動的にアシストされたSchwinger機構(dynamically assisted Schwinger mechanism)

と
その応用
田屋 英俊
理研iTHEMS
2020/1/21 @ YITP (online)
・Furry描像の摂動論に基づく、動的にアシストされたSchwinger機構の定式化:[HT, PRD 99, 056006 (2018)] [Huang, HT, PRD 100, 016013 (2019)]
・動的カシミア効果への応用: [HT, PRR 2, 023346 (2020)]
・カイラリティ生成への応用: [HT, PRR 2, 023257 (2020)]
・Strong-field QEDのレビュー: [Fedotov, Ilderton, Karbstein, King, Seipt, HT, Torgrimsson, 3月に出ます]1. イントロダクション

今日の話

強い電場による粒子生成、
特に、Schwinger機構と動的にアシストされたSchwinger機構のレビュー

2. 「Furry描像の摂動論」 による
動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
3. 2の応用
・電場だけでなく、いろんな外場に対して使える⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果の/による増幅
・ 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される⇒ 応用例 2) カイラリティ生成の増大

主なメッセージ
・ 技術的なこと: Furry描像の摂動論は、Schwinger機構の物理を解析的に理解する上で非常に強力
・ 物理的なこと: 動的にアシストされたSchwinger機構は、- 単に粒子生成数を増大させるだけじゃない例) 振動パターン、有効質量の増大、スピン生成、強電場中の真空構造を色濃く反映- そのアイデアはSchwinger機構の文脈を超えていろんなところに使える可能性がある(しかし正直に言えば、原子核・ハドロンへの応用はあまりできていないので、興味があれば議論していただけるとうれしいです)Schwinger機構[Sauter (1932)] [Heisenberg, Euler (1936)][Schwinger (1951)]✔ 真空に強く遅い電場を当てると、量子トンネルによって粒子対が生成
正エネルギーバンド
ギャップ
Diracの海

~ 2m

~ 2m

強く遅い電場~ 2m/eE

量子トンネリングSchwinger機構[Sauter (1932)] [Heisenberg, Euler (1936)][Schwinger (1951)]✔ 真空に強く遅い電場を当てると、量子トンネルによって粒子対が生成
正エネルギーバンド

~ 2m

~ 2m

ギャップ
Diracの海~ 2m/eE

強く遅い電場量子トンネリング・ 電場が十分に遅い ≈ 定常電場のときはとてもよくわかっている
𝑒𝑒𝑒𝑒 2 𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑚𝑚2
𝑁𝑁𝑒𝑒 ± =× exp −𝜋𝜋
∼ exp[−# × gap height × (gap length)]
2𝜋𝜋 3
𝑒𝑒𝑒𝑒

・ 楽しさ

陽に非摂動 ⇒ 場の理論の非摂動的側面を学ぶ良い題材(cf. 英語版wikiの”Non-perturbative”を見ると最初に出てくる物理的な具体例がSchwinger機構！)

真空の過程 ⇒ 基礎的な重要性。すべての物理過程は真空の上で起こる。
現象論的に楽しい ⇒ 極限状況の物理を理解する上でしばしば大事(次のスライド)

最近実験が可能になりつつある
類似の現象がいろんな分野で起こる

Schwinger機構はどこで起こり得るか✔ 強い電場 𝒆𝒆𝒆𝒆 ≳ 𝒎𝒎 があるとき、Schwinger機構は起こり得る
𝟐𝟐𝑚𝑚2∵ 𝑁𝑁𝑒𝑒 ± ∝ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒Schwinger機構はどこで起こり得るか✔ 強い電場 𝒆𝒆𝒆𝒆 ≳ 𝒎𝒎 があるとき、Schwinger機構は起こり得る
𝟐𝟐・ 極限状況の物理系: ハドロン・原子核物理での例
磁場(2) Z>173の原子核の不安定性(3) 重イオン衝突でのQGP生成

中間エネルギー重イオン衝突でテスト可かも[Review: Rafelski, et al (2014)] [Maltsev et al (2019)](4) String breaking[田屋の博論]~ GeV 4

(1) 重イオン衝突の電磁場

𝑚𝑚2∵ 𝑁𝑁𝑒𝑒 ± ∝ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒

電場[Lappi, McLerran (2006)][Skokov, Illarionov, Toneev (2009)][Deng, Huang (2012)]~ GeV −1

* 最近の実時間シミュレーション:[Hebenstreit, Berges, Gelfand, (2013)][Spitz, Berges, (2019)]* Lund model:

Schwinger機構はどこで起こり得るか✔ 強い電場 𝒆𝒆𝒆𝒆 ≳ 𝒎𝒎 があるとき、Schwinger機構は起こり得る
𝟐𝟐・ 極限状況の物理系: ハドロン・原子核物理での例
磁場(2) Z>173の原子核の不安定性(3) 重イオン衝突でのQGP生成

中間エネルギー重イオン衝突でテスト可かも[Review: Rafelski, et al (2014)] [Maltsev et al (2019)](4) String breaking[田屋の博論]~ GeV 4

(1) 重イオン衝突の電磁場

𝑚𝑚2∵ 𝑁𝑁𝑒𝑒 ± ∝ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒

電場[Lappi, McLerran (2006)][Skokov, Illarionov, Toneev (2009)][Deng, Huang (2012)]

・ 類似の物理系* 最近の実時間シミュレーション:[Hebenstreit, Berges, Gelfand, (2013)][Spitz, Berges, (2019)]* Lund model:~ GeV −1

- 物性系の絶縁破壊(Landau-Zener遷移): 半導体、グラフェン、冷却原子系、強相関物質 (e.g., Mott絶縁体)、…
- 量子トンネリングなので、核融合/分裂のような原子核物理のトンネル現象等とも相互作用できるはず…
(しかし、あまり交流例を知らないので教えて/議論してください)

核融合への応用 [Queisser, Schutzhold, (2019)]

Schwinger機構はどこで起こり得るか✔ 強い電場 𝒆𝒆𝒆𝒆 ≳ 𝒎𝒎 があるとき、Schwinger機構は起こり得る
𝟐𝟐・ 極限状況の物理系: ハドロン・原子核物理での例
磁場(2) Z>173の原子核の不安定性(3) 重イオン衝突でのQGP生成

中間エネルギー重イオン衝突でテスト可かも[Review: Rafelski, et al (2014)] [Maltsev et al (2019)](4) String breaking[田屋の博論]~ GeV 4

(1) 重イオン衝突の電磁場

𝑚𝑚2∵ 𝑁𝑁𝑒𝑒 ± ∝ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒

電場[Lappi, McLerran (2006)][Skokov, Illarionov, Toneev (2009)][Deng, Huang (2012)]* 最近の実時間シミュレーション:[Hebenstreit, Berges, Gelfand, (2013)][Spitz, Berges, (2019)]* Lund model:~ GeV −1・ 類似の物理系- 物性系の絶縁破壊(Landau-Zener遷移): 半導体、グラフェン、冷却原子系、強相関物質 (e.g., Mott絶縁体)、…
- 量子トンネリングなので、核融合/分裂のような原子核物理のトンネル現象等とも相互作用できるはず…
(しかし、あまり交流例を知らないので教えて/議論してください)

