ISSN 2433-6165 (Print)
形の科学シンポジウム講演予稿集

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ISSN 2433-6173 (Online)
Vol. 1 No. 1 (2016年6月)

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第81回シンポジウム予稿

ジグソー学習を取り入れた「理科読」による日本列島の形の探究に関する実践研究1

原口るみ, 2 松浦 執
1
東京学芸大学大学院連合学校教育学研究科 東京都小金井市貫井北町 4-1-1
2
東京学芸大学教育学部 東京都小金井市貫井北町 4-1-1
1pdandy8105@yahoo.co.jp, 2 shumats0@gmail.com

Practice Research on inquiry of the form of the Japanese archipelago by"RIKADOKU(Science Reading)" with jigsaw learning
1
Rumi Haraguchi, 2 Shu Matsuura
1
The United Graduate School of Education, Tokyo Gakugei University,2
Department of Education, Tokyo Gakugei University
4-1-1 Nukui-kita-machi, Koganei-shi, Tokyo
Abstract:
In science education, it becomes more and more important for the students
to realize the significance of learning science and the relationship between scienceand real life. However, several contents in science are not easy in performing theexperiments or observations within the constraints of time and space of the classrooms.
"The origin and the change of the earth" in the junior high school is one of them.
In this research, the students conducted the "RIKADOKU (Science Reading)" programusing the method of jigsaw learning to inquire the origin of the form of Japanesearchipelago. The results showed that the students realized the learned mattersrelated to their real life.
Keywords: understanding with reality, “RIKADOKU( 理 科 読 )”, jigsaw learning,
science education
１．はじめに
理科教育において，児童生徒が理科を学ぶ意義や実生活との関連を実感できることが ま
すます重視される傾向にある 1) 。しかし現実を見てみると，従来の授業の最後に教師が実生活への応用を紹介しただけで終わってしまったり，生徒が「学んだことと実生活を結び付けられたか」という結果だけを問うような事態が生じたり はしていないだろうか。
教育は「過程(process)」である 2） というデューイの考えに基づけば，理科の学びにおいてみつめたいことは，子どもがいかに「学んだことと実生活を結び付けられたか」という結果ではなく，「学んだことと実生活を結びつけるようになっているか」という過程である。そのために，子どもの「その子」にとっての実生活をみつめることから出発したい。
２．理科読―理科の学びに本を取り入れる―
理科の学びにおいて，実際の物に触れたり現象を目の当たりにしたりする実験や観察が重要であることは言うまでもない。しかし，実験や観察を行うことが容易ではない内容も含まれる。中学理科における「大地の成り立ちと変化」がその１つである。特に日本列島の形という大きな対象を扱う場合には，どのように子どもたちが実感できるようになるか-1-

という課題がある。そこで，本研究では「理科読」 3） を取り入れた実践の検討を行った。
３．対象と方法[対 象 と な る 生 徒 と 彼 ら の 実 社 会 ]本 研 究で は ， 静 岡県 沼 津 市の 公 立 小 中 一貫 校 の ７年 生
（中学１年生に相当）の授業について検討した。学校の目の前には駿河湾が広がっており，生徒たちにとって駿河湾や伊豆半島といった地形は身近なものである。
[「理科読」に用いた本]『日本列島水をとったら？
加藤茂・伊藤等：監修，

海の底にも山がある！

海底地形』

徳間書店（2015）[方法]１時限目：予想，３名１班になり，各自のテーマについて本を読む。２時限目：資料の読み込み，クロストーク，考えをまとめてノートに記入[検討の視点](１)教師がみとった生徒の学びの過程。(２)ノートに表現された生徒の学びの過程。以上（１），（２）それぞれについて次の３つの視点から検討した。即ち，①既習
事項とのつながり，②大地の変化と地表の事物とのつながり，③大地が変化する実感。
４．結果(１)教師がみとった生徒の学びの過程
生徒の発言から，教師は生徒らが本から新しい知識を吸収しつつ，学習課題の答えを探究する中で，学んだことを振り返り，内的に再構築してく過程をみとった（視点①，③）。
また，一見つながりの薄い「日本海」「駿河湾と鹿児島湾」「瀬戸内海」という地形が，日本列島形成過程での大地の変化としてつながりを持つと気づく過程をみとった（視点②）。
(２)ノート に表現された生徒の学びの過程
本を読む前に知っていたこと（以下(K)）と読んで分かったこと（以下(LB)）を見比べると，LB は K よりも多いことから知識の量が増えたことが確認された。それだけにとどまらず，既習事項に関連があることがわかったり（視点①），大地の変化が地形を作り上げてきたことがわかったり（視点②），大地は変化するということが実感できたことで将来の日本
列島の形はどう変わるのか，という新たな問いが生まれたりした（視点③）。
５．考察
ジグソー学習を取り入れた「理科読」により，実験や観察が困難な単元でも生徒が実感を伴った理解を得られるものと考えられた。さらに，本を取り入れたことで生徒たちが既習事項を「使う」時間が生まれ，学んだことのつながりが意識されるようになった。
６．まとめ―今後の展望―
複数の学校で異なる単元での実践を行うことで，異なる「実生活」を生きる子どもたち
が，「理科読」を通じて実感を伴った理解を得られることを明らかにしていきたい。
参考文献
1）文部科学省,中学校学習指導要領解説

理科編（1998）

2）Dewey, J., “Democracy and Education” , The Free Press(1916):10
3）大貫麻美・原口るみ・土井美香子・瀧上豊, 「本を通して自然科学を学ぶ「理科読」の歴史と実践的研究への展望」，帝京平成大学児童学科研究論集 No.6（2016）-2-

第81回シンポジウム予稿

陰影のデザイン坂口茉紀†・田中秀一††・佐々木康成‡・坂東敏博††††，††，†††‡†

同志社大学，京田辺市多々羅都谷 1-3

金沢星稜大学，金沢市御所町丑 10-1

m.sakaguchi91a19@gmail.com，††syu1dssb@gmail.com，‡

ysasaki@seiryo-u.ac.jp，†††tbando@mail.doshisha.ac.jp

A Design of Shade and Shadow
Maki SAKAGUCHI, Yasunari SASAKI, Toshihiro BANDO
Doshisha University, 1-3 Tatara Miyakodani, Kyotanabe-shi, Kyoto-fu‡
Kanazawa Seiryo University, 10-1 Ushi, Gosho-machi, Kanazawa-shi, Ishikawa Prefecture†，††，†††

Abstract: We perceive spatial configuration and surface asperity of an object by touching surface, and get
the tactile texture. We also perceive tactile texture of the object based on the visual information in
two-dimensional images, because the shades and shadows made by asperity and illumination are importantelements to perceive surface qualitative information. In this study, we generated variety of 3D texture
models by the mathematical design of surface asperity and simulated the shade and shadow patterns on thesurface under changing illumination direction.
Keywords: visual perception, shade and shadow, onomatopoeia, automatic texture generation

1. はじめに人は対象物の表面に触れ，対象物の空間形状や凹凸を知覚し触覚的質感を得ている．しかし，対象物の触覚的な質感は 2 次元画像の情報から視覚的にも得られる．対象物の質感を視覚的に得る上で重要な要素の 1 つに陰影が挙げられる．陰影は，対象物に対して照射する光源の方向により様々に変化する．したがって，対象物に対し照明光の当たる方向を変化させた場合に，同じ形状の物体から多様な陰影パターンを生成できる可能性がある．
我々が行ったこれまでの研究では，物体表面と照明により形作られて 3 次元的に見える陰影パ
ターンに対して人が想起したオノマトペと画像特徴量の関係を明らかにしてきた［1］．特に，同時生起行列から得られる画像特徴量と実験参加者が想起したオノマトペの各子音の分布には特定の相関があることを明らかにしてきた．
本研究では，3 次元コンピュータグラフィックス（3DCG）による凹凸生成におけるパラメータの設定について，網羅的かつ規則的に変化させられるように乱数系列を用いて凹凸の生成を行った．また，生成した凹凸形状に対し光源を照射し，作られる陰影についてシミュレーションを行い，凹凸形状および光線方向と陰影パターンから感じられる質感の関係を調べた．

2. 陰影テクスチャの生成
本研究で用いた陰影のあるテクスチャ（陰影テクスチャ）は，3DCG ソフトウェアとして知られる Autodesk 社の Maya で作成した．凹凸モデルの生成と陰影のシミュレーションを行い，得られた陰影パターンを陰影テクスチャとして出力した．シミュレーションでは，凹凸の細かさ，凸の数，高さ（y 軸），高さのばらつき，方向，方向のばらつきをパラメータとして変化させて陰影テクスチャを生成した．はじめに生成された平面を等分割し，等分してできた頂点を y 軸方向に吊り上げ，続いて x 軸および z 軸方向に平行移動させる．生成モデルとその一例をそれぞれ図 1と図 2 に示す．本研究では x 軸，y 軸方向の変位の各成分を合成した値を凸の方向としている．
したがって，凸方向およびそのばらつきに関しては x 軸，z 軸の 2 成分についてそれぞれ値を決-3-定した．そのため，合計 8 個のパラメータでシミュレー
ションを行ったことになる．凹凸に照射する平行光線の方向に関しては，z 軸方向に平行の向きで固定し，凹凸に対して上方から 45°で入射させた．
3. テクスチャの解析
パラメータには乱数を用いて 200 枚の陰影テクスチャを出力した．同時生起行列の特徴量と陰影テクスチャに対して人が視覚的に感じる質感との間には相関が見ら

図1

れること[1]を考慮し，本研究でもテクスチャ解析に同時凹凸生成のモデル図

生起行列を用いて画像解析を行った．さらに，凹凸を生成する際に用いた 8 個のパラメータと同時生起行列により得られる 16 個の特徴量について重回帰分析を行い，凹凸の形状と質感との間にどのような関係があるかを調べた．その結果，パラメータと画像特徴量の間に強い相関が見られる組み合わせを発見した．
4. 陰影を形作るパラメータと音象徴との関係
先行研究[1]において画像特徴量との間に強い相関のあったオノマトペの子音との関係について検討した．解析の結果より，陰影テクスチャに対して人が想起するオノ図2

生成された凹凸モデルの一例

マトペの子音に関して，凹凸生成の際に用いたパラメー
タが影響を及ぼしていると考えられる．例えば，凸の数は画像特徴量の 1 つである Contrast と強い相関があり，また先行研究では，Contrast はオノマトペにおける[z]，[p]，[t]の子音の出現頻度との間に強い相関が見られた．したがって，凸の数は[z]，[p]，[t]の出現頻度に影響を及ぼしていると考えられる．さらに，光源の照射方向に対し垂直方向の軸である x 軸方向の凸成分よりも照射方向に対し平行方向の軸である z 軸方向の凸成分の方が画像特徴量に大きく影響していた．これは，凹凸が照明光を遮ってできる影の影響が考えられた．つまり，照明光に対して垂直方向に凸を変形させても現れる影の形や面積の変化は少ないが，照明光に対して平行方向に凸を変化させた場合は，現れる影の形や面積に大きな変化が生まれるからである．特定のパラメータの値を変化させた結果として現れる影の形や面積の変化により画像特徴量の変動が見られた点から，影の形や面積の大小が視覚的な質感に影響を及ぼしていると考えられる．

5. 今後の課題
本研究で得られる複数の陰影テクスチャから質感が大きく異なるテクスチャを探し，照明方向の変化による質感変化に関わる凹凸形状の要素を明らかにできれば，1 つの凹凸形状から照明方
向の切り替えにより質感の変化を提示するといった空間デザインに応用できると考えられる．また，凹凸の変化を照明方向のみによって交替させることができれば，知覚的な質感の違いを容易に作り出せる可能性が出てくる．
本研究の一部は，JSPS 科研費 25350032 の助成を受けた．ここに記して謝意を表する．
参考文献［1］ 佐々木康成・鈴木孝典・坂東敏博 (2011). 陰影のあるテクスチャ画像のオノマトペを用いた質感評価─音
韻と画像特徴の関係の統計的分析─． 認知科学, 18, 477-490.

-4-第81回シンポジウム予稿

顕微像（形態情報）に依拠せずにウイルス宿主を推定するゲノム解析技術－“オリゴスティッキネス”
西垣功一 1,2、Shamim Ahmed1,3、齋藤あゆむ 1,4、
１

埼玉大学大学院 理工学研究科

現所属：2.産総研、3 Shahjalal Univ. Sci. and Tech., Bangladesh、4.東大医科学研究所
Keywords: Virus, Host/parasite, Genome sequence, Sequence similarity,
Oligostickiness
英文タイトル： Oligostickiness：A genome analysis that enables us to reveal thehost-parasite relationship without depending on microscopic image information.
Koichi Nishigaki, Shamim Ahmed, Ayumu Saito,
Saitama University
E-mail: koichi@fms.saitama-u.ac.jp
ABSTRACT
Host-parasite relationship, say, between virus and bacteria has been assigned by
employing the electron microscopic method, which consists of tremendously
painstaking processes. Owing to the readiness of obtaining genome sequences ofvarious species of organisms and a physicochemical parameter oligostickiness, wemay be able to find the host-parasite relationship without depending on electron
microscopic measures. Here, oligostickiness is defined and applied to probing thecloseness between two species (bacteria and bacteriophages), which leads toestimating a host-parasite relationship.
和訳：

ウイルスと細菌のような宿主－寄生関係は電子顕微鏡を用いた、大変手間のかかる過程を経て初めて同定されてきた。しかし、様々な生物のゲノム塩基配列の情報を比較的容易に手に入れることができるようになり、本研究で報告するオリゴスィッキネスとよぶ特別な物理化学定数を用いることで、我々は電子顕微鏡に頼らなくても、宿主―寄生関係を容易に発見できるかもしれない。本論文では、オリゴスティッキネスが定義され、2 種の生物（細菌とバクテリオファージ）のオリゴスティッキネスの近さから、宿主―寄生関係が推定されるという応用について述べる。

-5-

第81回シンポジウム予稿

通信，暗号，そして多面体
佐藤郁郎（宮城県立がんセンター）、秋山仁（東京理科大学）
宮城県名取市愛島塩手字野田山 47-1
sato-ik510@miyagi-pho.jp

Signal Transmission, Ciphers and Polytopes
Ikuro Sato, Jin Akiyama
Miyagi Cancer Center, Tokyo University of Science
Abstract: In the n-digits of Wythoff 0/1-code, surprisingly many metric propertiesof the n-polytopes are concealed. It looks just like a magic or mystery and thesecret lies in the double flag architecture of Wythoff code . For this arithmetic,
the computer programs have been implemented by Matsuura and Toyoshima. We will
introduce on a few idea for applications to communication theory and ciphers.
Keywords: Wythoff code, Wythoffian polytope, flag, signal transmission, cipher【１】はじめに（ワイソフ・トリック）
ｎ次元準正多面体はｎ桁の 0/1 コードを使って表すことができる．のみならずこのｎ桁から多面体の図形情報（k 次元面数とその形，体積など）を抽き出すことができる．この
位相幾何学的組み合わせ論を用いた計算手順は，松浦・豊島（東京電機大学）によってす
でにコンピュータに実装されている．とはいえ，たったｎ桁の 0/1 のなかにかくも詳細な情報が圧縮された形で格納されていることは驚くべきことである．このトリックの核心は二重旗構造；(1110)の場合で説明すると(1)⊆(11)⊆(111)⊆(1110)⊇(110)⊇(10)⊇(0)；にある．端的にいえば，球ではなく多面体のなせる業といえるだろう．
一方，現行の通信システムでは最密球充填を基盤とした 0/1 コードが用いられている．
高次元多面体に比べて，高次元球は理解もしやすいことから通信理論に応用されているのだが，球を多面体に変えるワイソフ・トリックを用いることで，よりエンリッチな情報通信（たとえば暗号にみえない暗号など）を実現させることはできないだろうか．
【２】現行の通信コードシステムでは
とくに 8 次元と 24 次元の最密球充填は，通信理論を介して現代生活を担保するほどの重要な応用を担っている．しかし，その様子を思い浮かべるのは容易ではないから， 3 次元の最密球充填で代用することにしたい．
3 次元の最密球充填は中心に置いた球に対して，同じ層に 6 球，上の層に 3 球，下の層にも 3 球で合計 12 球に接することになる．この配置が面心立方格子状配置で，3 次元の最密球充填配置となる．中心(0,0,0)から√2 離れた 12 個の格子点(±1,±1,0),(±1,0,±1),(0,±1,±1)に半径 1/√2 の球を配置すると 3 次元の最密球充填が実現される(図 1)．
8 次元の場合にはＥ8 格子と呼ばれる 240 個のベクトルの集まりを構成することができる．(1,0,0,-1,0,0,0,0)や(1/2,1/2,-1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,-1/2)はその例で，原点からの距離が√2 になっている．これらの配置を応用した通信システムでは検出力が最大となる．
これらの次元のコードシステムがうまく機能する幾何学的な理由は，立方体の 8 頂点か-6-

