ことばとしての数学：
楕円関数の源流としての弾性曲線論から学ぶこと

日本数学会

2019年度秋季 市民講演会
２０１９年９月１６日（月）

松谷茂樹
金沢大学

電子情報通信学系

略歴
1990

2000

2010

2019
2015/31988
静岡大学修士（素粒子論）

キヤノン（株）数理工学研究室 室長

佐世保
高専

部長

新規デバイス，新規材料の数理解析 (実験データ解析、
画像解析、数学モデル化、シミュレータ開発、解析):（電子放出素子，ナノ微粒子材料，Inkjet printer，
光学材料（量子化学，高分子物理）など） 特許多数

横国大セミナー（玉野研一先生（一般位相）、今野紀雄先生（確率））戸田セミナー・都立大セミナー（薩摩先生・時弘先生・斉藤先生…）

可積分系（幾何）1995 ▲都立大 論文博士（素粒子論）

弾性曲線（Elastica）の統計力学
John McKay氏

代数曲線のアーベル関数論の再構築
大西良博氏

Emma Previato氏

金沢大学

略歴
1990

2000

2010

2019
2015/31988
静岡大学修士（
素粒子論）

佐世保
高専

キヤノン（株）数理工学研究室 室長

部長

新規デバイス，新規材料の数理解析 (実験データ解析、
画像解析、数学モデル化、シミュレータ開発、解析):（電子放出素子，ナノ微粒子材料，Inkjet printer，
光学材料（量子化学，高分子物理）など） 特許多数

産業数学・応用数学

数理物理
横国大セミナー（玉野研一先生（一般位相）、今野紀雄先生（確率））戸田セミナー・都立大セミナー（薩摩先生・時弘先生・斉藤先生…）

可積分系（幾何）1995 ▲都立大 論文博士（素粒子論）

弾性曲線（Elastica）の統計力学
John McKay氏

純粋数学

代数曲線のアーベル関数論の再構築
大西良博氏

Emma Previato氏

金沢大学

電子デバイス解析
１．M. Okuda, Shigeki Matsutani,A. Asai, A. Yamano, K. Hatanaka, T. Hara and
T. Nakagiri, Electron trajectory analysis of surface condction electron
emitter displays(SEDs) (invited talk), SID 98 Digest, (1998) 185-188
２．S. Matsutani, M. Okuda and A. Asai, Dynamics of electrons in half-space withcylindrical electro-static field, Jpn J. Ind. Appl. Math., 18 (2001) 777-790,

計算流体力学
１．S. Matsutani, K. Nakano, and K. Shinjo, Surface tension of multi-phaseflow with multiple junctions governed by the variational principle,
Math. Phys. Analy. Geom. 14 (3) (2011) 237-278
２．Shigeki Matsutani, Sheaf-theoretic investigation of CIP-method,
Appl. Math. Comp. 217 (2) (2010) 568-579

ナノ材料の数値解析
１．S. Matsutani, Y. Shimosako and Y.Wang, Fractal Structure of Equipotential
Curves on a Continuum Percolation Model Physica A 391 (23) (2012)
5802-5809, Dec. 1, 2012, arXiv:1107.2983.
２. S. Matsutani, Y. Shimosako and Y. Wang, Numerical Computations of
Conductivities over Agglomerated Continuum Percolation Models,数理物理
１．S Matsutani and H Tsuru, Reflectionless quantum wire,
J. Phys. Soc. Jpn., 60 (11) (1991) 3640-3644, Nov. 15, 1991.
２. S. Matsutani and H. Tsuru, Physical relation between quantum mechanics andsoliton on a thin elastic rod, Phys. Rev. A, 46 (1992) 1144-1147.
３．S. Matsutani, Quantum field theory on curved low dimensional spaceembedded in three dimensional space Phys. Rev. A, 47 (1993) 686-689,.
４. S. Matsutani, The Physical meaning of the embedded effect in the quantum
submanifold system, J. Phys. A: Math. & Gen., 26 (19) (1993) 5133-5143.
５．S. Matsutani, Anomaly on a submanifold system: new index thoerem related
to a submanifold system, J. Phys. A: Math. & Gen., 28 (5) (1995) 1399-1412.
６．S. Matsutani and A. Suzuki, Hopping conductivity associated with activationenergy in disordered carbon, Phys. Lett A, 216 (1-5) (1996) 178-182.
７．S. Matsutani, A constant mean curvature surface and the Dirac operator, J.
Phys. A: Math. & Gen., 30 (11) (1997) 4019-4029.
８．S. Matsutani, Statistical mechanics of elastica on a plane: origin of the MKdV
hierarchy, J. Phys. A: Math. & Gen., 31 (11) (1998) 2705-2725.
９．S. Matsutani, On density of state of quantized Willmore surface :a way to aquantized extrinsic string in R3, J. Phys. A, 31 (1998) 3595-3606.
10．S. Matsutani and Akira Suzuki, Apparent metal-insulator transition indisordered carbon, Phys. Rev. B, 62 (21) (2000) 13812-13815.