核融合への応用 [Queisser, Schutzhold, (2019)]

・ 高強度レーザーの発展
Schwinger機構に必要な電場強度(50年くらいで実現できるかも)

現在最強のレーザーSchwinger機構はどこで起こり得るか✔ 強い電場 𝒆𝒆𝒆𝒆 ≳ 𝒎𝒎 があるとき、Schwinger機構は起こり得る
𝟐𝟐・ 極限状況の物理系: ハドロン・原子核物理での例
磁場(2) Z>173の原子核の不安定性(3) 重イオン衝突でのQGP生成

中間エネルギー重イオン衝突でテスト可かも[Review: Rafelski, et al (2014)] [Maltsev et al (2019)](4) String breaking[田屋の博論]~ GeV 4

(1) 重イオン衝突の電磁場

𝑚𝑚2∵ 𝑁𝑁𝑒𝑒 ± ∝ exp −𝜋𝜋𝑒𝑒𝑒𝑒

電場[Lappi, McLerran (2006)][Skokov, Illarionov, Toneev (2009)][Deng, Huang (2012)]* 最近の実時間シミュレーション:[Hebenstreit, Berges, Gelfand, (2013)][Spitz, Berges, (2019)]* Lund model:~ GeV −1・ 類似の物理系- 物性系の絶縁破壊(Landau-Zener遷移): 半導体、グラフェン、冷却原子系、強相関物質 (e.g., Mott絶縁体)、…
- 量子トンネリングなので、核融合/分裂のような原子核物理のトンネル現象等とも相互作用できるはず…
(しかし、あまり交流例を知らないので教えて/議論してください)

核融合への応用 [Queisser, Schutzhold, (2019)]

・ 高強度レーザーの発展
Schwinger機構に必要な電場強度(50年くらいで実現できるかも)

現在最強のレーザー✔ いろいろ議論されているが、(レーザー強度の未熟さゆえに) 実験的な直接検証は未だにない⇒ 今の実験技術でも検証できるように、Schwinger機構をどうにかして増大できないか？

動的にアシストされたSchwinger機構 (1/2)✔ 強く遅い電場 に (弱く)速い電場 を重ねる

[Dunne, Gies, Schutzhold (2008), (2009)]

インコヒーレントな散乱(cf. 光電効果)

量子トンネリング

量子トンネリング速い電場

𝑁𝑁 ∼ exp[−# × gap height × (gap length)] ⇒ 粒子生成の増大
インコヒーレントな散乱で減る

・ 半導体物理で知られたFranz-Keldysh効果と等価[Franz (1958)] [Keldysh (1958)] [HT (2019)]

動的にアシストされたSchwinger機構 (2/2)✔ 理論的な定式化

動的にアシストされたSchwinger機構 (2/2)✔ 理論的な定式化
・ Dirac方程式が解けるとうれしいが一般的の電場に対しては (解析的には) 解けない・ 先行研究: 半古典近似 = ℏによるtransseries展開

𝑁𝑁 = � 𝑁𝑁𝑛𝑛,𝑚𝑚 ℏ𝑛𝑛 e−𝑚𝑚𝑚𝑚/ℏ = (𝑁𝑁0,1 + 𝑂𝑂(ℏ)) 𝐞𝐞−𝑺𝑺/ℏ + 𝑂𝑂(e−2𝑆𝑆/ℏ )𝑛𝑛,𝑚𝑚⇒ 電場が十分に遅いとき有効 ℏ ≪ 1 ⇔ Ω ≪ 1

・ Steepest descent analysis [Brezin, Itzykson (1970)]
・ Imaginary-time method [Popov (1972)]
・ Divergent asymptotic series method [Berry (1989)]
・ Worldline instanton method [Dunne, Shubert (2005)]・ (exact) WKB [HT, Fujimori, Misumi, Nitta, Sakai (2020)]
・…

∵ iℏ𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓 = 𝐻𝐻 Ω𝑡𝑡 𝜓𝜓𝜏𝜏 ≡ 𝑡𝑡/ℏi𝜕𝜕𝜏𝜏 𝜓𝜓 = 𝐻𝐻 ℏΩ𝜏𝜏 𝜓𝜓動的にアシストされたSchwinger機構 (2/2)✔ 理論的な定式化
・ Dirac方程式が解けるとうれしいが一般的の電場に対しては (解析的には) 解けない・ 先行研究: 半古典近似 = ℏによるtransseries展開

𝑁𝑁 = � 𝑁𝑁𝑛𝑛,𝑚𝑚 ℏ𝑛𝑛 e−𝑚𝑚𝑚𝑚/ℏ = (𝑁𝑁0,1 + 𝑂𝑂(ℏ)) 𝐞𝐞−𝑺𝑺/ℏ + 𝑂𝑂(e−2𝑆𝑆/ℏ )𝑛𝑛,𝑚𝑚⇒ 電場が十分に遅いとき有効 ℏ ≪ 1 ⇔ Ω ≪ 1

・ Steepest descent analysis [Brezin, Itzykson (1970)]
・ Imaginary-time method [Popov (1972)]
・ Divergent asymptotic series method [Berry (1989)]
・ Worldline instanton method [Dunne, Shubert (2005)]・ (exact) WKB [HT, Fujimori, Misumi, Nitta, Sakai (2020)]
・…

∵ iℏ𝜕𝜕𝑡𝑡 𝜓𝜓 = 𝐻𝐻 Ω𝑡𝑡 𝜓𝜓

・ たしかに増大する様子が見えるが、定量的にかなり不満足𝜏𝜏 ≡ 𝑡𝑡/ℏ

半古典近似例) 定常電場(=遅い電場) に cos Ωt (=速い電場)を重ねたとき- 増大が顕著な高周波領域ではぜんぜん合わない

定常電場だけのときのSchwingerの公式- 単に増大するだけでなく振動もする⇒ もっと良い解析的手法を開発したい！

𝑒𝑒𝑒𝑒slow ⁄𝑚𝑚2 = 0.25,
𝐸𝐸fast /𝐸𝐸slow = 0.01,
𝒑𝒑 = 0i𝜕𝜕𝜏𝜏 𝜓𝜓 = 𝐻𝐻 ℏΩ𝜏𝜏 𝜓𝜓

数値計算

今日の話
1. イントロダクション
強い電場による粒子生成、
特に、Schwinger機構と動的にアシストされたSchwinger機構のレビュー

2. Furry描像の摂動論による動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
3. 2の応用
・電場だけでなく、いろんな外場に対して使える⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果の/による増幅
・ 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される⇒ 応用例 2) カイラリティ生成の増大

動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
Dirac方程式を速い電場については摂動的に、遅い電場については非摂動的に解くことで、粒子数

