摂動を加えたときのSchwinger機構
田屋 英俊(Fudan University)

Refs:[HT, PRD 99, 056006 (2019)][Huang, HT, PRD 100, 016013 (2019)]

今日の話考えたこと「強い遅い電場 + 任意に時間依存する弱い電場」をかけた

技術的な結果Schwinger公式を超える、解析的公式をはじめて導出

物理的な結果ときのSchwinger機構 (dynamically assisted Schwinger 機構)⇒ これまで解析的に議論できなかったパラメタ領域の議論が可能に

・dynamically assisted Schwinger 機構と物性のFranz-Keldysh効果は本質的に同じものである
・スピン依存する粒子生成が起こる

導入理論

結果
まとめ

強い電場による粒子生成・ 強い電場を真空に加えると、電子・陽電子対が生成される
正エネルギー状態
ギャップ
Diracの海・・強い電場励起強い電場による粒子生成・ 強い電場を真空に加えると、電子・陽電子対が生成される
正エネルギー状態
ギャップ

強い電場

励起

Diracの海・ さまざまな極限状況で、実際に起こっている、と期待e.g.) 重イオン衝突初期、超重原子(Z>173)、高強度レーザー、初期宇宙・

強い電場による粒子生成・ 強い電場を真空に加えると、電子・陽電子対が生成される
正エネルギー状態
ギャップ

強い電場

励起

Diracの海・ さまざまな極限状況で、実際に起こっている、と期待e.g.) 重イオン衝突初期、超重原子(Z>173)、高強度レーザー、初期宇宙・ 電場の周波数Ω (𝐸 = 𝐸0 cos(Ω𝑡)) に応じ、三種類に大別できる(1) 遅い電場 (Ω小)Schwinger機構(2) 速い電場 (Ω大)multi-photon pair production(3) 重ね合わせ(遅い+速い電場)

dynamically assisted Schwinger 機構

(1) 電場が遅いとき = Schwinger 機構[Sauter (1932)] [Heisenberg, Euler (1936)] [Schwinger (1951)]

電場がバンドを曲げる ⇒ level crossing ⇒ 非摂動的なトンネル効果

遅い電場
トンネル効果(1) 電場が遅いとき = Schwinger 機構[Sauter (1932)] [Heisenberg, Euler (1936)] [Schwinger (1951)]

電場がバンドを曲げる ⇒ level crossing ⇒ 非摂動的なトンネル効果

遅い電場
トンネル効果☺ よくわかっている(1) 物性物理の「絶縁破壊 (Landau-Zener 転移)」のアナログ[Landau (1932)] [Zener (1932)] [Majorana (1932)][Stueckelberg (1932)](2) 生成スペクトルは解析的に計算可 (ガウシアン + スピン非依存)
𝜋 𝑚2 +𝒑2𝑇
𝑑 3 𝑁↑
𝑑 3 𝑁↓
𝑉Schwingerの公式：= 3 =exp[−]
𝑑𝒑3𝑑𝒑
2𝜋 3𝑒𝐸multi-photon(2) 電場が速いとき = pair production[Brezin, Izykson (1970)] [HT, Fujii, Itakura (2014)]

光子の粒子性が効いてくる ⇒ 光子と摂動的に多重散乱
光子散乱

早い電場

multi-photon(2) 電場が速いとき = pair production[Brezin, Izykson (1970)] [HT, Fujii, Itakura (2014)]

光子の粒子性が効いてくる ⇒ 光子と摂動的に多重散乱
光子散乱

早い電場

☺ よくわかっている(1) 物性物理の「光電効果」のアナログ[Einstein (1905)](2) 生成スペクトルは解析的に計算可 (デルタ関数 + スピン非依存)
2𝑑 3 𝑁↑𝑑 3 𝑁↓𝑒𝐸= 3 = # × 2 2 𝛿(2摂動論による公式：
𝑑𝒑3
𝑑𝒑𝑚 +𝒑𝑚2 + 𝒑2 − Ω)dynamically assisted(3) 重ね合わせたとき =Schwinger 機構[Dunne, Gies, Schutzhold (2008), (2009)][Piazza et al (2009)][Monin, Voloshin (2010)]
遅い電場による非摂動トンネル効果 + 速い電場による摂動的多重散乱
光子散乱

