卒業論文発表会

2 月 1 日, 2007, 福井大学工学部物理工学科

superdence coding

物理工学科
鈴木03380260
靖superdense coding の説明• アリスはボブに２ビットの古典情報を送りたいが、一つのキュービットしか送れない• エンタングル (もつれ合う状態) のキュービットを持っている場合
アリスは１キュービットをボブに送るだけでボブは２ビットの古典情報を得ることができる• エンタングルした状態とは

α| 00 i + β| 11 i

これはアリスが測定して０が出たらボブのキュービットも０でアリスが測定して１がでたらボブのキュービットも１が出るという状態であることを示している

アリスがボブにキュービットを送る前にすること• ００を送りたい場合はなにもしない
０１を送りたい場合は位相反転１→ー１(｜００＞＋｜１１＞) √２(｜００＞ー｜１１＞) √２

１０を送りたい場合は量子 NOT ゲート０→１ １→０ (｜１０＞＋｜０１＞) √２
１１を送りたい場合は iY ゲート０→１ １→ー０

Bell 基底とは• ｜Ψ１＞＝ (｜００＞＋｜１１＞) √２｜Ψ２＞＝ (｜００＞ー｜１１＞) √２｜Ψ３＞＝ (｜１０＞＋｜０１＞) √２｜Ψ４＞＝ (｜１０＞ー｜０１＞) √２(｜１０＞ー｜０１＞) √２

ボブが行う測定方法

Bell 基底は正規直交しているので｜Ψ＞＝ A｜Ψ１＞＋ B｜Ψ２＞＋ C｜Ψ３＞＋ D｜Ψ４＞と書き直すことができる (A、B、C、D は定数)
もしアリスが (｜００＞＋｜１１＞) √２を送ったとすれば

A ＝１ B ＝ C ＝ D ＝０ となりアリスが送ったのは (｜００＞＋｜１１＞) √２という状態であることがわかるsuperdense coding 初期状態が異る場合｜Ψ＞＝α｜００＞＋β｜１１＞ (| α |2 + | β |2= 1)という状態だったらどうなるかを考える
アリスが行う動作は同じとして、できあがる状態は｜Φ１＞＝α｜００＞＋β｜１１＞｜Φ２＞＝α｜００＞ーβ｜１１＞｜Φ３＞＝α｜１０＞＋β｜０１＞｜Φ４＞＝α｜１０＞ーβ｜０１＞

ボブが Bell 測定をする

Bell 基底は正規直交しているので｜Ψ＞＝ A｜Ψ１＞＋ B｜Ψ２＞＋ C｜Ψ３＞＋ D｜Ψ４＞と書き直せる
アリスがα｜００＞＋β｜１１＞を送ったとすれば

A ＝ (α＋β) ／√２ B ＝ (αーβ) ／√２ C ＝ D ＝０となり｜Φ１＞＝ (α＋β) ／√２｜Ψ１＞＋ (αーβ) ／√２｜Ψ２＞と書き直せる(アリスが｜Φ１＞を送ったときボブが｜Ψ１＞を観測したら成功｜Φ２＞ならば｜Ψ２＞、｜Φ３＞ならば｜Ψ３＞、｜Φ４＞ならば｜Ψ４＞のとき成功とする)

Bloch 球
α｜００＞＋β｜１１＞＝ cos(θ／２)｜００＞＋ exp(i φ) ＊ sin(θ／２)｜１１＞と書き直すことができる『α＝ cos(θ／２)、β＝ exp(i φ) ＊ sin(θ／２)｜１１＞』(０＜＝θ＜＝π、０＜＝φ＜＝ 2 π)
|00>

sitaz
N1yx|11>fai

成功確率 P P =| α + β |2 /2 =(１＋ sin θ cos φ) ／２1

coso=10.9

coso=1/20.8
P
0.70.6
cos =00.5

0.4

050

100

150
10^-2(rad)

200

250

300350基底の改良のため A グループと B グループにわける| Φ1 i = | Φ1 iA | Φ2 i = | Φ2 iA| Φ3 i = | Φ1 iB | Φ4 i = | Φ2 iB
A グループの基底について考える| Ψ iA=cos(θm/2)| 00 i +exp(iφm)*sin(θm/2)| 11 i
| − Ψ iA=cos(θm/2)| 00 i -exp(iφm)*sin(θm/2)| 11 i
基底を用いて φ1A φ2A を書き換える