𝐝𝐝𝟑𝟑 𝑵𝑵𝒔𝒔�𝒑𝒑,𝒔𝒔 |𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯⟩ を求める
= ⟨𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯|�𝒂𝒂†𝒑𝒑,𝒔𝒔 𝒂𝒂
𝟑𝟑
𝐝𝐝𝒑𝒑[Furry (1951)]⇒ ドレスドな波動関数で摂動論をやる (= Furry描像の摂動論とstrong-field QEDの分野で呼ばれる)⇐ その動機は、数値計算の結果から察するに,,,・ 共鳴 ≈ 摂動的ピークがある ⇒ 速い電場は陽に摂動的に扱った方が良さそうな気がする・ しかし、遅い電場は強いので、その効果は非摂動的に扱う必要がある気がするFurry描像の摂動論による定式化 (1/3)[HT, (2018)] [Huang, HT (2019)]

STEP 1

電場 𝑬𝑬 を 強く遅い電場 𝑬𝑬𝐒𝐒 と 弱く速い電場 𝓔𝓔𝐟𝐟 に分ける

𝑬𝑬 = 𝑬𝑬𝐬𝐬 + 𝓔𝓔𝐟𝐟

(電場じゃなくても、他の外場でも同じことができる)

Furry描像の摂動論による定式化 (1/3)[HT, (2018)] [Huang, HT (2019)]

STEP 1

電場 𝑬𝑬 を 強く遅い電場 𝑬𝑬𝐒𝐒 と 弱く速い電場 𝓔𝓔𝐟𝐟 に分ける

𝑬𝑬 = 𝑬𝑬𝐬𝐬 + 𝓔𝓔𝐟𝐟

(電場じゃなくても、他の外場でも同じことができる)

STEP 2

Dirac方程式を 𝑬𝑬𝐬𝐬 について非摂動的に、 𝓔𝓔𝐟𝐟 について摂動的に解く

𝑖𝑖𝑖𝑖/ − 𝒆𝒆𝑨𝑨/ 𝐬𝐬 − 𝑚𝑚 𝜓𝜓� = 𝒆𝒆𝓐𝓐
/ 𝐟𝐟 𝜓𝜓�

(0) 𝑥𝑥 + ∞ d𝑦𝑦 4 𝑆𝑆 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝒆𝒆𝓐𝓐 (𝑦𝑦)𝜓𝜓
�
� 0 𝑦𝑦 + 𝑂𝑂(|𝒆𝒆𝓐𝓐𝐟𝐟 |2 )
�
𝑥𝑥
=
𝜓𝜓
𝜓𝜓
∫−∞
/ 𝐟𝐟
⇒
R

ここで、 𝜓𝜓� (0) と 𝑆𝑆R は、 𝑬𝑬𝐬𝐬 に非摂動的にドレスされている

𝑖𝑖𝑖𝑖/ − 𝒆𝒆𝑨𝑨/𝐬𝐬 − 𝑚𝑚 𝜓𝜓� (0) = 0

𝑖𝑖𝑖𝑖/ − 𝒆𝒆𝑨𝑨/ 𝐬𝐬 − 𝑚𝑚 𝑆𝑆R (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝛿𝛿 4 (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)Furry描像の摂動論による定式化 (2/3)
STEP 3𝐢𝐢𝐢𝐢/𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨

in/outでの消滅演算子�
𝒂𝒂𝒑𝒑,𝒔𝒔
in/out𝑎𝑎�𝒑𝒑,𝑠𝑠

in/out†𝑏𝑏�−𝒑𝒑,𝑠𝑠≡lim

𝑡𝑡→−∞⁄+∞

𝐢𝐢𝐢𝐢/𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨

�𝒑𝒑,𝒔𝒔, 𝒃𝒃

� d3 𝒙𝒙� から定義するを場 𝝍𝝍(𝑢𝑢𝒑𝒑,𝑠𝑠 e−𝑖𝑖𝜔𝜔𝒑𝒑 𝑡𝑡 e𝑖𝑖𝒑𝒑⋅𝒙𝒙 )†(𝑣𝑣𝒑𝒑,𝑠𝑠e+𝑖𝑖𝜔𝜔𝒑𝒑 𝑡𝑡 e𝑖𝑖𝒑𝒑⋅𝒙𝒙 )†�𝜓𝜓(𝑥𝑥)

Furry描像の摂動論による定式化 (2/3)
STEP 3𝐢𝐢𝐢𝐢/𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨

in/outでの消滅演算子�
𝒂𝒂𝒑𝒑,𝒔𝒔
in/out𝑎𝑎�𝒑𝒑,𝑠𝑠

in/out†𝑏𝑏�−𝒑𝒑,𝑠𝑠≡lim

𝑡𝑡→−∞⁄+∞

𝐢𝐢𝐢𝐢/𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨

�𝒑𝒑,𝒔𝒔, 𝒃𝒃

� d3 𝒙𝒙� から定義するを場 𝝍𝝍(𝑢𝑢𝒑𝒑,𝑠𝑠 e−𝑖𝑖𝜔𝜔𝒑𝒑 𝑡𝑡 e𝑖𝑖𝒑𝒑⋅𝒙𝒙 )†(𝑣𝑣𝒑𝒑,𝑠𝑠�𝜓𝜓(𝑥𝑥)

e+𝑖𝑖𝜔𝜔𝒑𝒑 𝑡𝑡 e𝑖𝑖𝒑𝒑⋅𝒙𝒙 )†�𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨𝐨⇒ in/outの演算子は同じでない 𝒐𝒐�𝐢𝐢𝐢𝐢
𝒑𝒑,𝒔𝒔 ≠ 𝒐𝒐
𝒑𝒑,𝒔𝒔 。Bogoliubov変換で結びつく。
out𝑎𝑎�𝒑𝒑,𝑠𝑠𝛼𝛼𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑′,𝑠𝑠𝑠3
out† = � � d 𝒑𝒑′ −𝛽𝛽 ∗𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑′,𝑠𝑠𝑠𝑏𝑏�−𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝑠𝑠𝑠Bogoliubov係数は、𝒆𝒆𝓐𝓐𝐟𝐟 のLOで、(0)out†𝛼𝛼𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑′,𝑠𝑠𝑠 = � d3 𝒙𝒙 + 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠(0)out†𝛽𝛽𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑′,𝑠𝑠𝑠 = � d3 𝒙𝒙 − 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠
0 in/out

ここで、 ± 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖/ − 𝒆𝒆𝑨𝑨/𝐬𝐬 − 𝑚𝑚

𝛽𝛽𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑′,𝑠𝑠𝑠∗
𝛼𝛼𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑′,𝑠𝑠𝑠in𝑎𝑎�𝒑𝒑′,𝑠𝑠′in†𝑏𝑏�−𝒑𝒑′,𝑠𝑠′(0)in4
� 0 out 𝒆𝒆𝓐𝓐f + 𝜓𝜓 (0)in+ 𝑂𝑂(|𝒆𝒆𝓐𝓐𝐟𝐟 |2 )+ 𝜓𝜓𝒑𝒑′,𝑠𝑠′ − 𝑖𝑖 � 𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝒑𝒑′ ,𝑠𝑠 ′

