∇2j + V (ri Rj ) Ψ(ri Rj ) = EΨ(ri Rj )
(2.6)
2m
2M
i
j
j
i
と書ける。ri は i 番目の電子の位置ベクトル、Rj は j 番目の原子核の位置ベクトルを表す。また、ポテンシャル V (ri Rj ) は電子間、原子核間、電子-原子核間の相互作用お2.1 分子準位

7

よび相対論的効果を全て含む。電子の運動を考えるとき、原子核の位置を固定してある位置 Rj に対する電子の波動関数 ΨRj (ri ) と固有エネルギー U (Rj ) の関係が

[
−

∑ ℏ2
i

2mi

]
∇2i + V (ri Rj ) ΨRj (ri ) = U (Rj )ΨRj (ri )(2.7)となる。原子核の波動関数を Ψ(Rj ) として、Ψ(ri Rj ) = ΨRj (ri )Ψ(Rj ) を式 (2.6) に代
入すると
[
]
∑ ℏ2
2
ΨRj (ri ) −∇ + U (Rj ) − E Ψ(Rj )
2Mj j
j

=

∑ ℏ2 []
Ψ(Rj )∇2j ΨRj (ri ) + 2∇j Ψ(Rj ) · ∇j ΨRj (ri )
2Mj
j

(2.8)

と表せる。さらに ΨRj (ri ) が Rj に依存しないとすると式 (2.8) の右辺が 0 となり、原子核の波動関数は[]∑ ℏ2−∇2j + U (Rj ) Ψ(Rj ) = EΨ(Rj )
(2.9)
2M
j
j
を満たす。すなわち、電子状態に関する Schrödinger 方程式の固有値 U (Rj ) が原子核の感じるポテンシャルとして式 (2.9) に含まれている。しかしながら、一般的に式 (2.7) を解いて U (Rj ) を求めることは難しいため、本研究においては、第一原理計算により求めた値 [35] と実験値に対しフィッティングすることで求めた値 [32],[36] を用いている。
本研究で扱う 41 K87 Rb 分子について、基底状態の電子ポテンシャル U (R) を 2 原子分子の核間距離に対してプロットしたグラフが図 2.2([36],[37]) である。図 2.2 のように、R→0 の極限では原子核同士の反発が強くなるため発散し、そこから核間距離を大きくしていくと van der Waals 力によりエネルギーが減り、R→ ∞ の極限では原子状態に解離する。したがってその間で最もエネルギー的に安定な平衡位置 Re が存在する。この振る舞いを近似的に表すポテンシャルとして Morse ポテンシャル De [e−2α(R−Re ) −2e−α(R−Re ) ]が使われることが多い。

第2章

8

理論的背景

ϮϬϬϬϬ

ŶĞƌŐǇ΀ͬĐŵ΁

ϭϱϬϬϬ

ϭϬϬϬϬ

ϱϬϬϬ

Ϭ

ͲϱϬϬϬ
Ϯ

ϰ

ϲ

ϴ

ϭϬ

ϭϮ

/ŶƚĞƌŶƵĐůĞĂƌĚŝƐƚĂŶĐĞ΀ύ΁

図 2.2 41 K87 Rb 分子の最低基底状態の電子ポテンシャル。

式 (2.9) 中のポテンシャルは核間距離にのみ依存しているので重心運動を分離して中心力場の運動として記述できる。この解を動径方向と角度方向の積として

Ψ(R, θ, ϕ) =ψ(R)YJM (θ, ϕ)Rと書ける。換算質量を µ として動径方向の方程式は][ 2 2ℏ2 J(J + 1)
ℏ d
+ U (R) +ψ(R) = Eψ(R)−2µ dR22µR2(2.10)(2.11)となる。U (R) が調和ポテンシャル K(R − Re )2 /2 のとき、平衡位置周りの微小振動のエネルギーは
√
(
)
K
ℏ2
1
EvJ ∼
+ Be J(J + 1) ωe =, Be =(2.12)= ℏωe v +2µ2µRe2
平衡位置から大きく離れた場合では、
(
)
(
)2
1
1
EvJ = ℏωe v ++ Bv J(J + 1) − Dv J 2 (J + 1)2 + · · ·− ℏωe xe v +22(2.13)

である。式 (2.12) は v と J が小さいとき、式 (2.13) は v と J が大きいとき良い近似と
なる。
41 87
K Rb 分子のエネルギー準位を求めるにあたり、式 (2.9) を WKB 近似によって解けばよいのだが、本研究においてはそれを LEVEL というプログラムに行わせている。
LEVEL は R.J.Le Roy 氏が公開しているプログラムであり、分子の電子ポテンシャルを入力することで波動関数やエネルギー準位を計算してくれる [38]。図 2.3 に LEVEL

2.1 分子準位9で計算した 41 K87 Rb 分子の基底状態の電子ポテンシャルに束縛された振動準位（赤線）を示す。エネルギーの低い準位から v=0,1,2,3,· · · とラベリングする。また、多くのポテンシャルにおいてエネルギーの低いところでは振動準位が等間隔で分裂し、エネル
ギーの高いところでは振動準位がつまっており間隔が狭くなっていく。
ϮϬϬ

ͲϯϬϬ

ŶĞƌŐǇ΀ͬĐŵ΁

͏͏͏͏

ͲϴϬϬ

ͲϭϯϬϬ

ͲϭϴϬϬ

ͲϮϯϬϬ

ͲϮϴϬϬ

ͲϯϯϬϬ

ͲϯϴϬϬ

ͲϰϯϬϬ
Ϭ

Ϯ

ϰ

ϲ

ϴ

ϭϬ

ϭϮ

ϭϰ

ϭϲ

ϭϴ

ϮϬ

/ŶƚĞƌŶƵĐůĞĂƌĚŝƐƚĂŶĐĞ΀ύ΁

図 2.3 41 K87 Rb 分子の最低基底状態の電子ポテンシャルに束縛された振動準位。振動準位が小さいところと大きいところだけ表記している。

2.1.2

角運動量の記述

2 原子分子の系ではポテンシャルに電子系の相互作用とスピン軌道相互作用の項が含まれ、これらの大小関係で角運動量の結合の仕方が変わり、それに応じて良い量子数が変わってくる。その角運動量の結合を表す Hund’s case をまとめる。Hund’s caseは (a) から (e) まである ([39],[40]) が、ここでは回転準位のエネルギー間隔が狭い場合に使う (a) と (c) について説明する (図 2.4)。図 2.4 において、L は電子の全軌道角運
動量、S は全スピン角運動量、N は回転の角運動量、J は全角運動量を表す。Hund’scase を (a) から (e) まで分類する場合、電子系と分子軸の結合の強さを Eax 、回転エネ
ルギーの間隔を Erot 、スピン軌道相互作用を Eso とおくと、(a) は Eax ≫ Eso ≫ Erot 、(b) は Eax ≫ Erot ≫ Eso 、(c) は Eso ≫ Eax ≫ Erot 、(d) は Erot ≫ Eax ≫ Eso 、(e) は
Eso ≫ Erot ≫ Eax が条件となる。

第2章

10

,ƵŶĚ͛ƐĐĂƐĞ;ĂͿ,ƵŶĚ͛ƐĐĂƐĞ;ĐͿ

:

:
E

E
ɏ
ȿ
>

理論的背景

ɏ
ɇ
^

>

:Ă
^

図 2.4 Hund’s case。Hund’s case(a) では L と S の分子軸射影が保存され、Hund’s case(c) では L と S の合成角運動量の射影成分が保存される。

·Hund’s case(a)スピン軌道相互作用と回転のエネルギーの寄与が小さく、電子系の相互作用が非常に強い場合、全軌道角運動量の射影成分 Λ と全スピン角運動量の射影成分 Σ は共に保存され、これらの和 Ω = |Λ + Σ| が良い量子数となる。さらに、分子の電子状態の表記
は 2S+1 ΛΩ とされ、ここでは Λ = 0, 1, 2, · · · と Σ, Π, ∆, · · · が対応している。特に Λ=0のとき、分子軸を含んだ平面に対して鏡映反転する場合に波動関数が対称と反対称とで Σ+ と Σ− と区別する。
·Hund’s case(c)電子系と分子軸の結びつきが弱く、スピン軌道相互作用がそれに比べて大きい場合に Hund’s case(a) の Λ と Σ は良い量子数ではなく、射影する前に L と S を合成した
Ja =L + S の射影成分 Ω が良い量子数となる。電子状態は Ω + /− で表す。
分子準位間の遷移選択則についても言及しておく。ここでは主に電気双極子遷移が支配的と考える。まず、回転準位に関しては∆J = 0 (J = 0 ↔ J ′ = 0 は禁制)
鏡映反転の対称性に関しては+ ↔ − のみが許容
Hund’s case(a) に関して、∆Λ = 0, ±1 (Σ 状態間は Σ+ ↔ Σ+ と Σ− ↔ Σ− のみが許容）
その他の量子数に関しても、∆S = 0,∆Σ = 0∆Ω = 0, ±1 (∆J = 0 の場合、Ω = 0 ↔ Ω = 0 は禁制)
Hund’s case(c) に関しては、∆Ω = 0, ±1 (∆J = 0 の場合、Ω = 0 ↔ Ω = 0 は禁制)
Ω = 0 の状態間では0+ ↔ 0+, 0− ↔ 0− のみが許容

2.2 誘導ラマン断熱遷移11となる。しかし、あくまでも Hund’s case はエネルギースケールの比が極端な場合の話なので、実際の分子では必ずしもこれらに則るわけではない。

2.2

誘導ラマン断熱遷移

ͮϮх
ȴ
ɷ
>ϭ
>Ϯ
ͮϭх
ͮϯх
図 2.5 STIRAP を行う 3 準位系。

誘導ラマン断熱遷移 (STIRAP: STImulated Raman Adiabatic Passage) の理論的解釈を行うにあたって、図 2.5 のような 3 準位系の遷移を考えたい。すなわち、L1 と L2の 2 本のレーザー光によって始状態 |1⟩ の原子（分子）を終状態 |3⟩ へ移す状況である。
この 3 準位系に対し、時間依存の Schrödinger 方程式iℏdΨ(t) = (H0 − d · E(t))Ψ(t)dt(2.14)

を解く。Ψ は 3 次元ベクトルで、各成分が図 2.5 の３つの準位を表す。ハミルトニアン
H0 は時間に依存しない Schrödinger 方程式

H0 |n⟩ = εn |n⟩(n = 1, 2, 3)(2.15)

を満たす。d は遷移双極子モーメント、E(t) はレーザー光の電場を表す。
式 (2.15) の基底 |n⟩ と時間発展の項 e−iϕn (t) を組み合わせて、式 (2.14) の固有状態を∑
Ψ(t) =Cn (t)e−iϕn (t) |n⟩(2.16)
n

第2章

12

理論的背景

と表現する。ただし、各項の係数は時間依存し Cn (t) とする。式 (2.16) を式 (2.14) へ代入することで各係数の微分方程式を以下のように導く。





C1
d  
 C2  =
dt
C3



−i

(

)

ε1
− ϕ˙1 (t)ℏ
 i E(t) · d e−iϕ12 (t)
21
ℏ

0

i
E(t) · d12 e−iϕ21 (t)ℏ()−i εℏ2 − ϕ˙2 (t)iE(t) · d32 e−iϕ23 (t)
ℏ



 
 C1
 
i
E(t) · d23 e−iϕ23 (t)   C2 ℏ() C3−i ε3 − ϕ˙3 (t)0ℏ(2.17)
ただし、ϕij (t) = ϕi (t) − ϕj (t)、電場ベクトルは E(t) = (1/2)(E1 e+ E2 e+ c.c.)とする。また、図 2.5 で L1 のレーザー光は始状態と中間状態 (|2⟩) のみを結び、L2 のレーザー光は中間状態と終状態のみを結ぶと仮定し、d13 = 0 としている。式 (2.16) の時間発展の項を−iω1 t−iω2 t

ϕ1 (t) = 0
ϕ2 (t) = ω1 t

(2.18)

ϕ3 (t) = (ω1 − ω2 )tと決め、エネルギーの基準を始状態にすると

E1 = 0E2 = ℏ(ω1 + ∆)(2.19)

E3 = ℏ(ω1 − ω2 − δ)となり式 (2.18)(2.19) を代入すると式 (2.17) の各成分は

i
C2 (t)d12 · E1∗2ℏiĊ1 (t) ≈ −i∆C2 (t) + [C1 (t)d12 · E1 + C3 (t)d23 · E2 ]2ℏiĊ1 (t) ≈ iδC3 (t) + C2 (t)d32 · E2∗2ℏĊ1 (t) ≈(2.20)となる。ここでは ±2ω1 , ±2ω2 , ±(ω1 ± ω2 ) で振動する項は十分時間スケールが早いとみなし無視している（回転波近似）。±(ω1 ± ω2 ) で振動する項も始状態と終状態のエネ
ルギー差が大きい場合は無視できるとしている。実際に本研究で振動回転基底状態への STIRAP を行う際も浅い束縛状態から深い束縛状態への遷移なので十分この条件を満たしている。
ここで改めてラビ周波数 Ω1 (t) と Ω2 (t) を

d21 · E1ℏ
d23 · E2∗
Ω2 (t) =ℏΩ1 (t) =(2.21)

2.2 誘導ラマン断熱遷移13と定義し、式 (2.17) を整理し直すと、




 
C1
C1
d  
 
iℏ
 C2  = HSTIRAP  C2 
dt
C3
C3


0


= ℏ  Ω12(t)0Ω∗1 (t)2∆Ω2 (t)2
C1Ω∗2 (t)  C
2   2
−δ
C3
0

 

(2.22)となる。Ω1 (t) = Ω∗1 (t), Ω2 (t) = Ω∗2 (t) を用いると、0Ω1 (t)0ℏ 
HSTIRAP =  Ω1 (t) 2∆ Ω2 (t) 20Ω2 (t) −2δ

(2.23)と表せる。
ここでハミルトニアン HSTIRAP の成分に自然幅 γ を含んだ項を導入することを考えtる。γ の逆数を寿命 τ として、各準位の分布の時間発展を表すと N (t) = e− τ N (t = 0)γtとなる。N (t) ∝ |C(t)|2 なので、C(t) = e− 2 C(t = 0) という時間発展になる。これは、ハミルトニアン Hdecay = −(iℏγ)/2 を含んだ時間依存の Schrödinger 方程式の解に相当する。図 2.5 の 3 準位系では中間状態の寿命が短いとして、式 (2.23) の右辺の (2,2) 成
分に新たに項を加えてハミルトニアン HSTIRAP を次のように書き換える。

0Ω1 (t)ℏ 
HSTIRAP =  Ω1 (t) 2∆ − iγ20Ω2 (t)0Ω2 (t) −2δ

(2.24)式 (2.24) のハミルトニアンの固有値と固有状態を求める。簡単のため以下では γ とδ は 0 とする。まず固有値は、

λ0 = 0√1λ± =(∆ ± ∆2 + Ω1 (t)2 + Ω2 (t)2 )2(2.25)(2.26)となり、各固有値に対応する固有状態は

v0 = √v±

1(−Ω2 (t), 0, Ω1 (t))
Ω1 (t)2 + Ω2 (t)21
= √(Ω1 (t), 2λ± , Ω2 (t))
2 λ± (2λ± − ∆)(2.27)(2.28)

第2章

14

理論的背景

である。ここで特に式 (2.27) の固有状態に注目したい。これは中間状態を含んでいな
いことが分かる。後の話のためにtan θ =

Ω1 (t)Ω2 (t)(2.29)と置き換えると、|v0 >= − cos θ|1⟩ + sin θ|3⟩

(2.30)と書ける。
式 (2.30) のような中間状態を含まない固有状態のことをいわゆる Dark-state と呼ぶ。
すなわち、図 2.5 において L1 と L2 の 2 本の光によって始状態と終状態のみが結ばれ、中間状態への励起は起こらないということである [41]。
式 (2.30) を見ると、位相 θ を 0→π/2 と変化させることで、理論的には 100 ％の効率
で始状態から終状態への遷移が可能であることが分かり、これが STIRAP という手法の非常に強力なところである。式 (2.29) で θ とラビ周波数の関係を定義したので、この位相を変化させるには、2 本の光の強度比を時間変化させればよいことになる。つまり、始めに Ω2 を有限値に Ω1 を 0 にして、ゆっくりと Ω2 を弱くしながら Ω1 を強くしていき、最終的に Ω2 が 0 になると STIRAP の遷移が完了するという仕組みである。
STIRAP では、Dark-state のコヒーレンスが遷移中に保たれる必要があるために、素早く行うことが重要であるが、同時に断熱条件を崩してはならないため、どこかで最適な遷移時間が存在することになる。
先行研究によって、光会合後の高い振動準位にある分子を STIRAP によって振動と回転の基底状態へ遷移させることに成功している [42][43]。ここでは、先行研究において(1)STIRAP の遷移によって分子が別準位に運ばれたこと(2)STIRAP によって確かに振動回転基底状態へ分子が遷移されたことの 2 つの観点から実験された結果を紹介しておく。
まず (1) に関しては、図 2.6 が実験結果である [42]。図 2.6 の挿入図は、図 2.5 の 2 本の光 L1 と L2 の強度をそれぞれ図の関係で時間変化させたものであり、その時間変化に対して分子の信号をプロットしていったものが図 2.6 の示すところである。図 2.6 の時間範囲では図 2.5 の準位でいうと |1⟩ → |3⟩ への STIRAP、|3⟩ → |1⟩ への STIRAP、もう一度 |1⟩ → |3⟩ への STIRAP が起きている。したがって、この結果から 1 回の STIRAPの遷移効率が約 73 ％と分かっている。

2.2 誘導ラマン断熱遷移15

図 2.6 STIRAP による分子の遷移 [42]。

続いて (2) についての実験結果は図 2.7 である [43]。STIRAP によって電子ポテンシャ
ルのどこに移ったかについて、回転状態から判断したい。ここで回転のエネルギーについて改めて書くと、Erot = Bv J(J + 1)
回転定数 Bv は

Bv =< ψ(r)|J = 0, 1, 2, 3, · · ·ℏ2|ψ(r) >
2µr̂2(2.31)(2.32)

である。式 (2.32) から、回転定数は分子の大きさを反映しており、振動状態によって値が異なることが分かる。すなわち、実験的に回転定数を見積もることができれば逆に振動回転基底状態にいることがわかる。この実験では、同じ中間状態を使った（=L1の周波数を共通にした)STIRAP で J=0(回転基底状態）と J=2(回転第 2 励起状態) の周波数を分光 (=L2 の周波数を掃引) しており、その周波数差から回転定数を見積もっている。図 2.7 の横軸はある同じ周波数のレーザー光に対してそれぞれつけたオフセッ
ト周波数の値を示している (具体的な実験方法は第 4 章で述べる）。実験前の回転定数の見積もりとして、40 K87 Rb 分子の先行研究から次のように予測している。

µ40 K87 Rb
B40 K87 Rb expµ41 K87 Rb= 1095.362(5)MHz × h

B41 K87 Rb calc =(2.33)

つまり、J=0 からおよそ 6B41 K87 Rb calc =6.6 GHz のあたりに J=2 が存在すると予測して図 2.7 の実験を行っている。そして図 2.7 の結果から 2 つの回転状態のエネルギー差が求まり、そこから回転定数を算出すると、

B41 K87 Rb exp = 1095.4(1)MHz × h(2.34)となる。この値は式 (2.33) の予想とよく一致していることから確かに振動回転基底状態の分子が生成されたと言える。

第2章

16

理論的背景

図 2.7 振動・回転基底状態への遷移 (左）、振動基底・回転第 2 励起状態への遷移 (右)[43]。

以上の先行研究の結果から、STIRAP によって振動回転基底状態への遷移が可能であることが示されているので、本研究ではこれを利用して光トラップするための分子を用意している。

2.3

光と原子の相互作用

この節では、次節で光トラップを考えるために一般的な光と原子の相互作用についてまとめる。本節の議論は [44] を参考にしている。状況を簡単にするため図 2.8 のような 2 準位系の原子を考え、光電場を古典的な波として、原子のエネルギーを量子力学的に扱う半古典論による議論を進める。図 2.8 の g1 ,g2 は各準位の縮重度である。

ͮϮх͕ŐϮ͕Ϯ԰ʘ԰ʘϬͮϭх͕Őϭ͕ϭ
図 2.8 2 準位系原子と光の相互作用。

2 準位系の原子に対して時間依存の Schrödinger 方程式iℏdΨ(r, t) = (H0 + H1 )Ψ(r, t)
dt(2.35)

を解く。ハミルトニアンは時間変化しない項 H0 と時間変化する項 H1 の和で表す。H0は
H0 ψn (r) = En ψn (r)En = ℏωn(2.36)

