広島工業大学紀要教育編
第 ₁₂ 巻（₂₀₁₃）13 – 20

論

文

解析に関する数学授業の展開についての考察――同一学科での授業の比較を通して――

大川哲介*・景山三平**（平成₂₄年₁₀月₃₁日受付）

A Comparative View in Mathematics Education on Calculus
Tetsusuke OHKAWA and Sanpei KAGEYAMA（Received Oct. 31, 2012）

Abstract
Effectiveness of teaching methods in two classes on Calculus I as a compulsory mathematics subjectof a Department in the HIT has been investigated. The two classes are formed by students as groups
who have almost equal academic achievement scores’ distribution in the freshpeople math placement
test examined in April. Even in such classes there are about 40 percent students who do not understandhigh school mathematics properly. The present evaluation is made mainly through two regular examination sheets which are totally common for the two classes. It is realized that the teaching manner willaffect students’ performance positively and hence, before starting classes, serious concrete discussion
on teaching manner along mathematical contents should be done. Furthermore, the small group classorganization（i.e., consisting of less than 30 students）will be needed beyond several teaching manner.
Key Words: calculus, mathematics education, compulsor y subject, teaching manner, small group
instruction
なっている。工業大学としてはゆゆしき問題である。そこ

はじめにで，すべての ₁ 年生前期で必修である解析科目については

本稿では，本学のある学科 ₁ 年生の必修科目「解析基礎₄ 月の最初の授業時間に履修歴・習熟度に関するプレイス

I」「解析基礎 I 演習」における ₂ つのクラスによる授業展

メントテスト調査を実施しその結果を基に，習熟度クラス

開の分析とそこからみえる課題を述べる。担当教員は大川

編成または概ね同じテスト得点分布となるクラス編成のどと景山で，中間試験と期末試験を完全な同一問題で実施しちらかの形態で授業を実施している。本稿では後者の形態

その成績を基に，各教員の評価方法で最終単位認定を行っでのクラス編成で実施した授業展開の比較などを行う。

た。よって，本稿では両教員の実際の授業展開の仕方につその形態を選択した主な理由は三つある。一つ目は，必いての比較検討を通して学生の学習到達度に関する結果を

修授業科目での本学のクラス編成に関する基準では，数学論じる。

は ₁ クラス₆₅名であり，この基準でいわゆる理解度の低い

₁

背学生だけのクラスで授業を展開してもなかなか学びに対す

景る意欲が上がらなかったという筆者たちの過去の経験があ本学においては推薦入学者や文系型生徒の入学の増加にる。二つ目は，景山・小山（₂₀₁₁）の主張の一つに，“数学相まって，高等学校数学の理解度がかなり浅い学生が多くが理解できる学生と理解度の低い学生の混在の中で，でき* 広島工業大学工学部都市デザイン工学科** 広島工業大学環境学部環境デザイン学科
─ 13 ─

大川哲介・景山三平

る学生を見て刺激を受けたり，また，できる学生が理解度た。

の低い学生に教えたりして，全体的に良い方向へ動いた”

編成されたクラスの ₁ 年生の得点分布をみると，平均点という経験である。最後の三つ目は，同じテキストを使用

ではクラス ₁ が₅₉.₃，クラス ₂ が₅₈.₂と差は ₁ 点で，分布し学生の到達度をほぼ同じとする方針で，それは後期以降の形状も両クラスともゆるやかな ₃ 極化分布をなし，₆₀点の学期で開設されている解析関係科目への接続を考え学び以上の者が全体の₅₆.₄％（クラス ₁ ），₅₅.₃％（クラス ₂ ）に関して既習内容を同じとすることからである。

を占め，ほぼ同一のパフォーマンス力をもつ学生集団と判

過去の授業実践の調査から，我々は習熟度クラス編成で断できる。

の基礎クラスは，さらに少人数にして，高等学校で「数学I」「数学 A」までの履修経験者で構成すべきと考え，₂₀名

₂.₃ 教科書程度でそのクラスを編成し授業を実施することを提案して使用テキストは，両クラスとも同じテキストで『微分積いる（景山・小山，₂₀₁₁）。到達度内容については課題を残分学』（広島工業大学数学グループ編，₂₀₁₀）である。必修

すが，このクラス編成により，特に基礎クラスの学生には科目であるため修得内容及び科目を通しての到達度目標に数学を勉強する上での学びの習慣の確立と満足感を与え数配慮し，使用テキスト内容に沿って丁寧に進め，基本的に学に対する嫌悪感を払拭し，そのことが結局は快適な学生

