張力材経由の載荷による座屈補剛効果の定式化
およびモデル実験に関する基礎的考察
陳 坤*1
川口健一*２
梗

概既往の研究では、張力材によって補剛された骨組に関する例は多い。それらの研究には補剛効果を考察するとき、張力材の弾性剛性を考慮しなければならない。本論文では、メカニズムのケーブルを用いてコラムを補剛する例を通して、補剛効果には張力材の弾性剛性の影響がないこともあるのを述べた。また、荷重を経由したメカニズムのケーブルの補剛効果に定式化を行って、外力によって生じた仮のバネ係数というものを提案した。さらに、モデル実験とを幾何的非線形解析を行って、理論を実証し、実験中の座屈現象も数値解析で再現できた。
1. はじめに既往研究では、張力材を用いて様々なトラス、ラチスシェル、アーチなど構造システムを補剛する研究が多い。それらの研究は、張力材の弾性剛性および初期張力が構造の座屈に対する影響を着目している 1,4,5,10)。しかし、既往研究の共通点
は、張力の補剛効果を考慮するとき、張力材の本来の弾性剛性を考慮せざるを得ない。
一方、著者らは負圧型空気膜構造のようなシステムでは、柔らかい張力材が荷重を経由するとき、数値解析やモデル実
験で張力材の補剛効果につて検討した 2)。メカニズムの張力材の弾性剛性は補剛効果に影響が少ないことが分かった。本論文では、荷重を経由した張力材の補剛効果について定式化を行って、仮のバネ係数という張力材の載荷によって生じた剛性を提出し、座屈コントロール方程式を導いた。さらに、モデル実験でその定式化を実証した。
まず、図 1 に示す簡易モデルは張力材の弾性剛性と張力材の内力により各々の補剛効果について説明する。

(a)(b)
図 1 ケーブルを用いるコラムの補剛
図 1 の(a)には、Ec Ac はケーブルの弾性剛性、T はコラムの座屈直前のケーブルの内力、lc はケーブルの長さである。Eb Abはコラムの弾性剛性、Eb Ib はコラムの曲げ剛性、lb はコラムの長さである。コラムの端部に集中荷重 F を与えている。仮定にEb Ab ≫Ec Ac とすると、x 方向におけるケーブルの弾性剛*1*2

東京大学大学院工学系研究科 建築学専攻 大学院生
東京大学大学院生産技術研究所 教授・工博性の成分を無視することができる。
図 1 の(b)は図 1 の(a)の簡略図である。図 1 の(b)に示すバネ係数ky は以下の式により計算される。

ky =2d 2 Ec Ac 2h 2 T+ 2lc2 lclc lc(1)

バネ係数ky は２つの部分に分けることができる：ケーブルの弾性剛性Ec Ac によって生じたkE とケーブルの内力T によって生じたkT である。
2d 2 Ec Ac
k E = 2lclc
(2)2 k = 2h T
 T
lc2 lckT の符号は以下のように判断する。
 kT > 0, if T is tension.
 kT < 0, if T is compress.
 k = 0, if T is 0.
 T
式(2)中、kE とkT の比は
2h 2 Tlc2 lckThT== ( )2
k E 2d 2 Ec Ac
d Ec Aclc2 lc(3)(4)となる。通常、Ec Ac >>Tが成立するため、ケーブルの内力 Tによって生じたkT を無視することができる。コラムは主に弾性剛性Ec Ac によって生じたkE で補剛される。
それに対して、本論文中は以下の状況を考えている。ケーブルの弾性剛性Ec Ac によって生じたkE を無視することができ、コラムは主に内力 T によって生じたkT で補剛される。図2 にその状況の１つ例を示す：2 本のケーブルを用いてコラムを補強し、集中荷重Nを直接的にケーブルに与える。
同時に、コラムの端部に集中荷重 F を与えている。コラムは座屈が発生する場合、ケーブルが伸びなしのメカニズムの変形が発生し、ケーブルの本来の弾性剛性はコラムに補剛効果を与えな