2.3 光と原子の相互作用17を満たし、時刻 t における波動関数は時間発展の項 eΨ(r, t) = c1 (t)ψ( r)e−iE1 tℏ−iEn tℏ

を導入して+ c2 (t)ψ( r)e−iE2 tℏ= c1 (t)e−iω1 t |1⟩ + c2 (t)e−iω2 t |2⟩(2.37)と表す。また式 (2.37) の係数は規格化条件を満たすので|c1 (t)|2 + |c2 (t)|2 = 1(2.38)

である。次に、時間変化の項として振動電場 E = E0 cos(ωt) と原子の相互作用を考える。ただし、原子の大きさに比べ波長が十分大きいとする電気双極子近似を用いて、4重極子以上の項、および磁気的な相互作用の項を無視する。このとき、式 (2.35) の H1
は
H1 = µ · E0 cos(ωt)(2.39)と書ける。µ は電場で誘起される電気双極子モーメントである。ラビ周波数 Ω をΩ≡⟨1|µ · E0 |2⟩ℏ(2.40)と定義し、式 (2.37) を式 (2.35) へ代入し左から ⟨1|,⟨2| をかけると

e−i(ω0 −ω)t + e−i(ω0 +ω)t
c2 (t)2ei(ω0 −ω)t + ei(ω0 +ω)tiċ2 (t) = Ω∗ cos(ωt)eiω0 t c1 (t) = Ω∗c1 (t)
2
iċ1 (t) = Ω cos(ωt)e−iω0 t c2 (t) = Ω(2.41)(2.42)の関係が得られる。ここで、回転波近似により、ω + ω0 の項は十分に早い時間スケー
ルで振動し平均して 0 になるとして無視するとΩ iδte c2 (t)2Ω∗ −iδtiċ2 (t) =e c1 (t)2
iċ1 (t) =(2.43)(2.44)と近似できる。ただし、光の離調を δ ≡ ω − ω0 と定義する。こうして得られた式 (2.43)と式 (2.44) から成る連立微分方程式を解く。初期条件を c1 (0) = 1, c2 (0) = 0 として
(
)
Ω2
Wt
2
|c2 (t)| =sin(2.45)
W2
2
(
)
Wt
Ω2
2
|c1 (t)| = 1 − 2 sin(2.46)
W
2と求まる。W 2 = Ω2 + δ 2 と置き換えた。この結果の意味するところは、2π/W の周期で上準位と下準位の間を原子が行き来している、つまり吸収と放出を周期的に繰り返しているということであり、これをラビ振動と呼ぶ。

第2章

18

理論的背景

これより先はアインシュタインの A,B 係数と遷移双極子モーメントの関係を導出する。図 2.9 のように 2 準位系原子と角周波数 ω0 = (E2 − E1 )/ℏ の光が相互作用すると考える。このとき、単位時間あたり原子 1 個あたり A21 の確率で |2⟩ から |1⟩ への遷移
(自然放出）が起こり、単位時間あたり原子 1 個あたり電磁波のエネルギー密度に比例する確率で |1⟩ から |2⟩ への遷移 (（誘導）吸収）と |2⟩ から |1⟩ への遷移 (誘導放出）が起こる。（誘導）吸収と誘導放出の確率の比例係数はそれぞれ B12 ,B21 とする。A21 を
アインシュタインの A 係数、B12 と B21 をアインシュタインの B 係数とそれぞれ呼ぶ。

䠄ㄏᑟ䠅྾཰ㄏᑟᨺฟ⮬↛ᨺฟͮϮх͕ŐϮ͕Ϯ͕EϮ
԰ʘϬ
ϭϮʌ

Ϯϭʌ

Ϯϭ
ͮϭх͕Őϭ͕ϭ͕Eϭ図 2.9 （誘導）吸収、誘導放出、自然放出とアインシュタインの A 係数、B 係数。

角周波数 ω の電磁波のエネルギー密度を ρ(ω, T )、各準位の粒子数を N1 ,N2 としレート方程式を立てると、

dN2= N1 B12 ρ(ω0 , T ) − N2 B21 ρ(ω0 , T ) − N2 A21
dt
dN1
dN2
= −
dt
dt

(2.47)(2.48)となる。式 (2.48) は N1 + N2 が定数であることによる。これらより N2 の方程式を解
くと、
N2 (t) = N2 (0) exp(−A21 t)(2.49)となり、A21 は上準位の寿命の逆数に相当すると分かる。熱平衡状態を考えると式 (2.47)の左辺は 0 になるので、
1
A21
ρ(ω0 , T ) =(2.50)N1 B12
B21 N2 B21 − 1となる。熱平衡状態ではボルツマン分布に従うので
(
)
g2
ℏω
N2
=
exp −
N1
g1
kB T

(2.51)

が成り立つ。エネルギー密度は Plank の輻射式より

ρ(ω, T ) =

ℏω 3
1
)
(
2
3
π c exp ℏω − 1
kB T(2.52)

2.3 光と原子の相互作用19と書ける。式 (2.50),(2.51),(2.52) から

ℏω03
B21
π 2 c3
g2
=
B21
g1

A21 =

(2.53)

B12(2.54)と求まり、アインシュタインの A 係数と B 係数の関係を導けた。
次に、アインシュタインの係数と遷移双極子モーメントの関係を導出する。原子と光の相互作用が弱い場合 (Ω/δ ≪ 1)、式 (2.45) は
( )
Ω2
δ
2
2
|c2 (t)| ∼ 2 sint(2.55)
δ2と近似できる。また、式 (2.40) で µ = er 、電場の偏光を x 方向とし、遷移双極子モーメントの行列要素を µ12 ≡ ⟨1|µ|2⟩ = e⟨1|r|2⟩ と定義すると、|e⟨1|x|2⟩E0 (ω)|2ℏ2|µ12 E0 (ω)|2=3ℏ2|Ω|2 =(2.56)となる。ただし、電場振幅は原子の波動関数に対し均一と仮定し、積分の外に出している。入射する光の周波数は ω0 を中心に ±∆ω の幅で広がっていると考えると、その範囲を足し合わせる必要がある。電場振幅とエネルギー密度の関係は、

ρ(ω)dω =ε0E0 (ω)22(2.57)であることを用いると、

2|µ12 |2|c2 (t)| ∼3ε0 ℏ2∫ ω0 +∆ω2ρ(ω)ω0 −∆ω

sin2 (δt/2)dω
δ2(2.58)となる。t → ∞ のとき sin2 (δt/2)/δ 2 は δ = 0 に鋭いピークを持つので、ρ(ω) を積分の外に出せて、∫ ω0 +∆ω2|µ12 |2
sin2 (δt/2)2|c2 (t)| ∼× ρ(ω0 )dω
3ε0 ℏ2
δ2
ω0 −∆ω
∫2|µ12 |2t ∆ωt/2 sin2 x=× ρ(ω0 )dx(2.59)
3ε0 ℏ22 −∆ωt/2 x2と近似できる。sin2 x/x2 は |x| > ∆ωt/2 の領域でほぼ 0 とみなせるので、式 (2.59) の積分範囲を [−∆ωt/2, ∆ωt/2] から [−∞, ∞] に拡張できる。これにより積分公式∫ ∞sin2 xdx = π2−∞ x(2.60)

第2章

20が使用でき、式 (2.59) は理論的背景|µ12 |2πtρ(ω0 )3ε0 ℏ2|c2 (t)|2 ∼(2.61)となる。|1⟩ から |2⟩ への遷移確率は

R12 =d|c2 (t)|2π|µ12 |2=
ρ(ω0 )
dt
3ε0 ℏ2(2.62)と書け、これが B12 ρ(ω0 ) に相当するので

B12 =π|µ12 |2
3ε0 ℏ2(2.63)となる。そして式 (2.53)(2.54) の関係式から

g1 π|µ12 |2
g2 3ε0 ℏ2
g1 ω03=|µ12 |23g2 ε0 ℏπc3

B21 =(2.64)

A21(2.65)となる。以上よりアインシュタインの係数と遷移双極子モーメントの関係を導出できた。

2.4

光トラップ

本節では光トラップの原理と、本研究で求められる条件を述べる。以下の議論は [45]を参考にしている。複素分極率 α をもつ原子が電場 E を感じると、電気双極子モーメ
ント p = αE が誘起される。このとき、電場と双極子の相互作用エネルギーは
∫ E
1
U =−
p · E ′ dE ′ = − αE 2
(2.66)
20で与えられる。光強度 I(r, t) は、I(r, t) ≡ ε0 c⟨Re[E(r, t)]⟩T と定義される。Re[E] =(E + E ∗ )/2 なので、

ε0 c(⟨E 2 (r, t)⟩T + ⟨E ∗2 (r, t)⟩T + 2⟨E(r, t)E ∗ (r, t)⟩T )4
ε0 c=⟨|E(r, t)|2 ⟩T
2I(r, t) =(2.67)となる。したがって式 (2.66) のエネルギー U はU =−1
Re[α]I
2ε0 c(2.68)と書ける。
次に、分極率と周波数の関係を導くために古典的なローレンツモデルにおける電子の運動を考える。その場合に運動方程式は、ẍ + Γω ẋ + ω02 x = −

eE(t)
me

(2.69)

2.4 光トラップ21と書ける。Γω は減衰率、me は電子の質量を表す。電場は E(t) = E0 e−iωt とすると、式(2.69) の解は−eE0
x(t) =e−iωt(2.70)2me (ω0 − ω 2 − iωΓω )減衰率はe2 ω 26πε0 me c3と書ける。式 (2.70) と p = −ex = −αE から分極率は
α=

Γω =

(2.71)e212
2
me ω0 − ω − iωΓω

(2.72)と表される。共鳴時の減衰率 Γ ≡ (ω02 /ω 2 )Γω を用いて式 (2.72) を表すと

Γ/ω02
α = 6πε0 c 2
ω0 − ω 2 − i(ω 3 /ω02 )Γ
3(2.73)となる。ここで、半古典論的に光と原子の相互作用を考えると、減衰率は遷移の自然幅Γ=ω3|µ12 |2
3ε0 ℏπc3(2.74)に置き換えることができる。式 (2.73) を式 (2.68) へ代入して双極子ポテンシャルは
(
)
3πc2
Γ
Γ
U (r) = − 3+I(r)(2.75)
2ω0 ω0 − ω ω0 + ωと書ける。離調 δ ≡ ω − ω0 が十分小さく |δ| ≪ ω0 のとき、回転波近似により式 (2.75)の（）内の第 2 項は無視できてU (r) =

3πc2 Γ
I(r)2ω03 δ

(2.76)と近似できる。これより、双極子と電場の相互作用は δ < 0 のとき引力、δ > 0 のとき
斥力であると分かる。
今、入射する電場として z 方向へ進むガウシアンビームを考えると
(
)
w02
2r2
I(r) = I0 2
exp − 2(r2 = x2 + y 2 )(2.77)w (z)w (z)となる。r はビーム中心からの距離を表す。また、I0 = (ε0 c/2)E02 と定義した。w0 は焦点位置でのビーム半径、w(z) は位置 z におけるビーム半径を表す。ガウシアンビー
ムでは、√( )2 (
)
z
πw02
zR ≡
w(z) = w0 1 +(2.78)zRλである。zR はレイリー長と呼ばれる長さである。ビームのトータルパワー P はP =I0 πw022(2.79)

第2章

22

理論的背景

と書けるので、式 (2.77) と式 (2.79) を式 (2.76) へ代入して)(
2r2
U (r) = U0 exp − 2
w (z)
2
3c
Γ
2P
× × 2
U0 (z) =
3
2ω0
δ
w (z)

(2.80)(2.81)となる。δ < 0 の場合を考え、図 2.10 にビーム中心位置 (r=0) での axial 方向のポテン
シャルエネルギーの勾配を表し、図 2.11 にビーム焦点位置 (z=0) での radial 方向のポ
テンシャルエネルギーの勾配を表す。UMax = |U0 (z = 0)| とする。
h
ͲǌZ

h
ǌZ

ǌ

ͲʘϬ

ʘϬ

ƌ

Ϭ
ͲhŵĂǆͬĞϮϬͲhŵĂǆͬϮ

ͲhDĂǆ

ͲhDĂǆ

図 2.10 axial 方向のポテンシャルエネルギーの 図 2.11 radial 方向のポテンシャルエネルギーの勾配。
勾配。

式 (2.81) から、ポテンシャルを深くするためには入射する光のパワーを大きくし、ビーム半径を小さくすることが必要となる。しかし、十分な数をトラップするためにトラップ光と MOT との重なり、つまり原子 (分子) 集団との重なりを良くする必要があるので、ビーム半径を小さくしすぎることは望ましくない。すなわち、今回の光ト
ラップにおいてはビーム半径の制約があるために光のパワーをできるだけ大きくする必要があるというわけである。そのために本研究では共振器によるパワーの増幅を試みた。これについては次章で詳しく述べる。典型的には MOT の大きさは半径で約 500µm であるので、本実験では共振器内でのビームウエスト半径を 400 µm と設定し、重なりが十分になるようにした。
ここまでで、光トラップで深いポテンシャルを作る条件を考えてきたが、これとは別に考える必要があるのが散乱レートである。これはトラップ光と原子（分子）が 1 秒
あたり何回相互作用するかを示し、そのレートが大きい場合加熱によりトラップされたものがすぐにロスしてしまう。つまり、光トラップで重要なことは深いポテンシャルが作れ、かつ散乱レートをできるだけ小さくすることが可能なレーザー光の波長を選択することである。したがって、今度は散乱レートについて考えていく。
古典的な振動子が電場の中で単位時間に吸収するエネルギー Pabs はPabs = ⟨ṗ · E⟩ =

ωIm(α)I
ε0 c(2.82)

2.4 光トラップ

23と書け、これは ℏω のエネルギーをもつフォトンが散乱レートの分だけ原子と相互作用した場合のエネルギーに相当すると考えられる。したがって、散乱レートは

Pabs
1
=
Im(α)I(r)ℏωℏε0 cRscat (r) =となる。式 (2.73) を式 (2.83) に代入して、( )3 ()23πc2 ω
ΓΓ
Rscat (r) =+I(r)2ℏω03 ω0
ω0 − ω ω0 + ωと書ける。回転波近似により（）内第 2 項を無視すると、( )3 ( )2
3πc2 ω
Γ
Rscat (r) =I(r)32ℏω0 ω0δ

(2.83)(2.84)(2.85)となる。式 (2.76) と式 (2.85) から、双極子ポテンシャルと散乱レートの関係がRscat =

ΓUℏδ(2.86)と導かれた。
ここから、実際にポテンシャルの深さを計算する。また、本研究では波長として 1064
nm を選択しており、それが光トラップに適切であることを最後に述べる。まず分極率の値を知る必要があるが、現実の原子や分子には複数の励起状態が存在するので、それらすべての寄与を足し合わせる必要がある。表 2.1 に示すのは、87 Rb の基底状態か
ら各励起状態への共鳴波長と、その線幅である [46]。これらを元にまず 87 Rb の分極率を計算する。各励起状態の寄与の総和で求まるので、双極子ポテンシャルは式 (2.75)を拡張して)∑ 3πc2 gk ( Γk0
Γk0− 3
U (r) =+
I(r)(2.87)
2ωk0 g0 ωk0 − ω ωk0 + ωkとなる。gk は準位 k の縮重度、Γk0 は準位 0 から準位 k への共鳴の線幅を表す。
遷移

共鳴波長

A 係数 [s−1 ]5S1/2 ⇔ 5P3/2
5S1/2 ⇔ 5P1/2
5S1/2 ⇔ 6P3/2
5S1/2 ⇔ 6P1/2
5S1/2 ⇔ 7P3/2
5S1/2 ⇔ 7P1/2
5S1/2 ⇔ 8P3/2
5S1/2 ⇔ 8P1/2
5S1/2 ⇔ 9P3/2
5S1/2 ⇔ 9P1/2

780.2405
794.9783
420.2972
421.6706
358.807359.2593
334.9655
335.0809
322.7976
322.9153

37550000
35920000
3664000
2456000
1226000
726600583500323300329600173200

表 2.1 87 Rb の遷移 [46]。

第2章

24

理論的背景

散乱レートも同様に式 (2.84) を拡張して、

Rscat (r) =∑ 3πc2 ( ω )3 ( gk )2 (
k

3
2ℏωk0

ωk0

g0

Γk0
Γk0
+
ωk0 − ω ωk0 + ω

)2
I(r)

(2.88)となる。ここでは Re[α] = U/(hI),Im[α] = Rscat /(2πI) として計算した値をそれぞれ図2.12、図 2.13 に示す。図 2.12、図 2.13 中の点線は波長 1064 nm におけるそれぞれの値
を指す。
ϴ͘Ϭ

ZĞ΀ɲ΁΀,ǌͬ;tͬĐŵ Ϳ΁㽢ϭϬ

Ϯ

Ϯ

ϲ͘Ϭ
ϰ͘Ϭ
Ϯ͘Ϭ
Ϭ͘Ϭ
ͲϮ͘Ϭ
Ͳϰ͘Ϭ
Ͳϲ͘Ϭ
Ͳϴ͘Ϭ
ϲϬϬ

ϴϬϬ

ϭϬϬϬ

ϭϮϬϬ

ϭϰϬϬ

ϭϲϬϬ

tĂǀĞůĞŶŐƚŚ΀Ŷŵ΁
図 2.12 87 Rb の基底状態 5S1/2 の分極率実部。

ϴ͘Ϭ/ŵ΀ɲ΁΀,ǌͬ;tͬĐŵ Ϳ΁㽢ϭϬ

ϱ
Ͳ

Ϯ

ϳ͘Ϭ
ϲ͘Ϭ
ϱ͘Ϭ
ϰ͘Ϭ
ϯ͘Ϭ
Ϯ͘Ϭ
ϭ͘Ϭ
Ϭ͘Ϭ

ϲϬϬ

ϴϬϬ

ϭϬϬϬ

ϭϮϬϬ

ϭϰϬϬ

ϭϲϬϬ

tĂǀĞůĞŶŐƚŚ΀Ŷŵ΁

図 2.13 87 Rb の基底状態 5S1/2 の分極率虚部。

同様にして 41 K87 Rb についても分極率を求めたい。複素分極率の実部については [47]より 40 K87 Rb について計算された理論値を参考にし、図 2.14 にそれを載せる。複素分

2.4 光トラップ

25

極率の虚部に関しては、[48] より 40 K87 Rb について実験から得られた値を参考にし、波長 1064 nm において Im[α] = (2.052 ± 0.009) × 10−6 [Hz/(W/cm2 )] という値を使う。

図 2.14 40 K87 Rb の基底状態 X 1∑+, v = J = 0 の分極率実部 [47]。

ここで、光トラップによる原子の heating rate について考える。heating は、原子 (分子) の反跳エネルギー Erecoil で記述でき、Erecoil は原子が光子を吸収または放出するときの運動エネルギーの変化に相当するのでErecoil =ℏ2 ω 2ℏ2 k 2=2M
2M c2(2.89)となる。M は原子の質量を表す。これを温度に換算すると、Trecoil = 2Erecoil /kB となる。原子が 1 秒あたりに光子と相互作用する回数が Rscat なので 1 秒あたりの原子の温度変化 heating rate は
η ∼ Trecoil Rscat(2.90)と書ける。
以上をもとに、波長 1064 nm において 87 Rb と 41 K87 Rb の焦点位置でのポテンシャルの深さ、および heating rate を光のパワーに対してそれぞれ計算した。ただし、ビーム半径は 400 µm としている。図 2.15 に 87 Rb、図 2.16 に 41 K87 Rb の計算結果を載せる。
ただし、41 K87 Rb については参考文献 [47][48] の 40 K87 Rb との質量差は無視している。

第2章

26

dƌĂƉĚĞƉƚŚ

ͲϬ͘ϭ

Ͳϭ͘ϭ

Ϯ

Ͳϭ͘ϲ

ϭ͘ϱ

ͲϮ͘ϭ

ϭ

ͲϮ͘ϲ

Ϭ͘ϱ

Ͳϯ͘ϭ
Ͳϯ͘ϲ

Ϯ͘ϱ

Ϭ

ϱϬϬ

ϭϬϬϬ

ϭϱϬϬ

,ĞĂƚŝŶŐƌĂƚĞ΀ʅ<ͬƐ΁dƌĂƉĚĞƉƚŚ΀ŵ<΁ϯ,ĞĂƚŝŶŐƌĂƚĞ

ͲϬ͘ϲ

理論的背景

Ϭ
ϮϬϬϬ

WŽǁĞƌ΀t΁

図 2.15 波長 1064 nm での 87 Rb のトラップ深さおよび heating rate。

dƌĂƉĚĞƉƚŚ

ͲϬ͘ϭ

Ͳϭ͘ϭ

Ϯ

Ͳϭ͘ϲ

ϭ͘ϱ

ͲϮ͘ϭ

ϭ

ͲϮ͘ϲ

Ϭ͘ϱ

Ͳϯ͘ϭ
Ͳϯ͘ϲ

Ϯ͘ϱ

Ϭ

ϱϬϬ

ϭϬϬϬ

ϭϱϬϬ

,ĞĂƚŝŶŐƌĂƚĞ΀ʅ<ͬƐ΁ͲϬ͘ϲdƌĂƉĚĞƉƚŚ΀ŵ<΁ϯ,ĞĂƚŝŶŐƌĂƚĞϬϮϬϬϬWŽǁĞƌ΀t΁

図 2.16 波長 1064 nm での 41 K87 Rb のトラップ深さおよび heating rate。

図 2.15 および図 2.16 中の点線は 1 mK のポテンシャルを示しており、今回の原子、分子ともに温度が 100 µK 程度と想定してその 10 倍程度の深さであれば十分トラップできるとしている。この計算から原子、分子ともにトラップすることを考えたとき、およそ 1100 W のパワーがあれば十分と考える。このとき、トラップの深さは
41

