美の背後に潜む数理
日本数学会市民講演会
平成24年3月25日
東京理科大学秋山仁

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O 数理と美Martin Gardner (Scientific American)“in many cases a dull proof can besupplemented by a geometric analogue so
simple and beautiful that the truth of a theorem
is almost seen at a glance.”2

Paul Halmos speaking of Solomon
Lefshetz,“He saw mathematics not as logic but as pictures.
Speaking of what it takes to be a mathematician,he stated: “To be a scholar of mathematics you
must be born with the ability to visualize”(Scientific American)

3

葛飾北齋の作品

4

レオナルド・ダ・ヴィンチの作品

5

エッシャー風貼り絵6デューラー（Dürer）の作品

7Ⅰ
この節では、 n次元単位球に内接するn次元多胞体について考える。（n≧2）（参考）
n＝2 ： 単位円に内接する多角形
n＝3 ： 単位球に内接する多面体
n≧4 ： n次元単位球に内接するn次元多胞体
8よく知られている結果
単位円に内接する正n角形を考える。
1頂点P1から他の頂点（P2～Pn）までの距離の積はnに等しい。
n∏| P P | = n
1 ii =29

2つの頂点 Pi と Pj の間の距離を d（i,j） と表す。
凸多面体Pがv個の頂点 P1 、…、 Pv を有するとき、Pの対角辺長の二乗和 α (P) は次のように定義される：

α ( P) = ∑(d (i, j )) 2 , Pi , Pj ,∈ V(P)P:

Q:2α ( P) = 4 ×（ 2）＋2 × 2 2＝8＋8＝16 = 4 22α (Q) = 6 ×12＋6 ×（ 3）＋3 × 2 2 = 6 2

Ｍ１10n ≧2に対し、n次元多胞体Pが2α ( P) = v を満たすとき、Pは均衡であるという。

112次元では、たとえば、正多角形はすべて均衡である

正17角形:

正18角形:

17 2 ＝289

18 2 ＝32412

均衡な３次元正多面体の例

α (c ) = 8 2

α (o ) = 6 2Ｍ213例）Pが正十二面体ならば、

α (P) = 20 2 = 400

144次元正120胞体は600個の頂点をもつ。
よって、
α = 600 2600 2 ＝360000
15

定理 1(Elemente Der Math., J.A. + 佐藤郁郎(2012)
n次元単位球に内接するn次元正多胞体Pを考える。その頂点の個数をvとおく。
すると、任意の次元n(n≧2)に対して、α (P) = v 2
すなわち、Pは均衡である。

16

系１Pを単位超球に内接するn次元多胞体とし、
Σpｊ=0であるとする。このとき、Pは均衡である。

17

正多角形を面としてもつ均衡な3次元多面体
正多面体（5種類）

すべて準正多面体（13種類）

すべてアルキメデスの正角柱（無数）アルキメデスの反角柱（無数）すべてジョンソン・ザルガラーの多面体 J27,J34,J37,J72（92種類のうち８個）
J73,J74,J75,J80
188種類の均衡なジョンソン・ザルガラーの多面体

J27

J34

J37

J72

J73

J74

J75

J8019定理 2(Elemente Der Math., J.A.+ 佐藤郁郎 (2012)
n次元単位球に内接するn次元多胞体Pを考える。その頂点の個数をvとし、外心と重心の間の距離をcとおく。
するとすべての次元n(n≧2)に対して、次の事実が成立つ：
α ( P) = v 2 (1 − c 2 )20

変身図形の問題はH.デュードニー(Dudeney)の著したカンタベリー・パズルの中のある問題に端を発する。
CGＭ4

PとQを凸多角形とする。PがQに内外逆転変身可能であるとは、Pが有限個の断片に分割され、それらの断片がハトメで樹木状につなげ、それらを並べ替えてQを得ることができることである。但し、(1)分断線はPやQの頂点を通らないものとし、(2)Ｐの境界はＱの内部に隠れ、Ｑの境界はＰの内部から構成されていなければいけない。
21

定理 3 (Algor. & Comb. 25, J.A. (2007))
PがQに内外逆転変身可能ならば、 PとQは各々平行移動と180度回転のみによって平面を隙間なく敷き詰めることができる。

Ｐ： 青い三角形，

Ｑ： 赤い四角形
22

PがQに内外逆転変身可能なとき、定理3は「Pを分割してQを得る方法」を示唆している。

23αによる平面充填24βによる平面充填25αによる平面充填＋βによる平面充填Ｍ626

αによる平面充填＋βによる平面充填27

多面体のネットとは多面体の表面を切り開くことによって得られる連結平面図形のことである。

28

多面体Pのすべてのネットが平面を敷詰めるとき、Pはタイル製造器であるという。

定理 4 (Amer. Math. Monthly, J.A.(2007))
正四面体はタイル製造器である
Ｍ3
29

定理４を応用したタイル張り作品30

定理４を応用したタイル張り作品

31

Ⅳ 平行多面体の元素数多面体の集合ΣとΩを考える。
Σのどの多面体も、 Ωに属する有限個の多面体の面と面を張り合わせて作れるとき、 Ω をΣの元素集合と言い、E(Σ)と書く。

∀P ∈ ∑,
ただし、ni ∈ Ζ,

P =  niσ iσ i ∈ Ω.
32

Σの元素数e(Σ)とは、 Σの元素集合の要素数のうち最小のものである。

e (Σ) = min Ω ,Ω ∈ E (Σ)

元素集合の要素のことを元素という。

33

平行多面体は以下の5つの族から成る（Fedorov）。
平行六面体

菱形十二面体

Parallelopiped(PP)Rhombic Dodecahedron (RD)