は微分の終わり（第 ₅ 章）まで進むこととした。これは，生活の確保につながると考えたが，これは本学のルールか

当学科の ₂ 年次の選択科目「解析基礎 II」（積分を中心としら実現不可能である。このことも後者の形態でのクラス編

た内容のもの）の受講が同じ内容で始められるようにする成を採用した背景である。

配慮からである。無論，両クラスの学生の学習到達度を一

₂

実施形態

₂.₁

学生の入学実態致させる必要もある。
ここで授業の進め方の違いの一つにふれる。景山は ₂ つの発展事項の節は省略し，さらに第 ₅ 章第₅.₁，₅.₂節（テ

今回考察対象の学科の平成₂₄年度入学者は₇₇名でそれにイラーの定理など）を簡潔に図的な説明でアイデアと意味

₂ 名の学生を加えた₇₉名が実質的な ₁ 年生であったが，早理解を中心に展開した。一方，大川はこれらの部分についい時期に ₁ 名が退学したため，以下₇₈名を ₁ 年生の母集団て，もう少し詳しく展開した。そこで，公平を期すため，とみて議論する。これらの学生が本学へ入学するために選これらの部分は両クラスとも期末試験の範囲から除外した

択した受験方法は（第₅.₅節参照）。

一般（₃₄名），指定校制推薦（₁₅名），公募制推薦（₁₂₃名），AO（ ₉ 名），大学入試センター利用（ ₇ 名），学園内推薦（ ₁ 名）目標とする学生評価分布
第 ₁ 節で述べたように，本学には入試の多様化により実であった。一般入試と大学入試センター利用入試で入学しに様々な生徒が入学してきている。これら学生のいわゆるている者が過半数を占めている学年である。これに数学の学力実態を考えると，特に学力下位層に対しては教員個人試験もある公募制推薦入試での入学者も含めると実にそのの努力では対応できない段階にまできている。その根本に数は₅₃名（₆₈％）にのぼる。これより予想されることは残は学びの習慣の無さがうかがえる。必修科目での勉学指導

りの₃₂％の学生との様々な学習状況の差の存在である。こにはなおさらである。本学では，入学者の約₅₅.₈％（平成のことの影響については第₅.₇節で述べる。

₂₄年度）を占める AO・学園内推薦・指定校制推薦入試合
格者への対応を大学あげて特に再検討する必要がある。そ

₂.₂

クラス分割

の者は入学試験において数学に関する内容の試験を全く受授業の実施のため，前節で述べた₇₈名の ₁ 年生を ₂ つのけていない集団である。
このような状況下で専門基礎科目と位置づけられている

クラスに分割するためのプレイスメントテストを ₄ 月₁₁日

数学科目の授業には様々な工夫が必要であるが，授業を担に実施した（ ₁ 名が当日欠席）。
プレイスメントテストを₁₀₀点満点で評価し，試験を受け当する学科の成績（試験結果，評価）分布は，本学での経た ₁ 年生₇₇名のテスト得点順のリストにおいて，偶数順位

験から上記のような学生の存在を考えると，入学時の実態の学生を大川クラス（クラス ₁ ），奇数順位の学生を景山クが何であれそこから学生の学力を揺さぶり途中段階の ₃ 極ラス（クラス ₂ ）に編成した。大川は，授業担当責任者と化分布（数学の理解度が低いグループ，普通のグループ，いうことで話し合いの上，この試験を受けなかった ₁ 名の高いグループ）を見極めて，最終段階での ₂ 極化分布への₁ 年生とすべての再履修者 ₆ 名を受け持つこととなり，結移行まで学習指導ができれば十分であると判断している。

局，クラス ₁ は₄₆名，クラス ₂ は₃₈名での授業開始となっ

無論，右に偏った単峰型分布となれば最善であるが，これ─ 14 ─

解析に関する数学授業の展開についての考察は本学の学生の状況を考えると半年間程度の学びでは残念

まず，典型的な問題解決学習である演習科目「解析基礎 I

ながらなかなか達成できない。学びの習慣に関して根深い演習」について活動状況を記述するが，十分に満足のいく

問題点がある。このように到達度評価分布の最終目標は，演習の時間であったと最終総合評価をしている。

低い評価の学生の集団が小さい ₂ 極化分布である。この基

₅.₂.₁

まず，使用テキストの中の問題は使わず，演習用の問題

準の下で本稿での考察を展開する。

₄

演習の進め方と成績評価：クラス ₁

冊子を別途配付した。この冊子には解答は記述されている

実施方針

が，途中過程は明示されていない。またグラフを描く問題

第₂.₃節で述べた授業の進度の他に，両クラスの授業担当

については解法も答えも全く記載されていない。約 ₄ 分の者で事前に下記事項を確認しその共通理解の下で授業を実

₃ の難しくない問題は出席番号順に指定していった。その施した。

解法を黒板に書いてもらった。必ずしも次週の発表という₁ ）毎回，出席確認する。この際，授業開始時の出席状ことではなく解答期限は設けなかった。また約 ₄ 分の ₁ の況，開始₃₀分程度後までは「遅刻」扱い，それ以降はやや難しい問題は誰が解いても良いとした。単に解くだけ「欠席」扱いとする。

ではなく，皆にも分かるように説明してもらい，就職の面

₂ ）休講及び授業の延長をしないよう努力する。

接の訓練も兼ねるようにした。その結果，ごく一部の例外

₃ ）毎回少なくとも例題の解説を行い，学生が思考できるを除いて，皆自分の言葉で話し，聞く側の様子も見ながら時間を保証する。

説明を進めていった。聞く側からも間違った点，分からな

₄ ）中間試験及び期末試験問題は同一とする。両担当者でい点の質問以外に，字が小さい，声が小さいなど色々な意協議して問題を作成する。評価に偏りが生じないよう見が出てこの演習の時間は非常に活発であった。出席学生に，試験問題を分担して同じ問題を通して採点する。

