分割主鏡シミュレータ II
分割鏡動作パラメータの把握 I — Result II
岡山新技術望遠鏡グループ
平成 22 年 6 月 1 日

目次
1

概要

1

2

固有値の評価2

3

ギャップセンサー配置 I
3.1 導出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3

4

ギャップセンサー配置 II
4.1 導出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
5

5

ギャップセンサー配置 III

6
7

5.1
6

導出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ギャップセンサー配置 IV

6.1

導出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
97

ギャップセンサー配置 B

26

8

まとめ

43

9

考察

43

1

概要
分割主鏡の制御系を構成するギャップセンサーについて、どういう配置が効率的で、かつ配置数を含めてどういう配置にしないと制御系が不安定になるのかを検討する必要がある。すでに、ギャップセンサーの配置が決まれば基本的な制
御系を構成するためのパラメータ、つまりギャップセンサーの読みの値からアクチュエーター制御量を導出するフィード
バックを行うパラメータが決定できることが判明している。このフィードバック制御で利用されるフィードバック変換
行列は、ギャップセンサーの配置 (とアクチュエーター位置、セグメント位置) のみで決定できることがわかっている。
ここでは、単純なギャップセンサー配置に対して、そこから生成した変換行列の固有値を評価することで制御系の安定性をどのようにすれば担保できるかについて議論する。

1

2

固有値の評価
まず、固有値の評価について考える。通常の制御系では、最大固有値に対してある固有値の比を取り、その比が小さけ

ればフィードバックに及ぼす影響が小さくなるため、フィードバック制御系の中では退化していると判断する1 。この退化の敷居値を決定する必要があるが、最も小さな敷居値は計算誤差の影響のレベルである 1e − 15 程度以下である。しかしながら、これより大きな値であってもフィードバックの中でほとんど影響を及ぼさない固有値は実質的には無視されるのと同等となるため、退化していると判断すべきである。
ここでは典型的な値として、1% (0.01) を採用する。
なお、表中の特異値は有効数字の桁数は考慮していない。図中のベクトル要素の表示は、青がマイナス、ピンクがプラス、白が 0、黒が固定されたアクチュエーターを意味し、カラーバーの範囲は 0 ∼ 1/3 となっている (白が 0、各色の最も濃い表示が 1/3 となる)。

3

ギャップセンサー配置 I
まず、最も単純な位置にギャップセンサーを配置する。配置は図 1 のようになる。

Inter-Segment Gap Sensor
Segment-Fixed Gap Sensor

図 1: ギャップセンサー配置場所
内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺では、辺を 3 等分した点に配置する。内周・外周のセグメント間では、セグメントが接している円弧の中央点とする。この中央点は、ある一つの内周セグメントとある一つの外周セグメントが接している円弧における中央点であり、内周セグメントにおいては 1/8,1/2,7/8 の 3 点にギャップセンサーが配置されることになる。
これ以外に固定点として、内周セグメントの内側および外周セグメントの外側に、セグメントと固定点の間を測定す
るギャップセンサーを定義する。位置は各セグメントの中央点である。
1 数学的には、固有値を求めた行列で行退化していることに相当する。

2

値としては、内周セグメントの辺について x = 363.833, 477.667、外周セグメントの辺について x = 367.52, 428.86、
内周セグメントと外周セグメントの境界について、内周セグメント外側の円弧の x = −442.625, 0, 442.625 となる。

3.1

導出結果

次の各パターンに対して固有値を求めた。固有値は表 1 となる。(注: 有効桁数は考慮していない) 退化数は、上述の条件で行退化していると考えられる固有値の数、そのカッコ内は計算誤差のレベルで退化している固有値の数である。

1. 54 個のセグメント間ギャップセンサーのみ
2. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 3 個
3. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 6 個全部
4. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側・外周外側のギャップセンサー各 3 個ずつ
表 1: 導出された固有値

ID 1-1ID 1-2

ID 1-3ID 1-4Eigen

3.520813.520813.520813.52081

退化数

7 (5)

4 (2)

2

3 (1)

