空間描画動作同定に基づく
３次元曲線プ リミティブ入力インタフェース
佐々木 聡佐賀 聡人
室蘭工業大学 情報工学科
２次元オンライン手書き曲線同定法の一つとして，ファジィスプライン曲線同定法(FSCI) が提案されている．FSCI は，手書き曲線の形状に加えて動特性を考慮して７種類の基本曲線プリミティブへ同定する．この FSCI を用いた汎用的手書き曲線入力
インタフェースは，自由度の高い３次元ではさらに有効と考えられる．そこで 本論文
では，FSCI を３次元に拡張し ，３次元仮想空間に描画された手書き曲線を基本プリミティブに同定する 3D-FSCI を提案する．

3D Primitive Curve Input Interface
Based on Drawing Manner Identication
Akira SASAKI and Sato SAGA

Dept.of Computer Science and Systems Engineering,
Muroran Institute of Technology
Fuzzy Spline Curve Identier (FSCI) has been proposed as an online freehandcurve identier in two-dimensional space. FSCI is able to identify seven kinds ofprimitive curves from freehand drawings considering user's drawing manner as wellas the curve shape. It is expected that general-purpose freehand curve input interface based on FSCI is very e ective in three-dimensional space. This paper illustrates a method to extend the original FSCI into three-dimensional space andproposes 3D-FSCI which identies primitive curves from freehand curves drawn inthree-dimensional virtual space.

1Complex

はじめに近年のコンピュータ処理能力の進歩で，３次元モデリングに基づいた画像を目にする機会が増えている．最近は VRML 対応を謳う一般ユーザ向けの安価な３次元モデラも登場している．これら家庭用を含め，多くのモデラは平面上の操作で３次元の作業を行うため，自分の操作と仮想空間中の動作の直感的な理解が難しく，作業効率を落とす原因となる．
また，通常は直方体や円柱などの基本プリミティブをメニューより選択・配置するが，プリミティブ選択のために対象図形から 視線をそら す必要があり，モデリング作業の中断が起こる．さらに基本プリミティブ形状の加工を前提としてモデリングを行うので，予めシステムに用意されているプリミティブ形状の種類によって作成する立体形状も制限を受ける．
ところで，モデリング作業の環境改善を目的として，仮想現実感技術を利用して効率向上を図る「仮想物体モデラ」が研究されている 1]．仮想物体モ
デラは，コンピュータが提供する仮想空間内で現実に近い感覚で作業を行うことができるため，モデ リング操作と作業内容の直感的な把握が容易になることが期待できる．しかしプリミティブ選択によるモデリング作業の中断や基本プリミティブ形状の種類による制限の問題は解消されない．
さて２次元図形の作成に目をむけてみると，やはりメニューからのプ リミティブ選択・配置を必要とするツールが多く，３次元モデラと同様，作業の中断や形状の制限が存在する．ここで，例えばオンラインで手書き図形同定が可能ならば ，メニュー選択することなしに図形作成が行え，タブレットなど と組み合わせることで紙面に描くようにして図形入力が可能と思われる．大抵の CAD システムやド ローイングソフトは，線分や方形，自由曲線など 種々のプリミティブ図形を備えている．しかし 方形は線分の組合わせで表せることなど を考慮すると，プリミティブとして最低限「線分」「円」「円弧」
「楕円」
「楕円弧」
「 開自由曲線」「 閉自由曲線」の７種類を備えることで，一般的な形状は作成できることがわかる．
従って，汎用的な手書き曲線入力インタフェースを実現するには，これら７曲線すべてを同定可能であることが必要条件と考えられる．しかし７曲線の間には，円は円弧に含まれ円弧は楕円弧に含まれるといった図 1 のような包含関係が存在するため，形状のみを手がかりに同定を行うと，図右上の複雑な曲線に同定されやすくなる．よって，単に形状に着目するだけでなく，他の情報，例えば描画運動の動的特性にも着目する必要がある．

OpenLine Circular Arc Elliptic Arc Free Open Curve
(CA)
(FO)
(L)
(EA)

ClosedCircle(C)

Ellipse(E)

Free Closed Curve(FC)

