情報地質 第27巻 第2号 042-047頁 2016年
Geoinformatics, vol.27, no.2, pp.042-047, 2016

発見された鉱床の選鉱特性の評価は地球情報学の役目
正路徹也

Geoinformatics can contribute to assess mineral processing properties ofdiscovered mineral deposits
Tetsuya Shoji** 東京大学 The University of Tokyo, Tokyo 113-8639, Japan.
E-mail: t-t_shoji@jcom.home.ne.jp

キーワード：鉱石，岩石学，選鉱，品位，統計，分布，ベータ
Key words: Ore, Petrography, Mineral processing, Grade, Statistics, Distribution, Beta

1．はじめに義といえる．片刃粒子では 0  t MO  f MO  cMO  1 が成り立

新たに鉱床が発見された場合，その開発可能性の評価にとって，鉱石の選鉱性は重要な因子の 1 つである．鉱石の選鉱性は，構成鉱物の種類と粒度，各鉱物間の関係すなわ
ち組 織など ，岩石学的(厳密には鉱石岩石記載学的 orepetrographic)性質に依存する．この鉱石の岩石学的性質が明らかになると，理想的選鉱が行われた場合の実収率および分離効率が推定できる．
ところで，粗鉱すなわち選鉱における給鉱の品位が低下すると精鉱の品位も低下することは，経験的に周知である．
この経験則は，選鉱粒子の選鉱特性が同じという簡単な仮定を設けることにより，数学的に導かれることを第 2 章で示す．第 3 章では，①鉱石の岩石学的性質と②適用される分離条件で決まる選鉱特性のうち①に関して，｢選鉱特性が同じ｣と仮定できる条件を，選鉱粒子における鉱石鉱物含有率の統計分布の点から論じる．なお以下では，慣習的用語法に従い，鉱床に対しては｢粗鉱 crude ore｣，選鉱過程では｢給鉱 feed｣を用いているが，ここでの両者は同じものを指す．

尾鉱に分離されず分割された場合に当たる[注 1]．
選鉱の結果，給鉱中の各粒子種は精鉱および尾鉱のそれぞれの粒子種に分けられる．このとき両者の間の量的関係を繋ぐ係数を分配率と呼ぶ．なお，個々の粒子の種類は移動元と移動先で変わらないと仮定する．すなわち，鉱石粒子から片刃粒子などへの移動は起こらない[注 2]．分配率はD で表し，移動元と移動先はそれぞれ上付き添字の左と右で表し，鉱石粒子，片刃粒子，脈石粒子をそれぞれ下付き

2．粗鉱品位と精鉱品位
本章では，鉱石の選鉱特性が同じならば，給鉱(＝粗鉱)品位が低下すると精鉱品位も低下することを，物質収支に基づいて数学的に示す．
選鉱処理過程における鉱石種を給鉱 F，精鉱 concentrate C，尾鉱 tailing T に分け，それぞれの量を F，C，T で表す(第 1表)．また，各鉱石における鉱石鉱物 O の含有率をそれぞれfO，cO，tO で表す(第 1 表)．ここで，通常の金属元素の品位を使わず，鉱石鉱物の含有率を使う理由は，①含有率 1 で対象物が鉱石鉱物のみから成ることを明示できるためと，②多金属鉱床など複数種の鉱石鉱物が存在する場合それらをまとめて扱えるためである．各鉱石種を構成する粒子は3 種類，すなわち鉱石粒子 ore particles (厳密には鉱石鉱物粒子 ore mineral particles) O，片刃粒子 middling particles M，脈石 粒 子 gangue particles ( 脈 石 鉱 物 粒 子 gangue mineralparticles) G に分け，それぞれを添字 O，M，G で表す(第 2表：表中ではそれぞれ鉱石，片刃，脈石と略記することがある)． さらに，第 1 表と第 2 表には，これらの鉱石種および粒子種間における鉱石量の物資収支も示してある．なお，第 2 表で記号≈の右に記入してある近似は，実際には定つ．ここで，等号すなわち tMO  f MO  cMO は，給鉱が精鉱とFC添字 O，M，G で表す．例えば， DO  CO FO は，給鉱中の鉱石粒子の量が FO で，そのうち精鉱中の鉱石粒子に移った量が CO であり，両者の比が DO であることを示す(第 3FC表)．
第 3 表で記号≈の右に記入してある近似が成り立つと，第 2 表で記号≈の右に記入してある近似が得られる．
ところで，第 1 表と第 2 表に示されている変数のうち，全給鉱量 F を一定とした場合，独立な変数である給鉱の鉱
石粒子の量 FO，片刃粒子の量 FM，脈石粒子の量 FG，および各粒子種の品位(fOO，fMO，fGO，cOO，cMO，cGO，tOO，tMO，fGO)は鉱石の岩石学的性質で決まり，第 3 表に示されている分配率は分離条件で決まる．なお，精鉱中の鉱石粒子の量
CO，片刃粒子の量 CM，脈石粒子の量 CG，および尾鉱中の鉱石粒子の量 TO，片刃粒子の量 TM，脈石粒子の量 FG は，第 3 表に示すように，分配率で精鉱中の各粒子種の量と結びつけられている．なお，個々の粒子の種類は移動元と移動先で変わらないという仮定から，例えば fMO = cMO = tMOを導くことはできない．なぜならば，給鉱中の片刃粒子のうち，より鉱石粒子に富む粒子が精鉱に，より脈石鉱物に富む粒子が尾鉱に入りやすいかもしれない．
鉱石と鉱石鉱物の物質収支は，それぞれ次の式(1)と(2)で表される．
F  C T
(1)
(2)
f O F  c O C  t OT
式(2)より，精鉱中の鉱物の含有率 cO は次の式(3)で与えられる．
f F  t OTcO  OC43



