Floquet系でのカイラル量子異常と粒子生成
田屋英俊 (理研iTHEMS)
目次
1. Introduction
・ カイラルアノマリーの復習
・ 粒子生成の物理

2. 1+1次元のMassless Weyl 粒子のアノマリーのFloquet解析
3. 1+1次元のMassive Dirac 粒子のアノマリーのFloquet解析
4. まとめ2 と 3 は [Fukushima, Hidaka, Shimazaki, HT, arXiv:2108.xxxx] に基づく

1. Introduction
2. 1+1次元のMassless Weyl 粒子のアノマリーのFloquet解析
3. 1+1次元のMassive Dirac 粒子のアノマリーのFloquet解析
4. まとめカイラル量子異常✔ 古典的な対称性は、量子効果で壊れ得る✔ 有名な例: カイラルアノマリー
・ massless極限でも、右/左巻きの粒子数(の差)が保存しない𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑛𝑛5 ≔ 𝜕𝜕𝑡𝑡 (𝑛𝑛R − 𝑛𝑛L ) ≠ 0

𝑒𝑒𝑒𝑒
・ より正確には、1+1次元Dirac粒子なら (3+1次元なら磁場を入れ、Landau量子化で次元を落とす: 𝑒𝑒𝑒𝑒𝜋𝜋 → 𝑒𝑒𝑒𝑒𝜋𝜋 2𝜋𝜋)𝜇𝜇𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5=� 5 𝜓𝜓
2𝑚𝑚 𝜓𝜓i𝛾𝛾

+

𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜋𝜋

アノマリー
陽な破れの寄与(masslessなら消える) (1+1次元のDirac粒子)

・ いろんなスケールの物理現象に顕れる例) パイオンの主たる崩壊モード 𝜋𝜋 0 → 2𝛾𝛾 [Adler, Bell, Jackiw (1969)][Vilenkin, Fukushima, Warringa,
Kharzeev, Yamamoto, …]例) 異常輸送現象 (Chiral Magnetic Effect, Chiral Separation Effect, Chiral Vortical Effect, …)例) 物性系、重イオン衝突、初期宇宙、高強度レーザー系などなどでの実現/実現可能性

直感的描像: massless ⇒ スペクトルフロー[Nielsen, Ninomiya (1983)]

直感的描像: massless ⇒ スペクトルフロー[Nielsen, Ninomiya (1983)]✔ 1+1次元 massless Dirac 粒子: 𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

𝜓𝜓R−i𝜕𝜕𝑥𝑥=𝜓𝜓L00+i𝜕𝜕𝑥𝑥𝜓𝜓R𝜓𝜓L・ 右に走る 𝜓𝜓R ∝ ei(𝐸𝐸𝐸𝐸−𝑘𝑘𝑘𝑘) (=右巻き)、左に走る 𝜓𝜓L ∝ ei𝑘𝑘(𝑡𝑡+𝑥𝑥) (=左巻き) の二つの独立解左 (𝐸𝐸/𝑘𝑘 < 0)

𝐸𝐸

右 (𝐸𝐸/𝑘𝑘 < 0)Fermi面: 𝐸𝐸 = 0

𝑛𝑛5 = 𝑛𝑛R − 𝑛𝑛L = 0

𝑘𝑘直感的描像: massless ⇒ スペクトルフロー[Nielsen, Ninomiya (1983)]✔ 1+1次元 massless Dirac 粒子: 𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

𝜓𝜓R−i𝜕𝜕𝑥𝑥=𝜓𝜓L00+i𝜕𝜕𝑥𝑥𝜓𝜓R𝜓𝜓L・ 右に走る 𝜓𝜓R ∝ ei(𝐸𝐸𝐸𝐸−𝑘𝑘𝑘𝑘) (=右巻き)、左に走る 𝜓𝜓L ∝ ei𝑘𝑘(𝑡𝑡+𝑥𝑥) (=左巻き) の二つの独立解左 (𝐸𝐸/𝑘𝑘 < 0)

𝐸𝐸

左 (𝐸𝐸/𝑘𝑘 < 0)

右 (𝐸𝐸/𝑘𝑘 < 0)Fermi面: 𝐸𝐸 = 0

𝑛𝑛5 = 𝑛𝑛R − 𝑛𝑛L = 0

𝑘𝑘

𝐸𝐸

𝑘𝑘

電場

+�

Δ𝑘𝑘

0

d𝑘𝑘
2𝜋𝜋

右 (𝐸𝐸/𝑘𝑘 < 0)

−�

Δ𝑘𝑘

0

d𝑘𝑘
2𝜋𝜋

Δ𝑘𝑘 = −𝑒𝑒𝑒𝑒 = ∫ d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑛𝑛5 = 𝑛𝑛R − 𝑛𝑛L =Δ𝑘𝑘 ∫ d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒=𝜋𝜋𝜋𝜋

⇒ (1) 電場で右に加速、(2) 上(下)バンドが詰まる(抜ける) ⇒ カイラルアノマリー

直感的描像: massive ⇒ スペクトルフロー + “粒子生成”

直感的描像: massive ⇒ スペクトルフロー + “粒子生成”✔ 1+1次元 massive Dirac 粒子: 𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

𝜓𝜓R−i𝜕𝜕𝑥𝑥=
𝜓𝜓L𝑚𝑚

𝑚𝑚+i𝜕𝜕𝑥𝑥𝜓𝜓R𝜓𝜓L[Fukushima, Warringa,
Kharzeev, Copinger, Shi,
Ambjorn, Greensite,Peterson, HT, Suzuki, Aoi, …]

・ 右/左巻きは良い量子数でない ⇒ 古典レベルで既にカイラル対称性は破れている・ ギャップが空いている ⇒ 上と下のバンドは連続的につながっていない
𝐸𝐸𝑘𝑘

Fermi面: 𝐸𝐸 = 0

𝑛𝑛5 = 0

直感的描像: massive ⇒ スペクトルフロー + “粒子生成”✔ 1+1次元 massive Dirac 粒子: 𝑖𝑖𝜕𝜕𝑡𝑡

𝜓𝜓R−i𝜕𝜕𝑥𝑥=
𝜓𝜓L𝑚𝑚

𝑚𝑚+i𝜕𝜕𝑥𝑥𝜓𝜓R𝜓𝜓L[Fukushima, Warringa,
Kharzeev, Copinger, Shi,
Ambjorn, Greensite,Peterson, HT, Suzuki, Aoi, …]

