形の科学会誌 第 33 巻 第 1 号 (2018)

目

次

【論文】
面積保存二次元写像における横断性と主軸性
山口 喜博 ·····································································

1【交流】
色々な情報から予想するジュラ紀アンモナイト Pseudoneuqueniceras yokoyamaiの全体像
白井 総真 ·······································································

25【シンポジウム】
第 84 回 形の科学シンポジウム 「ビッグデータとかたち」
討論記録 ·························································································

32【会告など】
会告····································································································

38

原稿募集 ····························································································

45

論文

形の科学会誌 第 33 巻 第 1 号

面積保存二次元写像における横断性と主軸性
山口喜博
帝京平成大学 〒290-0193 千葉県市原市うるいど南 4-1(連絡先:〒290-0073 千葉県市原市国分寺台中央 2-4-14)
chaosfractal@iCloud.com

Transversality and the dominant axis property in the area
preserving two-dimensional map
Yoshihiro Yamaguchi
Teikyo Heisei University(2018 年 3 月 12 日 受付, 2018 年 6 月 10 日 受理)

Abstract: The transversality is an effective concept to characterize the intersection of thestable and unstable manifolds in the dynamical system. The existence of the transverse
intersection implies a chaotic motion in the system. On the other hand, the dominant axis
property was introduced to judge whether the invariant curve constructed by quasi -periodic
orbits exists or not. In order to discuss the relation of these concepts, a new two-dimensional
C 1 map 𝑻 is introduced. The situation of the non-transverse intersection appears in 𝑻. The
map 𝑻𝑯 including in a Hénon family is also used. Comparing the properties of 𝑻 and 𝑻𝑯,
new knowledge is obtained. First, we give a method to determine the critical value at which
the situation of non-transverse intersection appears. Using this method, the critical values
for 𝑻 are calculated. Next, the hyperbolic region constructed by the stable and unstabl emanifolds of the saddle fixed point is defined. Using the properties of hyperbolic region, thestability of the symmetric periodic orbits in the vicinity of the primary homoclinic point isdetermined. Finally, the relation of the transversality and the dominant axis property is
discussed.

Keywords: Two-dimensional map, Primary homoclinic point, Transversality, Hyperbolic
region, Dominant axis property–1–1. はじめに本論文で議論する横断性と主軸性は力学系における基本概念である. これらは系に存在する軌道に大きな影響を与える. 安定多様体と不安定多様体の横断性はカオスの存在と直接関係している. 一方の主軸性は準周期運動が存在する不変曲線の崩壊を理解するために導入された概念である. 横断性と主軸性は導入経緯が異なるため, これらは独立に議論されてきた. 安定多様体と不安定多様体の交差点であるホモクリニック交差点の近傍に存在する周期軌道の性質を理解しようとすると主軸性の概念がどうしても必要となる. また主軸性の原因を調べるためには横断性が必要となる. つまり二つの概念は独立ではなく, 何かしらの関係があると思われる. これより面積保存二次元写像を導入し, 写像の基本的性
質を紹介する. 写像の性質をもとに横断性と主軸性について詳しく説明し, 本論文の目的を紹介する.
本論文では二つの写像𝑇と𝑇𝐻 を利用する. 最初に写像𝑇を紹介する.
𝑇 : 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛+1 .

(1)

写像関数𝑓(𝑥)の定義を与える.
𝑓(𝑥) = {𝑎(𝑥 − 𝑥 2 ) , 𝑥 ≤ 1,−𝑎(𝑥 − 1) , 𝑥 ≥ 1.

(2)

ここで, 𝑎はパラメータで𝑎 ≥ 0. 𝑥 = 1で, 𝑓(𝑥)は連続でかつ一階微分も連続である. C1級関数𝑓(𝑥)を利用する写像𝑇が, 本論文で初めて導入した写像である.
写像関数𝑓(𝑥)を𝑓(𝑥) = 𝑓𝐻 (𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥 2 ) (𝑎 ≥ 0)(3)に置き換えた写像を𝑇𝐻 とする.
𝑇𝐻 : 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓𝐻 (𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛+1 .

(4)

写像𝑇𝐻 は解析的写像でエノン写像族に含まれる[1].
先に進む前に周期軌道の安定性について説明しておく. 線形解析を行った結果得られた固有値を𝜆± とする. これらが複素数の場合, 周期軌道は楕円型周期軌道と呼ばれ安定である. 本論文では𝜆± = 1, −1の場合も楕円型に含める. 固有値が0 < 𝜆− < 1 < 𝜆+ を満たす場合,
周期軌道はサドル型周期軌道と呼ばれ不安定である . また, 固有値が𝜆− < −1 < 𝜆+ < 0を満たす場合, 周期軌道は反転を伴うサドル型周期軌道と呼ばれ不安定である. 以下では, 楕
円型, サドル型, 反転を伴うサドル型と書く. パラメータの変化で周期軌道の型が変化する現象を分岐現象という.
𝑎 > 0において不動点𝑃 = (0,0)はサドル型で不安定である. 次に不動点𝑄 = (1,0)について説明す る. 𝑄は, 0 < 𝑎 < 4では楕 円 型で安 定であ る . 𝑎 = 4で周 期倍分 岐を起 こし , 𝑎 > 4で反 転 を 伴 う サ ド ル 型 不 動 点 と な る . こ れ ら の 性 質 は 二 つ の 写 像 で 成 り 立 つ . 写 像 𝑇で は ,𝑎 = 5.682068でスメールの馬蹄が生じる. 写像𝑇における馬蹄の存在に関する議論は付録 A–2–

にある . 写 像 𝑇𝐻 でスメー ルの馬 蹄が生 じる 臨界 値は 𝑎 = 5.176605である[1,2]. スメ ールの馬蹄が生じる臨界値におけるサドル型不動点 𝑃の安定多様体𝑊𝑠 (𝑃)と不安定多様体𝑊𝑢 (𝑃)を図１に描いた . これら と対称線 𝑆𝑔 との交差点を 𝑢とし, 対称線 𝑆ℎ との交差 点を𝑣とする. こ
れらは主ホモクリニック交差点と呼ばれる. 以下ではホモクリニック点と簡単に書く.

図 1：サドル型不動点 𝑃の安定多様体を 𝑊𝑠 (𝑃)と表し, 不安定多様体を 𝑊𝑢 (𝑃)と表す. これらと対称線𝑆𝑔 との交差点を 𝑢とし, 対称線𝑆ℎ との交差点を 𝑣とする. (a) 写像𝑇におけるスメールの馬蹄の完成. 𝑎 = 5.682068. (b) 写像𝑇𝐻 におけるスメールの馬蹄の完成 . 𝑎 = 5.176605. 両図の灰色閉領域は基本領域.

本論文で議論する横断性と主軸性について述べる. 図１に描いたサドル型不動点𝑃の安定多様体𝑊𝑠 (𝑃)と不安定多様体𝑊𝑢 (𝑃)を見よう. ホモクリニック点𝑢と𝑣で𝑊𝑠 (𝑃)と𝑊𝑢 (𝑃)は横断的に交差している. 横断的とは, 交差している二つの多様体の交差角度が有限であることを意味している. このような性質は横断性と呼ばれる. 数値計算で得られたグラフを見ると, 横断性は自明のように見える . しかし, 写像𝑇において𝑎の値によっては交差角度がゼロである交差が生じる. このような交差を非横断的交差と言う. 非横断的交差が生じた
ら, どのような影響がホモクリニック点近傍に存在する周期軌道に生じるのだろうか . 横断的交差から非横断的交差を経て別の横断的交差に変化したとき, 系の性質はどのように変わるのだろうか. これらの疑問に答えることが本論文の目的のひとつである.
次に主軸性について述べる. パラメータ𝑎を０から大きくする. 楕円型不動点𝑄の近傍におけ る軌 道 点の 回 転に つい て説 明 する . 回転 の方 向は 時 計回 り であ る . パ ラメ ータ 𝑎を 増加するにつれて回転の仕方が速くなる. この回転の仕方の指標として, 既約分数である回
転数𝑝/𝑞を導入する. ここで𝑞は周期. 周期軌道が 1 周期の間に𝑄の周りを回転する回数が𝑝である. 回転 数 𝑝/𝑞は一回 の写像で 𝑄の周り を回 転 する平均 の割合 であ る . 回転数𝑝/𝑞は平均角度2𝜋 × 𝑝/𝑞だけ𝑄の周りを回転することを意味する. パラメータ𝑎が–3–

𝑎𝑐 (𝑝/𝑞) = 4sin2 (𝜋𝑝/𝑞) (0 < 𝑝/𝑞 ≤ 1/2)(5)を満たすと, 対称線上に軌道点をもつ回転数𝑝/𝑞の周期軌道が𝑄より二つ生じる. 0 < 𝑝/𝑞 <1/2の場合, この分岐を回転分岐と呼ぶ. 𝑝/𝑞 = 1/2の場合が周期倍分岐である.
問題になるのは主軸と呼ばれる対称線 𝑦 = −𝑓(𝑥)/2 (𝑦 > 0)上と𝑦 = −𝑓𝐻 (𝑥)/2 (𝑦 > 0)上に,
回転分岐で生じた周期軌道の性質である. 周期軌道が生じた直後の安定性は 楕円型で,
パラ メ ー タを 増 大す る と反 転 を 伴う サ ドル 型 にな る . この 性 質 は主 軸性 と 呼 ばれ て いる .
主軸性は写像𝑇𝐻 では成立する[1]. 本論文では, 写像𝑇で主軸性が成立するかどうかも検討する. 主軸性が成立する写像では周期軌道の性質が制限されているため , 系の性質を理解しやすい.
ここで写像𝑇を導入した 経緯を簡単に述べてお こう . 横断性と主軸性 が共に成り立つ写
像である写像𝑇𝐻 では, 横断性と主軸性の関係を調べることができない. これらの関係を調べるためには, 横断性が成立しない写像とか主軸性が成立しない写像を調べる必要がある.
そのために写像関数𝑓(𝑥)を二次関数から変更する必要がある . 二次関数を折れ線にした写像 は ロ ジ 写 像 と 呼 ば れ る [3,4]. 折 れ 点 の 存 在 の た め に 二 次 関 数 の 場 合 と 比 較 し て よ り 複
雑な現象が生じる. ロジ写像の折れ点の近傍を二次関数にして滑らかな関数にすることも考えられて いる[5]. こ のような写 像では , 少 なくとも関 数の形状 を 決めるパラ メータと ,分岐パラメータが必要となる. そのため分岐現象の解析が煩雑になる. 写像関数の変更の仕方 に よ って は 別の 問 題が 発 生 し , こ こ で議 論し た い 問題 が 埋れ て しま う 危 険性 が ある .
この危険性を避けるために本論では性質 1 をもった写像𝑇を導入したのである.
性質 1. 写像𝑇は(1)から(4)を満たす.
(1) パラメータは 1 個で𝑎 (≥ 0)とする.
(2) 写像関数はC1級.
(3) 𝑎 ≥ 𝑎𝑐SH で, スメールの馬蹄が存在する.
(4) 安定多様体と不安定多様体の交差の仕方で非横断的交差が生じる.
性質１(1)より, パラメータ𝑎のみで系の性質を制御できる. (2)によって線形解析を利用できる. (3)より, 写像𝑇と𝑇𝐻 に同じ周期軌道と同じホモクリニック軌道が存在することがわかる. しかし, 周期軌道の生じ方またはホモクリニック軌道の生じ方が異なる可能性がある. これらの相違を比較検討するさいに, (4)の性質は重要である.
§2 では本論文で使用する概念と記号を導入する. §3 では, 最初に安定多様体と不安定多様体の非横断的交差が生じる臨界値を決める方法を提示する . 次に, 双曲領域を導入し横断的交差点の近傍にある周期軌道点の安定性を決定する. §4 では, 最初に主軸性について紹介する. 次に安定多様体と不安定多様体の横断的交差性と主軸性との関係を議論する.
§5 で得られた結果をまとめ, 今後の課題についても述べる.

–4–

2. 準備2.1. 対合, 対称線と対称周期軌道
写像𝑇を対合𝑔とℎを用いて𝑇 = ℎ ∘ 𝑔と分解する. 記号∘は分離記号. det𝛻ℎ = det𝛻𝑔 = −1が成り立つ.
𝑦−𝑦 − 𝑓(𝑥)𝑔( ) = (
),
𝑥
𝑥
−𝑦
𝑦
ℎ ( ) = (𝑥 − 𝑦).
𝑥

(6)
(7)

対合の不動点の集合は対称線と呼ばれる. これらを次に示す.
𝑆𝑔 : 𝑦 = −𝑓(𝑥)/2, 𝑆ℎ : 𝑦 = 0.

(8)

写像 𝑇と 𝑇𝐻 におい て同 じ記 号 𝑆𝑔 と𝑆ℎ を利 用す る. 上 記 の対 称線 の表 現で 関数 𝑓(𝑥)を𝑓𝐻 (𝑥)に置き換えた対称線が, 写像𝑇𝐻 における𝑆𝑔 である. 対称線𝑆ℎ の表現は写像𝑇と𝑇𝐻 において同じである.
今後の議論のためにそれぞれの対称線を楕円型不動点 𝑄を境目として二つに分ける.
𝑆𝑔+ : 𝑦 = −𝑓(𝑥)/2 (𝑥 > 1), 𝑆𝑔− : 𝑦 = −𝑓(𝑥)/2 (𝑥 < 1),(9)

𝑆ℎ+ : 𝑦 = 0 (𝑥 > 1), 𝑆𝑔− : 𝑦 = 0 (𝑥 < 1).

