広島工業大学紀要教育編
第 ₁₁ 巻（₂₀₁₂）17 – 21論

文

イデアルによる零因子グラフに関連する数学教育について
神田隆至*・金光三男**（平成₂₃年₁₀月₂₅日受付）

On the mathematics education related to the ideal – based zero divisor graphs
Takashi KANDA and Mitsuo KANEMITSU(Received Oct. 25, 2011)

Abstract
Let R be a commutative ring and I be an ideal of R. By S.P. Redmond, the ideal-based zero-divisorgraph ΓI(R) is defined by the following statement: the vertices set is a set { x ∈ R − I | xy ∈ I for some y ∈ R − I }− I | xy ∈ I for some y ∈ R − I } and the edges set is a set {[x, y]} where [x, y] is an edge such that xy ∈ I for distinct twovertices x and y. Let R = Zn when Z is the integers and (n) is an ideal of Z generated by n. We consider
the ideal-based graphs ΓI(Zn) for n = 1, 2, …, 20. In particular, we treat the case that n = pq and p2 wherep and q are distinct prime numbers. This graph is easily understand by students. We use the educational
diagrams. These results are useful to students.
Key Words: ideal, zero divisor, zero-divisor graph, residue class ring, Hasse diagram, ideal-based zerodivisor graph, mathematics education

的概念から生活的概念に降りて道筋をつなぐ役割や生活的

1 ．はじめに経験的なものから数学的な構造を引き上げ認識させることヴィゴツキーが生活的概念と科学的概念の発達の違いなが重要な教師の役割となると述べている。

ど述べている内容を考察しよう（中村和夫［ ₈ ］，₂₀₀₄年及

このことを考慮に入れて少しずれるが，具体的なイデア

び柴田義松［₁₁］，₂₀₀₆年参照）。実際に科学的概念は子どルによる零因子グラフを調べて，進んだ高校生や大学生をもが学校で科学的知識の体系を習得することにより発達す対象にして，科学的体系まではいかなくても何らかの一般るが，生活的概念は子どもの個人的な体験の中で，体系性化をしてみよう。

を欠いたまま発達するという。体系の在る無しが決定的

2 ．Zn のイデアルによる零因子グラフ

で，体系の外の概念では，対象自身の間には経験的結合だ
けに限られている。

有限な数に対応する集合 Zn の応用として，イデアルによ

この科学的概念や生活的概念と関連して，黒木哲徳る零因子グラフについて教育的に考察しよう。

（［ ₇ ］，₂₀₀₉年）によれば，ややもすると獲得される算数・

まず Z を整数環，Zn = {₀, ₁, ₂, …, n-₁} を整数を n で割っ

数学が生活経験的な概念の段階で止まってしまい，いつまた余りの作る環（整数環 Z のイデアル (n) による剰余環）

でも生活概念的な中から這い出すことができず，問題を解とする。グラフ G = (V, E) は，V を頂点集合とし E を辺集法術的な考えに支配されたり解答が○○術的になったり，合とするグラフを表すものとする。

機械的な暗記をせざるを得なくなる場合がある。科学的概念まで止揚され，概念の体系化まで指導することや，科学* 広島工業大学情報学部知的情報システム学科** 中部大学現代教育学部児童教育学科
─ 17 ─定義（［ ₂ ］，I. Beck, ₁₉₈₈年）R を可換環とする。グラ神田隆至・金光三男

フ G = (V, E) が I. Beck の零因子グラフとは次の条件を満n = ₃ の場合：Z₃ は体であり，イデアル (₀)，Z₃ による零因子グラフは存在しない。

たすときをいう。

n = ₄ の場合：Z₄ のイデアルは ₃ 個で，Z₄ ，(₂)，(₀) で（₁）V = R（₂） E = {[ x , y]| 異なる ₂ 頂点 x, y が xy = ₀ を満たす}。

ある。

このグラフの頂点 ₀ はどの頂点とも隣接している。また，単元は ₀ とのみ隣接している。I. Beck の零因子グラ
フではどれも同様の様子をしているから， ₀ と単元を除いて考えてもグラフの復元は容易であり，次の通常の零因子グラフを考察すればよいことが分かる。

Z₄ による零因子グラフ，(₂) による零因子グラフはどちらも存在しない。(₀) による零因子グラフは下記の補題より，通常の零因子グラフ Γ( Z 4 ) と一致する。このグラフは定義（［ ₁ ］，D.F. Anderson and P.S. Livingston，₁₉₉₉年）.