f O F  t OOTO  t MOTM  t GOTG CO  C M  CG

f O F  t OO DOFT FO  t MO DMFT FM  t GO DGFT FG
DOFC FO  DMFC FM  DGFC FG

(3)ここ で， 尾鉱 中の脈石粒子は鉱 石鉱物を 含まな い の でtGO  0 で あ り ，給 鉱中 の 鉱石 粒子はす べ て精 鉱へ 移 り( DOO  1 )，給鉱から尾鉱へ移る鉱石粒子および精鉱へ移る
FC

脈石粒子は皆無( DFTO D  0 )だと仮定すると，次の式(4)FCGが得られる．
f F  t MO DMFT FM
cO  OFO  DMFC FM(4)式(4)で F *  F F ， FO  FO F として，F と FO を置き換え*て次の式(4)’を導くと，給鉱 1 t 当たりの場合が表現できる( F *  1 であるが，式には残しておく)．
cO f O F *  t MO DMFT FM*
FO*  DMFC FM*(4)’上の式(4)あるいは(4)’で分子の第 2 項および分母の第 2 項は，ともに FM あるいは FM* を含むことから明らかなように，片刃の存在による．もし片刃が存在しない，すなわちFM  FM*  0 だと，次の式(5)が得られる．
cO fO Ff F* O*FOFO(5)c O FO  f O F あるいは cO FO  fO F とも書けるように，それ上の式(5)の分子は精鉱中の鉱石鉱物の全量であり，式が**がすべて精鉱の鉱石粒子に移ったことを意味している．したがって，給鉱品位 fO が低下しても，その分だけ鉱石粒子の量 FO*(= FO/F)が小さくなって，cO = cOO = 1 (精鉱は鉱石粒子のみ)が得られるはずである．これに対し，片刃粒子が存在すると，式(4)における片刃の項の影響がでる．分子の第 2 項は片刃として尾鉱に逃げた鉱石鉱物の量を表しており，精鉱の品位を低下させる．分母の第 2 項は，片刃として存在する脈石鉱物の量を表しており，こちらも精鉱品位を低下させる．ところで， f O F  f OO FO  f MO FM  f GO FG であるから，fOO ≈ 1 および fGO ≈ 0 であることを考慮すると，f  f MO FM*  f GO FG*
FO*  Of OO
 f O  f MO FM*である．これを式(4)’に代入すると，次の式(6)が得られる．
f O F *  t MO DMFT FM*
cO f O  f MO FM*  DMFC FM*f F *  t MO DMFT FM*
 Of O  f MO  DMFC FM*(6)上述のように，式(4)から，片刃粒子の存在が精鉱品位を下げる原因であることが分かった．その低下の傾向をより定量的に把握するために，式(6)を fO で微分する．ただし，鉱石の岩石学的性質と操業条件が同じならば f MO ， t MO ，DMFC ， DMFT (= 1  DMFC )， FM*  FM F は変わらないと仮定，  すなわち微分では定数とみなす．微分の結果，次の式(7)が得られる．
dcO F * f O  f MO  DMFC FM*  f O F *  t MO DMFT FM*