/

(0)in
4
� 0 out 𝒆𝒆𝓐𝓐f + 𝜓𝜓 (0)in+ 𝑂𝑂(|𝒆𝒆𝓐𝓐𝐟𝐟 |2 )+ 𝜓𝜓𝒑𝒑′,𝑠𝑠′ − 𝑖𝑖 � 𝑑𝑑 𝑥𝑥 − 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝒑𝒑′ ,𝑠𝑠 ′/は 𝒆𝒆𝑨𝑨𝐬𝐬 にフルにドレスされた解

0 in/out=0± 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠w/

lim

𝑡𝑡→−∞⁄+∞

0 in/out+ 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠
0 in/out− 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠=

𝑢𝑢𝒑𝒑,𝑠𝑠 e−𝑖𝑖𝜔𝜔𝒑𝒑 𝑡𝑡 e𝑖𝑖𝒑𝒑⋅𝒙𝒙
𝑣𝑣𝒑𝒑,𝑠𝑠 e−𝑖𝑖𝜔𝜔𝒑𝒑 𝑡𝑡 e𝑖𝑖𝒑𝒑⋅𝒙𝒙

Furry描像の摂動論による定式化 (3/3)
STEP 4数演算子の期待値を評価する
d3 𝑁𝑁𝑒𝑒2out† out
3
′
′
≡
vac;
in
𝑎𝑎
𝑎𝑎
vac;
in
=
�
�
d
𝒑𝒑′
𝛽𝛽
𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑 ,𝑠𝑠d𝒑𝒑3

興味ある状況: 𝑬𝑬𝐬𝐬 十分遅い ≈ 定常電場と近似してよい
0 in/out⇒ Dirac方程式は解析的に解けるので ± 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠⇒ 𝜷𝜷𝒑𝒑,𝒔𝒔;𝒑𝒑′ ,𝒔𝒔′ は厳密に計算できる

𝑠𝑠𝑠

は知っているFurry描像の摂動論による定式化 (3/3)
STEP 4数演算子の期待値を評価する
d3 𝑁𝑁𝑒𝑒2out† out
3
′
′
≡
vac;
in
𝑎𝑎
𝑎𝑎
vac;
in
=
�
�
d
𝒑𝒑′
𝛽𝛽
𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝒑𝒑,𝑠𝑠;𝒑𝒑 ,𝑠𝑠d𝒑𝒑3

興味ある状況: 𝑬𝑬𝐬𝐬 十分遅い ≈ 定常電場と近似してよい
0 in/out⇒ Dirac方程式は解析的に解けるので ± 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠⇒ 𝜷𝜷𝒑𝒑,𝒔𝒔;𝒑𝒑′ ,𝒔𝒔′ は厳密に計算できる

𝑠𝑠𝑠

は知っている✔ コメント・ 数演算子の期待値を直接計算している⇒ inclusiveな量 で 𝓔𝓔𝐟𝐟 にLOの過程をすべて含む

out† out
vac; in 𝑎𝑎𝒑𝒑,𝑠𝑠
𝑎𝑎𝒑𝒑,𝑠𝑠 vac; in = � 𝑒𝑒𝒑𝒑,𝑠𝑠 𝑋𝑋; out|vac; in

=�
𝑋𝑋

2

X;out

=

𝑋𝑋

2

+

2

+

2
𝓔𝓔𝐟𝐟

[Baltz, McLerran (2001)]

2

+

2
𝓔𝓔𝐟𝐟

+

2
𝓔𝓔𝐟𝐟

+…

multiple
Schwinger
Breit-Wheeler Schwinger
Schwinger+ absorption + annihilation
・ 粒子生成数 ≠ 真空崩壊率 [Cohen McGady (2008)]
0 in/out・ ± 𝜓𝜓𝒑𝒑,𝑠𝑠

Schwingerの厳密解を知らない場合は、WKB波動関数を使って近似的な評価ができたりする

・ 数値的評価が難しい、速い電場が時空間に依存する場合も解析評価可能どれくらい良い定式化になっているのか ？
具体的な計算結果を紹介

計算結果 (1/2)[HT, (2018)]✔ 平行に重ね合わせたとき 𝑬𝑬 = (𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝑬𝑬𝐬𝐬𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 + 𝓔𝓔𝐟𝐟𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛀𝛀𝒕𝒕)
半古典近似

数値計算

Furry描像の摂動論

定常電場だけのときのSchwingerの公式

𝑒𝑒𝑒𝑒slow ⁄𝑚𝑚2 = 0.25,
𝐸𝐸fast /𝐸𝐸slow = 0.01,
𝒑𝒑 = 0・ 数値計算と非常によく合う。Furry描像摂動論は非常に強力。
⇒ 物理的な教訓: 強い場によってドレスされた1光子過程こそが動的にアシストされたSchwinger機構の本質
・ 動的にアシストされたSchwinger機構は単に粒子数を増大するだけじゃない- 1光子過程のピークが上にズレる Ω > 2𝑚𝑚 ≈ 定常電場中での電子の有効質量の増加- 高周波領域で振動パターンが出る⇐ バンド描像によって直感的に理解できる (次のスライド)cf) 振動電場中のPondermotive energy

バンド描像による理解

××
エネルギー

正エネルギー帯

Diracの海

電子の存在確率ギャップ

電場方向

・ 量子トンネリング ⇒ 粒子生成の増大
・ 量子反射 ⇒ 粒子生成の振動
動的にアシストされたSchwinger機構での生成粒子スペクトルは、
強い電場中のQED真空(Diracの海)の構造を直接反映する[HT, (2018)]

計算結果 (2/2)✔ 重ね合わせが平行ではないとき
運動量分布 (スピン↑)

𝟏𝟏 𝐝𝐝𝟑𝟑 𝑵𝑵↑
𝑽𝑽 𝐝𝐝𝒑𝒑𝟑𝟑[Huang, HT (2019)]

𝓔𝓔𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛀𝛀𝒕𝒕 × cos 𝜃𝜃ℰ⊥
𝑬𝑬 = 𝓔𝓔𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛀𝛀𝒕𝒕 × sin 𝜃𝜃ℰ⊥
𝑬𝑬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬
スピン↑と↓の差

𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑵𝑵↑
𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑵𝑵↓−
𝑽𝑽 𝐝𝐝𝒑𝒑𝟑𝟑
𝑽𝑽 𝐝𝐝𝒑𝒑𝟑𝟑

For 𝑒𝑒𝐸𝐸slow ⁄𝑚𝑚2 = 2.5

・ 技術的なこと:ℰfast ⁄𝐸𝐸slow = 0.025- 数値計算はプロットしていないが、かなりよく合う- 直線偏光でない電場の、半古典近似の計算は (低周波領域ですら) 実は完全に確立してない
素朴な半古典近似の公式は適用できないことが物性物理で議論されている