重ね合わせトンネル効果

dynamically assisted(3) 重ね合わせたとき =Schwinger 機構[Dunne, Gies, Schutzhold (2008), (2009)][Piazza et al (2009)][Monin, Voloshin (2010)]
遅い電場による非摂動トンネル効果 + 速い電場による摂動的多重散乱
光子散乱

トンネル効果重ね合わせ😡 あまりよくわかっていない(1) 物性物理のアナログが何かわかっていない(2) 生成スペクトルの解析的公式はない
・ 数値計算によると、スペクトルは、ガウシアン+デルタ関数という単純な重ね合わせではなく、これを解析計算で再現できていない
cf. 電場が十分に断熱的なら、準古典的方法 (WKBやworldline法) が使える

・ スピン自由度の議論はまったくなかった目的「dynamically assisted Schwinger 機構」の理解を深めるA

物性物理とのアナログを明らかにする

B

生成スペクトルの解析的公式を求める

メモ: 重イオン衝突にも重要
e.g. ・ 衝突初期は、glasma ＋ (mini-)jets で、正にdyn. ass. Schwinger 機構が起こる状況(強く遅い電磁場) + (弱く速い電磁場)

・ Lund模型は、ソフトとハードの粒子生成を単なる重ね合わせで書くが、これは、正確には、正しくない主張: Franz-Keldysh効果が[A]の答えだ
半導体に、遅く強い電場と光子(~速い電場)を当て、光子吸収率を測る⇒ 光子の吸収率 ～ 1-loop有効作用の虚部 ～ 粒子生成率⇒ とてもdynamically assisted Schwinger 機構に似てるように見える主張: Franz-Keldysh効果が[A]の答えだ
半導体に、遅く強い電場と光子(~速い電場)を当て、光子吸収率を測る⇒ 光子の吸収率 ～ 1-loop有効作用の虚部 ～ 粒子生成率⇒ とてもdynamically assisted Schwinger 機構に似てるように見える理論

実験(シリコン半導体)[Yacoby (1966)]

差 (■ー■)

w/ 遅く強い電場
w/o 遅く強い電場

差 (■ー■)

光子吸収率[Franz (1958)] [Keldysh (1958)](光子エネルギー) ー (ギャップエネルギー)

ギャップの (1) 下では、吸収率が増大; (2) 上では、吸収率が振動主張: Franz-Keldysh効果が[A]の答えだ
半導体に、遅く強い電場と光子(~速い電場)を当て、光子吸収率を測る⇒ 光子の吸収率 ～ 1-loop有効作用の虚部 ～ 粒子生成率⇒ とてもdynamically assisted Schwinger 機構に似てるように見える理論

実験(シリコン半導体)[Yacoby (1966)]

差 (■ー■)

w/ 遅く強い電場
w/o 遅く強い電場

差 (■ー■)

光子吸収率[Franz (1958)] [Keldysh (1958)](光子エネルギー) ー (ギャップエネルギー)

ギャップの (1) 下では、吸収率が増大; (2) 上では、吸収率が振動

To-doスペクトルの解析的公式を求め[目的B]、(1)(2)がSchwinger
機構でも起きることを確かめることで、この主張を示す[目的A]

導入理論

結果
まとめ

理論(1/2)： 外場中の摂動論(Furry描像)
GOAL
遅い電場𝑬𝐬 と速い電場ℰ𝐟 があるときの𝑑3 𝑁†
粒子数期待値 3 = ⟨𝑎ො𝒑,𝑠 𝑎ො𝒑,𝑠 ⟩を計算したい𝑑𝒑理論(1/2)： 外場中の摂動論(Furry描像)
GOAL
遅い電場𝑬𝐬 と速い電場ℰ𝐟 があるときの𝑑3 𝑁†
粒子数期待値 3 = ⟨𝑎ො𝒑,𝑠 𝑎ො𝒑,𝑠 ⟩を計算したい
𝑑𝒑

