水研センター研報，第１号，7 ― 21，平成１３年
Bull. Fish. Res. Agen., No.１, 7 ― 21, ２００１

沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達
小松

幸生＊１・増田章＊２

Nonlinear energy transfer among wind waves in coastal region
Kosei KOMATSU＊１ and Akira MASUDA＊２
Abstract It is necessary for accurate wind-wave forecasts in coastal region to develop an efficient scheme for calculating nonlinear energy transfer among resonance wind-waves in finitedepth water. In previous works, however, it was reported that the straightforward extension of arepresentative efficient scheme for deep water（the RIAM method）to finite-depth water tends toyield a ragged distribution of nonlinear energy transfer for depths a few times smaller than the
wavelength of dominant waves. In addition, extraordinary fine resolution is required to obtain asmooth and stable nonlinear transfer function. In this paper a new scheme was developed by
improving and generalizing the deep-water RIAM method, by virtue of which quite smooth nonlinear energy transfer functions were obtained even with coarse resolution.
Key word: wind-wave spectrum, nonlinear resonance interaction, finite depth water

理解し，生態系モデルによる精度の高い予測を実現す

は

じ

め に

るためには，波浪の挙動を正確に把握しておく必要がある。特に生物の生産活動が活発で砕波の影響が無視

海洋表層の混合層は風や波が起こす乱流混合の過程

できない沿岸域では，波浪のより厳密な記述が必要でで形成され維持される。混合層は生物活動の中心でああり，そのためには有限水深域における風波の非線形り，その発達を記述する数値モデルとしては，乱流にエネルギー伝達を高精度かつ効率的に計算する手法のよる混合過程を大気海洋間の浮力と運動量の交換比率

確 立 が 不 可 欠 で あ る。今 回，深 海 波 を 対 象 と し たで径数化するのが一般的であるが（例えば，Mellor

RIAM 法（Komatsu and Masuda, １９９６）をもとにしand Yamada（１９８２）, Large et al.（１９９４）など），こて有限水深域における高精度な計算法を新たに開発しれらは大気と海洋の境界面における波浪の影響を無視た。そして，これを用いて有限水深域における風波のしている。波浪は，砕波の際にエネルギーを乱流に輸

非線形エネルギー伝達の特性を調べた。

送し，また波と乱流とで相互にエネルギーを交換し合スペクトル波浪予報モデルでは，第１近似として波うなど，乱流の物理過程を記述する上で無視できない。

浪を無限に多くの成分波の重ね合わせで表現し，各成

特に，風の作用によってしばしば海洋表層に誘起され分波は線形分散関係を満足しながら各々独立に伝播す

る Langmuir 循環は，卵稚仔やプランクトンなどを集ることを仮定するが，高次の非線形項を考慮に入れる

積する効果を持つことがよく知られており（Lalli andと，各成分波は弱いながらも相互作用を通して互いにParsons, １９９６）, D Asaro and Dairiki（１９９７）によるエネルギーを交換するようになり，各々の振幅は時間

現場観測では混合層内の乱流強度を高める効果も指摘的に変化する（Phillips, １９６０）。この成分波間の共鳴されている。

相互作用は，Hasselmann（１９６３）により非線形エネ

従って，表層混合層の生物過程についてその実態をルギー伝達関数として定式化され，以後，いくつかの

２００１年８月２０日受理（Accepted on August ２
０, ２
０
０
１）
水産総合研究センター業績 A 第２号（Contribution No.A ２ from Fisheries Research Agency）＊１
中央水産研究所 〒２３６-８６４８ 神奈川県横浜市金沢区福浦２-１
２-４（National Research Institute of Fisheries Science, Fukuura, Kanazawa, Yokohama ２３６-８６４８, Japan）＊２
九州大学応用力学研究所 〒８１６-８５８０ 福岡県春日市春日公園６-１（Research Institute for Applied Mechanics, Kyushu University,
Kasuga-koen, Kasuga ８１６-８５８０, Japan）

8

小 松・増 田計算法が提案されたが（e. g., Longuet-Higgins, １９７６；

安定性に優れた Masuda 法をもとにして効率的な非Webb, １９７８），精度の悪さや，結果の不一致もあって線形伝達計算法である RIAM 法を開発し（Komatsu

非線形エネルギー伝達の解釈をめぐって混乱した状況

and Masuda, １９９６），非線形伝達のより詳細な特性をがしばらく続いた。こうした中 Masuda（１
９
８
０）は特

調べるとともに，続いて，この特性を利用して実用的別な仮定や近似を導入しない計算法（以後 Masuda

な簡便法 S-RIAM 法を開発した。この S-RIAM 法の法と呼ぶ）を新たに開発し，精度良い計算を行ってこ開発により，非線形伝達の高精度かつ簡便な実用的計の混乱した状況を解決した。Masuda（１
９
８
０）以後，

