2019 March

Vol. 10 No. 3
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巻頭言マネジメントの意思決定とリアルオプション思考 ［中岡 英隆］

1

講演要旨

公開
研究会 全社一丸 イノベーションによる企業価値向上［水谷 浩二・米崎 道明］
20182～クレスコ飛躍への道～

わが国におけるESG投資の現状と展望［小方 信幸］

8

大会 サスティナブル時代の企業経営と社会課題解決型ビジネス

19

リアルオプション分析におけるソフトウエアの活用［今井 潤一］

27

JAROS 2018 研究発表大会ルポ［伊藤 晴祥］

32

シナジー効果とリスク分散を考慮したリアルオプション手法による合併・買収の評価モデルについて［佐藤 公俊・澤木 勝茂・八木 恭子］

35

パネルディスカッション

JAROS
2018

［芝川 正・小方 信幸・河本 光明・小林 孝明］～R, PythonからIBM Watsonまで～寄稿
一定消費を保障する資産配分戦略の検証［鶴谷 俊行］

42

ランダム環境の下でのプロジェクトの価値評価法［宮原 孝夫］

58

学会ニュース

第10巻 第3号
目次

巻頭言
マネジメントの意思決定とリアルオプション思考 ………………………………………………………………中岡 英隆
公開研究会

1

講演要旨

全社一丸 イノベーションによる企業価値向上 ……………………………………… 水谷 浩二・米崎 道明

2〜クレスコ飛躍への道〜

JAROS 2018 研究発表大会

講演要旨〈基調講演：セミナー「サスティナブル時代に向けた資本主義経済の新展開」
より〉

わが国におけるESG投資の現状と展望 ………………………………………………………………………… 小方 信幸

8〈パネル討論：セミナー「サスティナブル時代に向けた資本主義経済の新展開」
より〉

パネルディスカッション

サスティナブル時代の企業経営と社会課題解決型ビジネス………………………………………………………………………………………

芝川 正・小方 信幸・河本 光明・小林 孝明 19〈チュートリアルセッション〉

リアルオプション分析におけるソフトウエアの活用 ……………………………………………………… 今井 潤一 27〜R, PythonからIBM Watsonまで〜〈大会ルポ〉JAROS 2018 研究発表大会ルポ…………………………………………………………………………………… 伊藤 晴祥 32〈基調講演：セミナー「サスティナブル時代に向けた資本主義経済の新展開」
より〉

シナジー効果とリスク分散を考慮したリアルオプション手法による合併・買収の評価モデルについて ……………………………………… 佐藤 公俊・澤木 勝茂・八木 恭子 35
寄稿
一定消費を保障する資産配分戦略の検証 ………………………………………………………………… 鶴谷 俊行 42〈研究メモ〉

ランダム環境の下でのプロジェクトの価値評価法 ……………………………………………………… 宮原 孝夫 58〈学会ニュース〉
編集後記 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 68
日本リアルオプション学会法人会員リスト ……………………………………………………………………………………………… 68

日本リアルオプション学会
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日本リアルオプション学会
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3. How to Learn
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日本リアルオプション学会
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36
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第➨
巻ᕳ 第
➨ 3 号
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リアルオプションと戦略

1010
第第
巻巻 第 3 号

一定消費を保障する資産配分戦略の検証
鶴谷 俊行(宗教法人 江浄寺)

要約 本稿は、公益事業を目的とする宗教、教育法人、信託財団などの非営利団体に適する長期的な資産配分戦略について、分析を行う。ある非営利団体をモデルとして事業計画の期初において、まとまった寄付金を初期資産として受け入れ長期間運用する中で、その一部を事業運営費に振り向けていくことを可能にする戦略を検討する。
資産配分戦略として、伝統的な資産配分戦略と、先行研究に基づいた一定消費を保障する戦略とを比較したシミュレーションを行った。分析期間は 1989 年 1 月から 2018 年 3 月までの約 29 年
間の月次データを用いて、インデックス運用を危険資産、日本国債 10 年物を安全資産としたポートフォリオの分析と検証を行った。さらに、リーマンショックのような金融市場の大きなニュースを境目として、分析期間を三分割し、再度検証を試みた。いずれも一定消費を保障する戦略の方が、相対的に毎期の消費は安定的であり、かつ期末資産残高は多く、最適な資産配分と毎期の消費との間に密接な関係が生じることが確認された。

キーワード：資産配分、消費保証、ポートフォリオ保険、CPPI、基金運用、非営利機関

1. はじめにあったことをニュースでも報道された。

広義的な意味の非営利組織には、医療法人、学校法
人、社会福祉法人、宗教法人、公益法人などの認可法人が挙げられるが、その目的は公益事業を目的とし、かつその事業が半永続的でありたいことは共通している。非営利組織に限らず、事業を継続していくためには資金調達が必要であり、主な収入源は会費、寄付金、助成金、補助金、そして事業収入によって賄われる。とくに地方における非営利組織は地域社会と密接な関わり合いを持つため、地方の人口減少は会員数の減少へと繋がり、資金調達に問題を抱える場合は少なくなく、また本来の目的と異なる新たな事業展開を行うことも認可法人であるが故に難しい場合がある。そのように法人収入が減少する状況の中でも、事業運営費は一定水準の支出を必要としている
場合が多い。
また、事業維持の方策の一つには資産運用が挙げられるが、どのような投資が向いているのか、どれくらいの投資を危険資産へ配分するのかという専門的な知識や分析スキルを持つスタッフがいるわけでもなく、証券会社や銀行が紹介する金融商品を鵜のみにするケースも多いであろう。巨額な金融資産を運用している学校法人や宗教法人の中には、複雑な仕組債を購入している場合も少なくなく、リーマンシ
ョックの影響で大きな損失を被った法人がいくつか

そこで、寄付金等のまとまった資産を付与されていたならば、それを金融資産として正しく運用し、将来の逓増的な運用成果と運営費の安定的支出が、事業継続に重要であると考え、本稿が非営利組織の資産運用の一助となればと思い、検証を試みた次第である。
本稿では、2 つの資産配分戦略を比較検証する。一つは伝統的な資産配分戦略であり、初期資産の 50%
を危険資産、残り 50%を安全資産に投資し、かつ毎期一定消費の支出を予定する場合である。もう一つは、先行研究である Dybvig(1999)1に基づいた一定消費を保障する資産配分戦略であり、ポートフォリオ・イン
シュアランスの考え方に似ている戦略であり、相対的リスク回避度などの必要なパラメーターにより危
険資産への最適な投資計画と消費計画が導かれている。分析期間としては、1989 年 1 月から 2018 年 3 月までの月次データを用いてシミュレーションを行い、それぞれの戦略の運用成果と毎期の支出額の変動を検証した。

2. 先行研究
金融資産からなるポートフォリオついてその下限を保証するような戦略はポートフォリオ保険

1 Philip H. Dybvig “Using Asset Allocation to Protect Spending”
Financial Analyst Journal,1999,55(1, Jan/Feb), 49-62.
42

日本リアルオプション学会 機関誌

リアルオプションと戦略(Portfolio insurance)と呼ばれ、その頭文字をとって PIと略すること多い。ポートフォリオ保険には 2 つのアプローチがある2。第 1 のものは、株や債券などの現物危険資産の値下がりリスク（Downside risk）を回避するために、プットオプションの買いを行う戦略である。これはプロテクティブ・プットと呼ばれている。
もし市場でプットオプションが取引されていれば、それを保険として購入すればよい。しかしながら、市場では、運用期間に等しい満期や望ましい行使価格のプットオプションが取引されているとは限らない。
そうした場合には、適切な、例えばブラック＝ショー
ルズモデル（Black and Scholes, 1973）などを用いてプットオプションを合成することが行われる。原資産と合成したプットオプションの組み合わせは、コー
ルオプションの満期ペイオフと同様になるため、ダウンサイドリスクを回避することができる。
2 番めのポートフォリオ保険は、比率一定型のポー
トフォリオ保険（CPPI: Constant Propotional Portfolio
Insurance）とよばれ、危険資産と安全資産からなるポートフォリオ価値（E: Exposure）とその最低許容水準（ F: Floor ） と の 差 （ C: Cushon） の 一 定 割 合 （ M:
Multiplier）を常に次期の危険資産への投資額とする、
極めてシンプルな資産配分戦略である3。
この論文では、資産運用の対象が寄付金や基金（Endowment）といった返済する必要が無いものであり、資産運用成果が運用主体の維持・発展のために一定の経費を賄うための資産運用を検討する。
Dybvig(1999)は、比率一定型のポートフォリオ保険を
この目的のために拡張をした。Dybvig(1999)は資産配分と消費の関係を、米国において 1946 年から 1996 年の 50 年間に亘り、2 種類の戦略の比較をしている4。
1 つは、伝統的な資産配分戦略（Traditional Strategy）
であり、もう一つは、一定消費を保障する戦略

1010
第第
巻巻 第 3 号戦略の結果は、初期資産は元本割れを起こし、毎期の消費額は大きく変動する結果であった。
一方、一定消費を保障する戦略は初期資産を、危険資産で運用する部分、安全資産で運用する部分、そして消費によって財産額が変動する部分に分けた資産配分戦略である。このポートフォリオにおける危険
資産への投資額𝑎𝑎� は、t 期の資産額から最低消費部分の現在価値を差し引いたクッション部分に乗数 K(%)
を乗じたもので与えられ、安全資産への投資額𝑤𝑤� −𝑎𝑎� は、t 期の資産額から危険資産投資額を差し引いた
残りで与えられる。そして、t 期の消費額は、t 期の資産額に r*を乗じたもの以上であるという条件が与えられる。
この K と r*という水準がどのようにして決定するかについては、外生的なパラメーターである相対的リスク回避度 R、主観的割引率 δ、危険資産の期待収
益率 μ、そのボラティリティ σ、リスクフリーレート𝑟𝑟� による。

先行研究においては、一定消費を保障する戦略について、乗数 K = 1%、r* = 1.5%として、シミュレー
ションを行ったところ、初期資産の元本割れは無く、資産は増加し、さらに毎期の消費額は安定していたという結果であった。

3. 分析モデル
3.1 伝統的な資産配分戦略
この戦略は、t 期における資産額𝐴𝐴� 、移動平均の重み α、一定の年間消費率 c、平均期間 N を与えると、式(1)のように定義される。今期(t 期)の消費は、1 期前(t‐1 期)の消費と、今期(t 期)より N 期間前の平均
資産残高との按分で表される。
しかし、式(1)の消費額において、移動平均の重み αと期間 N を、どのようにして決定するかについては
恣意的であり、消費額は資産額の影響を受けやすくなる。
∑���� 𝐴𝐴���(1)��𝑆𝑆� = (1 − 𝛼𝛼)𝑆𝑆��� � 𝛼𝛼 �� �𝑁𝑁

（Ratcheting Strategy）である5。
伝統的な消費配分戦略は、初期資産の 50%を危険資産として米国株式（S&P500）に投資し、残り 50%
を安全資産として 3 ケ月物米国国債(T-bill)に投資をし、毎期の資産残高の年率 4.5％を消費額として支出する戦略を、一つのモデルとして設定している。この

3.2 一定消費を保障する戦略 Dybvig(1999)によるMerton の多期間消費モデルの拡張

2 これら 2 つのポートフォリオ保険の概要とその実証については Ho, Cadle and Theobaldn (2010)、Perol, and Sharpe(1995)、浅野幸弘(1985)の展望が参考になる。
3 比率一定のポートフォリオ保険については、その直感的な説明が Black, F. and R. Jones (1987)によってなされている。其の背後にある理論的な裏付けについては Black andPerold (1992)を参照のこと。この 2 つのポートフォリオ保
険の計量経済学パッケージ EViews による実装が森平・高(2019)でおこなわれている。

4 Brown and Tiu (2013)は、大学基金のためのこれらの戦略を含む 7 つの支出戦略、とりわけリーマンショックの影響のシミュレーション分析をおこなっている。
5 一定消費を保障する戦略（Ratcheting Strategy）の概要と実証結果については Dybvig(1999)を、その背後にある理論については Dybvig, P. (1995)と Merton, R. C. (1971)などを
参照。