代数曲線のアーベル関数論
1. S. Matsutani, Hyperelliptic loop solitons with genus g:
investigation of a quantized elastica, , J. Geom. Phys., , 43
(2002) 146-162,
2. J.C. Eilbeck, V.Z. Enol'skii, S. Matsutani, Y. O^ nishi, and E. Previato,
Addition formulae over the Jacobian pre-image of hyperelliptic
Wirtinger varieties, Journal four die reine und angewandte
Mathematik (Crelles Journal), (2008) 2008 No. 619 37-48
3. S. Matsutani, E. Previato A generalized Kiepert formula for Cab
curves, Israel J. Math., 171 (2009) 305-323,
4. S.Matsutani E. Previato, Jacobi inversion on strata of the Jacobian of
the Crs curve yr = f (x), II,
J. Math. Soc. Japan, 60 (2008) 1009-1044, 66 (2014) 647-691,
5. J. Komeda, S. Matsutani and E. Previato, The Riemann constant for anon-symmetric Weierstrass semigroup,
Archiv der Mathematik 107 (2016) 08519
アーベル関数論 19本 (since 2002) 全論文数

83本 (since 1991)

数理物理、応用数学、純粋数学の研究者として
また、企業の現場の経験者として、
1. 数学はどう役に立っているのか？
2. 数学はどう社会と向き合うべきか？
3. 社会は如何に数学と向き合うべきか？
という問いの答を見出すべき！

線型代数学周遊～応用をめざしてものづくりの数学のすすめ

２０１３年出版

２０１７年出版

ものづくりの数学
ものづくりの数学とは製造業に関わる数学ものづくりの数学
経営・企画
OR,データ解析
最適化、ゲーム理論

量産
OR最適化

ソフト開発
暗号・符号

材料・デバイス開発

数値シミュ
レーション
データ解析

数理解析
現代数学の
現場課題へ
の適用

電気機器の貿易収支の推移
2000年
7.8兆円
2007年
7.1兆円

2018年
1.8兆円

「ものづくり白書2018」より

日本の製造業の外貨獲得力は落ちてきている日本のビジネスモデル
日本
貿易
黒字

輸入
原材
料

輸出

加工

付加
価値
原材
料分

（精緻・精密）現在の状況（システム商品の輸入国）
欧米・韓国

日本
個々の部品
（デバイス）

輸入
原材
料

輸出

貿易
黒字

付加価値

原材
料分

加工
（精緻・精密）技術のコモディティ化で個々の価値と量が低下

付加
価値

日本
付加
価値

システム

付加価値

（大胆／
トップダウン／タイムリー）

原材
料分

再輸入

システム価値によってビジネスモデルが成り立たなくなっている

黒
字

赤
字
貿易収支

システム商品の輸入国

「2019年度 ものづくり白書」経産省、厚労省、文科省
社会の構造が劇的に変化し、必要とされる知識も急激に変化し続けることが予想される中、初等中等教
育段階において学びの基盤を固めると共に、技術革新や価値創造の源となる飛躍知を発見・創造し、それらの成果と社会課題をつなげ、新たな社会を牽引する人材の育成が高等教育段階において必要「2019年度 ものづくり白書」経産省、厚労省、文科省【新たな社会をけん引する人材育成】
１．Society5.0に向けた人材育成〇高等教育段階においては、どの学部に進学しても必要となる数理的思考力とデータ分析・活用能
力を身に付けるための全学的な数理データサイエ
ンス教育の推進や、リカレント教育を含む産学が連携した実践的な教育プログラムの開発・実施とそれらを支える実務家教員を育成・活用するシステムの構築などを……人材育成を推進〇各大学などが、時代の変化に応じ多様な教育プ
ログラムを迅速かつ柔軟に編成できるよう、…

技術の高度な発展により、２１世紀の社会は大きく変貌し、技術を数学が支える時代になってきている
・数学はどう役に立っているのか？
・数学はどう社会と向き合うべきか？
・社会は如何に数学と向き合うべきか？

技術と数学？
ダ・ヴィンチ「工学は数学的科学の楽園である．何となればここでは数学の果実が実るから．」
フッサール（ワィエルシュトラスの弟子）「幾何学は測量技術者の言葉を極限操作したもの」

技術と数学？
ダ・ヴィンチ「工学は数学的科学の楽園である．何となればここでは数学の果実が実るから．」

２１世紀の工学には
２１世紀の数学が必要

科学・技術のことばとしての数学

１９世紀まで

偉大な数学者＝偉大な科学者／技術者
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
１８世紀：オイラー
１９世紀：ガウス

１９世紀まで

偉大な数学者＝偉大な科学者／技術者
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
１８世紀：オイラー
１９世紀：ガウス

オイラー スイス 10 フラン 紙幣

https://ja.wikipedia.org/

１９世紀まで

偉大な数学者＝偉大な科学者／技術者
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
１８世紀：オイラー
１９世紀：ガウス

オイラー スイス 10 フラン 紙幣
裏面は発電用水車の絵（リンク機構）https://ja.wikipedia.org/

１９世紀まで

偉大な数学者＝偉大な科学者／技術者
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
１８世紀：オイラー
１９世紀：ガウス

１９世紀末に困難
・従来の数学の研究スタイルでは厳密性が保証できない・厳密性を追求できる専門家が必要

１９世紀まで

偉大な数学者＝偉大な科学者／技術者
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
１８世紀：オイラー
１９世紀：ガウス
１９世紀末に困難
・従来の数学の研究スタイルでは厳密性が保証できない・厳密性を追求できる専門家が必要

２０世紀 科学者・技術者
数学専門家（数学利用者）

１９世紀まで

偉大な数学者＝偉大な科学者／技術者
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
１８世紀：オイラー
１９世紀：ガウス
１９世紀末に困難
・従来の数学の研究スタイルでは厳密性が保証できない・厳密性を追求できる専門家が必要

２０世紀 科学者・技術者 1924年
数学専門家
C.H.
数理物理の方法（数学利用者）

当時，物理・工学で必要となる数学全般が提示された

１９世紀まで

偉大な数学者＝偉大な科学者／技術者
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
１８世紀：オイラー
１９世紀：ガウス
１９世紀末に困難
２１世紀に入って、C.H.だけでは「ことば」が足りな
・従来の数学の研究スタイルでは厳密性が保証できない・厳密性を追求できる専門家が必要くなってきている！
２０世紀 科学者・技術者 1924年
数学専門家
C.H.
数理物理の方法
２１世紀は数学の時代（数学利用者）
当時，物理，工学で必要となる「ことば」としての数学を如何に活用すべきか？
数学全般が提示された２１世紀は数学の時代
科学・技術と数学を如何に融合するのか？