1
2

1
0.97551210.980399

1
0.983916

10.987242

3
40.975512
0.923299

0.980399
0.929748

0.983916
0.937749

0.987242
0.9404475670.923299
0.899004
0.881762

0.929748
0.899004
0.881762

0.937749
0.899004
0.881762

0.940447
0.913205
0.899004

890.877945
0.877945

0.879412
0.879412

0.881706
0.880885

0.881096
0.881096

1011
12

0.868096
0.81799
0.817990.877672
0.82238
0.822380.880885
0.836979
0.826219

0.879729
0.826834
0.826834

13
140.808911
0.808911

0.810636
0.810636

0.826219
0.813244

0.817989
0.8179891516
170.777993
0.749607
0.736391

0.802225
0.764692
0.756109

0.813244
0.768532
0.768532

0.803383
0.764838
0.758819

18
190.736391
0.701873

0.756109
0.707599

0.767034
0.719472

0.758819
0.7093282021220.701873
0.692332
0.670922

0.707599
0.696612
0.672293

0.719472
0.705812
0.673734

0.709328
0.698503
0.673615

23
240.670922
0.656585

0.672293
0.656585

0.673734
0.656585

0.673615
0.670955

25
26
27

0.577452
0.533131
0.533131

0.599627
0.557372
0.557372

0.610877
0.570882
0.570882

0.599689
0.583024
0.5830243

表 1: 導出された固有値

4

ID 1-1ID 1-2

ID 1-3ID 1-428

0.409065

0.418952

0.4409780.458257

2930
310.409065
0.361460.350059

0.418952
0.379701
0.379701

0.4409780.384241
0.384241

0.458257
0.422753
0.38612232
33

0.350059
0.342281

0.362312
0.347615

0.370485
0.367754

0.386122
0.3477273435
360.244453
0.244453
0.161454

0.295792
0.295792
0.229732

0.367754
0.347785
0.343074

0.295871
0.295871
0.261035

37
380.117693
0.117693

0.161454
0.129063

0.161454
0.136255

0.2407430.240743

39
40
410.115711
0.0628034
0.0628034

0.129063
0.115711
0.0946956

0.136255
0.115711
0.113909

0.226806
0.115711
0.114892

42
430.0573366
0.0573366

0.0946956
0.0597651

0.113909
0.0663248

0.114892
0.106593

4445
460.0545957
0.0545957
0.045895

0.0597651
0.0550182
0.0550182

0.0663248
0.0596645
0.0596645

0.0861737
0.0861737
0.0559563

47
48

0.0396505
0.00354072

0.0458578
0.0177207

0.0510881
0.0178713

0.0559563
0.0458395

49
50
51

0.00354072
2.09923e-16
1.6416e-16

0.0121525
0.0121525
0.00272714

0.0156668
0.0156668
0.0107223

0.0355925
0.0355925
0.0152556

52
53

8.34811e-17
4.70679e-17

0.00272714
1.53006e-16

0.0107223
1.69755e-16

0.00855841
0.00855841

543.23166e-17

6.48109e-17

1.11922e-16

1.40952e-16

ギャップセンサー配置 II

I から内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺につけたギャップセンサーをずらしてみる。
内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺では、辺を 4 等分した点の、1/4 と 3/4 に配置する。内周・外周のセグメント間については、I と同じくセグメントが接している円弧の中央点とする。この中央点は、ある一つの内周セグメントとある一つの外周セグメントが接している円弧における中央点であり、内周セグメントにおいては

1/8,1/2,7/8 の 3 点にギャップセンサーが配置されることになる。
これ以外に固定点として、内周セグメントの内側および外周セグメントの外側に、セグメントと固定点の間を測定す
るギャップセンサーを定義する。位置は各セグメントの中央点である。
値としては、内周セグメントの辺について x = 335.375, 506.125、外周セグメントの辺について x = 352.185, 444.195、
内周セグメントと外周セグメントの境界について、内周セグメント外側の円弧の x = −442.625, 0, 442.625 となる。

4

4.1

導出結果

次の各パターンに対して固有値を求めた。固有値は表 2 となる。(注: 有効桁数は考慮していない) 退化数は、上述の条件で行退化していると考えられる固有値の数、そのカッコ内は計算誤差のレベルで退化している固有値の数である。

1. 54 個のセグメント間ギャップセンサーのみ
2. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 3 個
3. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 6 個全部
4. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側・外周外側のギャップセンサー各 3 個ずつ
表 2: 導出された固有値

ID 2-1

ID 2-2ID 2-3ID 2-4Eigen

3.54872

3.54872

3.54872

3.54872

退化数

7 (5)

4 (2)