・ 右/左巻きは良い量子数でない ⇒ 古典レベルで既にカイラル対称性は破れている・ ギャップが空いている ⇒ 上と下のバンドは連続的につながっていない
𝐸𝐸

𝐸𝐸
𝑘𝑘

Fermi面: 𝐸𝐸 = 0

𝑛𝑛5 = 0

電場

(2) スペクトルフロー(1) “粒子生成”Δ𝑘𝑘

𝑛𝑛5 ∼ + �

0

𝑘𝑘

Δ𝑘𝑘
Δ𝑘𝑘
d𝑘𝑘
d𝑘𝑘
d𝑘𝑘
Δ𝑛𝑛 − − �
Δ𝑛𝑛 = 2 �
Δ𝑛𝑛
2𝜋𝜋
2𝜋𝜋
2𝜋𝜋
0
0

⇒ 下から上に行くダイナミクス = ”粒子生成”がないと、スペクトルフローは起きない⇒ massiveなカイラルアノマリーには”粒子生成”の物理を理解することが大事

実粒子生成 と 電場の時間依存性✔ 電場の周波数𝛀𝛀の大小で物理がだいぶ違う

実粒子生成 と 電場の時間依存性✔ 電場の周波数𝛀𝛀の大小で物理がだいぶ違う(Schwinger effect, Landau-Zener transition)(1) Ω小=遅い: 電場はコヒーレントに相互作用 ⇒ トンネリングによる非摂動的な粒子生成

𝑉𝑉 = −𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝐸𝐸

𝑥𝑥

2𝑚𝑚

2𝑚𝑚/𝑒𝑒𝑒𝑒

ギャップ
ギャップ
Δ𝑛𝑛 ∼ exp −# ×
×
の長さ
の高さ

𝑚𝑚2
∼ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒

・ 質量について指数関数的 ⇒ Δ𝑛𝑛は強く抑制・ 𝛾𝛾 ≔𝑚𝑚Ω𝑒𝑒𝑒𝑒≪ 1, 𝜈𝜈 ≔ 2 ≫ 1 のときに支配的𝑒𝑒𝑒𝑒Ω実粒子生成 と 電場の時間依存性✔ 電場の周波数𝛀𝛀の大小で物理がだいぶ違う(Schwinger effect, Landau-Zener transition)(1) Ω小=遅い: 電場はコヒーレントに相互作用 ⇒ トンネリングによる非摂動的な粒子生成

𝑉𝑉 = −𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝐸𝐸

2𝑚𝑚

2𝑚𝑚/𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑥𝑥

ギャップ
ギャップ
Δ𝑛𝑛 ∼ exp −# ×
×
の長さ
の高さ

𝑚𝑚2
∼ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒

・ 質量について指数関数的 ⇒ Δ𝑛𝑛は強く抑制・ 𝛾𝛾 ≔𝑚𝑚Ω𝑒𝑒𝑒𝑒≪ 1, 𝜈𝜈 ≔ 2 ≫ 1 のときに支配的
𝑒𝑒𝑒𝑒
Ω

Δ𝑛𝑛 ∼

𝑒𝑒𝑒𝑒
∝
𝑚𝑚2

(2) Ω大=速い: 電場はインコヒーレントに相互作用 ⇒ 光子による摂動的な粒子生成
Ω

𝑬𝑬

𝑬𝑬

2

2

・ 質量について冪的 ⇒ Δ𝑛𝑛は弱く抑制・ 𝛾𝛾 =𝑚𝑚Ω𝑒𝑒𝑒𝑒≫ 1, 𝜈𝜈 ≡ 2 ≪ 1 のときに支配的𝑒𝑒𝑒𝑒Ω実粒子生成 と 電場の時間依存性✔ 電場の周波数𝛀𝛀の大小で物理がだいぶ違う(Schwinger effect, Landau-Zener transition)(1) Ω小=遅い: 電場はコヒーレントに相互作用 ⇒ トンネリングによる非摂動的な粒子生成

𝑉𝑉 = −𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝐸𝐸

2𝑚𝑚

2𝑚𝑚/𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑥𝑥

ギャップ
ギャップ
Δ𝑛𝑛 ∼ exp −# ×
×
の長さ
の高さ

𝑚𝑚2
∼ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒

・ 質量について指数関数的 ⇒ Δ𝑛𝑛は強く抑制・ 𝛾𝛾 ≔𝑚𝑚Ω𝑒𝑒𝑒𝑒≪ 1, 𝜈𝜈 ≔ 2 ≫ 1 のときに支配的
𝑒𝑒𝑒𝑒
Ω

Δ𝑛𝑛 ∼

𝑒𝑒𝑒𝑒
∝
𝑚𝑚2

(2) Ω大=速い: 電場はインコヒーレントに相互作用 ⇒ 光子による摂動的な粒子生成
Ω

𝑬𝑬

𝑬𝑬

∫ d𝑘𝑘 Δ𝑛𝑛𝜈𝜈 ≫ 12・ 質量について冪的 ⇒ Δ𝑛𝑛は弱く抑制・ 𝛾𝛾 =𝑚𝑚Ω𝑒𝑒𝑒𝑒≫ 1, 𝜈𝜈 ≡ 2 ≪ 1 のときに支配的𝑒𝑒𝑒𝑒Ω例) Sauter電場 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒𝐸𝐸0 /cosh2 (Ω𝑡𝑡) のとき
𝛾𝛾 ≪ 12𝛾𝛾 ≫ 1𝜈𝜈 ≪ 1[HT, Fujii, Itakura, PRD (2014)][HT, Fujimori, Misumi, Nitta, Sakai, JHEP (2021)]

・ 周波数で定量的にもぜんぜん違う
・ 摂動的粒子生成の方が多い⇒ 特にギャップのあたり Ω ∼ 2𝑚𝑚 が多い

・ 蛇足1: 半古典公式 (例: DDP, worldline)の 𝛾𝛾 → ∞ は全然合わないので危険・ 蛇足2: 中間領域はまだちゃんと理解されてなくて、オープンプロブレムだと思う「遅い電場」でのカイラル量子異常𝝁𝝁� 𝟓𝟓 𝝍𝝍 + 𝒆𝒆𝒆𝒆 を再考✔ 定常電場 𝑬𝑬 𝒙𝒙, 𝒕𝒕 = 𝑬𝑬 について、アノマリー関係式𝝏𝝏𝝁𝝁 𝑱𝑱𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝝍𝝍𝐢𝐢𝜸𝜸
Δ𝑘𝑘 d𝑘𝑘

