知っておきたいキーワード
Keywords you should know.

第36回

ベイズの定理ピトヨ ハルトノ††公立はこだて未来大学 情報アーキテクチャ学科"Bayes Theorem" by Pitoyo Hartono (Department of Media Architecture, Future University-Hakodate)
キーワード：:条件付確率，ベイズの定理

確率は一意ではないっている情報や知識の違いで確率の値さんにとっては均等な確率の1/6となは変わります．これは時に確率計算をります．つまり，同じ対象（サイコロ）私達は意思決定をするときによく確困難にし，直感的な理解を阻む要因のと同じ事象（2の目の出現）を扱うにも率を使います．例えば，株への投資を一つです．持っている情報によって確関わらず，持っている情報によって異検討する場合，さまざまな情報を入手率の値が変化する簡単な例をあげましなる結果が現れます．ベイズの定理はし，ある程度 儲かる確率 を計算しょう．

上で述べたような，ある情報（条件）のてから実際に株を買います．また，治偶数の目しかでないように細工され下にある事象の確率（つまり，条件付療現場では，難しい手術を受ける前にたサイコロを考えます．Aさんはサイ確率）を求めるための計算法です．上は，その手術の成功確率を気にする人

コロが細工されたことを知り，Bさんの例では，Aさんは2の目の出る確率をがほとんどです．これらの確率は過去は知りません．Aさんから見てこのサ計算するのではなく， 偶数の目しかでのデータや情報によって計算することイコロを振ったときに2の目が出る確ない という条件の下で，2の目の出るができます．しかし，計算する人の持率が1/3に対し，情報を持っていないB確率を計算することになります．

男それとも女？の起こりうる組合せを表す 確率空間としましょう．子供が二人とも男の子

本稿では詳しい数学に触れずに，例であることを示す領域は，この 確率を使ってベイズの定理の説明を試みま空間 の1/4を占めているので，子供す．

が二人とも男である確率が1/4となり

男，男女，男男，女女，女子供が二人いる家族を考え，その子ます．π（男，男）を二人とも子供が供が二人とも男の子である確率を計算

男である領域の面積，π（全体）を 確してみましょう（この計算をするため

率空間 全体の面積とする場合，求め手した後で，もう一人の子供も男の子には，男の子と女の子の生まれる確率

る確率はそれらの面積の割合，π（男，である確率を考えましょう．もう一人が1/2であることを前提とする）．も男）/ π（全体）=1/4となります．この子供は男または女の子であるので，ちろん答えは1/4です．これは，1人こで，確率の計算を面積の割合の計算

その確率は1/2と直感的に考えたい気

目の子供が男の子である確率（1/2）に置き換えることで，問題を直感的に持ちはわかりますが，これは間違いでを二人目の子供も男の子である確率理解することができます．

す．その理由は， 確率空間 の大き（1/2）とかけた値です．直感的にこれ次に問題を少し変えます．この家族を図で説明しましょう．図1はすべての子供のうち一人は男という情報を入

52 （52）

図1 確率空間さの変化にあります．ここでは， 子供の1人が男 ということが映像情報メディア学会誌 Vol. 63, No. 1, pp. 52〜54（2009）

知っておきたいキーワード

わかった時点で，〔女，女〕の組合せを排除でき，考えるべき確率空間の面積は，π（全体=すべての組合せ）から（新しい全体＝〔女，女〕以外の組合せ）となります．

ベイズの定理の子は男」であるときには子供が二人「一人は男」を知った上での確率空間男，男同じ考え方で容易に計算できます．上女，男の例から，ある条件が与えられたとき男，女に，確率空間が変化し，その結果，確女，女図2から明らかであるように，新し

図2 新しい確率空間率空間にもたらす影響を把握することが重要です．

まり，問題の確率は1/3となります．
ここでは，「子供の一人が男」という変化することに注目していただきた

新しい情報によって， 確率空間 がい．また，入手できた情報が「一人目情報の正しい解釈率が一般的に変化することがわかります．確率を計算する上では，情報が確

い 確率空間 の中で（男，男）の組合せが占める割合は1/3となります．つとも男である確率が1/2になることはが，盗賊が空に向かって撃ったときにときに不発である情報は非常に重要で不発だったので，空の穴が一つ なくす．Aさんは，1回目に撃って不発のAさんは旅行中に運悪く盗賊に捕まなった と考えてもよい．つまり，次後に2回目に撃ったときも不発であるりました．盗賊の一人がAさんに対し，に撃つとき，助かる可能性は3/5とな確率を計算しなければなりません．こ「今から特別なロシアンルーレットをる．3/5は2/3より小さいので，拳銃れはまさに条件付確率です（1回不発やろう．うまく行けば君は自由になるをもう一度ランダムに回し，元の状態という条件下で次も不発である確率）．