2

1

1

1

1

1

1

2
3

0.977451
0.977451

0.981908
0.981908

0.984771
0.984771

0.992866
0.992866

4560.934143
0.934143
0.897621

0.940663
0.940663
0.904052

0.949255
0.949255
0.90536

0.952592
0.952592
0.939778

7
80.896150.895906

0.896150.895906

0.896150.895906

0.899551
0.895906

910110.879207
0.879207
0.827686

0.880383
0.880383
0.856843

0.89018
0.881395
0.881395

0.883835
0.883835
0.8578891213
140.827686
0.821828
0.820176

0.828941
0.828941
0.823762

0.832593
0.832593
0.828628

0.838095
0.838095
0.824731

15
160.820176
0.781383

0.823762
0.802492

0.828628
0.809732

0.824731
0.8055071718
190.781383
0.760483
0.744851

0.802492
0.763388
0.751761

0.809732
0.767925
0.767925

0.805507
0.763423
0.752271

20210.744851
0.733575

0.751761
0.739496

0.763887
0.752117

0.752271
0.739766

22
23
24

0.669881
0.669881
0.668576

0.672072
0.672072
0.668576

0.674212
0.674212
0.668576

0.681922
0.673639
0.673639

25
26

0.59163
0.560279

0.612902
0.577887

0.624759
0.588722

0.61296
0.599334

27
28
29

0.560279
0.449602
0.449602

0.577887
0.469723
0.469723

0.588722
0.472383
0.472383

0.599334
0.487938
0.48793830

0.446417

0.449405

0.459190.4620515表 2: 導出された固有値

5

ID 2-1

ID 2-2ID 2-3ID 2-431

0.446417

0.449405

0.459190.462051

32
33
34

0.427136
0.407153
0.290892

0.427450.407181
0.347832

0.427523
0.419018
0.419018

0.445725
0.427443
0.34974935
360.290892
0.228541

0.347832
0.235467

0.407328
0.351023

0.349749
0.297563

37
38
390.167517
0.167517
0.115082

0.228541
0.174080.17408

0.228541
0.182676
0.182676

0.256528
0.256528
0.234982

40
41

0.0843749
0.0843749

0.115082
0.110898

0.124994
0.124994

0.141940.1419442
43
44

0.0820451
0.0820451
0.0733541

0.110898
0.0822755
0.0822755

0.115082
0.0822772
0.0822772

0.139413
0.115082
0.104993

45
46

0.0733541
0.0628357

0.0740402
0.0740402

0.0799386
0.0799386

0.104993
0.0755723

47
48
49

0.046695
0.00404062
0.00404062

0.0627891
0.0207394
0.0162338

0.0650186
0.0209357
0.0190924

0.0755723
0.0627759
0.0495419

50
51

1.40605e-16
1.27694e-16

0.0162338
0.00314549

0.0190924
0.0149049

0.0495419
0.0177276

52
53
54

6.72492e-17
5.17043e-17
3.38005e-18

0.00314549
1.66023e-16
9.01616e-17

0.0149049
1.5591e-16
1.18948e-16

0.0113847
0.0113847
1.24067e-16

ギャップセンサー配置 III
II から内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺につけたギャップセンサーをずらしてみる。
内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺では、辺を 4 等分した点の、セグメント ID が 3n + 1の場合は 1/4,1/2 に、セグメント ID が 3n + 2 の場合は 1/4,3/4 に、セグメント ID が 3n の場合は 1/2,3/4 にそれぞれ配置する。
内周・外周のセグメント間については、I, II と同じくセグメントが接している円弧の中央点とする。この中央点は、ある一つの内周セグメントとある一つの外周セグメントが接している円弧における中央点であり、内周セグメントにおいては 1/8,1/2,7/8 の 3 点にギャップセンサーが配置されることになる。
これ以外に固定点として、内周セグメントの内側および外周セグメントの外側に、セグメントと固定点の間を測定す
るギャップセンサーを定義する。位置は各セグメントの中央点である。

値としては、内周セグメントの辺について x = 335.375, 420.75, 506.125、外周セグメントの辺について x = 352.185, 398.19, 444.195、
内周セグメントと外周セグメントの境界について、内周セグメント外側の円弧の x = −442.625, 0, 442.625 となる。

6

5.1

導出結果

次の各パターンに対して固有値を求めた。固有値は表 3 となる。(注: 有効桁数は考慮していない) 退化数は、上述の条件で行退化していると考えられる固有値の数、そのカッコ内は計算誤差のレベルで退化している固有値の数である。

1. 54 個のセグメント間ギャップセンサーのみ
2. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 3 個
3. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 6 個全部
4. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側・外周外側のギャップセンサー各 3 個ずつ固有値の最大との比は、比が小さいものでは少し減少している。つまり、II よりも行退化の度合いが少し大きいといえる。
表 3: 導出された固有値

ID 3-1

ID 3-2

ID 3-3ID 3-4Eigen

3.54872

3.54872

3.54872

3.54872

退化数

7 (5)

5 (2)

3 (2)

3 (1)