カイラリティ生成は、 𝑛𝑛5 = 2 ∫0

2𝜋𝜋

Δ𝑛𝑛 =

𝑒𝑒𝑒𝑒 −𝜋𝜋 𝑚𝑚2𝜇𝜇
𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5 = 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑛𝑛5 =e 𝑒𝑒𝑒𝑒∫ d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒
exp
𝜋𝜋

−𝜋𝜋

𝑚𝑚2
𝑒𝑒𝑒𝑒

𝝅𝝅

だから、

2

𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑒𝑒
−𝜋𝜋
�
1 − e 𝑒𝑒𝑒𝑒
2𝑚𝑚 𝜓𝜓𝑖𝑖𝛾𝛾5 𝜓𝜓 =𝜋𝜋

𝜋𝜋

よって (ちなみに、この式は実は厳密に正しいことが示せる) [Copinger, Fukushima, Shi (2018)]
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜋𝜋

アノマリー

=

2

𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑒𝑒
−𝜋𝜋
1 − e 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜋𝜋

陽な破れ寄与+𝑒𝑒𝑒𝑒 −𝜋𝜋 𝑚𝑚2
e 𝑒𝑒𝑒𝑒𝜋𝜋

カイラリティ生成の寄与「遅い電場」でのカイラル量子異常𝝁𝝁� 𝟓𝟓 𝝍𝝍 + 𝒆𝒆𝒆𝒆 を再考✔ 定常電場 𝑬𝑬 𝒙𝒙, 𝒕𝒕 = 𝑬𝑬 について、アノマリー関係式𝝏𝝏𝝁𝝁 𝑱𝑱𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝝍𝝍𝐢𝐢𝜸𝜸
Δ𝑘𝑘 d𝑘𝑘

カイラリティ生成は、 𝑛𝑛5 = 2 ∫0

2𝜋𝜋

Δ𝑛𝑛 =

𝑒𝑒𝑒𝑒 −𝜋𝜋 𝑚𝑚2𝜇𝜇
𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5 = 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑛𝑛5 =e 𝑒𝑒𝑒𝑒∫ d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒
exp
𝜋𝜋

−𝜋𝜋

𝑚𝑚2
𝑒𝑒𝑒𝑒

𝝅𝝅

だから、

2

𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑒𝑒
−𝜋𝜋
�
1 − e 𝑒𝑒𝑒𝑒
2𝑚𝑚 𝜓𝜓𝑖𝑖𝛾𝛾5 𝜓𝜓 =𝜋𝜋

𝜋𝜋

よって (ちなみに、この式は実は厳密に正しいことが示せる) [Copinger, Fukushima, Shi (2018)]
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜋𝜋

アノマリー

=

2

𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑒𝑒
−𝜋𝜋
1 − e 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜋𝜋

陽な破れ寄与+𝑒𝑒𝑒𝑒 −𝜋𝜋 𝑚𝑚2
e 𝑒𝑒𝑒𝑒𝜋𝜋

カイラリティ生成の寄与✔ ここで疑問になること(1) 非自明なカイラリティ生成の部分(■)は質量で強く抑制⇒ 普通は、自明な陽な破れな寄与(■)でアノマリーがサチってしまう⇒ Q: 非自明なカイラリティ生成を実験とかで見るためにはどうしたらよいのか？？？
(2) masslessだと■でサチっているが、massiveだと■でサチる⇒ Q: 一般には、どういう風に2つの寄与が配分されているのか？？？
(アノマリー関係式は配分の詳細まで教えてくれない。遅い電場でしか議論が今んとこない。)

カイラリティ生成を増幅するには？ (1/2)
𝚫𝚫𝒌𝒌 𝐝𝐝𝒌𝒌

方針: “生成粒子数𝚫𝚫𝒏𝒏”を増やせばよい (∵ 𝒏𝒏𝟓𝟓 ∼ 𝟐𝟐 ∫𝟎𝟎
アイデア: 速い電場による”粒子生成”を利用する

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝚫𝚫𝒏𝒏)

カイラリティ生成を増幅するには？ (1/2)
𝚫𝚫𝒌𝒌 𝐝𝐝𝒌𝒌

方針: “生成粒子数𝚫𝚫𝒏𝒏”を増やせばよい (∵ 𝒏𝒏𝟓𝟓 ∼ 𝟐𝟐 ∫𝟎𝟎
アイデア: 速い電場による”粒子生成”を利用する

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝚫𝚫𝒏𝒏)

✔ 田屋は利用方法が2通りあると思う (逆に他の利用方法・アイデアは知らないので、あればおもしろいと思う)カイラリティ生成を増幅するには？ (1/2)
𝚫𝚫𝒌𝒌 𝐝𝐝𝒌𝒌

方針: “生成粒子数𝚫𝚫𝒏𝒏”を増やせばよい (∵ 𝒏𝒏𝟓𝟓 ∼ 𝟐𝟐 ∫𝟎𝟎
アイデア: 速い電場による”粒子生成”を利用する

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝚫𝚫𝒏𝒏)

✔ 田屋は利用方法が2通りあると思う (逆に他の利用方法・アイデアは知らないので、あればおもしろいと思う)
利用法(1): 遅い強い電場の上に、速い弱い電場を重ね合わせる[HT (2020)]

カイラリティ生成を増幅するには？ (1/2)
𝚫𝚫𝒌𝒌 𝐝𝐝𝒌𝒌

方針: “生成粒子数𝚫𝚫𝒏𝒏”を増やせばよい (∵ 𝒏𝒏𝟓𝟓 ∼ 𝟐𝟐 ∫𝟎𝟎
アイデア: 速い電場による”粒子生成”を利用する

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝚫𝚫𝒏𝒏)

✔ 田屋は利用方法が2通りあると思う (逆に他の利用方法・アイデアは知らないので、あればおもしろいと思う)
利用法(1): 遅い強い電場の上に、速い弱い電場を重ね合わせる[HT (2020)]

Dynamically assisted Schwinger mechanism (物性で言うFranz-Keldysh効果) が粒子生成を増大[Schutzhold, Gies, Dunne (2008)]

摂動的な励起Ω[Franz (1958)] [Keldysh (1958)] [HT (2019)]
速い電場だけのとき(摂動的なone-photonの公式)