K87 Rb : U = 1.0 [mK]87

(2.91)

Rb : U = 2.0 [mK](2.92)

K87 Rb : η = 3.4 [µK/s](2.93)となり、heating rate は
41

87

Rb : η = 1.6 [µK/s](2.94)となる。したがって、波長 1064 nm のレーザー光を共振器で増幅し 1100 W 程度のパワーを作ることさえできれば、加熱することなく深いポテンシャルによって原子、分子ともにトラップできると言える。

27

第 3 章 共振器増幅光トラップ系の構築
本章では、振動回転基底状態 KRb 分子および Rb 原子をトラップするにあたり必要な共振器の仕組みと、実際の実験系における共振器トラップの構築とその性能につい
て述べる。

3.1

ABCD 行列

本節では光線追跡やガウシアンビームの伝搬によく用いられる ABCD 行列について述べる。図 3.1 のように、光軸と距離 y にあり、光軸となす角度が γ の光線が、ある光学要素通過後に、光軸と距離 y ′ にあり、光軸となす角度が γ ′ となる状況を考える。ただし、近軸近似 (sin γ ≃ γ) を仮定する。

ࢀ͛

D

ࢀ

Ǉ͛

Ǉ
ǌ

ǌ

図 3.1 光線ベクトル。

このとき、光学要素通過前後の 2 つの光線ベクトル (y, γ) と (y ′ , γ ′ ) の関係を表す行
列 M を ABCD 行列といい、

(

y′
γ′

)

(
=

A B
C D

) ( )
y
γ

(3.1)

と書ける。表 3.1 に代表的な光学要素の ABCD 行列の定義を載せる。
ガウシアンビームの伝搬についても ABCD 行列が応用できる。その場合、ビームパ
ラメータ q を
g ≡ z + izR
(3.2)

第3章

28

共振器増幅光トラップ系の構築と定義し、その逆数

1
z
zR
= 2
−i 2
2
q
z + zRz + zR2
1
λ
=
−i
R(z)
πnw(z)2(3.3)

が用いられることが多い。R(z) はガウシアンビームの曲率半径でR(z) ≡

z 2 + zR2z(3.4)

と定義される。ビームパラメータ q のガウシアンビームが、ある ABCD 行列の光学要
素を通過後にビームパラメータが q ′ となるとき、

q′ =

Aq + B
Cq + D(3.5)の関係が成り立つ。

(

)
A B
C D
(
)
1 l
0 1
(
)
1 0
−1 1
( f )
1 0
0 nn12光学要素
均一な媒質中での長さ l の伝搬
焦点距離 f のレンズ
屈折率 n1 , n2 の媒質の界面 (平面)(
屈折率 n1 , n2 の媒質の界面 (曲率半径 r の球面)

10n2 −n1 1
·r
n2
(

)n2

曲率半径 r の球面ミラー

)

n1

1 0
− 2r 1

表 3.1 代表的な光学要素の ABCD 行列。

3.2

共振器

次節で共振器増幅光トラップを説明するために、共振器の仕組みについてまとめる。

3.2.1

共振器の安定条件

前節で、ABCD 行列によって光線追跡が記述できることを述べた。ここでは、本研究で光トラップに用いる Fabry-Perot 共振器と呼ばれる図 3.2 のように 2 枚の鏡を向か3.2 共振器

29

い合わせた共振器について考える。共振器内では、特定のビーム形状を持つビームのみが安定して存在することが許される。その条件として、共振器を一周したときのビー
ムパラメータが元のパラメータと同じになることが求められる (self-consistent 条件)。

ϮǁϬ
ů

ƌϭ

ƌϮ

図 3.2 Fabry-Perot 共振器。

図 3.2 のように曲率半径 r1 と r2 の球面ミラーが間隔 l で向かい合っているとき、この共振器を一周した時の ABCD 行列を計算すると

(

)
A B
C D

(
=
(
=

) (
1 l
0 1

1
− r21

0
1

) (

2

1 − r4l1 − r2l2 + r4l1 r2− r21 − r22 + r14lr2

) (
1 l
0 1
2

2l − 2lr2
1 − r2l2

1
− r22

l
1

)

)
(3.6)

となる。self-consistent 条件は q=q ′ なので式 (3.5) からq=

Aq + B
Cq + D(3.7)となる。式 (3.7) に式 (3.6) を代入して、

( )
( )2
1
1
+ (A − D)
−C =0
B
q
q

(3.8)

が条件である。さらに、ビーム径が発散しないことも共振器内で光が安定して存在するために必要な条件であり、それは Im(1/q) ̸= 0 かつ B ̸= 0 である。したがって、式(3.8) の判別式が負になることが条件で、(A − D)2 + 4BC < 0−2 < A + D < 2
A と D を代入して

(
0<

l
−1
r1

)(

)
l
−1 <1
r2

(3.9)

(3.10)

第3章

30

共振器増幅光トラップ系の構築となる。
また、ABCD 行列を使わずにガウシアンビームの基本式から self-consistent 条件を導くこともできる。共振器の焦点位置を原点として z の位置に曲率半径 r2 のミラーがあるとすると、共振器に共鳴する光は

z 2 + zR2
= r2z(z − l)2 + zR2
R(z − l) =
= −r1
z−l
R(z) =

を満たす。これより

zR2 =l(l − r1 )(l − r2 )(r1 + r2 − l)(r1 + r2 − 2l)2

(3.11)(3.12)(3.13)

2> 0 を満たす必要があるので、が導け、zRl < r1 + r2

かつ(l − r1 )(l − r2 ) > 0

が条件となる。式 (3.14) は式 (3.10) と同値である。
特に r1 = r2 = r の場合、
0 < l < 2rが安定条件であり、このときビームウエストは
v √
u
(
)
√
u
l
l
λzR t λ 2 r − 2
w0 =
=
π
π

(3.14)(3.15)(3.16)と定められる。

3.2.2

共振器の共鳴条件と Finesse

共振器内部では、特定の周波数モード (縦モード) のみが許される、このときの共鳴する光の周波数の条件を考える。空間モード (横モード) に関しては TEM00 モードのみを考える。
図 3.2 で一方のミラーを固定し、もう一方のミラーを動かすとき、もう一方のミラーが定在波の節の位置にあるとき共鳴、節の位置にないとき非共鳴となる。つまり、光の共鳴条件はN λ = 2nl
(3.17)となる。N は任意の整数、λ は光の波長、n は媒質中での屈折率である。すなわち、共振器一周の光路長が光の波長の整数倍になるときのみ共鳴することになる。式 (3.17)を周波数の条件とすると
cf =N(3.18)
2nl

3.2 共振器

31となる。式 (3.18) より、周波数軸上で c/2nl ごとに等間隔で共鳴する周波数が存在することになる。この間隔を FSR(Free Spectral Range) と呼び、図 3.3 のように FSR 間隔
で周期的なくしが存在し、周波数コムと呼ばれる。

ඹ㬆

㠀ඹ㬆

ග䛾࿘Ἴᩘ
ඹ᣺ჾ䛾䛟䛧
͏͏
Ĩ

&^Z
図 3.3 周波数コム。

図 3.3 で共振器内で等間隔のくしが立つことを示したが、現実の系ではこのくしは有限の幅を持ち、それはミラーの反射率および共振器内のロスで決まる。そこで、以下
ではこのくしの線幅について議論する。図 3.4 のように電場 Ei の光が反射率 R1 と R2のミラーから構成されロスが L の共振器に入射する状況を考える。

ŝ

ƚ
>
Zϭ

ů

ZϮ

図 3.4 共振器の反射率およびロス。

共振器から透過する光電場を Et とすると√
ϕ√
1
1 − R2 (1 − L) 4 ei 2 1 − R1 Ei
Et =
√
√
ϕ√
1
+ 1 − R2 R1 R2 (1 − L)eiϕ (1 − L) 4 ei 2 1 − R1 Ei
}2
{√
√
ϕ√
1
+ 1 − R2
R1 R2 (1 − L)eiϕ (1 − L) 4 ei 2 1 − R1 Ei + · · ·
[∞
]
{
}
∑
√
√
j
ϕ
1
=
Ei
(1 − R1 )(1 − R2 )(1 − L) 4 ei 2
R1 R2 (1 − L)eiϕ
j=0

√
ϕ
1
(1 − R1 )(1 − R2 )(1 − L) 4 ei 2√=
Ei
1 − R1 R2 (1 − L)eiϕ(3.19)の関係が成り立つ。ここでは共振器を一周した時の位相変化をϕ ≡ 2πf

2nl
2πf
=
l
F SR

(3.20)

第3章

32

共振器増幅光トラップ系の構築と定義している。したがって透過光の光強度は、

It = ε0 c⟨Et∗ Et ⟩√(1 − R1 )(1 − R2 ) 1 − L√=
Ii
1 + R1 R2 (1 − L) − 2 R1 R2 (1 − L) cos ϕ(3.21)となる。今、R1 = R2 = 0.99, L = 0.01 とすると、透過光強度は図 3.5 のように FSR 間
隔で鋭いピークを持つ。
Ϭ͘ϱ
Ϭ͘ϰϱ
Ϭ͘ϰ
Ϭ͘ϯϱ

/ ͬ/

Ϭ͘ϯ
ŝ
ƚ

Ϭ͘Ϯϱ
Ϭ͘Ϯ
Ϭ͘ϭϱ
Ϭ͘ϭ
Ϭ͘Ϭϱ
Ϭ

Ϭ

Ϭ͘ϱ

ϭ

ϭ͘ϱ

Ϯ

Ϯ͘ϱ

ϯ

ϯ͘ϱ

ϰ

ϰ͘ϱ

ϱ

ʔͬϮʋ;сĨͬ&^ZͿ

図 3.5 共振器の透過スペクトル。

L = 0.01 の場合を考えたが、ロスのみ変化して L = 0.1 になった場合と比較すると
図 3.6 のように透過光強度が下がり、線幅は太くなっている。図 3.6 の右図は透過光強度の最大値 IMax で規格化して線幅を比較している。
ϭ͘ϬϬ

Ϭ͘ϰϱ

Ϭ͘ϵϱ
Ϭ͘ϵϬ

Ϭ͘ϰ

Ϭ͘ϴϱ
Ϭ͘ϯϱ

>сϬ͘Ϭϭ

Ϭ͘ϯ

>сϬ͘ϭ

Ϭ͘Ϯϱ

Ϭ͘ϳϬ
Ϭ͘ϲϱ

&t,D
/ ͬ/

/ ͬ/

>сϬ͘Ϭϭ
>сϬ͘ϭ

Ϭ͘ϳϱ

Ϭ͘ϲϬ

ŝ
ƚ

Ϭ͘ϴϬ

Ϭ͘Ϯ

Ϭ͘ϭϱ

ǆ Ϭ͘ϱϱ
Ă
Ϭ͘ϱϬ
D
ƚ

Ϭ͘ϰϱ
Ϭ͘ϰϬ
Ϭ͘ϯϱ
Ϭ͘ϯϬ
Ϭ͘Ϯϱ

Ϭ͘ϭ

Ϭ͘ϮϬ
Ϭ͘ϭϱ

Ϭ͘Ϭϱ

Ϭ͘ϭϬ
Ϭ͘Ϭϱ

Ϭ
Ϭ͘ϵ

Ϭ͘ϵϱ

ϭ

ϭ͘Ϭϱ

ͲϬ͘Ϭϱ

ϭ͘ϭ

Ϭ͘ϬϬ
ͲϬ͘Ϭϱ Ϭ͘ϵϬ͘ϵϱʔͬϮʋ;сĨͬ&^ZͿ

ϭ

ϭ͘Ϭϱ

ϭ͘ϭ

ʔͬϮʋ;сĨͬ&^ZͿ

図 3.6 ロスの違いによる線幅の比較。

各ピークの半値全幅 FWHM(Full Width Half Maximum) を式 (3.21) から求める。

3.3 共振器増幅光トラップ33

ピーク値の半分になるときの位相を ϕ 1 とすると、
21
1
2 1 + Z 2 − 2Z

=

√
1
(Z
≡
R1 R2 (1 − L))
1 + Z 2 − 2Z cos ϕ 1
2(1 − Z)2= 1−
2Z{⇔ cos ϕ 1
2

(1 − Z)2= 2πN ± arccos 1 −
2Z

⇔ ϕ1
2

}
(3.22)となる。よって、ピーク値の半分になるときの入射光の周波数 f 1 は
2

{
}
FSR
(1 − Z)2
f 1 = FSR
= N · FSR ±arccos 1 −
2
2π
2π
2Z
ϕ1

2

(3.23)となるので、FWHM は{}
FSR(1 − Z)2
FWHM =
arccos 1 −π
2Z(3.24)と求まる。FWHM と FSR の比から、共振器の Q 値に対応する Finesse と呼ばれる値を定義できてFSR
π{}(3.25)
Finesse ≡=(1−Z)2
FWHM
arccos 1 −2Zとなる。これより Finesse は反射率が高いほど、ロスが小さいほど大きくなることが分
かり、一般的に Finesse が大きいほど性能が良い共振器と言える。特に、Z ≃ 1 のとき
1

π{R1 R2 (1 − L)} 4√
Finesse ≃1 − R1 R2 (1 − L)

(3.26)と近似できる。
以上、共振器の仕組みについて述べてきた。共振器内のビーム形状を定めるパラメー
タとしてミラーの曲率半径と共振器長があり、共振器の鋭さを表すパラメータとしてミラーの反射率と共振器内のロスがある。

3.3共振器増幅光トラップ

本研究の焦点となる共振器増幅光トラップ (Cavity trap) について説明する。共振器
内では定在波が立つことで周期的な強度の濃淡ができる。また、反射率とロスで共振器内での増幅率 Enhancement factor が定義される。

第3章

34

3.3.1

共振器増幅光トラップ系の構築

Cavity trap の仕組み

図 3.4 の Fabry-Perot 共振器で、入射側のミラーの位置を z=0 の原点にとり改めて位
置 z での光の位相変化 ϕ(z) を2πl
ϕ(z) ≡(3.27)λと定義する。位相を用いた共振器への共鳴条件は、

e−2iϕ(l) = 1 ⇔ ϕ(l) = nπ(n = 0, 1, 2, · · · )(3.28)となる。この条件は当然ながら式 (3.17) と同値となる。図 3.4 で入射側のミラーの透過率を T1 とする。入射光が共振器に共鳴したとき、位置 z での光電場の振幅は定在波を作る右向きの進行波と左向きの進行波の振幅の和で書けて
[∞
]
}j
∑ {√
√
1
Ecavity (z) =T1 e−iϕ(z) (1 − L) 8 Ei
R1 R2 (1 − L)
j=0

[∞
]
}j
∑ {√
√
3√
R1 R2 (1 − L)
− T1 (1 − L) 8 R2 eiϕ(z) Ei
j=0

√
1
1√
T1 (1 − L) 8 [e−iϕ(z) − (1 − L) 4 R2 eiϕ(z) ]√=Ei
1 − R1 R2 (1 − L)となる。これより共振器内での電場強度は
√
1√
1 1 +
1 − LR2 − 2(1 − L) 4 R2 cos[ϕ(2z)]√
Icavity (z) = T1 (1 − L) 4
Ii
(1 − R1 R2 (1 − L))2

(3.29)(3.30)と書ける。式 (3.30) より、光の位相が式 (3.28) を満たし共鳴しているとき、共振器内の光強度は2m + 1l (m = 0, 1, 2, · · · , n − 1)2n2m + 1=λ4z =(3.31)の位置で最大となり λ/2 の間隔で現れることになる。これが共振器内に存在する定在波である。図 3.7 に共振器中で定在波の腹に KRb 分子がトラップされたときのイメー
ジを載せる。

3.3 共振器増幅光トラップ35

図 3.7 Cavity trap のイメージ。

最大光強度は1
4

1
4√

T1 (1 − L) (1 + (1 − L) R2 )Max√
Icavity=4×4(1 − R1 R2 (1 − L))22

Ii

(3.32)となる。Enhancement factor A をMax
Icavity≡ 4AIiと定義すると、

1√
1
T1 (1 − L) 4 (1 + (1 − L) 4 R2 )2√A=
4(1 − R1 R2 (1 − L))2

(3.33)(3.34)となる。すなわち、共振器中の片側の進行波が A 倍に増幅され両方の進行波で定在波ができることで振幅が 2 倍、強度が 4 倍になるので、式 (3.33) の右辺に 4 がつくことになる。共振器中に存在する定在波の強度を直接測定することはできないので、実験では進行波の増幅率しか測定できない。したがってその増幅率を 4 倍にしたものを共振器
中の最大強度として求めている。具体的な測定方法は後述する。R1 = 0.99, R2 = 0.999とし、ロス L に対して A を計算した結果を図 3.8 に示す。この反射率は今回の実験で使用したものである。

第3章

36

共振器増幅光トラップ系の構築ŶŚĂŶĐĞŵĞŶƚĨĂĐƚŽƌ

ϯϱϬ
ϯϬϬ
ϮϱϬ
ϮϬϬ
ϭϱϬ
ϭϬϬ
ϱϬ
Ϭ

Ϭ

Ϭ͘ϱ

ϭ

ϭ͘ϱ

Ϯ

Ϯ͘ϱ

ϯ

>΀й΁

図 3.8 Enhancement factor の共振器ロス依存性。

これより、Enhancement factor はロス L におよそ反比例する。よって、高い増幅率を得るには高反射率のミラーを用意し、共振器一周のロスをいかに減らすかが重要で
ある。

3.3.2

Pound-Drever-Hall 法

高い enhancementfator をもつ共振器ができても、共振器長は動くので常に光を共振器に対し共鳴させるには共振器長を一定の値にロックしておく必要がある。反射光について議論すると、共振器長が共鳴条件の時は入射光は共振器内に閉じ込められ出てこない。逆に共鳴条件から外れたとき共振器からの反射光が強くなる。したがって反射光強度をフォトダイオードでモニターし、それが最小になるように共振器に取り付けたピエゾ素子にフィードバックをかければよい。しかし反射光強度だけ見ていても、共振器長に対しどちらのフィードバックをかければよいか分からない。そこで一般的には Pound-Drever-Hall 法 (PDH 法)[49] と呼ばれる手法によって反射光の周波数微分
信号を取り、それが 0 となるような共振器長を保つようにフィードバックをかける。
図 3.9 に PDH 法によるロックの概略を示す。EOM(Electric Optic Modulator) はレー
ザー光の周波数に Oscillator の発振周波数の sideband を立てる。以下で図 3.9 の (a) から (f) に示したレーザー光の電場および、電気信号の電圧を見ていく。なお赤矢印がレーザー光、青矢印が電気信号を表す。

(a) 振幅 Ea0 のレーザー光が発振周波数 ω0 で振動している。
Ea = Ea0 eiω0 t(3.35)(b) EOM に入力する振幅 Vb0 の電気信号が発振周波数 ω1 で振動している。
Vb = Vb0 eiω1 t(3.36)

3.3 共振器増幅光トラップ

37(c) EOM を通過したレーザー光が位相変調をかけられる。その時の電場は
Ec = Ec0 ei(ω0 t+β sin ω1 t)(3.37)となる。これはベッセル関数による近似で. E (J (β) + 2iJ (β) sin ω t)eiω0 t
Ec =
.
c0
0
1
1
.= E (1 + iβ sin ω t)eiω0 t
.
c0
1
[
]
β iω1 t−iω1 t= Ec0 1 + (e−e) eiω0 t
2(3.38)

でとなる。Jn は n 次のベッセル関数である。
(d) 共振器からの反射光の電場振幅は
[∞
]
}j
∑ {√
√
√
−2iϕ(l)−2iϕ(l)R1 Ei − T1 R2 (1 − L)e
R1 R2 (1 − L)e
Ec
Ed =

(
=

√
R1 −

j=0

√

T1 R2 (1 − L)e−2iϕ(l)√1 − R1 R2 (1 − L)e−2iϕ(l))
Ec(3.39)≡ F (ω)Ec(3.40)と書けるので式 (3.40) に式 (3.38) を代入して][
ββi(ω0 +ω1 )ti(ω0 −ω1 )tiω0 t
Ed = Eb0 F (ω0 )e− F (ω0 − ω1 )e+ F (ω0 + ω1 )e2
2(3.41)