2df Of O  f MO  DMFC FM* D  f F  t D Ff   f  D F FCM

*MOOFTM* 2MOFCMMO*M(7)M

さらに， DMFC  DMFT  1 であることを考慮すると，次の式(7)’が導かれる．
dcO
DMFC  f MO F *  t MO 1  DMFC FM*
2df Of O  f MO  DMFC FM* D F  t   f F  t Ff  f F  D F FCM*OMOMO*M

MO*FCM

MO* 2*M

M(7)’F *  1 であるから，式(7)’の分子は片刃粒子の量( FM* )，給鉱と精鉱中の片刃粒子の鉱石鉱物の含有率(それぞれ f MOと t MO )，および片刃粒子の給鉱から精鉱への分配率( DMFC )からなる．微分のために導入したこれらの値が選鉱の操業条件で決まり，条件が同じ場合，給鉱品位に関係なく，ほとんど変化しないという仮定により，式(7)’の分子の値は給鉱品位に関係なく一定となる．したがって，その値が正ならば，分母は常に正なので，精鉱品位 cO は給鉱品位 fO の増加とともに増加する．逆に給鉱品位が下がると精鉱品位も下がる．すなわち，給鉱品位 fO と精鉱品位 cO は正相関する
か負相関するかは，式(7)’の分子の中括弧内の正負で決まる．
そこで，その部分を次の式(8)のように H  H ( f MO , tMO , DM )FCで表す．
H  H ( f MO , t MO , DMFC )  DMFC F *  t MO  f MO F *  t MO

DFCM

1  t MO    f MO  t MO F* 1(8)ところで，片刃粒子の給鉱，精鉱，尾鉱間での質量収支を考えると，尾鉱に入った片刃粒子の鉱石鉱物の含有率
t MO は次の式(9)で与えられる(付 1)．
t MO f MO  cMO DMFC
1  DMFC  c D   f

(9)

この式(9)を式(8)に代入すると，次の式(8)’が得られる．
H  t MO 1  DMFC  f MO  DMFC



 f MO 1  c MO DMOFCMFCMMO DMFC(8)’式(8)’において，常に cMO  1 すなわち 1  cMO  0 であるから，常に H > 0 である．したがって，選鉱条件が同じ，すなわ
ち給鉱，精鉱，尾鉱を構成する鉱石粒子，片刃粒子，脈石粒子の鉱石鉱物の含有率(それぞれ， f OO ， f MO ， f GO ，cOO ，cMO ， cGO ， tOO ， t MO ， tGO )，および鉱石粒子，片刃粒子，脈石粒子の給鉱から精鉱と尾鉱への分配率(それぞれ，DO ，FC

DMFC ， DG ， DO ， DMFT ， DG )が同じ場合，給鉱品位 fO
FCFTFTと精鉱品位 cO は必ず正相関する．別言すると，給鉱(粗鉱)品位が低下すると，精鉱品位も低下する．

3．鉱石における鉱石鉱物含有率の統計分布
前章で，鉱石の選鉱特性が同じならば，給鉱(＝粗鉱)品位が低下すると精鉱品位も低下することを示した．この章では，｢鉱石の選鉱特性が同じ｣を鉱石鉱物含有率の統計分布の視点から論じる．
選鉱では片刃粒子の量を少なくするために鉱石が粉砕され，片刃粒子が皆無すなわち粒子はすべて鉱石粒子か脈石粒子である場合が理想状態である．この理想状態に近づくに従って，全粒子の鉱石鉱物含有率は， 0 および 1 付近が44

多く，中間が少ない統計分布曲線を描くはずである．そのような形状を示す分布として，次の式(10)で定義されるベータ分布がある．
x  1 (1  x )  1f ( x) (10)B ( ,  )ここで，x は区間(0,1)で定義される確率変数(鉱石鉱物含有率)，f(x)は確率密度関数，α と β は正の定数，B(α,β)は次の式(11)で定義されるベータ関数である．

