広島工業大学紀要教育編
第 ₁₅ 巻（₂₀₁₆）35– 38

論文

数学プレースメントテスト成績と期末試験成績の比較
廣瀬英雄*（平成₂₇年 ₉ 月₂₄日受付）

Comparison of Testing Evaluations between the Placement Test andthe Final Examination
Hideo HIROSE(Received Sep. 24, 2015)

Abstract
It is considered to be difficult to design mathematics lectures for undergraduate classes if a varietyof students exist in the same class. To grasp the structure of the classes as early as possible, placement
tests are often performed. Using the testing results, students are classified into different level classes.
However, the students in the lowest classes may lose pride and cooperation attitude. Thus, our university decided not to provide such classes. In such a situation, much more efforts are required for teachers to enhance students’ skills. To check if the progress of mathematics in undergraduate classes, wehave compared the final test results with the placement test results. The item response theory (IRT)
is used to evaluate the abilities of students rather than the classical test theory.
We have found that 1) students made progress by well-arranged lecture design, 2) there seems tobe a positive correlation between the placement test results and the final test results in analysis classes,
3) much more progresses were seen for students without higher level high school education thanthose with that, 4) in linear algebra classes, no clear relationships were observed between the placement test results and the final test results. Above all, students made progress even though they werenot educated well in high schools.
Key Words: placement test, final test, item response theory, progress, analysis, linear algebra

₁

んだ基本的な知識を確認している。

はじめに入学直後の学生の知識に合わせた内容（これには高校の今では多くの大学が多様な学生を受け入れている。理数復習も含められる）から，大学生として身に付けるべき素系大学を目指して高校数学をきちんと学んできた学生もい養（学士力）まで高める授業設計を行うことが求められる

れば，高校で数Ⅰ，数Ａは教わってはいても，数Ⅱや数Ｂ，が，問題となるのは入学時の学生の知識レベルの大きなばあるいは数Ⅲや数Ｃについては十分に教わってこなかったらつきである。プレースメントの結果によって，ある程度学生もいる。後者には AO 入試や推薦入試によって数学の同じようにまとまった知識レベルの学生のクラスをいくつ筆記試験を免れて入学してくる学生もいる。こういった状か設けて授業設計を行うことがかまず考えられるが，こう況をいち早く把握して入学してくる学生にあわせた授業のすることでうまくいくとは限らないこともあると聞く。つ

進め方を設計しなくてはならない。そのために，入学直後まり，もっとも基本的なところから始めるクラスの学生ににプレースメントテストを実施することによって高校で学は，誇りが失われる，となりどおしの助け合いが功を奏し* 広島工業大学環境学部環境デザイン学科
─ 35 ─廣瀬英雄

ないといった問題点が指摘されているのである。このため，

₃

広島工大では上位クラスは設けるが，中位と下位クラスは合同としている。

プレースメントテストと期末試験の成績の比較
学生を， ₁ ）一般入試受験者および一般入試非受験者

今回，この合同クラスについて，プレースメント成績と（推薦，AO，その他）の両方の場合， ₂ ）一般入試非受験

期末試験の成績とを比較してみた。このように知識レベル者（推薦，AO，その他）のみの場合， ₃ ）一般入試受験者に大きなばらつきがある場合でも授業設計がうまくいってのみの場合について区別して分析してみた。

いるかどうかを見るためである。今回はすべてのクラスについて調べたものではなく，一部のクラスについて調べた

₃.₁

ED 学科₂₀₁₅年度 ₁ 年生（解析）の結果との比較

サンプリング結果の報告である。₃₀人クラスと₆₀人クラス

図 ₁ に，プレースメントテストの結果と ED 学科₂₀₁₅年についての ₁ 年生の解析学のコース（必修），₆₀人クラスに度 ₁ 年生（解析）の結果との比較を示す。横軸がプレースついての ₁ 年生の線形代数学のコース（選択），および ₂ 年メントテストの結果，縦軸が期末試験結果である。図から

生の解析学のコース（₁₅人，₂₀人程度の選択科目）を対象

次のようなことが分かる。とした。また，プレースメントテストについては，数Ⅰ，

₁ ）プレースメントの成績と期末の成績とは弱い正の相関

数Ａ，数Ⅱや数Ｂ，および数Ⅲや数Ｃすべてを調べることが見られる。 相関係数＝₀.₄₃にした。₂₀₁₄年度以前の古い学習指導要領に従う学生もい₂ ）一般入試受験者（平均＝（－₀.₂₅，₀.₂₉））と一般入試非ることを考慮して，新しい指導要領内容には従わず以前の受験者（平均＝（－₁.₁₂，－₀.₄₄））との間には，プレーものに従うテスト内容とした。そのため，行列の問題も ₁