43
43

日本リアルオプション学会 機関誌

3.2.1 効用関数の定義
効用関数𝑢𝑢(𝑆𝑆� )としパワー(ベキ)型効用関数を仮定する。ベキ型効用関数は、その絶対的リスク回避度は減少するが、相対的リスク回避度が一定であるような効用関数である。ここで、R は相対的リスク回避度を示し、R = 1 の時には、対数効用関数になる。
(���)
𝑆𝑆�

𝑢𝑢(𝑆𝑆� ) =(1 − 𝑅𝑅𝑅

ここで、𝜇𝜇は危険資産の期待収益率（年率）、𝜎𝜎はその期待収益率のボラティリティ（年率）、𝑟𝑟� はリスクフ
リーレート（年率）である。なお、乗数Ｋは一定比率(K > 1)であり、𝑅𝑅∗ は修正された相対的リスク回避度を
表す。

(2)

0 < 𝑅𝑅 ∗3.2.2 目的関数の定義
Dybvig(1999)によると、投資家は式(3)の目的関数を、
消費𝑆𝑆� と危険資産投資(移動平均の重み)α に関して最大化する。この目的関数は、現在(t = 0)から将来(t =∞)に向けた消費からの効用𝑢𝑢(𝑆𝑆� )を、時間選好率 δ で割り引いた合計値の期待値を表す。
���

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀 𝑀𝑀� ������ ��� 𝑢𝑢(𝑆𝑆� )𝑑𝑑𝑡𝑡�

(3)

3.2.3 制約条件の定義
制約条件として、以下の 2 つの条件を課し、財産額の変動は式(4)の確率過程に従う。この確率過程は、安全資産で運用する部分、危険資産で運用する部分、そして消費によって財産が減少していく部分に分けられている。
・消費水準𝑆𝑆� は減
𝑡𝑡 𝑡 𝑡 𝑆𝑆� � ≥ 𝑆𝑆� (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 � > 𝑡𝑡)
少しない。
・財産額𝑤𝑤� は非負
𝑤𝑤� は所与 𝑤𝑤� ≥ 0である。
�� = 𝑤𝑤� 𝑟𝑟� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑 𝑑𝑑� �𝜇𝜇𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑 𝜎𝜎𝑑𝑑��� − 𝑟𝑟� 𝑑𝑑𝑡𝑡�
𝑑𝑑𝑑𝑑− 𝑆𝑆� 𝑑𝑑𝑑𝑑

1010
第第巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

≜

𝜅𝜅 𝜅
�

(𝜇𝜇 𝜇𝜇𝜇� )�
2𝜎𝜎 �

(6)

��� 𝑑 𝜅𝜅 − 𝑓𝑓� � + 4𝑟𝑟� 𝜅𝜅 − �� 𝑑 𝜅𝜅 − 𝑓𝑓� �2𝑟𝑟�
𝜇𝜇 𝜇𝜇𝜇�
𝐾𝐾 𝐾
𝑅𝑅 ∗ ・𝜎𝜎 �

(7)
<1

(8)

最適な安全資産への最適投資額 𝑤𝑤� − 𝛼𝛼� は、t 期の資産額𝑤𝑤� から危険資産投資額𝛼𝛼� を差し引いた残額で表される。つまり、現在の消費水準𝑆𝑆� を永久に継続していくために必要な財産額と、クッション部分に(1 −𝐾𝐾𝐾%を乗じた額の合計を、最適な安全資産への投資
額𝑤𝑤� − 𝛼𝛼� で表すことができる。
𝑆𝑆�
𝑆𝑆�
𝑤𝑤� − 𝛼𝛼� = � � 𝑑 (1 − 𝐾𝐾) �𝑤𝑤� − � ��
(9)
𝑟𝑟�
𝑟𝑟�

消費の最適ルールは通常一定水準をとるが、消費を増加できる場合は下記の条件が満たされた場合であり、𝑟𝑟 ∗ はリスクフリーレートに相対的リスク回避度の伸び率を乗じ、𝑑𝑑は許容可能な消費下落率である。
𝑑𝑑がゼロの場合、𝑟𝑟 ∗ はリスクフリーレート以下になる。
(10)𝑆𝑆� ≥ 𝑟𝑟 ∗ ・𝑤𝑤�𝑅𝑅 𝑅 𝑅𝑅 ∗�
𝑅𝑅𝑟𝑟 ∗ < 𝑟𝑟� + 𝑑𝑑

(11)

𝑟𝑟 ∗ ≜𝑟𝑟� �

(4)

(12)

4. 分析準備
4.1 べき型効用関数の相対的リスク回避係数 R と主観的割引率（時間選好率）δ の推定

3.2.4 最適な投資と消費計画
制約条件のもとで、動的計画法を用いて解析すると、2 つの投資計画と１つの消費計画の規則が導かれる。
最適な危険資産への投資額𝛼𝛼� は、t 期の資産額𝑤𝑤� から、現在の消費水準𝑆𝑆� を永久に継続していくために必要な財産額（消費水準の現在価値）を差し引いたクッション（裁量部分）に、乗数 K (%)を掛けたもので表すことができる。
𝑆𝑆�𝛼𝛼� = 𝐾𝐾 �𝑤𝑤� − � ��
(5)
𝑟𝑟�

�

(���)

式(2)の効用関数𝑢𝑢(𝑆𝑆� ) = �(���)を持つ投資家について、あるくじを考える。そのくじを今期に購入すると、来期に確率 0.5 で 110 万円、確率 0.5 で 100 万円となるくじである。このくじにおいて、筆者は今期 103 万円を支払って購入する価値があるものとした。
103���
100���
110���
= 0.5 ∗
+0.5 ∗
1 − 𝑅𝑅
1 − 𝑅𝑅
1 − 𝑅𝑅(13)

次に、式(2)の効用関数に基づき、2 つの消費計画を考える。一つは今期の消費額は 100 万円で来期の消式(5)において、危険資産投資に必要なパラメーターである乗数 K は、Merton 比率をもって表される。

44

日本リアルオプション学会 機関誌

費額が 110 万円の消費計画と、もう一つは今期と来期の消費額が同額 S であるような消費計画である。
これらの消費計画から、もたらされる効用を等しくするような消費額 S を、筆者は 104.5 万円であるものと設定した。
104.5���
104.5���
+ 𝑒𝑒 ����
1 − 𝑅𝑅
1 − 𝑅𝑅

110���
100���
=+ 𝑒𝑒 ����
1 − 𝑅𝑅
1 − 𝑅𝑅

図 1-1 において、消費額を 104.5 万円で固定した
場合では投資額が 105 万円に近づくほど、リスク中立的になることがわかる。たしかに、投資額が 105万円の場合において、投資家はリスク中立的である
ことは、式(13)からも読み取れる。
また、図 1-2 において投資額を 103 万円で固定した場合では消費額が 104.5 万円を超えると、主観的割引率が負の値をとることがわかる。
尚、先行研究においては、R = 0.498、δ = 0.177 という値であった。同じ連立方程式を解析しているが、値が異なるのはソルバーの精度の違いであると考えるため、式(15)の値を用いて、分析を進めるこ
ととする。

(14)

式(13)と(14)の連立方程式を、エクセルのソルバーを用いて同時に解析を行った結果を式(15)、および
図 1-1 および図 1-2 に示す。
(15)

𝑅𝑅 𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅

図 1-1 相対的リスク回避度と主観的割引率(消費額を変化）

図 1-2 相対的リスク回避度と主観的割引率（投資額を変化）

4.2の 3 種類に分けて、シミュレーションを試みることにした。また、分析に使用するデータを表 2 のように定める。なお、全期間において均一なデータ取得が不可能であったので、国内株式以外の各資産については、期間 3 においてのみ使用してシミュレーシ
ョンを行うこととする。

分析データ期間と金融市場の主な出来事
分析期間を表 1 のように定めることする。まず
全期間で分析を行い、そこから分析期間を分割するために、金融市場の主なニュースから 2000 年初頭の IT バブルの崩壊と、2008 年 10 月のリーマンショックに注目し、分析期間を期間 1、期間 2、期間 3
表1

1010
第第
巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

分析期間と金融市場の主な出来事

期間

期間

月次

全期間

1989 年 1 月～2018 年 3 月

351 ヶ月

期間 11989 年 1 月～1999 年 3 月

123 ヶ月日本経済バブル崩壊

期間 21999 年 4 月～2007 年 3 月

96 ヶ月

IT バブル崩壊

期間 32007 年 4 月～2018 年 3 月

132 ヶ月リーマンショック、アベノミクス

表2
資産

主な出来事

分析に使用するデータ

対象データ

分析対象期間日本国債 10 年物利回り

全期間

国内株式

TOPIX 配当込み

全期間

国内債券

NOMURA-BPI 国債分配金込み

期間 3

外国株式

KOKUSAI INDEX (WORLD ex JP) 配当込み円建て

期間 3

無リスク金利45
45

日本リアルオプション学会 機関誌

外国債券
コモディティー

リアルオプションと戦略

1010
第第
巻巻 第 3 号

WGBI INDEX(Non-JPY)円建て

期間 3

金地金（東京）期間 3(注) データ取得先：QUICK ASTRA-Manager
4.3 TOPIX の時系列推移
観測方程式の設定をする。
分析に使用したデータの中で、全期間を対象にし��(19)𝜉𝜉�� ~𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 )ln𝑦𝑦��� = −1.2703 + ℎ�� + 𝜉𝜉���た TOPIX（配当込み）について、指数値とその対数
収益率の推移を、図 2 および図 3 に示す。さらに状態方程式の設定をする。
(20)
TOPIX の対数収益率について、その標準偏差 σ を確ℎ���� = 𝛼𝛼 𝛼 𝛼𝛼𝛼�� + 𝑒𝑒̃� 𝑒𝑒̃� ~N(0. 𝜎𝜎��� )率ボラティリティによって推定した結果も併せて示
確率ボラティリティℎ�� の定義をする。
すことで、金融市場の主な出来事と照らし合わせるℎ��(21)
𝜎𝜎�� = ���� �
ことで、理解を深める。なお、確率ボラティリティ
2
初期値設定をし、固定パラメーターの推計に用いるカルマンフィルターの方程式は以下にc(1),c(2),c(3),c(4)の初期値は、𝑧𝑧� ≡ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙��� とおくと、基づく。
𝑧𝑧� = 𝛽𝛽� + 𝛽𝛽� 𝑧𝑧��� + 𝜈𝜈� 𝜈𝜈� ~𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁��)(22)
まず、対数リターンを定義する。
c(2) = 𝛽𝛽� 、𝑐𝑐(3) = 𝛽𝛽� 、 𝑐𝑐(4) = 𝜎𝜎�(16)𝑦𝑦�� ≡ ∆𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙� = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙��� − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙�
観測方程式を、非線形方程式から線形方程式に変換
表 1 の分析期間の境い目に当たる主な出来事につする。
いて、図 2 および図 3 に示す。なお、TOPIX の指数
値は、1989 年 1 月の指数を 100 として基準化した。
�(17)𝜀𝜀̃� ~N(0.1)
𝑦𝑦�� = 𝜀𝜀̃� 𝜎𝜎�� = 𝜀𝜀̃� 𝑒𝑒𝑙𝑙� � ���
バブル崩壊、IT バブル崩壊、リーマンショックが発
非線形カルマンフィルターであるので、両辺を 2 乗生した際は、図 2 の TOPIX の指数値は下降しておし対数を取る。
り、図 3 の確率ボラティリティの値も上昇していることから、金融市場の主な出来事と TOPIX の変化の�
(18)
ln𝑦𝑦��� = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙̃�� (��� � ��)� = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙̃�� + ℎ���
影響は密接であると観察できた。
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙̃��は平均が－1.2703、分散がπ� /2 の対数カイ 2 乗分
以上のことから、表 1 のように分析期間を分割し���た。伝統的な資産配分戦略と、一定消費を保障する布に従うので、𝜉𝜉� = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙̃� + 1.2703 とおくことで、𝜉𝜉��
は平均ゼロ、分散π /2 の正規分布で近似する。
戦略において、どのような影響があるのか検証を試みることができる。