B( ,  )     1 1   10 1d(11)ベータ分布の累積頻度 F(x)は，次の式(12)のように，式(10)の 0 から x までの不定積分で与えられる．

F ( x)   f ( )dx0(12)第 1 図に，式(12)で与えられるベータ分布を右上がりの線群で示す．なお，ベータ分布の平均 mean μ と分散 variance Vはそれぞれ次の式(13)と(14)で与えられる．
(13)
V (14)   2     1
ベータ分布の適用例として，式(13)と(14)の関係を利用して平均 μ と分散 V から α と β を求めた Matos et al. (2004)の研究がある(論文では“incomplete Beta function”としているが，実際に記述されている式は“Beta function”)．彼らは，石英，曹長石，微斜長石，白雲母の混合試料を対象に，300～212 μm から 37～ μm までの 7 つの各粒度範囲について，石英，曹長石，微斜長石の実際の品位分布とベータ分布で近 似 さ れ る 品 位 分 布 を 比 較 し ， 5 ％ 水 準 のKolmogorov-Smirnov 検定でベータ分布に従うという仮説は承認されないと結論した．Matos et al. (2004)は，当てはめの結果を微分型(棒グラフ)で示して，実測値と当てはめ値を比較している．しかし，これでは当てはめ精度を視覚的に認識しにくいので，今回は累積型で計算して図示した．その結果は，当然のことながら特記すべき違いが認められなかったので，これ以上は言及しない．
前章で，選鉱粒子は鉱石粒子，片刃粒子，脈石粒子の 3種に分けられると述べた．したがって，含有率 x = 0 における頻度 F(0)が脈石粒子の量に対応して 0 より大きく，含有率 x =1 における頻度 F(1)は鉱石粒子の量に対応して 1 より小さくなる可能性がある．ただし，観察に基づいて行われる分類では，脈石鉱物が見られない粒子は鉱石粒子に，鉱石鉱物が見られない粒子は脈石粒子に分類されるため，分類上の鉱石粒子に脈石鉱物が，脈石粒子に鉱石鉱物が含まれている可能性がある．そこで，Spencer and Southerland(2000)は，オーストラリアの鉛亜鉛鉱床産鉱石を試料として，QEMSCAN による 2 次元計測で得られた選鉱粒子の鉱物含有率を，(A)変換カーネル法，および(B) Euler 積分と(C)Simpson の公式により推定される Delesse の立体解析学的定
理 stereological theorem を用いて補正し，3 次元での含有率を推定した．
以下では，Spencer and Southerland (2000)のデータを使ってベータ分布を当てはめた結果を述べる．なお，当てはめでは，F(0)と F(1)がそれぞれ脈石粒子と鉱石粒子の量を表しているとして，次の式(15)でそれらの量を除いた F’(x) を用いた．
F ( x )  F (0)F ' ( x) (15)F (1)  F ( 0)

したがって，式(15)の F’(x)は片刃粒子における鉱物含有率の累積頻度を示す．式(12)を当てはめられて得られえた結果は，式(15)の逆変換を行ったのち，元のデータと比較した．
それらの結果のうち，給鉱と精鉱で 3 次元への補正がなされていないデータに，式(13)と(14)を使って当てはめた結果を第 2 図に示す．この場合の実測頻度と推定頻度の差の二乗平均は，給鉱が 0.03.8∙10–2，精鉱が 0.015∙10–2 であった．
前述したように，鉱石粒子と脈石粒子にはそれぞれ脈石鉱物と鉱石鉱物が含まれている可能性がある．そこで，F(0)および F(1)の値を試行錯誤で変える最小二乗法を適用して，ベータ分布の当てはめを行った．その結果，給鉱の実測頻度と推定頻度の差の二乗平均は，F(0)が実測値で F(1)が実測値より 1 に近づいて， 0.011∙10–2 と小さくなった．一方，精鉱は，F(0)も F(1)も実測値と変わらず，0.015∙10–2 であった．
別の関数として，次の式(16)を用いる当てはめも行った．
x1 /  1  y 0 (16)F ( x) 1/ 1  x  y 0  x1 /  1  y 0 
ここで，λ と y0 は定数である．第 1 図には，ベータ分布を表す線群と区別しやすいように，G(x) = 1 – F(x)と変換して得られる G(x)で示してある(右下がりの線群)．式(16)は次の式(17)のように書き換えられる(付 2)．
 y 
 1  F ( x)  1
 1 x   log (17)log   log  0 F(x)x1 y0 
そこで，X  log1  x  x ，Y  log F ( x ) 1  F ( x )  と置くと，