いと考えられる。

図 2 メカニズムのケーブルを用いるコラムの補剛例
2. 仮のバネ係数の算出
本節に、
図 2 に示すケーブルの補剛効果について検討する。
コラムは座屈が発生するとき、ケーブルがメカニズム変形が発生するため、変形後のケーブルの釣り合い形状を考慮するべきである。以下は、平面内のケーブルの変形を対象として述べる。

り合いの条件から、−xB ' FC ' x=F+yv − yB'C C'y N y = F ( y + v)
C'x
B'Cが得られる。
式(7)の解は、FC ' x FC ' y =−xB'()
yC + v − y B '


N yB'
 FC ' x =y
C +vとなる。
また、式(6)を式(8)に代入して、

(7)

(8)

N (( y C + v )4 − ( R12 − R22 )2 )F=
 C' y2( y C + v )2 4( y C + v ) 2 R12 − ( R12 − R22 + ( y C + v )2 )2

N R12 − R22F=+ 1)
 C'x 2 (( y C + v )2(9)が得られる。
図 2 に示す 2 本のケーブルの対称性を考慮して、節点 C'における y 方向の合力はFy = FC ' y (v ) − FC ' y ( −v )図 3 平面内のメカニズム変形が生じたケーブル
図 3 に示す局部デカルト座標系xyz̅におけるx, y, z̅軸は図 2に示す全体でデカルト座標系における x, y, z 軸と平行する。
シンボルⅠとⅡはそれぞれケーブルがメカニズム運動の発生前と発生後の状態を示すものである。
まず、平面xyには、節点 C はyの方向に変位 v が発生し、C'の位置に移動した。そのとき、節点 B は節点 B'のところに移動した。仮定に A の初期座標は(0, 0, 0)、C の初期座標は(0,yC , 0)とする。そして、C'の座標は(0, y +v, 0)になる。また、変形後の B'の座標は(xB' , yB' , 0)とする。ここに、B の位置を把握するため、y ∈ (0, y )とxB < 0とする。
ケーブルはメカニズム変形が発生する前と後に、ケーブルの長さが同じであるため、

 x 2B ' + y 2B ' = R12
 222
 x B ' + ( y B' − y C − v ) = R2(5)が成立する。
そして、式(5)を解けて、B'の座標は

R12 − R22 + ( y C + v ) 2)
 y B ' = (2( y C + v )
(6)

 '22
 x B = ( − R1 − y B ' )である。
釣り合い状態Ⅱに、節点 C'の力と節点 A のモーメントの釣N (( y C + v )4 − ( R12 − R22 )2 )=−2( y C + v )2 ( 4 R12 ( y C + v )2 − ( R12 − R22 + ( y C + v )2 )2 )N (( y C − v )4 − ( R12 − R22 )2 )2( y C − v )2 ( 4 R12 ( y C − v )2 − ( R12 − R22 + ( y C − v )2 )2 )(10)と計算される。v の値は無限小の場合に、Fy と v の比はFy
2 yClim=(2 2v→0 v
4 R1 y C − ( R12 − R22 + y C2 )2++2( R12 − R22 )2(11)y C3 4 R12 y C2 − ( R12 − R22 + y C2 )2(( R12 − R22 )2 − y C4 )(2 R12 + 2 R22 − 2 y C2 )y C (4 R12 y C2 − ( R12 − R22 + y C2 )2 )(3/2))Nとなる。ここに、パラメーターkxy を仮定し、
2 yCk xy = (4 R12 y C2 − ( R12 − R22 + y C2 )2++2( R12 − R22 ) 2y C3 4 R12 y C2 − ( R12 − R22 + y C2 )2(( R12 − R22 )2 − y C4 )(2 R12 + 2 R22 − 2 y C2 )y C (4 R12 y C2 − ( R12 − R22 + y C2 ) 2 )(3/2)

)N

(12)

kxy は集中荷重Nを含めているが、ケーブルの弾性剛性Ec Acを含めていない。v はとても小さいの場合、Fy ≈ k xy v(13)のように近似することができる。
式(12)に示すkxy は反力と変位の比例係数を見做せる。そのため、ここにkxy を仮のバネ係数(stiffness of pseudo-spring)と呼称する。
一方、v は小さい場合に、x 方向の合力はFx = FC ' x (v ) + FC ' x ( −v ) ≈ N (1 +R12 − R22)
y C2(14)となる。
特に、R1 = R2 = lc が成り立つ場合に、(15)