・ 物理的なこと:

cf) 幾何学的位相効果 [Takayoshi, Wu, Oka, (2021)][Kitamura, Nagaosa, Morimoto, (2019)]- 平行の重ね合わせと比べ、増大・振動の様子に本質的な違いはない- スピン軌道相互作用 ∝ 𝒔𝒔 ⋅ (𝒑𝒑 × 𝓔𝓔) のために、スピン依存性や角度依存性が出る

・ 妄想: ひょっとしたら、重イオン衝突の物理なんかに使えるかも 例) グラズマ中のジェットの伝搬

今日の話
1. イントロダクション
強い電場による粒子生成、
特に、Schwinger機構と動的にアシストされたSchwinger機構のレビュー

2. Furry描像の摂動論による動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
3. 2の応用
・電場だけでなく、いろんな外場に対して使える⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果の/による増幅
・ 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される⇒ 応用例 2) カイラリティ生成の増大今日の話
1. イントロダクション
強い電場による粒子生成、
特に、Schwinger機構と動的にアシストされたSchwinger機構のレビュー

2. Furry描像の摂動論による動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
3. 2の応用・ 技術的なこと: Furry描像の摂動論は、Schwinger機構の物理を解析的に理解する上で非常に強力
従来の方法(半古典近似)では不満足だった高周波領域や非直線偏光電場もとても正確に記述

・電場だけでなく、いろんな外場に対して使える

・ 物理的なこと: 動的にアシストされたSchwinger機構は、単に粒子生成数を増大させるだけじゃない⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果の増幅

振動パターン、有効質量の増大、スピン生成、強電場中の真空構造を色濃く反映

・ 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される[HT, PRD 99, 056006 (2018)] [Huang, HT, PRD 100, 016013 (2019)]⇒ 応用例 2) カイラリティ生成の増大今日の話
1. イントロダクション
強い電場による粒子生成、
特に、Schwinger機構と動的にアシストされたSchwinger機構のレビュー

2. Furry描像の摂動論による動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
3. 2の応用
・電場だけでなく、いろんな外場に対して使える⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果の/による増幅
・ 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される⇒ 応用例 2) カイラリティ生成の増大

動的にアシストされたSchwinger機構の応用✔ ここ最近、速い電場以外による増幅や、応用的な研究が議論され出した・ 熱的光子によるSchwinger機構の増大 [Torgrimsson, (2019)]
・ アクシオン場によるSchwinger機構の増大 [Domcke, Ema, Mukaida, (2021)]
・ 核融合への応用 [Queisser, Schutzhold, (2019)]✔ 今日は、田屋の研究を紹介する
・ 電場だけでなく、いろんな外場に対して使える⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果の/による増幅 [HT, (2020)]
・ 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される⇒ 応用例 2) カイラリティ生成の増大 [HT, (2020)]
・ 直線偏光電場でないときはスピン依存する⇒ 応用例 3) Dirac物質や半導体でのスピン流生成 [Huang, Matsuo, HT, (2019)]

動的カシミア効果[Moore, (1970)]✔ 境界が速く動くと粒子生成 (オリジナルな予言は光子生成だが、原理的にはなんでも良い)・ 境界の振動数が、1粒子エネルギー(x2)にマッチしたときに摂動的(=共鳴的に)に粒子生成
鏡

鏡

▼
真空揺らぎ

動いてる(e.g., 振動、加速運動)▼

動的カシミア効果[Moore, (1970)]✔ 境界が速く動くと粒子生成 (オリジナルな予言は光子生成だが、原理的にはなんでも良い)・ 境界の振動数が、1粒子エネルギー(x2)にマッチしたときに摂動的(=共鳴的に)に粒子生成
鏡

鏡

▼

▼

真空揺らぎ

動いてる(e.g., 振動、加速運動)

・ 実はまだ直接の実験的観測はない- マクロな鏡を早く動かすのはとても大変 例) 典型的なcavity光子生成: 10 GHz

現在の限界: 6 GHz [O’Connell et al., (2010)]- “アナログ系”での観測がここ10年で初めて行われた 超伝導量子回路 [Wilson et al., (2011)]

メタマテリアル [Lahteenmaki et al., (2013)]
光ファイバー [Vezzoli et al., (2019)]

Q: thresholdを下げるような物理機構は？
⇒ 主張: 荷電粒子なら、動的にアシストされた
Schwinger機構が使える

さっきと同じくFurry描像の摂動論で定式化
SETUP: 時間依存する境界条件と電場の下、スカラー場の方程式を解きたい
𝑡𝑡𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝝏𝝏⊥ − i𝑒𝑒 � d𝑡𝑡 ′ 𝑬𝑬 𝑡𝑡 ′2

− 𝜕𝜕𝑧𝑧2 + 𝑚𝑚2

with 𝜙𝜙� 𝑧𝑧 = 0 = 𝜙𝜙� 𝑧𝑧 = 𝐿𝐿 𝑡𝑡

𝜙𝜙� = 0=0[HT, (2020)]

[HT, (2020)]

さっきと同じくFurry描像の摂動論で定式化
SETUP: 時間依存する境界条件と電場の下、スカラー場の方程式を解きたい
𝑡𝑡𝜕𝜕𝑡𝑡2 − 𝝏𝝏⊥ − i𝑒𝑒 � d𝑡𝑡 ′ 𝑬𝑬 𝑡𝑡 ′2

− 𝜕𝜕𝑧𝑧2 + 𝑚𝑚2

with 𝜙𝜙� 𝑧𝑧 = 0 = 𝜙𝜙� 𝑧𝑧 = 𝐿𝐿 𝑡𝑡

𝜙𝜙� = 0=0

0

STEP 1: 変数変換すると、時間依存境界条件をポテンシャルに書き直せる𝑡𝑡𝜏𝜏(𝑡𝑡, 𝑧𝑧)
𝑡𝑡→= 𝑧𝑧/𝐿𝐿(𝑡𝑡)𝜉𝜉(𝑡𝑡, 𝑧𝑧)𝑧𝑧𝑡𝑡⇒ 𝜕𝜕𝜏𝜏2 − 𝝏𝝏⊥ − i𝑒𝑒 � d𝑡𝑡 ′ 𝑬𝑬 𝑡𝑡 ′

2

1
−
𝜕𝜕
𝐿𝐿0 𝜉𝜉

2+ 𝑚𝑚2

𝜙𝜙� = 𝑉𝑉 𝜙𝜙�

2
𝑙𝑙 1
𝑙𝑙 ̈
𝑙𝑙 ̇
ここで、 𝑉𝑉 =+2 𝜕𝜕𝜏𝜏 𝜉𝜉𝜕𝜕𝜉𝜉 − 2
𝜕𝜕+ 𝑂𝑂
𝐿𝐿0 𝐿𝐿0 𝜉𝜉
𝐿𝐿0
𝐿𝐿0𝜙𝜙� 𝜉𝜉 = 0 = 𝜙𝜙� 𝜉𝜉 = 1 = 0

𝑙𝑙
𝐿𝐿0

2

STEP 2: Furry描像の摂動論: 電場𝑬𝑬は非摂動的、ポテンシャル𝑽𝑽は摂動的

00結果: 全粒子数 𝑁𝑁 = ∫ d𝒑𝒑3 d3 𝑁𝑁/d𝒑𝒑3[HT, (2020)]

