第３４回数学教育論文発表会論文集

数学用携帯端末によるインターネット上での数学コミュニケーション環境の開発研究
石塚学*, 李英淑**, 青山和裕**, 礒田正美***

栃木県立栃木南高等学校*, 筑波大学博士課程教育学研究科**, 筑波大学教育学系***

要約

インターネット上の数学コミュニケーションのため，パームトップ環境向けのＢＢＣ（掲示板）サイトを開発・改良した。利用実験で認められたコミュニケーションの難しさをグラウンディング（共通基盤づくり，Baker 他, 1999）と媒介手段（Wertsch, 1991）の観点から記述した。ＢＢＣのデザインの相違は強くコミュニケーションの質に影響を与えた。環境に慣れることによりパームトップ環境のもとでも数学について上手に会話し，協同できることが明らかになった。特にこの環境で慣れるべき要因として，より良い数学的な解釈を求めたり，条件を確認することを求めたり，互いに相手の言葉を確かめたり，挨拶したりするようなコミュニケーション方法の習得と，パームトップコンピュータにおけるＢＢＣやＤＧＳの使い方の習得があげられた。

キーワード

媒介手段，コミュニケーション，共有，社会的相互作用，インターネット

１．研究目的現在，多くの中高生がインターネットにア等の研究は多数存在するが，パームトップ環クセス可能な自分の携帯電話を所有している。

本研究の目的は携帯端末上での数学コミュ

ミレニアムプロジェクトによって，2005 年まニケーション環境の開発と，それがどのようでに，どの教室においてもインターネット接に働くかを分析することである。
そのために，続が可能になる。パームトップコンピュータ

ウェブサイト上に掲示板（ＢＢＣ）の運用実などの携帯端末は数学教室における次世代数

験を行い，媒介手段の持つ機能と制約という学探求環境として期待される。現在，デスクヴィゴツキー的視野（Vygotsky, 1962, Wertsch,

トップ・ラップトップ環境における「コンピ1991）および，考えを共有するための共通基

ュータ支援協同学習」「遠隔学習」「遠隔教育」

盤づくり（Baker, M. et al, 1999）から分析した。

境での数学教育研究は始まったばかりである。

図 1. 第１実験時のデザイン.

図 2. 第２実験時のデザイン

In this picture; the rod CF is jointed to the rod ED on the point E.
The point D is fixed on the base.
The length ED is equal to the length CE and EF.
When C moves between A and B, how does F move?
Please choose one from the followings;a) It may wave.

b) It may curve.

c) It may draw a circle. d) It may draw a line. e) others.
図 3 問題２．環境開発実験には世界初の数学用携帯端末 1 として数学探求でデスクトップコンピュータを利用開発されたパームトップコンピュータ

留学生２名）。経験者なら、環境に左右されずCASIO Computer Extender（CEx）を使用した。にうまく対応すると考えられるからである。

その端末向けＢＢＣサイトは，インターネッ同時に使用法を教える必要性から，被験者にトによる日豪数学教室間コミュニケーション

は補助者を付け，教師と被験者がコミュニケ（礒田他,http://mcs.open.ac.uk/icme/）での実績ーションする形式にした。被験者は CEx を使を前提に，CEx の画面サイズ(640×240)を勘用し，教師はデスクトップコンピュータを使案して設置した。サイトは問題提示場面と討用した。被験者側の活動をＶＴＲ記録した。

議ルームの二画面で構成される。第１実験で初心者にとって CEx 上の数学ソフトウェア

は二つの画面を水平に分割し（図１），第２実の最簡便な利用法は，作図ツール（ＤＧＳ）

験においては垂直に分割した（図２）。

によるシミュレーションである。問題にはＤ

ＢＢＣは自分側と相手側とのコミュニケーした経験のない初心者を選んだ（結果としてＧＳを使えるものを選定した（図３）。

ントだけ利用可能なため，被験者には英語に３．第１実験の結果ＢＢＣ（図１）を使った第１実験は４つのよる数学学習経験のある大学院生の中でも，エピソードからなる。

ションの媒介手段となった。CEx は英語フォエピソード１－１：被験者は図４のように
1

Windows CE 2.0 上で Microsoft Pocket Office でインターネットが使用可能で，Computer Algebra System（Maple），Dynamic Geometry Software（GSP）やGraphing Tool などの数学ツールを使うことができるノートで取り組み，Ｓ１でｃを選択した。教師は被験者が図５のように考えたと解釈し，数学的な説明を求めて，なぜ円かと理由を尋ねた。この時点で，教師は被験者と正しいイしく解してないものと察して，問題を読むよメージの共有ができていると考えていた。確うに求めた。しかし，Ｓ７では，教師からすかに，被験者はＳ３で図６のように考えて返れば，問題文からは解しがたい返信がかえっ信した。ところが，そのＳ３の moving aroundてきた。Ｔ８では，教師は，被験者が問題文AB から，教師は図７のように被験者は考えを正しく解していないこと確認し，コミュニていたのかと解し，そのようなメッセージ内

ケーションに際して共有すべき基盤（Baker,M.