図2

TOPIX 指数値の推移

図34.4 各戦略のパターン
各戦略のパターンを表 3 に示す。本稿の分析については、表 3 のパターンに基づいて、分析期間を変えて検証を行うこととする。
なお、パターン A-1、A-2 の年間消費率の設定、TOPIX の対数収益率と確率ﾎﾞﾗﾃｨﾘﾃｨ

および B-2 のパラメーター（K と r*）の設定はDybvig(1999)の値に倣った。
また、パターン B-1 のパラメーターの設定は、式(8)、式(11)に基づいて算出した値を用いることとする。

46

日本リアルオプション学会 機関誌

表3
戦略

戦略のパターン

パターン

内容

A-1

各期資産の年率 4.5%を毎期消費する場合

A-2

平均資産の年率 4.5%を毎期消費する場合

A)伝統的な資産配分戦略
B)一定消費を保障する戦略

B-1

一定消費を保障する場合（K と r*を設定）

B-2

一定消費を保障する場合（K=1、r*=1.5%）

5. 分析結果
5.1 全期間の分析結果
日本国内における検証を行うので、危険資産には国内株式（TOPIX 配当込み）、安全資産には国債 10 年
物利回りを用いている。
伝統的な資産配分戦略において、初期資産 100 のうち、危険資産と安全資産を 50%ずつ保有し、毎期の消費額は月次単位で検証を行うため、月次消費率は
年間消費率 4.50%の 1/12 である 0.38%の消費を続ける。t 期の危険資産と安全資産の投資額は、各資産の消費額を控除した上で、月次収益率を乗じて、t＋1 期の投資額を決定する手順とした。
一定消費を保障する戦略においても初期資産を100 とし、危険資産の収益率 μ（年率）、その標準偏差
表4

全期間

1010
第第
巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

危険資産
収益率μ 標準偏差σ0.079%
19.241%σ（年率）、リスクフリーレート𝑟𝑟� （年率）、および式(15)の相対的リスク回避度 R、主観的割引率 δ を用いて、式(6)、(7)、(8)、(11)に代入して計算されたパラメーターκ、𝑅𝑅 ∗ 、K、𝑟𝑟 ∗ の値を表 3 に示す。危険資産の収益率は、1989 年より 2018 年までの年間平均が 0.079%、
標準偏差は 19.241%であり、リスクフリーレート𝑟𝑟� は
2.138%であった。この結果は、乗数 K の計算において影響を与え、式(8)の分子がマイナスになるので、危険資産の投資比率である乗数 K の値は、‐1.575%となった。つまり、総資産のうち、危険資産を 1.575%
空売りして、安全資産へ 101.575%投資するということになる。全期間シミュレーション結果を図 4-1 から
図 4-4 に示す。

全期間のパラメーター
rf

Kappa

R*

乗数K(%)

r*

2.138%

0.006

0.353

-1.5751.934%

図 4-1

全期間（戦略パターン A-1）

図 4-2

全期間（戦略パターン A-2）

図 4-3

全期間（戦略パターン B-1）

図 4-4

全期間（戦略パターン B-2）

47
47

日本リアルオプション学会 機関誌

表 4 から、伝統的な資産配分戦略（パターン A-1、パターン A-2）は、いずれも総資産額の平均変化率がマイナスであるので資産額は減少し、最終的には元本割れを起こしてしまった。さらに、消費額の変化率についても、マイナスであるので消費額は減少し、消費額の変化率のボラティリティも大きいため消費額が不安定であることがわかる。また、A-2 は、A-1 よりも毎期の消費額が大きくなるので、その分だけ資産額の減少が速いことがわかる。
一方、一定消費を保障する戦略（パターン B-1、パターン B-2）は、いずれも資産額の平均変化率がプラスであるので資産額は増加し、期末残高は初期資産100 を超えている。消費額の変化率のボラティリティ
は、A-1 や A-2 に比べて小さく、安定的な消費が望め
ることがわかった。さらに最低消費額は A-1 より B1 の方が大きいことがわかり、一定消費を保障する戦

表5

全期間

期初
100
100
100
100

A-1
A-2
B-1
B-2

図 5-1

略に効果があることがわかった。
四種の戦略を比較した場合、消費額の大きさが重要であると考える。伝統的な資産配分戦略（パターンA-1、パターン A-2）の消費額は、総資産残高の年率4.5%を消費していくので、期初の方は消費額が大き
いが、運用成果以上に消費しているので、その分総資産は減少してしまい、結果的には消費によって総資産を食いつぶす形となっている。一方、一定消費を保障する戦略（パターン B-1、パターン B-2）は、消費額を相対的に少ないが、一定額に抑えることで、運用成果とのバランスを保っていると考えられる。毎月の消費は計画的にするべきということであろう。
なお、先行研究に倣った K = 1、𝑟𝑟 ∗ = 1.5%と設定したパターン B-2 の結果は、パターン B-1 と遜色は無
いが、K、𝑟𝑟 ∗ の値が恣意的であると考える。

全期間における総資産と消費の結果

総資産
期末残高
平均
8.689
-0.699%-42.269-0.555%101.992
0.017%
115.3430.040%

標準偏差2.788%
11.860%0.176%
0.149%

図 5-2

全期間（総資産額の推移）

5.2 期間別の分析結果
5.1 の結果に倣い、期間を分けてそれぞれの戦略について検証を試みた。なお、分析期間の設定は4.2 で示したとおりである。期間 1 の結果を表 6、
表6

期間1
A-1
A-2
B-1
B-2

1010
第第
巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

平均-0.699%-0.437%0.006%
0.041%

消費
標準偏差2.788%
2.411%
0.176%
0.149%

最低消費額

0.032
0.041
0.161
0.125

全期間（消費額の推移）

期間 2 の結果を表 7、期間 3 の結果を表 8 にそれぞれを示す。またさらに K、𝑟𝑟 ∗ の値がどのように変化しているのかを表 9 に示す。

期間 1（1989 年 1 月～1999 年 3 月）における総資産と消費の結果

期初
100
100
100
100

総資産
期末残高
平均
34.745-0.867%20.524-1.298%109.4590.074%
127.7170.201%

標準偏差3.182%
3.194%
0.218%
0.153%
48

平均-0.869%0.078%
0.078%
0.201%

消費
標準偏差3.195%
4.034%
0.214%
0.154%

最低消費額

0.122
0.188
0.266
0.125

日本リアルオプション学会 機関誌

1010
第第巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

図 6-1

期間 1（戦略パターン A-1）

図 6-2

期間 1（戦略パターン A-2）

図 6-3

期間 1（戦略パターン B-1）

図 6-4

期間 1（戦略パターン B-2）

図 7-1

期間 1（総資産額の推移）

表7

期間2
A-1
A-2
B-1
B-2

図 7-2

期間 1（消費額の推移）

期間 2（1999 年 4 月～2007 年 3 月）における総資産と消費の結果

期初
100
100
100
100

総資産
期末残高
平均
59.789-0.528%47.995-0.763%101.4130.016%
98.792-0.012%

標準偏差2.235%
2.239%
0.105%
0.047%

49
49

平均-0.594%-0.277%0.013%-0.014%

消費
標準偏差2.207%
1.026%
0.104%
0.046%

最低消費額

0.210
0.254
0.101
0.123

日本リアルオプション学会 機関誌

図 8-1

期間 2（戦略パターン A-1）

図 8-3

図 9-1

図 8-2

期間 2（戦略パターン A-2）

期間 2（戦略パターン B-1）

図 8-4

期間 2（戦略パターン B-2）

期間 2（総資産額の推移）

図 9-2

期間 2（消費額の推移）

表8

期間3
A-1
A-2
B-1
B-2

1010
第第
巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

期間 3（2007 年 4 月～2018 年 3 月）における総資産と消費の結果

期初
100
100
100
100

総資産
期末残高
平均
41.769-0.666%26.841-1.004%99.898-0.001%91.359-0.069%標準偏差2.755%
2.735%
0.155%
0.055%

50

平均-0.681%-0.034%0.000%-0.068%

消費
標準偏差2.760%
3.958%
0.156%
0.054%

最低消費額

0.154
0.180
0.063
0.114

日本リアルオプション学会 機関誌

図 10-1

期間 3（戦略パターン A-1）

図 10-3

図 11-1

図 10-2

期間 3（戦略パターン B-1）

図 10-4

期間 3（総資産額の推移）

表9

全期間
期間1
期間2
期間3

1010
第第
巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

危険資産
収益率μ 標準偏差σ0.079%
19.241%-5.726%22.021%4.760%
15.463%2.039%
18.850%

期間 3（戦略パターン A-2）

期間 3（戦略パターン B-2）

図 11-2

期間 3（消費額の推移）

期間別のパラメーター
rf

Kappa

R*

乗数K(%)

r*

2.138%
4.136%
1.448%
0.793%

0.006
0.100
0.023
0.002

0.353
0.848
0.561
0.112

-1.575-2.3992.469
3.123

1.934%
3.188%
1.229%
0.769%

値であることである。これは、期間 2 の危険資産（TOPIX）の収益率 μ がリスクフリーレートより高いため、式(8)の分子がプラスの値になるからであ以上の結果より、乗数 K について考察されることは、期間 2（1999 年 4 月～2007 年 3 月）および期間
3（2007 年 4 月～2018 年 3 月）の期間中、プラスの
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日本リアルオプション学会 機関誌

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第第巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

戦略よりパターン A-1 を選択する。その理由は、パ
ターン A-2 の移動平均の重み α と期間 N が恣意的であるからである。また、一定消費を保障する戦略か
らパターン B-1 を選択する。その理由は、K、𝑟𝑟 ∗ の値を式(15)によって導かれた相対的リスク回避度 Rと主観的割引率 δ を使って計算した値を用いることによって、恣意的な部分を排除できるからである。

り、さらに式(8)の分母である標準偏差 σ が小さいた
め、乗数 K の値が比較的大きくなったためである。
2000 年初頭の IT バブル崩壊後からリーマンショッ
ク前まで、株式市場が比較的落ち着いていたと考えられ、図 3 からも確率ボラティリティの変動が小さいことから整合的である。
乗数 K の値が、他の期間よりも大きいとは言っても、K = 3.123%であり、つまり最適な危険資産への投資額𝛼𝛼� は、t 期の資産額𝑤𝑤� から、現在の消費水準𝑆𝑆� を永久に継続していくために必要な財産額（消費水準の現在価値）を差し引いたクッション（裁量部分）に、乗数 3.123%を掛けたもので表すわけであり、このモ
デルは、危険資産への投資額は少なく、ほとんどが安
全資産によって運用成果と消費を賄っていると言っても過言ではない。
次に、𝑟𝑟 ∗ の値について考察されることは、式(11)より𝑟𝑟 ∗ はリスクフリーレートに相対的リスク回避度の伸び率を乗じたものであることから、期間中のリスクフリーレートの値に影響をされる。図 2 からも観察できるように、リスクフリーレート（国債 10年物利回り）は年々減少している。したがって、式(10)より毎期の消費額𝑆𝑆� は、当期の資産額𝑤𝑤� に𝑟𝑟 ∗ を乗じた値であるので、リスクフリーレートが低下す
れば、消費額も減少してしまう。
ここまでが Dybvig(1999)に基づいた日本国内におけるシミュレーションの結果である。
先行研究のとおり、伝統的な資産配分戦略よりも、一定消費を保障する戦略の方が、資産は初期資産をほぼ維持できること、消費額が比較的一定水準を保つことにおいて、優れていることがわかった。
しかしながら、危険資産の収益率が期間 2 および期間 3 を除いて、マイナスの値であるため、危険資産への投資額がマイナス（空売り）となっていることが気掛かりである。これでは、全てを安全資産へ投資していれば良いわけである。先行研究にも掲載されていたが、危険資産を単一資産ではなく、他の資産とポートフォリオを組むことで、危険資産の期待収益率を上昇させることを、再度試みる。