スメント，期末試験の両方に差が見られ，一般入試受験部含まれている。まとめると，者の方が良い成績を示す（平均の差＝（₀.₈₇，₀.₇₃））。

₁ ）数ⅠＡ，ⅡＢ，ⅢＣすべてを含むプレースメントテスト₃ ）一般入試受験者と一般入試非受験者には，入学後両方の成績と期末試験の成績とを比較する。

,ともに努力の後が見られる（平均（－₀.₂₅＝＞₀.₂₉）

₂ ）成績評価に普遍性を持たせるため，素点ではなく現代平均（－₁.₁₂，＝＞－₀.₄₄））。

テスト理論で用いられる項目反応理論（IRT）から得

₄ ）一般入試受験者よりも一般入試非受験者の方により成られる評価結果を用いる。

績向上（大きい上がり具合）が見える（プレースメン

₃ ）ED 学科 ₁ 年生の約半数，ICT 系の ₁ 年生の約₁/₄，トの差 ₀.₈₇＞期末の差 ₀.₇₃）。

GES 学科 ₂ 年生を調査対象とした。
₄ ）調査した数学科目は解析学および線形代数である。

₂

成績評価の方法
これまでプレースメントテストの成績評価については，あらかじめ決められた素点について正解した点数を合計した総合点で行っていることが多い。いわゆる古典的テスト評価法である。この方法では問題の難易度については考慮されていない。これに対して学生の習熟度評価に加えて問題の難易度も考慮された評価法が現代テスト理論である。
項目反応理論（Item Response Theor y，IRT）₁-₃︶ とよばれる。ここでは IRT を用いた評価法を用いる。これによって，問題毎の評価が可能になり，それを使うことによってアダ

図₁

ED 学科₂₀₁₅年度 ₁ 年生（解析）との比較 ₁₄︶プティブなテスト が可能になる。IRT の理論については
₃.₂

その概略を付録に示す。

数Ⅱ，Ｂと数Ⅲ，Ｃの未履修効果について

問題数は，数Ⅰが ₇ 問，数 A が ₃ 問，数Ⅱが ₆ 問や数Ｂ

図 ₂ に，プレースメントテストの結果と ED 学科₂₀₁₅年が ₂ 問，および数Ⅲが ₉ 問や数 C が ₇ 問の合計₃₄問である。

度 ₁ 年生（解析）の結果との比較を， ₁ ）プレースメント

回答法はマークシート方式で，与えられた解答例から正解数Ⅰ，Ａのみと仮定， ₂ ）プレースメント数Ⅱ，Ｂのみとを選択する方法（ ₉ 択）であるので，デタラメに正解を選仮定， ₃ ）プレースメント数Ⅲ，Ｃのみと仮定した場合にべる可能性は低い。

ついて示す。
₁ ）プレースメントテスト結果には数ⅠＡだけ履修している不利益が見られるが，期末試験の結果にはこの不利
─ 36 ─

数学プレースメントテスト成績と期末試験成績の比較

₃.₄

GES 学科₂₀₁₅年度 ₂ 年生（解析）の結果との比較

図 ₄ に，プレースメントテストの結果と GES 学科₂₀₁₅年
度 ₂ 年生（解析）の結果との比較を示す。図から次のようなことが分かる。
₁ ）プレースメントの成績は ₁ 年生よりも上がっているように見える。
₂ ）プレースメントの成績と期末の成績との間に関係があるようには見えない。
₃ ）期末試験の成績評価が悪いように見えるが，これは試験問題のレベルをかなり高くしたためである。成績評
価の多くの割合を反転授業での発表評価に充てている
図₂

ため，総合成績は総じて高い。

ED 学科₂₀₁₅年度 ₁ 年生（解析）との比較 ₂

益はあまり反映されているようには見えない。つまり，入学後の数ⅡＢと数ⅢＣの復習の効果が見られる。
₂ ）プレースメントテストを数ⅠＡ，数ⅡＢ，数ⅢＣと細分化して期末試験結果と比較したとき，いずれの間にも目立った相関は見られない。
₃.₃

ICT 系₂₀₁₅年度 ₁ 年生（線形代数）の結果との比較

図 ₃ に，プレースメントテストの結果と ICT 系₂₀₁₅年度

図₄

₁ 年生（線形代数）結果との比較を示す。図から次のよう

GES 学科₂₀₁₅年度 ₂ 年生（解析）との比較なことが分かる。
₁ ）プレースメントの成績と期末の成績との間に正の相関₄があるようには見えない（相関係数＝₀.₂₇）。