２１世紀は数学の時代
・「ことば」としての数学を如何に活用すべきか？
・科学・技術と数学を如何に融合するのか？
２０世紀は分離・細分化することで発展をした！
⇒ノウハウは伝承されていない

温故知新！
２０世紀

１９世紀以前に学べ！

ガウス （１７７７－１８５５）

1777年 誕生
1797年 カロリナ高等学校卒業
1799年 Helmstedt大学哲学博士
1801年 整数論(算術研究)出版
1802年 ペテルブルク天文台の台長
1807年 ゲッティンゲン天文台長兼天文学教授
1855年 逝去

整数論(算術研究)(1801年)

https://library.si.edu/digitallibrary/book/disquisitionesa00gaus整数論(算術研究) (1801年)

https://library.si.edu/digital-library/book/disquisitionesa00gaus整数論(算術研究) (1801年)
２章：27 ガウス括弧，28 連分数

整数論：連分数
連分数
ガウス括弧整数論：連分数

数(値)が定まる

整数論：連分数

省略記法
一般に連分数はどういう数(値)となるのか？

整数論：連分数

ガウス括弧1777年 誕生
1797年 カロリナ高等学校卒業
1799年 Helmstedt大学哲学博士
1801年 整数論(算術研究)出版
1802年 ペテルブルク天文台の台長
1807年 ゲッティンゲン天文台長兼天文学教授

天文学・光学（望遠鏡の設計）

光学（望遠鏡の設計）

1840年
ガウス光学として知られている

光学（望遠鏡の設計）
光線の軌道の計算アルゴリズム

ガウス括弧を使ってレンズの設計方法を提示した
数学を「ことば」として利用した

光学（望遠鏡の設計）
光線の軌道の計算アルゴリズム

数論のPSL(2,Z)と、光学のSL(2,R)=Sp(2,R)
活用することでシンプレクティック構造との関係を解明した 使うことで深みを増す

整数論のガウスの和 (1806)
その知見を天体の軌道計算へ適用し「高速フーリエ変換」を発見し計算を実行した。
一次方程式の解法に、レゾルベントを利用（D+H)-1=D-1(IーD-1 H＋…）
ガウスは、整数論（算術）の知見を惜しみなく利用し、望遠鏡の開発・天体研究・電磁気研究などを実施した→ 使うことで数学に磨きをかけた数学は科学の女王であり，算術は数学の女王である．この女王は威張ることなく，天文学やその他の科学を助けるが，すべての関係の中で，この女王は第一級の価値を与えられている
山下純一訳「数学は燃えているか」「数学（算術）が科学・技術の「ことば」として活躍し、科学・技術の構造や法則を決めている」と見ていたのでは？！

フッサール（ワィエルシュトラスの弟子）「幾何学は測量技術者のことばを極限操作したもの」

楕円関数の源流

ベルヌーイ・オイラーの弾性曲線論
楕円関数の源流は建築技術である建造物の梁の形状の数学
ピアノ線の形状の数学

弾性曲線問題

１５世紀

レオナルド・ダ・ヴィンチ(1452-1519)

弾性曲線問題

１５世紀

Leonardo da Vinci (1452-1519) drew the pictures of bent beams

C. Truesdell Essays in the History of Mechanics(MS A45v., courtesy of the Institut de France)弾性曲線問題

１６世紀

ガリレオ・ガリレイ (1564-1654)

弾性曲線問題

１６世紀

曲がった梁の問題を考察
A problem of cantilever.
新科学対話(上)岩波文庫
C. Truesdell, The Rational Mechanics of flexible or elastic bodies 1638-1788

弾性曲線問題

１７世紀

平面上の 弾性曲線(太さゼロの弾性棒)の形状を数学的に示せ! (1691)

ヤコブ・ベルヌーイ (1654-1705)

命題:(ヤコブ・ベルヌーイ(1694))
1. 弾性曲線に働く力は曲率半径に反比例する．
2．１を実現する形状 ZR = XR + iYR は以下を満たす

Ys

X
C. Truesdell Essays in the History of Mechanics (Acta Eruditoru 1694 June)命題:(ヤコブ・ベルヌーイ(1694))
1. 弾性曲線に働く力は曲率半径に反比例する．
2．１を実現する形状 ZR = XR + iYR は以下を満たす

レムニスケート積分

C. Truesdell Essays in the History of Mechanics (Acta Eruditoru 1694 June)レムニスケート積分

このグラフは？

y
x

y
x

y
x

y
x
で

y
x
x=±1, ±√-1で y=0

y
-1

0 1

3

x

y
-1

0 1

3

x

x,yを複素数で考えると？

x→ x +x’√-1, y→ y +y’√-1y・x,y,x’,y’の４つの自由度がある
・関係式：実部と虚部で２自由度の拘束x
・２自由度残って、２次元曲面-1・実部のところでは元のグラフ
0 1
3x,yを複素数で考えると？

x→ x +x’√-1, y→ y +y’√-1y気持ち（厳密ではありません）

xx,yを複素数で考えると？

x→ x +x’√-1, y→ y +y’√-1y気持ち（厳密ではありません）

x
楕円曲線：
穴が一つある浮き輪

y

レムニスケート積分に関わる

楕円曲線：
穴が一つある浮き輪

x

y

y

x

穴なしのボールx

穴一つの浮き輪この楕円曲線に関わる
積分：楕円積分というy

レムニスケート積分に関わる

楕円曲線：
穴が一つある浮き輪x命題:(ヤコブ・ベルヌーイ(1694))
1. 弾性曲線に働く力は曲率半径に反比例する．
2．１を実現する形状 ZR = XR + iYR は以下を満たす

