木材工学論文報告集19, 66-71, 2021. 2

ボルト継手を用いた木トラス橋の架設時に生じる変位の検討
下妻

達也 1・渡辺 浩 2・松田

敏輝 3・大隣

昭作 4

1 正会員

福岡大学助教工学部社会デザイン工学科（〒814-0180 福岡県福岡市城南区七隈 8-19-1）
E-mail: shimozuma@fukuoka-u.ac.jp

2 正会員

福岡大学教授

工学部社会デザイン工学科（〒814-0180 福岡県福岡市城南区七隈 8-19-1）
E-mail: mag@fukuoka-u.ac.jp

3 非会員

4 正会員

株式会社名村造船所 鉄構事業部（〒848-0121 佐賀県伊万里市黒川町塩屋 5 番地 1）
E-mail: Toshiki__Matsuda@namura.co.jp

福岡大学助手工学部社会デザイン工学科（〒814-0180 福岡県福岡市城南区七隈 8-19-1）
E-mail: ohtonari@fukuoka-u.ac.jp

木橋は完成時に過度な変位が生じていると使用性において大きな問題となるため，設計段階で変位の計算が行われる．継手部にボルトを用いる木橋において変位に影響を及ぼす要因は，自重による部材変形に加えて継手部の構造により生じるものが挙げられるが，ボルト継手部の構造により生じる変位は現状手探りの状態で設計が行われている．既設の木橋の場合経験的に変位の計算が行われているが，完成時に設計で想定した変位とずれが生じた木橋も存在するため，継手部の構造により生じる変位の計算手法の確立は急務の課題である．本研究ではボルト継手を用いた木トラス橋を対象とし，架設時に変位を生じる要因を自重による部材変形，ボルト孔の遊び，母材へのボルトのめりこみに分け，各要因に対する変位計算方法を検討する．

Key Words: timber truss bridge, bolted joint, displacement, bolt embedding, calculation formula

1. はじめにか検討を行った事例は存在する 2),3)．しかし，一つの木構造物について継手部に変位を生じる要因を整理し，各要

我が国では古来，木材を使った橋梁が数多く架設され因について系統的に検討を行った事例は無く，多くは一てきたが，戦後の急激なモータリゼーションの結果，耐つの要因に着目した供試体による実験やボルト孔やボル久性や経済性に優れる鋼橋やコンクリート橋が増加し現トの局部的な解析を行った事例である．既設の木橋の場

在でも主流となっている．しかし，近年集成材の製造技合架設時の変位は経験的に考慮されているものの，完成術や防腐処理技術の向上，金属製継手の開発，景観や自時に設計で想定した変位とずれが生じた木橋も存在する．

然との調和が求められていること等を背景として木橋を故に，架設時に生じる変位が分かれば設計時に想定すべはじめとする木構造物の建設が以前より増加している 1)． き変位を逆算することも可能となり，完成時に生じるず木橋は完成時に過度な変位が生じていると使用性におれの抑制を期待できる．

いて大きな問題となるため，架設時のベントを外した時そこで本研究では継手部にボルトを用いた木トラス橋に所定の形状となるよう，設計段階で変位の計算が行わを対象とし，架設時に生じる変位の影響を検討することれる．継手部にボルトを用いる木橋架設時において変位を目的とする．具体的には継手部の構造による変位につに影響を及ぼす要因は自重による部材変形と継手部の構いてその発生要因を整理し，各要因に対する変位の計算造により生じるものが挙げられる．この内，設計において自重による部材変形により生じる変位は考慮されてい方法を検討する．また，検討した計算方法を用いて木トラス橋 3 橋を例に架設時に生じる変位を算出し，各要因るが，ボルト継手部の構造により生じる変位は手探りのの変位への影響の大きさを調べる．さらに，1 つの木ト状態で計算が行われている．また，木構造のボルト継手ラス橋について解析により変位を算出し，検討した計算部の変位に関する研究について，実験，解析的にいくつ方法の妥当性を検証する．

66

木材工学論文報告集19, 66-71, 2021. 2

2. 木橋ボルト継手部に起因する変位

鋼板

ボルト

木部材と鋼板のボルト孔位置は同じ

ボルト継手を用いた木橋の場合，木部材へボルト径よりも 1〜2(mm)大きな孔をあけ 4)，鋼板を介してボルトで木部材固定する方法がよく用いられる(図-1(a))．鋼橋の高力ボ
ルト摩擦接合と異なりボルトに強い張力を生じないため(a)ベント撤去前

