閉じ込め現象とカイラル対称性の自発的破れの関連性について
京大理 菅沼秀夫
概要：・ディラック演算子の固有モードで、ウィルソン・ループやポリヤコフ・ループを展開する方法を開発し、閉じ込めポテンシャルやＱＣＤのセンターZ3対称性とこれらディラック
固有モードとの関係を調べた。一方、カイラル対称性の自発的破れは 、Low-lying のディラック固有モードと直接関係づけられるので、この方法により、カイラル対称性の自発的破れと閉じ込め現象の相関が、明確な形で定量的に議論できる。

・我々は、この方法を用いて格子ＱＣＤ計算を行い、ディラック固有モードの赤外領域は閉じ込め 及び センターZ3対称性に殆ど影響しないことを定量的に示した。
・つまり、カイラル対称性の自発的破れの本質的な要素のみを取り除いた状況で、クォークの閉じ込め力を分析し、ＱＣＤにおいて“カイラル対称性の自発的破れ”と“クォークの閉じ込め”とが１対１には対応しないことを、基礎理論から直接的に示した。
S. Gongyo, T. Iritani, H.S.,“Gauge-Invariant Formalism with a Dirac-mode Expansion
for Confinement and Chiral Symmetry Breaking”, Phys. Rev. D86 (2012) 034510.
H.S. et al., PoS (QCD-TNT11) 044; PoS (Lattice2012) 217; PoS (ConfinementX) 081.
T. Iritani, S. Gongyo, H.S., PoS (Lattice2012) 218; PoS (ConfinementX) 053.

日本物理学会 素粒子論・理論核物理合同シンポジウム「多様なアプローチによる量子色力学の非摂動論的現象の研究」
２０１３年３月２８日 於 広島大学

Confinement と Chiral Symmetry Breaking の相関
有限温度や有限体積効果でのQCD相転移の様相などから、両者には密接な対応関係があるのは明らか～Deconfinement と Chiral Symmetry Restoration の一致
ただし、両者の関係はあまり良く分かっていないのが現状

２年半前の物理学会の直前に子猫を保護し、止むを得ず
小倉の学会に連れてきました

日本物理学会 素粒子論・理論核物理合同シンポジウム「クォーク閉じ込めとカイラル対称性：QCDの難問と多彩なアプローチの検討」
２０１０年９月１２日 於 九州工業大学

クォーク閉じ込め＆ポリヤコフ・ループ＆センター対称性
クォーク閉じ込めの order parameter ：ポリアコフ・ループの真空期待値＜P＞⇔クォークの１粒子自由エネルギー Eq＜P＞ ~ exp(－EqT)・閉じ込め相ではゼロ・非閉じ込め相では有限な値対応する対称性：センターZ3対称性 Z3⊂SU(3)“動的なクォークが無い場合” は、センターZ3対称性は well-defined で、＜P＞と閉じ込めの関係も 厳密
動的なクォークがある場合は、クォークの運動項の為に
Z3対称性は 顕わに破れ、well-defined ではない。
また、動的クォークの生成による遮蔽効果により＜P＞と閉じ込めの関係も straightforward ではなくなる。

Polyakov Loop ＜P＞
Polyakov Loop: P  Tr P exp(i  A4 ( x , t )dt )0Z3対称性： U 4 ( x, t )  z (t )U 4 ( x, t )z (t )  Z3  SU (3)

有限温度系

t

ｔ 方向に周期的境界条件

Polyakov Loop 〈P〉の格子ＱＣＤ計算（ scatter plot）

閉じ込め相

非閉じ込め相Z3-symmetric phaseZ3-broken phaseカイラル対称性の自発的破れとカイラル凝縮
カイラル対称性の破れの order parameter ：カイラル凝縮（クォーク凝縮）＜qq＞

クォークの質量が0の場合は、カイラル対称性は well-definedで、＜qq＞とカイラル対称性の破れの関係も厳密クォークに質量がある場合は、クォークの質量項の為にカイラル対称性は 顕わに破れ、well-defined ではない.
＜qq＞もwell-defined な order parameter ではなくなる.

