一般相対性理論の数理
小玉英雄〈高エネルギー加速器研究機構素粒子原子核研究所

hideo.kodama@kek.jp〉

本稿では，特異点と 4 次元ブラックホールに関連した項目を中心として，その基礎概念と関連する数理的成果の概要を紹介する．取り上げるテーマは，共形的無限遠，ブラックホールについての一般定理，特異点定理，宇宙検閲予想，重力崩壊における臨界現象，
Penrose 不等式と正エネルギー定理，ブラックホールの一意性定理である．

1.

共形的無限遠Minkowski 時空全体が静的 Einstein 宇宙のコンパクト領域

一般相対性理論で現れる計量は，標準的な Riemann 幾何χ−π ≤ η ≤ π−χ（ χ ≥ 0）に埋め込まれ，その境界で Ω＝0 とな

学と異なり，時間に対応する方向が負となる不定符号計量となっている．*1 この違いは，時空の幾何学に因果構造とる（図 1 の右）．ただし，dΩ≠0 となるのは，χ≠0，π の部分

いう Riemann 幾何学にはない構造をもたらす．この時空のに同相な 2 つの光的超曲面 I  ±からなり，光的無限遠と呼大域的因果構造に関する研究の大きな成果は，「時空の端」

ばれる（図 1）．また，（η, χ）＝（±π, π）に対応する 2 点 i±は時間的無限遠点と呼ばれる．*4に豊かな構造があることを発見したことである．

なので，角度座標も考慮すると，∂M は，それぞれが R×S 2

時空の端は，「無限遠」と後ほど説明する「特異点」の 2

以上の共形埋め込みにおいて，角度座標が一定に対応す種類に分類される，無限遠には様々な定義や構成法が存在するが，中でも実用性の高いものが 1964 年に Penrose による 2 次元部分を図示したものはしばしば Penrose 図式と呼ばれる．*5

り提案された共形的アプローチである．Weyl 変換 gμν →定曲率時空 *6 である de Sitter 時空 dS4 や反 de Sitter 時空

Ω2gμν は，Ω が定数でなくても光円錐の構造を変えない．こAdS4 も，Minkowski 時空と局所的に共形なので，同じく静の点に着目し，時空全体（M, g）を別の時空（M̂, ĝ）の有的 Einstein 宇宙の部分領域に共形的に埋め込むことができ界領域に共形写像 f : M → M̂，すなわちる．それにより得られる Penrose 図式が図 2 の右 2 つである．
上の座標系を用いると，de Sitter 時空 dS4 は | η | < π / 2 の円筒

C1: ĝμν＝Ω2f * gμν（Ω > 0）領域に，反 de Sitter 時空 AdS4 は 0 ≤ χ < π / 2 に埋め込まれる．
*2を満たす写像で埋め込むことができれば， M の無限遠

はその像 （f M）の M̂ での境界 ∂M＝f（M）−f（M）としてしたがって，dS4 ≅ R×S 3 で，その境界は S 3 に同相な 2 つの空間的面 I ±からなる．一方，AdS4 ≅ R×D3 なので，そ実体化されるというのが，基本的なアイデアである．ただし，無限遠であることを保証するために，次の条件を加える必要がある：C2: ∂M 上で，Ω＝0 かつ d Ω≠0 .

このようにして定義される無限遠は共形的無限遠と呼ばれる．
例 え ば，極 座 標 表 示 で の 4 次 元 Minkowski 計 量 ds2＝
−dt 2＋dr2＋r2dΩ22 は，
t －r
η－ χ
,
= tan
2
2

t+r
η+χ
= tan
2
2

（1）
図1

と座標変換すると
ds 2 = Ω－2 ds 2 : ds 2 =－dη2 + d χ 2 + sin 2 χ dΩ 22 ,η－ χ  η+χ （2）
Ω = cos  cos  2 
2




 2 はちょうど，静的 Einstein 宇宙と表される．ここで，ds*3 こ の 変 換 に よ り，M̂ ≅ R×S 3 の 計 量 と 一 致 す る の で，


*1 本 稿 で は，時 空 計 量 の 符 号 は［−, ＋, ＋, …］と し，自 然 単 位 系
c＝ħ＝1 を用いる．
*2 f g は，f が長さを保つとして，g から M̂ に誘導される計量である．
*

特集

一般相対性理論の数理

Minkowski 時空の無限遠と静的 Einstein 宇宙への埋め込み．

*3 Einstein は，宇宙膨張を止めるために宇宙定数 Λ を導入し，この解を得た．4 次元時空の場合，物質のエネルギー密度を ρ として，Λ＝4πGρ＝一定の関係が成立する．
*4 時間的無限遠点や空間的無限遠点（図 1 の i 0）は，一般に dΩ＝0 となるので，共形的無限遠には含まれないが，後述の B. Schmidt によるフレームバンドル完備化法 1）では自然に現れる．
*5 図 2 の左端が，Minkowski 時空の Penrose 図式である．もとの 4 次元
時空は，この 2 次元図を底空間として，その各点に場所に依存した半径の球面 S 2 をファイバーとして付与したファイバー空間と見なされる．
*6 2 次元的断面での曲率が断面の取り方によらず一定となる時空．

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図 2 定曲率時空の Penrose 図式．左から順に，Minkowski 時空，de Sitter 時
空，反 de Sitter 時空．

図3

漸近的に平坦なブラックホール時空の 2 次元断面．

の境界は R×S 2 に同相な時間的面 I となる．
Penrose による共形的無限遠の定義の優れたところは，

測地線束方程式，すなわち近傍の測地線間の相対運動を記

無限遠の構造やその近傍の漸近構造の解析を具体的に行う

述する方程式である．空間的 2 次元面を通過する光的測地ことを可能にしたことである．例えば，上で定曲率時空の線の集まりが織りなす 3 次元の超曲面を N とする．基準と場合に見た宇宙定数の符号と無限遠の構造の対応は，実はなる測地線 γ を一つ選ぶとき，N の中で γ の近傍の 2 次元

