広島工業大学紀要教育編
第 19 巻（2020）127-136

報

告日本の高等学校理科における誤差等の扱いについて−フランスの教科「物理・化学」を参考に－
角島誠＊（令和元年 ９ 月 ９ 日受付）

On the processing of error and so on in upper secondary school science in Japan−With the reference of “Physique Chimie” in France
Makoto KADOSHIMA（Received Sep. 9, 2019）

概要
日本の高等学校理科における学習指導要領ならびに教科書での誤差、測定値、有効数字の扱い方について、フランスの教科「物理・化学」の事例を参考として、現状に対する指摘を行った。日本の場合、学習指導要領
では中学校・高等学校共に言及されておらず、教科書では、誤差、有効数字の表し方・計算の処理の仕方にとどまっており、統計的な扱いがないことなどを指摘した。また、科目や教科書選択によっては全く扱わないこともあり得ることを指摘した。フランスでは学習指導要領にて「誤差と不確かさ」の項目が設けられており、教科書では統計的な扱いが必要な不確かさの説明に比重が置かれて説明されている状況を報告し、グラフ関数
電卓が常用されている環境要因の大きさを指摘した。

キーワード：高等学校、理科、誤差、有効数字、測定値、教科書、不確かさ、フランス

他には、東京都の高等学校理科教師に対して統計や誤差

１ ．はじめに
1.1に関する意識調査を行い、「理科教師が高等学校で行う実誤差等の扱い験で推測統計や数学を使うことを強く望んでいるわけではパソコンの低価格化が進みタブレットにおいても統計処ないことが伺える。理科で扱うには高度すぎ、理科本来の理ソフトが使用可能など、ICT 環境の充実が図られてい学習目標より生徒への負荷が高くなるとの懸念によるもの

る今日にあって、高等学校理科での誤差や有効数字や測定⑶と思われる」とした田川・西川（2005）の報告がある。

そして、瀧本（2016）⑷ は物理基礎の教科書における有値（以下、誤差等）の扱いはどのようになっているのだろうか。

効数字学習についての教科書分析を行い、「教科書によっ

物理における誤差等の指導について見てみると、龍渓ては測定値の計算結果の処理方法について、その根拠が明（1991）⑴ が当時の物理の ４ 社の教科書における有効数字

確に示されていないものもあり、そのような教科書を用いの計算方法の違いを指して、『物理教育』において「有効て指導した場合、教員側のフォローが適切に行われなけれ

数字の指導について－教えてください」と問うたことに、

ば、測定値の計算が生徒にとって単なるテクニックに頼っ⑵

寺島（1992） が「有効数字の決め方とその指導」と題したものになってしまう恐れがある」と指摘し、更には大多て『物理教育』にて応答している事例があげられる。ここ

喜・長井（2010）⑸ の高専での指導実践で行われた母平均での主たる関心事は有効数字の計算方法であった。

の区間推定方法のような誤差論（標準偏差・誤差伝播）に

＊

初等中等教育研究センター、ICT センター、広島工業大学生命学部食品生命科学科― 127 ―角島誠

ついてもきちんと触れることが確かな理解につながるとし

２ ．日本での扱い

啓林 化学305
数研 化基320
数研 化学314
第一 化基322
第一 化学315
東書 生基312
東書 生物307
実教 生基314
実教 生物308
啓林 生基315
啓林 生物302
数研 生基317
数研 生物310
第一 生基319
第一 生基318
第一 生物311
啓林 地基308
啓林 地学301
数研 地基309
数研 地学302
第一 地基310
東書 科人305
実教 科人301
啓林 科人302
数研 科人303
第一 科人304

2.1※表中の表現についてている。
本報告では、物理基礎のみならず、日本の高等学校理科における誤差等の扱いについて、中学校も対象に現行の学習指導要領での教科書の扱い等をまとめ、中央集権型の教育制度のフランスの教科「物理・化学」の事例を参考に、その実情についての指摘を行う。
1.2

調査の方法

日本の高等学校、中学校の学習指導要領解説理科編における誤差等に関する記述、続いて高等学校の現行の理科 ４
科目の基礎科目、基礎を付さない科目、ならびに科学と人間の教科書、中学校の教科書での誤差等の扱い、龍渓（1991）の指摘観点で高等学校教科書における有効数字の計算に関する扱いについてまとめる。
続いて、フランスの教科「物理・化学」の学習指導要領
programme における誤差等に関する記述、ならびに教科書における誤差等の扱いについてまとめる。

学習指導要領での扱い

平成21年告示の現行の高等学校学習指導要領解説

理科

〇

〇

×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
〇
〇
×
×
×
×
×
〇
×

×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
〇
〇
×
×
×
×
×
〇
×

化学基礎と同じ内容
× 〇 〇 〇
化学基礎と同じ内容
× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× 〇 〇 ×× 〇 〇 〇
× × × ×× × × ×× × × ×× × × ×× 〇 〇 ×× 〇 〇 〇
× × × ×

