広島工業大学紀要教育編
第 ₁₅ 巻（₂₀₁₆）25– 33

論

文

大学基礎数学教育における反転授業の試み――解析学――

廣瀬

英雄*（平成₂₇年 ₉ 月₂₄日受付）

A Case of Flipped Classroom for the Undergraduate Mathematics Education—— Analysis ——Hideo HIROSE(Received Sep. 24, 2015)

Abstract
To undergraduate mathematics classes, flipped classrooms were performed. The theme is an application for the Taylor expansion to find the approximate probabilities for a normal distribution. Thereis a critical issue in applying the Taylor expansion in some cases. For example, even though the exponential function can be expressed by an infinite polynomial series for all real numbers, to find theapproximate numbers using a Taylor series with finite terms, we have to know in advance the relation
between the degree of the polynomial and the accuracy of approximation. An intriguing problem to findthe approximate probabilities for a normal distribution provides many educational lessons for beginners
and practitioners of undergraduate mathematical courses.
The flipped classrooms were successful. Students felt stimulating and had fun in classrooms. To
avoid boring mathematics classes using stereotype exercises, we have found that the flipped classrooms are useful in undergraduate mathematics education. Above all, the students did understand thesignificance of the mathematical reasoning.
Key Words: flipped classroom, undergraduate mathematics, analysis, Taylor expansion₁

そのような多様な学生を含むクラスに対しては，手厚いはじめに学習支援の仕組みを準備することで学生が無理なく大学の理工系大学で数学の基礎を学ぶことは最重要課題である。

授業についていけるような工夫がなされている。入学前の理数科目に長けていることで理工系大学を選んだ学生には，補習授業や学習支援センターによる基礎科目の個別指導は基礎数学を学ぶことはある程度楽しいと思われるが，高校その一貫であり，例えば広島工大では LAC ナビがこれに相までつらい思いをしながら数学の授業を受けてきた学生に当する。これによって学生個々の学習意欲を高め，学力のとっては大学での数学の授業を受けることは苦痛かもしれ向上を目指している。

ない。例えば，高校では数Ⅰ，数Ａは教わったが，数Ⅱやしかし，そのようにしても，数学に興味のない学生には数Ｂ，あるいは数Ⅲや数Ｃについては十分に教わってこな

数学という科目を受講するつらさはあまり変わらないかもかった学生にとってである。AO 入試や推薦入試によってしれない。数学は理解するまでに時間がかかり，それを助数学の筆記試験を免れて入学した学生，あるいは数Ⅰ，数ける手段が演習問題を解いていくことであることから，こＡだけ入試問題で入学した学生はその類いに入る。

れまで講義に加えて演習を追加して理解を深めることが行* 広島工業大学環境学部環境デザイン学科
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われてきた。苦行の末に理解が待っているような構図であいて（聴いてではない）いるだけのように見える。おもしる。確かに演習を行えば，あるパターンの問題に対してはろいと思われる話をしても反応が薄い。

類推によって問題に立ち向かうことができる。しかし，そある日，冒険をしようと考えた。ES 学部では「テイラーのパターンから少しでも外れるともう応用が効かなくなる。

展開」はこれまであまり深く取り扱ってはいないようでそういう場面に何度もあっている。期末試験には対処できあった。しかし，工学系の応用数学を習ってテイラー展開るかもしれないが，本当に理解しているとは思えない。そをおろそかにするというのはあまり理解できないので，思もそも，楽しくないつらいだけの授業で得られる果実は多い切ってこれを主テーマにすることを考えた。学生に，「₂い気がしないのである。そこで，まずは学生が授業を楽し週間後にテイラー展開について自分で調べて皆の前でプレいと思うところから出発できないかと考えた試みが「反転ゼンテーションを行いなさい」という課題を与えた。人か授業」である。

ら聴いて理解するより，他人に教えて自分を理解させる方

反転授業とは，「新たな学習内容を，通常は自宅でビデオがはるかに理解度が高くなるからである。それに，自分が授業を視聴して予習し，教室では講義は行わず，逆に従来参加するので刺激的であるし，何より楽しい。自発的に名であれば宿題とされていた課題について，教師が個々の生乗り出る学生はいないだろうと考え，最初は各クラスで ₂徒に合わせた指導を与えたり，生徒が他の生徒と協働しな名ずつ指名した。