算法の開発という，波浪予報モデルの精度向上におけ積分変数の配置を工夫したり，相互作用の対称性を利る重要課題は，深海波に限ればほぼ解決できたと考え

用 す る こ と に よ っ て，Hasselmann（１９６３）と Webb

られる。

（１
９
７
８）のそれぞれの方法を効率化した Hasselmann

しかし，有限水深波については非線形伝達の高精度

and Hasselmann（１９８１, １９８５）や Resio and Perrie（１９９１）の方法などが開発され（e. g. Young et al., １９８７；Young and Van Vledder, １９９３），現在では，非線形かつ実用的な計算法は開発されていない。そのため，沿岸域の波浪予報では，深海波の非線形伝達に水深に依存した強調因子を施すだけの径数法による扱いが主

伝達は風波エネルギースペクトルの自己相似的な発達流である（WAMDI Group, １
９８８）。準厳密法としてに際し，は，Hasselmann and Hasselmann（１９８１）の計算法， スペクトルピークの低周波への遷移，
 自己相似なスペクトル形の維持，
 スペクトル方向分布の周波数依存性

Masuda 法に基づく Polnikov（１９９７）の計算法，RIAM
法を有限水深域に拡張した Hashimoto et al.（１９９８）の計算法があり，また，Zakharov（１９６８）の表現に基づくものとして，Lin and Perrie（１
９
９
７, １
９
９
９）の
計算法があるが，これらは精度が悪く滑らかな解が得に対して重要な役割を果たしていると考えられていられない，安定した解を得るのに非常に細かい波数分る。

解能を要する，互いの解が一致しない，など解決すべ

しかし，これらの計算法はあくまで特定のスペクト

き問題点がいくつかある。

ルに対して理論計算を行うために開発されたもので実本論文では，以上の問題点の解決並びに高精度な簡用的ではなく，そのため旧来の予報モデルでは非線形便法の開発を視野に入れて，（準）厳密計算法の中で伝達を直接扱えず，特に風が複雑に変動する場合に予も高い計算効率を持ち汎用性と数値安定性に優れた報精度が著しく低下するという欠点を持っていた

RIAM 法について，これを有限水深域に拡張し，改（SWAMP, １
９８５）。そこで，この問題を解決すべく開良を加えて高精度な有限水深版の非線形伝達計算法を発された第３世代の WAM モデル（WAMDI Group,

新たに開発した。以下では，まず，この計算法の計算

１９８８）では，離散相互作用近似法（Hasselmann et al.,

手順について述べ，続いてその性能と，様々なスペク１９８５）を採用して非線形伝達を計算し，まずまずの成トル形を与えて得られた有限水深域の非線形伝達の特功を収めている。ただ，この近似法は，連続的に無限徴について述べる。

に存在する共鳴４波の配置を唯１組（鏡像を入れて２組）で代表させるものであるが，スペクトル形に敏感

有限水深域における非線形エネルギーに依存する非線形伝達の特性ゆえ（Masuda, １
９
８
０）
，

伝達の数値計算法

現実的な波数分解能で数千組ある共鳴配置の効果を唯１組で賄うのは無理があり，実際，この近似法は周波基礎方程式数あるいは波向について集中度の高いスペクトルや双一般に，成分波間の非線形相互作用は，線形解の重峰性スペクトル，あるいは標準的な JONSWAP スペ

ね合わせに対する摂動によって取り扱われる。水面重クトル（Hasselmann et al., １９７３）に対してさえ著し

力波の場合，３次のオーダーで初めて位相速度の変化

く 精 度 が 悪 い（Komatsu and Masuda, １
９
９
６）
。こ の

が起こり，以下のような４波共鳴条件

     

ように，特別な仮定や近似を設ける方法は新世代の予報モデルに組み込むべき計算法としては，適切であるとはいえない。かといって，厳密計算法を予報モデル

に直接組み込むことは現時点の電算機能力では不可能を満足する成分波間でエネルギー交換が起こる。ここである。そこでわれわれは，厳密計算に近い精度と汎で，用性を有しつつ，かつ可能な限り効率的な計算法を新角 周 波 数（周 波 数）で あ り，線 形 分 散 関 係 式

たに開発することが必要と判断し，まず，精度が良くは成分波の波数ベクトル， はで関係づけられている。ただし，

9

沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達



((で

は重力 加 速 度 で， は 水 深 で あ る。ま た '6    

あ り，成 分 波 の 進 行 方 向（波 向）を  と し て，  である。

  

'877 7777 779

共鳴４波によって構成される波数配置を適切に表現するものとして Longuet-Higgins の４波相互作用の図がある（Fig.