〇

〇

×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
〇
〇
×
×
×
×
〇
〇
×

×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
〇
〇
×
×
×
×
×
×
×

×
×
×
×
△１
△２
×
×
×
×
×
×
×
△１
△１
×
×
×
×
×
×
×
×
×
△３
×

真値：真の値または真値との表現の有無⑹

編 では、探究的な学びは随所で強調されデータの処理と相対：相対誤差についての扱いの有無いう表現はされるものの、誤差の扱いや有効数字の扱いに

有効：有効数字の定義（説明）の有無

ついては、いずれの理科科目についても、かつ理科全体を１/10：最小目盛の１/10を読むことへの言及の有無

通しても具体的に言及されていない。同様に、平成20年告±0.5：測定値には末位の値ｘの0.95ｘから1.05ｘの間の示の中学校学習指導要領解説⑺

誤差があることへの言及の有無

理科編 においても具体的に言及されていない。

表現：有効数字の表現方法の有無

2.2

計算：有効数字の計算方法の有無

教科書での扱い

高等学校△１

探究活動の取組において「数量的なデータを得る

以下、表 １ に理科 ４ 科目の基礎科目、基礎を付さない科

実験では、誤差が小さくなるように、同じ条件下

目ならびに科学と人間生活の教科書41冊について、誤差等で測定を繰り返して平均値を求める」との記述△２に関する扱いについてまとめた。

グラフへの測定値の記入について「測定値には誤差があることを考慮したうえで、曲線のような変表１化なのか、直線のような変化なのか、変化のよう

高等学校教科書における誤差等に関する扱い

東書 物基312
東書 物理308
実教 物基313
実教 物理309
啓林 物基315
啓林 物理310
数研 物基318
数研 物理313
第一 物基321
第一 物理316
東書 化基314
東書 化学309
実教 化基316
実教 化学311
啓林 化基318

真値 誤差 相対 有効 １/10 ±0.5 表現 計算 他
〇 〇 〇 〇 〇 × 〇 〇 ×
× × × × × × × × ×
× 〇 × 〇 〇 × 〇 〇 ×
× × × × × × × × ×〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ×
× × × × × × × × ×〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ×
× × × 〇 × × × × ×〇 〇 〇 〇 〇 × 〇 〇 ×
× × × × × × × × △１
〇 〇 × 〇 〇 × 〇 〇 ×
化学基礎と同じ内容
×〇 × × 〇 〇 〇 〇 〇 ×
× × × × × × × × ×〇 〇 × 〇 〇 〇 〇 〇 ×

すを大まかに判断する」との記述△３

平均、加重平均、モード、メジアンに言及した代表値の考え方や、データのまとめ方、読み取り方に関する説明がなされている。

補足説明
生物の場合、いずれもグラフの書き方について、「誤差を考慮して、線を引くこと」といった程度の言及で、誤差幅の数値的扱いには触れられていない。
有効数字の計算方法
龍渓（1991）が指摘した計算方法の乗除の計算方法に見られたポイントを以下の①～③として、この度扱った教科
書でどのような扱いとなっているかを表 ２ にまとめた。
― 128 ―

日本の高等学校理科における誤差等の扱いについてするなどした説明が多々行われている。

①有効数字の桁数を四捨五入によってけた数の少ないもの

・物理基礎を選択しない場合、科目選択と教科書の組み合にそろえてから計算する。
②有効数字の桁数の少ないものよりも １ けた多く計算する。

わせによっては、高等学校でこの分野を全く扱わないこ③計算結果を有効数字の桁数の小さい方に合わせる。

ともありうる。
・乗除の計算方法については、「計算結果を有効数字の桁

表２

東書
実教
啓林
数研
第一
東書
実教
啓林
数研
啓林
数研

数の小さい方に合わせる」について教科書間のばらつき

乗除の計算方法

物基312
物基313
物理312
物基318
物基321
化基314
化基316
化基318
化基320
地学301
地基309

はないものの、「有効数字の桁数の少ないものよりも １乗除の計算方法
①
②
③
×
×
〇
×
×
〇
×
×
〇
×
×
〇
×
〇
〇
×
〇
〇
×
〇
〇
×
〇
〇
×
〇
〇
×
〇
〇
×
×
〇

けた多く計算する」の条件は物理は １ 社のみ、化学は誤差等の扱いのあった全 ４ 社で課されており、概して物理と化学で扱いが異なっているといえる。
・中学校では、学年によるばらつきはあるものの全ての社
で１/10目盛を読むこと、有効数字が扱われている。
・中学校では、高等学校のような誤差を含んだ数字が広がる様を筆算のプロセスで可視化するなどした説明はいず
れにおいても無かった。△ C の教科書でも、乗の計算
後に結果を有効数字の桁数の小さい方に合わせるといっ中学校

た説明にとどまっている。
表３

東書
東書
東書
大日本
大日本
大日本
学図
学図
学図
教出
教出
教出
啓林
啓林
啓林

・誤差を含んだ数字が広がる様を筆算のプロセスで可視化

中学校教科書における誤差等に関する扱い

１ 年生 理科727
２ 年生 理科827３ 年生 理科927
１ 年生 理科728
２ 年生 理科828３ 年生 理科928
１ 年生 理科729
２ 年生 理科829
３ 年生 理科929
１ 年生 理科731
２ 年生 理科831
３ 年生 理科931
１ 年生 理科732
２ 年生 理科832
３ 年生 理科932

真値 誤差 相対 有効 １/10 ±0.5 表現 計算
× 〇 × 〇 〇 × △A ×
× 〇 × 〇 〇 × △A ×
× 〇 × 〇 〇 〇 △A △B〇 × × 〇 〇 〇 〇 ×
１ 年生と同じ内容
１ 年生と同じ内容〇 〇 × 〇 × × △A ×
〇 〇 × 〇 × × △A △C
２ 年生と同じ内容〇 〇 × 〇 〇 △ 〇 △C
〇 〇 × 〇 〇 × 〇 △C
２ 年生と同じ内容
× × × 〇 〇 × × ×× × × 〇 〇 × × △C× × × × × × × ×