パラセントリック曲線問題の解決

長方形弾性曲線
C. Truesdell Essays in the History of Mechanics (Acta Eruditoru 1694 June)

長方形弾性曲線

Lectures in the History of Mathematics, H.J.M.Bos

命題:(ヤコブ・ベルヌーイ(1694))
1. 弾性曲線に働く力は曲率半径に反比例する．
2．１を実現する形状 ZR = XR + iYR は以下を満たす

C. Truesdell Essays in the History of Mechanics (Acta Eruditoru 1694 June)命題:(ヤコブ・ベルヌーイ(1694))
1. 弾性曲線に働く力は曲率半径に反比例する．
2．１を実現する形状 ZR = XR + iYR は以下を満たす

レムニスケート曲線(リボン飾り)レムニスケート積分

レムニスケート曲線の弧長も示す
Lemniscate(x 2 + y 2)2 = 2a2(x 2 − y 2)

17世紀

ヤコブの弾性曲線
18世紀

レムニスケート

ファニャーノ(1682–1766)

数学史の通説オイラー(1707-1783)

ヤコブの弾性曲線
18世紀

レムニスケート

19世紀

楕円積分論

楕円関数論/楕円曲線論

数学史の通説ヤコブの弾性曲線
18世紀

レムニスケート
オイラーの弾性曲線

19世紀

楕円積分論

楕円関数論/楕円曲線論

弾性曲線問題
１８世紀

ダニエル・ベルヌーイ(1700-1782)

1738年
命題：ダニエル・ベルヌーイ
弾性曲線の形状は、エネルギーを最小化するように定まる
ただし、R(s)は曲率半径弾性曲線問題レオンハルト・オイラー(1707-1783)

オイラー(1744)
変分法を開発し、ダニエルの発見に従い、弾性曲線の形状を完全に分類した・変分法(方法)
・曲線論

δE ＝０
δX
L Euleri Opera Omnia XXIV 1952

「方法」の付録でオイラーは弾性曲線問題を解いた

オイラーの解パラメータ：α,β,γ,λL Euleri Opera Omnia XXIV 1952

「方法」の付録でオイラーは弾性曲線問題を解いた

オイラーの解ヤコブの解パラメータ：α,β,γ,λL Euleri Opera Omnia XXIV 1952

「方法」の付録でオイラーは弾性曲線問題を解いた

オイラーの解パラメータ：α,β,γ,λ様々な楕円曲線に対応した積分
パラメータの空間（モデュライ）の次元が１次元であることを見抜く
L Euleri Opera Omnia XXIV 1952

オイラー(1744)
変分法を開発し、ダニエルの発見に従い、弾性曲線の形状を完全に分類した・変分法(方法)・曲線論
・楕円積分・楕円曲線の分類｛α,β,γ,λ｝
本質的に１次元・楕円積分の数値的実行

L Euleri Opera Omnia XXIV 1952

弾性曲線（オイラーによる分類）
Y

X

オイラーの数値解析(1744)
C. Truesdell, Bull. AMS, 1983 9(3):293–310, L Euleri Opera Omnia XXIV 1952

弾性曲線（オイラーによる分類）Y

X

現代的には，

オイラーの数値解析(1744)
Z(s)=X(s)+iY(s)=ζ(s)+as:
楕円ζ関数
C. Truesdell, Bull. AMS, 1983 9(3):293–310, L Euleri Opera
Omnia XXIV 1952
X(s)=∂slog( (s)＋a)+X0: 楕円 p関数p弾性曲線（オイラーによる分類）YX

図示したことでオイラーの数値解析(1744)
X方向の周期性とY方向の擬周期性を明示した
C. Truesdell, Bull. AMS, 1983 9(3):293–310, L Euleri Opera Omnia XXIV 1952
弧長s(X)の逆関数X(s)の萌芽／等分点の萌芽

弾性曲線問題
平面上の 弾性曲線(太さゼロの弾性棒)の形状を数学的に示せ! (1691)
１７世紀

ヤコブ・ベルヌーイ (1654-1705)

ヤコブ・ベルヌーイの問題提示
レムニスケート積分の発見
YsX

ダニエル・ベルヌーイの最小化問題の発見

ヤコブの問題
平面上の 弾性曲線(太さゼロの弾性棒)の形
状を数学的に示せ! (1691)

オイラーの数値解析(1744)

ヤコブの問題
平面上の 弾性曲線(太さゼロの弾性棒)の形
状を数学的に示せ! (1691)

変分法、楕円積分の理論を構築して、この問題を完全に解決した！
オイラーの数値解析(1744)

ヤコブの弾性曲線
18世紀

レムニスケート
オイラーの弾性曲線

19世紀

楕円積分論
・モデュライの次元・図示したことで周期性と擬周期性
逆関数の萌芽等分点の萌芽・ルジャンドル関係式

楕円積分から楕円関数
レムニスケート積分に内在する代数構造（和/差/n倍）の発見
1751年12月23日

ファニャーノ(1682–1766)

オイラー(1707-1783)

楕円積分から楕円関数
レムニスケート積分に内在する代数構造（和/差/n倍）の発見
1751年12月23日

ヤコビ

アーベル

ガウス

(1804–1851)(1802–1829)(1777–1855)