₁︶

がら取り組む形態の授業」である 。しかし，ここでは，反転授業を，ビデオ学習を準備せずインターネットを使って₂.₁

GES 学科の ₁ 回目自分で調べるような広い意味で用いている。数学の授業で結果は期待以上であった。まず， ₁ 人目は，テイラーと反転授業を行なうことは少し難しい気がする。通常は，理いう人となりについて，テイラーの定理について，テイ解の上に立って議論や討論を進めることを前提としている

ラー展開について，ひととおりのことを紹介した。 ₂ 人目

のに，あまり理解しないまま進むために効果が薄いのではは，本質的な面を探ろうと必死で， sin x の近似論を展開しないだろうかという不安もある。しかし，まずは楽しく授ようとした。プレゼンは初めてにしては上出来で， ₂ 人と業に臨むことが重要であると考えた。今回，数学をあまりもパワーポイント用の USB を持参してきていた。

得意としない学生が多い ₂ 学科でこのことを試みた結果，興味ある事実が得られたので報告する。

₂

発表後，フロアの学生からのコメントは，「分かりやすい」，「自分も勉強したいので何を使って調べたか教えて欲しい」，と概ね好評であった。びっくりしたのは質問であっ反転授業の経過た。 ₂ 人目の学生が sin x の近似法を紹介したが，フロアかES 学部の ED 学科と GES 学科の ₂ 学科の ₂ 年生の数学らの質問は，「x の値を変えたとき（ ₀ から離れたとき），どの選択科目の授業で行った。聴講者数は ED 学科₁₆名，GESの程度の項まで使うと近似精度が良くなるのか」というも学科₂₀名である。ここでは，反転授業を行なった経過を簡のであった。テイラー展開の近似度は，展開の中心 a と目単に述べる。後ほど内容について述べる。

標とする値 x が近ければ線形や ₂ 次関数でも大丈夫という着任して初めて受け持った授業なので，まずはシラバスものだが，別に近くなくても sin x は多項式で表されるといに従って解析の積分から授業を始めた。リーマン積分につう定理である（関数の条件にもよるが）。では，離れてしまいて指定された教科書に沿って授業を進める。教科書ではうとどのあたりで近似できなくなるのだろう，という疑問説明が不十分と思われるところを補う意味もあって，上積であった。これは，数値計算の本質をついた質問で，この分と下積分を少し詳しく話をし始めた。教科書では不定積

質問を契機にまた新しい議論ができるようになった。次回分から始めるが，ここでは定積分から厳格に始めた。その宿題（テーマ）として，「 ∫ exp( −t 2 )dt の近似計算を行う

うしたら ₂ 回目の授業で，ある学生が「さっぱり分かり50とき多項式近似の方法は有効か，また何に注意しなければません」と言う。もちろん，イプシロン・デルタは使わならないか」，「sin x の多項式展開がよい近似になるのはどないようにしている。区間［₀, ₁］で定義される関数 f ( x )こまでの項ならそうなるか，x と項数の関係について議論（ f ( x ) = 1（x は有理数）， f ( x ) = 0（x は無理数））の積分不せよ」，「tan −1 ₁ にテイラー展開を使って計算されたの x 値

可能性についての例を話したら混乱してきたみたいである。

について議論せよ」という課題を与えた。つまり，この学それでも授業を続けた。そのうち，聴講者の数が減ってき科では反転授業を取り入れたことは大成功であった。

た。ED 学科では半分以下に，GES 学科でも同様であった。
何とか興味を持ってもらおうと，話題を数学の実用性や他

₂.₂

ED 学科の ₁ 回目の科目との関連（例えば統計とか数値計算とか）との話題

ED 学科では ₁ 週目に発表予定者が無断欠席した。そのを提供することにも努めた。しかし，学生はただ座って聞ときは，その状況を理解できないでいた。しかし，後に

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大学基礎数学教育における反転授業の試みなって理解できるようになった（ ₄ 節で述べる）。そのとき₃は次回に延期ということで通常の授業を行なった。また，反転授業の内容
5GES 学科での内容紹介をしておいた。

ここでは，まず「 ∫ exp( −t 2 )dt を求めよ」という問題に0ついて紹介する。原始関数がないので，もちろん解析的に₂.₃

GES 学科の ₂ 回目以降は解は得られない。実は，これは「反面教師」の例題に₂ 回目の発表希望の学生は私の研究室に足を運び，やるべなっている。ある国立大の工学部の修士のある学生が，正き内容を一緒に議論することで目標を自分なりに理解して見規分布の数表計算をテイラーの定理を使おうと工夫した計事な発表をこなした。もう ₁ 名も同様立派な発表であった。