1）。つまり， ) と * が決まると，+ と , は自由度を一つ残して-一定の曲線上に決(.(として，"
01- /

まる。ただし， 

ただし，群速度を@ AA  B  @ 



として，

である。
風波は連続なエネルギースペクトルを持つので，Fig. 1に見るように共鳴４波の組は無数に存在する。

の関係を用いた。

それゆえ，全体として平衡状態にない限り，成分波相

前述のように４波共鳴条件のもとでは， ) と * が互のエネルギー伝達が起こる。この共鳴相互作用によ決まれば， + と , が自由度を一つ残して決まる。こり単位時間に各成分波に渡されるエネルギーを非線形の残った自由度を表現する径数として， エネルギー伝達関数と呼び，本論文では T と記す。

採用する。すると，共鳴条件より，!   を

水面重力波に対するエネルギー伝達関数を最初に導いた の は Hasselmann（１
９
６
２，
１
９
６
３）で あ り，そ れ は 粒
子衝突と類似の Boltzmann 積分を用いて以下のよう33に表される：

2 *  444  + , )50+ , ) *1'6 + , ) *6    '877 7777 779: お よ び 77 :   は，そ れ

こ こ で，  

%"  !#"$&' ! 

であり，これから分散関係式を用いて  を得る。

? により，  は一意に決まり，
0
1  とすると，-CDに対して ! の領域
このとき，条件 

 

6は，
を満足する成分波間で相互作用が生じることを意味する。また，5 は相互作用係数で以下のようも次のように制限される：に定義される６次の斉次関数である：

そして，

ぞれ波数成分に対する２次元エネルギースペクト

E!E
E?<
?E

ル（密度）と作用（密度）であり，デルタ関数

共鳴条件

0
1

5 ;<=> + ,)*
ただし，>は水の密度であり，= は付録に示す。
９８０）の式変形を有限水深域
以下では，Masuda（１に拡張する。まず， + および , に関する対称性を利?  の条件のもとに，非線形エネルギー
伝達関数を ,  ) * +について積分する。このとき，実際の予報モデルでは伝達関数を 2 より
2 で表現する場合が多いことを考慮して，結局を次のように書き換える：%&
2        @@5
用して， 

33 33



を  について積分し，変数変換!  !  H!  FG 
2 は最終的に次のようになる：

を施すと，

33 3

%
&
2  D<! DIF D<!JK JK JK @@45L'877 7777 779
ここで，3!3 F3!
I<
<  I

<
< 

10

小 松・増 田3!3F3!'J J Jは次のように置き換えられている：

I
<
D  D

<
D  K K K

E
S  E
E
E
E
E
E
E
E 
A

 !E
@
@





E


K

E
E@4AEE
E @  E
E
ただし，   かつ !
Dのとき，LDになる。
すなわち，特異点は平 面 !
D上の曲線 -Dに沿っ? に よ0 っ て，３平
面 !
<，
1
!
!
 ， !

F
D

と曲面
によって囲まれた

て位置する。

領域は除外される。

適切に処理することで数値不安定を防いでいた。同じた だ し，条 件 

さ て，分 母L は，6    に よ り 生 じ た

もので，次のように与えられる：

Masuda 法ではこの特異点付近の積分を解析的かつ手法を RIAM 法にも適用したが，後で述べるように
今回開発した有限水深波の計算法では共鳴４波の周波? ? ?  の大小関係を設けた ので，特異点処理は不要である。なお，    E
E EE A EE
EEA EE
LEEEAA   EEE

数に関して DNO

I-Fig. 1. Figure of eight representing the conditions for the four-wave resonance：contours ofdefined in）and for）. These figures show that afordeep water（ M
finite-depth water（ Mpair of wavenumbers+ and , resonate with another pair of ) and * such that+ , ) * P, only when they lie on the same contour of . In both figures contour interval is０．
０５, shaded regions indicate positive , and Q and R are wavenumbers relative to the peak wavenumber M which is set at the value equal to P .

   


-

 
( (

-

11

沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達の特異点からの寄与分は，深海波の RIAM 法と同様の波を内側共鳴対としていた。そして，外側高周波成に計算する必要はない。後述の「箱」による扱いをし分ある状況を示し，その箱の中の授受は相殺されるから

  に相対的に ， ，  を与えて，残る成分
， ，  を決めていた。しかし，後述のように，
RIAM 法を直接適用すると， M （ M はスペクトルである。

ピークの波数）の値によっては結果の凹凸が目立ち，有限水深版 RIAM 法の計算手順

１
９
９
８）
。この問題点を解決するため，各成分からの寄た場合，この特異点は共鳴４成分波が同一の箱の中に

 

計算の安定性に欠け精度が悪い（Hashimoto et al.,
深海波を対象にした RIAM 法では，計算効率を上

与分

62UV，62WV，62UX，62WX を詳細に調べた。そのげるためにHasselmann and Hasselmann（１
９
８
１, １
９
８
５）

結果，これは，有限水深域では共鳴配置の「８の字や Resio and Perrie（１９９１）と同様に共鳴相互作用の（Fig. 1）」が扁平になり，内側共鳴対で与えた  の対称性を利用していた。ただし，ここでの対称性は以変化に対して，式下の２種類に区別される。

ことに起因することが分かった。そこで，この影響を第１種の対称性は，Boltzmann 積分によって表現で決まる  の変化が大きくなる緩和するために，共鳴４波の周波数における大小関係

として，周波数  の波を内側でなく外側の共鳴される共鳴成分波間の相互作用の性質自体に基づくもをのである。RIAM 法では，式対の低周波成分としたのである。また，あらかじめ与で成立する作用の保える内側共鳴対の波数成分とは異なり，外側共鳴対の存則

667T +667T , 667T ) 667T *

波数成分は波数格子点上にはない。深海波版 RIAM
法では最寄りの格子点で単純に置き換えても精度の劣化は見られなかったが，ここでは波数空間上の周囲４を利用して，共鳴４波が周波数に関して点で代表させる方式を採用し，精度の向上を図った。

? ? ? 