となる。
;ĂͿ

>ĂƐĞƌ

Wd

;ĐͿ

KD
;ĚͿ

W

;ďͿ

;ĨͿ

;ĞͿ

KƐĐŝůůĂƚŽƌ

;ďͿ

㽢

>W&

>ŽĐŬ
ĐŝƌĐƵŝƚ

ŵŝǆĞƌ

図 3.9 PDH 法による共振器ロックの概略図。

(e) フォトダイオードの電圧は反射光の強度に比例するのでVe ∝ Ed∗ Ed = βEd0 (Re[F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )] cos ω1 t)+βEd0 (Im[F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )] sin ω1 t)+Const + G(2ω1 )(3.42)

第3章

38

共振器増幅光トラップ系の構築と書ける。G(2ω1 ) は 2ω1 で振動する項を表す。
(f) mixer 通過後の電圧は Vb と Ve の積となり、その後の LPF(Low Pass Filter) で式(3.41) の Const と G(2ω1 ) の項はカットされるので

Vf ∝

βEd0
Im[F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )]2(3.43)となる。
この Vf を Error signal といい、ピエゾ素子へフィードバックを返し共振器をロックする。R1 = 0.99, R2 = 0.999, L = 0.01,FSR=250 MHz,ω1 =13 MHz として Error signalを計算した結果を図 3.10 に示す。
ϭƌƌŽƌƐŝŐŶĂů΀Ăƌď͘ƵŶŝƚ΁

Ϭ͘ϴ
Ϭ͘ϲ
Ϭ͘ϰ
Ϭ͘Ϯ
Ϭ
ͲϬ͘Ϯ
ͲϬ͘ϰ
ͲϬ͘ϲ
ͲϬ͘ϴ
Ͳϭ
Ϭ͘ϵϳ

Ϭ͘ϵϴ

Ϭ͘ϵϵ

ϭ

ϭ͘Ϭϭ

ϭ͘ϬϮ

ϭ͘Ϭϯ

ʔͬϮʋ
図 3.10 Error signal の計算値。

すなわち、Error signal は共鳴前後で位相の符号が変わる。|ω1 /F SR| ≪ 1 の場合に

F (ω0 )F ∗ (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 − ω1 )()
F (ω0 + ω1 ) − F ∗ (ω0 )F (ω0 ) − F (ω0 − ω1 )∗= ω1 F (ω0 )+ F (ω0 )
ω1
ω1
(
)
∗
dF (ω0 )F (ω0 )
∼ ω1 F (ω0 )+ F ∗ (ω0 )dωdωd|F |2= ω1dω ω=ω0(3.44)となり、Error signal は反射光強度の周波数微分に相当するとわかる。

3.4

実験系の構築

本節では実際に共振器と光学系を定盤の上に設置して、共振器増幅光トラップの実験に向けて行った準備について述べる。

3.4 実験系の構築

3.4.1

39

実験系

前節でも述べた通り、共振器増幅光トラップでは高反射率ミラーを準備し、共振器内のロスをできるだけ抑えることが重要になる。ミラーに関しては、R1 = 0.99, R2 = 0.999のミラーを用意した。問題はロスであるが、今回の実験では原子集団を捕獲する真空槽の外側に共振器を設置する必要があるため、共振器を往復する光が普通の窓を通るとロスが大きくなってしまい、共振器を使うメリットがなくなってしまう。したがって、
ここでは図 3.11 のようにブリュースター角にカットされた石英ガラスの窓 (ブリュー
スター窓) を利用している。石英ガラスは吸収が最も少ない材質として好ましい。パイ
レックスガラスや BK7 などでは反射によるロスが 1 ％程度生じてしまう。

図 3.11 ブリュースター窓の配置。

角度 θ1 で屈折率 n1 の媒質から n2 の媒質へ入射した光が角度 θ2 で屈折して進むとき、入射光の偏光が p 偏光か s 偏光かで媒質どうしの界面での反射率が異なる。このとき

第3章

40

共振器増幅光トラップ系の構築

それぞれの偏光の反射率を Rp , Rs とすると{

}2tan(θ1 − θ2 )=tan(θ1 + θ2 )}2{sin(θ1 − θ2 )=sin(θ1 + θ2 )Rp
Rs

(3.45)(3.46)となる。また、スネルの法則より

n1 sin θ1 = n2 sin θ2(3.47)

が成り立つ。以上から、波長 1064 nm において n1 = 1.00(空気)、n2 = 1.45(石英ガラス) として入射角 θ1 に対する p 偏光と s 偏光の反射率を計算したものが図 3.12 である。
Ϯϭ

ϭ͘ϲ
ϭ͘ϰ

ϭ

ϭϵ

ZƐ

ϭϳ
ϭϱ Ɛ

ƉϬ͘ϴ

ϭϯ

Ϭ͘ϲ

ϭϭ

Ϭ͘ϰ

ϵ

Ϭ͘Ϯ
Ϭ

Z ΀й΁

Z ΀й΁

ϭ͘Ϯ

ZƉ

ϰϱ

ϱϬ

ϱϱ

ϲϬ

ϲϱ

ϳ

ɽϭ ΀㼻΁
図 3.12 p 偏光反射率と s 偏光反射率の入射角依存性。

図 3.12 から、s 偏光は単調に反射率が増加しているのに対し、p 偏光の反射率は、ある角度で最小値を持つことがわかる。このときの入射角をブリュースター角といい、
波長 1064 nm の場合、55.4 °となる。理論的には入射角がブリュースター角のとき式(3.45) の分母が発散して反射率が 0 になる。よって、p 偏光の光をこの角度で入射させることで反射によるロスを最小限に抑えるようにしている。なお、このブリュースター
窓は [43] における研究ですでに真空槽に設置されているものである。
図 3.13 に今回の実験のセットアップを載せる。1064 nm の光源には INNOLIGHT 社
製のシングルモードファイバーレーザー (seed laser) を Nufern 社製のファイバーアン
プ (fiber amplifier) で増幅させたものを使用している。seed laser の線幅は 1 kHz 未満(スペックシート) である。パス中にあるレンズは後述する共振器へのモードマッチン
グのために用いている。また、本実験では共振器のロックを簡便にするために自動ロックの仕組みを導入している。この時のロック回路は [50] を参考にしたもので、詳細は付録に記す。自動ロックは、共振器からの透過光を PD でモニターし、その透過光強度

3.4 実験系の構築

41がある一定値を超えたときに自動的にピエゾへのフィードバックがかかり共振器長が一定に保たれるものである。図 3.14 と図 3.15 は実験系の写真であり、スペースの都合上、真空槽や MOT 用の光学系が設置された定盤の上にさらに別の定盤を設置し、そこに今回の光学系を組んだ。セットアップの都合上共振器長は 600 mm にほぼ制限されているので、曲率半径はともに 1000 mm とすることで式 (3.16) よりビームウエストは∼394 µm となり、MOT との重なりは十分と考える。なお、分子との位置合わせを確実にするために、STIRAP のレーザー光をブリュースター窓に通し、そのパスに Cavity
trap の光が重なるようにした。
ZϭсϬ͘ϵϵƌ сϭϬϬϬŵŵ

ZϮсϬ͘ϵϵϵƌсϭϬϬϬŵŵ

W
ʄͬϮ

Wd
ĨсϭϬϬϬŵŵϲϬϬŵŵ

/ƐŽůĂƚŽƌ

W

>W&>ŽĐŬĐŝƌĐƵŝƚ

ĨсϳϱϬŵŵdd>KƐĐŝůůĂƚŽƌ
KD

ʄͬϮ

ĨсϯϬϬŵŵĨŝďĞƌĂŵƉůŝĨŝĞƌ

ƐĞĞĚůĂƐĞƌ

図 3.13 実験のセットアップ。

図 3.14 実験系 (上から見た写真)。

第3章

42

共振器増幅光トラップ系の構築

図 3.15 実験系 (横から見た写真)。共振器のミラーを赤い四角で囲んでいる。

3.4.2

共振器へのモードマッチング

3.2.1 節で述べたように、共振器に共鳴する光は特有のビームパラメータを持ち、それと異なるビームは共振器と共鳴しなくなり、カップリング効率が悪くなってしまう。
したがって、共振器へ入射する光を適切なビーム形状へ変換する必要がある（モードマッチング）。図 3.16 にファイバーアンプ出射後のビーム形状 (各位置でのビーム直径)を測定したものをプロットする。

䣄䣧䣣䣯䢢䣦䣫䣣䣯䣧䣶䣧䣴䢢䣝䣯䣯䣟

䢵䢰䢷
䢵䢰䢲
䢴䢰䢷
䢴䢰䢲
䢳䢰䢷
䢳䢰䢲
䢲䢰䢷
䢴䢲䢲

䢶䢲䢲

䢸䢲䢲

䢺䢲䢲

䣆䣫䣵䣶䣣䣰䣥䣧䢢䣨䣴䣱䣯䢢䣨䣫䣤䣧䣴䢢䣱䣷䣶䣲䣷䣶䢢䣝䣯䣯䣟

図 3.16 ファイバーアンプ出射後のビーム形状。

これを√2w(z) = 2 w02 +(λ(z − z0 )πw0)2(3.48)

でフィッティングしている。このままでは、適切なビーム形状にできないため、まず
f =300 mm のレンズを出射から約 560 mm の位置に置いた。そのレンズ後のビーム形

3.4 実験系の構築

43

状が図 3.17 のようになる。

䣄䣧䣣䣯䢢䣦䣫䣣䣯䣧䣶䣧䣴䢢䣝䣯䣯䣟

䢴䢰䢲

䢳䢰䢷

䢳䢰䢲

䢲䢰䢷

䢴䢲䢲

䢶䢲䢲

䢸䢲䢲

䢺䢲䢲

䢳䢲䢲䢲

䣆䣫䣵䣶䣣䣰䣥䣧䢢䣨䣴䣱䣯䢢䣨䢿䢵䢲䢲䢢䣮䣧䣰䣵䢢䣝䣯䣯䣟䢳䢴䢲䢲

図 3.17 f =300 mm レンズ後のビーム形状。

これをふまえて次に置くレンズの位置と焦点距離を考えるが、モードマッチングの指針として、モードマッチ不完全のときに図 3.18 のように共振器からの透過光（ロック時) のビーム形状を測定した。すなわちこの時のビーム形状をもった光が逆に共振器に入射すればモードマッチが良くなると考えた。このビーム形状に近づけるレンズ配置として、本実験では図 3.13 中の f =750 mm と f =1000 mm のレンズを選択した。その際の f =1000 mm レンズからのビーム形状 (赤) と、共振器からの透過光のビーム形状 (青) を図 3.19 で比較している。ただし、この場合は、f =1000 mm のレンズを共振器の入射側までの距離が約 800 mm となる位置においた。したがって図 3.19 青の 0 mm
から 800 mm までのプロットは、図 3.18 のときに測定した z=0 から z=800 mm のビー
ム形状を左右反転させたものになる。そしてそれぞれのプロットに対し、式 (3.48) でフィッティングしている。

Wd
Ϯǁ;ǌͿ

䝻䝑䜽 KEϬ΀ŵŵ΁

図 3.18 共鳴時の共振器からの透過光のビーム形状。

第3章

44

共振器増幅光トラップ系の構築䣄䣧䣣䣯䢢䣦䣫䣣䣯䣧䣶䣧䣴䢢䣝䣯䣯䣟䢴䢰䢲䢢䣤䣧䣣䣯䢢䣣䣨䣶䣧䣴䢢䣨䢿䢳䢲䢲䢲䢢䣮䣧䣰䣵䢢䣶䣴䣣䣰䣵䣯䣫䣵䣵䣫䣱䣰䢢䣨䣴䣱䣯䢢䣥䣣䣸䣫䣶䣻

䢳䢰䢺
䢳䢰䢸
䢳䢰䢶
䢳䢰䢴
䢳䢰䢲
䢲䢰䢺
䢲䢰䢸
䢲

䢷䢲䢲

䢳䢲䢲䢲

䣆䣫䣵䣶䣣䣰䣥䣧䢢䣨䣴䣱䣯䢢䣨䢿䢳䢲䢲䢲䢢䣮䣧䣰䣵䢢䣝䣯䣯䣟䢳䢷䢲䢲

図 3.19 f =1000 mm レンズ後のビーム形状 (赤)。共振器をロックした時の共振器からの透過光のビーム形状 (青）と比較。

図 3.19 のフィッティング結果は、赤がw0 = 371.6 ± 18 µm(3.49)

z0 = 1098 ± 27 mm(3.50)

w0 = 417.8 ± 20 µm(3.51)

z0 = 1062 ± 26 mm(3.52)となり、青がである。
このときの共振器のモードマッチングを見てみる。

図 3.20 共振器のモードマッチング。

図 3.20 で CH1 はブリュースター窓からの反射光 (本質的には共振器からの透過光を見ているのと同じ）、CH4 は共振器からの反射光 (PD で反転された信号)、CH3 はピエ3.4 実験系の構築

45

ゾ素子にかける三角波を表す。1FSR の間に他のモードが立っていないことから、モードマッチングはうまくいったと考える。また、図 3.21 にロック回路で反転増幅させた後の Error signal を示す。この 0 点に共振器長が定まるようにフィードバックを返してロックする。

図 3.21 反転増幅後の Error signal。

3.4.3

共振器ロックの安定化

ここでは、光トラップの実験を行う上で共振器のロックが長時間安定してかかってほしいため、より安定化させるためにやったことをまとめる。

共振器のコモンモード
共振器のロックはロック回路によるフィードバックで行うが、大きな振動は回路では返しきれない場合がある。今回の実験系では、MOT の高さに合わせて定盤から約 19cm という高さに共振器のミラーを設置しており、高くなることで当然問題となるのが、ミラーの振動が大きくなることである。特に共振器の 2 枚のミラーどうしが互いに独立に振動してしまうことが問題である。通常のレーザー光の周波数揺らぎをモニターする場合の Reference cavity などでは共振器のミラーどうしをガラス管でついで固定しまうのでその問題が気にならない。しかしここではそれは不可能なので、別の手段にした。大事なことは 2 枚のミラーが同じ周期で振動している状況 (コモンモード) を作ることなので、そのためにミラーマウントどうしを 1 本のアルミ板でつなぐように固定した。その様子を図 3.22 に示す。より低いところで固定するためにチャンバーを迂回させるような形に設計した。2 つのミラーマウントの上と、定盤上にそれぞれ 1 つず
つポストを設置し、図 3.22 のようにポストとアルミ板をねじ止めして固定した。ただ

第3章

46

共振器増幅光トラップ系の構築し、この 3 か所のねじの締め具合でロックのかかり具合が変わり、ねじどうしの締め方のバランスにもよることがわかった。こうして設置したアルミ板をうまくねじ止めで固定したときのロックの改善を見るために、図 3.23 でアルミ板なしとありの場合のロック時の Error signal の FFT を比較した。

図 3.22 アルミ板によるロックの更なる安定化。

;ĂͿ

;ďͿ

図 3.23 ロック時の Error signal の FFT。(a) アルミ板なしの場合と (b) アルミ板ありの場合の比較。

図 3.23 でアルミ板なしの場合、5 kHz 前後でノイズが広がっているのに対し、アルミ板ありの場合、そのノイズが消えている。アルミ板なしの場合にこのノイズを消そ
うとフィードバックのゲインを調節したとき、ゲインを上げると発振してしまい、下げるとロックが不安定、または外れることになったので、やはりこのアルミ板の効果はあるといって良いだろう。

3.4 実験系の構築

47

パルスレーザーによる振動
本実験で分子をイオン化検出する (次章で説明) 際に使用するパルスレーザー本体は、
この共振器増幅光トラップの実験を行う前まで共振器が設置された定盤と同じ定盤に設置されていた。このパルスレーザーは実験の繰り返しに合わせて、ファンクション
ジェネレータからのトリガーにより Q-switch 発振している。そのときパルスレーザーの励起光源がトリガーがくるごとに振動しており、それが定盤全体に伝搬していた。それによるロックの影響を図 3.24 に示す。CH1 はロック時の共振器からの透過光を PD
でモニターしたもの、CH4 はパルスレーザーのトリガーを表す。実際に図 3.24 のようにパルスレーザー発振後にロックが乱れていることが分かる。ここでは自動ロックによって、一度ロックが外れても透過光が PD に入ればロックがかかり直す仕組みになっているので、振動がおさまった後自動でロックがかかる。しかし、次章で述べるが、結局本実験のシーケンスでは実験中に一度ロックを外す（ロックが外れる）瞬間があると、次に自動ロックがかかるまでの時間にばらつきがあり、実験上不都合であると分かったので、この振動はやはり非常に問題である。

図 3.24 パルスレーザーの振動によるロックの不安定化。

このロックの乱れが定盤の振動によるものかを確かめ、そしてその影響は振動源の物体を定盤と物理的に離せば良いことを確かめるために、今度は同じように実験の繰り返しに合わせて発生するトリガーにより開閉するシャッターをポストホルダーに乗せて定盤上に設置した。このとき、定盤の底とポストホルダーの間にゴムを敷いて振動が定盤へ伝搬しないようにした。そのときの差を図 3.25 に示す。ゴムを敷いていない
とき、図 3.24 と同じようにトリガーに合わせてロックが乱れている。しかし、ゴムを敷くことで明らかにロック時の乱れが改善されていることが分かる。また、このとき、振動と同時にシャッター自身が音を出すが、この空気中を伝わる音に関しては共振器のミラーに近づけてみても影響がなかったので無視できると考えた。したがってやはり、定盤を伝搬する振動が問題であり、パルスレーザー本体が同じ定盤に乗っている限り
ロックをかけて実験することは難しいとわかったので、別の定盤にパルスレーザー本体を移設して使用することにした。移設後にパルスレーザーを使用したとき、全くロッ

第3章

48

共振器増幅光トラップ系の構築

クが乱れず、パルスレーザーが起動していない状態と変わらないほどだった。これで共振器増幅光トラップに向けて共振器のロックはできたと言える。

;ĂͿ

;ďͿ

図 3.25 定盤の振動抑制によるロックの安定化。(a) ゴムを敷かない場合と (b) ゴムを敷いた場
合の比較。

3.4.4

Enhancement factor の測定

前節までで、モードマッチングとロックの安定化を行ったので、いよいよ Enhancement
factor A の測定に移る。共振器に光が共鳴した時、共振器内では光の定在波が立つことで Enhancement factor の 4 倍の光強度が生まれることは先に述べた。ここでは、Aの値を求めるために以下の 2 つの方法を考える。
まず図 3.26 である。これは共振器で増幅された光がわずかにブリュースター窓で反射されて共振器の外に漏れたものを測定するという方法である。すなわち、この場合はブリュースター窓の反射率が求まればよい。
WŽǁĞƌŵĞƚĞƌ

図 3.26 Enhancement factor の測定方法 1:ブリュースター窓からの反射光を測定。

もう一つが図 3.27 である。これは共振器からの透過光を測定するという方法である。
すなわち、この場合はミラーの透過率が求まればよい。

WŽǁĞƌŵĞƚĞƌ

図 3.27 Enhancement factor の測定方法 2:共振器からの透過光を測定。

3.4 実験系の構築

49

ここで、図 3.12 で s 偏光の反射率に着目すると、ブリュースター角での反射率は 12％程度ある。つまり、s 偏光と p 偏光で反射率のオーダーが異なる。今 2 つのブリュー
スター窓が真空槽に設置されているが、その 2 枚の相対角度にずれがあるとき、s 偏光成分が共振器内で少なかれ存在してしまう。その場合、図 3.26 の測定だと非常に小さい反射率を測定しようとしているときに余計な成分が入ることになり、正確に測定できない。ここでは 2 枚の窓の相対角度を正確に測定はしていないので、最初から図 3.26の方法はやめることにした。一方で図 3.27 の測定では透過率を測定しており、ミラーに対する垂直入射と考えると偏光による差異を気にしないで済む。したがって図 3.27の方法で Enhacement factor を見積もる。
図 3.28 に透過率による Enhancement factor の測定方法を示す。(a) でまずミラーの透過率 (P2 /P1 ) を測定し、(b) で入射光パワー P3 に対して共振器をロックした時の透過光パワー P4 を測定する。これより、Enhancement factor A は

A = P1 P4 /P2 P3(3.53)となる。測定結果は P1 = 166 mW, P2 = 0.08 mW, P3 = 5.5 W, P4 = 104 mW であった。これより、A=39 となる。このとき共振器で増幅されたパワー Pcavity は、Pcavity = 4AP1 = 860 W(3.54)となる。1 mK のポテンシャルを作るための計算値には足りていないが、これは密度が高く衝突によるトッラプロスを加味した場合の深さであり、今回用意する振動回転基
底状態の分子は非常に密度が小さいはず [42] なので、このパワーで十分とする。
;ĂͿ
Wϭ

