平均場模形による奇核・奇々核の配位決定

2014 年 2 月
福井大学 工学部 物理工学科
伊藤 研人
杉浦 友章

目次
第 1 章 序論

4

第2章
2.1
2.2
2.3
2.4

原子核の構造と性質
核子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
陽子数と中性子数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
結合エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ベーテ・ワイゼッカーの質量公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
6
7
8

第 3 章 殻模型
3.1 液滴描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 独立粒子運動の描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9910

第 4 章 原子核の四重極変形とニルソン模型
4.1 四重極変形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 ニルソン模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
12
16

第5章
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5

Skyrme 有効相互作用を用いた平均場法
平均場法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hartree-Fock（HF）法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hartree-Fock+BCS 法と Hartree-Fock-Bogoliubov（HFB）法 . . . . . .
有効相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skyrme 力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
21
22
23
23

第6章
6.1
6.2
6.3

Skyrme HFB 法プログラム HFODD の説明
HFODD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
調和振動子基底での対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
計算による奇核・奇々核の基底状態の配位の求め方 . . . . . . . . . . .

24
24
24
25

第 7 章 計算結果と議論
7.1 Skyrme 力に SLy4 を使用した場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 奇核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 奇々核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Skyrme 力に SIII を使用した場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 奇核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 奇々核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 スピンとパリティを実験値と計算で求めた理論値の比較 . . . . . . . . .

26
27
27
31
37
37
41
47

1

第 8 章 まとめ48

付録 A プログラム HFODD への入力データの例

49

付録 B プログラム HFODD の出力の例

53

謝辞

68

2

執筆担当者
第 1 章 伊藤第 2 章 伊藤第 3 章 杉浦第 4 章 伊藤第 5 章 杉浦第 6 章 伊藤第 7 章 杉浦第 8 章 伊藤付録 A,B杉浦3

第 1 章 序論
原子核は非常に小さな（10−14 [m] 程度）物質であり、日常生活で考えることはあま
りないであろう。しかし実際のところ、あらゆる物質は原子核を含むいくつかの微視的な物質から構成されている。たとえば、我々が口する食べ物から日用品、はたまた
医療器具や宇宙船までこの世の物質は無数の分子から構成されている。さらに分子は原子から構成されていて、原子の中に原子核がある。我々はこの原子核について着目した。本研究では目に見えない原子核の特性を理論的に決定していく。この特性を語る上で変形というものが重要になってくる。原子核の変形を説明するために様々な模型（モデル）が考えられてきた。そのモデルの中の一つのニルソン模型に、さらに着目して研究を進めた。
1949 年に Mayer [1],Jensen 等 [2] が原子核の独立粒子模型を提唱し、さらに 1951 年に原子核の変形という描像が確立した。独立粒子模型とは核子が原子核内を独立した一粒子として運動するという模型の総称である。殻模型は独立粒子模型の代表例である。殻模型は球対称で考えられているが、原子核の大部分は変形しており、変形した原子核を説明するために殻模型を変形核に拡張することでニルソン模型が作られた。ニルソン模型を改良し、一粒子ポテンシャルを微視的に決定するようにしたのが平均場法である。
平均場法のなかに Hartree-Fock 法、Hartree-Fock-Bogoliubov 法などがあり、本研究では Hartree-Fock-Bogoliubov 法を用いて計算を行うプログラム HFODD を使用する。
HFODD は、1997 年に Dobaczewski 氏と Dudek 氏が公開したものであり [3] [4]、現在まで随時アップデートされており、多くの研究者に使用されてきた。本研究で使用したものは最新の 2012 年度版で、最新のものになるにつれて機能が充実するとともにバグが少なくなってきている。HFODD では HFB 準粒子ハミルトニアンを 3 軸不等な調和振動子基底で対角化し、得られた準粒子の真空として原子核の基底状態を作る。そしてこれを収束するまで反復し、解を出す。真空の定義をするにあたり、配位（ブロックする軌道）を指定することができる。対称性は偶奇性と指標量指数を指定することができる。最新版ではすべての対称性を破ることができる。また、時間反転不変性を破ったクランキング模型のためのプログラムを発展させて作られたものなので、奇核の基底状態が正確に求めることができる。
それでは、我々がこの研究を行うにあたっての目的を述べる。目的はおおきく言うと、原子核の構造を平均場模型を使って理論的に調べることであり、Skyrme 相互作用を用いた Hartree-Fock-Bogoliubov 法プログラム HFODD を利用し、変形核の典型的な例として陽子としての魔法数 50 と 82 のちょうど中間に位置する 164 Dy に隣接した 8 個の奇核・奇々核の配位を求め、実験値と比べることである。本研究は伊藤と杉浦による共同で行った。

4

第 2 章 原子核の構造と性質
この章では原子核の構造と性質のうち、Skyrme HFB 法プログラム HFODD を使用するにあたって知っておくべきものについて説明する。

2.1

核子

原子は中心に陽子と中性子が集まって、電子がその回りを取り囲むようにして構成されている。電子は陽子と中性子に比べて質量が小さく、約 1840 分の 1 の質量しかもっていないそのため、陽子と中性子の集合である原子核が原子の質量の大部分を占める。
図 2.1 は原子核の構造を模式的に描いたものである。原子核の直径は約 10−14 m 程度であり、原子の大きさと比較すると、10−4 倍ほどしかない。また陽子と中性子は電荷以外の性質がよく似ているため核子と総称される。陽子、中性子、電子の性質を表 2.1 にまとめておく。

表 2.1: 陽子、中性子、電子の性質
電荷 (C)
スピン（spin） 質量 (MeV)
陽子+1.6021892×10−19

中性子

0

電子

-1.6021892×10−1912

938.279612

939.5731

1
20.5110034

図 2.1: 原子核の構造。陽子（赤い玉で表現した）と中性子（青い玉で表現した）が集まって形造られている。

5

2.2

陽子数と中性子数

2.1 節で述べたように原子核は陽子と中性子から構成されている。ここからは陽子の個数（原子番号）を Z 、中性子の個数を N と表す。また核子の総数 N + Z を A で表す。A は質量数と呼ばれる。Z が同じ原子は化学的に同じような性質をもっている。しかし、同じ原子番号をもっていたとしても N が異なる原子は物理的に異なる振る舞いをする。この Z が同じで N が異なる原子のことを同位体 (isotope) と呼ぶ。同位体という言葉と並んで、A が同じで Z と N が異なる原子を同重体 (isobar)、N が同じで、Zと A が異なる原子を同調体 (isotone) という。例えば、水素 H は、3 個の同位体をもっている。Z はすべて 1 だが、N がそれぞれ 0,1,2 のものがあり、N ＝ 0 のものを水素、N ＝ 1 のものを重水素、N ＝ 2 のものを三重水素と呼ぶ。水素と重水素は安定だが、三重水素は安定ではなく不安定（放射性）である。
Z と A を与えると核種を指定することができる。核種を示すために、元素記号の左上に A、左下に Z をつけて記すことになっており、水素の同位体は 11 H, 21 H, 31 H と書き表すことができる。
横軸に N 、縦軸に Z をとり平面上に原子核種を配置した図を核図表という。図 2.2は核図表上に安定な核種を陽子数と中性子数を軸に取りプロットしたものである。これは陽子と中性子の比率が 1：1 の直線に比べてやや右下がりになっている。その原因は、陽子の数が増えるほど、原子核におけるクーロンの反発が大きくなるので、核が不安定になる。それを防ぐために中性子の数が陽子の数より多くなる必要があるためである。

図 2.2: 核図表 (参考文献 [5] の図 1.1 を転載) 破線は N=Z を表し、点は安定核を表す。

6

2.3

結合エネルギー

ここでは原子核の結合エネルギーについて説明する。ある原子核の質量は、その原子核を構成している粒子の質量の総和には等しくなく、それより小さくなる。この差を質量欠損 (mass defect) という。
なぜこのようなことが起こるのかというと、核子が集まっている方が安定（エネル
ギーが低い）だからであり、アインシュタイン (A.Einstein) の相対性理論によれば、ある系の質量 m は、その系のエネルギー E と光速度 c で次のような関係にあるからである。

E = mc2(2.1)

質量をエネルギーで表せば、m = cE2 となり、したがって

∆m =

∆E
c2

(2.2)

と変えられる。つまり質量欠損 ∆m は結合エネルギー ∆E に換算できるということがわかる。原子核に質量欠損分のエネルギーを与えれば原子核をすべての核子がばらばらになった状態に分解できる。つまり質量欠損は原子核の結合されている強さを表すものと言い換えることができ、質量欠損に相当するエネルギーを結合エネルギーと呼ぶ。結合エネルギーを核子の個数で割った値、すなわち 1 核子当たりの結合エネル
ギーはその原子核の安定度をあらわすものである。これを図 2.3 に示す。この図を見てわかるように質量数が小さいところで結合エネルギーが急激に増えており、質量数が60 程度のところで結合エネルギーが最大になって、さらに質量数が増えると結合エネ
ルギーは減少する。

図 2.3: 原子核の安定度 (参考文献 [5] の図 1.2 を転載)

7

2.4

ベーテ・ワイゼッカーの質量公式

原子核の性質や反応を説明するために、様々なモデルが考えられてきた。その中の代表的なものの一つに液滴模型というものがある。この模型によると 2.3 節で説明した
結合エネルギーを表す次のような半経験式 (ベーテ・ワイゼッカーの質量公式) が求められている。

E = aV A − aS A 2 − aC Z 2 A− 3 − aI (N − Z)2 A−1 + δ(N, Z)
3

1

(2.3)

aV , aS , aC , aI は定数である。E は結合エネルギーをあらわしている。非常に軽い原子核
以外は、(2.3) 式で極めて精度よく計算できる。クーロン力とは異なり核力は短距離力なので、核子は最も近い核子からしか影響されないと考えられる。そのためある程度
以上大きな原子核においては核子あたりの結合エネルギーの大きさはほぼ一定になる。
そのことを表しているのが第一項である。この項は、体積項と呼ばれる。
第二項は、表面にある核子は内部にある核子と比べて受ける核力の大きさが弱いた
め、その補正のための項である。原子核の表面にある核子の分だけ結合エネルギーが損していることを表すので表面項と呼ばれる。
第三項は原子核に含まれる正の電荷どうしの間で生じる反発力に起因する項である。
クーロン項と呼ばれる。
第四項は同じ質量数の原子核でも中性子数と陽子数が近いほど安定になることを示している。陽子が多いとクーロン反発力が大きくなるため、重い原子核では中性子数が多い方が安定する。この項は対称項と呼ばれる。
第五項は、N と Z がどちらも偶数の原子核（偶々核）が他の核に比べて安定であり、陽子、中性子のどちらが奇数の原子核（奇核）ではこの項は零、陽子、中性子が共に奇数の原子核（奇々核）は最も不安定であるということを表す項で、対エネルギー項と呼ばれる。
原子核の結合エネルギーが測定されるようになると、原子核においても魔法数があることが発見され、魔法数を説明するために殻模型が提唱された。その後、殻模型は原子核の微視的模型（量子力学的模型）として確立していった。

8

第 3 章 殻模型
3.1

液滴描像

核子間には核力という非常に強い力が働き、核子同士がぶつかりあったりつるので初め原子核の中の核子の運動の軌跡はジグザグに折れ曲がったものであると考えられていた（図 3.1 参照）。その考えに基づいて 1930 年代に N.Bohr は原子核の液滴模型を提唱した。この模型は原子核の大まかな性質を論じるときの基本描像になっている。

図 3.1: 核子のジグザグ運動の軌跡

9

3.2

独立粒子運動の描像

原子核の基底状態や比較的低い励起状態では、原子核の運動は前節で述べたジグザ
グ運動ではない。エネルギーの低い原子核状態では、それぞれの核子は、他の核子と激しい衝突をあまりせず自分自身の軌道をまわろうとする傾向が強い。このような核子が原子核内でそれぞれ独立運動をしている性質に注目したのが独立粒子モデルである。
独立粒子モデルは 1949 年に M.G.Mayer[1] と Haxel、Jensen、Susess によって提唱された [2]。彼らは、核子の受けるポテンシャルが核子の位置だけでなく核子の軌道角運動量とスピン角運動量の内積（スピン軌道結合項）にも依存することを発見し、当時理解できなかった原子核の魔法数を説明した。スピン軌道結合項は、核子のスピンと軌道角運動量が同じ向きを向いているときにエネルギーを下げ、逆向きのときエネル
ギーを上げる。
それぞれの核子には、井戸型球対称ポテンシャルとスピン軌道力のポテンシャルの和が働いている。このポテンシャルの中に捕まえられている核子は、ある決められたエ
ネルギーをもち、それを単一（独立）粒子準位という。ひとつのポテンシャルには多数の単一粒子準位があり、さらに一つ一つの単一粒子準位をとる単一粒子状態は一般に二つ以上ある。このことを準位の縮退という。単一粒子準位は陽子と中性子で異なる。
また、核種によっても異なるが、エネルギーを縦軸にとった大体の様子を図 3.2 に示す。
s, p, d, f, g, h, i, j は核子の軌道角運動量の大きさがそれぞれ 0, 1h̄, 2h̄, 3h̄, 4h̄, 5h̄, 6h̄, 7h̄
であることを意味し、その右下の数字は、軌道角運動量とスピンを合成した角運動量の量子数 (j) である。また、記号の前の数字は同じ角運動量の準位のうちでエネルギーの低いものから順に 1,2,3・・・と番号がつけられる。球形の核では同じ j をもつ 2j + 1
個の状態は同一エネルギー準位に縮退している。この状態を単一粒子状態が 2j + 1 個
ずつひとつの球殻を形成しているととらえて、この模型を殻模型と呼ぶ。次に、準位を示す線の右の括弧内の数字は 2j + 1 であるが、陽子、中性子それぞれに対して、この数だけの互いに独立な単一粒子状態がその単一粒子準位に属している。左端の点線
は、スピン・軌道力で分かれた準位の対を示している。また魔法数から魔法数までの間の集団を主殻といい、一つ一つを副殻という。図 3.2 には書いていないがパリティは
軌道角運動量量子数が偶数のとき正、奇数のとき負である。
図 3.2 の単一粒子準位の配列を見ると、所々に広い間隔（ギャップ）がみてとれる。
丸で囲んだ数字はそのようなギャップより下にある単一粒子準位の総数を表し、これが魔法数にあたる。ギャップの位置がスピン軌道力に大いに依存していることはすぐに分かる。例えば 50 の魔法数は、1g 9 準位と 1g 7 準位が、強いスピン軌道力のために、大22きく離れていることによって生じている。