ヤコブの弾性曲線
18世紀

レムニスケート
オイラーの弾性曲線

19世紀

楕円積分論

楕円関数論/楕円曲線論

ヤコブの弾性曲線
18世紀

レムニスケート
オイラーの弾性曲線

19世紀

楕円積分論

楕円関数論/楕円曲線論
数理物理

整数論

代数幾何
小平 楕円特異曲線→フィールズ賞

戸田方程式

フェルマー
の大定理

楕円暗号

広中 特異点の解消→フィールズ賞

弾性曲線問題
変分法
弾性体論

代数的
位相幾何
弾性曲線
問題

数値計算

曲線論
微分幾何
曲線論
代数幾何

楕円関数論
楕円曲線の
モデュライ

一つの数学分野に収まらない

温故知新の答え！

オイラー・ベルヌーイの弾性曲線の研究からは０．対象の（物理的）本質を理解する
１．問題を解く際に手段を選んではならない
ことばがなければ、作ってでも表現する
２．繊細な数学的事実を決して蔑ろにしないという精神が読み取れる⇒ この精神を受け継ぎたい！

弾性曲線の統計力学とアーベル関数論の再構築
DNAの形状の理解から始まる

弾性曲線の統計力学とは

200nm

DNAの原子間力顕微鏡像：
http://www1.udel.edu/chem/bahnson/chem645/
websites/Sapra/Supercoiling.html

弾性曲線の統計力学とは二重らせん構造

超らせん構造DNAは・二重らせん構造
・超らせん構造

弾性曲線の統計力学とは二重らせん構造

超らせん構造DNAは・二重らせん構造
・超らせん構造弱い弾性力が働いている弾性曲線（オイラーのリスト）との比較

オイラーのリストにない→ 温度の影響ではないか？
→ 弾性曲線の統計力学を考える

弾性曲線の統計力学とは形状のパラメータ空間（モデュライ）に適当な位相を入れ、オイラー・ベルヌーイ エネルギー汎関数のボルツマン重みから定まる測度により、上記積分を定式化し、積分を実行せよ

略歴
1990

2000

2010

2019
2015/31988
静岡大学修士（素粒子論）

キヤノン（株）数理工学研究室 室長

佐世保
高専

部長

新規デバイス，新規材料の数理解析 (実験データ解析、
画像解析、数学モデル化、シミュレータ開発、解析):（電子放出素子，ナノ微粒子材料，Inkjet printer，
光学材料（量子化学，高分子物理）など） 特許多数

横国大セミナー（玉野研一先生（一般位相）、今野紀雄先生（確率））戸田セミナー・都立大セミナー（薩摩先生・時弘先生・斉藤先生…）

可積分系（幾何）1995 ▲都立大 論文博士（素粒子論）

弾性曲線（Elastica）の統計力学
John McKay氏

代数曲線のアーベル関数論の再構築
大西良博氏

Emma Previato氏

金沢大学

弾性曲線の統計力学とはDNAの数学モデル曲線の変形はMKｄV階
層に従う(M(1997) M-Onishi(2001), M-Previato (2015））nnn
MKｄV階層は、超楕円関数解を持つ

弾性曲線の統計力学とは形状のモデュライに適当な位相を入れ、オイラー・ベルヌーイ エネルギー汎関数のボ
ルツマン重みから定まる測度により、上記積分を定式化し、積分を実行せよ
オイラー・ベルヌーイの

弾性曲線論

弾性曲線の統計力学

エネルギーの最小点を考察

エネルギーをボルツマン重みで和を計算

形状は楕円ζ関数で記述

形状は超楕円ζ関数で記述

パラメータ空間はパラメータ空間は楕円曲線のモデュライ空間

超楕円曲線のモデュライ空間
＋
＋……

＋

＋

弾性曲線問題
変分法
弾性体論

代数的
位相幾何
弾性曲線
問題

数値計算

曲線論
微分幾何
曲線論
代数幾何

楕円関数論
楕円曲線の
モデュライ

一つの数学分野に収まらない

弾性曲線の統計力学問題
弾性体論

汎関数
積分
代数的
位相幾何
弾性曲線の
統計力学

数値計算

曲線論
微分幾何

超楕円関数論
アーベル関数論

超楕円曲線
曲線論
代数幾何

のモデュライ

一つの数学分野に収まらない

弾性曲線の統計力学とは数学的には、調和写像の圏でループ空間Mの幾何学構造を理解し、調和写像（ボルツマン重み）から定まる自然な位相、ボレル位相、測度を決定せよ
弾性曲線の統計力学は(実平面曲線のモデュライにボレル集合族の構造を与えたい)・超楕円関数・超楕円曲線のモデュライの幾何・超楕円関数の数値データにより分類/表示することで完全に解決できる

M 1997, M-Onishi 2003, M-Previato 2015

数学専門家

科学者・技術者
２０世紀 （数学利用者）

超楕円関数論の完成は19世紀末の困難の一つであった⇒ 抽象化と厳密化により乗り越えた！
しかし、具体性は不十分なまま

弾性曲線の統計力学とは数学的には、調和写像の圏でループ空間Mの幾何学構造を理解し、調和写像（ボルツマン重み）から定まる自然な位相、ボレル位相、測度を決定せよ
弾性曲線の統計力学は(実平面曲線のモデュライにボレル集合族の構造を与えたい)

しかし、超楕円関数論は楕円関数
・超楕円関数論と同レベルの精緻性と具体性を・超楕円曲線のモデュライの幾何
もっていない・超楕円関数の数値データにより分類/表示することで完全に解決できる

M 1997, M-Onishi 2003, M-Previato 2015

弾性曲線の統計力学とは数学的には、調和写像の圏でループ空間Mの幾何学構造を理解し、調和写像（ボルツマン重み）から定まる自然な位相、ボレル位相、測度を決定せよ
弾性曲線の統計力学は(実平面曲線のモデュライにボレル集合族の構造を与えたい)

しかし、超楕円関数論は楕円関数
オイラー・ベルヌーイの弾性曲線の研究の指針
・超楕円関数論と同レベルの精緻性と具体性を・超楕円曲線のモデュライの幾何０．対象の（物理的）本質を理解する
もっていない・超楕円関数の数値データ