ら 4 頂点をうまく選ぶと正四面体を(図 2)，8 次元立方体の 256 頂点から 16 頂点をうまく選ぶと 8 次元正軸体を内接させることができることに依 拠している．一般に，ｎ次元立方体の頂点をうまく結んで正軸体を作ることができるための必要条件はｎが 4 の倍数である
こと，正単体を作ることができるのはｎが 4 の倍数-1 であることである．さらに偶ユニモ
ジュラー格子は次元が 8 の倍数のときにしか存在しないことも知られている．いずれにせよ，通信に活用されているのはある特殊な次元の球の座標情報だけなのである （例外型）．

図1

図2【３】多面体の通信への応用を考える
特殊な次元でなく一般次元の多面体の，かつ座標にこだわらず頂点や辺などの連結情報をうまく利用できないだろうかと考えるのは自然な発想であろう．すぐに思いつくのは[1]球の格子状配置において，球を膨らませるとやがて押し合いへし合いを生じて，最終的にはボロノイ多面体に落ち着く(図 3)．任意のｎ次元空間に 4 種類の無限系列空間充填多面体を構成することができる．図 4 はそれぞれ 4,5,6 次元のボロノイ多面体の例である．

図4

図3[2]空間充填にこだわらなければ，任意の次元の多面体とｎビットコードを１対１対応させることができる．図 5 に 3 次元多面体と 3 ビットコードとの対応を掲げる．
図5

(100)
【４】まとめ

(010)

(001)

(110)

(101)

(011)

(111)

故・乙部融朗老師の針金模型は small world network を具現化したもので，老師はその先に通信への応用を見据えていた．多面体の理論を通信に役立てようとはいっても，複雑になりすぎて，球模型のもつ単純さ・エレガントさを損なってはならない．本当に有用なものになるのか，役立つとしたらどの次元のどの多面体になるのか，その具体的な方法については直ちに解答を与えられそうにない．先駆的な発想となればよいが，それとも妄想？
【５】参考文献
1) 石井源久「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに関する研究 」京都大学(1999)
2) 宮崎興二・石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」京都大学出版会 (2005)
3) 乙部融朗「準正多体胞」私家版(2015)-7-

第81回シンポジウム予稿

リソスフェアの変形の微分幾何学
菊地和平*、長濱裕幸
東北大学大学院理学研究科地学専攻、宮城県仙台市* kazuhei.kikuchi.s6@dc.tohoku.ac.jp

Differential Geometry for the Lithosphere Deformation
Kazuhei KIKUCHI* and Hiroyuki NAGAHAMA
Department of Earth Science, Graduate School of Science, Tohoku Univers ity, Sendai,
Japan. * kazuhei.kikuchi.s6@dc.tohoku.ac.jp
Abstract: Previous research shows buckling phenomenon in flat or spherical shells
lithosphere. However, previous research cannot give us to related curvature effect inbuckling phenomenon. On the other hands, material science is presented by using curvatureeffect of buckling phenomenon in differential geometry. In this paper, we derive the buckling
phenomenon with curvature effect for spherical shells lithosphere.
Keywords: Buckling phenomenon, Euler-Schouten curvature tensor
Introduction
The mechanism of flat or spherical shells lithosphere deformation is presented by using thebuckling theory (e.g., Tanimoto 1997, 1998; Turcotte and Schubert 2014) . Buckling phenomenon in
spherical shells of the lithosphere along subduction zone is studied by spherical shell tectonics(e.g., Fukao et al., 1987). We found out a new linear relationship between Batdorf parameter andthe normalized hydrostatic pressure along the bottom circumferential edge of a hemisphe rical inspherical shell tectonics (Kikuchi and Nagahama 2015). Batdorf parameter for subducting
lithosphere is equivalent to the length of the slab, and is also related to the wavelength ( length of
the island arc) of buckling. However, previous research cannot give us buckling equation withhigh order strain for the curvature of the lithosphere. On the other hand, buckling equation withthe high order strain effect has been studied by engineering science (Kondo 1955), which study
applied the concept of Riemannian geometry to yielding and buckling of the curved material.
From the Euler-Schouten curvature tensor of shell as Riemannian manifold and force balance
equation on the shell, we derived a unified theory on buckling of spherical shells.
Application of Kondo theory to the lithosphere deformation
When the Riemannian manifold of V n dimension with non-zero Euler-Schouten curvaturetensor exists in the enveloping manifold (Euclid space) of Vm dimension, the including
Riemannian manifold of V n protrudes into the enveloping manifold of Vm dimension. From theEuler-Schouten curvature tensor of shell as Riemannian manifold and force-balance equation on
the shell, we derived a unified theory on buckling of flat plates or spherical shells;
(1)

-8-

where B is contravariant tensor in the n-space, y is deflection, x is coordinates of system, L is thenormal force per unit m-volume, Σ ij is stress components in the shell space, P is the difference ofthe tangential frictions at the upper and lower boundaries, and subscripts i, j are coordinates in V n .
In the case of 2 dimensional flat plate buckling, equation (1) is buckling equation of plates.
Moreover, equation (1) becomes a buckling equation of the spherical lithosphere as 3-dimensional
Riemannian manifold (Vn ).
Summary
We can apply the Euler-Schouten tensor to buckling equation with high order strain for thelithosphere deformation. Using the deformation theory based on Riemannian space for the
buckling system of flat plate and spherical shells, the equation for the lithosphere deformation andbuckling can be derived from the Euler-Schouten curvature tensor. Therefore, this curvature tensor
is an important tensor for the lithosphere deformation.
Reference
Fukao, Y., Yamaoka, K. and Sakurai, T. (1987) Spherical shell tectonics: buckling of subducting
lithosphere, Physics of the Earth and Planetary Interiors, 45, 59-67, Doi: 10.1016/0031-9201(87)90197-X.
Kikuchi, K. and Nagahama, H. (2015) Batdorf parameter for the spherical shell tectonics, GeophysicalResearch Abstracts Vol. 17, European Geosciences Union General Assembly Conference,
EGU2015-10638.
Kondo, K. (1955) Theory of Metaphorical Plates and Shells, in RAAG Memoirs Vol. 1, ed. K. Kondo,
p.47-60, Gakujutsu Bunken Fukyu-kai, Tokyo.
Tanimoto, T. (1997) Bending of spherical lithosphere–axisymmetric case, Geophysical JournalInternational, 129, 305-310, Doi:10.1111/j.1365-246X.1997.tb01583.x.
Tanimoto, T. (1998) State of stress within a bending spherical shell and its implications for subducting
lithosphere, Geophysical Journal International, 134, 199-206, doi:10.1046/j.1365-246x.1998.00554.
x.
Turcotte, D.L. and Schubert, G. (2014) Geodynamics, 3rd ed., Cambridge University Press, Cambridge,
United Kingdom, 623p.

-9-

第81回シンポジウム予稿

クモの網を模擬した構造の変形特性と冗長性に関する基礎的検討
森山卓郎
阿南工業高等専門学校、徳島県阿南市見能林町青木 265
takuro@anan-nct.ac.jp

Fundamental consideration on deformation characteristic andredundancy of simulated structure of spider web
Takuro MORIYAMANational Institute of Technology, Anan College、265 Aoki, Minobayashi-cho,Anan, Tokushima, 774-0017 JAPAN
Abstract: Reasonable shape and excellent structure on mechanical properties can beseen in nature. In this study, spider web was focused on. The simulated structureof concentric circles and spiral on weft of the spider web was modeled by
two-dimensional frame. Concentration load was applied to the center of analysis
models on both plane and out-of plane. The effects of the difference of shape, spiraland elastic modulus of weft, and loss of weft on the deformation and redundancy ofsimulated structure of the spider web were considered.
Keywords: spider web, weft, spiral, deformation, redundancy
１．目的
筆者は、クモの網の構造の変形特性に着目し、網を模擬した構造を 2 次元の骨組み構造で作成した簡易モデルによる解析的な検討を行ってきた 1)､2) 。本検討では、クモの網を模擬した構造において、形状および螺旋の有無や種類を変化させて静的荷重を作用させた骨組構造解析を行い、その変形特性と冗長性について検討を行った。
２．解析方法クモの網を模擬した解析モデルを 2 次元の骨組み構造により作成した。まず、解析モデ
ルの外形形状は正方形とし、その中に正方形状に内接しているもの、正 8 角形状に内接しているもの、正 12 角形状に内接しているものをそれぞれ均質な材料および同じ断面積の部材で作成した（図 1(a)～(c)）。さらに、横糸を想定した部材が同心円状の正 12 角形状のもの、アルキメデスの螺旋状に内接しているもの、対数螺旋状に内接しているものについても、同様に作成した（図 1(d)～(f)）。このとき、解析モデルの部材の全長は、比較する
解析モデルでほぼ同じになるように、横糸を想定した部材の間隔などを調整した。
解析モデルの四隅を固定し、中心に 0.01N の集中荷重を面外方向または面内方向に作用させた場合についてそれぞれ解析を行い、各節点の変位や各部材の軸力などを算出した。
また、クモの網は、縦糸と横糸の特性が違うことが知られていることから、 横糸の弾性係数を小さくしていった場合についての解析も同様に行い、横糸の弾性係数の違いが変形に及ぼす影響についての検討も行った。さらに、クモの網を模擬した構造の部材の欠損による影響に着目し、解析モデルの中心部より横糸の部材を 1 本ずつ欠損させていった場合についても同様に解析を行い、その冗長性について検討した。

- 10 -

(a)正方形状(b)正 8 角形状(c)正 12 角形状(d)同心円状(e)アルキメデスの螺旋(f)対数螺旋図1

解析モデルの形状(a)内接する多角形の違いによる比較
図2(b)螺旋の違いによる比較

面外荷重を作用させたときの最大変位比と欠損比の関係

３．解析結果図 2 は、面外方向に荷重を作用させたときの冗長性についての検討結果である。縦軸の最大変位比は、欠損させた場合の最大変位を欠損のない場合の最大変位で割ったものであり、横軸の欠損比は、欠損させた長さを解析モデルの全長で割ったものである。この図か
ら、欠損比を大きくすると内接する多角形が正 12 角形状の場合に最大変位比が最も小さくなり、欠損比が約 0.06 で一定値に収束していくことがわかる。また、欠損比を大きくすると、横糸が螺旋の場合では、螺旋のない場合よりも最大変位比が小さくなることがわかる。
参考文献
1) 森山卓郎：クモの網を模擬した構造の変形に及ぼす横糸の弾性係数の影響，形の科学会
誌 第 30 巻第 1 号，pp.93-94，2015.
2) 森山卓郎：クモの網を模擬した構造の変形特性に関する基礎的検討，形の科学会誌 第29 巻第 1 号，pp.28-29，2014.

- 11 -

第81回シンポジウム予稿

弾性円管の内外圧力差による座屈高木隆司
東京農工大学（名誉教授），〒248-0014 鎌倉市由比ヶ浜 2-23-12, jr.takaki@iris.ocn.ne.jp

Buckling of Elastic Circular Tube Owing to Pressure Difference
Ryuji Takaki
Abstract: Nonlinear analysis is made on the strength of buckling of an elastic circular in the casewhere the inner pressure is higher than the outer one. The motivation of this analysis is to give atheoretical support to an investigation of deformation of blood vessels in the case of the pressure
difference. The tube is assumed to make a deformation to a nearly elliptical shape without elongationof the sheet of pipe. The ratio of the longer diameter of the pipe to the shorter one is estimated byassuming a weak deformation of the pipe. The method of analysis is to minimize the sum of twoenergies; one is an elastic energy associated with bending of the tube wall, and the other is the work
done by the pressure difference when the pipe deforms. The result of analysis seems to describe
observed deformation of blood vessels quantitatively.
Keywords: Buckling, , Elastic tube, Pressure difference, Blood vessel

１．導入
弾性円管の内外圧力差による座屈の問題は、主として真空を伴う装置に付随する円管の破損防止という観点から、機械工学の分野で研究されてきた。そこでは、座屈が起きないための臨界圧力差が、無限小の変形を仮定した線形近似を用いて理論的に求められている{1}。一方、座屈が起きたあとの変形を求める試みは、現在もないようである。このような有限振幅の座屈の現象は、主として医学分野で注目され始め、内外圧力差による静脈の変形の程度を理論的に予測することが期待されている。
ここでは、円管は均質で等方的な物質とし、管の半径に比べて厚さは小さいと仮定する。また、管は軸の方向の伸縮をせず、変形によって厚さは変化しないと仮定する。このような円管の変形では、その断面形が円形からずれるが、周囲長は変化しないと仮定してよい（全体的な伸縮はない）。
２．管の変形をどのように表現するか
図 1 に示すように、管の周囲方向に沿って計った長さｓを独立変数とし、管の形を R(s)で表す。管は変形後も上下左右の対称性を保つと仮定し、管の 1/4（0 < s <πR 0/2）を解析の対象とする。
図 2 に、管壁の微小部分について変形前後の形を示す。厚さ方向の中心線（点線）の長さ ds は変化しないが、その上下（微小な厚さの斜線部分）は、中心線からの距離ｚに比例して伸びる、あるいは縮む。変形後の形は、正確には扇形でないが、dφが微小なので扇形と見なしてよい。斜線部分の長さの変化は次式で与えられる。

dl ＝ ( Rc  z )dI  ( R0  z )dI0

z (dI  dI0 )

z(

1
1
 )ds
Rc R0

(1)

図 2 微小部分の変形前(左)と変形後(右)図１ 変形した円管に関係する定数や変数- 12 -

この dl を変形後の R(s)で表す必要がある。途中を省略して、その結果は次式で与えられる。

dl§ 1  (dR ds) 2 d 2 R
 2
z¨
¨
R
ds
©

1  dR ds

2



1 ·¸
ds
R0 ¸
¹

(2)

３．管の変形を求める方法
図２斜線部分の相対的な伸びから、弾性変形のエネルギーが次のように求められる（E はヤング率）。

Ue

2
ED 3 SR0 2 §¨ 1  (dR ds)
d 2R
R
24 ³0 ¨ds 2©

2

1  dR ds

2

1 ·¸
 ds

R0 ¸
¹

(3)

同様に、圧力差⊿ｐによる仕事が、⊿ｐと体積減少の積により次のように求められる。

UpºªSR0 2 1
1'p  « ³ R s( )  1  dR ds 2 ds  SR0 2 » d 0
4»¼«¬ 0 2(4)

全エネルギーU （Ue と Up の和）を極小にする R(s)が変形後の管の形である。
ここで、長さを R0 で、エネルギーを ED 3/24R0 で無次元化し、R(s)として次式を仮定する。

R(s) 1  a cos 2s,a  1(5)

これを式(3),(4)に代入し、Ｏ(ａ4)まで考慮し、Ｕの極小値から管の変形の強さが求められる。

a2

x

A B

2('pC  9)
53  3'pC ，

3

C

24 R0
ED 3

(6)

C は、管壁の変形しやすさを表すパラメーターである。
４．結果と考察
図 3 は、
Ｕの a2 依存性であり、圧力差が(2)の範囲にあるときだけ、有限の安定した変形が保たれる。
(2)の場合について、変形の強さと⊿ｐC の関係を図 4 に示す。
今回の結果では、変形が 0 のとき⊿pＣの値が 9 である。なお、文献[1]に記述してある臨界値は、9 でなく 8 である（図中の点線参照）。この値は、座屈の臨界条件（ａ＝0）で求めたものであり、管壁がわずかに縮む（円周長が減少）ことを考慮している。
一方、有限振幅の場合をあつかった本研究では、縮みの効果は無視してあるので、このような違いが生じたと思われる。
したがって、この曲線の下部を点線で示すように修正すると、より正しい結果になると期待される。

図３ Ｕのａ2 依存性。(1),(2),(3)は、それぞれ
0＜⊿pＣ＜9、9  'pC  53 3 : 、53 3 d 'pC : に対応。

図４ ａの⊿ｐＣ依存性

参考文献 [1]柴田俊忍、能見利彦、中井 浩：材料,第 32 巻,第 354 号, 1983, 298-303..