QCD相転移温度（Deconfinement と Chiral Restoration）の一致～閉じ込めとカイラル対称性の破れとの関連性を示唆
格子QCD計算の例

F. Karsch, Lect. Notes Phys. (2002)

ポリヤコフ・ループ＜P＞
クォークの閉じ込め

クォーク凝縮＜qq＞
カイラル対称性の自発的破れQCD相転移温度（Deconfinement と Chiral Restoration）～非閉じ込め相転移とカイラル相転移のずれ？⇒論争中
別の格子QCD計算の例
Y. Aoki, Z. Fodor, S.D. Katz,
K.K. Szabo, PLB643 (2006)

カイラル相転移：Tc≒151MeV

軽いクォーク凝縮＜qq＞
カイラル対称性

非閉じ込め相転移：Td≒176MeV
151～176MeVではカイラル対称性は回復していて閉じ込めは起こっている？

ストレンジクォーク凝縮＜ss＞

Don’t be so serious…
ポリヤコフ・ループ＜P＞
クォークの閉じ込めQCD相転移温度（Deconfinement と Chiral Restoration）～Adjoint fermion の場合の非閉じ込め＆カイラル相転移の不一致
Adjoint fermion （カラーが随伴表現）の場合の格子QCD計算“Deconfinement and chiral symmetry restoration in an SU(3) gauge theory
with adjoint fermions”, F. Karsch, M. Lutgemeier, NPB550 (1999).

Umm… It is not QCD…
QCD（基本表現のフェルミオン）でのカイラル相転移：
Tc≒Td （非閉じ込め相転移とほぼ同じ）

Adjoint fermion の場合のカイラル相転移：
Tc ≒ 8Td

有限体積QCD系での相転移の一致～閉じ込めとカイラル対称性の破れとの関連性を示唆
同様な非閉じ込め相転移とカイラル相転移の一致は、有限体積格子QCD系でも見られる。 つまり、格子体積に応じて２つの相転移がほぼ同時に起こる。
逃げるデス

Large Volume Lattice

Small Volume Lattice

閉じ込め

非閉じ込め

カイラル対称性の破れ
両相転移が同時に起きる！

カイラル対称性の回復！

勿論、有限温度の相転移はユークリッド時空での虚時間方向に関する有限体積効果の一種

モノポールを通しての閉じ込めとカイラル対称性の自発的破れとの相関
閉じ込めとカイラル対称性の破れとの密接な相関は、QCDの Maximally
Abelian Gauge において現れるモノポールの観点からも示唆されている。

QCD真空から このモノポールを除去すると“閉じ込め”と“カイラル対称性の自発的破れ”というQCDの２大非摂動性質が同時に失われる。
H.S. S.Sasaki, H.Toki, NPB (1995) : 双対超伝導理論によりカイラル対称性とモノポールの相関を予測→ O. Miyamura, PLB (1995), R.Woloshyn, PRD (1995) :格子QCD計算で両者の相関を検証

宮村修教授
広島大学

Important Role of Monopoles to Nonperturbative QCD
QCDは、そのままでは 閉じ込め等に重要な自由度が抽出しにくい

Monopole
projection

MA gauge fixing

Monopole part
Hodge
分解

monopole のみで 閉じ込め力やカイラル対称性の自発的破れやインスタントンを再現：

Monopole Dominance
QCD

QCD inMA gauge

Photonprojection

クラスター状に絡み合った
monopole の世界線が出現
この自由度がNPQCDに重要

Photon partmonopole を取り除くとQEDと同様に自明な真空

Stack-Neiman-Wensley PRD (1994)
Hodge Decomposition in Maximally Abelian Gauge→ Monopole part (including only monopole) : Linear Confinement potential
Photon part (after removing monopole) : Coulomb potential （QED-like）
SU(3) Lattice QCDの計算例 (β=6.0, 164)

H.S, N. Sakumichi et al. (2008)

VQQ-(r)Quark-antiquark potential
Abelian part (kμ, jμ)
Photon part ( jμonly)