トンネリング
粒子生成

遅い電場だけのとき(非摂動的なトンネリングの公式)∫ d𝑘𝑘 Δ𝑛𝑛

遅い電場だけのとき∫ d𝑘𝑘 𝑛𝑛5

重ね合わせのとき

重ね合わせのとき摂動効果で減る

ギャップ
ギャップ
Δ𝑛𝑛 ∼ exp −
×
の長さ
の高さ

1

2

3

4

5

6

Ω�
𝑚𝑚

Δ𝑛𝑛は、素朴なトンネリング公式
よりもたしかに桁違いに増大！

Ω/𝑚𝑚

𝑛𝑛5 もたしかに桁違いに増大！

カイラリティ生成を増幅するには？ (2/2)
𝚫𝚫𝒌𝒌 𝐝𝐝𝒌𝒌

方針: “生成粒子数𝚫𝚫𝒏𝒏”を増やせばよい (∵ 𝒏𝒏𝟓𝟓 ∼ 𝟐𝟐 ∫𝟎𝟎
アイデア: 速い電場による”粒子生成”を利用する

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝚫𝚫𝒏𝒏)

✔ 田屋は利用方法が2通りあると思う (逆に他の利用方法・アイデアは知らないので、あればおもしろいと思う)
利用法(2): 遅い電場は忘れて、速い強い電場だけを印加する

カイラリティ生成を増幅するには？ (2/2)
𝚫𝚫𝒌𝒌 𝐝𝐝𝒌𝒌

方針: “生成粒子数𝚫𝚫𝒏𝒏”を増やせばよい (∵ 𝒏𝒏𝟓𝟓 ∼ 𝟐𝟐 ∫𝟎𝟎
アイデア: 速い電場による”粒子生成”を利用する

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝚫𝚫𝒏𝒏)

✔ 田屋は利用方法が2通りあると思う (逆に他の利用方法・アイデアは知らないので、あればおもしろいと思う)
利用法(2): 遅い電場は忘れて、速い強い電場だけを印加する
・ 速い電場による摂動論的な粒子生成が粒子生成を増大しそう
・ 短径型のパルス電場のときはたしかにそうなっている[Ambjorn, Greensite, Peterson (1983)]

カイラリティ生成を増幅するには？ (2/2)
𝚫𝚫𝒌𝒌 𝐝𝐝𝒌𝒌

方針: “生成粒子数𝚫𝚫𝒏𝒏”を増やせばよい (∵ 𝒏𝒏𝟓𝟓 ∼ 𝟐𝟐 ∫𝟎𝟎
アイデア: 速い電場による”粒子生成”を利用する

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝚫𝚫𝒏𝒏)

✔ 田屋は利用方法が2通りあると思う (逆に他の利用方法・アイデアは知らないので、あればおもしろいと思う)
利用法(2): 遅い電場は忘れて、速い強い電場だけを印加する
・ 速い電場による摂動論的な粒子生成が粒子生成を増大しそう
・ 短径型のパルス電場のときはたしかにそうなっている[Ambjorn, Greensite, Peterson (1983)]

・ しかし、Floquet系のような「周期」電場が「とても」速いときは、ちょっと非自明⇒「実」粒子が「仮想」粒子と区別できるためには、 Δ𝑡𝑡 ≳ 1/𝑚𝑚 くらいの時間が必要⇒ しかし、周波数がとても速い Ω ≳ 1/𝑚𝑚 と、 Δ𝑡𝑡 くらいの時間を待てない (加えて、厳密に周期的だと漸近状態もない)⇒「実」粒子がwell-definedに定義できず、今までの「実」粒子生成の描像は良くない。「仮想」粒子が効く。
「実」粒子の寄与 (intra-bandな寄与)「実」粒子生成Δ𝑘𝑘

𝑛𝑛5 ∼ 2 �0

∼ −𝑒𝑒𝑒𝑒 = ∫ d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒d𝑘𝑘
Δ𝑛𝑛 ∼ Δ𝑘𝑘 Δ𝑛𝑛 ∝ 𝑒𝑒𝑒𝑒 32𝜋𝜋∼ # 𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑚𝑚2 2「仮想」粒子の寄与 (inter-bandな寄与)「仮想」粒子を介した
上と下のバンドの干渉(Zitterbewgung)𝑛𝑛5 ∼ ？？？

結局、今日何をしたいか
背景Massiveなカイラルアノマリーは「遅い」電場に対してはよくわかっている・ 物理描像: 実粒子生成 + スペクトルフロー
・ 定量的性質: 質量に対して指数関数的に強く抑制されている「速い」電場に対するMassive なカイラルアノマリーはどうなっているのか？
問

Q1: 一般の高周波電場の場合にカイラリティ生成は増大するか？

題

Q2: アノマリーはどういう風に分配されているか？
Q3: 𝑛𝑛5 のパラメタ依存性は遅い電場 (or 実粒子生成の描像) と比べて変わるか？

手法

Floquet理論、特に高周波展開(van Vleck 展開)、に基づき答えを与える1. Introduction
2. 1+1次元のMassless Weyl 粒子のアノマリーのFloquet解析
3. 1+1次元のMassive Dirac 粒子のアノマリーのFloquet解析
4. まとめ手法: van Vleck 高周波展開

✔ 問題設定

手法: van Vleck 高周波展開

1+1次元で時間周期的な系 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐻𝐻(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇, 𝑥𝑥)✔ 問題設定

手法: van Vleck 高周波展開

1+1次元で時間周期的な系 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐻𝐻(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇, 𝑥𝑥)✔ Floquetの定理

ユニタリ時間並進演算子𝑈𝑈(𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ; 𝑥𝑥)は′𝑈𝑈 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ; 𝑥𝑥 = e−i𝐾𝐾(𝑡𝑡 ,𝑥𝑥) e+i𝐻𝐻F (𝑥𝑥)(𝑡𝑡−𝑡𝑡𝑡) e+i𝐾𝐾(𝑡𝑡,𝑥𝑥)と書ける。 ここで、 𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = 𝐾𝐾 𝑡𝑡 + 𝑇𝑇, 𝑥𝑥 で 𝐻𝐻F (𝑥𝑥) は時間に依存しない。

✔ 問題設定

手法: van Vleck 高周波展開

1+1次元で時間周期的な系 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐻𝐻(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇, 𝑥𝑥)✔ Floquetの定理

ユニタリ時間並進演算子𝑈𝑈(𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ; 𝑥𝑥)は′𝑈𝑈 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ; 𝑥𝑥 = e−i𝐾𝐾(𝑡𝑡 ,𝑥𝑥) e+i𝐻𝐻F (𝑥𝑥)(𝑡𝑡−𝑡𝑡𝑡) e+i𝐾𝐾(𝑡𝑡,𝑥𝑥)と書ける。 ここで、 𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = 𝐾𝐾 𝑡𝑡 + 𝑇𝑇, 𝑥𝑥 で 𝐻𝐻F (𝑥𝑥) は時間に依存しない。

