The Membrane Structures Association of Japan

膜構造研究論文集 2016
Research Report on Membrane Structures 2016

– No. 30–

一般社団法人 日本膜構造協会

建築の一分野として確立してきた膜構造は，近年建設数も増し，日本における研究者の数も増しています。これにともない，研究テ－マも多岐に亙るようになり，発表される論文も多分野に亙り，その数も多くなっています。これらの状況より，社団法人日本膜構造協会において，膜構造に関する研究成果の発表の場を設定し，「膜構造研究論文集」として，膜構造研究のためのまとまりある資料として，あるいは設計，建設のための指針として位置付け，年次計画で発行することとしています。
内容は３編に分け，１編では研究論文として査読を行い，質の高いものを選び掲載することとしています。２編では，膜構造に関する査読は行わない報告，概説を広く扱うことにしています。また３編では，他誌，国際会議等で発表されたその年の膜構造関係の論文のアブス
トラクト，または題名を掲載し，研究のための資料とし役立てたいと考えています。このようにして刊行する研究論文集は，広く研究者，研究団体及び関係各位に積極的に配布し，今後の膜構造の発展に寄与することを目的としています。

膜

構

造

研

究

論

文

集 2016

Research Report on Membrane Structures 2016
〔目

第１編

次〕

研 究 論 文1． ETFE フ ィ ル ム の 粘 性 特 性-----------------------------------------------------------------------------------------

1－温度変化を考慮した非線形粘弾性構成方程式と１軸クリープ試験－
吉野達矢（太陽工業）
加藤史郎（豊橋技術科学大学）
2． Nonlinear finite element procedure for membrane structures--------------------------------------------

9

using ETFE films considering friction contact condition
Quang Hieu Bui（ Yokohama National University）
Masaya Kawabata（ Yokohama National University）i[第１編 研究論文]

膜構造研究論文集 第30号, 1-7, 2016年
Research Paper on Membrane Structures, No.30, 1-7, 2016

ETFE フィルムの粘性特性－温度変化を考慮した非線形粘弾性構成方程式と１軸クリープ試験－
吉野達矢*1
加藤史郎*2

梗

概本研究は FEM 解析を行い，ETFE フィルム膜構造の挙動を明らかにすることを目的としている。ETFE
フィルムは弾塑性と粘弾性の両方の挙動を示す。これらの特性に注目した研究を著者らは行なってきた。
本論文では，試験および数値解析によって，1 軸張力場で温度が変化するときの粘弾性特性に注目している。
まず，温度変化に伴うひずみの変化量を考慮した増分型構成方程式を提案する。この構成方程式は既報における 2 軸張力場の増分型非線形粘弾性構成方程式を拡張したものであり，かつ，FEM 解析に導入可能な形式である。

はじめに

1.

を前提として，増分型で定式化している。また，時間経過，応力変化，温度の違いを考慮することができる。ただし，温度については，1)温度の違いが粘性成分に与える影響を時間・温度換算
則によって考慮できているが，2)温度変化に伴う伸縮成分が考慮できていない。
そこで，本論文では，既報で示した 2 軸張力場の増分型の非線形粘弾性構成則を温度変化に伴う伸縮成分を考慮できる構
成則に拡張し，時間経過，応力変化，温度変化を考慮することが可能な構成則であることを確認する。
具体的には，
1) 既報で提案した 2 軸張力場用増分型構成方程式に温度変化に伴う伸縮成分を追加した方程式に拡張する。
2) 温度変化を伴う 1 軸クリープ試験を行い，その結果を示す。
その結果から，温度変化に伴う伸縮成分に注目し，構成方
程式に必要な諸定数を算出する。
3) 提案する構成則と算出した諸定数を用いて，温度変化を伴う 1 軸クリープ試験のシミュレーションを行う。

ETFE フィルムは高分子材料であることから，粘弾性特性が顕著に見られる。また， ETFE 樹脂の線膨張係数は鋼材等と比べると，1 桁大きい。そのため，温度変化に伴い，伸び縮みが問題になる場合も考えられる。そこで，ETFE フィルム膜構造の設計・施工をするために，粘弾性特性に注目した研究がなされてきた。
ETFE フィルムの粘性に注目した研究として，著者らの研究以
外に，森山・河端[1,2]の研究，丁・河端ら[3,4]の研究，Wu らの研
究[7]，Galliot and Luchsinger の研究[8]，Li and Wu の研究[9]などがある。これらの研究は，粘性の考慮，温度変化の考慮，構成
則の FEM への導入のいずれかを行っているものの，すべてを考慮した研究はない。
著者ら[5]は，温度一定の条件下で，(1) MSAJ 法[10, 11]に基づいて，ETFEフィルムの2軸引張試験とせん断試験を行なった。
この結果から，設計用弾性定数を得た。(2) 5 種類の応力比について，2 軸引張試験を行い，相当応力・相当塑性ひずみの関係を確認した。その結果，応力比に関係なく，相当応力・相当塑性
ひずみ曲線は一致した。(3) 弾塑性構成則を提案し，降伏応力
および降伏後の応力・ひずみ関係を表現できることを確認した。
(4) 正方形平面膜の加圧試験を実施し，提案する弾塑性構成則で十分に表現可能であることを示した。
さらに，文献[6]で，1 軸張力場における増分型の非線形粘弾性構成則を提案し，文献[13]で，2 軸張力場に拡張し，その妥当性の確認を行なっている。この構成則は FEM への取り込むこと*1*2

2. ETFE フィルムの増分型構成方程式の定式化
2.1. 増分型の線形粘弾性構成方程式の温度変化による伸縮成分の追加
前報[13]にて，2 軸張力場を考えるために，増分型非線形粘弾性構成方程式を提案した。本報では，さらに，温度変化に伴う伸縮成分を追加する。
2軸張力場を考えるために，Maxwell要素およびVoigt要素に

太陽工業株式会社 技術研究所 博士（工学）豊橋技術科学大学 名誉教授 工学博士
1

関連する応力とひずみについて偏差成分と体積成分に分ける。
分けたものを表 2.1.1 に示す。

2.1.1.

2.1.2.