Monopole part ( kμonly)rcf. 近藤グループ：ゲージ固定なしで同様な議論

カイラル対称性の自発的破れとモノポールの相関（格子QCD）
O. Miyamura, PLB (1995) : First Lattice QCD Study to reveal
Important role of Monopoles to Chiral Symmetry Breaking (CSB)

クォーク凝縮SU(2) QCD on163x 4・閉じ込め相ではCSBが起こっている・モノポールのみでもCSBは起こる
Photon part(after removing monopoles)
・QCD真空からモノポールを除去するとCSBは起こらない

閉じ込め相

非閉じ込め相Monopole part : カイラル対称性が自発的に破れている
Photon part : カイラル対称性は破れていない（自明な真空構造）

H.S., O. Miyamura, et al., (1995-1997).

Hodge Decomposition in Maximally Abelian Gauge→ Monopole part (including only monopole) : Instantons (almost same)
Photon part (after removing monopole) : No Instantons
Monopole part でのインスタントン数

Photon part でのインスタントン数

インスタントンと反インスタントンの総数

インスタントン数

インスタントン数

モノポールの世界戦の長さ

Monopole part でのインスタントン数≒元のQCD真空のインスタントン数
Photon part でのインスタントン数≒０閉じ込めとカイラル対称性の破れとの関連性
MAゲージで現れるモノポールは、クォークの閉じ込めとカイラル対称性の自発的破れの双方に重要な寄与をする.
これら２つの非摂動論的性質はモノポールを通して関連しているようである.

モノポール
in MA gauge
Stack-Neiman-Wensley
PRD (1994),….

クォーク閉じ込め

H.S. et al., NPB (1995),
O.Miyamura, PLB (1995),
R.Woloshyn, PRD(1995), …
カイラル対称性の自発的破れ

より直接的な方法で クォークの閉じ込めとカイラル対称性の自発的破れとの対応を調べたい
ここでは、ディラック・モード展開法を用いて閉じ込めの研究を行う.
← カイラル対称性の破れの essential mode は、Low-lying のディラック・モード

QCDとカイラル凝縮との対応関係

Banks-Casher 関係式

  q q  lim lim   (0) Vm0 V  ( ) 1V  (   ) ：QCD ディラック演算子の固有値密度kk

QCD ディラック演算子のゼロ固有値密度 ⇒ カイラル凝縮

カイラル対称性自発的破れに関する essential mode は
Low-lying の ディラック固有モード

} 0※ The non-zero spectrum is symmetric due to { 5 , DD  n  in n  D
 ( 5 n )  in ( 5 n )格子QCDにおけるディラック演算子の固有モード
D


lat
xy

1 4 

 [U  ( x) y , x  ˆ  U   ( x) y , x  ˆ ] :格子上でのディラック演算子

2a  1D lat [U ] n  in n:ディラック固有値, ディラック固有状態

latD xy [U ] n ( y)  in n ( x) :ディラック固有関数 ψn(x)=〈x|n〉
y

格子QCDにおけるディラック固有方程式の explicit form

1 4 
 [U  ( x) n ( x  ˆ )  U   ( x) n ( x  ˆ )]  in n ( x)2a  1
ゲージ変換性:U  ( x)  V ( x)U  ( x)V  ( x  ˆ )

 n ( x)  V ( x) n ( x)m n   d x ( x) n ( x)   mn :normalization
4m

クォーク場と同じ（irrelevant な位相因子以外）

理論形式のゲージ対称性を explicit に保つために“operator formalism”を用いる
・Link-variable operator Û  は以下の行列要素で定義する：

x Uˆ  y  U  ( x) x  ˆ , y・Wilson Loop operator Ŵ は長方形のループに沿った方向での Û  の積で定義する：
LWˆ  Uˆ k  Uˆ 1Uˆ 2 Uˆ  L
k 1

L

なお、ループに対しては   k  0
k 1

長方形のループWilson Loop operator の Functional Trace は
通常のウィルソン・ループの真空期待値 〈W〉 に比例する
・Wilson Loop operator: Wˆ L