1

1

1

1

1

2
3
4

0.997951
0.949898
0.944024

0.997364
0.956307
0.948311

0.997546
0.960476
0.954097

0.993133
0.965098
0.949042

5
60.940796
0.928066

0.939139
0.925609

0.939648
0.923494

0.944507
0.92751778
90.888932
0.879333
0.872621

0.893349
0.878374
0.872685

0.896538
0.877995
0.872702

0.903003
0.874997
0.8720461011120.870609
0.821306
0.817972

0.868493
0.825212
0.822426

0.867371
0.82565
0.825120.870607
0.825614
0.822479

13
14

0.789827
0.789267

0.805961
0.791225

0.817797
0.809202

0.803463
0.788805

15
16
170.7658020.755566
0.732311

0.782651
0.764516
0.742919

0.782722
0.781911
0.751919

0.782608
0.762380.741093

18
190.704597
0.695299

0.713369
0.701622

0.715257
0.710581

0.712213
0.705392

20
21
220.684354
0.660372
0.655646

0.684362
0.663514
0.656595

0.686321
0.667172
0.660325

0.682111
0.660884
0.655299

23
24

0.641379
0.63371

0.641261
0.634313

0.640953
0.635757

0.639453
0.6368125
26
27

0.573387
0.567845
0.471359

0.585122
0.57991
0.515727

0.593198
0.583507
0.534364

0.597818
0.581607
0.533735

28

0.424652

0.431782

0.454490.4600517表 3: 導出された固有値

6

ID 3-1

ID 3-2

ID 3-3ID 3-429

0.411725

0.42198

0.429787

0.45051730
31
320.408636
0.338701
0.310051

0.415855
0.350538
0.335805

0.427653
0.381301
0.355497

0.427116
0.391398
0.336732

33
34

0.290385
0.253759

0.303287
0.295221

0.352314
0.337885

0.326749
0.294233

35
36
370.219017
0.147878
0.125808

0.2721220.220147
0.155225

0.312641
0.296456
0.158441

0.279297
0.261662
0.229149

38
39

0.113324
0.0963026

0.134717
0.113179

0.146450.112921

0.219075
0.211486

4041
420.0765637
0.0659432
0.0562139

0.11086
0.0927518
0.085745

0.112331
0.110176
0.101895

0.123513
0.112447
0.107453

43
440.0511861
0.0480499

0.0676194
0.0634674

0.0733013
0.0682586

0.0967469
0.0838038

45
46
47

0.0405513
0.0359349
0.0356812

0.0497148
0.0432625
0.0370019

0.0553096
0.0505743
0.041111

0.075516
0.0645062
0.0481651

48
49

0.00351346
0.00309221

0.0161977
0.0121482

0.0171494
0.0159964

0.0432606
0.0316409

50
51
52

1.42649e-16
1.10702e-16
9.75883e-17

0.00973487
0.00272209
0.00235421

0.0128941
0.011862
0.00846742

0.0282381
0.0138562
0.0086921

53
54

4.66358e-17
2.73621e-17

2.12132e-16
3.51423e-17

2.24988e-16
1.35506e-16

0.00684255
1.34252e-16

ギャップセンサー配置 IV
ギャップセンサー配置 I に対し、内周・外周の間にもう一つずつ追加する。内周のセグメント同士・外周のセグメント同士が接している辺では、辺を 3 等分した点に配置する。内周・外周のセグメント間では、セグメントが接している円
弧が長い部分では 1/4,3/4 に、短い部分では中央点に配置する。なお、これらの点は、各円弧内での位置とする。このとき、内周セグメントにおいては 1/8,3/8,5/8,7/8 の 4 点にギャップセンサーが配置されることになる。
これ以外に固定点として、内周セグメントの内側および外周セグメントの外側に、セグメントと固定点の間を測定す
るギャップセンサーを定義する。位置は各セグメントの中央点である。
値としては、内周セグメントの辺について x = 363.833, 477.667、外周セグメントの辺について x = 367.52, 428.86、内周セグメントと外周セグメントの境界について、内周セグメント外側の円弧の x = −442.625, −154.412, 154.412, 442.625
となる。

8

6.1

導出結果

次の各パターンに対して固有値を求めた。固有値は表 4 となる。(注: 有効桁数は考慮していない) 退化数は、上述の条件で行退化していると考えられる固有値の数、そのカッコ内は計算誤差のレベルで退化している固有値の数である。

1. 54 個のセグメント間ギャップセンサーのみ
2. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 3 個
3. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側のギャップセンサー 6 個全部
4. 54 個のセグメント間ギャップセンサー、内周内側・外周外側のギャップセンサー各 3 個ずつ
表 4: 導出された固有値

