幾何学模型アーカイブ
からの眺望

河野俊丈
東京大学大学院数理科学研究科
2009年3月 日本数学会市民講演会

幾何学模型の歴史

E. Kummer

F. Klein

1870年頃クンマー(E. Kummer)が，彼自身の制作による模型を用いて議論を行った．
(1873年のベルリン科学アカデミーの月報)
1880年頃から20世紀初頭
クライン(F. Klein), ブリル(A. Brill)らを中心にMartin Schilling社で石膏による幾何学模型制作のプロジェクトが展開し，1932年まで継続される．

東大数理と幾何学模型
1910年頃東京大学理学部数学教室に 中川銓吉 教授が第一次大戦の頃あるいは，それ以前に輸入．
中川銓吉

1997年10月 - 12月
東京大学創立120周年記念特別展「学問のアルケオロジー」に展示．

幾何学模型と芸術
 20世紀はじめ

マックス・エルンストがパリで展示されていた幾何学模型に注目．マン・レイが石膏模型の写真を芸術雑誌Cahiers dʼartに発表．

 ヘンリー・ムーアの彫刻作品にも影響を与える．
 2005年〜2006年

杉本博司氏によって撮影された東大数理所蔵の模型の写真，および 現在の技術で作成された模型が，森美術館における展覧会「杉本博司 時間の終わり」などで展示される(パリのポンピドーセンターなどを巡回).

模型の主なジャンル
代数曲面
定曲率曲面，極小曲面
複素関数（楕円関数など）
線織面のモデル
多面体の針金模型

代数曲面
P (x, y, z) 多項式．
代数曲面 : 空間内で P (x, y, z) = 0 を満たす点全体の集合．

2次曲面
x2 + y 2 + z 2 = 1x2 + y 2 + z 2 = 1x2 + y 2 − z 2 = 1x + y − z = −1222222x +y −z =1222222x +y +z =1222直交する楕円面と双曲面

代数曲面
P (x, y, z) 多項式．
代数曲面 : 空間内で P (x, y, z) = 0 を満たす点全体の集合．

2次曲面x2 + y 2 + z 2 = 1x2 + y 2 + z 2 = 1x2 + y 2 − z 2 = 1x + y − z = −1222222x +y −z =1222222x +y +z =1222

直交する楕円面と双曲面

Clebsch 曲面 – 3 次曲面上の 27 本の直線x0 + x1 + x2 + x3 + x4 = 0x30 + x31 + x32 + x33 + x34 = 0(x0 : x1 : x2 : x3 : x4 ) ∈ RP 4

Clebsch 曲面 – 3 次曲面上の 27 本の直線x0 + x1 + x2 + x3 + x4 = 0x30 + x31 + x32 + x33 + x34 = 0(x0 : x1 : x2 : x3 : x4 ) ∈ RP 4

27本の直線の配置
互いに捩れの位置にある 6 本の直線 2 組

1, 2, 3, 4, 5, 6; 1! , 2! , 3! , 4! , 5! , 6!
i, i! , j, j ! , i != j と交わる直線 15 本ij,
12

1 ≤ i, j ≤ 6

直線の配置は美しい対称性を持つ3

4

5
6, , , , , ,1 2 3 4 5 6Schläfli double six

27本の直線の配置
互いに捩れの位置にある 6 本の直線 2 組

1, 2, 3, 4, 5, 6; 1! , 2! , 3! , 4! , 5! , 6!
i, i! , j, j ! , i != j と交わる直線 15 本ij,
121 ≤ i, j ≤ 63直線の配置は美しい対称性を持つ56E6 型ワイル群の対称性

4, , , , , ,1 2 3 4 5 6Schläfli double six

3次曲面の退化

E!6

特異点をもつ曲面

トラクトリクスの回転面

擬球 – 負の定曲率曲面

cos ux=cosh v
sin u
y=cosh v
z = v − tanh v(0 ≤ u < 2π,トラクトリクスの回転面

0 ≤ v < ∞)

曲面のガウス曲率

曲面のガウス曲率

曲面のガウス曲率

曲面のガウス曲率

曲面のガウス曲率3角形の内角の和＜180度

曲面のガウス曲率3角形の内角の和＜180度

3角形の内角の和＝180度

曲面のガウス曲率3角形の内角の和＜180度

3角形の内角の和＞180度3角形の内角の和＝180度

ガウス曲率と平均曲率
Pkk1

速さ 1曲線の曲率：
加速度の大きさk2

ガウス曲率と平均曲率
Pkk1

速さ 1曲線の曲率：
加速度の大きさk2

k1 , k2 主曲率
ガウス曲率 K = k1 k2
平均曲率 H = 12 (k1 + k2 )

トラクトリクスをらせんに沿って回転トラクトリクスをらせんに沿って回転
Dini 曲面 – 負の定曲率曲面
cos ux=
cosh vsin uy=cosh v
z = v − tanh v + au
(0 ≤ u < 2π,−∞ < v < ∞)

トラクトリクスをらせんに沿って回転
Dini 曲面 – 負の定曲率曲面
cos ux=
cosh vsin uy=cosh v
z = v − tanh v + au
(0 ≤ u < 2π,−∞ < v < ∞)Kuen 曲面 – 負の定曲率曲面
x = r cos ϕ,

y = r sin ϕv
z = log tan + a cos v (0 < v < π)2ϕ = u − arctan u!
22 sin v
a=,r
=a
1+u
1 + u2 sin2 v