図 2.1.2 に示す一般化 Voigt モデルの粘弾性ひずみ増分∆ε el について，偏差成分( ′ )と体積成分( m )を考える。温度変化に伴う伸縮成分は Maxwell 要素にのみ考える。

増分応力と温度変化

j 番目の時刻t j における応力σ (t j ) と温度 T j を考える。増分時間 ∆t の間に，増分応力 ∆σ 変化したと考える。つまり，

表 2.1.1 2 軸張力場の構成方程式の変数表
項目

t j +1= t j + ∆t

(2.1.1)σ (t=σ (t j ) + ∆σ
j +1 )(2.1.2)

ここで，図 2.1.1 に示すように増分時間 t の間の応力の変化率が一定だと考える。つまり，∆σ σ (t j +1 ) − σ (t j )= = const.
t j +1 − t j∆t

σ (τ ) =σ (t j ) +∆σ(τ − t j )∆t(2.1.3)(2.1.4)∆T(τ − t j )∆t変数

Maxwell 要素用

下添字 g

Voigt 要素用

下添字 i

時間間隔

∆t

温度増分

∆T

応力増分

∆σ ′ , ∆σ m

粘弾性ひずみ増分∆ε elMaxwell 要素の増分型ひずみ∆ε g1′ , ∆ε g2′ ,∆ε g1m , ∆ε g2m , ∆ε g3m

Voigt 要素 i の増分型
ひずみ

増分温度 ∆T だけ変化すると考えると同様に，T (τ ) =T (t j ) +要素の増分型粘弾性ひずみ∆ε i′ , ∆ε im

弾性バネ要素のコンプライアンス(2.1.5)

CGg , CKg ,CGi , CkiηGg , η Kg , ηGi , η Ki

粘性係数σ (τ ) = const.
σ (t j +1 )σ (τ )σ (t j )

=
Ti T=
TKi
Gi

α

線膨張係数

t =τ

t = tj

=
Tg T=
TKg ，
Gg

緩和時間と遅延時間t = t j +1

2.1.2.1. Maxwell 要素

図 2.1.1 増分時間 t の間の応力の変化

Maxwell 要素の増分ひずみを偏差成分( ′ )と体積成分( m )に分けて考える。なお，増分ひずみは，時刻 t j から t j +1 を積分して求める。その結果は次式となった。

σCg , ∆ε g1′∆ε el=
g1

Eg = 1/ Cg

MaxwellModelη g , ∆ε g 2

∆ε g=
1m
el

η g = Tg / Cg

CGg
2
CKg
3

⋅ ∆σ ′(2.1.6)⋅ ∆σ mα∆ε el g 2′=
I 番目の
Voigt
Model

Ci

ηi , ∆ε i1∆t  σ ′ (t j ) + ∆σ ′ 
2
ηGg 

1

1


∆ε g 2 m=∆t  σ m (t j ) + ∆σ m 2η Kg 
Ei = 1/ Ciel

ηi = Ti / Ci

1

(2.1.7)

また，温度変化 ∆T に伴う増分熱ひずみ ∆εθ は線膨張係数
α (T ) を使って次式で表す。線膨張係数α (T ) は温度 T の関数である。

i = 1, n

図 2.1.2 一般化 Voigt モデル2∆ε θ= α (T )∆T

同様に Voigt 要素の偏差成分(  )と体積成分( m )について考える。つまり，次式となる。

(

(

(

C K ( t )= CKg +)(2.1.9)

ここでは，既報と同様に非線形粘弾性ひずみを求める。ETFE
フィルムは応力レベルに依存して，クリープひずみは非線形性を示す。そこで，線形ひずみベクトル {ε el } と非線形ひずみベ
クトル {ε nl } の関係は，非線形化粘弾性係数 β (σ ) を使って次式で表す。ただし，温度変化に伴う伸縮成分は除外する。すな
わち，

増分型の線形粘弾性構成方程式∆ε θ
2∆ε ′ 3∆ε m ∆ε α ′ ∆ε α m+−−−
CG (t ) CK (t ) CG (t ) CK (t ) CK (t ) ∆t  C ∆tσ ′ ( t ) + ∑ Gi 1 − exp  −   σ ′ ( t )
2ηG
2 
i
 TGi  

2β (σ i ) = B2 σ i + B1σ i + B0 ∆t   σ ′ (t )
 TGi  

次式となる。

σ ′ ( t ) + ∑ CGi 1 − exp  −

(2.2.3)

ここで，時刻 t j と t j +1 におけるそれぞれのひずみベクトルは ∆t  − 2∑ 1 − exp  −  ε i′ ( t )
T
i 
Gi

 


{ε } = β (σ ) ⋅ {ε } − {ε } + {ε }nl(2.1.12){ε ∆t   TKi 
CKi  
1 − 1 − exp  − ∆σ m
3  
i
 TKi   ∆t 

j +1} = β (σ

j +1

j

θ

j

j

(2.2.4)) ⋅ {ε el j +1 } − {ε θ j +1 } + {ε θ j +1 } (2.2.5)

さらに，非線形粘弾性ひずみ増分ベクトル {∆ε nl i +1} は式(2.2.4)と式(2.2.5)の差分から，次式となる。

+∑

 ∆t  C ∆tσ m ( t ) + ∑ Ki 1 − exp  −   σ m ( t )
3η K
3 
i
 TKi  

nl

θ

el

j

j

1
∆t 
 CK + ∆σ m2
3η K 

+(2.2.2)

また，非線形化粘弾性係数 b (s ) は次式で表すものとし，係数 B2 , B1 , B0 は別途求める。

(2.1.11) ∆t  − ∑ 1 − exp  −  ε i′ ( t )i  TGi  ∆ε=m

σ = ( σ x 2 − σ xσ y + σ y 2 + 3τ xy 2 )θ1/2 ∆t   TGi 
C  
+ ∑ Gi 1 − 1 − exp  −   ∆σ ′2  
i
 TGi   ∆t i(2.2.1)

θ

el

ここに，

1
∆t 
∆=
ε′
 CG + ∆σ ′
2
2ηG 

ηG

{ε } = β (σ ) ⋅ {ε } − {ε } + {ε }
nl

ここに，

∆t

 
 ∆t   TKi ∆t+ ∑ CKi 1 − 1 − exp  −


2η K
i
 TKi   ∆t  

1 軸張力場における増分型非線形粘弾性構成方程
式

2.2.