木部材へのナットのめりこみを防止でき，また，クリー

鋼板

プ変形によるゆるみの影響を受けない利点がある．一方

ボルト孔径-ボルト径=1〜2mmボルト

軸力でボルト孔とボルトの間に遊びがあるため継手部を完全ボルトが接触してめりこむに固定できず動きを生じる．また，架設時のベントを外し，ボルトに木部材の軸力による荷重が作用することで軸力ボルト孔側面へのボルトのめりこみが発生し，これも変位を生じる原因となる(図-1(b))．

木部材

軸力

ボルト径＜ボルト孔径のため，動きを生じる(b)ベント撤去後

以上のように木橋継手部をボルトで固定する場合，自図-1 ボルト継手部の動き重による部材変形に加えてボルト孔の遊び，母材へのボルトのめりこみが最終的な変位を決定する要因になると木部材考えられ，変位の計算にはこれら複数の要因について系

木部材回転は考慮しない軸力

ボルト孔φh

統的な検討が必要となる．なお，木質構造設計規準・同解説 5)によるとボルトを用いる場合の木部材の継手方法

ボルトφb
鋼板にはいくつか種類があるが，本研究では木部材を両側から鋼板で挟み込む二面せん断鋼板側材形式を対象とする．

δmθ(a)ベント撤去前

3. 変位計算方法の検討(b)ベント撤去後

図-2 ボルトが部材軸方向に動いたときの変位

本章では前章で挙げた架設時に変位を生じる各要因に格点部鋼板ついて変位の計算方法を検討する．木トラス橋架設時に生じる変位 は次式より計算できると考えられる．
(1)  d  m  b(2)支点側ボルトを軸に鋼板が回転(1)支点側ボルトと鋼板が接触

ここで，  d は部材変形による変位， m はボルト孔の遊びによる変位， b はボルト孔側面へのめりこみによる変位であり，これらの総和が架設時に生じる変位となる．
自重による部材変形を要因とする変位  d はトラス部(3)ボルト孔径とボルト径の差だけ変位を生じる

材，格点部鋼板，床版重量等の死荷重を考慮して算出す

支点支点る．めりこみによる変位算出のため，同時に各部材に生図-3 格点部鋼板の回転による変位じる軸力も算出しておく．
ボルト孔の遊びによる変位 m は，部材に生じる軸力の影響から木部材に回転を生じる可能性があるが，一般によりボルトが部材軸方向に動いたときの変位  m 1 と，的な木トラス橋の場合，継手部の長さよりも部材長が十格点部鋼板の回転による変位 m 2 の合計として算出する． 分に長いため，部材の回転の影響は微小と考え無視した．
ボルトが部材軸方向に動いたときの変位は，図-2 に示すようにボルト孔径h とボルト径b の差だけ部材軸方向

格点部鋼板の回転による変位は，支点部以外の格点部鋼板は図-3 に示すように支点側のボルトを軸として，ボルた値として算出される．

ト孔径とボルト径の差だけ回転を生じると考えられる．
従って，格点部鋼板 1 箇所当りに生じる変位はボルト孔へ変位を生じるため，これに部材の傾斜角度 を考慮し

 m1  h  b   sin 

径とボルト径の差で表される．

(2)

 m 2  h  b(2)式は 1 継手当りの変位であり，全体の変位を算出する(3)

際には変位に影響を及ぼす継手数を乗じる必要がある．

ボルト孔側面へのめりこみによる変位  b は面圧定数

詳細は次章にて説明する．また，実際にはh とb の差より(4)式を用いて算出する．めりこみの方向は軸力の作

67木材工学論文報告集19, 66-71, 2021. 2用方向，すなわち部材軸方向を想定しているため，トラ上側鋼板

上弦材

ス部材の角度を考慮している．ここで，P ：軸力(N)，K c：面圧定数(N/mm3)， A ：ボルトの接触面積(mm2)， n：1 継手当りのボルト本数である．

 b  P / K c  A  n  sin 

床版荷重
床版荷重
下側支点部
294(N)
147(N)
60°
鋼板(4)(4)式は 1 継手当りの変位であるため，全体の変位を算2×2500=5000出する際には  m 1 同様に継手数を乗じる必要がある．