(10)対称線𝑆𝑔+上の点𝑧 = (𝑥, 𝑦) (𝑥 > 1)で, 𝑦 = 𝐺(𝑥)と書ける曲線が交差しているとする. 点𝑧におけ る こ の曲 線 の 傾き を 𝜉(𝑧) = 𝑑𝐺(𝑥)/𝑑𝑥と書 く. 𝜉(𝑥)と書 く べ き であ る が , これ で は 意 味
がわかりにくい ので 𝜉(𝑧)を用いる. この 曲線に 𝑔を作用した曲線を 𝑦 = 𝐺𝑔 (𝑥)とし, 点𝑧における傾きを𝜉𝑔 (𝑧) = 𝑑𝐺𝑔 (𝑥)/𝑑𝑥と書く. 対合𝑔の表現より
𝑑𝑓(𝑥)
(11)
=𝑎
𝑑𝑥
が得られる. 点𝑧における二つの曲線の傾きが等しくなるのは, 𝜉(𝑧) = 𝜉𝑔 (𝑧) = 𝑎/2の場合と,𝜉(𝑧) + 𝜉𝑔 (𝑧) = −

二つの傾きがともに発散する場合である. 因みに𝑎/2は𝑆𝑔+の傾きである.
次に 𝑦 = 𝐻(𝑥)と 書 ける 曲 線が , 対称 線 𝑆ℎ+ と 点 𝑤 = (𝑥, 0) ∈ 𝑆ℎ+ で交 差し て いる と す る . 点𝑤に お け る こ の 曲 線 の 傾 き を 𝜂(𝑤) = 𝑑𝐻(𝑥)/𝑑𝑥と 書 く . こ の 曲 線 に ℎを 作 用 し た 曲 線 を 𝑦 =𝐻ℎ (𝑥)とし, 点𝑤における傾きを𝜂ℎ (𝑤) = 𝑑𝐻ℎ (𝑥)/𝑑𝑥と書く. 対合ℎの表現より
𝜂ℎ (𝑤) =𝜂(𝑤)𝜂(𝑤) − 1(12)が得られる. 点𝑤における二つの曲線の傾きが等しくなるのは, 𝜂(𝑧) = 𝜂ℎ (𝑤) = 0の場合と,𝜂(𝑧) = 𝜂ℎ (𝑤) = 2の場合がある. 因みに傾き 0 は対称線𝑆ℎ の傾きである.
次に対称周期軌道を定義する.
定義 2. 対称線上に軌道点を二つ持つ周期軌道を対称周期軌道という.
本論文で議論する対称周期軌道は , 楕円型不動点𝑄から回転分岐と周期倍分岐で生じた–5–周期軌 道の みで ある . ここで 回転 分岐 が生 じ る臨界 値を 与え る式 (5)の導出 を簡 単に 述べておく. 𝑄の周りで線形解析を行うと, 線形化行列𝑀が下記のように得られる.
1 −𝑎
𝑀=(
).
1 1−𝑎

(13)

0 < 𝑎 < 4では, 二つの固有値𝜆± は複素数となる.
(2 − 𝑎) ± 𝑖√4𝑎 − 𝑎2
(14)
= exp(2𝜋𝑖𝑝/𝑞).
2
回転数𝑝/𝑞を与えると 臨界値𝑎𝑐 (𝑝/𝑞)が決まる. 式(14)を𝑎について解いた結果が式(5)で
𝜆± =

ある.
ここで回転分岐で生じた二つの対称周期軌道を𝑝/𝑞-BE と𝑝/𝑞-BS と書く. B はバーコフの
順序保存性を意味している. E は楕円型（反転を伴うサドル型も含む）を表し, S はサドル型を意味する. ここで𝑝/𝑞-BE と𝑝/𝑞-BS に関する性質を性質 3 としてまとめておく[1].
性質 3. 初期点を𝑧0とし, 軌道点を𝑧𝑘 = 𝑇 𝑘 𝑧0とする.
[1] 𝑝/𝑞-BE は下記のように三種類に分類される.
(1) 奇数周期で回転回数が奇数. 𝑧0 ∈ 𝑆ℎ− , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔+. 𝑞 = 2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1).
(2) 奇数周期で回転回数が偶数. 𝑧0 ∈ 𝑆ℎ+ , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔+. 𝑞 = 2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1).
(3) 偶数周期で回転回数が奇数. 𝑧0 ∈ 𝑆𝑔− , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔+. 𝑞 = 2𝑘 (𝑘 ≥ 1).
[2] 𝑝/𝑞-BS は下記のように三種類に分類される.
(1) 奇数周期で回転回数が奇数. 𝑧0 ∈ 𝑆ℎ+ , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔−. 𝑞 = 2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1).
(2) 奇数周期で回転回数が偶数. 𝑧0 ∈ 𝑆ℎ− , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔−. 𝑞 = 2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1).
(3) 偶数周期で回転回数が奇数. 𝑧0 ∈ 𝑆ℎ− , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆ℎ+. 𝑞 = 2𝑘 (𝑘 ≥ 1).
写像𝑇ではパラメータ𝑎の値によっては 𝑝/𝑞-BE がサドル型になることもある. この場合,
名称の E (Elliptic) と性質が一致しない. このような不一致が生じても対称線𝑆𝑔+に軌道点を持つ周期軌道が𝑝/𝑞-BE であるとしてこの名称を使用する. 𝑝/𝑞-BS についても同様である.

2.2. 安定多様体と不安定多様体の配置と対称線との関係
対 称線 𝑆ℎ 上 に あ る軌 道 点 𝑧0 が サド ル 型 ま たは 反 転 を 伴う サ ド ル 型と し よ う . 写像 𝑇 −𝑞 を
次のように分解する.
𝑇 −𝑞 = 𝑇 −𝑞+1 𝑇 −1 = 𝑇 −𝑞+1 𝑔 ∘ ℎ.

(15)

ここで𝑇 −1 = 𝑔 ∘ ℎを利用した. 対合ℎに関する対称線は𝑆ℎ である. もう一つの対合𝑇 −𝑞+1 𝑔に関する対称線を 𝑆 𝑇−𝑞+1 𝑔 と書く. 周期の偶奇性で𝑆 𝑇−𝑞+1 𝑔 は以下のように決まる.
𝑆 𝑇 −𝑞+1 𝑔 = 𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 (𝑞 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ≥ 1),(16)

𝑆 𝑇 −𝑞+1 𝑔 = 𝑇 −𝑘 𝑆ℎ (𝑞 = 2𝑘, 𝑘 ≥ 1).

(17)

ここで式(16)を示す. 𝑇 −2𝑘 𝑔(𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 ) = 𝑇 −2𝑘 𝑇 𝑘 (𝑔𝑆𝑔 ) = 𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 . 式(17)も同様に示せる.

–6–

図 2：細い矢印は対合による点の動きを示している . (a) サンドウィッチ型. 周期軌道点𝑧0 はサ
ドル型. (b) 4 区画分離型 . 周期軌道点𝑧0 は反転を伴うサドル型.

軌 道 点 𝑧0 の 安 定 多 様 体 𝑊𝑠 (𝑧0 )と 不 安 定 多 様 体 𝑊𝑢 (𝑧0 )の 配 置 を 図 ２ (a)の よ う に 仮 定 す る .
この場合, 対称線𝑆ℎ と𝑆 𝑇 −𝑞+1 𝑔 が𝑊𝑠 (𝑧0 )と𝑊𝑢 (𝑧0 )に挟まれた領域にある. よって, このような対称線の配置をサンド ウィッチ型と呼ぶ. 不 安定多様体 𝑊𝑢 (𝑧0 )上の点𝑠は図２(a)に描いた
よう に 対 合で 写 され る . 二 つ の点 𝑠と 𝑇 −𝑞 𝑠は 𝑊𝑢 (𝑧0 )の 同じ 枝に あ る こと よ り , 軌 道点 𝑧0 は
通常のサドル型軌道点であることが導かれる.
安定多様体𝑊𝑠 (𝑧0 )と不安定多様体𝑊𝑢 (𝑧0 )で区切られた四つの領域のひとつに 対称線𝑆ℎ ま
たは𝑆 𝑇 −𝑞+1 𝑔 がひとつ入っている場合を考えよう. このような対称線の配置を４区画分離型と呼ぶ (図２(b)). 不安定多様体𝑊𝑢 (𝑧0 )上の点𝑠は図２(b)に描いたように対合で写される.
点𝑠と𝑇 −𝑞 𝑠は 𝑊𝑢 (𝑧0 )の別の枝にあ る ことより , 軌道点 𝑧0 は反 転を伴うサドル型 軌道 点で あることがわかる.
対称線𝑆𝑔 上にある軌道点𝑧0 がサドル型または反転を伴うサドル型である場合, 𝑇 𝑞 を𝑇 𝑞 =𝑇 𝑞−1 𝑇 = 𝑇 𝑞−1 ℎ ∘ 𝑔と分解 する . 上 記と同 様の方 法で サドル 型ま たは反 転を 伴うサ ドル 型であるかを判定できる. 詳細は省く. 得られた結果を性質 4 としてまとめておく.
性質４. 対称線と対 称 線の像の 交差 点を 𝑧とし, 不安定 である とする . 軌道点 𝑧の安定多様 体 と 不 安 定 多 様体 を 𝑊𝑠 (𝑧)と 𝑊𝑢 (𝑧)と 書 く. 対 称 線 と 対 称 線 の 像 な ら びに 𝑊𝑠 (𝑧)と 𝑊𝑢 (𝑧)の配置が, サンドウィッチ型ならば軌道点𝑧はサドル型であり, 4 区画分離型ならば軌道点𝑧は反転を伴うサドル型である.

2.3. 安定多様体と不安定多様体の交差の仕方の変化
図 3(a)と(b)を用いて不安定多様体𝑊𝑢 (𝑃)の形状を説明する. 不安定多様体と𝑥 = 1との交差点を𝑡とし, 𝑡の像を𝑇𝑡と𝑇𝐻 𝑡とする. ここで 𝑥 = 1の写像𝑇または𝑇𝐻 による像は 𝑦 = 𝑥 − 1である. 点𝑇𝑡と𝑇𝐻 𝑡は 𝑦 = 𝑥 − 1上にあることに注意しよう.

–7–図 3：𝑎 = 2.1. (a) 写像𝑇における不安定多様体 𝑊𝑢 (𝑃)と対称線𝑆𝑔+ との交差. (b) 写像𝑇𝐻 における不安定多様体 𝑊𝑢 (𝑃)と対称線𝑆𝑔+ との交差. 交差点𝑢と𝑣はホモクリニック点.

図 4：𝑎 = 2.6. (a) 写像𝑇における不安定多様体 𝑊𝑢 (𝑃)と対称線𝑆𝑔+ との交差. (b) 写像𝑇𝐻 における不安定多様体 𝑊𝑢 (𝑃)と対称線𝑆𝑔+ との交差.

図 5：(a) ホモクリニック点𝑢における非横断的交差. 𝑎 = 𝑎𝑐 (𝑢) = 2.396330. ホモクリニック点𝑣
での交差は横断的交差. (b) ホモクリニック点 𝑣における非横断的交差. 𝑎 = 𝑎𝑐 (𝑣) = 2.517965 >
𝑎𝑐 (𝑢). ホモクリニック点 𝑢での交差は横断的交差.

–8–不安定多様体の弧[𝑃, 𝑡]𝑊𝑢 (𝑃) は写像関数𝑓(𝑥)の二次関数部分で決まる. この部分は写像関数 𝑓𝐻 (𝑥)と も 共 通 で あ る . よ っ て 弧 [𝑃, 𝑡]𝑊𝑢 (𝑃) の 像 で あ る 弧 [𝑃, 𝑇𝑡]𝑊𝑢 (𝑃) と , 弧 [𝑃, 𝑇𝐻 𝑡]𝑊𝑢 (𝑃) は同じ形状である. 図 3(a)において対称線𝑆𝑔+ と弧[𝑃, 𝑇𝑡]𝑊𝑢 (𝑃) の交差点𝑢では, 不安定多様体の傾き 𝜉𝑢 (𝑢)が 対 称 線 の 傾 き 𝑎/2よ り 大 き い . つ ま り 𝜉𝑢 (𝑢) > 𝑎/2 > 𝜉𝑠 (𝑢)が 成 り 立 つ . こ こ で 式(11)を利用した. 図 3(b)において対称線𝑆𝑔+と弧[𝑃, 𝑇𝐻 𝑡]𝑊𝑢 (𝑃) の交差点𝑢では, 不安定多様体の傾 き 𝜉𝑢 (𝑢)が 対 称 線 の 傾 き 𝜉𝑔 = −(𝑎/2)(1 − 2𝑥𝑢 )よ り 小 さ い ( 𝑥𝑢 は 𝑢の 𝑥 座 標 ). 𝜉𝑢 (𝑢) < 𝜉𝑔 <𝜉𝑠 (𝑢)が成り立つ.
図 4(a)において𝜉𝑢 (𝑢) < 𝑎/2 < 𝜉𝑠 (𝑢)が成り立つ. 図 4(b)において𝜉𝑢 (𝑢) < 𝜉𝑔 < 𝜉𝑠 (𝑢)が成り立つ. 写像𝑇𝐻 においては安定多様体の傾きと不安定多様体の傾きの大小関係は変化しない.
しかし, 写像𝑇においては安定多様体の傾きと不安定多様体の傾きの大小関係は変化する .
実際, 𝑎の値が 2.4 あたりで安定多様体の傾きと不安定多様体の傾きがともに発散する . この状況では 安定 多様体 と不安定多様体 の交差 は非横断的であ る . こ のパラメータ区 間において, 写像𝑇で非横断的交差が現れる原因は対称線𝑆𝑔+の形状にあることがわかる.