10

図 3.2: 原子核の単一粒子準位の概略（参考文献 [6] の図 40 を転載）

11

第 4 章 原子核の四重極変形とニルソン
模型
4.1

四重極変形

原子核の主たる変形の仕方は四重極変形である。基底状態や低い励起状態で確認されている四重極変形は軸対称で、対称軸方向に細長いプロレート変形（アメフトボー
ル型）が大部分の核の変形である。対称軸方向に短いオブレート変形（パンケーキ型）の変形をした核も少しある。純粋な四重極変形では、原子核の表面を極座標で表すと次のように与えられる。
R(θ, ϕ) = R0 1 +2∑

α2µ Y2µ (θ, ϕ)

(4.1)

µ=−2

ここで R0 は変形する前の原子核の半径である。v θ と ϕ は 3 次元極座標の 2 つの角度であり、これらの 2 角を用いると、方向を表す単位ベクトルのデカルト成分（方向余弦）(ξ, η, ζ) は2

ξ = sin θ cos ϕ(4.2)

η = sin θ sin ϕ(4.3)

ζ = cos θ

(4.4)

2

(4.5)

2

ξ +η +ζ =1と表される。関数 Y は球面調和関数であり、下式で与えられる。
√

√

5
5
(3 cos2 θ − 1) =(2ζ 2 − ξ 2 − η 2 )
Y20 (θ, ϕ) =
16π
16π

(4.6)

15
15
Y2±1 (θ, ϕ) = ∓sin θ cos θe±iϕ = ∓(ξη ± iηζ)
8π
8π

(4.7)

15
15 2
sin2 θe±2iϕ = ∓(ξ − η 2 ± 2iξζ)
Y2±2 (θ, ϕ) = ∓
32π
32π

(4.8)

√

√

√

√

12

またこれらの式を (4.1) 式に代入することで、ξ, η, ζ の 2 次式による表示

R(ξ, η, ζ) = R0 (1 + αξξ ξ 2 + αηη η 2 + αζζ ζ 2 + 2αξη ξη + 2αξη ξη + 2αηζ ηζ)(4.9)

を得る。ここで α の極座標の成分とデカルト座標の成分の関係は√

1 8π
α2±2 =(αξξ − αηη ± 2iαξη )2 15(4.10)

8π(αξζ ± iαηζ )15(4.11)8π 1√ (2αζζ − αξξ − αηη )15 6(4.12)√

α2±1 =√

α20 =となる。デカルト座標では 6 個のパラメーター αξξ , αηη , αζζ , αξη , αηζ , αξζ の値を自由に選べる 6 自由度があるように見える。しかしながら関数 R(θ, ϕ) は、(θ, ϕ) を Ω で表し、
dΩ = sin θdθdϕ として、∫

R(Ω)dΩ = 4πR0

(4.13)

を満たす。なぜならば R(Ω) は、R(Ω) = R0 (1 +2∑α2µ Y20 (Ω))(4.14)µ=−2であり、Y2µ の積分は消えるからである。また、対称性から∫∫
2ξ dΩ =∫∫2η dΩ =∫

ξηdΩ =

ζ 2 dΩ = a(4.15)

ζξdΩ = 0(4.16)∫

ηζdΩ =となる。ここで a は定数である。これらの等式を利用すると、∫

R(Ω)dΩ = 4πR0 + a(αξξ + αηη + αζζ )(4.17)

を得る。(4.13),(4.17) 式より、デカルト座標系では補助条件αξξ + αηη + αζζ = 0(4.18)

を満たさなけばならないことが導かれた。したがってデカルト座標においても、自由度はパラメーターの個数 6 個から条件の数 1 をさしひいた 5 である。

13

デカルト座標での変形パラメーターは、原子核の伸び縮みに直接関係している。α20は x 軸、y 軸に対して z 軸の伸びを表している。α2±2 は x, y 平面でのななめ方向の伸びを説明する。α2±1 は z 軸が傾くような変形を表す。
しかしこれらのパラメーターにはまだ、原子核の形状に関する情報とその方位に関する情報が α2µ に混在しているという問題が残っている。もしこの方位が主軸系（x, y, z軸）に移ることにより分けられるなら、形状だけを取り出して明確に議論できる。ダッ
シュをつけた量によりこの新しい座標の系を示すなら、

√

′
α20
=

(4.19)

2π ′′(α − αηη) ≡ a215 ξξ

(4.20)8π 1′′′√ (2αζζ− αξξ− αηη) ≡ a015 6(4.21)

′
α2±2
=

√

′
α2±1
=0

となる。A.Bohr によって導入されたもう一組のパラメーターもまたあり、次のようなものである。

a0 = β cos γ
1a2 = √ β sin γ
2(4.22)(4.23)

ここで、(4.18) 式にダッシュをつけたものを式変形すると、
′
′
′
αζζ
= −αξξ− αηη

(4.24)となる。(4.21) 式の a0 の定義と (4.22) 式を用いると、
√
′
αζζ
=

5
β cos γ4π

(4.25)

また、(4.18) 式より
′
′
′
′
αξξ
− αηη
= 2αξξ
+ αζζ

(4.26)

を得る。また、(4.20) 式の a2 の定義を用いることで、次式を得る。
√
′
αζζ
=

( √
)
5
1
1
β
3 sin γ − cos γ
4π
22(4.27)

これに加法定理を用いて、
√
′
αζζ
=

(

2π
5
β cos γ −
4π
3
14

)

(4.28)

とできる。同様にして
√
′
αηη
=

(

5
4π
β cos γ −4π
3)(4.29)

を得ることができる。
以上結果をまとめて、原子核の中心から表面までの距離を δRk とすると、
(

5
2πk
δRk =
β cos γ −4π
3)(4.30)

を得ることができる。k=1,2,3 は x, y, z 軸を表す。βγ 平面でどのように変形しているのかわかりやすく表したものが図 4.1 である。

図 4.1: β, γ 平面上で表した原子核の四重極変形 (参考文献 [7] の Fig6.4 を転載)

15

4.2

ニルソン模型

4.1 節で示したように、原子核の大部分は変形している。それゆえ球形の殻模型を変形核へ拡張する必要がある。その拡張したものをニルソン模型という。ニルソン模型
でのハミルトニアン Ĥ は、スピンを ŝ、軌道角運動量を ˆl として、Ĥ = −h̄ 2∇ ＋ Vh.o. −h̄ω0 κ(2ˆl・ŝ＋µˆl2 )2m(4.31)と表すことができる。ここで Vh.o. は非等方調和振動子で、

Vh.o. =m 2 2
(ω x + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 )2 x(4.32)である。また ωx = ωy のとき極座標を使って、四重極変形パラメータ β と Y20 で書き表すことができて、

Vh.o. =

mω02 2r − βmω02 r2 Y20 (θ, ϕ)2(4.33)となる。
ニルソン模型のハミルトニアンの固有状態をニルソン軌道といい、ニルソン軌道は[N, nz , Λ, Ωπ ] でラベルされる。N は主量子数を表し、x, y, z 軸にある振動量子数をそれぞれ nx , ny , nz として、

N = nx + ny + nz

(4.34)

である。nz は対称軸方向の振動量子数である。Λ は軌道角運動量の対称軸方向の成分、Ω は全角運動量の対称軸方向の成分である。π は偶奇性を表す。N, nz , Λ は近似的な量指数である。即ち、N は球形のときの量子数であり、nz , Λ は |β| が大きいときの漸近量子数である。また Ω, π は厳密に保存する量子数である。
横軸に変形度 β をとり、縦軸の単位を主核の間隔 h̄ω にとって、ニルソン軌道のエネ
ルギーをプロットしたものをニルソンダイアグラムという。図 4.2 に、その例を示す。
2,8,20 といった数字は魔法数を表していて、点線が偶奇性（parity）がマイナス、実線
が偶奇性がプラスの軌道を表している。右にある [110 12 ] といったものはその軌道の量子数を表している。そして原子核が重くなるにつれて準位の本数が増して図 4.2 参照)、
ダイアグラムは複雑になっていく。

16

図 4.2: ニルソン模型による一粒子状態のエネルギー準位を変形度の関数として表したグラフ（ニルソン・ダイアグラム） (参考文献 [7] の Figure5-1 を転載)

17

一個の核子の持つスピンは 12 であり、これは静止した核子の持つ全角運動量である。
これにならって原子核全体の角運動量のことも原子核の「スピン」と呼ぶが、原子核を構成する個々の核子の持つ「大きさ 12 の本来の意味でのスピン（内部スピン）」に加えて軌道運動に起因する角運動量もまたこの原子核の「スピン」に寄与している。このことを踏まえた上で、これ以降は、原子核の全角運動量のことを（鍵括弧で囲まずに、単に）スピンと記すことにする。
原子核のひとつの状態の持つスピンが J 、偶奇性が π のとき、その状態を J π と書き表す。偶々核の基底状態のスピン、偶奇性は例外なく 0+ であることが知られている。
これは 5.3 節で述べる対相関が原因である。
奇核の場合は、同種核子同士で対を組ませたとき、対を組めずに余る最後の 1 個の核子の入った軌道（以下ではこれを「ブロックされた軌道」と呼ぶ）の偶奇性が原子核全体の偶奇性になる。原子核全体のスピンの決定方法は球形核と変形核とで異なる。
球形核では、ブロックされた軌道の持つ角運動量 j が原子核全体のスピンになる。即ち J = j となる。変形核では、ブロックされた軌道の持つ角運動量の対称軸方向の成分 Ω の絶対値が原子核全体のスピンになる。即ち J = |Ω| となる。
奇々核の場合は、ブロックされた中性子軌道の量子数とブロックされた陽子軌道の量子数とから決定される。原子核全体の偶奇性は中性子軌道の偶奇性 πn と陽子軌道の偶奇性 πp の積に等しくなる。即ち π = πp・πn となる。原子核全体のスピンは、球形核の場合は、中性子軌道の角運動量 Jn と陽子軌道の角運動量 Jp という２つの角運動量のベクトル和として可能な値のいずれかを取る。即ち J = |Jp − Jn |, |Jp − Jn | + 1, · · · , Jp + Jnとなる。変形核の場合は、中性子軌道の角運動量の対称軸方向の成分 Ωn と陽子軌道の角運動量の対称軸方向の成分 Ωp の和または差のいずれかの絶対値を取る。即ち
J = |Ωp ± Ωn | となる。
プログラム HFODD の最新のバージョンでは平均場に対称性の要請を全く課さないで計算を行うことができるが、本研究では平均場が偶奇性と指標量指数 (signature) を保存するという要請の下に計算を行った。その理由は、奇核や奇々核でブロックすべ
き軌道の指定を明確に行うためには、保存量があるほうが望ましいからである。保存量が全く存在しないと、例えば偶奇性の異なる配位の間にわずかに混合が起きるので、ある配位に対する自己無撞着解を求めるための反復の結果、解は意図したものとは異なる偶奇性を持った別の配位へと緩慢に変化し続けるため、実際的には収束解を得る
ことが不可能になる恐れがある。
偶奇性とは空間反転に関する波動関数の偶奇性であり、⃗r を −⃗r と取り替えたときに波動関数の符号が変化しない場合を量子数 π = +、逆転する場合を量子数 π = − で表す。
指標量子数とは、四重極変形のもつ３本の主軸のいずれかのまわりに 180◦ 回転させたとき、波動関数に生じる位相因子 (あるいは、それに結びつけられた量子数) である。
プログラム HFODD は、（角運動量やスピンの表現行列として標準的なものを使用する
場合に）数式表現が最も簡単になる y 軸まわりの指標量指数だけが保存量として指定できる仕様になっている。この仕様に対応して我々は下記のように計算の設定を変更した。即ち、プログラム HFODD ではデフォルト設定では z 軸を対称軸 (量子数 Ω や Λの期待値を計算する軸) としていたが、我々は y 軸を対称軸となるように反復の初期状

18

態での原子核の変形を x 軸のまわりに 90 度回転させて計算を行うことにした。このよ
うに y 軸を対称軸にとると、縮退した | ± my ⟩ 状態が σy で分類できるからである。即ち、角運動量の y 軸成分が my である軌道 | my ⟩ の指標量子数を σy 、−my である軌道| − my ⟩ の指標量指数を σy′ とすると、

e−iπJy | my ⟩ = σy | my ⟩
ˆiπ Jˆye| − my ⟩ = σy′ | − my ⟩(4.35)(4.36)

より

σy = e−iπmy(4.37)

