The Membrane Structures Association of Japan

膜構造研究論文集 2018
Research Report on Membrane Structures 2018

– No. 32–

一般社団法人 日本膜構造協会

建築の一分野として確立してきた膜構造は，近年建設数も増し，日本における研究者の数も増しています。これにともない，研究テ－マも多岐に亙るようになり，発表される論文も多分野に亙り，その数も多くなっています。これらの状況より，社団法人日本膜構造協会において，膜構造に関する研究成果の発表の場を設定し，「膜構造研究論文集」として，膜構造研究のためのまとまりある資料として，あるいは設計，
建設のための指針として位置付け，年次計画で発行することとしています。
内容は３編に分け，１編では研究論文として査読を行い，質の高いものを選び掲載することとしています。２編では，膜構造に関する査読は行わない報告，概説を広く扱うことにしています。また３編では，他誌，国際会議等で発表されたその年の膜構造関係の論文のアブストラ
クト，または題名を掲載し，研究のための資料とし役立てたいと考えています。このようにして刊行する研究論文集は，広く研究者，研究団
体及び関係各位に積極的に配布し，今後の膜構造の発展に寄与することを目的としています。

膜

構

造

研

究

論

文

集 2018

Research Report on Membrane Structures 2018
〔目
第１編

次〕

研 究 論 文1． Lagrange 未 定 乗 数 法 を 用 い た ケ ー ブ ル 補 強 膜 構 造 の 形 状 ･裁 断 図 同 時 解 析 ------------------------------

1

宇都宮 尋史（鹿児島大学）
本間俊雄（鹿児島大学）

横須賀 洋平（鹿児島大学）

2． An experiment on fabrication technique to establish three-dimensional curved surface-------------

13of ETFE membrane structure by stretching cutting pattern strips
Quang Hieu BUI（ Yokohama National University）
Masaya KAWABATA（ Yokohama National University）

3． ETFE フ ィ ル ム の 粘 性 特 性---------------------------------------------------

21－温度変化を考慮した非線形粘弾性構成方程式と２軸クリープ試験－吉野

達矢（太陽工業株式会社）

加藤史郎（豊橋技術科学大学）

4． 骨 組 膜 構 造 鋼 屋 根 の 支 持 方 法 の 一 提 案 と そ の 耐 震 有 用 性 に 関 す る 検 討----------------------------------

屋根がＲＣ下部構造で支持された場合

加藤史郎（豊橋技術科学大学）

出口隆史（豊橋技術科学大学）

中澤

祥二（豊橋技術科学大学）

29

[第１編 研究論文]

膜構造研究論文集 第32号, 1-12, 2018年
Research Paper on Membrane Structures, No.32, 1-12, 2018

Lagrange 未定乗数法を用いたケーブル補強膜構造の形状･裁断図同時解析
宇 都 宮 尋 史*1
本 間

俊 雄*2

横須賀 洋平 *3
梗

概

本論では、著者らが提案した座標仮定有限要素法による形状･裁断図同時解析をケーブル補強膜構造の応力指定問題に展開する。形状･裁断図同時解析の定式化ではケーブル軸力を未知量とした Lagrange 未定乗数法を採用する。解析モデルはサスペンション膜構造と空気膜構造とし、裁断図最適化及び要素細分割化の手順を詳細に示し、時刻歴応答解析に適用できる要素分割モデルを作成する。
結果的に、本裁断図解析の手順により様々な膜構造モデルの収束解を得ることができる。

膜構造と角丸長方形空気膜構造とし、従来数値解析を行うこ

1. はじめにとが困難であったケーブル補強膜構造に対する形状･裁断図

張力構造は軽量で無柱の大空間を構成できる構造形式とし同時解析の数値解析手順を示す。

て空間構造に利用されている。膜材やケーブル材等の張力材
は自然状態で形状不確定な無応力状態で存在するため、境界

2. 構造モデルの支配方程式

条件と初期張力を導入することにより張力構造として安定しLagrange 未定乗数法を適用した構造モデルの汎関数は次式

た構造剛性を確保する。従って、張力構造特有の初期形状解
析及び裁断図解析が必要になる 1)。張力構造の解析では、平で与えられる。

面状態で存在する張力材を基準に変形後の座標値を直接未知n1 T d    f i ( X i  X i 0 )
2 
i 1



量とする座標仮定有限要素法が提案され、張力構造物の静的･

(1)

m


Lk
pk 2    pk k ( X i  X i 0 ) 
2 E k Akk 1 


動的な応力･変形解析を統一的に扱えるようになった 1) - 5)。座標仮定有限要素法による膜構造の裁断図解析に対する定性的評価は試験体作成により確認されている 6)-8)。ただし、これら

ここで、σ : 応力ベクトル, ε : ひずみベクトル, fi : 外力, Xi :の研究では裁断線を spline 曲線と仮定することの限界と、規変形後の座標値, Xi0 : 初期の座標値, pk : Lagrange 未定乗数(ケ模が大きくなると必要になるケーブル補強膜構造への適用がーブル軸力), δk(Xi - Xi0) : ケーブル部材の伸び, Lk : 初期のケ

考慮されていない問題が存在する。

ーブル長さ, Ek : ケーブルのヤング係数, Ak : ケーブルの断面

本研究ではケーブル軸力を未知量とする Lagrange 未定乗数

積, Ω : 解析領域, n : 節点総自由度, m : ケーブル要素数であ法 9), 10)を座標仮定有限要素法に適用し、ケーブルと膜の同時る。式(1)の停留条件より、式(2a,b)が得られる。

解析を実施する。裁断図の表現には裁断図解析への有効性が


0
X i

示されている Bézier 曲面を採用する 11), 12)。
本論では Lagrange 未定乗数法を座標仮定有限要素法に適用


0
pk

(k  1, 2,, m)(2a,b)

式(2a,b)より非線形方程式の接線方程式は次式となる。

した構造モデルの定式化を示し、ケーブル補強膜構造に対する応力指定の形状･裁断図同時解析を実施する。膜部の離散化

nmK T A n X n f  q 
 m    m  Δδ m
 B C   p nでは三角形一次要素及び 4 節点アイソパラメトリック要素を採用し、最適化後の裁断図を基準にリメッシュ(細分割化)し(3)

ここで、KT : 接線剛性行列, B : 変形後のひずみ‐座標関係行た際の釣合曲面の力学性状を把握する。リメッシュ後の釣合

列, A : 変形後の釣合行列(BT=A), C : 柔性行列, f : 自重によ

曲面の応力状態が等張力とみなせないモデルに対しては裁断る荷重ベクトル, q : 内力ベクトル, Δδ : 部材変形の不適合量,

図解析を再度実施し、時刻歴応答解析に展開できるようにす

ΔX, Δp は節点座標値ベクトル X, ケーブル軸力 p の修正量でる。解析モデルは HP 型サスペンション膜構造及び円形空気*1 鹿児島大学 理工学研究科 建築学専攻*2 鹿児島大学 理工学研究科 建築学専攻*3 鹿児島大学 理工学研究科 建築学専攻(i  1, 2,, n),

大学院生
教授 工博
准教授 博士(情報科学)

1ある。非線形計算は Newton Raphson 法系の解法を用いる。

3.3 矩形膜要素の離散化
安定形態の座標に双一次仮定を与えると、矩形膜要素の離3. 有限要素の離散化

散化平衡方程式は次式で与えられる。

膜材は三角形一次要素及び 4 節点アイソパラメトリック要

1  R X  D  2  X RX   C d   f  0

素, ケーブル材はトラス一次要素を採用する。座標仮定有限

T

e

Ω

要素法による要素別の離散化定式化の詳細は文献 3), 6) に従

T

e

e

e

e

(8)

e

う。

ここで、De : 構成行列, Xe : 安定形態の要素任意点座標値, 各

3.1 ケーブル要素の離散化

行列･ベクトル成分は、平面上の局所座標(x, y)とすると以下

全体直交座標を(X, Y, Z)とするとケーブル要素の離散化平のとおりである。

衡方程式は次式で与えられる。

T

Ae T
G X e e ( X e )   f e  0
Le

3
3
 3

R    Q1Tk Q1k  Q T2 k Q 2 k   Q 1Tk Q 2 k  Q T2 k Q 1k  
k 1
k 1
 k 1
1TC   1 1 0  , Q ij  S i  1k S i  2 k S i  3 k 
2
1  N1  N N N N 
N N
N 


S1 
ye
ye
xe
xe

 , S2 


 
 
 
 
J  
J  

(4)

ここで、Ae : 要素 e のケーブル断面積, Le : 要素 e のケーブル
長さ, τe : 要素 e の応力(τe = pe/Ae), Xe : 要素 e の全体節点座

x e   x1

標, fe : 荷重モードベクトル, 0 : 零ベクトル, λ : 荷重パラメー00  ,A 

0A
0

Xe   X1

X2

 1 -1
A=
 -1 1 

Y1 Y2

e

Z2 

T

Z1

y4 

T

KT   2RT τedΩ   4 RT Xe  De  XeTRdΩΩ(9)強膜構造の形状･裁断図同時解析を実施する。なお、最適化手
法には逐次二次計画法(SQP 法)を採用する。
4.1 裁断図の表現方法
裁断図の表現方法として Bézier 曲面を用いる。Bézier 曲面

 1

1(Q T X e ) D e  2 ( X e T QX e )  C e    f e  0
4 Se
8
S
 e


(6)

は制御点ベクトル P と Bernstein 基底関数 Bim’で定義され、曲面上の任意の節点ベクトル r(u, v)は次式で与えられる。

ここで、Se : 要素面積, De : 構成行列、各行列･ベクトル成分m'n'r (u , v )   Bim ' (u ) B nj ' (v ) Pij

は、安定形態の全体座標(X, Y, Z), 平面上の局所座標(x, y)とi 0 j  0

すると以下のとおりである。

Y1 Y2

Y3

Z1

Z2

 x Pij  
Pij   y Pij  (i  0,1, 2,, m ', j  0,1, 2,, n ')
 z Pij  m '!
Bim ' u i (1  u)m 'ii !(m ' i)

Z3 

T

Q  bˆ aˆ cˆ b 0 0 
a 0 0  c 0 0 aˆ   0 a 0  , bˆ   0 b 0  , cˆ   0 c 0 
 0 0 b  0 0 a 
 0 0 c 1TCe   1 1 0 
2a  a T a, b  b T b, c  a T b  b T a
a3  , b  b1

Ω

膜要素とケーブル要素の離散化定式化を用いてケーブル補(5)三角形膜要素の離散化平衡方程式は次式で与えられる。

a2y3

なお、数値積分にガウスの 2 点積分を用いる。

3.2 三角形膜要素の離散化a   a1

y2

4. 裁断図解析の定式化

Ae TEA
G  e  e 3 e GT Xe XeT G
e KT 
Le
Le

X3

T

れた接線剛性行列は次式で得られる。

線剛性行列は次式で得られる。

X2x4  , y e   y1である。非線形方程式を解くための矩形膜要素 e の離散化さ非線形方程式を解くためのケーブル要素 e の離散化された接Xe   X 1

x3

ただし、δij : Kronecker のデルタ, N : 形状関数, J : ヤコビ行列

タ、各行列･ベクトル成分は以下のとおりである。
AG   0
 0

x2

b2

(10)

(11a,b)

ここで、u, v ∊ [ 0.0, 1.0 ] : 位置情報パラメータ、m’, n’ : 各軸方向の制御点数である。パラメータ u, v を等間隔に分割することで裁断図の節点座標を定める。ただし、裁断図は平面上にあるため制御点 Z 座標は 0 とする。

b3 

4.2 ケーブル材の長さ設定

ただし、ai = xk - xj, bi = yj - yk, ( i = 1,2,3 ; j = 2,3,1 ; k =3,1,2 )で

図 1 に示すように裁断図から算出した左側裁断線長さ Lle とある。非線形方程式を解くための三角形膜要素 e の離散化さ

右側裁断線長さ Rle の平均長さに対するケーブル長さ Le の比れた接線剛性行列は次式で与えられる。

を rk とすると、ケーブル長さは次式で与える。

e

KT 

1 T
1
Q e 
(QT Xe )De (XeTQ)
4Se
16Se3

Le 

(7)

2

1
rk  L le  R le 2

( k  1, 2,  , m c )(12)ここで、mc : ケーブル本数である。
4.3 最適化問題の定式化

l

Le Rle

L e

釣合形状における膜応力の差の平方和を最小化する応力指定問題は次式で与えられる。
Find

x * , rk( k  1, 2,  , m c )(13)

to minimizem1
f ( x * )   (  i   i 0 )T (  i   i 0 )i 1 2(14)

subject to

L il  R li

D
U

：裁断線

膜帯

図 1 ケーブル長さの算定

START(i  1, 2, , k )t  te  t
L

ケーブル

膜帯

裁断図の最適化

初期の膜のみの
裁断図作成(15a-c)

適化対象となる総膜要素数, σi : i 番目の釣合形状における膜NO

主応力値, σi0 : i 番目の想定膜主応力値, Lli : 裁断線を構成する

膜応力制約の
幅を狭める

状態の右側裁断線長さ, D : スパン, α = 0.5 %, k : 裁断線本数,

リメッシュ

等張力判定
YES

平面上状態の左側裁断線長さ, Rli : 裁断線を構成する平面上σe :

膜応力制約の
幅を狭める

YES

ここで、x* : 平面上の Bézier 曲面制御点座標ベクトル, m : 最

要素 e を代表する釣合形状における膜主応力, σL :

NO

等張力判定

裁断図の最適化N L  Ne  NU

YES

膜のみの裁断図にケーブルを導入する

膜応力

NO

判定

リメッシュ手順

END

下限設定値, σU : 膜応力上限設定値, t : 膜厚, Ne : ケーブル要
図 2 膜構造の裁断図解析フロー

素 e の釣合形状における軸力, NL : ケーブル軸力下限設定値,
NU : ケーブル軸力上限設定値である。

j

k

j

k

5. 裁断図解析フローと要素細分割化
5.1 裁断図解析計算フロー
ケーブルを導入した膜構造の形状･裁断図同時解析のフロi 三角形膜要素k

ーを図 2 に示す。ケーブルを導入した膜構造の裁断図解析は、

l

はじめ膜のみのモデルで裁断図の最適化を実施する。その後、

ji得られた裁断図にケーブルを導入し、再び裁断図解析を実施

i

k
l

矩形膜要素

j

j
i

j

し等張力曲面を得る。はじめに膜応力及びケーブル軸力の側面制約を厳しく設定すると、応力状態が大きく乱れ制約条件

i ケーブル要素を満足しない結果が得られる場合があるため、膜のみのモデi

ルの裁断図解析及びケーブルを導入した膜モデルの裁断図解

各辺の中点をとり、膜要素は四分割とし、析に対してはそれぞれ段階的に側面制約を狭め解を得る。側

ケーブル要素は二分割とする。

面制約の設定はモデルごとに設定する必要があり、等張力曲

図 3 各要素のリメッシュ

面許容範囲内と見なせるまで狭める。空気膜構造モデルでは要素分割が細かくなるに従い収束状況が悪くなり解が得られを結んだ 4 分割、ケーブル要素で中点での 2 分割とする(図ない場合が多い。

3)。初期の粗い要素分割を Original-Model(O-Model)とし、1 度

5.2 裁断図解析におけるリメッシュ

リメッシュしたものを Remesh1-Model(R1-Model), R1-Model

形状･裁断図同時解析後、時刻歴応答解析に展開する際に膜に 対 し て 裁 断 図 解 析 を 再 び 実 施 し た も の を Remesh1’-

材の要素分割は応答挙動に大きく影響する。これまで設計変Model(R1’-Model), R1’-Model を リ メ ッ シ ュ し た も の を

数の削減のため裁断線･裁断図の表現方法にはパラメトリッ

Remesh2-Model(R2-Model)と表記する。図 2 の解析フローにク曲線･曲面が用いられてきた 3)-8), 11), 12)。しかし、ライズ･ス

示す点線枠内で、粗いメッシュの裁断図解析を実施し、そのパン比が大きくなり要素分割が細かくなるに従い解の収束状

後最適化された裁断図に対して裁断線を保持した状態でリメ

況が悪くなる。そのため、可能な限り粗い要素分割で裁断図

ッシュを行い釣合曲面の力学性状や固有周期の違いを把握す解析を行い、後にリメッシュすることで時刻歴応答解析に適る。リメッシュ後の釣合曲面の等張力性が失われているモデ

切な要素分割のモデルを作成しなければならない。ここでは、ル及び固有周期が一致しないモデルに対しては再び裁断図解

各要素のリメッシュは三角形要素及び矩形要素で各辺の中点析を実施する。

3

円形空気膜構造の方が大きく、三角形要素及び矩形要素共に

6. 解析モデル
解析モデルは、ケーブルを導入した HP 型サスペンション

等張力性が維持されない。境界部に隣接する要素の自重及び膜 構 造 (Model-A) 、 ケ ー ブ ル を 導 入 し た 円 形 空 気 膜 構 造

内圧評価の違いが原因と考えている。

(Model-B) 、 ケ ー ブ ル を 導 入 し た 角 丸 長 方 形 空 気 膜 構 造

7.3 角丸長方形空気膜構造(Model-C, O-Model)(Model-C)とする。膜材に三角形要素を採用したモデルを

ケーブルを導入した角丸長方形空気膜構造(Pattern-1 ; 節点

Pattern-1、矩形要素を採用したモデルを Pattern-2 とする。表 1

数 : 132, 膜要素 : 220, ケーブル要素 : 20, Pattern-2 ; 節点に 3 種類の膜と 2 種類のケーブルの材料諸量を示す。図 4～6

数 : 132, 膜要素 : 110, ケーブル要素 : 20)の裁断図解析結果に Model-A～C の解析モデルを示す。Model-A～C の Pattern-1

をそれぞれ図 13, 14 に示す。部材は表 1 の膜-Ⅲとケーブル-

及び Pattern-2 の鳥瞰図をそれぞれ各図 a, b 部に示す。図 c 部

Ⅱを用いる。Pattern-1 及び Pattern-2 の最適化後の(r1, r2)はそ

は膜帯接続情報であり、解析領域はモデルの対称性より 1/2 領れぞれ(1.00944, 1.000381), (0.99913, 1.00374)であり、最適化域とする。要素分割と Bézier 曲面の制御点配置は図 d 部とし、後のライズはそれぞれ 3,560 mm, 3,460 mm である。Model-B

膜とケーブルの接合位置を図 e 部に示す。境界部は固定であ同様 Pattern-1, Pattern-2 でわずかにライズが異なるが等張力曲り、荷重は自重のみとする。空気膜構造の Model-B 及び Model-

面許容範囲内となる。Model-C はケーブルが対称に 2 本ずつ

C の常時内圧は 196.1 Pa と設定する。表 2 に各モデルの裁断配置されているため、ケーブル軸力の大きさだけでなく 2 本

図解析における想定膜応力, 膜応力及びケーブル軸力の側面のケーブル軸力の比により得られる釣合曲面も異なる。
Pattern-1, -2 の最適化後の裁断図に対してリメッシュを実施

制約条件の設定値を示す。

した際の釣合曲面の応力状態を図 15 に示す。Model-C はModel-B 同様リメッシュにより釣合曲面の応力状態が乱れた。

7. 形状･裁断図同時解析の数値結果
7.1 HP 型サスペンション膜構造(Model-A, O-Model)
ケーブルを導入した HP 型サスペンション膜構造(Pattern-

8. リメッシュ後の裁断図解析の数値結果

1 ; 節点数 : 81, 膜要素 : 128, ケーブル要素 : 24, Pattern-2 ;Model-B 及び Model-C は粗い要素分割の裁断図(O-Model)

節点数 : 81, 膜要素 : 72, ケーブル要素 : 24)の裁断図解析結

に対してリメッシュを施すと釣合曲面の等張力性が維持され果をそれぞれ図 7, 8 に示す。部材は表 1 の膜-Ⅰとケーブル-ない。さらに、Model-A, B, C の要素分割 O-Model と R1-Model

Ⅰを用いる。Pattern-1 及び Pattern-2 の最適化後の(r1, r2)はその固有周期が高次の周期まで一致しないため、リメッシュ後れぞれ(1.00410, 1.00390), (1.00419, 1.00392)である。膜とケーの裁断図(R1-Model)に再び裁断図解析を実施する。ただし、ブルの同時解析結果により Pattern-1, Pattern-2 共に等張力曲面

三角形要素はリメッシュ後に再度裁断図解析を実施したが側が得られている。ケーブル軸力は側面制約を満足し、側面制面制約を満足する収束解は得られなかった。要因は三角形要約によりケーブルに導入される軸力を比較的容易に調整でき

素のひずみが要素内一定であり、矩形要素はひずみが要素内る。しかし、ケーブル軸力が大きいほど膜の釣合曲面が扁平で双一次的に変化するためと考えている。リメッシュ後の裁になり等張力となりやすく、ケーブル軸力の設定上限値に近断図最適化は矩形要素のモデルに対して実施する。要素分割