✔ 高周波展開−i𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑈𝑈 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ; 𝑥𝑥 = 𝐻𝐻 𝑡𝑡; 𝑥𝑥 𝑈𝑈(𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ; 𝑥𝑥) を使うと、+i𝐾𝐾(𝑡𝑡,𝑥𝑥)𝜕𝜕e
𝐻𝐻F (𝑥𝑥) = e+i𝐾𝐾 𝑡𝑡,𝑥𝑥 𝐻𝐻 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 e−i𝐾𝐾 𝑡𝑡,𝑥𝑥 + i
e−i𝐾𝐾(𝑡𝑡,𝑥𝑥)𝜕𝜕𝜕𝜕
−1
これを時間微分が大きい 𝜕𝜕𝑡𝑡 → 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑡𝑡 (𝜖𝜖 ≪ 1) と思い、 𝐻𝐻F , 𝐾𝐾 を∞

𝐻𝐻F (𝑥𝑥) = � 𝜖𝜖 𝑛𝑛 𝐻𝐻F𝑛𝑛 (𝑥𝑥)𝑛𝑛=0と開いて逐次的に解く方法∞

𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = � 𝜖𝜖 𝑛𝑛 𝐾𝐾
𝑛𝑛=0

𝑛𝑛

(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)

注意(1) 実はこれだけで式が閉じない ⇒ 時間原点の任意性 (”フロッケゲージ自由度”) を殺すと閉じる
𝑇𝑇

van Vleck 展開の”ゲージ固定条件”: � d𝑡𝑡 𝐾𝐾(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 00

注意(2) 大雑把に、2項目が1項目よりも十分に大きいときに収束 ⇒ 𝐻𝐻 𝑇𝑇 ≪ 1 なら収束しそう

1+1次元のMassless Weyl 右巻き粒子✔ 1+1次元 massless Weyl 右巻き粒子i𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) where 𝐻𝐻 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 ≔ −i𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (簡単のため、 𝑒𝑒𝐴𝐴1 = 0 ゲージ)

⇒ 所詮1階微分方程式なので解析的に解ける。高周波展開も任意のオーダーまで求まる。
⇒ Floquet理論とアノマリーの関係を理解する良い練習問題

1+1次元のMassless Weyl 右巻き粒子✔ 1+1次元 massless Weyl 右巻き粒子i𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) where 𝐻𝐻 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 ≔ −i𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (簡単のため、 𝑒𝑒𝐴𝐴1 = 0 ゲージ)

⇒ 所詮1階微分方程式なので解析的に解ける。高周波展開も任意のオーダーまで求まる。
⇒ Floquet理論とアノマリーの関係を理解する良い練習問題✔ 計算の流れStep 1:
Step 2:
Step 3:

Floquet Hamiltonian 𝐻𝐻F と kick operator 𝐾𝐾 を van Vleck 展開で求める+∞
対応する波動関数𝜓𝜓𝑘𝑘 を求めて、𝜓𝜓 を量子化する 𝜓𝜓 → 𝜓𝜓� = ∫0 d𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑎𝑎�𝑘𝑘 + 𝜓𝜓−𝑘𝑘 𝑏𝑏�𝑘𝑘†

カイラルカレント 𝐽𝐽50 = 𝐽𝐽51 = 𝜓𝜓� † 𝜓𝜓� を point-splitting正則化 で求める�≔ lim𝜓𝜓� † (𝑥𝑥)𝑂𝑂𝜓𝜓(𝑥𝑥)
𝜇𝜇

𝜖𝜖 →0

� 𝜇𝜇 − 𝜖𝜖 𝜇𝜇 /2)𝜓𝜓� † (𝑥𝑥 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 𝜇𝜇 /2)𝑂𝑂𝜓𝜓(𝑥𝑥ズラすことでUV発散を殺す

Step 4:𝑥𝑥 𝜇𝜇 +

exp −i �

𝜖𝜖 𝜇𝜇
2

𝜖𝜖 𝜇𝜇
𝑥𝑥 𝜇𝜇 −
2d𝑥𝑥 𝜇𝜇 𝑒𝑒𝐴𝐴𝜇𝜇ゲージ不変性を担保
𝜇𝜇

アノマリー関係式を見るため、カイラルカレントの発散を調べる 𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5

注意: パワーカウンティング✔ 𝒏𝒏次 or 𝑶𝑶(𝑻𝑻𝒏𝒏 )までカイラルアノマリーを調べたければ、(𝒏𝒏+2)次 or 𝑶𝑶(𝑻𝑻𝒏𝒏+𝟐𝟐 )まで𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲 を求める必要 (Weylに限らずどんな粒子でも)余計な時間微分1個湧く⇒ 高周波展開は 時間微分が大きい 𝜕𝜕𝑡𝑡 → 𝜖𝜖 −1 𝜕𝜕𝑡𝑡 (𝜖𝜖 ≪ 1) 展開 なので、展開のオーダーが1つ悪くなる𝑇𝑇

結果(1/2): 𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲

d𝑡𝑡
�0 (𝑥𝑥) ≔ �
𝐻𝐻F (𝑥𝑥) = 𝐻𝐻
𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝑇𝑇0∞

𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = � −𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑛𝑛=1

𝑛𝑛−1

𝑡𝑡

𝑡𝑡𝑛𝑛

𝑡𝑡2

� d𝑡𝑡𝑛𝑛 � d𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ⋯ � d𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (𝑡𝑡1 , 𝑥𝑥)𝑇𝑇

結果(1/2): 𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲

d𝑡𝑡
�0 (𝑥𝑥) ≔ �
𝐻𝐻F (𝑥𝑥) = 𝐻𝐻
𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝑇𝑇0∞

𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = � −𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑛𝑛=1

𝑛𝑛−1

𝑡𝑡

𝑡𝑡𝑛𝑛

𝑡𝑡2

� d𝑡𝑡𝑛𝑛 � d𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ⋯ � d𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (𝑡𝑡1 , 𝑥𝑥)✔ Floquet Hamiltonian は自明で、kick operator だけが非自明⇒ 非自明な物理 (含アノマリー) は、kick operator から出てくる𝑇𝑇

結果(1/2): 𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲

d𝑡𝑡
�0 (𝑥𝑥) ≔ �
𝐻𝐻F (𝑥𝑥) = 𝐻𝐻
𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝑇𝑇0∞

𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = � −𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑛𝑛=1

𝑛𝑛−1

𝑡𝑡

𝑡𝑡𝑛𝑛

𝑡𝑡2

� d𝑡𝑡𝑛𝑛 � d𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ⋯ � d𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (𝑡𝑡1 , 𝑥𝑥)✔ Floquet Hamiltonian は自明で、kick operator だけが非自明⇒ 非自明な物理 (含アノマリー) は、kick operator から出てくる✔ Kick operator は有限の収束半径を持つ (幾何級数的な振る舞い)
𝐾𝐾 (𝑛𝑛+1)∼ 𝜕𝜕𝑥𝑥 �d𝑡𝑡 ∼ 𝐿𝐿/𝑇𝑇 ⇒ 空間変調が大きいとvan Vleck 展開は破綻
𝐾𝐾 (𝑛𝑛)𝑇𝑇

結果(1/2): 𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲

d𝑡𝑡
�0 (𝑥𝑥) ≔ �
𝐻𝐻F (𝑥𝑥) = 𝐻𝐻
𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝑇𝑇0∞

𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = � −𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑛𝑛=1

𝑛𝑛−1

𝑡𝑡

𝑡𝑡𝑛𝑛

𝑡𝑡2

� d𝑡𝑡𝑛𝑛 � d𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ⋯ � d𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (𝑡𝑡1 , 𝑥𝑥)✔ Floquet Hamiltonian は自明で、kick operator だけが非自明⇒ 非自明な物理 (含アノマリー) は、kick operator から出てくる✔ Kick operator は有限の収束半径を持つ (幾何級数的な振る舞い)
𝐾𝐾 (𝑛𝑛+1)∼ 𝜕𝜕𝑥𝑥 �d𝑡𝑡 ∼ 𝐿𝐿/𝑇𝑇 ⇒ 空間変調が大きいとvan Vleck 展開は破綻
𝐾𝐾 (𝑛𝑛)回避策(1): Floquet展開を𝑥𝑥方向に適用。一般に、系が一番早く変調している方向i𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = 𝐻𝐻 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥→ i𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = ℋ 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥⇒

𝐾𝐾 (𝑛𝑛+1)∼ 𝜕𝜕𝑡𝑡 �d𝑥𝑥 ∼ 𝑇𝑇/𝐿𝐿
𝐾𝐾 (𝑛𝑛)結果(1/2): 𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲

𝑇𝑇d𝑡𝑡
�0 (𝑥𝑥) ≔ �
𝐻𝐻F (𝑥𝑥) = 𝐻𝐻
𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝑇𝑇0∞

𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = � −𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑛𝑛=1

𝑛𝑛−1

𝑡𝑡

𝑡𝑡𝑛𝑛

𝑡𝑡2

� d𝑡𝑡𝑛𝑛 � d𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ⋯ � d𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (𝑡𝑡1 , 𝑥𝑥)✔ Floquet Hamiltonian は自明で、kick operator だけが非自明⇒ 非自明な物理 (含アノマリー) は、kick operator から出てくる✔ Kick operator は有限の収束半径を持つ (幾何級数的な振る舞い)
𝐾𝐾 (𝑛𝑛+1)∼ 𝜕𝜕𝑥𝑥 �d𝑡𝑡 ∼ 𝐿𝐿/𝑇𝑇 ⇒ 空間変調が大きいとvan Vleck 展開は破綻
𝐾𝐾 (𝑛𝑛)回避策(1): Floquet展開を𝑥𝑥方向に適用。一般に、系が一番早く変調している方向i𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = 𝐻𝐻 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥⇒→ i𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = ℋ 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 𝜓𝜓 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

回避策(2): 総和 (𝑛𝑛の和) をがんばって取る

𝐾𝐾 (𝑛𝑛+1)∼ 𝜕𝜕𝑡𝑡 �d𝑥𝑥 ∼ 𝑇𝑇/𝐿𝐿
𝐾𝐾 (𝑛𝑛)・ 今は全項知っているので、解析的に取れる ⇒ 取った後の関数は𝑇𝑇/𝐿𝐿 全域に拡張可能
・ 全項知らないときは、近似的総和法が使えるかも。例えば、 Pade近似。
例) 𝐴𝐴0 = 𝑎𝑎

𝐿𝐿

2𝜋𝜋

cos

2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑇𝑇

+

2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝐿𝐿

⇒ 𝐾𝐾 = 𝑎𝑎

𝑇𝑇 𝐿𝐿

2𝜋𝜋 2𝜋𝜋

sin

2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑇𝑇

+

2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝐿𝐿

∑𝑛𝑛=1 −

𝐿𝐿 𝑛𝑛−1𝑇𝑇(蛇足: 一般の場合もたかだがn!なので、Borel和が使えるかも？ リサージェンス?)[Kuwabara, Mori, Saito (2016)]

nの和を途中で打ち切ったもの

Pade近似= 厳密解

𝝁𝝁結果(2/2): 𝑱𝑱𝟓𝟓 とアノマリー関係式

便宜的に高周波展開のbookkeeping parameter 𝜖𝜖 s. t. 𝜕𝜕𝑡𝑡 → 𝜖𝜖 −1 𝜕𝜕𝑡𝑡 を陽に書くことにすると、
∞

𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑛𝑛
𝑡𝑡2
1
0
1
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝐽𝐽5 (𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐽𝐽5 (𝑡𝑡, 𝑥𝑥) =� 𝜖𝜖 −𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡𝑛𝑛 � d𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ⋯ � d𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (𝑡𝑡1 , 𝑥𝑥)
2𝜋𝜋
𝑛𝑛=1

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡′
1
′
0 ′
2 2
=
− 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 + 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡𝑡 � d𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝑥𝑥 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 3 )
2𝜋𝜋

主要項

高次の項

𝝁𝝁
結果(2/2): 𝑱𝑱𝟓𝟓 とアノマリー関係式

便宜的に高周波展開のbookkeeping parameter 𝜖𝜖 s. t. 𝜕𝜕𝑡𝑡 → 𝜖𝜖 −1 𝜕𝜕𝑡𝑡 を陽に書くことにすると、
∞

𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑛𝑛
𝑡𝑡2
1
0
1
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝐽𝐽5 (𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐽𝐽5 (𝑡𝑡, 𝑥𝑥) =� 𝜖𝜖 −𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡𝑛𝑛 � d𝑡𝑡𝑛𝑛−1 ⋯ � d𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝐴𝐴0 (𝑡𝑡1 , 𝑥𝑥)
2𝜋𝜋
𝑛𝑛=1