第２種の対称性は，以下に挙げる共鳴配置の幾何学的な対称性によるものである（Masuda，
１
９
８
０）
：

の大小関係を設けることで，計算時間を１／４に短縮ある共鳴４波の組み合わせと鏡像関係にある

76Tは特定の共鳴している。ここで，6４成分波の作用 7が，それらの成分波間の共鳴によ組み合わせも共鳴４波を成し，相互作用係数5も同じである，って単位時間当たりに増える割合を表す。このとき，
共鳴条件

共鳴４波の組み合わせを任意角度だけ回転さから，エネルギーの交換は周波数が  の波と  の波が構成する外側共鳴対と  の波と  のせてもやはり共鳴が起こり，相互作用係数は変化しない，

波が構成する内側共鳴対との間で行われるので

 深海波の場合，共鳴４波の波数にスケール変（Masuda, １９８６）， 特定の共鳴４波を決めている場合，換を施しても，共鳴が生じ，相互作用係数はこの組み合わせの共鳴によって内側対の高周波側成分

スケール比の冪を変換前の相互作用係数に掛  の波が得るエネルギー伝達

62UV だけをけるだけで得られる。

求めれば他の成分がこの組み合わせの共鳴から得るエ62WV ，62WX ，62UX は，改めて計算しなくても相互作用の対称性を用いできるので，上に挙げた２種類の対称性を利用するたて同時に得られるというわけである。ただし，LO，

めに，

ネルギー伝達有限水深波の場合でも，上記

以外の対称性は利用

空間を非一様で有限な波数領域（箱，まLI， HI， HO は， それぞれ， 外側対の低周波側成分，

たは bin）に分割する（Hasselmann and Hasselmann,

内側対の低周波側成分，内側対の高周波側成分，外側１９８１；Resio and Perrie, １
９
９
１）
。

対の高周波側成分を表す。特定の成分波

は，上もし，ある４つの箱の組み合わせが共鳴条件を満足のどの成分になることもあるので，その全てを加えるするとしたら，その組み合わせに対して（i）鏡像変と，正味の非線形エネルギー伝達が次のように書け

換，（ii）回転変換，を施した組み合わせも共鳴条件

る：を満足する。この２種類の変換に関して相似な共鳴４2 2 2 2 2 波の組み合わせは全て同じ共鳴配置を有すると定義す

結局，非線形エネルギー伝達関数を求めるための

WX

WV

UV

UX

なお，深海波版の RIAM 法では共鳴対についてとは逆に周波数  と  の波を外側共鳴対， と るのである。

RIAM 法の手順を概念的に表現すれば次のように計
算される：

12

小 松・増 田2Je7fJgbT 62WX62WV62UV62UX
ここで，径数

５．核径数の計算

e7f，gbTはそれぞれ配置，回転変換（鏡するために，

像変換を含む）を示す。
深海波の場合，共鳴配置とそれに関連した


5に相対的な他の３つの共鳴波の波数成分を始め， ，Lといった核径数はあらかじめ唯一度計算するだけでよかった。しかし，有限水深波の場合は核径数は水深に依存し，しかも深海波のようなスケール変換ができない。そのため，核径数は の変化に応じて各空間
格子点上で，各  について計算する必要がある。結! F !

径数を ， ，  とする。このとき，鏡像を利用D?!?<， ?!?<とする。ただし，ここでは が波向格子上に来るよ

!
!
!
m
n
4は実数 4を越えである。ただし，op
数は l

うに径数 は変化させる。なお， および の格子ない整数を表す。これにより，記憶すべき配置の数は１／４に減る。この３つの径数の全てにつき各々以下の演算を行う。

局，有限水深域の非線形伝達は１つのスペクトルについて， M の値に依存するが，深海波の場合 の３
０倍



条件

を満足させながら式を解いて を求め，!