い値をとる。HP 型サスペンション膜構造の裁断図解析で三角

O-Model は設計変数削減のため Bézier 曲面の制御点配置を 1形要素と矩形要素の大きな差異は観られない。

つの膜帯に対し(2×6)とするが、R1’-Model の Bézier 曲面の制御点配置は境界部の節点も制御するため O-Model の側面のPattern-1, -2 の最適化後の裁断図に対してリメッシュを実施した際の釣合曲面の応力状態を図 9 に示す。要素分割の粗密制御点から中点をとり、(3×6)の制御点配置とする。

による境界部に隣接する要素の自重評価の違いにより、リメ

8.1 HP 型サスペンション膜構造(Model-A, R1’-Model)
Model-A の数値結果を図 16 に示す。最適化後の裁断図(R1’-

ッシュ後の膜応力値が側面制約内に収まっていない。しかし、モデル全体で等張力性は維持されている。

Model)をリメッシュしたときの膜主応力図は図 17 である。そ

7.2 円形空気膜構造(Model-B, O-Model)の数値概要を表 3 に示す。図 18, 19 はそれぞれ Pattern-1,

ケーブルを導入した円形空気膜構造(Pattern-1 ; 節点数 : 66,

Pattern-2 の固有周期である。リメッシュ後の釣合曲面の等張膜要素 : 100, ケーブル要素 : 10, Pattern-2 ; 節点数 : 66, 膜要力性はモデル全体で維持され、R1’-Model 及び R2-Model の固

素 : 50, ケーブル要素 : 10)の裁断図解析結果をそれぞれ図

有周期が概ね一致している。従って、本リメッシュ手順より

10, 11 に示す。部材は表 1 の膜-Ⅱとケーブル-Ⅱを用いる。

時刻歴応答解析へ展開する際の適切な要素分割は R1’- Model

Pattern-1 及び Pattern-2 の最適化後の r1 はそれぞれ 1.00258,とする。

0.99910、最適化後のライズはそれぞれ 9,108 mm, 7,964 mm で8.2 円形空気膜構造(Model-B, R1’-Model)

ある。Pattern-1, Pattern-2 共に等張力曲面が得られたがケーブ

Model-B の数値結果を図 20 に示す。最適化後の裁断図(R1’-ル軸力の大きさの違いにより最適化後のライズは 1 m 程度のModel)をリメッシュしたときの膜主応力図は図 21 である。そ差が生じた。

の数値概要を表 4 に示す。Pattern-1 及び Pattern-2 の固有周期

Pattern-1, -2 の最適化後の裁断図に対してリメッシュを実施

をそれぞれ図 22, 23 に示す。Model-B はリメッシュ後に再びした際の釣合曲面の応力状態を図 12 に示す。リメッシュによ最適化を実施することで等張力条件を満足する釣合曲面を得る膜曲面の応力の乱れは HP 型サスペンション膜構造よりもた。リメッシュ後の応力状態(R2-Model)はモデル全体で等張4

表 1 膜･ケーブルの材料定数表
材種

膜-Ⅰ

膜-Ⅱ

膜-Ⅲ

ケーブル-Ⅰ

ケーブル-Ⅱ(Model-A)(Model-B)(Model-C)(Model-A)(Model-B, C)

膜厚 t (mm)t=0.8

t =0.8t =0.8－－

断面積 A (mm2)

－

－

－

A=125

A=595

tEx=243.0

tEx=500.0

tEx=980.7

tEx, tEy (N/mm), E (N/mm )tEy=227.0

tEy=500.0

tEy=686.7

E=1.373×105

E=1.570×105

ポアソン比

νx=0.550, νy=0.513

νx=0.30, νy=0.30

νx=0.63, νy=0.45－－

せん断剛性(N/mm)

tGxy=24.19

tGxy=50.0

tGxy=63.74－－

ρm=0.785×10-6ρm=1.215×10-6ρm=1.275×10-6

ρc=1.03×10-3

ρc=4.87×10-3

縦弾性係数
2

単位質量
ρm (kg/mm2), ρc (kg/mm)

表 2 裁断図解析設定条件
Model-A
Pattern-1

Model-B
Pattern-2

Pattern-1

Model-C
Pattern-2

Pattern-1

Pattern-2

σi0 (N/mm)

1.5

1.5

2.0

2.0

1.5

1.5

σmin (N/mm)

1.2

1.2

1.7

1.7

1.2

1.2

σmax (N/mm)

1.8

1.8

2.3

2.3

1.8

1.8

Nmin (kN)

2.0

2.0

5.0

5.0

5.0

5.0

Nmax (kN)

5.0

5.0

25.0

25.0

15.0

15.0

力性が維持され、Model-A 同様 R1’-Model 及び R2-Model の固る。R1’-Model 及び R2-Model の固有周期が概ね一致している

有周期が概ね一致している。従って、要素分割は Model-B 同

ことから時刻歴応答解析へ展開する際の要素分割の粗密は、様 R1’-Model の方がよい。

本リメッシュ手順に従えば R1’-Model による解析がよい結果

8.3 角丸長方形空気膜構造(Model-C, R1’-Model)を得る。

Model-C の数値結果を図 24 に示す。最適化後の裁断図をリメッシュしたときの膜主応力図を図 25、その数値概要を表 5

10. まとめに示す。Model-B 同様リメッシュ後に再び最適化を実施する

本論では、座標仮定有限要素法にケーブル軸力を未知量とことで等張力条件を満足する釣合曲面が得られ、リメッシュ

した Lagrange 未定乗数法を適用し、構造モデルの定式化を示

後(R2-Model)の等張力性はモデル全体で保持されている。

した。ケーブルを導入したサスペンション膜構造や空気膜構

Pattern- 1 及び Pattern-2 の固有周期はそれぞれ図 26, 27 に示造のモデルを解析例に応力指定の最適化問題を設定し、ケーす。Model-A 同様要素分割は R1’-Model の方がよい結果であ

ブルと膜の形状･裁断図同時解析を実施した。最適化後の裁断る。

図にリメッシュを施し要素分割数の違いによる釣合曲面の力
学性状と固有周期の差異を調べた。さらに、リメッシュ後の応力状態が等張力とみなせないモデルや固有周期が一致しな

9. 考察
各モデルの数値解の収束状況を表 6 に示す。想定膜応力にいモデルに対しては裁断図解析を再度実施することで、時刻対して制約条件を満足するケーブル軸力は無数に存在し、ケ

歴応答解析へ展開する際の適切な要素分割に対する等張力曲ーブルを導入した膜曲面はケーブル軸力の大きさにより形状面を作成する手順を示した。

が異なる。従って、膜の裁断図とケーブル長さを同時に最適以上より、Lagrange 未定乗数法を用いたケーブル補強膜構化する必要がある。Model-A, B, C はケーブル長さを裁断線長造の形状･裁断図同時解析とリメッシュ手順により、従来得らさに対する比で与え、設計変数とすることにより等張力曲面

れていない解析モデルに対しても収束解が得られることを示を得た。O-Model では Pattern-1, -2 共に等張力曲面が得られた。

した。

しかし、リメッシュによる境界部に隣接する要素の自重及び内圧評価の違いの影響により釣合曲面の等張力性が維持でき謝辞ない状況が生じる。リメッシュ後の応力の乱れは空気膜構造

本研究は公益財団法人能村膜構造技術振興財団の助成金

モデルにおいて顕著に表れている。リメッシュ後の裁断図最(代表:本間俊雄)を受けて行いました。ここに記して深謝しま

適化は Pattern-2 に対してのみ収束解を得ている。Model-A～Cす。

の R2-Model においてモデル全体で等張力性が維持されてい5

: ケーブル: 固定境界: 裁断線: 解析領域: 設計変数としない制御点 ( モデルの対称性より ): 設計変数となる制御点: 膜とケーブルの接合位置a) 鳥瞰図(Model-A, Pattern-1)b) 鳥瞰図(Model-A, Pattern-2)

Pattern-1c) 膜帯接続情報・解析領域

Pattern-2

Pattern-1d) 制御点配置

Pattern-2e) ケーブル・膜接合位置

図 4 解析モデル概要 Model-Aa) 鳥瞰図(Model-B, Pattern-1)b) 鳥瞰図(Model-B, Pattern-2)

Pattern-1c) 膜帯接続情報・解析領域

Pattern-2d) 制御点配置

Pattern-1

Pattern-2e) ケーブル・膜接合位置

図 5 解析モデル概要 Model-Ba) 鳥瞰図(Model-C, Pattern-1)

Pattern-1b) 膜帯接続情報・解析領域b) 鳥瞰図(Model-C, Pattern-2)

Pattern-2c) 制御点配置

Pattern-1

Pattern-2d) ケーブル・膜接合位置

図 6 解析モデル概要 Model-C6h) ケーブル長さ･軸力

Z

Z

X

a) 鳥瞰図Yb) 立面図 (X-Z 平面)c) 立面図 (Y-Z 平面)f) 膜主応力概要
平均値
最大値
最小値
標準偏差

d) 裁断図tσmax (N/mm)
1.580
1.800
1.341
0.159

tσmin (N/mm)
1.352
1.533
1.206
0.091

e) 膜主応力図g) ケーブル

(O-Model)

要素番号位置

図 7 Model-A 数値結果 (Pattern-1, O-Model)

Xa) 鳥瞰図Yb) 立面図 (X-Z 平面)c) 立面図 (Y-Z 平面)f) 膜主応力概要
平均値
最大値
最小値
標準偏差

d) 裁断図tσmax (N/mm)
1.576
1.800
1.423
0.065

ケーブル
長さ (m)ケーブル
軸力 (kN)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

1.1075
1.09661.08781.08101.07591.0722
1.06981.0686
1.0686
1.06981.0722
1.07591.08101.08781.0966
1.1075

4.469
4.555
4.603
4.676
4.748
4.830
4.906
5.000
5.000
4.906
4.830
4.748
4.676
4.603
4.555
4.469

17
18
19
20
21
22
23
24

1.0763
1.06391.0556
1.05151.05151.0556
1.06391.0763

5.002
4.853
4.719
4.689
4.689
4.719
4.853
5.002

h) ケーブル長さ･軸力

Z

Z

要素番号

tσmin (N/mm)
1.370
1.504
1.264
0.046

e) 膜主応力図g) ケーブル

(O-Model)

要素番号位置

図 8 Model-A 数値結果 (Pattern-2, O-Model)

要素番号

ケーブル
長さ (m)ケーブル
軸力 (kN)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

1.1076
1.09671.08791.08111.07601.07231.06991.06881.06881.06991.0723
1.07601.08111.08791.0967
1.1076

4.465
4.686
4.735
4.764
4.825
4.895
4.959
5.000
5.000
4.959
4.895
4.825
4.764
4.735
4.686
4.465

17
18
19
20
21
22
23
24

1.07651.06401.0556
1.05141.05141.0556
1.06401.0765

5.000
4.836
4.706
4.652
4.652
4.706
4.836
5.000

c) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-1, R1-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
1.541
1.869
1.311
0.126

tσmin (N/mm)
1.321
1.576
1.062
0.091

N1 (kN)
4.713
4.942
4.440
―

N2 (kN)
4.744
4.993
4.578
―

d) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-2, R1-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

a) 膜主応力図 (Pattern-1, R1-Model)

tσmax (N/mm)
1.539
1.685
1.394
0.071

b) 膜主応力図 (Pattern-2, R1-Model)

図 9 リメッシュ後の膜主応力図 (Model-A, R1-Model)

7tσmin (N/mm)
1.336
1.474
1.148
0.042

N1 (kN)
4.770
4.921
4.535
―

N2 (kN)
4.809
5.074
4.644
―

Z

Z

X

a) 鳥瞰図Yb) 立面図 (X-Z 平面)c) 立面図 (Y-Z 平面)h) ケーブル長さ･軸力f) 膜主応力概要
平均値
最大値
最小値
標準偏差

d) 裁断図tσmax (N/mm)
2.089
2.235
1.974
0.055

tσmin (N/mm)
1.962
2.069
1.796
0.063

e) 膜主応力図g) ケーブル

(O-Model)

要素番号位置要素番号

ケーブル
長さ (m)ケーブル
軸力 (kN)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

4.64974.29414.05173.90153.82983.82983.90154.05174.29414.649716.18716.47216.74117.15117.42017.42017.15116.74116.472
16.187

図 10 Model-B 数値結果 (Pattern-1, O-Model)ZZXa) 鳥瞰図Yb) 立面図 (X-Z 平面)h) ケーブル長さ･軸力f) 膜主応力概要
平均値
最大値
最小値
標準偏差

d) 裁断図tσmax (N/mm)
2.174
2.300
1.999
0.089

c) 立面図 (Y-Z 平面)

tσmin (N/mm)
1.918
2.252
1.700
0.172

e) 膜主応力図g) ケーブル

(O-Model)

要素番号位置要素番号

ケーブル
長さ (m)ケーブル
軸力 (kN)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

4.579
4.232
3.993
3.843
3.771
3.771
3.843
3.993
4.232
4.579

19.031
20.34420.11619.92419.76819.76819.92420.11620.34419.031

図 11 Model-B 数値結果 (Pattern-2, O-Model)c) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-1, R1-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
2.429
3.307
1.330
0.483

tσmin (N/mm)
1.854
2.963
0.797
0.467

N1 (kN)13.80914.163
13.569―d) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-2, R1-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

a) 膜主応力図 (Pattern-1, R1-Model)

tσmax (N/mm)
2.604
4.451
1.747
0.543

b) 膜主応力図 (Pattern-2, R1-Model)

図 12 リメッシュ後の膜主応力図 (Model-B, R1-Model)

8tσmin (N/mm)
1.867
3.169
0.572
0.429

N1 (kN)
16.59217.24915.990―h) ケーブル長さ･軸力a) 鳥瞰図b) ケーブル要素番号位置

Z

Z

X

Y

c) 立面図 (X-Z 平面)d) 立面図 (Y-Z 平面)g) 膜主応力概要
平均値
最大値
最小値
標準偏差

e) 裁断図tσmax (N/mm)
1.558
1.778
1.404
0.066

tσmin (N/mm)
1.441
1.585
1.267
0.070

要素番号

ケーブル
長さ (m)ケーブル
軸力 (kN)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.917
1.878
1.851
1.835
1.827
1.827
1.835
1.851
1.878
1.917

12.40012.45212.37612.32812.30812.30812.32812.37612.45212.400

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

2.132
2.005
1.914
1.854
1.825
1.825
1.854
1.914
2.005
2.132

5.001
5.000
5.016
5.066
5.000
5.000
5.066
5.016
5.000
5.001

f) 膜主応力図 (O-Model)

図 13 Model-C 数値結果 (Pattern-1, O-Model)h) ケーブル長さ･軸力a) 鳥瞰図b) ケーブル要素番号位置

Z

Z

X

Y

c) 立面図 (X-Z 平面)d) 立面図 (Y-Z 平面)g) 膜主応力概要
平均値
最大値
最小値
標準偏差

e) 裁断図tσmax (N/mm)
1.668
1.800
1.431
0.100

tσmin (N/mm)
1.430
1.692
1.200
0.149

要素番号

ケーブル
長さ (m)ケーブル
軸力 (kN)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1.91191.8736
1.84681.82991.82181.82181.82991.84681.87361.911910.022
11.061
11.23911.20011.15811.158
11.20011.23911.061
10.022

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

2.05511.9604
1.8922
1.84811.8264
1.8264
1.8481
1.89221.96042.0551

5.000
5.570
6.018
6.205
6.346
6.346
6.205
6.018
5.570
5.000

f) 膜主応力図 (O-Model)

図 14 Model-C 数値結果 (Pattern-2, O-Model)a) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-1, R1-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
1.691
2.345
0.878
0.332

tσmin (N/mm)
1.371
2.223
0.554
0.363

N1 (kN)11.611
11.944
11.412―b) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-2, R1-Model)

N2 (kN)
4.482
4.759
4.265
―

平均値
最大値
最小値
標準偏差

c) 膜主応力図 (Pattern-1, R1-Model)

tσmax (N/mm)
2.009
4.904
0.756
0.572

tσmin (N/mm)
1.355
2.630
-1.1670.456

N1 (kN)
10.29410.2079.411―

N2 (kN)
5.565
6.092
4.208
―

d) 膜主応力図 (Pattern-2, R1-Model)

図 15 リメッシュ後の膜主応力図 (Model-C, R1-Model)

9a) 鳥瞰図
b) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-2, R1’-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
1.574
1.935
1.423
0.087

tσmin (N/mm)
1.393
1.659
1.288
0.048

N1 (kN)
4.876
5.000
4.635
―

N2 (kN)
4.762
5.000
4.612
―

c) 制御点配置d) 最適化後裁断図e) 膜主応力図

図 16 リメッシュ後の裁断図解析数値結果 Model-A (Pattern-2, R1’-Model)
表 3 膜主応力･ケーブル軸力概要(R2-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
1.565
1.933
1.391
0.085

tσmin (N/mm)
1.386
1.661
1.279
0.042

N1 (kN)
4.863
4.981
4.670
―

0.18

0.20

Original-Model
Remesh1-Model

0.16

0.16

period (sec)period (sec)

Original-Model
Remesh1-Model
Remesh1'-Model
Remesh2-Model

0.18

0.14
0.12
0.10
0.08

0.14
0.12
0.10
0.08

0.06

0.06

0

図 17 Model-A 膜主応力図(R2-Model)

N2 (kN)
4.764
5.028
4.607
―

5

10

15
degree

20

25

30

0

図 18 固有周期 (Model-A, Pattern-1)

5

10

15
degree202530

図 19 固有周期 (Model-A, Pattern-2)a) 鳥瞰図b) 膜主応力･ケーブル軸力概要(Pattern-2, R1’-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
2.080
2.300
1.748
0.166

tσmin (N/mm)
1.851
2.179
1.702
0.115

N1 (kN)
24.57925.00023.412―c) 制御点配置d) 最適化後裁断図e) 膜主応力図

図 20 リメッシュ後の裁断図解析数値結果 Model-B (Pattern-2, R1’-Model)
表 4 膜主応力･ケーブル軸力概要(R2-Model)

図 21 Model-B 膜主応力図(R2-Model)

0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10

tσmax (N/mm)
2.257
2.986
1.690
0.330

tσmin (N/mm)
1.793
2.479
1.104
0.276

Original-Model
Remesh1-Modelperiod (sec)period (sec)

平均値
最大値
最小値
標準偏差

0

5

10

15
degree202530

図 22 固有周期 (Model-B, Pattern-1)

10

0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10

N1 (kN)23.75524.13022.419―Original-Model
Remesh1-Model
Remesh1'-Model
Remesh2-Model

0

5

10

15
degree202530

図 23 固有周期 (Model-B, Pattern-2)

a) 鳥瞰図

c) 制御点配置b) 膜主応力･ケーブル軸力概要 (Pattern-2, R1’-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
1.576
1.791
1.236
0.092

tσmin (N/mm)
1.429
1.710
1.200
0.092

N1 (kN)
9.931
10.1849.280―

N2 (kN)
7.951
8.486
7.099
―

d) 最適化後裁断図e) 膜主応力図

図 24 リメッシュ後の裁断図解析数値結果 Model-C (Pattern-2, R1’-Model)
表 5 膜主応力･ケーブル軸力概要 (R2-Model)
平均値
最大値
最小値
標準偏差

tσmax (N/mm)
1.670
3.454
1.239
0.185

tσmin (N/mm)
1.411
2.134
0.675
0.168

0.50
0.40

0.45

Original-Model
Remesh1-Model
Remesh1'-Model
Remesh2-Model

0.40

0.35

period (sec)period (sec)N2 (kN)
7.762
8.297
6.791
―

0.50
Original-Model
Remesh1-Model

0.45

0.30
0.25
0.20
0.15
0.10

N1 (kN)
9.770
10.015
9.049
―

0.35
0.30
0.25
0.20
0.15

0

5

10

15

20

25

30

0.10

0

5

10

15
degreedegree

図 25 Model-C 膜主応力図(R2-Model)

図 26 固有周期(Model-C, Pattern-1)

20

25

30

図 27 固有周期(Model-C, Pattern-2)

表 6 解の収束状況 (〇：解析可, ×：解析不可)
Model-A

Model-B
Pattern-2

Pattern-1

Pattern-2

Pattern-1

Pattern-2

O-Model

〇

〇

〇

〇

〇

〇

R1’-Model

×

〇

×

〇

×

〇

8)

参考文献
1)
2)
3)

4)

5)
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Model-C

Pattern-1

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状・裁断図同時解析, 日本建築学会大会学術講演梗概集(九州), 771-772,
2016, 8SIMULTANEOUS OPTIMIZATION ANALYSIS OF SHAPE AND CUTTING PATTERNFOR CABLE-REINFORCED MEMBRANE STRUCTURE USING LAGRANGE MULTIPLIERS METHOD
Hiroshi Utsunomiya*1)
Toshio Honma*2)
Yohei Yokosuka*3)
SYNOPSIS
In this paper, a finite element technique with coordinate assumption using Lagrange multipliers method that treats axial force of cable as
the unknown quantity is applied to simultaneous optimization analysis of shape and cutting pattern for cable-reinforced membrane structure.
Simultaneous optimization analysis of shape and cutting pattern is implemented on the stress specification. The analysis models are a cablereinforced suspension membrane structure and cable-reinforced pneumatic membrane structures. We describe the detailed procedure of the
cutting pattern analysis and the subdivision for the finite element, and create a analysis model that is applicable to time history response
analysis.
Consequently, the converging solution can be obtained for various membrane structure models by using the procedure of the cutting
pattern analysis indicated here.
*1) Graduate student, Dept. of Architecture & Architectural Engineering, Graduate School of Science and Engineering, Kagoshima Univ.
*2) Professor, Dept. of Architecture & Architectural Engineering, Graduate School of Science and Engineering, Kagoshima Univ.
*3) Associate Professor, Dept. of Architecture & Architectural Engineering, Graduate School of Science and Engineering, Kagoshima Univ.