電場 と 振動 どっちもあるとき= Schwinger + 動的カシミア

振動だけ = 純粋に動的カシミア

電場だけ = 純粋にSchwinger(色の違いは有限サイズか無限系か)

𝑚𝑚𝐿𝐿0 = 30, 𝑙𝑙 𝑡𝑡 =

𝐿𝐿0
𝑒𝑒𝑒𝑒
cos Ω𝑡𝑡 , 2 = 0.1
100𝑚𝑚

結果: 全粒子数 𝑁𝑁 = ∫ d𝒑𝒑3 d3 𝑁𝑁/d𝒑𝒑3[HT, (2020)]

電場 と 振動 どっちもあるとき= Schwinger + 動的カシミア

振動だけ = 純粋に動的カシミア

電場だけ = 純粋にSchwinger(色の違いは有限サイズか無限系か)

𝑚𝑚𝐿𝐿0 = 30, 𝑙𝑙 𝑡𝑡 =✔ 解釈: 動的カシミア効果 が Schwinger機構 によって増大

𝐿𝐿0
𝑒𝑒𝑒𝑒
cos Ω𝑡𝑡 , 2 = 0.1
100𝑚𝑚⇒ threshold Ω = 2𝑚𝑚 よりも低いところでも粒子生成が起きる✔ 逆の解釈: Schwinger機構 が 動的カシミア効果 によって増大⇒ ・ Ω ≠ 0 での粒子生成は、素朴なSchwinger機構の粒子生成よりも多い・ 有限サイズ効果で質量が大きくなるが、振動によるエネルギー供給はそれを凌駕
・ (全粒子数𝑁𝑁は、運動量積分のために高周波領域での振動がなめされる)⇒ 荷電粒子なら、Schwinger機構と動的カシミアは相互に粒子生成を増大させ得る

次の応用例
カイラリティ生成の増大カイラリティ生成✔ 𝑬𝑬 ⋅ 𝑩𝑩 ≠ 𝟎𝟎 のとき非ゼロのカイラリティが生成される(カイラル量子異常)カイラリティ生成✔ 𝑬𝑬 ⋅ 𝑩𝑩 ≠ 𝟎𝟎 のとき非ゼロのカイラリティが生成される(カイラル量子異常)
・ 微視的には、電場による粒子生成 と 磁場によるランダウ量子化

運動量
スピン

-

E-field

B-field

+

運動量
スピン

⇒ カイラリティ ≈ ヘリシティ = +𝟐𝟐 × 𝑵𝑵𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋[Nielsen, Ninomiya (1983)][Tanji (2010)][Fukushima, Kharzeev, Warringa (2010)][Copinger, Fukushima, Pu (2018)]
etc …

カイラリティ生成✔ 𝑬𝑬 ⋅ 𝑩𝑩 ≠ 𝟎𝟎 のとき非ゼロのカイラリティが生成される(カイラル量子異常)
・ 微視的には、電場による粒子生成 と 磁場によるランダウ量子化

運動量
スピン

-

E-field

B-field

+

運動量
スピン

⇒ カイラリティ ≈ ヘリシティ = +𝟐𝟐 × 𝑵𝑵𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋[Nielsen, Ninomiya (1983)][Tanji (2010)][Fukushima, Kharzeev, Warringa (2010)][Copinger, Fukushima, Pu (2018)]
etc …

✔ しかし、普通は指数関数的に抑制されていて、実験的に見づらい
・ 電場が十分に遅いと思えば、粒子生成はSchwinger機構が駆動する

2

𝑁𝑁pair in LLL ∝ e−# 𝑚𝑚 /𝑒𝑒𝑒𝑒カイラリティ生成✔ 𝑬𝑬 ⋅ 𝑩𝑩 ≠ 𝟎𝟎 のとき非ゼロのカイラリティが生成される(カイラル量子異常)
・ 微視的には、電場による粒子生成 と 磁場によるランダウ量子化

運動量
スピン

-

E-field

B-field

+

運動量
スピン

⇒ カイラリティ ≈ ヘリシティ = +𝟐𝟐 × 𝑵𝑵𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 𝐢𝐢𝐢𝐢 𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋𝐋[Nielsen, Ninomiya (1983)][Tanji (2010)][Fukushima, Kharzeev, Warringa (2010)][Copinger, Fukushima, Pu (2018)]
etc …

✔ しかし、普通は指数関数的に抑制されていて、実験的に見づらい
・ 電場が十分に遅いと思えば、粒子生成はSchwinger機構が駆動する

2

𝑁𝑁pair in LLL ∝ e−# 𝑚𝑚 /𝑒𝑒𝑒𝑒

Q: カイラリティ生成を、実験的によりよく理解するために、どうにかして指数関数的抑制を取っ払えないか？
⇒ 提案 1) 高周波電場(Floquet系)を利用する[Fukushima, Hidaka, Shimazaki, HT, in preparation]

提案 2) 動的にアシストされたSchwinger機構を利用する[HT, (2020)]

Furry描像の摂動論で定式化[HT, (2020)]✔ 𝑬𝑬||𝑩𝑩 の場合に拡張して、2点関数を計算 (基本的にやることは全く同じ)

Furry描像の摂動論で定式化[HT, (2020)]✔ 𝑬𝑬||𝑩𝑩 の場合に拡張して、2点関数を計算 (基本的にやることは全く同じ)
� , 𝑩𝑩� に弱く速い電場 ℰ を加える
SETUP: 強く遅い平行電磁場 𝑬𝑬
� + ℰ 𝑡𝑡
𝑬𝑬 𝑡𝑡 = 𝑬𝑬�𝑩𝑩 𝑡𝑡 = 𝑩𝑩

� , 𝑩𝑩� について非摂動的に、 ℰ について摂動的に解く
STEP 1: Dirac方程式を、 𝑬𝑬
�/ − 𝑚𝑚 𝜓𝜓� = 𝒆𝒆𝓐𝓐
/ 𝜓𝜓�𝑖𝑖𝑖𝑖/ − 𝒆𝒆𝑨𝑨(0) 𝑥𝑥 + ∞ d𝑦𝑦 4 𝑆𝑆 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝒆𝒆𝓐𝓐(𝑦𝑦)𝜓𝜓
��
� 0 𝑦𝑦 + 𝑂𝑂(|𝒆𝒆𝓐𝓐|2 )
𝜓𝜓
𝑥𝑥
=
𝜓𝜓
∫−∞
⇒
R

STEP 2: カイラリティ演算子の真空期待値を計算� 5 𝜓𝜓� vac; in = 𝑂𝑂 1 + 𝑂𝑂 𝒆𝒆𝒆𝒆 1 + 𝑂𝑂 𝒆𝒆𝒆𝒆 2 + ⋯𝑄𝑄5 ≡ lim ∫ d𝒙𝒙3 vac; in 𝜓𝜓𝛾𝛾𝑡𝑡→∞