遅い/速い電場は非摂動的/摂動的に効くのだから、遅い電場は非摂動的に取り扱う必要があるが、速い電場については摂動的な取扱いで十分理論(1/2)： 外場中の摂動論(Furry描像)
GOAL
遅い電場𝑬𝐬 と速い電場ℰ𝐟 があるときの𝑑3 𝑁†
粒子数期待値 3 = ⟨𝑎ො𝒑,𝑠 𝑎ො𝒑,𝑠 ⟩を計算したい
𝑑𝒑

遅い/速い電場は非摂動的/摂動的に効くのだから、遅い電場は非摂動的に取り扱う必要があるが、速い電場については摂動的な取扱いで十分𝑎ො𝒑,𝑠 を速い電場ℰ𝐟 についてだけ摂動展開して計算する

理論(2/2)： 外場中の摂動論(Furry描像)
STEP 1 全体の電場𝑬を、遅い電場𝑬𝐬 と速い電場ℰ𝐟 に分ける𝑬 = 𝑬𝐬 + ℰ𝐟

STEP 2 Dirac方程式を、遅い電場𝑬𝐬 に非摂動的に、速い電場ℰ𝐟 に摂動的に解く𝑖𝜕/ − 𝒆𝑨/ 𝐬 − 𝑚 𝜓෠ = 𝒆𝓐/ 𝐟 𝜓෠∞𝜓෠ 𝑥 = 𝜓෠ (0) 𝑥 + ‫׬‬−∞ d𝑦 4 𝑆 𝑥, 𝑦 𝒆𝓐/ f (𝑦)𝜓෠ 0 𝑦 + 𝑂(|𝒆𝓐f |2 )ここで、未摂動波動関数𝜓෠ (0) とプロパゲータ𝑆は、𝑬𝐬 に非摂動的にドレスされてる𝑖𝜕/ − 𝒆𝑨/𝐬 − 𝑚 𝜓෠ (0) = 0𝑖𝜕/ − 𝒆𝑨/𝐬 − 𝑚 𝑆(𝑥, 𝑦) = 𝛿 4 (𝑥 − 𝑦)in/out ෠ in/out
෠
STEP 3 生成消滅演算子𝑎ො𝑝,𝑠, 𝑏𝑝,𝑠 を𝜓から求める

無限の未来/過去で、平面波で内積を取ればよい (断熱仮説)
in/out𝑎ො𝒑,𝑠in/out†𝑏෠−𝒑,𝑠≡lim𝑡→−∞Τ+∞න d3 𝒙(𝑢𝒑,𝑠 e−𝑖𝜔𝒑 𝑡 e𝑖𝒑⋅𝒙 )†(𝑣𝒑,𝑠e+𝑖𝜔𝒑 𝑡 e𝑖𝒑⋅𝒙 )†෠𝜓(𝑥)out† out𝑎𝒑,𝑠 vac; in を計算する
STEP 4 粒子数期待値 vac; in 𝑎𝒑,𝑠導入理論

結果
まとめ結果(1/3): 公式 (遅い/速い電場が平行)
𝑑 3 𝑁𝑒𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )=exp −𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s
1 𝑚2 + 𝒑2⊥ ∞ℰሚ𝐟 𝜔𝑖 𝜔2 + 4𝜔𝑝∥
න 𝑑𝜔× 1 +exp −2 𝑒𝐸s
𝐸4𝑒𝐸ss0

1 𝐹1𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

2

結果(1/3): 公式 (遅い/速い電場が平行)
𝑑 3 𝑁𝑒𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )=exp −𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s
1 𝑚2 + 𝒑2⊥ ∞ℰሚ𝐟 𝜔𝑖 𝜔2 + 4𝜔𝑝∥
න 𝑑𝜔× 1 +exp −2 𝑒𝐸s
𝐸4𝑒𝐸ss0

普通のSchwinger機構 by 遅い電場𝑬𝐬

1 𝐹1𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

2

結果(1/3): 公式 (遅い/速い電場が平行)
𝑑 3 𝑁𝑒𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )=exp −𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s
1 𝑚2 + 𝒑2⊥ ∞ℰሚ𝐟 𝜔𝑖 𝜔2 + 4𝜔𝑝∥
න 𝑑𝜔× 1 +exp −2 𝑒𝐸s
𝐸4𝑒𝐸s
s
0