12膜構造研究論文集 第32号, 13-19, 2018年
Research Paper on Membrane Structures, No.32, 13-19, 2018

An experiment on fabrication technique to establish three-dimensional curved surface ofETFE membrane structure by stretching cutting pattern strips
Quang Hieu BUI *1
Masaya KAWABATA *2

Synopsis
In the manufacture field of plastics, high strengthening by drawing of films is general. It is easy to draw uniaxial
direction, however, there have been few cases that performed biaxial elongation, especially in three-dimensional(3D) shape. This paper presents an experiment of fabrication 3D curved surface of ETFE membrane structure bydrawing the cutting pattern strips with several prescribed stress ratios between the warp or MD direction and theweft or TD direction. The results of the experiments showed that the 3D smooth curve surfaces could beestablished with the stress ratios as same as the prescribed stresses in form finding and cutting pattern analysis. In
addition, the reduction of the rigidity of structures after the prestress construction period was seen at the pressureof around 1.3kPa.

1. Introduction
On the one hand, the final membrane structure shape is generally
doubly curved surface, while the membrane material itself ismanufactured in plane panels. Therefore, the cutting pattern is applied
to divide the 3D curved surface into plane strips. In these procedures,the difference of the prescribed prestress state and the actual stressstate in the structure can be occurred due to the material properties andnumerical errors. To overcome this discrepancy, researchers focusedon the optimization of cutting pattern with prescribed prestress [1][2]or introducing cutting pattern in form finding analysis [3][4].
On the other hand, the ETFE film is well used in membrane
structures in recent years because of its advantages such as superlightweight, excellent light transmission, superior durability, selfcleaning properties and fire resistance performance etc. ETFE
material itself had two yield points on its stress and strain curve [5],and the yield strength of ETFE film was increased by drawing the film
to its plastic region [6]. The fabrication of low-rise 3D curved surface
by drawing the plane film was confirmed by the authors’ experiments.
However, the establishment of high-rise 3D smooth curved surface bydrawing the plane film still had problem because of the occurrence of
wrinkling and insufficient prestress [7].
This paper presents the experiments to fabricate the 3D smooth
curved surface of ETFE membrane structure by drawing the cutting*1*2

pattern strips. First, the form finding analysis is carried out withseveral prescribed stress ratios between the MD and TD directions.
Second, the cutting pattern analysis based on the mathematical
approach find the plane strips without the prestress which correspondto the results from the form finding. Third, these plane strips areconnected by heat seal lines into the specimens, and the boundaries ofthese specimens are drawn to introduce the prestress of tension. The
quantity of boundary extension guarantees the absence of wrinklingand the sufficiency of prestress. Finally, the pressurization test is
carried out to confirm the strength of the ETFE structure after above
construction stage. The results of the experiments showed that the 3D
smooth curved surfaces could be established with the stress ratio
between the MD and TD directions as approximate same as theprescribed stresses in form finding and cutting pattern analysis. And
the reduction of the rigidity of structures after the prestressconstruction stage was seen at the pressure of around 1.3kPa.
2. Overview of experiments
2.1. The process of experiments
The experiments were carried out in three periods as shown in Fig.
1 as follow.

Graduate student, Graduate School of Urban Innovation. Yokohama National University, Japan
Associate Prof., Graduate School of Urban Innovation. Yokohama National University, Japan13

Fig.3 Assumptions for initial stress in form finding

Specimens
DD301
DD302

Fig.1 The process of experiments

Table 1. Types of specimens
Stress ratios
x1: y1x2: y2
3:1
1:1
3:1
3:1

3D view

The dimensions of the frame of experiments are shown in Fig.2,
and all dimensions are in millimeter.

x3: y3
3:1
3:1

3D view

Elevation view
Elevation viewa. DD301 specimenb. DD302 specimen
Fig.4 The results of form finding
2.2.2. Cutting pattern analysis
The least-squares minimization flattening approach [10] [11] wasused in this paper for cutting pattern. The difference of the length
between 3D coordinates and 2D coordinates is minimized by theequation Eq.1.
𝑚(1)

𝜙𝑖 2 (𝑥)

S x =
𝑖=1

where, m is the number of all link elements involved in plane strip, x
is the coordinate vector of plane strip to be determined.
𝜙𝑖 =𝑥𝑖,1 − 𝑥𝑖,22

+ 𝑦𝑖,1 − 𝑦𝑖,2

2

(2)

− 𝑑𝑖

where, (xi,1, yi,1) and (xi,2, yi,2) are the unknown coordinates in the plane
strip for the ith link element, andFig.2 Dimensions of frame of experiments
𝑑𝑖 =2.2. Period 1: Fabrication of specimens
2.2.1. Form-finding analysis
In this paper, the MD direction is named as X direction, and the TD
direction is named as Y direction. The isotropic stress surface method[8][9] was used for form finding in this paper. It is assumed that themembrane has a very small Young’s modulus, and the initial stressratios between the MD and TD directions are indicated in Fig.3. There
were two types of specimens which are described in Table 1.
The results of form finding analysis are shown in Fig.4 in 3D view
as well as in elevation view. The cutting pattern analysis is carried out
to determine the dimensions of plane strips of the film whichcorrespond to the shapes of form finding as shown in section 2.2.2.

𝑋𝑖,1 − 𝑋𝑖,2

2

+ 𝑌𝑖,1 − 𝑌𝑖,22

+ 𝑍𝑖,1 − 𝑍𝑖,2

2

(3)

is the actual length of the ith link element with 3D node coordinates(Xi,1, Yi,1, Zi,1) and (Xi,2, Yi,2, Zi,2) determined in the form finding
procedure.
The results of these analyses are shown in Fig. 5.

a. DD301a/b
b. DD302a/b
Fig.5 The cutting pattern shapes

14

In Fig.5, the numbers show the lengths of cutting lines, while thepercentages indicate the expansions of the lengths of drape strips andthe corresponding lengths of the form finding shapes. In thisexperiment, each type of cutting pattern shapes had two specimens
named as DD301a/b and DD302a/b in the following parts.

measured by four laser displacement meters. The setup of laser
displacement meters is shown in Fig. 8. In addition, those heights
were also measured by the ruler at the first and final steps ofexperiments. The results of those heights are shown in Fig.9 regarding
the target height of minimum surface.

2.3. Period 2: Stretch fabrication by drawing the boundary
After the specimens were spread out across the experiment frame,
the boundaries of specimens were drawn by special technique whichcannot be described in this paper. Fig.6a shows the values of drawing
boundary in Z direction at four special positions in a quarter part ofspecimens, while the Fig.6b indicates that the values of drawing
boundary are interpolated linearly at other positions of specimens.

Initial shape, DD301a

Final shape, DD301a

Initial shape, DD301b

Final shape, DD301b

Initial shape, DD302a

Final shape, DD302a

Arch

Frame

a

c

b

Frame

d

b

a. 3D viewb. Plane viewFig.6 Process of drawing boundary
The experiments were carried out in five steps, and the values ofdrawing boundary are shown in Table 2.
Table 2. The process of experimentsa (mm)b (mm)c (mm)d (mm)
Step 10
0
0
0
Step 21010
10
10Step 320
15
20
20/25*
Step 430
20
30
30/40*
Step 54030
4040/50** The first value was used for DD301a/b, while the second value wasused for DD302a/b

Initial shape, DD302b
Final shape, DD302b
Photo 1. Smooth curved surfaces

90

h2

h1
300

2.4. Period 3: Pressurization test
The pressurization test was carried out after around ten hours ofstretch fabrication period. The process of pressure is described asfollow: 0kPa → 0.5kPa → 0kPa → 1kPa → 0kPa→ 1.5kPa→ 0kPa
→ 2kPa → 0kPa.

1000

500

Frame
1000

55

85

④
③
500

1000

a. 3D view

20

②
①
75

Arch

Frame

500

Frame
1000

1000

b. Elevation viewFig.8 Setup of laser
Fig.7 Saddle heights
displacement meters
All dimensions are in millimeter
In Fig.9, while the dash lines show the results of hand measurement
by ruler, the marked solid lines present the results of laser
displacements meters. Moreover, solid lines without marker indicatesthe results of form finding in section 2.2.1 with stress ratio was 1:1 allover specimens. The saddle height h1 of specimens DD301a/b at the
final shape was higher than the results of minimum surface, while thisheight of specimens DD302a/b moved forward to the minimum
surface results. Therefore, the prescribed stress ratios in form finding
analysis should be chosen depended on the view points of architecture.

3. Observation methods, results and discussions of experiments
3.1. Three-dimensional smooth curved surfaces
The 3D curved surfaces without wrinkling could be established by
the suggested values of drawing boundary as shown in Table 2. Photo
1 presents the initial and final shapes throughout four specimens.
3.2. Saddle heights
The saddle heights of h1 and h2, which are represented in Fig.7, are

15

The saddle height h2 of four specimens moved forward to the heightof minimum surface. The stress ratio between MD and TD directions
as 3:1 for the part between arches and frame were accepted highly.

cutting pattern analysis.

y a

y m

h1 (mm)h1 (mm)d/1000c/1000

1

2

3

5 Step

4

1

2

3

x c

x m

5 Step4

a. The results of h1h2 (mm)h2 (mm)a/1000a/1000

Fig.11 Observed engineering strains
5 Step1

2

3

The average ratio between xc and xm at the final step was 1.93 incase of DD301. This ratio was larger than the results of DD302 as
1.52. The reason can be explained by the effect of friction between
arches and ETFE film. The saddle height h1 of DD301 was higher
than DD302, so the contact area between ETFE and arches in case ofDD301 was larger than DD302. As a result, the contact angle in caseof DD301 was larger than DD302. Summary, the above results canbe understood clearly based on the belt friction theory [12].

5 Step4

b. The results of h2
Fig.9 The results of saddle heights
3.3. Observed engineering strains
Four lengths shown in Fig. 10 were measured by tape measure with
precision of 0.5mm during five steps of experiments. The engineeringstrains at step k are calculated by Eq. 4.

Offset line

3.4. Green-Lagrange strains at some parts on specimens
The lengths of four edges and two diagonals of part A and part B in
Fig.12 were measured by paper tape and caliper during theexperiments. The Green-Lagrange strains at those parts could be
calculated based on the assumption that X direction is unchanged
during the experiments. Fig. 13 indicates the assumption for thiscalculation.

50

Frame

l3

Arch

l4
50

l1

Offset line

l2

Frame

a. 3D viewb. Plane viewFig.10 Observed four lengths

1𝑙𝑖

X2

(4)

80

1𝑙𝑖 − 𝑘 𝑙𝑖

L2

𝑘𝜀 =

Y2

Part A

1000

Part B
1000

100

L1

Y1

Y2

X1

X1

Part I

Part II

X2
L2

Frame

X1
L2

where, k is the engineering strain at step k, 1li and kli are the lengths ofsegment i at step 1 and step k, respectively. These strains are shown in
the relation with the ratios between the boundary extension a, b, c ord and the span of structures in Fig.11.
In Fig.11, the solid lines with circle, square, triangle and diamondmarkers show the results of specimens DD301a, DD301b, DD302a
and DD302b, respectively. In the part between two arches, theaverage ratio between xm and ym at the final step was 0.78 in case ofDD301 and 2.87 in case of DD302. The suggested values of boundary
extension kept the stress ratio between MD and TD directions as
approximate same as the prescribed stress ratio in form finding and

Y1

L1

1000

4

Frame

3

100

2

Arch

1

X2
Y1

Y2
L1

Part IIIPart IV

a. Position of part A & B
b. Observed lengths
Fig.12 Observed lengths at part A&B
The Green-Lagrange strains can be obtained by Eq.5
𝜀𝑥𝑦 − 𝑦𝑖
1 𝑘
𝜀𝑦 =
0
2𝑆
𝜀𝑥𝑦
𝑥𝑖 − 𝑥𝑘16𝑦𝑖 − 𝑦𝑗0𝑥𝑖 − 𝑥𝑗0
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑦𝑗

𝑢𝑗
𝑢𝑘
𝑣𝑘

(5)

The 2nd Piola-Kirchhoff stresses of part A and part B can beobtained by Eq.6. Here, part A and part B were assumed in plane stresscondition.

where, xi = 0, yi = 0, xj = 1Lk, yj = 0, xk = 1Lj.cos(1), yk = 1Lj.sin(1), uj= nLk − 1Lk, uk = nLj .cos(n)− 1Lj.cos(1), vk = nLj .sin(n)− 1Lj.sin(1) ,

𝑆𝑥
𝑆𝑦
𝑆𝑥𝑦

and 1Lk, 1Lj, 1Lk, nLk, 1, n are described in Fig. 13.

n

uk n

Lj
1

Li
Lj
1
1 n Lkn
Lk

Shape at step 1
Shape at step n

vk

𝑆𝑒𝑞 =

j
x

uj

(7)

𝑆𝑥 2 + 𝑆𝑦 2 − 𝑆𝑥 𝑆𝑦 + 3𝑆𝑥𝑦 2

The average values of equivalent stress are shown in Fig.15. The
equivalent stress of part A and part B was almost the same in bothDD301 and DD302 specimens at the final step. Therefore, thedescribed stress ratio in form finding and cutting pattern analysis canbe chose either 3:1 or 1:1 for the middle part depended on the demandof saddle height h1.

Li

1

i

(6)

where, E=800MPa is Young modulus, and =0.44 is Poisson’s ratioof ETFE material. The equivalent stress is calculated by Eq.7.

y
k

1 𝜈
0
𝜀𝑥
𝐸
𝜈 1
0
𝜀𝑦
=
1−𝜈
1 − 𝜈2
𝜀𝑥𝑦0 0
2

Fig.13 The assumptions for calculation of Green-Lagrange strains
Fig. 14 shows the results of Green-Lagrange strains of part A and
B in the final step. The bar and error bars type of this graph indicatesthe average, maximum and minimum values of the strains at thoseparts.
x

y

xy

x

y

xy

a. Part A
b. Part B
Fig.15 Equivalent stress at part A&B
3.5. Observed sliding values
During the experiments, the motions of marked points on
specimens versus fixed points on frames and arches were measured
by ruler with precision of 0.5mm. Fig.16 shows the positions of four
special points on the offset lines of specimens and five points on
specimens at the position of arch.

a. Part A
b. Part B
Fig.14 Green-Lagrange strains at part A&B
In Fig.14, the solid bar shows the strain in MD direction, while thediagonal pattern and horizontal pattern columns presents the strain in
TD direction and the shear strain, respectively. At part A, strain in TD
direction y is around five times larger than strain in MD direction x
in case of DD301, while the MD and TD strains of DD302 are almost
the same. The length of middle cutting pattern line was 2043mm for
DD301 as shown in Fig.5. This length was larger than 2009mm of
DD302. Therefore, the strain in MD direction x of part A of DD302
was larger than DD301 with the same values of drawing boundary.
The same phenomenon was observed in TD direction.
At part B, the drawing process must guarantee two criteria: (1) the
ETFE will not be teared, (2) the wrinkling will not occur. As it can beseen in Fig.14b, although the shear strain at this part was large, theminimum principle strain was controlled to be larger than zeros at the
final step. As a result, the smooth curved surface could be establishedwith the suggested values of drawing boundary as shown in Table 2.

50

X
I
II
III
IV
3*
V

50

4*
1000

1*
1000

Y

2*
1000

a. 3D viewb. Plane viewFig.16 Observed motion positions
The results of motions of four points (1* to 4*) versus boundary
drawing values are shown in Fig. 17. In Fig.17, the solid lines withcircle, square, triangle and diamond markers show the results ofDD301a, DD301b, DD302a and DD302b, respectively. As we cansee from Fig.17, the motion of the points on the offset lines areapproximate a half of boundary drawing quantity.

17

a. Initial shape at 0 kPa
b. Final shape at 2 kPa
Photo 2. Pressurization test, DD302b
In Fig. 19, the solid and dotted lines show the results of DD301,
DD302 respectively, while the dot-and-dash lines present the resultsof PD15. It should be noted that PD15 were specimens which usedflat type of cutting pattern in the part between two arches in previous
experiments [7]. The residual displacements were observed at thepressure of 1.5kPa in both middle and corner parts over four
specimens of DD301 and DD302. In addition, the reduction of therigidity of structures can be seen at the pressure of 1.3kPa from thoserelation curve. In F19.a, the stiffness of the structures at the middle
parts was larger than the previous experiments. The reason can be
explained by the enough sufficient pre-stress of tension and the final
smooth curved surface. In contrast, the stiffness of the structures at thecorner parts was the same in both experiments because the same
cutting pattern types were used in this part.

Fig.17 Motion of offset points
Fig.18 presents the motions of marked points on ETFE specimens
versus the fixed points on arches in X and Y directions at the final step.
It should be noted that the values of observed motions in Fig. 18 were
measured on the curved of films in X direction and the curved ofarches in Y direction by ruler with precision of 0.5mm. The motion in
Y direction was depended mainly on the boundary extension quantity
at c position. The motion of the points near boundary were larger thanthe points in the middle of arches. In contrast, the motion in X
direction was depended not only on the boundary extension quantity
at a and d positions but also on the experiment process. Although thedrawing process of boundary was carried out in order of c, a, d to b
positions, this process could not take place similarly over four
specimens. As a result, the motion in X direction at arches wasdifferent over four specimens.

a. Middle partb. Corner partFig.19 Relations between displacements and pressure
4. Conclusions(1) In tensile membrane structure using ETFE film, the form finding
analysis can be carried out with several prescribed stress ratios
between the MD and TD directions. Those ratios will be determinedby the dimensions and the shapes of structures. The cutting patternanalysis based on the mathematical approach finds the cutting strips
without the prestress consideration which correspond to the form
finding results. The drape strips are connected by heat seal lines, andthe boundary will be drawn to introduce the prestress. The 3D smooth
curved surface with sufficient prestress could be established by those
construction process.
(2) The suggested values of boundary drawing can keep the stressratio between MD and TD directions as approximate same as theprescribed stress ratio in form finding and cutting pattern analysis.

Fig.18 Motion at the position of arch
3.6. Pressurization test results
Photo 2 shows the shapes at the initial step of 0 kPa and final stepof 2 kPa. During the pressurization test, the vertical displacements atfour positions in Fig. 8 were observed by laser displacement meters.
The relations between the displacements at ① and ④ positions
and pressure are presented in Fig. 19.

18

(3) The sufficient prestress could be confirmed not only by theengineering strains, the equivalent stress but also by the preservationof the rigidity of structures up to around 1.3 kPa of pressure.

[5] M. Kawabata, E. Jeong and K. Nishikawa: Curved surface
fabrication and strengthening of film structures by stretching plane
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Acknowledgements-The support for the experiments from Taiyo
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裁断図を延伸して ETFE 膜構造の 3 次元曲面を成形するための作製技術に関する実験的研究
BUI Quang Hieu *1)
河端 昌也 *2)梗 概塑性範囲の製造分野では、フィルムの延伸しによる高強度化が一般的である。一軸方向を引張することは容易である
が、特に三次元（3D）形状で二軸引張を行うケースはほとんどない。本研究では、縦糸方向または MD 方向と横糸方向または TD 方向の様々な定める応力比で複合立体裁断を延伸することにより、ETFE 膜構造の 3 次元曲面加工を実験した。 実験の結果は、形状解析および裁断解析における規定された応力と同じ応力比で 3D 滑らかな曲面を確立できることを示した。
加えて、延伸形成実験の後は構造の剛性の低下は、約 1.3kPa の圧力で見られた。

*1）
*2）

横浜国立大学大学院 都市イノベーション学府 大学院生
横浜国立大学大学院 都市イノベーション研究院 准教授

19

20

膜構造研究論文集 第32号, 20-26, 2018年
Research Paper on Membrane Structures, No.32, 20-26, 2018

ETFE フィルムの粘性特性－温度変化を考慮した非線形粘弾性構成方程式と２軸クリープ試験－
吉野達矢*1
加藤史郎*2

梗

概本研究は FEM 解析を行うことによって，ETFE フィルム膜構造の挙動を明らかにすることを目的としている。ETFE フィルムは弾塑性と粘弾性の両方の挙動を示す。これらの特性に注目した研究を著者らは行なってきた。
本論文では，2 軸張力場で温度が変化するときの粘弾性特性に注目している。そこで，1) 温度変化を伴う 2 軸クリープ試験を行う。数種類の張力比に対して試験を行い，温度ひずみを含むクリープひずみを確認する。2) 前報で提案した増分型構成方程式を用いて，温度変化に伴う 2 軸クリープ試験のシミュレ
ーションを行い，提案する増分型構成方程式の妥当性を確認する。

はじめに

1.