)

(2.1.10)

∆
=
ε a′

 
 ∆t   TGi ∆t+ ∑ CGi 1 − 1 − exp  −


2ηG
i
 TGi   ∆t  (2.1.16)以上から，増分応力は次のようになる。

+(2.1.14)(2.1.15)

)

(



i

)

C

ε el im  Ki σ m (t j ) − ε el im (t j )  1 − e −∆t / Ti
∆
=
 3

C
 T

+ Ki ⋅ ∆σ m 1 − i 1 − e −∆t / Ti 
3
t
∆



∆σ = ∆σ ′ + ∆σ m =ηKC G ( t )= CGg +C=∆ε el i′  Gi σ ′ (t j ) − ε el i′ (t j )  1 − e −∆t / Ti
 2

C
 T

+ Gi ⋅ ∆σ ′ 1 − i 1 − e −∆t / Ti 
2
 ∆t


 ∆t   σ m (t )
 TKi  σ m ( t ) + ∑ CKi 1 − exp  − ∆t  − 3∑ 1 − exp  −  ε mi ( t )i  TKi  

2.1.2.2. Voigt 要素

2.1.3.



∆t

∆=
ε am

(2.1.8){∆ε(2.1.13)nl
j +1} = {εnl} − {ε }
nl

j +1

j

 β (σ j +1 ) − β (σ j )  {ε el j } − {ε θ j }
=




(2.2.6)+ β (σ j +1 ) {∆ε el j +1 } − {∆ε θ j +1} + {∆ε θ j +1} ∆t  − ∑ 1 − exp  −  ε mi ( t )i  TKi  

以上より，非線形化粘弾性係数 β (σ ) を使って，非線形粘弾

3

性ひずみ増分ベクトル {∆ε nl j +1} を求める。

2.3.

3.2.

既報[5]で，森山・河端[1,2]の実験結果に合うように，一般化
Voigt モデルの定数を推定した。本報では，Voigt モデルを 26 個として，表 3.2.1, 3.2.2 に示す値を用いる。

時間・温度換算則

一般的に，高分子材料は時間・温度換算則[12]が成り立つ。
ETFE フィルム材料についても，森山・河端らにより，時間・温度換算則に関する特性が確認されている。時間と温度の換算関係は次式で表される。

t ′ = t / aT0 (T )表 3.2.1 Maxwell 要素の定数の緩和時間Tg とコンプライアンス Cg

Tg(2.3.1)

これは，実温度 T の環境における実時間t をシフトファクター
aT0 (T ) に用いて，参照温度 To の環境における換算時間 t ′ を求めるものである。
シフトファクター aT0 は活性化エネルギー ∆H を用いて，次式より求める。
=
log10 aT0 (T )ETFE フィルムのクリープコンプライアンス

1 ∆H  1 1  − 
2.303 R  T To Cg

05.27E-04

表 3.2.2 Voigt 要素の定数の遅延時間 Ti とコンプライアンス Ci
Ci
Ti
Ci
Ti
i
i
1
9.13E+13
9.12E-04
14
1.50E+04 2.22E-05
23.65E+12
2.37E-04
15
2.99E+03 1.35E-04
3
7.30E+11
6.65E-04
16
5.98E+02 3.49E-05
4
1.46E+11
2.65E-04
17
1.20E+02 1.28E-04
5
2.92E+10
1.07E-03
18
4.79E+00 6.30E-05
65.84E+09
1.54E-04
19
9.57E-01
1.25E-05
7
1.17E+09
7.95E-04
20
1.91E-01
6.04E-05
8
2.34E+08
1.21E-04
21
7.66E-03
1.66E-05
9
4.67E+07
4.61E-04
22
1.53E-03
8.20E-07
10
9.35E+06
1.72E-05
23
3.06E-04
1.48E-04
11
1.87E+06
2.69E-04
24
1.23E-05
1.92E-05
12
3.74E+05
4.70E-05
25
2.45E-06
5.54E-05
13
7.48E+04
1.98E-04
26
4.90E-07
7.44E-06(2.3.2)

ここに， R =×
8.314 10−3 kJ /(mol ⋅ K ) 。

3. 増分型構成方程式で使用する定数の評価
3.1. 活性化エネルギー H
本論文では，既報と同様に森山・河端[1,2]によって得られた活性化エネルギー ∆H を使用する。その値を表 3.1.1 と図 3.1.1に示す。
表 3.1.1 活性化エネルギー H [1,2]活性化エネルギー ∆H
温度 T
T < 313K
113.707( T < 40°C )313K < T < 363K
342.261( 40°C < T < 90°C )363K < T447.237( 90°C < T )3.3.

線膨張係数α (T )線膨張係数α (T ) は JIS K 7197-1991 「プラスチックの熱機械分析による線膨張率試験方法」に基づいた試験より求める。フィ
ルムを室温から 423K まで温度上昇し，-223K まで除冷する。その後，再度 423K まで上昇させて，線膨張係数を求めている。その結果を図 3.3.1 に示す。この結果から次の近似式を得た。

α (T ) =-2.057 × 10-8 T 4 +3.289 × 10-5 T 3-1.847 × 10-2 T 2 +4.443T -379.6(3.3.1)線膨張係数 x 10-5 (1/K)

5
0
-5

参照温度
293K(20℃)-10-150.00250.003

0.0035

0.004

30
実験結果

25

近似式

20
15
10
5
0
200

1/T [1/K]

250

300

350

温度 (K)

図 3.3.1 線膨張係数α (T )図 3.1.1 温度T とシフトファクターの関係

4

400

450

4. ETFE フィルムの 1 軸クリープ試験
4.1. 温度一定 1 軸クリープ試験

り，図 4.2.1 に示す値となった。試験結果を図 4.2.2，4.2.3 に示す。
表 4.2.1 温度変化の設定
初期温度 30℃，載荷時と１時間放置
設定温度
30～0℃，6 サイクル
サイクル時の温度速度 30℃/1hr.

