分割主鏡シミュレータ II
分割鏡動作パラメータの把握 I — Result I
岡山新技術望遠鏡グループ
平成 22 年 5 月 27 日

目次
1

概要

12固有値の評価

1

ギャップセンサー配置 I

233.14導出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ギャップセンサー配置 II

24導出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

ギャップセンサー配置 III5.1 導出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

666考察

84.11概要
分割主鏡の制御系を構成するギャップセンサーについて、どういう配置が効率的で、かつ配置数を含めてどういう配置にしないと制御系が不安定になるのかを検討する必要がある。すでに、ギャップセンサーの配置が決まれば基本的な制御系を構成するためのパラメータ、つまりギャップセンサーの読みの値からアクチュエーター制御量を導出するフィードバックを行うパラメータが決定できることが判明している。このフィードバック制御で利用されるフィードバック変換行列は、ギャップセンサーの配置 (とアクチュエーター位置、セグメント位置) のみで決定できることがわかっている。
ここでは、単純なギャップセンサー配置に対して、そこから生成した変換行列の固有値を評価することで制御系の安定性をどのようにすれば担保できるかについて議論する。

2

固有値の評価
まず、固有値の評価について考える。通常の制御系では、最大固有値に対してある固有値の比を取り、その比が小さければフィードバックに及ぼす影響が小さくなるため、フィードバック制御系の中では退化していると判断する1 。この退化の敷居値を決定する必要があるが、最も小さな敷居値は計算誤差の影響のレベルである 1e − 15 程度以下である。しかしながら、これより大きな値であってもフィードバックの中でほとんど影響を及ぼさない固有値は実質的には無視されるのと同等となるため、退化していると判断すべきである。
ここでは典型的な値として、1% (0.01) を採用する。
1 数学的には、固有値を求めた行列で行退化していることに相当する。

1

ギャップセンサー配置 I

3

まず、最も単純な位置にギャップセンサーを配置する。配置は図 1 のようになる。

Inter-Segment Gap Sensor
Segment-Fixed Gap Sensor

図 1: ギャップセンサー配置場所
内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺では、辺を 3 等分した点に配置する。内周・外周のセグメント間では、セグメントが接している円弧の中央点とする。この中央点は、ある一つの内周セグメントとある一つの外周セグメントが接している円弧における中央点であり、内周セグメントにおいては 1/8,1/2,7/8 の 3 点にギャップセンサーが配置されることになる。
これ以外に固定点として、内周セグメントの内側および外周セグメントの外側に、セグメントと固定点の間を測定するギャップセンサーを定義する。位置は各セグメントの中央点である。
値としては、内周セグメントの辺について x = 363.833, 477.667、外周セグメントの辺について x = 367.52, 428.86、
内周セグメントと外周セグメントの境界について、内周セグメント外側の円弧の x = −442.625, 0, 442.625 となる。

3.1

導出結果

次の各パターンに対して固有値を求めた。固有値は表 1 となる。(注: 有効桁数は考慮していない) 退化数は、上述の条件で行退化していると考えられる固有値の数、そのカッコ内は計算誤差のレベルで退化している固有値の数である。

1. 54 個のセグメント間ギャップセンサーのみ
2. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 3 個
3. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 6 個全部
4. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側・外周外側のギャップセンサー各 3 個ずつ

2表 1: 導出された固有値

ID 1-1ID 1-2

ID 1-3ID 1-4Eigen

3.520813.520813.520813.52081

退化数

7 (5)

4 (2)

2

3 (1)