- 13 -

第81回シンポジウム予稿

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 020-0694 ¹ × ħ ē č ¼ ĩ Ũ 808

kutsuna@u-fukui.ac.jp

Practical Use of ICT System for SHOSHA-SHODO Education
Kenichiro KUTSUNA*, Yoko HONDA**, Hiroki TAKADA**University of Fukui, Bunkyo3-9-1, Fukui 910-8507**University of Morioka, Sunakomi808, Takizawa, Iwate 020-0694
K e y w o r d s : ICT, Information and Communications Technology, SHOSHA-SHODO, Education1Ǝ ã Ņ Ě ¢ " ICTICTƋ Information and Communication Technologyƌ (  h  ' Ñ ¡ Ă  : pã Ņ :  5 % ƈ Â XĊ Ğ   w ı ĝ É ' ĝ  7  ' Ę Ë " ª Ł 'ĥÛê%ãŅ'¢!(Áŏ98ëĪİŭ058(Ĩš461ÙŐ'ĘËĉ058
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第81回シンポジウム予稿

キャベツの開度観測
根岸利一郎
埼玉工業大学，〒369-0293 深谷市普斉寺 1690
negishi@sit.ac.jp

Observation of the dispersion angle in Cabbages
Riichirou Negishi
Saitama Institute of Technology, 1690 Fusaiji, Fukaya, Saitama, 369-0293, Japan
Abstract: We observed the cut surfaces of a cabbage stem during sprouting between the first andthe third leaves and also externally observed other cabbage stems until sprouting the tenth leaves
to investigate their dispersion angles. The result indicates the dispersion angles are determined
during the period of time between the third and the tenth leaves.
Keywords: cabbage stem, dispersion angle, golden angle
らせん葉序の開度
4らせん葉序を形成する身近な野菜にキャベツ，ハクサイなどがあり，野草にはセイタカアワダチソウなどがある。これらのらせん葉序の開度は黄金角に収れんしていることが観測されて

7
2

1

9

いる。開度が黄金角の場合，開度の角度差の分散は最も小さくなり，葉の付き方のばらつきが最も多くなる。ではそのような開度はいつ決まるだろうか。

6

5

8

3

開度観測
第 3 葉が決まるころ，茎を切断してその切断面を観測する。図は手製簡易スライサーで先端部から茎に垂直にカミソリで切断した画像であり，a)〜e)は茎の下部からの位置順になっている。a)は第 1 葉の見える画像であり中央に太い維管束があって茎中央を挟んだ反対側にも太い維管束がある。b)では茎内の環状部分に a)と同様の維管束が並び，右斜め下の維管束がやや太くなり，そこの茎の外側には盛り上がりが見える。c)では盛り上がりが大きくなると同時に，第 3 葉になる維管束が離れ始める。d)になると茎中央の環状部から
第 2 葉と第 3 葉が維管束とともに離れる。そして e)では明瞭になった第 3 葉が第 2 葉と一定の開度を形成する。この画像から測定される開度はほぼ 138°となる。第 4 葉以後の開度
観測によれば，第 10 葉くらいまでに開度が安定する。
a)

第 1 葉 b)

c)

d)

e)

138°
500µm

第2葉

第3葉

キャベツの茎のスライス画像，第 1 葉から第 3 葉までの位置による葉序方向と開度
根岸利一郎：「ひまわりの黄金比」（日本評論社，2016）.

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第81回シンポジウム予稿

放散虫のカレンダー
松岡 篤・大河内 春香
新潟大学理学部/形の科学研究センター、新潟市西区五十嵐 2 の町 8050
amatsuoka@geo.sc.niigata-u.ac.jp

Calendar of Radiolaria
Atsushi MATSUOKA and Haruka OHKOUCHI
Faculty of Science, Niigata University,Niigata 950-2181 Japan
Abstract: Several kinds of calendar using images of radiolarian skeletons and living forms wereprepared for enhancing a degree of social recognition of radiolarians. These calendars will beutilized to advertise the 15 th meeting of the international association of radiolarists (InterRad 15)held in October 2017 in Niigata, Japan.
Keywords: radiolaria, calendar, InterRad 15, social recognition
はじめに放散虫は“形の科学”研究者には，比較的なじみのある生物であるが，一般社会ではほとんど知られていない．
放散虫の社会認知度を高めるために，放散虫の形をモチーフにしたカレンダーを作成した．
放散虫カレンダー
これまでに，放散虫をモチーフにしたぬいぐるみ，クッキー，トランプを作成してきた．これらは，放散虫の社会認知度を高めるために一定の役割を果たしたが，爆発的なブームを形成するには至っていない．この原因は，一般社会での放散虫の露出度が低いためであると考えられる．目立つところに掲示される日常用品にカレンダーがある．このカレンダーの特長に着目して，放散虫をモチーフとして使用したカレンダーを作成した．図 1 に中生代放散虫の殻の電子顕微鏡写真を利用したカレンダーを例示する．放散虫は，地質時代ごとに異なる殻形態をも

図１

中生 代 放散 虫を モ チ

つグループがみられることから，多様なカレンダーをつくーフにしたカレンダー

ることが可能である．現生の放散虫はカラフルな色彩をもつことから，カラーの図柄を作成することもできる．
おわりに2017 年 10 月には，新潟で第 15 回国際放散虫研究集会（InterRad 15）が開催される．
このような国際会議の機会を，学術の発展だけでなく，放散虫の社会認知度を高めるためにも利用しようと考えている．放散虫カレンダーを普及用アイテムとして活用する．

- 17 -

第81回シンポジウム予稿

作品展示: 折り紙モデルで結晶物性を考える石原 正三
埼玉県立大学 保健医療福祉学部、〒343-8540 埼玉県越谷市三野宮 820 番地
shozo@spu.ac.jp

Exhibition: Exploration into physical properties of crystals
by means of the Origami-model
Shozo ISHIHARA,
Saitama Prefectural University, School of Health and Social Ser vices,
820 Sannomiya, Koshigaya, Saitama 343-8540, JAPAN
Abstract: With a view to exploring into physical properties of crystals, Origami-models of somecrystal structures are demonstrated. While it is remarkable that periodicity, regular repetition of
atoms, can be exhibited by the Origami-model made of polyhedral skeletons, it is suggested thatby making use of the Origami-model, some physical properties of a crystal may be deduced fromthe structure itself without referring to chemical composition..
Keywords: the Origami-model, polyhedral skeletons, physical properties of crystal.
１.はじめに結晶の折り紙モデルは、多面体の骨格構造（スケルトン）を基本構造とする、結晶構造の立体モデルである。折り紙の色彩と造形美を生かして、結晶構造と物性の視覚化を試みた作品と、「科学折り紙の結晶学」と題する口頭発表の中で取り上げた作品を展示する。
２．ダイヤモンド構造 、ルチル構造、および、スピネル構造の折り紙モデル
ダイヤモンドは最も知られた宝石だが、その結晶構造はあまり理解されてはいない。 炭
素原子の周りを 4 つの炭素原子が 正四面体的に取り囲み、各正四面体は角を共有してダイ
ヤモンド構造を形成している。ダイヤモンド構造の折り紙モデルを制作するとダイヤモン
ドの固さを実感できる 。
ルチル構造は磁性結晶として知られ、八面体の中心の位置にある金属原子間の磁気相互作用により、磁気的性質が多様に変化する。ルチル構造の折り紙モデルは、角を共有して接続された八面体の中心にある原子間に反強磁性的な相互作用が、稜を共有して接続された原子間に強磁性的な相互作用が はたらく仮定して作られている。
スピネル構造は、鉄の混合原子価化合物である磁鉄鉱（マグネタイト）の結晶構造である。マグネタイトの折り紙モデルは、八面体の中心位置にある鉄の２価（Fe 2+ ）と３価（Fe3+ ）の違いを色で区別し、低温相における、電荷の秩序状態（Verwey order）を示して いる。
３．タングステン・ブロンズ構造の折り紙モデル「科学折り紙の結晶学」と題する口頭発表において、立方晶、六方晶、および、正方晶の３種類のタングステン・ブロンズ構造の折り紙モデルを取り上げ、それぞれの結晶構造の特徴を折り紙モデル に基づいて説明した。特に、正方晶タングステン・ブロンズ構造を特徴づける八面体の歪について、折り紙モデルから一つの仮説 が提案されている。
４．おわりに実在する数種類の結晶の構造と物性を視覚的に表現する折り紙モデルの作品を展示した。
結晶物性を立体構造モデルとして表現することは、結晶の折り紙モデルの特徴であり、更なる発展の可能性を示唆している。今後、結晶の力学的、電気的、および磁気的な物性を、結晶の折り紙モデルで表現することを試みることによって、科学折り紙結晶学の発展を期待している。

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第81回シンポジウム予稿

ダイアモンド富士におけるミー散乱光
山口喜博（帝京平成大学:290-0193 千葉県市原市うるいど南 4-1）
chaosfractal@iCloud.com

Spotlights by Mie scattering
at the situation of “Diamond Fuji”.
Yoshihiro Yamaguchi (Teikyo Heisei University, Ichihara, Chiba 290-0193, Japan)
Abstract: At the situation called “Diamond Fuji”, we observe numerous spotlights by Mie
scattering.
Key words: Mie scattering, “Diamond Fuji”.
毎年 2 月 26 日前後, 丹沢鍋割山でダイアモンド富士が見られる. 本年 (2016 年) も 26 日に丹沢
鍋割山に登り, ダイアモンド富士を撮影した. 写真にミー散乱スポット光が写っていたので紹介する. ミー散乱スポット光が見られた主な理由を挙げておく.
[1] 富士山頂付近を北から南へと流れた霧状の雲に, 日没の光が当たりミー散乱が生じた.
[2] 富士山から丹沢鍋割山までの距離が約 38km で, スポット光が写真に写るぐらい広がった.
[3] ダイアモンド富士の状況で, 富士山が暗幕の役割を果たした.
[4] 前日 (2016 年 2 月 25 日), 丹沢一帯には 5-10cm の降雪があった. この結果, 空気が澄んでいた.

図 1: 富士山と丹沢鍋割山との位置関係.

- 19 -

ミー散乱
我々が空を見上げると空が青く見える. これは太陽光が空気分子でレイリー散乱された光を見ているためである. 一方で雲を見ると白っぽく見える. これは太陽光が雲粒でミー散乱された光を見ているためである. 日常の生活でミー散乱光は目に入っている. しかし, ミー散乱光としては認識していない.
雲粒のサイズとほぼ同じ波長の光がミー散乱される. 雲粒の大きさは 0.3-10µm 程度で, これは可視光線の波長とほぼ一致する. ミー散乱は意味をとって回折散乱とも呼ばれる. 回折のために大きな粒子では前方に光が集まり指向性の強い散乱光となる. 言い換えるとスポット光が粒子から出ているように見える. ランダムな方向に出たスポット光が目に入り, また雲粒も小さいのでスポット光として認識できない.
スポット光も距離をとれば広がる. 広がったスポット光を自然現象で見ることができないだろうかという疑問を以前から持っていた. 太陽光が霧を透過する状況を撮影すれば良いのだが, 今までスポット光を撮影できなかった. 今回, 初めてダイアモンド富士の状況でスポット光を撮影できた. 富士山から丹沢鍋割山までの距離が約 38km であったことが写真に撮れた第一原因であろうと考えている. 広角レンズで撮影したダイアモンド富士の写真でも, 頂上付近を拡大するとスポット光による斑点を確認できた. ダイアモンド富士の写真を撮影している人は多いが, ミー
散乱光に気がついている人はいるのだろうか. 今回の撮影で, 単に見ることと観察することの違いを自分自身で体験した.

図 2: 夕日のダイアモンド富士. 写真の右が北. 霧状の雲が北から南へ流れている. 雲の中の雲
粒に日没の太陽光が当たり, ミー散乱が生じた. 大小さまざまな斑点がミー散乱されたスポット
光. 非常に大きな斑点は, 太陽光がレンズに入り起こしたゴースト現象. 2016 年 2 月 26 日 17 時
13 分. 300mm の望遠レンズで撮影.
参考文献. Mie, Gustav. Annalen der Physik 25 (3) (1908). pp.377-445.
英訳版は下記のホームページにある.

http://diogenes.iwt.uni-bremen.de/vt/laser/papers/
RAE-LT1873-1976-Mie-1908-translation.pdf- 20 -

第81回シンポジウム予稿

数学曲面模型の開発
手嶋吉法（千葉工業大学）、井 恭平（同）、川口拓未（同）、蓮沼 晃（同）、小川泰（筑波大学名誉教授）

Development of Models of Mathematically Defined Curved Surfaces
Y. Teshima* (Chiba Institute of Technology), K. I, T. Kawaguchi,
H. Hasunuma, and T. Ogawa (Prof. Emer., Univ. of Tsukuba)* yoshinori.teshima@it-chiba.ac.jp

概要： デジタルものづくり技術を活用して数学曲面の模型を製作し、教育や研究に役立てている。パラメトリック曲面の数式を数学ソフト Mathematica に入力し、３次元形状データを表示させ、さらに 3D プリンタ用の造形データ(STL 形式)
として出力する。ただし、数学曲面には厚みがない為、そのままの造形データでは造形出来ない。STL 編集ソフトを用いて厚み付けをする必要があるが、数学曲面の形状によっては、厚み付けが失敗する（しばしば特異点を含む場合）。筆者
らは、失敗事例に対して個々に対処し、多くの数学曲面の厚み付けに成功した。その一部を実体化したので展示する。

１． 触って鑑賞する為の数学曲面模型

Magics を駆使しておこなった。以下に、実体化した数学

ヒルベルト、コーン・フォッセンの著書『直観幾何学』に

曲面の一部を示す。

数学曲面模型の写真が沢山掲載されている[1]。ドイツで石膏製の幾何学模型が盛んに製作されたのは 1880 年頃からで、1932 年まで Martin Schilling 社で生産が続けられたそうである[2]。F. Klein ら当時の第一線の数学者達が中心となってこの模型製作プロジェクトを進めたことが判っている。ただ、当時の技術でどのようにして、この（上）spherical harmonics

様な精確な模型を造り得たのか、具体的な手法は判っていない。当時のプロジェクトが、世界一線級の数学者とドイツが誇る一流職人によって成し遂げられた素晴らしい協（右）Jeener-Klein 分割模型

働作業であったことを現存する模型が物語っている。
他方筆者らは、触って鑑賞する立体模型を開発するプロジェクトを 2006 年にスタートさせた。このプロジェクト

参考文献の主な目的は視覚障害者の触覚鑑賞の世界を豊かにする[1] ヒルベルト (著)、コーン＝フォッセン (著)、芹沢(訳)『直べく、様々な立体模型を開発するというものであった。数

観幾何学』(1966)

学曲面に関しても、トーラス各種（リングトーラス、ホー[2] 河 野 俊 丈 、 数 理 模 型 レ フ ァ レ ン ス 標 本 に つ い てントーラス、スピンドルトーラス）、ボヘミアンドーム、( http://www.um.u-tokyo.ac.jp/publish_db/1997Archaeology/

フラフープ曲面、サイクライド曲面、双曲放物面、クライ

04/40800.html)

ンの壺などを作製した[3][4]。

[3] Y. Teshima, T. Ogawa, M. Fujiyoshi, Y. Ikegami, T. Kaneko,

２． 今こそ、直観幾何学模型プロジェクト

S. Oouchi, Y. Watanabe, K. Yamazawa, Models of Mathematically

上述の模型作製を経験し、デジタルものづくり技術の活用

Defined Curved Surfaces for Tactile Learning, Lect. Notes.