温度 (℃)

1 軸引張試験機で，温度一定で 1 軸クリープ試験を行う。
試験片形状を図 4.1.1 に，試験条件を表 4.1.1 に示す。
クリープ試験結果を図 4.1.2 に示す。なお，ひずみは，温度変化に伴い，治具自身が線膨張係数分だけ伸び縮みする。そこ
で，試験結果として得られたひずみから，治具の伸び分だけ差し引いて，ETFE フィルムだけのひずみを求めた。他の試験結果についても同様である。

幅 40mm
つかみ間隔 100mm
つかみしろ 30mm

35
30
25
20
15
10
5
0
0

2

4

6

8

10

12

14

10

12

14

10

12

14

時間 (hr)

図 4.2.1 クリープ試験の温度
図 4.1.1 １軸クリープ用試験片形状

応力 [MPa]

表 4.1.1 1 軸引張試験の条件
フィルム厚さ
250μm
MD
方向
40mm
試験片幅
100mm
チャック間距離6.1MPa
最大応力0.5MPa/min.
載荷速度
設定温度
温度一定
4, 25℃の 2 通り

7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0

2

8

図 4.2.2 応力・時間関係

0.8

1.2

0.6

1.0

ひずみ [%]

ひずみ [%]

6

時間 (hr)1.0

0.4
Exp MD 4℃

0.2

Exp MD 25℃

0.0
0

0.25

0.5
0.75
時間 (hr)

1

0.8
0.6
0.4
0.2

1.25

0.0
0

図 4.1.2 ひずみ・時間関係

4.2.

4

2

4

6
8
時間 (hr)

図 4.2.3 ひずみ・時間関係

30℃の温度変化のある 1 軸クリープ試験

１軸引張試験機で，温度変化を伴うクリープ試験を行う。温度変化の条件を表 4.2.1 に，その他の条件は表 4.1.1 に示す。試験片は図 4.1.1 の形状とする。
温度は表 4.2.1 に示す温度を設定したが，試験機の仕様によ

4.3.

10℃の温度変化のある 1 軸クリープ試験

１軸引張試験機で，温度変化を伴うクリープ試験を行う。温度変化の条件を表 4.3.1 に，その他の条件は表 4.1.1 に示す。試5温度 (℃)

験片は図 4.1.1 の形状とする。
温度は表 4.3.1 に示す温度を設定したが，試験機の仕様により，図 4.3.1 に示す値となった。試験結果を図 4.3.2，4.3.3 に示す。
表 4.3.1 温度変化の設定
初期温度 30℃，載荷時と 3 時間放置
設定温度30～20℃， 20～10℃， 10～0℃をそれぞれ各 5 サイクル
サイクル時の温度速度 10℃/15min.

試験のシミュレーション

5.

提案した構成則を用いて 4 章で実施した 1 軸クリープ試験のシミュレーションを行う。諸定数は 3 章に示す値を用いる。
シミュレーションの結果を図5.1～5.3に示す。いずれも十分にクリープひずみを推定できていることが確認できる。
1.0

ひずみ [%]

0.8

35
30
25
20
15
10
5
0

0.0
0

0.25

0.5
0.75
時間 (hr)1

1.25

図 5.1 ひずみ・時間関係（温度一定）
2

4

6

8

10

12

14

時間 (hr)1.2
1.0

ひずみ [%]

図 4.3.1 クリープ試験の温度

応力 [MPa]

Exp MD 4℃
Ana MD 4℃
Exp MD 25℃
Ana MD 25℃

0.4
0.2

0

7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0

0.8
0.6
0.4
Exp MD
Ana MD

0.2
0.0
0

2

4

6
8
時間 (hr)

10

12

14

図 5.2 ひずみ・時間関係（30℃変化）
0

2

4

6

8

10

12

14

時間 (hr)1.2
1.0

ひずみ [%]

図 4.3.2 応力・時間関係
1.2
1.0

ひずみ [%]

0.6

0.8
0.6
0.4

0.8

0.2

0.6

0.0

Exp MD
Ana MD
0

0.4
0.2

2

4

6
8
時間 (hr)

10

12

14

図 5.3 ひずみ・時間関係（10℃変化）

0.0
0

2

4

8
6
時間 (hr)

10

12

14

6.

まとめ

本論文では，2 軸張力場用の増分型の非線形粘弾性構成則を，温度変化に伴う伸びの成分を考慮できるように拡張した。温度変化に伴う伸びの特性は熱機械分析により，線膨張係数として得た。

図 4.3.3 ひずみ・時間関係

6

また，温度一定および温度変化のある１軸クリープ試験を行い，温度に依存した１軸クリープ特性を確認した。
さらに，提案した構成則を用いて，温度に依存した１軸クリー
プ試験のシミュレーションを行い，クリープ特性を表現可能であることを示した。
以上より，時間経過，応力変化，温度変化を考慮することが可能な構成則であることを確認した。限られた条件の試験結果との比較であるため，さらなる比較検討が必要である。例えば，任意の応力比における 2 軸クリープや温度変化を伴う場合などが考えられる。

5)6)

謝辞
研究の遂行にあたり，旭硝子株式会社有賀広志氏に貴重なデータを提供頂きました。厚くお礼申し上げます。

1)

2)

参考文献
河端昌也，森山史朗，會田裕昌：ETFE フィルムの粘弾性挙動について，膜構造研究論文集 2005，No.19，pp.1～8，
2006 年 2 月
森山史朗：ETFE フィルム空気膜構造における粘弾性挙動に関する研究，横浜国立大学 博士論文，2006

吉野達矢，瀬川信哉，小田憲史：ETFE フィルムの 2 軸引張特性と弾塑性応力・変形解析，膜構造研究論文集 2004，
No.18，pp.31～39，2005 年 2 月
Tatsuya Yoshino, Shiro Kato：Formulation of non-linear
incremental constitutive equation of ETFE film structure
considering the dependence on temperature change,
Proceedings of IASS 2013, 2013

7)

Wu M., Li Y. ：Revised finite element formulation formembrane creep analysis, Proc. of the IASS-SLTE 2014, Paper
No. 209, 20148)

Galliot C, Luchsinger RH.：Uniaxial and biaxial mechanicalproperties of ETFE foils, Polymer Testing, 2011; 30(4);356-365.