Y  AX  B(18)横軸に X，縦軸に Y をとって，選鉱粒子の鉱石鉱物含有率と累積頻度の関係を図示したとき，A を傾き B を切片とする直線で近似できると，式(17)の λ と y0 は次式から得られる(付 2)．
1A
10 By0  B10  1
Spencer and Southerland (2000)のデータに式(16)を適用したところ，実測頻度と推定頻度の差の二乗平均は，給鉱が1.2∙10–2，精鉱が 14.3∙10–2 であった(第 2 図)．式(10)に較べて式(16)による当てはめの精度が著しく悪くなったのは，x お
よび F(x)が 0 あるいは 1 に近い範囲，すなわち X および Yの絶対値が大きい範囲では，それぞれ log{(1 – x)/x}およびlog[{1 – F(x)}/F(x)]という変換により誤差が拡大され，回帰直線はこれらの範囲での誤差が小さくなるように計算された結果，中間部での誤差が相対的に大きくなったためと考えられる．ただし，第 2 図で見る限り，実測頻度と推定頻度の差の二乗平均の違いは認識できない．
当てはめの精度の検討はともかく，式(10)で与えられるベータ分布あるいは式(16)で与えられる分布を使って，選鉱粒子における鉱石鉱物含有率の統計的性質をある程度記述できることが分かった．そして，ベータ分布の α と β，あるいは式(16)の，λ と y0 によって選鉱粒子の選鉱特性が評価できると期待される．別言すると，粒度分布が同じで，これらの定数の値も同じなら，選鉱特性も同じであることが期待される．
次の式(18)のように書ける．