ˆ  Uˆ Uˆ UˆU k 1 2 L
k 1

・Wilson Loop operator の Functional Trace :Tr Wˆ  tr x Wˆ x  tr x Uˆ Uˆ Uˆ x
1

x
1

L

x

 x Uˆ  x

 tr

2

1

2

x2 Uˆ  2 x3 x3 Uˆ 3 x4  xL Uˆ  L x1

x1 , x2 ,...,x L
2

L 1

k 1

k 1

 tr x Uˆ 1 x  1 x  1 Uˆ  2 | x    k  x    k | Uˆ  L x
x
2

L 1

k 1

k 1

 tr U 1 ( x)U  2 ( x  1 )U 3 ( x    k ) U  L ( x    k )x

 W  Tr1

Tr : functional trace

tr SU(3) color index に対する traceLink-variable operator のディラック・モードでの行列要素:
m Uˆ  n   m x x Uˆ  x  ˆ x  ˆ n   m ( x) U  ( x) n ( x  ˆ )xx

巨大行列要素であるが、計算可能であり かつ ゲージ不変
ゲージ変換性:U  ( x)  V ( x)U  ( x)V  ( x  ˆ ) n ( x)  V ( x) n ( x) (クォーク場と同じ)latD xy [U ] n ( y)  in n ( x)yディラック・モード行列要素 m Uˆ  n のゲージ不変性
m Uˆ  n   m ( x)U  ( x) n ( x  ˆ )x  m ( x)V ( x) V  ( x)U  ( x)V  ( x  ˆ ) V  ( x  ˆ ) n ( x  ˆ )x  m ( x)U  ( x) n ( x  ˆ )  m Uˆ  nx（irrelevant な位相因子以外）

ディラック・モード展開とディラック・モード射影
ディラック・モードの完全性：

 n n 1

ディラック・モード展開Uˆ    m m Uˆ  n nmnn

ディラック・モードの空間を制限する射影演算子を定義する：

ディラック・モード射影演算子： P̂   n nnA

この射影において、ディラック・モードの和は部分空間 A 内に制限する
e.g. IR-cut

  
nA

|n|  N IR

Pˆ 2  Pˆ

Pˆ   Pˆ⇒ ディラック・モード射影した Link-variable operator
Uˆ P  Pˆ Uˆ  Pˆ   m m Uˆ  n nmA nA

・ウィルソン・ループ: TrWˆ  Tr

L

ˆ  TrUˆ Uˆ Uˆ
U
1  2
L
 k
k 1

ディラック・モード射影:Uˆ   Uˆ P  Pˆ Uˆ  Pˆ・ディラック・モード射影したウィルソン・ループ:L

Tr Wˆ P  Tr Uˆ Pk  Tr Uˆ P1Uˆ P2 Uˆ PL  Tr Pˆ Uˆ 1 Pˆ Uˆ  2 Pˆ  Pˆ Uˆ  L Pˆk 1 tr n Uˆ  nn1 , n2 ,...,nL A

1

1

2

n2 Uˆ  2 n3  nL Uˆ  L n1

これは manifest にゲージ不変!

tr: color index

このゲージ不変性は格子QCD計算でも確認済みディラック・モード射影したウィルソン・ループ
L

TrWˆ  Tr Uˆ Pk Pk 1

 tr n Uˆ  nn1 , n2 ,...,nL A

1

1

2

n2 Uˆ 2 n3  nL Uˆ  L n1

この表式に基いて、ウィルソン・ループの面積則に対する各ディラック・モードの寄与を調べる。つまり、もし、ある特定のディラック・モードがウィルソン・ループの面積則（＝閉じ込め）に essential ならば、そのモードとの coupling をカットしてしま
えばウィルソン・ループの面積則は大きく変化するはず。

元々の ウィルソン・ループは全てのディラック・モードとcoupleする

ディラック・モード射影した
ウィルソン・ループは制限されたディラック・モードとのみcoupleするディラック・モード射影したクォーク間ポテンシャル
ディラック・モード射影したウィルソン・ループ
L