容の解釈でいいかを知り，被験者の表現を数他 1999）を失っていることがわかった。そこ

学的に切り替え，誤った考えを更新すべく，で，彼女に問題を読み直すことを求めて，こ円の中心はどこかと条件を尋ねた。その問いのセッションを終えた。

に対する被験者のイメージは図８のようで，エピソード１－２：教師はＴ10 で被験者が教師からすれば，動点であるＣが円の中心と考えを改めることを期待した。Ｓ11 で，被験いう教師からすれば，どうにも解しがたい返者は鉛筆模型で考え直し，図 10 を得た。Ｓ11

信を得た。Ｔ６で教師は，被験者が問題を正で，被験者は先回の自分の解答は誤りである
エ ピ ソ ー ド １ －１ 教師 は生徒の考え を 混同する
S1(5/23,13:19) It will be a circle.
（図４）

図4. S1で の予想

T 2(5/23,13:23) Y es, N ah. W hy did you choose the C (circle)?
（ 図５ を 想像し た）
S3(5/23,13:28) C ause of D E=C E=E F, F is m oving around A B .
（ 図６ のよう な図を 書く ）T 4(5/23,13:39) H i N ah? Y ou thought point F is m ovingaround A B , did not you? Please let m e know which point is thecenter of the circle? （ 図７ を イ メ ージし た）

図 6. S3で の図F?
ABC

S5(5/23,13:44) H ere C is the fixed point. （ 図８ ）T 6(5/23,13:50) M y question is"W hich point is the center ofthe circle?" Y ou did not read the problem ; the C of rod C F
m oves between A B, do you? Please read the problem .
S7(5/23,14:01) E F is the fixed rod, C , D is the base point. So I thinkthat the center is C while C F is m oving around A（B .図８ ）図8. S7で の図

図5. T 2で の想像T 8(5/23,14:03) D ear N ah. T hank you very m uch. W e w ant
to continue it next session. Please consider the problem for aw hile and let m e know. W ith Best R egards, M asam i（ 教師は生徒が何を 想像し て いる かイ メ ージ不能）

エ ピ ソ ー ド １ －２

図7 T 4で のイ メ ージ?

鉛筆 模型 で 実 験

S9(5/25,9:29) L et m e know w hat is the problem .
T 10(5/25,9:35) Please let m e know your solution is changed
or not.
図９ S11で の鉛筆模型 S11(5/25,9:40) M y previous answ er was not correct. T his will bea circle. （図９のように鉛筆模型で実験し、図１０をかく）

図10 S11で かいた 図

T 12(5/25,9:44) Please let m e know your answ er
m athem atically. If it is a circle, please let m e know the centerand radius. Please read the problem , once m ore.

?

とは答えたが，被験者の答えは依然，円だっ

線ＡＢをドラッグしたりするうちに，点Ｆにた。しかし，被験者がどのような円をイメー注目せずに，点Ｃの動きに注目して，Ｓ16 でジして答えているのか，教師側では解せない点Ｃの動きが直線であると返信する。Ｔ17 で，ので，Ｔ12 で，教師は，数学的に表すよう注

教師は図１３の考えを共有できたと思って，文し（四度目），問題をもう一度読むように指点Ｃをドラッグすると，点Ｆが直線上を動く示した（三度目）。

ことを返信した。

エピソード１－３：教師は共通の足場をつ挨拶に答える余裕から，エピソード１－３

くろうと様々に共通基盤づくりを試みたが，までには，被験者はＢＢＣ上のコミュニケー

このエピソードでは被験者側もそれに参画しションに慣れたことがわかるが，このイメー始める。Ｔ13 で，教師はこれまで同様に挨拶

ジの行き違いは，被験者が，ＤＧＳは何を表から始めたが，Ｓ14 で，被験者は挨拶に応じすものかわかっていなかったことに起源して（これが最初！）解決への意欲を表した。イいる。

メージ共有抜きのコミュニケーションの限界

エピソード１－４：彼らはお互いに彼らのを認めた教師は，Ｔ15 でＤＧＳファイルを送考えを同調することに成功した。彼女もまた信した。ところが，Ｓ16 で初めてＤＧＳを操ＤＧＳに慣れて，Ｓ１８で彼女は彼女の挨拶作した被験者は，点Ｃをドラッグしたり，直からコミュニケートし始めた。