SimpleLinear CircularEllipticFree Curve

図 1: 同定曲線の包含関係

以上のような汎用的手書き曲線入力インタフェー
スに必要な条件を満たす曲線同定手法とし て，ファジィスプライン曲線同定法（ Fuzzy Spline Curve
Identier, FSCI ）が提案されている 2{5]．FSCI では，ファジィ化したスプライン曲線 ─ ファジィス
プライン曲線を利用することで，手書き曲線の形状と描画動作の動特性を同時に表現することを可能にしている．また，同定結果は瞬時に得られ，オンライン曲線同定に充分な処理速度を実現している．文献 5] では，メニュー操作を必要としないので対象図形から注意をそらすことなく入力・修正を行えること，利用者の同定傾向の理解が早く習熟が容易であることが報告されている．
仮想物体モデラの場合も，メニュー選択による作業の中断やプリミティブの利用からくる制限を解消するには，直接的な手書き図形入力を行うのが効果的と考えられる．特に３次元は２次元よりも自由度が高いため，空間中にデッサンするかのように立体形状を作成できる手書き図形入力は，より効果を発揮すると想像される．例えば，手書き図形入力の実現は，利用者のイメージした通りの大きさ・形状の図形を，回転や移動など の補助的な手順を踏むことなく，望みの位置に配置することを可能にする．
そこで我々は，従来の FSCI を３次元に拡張し ，仮想空間中の汎用的な手書き図形入力の基礎となる３次元 FSCI（ 3D-FSCI ）を提案する．そして，この3D-FSCI による３次元曲線プリミティブ の手書き入力インタフェースを用い，直接的な空間描画動作によるワイヤフレームモデル作成を目指す．本論文
では，空間中に描画した手書き曲線が，3D-FSCI を利用して曲線プリミティブに同定可能であることを確認する．将来はこのワイヤフレ ームモデラの発展として，複数の曲線を組み合わせたサーフェイスモ
デルや立体プリミティブの手書き入力を想定しており，例えば 仮想物体モデ ラと組み合わせることで，互いの特徴を活かしたより簡便な３次元立体入力インタフェースの実現が期待できる 5]．

2

FSCI による曲線同定の概要

FSCI では，入力された手書き曲線を，描画動作の曖昧さと入力曲線の形状を同時に表すことが可能なファジィスプライン曲線（図 2 ）とし て表現する．
ファジィスプライン曲線とは，通常のスプライン曲

図 2: ２次元ファジ ィスプライン曲線
線の制御多角形をファジィ点で構成することで得られる，ファジィ化したスプライン曲線である．ここで２次元ファジィ点は，図 3 のように終点に円錐型メンバシップ 関数を持つ位置ベクトルと定義する．
~ は，a を円錐底円の中心の位置ベク
ファジ ィ点 ay1a~raa03x

図 3: ２次元ファジ ィ点モデル

トル，ra を円錐底円の半径として式 (1) のように表記する．

a~ = ha rai(1)

ファジィスプライン曲線は，区間数 L，次数 n，フ~ i = di  rdi (i = 0 1 : : : L +ァジィ制御多角形を dn 1) とし たとき，式 (2) のように計算できる．

h;s~n(u) =L+n;1
Xi=0*L+Xn;1i=0i

d~ i Nin(u)! L+Xn;1di Nin (u) i=0FSCI の同定処理は以下の通りである．まず，適当な時間間隔で手書き曲線をサンプリングする．次に，得られた点列をファジィスプライン曲線で補間し ，書き手が「 線分」「 円弧」「 楕円弧」を描いたと想定した仮説ファジィ曲線を，補間した曲線からいくつかの代表点を選択して作成する．仮説として立てた３曲線の確かさを，ファジィ測度の一種である可能性値で評価する．また，描画開始点と終了点が一致している程度を，同じく可能性値を用いて「 閉曲線性」とし て評価する．最後に，仮説曲線の確かさと閉曲線性を考慮し，図 1 の包含関係にある７種の曲線のうち，できるだけ単純な曲線を選択しようとするファジィ推論を実行して認識を行う．
このような FSCI の認識処理により，曖昧な描画を行うと線分や円など の単純な曲線に，一方丁寧な描画を行うと自由曲線など 複雑な曲線に同定する特性を有するため，利用者は描画動作を変化させることで希望の同定曲線を入力することが可能となる．

!+

rdi Nin (u)３次元 FSCI の提案

仮想空間中の手書き曲線プリミティブ同定実現のための要素技術として，汎用的な空間手書き入力
法 3D-FSCI を提案する．
２次元の FSCI はファジィスプライン補間法を基に構成されているため，その３次元化にあたっては，基本的に以下の２点の３次元化を考えればよいことになる．

1. ３次元ファジィ点の定義
2. 仮説曲線の作成法
3.1

３次元ファジ ィ点の定義

３次元ファジィ点は，２次元ファジィ点の自然な拡張として，終点に超円錐型メンバシップ関数を持つ位置ベクトルと定義する（図 4 ）．超円錐型メンバy(2)すなわち，位置ベクトル要素と半径要素を独立にスプライン補間することと等価になる．図 2 では，円錐型メンバシップ関数の底円を円で，円錐頂点を結んだものを曲線で表現してあり，ファジィスプライン曲線は時間の経過と共に移動するファジィ点の軌跡と見ることができる．ファジィスプライン曲線の形状の広がりの幅は，書き手の意図した曲線がとりうる可能性のある範囲を示しており，あいまいな描画が行われたところは可能性が大きくなるので範囲は広がり，丁寧な描画では範囲は狭くなる．

arax0z

図 4: ３次元ファジ ィ点モデル

シップ 関数とは，図 5 に示すように中心のグレード値が１で，中心からの距離に反比例してグレード 値が低くなる球状のメンバシップ関数である．本稿では，超円錐型メンバシップ 関数の底面を球で表している．このように定義することで，３次元ファジィ

