数理解析研究所講究録
第 1722 巻 2010 年 1-8

1

特殊線形リー環から現れる放物型概均質ベクトル空間の基本定理について(Fundamental theorem for prehomogeneous vector spacesof parabolic type arising from special linear Lie algebras)
杉山 和成 (Kazunari Sugiyama)
千葉工業大学数学教室(Chiba Institute of Technology)

email: skazu@sky.it-chiba.ac.jp

1

序
概均質ベクトル空間の基本定理とは，相対不変式の複素べきのフーリエ変換が再び (双対概均質

ベクトル空間の)相対不変式の複素べきになる，という主張であり，この基本定理をもとに概均質ベクトル空間のゼータ関数の関数等式が証明される．本稿では，特殊線形リー環から現れる放物型
概均質ベクトル空間に対する基本定理について考察する．基本定理は，関数等式が存在することは示すが，その関数等式が具体的にどのような形をしているかは個々の例に応じて計算しなければならない．さて一方，放物型概均質ベクトル空間とは，次のようなものである (Rubenthaler [4]).

一般に， を半単純代数群で，そのリー環
$G$

$g$

に次数 $g=\oplus_{k}g_{k}$ がついているとする．Go を$\emptyset 0$に対応する G の連結な部分代数群とすると，GO は各翫に随伴表現により作用する．このとき，$\mathfrak{g}_{k}(k\neq 0)$は有限個の Go-軌道に分かれ，特に概均質ベクトル空間である．(Go,の群 $G’$ での $((G’)_{0}, (g’)_{1})$ と同型になる．(Go,$g=9-1\oplus$go$\oplus g_{1}$$\mathfrak{g}_{1}$$g_{k}$) は別) を放物型概均質ベクトル空間という．また，となるとき，可換放物型概均質ベクトル空間という．可換放物型の正則概均質

ベクトル空間については，フーリエ変換の明示的な形が計算されており，表現論との関連も調べられている．本稿では，非可換な場合についての計算例を一つ与える．この計算方法は，特殊線形リー環から現れる放物型正則概均質ベクトル空間のフーリエ変換についてはすべての場合について適用できる．しかしながら，このクラスに含まれる空間の数は膨大であり，計算結果の統一的な記述がのぞまれる．

2

可換な場合
はじめに，可換な場合の計算について復習する．$G=SL_{2n}(\mathbb{C}),$$g=\mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2n}(\mathbb{C})$として， の次数$g$

づけ $g=g_{-1}\oplus g_{0}\oplus g_{1}$ を$g=(\frac{g_{0}1g_{1}}{g_{-1}|g_{0}})$

により与える．このとき，放物型概均質ベクトル空間$\}n\}n$$(G_{0}, g_{1})$は，次のように与えられる．

$(G_{0}, g_{1})\cong(GL_{n}(\mathbb{C})\cross SL_{n}(\mathbb{C}), M_{n}(\mathbb{C}))$2
であり，作用は $g=(g_{1}, g_{2})\in$ Go,$x\in g_{1}$に対して，$g\cdot x=g_{1}xg_{2}^{-1}$$P(x)=\det x$ ,で与えられる．以後，通常の記号通り，$G:=$ Go, $V:=g_{1}$ とかく．
$V$

$S=\{x\in$$(G, V)$ は正則概均質ベクトル空間である．
$V-S=G\cdot I_{n}$ であるから，; $P(x)=0\}$ とおけば，$\langle x,$$y\rangle=$tr

により $V$ と$t_{Xy}$$V^{*}$$P^{*}=P$ となる．
を同一視すると，$|P(x)|^{s}=|\det x|^{s}$ のフーリエ変換を計算してみる．
数学の歩み [5] にしたがって，を$G_{\mathbb{R}}^{+}$$G_{\mathbb{R}}$の単位連結成分とし，$V_{1}=\{x\in V_{\mathbb{R}};P(x)>0\}$とおくと，$V_{\mathbb{R}}-S_{\mathbb{R}}=V_{1}\cup$