ID 4-1

ID 4-2

Eigen
退化数

9

ID 4-3ID 4-4

3.52081

3.434593.43459

3.25076

3.25076

3.16522

3.10452

3.09107

3.091073.05642.879992.87999

2.848022.848022.73916

2.639222.592692.59269

2.47116

2.47116

2.43757

2.362192.362192.31171

2.0331

1.87705

1.877051.440241.44024

1.27263

1.23249

1.23249

1.20510.860671

0.860671

0.568449

0.414376

0.414376

0.407397

0.2211190.2211190.201871

0.201871

0.1922210.1922210.161587

0.139602

0.0124662

0.0124662

7.39098e-16

5.77976e-16

2.93921e-16

1.65717e-16

1.13781e-16

図 2: ID 1-1 に対する特異ベクトルの一覧

103.52081

3.45183.45183.27346

3.27346

3.16522

3.10452

3.09624

3.09624

3.090112.895442.895442.854092.854092.82448

2.69233

2.662112.662112.49132

2.49132

2.452642.36701

2.36701

2.31171

2.111171.9624

1.96241.47505

1.47505

1.33685

1.33685

1.27563

1.22389

1.041431.041430.808841

0.568449

0.454406

0.454406

0.407397

0.333405

0.333405

0.210421

0.210421

0.193709

0.193709

0.161456

0.0623913

0.0427867

0.0427867

0.00960172

0.00960172

5.38706e-16

2.28187e-16

図 3: ID 1-2 に対する特異ベクトルの一覧

113.52081

3.46418

3.46418

3.301633.30163

3.16522

3.10452

3.10432

3.10143

3.101432.946842.90896

2.90896

2.86328

2.863282.70585

2.705852.70058

2.533122.533122.485032.372092.372092.31171

2.150782.009962.00996

1.55261.55261.35284

1.352841.304411.29479

1.29479

1.224481.20790.568449

0.479729

0.479729

0.407397

0.401053

0.401053

0.233517

0.233517

0.210067

0.210067

0.179871

0.0629215

0.0551599

0.0551599

0.0377513

0.0377513

5.97675e-16

3.94056e-16

図 4: ID 1-3 に対する特異ベクトルの一覧

123.52081

3.47589

3.47589

3.311133.311133.215223.165223.102173.10217

3.097362.911122.911122.87998

2.87998

2.82856

2.69285

2.67166

2.671662.497412.497412.45932.37167

2.371672.36232.11139

2.05272

2.05272

1.613441.613441.48843

1.35946

1.35946

1.22428

1.04171

1.04171

0.919053

0.84761

0.84761

0.798541

0.407397

0.404514

0.404514

0.375292

0.303401

0.303401

0.197011

0.197011

0.161392

0.125314

0.125314

0.0537121

0.0301325

0.0301325

4.96263e-16

図 5: ID 1-4 に対する特異ベクトルの一覧

133.54872

3.46873.46873.31501

3.31501

3.185413.18018

3.17932

3.12006

3.12006

2.937232.937232.916432.91058

2.91058

2.77291

2.772912.698742.64326

2.64326

2.60325

2.377222.377222.37259

2.09953

1.98827

1.98827

1.59551

1.59551

1.584211.584211.51578

1.44487

1.03229

1.03229

0.811027

0.594470.59447

0.408392

0.299423

0.299423

0.291155

0.2911550.260313

0.260313

0.222986

0.165707

0.014339

0.014339

4.98967e-16

4.53149e-16

2.38648e-16

1.83484e-16

1.19949e-17

図 6: ID 2-1 に対する特異ベクトルの一覧

143.54872

3.484513.48451

3.33815

3.33815

3.20823

3.18018

3.17932

3.12423

3.124233.04069

2.94168

2.94168

2.92332.9233

2.84782

2.847822.70905

2.66779

2.66779

2.62426

2.384992.384992.37259

2.175022.050762.05076

1.66691

1.66691

1.594811.594811.51691.44497

1.23436

1.234360.835607

0.811027

0.617762

0.617762

0.408392

0.393546

0.393546

0.291972

0.291972

0.262748

0.262748

0.222821

0.0735984

0.0576091

0.0576091

0.0111625

0.0111625

5.89168e-16

3.19958e-16

図 7: ID 2-2 に対する特異ベクトルの一覧

15

3.54872

3.494673.494673.368643.36864

3.21287

3.18018

3.17932

3.159

3.12782

3.12782

2.954642.954642.94057

2.94057

2.87351

2.873512.72515

2.725152.710822.66905

2.392592.392592.372592.217092.089212.089211.67635

1.67635

1.62954

1.62954

1.51716

1.48698

1.48698

1.44549

1.24568

0.811027

0.648264

0.648264

0.443568

0.443568

0.408392

0.291979

0.291979

0.283679

0.283679

0.230733

0.0742948

0.0677534

0.0677534

0.0528933

0.0528933

5.5328e-16

4.22112e-16

図 8: ID 2-3 に対する特異ベクトルの一覧

163.54872

3.52343.52343.380483.38048

3.33501

3.19225

3.17932

3.136483.136483.044412.974162.97416

2.92674

2.92674

2.858522.85852

2.709172.66962.66962.625222.41995

2.39055

2.39055

2.17522

2.12687

2.12687

1.73155

1.73155

1.63969

1.63969

1.58175

1.51688

1.241161.24116

1.055970.910346

0.910346

0.833884

0.503707

0.503707

0.494737

0.408392

0.372591

0.372591

0.268185

0.268185

0.222774

0.175810.175810.0629103

0.0404012

0.0404012

4.40279e-16

図 9: ID 2-4 に対する特異ベクトルの一覧

17

3.59774

3.59037

3.41749

3.39636

3.38474

3.33894

3.19815