頂点が {₂} のみの空グラフである。

可換環 R の零因子全体を Z(R)，それから ₀ を除いた零因子全体を Z( R )* = Z( R ) − {0} とおく。無向グラフ G = (V, E) が新しい学習指導要領では素数が小学校 ₅ 年生で導入され零因子グラフであるとは次の条件を満たすときをいう。ているが，一般に n が素数の場合 Zn は体となる。素数とグ（₁） V = Z( R )ラフ理論との関連については，M. Kanemitsu（［ ₃ ］，₂₀₀₈（₂） E = {[ x , y]| xy = 0}年）を参照。

*

この I. Beck の零因子グラフの部分グラフである零因補題子グラフを一般化して次のイデアルによる（またはイデ可換環 R が体でないとする。このとき，イデアルアルに関する）零因子グラフを次のように S.P. Redmond(₀) による零因子グラフ Γ( 0 )( R ) は零因子グラフ Γ( R ) と一は定義した。

致する。
n = ₅ の場合：Z₅ は体だからイデアルによる零因子グラ定義（［₁₀］，S.P. Redmond，₂₀₀₃年）．R を可換環としそフは存在しない。
n = ₆ の場合：Z6 のイデアルのハッセ図は下記の通りでのイデアルを I とする。無向グラフ Γ 1( R ) = (V , E ) がイデア
ル I による零因子グラフとは次の条件を満たすグラフをいう。

ある。

（₁） V = { x ∈ R − I | xy ∈ I − R for ∃ y ∈ R − I }.
（₂） E = {[ x , y]| 異なる ₂ 頂点 x, y が xy ∈ I }.
Zn に対してこのイデアルによる零因子を求めてみよう。
但 し，主 と し て n は ₂₀ 以 下 と す る。完 全 ₂ 部 グ ラ フ はKm, n で表す。
n = ₂ の場合：Z₂ は体であり，イデアルは (₀) と Z₂ の ₂

図 Z₆個のみである。

n = p が素数のときは全てこの型である。

Γ(Z₆) の図

下記の補題よりイデアルによる零因子グラフは存在しない。

n = ₇ の場合：Z7 は体だからイデアルによる零因子グラ
補題

可換環 R の Γ R ( R ) は存在しない。また素イデアルフは存在しない。
n = ₈ の場合：Z8 のイデアルは Z8 = (₁) = (₃) = (₅) = (₇)，

P による零因子グラフ Γ P ( R ) も存在しない。

(₂) = (₆)，(₄)，(₀) の ₄ 個である。このイデアルのハッセ［証明］ Γ R ( R ) は定義より存在しない。可換環 R の素イ

図は図 Z8 である。

デアル P に対して， Γ P ( R ) の頂点 a ∈ R − P とは，ある元b ∈ R − P が存在して， ab ∈ P となるときだから，P は素イデアルだから b ∈ P となり矛盾。よって頂点は存在しないから，イデアルによる零因子グラフ Γ P ( R )は存在しない。
［QED］
─ 18 ─

図 Z₈

イデアルによる零因子グラフに関連する数学教育についてイデアルによる零因子グラフは Γ( 4 )( Z 8 ) と完全 ₂ 部グラ

Γ( 4 )( Z 12 ) のグラフは下図である。

フ K₁,₂ = Γ( Z 8 ) の ₂ 個である。 Γ( 4 )( Z 8 ) のグラフは図₄-₈である。

図₄-₈

これよりイデアル (₆) による零因子グラフ Γ( 6 )( Z 12 ) ，イn = ₉ の場合：Z9 のイデアルは Z9 = (₁) = (₂) = (₄) = (₅) =デアル (₄) による零因子グラフ Γ(₄) (Z₁₂) のグラフと零因子(₇) = (₈)，(₃) = (₆) = {₀, ₃, ₆}，(₀) の ₃ 個である。イデアグラフ Γ( Z 12 ) である。完全グラフと完全 ₂ 部グラフである。

