 
     ฒΜͰ͍Δਓ਺͕༗‫ͳݶ‬৔߹ʹ͓͚Δ଴ͪ࣌ؒͷղੳ–സ‫ܕ‬ฒͼͱϑΥʔΫ‫ܕ‬ฒͼ–௯২ɹ௚थ‫ذ‬ෞେֶ֓ཁ͜ͷ࿦จͰ͸ɼ2 ͭͷαʔϏε૭‫ʹޱ‬ରͯ͠ɼ2n ͷਓ͕ 2 छྨͷฒͼํΛ͠ɼͦͷฒͼํʹΑͬͯ଴͕ͪ࣌ؒͲΕ͚ͩҟͳΔͷ͔Λௐ΂Δɽ̍ͭ໨ͷฒͼํ͸ɼ2 ͭͷ૭‫ʹޱ‬ରͯ͠ɼͦΕͧΕ n ͷਓ͕ 1 ྻʹฒͼɼྻͷҠಈ͸ߦΘͳ͍ͱ͢Δɽଞํ͸ɼ2 ͭͷ૭‫ ʹʹޱ‬1 ྻʹฒͼɼαʔϏε૭‫ޱ‬ͷαʔϏε͕ऴΘΔͱɼྻͷઌ಄ͷਓ͕ɼۭ͍ͨ૭‫ʹޱ‬ೖΔɽΑ͘஌ΒΕ͍ͯΔΑ͏ʹɼ‫ऀޙ‬ͷํ͕଴ͪ࣌ؒ͸গͳͯ͘ࡁΉɽ͜ͷ࿦จͰ͸ɼαʔϏε͕࣌ؒࢦ਺෼෍ʹै͏ͱ͢Ε͹ɼ྆ऀͷ଴ͪ࣌ؒͷࠩ͸√n ͷΦʔμʔͰ޿͕͍ͬͯ͘͜ͱΛࣔ͢ɽΩʔϫʔυ: ଴ͪߦྻɼ‫ظ‬଴஋ɼϑΥʔΫฒͼɼࢦ਺෼෍

1ಋೖαʔϏε཰ μ ͷ 2 ͭͷαʔϏε૭‫ޱ‬Λߟ͑Δɽ͜ΕΒ 2 ͭͷαʔϏε૭‫ ʹޱ‬2n ਓͷਓ͕ฒΜͰ͍Δɽ1 ͭ͸ɼ(A) 2 ͭͷαʔϏε૭‫ͦʹޱ‬ΕͧΕ n ਓͣͭฒΜͰ͓ΓɼฒΜͰ͍Δਓ͸ྻͷҠಈΛߦΘͳ͍ͱ͢Δʢ͜ͷฒͼํΛസ‫Ϳݺͱܕ‬ɽʣɽ΋͏̍ͭ͸ɼ(B) 2 ͭͷαʔϏε૭‫ʹྻ̍ʹޱ‬ฒͼɼαʔϏε૭‫͍ۭ͕ͨޱ‬Βྻͷઌ಄ͷਓ͕ۭ͍ͨαʔϏε૭‫Ͱޱ‬αʔϏεΛड͚Δͱ͢Δʢ͜ͷฒͼํΛϑΥʔΫ‫Ϳݺͱܕ‬ɽʣɽ͜ͷͱ͖ɼ(A)ɼ(B)֤ฒͼํʹରͯ͠ɼ2n ਓશһ͕αʔϏεΛऴ͑Δ·Ͱͷ࣌ؒͷ‫ظ‬଴஋Λ‫ٻ‬ΊɼͦͷൺֱΛ͢Δɽ٬͕౸ண͢Δ৔߹ͷ M/M/1ɼM/M/2 Ϟσϧͷఆৗ໰୊ʹରͯ͠ɼ্‫ه‬ͷΑ͏ͳൺֱ͕ɼ[3, 8 ষ] ͰߦΘΕ͍ͯΔɽͦΕʹରͯ͠ɼຊ࿦จͰ͸‫ʹط‬Կਓ͔ͷਓ͕ฒΜͰ͓ΓɼͦΕҎ߱͸ਓ͕౸ண͠ͳ͍৔߹ͷඇఆৗ໰୊Λߟ͑Δɽྫ͑͹ɼళ͕٬ʹ੔ཧ͕݊഑ͬͨ৔߹͸ɼ੔ཧ݊Λ΋Β͑ͳ͔ͬͨ٬͸ߪೖͰ͖ͳ͍͔Βɼళ͸༧Ί٬ͷਓ਺Λ೺ѲͰ͖Δɽ͜ͷΑ͏ͳͱ͖ʹɼళ͸ͲͷΑ͏ʹ٬Λॲཧ͢Ε͹ɼͲΕ͚ͩ٬Λ଴ͨͤͣʹࡁΉ͔Λߟ͑Δࣄ͸ॏཁͰ͋Δɽͦͷଞʹ΋݈߁਍அ౳༧ΊདྷΔਓͷ਺͕෼͔͍ͬͯΔͱ͖΁ͷԠ༻͕‫ظ‬଴Ͱ͖Δɽͳ͓ɼຊ࿦จ͸૭‫ ͕ޱ‬2 ͭͷ৔߹Λߟ͍͑ͯΔ͕ɼΑΓଟ͘ͷ૭‫ޱ‬ͷ৔߹ʹ΋༰қʹ֦ு͢Δࣄ͕Ͱ͖Δɽ