により、100 年前のドイツの模型プロジェクトと比べ、現Comput. Sci., (2010) 6180，pp.515-522

代は数学曲面模型の作製をする上で、圧倒的なアドバンテ[4] 手嶋吉法、空間を味わい、形を造る，数学文化 (Journal ofージがあることが判った。そこで、既知のパラメトリック

Mathematical Culture), (2010) 14-1, pp.51-62

曲面[5]の模型を網羅的に作成することとした。数学曲面[5] 数 学 曲 面 の 数 式 と 図 が 掲 載 さ れ て い る WEB サ イ トには厚さが無い。それゆえ、造形データ(STL 形式)に厚み(www.atlantis23.com/ei_parmsurf/parametricsurfaces_catalo

付けを施すことが、要諦となる。これは、STL 編集ソフト

g.html)- 21 -

第81回シンポジウム予稿

有孔虫骨格の拡大模型の開発
手嶋吉法（千葉工業大学）、星野捷（同）、渡辺宏（同）、木元克典（海洋研究開発機構）、松岡篤（新潟大学）

Development of Enlarged Skeleton Models of Foraminifera
Y. Teshima* (Chiba Institute of Technology), S. Hoshino, H. Watanabe,
K. Kimoto (JAMSTEC), and A. Matsuoka (Niigata Univ.)* yoshinori.teshima@it-chiba.ac.jp
概要： 有孔虫の微化石 26 種類を X 線 CT 撮影し，26 種類の造形データ(STL 形式)を生成し、STL 編集ソフトを用いて自明なノイズの除去を行った．それら造形データを実体化し、有孔虫の専門家による非自明なノイズの指摘を経て、更なるノイズ除去を造形データに対しておこなった．熱溶解積層法および粉末焼結法の 3D プリンタで有孔虫の拡大模型 20 種類を造形した．

1.

はじめにデジタルものづくり技術を用いて，精確な形状データに基づく立体模型を開発し，それらを教育や研究に活用する取り組みが行われている[1]。本研
究では，研究支援用の有孔虫の拡大模型を開発することを目的とする．
2.

X 線 CT 撮影とデータ編集

サンプルである有孔虫の微化石(新潟大学 松岡篤

教授 ご提供)を，X 線 CT 装置を用いて CT 撮影を行った．本研究で使用した X 線 CT

図1

X 線 CT 装置

装置は，海洋研究開発機構所有の ScanXmate-DF160TSS105 である(図 1)．図 2 に，XScanXmate-DF160TSS105

線 CT 撮影により得た微化石の二次元断層画像を示す．画像処理ソフト ImageJ 用い(海洋研究開発機構所有)て，
微化石の二次元断層画像(tiff 形式)を三次元形状データ(OBJ 形式)に変換した．
また，変換した三次元形状データ(OBJ 形式)をデータ変換ソフト Netfabb Basic を用
いて，造形データ(STL 形式)に変換した．微化石の造形データ(STL 形式)には，砂や金属(黄鉄鉱)などの不純物によってノイズが含まれている．精確な立体模型を開発するために，STL 編集ソフト Magics 9.51 を用いて，造形データ(STL 形式)のノイズ除去を行った．ノイズ部分のメッシュを削除し，メッシュを削除したことで穴が開いてしまった箇所に穴埋めを行う．また，カットのコマンド(メッシュ指定ではなく空間の範囲を指定する)によるノイズ除去も行った．
3.

模型の造形と評価

自明なノイズ除去が完了した造形データ(STL 形式)をも

図 2 微化石の断層画像とに，3D プリンタで拡大模型の造形を行った．本研究では，熱溶解積層法と粉末焼(学名：Cassidulina)

結法の 2 種類の 3D プリンタを用いて造形を行った．熱溶解積層法の 3D プリンタは
本研究室所有の Replicator2X を使用し，粉末焼結法の 3D プリンタはアスペクト社の RaFaEl300C を使用した．造形した模型一式を，有孔虫の専門家である海洋研究開発機構の木元克典博士に評価して頂いた．図 3 に，評価して頂いた有孔虫の拡大模型を示す．ノイズ除去が不十分な箇所にペンで色付けをして頂き，それを参考に更なるノイズ除去を行った．

参考文献[1] Y. Teshima, A. Matsuoka, M. Fujiyoshi, Y. Ikegami, T. Kaneko, S. Oouchi, Y.

Watanabe, K. Yamazawa, Enlarged Skeleton Models of Plankton for Tactile Teaching, Lect. Notes.
Comput. Sci., (2010) 6180，pp.523-526

図 3 有孔虫の拡大模型(学名：Pullenia)- 22 -

第81回シンポジウム予稿

SU(2)代数から対称性と形へ～方位角の波動関数の形を代数構造から探る～
北海道科学大学

高等教育支援センター

小川直久

Abstract
大学生が最初に量子力学を教わると、全ては Schroedinger 方程式を解けば解決するように錯覚する。初等関数だけでいける場合なら簡単だが、調和振動子となるとエルミート関数が、水素原子になるとラゲール関数、ルジャンドル関数が表れて、これは大変だということになる 1)。大変ながらもそれを勉強し終えて、何が残ったかというと「大変だった」という印象しか残らない。
さすがにこれでは詰まらない。調和振動子の場合も、球面調和関数の場合も代数を使えばびっくりするほど簡単に事が済むのだが、この面白さを知らないで量子力学とオサラバしてしまう輩が多いのは勿体ない。ちなみに前者は場の量子化の問題と密接に関係しているし、後者は角運動量の代数（SU(2)代数）の表現論である。さて、分子の構造を規定しているのは、各々の原子の電子密度分布である。基本的な考え方は水素原子の波動関数であり、その広がりの方向は球面調和関数が決めている。本論では球面調和関数の各量子数での波動関数の形を代数のみで表現して、異なる磁気量子数を持つ状態（形）の間の関係が SU(2)群 2)（空間回転群）で結びつけられることを示す。
SU(2)Algebraの代数を SU(2)代数という。ここでεは 3 次元の完全反対称単位テンソル、ラテン文字 i, j, k は
いずれも、1=x, 2=y, 3=z の値を取る。これは通常の角運動量演算子の満たすべき代数関係である。
演算子を指数の肩に上げて、𝑖𝜃をつけたものは回転群の要素となり、以下それぞれ、x 軸周りの角度𝜃回転、y 軸周りの角度𝜃回転、z 軸周りの角度𝜃回転を表す。

SU(2)の表現論
以下、簡単のための単位を用いる。z 軸方向の角運動量演算子の固有値を m として、その固有状態を|m>で表し、と置くと、の定義を用いて、が得られるので、これからのように、ｍの値は１づつ変化することがわかる。
値の状態は存在しないので、最大ウェイト状態に対して- 23 -と置くと、これよりも大きな固有が得られ、最大ウェイト状態から下降演算子を演算して得られる一般の状態に対して、が得られる。また、状態のノルムが０にならないための条件を調べると以下の条件を得る。

Form of l=1 State （p 軌道）
角運動量の l=1 (p)State での表現行列を求めると得られた行列を用いて回転行列を作り、状態に回転の演算子を作用させると、が得られて、このことから状態の形が、右図のようであることがわかる。（理由は講演で）さらにそのほかの状態とは回転行列で結ばれることから、他の状態の波動関数の形が以下のようであることがわかる。

同様な対応関係は、d 軌道に関しても存在し、代数構造のみから状態の形を判定可能である。
講演では、d 軌道についての状態の判定までを行う。最後に軌道角運動量ではないがスピン 1/2の場合の例を述べる 3)。
参考文献
1) L. I. Schiff : Quantum Mechanics； P. A. M. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics「連続群論入門」山内恭彦、杉浦光夫 著
2) 例えば、
3) R.P. Feynman: Elementary Particles and the Laws of Physics- 24 -

第81回シンポジウム予稿

オービタルのかたち―節面と規則性
時田 澄男（埼玉大学 名誉教授）〒330-8750 埼玉県さいたま市桜区下大久保255
e-mail: tokita@apc.saitama-u.ac.jp

Visualization of Orbitals
Classification According to the Node Type
Sumio Tokita, Saitama University (Emeritus)
255 Shimo-Ohkubo, Sakura-ku, Saitama, Saitama, 338-8570, Japan
Probability density distribution in the 3-dimensional representation of hydrogen atomic orbitals wasdeveloped. It was compared with 3-D isosurface model. Isosurface models can hardly show theentire region where an electron can be found. On the other hand, in the diagram of probability
density distribution models, an electron is found everywhere around the nucleus. The density of thedots sculptured in the glass block shows the probability density of finding an electron, so the nodal
plane is well described as spherical shell(s) or planar and conical node(s) symmetrical about z axis
where the dots cannot be found. In the diagram of probability density distribution model, we cancompare the size of the orbitals from their distribution regions. Number of these nodes together withplanar nodes including z axis in hydrogen atomic orbitals is summarized in Table 2 in terms of n:principal quantum number, l: azimuthal quantum number, and m: magnetic quantum number.
Keywords: electron, visualization, hydrogen atom, carbon atom, radial distribution function,
spherical harmonics, p orbital, d orbital, f orbital, spherical node, planar and conical node
symmetrical about z axis, isosurface, real 3-dimentional representation of electron cloud
和訳：水素原子オービタル（軌道）の 3 次元表記における確率密度関数が開発された。それは 3 次元等値面モデルと較べられた。等値面モデルでは電子が見出される全領域を示す
ことはほとんど不可能である。一方、確率密度分布モデルでは、核の周りのあちらこちらに電子を見出すことができる。ガラスブロックに刻まれたドットの密度は電子を見出す確率密度を示しており、節面は、ドットの見いだされないｚ軸の周りに、球状の殻や平面とコーン状の節（ノード）としてうまく表される。確率密度分布図においては、軌道の大きさをそれらの分布領域と較べることができる。水素原子オービタルにおけるこれらの節の数は、ｚ軸を含む平面節とともに、表２に、主量子数ｎ、方位量子数ｌ、磁気量子数ｍの術語を用い、まとめられている。

- 25 -

第81回シンポジウム予稿

電子励起状態ポテンシャルの形と光化学反応～フォトクロミック分子（ジアリールエテン）の光異性化反応を例に～
小林高雄（株）MCHC R&D シナジーセンター、横浜市青葉区鴨志田町１０００
e-mail: kobayashi.takao@ms.mchc-rdsc.co.jp

The shape of electronic excited state potential energy surfaces
and photochemical reactions: A case of photoisomerization
reactions of photochromic diarylethene molecules
Takao Kobayashi
MCHC R&D Synergy Center, Inc., 1000 Kamoshida-cho, Aoba-ku, Yokohama
Abstract: The relationship between the shape of electronic excited state potential
energy surfaces and photochemical reactions is shown as a case of photoisomerization(photochemical ring-opening and closure) reactions of photochromic diarylethenemolecules.
Keywords: photochemistry, photochromism, diarylethene, excited state, quantum
chemistry【序】「光化学」とは光が物質に照射されると何が起きるのかを調べる学問領域である。量子力学からの要請により光の性質には二重性があり、波動としての性質の他に、粒子としての性質も有し、光の粒子は光子（photon）と呼ばれる。光子が物質（あるいは生体）に照射・吸収されると 、それはエネルギー源として作用し 、「発色 」「発光」「反応 」「分解」「発電」などの物理・化学現象を引き起こす。それら光によって引き起こされる物質ある
いは生体の現象は光合成を初めとして自然界でも多く見られる一方、写真・印刷・記録用
色素、発光材料、フォトクロミック材料、センサー、太陽電池、人工光合成、光治療など
産業面・医療面で広く応用されている。物質は分子の集合体であるため、物質に光が照射された後、物質がどのように、何故、変化していくのかを、物質の基本構成単位である分子のスケールで原理的に解明することは科学面だけでなく 、応用面でも非常に重要である。
【分子に光が照射されると何が起きるか？】分子は原子核と電子から構成されている。原子・分子スケール（オングストローム（Å）=10 -10 m のオーダー）では、分子内の電子の振る舞いは量子力学に従っており、分子内に束縛された電子の状態は、連続的ではなく離散的なエネルギーを持っている。
図１には光化学反応する反応物分子から生成物分子までの電子状態（が原子核に対して形成する）ポテンシャル エネルギ
ー面の下から１番目（基底状態）、２番目（励起状態）を模式的に示した。反応物
として基底状態にいる分子は２つのレベ
ルのエネルギー差に相当する波長の光

図１ 光吸収後に分子が辿る過程- 26 -

（光子）を選択的に 吸収して、励起状態に上がり（励起され）、その後、反応物に戻る過程と、構造変化 （あるいは電荷変化）して生成物に至る過程がある。後者は「光化学過程」と呼ばれ、前者の反応物に戻る（光物理）過程には光を放出して戻る過程と光を放出せず
熱（分子振動 ）を放出して戻る２つの過程が存在する。前者は「発光（輻射失活）」、後者は「無輻射失活」過程と呼ばれる。分子の光物理・光化学過程を追跡することは、イメー
ジとして、光吸収により上のポテンシャル面に上がった球がどのように下のポテンシャル
面に落ちてくるかを追跡する ことに対応 する。理論化学の教科書[1]には “Chemistry is
knowing the energy as a function of nuclear coordinates”（化学とは原子核座標の関数として（電子状態ポテンシャル ）エネルギーを知ることである）とある。まさに「化学とは原子核座標の関数としてポテンシャル面の形（＝分子構造が変化するとポテンシャル
がどのように変化するか）を知ること」であると意味している。但し、光ではなく熱による反応では一般に、１つのポテンシャル面の形のみ知ればよいのに対して、「光化学」の場
合は「反応に関与する複数のポテンシャル面の形と異なるポテンシャル面間の相互作用を知る」必要がある。光化学を考える際に重要なことは、複数のポテンシャル面の形だけではなく、異なるポテンシャル面間の相互作用を考慮した上で、異なるポテンシャル面間のどこ（どの構造）で、どのように乗り移 り（無輻射遷移し）、その後、どのような分子構造変化を辿るのかということである。電子状態ポテンシャル間の無輻射遷移は非断熱結合と呼ばれる（断熱）電子状態間の相互作用によって引き起こされるため「非断熱遷移」と呼ばれるが、「円錐交差（conical intersection(CI)）」と 呼ばれる２つのポテンシャル 面間の交点の近傍で効率的に生じることが知られている。詳細は本講演の中で説明する。
【ジアリールエテンの光異性化反応（フォトクロミズム ）】フォトクロミズムとは光照射により物質の光吸収・発光などの光物性が可逆的に変化する現象である。ジアリールエテン
はフォトクロミズムを示す代表的な分子である[2]。図２にジアリールエテン 主骨格のフォ
トクロミズムを示した。ジアリールエテンには
閉環体、開環体の２種類の構造異性体 が存在し、一般に閉環体は着色体、開環体は無色体である。
これら２種類の構造異性体は互いに光（閉環体には可視光、開環体には紫外光）照射により相互変換（光異性化 ）が可逆的に可能である。

図２ ジアリールエテンのフォトクロミズム

本講演ではジアリールエテンのフォトクロミック（光開環・閉環）反応を例に、その電子
基底・励起状態ポテンシャル面の形と円錐交差（CI）の特徴といった「静的」な特性を ab

initio（＝非経験的）量子化学計算から明らかにするだけでなく[3]、ジアリールエテン閉環体のモデル 分子であるシクロヘキサジエン（CHD）の光開環反応を対象に、その光励起後の複数ポテンシャル面に跨る分子の「動的」な運動を ab initio 非断熱分子動力学と呼ばれる計算手法で直接シミュレートすることにより、ジアリールエテンの光化学反応性を議論する。
【参考文献】[1] Jensen, F., Introduction to Computational Chemistry; Wiley, 2007.
[2] Irie, M., Chem. Rev., 2000, 100, 1685. [3] (a)Guillaumont, D.; Kobayashi, T.,et.al., J. Phys. Chem. A, 2002, 106, 7222. (b)Asano, Y.; Murakami, A.; Kobayashi,T., et.al. , J. Am. Chem. Soc., 2004, 126, 12112. (c)Kudernac, T.; Kobayashi, T.,et.al., J. Phys. Chem. A, 2013, 117, 8222.
- 27 -

第81回シンポジウム予稿

学

反

学の

に

る分

しい観

の

形 の最小

Woodward-Hoffmann

と

論の

一

野
埼玉大学
〒

さいたま市
大
h.nohira@jcom.home.ne.jp

Minimum change of “shapes” of molecular orbitals in the elementary chemical reactions
A new aspect on quantum science and unification of FWH theories
Hiroyuki Nohira
Okuboryoke 51-5, Sakura-ku, Saitama-shi, 338-0826, Japan
Abstract: Changes of chemical substances (molecules) are quantized, and cannot be described
continuously. When a certain molecule changes to another one in an adjacent quantized state,
the “shapes” of its electronic states are conserved in the adjacent states with the minimumchanges of them. The Fukui and Woodward-Hoffmann theories can be unified consistently by
this concept.
Keywords: elementary reaction, conservation of orbital phase, dynamic correlation diagram

1981

の

ーベ

学

と Hoffmann に

は

えられた。

の業

は ”

)と

に

に

し 1972

論 [1] であり Hoffmann のそれは Woodward (1979ア対のWoodward-Hoffmann (W-H)

論[2]である。

は Harvard 大学の Woodward

での タミ

B12 の合成した。その直後に W-H

である

図の

日に っている。 のはに[3,4]をしてする しいられているとはW-H

い いが その

と

タ

ク

と チ

図である。ここでながら まだ

のである。

の いは

と

が が

を明らかにする。

1 が

し

したも

の図では

1

差しているのに対して

W-H のそれは Neumann-Wigner の[5]に って

差を

の

ている

論から

のものと同
学反

差

にある。

かれる

図は論

である。
の中

の

は

Fig. 1 Correlation diagrams for theDiels-Alder reaction by the author (solid lines)
and by Woodward-Hoffmann (dashed line).