普通のSchwinger機構 by 遅い電場𝑬𝐬

1 𝐹1𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

速い電場𝓔𝐟 によるアシスト2

結果(1/3): 公式 (遅い/速い電場が平行)
𝑑 3 𝑁𝑒𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )=exp −𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s
1 𝑚2 + 𝒑2⊥ ∞ℰሚ𝐟 𝜔𝑖 𝜔2 + 4𝜔𝑝∥
න 𝑑𝜔× 1 +exp −2 𝑒𝐸s
𝐸4𝑒𝐸ss0

普通のSchwinger機構 by 遅い電場𝑬𝐬

1 𝐹1

𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

速い電場𝓔𝐟 によるアシスト

・ 遅い極限 𝜔Τ 𝑒𝐸s ≪ 1: ■ が支配的 ➡ Schwingerの公式を再現
𝑑3 𝑁𝑒𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )𝜋 𝑚2 + 𝒑2⊥ ℰf∼
exp −1+𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s 𝐸s2𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )∼exp −2𝜋 3𝑒(𝐸s + ℰf )・ 速い極限 𝜔Τ 𝑒𝐸s ≫ 1: ■ が支配的 ➡ multi-photon pair prod. の公式を再現
𝑑3 𝑁𝑒
𝑉 1 𝑚2 + 𝒑2⊥ |𝑒 ℰ෩f 2𝜔𝒑 |2∼
𝑑𝒑32𝜋 3 4 𝜔𝒑2
𝜔𝒑22

結果(1/3): 公式 (遅い/速い電場が平行)
𝑑 3 𝑁𝑒𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )=exp −𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s
1 𝑚2 + 𝒑2⊥ ∞ℰሚ𝐟 𝜔𝑖 𝜔2 + 4𝜔𝑝∥
න 𝑑𝜔
× 1 +
exp −2 𝑒𝐸s
𝐸4𝑒𝐸ss0

普通のSchwinger機構 by 遅い電場𝑬𝐬

1 𝐹1

𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

速い電場𝓔𝐟 によるアシスト

・ 遅い極限 𝜔Τ 𝑒𝐸s ≪ 1: ■ が支配的 ➡ Schwingerの公式を再現
𝑑3 𝑁𝑒𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )𝜋 𝑚2 + 𝒑2⊥ ℰf∼
exp −1+𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s 𝐸s2𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )∼exp −2𝜋 3𝑒(𝐸s + ℰf )・ 速い極限 𝜔Τ 𝑒𝐸s ≫ 1: ■ が支配的 ➡ multi-photon pair prod. の公式を再現
𝑑3 𝑁𝑒
𝑉 1 𝑚2 + 𝒑2⊥ |𝑒 ℰ෩f 2𝜔𝒑 |2∼𝑑𝒑3
2𝜋 3 4 𝜔𝒑2
𝜔𝒑2✅

Schwingerの公式を超えた、時間依存電場に対する粒子生成の解析的な公式をはじめて導出した！

2

結果(2/3): 公式 (遅い/速い電場が平行でない)𝑑3 𝑁𝑒
𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )=exp −𝑑𝒑32𝜋 3𝑒𝐸s∞

×1 + න 𝑑𝜔 e−𝑖20∞+𝑖 න 𝑑𝜔 e−𝑖+𝑠 × 𝑖 න𝑒𝐸s𝜔𝑝∥ ෩𝓔 𝜔𝑒𝐸s f0∞

𝜔𝑝∥෩f 𝜔1 𝑚2 + 𝒑2⊥ 𝓔𝑒𝐸s+ න0𝜔𝑝∥ ෩(𝓔f 𝜔−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s𝜔𝑝∥ሚf𝑥 𝜔ℰ𝑚−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s

𝜔𝐸s2e−𝑖𝜔24𝑒𝐸s1 𝐹1𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;2 𝑒𝐸s2 𝑒𝐸s2𝜔⋅ 𝒑⊥
𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹Re e; 1;
1 1 1−𝐸s 𝜔2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

0∞

⋅ 𝑬s

𝜔22+ 𝒑2⊥

× 𝒑⊥ ) ⋅ 𝑬s
𝑖𝑚−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹 1 −Ime
1 12 𝑒𝐸s
𝐸s2 𝜔; 1;𝑦𝜔2+ 𝑖𝑠ℰሚf 𝜔𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹Im e; 1;
1 1 1−𝐸s
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