12

1
0.97551210.980399

10.983916

10.987242

345

0.975512
0.923299
0.923299

0.980399
0.929748
0.929748

0.983916
0.937749
0.937749

0.987242
0.940447
0.940447

670.899004
0.881762

0.899004
0.881762

0.899004
0.881762

0.913205
0.899004

8910

0.877945
0.877945
0.868096

0.879412
0.879412
0.877672

0.881706
0.880885
0.880885

0.881096
0.881096
0.879729

11
1213

0.81799
0.81799
0.808911

0.82238
0.82238
0.810636

0.836979
0.826219
0.826219

0.826834
0.826834
0.817989

1415

0.808911
0.777993

0.810636
0.802225

0.813244
0.813244

0.817989
0.803383

16
1718

0.749607
0.736391
0.736391

0.764692
0.7561090.756109

0.768532
0.768532
0.767034

0.764838
0.758819
0.758819

1920

0.701873
0.701873

0.707599
0.707599

0.719472
0.719472

0.709328
0.709328

2122230.692332
0.670922
0.670922

0.696612
0.672293
0.672293

0.705812
0.673734
0.673734

0.698503
0.673615
0.673615

2425

0.656585
0.577452

0.656585
0.599627

0.656585
0.610877

0.670955
0.599689

2627
28

0.533131
0.533131
0.409065

0.557372
0.557372
0.418952

0.570882
0.570882
0.4409780.583024
0.583024
0.458257

29
30

0.409065
0.36146

0.418952
0.379701

0.4409780.384241

0.458257
0.422753

3132
330.350059
0.350059
0.342281

0.379701
0.362312
0.347615

0.3842410.370485
0.367754

0.386122
0.386122
0.347727

3435

0.244453
0.244453

0.295792
0.295792

0.367754
0.347785

0.295871
0.295871

3637
380.161454
0.117693
0.117693

0.229732
0.161454
0.129063

0.343074
0.161454
0.136255

0.261035
0.2407430.240743

3940

0.115711
0.0628034

0.129063
0.115711

0.136255
0.115711

0.226806
0.1157113表 1: 導出された固有値

ID 1-1ID 1-2

ID 1-3ID 1-441

0.0628034

0.0946956

0.113909

0.114892

4243
440.0573366
0.0573366
0.0545957

0.0946956
0.0597651
0.0597651

0.113909
0.0663248
0.0663248

0.114892
0.106593
0.0861737

45460.0545957
0.045895

0.0550182
0.0550182

0.0596645
0.0596645

0.0861737
0.0559563

47
48
49

0.0396505
0.00354072
0.00354072

0.0458578
0.0177207
0.0121525

0.0510881
0.0178713
0.0156668

0.0559563
0.0458395
0.0355925

50
51

2.09923e-16
1.6416e-16

0.0121525
0.00272714

0.0156668
0.0107223

0.0355925
0.0152556

52
53
54

8.34811e-17
4.70679e-17
3.23166e-17

0.00272714
1.53006e-16
6.48109e-17

0.0107223
1.69755e-16
1.11922e-16

0.00855841
0.00855841
1.40952e-16

ギャップセンサー配置 II

4I から内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺につけたギャップセンサーをずらしてみる。
内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺では、辺を 4 等分した点の、1/4 と 3/4 に配置する。内周・外周のセグメント間については、I と同じくセグメントが接している円弧の中央点とする。この中央点は、ある一つの内周セグメントとある一つの外周セグメントが接している円弧における中央点であり、内周セグメントにおいては1/8,1/2,7/8 の 3 点にギャップセンサーが配置されることになる。
これ以外に固定点として、内周セグメントの内側および外周セグメントの外側に、セグメントと固定点の間を測定するギャップセンサーを定義する。位置は各セグメントの中央点である。
値としては、内周セグメントの辺について x = 335.375, 506.125、外周セグメントの辺について x = 352.185, 444.195、内周セグメントと外周セグメントの境界について、内周セグメント外側の円弧の x = −442.625, 0, 442.625 となる。

4.1

導出結果

次の各パターンに対して固有値を求めた。固有値は表 2 となる。(注: 有効桁数は考慮していない) 退化数は、上述の条件で行退化していると考えられる固有値の数、そのカッコ内は計算誤差のレベルで退化している固有値の数である。

1. 54 個のセグメント間ギャップセンサーのみ
2. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 3 個
3. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 6 個全部
4. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側・外周外側のギャップセンサー各 3 個ずつ
表 2: 導出された固有値

Eigen

ID 2-1

ID 2-2ID 2-3ID 2-4

3.54872

3.54872

3.54872

3.548724表 2: 導出された固有値

ID 2-1

ID 2-2ID 2-3ID 2-4

退化数

7 (5)

4 (2)