床版荷重
147(N)
下弦材

下側中央鋼板(変位算出点)(a)側面図上弦材

4. 木トラス橋架設時の変位計算

格点部
鋼板荷重
492(N)

本章では 2 連ワーレントラスの歩道橋を例に，前章で継手
2-M16ボルトボルト孔φ18

検討した計算方法により架設時に生じる変位を算出する．
格点部
鋼板荷重329(N)また，解析により結果の妥当性を検証する．
(1) 架設時の変位計算
図-4 に示す 2 連ワーレントラスの木歩道橋を例に変位継手
2-M16ボルト
ボルト孔φ18
下弦材

下側支点部鋼板の算出過程を説明する．木部材断面寸法(110×110 (mm))
およびボルト継手部構造(ボルト径 16(mm)，ボルト本数

格点部
鋼板荷重654(N)継手
2-M16ボルト
ボルト孔φ18
下弦材
変位算出点

下弦材
下側中央鋼板(b)格点部詳細図

図-4 2 連ワーレントラスの木歩道橋

2 本，ボルト孔径 18(mm))は，国土交通省 6)の最小ボルト
故に，ボルトが部材軸方向に動いたときの変位は  m 1=1.73×4=6.92(mm)となる．格点部鋼板の回転による変位径の規定および木質構造設計規準・同解説 5)に規定されるボルトの縁端距離の規定から決定した．いずれも死荷重(木部材，格点部鋼板，床版)と道路橋示方書の群衆荷重

 m 2 は，回転を生じるのは上側鋼板のみであるため， m 27)=18-16=2.00(mm)となる．

より行った概略設計を満足することを確認している．

ボルト孔側面へのめりこみによる変位は(4)式より算

使用材料は木部材をスギ集成材(E65-F255)，ボルトと格点部鋼板を SS400 とした．また，変位の算出はトラス下出する．面圧定数は木質構造接合部設計マニュアル 9)を参考に木材の繊維方向のヤング係数から計算を行った値
31.6(N/mm3)を用いた．変位計算に使用する軸力は部材変弦材で最大変位を生じる下側中央鋼板位置とした．
自重による部材変形を要因とする変位は平面トラスとして算出した．スギ集成材の単位重量は 3.24(kN/m3)とし，トラス格点部において部材同士の結合は剛結として形による変位計算時に算出した軸力を用いた．ボルトの接触面積はボルト全幅が接触すると仮定した．結果，1 継計算した．計算の結果，下側中央鋼板位置における鉛直変位は  d =0.04(mm)であった．また，部材に生じる軸力

手当りのめりこみによる変位は，
外側斜材：555/(31.6×110×16×2)×sin60=0.004(mm)は外側斜材 555(N)，内側斜材 361(N)であった．

内側斜材：361/(31.6×110×16×2)×sin60=0.003(mm)となる．故に b =2×0.004+2×0.003=0.01(mm)がめりこ8)

次に，ボルト孔の遊びによる変位を算出する．ボルトが部材軸方向に動いたときの変位  m 1 は，ボルト孔径が18(mm)，ボルト径が 16(mm)より，1 継手当りの変位は(2)みによる変位の合計となる．
以上の結果より，図-4 のトラス橋架設時の下側中央鋼板に生じる変位は =0.04+8.92+0.01=8.97(mm)となる．

式より(18-16)×sin60°=1.73(mm)となる．ここで，変位に影響を及ぼす継手について考える．現在着目している下側中央鋼板には下弦材と内側斜材が接続されている．内側(2) 解析による変位の算出

斜材は下側中央鋼板が下方へ落下するのを防いでおり，外側斜材には上側鋼板を介して内側斜材からの力が伝達

前節で算出した変位の妥当性を検証するため，図-4 の2 連ワーレントラス橋を忠実に再現した解析モデルを作される．従って，変位に影響を及ぼす継手は内側斜材および外側斜材上下端の計 4 か所であり，これに 1 継手当成し，変位を算出する．
a) 解析条件りの変位を乗じればボルト孔の遊びによる変位を算出で図-5 に解析モデル，表-1 に入力した材料定数 4),8)を示きると考えた．上下弦材については水平材であり，部材す．部材は木部材，格点部鋼板，ボルトを全てソリッド要素でモデル化し，木部材をスギ集成材(E65-F255)，ボルトと格点部鋼板を SS400 とした．なお，本橋の部材，荷やボルトの鉛直方向への移動には大きく影響しないと考えられるため，変位に影響を及ぼす継手から除外した．