一般的であることが示される．特に，宇宙定数が負の場合

的測地線集合の垂直断面積 A は，Rμν を Ricci 曲率テンソル

は，物質（場）が十分局在している場合，無限遠は常に時とするとき，次の Raychaudhuri 方程式に従う：

間的な超曲面（と 2 個の時間的無限遠点 i±）となる．これは，この時空に Cauchy 面 *7 が存在せず，未来の時間発展d1
θ + θ 2 =－Rμν k μ k ν－2σ 2 + 2ω2 .
dv
2を決定するには，初期面 Σ での情報以外に，境界にあたる（3）

無限遠 I での境界条件が必要となることを意味している．

ここで，k μ＝d xμ/dv は各測地線の接ベクトル，v はアフィ
ン パ ラ メ ー タ*8 を，θ＝（dA/dv）/A＝∇μ k μ は 面 積 増 大 率，

この構造は，近年盛んに研究されている AdS/CFT 対応 2）や

2σ2＝∇（ μkν）∇μkν−（1/2）θ 2 と 2ω2＝∇［ μkν］∇μkν は，それぞれ垂類似の双対性の議論の基礎となっている．

直断面の等積的な形状の変形率および回転率を表す．特に，

この無限遠構造の一般的分類に基づいて，共形無限遠の構造が，Minkowski 時空，de Sitter 時空，反 de Sitter 時空の光的測地線束が同じ点を通過する場合や空間的 2 次元面に直交する場合には，N は光的超曲面で，ω＝0 となる．

無限遠と同一の構造をもつ時空は，それぞれ漸近的に平坦，

Raychaudhuri 方程式において，物理法則が関与するのは漸近的に de Sitter 的，漸近的に反 de Sitter 的であるという．

Rμν k μkν の項のみであり，この項が正なら，光線は光波面の面積が減少する側に加速される．そこで，任意の光的ベク

2.

ブラックホールトルに対して Rμν k μkν ≥ 0 となるとき，光的収束条件が成り

この無限遠の定義を基礎として，ブラックホール（以下，立つという．これは重力が引力として作用することをBH と略記）が定義される．まず，いくつか記号を定義する．

意味する．Einstein 方程式が成り立つとき，この条件はS を任意の集合として，S から集合 M 内の未来向きの因果Tμν k μkν ≥ 0 となり，エネルギー運動量テンソル T νμ が固有値的（＝時間的ないし光的）曲線で到達できる点の全体を［−ρ, P1 , P2 , P3］をもつときには ρ＋PI ≥ 0（I＝1, 2, 3）と同＋＋

J （S, M），時間的曲線で到達できる点の全体を I （S, M）

等となる．

と表す．過去向きの曲線により，同様に J−（S, M），I−（S, M）

Minkowski 時空では，閉じた空間的 2 次元面を垂直に通過する光線束には外向きのものと内向きのものが存在し，が定義される．
この表記のもとで，2 つの光的無限遠をもつ漸近的に平対応する面積増大率 θ は前者では正，後者では負となる．

坦な時空 M において，天体から十分離れた観測者に情報

しかし，強い重力源を囲む 2 次元面ではいずれも負，すなは観測者には見えない時空領域となる．そこで，この領域

きる．このような 2 次元面は捕捉面（trapped surface）と呼が伝わる時空領域を J−（I ＋, M̂）と同一視すると，その外−−＋

わち外向きに「広がる」光波面の面積も減少することが起のうち I から影響の及ぶ部分 B＝（M−J （I , M̂））∩

ばれる．

−

ための十分条件を与える次の有名な定理が得られる 1）：

J＋（I  −, M̂）を ブ ラ ッ ク ホ ー ル 領 域，そ の 境 界 H＋＝＋＋−

J （I   , M̂）∩ J （I   , M̂）を未来の事象の地平線（以下ホRaychaudhuri 方程式を用いると，ホライズンが存在するライズン）と定義する（図 3）．また，I  ＋から観測可能でか【定理 2.1】 漸近的に平坦で Cauchy 面をもつ時空において，

つ I  −からの情報が伝わる領域 J−（I ＋, M̂）∩ J＋（I  −, M̂）

光的収束条件が成り立ち，DOC に特異点がないならが，は DOC（domain of outer communication）と呼ばれる．

閉捕捉面はホライズンの中に含まれる．

BH や特異点の研究で非常に重要な役割を果たしたのが，*7 時空領域において，任意の延長不可能な時間的ないし光的曲線が必ず超曲面 Σ と交わるとき，Σ を Cauchy 面という．

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*8 接ベクトル k μがその曲線に沿って平行になっているとき，その曲線を測地線，対応するパラメータをアフィンパラメータという．
日本物理学会誌

Vol. 70, No. 2, 2015

捕捉面の概念は局所的なので，この定理は，大域的概念

ing らの研究である．
彼らの成果は Hawking-Ellis の教科書 1）に 4 個の特異点定であるホライズンの存在を局所的に判定する方法を提供する．

理としてまとめられているが，いずれも，「引力条件，因2 次元面 T に垂直な光的測地線束が収束的，すなわち

果性条件（ないしそれに代わるもの），強重力条件の 3 つθ < 0 となっているとき，Raychaudhuri 方程式より，含まれの条件が成り立つと，時空が測地的に完備でない」ことをる測地線 γ が完備なら，有限な v で θ＝−∞となることが主張する内容になっている．ここで，引力条件とは重力が示される．この点は，T の γ に沿う共役点（conjugate point）

