広島工業大学紀要教育編
第 10 巻（2011）pp.27-30

論

文

イデアルによるある零因子グラフと数学教育
神田隆至 *・金光

三男 **（平成22年９月13日受付）

Zero divisor graphs by an ideal and mathematical education
Takashi KANDA and Mitsuo KANEMITSU(Received Spt. 13, 2010)

Abstract
Let R be a commutative ring and be an ideal of R . By S. P. Redmond, the ideal-based zerodivisor graph ΓI (R) is defined by the following statement: the vertices set is a set {x∈R-I|xy∈
I for some y∈R-I } and the edges set is a set {[x, y]} where [x, y] is an edge such that xy ∈I fordistinct two vertices x and y. Let R = Z18 when Z is the integers and (18) is an ideal of Z generated by 18. This graph is easily understood by students. The coefficients of a characteristic
polynomial are related to triangles, 4 cycles and 2-matchings. We use the educational diagrams. These results are useful to students.
Key Words: ideal, zero divisor, zero-divisor graph, Euler function, residue class ring, Hasse
diagram, 2-matching, triangle, 4-cycle.

＝｛ ０，１，２，…，n−１｝で表わす。また Zn の零因子全体を１．はじめに＊Z（Zn），この零因子全体から０を除いた集合を Z（Zn），単元全体を U（Zn）で表わす。更にオイラー関数をφで表わす

零因子グラフの最初の研究は，I. Beck による可換環に付 随 し た 単 純 グ ラ フ の 彩 色 数 に 関 し た も の で あ る。I.

とき，n の素因数分解をBeck は０も頂点として考察したが，その後，可換環 R に

n ＝ p１e１ p２e２ … pre

対して０以外の零因子を頂点とした零因子グラフ Γを，（R）p２，…，pr は異なる素数，e１，e２，…，er は負で（ただし，p１，D. F. Anderson と P. S. Livingston は考察した。その後，S.

ない整数）とするとき，P. Redmond は，可換環 R のイデアル I を使用してイデア１ ⎞⎛１⎞ ⎛１⎞
φ（n）＝ n⎛１−１−… １−⎝p１ ⎠⎝p2 ⎠ ⎝p ⎠ルによる零因子グラフ Γ１を研究した。
（R）
ここでは，R を整数環の 18 を法とした剰余環 Z18 としなる関係がある。

た特別の場合について，そのイデアル I による零因子グラフΓ（について，それがどのようなグラフであるか，I Z18）（Zn）とし，異な定義（I. Beck［２］）Z（Zn）を頂点集合 V

またその固有多項式 f（λ，Z18，I ）の係数とグラフの２−る２頂点の積が０のときその２頂点は辺で結ばれているマッチングの個数や四辺形の個数などの関係について教育（隣接している）と定義し，辺集合全体を E（Zn）で表わす的に考察する。と き， グ ラ フΓ０（Zn）＝（V（Zn），E（Zn）） を I. Beck の 零 因

上記で使用した記号の説明をしよう。Ｚは整数環を表わ子グラフとよぶ。

し，整数 n で生成されるイデアル（n）による剰余環を Zn＊＊＊

広島工業大学情報学部知的情報システム学科＊＊＊

中部大学現代教育学部児童教育学科― 27 ―

神田隆至 ･ 金光三男＊
定義（D. F. Anderson and P. S. Livingston［１］）Z（Zn）

を頂点集合とし，異なる２頂点の積が０のとき２頂点は辺で結ばれていると定義し，辺集合全体を E（Zn）とするグラフΓ（Zn）を単に零因子グラフとよぶ。
定義（S. P. Redmond［４］）Zn のイデアルを I とする。
頂点集合は，Zn−I の元 a で，Zn−I のある元 b が存在してab∈I となるような，a を頂点とする集合とする。異なる２頂点 r，s に対して，rs ＝０のとき r と s は辺で結ばれていると定義したグラフを，イデアル I による零因子グラフといい，Γ（I Zn）と記す。
上で述べたように，n ＝ 18 の場合にこのイデアルによる零因子グラフを考察しよう。Z18 の a によって生成され図２たイデアル Ia ＝（a）と書く。