9)

Li Y., Wu M., Wang H.：biaxial creep tests of ETFE foil, Proc.
of the IASS-SLTE 2014, Paper No. 136, 201410) （社）日本膜構造協会：膜材料弾性定数試験方法(MSAJ/M-02-1995)，1995 年
11) （社）日本膜構造協会：膜材料面内剪断剛性試験方法(MSAJ/M-01-1993)，1993 年

3)丁乙碩，河端昌也：ETFE フィルムの粘塑性構成式 －粘塑性定数の決定と 1 軸引張の負荷過程に関する検討－，
膜構造研究論文集 2009，No.23，pp.9～14，2010 年 3 月

4)丁乙碩，河端昌也：ETFE フィルムの粘塑性構成式 －アニーリング処理に従う 1 軸・2 軸引張時においての応力－ひずみ関係の検討－，膜構造研究論文集 2011，
No.25，pp.55～64，2012 年 3 月

12) 日本レオロジー学会編：講座・レオロジー，高分子刊行会，2001 年13) 吉野達矢，加藤 史郎：ETFE フィルムの粘性特性 －2 軸
張力場における非線形粘弾性構成方程式－，膜構造研究
論文集 2015，No.29，pp.13～20，2016 年 3 月

Viscous characteristics of ETFE Film sheet- Non-linear visco-elastic constitutive equations that consider the change in temperature and uniaxial creep tests –Tatsuya Yoshino*1)
Shiro Kato*2)
SYNOPSIS
In our researchs ,using FEM analysis, the target is to clarify the behavior of ETFE film sheets. ETFE film shows both of elasto-plastic andvisco-elastic behaviors. The authors have carried out studies focusing on these characteristics.
In this paper, through experimental and numerical analysis, we will focus on visco-elastic characteristics when temperatures change
during uniaxial tension.
First, the incremental constitutive equations which takes into account the change in amount of strain due to change in temperature is
proposed.
These constitutive equations are extension of the previous nonlinear incremental visco-elastic constitutive equations for biaxial tensions.
Yet, they are in a format that can be used in FEM analysis.
*1) Ph. D., Advanced Structures R&D Department, Taiyo Kogyo Corporation*2) Ph. D., Professor Emeritus, Toyohashi University of Technology7膜構造研究論文集 第30号, 9-14, 2016年
Research Paper on Membrane Structures, No.30, 9-14, 2016

Nonlinear finite element procedure for membrane structures using ETFE films
considering friction contact condition

Quang Hieu BUI 1*1
Masaya KAWABATA 2*2

Synopsis
In frame-supported membrane structures type, one of techniques to introduce the pre-stress on the membranes is extending theboundary. In this case, the friction contact between the membrane and the frame-supported, such as steel arch, was observed.
Therefore, the analytical method of membrane structures considering the friction contact is essential.
This paper describes a nonlinear finite element procedure, which includes the non-linear geometry of membrane elements andfriction contact condition. In this analysis, the friction contact between membrane elements and frame-supported elements was
replaced by Gap elements. The proposed method will be applied to investigate the sliding between ETFE film and steel arch of theparallel steel arch model under forced displacement condition. The accuracy and applicability of proposed procedure wasconfirmed by an experiment.

are the Lagrange multiplier method and Penalty method. The later
method were attracted researchers to develop the Gap/Friction
element. Contact element stiffness matrices are symmetric for
frictionless contact problems. Unfortunately, problems involving
sliding friction result in an unsymmetrical stiffness matrix whichmakes the problems in convergence criteria. In 1995 Ju et al suggested
the symmetrical stiffness matrix for 3D frictional contact element
which can be implemented into an existing nonlinear finite element
program to solve the nonlinear friction contact [4][5].
In this paper, the FEM procedure which includes the non-linear
geometry of membrane elements and nonlinear friction contact
problem using Ju’s method, is proposed. The proposed method will
be applied to investigate the sliding between ETFE film and steel archof the parallel steel arch model under forced displacement condition.
The accuracy and applicability of proposed procedure was confirmedby an experiment.

1. Introduction
Recently, ETFE film is well used in membrane structures because
its advantages, such as transparent, light weight, easy to fabricate alarge-sized panel by heat-sealing and excelling in the durability overultraviolet rays. In term of design of ETFE membranes structure,since the ETFE film possesses no flexural stiffness, its shape, the loadon structure and the internal stresses interact in a nonlinear manner tosatisfy the equilibrium equations. Therefore, various kinds of analysis
procedure have been proposed to solve those geometrical nonlinear
problems. One of them was the finite element technique. The
procedure of this technique was described clearly in many previous
reports [1][2].
In term of suspension and frame-supported ETFE membrane
structures, one of techniques to introduce the pre-stress on themembranes is extending the boundary. In this case, the friction contact
between the films and the frame-supported was observed. Therefore,
the analytical method of membrane structures considering the friction
contact is essential. Computationally, the analysis of frictional contact
problems is extremely difficult, even for static cases involving thesimplest constitute relation [3]. The reasons could be explained as theboundary conditions are unknown as a priori and the contacting
surfaces change in size and shape as load is applied. There had two
main approaches to solve the contact problem in FEM analysis, which*1*2

2. Finite element formulation
2.1 Membrane elements
The triangular membrane elements with three nodes and ninedegrees of freedom per element were used in this paper. The
equilibrium equation for a single element in local coordinate system
may be obtained via the principle of virtual work, as follows:

Graduate student, Graduate School of Urban Innovation, Yokohama National University, Japan
Associate Prof., Graduate School of Urban Innovation, Yokohama National University, Japan9∫ δ𝛜 𝛔dV − δ𝐮 𝐩 = 𝟎
TT

here, the matrix M can be also referenced in [2].
2.2 Gap elements
A Gap element is considered to connect nodes A and B. The local
coordinate xyz of this element is shown in Fig. 1. The normal
direction of Gap element is assumed in z direction, while the sliding
direction, when Gap element is in sliding status, is assumed in x
direction. The y direction is determined from x and z directions

(2.1)