に今の発表の仕方と内容はどうだったと聞くと，very good₅ ）最終評価は，クラス ₁ では試験結果（₁₀₀％）で実施，など色々英語で評価してくれた。数学ばかりでなく，英語クラス ₂ では，試験結果（₇₀％）及び授業貢献度（レの数学用語やギリシャ文字も教えた。総じてこの時間は非ポート課題，出席，質問対応等）（₃₀％）で総合的に実施

常に活発で，演習のやり方の評判も良かった。しかし，黒する。これは担当者それぞれの教育観に基づく個性を認

板で説明する期限を設けなかったせいか，講義の方の成績めた結果である。よって，最終評価方法が幾分異なるこが悪い学生は黒板に出て解く回数も少なかった。結果，放とを確認した。

棄した ₃ 名（ ₁ 年生 ₂ 名，再履修生 ₁ 名）の学生を除い₆ ）学期中に必要に応じ履修状況について担当者による情名），A（₁₄名），B（₁₈名），C（ ₀ 名），D（ ₃ 名）という報交換の機会をもつ。
₇ ）大学が学期末に実施する授業アンケート調査へ参加す担当者にとって十分満足のいくものであった。黒板に出て問題を解答した回数に差があったため＠評価者数はすこしる（第 ₆ 節を参照）。
₈ ）講義科目「解析基礎 I」と演習科目「解析基礎 I 演習」

少なかった。
₅.₂.₂

はそれぞれ独立に単位認定を行う。

₅て，評価は全員 B 以上となった。最終評価分布は，＠（ ₆

演習の進め方と成績評価：クラス ₂

クラス ₁ とは異なりテキストに記載されている問題だけ実践報告を扱った。毎回の出席を求めると共に数学の問題の解決作

それぞれのクラスの活動を中心とした授業実践結果を記

業を黒板で実施してもらった。自分で考えて解く者，友人や先輩に聞く者，教育学習支援センターで教えてもらう

述する。

者，など色々であった。誰に教えてもらっても構わないが
₅.₁

授業回数

よく理解した上で板書するように学習指導を行った。演習

両クラスとも「解析基礎 I」「解析基礎 I 演習」を各₁₅回

科目の様々な実施の仕方が考えられるが，本クラスでは，数学の問題を，講義の内容進度に沿って，出席番号順に各実施した。

学生に事前に指定した（演習の時間に欠席していた学生に
₅.₂

授業の進め方は問題を指定しない）。学期を通して最高で ₉ 題，平均 ₈ 題

両クラスとも講義と演習を受講する ₁ 年生の集団は全くが指定されるようにした。指定された問題は，次回以降の同一であるので， ₂ つの科目を一体として進め，各₉₀分間

演習の授業時間が始まる前に，その解答を黒板に書き，声の中で講義と演習の両方を行うことも認め参加型学習で対を出して皆の前で説明し，その後質問を受け，最後に授業

話型授業を展開した。このやり方に対する再履修学生の理

担当者が理解を確かめるためにさらに質問や補足を行うや解は得た。

り方で進行した。エレガントな解法を発表した場合や適度─ 15 ─

大川哲介・景山三平

な声で要領よく説明できた時は意図的に褒めた。このようり方については特にチェックはしなかったが，多くの学生な手順で進めたので各学生に高々 ₉ 題の問題を指定するこは誰が読んでも分かるようなノートを取っていた。ルーズとが₁₅回の授業回数では精一杯の活動となった。

リーフを使用している者はごく僅かであった。皆，話を良出席学生から発表者に対する質問は誤りがない限りほとく聞いており，試験範囲を ₂ 度以上言う必要がなかった初んど出なかった。別解法の指摘も一度もなかった。さらにめてのクラスとなったが，中間試験の結果（第₅.₃節）は残

答えが合えば途中はどうでも良いという風潮も見られた。

念であった。

これは学びの意欲の問題かもしれない。常々数学は途中の₅.₂.₅

講義の進め方：クラス ₂

思考が大切であると主張していたのでなおさらであった。

テキストの内容に沿って授業を大きな声で展開した。定また，毎回出席し他の学生が板書した解を書き写すこと理の説明では，原則詳しい証明は行わずそのスケッチを述も評価に加えると約束したためか全出席者が非常に多かっ

べ，また図解できるものは分かりやすく図解しイメージのた。結局，受講学生全員の単位評価が C 以上となり，授業定着を図った。例題解説や問題解決を途中で度々行い学生担当者にとって初めての出来事になった。学期途中からす

自身の理解度の確認及び授業の進行に実際かかわっている

べて欠席した ₁ 名の学生も約束した評価基準に従って C 判という意識を持たせ，意図的に質問を求めるなど学生との定となっている。最終評価分布は，＠（₁₀名），A（₂₄名），