Born-Oppenheimer（定

状

）近

と ばれる

方

(

)を時

の

( )から分離したうえで 分 のがただにすると 定している(下

に

がつくる

れ

の付 によりが W-H が図でありにを き これを成する Diels-Alder 反

を

な

き方に

の

論の

Fig. 1 は

た

論の

した

る位置の
ャ

に

- 28 -の中で われている。そこでは状 は)。しかしながら

学

反

は時 の
(

)は時 (

であって

に って 学
)の

であり

学反

の中

することには
と時

本

状

があり

(

)は同時にはにらし合わせわれるものと

が

にこの近

位置

を
)

ー(

ないという
差

すように

分離は

の

定

であるから Fig.2 に

する

定

はその根

が

えられる[4]。

The time independent equation⎧ h2 2⎫∇ + V ( r ) ⎬Ψ ( r ) = E Ψ ( r )
⎨−
2
m
⎭
⎩

Fig. 2 A typical energy profile forelementary chemical reaction.

４．提案している基本概念の骨子[4,6]
安定な分

：

なくとも

：10-1410-13 s)

く

で

する反

形(

)は最小の

の

えに

いた

反

の

を

：

中に定
最小

を

るの

で

うことができるだ
状

の

として近

に

(最小

をもつ

できるような中

： 反

成 に

の

を

いて 反

がれる

ることな

の分

図：

の

の最小

図

として Fig.3にDewar benzeneの分 でbenzene の状がる反 を す[7]。

Fig.3 (a) The dynamic correlation diagram and (b) the corresponding state diagram for theconversion of Dewar benzene to benzene.
[1] K. Fukui, Acc. Chem. Res. 4, 57(1971).
[2] R. B. Woodward, R. Hoffmann, Angew. Chem. Int.Ed. 8, 781(1969).
[3] Nohira, H. Tetrahedron Lett., 2573 (1974),
よび 野[4] H. Nohira, T. Nohira, J. Theor. Comput. Chem. 11, 379(2012).

学

149, 16 (1983).

[5] J. von Neumann, E. Wigner, Z. Physik. 30, 467(1929).
[6] 野平、日化53秋年会、1V01 (1986, 名古屋).
[7] H. Nohira, T. Nohira, Symposium on Chemical Kinetics and Dynamics, 2A4 (2013, Sendai).

- 29 -

第81回シンポジウム予稿ྗֶ‫ܥ‬ฏߧ఺ͷՄࢹԽͱσβΠϯ΁ͷԠ༻ࢁԬ‫ٱ‬ढ़ * , ஛಺ୖຏ*઒࡚ࢢຑੜ্۠ຑੜ 3-3-11,302 (akoamay@gmail.com)

Visualization of Equilibrium of Dynamical Systems
and Its Application to Design
Hisatoshi Yamaoka* , Takuma Takeuchi
Abstract: How to visualize and recognize the 4-dimensional trajectory of dynamical systems? The
phase portraits of dynamical systems can be categorized by the signs of system’s eigenvalues. Though it
is hard to visualize in case of more than three dimensional system. Our trial is to create the method ofvisualization for any dimensional dynamical system’s equibrium.
Keywords: dynamical system, visualization, saddle point

1 ͸͡Ίʹ
ྗֶ‫ܥ‬ͷฏߧ఺ۙ๣ʹ͓͚Δղ‫ي‬ಓͷҐ૬తੑ࣭͸ɼฏߧ఺ͷपΓͰઢ‫ܗ‬Խͨ͠‫ܥ‬ͷ‫ݻ‬༗஋ͷූ߸ͷͱΓํʹΑΓ‫͔ͭز‬ͷछྨʹ෼ྨ͠ɼͦͷఆੑతͳ‫ܗ‬ঢ়Λඳ͍ͯཧղ͢Δ͜ͱ͕ՄೳͰ͋Δ [1]ɽ͔͠͠ྗֶ‫ܥ‬ͷ࣍‫ ͕਺ݩ‬4 Ҏ্ͷ৔߹͸ɼͦΕΛਤࣔ͢Δ͜ͱ͕ࠔ೉ͱͳΔɽࠓճɼ࣍‫͔͔ʹ਺ݩ‬ΘΒͣ౷Ұతͳํ๏Ͱฏߧ఺
ۙ๣ͷੑ࣭Λ೺ѲͰ͖Δը૾Λੜ੒͢Δํ๏Λ‫ݕ‬౼ͨ͠ɽ۩ମతʹ͸ฏߧ఺ʹؔ͢Δ҆ఆଟ༷ମͱෆ҆ఆଟ༷ମʹ஫໨͠ɼଟ༷ମ্ͷ‫ي‬ಓΛ௚ަ‫ج‬ఈ࣠ʹͱͬͨ 2 ࣍‫ݩ‬ฏ໘্ʹͦͷฏߧ఺ۙ๣ͷ‫ي‬ಓͷಛ௃ྔΛϓϩοτ
͢Δํ๏ΛߟҊͨ͠ɽ

2 4 ࣍‫ܥֶྗݩ‬ͷฏߧ఺‫఺ݪ‬Λฏߧ఺ʹ࣋ͭ 4 ࣍‫ܥֶྗݩ‬Λฏߧ఺෇ۙͰઢ‫ܗ‬Խ͢Δͱẋ = Ax, x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4
ͱ‫ه‬ड़Ͱ͖Δɽ͜͜Ͱ A ͸!
df (x) !!
A=
dx !x=0(1)(2)

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W s (x0 ) = {x : ψ t x → x0 , t → +∞}, W u (x0 ) = {x : ψ t x → x0 , t → −∞}(3)ฏߧ఺෇ۙͷղͷ‫ي‬ಓ͸҆ఆଟ༷ମͱෆ҆ఆଟ༷ମ্ͷ௚ੵʹΑͬͯఆ·Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͓ͯΓ [1]ɼ͜ΕΒΛඳը͢Ε͹ͦͷฏߧ఺ͷੑ࣭͕ཧղՄೳͰ͋Δɽ͔͠͠ଟ࣍‫ݩ‬ଟ༷ମಉ࢜ͷ௚ੵΛͦͷ··ਤࣔ͢Δͷ͸೉͍͠ɽͦ͜Ͱࠓճɼ҆ఆଟ༷ମ্ͷղ‫ي‬ಓ φs (t) Λ x ࣠ ʹͱΓɼෆ҆ఆଟ༷ମ্ͷղ‫ي‬ಓ φu (t) Λ y ࣠ ʹͱͬͨ࠲ඪฏ໘Λ࡞Γɼ࠲ඪฏ໘্ͷ֤఺ (φs (t), φu (t)) ʹରԠ͢Δ‫ݩ‬ͷྗֶ‫ܥ‬ͷ‫ي‬ಓϕΫτϧΛ‫ٻ‬ΊɼͦΕΒͷಛ௃ྔը૾Λੜ੒͢Δ͜ͱͰฏߧ఺ͷಛ௃ΛՄࢹԽ͢Δํ๏Λ‫ݕ‬౼ͨ͠ɽ࡞੒ͨ͠ಛ௃ྔը૾ͷྫΛਤ[2] ʹࣔ͢ɽ

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ΕͧΕ҆ఆɼෆ҆ఆଟ༷ମ্ͷղ‫ي‬ಓ φs (t), φu s(t) Λஔ͍͍ͯΔɽ͜ͷͨΊ௚ੵͷ‫ ͕ݩ‬1 ࣍‫ͳͱݩ‬Γɼ͞Βʹߴ࣍‫ݩ‬ͷ‫ͯͬ͋Ͱܥ‬΋ಉ༷ͷը૾Λੜ੒͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɽߨԋͰ͸ಛ௃ྔը૾ͷੜ੒ํ๏ͷৄࡉͷଞɼσβΠϯɾΞʔτ΁ͷԠ༻౳ʹ͍ͭͯͷ‫ݕ‬౼݁Ռ΋ఏࣔ͢Δɽࢀߟจ‫ݙ‬[1] Yuri A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory Third Edition (Springer, 2004), P.45.

- 31 -

第81回シンポジウム予稿

14 面体立体パズル「レインボーキューブ」の解法表示ソルバーの開発
竹内 琢磨 ∗ ,

∗

山岡 久俊

takumatakeuchi@gmail.com

Implementation of Rainbow Cube Solver
Takuma TAKEUCHI ∗ ,Abstract:

Hisatoshi YAMAOKA

Rainbow Cube is a color matching puzzle which has fourteen faces and seven

facet colors. In this presentation, we propose a new implementation of Rainbow Cube solver
with the computer algebra system GAP and demonstrate our solver software.
Keywords: Rainbow Cube, solver software, computer algebra, GAP

1 はじめにルービックキューブに代表されるように，現代では数々の色合わせ立体パズルが創作されている．その中の 1 つが，2006 年に Watanabe らによって，結晶の面心立方最密充
填構造をモデルとして提唱された立体パズルのレインボー
キューブ（図 1）である [5]．レインボーキューブの特色としては，8 個の正三角形と 6 個の正方形の面を持つ 14 面体であり，それらが 7 色に塗り分けられていることにある．
ところで，色合わせ立体パズルの代表格であるルービック
キューブにおいては，色がバラバラの状態から自動で解法を導くアルゴリズムが広く考案されている．アルゴリズム

図 1 レインボーキューブ外観（写真は [5] より引用）の 1 つとしては，GAP などの計算機代数システムを用いて解く方法がある [1, 2, 3]．ルービックキューブが，6 面を回転する操作を生成元とする置換群として表すことができるため，計算機代数の問題として表現できるからである．こうしたアルゴリズ
ムを用いて，ルービックキューブの解法を表示するソフトウェアの開発も行われている [4]．しかし，ルービックキューブ以外の色合わせ立体パズルの多くにおいては解法導出アルゴリズムが知られておらず，解法を表示するソフトウェアなども殆ど無い．そこで我々は，レインボーキューブ
を GAP を用いて解く方法を考案し，かつ，その方法を利用したレインボーキューブ解法表示ソルバーを開発した．

- 32 -

2 計算機代数システム GAP
計算機代数システム GAP(Groups, Algorithms, and Programming) とは，整数論や群論など
における代数計算を支援するためのオープンソースの数式処理システムである [1]．15 パズルや
ルービックキューブなどの群構造を利用できる分野で幅広く応用されている [2, 3]．たとえばルー
ビックキューブにおいては，6 面を時計回りに 90 度回転する操作を定義して GAP に入力するだけで，与えられた模様が実現可能か調べる，あるいはバラバラの状態から揃える解法を求めるといった操作が可能となる．バラバラの状態から元に戻す解法は，以下の 2 つの手順で行う．まずバラバラの状態をルービックキューブ群の 1 つの元とみなし，それを生成元の積として表現する．次に，その積の逆元を計算して出力する．この逆元こそがバラバラの状態から揃える解法となっている．

3 レインボーキューブソルバー
今回，我々はレインボーキューブを自動で解く手法およびそれを搭載した解法表示ソルバーを開発した．具体的にいえば，まずレインボー
キューブの 8 つの三角形の面を時計回りに 120
度回す操作を生成元として置換群を構成した．
次に，レインボーキューブ群の構造を GAP に入力し，GAP を用いてレインボーキューブの色を揃える操作を構成した．さらに，GAP を
解法エンジンとして，レインボーキューブの状
態入力と解法出力を GUI で行うソフトウェア「レインボーキューブソルバー」を開発した．

図 2 レインボーキューブソルバー

本ソルバーのスクリーンショットは図 2 の通りである．講演では上記の説明とソルバーのデモに加え，GAP での実装を通じて得られたレイン
ボーキューブの数理的性質などについても言及する予定である．

参考文献[1] GAP ‒ Groups, Algorithms, Programming ‒ a System for Computational Discrete Algebra, http://www.gap-system.org[2] Joyner, D. (2008). Adventures in group theory: Rubik’s Cube, Merlin’s machine, and other mathematical toys. JHU Press.
[3] Radu, S. (2005). A New Upper Bound on Rubik’s Cube Group. arXiv preprint math/0512485.
[4] Tasaki, T., Fujimoto, M. (2009). On the Rubik’s Cube solution software using GAP. Suri Kaiseki Kenkyujo Kokyuroku, 1652,
125-131. (in Japanese)[5] Watanabe, Y., Ikegami, Y., Yamazawa, K., Murakami, Y. (2006). World of Scientific Puzzle Art Using Layer Manufacturing.
Forma, 21(1), 37-48.

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第81回シンポジウム予稿

ギーリス曲線の特徴とプロダクトデザインへの応用
松浦真也 * , 齋藤邦彦 *** 愛媛大学, 〒790-8577 愛媛県松山市文京町 2-5
matsuura.masaya.mx@ehime-u.ac.jp** 滋賀大学, 〒522-8522 滋賀県彦根市馬場 1 丁目 1-1
kuni.saito@gmail.com

Characteristics of Gielis curves and their application to
product design
Masaya Matsuura * , Kunihiko Saito *** Ehime University, 2-5, Bunkyo-cho, Matsuyama, Ehime 790-8577** Shiga University, 1-1-1 Bamba, Hikone, Shiga 522-8522
Abstract: Circles, ellipses, squares, rectangles, rhombuses and cross shapes are
all special cases of Lamé curves. As a further generalization of Lamé curves, theBelgian botanist Johan Gielis introduced the so-called Gielis curves which can
describe a wide range of various shapes. In this talk, we closely examine themathematical structure of Gielis curves with a view to the application to productdesign.
Keywords: Gielis curves, Mathematical curves, Product design, Design Engineering
1. ラメ曲線とギーリス曲線
20 世紀半ばより, 北欧ではラメ曲線(別名：スーパー楕円)がデザインに用いられてきた.
ラ メ 曲 線 に 対 す る 数 学 的 な 解 析 は Lamé が 初 め て 行 い , そ の 後 , Allard, Gridgeman,
Matsuura らも 考察を加 えている ([1],[4],[5],[7]).ラメ 曲線と北 欧デ ザインの関係 については, Gardner による解説がある([2]).
20 世紀末になり, ベルギーの植物学者 Johan Gielis は, ラメ曲線を拡張したギーリス曲線を提案した([3]). ギーリス曲線は 6 個のパラメータを持つ平面曲線で, 極方程式で表される. パラメータ値を変化させると, 多様な形が表現できる. いくつか例示する.

ただし, ギーリス曲線は正方形を除き, 厳密な正多角形を表現することはできない. 上の図の「正 6 角形」も, 厳密な正 6 角形ではない. 一方で, 特に 11 角形以上では, 正多角形
をかなりの精度で近似できることも 分かっている([8]). また, ギーリス曲線に類似の形を与え, しかも厳密な正多角形も表現できる閉曲線も考案されている([6]).

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2. ギーリス曲線のプロダクトデザインへの応用
本講演の発表者である松浦と齋藤は, ギーリス曲線などの数理曲線で表現できる多種多様な形を大量に自動生成し, プロダクトデザインへ応用するためのコンピュータソフトウエ
アを開発中である([9]). 現在までに, 試作版が完成している. また, 共同研究者でありプロダクトデザイン(特に北欧デザイン)の専門家である多田羅景太氏(京都工芸繊維大学)に依頼し, 数理曲線を用いてデザインしたインテリアの制作も行っている . 例えば, 左下の写真は右下の数式で表現されるギーリス曲線でデザインされたテーブルとスツールのセットで, 「東京デザイナーズウイーク 2014」で展示された.