（もちろん，うまくいかなければ死にに戻した方が助かる確率が高いと考えそのためには，図4に示す確率空間をます）」と言いました．盗賊が銃弾がました．このAさんの考えは一見正し考える必要があります．この図から，6個入る回転式拳銃と弾を二つ取出しいのですが，情報を有効的に解釈でき不発の後に再び不発となるケースは3て，隣り合った二つの穴に弾を入れ，なかった結果，Aさんは誤った確率を回あるのに対し，不発の直後に弾があ回転装置を無雑作に回した後に空に向算出しました．Aさんが持っている情るケースは1回しかありません（1回目

けて銃を撃ったところ，弾は出ません

報を整理しましょう．Aさんは図3には不発という条件のみを考慮すればよでした．盗賊はAさんに言いました，示すように，銃の回転装置の6個中二いので，〔弾→弾〕または〔弾→空〕は「今度は君の番だ，銃を頭に向けて撃つの隣り合った二つの穴のみに弾が入確率空間から排除できます）．つまり，ってくれ．不発であれば，君は自由だ．っていて，回転方向は時計回りという不発の後に再び不発となる確率は3/4

でもその前に君に選択を与える．君が事実は知っています．簡単のため，弾です．これは初期確率の2/3より大き望むのであれば，撃つ前に回転装置をは1番と2番目の穴にあり，残りは空いので，そのまま銃を撃った方が助かもう一回私が無雑作に回しても良い」．としましょう．そこで，盗賊が撃ったる確率が高くなります．

Aさんは拳銃には6個のうち，隣り合った二つの穴のみに弾が入っていることと，時計回りに拳銃の回転装置が動くことがわかっています．助かりたい

回転方向

空弾

Aさんはそのまま銃を撃つべきか，それとも一回無雑作に回転装置を回して空もらった方がよいかを考えます．Aさんは助かる確率の高い選択をしたいので以下のように考えました．まず，盗賊が拳銃を撃つ前には，拳銃には6個の穴のうち2個しか弾が入っていないので，ランダムにまわした後に撃つ場

空空1
62534空

612空
空

5空

43空空空
空
図3 回転式銃の様子

図4空空

空

不発 後の確率空間

合，助かる確率は2/3になる．ところ（53） 53

知っておきたいキーワード

むすベイズの定理び)(P A| B =

本稿では厳密的な数学を避け，例を(P A∩ B

( )れば，詳細な証明を導くための大きな)手助けとなるでしょう．

P B

また，ベイズの定理に基づいた推定用いて直感的にベイズの定理の説明をここでは，P (A∩B) とP (B) はそれ方法をベイズ推定と言います．ベイズ

試みましたが，やはり最後はベイズのぞれ事象AとBが同時に起きる確率と推定は機械学習やパターン認識の多く定理の数式を記述しなければなりませ事象Bが起きる確率を示します．上のの手法の基礎原理となるため，これらん．一般的に，事象Bが起きた上で事象Aが起きる確率をP (A|B) と記述し，式の詳細は省略しますが，P (B) が式の分野ではベイズの定理は最も重要なの分母となることは，事象Bが起きた概念の一つと言えます．

次の式に従い計算できます．

結果，Bを含む確率空間のみを考えれ（2008年10月6日受付）

ば良いという意味を直感的に理解でき

参考文献

1）市川伸一： 確率の理解を探る ，共立出版（1998）
2）伊庭幸人： ベイズ統計と統計物理 ，岩波書店（2003）
3）L. Mlodinow: "The Drunkard's Walk", Pantheon Book（2008）4）W. Poundstone: "How Would You Move Mount Fuji?", Little Brown& Co（2004）

ピトヨ ハルトノ 2002年，早稲田大学理工学研究科博士課程修了．1995年，（株）日立製作所入社．2001年，早稲田大学理工学総合研究センター助手．2003年，早稲田大学総合研究機構客員講師．2005年より，公立はこだて未来大学准教
授．機械学習と進化的計算法の研究に従事．博士（工学）．

キーワード募集中
この企画で解説して欲しいキーワードを会員の皆様から募集します．ホームページ（http://www.ite.or.jp）の会員の声より入力可能です．また電子メール（ite@ite.or.jp），FAX（03-3432-4675）等でも受け付けますので，是非，編集部までお寄せください．
54 （54）（編集委員会）
映像情報メディア学会誌 Vol. 63, No. 1（2009）