引力として作用することを保証する条件で，すでに説明と呼ばれる．共役点は，γ の無限小近傍の測地線が一点にした光的収束条件と任意の時間的ベクトル V に対して集まる点であるが，γ のこの点より先の部分は I＋（T ）に含
まれることが示される．この事実が上の定理の証明の味噌

RμνV μV ν ≥ 0 を 要 求 す る 時 間 的 収 束 条 件（timelike conver*10 前者は後者より弱い条
gence condition）の 2 種がある．

となるが，同様の論理でホライズンを織りなす光的測地線件である．特異点定理は Einstein 方程式を仮定しておらず，が常に J−（I  ＋, M̂）の境界にとどまり共役点をもてないこ

純粋に幾何学的定理であるが，Einstein 方程式を仮定するとより，次のホライズンの面積増大則が示される ：と，この条件は宇宙項を含めたエネルギー運動量テンソル【定理 2.2（BH 面積増大則）】 ホライズン上および外に特に対する条件となる．例えば，エネルギー運動量テンソル

異点がなく，光的収束条件が成り立つなら，BH の面積はが対角化可能な場合，時間的収束条件は，エネルギー密度

決して減少しない．

ρ と圧力固有値 PI に対し ρ＋∑ I PI ≥ 0 かつ ρ＋PI ≥ 0（∀I）が1）成り立つことと同等である．逆に，この条件が成り立たな
この定理は，BH 熱力学において BH 面積をエントロピー

いと重力は斥力的になり，インフレーションを引き起こす．

として解釈する根拠の一つとなっている．また，ホライズ

次に，強重力条件は文字通り，重力場が十分強い領域がンを生成する光的測地線が終点をもたないことから，BHあることを表す条件であるが，大まかには捕捉面ないし過の位相変化についての次の有名な定理が容易に導かれ

去向き捕捉点（past trapped point）の存在を要求する条件とる 1）：なっている．ここで，点 P が過去向きの捕捉点であるとは，【定理 2.3（BH 不分裂定理）】 ホライズン上および DOC に

P を頂点として過去向きに広がった光円錐が有限な時間で特異点がないなら，BH は合体はできるが分裂はしない．

再び縮み始めるという条件である．
最後に，測地的に完備（geodesically complete）とは，す

3.

特異点定理

べての測地線がアフィンパラメータに関して無限に延長可時空の正則点を端点とする曲線は常に延長可能である．

能であることを意味する．したがって，例えば，未来向き

したがって，時空に含めることのできない特異点や無限遠の時間的測地線に関して完備でない場合には，アフィンパ

点は，その点に近づく延長不可能な曲線 γ の仮想的端点とラメータの値が有限であるにもかかわらずそれ以上延ばせ見なされる．ただし，同じ特異点に漸近する曲線は無限にない未来向きの時間的測地線 γ が存在することを意味する．

存在するので，仮想的な端点は延長不可能な曲線の類［γ］

この場合，［γ］の「終点」は未来の特異点となる．

として定義される．大まかには，この曲線の「長さ」が無

例えば，次の定理は，重力崩壊により BH ができると，限大の場合に無限遠点，有限の場合は特異点と呼ぶ．「長*9 なお，時空の部
さ」の正確な定義は本稿では省略する．

必ず特異点も生成されることを意味している．ただし，「特分切除によって生じる非本質的な特異性を避けるため，特【定理 3.1（Penrose 1965）】 次の条件が成り立つと，時空異点の議論では，通常，極大な時空に拡張して考える．たは光的測地線に関して完備でない：

だし，一般に，このような拡張は一意的ではない．

（1）光的収束条件．

異点の場所」については何の情報も与えない．

（2）非コンパクトな Cauchy 面の存在．

圧力もエネルギー密度も非負の一様等方な膨張宇宙解や（3）閉捕捉面の存在．

Schwarzschild 解など非自明な厳密解では，ある座標点で曲率が発散する．これらの特異性はその点で時空構造が破綻することを意味するので，その座標点は時空から除外され，また，次の定理から，もし宇宙初期でも物質のエネル

今定義した意味での特異点となる．一般相対性理論誕生間

ギー密度や圧力が非負だとすると，我々の宇宙には特異点もない頃から，これらの時空特異点の発生は，対称性などが存在することが導かれる．ただし，この定理だけからは，の特殊性に起因するのか，それとも一般的なものなのかが

それが未来にあるのか過去にあるのかは結論できない．

問題となっていた．この問題に，一般的な解答を与えたの【定理 3.2（Hawking, Penrose 1970）】 次の条件が成り立つ

が，1965 年から 1970 年にかけての Geroch，Penrose，Hawk-と，時空は時間的ないし光的測地線に関して不完備：

*9 B. Schmidt は，この長さの定義をきちんと与え，フレームバンドル完

備化法により曲線の仮想端点としての時空境界を数学的に厳密に構
1）
成した．

特集

一般相対性理論の数理*10 ただし，一つの定理では，Ricci テンソルがゼロとなる領域がある場
合は，さらに Riemann テンソルの代数的構造が一般的であるという一般性条件 1）を要求する．

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（1）時間的収束条件と曲率テンソルに対する一般性条件．

に拡張された Reissner-Nordstrom 解や Kerr 解など（7 節参（2）時間的閉曲線の非存在．

照）多くの基本的な BH 解が Cauchy ホライズンをもつ．し（3）過去向きの捕捉点，閉捕捉面，非時間的なコンパク

たがって，SCC 予想はこれらの解の Cauchy ホライズンが不安定であることを予想する．

ト閉部分多様体のいずれかが存在．

この問題は様々な側面から研究され，有限エネルギーのこれらの定理は，その後，収束条件を測地線に沿う積分

摂動により時空の局所質量が Cauchy ホライズンで発散するという質量インフレーションなど Cauchy ホライズンの条件に緩めるなどの拡張がなされた．

不安定性を示唆する現象が E. Poisson と W. Israel により

4.