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r04

図 5: 超円錐型メンバシップ関数
点も２次元ファジィ点と同様，a を超円錐型メンバ
シップ 関数頂点の３次元位置ベクトル，超円錐底円の半径を ra とし て式 (1) と記述できる．
従って，３次元ファジィスプライン曲線もベクトルの次元が高くなるのみで２次元と同様の式 (2)となることが容易に理解できる．３次元ファジィス
プライン曲線は，例えば 図 6 のようになる．

図 6: ３次元ファジ ィスプライン曲線

3.2

代表ファジィ点を求め，それらのメンバシップ関数の頂点で定まる平面上に手書き曲線を垂直射影し ，射影した曲線上から残りの補助点を選出することとする（ 図 7（ a ）,（ b ））．

仮説曲線の作成法

FSCI の曲線同定の過程で作成する仮説曲線は３種とも平面曲線であるが，一般に空間中に描かれた手書き曲線が任意の平面上にあるとは考えに くく，何らかの手段で仮説曲線を構成する平面を決定する必要がある．

実験

3D-FSCI を利用し，空間中に描かれた手書き曲線が曲線プリミティブに同定可能かを確認するための実験を行った．描画曲線を入力するデバイスとして３次元超音波マウスを用い，描画空間の表示は液晶シャッター眼鏡による立体視を利用した（図 8 ）．

図 8: 実験装置概略

3D-FSCI を初めて利用する者を被験者とし ，７種の曲線を１セットとし て 40 セット描いたときの，第３候補までの各曲線クラス毎と全曲線を総合した平均認識率をそれぞれ図 9 に示す．図中で，L は線分，C は円，CA は円弧，E は楕円，EA は楕円弧，
FC は閉自由曲線，FO は開自由曲線，ALL は全曲線総合を表している．図 9 から，認識率は未だ不十分ではあるが，空間の曲線描画においても７曲線それぞれを描きわけて同定させることが，基本的に可能であると確かめられた．
1st Candidate

2nd Candidate

3rd Candidate

CAFO(a) ３代表ファジ ィ点を選出@@I@ 補助点

Recognition Rates

100%
80%
60%
40%
20%0%



EEAFC

ALLCurve Class代表ファジィ点

図 9: 初心者の平均認識率(b) 平面上に射影した曲線から補助点を選出
図 7: 楕円弧仮説曲線の構成

3D-FSCI に熟練した人に同様の実験を行った結果，第１候補で 90%，第３候補まででほぼ 100% の

例えば楕円弧仮説曲線では，３点のファジィ代表点と１点の補助点が必要となる．そこで，まず３認識率が得られた．従って，慣れることによって充分な認識率が得られることが確認できる．

5

今後の課題

3D-FSCI を用い，空間中に描かれた手書き曲線の同定実験を行った結果，空間描画においても７曲線をそれぞれ描きわけて同定させることが基本的に可能であることを確かめた．さらに，熟練することで認識率が向上することも確認した．
今回の液晶シャッター眼鏡による立体視では，ディスプレ イと眼鏡の間の空間で描画を行うために，表示されている曲線やポ インタが手で隠される状況が生じる．今後は，ヘッド・マウンテッド・ディスプレ
イによる没入型環境のもと，明確にポインタや描画図形が把握できる状態で同定実験を行う予定である．
参考文献

1] 清川清, 竹村治男, 片山喜章, 岩佐英彦, 横矢直和: 両手操作を用いた仮想物体モデラ VLEGO, 電子情報通信学会論文誌, Vol. J80-A, No. 9, pp. 1517{1526 (1997).
2] Saga, S. and Makino, H.: Fuzzy Spline Interporation and Its Application to On-Line Free-handCurve Identication, Proc.2nd IEEE Int.Conf.on
Fuzzy Systems , pp. 1183{1190 (1993).
3] 佐賀聡人, 牧野宏美, 佐々木淳一: 手書き曲線モデルの一構成法|ファジースプライン補間法|, 電子情報通信学会論文誌, Vol. J77-D-II, No. 8, pp. 1610{1619(1994).
4] 佐賀聡人, 牧野宏美, 佐々木淳一: ファジ ースプライン
曲線同定法, 電子情報通信学会論文誌, Vol. J77-D-II,
No. 8, pp. 1620{1629 (1994).
5] 佐賀聡人, 佐々木淳一: ファジ ィスプライン曲線同定法を用いた手書き CAD 図形入力イン タフェースの試作, 情報処理学会論文誌, Vol. 36, No. 2, pp. 338{350(1995).