6.1 最小分散ポートフォリオの導出
一定消費を保障する戦略における危険資産について、表 2 で示した 5 資産についてポートフォリオを構築する。
5 資産とは、国内資産(TOPIX 配当込み)、国内債券(NOMURA-BPI 国債 分配金込)、外国株式(KOKUSAI INDEX 日本除く 配当込 円建て)、外国債券(WGBI INDEX 日本除く 円建て)、コモディテ
ィー(金地金 東京)である。
以下に最小分散ポートフォリオの導出過程を示す。実際は、エクセルのソルバーを用いて、一定の期待収益率𝜇𝜇� のもとにおいて、分散𝜎𝜎�� が最も小さくなるポートフォリオの j 個の資産の投資比率𝑤𝑤� を求めた。

j 個の資産の投資収益率（グロス表示）を要素とする
確率ベクトルを、
� = [𝑅𝑅�� 𝑅𝑅��𝑹𝑹⋯

𝑅𝑅�� ]�

(23)

それらの期待収益率を要素とする列ベクトルを、
� � = [𝐸𝐸[𝑅𝑅�� ] 𝐸𝐸[𝑅𝑅�� ]� = 𝐸𝐸�𝑹𝑹⋯

𝐸𝐸�𝑅𝑅�� �]𝑻𝑻

= [𝜇𝜇� 𝜇𝜇� ⋯ 𝜇𝜇� ]各資産の投資収益率間の分散共分散行列を
𝜴𝜴
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�� ]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�� , 𝑅𝑅�� ] ⋯ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�� , 𝑅𝑅�� ]⎡⎤��]⎢𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�� , 𝑅𝑅�� ]⋯ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�� , 𝑅𝑅�� ]⎥𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
=⎢
⎥
⋮
⋮
⋮
⎢
⎥
�
�
�
�
�
⎣ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶� , 𝑅𝑅� ] 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶� , 𝑅𝑅� ]⋯ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉� ] ⎦6, 再検証
再検証する期間について、期間 3（2007 年 4 月~2018 年 3 月）を選択する。その理由は、期間 3 の初頭にリーマンショックを経験し、現在もこのモデルが通用するのか検証したいこと、危険資産のポー
トフォリオを構築する際に、全ての月次データが揃っている期間であることが挙げられる。
次に、四種類ある戦略のうち、伝統的な資産配分

𝜎𝜎 �
⎡ �
𝜎𝜎
= ⎢ ��⎢ ⋮⎣ 𝜎𝜎��

𝜎𝜎��
𝜎𝜎��
⋮
𝜎𝜎��

(24)

𝑻𝑻

(25)

⋯ 𝜎𝜎��
⎤⋯ 𝜎𝜎��⎥⋮ ⎥�⋯ 𝜎𝜎� ⎦

なお、分散行分散の性質として、𝜴𝜴および𝜴𝜴�� は対称な正値定符号行列になる。
第 i 資産(𝑖𝑖 𝑖 �1, ⋯ , 𝑗𝑗�)の投資比率を𝑤𝑤� として、j 種類
52

日本リアルオプション学会 機関誌の金融資産の全ての投資比率を並べた列ベクトルを、
𝒘𝒘 𝒘 𝒘𝒘𝒘� 𝑤𝑤� ⋯ 𝑤𝑤� ]�
(26)
金融資産の空売りを無制限に認めるが、投資比率の総和は 1 であるという制約条件により、(27)
𝐰𝐰 � 𝟏𝟏 𝟏 𝟏

�

���

�
𝒘𝒘� 𝑅𝑅�� = 𝐰𝐰 � 𝑹𝑹

(28)

その期待値をとると、
� � 𝒘 𝐰𝐰 � 𝝁𝝁
𝜇𝜇� 𝒘 𝐸𝐸�𝑅𝑅�� � 𝒘 𝐰𝐰 � 𝐸𝐸�𝑹𝑹

6.3 5 資産ポートフォリオを用いた分析結果
表 2 で示した 5 資産の最小分散ポートフォリオを構築し、図 12 のようにシャープレシオが最大となる
ような投資比率を用いて、一定消費を保障する戦略の危険資産を構築する。表 10 に、ポートフォリオ構
築に必要なパラメーターの結果をまとめた。
投資比率を見ると、空売りをしているのは国内株式（TOPIX）と外国債券（WGBI）であり、投資比率のほとんどが国内債券（BPI）である。シャープレシ
オ 0.887 のもとでは、ポートフォリオの収益率は2.472%、その標準偏差は 1.893%であった。これは、5.2 で検証した危険資産を国内株式（TOPIX）のみとし た 場 合 は 、 収 益 率 は 2.039% 、 そ の 標 準 偏 差 は18.850%であったので、ポートフォリオを組むことで分散効果が働いた。

(29)

したがって、ポートフォリオの収益率の分散は、
��𝜎𝜎�� 𝒘 ��𝑟𝑟�𝑅𝑅�� � 𝒘 ��𝑟𝑟�𝐰𝐰 � 𝑹𝑹
� �
= 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 �𝑹𝑹

� − 𝝁𝝁��� ]− 𝝁𝝁��𝐰𝐰 � �𝑹𝑹

� − 𝝁𝝁��𝑹𝑹� − 𝝁𝝁�� � 𝒘𝒘 𝒘 𝒘𝒘𝑻𝑻 𝛀𝛀𝛀𝛀𝜎𝜎�� = 𝐰𝐰 � 𝐸𝐸 ��𝑹𝑹

6.2 シャープレシオによる投資比率の選択
リスク資産を含むポートフォリオ P に対して(𝜎𝜎� >0)、P のシャープレシオについて、期待超過リターン
𝑓𝑓� = (𝜇𝜇� − 𝑟𝑟� ) をポートフォリオのリスク 𝜎𝜎� で割った比率として定義する。
なお、危険資産ポートフォリオについて、5 資産の投資比率は、最小分散ポートフォリオの中からシャープレシオが最大となるような投資比率を選択する
ものとする。
𝑓𝑓�
𝑆𝑆𝑆𝑆� =(31)𝜎𝜎�j 種類の資産から構成されるポートフォリオの投資収益率について、その期待収益率と分散は、投資比率ベ
クトル 𝒘𝒘 によって作られたポートフォリオの投資収益率を𝑅𝑅�� とすると、𝑅𝑅�� 𝒘 �

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第第巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略(30)

つまり、平均分散分析によって金融資産へ投資を行う消費者は、一定の期待収益率𝜇𝜇� のもとでは、分散𝜎𝜎��が最も小さいポートフォリオ、つまり最小分散ポー
トフォリオを選択する。

表 10

ｼｬｰﾌﾟﾚｼｵ
0.887

図 12

5 資産ポートフォリオのパラメーター

投資比率
TOPIX
BPI
KOKUSAI
WGBI-0.719% 95.385% 6.307% -3.386%

GOLD
2.412%

図 13

最小分散ポートフォリオ

危険資産
収益率μ 標準偏差σ2.472%
1.893%

対数収益率の推移

次に、伝統的な資産配分戦略（パターン A-1）と、
53
53

日本リアルオプション学会 機関誌

一定消費を保障する戦略（パターン B-1）の運用成果と消費額を比較する。A-1 は、5.2 の分析では期初において、危険資産 50%、安全資産 50%の比率で運用を始めたが、期初において B-1 と同様の投資比率でA-1 の運用シミュレーションを試みることとして、その際に乗数 K の値を用いることにした。
パターン B-1 については、5.2 の分析と同様の手順
で検証を行う。ただし、異なることは危険資産を国内資産だけでなく、5 資産のポートフォリオを構築したものを用いていることである。
表 11 より、一定消費を保障する戦略（パターン B1）において、乗数 K の値が 49.696%を示していることであり、ほぼ半分を危険資産に投資することにな

表 11

rf
0.793%る。しかし𝑟𝑟 ∗ 値が表 9 の 0.769%から 0.591%に下落しており、毎期の消費額は少なくなっている。
一方、期末の資産残高は、5.2 の分析の場合の時は
表 8 より 99.8989 であったが、今回は 110.476 に残高を増加している。再検証において、危険資産のポートフォリオを構築し、収益率 μ を上昇させた結果、期末資産残高は増加したが、最低消費額は 0.063 から 0.049
へ減少してしまうという結果になった。
戦略に関しては、伝統的な資産配分戦略は元本割れを起こすが、一定消費を保障する戦略は元本割れを起こさないという結果になった。

期間 3 のパラメーター

Kappa
0.393
表 12

R*
0.943

乗数K(%)
49.696A-1
B-1

図 14-1

期末
期初
資産残高73.082100
110.476r*
0.591%

各戦略の運用結果

総資産
期間3

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第第
巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略

変化率
期初
平均
標準偏差
-0.239%0.280% 0.375
0.076%
0.254% 0.049

期間 3（戦略パターン A-1）

期末
消費額
0.275
0.054

消費
変化率
平均 標準偏差-0.238% 0.281%
0.077% 0.255%

最低
消費額
0.275
0.049

図 14-2 期間 3（戦略パターン B-1）
ーの推移を観測できるデータ数を取得するためであ

6.4 分析期間をスライドしていく場合
6.3 の検証結果により、危険資産のポートフォリオ
構築は一定の成果が見えることがわかった。ここで、乗数 K、𝑟𝑟 ∗ といったパラメーターは、期間 3 の間において、どのように推移しているのだろうか。期間 3（2007 年 4 月~2018 年 3 月）の中で、2007 年 4 月から 60 か月間を分析対象期間として、次は 2007 年 5 月から 60 ヶ月間というように、分析期間の期初を 1 ヶ月ずつスライドさせてみることにする。60 ヶ月という対象期間にしたのは、乗数 K、𝑟𝑟 ∗ というパラメータる。図 15 は危険資産ポートフォリオの中の 5 資産の構成比率であるが、国内債券（BPI）の割合がほとん
どを占めており、国内株式（TOPIX）の割合はほとん
どない。
図 16、図 17 から乗数 K の推移を観察することができた。一定消費を保障する戦略は期初をいつにするかが重要である。期初によって乗数 K は変化し、運用開始時期を 2007 年から徐々に遅らせるほど、シャープレシオの増大とともに、乗数 K の値も増加し

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日本リアルオプション学会 機関誌

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第第巻巻 第 3 号

リアルオプションと戦略て行く。それは、図 17 からポートフォリオの期待収益率は安定し、標準偏差は小さくなっているため、乗数 K の値が増加したと考えられる。もう一つは、2008
年のリーマンショックの影響があるため、リーマン
ショックの影響度が少なくなった後半期間に行くほど、金融市場が回復しているためと考える。それは、
図 15 のポートフォリオの構成においても、後半期間に行くほど、空売りをする資産が少なくなっていることからも推測できる。

図 18 からは、𝑟𝑟 ∗ の値は、リスクフリーレート（国債 10 年物利回り）の下降とともに、同じように下降している。それに伴い、後半に行くほど最低消費額は減少してしまうことになる。一定消費を保障する戦
略は、リスクフリーレートの影響を大いに受け、国債
10 年物利回りは 2007 年代より 1%を下回っており、直近ではマイナス金利の影響などもあり、後半期間になるほど消費額は減少してしまう。

図 15

ポートフォリオの構成比率

図 16

シャープレシオの推移

図 17

乗数 K の推移

図 18

r*の推移

次に、戦略パターン A-1 の期末資産残高と消費額の推移を図 19-1 および図 19-2、戦略パターン B-1 のものを図 20-1 および図 20-2 に示す。まず、資産残高について、伝統的な資産配分戦略であるパターン
A-1 は元本割れを起こし易く、一定消費を保障する戦略であるパターン B-1 は元本割れを起こさず、期末資産残高は増加している。後半期間に行くほど、資産額変化率の標準偏差が大きくなりボラタイルになるのは、乗数 K が上昇し、危険資産への投資額が増加しているためであろう。つまり、資産残高については、一定消費を保障する戦略の方が、成果は上回っている。
消費額について、パターン A-1 の方が、パターン

B-1 よりも消費額は相対的に大きい。それは、パター
ン A-1 は総資産残高によって消費額が決定するので、期初は消費額が大きいからであり、パターン B-1 はリスクフリーレート自体が低下しているので、リス
クフリーレートを元に計算される消費額が減少してしまうからである。つまり、消費額については、現在のようにリスクフリーレートが低下している局面では、一定消費を保障する戦略の方が劣ってしまうが、それは運用成果に基づいた消費計画であり、事実この期間で運用成果と安定的支出を構築する場合は、
戦略 B-1 を用いることとなるだろう。

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リアルオプションと戦略

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第第
巻巻 第 3 号

図 19-1パターン A-1 資産残高

図 19-2パターン A-1 最低消費額

図 20-1パターン B-1 資産残高

図 20-2パターン B-1 最低消費額7.