宇宙検閲予想1990 年に発見され，その後荷電スカラ場重力系の数値計

特異点が発生して，それが曲率の発散を伴っているとし算でも，Cauchy ホライズンの一部が空間的スカラ曲率特ても，その影響が我々に届かなければ，現実的な問題を引異点集合に変わることが指摘された．しかし，Cauchy ホ

き起こさない．この期待を表現したのが，Penrose の提唱

ライズンの一部は光的なまま残り，そこを通過しても物体した宇宙検閲予想である．この予想には 2 つのバージョンが有限な変形しか受けない程度の弱い特異性しかもたないがある．一つは，1969 年に発表された弱い宇宙検閲（Weakことが 2002 年に L. Burko らにより示された．

Cosmic Censorship）予想で，大まかな内容は次のように表現される：【予想 4.1（WCC 予想）】 物質が現実的な状態方程式に従5.

重力崩壊における臨界現象

これに対して，WCC の研究を全く新たな方向に導いた

うとき，なめらかな初期条件から Einstein 方程式の解とし数学的研究がある．それは，D. Christodoulou により 1986て決まる漸近的に平坦な時空の特異点は一般に BH ホライ

年から 1999 年にかけて行われた球対称な Einstein-KG 系

ズンで隠される．

（重力場と質量ゼロの自由スカラ場から成る系）の厳密な数学的研究である（その詳細については，文献 4, 5 参照）．

2 つめのバージョンは 10 年後に発表された強い宇宙検閲

彼は有界変動なクラスの枠内で，真空に近い初期値は必ず（Strong Cosmic Censorship）予想で，次の内容をもつ：

正則な散乱解を与えることを示す一方で，漸近的に平坦で【予想 4.2（SCC 予想）】 物質が現実的な状態方程式に従う

裸の特異点をもつ解およびホライズンの発生点が特異となとき，なめらかな初期条件に対する Einstein 方程式の解のる解の存在を示した．前者は，原点にある特異点を頂点と極大な拡張は，一般に Cauchy 面をもつ時空となる．

する未来の光円錐が I  ＋ に達するので裸の特異点をもつ．
このとき，この光円錐は特異であるが，曲率は有界でそのこれらの予想のその後はあまり明るいものではなかった．

微分のみが発散するので特異性はマイルドで，時空の光円

まず，球対称系について WCC が詳しく調べられ，特に圧錐を超えた C 2−級での拡張が可能となる．しかし，この拡力が無視できる天体の重力崩壊に対しては一般に，ホライ

張を許すと，この解では WCC も SCC も破れる．

ズンに隠されない特異点である裸の特異点（naked singular-

一方，後者の解では，限りなく曲率の大きな領域が観測ity）が中心に生成されることが示された．また，有限な圧可能であるという意味では WCC が破れる．ただし，1999

力をもつ流体の場合でも，必ずしも特異点は隠されない．

年に彼は，これらすべての特異解が少なくとも 1 次元的な

ただし，これらは球対称性という高い対称性に起因してい初期値の摂動に対して不安定であることを示した．すなわる可能性が否定できない．しかし，非球対称な系の研究は

ち，小さな摂動を加えると，正則解か WCC が成り立つ解

困難で，未だに明確な結論は得られていない． 1991 年にに変化するのである．これは数学的な意味で，WCC 予想

S. L. Shapiro と S. A. Teukolsky は，細長い形状の無衝突ガを支持する結果となっている．

3）

ス系の重力崩壊において，特異点が発生してもそれを取り

ただし，ここで新たな展開があった．それは，M. W.

囲む捕捉面が存在しない例を数値計算により与えた．しかChoptuik が 1993 年に行ったこの系の数値計算による研究

し，この数値計算では特定の時間一定面の取り方をしていである．彼は高精度でこの系の初期値問題を解き，スカラ

るため，捕捉面の非存在がホライズンの非存在を必ずしも場のある初期値配位に対して，その振幅を連続的に変えて意味せず，WCC の破れの明確な例とは言えないことが R.

ゆくとき，ある臨界値以下では散乱解，臨界値を超えるとWald と V. Iyer により同じ年に指摘されている．

BH 解となる場合を詳しく調べた．その結果，振幅が臨界

SCC 予想についても状況は微妙である．SCC の破れは，値のときの解がちょうど，Christodoulou が存在を示したホ

極大時空 M が Cauchy 面をもたないことを意味するが，こライズンの頂点が特異となる解に対応し，しかもその解がのような時空では，Cauchy 面 Σ をもつ極大な領域を N＝離散的相似性をもつこと，さらに振幅の臨界値からのずれD（Σ）とおくと，N は M において境界 H＝∂N をもつ．こと形成される BH の質量の対応におけるベキ指数がスカラの境界は Cauchy ホライズン，特に，H＋＝H ∩ J＋（Σ）は未場の初期配位の詳細によらないことを発見した．すなわち，

来の Cauchy ホライズンと呼ばれる（図 2）．解析的に極大

一種の臨界現象が起きていたのである．

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この結果は，また，対応する解の曲率の最大値が任意のTrudinger が，Minkowski 不等式を任意次元の Euclid 空間 E n与えられた値を上回るような初期値の集合が初期値空間に内の任意の閉超曲面 Σ に対する次の不等式に拡張することおいて「ゼロでない体積をもつ」ことを意味し，厳密な意に成功したことによる 7）：

味の裸の特異点は発生していないものの，物理的な基準か（/ n－1）（n－2）/ n－1）1（∫Σ Kd A ≥（n－1）Ω n－1 A

らすると WCC が成り立たないことを意味している．その

（6）

.