・ 見た目はとても複雑になった(赤 = new terms)が、基本的な構造は同じ
・22𝑖 𝜔2 𝑒𝐸s2

結果(2/3): 公式 (遅い/速い電場が平行でない)
普通のSchwinger機構
𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )by 遅い電場𝑬𝐬
exp −33𝑑 𝑁𝑒=
𝑑𝒑32𝜋𝑒𝐸s∞

×1 + න 𝑑𝜔 e−𝑖20∞+𝑖 න 𝑑𝜔 e−𝑖+𝑠 × 𝑖 න𝑒𝐸s

𝜔𝑝∥ ෩𝓔 𝜔𝑒𝐸s f0∞

𝜔𝑝∥෩f 𝜔1 𝑚2 + 𝒑2⊥ 𝓔𝑒𝐸s+ න0𝜔𝑝∥ ෩(𝓔f 𝜔−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s𝜔𝑝∥ሚf𝑥 𝜔ℰ𝑚−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s𝜔𝐸s2e−𝑖𝜔24𝑒𝐸s

1 𝐹1𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s2𝜔⋅ 𝒑⊥
𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹Re e; 1;
1 1 1−𝐸s 𝜔2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

0∞

⋅ 𝑬s

𝜔22+ 𝒑2⊥

× 𝒑⊥ ) ⋅ 𝑬s
𝑖𝑚−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹 1 −Ime
1 12 𝑒𝐸s
𝐸s2 𝜔; 1;𝑦𝜔2+ 𝑖𝑠ℰሚf 𝜔𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹
Im e; 1;1 1 1−𝐸s
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

・ 見た目はとても複雑になった(赤 = new terms)が、基本的な構造は同じ
・22𝑖 𝜔2 𝑒𝐸s2

結果(2/3): 公式 (遅い/速い電場が平行でない)
普通のSchwinger機構
𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )by 遅い電場𝑬𝐬
exp −33𝑑 𝑁𝑒=
𝑑𝒑32𝜋

速い電場𝓔𝐟 によるアシスト

𝑒𝐸s∞

×1 + න 𝑑𝜔 e−𝑖20∞+𝑖 න 𝑑𝜔 e−𝑖+𝑠 × 𝑖 න𝑒𝐸s

𝜔𝑝∥ ෩𝓔 𝜔𝑒𝐸s f0∞

𝜔𝑝∥෩f 𝜔1 𝑚2 + 𝒑2⊥ 𝓔𝑒𝐸s+ න0𝜔𝑝∥ ෩(𝓔f 𝜔−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s

𝜔𝑝∥
ሚf𝑥 𝜔
ℰ𝑚−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s𝜔𝐸s2e−𝑖

𝜔24𝑒𝐸s1 𝐹1𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;2 𝑒𝐸s2 𝑒𝐸s2𝜔⋅ 𝒑⊥𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹Re e; 1;
1 1 1−𝐸s 𝜔2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

0∞

⋅ 𝑬s

𝜔22+ 𝒑2⊥

× 𝒑⊥ ) ⋅ 𝑬s
𝑖𝑚−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹 1 −Ime
1 12 𝑒𝐸s
𝐸s2 𝜔; 1;𝑦𝜔2+ 𝑖𝑠ℰሚf 𝜔𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹Im e; 1;
1 1 1−𝐸s
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

・ 見た目はとても複雑になった(赤 = new terms)が、基本的な構造は同じ
・

22𝑖 𝜔2 𝑒𝐸s2

結果(2/3): 公式 (遅い/速い電場が平行でない)
普通のSchwinger機構
𝑉𝜋(𝑚2 +𝒑2⊥ )by 遅い電場𝑬𝐬
exp −33𝑑 𝑁𝑒=𝑑𝒑32𝜋

速い電場𝓔𝐟 によるアシスト𝑒𝐸s∞×1 + න 𝑑𝜔 e−𝑖

20∞+𝑖 න 𝑑𝜔 e−𝑖+𝑠 × 𝑖 න𝑒𝐸s+ න0𝜔𝑝∥ ෩(𝓔f 𝜔−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s𝜔𝑝∥ሚf𝑥 𝜔ℰ𝑚−𝑖𝑑𝜔 e 𝑒𝐸s