発散を計算すると、
𝜇𝜇

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡′
1
′
0 ′
2 2
=
− 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 + 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡𝑡 � d𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝑥𝑥 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 3 )2𝜋𝜋𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5 = 𝜖𝜖 −1 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝐽𝐽50 + 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝐽𝐽51 =

主要項

1
2𝜋𝜋

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

高次の項

+

0

高次の𝑂𝑂(𝜖𝜖1 )はすべてキャンセルする！

これはよく知られたアノマリーの関係式に他ならない⇒ カイラルアノマリーは、高周波展開の低次で捉えきれる1. Introduction
2. 1+1次元のMassless Weyl 粒子のアノマリーのFloquet解析
3. 1+1次元のMassive Dirac 粒子のアノマリーのFloquet解析
4. まとめ1+1次元のMassive Dirac 粒子✔ 1+1次元 massive Dirac 粒子−i𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐴𝐴0i𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) where 𝐻𝐻 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 ≔𝑚𝑚

𝑚𝑚+i𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐴𝐴0(簡単のため、 𝑒𝑒𝐴𝐴1 = 0 ゲージ)

1+1次元のMassive Dirac 粒子✔ 1+1次元 massive Dirac 粒子−i𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐴𝐴0i𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) = 𝐻𝐻(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)𝜓𝜓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) where 𝐻𝐻 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 ≔𝑚𝑚

✔ 計算の流れ𝑚𝑚+i𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝐴𝐴0(簡単のため、 𝑒𝑒𝐴𝐴1 = 0 ゲージ)

基本的な流れはWeyl粒子の場合とまったく同じ

Step 1:
Step 2:Floquet Hamiltonian 𝐻𝐻F と kick operator 𝐾𝐾 を van Vleck 展開で求める+∞†
対応する波動関数𝜓𝜓𝑘𝑘 を求めて、𝜓𝜓 を量子化する 𝜓𝜓 → 𝜓𝜓� = ∫−∞ d𝑘𝑘 𝜓𝜓+,𝑘𝑘 𝑎𝑎�𝑘𝑘 + 𝜓𝜓−,𝑘𝑘 𝑏𝑏�−𝑘𝑘

𝜇𝜇Step 3: カイラルカレント 𝐽𝐽5 = 𝜓𝜓� † 𝛾𝛾 𝜇𝜇 𝛾𝛾5 𝜓𝜓� と 疑スカラー凝縮 𝑃𝑃 = 𝜓𝜓� † i𝛾𝛾5 𝜓𝜓�をpoint-splitting正則化で求める

Step 4:𝜇𝜇

アノマリー関係式を見るため、カイラルカレントの発散を調べる 𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5

結果(1/3): 𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲𝑇𝑇
�0 𝑥𝑥 + 𝜖𝜖 4 × (−2)𝑚𝑚 �
𝐻𝐻𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝐻𝐻
2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑙𝑙≠0

𝑡𝑡

4

𝑒𝑒 𝐸𝐸�𝑙𝑙 𝑥𝑥
𝑡𝑡2

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 5 )𝑡𝑡 ′𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = 0 + 𝜖𝜖 1 � d𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡 ′ , 𝑥𝑥 + 𝜖𝜖 2 −𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 ′ � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡′′, 𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑧𝑧
𝑡𝑡

𝑡𝑡 ′

𝑡𝑡 ′′

+ 𝜖𝜖 3 � d𝑡𝑡 ′ � d𝑡𝑡 ′′ � d𝑡𝑡 ′′ ′ −𝜕𝜕𝑥𝑥 2 − 2𝑚𝑚 −𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝑥𝑥 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )結果(1/3): 𝑯𝑯𝑭𝑭 と𝑲𝑲𝑇𝑇
�0 𝑥𝑥 + 𝜖𝜖 4 × (−2)𝑚𝑚 �
𝐻𝐻𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝐻𝐻
2𝜋𝜋𝜋𝜋

4

𝑙𝑙≠0

𝑡𝑡

𝑒𝑒 𝐸𝐸�𝑙𝑙 𝑥𝑥

2𝑡𝑡

𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 5 )𝑡𝑡 ′𝐾𝐾 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = 0 + 𝜖𝜖 1 � d𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡 ′ , 𝑥𝑥 + 𝜖𝜖 2 −𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 ′ � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡′′, 𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑧𝑧
𝑡𝑡

𝑡𝑡 ′

𝑡𝑡 ′′

+ 𝜖𝜖 3 � d𝑡𝑡 ′ � d𝑡𝑡 ′′ � d𝑡𝑡 ′′ ′ −𝜕𝜕𝑥𝑥 2 − 2𝑚𝑚 −𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑒𝐴𝐴0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡, 𝑥𝑥 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )✔ Kick operatorは低次補正を受けるが、Floquet Hamiltonian は高次補正を受けるだけ⇒ Weylの場合と同様に、非自明な物理は基本的に kick operator から出てくる✔ 有限質量効果は高次効果⇒ 有限質量効果は高周波領域では無視できる✔ Floquet Hamiltonianの高次補正は、質量を有効的に下げる効果 𝒎𝒎𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 < 𝒎𝒎

蛇足: mass shiftの符号や大きさについて統一的な理解はないので、何かわかるとおもしろいと思う
例1) Volkov状態(平面波中の電子): 𝑚𝑚eff = 𝑚𝑚

1 + #𝐸𝐸 2[Wolkow (1935)](∵ 時間平均すると、Pondermotive energyだけ太る )[Takayoshi, Oka (2020)]

例2) 回転電場: 𝑚𝑚eff = 𝑚𝑚 + #Ω (∵ 幾何学的効果 (“Twisted” Landau Zener effect) ) [Berry (1990)]

例3) 定常電場: 𝑚𝑚eff は分布を持つが典型的に𝑚𝑚eff > 𝑚𝑚 (∵ Dirac sea 中の電子の分布 )[HT (2018)]𝝁𝝁結果(2/3): 𝑱𝑱𝟓𝟓 と𝑷𝑷
′

′′

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
0
1
′
0
3 3
2
′
′′
𝐽𝐽5 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = −𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 − 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 2𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 5 )𝜋𝜋𝐽𝐽51 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
2 2
′
= +𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡
𝑚𝑚
′
𝑃𝑃 = 𝜓𝜓 i𝛾𝛾5 𝜓𝜓� = 𝜖𝜖𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