Ve

where, 𝛔: stress, 𝐩: the external node force vector, 𝛜: strain, u: thenode displacement vector, 0: zeroes vector and Ve : the element
volume. The relation between the strain 𝛜 and node displacement
vector u can be described as follows:𝛜 = 𝐁0 𝐮 + 0.5𝐀𝛉; δ𝛜 = (𝐁0 + 𝐀𝐆)δ𝐮

x
rxA

(2.2)
A

here, the matrices 𝐁0 , A, 𝛉, G can be referenced in [2]. In this paper,
the large displacements and small strains are considered, so theconstitute relations for plane stress analysis may be used as:

y

rxB
rzA
B

ryA

rzB

z

ryB

Fig.1 The local coordinate of Gap elements
𝛔 = 𝐃𝛜 + 𝛔0

(2.3)
The relation between the internal node force vector andincremental displacement vector for Gap element via the penalty
method can be determined as follows:

where, 𝛔0 denotes the initial stress vector and D is the elastic matrix
defined as:
1
𝐸
𝜗
𝐃=
[
1 − 𝜗2
0

𝜗
1
0

0
0
1 − 𝜗]
2𝐫 = 𝐤 𝐠 ∆𝐮here, ∆𝐮 = [∆𝑢𝑨 ∆𝑣𝑨 ∆𝑤𝐴 ∆𝑢𝑩 ∆𝑣𝑩 ∆𝑤𝑩 ]𝐓 is
incremental node displacement vector, in which ∆u, ∆v and ∆w are
incremental displacements in x, y and z directions, respectively; 𝐫 =[𝑟𝑥𝐴 𝑟𝑦𝐴 𝑟𝑧𝐴 𝑟𝑥𝐵 𝑟𝑦𝐵 𝑟𝑧𝐵 ]𝐓 is the internal node force
vector of Gap element; and kg is Gap element stiffness matrix anddetermined as equation (2.9) [4]:here, E and 𝜗 are the Young’s modulus and Poisson’s ratio.
Substituting (2.2) and (2.3) into (2.1) and eliminating δ𝐮T , wehave:
∫ (𝐁0 + 𝐀𝐆)T [𝐃(𝐁0 𝐮 + 0.5𝐀𝛉) + 𝛔0 ]dV − 𝐩 = 𝟎

(2.8)

(2.4)

Ve

𝐤
𝐤𝐠 = [−𝐤

The above equations must be transformed to global coordinatesand finally assembled to obtain the global equilibrium equations.
Since the global equations will be solved iteratively by NewtonRaphson method, the linearize process of the governing equation, atthe element level, can be described after the ith iteration as follow:
𝐤 𝒊𝒎 ∆𝐮𝒊 = 𝐩 − 𝐫 𝒊𝑘𝑠where, 𝐤 = [ 00

𝜇 2 𝑘𝑛status and 𝐤 = [ 0
𝜇𝑘𝑛

(2.5)

(2.6)

Ve

and the element tangent stiffness matrix, ∂𝐫 𝑖 /𝜕𝐮, consists of twoparts as (2.7):
𝐤 𝑖𝑚 = ∫ (𝐁0 + 𝐀𝒊 𝐆)T 𝐃(𝐁0 + 𝐀𝒊 𝐆)dV + ∫ 𝐆T 𝐌𝑖 𝐆dV
Ve

(2.9)

0
0 ] is used when Gap element is in stick
𝑘𝑛
0
𝑘𝑠
0

𝜇𝑘𝑛
0 ] is used when Gap element is𝑘𝑛

in sliding status; kn is an input large penalty constant for normal
direction of Gap element; ks is the penalty constant for sliding
directions and  is the static friction coefficient.
In sliding status, because the assumption of sliding direction is x
direction, the internal friction force 𝑓𝑠 = 𝑟𝑥𝐴 = −𝑟𝑥𝐵 and thenormal force 𝑓𝑛 = 𝑟𝑧𝐴 = −𝑟𝑧𝐵 obey the Mohr-Coulomb friction
theory (𝑓𝑠 = 𝜇𝑓𝑛 ) according to the equations (2.8)&(2.9); however
the increment of normal force 𝑓𝑛 contains the term, 𝜇𝑘𝑛 (∆𝑢𝑨 −∆𝑢𝑩 ). If this term is omitted from the calculation of the total normal
force, the contact analysis from equations (2.8)&(2.9) will produce asimilar result at the convergence state (∆𝑢𝑨 − ∆𝑢𝑩 ≅ 0).

here, the node force vector after ith iteration ri can be determined by(2.6):
𝐫 𝒊 = ∫ (𝐁0 + 𝑨𝒊 𝐆)T [𝐃(𝐁0 𝐮𝒊 + 0.5𝐀𝐢 𝛉𝐢 ) + 𝛔0 ]dV

0
𝑘𝑠
0

−𝐤
]
𝐤

(2.7)

Ve

10

here, 𝑟𝑥 = 𝑟𝑥𝐴 = −𝑟𝑥𝐵 and 𝑟𝑦 = 𝑟𝑦𝐴 = −𝑟𝑦𝐵 are the friction
forces in x and y directions and 𝑟𝑧 = 𝑟𝑧𝐴 = −𝑟𝑧𝐵 is the normal
force in z direction of Gap elements in stick condition, which are
determined by Eq. (2.8)(g) Check the convergence for the incremental displacement ∆𝐔 𝒊(h) If step (g) converges, then output the results(i) If step (g) does not converge, then return to step (c) for the next
iteration.

2.3. Membrane structures include Gap elements
The principle of virtual work for the membrane structure include
Gap elements can be expressed as:(2.10)

V

where, 𝝐𝑚 and 𝝈𝑚 are the strain and stress of membraneelements; Rg is internal force of Gap elements; U is the whole
structure node displacement vector and P is the external node vector.
After eliminating δ𝐔 T and solving the global equation (2.10) by
Newton-Raphson method, the governing equation after the ith
iteration can be described as:(2.11)

here, 𝐊 𝒊𝒎 and 𝐑𝒊𝒎 are the tangent stiffness matrix and internal
force vector of membrane elements, which calculated by assembly
the elements stiffness in equation (2.7) and the element internal force
in equation (2.6) respectively; 𝐊 𝒊𝒈 and 𝐑𝒊𝒈 are the tangent stiffness
matrix and internal force vector of Gap elements, which calculated byassembly the elements stiffness in equation (2.9) and the element
internal force in equation (2.8) respectively depend on the status ofelements.
The displacements after (i+1)th iteration can be determined as:

1000

This updating of the node point displacements in the iteration iscontinue until the incremental displacements, ∆𝐔 𝒊 , are small ornearly zeroes. This convergence criteria will satisfy the condition ofusing the symmetric stiffness matrix of Gap elements in case ofsliding status.