（wsHP７３５で３０秒）程度の計算時間を要する。なお，

共鳴条件を利用して ，  を求める。この段階で具体的な計算手順は以下の通りである。

共鳴４波全ての（絶対）周波数 とその格子番号 0が決まる。
1
核関数 q  
5@@L を求める。

（計算手順）
１．環境設定一時ファイル，結果出力ファイルの設定などを行 内側対高周波成分 HI に相対的な，他の共鳴波数!s sを求め（鏡像成分の波向の格子番号 rも含めて），核関数 qとともに，これらと４波による可能な配置との対応付けをしておく。

う。
２．計算に必要な諸径数の設定
ここで，周波数および波向の格子は以下のように設定する。

h として，最小周波数 i[ /から最大周波数（あるいは切断周波数）i^[ /h まで ， 0i^ i1h
比 j [kG

６．上で決まった配置毎に非線形伝達の計算
各配置について以下の計算を行う。

まず，周波数格子 / は，格子数をHI の波向を一定にして対数的に配置する：

j 4/

/



なお，このとき，分散関係式より /に対応する波@

数 /と群速度 / を求めておく。
一 方，波 向 格 子 i は，格 子 数 をk <lで等間隔に配置する：
 ik

i

l と し て，幅

ただし，周波数格子，波向格子の代表値は，各箱の中央値をとるものとする。

:0/i1を 読 み と り，作 用
01
7: /i @/ // に換算しておく。
４．内側対高周波成分波の周波数の設定
0 i1の周波数 / を i から
内側対高周波成分 /

３．エネルギースペクトルの設定
ス ペ ク ト ル

始めて i^ まで変えていき，その各々に対して以下の処理を行う。

あらかじめ求めておいた情報を作業領域に読み込む。

iを i から始めて il まで変えていき，その各々に対して以下の処理を行う。

 HI と 共 鳴 す る 他 の 成 分 の 波 向 の 格 子 番 号
rsr!sr
0iを求める。
1を 読 み と り ， 各 波 の 波 数 成 分 に
 作 用 7/rを 求 め，被 積 分 関 数
対 す る 作 用 77
q877 7777 779を計算し，この共鳴に7とする。このうち
よって生じる作用の変化率 667 については が必ずしも格子点上にないので周波数空間で を挟む両隣の格子点上の 7を用いて
7 について計算した q から線形補間して求め，6は ，  双方とも格子点上にないので，波数空間

7

67
q
全ての共鳴によって生じる作用の変化率を表す変0 i1に加算し記憶していく。
数 k7 /  を囲む４つの格子点上の  を用いて計算したから双線形補間して求める。この  を，でただし，高周波側で，最大周波数（あるいは切断周波数）より高周波側の成分波とのエネルギー交換を考慮しなくてはならない場合は，t i^の２次

元スペクトルを与えておく。ここでは，  に比例13

沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達すると仮定して，WAM モデルと同じく，# $: : i^L i^ i^ {は周波数 に依存し，% & w
{DDN;; M || NND} C~ MM

であり，
このとき，
方向集中度

と外挿している。
配置の種類全てにつき上の処理が済んだ段階で得られる

k7が，対応する波数成分における正味の非線形エネルギー伝達を示す。

である。なお，ここでは

Lx4は規格化因子， は平均波向で，D°とする。

また，以下では非線形エネルギー伝達

結 果 と 考 察32  <<2 

はじめに，計算の対象とした周波数スペクトルや方向分布などについての表記を定義しておく。

２次 元 ス ペ ク ト ル : は 周 波 数 ス ペ ク ト ル: と方向分布関数 L によって: : L 

2 の簡便化した１次元表示として，

を使用する。
有限水深版 RIAM 法の性能
他の計算法と比較する前に，まず，RIAM 法を単純に直接有限水深に拡張した計算法とその後改良を図3<L  を満足する。本論文では，扱う周波<
数スペクトル :として代表的な JONSWAP 型を与えと 書 け る。た だ し，方 向 分 布 関 数 は 規 格 化 条 件る（Hasselmann et al., １
９
７
３）
：

: :Y Z- ` % &a c  Md[\ ]B^_] M -B^_ u M

った計算法とを比較する。なお，ここでは簡単のため
前者を r-RIAM 法，後者の完成版を m-RIAM 法と呼ぶ。Fig. 2.

: ZNDに対して，は，PM スペクトル Yの 場 合 に つ い て r-RIAM 法，m例として M
RIAM 法で計算した非線形エネルギー伝達  である。ここで，スペクトルの方向分布は M-H 型とし2 

た。また，以下では周波数分解能，波向分解能はそれ

ここで， M， ， はそれぞれスペクトルのピーク周の精度と安定性に優れているが，有限水深波に対して\-張した方法では凹凸が目立ち，精度が悪いことが分かである。なお，Pierson-Moskowitz スペクトル（以後PM スペクトルと略記）および標準 JONSWAP スペ-，-Nに相当する。
L 型と Mitsuyasu
一方，方向分布 については，

クトルはそれぞれ-Hasselmann 型（Mitsuyasu et al., １９７５；以後 M-H型と略記）を考える。  型は，

w( (?<L  LDx  D?
ByzBNは， M の値にもよるが，これを単純に有限水深に拡波数，Phillips 定数，周波数集中度径数であり，

wDNDv ? M
u DND; t M

j N，  D°を 採 用 し た。Fig. 2. を 見MI）に対しては計算
ると，RIAM 法は深海波（ぞれる。
続いて，Hasselmann

and Hasselmann（１９８１）の方法（以後，H & H 法と略記）を比較の対象として，

Mの場合について標準 JONSWAP スペクトル:Y ZN（M-H 型方向分布）に対する 2 を Fig.
2.!に示す。計算法相互を比較すると，強度はそれぞれ同程度であるが，H & H 法による2の分布は凹凸が目立つ。これは H & H 法の特異点処理が不適切であることに起因すると考えられる。また，r-RIAM 法では!  M N付近の第２極大値が再現されていない。r-RIAM 法は，Fig. 2.