正の定曲率曲面

Sievert曲面

正の定曲率曲面

Sievert曲面

平均曲率が一定の曲面
オンジュロイド
楕円を転がして得られる曲線の回転面

平均曲率が一定の曲面
オンジュロイド
楕円を転がして得られる曲線の回転面

極小曲面

平均曲率 H=0

カテノイド

Catalan曲面
ヘリコイド

極小曲面

平均曲率 H=0

カテノイド

Catalan曲面
ヘリコイド

Dupin サイクリッド曲面

Dupin サイクリッド曲面

トーラスに球面に関する反転をほどこした曲面．
代数曲面としては 4 次曲面．
曲率曲線がすべて円となる．

複素関数のグラフ
楕円関数の実数部分

複素関数のグラフ
楕円関数の実数部分

ワイエルシュトラスの ℘ 関数1℘(z) = 2 +z"!
m,n∈Z,(m,n)"=01
1−2(z − m − ni)(m + ni)2#ヤコビの楕円積分

u=! φ0dt"
221 − k sin tヤコビの楕円積分

u=! φ0dt"
22
1 − k sin t

線織面のモデル

東大数理所蔵の正120胞体の模型

乙部融朗氏による正120胞体の模型

シュレフリー記号{3, 3}{4, 3}{3, 4}{5, 3}{3, 5}

シュレフリー記号{n}正 n 角形{3, 3}{4, 3}{3, 4}{5, 3}{3, 5}

シュレフリー記号{n}正 n 角形{p, q}

正多角形 {p} がそれぞれの頂点の{3, 3}{4, 3}{3, 4}{5, 3}{3, 5}

シュレフリー記号{n}正 n 角形{p, q}

正多角形 {p} がそれぞれの頂点のまわりに q 個集まる正則分割{3, 3}{4, 3}{3, 4}{5, 3}{3, 5}

立方体の射影1点から発する光による射影．
立方体の1つの面を取り除いてそこから内部を眺めた像が得られる．

球面の立体射影

球面の北極点以外の点は平面と1対1に対応
球面は平面に無限遠点をつけ加えたものとみなせる．
正則分割の立体射影

正12面体の立体射影

平面の12個の領域への分割．
外側の領域も無限遠点を加えて，正12面体の1つの面に対応．

4次元立方体(hypercube)

立方体の射影図
0-セル（頂点） 16
1-セル（辺） 32
2-セル（面） 24
3-セル
84次元空間の正多面体のシュレフリー記号
シュレフリー記号 {p, q, r}
正多面体 {p, q} が辺のまわりに r 個集まる．
各頂点のまわりの2次元球面による切り口の分割のタイプが {q, r}．
空間の分割：正多胞体

4次元空間の正多面体のシュレフリー記号
シュレフリー記号 {p, q, r}
正多面体 {p, q} が辺のまわりに r 個集まる．
各頂点のまわりの2次元球面による切り口の分割のタイプが {q, r}．
空間の分割：正多胞体
正8胞体 (hypercube)4次元空間の正多面体のシュレフリー記号
シュレフリー記号 {p, q, r}
正多面体 {p, q} が辺のまわりに r 個集まる．
各頂点のまわりの2次元球面による切り口の分割のタイプが {q, r}．
空間の分割：正多胞体
正8胞体 (hypercube){4, 3, 3}

正120胞体の立体射影

3次元ユークリッド空間の120個の領域による分割を与える．
3次元球面の120個のセルによる正則分割．

4次元空間の正多面体(regular polytope)の分類
シュレフリー記号

3-セル

頂点数

正5胞体

{3, 3, 3}

正4面体

5

正8胞体

{4, 3, 3}

立方体

16

正16胞体

{3, 3, 4}

正4面体

8

正24胞体

{3, 4, 3}

正8面体

24

正120胞体{5, 3, 3}

正12面体

600

正600胞体{3, 3, 5}

正4面体

120

シュレフリーにより19世紀半ばに示された．

Ludwig Schläfli(1814 - 1895)
Theorie der vielfachen
Kontinuität 1850 - 52

Riemann : Hypothesen welche derGeometrie zu Grunde liegen 1854

双曲幾何のモデル�
ポアンカレ円板 (双曲平面)
測地線は無限遠の円周と直交する円弧
三角形の内角の和は180度より小さい
非ユークリッド幾何のモデル

擬球と双曲平面擬球の展開図を双曲平面上に表すことができる．

球面の正則分割(タイルばり)
合同な正多角形が各頂点のまわりに同じ個数集まっている．

{3, 3}{5, 3}{4, 3}{3, 4}{3, 5}

ユークリッド平面の正則分割 (タイルばり){3, 6}{4, 4}{6, 3}

双曲平面のタイルばり {3,7}型

双曲平面のタイルばり {4,5}型

双曲平面のタイルばり {5, 5}型

双曲平面のタイルばり {7, 3}型

ユークリッド空間の正則分割{4, 3, 4}3次元球面の正則分割(120胞){5, 3, 3}3次元双曲空間の分割{5, 3, 4}

現代の技術による模型の制作

Clebsch曲面

Dini 曲面の制作
協力

ヤマダ精機