結果: カイラル電荷Q5のプロット✔ セットアップ:��𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒆𝒆𝑬𝑬
𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕
𝒆𝒆𝑩𝑩
=
+
𝟎𝟎.
𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜
𝛀𝛀𝒕𝒕
,.
= 𝟐𝟐
𝒎𝒎𝟐𝟐
𝒎𝒎𝟐𝟐
𝒎𝒎𝟐𝟐
𝒎𝒎

・ 磁場の大きさは関係ない ⇐ 磁場はエネルギーを供給しないので、粒子生成を変えない(正確には、Landau量子化で位相体積𝑑𝑑 3 𝒑𝒑 ∝ 𝑒𝑒𝑒𝑒が変化する分の増大はあるが、それは図では既に割ってある)結果: カイラル電荷Q5のプロット✔ セットアップ:��𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒆𝒆𝑬𝑬
𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕
𝒆𝒆𝑩𝑩
=
+
𝟎𝟎.
𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜
𝛀𝛀𝒕𝒕
,.
= 𝟐𝟐
𝒎𝒎𝟐𝟐
𝒎𝒎𝟐𝟐
𝒎𝒎𝟐𝟐
𝒎𝒎

・ 磁場の大きさは関係ない ⇐ 磁場はエネルギーを供給しないので、粒子生成を変えない(正確には、Landau量子化で位相体積𝑑𝑑 3 𝒑𝒑 ∝ 𝑒𝑒𝑒𝑒が変化する分の増大はあるが、それは図では既に割ってある)✔ たしかにカイラリティ生成は増大する・ カイラリティ = +2 × 𝑁𝑁pair in LLL なので、粒子数分布に対する増大・振動と同じ振舞い
・ ちなみに増大は 𝑚𝑚 → 0 のときに消える ⇒ この機構はmassiveのときだけ意味がある
2⇐ masslessだとSchwingerの公式 𝑁𝑁pair in LLL ∝ e−# 𝑚𝑚 /𝑒𝑒𝑒𝑒 → 1 によって粒子生成がサチってるから今日の話
1. イントロダクション
強い電場による粒子生成、
特に、Schwinger機構と動的にアシストされたSchwinger機構のレビュー

2. Furry描像の摂動論による動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
3. 2の応用
・電場だけでなく、いろんな外場に対して使える⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果の/による増幅
・ 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される⇒ 応用例 2) カイラリティ生成の増大

まとめ✔ Furry描像の摂動論による動的にアシストされたSchwinger機構の定式化
・ 技術的なこと: Furry描像の摂動論は、Schwinger機構の物理を解析的に理解する上で非常に強力
・ 物理的なこと: 動的にアシストされたSchwinger機構は、単に粒子生成数を増大させるだけじゃない⇒ 振動パターン、有効質量の増大、スピン生成、強電場中の真空構造を色濃く反映[HT, PRD 99, 056006 (2018)][Huang, HT, PRD 100, 016013 (2019)]✔ その応用・そのアイデアはSchwinger機構の文脈を超えていろんなところに使える可能性がある(しかし正直に言えば、原子核・ハドロンへの応用はあまりできていないので、興味があれば議論していただけるとうれしいです)- 電場だけでなくいろんな外場に対して使える⇒ 応用例 1) (荷電有質量粒子に対する) 動的カシミア効果[HT, PRR 2, 023346 (2020)]- 粒子数 = キャリアが増えるとほかのいろんな量も増大される⇒ 応用例 2) カイラリティ生成 [HT, PRR 2, 023257 (2020)]
宣伝: Strong-field QEDのレビュー: [Fedotov, Ilderton, Karbstein, King, Seipt, HT, Torgrimsson, 3月に出ます]BACKUP

Franz-Keldysh effect in cond-mat✔ Apply strong slow E-field & a photon (~ weak fast E-field) onto a semi-conductor,
and measure photo-absorption rate
・ photo-absorption rate ～ Im[1-loop action] ～ particle production rate
TheoryExperiment (w/ Si)[Franz (1958)] [Keldysh (1958)]

difference(■ー■)

w/ strong slow E
w/o strong slow E

difference

photoabsorption rate

[Yacoby (1966)](photon energy) - (gap energy)

・ Enhancement below the mass gap⇒ Looks very similar to the dynamically assisted Schwinger mechanism (?)
・ Oscillation above the mass gap (Franz-Keldysh oscillation)
・ Enhancement is maximized around the mass gap

One-photon process✔ Larger 𝛀𝛀, more perturbative・because there is no time to interact many times, no matter how strong 𝑒𝑒𝑒𝑒0 is
𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

… … 𝑬𝑬
……

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

larger 𝛀𝛀 ≃ shorter E-fieldtime

multiple scatterings

𝑬𝑬・ analytical formula is available (for any field config. !)3

𝑁𝑁1−photon = � �d 𝒑𝒑 d 𝒑𝒑′
𝑠𝑠,𝑠𝑠𝑠𝑬𝑬… … 𝑬𝑬
……

𝑬𝑬

time

finite # of scatterings

・ should cover different region, as photon # should be huge

3

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬𝒑𝒑, 𝑠𝑠

𝒑𝒑𝒑, 𝑠𝑠𝑠

2𝑚𝑚→ ∞ in the semi-classics
Ω

2
∞
𝑉𝑉
4𝑚𝑚2 14𝑚𝑚2=
� d𝜔𝜔 1 − 22+ 2
4𝜋𝜋 2 2𝑚𝑚𝜔𝜔 3𝜔𝜔𝑒𝑒𝐸𝐸� 𝜔𝜔

2

[HT, Fujii, Itakura (2014)] [QFT textbook by Itzykson, Zuber]Interplay b/w tunneling, multi-, one-photon𝒆𝒆𝒆𝒆✔ An explicit demonstration for Sauter pulsed E-field 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕 = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐡𝐡𝟐𝟐𝟎𝟎(𝛀𝛀𝒕𝒕)

・ One-photon dominates for large 𝛀𝛀,where semi-classical methods fail,・ One-photon is more efficient𝛾𝛾 > 1𝜈𝜈 < 1✔ Two dimensionless parameters 𝜸𝜸 =・ Sauter field is solvable, which can becompared w/ Schwinger & one-photon𝛾𝛾 ≫ 1, 𝜈𝜈𝜈𝜈 ≪ 1 ⇒ pert. one−photon𝛾𝛾 ≪ 1, 𝜈𝜈𝜈𝜈 ≫ 1 ⇒ non−pert. tunneling・ 𝜈𝜈 =(work done by E-field)
𝑒𝑒𝐸𝐸0 /Ω=Ω
(photon energy)= (# of photons involved)

than tunneling ; 𝑁𝑁 is the largest at Ω ∼ 2𝑚𝑚
𝒎𝒎𝛀𝛀
𝒆𝒆𝑬𝑬
, 𝝂𝝂 ≡ 𝛀𝛀𝟐𝟐𝟎𝟎 control the interplay
𝒆𝒆𝑬𝑬𝟎𝟎