WϮ
WŽǁĞƌŵĞƚĞƌ

;ďͿ
Wϯ

Wϰ
WŽǁĞƌŵĞƚĞƌ

図 3.28 Enhancement factor の測定。(a) 透過率の測定。(b) 共振器をロックした時の透過光強
度の測定。

3.4.5

トラップ周波数とノイズ

ここでは Cavity trap 中で振動する原子および分子の振動数であるトラップ周波数と、Cavity trap で考慮すべきノイズについて考える。ノイズは強度ノイズと周波数ノイズに分けられ加熱の原因になる。特に強度ノイズはトラップ周波数と関連付けて議論する。詳細については [51] を参考にした。

第3章

50

共振器増幅光トラップ系の構築

トラップ周波数
共振器中で定在波の光強度 Icavity は、radial 方向を r,axial 方向を z として()
2r2
Icavity = I0 exp − 2 cos2 kz
w0と書ける。このとき I0 は

I0 =

2Pcavity
πw02(3.55)(3.56)

なので、光トラップのポテンシャルは分極率を α として

U = −αIcavity()
2αPcavity
2r2
exp − 2 cos2 kz
= −
πw02
w0
(
)
2r2
= −U0 exp − 2 cos2 kz
w0(3.57)となる。このとき radial 方向と axial 方向に対してそれぞれトラップ周波数が定義できる。各方向について極小点近傍 (r ≈ 0, z ≈ 0) で U を展開すると)(
2r2
Uradial ≃ −U0 1 − 2(3.58)
w0
Uaxial ≃ −U0 (1 − k 2 z 2 )(3.59)となり、それぞれに対して U = (1/2)mω 2 x2 +const と近似することでトラップ周波数を求める。これより、それぞれの方向で
√
√
2
U0
2
2αPcavity
ωradial == 2(3.60)
w0 m
w0
πm
√
√
2U0
4π
αPcavityωaxial = k=(3.61)mλw0πmと書ける。Pcavity は式 (3.54) の値、w0 =400 µm、分極率は計算値を式 (3.60) と式 (3.61)に代入して 41 K87 Rb に関しては、

fradial = ωradial /2π = 0.18 kHz(3.62)

faxial = ωaxial /2π = 0.30 MHz(3.63)(3.64)となり、87 Rb に関しては、となる。

fradial = ωradial /2π = 0.25 kHz(3.65)

faxial = ωaxial /2π = 0.42 MHz(3.66)

3.4 実験系の構築

51

強度ノイズ

1 次元の調和振動子ポテンシャルを考える。トラップ周波数 ωx のポテンシャル U を
ゆらぎ ε を考慮して書くと、
1
U = M ωx [1 + ε(t)]x22(3.67)となる。光トラップの離調が十分大きい場合、ε は強度揺らぎに相当する。式 (3.67) を摂動ハミルトニアンとして用いたとき、⟨E˙x ⟩ = γx ⟨Ex ⟩(3.68)となる。Ex はエネルギーを表す。fx = ωx /2π として

γx ≡1= π 2 fx2 S(2fx )txと書ける。ここで、S(ω) は片側のパワースペクトルを表し、∫π ∞S(ω) ≡dτ cos(ωτ )⟨ε(t)ε(t + τ )⟩2 0と定義される。また、∫ ∞dωS(ω) = ⟨ε2 (t)⟩(3.69)(3.70)(3.71)

0が成り立ち、パワースペクトルの全範囲における積分値は揺らぎの 2 乗平均で与えらえる。式 (3.68) と式 (3.69) から、原子 (分子) のエネルギーは指数関数的に増え、トラッ
プ周波数の 2 倍の強度ノイズが加熱を引き起こすことが分かる。
時刻 t におけるレーザーのパワー P (t) は平均のパワーを P0 として、

P (t) = P0 [1 + ε(t)](3.72)と書ける。ε(t),P (t) のフーリエ変換をそれぞれ ε̃(ω),P̃ (ω) とすると、ウィーナー・ヒ
ンチンの定理が成り立ち

S(ω) = 2⟨|ε̃(ω)|2 ⟩⟨|P̃ (ω)|2 ⟩= 2⟨|P̃ (0)|2 ⟩(3.73)となる。詳しい導出は割愛した。すなわち、パワースペクトル密度 S(ω) はレーザーパ
ワーのフーリエ変換の 2 乗を DC 成分の 2 乗で割ったものと分かる。
測定ではオシロスコープの値をデジタル的にフーリエ変換するので、連続的な場合とはパワースペクトル密度の求め方が多少変わるが、基本的には同様のやり方で求めることができ、以下の手順でパワースペクトル密度を測定した。
(1) レーザーを PD に入れた場合の電圧値 xL+BG (n∆t) とレーザーを切った場合の電圧値 xBG (n∆t) をそれぞれ測定する。

第3章

52

共振器増幅光トラップ系の構築(2)xL+BG (n∆t) と xBG (n∆t) をそれぞれ離散フーリエ変換した XL+BG (k∆f ),XBG (k∆f )を求める。
(3)(2) で求めた離散フーリエ変換の絶対値を計算し、Background を引いた XL (k∆f )の絶対値を求める。つまり|XL (k∆f )| = |XL+BG (k∆f )| − |XBG (k∆f )|(3.74)である。
(4) パワースペクトル密度を dB 表示で{SL (ω) = 10log10|XL (k∆f )|2|XL (0)|2}(3.75)

として計算する。ただし、慣例に従い、0 Hz でのパワースペクトル密度が 0 dB/Hz となるように規格化している。
ここでは、時間間隔 ∆t で測定した N 個の測定値 x(n∆t) に対し、離散フーリエ変換
X(k∆f ) はN −1
1 ∑x(n∆t)e−2πi(k∆f )(n∆t)(3.76)
X(k∆f ) =N n=0となる。周波数間隔 ∆f は

1N ∆tであり、サンプリング定理から分析可能な周波数の上限 fn は
∆f =

fn =

N
サンプリング周波数∆f =2
2(3.77)(3.78)である。このとき、パワースペクトルをP (k∆f ) = |X(k∆f )|2(3.79)とすると、これは周波数 k∆f におけるパワーを表す。しかし、パワースペクトルは実際には周波数幅 ∆f 内のパワーに相当し、∆f が変わることでパワースペクトルの値も変わってしまう。そこで、パワースペクトル密度としてS(k∆f ) =P (k∆f )|X(k∆f )|2=∆f∆f(3.80)を用いることで単位周波数あたりのパワースペクトルを求める。
今回の測定では、図 3.29 で示す高速 PD(15 MHz) を用いて高周波数成分の S/N 比をあげた。この回路では、図 3.29 に示す HPF(High Pass Filter) によって高周波数成分とDC 成分に分けられるので、これをふまえて解析を行う。初段の AD829 の出力 V の周波数成分 V(ω) は光のパワー P に比例する。DC out からの出力 VDC は V と等しく、

V (0) = ⟨VDC ⟩(3.81)

3.4 実験系の構築

53となる。AC 成分は HPF を通って 100 倍に増幅されたあと AC out から VAC (ω) として出力されるので、100
VAC (ω) =V (ω)(3.82)
1 + 1/iωRCと書ける。この回路では、R=620 Ω,C=1 nF なので HPF のカットオフ周波数は fc =1/2πRC ≃ 300 kHz となる。式 (3.81) と式 (3.82) から、高速 PD に入射した光のパワー
スペクトル密度 S(ω) は|V (ω)|2|V (0)|2
1
=1 + (1/ωRC)2 |VAC (ω)|2

·
10000
|⟨VDC ⟩|2

S(ω) =(ω = 0)(3.83)(ω ̸= 0)

と書ける。
9

ǋ

S



î


6

N

N





$&RXW'&RXW






$'

$'

Q


S

+3)

N

N

7/

9ROWDJHIROORZHU î

図 3.29 高速 PD 回路図。

今回高速 PD に入れるのは共振器ロック時の共振器からの透過光であり、共振器中のパワーの揺らぎを反映するものとした。測定時間を 50 ms と 50 µm の場合で測定を行い、それぞれについてパワースペクトル密度を求めた。その結果を図 3.30 から図 3.35に示す。CH1 が透過光の信号である。特に、Sampling 5 kHz に関しては図 3.29 の DC
out の出力を測定している。図 3.34 と図 3.35 では式 (3.69) から計算した、トラップ時間に対する各周波数で必要なパワースペクトル密度のレベルを載せて比較している。今回考えるのは 2fradial = 0.36 kHz〜0.50 kHz と 2faxial = 0.60 MHz〜0.84 MHz 付近のノイズである。図 3.34 と図 3.35 から、1 秒トラップするレベルとしては、十分満たしているとは言えないが、次章の実験で行った 30 ms の時間ならば満たしているとわかった。

第3章

54

共振器増幅光トラップ系の構築

したがってより長いトラップの実験を行う場合は共振器中でのパワー揺らぎを（レーザー自身の強度揺らぎ含めて）より小さくする必要があると言える。

図 3.30 レーザーを入れたとき (Sampling
5 kHz)。

図 3.31 レーザーを入れたとき (Sampling
5 MHz)。

図 3.32 レーザーを切ったとき (Sampling
5 kHz)。

図 3.33 レーザーを切ったとき (Sampling
5 MHz)。

ϬϬ

㧗㏿W͗KƵƚƉƵƚͲĂĐŬŐƌŽƵŶĚ

㧗㏿W͗KƵƚƉƵƚͲĂĐŬŐƌŽƵŶĚ

ͲϭϬ
ͲϮϬ

ͲϭϬ

ϭƐ䛾䝖䝷䝑䝥䛻ᚲせ䛺䝺䝧䝹ͲϮϬϭϬϬŵƐ䛾䝖䝷䝑䝥䛻ᚲせ䛺䝺䝧䝹

ͲϯϬ

ͲϯϬ

ϭƐ䛾䝖䝷䝑䝥䛻ᚲせ䛺䝺䝧䝹ͲϰϬϭϬϬŵƐ䛾䝖䝷䝑䝥䛻ᚲせ䛺䝺䝧䝹ͲϱϬϯϬŵƐ䛾䝖䝷䝑䝥䛻ᚲせ䛺䝺䝧䝹ͲϲϬϯϬŵƐ䛾䝖䝷䝑䝥䛻ᚲせ䛺䝺䝧䝹ͲϰϬ^;ĨͿ΀Ěͬ,ǌ΁

^;ĨͿ΀Ěͬ,ǌ΁

ͲϳϬ
ͲϴϬ
ͲϵϬ

ͲϭϬϬ

ͲϱϬ

ͲϭϭϬ
ͲϭϮϬ

ͲϲϬ

ͲϭϯϬ
ͲϭϰϬ

ͲϳϬ

ͲϭϱϬ
ͲϭϲϬ

ͲϴϬ

ͲϭϳϬ
ͲϭϴϬ

ͲϵϬ

ͲϭϵϬ
ͲϭϬϬ

ͲϮϬϬ
Ϭ

Ϭ͘Ϯϱ

Ϭ͘ϱ

Ϭ͘ϳϱ

ϭ

ϭ͘Ϯϱ

ϭ͘ϱ

ϭ͘ϳϱ

Ϯ

&ƌĞƋƵĞŶĐǇ΀Ŭ,ǌ΁

図 3.34 パワースペクトル密度の測定(0-2.5 kHz)。

Ϯ͘Ϯϱ

Ϯ͘ϱ

Ϭ

Ϭ͘Ϯϱ

Ϭ͘ϱ

Ϭ͘ϳϱ

ϭ

ϭ͘Ϯϱ

ϭ͘ϱ

ϭ͘ϳϱ

Ϯ

&ƌĞƋƵĞŶĐǇ΀D,ǌ΁

図 3.35 パワースペクトル密度の測定(0-2.5 MHz)。

Ϯ͘Ϯϱ

Ϯ͘ϱ

3.4 実験系の構築

55

周波数ノイズ
周波数ノイズは主にレーザーの線幅 ∆f に起因すると考えてよい。このときレーザーがコヒーレンスを保てる長さはc∆l =(3.84)∆fであり、コヒーレンスを保てる時間は

∆t =

1
∆f

(3.85)

である。つまり、コヒーレンス長より長い距離を進んだ光と元の光は干渉が起きない。
入射光は共振器に入った後、平均すると

lc =

cF
π

(3.86)

だけ進む [51]。Finesse=F とした。したがってコヒーレンス長はこの lc より長くなければならないので、求められる条件は

lF
ππc⇔ ∆f ≤
lF∆l ≥(3.87)となる。Enhancement factor=39 から、およそロスを見積もって Finesse を計算するとF=200 である。共振器長 l はおよそ 600 mm であるので、線幅は 7.8 MHz 以下であればよい。今回使用するレーザーはそれに比べて十分線幅が小さい (1 kHz 未満) としてこの周波数ノイズは無視する。

3.4.6

ファイバーアンプの ASE

一般的に fiber amplifier で増幅された光には seed laser の波長とは異なる波長成分が含まれており、それらの発光を ASE(Amplified Spontaneous Emission ) と呼ぶ。特に分子の振動準位は多数存在するため、連続的に広がったスペクトルを持つ ASE 成分は直接共鳴を打つ、または散乱レートを大きくする恐れがある。そこで図 3.36 に示すよ
うに、(1),(2),(3) の 3 箇所で光スペクトラムアナライザにより ASE 成分を測定した。
;ϭͿ

;ϮͿ

;ϯͿ

ĨŝďĞƌ
ĂŵƉůŝĨŝĞƌ
WdƐƉĞĐƚƌƵŵ
ĂŶĂůǇǌĞƌ

ƐƉĞĐƚƌƵŵ
ĂŶĂůǇǌĞƌ

図 3.36 ASE 測定箇所。図中の 3 箇所で測定している。

WdƐƉĞĐƚƌƵŵ
ĂŶĂůǇǌĞƌ

第3章

56

共振器増幅光トラップ系の構築(1) の測定結果を図 3.37 に示す。1064 nm 付近に鋭いピークがある一方で、その両側の波長領域に ASE 成分が広がっている。よって高出力になると分子を壊す可能性がある。次に (2) の測定結果を図 3.38 に示す。これは、共振器のミラーを透過後の光のスペクトルを測定している。(1) の箇所と同様に ASE 成分が広がっている。最後に (3) の測定結果を図 3.39 に示す。これは共振器をロック時の共振器からの透過光のスペクトルであるが、共振器で共鳴する成分は確かに中心の鋭いピーク部分だけあることが確認できた。したがって、少なくとも ASE 成分が増幅されることはないことは確かめられた。ASE を除去するには回折格子を使用することが最適だが、ここでは、できるだけパワーを削りたくないためそれは行わない。代わりに、共振器へ入射する際に反射して削られる分と、光トラップをする時間帯以外は fiber amplifier からの出力を約 1/20に下げる分（次章で言及) で、ASE 成分は無視できるくらいになるとした。

䣒䣱䣹䣧䣴䢢䣝䣦䣄䣯䣟

䢯䢴䢲
䢯䢶䢲
䢯䢸䢲
䢯䢺䢲

䢳䢲䢲䢲

䢳䢲䢴䢲

䢳䢲䢶䢲

䢳䢲䢸䢲

䢳䢲䢺䢲

䣙䣣䣸䣧䣮䣧䣰䣩䣶䣪䢢䣝䣰䣯䣟

䢳䢳䢲䢲

䢳䢳䢴䢲

図 3.37 ASE 測定 (1)。fiber amplifier 出射後のスペクトル。

䣒䣱䣹䣧䣴䢢䣝䣦䣄䣯䣟

䢲
䢯䢴䢲
䢯䢶䢲
䢯䢸䢲
䢯䢺䢲
䢳䢲䢲䢲

䢳䢲䢴䢲

䢳䢲䢶䢲

䢳䢲䢸䢲

䢳䢲䢺䢲

䣙䣣䣸䣧䣮䣧䣰䣩䣶䣪䢢䣝䣰䣯䣟

䢳䢳䢲䢲

䢳䢳䢴䢲

図 3.38 ASE 測定 (2)。共振器入射後のスペクトル。

3.4 実験系の構築

57䢲䣒䣱䣹䣧䣴䢢䣝䣦䣄䣯䣟

䢯䢴䢲
䢯䢶䢲
䢯䢸䢲
䢯䢺䢲

䢳䢲䢲䢲

䢳䢲䢴䢲

䢳䢲䢶䢲

䢳䢲䢸䢲

䢳䢲䢺䢲

䣙䣣䣸䣧䣮䣧䣰䣩䣶䣪䢢䣝䣰䣯䣟

䢳䢳䢲䢲

䢳䢳䢴䢲

図 3.39 ASE 測定 (3)。共振器ロック時の共振器からの透過光のスペクトル。

59

第 4 章 振動回転基底状態分子の Cavity
trap の実験前章で、共振器増幅による光トラップの準備ができた。本章ではそれを用いた振動
回転基底状態 41 K87 Rb の光トラップの実験結果についてまとめる。

4.1

PA 分子の散乱

図 4.1 に本研究で使用する KRb 分子の電子ポテンシャルと原子状態から振動回転基底状態までの遷移過程を示した。原子が光会合 (PA:Photoassocition) によって分子の電子的∑+な励起状態へ遷移し、自然放出 (SE:Spontaneous emission) により X 1, v = 91, J = 0に最も多く生成される。さらに PA 分子を L1(875 nm) と L2(641 nm) の光によって∑X 1 + , v = 0, J = 0 へ遷移させる (STIRAP)。ここで考えたいのが、図 4.1 の赤線で示した 1064 nm による PA 分子の散乱である。3.4.6 節で調べた ASE 成分は問題ないとしても、この 1064 nm が共振器で増幅されることで PA 分子が 1064 nm を吸収ある
いは散乱レートが増大し、STIRAP を行う前に分子が壊される可能性がある。実際図
4.1 のように、PA 分子から 1064 nm のエネルギー付近には複数の電子ポテンシャルに束縛された振動準位がいくつかあり、この問題が予想される。つまり、もし 1064 nm
により PA 分子が壊れることがあれば、STIRAP を行うまでは 1064 nm の強度を下げておく必要があることになる。PA 分子が散乱されることがあれば、複数の振動準位に分子が遷移する可能性がある。
まずこれを確かめるために、共振器で増幅した 1064 nm を当てたときの分子のイオ
ン化スペクトルを調べることを考えた。分子の検出は、REMPI(Resonance-Enhanced
Multi-Photon Ionization) という手法を用いており、パルスレーザーによる 2 光子遷移が起きるとき、初段に共鳴準位がある場合にイオン化レートが大きくなり効率よく分子をイオン化できることを利用している。これを用いて特定の波長のパルスレーザー
を当てることで、分子をイオン化し、それを MCP(Micro Channel Plate) により検出する。したがって、そのパルスレーザーの波長を広範囲で掃引することで複数の準位に存在する分子を検出できる。

第4章

60

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験ϭϱϬϬϬŶĞƌŐǇ΀ͬĐŵ΁

ϭϬϬϬϬ

yϭ^н
;ϮͿϭ^н
;ϯͿϭ^н
Ăϯ^н;ϮͿϯ^н
;ϭͿϭWŝ
;ϯͿϬн

W

>ϭ
ϱϬϬϬ

>Ϯ

^

Ϭ

ϭϬϲϰŶŵ

ͲϱϬϬϬ
Ϯ

ϰ

ϲ

ϴ

ϭϬ

/ŶƚĞƌŶƵĐůĞĂƌĚŝƐƚĂŶĐĞ΀ύ΁
図 4.1 41 K87 Rb 分子の電子ポテンシャル 1。

4.1.1

共振器による 1064 nm 増幅時の分子のイオン化スペクトル

本章における分子生成および、検出までの過程は一貫して次のようになる。まず磁気光学トラップ (MOT) で原子集団を冷却、トラップする。その後圧縮磁気光学トラップ (CMOT) で原子集団の密度をさらに上げ、光会合のレートをあげる。CMOT 後の温度、原子数および密度は典型的には 87 Rb で 70 µK、3×107 個、3×1010 /cm3 、41 K で 280∑µK、5×106 個、8×109 /cm3 となる [52]。CMOT 後に光会合で X 1 + , v = 91, J = 0∑+の PA 分子を作る。最後に STIRAP により振動回転基底状態 X 1, v = 0, J = 0 の分子を用意する。ここまでの分子の生成はすでに [42] で達成されている。振動回転基底状態分子の温度、個数、密度は典型的には 130 µK、103 個、106 /cm3 である [42]。検出方法は先に述べたパルスレーザーによるイオン化後に MCP で検出するものである。
ここで、PA レーザー、パルスレーザー、STIRAP レーザー (875 nm と 641 nm) のパ
スは図 4.2 のような位置関係にある。
ここで行う測定は、MOT から PA までの時間帯に共振器を増幅させた 1064 nm の光が入っているか (with 1064 nm)、1064 nm が入っていないか (without 1064 nm) の違いを見ている。ただし、イオン化の瞬間には高強度の 1064 nm を入れないために図 4.3のようなシステムでロックの切り替えを行った。共振器からの透過光を受けた PD の電
圧 V1 がアナログスイッチ MAX319 に入り、LabVIEW からの TTL で V2 = V1 としてそのまま出力するか、V2 = 0 V として出力するかが切り替わる。その後 V2 はロック回