σy′ = eiπmy(4.38)

σy = e−2iπmy σy′(4.39)を得て、従って、となるが、核子はフェルミ粒子なので（内部スピンが半整数なので）my は半整数、2myは奇数、e−2iπmy = e−iπ = −1 となり、

σy = −σy′となることがわかる。即ち縮退した２状態 | ± my ⟩ は σy で区別できる。

19(4.40)

第 5 章 Skyrme 有効相互作用を用いた
平均場法
5.1

平均場法

多体系を扱う場合、その多体間の相互作用をともなったハミルトニアンの固有値問
題をまともに解くことは非常に困難であるため近似解法が必要である。この近似法が平均場法である。平均場法とは相互作用の効果を平均場とよばれる一体ポテンシャル
で置き換える方法である。そして、その平均場を定めるときニルソンポテンシャルのように天下りに与えるのではなく核子の分布から自己無撞着に決める。自己無撞着とは図 5.1 のようにポテンシャルから一粒子状態を求めてそこから密度を求めポテンシャ
ルへまた同様のことを繰り返し収束するまでこのサイクルを繰り返すことである。平
均場法の中には Hartree-Fock 法、Hartree-Fock+BCS 法、Hartree-Fock-Bogoliubov 法などがある。

図 5.1: 自己無撞着

20

5.2

Hartree-Fock（HF）法

多体系の波動関数を求める代表的な方法の一つである。Single Slater determinant 状態のうちでエネルギー期待値を最小にするものを多体系の近似的基底状態として与えるという手法である。Slater determinant 状態とは N 個の一粒子状態 ϕk (1 ≤ k ≤ N )があり, それらは正規直交化されており、それぞれに一個の粒子が入っていて、粒子座標の交換に対して完全反対称化された状態のことである。HF 法では ϕk (1 ≤ k ≤ N ) には下記の式の解を選ぶ。
∫
h̄2 2
−
∇ ϕk (r) + VD ϕk (r) − dr′ VE (r, r′ )ϕk (r′ ) = εk ϕk (r)2m∫VD (r) =dr′ v(r, r′ )N∑ϕ∗j (r′ )ϕj (r′ )

(5.1)
(5.2)

j=1

VE (r, r′ ) = v(r, r′ )N∑ϕ∗j (r′ )ϕj (r)

(5.3)

j=1

(5.2) 式は平均場ポテンシャル Direct 項を表し、(5.3) 式は Exchange 項を表している。
それぞれの項に対するダイアグラムを図 5.2 に示した。

図 5.2: VD と VE に寄与する二体相互作用のダイアグラム。左側が Direct 項、右側がExchange 項を表す。「１個」と記した線が 5.1 式の波動関数 ϕk に入った核子を表している。「N 個」記した線は 5.1 式の波動関数 ϕk に入っているもの以外の核子を表して
いる。

21

5.3

Hartree-Fock+BCS 法と Hartree-Fock-Bogoliubov（HFB）法

BCS 理論とは、1957 年に Barden,Cooper,Schrieﬀer によって提唱されたもの [9] で、逆向きのスピンを持つ２個の電子がクーパー対を生成してボーズ粒子のようにふるまい、最低エネルギー状態に凝縮することで超伝導状態が実現することである。HF との違いは占拠確率が 1 から 0 に不連続に変化するフェルミ準位を占拠確率が 1 から 0 へ滑らかに減少する対相関（超伝導、超流動と同種の量子状態）をとりいれることである。
超伝導は電気抵抗がゼロになることである。超流動についてはそれに起因する巨視的な現象を図 5.3 に示した。対相関は原子核の質量の偶奇分裂の原因だけでなく、核変形の決定に強く影響するので核構造を論じるのに不可欠である。
BCS では BCS 試行関数というものを用いる。それは一粒子状態を i = 1, 2, · · · ., ∞のように番号づけるのではなく、i = −∞, · · · , −2, −1, 1, 2, · · · , ∞ のように正負の番号を使って状態を対にして並べたとき、次式のように表わされる。
|ϕ >=

∏

(ui + vi a†i a†−i )|0 >

(5.4)

i>0

ここで、|0 > は粒子ゼロ個の状態を意味し、|ui |2 + |vi |2 = 1 にとる。a†i は i 番目の一粒子状態に核子を生成する演算子である。
Hartree-Fock-Bogoliubov（HFB）法は BCS 理論と同様に原子核の基底状態を核子の対が凝縮した状態とみなすが、より一般性のある Bogoliubov 準粒子の概念を導入する。
軽い核や閉核近傍を除いて、多くの原子核に対してこのアプローチが有効である。

図 5.3: 液体流動（a）2.2K 以下の液体ヘリウムは、容器の壁を伝って下に流れ落ちる。
（ｂ）空のビーカーに液体ヘリウムが溜まりだす。（参考文献 [8] の図 1.3 を転載）

22

5.4

有効相互作用真の基底状態は single Slater determinant からずれている。そのずれの効果を、相互作用を修正することで取り入れることが近似的になされている。この修正された相互作用を有効相互作用と呼ぶ。なお、仮に真の相互作用がわかっていても量子多体系の状態を完全にもとめることは、量子力学的相関を完全に記述するには膨大な情報量が必要となるので実際上は不可能である。
よく使用される有効相互作用はゼロレンジ力の Skyrme 力と有限レンジ力の Gogny
力である。有限レンジ力は計算が大変であるという短所がある。本研究では Skyrme 力を使用する。

5.5

Skyrme 力

Skyrme 力は 1956 年に T.H.R.Skyrme によって提唱された。Skyrme 力は下式のようなもので表される。
V (⃗r1 σ1 q1 ; r⃗2 σ2 q2 ) = t0 (1 + x0 Pσ )δ
1+t1 (1 + x1 Pσ ) (⃗k 2 δ + δ⃗k 2 )2+t2 (1 + x2 Pσ )⃗k · δ⃗k1+ t3 ρα (1 + x3 Pσ )δ
6+iW (σ⃗1 + σ⃗2 ) · ⃗k × δ⃗k1 ⃗⃗δ = δ(⃗
r1 − r⃗2 ), ⃗k = (▽1 − ▽2 )
2i

(5.5)
(5.6)

ここで、σ はスピン、q はアイソスピンで陽子か中性子かを表す。Skyrme 力はゼロレ
ンジ力であり、(5.5) 式内の Pσ はスピン交換相互作用を表している。⃗k 2 や ⃗k · δ⃗k は運動依存項であり有限レンジ効果を含んでいることを表す。(5.5) 式右辺４項目は ρ を含んでいるので密度依存項であり、右辺５項目はスピン軌道結合を表している。本研究では１０個のパラメータ (t0 , t1 , t2 , t3 , x0 , x1 , x2 , x3 , α, W ) の値には、よく使用されている
SLy4, および SIII パラメータセットを使用した。

23

第 6 章 Skyrme HFB 法プログラム
HFODD の説明
6.1

HFODD

本研究で使用した Skyrme HFB 法プログラム HFODD は Dobaczewski 氏と Dudek 氏によって 1997 年に公開された [3][4]。その後アップデートが繰り返し行われ [11〜16]、
信頼性の高いバグが少ないものになってきた。2012 年に公開されたもの [15] が高機能化されるとともに最新版であり、本研究で使用したものである。我々以外にも、多くの研究者が使用しているので、我々の研究が将来他の研究者の役にたつ可能性は大きい。
このプログラムでは HFB 準粒子を 3 軸不等な調和振動子基底で対角化し、得られた準粒子の真空として原子核の基底状態をつくる。そしてこれを繰り返し行い、収束させる。本研究では 500 回反復させている。真空の定義に際し、配位を指定することができ、そのため偶々核だけではなく、奇核や奇々核も扱うことができる。

6.2

調和振動子基底での対角化

調和振動子基底はの 0 以上の整数の量子数 nx , ny , nz でラベルされる。この基底で一粒子軌道を展開する。数式で表すと次式のようになる。

|ψµ ⟩ =∑∑∑ ∑Cnµx ny nz sz |nx , ny , nz ⟩|sz ⟩(6.1)

nx ny nz sz =± 12

係数 Cnµx ny nz sz は HF 一体ハミルトニアン行列の固有ベクトルとして求めることができる。
Cnµx ny nz sz およびエネルギー固有値を決定する固有値方程式を書くと、

Ĥψn = ϵn ψn(6.2)となる。ここで

H11 H12 ・
・
・

H22 ・
・
・ 



 H21

 ・
Ĥ = 

 ・








24

(6.3)

Hij =< ψi |Ĥ|ψj >(6.4)

として、Ĥ を行列表示すれば、それを対角化して


ϵ1

0


 0 ϵ2
 0 0Ĥ = 

・

・


0 ・
・
・
0 ・
・
・
ϵ3 ・
・
・














(6.5)

とすれば、ϵn および Cnµx ny nz sz を求めることができる。HFB の場合は一粒子状態ではなく、一準粒子状態を求める。一準粒子状態は、(6.1) 式のような波動関数 2 つで表さ
れる。

6.3

計算による奇核・奇々核の基底状態の配位の求め方

まず、フェルミエネルギー付近で対を組まない核子が入る軌道を選ぶ。これを配位を選ぶという。この条件のもとで、自己無撞着解を求める。次にその解における原子
核の全エネルギーを求める。さまざまな配位についてこの計算を行いエネルギーが最小のものが、その原子核の基底状態だと判断する。
次章で示す計算結果には、エネルギーの他に四重極変形パラメーター β と γ を示した。これは (4.22)、(4.23) 式により導いている。参考のために、入力データと出力データの結果としてどのようなものが出てくるのかを、日本語で説明を付記して付録として載せておく。

25

第 7 章 計算結果と議論
変形核の典型的な例として、偶々核 164 Dy をとりあげる。なぜなら、この核の Z=66
は魔法数 Z=50 と Z=82 のちょうど中間にあたり、N =98（A=164）は Dy 同位体中最も多いものである。この偶々核 164 Dy に隣接した 8 個の奇核・奇々核（図 7.1 参照）の配位を求め、実験値と比べる。

図 7.1: 164 Dy に隣接した 8 個の奇核・奇々核。縦軸に陽子をとり、横軸に中性子をとった。奇核は赤色の文字で示し、奇々核は青色の文字で示した。原子核での習慣に従い
元素記号の右下に中性子数を添えた。原子記号の左上と左下に添えた数字はすでに述
べたとおり質量数と陽子数（原子番号）である。

26

7.1

Skyrme 力に SLy4 を使用した場合

7.1.1

奇核

配位

表 7.1: 163 Tb N =98,Z=65 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )|4,1,1, 32 +⟩-1318.7791

00.3435 10.12|4,1,1, 12 +⟩-1318.7781

0.00090.3435 10.12|5,2,3, 72 +⟩-1318.5377

0.24140.3281

9.75

Tb N =98,Z=65 についての計算結果を表 7.1 に示す。陽子の軌道 |4,1,1, 32 +⟩ の場
所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |4,1,1, 23 +⟩ を計算による基底状態の配位とした。実験で観測されたのスピンと偶奇性は 23 + であるので理論計算と実験値が一致した。
この軌道は図 7.3 の陽子についてのニルソン図で見ると赤で示した準位に当たる。この準位は、変形度 0.3 の付近では陽子数 66 の１つ下の準位に来ているため考えられる
フェルミ準位と一致している。
（図 7.3 中の数字 66 を丸で囲んだものは、その位置で陽子数 66 の核における占拠軌道と非占拠軌道の境目であることを表している。）これは、
我々の平均場模型による計算にプログラムの誤使用など大きなミスがないことの一つの確認である。（ニルソン模型はもっともらしいエネルギー準位を与えることと、フェルミ準位に近い軌道の配位が奇核の基底状態の配位になる傾向があることから結論できる。）
ただし、表 7.1 の計算結果からブロックした配位が最もエネルギーが低い |4,1,1, 32 +⟩の場合とブロックした配位が２番目に低い |4,1,1, 21 +⟩ である場合とで、エネルギーの差がわずか 0.9 keV しかない。また、二つの解で変形パラメータが４桁以上一致しているため、配位を変えて求めたはずの２つの平均場解が、実際は同一の状態へ収束しつつあるという可能性を示唆している。そのため、今後詳しく再検討する必要性があると考えられる。
163

27

配位

表 7.2: 165 Dy N =99,Z=66 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )|5,1,2, 25 −⟩-1333.5446

00.33583.98|6,3,3, 72 +⟩-1333.1870

0.35760.32560.00|5,1,4, 27 −⟩-1333.0292

0.51540.3298 10.50|6,6,0, 12 +⟩-1332.6773

0.86730.3393

8.94

Dy N =99,Z=66 についての計算結果を表 7.2 に示す。中性子の軌道 |5,1,2, 52 −⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |5,1,2, 52 −⟩ を計算による基底状態の配位とした。
この軌道は図 7.2 の中性子についてのニルソン図で見ると赤で示した準位に当たる。
計算した原子核の中性子の数は 99 であったが計算で求めたこの配位は、変形度 0.3 の付近では中性子数が 107 である原子核のフェルミ準位であり、中性子数にして 8 個の食い違いがある。エネルギーに変換すると、本来のフェルミ準位と比較して約 0.3h̄ω =1
2.2 MeV ( h̄ω = 41A− 3 MeV = 7.5 MeV) も高いエネルギーを持っている。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 72 + なのでそれに対応する配位は、表 7.2 で２番
目にエネルギーが低い |6,3,3, 72 +⟩ 軌道をブロックした配位がこの原子核の配位だったと考えられる。また、この準位は N = 99 の場合のフェルミ準位と正確に一致している。したがってニルソン模型はこの核の配位を正しく計算できる。
ただし、ニルソン模型では二つの準位のエネルギー差は 2.2MeV もあるが、我々の平均場模型による計算では、その差は 0.35MeV しかないことより、我々の計算結果では正確な配位でなっかたが、それはエネルギー差にしてわずか 0.35MeV の精度での間違いであり、平均場模型の精度から判断して間違いが起こってもなんら不思議ではない
ことが言える。
二つの準位のエネルギー差が約 6.3 倍も異なることは、むしろ、ニルソン模型の側の問題点であると見るべきである。
165