φ1A = h Ψ | φ1 iA| Ψ i + h −Ψ | φ2 iA| − Ψ i
φ2A = h Ψ | φ1 iA| Ψ i + h −Ψ | φ2 iA| − Ψ i

成功確率 PP ＝ (| h Ψ | φ1 iA |2)/2 +(| h −Ψ | φ2 iA |2)/2| h W | F i |2 ＝ (1+W・F)/2 を用いて書き換えるとP=1/2+Ψ · (φ1 − φ2)/2 となり、P が最大となるような Ψ を求める

Ψ = φ1 − φ2 の時最大となり、規格化して Ψ = (φ1 − φ2) /| φ1 − φ2 |改良した基底1| Ψ iA = (| 00 i + exp(iφ)| 11 i)/2 21| Ψ iA = (| 00 i − exp(iφ)| 11 i)/2 21| Ψ iB = (| 10 i + exp(iφ)| 01 i)/2 21| Ψ iB = (| 10 i − exp(iφ)| 01 i)/2 2

改良した基底での成功確率 P

P = {| h Ψ | φ1 iA |2 + | h −Ψ | φ2 iA |2+ | h Ψ | φ1 iB |2 + | h −Ψ | φ2 iB |2}/4=(１＋ sin θ) ／２
10.9P0.80.70.60.50.4050100150
10^-2(rad)200250300350次にアリスの状態を Unitary 変換 (条件有) したらどうなるか？

Unitary 変換とは

| 0 i = a| 0 i + b| 1 i(| a |2 + | b |2= 1)

Unitary 変換した | φ1 iB =α (e｜００＞＋ f｜１０＞) ＋β (g｜０１＞＋ h｜１１＞)
Unitary 変換した後の状態| φ1 iA=α｜００＞＋β｜１１＞| φ2 iA=α｜００＞+β exp(iφC )｜１１＞| φ1 iB =α｜１０＞+β exp(iφA)｜０１＞| φ2 iB =α｜１０＞+β exp(iφB )｜０１＞

Unitary 変換した後の状態での成功確率 P

P = {| h Ψ | φ1 iA |2 + | h −Ψ | φ2 iA |2}/4+{| h Ψ | φ1 iB |2 + | h −Ψ | φ2 iB |2}/4
1
12=(1+sinθ *(1-cosφC ) /2 2 )/4
1
1+(1+sinθ *(1-cosφA − φB ) 2 /2 2 )/4

ここで P が最大になるときは

cosφC =-1cos(φA − φB )=-1のとき

P=(１＋ sin θ) ／２となるので、始めに説明した方法でキュービットを変化させるのがもっとも簡単で最大確率を出す方法である

今までと違う条件での superdense coding の説明
アリスが送るキュービットの状態を | φ1 iA, | φ2 iA とする
ボブが答える結果は３通りでE １；| φ1 iA が送られてきたE ２；| φ2 iA が送られてきたE ３；わからない
この場合 E ３が最小になれば成功確率は最大になる E ３の最小確率は | h φ1 | φ1 i |全体での最大確率は１-| h φ1 | φ1 i |この方法を用いて α| 00 i + β| 11 i の成功確率を求める

P=1-｜cos θ｜理論上最大送れる情報量 H との比較

H=1-| α |2 log2 | α |2 -| β |2 log2 | β |2前のページで作った最大確率から求める情報量 HA
成功確率を P とする

1 回目で成功したら p*2
2 回目で成功したら (p-1)*p*3/2
3 回目で成功したら (p − 1)2 ∗ p ∗ 4/3
n 回目で成功したら (p − 1)(n−1) ∗ p ∗ (n + 1)/n となるので

HA = Σtn=1(p − 1)(n−1) ∗ p ∗ (n + 1)/n(t=∞)

理論上最大送れる情報量 H との比較 (グラフ)
2H

1.8
1.6
1.4H(bit)

H_A

1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
0050

10015010^-2(rad)200250300350