4．まとめと今後の課題発見された鉱床の価値は，その規模および対象鉱物の含45有率のみならず，選鉱の難易度の関数でもある．給鉱(＝粗鉱)と精鉱および尾鉱の間の物質収支に基づく計算において，｢鉱石の選鉱特性が同じ｣という仮定を設けると，粗鉱品位が下がると精鉱品位も下がるという経験則が数学的に証明される．選鉱の難易度の測定，あるいは｢鉱石の選鉱特性が同じ｣という仮定の成否の判定は，選鉱粒子の鉱石鉱物含有率の統計分布モデルに基づくとよい．そのための準備として，ベータ分布，およびそれと似た形状で線形の回帰直線が得られる式(16)の当てはめを試みた．
選鉱粒子は，鉱石粒子，片刃粒子，脈石粒子の集合体である．精鉱品位が低下すると鉱石粒子の量が少なくなる．
しかし精鉱が鉱石粒子のみからなると精鉱品位は低下しな
い．低下するのは，混入した片刃粒子の量が鉱石粒子の量に較べて相対的に多くなるためである．ここまでをまとめと，①鉱石の岩石学的性質と適用される選鉱条件が同じで，粗鉱1 t当たりの片刃粒子の量が一定と仮定できるなら，粗鉱品位が低下すると精鉱品位も低下し，②片刃粒子の統計的品位分布特性はベータ分布などを適用して評価できる．
次に，以上の結果明らかになった今後の課題について述
べる．今回の当てはめで利用したMatos et al. (2004)のデータは石英や長石など岩石の主要構成鉱物であり，Spencer andSoutherland (2000)のデータも給鉱の平均品位が16％と高い[注3]ことから，これまでの岩石を構成する主要元素の濃度分布に関する知識に基づくと，その品位はほぼ正規分布で近似できると考えられる．一方，金や白金の鉱床の品位分布は通常対数正規分布に従う．また，銅や鉛などのベース金属の品位分布は，正規確率紙では低品位側に，対数正規分布では高品位側にずれる傾向がある．このような鉱石に対しても今回の議論が成立するのであろうか?
そもそもここまでに述べてきた議論は，片刃粒子における統計的品位分布と給鉱における統計的品位分布を混同しているきらいがある．後者は，鉱石粒子の品位分布，片刃粒子の品位分布，脈石粒子の品位分布の和集合である．定義によると，鉱石粒子は鉱石鉱物のみからなるので，その品位は鉱石鉱物の金属含有率に一致し，脈石粒子は鉱石鉱物を含まないので，その品位は0である．したがって，給鉱(= 粗鉱)における統計的品位分布は，全体に対して統計モデルを当てはめるのではなく，①鉱石粒子，片刃粒子，脈石粒子それぞれの量を知った上で，②片刃粒子における統計的品位分布を調べるべきであろう．片刃粒子は鉱石鉱物と脈石鉱物の集合体である．とすると，鉱石鉱物の含有率は二項分布で近似できるのであろうか? もしそうなら，正規分布で近似できて，ベータ分布では近似できないように思える．
鉱石粒子および脈石粒子に分類された粒子に対しては，それぞれ真に鉱石粒子か，真に脈石粒子かという疑問が生じる．この疑問に答えるためには，例えば，前述したSpencerand Southerland (2000)の試み，すなわちQEMSCANで得られたデータから品位ごとに分けられた粒子群の真の鉱物含有率を推定するなどの研究が必要である．この種の研究は，
鉱石岩石記載学の課題である．また，表面情報から内部情報を推定する課題は地球情報学の重要な分野である．
最後にもう1つ重要な点がある．仮に選鉱粒子あるいは片刃粒子における統計的品位分布がベータ分布で近似できるとして，その定数αとβは粒度分布に依存する．すなわち，対象粒子の粒度分布と品位分布との関係を一体として検討しなければならない．その解明のためには多くの事例が必要である．ところが，鉱床の品位に関するデータは経済性に関係するためほとんど公表されない．しかし，資源を効率よく開発するためには，品位に関するデータが可能な限り公表されて，多くの研究者にとって利用可能であることが望まれる．さらに，効率的な資源開発は環境保全にも繋がることを忘れてはならない．
謝辞 ｢粗鉱品位が低下すると精鉱品位が低下する｣という課題は，日本メタル経済研究所の中村簾氏に教わった．
また，早稲田大学，環境資源工学科の所千晴教授と石油天然ガス・金属鉱物資源機構の大坪泰典氏には，第 2 章の式をチェックしていただいた．記してこれらの方々への感謝の意を表する．
付記 式(16)が式(17)のように線形の式に変換できたのに対し，ベータ分布は線形の式に変換することはできない．
しかし，MS-Excel には BETA.DIST という組込み関数が用意されている．
Matos, M.J.; Gonçalves, J.H.; Marto, M.H. (2004) Testing
incomplete Beta function to describe composition of real
unliberated particles. Mineral Proc. Extractive Metallur.
(Trans. IMM. C), 113, C121-C128.
Spencer, S.; Southerland, D. (2000) Stereological correction ofmineral liberation grade distributions estimated by single
sectioning of particles. Image Ana.l Stereol., 19, 175-182.

引用文献

注 1：分割である以上，t MO  f MO  c MO となる可能性はある．
しかし，選鉱粒子は数多くあり，誤差範囲内でt MO  f MO  c MO のはずである．また，もし t MO  f MO  c MOとなったとすると，そもそも何のために選鉱をしているのか分からない．
注 2：実際には，精鉱と尾鉱それぞれについて個々の粒子を鉱石粒子，片刃粒子，脈石粒子のいずれかに分類し，それらの供給元が精鉱だと考えればよい．
注 3：鉛亜鉛鉱床としては極めて高い．
付 1．式(9)の導出
片刃粒子中の鉱石鉱物の量の給鉱，精鉱，尾鉱の間における質量収支は，次の式(A1)で与えられる．
(A1)
f MO FM  cMO CM  tMOTM
また，精鉱と尾鉱中における片刃粒子の量は，分配率を使うと，それぞれ次の式(A2)と(A3)で表せる．
(A2)
C M  DMFC FMTM  DMFT FM  1  DMFC FM(A3)

式(A1)に式(A2)と(A3)を代入した上で，尾鉱中の片刃粒子における鉱石鉱物の含有率を求めと，次のように式(9)が得られる．
f MO FM  c MO DMFC FM  t MO 1  DMFC FMt MO f MO  cMO D1  DMFCFCM

付 2．式(17)の導出
式(16)を次のように変形する．
x1 /  1  y 0 F ( x) 
1  x 1/  y 0  x1 /  1  y 0 

(9)