２． 18 のイデアル

Z18 ＝｛ ０，１，２，…，17 ｝であり，その単元全体 U（Z18）＝｛ １，５，７，11，13，17 ｝の個数は，イデアルの個数は次の６個である。

１ ⎞⎛１⎞
φ（18）＝ 18⎛１−１−＝６。また零因子全体
⎝２ ⎠⎝
３⎠

I０＝（０）＝｛０｝Z（Z18）＝｛０，２，３，４，６，８，９，10，12，14，15，16 ｝であ り，

I９＝（９）＝｛ ０，９｝

I６＝ I12 ＝（６）＝｛０，６，12 ｝＊

従って０を除いた零因子 Z（Z18）の個数は 11 である。

I２＝ I４＝ I８＝ I10 ＝ I14 ＝ I16

ヘルムート・ハッセ（1898 年−1979 年）に因んだハッ＝（２）＝｛０，２，４，６，８，10，12，14，16 ｝

セ図で，この零因子グラフと関連した教材（大学生又は小I３＝ I15 ＝（３）＝｛０，３，６，９，12，15 ｝

学生に対する）を２件図示しよう。

I１＝ I ５＝ I ７＝ I11 ＝ I13 ＝ I17 ＝ Z18
イデアルの包含関係によるハッセ図は図３のようである。

図３イデアルのハッセ図

３．イデアルによる零因子グラフ Γ（０18）
図１

イデアルのハッセ図から，I２ ＝（２）と I３ ＝（３）は極大

図１と図２は次のように説明できる。図１は例えば最下イデアルだから素イデアルである。定義からグラフはでき段の○の中の数字は左から３，11，４，13 で，その上の段のない。Z18 もグラフはできない。また I０＝（０）による零因

数字は各下段の２数の積を mod 18 で表せば 15，８，16 に子グラフΓI０（Z18）は D. F. Anderson 達の定義した零因子なる。同様に考えるとその上の段の数字は 12，２となり，グラフΓ（Z18）と一致する（図４）。

このことより頂上の６を得る。図２も同様である。

Z18）は図５，ΓI（Z18）は図６のように完全グラフ K４ΓI（６９である。
― 28 ―

イデアルによるある零因子グラフと数学教育

16216215315341441412610108899
図４ ΓI０（Z18）のグラフ

図５ ΓI６（Z18）のグラフ

において，13 はこのグラフの辺の総数を表し，６は三角形の個数の２倍を表している。30 は四辺形の個数と２−マッチングの総数から決まる。
異なる４辺形の総数を N とし，NM を２−マッチングの総数とすると，次の公式が成立する。
図６NM ＝ 1/8（各頂点の次数の総和）２− 1/2（各頂点の次数の（ 18）のグラフ
K４＝ΓI９４．イデアル ０ による零因子グラフ２乗の総和）＋ 1/4（各頂点の次数の総和）。
（Y. Jin と M. Kanemitsu［３］定理２．３より）。
これより，N ＝３，NM ＝ 36 となり，NM −２ N ＝ 36Z18）の固有多項式
ΓI（０−２×３＝ 30 となる。三角形や四角形などの計算には，

f（λ，Z18 ，I０）11９８７６

図７を利用すると便利である。

＝λ −13λ −６λ ＋ 30λ ＋ 24λ（Z18）の辺，三角形，四辺形を計算する図
図７ ΓI０― 29 ―

神田隆至 ･ 金光三男

５．イデアル ６ による零因子グラフ

６．イデアル ９ による零因子グラフ

このグラフの固有多項式 f（λ， 18，I ６）は，９このグラフは完全グラフ K ４である。固有多項式

７f λ， 18，I６）＝λ − 18λ である。４角形の個数 N ＝（f λ，Z18，I９）は（５f λ，Z18 ，I９）＝λ４−６λ２−８λ−３（45 で，NM ＝ 90 であるから，λ の係数は０である。
第４節の場合と同様に，三角形や四辺形などの計算には，また，N ＝３，NM ＝３となる。
上の固有多項式でλ２の係数−６は辺の個数にマイナス

図８を利用すると便利である。

を付けたものであり，−８は，４個の頂点から３個を選ぶ組み合わせの数の２倍をマイナスにしたもので−２×４＝−２×４＝−８３である。また定数項は，NM −２N ＝３−６＝−３となる。

参考文献［１］ D. F. Anderson and P. S. Livingston, The zero-divisor
graph of a commutative ring, J. Algebra 217（1999）,434-447［２］ I. Beck, Coloring of commutative rings, J. Algebra116（1988）,208-226［３］ Y. Jin and M. Kanemitsu, Beck s graphs associatedwith Zn and their characteristic polynomials, InternationalJ. of Applied Mathematics and Statistics, Vol. 11 No.
V07（2007）,81-93［４］ S. P. Redmond, An ideal-based zero-divisor graph ofa commutative ring, Communications in Algebra, 31（2003）,4425-4443

図８ ΓI６（Z18）の辺，三角形，四辺形を計算する図― 30 ―