𝜔𝐸s2e−𝑖𝜔24𝑒𝐸s1 𝐹1𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥
𝑖 𝜔21−; 2;
2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

𝜔⋅ 𝒑⊥
𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹Re e; 1;
1 1 1−𝐸s 𝜔2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s

0∞

⋅ 𝑬s2𝜔𝑝∥ ෩𝓔 𝜔𝑒𝐸s f0∞

𝜔𝑝∥෩f 𝜔1 𝑚2 + 𝒑2⊥ 𝓔𝑒𝐸s

𝜔22+ 𝒑2⊥

× 𝒑⊥ ) ⋅ 𝑬s
𝑖𝑚−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹 1 −Ime
1 12 𝑒𝐸s𝐸s2 𝜔22; 1;𝑦𝜔2+ 𝑖𝑠ℰሚf 𝜔𝑖 𝑚2 + 𝒑2⊥𝑖 𝜔2−𝑖4𝑒𝐸s 𝐹Im e; 1;
1 1 1−𝐸s2 𝑒𝐸s
2 𝑒𝐸s𝑖 𝜔2 𝑒𝐸s
2・ 見た目はとても複雑になった(赤 = new terms)が、基本的な構造は同じ・ スピンに依存する！
⇒ Dirac粒子のスピン軌道相互作用𝒔 ⋅ (𝒑 × 𝑬)によって、磁場がなくてもスピン偏極e.g. スピントロニクスへの応用 [Huang, Matsuo, HT (2019)]

結果(3/3): 全粒子数Nのプロット
強い定常電場 𝑬𝐬 = const. + 平行な方向に、単色の弱く速い振動電場 𝓔𝐟 = 𝓔 cos 𝜔𝑡
全生成粒子数𝑁𝑒 / 𝑒𝐸s 2 𝑉𝑇For𝑚𝑒𝐸s

差 (■－■)
pert(𝑁𝑒 − 𝑁𝑒)/ 𝑒𝐸s 2 𝑉𝑇

= 2.5

multi-photon
pair production(𝓔𝐟 だけ)求めた公式(𝑬𝐬 と𝓔𝐟どちらも)Schwinger機構(𝑬𝐬 だけ)

振動数 𝜔/ 𝑒𝐸s

振動数(𝜔 − 2𝑚)/ 𝑒𝐸s結果(3/3): 全粒子数Nのプロット
強い定常電場 𝑬𝐬 = const. + 平行な方向に、単色の弱く速い振動電場 𝓔𝐟 = 𝓔 cos 𝜔𝑡
全生成粒子数𝑁𝑒 / 𝑒𝐸s 2 𝑉𝑇

For𝑚𝑒𝐸s

差 (■－■)
pert(𝑁𝑒 − 𝑁𝑒)/ 𝑒𝐸s 2 𝑉𝑇

= 2.5

multi-photon
pair production(𝓔𝐟 だけ)求めた公式(𝑬𝐬 と𝓔𝐟どちらも)Schwinger機構(𝑬𝐬 だけ)

振動数 𝜔/ 𝑒𝐸s

振動数(𝜔 − 2𝑚)/ 𝑒𝐸s結果(3/3): 全粒子数Nのプロット
強い定常電場 𝑬𝐬 = const. + 平行な方向に、単色の弱く速い振動電場 𝓔𝐟 = 𝓔 cos 𝜔𝑡
全生成粒子数𝑁𝑒 / 𝑒𝐸s 2 𝑉𝑇For𝑚𝑒𝐸s

差 (■－■)
pert(𝑁𝑒 − 𝑁𝑒)/ 𝑒𝐸s 2 𝑉𝑇

= 2.5

multi-photonpair production(𝓔𝐟 だけ)求めた公式(𝑬𝐬 と𝓔𝐟どちらも)Schwinger機構(𝑬𝐬 だけ)