算法を示してくれたのだが，取り扱いに注意しないと使え

₃ 週目はこれらの発表を見ている学生が「私も発表したい」ない（あるいはほとんど使い物にならない）例題になってと，次の ₂ 件のプレゼンテーションを行ってくれた。そしいる。この例は，実用的ではないが教訓として興味あるこて，翌週以降の発表予定も学生から自発的に予約された。とがらを多く含んでいるので今回これを取り上げた。実際にはこのような近似計算にはテイラーの方法は使わない。

₂.₄

ED 学科の ₂ 回目

そういう意味では，学生にはテーマがちょっと難しかった

ED 学科では ₂ 回目も誰も準備しておらず，結局私が講義することになった。授業の内容はテイラー展開を使ったかもしれない。そこで学生達との議論の後で解説を与えた。
その内容を以下に示す。

近似計算（後述）についてである。結局，反転授業は成立

なお，ここには示していないが，正規分布の確率の計算せず普通の講義を続けたのでこの学科での試みは失敗に終に用いる ₂ 重積分と変数変換については，学生にはこの後わったかと思った。

で説明しておいた。
また，本報告では n 次元球体の体積と表面積の計算につ₂.₅

ED 学科の ₄ 回目以降いては割愛した。

ED 学科では ₄ 回目くらいまで，なぜ反転授業を進めているかという理由を継続して説明した。そのためか，名乗以下は， ₂ 学科での授業で行った内容をまとめたものでありをあげる学生がようやく出て来た。授業後「やりたいでる。なお，このスラドは slideshare₃︶ で観ることができる。

す」と ₂ 人同時に声をかけてきた。GES 学科に遅れること数週間であったが，ED 学科でも反転授業が始まった。逃げ出した学生はまだ来ていない。しかし，実は最後の最後になって彼は教室に戻ってきた。そして，力一杯のプレゼンテーションを見せてくれた。そこでは課題への内容を理解していた。このとき，ED 学科も追いついてきたという実感を得た。
₂.₆

GES 学科の熱気

一方，GES 学科の学生の「やる気」にはものすごい迫力があった。学生が「次元ののろい」という機械学習の難問に挑戦したのである。そのときにはそういう専門用語は使わず直接的な説明をしておいた。ある国立大の理系大学院生のレポート課題（期限は ₂ 週間程度から ₁ 月程度）と同じ問題のレベルであるが，一所懸命取り組んで正解を出していた。しかも，回答も早かった。更に，こちらが期待した計算法とは全く異なった計算法を用いている。課題は「n次元球の体積と表面積を求めよ」と同じ問題になる。期待した計算法とは「重積分に変数変換を使ってガンマ関数の値から求める」方法である。これに対して全く異なった計算法とは「n 次元正規分布関数の積分に帰着させようとするやり方₂︶」である。この方法を学生から見せられたときには仰天してしまった。
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大学基礎数学教育における反転授業の試み─ 29 ─

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大学基礎数学教育における反転授業の試み

₄

反転授業の反応
学生は最初多いにとまどった。授業では座って聞いていて，期末試験になると重要なところを覚えておいて合格点をとれば済む予定だったが，パワーポイントは使ったことがない，インターネットには自分の知らないことが書いてある，はじめて発表させられる，質問にも答えなければならない。ストレスは相当なものだっただろう。GES 学科の学生があまり違和感なくこの取り組みに臨むことができた理由の一つはパワーポイントを ₁ 年生から使っている経験があるからであると考えられる。そこへの不安感はない。
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廣瀬英雄

しかし，ED 学科の学生が最初尻込みしたのはテーマの難とって良い経験になった。

しさもあるが，GES 学科と違ってパワーポイントを利用す₂ ）自分で調べたところは理解を深めるきっかけになってる経験が不足していたことによるものと思われる。その障良かったです。また，更に興味が湧きました。同じ壁が高くて手が出なかったものと思われる。なぜなら，プテーマを複数人が扱うことにより，他の人と考えを共レゼンテーションにパワーポイントを使わなくてもよいと有することができ，新しい発見につながりました。テ

言ったら黒板とチョークを使ったプレゼンテーションをイラー展開については教科書に書いてあることを少し行ったからである。ちょっとしたことで躊躇したのであろ追求することができたと思っています。また，プレゼう。入学と同時にコンピュータリテラシーを徹底させるこンテーションを行うにあたって自分が理解していないとが重要であることが分かる。

ところがどこなのか，どこまで理解しているのかをさて，通常の一方向での座学形式ではなく，このようなしっかり見つけながら進めることができてよかったで形で教員と学生が双方向でかかわることができる授業を，す。