巧が$G_{\mathbb{R}}^{+}$,$V_{2}=\{x\in V_{\mathbb{R}};P(x)<0\}$-軌道分解である．$b(s)$ を $P(x)=\det x$ の -関数，すなわち$b$$P( \frac{\partial}{\partial x})P(x)^{s+1}=b(s)P(x)^{\epsilon}$

をみたす

$s$

の多項式とする．このとき，$b(s)= \prod_{i=1}^{n}(s+i)$ となることが知られている．そして，$\gamma(s)=\prod_{i=1}^{n}\Gamma(s+i)$に対してフーリエ変換

とおく．また，$S(V_{\mathbb{R}})$$\hat{f}$を服上の急減少関数の作る空間として，$f\in S(V_{\mathbb{R}})$を$\hat{f}(y)=\int_{V_{R}}f(x)\exp(2\pi\sqrt{-1}\langle x, y\rangle)dx$

により定める．このとき，概均質ベクトル空間の基本定理 (Sato-Shintani [6], [7]) より(2.1)$\int_{V_{l}}|\det y|^{s-n}\cdot\hat{f}(y)dy=\gamma(s-n)\sum_{j=1}^{2}(2\pi)^{-ns.\frac{\pi--}{2}n\theta}e\cdot\epsilon_{ij}(s)t_{ij}(s)\int_{V}\dot,|\det x|^{-s}f(x)dx$という等式が成立する．但し，$\epsilon_{ij}(s)$は$(\epsilon_{ij}(s))=(_{e^{-\pi\sqrt{-1}s}}1$

であり，$t_{ij}(s)$は $e^{-2\pi}$ V ⊂丁$s$$e^{-\pi_{1}\sqrt{-1}s})$の多項式である．したがって，$t_{ij}(s)$の具体形を求めれば，フーリエ変換の具体形がわかったということになる．

さて，$\epsilon_{0}=$diag $(-1,1, \ldots, 1)$ とおけば，(2.2)$\epsilon_{0}V_{1}=V_{2}$で，$f_{\mathcal{E}\text{。}}(x)=f(\epsilon_{0}x)$,$\epsilon_{0}V_{2}=V_{1}$とすると，$\hat{f_{\epsilon_{0}}}(y)=\int_{V_{R}}f(\epsilon_{0}x)e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x,y\rangle}dx=(\hat{f})_{\epsilon_{0}}(y)$であり，さらに，.

$F_{1}(s, f_{\epsilon_{0}})= \frac{1}{\gamma(s)}\int_{V_{1}}|\det x|^{s}f(\epsilon_{0}x)dx=\frac{1}{\gamma(s)}\int_{V_{2}}|\det x|^{s}f(x)dx=F_{2}(s, f)$

3
同様に，

$F_{2}(s, f_{\epsilon_{0}})=F_{1}(s, f)$$C(s)=(c_{ij}(s))$

である．したがって，$c_{ij}(s)=(2\pi)^{-ns}$.

$e \frac{\pi--}{2}s$.

$\epsilon_{ij}(s)t_{ij}(s)$

,

とおくと，
$C(s)(\begin{array}{ll}0 l1 0\end{array})=(\begin{array}{ll}0 11 0\end{array})C(s)$$c_{11}(s)=c_{22}(s)$ および $c_{12}(s)=c_{21}(s)$ となることが分かる．これより，$t_{11}(s)=$となるので，$t_{22}(s)$および $t_{12}(s)=t_{21}(s)$ も分かる．

$\det x$ について
一方で，

(2.3)

$\int_{M_{n}(\mathbb{R})}|\det x|^{s}e^{-\pi tr{}^{t}xx}dx=\pi^{\frac{-ns}{2}}\prod_{j=1}^{n}\frac{\Gamma((s+j)/2)}{\Gamma(j/2)}$$s\mapsto s-n$ としてが成り立つことは良く知られている．そうすると，$\int_{V_{i}}|\det y|^{s-n}e^{-\pi tr^{t}yy}dy=\frac{1}{2}\cdot\pi^{\frac{n^{2}}{2}-\frac{\epsilon n}{2}}\cdot\prod_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma((s-j)/2)}{\Gamma((j+1)/2)}$となる． は$\frac{1}{2}$ということから来る．