Fx ≈ N(16)

k xy =4 Nlc2

(4lc2 − y C2 )(3/2)のように計算される。

境界条件(1)と(2)を用いて、
k xy lk xy[( 2− 1) cos λ l − 3sin λ l ]v = 0
λ EI zλ EI zが得られる。
ケーブルの水平変位vが任意小さいため、式(21)を満たす条件は、
k xy lk xy( 2− 1) cos λ l − 3sin λl = 0(22)
λ EI zλ EI zである。式(22)は座屈コントロール方程式(Buckling controlequation)と呼称する。
(a)、若しケーブルに与える集中荷重N = 0の場合、kxy = 0である。そのとき、式(22)は(23)
cos λl = 0になる。式(23)を満たす の最小正値がπ/2である。それ煮対する座屈荷重Fcr はFcr =３. 座屈コントロール方程式の算出(21)

π 2 EI z(2l ) 2(24)となる。式(24)の値は境界条件が片端固定、片端自由である
長さ l のコラムの座屈荷重と同じである。
(b)、若しケーブルに与える集中荷重N ≠ 0の場合、kxy ≠ 0である。2 つパラメーターをu = λl(25)r=k xy(26)

EI z / l 3のように定義する。
式(25)と式(26)を式(22)に代入すると、
tan u = u −(a)(b)
図 4 メカニズムケーブルの補剛の簡略モデル
まず、
図4は図2に示すモデルの面内の簡略モデルである。
図 4 の(b)には、釣り合い状態の微分式は、
F + Fx(l − x ) ( F + Fx )vy ''+y = − Fy+(17)EI z
EI zEI zのように書ける。定義パラメーターλ は
F + Fxλ2 =EI zとする。
式(13)と式(18)を式(17)に代入すると、
k xy vy ''+ λ 2 y = −(l − x ) + λ 2 v
EI z

(18)

(19)

k xy v
λ 2 EI zである。
図 4 の(a)の境界条件は、(1) y = 0, y' = 0 at x = 0。
(2) y = v at x = l。

(l − x ) + v

(20)

(27)

が得られる。
式(27)は超越方程式である。そして、数値解析などの方法を用いて解を求めることができる。
また、仮の座屈荷重(pseudo-critical load)
EI
Pcr = u 2 2z(28)lとすると、座屈荷重Fcr はFcr = Pcr − Fx ≈ u 2となる。
式(19)の一般解は、

y = A cos λ x + B sin λ x −u3r

EI z( R12 − R22 )−N(1+)
y C2l2(29)となる。
式(29)中、u は独立変数 N の関数のため、Fcr は明らかに Nとの関係を述べるのは、難点である。
4. コラムのモデル実験と数値解析
図 5 の(a)に示すように 1 本のパイプ、片端をねじで挿し込んで固定する。この境界を固定支持とみなす。パイプの自由端には 2 本の面内のケーブルと繋がれている。パイプの頂点の近くに平行棒を設置し、パイプの面外方向の移動を防ぐ。
ケーブルの材質は綿線である。図(b)は数値解析のモデルを示す。パイプ（コラム）とケーブルの材料係数は表 1 に示す。

モードを比較した。数値解析で実験現象を再現できた。ケーブルに与える外力のN が2 本のケーブルに補剛効果の影響を与えることで、コラムの座屈モードが変わったと考えられる。
実験結果

数値解析結果N=0kg；Fcr=0.3kg

N＝10(-4)kg；Fcr=0.31kg(a) 実験装置(b) 数値解析モデル
図 5 単本梁の実験装置と数値解析モデル
表１ 解析モデルの材料係数
ヤング係数[GPa]ポアソン比

外径[mm]

内径[mm]

10.811)
10ケーブル2)2.82
0.3864コラム
数値解析では、コラムが初期不整なしとする。幾何的非線形有限要素法解析では、一本のケーブルは 1 つの幾何的非線形トラス要素で、コラムは 7 つの等長の幾何的非線形梁要素で分割する。接線剛性マトリクスの最小正の固有値は負の符号に変えるの直前の最大荷重は、座屈荷重と呼称する。その座屈荷重に対応する座屈モードを一次モードと呼称する。
[kg] 1.41.2
Fcr (Num.)