積極的なキャッチボールを心がけ学生の顔の表情の変化にB（ ₁ 名），C（ ₃ 名）という担当者にとって十分満足のい注意を払った。これらにより学生の理解度を早めに確認でくものであった。実に A 以上が₈₉.₅％を占めている。

き机間指導（個別対応）ができた。つまり形成的評価がう

₅.₂.₃

演習科目実施に関する両クラスの比較と課題まく実施できた。これは，授業と演習がセットになってい第₅.₂.₁，₅.₂.₂節の記述から分かるように演習用の問題るスタイルでは有効な方法であろう。社会において数学がは両クラスで異なっていた。クラス ₁ の授業担当者は，従活用されている話題も時々話したがノリはいま一つであっ来より利用している（今回さらに改訂された）問題冊子をた。学生に興味・関心を持続して持たせることは並大抵で使用した。一方，クラス ₂ の授業担当者は，使用テキストはない。また，学期途中で ₃ つのレポート課題を与え次回に記載されている問題（数）で演習の時間に十分対応できの授業開始時間前に教卓上に提出させ，問題解決を行うとると考えそれらを利用した。

同時に数学的文章の書き方の再確認を行い，添削したレ

総じて，両クラスとも「解析基礎 I 演習」の時間は満足

ポートを返却するとともに高校までの書き方との違いを認のいくものであった。しかしながら，この演習活動が意外識させた。また途中でランダムにノートチェックを行い，と講義科目の理解の補完に充分には役立っていなかったこ

授業中のノートのとり方・作成の仕方のチェックとその指とが講義科目の方の期末試験の結果から判明し，演習科目導を行った。中間試験の解答用紙を採点後にコメント付きの位置づけ・演習のやり方・評価の仕方を再考しなければで返却し学生自身の理解度を試験問題の解答作業を通してならないと感じている。学習の動機づけや継続性の問題も確認させ，さらなる努力の必要性を認識してもらった。

か。今のところ妙案は浮かばないが，考えられることは高参加型で会話型授業を心がけたが学生には疎ましかったか

校までの数学学習の習慣から抜け出せない学生の存在をもしれない。高校でのそのようなスタイルの数学の授業体

もっと意識する必要があるということかもしれない。

験がないからであろう。これらの努力や工夫が空回りして₅.₂.₄いたと思わざるをえない期末試験の結果（第₅.₅節）には残講義の進め方：クラス ₁

テキストに書いてある事を発展事項も含めて全て解説し念であった。これらは今後の検討課題である。

（第₂.₃節参照），各項目で例題を ₂ 題程度解説し，さらに別の ₁ 題は全員にやってもらった。その時も質問が活発に出

₅.₃

中間試験での問題解答結果と課題た。個別指導も相当出来たと考えている。興味深いことが中間試験を ₅ 月₂₄日に試験範囲を第 ₁ 章の内容だけにある。それは問題を解いている時に学生同志で相談した学絞って基本的な問題で実施した。それらは，循環小数に関生が結果的に最終成績は良かった。ただし最終的に D 評価する問題が ₁ 問，集合に関する問題が ₂ 問，関数のグラフの学生に対してはそのような時間をもつことが適切だった

で，平行移動，x 軸対称，単調性及び ₁ 対 ₁ を調べ，概形

か反省の余地は残る。これは個別指導の難しさも示していを描く問題が ₃ 問，逆関数を求める問題が ₁ 問，合成関数

る。また，この方法では講義にかける時間が短くなり，特を求める問題が ₁ 問で，合計 ₈ 問（₁₀₀点満点）で実施しに後半は証明を殆ど飛ばしていった。合成関数の微分，た。総じて，関数のグラフ作成に関する問題は出来が悪積・商の微分などに関する結果の証明をして欲しいというかったが，これは予想の範囲内であった。しかし，合成関

意見も一部にあったが，多くの学生が数学 III を履修してお数を求める問題の出来の悪さは予想外であった。両クラス

りあまり問題はなかったように見受けられた。ノートの取とも合成関数の求め方については幾十にも丁寧な説明を─ 16 ─

解析に関する数学授業の展開についての考察行った積りであったので残念な結果であった。まだ我々のために，₂₅点満点のミニテスト（₃₀分間）を ₇ 月₁₉日に実努力不足なのであろうか。少なくとも学生の授業中の様子施した。これは，等号の意味を確認する問題，極限の概念の確認が十分ではなかったと反省せざるをえない。

の意味理解の問題，極限値の求値の際の関数の変形に関す試験結果について述べる。まず得点分布の形状はクラスる問題，絶対値を用いて表現されている関数の極限値の求

₁ （₄₁名受験）が ₃ 極化分布，クラス ₂ （₃₈名受験）が ₂

値の ₄ 題である。₃₆名が受験し，平均点が₁₁.₈₆で全体の極化分布（得点の高い学生の集団が大きく理想的な形状）

₄₇.₄％であった。中間試験での₆₅.₁％からの下落ぶりにはとなっている。平均点は₅₃.₆（クラス ₁ ），₆₅.₁（クラス

驚いた。授業の進度が速かったのだろうか。計算が出来て₂ ）でその差が₁₁.₅点もある。また分布範囲の指標の（最も一番大切な概念の理解ができていない学生が多いことを低点，最高点）がクラス ₁ では（₀,₈₇）で，クラス ₂ では示している。この種の概念理解は数学では一番大切な事項（₁₀,₉₂）となっている。 ₀ 点の者には何らかの対応の必要である。得点分布は中間試験の場合と同じで ₂ 極分布で性を感じるが欠席がちの学生である。