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木材工学論文報告集19, 66-71, 2021. 2に生じると考えられること，また，計算負荷軽減のための各継手のボルトの移動方向詳細を図-6 に示す．図より，A，D 部の継手はトラス部材の軸方向とボルトの移動方橋の片側のみモデル化を行った．拘束条件は支点位置の向がほぼ一致している．上側鋼板の動きを見ると，3 章

鋼板下面位置を単純支持とし，上弦材右端および下側中図-3 で想定した通り時計回りの回転を生じていた．B，C，E 部の上側鋼板との継手はトラス部材の軸方向とボ重，拘束条件は完全に左右対称であり，変位も左右対称

央鋼板の右側は水平方向のみ拘束とした．加えて全部材の Z 軸方向の変位も拘束している．荷重は重力加速度をルトの移動方向にずれが見られるが，上側鋼板の回転の影響と考えられる．F 部の継手はボルトが真下に落下し鉛直下向きに作用し，全ての部材を自由落下させ，停止ているが，上側鋼板と異なり下側中央鋼板には回転を生じないためと考えられる．以上の結果より，概ね 3 章にしたときの各部材の変位を求めた．解析モデルの初期状態として，木部材と格点部鋼板のボルト孔は完全に一致て想定した通りに部材は移動しているが，上側鋼板の回した状態とし，ボルトはボルト孔の中心にあるものとした．木部材と格点部鋼板は 1(mm)の隙間をあけている．

転の影響については注意が必要である．
c) 各継手部に生じた変位の解析結果

木部材と格点部鋼板，ボルト同士の摩擦は考慮していなが接続されておらず，各部材の落下を扱うことから極め各継手部に生じた変位について考察する．変位解析結果を図-7 に示す．図中のコンターは鉛直下方向の変位をて非線形性の強い解析となる．そこで，落下や衝突とい示しており，暖色の箇所ほど生じた変位が大きい．
また，った非線形性の強い問題を扱える，汎用有限要素法ソフ
トウェア ANSYS の陽解法動解析システムを用いた．

木部材と格点部鋼板の継手部には生じた変位の値を示しており，(赤字)で記載されている数値は 4 章(1)の変位計b) 部材の移動方向算結果から部位ごとの変位を示したものである(以下，検い．なお，本解析は木部材，格点部鋼板，ボルトの要素

はじめに，部材の移動方向が 3 章で検討した通りにな討式による変位と呼ぶ)．下側支点部鋼板と外側斜材の継っているか確認する．各部材を自由落下させ停止した時

図-6 各継手部のボルトの移動方向

図-5 解析モデル
表-1 材料定数
スギ集成材(繊維方向)

鋼材(SS400)

密度kN/m 33.2477.0

ヤング係数
ポアソン比

N/mm 26500

2000000.40.3図-7 変位解析結果

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木材工学論文報告集19, 66-71, 2021. 2

手には解析では 1.85(mm)の変位を生じた．検討式による変位の計算結果ではトラス部材軸方向への部材の移動とめりこみによって 1.73(mm)の変位を生じると計算した

30°:変位計算位置

2×2500=5000

が，概ね近い値が得られている．上側鋼板と外側斜材の継手には解析では 3.23(mm)の変位を生じているが，検討式による変位の計算結果は 3.50(mm)と若干小さい値とキングポストトラス

60°なっている．これは上側鋼板に図-6 に示すような時計回りの回転を生じたことで，外側斜材に下側支点部鋼板の4×2500=10000継手部を軸とする反時計回りの回転が生じ，外側斜材の4連ワーレントラス上端側継手部が上方に移動したことが原因と考えられる．
一方，上側鋼板と内側斜材の継手には解析では 7.51(mm)図-8 計算対象の木トラス橋の変位を生じているが，検討式による変位の計算結果は7.23(mm)と若干大きくなった．内側斜材も外側斜材同様