$e^{\overline{-\pi tr^{t}y}y}=e^{-\pi}$$\int_{M_{n}(\mathbb{R})}=\int_{V_{1}}+\int_{V_{2}}$tr${}^{t}yy$に注意すると，(2.1)

から$\pi^{\frac{n^{2}}{2}-\frac{n\epsilon}{2}}\prod_{j=0}^{n-1}\Gamma(\frac{s-j}{2})=\pi^{\frac{n\epsilon}{2}}\prod_{j=0}^{n-1}\Gamma(\frac{-s+j+1}{2})\gamma(s-n)\cdot(c_{11}(s)+c_{12}(s))$

を得る．ここで，$\prod_{j=0}^{n-1}\Gamma(\frac{s-j}{2})\cdot\gamma(s-n)^{-1}=2^{n(1-s)}\cdot 2^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\pi^{\frac{n}{2}}\cdot\prod_{j=0}^{n-1}\Gamma(\frac{s-j+1}{2})^{-1}$,$\prod_{j=0}^{n-1}\Gamma(\frac{s-j+1}{2})^{-1}\cdot\Gamma(\frac{-s+j+1}{2})^{-1}=\prod_{j=0}^{n-1}\pi^{-1}\cdot s.n\pi(\frac{s-j+1}{2})$に注意すると，$c_{11}(s)+c_{12}(s)=(2 \pi)^{-ns}\cdot(2\pi)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot 2^{n}\cdot\sin\frac{\pi(s+1)}{2}\cdots\sin\frac{\pi(s-n+2)}{2}$これから$\epsilon_{ij}(s)$の結果を使って，$t_{ij}(s)$.

の関係にもどすと，$e^{\frac{\pi--}{2}sn}(t_{11}(s)+e^{-\pi\sqrt{-1}s}t_{12}(s))=(2 \pi)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot 2^{n}\cdot\sin\frac{\pi(s+1)}{2}\cdots\sin\frac{\pi(s-n+2)}{2}$$t_{ij}(s)$.

が $e^{-2\pi\sqrt{-1}s}$ の多項式であることに注意すると，上の関係式で $s\mapsto s-1$ とすることにより，$e^{\frac{\pi\sqrt{}\urcorner_{-}}{2}sn}(t_{11}(s)-e^{-\pi\sqrt{-1}s}t_{12}(s))=(2\pi)^{\frac{n(n-1)}{2}}$.

$2^{n} \cdot(\sqrt{-1})^{n}\sin\frac{\pi s}{2}\cdots\sin\frac{\pi(s-n+1)}{2}$.

4以上をまとめて，$t_{11}(s)=e^{-\frac{\pi\int-\urcorner}{2}sn} \cdot(2\pi)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot 2^{n-1}\{\cos\frac{\pi s}{2}\cdots\cos\frac{\pi(s-n+1)}{2}$$+( \sqrt{-1})^{n}\sin\frac{\pi s}{2}$$=t_{22}(s)$. . . $\sin\frac{\pi(s-n+1)}{2}\}$,$t_{12}(s)=e^{-\frac{\pi\sqrt{}-\urcorner}{2}s(n-2)} \cdot(2\pi)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot 2^{n-1}\{\cos\frac{\pi s}{2}\cdots\cos\frac{\pi(s-n+1)}{2}$$-( \sqrt{-1})^{n}\sin\frac{\pi s}{2}\cdots\sin\frac{\pi(s-n+1)}{2}\}$$=t_{21}(s)$が得られ，(2.1) に現れる量がすべて計算できた．

3 以上の計算を要約．一般化する
以上の計算を一般化してみよう．三つ組 $(G, \rho, V)$ が次の条件を満たしているとする．
(Al) $(c_{\rho)}V)$ は実数体$\mathbb{R}$