考察
本稿において、2 種類の戦略について検証を行った。
一つは伝統的な資産配分戦略であり、もう一つは一定消費を保障する戦略である。
伝統的な資産配分戦略は、1989 年 1 月から 2018 年
3 月まで、どの期間を分析しても初期資産 100 を期末では大きく下回る結果であった。また、毎期の消費額変化率もボラタイルであり、消費額変化率がマイナスであるので、毎期の消費額は徐々に減少している結果となった。これでは、事業は成り立たなくなってしまう。
一定消費を保障する戦略では、相対的リスク回避度と主観的割引率を投資家自身が設定した値を用いてシミュレーションを行った場合、期末資産残高は初期資産に近いものかそれを上回る結果となった。
ただし、先行研究における K = 1、𝑟𝑟 ∗ = 1.5%と設定した場合は、元本割れを起こしたことは、K と𝑟𝑟 ∗ が恣意的であり、投資家のリスク回避度と主観的割引率を考慮していないためである。消費額については、安定した値を示しているが、伝統的な資産配分戦略と比べると、リスクフリーレートが低下する期間 3 では、
表 12 より言って消費を保障する戦略は伝統的な資産配分戦略に比べ最低消費額は約 20%に減少していた。
2007 年 4 月から 2018 年 3 月までの期間 3 における

56

分析において、危険資産を単一資産ではなく 5 資産のポートフォリオを組むことによって、危険資産のリスク分散化を行うことができた。一定消費を保障する戦略について考えれば、分散投資の効果は、期末資産残高を 99.898 から 110.476 に上昇させている。
しかしながら、最低消費額は 0.063 から 0.049 に減少してしまっている。分散投資の効果は、資産残高には大いに貢献していると言える。
2 つの戦略には一長一短があるが、一定消費を保障する戦略において、資産残高は元本割れをしなかったが、毎期の消費額は少ない。たとえば、5 資産ポー
トフォリオの戦略パターン B-1 では、初期資産を 1 億円とすれば、毎月の最低消費額は 1 億円 ×0.049%＝
49,000 円となり、年間 588,000 円の消費が可能となる。この金額は事業を遂行する場合、人件費にも満たずあまり現実的とは言えないが、一定消費を保障する戦略を用いて、消費額を増やしたいならば初期資産を増額するということになるだろう。
また、期間 3 において、期初の年月をスライドし、
乗数 K の変化を観察した。2008 年のリーマンショッ
クの時期は、収益率はボラタイルであり、期末資産残高は伸びなかった。この戦略は市場のボラティリテ
ィが大きいときは、十分な効果が発揮されない。しかし、リーマンショックの時期が過ぎれば、危険資産の日本リアルオプション学会 機関誌

リアルオプションと戦略

収益率のボラティリティは安定し、乗数 K も上昇し、期末資産残高も増えていく結果であった。この戦略を開始する時期は、市場のボラティリティが小さいと判断したときは、効果を発揮すると考える。
一方、消費額は、分析期間が後半にずれるほど、消費額変化率の標準偏差は上昇するとともに、最低消費額が減少している。これは、リスクフリーレートとして用いた国債 10 年物利回りが低下しているからである。
一定消費を保障する戦略を行った場合、元本割れを起こしにくいというメリットはあるが、消費額が少ないというデメリットがあり、直近では運用を開始する時期が遅くなるほど、毎期の最低消費額は減っていくという結果であった。しかしながら、この戦略によって、金融資産の運用戦略と事業の支出計画とを適切に管理できるという点では、ただやみくもに投資をして毎期消費をして行くよりかは、はるかに優れ、非営利組織にとって、このような戦略のもとに投資を行うことは必要であろうと考える次第であ
る。

11.

12.
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機関誌
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リアルオプションと戦略
リアルオプションと戦略

第 10
第 3 号第 3 号
10 巻
第巻＜研究メモ＞

ランダム環境の下でのプロジェクトの価値評価法
名古屋市立大学名誉教授
宮原 孝夫（みやはら よしお） ∗2019 年 4 月 10 日
概要
外部環境の影響を強く受けるようなプロジェクトの価値評価の問題を考えたい。外部環境としては景気変動と災害を対象とする。評価尺度としては、リスクを強く意識するものとし、リスク鋭感的価値尺度を採用する。関連することとして、防災事業の価値およびリアルオプションの価値についても考察する。
キーワード： ランダム環境、災害リスク、複合ポアソン過程、リスク鋭感的価値尺度、防災事業の価値、リアルオプショ
ンの価値いたコメントなどを参考にして加筆し、表題の研究課題

1 はじめにを推進するための構想を述べようとするものである。関
心を持っていただき関連のある研究に参加していただけ

不確実性のある環境下でのプロジェクトの価値評価のれば、まことに幸いです。

問題を考えたい。 その際には、プロジェクトから生じるキャッシュフローのモデル設定とその評価法の指定と2 モデル設定が必要である。プロジェクトの収益をランダムなキャッシュフローキャッシュフローを生み出すプロジェクトとそれを取C = {C0 , C1 , · · · , CT }り巻く外部環境のモデル化は分析対象に応じて設定する(1)必要がある。一般的な構築法は [5] の８章にもあるが、本とし、そのランダム現在価値

RP V (C) =

T
∑

C̃t ,

稿では基本的なモデルとしてプロジェクトの収益がラン

C̃t =

t=0

Ct
(1 + r)t

ダムな環境（景気）及び災害（自然災害など）に強く影響(2)されているような場合のモデルについて議論することとする。実際のプロジェクトに応用する場合には、基本モの価値評価をする。

デルの考え方を応用して必要に応じた変形を加えること評価尺度としてはリスク鋭感的価値尺度（RSVM）][
1
U (α) (RP V (C)) = − log E e−αRP V (C)αで対応できるであろう。

2.1 基本モデル(3)

収益が景気の動向により左右されるようなプロジェクを採用する。 この評価のためには、RP V (C) の分布のトを考える。景気の状態は K 個の段階に区分されている

積率母関数が求まれば良いことに注目しておこう。

ものとし、Markov 過程であるとする。 プロジェクトのさらに、プロジェクトに戦略を導入したときのキャッ(Φ)

各期の収益は正規分布に従うものとし、その平均、分散(Φ)

シュフロー列 C(Φ) = {C0 , C1 , · · · , CT } とプロジェ

は景気の状態に依存しているものとする。景気の変動をクトの価値評価V̄ = sup U (α) (RP V (C(Φ) ))表すマルコフ過程 {Yt } の状態空間を K = {1, 2, · · · , K}とし、遷移確率を(4)

Φ

についても議論する。

p(k, j) = P (Yt = j|Yt−1 = k),

本稿は、JAROS2017、JAROS2018、統計数理研究所
共同研究集会（[6]）等での講演を基に、その際にいただ

k, j ∈ K(5)とする。
収益過程 {Xt } は、{Wt } を Wiener 過程とし ∆Wt =∗ E-mail: yoshio m@zm.commufa.jp

58
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第 10
第 3 号第 3 号
10 巻
第巻

リアルオプションと戦略
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2.3 戦略（リアルオプション）の導入

Wt − Wt−1 と置いてXt = µ(Yt ) + σ(Yt )∆Wt , t = 1, 2, · · · , T.

プロジェクトの推進過程では、プロジェクトの規模を(6)

戦略的に調整できるものとする。可能な規模のクラスを

Λ = {λ1 , λ2 , · · · , λd } とし、戦略 Φ はと定まっているものとする。ここで µ(·) および σ(·) はK 上の関数である。

Φ = (ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕT ),以上のようにして定まるモデルを基本モデルと呼ぶこ

ϕt : K → Λ,

(16)とする。キャッシュフロー列

とにする。

(Φ)

(Φ)

Ĉ(Φ) = {Ĉ0 , Ĉ1 , · · · , ĈT } は

2.2 災害リスクモデル
災害を表現する確率過程 {Ẑt } は {Yt } とも {Wt } と

(Φ)

Ĉt

も独立な複合ポアソン過程とし、∆Ẑt = Ẑt − Ẑt−1 と置で与えられるものとしよう。すなわち、(t − 1)-期の環境

くと{∆Ẑt , t = 1, 2, · · · , T } : i.i.d.,()= ϕt (Yt−1 ) µ(Yt ) + σ(Yt )∆Wt − ∆Ẑt (17)（景気）状態を知って t-期のプロジェクトの規模を決定すcompoundP oisson(7)る。この時、ランダム現在価値はである。この複合ポアソン分布のパラメターを (c, ρ(dx))

RP V (Ĉとする。すなわち、c > 0、ρ(dx) は (0, ∞) 上の確率分

(Φ)

)=

T
∑
t=0

布であり、∆Ẑt の積率母関数は{

ϕt X̂t(1 + r)t

}

(18)

である。

u∆Ẑt

] = exp (c (Mρ (u) − 1))∫ ∞eux ρ(dx)Mρ (u) =M∆Ẑt (u) = E[e(8)Remark 2 災害リスクの無い基本モデルに対しても同様に戦略を導入できる。その場合にはキャッシュフロー列

(9)

0

(Φ)

(Φ)

C(Φ) = {C0 , C1 , · · · , CT } はである。パラメーター c は災害の起こる頻度の強さを示

(Φ)

Ct

し、 ρ(dx) は災害が起こった場合の被害の大きさの分布を示している。

= ϕt (Yt−1 ) (µ(Yt ) + σ(Yt )∆Wt )となり、ランダム現在価値はこの時の収益過程 {X̂t } は次のようになっているもの

とする。

(Φ)

RP V (CX̂t = µ(Yt ) + σ(Yt )∆Wt − ∆Ẑt .

(19)

(10)

}
T {
∑
ϕ t Xt)=(1 + r)t
t=0

(20)

である。

このモデルを 災害リスクモデル と呼ぶことにする。

2.4 モデル設定に関する考察
本稿の主目的は外部環境から受ける巨大リスクへの対

Remark 1
ρ(dx) = δL (dx)

応法を検討することであるので、プロジェクトの内部構

(11)
(P o)

の場合には、intensity c のポアソン過程 Ẑt(P o)Ẑt = LẐt

造には立ち入らないこととする。
外部構造に関しては、考慮すべき事柄は多くあろう。

により

例えば次のようなことがある。

(12)

１．災害リスクモデルにおいて、受ける被害の大きさを
複合ポアソン過程でモデル化しているが、単にポアソンと表され、収益過程 {X̂t } は(P o)X̂t = µ(Yt ) + σ(Yt )∆Wt − L∆Ẑt

過程にして、被害に大きさは災害の起こった回数により表現されると考えることも可能かもしれない。

(13)

２．災害の影響は、直接的な被害だけでなく景気の動向となる。このときMρ (u) = euL ,( ())
M∆Ẑt (u) = exp c euL − 1への影響を通じても起こりうる。上のモデルではその点の考慮がなされていない。

(14)

３．景気変動 Yt はマルコフ過程としてモデル化されて(15)

いるが、時系列モデルを採用した方が現実的であるかもとなっている。

しれない。

59
59

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機関誌
日本リアルオプション学会

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リアルオプションと戦略
リアルオプションと戦略

４．離散時間モデルで考えているが、連続時間モデルとの関係式よりして定式化した方が理論的に統一的に扱える可能性があ

(α)

VT

るかもしれない。

= C̃T ,(α)(α)
Vt = C̃t + Ut

これらについては今後の検討課題としておく。

(

(α)
Vt+1

)

(25)
,

t = T − 1, T − 2, · · · , 1, 0.