3.16361

3.13947

3.132232.95485

2.94285

2.84159

2.83958

2.75516

2.71833

2.634672.534962.50152.462132.37585

2.35884

2.307512.279932.06292.04296

1.69583

1.52779

1.48128

1.470171.21856

1.115481.04473

0.912960.787968

0.532026

0.452626

0.40771

0.346472

0.275456

0.237246

0.202243

0.184155

0.172871

0.145893

0.129285

0.128372

0.0126405

0.011125

5.13214e-16

3.98279e-16

3.51097e-16

1.67783e-16

9.84419e-17

図 10: ID 3-1 に対する特異ベクトルの一覧

18

3.60751

3.597993.44988

3.42104

3.38795

3.339143.22276

3.16874

3.148223.13309

2.976962.966912.907512.85435

2.823422.757992.68008

2.573482.531112.46884

2.393632.368672.31335

2.28829

2.11083

2.092031.86049

1.55766

1.52231.5002

1.26457

1.211421.094111.06501

0.98168

0.794182

0.559975

0.485992

0.408294

0.399927

0.334603

0.309325

0.243937

0.228959

0.179346

0.156070.133484

0.0584331

0.0438246

0.0351186

0.00981994

0.00849283

7.65267e-16

1.26776e-16

図 11: ID 3-2 に対する特異ベクトルの一覧

193.61601

3.607143.473093.45002

3.39778

3.33936

3.24189

3.17484

3.15573.136422.98556

2.983642.95716

2.926092.83033

2.82742.71895

2.58638

2.56947

2.48174

2.41252.38774

2.317692.29892.14501

2.10997

1.93227

1.643441.55411

1.5464

1.37879

1.285481.273971.22181.13051

1.07199

0.572926

0.529564

0.408324

0.406189

0.398397

0.368453

0.265058

0.2468240.2

0.182877

0.148658

0.0620123

0.0578433

0.0466253

0.0428931

0.0306183

8.13558e-16

4.89993e-16

図 12: ID 3-3 に対する特異ベクトルの一覧

20

3.62878

3.60386

3.502133.44387

3.42741

3.36576

3.27683.17518

3.16447

3.15925

2.995982.98462.91562.86242.83992

2.766512.68927

2.58447

2.55972

2.47523

2.398212.37794

2.32044

2.31085

2.16935

2.11053

1.936811.669431.63483

1.54991

1.4203

1.22193

1.18571.06771

1.01351

0.949517

0.831533

0.794975

0.767436

0.448202

0.408047

0.389924

0.351074

0.3041060.274031

0.234079

0.174781

0.156984

0.114818

0.102470.050281

0.0315418

0.0248301

4.87172e-16

図 13: ID 3-4 に対する特異ベクトルの一覧

21

3.54844

3.50192

3.50192

3.42397

3.42397

3.38219

3.35871

3.252223.25222

3.21823

3.138023.138023.13673

3.13673

3.10452

2.91382.91382.89779

2.78789

2.787892.666452.42858

2.42858

2.420122.09218

1.90162

1.90162

1.478611.47861

1.29662

1.29234

1.29234

1.256640.88961

0.88961

0.705182

0.568046

0.518498

0.518498

0.369549

0.369549

0.225490.22549

0.205677

0.205677

0.164847

0.124064

0.0574849

0.0282349

0.0282349

7.49293e-16

5.53158e-16

4.8816e-16

3.89098e-16

図 14: ID 4-1 に対する特異ベクトルの一覧

223.55186

3.55186

3.548443.46313.45498

3.45498

3.367113.26006

3.26006

3.21823

3.14106

3.14106

3.13688

3.13688

3.10452

2.924172.924172.89783

2.78798

2.78798

2.69134

2.43924

2.43924

2.420122.232422.008622.00862

1.51165

1.51165

1.40976

1.40976

1.29786

1.27775

1.0715

1.07150.812374

0.705182

0.568046

0.534170.534170.424463

0.424463

0.309292

0.309292

0.221336

0.221336

0.164629

0.0574849

0.0504431

0.0460798

0.0460798

0.0203536

0.0203536

7.44954e-16

図 15: ID 4-2 に対する特異ベクトルの一覧

23

3.56376

3.56376

3.548443.522513.522513.48973.43067

3.26968

3.26968

3.21823

3.14307

3.14307

3.13785

3.13785

3.10452

2.93486

2.93486

2.89787

2.78808

2.788082.719432.450472.450472.420122.31177

2.071212.071211.57605

1.57605

1.43361

1.43361

1.35256

1.35256

1.30808

1.278961.244240.705182

0.568046

0.548909

0.548909

0.463769

0.463769

0.311852

0.311852

0.299218

0.299218

0.18304

0.0589095

0.0589095

0.0574849

0.0507895

0.038134

0.038134

9.32498e-16

図 16: ID 4-3 に対する特異ベクトルの一覧

24

3.57015

3.57015

3.548443.46926

3.46767

3.46767

3.381783.26065

3.26065

3.21823

3.17357

3.17357

3.168313.140393.140392.94227

2.932022.932022.834192.83419

2.691452.45901

2.446

2.446

2.23284

2.08705

2.08705

1.64999

1.64999

1.51774

1.43334

1.43334

1.27815

1.07208

1.07208

0.996097

0.910438

0.910438

0.808488

0.568046

0.463456

0.463456

0.416434

0.379147

0.379147

0.23605

0.23605

0.166146

0.166146

0.164584

0.0540803

0.0378643

0.0348717

0.0348717

図 17: ID 4-4 に対する特異ベクトルの一覧

25

7

ギャップセンサー配置 B
ここでは、上記 I – IV のそれぞれについて外周のアクチュエーターを 3 つ固定したパターンについて計算する。また、特異ベクトルの一覧のみを表示する。
ギャップセンサーの配置などについては上記 I – IV と変わりない。