するなどした説明や相対誤差への言及を除けば、高等学

他
×
×
×
×

校での扱いは、中学校での扱いとおおよそ重なる。

３ ．フランスの物理・化学での扱い
3.1

×
×

学習指導要領での扱い

高校 １ 年の物理・化学の学習指導要領⑻の序文の一項目として、「誤差と不確かさ errors et incertitude」と題した××

項目があり、そこでは：・高校 １ 年の主たる目的は、単純で実証的な事例において、×××ある物理量の一連の独立した測定値から得られた値のばらつきを生徒に気付かせることである。

△A

指数での表示は扱っていない

・標準不確かさ incertitude-type は、物理量に合理的に起△B加の計算結果の表示の仕方のみ因する可能性のある値の範囲の推定値を提供する。

△C乗の計算結果の表示の仕方のみ

・提案されている実験活動は、標準不確かさの値について、選択された測定器とプロトコルの影響を生徒に気づかせ

表 ３ に中学校の教科書15冊について、誤差等に関する扱ることも目的としている。

いについてまとめた。
読み取り・標準不確かさの値が妥当な場合、測定値と参照値の互換性または非互換性を定性的に結論付けるために、測定値・物理では全ての社が「物理基礎」で扱うものの「物理」

は参照値と比較される。

では記載していない。
・化学は ５ 社中 ４ 社が「化学基礎」で扱い、内 ３ 社が同じとされ、概念と内容ならびに求められる能力 capacités
exigibles として、以下の表 ４ を示している。

内容を「化学」で記載している。
・生物では数値的なことに関してはいずれも扱わず、地学では ２ 社の扱いであった。

表 ４ 「誤差と不確かさ」に関連する概念と能力・相対誤差を扱っているのは物理のみであった。
・科目に関係なくいずれの教科書での扱いも、測定値に信頼度などの統計的な配慮を扱っていない。
・有効数字の加減法、乗除法について扱っている場合は、誤差を含んだ数字が広がる様を筆算のプロセスで可視化― 129 ―

概念と内容
物理量の測定値のばらつき求められる能力
ヒストグラム、平均値、標準偏差など、ある物理量の一連の独立した測定値を活用する。
測定器とプロトコルの影響について話し合う。
一連の独立した測定値の分散を定性的に評価する。
デジタルスキル： スプレッドシートを使用して、一連の測定値に関連付けられたヒストグラムを作
成する。

角島
標準不確かさ
結果の記述と基準値

誠95％」といった表現が用いられ、物理・化学で扱う数値

標準不確かさを定性的に定義し、統計的アプロー
チによって評価する。
単一の測定結果を、適した有効数字の桁数で記述する。

に関して「統計的な処理や配慮の必要性」が伝えられている。

⑼

また、高校 ３ 年の物理・化学の学習指導要領 では、教※Belin 社と Bordas 社では、高校 １ 年では不確かさの師向けの内容として、高校 １ 年同様に「誤差と不確かさ」

概念は扱われるものの、95％信頼度やそのための公式と題した解説項目があり、その中で「高校の教育を終えるの扱いは高校 ２ 年からとなっている。Hachette 社で段階で生徒が習熟しなければならない測定とその不確かさ

は高校 １ 年では不確かさの概念も扱わず、有効数字のに関連する特有な概念とコンピテンスをまとめたものであ表記と計算のみである。

る」として以下の表 ５ を示している。

ただし、高校 ２ 年以降の不確かさの扱いは、いずれの社も同程度の内容を扱っている。

そして、これらコンピテンスは、「高校 ３ 年の理系の物理・化学の専門の教育の枠の中で深められ得る。高校 ２ 年と高・日 本のような誤差を含んだ数字が広がる過程を説明し

校 ３ 年の学習指導要領の右側の欄で、斜体で書かれたすべていることはないが、決め事として有効数字の表現やての実験活動が、その実装と取得のための機会を漸次提供

加減乗除計算での処理の仕方が扱われている。以下、しなければならない。」とされている。

Hachette 社の事例を示す⑽。
※有効数字計算の事例
距離 d=0.84m の水中をある超音波が伝播している。

表 ５ 「誤差と不確かさ」に関連する概念とコンピテンス

 伝播時間がΔt=554×10−６s として、波の速さを求概念と内容
誤差と関連する概念

実験で求められるコンピテンス
測定における（精度の限界の）さまざまな誤差の発生源を特定する：現象ならびに測定行為（操作者や機器に関する要因）の変動性。
不確かさと関連する概念 各誤差の原因に関連する不確かさを評価して比較する。
提供された評価の式を使用して、再現性の不確かさを評価する。
測定機器を使用して得られた単一の測定値の不確かさを評価する。
提供された式を使用して、いくつかの誤差の発生源が内在するプロトコルを実行するときに得られる測定値の不確かさを評価する。
結果の表現と許容範囲
有効数字の使用と科学的記述に習熟する。不確かさをこの記述に関連付ける。
平均の値や信頼度が付された不確かさによる値によって測定操作の結果を示す。
相対精度を評価する。
所定の基準に従って行うべき測定を決定する。
測定操作の結果を基準値と比較してコメントする。
プロセスを改善するための提案をする。