5）
後，物質が異なる様々な系で類似の現象が確認された．

ここで，K は Σ の平均曲率，Ωn は n 次元単位球面 S n の面積

現在では，この現象が起きる理由は，初期値空間において，

で，等号は Σ＝S n−1 のときに成立．このように全く非自明

裸の特異点をもつ解に対応する初期値の集合が余次元 1 のな数学的不等式と対応することは，WCC 予想を支持する部分空間となっているためと理解されている．

事実と見なす人が多い．
Penrose 不等式はその後，初期値問題における一般的不6.

Penrose 不等式と正エネルギー定理6）等式型予想に拡張された．
これらの一般形では，A は漸的研究として，Penrose 不等式がある．Penrose は 1969 年に近的に平坦な初期面（Σ, q）に含まれる最も外側の捕捉面 Tの面積，M は初期面での ADM 質量 *12 となる．特に，Σ のWCC 予想の反例を作る目的で，光速でつぶれる物質殻にスカラ曲率 *13 R（Σ）が非負で，Σ が全測地的，すなわち解よるブラックホール形成を考えた．対応する時空は，このが時間反転不変性をもち，Σ がその時間反転の不動面とな

物質殻の軌跡である光的超曲面 N で不連続となり，N のる場合については，この不等式は Riemann-Penrose 不等式

WCC 予想の研究が生み出したもう一つの興味深い数理

過去側は Minkowski 時空，N の未来側は一般に重力波を含と呼ばれ詳しい研究がある．この場合，T は最も外側の極

む曲がった時空となる．この物質殻が十分小さな領域につ小曲面となる．P. S. Jang と R. M. Wald は．1977 年に逆平均

ぶれるような初期配位を取ると，この N の直上に閉捕捉

曲率流（inverse mean curvature ﬂow）によるこの極小曲面の成り立つと閉捕捉面は必ずブラックホールホライズンに含による変形とは，曲面 F をその法ベクトル方向に平均曲

面 T が形成される．N の外は真空なので，もし，WCC が連続変形を用いた証明を発表した．ここで，逆平均曲率流

まれ，T の面積 A はブラックホール表面積以下となると期率の逆数に比例する「速度」で変形させることを意味する．

待される．ところが，面積増大定理と一意性定理（次節）

ポイントは，R（Σ）≥ 0 のとき，Hawking 質量と呼ばれる関より，このブラックホール表面積の最終値は全系の重力質

（F）
数 m（
＝（1−∫F K 2/16π） A/16π が，この変形に対しH F）

量 M に 対 応 す る Schwarzschild ブ ラ ッ ク ホ ー ル の 表 面 積
16π（GM）を超えない．したがって，
GM ≥

A
16π

て単調に増加し，しかも出発点の捕捉面 T に対して m（
H T ）＝ A/16π ，無限遠の球面に近づくとき m（→ GM とな
H F）

2

（4）

という不等式が成り立つことが期待される．この不等式はることである．したがって，逆平均曲率流によって T が無限遠球面に滑らかに変形できる場合には不等式が証明されることになる．

Penrose 不等式と呼ばれる．

しかし，実際には，この変形は一般に特異性をもつ面を

その後，G. W. Gibbons は，この捕捉面を N を横切って含むことが示される．この困難の克服には 20 年以上の歳

Minkowski 時空側に動かした際の T を通過する光波面の面月を要したが，ついに 2001 年に G. Huisken と T. Ilmanen が積増大率の変化量が，物質殻のもつ全エネルギーに比例す

6）
不等式の厳密な証明に成功した．
基本的なアイデアは，ることを用いると，Penrose 不等式が Minkowski 時空内の連続な変形をあきらめ，飛びのある不連続な変形を許すよ

空間的 2 次元面に関係する幾何学量のみで書かれた不等式

う一般化することにあった．さらに，同じ年に，H. L. Bray12θ d A ≥
8π ∫T

A
4π

（5）

6）
により全く異なった証明が発表された．
彼の方法は，極小曲面の面積を保って，初期値を Schwarzschild ブラックで換えられることに気づき，1984 年の論文でこの不等式

ホールに対応するものに共形的に変形するというものでを等周不等式（isoperimetric ineqality）と名付けた．ここで，あった．

θ は T を通過して広がる光波面の面積増大率である．当初，

これら Penrose 不等式は，時空の安定性を保証する次のGibbons は，T が 3 次元 Euclid 空間に含まれる凸な 2 次元

正エネルギー定理と密接に関係している：

面のときにのみ，この不等式を証明した．この場合は，2θ
は T の各点における平均曲率 *11 と一致し，この不等式は【定理 6.1（ADM エネルギーに関する正エネルギー定理）】

Minkowski 不等式（1903 年）に帰着される．しばらくこの

期値問題において，初期面 Σ が 3 次元閉多様体か Σ ≅ R3−B

問題に大きな進展はなかったが，Gibbons はついに 1997 年（B＝∑ i Bi , Bi は球体，∂B は見かけのホライズン）に同相で，4 次元 Einstein 方程式に対する漸近的に平坦で完備な初に，特別な仮定なしにこの不等式を証明し，さらに一般次
元 に 拡 張 す る こ と に 成 功 し た．6） そ の 理 由 は，N. S.
*11 T をその垂直方向に一様に微小変形したときの局所的面積増大率．

特集

一般相対性理論の数理



*12 初期面の空間計量の無限遠における振る舞い gij＝（1＋（2GM/r））δij＋o（1/r）から決まる質量 M．
*13 Ricci 曲率のトレース R＝R μμ.