図 6：タイプ 1 交差とタイプ 2 交差の定義. I-𝑢と II-𝑢における点線は傾きが発散した状況を表し, I-𝑣と II-𝑣における点線は傾き 2 の直線を表す.

写 像 𝑇に お け る ホ モ ク リ ニ ッ ク 点 𝑢に お け る 交 差 の 仕 方 の 変 化 を ま と め る . 𝑎 < 𝑎𝑐 (𝑢) =2.396330に お け る , ホ モ ク リ ニ ッ ク 点 𝑢で の 交 差 の 仕 方 は 𝜉𝑢 (𝑢) > 𝑎/2 > 𝜉𝑠 (𝑢)を 満 た す . この状況を II-𝑢と名付ける. 𝑎 = 𝑎𝑐 (𝑢)で安定多様体と不安定多様体の 𝑢における傾きは共に
発 散 す る . つ ま り 非 横 断 的 交 差 の 状 況 で あ る ( 図 ５ (a)). 𝑎 > 𝑎𝑐 (𝑢)で の 交 差 の 仕 方 は
𝜉𝑢 (𝑢) < 𝑎/2 < 𝜉𝑠 (𝑢)を満たす. この状況を I-𝑢と名付ける.
次 にホ モ ク リ ニッ ク 点 𝑣で の交 差 の 仕 方の 変 化 を 説明 す る . 𝑎 < 𝑎𝑐 (𝑣) = 2.517965に おける交差の 仕方は 𝜉𝑢 (𝑣) > 2 > 𝜉𝑠 (𝑣)を満た す. この 状況 を II-𝑣と名 付ける.つまり 𝑎 = 𝑎𝑐 (𝑣)では 𝜉𝑢 (𝑣) = 𝜉𝑠 (𝑣) = 2を 満 た す 非 横 断 的 交 差 の 状 況 が 出 現 す る ( 図 5(b)). 𝑎 > 𝑎𝑐 (𝑣)で は–9–𝜉𝑢 (𝑣) < 2 < 𝜉𝑠 (𝑣)を満たす横断的交差の状況が出現する. この状況を I-𝑣と名付ける.
写像𝑇における交差のタイプと交差の入れ替わり区間の定義を与える.
定義 5.
(1) ホモクリニック点𝑢での 交差が I-𝑢で, ホモクリニック点𝑣での交差が I-𝑣である場
合, タイプ 1 交差と定義する (図 6(a)).
(2) ホモクリニック点𝑢での 交差が II-𝑢で, ホモクリニック点𝑣での交差が II-𝑣である場
合, タイプ 2 交差と定義する (図 6(b)).
(3) パラメータ区間[𝑎𝑐 (𝑢), 𝑎𝑐 (𝑣)]を交差の入れ替わり区間とする.
最後に, スメールの馬蹄の存在とタイプ 1 交差の関係を命題 6 として与える. 命題 6 の証明は付録 A におけるスメールの馬蹄の存在証明と補足を見て欲しい.
命題 6. タイプ 1 交差は, スメールの馬蹄が現れるための必要条件である.

3. 横断的交差と非横断的交差
3.1. 非横断的交差
サドル型不動点の安定多様体と不安定多様体が横断的に交差すると系の中にカオス軌
道が存在することを最初に発見したのはポアンカレである[6]. 二次元写像の場合, 横断的
交差 をも と に系 の 中に 高次 のス メ ール の 馬蹄 (𝑘(≥ 2) 回 写 像で 構成 さ れる 馬蹄 ) が 存 在することを示せばよい[7]. 横断的交差はカオス軌道の存在と密着している. これについてはよく知られているので詳細は省く. 歴史的経緯は参考文献[8]を参考にして欲しい.
横断的交差の場合, 様 々な摂動に対して系は 安定である . 横断的交 差の場合 , この安定性をもとに 有用な定理がいくつも証明されている[9]. ところが非横断的交差の場合 , 摂動のため非横断的交差は 横断的交差に変化してしまう. このような不安定性のために 非
横断的交差点の近傍の性質は十分に解明されていない. 安定多様体と不安定多様体の二次関数的接触の前に生じる現象はニューハウス現象[10]として知られている. 非横断的交差には , 交 差点 で 安 定多 様体 と 不 安定 多 様体 の 傾き が 等 しく 三 階微 分 が異 な る 場合 が ある .
この三次関数的交差については参考文献[11]を見られたい. 以上のことを踏まえここで議論する問題を二つ提示する.
問題 7.
(1) 安定多様体𝑊𝑠 (𝑃)と不安定多様体𝑊𝑢 (𝑃)のグラフを描いて判断する方法では, 非横断的交差が生じる臨界値の正確な値を得ることができない. 非横断的交差が生じる臨界値𝑎𝑐 (𝑢)と𝑎𝑐 (𝑣)をどのように決めればよいのか.
(2) 非横断的交差の場合, ホモクリニック点に集積している𝑝/𝑞-BE と𝑝/𝑞-BS の安定性が問題となる. 非横断的交差点にサドル型周期軌道点が集積しているのか , 反転を伴うサドル型周期軌道点が集積しているのか決めよ .

– 10 –

これらの問題を解決するために, 安定多様体𝑊𝑠 (𝑃)と不安定多様体𝑊𝑢 (𝑃)のグラフを描いて 得 られ た 非 横 断 的 交 差 の 臨界 値 の あ た り で , ホ モ ク リ ニ ッ ク 点 𝑢 の 近 傍 にあ る 1/𝑞-BEの安定性を調べる. またホモクリニック点 𝑣 の近傍にある1/𝑞-BS についても同様にこれ
らの安定性を調べる. 結果として二つの問題に関する答えが得られる.
ここでサドル型周期軌道点が楕円型周期軌道点に分岐する場合について説明する. この過程で, 母サドル型周期軌道点から二つの娘サドル周期軌道点が生じる . これらの周期は母サドル型周期軌道の周期と同じであることより, この分岐過程は反同周期分岐と呼ばれる. 因みに, 楕円型周期軌道点がサドル型周期軌道点に分岐する過程が, 同周期分岐である. この分岐では二つの楕円型周期軌道点が生じる. 楕円型周期軌道点が反転を伴うサドル型周期軌道点に分岐する現象は周期倍分岐と呼ばれる. この過程で生じる娘楕円型周期
aeq

軌道の周期が二倍になるからである. 反同周期分岐の臨界値を 𝑎𝑐 (1/𝑞)と, 周期倍分岐のpd

臨界値を𝑎𝑐 (1/𝑞)と書く. これらの結果をもとに非横断的交差の臨界値 𝑎𝑐 (𝑢)を以下のように定義する.
aeqpd

𝑎𝑐 (𝑢) = lim 𝑎𝑐 (𝑝/𝑞) = lim 𝑎𝑐 (𝑝/𝑞).
𝑝/𝑞→0

𝑝/𝑞→0

(18)

図 7：写像𝑇における 1/7-BE と 1/7-BS の分岐過程の模式図 (𝑎 ≥ 𝑎𝑐 (1/7) = 0.7530). 括弧の中の数値は分岐が生じる臨界値 . 反転を伴うサドル型は反転サドル型と略した .

ここで図 7 を利用して写像𝑇における 1/7-BE と 1/7-BS の分岐を説明する. 𝑎 = 𝑎𝑐 (1/7) =4sin2 (𝜋/7) = 0.753020で 1/7-BE と 1/7-BS が生じる. 1/7-BE は𝑆ℎ−上と𝑆𝑔+ 上に軌道点をもち,
1/7-BS は𝑆ℎ+ 上と𝑆𝑔−上に軌道点をもつ. 1/7-BE が生じた直後は楕円型である. しかし, サド
ル型になり再度楕円型に戻る. 最終的に反転を伴うサドル型になる.
本論文では𝑎 = 2.4あたりで生じるホモクリニック点 𝑢での非横断的交差について検討する. 1/13-BE と 1/15-BE より求めた値を示す.
aeq

pd

aeq

pd

𝑎𝑐 (1/13) = 2.39633053, 𝑎𝑐 (1/13) = 2.39633240,
𝑎𝑐 (1/15) = 2.39633040, 𝑎𝑐 (1/15) = 2.39633051.
これらより, 𝑎𝑐 (𝑢) = 2.396330と決める (図 7 の左の点線).

– 11 –

非横断的交差の臨界値𝑎𝑐 (𝑢)では, ホモクリニック点𝑢にはサドル型周期軌道の𝑝/𝑞-BE が集積している. 𝑝/𝑞-BE の固有値は(+1)に漸近している. 𝑎が𝑎𝑐 (𝑢)を越すと, ホモクリニッ
ク点𝑢の近傍にある𝑝/𝑞-BE から順に反転を伴うサドル型周期軌道に変化していく.
次に, 非横断的交差の臨界値 𝑎𝑐 (𝑣)について議論する. ここでは𝑆ℎ+ 上にある1/𝑞-BS の軌
道点を利用する. 臨界値𝑎𝑐 (𝑣)の前後では, 1/𝑞-BS は反転を伴うサドル型周期軌道から楕
円型周期軌道へ分岐し, 次にサドル型周期軌道に分岐する. 反転を伴うサドル型周期軌道
apdから楕円型周期軌道への分岐は反周期倍分岐である. 臨界値を𝑎𝑐 (1/𝑞)とする. 楕円型周eq

期軌 道か ら サド ル型 周 期軌 道へ の 分岐 は同 周 期分 岐で あ る . 臨 界値 を 𝑎𝑐 (1/𝑞)とする . 非
横断的交差の臨界値𝑎𝑐 (𝑣)を以下のように定義する.
apd

eq

𝑎𝑐 (𝑣) = lim 𝑎𝑐 (𝑝/𝑞) = lim 𝑎𝑐 (𝑝/𝑞).
𝑝/𝑞→0

𝑝/𝑞→0

(19)

1/7-BS が生じた直後はサドル型であるがパラメータの増大に伴い楕円型になり反転を伴うサドル型になる (図７). 次に反転を伴うサドル型から楕円型へ, 最後にサドル型になる. ま た, 楕 円型 か らサ ドル 型 に戻 る途 中 でホ モク リ ニッ ク点 𝑣で は非 横断 的 交差 が生 じている. 以下の結果より臨界値を𝑎𝑐 (𝑣) = 2.517965と決める (図 7 の右の点線).
apd

eq

𝑎𝑝𝑑

(1/15) = 2.51796546, 𝑎𝑐 (1/15) = 2.51796556.

𝑎𝑐 (1/13) = 2.51796384, 𝑎𝑐 (1/13) = 2.51796567,
𝑎𝑐𝑒𝑞

ここで周期軌道の分岐に関する注意を述べておく. パラメータを増加した場合, 反転を伴うサドル型からサドル型に変化する途中に必ず楕円型になる. サドル型から反転を伴うサドル型に変化する場合も, 途中に必ず楕円型になる. ロジ写像のように写像関数に折れ点がある場合, 有限周期軌道において反転を伴うサドル型からサドル型に突然変化する[12]. しかし , 写像関 数 に折れ点がな い場合 , 有限周期軌道 において 反転を伴うサ ドル型(サドル型) からサドル型 (反転を伴うサドル型) に突然変化することはない. ところが,周期が無限大の 極限で は 楕円型のパラ メータ 区間幅が無限小 になり , 反転を伴うサド ル
型からサドル型に突然変化する現象が生じる. サドル型から反転を伴うサドル型に変化する場合も同様である. これらを性質 8 としてまとめる.
性質 8. ホモクリニック点𝑢に集積している𝑝/𝑞-BE と, ホモクリニック点𝑣に集積している𝑝/𝑞-BS を考える. 周期が無限大の極限では, 非横断的交差が生じる前後でサドル型周期軌道から反転を伴うサドル型周期軌道に突然変化する. また逆の突然の変化も起きる.

3.2. 双曲領域の導入
タイプ 1 交差の場合において双曲領域の導入するために , 安定多様体の弧𝛾𝑠 と不安定多様体の弧𝛾𝑢 を定義する. これらの孤については図 8(a)と図 9(a)を参考にして欲しい. 関係
𝛾𝑠 = 𝑔𝛾𝑢 が成立する.

– 12 –

𝛾𝑠 = [𝑢, 𝑣]𝑊𝑠(𝑃) , 𝛾𝑢 = [𝑇 −1 𝑣, 𝑢]𝑊𝑢 (𝑃) .

(20)(1) 双曲領域の導入 1. タイプ 1 交差の状況で双曲領域の導入を行う. 双曲領域のグラフを描くために, 𝑎の値を𝑎𝑐 (𝑣)より大きな値である𝑎 = 4とする. 弧𝛾𝑢 を未来に二回写像した𝑇 2 𝛾𝑠 は 1/3-BE の軌道点𝑧0に近くにある (図 8(a)). 更に一回写像すると𝑇 3 𝛾𝑢 は𝑆𝑔+ と交差
する. その結果, 𝑇 4 𝛾𝑢 も𝑆𝑔+ と交差する. 𝑔𝑇 3 𝛾𝑢 = 𝑇 −3 𝑔𝛾𝑢 = 𝑇 −3 𝛾𝑠 と𝑔𝑇 4 𝛾𝑢 = 𝑇 −4 𝛾𝑠 の関係より,
𝑇 3 𝛾𝑢 , 𝑇 4 𝛾𝑢 , 𝑇 −3 𝛾𝑠 と 𝑇 −4 𝛾𝑠 の四 つの 弧 で囲 ま れた 閉領 域 (図 ８(b)の 灰色 閉領 域) が 構成 できる. この閉領域を双曲領域と名付け 𝑍1/3と書く. 双曲領域𝑍1/3 は軌道点𝑧1 を含む. 1/3-BEが生じる臨界値は𝑎𝑐 (1/3) = 3である. パラメータ𝑎を 3 より𝑎を大きくすると必ず双曲領域
𝑍1/3 が生じる. ここでは回転数を決めてその双曲領域が存在するようにパラメータ 𝑎を増加させた.