１．問題を解く際に手段を選んではならない
により分類/表示することで完全に解決できる
ことばがなければ、作ってでも表現する
２．繊細な数学的事実を決して蔑ろにしない

M 1997, M-Onishi 2003, M-Previato 2015

弾性曲線の統計力学とは数学的には、調和写像の圏でループ空間Mの幾何学構造を理解し、調和写像（ボルツマン重み）から定まる自然な位相、ボレル位相、測度を決定せよ
弾性曲線の統計力学は(実平面曲線のモデュライにボレル集合族の構造を与えたい)

しかし、超楕円関数論は楕円関数
・超楕円関数論と同レベルの精緻性と具体性を・超楕円曲線のモデュライの幾何
もっていないアーベル関数論を、楕円関数論と同・超楕円関数の数値データにより分類/表示することで完全に解決できるレベルの精緻性と具体性を持つよう再構築する
M 1997, M-Onishi 2003, M-Previato 2015

オイラー・ベルヌーイの弾性曲線論の精神に従えば

弾性曲線論

弾性曲線の統計力学

楕円関数論

Abel関数論の再構築

弾性曲線の統計力学
Abel関数論の再構築
ワイエルシュトラスの楕円関数論と同レベルの精緻性と具体性を持つようアーベル関数論を再構築する。
ワイエルシュトラスのσ関数を一般の代数曲線に拡張する(アーベル、ヤコビ、ワイエルシュトラス、クラインらにより既に原型はできていた)

数学専門家

科学者・技術者
２０世紀 （数学利用者）

２１世紀
２０世紀の厳密性（抽象性）と活用するための具体性と
を融合する

略歴
1990

2000

2010

2019
2015/31988
静岡大学修士（素粒子論）

キヤノン（株）数理工学研究室 室長

佐世保
高専

部長

新規デバイス，新規材料の数理解析 (実験データ解析、
画像解析、数学モデル化、シミュレータ開発、解析):（電子放出素子，ナノ微粒子材料，Inkjet printer，
光学材料（量子化学，高分子物理）など） 特許多数

横国大セミナー（玉野研一先生（一般位相）、今野紀雄先生（確率））戸田セミナー・都立大セミナー（薩摩先生・時弘先生・斉藤先生…）

可積分系（幾何）1995 ▲都立大 論文博士（素粒子論）

弾性曲線（Elastica）の統計力学
John McKay氏

代数曲線のアーベル関数論の再構築
大西良博氏

Emma Previato氏

金沢大学

略歴
1990

2000

2010

2019
2015/31988
静岡大学修士（素粒子論）

キヤノン（株）数理工学研究室 室長

佐世保
高専

部長

新規デバイス，新規材料の数理解析 (実験データ解析、
画像解析、数学モデル化、シミュレータ開発、解析):（電子放出素子，ナノ微粒子材料，Inkjet printer，
光学材料（量子化学，高分子物理）など） 特許多数

金沢大学

横国大セミナー（玉野研一先生（一般位相）、今野紀雄先生（確率））戸田セミナー・都立大セミナー（薩摩先生・時弘先生・斉藤先生…）

John McKay氏

可積分系（幾何）1995 ▲都立大 論文博士（素粒子論）

弾性曲線（Elastica）の統計力学
John McKay氏

代数曲線のアーベル関数論の再構築
代数曲線のアーベル関数論の再構築
大西良博氏

Emma Previato氏

Emma Previato氏

略歴
1990

2000

2010

2019
2015/31988
静岡大学修士（素粒子論）

キヤノン（株）数理工学研究室 室長

佐世保
高専

部長

新規デバイス，新規材料の数理解析 (実験データ解析、
画像解析、数学モデル化、シミュレータ開発、解析):（電子放出素子，ナノ微粒子材料，Inkjet printer，
光学材料（量子化学，高分子物理）など） 特許多数

金沢大学

横国大セミナー（玉野研一先生（一般位相）、今野紀雄先生（確率））戸田セミナー・都立大セミナー（薩摩先生・時弘先生・斉藤先生…）

可積分系（幾何）1995 ▲都立大 論文博士（素粒子論）

Emma Previato(Boston Univ.),米田二良(神奈川工科大), 大西良博 (名城大),児玉祐治(Ohio州立大), C. Eilbeck(Heriot-Watt 大), V. Enolskii(Ukraineアカデ
ミー)

弾性曲線（Elastica）の統計力学
John McKay氏

代数曲線のアーベル関数論の再構築
代数曲線のアーベル関数論の再構築
大西良博氏

Emma Previato氏

略歴
1990

2000

2010

2019
2015/31988
静岡大学修士（素粒子論）

佐世保

キヤノン（株）高専部長
数理工学研究室 室長
金沢大学
新規デバイス，新規材料の数理解析 (実験データ解析、脳の中に純粋数学者
画像解析、数学モデル化、シミュレータ開発、解析):を住まわせた（電子放出素子，ナノ微粒子材料，Inkjet printer，
工学研究者には光学材料（量子化学，高分子物理）など） 特許多数
現場の問題が横国大セミナー（玉野研一先生（一般位相）、今野紀雄先生（確率））
どう見えるか？