(26)を得る。この関係式から再帰的に

3 プロジェクトの評価

(α)

{Vt

プロジェクトの価値をリスク鋭感的価値尺度で評価すt = T − 1, T − 2, · · · , 0}

,

(27)

る。その前提としてリスク鋭感的価値尺度の概要を説明を求めることができ、最終的に V (α) (C) = V0

する。（詳しくは [5] 5,7,8 章を参照せよ。）

まる。

3.1 リスク鋭感的価値尺度

3.3

(α)

Definition 1（リスク鋭感的価値尺度（RSVM）） 次 式 で戦略付きキャッシュフローの評価法

戦略 Φ = {ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕT } を導入した場合のキャッ定まる凹マネタリ価値尺度

U (α) (X) = −(Φ)

α > 0,

(21)

{
(
)}
V̄ (α) = sup U (α) RP V (C(Φ)
Φ
{
( T
)}
∑ (Φ)
(Φ)
(α)
= sup C̃0 + U0C̃tΦ(DRSVM)]1log E[e−αX |Ft ],α

t = 0, 1, · · · , T.

= sup

(22)

Φ

..
.

を動学的リスク鋭感的価値尺度 (DRSVM) と呼ぶ。

3.2 キャッシュフローの評価法
(α)

{Ut

= sup
ϕ1

(X), t = 0, 1, 2, · · · , T } が時間的整合性を持つ

ことより、次の公式が成立する。

( T
∑
(α)

(α)
U0 (RP V (C)) = U0

(α)

= U0

(α)
= U0

(
(

( T
∑
(α)

U1

s=1

(α)
C̃1 + U1

C̃s

))

( T
∑
s=2

C̃s

C̃s

s=1

(α)

Ut

(α)
= Ut

(α)

= Ut
(α)

ここで Vt

T
∑

(

(α)
Ut+1

(Φ)
(α)
C̃0 + U0

{

(Φ)
(α)
C̃0 + U0

{

(
(

( T
∑

(α)
U1

(Φ)
C̃t

t=1

(Φ)

C̃1

))}

{
(
(α)
(Φ)
C̃2
+ sup U1
ϕ2

ϕ3

sup
ϕT −1

{

(α)
UT −2

(

})})}

(Φ)
C̃T −1 + sup
ϕT

{

(α)
UT −1

(

(Φ)
C̃T

)}

)}

(28)

4 基本モデルの評価

(23)

4.1

再帰方程式の導出

簡単のため、r = 0 としておく。この時

C̃s

s=t+1

(

{

···

))

t=1

+ sup · · · +)同様にして次式を得る。

(

(Φ)

れる。

Definition 2 [動 学 的 リ ス ク 鋭 感 的 価 値 尺 度(X) = −

(Φ)

る。時間的整合性と単調性を使い次のような結果が得ら

1
log E[e−αX ],
α

と呼ぶ。

(α)

(Φ)

シュフローを C(Φ) = {C0 , C1 , C2 , . . . , CT } とすを（リスク回避度 α の）リスク鋭感的価値尺度（RSVM）

Ut

が求

(

)

RP V (X) =

T
∑

C̃s

s=t+1
(α)

C̃t+1 + Ut+1(α)

= C̃t + Ut

(∑

(

Xt ,

(29)

Xt = µ(Yt ) + σ(Yt )∆Wt .

(30)

t=0

))
T
∑

T
∑

C̃s

s=t+2

T
s=t+1 C̃s)))となる。従って、

V (α) = U (α) (RP V (X))][
1
= − log E e−αRP V (X)
α
]
[
∑T
1
= − log E e−α t=0 Xtα(24)と置くと、上

60
60

(31)

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機関誌
日本リアルオプション学会[](α)
E e−αVT −1 |FT −2 (x, k)
[
]
(
))
(
(α)
1
log bT −1 (YT −1 )−α XT −1 − α=E e|FT −2 (x, k)[()= E e−α(µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 )](α)×bT −1 (YT −1 )|FT −2 (x, k)[ [()= E E e−α(µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 )]](α)×bT −1 (YT −1 )|FT −2 , YT −1 |FT −2 (x, k)[ [()= E E e−α(µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 )](α)|FT −2 , YT −1 ] bT −1 (YT −1 )|FT −2 (x, k)
[(
)
1 2 2
= E e−αµ(YT −1 )+ 2 α σ (YT −1 )](α)×bT −1 (YT −1 )|FT −2 (x, k)となる。フィルトレーション {Ft , t = 0, 1, · · · , T } を

Ft = σ{Xs , Ys , s ≦ t} により定める。§3.2 の結論より(α)

VT= XT ,(α)(α)
V t = Xt + U t

(

(α)
Vt+1

)

(32)
,

(33)

t = T − 1, T − 2, · · · , 1, 0.
となり、これは次のように計算される。
(α)

(α)

VT (x, k) = VT |(XT =x,YT =k) = x
(α)

(α)

(34)

(α)

VT −1 (x, k) = x + UT −1 (VT )|(XT −1 =x,YT −1 =k)(35)
ここで{µ(k) = µk , σ(k) = σk , k = 1, · · · , K}

=

(36)

K
∑
j=1

と置く。

=

(α)

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リアルオプションと戦略
リアルオプションと戦略

K
∑
j=1

(α)

UT −1 (VT )|(XT −1 =x,YT −1 =k)[]
1= − log E e−αXT |FT −1 (x, k)α][1= − log E e−α(µ(YT )+σ(YT )∆WT ) |FT −1 (x, k)
α



K
∑
1
log E p(k, j)e−α(µj +σj ∆WT ) 
α
j=1


K
[
]
∑
1
= − log p(k, j)E e−α(µj +σj ∆WT ) 
α
j=1


K
∑
1 2 2
1
= − log p(k, j)e−αµj + 2 α σj  .
α
j=1

(
)
1 2 2
(α)
p(k, j) e−αµj + 2 α σj bT −1 (j)(α)

p(k, j)θ(α) (j)bT −1 (j)が求まる。ここで、(α)(α)

bT −1 (k) =

K
∑

(α)

(α)

(37)

となる。これを繰り返して V (α) = V0α(α)
bT −1 (k)

)

Θ(α)
 (α)
θ (1)


0


=
0


..

.

(40)

0

0

θ(α) (2)

0
..
.

0
..
.
···

0

(α)

(α)

(α)

= x + UT −2 (VT −1 )|(XT −2 =x,YT −2 =k)
[
]
(α)
1
= x − log E e−αVT −1 |FT −2 (x, k)
α

が求まる。

計算手順は次のようになる。

となる。次いで、VT −2 (x, k)(46)

4.2 計算手順

(39)

と置いて

(

(45)

VT −2 (x, k)
[
]
(α)
1
= x − log E e−αVT −1 |FT −2 (x, k)
α
(
)
1
(α)
= x − log bT −2 (k)
α

j=1

1
(α)
VT −1 (x, k) = x − log

(α)

と置くと

(38)

p(k, j)θ(α) (j),

(44)

(α)
θT −2 (K)(α)2θ(α) (k) = e−αµk + 2 α σk ,(43)

bT −2 = P θT −2

ここで
2

(α)

θT −2 (j) = θ(α) (j)bT −1 (j),(α)θT −2 (1)


(α)
..

θT −2 = 
.



=−

1

(42)

(α)

bT

(41)





1
 
=  ... 
1

61
61

..

.
0

···
..
.
..
.
..
.
0

0
0
..
.
0
θ(α) (K)











(47)
(48)

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日本リアルオプション学会


p(1, 1) · · · p(1, K)
P =  ...................... ,p(K, 1) · · · p(K, K)(α)
bT −1 (1)


(α)
..
,
bT −1 = 
.



となり、

(49)

(α)

V̄T −1 (x, k)

(
)
(α)
(Φ)
= x + sup UT −1 C̃T(x, k, λl )
l
{
(
)}
1
= x + sup − log b(α) (k, λl )
α
l
( {
})
1
(α)
= x − log inf bT −1 (k, λl )
l
α

(50)

(α)

bT −1 (K)と置く。これを使って、順次
(α)

(α)

(α)

(α)

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リアルオプションと戦略

bT −1 = P Θ(α) bT

(51)
(α)

bT −2 = P Θ(α) bT −1 = (P Θ(α) )2 bT
..
.
(α)
(α)
(α)
bt = P Θ(α) bt+1 = (P Θ(α) )T −t bT
..
.
(α)
(α)
(α)
b0 = P Θ(α) b1 = (P Θ(α) )T bT

(60)

(52)
である。
ここで

(53)

}
{
(α)
(α)
b̄T −1 (k) = inf bT −1 (k, λl )
l

(54)

と計算し

(61)

と置き、inf を与える λl を λ̄(k) とすると、最適戦略 ϕ̄T1(α)
V0 (x, k) = x − log
α

(

(α)
b0 (k))(α)と b̄T −1 (k) は

(55)

を得る。

ϕ̄T (YT −1 ) = λ̄(YT −1 )4.3 戦略の導入(62)

戦略を導入した場合の評価を求める。

4.3.1 再帰方程式

{
}
(α)
(α)
(α)
b̄T −1 (k) = inf bT −1 (k, λl ) = bT −1 (k, λ̄(k)) (63)再帰方程式を導こう。
(α)

(

(Φ)

UT −1 C̃T)l(x, k, ϕT (k) = λl )(α)

となり、最適戦略の下での V̄T −1 (x, k) は[]1
= − log E e−αϕT XT |FT −1 (x, k, λl )α[1
= − log E e−αϕT (YT −1 )(µ(YT )+σ(YT )∆WT )
α
]

(
)
1
(α)
(α)
V̄T −1 (x, k) = x − log b̄T −1 (k)
α
(
)
1
(α)
= x − log bT −1 (k, λ̄(k))α|FT −1 (x, k, λl )


K
∑
1
= − log E p(k, j)e−αλl (µj +σj ∆WT ) 
α
j=1


K
∑
1 2 2 2
1
= − log (56)p(k, j)e−αλl µj + 2 α λl σj α
j=1となっている。
次に、(α)

V̄T −2 (x, k)
{
(
)
}
(α)
(α)
= x + sup UT −2 V̄T −1 (x, k, ϕT −1 (k) = λl )

ここで

1

2

2

2

θ(α) (k, λ) = e−αλµk + 2 α λ σk ,(α)
bT −1 (k, λ) =K∑p(k, j)θ

(α)(j, λ)

(64)

l

(57)

(65)

(58)

j=1

を計算する。

と置くと、

(
)
(α)
(Φ)
UT −1 C̃T
(x, k, ϕT −1 (k) = λl )
(
)
1
(α)
= − log bT −1 (k, λl )
α

(
)
(α)
(α)
UT −2 V̄T −1 (x, YT −2 = k, ϕT −1 (k) = λl )
( [
]
)
(
)
(α)
1
−α V̄T −1= − log E e|FT −2 (x, k)
(66)
α

(59)
62
62

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[

]

)
(
(α)
−α V̄T −1

4.3.2 計算手順

E e
|FT −2 (x, k)
[
(
)
(α)
1
−α λl (µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 )− α
log b̄T −1 (YT −1 )=E e]
|FT −2 (x, k))[(= E e−αλl (µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 )](α)×b̄T −1 (YT −1 )|FT −2 (x, k)[ [()= E E e−αλl (µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 )]](α)×b̄T −1 (YT −1 )|FT −2 , YT −1 |FT −2 (x, k)[ [()= E E e−αλl (µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 )](α)|FT −2 , YT −1 ] b̄T −1 (YT −1 )|FT −2 (x, k)[()
1 2 2 2= E e−αλl µ(YT −1 )+ 2 α λl σ (YT −1 )](α)×b̄T −1 (YT −1 ))|FT −2 (x, k)
=

K
∑
j=1

=

K
∑
j=1

計算手順は次のように整理できる。

Θ(α) (λ)
 (α)θ (1, λ)


0
=

..