28

配位

表 7.3: 163 Dy N =97,Z=66 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )|6,3,3, 72 +⟩-1320.6047

0|5,1,2, 52 −⟩-1320.2222

0.38250.32470.10|5,2,3, 25 −⟩-1319.8711

0.7336

0.34708.70|5,1,4, 27 −⟩-1319.6765

0.92820.32900.62

0.3320 10.95

Dy N =97,Z=66 についての計算結果を表 7.3 に示す。中性子の軌道 |6,3,3, 72 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |6,3,3, 72 +⟩ を計算による基底状態の配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 52 − であり、それに対応する配位は、表 7.3 で２番目にエネルギーが低い |5,1,2, 25 −⟩ 軌道をブロックした配位、または、３番目にエネル
ギーが低い |5,2,3, 25 −⟩ 軌道をブロックされた配位である。この計算による配位再現の失敗を、エネルギーで定量的に評価すれば、最も低いものと 2 番目の解のエネルギー
差 0.38 MeV が計算の誤差であると言える。この誤差は、１つ前の 165 Dy での中性子配位の再現失敗時のエネルギーの誤差と同程度である。
図 7.2 の中性子についてのニルソン図で見ると、中性子の個数 97 のフェルミ準位は|5,2,1, 23 −⟩ であり、実験的配位と一致しない。実験値を再現する最もフェルミ準位に近い軌道は |5,2,3, 52 −⟩ であり、フェルミ準位より約 620keV 低いエネルギーを持っている。
次にフェルミ準位に近い軌道は |5,1,2, 52 −⟩ であり、フェルミ準位より約 2.7MeV 高い。
従って、この核についてはニルソン模型も正しい配位を与えないことがわかる。更にエネルギーで定量的に評価すれば、平均場模型より誤差が大きいと言える。
この結果から、ニルソン模型と平均場模型とで一粒子準位のスペクトルが大きく異なっている状況が予測される。将来の研究課題の一つとして、平均場模型の一粒子準位スペクトルを変形度の関数としてダイヤグラムに描いてみることが挙げられる。
163

29

配位

表 7.4: 165 Ho N =98,Z=67 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )|4,0,2, 52 +⟩-1334.0602

00.3251

1.20|5,4,1, 12 −⟩-1333.3194

0.74080.35689.14|4,1,1, 12 +⟩-1332.9849

1.07530.32900.62|5,2,3, 27 −⟩-1332.8444

1.21580.31420.85

Ho N =98,Z=67 についての計算結果を表 7.4 に示す。陽子の軌道 b|4,0,2, 52 +⟩ の場
所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |4,0,2, 52 +⟩ を計算で求めた配位とした。
この軌道は図 7.3 の陽子についてのニルソン図で見ると青色で示した準位に当たる。
計算した原子核の陽子の数は 67 であったが計算で求めた配位は変形度 0.3 の付近では陽子数が 77 である。原子核のフェルミ準位であり、陽子数にして 10 個の食い違いがある。ニルソン模型では基底状態としてありそうもない配位である。しかし、平均場模型では準位図がニルソン模型とは大きく異なっており、この軌道が陽子数 67 のフェルミ準位付近にあることが考えられる。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 72 − であり、それに対応する配位は、表 7.2 で４番目にエネルギーが低い |5,2,3, 27 −⟩ 軌道をブロックした配位であり、これがこの原子核の配位だったと考えられる。最もエネルギーが低い状態と比較してエネルギー差が 1.2
MeV もあり、誤差がこれまでに見せた計算例より大きくなっている。一方、ニルソン
模型ではこの軌道はちょうどフェルミ準位になっている。
165

30

7.1.2奇々核

配位

n|5,1,2, 52 −⟩表 7.5: 164 Tb N =99,Z=65 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )-1324.0325

00.3323

6.87-1324.0205

0.01200.34295.23-1323.9724

0.06010.33090.61-1323.8278

0.20470.3431 12.86

p|5,2,3, 72 −⟩n|5,2,1, 12 −⟩p|4,1,1, 23 +⟩n|6,3,3, 72 +⟩p|4,1,1, 21 +⟩n|5,1,4, 72 −⟩p|4,1,1, 23 +⟩164

Tb N =99,Z=65 についての計算結果を表 7.5 に示す。（配位の左側に文字 n を付した軌道はブロックされた中性子の軌道であり、文字 p を付した軌道はブロックされた陽子の軌道である。）中性子 |5,1,2, 52 −⟩ と陽子 |5,2,3, 27 −⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |5,1,2, 52 −⟩ と |5,2,3, 72 −⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は (5+) であり（括弧で囲んだ値は、信頼性の低い結果であることを示している）、スピンは陽子と中性子の Ω が同方向を向いた場合の7+ 52 = 6 か、反対方向を向いた場合の 72 − 52 = 1 のどちらかであるため実験値とは完2
全には一致しないが、実験値の信頼性が低いことを考慮すると、実際にスピンは 6 であり、理論と実験が一致しているという可能性も考えられる。
図 7.2 の中性子についてのニルソン図と図 7.3 の陽子についてのニルソン図から、変形度 0.3 の付近では、配位は n|6, 3, 3, 72 +⟩ と p|4, 1, 1, 23 +⟩ と予想され、陽子と中性子の Ω が同方向を向いていれば、原子核のスピンは 27 + 32 = 5 となり実験値と一致する。
しかし、信頼性の低い実験結果からスピンを推定する手段としてニルソン模型が参考とされので一致しているに過ぎないという推測も可能である。
ニルソン図を基準にして考えれば、平均場計算の与える配位を構成する n|5,1,2, 52 −⟩準位はフェルミ準位より 2.2MeV 高く、p|5,2,3, 27 −⟩ 準位はフェルミ準位より 1.0MeV
高いが、この差は必ずしも平均場模型の誤差ととらえる必然性はなく、ニルソン模型の誤差のほうが大きい可能性も否定はできない。

31

配位

n|6,3,3, 72 +⟩表 7.6: 162 Tb N =97,Z=65 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )-1312.3584

00.3371 11.03-1312.0194

0.33900.3269 11.05-1311.8981

0.46030.33120.02-1311.8427

0.51570.31863.97

p|4,1,1, 32 +⟩n|6,3,3, 72 +⟩p|5,3,2, 25 −⟩n|5,1,2, 52 −⟩p|4,1,1, 21 +⟩n|5,1,2, 52 −⟩p|5,2,3, 27 −⟩Tb N =97,Z=65 についての計算結果を表 7.6 に示す。中性子 |6,3,3, 72 +⟩ と陽子|4,1,1, 23 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため n|6,3,3, 72 +⟩ と
p|4,1,1, 32 +⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は (1−) である。ただし、164 Tb N =99,Z=65 のときと同様に推定値であり、信頼性は高くないものである。計算結果では偶奇性は+で実験値に一致しない。スピンは、陽子と中性子の Ω が同方向を向いた場合の 72 + 23 = 5
か、反対方向を向いた場合の 72 − 23 = 2 のどちらかであるため、実験値とは完全には一致しない。
計算で２番目に低いエネルギーを持つ解の配位であり、n|6,3,3, 72 +⟩ と p|5,3,2, 52 −⟩については、偶奇性は負で実験値に一致し、スピンも陽子と中性子の Ω が逆方向を向いた場合を考えると 27 − 52 = 1 で一致する。したがって、こちらの配位のほうがエネ
ルギーが 0.33MeV 以上低く計算されていれば正しい配位を再現することができたことになる。この 0.33MeV というエネルギーの誤差の大きさは、奇核の場合と同程度のである。
一方、ニルソン模型では、ニルソン図で決定した配位は n|5,2,1, 32 −⟩ と p|4,1,1, 32 +⟩となるので、原子核の基底状態は 3− か 0− のどちらかとなるので、スピンが実験値と一致しない。
162

32

配位

n|6,3,3, 72 +⟩表 7.7: 166 Ho N =99,Z=67 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )-1340.5853

00.32270.00

n|5,1,2, 52 −⟩-1340.5505

0.03480.33040.02

n|5,1,2, 25 −⟩-1340.2648

0.32050.33616.40-1340.1178

0.46750.34620.00

p|4,1,3, 52 +⟩p|5,5,0, 21 −⟩n|5,2,1, 12 −⟩p|4,1,1, 23 +⟩166

Ho N =99,Z=67 についての計算結果を表 7.7 に示す。２番目の陽子の配位が記入されていないのは計算出力にブロックされた陽子軌道が表示されなかったためであり、その原因は今後究明する予定である。中性子 |6,3,3, 27 +⟩ と陽子 |4,1,3, 52 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため n|6,3,3, 72 +⟩ と p|4,1,3, 25 +⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 0− であり、計算結果では偶奇性は+で実験値に一致しない。スピンは、 72 + 52 = 6 または 72 − 52 = 1 となり、実験値とは完全には一致しない。３番目、４番目にエネルギーの低い配位についても、0− 状態になるものはない。
一方、ニルソン模型から決定される配位は n|6,3,3, 27 +⟩ と p|5,2,3, 72 −⟩ であり、陽子と中性子の Ω が逆向きだと考えると、原子核全体のスピンと偶奇性として実験値と同
じ 0− を得ることができる。平均場模型の計算結果でこの配位にあたる解を得ることができなかった。

33

配位

n|6,3,3, 72 +⟩表 7.8: 164 Ho N =97,Z=67 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )

0.32455.15-1326.4246

0-1326.4113

0.01330.3327 11.95-1326.3361

0.08850.32210.98-1326.1271

0.29750.33881.60

p|4,0,2, 52 +⟩n|6,3,3, 72 +⟩p|5,2,3, 27 −⟩n|5,1,2, 52 −⟩p|4,1,1, 23 +⟩n|5,2,1, 12 −⟩p|4,0,2, 27 +⟩Ho N =97,Z=67 についての計算結果を表 7.8 に示す。中性子 |6,3,3, 27 +⟩ と陽子|4,0,2, 25 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため n|6,3,3, 72 +⟩ と
p|4,0,2, 52 +⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 1+ であり, 計算結果では偶奇性は+で実験値に一致した。スピンは、中性子と陽子の Ω が逆方向を向いた場合を仮定すると 72 − 52 = 1で一致する。
一方、ニルソン模型による配位は n|5,2,1, 32 −⟩ と p|5,2,3, 27 −⟩ であり、スピンと偶奇性は 5+ または 2+ となり、実験値と一致しない。ニルソン・ダイアグラムでは、
n|5,2,1, 23 −⟩ と n|6,3,3, 72 +⟩ のエネルギー準位は極めて近い (差が 100keV 以下) だが、
p|5,2,3, 72 −⟩ と p|4,0,2, 52 +⟩ のエネルギー準位の差は約 2MeV もある。ニルソン模型とSkyrme 力として SLy4 を使った平均場模型とで、中性子のエネルギースペクトルは似ているが、陽子のエネルギースペクトルはずれが大きいように思われる。
16434

図 7.2: ニルソン模型による中性子の一粒子状態のエネルギー準位を変形度の関数として表したグラフ（ニルソン・ダイアグラム）（参考文献 [7] の図 5-4 を転載）。特に、Skyrme 力として SLy4 を用いた平均場計算で決定された配位に関連した準位については色を付けて示した。

35

図 7.3: ニルソン模型による陽子の一粒子状態のエネルギー準位を変形度の関数として表したグラフ（ニルソン・ダイアグラム）（参考文献 [7] の図 5-2 を転載）。特に、Skyrme
SLy4 力を用いた平均場計算で決定された配位に関連した準位については色を付けて示
した。

36

7.2

Skyrme 力に SIII を使用した場合

7.2.1

奇核

配位

表 7.9: 163 Tb N =98,Z=65 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )

0.3290

4.54|4,0,4, 72 +⟩-1319.4234

0|4,1,1, 12 +⟩-1319.4216

0.00180.3290 10.12|5,2,3, 72 −⟩-1318.8586

0.56480.3156

6.23|5,4,1, 12 −⟩-1318.3476

1.07580.3366

2.89

Tb N =98,Z=65 についての計算結果を表 7.9 に示す。中性子の軌道 |4,0,4, 72 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |4,0,4, 72 +⟩ を計算による基底状態の配位とした。
この軌道は図 7.5 の陽子についてのニルソン図で見ると赤色で示した準位に当たる。
計算した原子核の陽子の数は 65 であったが計算で求めた配位は変形度 0.3 の付近では陽子数が 71 である原子核のフェルミ準位であり、陽子数にして 6 個の食い違いがある。
エネルギーに変換すると、2.7 MeV も高いエネルギーを持っている。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 32 + であり、それに対応する配位は、表 7.9 では観受けられなかった。
Skyrme 力に SLy4 を用いたときは、計算で求めた理論値と実験値のスピン、偶奇性が一致したので、Skyrme 力に SLy4 を用いたほうが 163 Tb N =98,Z=65 に対して正しい値がでると言える。
163