上定義された簡約可能概均質ベクトル空間である．

$S=\{x\in$(A2) $(G, \rho, V)$ の既約相対不変式 $P(x)$ は定数倍を除いてただ一つにきまり，-軌道である．
は単一の$V;P(x)=0\}$ とおくと服一$S_{\mathbb{R}}$$G_{\mathbb{R}}$(A3) $P(x)$ は multiplicity free, すなわち
$P(x)= \sum_{1\leq j_{1}<\cdots<j_{d}\leq n}a_{j_{1},\ldots,j_{d}}x_{j_{1}}\cdots x_{j_{d}}$という形をしている$($$n=\dim V,$ $d=\deg P)$ .
ここで，$P(x)$ の -関数 $b(s)= \prod_{i}(s+\alpha_{i})$ に
仮定 (A2) から $(G, \rho, V)$ は正則概均質ベクトル空間になる．
$b$

対して，

$V_{1}=\{x\in V_{\mathbb{R};}P(x)>0\},$ $V_{2}=\{x\in V_{\mathbb{R};}P(x)<0\}$ ととおく．
が-軌道分解になる．アスタリスク をつけて双対概均質ベクトル$\gamma(s)=\prod_{i}\Gamma(s+\alpha_{i})$すると，$V_{\mathbb{R}}-S_{R}=V_{1}\cup V_{2}$$*$$G_{R}^{+}$

空間に対応するものを表わす．

このとき，概均質ベクトル空間の基本定理より，.

$\int_{V_{\mathfrak{i}}}$$|P^{*}(y)|^{s^{n}}- \partial\hat{f}(y)dy=\gamma(s-\frac{n}{d})\sum_{j=1}^{2}c_{ij}(s)\cdot\int_{V_{j}}|P(v)|^{-s}f(v)dv$という形の等式が存在する．ただし，$c_{ij}(s)=(2\pi)e\cdot\epsilon_{ij}(s)t_{ij}(s)$ ,$\epsilon_{ij}(s)$は先程と全く同じで，$c_{22}(s),$ $c_{12}(s)=c_{21}(s)$$t_{tj}(s)$は $e^{-2\pi\sqrt{-1}s}$が証明できる ( $(2.2)$ の$\epsilon_{0}$$c_{11}(s)=$の多項式である．仮定 (A2) より，にあたるものの存在が保証されるので). さら5に，(23) を一般化した積分公式$\int_{V_{R}}|P(x)|^{s}e^{-\pi tr{}^{t}xx}dx=\pi^{-\frac{d\epsilon}{2}}\prod_{i=1}^{d}\frac{\Gamma(\frac{s+\alpha}{2})}{\Gamma(\frac{\alpha}{2}i)}$が成り立つ(ここで，仮定 (A3) が必要になる．詳細は Igusa[2] を参照). 以上により，前節と同じ計算方法が適用できて，$t_{11}(s)=e^{-\frac{\pi--}{2}ds} \cdot(2\pi)^{\frac{n-d}{2}}\cdot 2^{d-1}\{\prod_{i=1}^{d}\cos\pi(\frac{s+1-\alpha_{i}}{2})+(\sqrt{-1})^{n}\prod_{i=1}^{d}\sin\pi(\frac{s+1-\alpha_{i}}{2})\}$$=t_{22}(s)$,$t_{12}(s)=e^{-\frac{\pi--}{2}s(d-2)}\cdot(2\pi)^{\frac{n-d}{2}}$.

$2^{d-1} \{\prod_{i=1}^{d}\cos\pi(\frac{s+1-\alpha_{i}}{2})-(\sqrt{-1})^{n}\prod_{i=1}^{d}\sin\pi(\frac{s+1-\alpha_{i}}{2})\}$$=t_{21}(s)$が得られる．なお，既約概均質ベクトル空間のうち，仮定 (Al) から (A3) までをみたすものについては，[2] において分類されている．

4

非可換な場合の計算例$n_{2}>n_{1}\geq 1$$G=SL_{N}(\mathbb{C}),$$N=2n_{1}+2n_{2}$ とする．
として，

$g=(\begin{array}{llll}9o g_{1} g_{2} \mathfrak{g}_{3}\emptyset-1 g_{0} g_{1} \mathfrak{g}_{2}g_{-2} g_{-1} 9o \mathfrak{g}_{1}9-3 9-2 9-1 g_{0}\end{array})$$g=\epsilon 1_{N}(\mathbb{C})$とおき，次数づけを$\}n_{1}\}n_{2}\}n_{2}\}n1$により与える．このとき，(Go,$g_{1}$) $\cong(GL(n_{1})\cross GL(n_{2})\cross GL(n_{2})\cross. SL(n_{1}), M(n_{2}, n_{1})\oplus M(n_{2}, n_{2})\oplus M(n_{1}, n_{2}))$$g=(g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4})\in G_{0},$ $v=(X_{1}, X_{2}, X_{3})\in g_{1}$ のとき，であり，作用は次のように与えられる．

