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GEOINFORUM-2023 功績賞記念講演(2023年6月22日：岡山理科大学）

地質構造の論理モデルについて考えてきたこと

塩野 清治（大阪市立大学名誉教授）

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１．はじめに地質学の基礎概念をうまく数学の世界に移植できれば，数学の世界で展開した「数学の理論」は「地質学の理論」として活用できる．この観点で「地質構造の論理モデル」のお話をします．

地質学の世界

基礎概念

数学の世界

移植

数学表現

活用

展開
地質学の理論

数学の理論＊3次元地質モデリングについては 根本達也・野々垣 進・ベンカテッシュ ラガワ
ン・升本眞二(2019）情報地質，vol. 30, no. 4, pp. 181-195(30周年記念号)を．．．

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1

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調査地域の「層序と構造」を再現する3次元地質モデルをえるには，地層と境界面の関係を正しく設定する必要がある
基盤aの上に地層bとcが堆積

地層aとbが侵食された後，地層cが堆積

ccYb

Y

XabXaGeomodel2003による作図例(３つの面 X, Y, Hのデータは同じ)

米澤 剛・升本眞二・根本達也・坂本正徳・塩野清治（2004）情報地質, vol.15,no.4, pp.193-206. Geomodel2000*に地質境界線の作図機能を追加．
*坂本正徳・塩野清治・升本眞二 (2000) 情報地質, vol.11, no.2, pp.116–117.

3２．地質構造の論理モデルとその数式表現
定義： 面 X によって３次元領域Ωを上側の X +と下側の X -に２分割する．
面Xより上側（Xを含まない）

ΩX+
X+
X-

X

X-

面Xより下側（Xを含む）
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地層a, b, cの分布域を「２分割されたブロック」の共通集合として表現した例

YbX

cYaX

a = Xb = X+∩ Yc = X+∩ Y+cbaa = X-∩ Yb = X+∩ Yc = Y+

地層と境界面の関係を「地質構造の論理モデル」という．
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2つのevent c, c* で形成される地質構造の論理モデルに限定してお話します．
塩野清治・升本眞二・坂本正徳 (1998)

情報地質，vol. 9，no. 3，pp. 121-134.

event c

初期状態
上部空間

α∩S +堆積α

堆積面

Sα∩S βevent c*α∩S +β

侵食面

地質空間

堆積侵食α
β

S

α∩S β∩S -63

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定義：event c, c*で形成される地質構造(再帰的定義)
Eventの列Vn = (v1, v2, …, vn) に対して，(i)(ii)より導かれる
Bn = {b1, b2, …, bn, α}を「Vnによって形成される地質構造」という．
[ B1：初期状態 ](i) k = 1のとき
b1 = S1α = S 1+・bkとbk+1の接触面はSk・vk = c のとき， Skは堆積面・vk = c*のとき，Skは侵食面
vk = cのとき

bk+1

堆積面

bk

[ Bk-1→Bk：次の状態 ]vk = c*のとき

bk+1

Sk

侵食面

bk

岩村里美・升本眞二・塩野清治（2012）(ii) k = 2, …, nに対して・vk = cのとき，
bi = bi (i = 1, …, k-1)
b k = α ∩ S kα = α ∩ Sk +・vk= c*のとき，bi = bi ∩ Sk- (i = 1, …, k-1)
b k = α ∩ S kα = S k+7

活用：地質調査で判明した層序(地層の順序と関係)から論理モデルを導く手順(a) 層序(柱状図)S4S3V4 = (v1, c*, c, c*)α
地表面b4(b) Eventの列

v4= c*(定義にしたがって式を展開する)堆積面

v3= c(c) 地質構造の論理モデル

侵食面

B4 = {b1, b2, b3, b4, α}

b2

v2=c*

b1

v1

b1 = S1- ⋂ S2- ⋂ S4b2 = S1+ ⋂ S2-⋂ S4b3 = S2+ ⋂ S3- ⋂ S4b4 = S2+ ⋂ S3+ ⋂ S4α = S4 +b3
S2
S1

地質調査
岩村里美・升本眞二・塩野清治（2012）
情報地質，vol. 23, no. 1, pp. 3-16.

以下ではこの論理モデルを使用

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補足：地質構造の論理モデルはラベル付き２分木でグラフ表現できる．関係の全体像を把握するのに適している．
V4=(v1, c*, c, c*)の場合b1 = S1- ⋂ S2- ⋂ S4b2 = S 1 + ⋂ S 2 - ⋂ S 4 b3 = S 2 + ⋂ S 3 - ⋂ S 4 b4 = S2+ ⋂ S3+ ⋂ S4α = S4 +S4 は地表面S2 が地下を2分割

b4b3

b2
b1

S1 が2分割

S3が2分割

詳しくは，塩野清治・山根裕之（2009）情報地質，vo.20, no.3, pp.151-167.