TrWˆ P  Tr Uˆ Pk k 1

 tr n Uˆ  nn1 , n2 ,...,nL A

11

n2 Uˆ 2 n3  nL Uˆ  L n1

2

⇒ ディラック・モード射影したポテンシャル1
V ( R)   lim ln TrWˆ P R, T 
T  TP

射影しなければ 元のクォーク間ポテンシャルと一致
cf Wilson Loop operator の Functional Trace は
通常のウィルソン・ループの真空期待値に比例

TrŴ  W  Tr1





1
1
ln TrWˆ R, T    lim ln W R, T   irrelevant const.
T  T
T  TV ( R)   lim

この方法のテクニカルな問題点：
巨大な行列とその積を計算しなければならないˆ実際, m U  n という行列は (ディラック・モード数)2.
ここで ディラック・モード数は (lattice-volume) x Nc x 4.
Kogut-Susskind の方法により (lattice-volume) x Ncに reduce されるがやはり巨大な行列
1

現時点では small-size の格子QCD計算で検証
格子QCD計算：
SU(3) プラケット作用（クエンチ，周期的境界条件）
=5.6 (a=0.25fm) , 64

QCDディラック演算子の固有値分布
=5.6 (格子間隔 a=0.25fm), 64

Low-lying のディラック・モードがカイラル対称性の自発的破れに寄与する(cf. Banks-Casher 関係式)

QCDディラック演算子の固有値分布
=5.6 (格子間隔 a=0.25fm), 64

Low-lying のディラック・モードを除去するとカイラル凝縮は劇的に減少する(cf. Banks-Casher 関係式)

Low-lying のディラック・モードを除去した後でのカイラル凝縮
q q IRqq2m
q q IR   22mn   IR nq q IRqq

現実の世界 0.02 for mq~5 MeV

Low-lying のディラック・モードを除去した後でのカイラル凝縮は劇的に減少する （約2%に減少!）

Low-lying のディラック・モードを除去した後の閉じ込め力
S. Gongyo, T. Iritani, H.S., Phys. Rev. D86 (2012).

Low-lying のディラック・モードを除去した後のウィルソン・ループとクォーク間ポテンシャルに対する格子QCD計算の結果
Wilson Looporiginal
Without
low-lying Dirac modes

Potential
Without low-lying
Dirac modes

original

カイラル対称性の自発的破れのessential mode である low-lying のディラック・モードを除去しても、ウィルソン・ループの面積則、その傾き （閉じ込め力）、クォーク間ポテンシャルは変化せず同じである
カイラル対称性の自発的破れがなくてもクォークは閉じ込められている！

ディラック・モード射影したポリヤコフ・ループと Z3センター対称性
ディラック・モード射影したポリヤコフ・ループ
Tr Pˆ P  Tr (Uˆ 4P )T 

ポリヤコフ・ループ

 tr n Uˆ n

n1 , n2 ,...,nT A

1

4

2

n2 Uˆ 4 n3  nT Uˆ 4 n1

低ディラック・モードを除去した結果

on periodic lattice

ディラック固有値分布
Gongyo, Iritani, H.S. PRD (2012)
Iritani, Gongyo, H.S. PoS (2012)

Low-lying のディラック・モードを除去しても、ポリヤコフ・ループはゼロのまま⇒ 系は閉じ込め相 ＆ Z3センター対称性は破れない

紫外領域のディラック・モードを除去した場合
S. Gongyo, T. Iritani, H.S., Phys. Rev. D86 (2012).

ディラック固有値分布

ウィルソン・ループ

クォーク間ポテンシャル

紫外領域のディラック・モードを除去しても閉じ込め力は変わらない中間領域のディラック・モードを除去した場合
ディラック固有値分布

ウィルソン・ループ

クォーク間ポテンシャル

中間領域の様々なディラック・モードを除去しても閉じ込め力は変わらない関連する格子QCD研究１
C. Gattringer, Phys. Rev. Lett. 97, 032003 (2006),“Linking confinement to spectral properties of the Dirac operator”.