1ͯ͞ɼ1 ͭͷαʔϏε૭‫ʹޱ‬٬͕ฒΜͰ͍Δͱ͢ΔɽN (t) Λ࣌ࠁ t ʹ͓͍ͯαʔϏεͷऴΘͬͨਓͷਓ਺ͱ͠ɼN (0) = 0 ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼҎԼΛԾఆ͢Δɽ
Ծఆ 1 ʢಠཱੑʣ೚ҙͷࣗવ਺ n ͱɼ۠ؒ (0, ∞) ͔ΒબΜͩ n ‫ݸ‬ͷ఺ 0 < u1 < u2 < · · · < unʹରͯ͠ɼҎԼ͸ಠཱͳ֬཰ม਺Ͱ͋ΔɽN (u1 ), N (u2 ) − N (u1 ), · · · , N (un ) − N (un−1 ).
Ծఆ 2 ʢఆৗੑʣ֤ s, t ≥ 0 ʹରͯ͠ɼN (t+s)− N (t) ͷ෼෍͸ t ʹґΒͳ͍ɽଈͪɼ೚ҙͷn ∈ N ʹରͯ͠ɼP (N (t + s) − N (t) = n) = P (N (s) − N (0) = n) = P (N (s) = n)ɽ
Ծఆ 3 ʢ‫ر‬গੑʣ೚ҙͷ t ≥ 0 ʹରͯ͠ɼඍখͳ෼ׂ࣌ؒ [t, t + Δt) ʹ 2 ໊Ҏ্དྷΔ֬཰͸
o(Δt) (Δt → 0) Ͱ͋Δɽ্‫ه‬ͷԾఆΛຬͨ͢ͱ͖ɼαʔϏε࣌ؒ͸ࢦ਺෼෍ʹै͏ʢ[1]ɼ[2] ࢀরʣɽαʔϏε૭‫ޱ‬ͷαʔϏε཰Λ μ ͱ͠ɼαʔϏε૭‫ͱۭ͕͘ޱ‬ଈ࠲ʹ٬͕αʔϏε૭‫ʹޱ‬ೖΔͱ͍͏ঢ়‫گ‬ͷԼͰ͸ɼ࣌ࠁ t ʹ n ਓͷαʔϏε͕ऴΘ͍ͬͯΔ֬཰ Pn (t) ͸(μt)n −μt
Pn (t) =en!

(1)ͱͳΔɽ͞ΒʹɼαʔϏε཰ μ ͷ 2 ͭͷαʔϏε૭‫ʹޱ‬٬͕ҰྻʹฒΜͰ͓ΓɼαʔϏε૭‫͕ޱ‬ۭ͘ͱྻͷઌ಄ͷ٬͕ۭ͍ͨαʔϏε૭‫ʹޱ‬ଈ࠲ʹೖΔͱ͍͏ঢ়‫گ‬ͷԼͰ͸ɼ࣌ࠁ t ʹ nਓͷαʔϏε͕ऴΘ͍ͬͯΔ֬཰͸(2μt)n −2μten!

(2)ͱͳΔɽ͜Ε͸αʔϏε཰ 2μ ͷ̍ͭͷαʔϏε૭‫ʹޱ‬ର͢Δ֬཰ͱಉ͡Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙ͢Δɽ

22 ͭͷฒͼํͷ֬཰෼෍ͱ‫ظ‬଴஋

ఆཧ 2.1. (A) αʔϏε཰ μ ͷ 2 ͭͷαʔϏε૭‫ ʹޱ‬n ਓͷਓ͕ͦΕͧΕ 1 ྻʹฒΜͰ͍Δɽͨͩ͠ɼྻͷҠಈ͸ߦΘͳ͍ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖ɼ࣌ࠁ t ·Ͱʹ྆ํͷྻʹฒΜͰ͍Δ2n ਓશһͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰͸ t n−1
2μ 1 −Pk (s) Pn−1 (s)ds
0k=0Ͱ͋ΓɼશһͷαʔϏε͕ऴΘΔ࣌ؒͷ‫ظ‬଴஋͸
n2n Cn
En =1+ nμ4
Ͱ͋Δɽ


