2009 年 2 月 12 日 修士論文公聴会

球対称平均場模型と近似的な変形の扱いによる原子核質量公式

福井大学大学院 物理工学専攻 原子核理論研究室
07780133 山田 昌平

背景
存在が確認されている原子核 ： 『約 3,000 種』
原子核の性質 =⇒ 原子核の質量 (エネルギーと等価)
Nuclide120Proton Number Z

100806040200020406080100120

140160180

Neutron Number N

2003 年版原子質量推奨値表 (G.Audi,A.H.Wapstra)

研究の目的
理論的な予測手段²質量公式±『原子核の質量公式』¯°

原子核の質量をnucleus

中性子の個数と陽子の個数の関数として与えるもの
昔 −式
現在 − プログラム

NeutronProton

原子核の結合エネルギー
1 核子 (中性子、陽子の総称) 当たりの結合エネルギー : 約 8.0MeV=⇒結合エネルギーの飽和性
987BE/A

6543210-1050100150200

Mass Number A

250300液滴模型
Weizsäcker-Bethe の質量公式 (1930 年代)
BE(N, Z) = Bvol + Bsurf + Bsym + BC + Beo
体積項
表面項
対称項
Coulomb 項

偶奇項²Bvol = avol A
Bsurf = asurf A2/3
Bsym = asym

(N − Z)2AZ2

BC = aC
1/3
 A
aeo/A1/2 (偶偶核)


0(奇核)
Beo =  −a /A1/2 (奇奇核)eo¯

５つのパラメータはフィッティングで決定 °±WB 質量公式の値と実験値の比較

Mass Error (MeV)

平均誤差：約３. ４ MeV
1050-5-10-15020406080100120140160

Mass Error (MeV)

Neutron Number N
1050-5-10-15020406080

100Proton Number Z

原子核の魔法数 ： 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126120hω/2π5原子核の殻構造®

N=5p126

fh

©

2p1/2
1f5/2
2p3/2
0i13/20h9/2
1f7/282

独立粒子模型 ª­N=44s
d1d3/22s1/2
0h11/20g7/2
1d5/2g• 全核子が平均的な１体ポテンシャルを構成

50
N=3p3
f

28

0g9/2
1p1/2
0f5/2
1p3/2
0f7/220• ポテンシャル中を各核子が独立に運動

N=2s0d3/2
1s1/2

2d0d5/28• 個々の核子はエネルギー固有値を持つ²0p1/2p10p3/2¯

j j 結合殻模型 (1949 年 Mayer,Jensen) °スピン軌道力の重要性
スピン軌道結合ポテンシャルを導入
魔法数を説明±N=12
N=00(a)s(b)0s1/2(c)(a) 調和振動子型ポテンシャル(b)Woods-Saxon 型ポテンシャル(c) スピン軌道結合ポテンシャルの導入

核 (原子核) の変形
陽子数 (中性子数) が魔法数から離れた領域 −→核が変形
核の安定な形は必ずしも球形ではなく、楕円体の形になっている

Prolate ShapeSphereOblate ShapeKUTY 公式
２０００年に小浦氏、宇野氏、橘氏、山田氏が発表

特徴：変形核を球形核の重畳と見る近似
メリット
変形核を考慮した計算時間 −→ 非常に長時間
球対称性を仮定した計算時間 −→ 比較的短時間
その差、約３桁 =⇒計算量が激減(広範なパラメータの最適化が可能になる)KUTY 公式と本研究との違い

本研究

KUTY 公式

平均場模型として、
Woods-Saxon ポテンシャル を使用⇓U(r) =

自己無撞着 平均場で置き換える=⇒ Skyrme-Hartree-Fock 法

U0
1 + exp{(r − R0)/a}φV0

U0：ポテンシャルの深さR0：核半径a ：核表面のぼやけを表すパラメータ

V0=V1
10R00

Energy U (MeV)

Energy U (MeV)

10-10-20-30-40-50-60V1012345

Radius r (fm)6780-10-20-30-40-50-600

12345Radius r (fm)678Skyrme 相互作用
核内核子間に働く有効相互作用の現象論的モデル

1∑
VSkyrme =vi j2 i< j
密度依存２体力：v12 = t 0(1 + x0 P̂σ)δ(~r1 − ~r2)()
t122+ (1 + x1 P̂σ) δ(~r1 − ~r2) k̂ + k̂0 δ(~r1 − ~r2)2
ˆ~ 2ˆ
+ t 2(1 + x2 P̂σ) k · δ(~r1 − ~r2)~kt3+ (1 + x3 P̂σ)ρσδ(~r1 − ~r2)6ˆˆ
+ iW0(σ~ˆ1 + σ~ˆ2) · k~0 × δ(~r1 − ~r2)~kÂ¿ÁÀ

１. δ 関数で表される −→ 計算しやすい
２. 各パラメータは実験データへのフィッティングで決定

KUTY 流近似的な変形の扱い方
1. 変形核は球形核の重ね合わせとして扱う

2. 変形核の固有殻エネルギー Ein は、重ね合わせの重み W(N1) と球形殻エネルギー Es によって表せるとする

Ein(N, Z) =∑∑ZW(N1)Es(N1, Z 1), Z 1 = N1
N
N1W(N1) = 1(規格化条件)

N1

3. 全殻エネルギー Esh ＝固有殻エネルギー Ein ＋液滴の平均変形エネルギー Ēdef
Esh が最小になるよう、変形を決める

重ね合わせの重み W の決定
核子１個増える −→ 核の半径長くなる
球体から余分な所を削り落とし 、各準位の所が露出した立体角

W(N1)1 dΩim(rim(N1))
W(N1) = − ·dN14π

Z=68 N=98 [Er] α2=0.2

変形度 α2λ[1 + α2 P2(cos θ)]