1000
ETFE

3. Analysis procedures
The analysis procedures for membrane structures include Gap
elements are listed below:(a) Input data(b) Assume all Gap elements are in stick condition for the first loop of
Newton-Raphson method(c) Determinate the structure stiffness matrix at step i: 𝐊 𝒊𝒎 +𝐊 𝒊𝒈(d) Determinate the internal force vector at step i: 𝐑𝒊𝒎 + 𝐑𝒊𝒈(e) Determinate the incremental displacement vector by Eq. (2.11)(f) Check the Gap elements status: the Gap elements will be assumed
in stick status until equation (2.13) is reached. And it is assumed that
if Gap elements change into sliding status, this status will be remained
till the end of Newton-Raphson loop:√𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 − μ|𝑟𝑧 | = 0

X

5
4
3
2
1

1000

(2.12)

1000

Y

2000

𝐔 𝒊+𝟏 = 𝐔 𝒊 + ∆𝐔 𝒊

4000
2000

1000

4000
2000

1000

Steelarch

Outsideframe

H(𝐊 𝒊𝒎 + 𝐊 𝒊𝒈 )∆𝐔 𝒊 = 𝐏 − 𝐑𝒊𝒎 − 𝐑𝒊𝒈

4. Analysis examples
This numerical example is based on the experiments of new
method of form-finding for ETFE film structure.
4.1. Experiments overview
For the tension type of ETFE membrane structure, the films arepulled outward from the exterior to introduce membrane tension. In
those experiments, the stretching boundary of ETFE film with twoparallel steel arch model were took place. The dimension of
specimens are described as Fig. 2. There are three type of arch height
H (200mm, 300mm and 400mm), which determined depend on the
span of outside frame.

4x200∫ (δ𝝐𝑚 )T 𝝈𝑚 dV + δ𝐔 T 𝐑𝑔 − δ𝐔 T 𝐏 = 𝟎

Z
X

Fig.2 Specimens overview (all dimensions in millimeter)First, the outside frames and steel arches were fixed first. After
that, the flatting ETFE film was put on the steel arches and outside
frame. After the ETFE film was fixed with outside frame, the forced
displacement was input in Z direction step by step until getting thetarget values. During the experiments, the movement of offset points
on ETFE films in X and Y direction, which shown in ¼ model of
specimens in Fig. 2, were observed and were used for the forced
displacement condition in analysis. Those value can be referred in [6].
In addition, during the experiments, the sliding between the ETFE
films and steel arches were also observed at special points (from 1 to

(2.13)

11

yields an oscillated numerical solution; however the small penalty
constant typically results in easy convergence, but the numericalresults might be less reliable. In this paper, the recommendation of S.H.
Lee [7] for those value were used. The normal stiffness penalty value
kn was get as three high order than ETFE films, and the lateral stiffness
penalty value ks was get as 0.1 kn.

Table 1. Experiments results on sliding observation
Sliding distances on arch direction (mm)200_Spec
300_Spec
400_Spec

Observed points
1
0.0
0.0
1.0

2
-1.0
6.0
8.0

3
2.5
11.0
15.0

4
4.5
16.5
21.0

5
6.5
21.0
27.0

1000

G2

800

* : Fixed condition
 : Fixed in Y direction
 : Fixed in X direction
 : Gap elements

600

4.2. Input data of analysis examples
In this analysis examples, the triangular elements will be used tomodel the ETFE membrane. And the friction contact between ETFE
films and steel arch was modeled by Gap elements. The formulationsof those elements were described in section 2 and section3. The
general view of this analysis will be shown in Fig. 3. However
because of the symmetric, ¼ analysis model is used to save the timeof calculation.

400

Y Direction

Specimens

31*5) in Fig. 2. Those experiments results were shown in Table 1 at the
final step of experiments

G4
G6
G8

22*

200

0
0

500

1*

1000

1500

X Direction(mm)

2000

21*
Z direction(mm)

400
300
200
100
0
0

500

1000

1500

X direction (mm)2000

Fig. 4. Initial nodes coordinates for the modeling in case of
300mm Arch model

z
G1

y
x
G9

Fig 3. The general view of analysis model
The Fig. 4 shows the dimension of ¼ analysis model, the positionof Gap elements and the boundary conditions. In this model, twohundreds triangular ETFE membrane elements were used. The
contacts between ETFE membrane and steel arch were replaced bynine Gap elements at arch position. The input forced displacements atfixed nodes (1*31*) were determined from the experiments [6].
4.3. The assumption of local coordinate of Gap elements
In this analysis, the normal direction (z axis) of Gap element isassumed from the center of the arch to contact points. The sliding
direction (x axis) is assumed as the tangent direction of arch in point
contacts. The y direction is determined from x and z direction. This
local coordinate of Gap elements is assumed unchanged during the
calculation. The Fig. 5 illustrates the local coordinate of Gap elements.
4.4 Results and discussions
For penalty method, the large penalty constant which can achieve
convergence is strived to find. The very large penalty constant usuallyZ
Y

X

Fig. 5. The assumptions of local coordinate of Gap elements
The equivalent stresses on membrane elements and thedeformation shape, when static friction coefficient was chosen as 0.2
in case of 300mm arch model, were shown in Fig. 6. As it can be seenfrom Fig. 6, the sliding between the ETFE film and steel arch can be
only seen in arch direction. The reason can be explained as theassumption of local coordinate of Gap elements in section 4.3.
Although this results is different with experiment results, thisassumption still be used for the next investigation because the sliding

12corresponding with G2, G4, G6 and G8 Gap elements in analysis in
Fig. 4.

in arch direction is mainly observed in experiments.