ETFE フィルムは高分子材料であることから，粘弾性特性が顕著に見られる。また， ETFE 樹脂の線膨張係数は鋼材等と比べると，1 桁大きい。そのため，温度変化に伴い，伸び縮みが問題になる場合も考えられる。また，膜構造として使用することから２軸特性が重要である。そこで，ETFE フィルム膜構造の設計・施工をするために，粘弾性特性に注目した研究がなされてきた。
ETFE フィルムの粘性に注目した研究として，著者らの研究以
外に，森山・河端[1,2]の研究，丁・河端ら[3,4]の研究，Wu らの研
究[5]，Galliot and Luchsinger の研究[6]，Li and Wu の研究[7]，Hu, Wu and Xiang[8]などがある。これらの研究は，粘性の考慮，
温度変化の考慮，構成則の FEM への導入のいずれかを行っているものの，すべてを考慮した研究はない。
著者ら[9]は，温度一定の条件下で，(1) MSAJ 法[10, 11]に基づいて，ETFEフィルムの2軸引張試験とせん断試験を行なった。
この結果から，設計用弾性定数を得た。(2) 5 種類の応力比について，2 軸引張試験を行い，相当応力・相当塑性ひずみの関係を確認した。その結果，応力比に関係なく，相当応力・相当塑性
ひずみ曲線は一致した。(3) 弾塑性構成則を提案し，降伏応力
および降伏後の応力・ひずみ関係を表現できることを確認した。
(4) 正方形平面膜の加圧試験を実施し，提案する弾塑性構成則で十分に表現可能であることを示した。
さらに，文献[9]で，1 軸張力場における増分型の非線形粘弾性構成則を提案し，文献[13]で，2 軸張力場に拡張し，その妥当性の確認を行なっている。
*1*2

太陽工業株式会社 設計本部 博士（工学）豊橋技術科学大学 名誉教授 工学博士
21

前報[14]では，温度変化に伴う伸縮成分を追加した 2 軸張力場における増分型の非線形粘弾性構成則を提案し，温度変化を伴う 1 軸クリープ試験を行い，構成則の妥当性の検討を行っている。
そこで，本論文では，既報で示した構成則が，温度変化を伴う 2 軸クリープ試験結果を表現することで，時間経過，応力変化，温度変化を考慮することが可能であることを確認する。
具体的には，
1) 既報で提案した 2 軸張力場用増分型構成方程式に温度変化に伴う伸縮成分を追加した方程式に拡張する。
2) 温度変化を伴う 2 軸クリープ試験を行い，その結果を示す。
3) 提案する構成則と前報でしようした諸定数を用いて，温度変化を伴う 2 軸クリープ試験のシミュレーションを行う。

2.

ETFE フィルムの増分型構成方程式の定式化

前報で提案した増分型構成方程式を以下に示す。
2軸張力場を考えるために，Maxwell要素およびVoigt要素に関連する応力とひずみについて偏差成分と体積成分に分ける。
分けたものを表 2.1.1 に示す。

2.1.1.

増分応力と温度変化

j 番目の時刻t j における応力σ (t j ) と温度 T j を考える。増分時間 ∆t の間に，増分応力 ∆σ 変化したと考える。つまり，

t j +1= t j + ∆t

(2.1.1)σ (t=σ (t j ) + ∆σ
j +1 )(2.1.2)

表 2.1.1 2 軸張力場の構成方程式の変数表
項目

ここで，図 2.1.1 に示すように増分時間 t の間の応力の変化率が一定だと考える。つまり，∆σ σ (t j +1 ) − σ (t j )= = const.
∆tt j +1 − t j∆σσ (τ ) =σ (t j ) +(τ − t j )∆t(2.1.3)(2.1.4)

増分温度 ∆T だけ変化すると考えると同様に，∆T
T (τ ) =T (t j ) +(τ − t j )
∆t

下添字 g

Voigt 要素用

下添字 i

時間間隔

∆t

温度増分

∆T

応力増分

∆σ ′ , ∆σ m

粘弾性ひずみ増分∆ε elMaxwell 要素の増分型ひずみ∆ε g1′ , ∆ε g2′ ,∆ε g1m , ∆ε g2m , ∆ε g3m(2.1.5)∆ε i′ , ∆ε im

弾性バネ要素のコンプライアンス

CGg , CKg ,CGi , CkiηGg , η Kg , ηGi , η Ki

粘性係数

σ (t j +1 )σ (τ )t =τ

t = tjMaxwell 要素用

Voigt 要素 i の増分型
ひずみσ (τ ) = const.

σ (t j )

変数

=
Tg T=
TKg ，
Gg

緩和時間と遅延時間

=
Ti T=
TKi
Gi

α

線膨張係数

t = t j +1

図 2.1.1 増分時間 t の間の応力の変化

2.1.2.1. Maxwell 要素

Maxwell 要素の増分ひずみを偏差成分( ′ )と体積成分( m )に分けて考える。なお，増分ひずみは，時刻 t j から t j +1 を積分して求める。その結果は次式となった。

σCg , ∆ε g1
Eg = 1/ Cg

MaxwellModel′∆ε el=g1

η g , ∆ε g 2
η g = Tg / Cg

∆ε g=
1m
el

α

I 番目の
Voigt
Model

Ci

∆ε el g 2′=

ηi , ∆ε i
Ei = 1/ Ci

2
CKg
3

⋅ ∆σ ′(2.1.6)⋅ ∆σ m1
1
∆t σ ′ (t j ) + ∆σ ′ 2ηGg 1
∆ε g 2 m=∆t  σ m (t j ) + ∆σ m 2η Kg el

ηi = Ti / Ci

1

(2.1.7)

また，温度変化 ∆T に伴う増分熱ひずみ ∆εθ は線膨張係数
α (T ) を使って次式で表す。線膨張係数α (T ) は温度 T の関数である。

i = 1, n

図 2.1.2 一般化 Voigt モデル

2.1.2.

CGg∆ε θ= α (T )∆T

要素の増分型粘弾性ひずみ

図 2.1.2 に示す一般化 Voigt モデルの粘弾性ひずみ増分∆ε el について，偏差成分( ′ )と体積成分( m )を考える。温度変化に伴う伸縮成分は Maxwell 要素にのみ考える。

(2.1.8)2.1.2.2. Voigt 要素
同様に Voigt 要素の偏差成分(  )と体積成分( m )について考える。つまり，次式となる。

22

C

=
∆ε el i′  Gi σ ′ (t j ) − ε el i′ (t j )  1 − e −∆t / Ti
2


CGi
T


+
⋅ ∆σ ′ 1 − i 1 − e −∆t / Ti 
2
t
∆



(

(

)

)

C

ε el im  Ki σ m (t j ) − ε el im (t j )  1 − e −∆t / Ti
∆
=
 3

C
 T

+ Ki ⋅ ∆σ m 1 − i 1 − e −∆t / Ti 
3
 ∆t


(

(

(2.1.15))(2.1.9)C K ( t )= CKg +(2.1.16)

1 軸張力場における増分型非線形粘弾性構成方程式

2.2.

以上から，増分応力は次のようになる。

ここでは，既報と同様に非線形粘弾性ひずみを求める。ETFE
フィルムは応力レベルに依存して，クリープひずみは非線形性を示す。そこで，線形ひずみベクトル {ε el } と非線形ひずみベク
トル {ε nl } の関係は，非線形化粘弾性係数 β (σ ) を使って次式で表す。ただし，温度変化に伴う伸縮成分は除外する。すなわち，∆ε θ
2∆ε ′ 3∆ε m ∆ε α ′ ∆ε α m∆σ = ∆σ ′ + ∆σ m =+−−−CG (t ) CK (t ) CG (t ) CK (t ) CK (t )(2.1.10)
ここに，{ε } = β (σ ) ⋅ {ε } − {ε } + {ε }(2.2.1)σ = ( σ x 2 − σ xσ y + σ y 2 + 3τ xy 2 )(2.2.2)

nl

∆t 
1
∆=
ε′
 CG + ∆σ ′22ηG  ∆t  C ∆tσ ′ ( t ) + ∑ Gi 1 − exp  −   σ ′ ( t )
2ηG
2 
i
 TGi  

(2.1.11)
また，非線形化粘弾性係数 β (σ ) は次式で表すものとし，係数 B2 , B1 , B0 は別途求める。
2β (σ i ) = B2 σ i + B1σ i + B0 ∆t  
∆t
∆
=
ε a′
σ ′ ( t ) + ∑ CGi 1 − exp  −   σ ′ ( t )ηGi TGi   ∆t  − 2∑ 1 − exp  −  ε i′ ( t )i  TGi  

次式となる。

(2.1.12){ε } = β (σ ) ⋅ {ε } − {ε } + {ε }nl(2.1.13)

{∆ε

ηK



j +1

j

(2.2.4)) ⋅ {ε el j +1 } − {ε θ j +1 } + {ε θ j +1 } (2.2.5)

nl
j +1

} = {εnl} − {ε }
nl

j +1

j

(2.2.6)+ β (σ j +1 ) {∆ε el j +1 } − {∆ε θ j +1 } + {∆ε θ j +1 }

 ∆t   σ m (t )
 TKi  σ m ( t ) + ∑ CKi 1 − exp  − ∆t  − 3∑ 1 − exp  −  ε mi ( t )i  TKi  i

} = β (σθj β (σ j +1 ) − β (σ j )  {ε el j } − {ε θ j }
=





 ∆t  − ∑ 1 − exp  −  ε mi ( t )i  TKi  

∆t

j +1

j

さらに，非線形粘弾性ひずみ増分ベクトル {∆ε nl i +1} は式(2.2.4)と式(2.2.5)の差分から，次式となる。

+∑

 ∆t  C ∆t+σ m ( t ) + ∑ Ki 1 − exp  −   σ m ( t )
3η K
3 
i
 TKi  

nl

θ

el

j

j

{ε

 ∆t   TKi 
CKi  
1 − 1 − exp  − ∆σ m
3  
i
 TKi   ∆t (2.2.3)

ここで，時刻 t j と t j +1 におけるそれぞれのひずみベクトルは1
∆t  CK + ∆σ m2
3η K 

∆=
ε am

θ

1/2


 ∆t  − ∑ 1 − exp  −  ε i′ ( t )
T
i 
Gi

 


∆ε=
m

θ

el

ここに，

 ∆t   TGi 
C  
+ ∑ Gi 1 − 1 − exp  −   ∆σ ′2  
i
 TGi   ∆t +  ∆t   TKi ∆t+ ∑ CKi 1 − 1 − exp  −


2η K
i
 TKi   ∆t 
 

)

増分型の線形粘弾性構成方程式

2.1.3.

  ∆t   TGi ∆t+ ∑ CGi 1 − 1 − exp  −


2ηG
i
 TGi   ∆t  

C G ( t )= CGg +以上より，非線形化粘弾性係数 β (σ ) を使って，非線形粘弾性ひずみ増分ベクトル {∆ε nl j +1} を求める。

(2.1.14)2.3.

時間・温度換算則

一般的に，高分子材料は時間・温度換算則[15]が成り立つ。
ETFE フィルム材料についても，森山・河端らにより，時間・温度23換算則に関する特性が確認されている。時間と温度の換算関係は次式で表される。

t ′ = t / aT0 (T )表 3.2.1 Maxwell 要素の定数の緩和時間Tg とコンプライアンス Cg

Tg(2.3.1)

これは，実温度 T の環境における実時間t をシフトファクター
aT0 (T ) に用いて，参照温度 To の環境における換算時間 t ′ を求めるものである。
シフトファクター aT0 は活性化エネルギー ∆H を用いて，次式より求める。
=
log10 aT0 (T )1 ∆H  1 1  − 
2.303 R  T To 

(2.3.2)

3. 増分型構成方程式で使用する定数の評価
3.1. 活性化エネルギー H
本論文では，既報と同様に森山・河端[1,2]によって得られた活性化エネルギー ∆H を使用する。その値を表 3.1.1 と図 3.1.1に示す。
表 3.1.1 活性化エネルギー H [1,2]活性化エネルギー ∆H
温度 T
T < 313K
113.707( T < 40°C )313K < T < 363K
342.261( 40°C < T < 90°C )363K < T447.237( 90°C < T )

i

Ti

Ci

i

Ti

Ci

1

9.13E+13

9.12E-04

14

1.50E+04

2.22E-05

2

3.65E+12

2.37E-04

15

2.99E+03

1.35E-04

3

7.30E+11

6.65E-04

16

5.98E+02

3.49E-05

4

1.46E+11

2.65E-04

17

1.20E+02

1.28E-04

5

2.92E+10

1.07E-03

18

4.79E+00

6.30E-05

6

5.84E+09

1.54E-04

19

9.57E-01

1.25E-05

7

1.17E+09

7.95E-04

20

1.91E-01

6.04E-05

8

2.34E+08

1.21E-04

21

7.66E-03

1.66E-05

9

4.67E+07

4.61E-04

22

1.53E-03

8.20E-07

10

9.35E+06

1.72E-05

23

3.06E-04

1.48E-04

11

1.87E+06

2.69E-04

24

1.23E-05

1.92E-05

12

3.74E+05

4.70E-05

25

2.45E-06

5.54E-05

13

7.48E+04

1.98E-04

26

4.90E-07

7.44E-063.3.

線膨張係数α (T )線膨張係数α (T ) は JIS K 7197-1991 「プラスチックの熱機械分析による線膨張率試験方法」に基づいた試験より求める。フィ
ルムを室温から 423K まで温度上昇し，223K まで除冷する。その後，再度 423K まで上昇させて，線膨張係数を求めている。その結果を図 3.3.1 に示す。この結果から次の近似式を得た。

5α (T ) =-2.057 × 10-8 T 4 +3.289 × 10-5 T 3

0-1.847 × 10-2 T 2 +4.443T -379.6

-5

参照温度
293K(20℃)

線膨張係数 x 10-5 (1/K)

log10 aT0 (T )5.27E-04

表 3.2.2 Voigt 要素の定数の遅延時間 Ti とコンプライアンス Ci

ここに， R =×
8.314 10−3 kJ /(mol ⋅ K ) 。

-10-15
0.00250.003

0.00350.004

1/T [1/K]

図 3.1.1 温度T とシフトファクターの関係

ETFE フィルムのクリープコンプライアンス

実験結果

25

近似式

20
15
10
5
0

250

300

350

温度 (K)

既報[9]で，森山・河端[1,2]の実験結果に合うように，一般化
Voigt モデルの定数を推定した。本報では，Voigt モデルを 26 個として，表 3.2.1, 3.2.2 に示す値を用いる。

図 3.3.1 線膨張係数α (T )24

(3.3.1)

30

200

3.2.

Cg

0

400

450

非線形化粘弾性係数

3.4.

5.

本論文では，非線形化粘弾性係数 b (s ) は次式を使う。つまり，
線形粘弾性とみなしている。

β (σ i ) = 1(3.4.1)

繰り返し温度変化を伴う ETFE フィルムの 2 軸クリ
ープ試験

4.

2 軸引張試験機で，繰り返し温度変化を伴う 2 軸クリープ試験を行う。
試験片形状を図 4.1 に，試験条件を表 4.1 に示す。試験環境の温度変化の履歴を図4.2 に，クリープ試験結果を図4.3 に示す。
一部，7 日間の途中で試験を中断した結果が含まれている。
この結果から，18℃の温度差で 0.3%程度の温度ひずみが発生していることがわかる。試験対象の ETFE フィルムは MD, TDに依存しない同様な温度ひずみを示していることがわかる。

4-R5

50

幅 100mm
つかみしろ 50mm

24

50

50

50

50

50

提案した構成則を用いて 4 章で実施した温度変化を伴う 2 軸
クリープ試験のシミュレーションを行う。諸定数は 3 章に示す値を用いる。
シミュレーションの結果を図 4.3 に示す。最大応力 8MPa，応力比(1:0), (0:1)，載荷方向のひずみの差異は 0.5%程度であり，また，非載荷方向は 0.25%程度と大きい。その他については，
0.15%以下であることが確認できる。最大応力 8MPa，応力比(1:0), (0:1)を除いて，十分にクリープひずみを推定できていることが確認できる。本報では，非線形化粘弾性係数を１とし，粘弾性とみなしてシミュレーションを行っていることから，最大応力8MPa，応力比(1:0), (0:1)の条件で差異が現れた。差異を減らすには非線形性を考慮する必要があると思われる。

6.

1)
図 4.1 2 軸クリープ用試験片形状

フィルム厚さ
試験片幅
最大応力
応力比
載荷速度
設定温度

2)

Temperature [℃]26.5

丁乙碩，河端昌也：ETFE フィルムの粘塑性構成式 －粘塑性定数の決定と 1 軸引張の負荷過程に関する検討－，
膜構造研究論文集 2009，No.23，pp.9～14，2010 年 3 月

4)丁乙碩，河端昌也：ETFE フィルムの粘塑性構成式 －アニーリング処理に従う 1 軸・2 軸引張時においての応力－ひずみ関係の検討－，膜構造研究論文集 2011，
No.25，pp.55～64，2012 年 3 月

5)

Wu M., Li Y. ：Revised finite element formulation formembrane creep analysis, Proc. of the IASS-SLTE 2014, Paper
No. 209, 2014

6)

Galliot C, Luchsinger RH.：Uniaxial and biaxial mechanicalproperties of ETFE foils, Polymer Testing, 2011; 30(4);356-365.