エ ピ ソ ード １ －３

生徒はＧ Ｓ Ｐ で シ ュ ミ レ ート し た

T 13(5/28,8:56) G ood M orning, N ah. D id you have any
new idea while these days?
S14(5/28,9:02) H ow are you. Y es, I am thinking the previousm atter. Please let m e know the problem again.
T 15(5/28,9:05) Y es, N ah. Please use the attachm ent file
"G SP" to understand the problem . M ove the point C !
（55.gs4を 転送）

図１ １ G SP を 利用し てS16(5/28,9:15) T oday I think the previous problem and take aconclusion that if the point C m oves around the rod A B then itw ill be a line and coincide the rod A B.（ 図１ １ のよう に開き 、 図１ ２ ， １ ３ のよ う にド ラ ッ グする ）
図１ ２

Ｓ １ ６ で点Ｃ ではなく 直線を ド ラ ッ グ

T 17(5/28,9:18) Y es, N ahar. If you m ove the point C , Fm oves on the line. Please let m e know the reason, next day.
図１ ３
（ 教師は、 生徒が図１ ３ のよ う にド ラ ッ グし て直線を 見い
だし たと 解釈し たが、 生徒は図１ ２ の直線を みていた）教師の期待エピソード１－ ４ 同 調
S18(5/30,10:17)
H ow are you. W hat are you doing now? I
am now thinking the previous m atter. The previous m atter I m istook
a little. T hat w as the point F. Let m e writeIf the point C m oves around A B then it is line and coincide w ith A B
but F m oves around D F, is a perpendicular.

図１4

Ｓ １ ８ でのシュ ミ レ ート

Y es, I am fine and you. O h, youT 19(5/30,10:23)
w ere thinking about only point C . T he problem is the m otionof point F , is not it? T hus, as you wrote, the point F m oveson the perpendicular line to A B .

図１5 教師の期待

４．第一実験結果に対する議論
エピソードは，開発された環境（媒介手段，問題に対する共有概念を構成し維持するため

図１），イメージを共有するための選ばれた方活動と定義した。Lee 他（2000）は数学的問略などの要件に依存した数学コミュニケーシ

題解決の中で協同は，課題志向の活動と相互ョンの難しさを示している。その難しさを，作用志向の活動という二面で分析し得ることヴィゴツキー的視野と協同への共通基盤づくを例証した。共通基盤づくりから同期するまりから分析する。

での過程を分析すると，被験者の反応には注の継続的試みの結果として，共応・同期した

Baker 他（1999）は共通基盤づくり（グラ目すべき変化があった。エピソード１－１とウンディング）を互いの理解，知識，信念，１－２で教師は，挨拶のような相互作用志向仮説，前提などやコミュニケーションと協同のメッセージを，数学的に説明すること・問の多くの面で必要な共通基盤（グラウンド）題を読むことなどの課題志向のメッセージとを得る過程と定義した。多くの研究が共通基同様に送っている。相互作用志向のメッセー

盤の欠落によるインターネット上のコミュニ

ジは，かように制約の多い媒介手段では，コケーションまたは協同の難しさを指摘していミュニケーションを続けるための方略としてる。
前述のエピソードもそれを例証している。

非常に重要と考えられるが，被験者は，それこのエピソードで，最も有力な共通基盤要因に応えず，課題志向の解答のみを返信した。

はイメージ（指示的意味内容）である。

エピソード１－３で，被験者ははじめて課題

エピソード１－１と１－２で，教師は被験志向のメッセージにあわせて，相互作用志向者の考えがイメージできないがゆえに，被験のメッセージに応えるようになり，エピソー者に数学的に説明し，問題を読むよう求めた。

ド１－４では相互作用メッセージをはじめてしかし，図１の環境では，被験者は問題画面送信した。教師と同期するまでの被験者の変を容易に開くことができず，しかも，問題画化は，エピソードにみるような難しさを乗り面と討議画面を同時に開くことができなかっ越える経験が必要であったことを示している。