37

配位

表 7.10: 165 Dy N =99,Z=66 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )|5,1,2, 25 −⟩-1333.5845

00.3231

0.01|6,2,4, 92 +⟩-1333.2791

0.30540.32390.04|6,3,3, 72 +⟩-1333.0947

0.48980.31450.01|5,2,1, 21 −⟩-1332.6942

0.89030.32280.01

Dy N =99,Z=66 についての計算結果を表 7.10 に示す。中性子の軌道 |5,1,2, 52 −⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |5,1,2, 52 −⟩ を計算による基底状態の配位とした。
この軌道は図 7.4 の中性子についてのニルソン図で見ると赤で示した準位に当たる。
計算した原子核の中性子の数は 99 であったが計算で求めたこの配位は、変形度 0.3 の付近では中性子数が 107 である原子核のフェルミ準位であり、中性子数にして 8 個の食い違いがある。エネルギーに変換すると、2.2 MeV も高いエネルギーを持っている。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 72 + なのでそれに対応する配位は、表 7.10 で２番目にエネルギーが低い |6,3,3, 72 +⟩ 軌道をブロックした配位がこの原子核の配位だったと考えられる。この準位は N = 99 の場合のフェルミ準位と正確に一致している。したがってニルソン模型はこの核の配位を正しく計算できる。
ただし、ニルソン模型では二つの準位のエネルギー差は 2.2MeV もあるが、我々の平均場模型による計算では、その差は 0.49MeV しかない。その原因としては、Skyrme
力に SLy4 を用いたときと同様のこと (p.28) が考えられる。
165

38

配位

表 7.11: 163 Dy N =97,Z=66 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )|6,3,3, 72 +⟩-1320.0801

00.31350.23|5,1,2, 52 −⟩-1319.9693

0.11080.31580.31|5,2,1, 21 −⟩-1319.8262

0.25390.31820.03|5,2,1, 23 −⟩-1319.6362

0.44390.31980.03

Dy N =97,Z=66 についての計算結果を表 7.11 に示す。中性子の軌道 |6,3,3, 72 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |6,3,3, 72 +⟩ を計算による基底状態の配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 25 − であり、それに対応する配位は、表 7.11 で２番目にエネルギーが低い |5,1,2, 52 −⟩ 軌道をブロックした配位である。この準位は N = 97の場合のフェルミ準位と一致していないため、スピンと偶奇性が実験値に一致してフェルミ準位を満たす配位は、表 7.11 中では観受けられなかった。
163

39

配位

表 7.12: 165 Ho N =98,Z=67 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )|4,0,4, 72 +⟩-1333.4617

00.3156

1.49|4,1,1, 12 +⟩-1333.2015

0.26020.3197

1.57|5,3,2, 23 −⟩-1333.1816

0.28010.34555.80|5,2,3, 27 −⟩-1332.6535

0.80820.3007

3.75

Ho N =98,Z=67 についての計算結果を表 7.12 に示す。陽子の軌道 |4,0,4, 72 +⟩ の場
所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため |4,0,4, 27 +⟩ を計算で求めた配位とした。
この軌道は図 7.5 の陽子についてのニルソン図で見ると赤色で示した準位に当たる。
計算した原子核の陽子の数は 67 であったが計算で求めた配位は変形度 0.3 の付近では陽子数が 71 である原子核のフェルミ準位であり、陽子数にして 5 個の食い違いがある。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 72 − であり、それに対応する配位は、表 7.2 で４番目にエネルギーが低い |5,2,3, 27 −⟩ 軌道をブロックした配位がこの原子核の配位だったと考えられる。最もエネルギーが低い状態と比較してエネルギー差が 0.8MeV あり、
平均場模型の精度から判断して間違いが起こってもなんら不思議ではないことが言える。一方、ニルソン模型ではこの軌道はちょうどフェルミ準位になっている。
165

40

7.2.2奇々核

配位

n|5,1,4, 72 −⟩表 7.13: 164 Tb N =99,Z=65 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )-1324.1840

00.32508.36-1324.0837

0.07030.32334

2.58-1324.1779

0.17040.31883.05-1323.5389

0.64510.313710.78

p|4,0,4, 72 +⟩n|6,3,3, 72 +⟩p|4,0,4, 27 +⟩n|5,1,2, 52 −⟩p|5,2,3, 27 −⟩n|5,1,4, 72 −⟩p|5,2,3, 27 −⟩Tb N =99,Z=65 についての計算結果を表 7.13 に示す。中性子 |5,1,4, 72 −⟩ と陽子|4,0,4, 27 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため n|5,1,4, 27 −⟩ と
p|4,0,4, 72 +⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は (5+) であり、偶奇性は計算結果では負で実験値に一致しない。スピンは、 27 + 72 = 7 または 27 − 27 = 0 となり、実験値とは完全には一致しない。３番目、４番目にエネルギーの低い配位についても、5+ 状態ではない。
ニルソン図を基準にして考えれば、平均場計算の与える配位を構成する n|5,1,4, 72 −⟩準位はフェルミ準位より 1.6MeV 高く、p|4,0,4, 27 +⟩ 準位はフェルミ準位より 2.4MeV 高
いが、この差は必ずしも平均場模型の誤差ととらえる必然性はなく、ニルソン模型の誤差のほうが大きい可能性も否定はできない。
164

41

配位

n|6,3,3, 72 +⟩表 7.14: 162 Tb N =97,Z=65 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )-1312.2843

00.32110.23-1312.1946

0.08970.32360.28-1311.9810

0.30330.32560.15-1311.9181

0.36620.32590.03

p|4,1,1, 32 +⟩n|5,1,2, 52 −⟩p|4,1,1, 23 +⟩n|5,2,1, 12 −⟩p|4,1,1, 21 +⟩n|5,2,1, 32 −⟩p|4,1,1, 23 +⟩Tb N =97,Z=65 についての計算結果を表 7.14 に示す。中性子 |6,3,3, 72 +⟩ と陽子|4,1,1, 23 +⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため n|6,3,3, 72 +⟩ と
p|4,1,1, 32 +⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は (1−) であり、計算結果では偶奇性は+で実験値に一致しない。スピンは、陽子と中性子の Ω が同方向を向いた場合の 27 + 32 = 5 か、反対方向を向いた場合の 72 − 32 = 2 のどちらかであるため、実験値とは完全には一致しない。
計算で２番目に低いエネルギーを持つ解の配位であり、n|5,1,2, 52 −⟩ と p|4,1,1, 32 +⟩については、偶奇性は負で実験値に一致し、スピンも、陽子と中性子の Ω が逆方向を向いた場合を考えると 25 − 32 = 1 で一致する。また、計算で３番目に低いエネルギーを持つ解の配位であり、n|5,2,1, 21 −⟩ と p|4,1,1, 32 +⟩ についても、偶奇性は負で実験値に一致し、スピンも、陽子と中性子の Ω が逆方向を向いた場合を考えると 23 − 21 = 1 で一致する。
２番目にエネルギーの低い配位のほうがエネルギーが 0.09MeV 以上低く計算されていれば正しい配位を再現することができたことになる。0.09MeV の精度での間違いは平
均場模型の精度から判断して間違いが起こってもなんら不思議ではないことが言える。
162

42

配位

n|5,1,2, 52 −⟩表 7.15: 166 Ho N =99,Z=67 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )-1340.0673

00.32200.01-1339.7983

0.26900.31800.00-1339.6901

0.37720.32220.00-1339.6616

0.40570.30640.03

p|5,4,1, 12 −⟩n|5,1,2, 52 −⟩p|4,0,4, 27 +⟩n|5,1,4, 72 −⟩p|4,1,1, 21 +⟩n|5,1,4, 72 −⟩p|4,0,2, 25 +⟩Ho N =99,Z=67 についての計算結果を表 7.15 に示す。中性子 |5,1,2, 52 −⟩ と陽子|5,4,1, 21 −⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため n|5,1,2, 52 −⟩ と
p|5,4,1, 12 −⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 0− であり、計算結果ではパリティは+で実験値に一致しない。スピンは、 25 + 12 = 3 または 52 − 12 = 2 となり、実験値とは完全には一致しない。ほかのエネルギーの低い配位についても、0− 状態ではない。
166

43

配位

n|6,3,3, 72 +⟩表 7.16: 164 Ho N =97,Z=67 の計算結果
エネルギー (MeV) エネルギーの差 (MeV)βγ (◦ )-1325.4422

00.32089.52-1325.2209

0.01330.305210.19-1325.1082

0.29750.31111.64-1325.0535

0.29750.3293

7.89

p|5,4,1, 12 −⟩n|6,3,3, 72 +⟩p|4,1,1, 12 +⟩n|5,2,1, 23 −⟩p|4,1,1, 12 +⟩n|5,0,5, 11−⟩2
p|5,4,1, 21 −⟩Ho N =97,Z=67 についての計算結果を表 7.16 に示す。中性子 |6,3,3, 72 +⟩ と陽子|5,4,1, 21 −⟩ の場所をブロックしたものが最もエネルギーが低かったため n|6,3,3, 72 +⟩ と
p|5,4,1, 12 −⟩ を計算で求めた配位とした。
実験で観測されたスピンと偶奇性は 1+ であり, 計算結果ではパリティは負で実験値に一致しない。スピンは、 72 + 12 = 4 または 72 − 12 = 3 となり、実験値とは完全には一致しない。また、表 7.16 中の２番目以降の計算結果についてもスピンと偶奇性が実験値に一致する配位は、観受けられなかった。
164

44

図 7.4: ニルソン模型による中性子の一粒子状態のエネルギー準位を変形度の関数として表したグラフ（ニルソン・ダイアグラム）（参考文献 [7] の図 5-4 を転載）。特に、Skyrme 力に SIII を用いた平均場計算で決定された配位に関連した準位については色を付けて示した。

45

図 7.5: ニルソン模型による陽子の一粒子状態のエネルギー準位を変形度の関数として表したグラフ（ニルソン・ダイアグラム）（参考文献 [7] の図 5-2 を転載）。特に、Skyrme
力に SIII を用いた平均場計算で決定された配位に関連した準位については色を付けて
示した。

46

7.3

スピンとパリティを実験値と計算で求めた理論値の比較

表 7.17: スピンと偶奇性の実験値と各種計算値の比較。exp. は実験値、Nil. はニルソン
模型、SLy4 と SIII はそれぞれの Skyrme 力を使用した平均場法での計算結果を表す。
実験値を赤で示し、実験値と等しいスピンと偶奇性も赤で示した。

164
67 Ho97

exp. Nil. SLy4
5+
6+
1+
1+
1+

165
67 Ho98

SIII
4−

exp. Nil.
7
−
2

166
67 Ho99

SLy4 SIII

7
−
2

5
+
2

7
+
2

3−

163
66 Dy97

exp. Nil.
7−
0−
0−

164
66 Dy98

SIII

exp. Nil.

SLy4 SIII

exp. Nil.

5
−
2

7
+
2

0+

0+

7
+
2

7
+
2

162
65 Tb97

exp. Nil. SLy4
35+
(1-)
02+

0+

0+

163
65 Tb98

SIII
5+

exp. Nil.
3
+
2

3
+
2

2+

47

2+

7
+
2

SLy4 SIII
5
−
2

5
−
2

164
65 Tb99

SLy4 SIII

3
+
2

1+

165
66 Dy99

exp. Nil. SLy45−2SLy4 SIII
6+
3+

7
+
2

exp.

Nil.
5+

SLy4 SIII
6+
7−

2+

1+

(5+)
0−

第 8 章 まとめ
本研究ではまず Skyrme HFB 法プログラム HFODD を使用して原子核の配位を決定するための基礎知識を学び、その後 2 つの Skyrme 力のパラメーターセットを使用して、変形核の典型例としての 164 Dy に隣接する 8 個の奇核、奇々核の基底状態の配位を Skyrme HFB コード HFODD で求めた。パラメーターセットは最近導入された SLy4と古くからある SIII を使用した。設定したパラメーターセットでは基底状態の配位から求まるスピンと偶奇性が実験値と同じものと、異なるものがでた。不一致の場合の主な原因として、使用したパラメーターセットが適切ではなかったことが考えられる。
今後の課題として実験値と計算による理論値が同じ値になるように模型を修正していくことが挙げられる。この修正をするには様々な Skyrme 力のパラメーターセットを使用して計算を行い、実験値と同じ値がでるものがないか確認していく。また、対相関力の強度を変えてみることも必要である。そして、計算がうまく行われているか確
かめるためにも、調和振動子基底のサイズを拡大してみて、計算結果が変わらないことも確かめるべきである。我々が使用したプログラムでは、人の手でブロックする軌
道の組み合わせを指定しなくてはいけなく、欲しい配位がでるまで何回もプログラム
を回さなければならない。そこに人為的な間違いが起こる可能性があるので、最終的な目標としては人が打ち込むのは簡単な陽子数と中性子数のみで適切な配位が出力される、HFODD を部品として組み込んだようなプログラムをつくることである。

48

付録 A プログラム HFODD への入力
データの例
以下に HFODD プログラムの標準入力データの例を示す。第１コラムが「!」記号の行はコメント・アウトされた行である。それらの設定項目についてはプログラムのデ
フォルト値が使われる。デフォルト値はプログラムのバージョンによって異なる場合が見られるので注意が必要である。また、日本語の書き込みは全て我々の注釈であり、実際の入力データには含まれていない。
! Tb162 HFB 2014/1/16! created by modifying ca48_lip.dat!-----------------------------------------------------------------------------!
! This file is part of the official HFODD v2.49t release and demonstrates!
! the use of the Lipkin translational energy correction.
!
!-----------------------------------------------------------------------------!