7)

Li Y., Wu M., Wang H.：biaxial creep tests of ETFE foil, Proc.
of the IASS-SLTE 2014, Paper No. 136, 2014

14.5
8.5

-3.5
0

24

48

72

96

120

144

168

Times [hour]

図 4.2 クリープ試験の温度

25

参考文献
河端昌也，森山史朗，會田裕昌：ETFE フィルムの粘弾性挙動について，膜構造研究論文集 2005，No.19，pp.1～8，
2006 年 2 月
森山史朗：ETFE フィルム空気膜構造における粘弾性挙動に関する研究，横浜国立大学 博士論文，2006

3)

20.5

2.5

まとめ

本論文では，温度変化を伴う複数の応力に対して 2 軸クリープ試験を行い，温度に依存した 2 軸クリープ特性を確認した。
さらに，提案した構成則を用いて，温度に依存した 2 軸クリー
プ試験のシミュレーションを行い，温度および応力比が変化す
るクリープ特性を表現可能であることを示した。
以上より，時間経過，応力変化，温度変化を考慮することが可能な構成則であることを確認した。
今後は対象とする応力範囲を拡大し，塑性特性を含む場合について，2 軸クリープ試験を行い，非線形化粘弾性特性，および，塑性特性を把握するとともに，その特性を表現可能な構成則の提案を行う。

mm

表 4.1 2 軸引張試験の条件
250μm
100mm
6, 8MPa
1:1, 2:1, 1:2, 5:1, 1:5, 1:0, 0:1
おおよそ 2sec.で載荷20.4 と 2.6℃を 12 時間毎に 7 サイクル
（図 4.2）参照

試験のシミュレーション

(a) Max stress (8:8)(b) Max stress (6:6)(c) Max stress (8:4), (4:8)(d) Max stress (6:3), (3:6)(e) Max stress (8:1.6), (1.6:8)(f) Max stress (6:1.2), (1.2:6)(g) Max stress (8:0), (0:8)(h) Max stress (6:0), (0:6)

図 4.3 2軸クリープ試験結果 (Ana：解析結果, Exp：実験結果, 横軸 : 時間 [day], 縦軸 : ひずみ [%] )26

considering the dependence on
Proceedings of IASS 2013, 2013

8)

Hongming HU, Minger WU, Ping XIANG：Forming methodof flat-patterning ETFE cushions considering creep behavior，Proceedings of the IASS Symposium 2018, July 16-20, 2018,
MIT, Boston, USA, IASS2018_FullPaper_21.pdf, 20189) 吉野達矢，瀬川信哉，小田憲史：ETFE フィルムの 2 軸引張特性と弾塑性応力・変形解析，膜構造研究論文集 2004，
No.18，pp.31～39，2005 年 2 月
10) （社）日本膜構造協会：膜材料弾性定数試験方法(MSAJ/M-02-1995)，1995 年

temperaturechange,13) 吉野達矢，加藤 史郎：ETFE フィルムの粘性特性 －2 軸
張力場における非線形粘弾性構成方程式－，膜構造研究
論文集 2015，No.29，pp.13～20，2016 年 3 月
14) 吉野達矢，加藤 史郎：ETFE フィルムの粘性特性－温度変化を考慮した非線形粘弾性構成方程式と１軸クリープ試験－，膜構造研究論文集 2017，No.31，pp.1～7，2018 年 3 月15) 日本レオロジー学会編：講座・レオロジー，高分子刊行会，2001 年11) （社）日本膜構造協会：膜材料面内剪断剛性試験方法(MSAJ/M-01-1993)，1993 年
12) Tatsuya Yoshino, Shiro Kato：Formulation of non-linear
incremental constitutive equation of ETFE film structure

Viscous characteristics of ETFE Film sheet- Non-linear visco-elastic constitutive equations that consider the change in temperature and biaxial creep tests –Tatsuya Yoshino*1)
Shiro Kato*2)
SYNOPSIS
In this research, the target is to clarify the behaviour of the membrane structure of the ETFE film using the FEM analysis. ETFE filmshows the behavior of both of elasto-plastic characteristics and visco-elastic characteristics. The authors have carried out researches
focusing on these characteristics.
This paper will focus on visco-elastic characteristics when temperature changes during biaxial tension creep tests.
First, biaxial creep tests accompanied with temperature change are performed. During the tests, thermal strain and creep strain arerecorded against different types of tension ratios. Second, the incremental constitutive equations - proposed in previous paper - are used tocarryout simulation of biaxial creep tests accompanied with temperature change. Then, validity of the proposed incremental constitutive
equations is to be proofed*1) Ph. D., Engineering division, Taiyo Kogyo Corporation*2) Ph. D., Professor Emeritus, Toyohashi University of Technology

27

28

膜構造研究論文集 第32号, 27-44, 2018年
Research Paper on Membrane Structures, No.32, 27-44, 2018

骨組膜構造鋼屋根の支持方法の一提案とその耐震有用性に関する検討
屋根がＲＣ下部構造で支持された場合
加藤史郎*1
出口隆史*2
中澤祥二*3骨組膜構造鋼屋根は、骨組膜構造の基本骨組であり，また一般の体育館等の骨格としてしばしば使わる。この構造では周辺ピン支持あるいはローラー支持が多用されている。この種の屋根の空間構造では既往の地震による支持部のベースモルタルやアンカーボルト等の破壊や支持部近傍の部材の損傷が際立っている。被害の多く
は，設定したルーズホール長さを超えて下部構造が大きく変位することに起因していると想定される。本研究は，これらの損傷を回避するため，RC 下部構造と上部骨組の間にルーズホールを設けることなく RC 下部構造の上に直接に曲げ系部材を設置する方法，また下部 RC と鋼の下弦材をフラット・バーで接合する方法を提案し，この方法の有効性を検討するとともに，RC 下部構造降伏時における当該構造の地震荷重を安全側に概算した。
して定式化を記述する。今後の研究によっては、本記述とは異なるより適切な方法が開発されることを期待しつつ傷回避の有用な方法が提供されている。
１． はじめに膜の構造解析の基本、および、信頼性を支配するパラメータによる摂動を基本として信頼性関数の誘導を行う。
下部構造が RC の鉄骨置き屋根の地震時損傷は，主に支承本研究では，RC 下部構造の柱の上に鋼の柱部材を設置し，部近傍に散見される［1～３］。損傷の分析等［１, 2, 4～７］によれ
ルーズホールを用いないで，この部材で屋根トラスの上弦位置
ば，多くは RC 下部構造と上部の空間構造の振動特性の不連続で直接支持する構造形式を提案する。また，その地震応答を分性あるいは支承部のコンクリートの脆性が損傷要因となっている
析し，その結果の知見に基づいて，提案する支持方法の損傷回と推定される。これらの損傷要因と損傷回避については定量的避に対する有用性を検討し，当該構造の地震荷重を概算する。
な検討が加えられ，それらの成果は従前の成果とも合わせ指針［7］にまとめられている。損傷回避の方法として，竹内他［6］は２．構造概要制振装置の適用，また，山下他［8］は支承部の耐力とその変形
部材配置等：本研究で対象とする屋根構造の概要を図 1 に示メカニズムの分析を進め，設計法へ向けた研究が進んでいる。
す。屋根形状はフラットとし，上部の屋根は，RC 下部構造で支また，パネルディスカッション資料［9］では，非構造材も含めて損傷のメカニズムとその回避方法について解説が加えられ，損
X2
X4
X6
X8
ＵＣ

C1

C1

上部鉄骨フラット屋根C1BＣ
C2 Y11Y10
C2 Y 9
Y8
C2 Y7
Y6
C2 Y5
Y4
C2 Y3
Y2
C2 Y1

LC

5x7m
図 4.2 に詳細
図 4.3 に詳細

Z

Y

Y

X

下部ＲＣ構造X

7 x 7mX1

図 1 フラットな屋根の空間構造：上部鉄骨フラット屋根(直交格子）；最上層鉄骨壁面の水平ブレース；２層のＲＣ下部構造。

X3

X5

X7

図2 左=屋根トラス上弦材UC，右=RC 柱C1,C2 の配置，屋根ト
ラス下弦材 LC，RC 梁 Bc；桁行長さ 49ｍｘスパン 35ｍ。

１） 豊橋技術科学大学・名誉教授，工学博士
２） 豊橋技術科学大学・修士課程学生
３） 豊橋技術科学大学・教授，博士（工学）
29

CS

ＵＣ

HBRL

UC
LC

UC
UC

UC

UC

下弦材, FB + BS

HＢＲU

下弦面ブレース
FBＹ

持されているものとする。X 方向長さは 7x7m，Y 方向長さは5x7mである。図２には，ＲＣ架構の伏図にあわせ，X方向，Ｙ方
向トラスの上弦材UCの配置を示す。なお，UC は，外周のすべての 4 辺にも配置する。トラスは 3.5m 間隔とする。図中，C1 は桁面の RC の柱，C2 は妻面の RC 柱， BC は RC 梁を示す。
RC の梁は RC 架構の最上層と 2F とも同じ断面とする。地中梁は剛とする。ただし図 2 と 3 では，X 方向の構面の対称性から，中央面から番号を付してある。
図３(a)の左半分には屋根上弦面に配置する上弦材 UC と水平ブレース HBRU()の配置，図３(a)の右半分の上部には下弦面に配置する下弦材 LC と水平ブレース HBRL（）の配置を示す。図３(a)の右下部には，下弦面の下弦材 LC に加え，
下弦節点とその斜め上の上弦節点を接続する斜材DUL（）
を示す。X2，X4，X6 構面の Y 方向トラスでは，下弦材は Y1，
Y11 構面には接続していない。同様に，Y3，Y5，Y7，Y9 の X
方向トラスでは下弦材は X8 構面には接続していない。
図 3(b)と図 3(c)に X8 および Y1(および Y11)構面を示す。図3(d)には，妻壁面あるいは桁壁面の構造を示す。上部の壁面位置の鋼構造は，内部とトラス構造の異なる構造としてモデル化してある。最上部分には，トラス架構（部材 WU，WL，WT，
WDT），壁面にはブレース BR および鋼柱 CS，平面の４隅には鋼のピン柱 CM を配置する。下部 RC 構造には RC の梁 BC，および，RC の桁面柱 C１ あるいは妻面柱 C2 を配置する。
X1 や X3 あるいは Y2 や Y4 等に関して，図 3(a)に示す斜材
DUL（）により，固定荷重時に下弦材に作用する断面力は，
概ね下弦節点から斜め上の節点に伝達される。したがって，下
弦材からは壁面の最上部分のトラスの中間節点には作用せず，
鋼柱 CS に伝達される。
Y 方向地震時等の屋根の水平力は，主に妻面のブレース BR
により負担される。ただし，後述するように，Y 方向地震時には，桁面の RC 下部構造に生ずる過度な水平変位を抑制するために，桁面の鋼柱 CS の曲げ特性を期待し，RC 桁面の地震力の一部は屋根のフラットな鋼屋根を通して妻構面に伝達される。本
研究では，このように鋼柱 CS と屋根の上弦面を通して妻面に地震力を伝達する効果を期待するが，想定する RC 柱 C1 や妻面のブレース BR の断面積等の大小によりどの程度の効果が得られるか後述部で検討する。
X 方向，Y 方向のトラスは平面トラスであり，図 4.1，図 4.2 に示すような形状である。ただし，これは，X2，X4，X6 また Y3，
Y5，Y7，Y9 に対する形状であり，上弦位置では鋼柱 CS でピン支持し，鋼柱 CS の柱脚位置では RC 柱 C1 に剛接あるいはピン接合とする。この柱は，下部 RC 構造の過度な変位を抑制する
効果，つまり，RC 柱に対する曲げ起し効果があるが，これについては，後述する。一方，X１，X３，X５，X7 また，Y2，Y4，Y6，
Y8，Y10 に関しては，トラスの両端では，図 4.3 のように鋼部材
BS および鋼部材 FB（ある一定の張力で降伏する非抗圧部材）を介して，下部の RC 梁 BC に接続する。なお，部材 BS は，十分な軸剛性，曲げ剛性があるものとする。この部材 FB は鋼柱
CS と同様，RC 下部構造の過度な変位を抑制するための部材であり，この部分にも曲げ起こし効果（図 5）が期待される。

CM

BS

Ｘ１
Ｘ２

屋根上弦材
上弦面ブレース
HBRU

Ｘ３
Ｘ

上下弦接続
斜材 DUL

Ｘ４
Ｘ５
Ｘ６
Ｘ７

DUL

Ｘ８
Ｙ１ Ｙ２

Ｙ３ Ｙ４

Ｙ５

Ｙ６

Ｙ７ Ｙ８ Ｙ９ Ｙ１０ Ｙ１１

屋根伏図 ; ＸおよびＹ方向トラス，屋根面ブレース，上下弦接続斜材

(a)

Z5
CM

Z3

BC

Z

Z2

C2

Y
(b) 妻面架構 ( X8 )Z1

妻面(妻壁面）鋼トラス，妻面ブレース，ＲＣ架構
ＣＬ

2.50m
壁面トラス高さ 0.50m

4.75m
Ｚ

4.75m

C1

Ｘ
(c)桁面架構 (Y1, Y11)

2.00ｍ

4.75m

桁面(桁壁面）鋼トラス，桁面ブレース，ＲＣ架構
WT

WU

0.50m
CS

CM

WDT

Z5
Z4

WL
BR

BC

Z3

C1 or C2

Z2
4.75ｍ

Z1

(d) 妻面、桁面の RC 構造および鋼の外壁構造；なお WU は解析モデル
上 ，トラス上弦材と同じ位置に配置してある。

図 3 架構の概略図 （屋根面，妻面，桁面）

30

曲げ起こし効果：ここでは，Y 方向地震時に焦点を当て，RC 柱に剛接される鋼柱 CS（図 4.2）あるいは鋼部材 BS と FB（図 4.3）
による曲げ起こし効果に触れる。その定量的効果は後述する。
ただし，桁面 RC 構造の水平変位応答が屋根の応答より小さいことを前提とする。安全限界相当の地震動では，後述の 10m 程度の独立柱は，20cm を超える水平変位となり，柱の変形角は1/50 を超え，一般の設計で設定される許容変形角1/100 を超える。屋根の水平変位がこの 20cm よりも小さければ，上部の屋根面が桁面 RC 下部構造の変位を抑制する効果が現れる。この効
果は，鋼柱 CS や鋼フラット・バーFB の耐力，また，妻面の鋼ブ
レース BR の耐力や妻面の RC 構造の耐力性能に依存する。したがって，適切な断面や耐力について分析が必要となる。
ただし，桁面の下部構造から過大な地震力を受け，支承部近傍の上部のトラス部材に過度な軸力等が作用し部材の座屈ある
いは破断を回避するため，また，鋼柱 CS 等の支承部に過度なせん断力等の断面力の抑制のため，あるいは，支承部のコンク
リートの損傷の回避のためには，鋼柱 CS の曲げ耐力を制限し，かつ，靭性的挙動を確保する必要がある。FB についても，同様に隣接する下弦材に過度の軸力を作用させることのないよう耐力を制限しかつ靭性のある降伏特性とする必要がある。

はり高さ 2.00ｍ

鋼柱 ＣS
P

P

Q

Q

2.50ｍ

はり高さ dB=2.00m UC

柱 Ｃ１
柱 Ｃ１

C

T1

３５．００ｍ

4.75ｍ

DT1

4.75ｍ

LC

35.00ｍ

図 4.1 X2，X4，X6 架構トラスの基本形状；ただし，鋼柱 CS の柱脚はピンの場合
UC

Z5

DT

h=2.50m

T

ｄ＝2.00ｍ

鋼柱 ＣＳ

Z4
Z3

ＲＣ柱 Ｃ１

３. 部材断面の設定，解析モデル化および重量
3.1 部材の断面等
鋼部材：設計法の確立を目的とするなら地震荷重や各部材の断面算定法を提示する必要があるが，本研究では RC 下部構造の過大な変形を抑制する方法を議論し，かつ，どのように変形が抑制できるかを分析するのを目的としており，ここでは，一般的と思われる断面積を先験的に設定し，この断面の妥当性には立ち入らないこととする。
設定値を以下に示す。
なお，表 1.1 は，仮定した材料定数を示す。
表 1.2 から表 1.7 の部材は，履歴特性は弾性線形とし，したがって，降伏も座屈も考慮しない。なお，部材 FB（図 4.3）

図 4.2 鋼柱 CS の柱脚が固定の場合
UC
T1

h=2.50m

T
DT

ＦＢ

DT

ＦＢ
鋼部材 ＢＳＲＣ梁 ＢＣ図4.3 X1，X3，X5，X7 構面の下弦の端部に FB を設置
し，RC 梁 BC に固定する場合；固定する鋼梁 BS には，十分な剛性と耐力を付与

表 1.1 材料のヤング率等
鋼材
Es=20,500kN/cm2
鉄筋
Es=20,500kN/cm2
コンクリートEc=2,400kN/cm2

y=23.5kN/cm2
y=29.5kN/cm2
Fc＝2.4 kN/cm2

屋根上弦面

表 1.2 部材断面：X，Y 方向トラス部材；図 4.2，図 4.3から受ける抵抗力

ＦＨ

UC
断面
A

ＲＣ柱 Ｃ１

TDT

H-125x125x5x7

-114.3x4.5

23.60

15.52

(cm2)
特性

LC

両端ピン，線形弾性（座屈は考慮しない）

表 1.3 部材断面：外壁トラス部材；図 3
WU

図5 X2，X4，X6 架構の鋼柱CS，あるいは，FB と BS 部材により期待できる RC 柱 C1 の曲げ起こし効果。

WT

WDT

断面

H-125x125x5x7

-114.3x4.5

A (cm2)

23.60

15.52

特性

31

WL

両端ピン，線形弾性（座屈は考慮しない）

表 1.4 部材断面：上弦面，下弦面の水平ブレース；図 3(a)A (cm )
2

特性

HBRU

HBRL

L-75x75x6 の半分

L-75x75x6 の半分

4.36

4.36

表 1.10 部材断面：妻面，桁面の鋼柱 CS；図 3(a)，図 4.2
鋼柱 CS のケース

降伏モーメント

等価断面 2 次

Mp ( kN・cm )モーメント Ieff (cm4)

0.0

0.0

10,0000.78ｘ11,111

ケース HN
鋼柱無し

線形弾性（座屈は考慮しない）

注 屋根面の水平ブレースは，引張ブレースとするため，剛性評

ケース H

価として断面積を 0.5 倍（半分）に設定した。

H-294x200x8x12(降伏耐力

Qy=40kN)相当
ケース HH

表 1.5 部材断面：上弦面と下弦面を接続する斜材；図 3(a)DUL-165.2x6, A=31.03cm2
特性

(降伏耐力

Qy=77kN)相当
履歴の仮定

両端ピン，線形弾性（座屈は考慮しない）

0.84ｘ21,200

19,300H-350x250x9x14

曲げモーメントのモデルは材端ばねモデ
ルとし，完全弾塑性とする。

注 係数 0.78，0.84 は，柱脚部のフランジの断面欠損（ドッグボーン形

表 1.6 部材断面：4 隅の柱；図 3(a)CM
断面H-125x125x5x7 ，A=37.66cm2

特性両端ピン，線形弾性（座屈は考慮しない）状）を近似的に等価な弾性柱にモデル化した結果である。

剛接は，下部の RC 柱に対する曲げ起こし効果が期待できる場合である。
RC 部材：RC 下部構造（図 1）は，文献［10］を参照し，以下のようにモデル化した。RCの梁の特性を表1.11に示す。部材のy
軸と z 軸の挙動は独立と仮定し，y 軸については弾塑性を考慮するが，z 軸については弾性とする。
妻面の RC 柱 C2 の特性（B を X 方向長さ，D を Y 方向長さ）については，表 1.12 に示す。妻面の柱断面は，表 1.12 の80cmx80cm に限定する。Y 方向地震動に対しては，妻面は 2
層ｘ5 スパンの構造として抵抗する。X 軸方向については，柱C2 の上部では，X 方向にある程度拘束されるとともに，変形量は小さいと想定されるので，X 方向変形については，線形弾性とする。
桁面の RC 柱 C1 は，表 1.12 に示す 3 種類とし，柱断面として 70cmx70cm，80cmx80cm あるいは 90cmx90cm とする。なお，以下では RC80 等と略記する。また，強軸を X 方向，弱軸を Y 方向とする。Y 軸方向の地震動に対しては，C1
柱は，頂部が拘束された単独の柱として挙動すると想定できる。なお，この研究では，RC80 を基本断面として想定し，
RC70 あるいは RC90 では，どのように応答性状が変化するかを比較・検討するために採用したものである。ただし，剛性低減率は近似的に RC80 と同じ値とした。

表 1.7 トラス下弦と RC 梁を接続する部材：図 3(a)BS
断面H-250x175x7x11，A=56.24cm2, I=6120cm4

特性

線形弾性（座屈は考慮しない）

については，表 1.8 に示すように引張スリップ履歴と仮定する。本来なら種々の断面積について検討が望ましいが，ここでは，断面積が 0.0 あるいは 2.4cm2 の場合のみとする。
妻面，桁面の鉛直ブレースについては，表 1.9 に示すように断面積は 4.8，6.0 あるいは 7.2cm2 の 3 種類，部材細長比
は 120，また履歴は柴田・若林モデルとし，圧縮耐力は建築学会の短期許容応力度とする。細長比の影響の検討も必要であるが，ここでは，120 の 1 種類に限定した。
鋼柱 CS：鋼柱の特性は，表 1.10 に示す 3 種類のケースを想定する。
柱頭部はピン接合，
脚部はピンあるいは剛接とする。
表 1.8 部材断面：トラス下弦と RC 梁を接続するフラット・
バーFB；図 3(a)ケースの分類と FB の断面積 AFB
断面 ケース FBN AFB= 0.0 ， ケース FB AFB=2.4cm2
特性 引張スリップ履歴 y=23.5kN/cm2，降伏耐力 56.4kN

表 1.11 RC 梁断面 BC: 断面 BxD，B=60cm，D=80cm; 図２
表 1.9 部材断面：妻面，桁面の鉛直ブレース BR；図 3(d)ケースの分類とブレース断面積 ABR
断面
ケース ABR4.8 ABR=4.8cm2
ケース ABR6.0 ABR=6.0cm2
ケース ABR7.2 ABR=7.2cm2
特性
柴田・若林履歴 細長比 120，y=23.5kN/cm2
引張降伏時の層間変位 yBR=5.32mm

亀裂モーメント

降伏モーメント

降伏点剛性

Mc (kN・cm)

My (kN・cm)

低下率 aｙ強軸（ｙ軸）

19,80040,4000.28

弱軸（z 軸）19,800/3

40,400/3

0.28

注 架構端部においても，シアースパンは梁長さの１/２としている。なお，
強軸と弱軸の相関を近似的に考慮するため，弱軸の特性を強軸の 1/3としている。ただし，弱軸については，弾性として解析している。また，
地中梁は十分の強剛とする。

注 圧縮耐力は，建築学会短期許容応力度としている。

32

表 1.12 部材断面 C２: 断面 B（X 軸方向の辺長），D（Y 軸方
向の辺長）
断面

ひび割れモーメ

降伏モーメント

降伏点剛性

ント MC(kN・cm)

My(kN・cm)

低下率 ｙ70cmx70cm

26,80074,0000.30

80cmx80cm

35,00097,5000.30

90cmx90cm

44,500123,000

0.30

Q
uK0
Qy
K0
Qc
yK0

d

dy

注 面内ではシアースパンは柱長さの 1/2，面外では 1/1 としている。な（層間変位）

お，強軸と弱軸の相関をは無視できるものとし，また，X 方向変位については弾性とし，地中梁は十分に強剛があるものとして解析している。

図 5 妻面 RC フレームのせん断系によるモデル化

3.2 構造解析方法
１）RC 部分の解析方法においては，梁，柱部材は材端ばねモデルを用いる。モデル化では文献［注１］を参照する。
２）鋼部分については，トラス部材，フラット・バーは軸剛性のみ考慮し，鋼柱 CS は材端ばねモデル［注１］でモデル化する。桁面と妻面のブレースは，柴田・若林モデル［注１］を用いる。
材料非線形の履歴は，該当する表に記したものとする。
３）静的解析と時刻歴応答解析には，中沢・加藤の研究室で蓄積したソフト［注１］を用いる。地震応答解析では，レーリ
ー減衰を使用し，1 次モードと 2 次モードに対して，原則としてそれぞれ減衰係数を 0.02 とする。ただし，後述するように，1 次は有効質量が最大のモード，2 次は有効質量がそれに次ぐものとする。