$g\cdot v=(g_{2}X_{1}g_{1}^{-1}, g_{3}X_{2}g_{2}^{-1}, g_{4}X_{3}g_{3}^{-1})$.

$G:=$ Go, $V:=g_{1}$ とあらわす．
以後，
基本相対不変式は 2 つあり，
$P_{1}(v)=\det(X_{3}X_{2}X_{1})$,$P_{2}(v)=\det X_{2}$.

次数はそれぞれ $d_{1}=3n_{1},$ $d_{2}=n_{2}$ である．
$\underline{d}=(d_{1}, d_{2})=(3n_{1}, n_{2})$ とおく．(このようにして，

6
以後はアンダーラインをつけることにより多重変数などをあらわす．) 賑の$V_{\mathbb{R}}-S_{\mathbb{R}}$

$=$

Vl

$V_{1}=\{v\in V_{\mathbb{R}}$$V_{2}=\{v\in V_{\mathbb{R}}$$V_{3}=\{v\in V_{\mathbb{R}}$$V_{4}=\{v\in V_{\mathbb{R}}$$\cup$

Vろ$\cup V_{3}\cup V_{4}$$G_{\mathbb{R}}^{+}$-軌道分解は，,; sgn $P_{1}(v)=+$ , sgn $P_{2}(v)=+\}$ ,; sgn $P_{1}(v)=+$ , sgn $P_{2}(v)=-\}$ ,; sgn $P_{1}(v)=-$ , sgn $P_{2}(v)=+\}$ ,; sgn $P_{1}(v)=-$ , sgn $P_{2}(v)=-\}$ ,により与えられる．特に，$(G, V)$ は正則概均質ベクトル空間になる．なお，どのような分割 (今の$N=n_{1}+n_{2}+n_{2}+n_{1}$ ) に対応する概均質ベクトル空間が正則になるかというの場合でいえば，は簡単には記述できない (Mortajine [3] を参照).

さて一般に，多変数の場合の基本定理は次のようになる．

$\int_{V_{:}}$.

$(f\in S(V_{\mathbb{R}}))$$|P^{*}(v^{*})|^{\underline{\epsilon}-\underline{\kappa}} \cdot\hat{f}(v^{*})dv^{*}=\gamma(\underline{s}-\underline{\kappa})\sum_{j=1}^{l}q_{j}(\underline{s})\cdot\int_{V_{j}}|P(v)|^{-\underline{s}}f(v)dv$.

但し，$c_{ij}( \underline{s})=(2\pi)^{-\underline{d}\cdot\underline{s}}\cdot\exp(\frac{\pi\sqrt{-1}}{2}\underline{d}\cdot\underline{s}$$\epsilon_{ij}(\underline{s})t_{ij}(\underline{s})$,ノ$\epsilon_{ij}(\underline{s})=\exp[-\frac{\pi\sqrt{-1}}{2}\sum_{\nu=1}^{r}s_{\nu}\cdot(1-\epsilon_{i}^{*}(P_{\nu}^{*})\epsilon_{j}(P_{\nu}))]$

である．ここで， はひ関数から決まる量， は基本相対不変式の個数， は符号により$\exp(-2\pi\sqrt{-1}s_{r})$ の多項式である．
は $\exp(-2\pi\sqrt{-1}s_{1}),$をとる指標，$r$$\gamma(\underline{s})$$\epsilon_{i},$$\epsilon_{j}^{*}$$\pm 1$$t_{ij}(\underline{s})$$\ldots,$