2(3)



ূ໌ t ≥ 0 ͱ m ∈ N ʹରͯ͠ɼΔs = t/m, sl = l Δs (l = 0, 1, 2, . . . , m) ͱ͓͘ɽ࣌ࠁ sl ·ͰʹยํͷྻʹฒΜͰ͍ΔਓͷαʔϏε͕શͯऴΘ͓ͬͯΓɼ͔ͭ࢒ΓͷྻʹฒΜͰ͍Δ n − 1 ਓͷαʔϏε͕ऴΘ͍ͬͯΔͱ͢Δɽ[sl , sl + Δs) ͷؒʹ࠷‫ޙ‬ͷ 1 ਓͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰͸ɼԾఆ 3 ΑΓɼ


n−1

2 1−
Pk (sl ) Pn−1 (sl )μΔs + o(Δs).
k=0Αͬͯɼ࣌ࠁ t ·ͰʹશͯͷਓͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰͸ɼ


 
 t 
n−1n−1m−1lim
Pk (sl ) Pn−1 (sl ) + o(1) Δs =2μ 1 −Pk (s) Pn−1 (s)ds.
2μ 1 −m→∞k=00k=0k=0͜ͷͱ͖ɼ ∞0


2μ 1 −n−1
Pk (s) Pn−1 (s)ds = 1(4)k=0Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙͤΑʢ෇࿥ A ࢀরɽʣɽ·ͨɼશһͷαʔϏε͕ऴΘΔ࣌ؒͷ‫ظ‬଴஋͸ ∞n−1n2n Cnt × 2μ 1 −Pk (s) Pn−1 (s)ds =1+ n.
μ40k=0ఆཧ 2.2. (B) αʔϏε཰ μ ͷ 2 ͭͷαʔϏε૭‫ ʹޱ‬2n ਓͷਓ͕ϑΥʔΫฒͼʹฒΜͰ͍Δɽ͜ͷͱ͖ɼt ·ͰʹશһͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰͸ s t(2μu)2n−2 −μu
2 −μs
2μ ee du ds
00 (2n − 2)!
Ͱ͋ΓɼશһͷαʔϏε͕ऴΘΔ࣌ؒͷ‫ظ‬଴஋͸

Fn =2n + 12μ(5)Ͱ͋Δɽূ໌ t ≥ 0 ͱ m ∈ N ʹରͯ͠ɼΔs = t/m, sk = k Δs (k = 0, 1, 2, . . . , m) ͱ͓͘ɽ͞
Βʹɼsk ͱ mk ∈ N ʹରͯ͠ɼΔu = sk /mk , ul = l Δu (l = 0, 1, 2, . . . , mk ) ͱ͓͘ɽ·ͣɼ࣌ࠁ ul ·Ͱʹ 2n − 2 ਓͷαʔϏε͕ऴΘ͍ͬͯͯɼ[ul , ul + Δu) ͷؒʹ 2n − 1ਓ໨ͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰͸ɼԾఆ 3 ͱ (2) ΑΓɼ(2μul )2n−2 −2μul· 2μΔu + o(Δu)
e(2n − 2)!
Ͱ͋Δɽ3࣍ʹɼͦΕ͔Β࣌ࠁ sk ·Ͱ࠷‫ޙ‬ͷ٬ͷαʔϏε͕ऴΘΒͳ͍֬཰Λߟ͑Δɽ͜ΕҎ߱ɼ٬͸ยํͷαʔϏε૭‫ ʹޱ‬1 ਓ͔͍͠ͳ͍͜ͱʹ஫ҙ͢Δɽ(1) ʹ͓͍ͯ [ul , sk ] ͷؒʹ 0ਓͷαʔϏε͕ऴΘΔͱߟ͑ͯɼԾఆ 2 ΑΓɼ(2μul )2n−22μe−2μul Δu · e−μ(sk −ul ) + o(Δu)(2n − 2)!
ΛಘΔɽ[sk , sk + Δs) ͷؒʹ࠷‫ޙ‬ͷ٬ͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰͸

(2μul )2n−22μe−μ(sk +ul ) Δu · μΔs + o(Δs)O(Δu) + o(Δu)O(Δs)(2n − 2)!
Ͱ͋ΔɽΑͬͯɼsk ·Ͱʹ 2n − 1 ਓͷαʔϏε͕ऴΘͬͯɼ[sk , sk + Δs) ͷؒʹ࠷‫ޙ‬ͷ 1 ਓͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰͸
2 −μsk2μ eΔsmk −1