Arch position

Fig. 8 The sliding results of experiments and analysis
As we can see in Fig. 8, the analysis results and experiment results
were almost the same in case of 200mm and 300mm arch models. In
case of 400mm arch model, the large difference between analysis andexperiment was observed. The reason can be explained as the sliding
in analysis was observed in x local direction of Gap elements as thetangent direction of arch, while in the experiment the sliding value
was measured on the curve of arch.

Fig. 6 The equivalent stress on membrane elements (N/m2)
A various values of static friction coefficients were used in order
to illustrate the accuracy and applicability of above proposed
procedure. In case of 300mm arch model, the figure 7 shows thesliding values between ETFE films and steel arch at 9 Gap elements
positions in Fig 2. As we can see in Fig. 7, the larger friction
coefficient the smaller sliding values. Those analysis results werecompletely coincide with the physically phenomenon.

G1

G2

G3

G4

G5

G6

G7

G8

5. Conclusions
In this research, the friction contact of ETFE film and steel arch isboth investigated by experiments and analysis. The experiments show
the large effect of friction contact on the ETFE films during theextending boundary construction work. The finite element procedure,
which combined the nonlinear geometry of membrane elements andnonlinear boundary condition of friction contact, therefore, wasproposed. The node-to-node contact elements or Gap elements whose
symmetric stiffness matrix could be used to model the friction contact
in nonlinear geometry analysis. The comparison between theexperiments and analysis illustrated the accuracy and applicability ofthe proposed method. However, the assumption of local coordinate ofGap elements should be studied more in the future in order to have abetter evaluation for the friction contact.

G9

Acknowledgements-The support for the experiments from Taiyo
Kogyo Corporation is gratefully acknowledged.

Fig. 7 The sliding results in x direction of Gap elements
300mm arch model

References[1] Kazuo Ishii: State-of-the-art report on the stress deformation
analysis of membrane structure, Research report on membrane
structures 1990, Japan, pp69-105.
[2] B. Tabarrok, Z. Qin: Nonlinear analysis of tension structures,
Computers & Structures Vol. 45, No. 5/6, pp. 973-984, 1992
[3] K.J. Bathe, A. Chaudhary: A solution method for planar andaxisymmetric contact problems, Int. J. Numer. Meth. Engng 21, 65-

In many technical reports for the properties characteristics ofETFE films, the friction coefficient between ETFE films and steel
was described as 0.2 [8]. Therefore, this value was used for the next
investigation. The figure 8 shows the sliding values in arch direction
in both experiments and analyses. The dash line shows theexperiments results while the solid line shows the analysis results.
Four observed point (25) in experiments in Fig. 2 were13

[6] Eisuke Ishida: The study on form finding via extending the outerboundary of parallel arch model using ETFE films, Bachelor Thesis(in Japanese only)[7] S.H. Lee: Rudimentary considerations for adaptive Gap/Friction
element based on the penalty method, Computers & Structures, Vol
47, No.6, pp. 1043-1056, 1[8] The technical report for ETFE films, Asahi Glass Co..

88, 1985[4] S.H. Ju, J.J. Stone, R.E. Rowlands: A New symmetric contact
element stiffness matrix for frictional contact problems, Computers &Structures, Vol 54, No.2, pp. 289-301, 1995
[5] S.H. Ju, R.E. Rowlands: A Three-dimensional frictional contact
element whose stiffness matrix is symmetric, Journal of Applied
Mechanics, Vol. 66, pp. 460-467, 1999

摩擦接触条件を考慮した ETFE 膜を用いた膜構造の非線形有限要素法
BUI Quang Hieu*1)
河端 昌也*2)
梗 概
フレームに支持された膜構造タイプでは、膜にプレストレスを導入する技術の一つが境界を延伸することである。この場合、膜と支持されたフレームの摩擦接触が観察された。したがって、摩擦接触を考慮した膜構造の解析手法が不可欠である。
本論文では、膜要素の非線形幾何と摩擦接触条件を含む非線形有限要素法について述べる。この分析では、膜要素とフレーム要素との間の摩擦接触を Gap 要素で置き換えた。提案手法を適用して、並行アーチでの筋アーチと ETFE フィルムとの間のすべりを強制変位条件下で調べる。提案された手順の精度と適用性は、実験によって確認された。

*1） 横浜国立大学大学院 都市イノベーション学府 大学院生
*2） 横浜国立大学大学院 都市イノベーション研究院 准教授

14

「膜構造研究論文集 2017」原稿応募規定
研究内容 ：膜 構 造 に 関 す る 学 術 ・ 技 術 に つ い て の 論 文 ・ 報 告 と し 、 未 発 表 の も の 。 た だ し 、 こ れ ま で 発 表された論文の展開、追加、詳細等、新しい内容が盛り込まれたものは可とします。

研 究 論 文 応 募 方 法 ：応 募 者 に 制 限 は な く 、 申 込 み 用 紙 に ア ブ ス ト ラ ク ト 数 行 程 度 を 書 き 、 膜 構 造 協 会 に ９ 月 ３ ０ 日までに申込んでください。申込みのあった方に本論文の執筆要領などを送付します。本論文の提出締切２０１7 年１２月１５日（金）研 究 論 文 査 読 方 法 ：研 究 論 文 は 協 会 に 設 け ら れ た 論 文 審 査 委 員 会 に よ り 査 読 を 行 い 、 採 否 を 決 定 し ま す 。
なお、査読を行わない、報告・記事の枠もありますので、この場合はその旨を明記の上ご応募
ください。
論

文

集 ：発 行 ２ ０ １ ８ 年 ３ 月 （ 予 定 ）著

作

権 ：掲 載 さ れ た 論 文 の 著 作 権 は 著 者 の 占 有 と し ま す が 、 協 会 は 編 集 出 版 権 を 持 つ も の と し ま す 。

論文集の配布方法

各 大 学 、研 究 所 の 他 、膜 構 造 に 関 係 の あ る 研 究 者 、設 計 者 及 び 関 係 各 位 に 無 料 配 布 を 行 な う 他 、希望者にも有料配布します。

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