3. 今後の展望
モノづくりの世界では, いわゆるデジタルファブリケーションが注目を集めているが , その普及には, ハード面の技術だけでなく, デザイン開発等, ソフト面の技術も鍵を握る.
その意味で, 数理曲線を用いたデザインは, デジタルファブリケーションと相性が良い .
参考文献[1] Jacques Allard, Note on Squares and Cubes, Mathematics Magazine, Vol. 37, 210-214,
1964[2] Martin Gardner, Mathematical Carnival, Vintage Books, New York, 1977.
[3] Johan Gielis, A generic geometric transformation that unifies a wide range ofnatural and abstract shapes, American Journal of Botany, Vol. 90, 333-338, 2003
[4] Norman T. Gridgeman, Lamé ovals, The Mathematical Gazette, Vol. 54, 31-37, 1970
[5] Gabriel Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les
problèmes de géométrie, Mme Ve Courcier, Paris, 1818
[6] 松浦真也, Gielis’Superformula と擬似多角形に関する諸定理, 日本応用数理学会環
瀬戸内応用数理研究部会第 15 回シンポジウム予稿集, 27-32, 2011[7] Masaya Matsuura, Asymptotic behaviour of the maximum curvature of Lamé curves,
Journal for Geometry and Graphics, Vol. 18, 45–59, 2014[8] Masaya Matsuura, Gielis' superformula and regular polygons, Journal of Geometry,Vol. 106, 383-403, 2015
[9] 松浦真也, 数学の社会的貢献-プロダクトデザインから社会システムのデザインまで- (大学発産業界行 シーズ探訪 vo1. 175), 月刊愛媛ジャーナル 2015 年 12 月号, 76-79- 35 -

第81回シンポジウム予稿

背景揺れを伴う立体映像視認時における体平衡系の数理モデル化
天野直 1 木下史也 2 平田隆幸 1 高田宗樹 11
福井大学大学院工学研究科知能システム工学専攻 〒910-8507 福井市文京 3-9-1
2
名古屋大学大学院情報科学研究科 〒464-8601 名古屋市千種区不老町
takada@u-fukui.ac.jp

Mathematical Model of Equilibrium Function While Viewing a 3D
Object in a Moving Background
Nao Amano 1 , Fumiya Kinoshita 2 , Hirata Takayuki 1 , Takada Hiroki 1,2
1
Department of Human and Artificial Intelligent Systems, Graduate School ofEngineering, University of Fukui, 3-9-1 Bunkyo, Fukui, Fukui 910-8507, Japan
2
Graduate School of Information Science, Nagoya University, Nagoya 464-8601, Japan
Abstract: Recently, developments in graphical technology have led to an increase in 3D video
clips. As a result, visually induced motion sickness (VIMS) has been widely reported as a negative
result that leads to dizziness and/or nauseous feelings. In previous research, peripheral viewing
was reported to cause VIMS. However, a quantitative evaluation of VIMS while viewing a 3D
object in a moving background has not been discussed. This research considers how the effect onequilibrium functions are changed based on watching 3D video clips, with or without a fixed
display target, by recording body sway and analyzing the data.
Keywords: 3D video clips, VIMS.
1. はじめに
近年、3D 対応テレビや 3D 機能の付いた携帯ゲーム機などの登場により、立体映像の視聴の機会は増加し、立体映像技術はより身近なものとなった。それに伴って、頭痛、眩暈、吐き気等の不快な症状の発生も報告されている [1] 。しかし、映像酔いの原因は未だ解明には至っていない。一方、映像酔いを定量的に評価する方法の一つとして重心動揺検査が挙げられる。この方法は、負荷時およびその後における体平衡系への影響の度合いを計測できる。そこで、本研究では、立体映像視標の視認時において自然視時との差異が大きい周辺視野に着目し、視標と背景揺れとの関係が体平衡系に与える影響について検討を行った。
また、体平衡系を記述する数理モデルを導出して、その数値解析を行った。
2. 実験方法
被験者は 21-24 歳の健常な男性 9 名を対象とし、被験者には実験開始 2 時間前からの飲酒、喫煙、カフェインの摂取を禁止し、実験前に実験の内容を十分に説明した上で書面にて了承を得た。視認映像は、Sky Crystal(オリンパス)をもとに同社の許可を得て再構成したものを使用した。重心動揺計測には、グラビコーダ

GS3000（アニマ社、東京）を用い、サンプリング周波数は 20 Hz とした。
参考文献
[1] 鈴 木 淳 一 , 松 本 喬 , 徳 増 厚 二 , 他 , ” 重 心 動 揺 検 査 の Q&A, 手 引 き (1995) ” ,Eqquilibrium Res Vol.55(1), pp.64-77,1996.

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第81回シンポジウム予稿

科学折り紙の結晶学－折り紙モデルで結晶物性を考える－石原 正三
埼玉県立大学 保健医療福祉学部、〒343-8540 埼玉県越谷市三野宮 820 番地
shozo@spu.ac.jp

Science Origami crystallography,
Exploration into physical properties of crystals
by means of the Origami-model
Shozo ISHIHARA,
Saitama Prefectural University, School of Health and Social Services,
820 Sannomiya, Koshigaya, Saitama 343-8540, JAPAN
Abstract: A new type of three-dimensional model, named Origami-model, has been used for
representing structures of crystals and molecules since 1990. It is remarkable that periodicity,
regular repetition of atoms, which is one of the most important properties of a crystal structure,
can be exhibited by the Origami-model made of polyhedral skeletons. Introducing science Origami
crystallography, Origami-models of cubic (Perovskite), hexagonal, and tetragonal tungsten bronze
structures, which are characterized by octahedra sharing vertices with each other, are presented in
the oral session, as well as in the poster one, at this symposium. It is suggested that by making useof the Origami-model, some physical properties of a crystal may be deduced from the structure
itself without referring to chemical composition.
Keywords: science Origami crystallography, Origami-model, octahedral skeleton, physicalproperties, tungsten bronze structures.
1．はじめにユニット折り紙の手法[1]を活用して、正多面体の骨格構造（スケルトン）を基本構造とする結晶構造の折り紙モデル（結晶の折り紙モデル）が考案され、鏡像体やフラーレンの複雑な分子構造の折り紙モデルへと拡張された。その後、二等辺三角形を基本とするユ
ニット折り紙の手法に工夫を加え 、任意の三角形のユニット（“かけらっち”と呼ぶ）を制作する方法が開発され、多様な形状の立体構造モデルを制作する手法が確立された。かけら っ ち を 設 計 し て 折 り 紙 で 立 体 構 造 モ デ ル を 制 作 す る 手 法 を “ 科 学 折 り 紙 （ Science
Origami）”、科学折り紙を用いて表現された結晶の立体構造に基づいて結晶物性を議論することを“科学折り紙結晶学”と呼ぶことにする 。
1990 年に、磁鉄鉱（マグネタイト）の結晶構造であるスピネル構造の折り紙モデルが制作され、結晶構造の重要な特徴である周期性を視覚的に表現する立体構造モデルとして、結晶の折り紙モデルが 数多く制作されてきた。特に、マグネタイトの 低温相における鉄の混合原子価 Fe2+ -Fe3+ の秩序構造や、代表的磁気結晶であるルチルの磁気構造を表現する折り紙モデルは、折り紙の色彩を活 用して結晶物性を視覚的に表現する、これませにはない
新しい立体構造モデルとして注目 される。[2]結晶物性が結晶の折り紙モデルによってどのように表現できるかを、タングステン・ブ
ロンズ（TB）構造を例に、以下に示す。

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２．タングステン・ブロンズ構造の折り紙モデル
タングステン・ブロンズ構造は、八面体が頂点を共有してできる板状構造（Slab）を板面に垂直な方向に積み重ねる（Stacking）ことによって形成され、立方晶タングステン・
ブロンズ（CTB; ペロブスカイト）、六方晶タングステン・ブロンズ（HTB）、正方晶タン
グステン・ブロンズ（TTB）の３種類の構造が知られている。（図１(a)-(c) 参照）
CTB、HTB、および、TTB には、それぞれ、四角形、三角形と六角形、三角形と四角形と五角形のトンネルが存在し、トンネル内の 正イオン（図１中では省略されている）が出入りすることによって、結晶内の電荷のバランスが保たれている。
CTB はペロブスカイト構造とも呼ばれ、強誘電体の結晶構造として 知られており、八面体の微小な回転（Tilting）と電気的物性との関連が注目されている。また、四角形のトン
ネル内の Li + イオンを電荷担体とするリチウムイオン電池は、工業的にも注目されている。
HTB と TTB の構造は、５つの八面体が作るクラスター（図２(a)と(b)）を基本構造として組み立てられている 。HTB の折り紙モデルは、一辺を R とする同一の正八面体のみで構築できるのに対し、TTB の折り紙モデルは、ℓ 1 ＝2R、ℓ 2 ＝ ∙R であることから、同一の正八面体では構築できないことが分かる。TTB の折り紙モデルを構築するには、ℓ 3 ＝ℓ 4とする必要があり、このため、TTB 構造は常に歪んだ八面体を含むことが示唆される。中央の八面体が歪む場合（図２(b)）を考えると、ℓ 3 ＝2ｒ、ℓ 4 ＝り紙モデルを制作するには、ℓ 3 ＝ℓ 4 として、
(a)であり、TTB の折とすれば良いことが分かる。

(b)

(c)

図１ タングステン・ブロンズ構造の折り紙モデル：(a) 立方晶タングステン・ブロ
ンズ（CTB; ぺロブスカイト），(b) 六方晶タングステン・ブロンズ（HTB），(c) 正方晶タングステン・ブロンズ（HTB）
(a)

(b)

R

R

r
ℓ4

ℓ2

ℓ3
ℓ1
図２ ５つの八面体のクラスタ—：(a) HTB の基本構造，(b) TTBの可能な１つの基本構造
３．おわりに結晶の折り紙モデル は、折り紙の色彩と造形美を生かし、 結晶構造の特徴である周期性を明確に表現するとともに、結晶物性を表現することもできることが示唆された。
参考文献[1] 例えば、笠原 邦彦，「折り紙 夢織り幾何学のすべて」，日貿出版，（1988）[2] Ishihara, S., ”SYNTHESIS, STRUCTURE AND PHYSICAL PROPERTIES OF SINGLECRYSTALLINE K 3 Fe 5 F 15 , A TETRAGONALTUNGSTEN BRONZE TYPE AND MIXEDVALENCY FLUORIDE”, thesis presented at Univer sity of Geneva, （1995）.

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第81回シンポジウム予稿

放散虫の収斂現象
松岡 篤
新潟大学理学部/形の科学研究センター、新潟市西区五十嵐 2 の町 8050
amatsuoka@geo.sc.niigata-u.ac.jp

Homeomorphy in Radiolaria
Atsushi MATSUOKA
Faculty of Science, Niigata University,Niigata 950-2181 Japan
Abstract: Homeomorphy refers phenomena that similar external forms appeared fromphylogenetically distant ancestors in an evolutionary context. Tree major forms,
spherical, discoidal, and rod-shaped, in radiolarian shellmorphology haverepeatedly appeared in fossil records from the Cambrian to Quaternary. This is atypical example of homeomorphy. Homeomorphy gives us good hints for elucidating
morphogenesis of radiolarian skeletons. As examples of homeomorphy at genus andspecies levels, Mesozoic closed Nassellarian Protunuma , Striatojaponocapsa , andTurbocapsula are introduced.
Keywords: homeomorphy, radiolaria, Mesozoic closed Nassellaria,skeletogenesis
はじめに生物に見られる収斂現象とは，系統的に離れた生物間で外見上似た形態をもつことをいう．魚類のサメ，絶滅爬虫類のイクチオザウルス（魚竜），哺乳類のイルカの外形がよく似ていることが，しばしば例としてあげられる．水中での高速遊泳を追求した結果として，似た体型になったと説明されている．放散虫は古生代カンブリア紀に出現し，現在の海域にも多様な殻をもつ生物として生息している．進化史の中で多様な殻形態をもつものが栄
枯盛衰を繰り返しながら発展しているが，異なる地質時代に反復して出現する殻形態がある．放散虫に見られる収斂現象とそれにまつわる話題を提供する．
放散虫の収斂現象
放散虫骨格の形態を通覧すると，３つの主要なタイプに区分される．それらは，球状，
平板状，および円柱状である．これら 3 つのタイプがどのように時代変遷を示すのかは 興
味深い問題であるが，この検討はこれからの課題である．収斂現象には，このような高次分類のレベルではなく，属・種の階層で認められる ものもある．具体的な例として，中生
代の closed Nassellaria を紹介する．

Protunuma 属は，ジュラ紀中世から新世に発展した放散虫で，殻表面に縦肋をもつことで特徴づけられる． Protunuma fusiformis Ichikawa and Yao は５殻室からなるが，部屋数を減少させて３殻室の子孫種 Protunuma turbo Matsuoka となる．なお，両種の中間にあたる４殻室の個体も知られているが種名は与えられていない．

Striatojaponocapsa 属も，ジュラ紀中世から新世に多産する closed Nassellaria の１属である．祖先の S. tegiminis Yao は４殻室からなるが，その子孫にあたる S. plicarum- 39 -

Yao は３殻室からなる．Striatojaponocapsa plicarum からは，S. synconexa O’Dogherty,
Gorican and Dumitrica, S. conexa Matsuoka, S. riri O’Dogherty, Gorican and Dumitricaなどの多様な子孫種を生み出している．

Turbocapsula 属は，白亜紀中頃に発展した closed Nassellaria の１属である．本属の最 初 期 の 種 は ４ 殻 室 か ら な る が ， そ の 直 接 の 子 孫 は ３ 殻 室 の Turbocapsula fugitiva
O’Dogherty である．本種からは，殻表面に強い縦肋をもつ Turbocapsula costata (Wu)が進化的に発展する．
以 上 に 示 し た ジ ュ ラ 紀 お よ び 白 亜 紀 の closed Nassellaria の 属 Protunuma,

Striatojaponocapsa, Turbocapsula は，お互いによく似た殻形態をもつ．このこと自体が収斂現象として捉えることができる．Protunuma と Striatojaponocapsa については，同じ
地質時代の中での収斂現象である．これに対して , Turbocapsula 属は前２者とは違った時
代に似た形態の種が出現しているといえる．興味深いことに，いずれの属の中でも時代が下るにしたがって，殻室の減少という共通する変化がみられることが指摘される．
おわりに収斂現象は，示準化石として古生物の形態を利用する際に，やっかいな問題をもたらすことになる．示準化石は，ある形態をもつ生物がある特定に時期のみに地球上に存在することを要請するが，収斂現象が生じればある特定の時期のみという 前提が成立しない．このことは，形態→年代という関係が一義的でなくなること を意味している．過去 40 年あまりの間に，放散虫研究が蓄積されてきた結果，時代を超えた形態の類似性・差異が検討できるようになった．2017 年 10 月には 23 年ぶりに日本で国際放散虫研究集会（InterRad 15）が開催されるので，放散虫の収斂現象についても，議論する場を設けたいと考えている．

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第81回シンポジウム予稿

お笑いフレームと対話の形
細川拓朗、松浦執東京学芸大学基礎自然科学講座
東京都小金井市貫井北町 4-1-1
shumats0@gmail.com

Comic Frame and Shapes of Dialogue.
Natsuki Takabe, Takumi Shigihara, Shu Matsuura
Tokyo Gakugei University, Faculty of Education
4-1-1 Nukuikita, Koganei, Tokyo 184-8501
Abstract: The comic frame was derived from the Manzai talk art and defined as t he seriesof Furi , Boke and Tsukkomi . The frame was applied to the presentation of dialogue
between humanoid and human in the school classrooms.
Keywords: Humanoid robot, Dialogue, Comic frame.