めなさい。という事例に対して図 １ のような説明がさ
れている。

図１

有効数字の計算関数電卓の使用が前提となっているので、筆算を示して誤差を含んだ数字が広がる過程の説明はそぐわないといえ3.2

教科書での扱いる。そして、図 １ のように関数電卓での計算結果を示し、まず、全員必修学年の高校 １ 年とコース選択となる高校

計算式の横に有効数字の解説を示し、 ３ 桁と ２ 桁の場合、3 年Ｓコースの Nathan 社の教科書の誤差等に関する扱い

２ 桁で表記するものとして有効数字 ２ 桁で結果を示していの該当箇所について資料 １ ～資料 ２ として、訳出した。

る。

（※ １ ）

４ ．視点

そして、この Nathan 社の扱いを基軸に特徴を読み取り、他に Hachette 社、Bordas 社、Belin 社の教科書における4.1

記述内容で特徴的なもの読み取り、以下に付加記述する。

関数電卓の使用

フランスでは数学においても関数電卓の使用が前提と（※ ２ ）

なっており、数学や物理・化学の大学入学資格試験である

読み取り

バカロレア試験でも使用が前提となっている。機能等が制・誤差や有効数字や測定値といったいわゆる誤差等を扱っ

限された機種が指定されており、生徒は概ねテキサスインてもいるが、記述の殆どが不確かさに関する内容である。

ストルメンタル社かカシオ社のどちらかを所有している。

・不確かさの扱い方については、統計的な処理方法の必然が数学的に説明される場は無く、扱いの場合分けと与えられた式に当てはめるという機械的な操作、決め事として説明されている。
・扱いは機械的な決め事のようでも、高校 １ 年で「信頼度― 130 ―

表６49.12ml50.42ml51.02ml50.28ml

ある体積の測定結果

49.89ml50.04ml49.32ml50.64ml50.12ml50.71ml日本の高等学校理科における誤差等の扱いについて

Hachette 社の教科書事例では、表 ６ のようなある体積

4.2

理科課題研究での扱いを10回測定した結果について、図 ２ のように TI-83plus と

理科課題研究や SSH での研究を進めるときによく参照

Casio GRAPH 35+ での ２ 種類の電卓の使用方法を示し、されるとされる「理科課題研究ガイドブック第 ３ 版」⑿でこの一連の測定の平均値

x＝50.156ml

この一連の測定の実験標準偏差σn−1＝0.599mlの扱いを見てみる。
標本調査における統計の必要性は数学を参考とするようにとの言及はあるものの、測定値に関する誤差の扱いにつと説明している。

いては、教科書にあるような有効数字の計算方法を超える扱いは特段にされてなく、かつフランスのようなデータの不確かさに関する言及はされていない。
4.3

不確かさ

1980年代より国際度量衡委員会（CIPM）のはたらきかけで計測値の信頼性の表現法や算出法の統一が行われる作業が行われ、その成果として1993年に、ISO など ７
つの国際機関の共著による「計測における不確かさの表
現 ガ イ ド 」（Guide to the Expression of Uncertainty in
Measurement, 以下 GUM）が刊行された⒀。
仏語で incertitude, 英語で uncertainty と表記され、日本語で「不確かさ」と訳されているものは、この書で登場した比較的新しい概念であり用語であり、国際規格として定義された統計指標であり、国際標準としての性格も持つものである。
そして、「従来は測定結果を、誤差論のもとに整理しようとしていたために、実際には得ることが困難な「真の値」
を出発点とし、誤差（= 測定値−真の値）の解析を行って図２いた。これに対して、新しい概念の「不確かさ」は、われ関数電卓を用いた平均と実験標準偏差の計算方法⑾

われが実際に得られる測定値を出発点として、この生の測このように理系の学習では関数電卓の使用が前提となっ定値の分布からみたばらつきで議論しようとする点が特徴ており、煩雑な数値計算は電卓に行わせるため、計算しやである」⒁ というように、いわゆる誤差とは違う概念であすいような割り切れる数値を扱うこともなく、測定から切り、そもそも日本の中等教育の教科書では一切扱われており取られる生データをそのまま扱うことが生徒にとって常らず、国際標準としての不確かさという概念そのもの、そ態である。煩雑な統計計算のみならず、実験結果のデータのように数値に配慮しなくてはならないという理解の機会

プロットや関数のフィッティングも関数電卓の使用を前提が無い。

に行われている。

また、測定値の不確かさの処理が GUM にて標準化されこの関数電卓の使用が前提でなければ、統計的な配慮とた手続きに則って行われるという意味では、その処理の仕処理を可能とした上記に見てきた展開そのものが成り立た方はある意味機械的であるといえる。とするなら、中等段

ず、全生徒の関数電卓使用環境は不可欠な要因といえる。

階での指導も、統計的処理の数学的な根拠の理解というよ

日本の場合、ICT 活用は叫ばれるものの、ICT 活用とりかは、測定値はそういう手続きが必要な性格のものであいう大まかな表現の中で、デバイスの指定や条件指定があるということの理解や、統計処理ソフトや統計機能を機械るわけでもなく、また学校が貸し出すとも個人が所有する的に使いこなせるかというスキルの習得に比重が置かれる