9３．地層の境界／接触面
ここだけの仮定：
X+に面Xを含める．
X- ⋂ X+ = X
2つの地層の境界／接触面

例：地層aとbが侵食された
後，地層cが堆積した．
X：aとbの境界面
Y：侵食面
H：地表面

a ⋂ b = (X- ⋂ X+) ⋂ Y-⋂ H= X ⋂ (Y-⋂ H-)
・aとbの境界は 面X．
・両者が接するのは，
面 Xのうち (Y-⋂ H-)の部分．
b ⋂ c = X+ ⋂ (Y+ ⋂ Y-) ⋂ H= X+ ⋂ Y ⋂ H・bとcの境界は 面Y．
・両者が接するのは，面 Yのうち (X+⋂ H-)の部分．

a = X- ⋂ Y- ⋂ Hb = X+ ⋂ Y- ⋂ Hc = Y+ ⋂ Hα = H+ （上部空間）

cYb X

a105

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b ⋂ α = X+ ⋂ Y- ⋂ (H+ ⋂ H-)= H⋂ (X+ ⋂ Y- )例：地層aとbが侵食された
後，地層cが堆積した．
・bとαの境界は 地表面H．
X：aとbの境界面
・両者が接するのは，
Y：侵食面
地表面 Hの内 (X+ ⋂ Y- )の部分．
H：地表面a = X- ⋂ Y- ⋂ Hb = X+ ⋂ Y- ⋂ Hc = Y+ ⋂ Hα = H+ （上部空間）

地層の分布域の3次元形状
以上をまとめると
b = X+ ⋂ Y- ⋂ Hで表現される地層bの3次元形状(分布域)は3つの面分：
X ⋂ Y- ⋂ H-(X+→ X)

X+ ⋂ Y ⋂ H-

(Y- → Y)X+ ⋂ Y - ⋂ H(H- → H)cYをつなぎ合わせたものである．

b Xa11V4=(v1, c*, c, c*)の場合で考えると
b1 = S1- ⋂ S2- ⋂ S4b2 = S1+ ⋂ S2- ⋂ S4b3 = S2+ ⋂ S3- ⋂ S4b4 = S2+ ⋂ S3+ ⋂ S4α = S4+(S4は地表面)b4b3b2b1

地層b1とb3地層の境界／接触面
b1 ⋂ b3 = S1- ⋂ (S2- ⋂ S2+) ⋂ S3-⋂ S4= S1- ⋂ S2 ⋂ S3-⋂ S4・b1とb3の境界は 面S2 ．

・両者が接するのは，面 S2 のうち (S1- ⋂ S3-⋂ S4-) の部分．
模式断面図では描き切れていない

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地層 b3 とb1, b2, b4, αとの接触面
b3 ⋂ b1 = S1- ⋂ S2 ⋂ S3-⋂ S4b3 ⋂ b2 = S1+ ⋂ S2 ⋂ S3-⋂ S4b3 ⋂ b4 = S2+ ⋂ S3 ⋂ S4b3 ⋂ α = S2+ ⋂ S3- ⋂ S4

b4b3＊(b3 ⋂ b1 )と(b3 ⋂ b2 )はともに面S2に含まれる．両者をつなげると(b3 ⋂ b1 )∪(b3 ⋂ b2 ) = S2 ⋂ S3- ⋂ S4地層b3の分布域の3次元形状
b3 = S2+ ⋂ S3- ⋂ S4で表現される地層b3の3次元形状(分布域)は3つの面分：
S2 ⋂ S3-⋂ S4- (S2 +→ S2 )S2+ ⋂ S3 ⋂ S4- (S3- → S3 )S2+ ⋂ S3- ⋂ S4 (S4- → S4 )をつなぎ合わせたものである．

b2b1

b1 = S1- ⋂ S2- ⋂ S4b2 = S1+ ⋂ S2- ⋂ S4b3 = S2+ ⋂ S3- ⋂ S4b4 = S2+ ⋂ S3+ ⋂ S4α = S4 +＊コンピュータ処理 が可能
大熊俊明・塩野清治（2016）
GeoCalcVB：地質構造の論理モデルを解析するためのビット演算プログラム．情報地質，vol.27，no.4，pp.169-182．

13４．露頭位置を境界面の推定に有効活用するには露頭位置 ：Pk (xk, yk, zk)にb3が露出
論理モデル：b3 = S2+ ⋂ S3- ⋂ S4- (S4は地表面）
境界面： S1, S2, S3 → f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y)
S1： PkはS1と無関係⇒