我々の例の場合は，$\underline{\kappa}=(n_{2}, n_{2}-n_{1})$であり，卜関数を$P^{\underline{m}}(\partial_{v})P^{\underline{s}+\underline{m}}(v)=b_{\underline{m}}(\underline{s})P^{\underline{s}}(v)$により定義すると，$b_{\underline{m}}( \underline{s})=\{\prod_{k=1}^{n_{1}}[s_{1}+k]_{m_{1}}\cross[s_{1}+n_{2}-n_{1}+k]_{m_{1}}\}$$\cross\{\prod_{k=1}^{n_{2}-n_{1}}[s_{2}+k]_{m_{2}}\}\cross\{\prod_{k=1}^{n_{1}}[s_{1}+s_{2}+n_{2}-n_{1}+k]_{m_{1}+m_{2}}\}$となる (Sugiyama [8] の結果を用いる).

という意味である．すると$\gamma(\underline{s})$$[*]_{m}$$[A]_{m}=A(A+1)\cdots(A+m-1)$という記号は，が$\gamma(\underline{s})=\{\prod_{k=1}^{n_{1}}\Gamma(s_{1}+k)\Gamma(s_{1}+n_{2}-n_{1}+k)\}$$\cross\{\prod_{k=1}^{n_{2}-n_{1}}\Gamma(s_{2}+k)\}\cross\{\prod_{k=1}^{n_{1}}\Gamma(s_{1}+s_{2}+n_{2}-n_{1}+k)\}$

7
と決まる．

$\epsilon_{ij}(\underline{s})$は$e_{e^{-\pi\sqrt{-1}s_{1}}}^{-\pi\sqrt{1}(s_{1}+s_{2})}e^{-\pi_{1}\sqrt{1}s_{2}}$$(\epsilon_{ij}(\underline{s}))=(_{e^{-}}e_{\pi\sqrt{1}(s_{1}+s_{2})}^{-\pi\sqrt{-1}s_{1}}e^{-\pi\sqrt{1}s_{2}}1$となる．あとは先程と同様に
一の$G_{\mathbb{R}}$$t_{ij}(\underline{s})$$e_{e^{-\pi\sqrt{-1}s_{2}}}^{-\pi\sqrt{1}(s_{1}+s_{2})}e^{-\pi_{1}\sqrt{1}s_{1}}$$e_{e^{-\pi\sqrt{-1}s_{1}}}^{-\pi\sqrt{1}(s_{1}+s_{2})}e^{-\pi_{1}\sqrt{-1}s_{2)}}$を計算すればよい．

$(C(\underline{s}))=(c_{ij}(\underline{s}))$とおくと，$V_{\mathbb{R}}-S_{\mathbb{R}}$が単-軌道であることより，第 2 節と同様の方法で$C(\underline{s})(\begin{array}{llll}0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0\end{array})=(\begin{array}{llll}0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0\end{array})C(\underline{s})$,$C(\underline{s})(\begin{array}{llll}0 0 1 00 0 0 1l 0 0 00 1 0 0\end{array})=(\begin{array}{llll}0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0\end{array})C(\underline{s})$であることが証明できる．したがって，$t_{11}(\underline{s})=t_{22}(\underline{s})=t_{33}(\underline{s})=t_{44}(\underline{s})$,$t_{12}(\underline{s})=t_{21}(\underline{s})=t_{34}(\underline{s})=t_{43}(\underline{s})$$t_{13}(\underline{s})=t_{24}(\underline{s})=t_{31}(\underline{s})=t_{42}(\underline{s})$,$t_{14}(\underline{s})=t_{23}(\underline{s})=t_{32}(\underline{s})=t_{41}(\underline{s})$がわかり，結局，$t_{11}$$(\underline{s})$,$t_{12}(\underline{s}),$$t_{13}(\underline{s}),$$t_{14}(\underline{s})$,を計算すればよい．さて，Igusa [2] の結果は天野 [1]により一般化されており，それを用いると$\int_{V_{R}}|P(v)|^{\underline{S}}$.

