確率杉と田乱洋

大阪大学大学院理学研究科数• 確率論の目的• 乱数とは• 硬貨投げはランダムか？
• 極限定理• モンテカルロ法• ひとこと…

確率論の目的
１．ランダム性の解析（デタラメ、不規則）
２．公平性（ゲーム、経済）３．予測（天気予報、リスク管理）
４．……

何を調べればよいのか？

「確率」の原意

中国語
Probability = 確率 = 十中八九確実なこと = 「概率」

Probably = たぶん = 十中八九
Probably > likely > maybe ≒ perhaps > possibly
Almost surely
Probability theory = 確率論= 十中八九確実なことに関する理論

確率論の第一の目的

ランダム性の解析≒
十中八九確実なことを詳しく調べること？

• 確率論の目的• 乱数とは• 硬貨投げはランダムか？
• 極限定理• モンテカルロ法• ひとこと…

「ランダムである」とはどういうことか？
ランダムである

規則的である＝最も規則的でない「規則的である」とはどういうことか？

規則的圧縮可能• 画像の圧縮 (zip)

100×100 画素：40054 byte

583 byte

ランダム589 byte

666 byte1853 byte 2967 byte

圧縮されにくい

規則的

圧縮可能

• 円周率 π の小数点以下5兆桁
3.1415926535 … 9484283852
圧縮
プログラム

定義
どのような方法でもほとんど圧縮することができないときランダムという．

抽象化、普遍化、…

数、文章、音声、画像、映像、動き、…
デジタル符号化{0,1}-列

定義

どのような方法でもほとんど圧縮することができない長い {0,1}-列を乱数という．

• 確率論の目的• 乱数とは• 硬貨投げはランダムか？
• 極限定理• モンテカルロ法• ひとこと…

硬貨投げ
1/2

表

1/41/2

裏

1/41/2

表

1/41/2

裏

1/4

表
1/21/2

裏

硬貨投げ
n2n

表=1裏
確率00…0001/2×…×1/2 = 1/2n00…001……….

1/2×…×1/2 = 1/2n

11…110

1/2×…×1/2 = 1/2n

11…111

1/2×…×1/2 = 1/2n=0

硬貨投げでできる{0,1}-列は乱数か？
例：

00…00011…111
5000

5000

圧縮できるので乱数ではない．

硬貨投げでできる{0,1}-列は乱数でないこともある！

長さ 10000 の {0,1}-列のうち圧縮すると長さ 9990 以下の {0,1}-列になるものの個数は？
高々21 + 22 + ⋯ + 29990 = 29991 − 2• 長さ 𝑘 の {0,1}-列の総数 = 2𝑘 個
• 長さ 10000 の {0,1}-列のうち圧縮すると長さ 𝑘∴の {0,1}-列になるようなものの個数は高々 2𝑘 個•

21 + 22 + ⋯ + 29990 = 𝑥 とおくと•

2𝑥 = 22 + 23 + ⋯ + 29991 = 𝑥 + 29991 − 21

• 両辺から 𝑥 を引いて 𝑥 = 29991 − 2 を得る．

∴

10000 回の硬貨投げでできる {0,1}-列が圧縮
すると長さ 9990 以下の {0,1}-列になる確率は？
• 長さ 10000 の {0,1}-列の総数 = 210000 個• 長さ 10000 の {0,1}-列のうち圧縮すると長さ9990 以下の {0,1}-列になるようなものの個数は高々29991 − 2

したがって求める確率は高々29991 −229991
11< 10000 = 9 =10000
222512

10000 回の硬貨投げでできる {0,1}-列が長さ9990 以下の {0,1}-列に圧縮できない確率は？

1511
1−== 0.998 以上
512 512

硬貨投げでできる長い{0,1}-列は、非常に高い確率で乱数である．

乱数：まとめ• どのような方法でもほとんど圧縮できない長い {0,1}-列を乱数という．
• 長い {0,1}-列の圧倒的大多数は乱数である．
• 硬貨投げの結果で得られる長い {0,1}-列は非常に高い確率で乱数である．
• 乱数はコンピュータでも生成することができない．
• 乱数は「乱数であること」を証明することができない．

• 確率論の目的• 乱数とは• 硬貨投げはランダムか？
• 極限定理• モンテカルロ法• ひとこと…

確率論の目的
１．ランダム性の解析（デタラメ、不規則）
２．公平性（ゲーム、金融、経済）３．予測（天気予報、リスク管理）
４．……

何を調べればよいのか？
乱数の性質を調べればよい．

乱数の性質はどうやって調べるか？
• 硬貨投げでできる長い{0,1}-列は、非常に高い確率で乱数である．
だから…
• 硬貨投げでできる長い{0,1}-列に関する事象で非常に高い確率で起こるものについて調
べれば、ほぼ乱数の性質が分かる．

{0,1}-列全体乱数の集合非常に高い確率とされる{0,1}-列の集合 = 十中八九確実なこと

確率論の第一の目的
ランダム性の解析=乱数の性質の解析≒
十中八九確実なことを詳しく調べること=極限定理

ベルヌーイの定理 ― 大数の法則
実験：100回硬貨を投げて表と裏の出た回数を数える．
1110110101 1011101101 0100000011 0110101001 0101000100
0101111101 1010000000 1010100011 0100011001 1101111101

表(=1)の出た回数 = 51

硬貨を投げる回数を増やすと、表の出る回数の比率が 1/2 に近づく．

・100回硬貨投げるとき表が 𝑘 回出る場合の数は100!
100C𝑘 =100 − 𝑘 ! 𝑘!