21

1

1

11

12
3

0.977451
0.977451

0.981908
0.981908

0.984771
0.984771

0.992866
0.99286645
60.934143
0.934143
0.897621

0.940663
0.940663
0.904052

0.949255
0.949255
0.90536

0.952592
0.952592
0.939778

78

0.896150.895906

0.896150.895906

0.896150.895906

0.899551
0.895906

910110.879207
0.879207
0.827686

0.880383
0.880383
0.856843

0.89018
0.881395
0.881395

0.883835
0.883835
0.857889

1213

0.827686
0.821828

0.828941
0.828941

0.832593
0.832593

0.838095
0.838095

1415160.820176
0.820176
0.781383

0.823762
0.823762
0.802492

0.828628
0.828628
0.809732

0.824731
0.824731
0.805507

1718

0.781383
0.760483

0.802492
0.763388

0.809732
0.767925

0.805507
0.763423

1920210.744851
0.744851
0.733575

0.751761
0.751761
0.739496

0.767925
0.763887
0.752117

0.752271
0.752271
0.739766

2223

0.669881
0.669881

0.672072
0.672072

0.674212
0.674212

0.681922
0.673639

2425
26

0.668576
0.59163
0.560279

0.668576
0.612902
0.577887

0.668576
0.624759
0.588722

0.673639
0.61296
0.599334

27
28

0.560279
0.449602

0.577887
0.469723

0.588722
0.472383

0.599334
0.4879382930
310.449602
0.446417
0.446417

0.469723
0.449405
0.449405

0.472383
0.459190.459190.487938
0.462051
0.462051

3233

0.427136
0.407153

0.427450.407181

0.427523
0.419018

0.445725
0.4274433435
360.290892
0.290892
0.228541

0.347832
0.347832
0.235467

0.419018
0.407328
0.351023

0.349749
0.349749
0.297563

3738

0.167517
0.167517

0.228541
0.17408

0.228541
0.182676

0.256528
0.256528

3940410.115082
0.0843749
0.0843749

0.17408
0.115082
0.110898

0.182676
0.124994
0.124994

0.234982
0.141940.1419442

0.0820451

0.110898

0.115082

0.1394135表 2: 導出された固有値

ID 2-1

ID 2-2ID 2-3ID 2-443

0.0820451

0.0822755

0.0822772

0.115082

44
45
46

0.0733541
0.0733541
0.0628357

0.0822755
0.0740402
0.0740402

0.0822772
0.0799386
0.0799386

0.104993
0.104993
0.0755723

47
48

0.046695
0.00404062

0.0627891
0.0207394

0.0650186
0.0209357

0.0755723
0.0627759

4950510.00404062
1.40605e-16
1.27694e-16

0.0162338
0.0162338
0.00314549

0.0190924
0.0190924
0.0149049

0.0495419
0.0495419
0.0177276

52
53

6.72492e-17
5.17043e-17

0.00314549
1.66023e-16

0.0149049
1.5591e-16

0.0113847
0.0113847

543.38005e-18

9.01616e-17

1.18948e-16

1.24067e-16

ギャップセンサー配置 III

5II から内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺につけたギャップセンサーをずらしてみる。
内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺では、辺を 4 等分した点の、セグメント ID が 3n + 1の場合は 1/4,1/2 に、セグメント ID が 3n + 2 の場合は 1/4,3/4 に、セグメント ID が 3n の場合は 1/2,3/4 にそれぞれ配置する。
内周・外周のセグメント間については、I, II と同じくセグメントが接している円弧の中央点とする。この中央点は、ある一つの内周セグメントとある一つの外周セグメントが接している円弧における中央点であり、内周セグメントにおいては 1/8,1/2,7/8 の 3 点にギャップセンサーが配置されることになる。
これ以外に固定点として、内周セグメントの内側および外周セグメントの外側に、セグメントと固定点の間を測定するギャップセンサーを定義する。位置は各セグメントの中央点である。

値としては、内周セグメントの辺について x = 335.375, 420.75, 506.125、外周セグメントの辺について x = 352.185, 398.19, 444.195、
内周セグメントと外周セグメントの境界について、内周セグメント外側の円弧の x = −442.625, 0, 442.625 となる。