NUCLIDEITERATIONS!ITERAT_EPS!
!SLOW_DOWN!
!SLOW_PAIR!
!MAXANTIOSC!
!PING-PONG!
!CHAOTIC!
!
!
SKYRME-SET---------- General data ----------IZ_FIX
65
自己無撞着性を達成するための反復回数の上限値
200 20

IN_FIX
97
NOITER
1000
EPSITE
0.0000001
SLOWEV SLOWOD
0.50.5
SLOWPA
0.5
NULAST
5
EPSPNG NUPING
0.01
3
NUCHAO
5-----------

Interaction-----------SKYRME
SLY4
スキルム力のパラメータセットをその名称で指定する。
!SKYRME-STD
ISTAND KETA_J KETA_W KETACM KETA_M
!
1
0
1
1
0
!LANDAULANODD X0_LAN X1_LAN G0_LAN G0PLAN G1_LAN G1PLAN!
000
20.73533 0.16
0.896
0.4
1.2
0.0
!EVE_SCA_TS
RHO
RHOD
LPR
TAU
SCU
DIV
!
1. 1.
1. 1.
1. 1.
1. 1.
1. 1.
1. 1.

49

!ODD_SCA_TS!
!EVE_SCA_PM!
!ODD_SCA_PM!
!
!
PAIRING

SPI
1. 1.
RHO
1. 1.
SPI
1. 1.

SPID
1. 1.
RHOD
1. 1.
SPID
1. 1.

LPS
1. 1.
LPR
1. 1.
LPS
1. 1.

----------

CUR
1. 1.
TAU
1. 1.
CUR
1. 1.

Pairing

KIS
1. 1.
SCU
1. 1.
KIS
1. 1.

------------IPAIRI1
HFB
IPAHFB
1
PAIR_FORCE V0
V1
alpha-220.0 0.0 1.0!
!
----------- Symmetries ------------ROTATIONIROTAT
1!SIMPLEXYISIMPY!
1!SIGNATUREYISIGNY!
1!TSIMPLEXESISIMTX ISIMTZ
!
1
1
!
!
---------- Configurations ---------!PHNONE_NEU
PARTICLES
HOLES
!
1
000
000
!PHNONE_PRO
PARTICLES
HOLES
!
1
000
000
!VACSIM_NEU
SIMP SIMM!
69
68!VACSIM_PRO
SIMP SIMM!
44
44!PHSIMP_NEU
PARTICLES
HOLES
!
1
00
00
00
00
!PHSIMP_PRO
PARTICLES
HOLES
!
1
00
00
00
00
!VACSIG_NEU
PPSP PPSM PMSP PMSM
!
07
07
07
07
!VACSIG_PRO
PPSP PPSM PMSP PMSM
!
07
07
03
03
!PHSIGN_NEU
PARTICLES
HOLES
!
1
00
00
00
00
00
00
00
00
!PHSIGN_PRO
PARTICLES
HOLES
!
1
00
00
00
00
00
00
00
00
!DIASIM_NEU
PARTICLES
HOLES
!
00
00
00
00
!DIASIM_PRO
PARTICLES
HOLES
!
00
00
00
00

50

ROT
1. 1.
DIV
1. 1.
ROT
1. 1.

TYPE
0 0
TYPE
0 0

!DIASIG_NEU!
!DIASIG_PRO!
!
!
BASIS_SIZE!HOMEGAZERO!
!EPS_HERMIT!
!OPTI-GAUSS!
!GAUSHERMIT!
SURFAC_PAR
SURFAC_DEF
SURFAC_DEF
SURFAC_DEF!
!
!
!
OMEGAY!MAX_MULTIP!
!MAX_SCHIFF!
MULTCONSTRNILSSONLAB!
!
!PRINT-ITER!
!PRINT-MOME!
!EALLMINMAX!
!EQUASI_MAX
!
!
!

00
00

PARTICLES00
00
PARTICLES
00
00

00

00

00

00

HOLES
00
00
HOLES
00
00

---- Parameters of the HO basis
NLIMIT ENECUT
680
800.0

NOSCIL
14
FCHOM0
1.2
EPSHER
1.E-14IOPTGS1NXHERM NYHERM NZHERM
34
34
34
INNUMB IZNUMB R0PARM
98
66
1.23
LAMBDAMIU
ALPHAR
20-0.15
LAMBDAMIU
ALPHAR
2
2-0.1837117307
LAMBDAMIU
ALPHAR
4
0
0.0
2
0
0.20
4
0
0.0
----------OMEGAY
0.00
NMUCON3
NSICON0LAMBDA2
NILXYZ2

IPRSTA
1
IPRI_N
1
EMINAL-72.
EMAXQU
10.

0

00

0

----

α 20 の値
α 22 の値
α 40 の値

Constraints

NMUCOU NMUPRI
4
4
NSIPRI0MIU
STIFFQ QASKED
0
0.10
17.0

00

------------IFLAGQ0対称軸を y 軸にしたことを表す-----IPRMID
0
IPRI_P
1
EMAXAL10.

Output-file
IPRSTO1
IPRI_T1parameters------------------- Blocking --------------

51

TYPE
0 0
TYPE
0 0

0
0

BLOCKSIG_N
BLOCKSIG_P!
!REVIEWFILE!
!RECORDFILE!
!REPLAYFILE!
!REC_FIELDS!
!REP_FIELDS!
!COULOMFILE!
!REVIEW!
!RECORDSAVE!
!COULOMSAVE!
!FIELD_SAVE!
!FIELD_OLD!
!
!
!RESTART!
!CONT_PAIRI!
!NILSSONPAR!
!
!
EXECUTE

INSIGN IPSIGN ISSIGN IDSIGN
25001
INSIGP IPSIGP ISSIGP IDSIGP
17001-------------- Files
FILREV
ca48_lip.rev
FILREC
ca48_lip.rec
FILREP
ca48_lip.rec
FILREC
ca48_lip.fic
FILREP
ca48_lip.fic
FILCOU
ca48_lip.cou
IREVIE
1
IWRIRE
1
ICOULI ICOULO
1
1
IWRIFI
1
IWRIOL
1

ICONTI0
IPCONT
0NILDAT0---------------------Starting the iteration------CNILSN-1.175DNILSN-0.247HBANIX
11.170CNILSP-1.175DNILSP-0.352------------

Calculate-------------------------

Terminate-------------

ALL_DONE52

HBANIY
11.170HBANIZ
6.280

付録 B プログラム HFODD の出力の例
プログラム HFODD の出力の例を抜粋したものを下記に示す。日本語の記述は、全て我々が説明として書き込んだものである。
**********************************************************************************S I N G L E - C O R E
V E R S I O N** ここで用いたプログラムの他に、並列計算のバージョンもパッケージに同梱されている********************************************************************************
*
*
*
HFODD
HFODD
HFODD
HFODD
HFODD
HFODD
HFODD
HFODD
*
*
*
**********************************************************************************SKYRME-HARTREE-FOCK-BOGOLYUBOV CODE VERSION: 2.49T** 上の行に、使用したプログラムのバージョン「2.49t」が明記されている**
NO SYMMETRY-PLANES AND NO TIME-REVERSAL SYMMETRY****
DEFORMED CARTESIAN HARMONIC-OSCILLATOR BASIS*************************************************************************************
J. DOBACZEWSKI, B.G. CARLSSON, J. DUDEK, J. ENGEL**
J. MCDONNELL, P. OLBRATOWSKI, P. POWALOWSKI, M. SADZIAK**
J. SARICH, W. SATULA, N. SCHUNCK, J.A. SHEIKH**
A. STASZCZAK, M. STOITSOV, P. TOIVANEN, M. ZALEWSKI**AND H. ZDUNCZUK****INSTYTUT FIZYKI TEORETYCZNEJ, WARSZAWA**LAWRENCE LIVERMORE NATIONAL LABORATORY, USA****
1993-2011******************************************************************************************************************************************************************** CODE COMPILED WITH THE FOLLOWING ARRAY DIMENSIONS AND SWITCHES:************************************************************************************* NDBASE = 680 NDSTAT = 680 NDXHRM =40 NDYHRM =40 NDZHRM =
40 *
*
*

53

* NDMAIN =16 NDMULT =9 NDMULR =4 NDLAMB =9 NDITER = 5000 **** NDAKNO =1 NDBKNO =1 NDPROI =20 NDCOUL =80 NDPOLS =25 **** NDPROT =10 NDBTKN =10**** IPARAL =0 I_CRAY =
0
*
*
*
*
*
* PRE-PROCESSOR OPTIONS:****
switch_port = 1
switch_diag = 3
switch_cray = 0****
switch_nagl = 0
switch_quad = 0
switch_vect = 1*********************************************************************************** 計算の開始時刻が次行に印字されている。出力の末尾には終了時刻も印字されている。
** EXECUTION BEGINS ON 2014.01.21 AT 21:17:34.119******************************************************************************************************************************************************************** CLASSICAL NUCLEAR SURFACE DEFINED FOR:N = 98
Z = 66 ************************************************************************************* AL10 =ZERO AL11 =ZERO ............. ............. ............. **** AL20 = -0.150 AL21 =ZERO AL22 = -0.184 ............. ............. *************************************************************************************HOMEGA= 8.9884 FCHOM0= 1.2000 **** OSCILLATOR FREQUENCIES: HBAROX= 9.8698 HBAROY= 7.4549 HBAROZ= 9.8697 **** MOMENTS OF INERTIA:XMOMFC= 81.8621 YMOMFC= 59.4753 ZMOMFC= 81.8619 **** CENTERS OF MASS:CMSXFC= 0.0000 CMSYFC= -0.0000 CMSZFC= 0.0000 ****************************************************************************************************************************************************************** 用いた Skyrme 力のパラメータセット名と、そのパラメータの値が示されている**
SKYRME FORCE DEFINITION************************************************************************************* PARAMETER SET SLY4: T0= -2488.91 T1=
486.82 T2= -546.39 T3= 13777.00 *

54

*
*
* POWER=1/6 W=123.000 X0= 0.83400 X1= -0.34400 X2= -1.00000 X3= 1.35400 **** ETA_J=0 ETA_W=0 ETACM=0 ETA_M=1
HBM= 20.73553 (SKYRME-FORCE SPIN-ORBIT) ******************************************************************************************************************************************************************** NON-STANDARD TREATMENT OF THE SKYRME FORCE: ETA_J=1 ETA_W=0 ETACM=0 ETA_M=0 **** THIS INCLUDES:**** NON-STANDARD TREATMENT OF THE TENSOR TERMS: THESE TERMS HAVE BEEN INCLUDED **** NON-STANDARD TREATMENT OF THE HBAR^2/2M PARAMETER:** VALUE FROM THE PREVIOUS VERSION (v1.75r) HAS BEEN USED: HBMASS= 20.73620941 ********************************************************************************************************************************************************************
COUPLING CONSTANTS DEFINING THE SKYRME FUNCTIONAL*************************************************************************************TOTAL(T)SUM(S)ISOSCALAR(P) ISOVECTOR(M)**------------------------ -----------**
CRHO_ =
-1763.394861
1660.104971-933.342375
830.052485**
CRHOD =
1925.335750 -2128.546500
861.062500 -1064.273250**
CLPR_ =
-92.653338
31.314270-76.996203
15.657135**
CTAU_ =
32.471951
49.313473
57.128687
24.656736**
CSCU_ =
-47.366201
129.151625
17.209611
64.575812**
CDIV_ =
-61.500000-61.500000-92.250000-30.750000****
CSPI_ =
-518.938360
622.228250-207.824235
311.114125**
CSPID =
777.252417-574.041667
490.231583-287.020833**
CLPS_ =
32.774724
28.564344
47.056896
14.282172**
CCUR_ =
-32.471951-49.313473-57.128687-24.656736**
CKIS_ =
47.366201-129.151625-17.209611-64.575812**
CROT_ =
-61.500000-61.500000-92.250000-30.750000****************************************************************************************************************************************************************** 計算で使用した物理定数の値が示されている。
** PHYSICAL CONSTANTS:
H_BARC=197.32891000
HBCOE2=137.03602000 ****XMASSN=938.90590000
XMASSP=938.27231000 *
*
*

55

*
HBMASS= 20.73620941
HBMRPA= 20.60820812 ****ECHAR2= 1.43997841
COULEX= -1.06350868 ************************************************************************************* OSCILLATOR LENGTHS:
X= 2.0498695
Y= 2.3586318
Z= 2.0498730 **** OSCILLATOR CONSTANTS:
X= 0.4878359
Y= 0.4239746
Z= 0.4878351 **** OSCILLATOR FREQUENCIES: X= 9.8697674
Y= 7.4548530
Z= 9.8697342 ************************************************************************************* BASIS CUT-OFF CONTROL PARAMETERS: NXMAXX = 13 NYMAXX = 14 NZMAXX = 13 **** OPTIMUM NUMBERS OF GAUSS POINTS: NXHERM = 28 NYHERM = 30 NZHERM = 28 ****NLIMIT= 680 LDBASE= 680 MCOUNT= 3375 ****ENECUT= 800.0000
ELIMIT= 144.5290 ****************************************************************************************************************************************************************** ３次元調和振動子基底の有限次元への truncation 方法の詳細が記述されている。
*
SHAPE OF THE OSCILLATOR-BASIS DIAMOND(THREE CONSECUTIVE PROJECTIONS) *************************************************************************************
NX ===>>> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13**
MAX.NY => 14 14 14 13 12 10 9 8 6 5 4 2 1 0**-----------------------------------------**
NY= 0 (13) | 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 1 (12) | 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 2 (11) | 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 3 (10) | 11 10 9 8 7 6 5 3 2 1 0**
NY= 4 (10) | 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 5 ( 9) | 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 6 ( 8) | 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 7 ( 7) | 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 8 ( 7) | 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 9 ( 6) | 6 5 4 3 2 1 0**
NY=10 ( 5) | 5 4 3 2 1 0**
NY=11 ( 4) | 4 3 2 1 0**
NY=12 ( 4) | 4 3 2 1 0**
NY=13 ( 3) | 3 2 1 0**
NY=14 ( 2) | 2 1 0
*
*
*
*
*