図 8：双曲領域の導入 1. (a) 𝑎 = 4における安定多様体 𝑊𝑠 (𝑃)と不安定多様体 𝑊𝑢 (𝑃). ホモクリニ
ック点𝑢と𝑣における交差はタイプ 1 交差. (b) 双曲領域𝑍1/3 (灰色閉領域) の構成. 周期軌道点𝑧1 の周りの拡大図.

次に𝑎を任意の値に固定した場合を考える. 周期𝑞を大きくすると1/𝑞-BE の軌道点はホ
モ ク リ ニ ッ ク 点 𝑢に 近 づ き 双 曲 領 域 𝑍1/𝑞 を 必 ず 定 義 で き る よ う に な る. こ れ は 写 像 回 数を増やすと𝛾𝑢 の未来への像はのびて点 𝑢に漸近し, 𝛾𝑠 の過去への像ものびて点 𝑢に漸近するからである. 𝑍1/𝑞 が定義できる臨界値を𝑎𝑐hr (1/𝑞)としよう. 下記の関係が成立する.
𝑎𝑐hr (1/𝑞′) < 𝑎𝑐hr (1/𝑞) (𝑞′ > 𝑞).

(21)

これは 双曲領域𝑍1/3 が存在しているならば, 𝑍1/4 , 𝑍1/5等が存在していることを意味している. ここで𝑞𝑚 を双曲領域を定義できる最小の周期とする .
𝑍𝑢 (𝑞𝑚 ) = ⋃ 𝑍1/𝑞 .
𝑞≥𝑞𝑚– 13 –(22)

領域𝑍𝑢 (𝑞𝑚 )はホモクリニック点𝑢の近傍のカオス層 (Stochastic layer) [13]の厚みを与えている. よって, 𝑍𝑢 (𝑞𝑚 )をカオス層の定義とすることを提案する.
図９(a)の灰色閉領域が双曲領域 𝑍1/𝑞 の模式図である. 双曲領域𝑍1/𝑞 の四つの頂点の名称
を𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷と時計回りにつける (図９(b)). 周期は𝑞 = 2𝑘 (𝑘 ≥ 1), または𝑞 = 2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1)である. 構成の仕方から𝐵 = 𝑔𝐷である. また𝑍1/𝑞 = 𝑔𝑍1/𝑞 である.

図 9：双曲領域の導入 1. (a) 双曲領域𝑍1/𝑞 (灰色閉領域) の構成の模式図. (b) 双曲領域𝑍1/𝑞 (灰色閉領域), 像𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 と 逆像𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 の関係の模式図. 点𝑧𝑘 は反転を伴うサドル型軌道点 .

次に, 像𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 と逆像𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 を調べる. 双曲領域𝑍1/𝑞 の中には周期𝑞の軌道点があるから,像𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 と𝑍1/𝑞 は必ず共通領域を持つ. 逆像𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 と𝑍1/𝑞 についても同様である. 未来への像は双曲領域を構成している不安定多様体の方向にのび, 過去への像は安定多様体の方向にのびることを利用する. また, 𝑇 𝑞 (𝑇 −𝑞 𝛾𝑠 ) = 𝛾𝑠 と𝑇 𝑞 (𝑇 −𝑞−1 𝛾𝑠 ) = 𝑇 −1 𝛾𝑠 を利用すると像𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞が得られる.
像𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 の四つの頂点の名称を 𝐴𝑞 , 𝐵𝑞 , 𝐶𝑞 , 𝐷𝑞 とする. 方向保存写像であるから𝐴𝑞 , 𝐵𝑞 , 𝐶𝑞 , 𝐷𝑞の並びの順は時計回りである. 逆像𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 の頂点を𝐴−𝑞 , 𝐵−𝑞 , 𝐶−𝑞 , 𝐷−𝑞 とする. これらも時計
回り に並 んで い る. こ こで 𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 = 𝑔𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 が成 り立 つ. 像 𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 と 𝑍1/𝑞 を比 べる と, 𝑧𝑘 の近傍の点は約 180 度回転していることがわかる. また像𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 と𝑍1/𝑞 を比べても同様のこと が わ か る . 結 果 と し て , 軌 道 点 𝑧𝑘 が 反 転 を 伴 う サ ド ル 型 軌 道 点 で あ る こ と が 示 さ れ た .
図９(b)における 𝑊𝑢 (𝑧𝑘 )と𝑊𝑠 (𝑧𝑘 )は, 軌道点𝑧𝑘 の不安定多様体 と安定多様体である. 以上をまとめると, 任意の𝑎においてホモクリニック点 𝑢の近傍に存在する1/𝑞-BE の軌道点は反転を伴うサドル点である.
(2) 双曲領域の導入 2. タイプ 1 交差の状況で, 対称線𝑆ℎ+上の1/𝑞-BS の安定性を調べる.
図10(a)では, 1/3-BS の軌道点, 𝑊𝑢 (𝑃)と𝑊𝑠 (𝑃)を描いた (𝑎 = 5). ホモクリニック点𝑣の近くに1/3-BS の軌道点𝑧1がある. この点の周りの拡大図が図 10(b)である.

– 14 –

図 10：双曲領域の導入 2. (a) タイプ 1 交差. 𝑎 = 5. (b) 双曲領域𝒵1/3 (灰色閉領域) の構成.

軌道点𝑧1 は𝑇 3 𝛾𝑢 , 𝑇 4 𝛾𝑢 , 𝑇 −2 𝛾𝑠 と𝑇 −3 𝛾𝑠 の四つの弧で囲まれている. この閉領域を双曲領域
𝒵1/3 と定義する. ここで ℎ𝑇 3 𝛾𝑢 = 𝑇 −3 ℎ𝑔(𝑔𝛾𝑢 ) = 𝑇 −2 𝛾𝑠 が成り立つ. ℎ𝒵1/3 = 𝒵1/3 より, 双曲領
域𝒵1/3はℎに関して不変である. 図 11 (a)は双曲領域𝒵1/𝑞 (𝑞 = 2𝑘, 2𝑘 + 1, 𝑘 ≥ 1)の定義である.
図 11 (b)では, 未来への像𝑇 𝑞 𝒵1/𝑞 と過去への像𝑇 −𝑞 𝒵1/𝑞 を描いた. 双曲領域𝒵1/3の四つの頂点
を 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 と し , こ れ ら の 未 来 へ の 像 を 𝐴𝑞 , 𝐵𝑞 , 𝐶𝑞 , 𝐷𝑞 と す る . ま た 過 去 へ の 像 を
𝐴−𝑞 , 𝐵−𝑞 , 𝐶−𝑞 , 𝐷−𝑞 とする. 𝑇 𝑞 𝒵1/𝑞 と𝒵1/𝑞 を比較すると, 軌道点𝑧0 の周りで回転が生じていない
ことがわかる. 過去への像𝑇 −𝑞 𝒵1/𝑞 と𝒵1/𝑞 を比較しても同様のことがわかる. これより軌道
点𝑧0はサドル型周期軌道点であることが示された. 任意の𝑎においてホモクリニック点 𝑣の近傍に存在する1/𝑞-BS の軌道点はサドル型周期軌道点である.

図 11：双曲領域の導入 2. (a) 双曲領域𝒵1/𝑞 (灰色閉領域) の構成の模式図. (b) 双曲領域𝒵1/𝑞(灰色閉領域), 像𝑇 𝑞 𝒵1/𝑞 と逆像𝑇 −𝑞 𝒵1/𝑞 の関係の模式図. 点𝑧𝑘 はサドル型軌道点.

– 15 –

タイプ 2 交差の場合において双曲領域の導入するために, 二つの弧𝛾𝑠 と𝛾𝑢 を定義しなおす (図 12(a)と(b)を見よ). この場合も関係𝛾𝑠 = 𝑔𝛾𝑢 が成立する.
𝛾𝑠 = [𝑇 −1 𝑣, 𝑢]𝑊𝑠(𝑃) , 𝛾𝑢 = [𝑢, 𝑣]𝑊𝑢 (𝑃) .

(23)(3) 双曲領域の導入 3. タイプ 2 交差の状況で, 対称線𝑆𝑔+上の1/7-BE の安定性を調べる.
図12 (a)では, 1/7-BE の軌道点, 𝑊𝑢 (𝑃)と𝑊𝑠 (𝑃)を描いた (𝑎 = 2.3). ホモクリニック点𝑢の近くに1/7-BS の軌道点𝑧3がある. 点𝑧3の周りを拡大した模式図が図 12(b)である. 軌道点𝑧3は𝑇 6 𝛾𝑢 , 𝑇 7 𝛾𝑢 , 𝑇 −6 𝛾𝑠 と𝑇 −7 𝛾𝑠 の四つの 弧で囲 ま れている . この 閉領域 を双曲領 域 𝑍1/7 と定義す
る. 図 13(a)は双曲領域𝑍1/𝑞 (𝑞 = 2𝑘, 2𝑘 + 1, 𝑘 ≥ 1)の定義である. 図 13(b)では, 未来への像
𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 と過去への像𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 を描いた. 双曲領域𝑍1/𝑞 の四つの頂点を𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷とし, これらの未来への像を𝐴𝑞 , 𝐵𝑞 , 𝐶𝑞 , 𝐷𝑞 とする. これら比較すると軌道点𝑧1 の周りで回転が生じていない
こ と が わ かる . こ れ よ り 軌 道 点 𝑧𝑘 はサ ド ル 型 周 期 軌 道 点 であ る こ と が 示 さ れ た . 任意 の 𝑎
においてホモクリニック点𝑢の近傍に存在する1/𝑞-BE の軌道点はサドル型周期軌道点である.

図 12：双曲領域の導入 3. (a) タイプ 2 交差. 𝑎 = 2.3. (b) 双曲領域𝑍1/7 (灰色閉領域) の模式図.

– 16 –

図 13：双曲領域の導入 3. (a) 双曲領域 𝑍1/𝑞 (灰色閉領域) の構成の模式図. (b) 双曲領域𝑍1/𝑞(灰色閉領域), 像𝑇 𝑞 𝑍1/𝑞 と 逆像𝑇 −𝑞 𝑍1/𝑞 の関係の模式図. 点𝑧𝑘 はサドル型軌道点.

(4) 双曲領域の導入 4. タイプ 2 交差の状況で, 対称線𝑆ℎ+上の1/6-BS の安定性を調べる.
図 14(a)では, 1/6-BS の軌道点, 𝑊𝑢 (𝑃)と𝑊𝑠 (𝑃)を描いた (𝑎 = 2.3). ホモクリニック点𝑣の近く に 1/6-BS の 軌 道 点 𝑧3 が あ る . 点 𝑧3 の 周 り の 模 式 図 が 図 14 (b)で あ る . 軌 道 点 𝑧3 は 𝑇 6 𝛾𝑢 ,𝑇 7 𝛾𝑢 , 𝑇 −5 𝛾𝑠 と 𝑇 −6 𝛾𝑠 の四つの弧で囲ま れている. この閉領域 を双曲領域 𝒵1/6 と定義する . 図
15 (a)は双曲領域𝒵1/𝑞 (𝑞 = 2𝑘, 2𝑘 + 1, 𝑘 ≥ 1)の定義である. 図 15(b)では, 未来への像𝑇 𝑞 𝒵1/𝑞と 過 去 へ の 像 𝑇 −𝑞 𝒵1/𝑞 を 描 い た. 双 曲 領 域 𝒵1/𝑞 の 四 つ の頂 点 を 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷と し, 未 来 へ の 像を𝐴𝑞 , 𝐵𝑞 , 𝐶𝑞 , 𝐷𝑞 とする. これらを比較すると軌道点 𝑧1 の周りでは 約 180 度回転が生じていることがわかる. 軌道点𝑧𝑘 は反転を伴うサドル型周期軌道点であることが示された . 任意の𝑎においてホモクリニック点𝑢の近傍に存在する1/𝑞-BS の軌道点は反転を伴うサドル型周期軌道点である.

図 14：双曲領域の導入 4. (a)タイプ 2 交差. 𝑎 = 2.3. (b)双曲領域𝒵1/6 (灰色閉領域) の模式図.

– 17 –

図 15：双曲領域の導入 4. (a) 双曲領域𝒵1/𝑞 (灰色閉領域) の構成の模式図. (b) 双曲領域𝒵1/𝑞(灰色閉領域), 像𝑇 𝑞 𝒵1/𝑞 と 逆像𝑇 −𝑞 𝒵1/𝑞 の関係の模式図. 点𝑧𝑘 は反転を伴うサドル型軌道点 .

以上で得られた結果をまとめ定理 9 とする.
定理 9. 回転数1/𝑞は, 0 < 1/𝑞 ≤ 1/2を満たすとする.
[1] タイプ 1 交差の場合.
(1) ホモクリニック点𝑢近傍には, 1/𝑞-BE の反転を伴うサドル型周期軌道点が存在している.
(2) ホモクリニック点𝑣近傍には, 1/𝑞-BS のサドル型周期軌道点が存在している.
[2] タイプ 2 交差の場合.
(1) ホモクリニック点𝑢近傍には, 1/𝑞-BE のサドル型周期軌道点が存在している.
(2) ホモクリニック点𝑣近傍には, 1/𝑞-BS の反転を伴うサドル型周期軌道点が存在している.