鋼の壁面の重量を 1kN/m2 とする。高さ 2.5m，X 方向長さ7m の重量 17.5kN を壁面外周の最上部の節点に節点の支配
面積に応じて配分する。上部の鋼屋根の固定荷重時の応力算
定には，これらの荷重を用いる。
RC下部構造の重量を鉛直壁面当たり7.0kN/m2 とする。水平方向 7m，全高さ 9.5m の壁面重量 465.5kN は，RC の最上部の節点に 4分の1，RCの2階に2分の1をそれぞれ配分する。
妻面の固定荷重も同様な方法で算定する。
妻面の地震用固定荷重：Y 方向の地震荷重算定では，地震力の作用効果を考慮して固定荷重を算定する必要があるが，ここでは主に妻面ブレース BR と妻面 RC 下部構造の層せん断力算定に焦点をあわせ，3 層構造として Ai 分布により近似的に地震力を算定する。
本来なら桁面と屋根面の相互作用を考慮して，桁面の RC 下部構造の地震力を算定すべきであるが，現時点では下部構造から屋根に伝達される地震力は算定困難であるので桁面の RC
下部構造は地震時には自立すると仮定し，屋根面には伝達されないとして地震力を算定する。相互作用による桁面ＲＣ下部構造から屋根面への地震力伝達ついては後述部で議論したい。
第3質点の固定荷重は，鋼の壁面，フラットな屋根から計算する。第 2 質点と第 1 質点の部分は，RC 構造として計算する。結果を表3に示す。表3に基づいて算定したAi 分布による層せん
断力を図 6 に示す。ただし，RC 部分の高さは 9.5m，鋼部分の高さは 2.5m として固有周期を 0.265 秒と略算した。

3.3 妻面 RC 下部構造の履歴特性のせん断系近似
図 3(b)に示す妻面 RC 下部構造のみの弾塑性解析から，層せん断力とせん断変形を求め，表 2 に示す特性を設定した。な
お詳細は省略するが，1 層の柱脚にヒンジ， 2 階では梁内端にヒンジ，R 階では梁外端と柱頭にヒンジが生ずる全体降伏形となっている。図 5 に履歴のバックボーンを示す。後述の応答解析
では，妻面では，表 2 と等価となる柱の特性を用いたせん断系
骨組みモデルとし，履歴は劣化型トリリニア―とした。
3.4 固定荷重
フラットな鋼屋根の重量を 1kN/m2 とする。Y 方向 35ｍ，X 方
向長さ７ｍの重量 245kN を上弦と下弦位置にそれぞれ２対１の割合で分割し，分割された重量は，上弦面あるいは下弦面の節点の支配面積に応じて，それぞれの節点に分散させる。

表 3 地震荷重算定用の重量(kN)；ただし構造の半分のみ
第3

鋼屋根

重量 857.5kN

質点
表 2 妻面 RC 下部構造の２層せん断系の特性
せん断

２層
１層

W3

面積 35mx49m/2=857.5m2

鋼壁面

858kN

面積 2.5mx(49m+35m)=210m2
210kN

降伏時

３次剛

ひび割れ

降伏せん断力

剛性

剛性低

性率

せん断力

Qy kN

第2

K0

下 率

u

QC
kN

(降伏変位y )質点

面積 (35+7)mx4.75/2m=99.8m2

W2

重量

0.057

553

1118

第1

RC 下部構造：高さ 4.75m 相当の重量（1.98cm）

質点

面積 199.5m2

1557

W1

重量

kN/cm

y

1879

0.300

2760

0.282

0.050

750

重量

（2.00 cm）

1068kNRC 下部構造：高さ 4.75m/2 相当の重量
698kN

1397kN698kN

1397kN

全重量ΣW= 3163kN

33

P3=1506kN
Q3=1506kN

P2=155kN

P2=667kN
Q2=2173kN

P1=193kN

P1=990kN

Q2=155kN

Q1=348kN

Q1=3163kN

図 7 C0 =1.0 の場合の独立柱 1 本のせん断力 Qi と地震力 Pi
図 6 C0 =1.0 の場合の層せん断力 Qi と地震力 Pi；ただし，全構造の半分のみ
表 4.1 妻面ブレースの保有耐力等
妻面ブレースの保有 ABR=4.8cm2 ABR=6.0cm2

ABR=7.2cm2

耐力（引張ブレースとしての耐力で，1.1ｙを適用）
座屈等による脆性
破断性状ではなく，引張降伏型であるので靭性のある構造とみ
なす

の場合
539kN

の場合
674kN

の場合
735kN

図６の地震力に対する耐力比 Cu

0.36

0.45

0.49

1068ｋN を地震力とする場合の保有耐力
の比

0.51

0.63

0.69

表４.2

する。したがって，RC より上の鋼部分の固定荷重は除外する。
固有周期は，高さ 9.5m として 0.19 秒とする。C0=1.0 に対する桁面の独立 RC 柱の地震力を図 7 に示す。
3.6 妻面ブレースの評価
層せん断力係数 C0=1.0 の地震力に対して，図 6 と表 4.1 の 3
種類のブレースは，それぞれ，終局時（降伏耐力時）のせん断力係数 Cu は，0.36，0.45，0.49となる。引張ブレースは，靭性のある降伏形と考え必要な DS を 0.3 と想定すれば，これら 3 種類のブレースは，必要な保有耐力を有していると判断できる。なお，剛性率等による形状係数は，1.0 としている。
3.7 妻面 RC 構造の評価
C0=1.0 での地震力に対して，表 4.2 に示すように，妻面のRC 下部構造の 1 層の保有耐力時の層せん断力係数 Cu は，0.49となる。曲げ崩壊系と考え必要な DS を0.35と想定すれば，この妻面の RC 構造は，必要な保有耐力を有していると判断できる。なお，表4.1と表4.2の比較から，妻面では，鋼のブレース
がRC下部構造とほぼ同時，あるいは，やや早く降伏すると想定される。

妻面 RC 下部構造の保有耐力等（全構造の半分のみ）
1階

保有耐力：
曲げ降伏する靭性のあるRC 構造に相当とみなす
表 2 の地震力に対する保
有耐力の比

2階
1118kN

1557kN

1557/3163=0.49

3.8 桁面 RC 独立柱の耐震性評価
表 5 と図 7 の地震力による桁面柱の柱脚での作用モーメン
トは 238,900kN･cm となるので，表 1.12 を参照すると，断面が RC70，RC80，RC90 の柱の下部構造では，Cu は，それぞれ,0.31，0.41，0.52 となる。靭性のある曲げ降伏形を想定し，必要な DS を 0.35 とみなすと，断面が RC70 以外は，必要保有耐力があると判断できる。

1118/2173=0.51

表 5 桁面の独立 RC 柱(１本)の地震荷重算定用の重量
第２

高さ 4.75m/2 相当の重量 単位重量 7.0kN/m2

質点

面積 7mx4.75/2m =16.6m2

W2

重量

第1

高さ 4.75m 相当の重量

質点

面積 7mx4.75m =33.2m2

W1

重量

116kN

116kN

４ 地震応答解析による耐震性評価
4.1 入力地震動
振動性状の検討のための地震動には，種々考慮すべきことも多いが，ここでは El-Centro NS 位相の告示スペクトル（h=0.05 で設計用スペクトル）に適合する地震加速度波形[注 1]を用いる。地震動強さのレベルをλE で表し，損傷限界レベルをλE =1 とする。El-Centro NS 位相の損傷限界に相当する加速度スペクトル（h=0.02）を図 8 に示す。
なお，ここで対象とする構造等は固有周期は 0.2 秒と 1.0秒の間にあるものが多いので，採用した図 8 のスペクトルは，
ここでの分析に使用できると判断した。

単位重量 7.0kN/m2
232kN

232kN

全重量ΣW=348kN

3.5 桁面 RC 構造の地震荷重
Y 方向の地震荷重は，前述のように桁面の RC 構造は独立して地震荷重に抵抗すると仮定して，暫定的に算定する。表 5 の固定荷重を用いて，2層の構造に対してAi 分布で地震力を算定

34

500

表 6 線形振動特性
S A(T,h)[cm/s2]

モード

400

次数

300

1
2
3

200

固有周期

有効質

減衰

疑似歪みエネルギー

秒

量比

定数

0.392

0.63

0.02

473.5

0.205

0.15

0.02

31.0

0.138

0.09

0.03

7.3

sE

kN・cm

100

2 次モードでは屋根中央が Y の正方向に移動し，妻面では Yの負の方向に移動する変位となる。1 次モードでは，固有周期は 0.4 秒程度，有効質量比は 0.6 程度である。疑似歪みエネル
ギーの大きさから判断すると，1 次モードが卓越すると想定される。ただし，本研究ではモード性状の分析には立ち入らない。

T [sec]

0
0

0.5

1

1.5

2

図 8 検討に用いた地震動の加速度応答スペクトル
h=0.05, Amax=110cm/s2

4.3 桁面の独立 RC 構造の応答の評価
ここで提案する支持方法の有用性の分析の前に，桁面の RC
柱が独立する場合の応答を分析する。なお，地震入力は安全限界とし，λE =5.0 とする。詳しい時刻歴振動性状は省略し，変位の最大応答のみを表 7 に示す。安全限界時には RC 柱の下部は塑性化し頂部に過大な変形が生じる。また，頂部回転角と層間変形角がほぼ等しく，最大変位時には柱下端が塑性化し剛体回転的変形となる。
現状の構造設計では層間変形角100 分の 1 以下の条件が採用されるが，この条件は柱サイズが RC90 を除いて満たされない。ただし，RC 柱の高さを 9.5m としている。3.7 節の Cu は，
RC70，RC80，RC90 に対してそれぞれ 0.31，0.41，0.52 であり，設計時に DS として 0.5 程度を採用すれば，独立柱として変形条件が満たされる。ただし，上部の屋根との相互作用（下部RC 桁面の地震力を屋根が分担する作用）を期待すれば，RC
柱断面が 80cmx80cm でも可能な場合もありえよう。これについては後述する。

4.2 固有値解析による振動性状
Y 方向地震動に対する固有値解析結果の概略を図 9（モード
概形），表6に示す。ただし，RC柱のサイズ RC80，妻面ブレースの断面積 ABR =6.0cm2，FB の断面積 AFB =2.4cm2，鋼柱 CSがケース H（H-294x200x8x12 相当）の場合である。なお，構造半分の重量は 5257kN，疑似エネルギーは損傷限界時の地震動に対するものである。ブレース断面の大小にかかわらずほ
とんどのケースで振動性状は類似しており，1 次のモードは屋根と下部構造全体が Y 方向に移動する変位するモードであり，
対称軸

Z
Y
X

表 7 RC 独立柱の固有周期，安全限界相当（λE =5）の地震動に対するRC柱頂部の最大応答等：なお，減衰定数0.05 を適用

1 次のモード概形（部材配置は省略）

図 9.1 1 次モード:RC80，妻面ブレース
ABR＝6.0cm2，鋼柱 CS がケース H，AFB=2.4cm2
なお対称のため中心から半分のみ示す
対称軸

下部 RC

対称軸

Y
X
下部 RC

下部 RC
1 次モード

固有

変位

サイズ

周期

cm2

秒

mm

70x70

0.586

80x80
90x90

層間変形

頂部回転

加速度

ラジアン

ラジアン

cm/s2

235.7

0.02480.0274

536

0.448

140.7

0.01480.0150

688

0.354

80.8

0.00850.0094848

角

4.4 RC 柱の上の鋼柱 CS の曲げ剛性および部材 FB が無い
場合の応答
4.3節の予備的検討に加え，図4.3のフラット・バーFB部材が無く，かつ，図 4.2 の桁面・妻面の鋼柱 CS の曲げ剛性が無い（軸剛性は考慮）場合を検討する。これは下部 RC 構造と上部の屋根の相互作用がほとんど無い場合に相当する。ここで地震入力強さは安全限界とし，前述のように解析では RC 構造と鋼構造も含め減衰はレーリー型，減衰定数は 0.02 とする。
なお，以降次のように表記する。鋼柱 CS の曲げ剛性が無

屋根

屋根

柱

2 次モード

図 9.2 上から見たモードの概形:RC80，妻面
ブレース ABR=6.0cm2，鋼柱 CS がケース H，AFB=2.4cm235

節点 PC の最大変位は独立 RC 柱の値（表 7）とほぼ同じである。だだし，表 7 の結果は減衰定数が 0.05 であるため本節の結果よりわずかに小さいが，これは減衰定数の影響と思われる。
基本的には，Cs 柱による桁面 RC 柱に対する曲げ起こし効果（図 5）が期待できない場合には，この RC 柱の応答は独立柱の応答に等しいと確認できる。この傾向は，本解析の範囲では妻面ブレースの断面積にはほとんど関係が無い。節点
PA(屋根上弦面）の変位は，妻面のブレース断面積の違いにより多少異なるが，ほぼ同じ値 6～7cm となっている。この値は，桁面 RC 柱頂部 PC の変位にくらべれば相当に小さい。
この傾向は桁面 RC 柱の断面が小さいほど顕著である。この傾向から推測すれば，桁面位置の鋼柱 CS 等の効果により節点 PC の変位は大きく抑制できる。
本節のモデルは屋根が上弦面で支持されているが，節点 PBと PC 間に曲げモーメントとせん断力が発生しないので，支持点がローラー支持に相当するものとみなせる。ローラー支持とみなした場合，節点 PB と PC (図 10)の層間変位BC（図中の△印）は，必要なルーズホール長さの 2 分の 1（ただしアンカーボルト径を除く）に相当する。表 8 にBC の数値を示す。RC 柱が RC70 では片側のルーズホールは 250mm，
RC 柱が RC90 では 50mm 程度となる。
鋼柱 Cs を用いず下弦面あるいは上弦面で直接ルーズホー
ル支承部とする設計において，ルーズホールの長さ（片側のルーズホールの長さ）を 100mm とするには，桁面の RC 柱の断面として 85cmx85cm 程度以上が必要になると考えられる。ただし，安全限界を超える地震動では，ルーズホールを超えベースプレートに衝突し，特別な対策が無ければ，支承

く，かつフラット・バーFB の無い場合をケース（HN+FBN），
CS の曲げ剛性が無く，かつ FB のある場合をケース（HN+FB），CS がケース H，かつ FB の無い場合をケース（H+FBN），CS がケース H，かつ FB のある場合をケース（H+FB），CS がケース，かつ FB のある場合をケース（HH+FB），CS がケース HH，かつ FB のない場合をケース（HH+FBN）とする。
妻面ブレースの断面積 ABR =4.8cm2，7.2cm2 について図 10に記す節点の変位，また妻面ブレースの層間変位等を図 11 に示す。図中 PA，PC，節点 PA，PC の変位とし，妻面ブレースの層
間変位BR の目盛りは左側に記す。なお，以降，時刻歴結果は省略し，応答の最大値に注目して研究で提案する支持方法の有用性を議論する。

X1 通
X2 通り

り

PA

X3 通り

PB

X4 通り

FB

PC
Z5
Z4
Z3

Z2
Y1 通り

図 10 変位等を示す Y1 通りにある節点

d,

BC

PC

(mm)

ケース
（HN+FBN）

ケース（HN+FBN）

BC

d,
(mm)

PC

BC
200

BR (mm)
100

BC

200

BR (mm)

10

100

PA

10
PA

BR
８５ｃｍ

RC 70

RC 80

BR
RC 70

RC 90

８５ｃｍ
RC 80

RC 90

図 11.2 ブレース断面 ABR=7.2cm2 の場合

図 11.1 ブレース断面 ABR=4.8cm2 の場合

36

部のモルタルに脆性破壊あるいはアンカーボルトに破断等の生ずる危険性は避けられない。
ここで，妻面ブレースに注目する。鋼材の降伏応力度を
23.5kN/cm2 として計算する妻面のブレースの引張降伏時の
層間変位yBR は 5.32mm である。これを基準に求めた応答塑
性率は表 9 の値となる。どの場合も塑性率 1.5 以下であり，変形は比較的小さく，既往のブレースの損傷データ［１1～13］から判断すると，ブレースの破断等は無いと想定される。

に示すが，FB のひずみの目盛りは図の右側に示す。
（ィ）変形制限条件として，節点 PC の変位が 95mm（高さの 100 分の 1）を採用すると，
表 10.4 また図 12 によれば，
桁面 RC 柱は RC80 以上が必要である。
図 11.1 の結果と比較
すれば，図 12.1 の応答は相当に低減されており，鋼柱 CS とフラット・バーFB の有効性が確認できる。なお，表 10.4 ま
た図 12 から，妻面ブレースが 4.8cm2 以上に増加させても桁面の節点 PC の変位は，ほとんど低下しないので，これ以上に節点 PC の変位を減少させるには，鋼柱 CS あるいはフラット・バーFB の断面を増加させることが有効と予想できる。
また，図 12 から桁面 RC 柱の断面増加により節点 PC の変位
は大きく減少することは容易に理解できる。

表 8 ケース（HN+FBN）：節点 PB と PC の層間変位BC (mm)ABR=4.8cm2 ABR=6.0cm2 ABR=7.2cm2
柱

70x70

253

243

242

サイズ

80x80

139

140

141

90x90

43

45

47
PA

表 9 ケース（HN+FBN）：ブレースの塑性率BR，なお（ ）は層間変位BR（mm）
ABR=4.8cm2 ABR=6.0cm2
ABR=7.2cm2
柱

70x70

1.47 (7.8)

0.62 (3.3)

0.43 (2.3)

サイズ

80x80

1.13 (5.0)

0.64 (3.4)

0.43 (2.3)

90x900.88 (4.7)

0.66 (3.5)

0.43 (2.3)

ケース（H+FB）FBd, BR, BC100(mm) (mm)
95

0.010
PC

FB

5 提案する支持方法の有用性の検討
5.1 RC 柱の上の鋼柱とフラット・バーのある場合の応答
安全限界地震動に対する応答の結果を図12 と表10 に示す。
なお，フラット・バーFB は，X1 通り（図 10）である。節点 PA，節点 PB，節点 PB と節点 PC の層間変位BC，妻面ブレースの層間変位BR および部材 FB の最大ひずみFB は図 12

0.005

50

BC

25

BR

RC 70

RC 80

RC 90

図 12.2 ブレース断面 ABR =6.0cm2 の場合
PA

125

PC

ケース
（H+FB）

ケ―ス（H+FB）FBd, BR, BC (mm)

100
95

Pc

d, BR, BC

100
９5

0.010

0.010
PA

BR

FB

FB

0.005

50

0.005

50

BC

BC

25

FB

(mm)

25

BR

RC 70

RC 80

RC 90

RC 70

図 12.1 ブレース断面 ABR =4.8cm2 の場合

RC 80

RC 90

図 12.3 ブレース断面 ABR =7.2cm2 の場合

37

（ロ）X タイプ型の山形鋼ブレースの破断データ［１3～15］から応答塑性率が4程度以下(層間変位で21.3mm以下)であればブレースの破断は無いと想定し，これを山形鋼ブレースの変形条件とする。
表 10.2 によれば，
この条件は，ABR =4.8cm2
では RC 柱断面として RC90，ABR =6.0cm2 と 7.2cm2 では RC 柱断面として RC70 でもこの条件を満たす。これらの結果から，本研究の提案する CS あるいは FB を適用する構造の有用性が確認できる。なお，保有耐力接合を満たすシングル山形鋼
ブレースでは，破断時の塑性率は 12 程度［13］と想定できるので，RC70 で ABR=4.8cm2 を除けば，ブレースの破断は回避できる。
（ハ）鋼柱 CS の変形制限を，高さの 100 分の 1 とすると，許容できる変位は 25mm となる。図 12，表 10.1 から理解できるようこの条件は，RC 柱のサイズが 70cmx70cm で ABR=4.6cm2 を除外すれば満たされる。
（二）また，図 12，表 10.5 を参照すると，フラット・バーの歪みは塑性率換算で，いずれの場合も概略 6 以下であり，保有耐力接合されていれば破断は回避できると推定できる。