1. はじめに
近年、人間と言葉で対話できるヒューマノイドが、一般家庭の生活の場にも用いられるようになった。インターネットで情報検索できるヒューマノイドの場合では 、コンピ
ューターに代わる情報空間へのインタフェースになり得る。このインタフェース は、身振りや発色などを媒介として人間に対して表現し、人間の顔認識や音声パターン認識により人間の感情を推定することができるようになっている。 そうした表現およびセンシ
ングを通じて人間の感情とも関わることが可能である。 さらに、外部 web サイトからのテキストの取得にとどまらず、言葉による対話を組み合わせて、情報を対話の中に埋め込むことで、人間にあらたなインスピレーションを誘引する 可能性はないだろうか。
本研究では、Aldebaran 社のヒューマノイド・ロボット NAO を、トピックマップを用いて情報を構造化したオンライン学習システム“Everyday Physics on Web (EPW)”のイン
タフェースとして用いることを試みる。EPW から文字列情報を取得するときに、人間との相互作用として対話の構造を導入したい。本報告では特に、ヒューマノイド 1 体と教師および学習者で構成される教室での一斉授業のような状況を想定する。このもとで、教師とヒューマノイドの対話をデモンストレーションする場合に共通的に用いることのできる、対話の基本的な形態を検討する。
2. 原型的なお笑いフレーム
Hayashi ら[2005]はロボット同士の漫才を構築する上で、人がロボットの話を一方的に聴く場合を“passive”、ロボットと人の双方向対話を“interactive”、ロボット同士の対話を人が見る形態を“passive-social”と分類した。教師がロボットと対話する状況を 学 習 者 が 一 方 的 に 鑑 賞 す る 場 合 も こ の “ passive-social ” の 関 係 に 分 類 で き る 。
Interactive および passive-social の場合には、質問-解答、提案-反応の反復が可能であり、これらの組み合わせはロボットにプログラミングすることも容易である。
教師がロボットとの対話と学習者との対話を共に担うことによって、学習者と ロボッ- 41 -

トとの間接的対話も可能になる。シャーマニズムも同様に神と人の対話を実現する。この形式は“interactive-social”と表現しよう。Interactive-social では対話が１対１の当事者に閉じない。そして興味を引き起こし、問題を提起して共有する要素 が、学習者の対話への関わりを媒介する部分として必要になる。 この際に、教育の場での構成としては、体系的に定義づけられた科学概念の言葉を基軸にすることが望まれる。
一方、演示実験などのデモンストレーション を行なう場合も、同様な形態が成立している。教師が学習者の代表としてある問題設定のもとに演示実験やシミュレーション、計算などを試みる。結果として現れる事象が代表者である教師への現象側からの反応である。事物についての行動の結果予測と確認という形で行われる対話といえよう。
ここで、興味をひく対話を多数者で鑑賞する、漫才の形式を検討する。漫才の起源は、歌舞・音曲を神に奉納したり、それらにより貴人を楽しませたりするものであった。その後、猿楽のように物真似を取り込み能に発展するなど、様々な発展があったとみられる。しかし、現在の漫才のように複数人の対話と身振りだけの形態になったのは大正期であり、米国で行われていたダブル・アクトという性格の異なる２人のパートナーによる掛け合い方式を取り入れたことがもとになっていると言われる。漫才には共通的構造
としてフリ・ボケ・ツッコミがある。フリは話題や雰囲気、おもしろさの提案や示唆である。ボケはおもしろさの核心部分であり、ツッコミはこれに対して反応し印象的にする部分である。われわれはこの対話の展開の形を「お笑いフレーム」と呼ぶ。
桂[1993]はこのフリ・ボケ・ツッコミの構造に、「緊張の緩和」を中心とし、他に「変」「他人のちょっとした困り」「他人の忌み嫌うこと」を加えた４種類に大別される笑いの要素を導入することにより、お笑い芸が生まれると 論じた。矢島[2013]は笑いの両義性を指摘し、学校教育における笑いの活用において、教育者はこの両義性を理解した上で有効活用することを提案している。お笑いフレームの上にどのような内容を乗せるかにより、コミュニケーションのあり方に影響を及ぼす可能性があることを示唆する。
ここではお笑いフレームを文字通りお笑いに適用するのではなく、ヒューマノイド・ロボットを導入した interactive-social 型対話の基盤として用いた。フリとツッコミの部分を教師が行い、同時に対話を聴いている学習者と教師のインタラクションもこの部分で行なう。その上でロボットに対して、対話の核となるキーワードまたはキーフレー
ズを発話する。キーワードまたはフレーズを音声認識したロボットは、それについての返答を、EPW を検索して取得し、発生する。このロボットのパートがボケに相当する。
このボケの部分でもたらされる情報が、フリとツッコミで扱う内容の核となり、またそれを最終的解答とするのではなく、さらに意味の掘り下げや他の概念との関連、意外性の検討などをツッコミのパートで行なう。それがまた次のフリの元とする。
3. 結論
お笑いフレームの形を明確化することにより、ヒューマノイドとのinteractive-social な状況での対話をプログラミングする設計が得られた 。
参考文献[1] Hayashi, K. et al，IEEE-RAS Int’l. Conf. on Humanoid Robots, pp. 456—462 (2005).
[2] 桂枝雀, らくご DE 枝雀，筑摩書房 (1993).
[3] 矢島伸男，笑い学研究，20，pp.83-95（2013）．

- 42 -

第81回シンポジウム予稿

近世日本の立体図法―三浦梅園「玄語図」と松森胤保「動物系表」より―
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structural concepts in two dimensions by Baien's own projection method*1. In this study, the author investigatedother diagrams in the same period representing three dimensional structures. As a result, it is formulated ahypothesis that the diagrams drawn by Taneyasu Matumori (1825-1892) called as "Doubutsu-Keihyo" in "Ryou
Hakubutsu Zufu" represent three dimensional structure.

Then the new projection method was drawn from his

diagrams. These projection methods and the each properties are compared.
diagram, projection method, stereogram, the edo period, Japanese diagram

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近世（江戸時代）の日本では様々な図的表現が用いられていたが、中でも興味深いのは思想家が独自の思想を表すために描いた図的表現である。発表者はこれまでに三浦梅園(1723-1789)という思想家が表した「玄語図」と称する図(図1)を取り上げ、その図法について調査した。その結果、「玄語図」は立体的な概念構造を梅園独自の立体図法で描いたものであることを明らかにした。そこで本研究では、同時代の他の思想家らの図的表現において立体構造を表現しているものがあるか調査を行った。本論では、松森胤保(1825-1892)の『両羽博物図譜』に描かれた「動物系表」が立体構造を表していると仮説を立て、この図から抽出した立体図法について三浦梅園の立体図法、そして我々に馴染みのある透視投影図法と比較し考察する。

	 12「玄語図」の図形は、地球を取り巻く天地の立体的な運動現象がモデルとなっていることから、「玄語図」は立体的な概念構造を梅園独自の立体図法で表していると考えられる*1。すなわち、図3に示すように立方体モデル
を平面図で表し、これを「立体図法A」と称する。「玄語図」の中の一つである「宇宙転持図」を立体図法Aに基づいて立体イメージにシミュレーションした結果を図1に示す。
「動物系表」は主要な動植物類の関連を「鳥→人→獣・魚→虫→植物・貝→石→土」と上から下へ階層に分け、これらを中心として個々の種を関連付け、独自の動植物の系譜をまとめている。松森胤保の「動物系表」が立体構造を表しているかは仮説の域を出ないが、平面図に示された各種の配置関係を調査し立体配置に再構成を試みた。その結果、図2に示すような「立体図法B」が考えられ、3Dイメージにシミュレーションを試みた。

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3．立体図法の比較
梅園や松森らの図を分析することから、これまで我々が馴染みのある透視図法や斜投影などとは異なる立体図
法A,Bが考えられた(図3)。そこで、立体図法A、立体図法B、透視図法を比較し、各図法の特性を考察する。透視図法の場合、人間が目で見たままの形と同じであるから、平面図から立体構造がイメージしやすい図法である。
しかし、立体の前後の形の大きさが大小異なり歪みを生じてしまう。また、立体構造の側面から見た情報が図で表しにくい。立体図法Aの場合、立体物の前後の形が縦長、横長に変形するという歪みが生じるが、立体構造における上下・左右・前後の対称性の関係を表現しやすく、さらに、中心から四方八方に向けて放射状に広がる形も表現しやすい。立体図法Bの場合、立体構造の前後の形は左右対称に歪みを生ずるが、前後の形の特徴や大きさは均等に表すことができる。従って、左右・上下の対称性が表現しやすい。さらに、図の円環状に結ぶ線は立方体
モデルの8頂点を一筆書きで結ぶ均整のとれたルートを表すことになる。以上のように、近世日本の思想家らの図から抽出した立体図法は、透視図法のように人間が見たままの形を正確に描く図法ではなく、思想の基軸となる概念構造や概念同士の関係性を表しやすい形へ変換することを重視した図法といえる。

.

3*1 Ritsuko Izuhara: A Study on Baien's Diagram, "Gengo-zu", in Terms of Symmetry, Forma, 15, pp.163-172, 2000
本研究は、JSPS科研費25350031の助成を受けたものです。

- 44 -

第81回シンポジウム予稿

半正多胞体の 4 接超球半径を求める（パ―ト 1）
発表者氏名 ： 山口 陸幸
住所 ： 熊本市西区上代 1 丁目 3-28
e-mail アドレス ： polyhedral@osu.bbiq.jp

The calculation of 4 radii of semi-regular polytopes（part1）
発表者氏名 : Mutsuyuki Yamaguchi
所属機関名、Nishi-ku 1-3-28 Kumamoto,Kumamoto,Japan
Abstract:

四次元である 41 種類の半正多胞体について４接超球半径についてそれを記載した文献や資料が見つからない。そこで、六種類の正多胞体の 4 接超球半径を利用し、三次元図形である半正多面体の 3 接球半径を求めた手順に習い、求めてみた。
Keywords: Rgular polytopes,

Semi-regular polytopes,

Semi-regular polyhedra,

1.

radii of polyhedra,

Regular polyhedra,
radii of polytopes,

半正多胞体の図形における区分け
計算の便宜上、図形における区分けは次の三種類とした。
A． 正五胞体系
三次元図形では正四面体、及び、正四面体をベースに加工した図形
四次元図形では正五胞体、及び、正五胞体をベースに加工した図形
B． 白銀比系
三次元図形では正六面体と正八面体、及び、両者をベースに加工した図形
四次元図形では正八胞体、正十六胞体と正二十四胞体、及び、三者のいずれかをベースに加工した図形
C． 黄金比系
三次元図形では正十二面体と正二十面体、及び、両者をベースに加工した図形
四次元図形では正百二十胞体と正六百胞体、及び、両者のいずれかをベースに加工した図形

2. 加工の方法による 5 分類とした。
Ⅰ.切欠き加工

Ⅱ.中央きり加工

Ⅳ.二重切り加工

Ⅴ.捩じり切り加工

3. 双対多面体の構成面の頂角
4 接超球半径及び 3 接球半径の相互関係- 45 -

Ⅲ.面取り加工

4. 正多胞体の稜線長さと加工後の半正多胞体の稜線長さ
正多胞体を加工すると、半正多胞体の構成胞は半正多面体となる。
そして、稜線長さの変化は正多面体を加工して導いた半正多面体の稜線長さと一致する。
従って、稜線長さ比（正多面体の稜線長さ／加工後の稜線長さ）が計算できる。
このことによって、半正多胞体の内接超球半径を求めることが出来る。
5. 関係式より、4 接超球半径を求める。

＜ 参考文献 ＞『正多面体を解く』一松信著/東海大学出版会発行『Regular Polytopes』

H.S.M Coxeter 著/ Dover Publication, Inc.

『CG で知る相貫体』山口陸幸著/ 熊本日日新聞情報文化センター- 46 -

第81回シンポジウム予稿

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n = 10第81回シンポジウム予稿

ケプラーの円錐曲線論
ウェルフェア ジャスティン 飛鳥、山口 幸、杉本 剛
神奈川大学大学院工学研究科経営工学専攻 横浜市神奈川区六角橋３－２７－１
e-mail: r201570122xk@jindai.jp

Conics by Kepler
Justin Aska WELFARE , Sachi YAMAGUCHI, and Takeshi SUGIMOTO
Graduate School, Kanagawa University, 3-27-1 Rokkakubashi, Kanagawa Ward, Yokohama
Abstract: Johannes Kepler is a father of the modern astronomy. He is the first to introduce “focus” toconics. He utilizes the focus-vertex relation to define conics. He uses the technique of the eccentric to showthat an ellipse is a circle squeezed vertically. Using this idea he obtains the Kepler equation, and Kepler’s
three laws. Three mean distances of a planet are derived with respect to the true, eccentric and mean
anomalies. Geometry of the three distances is discussed.
Keywords: focus, Kepler’s equation, Kepler’s laws, the true anomaly, the eccentric anomaly, the mean
anomaly
１． はじめにヨハネス・ケプラーは近代天文学の祖のひとりであり、天体観測結果をデータ整理することによってケプラーの法則を見出した。1604 年に「光学」(1)で史上はじめて焦点（focus）を導入して円錐曲線論を展開した。ケプラーは 1609 年の「新天文学」(2)で、ケプラーの第一法則（楕円軌道の法則）およびケプラーの第二法則（面積速度の法則）について発表した。
「宇宙の調和」(3)でさらにケプラーの第三法則（調和の法則）について発表した。これらの法則をケプラーは楕円を離心円として扱うことで導いた。
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２． ふたつの円錐曲線論とその応用
２．１ 第 1 の円錐曲線論
ケプラーは「光学」で焦点を使った円錐曲線論を展開したが、そこには準線は出てこない。円錐曲線

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では二つの焦点と任意の頂点までの距離の和が一定という認識である（図 1）。たとえば楕円のばあい「AP+BP=一定」である。放物線、双曲線について

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は、無限遠点を介して距離の和が一定であると考える。
少し書き直すと、
放物線のばあい「CG+GI=一定」
Bとなり、双曲線のばあい「FQ−DQ=一定」となる。
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２．２ ケプラーの法則
ケプラーは、チコ・ブラーエの残した膨大な天体観測の結果をデータ整理して、はじめは火星の運動について、- 49 -

図 1：ケプラーの円錐曲線の遷移図(1)やがてはほかの惑星でも三法則が成り立つことを導いた。
ケプラーの第一法則（楕円軌道の法則）：惑星の軌道は太陽をひとつの焦点に置く楕円である。
ケプラーの第二法則（面積速度の法則）：惑星の面積速度は一定である。面積速度は、時間の尺度になる。
ケプラーの第三法則（調和の法則）：T を周期、a を長径とすると「T/a3/2=一定」が成り立つ。
２．３ 第 2 の円錐曲線論
ケプラーは、楕円は長径と同じ半径をもつ「同心円」を短径（b）方向に b/a 倍にした図形だと認識する。楕円軌
道にかかわる尺度として、近日点角が三種類ある。図 2に示すように太陽（焦点）を S、近日点を Q、惑星の現在位置を P とする。真近日点角とは、角 θ＝∠QSP をいう。
離心近日点角とは、角ε＝∠QCJ をいう。平均近日点角とは、扇形 QSP の無次元化された面積 M をいう。
面積 M は扇形 QCJ から⊿ICJ の面積を差し引いたの
ち b/a 倍し、さらに⊿SIP の面積を差し引くことで求められる。すなわち図 2：3 種類の近日点角

M=ε−esinε,
ここで e は離心率である。この式をケプラー方程式という。史上初めて導かれた超越方程式である。
それぞれの尺度で距離 SP の平均値<SP>i を求める
(i は t,e,m)。SP=<SP>i となる点を軌道上にプロットしたものが図 3 である。真近日点角θを用いると<SP>t=b となり、そこから下ろした垂線は SC を b:a に分ける。離心近日点角εを用いると<SP>e=a となり、C の真上にくる。
平均近日点角 M を用いると<SP>m=a(1+e2/2)となり、そ
こから下ろした垂線は CF（F は焦点）を二等分する。

図 3：3 種類の近日点角による距離 SP の平均値

３． むすびケプラーは２とおりの円錐曲線論をたて、光学や天文学に応用した。そして、ケプラーの方程式およびケプラーの法則を導いた。また著者らは、３つの近日点角による距離 SP の平均値<SP>iの幾何学的意味を考察した。
文献(1) William H. Donahue （2000）Johannes Kepler: Optics, Paralipomena to Witelo & Optical Part ofAstronomy, Green Lion Press, 459pp.
(2) 岸本良彦（2013）ヨハネス・ケプラー：新天文学, 工作舎, 688pp.
(3) 岸本良彦（2009）ヨハネス・ケプラー：宇宙の調和, 工作舎, 624pp.

