課題演習A5理論ゼミ
担当範囲: 坂井典佑、「量子力学Ⅱ」、12.3〜13.2

中本那央12.3 確率の流れと光学定理
散乱問題: 入射波と散乱波が存在→波動関数は入射波と散乱波の重ね合わせ

確率の流れ: 入射波と散乱波の干渉項
確率の保存から、無限遠での境界条件の式の正しさを確かめられる

確率の保存則: 確率の流れ j、確率密度ρ
e( * .'(t 1 ) 4 ik4 *)=tEf ←θ ji=.

∵)f / 14,'+dλ=14ゆ,t7)

π4mit /.(4Ʃ-=Ʃ=Ʃπ

mit { ( 4-*',*π4-①Ex
417'π 4* π-seint µ=dπ* ) 4 ) ゅ4-④( ひ( ∞ )d4-( π4 * ) 4 ) ゅ1π 4* ) 4 )はエネルギーの固有状態= 4 in*1→確率密度は時間によらない
4 (ゅ , t(4* 皆 4 on

mit / ( 4*=波動関数 4 (j1,②0t, '(n .

mt)

.

-Nas

③ε R)

"

{0πφ^

-→4→ππ^*π2"4(←( E - τ )y← LE - τ 14 =⑤*04*=4π

4 F 24-4 -4*=π 4 *0)=0*-fj

π.

ji

nds⑥θ

=→全確率 Sed n が保存'edr =%d''n = - fa

jid ' r.

=-=⑦0波動関数の漸近形についての確率の流れ
j1jiin=jliontt

入射波

jlt

⑧out

散乱波

干渉

球座標でのπer=← 40 π h0 tnoe⑨∞を球面波に対して用いる
球面波:

ulri 0.

e 1=eika

AlZ

=-∞t

eiarfioからのr

純面波
ikroso

Eucr.

o,e,

=

Aliscosoe+

Ez=

cosDer( ifr (- sinO eo-sino ) e

を 用 いてy-oor))

⑩の

球面被^)

ik ^ a-ere,tiarcoso

lirti

fio
se0←.

e ,40tenπsnoei φ*e(11))

EUcr .

Uouy=Ui.

o, e.

1(= ikA

eikrfioe= Aeikz 81t01 m )jiout ≥より

erearfioe'Eze ikz

π4-4F 4*= kA tEihz

ikf ( o*tei fio,'-AleibztIARih ( 2 Ez=e'' z) ihAlezeirrfioeer,,e)eikfioieyt)) ( - ikA * ) ( ezeibz
en'. e,(FEz fo .
+←

(12)

(14)

. jion IAp Az=) )(13)^*4tO (,x,e'bir .

jiin とx 'tfo*jiintと( .φ,e^(r - '))
(15)

対応

対応→jiint≈

IAIImtE Itezten ( fio"

干渉項の指数:友 ( rγ 》= 31のc-≥ )で,=kr ( -' cr .
,ecosoθ = 0 以外z'e,)*

tf loei.

eikir-"z)

(16)

(17)

は 大き振

→波束を作るために異なる波数を重ね合わせる(kで積分する)と、θ キ 0 の方向は波が打ち消し合う

使用: グラフ計算機https://www.desmos.com/calculator?lang=ja

干渉項は前方方向に鋭いピーク
O 811

O ≈

jiind,er.

=.

e,fio = o と置き換えられる=e.

tkeiariπ ( fio ,1 it 1≥fid.

tf- aso,0*,, oe ' kr{-aso,)(18).

前方方向の確率を見るために、小さな角度 δ 0 まで積分
agosino juint ≥π ra* (f( ociknft)-。

先程と同様に、 eikr (I-roosino jcint

2 T π→±osto

-cost

*tikr

f loiknt
asoe,

(19)

1に関する項は無視できる≈-

1 Infios

1A

1ikn

(20)

よって、確率の保存は、
0==jlnds{0,jiin ndsssτ

IAI

= Z →

-∞"ktos( fπ"ゆ dsiz 」(kji ^ " nds ) fojiontnds

πImf oI tIA ) 0 2Ifio . esp
dtIAp os-.

千 渉

2 → ∞ 〜からtfu

項の分 だけ減少πIonfio

E∴4,={042 lfco,e ,

"

=:

σ

球面波-y(21)∞^γ

出て行 くく(22)

光学定理: 弾性散乱振幅の虚数部分が全断面積を与える
物理的意味: 干渉により減少するフラックスと、散乱により球面波として出ていくフラックスがバランスを取っている

12.4 散乱行列とユニタリティ
散乱問題: 十分過去と十分未来で相互作用のポテンシャルを無視*π= E7Ʃ→自由粒子の波動関数 力 が正しい解

α-αbm

十分過去: 十分大きな T に対して、 tc

T-.