表-2 変位計算結果
変位(mm,(ボルト孔遊びに上側鋼板の回転に合わせて若干の回転を生じたと考え)は総変位に対する割合%を示す)
めりこみ

自重

合計

られるが，外側斜材の継手部が上方に移動した分，上側2連ﾜｰﾚﾝ

8.92 (99.4) 0.01 (0.1) 0.04 (0.4)

ｷﾝｸﾞﾎﾟｽﾄ

10.00 (98.6) 0.03 (0.3) 0.11 (1.1) 10.14

8.97

鋼板が時計回りに回転し，内側斜材との継手部に生じる4連ﾜｰﾚﾝ

17.86 (98.5) 0.04 (0.2) 0.23 (1.3) 18.13

変位がその分大きくなったと考えられる．変位算出点である下側中央鋼板の変位は，解析が 10.39(mm)に対し検ントラスの結果も併せて示している．各要因に対する変討式による変位の計算結果は 8.97(mm)であり，両者の差は 1(mm)程度であった．要因として上側鋼板および斜材位と変位の合計に対する割合を示しているが，いずれの結果もボルト孔の遊びによる変位が99%程度と高い値との回転の影響が挙げられるが，概ね近い結果が得られた．
d) ボルト孔側面に生じためりこみ変位の解析結果なった．変位に影響を及ぼす継手数は着目点が格点部鋼板位置の場合，「支点〜着目点までの斜材・鉛直材の数×2」ボルトの木部材ボルト孔側面へのめりこみ変位についで算出できるが，径間数が多いほど，また，継手数が多て考察する．めりこみ変位の算出箇所は下側鋼板の継手部(図-6，A，D 部)の 2 か所とし，解析の初期状態と部材いほど生じる変位は大きくなる．一方で，ボルト孔径と落下後のボルト孔の節点座標値の差から算出した．検討
式により計算しためりこみ変位は A 部で 0.004(mm)，Dくことで，変位の発生を大きく抑えられると考えられる．

ボルト径の差を施工上許される範囲で極力小さくしておめりこみによる変位はいずれも小さく，変位の合計に部で 0.003(mm)であったが，解析結果は A 部で 0.010(mm)， 対する割合はいずれの木トラス橋においても 1%に満たD 部で 0.002(mm)と若干の差があった．原因として，解ない結果となった．めりこみによる変位は，部材に生じ析において斜材の回転によりめりこみ方向が部材軸方向る軸力，ボルトの接触面積，面圧定数が結果に影響するから若干ずれたこと，ボルト孔のメッシュ分割がやや粗と考えられる．部材に生じる軸力は橋梁規模や形式によく，計算された変位の精度が十分でないことが挙げられるが，図-7 の変位算出点に生じた変位と比較して十分小って変化するが，軸力が大きい場合はその分ボルト本数さい値であるため最終的に生じる変位への影響は極めてしないと考えられる．また，ボルトの接触面積は今回ボ小さいと言える．

ルトの全幅が接触する場合を想定したが，仮に接触幅をが増加するため，軸力の大小はめりこみ量に大きく影響小さくしても変位の合計に及ぼす影響は極めて小さい．
一方，面圧定数はスギ集成材のヤング係数から算出した

5. 変位計算式の他トラス橋への適用と考察が，使用する値により結果が変わる可能性がある．
自重による変位は 2 連ワーレントラスよりもトラス高の小さいキングポストトラス，橋長の長い 4 連ワーレン

本研究で検討した変位計算式を他のトラス橋へ適用する場合を想定し，図-8 に示す木トラス橋 2 橋について変位の計算を行う．これらの木トラス橋は前章の 2 連ワートラスの方が若干大きな値となった．しかし，変位の合計に対する割合は 1%程度と小さい結果であった．

レントラス同様に木部材とボルト寸法の規定および死荷重，活荷重に対する概略設計を満足するものを用いており，いずれの木トラス橋も部材断面寸法は 110×110 (mm)， 6. まとめと今後の課題
ボルト径 16(mm)，1 継手当りのボルト本数 2 本である．
本研究ではボルト継手を用いた木トラス橋について，変位計算位置は下弦材中央の鋼板位置( 部)とした．変位計算結果を表-2 に示し，前章にて計算した 2 連ワーレ継手部に起因する変位としてボルト孔の遊び，めりこみ，70木材工学論文報告集19, 66-71, 2021. 2