のように 分 布 の 広 いPM スペクトルや周波数分解能が粗い場合に特に精度の劣化が著しい。これは，共鳴波成分の や を求める際に隣接格子点の周波数で無理矢理代表させたことに起因すると考えられる。一方，m-RIAM 法は，2 の強度と分である。一方，M-H 型は，% &L Lx{{ 

波数分解能に対する依存性は小さく，



布は安定している。

14

小 松・増 田

2 

: 
2

Fig. 2. One-dimensional nonlinear energy transfer functions 
for the standard spectra with the M-H）obtained by two versions of the extended RIAM
type spreading function in finite-depth water（ Mmethods, that is, the row version（r-RIAM）and the modified one（m-RIAM）.
 for the P-M spectrum. As reference  in deep water obtained by the original RIAM method is shown.
 for theJPNSWAP spectrum compared with the scheme of Hasselmann and Hasselmann（H & H１９８１）. Hereand henceforth the spectral peak frequency M is ０.０６２（rad／s}, and resolution indices areand2k D°

2
j N

15

沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達

2 

: 

Fig. 3. One-dimensional nonlinear energy transfer functions 
for the P-M spectrum 
in several depths
MM. Here and henceforth the spectral spreading function is the
,
for
type.

~DN; CDN;



16

小 松・増 田Fig. 4. One-dimensional nonlinear energy transfer functions2 for the JONSWAP spectrum : .

17

沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達

Fig. 5. Enhancement factors denoted by E-factor for the JONSWAP and the P-M spectra which are defined by
the ratio of the maximum of nonlinear transfer for finite-depth waves to that for deep water waves. As
reference enhancement scaling parameter R adopted in the WAM model（WAMDI, １９８８）is shown. In
addition downshift factors denoted by D-factor are shown which are defined by the ratio of the frequency of transfer maximum for finite-depth waves to that for deep water waves.

非線形伝達の水深依存特性

での増加が小さい。

PM 型と JONSWAP 型双方のスペクトルに対して
M を系統的に変化させて非線形伝達 を計算した。
それぞれの  を Fig. 3と Fig. 4に示す。なお，この
 型を与えた。結ときスペクトルの方向分布は



2

2



果は Hasselmann and Hasselmann（１９８１）や Hashimoto et al.（１９９８）に比べて， M の値の大小に関わらず非常に滑らかな分布を示している。Fig. 5は，M に対する非線形伝達強度の増強径数とスペクトル

ピークの低周波遷移の効果径数を示したものである。

22
2と有限水深波に対する M との比であり，後者はスペクトルのピーク周波数 M に対する 2M の周波数であM の値を減らしていくと，MtDま で は 2る。ここで，前者は深海波に対する  の正の極大値 Mの 強 度 と 分 布 に ほ と ん ど 変 化 は 見 ら れ な い が，Mで 2 の強度が一度わずかに減少した後MCで強度が急増し，分 布 も PM 型，JONは，

2

ま た，  の 分 布 に つ い て 見 る と，PM 型 の 場 合2（Fig. 3），深海波では  の正の極大値はピーク周波
数付近にあり，非線形伝達はスペクトルピークを持ち

Cの場合には JON-上げる効果を持っていたが， M

2

SWAP 型に対する  と同様にスペクトルピークを低周波側に移すように働いている。一方，JONSWAP型の場合（Fig. 4）， は Mでは，  はスペ

2 CDN}

2

クトルピークを挟んで正，負，正の分布になっており，

2 の効果はスペクトルピークを低周波側に移す効果
から周波数分布を広げる効果へと変化しいる。

2の方向分布について見る。Fig. 6に，
 型方向分布の PM スペクトルについて深海波と有限水深波（ M）双方の場合の非線形伝達
最後に，



DNO2の分布図を示す。前述の通り，2 の極大値は深海波ではピーク周波数の真上にあるが，有限水深波ではピーク周波数のやや低周波側にある。また，有限水深

SWAP 型双方とも低周波側の正の極大値が低周波側に 移 行 し て い る。ま た，Fig. 5に は WAM モ デ ル（WAMDI Group, １９８８）で採用している有限水深の波の場合，深海波に比べて方向分布が全周波数にわた

非線形伝達の増強径数も示した。ここで計算した値に周辺で相互作用が強くなるという非線形伝達の特性を比べて， M

考えれば明らかである。有限水深では共鳴配置は扁平における減少が大きく，MC

って狭く，特に高周波側での強度の減少が著しい。以上の結果は，共鳴配置の「８の字」の中心（特異点）

18

小 松・増 田2 2 2 D22 2 N}0}'D 01i y1 2 N'D 0i y12 }Nv'D i yFig. 6. Contours of the two-dimensional nonlinear energy transfer
for the P-M spectrum in deep waterand in finite-depth water
calculated by the new scheme in this paper（m-RIAM）. The contour interval is（ i^ iand shaded regions denote negative , where maximum and minimu values
 