5.1

導出結果

次の各パターンに対して固有値を求めた。固有値は表 3 となる。(注: 有効桁数は考慮していない) 退化数は、上述の条件で行退化していると考えられる固有値の数、そのカッコ内は計算誤差のレベルで退化している固有値の数である。

1. 54 個のセグメント間ギャップセンサーのみ
2. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 3 個
3. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 6 個全部
4. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側・外周外側のギャップセンサー各 3 個ずつ固有値の最大との比は、比が小さいものでは少し減少している。つまり、II よりも行退化の度合いが少し大きいといえる。

6

表 3: 導出された固有値

ID 3-1

ID 3-2

ID 3-3ID 3-4Eigen

3.54872

3.54872

3.54872

3.54872

退化数

7 (5)

5 (2)

3 (2)

3 (1)

1210.997951

10.997364

10.997546

10.993133

3
4
50.949898
0.944024
0.940796

0.956307
0.948311
0.939139

0.960476
0.954097
0.939648

0.965098
0.949042
0.94450767

0.928066
0.888932

0.925609
0.893349

0.923494
0.896538

0.927517
0.903003

8910

0.879333
0.872621
0.870609

0.878374
0.872685
0.868493

0.877995
0.872702
0.867371

0.874997
0.8720460.870607

1112130.821306
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0.789827

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0.822426
0.805961

0.82565
0.825120.817797

0.825614
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1415

0.789267
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0.791225
0.782651

0.809202
0.782722

0.788805
0.782608

1617180.755566
0.732311
0.704597

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0.781911
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0.715257

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1920

0.695299
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0.701622
0.684362

0.710581
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2122230.660372
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2425

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2627
28

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0.57991
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2930

0.411725
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33

0.338701
0.310051
0.290385

0.350538
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0.303287

0.381301
0.355497
0.352314

0.391398
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0.326749

3435

0.253759
0.219017

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0.272122

0.337885
0.312641

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37
380.147878
0.125808
0.113324

0.220147
0.155225
0.134717

0.296456
0.158441
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0.229149
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39
40

0.0963026
0.0765637

0.113179
0.11086

0.112921
0.112331

0.211486
0.1235137表 3: 導出された固有値

6

ID 3-1

ID 3-2

ID 3-3ID 3-441

0.0659432

0.0927518

0.110176

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440.0562139
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0.085745
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0.0634674

0.101895
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45
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47
48
49

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0.0481651
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50
51

1.42649e-16
1.10702e-16

0.00973487
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0.0128941
0.011862

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0.0138562

5253549.75883e-17
4.66358e-17
2.73621e-17

0.00235421
2.12132e-16
3.51423e-17

0.00846742
2.24988e-16
1.35506e-16

0.0086921
0.00684255
1.34252e-16

考察
対固定点のギャップセンサーなしでは退化数が 3 以上となり、主鏡全体の傾きなどの軸数以上に退化している。計算誤差のレベルでの退化数でも 3 を超えており、これは多少ギャップセンサーを同じ位置につけないなどの方法で動かしたのでは退化が解けない可能性が高い。
対固定点のギャップセンサーを取り付けることは、有効な影響を及ぼしているといえる。しかしながら、すべての固有値が計算誤差のレベル以上で有効な値を出すには、対固定点のギャップセンサーが 6 個では足らないともいえる。
ギャップセンサーの取り付け位置を、1/3 の点と 1/4 の点の 2 種類試した I, II の結果比較では、計算誤差レベルの行退化している固有値には改善が見られなかったが、有効な固有値の退化度合い (?) は改善した。また、1/4 を基本に配置を多少ばらした III と II を比較すると、III の方が退化度合いが大きくなった。この結果からは、ギャップセンサーの取り付け位置は辺の端にするほうが効率的であるといえる。また同じく I, II の比較から、対固定点のギャップセンサーを追加する効果は、主に計算誤差レベルの行退化に影響を及ぼすといえる。
この次の検討すべき点としては以下のようになるといえる。

• ギャップセンサーの取り付け位置をランダムに少しずらしたときの影響• ギャップセンサーの取り付け位置を全体的に動かすことによる最適化• 対固定点のギャップセンサーの取り付け数との関係• 制御可能なアクチュエーターの点数を減らしたときの影響

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