56

*

*
NZ ===>>> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13**
MAX.NY => 14 14 14 13 12 10 9 8 6 5 4 3 1 0**-----------------------------------------**
NY= 0 (13) | 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 1 (12) | 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 2 (11) | 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 3 (11) | 10 9 8 7 6 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 4 (10) | 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 5 ( 9) | 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 6 ( 8) | 8 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 7 ( 7) | 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 8 ( 7) | 7 6 5 4 3 2 1 0**
NY= 9 ( 6) | 6 5 4 3 2 1 0**
NY=10 ( 5) | 5 4 3 2 1 0**
NY=11 ( 4) | 4 3 2 1 0**
NY=12 ( 4) | 4 3 2 1 0**
NY=13 ( 3) | 3 2 1 0**
NY=14 ( 2) | 2 1 0
*
*
*
*
*
*
NZ ===>>> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13**
MAX.NX => 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0**-----------------------------------------**
NX= 0 (13) | 14 14 14 13 12 10 9 8 6 5 4 3 1 0**
NX= 1 (12) | 14 14 13 12 10 9 8 6 5 4 3 1 0**
NX= 2 (11) | 14 13 12 10 9 8 6 5 4 3 1 0**
NX= 3 (10) | 13 12 10 9 8 6 5 4 3 1 0**
NX= 4 ( 9) | 12 10 9 8 6 5 4 3 1 0**
NX= 5 ( 8) | 10 9 8 6 5 4 3 1 0**
NX= 6 ( 7) | 9 8 6 5 4 3 1 0**
NX= 7 ( 6) | 8 6 5 4 2 1 0**
NX= 8 ( 5) | 6 5 4 2 1 0**
NX= 9 ( 4) | 5 4 2 1 0**
NX=10 ( 3) | 4 2 1 0**
NX=11 ( 2) | 2 1 0**
NX=12 ( 1) | 1 0**
NX=13 ( 0) | 0****************************************************************************************************************************************************************** 計算した原子核は中性子数 97 個、陽子数 65 個であり、反復回数が最大 1000 回である。
** NUCLIDE: N = 97 Z = 65 NUMBER OF ITERATIONS = 1000
CONTINUATION? = 0 *********************************************************************************** 自己無撞着解へ収束させるための手法に関係するパラメータの値が記されている。
** SLOW-DOWN PARAMETERS:** TIME-EVEN = 0.50
TIME-ODD = 0.50
PAIRING = 0.50
LIPKIN-NOGAMI = 0.50 ***57

******************************************************************************** 解への収束を速くするブロイデン法を使うこともできるが、この計算では使わない。
** BROYDEN METHOD IS: OFF****
ITERATIONS WILL PROCEED BY STANDARD LINEAR MIXING WITH SLOWING FACTORS**DISPLAYED EARLIER*********************************************************************************** 陽子間に働くクーロン力の直接項を計算する方法が記されている。
** DIRECT COULOMB TERMS SOLVED BY GREEN FUNCTION AND FOURIER TRANSFORM METHOD ** COULOMB PARAMETERS: NUMCOU = 80 NUMETA = 79 BOUCOU = 20.0 FURMAX =0.25 *********************************************************************************** 陽子間に働くクーロン力の交換項はスレーター近似で扱うと記されている。
** EXCHANGE COULOMB TERMS TREATED BY THE SLATER APPROXIMATION************************************************************************************* MAXIMUM NUMBERS OF MULTIPOLE MOMENTS USED FOR THE CONSTRAINTS,
NMUCON=2 **FOR THE COULOMB FIELD, NMUCOU=4 **FOR THE OUTPUT INFO,NMUPRI=4 ************************************************************************************* PRINTING THE RESULTS FOR THE FOLLOWING ITERATIONS:THE FIRST: YES **THE MIDDLE: NO **AND/OR THE
LAST: YES ************************************************************************************* PRINTING THE MOMENTS, RADII, AND DEFORMATIONS FOR:
NEUTRONS: YES **PROTONS : YES **MASS: YES ************************************************************************************* PRINTING THE MOMENTS, MOMENTA AND DEFORMATIONS IN THE INTRINSIC FRAME: YES ************************************************************************************* NILSSON LABELS OF SINGLE-PARTICLE STATES SHOWN WITH RESPECT TO THE: Y-AXIS ************************************************************************************* CALCULATIONS WITH THE HFB PAIRING CORRELATIONS************************************************************************************* INITIAL VALUES OF PAIRING PROPERTIES:FERMI ENERGYPAIRING GAP**NEUTRONS:-8.0000
1.0000*58

*PROTONS:-8.0000
1.0000************************************************************************************* CONTACT PAIRING INTERACTION:
V0
V1
RHO-SATPOWER**
NEUTRONS: -220.000
0.000
1.000
1.0000000**
PROTONS: -220.000
0.000
1.000
1.0000000************************************************************************************* BLOCKING OF QUASIPARTICLES THAT HAVE LARGEST OVERLAP WITH PARTICLE STATES: **NUMBER PARITY SIGNATURE**
NEUTRONS:
25
0
0
YES *
*
PROTONS:
17
0
0
YES *
*
*
********************************************************************************** CUTOFF ENERGY DEFINING THE ACTIVE HFB PAIRING SPACE=
60.000************************************************************************************* CALCULATIONS WITH PARITY/SIGNATURE SYMMETRY************************************************************************************* CALCULATIONS WITH TIME-ODD SYMMETRIES:T*SIMPLEX_X =>CONSERVED **T*SIMPLEX_Y => NON CONSERVED **T*SIMPLEX_Z =>CONSERVED ************************************************************************************* CALCULATIONS WITH BROKEN TIME-REVERSAL SYMMETRY************************************************************************************* CALCULATIONS WITH ONE-DIMENSIONAL CRANKING FOR THE ROTATIONAL FREQUENCIES: **** OMEGAY = 0.000000 (ISOSCALAR)ANDOMISOY = 0.000000 (ISOVECTOR) ************************************************************************************* PARAMETERS OF THE NILSSON MODEL
NEUTRONS *************************************************************************************ESCALE =68.531
KAPPA = 0.064
MIU = 0.420 ****HOMEGA = 8.988
CNILSS =-1.145
DNILSS =-0.240 **** OSCILLATOR FREQUENCIES: X= 9.869767418
Y= 7.454852997
Z= 9.869734217 *

59

*
*
*******************************************************************************
以下 752 行を省略する。省略された行では、反復の初期状態での個々の一準粒子状態の性質と、一粒子軌道 (HFB canonical basis) の性質、原子核全体の各種モーメントの値等が出力されている。

********************************************************************************** CONVERGENCE REPORT************************************************************************************* ITER
ENERGYSTABILITY
Q_2
GAMMA
SPIN OMEGAANGLEEPAIR ****
0 -1009.969706 -342.058189 19.338
0.00 -5.00 0.000
0.000 -16.49 **1 -1381.533181 139.257418 18.640
0.00
6.65 0.000
0.000 -79.23 **2 -1289.924881
40.468157 18.688
0.01
4.74 0.000
0.000 -28.49 **3 -1295.177821
28.851211 18.703
0.01
5.28 0.000
0.000 -25.02 **4 -1300.381052
17.434919 18.779
0.00
5.09 0.000
0.000 -22.50 **5 -1304.885917
10.981678 18.762
0.00
5.22 0.000
0.000 -20.94 *以下 990 行を省略する。

* 995 -1312.634458
0.000085 18.679
5.69
1.95 0.000
0.000 -10.01 ** 996 -1312.634458
0.000084 18.679
5.69
1.95 0.000
0.000 -10.01 ** 997 -1312.634457
0.000083 18.679
5.69
1.95 0.000
0.000 -10.01 ** 998 -1312.634457
0.000081 18.679
5.69
1.95 0.000
0.000 -10.01 ** 999 -1312.634456
0.000080 18.679
5.69
1.95 0.000
0.000 -10.01 **********************************************************************************
以下から 1000 回の反復を完了した後の最終的な状態についての記述が始まる。

******************************************************************************** まず、中性子の一準粒子状態の性質が印字される** SINGLE-QUASIPARTICLE PROPERTIES:NEUTRONS**********************************************************************************
*
*
* NO)
ENERGY (++,+-,-+,--)PARITYV2QUAPEEQUIVDEQUIV
V_CORR *以下、30 行省略する。
* 90)
1.829 ( 0, 0,22, 0)-1.000 0.92740-7.9730.949 1.00000 ** 91)
1.784 (23, 0, 0, 0)
1.000 0.92497-7.9260.940 1.00000 ** 92)
2.756 (24, 0, 0, 0)
1.000 0.72712-7.6622.456 1.00000 ** 93)
1.507 ( 0, 0,23, 0)-1.000 0.89566-7.6030.922 1.00000 ** 94)
1.446 ( 0, 0, 0,23)-1.000 0.89521-7.5530.886 1.00000 ** 95)
1.095 ( 0, 0,24, 0)-1.000 0.79080-7.0470.891 1.00000 ** 96)
1.328 ( 0, 0, 0,24)-1.000 0.73113-7.024
1.178 1.00000 *

60

*
*
*

97)
98)
99)

1.013 ( 0,25, 0, 0)0.839 ( 0, 0, 0, 0) BLO
0.839 ( 0,26, 0, 0) ADD

1.000
1.000
1.000

0.64692
0.64698
0.35302-6.708-6.657-6.657

0.969
0.802
0.802

1.00000
1.00000
0.99999***

上記で 「BLO」と印字された行は、ブロックされた準粒子状態を表す。
「ADD」と印字された行は、代わりに HFB 真空で占拠されているとされた逆符号のエネルギーを持つ
準粒子状態である。

* 100)* 101)* 102)* 103)* 104)* 105)* 106)* 107)* 108)* 109)* 110)

1.007 ( 0, 0,25, 0)
1.083 ( 0, 0, 0,25)
1.547 ( 0, 0, 0,26)
2.723 (25, 0, 0, 0)
1.614 ( 0, 0,26, 0)
1.840 (26, 0, 0, 0)
1.863 ( 0,27, 0, 0)
2.868 ( 0,28, 0, 0)
2.627 ( 0, 0, 0,27)
7.633 ( 0,29, 0, 0)
2.714 ( 0, 0,27, 0)-1.000-1.000-1.0001.000-1.000
1.000
1.000
1.000
-1.0001.000-1.0000.26700
0.265110.13993
0.266380.084400.074400.06574
0.195650.02799
0.33464
0.02671-5.941-5.901-5.296-5.138-5.069-4.844-4.792-4.664-3.930-3.886-3.841

0.891
0.956
1.073
2.408
0.897
0.965
0.923
2.275
0.867
7.203
0.875

1.00001
1.00001
1.00001
1.00000
1.00001
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

以下 46 行省略する。

******************************************************************************** 次に、中性子の HFB 正準基底状態の性質が印字される** SINGLE-PARTICLE PROPERTIES: CANONICAL
NEUTRONS**********************************************************************************
*
*
* NO)
ENERGY (++,+-,-+,--) | N,ny,ly,OMEy>
<P>
<JY>
<SY>
GFACT
*
以下 14 行省略する。
* 90)-8.067 ( 0,24, 0, 0) | 6, 5, 1, 3/2>
100 -1.316 -0.218
0.166
*
* 91)
-8.011 ( 0, 0,22, 0) | 5, 2, 1, 3/2> -100
0.948
0.319
0.337
*
* 92)
-7.968 (24, 0, 0, 0) | 6, 5, 1, 3/2>
100
1.317
0.211
0.160
*
* 93)
-7.613 ( 0, 0,23, 0) | 5, 0, 5,11/2> -100
5.479
0.500
0.091
*
* 94)
-7.551 ( 0, 0, 0,23) | 5, 0, 5,11/2> -100 -5.480 -0.500
0.091
*
* 95)
-7.284 ( 0, 0, 0,24) | 5, 2, 3, 5/2> -100
1.703 -0.315 -0.185** 96)-7.039 ( 0, 0,24, 0) | 5, 2, 3, 5/2> -100 -1.678
0.311 -0.186** 97)-6.951 ( 0,25, 0, 0) | 6, 4, 2, 5/2>
100
2.449
0.340
0.139
*
* 98)
-5.917 ( 0, 0, 0,25) | 5, 2, 1, 1/2> -100
0.710 -0.333 -0.469** 99)-5.838 ( 0, 0,25, 0) | 5, 2, 1, 1/2> -100 -0.735
0.335 -0.455** 100)-5.062 ( 0, 0,26, 0) | 5, 1, 2, 5/2> -100 -2.187 -0.386
0.176** 101)-4.972 ( 0, 0, 0,26) | 5, 1, 2, 5/2> -100
2.187
0.391
0.179
*
* 102)-4.768 ( 0,26, 0, 0) | 6, 3, 3, 7/2>
100 -3.467 -0.398
0.115** 103)-4.744 (25, 0, 0, 0) | 6, 3, 3, 7/2>
100
3.466
0.398
0.115
*
* 104)-3.808 ( 0, 0,27, 0) | 5, 1, 4, 7/2> -100
2.878 -0.402 -0.140** 105)-3.647 ( 0, 0, 0,27) | 5, 1, 4, 7/2> -100 -2.868
0.402 -0.140** 106)-3.560 ( 0,27, 0, 0) | 6, 6, 0, 1/2>
100
0.495
0.174
0.351
*
以下 263 行省略する。省略箇所では下記の情報が印字されている。