自重による部材変形の 3 つについて変位計算方法を検討

周辺部についてボルト孔径やボルト径，木部材の材料定した．また，検討した計算方法を用いて木トラス橋 3 橋の変位計算を行い，内 1 橋について解析により妥当性の数，メッシュサイズを変えた場合の解析を行い，ボルトの木部材へのめりこみの挙動を明らかにした上で(4)式検証を行った．解析結果との比較では上側鋼板および斜の改良を行いたい．また，今回は木部材と格点部鋼板，材の回転により変位に若干の違いが見られたが，着目点での変位の合計の差は 1(mm)程度であった．各要因に対木部材とボルト，格点部鋼板とボルトの摩擦の影響を考する変位と変位の合計に対する割合を計算すると，ボルト孔の遊びを要因とする変位が全体の変位の98%程度と位は小さくなると予想されるため，摩擦の影響についてなり，継手の構造やボルト孔径とボルト径の差が架設時の検討やボルト孔やボルトの初期位置がずれた状態でのに生じる変位に大きく影響することが分かった．なお，変位計算も行っていきたい．

慮していない．これを考慮することで最終的に生じる変も計算方法に取り入れたい．加えて，活荷重による変位本研究で検討した変位計算方法は木部材と鋼板のボルト孔が完全に一致し，ボルトは難なく挿入できる施工上極

参考文献

めて理想的な状態を想定している．加えて，部材同士の1)摩擦の影響を無視していることから，計算される変位は

2)

当該橋梁にて生じうる最大の変位になると予想される．
今後の課題として，部材回転の影響の評価，めり込み変位の(4)式の改良，部材同士の摩擦の考慮，活荷重によ3)る変位検討，ボルト孔のずれを考慮した計算が挙げられる．今回検討した変位計算方法ではボルト孔の遊びによる変位について部材の回転の影響を無視したが，ボルト4)孔径とボルト径の差が大きいほど全体の変位への影響は大きくなると考えられる．解析においても上側鋼板の回5)転により木トラス部材に若干の回転が確認され，下側中央鋼板の変位に影響を及ぼしたと予想される．部材の回6)転が全体の変位にどの程度影響するか調査を行う必要が7)ある．また，ボルト孔側面へのめりこみによる変位について，今回はボルト全幅が接触すると仮定した．本来，

8)ボルトに荷重がかかっていない状態ではボルト孔とボルトは 1 点で接触した状態であり，荷重が増加するにつれ

9)

徐々に両者の接触面積が増えるような挙動をとる．表-2に示した結果より全体の変位への影響は小さいと予想さ

土木学会鋼構造委員会 木橋技術小委員会：木橋技術の手引き 2005，pp.1，2005.
例えば，渡辺浩，飯村豊，樋口友三，山田朗央：木橋における集成材ボルト接合部の繰り返し挙動に関する実験的検討，第 4 回木橋技術に関するシンポジウ
ム論文報告集，pp.95-100，2005.
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Yoshihisa Sasaki：Loading Resistance of Bolted TimberJoints beyond their Yield-Loads，Proceedings of the 2nd
ASEAN Civil Engineering Conference，2010.
財団法人林業土木コンサルタンツ：実務者のための木橋の設計と施工，pp.47,101-103，2005.
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日本建築学会：木質構造接合部設計マニュアル，pp.265-266，2009.
(Received October 16, 2020)(Accepted January 31, 2021)

れるが，軸力相当の荷重をかけた時のボルトとボルト孔CONSIDERATION OF DISPLACEMENT DURING THE CONSTRUCTION FOR
TIMBER TRUSS BRIDGE USING BOLTED JOINT
Tatsuya SHIMOZUMA, Hiroshi WATANABE, Toshiki MATSUDAand Shosaku OHTONARIBridge displacement is calculated at the design phase because it is large problem in usability if the bridge has alarge displacement. Factors that affect the displacement of timber bridge using bolted joint are deformation of themembers due to dead load and the structure of the joint. In the case of existing timber bridge, displacement iscalculated empirically, however, there are timber bridges that is distorted at the completion due to incorrect predictionof displacement calculation. Therefore, establishing the calculation method of displacement due to structure of joint
has been required. In this study, we focus the timber truss bridge using bolted joint. The factor of displacement during
construction are divided into member deformation due to dead load, bolt hole clearance and bolt embedding, andpropose the displacement calculation formula.

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