戸田セミナー・都立大セミナー（薩摩先生・時弘先生・斉藤先生…）

可積分系（幾何）1995 ▲都立大 論文博士（素粒子論）

弾性曲線（Elastica）の統計力学
John McKay氏

代数曲線のアーベル関数論の再構築
代数曲線のアーベル関数論の再構築
大西良博氏

Emma Previato氏

先進数理解析の事例

科学技術は21世紀に入って大きく発展している「数学」は厳密だが現場の問題は「数１９世紀まで学」ではうまく表
数学と科学・技術が融合していた
現できない

数学専門家

２０世紀

科学者・技術者（数学利用者）

科学技術を表す「ことば」が足りなくなってきている

科学技術は21世紀に入って大きく発展している「数学」は厳密だが現場の問題は「数１９世紀まで学」ではうまく表
数学と科学・技術が融合していた
現できない
多くは、現代的な数学を知らないだけ
２０世紀
数学専門家

科学者・技術者（数学利用者）

２１世紀
様々な数学を自在に使いこなせる人材が必須

オイラー・ベルヌーイの弾性曲線の研究からは０．対象の（物理的）本質を理解する
１．問題を解く際に手段を選んではならない
ことばがなければ、作ってでも表現する
２．繊細な数学的事実を決して蔑ろにしないという精神が読み取れる⇒ この精神を受け継ぎたい！

純粋数学も含めた様々な数学を利用して、現象を読み解く！
→ 先進数理解析と呼ぶ

先進数理解析の例

インクジェットプリンターのインク吐出部の流体モデル化（特異点論を利用）
2008 M-Nakano-Shinjo

先進数理解析の例

インクジェットプリンターのインク吐出部の流体モデル化（特異点論を利用）
2008 M-Nakano-Shinjo
インクの吐出部
ヒーター{0} ⊂V1⊂ V2
問題：三相界面は特異点
三相： 固体、液体、気体（非圧縮性）

Arnold, Ebin-Marsden 1970

微分同相写像群＋運動量写像

応用数学（phase場理論）
差分化

変分原理

(ー相)流体の作用積分（変分原理の不変積分）(ー相)流体オイラー方程式

差分(一相)流体
オイラー方程式:

解析幾何

変分原理

二相流体の作用積分（変分原理の不変積分）

差分化

二相流体
オイラー方程式

差分二相流体オイラー方程式:

特異点論
変分原理
三相流体の作用積分（変分原理の不変積分）

差分化

三相流体
オイラー方程式

微分同相写像群＋運動量写像

差分三相流体オイラー方程式:

応用数学（VOF法）

phase field法による2相の流体方程式（オイラー方程式）：

変分原理

121

計測技術

（光学・メカ・電気・・・）

初等特異点論

半導体素子
無限次元リー環
運動量写像

材料科学
インク・電極材料

流体力学

三相界面の
計算流体
アルゴリズム
解析幾何

計算流体力学
phase場理論
界面の物理先進数理解析の例

ナノ材料の材料設計に向けたパーコレション理論を活用した数学モデル化（点過程， Γ収束，フラクタル，擬等角写像、等角写像）

2015 M-Shimosako, 2012, 13, M-Shimosako-Wangパーコレーションとは
パーコレーションとは浸透：・山火事の延焼（伝搬）・伝染病の感染拡大（伝搬）・多孔質媒体への液体のしみこみ
・ランダム媒質の電気伝導を表現する統計学、統計力学の数理モデルである
Fields賞：
Wendelin Werner
2006年
Stanislav Smirnov
2010年
Schramm-Lawner-evolution（ＳＬＥ）
・Oded Schramm (1961-2008)
・Lawner: ビーベルバッハ予想
Robert Langlands, John Cardy
124パーコレーション
ランダムネスの種類や密度によって、マクロの性質が大きく
異なる現象

125

先進数理解析の例

ナノ材料の材料設計に向けたパーコレション理論を活用した数学モデル化（点過程， Γ収束，フラクタル，擬等角写像、等角写像）

2015 M-Shimosako, 2012, 13, M-Shimosako-Wang

Preparation and Some Properties of a Nanocomposite ofPolyacrylonitrile with Acetylene Black Arjun Maity and Mukul
Biswas Polymer Journal, Vol. 36 (2004) No. 10
pp.812-816

Fine Dispersion and Property Differentiation of Nanoscale
Silicate Platelets and Spheres in Epoxy Nanocomposites ChienChia Chu, Jiang-Jen Lin, Chang-Ru Shiu and Chang-Chin Kwan
Polymer Journal, Vol. 37 (2005) No. 4
pp.239-245

先進数理解析の例

ナノ材料の材料設計に向けたパーコレション理論を活用した数学モデル化（点過程， Γ収束，フラクタル，擬等角写像、等角写像）

2015 M-Shimosako, 2012, 13, M-Shimosako-Wang先進数理解析の例

ナノ材料の材料設計に向けたパーコレション理論を活用した数学モデル化（点過程， Γ収束，フラクタル，擬等角写像、等角写像）

2015 M-Shimosako, 2012, 13, M-Shimosako-Wang

パーコレーション、点過程、擬等角写像、等角写像によって記述されるフラクタルな境界において、複素解析関数はどこまで解析接続できるか？

材料屋（試料の提供）パーコレーション理論

計測技術（電気・メカ）点過程

パーコレーション
の電気伝導

均一化法

擬調和関数論材料科学
数値計算技法phase場理論

先進数理解析の例
先進数理解析の例
鉄鋼の材料設計に向けた結晶のらせん転位の数学的表現:
代数的整数、アーベル群環、ζ関数を利用したモデル化（新日鐵、ＩＭＩ、東大数理、佐世保高専(2016)）
2016 Hamada-M-Nakagawa-Saeki-Uesaka. 2019 M

R=C[[a1,a2,a3,b]]/(a1a2a3-b)転位のエネルギーはEpstein-Hurwitz zetaで記述
・単純格子の場合： Gauss整数
Z[i]・BCC格子の場合： Eisenstein整数 Z[ω3]先進数理解析の例