実は学生は望んでいる。そういう学生はきっと多い。なぜ

₃ ）クラスメイトが先生みたいで分かりやすかったです。

なら，スマホを使えば情報はいくらでも手に入る時代，授自分が発表すればその部分については忘れないだろう

業中に分からないことがあると「教えて goo」ではなく，と思います。

「そうだ，Siri₄︶₄ ）自分の力で考えることがいかに難しく，どれほど有意に聞こう」という発想にまで進行している。

義なことかが実感できたと思う。

授業がつまらないと，机の下ではスマホで誰かと情報交換

₅ ）着実に求めたいものに近づいていっている自覚があっしたり，自分にとって価値ある情報を集めている。電子的て，解いていって楽しかった。に出席を取られ，座っているのが苦痛かもしれない授業を受けなければならないのは，ある学生にとっては苦行にも₆ ）自分で調べることで普段よりも真剣に取り組むことが等しいのかもしれない。できるだけ授業に参加させたい，できた。また，自分の調べたところが間違っているこ

楽しく授業を受けてもらいたい，できれば数学を好きにとを教えてもらったので理解度も普段よりも深まった。

なってもらいたい，そのように考えて取り組んだ反転授業

この他に，今回の試みは楽しかったか，今回の試みは刺であった。学生からの感想を最後につける。

₅

激的だったか，このような授業をまた受けたいと思うか，を「はい，いいえ」で，また授業評価を₁₀点満点で回答し反転授業の感想てもらった結果，楽しかったか：「はい」₆₇％，「いいえ」₂₇％

学生からの感想のうちいくつかを列挙してみた。
₁ ）広工大の授業は先生が一方的に説明する授業が多いの刺激的だったか：「はい」₁₀₀％，「いいえ」 ₀ ％でこのような自分で発表する機会をもつことができよ

また受けたいか：「はい」₇₉％，「いいえ」₂₁％

かった。確かに授業を聞くだけの方が時間も手間もか

₁ から₁₀までの₁₀段階の評価：平均＝₆.₉，標準偏差＝からないので楽だけど，やはり自分から勉強する気が₁.₃であった。刺激的なのでまた受けたい気もするが楽しさないと理解もできないだろうし成長できないと思う。

は人によると思われる。しかし，概ね好意的に受け取って私は n 次元球の体積について発表したが，発表するかもらっている。

らにはまず自分が理解する必要があるし，それをどう₆わかりやすく説明するか考える必要がある。パワーポ

まとめ

イントでの発表はさまざまな面で自分を成長させてく大学の数学基礎の授業に反転授業を取り入れてみた。ビれるものではないかと思う。特に，私はパソコンが苦デオによる予習を行う代わりに，もっと難しく，自分でイ手なので，パワーポイントを作る勉強からはじめるこ

ンターネットなどを使って調べて発表する，という内容にとができたし，自分から進んで理解しようともした。

した。普通のテーマではなく，かなり高度なテーマを選ん

インターネットの内容からピックアップしたが，自分だため，学生には相当きつかったのではないかと思うが，でも理解できないところがあって，まだ引っかかってその反面，自分で納得がいくまで調べなければ皆の前で発いるので今後ふと思い出して考え直すきっかけにもな表できないというプレッシャーが良い方向に働く場合と悪ると思う。私は自分で考えて発表する授業やグループい方向に働く両方の面を観察することができた。良い方向ワークが好きだ。このような授業が大学内で増えればとは積極的に活用して自分の成長を促そうとする態度であ

大学全体が高まっていくと思うし，理解できる喜びがるが，悪い方向とはテーマの難しさに尻込みして逃げ出し分かれば勉強がもっと楽しくなると思う。だから，今てしまう態度である。テーマの選択にも細心の注意が必要

回の解析基礎Ⅱのパワーポイントを使った授業は私にであることが分かった。今後もこのような授業法を取り入─ 32 ─

大学基礎数学教育における反転授業の試みれることによって学生が自ら学習する態度を身に付けられ文るようにしていきたい。
生きているのだから，人生は一度だから，過ごしている時間を楽しく，実のあるものにしていきたい。そう考えている。

献₁ ）https://ja.wikipedia.org/wiki/反転授業₂ ）http://homepage₂.nifty.com/eman/statistic/sphere_vol.
html₃ ）https://www.slideshare.net/HideoHirose/taylora
₄ ）http://www.apple.com/jp/ios/siri/─ 33 ─