.

(α)

p(k, j)θ(α) (j, λl )b̄T −1 (j)(α)θT −2 = 


(α)

(α)

(α)

(α)

bT −2 (λ) = P Θ(α) (λ)b̄T −1 ,
{
}
(α)
(α)
b̄T −2 (k) = inf bT −2 (λl )(k) ,
l
(
)
(α)
(α)
(α)
t
b̄T −2 = b̄T −2 (1), · · · , b̄T −2 (K)
..
.
(α)
(α)
bt (λ) = P Θ(α) (λ)b̄t+1 ,
{
}
(α)
(α)
b̄t (k) = inf bt (λl )(k) ,
l
(
)
(α)
(α)
(α)
t
b̄t = b̄t (1), · · · , b̄t (K)

(α)

(70)

(α)

V̄0

(x, k) = x −

(
)
1
(α)
log b̄0 (k)αRP V (X̂) =
(α)

(77)
(78)
(79)

(80)
(81)
(82)

(83)
(84)

(85)

r = 0 としておく。ランダム現在価値は(α))= x + sup UT −2 V̄T −1 (x, k, ϕT −1 = λl )l(76)

5.1 再帰方程式の導出と置くと、上の結果から

(

(75)

5 災害リスクモデルの評価

(71)

l

{

(α)

b0 (λ) = P Θ(α) (λ)b̄1 ,
{
}
(α)
(α)
b̄0 (k) = inf b0 (λl )(k) ,
l

{
}
(α)
(α)
b̄T −2 (k) = inf bT −2 (k, λl )

(74)

..
.

(69)

(α)
(α)
bT −2 = P θT −2(α)
V̄T −2 (x, k)

(73)

(α)

(68)

θT −2 (1)

..

.

(α)
θT −2 (K)···bT −1 (λ) = P Θ(α) (λ)bT ,
}
{
(α)
(α)
b̄T −1 (k) = inf bT −1 (λl )(k) ,
l
)
(
(α)
(α)
(α)
t
b̄T −1 = b̄T −1 (1), · · · , b̄T −1 (K)

ここで、



θ(α) (2, λ)
..
.


···
0

..

.
0


..

.
0
(α)
0 θ (K, λ)と置き、次のように計算する。

(67)

(α)
(α)
θT −2 (j) = θ(α) (j)b̄T −1 (j)

0

0

)
(
1 2 2 2(α)
p(k, j) e−αλl µj + 2 α λl σj b̄T −1 (j)

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(
)
1
(α)
= x − log b̄T −2 (k) .
α

}

(α)

X̂t ,

(86)

t=0

となる。従って、[]
1log E e−αRP V (X̂)
α
[
]
∑T
1
(87)
= − log E e−α t=0 X̂tα(72)

これを繰り返して、V̄ (α) (x, k) = V̄0T∑

U (α) (RP V (X̂)) = −(x, k) が求まる。

X̂t = µ(Yt ) + σ(Yt )∆Wt − ∆Ẑt

Remark 3 V̄ (α) (x, k) − V (α) (x, k) がリアルオプションの価値ということになる。

である。

63
63

(88)

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5.2 防災事業の価値

フィルトレーション {Ft , t = 0, 1, · · · , T } を Ft =σ{Ws , Ys , Zs , s ≦ t} により定める。§3.2 の結論より(α)= X̂T ,

(α)= X̂t + Ut

V̂T
V̂t

(α)

事業者の立場から見た防災事業の価値は、防災処置を施した後の事業価値（＝災害リスクの無い場合の価値）と

(89)

(

)
(α)
V̂t+1 ,

施す前の事業価値との差である。したがって今の場合、

(90)

(α)

V0

t = T − 1, T − 2, · · · , 1, 0

(x, k) = Tc(Mρ (α) − 1)αが防災事業の価値ということになる。この右辺の形から、(α)(α)
V̂T (x, k) = V̂T |(X̂T =x,YT =k) = x.

(91)

この値は初期状態 (x, k) に寄らないことを注意してお

(α)
(α)
(α)
V̂T −1 (x, k) = x + UT −1 (V̂T )|(X̂T −1 =x,YT −1 =k)

=x−

(α)

(x, k) − V̂0(98)

を計算すればよい。次のように計算される。

[

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リアルオプションと戦略

こう。

]

5.3 戦略の導入

1
log E e−αX̂T |FT −1 (x, k)
α(92)

基本モデルに対して行ったと同様のことを、Xt を X̂tに置きなおして実行する。

5.3.1 再帰方程式[]
E e−αX̂T |FT −1 (x, k)[]= E e−α(µ(YT )+σ(YT )∆WT −∆ẐT ) |FT −1 (x, k)


K
∑
=E
p(k, j)e−α(µj +σj ∆WT −∆ẐT ) 

(
)
(α)
(Φ)
UT −1 C̃T
(x, k, ϕT (k) = λl )[]1
= − log E e−αϕT X̂T |FT −1 (x, k, λl )
α

j=1



K
]
[
∑
=
p(k, j)E e−α(µj +σj ∆WT ) [E e−αϕT (YT −1 )(µ(YT )+σ(YT )∆WT −∆ẐT )]|FT −1 (x, k, λl )


K
[
]
∑
p(k, j)e−αλl (µj +σj ∆WT )  E eαϕT ∆ẐT
=E

j=1

]
[
×E eα∆ẐT



K
∑
1 2 2
=
p(k, j)e−αµj + 2 α σj  ec(Mρ (α)−1) .

(99)

j=1

(93)



K
∑
1 2 2 2=p(k, j)e−αλl µj + 2 α λl σj  ec(Mρ (αλl )−1)(100)

j=1

以上より

j=1

(α)

ここで

V̂T −1 (x, k)


K
∑
1 2 2
1
= x − log p(k, j)e−αµj + 2 α σj 
α
j=1

1

1
− c (Mρ (α) − 1)
α
(
) 1
1
(α)
= x − log bT −1 (k) − c (Mρ (α) − 1) (94)
α
α

となり、

となる。これを繰り返して

(102)

(
)
(α)
(Φ)
UT −1 C̃T
(x, k, ϕT −1 (k) = λl )
(
)
1
(α)
= − log b̂T −1 (k, λl )
α

(103)

¯ (α)
V̂T −1 (x, k)

(
)
(α)
(Φ)
= x + sup UT −1 C̃T(x, k, λl )
l
{
(
)}
1
(α)
= x + sup − log b̂ (k, λl )
α
l
( {
})
1
(α)
.
= x − log inf b̂T −1 (k, λl )lα(α)
V̂0 (x, k) = U (α) (RP V (X̂))(x, k)c
1(α)
log b0 (k) − T (Mρ (α) − 1)
α
α
c
(α)
= V0 (x, k)) − T (Mρ (α) − 1)
α

(101)

と置くと、

(α)

=x−

2

×ec(Mρ (αλl )−1)V̂T −2 (x, k)
(
)
1
c
(α)
= x − log bT −2 (k) − 2 (Mρ (α) − 1) (95)
α
α

)

2

j=1

となる。続いて同様の計算により(

2

θ(α) (k, λ) = e−αλµk + 2 α λ σk ,


K
∑
(α)
p(k, j)θ(α) (j, λ)
b̂T −1 (k, λ) = 

(96)
(97)

となる。

64
64

(104)

日本リアルオプション学会機関誌
機関誌
日本リアルオプション学会)[ [(= E E e−αλl (µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 −∆ẐT −1 )]]¯(α)×b̂T −1 (YT −1 )|FT −2 , YT −1 |FT −2 (x, k)[ [()= E E e−αλl (µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 −∆ẐT −1 )]]¯(α)|FT −2 , YT −1 b̂T −1 (YT −1 )|FT −2 (x, k))[(
1 2 2 2= E e−αλl µ(YT −1 )+ 2 α λl σ (YT −1 ) ec(Mρ (αλl )−1)]¯(α)×b̂T −1 (YT −1 ))|FT −2 (x, k)

である。
ここで

{
}
¯(α)
(α)
b̂T −1 (k) := inf b̂T −1 (k, λl ) ,l

k = 1, 2, · · · , K,
(105)

¯

¯

と置き、inf を与える λl を λ̂(k) とすると、最適戦略 ϕ̂T
は

=

¯
¯
ϕ̂T (k) = λ̂(k),第 10
第 3 号第 3 号
10 巻
第巻

リアルオプションと戦略
リアルオプションと戦略

k = 1, 2, · · · , K,

(106)

K
∑
j=1

)
(
1 2 2 2¯(α)
p(k, j) e−αλl µj + 2 α λl σj ec(Mρ (αλl )−1) b̂T −1 (j)



K
(
)
∑
1 2 2 2¯
(α)
p(k, j) e−αλl µj + 2 α λl σj b̂
(j)
=

であり

T −1

j=1

{

¯(α)
(α)
b̂T −1 (k) = inf b̂T −1 (k, λl )l¯(α)= b̂T −1 (k, λ̂(k)),}×ec(Mρ (αλl )−1)


K
∑
¯(α)
=
p(k, j)θ(α) (j, λl )b̂T −1 (j) ec(Mρ (αλl )−1) (113)

(107)

j=1

(108)

ここで、

¯ (α)

となっている。そして、最適戦略の下での V̂T −1 (x, k) は

¯(α)
(α)
θ̂T −2 (j, λ) = θ(α) (j, λ)b̂T −1 (j, λ),(α)θ̂T −2 (1, λ)


(α)
..

θ̂T −2 (λ) = 
.



(
)
1
¯(α)
¯ (α)
(109)
V̂T −1 (x, k) = x − log b̂T −1 (k)
α
(
)
1
¯
(α)
= x − log b̂T −1 (k, λ̂(k)) , (110)
α

(α)

次に、

(115)

(α)
θ̂T −2 (K, λ)(α)

b̂T −2 (λ) = P θ̂T −2 (λ)
}
{
¯(α)
(α)
b̂T −2 (k) = inf b̂T −2 (k, λl ) ,となっている。

(114)

l

(116)
(117)

と置くと、上の結果から¯ (α)
V̂T −2 (x, k)
{
(
)
}
(α)
¯ (α)
= x + sup UT −2 V̂T −1 (x, k, ϕT −1 (k) = λl )¯ (α)
V̂T −2 (x, k)
}
{
(
)
(α)
¯ (α)
= x + sup UT −2 V̂T −1 (x, k, ϕT −1 = λl )

l

(111)

l

(
)
1
¯(α)
= x − log b̂T −2 (k) .
αを計算する。

(
)
(α)
¯ (α)
UT −2 V̂T −1 (x, YT −2 = k, ϕT −1 (k) = λl )
( [
]
)
¯ (α)
1
= − log E e−αV̂T −1 |FT −2 (x, k)
(112)
α

(118)

これを繰り返して、¯
V̂ (α) (k) = sup U (α) (RP V (C(Φ) )), k = 1, 2, · · · , K
Φ

(119)
]
[
¯ (α)
E e−αV̂T −1 |FT −2 (x, k)[()= E e−αλl (µ(YT −1 )+σ(YT −1 )∆WT −1 −∆ẐT −1 )]¯(α)×b̂T −1 (YT −1 )|FT −2 (x, k)が求まる。

5.3.2 計算手順(α)

計算手順は次のように整理できる。 Θ(α) (λ) 及び bT
は以前と同様とする。

65
65

日本リアルオプション学会機関誌
機関誌
日本リアルオプション学会

(

(α)

(α)