あったが，得点が低い方の学生の集団が大きくなった。さ試験範囲である第 ₁ 章の内容はほとんどが高校までの既らなる注意深い教え方が求められた。第₅.₂.₂節でふれたが習事項なので，上記の得点差から考えて，クラス ₂ の方が₁ 名の学生が ₆ 月から完全欠席となりクラス ₂ での受講生

懇切丁寧に高校数学をイメージし基本的内容の重要性を説は以後₃₇名となった。なお，当日ミニテストを欠席した ₁

明し再理解させたと評価できる。

名の学生の最終的な評価は C であった。反省として，この第₂.₂節で述べたプレイスメントテストの結果と比較すると，クラス ₁ では学生が十分学んでいないことが伺える

ミニテストをクラス ₁ でも実施し授業途中での活動経過を比較すべきであった。

が，クラス ₂ では得点分布の形状も ₃ 極化分布から理想的な ₂ 極化分布へと推移し順調に授業活動が進んでいること

₅.₅

期末試験での問題解答結果を示している。これらの結果を意識しつつ，テキストの第

₈ 月 ₇ 日実施の期末試験は₇₀分間で₁₄₇点満点の問題で実₂ 章以降の内容について授業を実施した。中間試験の結果施した（試験範囲については第₂.₃節を参照）。問題は ₈ 題からクラス ₁ では授業展開の更なる工夫が必要であると判で，それらは対数・三角関数の値，対数及び三角関数に関断し，クラス ₂ では従来通りで進めても良いと考え実践しする不等式，三角関数のグラフ，極限値，導関数， ₃ 次関た。我々の授業スタンスは以下の二つである。

数のグラフの概形に関するもので基礎・基本事項の定着を₁ ）数学が日常生活に極めて密接に関係し，身近なもの

確認する意図をもっていた。特に不等式の問題や合成関数

であることを感じてもらい，彼らを“数式”と“暗記”かの微分の問題の出来はあまり良くなかった。やはり中間試

ら解放すれば，少なくとも数学が嫌いでは無くなると信じ験でも同様な状況が見られたが，合成関数の考え方は理解ている。

しにくいと思われる。さらなる授業工夫が必要かもしれな

₂ ）公式を暗記しているから計算はできる，しかし，ない。

ぜそうなるかの理由が分からないから数学が面白くない，

₂ つのクラスの比較を試みる。受験者はクラス ₁ では₄₀というプロセスを払拭するための対話型授業展開を実施す

名（ ₆ 名欠席），クラス ₂ では₃₇名（ ₁ 名欠席）であった。

る。しかし，高等学校時代に数学の授業での教師との対話

これらの受験学生が最終評価対象者となる。まず，得点とには全く馴染みがないことが色々な授業展開の障害になっ人数の度数分布表を表 ₁ に示す。₁₅点間隔の₁₀階級でまとている。

めた。平均や範囲の値が両クラスほぼ同じであることに驚くと共に安堵感を覚えた。しかし，データの範囲そのもの

₅.₄

クラス ₂ でのミニテストの実施にはすこし差がある。総じて両クラスの学生はまずまずのクラス ₂ では前節で述べたように中間試験の良い結果をパフォーマンスを示している。

うけて，予定通り授業を進めていたが，途中で基本的な事

クラス ₁ では，₁₄点以下が ₅ 名と₁₃₅点以上がいないのが項に関することでの反応の悪さに気づき，それを確かめる

気になるが，ほぼ理想的な ₂ 極化分布を形成している。素表₁
クラス vs 点

平均点

₀点
～₁₄点

クラス ₁
（₄₀名）

₇₃.₆

クラス ₂
（₃₇名）

₇₂.₈

₁₅点
～₂₉点

得点基礎データ（₁₄₇点満点）

₃₀点
～₄₄点

₄₅点
～₅₉点

₆₀点
～₇₄点

₁₀₅点
～₁₁₉点

₁₂₀点
～₁₃₄点

₁₃₅点
～₁₄₇点

₅
₁
（₁₃％） （₃％）

₂
₄
₇
₇
₈
₄
（₅％） （₁₀％） （₁₈％） （₁₈％） （₂₀％） （₁₀％）

₂
（₅％）

₀
（₀％）

₂
₅
（₅％） （₁₄％）₃₅₅₅（₈％） （₁₄％） （₁₄％） （₁₄％）₂₅（₅％） （₁₄％）₂（₅％）─ 17 ─

₇₅点
～₈₉点

₉₀点
～₁₀₄点

₃
（₈％）

大川哲介・景山三平

点では，最低点 ₀ 点，最高点₁₃₃点，平均点が₇₃.₆で₅₀.₁％

当性を示していると判断できるが，（₁）クラス ₁ では階級であった。また範囲は₁₃₃点になっている。 ₀ 点の存在には①の度数の大きさが教育的には気になる，（₂）クラス ₁ よ