4. 横断性と主軸性
4.1. 主軸性小史
標準 写像 [14]に おい て, 主軸 性 の概 念を 最 初に 導入 した のは グ リー ン (Greene)[15]である. 標準写像
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑎sin𝑥𝑛 (𝑎 ≥ 0), 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛+1 (mod 2𝜋)(24)に お い て, 𝑎 > 0で はポ ア ン カ レ ・ バ ーコ フ の 定 理 で 保 証 さ れる 円 筒 面 を 回 転 す る 回転 数𝑝/𝑞の周期軌道が存在する. 𝑝/𝑞は既約分数. この周期軌道はバーコフの順序保存性を持つ.
ポアンカレ・バーコフの定理とバーコフの順序保存性については参考文献[1]を見よ. 円筒
面を回転する周期軌道には二つの周期軌道が存在し, それらを𝑝/𝑞-BE と𝑝/𝑞-BS と書く.

– 18 –

こ れ ら の 名 称 は 第 2.1 節 で 説 明 し た . グ リ ー ン は 数 値 計 算 で 見 出 し た 結 果 を も と に ,「𝑝/𝑞-BE は主軸𝑥 = 𝜋に軌道点をひとつ持つ」という仮説をおいた. この性質は主軸性と呼ばれてい る. 𝑝/𝑞-BE は 主軸性を持 つとか , こ の写像では 主軸性 が成 り立つとか 表現する.
次にグリーンの行なったことを簡単に紹介する. 黄金数を𝜙 = (√5 + 1)/2とする[16]. グ
リーンは回転 数 𝜔 = 1/𝜙 = 0.618033 ⋯を持つ準周期的運動が 構成す る不変曲線の安 定性を調べた. また回転数1 − 𝜔 = 1/𝜙 2 = 0.381966 ⋯の不変曲線も回転数𝜔の不変曲線と同様の性質を持つ. これらの不変曲線は最後の不変曲線と呼ばれている . これらが崩壊すると軌道点を有界領域に閉じ込められなくなる.
具 体 的 に は 回 転 数 𝜔に 集 積 す る 回 転 数 の 列 {𝑝𝑛 /𝑞𝑛 } = {1/2,2/3,3/5,5/8,8/13, ⋯ }を 用 意 し ,𝑝𝑛 /𝑞𝑛 -BE が周期倍分岐を起こす臨界値を数値計算で求めた. 回転数の列を構成するために
フィボナッチ数列を利用している [16]. グリーンは, 臨界値の集積する値を不変曲線が崩壊する臨界値とした. 得られた臨界値は𝑎𝑐 = 0.97163540631である. 不変曲線の性質を, 不変曲線に集積する周期軌道の性質を利用して理解しようとした最初の試みである .
標準写像における主軸性は, マッカイとミース (MacKay and Meiss) [17]によって証明さ れ た . ま た , 主 軸 性 が 写 像 𝑇𝐻 の 系 で も 成 り 立 つ こ と が ダ リ ン , ミ ー ス と ス タ ー リ ン グ(Dullin, Meiss and Stering)[18]による数値計算で発見された. 写像𝑇𝐻 における主軸性は,「𝑝/𝑞-BE は𝑎 > 𝑎𝑐 (𝑝/𝑞)において主軸性をもつ」と書ける. これに関する証明は参考文献[1]にある. ロジ写像では写像𝑇𝐻 と同等の主軸性は成立しないが, 主軸性が成り立つ条件が得られている[12].

4.2. 横断性と主軸性との関係
写像𝑇における主軸性と横断的交差の関係を議論する . 最初に命題 10 を証明する.
命題 10.
(1) タイプ 1 交差の場合. 𝑝/𝑞-BE が不安定ならば, 𝑝/𝑞-BE は反転を伴うサドル型周期軌
道である.
(2) タイプ 2 交差の場合. 𝑝/𝑞-BE が不安定ならば, 𝑝/𝑞-BE はサドル型周期軌道である.
(1)の証明. 初期点𝑧0が対称線𝑆ℎ−にあり, 軌道点𝑧𝑘 が主軸𝑆𝑔+軸にあるとする. 𝑞 = 2𝑘 + 1である. こ れ以外 の場合 についても , 同 様の方 法で証明で きる . 軌道 点𝑧𝑘 は不安定 である から, この点から出る不安定多様体𝑊𝑢 (𝑧𝑘 )と, この点に入る安定多様体𝑊𝑠 (𝑧𝑘 )がある. 不安定多様体𝑊𝑢 (𝑧𝑘 )はホモクリニック点𝑢の近くの不安定多様体𝑊𝑢 (𝑃)とほぼ平行 (反平行) である. ま た 安 定 多様 体 𝑊𝑠 (𝑧𝑘 )は 安 定 多 様 体の 弧 [𝑢, 𝑣]𝑊𝑠 (𝑃) と ほ ぼ 平 行 (反 平 行) で あ る. これ
らを利用して図 16 に𝑊𝑢 (𝑧𝑘 )と𝑊𝑠 (𝑧𝑘 )を描いた. 一方で初期点𝑧0の不安定多様体𝑊𝑢 (𝑧0)は, サ
ドル型不動点𝑃から出る不安定多様体𝑊𝑢 (𝑃)とほぼ平行 (反平行) である. また安定多様体
𝑊𝑠 (𝑧0 )は, 𝑃に入 る安 定 多様 体 𝑊𝑠 (𝑃)とほ ぼ 平行 (反 平行 ) であ る. これ ら をも と に不 安 定– 19 –

多様 体 𝑊𝑢 (𝑧0)と 安定 多 様体 𝑊𝑠 (𝑧0 )を 描い た . ここ で 軌 道点 𝑧𝑘 の周 り の 灰色 領 域を 𝑆𝑔+ が 通過
して いる こと に注 意し よう . 次 にこ の領 域に 対し て 𝑇 −𝑘 を作用 する と初 期点 𝑧0 の周 りの 灰
色領域に写される. つまり灰色領域を𝑇 −𝑘 𝑆𝑔+が通過していることが導かれる. 図 16 の中の拡大図を見て欲しい. この配置は 4 区画分離型 (図 2(b)) である. 性質 4 より, (1)が証明された.

図 16：タイプ 1 交差の状況. 4 区画分離型の配置. 右図は周期軌道点 𝑧0 の周りの拡大図.

図 17：タイプ 2 交差の状況. サンドウィッチ型の配置. 右図は周期軌道点𝑧0 の周りの拡大図.

(2)の証明. 初期点𝑧0が対称線𝑆ℎ−にあり, 軌道点𝑧𝑘 が主軸𝑆𝑔+軸にあるとする. 𝑞 = 2𝑘 + 1である. こ れ以外 の場合 についても , 同 様の方 法で証明で きる . 軌道 点𝑧𝑘 で周りの 灰色領 域
を𝑆𝑔+が通過している. この灰色領域は初期点𝑧0の周りの灰色領域に写される (図 17). 灰色
領域はほぼ 180 度回転することに注意しよう. 初期点𝑧0の周りの灰色領域を像𝑇 −𝑘 𝑆𝑔+が通過している (図 17 の拡大図を見よ). 不安定多様体𝑊𝑢 (𝑧0 )と安定多様体𝑊𝑠 (𝑧0 )ならびに𝑆ℎ−と𝑇 −𝑘 𝑆𝑔+の配置がサンドウィッチ型であることが導かれた. 性質 4 より, (2)が証明された.

– 20 –

命題 10(1)よりタイプ 1 交差の場合，𝑝/𝑞-BE はサドル型にならない. よって定理 11 が得られる.
定理 11. 平面における面積保存二次元写像では, サドル型不動点の安定多様体と不安定多様体の交差がタイプ 1 交差ならば主軸性が成り立つ.
タイプ 1 交差とタイプ 2 交差の入れ替わる途中では, ホモクリニック点𝑢から離れた主軸
上にサドル型周期軌道点が存在している可能性がある. そのために主軸性が成り立つとは限らない.
主軸性は非常に特殊な性質であると考えられている. しかし, 系にスメールの馬蹄が生じる系では馬蹄の完成に近づくにつれて主軸性が成り立つようになる. これは次のように理解できる. パラメータの増大に伴い, サドル型不動点の安定多様体と不安定多様体の交差が必ずタイプ 1 交差になる. つまり定理 11 より主軸性が成立するようになる. この結果
を写像𝑇に適用すると命題 12 が得られる.
命題 12. 写像𝑇において, 𝑎 > 𝑎𝑐 (𝑣)では主軸性が成り立つ.
命題 12 の意味を述べる. 𝑎𝑐 (𝑝/𝑞) < 𝑎𝑐 (𝑣)を満たす𝑝/𝑞-BE の場合, 𝑎が𝑎𝑐 (𝑣)を越すまで主軸性が成り立つかど う かわからない . し かし, 𝑎が𝑎𝑐 (𝑣)を越せば主軸性が 成 立するようになる. 𝑎𝑐 (𝑝/𝑞) > 𝑎𝑐 (𝑣)を満たす𝑝/𝑞-BE の場合, 生じた直後から主軸性が成り立つ.

5. 終わりに最初に本論文で得られた結果をまとめる.
(1) ホモクリニック点に集積する周期軌道の安定性をもとに非横断的交差が生じる臨界値の定義を与えた. これをもとに臨界値を決定した. ホモクリニック点の性質が周期軌道の性質を利用して調べられるようになった.
(2) 非横断的交差が生じる前後において, ホモクリニック点に集積している周期軌道の性質が突然変化する原因を明らかにした.
(3) 横断的交差をタイプ 1 交差とタイプ 2 交差に分けた. 双曲領域を利用して, 交差のタイプの違いで横断的交差点の近傍に存在する軌道点の性質の違いを示した .
(4) タイプ 1 交差はスメールの馬蹄が出現するための必要条件であることを示した .
(5) タイプ 1 交差ならば主軸性が成り立つことを示した .

次に今後の課題を提示して本論文を終える.
(1) 本論文では双曲領域を構成し双曲領域を利用したカオス層の厚みを提唱した . カオ
ス層の厚みのパラメータ依存性を調べる問題が残っている.
(2) 双 曲 領 域 𝑍𝑝/𝑞 (𝑝 ≥ 2) の 性 質 を 調 べ る こ と . 回 転 数 の 異 な る 二 つ の 双 曲 領 域 の 関
係性を調べることも重要である. 例として, 双曲領域𝑍1/3 と双曲領域𝑍2/7 の包含関係
とか出現順序関係を調べること.

– 21 –

(3) 写像 𝑇で, カ オスの 強さの指 標であ る位相 的エント ロピー のパラ メータ依 存性を 調べること. 特に交差の入れ替わり区間で , 位相的エントロピーが変化するのかどうかに興味がある.
(4) 定理11 の逆である主軸性からタイプ 1 交差を導くための必要条件は何かを明らかにすること.
(5) タイプ 1 交差とタイプ 2 交差の入れ替わりがC1級写像の特殊性によるものなのかど
うかを解決する必要がある.

本論文に有益なコメントをしてくださった査読者に感謝いたします.

A

スメールの馬蹄の存在証明

写像𝑇においてスメール の馬蹄が存在すること を証明する. 最初に線 形解析を利用してサドル型不動点𝑃における 不安定多様体の傾き𝜉𝑢 (0)を求める.
𝜉𝑢 (0) = (−𝑎 + √𝑎2 + 4𝑎)/2.

(25)

任意の𝑎 > 0において, 𝜉𝑢 (0) < 1が成り立つことは簡単に確かめられる.

図 18：領域𝑊 (灰色閉領域) の構成. 弧𝛾 = [𝑔𝐵, 𝐴]. 馬蹄形が生じた状況.