 
 
, i
in
,
of
are i^and i^
 
in .
i

2 N}'D 0i y1

19

沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達になっており（Fig. 1参照）
，相互作用の強い４波の２，課題番号０９５５９０１３）と農林水産省の現場即応研究

組み合わせは互いの波向が深海波の場合に比べてより「産卵場形成と幼稚仔魚の輸送環境の変化が加入量変近いものに集中するからである。

動に及ぼす影響の解明（FRECS）」で行われた研究の一部である。

結言文

献

有限水深域における風波成分波間の非線形エネル
ギー伝達の計算法を新たに開発した。この計算法は，深海波を対象とした RIAM 法を有限水深域へ拡張し改良を図ったもので，実際の予報モデルで使用されるような粗い波数分解能でも高い計算精度を有し計算の安定性に優れている。しかも，精度と安定性はスペク
トル形や水深に依存しない高い汎用性を持つ。計算速度は，１つのスペクトルにつき深海波の場合の３０倍，

wsHP７３５で３０秒程度であり，準厳密計算法の中では最速の部類に入る。勿論，これをそのまま波浪予報モ
デルに組み込むことはできないが，fetch-limited ある
いは duration-imited の場合だと十分使用に耐える。
精度を落とさずこれを簡単化することが今後の課題である。
今回開発した計算法により有限水深域における非線形伝達の特性を詳細に調べることができ，水深が浅くなるに従って非線形伝達の強度とスペクトルピークの
低周波遷移の効果が増強される様子がより明瞭になった。この効果は波浪の予測を精度良く行う上で重要であり，計算法の実用化が急がれる。また，D Asaro andDairiki（１９９７）も指摘しているように，海面の波浪は混合層内の乱流強度を高める効果が指摘されており，本論文の成果をもとに海面波浪の効果を陽に組み込むことで，表層混合層モデルの高精度化が見込まれる。そして，将来的には現在進行中の農林水産省の現場即応研究「我が国周辺海域における漁業資源の変動予測技術の開発」において，卵稚仔魚等の物質の輸送過程や低次生態系の変動機構を把握するための海洋表層流動場の監視システムや３次元生態系モデルの開発に資するものと期待される。

謝

辞本研究を遂行するに当たり，九州大学応用力学研究所の草場忠夫博士には沿岸域の波浪の発達過程について，中央水産研究所の友定彰博士には沿岸域の生物過程と波浪との関連性について，有益な助言を頂いた。
また，中央水産研究所の川崎清，廣江豊の両博士を始め，応用力学研究所の丸林賢次氏，石橋道芳氏，池末
あけみさんには，多大なる援助と協力を頂いた。以上の方々に深く感謝申し上げます。
なお，本研究は文部省の科学研究費（基盤研究 B

D Asaro E. A. and Dairiki G. T., １９９７：Turbulence intensity measurements in a wind-driven mixed layer.
J. Phys. Oceanogr., ２７, ２００９−２０２２．
Hashimoto N., Tsuruya H., and Nakagawa Y., １９９８：
Numerical computations of the nonlinear energy
transfer of gravity-wave spectra in finite water
depths. Coastal Eng. J. Jpn., ４０, ２３−４０．
Hasselmann K., １９６２：On the non-linear energy transfer in a gravity-wave spectrum. Part １. General
theory. J. Fluid Mech., １２, ４８１−５００．
Hasselmann K., １９６３：On the non-linear energy transfer in a gravity-wave spectrum. Part ２. Conservation theorems；wave-particle analogy；irreversibility.
J. Fluid Mech., １５, ２７３−２８１．
Hasselmann K., Barnett T. P., Bouws H., Carlson H.,
Cartright D. E., Enke K., Ewing J. A., Gineapp
H., Hasselmann D. E., Kruseman P., Meerburg A.,
Muller P., Olbers D. J., Richter K., Sell W., andWalden H., １９７３：Measurements of wind wave
growth and swell decay during the Joint North Sea
Wave Project（JONSWAP）. Dtsch. Hydrogr. Z.,
Suppl., A８（１２）, ９５pp.
Hasselmann S. and Hasselmann K., １９８１：A symmetrical method of computing the nonlinear transfer ina gravity wave spectrum. Hamb. Geophys. Einzelschriften, Reihe A ： Wiss. Abhand., ５２, １３８pp.
Hasselmann S. and Hasselmann K., １９８５：Computations and parameterizations of the nonlinear energy
transfer in a gravity-wave spectrum. Part I：A new
method for efficient computations of the exact
nonlinear transfer integral. J. Phys. Oceanogr., １５,
１
３
６
９−１
３
７
７．