61

1. 残りの中性子の HFB 正準基底状態の性質
2. 全中性子についての各種モーメントの値
3. 陽子の各一準粒子状態の性質
4. 陽子の HFB 正準基底状態の性質
5. 全陽子についての各種モーメントの値**********************************************************************************DENSITY INTEGRALS IN THE SKYRME FUNCTIONAL*************************************************************************************TOTAL(T)SUM(S)ISOSCALAR(P) ISOVECTOR(M)**------------------------ -----------**
DRHO_ =
18.921395
9.761580
18.921395
0.601765**
DRHOD =
13.460416
6.939912
13.460416
0.419409**
DLPR_ =
-3.671018-1.898538-3.671018-0.126058**
DTAU_ =
17.040377
8.939715
17.040377
0.839053**
DSCU_ =
0.117695
0.061407
0.117695
0.005119**
DDIV_ =
0.810158
0.414935
0.810158
0.019712****
DSPI_ =
0.002476
0.002319
0.002476
0.002162**
DSPID =
0.001705
0.001602
0.001705
0.001498**
DLPS_ =
-0.008064-0.005069-0.008064-0.002074**
DCUR_ =
0.001098
0.000944
0.001098
0.000790**
DKIS_ =
-0.000036
0.001049-0.000036
0.002133**
DROT_ =
0.001134
0.000711
0.001134
0.000287********************************************************************************************************************************************************************
CONTRIBUTIONS TO ENERGY IN THE SKYRME FUNCTIONAL*************************************************************************************TOTAL(T)SUM(S)ISOSCALAR(P) ISOVECTOR(M)**------------------------ -----------**ERHO_ =
-33365.891081 16205.247669-17660.139951
499.496539**
ERHOD =
25915.819603 -14771.926146
11590.259214-446.365757**
ELPR_ =
340.132117-59.451341
282.654485-1.973709**
ETAU_ =
553.334283
440.848381
973.494366
20.688298**
ESCU_ =
-5.574745
7.930777
2.025478
0.330554**
EDIV_ =
-49.824708-25.518498-74.737062-0.606144**============ ======================== ============**SUM EVEN: -6612.004530
1797.130842-4886.443469
71.569781****
ESPI_ =
-1.284974
1.442950-0.514606
0.672582**
ESPID =
1.325077-0.919382
0.835758-0.430062**
ELPS_ =
-0.264294-0.144793-0.379465-0.029623*

62*
ECUR_ =
-0.035665-0.046557-0.062746-0.019476**
EKIS_ =
-0.001704-0.135442
0.000619-0.137765**
EROT_ =
-0.069758-0.043711-0.104638-0.008832**============ ======================== ============**SUM ODD:-0.331318
0.153065-0.225077
0.046824******************************************************************************************************************************************************************** EULER ANGLES OF THE PRINCIPAL-AXES FRAME IN DEGREESTOTAL **** ALPHA =270.00000 BETA = 90.00000 GAMMA = 0.00000******************************************************************************************************************************************************************** ROOT-MEAN-SQUARE AND GEOMETRIC SIZES IN FERMISTOTAL ***
* R_RMS = 5.2540
X_RMS = 2.6380
Y_RMS = 3.6091
Z_RMS = 2.7604 **** R_GEO = 6.7829
X_GEO = 5.8988
Y_GEO = 8.0703
Z_GEO = 6.1723 ******************************************************************************************************************************************************************** MULTIPOLE MOMENTS [UNITS: (10 FERMI)^LAMBDA]TOTAL ************************************************************************************* Q00 =162.0000 ............. ............. ............. ............. **** Q10 =
ZERO Q11 =ZERO ............. ............. ............. **** Q20 = -7.6884 Q21 =ZERO Q22 =-17.0230 ............. ............. **** Q30 =
ZERO Q31 =ZERO Q32 =ZERO Q33 =ZERO ............. **** Q40 = 0.2228 Q41 =ZERO Q42 = 0.2711 Q43 =ZERO Q44 = 0.6114 ******************************************************************************************************************************************************************** BOHR DEFORMATIONS (FIRST-ORDER APPROXIMATION)TOTAL ************************************************************************************* B10 =
ZERO B11 =ZERO ............. ............. ............. *

63

*
*
* B20 = -0.1363 B21 =ZERO B22 = -0.3017 ............. ............. **** B30 =
ZERO B31 =ZERO B32 =ZERO B33 =ZERO ............. **** B40 = 0.0272 B41 =ZERO B42 = 0.0468 B43 =ZERO B44 = 0.1056 ************************************************************************************* BOHR DENSITY = 0.1239 FM^(-3) BOHR RADIUS = 6.7829 FM****************************************************************************************************************************************************************** 近似的対象軸 (y 軸) を角運動量の量子化軸にとった場合のモーメント）** MULTIPOLE MOMENTS [UNITS: (10 FERMI)^LAMBDA] [INTRINSIC FRAME]TOTAL **** REAL PART FOR A NON-NEGATIVE PROJECTION** IMAGINARY PART FOR A NEGATIVE PROJECTION************************************************************************************* Q00 =162.0000 ............. ............. ............. ............. **............. ............. ............. ............. **** Q10 =
ZERO Q1+1=
ZERO ............. ............. ............. **Q1-1=
ZERO ............. ............. ............. **** Q20 = 18.5866 Q2+1=
ZERO Q2+2= 1.8532 ............. ............. **Q2-1=
ZERO Q2-2=
ZERO ............. ............. **** Q30 =
ZERO Q3+1=
ZERO Q3+2=
ZERO Q3+3=
ZERO ............. **Q3-1=
ZERO Q3-2=
ZERO Q3-3=
ZERO ............. **** Q40 = 0.9374 Q4+1=
ZERO Q4+2= 0.1808 Q4+3=
ZERO Q4+4= 0.0136 **Q4-1=
ZERO Q4-2=
ZERO Q4-3=
ZERO Q4-4=
ZERO ****************************************************************************************************************************************************************** 内部座標系でのモーメントから決定した変形パラメータ（4 章 1 節参照）*
* BOHR DEFORMATIONS (FIRST-ORDER APPROXIMATION) [INTRINSIC FRAME]TOTAL **** REAL PART FOR A NON-NEGATIVE PROJECTION** IMAGINARY PART FOR A NEGATIVE PROJECTION************************************************************************************* B10 =
ZERO B1+1=
ZERO ............. ............. ............. **B1-1=
ZERO ............. ............. ............. *

64

*
*
* B20 = 0.3295 B2+1=
ZERO B2+2= 0.0328 ............. ............. **B2-1=
ZERO B2-2=
ZERO ............. ............. **** B30 =
ZERO B3+1=
ZERO B3+2=
ZERO B3+3=
ZERO ............. **B3-1=
ZERO B3-2=
ZERO B3-3=
ZERO ............. **** B40 = 0.1145 B4+1=
ZERO B4+2= 0.0312 B4+3=
ZERO B4+4= 0.0024 **B4-1=
ZERO B4-2=
ZERO B4-3=
ZERO B4-4=
ZERO ************************************************************************************* BOHR DENSITY = 0.1239 FM^(-3) BOHR RADIUS = 6.7829 FM******************************************************************************************************************************************************************** ANGULAR MOMENTA AND THE FIRST MOMENTS OF INERTIA**********************************************************************************
*
*
*
SPINS
J(1)
*
*
----------------------------------------------------- **ORBITALINTRINSICTOTALORBITALINTRINSICTOTAL ***
* NEUTRONS
2.14567
0.32172
2.46739**PROTONS-0.10296 -0.41317 -0.51613** -------**
TOTAL
2.04271 -0.09145
1.95126************************************************************************************* ANGULAR MOMENTA IN THE INTRINSIC REFERENCE FRAME***********************************************************************************
角運動量の期待値**
SPIN IN X-DIRECTIONSPIN IN Y-DIRECTIONSPIN IN Z-DIRECTION **------------------------------------------------------- **INTRI ORBIT TOTALINTRI ORBIT TOTALINTRI ORBIT TOTAL **** NEUTRONS -0.000 -0.000 -0.000 -0.000 -0.000 -0.000 -0.322 -2.146 -2.467 **PROTONS 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
0.413 0.103 0.516 ** -------**TOTAL 0.000 -0.000 -0.000
0.000 -0.000 -0.000
0.091 -2.043 -1.951 *****************************************************************************************************************************************************************
*
*

65

*
ENERGIES (MEV)*
STOP ALL DONE************************************************************************************ KINETIC: (NEU)= 1913.830325(PRO)= 1066.018835(TOT)= 2979.849160 ** SUM EPS: (NEU)= -2288.958418(PRO)= -1422.280371(TOT)= -3711.238790 ** PAIRING: (NEU)=-7.350837(PRO)=-2.656516(TOT)=-10.007352 ** P-REARR: (NEU)=
0.000000(PRO)=
0.000000(TOT)=
0.000000 **** PAIRGAP: (NEU)=
1.004542(PRO)=
0.636730
THIS SPACE IS EMPTY ** E-FERMI: (NEU)=-6.409890(PRO)=-7.795008
AND AWAITS YOUR AD **** COULOMB: (DIR)=
557.297519(EXC)=-24.721842(TOT)=
532.575677 **** CONSTR. (MULT)=
0.000000SLOPE=
0.000000
CORR.=
0.000000 ** CONSTR. (SURF)=
0.000000SLOPE=
0.000000
CORR.=
0.000000 ** CONSTR. (SPIN)=-0.000000
SLOPE=
0.000000
CORR.=-0.000000 **** REARRANGEMENT ENERGY FROM THE SKYRME DENSITY-DEPENDENT TERMS=
928.691596 ** ROUTHIAN (TOTAL ENERGY PLUS MULTIPOLE AND SPIN CONSTRAINTS)= -1312.634456 **** SPIN-ORB (EVE)=-75.343206(ODD)=-0.113470(TOT)=-75.456676 ** SKYRME: (EVE)= -4814.873688(ODD)=-0.178253(TOT)= -4815.051941 **** TOTAL: (STAB)=
0.000079(SP)= -1312.634377(FUN)= -1312.634456 *(FUN) が全体のエネルギー*********************************************************************************
以下 69 行を省略する。省略された行では標準出力以外の出力ファイルの名称
各サブルーチンが計算の実行のために消費した時間、および、call された回数******************************************************************************** 57 行目の開始時刻と次行の終了時刻から計算にに要した時間がわかる** EXECUTION ENDS ON 2014.01.22 AT 06:06:31.749**********************************************************************************

66

参考文献
[1] M. G. Mayer and R. G. Sachs, On closed shells in nuclei II, Phys. Rev. 74, 235-239(1948) ; M. G. Mayer, On closed shells in nuclei II, Phys. Rev. 75, 1969-1970 (1949)[2] O. Haxel, J. H. D. Jensen, and H. E. Suess, On the ‘’magic numbers” in nuclear
structure, Phys. Rev. 75, 1766-1766 (1949)[3] J. Dobaczewski, J. Dudek, et al., Comp. Phys. Comm., 102, 166 (1997).
[4] J. Dobaczewski, J. Dudek, et al., Comp. Phys. Comm., 102, 183 (1997).
[5] 安 成弘、若林 宏明,[6] 山田 勝美,

基礎原子力工学,

電気学会, 1995

原子核はなぜ壊れるのか, 丸善株式会社,

1987[7] A. Bohr and B.R. Mottelson , Nuclear Structure, Vol.2, Benjamin(London),1975[8] 新井 朝雄, 多体系と量子場, 岩波書店, 2002
[9] J. Bardeen, L. Cooper and J. R. Schrieﬀer: Phys. Rev. 108, 1175 (1949)[10] J. Dobaczewski, J. Dudek, et al., Comp. Phys. Comm., 102, 166 (1997).
[11] J. Dobaczewski, J. Dudek, et al., Comp. Phys. Comm., 131, 164 (2000).
[12] J. Dobaczewski, P. Olbratowski, et al., Comp. Phys. Comm., 158, 158 (2004).
[13] J. Dobaczewski, P. Olbratowski, et al., Comp. Phys. Comm., 167, 214 (2005).
[14] J. Dobaczewski, W. Satula, B.G. Carlsson, et al., Comp. Phys. Comm., 180, 2361
(2009).
[15] N. Schunck, J. Dobaczewski, J. McDonnell, et al., Comp. Phys. Comm., 183, 166(2012).
[16] J. Dobaczewski,B.G. Carlsson, J. Dudek, J. Engel, P. Olbratowski, et al., HFODD(v.2.40h): User’s Guide, arXiv0909.3626v1 (2009).
[17] L. Bonneau et al., Phys. Rev. C, 76, 024320 (2007).

67

謝辞
本論文を作成するにあたり、田嶋直樹先生には終始丁寧なご指導をしていただいたことに感謝し、お礼申し上げます。また林明久先生にも本研究及び日常的なことにおいても、実に丁寧な指導、お世話をしていただきました。同じ研究室の 大籏陽平先輩にも大変為になる助言を頂きました。ここに感謝の意を表します。

68