直線𝑦 = 𝑥と𝑆𝑔+ との交差点を𝐴 = (𝑎/(𝑎 − 2), 𝑎/(𝑎 − 2))とする. 弧(𝑃, 𝐴]を𝑔で写した像と 𝑥
軸 と の 交 差 点を 𝐵 = (𝑎/(𝑎 − 1),0)と す る . こ こで 弧 𝛾を 𝛾 = [𝑔𝐵, 𝐴]と 定 義 す る . 弧[𝐴, 𝐵] = 𝑔𝛾
で あ る . 弧 [𝐴, 𝐵] に ℎ を 写 像 し た 像 が 弧 [𝐵, 𝐶] で あ る . 弧 [𝐵, 𝐶] = ℎ𝑔𝛾 = 𝑇𝛾 で あ る ( 𝐶 =(0, −𝑎/(𝑎 − 2)) = 𝑇𝐴). ま た 𝑇𝐵 = (0, −𝑎/(𝑎 − 1))で あ る . こ こ で 四 つ の 弧 の 表 式 を ま と め ておく (図 18 を参照のこと).
𝑎
,
𝑎−2

(26)

𝑎
𝑎
≤𝑥≤
,
𝑎−1
𝑎−2

(27)

弧[𝑃, 𝐴] : 𝑦 = 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤弧[𝐴, 𝐵] : 𝑦 = (𝑎 − 1)𝑥 − 𝑎,– 22 –

(𝑎 − 1)𝑥 − 𝑎𝑎, 0≤𝑥≤,𝑎−2
𝑎−1
𝑎弧[𝐶, 𝑃] : 𝑥 = 0, −≤ 𝑦 ≤ 0.
𝑎−2

弧[𝐵, 𝐶] : 𝑦 =

(28)
(29)

こ こ で 用 意 し た 四 つ の 弧 [𝑃, 𝐴], 弧 [𝐴, 𝐵], 弧 [𝐵, 𝐶], 弧 [𝐶, 𝑃]で 囲 ま れ た 閉 領 域 を 領 域 𝑊 (図18 の灰色閉領域) と定義する. 図 1(a)と(b)において, 四つの弧[𝑃, 𝑢]𝑊𝑢 (𝑃) , 弧[𝑢, 𝑣]𝑊𝑠 (𝑃) , 弧[𝑣, 𝑇𝑢]𝑊𝑢 (𝑃) , 弧[𝑇𝑢, 𝑃]𝑊𝑠 (𝑃) で囲まれた灰色閉領域は基本領域𝑍と呼ばれる.
𝜉𝑢 (0) < 1であるから, 不安定多様体の弧[𝑃, 𝑢]は弧[𝑃, 𝐴]の下側にある. 残りの弧の構成の
仕 方 か ら , 弧 [𝑢, 𝑣]𝑊𝑠(𝑃) は 弧 [𝐴, 𝐵]の 左 側 に あ り , 弧 [𝑣, 𝑇𝑢]𝑊𝑢 (𝑃) は 弧 [𝐵, 𝐶]の 上 側 に あ り , 弧[𝑇𝑢, 𝑃]𝑊𝑠 (𝑃) は弧[𝐶, 𝑃]の右側にある. 基 本領域𝑍は領域 𝑊に含まれる. サドル型不動点 𝑃は基本領域𝑍と領域𝑊において共通である. 領域𝑊をもとに馬蹄形が構成できるならば, 基本領
域𝑍をもとにしたスメールの馬蹄が完成していることは既に示されている[1].
さて, 像𝑇 2 𝛾が弧[𝐴, 𝐵]と接触または交差すれば馬蹄形が構成できる . 図 18 は接触状況であ る. 点 𝑠 = (𝑡, 𝑡) ∈ 𝛾の 像 𝑇 2 𝑠が弧 [𝐴, 𝐵]上 に あ れば , 上 記の 条 件 は 満 たさ れ る . こ の 条 件 をもとに𝑡を決める方程式が得られる.
𝑎(𝑎 − 2)2 𝑡 2 + (−2𝑎3 + 5𝑎2 − 2)𝑡 + 𝑎(𝑎 − 2)(𝑎 + 1) = 0.

(30)二次方程式の判別式𝐷が, 𝐷 = 0を満たすと𝑇 2 𝛾が弧[𝐴, 𝐵]と接触する. また 𝐷 > 0 ならば,𝑇 2 𝛾と弧[𝐴, 𝐵]は 2 点で交差する.
𝐷 = 𝑎4 − 8𝑎3 + 12𝑎2 + 4 ≥ 0.

(31)

こ の 式を 数 値 計 算 で 解 い て , 𝑎 ≥ 𝑎𝑐∗ = 5.971759が得 ら れ る. パ ラ メ ータ が 十 分 大 き く な
ると写像𝑇においてスメールの馬蹄が存在することが示された .
補足. 弧[𝑃, 𝐴]と弧[𝐴, 𝐵]の交差の仕方について注意を与える. 弧[𝑃, 𝐴]の点𝐴での傾き 1 は,対称 線の 傾き 𝑎𝑐∗ /2より 小さ く, 弧 [𝐴, 𝐵]の傾き (𝑎𝑐∗ − 1)は 𝑎𝑐∗ /2より大 きい. ま た, 点 𝐵での弧
[𝐴, 𝐵]の傾き(𝑎𝑐∗ − 1)は2より大きい. 以上をまとめると領域𝑊はタイプ１交差の条件を満たしている. これはスメールの馬蹄が生じるためにはタイプ１交差が必要であることを意味している. パラメータが小さい場合, タイプ２交差が生じていたとしても, パラメータを増加すると必ずタイプ１交差になり, 最終的にスメールの馬蹄が生じる. 以上で命題 6 が
導かれた.

参考文献
[1] 山口喜博, 谷川清隆, 馬蹄への道 (共立出版, 2016).
[2] Smale, S., Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), 747 -817.
[3] Lozi, R., Un attracteur étrange du type attracteur de Hénon, J. Physique (Palis), 39 (Coll.
C5) (1978), 9-10.
[4] Elhadj, Z., Lozi mappings: Theory and applications (CRC Press, 2014).

– 23 –

[5] Grebogi, C., Robert, C. and Aziz-Alaoui, M. A., Dynamics of an Henon-Lozi type map,
Chaos, Solitons & Fractals, 12 (2001), 2323-2341.
[6] Poincaré, H., ポアンカレ 常微分方程式 (共立出版, 1994). 第 33 章 二重漸近解.
[7] Guckenheimer, J. and Holmes, P., Nonlinear oscillations, dynamical systems, andbifurcations of vector fields , (Springer, 1983). §5.3.
[8] 金 英 子, ポ ア ン カ レ と 力 学 系 , 数 理 科 学 , 特 集 :ポ ア ン カ レ 第 46 巻 第 10 号 (2008).
20-30.
[9] ロビンソン, C., 力学系 (シュプリンガー・フェアラーク東京 , 2001). §8.4.2.
[10] Newhouse, S. E., The abundance of wild hyperbolic sets and nonsmooth stable sets fordiffeomorphisms, Publ. Math. I.H.E.S. 50 (1979), 101 -151.
[11] Kiriki, S. and Soma, T., Existence of generic cubic homoclinic tangencies for Hénon maps
Ergodic Theory and Dynamical Systems, 33 (2013), 1029-1051.
[12] Yamaguchi, Y. and Tanikawa, K., Dominant axis theorem and the area preserving Lozi
map, FORMA 32 (2017), 7-17.
[13] Lichtenberg, A. J. and Lieberman, M. A., Regular and stochastic motion , (Springer, 1983).
[14] MacKay, R. S., Renormalisation in Area-Preserving Maps , (World Scientific, 1993).
[15] Greene, J. M., A method for determining a stochastic transition. J. Math. Phys. 20 (1979),
1183-1201.
[16] 根岸利一郎, ひまわりの黄金比 , (日本評論社, 2016).
[17] MacKay, R. S. and Meiss, J. D., Linear stability of periodic orbits in Lagrangian systems.
Phys. Lett. A, 98 (1983), 92-94.
[18] Dullin, H. R., Meiss, J. D. and Sterling, D., Symbolic Codes for Rotational Orbits. SIAM J.
Appl. Dyn. Sys. 4 (2005), 515-562.

– 24 –

交流

形の科学会誌 第 33 巻 第 1 号

色々な情報から予想するジュラ紀アンモナイト
Pseudoneuqueniceras yokoyamai の全体像
白井新潟明訓高等学校

３年

総真

新潟市江南区北山１０３７番地

kensonosiro03160814@yahoo.co.jp

Complete form of the Middle Jurassic ammonite

Pseudoneuqueniceras yokoyamai
inferred from various information
Soma SHIRAI
Niigata Meikun High School, Niigata, 950-0116, Japan(2018 年 6 月 3 日受付)
Keywords: ammonite, Pseudoneuqueniceras yokoyamai , ribs, reconstruction

1. はじめに2013 年の夏、僕は福井県産の中生代ジュラ紀に生息していシ ュ ー ド ニ ュ ー ケ ニ セ ラ ス

ヨ

コ

ヤ

マ

イ

たア ンモ ナイ ト（ Pseudoneuqueniceras yokoyamai ）を クリーニングした。クリーニングとは、化石の入っている岩石からハンマーやタガネ（図 1）を使い化石を発掘する作業のことである。クリーニングをしていても、生きていた時のような完璧な状態ではでてこなかった。そこで、「自分で欠けているところを復元することはできないだろうか」と思い、研究

図１ クリーニングに使を始めるに至った。

う道具

アンモナイトは、現在すでに絶滅している生物である。外見は、巻貝のように見えるが、実際は、タコやイカと同じ“頭足類”に分類されている。また、アンモナイトの殻の表面に 肋(ろく) と呼ばれる線状の突起がある（図 2）。今回の研究では、特に肋に着目している。研究は主につぎのような順序で行った。
(1) 標本をよく観察する。
(2) スケッチをする。

図２ 肋がくっきりと見(3) ３つの研究を行う（後述）。

える標本（図３の c）：【長(4) 研究をまとめる。

径 4.8 ㎝】

スケッチを行う意味は、ただ写真を撮るだけでは分からない細部の情報をスケッチすることによって読み取るためである。

– 25 –

２
．
５
㎝

b

a

d

f

e

g

i

h

j
図3

c

k

研究を始めるにあたってスケッチした１１個体

2. 3 つの研究
今回は主に 3 つの研究を行なった。まず、肋の種類と数について検討した（2.1）。次に肋の配列について調べた（2.2）。最後にアンモナイトの殻を立体的に復元するのに必要な材料は何かを調べた（2.3）。

2.1. 肋の種類と数について(1)疑問点Pseudoneuqueniceras yokoyamai の殻にはどのような種類の肋があるのか。また、どのような共通点や相違点があるのか。

– 26 –

(2)方法① 保存状態の良い３つの標本（図３の a,b,c）を使い、肋の種類には何があるかを観察し、スケッチした。
② その種類の肋が何本あったかを記録する。
③ 観察した肋の種類と数を表にする。
④ ３個体とその表から、共通点と相違点を考えまとめる。

(3)結果
肋の種類と数を調べたところ、肋には主肋・分岐肋・挿入肋があることがわかった（図4）。３個体の肋を調べた結果、主肋３０本、分岐肋４５本、挿入肋４２本の計３種類１１７本の肋が観察された。このうち分岐肋には、２分岐しているものと３分岐しているものがある。それらをさらに区分した結果、１２種類に細分化できた（図５）。そして、図 3の a,b,c の個体を使い、図 5 に示す表を作った。３個体を比較することにより以下に示す
共通点・相違点を発見できた。

共通点▪すべての個体に主肋・分岐肋・挿入肋が見られる。
▪それぞれの個体の中では主肋が一番多い。
▪分岐肋には、２つに分岐しているものと３つに分岐しているものがある。２つに分岐しているものはすべての個体に見られる。
▪分岐肋の分岐点が一番鋭く（高く）なっている。

相違点▪３つに分岐している肋がある個体と無い個体がある。
▪この種の中で、肋の間隔が狭い個体と広い個体が見られる。
▪ほぼまっすぐな主肋だけを持つ個体と、S 字形の主肋を含む個体がある。

肋の種類：主肋、分岐肋、挿入肋の３種類がある。
主肋：長くて分岐してない肋分岐肋：フォークの様に分岐（枝分かれ）している肋
挿入肋：比較的短く他の肋の間に挿入している肋
図4

肋の種類についての説明– 27 –

図５

個体 a（図３の a）の肋の種類と数を示し た表

2.2. 肋の配列について(1)疑問点この種の肋には配列上、どのような規則があるのだろうか。

(2)方法① 研究 2－1 でも使った 3 つの個体のスケッチを使い、3 個体の肋の配列を殻と同じよ
うにそのまま書き写す。
② ３個体のそのまま書き写した肋の配列を表にする。
③ ②の表を配列が分かりやすくするために黒・灰色・白の３色に配色する。
④ ３個体とその表から規則的な特徴を書き出し、まとめる。

(3)結果
個体ごとの特徴と表は図６のようになった。

(4)これらの特徴（表）をまとめ、次のような共通点を発見した。
▪ 主肋は、殻口側に近づくほど増加し、一方、分岐肋は減少する。
▪ 分岐肋は、連続して出現する傾向がある。
▪ 挿入肋は同間隔で出現する傾向がある。

– 28 –

・主肋は全体に平均的に出現している・主 肋の 周 りに は必 ず と 言っ てい い ほど
挿入肋がある・分岐肋は、殻口部に行く程減少する・分岐肋は連続していることが多い
・挿入肋は、殻口部のほうが多い

1cm

殻口

・主肋は割合的に一番多い・分岐肋で三分岐している肋がある・同じ肋の種類で連続しているところがいくつかある
殻口1cm・主肋は、(表を半分に区切った時) 殻口部に多い・分岐肋は、(表を半分に区切った時)殻口部に少ない
殻口・ 挿入肋は 1～2 間隔で出現している
1cm

図6

各標本の肋の配列パターン

2.3. 殻の立体的な復元について
アンモナイトといえばどのようなイメージがあるだろうか。多くの人は、ホースを巻いたような形を思い浮かべるだろう。では、どうしてその様な立体的なアンモナイトを 2－
３では「立体的な復元」をしたいと思ったのかをご説明したいと思う。それは、クリーニ
ングをしていてほとんどの化石が潰れて産出したからである。その原因は、化石が入っていた石の種類にあった。
砂岩に入っていた化石は立体的のまま潰れることなく出てくる。だが、泥岩に入っていた化石の多くは、潰れた状態で出てくる。砂岩は砂の粒子でできているので粒と粒の間が狭くガチガチに固まっている状態なので化石も固定されていてそのまま産出する。逆に、泥岩の粒子は、泥でできているので粒と粒の間に砂岩よりも隙間があり、そこに水が入っている。そして、長い年月をかけて上からの圧力で水が抜けてしまい、隙間がなくなり化
石ごと潰れてしまうのである。そこで、2－３では砂岩から出てきた、潰れていない個体
を使い、立体的な復元を試みる。図 7 にアンモナイトの部位の呼び方を示しておく。