26

3.51153

3.42263.4226

3.2343

3.23433.12336

3.05701

3.00508

3.00508

2.964342.85074

2.850742.73749

2.73582

2.735822.62479

2.566012.56601

2.46191

2.461912.436992.305432.305432.076222.00781.79105

1.79105

1.34819

1.348191.23307

1.11286

1.11286

1.03172

0.79823

0.79823

0.568440.408147

0.408147

0.349225

0.212415

0.212415

0.199744

0.199744

0.140961

0.121413

0.121413

0.108943

0.00910792

0.00910792

8.03437e-16

4.73322e-16

図 18: Model B ID 1-1 に対する特異ベクトルの一覧

27

3.51153

3.44301

3.44301

3.25211

3.25211

3.123483.090423.025093.025092.964362.854212.854212.82375

2.73608

2.73608

2.677652.647612.647612.476272.476272.452592.316392.316392.130692.03081.88468

1.88468

1.43858

1.43858

1.25114

1.12251

1.12251

1.03471

1.02634

1.02634

0.808779

0.56844

0.425714

0.425714

0.3491720.312049

0.312049

0.204078

0.204078

0.147398

0.147398

0.11170.0605699

0.0152919

0.0152919

3.30986e-16

図 19: Model B ID 1-2 に対する特異ベクトルの一覧

28

3.51153

3.454433.454433.28932

3.28932

3.12353

3.10432

3.02566

3.02566

2.97157

2.938432.867392.867392.737032.737032.690652.690652.68772

2.524992.524992.48445

2.33947

2.33947

2.16356

2.03658

1.911081.91108

1.51319

1.51319

1.32771

1.32771

1.278191.21554

1.10264

1.102641.03086

0.568440.469547

0.469547

0.354946

0.354946

0.350960.217943

0.217943

0.165618

0.165618

0.124372

0.0607429

0.0474413

0.0474413

5.53239e-16

図 20: Model B ID 1-3 に対する特異ベクトルの一覧

29

3.51156

3.468623.468623.292223.292223.21247

3.11348

3.032

3.032

2.97632

2.88872.88872.828512.741392.741392.681122.654492.654492.48222.48222.457932.32538

2.32538

2.15287

2.075

1.99297

1.99297

1.564091.564091.40419

1.13992

1.13992

1.12441.03071.03070.87263

0.838965

0.838965

0.79435

0.382078

0.352726

0.352726

0.33237

0.296433

0.296433

0.175719

0.175719

0.107141

0.0910877

0.0910877

0.0536496

図 21: Model B ID 1-4 に対する特異ベクトルの一覧

30

3.5404

3.459123.459123.303293.30329

3.18539

3.18003

3.049973.04997

3.021912.933142.933142.91073

2.79872

2.798722.723992.723992.68904

2.618022.618022.597132.331022.331022.161072.037221.90738

1.90738

1.58852

1.58852

1.494141.31766

1.31766

1.20476

0.979684

0.979684

0.810501

0.583263

0.583263

0.356823

0.296759

0.296759

0.277769

0.277769

0.170452

0.162718

0.162718

0.145684

0.0105043

0.0105043

5.53388e-16

3.05585e-16

図 22: Model B ID 2-1 に対する特異ベクトルの一覧

31

3.54041

3.47768

3.47768

3.323213.323213.208223.18003

3.06459

3.06459

3.05353

3.001672.93346

2.933462.852212.85221

2.753

2.753

2.69935

2.644372.644372.622022.344932.34493

2.210822.06057

1.980621.98062

1.64706

1.64706

1.49535

1.32257

1.32257

1.204811.19791.19790.835555

0.81050.594343

0.594343

0.370044

0.370044

0.356797

0.283036

0.283036

0.190415

0.190415

0.151846

0.0715926

0.0199508

0.0199508

4.74048e-16

図 23: Model B ID 2-2 に対する特異ベクトルの一覧

32

3.54041

3.48674

3.48674

3.360313.360313.21283

3.18003

3.15933.06513

3.065133.016192.94332.94332.88774

2.88774

2.773442.773442.70468

2.691222.691222.66165

2.36372

2.36372

2.23951

2.07355

2.00586

2.00586

1.65432

1.65432

1.54305

1.54305

1.49547

1.27119

1.27119

1.26199

1.189450.81050.633565

0.633565

0.409887

0.409887

0.357840.289249

0.289249

0.198627

0.198627

0.157293

0.0720417

0.0612164

0.0612164

7.72579e-16

図 24: Model B ID 2-3 に対する特異ベクトルの一覧

33

3.54048

3.51743.51743.36783

3.36783

3.33083.19093.080093.08009

3.05356

3.01857

2.96346

2.96346

2.86192

2.86192

2.753542.753542.70097

2.646852.646852.624212.35662.35662.231022.099022.063122.063121.72824

1.72824

1.54452

1.34656

1.34656

1.30959

1.19843

1.198431.024240.906208

0.906208

0.833807

0.485803

0.467949

0.467949

0.351385

0.344336

0.344336

0.244029

0.244029

0.1452140.122658

0.122658

0.0628605

図 25: Model B ID 2-4 に対する特異ベクトルの一覧

34

3.58637

3.56679

3.41572

3.367193.35904

3.2532

3.18773.13439

3.05594

3.04455

2.91618

2.847622.77289

2.762742.72415

2.692672.61327

2.522612.48105

2.41982

2.372392.34532.25634

2.06404

2.0272

1.85729

1.64395

1.49805

1.39891

1.21103

1.13695

1.02604

0.957110.86151

0.736964

0.529268

0.447774

0.357809

0.333939

0.254361

0.205358

0.18156

0.164434

0.134156

0.128656

0.106233

0.0857432

0.00921133

0.00813512

5.38502e-16

3.30291e-16

図 26: Model B ID 3-1 に対する特異ベクトルの一覧

35

3.5993.575843.44605

3.38934

3.36533

3.25693

3.213213.136413.062223.059682.964022.87409

2.83418

2.792422.741862.72442.66804

2.569042.51292.43522.384812.35275

2.27069

2.09846

2.06405

1.87932

1.83197