10.8Fcr (Theo.)

0.6Fcr (Exp.)

0.40.2000.5

11.522.53N [kg]

図 6 外力 N と座屈荷重Fcr との関係
図 6 はケーブルに与える外力 N と座屈荷重 Fcr との関係を示す。シンポル Num.、Theo.と Exp.はそれぞれ、幾何的非線形解析、節 3 の理論とモデル実験で得られた結果である。
まず、理論値と幾何的非線形解析の結果を比較してみる。
図 6 によって、その 2 つの値はほぼ一致である。節 3 に述べた理論の正確性を実証した。
次は、モデル実験と幾何的非線形解析の結果を比較する。
実験で得られた座屈荷重Fcr (Exp.)の変化は数値解析に得られた Fcr (Num.)の曲線によく一致することが確認できた。
ケーブルに与える外力荷重 N を増加することで、座屈が発生までコラムに直接に与える荷重F に大きな影響を与えたことがわかった。また、外力荷重 N の増加により、座屈荷重Fcr(Num.)は最初増加して、外力荷重 N は約 0.85kg のとき、座屈荷重 Fcr (Num.)は最大値になった。その後、外力荷重 N の増加に対して、Fcr (Num.)がかえって減少した
図 6 に実験の座屈現象と数値解析により得られた一次座屈

N=2.0kg；Fcr=0.5kg
N=2.0kg；Fcr=0.42kg
図 6 コラムの座屈現象と座屈モード
５. まとめ
本論文は、メカニズムの張力材が荷重を直接的に負担する場合の補剛効果について研究した。その補剛方法では、張力材の弾性剛性が無視でき、張力材の張力は主に補剛効果を提供した。以下の知見を得た。
1)、平面内におけるメカニズムのケーブルを用いるコラムの例を通して、仮のバネ係数(stiffness of pseudo-spring)というコンセプトを提出し、コラムの座屈コントロール方程式を導いた。
2)、モデル実験を行った上で、理論値、幾何的非線形解析の結果と実験の結果を比較して、本論文に提案した理論を実証した。メカニズムの張力材で構造を補剛するとき、張力材に与える外力は最適値が存在することが分かった。また、有限要素解析でモデル実験中のコラムの座屈現象を再現できた。
謝辞
本研究は、東京大学卓越大学院・若手奨励研究費の助成を受けている。ここに記して謝意を表する。
参考文献
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2)

陳坤，川口健一，張力材経由の載荷による座屈補剛効果についての基礎的考察，膜構造研究論文集 2012，No．26，pp.13-19, 2012
3)

Kun CHEN，Ken’ichi KAWAGUCHI，Preliminary research on stiffening effectof tensioned members with mechanism system and its application. Journal of Structure
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Fundamental Study on Formulation about Stiffening Effect ofTensioned Components under Load and Model Experiment
Kun CHEN*1)
Ken'ichi KAWAGUCHI*2)
SYNOPSIS
In the past researches, tensioned components were widely used as additional stiffeners to improve rigidity of skeletons, andWhen considering the stiffening effect of tensioned components, their stiffness are always paid great attention to. While inthis paper, by according an example in which mechanism cables are utilized to stiffen a column, how stiffness of tensioned
Components do not contributing to stiffening skeleton is discussed. Meanwhile, authors propose a parameter called
stiffness of pseudo-spring and deduce the buckling control equation of this case. Then by carrying out model experimentand geometrical nonlinear FEM analysis at the same time, the stiffening theory about mechanism tensioned components isverified, and buckling phenomenon of column in model experiment can be replicated in numerical analysis.

*1）

Graduate Student, Dept. of Engineering, the Univ. of Tokyo, M.EngProf, IIS, the Univ. of Tokyo, Dr. Eng*2）