素核宇宙融合 レクチャーシリーズ

第4回「原子核殻模型の基礎と応用」
阿部 喬（東大CNS）
京大基研
2012年1月11,12日
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本講義の目的• 対象：非専門家向け• 内容：殻模型 < 核構造 < 低エネルギー原子核物理• 目標：殻模型計算とは何かを（なんとなく）知ってもらう2参考文献（オンライン）
原子核物学理入門• 高田健次郎：インターネットセミナー 「ミクロの世界ーその３ー（原子核の世界）」
http://www.kutl.kyushu‐u.ac.jp/seminar/MicroWorld3/MicroWorld3.html
殻模型の基礎• 武藤一雄：講義資料（原子核物学理概論、原子核物理学I、原子核物理学）
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/• 大塚孝治：サマースクール資料（第一日目）
http://www.cns.s.u‐tokyo.ac.jp/summerschool/cns‐efes08/lecture_note/Otsuka_Day1.ppt
http://www.cns.s.u‐tokyo.ac.jp/summerschool/cns‐efes08/lecture_note/Otsuka_Day2.ppt
http://www.cns.s.u‐tokyo.ac.jp/summerschool/cns‐efes08/lecture_note/Otsuka_Day3.ppt
殻模型のレビュー論文
• …
3

目次
• 核子の一粒子運動と原子核での殻構造• 閉殻を仮定する（芯のある）殻模型計算の基礎• 閉殻を仮定しない（芯のない）殻模型による第一原理計算の概要• モンテカルロ殻模型

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目次• 核子の一粒子運動と原子核での殻構造• 閉殻を仮定する（芯のある）殻模型計算の基礎• 閉殻を仮定しない（芯のない）殻模型による第一原理計算の概要• モンテカルロ殻模型

１日目

２日目

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Single‐Particle Motion of the Nucleons& Nuclear Shell Stcuture6原子核とは•••••

原子核：自己束縛有限量子多体系
主な構成要素：核子（陽子 、中性子 ）核子：強い相互作用をするバリオン（ハドロンの一種）
核種の記法：陽子数（Z）と中性子数（N）で指定（A=Z+N:質量数）
表記法：
Nuclear Symbol
mass #

56
26

isotope: 陽子数が同じ核種
isotone:中性子数が同じ核種

Fe

proton #= atomic #30

neutron #7

自己束縛有限多体系• 原子核：
 高々300個程度の核子から構成される有限多体系
 自己束縛系– 原子核には中心となる核（芯）がない– 原子のように中心に（電子に比べ非常に質量がある）原子核がある系とは違う

8

非相対論的量子多体系• 原子核の大きさ：1 ‐ 10 fm (1 fm = 10‐15 m)
量子力学• 対象とするエネルギースケール：– 原子核内の核子の運動エネルギー ～ 100 MeV (1 MeV = 106 eV)– 核子の質量 ～ 1 GeV (= 1000 MeV = 109 eV)

非相対論非相対論的Schroedinger方程式を解く

9

原子核の数• 元素：天然には92種（水素１からウラン９２まで）• 人工に作られたものを含めても約１００程度• 同位体（同位元素）：今まで存在が確認されているもの
で約3000種• 自然に（安定に）存在するものはそのうち300種• 人工的に作られた（不安定な）原子核は約2000種• 理論的には約6000種の原子核が存在するといわれ、いまだ約3000種近くが未発見。

10http://www.rarf.riken.go.jp/pub/newcontents/contents/sisetu/RIBF.html

Table of Nuclides (Nuclear Chart)11http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/NPI05/NPI05_chap03.ppt

A = 5,8 の安定核は存在しない•

4He原子核（α粒子）が非常に安定（束縛エネルギーが大きい）

A=5A=812

What is the nuclear structure?