上記の分析をまとめると，桁面 RC 柱が断面 RC90 以上な
ら変形条件を満たし，桁面 RC 柱が RC80 以上で妻面ブレースの断面が 6.0cm2 以上であれば，桁面 RC 柱の層間変形角，
鋼柱 CS の層間変形角，妻面ブレースの塑性率，FB の塑性率の変形条件を満たすと想定できる。
5.2 鋼柱 CS とフラット・バーFB の有用性の比較
前節では，RC 独立柱の応答と比較しつつ，鋼柱 CS，また，
フラット・バーFB が有効であるかどうかを議論し，その有用性を確認した。本節では桁面の RC 柱が RC80 に関して，妻面ブレースの断面積 ABR が 4.8cm2 と 6.0cm2 について，ケース（H+FBN），（HN+FB），および（H+FB）の有用性の比較を行う。
図 13.1 と図 13.2 に，妻面ブレースの断面積 ABR が 4.8cm2と 6.0cm2 の場合の結果を示す。合わせて表 11.1 と表 11.2 に数値として結果を示す。ここで比較する３ケースでは，当然ではあるが，桁面 RC 柱の変形抑制の面においてケース（H＋FB）が全体的に優れている。
（ィ）ケース(HN+FB）では，妻面のブレースの負担を軽減でき（つまりブレースの塑性率が小さい），かつ節点 PC の変位と層間変位BC を軽減できるが，一方で FB の塑性率が20 程度と相当に大きくなる。
（ロ）一方，ケース(H+FB）では，節点 PC の変位と層間変位BC を軽減でき，かつ，ブレー
スと FB の塑性率もそれほどに大きくない。
（ハ）つまり，ケース（HN+FB），(H+FB）は，桁面 RC 柱の変位低減に

表 10.1 ケース（H+FB）：節点 PB と PC の層間変位BC (mm)ABR=4.8cm2 ABR=6.0cm2 ABR=7.2cm2
柱

70x70

26

22

22

サイズ

80x80

19

21

21

90x90

23

22

22

表 10.2 ケース（H+FB）：ブレースの塑性率BR，なお，（）
内は層間変位BR（mm）
ABR
4.8cm26.0cm27.2cm2柱サイズ

表 11.1 RC80，ABR =4.8cm2 の場合の応答の比較
解析ケース

70x70

15.24（81.1） 3.63（19.3） 0.94（5.0）

80x80

6.22（33.1） 1.13（6.0）

0.81（4.3）

比

90x90

1.50（8.0） 0.86（4.6）

0.66（3.5）

較

表 10.3 ケース（H+FB）：節点 PA の変位 (mm)
2
ABR
4.8cm
6.0cm27.2cm2（HN+FB）(H+FBN)（H+FB）

節点 PA の変位

82.8mm148.3mm103.4mm

節点 PC の変位

129.8mm

109.9mm95.0mm項

節点 PB と PC

51mm

43mm

19mm

目

の層間変位BC
6.0

19.3

6.2
(33.1mm)

ブレースの

柱

70x70

138.3

114.7

106.5

塑性率（BR）(31.8mm)(102.6mm)

サイズ

80x80

103.4

93.0

91.8

FB の塑性率19.7(0.0027)----------

90x90

82.5

79.1

78.5

（FB）

表 10.4 ケース（H+FB）：節点 PC の変位（mm）
2
ABR
4.8cm
6.0cm27.2cm25.2(0.0060)

表 11.2 RC80，ABR =6.0cm2 の場合の応答の比較
解析ケース

柱

70x70

125.9

106.4

106.3

サイズ

80x80

95.0

94.0

93.4

比

90x90

72.4

71.0

70.0

較

表 10.5 ケース（H+FB）：部材 FB の塑性率：( )内は歪み
ABR
4.8cm26.0cm27.2cm2(HN +FB）(H+FBN)(H+FB)

節点 PA の変位

77.7mm

98.5mm93.0mm

節点 PC の変位

121.9mm

90.1mm94.0mm項

節点 PB と PC

54mm

24mm

21mm

目

の層間変位BC
1.48

2.83

1.13

ブレースの

柱

70x70

5.9 (0.0068)

6.1 (0.0070)

5.7 (0.0065)

塑性率（BR）(7.9mm)(15.1mm)(6.0mm)

サイズ

80x80

5.2 (0.0060)

5.4 (0.0062)

5.0 (0.0058)

FB の塑性率22(0.0252)

-――――

5.4

90x90

3.5 (0.0040)

3.3 (0.0038)

3.3 (0.0038)

（FB）

38(0.0062)

0.0227 for FBⅾ、d, BC

FB

(mm)
200

100

0.010

BR
(mm)

BC
（ｍｍ）

200

100

BR

BR
ｄBR

FB

0.0252 for FB

0.010

（ｍｍ）

PA
PC

FB
100

100

0.050

50

FB

PA

0.050

50

PC

BC

BC

BR

25
25

(HN+FB)(H+FBN)(H+FB)(HN+FB)（ト）図表示は省略するが，妻面ブレース断面積 ABR が7.2cm2 の場合の結果を表 11.3 に示す。ケース（H+FBN）では，ブレースの塑性率が 0.92 と小さく，また，100 分の 1
以下という層間変形角の変形の条件を満たしている。
上記の結果から，桁面の RC 柱が RC80 以上で妻面のブレース断面積が 6.0cm2 以上であれば，ケース（H+FBN）
も，ケース（H+FB）と同様に前述の変形条件を満たし，鋼柱 CS，また，妻面ブレース断面の増加の有効性が確認できる。

に有効と言える。
（二）しかし，妻面ブレース，あるいは，桁面フラット・バーFB の過大なひずみを回避する点から考え
ると，ABR が 4.8cm2 で RC 柱の断面が RC80 の場合では，ケース（H+FBN），ケース（HN+FB）の両方ともが，変形条件を十分に満足できていないと判断できる。（ホ）ABR=4.8cm2 の場合には，ケース（H+FBN）を適用する場合は
RC 柱の断面あるいは桁面 CS の断面を増加する必要があり，ケース（HN+FB）を適用する場合はフラット・バーFB，RC柱，あるいは鋼柱 CS の断面積を増加させる必要があろう。
(へ)したがって，フラット・バーFB の断面を増加させる場
合においても，桁面 RC 柱が RC80 で ABR =4.8cm2 あるいは
6.0cm2 であっても，鋼柱 CS の断面特性あるいは妻面ブレースの断面積 ABR を増加させれば，節点 PC の変位が 95mm（高さの 100 分の 1）以下，鋼柱 CS の変形角を 100 分の 1（変位 25mm）以下，ブレースの塑性率（BR）を 4 以下の変形
条件を満たすことが推定できる。

5.3 鋼柱 CS をケース HH とする場合の検討
鋼柱 CS の断面 2 次モーメント Ieff また My を増加させた場
合（ケース HH）の結果を図 14，15 また表 12，13 に示す。
ケース HH の鋼柱 CS の最大せん断力は，表 1.10 に示すように 77kN であり，上弦面から屋根部材に作用する水平力は，この値に制限されるので，固定荷重時軸力から最大 77kN だ
け増加することを考慮して安全側に部材を断面算定することになる。また，支承部に作用するせん断力も 77kN に限定され，これ以上の増加は無く，かつ，作用する最大モーメント
は，部材 H-350x250x9x14 の降伏モーメントの約 2 分の 1の 193,000kN・cm であり，RC 柱上の柱脚の設計も容易となり，また，ベースプレート等も H-350 相当の大きさで足る。
結果をまとめると，以下のようになる。ブレースの塑性率が４以下，桁 RC 柱の変位が 95mm，かつ，鋼柱 CS の層間変位が 25mm（高さ 250mm の 100 分の１）以下を変形条件とする。
（ィ）表 12.1，あるいは，図 14.1 を参照すると，この条件を満たすには，RC 柱が RC70，（HH+FB）の場合には，
2妻面ブレースの断面積を 6.0cm 以上とする必要がある。
（ロ）
表 13.1，あるいは，図 15.1 を参照すると，RC 柱が RC70，（HH+FBN）の場合には，ブレース断面積が 7.2cm2 であれ

表 11.3 RC80,ブレース断面積 ABR=7.2cm2 でケース
（H+FBN）および（H+FB）の場合の応答の比較
解析ケース（H+FB）

比節点 PA の変位

94.9

91.8

較

節点 PC の変位

89.3

93.4

項

節点 PB と PC の層間変位BC

25

21

目

ブレースの塑性率（BR）

0.92 (4.9)

0.81 (4.3)

FB の塑性率（ひずみFB）--------------

5.0(0.006)(H+FB)

図 13.2 CS と FB の効果の比較：RC80，
ABR=6.0ｃｍ2

図 13.1 Cs と FB の効果の比較：RC80，
ABR=4.8cm2(H+FBN）(H+FBN)39

表 12.2 RC80，ケース（HH+FB）の場合
解析ケース
2
ABR
4.8cm
6.0cm2

ば，ほぼ条件を満たす。
（ハ）表 12.2，あるいは，図 14.2 を参照すると，RC80，（HH+FB）の場合には，ブレース断面積が 4.8cm2 であれば条件を満たす。
（ホ）表 13.2，あるいは，図 15.2 を参照すると，RC80，（HH+FBN）の場合には，ブレース断面積が 6.0cm2 であれば，ほぼ条件を満たす。
これらの結果から，桁面の RC 柱のサイズが RC70 では変形条件を満たすにはやや不十分であること，また，当然のことであるが，鋼柱 CS のサイズを上げることで CS 材の有用性が増すことが確認できる。ただし，サイズを上げすぎること(mm)

節点 PA の変位

95.9mm

92.8mm

91.9mm較

節点 PC の変位

81.1mm

80.1mm

79.5mm項

節点 PB と PC の

21mm

22mm

21mm

目

層間変位BC
3.35

0.96

0.77

率（BR）(17.8mm)(5.1mm)(4.1mm)FB の塑性率 6.6(0.008)

6.0(0.007)

5.9(0.007)（ひずみFB）

で桁面 RC 柱上の支承部には大きな負担がかかる危険性も増す。したがって，ブレースの断面積 ABR を増加させつつ，鋼柱 CS を適切なサイズに設定する設計が要求される。

FBd, BC, BR

比ブレースの塑性

0.015

150

7.2cm2

PA

PC

100

0.010

d,

BC, BR

100

(mm)

FB

PA

0.010

PC

FB

FB
0.005

50

BR

50

0.005

BC

BC

BR

ABR 4.8

6.0

ABR

7.2 cm2

図 14.1 RC70,ケース(HH+FB)の場合

表 12.1 RC70cm，ケース（HH+FB）の場合
解析ケース
2
ABR
4.8 cm6.0cm27.2cm2
比

節点 PA の変位

126.6mm109.2mm

4.8

RC 80,ケース(HH+FB)の場合

表 13.1

RC70cm，ケース（HH+FBN）の場合
解析ケース
ABR

4.8cm26.0cm27.2cm2104.6mm比

節点 PA の変位

157.5mm130.4mm115.0mm

節点 PC の変位

124.7mm

106.8mm

97.2mm

36mm

32mm

26mm

16.8

7.8

1.4

(89.6mm)(41.5mm)(7.2mm)

―――――

――――

――――

較

節点 PC の変位

108.0mm

93.1mm

91.3mm項

節点 PB と PC の

26mm

23mm

23mm

項

節点 PB と PC の目

層間変位BC

層間変位BC
ブレースの塑性
率（BR）

7.2 cm2

図 14.2

較

目

6.0

8.01

1.97

0.83

(42.6mm)(10.5mm)(4.4mm)ブレースの塑性
率（BR）

FB の塑性率 

19.7

4.3

4.3

FB の塑性率 （ひずみFB）(0.0149)(0.0049)(0.0049)（ひずみFB）

40

表 13.2 RC80，ケース（HH+FBN）の場合
解析ケース
2
ABR
4.8cm
6.0cm27.2cm2

比

節点 PA の変位

130.3mm

102.1mm

98.7mm較

節点 PC の変位

95.7mm

81.1mm

78.2mm項

節点 PB と PC の

38mm

26mm

26mm

目

層間変位BC
12.2

3.5

1.2

率（BR）(64.9mm)(18.4mm)(6.3mm)FB の塑性率 ------------------------------------------------

ブレースの塑性

せん断力と塑性率，妻面 RC 構造の層せん断力と塑性率を表14 に示す。妻面ブレースの塑性率が４以上は，ABR =4.8cm2で，かつケース（H+FBN），（H+FB），（HH+FBN）の場合が相当する。
(ロ)次に，妻面ブレースの塑性率が４程度(層間変位で)以下となる範囲に焦点を合わす。桁面 RC 構造の変形抑制に一番効果的なのは，ABR=6.0cm2 で比較すると，ケース（HH+FB）（表 12.2，図 14.2）であり，それに続いて（H+FB）（表 11.2，
図 3.2）と（HH+FBN）（表 13.2，図 15.2）が同程度に有効であり，効果が無いのはケース（HN+FBN）（図 11.2，ただし ABR=7.2cm2 で代用）である。つまり，鋼柱 CS の降伏耐力が高く，フラット・バーFB が適用される場合が効果的である。その効果は，表 13.2 からも理解できるように妻面のブレースの断面積 ABR が大きいほど，桁面の変形抑制に効果的である。

（ひずみFB）

150

PA

d, BC, BR(mm)d, BC, BR

PC

PA

(mm)
100

100

PC

BR

BR

50

50

BC

ABR 4.8

BC

6.0

ABR

7.2cm24.8

6.0

7.2cm2

図 15.2 RC80，ケース(HH+FBN)の場合

図 15.1 RC70，ケース(HH+FBN)の場合

妻面の RC の変形に関しては，表 14 を参照すると，（ハ）ケース（HH+FB）で ABR =7.2cm2 の場合には，妻面
RC の塑性率は最大でも 1.99，層間変形角は 240 分の１である。この塑性率の値は，慣用される塑性率制限 2 以下，かつ，層間変形角は 100 分の 1 を満たす。
（二）また，妻面ブレースの塑性率に関しては，ABR =4.8cm2で，かつ，ケース（H+FBN），（H+FB），（HH+FBN）の場
合には，ブレースの塑性率は 4 以上となり，先に想定した塑
性率制限の 4 以上となる。これらを除けば，いずれも塑性率
制限 4 を満たし，層間変形角もほぼ 100 分の 1(層間変形で20mm，塑性率で 3.76)を満たす。
地震力については，種々な視点が想定されるが，以下では，3 層構造としての地震力を以下の２視点からから分析する。

5.4 妻面ブレ―スおよび RC 構造に作用する層せん断力
桁面 RC 柱，鋼柱 CS，フラット・バーFB の断面，また，妻面のブレース BR 断面を，それぞれ適切に選択することで桁面の RC 柱の過大な変形を抑制できた。
桁面 RC 構造の変形の抑制には，桁面への抑制力が必要である。その供給には，上部構造の屋根を経由して妻面のブレースと RC 構造が負担する。したがって桁面の変形を効果的に抑制する反面，抑制力は，妻面のブレースと RC 構造に作用する。
前述のように，桁面 RC 柱のサイズが RC80 程度以上であれば，想定する変形条件をほぼ満足するので，まず，RC 柱のサイズが RC80 に関して，（ィ）妻面のブレースと RC 構造の負担せん断力を検討する。桁面のブレースに作用する層41

表 14 RC80 の場合の妻面ブレース，妻面 RC2 層，RC1 層の応答層せん断力（kN）：（ ）内は，塑性率。ただし，ブレースの降伏変位yBR =5.32mm；妻面 RC の 2 層，1 層の降伏
変位y2 =1.98mm，y1 =2.00mm
ケース
ABR cm2
4.8

6.0

7.2

HN+

QBR

628 (0.99)

628 (0.64)

625 (0.41)

FBN

Q2

1083 (0.94)

1081 (0.94)1080 (0.94)

Q11660 (1.37)

1653 (1.35)

1648 (1.44)

H+

QBR

653 (19.23)

818 (2.84)

951 (0.92)

FBN

Q2

1204 (1.41)

1220 (1.48)

1227 (1.52)

Q11743 (1.67)

1794 (1.86)

1799 (1.87)

QBR

654 (6.22)

819 (1.13)

864 (0.81)

Q21242 (1.59)

1283 (1.78)

1293 (1.82)

H+
FBの応答そのものを層せん断力分布の基準とみなし，この基準からの層せん断力のずれを表 15 に示す。換言すれば，このずれは桁面の鋼柱 CS あるいはフラット・バーFB の影響により生じたケース（HN+FBN）の応答との違いを示す。なお，（ ）内の数字は，40kNx7=280kN に対するずれの割合であり，この 280kN の値は，桁面の 7 個の鋼柱 CS が負担すると思われる Y 方向地震力の最大値とみなされる値である。
（ィ）ケース（HN+FBN）では，妻面ブレースの断面積の違いによる層せん断力ずれは殆ど無い。
（ロ）ブレースが負担する層せん断力に注目すると，他のケースでは，妻面ブレースの断面積が大きいほど，ブレースの負担層せん断力のずれが大きい。ただし，ブレースの断面積 ABR が 6.0cm2 の場
合には，ケース（H+FBN），（HH+FBN），（H+FB），（HH+FB）の間でこのずれは相互にほぼ同程度であるが，ブレースの断面積 ABR が 7.2cm2 の場合にはフラット・バー
FB の無い場合のケース（H+FBN），（HH+FBN）場合のブレースの層せん断力は，フラット・バーFB のあるケース（H+FB），（HH+FB）の場合よりやや大きくなる。換言す
ると，フラット・バーFB の無い場合には桁面変形の抑制の結果としてブレースの負担する地震力が大きくなる。
（ハ）桁
面 RC の層せん断力に注目すると，同様に桁面の鋼柱 CS とフラット・バーFB の影響で，RC 下部構造の負担する層せん
断力は増加する。この増加傾向は RC2 層が 1 層よりも顕著であり，また妻面ブレースの断面積 ABR が大きいほど大きい。
上記の増加の要因の確認には，ブレース部分と RC 部分の層せん断力の時刻歴応答の違いの分析が必要であるが，ここでは時刻歴応答そのものには焦点を当てず増加の割合を分析する。増加の近似的割合を表 16 に示す。
（ィ）妻面ブレースの層せん断力の増加割合に注目する。
ケース（HN+FBN）の場合からの平均的な増加割合(表 16の最下段の数値)は，ABR が 4.8cm2， 6.0cm2，7.2cm2 に対して，それぞれ，0.1，0.7，1.2 となる。同様に ABR が 4.8cm2，
6.0cm2，7.2cm2 に対して，RC の 2 層のせん断力については
増加割合は 0.5，0.7，0.8，RC の 1 層については 0.4，0.5，
0.6 となる。

Q1

1762 (1.74)

1782 (1.81)

1780 (1.80)

HH+

QBR

654 (3.35)

806 (0.96)

835 (0.77)

FB

Q21264 (1.78)

1325 (1.97)

1329 (1.99)

Q11770 (1.77)

1786 (1.83)

1779 (1.80)

HH+

QBR

653 (12.20)

818 (3.46)

983 (1.18)

FBN

Q2

1206 (1.42)

1246 (1.61)

1280 (1.76)

Q11752 (1.70)

1811 (1.92)

1826 (1.97)

表 15 RC80 の場合の妻面ブレース，RC2 層，RC1 層の層
せん断力（kN）と ABR=6.0 cm2 でケース（HN+FBN）場合とのずれ：（ ）内は，40kNx7=280kN に対するずれの割合
ケース
ABR cm2
4.8

6.0

7.2

HN+

QBR

000 (0.00)000 (0.00)-003 (-0.00)

FBN

Q2

002 (0.00)000 (0.00)-001 (-0.00)

Q1007 (0.00)000 (0.00)-005 (- 0.00)

H+

QBR

025 (0.09)

190 (0.68)

323 (1.15)

FBN

Q2

123 (0.44)

139 (0.50)

146 (0.52)

Q1090 (0.32)

141 (0.50)

146 (0.52)

QBR

026 (0.09)

191 (0.68)

236 (0.84)Q2161 (0.58)

202 (0.72)

212 (0.76)Q1109 (0.39)

129 (0.46)

127 (0.45)

HH+

QBR

025 (0.09)

190 (0.68)

355 (1.26)

FBN

Q2

125 (0.45)

165 (0.59)

199 (0.71)

H+
FB

Q1

099 (0.35)

158 (0.56)

173 (0.62)

HH+

QBR

026 (0.09)

178 (0.64)

207 (0.74)

FB

Q2183 (0.50)

244 (0.87)

248 (0.89)Q1117 (0.42)

133 (0.48)

表 16 RC80 の場合の妻面ブレース，RC2 層，RC1 層の層
せん断力（kN）と ABR =6.0cm2 ,（HN+FBN）の層せん断力とのずれの概数（kN）；（ ）内は 40x7kN=280kN に対する近似的割合ケース
ABR cm2
H+FB
H+FBN

127 (0.45)

まず，視点 A＝各ケースがケース(HN+FBN)とどのような関係にあるか，つぎに，視点 B＝図 6 で仮定した層せん断力とどのような関係にあるかの点から分析する。
分析結果を，
表 15，16，17 に示す。
視点Ａからの分析 : ケース（HN+FBN）で ABR =6.0cm2