S2： PkはS2より上側にある ⇒ f2(xk, yk) ≦ zk
S3： PkはS3より下側にある ⇒ f3(xk, yk) ≧ zk
露頭Pk (k=1, 2, …, N)と面S1, S2, S3の関係を調べると面 f1(x, y),f2(x, y), f3(x, y)に対する不等式標高データがえられる．

⇒ 不等式標高データを満たす曲面を推定すると露頭位置を最大限に活用した境界面の推定ができる
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露頭位置 ：Pk (xk, yk, zk)にb1とb3の境界が露出論理モデル：b1 = S1- ⋂ S2- ⋂ S4- (S4は地表面）
b3 = S2+ ⋂ S3- ⋂ S4・Pk (xk, yk, zk)にb1が露出するので
S1： PkはS1より下側にある ⇒S2： PkはS2より下側にある ⇒⇒S3： PkはS3と無関係
・Pk (xk, yk, zk)にb3が露出するので
S1： PkはS1と無関係⇒S2： PkはS2より上側にある ⇒S3： PkはS3より下側にある ⇒f1(xk, yk) ≦zk
f2(xk, yk) ≦ zk

f2(xk, yk) ≧ zk
f3(xk, yk) ≦ zk

＊上の不等式標高データで十分である．
f1(xk, yk) ≦zk
f2(xk, yk) ＝ zk ［← f2(xk, yk) ≦ zkかつ f2(xk, yk) ≧ zk］
f3(xk, yk) ≦ zk
も有効である．
∵ b 1 ⋂ b 3 = S 2 ⋂ ( S 1 - ⋂ S 3 - ⋂ S4 - )15

不等式標高データ，走向・傾斜データを活用した曲面推定法
HORIZN（N88-BASIC) → HORIZON(FORTRAN）
塩野清治・弘原海 清・升本眞二（1987）最適化原理による地層面の推定 不等式データや傾斜データを用いた曲面の推定 ．情報地質，No.12，pp.299-328.
TERRAMOD（Visual Basic版）：推定と表示
坂本正徳・升本眞二・Venkatesh RAGHAVAN・塩野清治（1995b）の開発 デジタル標高
データを用いた地形の3次元モデル作成プログラム ．情報地質，vol.6，no.4，pp.209-227．
Horizon2000（FORTRAN版）
塩野清治・能美洋介・升本眞二・坂本正徳（2001）Horizon2000：等式・不等式制約条件や傾斜データを活用した地層面推定プログラムの改良．情報地質， vol.12, no.4, pp.229-249.
BS-Horizon（ 3次B-スプライン：FORTRAN版）
野々垣 進・升本 眞二・塩野清治（2008）BS-Horizon：3次B-スプラインを用いた地層境界面の推定．情報地質， vol.19, no.2, pp.61-77.
Terramod-BS（ BS-Horizon のVisual Basic版）
坂本正徳・野々垣 進・升本眞二（2012）BS-Horizonを組み込んだ地層境界面推定・表示
Visual Basicプログラム．情報地質， vol.23, no.4, pp.169-178．

Q(f, α) = J(f) (滑らかさ) + α R(f) (残差) → min

ペナルティαを増加しながら反復計算する

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参考：Stripe法：等高線の間に分布する不等式標高情報からDEMの作成
能美洋介・塩野清治・升本眞二・ベンカテッシュ ラガワン（1999）地形図を基にしたDEMの作成法．情報地質，vol.10，no.4，pp.235-246．

(xk, yk)：50ｍと60mの等高線の間の点
不等式標高データ：

f(xk, yk)＞50， f(xk, yk)＜60

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補足：3次元地質モデリング：木更津地域の例
地質体：b1～b8に区分

野々垣 進・中澤 努 (2015) 論理的手法に基づく木更津地域の3次元地質モデリング. 情報地質, vol.26, no.1, pp.3–13.

b8b7b6b5b4b3b2b1

ボーリングデータ189

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V8=(v1, c*, c*, c*, c*, c*, c*, c*)で形成された地質構造の論理モデルにもとづ
き，44本のボーリングデータから読み取った等式・不等式標高データを使って，BS-Horizonで境界面S1～S7を推定した．
→ 3次元地質モデルのGRASS-GISによる可視化(Masumoto et al.,2004)．

Masumoto S., Raghavan V., Yonezawa G., Nemoto T., Shiono K. (2004) Construction andvisualization of a three dimensional geologic model using GRASS GIS. Transactions in GIS,vol.8, no.2, pp.211-223.

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５．おわりに地質学の基礎概念をうまく数学の世界に移植できれば，数学の世界で展開した「数学の理論」は「地質学の理論」として活用できる．具体例として「地質構造の論理モデル」のお話をしました．

地質学の世界

基礎概念

数学の世界

移植

数学表現

活用

展開
地質学の理論数学の理論

2010