99©2015 日本物理学会

エネルギー運動量テンソル Tμν が支配的エネルギー条件 *14

ホライズンが非縮退なら Reissner-Nordstrom 解に限られ，を満たすとする．このとき，初期値から決まる全系のエネ計量は質量 M と電荷 q＝ 4π Q を用いて次のように表されルギー E と運動量 P＝（Pi）は，E ≥ | P | を満たす（定義につる：

いては文献 8 参照）．さらに，等号が成り立つのは，初期値が Minkowski 時空に対応する場合のみである．

ds 2 ;－（
f r）dt 2 +dr 2+ r 2 dΩ 22 ;
（
f r）

（
f r）; 1－

GQ 2
GM
+ 2 .
r
r

また，縮退している場合は，Majumdar-Papapetrou 解の一正エネルギー定理は，最初，初期面の平均曲率がゼロ（極つに一致する．

大スライス）でブラックホールがない場合について，極小曲面論の方法で R. Schoen と S. T Yau により 1979 年に証明

ここで，ホライズンが縮退しているとは，無限小等長変されたが，その後，E. Witten によりスピノールを用いた証換のうちホライズン上で光的となるものを k とするとき，

明が 1981 年に提案され，1983 年にはそれを用いてブラッ∇k k＝0 と な る こ と を 意 味 し，Reissner-Nordstrom 解 で はクホールが存在する場合に拡張された．さらに，1999 年に

M 2＝Q 2 に対応する．そのような解は無限個存在することは J. Lohkamp がスカラ曲率の変形に基づく証明を，2009 年

9）が知られている（Majumdar-Papapetrou 解）．

には M. Peiris が山辺の定理と Thurston の幾何学化定理を用

ξ を時間推進に対応する無限小等長変換（Killing ベクト

いた証明を新たに発表している．一般に，M＝（E 2−P 2）1/2

ル）として，その大きさを g（ξ, ξ）＝−N 2 とおくとき，静的

より，Penrose 不等式はブラックホールを含む場合での正な解を求める問題は，時間一定面に対応する 3 次元多様体

エネルギー定理の改良・精密化と言える．

Σ の計量 q と関数 N に対する初期値方程式

7.

BH の一意性R（q）＝N−1Di Dj N ,ij（7）

Δq N＝0 .

最も単純な BH 解はよく知られている Scharzschild 解で，に帰着される．ここで，Di は q に関する共変微分，R（q）
ij

Einstein 方程式の静的な球対称解である．この解は一般相

はその Ricci テンソル，Δq＝D iDi である．漸近的に平坦なら，対性理論が発表された 1915 年に発見され，翌年には電荷ホライズン ∂Σ で N＝0，無限遠で N → 1 となる．

を帯びた球対称 BH 解である Reissner-Nordstrom 解も発見

Israel は，この方程式を N を動径座標とする Σ の極座標されている．回転する BH 解である Kerr 解が発見されたのを用いて書き下すことにより，BH 表面が連結で，すべてはさらにその 47 年後の 1963 年である．このように時間がの N＝一定面がなめらかな球面となる場合について，1967

かかったのは，やはり非線形偏微分方程式系である Ein-

年に剛性定理を示すことに成功した．しかし，非縮退でstein 方程式を厳密に解くことが大変難しいことに起因す

BH が複数ある解はないのか，球面以外の位相をもつ BH はる．実際，1965 年には Kerr 解に複素解析接続法を適用すないのかなどの問いに答えることはできなかった．これらることにより回転する電荷をもった BH を表す Kerr-New-の問いに予想外の方法で解答を与えたのは，G. L. Bunting，mann 解が発見されているが，その後，Einstein-Maxwell 系

A. K. M. Masood-ul-Alam，P. J. Ruback ら で，約 20 年 後 でに対して，新たな正則真空 BH 解は発見されなかった．

あった．証明の概要は次の通りである．まず，彼らは，時1972 年には有名な富松・佐藤解が発表され世界を驚かせ

間一定面に対応する 3 次元 Riemann 多様体（Σ, q）に，ラプ

たが，この解は裸の特異性をもっていた．

22ス関数 N を用いた Weyl 変換 q̂±＝Ω±q，Ω±＝（1±N）
/4 を施

静的 BH

このような状況の下，これらの解以外に正則ですと，そのスカラ曲率がゼロに保たれることに着目した．

漸近的に平坦な BH 解がないことを示そうという研究が行

しかも，Σ̂＋＝（Σ, q̂＋）と Σ̂−＝（Σ, q̂−）は ，N＝0 となる境界

われた．先鞭をつけたのは，W. Israel である．Einstein 方のホライズン ∂Σ でなめらかにつながり，無限遠で Ω−→ 0

程式の球対称な真空解は静的であり，したがって Schwars-となるので，無限遠に対応する一点を付け加えることによchild 解に限るということを 1923 年に Birkhoff が証明した

り，Σ̂− は滑らかなコンパクト多様体に拡張される．したが（Birkhoff の定理），Israel はこの逆，すなわち，静的ながって，Σ̂＝Σ̂＋∪ Σ̂−∪｛ P ｝は，スカラ曲率がゼロかつ ADM

ら球対称であること（剛性定理）を示そうとした．ここで，質量がゼロの漸近平坦な滑らかな 3 次元 Riemann 多様体と静的とは定常で時間反転に対して不変である（したがってなる（図 4）．ところが，正エネルギー定理より，このよう回転していない）ことを意味する．この剛性定理が示せれな多様体は Euclid 空間に限られる．したがって，もとのば直ちに，静的な BH の一意が導かれる．これまでに得ら（Σ, q）は E 3 に共形となる．これは，Bach テンソルと呼ばれた最も一般的な静的 BH に対する一意性定理は次のようれる 3 階テンソルが恒等的にゼロであることを意味するが，に表される 9）：Bach テンソルを 2 乗して得られるスカラ量を N を動径座