4.1 PA 分子の散乱

61

路の中のコンパレータ部分に入力され、予め定めた閾値 Vthreshold を V2 が上回る場合はコンパレータから-5 V、下回る場合は+5 V が出力される。第 3 章でも述べた自動ロッ
クはこのコンパレータからの出力電圧で切り替わり、−5 V のときピエゾへ送る三角波のスキャンを止め、Error signal を積分してフィードバックするものである。逆に+5 Vのときは三角波をスキャンしたまま、Error signal をロック回路の中で電気的に遮断する。この方法でロックの切り替えを行った場合の実験のシーケンスが図 4.4 である。

図 4.2 実験系:光のパス。

第4章

62

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験

WWdнϱ΀s΁;ŝĨsϮфsƚŚƌĞƐŚŽůĚͿŽƌͲϱ΀s΁;ŝĨsϮхsƚŚƌĞƐŚŽůĚͿDyϯϭϵĐŽŵƉĂƌĂƚŽƌ
sƚŚƌĞƐŚŽůĚsϮdŽůŽĐŬĐŝƌĐƵŝƚ
dd>сϬŽƌϱ΀s΁

sϭ
Ϭ΀s΁
ŝĨdd>сϱ΀s΁ŝĨdd>сϬ΀s΁>Ăďs/t
図 4.3 Cavity-lock システム 1。

図 4.4 実験のタイムシーケンス 1。

このタイムシーケンスに沿って、PA 分子生成後にイオン化する波長を掃引してスペクトルを取ったものが図 4.5 と図 4.6 である。with 1064 nm と without 1064 nm を比較すると、1064 nm（高強度) が入ることで広い範囲にわたってスペクトルの信号が増大していることがわかる。ここで、図 4.6 で v = 91 と示しているのは、PA によって最も多く生成される準位の分子をイオン化していることを表す。また、v = 91 の信号の∑+の振間隔はイオン化の中間準位に使うポテンシャルの振動準位間隔に相当し、41
動準位であるとわかっている [42]。図 4.6 の比較を見ると、v = 91 に関しては 1064 nm
が入ることで信号が減っていることがわかり、v = 91 の信号の間のスペクトルでは明らかに 1064 nm が入ることで信号が増大している場所が複数ある。これは 1 回パルスレーザーの波長を掃引して信号を取得したデータであるが、波長を固定して再現性があるか確かめていくと、確かに v = 91 の信号は 1064 nm が入ることで信号が減り、逆4.1 PA 分子の散乱

63に信号が増える箇所が複数あった。したがって、これは PA 分子が高強度の 1064 nm により散乱されてしまう効果ではないかと考えた。ただし、図 4.5 や図 4.6 で with 1064
nm の時に信号が増えている箇所については、どの振動準位をイオン化検出しているか不明であり、複数の振動準位にまたがっている可能性もある。また同じイオン化波長で複数の振動準位をイオン化している可能性もあるため、同定するのは難しく、ここではそれは重要ではないので不明のままにしておく。
ϳϳǁŝƚŚϭϬϲϰŶŵǁŝƚŚŽƵƚϭϬϲϰŶŵϲϱ/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁

ϲ

ϰ
ϯ
Ϯ
ϭ

ϱ
ϰ
ϯ
Ϯ
ϭ

Ϭ
ϭϱϯϬϬ ϭϱϯϱϬ ϭϱϰϬϬ ϭϱϰϱϬ ϭϱϱϬϬ ϭϱϱϱϬ ϭϱϲϬϬ

ϬϭϱϯϬϬ ϭϱϯϱϬ ϭϱϰϬϬ ϭϱϰϱϬ ϭϱϱϬϬ ϭϱϱϱϬ ϭϱϲϬϬ

WƵůƐĞǁĂǀĞŶƵŵďĞƌ΀ͬĐŵ΁WƵůƐĞǁĂǀĞŶƵŵďĞƌ΀ͬĐŵ΁

図 4.5 イオン化スペクトル 1。

Ϯϱ

Ϯϱ

ǀсϵϭ

ǁŝƚŚϭϬϲϰŶŵϭϱǁŝƚŚŽƵƚϭϬϲϰŶŵϮϬ/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁

ϮϬ

ǀсϵϭ
ǀсϵϭ
ǀсϵϭ

ϭϬ

ǀсϵϭ

ϭϬ

ϱ

Ϭ
ϭϱϳϬϬ

ǀсϵϭ

ϭϱ

ϭϱϳϱϬ

ϭϱϴϬϬ

WƵůƐĞǁĂǀĞŶƵŵďĞƌ΀ͬĐŵ΁

ϭϱϴϱϬ

ϱ

Ϭ
ϭϱϳϬϬ

ϭϱϳϱϬ

ϭϱϴϬϬ

ϭϱϴϱϬ

WƵůƐĞǁĂǀĞŶƵŵďĞƌ΀ͬĐŵ΁

図 4.6 イオン化スペクトル 2。

4.1.2

自動ロックの遅延

前節で、STIRAP を行うまでに共振器内のパワーを下げる必要性があるとわかったのでその方法を考える。最も簡単な方法は、図 4.3 のシステムによってロックの切り替えを行い、都合の良い時間帯だけ共振器のロックをかけることである。しかし、これを行う上で図 4.3 のコンパレータから出力される電圧の切り替え (+5 V↔ −5 V) に時

64

第4章

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験

図 4.7 自動ロックの時間的な遅れ。CH1 は LabVIEW からの TTL、CH3 はコンパレータからの出力、CH4 は共振器からの反射光信号 (反転) を表す。

間的な遅延があることがわかった。図 4.7 にその様子を示す。CH1 は LabVIEW からの TTL、CH3 はコンパレータからの出力、CH4 は共振器からの反射光信号 (反転) を表す。CH1 のように TTL を発生させると、TTL に対して CH4 のようにロックがかかる
タイミングに遅延が生じてしまう。CH3 のコンパレータの出力の遅延に同期して CH4のロック時の信号が遅れている。ただし、ロックが外れるときは瞬時に応答している。
この図はある瞬間の静止画像だが、実際には破線矢印の遅延の時間はゆらいでいる。この遅延時間は 10 ms オーダーなのでコンパレータの応答や MAX319 のスイッチングの遅延とは考えにくい。実際に調べると、その両方とも応答時間の遅れはない（10 ms のオーダーではない) ことはわかった。遅延の原因は、ピエゾ素子をスキャンする三角波の周波数にあると考えた。このときは 10 Hz でスキャンしているので、偶然共振器長が共鳴条件の近くにあれば共鳴条件を見つけるまでの時間は短くてすむが、共振器長が共鳴条件から離れている場合は最大でも共鳴条件を見つけるまで 100 ms 程度かかってしまう。すなわち、一度ロックが外れてから、三角波がピエゾ素子の厚みを変化させて再び共鳴条件を探すまでに遅れが生じるために、コンパレータに入力される透過光の信号が鋭くなるまでに遅延が生じるということになる。これが、自動ロックに遅延が生じ、かつそのタイミングがばらついてしまう原因と考える。このことを受けて三角波の周波数を変化させてみるが、100 Hz を超えたあたりでピエゾ素子から音が鳴り発振し出してしまい、ロックをかけられなくなった。今回の実験では 30 ms のトラップの実験を行うので、遅延時間が図 4.7 のオーダーで生じることは問題である。したがってまた別の方法により PA 分子の散乱を抑えることを考えなければならない。

4.1 PA 分子の散乱

4.1.3

65

共振器ロックシステムの改良

以下の実験ではプリント基板のロック回路 [52] を使用した。この回路の詳細は付録に載せておく。自動ロックの切り替えができないことから、ロックを実験中に一度外すことは避けるべきと判断し、共振器のロックをかけたまま共振器内の光強度を時間的に変化させる方法を取ることにする。今回使用している fiber amplifier は、アナログ
電圧によって出力パワーを調節することができる。この電圧 (Control voltage) を 0 V
から 5 V の範囲で変化させて出力をプロットすると図 4.8 のようになる。

図 4.8 fiber amplifier 出力の電圧依存性。

これを利用して、必要な時間帯のみ Control voltage を 5 V にして最大パワー (8.3 W)
で使用し、それ以外の時間帯では 0 V にして最小パワー (500 mW) で使用する。ただし、共振器に入射するパワーの変化が大きいと、パワーの変化に伴いロックが不安定になる可能性がある。したがって、図 4.9 のようなシステムを用いる。反射光を受ける
PD の前に音響光学素子 (AOM:Acousto Optic Modulator) を設置し、AOM からの一
次光を PD へ入力する。回折光のパワーは AOM に入力する RF の振幅で決まるので、
図 4.9 のように Mixer へ入力する電圧を外部からコントロールすることで回折光のパ
ワーを変化させる。実験では、出力 8.3 W の時に MAX319 からの出力電圧を可変抵抗で調節できるようにしている。このシステムを使って Cavity trap の実験を行うときの実験シーケンスが図 4.10 のようになる。つまり、Cavity trap を行うときは時間 τ の間
だけ共振器内のパワーを増幅させるとともに、PD へ入る光のパワーを AOM で落としてフィードバックのゲインを調節する。逆に Cavity trap を行わない時は、共振器のパワーを一定のまま（TTL2 の破線) にし、AOM 通過後のパワーも一定のまま (TTL1 の破線) にする。
この方法でロックをかけたままの共振器内部のパワーは、共振器を透過する光のパワーを測定することで見積もる。第 3 章で Control voltage +5 V のときの透過光パワー
が 104 mW で共振器内のパワーは 860 W であるのに対し、0 V に下げたときの共振器
からの透過光のパワーは 1 mW であった。したがって、共振器内のパワーは 1/100 程
度に下げることができたと言える。パワーを下げたときはロックがぎりぎりかかった

第4章

66

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験状態である。図 4.10 で τ =30 ms の場合にロックをかけたときの信号を図 4.11 に示す。

ĨŝďĞƌĂŵƉůŝĨŝĞƌ

Wd
KD
W
Z&ĂŵƉ͘WŽǁĞƌĐŽŶƚƌŽů

DyϯϭϵDŝǆĞƌdd>ϭсϬŽƌϱ΀s΁KƐĐŝůůĂƚŽƌ;ϭϭϬD,ǌͿϮϱͲƉŝŶĐŽŶŶĞĐƚŽƌ

ŝĨdd>ϭсϱ΀s΁ŝĨdd>ϭсϬ΀s΁
ϱ ΀s΁
ϱ ΀s΁

>Ăďs/tdd>ϮсϬŽƌϱ΀s΁
;ĐŽŶƚƌŽůǀŽůƚĂŐĞͿ

図 4.9 Cacity-lock システム 2。

図 4.10 実験シーケンス 2。

Ϭ΀s΁&ĞĞĚďĂĐŬŐĂŝŶĐŽŶƚƌŽů

4.1 PA 分子の散乱67

図 4.11 共振器内パワーの時間変化。

CH1 がブリュースター窓からの反射光強度、CH2 が LabVIEW から MAX319 へ送る TTL 信号 (TTL1) を表す。TTL に応答してロックが外れずに共振器内のパワーが変化していることが分かる。
また、Control Voltage ではなく、AOM により fiber amplifier の出力をコントロール
することもできる。ただし、AOM の回折光を使う場合、回折効率が典型的には 8 割程度となってしまうために、ここでは AOM にかける RF を TTL で切りかえることで利用する。AOM で正しく回折されるとき、0 次光は回折光に使われた分強度が下がり、ビームの空間モードも汚くなる。したがって、そのときの 0 次光を使えば共振器内部のパワーを下げることができる。すなわち、Cavity trap する場合は時間 τ だけ TTL を
OFF にし、Cavity trap しない場合は終始 TTL を ON にして使用する。
しかし、この方法では図 4.12 のようにパワーの変化がなまっており、AOM に印加する RF を切ってから 0 次光のパワーが元に戻るまでの時定数が長くなってしまっている。図 4.12 の CH1 と CH2 のソースは図 4.11 と同じである。AOM によりパワーを調節した場合と Control voltage によりパワーを調節した場合とで、それぞれ最大パワーでロックした時のレベルと比較したものが図 4.13 である。AOM によりパワーを調節した場合、なまりのせいで明らかに共振器内のパワーを損しているので、これは望ましい方法ではない。今回のように Control voltage で調節することができない場合は、やはりできるだけ回折効率の高い AOM で回折光を用いてパワーを調節する方が望ましいと言える。

第4章

68

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験

図 4.12 AOM 使用時の共振器内パワーの時間変化。

;ĂͿ ϭϰ
ϭϮsŽůƚĂŐĞ΀s΁ϭϬϴϲ

㏻ᖖ䝻䝑䜽᫬䛾䝺䝧䝹
KD౑⏝᫬䛾䝺䝧䝹

ϰ
Ϯ
Ϭ
Ϭ͘ϬϬϮ

Ϭ͘ϬϬϳ

Ϭ͘ϬϭϮ

Ϭ͘Ϭϭϳ

Ϭ͘ϬϮϮ

Ϭ͘ϬϮϳ

dŝŵĞ ΀Ɛ΁;ďͿϮ͘ϱsŽůƚĂŐĞ΀s΁Ϯϭ͘ϱ

㏻ᖖ䝻䝑䜽᫬䛾䝺䝧䝹ŽŶƚƌŽůsŽůƚĂŐĞ౑⏝᫬䛾䝺䝧䝹

ϭ
Ϭ͘ϱ
Ϭ

Ϭ

Ϭ͘ϬϬϱ

Ϭ͘Ϭϭ

Ϭ͘Ϭϭϱ

Ϭ͘ϬϮ

Ϭ͘ϬϮϱ

Ϭ͘Ϭϯ

dŝŵĞ΀Ɛ΁

図 4.13 (a)AOM 使用時と (b)Contol voltage 使用時の共振器内パワーの時間変化の比較。

4.1 PA 分子の散乱

4.1.4

69

PA 分子散乱時の STIRAP 信号

共振器への入射光パワーを十分下げてロックすることで PA 分子の散乱および、吸収を抑制できると期待して、次に知りたいのはこのパワーを十分弱くした 1064 nm の光が STIRAP に影響を与えていないかどうかである。つまり、PA レーザーと STIRAP
レーザーと 1064 nm が互いにチャンバーの中心で重なっているのを前提とすれば、1064
nm が PA 分子を壊していない場合、STIRAP の信号は検出でき、逆に完全に壊している場合、信号が出なくなるということが予想される。そこで、本節では図 4.14 のように(a)STIRAP を行うまで 1064 nm を最大パワーで共振器に入れロックした場合と、(b)シーケンス中終始最小パワーで 1064 nm を共振器に入れロックした場合の STIRAP の信号をそれぞれ測定し、1064 nm を完全に入れない場合の STIRAP の信号と比較している。ここから先は、fiber amplifier への Control voltage が+5 V のとき「high power」、
0 V のとき「low power」と表現することにする。

図 4.14 実験シーケンス 3。

測定方法として、STIRAP に使う 641 nm のレーザーの周波数を掃引することを行う。STIRAP のレーザーのロック方法を図 4.15 に示す。STIRAP の 2 本の光はそれぞれ master laser と slave laser から成り、まず 2 本の master laser を 1 つの ULE(Ultra
Low Expansion) cavity に対しロックする。これにより master laser の線幅を細くする。
しかし、ULE cavity の共振器長は 10 cm(FSR=1.5 GHz) なので、その FSR 間隔でしかロックできない。そこで、slave laser を導入し Oﬀset lock を用いる。ULE cavity にロックした master laser と slave laser のビート信号を取り、その周波数差が mixer に入る RF の周波数に相当するようにフィードバックをかけることで、slave laser を細い線

第4章

70

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験幅を保ったまま任意の周波数で使用できることになる。したがって以下に示す図 4.16、
図 4.17、図 4.18 の横軸は Oﬀset lock に使用する RF の周波数を掃引したものである。
ただし、ULE cavity は時間とともにゆっくり熱膨張し、共振器長が変化していくので、ULE cavity にロックできる master laser の周波数がドリフトしていく [42]。これにより、図 2.7 の分光結果と比べて図 4.16 の共鳴周波数がドリフトしている。
dŽĞǆƉĞƌŝŵĞŶƚ
ϭϬĐŵ

>
;ŵĂƐƚĞƌͿh>ĐĂǀŝƚǇ

>
;ƐůĂǀĞͿW
Z&&ĞĞĚďĂĐŬ

>ŽĐŬĐŝƌĐƵŝƚ

ďĞĂƚƐŝŐŶĂů

図 4.15 STIRAP レーザーロックの概略図。

図 4.16 と図 4.17 の信号の差は無視できるレベルと言えるが、図 4.18 の信号は明らかに減少しているといえる。このことから、high power 1064 nm を入れたことで PA 分子が壊され、そこに STIRAP の遷移を行っても無意味であることを示す。逆に言えば、
1064 nm を通す前に STIRAP のレーザーをブリュースター窓から通し、図 4.16 の信号が最適となるようにアライメントして、そこに 1064 nm を重ねているので、PA レー
ザー、STIRAP レーザー、1064 nm がチャンバーの中心でうまく重なっていることを確認できたと考える。

4.1 PA 分子の散乱71䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟

䢵䢰䢲
䢴䢰䢷
䢴䢰䢲
䢳䢰䢷
䢳䢰䢲
䢲䢰䢷
䢲䢰䢲
䢳䢹䢴䢻䢰䢸

䢳䢹䢴䢻䢰䢺

䢳䢹䢵䢲䢰䢲

䢳䢹䢵䢲䢰䢴

䣑䣨䣨䣵䣧䣶䢢䣈䣴䣧䣳䣷䣧䣰䣥䣻䢢䣱䣨䢢䣎䢴䢢䣝䣏䣊䣼䣟䢳䢹䢵䢲䢰䢶

図 4.16 STIRAP 信号 (without 1064 nm)。

䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟

䢵䢰䢲
䢴䢰䢷
䢴䢰䢲
䢳䢰䢷
䢳䢰䢲
䢲䢰䢷

䢳䢹䢴䢻䢰䢸

䢳䢹䢴䢻䢰䢺

䢳䢹䢵䢲䢰䢲

䢳䢹䢵䢲䢰䢴

䣑䣨䣨䣵䣧䣶䢢䣈䣴䣧䣳䣷䣧䣰䣥䣻䢢䣱䣨䢢䣎䢴䢢䣝䣏䣊䣼䣟䢳䢹䢵䢲䢰䢶

図 4.17 STIRAP 信号 (with low power 1064 nm)。

䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟

䢵䢰䢷
䢵䢰䢲
䢴䢰䢷
䢴䢰䢲
䢳䢰䢷
䢳䢰䢲
䢲䢰䢷
䢳䢹䢴䢻䢰䢸

䢳䢹䢴䢻䢰䢺

䢳䢹䢵䢲䢰䢲

䢳䢹䢵䢲䢰䢴

䣑䣨䣨䣵䣧䣶䢢䣈䣴䣧䣳䣷䣧䣰䣥䣻䢢䣱䣨䢢䣎䢴䢢䣝䣏䣊䣼䣟

図 4.18 STIRAP 信号 (with high power 1064 nm)。

䢳䢹䢵䢲䢰䢶

第4章

72

4.2

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験

真空度による分子の寿命の変化

今回の実験では STIRAP による振動回転基底状態分子の信号は小さく、できるだけ測定の S/N 比を上げるために、原子のディスぺンサーに流す電流を 3.0A にして分子数をできるだけ多くして実験を行いたい。しかし、特に K のディスペンサーの電流を上げることで原子数が増え、実験中に真空度が次第に悪くなっていく。分子の寿命を決める一つの factor として真空度があり、真空度が悪くなる (=圧力が高くなる) につれて寿命は短くなっていく。電流を上げて原子をたくさん出すと真空度はおよそ 10−8 Torr
まで悪くなる。これが寿命をほぼ支配的に決めるものだとすると、そもそも実験できないことになってしまう。したがって、Cavity trap の実験を行う前に真空度を変えて
STIRAP の信号の寿命を測定した。実験のシーケンスは図 4.10 と同じである。ここでは図 4.16 で分かった STIRAP の周波数に固定し、各 τ でイオンカウントを測定している。図 4.16 の「None」の時間は CMOT が終わってから次の MOT で原子が再回収されるまでの時間がこの測定中に一定となるようにするためのものである。チャンバー
内の圧力ゲージを読み取って以下の 3 つの真空度で寿命を測定した。

/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟䢳䢰䢷䢯䢺䣲䣴䣧䣵䣵䣷䣴䣧䢿䢳䢰䢹䤸䢳䢲 䣖䣱䣴䣴䪹䢿䢢䢸䢰䢺䢷䢴䢵䤒䢲䢰䢷䢺䢶䢢䣯䣵