ルのハッセ図は下記の通り。

Γ( Z 9 ) のみ零因子グラフである。
イデアル (₆) による零因子グラフ Γ(₆)(Z₁₂)Γ(Z₉)

n = ₁₀ の場合：Z10 のイデアルは，Z10 = (₁) = (₃) = (₇) =(₉)，(₂) = (₄) = (₆) = (₈) = {₀, ₂, ₄, ₆, ₈}，(₅) = {₀, ₅}，(₀)，の ₄ 個である。

零因子グラフ Γ(Z₁₂)

n = ₁₃ の場合：Z₁₃ は体であるので零因子グラフはできな
零因子グラフは Γ( Z 10 ) のみでこのグラフは林 (K₁,₄) であい。
n = ₁₄ の場合：このくらいまでグラフを書いてみれば，る。
n = ₁₁ の場合：Z11 は体だから零因子グラフは存在しない。

n = pq（p, q は異なる素数）のときは，Zn のイデアルは Zn,(p), (q), (₀) の ₄ 個であり，(p), (q) は素イデアルであり零n = ₁₂ の 場 合：Z12 の イ デ ア ル は Z12 = (₁) = (₅) = (₇) =(₁₁)，(₂) = (₁₀) = {₀, ₂, ₄, ₆, ₈, ₁₀}，(₃) = (₉) = {₀, ₃, ₆,

因子グラフはできない。Zn も同様である。(₀) による零因子グラフは Γ( Z n ) である。言い換えると，₉}，(₄) = {₀, ₄, ₈}，(₆) = {₀, ₆}，(₀) の ₆ 個である。イデア補題

ルによる零因子グラフは， Γ( 4 )( Z 12 ) ， Γ( 6 )( Z 12 ) ， Γ( Z 12 )の ₃ 個である。
これがイデアルのハッセ図である。

n = pq（p, q が異なる素数で p > q）の場合は，

Γ( Z n ) が唯一つの零因子グラフである。イデアルのハッセ図は，下図の通りである。零因子グラフ Γ( Z pq ) は完全 ₂ 部グラフ K p −1,q −1 である。

これにより，n = ₁₅ の場合もイデアルによる零因子グラ
フは完全 ₂ 部グラフ Γ( Z 15 ) のみである。
上図で ₄ －サイクルの個数（四辺形の個数）は，高校数─ 19 ─神田隆至・金光三男

n = ₂₀ の 場 合：Z₂₀ の イ デ ア ル は Z₂₀，(₂)，(₄)，(₅)，

学 A で扱う組み合わせの個数
p − 1 C2 × q − 1 C2(₁₀)，(₀) の ₆ 個である。従って， Γ( 4 )( Z 20 ) ， Γ( 10 )( Z 20 ) ，= ( p − 1 )( p − 2 )( q − 1 )( q − 2 )/ 4

Γ( Z 20 ) の ₃ 個である。

であり教材として使用できる。頂点を共有しない ₂ 組の辺の個数は，( p − 1 )( p − 2 )( q − 1 )( q − 2 )/ 2 個である。この方面の詳しい文献は Y. Jin and M. Kanemitsu（［ ₅ ］，₂₀₀₇年）
や M. Kanemitsu（［ ₄ ］，₂₀₁₀年）を参照。
n = ₁₆ の場合：Z₁₆ のイデアルは Z₁₆，(₂)，(₄)，(₈)，(₀)の ₅ 個である。

イデアルのハッセ図Γ( 8 )( Z 16 ) , Γ( 4 )( Z 16 ) , Γ( Z 16 ) の ₃ つの零因子グラフが存在する。

イデアル（₄）による零因子グラフ Γ( 4 )( Z 20 ) の図
グラフ Γ( 8 )( Z 16 ) の図イデアル（₁₀）による零因子グラフ Γ( 10 )( Z 20 ) の図