HH+FB
HH+
FBN
平均的増
加

42

QBR
Q2
Q1
QBR
Q2
Q1
QBR
Q2
Q1

4.8

6.0

7.2

28 ( 0.10)240 ( 0.50)
98 (0.35)
28 (0.10)240 (0.50)
112 (0.40)
28 (0.10)240 (0.50)
112 (0.40)

189 (0.70)
168 (0.60)
140 (0.50)
182 (0.65)
210 (0.75)
140 (0.50)
189 (0.70)
189 (0.70)
140 (0.50)

336 (1.20)
182 (0.65)
140 (0.50)
336 (1.20)
224 (0.80)
210 (0.75)
336 (1.20)
224 (0.80)
168 (0.60)

視点Ｂからの分析: まず，図 6 の Ai 分布による設計用層せん断力と表 14 の ABR=6.0cm2 かつ(HN+FBN)の場合の応答との関連を検討する。比較を表 17 に示す。ここで，図 6 の層せん断力は，C0 =1.0 とした場合であり，桁面の RC 構造を切り離した場合の層せん断力に相当する。
図 6 と表 17 に示す比較によれば，ケース(HN+FBN)の場
合の応答せん断力は，相互作用の無い場合の Ai 分布による設計用層せん断力のほぼ 0.5 倍のせん断力に対応しており，比較的良好な対応を示す。したがって，桁面の RC 構造を切り離した構造の終局時の層せん断力分布は，設計用層せん断力の 0.50 倍で近似できる。なお，妻面 RC の 1 層の終局時のせん断力係数は表 4.2 に示す 0.49 であり，ほぼ 0.50 に近い。
したがって，以降では，この近似を用いて終局時の層せん
断力分布の分析を行う。表 18 は，設計用層せん断力ｘ0.50に表 15（層せん断力のずれ）を加えた値を示す。これを応答の予測値とみなす。
（ ）内の数値は，予測値（表 14）に対する比であり，この値が 1 以上であれば安全側であり，

1 より小さければ危険側の予測となる。
（ィ）表 18 によれば，ブレースの層せん断力は，概ね 1.1
以上，最大でも 1.2 と安全側にあり，RC の 2 層については
0.95～1.10，
RCの1層については0.95～1.01の範囲にあり，
概ね予測できていると判断できる。したがって，表 18 の数
値は当該構造の終局時の地震荷重を近似していると考えられる。ただし，妻面 RC 下部構造については。5％程度の過小評価であることを認識して使用する必要があろう。
(ロ)なお，予測値の層せん断力の主要部分は，表 6 の Ai
分布を用いた C0=1.0 の場合の地震力であるので，この地震
力は，損傷限界相当の地震力としても妥当と考えられる。例
えば，妻面のブレース層せん断量に注目すると，ずれの最大355kN と図 6 の層せん断力ｘ0.5(=753kN)の和は，1108kNであり，安全側の評価となっている。表 16 の平均値の概数
336kN を用いても，336kN+753kN=1089kN であり，表 16の概数の近似度も高い。
（ハ）RC の 1 層の層せん断力については，表 16 の概数を用いると，168kN+3163kNx0.5=1750kN となり，表 14 の1826kN に対して，0.96 倍，つまり，やや危険側であるが，4 %の誤差に収まる。
（二）屋根面の地震力分布は屋根面水平ブレースの負担せん断力分布の分析が必要であるが，本研究では桁面 RC 構造の変形抑制効果に焦点を当てており，ここでは言及せず，後段にゆずる。ただし，妻面近傍の水平ブレースについては，
妻面のブレースと同じ数値を適用できると考えられる。

表 17 Ai 分布を用いた C0=1.0 の場合の地震力(図 6)と応答
せん断力の比較
Ai 分布による
ABR=6.0 cm2 かつケース
C0=1の場合の層 （HN+FBN）の場合の層せん断力
せん断力 (kN)

QBR

1506

628=0.42x1506= 0.93x 674

Q2

2173

1081=0.50x2173= 0.91x1118

Q1

3163

1653= 0.52x3163=1.06x1557

5.5 加速度応答
構造全体の加速度応答も設計上重要であるが，ここでは，屋根面の天井等の非構造材の損傷に関係するであろう屋根面の水平加速度の最大値の一例を図 16 に示す。結果は，桁面RC80，ケース（H+FBN）, ABR =6.0cm2 の場合であり，Y6
通り(図 2)の Y 方向加速度を示す。詳細は省略するが，他の場合も概ね類似した応答となっている。X 方向の屋根面中央（X1 通り）の加速度は 2000cm/s2 程度，妻面位置では1000cm/s2 程度であり，X1 から離れるに従い急に減衰する。

表 18 RC80 の場合の妻面ブレース，妻面 RC2 層，RC1 層の応答層せん断力の予測値（kN）：予測値＝設計用層せん断力 x0.50+表 15 の値；（ ）内は，予測値の応答値（表 14）
に対する比
ケース
ABR (cm2)
4.8

6.0

7.2

HN+

QBR

753 (1.20)

753 (1.20)

753 (1.20)

FBN

Q2

1087 (1.00)

1087 (1.01)

1087 (1.01)

Q11581 (0.95)

1581 (0.96)

1581 (0.96)

H+

QBR

781 (1.20)

942 (1.15)

1089 (1.15)

2500

FBN

Q2

1327 (1.10)

1255 (1.03)

1267 (1.03)

2000

Q1

1679 (0.96)

1721 (0.96)

1721 (0.96)

QBR

781 (1.19)

942 (1.15)

1089 (1.16)

Q21327 (1.07)

1225 (0.95)

1269 (0.98)

H+
FB

Q1

1679 (0.95)

1721 (0.97)

1721 (0.97)

HH+

QBR

781 (1.19)

935 (1.16)

1089 (1.30)

FB

Q21327 (1.05)

1297 (0.98)

1311 (0.97)

Q11693 (0.96)

1721 (0.96)

1791 (1.01)

HH+

QBR

781 (1.20)

935 (1.14)1089(1.11)

FBN

Q2

1327 (1.10)

1297 (1.04)

1311 (1.02)

Q11693 (0.97)

1721 (0.95)

1791 (0.98)

Amax (cm/s2)

1500
1000
500
X
X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

図 16 屋根面 Y6 通りの Y 方向加速度応答（応答）ただし，X4 通りでこの低減は 1000cm/s2 程度で止まり，図の 1 点鎖線でほぼ近似できる。なお，屋根面の時刻歴加速度
応答分布は，ここでは省略する

43

ここで，係数 1.21 は，細長比 120 として座屈後の残存圧縮耐力を考慮するための係数で，文献[17]を参照して略算した。
表 18 の値を用いる。
ケース (H+FBN)で ABR =6.0cm2 の場
合の QBR =942kN を使用すると，上式より ABR=6.94cm2，ケース(HH+FBN)で ABR =7.2cm2 の場合の QBR =1089kN を使用すると，上式より ABR =8.02cm2 となり，表 18 の地震力を用いれば，15%程度，安全側にブレース断面積が算定できる。

5.6 屋根面内の地震荷重の分布の近似
屋根面内の地震力の分布の算定は，正確には屋根面内のせん断力の時刻歴応答に基づく必要があるが，ここでは，図 16の最大応答加速度を参照し，次のように近似的に算定する。
屋根面中央の加速度は，妻面側に対して 2 倍であるので震度分布として，図 17 を仮定する。
屋根面に作用する地震力は，妻面ブレースの負担する層せん断力 QBR（2 個ある妻面の内の 1 個分）に等しいので，QBRは，次式で得られる。なお DR は地震荷重算定用の屋根の単位面積当たりの固定荷重，
Lx と LY はそれぞれＸ方向スパン，
Ｙ方向スパンとする。

6 まとめ
本研究では，矩形平面 35x49m，高さ 12m の下部 RC 構
造で支持された中規模のフラットな鋼屋根を対象にして，ルーズホールの代わりに桁面 RC 柱の上に鋼柱および鋼フラット・バーを用いる屋根支持法について，用いない場合との比較を通して，安全限界相当の地震時の耐震上の有用性を確認した。得られた結果を以下に示す。なお，ここではフラットな屋根を想定したが，フラットでなくともライズが低ければ，その結果はほぼ同様となると考えられる。

QBR  2CR ( DR LY LX / 8)  CR ( DR LY 3LX / 8)
したがって，震度 CR が次式で定まる。

4 2QBR
8 2QBR
CR  
; 2CR  
5 DR LY LX
5 DR LY LX

6.1 本提案の支持方法の有用性（１）独立 RC 柱，また，RC 下部構造と上部の屋根間の相互作用が殆どない構造の地震応答性状を，ここで提案した構造の応答と比較し，本提案支持方法によれば下部の桁面
RC 柱の変形を十分に抑制できることを確認し，この支持方
法の耐震性の有用性を確認した。
（２）提案した支持方法によれば，支持部に作用する地震力（せん断力と曲げモーメント），また支持部と鋼屋根に強制入力される地震力を設計時に設定した限界値以下に制限できるので，上部構造また支承部に過度な地震力の作用を避けることができ，予想外の部材の損傷を回避し，また柱脚のベー
スモルタル等の損傷を防止しうる支承部設計が可能となる。
（３）鋼柱 CS の断面が H-350 程度であるので柱脚のベー
スプレートのサイズも比較的小さなものとすることができる。

上式の CR を用いれば，妻面に作用するブレース位置の層せん断力を使用して，単位面積当たりの屋根面の地震力が得ら
れる。

4 2Q
CR DR   BR
5 LY LX

8 2Q； 2CR DR   BR
5 LY LX

屋根中央
2CR

CR

L x /8QBR

3L x /8

6.2 ルーズホール支承の変形制限を満たす条件の確認
限られた解析モデルではあるが，対象とした当該構造では，以下の特性を確認した。
（１）桁面の独立柱の断面を，85cmx85cm 以上に設定すれば，独立柱であっても 100 分の 1 の変形角に抑えることができる。これは，ほぼ DS =0.5 に相当することを示した。
（２）妻面 RC 構造の DS 値が 0.5 程度，妻面の耐震ブレー
スの DS が 0.40 程度以上に設計されている場合，桁面 RC 柱と上部の鋼構造の相互作用を期待しない（ルーズホール支承
による）設計においては，ルーズホール長さを 200mm（ただし，アンカーボルト径を除く長さ）とするには，概ね桁面RC柱を85cmx85cm以上とする必要があることを確認した。

図 17 屋根面内の震度分布の仮定
例として表 18 の値を用いる。ケース (H+FBN)で ABR =6.0cm2 の場合の QBR =942kN を使用する。ここで，固定荷重
DR として側面の壁（高さ 2.5mx2）を考慮して LY=40m とし，DR =1.0kN/m2 を使用する。上記を用いると，CR =0.77，
2CR =1.54 となる。ケース(HH+FBN)で ABR= 7.2cm2 の場合を想定すると QBR =1089kN であるので，上式を用いると CR=0.89， 2CR =1.78 となる。概略値として，ケース(H+FBN)
で ABR =6.0cm2 を用いると CR =0.8，2CR =1.6 程度となる。
なお，この震度 CR の値は，桁面から屋根に入力される地震力を含んだものと理解する必要がある。
表 18 の妻面ブレースの層せん断力を用いてブレース断面を以下の式で改めて算定する。

6.3 変形性能の確認
妻面 RC 構造の DS 値が 0.5 程度，妻面の耐震ブレースのDS が 0.40 程度以上に設計されている場合において，提案した支持方法を用いれば，桁面の RC 柱を 80cmx80cm 以上とQBR  5 1.21 ABR 1.1 y  350 / 40344すれば，概ね設計の変形条件（桁面 RC 柱，妻面 RC 構造の
変形角，桁面 RC 上の鋼柱および妻面耐震ブレースの変形角が 100 分の 1 以下，妻面耐震ブレースの塑性率が 4 以下）を概ね満たすことを確認した。

注 1） 使用した解析ソフトは，加藤・中沢研究室で開発したものであり，そのソフトの機能等は，文献 [14，15，16]に示されているので参照されたい。
参考文献
1) 日本建築学会：阪神・淡路大震災調査報告 建築編（3）
シェル・空間構造，1997.11
2) 日本建築学会：東日本大震災合同調査報告，建築編，シェ
ル構造，2014. 93) 国立研究開発法人 建築研究所：平成 28 年（2016 年）熊本
地震建築物被害報告調査（速報），建築研究資料 No.173，
2016.94） 藤本益美，小田憲史：円筒形 2 層立体トラス構造の支持
フレームを含む地震応答解析 シェル・空間構造の自然
災害時非線形挙動とその抑止対策，平成 9 年度京都大学
防災研究所共同研究会論文集，pp.29～37，2007.10
5) 日本建築学会：空間構造の動的挙動と耐震設計，第１章，
2.1 節，2006.3
6） 竹内 徹，西牧 誠，松井良太，小河利行：山形鋼ブレースを有する鉄骨造体育館の地震時被害分析および制振補強
効果の検証，日本建築学会構造系論文集第 690 号，pp.1503～1512，2013. 8
7）日本建築学会：ラチスシェル屋根構造設計指針，2016.11
8) 野原大樹，伊藤賢治，和田俊也，山下哲郎：鉄骨置部屋
根構造ピン支承部の復元力特性に関する研究，鋼構造年
次論文報告第 25 巻，pp.303～310, 2017.11
9）日本建築学会 シェル・空間構造運営委員会，空間骨組構造の地震被害と耐震設計の新しい展開，2018.9
10）梅村 魁編著：鉄筋コンクリートの動的耐震設計法，
法堂出版，1973
11) 増田真也，山下哲郎：両端ガセットプレート接合された
山形鋼ブレースの座屈耐力に関する実験，日本建築学会大会学術講演郊外集（北陸），pp.979～980，2010.9
12) 大家貴徳：ブレース系鋼構造体育館の耐震性評価に関する研究（学位論文），2011.12
13) 寺沢友貴，稲永匠悟，桜井良太，竹内 徹，日本建築学会構造系論文集，第 754 号，pp.1789～1799，2018.12
14) 加藤史郎，中沢祥二：下部構造エネルギー吸収型単層
ラチスドームの地震時崩壊性状，日本建築学会構造系論
文集，第 548 号，pp.81～88，2001.10
15) 加藤史郎，小西克尚，中沢祥二：振動特性の異なる 2 本の RC 柱に支持されたトラス梁の地震応答特性に関する研究 支承部のルーズホール等の影響について，構造工学
論文集，Vol.47B，pp.565～574，2001.5
16) 中沢祥二，立道郁生，嶋登志夫，加藤史郎，平野健太：
体育館・工場など空間構造物の地震リスク評価に関する基礎的研究，構造工学論文集，Vol.53B，pp.227～.2007.3
17) 日本建築学会：鋼構造座屈設計指針，2009.11

6.4 地震荷重の算定（１）妻面 RC 構造の DS 値が 0.5 程度，妻面の耐震ブレー
スの DS が 0.40 程度以上に設計され，かつ提案した支持方法
を用いた場合，以下の方法で終局時の層せん断力を概ね算定できることを示した。
慣用法の Ai 分布による層せん断力の 0.5 倍に，桁面の鋼柱の終局せん断力のほぼ 0.7～1.2 倍の値を加えて，妻面の耐震ブレースの層せん断力を算定する。ただし，係数 0.7～1.2 については略算時に仮定した妻面ブレース DS 値に応じて変化させる必要がある。
また，妻面の RC 構造の層せん断力についても慣用法の Ai
分布による層せん断力の 0.5 倍に桁面の鋼柱の終局せん断力のほぼ 0.5～0.7 倍の値を加えて，妻面 RC 構造の層せん断力を算定する。ただし，係数 0.5～0.7 については略算時に仮定した妻面ブレース DS 値に応じて変化させる必要がある。
（２）鋼屋根面の等価震度 CR は，屋根面中央部 4 分 1 の部分では 1.6，妻面側 4 分の 3 の部分では 0.8 程度となることを示した。
ただし，上記の結果は，当該構造およびこれに類似する構
造形状に限定されるが，これらの構造の設計上，有用なデー
タとなる。
6.5 今後の課題
本研究の成果は，当該構造とこれに類似する構造形状に限定されるが，桁面 RC 柱の上の鋼柱あるいはフラット・バーの有効性を確認できた。今後は適用範囲を広げるためのパラメトリックな検討，また，フラットな屋根に限定することな
くライズのあるラチスシェル構造に対する有用性の検討も必要であろう。
特に，得られた結果に基づいた設計法の構築は，大きな課題のひとつである。
安全限界相当の地震動に対する本支持方法の有用性を確認したが，これを上まわる地震動により過度な変形を受けた場合の変形性状や補修方法も今後の重要な課題であろう。
謝辞
文末になりますが，この研究を進めるにあたり多くの方から貴重な助言をいただいています。20 年も遡りますが，特に国枝治郎先生（故人）はじめ，阪神・淡路大震災後の研究環境の中で，坂壽二先生，石川浩一郎先生，川口健一先生，小田憲史先生，
立道郁生博士（故人），久保寺勲博士，向山洋一博士，吉野達
矢博士，小西克尚博士から支承部，上部と下部の相互作用，異種構造間の変位位相差問題，桁面 RC 柱の中間部の水平ひび
割れ・鋼柱の中間部における H 鋼フランジの局部座屈等について貴重な示唆をいただきました。ここに感謝し記します。

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Proposal of new system of steel supports for space frames and its proof ofeffectiveness for refraining from damage due to earthquakea case study of a roof supported by reinforced frames as a substructure
Shiro Kato*1
Takafumi Deguchi*2
Shoji Nakazawa*3

The space frames with a flat roof is a common type of roof structures applied to skeletal-membrane structure. This
type is also often applied to school gymnasia and city sport halls. In most cases, this type of sport halls are supported byreinforced concrete sub-structure of relatively high and heavy concrete columns or walls, and pin supports or roller
supports are applied at the base of steel roofs just atop the reinforced concrete sub-structures. Focusing on the damage
experiences due to strong earthquake, failure of not only base mortar and anchor bolts at the support shoes but also steel
members near supports have been witnessed. The reason of this type of failure might be classified into two cases. (1)In one case, the shortage of length for lose halls at the base plates. The length is usually adopted like 50mm at both side
excluding anchor bolts, however, severer earthquakes might have cuased an exceeding slide over the design length,
leading to collision between supports of upper sturctures and anchor bolts/base plates. This collision must have led
failure to base mortar and anchor bolts. (2) In another case of pin or roller supports, the seismic forces of heavy
reinforced sub-structures or the collision must have been enforced through support shoes into steel member near
supports, leading to buckling of steel members or failure of connection bolts between steel members.
The present paper proposes a simple and effective support system to refrain from such kind of failure. The system
adopts bending steel columns that are just connected directly with reinforced concrete columns as a sub-structure. It
needs no lose halls, and it requires, for each reinforced concrete column, a ductile steel column with prescribed bending
capacity. The steel column is connected with the concrete column at the base, and is connected at its upper node as apin with steel members for upper space frames. Several examples are shown to prove the effectiveness of this systemfor damage reduction and summarized to derive seismic forces induced into supports and space frames including
reinforced sub-structures.
*1 Dr. Eng., Emeritus Professor, Toyohashi University of Technology*2 Graduate Student, Toyohashi University of Technology*3 Ph.D., Professor, Toyohashi University of Technology

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「膜構造研究論文集 2019」原稿応募規定
研究内容 ：膜 構 造 に 関 す る 学 術 ・ 技 術 に つ い て の 論 文 ・ 報 告 と し 、 未 発 表 の も の 。 た だ し 、 こ れ ま で 発 表された論文の展開、追加、詳細等、新しい内容が盛り込まれたものは可とします。

研 究 論 文 応 募 方 法 ：応 募 者 に 制 限 は な く 、 申 込 み 用 紙 に ア ブ ス ト ラ ク ト 数 行 程 度 を 書 き 、 膜 構 造 協 会 に ９ 月 ３ ０ 日までに申込んでください。申込みのあった方に本論文の執筆要領などを送付します。本論文の提出締切

２０１９年１２月１６日（月）研 究 論 文 査 読 方 法 ：研 究 論 文 は 協 会 に 設 け ら れ た 論 文 審 査 委 員 会 に よ り 査 読 を 行 い 、 採 否 を 決 定 し ま す 。
なお、査読を行わない、報告・記事の枠もありますので、この場合はその旨を明記の上ご応募
ください。
論

文

集 ：発 行 ２ ０ ２ ０ 年 ３ 月 （ 予 定 ）著

作

権 ：掲 載 さ れ た 論 文 の 著 作 権 は 著 者 の 占 有 と し ま す が 、 協 会 は 編 集 出 版 権 を 持 つ も の と し ま す 。

論文集の配布方法

日本膜構造協会のホームページに掲載します。

連〒 105-0001 東 京 都 中 央 区 新 富 2－ 1－ 7

絡先一般社団法人 日本膜構造協会 論文係
E-mail: ronbun@makukouzou.or.jp
Tel (03)6262-8911
Fax (03)6262-8915

一 般 社 団 法 人 日 本 膜 構 造 協 会