たために，その問題に沿って運動の様子を検その経験を経て，被験者は，数学コミュニケ討することがかなわなかった。この段階でのーション環境のユーザーになったのである。

共通基盤づくりのための教師が利用した方略

困難さの分析から，選択されたそれぞれのは，数学的にイメージを説明することと，状媒介手段の機能・制約（Wertsch,1991）を説

況を確かめるために問題をもう一度読むこと明できる。

を求め続けることであった。それでもイメー

第一に，図１の画面設計はテキストコミュジを共有できなかったので，教師は，エピソニケーションの機能・制約を与えている。イ

ード１－３で，次の方略としてＤＧＳによるメージはテキストで交換することを求められイメージ共有をねらった。教師は，そのイメるのである。テキストでイメージを共有する

ージが，数学的証明ないし機械的動きによる必要があるがゆえに共通基盤づくりが必要に説明をする以前に，議論する上で必要な擬概なる。教師は条件を尋ねるという方略を選ん

念（Vygotsky,1962）を被験者が構成するのをだが，被験者は問題とメッセージを同時に読助けると予想した。予想に反して，エピソー

み，図と対照することができなかったため，

ド１－３で，彼女はＣをドラッグし，Ｆでは条件を正確に記述するに至らなかった。

なくＣの動きを答えた。ＤＧＳに慣れた後エ第二に CEx 上のＤＧＳはイメージを共有

ピソード１－４でイメージの共通基盤を得た。

するために機能する。
しかし，共有するには，Roschell と Teasley（1995） は，協同を，ユーザーはＤＧＳの使い方と見方を知らなければならない。それが制約となった。もし初第三に，第２実験でも，鉛筆模型という慣心者のユーザーがＤＧＳのファイルを使えるれ親しんだ道具は必要であった。

ならば，彼女は熟練者が行うと同じように同

６．結び開発ＢＢＣサイトは，携帯端末上でも，そじ点を観察できただろう。
第三に被験者には慣れ親しんだ道具であるの環境に慣れれば数学コミュニケーションも紙と鉛筆を使うことが必要である。特にエピ可能なことを実証した。ただし，その慣れにソード１－３において，鉛筆は機械模型としは，イメージを共有するための共通基盤づくて機能した。この模型は彼女の考えを補助しりへの努力が必要になる。実験結果からすれたが，媒介手段であるＢＢＣはコミュニケー

ば，慣れ要因が示唆される。まず，コミュニションにおいてそれを表すことを阻害した。

ケーションの方法に関わって，一つは，より５．第２実験の結果概要と結果
第１実験における画面分割による問題文と数学的な表現や説明を求めたり，もともとの議論が対照できない制約をなくすために，第の方略であり，一つは，受け手側が先方の言２実験では，図２のように縦に２分割するデ葉に対する解釈を返したり，挨拶したりするザインが採用された。被験者は，問題文に立相互作用志向の方略が，面と向かったコミュち返って条件推論することができるようになニケーション以上に必要になる。そして，環り，コミュニケーションは著しく変わった。

境の使い方に関わって，ＢＢＣの操作，ＤＧその相違から，次のことがいえる。

Ｓの操作，携帯端末の操作である。

第一に，ＢＢＣデザインの違いはコミュニ

条件を確認することを求めたりする課題志向

参考文献

ケーションを極端に変えた。図２のデザイン

Baker, M., Hansen, T., Joiner, R. and Traum, D.,

で，被験者は，教師からのメッセージと問題（ 1999 ） ., The Role of Grounding in

条件を対照して自らの考えをその都度修正すCollaborative Learning Tasks., Dillenbourg, P.,ることができた。第１実験では，このようにEdited, Collaborative Learning: cognitive and初めから同調したコミュニケーションはできcomputationalなかった。第２実験の場合，仮にイメージをPergamon, pp.31-63

approaches,

Amsterdam:

共有できなかったとしても，イメージを共有

Lee, Y-S., and Nohoda, N., （2000）, The Process ofするための教師の方略は機能した，
すなわち，

Collaborative Mathematical Problem Solving:

被験者は，教師からの問いかけと問題条件をFocusing on Emergent Goals Perspective, Japan対照して，考えを変えたのである。ただし，Society of Science Education, Journal of Science

教師も，第１実験から学び，方略が多様にな

Education, vol.24, No.3, pp.159-169った。例えば，教師は，先方が記したことにRoschelle, J. and Teasley, S. （ 1995 ） , The対する解釈を必ず書いてから，自分のメッセConstructionージをはじめるようになった。

Collaborative Problem Solving, O’Malley, C.

第二に，ＤＧＳは，第２実験でも当初は機能せず，機能するまでに経験が必要であった。
第１実験同様に，第２実験でも図のどの部分を観察してよいのか被験者はわからなかった。

Edited,ofSharedComputer-Supported

KnowledgeinCollaborative

Learning, NY: Springer-Verlag, pp.69-97
ヴィゴツキー，柴田義松訳(1962)，「思考と言語」
上，下，明治図書

テキストで教師がいくら指示しても，そのメジェームス Ｖ．ワーチ，田島信元［ほか］訳

ッセージからは初心者が何を観察すべきか読(1995)，心の声：媒介された行為への社会文

みとることは困難である。

化的アプローチ，福村出版