- 50 -

第81回シンポジウム予稿

合同円柱の重なりからなる立体形状とその実体化
宮本圭佑 1、荒川久遠 2、手嶋吉法 1,2
1 千葉工業大学大学院工学研究科機械サイエンス専攻、2 千葉工業大学工学部機械サイエンス学科〒275-0016 千葉県習志野市津田沼 2-17-1

Symmetrically intersecting cylinders and their models
Keisuke MIYAMOTO、Kuon ARAKAWA and Yoshinori TESHIMA*
Chiba Institute of Technology, 2-17-1 Tsudanuma, Narashino, Chiba 275-0016, Japan*yoshinori.teshima@it-chiba.ac.jp

概要： 二つ以上の立体が重なる部分を「相貫体」と呼び、その中でも円柱同士の重なり部分を「円柱相貫体」という。本研究では、合同な円柱を対称性の高い方向に向け、円柱の中心軸が一点で交わる様に配置した際に生成される円柱相貫体の三次元形状データを生成し、実体模型を作製した。また、各円柱相貫体の表面積と体積を導出した。
Keywords: intersection of solid, intersecting cylinders,

１．はじめに二つ以上の立体が重なる部分を「相貫体」と呼び、その中でも合同な円柱の重なり部分から生成される形を「円柱相貫体」という。

図12 軸円柱相貫体(左)3DCAD データ,(中央)FDM 模

Moore らは、立方体の対称性を持つ円柱相貫体を調べた[1][2]。
本研究で筆者らは、合同な円柱を対称性の高い方向に向け、円柱の中心軸が一点で交わる様に配置した際に生成される相貫体を調査した。また、円柱相貫体の形状を実体化する方法として、3D プ

図23 軸円柱相貫体

図34 軸円柱相貫体

図46 軸円柱相貫体

リンタを用いた立体造形ならびに、金属材料の機械加工により模型を作製した。図 1～図 7 に円柱相貫体の CAD データ(各図の左) 、ナイロン粉末を使った粉末焼結造形法(SLS 法)による模型(各図の右)を示す。図 8 に金属材料で作製した円柱相貫体模型を示す。
２．円柱相貫体形状データ作成方法
以下の手順で作成した。(1)円柱の軸数及び、中心軸の方向ベクトルを決定、(2)3 次元 CAD の集合演算により、それら円柱の共通部分の形状データを生成する。
上記の方法で円柱相貫体の形状データ 7 種類を作成した。円柱相
貫体を対称性の高い方向に配置する際に、正多面体形状を基にした。

(正 12 面体の面中心)形状データの作成には 3DCAD(Autodesk Inventor)を用いた。
また形状データを作成する際、CAD の集合演算による交線計算の失敗により、円柱相貫体の頂点周りに形状誤差が生じないか調査した。図 9 に 15 軸円柱相貫体の頂点周りの拡大図を示す。10 本の稜が 1 点で交わっていることから、幾何計算が正確に実行されてい図5ると考えた。

(正 6 面体の稜中心)- 51 -

6 軸円柱相貫体

３．表面積・体積の導出
作成した形状データをもとに、円柱相貫体の表面積や体積について計算を行った。導出にあたり基本的な切断円柱の側面である sin
カーブ(図 10)から積分を行い表面積、更に積分を行うことで体積を

図6

10 軸円柱相貫体

図715 軸円柱相貫体

導出することにより、解析解を得ることができた。表 1 に２軸から６軸までの表面積・体積を示す。
４． 円柱相貫体立体模型の作製
作成した円柱相貫体形状データを 3D プリンタにより実体化する。
熱溶解積層法（FDM 法）の立体模型を 7 種類、ナイロン粉末を使った粉末焼結法の立体模型を 7 種類作製した。
また、３軸円柱相貫体金属材料を用いた円柱相貫体立体模型の作製を行った。円柱相貫体の形状を機械加工で作製するのは困難であり、本研究では、アルミ材を用いて、ワイヤカット放電加工により、
3 軸円柱相貫体模型を半分に分けて作製した。

図 8 アルミ材モデル(3 軸円柱相貫体)

５． まとめ
円柱相貫体の表面積体積を解析的に導出した。また、それらをCAD 上での数値情報と比較し、確認をおこなった。
3D プリンタを使った立体模型の作製においては、円柱相貫体 7

図9

種類について、FDM 法とナイロン粉末による粉末焼結法により、15 軸円柱相貫体

頂点周りの拡大図

合計 14 個の立体模型を作製した。ぞれぞれの立体模型を観察した
ところ、FDM 法と粉末焼結法のいずれにおいても相貫体の軸数が増えたときに稜線が不明瞭になることが問題点として挙げられる。

図 10 切断円柱に現れる
sin カーブ
表 1 表面積および体積
表面積

体積

2 軸円柱相貫体

16𝑟 23 軸円柱相貫体24(2 − √2)𝑟 2

4 軸円柱相貫体36(2√2 − √6)𝑟 2

6 軸円柱相貫体（A）

16(3 + 2√3 − 4√2)𝑟 2

6 軸円柱相貫体（B）

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8(2 − √2)𝑟 3(4.69)

12(2√2 − √6)𝑟 3(4.55)

16(3 + 2√3 − 4√2)𝑟 3
3
10√5 (4 − √10 + 2√5) 𝑟 3(4.31)(4.38)

括弧内の数値はｒ＝1 としたときの値
参考文献[1] M. Moore, Symmetrical Intersections of Right Circular Cylinders, Math. Gazette (1974) 58, 181-185.
[2] I. O. Angell and M. Moore, Symmetrical intersections of cylinders, Acta Cryst. (1987) A43, 244-250.

- 52 -

第81回シンポジウム予稿

球状テンセグリティ構造の幾何学特性
浅尾祐樹、手嶋吉法
千葉工業大学工学部機械サイエンス学科、〒275-0016 千葉県習志野市津田沼 2-17-1

Geometrical properties of spherical tensegrity
Yuki ASAO and Yoshinori TESHIMA*
Chiba Institute of Technology, 2-17-1 Tsudanuma, Narashino, Chiba 275-0016, Japan*yoshinori.teshima@it-chiba.ac.jp
概要:

多面体と対応付けられる対称性の高いテンセグリティ構造について、幾何学的な観点から調査をおこない、球状

テンセグリティ構造が双対関係にある２つの多面体の中間状態として理解できることを明らかにした。また、球状テンセ
グリティの連続変形の仕方が２通りあることに着目し、これらを正と負の構造として区別した。自己双対である正４面体に基づく球状テンセグリティには正負の区別は生じない。応用に適した球状テンセグリティについても言及した。

Keywords: tensegrity, polyhedral tensegrity, spherical tensegrity, duality

1. はじめに
テンセグリティ(Tensegrity：Tensional Integrity を短縮した造語)構造は、
互いに接触しない圧縮材と引張材で構成される構造である[1]。本研究では、
テンセグリティで作られた構造物と多面体との関係性を調べ、幾何学的な観点
からテンセグリティの特徴を明らかにする。
2. 球状テンセグリティの幾何学的性質

図１ 圧縮材 6 本、引張材 24 本で図 1～図 3 のテンセグリティは多面体と対応づけることが出来、球状テンセグ構成された球状テンセグリティ

リティと呼ぶ[2]。球状テンセグリティは、双対関係にある２つの多面体の間（正 4 面体ベース）の中間状態として理解できる。多面体から球状テンセグリティへと連続的に変化させるにあたって、様々な性質が生じる。テンセグリティとして構造が保持されると、その表面には引張材で構成された三角形、四角形、五角形のいずれかの面が表れる。この面は力に回転方向が備わっており左回転、右回転の同じ力が球状テンセグリティに生じる。その力が球状テンセグリティ全体に均一に働くことによって、形状が維持される。 図 4 は図 1 の球状テンセグリティと同型である。例えば図 4 の場合、球状テンセグリティの表面には、左回転で三図 2 圧縮材 12 本、引張材 48 本で角形が４箇所、右回転で三角形が４箇所あることが確認できる。左・右回転そ構成された球状テンセグリティ

れぞれに使用される引張材は１２本あり、力の回転方向は全体としては均一に働いていることが（正 6・8 面体ベース）

確認できる。

また、このように表面に表れる形はベースとなる多面体の頂点及び面の要素から変化した形として理解できる。例えば正６面体の場合、一つの頂点に集まる稜は 3 つで、面を構成する稜は４つであるため、正６面体から出来る球状テ
ンセグリティの表面には三角形と四角形の２種が必ず表れる。
多くの場合、球状テンセグリティはそれ自体に正と負の構造が存在する。この正負は、基の多面体から圧縮材を移動させる方向が２種あることに対応する。

図 3 圧縮材 30 本、引張材 120 本で図 5 のように正６面体から圧縮材を移動させ正８面体に形状を変化させる場合、構成された球状テンセグリティ- 53 -（正 12・20 面体ベース）

圧縮材を右回転か左回転のどちらかに移動させることが出来、 この場合それぞれで出来る球状テンセグリティは鏡映対称の関係を持つ。ただし、正 4 面体の場合は、自己双対であるためテンセグリティに正と負の区別が生じない（図6）。

図 4 正４面体ベースの球状テンセ
図 5 正６面体から正８面体へ変化させる際にグリティの表面に引張材により構成

球状テンセグリティの表面に構成される力の回転方向の関係

される３角形の力の回転方向の関係

図 6 正 4 面体から正 4 面体へ変化させる際に球状テンセグリティの表面に構成される力の回転方向の関係

3.

球状テンセグリティの応用について

将来、球状テンセグリティをロボット等に応用していく際、正多面体ベースの球状テンセグリティ３種の中でどれが最も有用かを以下考察する。まず、球状
テンセグリティを動かすためには、引張材自体のテンションを変化させる、もしくは圧縮材と引張材の接続部を動かし球状テンセグリティのバランスを変化させる方法が考えられる。前者の場合、引張材のテンションを変化させる機構を全体に組み込む必要があるため、引張材が少ないほど単純かつコストの削図 7 正 8 面体から正 6 面体へのテンセグリ
ティの安定性の変化

減が出来るため、圧縮材６本の球状テンセグリティが有用であると考えられる。
後者の場合、圧縮材と引張材の関係が変化する間もテンセグリティ構造が安定することが大切であるため、図 7 のように双対関係にある２つの多面体の中間状態の場所によって安定性が大きく異なってしまうものは不適と考えられる。
よって図 7 のようにどの状態でも安定性が高く、構造が正負の区別を持たず、常に立体トラスの構造を保ち続ける圧縮材６本の球状テンセグリティが有用であると考えられる。これらの事より、テンセグリティをロボットに応用する
場合、圧縮材６本の球状テンセグリティが最も適していると考えられる。
4.

まとめ多面体から球状テンセグリティに変化することによって様々な幾何学的性質が表れることを確認した。また、球状テンセグリティの中では正四面体ベースの６本圧縮材の球状テンセグリティが最も安定しており、応用されやすいと考
えられる。
参考文献
[1]バックミンスター・フラー、コズモグラフィー(2007)、pp.278-291[2]バックミンスター・フラー、宇宙エコロジー(2004)、pp.178-197- 54 -

図 8 正 4 面体から正 4 面体へのテンセグリ
ティの安定性の変化第81回シンポジウム予稿

分子が認識する分子のかたち～量子化学情報で深層学習するために
後藤仁志 1,2* ，加藤凱生 1 ，濱田信次 212

豊橋技術科学大学大学院工学研究科 情報・知能工学系

豊橋技術科学大学次世代シミュレーション技術者教育推進室
豊橋市天伯町雲雀ヶ丘 1-1
gotoh@tut.jp

Molecular shape recognized by molecule – Approach to deep learning
using quantum chemical information
Hitoshi Goto 1,2*, Yoshiki Kato 1 , Shinji Hamada 2
1 Information and Computer Science, Toyohashi University of Technology,
2 Promotion Office for Educational Program of Advanced Simulation Engineering,

Toyohashi University of Technology,
1-1 Hibarigaoka, Tempaku-cho, Toyohashi, 441-8580, Japan
Abstract: Molecular shape recognized by a molecule plays an important role on the quantitative
structure-activity relationships. It is interesting to note that deep learning methods for QSAR can
implicitly recognized molecular shapes. Our recent works on a deep learning approach including
3D molecular structures and electronic states are introduced here.
Keywords: Molecular Recognition, Deep Neural Network, Big Data, 3-Dimensional Quantitative
Structure-Activity Relationship１．はじめに化学，薬学，生物学など分子を扱う科学分野では，ある分子が別の分子を認識するというような表現をすることがある。この「分子が認識する」とは， ある分子のかたちに沿ってもう一方の分子のかたちがつくられ，この二つの分子間に比較的強い引力相互作用が生じることを意味する。カギと鍵穴，鋳物と鋳型の関係でしばしば説明されるが，実際には
もっと柔らかなものであって人の触覚に近い感覚であると個人的には理解している。それを「認識」と表現することは，詠み人知らずではあるが，言い得て妙である。
一方，巷では「人工知能」が流行っている。歴史的には 3 回目のパンデミックらしいが，
汎用 GPU が媒介して「ビッグデータ」と機械学習が組み合わさったことが原因とされている。特に，脳構を模したニューラルネットワーク（NN: Neural Network）と呼ばれる機械

学習の中でも，大規模で多層化されたニューロン網を配した「深層学習（Deep Learning）」
が，これからの「人工知能」を牽引していくことは疑いない。
人工知能が分子科学分野において強く意識されるようになった切欠は，おそらく，メルク社が主催した活性予測コンテストにおいて[1,2]，トロント大 Dhal 等が深層学習を用いた手法[2]で最も良い成績を収めたことにあるだろう。以前から定量的構

活性相関（QSAR）の研究分野では，NN やランダムフォレスト（RF: Random Forest）などの機械学習法が採用されてきたが，これまでの技術的な積み上げを深層学習は短期間のうちに超えてしまったことに驚かされた。

- 55 -

２．簡単に試せる深層学習による活性予測
現在，オープンソースの深層学習エンジンはいろい
ろあり，誰もが深層学習を使ったチャレンジが可能である。このコンテストでは訓練用と評価用の候補化合物セット（各分子の Finger Print と活性値）が提供されていたことから[1]，その一部（15 種類の標的タンパク
質の中の 1 つ）を使って活性予測を試みた。エンジン

Fig. 1 Changes of activation function
during AdmGrad optimization

として Chainer[3]を利用した。多くの学習パラメータは Dhal 等の設定に従い，ニューロンの活性化関数と誤差逆伝搬法アルゴリズムの組み合わせを最適化したところ，前者は Sigmoid 関数，後者は AdaGrad 法[4]が良い結果を示し，その時の予測精度は平均誤差 0.1662 ま
やかに収束した（Fig. 1）。また，一回の学習にかでかった時間は数十分から数時間程度であった。
３．分子のかたちを暗黙的に認識する深層学習
現在の活性予測の方法は 3 次元 QSAR（3D-QSAR）と呼ばれ，候補化合物と標的タンパク質の複合体構を推定し，両者の結合親和力（Affinity）を評価する。

Fig. 2 イ ン フ ル エ ン ザ タ ン パ ク 質 の窪みに収まるタミフル分子

この時，高精度な量子化学計算で評価することが理想とされている。つまり，候補化合物
が標的タンパク質を認識している（あるいはその逆）時の配置（例えば Fig. 2）を正確かつ適切に再現することが望ましいが難しい。ところが，前述の活性予測では驚くべきことに，入力データに標的タンパク質の立体構

情報は無く，標的に対する候補化合物の活性値しか与えられていない。これが深層学習の最大の特徴である。活性機構の本質は候補化
合物と標的タンパク質の三次元的相互認識にあるにもかかわらず，深層学習は候補化合物の化学構情報だけから，タンパク質の形状を暗に認識できていると言えるだろう。

４．量子化学情報をどう取り込むか
我々の興味は候補化合物と標的タンパク質の間の親和力をどれだけ精密に評価するかにある。そして，立体構と電子状態を含む量子化学情報を深層学習に与えれば，予測精度がさらに向上すると考えるのは当然である。どのように取り込めばよいのか。これは大きなブレイクスルーが期待される重大な課題である。最近，機能性材料の物性を人工知能で予測しようという取り組み[5,6]にも注目が集まっており，そのことを含めて考察する。
５．参考文献[1] "Merck Molecular Activity Challenge", 2012. https://www.kaggle.com/c/MerckActivity[2] J. Ma, et al., "Deep Neural Nets as a Method for Quantitative Structure-Activity Relationships",
J. Chem. Inf. Model. 2015, 55, 263−274.
[3]“Chainer:A flexible

frameworkofneuralnetworks”,

Preferred

Networks,inc.,

http://chainer.org/[4] J. Duchi, E. Hazan, Y. Singer, “Adaptive Subgradient Methods for Online Learning andStochastic Optimization”, J. Machin Learning Res. 2011, 12, 2121-2159.
[5] “Materials Genome Initiative”, 2011. https://www.mgi.gov/[6] “情報統合型物質・材料開発イニシアティブ”, 2015. http://www.nims.go.jp/MII-I/- 56 -