Γ( Z 20 ) のグラフは省略するが，四角形を含みペンダントが ₂ 個であり三角形を含まないグラフになる。
グラフ Γ( 4 )( Z 16 ) の図

3 ．まとめここで考察した零因子グラフは，オープンエンドアプ
ローチ的な性格を持ち，画一的な答えを期待しなくて生徒・学生が多くの情報や問題・課題を得ることができ数学的思考が自由に可能である。教材の素材となる課題も多く見つけることが出来る。日本数学教育学会編（［ ₉ ］，₂₀₁₀年）に述べてあるが「小学校の算数では有限の対象を扱うことから，多くの内容が離散数学の側面を持つ。離散数学グラフ Γ( Z 16 ) の図をカリキュラムにどのように取り入れ，生徒のどのような

n = ₁₇ の場合：零因子グラフは存在しない。

資質を育てるのかということは今後の課題である」。小学校

n = ₁₈ の場合：神田隆至・金光三男（［ ₆ ］，₂₀₁₁年）参から時間を経て，高校の微積では無限である実数を主とし照。
n = ₁₉ の場合：零因子グラフは存在しない。て扱うので有限数ともいうべき剰余類は不慣れで難しく感じられるかもしれないが新鮮でもあり，実数では成立する─ 20 ─

イデアルによる零因子グラフに関連する数学教育についてが有限の数では成立しない別の世界があることが分かり豊

₂-matchings of some zero-divisor graphs, In Automata,

かな数学の世界が実感できると思われる。 ₀ や負の倍数もFormal Languages and Algebraic Systems（Edited by M.

込めた集合の一般化でもあるイデアル，剰余環における四Ito, Y. Kobayashi and K. Shoji, The Inter national

則計算を含みその中に多くの性質が発見できる代数的な内Conference Workshop on AFLAS）₆₃ – ₆₉,（₂₀₁₀）World

容とグラフ理論の性質の対応により，イデアルによる零因Scientific

子グラフを Zn に関する特別の場合で扱う上で述べたグラフ［ ₅ ］Y. Jin and M. Kanemitsu, Beck＇s graphs associated with

は繰り返しになるが興味ある教材の素材となる。ヴィゴツ

Zn, and their characteristic polynomials, International

キーのいう生活的概念に近い具体的な計算と図やグラフかJournal of Applied Mathematics and Statistics, vol. ₁₁

ら科学的概念に類似の考えで一般化して，数学教育的に考No. V₀₇（₂₀₀₇）, ₈₁ – ₉₃

察をした。これはまた学習指導要領で算数・数学科では筋［ ₆ ］神田隆至・金光三男，イデアルによるある零因子グラ

道を立てて体系的に考えることや表現力では言葉・数式・フと数学教育，広島工業大学紀要

図・表・グラフなどの育成や類推的な考え方である類比・（₂₀₁₁），₂₇ – ₃₀

帰納・演繹など育成に役立つと思われる。

文教育編

第₁₀巻

［ ₇ ］黒木哲徳，教育実践の観点から見た教科内容とその課題―算数科・数学科の場合―，「数学教師に必要な数献学能力形成に関する研究」数理解析研究所講究録
₁₆₅₇，₂₀₀₉年［ ₁ ］D.F. Anderson and P.S. Livingston, The zero-divisor
graph of a commutative ring, J. Algebra, ₂₁₇（₁₉₉₉）,

京都大学数理解析研究所［ ₈ ］中村和夫，ヴィゴーツキー心理学―完全読本―，新読書社， ₂₀₀₄年

₄₃₄ – ₄₄₇
［ ₂ ］I. Beck, Coloring of commutative rings, J. Algebra, ₁₁₆［ ₉ ］日本数学教育学会編，数学教育学研究ハンドブック，

東洋館出版， ₂₀₁₀年（₁₉₈₈）, ₂₀₈ – ₂₂₆［ ₃ ］M. Kanemitsu, A note on graphs related to unit elements［₁₀］S.P. Redmond, An ideal-based zero-divisor graph of ain Zn, The Global Journal of Applied Mathematics &commutative ring, Communications in Algebra, ₃₁

Mathematics Sciences, Vol. ₁ No. ₁（₂₀₀₈）, ₅₁ – ₅₂（₂₀₀₃）, ₈₁ – ₉₃

［ ₄ ］M. Kanemitsu, The number of distinct ₄-cycles and［₁₁］柴田義松，ヴィゴツキー入門，子ども未来社 ，₂₀₀₆年

─ 21 ─