𝑘 = 0,1, … , 100

・表の出る回数が 50 ± 15以内である場合の数は
65
100𝐶𝑘 = 1265381593893094343173016682006
𝑘=35・表裏の出方の総数は2100 = 1267650600228229401496703205376

・表の出る回数が 50 ± 15以内である確率は1265381593893094343173016682006= 0.9982100696
1267650600228229401496703205376

• 1000回硬貨投げるとき表の出る回数が 500 ± 150以内である確率は650
𝑘=350 1000C𝑘= 0.999999999999999999999135703693
1000
2• 1000回硬貨投げるとき表の出る回数が 500 ± 50以内である確率は550
𝑘=450 1000C𝑘
21000= 0.998608258405577913777674858896• 10000回硬貨投げるとき表の出る回数が 5000 ± 150以内である確率は5150
𝑘=4850 10000C𝑘
21000= 0.998694631046660666521012366458

まとめると…
投げる回数

表の出る回数の区間

100

1000
10000

確率50±15

区間の幅
投げる回数
0.30

99.8%

500±505000±150

0.10
0.03

99.9%
99.9%

長さ 10000 の乱数は「表の出る回数が 5000 ± 150以内である」という性質を持つ．

一般の硬貨投げ：表の確率 = 𝒑, 裏の確率 = 1 − 𝒑定理（ベルヌーイ）
どんな小さな 𝜀 > 0 に対しても、硬貨を投げる
回数 𝑛 を大きくすると表の出る回数𝑛が区間 𝒑 ± 𝜀 に入る確率が 1 に収束する．

• 確率論の目的• 乱数とは• 硬貨投げはランダムか？
• 極限定理• モンテカルロ法• ひとこと…

例題
硬貨を100回投げるとき、表が続けて 6 回以上出る確率 𝒑 を求めよ．
解法• 「硬貨を100回投げる」を 1000000 回繰り返す．

• そのうちで「表が続けて 6 回以上出る」が起こった回数を S とする．
• S/1000000 を 𝒑 の推定値とする．

S は「表の出る確率が 𝒑 の硬貨を 1000000 回投げたとき表が出る回数」と思うことができるから、ベルヌーイの定理（チェビシェフ不等式）
𝑃𝑆
199−𝒑 ≤≥
1000000
200
100• S/1000000 と 𝒑 の差が 1/200 以下になる確率は 99%以上である．

実際の手続き• 硬貨を投げる回数は 100 × 1000000 = 108 ．
• 本物の硬貨を投げるのは実行不可能．
• コンピュータで生成する「疑似乱数」を用いて計算する．

デモンストレーションをご覧下さい。

疑似乱数 (RWS法）
例題を解くための疑似乱数生成器

𝑔 ∶ 長さ 238 の 0,1 -列 → 長さ 108 の 0,1 -列𝜔

: 長さ 238 の {0,1}-列 (種)𝑔(𝜔) :長さ 108 の 0,1 -列 (疑似乱数)

より 𝑆(𝑔(𝜔)) /1000000 を計算して 𝒑 を推定する．
デモンストレーションをご覧下さい。

定理（ RWS 法 ）𝑃𝑆(𝑔 𝜔 )199−𝒑 ≤≥
1000000
200100• S(𝑔(𝜔))/1000000 と 𝒑 の差が 1/200 以下になる確率は 99%以上である．

RWS 法を用いれば、108 回の硬貨投げの代わりに 238 回の硬貨投げで済む．

長さ108 の {0,1}-列全体
乱数の集合

長さ238の 0,1 -列 ω𝑔(𝜔)チェビシェフ不等式によって99% 以上とされる{0,1}-列の集合

RWS 法 𝑔 ∶0,1 238 →8100,1の定義

 種を半分に分ける：𝜔 = 𝑥, 𝛼 ∈ 0,1 119 × 0,1 119
 𝑥 = 𝑥1 , ⋯ , 𝑥119 および 𝛼 = 𝛼1 , ⋯ , 𝛼119 から 次を定義する：
119

119𝑥𝑖 2−𝑖𝑥≔
𝑖=1𝛼𝑖 2−𝑖𝛼≔𝑖=1 𝑧𝑘 ≔ 𝑥 + 𝑘𝛼 mod 1 , 𝑘 = 1, ⋯ , 106 𝑧𝑘 の2進数表記の小数第 𝑖 桁目を 𝑑𝑖 𝑧𝑘 ∈ 0,1 と表すとき

𝑔𝑘 ≔ 𝑑1 𝑧𝑘 , ⋯ , 𝑑100 𝑧𝑘∈ 0,1 100 , 𝑘 = 1, ⋯ , 106

 𝑔𝑘 = 𝑔𝑘 𝜔 を並べて𝑔(𝜔) ≔ 𝑔1 𝜔 , ⋯ , 𝑔106 𝜔 ,𝜔 ∈ 0,1 238

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• 極限定理• モンテカルロ法• ひとこと…

年譜
確率論• 1560年• 1713年• 1820年• 1933年

乱数• 1919年• 1960年代

ミーゼス
コルモゴロフ、チャイティン、
ソロモノフ疑似乱数 • 1940年代• 1980年代• 2002年

ノイマン 「モンテカルロ法」
ブラム、ヤオ 「暗号理論」「RWS法」

カルダノ「サイコロあそびについて」
ベルヌーイ「推測法」
ラプラス「確率の解析的理論」
コルモゴロフ「確率論の基礎概念」

• 応用数学とは• 不可能から可能へ• 奇想天外 vs 荒唐無稽

宿題：「数学=Mathematics」の原意は？

ありがとうございました！

デモンストレーションをご覧下さい。