とも、使用環境のありようは漠としている。そもそも学習

ことも、何を重視するかによっては理のある指導といえる。

指導要領での記載も無いので、結果、図 ２ のように教科書

4.4

学習指導要領で扱われていないという事実レベルに具体的な落とし込みまで行いようも徹底しようも誤差等の扱いは、そもそも学習指導要領、学習指導要領

無く、現場任せといった状況といえる。そして、田川・西

解説で明記されていないものなのに、表 １ や表 ３ にみたよ川（2005）が示したように、扱いきれない負担感と現実的

うに科目でのばらつきはあるものの教科書では扱われていなニーズとの落ち着きどころとしての日本の現状である。

る。
ここに何某か求められている意図があるとするなら、教― 131 ―

角島

誠

科書検定制度のプロセスを経て世に出ている表 １ ～表 ３ の５ ．まとめ

教科書の実態がそれである。すなわち、現行学習指導要領での教科書の扱いですら、本質的には、測定学習という表

上記観点も踏まえた視点で日本の状況をまとめると、現で中学校理科を対象とした1972年当時の『科学の方法を・科目としても、また教科理科としても、誤差等の扱いに⒂習得させる理科の測定学習』 の扱いと変わっていない状

ついて学習指導要領では示されていない。

況であり、この度の調査では過去比較を行っていないので・同様に、「不確かさ」の概念そのものが扱われていない。

断定的には言い難いが、教科書での取り上げ方も前回踏襲

・中学校と高等学校の誤差等の扱いは、計算によって誤差の繰り返しといった感が拭えない。

が広がるプロセスを可視化していることや相対誤差の扱

4.5

いの有無以外に大きな違いは無い。

平成30年告示の高等学校学習導要領

誤差等の扱いに関しては、平成30年告示の高等学校学習・物理、化学での教科書の扱いに対し、生物、地学、科学⒃

指導要領 においても現行指導要領同様に特段の記述がなと人間生活の教科書ではばらつきがあり、科目履修と教されていない。

科書の組み合わせによっては、誤差等の扱いについては強調されている探究の過程は図として具体的に示され、中学校での扱い以後、高等学校では扱わないこととなる。

かつ「理科の見方・考え方」は「自然の事物・現象を、質・教科書レベルを超えて、いわゆる探究、研究的な学びを的・量的な関係や時間的・空間的な関係などの科学的な視進めていくレベルにおいても、そこで参照とされるガイ点で捉え、比較したり、関係付けたりするなどの科学的にドブックですら、不確かさなど生データに対する配慮は探究する方法を用いて考えること」と明確に「関係」の強特段になされていない。

調がなされるなど、学習指導要領が目指す意図が理解しや・田川・西川（2005）の報告時分以降も、日本の理科におすいものとはなった。ただ、実験科学としての厳密さや、ける誤差に対する配慮は、測定値の末位の扱いという有そのために必要な下処理のような手続きという側面につい効数字の計算で終わっており、かつ落ち着きどころとてはそれが強調して指導されるべきもの、そういう位置になっているといえる。
・学 習指導要領では ICT の活用は促されるものの、機種あるものではないことは窺える。
4.6

視点の置き方や機能がある程度特定されることもなく漠としており、日本は目盛の１/10を読むとの指示は共通して行われ、そフランスにみた生徒全員の関数電卓の使用が前提となっの末尾の値に幅があるとし、その数値を用いて計算を行うている教育環境が持つような指導の徹底さにかけている。

と、誤差を含んだ数字がひろがっていくことを、筆算などといえる。

の計算のプロセスを可視化するなどして説明している。瀧６ ．おわりに本（2016）によると教科書によって不徹底さやばらつきはあるとの指摘があるものの、フランスと対比してみると、フランスでの学習指導要領と教科書での誤差等の扱いに計算方法や有効数字の扱いには配慮が必要との説明をそれ照らして、日本の状況を捉えてみたが、同じ科学を教育すなりに経てルールの設定を行っている。

るということにもかかわらず、科学で扱う数値に対する姿

フランスは、有効数字計算のルール説明も機械的であり、勢とでもいうべきものに、歴然とした違いを認めた。

かつ不確かさという概念の下、機械的にその手続きを踏ん

理科の教育内容や概念の理解、探究の過程のプロセスとでいくという方法ではあるものの、生データに関する統計

いったことに比べ、誤差や測定値への配慮、その処理にか的な処理という配慮を行っている。いずれも手続きとしてける労力や手間暇をどう見積るか。そこに、実験科学とし割り切った感があるが、そこにあるのは、実験してデータての実験を前提とした教科、科目の本質をどのように捉えとしての数値を得ることが前提とされており、得られた生ているのかを垣間見ることができるようにも思える。

データに対する視点である。

高等学校とは違う高専という特殊な環境下であるもの

このフランスの状況を踏まえて、日本の理科における数の、大多喜・長井（2010）の高専での誤差論の指導実践は、字に対する指導は、田川・西川（2005）が指摘したような機械的な説明のフランスとも違って統計的背景の説明も踏実態が永らく継続され続けているという現実にも鑑みるな

まえた納得のプロセスを経た実践であり、しかも高校 １ 年ら、演習問題等で扱う与えられた数値をその後、どう扱っを対象としたもので、指導効果が高いものと報告されていていくかという視点に重きがあるかのようである。（下線

る。「パソコンの低価格化が進みタブレットにおいても統は筆者による）

計処理ソフトが使用可能など、ICT 環境の充実が図られている今日にあって」と冒頭に述べた状況に鑑みたとき、不確かさの概念の扱いも含めて、日本なりの誤差等の扱い― 132 ―