– 29 –

図7

アンモナイトの部位の呼び方(1)疑問点複数の情報を合わせることによって立体的な復元はできるだろうか。

(2)方法①図 8 と図 9 をよく観察する。
②どのような特徴があるかを書き出す。
③書き出した特徴が立体に復元する際に、どこに使えるかを考え、まとめる。

(3)結果
スケッチする際に、個体の前後を復元するとき殻のもう半分側をどのようにすればよいのか。これを解決するにあたり、あまり発想が浮かばず悩んだ。結果的に殻の側面が見えている標本により肋が左右対称に配列していることに気付いた（図 8）。発掘されるとき化石は全体的に潰れていて実際の（生きていた時の）殻の幅（厚み）が分からない。殻の直径と幅の比率をどのように求めればよいのか。砂岩から採れたという珍しい標本（図 9）
により殻の直径と幅の比率が（８：１）と計測できた。この比率を使って、Pseudoneuqueniceras yokoyamai が潰れる前の形を復元することができた。

図 8

殻の下側が見えているごく珍しい標本（図３－ e ）:【幅：3.3 ㎝】

図 9

砂岩から産出したため、殻が潰れていない珍しい標本:【直径 15.7cm】– 30 –

3. Pseudoneuqueniceras yokoyamai を復元する
まず 2.1～2.3 までの要点（結果）をまとめ、アンモナイトの殻のどこを復元するのに役立つかを考えてみた。
▪2.1 は、殻を側面から見たときの肋の種類・間隔など。
▪2.2 は、殻を側面から見たときの肋の配列の傾向（パターン）。
▪2.3 は、殻を下側・少し斜めから見たときの肋の配列の対称性。そして、 全体のフォルム。
これらの情報をまとめると、殻を側面から見たとき・個体の前後から見たとき・少し斜めから見たときすべての情報がそろっている。従って、肋の種類・間隔、配列傾向、そして、殻の直径と幅の比率についての検討結果をもとに図 10 のような復元ができた。

4. 感想と展望
今回、アンモナイトの研究を始めてからこれまでの成果を本稿にま とめた。終わってか
ら考えてみると研究をするための作業や活動はとても楽しいものだったが、一つの研究報
告にまとめるとなると凄く大変だった。特に、誰からも理解してもらえる文章を作らなけ
ればいけないことに苦労した。
研究の内容としては、研究の途中で「復元まで辿り着けるのか」が心配になったが、オリジナルの表や特徴的な化石を使うことで３つの研究をまとめることができ「 1 つの復元」という大きな結果を出せてよかった。
今後は研究中に気になった「化石の多くが断片的にしか出てこない」ことや、肋を研究しているが、「肋の形態がアンモナイトの生息上どのような役割を持っているのか」といったことを研究してみたい。
なお、本稿は 2013 年 7 月から 2015 年 6 月にかけて実施した研究をまとめ、それを 2015
年 8 月に投稿したものである。

– 31 –

図 10

Pseudoneuqueniceras yokoyamai の復元図

謝辞
小学生の頃から松岡篤先生の研究室に通い、多くのご指導をいただきました。また、2014
年 5 月には、研究対象である Pseudoneuqueniceras yokoyamai の産地である福井県への発掘調査に同行させていだだき、有意義な体験をさせていただきました。
本稿を書くにあたって，松岡篤先生に何度も原稿を見ていただきました。投稿する際には、匿名の査読者からありがたいご指摘をいただきました。
数々のご配慮に心から感謝いたします。

参考文献
1）重田康成（2001）

アンモナイト学

2）松岡篤 編集（2008） 頭足類展
15p.
3）子供の科学編集部（2012）

絶滅生物の知・形・美．東海大学出版会、 155p.

アンモナイトとその仲間たち．新潟大学理学部地質学科、

アンモナイトと三葉虫．城文堂新光社、 95p.

– 32 –

シンポジウム

形の科学会誌 第 33 巻 第 1 号

第 84 回 形の科学シンポジウム 「ビッグデータとかたち」
討論記録（録音記録のあるもののみ掲載）【主催】形の科学会【共催】長崎大学【会期】2017 年 12 月 8 日（金）、9 日（土）、10 日（日）【会場】長崎大学 文教キャンパス スカイホール【代表世話人】 小川進 〒852－8521 長崎県長崎市文教町 1-14 長崎大学 工学部
TEL：095-819-2611 E-mail: ogawasusumu@nagasaki-u.ac.jp【参加費】 会員・非会員ともに一般 5,000 円、学生 1,000 円【懇親会】 2017 年 12 月 9 日（土）17：45 より、上海台所住吉店にて【懇親会費】一般 3,000 円、学生 1,000 円【WEB サイト】http://katachi-jp.com/sympo84（予稿集最新版をカラーで閲覧可能）
討論記録は質問者の討論記録シートの記載にもとづいており、講演者の校正がないものもあります。
Q: 質問、A: 回答、C: コメント
討論記録

12 月 8 日（金）形の科学一般
幾何学キルトデザインの提案
中村健蔵（MathArt 作家）
Q. 高木隆司
キルトが作られるようになったきっかけは何ですか。
A.
昔は布が高価であったため、切れ端を寄せ合わせてもったい
なくないようにしようといったことからです。また、縫うことで生地を強くすることもできるので、そちらの効果もあったのかも知れません。
C. 高木隆司
江戸小物のように丸いものでもタイリングできるような気がしました。
Q1. 小川直久
世界でキルトの歴史はどのくらい続いているのですか。
A1.
一番古いのではエジプトの話からと聞いています。
Q2.
切れ端を繋ぐ際に、間に薄く綿を入れるのは昔からなのですか。
A2.
昔からではないようです。綿を入れれば一番簡単に立体的になりますが、ある程度厚めの 布であればそれでも立体的なものが出来ます。ホワイトキルトといって、厚めの布地に縫うことだけで立体的にしたものを見たことがあります。
水平加振における粉体のマクスウェルの悪魔
江川恭平（京都大学大学院）、宮崎修次（京都大学大学院）
Q1. 手嶋吉法
鉛直加振で偏るポイントは何らの原因で少なくなった方の球が周りからたくさんエネルギーをもらうから仕切りを飛び越
えやすくなるということでしょうか。
A1.
エネルギーをたくさんもらいというよりは、移った方は平均
自由行程が減ってしまうからというのが大きな原因だと考え
られます。
Q2.
平均自由行程というのがあまりピンと来ないのですが。
A2.
平均自由行程というよりは球が少なくなった方が粒子が他の粒子とぶつかりにくくなり、動きやすくなるのが原因ではな
いかと考えられます。
Q3.
鉛直の場合は飛び越えないと移れないというポテンシャルのようなものがありますが、水平の場合はそれに相当するものはありますか。
A3.
摩擦がない場合だと難しいですが、摩擦を掛けてあげれば衝撃というものに使えると思います。
Q4.
水平において真ん中の部分を単に穴ではなく坂などにするといいのではと思いました。
A4.
その場合ですと、垂直加振の場合と変わらないので、動ける距離だけが重要な要因ではないかと調べたいときには単に穴にした方がいいと思いました。
Q5.
水平加振の場合も平面に拘束されているのですか。
A5.
そうです。
Q. 根岸利一郎
壁を越えるためのエネルギーはどうなるのですか。
A.
下から受ける力です。
Q. 高木隆司
壁を高さごとの計算はしましたか。
A.
高さは一例しかやっておりませんが、水平における穴の大きさごとの計算はしております。
Q. 小川直久
密度の大きい場合は入ってしまうと出にくくなるが衝突が多いから、大体みんな平均的なえエネルギーになるということでよろしいでしょうか。
A.
はい、その通りです。
文章のネットワーク可視化と複雑ネットワーク解析
角谷祐輝（京都大学）、宮崎修次（京都大学）
Q1. 高木隆司
単語を楕円の上に並べる順序には一定の方式があるのですか。
A1.
アルゴリズムが単語(頂点)ごとに ID を割り振っており、それをもとに位置を決定しています。そこから、配置しております。
Q2.
出現の順序ではなく、単語に与えた特徴から並べているのですか。
A2.
そのアルゴリズム自体が近い単語を近いところに配置するよ
うになっています。
Q3.
同じ単語は二度と現れないのですか。
A3.
その通りです。
Q1. 小川直久– 33 –

今言ってたアルゴリズムが座標を入れるということなのでし
ょうか。
A1.
そうです。
Q2.
最終的な座標の入れ方のチェックはされているのですか。
A2.
実際に数値で出したわけではないです。
Q. 手嶋吉法「点が近い」というのは 2 点が何本も結ばれていることを言っているのですか。
A.
それもありますし、1 つ 2 つで隣り合っているものも近いと言っています。
同一意見を持つ人の割合が振動する合意形成ネットワーク数
理モデルの作成
長尾崇弘（京都大学大学院）、宮崎修次（京都大学大学院）
Q. 松本崧生
人間の意見では A でも B でもない第三の意見が現れるのが多いと思いますが、その場合はどうするのでしょうか。
A.
新しい意見が出現し、それが多数派になるというのは過去にモデル作成したことがあります。まだそれを導入するには至っていませんが、第三の意見が出るというのは参考にしていきたいと思います。
Q1. 中村健蔵
少数派と多数派で、大きい粒子と小さい粒子ではどちらに主張の信念があるのでしょうか。
A1.
大きい粒子が主張の強い少数派です。
Q2.
モデル化というのは非常に難しいと思いますが。
A2.
そうですね。
定幅曲線
山口陸幸、伊藤 仁一（椙山女学園大学）
C. 高木隆司
質問ではなくコメントですが、最後に示された角を丸くした
三角形は役に立つと思います。とがったところはすり減りやすいので、丸くすると長持ちすると思います。
A.
外側を丸くするために、定幅曲線を使えば面積を小さくできます。そういう風に使えば、定幅曲線は面白いと思います。
実際に三次元で造って並べてみたので、よかったら確認してみてください。
Q. 宮本潔
マツダが作ったロータリーエンジンは定幅曲線でしょうか。
A.
膨らんだ三角形のローターはリューローの三角形と言われているのを聞いたことがあります。
実際、似ているのですが、そうではないようです。
色々調べてみたのですが、リューローの三角形である理論的根拠も探せませんでしたし、その必要性も見出せませんでした。
立体概念の形成を支援する科学折り紙教材 Ⅰ.教養科目「数理科学」での取り組み
石原正三（埼玉県立大学）
Q1. 阿竹克人
三角形のユニットのことについてですが、角は三角形に切る
のですか。
A1.
切るのではなく折るのです。
Q2.
折りあがりは平面になるのですか。
A2.

三角形のユニット折り紙になります。
ホモメトリック構造
松本崧生（金沢大学名誉教授）
Q. （質問者名不明）
ホモメトリック構造は実験などで確かめることはできるのでしょうか。
A.
間違った結果を報告すると非常に怖いので、そこは注意が必要です。
ホモメトリク構造は、誤った解析、解決できず没になったもの、フリーデル則や絶対構造、回折対称の上昇現象らにも関連します。
Ｘ線構造解析のみだけでなく、他の物理、化学解析、形態の研究も重要です。
楕円の最密格子充填と楕円体の密な格子充填について
種村正美（統計数理研究所名誉教授）、松本崧生（金沢大学名誉教授）
Q1. 阿竹克人
楕円体の計算において軸の部分で b を 1 以上としていました
が、1 以下でも同じですか。
A1.
同じです。a=c=1 の部分も変えても同じです。
Q2.
今の設定ですと、断面が円になりますが、そのあたりはチェックされてますか。
A2.
それは a=c=1 の場合に当たりますが、その場合もそれ以外の場合も密度は同じです。
Q. 宮本潔楕円体の三軸を回転させたりすると、もっと曲がったりすると思うのですが。
A.
今回の計算は一つの例で、今後はもっといろいろと変えていく必要があります。

12 月 9 日（土）ビッグデータとかたち
ドローンとかたち谷口幸弥（長崎大学）、春成寿朗（長崎大学）、小川進（長崎大学）
Q. 高木隆司
結果の写真は画像処理したのですか。
A.
一定の間隔で空撮した画像を全部つなげて作成しました。
Q. 中村健蔵
原発の IR はドローンを止めて撮影しているのですか。
A.
バッテリーの都合上、動かしながら撮っています。
福島第一原子力発電所事故における放射能汚染の形態の特徴
小川進（長崎大学）、齋藤恵介（長崎大学）
Q1. 手嶋吉法
粒子モデルを使うとフラクタルが出てくるのは地形が入っているということですか。
A1. 地形は乱流拡散でも入れています。
Q2.
フラクタルが連続から離散になった時には何が入っているのですか。
A2.
乱流拡散でホットスポット上に広がっていく部分が表現できないためです。
今昔物語の構造解析 ― イソップ物語との比較– 34 –

高木隆司（東京農工大学名誉教授）
Q1. 小川進
人口知能が人間を超えるかというのは人間によりけりだと思います。人間にも知能の個人差がありますが、それを無視していないでしょうか。
A1.
発表で述べたことの趣旨は、知能の高い人たちが集まって新しいものを作り上げたときのことなので「現在の人間が持っている知能を超えることはできない」ということです。
Q2.
ほとんどの人が将棋や囲碁を指せば負ける時代が来ていると思うのですが。
A2.
人間は、スピードも記憶容量もコンピュータに負けるので、将棋や囲碁で負けるのは当然です。ここで問題にしているのは、人間が見たこともないような新しいものやシステムを人工知能に作れるのかということです。