13

Electric Structure of the Chemical Elements14http://www.monominami.jp/gensi.html

Periodic Table (of the Chemical Elements)15http://www.ss.scphys.kyoto‐u.ac.jp/elementouch/ElemenTouch16http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_table

Wide periodic table17http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_table

Ionization Energy (of the Chemical Elements)
2
10
18

36

54

Noble gases: stable @ Ne = 2, 10, 18, 36, 54, 86

86

18

Shell Structure of the Chemical Elements• Shell structure of the electrons

19

電子軌道
•

電子のとり得る軌道：主量子数n、方位量子数l、磁気量子数mで分類– 主量子数n：軌道の大きさとエネルギーを決定。1,2,3..と整数値をとり、これは電子殻 K殻、L殻、M殻…に対応。
– 方位量子数l：軌道の形を決定。0,1,2,...,n‐1の整数値をとり、これはs軌道、p軌道、d軌道、f軌道…に対応。
– 磁気量子数m：各軌道を決定。‐l,‐l+1,...,0,...,l‐1,lの整数値をとる。
主量子数（電子殻）

方位量子数

磁気量子数

軌道名

収容できる電子数

1(K殻)

00

1s22(L殻)002s2

10, +/‐ 1

2p600

3s

2

10, +/‐ 1

3p620, +/‐ 1, +/‐ 2

3d10004s2

10, +/‐ 1

4p620, +/‐ 1, +/‐ 24d1030, +/‐ 1, +/‐ 2, +/‐ 34f

143(M殻)4(N殻)20http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%BE%8B

Electron Configuration Diagram
Noble gases: stable (shell closure)

Closed‐shell configuration21

Electric Structure of the Chemical Elements
NuclidesAtomic22

Nuclear Shell Structure• Shell structure of the electrons• Shell structure of the nucleons?

23http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_table

Periodic Table (of the Chemical Elements)

Noble gases: stable @ Ne = 2, 10, 18, 36, 54, 8624

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%BE%8B

Electron Configuration Diagram
Noble gases: stable (shell closure)25

Magic Number (魔法数)• #(particle) @ the closed shell configuration
Noble gas (of the chemical elements):– 2, 10, 18, 36, 54, 86

Magic Number (of the nuclei):– 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

26

Experimental Evidences
1. Binding energy
2. Separation energy
3. 1st excited 2+ state of the even‐even nuclei
4. Electric quadrupole moment27

http://www.kutl.kyushu‐u.ac.jp/seminar/MicroWorld3/3Part2/3P24/liquid_drop_model.htm

1. Binding Energy• Liquid drop model: Bethe‐Weizaecker mass formula– Volume: CV = 15.6 MeV– Surface: CS = 17.2 MeV– Coulomb: CC = 0.70 MeV– Asymmetry: Csym = 23.3 MeV– Pairing: δ(A)28http://en.wikipedia.org/wiki/Semi‐empirical_mass_formula

cont’d• Binding energy29http://www.kutl.kyushu‐u.ac.jp/seminar/MicroWorld3/3Part2/3P25/magic_numbers.htm

Shell effect30

Bohr ‐Mottelson

Odd‐even mass differences

820
2850

12682

820285082

31

Bohr ‐Mottelson

2. Separation energy
Neutron separation energy

Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82
Proton separation energy
2 8 2028

5082

126

N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
Sudden decrease @ the magic #Shell structure

2 8 20 285082
32http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/NPI05/NPI05_chap06.ppt

3. Excitation Energy• 1st excited 2+ state of the even‐even nuclei
Relatively high excitation energies: shell closure
Z = 50N = 20Z = 16

N = 62

Z = 14

N = 6033

http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/NPI05/NPI05_chap06.ppt

4. Electric quadrupole moment
 電気四重極モーメントは球対称からのずれ（四重極変形）の尺度
Bohr ‐Mottelson

閉殻をなす核子の集まりは球対称
Z = 奇数，N = 偶数の原子核 横軸には Z をとる

Z = 偶数，N = 奇数の原子核 横軸には N をとる 魔法数の近傍では 0，魔法数の間で大きな値をとる

1 barn = 102 fm2

34

Nuclei have the magic #.