日本の高等学校理科における誤差等の扱いについて

65巻第 ３ 号 pp. 13-16

は高等学校の学習指導要領レベルで言及されてもよい時機⑸ではないだろうか。

注

平均の区間推定」『神戸市立工業高等専門学校研究紀釈要』第48号 pp. 147-150※ １ Nathan 社では、高校 2 年での誤差等の扱いの記述⑹

文部科学省『高等学校学習指導要領解説

理科編』平

成21年 ７ 月

が高校 3 年の記述とほぼ同じであるため扱わなかった。
・C ollection Sirius Édition 2015 １re S Physique⑺

文部科学省『中学校学習指導要領解説

理科編』平成20年 ７ 月Chimie,Nathan, 2017
また、高校 ３ 年で選択必修となる物理・化学の特別の教⑻

MEN, Bulletin officiel spécial n°４ du 29 avril 2010,
Enseignement commun Programme d'enseignement

育 Spécialité の教科書では扱いが無かった。

de physique-chimie en classe de seconde générale et・Collection Sirius programme 2012 Physique Chimie

technologique

TermS Spécialité, Nathan, 2017※２

大 多喜重明、長井清香（2017）「高専 １ 年生からの母⑼

他社の教科書で確認したものは以下の通り：

MEN, Bulletin officiel spécial n°８ du 13 octobre

Hachette 社

2011, Enseignement spécifique et de spécialité de・Collection Dulaurans-Calafell-Giacino Physique Chimie

physique-chimie de la série scientifique - classe
terminale, Annexe Programme de l’enseignement

Édition 2014 ２de, Hachette Éducation, 2017,

spécifique et de spécialité de physique-chimie Classe・Collection Dulaurans-Calafell-Giacino Physique Chimie

terminale de la série scientifique

Édition 2015 １reS, Hachette Éducation, 2017,
・Collection Dulaurans Durupthy Physique Chimie Ts,⑽

C ollection Dulaurans-Calafell-Giacino Physique
Chimie Édition 2014 ２de, Hachette Éducation, 2017, p.

Ensegnement spécifique,Hachette Éducation, 2018

325・Nouveau programme collection Dulaurans durupthy Ts
Physique Chimie Enseignement de spécialité,Hachette⑾C ollection Dulaurans-Calafell-Giacino Physique
Chimie Édition 2015 １reS, Hachette Éducation, 2017,

Education, 2018p. 354

Bordas 社
・Collection ESPACE lycée ２de Physique Chimie Édition⑿

泉 治彦（2015）『理科課題研究ガイドブック第 ３ 版』
千葉大学先進科学センター

2014, Bordas, 2015
・C ollection ESPACE lycée １reS Physique Chimie⒀

今井秀孝（1998）「計測における不確かさ表現の歴史的経緯と展望」『計測と制御』第37巻 第 ５ 号 1998年

programme 2012, Bordas, 2015５ 月号

・C ollection ESPACE lycée Tle S Physique Chimie

pp. 300-305

programme 2012 Enseignement de spécialité, Bordas,⒁

前掲書⒀、p. 301

2017

⒂

嶋田治ら（1972）『科学の方法を習得させる理科の測定学習』明治図書

Belin 社・Physique Chimie ２e nouvelle édition programme 2010,⒃文部科学省『高等学校学習指導要領解説編』平成30年 ７ 月

Belin, 2014
・Physique TermS programme 2012, Belin, 2012

文
⑴
⑵
⑶

資

献

資料 １

Nathan 社

料高校 １ 年

龍渓信行（1991）「有効数字の指導について－教えてCollection Sirius Édition 2017 ２de Physique Chimie,

ください」『物理教育』39⑴、pp. 928-29

Nathan, 2017, p. 333

寺島浩（1992）「有効数字の決め方とその指導」『物理１ ．測定の不確かさ incertitude

教育』40⑷、pp. 289-292

・測定における不確かさは、用いる対象（正しい使用と精度）の使用説明（書）に従うことで明確になる。

田川健太、西川保子（2005）「高等学校理科教師の測定値処理に関する意識調査」『日本科学教育学会研究

例：このメスフラスコはゲージラインまで満たされている。
公差は0.10mL である。

会研究報告』19⑹、pp. 17-20
⑷

理科編理数

瀧 本家康（2016）「高等学校物理基礎における有効数
字学習についての教科書分析」『大学の物理教育』第― 133 ―

不確かさ U =2
×0.10=0.087mL である。
3

角島

誠

容積は以下のように記述される：

班
L（mm）

V=（100.00±0.09）mL（信頼度95％）・指示が無い場合は、不確かさは
U=

２
39.5

３
40

４
40

５
６
39.5 40.5

７
40

８
40

９
40.5

関数電卓は以下の値を与える：
・平均値：L＝40.0mm

１ 目盛に等しいと見積る。
2・実験標準偏差：σ＝0.35mm

例：mm のメモリ付きの20cm のものさ

この場合、不確かさ U は以下のように計算される：

しで、18.2cm と測定した。

2.3
×σ＝0.27mm（ ９ は測定数、2.3は統計数値
9U =この場合の不確かさは、
U=

１
40

表から）

1
＝0.7mm と記され、結果はℓ＝（18.20±0.07）
2この場合、対象の長さを見出す確率は、（40.0±0.3）mmの間において95％である。

cm の形で記述される。
２ ． １ 回の測定の精度

それ故、測定精度は：・様々な大きさを測定するときに、測定の精度をどのよう

U
0.27
=
= ７ ×10−３L40.0

または0.7％に比較するか。100m の長さを0.5m の不確かさで測定すとなる。

ることは、10cm の長さを0.5mm の不確かさで測定する

よ って、 １ 回の測定では、0.5mm の推定の不確かさはことより精度が高いのだろうか。

精度1.3％であり、結果を共有することで精度をかなり・この問いに答えるために、相対不確かさの概念を用いる。
測定の精度は、結果の想定値による不確かさの商に等し
い相対的な不確かさ