1 
Nt
Nt
Nt

P 
2   (1  i )   (1  i )  
8V  

λ：ディラック固有値（周期的境界条件）
λ±：Twisted 周期的境界条件でのディラック固有値
Twisted 周期的境界条件：
虚時間方向の周期性に対して Z3センター群要素 z を乗じる

U 4 ( x, Nt )  zU 4 ( x, Nt ) xz

 1  3i2

Our comment: λ と λ± の対応関係が不明なので明言できないが、Low-lying のディラック・モード のポリヤコフ・ループへの寄与は小さそう.
～我々のIRディラック・モード除去の結果と consistent にみえる

関連する格子QCD研究２
F.Synatschke, A.Wipf, and K.Langfeld, Phys. Rev. D77, 114018 (2008),“Relation between chiral symmetry breaking and confinementin YM-theories”.
low-lying のディラック・モードのみで計算したポテンシャル

閉じ込め力はほぼ同じ
original のクォーク間ポテンシャル
非閉じ込め相のデータ閉じ込め力は low-lying のディラック・モードのみで再現される.
Our comment:
我々のUVディラック・モード除去の結果と consistent にみえる

関連する格子QCD研究３
C.B.Lang and M.Schrock, Phys. Rev. D84, 087704 (2011),“Unbreaking chiral symmetry”.
L.Ya Glozman, C.B.Lang and M.Schrock, Phys. Rev. D86, 014507 (2012),“Symmetries of hadrons after unbreaking the chiral symmetry”.

Low-liyng のディラック・モードを除去してハドロンのスペクトルを計算.
※ この計算はクォークの伝播関数を変更すれば良いだけなので比較的容易⇒
ハドロンはパリティ・ダブリング（正負のパリティが縮退）～カイラル対称性が回復
Our comment:
カイラル対称性の破れ無しでの“ハドロンの形成”は閉じ込め力の存在を示唆している

本研究の結論・閉じ込めに対して支配的に寄与する特定のディラック・モードは存在しないようである.
・特に、カイラル対称性の自発的破れに essential な low-lyingのディラック・モードは閉じ込めに対しては essential ではない.

・ “閉じ込めの種” は low-lying のディラック・モードのみならず
ディラック・モード空間にある程度広く分布していると思われる.
その範囲内ならディラック・モードのどこを取ってきても閉じ込めを示す

Confinement©川崎悟司氏

１つの物理的解釈：インスタントンとディラック・ゼロモード
インスタントンはカイラル対称性の破れに大きく寄与
するが、閉じ込めには直接的には寄与しない.

Diakonov-Petrov (1984,1986)

Dmitri Diakonov 教授
それぞれのインスタントン周辺にはディラック・ゼロモードが局在し、それらはカイラル対称性の自発的破れに寄与する. しかし、局在したオブジェクトでは閉じ込めを説明するのは難しい.

思考実験として、もしQCD真空から“インスタントンのみ”を注意深く除去できたとすると カイラル凝縮は著しく減少し ディラック・ゼロモードの多くは消失するが、閉じ込めの性質には影響を与えないであろう. 即ち、この場合は、カイラル対称性
はかなり回復するが閉じ込めは変化しないと思われる.

Summary and Concluding Remarks
SU(3)格子QCDにおいて ディラック・モード展開法を用いて、閉じ込めとカイラル対称性の自発的破れ（CSB）との関連を解析した.
CSBに essential な low-lying のディラック・モードを除去しても、・ウィルソン・ループは面積則に従い、閉じ込め力は変化しない
・クォーク間ポテンシャルも変化しない
・ポリヤコフ・ループはゼロ⇒ 系は閉じ込め相 ＆ Z3-センター対称性は破れない
これらの結果は、QCDにおいてクォーク閉じ込めとカイラル対称性の自発的破れが、直接的に対応していないことを示している.
クォーク間ポテンシャル

ウィルソン・ループ

ポリヤコフ・ループ

Thank You !

BACK UP

関連する格子QCD研究
C. Gattringer, Phys. Rev. Lett. 97, 032003 (2006).