䢳䢰䢲

䢲䢰䢷

䢲䢰䢲

䢯䢲䢰䢷
䢲

䢷

䢳䢲

䢳䢷

䢴䢲

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟/ŽŶŝǌĂƚŝŽŶƚŝŵŝŶŐ΀ŵƐ΁

図 4.19 分子寿命 1。

䢴䢷䢵䢲

4.2 真空度による分子の寿命の変化

73䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁

䢳䢰䢴
䢳䢰䢲
䢲䢰䢺

䢯䢺

䣲䣴䣧䣵䣵䣷䣴䣧䢿䢳䢰䢳䤸䢳䢲 䣖䣱䣴䣴䪹䢿䢢䢢䢺䢰䢴䢺䢳䢻䤒䢳䢰䢲䢴䢢䣯䣵

䢲䢰䢸
䢲䢰䢶
䢲䢰䢴
䢲䢰䢲
䢯䢲䢰䢴
䢯䢲䢰䢶
䢲

䢷

䢳䢲

䢳䢷

䢴䢲

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟/ŽŶŝǌĂƚŝŽŶƚŝŵŝŶŐ΀ŵƐ΁䢴䢷䢵䢲

図 4.20 分子寿命 2。

/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟

䢲䢰䢺
䢲䢰䢸

䢯䢻

䢯䢻

䣲䣴䣧䣵䣵䣷䣴䣧䢿䢶䢰䢻䤸䢳䢲 到䢷䢰䢵䤸䢳䢲 䣖䣱䣴䣴䪹䢿䢢䢢䢷䢰䢹䢲䢲䢻䤒䢲䢰䢺䢵䢹䢢䣯䣵

䢲䢰䢶
䢲䢰䢴
䢲䢰䢲
䢯䢲䢰䢴
䢯䢲䢰䢶

䢲

䢷

䢳䢲

䢳䢷

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟

䢴䢲

䢴䢷

䢵䢲

/ŽŶŝǌĂƚŝŽŶƚŝŵŝŶŐ΀ŵƐ΁䢳䢱䣧䢢䣮䣫䣨䣧䣶䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣩䣴䣱䣷䣰䣦䢢䣵䣶䣣䣶䣧䢢䣯䣱䣮䣧䣥䣷䣮䣧䣵䢢䣝䣯䣵䣟

図 4.21 分子寿命 3。

䢻

䢺

䢹

䢸

䢷
䢲䢰䢸

䢲䢰䢺

䢳䢰䢲

䢳䢰䢴

䢯䢺

䣒䣴䣧䣵䣵䣷䣴䣧䢢䣝䣖䣱䣴䣴䣟䤸䢳䢲䢳䢰䢶

図 4.22 分子寿命-真空度比較。

䢳䢰䢸

第4章

74

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験

図 4.22 に図 4.19, 図 4.20, 図 4.21 のフィッティングから求めた寿命と圧力の関係を示す。そもそも、圧力を読み取って真空度の変化としていることがおおざっぱな議論であるが、とりあえずここでは真空度により寿命が極端に悪くなることはないとしてこの先の実験に進む。

4.3

振動回転基底状態分子の Cavity trap

本節では、Cavity trap による分子のトラップについて述べる。

4.3.1

PA 分子の拡散

分子が Cavity trap で捕まえられたかどうかは、分子を検出するパルスレーザーの範囲外へ分子が時間と共に拡散していく様子を測定することで確かめる。つまり、トラッ
プされる成分があれば、それは拡散せずに検出範囲内に留まっている。すなわち、分子生成とパルスレーザーによる検出との間の時間を延ばしながら分子の信号を測定す
ることを行う。本実験においては、検出するパルスレーザーのビーム直径を約 2.2 mm
として拡散の時間を 30 ms まで延ばして測定することで、Cavity trap の効果が現れていることを確認する実験を行った。30 ms という時間設定は、このパルスレーザーの範囲外へ拡散する時間として十分と考えたことによる。
前述の通り、高強度の 1064 nm により PA 分子が壊されてしまうことが分かったが、振動回転基底状態分子の Cavity trap を行う前に、この PA 分子の拡散の振る舞いを測定しておく。すなわち図 4.10 のシーケンスにおいて「STIRAP」の後 τ [ms] だけ時間をおいて PA 分子をイオン化検出する (イオン化波長を 16186.2 /cm にする)、という実験を、high power の 1064 nm の場合と low power の 1064 nm の場合とで比較する。この測定は、確かに PA 分子に関してはトラップされないことを再確認する意味も含む。
また、図 4.10 において実験のシーケンスを 240 ms へ延ばしていることについては、
MOT のローディングのレートが変わるためである。図 4.23 と図 4.24 は真空チャンバーの窓からの MOT の蛍光を PD で観測したものである。つまり 120 ms 周期と 240 ms 周期では、1 シーケンスの間に再回収できる原子の数が変わる。特に今回 CMOT から次の MOT までに 30 ms の時間が空いてしまうため、シーケンスの周期を延ばすことで少しでも原子のローディングレートを上げ、1 シーケンスごとにできる分子の数を多くしたいと考える。

4.3 振動回転基底状態分子の Cavity trap75

図 4.23 41 K と 87 Rb の蛍光-120 ms 周期。

図 4.24 41 K と 87 Rb の蛍光-240 ms 周期。

PA 分子拡散の測定結果を図 4.25 に示す。挿入図は拡大図である。これにより τ = 2
ms から 30 ms にかけて一貫して high power の方が信号が下回っており、各時間 τ の間に PA 分子が 1064 nm により壊されていることを示していると考える。

䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟䢳䢲䢲䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣮䣱䣹䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣪䣫䣩䣪䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶
䣟
䣵䢴䢲
䣫䣶

䢺䢲

䣰
䣷
䢰 䢳䢷
䣤
䣴
䣣
䣝
䢢䢳䢲
䣵
䣶
䣰
䣷䢷
䣱
䣥
䢢
䣰䢲
䣱
䣋

䢸䢲

䢶䢲

䢷

䢳䢲

䢳䢷

䢴䢲

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟ĂǀŝƚǇƚƌĂƉƚŝŵĞ΀ŵƐ΁

䢴䢷

䢵䢲

䢴䢲

䢷

䢳䢲

䢳䢷

䢴䢲

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟ĂǀŝƚǇƚƌĂƉƚŝŵĞ΀ŵƐ΁䢴䢷䢵䢲

図 4.25 PA 分子の拡散。

4.3.2

振動回転基底状態分子のトラップ

PA 分子は確かに 1064 nm ではトラップされないことを確かめた。今度は本研究において最も重要な結果となる、振動回転基底状態分子の Cavity trap の測定結果を述べる。
これを行うにあたってまず問題となるのが、振動回転基底状態分子をイオン化検出する際のイオン化波長によって、振動回転基底状態分子とは関係ない分子もともに検出してしまうことである。この時のイオン化波長は、15407.5/cm であり、図 4.26 のポテ
ンシャル中の点線で示す 15200-15600 /cm の範囲から選択したという背景がある [42]。

第4章

76

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験

それは、PA 分子の準位 (v=91) から 15200-15600 /cm の範囲には共鳴が存在せず、振動回転基底状態分子を検出する際に混同せずにすむからである。しかしこのイオン化
波長で検出した時、実際に図 4.5 や図 4.18 から、high power の 1064 nm が入ることで振動回転基底状態分子以外の分子を検出してしまっている。これはおそらく PA 分子がhigh power の 1064 nm により別準位へ散乱されていることに起因する。15407.5/cm はPA 分子こそ検出しないが、それよりエネルギーが低い振動準位の分子は検出してしまう可能性が十分ある (図 4.26)。STIRAP を行った後も PA 分子は残っているので、図4.10 のシーケンスで時間 τ の間に high power の 1064 nm を立ち上げれば、イオン化検出する際にどうしてもこの「オフセット」がついてきてしまうのである。したがって、この問題は受け入れて実験を行うしかない。

ϭϲϬϬϬ<Zď 䜲䜸䞁໬䜶䝛䝹䜼䞊ŶĞƌŐǇ΀ͬĐŵ΁

ϭϱϬϬϬ
ϭϰϬϬϬ

yϭɇн͕ǀсϵϭ

ϭϯϬϬϬ
ϭϮϬϬϬ

yϭɇн͕ǀс͍Ͳ͍͍;фϵϭͿ

͏
͏

ϭϭϬϬϬ

yϭɇн͕ǀсϬ͕:сϬ

ϭϬϬϬϬ
ϯ

ϱ

ϳ

ϵ

/ŶƚĞƌŶƵĐůĞĂƌĚŝƐƚĂŶĐĞ΀ύ΁
図 4.26 41 K87 Rb 分子の電子ポテンシャル 2。

そこで本測定では、各 τ 毎に
1)STIRAP を行う、かつ図 4.10 で時間 τ の間も 1064 nm を low power にする。
2)STIRAP を行わない、かつ図 4.10 で時間 τ の間も 1064 nm を low power にする。
3)STIRAP を行う、かつ図 4.10 で時間 τ の間は 1064 nm を high power にする。
4)STIRAP を行わない、かつ図 4.10 で時間 τ の間は 1064 nm を high power にする。の 4 パターンの測定を行い、1) から 2) を、3) から 4) を差し引いたものを純粋な振動回
転基底状態分子の信号とした。また、ここで改めて第 3 章で調べた光トラップの各パ
ラメータを表 4.1 と表 4.2 にまとめておく。

4.3 振動回転基底状態分子の Cavity trap

77

パラメータ

値

Trap depth U
Scattering rate Rscat
Heating rate ηTrap frequency fradial
Trap frequency faxial

0.77 [mK]4.4 [1/s]
2.7 [µK/s]
0.18 [kHz]0.30 [MHz]表 4.1 41 K87 Rb のトラップパラメータ。

パラメータ

値

Trap depth U
Scattering rate Rscat
Heating rate ηTrap frequency fradial
Trap frequency faxial

1.3 [mK]6.6 [1/s]
1.3 [µK/s]
0.25 [kHz]0.42 [MHz]表 4.2 87 Rb のトラップパラメータ。

上記の測定方法で検出した振動回転基底状態分子の信号が図 4.27、図 4.28、図 4.29である。図 4.27 と図 4.28 の比較から、始めに high power の信号が low power の信号を下回り、あるところでそれが逆転する振舞いを示しているが、その減衰の時定数は異なる振る舞いを示す。
()
t − t0f (t) = a + b exp −(4.1)
τ0
実際に、式 (4.1) によりフィッティングすると、high power の場合 τ0 =18.1±11.1 ms、
low power の場合 τ0 =8.32±2.04 ms となった。この減衰の時定数と、十分時間が経過した時の信号の差異を以て振動回転基底状態分子がトラップの影響を受けていると解釈した。
この初期の時間で high power の信号が low power の信号を下回っているのは、パルスレーザーとトラップ中心との重なり具合によるのではないかと考えた。光トラップが立ち上がったとき、トラップに入る分子は共振器のビームウエスト付近に局在するはずである。また、共振器のビームウエスト位置がチャンバー中心に来るかどうかは
2 つのミラーの相対位置でのみ決まるので、ミラーの位置調節を厳密に行わない限り、今の状態ではビームウエストがチャンバー中心から少しずれた位置にある可能性が高い。したがって、図 4.30 のように、初期の時間にトラップが立ち上がったとき、トラップへ移行した分子とパルスとの重なりがずれた分、トラップへ移行した分子の実効的なイオン化の効率が悪くなり、信号が減る。しかし、十分時間が経つと、トラップに入らない分子は拡散していくのでパルスの範囲から消える。これによって図 4.29 の振舞いを示すと予想した。

第4章

78

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験䢲䢰䢶/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣮䣱䣹䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶

䢲䢰䢵

䣟
䣵
䣶
䣫
䣰
䣷
䢰

䣤
䣴
䣣
䣝
䢢
䣵
䣶
䣰
䣷
䣱
䣥
䢢
䣰
䣱
䣋

䢲䢰䢴

䢲䢰䢳

䢲䢰䢲

䢯䢲䢰䢳
䢷

䢳䢲

䢳䢷

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟

䢴䢲

䢴䢷

䢵䢲

ĂǀŝƚǇƚƌĂƉƚŝŵĞ΀ŵƐ΁
図 4.27 振動回転基底状態分子の Cavity trap with low power 1064。

䢲䢰䢶/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣪䣫䣩䣪䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶

䣟
䣵
䣶
䣫
䣰
䣷
䢰

䣤
䣴
䣣
䣝
䢢
䣵
䣶
䣰
䣷
䣱
䣥
䢢
䣰
䣱
䣋

䢲䢰䢵

䢲䢰䢴

䢲䢰䢳

䢲䢰䢲

䢯䢲䢰䢳
䢷

䢳䢲

䢳䢷

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟

䢴䢲

䢴䢷

䢵䢲

ĂǀŝƚǇƚƌĂƉƚŝŵĞ΀ŵƐ΁
図 4.28 振動回転基底状態分子の Cavity trap with high power 1064。

4.3 振動回転基底状態分子の Cavity trap79䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣮䣱䣹䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣪䣫䣩䣪䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁

䢲䢰䢶

䢲䢰䢵

䢲䢰䢴

䢲䢰䢳

䢲䢰䢲

䢯䢲䢰䢳
䢷

䢳䢲

䢳䢷

䢴䢲

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟ĂǀŝƚǇƚƌĂƉƚŝŵĞ΀ŵƐ΁䢴䢷䢵䢲

図 4.29 振動回転基底状態分子の Cavity trap-low power と high power の比較。

図 4.30 トラップ中心とパルスレーザーとの位置ずれ。

第4章

80
87

4.3.3

振動回転基底状態分子の Cavity trap の実験

Rb のトラップ

最後の節で 87 Rb の Cavity trap の測定を行った。このとき、実験の状況としては前節と全く同じで、振動回転基底状態分子を生成した状態で、同時に 87 Rb もトラップされているかを調べた。イオン化波長を 15870.5 /cm に設定することで Rb イオンを検出している。図 4.31 がその結果である。挿入図は拡大図である。図 4.29 と同様の振舞いを示していると言え、こちらも光トラップの効果を受けていると解釈する。

/ŽŶĐŽƵŶƚƐ΀Ăƌď͘ƵŶŝƚƐ΁䢸䢲䣋䣱䣰䢢䣥䣱䣷䣰䣶䣵䢢䣝䣣䣴䣤䢰䣷䣰䣫䣶䣵䣟䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣮䣱䣹䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶䢢䣹䣫䣶䣪䢢䣪䣫䣩䣪䢢䣲䣱䣹䣧䣴䢢䢳䢲䢸䢶

䢳䢲

䣟
䣵
䣶
䣫
䣰
䢰䣷
䣤
䣴
䣣
䣝
䢢
䣵
䣶
䣰
䣷
䣱
䣥
䢢
䣰
䣱
䣋

䢷䢲
䢶䢲
䢵䢲

䢺
䢸
䢶
䢴
䢲

䢴䢲

䢷

䢳䢲

䢳䢷

䢴䢲

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟ĂǀŝƚǇƚƌĂƉƚŝŵĞ΀ŵƐ΁

䢴䢷

䢵䢲

䢳䢲
䢲
䢷

䢳䢲

䢳䢷

䢴䢲

䣖䣫䣯䣧䢢䣱䣨䢢䣨䣮䣫䣩䣪䣶䢢䣝䣯䣵䣟ĂǀŝƚǇƚƌĂƉƚŝŵĞ΀ŵƐ΁

図 4.31 87 Rb の Cavity trap。

䢴䢷

䢵䢲

81

第 5 章 まとめと展望
本研究では、共振器により高出力の光を作り 41 K87 Rb 分子を光トラップすることを目指した。分子は原子と異なり、電子状態に加えて振動回転状態が多数存在するために、高出力の光が入射すると散乱レートが高くなりトラップできない可能性がある。しかし、誘導ラマン断熱遷移によって振動回転基底状態に生成した KRb 分子は理論計算[47] を参考にすると、1064 nm のレーザーを用いることで、十分散乱レートを抑え、かつ十分な光トラップのポテンシャルを作れると予想された。しかし、そのためには 1kW
レベルの高強度電場が必要になり、共振器を組んでレーザー光のパワーを増幅させることを試みた。
まず、ブリュースター窓を利用しロスをできるだけ抑えた共振器により分子の温度に対し十分なポテンシャルを作り、その共振器をロック回路に加え、金属の板を設置することで安定化させた。しかし、イオン化パルスのスイープにより PA 分子が高出力の 1064 nm により壊されていることが疑われた。これを受けて自動ロックシステムによりロックのタイミングを自在に切り替えようとしたが、今回の実験の繰り返しレー
トでは自動ロックの時間的な遅延によりそれが上手くいかないと判明し、光のパワーを調節すると同時に AOM でエラー信号を調節することで、ロックを安定化したまま共振器内のパワーを調節することを行った。
その後、パルスレーザーの照射タイミングをずらす実験を行い、時間的な分子の拡散を測定し、Cavity trap を行うことでこの拡散が少しでも抑えられることを観測しようと試みた。まず PA 分子に関しては前述の疑い通り、拡散が抑えられるどころかむし
ろ高出力 1064 nm によってどのパルスのタイミングにおいても信号が減る結果であった。これに対し、振動回転基底状態に用意した分子に、共振器で増幅された 1064 nmを照射した際、低出力の 1064 nm の照射時に比べ、分子の拡散の時定数が増え、かつ時間の長いところでは信号が増大する傾向が見られた。これを受けて、振動回転基底状態 KRb 分子のトラップの効果が表れていると判断した。振動回転基底状態分子を生成した状態で 87 Rb 原子に関しても同様の実験を行い、実験結果からトラップされていると判断した。
第 4 章の結果から、実際にトラップでどの程度の数捕獲できたかを見積もりたい。図4.28 で 20 ms から 30 ms の時間帯のイオンカウントをトラップされた分子による信号と判断すれば、[42] での振動回転基底状態の分子数の見積もりから、この数はおおまかではあるがオーダーとして数十個である。Rb 原子に関しても、トラップされた数を見積もると 106 個のオーダーである。

82

第5章

まとめと展望最後に、本論文における研究の展望として筆者が考えることを以下に列挙してこの章を結びたいと思う。

• まず、共振器内の増幅パワーを上げることがある。今回は Enhancemet factor が40 程度であり、ロスが大きい。ブリュースター窓の表面をメタノールでふくことで多少改善されたが、まだまだロスは大きい。原子が長い年月の中で窓の裏側に固化して付着している場合は、窓をベーキングするなどして追い出すことが考えられる。
または共振器ごとチャンバー内に入れてしまう手段が考えられる。この場合はロスを少なくできるだけではなく、ミラーどうしをガラス管などで固定することでロックを強固にできるため、より理想的が状況が作れる。ただし、その場合は共振器長が本研究に比べ短くなるので、トラップのビーム径に対しミラーの曲率半径を考え直す必要はある。
• 次に、分子数を多くすることである。本論文では 30 ms のトラップとしているが、この時間を 2 倍、3 倍と延ばしたい場合、一回のシーケンスでできる分子数が減ってしまい、実験の周期を長くする必要があるため実験の測定時間が今よりかかってしまう。[52] によれば、原子供給の数が減っているために PA レーザーの高出力化に伴い分子数が増えるはずがキャンセルされてしまった、とあるので、まずディスペンサーの交換により原子数を増やすことができれば、分子数も自動的に増えるはずである。トラップする分子数の目標の指針として吸収イメージングがある。協同冷却で分子を冷却しその温度を吸収イメージングによって測定する場
合にはトラップする分子数は 1000 個程度以上が望ましい。
原子供給量の増加とは別に、分子数を増やす方法としては、CMOT 中で Cavity
trap を行い原子をトラップ、圧縮して PA レートを上げる方法を考える。ただし、その場合原子を効率よくトラップへ入れるには CMOT のパラメータ (離調、磁場）を操作する必要性が出てくると予想される。
• 本論文中では言及していないが、Cavity trap の実験を行う前に Cavity ロックのテストとして、全く同じミラーを用いてブリュースター窓なしの場合に共振器を組んでロックした実験を行った。その際の測定で Enhancement factor が 240 程
度と見積もれた。これをチャンバー内で実現できれば (ビームウエストが変わらないとして) 今の 6 倍程度のポテンシャルが期待できる。
ポテンシャルが深くなればトラップできる数が増え、それに加えて分子数が 2 倍、3 倍となれば測定の S/N 比も上がると期待する。
ディスペンサー交換、および共振器をチャンバー内部へ入れる場合には、いずれにしてもチャンバーの真空を一度破りまたベーキングし直す作業を強いられるが、その手間をかけてでもやる価値は十分あると考える。
• ただし、今後トラップ時間をより長くした実験を行いたい場合、現状の真空度は決して良い条件ではない。分子数が増え、かつポテンシャルが深くなった場合で

83
も、トラップの寿命は真空度でいつかは制限されてしまうので、真空度は一桁以上改善することが理想的である。

• 最後に、今回の測定における問題としては、振動回転基底状態分子のイオン化検出の際に余計な信号が出てしまうことであったので、これを解決することも重要である。もしこれが PA でできる準位の分子によるものとすれば、それを選択的に吹きとばす方法、もしくは今回とは異なるトラップ波長 (例えば 1064 nm → 1080nm など) を用いることで、振動回転基底状態分子に対し十分なポテンシャルを作り、かつ PA 分子の散乱レートを抑える方法などが、この問題の解決あるいは改善に役立つ可能性はある。