【定理 7.1（静的 BH の一意性定理）】 Einstein-Maxwell 系に標とする座標系で書いてみると，この条件は空間が球対称

おいて，WCC を満たす漸近的に平坦で静的な BH 解は，であることを意味することが分かる．

*14 任意の未来向きの時間的ベクトル V μ に対し T μνV ν が常に過去向きの因果的ベクトルとなるとき，支配的エネルギー条件が成り立つという．

100©2015 日本物理学会

回転する BH

さて，Israel の定理が発表されてから 5 年後の 1972 年に，Hawking は定常で回転する BH は軸対称であ日本物理学会誌

Vol. 70, No. 2, 2015

ある．実際，大域的に双曲的な時空における任意の閉曲線
は，1 点で切り離すことにより，適当な時間的フローに沿った初期面への射影を一定に保って因果的開曲線に連続変形できるので，この定理を BH 時空の DOC に適用すると，
BH の位相が球面に限られるということが示される：【定理 7.3（4 次元 BH の位相定理）】 漸近的に平坦な時空
図4の DOC が Cauchy 面をもつとき，光的収束条件が満たされ

静的 BH 時空の共形的改変．

るなら，DOC は単連結である．特に，4 次元時空においてBH の各連結成分は 2 次元球面に同相である．
Hawking の剛性定理により，定常で回転する BH は軸対称であることは言えるが，これはまだまだ弱い制限で，静的な場合のように，この対称性だけで解が一意的に決まる
わけではない．富松・佐藤解のように，特異性をもつ「BH解」は無限に存在するのである．ホライズン上および外に

図5

特異点がないという正則性の要請（WCC）のもとで解を絞回転する BH ホライズンと Killing ベクトル．

り込む必要がある．この作業で重要な役割を果たしたのが，るという剛性定理を証明した． ここで，定常とは，遠方
1）

Ernst 形式である（F. Ernst, 1968）．

で時間的となる Killing ベクトル ξ＝∂t が存在することを，一般に，4 次元時空が Killing ベクトルをもつとき，時空また，軸対称とは至るところ空間的で S （ないし一点）ををこのベクトル場の軌道の集まり，すなわち 3 次元 Rie-

軌道としてもつ Killing ベクトル η＝∂ϕ が存在することを意

mann 多様体（Σ, q）を底空間としファイバーが 1 次元のファ味する．この剛性定理でポイントとなることは，回転するイバー空間とみなすと，残りの時空計量の情報と電磁場の＋BH では，時間推進の Killing ベクトル ξ がホライズン H

配位は，Ernst ポテンシャルと呼ばれる複素関数 E と複素

S 2 への射影を利用することにより，H＋上に閉じた軌道を場の方程式は 3 次元作用積分もつ空間的 Killing ベクトル η＝∂ϕ（ϕ は周期 2π の角度座標）|dE + 2ΦdΦ| |dΦ|（q）+ 2－S = ∫ *q  R
（8）
2

Σ
E
Re
（
2 Re E）

より得られる変分方程式に帰着することが示される．さら1

上で空間的となることである（図 5）．このことから，断面で，ξ＋Ωhη（Ωh は BH の 回 転 角 速 度 と 呼 ば れ る 定 数）がH＋の光的測地線に接するものが存在することが示される．

電磁ポテンシャルと呼ばれる複素関数 Φ で完全に決まり，
2

2

この H＋上の Killing ベクトル η を解析的にホライズンの外に時空が定常軸対称で 2 つの可換な Killing ベクトルをもつ

Hawking の剛性定理では，時空の解析性およびホライズン

に対する非線形の楕円型方程式系に帰着される．この 2 次に拡張することにより，軸対称性が示される．したがって，ときには，この変分方程式は，2 次元面上の 2 つの場 E, Φの部分多様体としての解析性の仮定が本質的である．しか元系への還元は 1971 年に B. Carter によってなされた．彼

し，解析性が成り立てば，場の方程式の詳細にはあまり依はさらに，重力場のみの系では，境界条件のもつ連続パラ存しない．

メータの自由度は，質量 M，角運動量 J のみであることを

Hawking の証明では，BH の位相が球面であることも仮示した．D. C. Robinson は 1974 年にこの結果を電磁場が存定されていた．この仮定の正当化は，20 年後の 1994 年に P.

在する場合に拡張し，連続パラメーターの自由度は，M, J

Chrusciel と R. Wald により，次の位相検閲定理（topologicalと電荷 Q のみであることを示した．ただし，これらの結10）
censorship theorem）
を用いて成された．

果では，Kerr-Newman 解以外に別の解の族が存在する可能【定理 7.2（位相検閲定理）】 漸近的に平坦で Cauchy 面を−もつ時空において光的収束条件が満たされるとき，I と＋性を排除できない．重力のみの系に対しては，この問題は，非常に複雑な恒等式を用いることにより，Robinson により

I をつなぐ任意の因果的曲線は，連続的に無限遠の標準解決され，Kerr BH が唯一の解であることが証明された．

近傍内の曲線に変形できる．

しかし，この恒等式を電磁場が存在する場合に試行錯誤により拡張することは絶望的であった．何かより深い議論に

ここで，無限遠の標準近傍とは，Minkowski 時空の無限遠の近傍と同相な I ＋∪ I −の近傍を意味する．この定理
は，時空の普遍被覆 *15 における光的測地線束の振る舞いに帰着することにより容易に証明できるが，非常に強力で*15 すべての位相空間は，普遍被覆と呼ばれる単連結な被覆空間を常に同型を除いて一意的にもつことが知られている．