核酸の過渡的構造と機能：不安定ゆえの意義？
西垣功一（埼玉大学大学院）、マニッシュ・ビアニ（北陸先端科学技術大学院大学）

形の科学一般文字の許容と字形の変化 横画の空間の空け方について
沓名健一郎（福井大学）
Q. 高木隆司
右側を下げるとだらしなく見えるのですが、どう思いますか。
A.
隷書は水平垂直なのですが隷書から行書、楷書になるときに右に重心を残すような形で楷書が出来ましたので、そのような背景だと考えられます。
Q. （質問者名不明）
書道の場合の許容誤差はどのようなものですか。また、冊子にある「青」という文字は書いた人はいつもこの書き方をしていたのでしょうか。
それとも、当時流行ったのでしょうか。
A.
書いた人が偶然作った形だと思います。作っているうちに出る誤差を収縮させるテクニックは、職人が持っている、こういうものだったのではないかと思います。
非格子シェリングモデルにおけるパターン形成
吉野隆（東洋大）

招待講演・公開講演（ビッグデータとかたち）
ビッグデータの現状と将来
秋山祐樹（東京大学）
Q. 谷口幸弥
海域でのビックデータの活用事例には、具体的には、どのよ
うなものがありますか。
A.
AIS が出てきているので、船の動きなどが分かります。しかし、まだ無駄が多いのでその辺をうまくコントロールする必要があると思います。

形の科学一般いちじくの渡来と伝播そして文化的受容杉本剛（神奈川大学）
Q. 中村健蔵
カリフォルニアやエジプトにあるイチジクの木が日本にある物と全く違うほど大きかったのですが日本に持ってこられた
イチジクはどのようなタイプなのですか。
A.
持ってきたのはフィクス・カリカなので、温かいところで育
てればちゃんと育ちます。
Q. 宮本潔イヌビワは中身がイチジクのようですが、イチジクの原種ですか。
A.
イチジクの仲間ですが、食べてもおいしくないです。

生体の凍結抑制機構と氷結晶の形
古川義純（北海道大学）、長嶋剣（北海道大学）、中坪俊一（宇宙航空研究開発機構）、田丸春香（宇宙航空研究開発機構）、吉崎泉（宇宙航空研究開発機構）、島岡太郎（日本
宇宙フォーラム）、曽根武彦（有人宇宙システム株式会社）
Q1. 高木隆司
結晶の成長が止まって一定のサイズになるのはなぜですか。
A1.
温度が冷えて、一斉に結晶ができると成長が始まり、全体がある大きさになった時に初めて十二面体が出来るということです。
Q2.
一定のサイズのところでエネルギーが最低になるというのは、どういうことですか。
A2.
核生成とは異なりますので、エネルギーが最低になるということではありません。結晶の外形が成長速度の最も遅い結晶面で囲まれた時に成長が停止します。平衡論ではなく、非平衡な成長カイネティクスの面方位依存性（異方性）の問題です。

三つ折り問題の解決三浦公亮（東京大学名誉教授）
Q. （質問者名不明）
五つ折りするときにはどうすればよろしいでしょうか。
A.
二つ折りから三つ折りに変化させる考え方を延長すればいいと思います。
Q1. 松浦昭洋
五つとか六つ折りは一つ前の作業から再帰的で順次にするということですか。
A1.
そうです。分解していって三つ折りにしていくのです。
Q2.
百折りとかでは、最短で折る方法はありますか。
A2.
３という小さい数ゆえに、日常作業で無視されてきた課題の解決が目的です。そのまま大きい数に適用すると、100、50、25 ときて、ここからスタートで、煩雑になります。
一般座標と TDGL 方程式の結晶成長理論への応用
小川直久（北海道科学大学）
Q1. 手嶋吉法
TDGL が使える条件というのはどんな時ですか。TGDL はどんな設定の下で得られたのでしょうか。
A1.
TDGL には保存系や非保存系などいろいろな型があります
が、今回は単純に時間発展において系の自由エネルギー（バルク＋界面自由エネルギー）が下がるようにした一番簡単な式です。
Q2.
粒子の出入りの有無はありますか。
A2.
ギプスの自由エネルギーを考えれば粒子の出入りも考えられます。もちろん、結晶成長を扱っていますので、今の状況は
そういう場合です。
Q1. 松浦昭洋
この式が得られているのは厳密解として導出できるということでしょうか。
A1.
これは TDGL を解いたのではなく、TDGL に具体的に曲線座標を用いて書いたフリーエナジーの形を入れたらこの式に– 35 –

なるということです。
Q2.
曲面の変化による挙動とかのシミュレーションとかはしていないのでしょうか。
A2.
シミュレーションはしていませんが、この式からギプストム
ソンや界面過冷却の効果もこれに入っていることを示しました。多くの方は Phase Field Model を使ったシミュレーショ
ンを行っていますが、この TDGL は、Phase Field Model で境界層の厚みを０に取った極限で得られるものと同じで、そこに界面過冷却の効果も、ちゃんと入っていることは驚きです。

実際に実験することはできますか。
A.
できますが、実際の半球を用いると大きな摩擦が発生します。
そこで、今回は棒の両端点に糸を通して半球面の中心に結び付け、棒の運動を疑似的に再現する手法を用いました。
第 15 回国際放散虫研究集会（新潟，2017）を振り返って
松岡篤（新潟大学）
Q1. 高木隆司
放散虫を生きたままで培養している人はいますか。
A1.
海で採取した生きた放散虫を観察する研究は、ずいぶん進みました。生体の写真も最近 20 年あまりの間にかなり蓄積されてきています。
しかし、1 週間を超えるような長期飼育は、ほとんど行われていません。飼育環境で生かしておくのが難しいということもあるのですが、チャレンジする場数が少ないのも要因です。
ノウハウがなかなか蓄積していきません。
わたしたちは、チャレンジを続けている世界でも数少ない研
究グループです。
Q2.
放散虫の形が特殊なのは、遺伝なのか、環境なのか、進化なのか等の実験をやってみるといいと思います。
A2.
放散虫の形態形成について、興味をもっている研究者は世界中にたくさんいます。また、飼育実験が重要だという指摘も多方面からなされています。しかし、現実に飼育実験に取り組んでいるグループは多くありません。
わたしたちは、毎年、沖縄で生きた放散虫を観察するワークショップを開催しています。興味のある方には参加してもらっているので、ご連絡ください。

12 月 10 日（日）形と知ヒューマノイドとの自動会話の形
松浦執（東京学芸大学）
Q. 高木隆司
音声が人によって違うので音声信号を見ただけでは判別が難しいと思います。対応や判別ができるように本題を話す前に何か意味のあることを入れておくといいと思います。
A.
話していく前に、トレーニング段階として少ない会話を成り立たせておくのがいいということですね。
Q. 阿竹克人
自動会話の中に子どもに聞かれるとまずい語彙は入れていませんか。
A.
会話の範囲を限定したシステムなので、入れてないです。
回転対称型接合部とその応用例の耐震シェルターについて
阿竹克人（阿竹研究所）
Q. 高木隆司
マラルディの角を使われたのはどこで、その角度を用いたのにはどういうメリットがあるのでしょうか。
A.
立体トラスのアングルの曲げ角度で、等辺の場合正四面体と正八面体の空間充填から必然的になることです。
Q. 中村健蔵
右上の図で、予稿集には基礎側の鉄板なかったのですが、それだと上からの荷重は耐えられるかもしれませんが、水平力に弱いということで入れられたのでしょうか。倒壊した時に、斜めに倒れるということを考慮されているのでしょうか。
A. 200kN くらいの荷重に耐えられるというのは鉛直荷重で、水平力には火打ち梁を入れるなど改良が進んでいます。

ビッグデータとかたち
立体映像視聴時における脳血流量の変化に関する非線形解析
谷村亨（福井大学大学院）、條野雄介（福井大学大学院）、
平田隆幸（福井大学大学院）、高田宗樹（福井大学大学院）、
高田真澄（中部学院大学）
Q1. 小川進
非線形性というのは具体的に何を指しているのですか。
A1.
時系列の変動を満たす数理モデルの非線形性です。
Q2.
カットオフというのは脳波の周波数ですか、それともディテ
クターの信号のことですか。
A2.
ヘモグラビンの濃度変化の時系列信号に対するノイズ等のカットオフ です。

形の科学一般半球面上の棒振り子の物理解析
茂森拓真（東京電機大学）、松浦昭洋（東京電機大学）
Q1. 手嶋吉法
棒の長さと半球面の半径についての関係は触れましたか。
A1.
棒の長さが半径に対して極端に短い場合は別として、棒が短く半球内に含まれる場合は同じ動きをします。
Q2.
棒が球面上で回転する動きは初期条件に入れてないのですか。
A2.
今回は、初期条件として棒の角度を定めて静かに放すこととしました。
Q. 中村健蔵
中点の動きは円弧ではないと思うのですがどのような軌跡ですか。
A. 棒の中点は常に円運動を行います。
Q. 高木隆司

静止立位時における足の筋活動が姿勢制御に及ぼす影響條野雄介（福井大学大学院）、谷村亨（福井大学大学院）、
平田隆幸（福井大学大学院）、高田宗樹（福井大学大学院）、
高田真澄（中部学院大学）
Q. 高木隆司
被験者の足首から先の条件がどうなっているのかを調べておくのがいいのではと思いますが。
A.
そうですね。今後の研究に役立てたいと思います。
Q. 中村健蔵
筋肉の衰えには前と後ろに差があると思いますが。例えば、ふくらはぎは衰えやすいですが、前方の筋肉はあまり変わらないと思いますが。
A.
その認識であっていると思います。瞬発力を司る筋肉（ふくらはぎなど）は衰えやすいですが、持久力を司る筋肉は衰えづらいです。
Q1. 手嶋吉法
トーン指数というのは何ですか。

– 36 –

A1.
筋の張力です。
Q2.
相関係数が低く因果律に問題があると思います。どうして多変量解析のような解析を使わないのでしょうか。
A2.
今回は体の姿勢制御仮説に近い動きでやりましたが、実際はいろんな制御がかかわるのでいろんな指標で解析を使うことは今後の参考にしていきたいと思います。

フォーラム
カズオ・イシグロの父 石黒鎮雄 －あびき・北海大洪水の研究の先にカオスは見えていたか－
宮崎修次（京都大学）、長尾崇弘（京都大学）
Q. 手嶋吉法石黒静雄さんの研究の中に非線形が無かったのを残念がられていたと思うのですが、宮崎先生の中では線形というのは面白くないという感じに受けたのですが、そんなことはないですか。
A.
私は非線形の研究者なので、線形が面白いと思ったらしまいですね。一番歯がゆいのでは、アナログ計算機を使っているので、特性は非線形になっているのです。それなのに、線形で見えるところしか見てないということです。線形か非線形かは関係ないのです。
（補足）
石黒静雄氏の単著論文[1]の Figure 3 のはしご型回路においては，はしごの段に関する差分方程式の連続極限をとった後の話が中心であるが、差分方程式のまま，コンデンサの電気容
量の電圧依存性の非線形性をあらわに取り入れると、文献[2]で扱われたようにソリトンが現れる。
石黒静雄氏が在職した長崎海洋気象台（現 長崎地方気象台）による副振動（あびき）の解説[3] の中の写真「1988 年（昭和 63 年）3 月 16 日のあびきで、海水が浦上川を遡っている様子」は、エジンバラ郊外の運河で馬にひかれていたボートが急にとまったとき、船首に水の高まりができ、そこから孤立波が生じ、時速 13–14km 程度の速度でほとんど波形を変えずに伝播していくのを偶然目撃したという、J・スコット・
ラッセルによる 1834 年の報告を想起させる、海面上の１点での海面変動を近似するはしご型回路の１段のＩＶ（電流電圧）特性の非線形性を考慮すれば、van der Pol 振動子のような非線形素子となり、交流電圧を印加すれば、カオスが現れる。石黒氏の上記の論文の出版年は上田による「割れた卵」
や Japanese attractor など、アナログ計算機と関連させた非自励系カオスの先駆的な研究の時期に重なる。
このように石黒氏が扱った海面変動は非線形現象の宝庫のように思える。
上記の単著論文の第２章 Basic Idea では、A phenomenon to be analyzed is assumed to be a'response' resulting from an 'excitation' on the'system'. The system is represented by an electric
network, and the excitation and the response arerepresented by some electrical quantities such asvoltage or current.
と述べている。
長崎地方気象台のあびきの解説のところにもあるが、微気圧変動という'excitation'に対する'response'（インパルス応答）
をアナログ計算機で再現することに拘泥するあまり、非線形
性には石黒氏はあまり関心を持たなかったように思える。上記の単著論文の Figure 23 の V-shaped bay は長崎港を想起させるとともに、長崎への思いも感じる。
カズオ・イシグロ氏のノーベル文学賞受賞を機に、石黒静雄
氏の扱った対象に様々な非線形現象が潜んでいる可能性を指摘するとともに、戦後まもない時期にさまざまな測定装置や実験装置を何でも自作する石黒氏のＤＩＹ精神が高校生、特に、長崎の高校生の進んだ科学研究のよき教材となることを願っている。

引用文献等：[1] “A METHOD OF ANALYSIS FOR LONG-WAVE
PHENOMENAIN
THE
OCEAN,USING
ELECTRONIC NETWORK MODELS I. THE EARTH’S
ROTATIONIGNORED”,
the
PhilosophicalTransactions of the Royal Society of London, Series A,
Vol.251, pp.303-340, 1950.
[2] “Studies on Lattice Solitons by Using Electrical
Networks”, Ryogo Hirota, Kimio Suzuki, Journal of the
Physical Society of Japan, 1970, Vol.28, pp.1366-1367.
[3] http://www.jma-net.go.jp/nagasaki-c/kaiyo/knowledge/abiki/index.html .

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