上げることができる。
資料 ２

Nathan 社

高校 3 年

Collection Sirius Édition 2017 Term S Ensegnement

U
によって特徴づけされる。
X

spécifique Physique Chimie Nouveau Bac, Nathan, 2017 ・相対的不確かさが小さければ小さいほど、測定の精度は

pp. 572-575

より大きくなる。

１ ．用語

この事例で、100m の長さに対して：・真の値と呼ばれ、決して知り得ない。

U
0.5==5.0×10−３L100・ある大きさで知り得る値は、測定装置によるその測定値

または0.5％；である。
測定の不確かさ（高等教育では不確かさの拡大と呼ばれ10cm ＝100mm の長さに対して：
U
0.5==5.0×10−３L100る）の評価は、与えられた信頼度で、測定結果をもたらす。

または0.5％；・もし、ｘがある大きさの測定値であるなら、測定結果は、U（X）を測定の不確かさとして、X= x±U（X）と示さそれゆえ、測定は0.5％の精度で行われている。
３ ．独立した一連の測定の活用れる。この大きさの真の値は、しばしば95％のオーダー同じ大きさが、同等機能の異なる測定装置を用いたさまの信頼度で［ x−U（X）：x＋U（X）］の間に含まれている。

ざまな実験者によって測定された場合、測定結果は独立で

これは、その大きさの真の値が［ x−U（X）：x＋U（X）］ある。

の間に95％の確率であることを意味している。
結果の提示

それは、実験実習で測定を行う生徒の班の例の場合であ

測定結果は以下のものを含まなければならい：

る。

－測定値；
・この場合：－測定の不確かさ；①結果の平均値は測定のもっとも信頼おける推定となる；－単位の記号；②不確かさは、結果の標準偏差σ（シグマと読む）から計－信頼度算される。標準偏差が大きければ大きいほど、結果は平例

均値からよりばらついている。

ミリメートルの定規によるペンの長さの測定結果は：95％の信頼度で L＝（14.60±0.08）cm

・標準偏差は関数電卓または表計算ソフトを用いて得られる。
不確かさとの関係は、
統計数値表によって与えられる。
・例：ある実験実習での ９ つの班が、ある葉がトレースされたものの長さを測定した。mm の目盛がついたそれぞと表す。

ボールペンの長さの真の値は95％の確率で［14.52cm：
14.68cm］の間に含まれている。
・相対不確かさは測定の精度を与え、パーセンテージで説明される。それは、ｘを測定値、U（X）を測定の不確れ異なる定規での測定結果が以下の表である。
― 134 ―

日本の高等学校理科における誤差等の扱いについてかさとしたときに、

U（X）と表記される。そして、得x

４ ．一連の測定の不確かさ
・同じ大きさ x についてのｎ個の測定標本に対して、以下の方法で測定結果の不確かさを見積る：

られた結果に100を乗じたパーセントで表示される。さらに、相対不確かさが小さければ小さいほど、測定の精－平均値の計算： x；

度は高くなる。

－実験標準偏差の計算：σn−1；

例－測定の不確かさの見積り：さきほどのミリメートルの定規によるペンの長さの測定

U（X）= k ×の相対不確かさ PL は：
PL ＝

0,08
×100=0.5％
14.60

σn−1
n

ただし高校で学習する殆どの場合、95％の信頼度に対して k ＝ ２ ；となる。

－測定結果の表現：95％の信頼度で X= x±U（X）

同じミリメートルの定規による消しゴムの厚みの測定結注意

果が95％の信頼度で E=（1.10±0.08）cm

平均値と実験標準偏差の計算は、関数電卓で直接計算されである。

この測定の相対不確かさは：
PE ＝

0.08
×100= ７ ％
1.10

る。
注意

となる。

高校では、様々な生徒からなる複数のグループによる同じ

それゆえ、同じ定規を用いた測定でもペンの長さの測定

大きさの一連の測定の不確かさをこの方法で計算する。

が、消しゴムの厚みの測定よりも精度が高いということ

例

になる。

ある生徒が、同じ装置である光学像の大きさを20回測定

２ ．測定の不確かさを見積もる ２ つの方法

した：以下のような結果を得た。
回
１ℓ（cm） 8.7

２
8.8

３
8.1

４
8.8

５
8.7

６
8.2

７
8.6

８
8.5

９
8.2

10
8.2

回
11
ℓ（cm） 8.2

12
8.2

13
8.3

14
8.6

15
8.2

16
8.5

17
8.5

18
8.6

19
8.7

20
8.6

・関 数電卓または表計算ソフトは光学像の平均値ℓ＝8.46cm
実験標準偏差
３ ． １ 回の測定の不確かさを与える。

・測定の不確かさは；・１ 回の測定の不確かさは測定器具の質、あるいは測定のU（L）＝2×プロトコル、測定を行う実験者、その他に負う。
例

0.23=0.10cm20のように推定される。

高校では、測定の不確かさに対して一般に以下のように測定器具の公差δと呼ばれる精度から、測定の不確かさをU（X）=2×σn−1＝0.23cm

有効数字 １ けたしか見ない：
U（L）＝0.1cm

δ3・そ れゆえ、測定結果は信頼度95％で L＝（8.5±0.1）cmとなる。

と見積ることができ、測定結果を95％の信頼度で５ ．多重誤差の発生源

X= x±U（X）

・様々な誤差の発生源がある場合、誤差の不確かさの見積と見出すことができる。

りはより複雑になる。

応用
分光光度計で着色した溶液の吸光度を測定する。分光光度・計算を単純にするために、以前のような単一の不確実さ計で読まれた値は0.115である。この装置の公差と呼ばれを計算する前に、特定の測定の不確かさを無視できるかる精度は：δ＝0.001である。