振動数 𝜔/ 𝑒𝐸s

振動数(𝜔 − 2𝑚)/ 𝑒𝐸s

・ 完全にFranz-Keldysh効果と同じ振る舞い⇒ ギャップの (1) 下では、生成数が増大; (2) 上では、生成数が振動[Dunne, Gies, Schutzhold (2008), (2009)][Piazza et al (2009)] [Monin, Voloshin (2010)]✅

dynamically assisted Schwinger 機構は、半導体物理のFranz-Keldysh効果に他ならない導入
理論

結果まとめ

まとめ

[HT, PRD 99, 056006 (2019)][Huang, HT, PRD 100, 016013 (2019)]

考えたこと「強い遅い電場 + 任意に時間依存する弱い電場」をかけた

技術的な結果Schwinger公式を超える、解析的公式をはじめて導出ときのSchwinger機構 (dynamically assisted Schwinger 機構)⇒ これまで解析的に議論できなかったパラメタ領域の議論が可能に

・dynamically assisted Schwinger 機構と物理的な結果

物性のFranz-Keldysh効果は本質的に同じものである⇒ ギャップの下では生成数が増大; 上では生成数が振動・スピン依存する粒子生成が起こる⇒ スピントロニクスへも応用可[Huang, Matsuo, HT, to appear in PTEP]BACKUPInterpretation of the oscillation✖

✖
probability density

 quantum tunneling ➡ dynamically assisted Schwinger mechanism quantum reflection ➡ FK oscillation- non-uniform prob. dist. due to interference b/w in-coming and reflected waves- production occurs most efficiently at the maxima

Momentum distribution d3 𝑁𝑒 Τd𝒑𝟑momentum dist.
2𝜋 3 d3 𝑁𝑒
𝑉 d𝒑𝟑

For𝑚𝑒𝐸ത= 2.5

frequency 𝜔/ 𝑒 𝐸ത FK effect: enhancement below threshold & oscillation above threshold the location of the perturbative peak is modified due to reflection
 excellent agreement b/w our analytical formula and numerical resultsスピン流は流れる
遅い電場と速い電場が平行でなければ、スピン軌道相互作用を通じて、スピン流が流れる電子・正孔が電場により作られ、電場の方向に電流を流そうとする
電流は、速い電場の変化に追随しようとするが、タイムラグがある⇒ 電流と電場は厳密に平行でない 𝒋 × 𝑬 ≠ 𝟎

Dirac粒子は、 𝐬 ⋅ (𝒋 × 𝑬)の形のスピン軌道相互作用を必ず持つ
cf. ・ 電場の中で運動をしている電子の静止系では、電場は磁場に見える
Wouthuysen (1950)]
・ Dirac方程式の非相対論近似で導出可 [Foldy,[Tani (1951)]

2つの電場と直交する方向にスピン偏極し、スピン流が流れる

𝑗

スピン流 𝐽𝑠𝑖 /𝑚3

結果(1/2): スピン流生成

パラメータ:
𝑒𝐸𝑥 Τ𝑚2 = 0.2
𝑒𝐸𝑧 Τ𝑚2 = 1
ΩΤ𝑚 = 1
電場の寿命 𝑚𝑇・ 予想したように、電場(x,z軸)に垂直な方向(y軸)にスピン偏極したスピン流が、電場の方向(x,z軸)が確かに流れている (緑、黄)・ 電場の方向(x,z軸)にも少しだけスピン偏極する (赤、青)𝑦+ 𝐽𝑠𝑧
𝐽𝑠𝑦𝑧𝑚Τ 𝑒𝐸𝑧 = 0.01= 0.25= 0.50

y, z方向のスピン流の比

𝐽𝑠𝑦𝑧− 𝐽𝑠𝑧𝑦

結果(2/2): 相対論的効果 (ヘリシティ保存)= 0.75= 1.00

パラメータ:𝐸𝑥 Τ𝐸𝑧 = 0.2
ΩΤ 𝑒𝐸𝑧 = 1

電場の寿命 𝑚𝑇・ 質量が軽いと、相対論的効果で、スピンと運動方向が同じ方向に向こうとする
𝑗𝑖⇒ 非ゼロの 𝐽𝑠𝑖 が、非ゼロの 𝐽𝑠𝑗 を産む⇒ 解析的にも、証明可：

𝐽 𝑖𝑗𝑠

𝐽𝑠𝑖

− 𝐽𝑗𝑖𝑠𝑗+ 𝐽𝑠𝑗𝑖𝑚→00