(2μul )2n−2 −μule+ o(1) (Δs → 0) + o(1) (Δu → 0) Δu(2n − 2)!

l=0(6)

ͱͳΔɽ(6) ʹ͓͍ͯɼmk → ∞ ͱͯ͠ɼ sk(2μu)2n−2 −μu
2 −μsk
2μ eΔse du + o(Δs)(2n − 2)!
0ΛಘΔɽ͕ͨͬͯ͠ɼ࣌ࠁ t ·Ͱʹ͢΂ͯͷਓͷαʔϏε͕ऴΘΔ֬཰ P (T ≤ t) ͸P (T ≤ t) = lim

n→∞

=

 t
0m−1


2μ e

k=0

 s

 sk
0(2μu)2n−2 −μue du + o(1) Δs(2n − 2)!

(2μu)2n−2 −μue du ds0 (2n − 2)!
k2n−2 1(μt)k−2μt
2 − 2e−μt −−e2k2k−l k!
k=0l=02μ2 e−μs

=22n−22 −μskͱͳΔɽ͜͜Ͱɼlimt→∞ P (T ≤ t) = 1 Ͱ͋Δ͜ͱʹ஫ҙͤΑɽ·ͨɼશͯͷਓͷαʔϏε͕ऴΘΔ࣌ؒͷ‫ظ‬଴஋͸ t ∞ ∞(2μs)2n−2 −μs
d2n + 12 −μtt P (T ≤ t)dt =t × 2μ ee ds dt =dt
2μ000 (2n − 2)!



ͱͳΔɽ

3

݁࿦

(3) ͱ (5) Λൺֱ͢Δͱɼ͢΂ͯͷ n ʹରͯ͠ En ≥ Fn ͕੒Γཱͭɽ·ͨɼn = 1 ͷͱ͖͸ En ͱ Fn ͸Ұக͢Δɽ͜Ε͸ɼn = 1 ͷͱ͖͸શһ͕௚͙ʹαʔϏεΛड͚ΒΕΔͨΊɼ2 ͭͷฒͼํʹࠩҟ͕ੜ͡ͳ͍͔ΒͰ͋Δɽ͞ΒʹɼελʔϦϯάͷެࣜΛ༻͍Δn√(n→∞)
Ͱ͋Δ͔Βʢ
[4,p340,ྫ2]ʣɼn͕େ͖͘ͳΔͱnͷ
ͱɼEn − Fn ∼πΦʔμʔͰ͕ࠩ޿͕Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ

4

෇࿥

A(4) ͷূ໌ ∞0


2μ 1 −n−1

 n−1
 n+k−1 Ck

1Pk (s) Pn−1 (s)ds = 2 −2n−1

k=02kk=0ͦͷͨΊɼSn = 2n Λࣔͤ͹Α͍ɽn Ck = n−1 Ck + n−1 Ck−1

Sn ===nn+k Ckk=1n
k=1n−1
k=02k+1=n
n+k−1 Ck2k

k=11n+k−1 Ck+1+2k2n−1
k=0

12n−1

Sn−1 .

(k ≥ 1) ΑΓɼn
n+k−1 Ck−12k

k=1+1n+k Ck
2k1n+k−1 Ck
2n−1 Cn++kn
222

1=Sn−1 + Sn .
2+=2−n
n+k Ckk=02k−

1 2n Cn
2 2n

S0 = 1 ΑΓɼSn = 2n .

ࢀߟจ‫ݙ‬[1] ‫୔ٶ‬੓ਗ਼: ଴ͪߦྻͷ਺ཧͱͦͷԠ༻ (຀໺ॻళ, 2006)[2] ੢ాढ़෉: ଴ͪߦྻͷཧ࿦ͱԠ༻ (ே૔ॻళ, 1971)[3] Ԙాໜ༤, ઒੢‫ݑ‬Ұ, ๛ઘ༸, ձాխथ: ଴ͪߦྻཧ࿦ͷ‫ͱૅج‬Ԡ༻ɹ (‫ཱڞ‬ग़൛, 2014)[4] ਿӜޫ෉: ղੳೖ໳ (౦‫ژ‬େֶग़൛, 1980)௯২ɹ௚थ‫ذ‬ෞେֶ‫ڭ‬ҭֶ෦਺ֶ‫ڭ‬ҭߨ࠲˟ 501-1193 ‫ذ‬ෞࢢ༄‫ ށ‬1-1E-mail: tuge@gifu-u.ac.jp5