1 
Nt
Nt
Nt

P 
2   (1  i )   (1  i )  
8V  


Low-lying のディラック・モード のポリヤコフ・ループへの寄与は小さそう.
～我々のIRディラック・モード除去の結果と consistent にみえる
F.Synatschke, A.Wipf, and K.Langfeld, Phys. Rev. D77, 114018 (2008).
閉じ込め力は low-lying のディラック・モードのみで再現される.
～我々のUVディラック・モード除去の結果と consistent にみえる
C.B.Lang and M.Schrock, Phys. Rev. D84, 087704 (2011).
L.Ya Glozman, C.B.Lang and M.Schrock, Phys. Rev. D86, 014507 (2012).

Low-liyng のディラック・モードを除去してハドロンのスペクトルを計算.
～Our comment: カイラル対称性の破れ無しでの“ハドロンの形成”は閉じ込め力の存在を示唆しているImportant role of Monopole to Chiral Sym Breaking (Lattice QCD)
O. Miyamura, PLB (1995) : First Lattice QCD Study
to reveal Important role of Monopole to Chiral Sym Breaking

Polyakov loop

Quark Condensate

Monopole part (including only monopole) : Chiral sym breaking
Photon part (after removing monopole) : Chial SymmetricIn the previous work, we studied IR/UV-Gluon Contribution to
the Ground-State Potential or Confinement.

String Tension

A. Yamamoto and H.S., PRL 101, 241601 (2008); PRD79, 054504 (2009).

unchanged

UV cutoff

As a remarkable fact, the string tension is almost
unchanged even after cutting off thehigh-momentum gluon component above 1.5GeV.

Fourier expansion and Gauge invariance
The previous method is based on the Fourier expansion.
The Fourier expansion is based on eigen-state of momentum operator.
Because of the commutable nature of [p, pn] = 0,
all the momentum p can be simultaneously diagonalized.
This is one of the strong merits of the Fourier expansion.
The Fourier expansion is very useful and keeps Lorentz covariance,
but it does not keep gauge invariance in gauge theories.
Therefore, for the use of the Fourier expansion in QCD, one has toselect a suitable gauge such as the Landau gauge, where thegauge-field fluctuation is strongly suppressed in Euclidean QCD.
Next, we consider Gauge-Invariant Method, using a gauge-invariant
expansion in QCD instead of the Fourier expansion.

Gauge-invariant expansion in QCD
We consider a generalization of the Fourier expansion oran alternative expansion with keeping the gauge symmetry.
A straight generalization is to use covariant derivative operator D
instead of derivative operator∂.
However, due to non-commutable nature of [D, Dn] ≠ 0, we cannot
diagonalize all the covariant derivative D simultaneously, but
only one of them can be diagonalized.
For example, the expansion by the eigen-state of D4 keeps gauge
covariance and is rather interesting, but this type of the expansion
inevitably breaks Lorentz covariance.
Then, we consider the Dirac operator D and D2 = DD,since the expansion with the eigen-states keeps bothgauge symmetry and Lorentz covariance.
In particular, the Dirac-mode expansion is rather interesting because
it directly connects with Chiral Sym Breaking and Topological Charge.

Gauge-Invariant Formalism with Dirac-mode Expansion
We mainly consider manifestly Gauge-Invariant new method
using Dirac-mode expansion to examine relevant modes foreach QCD phenomenon.
New Formalism !

?


D



D is directly related toHere, Dirac operator

Chiral Symmetry Breaking, via Banks-Casher relation,and its zero modes are directly related to Topological charge,
via Atiyah-Singer Index theorem.

Atiyah-Singer Index Theorem

Index( D
)Q
g2
~ n
4
Q
d
x
Tr
G
G
 Z ：Topological charge in QCD
n
2 
16

Index( D )  dim(ker( D ))  dim( co ker( D ))  n R n L ：index of Dn R, L ：Right- / Left- handed zero-mode number of D
Zero-mode number asymmetry of Dirac operator
is equal to Topological charge (instanton number) in QCD} 0※ The non-zero spectrum is symmetric due to { 5 , DD  n  in n  D
 ( 5 n )  in ( 5 n )