�†

2

𝝁𝝁
結果(2/3): 𝑱𝑱𝟓𝟓 と𝑷𝑷
′

′′

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
0
1
′
0
3 3
2
′
′′
𝐽𝐽5 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = −𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 − 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 2𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 5 )𝜋𝜋𝐽𝐽51 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
2 2
′
= +𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡
𝑚𝑚
′
𝑃𝑃 = 𝜓𝜓 i𝛾𝛾5 𝜓𝜓� = 𝜖𝜖𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

�†

2

✔ 有限質量効果は高次効果⇒ 有限質量効果は高周波領域では無視できる✔「遅い」電場のときとはぜんぜんパラメタ依存性が違う
𝐽𝐽50 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

Δ𝑘𝑘

∼ 2�

0

2

𝑚𝑚
d𝑘𝑘
1
1 𝑡𝑡 ′−𝜋𝜋′|𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|
Δ𝑛𝑛 ∼ Δ𝑘𝑘 Δ𝑛𝑛 ∼ � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 e
2𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋
−𝜋𝜋

𝑚𝑚2
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡,𝑥𝑥

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 ′ , 𝑥𝑥 1 − e
𝑃𝑃 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 ∼2𝑚𝑚
𝜋𝜋

特に、「速い」電場のカイラリティ生成は、質量(割ることの電場)について指数関数的な抑制がない⇒「速い」電場でのカイラリティ生成の増大 (電場が弱くても周波数が大きければよい)結果(3/3): アノマリー関係式
′

′′

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
0
1
′
0
3 3
2
′
′′
𝐽𝐽5 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = −𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 − 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 2𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 5 )𝜋𝜋𝐽𝐽51 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
2 2
′
= +𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡
𝑚𝑚
′
𝑃𝑃 = 𝜓𝜓 i𝛾𝛾5 𝜓𝜓� = 𝜖𝜖𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

�†

2

発散を計算すると、たしかにアノマリー関係式を満たす:
′

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑒𝑒
2𝑚𝑚2
2𝑚𝑚2
2
′
′′
0
4
2
′
𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 + 𝑂𝑂 𝜖𝜖 + 𝜖𝜖𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
=
− 𝜖𝜖
𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋

アノマリー

𝜇𝜇

カイラリティ生成の寄与 = 𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5

陽な破れの寄与 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚

結果(3/3): アノマリー関係式
′

′′

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
0
1
′
0
3 3
2
′
′′
𝐽𝐽5 𝑡𝑡, 𝑥𝑥 = −𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 − 𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 2𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 5 )𝜋𝜋𝐽𝐽51 𝑡𝑡, 𝑥𝑥

𝑡𝑡
𝑡𝑡
1
2 2
′
= +𝜖𝜖 𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡
𝑚𝑚
′
𝑃𝑃 = 𝜓𝜓 i𝛾𝛾5 𝜓𝜓� = 𝜖𝜖𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
𝜋𝜋

�†

2

発散を計算すると、たしかにアノマリー関係式を満たす:
′

𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝑡𝑡𝑡
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑒𝑒𝑒𝑒
2𝑚𝑚2
2𝑚𝑚2
2
′
′′
0
4
2
′
𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 𝑒𝑒𝐴𝐴 + 𝑂𝑂 𝜖𝜖 + 𝜖𝜖𝜕𝜕𝑥𝑥 � d𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 ′′ 𝑒𝑒𝐴𝐴0 + 𝑂𝑂(𝜖𝜖 4 )
=
− 𝜖𝜖
𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋

アノマリー

𝜇𝜇

カイラリティ生成の寄与 = 𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5

陽な破れの寄与 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚✔ Weylのときと同じように、低次の寄与がアノマリーを捉えきっている✔「遅い」電場のときと比べ、アノマリーの配分の仕方が違う
𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜋𝜋

アノマリー

=

𝑒𝑒𝑒𝑒 −𝜋𝜋 𝑚𝑚2
e 𝑒𝑒𝑒𝑒𝜋𝜋𝜇𝜇カイラリティ生成の寄与 = 𝜕𝜕𝜇𝜇 𝐽𝐽5

+

2

𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑒𝑒
−𝜋𝜋
1 − e 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝜋𝜋

陽な破れの寄与 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚⇒ アノマリーは、電場が速い/遅いとカイラリティ生成/陽な破れの寄与でサチる1. Introduction
2. 1+1次元のMassless Weyl 粒子のアノマリーのFloquet解析
3. 1+1次元のMassive Dirac 粒子のアノマリーのFloquet解析
4. まとめ今日のまとめ
背景Massiveなカイラルアノマリーは「遅い」電場に対してはよくわかっている・ 物理描像: 実粒子生成 + スペクトルフロー
・ 定量的性質: 質量に対して指数関数的に強く抑制されている「速い」電場に対するMassive なカイラルアノマリーはどうなっているのか？
Q1: 一般の高周波電場の場合にカイラリティ生成は増大するか？

問
題

手

Q2: アノマリーはどういう風に分配されているか？
Q3: 𝑛𝑛5 のパラメタ依存性は遅い電場 (or 実粒子生成の描像) と比べて変わるか？

Floquet理論、特に高周波展開(van Vleck 展開)、に基づき答えを与える法
詳しくは、[Fukushima, Hidaka, Shimazaki, HT, arXiv:2108.xxxx]

今日のまとめ
背景Massiveなカイラルアノマリーは「遅い」電場に対してはよくわかっている・ 物理描像: 実粒子生成 + スペクトルフロー
・ 定量的性質: 質量に対して指数関数的に強く抑制されている「速い」電場に対するMassive なカイラルアノマリーはどうなっているのか？
Q1: 一般の高周波電場の場合にカイラリティ生成は増大するか？ ⇒ YES

問
題

Q2: アノマリーはどういう風に分配されているか？
⇒ 電場が速い/遅いとカイラリティ生成/陽な破れの寄与でサチる
Q3: 𝑛𝑛5 のパラメタ依存性は遅い電場 (or 実粒子生成の描像) と比べて変わるか？

⇒ 変わる。例えば、電場が速いと質量についての指数関数的抑制がない。
有限質量効果は、高周波展開の高次で電場が十分に速いと無視できる。

手法

Floquet理論、特に高周波展開(van Vleck 展開)、に基づき答えを与える⇒ 高周波展開はカイラルアノマリーを調べる良い手法。
特に、アノマリーを展開の低次の項だけで捉えきることができる
詳しくは、[Fukushima, Hidaka, Shimazaki, HT, arXiv:2108.xxxx]