長菱形十二面体
Ｍ1

斜六角柱

Elongated Rhombic

切頂八面体

Hexagonal Prism(HP)

Dodecahedron(ERD)

34
Truncated Octahedron(TO)これら五種類の族に属する立体は、どれも平行移動のみで空間を隙間なく詰め込むことができる、すなわち、空間充填立体である。

35

平行多面体による空間充填36

定理 5 (to appear in “Intuitive Geom”. J.A. + 小林みどり +中川宏 + 中村義作 + 佐藤郁郎)

平行多面体の5つの族の元素数は1である。すなわち、すべての平行多面体（の標準形）は下図の五面体（ペンタドロン）の面と面を貼り合せて作ることができる。
ペンタドロン
2226642363 24222

演示

2Ｍ2Ｍ337変身図形と同様の定義を多面体にも適用し、多面体の表裏逆転変身問題を考える。
定理 6 (To appear in “Proc. of the XIV Spanish
Conf. on Comp. Geom.” J.A. + 佐藤郁郎 + 成晛宇)Let Π be the set of the five Platonic 1, σ2, σ3, σ4. Then Φ = {σ1, . . ., σ4} is an element

set for Π, and the decomposition of each Platonic solid,
五種類の平行多面体の族をそれぞれF（平行六面体）、
F
into these elements is summarized in Table 3.
12 （六角柱）、F3 （切頂八面体）、F4 （菱形十二面体）、F5 （長菱形十二面体）で表す。任意のi、j(1 i, j 5)に関して、表裏逆転変身可能な多面体の対 PとQが存在する。
38

39

40

41

42

定理 7 (Geom.Dedicata.(2010), J.A.+佐藤郁郎)
Πを五種類の正多面体の集合とする。Πの元素数は4である。正Let Π be the set of the five Platonic solids, and denote a regular tetrahedron, an四面体（regulartetrahedron）、エクイヘプタ（equihepta）、黄金equihepta,
a golden tetra,
and a roof, respectively, by σ1, σ2, σ3, σ4. Then Φ = {σ1, . . .,σ4}
is an element set fortetra）、屋根型多面体（roof）をそれぞれσ1、σ2、Π, and the decomposition of each Platonic solid
四面体（golden
into these elements is summarizedin Table
3. σ3, σ4}はΠの元素集合であσ3、σ4と表す。するとΦ
= {σ1,σ2,り、これら4つの元素による各々の正多面体の構成は次の表のようになる。

σ1σ2σ3σ443表: 正多面体の構成
正多面体

元素による構成正4面体

σ1正6面体（立方体）σ1∪4(σ2∪3σ3) = σ1∪4σ2∪12σ3

正8面体8(σ2∪3σ3) = 8σ2∪24σ3

正12面体

σ1∪4σ2∪12σ3∪6σ4

正20面体

8σ244この証明ではデーン不変量の概念を用いる。
ϕをℝ からℚ へのℚ-線型写像でϕ (1) = 1を満たすとする。
また f をℝ からℝ へのℚ-線型写像 f (π) = 0を満たすとする。
ℝ からℚ へのℚ-線型写像はℝ のℚ-基底でおける関数値が決まれば一意に定まることに注意せよ。Pの各辺をe1、 e2 、...、en で表し、それぞれの辺eiに対応する二面角をδiと表す。
ここで、Pのデーン不変量を、次のように定義する。

fϕ ( P ) : =n∑ ϕ (ei ) f (δ i ).
i =1

fϕ の値は写像 ϕ と f に依存する。

定理 A (M.デーン) Pが有限個の多面体A1、A2、…、As に分割できるとき、任意のℚ-線型写像ϕ と f に関して、

fϕ ( P ) = fϕ ( A1 ) +  + fϕ ( As ).
45

証明のあらすじ(1) この証明は背理法による。すべての正多面体が3種類の多面体A1、A2 、A3によって構成できると仮定する。ここで正4面体をT、正6面体をC、正8面体をO、正12面体をD、正20面体を Iで表す。
(2) 任意のℚ-線型写像 ϕ と f に関して f (T)、 f (D) 、 f (I)はℚ-線ϕϕϕ型独立である。
(3) T、D、Iの二面角をそれぞれτ、δ、ηと表す。その値はそれぞれarccos(1/3)、 arccos ( − 5 / 5) 、arccos ( − 5 / 3)である。
ここでτ、δ、η、πがℚ-線型独立であることを示す。
46

(4) (3)より、ℚ-線型写像ϕ と f を次のように定義できる。
fϕ(T) = nT × τ
fϕ(D) = nD × δfϕ( I ) = nI × η,
ただし、 nT 、nD 、nI は自然数。
(5) (4)の式から、fϕ(T)、fϕ(D)、fϕ( I )はℚ-線型従属で、τ、δ、ηがℚ線型独立であるという先の結論と矛盾する。

47n次元正多胞体の集合Πnの元素数
４次元正多胞体 Π448

Πn をすべての正n－多胞体の集合とする。
8 (Geom.Dedicata.(2011),
J.A.a+一松信+佐藤郁郎)
Let定理
Π be theset of the five Platonic solids, and denote
regular tetrahedron, anequihepta, a golden tetra, and a roof, respectively, by σ1, σ2, σ3, σ4. Then Φ = {σ1, . . .,正4-多胞体の元素数は4であり、nn-正多胞体σ4}
is an element set for Π, and the decomposition≧of 5に対して、
each Platonic solidthese elements is summarized in Table 3.
Πintoの元素数は3である。
n次元 n234≧5n－正多胞体の個数∞563

元素数 e(Πn)∞
44349