驚いたが，この学生は中間試験でも ₀ 点で出席回数が ₄ 回りクラス ₂ の方が右（成績がよい）に偏りより理想的であ（第₅.₈節参照）であり，授業担当者が途中で対応できる状

る，がみられる。ここで，成績が良くないグループ（①か況ではなかった。一般に試験の前に少しは勉強をすること

ら⑤）の割合が，クラス ₁ では₄₆％，クラス ₂ では₄₀％での習慣をつけてほしい。平均値の推移をみると₅₃.₆％（中あることが，両グループでの最終評価方法が異なる（第 ₄間試験），₅₀.₁％（期末試験）と改善はないが大きな落ち込

節の ₅ ））ことを考え合わせても，次節の最終評価結果に影みはみられない。しかし，両試験の得点分布の違い（第₅.₃

響を与えていると判断される。次節での議論における評価

節）は際立った。

分布の状況から考えて，クラス ₂ でのような総合的な最終

クラス ₂ では， ₃ つの ₃ ， ₇ ， ₈ の階級の度数が少ない

評価方法が教育的にはより適切であると考えられる。

ために全体としては ₃ 極化分布と判断される。一様分布崩₅.₇

れの印象をうける。第 ₃ 節で述べた目標分布になっていな

最終成績評価い。素点では，最低点 ₆ 点，最高点₁₃₈点，平均点が₇₂.₈₁

講義科目「解析基礎 I」の単位認定結果について，表 ₃

で₄₉.₅％であり，クラス ₂ では₅₅％ぐらいの平均値を目指にその学生数を示す。これは第 ₄ 節の評価方法 ₅ ）の方針していたので授業担当者の努力不足であったと認識せざるに従ってそれぞれの授業担当者が独立に実施した結果であをえない。また範囲はクラス ₁ とほぼ同じで₁₃₂点になってる。

いる。第₂.₂節でのプレイスメントテスト結果状況から結果

クラス ₁ での得点分布の動向は，中間試験の結果では ₃

的には改善されていないと判断される。平均値の推移をみ極化分布（第₅.₃節），期末試験の結果では ₂ 極化分布（第ると₆₅.₁％（中間試験），₄₇.₄％（ミニテスト），₄₉.₅％

₅.₅節）と変遷し，最終評価分布が逆 J 型・単峰型混合分布（期末試験）とミニテストのときよりは回復したがその程度を示している。成績の悪い者の数が非常に多い。よって，は不十分である。

クラス ₁ は全体としては第 ₃ 節で述べた理由で，妥当な教育活動がなされたとは判断しにくい。これは ₆ 名の授業放

₅.₆

中間・期末試験での解答状況

棄者を除いても D 評価は₁₂名で₃₀％と減じるが同じ傾向を両クラスで全く同一の中間試験と期末試験を実施した結示している。第₂.₂節で述べたプレイスメントテスト結果か果を通して学生のパフォーマンスを比較する。これはクラら判断して学生に適切な教育指導を実施したとは言いがた

ス ₁ ではこの両試験結果が最終評価材料のすべてであるい。最近届いた学期末実施の学生授業アンケート調査結果（第 ₄ 節の ₅ ）参照）ことに起因する。

の中に授業担当者の教え方を改善するための多くのヒント

中間試験（₁₀₀点満点），期末試験（₁₄₇点満点）のそれぞが発見できる（第 ₆ 節）。

れの試験結果の考察は第₅.₃，₅.₅節で行った。本節はそのクラス ₂ での得点分布の動向は，中間試験の結果では ₂

得点分布の合併を₁₀階級に分けてまず表 ₂ に示す（最低階極化分布（第₅.₃節），ミニテストの結果では ₂ 極化分布

級①から最高階級⑩まで）。

（第₅.₄節），期末試験の結果では ₃ 極化分布（第₅.₅節）と両クラスとも緩やかな単峰型分布で理想的で好ましい評

変遷し，最終評価分布が結局 ₂ 極化分布を示している。

価分布の型をなし，このことは試験問題のある意味での妥

よって，クラス ₂ では第 ₃ 節で述べた理由で，妥当な教育

階

級

①

②

表₂

₂ 回試験結果の度数分布表

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

⑩

クラス ₁
₆
₅
₅
₇
₁₄
₁₂
₁₂
₉
₉
₀
（計₈₁名） （₇％） （₆％） （₆％） （₉％）（₁₇％）（₁₅％）（₁₅％）（₁₁％）（₁₁％） （₀％）
クラス ₂
₂
₆
₅
₉
₈
₆
₉
₁₁
₁₂
₇
（計₇₅名） （₃％） （₇％） （₇％）（₁₂％）（₁₁％） （₇％）（₁₂％）（₁₅％）（₁₆％） （₉％）