球体の半径R0(Z, N)
体積保存
λ変形のパラメータ
α2Legendre 多項式 P2(cos θ)major axis (fm)r(θ) =R010DeformationSphere5r(θ)
R00510²=⇒± 中間形状を導入¯°

10505minor axis (fm)10

重み W の変数 N1, Z 1(N1 =r1R0)3(N,Z1 =r1)3R0

半径 r1 ⇐⇒ N1 と Z 1
半径 R0 ⇐⇒ N と ZZ

重ね合わせの重み W の求め方]
1
1
1W(N1) =Ωim(rim(N1 − )) − Ωim(rim(N1 + ))4π
22[中間形状 (intermediary-shape) の立体角 Ωim は

rim > r1 である方向の立体角
=⇒
( )2

4π(1−cosθ)r(Prolate) 1−h cos θ rimΩim = ( )2
4πcosθr
(Oblate)1−h(1−cos θ) rim

Â

各値を求めるプロセス
N1−→rim−→θ−→rÁ¿Àrimr1

Z = 68, N = 98 エルビウムの重み W

0.2

Weight W(N1)

0.18
0.16

N
α2= 0.2 (Prolate Shape)
α2=−0.2 (Oblate Shape)

0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
040

50

60

7080

90100

Neutron Number N1110120130

平均変形エネルギー Ēdef²

変形に依存する巨視的エネルギー¯

変形を抑える働き °±Ēdef = ∆Es + ∆EC + ∆Eprl

表面エネルギー∆Es = 25 α2(as A2/3 − asI(N − Z)2 A−4/3)

Coulomb エネルギー∆EC = − 15 α2 aC Z 2 A−1/322Prolate 優勢エネルギー ∆Eprl = −Cprl1α2 A2/3 exp[−Cprl2α2]2

全殻エネルギー Esh[]Esh(N, Z) = min Ein(N, Z) + Ēdef (N, Z)
α2²

固有殻エネルギー Ein ＋ 平均変形エネルギー Ēdef⇓
Ein(N, Z) =

∑

[{}−→

最小±{}]
W(N1) Emf (N1, Z 1) − Eg(N1, Z 1) − Emf (N, Z) − Eg(N, Z)

N1

Emf (N, Z) 球形平均場エネルギー
Eg(N, Z)
Emf (N, Z) にフィットした WB 質量公式から求めたエネルギー

Emf (N, Z) − Eg(N, Z)=⇒殻エネルギーとみなす¯°

核の全エネルギー Etot
Etot(N, Z) = Esh(N, Z) + Emf (N, Z) + Eeo(N, Z)
偶奇エネルギーEeo

Z = 68, N = 98 エルビウム-1332

Energy Etot (MeV)-1334

OblateProlate

-1336
-1338
-1340
-1342
-1344
-1346
-1348
-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

α20.1

0.2

0.30.4

新しい質量公式

M(N, Z) = Nmn + Zmp + Etot(N, Z)

中性子質量 mn = 939.5652 MeV
陽子質量mp = 938.2720 MeV

球対称平均場計算値と実験値の比較
核種：２, １４７種

Skyrme 相互作用のパラメータ：SIII²±¯

RMS 誤差：5.06MeV＞ WB 公式：3.4MeV°

新しい質量公式の値と実験値の比較²±¯

RMS 誤差：1.60MeV =⇒ 約７割減少°

まとめG.Audi、A.H.Wapstra の表にある 1,140 核種の質量の実験値からの RMS 誤差● 球対称平均場計算 (既存の相互作用 SkyrmeSIII 力を用いた) =⇒５. ０ MeV● Weizsäcker-Bethe 公式 (最小２乗法で実験値にフィット ) =⇒３. ４ MeV● 変形を取り入れた平均場計算 (SkyrmeSIII) =⇒２. ２ MeV● 今回の新公式 (球形 SkyrmeSIII, 変形の近似的扱い ,1 パラメータを最適化) =⇒ １. ６ MeV● KUTY 公式 (約８０パラメータ) =⇒０. ７２ MeV

今後の課題

1. 相互作用パラメータも含め、最適化するパラメータを増やす

ことで、RMS 誤差が KUTY 公式を下まわるまで、下がるかを調べる。

2. 未知の領域への外挿の信頼性が高い『相対論的平均場模型』とも組み合わせる。

付録１：中間形状 (intermediary-shape)

仮想的中間形状を導入]}{[Ωoc(r)
drdr=1−h1−im4π Ωim(rim)r2 drim = Ωoc(r)r2dr
im

座標変換： r−→rim

パラメータ
占有立体角
中間形状の占有立体角∫ θdrim drrim(θ) = Rmin +· dθdθθmin drhΩocΩim付録２：KUTY 公式の変形パラメータR0 []r(θ) =1 + α2 P2(cos θ) + α4 P4(cos θ) + α6 P6(cos θ)λ変形のパラメータ
α2 , α 4 , α 6
2i 次の Legendre 多項式 P2i(cos θ)付録３：Prolate 優位性[結論] 理由は、よくわかっていない

1. 井戸型説−ポテンシャルの動径方向が、井戸型に近いため

2. スピン軌道結合説−スピン軌道力が影響

3. 16 重極変形説− 16 重極変形の効果

4. 対相関説−対相関の効果