85

付 録A

共振器ロックの回路図

ここでは本研究で使用したロック回路の設計図を載せる。

ロック回路 (自動ロック)

A.1

自動ロックの仕組みを導入した回路図を図 A.1 に示す。「PD IN」には共振器からの透過光を受ける PD の電圧が入力される。この電圧値が「PD Threshold」で定めた値を超えると Sample ＆ Hold が三角波の値を一定に保持し、その値に増幅された Error
signal を加算して「PZT OUT」からの出力としてピエゾ素子へ信号が送られる。すな
わち、共振器が共鳴した時「PD IN」の信号が鋭くなり、その共鳴状態を保つように
フィードバックが返される。Polarity ではフィードバックの符号を変える。共振器の共鳴点に対し正のフィードバックとなるときはサイドバンドにロックするか、ロックがかからなくなる。
7ULDQJXODU:DYH,1
儗兗儵児兠儣

 6DPSOH
+ROG

N
7ULDQJXODU:DYH$PSOLWXGH

3',17/ 9

23(



 /)/RFN
212))

09
N

3'7KUHVKROG

N

9
N
N

(UURUVLJQDO
,1



N

9
N

0RQLWRU2XW

7ULDQJXODU:DYH
2IIVHWN9

3RODULW\

23(

*DLQ

N

N
9
儆兗儻儎儹償儧儬Q



0$;

3=7287

N


N 

N

N

3RODULW\
23(

N

✚ศᅇ㊰

図 A.1 自動ロックの回路図。

23(
N

付録 A

86

A.2

共振器ロックの回路図

プリント基板のロック回路

図 A.2 にプリント基板化されたロック回路の回路図を示す。このプリント基板は [52]における研究で設計し、発注されたものである。こちらの回路を使用した場合、図 A.1の回路に比べロックが安定しやすかった。ただし、初段の 5 kΩ 可変抵抗の調節に対し(反転増幅のゲイン調節) ロックのかかり方が敏感であった。また、この回路は元々は
ECDL のロック用に作成されたもので、LD に流す電流へのフィードバックの回路も加わっているが、本研究ではピエゾ素子へのフィードバックのみ必要なので、こちらの部分は使用していない (図 A.2 中にはこの回路部分は載せていない)。
S(UURUVLJQDO
,1



/RFN


N

$'

Q

S

N

N
N

N
7/

N

7/

3RODULW\

7/
9

N
N

N
N

N

N
23

3=7287
91N

7ULDQJXODU:DYHIRUP
,1
N

7/
Q

N

N

23

N

図 A.2 プリント基板のロック回路図。

参考までに、オペアンプによるロック時の信号のノイズを比較したものを紹介する。
このときの共振器のロックは全く別の実験系で行い、ブリュースター窓がなく、共振器長が約 150 mm の状態で測定したものである。図 A.2 で TL084 となっているところ
は [52] では OP470 であった。これらはともに 14 ピン配置で内部に 4 つの回路が入っている。始めに、OP470 のまま、ロックをかけたところ、図 A.3 のような状態になった。
CH4 が共振器からの反射光強度を示す。このとき FSR 間隔で複数ピークが立っているが、矢印のモードにロックしている。この状態から回路のゲインを大きくすると高周波で発振が起こり、すぐにロックが飛んだ。オシロスコ-プの FFT によりノイズ成分を見ると、図 A.4 のように 1 kHz 前後にピークが立っている。一方で、TL084 に置き換
えてロックした場合図 A.5 のようになった。同様にオシロスコ-プの FFT によりノイズ成分を見ると、図 A.6 のようになり、図 A.4 で見たノイズ成分がなくなった。

A.2 プリント基板のロック回路

87

䝻䝑䜽๓

䝻䝑䜽ᚋ

䛣䛾䝰䞊䝗䛻䝻䝑䜽

䝻䝑䜽KE

図 A.3 OP470 を使用した場合のロック。

図 A.4 OP470 を使用した場合のロック-FFT。

䝻䝑䜽๓

䝻䝑䜽ᚋ

䝻䝑䜽KE

図 A.5 TL084 を使用した場合のロック。

88

付録 A

共振器ロックの回路図

図 A.6 TL084 を使用した場合のロック-FFT。

特に、第 3 章でも述べたように radial 方向のトラップ周波数が 0.36 kHz〜0.50 kHz
程度であり、さらに光トラップの強度が上がるとこの周波数も大きくなるので、図 A.4のようなノイズがトラップ中で加熱を引き起こす可能性もないとは言えない。かつ、図A.3 のようにロックも不安定であるので実験を行ううえで条件は悪い。このオペアンプの置き換えによる改善の理由を解明していないのだが、図 A.3 では低周波数成分に対するゲインが足りずに不安定になっており、そこからゲインを上げると発振するのは、高周波数で位相遅れが生じフィードバックが正帰還となるためと考えられる。位相余裕を大きくすために各 OP470 の抵抗と並列に小さい容量 (10 nF) のコンデンサを接続してみたが、改善はなかった。オペアンプの位相特性と利得特性の両方の兼ね合いで決まるので、単純にこのやり方だけでは解決策にはならなかったのかもしれない。ただ、実験事実としてオペアンプの違いによりロックの安定度が変わったのでここで述
べておく。

89

謝辞
本論文は東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻修士課程における研究内容をまとめたものです。筆者は、修士課程 1 年次は昨年度まで本大学准教授であり現大阪市立大学教授である井上慎先生の研究室の所属であり、修士課程 2 年次から小芦研究室の所属となっています。まず最初に、本論文を執筆するに至るまでに、多くの方々にお力添えをいただいたことに心から感謝の言葉を述べさせていただきます。
井上慎先生には修士 1 年のときから現在に至るまで、お忙しい中丁寧にご指導していただきました。ミーティング等で、私自身の研究に限らず、学生に対して的確な助言に加え、物理の本質はかくなるものということを分かるお話をして下さり、非常に勉強になりました。また、研究者として自身に欠けているところを考えさせられることもあり大変感謝しております。今回の研究テーマでここまで来ることができたのも、恵まれた環境を作ってくださり、主体的に研究を進めることの大切さを教えていただ
いたからだと思っております。本論文執筆も含め、実験結果を主張するうえで、その根拠となるものをより客観的な目線で考える大切さや、目的としていた実験の結果を提示する際に、広い視野で見た場合どの情報が大事か、どの要素が含まれていなければならないかを考えるということを教えていただき、分野に関わらない研究者としてのあるべき姿を学ばせていただきました。小芦雅斗教授には、実質的には今年度 1 年間指導していただいた形ではありましたが、実験のミーティングやセミナーにおいて、こちらが思いつかない視点で本質をつくお話をされたり、学生の主張に対して論理的な欠落を指摘される姿はとても勉強になりました。小林淳京都大学特定准教授 (元井上研究室助教) には昨年度の数か月間の短い間ではありましたが、E2 装置について教えていただき、またミーティングでも鋭い指摘をしていただき、本当にありがとうございました。また、今年度に入ってからも、私が実験で直面した問題でご相談することがあり大変お世話になりました。昨年度井上研を卒業された荻野敦氏には私が修士 1 年の間一貫して E2 での実験について一から教えていただき、私の実験においてわからな
いことも丁寧に教えていただきました。氏が修士の研究テーマに対し真剣に取り組む
姿は常にお手本でした。また、私が修士 2 年の間 E2 の装置を使って自分のやりたいと思うことを積極的に行えたのも、氏のご指導のおかげであると思っております。本当にありがとうございました。京都大学大学院理学研究科特定研究員の加藤宏平氏には昨年度、実験における壁にぶつかった際に助言していただいたり、実験を行ううえで基本的なことを指導していただき、大変感謝しております。修士 2 年の岡田彪利氏は実験室の同じ装置を共有して実験を行っていたため、私の都合に合わせてスケジュー
ルをずらしていただいたり、ご迷惑をかけることもありました。また、実験においてもミーティングや発表の場面においても、氏の物理を理解することに対する姿勢はと

90

謝辞

ても見習うべきだと思いました。今年度は広い実験室で作業するのは氏と 2 人だけという状況でしたが、実験装置で同じ問題に悩まされたり、物理の問題で話を聞いてくれたりと、協力することもあり、助けられることもあったため、非常に有意義に過ごすことができました。博士課程に進学してからも更なるご活躍をお祈りしております。
同じく修士 2 年の永松剛氏は、同期としても親しみやすく、セミナーや論文読みでの発表も見習うべきところが多々ありました。電気通信大学准教授 (元小芦研究室助教) の丹治はるか氏は、実験ミーティングやセミナーにおいて活発に議論されており、疑問を投げかけるポイントが鋭く、自身もこういう視点を持って取り組みたいと思いました。特任研究員の佐々木寿彦氏と学振 PD の中田芳史氏は小芦研におけるセミナーの場が主に接する場ではありましたが、ご自身の発表の際には鋭い指摘にも丁寧に分かりやすく回答され、学生の発表には素朴な疑問から的確な追究までなされており、物理的なものの考え方を学ばせていただく機会でした。博士 2 年の川上駿氏と鈴木泰成
氏はミーティング等で意見や指摘を下さり、研究を進めるにあたりとても助けられました。修士 1 年の岩田悠平氏、上東幹氏、米澤明秀氏はミーティングやセミナーの場でそれぞれが積極的に自分の考えで研究や勉強に取り組んでいる姿が見られ、自身も見習う点が多々ありました。学部 4 年の青柳弓槻氏と福原竜馬氏はともに課題に取り組む様子や発表における主張の仕方など、普段から自分の考えをきちんと持って過ごしていることが伝わりとても尊敬させられました。
工作室の川端氏、佐藤氏には共振器ロック用のアルミ板の製作を依頼し、こちらの無理な設計の要求に応えていただき本当に感謝いたします。おかげさまでロックの安定化につながりその先の実験に進めました。
最後に、遠い実家からいつも私を見守り、支えてくださっている両親に感謝を述べたいと思います。何気ない電話やメールのやり取りでも、疲れていたり、困難に直面しているときには常に励みでした。
本論文の結果は決して私一人の力では成し遂げることができなかったものであり、関わってくださった全ての方々に感謝と敬意を表して本論文を結びたく思います。本当にありがとうございました。

91

参考文献
[1] 鳥井寿夫, ルビジウム原子気体のボース・アインシュタイン凝縮体の生成および原子波干渉計への応用 , 博士論文, 東京大学 (2000).
[2] S. Chu, L. Hollberg, J. E. Bjorkholm, A. Cable, and A. Achkin, Three-dimensional
viscous confinement and cooling of atoms by resonance radiation pressure , Phys. Rev.
Lett. 55, 48 (1985).
[3] E. L. Raab, M. Prentiss, Alex Cable, Steven Chu, and D. E. Pritchard, Trapping of
Neutral Sodium Atoms with Radiation Pressure , Phys. Rev. Lett. 59, 2631 (1987).
[4] Alan L.Migdall, John V.Prodan, William D.Phillips, Thomas H.Bergeman, and Harold
J.Metcalf, First Observation of Magnetically Trapped Neutral Atoms , Phys. Rev.
Lett. 54, 2596-2599 (1985).
[5] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, and E. A. Cornell,
Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor , Science. 269,
198-201 (1995).
[6] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M. Kurn,and W. Ketterle, Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms , Phys. Rev.
Lett. 75, 3969 (1995).
[7] David E. Pritchard, Cooling Neutral Atoms in a Magnetic Trap for Precision Spectroscopy , Phys. Rev. Lett. 51, 1336 (1995).
[8] M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. M. Kurn, D. S. Durfee, and W.
Ketterle, Bose-Einstein Condensation in a Tightly Confining dc Magnetic Trap , Phys.
Rev. Lett. 77, 416 (1996).
[9] Tilman Esslinger, Immanuel Bloch, and Theodor W. Hänsch, Bose-Einstein condensation in a quadrupole-Ioﬀe-configuration trap , Phys. Rev. A. 58 R2664 (1998).
[10] Naoto Masuhara, John M.Doyle, Jon C.Sandberg, Daniel Kleppner, Thomas J.Greytak,
Harald F.Hess, and Greg P.Kochanski, Evaporative Cooling of Spin-Polarized Atomic
Hydrogen , Phys. Rev. Lett. 61, 935-938 (1988).
[11] A. Einstein,
Quantentheorie des einatomigen idealen gases (quantum theory ofmonatomic ideal gases) , Zeitschrift fuer Physik. 178-181 (1924).
[12] A. Einstein,
Quantentheorie des einatomigen idealen gases. zweite abhandlung ,Sitzungsberichte der Preussichen Akademie der Wissenschaften Physikalisch- Mathematische Klasse. 314 (1925).

参考文献

92
[13] Immanuel Bloch, Jean Dalibard, and Wilhelm Zwerger,
tracold gases , Rev. Mod. Phys. 80, 885-964 (2008).

Many-body physics with ul-[14] Cheng Chin, Rudolf Grimm, Paul Julienne, and Eite Tiesinga,
in ultracold gases , Rev. Mod. Phys. 82, 1225-1286(2010).

Feshbach resonances[15] Thorsten Köhler, Krzysztof G´ oral, and Paul S. Julienne, Production of cold molecules
via magnetically tunable feshbach resonances , Rev. Mod. Phys. 78, 1311-1361 (2006).
[16] C. A. Regal, M. Greiner, and D. S. Jin, Observation of resonance condensation offermionic atom pairs . Phys. Rev. Lett. 92, 040403 (2004).
[17] Markus Greiner, Olaf Mandel, Tilman Esslinger, Theodor W. Hansch, and Immanuel
Bloch, Quantum phase transition from a superfluid to a mott insulator in a gas ofultracold atoms , Nature. 415, 39-44 (2002).
[18] D.DeMille, Quantum Computation with Trapped Polar Molecules , Phys. Rev .Lett.
88, 067901 (2002).
[19] D.DeMiile, S.Sainis, J.Sage, T.Bergeman, S.Kotochigova, and E.Tiesinga, Enhanced
Sensitivity to Variation of me /mp in Molecular Spectra , Phys. Rev. Lett. 100, 043202(2008).
[20] J.J.Hudson, B.E.Sauer, M.R.Tarbutt, and E.A.Hinds Measurement of the Electron
Electric Dipole Moment Using YbF Molecules Phys. Rev. Lett. 89, 023003 (2002).
[21] S.Ospelkaus, K.-K.Ni, D.Wang, M.H.G. de Miranda, B.Neyenhuis, G.Qu´ em´ ener,
P.S.Julienne, J.L.Bohn, D.S.Jin, and J.Ye, Quantum-State Controlled Chemical Reactions of Ultracold Potassium-Rubidium Molecules , Science. 327, 853-857 (2010).
[22] A.Micheli, G.K.Brennen, and P.Zoller, A toolbox for lattice-spin models with polar
molecules , Nature Physics. 2, 341-347 (2006).
[23] John M.Doyle, Bretislav Friedrich, Jinha Kim, and David Patterson, Buﬀer-gas loadingof atoms and molecules into a magnetic trap , Phys. Rev. A. 52, 2515-2518 (1995).
[24] L P Parazzoli1, N Fitch, D S Lobser and H J Lewandowski, High-energy-resolution
molecular beams for cold collision studies , New Journal of Physics. 11, 055031 (2009).
[25] Kevin M.Jones, Eite Tiesinga, Paul D.Lett, and Paul S.Julienne, Ultracold photoassociation spectroscopy:Long-range molecules and atomic scattering , Rev. Mod. Phys.
78, 483-535 (2006).
[26] M.W.Mancini, G.D.Telles, A.R.L.Caires, V.S.Bagnato, and L.G.Marcassa, Observationof Ultracold Ground-State Heteronuclear Molecules , Phys. Rev. Lett. 92 133203 (2004).
[27] D.Wang, J.Qi, M.F.Stone, O.Nikolayeva, H.Wang, B.Hattaway, S.D.Gensemer,
P.L.Gould, E.E.Eyler, and W.C.Stwalley, Photoassociative Production and Trapping of
Ultracold KRb Molecules , Phys. Rev. Lett. 93, 243005 (2004).
[28] Andrew J.Kerman, Jeremy M.Sage, Sunil Sainis, Thomas Bergeman, and David DeMille,
Production and State-Selective Detection of Ultracold RbCs Molecules , Phys. Rev.
Lett. 92, 153001 (2004).

93[29] S.Inouye, J.Goldwin, M.L.Olsen, C.Ticknor, J.L.Bohn, and D.S.Jin, Observation of
Heteronuclear Feshbach Resonances in a Mixture of Bosons and Fermions Phys. Rev.
Lett. 93, 83201 (2004).
[30] C.A.Stan, M.W.Zwielein, C.H.Schunck, S.M.F.Raupach, and W.Ketterle, Observationof Feshbach Resonances between Two Diﬀerent Atomic Species , Phys. Rev. Lett. 93,
143001 (2004).
[31] K.-K. Ni, S. Ospelkaus, M. H. G. de Miranda, A. Pe er, B. Neyenhuis, J. J. Zirbel, S.
Kotochigova, P. S. Julienne, D. S. Jin, and J. Ye, A High Phase-Space-Density Gas ofPolar Molecules , Science. 322, 231-235 (2008).
[32] K. Aikawa, D. Akamatsu, M. Hayashi, K. Oasa, J. Kobayashi, P. Naidon, T. Kishimoto,
M. Ueda, and S. Inouye, Coherent Transfer of Photoassociated Molecules into the
Rovibrational Ground State , Phys. Rev. Lett. 105, 203001 (2010).
[33] L. I. Schiﬀ 著, 井上健訳, 「新版量子力学 (上)」, 吉岡書店, (1970).
[34] L. I. Schiﬀ 著, 井上健訳, 「新版量子力学 (下)」, 吉岡書店, (1972).
[35] S. Rousseau, A. R. Allouche, and M. Aubert-Frécon, Theoretical Study of the Electronic
Structure of the KRb Molecule , J. Mol. Spect. 203, 235-243 (2000).
[36] A. Pashov, O. Docenko, M. Tamanis, R. Ferber, H. Knöckel, and E. Tiemann, Couplingof the X1 Σ+ and a3 Σ+ states of KRb , Phys. Rev. A 76, 022511 (2007).
[37] K. Aikawa, D. Akamatsu, M. Hayashi, J. Kobayashi, M. Ueda, and S. Inouye, Predicting
and verifying transition strengths from weakly bound molecules , Phys. Rev. A 83,
042706 (2011).
[38] R. J. Le Roy, Level 8.0:
A ComputerProgram for Solving the Radial Schrödinger
Equation for Bound and Quasibound Levels , University ofWaterloo Chemical Physics
Research Report CP-663 (2007); see http://leroy.uwaterloo.ca/programs/[39] G. Herzberg,
Molecular Spectra and Molecular Structure I. Spectra of Diatomic
Molecules , D. van Nostrand, (1950).
[40] John M. Brown, Alan Carrington, Rotational Spectroscopy of Diatomic Molecules ,Cambridge: Cambride University Press (2003).
[41] M. D. Lukin. Colloquium: Trapping and manipulating photon states in atomic ensembles , Rev. Mod. Phys. 75, 457-472 (2003).
[42] 相川清隆, All-optical selective formation of ultracold molecules in the rovibrational
ground state , 博士論文, 東京大学, (2011).
[43] 大麻浩平,

極低温極性分子の超微細構造に関する研究, 修士論文, 東京大学, (2011).

[44] C. J. Foot,

Atomic Physics , OXFORD UNIVERSITY PRESS (2005).

[45] R. Grimm, M. Weidemüller, Y. B. Ovchinnikov Review Article, Optical dipole traps
for neutral atoms , Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics. 42, 95 (2001).

94

参考文献

[46] K. M. Fortier, Individual trapped atoms for cavity QED quantum information applications , Ph.D. thesis, Georgia Institute of Technology (2007).
[47] S. Kotochigova, E. Tiesinga, and P. S. Julienne, Multi-channel modelling of the formation of vibrationally cold polar KRb molecules , New J. Phys. 11, 055043 (2009).
[48] Amodsen Chotia, Brian Neyenhuis, Steven A. Moses, Bo Yan, Jacob P. Covey, Michael
Foss-Feig, Ana Maria Rey, Deborah S. Jin, and Jun Ye, Long-Lived Dipolar Molecules
and Feshbach Molecules in a 3D Optical Lattice , Phys. Rev. Lett. 108, 080405 (2012).
[49] E. D. Black, An introduction to Pound-Drever-Hall laser frequency stabilization ,Phys. Rev. Lett. 61, 935 (1988).
[50] 稲田安寿, 極低温フェルミオン原子 6Li における s 波及び p 波対形成 , 博士論文, 東京
大学, (2009).
[51] 斉藤祐介, 福岡健太, 混合ボース気体の共振器増幅光トラップに向けた単一モード DPSS
レーザーの開発 , 卒業論文, (2010).
[52] 荻野敦,

冷却分子を用いた電子陽子質量比の恒常性の検証 , 修士論文, 東京大学, (2015).