整数論のガウスの和を利用した近接光学の数学的表現
20０３ M-Onishi、2007 M

相補性と相互法則の一致（Weilのユニタリー表現）

先進数理解析の例
グラフのζ関数のWigner Surmiseの性質によるグラフのζ関数によるカーボンファイバーの電気伝導の数
炭素繊維の電気伝導特性の解明
学的表現
Matsutani-Sato 2017

グラフのζ関数による電気伝導特性の決定

先進数理解析の例

インク・化粧品などでの色材材料設計に向けた数学的表現
量子ウォークによる波動（量子）計算シミュレーション
量子ウォーク（2000年代に発展した確率モデル）の実課題への適用
2016 Ide-Konno-M-Mitsuhashi
2016 Ide-Konno-M-Mitsuhashi
t＝1000δ=0.2

6.00E-03

t＝20002.50E-03

5.00E-03

2.00E-03

4.00E-03

1.50E-03

3.00E-03
1.00E-03

2.00E-03

5.00E-04

1.00E-03
0.00E+00
0

2000

(a)

4000

6000

0.00E+00
0

2000

4000

6000

(b)

不純物を含んだ１次元量子ウォークモデルによる光の伝搬計算（コヒーレント光と拡散光との混在が見られる）

拡散光発色と構造色を融合できる数学が必須 （従来は表現不可）
量子ウォーク＋点過程により、コヒーレント光＋拡散光を表現

先進数理解析の例

インク・化粧品などでの色材材料設計に向けた数学的表現
量子ウォークによる波動（量子）計算シミュレーション
量子ウォーク（2000年代に発展した確率モデル）の実課題への適用
2016 Ide-Konno-M-Mitsuhashi
2016 Ide-Konno-M-Mitsuhashi
t＝1000δ=0.2

6.00E-03

t＝20002.50E-03

5.00E-03

2.00E-03

4.00E-03

1.50E-03

3.00E-03
1.00E-03

2.00E-03

5.00E-04

1.00E-03
0.00E+00
0

2000

(a)

4000

6000

0.00E+00
0

2000

4000

6000

(b)

不純物を含んだ１次元量子ウォークモデルによる光の伝搬計算（コヒーレント光と拡散光との混在が見られる）

２１世紀の技術課題には２１世紀の数学モデルが必要となる

拡散光発色と構造色を融合できる数学が必須 （従来は表現不可）→ 量子デバイスでの波動（量子）計算シミュレーションにも有用
量子ウォーク＋点過程により、コヒーレント光＋拡散光を表現

2019年8月26日
培風館
執筆者：佐藤巌，森田英章，三橋秀生，楯辰哉，瀬川悦生，鈴木章斗，大野博道，
町田拓也，行木孝夫，西郷甲矢人，酒匂宏樹，井手勇介，遠藤隆子，小松尭，横山啓一，松岡雷士，松谷茂樹，鹿野豊，小布施秀明，尹煕元，今野紀雄

先進数理解析の例

破壊現象の数学モデル化
弾性曲線を利用した弾性曲線の折れを楕円曲線論より考察する2019 M-Higashida-Nakatani-Nishiguchi-Hamada

破壊現象を弾性曲線の遷移現象として表現（楕円モデュライの遷移）先進数理解析の例

ロボットの指による幾何学拘束（Caging)の数学表現
ユークリッド変換リー群の経路空間とロボティックス
SE(n)ユークリッド変換のリー群の経路空間、ホモトピー論
2016 Hamada-Makita-M

21世紀、科学者・技術者が対峙している現実
は、数学者が想像するより遥かに複雑！
しかし、多くの事は、現代数学も含めた高い視点から見れば、記述可能！

数学と科学・技術の歴史
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
オイラーやガウス達が行ったように
１７世紀：ニュートン
数学を「ことば」として利用して、
１８世紀：オイラー
科学・技術をつむぐ時が到来している！
１９世紀：ガウス

数学専門家

２０世紀

２１世紀

科学者・技術者（数学利用者）

科学・技術のことばとしての数学が求められている！
そのためには、・ことばとしての数学にこれまで以上に磨きをかけること！
数学は進化しなければならない！

・使われること！ 使うこと！
使うことで深みを増す数学がある！

数学と科学・技術の歴史
１１世紀：（大学成立）
１５世紀：ダ・ヴィンチ
１６世紀：ガリレイ
１７世紀：ニュートン
数学を「ことば」として使うとは
１８世紀：オイラー
どういうことか？１９世紀：ガウス

数学専門家

２０世紀

２１世紀

科学者・技術者（数学利用者）

日本には「用の美」の伝統があります篠原雅士作 2018

「用の美」：柳宗悦(1889-1961)の用語

日本には「用の美」の伝統があります「用の美」：柳宗悦(1889-1961)の用語
民芸品には、純粋芸術にはない、機能美としての美しさ、「使われることを前提とした」美がある！
これが「用の美」である
篠原雅士作 2018

日本には「用の美」の伝統があります

数学を「ことば」として使うとはどういうことか？

篠原雅士作 2018

日本には「用の美」の伝統があります

・ことばとしての数学にも、機能美としての美しさ、「使われることを前提とした」美(真理)がある！
・使われることで磨き上がる数学がある！
篠原雅士作 2018

日本には「用の美」の伝統があります篠原雅士作 2018

日本には「用の美」の伝統があります

数学を憧れの対象のみとするのではなく、
篠原雅士作 2018
多くの人が、「用の美」として、「数学を科学・技術のことば」として、
実際に数学を使い始めてほしいと願っていますご清聴、ありがとうございました！

「－和算から西洋数学へー 関口開」 展
数学会期間中、金沢大学でも展示中
9月18日（水）12:20～12:50
高瀬正仁，増山仁（金沢ふるさと偉人館学芸員）ギャラリートーク

MIRS 金沢大学 数理科学連携研究拠点