表₃
評

価

D

クラス ₁ （₄₆名） ₁₈（₃₉％）
クラス ₂ （₃₈名）

C
₇（₁₅％）

₇（₁₈％） ₁₂（₃₂％）

最終評価データ
B

A

@

特

徴

₄（₉％） ₁₀（₂₂％）₇（₁₅％） 逆 J・単峰混合分布

₆（₁₆％）

₄（₁₁％） ほぼ ₂ 極化分布

₉（₂₄％）

全クラス（₈₄名） ₂₅（₃₀％） ₁₉（₂₃％） ₁₀（₁₂％） ₁₉（₂₃％） ₁₁（₁₃％） 逆 J・単峰混合分布

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解析に関する数学授業の展開についての考察

活動がなされたと判断できるが，欲を言えば，評価の低い

担当者の工夫不足もあったかもしれないが，学生自ら努力

学生の集団（ ₁ 極）が小さければ理想的であった。実際はしなかったことも同時に示していると判断している。

その逆になっている（表 ₂ ）。これらは学生の潜在的な学ぼ

総じて，不合格者は学びの習慣のなさ及び勉学努力を継うとする力の助長不足を示しているのかもしれない。最近

続する意思の弱さをもっていると思える。すこしでも理解届いた学期末実施の学生授業アンケートの集計結果の中にしにくいと思うとすぐに思考停止する。学生の興味・関心参考となるものをみいだせる（第 ₆ 節）。

を持続的に喚起することは並大抵ではない。

学年全体では，クラス ₁ の評価分布が影響し，逆 J 型・単峰型混合分布を形成し合理的な型とは言いがたく，学生

₅.₈

単位 D 評価₂₅名の特徴の成績の底上げが十分ではなかったことになり残念な結果

授業を放棄した者がその理由は不明であるが ₇ 名，実際となった。しかしながら， ₇ 名の授業放棄者（クラス ₁ のに受講し単位が D 評価であった者が， ₂ 年生以上の学年で₆ 名，クラス ₂ の ₁ 名）を除くと実質の D 評価者は₁₈名で₂ 名， ₁ 年生が₁₆名である。後者の₁₈名については，基本

全体₇₇名中₂₃.₄％を占めているが，この割合は本学での経的には中間試験及び期末試験の結果が良くなかったことが験上高い数字とは言えない。結果として， ₂ つのクラス間単位不認定の大きな原因である。この他の特徴的なことをの成績評価分布が明確に異なっていて，授業担当者がそれ述べる。

ぞれの個性を発揮しながら授業を展開したことを意味して

₁ ）出席回数： ₂ 名を除くとそれぞれ₁₃，₁₄，₁₅回のいずいる。数学内容に沿って授業方法までもっと具体的に ₂ 人

れかで ₈ 割以上の出席率である。単位認定者と大きな差異

で事前に議論して進めるべきであったと考えざるをえなはない。ただ，除いた ₂ 名はクラス ₁ に所属し ₄ ，₆ 回しかい。教員の個性を尊重しすぎたという反省はあるが，第 ₄出席していない学生であったがこれは特異なことで単位認節の実施方針以上に事前にさらに方針を追加してその下で定には程遠い状況であった。

授業を実施することは，各教員の担当授業科目数の多さか

₂ ）レポート課題提出（クラス ₂ のみ）： ₁ 名を除いた ₅ら考えると不可能に近い。各教員が自分自身でそれぞれの名はすべての課題に対してレポートを提出していない。無授業スタイルを謙虚に反省しそのスキルの向上に努力する論，単位認定者の中にも未提出の者もいるが総じてこれはほかはないと考えたい。

大きな差異である。

実質の D 評価者₁₈名のうち ₁ 年生の₁₆名（ ₁ 年生の₂₀.₅％を占める）に絞って入学試験形態をみると以上から，単位を取得させるためには，常識的ではあるが，学生の平常の勉学姿勢の改善が特に重要であると言え学園内推薦（ ₀ 名），指定校制推薦（ ₉ 名），AO（ ₂る。

名），公募制推薦（ ₃ 名），一般（ ₂ 名），入試センター

₆（ ₀ 名）

アンケート調査結果となっている。この人数分布は何を意味しているのだろう

平成₂₄年度前期「学生による授業アンケート」調査結果

か。D 認定者₁₆名の₆₈.₈％は AO・指定校制推薦入試合格

が ₉ 月₁₉日に大学事務局より届いた。出席率は総じて良好

者（当学科入学者全体での彼らの割合は₃₀.₈％）でその数であった。話を聴くより板書の内容をノートに書き写すの値は大きすぎる。入り口論の中で入学試験制度にも問題点に一所懸命な学生が多く，それも年々その書き写すスピーがあると考えられる。これらは授業担当者個人の努力の限ドが遅くなっているような気がする。従って，授業担当者

界を超えている。さらに一般入試での ₂ 名の存在が気になの話を聞き洩らすことが多くなる。とにかく自学自習の時る。また， ₁ 年生の授業放棄者 ₃ 名は，一般，AO，入試セ間が少ない学生の授業評価であるが，参考になることが少ンターの各受験方法での入学者で，なぜ授業を放棄したの

