強い電場中におけるフェルミオン対生成の有限時間効果
HT, H.Fujii, K.Itakura, Phys. Rev. D 90, 014039 (2014)

田屋 英俊 (東大理)藤井 宏次(東大総文)板倉 数記(KEK)

1. 導入 --- 「強い電場中におけるフェルミオン対生成」とは？
Ｑ: 「強い電場中におけるフェルミオン対生成」とは？
■ 理論的な話■ 実験的な話▶ 強い電場は、実験室で今まさに実現されはじめており、旬な話題だ。 [wikiの図を改変]

素朴な一様定常な強い電場の場合は、以下のようなことが(古くから)理論的に予想されている。

2. 真空からフェルミオンが対生成される。

1. 非摂動的な効果が発現する。

𝑔𝑔𝑔𝑔𝑚𝑚例) 電場中のフェルミオンの伝播

=𝒈𝒈𝒈𝒈
𝑶𝑶
𝒎𝒎𝟐𝟐𝟎𝟎𝒈𝒈𝒈𝒈
𝑶𝑶𝒎𝒎𝟐𝟐+𝟏𝟏+𝑬𝑬𝒈𝒈𝒈𝒈
𝑶𝑶
𝒎𝒎𝟐𝟐𝑬𝑬𝟐𝟐+𝑬𝑬

𝒈𝒈𝒈𝒈
𝑶𝑶𝒎𝒎𝟐𝟐𝒏𝒏⋯⋯⋯

電場が強い

電場が弱い

次元量は2つしかないので、電場との相互作用の効果は、1回の散乱につき、𝑶𝑶[𝒈𝒈𝒈𝒈/𝒎𝒎𝟐𝟐 ]で効く。

�/ℒ = 𝜓𝜓� 𝑖𝑖𝑖𝑖/ − 𝑚𝑚 𝜓𝜓 − 𝑔𝑔 𝜓𝜓𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑬𝑬

𝑬𝑬time

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

………

………

𝑬𝑬

𝑬𝑬time高エネルギー重イオン衝突

QFT真空 = 仮想粒子対が絶えず生 真空中の仮想粒子対は電場に多重成/消滅している状態 散乱され、実粒子になる！
で実粒子はない。

<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> = 0(glasma, strong Coulomb field)<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> ≠ 0▶ 強い電場(𝒈𝒈𝒈𝒈⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≳ 𝟏𝟏)があると、電場との散乱が、非摂 特に、一様定常電場の場合、粒子数は陽に非摂動的な公式で表現。
動的に無限次まで効き、非自明なことが起こる。
Schwingerの公式
𝑚𝑚2 + 𝑝𝑝𝑇𝑇2�
<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> = exp −𝜋𝜋[J.Schwinger 1951]
𝑔𝑔𝑔𝑔

レーザーの発展

Ａ: 一様定常な強い電場中においては、非摂動効果として、真空からのフェルミオン対生成が起きるだろう。
その検証に必要な強い電場は、今まさに、実験室で実現されはじめており、旬な話題だ。
この現象の理解は、QFTの真空や非摂動的性質、極限強度場中での粒子生成機構の理解につながり、興味深い。

2. 問題 --- なぜ「有限時間効果」を考えるのか？
問題: 実験的に作れる強い電場は、必ず「有限時間」である！

例) レーザー: time duration ∼ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 sec

高エネルギー重イオン衝突: time duration ∼ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 sec

予想: 1.で述べた 一様定常電場における素朴な「強い電場中におけるフェルミオン対生成」の理解は大きく変更を受ける。
𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

………

………

▶ 有限時間の電場ならば、無限回の多重散乱が効く時間はないので、単なる摂動現象に帰着するだろう。

𝑬𝑬

疑問1: 本当にそうか？本当ならば、非摂動↔摂動の描像の変化は、具体的に電場の時間幅𝝉𝝉の大きさとどう結びつくのか？
2𝑔𝑔𝑔𝑔
疑問2: 摂動的なとき、粒子生成数は、電場について、たかだかpowerの依存性 <vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in > = # × 2 しか持たないだろう。この影響は？
𝑚𝑚time

𝑬𝑬

4. 結果

3. 計算

STEP1: 任意の時間幅𝝉𝝉、電場の強さ𝑬𝑬で使えるFullな粒子生成数の表式を求める。

■ 生成粒子数 vs 時間幅𝝉𝝉
生成粒子数

理論: 電場との相互作用をFullに含む正準量子化
Lagrangian:
モード展開:/ − 𝑚𝑚 − 𝑔𝑔𝑔𝑔/ 𝜓𝜓ℒ = 𝜓𝜓� 𝑖𝑖𝑖𝑖

粒子の消滅演算子 反粒子の生成演算子as†3asasas��𝜓𝜓 = � � 𝑑𝑑 𝑝𝑝 +𝜓𝜓𝑝𝑝,𝑠𝑠 𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠 + −𝜓𝜓𝑝𝑝,𝑠𝑠 𝑏𝑏−𝑝𝑝,𝑠𝑠(as = in-state / out-state)𝑠𝑠/ − 𝒎𝒎 − 𝒈𝒈𝒈𝒈]𝝍𝝍を満たす正/負振動解/外場をFullに含むDirac方程式𝟎𝟎 = [𝐢𝐢𝝏𝝏