46

1  x  y 0  x1 /  1  y 0 1F ( x)x1 /  1  y 0  y B  log  0 
1  y 0 とすると，式(18)が得られる．

1/ 

1  x 1 /  y 0  1x1 /  1  y 0 1
1  x 
1  F ( x)
 x 1/ Y  AX  B(18)
上式で X と Y が直線関係にあると，λ と y0 は A と B から次のように導かれる
1Ay10 B  01 y0y01 y0

 y0 
 1  F ( x)  1
1 x log    log  x   log  1  y F(x)

0 
ここで，

(17)

1  F ( x ) Y  log  F ( x) 
1  x X  log x 1A

1  y0111
10 By0y0y0 10 B
10 B  1

第 1 第 3 表種の鉱石種(給鉱，精鉱，尾鉱)の定義とそれらの間の質量保存，および鉱石鉱物／脈石鉱物の含有率．
鉱石種 重量
鉱石鉱物の含有率
脈石鉱物の含有率
制約条件
F  FO  FM  FGf O   f OO FO  f MO FM  f GO FG  Ff G   f OG FO  f MG FM  f GG FG  FfO  fG  1給鉱精鉱尾鉱関係式C  CO  CM  CGT  TO  TM  TGF  C Tc O  c OO C O  c MO C M  cGO C G  Ct O  t OO TO  t MO TM  t GO TG  Tf O F  c O C  t OTc G  cOG C O  c MG C M  c GG C G  Ct G  t OG TO  t MG TM  t GG TG  Tf G F  cG C  t G TcO  cG  1tO  tG  1

第 2 表．各鉱石種を構成する 3 種の粒子種(鉱石鉱物，片刃，脈石鉱物) の 定 義 とそれら間の質量保存，および鉱石鉱物／脈石鉱物の含有率．
鉱石種
粒子種
重量
鉱石鉱物／脈石鉱物の含有率
制約条件
f OO  c OO C O  t OO TO  FO  1f OO  f OG  1
FO  C O  TO
給鉱
鉱石

精鉱

片刃FM  C M  TM脈石

FG  C G  TG

鉱石
片刃脈石

尾鉱

鉱石
片刃脈石

f OG  cOG C O  t OG TO  FO  0f MO  c MO C M  t MO TM  FMf MG  c MG C M  t MG TM  FMf GO  cGO C G  t GO TG  FG  0f GG  c GG C G  t GG TG  FG  1C O  FOcOO  1cOG  0CG  0cGO  0c GG  1TMt MOCMTO  0TG  FGc MOc MO  c MG  1t GO  t GG  1c MGt OO  1t OG  0t GO  0t GG  1t MG

第 3 表．給鉱から精鉱および尾鉱への各粒子種における移行の分配比．
鉱石種
給鉱粒子種
鉱石
片刃脈石
FO  C O  TO
FM  C M  TM
FG  C G  TG
重量精鉱

鉱石
片刃脈石

尾鉱鉱石
片刃脈石

COCMCGTOTMTGFCC O  DOO
FO  FOFTTO  DOG
FO  0FCC M  DMOFMFTTM  DMG
FMCG  D FC
GO FG  0FTTG  DGG
FG  FG

分配比FCDOO C O FO  1FCDMO C M FMFC
DGO
 C G FG  0FTDOG TO FO  0FTDMG
 TM FMFTDGG
 TG FG  1

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第 1 図．ベータ分布と式(16)で与えられえる分布の確率変数と累積頻度の関係．ベータ分布 (右上がりの線群)の定数(α,β)：縦軸の値が 0.5 以下で左から右へ(0.05,0.05)，(0.2,0.2)，(1,1)， (5, 5)，(5,2)．式(16) (右下がりの線群)の定数(r,y0)：縦軸の値が 0.5 以上で左から右へ(5,0.5)，(2,0.5)，(1,0.5)，(0.5,0.5)，(0.5,0.9)．

第 2 図．Spencer and Southerland (2000)のデータにベータ分布と式(16)を当てはめた結果．上が給鉱，下が精鉱．点線で結ばれたマークが実測値．上の給鉱に当てはめられた 3 本の曲線が分かれて見える低品位部で，左から 1) F(0)と F(1)を最小二乗法で求めたベータ分布(F(0)は実測値に一致) ，2) 式(16)，3) F(0)と F(1)を実測値としたベータ分布．