Hasselmann S., Hasselmann K., Allender J. H., andBarnett T. P., １９８５：Computations and parameterizations of the nonlinear energy transfer in a
gravity-wave spectrum. Part
：Parameterizationsof the nonlinear energy transfer for application inwave models. J. Phys. Oceanogr., １５, １３７８−１３９１．
Herterich K., and Hasselmann K., １９８０：A similarity
relation for the nonlinear energy transfer in a finite
depth gravity-wave spectrum. J. Fluid Mech., ９７,

"

２
１
５−２
２
４．

Komatsu K. and Masuda A., １９９６：A new scheme ofnonlinear energy transfer among wind waves：
RIAM method. ―Algorithm and performance―, J.
Oceanography, ５２, ５０９−５３７．
Lalli C. M. and Parsons R., １９９６：生物海洋学入門（關20

小 松・増 田文威 監訳），講談社，東京，pp.４
６−４
７．
Large W., McWilliams J. and Doney S., １９９４：Oceanic
vertical mixing：A review and a model with anonlocal boundary layer parameterization. Rev.
（４）
, ３６３−４０３．
Geophys., ３２
Lin R. Q. and Perrie W., １９９７：A new coastal wave
: Nonlinear wave-wave interaction.
model. Part
J. Phys. Oceanogr., ２７, １８１３−１８２６．
Lin R. Q. and Perrie W., １９９９：Wave-wave interactions
in finite depth water. J. Geophys. Res., １０４, １１１９３

#

−１
１
２
１
３．

Longuet-Higgins M. S., １９７６：On the nonlinear transfer of energy in the peak of a gravity-wave spectrum：A simplified model. Proc. Roy. Soc. London,
A３４７, ３１１−３２８．
Masuda A., １９８０：Nonlinear energy transfer between
wind waves. J. Phys. Oceanogr., １０, ２０８２−２０９２．
Masuda A., １９８６：Nonlinear energy transfer between
random gravity waves, in Wave Dynamics andRadio Probing of the Ocean Surface （ed. by Phillips O. M. and Hasselmann K.）, Plenum Press,
New York, pp.４１−５７．
Mellor G. L. and Yamada T., １９８２：Development of aturbulence closure model for geophysical fluid
problems. Rev. Geophys. Space Phys., ２０, ８５１−
８
７
５.
Mitsuyasu H., Tasai F., Suhara T., Mizuno S., Ohkusu

付式

M., Honda T., and Rikiishi K., １９７５：Observationsof the directional spectra of ocean waves using a
cloverleaf bouy. J. Phys. Oceanogr., ５, ７５０−７６０．
Polnikov V. G., １９９７：Nonlinear energy tansfer throughthe spectrum of gravity waves for the finite depthcase. J. Phys. Oceanogr., ２７, １４８１−１４９１．
Phillips O. M., １９６０：On the dynamics of unsteadygravity waves of finite amplitude. Part １. J. Fluid
Mech., ９, １９３−２１７．
Resio D. and Perrie W., １９９１：A numerical study ofnonlinear energy fluxes due to wave-wave interactions. J. Fluid Mech., ２２３, ６０３−６２９．
The SWAMP Group（２４ Authors）, １９８５：Ocean Wave
Modeling, Plenum Press, New York, ２５６pp.
The WAMDI Group（１３ Authors）, １９８８：The WAM
model―A third generation ocean wave prediction
model. J. Phys. Oceanogr., １８, １３７８−１３９１．
Webb D. J., １９７８：Non-linear transfers between sea
waves. Deep-Sea Res., ２５, ２７９−２９８．
Young I. R. and Van Vledder G. Ph., １９９３：A reviewof the central role of nonlinear interactions inwind-wave evolution. Phil. Trans. Roy. Soc. London, A３４２, ５０５−５２４．
Zakharov V. E., １９６８：Stability of periodic waves offinite amplitude on the surface of deep fluid. Zh.
Prikl. Mekh. Tekh. Fiz., ３（２）, ８０−９４．

録

の=は Hasselmann（１９６２, １９６３）と Herterich and Hasselmann（１９８０）による修正版から以下のよう

に求める。

=
=
=
==
)* +
)* ,
+, *
+, )%&x =x  =x= +)*)* +
* +)の中は以下の式から各々求める。
`%    &a



=x

4














8
9








*
+


 
  )* +`a'      )4 * + (0(**+(+(1  0 1`%    &a'  
8 *4 +9 
ここで，沿岸域における風波成分波間の非線形エネルギー伝達 *4 +  0   1    )4 * +
 *4 +   0 1              =x +)*
`
% 
 &a
  
'  
8 )4*9  `  
a  0   1




(
(




)
*

0
1
'       +4 ) *  () *(      
`
% 
 &a
  
'  
8 )4*9  
 )4*  0   1     +4 ) *
 )4*    0 1                 
=x
 
* +)
`
% 
 &a
  '   8 +4)9  `   a  0   1






(
(




+
)

0
1
'       *4 + )  ( + )(     
`
% 
 &a
  '   8 +4)9
  
'  +4)  0   1    *4 + )
  +4)   0 1             

21