十分未来: 十分大きな Ta に対して、 t ) 「.

a

十分過去に自由粒子の波動関数から出発すると考えるエルミート演算子Oの固有状態は完全系をなすポテンシャルも含めて考えた正しい解を 40 in , On in ?

40 ( 4 . f1=$tc( , t )

T-.

(H f)

,(22)

.

143

=

Ca in )

十分未来で、再び自由粒子の波動関数の重ね合わせで書ける
散乱での観測: 正確な波動関数 4 を自由粒子の波動関数 β で分解して考える
αSpa:( Aβ (t '). 4α ( f))t散乱行列、S行列)

な

ハミルトニアンがエルミートのとき、内積は不変∵)( 40 .

4α)=. 4(α)( 4 β .4+(40 ))=α)←140. ti a4(23)=( 4β一i4.

).

( 40 ti 4t,a)0(24)δ oa(25)=

これを用いると、内積は任意の時刻tに対して、( 4β4)α.

( 40=4) tcα.

T-(4β=.

.

B) ta

α-T=.

自由粒子の波動関数は完全系
4→α(HT ).

B BB ( r t=,,tABs(26)「):自由粒子の波動関数 ゆ との内積を取ると、
oGo

力

α=α

( $0,の完全性と 4*

吾 So βs40 )Son=aStx=Q)(27)

Taの正規直交性を用いると、[ 40. 。

)

( $ 0,4α)=140,4 α)=はユニタリ行列; 散乱行列のユニタリティα(H . tiss*

StS=(28)

1.

シュレディンガー方程式の解→t)=2 4p 1 nこれを用いると、 sSt=4αも完全系をなす",t ) Sss1

も言えるt>

Ta(29)

散乱振幅 fio e は素通しの波だけを取り除いた残りの部分に比例する).

→この部分をT行列
SB=αSTS

これを=

δ Ba

1

iT-クロネッカーのデルタは自由粒子に対応(30)

β a代入 するとに、( Ti-Tt )

(31)

TTT

=

散乱振幅が確率を保存するために満たさないといけない最も一般的な条件がユニタリティ
前方散乱振幅: 入射波と散乱粒子が同じ場合 ( α)

β=

(参考)
4

Aleiaz=iTaα=tI eiartpSd

fio ,×,)I eikric aso. $= Ae-'t' f〜'hz'とすると、自由粒子からのズレは、

i ( Taa Ta

ここで、*一 Inf o fenπ)'11fiosfancrfodosino=〜

rr teErs=〜≈- asro-fiosrα)

11

よって、
Ta1

右辺？
11

E≈If o fan(,!

一般論の方が見やすいかも、.

13 球対称ポテンシャルでの散乱13.1 部分波
定常状態に対する球座標でのシュレディンガー方程式(-ƩmI( rよ )to ( sino 0 ) ←) µ+ Oriu

n=Euuを変数分離して解く
U=

RIn , YCO,φとすると)

公 感 ( rR ) ← " ({品品λ= e ( et 1Ʃ
-、(皆( sino)のときに)E-π( rπ 0+t- )R)λ Y

有界 な 解 を 持 ち

0=γ( 〜 ( ^ ) - et osr ) Re==(2)…

*

関 してに" ) +0

ERe

(3)

θ、φに関しての議論
以下のLegendreの微分方程式がもととなる。この解をLegendre多項式と呼ぶ。

( 1-鄂 ))←p(4)+ 1 ) =ecl
0(✳)式は、θとφに変数分離できて、θに関して、)( -z^ 山 )い)←=>"( lletF p0-"となる。この解は、Legendre多項式を用いて
世'( )pmdzim2=と表せる。

e(6)(5)(1)具体的な表式は、以下のようになる。
Pe laPeel e=

1"iz=,( - ar8- i),i
Pia山Ye^(Oφ ).

=

Legendreの陪関数"" √ lerim Pelcoso)^ *→(7)e(-"m' me'"

!

(8)

,e

球面調和関数(9)l: 軌道角運動量の大きさ、m: 軌道角運動量のz成分

通常はz軸周りの対称性がある→m=0の場合のみを考える

Yem=o=」 Pelcoson(10)

動径方向の波動関数の規格化を少し変える
Ulr.

o 1=ket, ilRe ir,

Pelcason(11)

部分波: 角運動量ごとに分解して得られる波動関数の成分

原点での境界条件: 波動関数が原点付近で有界という条件から決まる(参考: 猪木川合、p137〜138)

Reaneirao)

原点付近のポテンシャルの振る舞いをもとに、波動関数の(12)散乱問題の特徴: 無限遠点での境界条件の課しかたにある→自由粒子の球面波を詳しく検討

振る舞いを考察できる

巡公*×自由粒子のシュレディンガー方程式
ekr=

θ.