1.54181.45492

1.24803

1.15851.07347

1.045390.992154

0.956753

0.792007

0.558639

0.465932

0.374599

0.344130.320617

0.277902

0.220968

0.194507

0.153595

0.129314

0.0914815

0.0564517

0.0151449

0.0133499

4.51322e-16

図 27: Model B ID 3-2 に対する特異ベクトルの一覧

36

3.60345

3.590113.47043.42729

3.37311

3.26145

3.22971

3.145

3.069813.06423

2.98368

2.92612.873082.82958

2.80679

2.736442.69022.57845

2.56162.461812.412492.360932.283192.12942.07571.93479

1.84456

1.59673

1.53985

1.41267

1.26806

1.23472

1.227191.0866

1.06433

0.963083

0.568282

0.519021

0.392755

0.371265

0.350823

0.318246

0.229695

0.211825

0.161130.156341

0.107995

0.0574877

0.0485851

0.0433521

4.12537e-16

図 28: Model B ID 3-3 に対する特異ベクトルの一覧

37

3.61115

3.588393.49027

3.42233.403613.318113.26472

3.15663.07649

3.065672.987482.88685

2.843622.806912.744112.727232.67938

2.580292.53597

2.443822.38837

2.35383

2.28559

2.13672

2.09108

1.962391.911441.64408

1.56195

1.3686

1.22824

1.15345

1.05675

1.047120.970734

0.939211

0.826154

0.787866

0.736657

0.428744

0.355739

0.340584

0.325048

0.270905

0.267275

0.203407

0.144971

0.117422

0.0883506

0.0708725

0.0499722

図 29: Model B ID 3-4 に対する特異ベクトルの一覧

38

3.54583

3.496453.496453.41761

3.41761

3.380193.35594

3.250073.25007

3.14373

3.13692

3.13692

3.03588

3.035882.98836

2.89649

2.79974

2.79974

2.70272

2.70272

2.652812.35524

2.35524

2.15353

2.06829

1.82391

1.82391

1.39031.3903

1.27152

1.16288

1.16288

1.07672

0.82146

0.82146

0.7051520.514711

0.514711

0.481174

0.346408

0.346408

0.21250.21250.142922

0.142922

0.12777

0.112504

0.0482144

0.0202472

0.0202472

5.59337e-16

図 30: Model B ID 4-1 に対する特異ベクトルの一覧

39

3.54827

3.54827

3.54592

3.457633.445483.445483.36679

3.258133.25813

3.14395

3.13864

3.138643.04399

3.043992.988892.896522.801732.80173

2.70698

2.706982.68046

2.375162.37516

2.25023

2.10968

1.940311.940311.48478

1.48478

1.28844

1.175131.175131.081431.05415

1.05415

0.812156

0.705152

0.519525

0.519525

0.481148

0.391295

0.391295

0.277733

0.277733

0.179698

0.179698

0.116440.0516774

0.0463989

0.0234996

0.0234996

図 31: Model B ID 4-2 に対する特異ベクトルの一覧

40

3.51156

3.468623.468623.292223.292223.21247

3.11348

3.032

3.032

2.97632

2.88872.88872.828512.741392.741392.681122.654492.654492.48222.48222.457932.32538

2.32538

2.15287

2.075

1.99297

1.99297

1.564091.564091.40419

1.13992

1.13992

1.12441.03071.03070.87263

0.838965

0.838965

0.79435

0.382078

0.352726

0.352726

0.33237

0.296433

0.296433

0.175719

0.175719

0.107141

0.0910877

0.0910877

0.0536496

図 32: Model B ID 4-3 に対する特異ベクトルの一覧

41

3.56818

3.56818

3.54592

3.464473.45628

3.45628

3.381783.25883.25883.18034

3.17167

3.17167

3.052423.052423.028212.936392.845122.845122.71315

2.713152.682622.38587

2.38587

2.257112.14955

2.030362.03036

1.61793

1.617931.44498

1.19104

1.19104

1.19024

1.05901

1.05901

0.939992

0.904798

0.904798

0.807352

0.493215

0.421521

0.421521

0.38953

0.353894

0.353894

0.203559

0.203559

0.124808

0.124808

0.114059

0.0477307

図 33: Model B ID 4-4 に対する特異ベクトルの一覧

42

8

まとめ
各モデルに対して行退化数をまとめると 5 のようになる。
表 5: 各モデルでの固有値の行退化数

9

model

mode 1mode 2mode 3mode 4

備考

Model A I

7 (5)

4 (2)

2

3 (1)

最もシンプル

Model A II
Model A III
Model A IV

7 (5)
7 (5)
6 (4)

4 (2)
5 (2)
3 (1)

2
3 (2)
1

1
3 (1)
2 (0)

辺間を 1/4,3/4 にModel B I
Model B II

4 (2)
4 (2)

3 (2)
3 (1)

1
1

0
0

Model B III
Model B IV

4 (2)
3 (1)

3 (1)
2 (0)

1
0

0
0

辺間を 1/4,1/2,3/4 で分散
内・外周間に 1 つずつ追加

考察
対固定点のギャップセンサーなしでは退化数が 3 以上となり、主鏡全体の傾きなどの軸数以上に退化している。計算誤差のレベルでの退化数でも 3 を超えており、これは多少ギャップセンサーを同じ位置につけないなどの方法で動かしたのでは退化が解けない可能性が高い。
対固定点のギャップセンサーを取り付けることは、有効な影響を及ぼしているといえる。しかしながら、すべての固有値が計算誤差のレベル以上で有効な値を出すには、対固定点のギャップセンサーが 6 個では足らないともいえる。
ギャップセンサーの取り付け位置を、1/3 の点と 1/4 の点の 2 種類試した I, II の結果比較では、計算誤差レベルの行
退化している固有値には改善が見られなかったが、有効な固有値の退化度合い (?) は改善した。また、1/4 を基本に配置を多少ばらした III と II を比較すると、III の方が退化度合いが大きくなった。この結果からは、ギャップセンサーの取り付け位置は辺の端にするほうが効率的であるといえる。また同じく I, II の比較から、対固定点のギャップセンサーを追加する効果は、主に計算誤差レベルの行退化に影響を及ぼすといえる。
内・外周間に固定点を追加した I と IV との比較では、(計算誤差レベルの) 行退化数が 1 減っている。つまり、ギャッ
プセンサー 6 個追加の変更では行退化数の現象は 1 でしかなかった。

Model A と Model B の比較で、アクチュエーターを 3 軸固定することは、I では行退化数を 3 減らす効果となって現れている。しかしながら II – IV のすでに他の方法で固定を行っている場合は、それらの固定方法との関係もあるが、減った行退化数は 3 より小さくなっている。
以上から、固定点を増やすことは、全体的には行退化数を減らすという効果をもたらすが、それは単純な加算ではな
く何らかの内部の状態を加味したより小さな効果となってしまうこともあることがわかった。
この次の検討すべき点としては以下のようになるといえる。

• ギャップセンサーの取り付け位置をランダムに少しずらしたときの影響• ギャップセンサーの取り付け位置を全体的に動かすことによる最適化• 対固定点のギャップセンサーの取り付け数との関係• 固定するアクチュエーターの位置を変えたときの影響

43