まとめ₂ ）一般入試受験者と一般入試非受験者には，入学後両方と多様な学生を受け入れる大学で基礎数学の教育をうまくもに努力の後が見られる。なぜなら，平均（－₀.₆₉＝機能させることは難しい。通常プレースメントテストに＞₀.₄₂），および平均（－₀.₆₂＝＞₀.₁₉）の変化があ

よってクラスを分けることが行われているが，広島工大でるからである。

は，学生の意気を失わせないように，また学生同士の助け

₃ ）入学前の評価値と入学後の評価値に大きな変化がない合いの精神を保てるように，低いレベルのクラスは設けてのは，線形代数の内容が解析学に比べて高校数学と大いない。このため，教育効果がどのようになっているかをきく異なるからであると考えられる。

調べることとした。調査方法は全数調査ではなく，一部のクラスのサンプリングによって行った。クラスは解析学と線形代数の ₁ 年生と ₂ 年生である。
プレースメントテストの結果と期末試験の結果の比較を行った結果， ₁ ）学生は伸びている， ₂ ）解析学のクラス
ではプレースメントテストの結果と期末試験の結果の間に正の相関が見られる， ₃ ）高校で十分な数学教育を受けてこなかった学生は，そうでない学生に比べてより努力をしている , ₄）線形代数のクラスではプレースメントテストの結果と期末試験の結果の間に明確な相関は観察されなかった。

文
図₃

献

₁ ）R. K. Hambleton and H. Swaminathan, Item Response

ICT 系₂₀₁₅年度 ₁ 年生（線形代数）との比較

Theory: Principles and Applications. Springer, ₁₉₈₄.
─ 37 ─廣瀬英雄₂ ）R. Hambleton and H. Swaminathan, and H. J. Rogers,られる。そこから平均や標準偏差を算出すれば，自分の相Funda- mentals of Item Response Theor y. Sage

対的な評価値を偏差値という形で求めることができる。しPublications, ₁₉₉₁.

かし，問題の配点を変えれば総得点が違ってくる場合があ₃ ）W. J. D. Linden and R. K. Hambleton, Handbook ofModern Item Response Theory. Springer, ₁₉₉₆.

る。配点によって評価値が変わるのは公正な評価法とはいえないかもしれない。そこで，問題の難易度と各受験者の₄ ）H. Hirose, T. Sakumura, Item Response Prediction

学習習熟度とを同時に求めながら，公正で公平な評価法がfor Incomplete Response Matrix Using the EM-type

提案された。これが IRT による評価法である。 この理論

Item Response Theor y with Application to Adaptive

は，これまでに TOEFL や情報処理検定など多くの公的なOnline Ability Evaluation System, IEEE International

場面で適用されている。ここではこの評価法を用いている。

Conference on Teaching, Assessment, and Learning for

IRT では，各問題 j に対する受験者 i の評価確率 Pj (θi )Engineering ₂₀₁₂, pp. ₈-₁₂, ₂₀₁₂.
付録

が ₂ パラメータロジスティック分布，Pj (θi ) =項目反応理論（Item Response Theor y, IRT）

1
1 + exp( −1.7ai(θi − bi ))これまでの評価法では，各問題にはあらかじめ配点が与に従っていると仮定する。aj, bj は問題 j の識別力（簡単にえられ，それぞれの問題の得点を合計した総得点が評価値いうと，問題の良し悪しを表す）と困難度（文字どおり，であった。同じ試験を多くの人に課せば全員の総得点が得問題の難易度を表す）を，q i は受験者 i の習熟度を表している。受験者 i = 1,, N が項目 j = 1,, n に対して取り組んだ結果，その解答が正答なら，δ i , j = 1，誤答なら δ i , j = 0と書き表すと，すべての受験者がすべての問題に挑戦した結果（これを反応パターンという）の確率は，独立事象を仮定すれば，NnL = ∏ ∏ Pj (θi ) i , j (1 − Pj (θi ))δ1 −δ i , ji =1 j =1と表される。これを尤度関数という。付録図 に，IRT による評価の過程のイメージを示す。誤答 ₀ と正答 ₁ からなる

δ i , j を 上の尤度関数 L に代入 し，それを最大にするような付録図

項目反応理論の概念図

aj , bj，q i を同時に求めるのが IRT による評価法である。

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