Validity of Furry-picture perturbation theory[Huang, HT, (2019)]

・ higher orders need to be included if fast field becomes stronger and slower

Analytical formula for dynamically assisted Q522 ∞̃� 𝐵𝐵� −𝜋𝜋𝑚𝑚2
𝑄𝑄5 𝑒𝑒𝐸𝐸𝑒𝑒
2𝜋𝜋 𝑚𝑚2
i 𝑚𝑚2
i 𝜔𝜔2
ℰ(𝜔𝜔)
=
e 𝑒𝑒𝐸𝐸� × [1 +
� d 𝜔𝜔
; 2;) ].1 𝐹𝐹�1 (1 −
2
�
�
�
�
𝑉𝑉𝑉𝑉
2𝜋𝜋
𝑇𝑇 𝑒𝑒𝐸𝐸
2
2
𝑒𝑒
𝐸𝐸
𝑒𝑒
𝐸𝐸
𝐸𝐸
0

Dynamical assistance by fast E-field ℰ・ Dynamical assistance- is positive ⇒ chirality is always enhanced- goes away when 𝑚𝑚 → 0 ⇒ important only for massive case- is independent of B-field(∵ B-field does not supply energy, i.e., does not affect the prod. mech.)Furry-picture formula for dynamical assistance 𝑬𝑬𝐒𝐒 ∥ 𝓔𝓔𝐟𝐟

[HT, (2019]

𝑑𝑑 3 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑉𝑉
𝜋𝜋(𝑚𝑚2 +𝒑𝒑2⊥ )
=
exp −
𝑑𝑑𝒑𝒑3
2𝜋𝜋 3
𝑒𝑒𝐸𝐸s

1 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥ ∞ℰ̃𝐟𝐟 𝜔𝜔
𝑖𝑖 𝜔𝜔2 + 4𝜔𝜔𝑝𝑝∥
� 𝑑𝑑𝑑𝑑
× 1 +
exp −
𝑒𝑒𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s
𝐸𝐸
4
s0

Schwinger mech. by slow 𝑬𝑬𝐬𝐬

1 𝐹𝐹1

𝑖𝑖 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥
𝑖𝑖 𝜔𝜔21−; 2;
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s

Dynamical assistance by fast 𝓔𝓔𝐟𝐟

・ slow limit 𝜔𝜔⁄ 𝑒𝑒𝐸𝐸s ≪ 1: ■ dominates ➡ usual Schwinger formula
𝑑𝑑3 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑉𝑉
𝜋𝜋(𝑚𝑚2 +𝒑𝒑2⊥ )𝜋𝜋 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥ ℰf
∼
exp −
1+
𝑑𝑑𝒑𝒑3
2𝜋𝜋 3
𝑒𝑒𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s 𝐸𝐸s2𝑉𝑉𝜋𝜋(𝑚𝑚2 +𝒑𝒑2⊥ )
∼
exp −
2𝜋𝜋 3
𝑒𝑒(𝐸𝐸s + ℰf )・ fast limit 𝜔𝜔⁄ 𝑒𝑒𝐸𝐸s ≫ 1: ■ dominates ➡ multi-photon pair prod. (LO)
𝑑𝑑3 𝑁𝑁𝑒𝑒
𝑉𝑉 1 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥ |𝑒𝑒 ℰ�f 2𝜔𝜔𝒑𝒑 |2∼𝑑𝑑𝒑𝒑3
2𝜋𝜋 3 4 𝜔𝜔𝒑𝒑2
𝜔𝜔𝒑𝒑2

2

Furry-picture formula for dynamical assistance 𝑬𝑬𝐒𝐒 ∥ 𝓔𝓔𝐟𝐟

[Huang, HT, (2019)]

𝑑𝑑3 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑉𝑉
𝜋𝜋(𝑚𝑚2 +𝒑𝒑2⊥ )
=
exp −
𝑑𝑑𝒑𝒑3
2𝜋𝜋 3
𝑒𝑒𝐸𝐸s

×

Sch. mech.
by slow 𝑬𝑬𝐬𝐬∞

1 + � 𝑑𝑑𝑑𝑑 e
0

∞

−𝑖𝑖

+𝑖𝑖 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 e
0

∞

𝜔𝜔𝑝𝑝∥
�f 𝜔𝜔
1 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥ 𝓔𝓔
𝑒𝑒𝐸𝐸s

−𝑖𝑖

∞

+ �

0

𝐸𝐸s2

𝑒𝑒𝐸𝐸s

𝜔𝜔𝑝𝑝∥ �𝓔𝓔 𝜔𝜔𝑒𝑒𝐸𝐸s f+𝑠𝑠 × 𝑖𝑖 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 e
0

2

−𝑖𝑖

⋅ 𝑬𝑬s

e

−𝑖𝑖

2

𝜔𝜔2
4𝑒𝑒𝐸𝐸s1 𝐹𝐹1𝑖𝑖 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥
𝑖𝑖 𝜔𝜔21−; 2;
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s

2
2
2
𝜔𝜔
⋅ 𝒑𝒑⊥
𝑖𝑖
𝑚𝑚
+
𝒑𝒑
𝑖𝑖
𝜔𝜔
−𝑖𝑖
⊥
; 1;
Re e 4𝑒𝑒𝐸𝐸s 1 𝐹𝐹1 1 −𝐸𝐸s 𝜔𝜔
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s𝜔𝜔𝑝𝑝∥ �(𝓔𝓔f 𝜔𝜔
𝑒𝑒𝐸𝐸s

𝜔𝜔𝑝𝑝∥
̃f𝑥𝑥 𝜔𝜔
ℰ
𝑚𝑚−𝑖𝑖
𝑑𝑑𝑑𝑑 e 𝑒𝑒𝐸𝐸s𝜔𝜔

Dynamical assistance by fast 𝓔𝓔𝐟𝐟2

𝜔𝜔2

× 𝒑𝒑⊥ ) ⋅ 𝑬𝑬s
𝑖𝑖 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥
𝑖𝑖 𝜔𝜔2
−𝑖𝑖
4𝑒𝑒𝐸𝐸
s 𝐹𝐹
; 1;
Im e
1 1 1−
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s
𝐸𝐸s2 𝜔𝜔

𝑦𝑦
2
2
2
𝜔𝜔2
+ 𝑖𝑖𝑖𝑖ℰ̃f 𝜔𝜔
𝑖𝑖
𝑚𝑚
+
𝒑𝒑
𝑖𝑖
𝜔𝜔
−𝑖𝑖
⊥
Im e 4𝑒𝑒𝐸𝐸s 1 𝐹𝐹1 1 −; 1;
𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s
2 𝑒𝑒𝐸𝐸s2・ becomes complicated (red = new terms), but the basic structure is the same・ spin-dependence appears even without magnetic fields[Foldy, Wouthuysen (1950)]∵ Dirac particle has a spin-orbit coupling 𝒔𝒔 ⋅ (𝒑𝒑 × 𝑬𝑬) [Tani (1951)]
e.g. application to spintronics [Huang, Matsuo, HT (2019)]