=巨k② ++とい- ^型 ) Reい=0…

(t 1

球面波を表す(13)

13.2 位相のずれと部分波断面積
ハミルトニアンが連続固有値のとき、進行波解が存在→無限遠での境界条件: 入射波方向以外からは波が入ってこない

右図のように、考慮するポテンシャルごとに領域を分けて考える

領域2: (†)の方程式→一次独立な解は球ベッセル関数
ju ()xnelx ,==( - λ)- 1e( π 花-)

^ ( )
n ×)

x, e( ^ ( )
*(14)

×

引用: http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/

Recr,=Ae feostejecar -sindene ( fr ,)(15)

lectures/QMII09/QMII09̲chap23.pdf

動径方向の方程式は実数だから、r=0で実数で出発したら実数解になるはず→ δAeeERは規格化因子だから一般に複素数

球ベッセル関数の漸近形
jeles→nece ),sinte →)

π- coste -

(16)
a)

これを用いると、領域3での波動関数の漸近形が表せる
Relr)

→

Eetesin ( kr-Iπtδe)in →∞)(17)

位相のずれ: 自由粒子の確率振幅の場合との振動の位相差

引用: http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/
lectures/QMII09/QMII09̲chap23.pdf

位相のずれ δeと散乱振幅との関係を見る→入射平面波をルジャンドル関数で展開

位相がπ付近のとき

平面波を球面波で展開する公式

ekarreoso =='e

(aet〜

2 exl

' s iet)ie jethr ) Pe looso )'' e tkr,a外向 き∵)

itkr-te-π )') Pelaso

(18)

>

内向 き

平面派はシュレディンガー方程式の解なので、' krcosoeikze:

In ReckriYe="loe ,…

αと表せる。平面波はφによらないので、eibaƩRe lkr=,

Pe ccoso ,…

β

ここで、Rece ,=

aejece ,tbenece .

…となるが、平面波は原点で有界だから、be::

I E likr casoje

kr GosO 1 O〜jeckr{ aeiecbr=のときを考えて、 ( br )

tale!

tbrse

Eeei"

,te,

=0Petcoso( cosoje(高次)δPeloso ).

…

δの係数を比べる。
=

tetcosoiet("…

←

だから、=ee ÷ae =(nee ies,: )2 et ) ie

…

.

…

そう

ちょうどこの位相で重ね合わされたときのみ平面波⇆位相がずれると、散乱波が出てくる

参考: http://www.phys.shimane-u.ac.jp/mochizuki̲lab/QMIII2006̲4.pdf

波動関数uを球面波で表し、領域3の波動関数の漸近形と等置すると、( 。 Leti

A"

品 sintkvie。( zet " eAe=sinE.

(E--ππ ) Pelaso,fiot

neia'TVe
Pelcoso^)(19))

内向き球面波は入射平面波だけから現れるから、内向き球面波の係数は等しくなる
AeiveAe=(20)

これより、無限遠で境界条件を満たす波動関数は、(UIr ,o,= Aaetis ie。

eveccosrejesbr'-sindene ( s') Pelcoso )境界条件: 入射波以外は、外向きに出ていく球面波だけ

このとき、外向き球面波の係数は、Arex:,)

E πiePe'coso )tAI fidecane trtireizetis ile P"et"

A

='fio

π[,2 et "=(=- ile

(22)

+ を用

いてまとめると 、ce.

i'eelezide

zet " zih。
t1)-(-; ) ) PecasolPelaso )

(23)

(21)

fe

E eive=f(,o↑esin.
E δe=として-。 ( aext " fe Pes coso=(24))

各部分波の位相が入射波からずれていることが散乱波を与える○位相のずれ de から全ての情報が得られる

微分散乱断面積を位相のずれで表す公式

1=σ=σe=,cf .
x=2 πfio,)

"do。

"

=: 1zet1sino
世

4 T112 etl /=nfeP

Ipxpa ixtlzet=fePelaso ,"E

1ndx
='.

(25)

(26)

σr

42sinzre)

(27)

(28)

imy

CoSO とすると"S co Pulaso ,Pulcoso sino
= 8,。

(29)

wn

これを用いると、") dosin n。

=)。 "cosinolfco ,).

'amt) do sino

" fn *

puieso,.

==。122{(0me""
fis falant

2 et , ) 1

fept δƩ{( 2t .

" f"

mm(30)

piasoy.

Pelcosofio=1=01)==を用いると、前方散乱断面積は、

1eivesin deLex "(31)

q

これより、
f (o0=).

f*( 00 )=2=1Imfio=0)。 (2 et " sin ie'=(32)となるので、

E (f「σ=(O=01-f" (o= 0,4)

Imf ( o==

散乱全断面積は前方散乱振幅の虚数部分で与えられる参考文献(1) 坂井典佑、『量子力学 II』、培風館

0>(33)