どうかを見極める。
もし、誤差の発生源が様々あるのなら、効果的な計算公

δ＝0.001なので、測定の不確かさは：U（A）＝2×0.001=0.0013

式は、大きさの間に存在する関係に因る。

と推定される。

高校では、測定の不確かさはよく有効数字 １ ケタで与えら・もし、y=x1
または y=x1×x2 ならば、測定の不確かさ（高x2れる。

等教育では拡張不確かさと呼ばれる）U（Y ）は、以下のそれゆえ、測定結果は信頼度95％で A＝0.115±0.001となる。

関係で計算される：― 135 ―

角島

U（Y ）
=
y

（

）（

誠

）

ペンの長さの測定値を製造者によって示された長さ、参U（X1） 2
U（X2） 2＋x1
x2

照値と考えられる値：

例

L 参照＝14.5cm
ある酸・塩基の秤量の結果は以下の関係で与えられる：CA=と比較したいとする。
そのために、測定値と参照値の ２ つの値は、同じ有効数

CB ×VB，E
VA

字の桁数でなければならない。L 参照 ＝14.5cm とは、こ

濃度における測定の不確かさは、以下の関係で計算されの参照値は［14.45cm；14.55cm］の間にあることを意

る：

味する。

U（CA）
=
CA

（

）（

）（

）

測定値と参照値の ２ つの区間は交わる：それゆえこの測U（CB） 2
U（VB，E） 2
U（V1） 2
＋
＋
CB
VB，E
V1

定は満足いくものである。
注意・も し、y=x1×x2 または y=x1−x2 ならば、測定の不確かさ（高等教育では拡張不確かさと呼ばれる）U（Y ）は、

参照値が測定値の区間にない場合、あるいはその測定の精

以下の関係で計算される：度があまり高くない場合、結果として実験の手続きの修正

2ができるように誤差の発生源を分析しなければならない。

2

U（Y ）= U（X1）＋U（X2）７ ．有効数字と相対誤差（ecart relatif）

例目盛付き定規でペンの長さを測定する。mm の目盛付き

7.1

定規での値は、ℓ＝14.6cm である。この定規の精度ま・小数における有効数字は、10のべき乗を考慮することなたは公差は、δ=0.5mm=0.05cm（半目盛に相当する精度）

く、数字の左側の≪ ０ ≫以外の全ての数字である。
・１ ≦ a ＜10、ｎが正または負の整数である科学的な表記である。測定の不確かさは、－≪14.6cm≫の値の読み取りから：U1=2×δ
－零値の読み取りから：U2=2×3

有効数字の桁a ×10n の有効数字の桁数は a の桁数と同じである。

δ
；
3

例
0.0420mm は有効数字 ３ ケタであり、左の≪ ０ ≫は有効による。

数字ではない。科学的な表記として、この結果は：0.00420mm=4.20×10−２mm と表される。

ペンの長さの測定の不確かさ U（L）は、以下の関係で計算される：

420または4.20の ３ 文字は全て有効数字である。
2
1

U（L）= U ＋U

7.2

2
2

2
1

・一般的な場合

U（L）= 2U = 2U1
U（L）= 2×2×

計算後の有効数字

計算結果は、もっとも少ない精度のデータの有効数字とδ
0.5＝ 2×2×=0.8mm=0.08cm
33

同じ桁で示されなければならない。

高校では、測定の不確かさはよく有効数字 １ ケタで与え

例

られる。

L＝8.51m で t2−t1＝0.82秒の場合、以下の関係から与えそれゆえ、測定結果は：られる速さ v の値：

信頼度95％

L=（14.60±0.08）cmで与えられる。

v=

６ ．参照値との比較実験で測定した値を既知の参照値と比較するとき、そのL
8.51=10.34m/s=
t2−t1 0.82は、有効数字 ２ 桁で：10m/s と丸められる。

参照値が測定値の区間［ x−U（X）：x＋U（X）］にその参・特殊な場合（省略）

照値があるかどうかを確かめなければならない：

7.3－そうであれば、測定は満足のいくものである。

・測定の不確かさを確実に知ることなく、実験値と参照値－そうでなければ、測定をやり直すか実験手順を修正しな（理論値または製品によって示された値）を比較したい

ければならない。

とき、相対誤差を計算する：

例

相対誤差＝

前に扱った目盛付き定規を用いたペンの長さの測定結果
は、95％の信頼度で L 測定 =（14.60±0.08）cm

相対誤差

である。

そ れ ゆ え、 ペ ン の 長 さ の 真 の 値 は、95 ％ の 確 率 で| X 測定−X 参照 |×100（パーセンテージを得
X 参照

るために）
・測定では、この相対誤差が小さいと満足のいくものとなる。（例は省略）［14.52cm；14.68cm］の間にある。

― 136 ―