$e^{-\pi}$tr$(^{t}vv)dv= \pi^{-\frac{3}{2}n_{1}s_{1}-\frac{1}{2}n_{2}s_{2}}\cross\prod^{n_{1}}\frac{\Gamma(\frac{s+k}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\cross\prod^{n_{1}}\frac{\Gamma(\frac{s+n-n+k}{2})}{\Gamma(^{n-}rightarrow^{n+k}2)}$

$k=1$

$k=1$

$\cross-n_{1}\prod^{n_{2}}\frac{\Gamma(R^{s\underline{+k}}2)}{\Gamma(\frac{k}{2})}\cross\prod^{n_{1}}\frac{\Gamma(\frac{s+s+n-n+k}{2})}{\Gamma(^{\infty^{n-n+k}}2)}$

$k=1$

$k=1$

と計算できる．そうすると，$t_{11}(\underline{s})+e^{-\pi\sqrt{-1}s_{2}}t_{12}(\underline{s})+e^{-\pi\sqrt{-1}s_{1}}t_{21}(\underline{s})+e^{-\pi\sqrt{-1}(s_{1}+s_{2})}t_{22}(\underline{s})$$=e^{-\frac{\pi--}{2}(3n_{1}s_{1}+n_{2}s_{2})} \cdot 2^{2n_{1}+n_{2}}\cdot(2\pi)^{\frac{1}{2}(2n_{1}+n_{2})(n_{2}-1)}\cross\prod_{k=0}^{n_{1}-1}\sin\pi(\frac{s_{1}-k+1}{2})\sin\pi(\frac{s-n+n-k+1}{2})$$\cross\prod_{k=0}^{n_{2}-n_{1}-1}\sin\pi(\frac{s_{2}-k+1}{2})\cross\prod_{k=0}^{n_{1}-1}\sin\pi(\frac{s+s-n+n-k+1}{2})$となる．この式を ，箸靴董，砲

$s_{1}\mapsto s_{1}-1$ ,
いて，
,
いて，

と変形して得られる式を ◆$s_{2}\mapsto s_{2}-1$ と変形して得られる式を\copyright ,，砲$s_{1}\mapsto s_{1}-1$ ,いて，$s_{2}\mapsto s_{2}-1$，砲$s_{1}\mapsto s_{1}$$s_{2}\mapsto s_{2}$と変形して得られる式を ぁ8とすると，4 つの未知の量があるので$t_{11}(\underline{s}),$$t_{12}(\underline{s}),$$t_{11}(\underline{s}),$$t_{13}(\underline{s}),$$t_{12}(\underline{s})$$t_{14}(\underline{s})$,$t_{13}(\underline{s})$,$t_{14}(\underline{s})$に対して 4 つの (独立な) 方程式，

が明示的に求まる．

以上の計算方法は，(Al)’ $(G, \rho, V)$ は実数体$\mathbb{R}$

上定義された簡約可能概均質ベクトル空間である．

(A2)’ $(G, \rho, V)$ の基本相対不変式を $P_{1}(x),$

は単一の
とすると，
は multiplicity free である．

$S_{1}\cup\cdots\cup S_{r}$(A3)’ 各 $P_{i}(x)$$\ldots,$$V_{\mathbb{R}}-S_{\mathbb{R}}$$P_{r}(x)$$G_{\mathbb{R}}$$Si=\{x\in V;P_{i}(x)=0\},$ $S=$とし，-軌道である．

という条件をみたす $(G, \rho, V)$ に対して適用できる．特殊線形リー環から現れる放物型正則概均質

ベクトル空間はすべてこの三つの条件をみたすので，空間が具体的に与えられれば，原理的には計
算できる．

参考文献
[1] 天野勝利，多変数局所関数等式の -関数による具体的表示，筑波大学修士論文，2001, available$b$

online.
[2] J. Igusa, On functional equations of complex powers, Invent. Math. 85(1986), 1-29.
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[4] H. Rubenthaler, Alg\‘ebres de Lie et espaces pr\’ehomog\‘enes, Travaux en Cours 44(1992),
Hermann, Paris.

[5] 佐藤幹夫述，新谷卓郎記，概均質ベクトル空間の理論，数学の歩み 15, 85-157.
[6] M. Sato and T. Shintani, On zeta functions associated with prehomogeneous vector

spaces, Ann. of Math. 100(1974), 131-170.
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$A$$-$