35

How can we describe the magic
number of the nuclei?

36http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1963/

The Nobel Prize in Physics 1963
Maria Goeppert Mayer

J. Hans D. Jensen“for their discovery concerning nuclear shell structure” (1949)37

核子の１粒子ポテンシャル
 原子核の殻構造が示唆すること
 原子核には，核子が占める１粒子軌道がある
 １粒子軌道は１粒子 Hamiltonian の固有状態として得られる
 １粒子 Hamiltonian は運動エネルギーとポテンシャルからなる
 核子は，エネルギーが低い１粒子軌道から順に占有していくと考えられる



どのようなポテンシャルを用いたら，魔法数が説明できるか？
簡単なポテンシャルから考えてみる

38

Single‐particle potential• Shell structure (single‐particle orbits)• ‐> single‐particle potential

Mean field
Independent Particle Model39簡単な中心力ポテンシャル
 １粒子状態の固有値方程式

 １粒子ポテンシャルとして，次の３種類の中心力ポテンシャルを考える 調和振動子ポテンシャル ： 解析的に解が得られる
 井戸型ポテンシャル ： 有限の深さをもつ
 Woods‐Saxon ポテンシャル ： 原子核の電荷密度分布と同じ形

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Bohr ‐Mottelson

Single‐particle Potentials

Harmonic Oscillator (HO) Potential

Woods‐Saxon(WS) Potential
WS is realistic, andhas the same form
as the charge‐density distribution.

HO is simpler,and can be treatedanalytically.

41

Quantum #’s of the single‐particle state １粒子状態の量子数
 演算子 ： １粒子 Hamiltonian と可換で，互いに可換

 量子数 ：
は動径波動関数のノード数（0 点の個数）

42

Energy eigenvalue of the single‐particle Hamiltonian １粒子 Hamiltonian のエネルギー固有値
 右図の左から順に，１粒子エネルギーの縮退が解けていく 右端は，Woods‐Saxon ポテンシャルの場
合の１粒子軌道
 量子数
 占有できる核子の数 エネルギーが低い状態から全て占有したときの核子の数 １粒子エネルギーの大きなギャップがあるところが魔法数に対応する
 小さいほうから３つの魔法数（2, 8, 20）は再現できるが，それより大きい魔法数は現れない

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スピン‐軌道相互作用
 Meyer，Jensen はスピン‐軌道相互作用を提案
 １粒子状態の固有値方程式

 １粒子状態の量子数はの z 成分は保存しない スピン‐軌道相互作用の効果（右図）

44

Spin‐orbit force• spin‐orbit term:• (l+1/2) levels are energetically lower than (l ‐ 1/2) levels.
• Spin‐orbit splitting increases w/ growing l45

 中心力ポテンシャル

 スピン‐軌道ポテンシャル

原子核の表面付近にピークをもつ46

魔法数の再現 スピン‐軌道相互作用によりの縮退が解ける

軌道のエネルギーが大きく下がり魔法数が再現できる

Z = 82 の魔法数の上まで閉殻になると Z = 114
寿命の長い超重元素
Z = 114 は新しい魔法数？

WSWS + ls47

Bohr ‐Mottelson

Neutron single‐particle energy
82

126

50
28
208248

Summary• Nucleon: Single‐particle motion• Independent Particle ModelHO (central) potential + LS splitting‐> Mayer‐Jensen’s magic #49

Schematic picture of the single‐particle potential
WS (HO) central potential + spin‐orbit interaction

Shell gap

Shell gap

Shell gap

0f7/2
0d3/2
1s1/2
0d5/2

20sd‐shell

Spin‐orbit splitting

8Magic number

0p1/2
0p3/2p‐shell

0s1/2s‐shell2Closed shell(Closed core)‐50 MeV
NLJ

Single‐particle orbit
50

END51