数意見の中に発見できる。

かその理由を知りたいものである。これらは入学後の目標

クラス ₁ （₃₅名のアンケート回答， ₅ 名欠席）
：授業中のが変わり勉学意欲が急に無くなったと予測している。ミス

態度が極めて活発であったので好意的な意見が多く出るかマッチが起きたのかも知れない。

と考えていたが，その逆で極めて不評だった。しかし，講ちなみに，D 認定者₁₆名（ ₁ 名不受験）のうち₁₅名の ₄義も演習もマイクを付けて，かつ NHK のアナウンサーに

月のプレイスメントテストの得点（₁₀₀点満点）は，クラスなったように語尾にも気をつけ，さらには重要な所は大き

₁ の ₉ 名ではその得点は₁₄，₂₁，₂₁，₂₄，₄₂，₅₁，₆₈，

な声で，皆の顔を見ながらゆっくり話すなど抑揚をつけた

₆₈，₇₀点，クラス ₂ が ₆ 名で₁₀，₁₁，₁₆，₂₆，₄₀，₅₄点でが，まだまだ授業への工夫が不十分であった。教科書に書あった。クラス ₂ ではプレイスメントテストが₅₅点以上のいてあることをそのまま黒板に書く時はその部分は教科書

者はすべて講義科目で最終的に合格評価であったが，クラ何頁というメモだけ取れば良いと考えるが，それも全部ス ₁ では ₃ 名の₆₈点と₇₀点の学生の存在が気になる。授業

ノートに書き写すので時間がかかるのは当然である。

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大川哲介・景山三平

クラス ₂ （クラス全員₃₇名が回答）：全員が教員の熱意を

個々の知識がいくら増えても脳は活性化されない。むし感じたのは幸いであった。しかし，気にしていた「授業のろ，単なる知識の蓄積ではなく，個々の知識に連関を求めスピード」については，早すぎると一部不満がでた。授業

個々の知識の融合に努めることが大切であり，結局，“記憶

進度の都合もあるがまだまだ注意深い配慮が必要である。

すること”ではなく“考えること”が大切である，という自分たちの基礎学力不足を自覚した上での評価であるのことをどのように学生に納得させるかが課題である。

で，授業担当者も十分にこの点には留意すべきかもしれない。

₇₂ ）第 ₁ ，₃ ，₅ 節でも述べたが，入試の多様化により実に様々な生徒が入学してきている。これら学生のいわゆる学力実態を考えると，特に学力下位層に対しては教員個人

まとめと課題の努力では対応できない段階にまできている。必修科目で約 ₃ 分の ₂ の学生が理解してくれたと判断しているのでの勉学指導はなおさらである。本学では，平成₂₄年度の入一応この授業は成功であると評価している。しかし，授業

学者の₅₅.₈％を占める AO・学園内推薦・指定校制推薦入担当者の目標は継続して出席する受講学生のほぼ全員が単試合格者に対する新たな対応を大学あげて特に再検討する

位取得できるような授業展開であった。やはり担当クラス必要がある。これらの者に公募制推薦入学者を含めると実の規模は₃₀名以下で，その中で徹底した個別指導を行うこに₇₀.₈％にのぼる。
₃ ）D 評価の細分化が必要である。授業放棄者の D と受と以外，当初の目標を達成できる可能性はないと考える。
さらに，単位を取得させるためには，レポート課題の提講後の試験などに基づいた D 判定は同じ D 評価でも教育的

出，ノートの適切な作成，集中力の継続などの平常の勉学にはその意味は全く異なる。これらを同一している現在の姿勢の改善及び学びの目標設定と達成プロセスの明確化が判定システムは適切とは言えない。前者は以前行われてい重要であると言える。特に，レポート課題の提出などは開た E 評価とし両者を区別すべきである。理解度の低い学生

講クラス共通で実施することが望まれる。

への教育的指導の改善に供するように単位認定評価区分を

今後のさらなる課題として ₄ つ述べる。

全学で再検討することを期待したい。

₁ ）学びの習慣のない学生に対して，自分で継続的に努

₄ ）本稿で実施したような科目履修評価成績と入試形態

力することの重要性をどのように理解・納得させそして実との関係を，全学科間で比較し考察を実施すると本学の新行させるか，専門基礎科目での大きな問題である。これら

しい課題点が発見できるかもしれない。

は，社会の中で数学が役立っている場面を様々な例を用い文て説明するだけでは，不可能である。そのような話の際に献はなるほどと思って聞いてくれるが終わればその興味・関景山三平・小山哲也（₂₀₁₁）．解析に関する数学授業の少人

心は急速に無くなる。これが中学校，高等学校時代の認知数展開についての一考察──環境デザイン学科での試レベルでの授業展開との大きな差である。大学生にもなるみを通して──．広島工業大学紀要と専門基礎科目の学びでの興味・関心の継続は並大抵では巻，₃₁ – ₃₆.

ない。

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教育編

第₁₀