as=in/outの違い: inのモード関数 or 演算子は、outのそれのmix(Bogoliubov変換)になる。
∗out𝛼𝛼𝜓𝜓
𝑝𝑝+ 𝑝𝑝,𝑠𝑠=out−𝛽𝛽𝑝𝑝−𝜓𝜓𝑝𝑝,𝑠𝑠�𝑎𝑎� as = ( +𝜓𝜓 as , 𝜓𝜓)�𝑏𝑏� as = ( −𝜓𝜓 as , 𝜓𝜓)

𝛽𝛽𝑝𝑝∗

𝛼𝛼𝑝𝑝

in
𝜓𝜓+ 𝑝𝑝,𝑠𝑠𝜓𝜓 in− 𝑝𝑝,𝑠𝑠in: 正/負のmix

out𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠𝛼𝛼𝑝𝑝
=∗out
†
�
−𝛽𝛽𝑏𝑏−𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑝𝑝

𝛽𝛽𝑝𝑝
𝛼𝛼𝑝𝑝∗

out: 正だけ

in𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑏𝑏� in†

正正

time

−𝑝𝑝,𝑠𝑠𝜷𝜷はDirac方程式の解で決まるので、粒子生成数を求めることはDirac方程式を解くことに帰着！
ピーク値 𝐄𝐄𝟎𝟎

時間幅 𝝉𝝉

▶ 本研究では、Dirac方程式が解析的に解け、time有限時間の電場を体現するSauter型の電場
−𝟐𝟐 ⁄
𝐄𝐄=𝐄𝐄
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐡𝐡[𝐭𝐭 𝝉𝝉]Sauter型の電場:で議論する。
[F.Sauter 1932]𝟎𝟎

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜏𝜏−+−+Sinh2𝑔𝑔𝐸𝐸𝜏𝜏+𝑝𝑝(𝜏𝜏)−𝑝𝑝(𝜏𝜏)Sinh2𝑔𝑔𝐸𝐸
𝜏𝜏
−𝑝𝑝
𝜏𝜏+𝑝𝑝
Sauter000000 (𝜏𝜏)
22<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in >−−Sinh 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑝𝑝0 (𝜏𝜏) Sinh 𝜋𝜋𝜏𝜏𝑝𝑝0 (𝜏𝜏)±
ここで、𝑝𝑝0𝜏𝜏 =𝑚𝑚2 + 𝑝𝑝𝑇𝑇2 + (𝑝𝑝𝐿𝐿 ± 𝑔𝑔𝐸𝐸0 𝜏𝜏)STEP2: 摂動の最低次の表式、非摂動的なSchwingerの公式と比べる。
<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in > =2𝑬𝑬𝑝𝑝𝑧𝑧2= 1− 2𝑝𝑝0

�𝑔𝑔𝐸𝐸(2𝑝𝑝0)
4𝑝𝑝022

時間幅𝝉𝝉

疑問1の答

負32𝜋𝜋2out† out= 𝛽𝛽𝑝𝑝𝒏𝒏 の公式: <vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in > ≡ <vac;in|𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠 𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠 |vac;in >𝑉𝑉▶ 摂動の最低次の表式

時間幅𝝉𝝉

アナロジー: 1次元のポテンシャル散乱
粒子対生成の描像の”相図”

時間幅 𝝉𝝉 に応じて、粒子対生成の描像は、電場がいくら強くても、 𝝉𝝉が短い → 摂動、長い → 非摂動 と移り変わる。

具体的には、2つの無次元量 𝜸𝜸 = 𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 𝝉𝝉⁄𝒎𝒎と𝝂𝝂 = 𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 𝝉𝝉𝟐𝟐 の大小が重要。

疑問2の答

電場がそこまで強くなく(𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≲𝟏𝟏 )、時間幅も比較的短い(𝒎𝒎𝒎𝒎 ∼ 𝟎𝟎. 𝟔𝟔 )
ところで、Schwingerの公式で予想するよりもはるかに大きい摂動論的な粒子生成が生じる。

電場の強さ

生成粒子数のピーク値

生成粒子数が、摂動的生成はpower supp.
だが、非摂動的生成はexp supp. のため。

電場の強さ

5. 結論

▶ 強い電場中におけるフェルミオン対生成の有限時間効果を議論した。
▶ 時間幅𝝉𝝉に応じ、粒子対生成の描像は、 𝝉𝝉が短い→摂動/長い→非摂動と移り変わる。
Note: LOで対生成を起こすた�
めには、電場のFourier成分𝑬𝑬が𝝎𝝎 > 𝟐𝟐𝟐𝟐で非ゼロである必要。 ▶ 電場の強さと時間幅がそれ程大きくないとき、大きな摂動的な粒子生成が起こる。
� は電場のFourier変換
𝑬𝑬