リアルオプションの価値（V̄ (α) (k) − V (α) (k)）は)b̂T −1 (λ) = P Θ(α) (λ)bT ec(Mρ (αλ)−1) , (120)
{
}
¯(α)
(α)
b̂T −1 (k) = inf b̂T −1 (λl )(k) ,
(121)
l
(
)
¯(α)
¯(α)
¯(α)
(122)
b̂T −1 = t b̂T −1 (1), · · · , b̂T −1 (K)
)
(
¯(α)
(α)
b̂T −2 (λ) = P Θ(α) (λ)b̂T −1 ec(Mρ (αλ)−1) , (123)
{
}
¯(α)
(α)
b̂T −2 (k) = inf b̂T −2 (λl )(k) ,
(124)
l
(
)
¯(α)
¯(α)
¯(α)
(125)
b̂T −2 = t b̂T −2 (1), · · · , b̂T −2 (K)·(· · · · ·
)
¯(α)
(α)
b̂t (λ) = P Θ(α) (λ)b̂t+1 ec(Mρ (αλ)−1) (126)
{
}
¯(α)
(α)
b̂t (k) = inf b̂t+1 (λl )(k) ,
(127)
l
(
)
¯(α)
¯(α) t ¯(α)(128)
b̂t = b̂t (1), · · · , b̂t (K)······)(¯(α) c(Mρ (αλ)−1)(α)
eb̂0 (λ) = P Θ(α) (λ)b̂1, (129)
{
}
¯(α)
(α)
b̂0 (k) = inf b̂0 (λl )(k) ,
(130)
l
(
)
1
¯(α)
¯ (α)
(131)
V̂0 (x, k) = x − log b̂0 (k)αkV̄ (α) (k) − V (α) (k)kV (0) (k)V̄ (0) (k)1
17.5738
41.0885kV̄ (0) (k) − V (0 (k)kV̂ (α) (k)¯V̂ (α) (k)c = 0.1(139)

1−46.8984−44.01802−14.2693−6.71093
7.088118.2642

V̄

(132)

(α)

k
(k) − V (α) (k)12.88042
7.55843
11.1761• 戦略を導入しなかった場合の防災事業の価値はk
V (α) (k) − V̂ (α) (k)

(133)

1
51.5485251.5485351.5485• 戦略を導入した場合の防災事業の価値は
1
66.52282
69.09453
69.2381

２． α = 0 としたとき

T = 3,kV̂ (0) (k)¯V̂ (0) (k)(134)(C0 = −I0 = −100),µ = (10, 50, 80), σ = (5, 5, 5)

I0 = 100
0.50 0.45 0.05
P =  0.01 0.80 0.10 
0.05 0.45 0.50

λ3 = 1.2

(135)
(136)

2
37.279162.38361−12.4262
5.08852
16.1775
39.4130339.6275
67.5530¯

リアルオプションの価値（V̂ (0) (k) − V̂ (0) (k)）はkV̄ (0) (k) − V (0) (k)

(137)

1
17.51472
23.23553
27.9055• 戦略を導入しなかった場合の防災事業の価値

(138)

k
V (0) (k) − V̂ (0) (k)１． α = 0.01 としたとき

V (α) (k)V̄ (α) (k)333.9255¯

モデル １（基本モデルの例）

14.650022.50482
29.2355

リアルオプションの価値（V̂ (α) (k) − V̂ (α) (k)）は

6 数値例

k

1
23.5147

１． α = 0.01 としたときk¯V̄ (α) (k) − V̂ (α) (k)λ2 = 1.0,

369.6275
103.5530

ρ(dx) = δL (dx), L = 100,である。

λ1 = 0.8,

246.1775
75.4130

モデル１に次の条件を付加する。

防災事業の価値はK = 3,

3
28.8658

6.2 モデル ２（災害モデルの例）である。

¯
V̄ (α) (x, k) − V̂ (α) (x, k)

2
25.1045

リアルオプションの価値（V̄ (0) (k) − V (0) (k)）はリアルオプションの価値は¯
V̂ (α) (x, k) − V̂ (α) (x, k)

1
17.8548

２． α = 0 としたとき（平均値での評価）

5.3.3 リアルオプションと防災事業の価値

6.1

第 10
第 3 号第 3 号
10 巻
第巻

リアルオプションと戦略
リアルオプションと戦略

1
30

2
30

3
30

• 戦略を導入した場合の防災事業の価値

358.6365
87.5023

V̄
66
66

(0)

k
¯
(k) − V̂ (0) (k)

1
36

2
36

3
36

日本リアルオプション学会機関誌
機関誌
日本リアルオプション学会

リアルオプションと戦略
リアルオプションと戦略

第 10
第 3 号第 3 号
10 巻
第巻

7.3 リスク管理への応用について

7 終わりに: 今後の課題

災害や恐慌等の巨大リスクへの備えとしては、 防災事
業、保険、CAT ボンド、天候デリバティブの利用、事業今後に向けての課題をまとめておく。

7.1 モデル設定について

ポートフォリオの導入、等、種々の対応策が考えられる。
それらの効果の評価を適切に行いその結果を比較検討しプロジェクトの内部構造に基づくモデル化の部分につておくことが必要であろう。

いては対象とするプロジェクトごとに個別に分析することが必要であり、一般論的に議論できることはかぎられこれらについては [5] の ６章及び１０章でも触れていている。[5] の 8 章を参考に、個別に検討して構築するこるが、今後より深い総合的な検討が必要である。[9] も参とが必要である。

考になろう。

外部環境に関する部分のモデル化に関してはいくつか

参考文献の検討すべき課題が存在する。次のようなことがある。

[1] T. Hirose, H. Miyauchi, and T. Misawa (2012),
・災害の影響に関しては、それの起こる頻度とともプロ‘Project Value Assesment of Thermal Power Plant

ジェクトへの直接的被害の大きさの違いも考慮に入れる

Based on RNPV Probit Model Considdering Realこととして複合 Poisson 過程を導入したが、被害の大き

Options,’ J. Real ptions and Strategy, Vol.5, 1-18.
[2] 宮原 孝夫 (2006), 「期待効用理論に 基づくプロ

さは災害の起こる回数の中に組み込まれているとみなす

ジェクトの価値評価法」、Discussion Papers in Eco-

こともできなくは無い。その場合には Poisson 過程モデ

nomics, Nagoya City University, No.446. 1-21.

ルで議論しておけばよいことになる。どちらが適切かは[3] Y. Miyahara (2010), ‘Risk-Sensitive Value Mea-

一概には言えないだろう。
・災害が景気動向に与える影響も考慮に入れるべきであ

sure Method for Projects Evaluation,’Journal of

ろう。どういう形で導入するのがよいかは定かでないが、Real Options and Strategy, Vol.3, No.2, 185-204.

どのような形での導入であっても Yt と Ẑt との独立性は[4] Miyahara, Y. (2014): Evaluation of the Scale Risk,

崩れるので、価値評価は複雑になる。

RIMS Kokyuroku, No.1886, ‘Financial Modeling

・景気動向のモデルをマルコフ過程とすることは適切と

and Analysis (2013/11/20–2013/11/22), pp. 181-は言えないかもしれない。経済時系列モデルを採用する

188.
[5] 宮原 孝夫 (2017)、“《研究ノート》プロジェクトの方が自然であると言えよう。しかしその場合には過去に総合的評価理論『リスク鋭感的価値尺度法』”、日本も依存した形のモデルとなり、価値評価の計算はかなり

リアルオプション学会 研究叢書 第 1 号。（日本リア

複雑化する可能性がある。モデルが複雑になりすぎると

ルオプション学会機関誌「リアルオプションと戦略」

反ってモデル分析がしにくくなることも考えられ、一長

第 9 巻 第 2 号（特別号）2017 年 4 月、pp.1 － 95。
）

一短であろう。

[6] 宮原 孝夫 (2018)、「防災事業の価値評価」、統計数理

・モデル全体を連続時間モデルとして設定し直すことも研究所共同研究リポート「極値理論の工学への応用」

考えられる。確率微分方程式モデルを導入した方が、数

20180720-21（掲載予定）。

理的にすっきりとした形で議論できる可能性もある。

[7] 三輪昌隆、宮原孝夫 (2010)、「設備維持管理計画の価値評価に対する制御マルコフ過程によるリアルオプ

これらの項目についてはすぐに結論を出すことは難し

ションアプローチ」、リアルオプション研究、Vol.3,

いだろうが、今後も折に触れ検討してゆきたい。

No.1, 1-23.

7.2 モデル分析について[8] Y. Miyahara and Y. Tsujii(2011),‘ Applications of

モデルのパフォーマンス分析が必要である。モデルのRisk-Sensitive Value Measure Method to Portfolio

構造を決める要素がいくつもあるが、それらの変化が評

Evaluation Problems,’ Discussion Papers in Eco-

価結果に与える影響についてシミュレーションしてみる

nomics, Nagoya City University, No.542, 1-12.

ことは重要である。その結果はまた、モデル設定の検討[9] 佐々木 宏大 (2019)、「動学的リスク鋭感的価値尺度の際にも重視されるべき参考要因であろう。

を用いた事業ポートフォリオの価値評価法」、名古屋

コンピューターシミュレーションについては、今後順

市立大学経済学研究科２０１８年度修士論文。

次取り組んでゆきたい

67
67

日本リアルオプション学会 機関誌

リアルオプションと戦略

第 10 巻第3号

学会だより
機関紙への原稿募集
日本リアルオプション学会の機関誌「リアルオプションと戦略」は、学会員のための情報誌、コ
ミュニケーションの場として、そして、社会へ向けての価値ある情報発信のメディアたることを目指します。掲載記事の種類を多様化して、紹介、解説、書評、研究メモ、論説、所用、研究サーベ
イ、査読論文のカテゴリーでの投稿を公募いたします（2015 年度からは、年 4 回刊行の季刊）。
査読付き論文（short paper）は査読付きであることを機関誌目次と掲載ページの最初に明記します。査読は、実務上の有用性、提供情報の意義と充実度、論文理解容易度など、論文誌とは、別の視点からの査読がなされます。査読は、1 か月以内に完了します。査読を希望する論文は、その希望を明示してください。御投稿は、案内ページ http://www.realopn.jp/prep_page8.htm からお願いいたします。記事の分量は、規定のフォーマット 10 ページ以内を目安にお願いいたします。
本誌の各号は会員限定の刊行後、3 か月を経過してからインターネット上の電子ジャーナルプラ
ットフォーム「J-STAGE」に登載します。これにより本誌掲載の記事は、Google Scholar などからも検索可能となり、社会に向けて広く情報発信されます。なお、各記事には DOI（Digital Object
Identifier）が登録され、国内外から恒久的にアクセスが保証される公開記事となります。

編集後記

第 10 巻第 3 号は 2018 年 12 月に行われた学会の研究発表大会特集号となります。最近の Hot
Topics である ESG に関する報告やパネル討論、リアルオプション分析ソフトに関するチュートリ
アルセンション講演内容などを掲載しました。またオプション理論とその応用に関する 3 つの寄稿論文をも掲載することができました。
伊藤 晴祥、森平爽一郎

日本リアルオプション学会法人会員リスト

日本リアルオプション学会は以下の法人の方からのサポートを受けています。

株式会社 シーエスデー
株式会社 アーク情報システム
株式会社 構造計画研究所
同志社大学大学院ビジネス研究科
株式会社 サンセイランディック
日本管理センター 株式会社株式会社 翻訳センター
ダイドーグループホールディングス 株式会社株式会社 大和コンピューター株式会社 メディカルシステムネットワーク
ベステラ 株式会社
日東精工 株式会社
日本リアルオプション学会機関誌

リアルオプションと戦略

第10巻 第3号

2019年3月31日 発行(機関誌編集委員会)

委員長： 森平爽一郎
委員 ： 髙森寛、中岡英隆、佐藤清和、伊藤晴祥
発行所

日本リアルオプション学会

THE JAPAN ASSOCIATION OF REAL OPTIONS AND STRATEGY
事務業務担当：〒104-0033
東京都中央区新川2-22-4 新共立ビル2F
電話： 03-3551-9893 FAX: 03-3553-2047

6968

http://realopn.jp