特集

一般相対性理論の数理基づく恒等式の導出が切望された．
この希望を見事に叶えたのが，P. O. Mazur である．彼は，Ernst 形式での理論が，（3 次元重力と結合した）対称空間
M＝SU（2, 1）/S（U（2）×U（1））上の非線形 σ 模型となっていることに着目し，非線形 σ 模型の一般論から，1982 年にRobinson 型の恒等式を導くことに成功した．
101©2015 日本物理学会

この Mazur 恒等式により，連結なホライズンをもつ Ein-

は，Schwarzschild 解以外の安定 BH 解が存在する．また，

stein-Maxwell 系の漸近的に平坦な正則 BH 解の一意性が言

非可換ゲージ場を含む系では，静的だが非球対称な解が存えたが，BH が複数の連結成分をもつ可能性を明らかにす

在することを示唆する事実もある．これら最近の結果につるには，より詳しい境界値問題の研究が必要であった．こいては Heusler らのレビュー 9）を参照してほしい．

の問題に大きな進展をもたらしたのは，G. Weinstein である．彼は，いま説明した非線形 σ 模型としての定式化が，調和写像と呼ばれる Riemann 多様体間の写像の特殊な場合

8.

終わりに

以上見てきたように，特異点と 4 次元 BH に限っても，であることに着目し，その成果を用いて 1996 年に多成分

一般相対性理論における数理的研究はたいへん豊かで，現

BH 系に対する存在と一意性の定理を確立し，一般に N BH

代大域的微分幾何学の主要成果といえるものを多数生み出

解は各 BH の質量，電荷，角運動量と BH 間の距離を表す

してきたが，超弦理論の研究を背景にして近年急速に進展

4N−1 個のパラメータで分類されることを示した．

した高次元ブラックホールの研究は，高次元には 4 次元と【定理 7.4（回転する BH の一意性定理）】 4 次元 Einstein-は比べものにならないほど豊かな世界が広がっていること

Maxwell 系において，漸近的に平坦で正則な定常 BH 解のを示しつつある．これら高次元の探索がどのような成果を

DOC は，Weinstein 解のどれかと等長である．特に，ホラもたらすか楽しみである．

9）

イズンが連結なら，質量 M，角運動量 J，電荷 Q をパラメー
タとしてもつ Kerr-Newman 解に限られる（表式は省略 1））．
さらに，電気的に中性の N BH の場合には，Weinstein 解は，逆散乱法を用いて 1978 年に V. A. Belinskii と V. E. Zhakarov により構成された 2N ソリトン解と一致することが，1997 年 に G. G. Varzugin に よ り 示 さ れ て い る．た だ し，N ≥ 2 の多体 BH 解では BH が z 軸に沿って並ぶが，一般にBH 間に z 軸上でコーン型特異点が発生する．2012 年に，
正則な中性の 2 体 BH 解が存在しないことが G. Neugebauerと J. Hennig により証明されたが，一般の場合については正則なものが存在するかどうかはまだ不明である．*16
Einstein-Maxwell 系を超えてこれまで，たかだか電磁場

参考文献
1）S. Hawking and G. Ellis: The Large Scale Structure of Space-Time（Cambridge Univ. Press, 1973）.
2）高柳 匡：『ホログラフィー原理と量子エンタングルメント（SGC ライ
ブラリー 106）』（サイエンス社，2014）．
3）R. M. Wald: gr-qc/9710068（1997）.
4）D. Christodoulou: Class. Quantum Grav. 16（1999）A23.
5）C. Gundlach and J. Martín-Garicía: Living Rev. Relativity 10（2007）5.
6）H. L. Bray and H. L.Chruściel: gr-qc/0312047（2003）.
7）M. Mars: Class. Quantum Grav. 26（2009）193001.
8）S. Dain: arXiv: 1302.33405（2013）.
9）P. Chruściel, J. Costa and M. Heusler: Living Rev. 15（2012）7.
10）J. Friedman, K. Schleich and D. Witt: Phys. Rev. Lett. 71（1993）1486.

著者紹介

小玉英雄氏：

専門は重力理論，宇宙論．近年は，超弦理論アクシオンの引き起こす回転ブラックホールでの増幅しかない系を考えてきたが，現実の理論には様々な場が登

反射不安定の非線形ダイナミクスとそ

場する．BH 一意性定理の骨格ができて以降，これら電磁れに伴う重力波放出など，宇宙現象に場以外の場が存在する場合の解についても研究がなされてよる究極理論探査を中心テーマとして研究を行っている．

9）
きたが，まだ十分な分類からはほど遠い状況にある．
こ（2014 年 7 月 25 日原稿受付）

れまでの結果の大きな特徴は，Einstein-Maxwell 系で成立した多くの定理が成り立たなくなることである．例えば，場として電磁場の代わりに非可換ゲージ場を考えると，球Mathematical Aspects of General Relativity

対称静的な解に限っても一意性は破れ，Schwarzschild 解以

Hideo Kodama

外に構造の異なる正則 BH 解とホライズンをもたないソリ

abstract: In this article, we overview distinguished mathematical out-

トン解が現れる．これらは不安定であることが知られているが，非線形 σ 模型に高次相互作用を加えたスキルミオン理論や非可換ゲージ場に 3 重項 Higgs 場を加えたモデルで*16

最近，Masood-ul-Alam が非縮退の場合に正則な多体 BH 解がないことを証明したとする論文を発表している［arXiv: 1407.5381］．

102©2015 日本物理学会

comes of general relativity focusing on subjects related to singularityand four-dimensional black holes.
本記事では，本会 HP の会員専用ページにおいてサプルメンタルマテリア
ルを掲載しています．

日本物理学会誌

Vol. 70, No. 2, 2015