数学モデリング領域 CREST

ソフトマター記述言語の創造に向けた
位相的データ解析理論の構築
平岡 裕章
Yasuaki Hiraoka
東北大学
原子分子材料科学高等研究機構
WPI-AIMR
JST CREST
SIP革新的構造材料
JST イノベーションハブMI^2I

位相的データ解析
位相的データ解析 (Topological Data Analysis, TDA)
今世紀に数学者が開発した強力なデータ解析手法

Data Has Shape, Shape Has Meaning, Meaning Drives Value
Gunnar Carlsson’s Gr. (math. Stanford, AYASDI)- ビッグデータ, ソーシャルネットワーク, 医療, 金融 etc
Robert Ghrist’s Gr. (math. UPenn)- 情報ネットワーク, センサーネットワーク
Konstantin Mischaikow’s Gr. (math. Rutgers)- 流体解析, データ時系列解析
東北大WPI-AIMR & CREST TDA- 材料科学（ガラス, 粉体, 高分子, 金属, etc）

位相的データ解析の材料科学への応用@AIMR
高分子

アモルファス
D1 (Aamo )CPBOCOCTexpansion

AFM
imagesilica

metallic glass

粉体elsewhere ? ? . Our experi
mography (XCT) and threto accurately determine g(< 10 3 µm) and grain’s ddense pack⇡ 10 2 µm ? .
Figure ??(a) shows a 3D
tallized structure. The brig
deformation of octa.
ordered aggregates of bead
between different crystal
random and crystalline ph??(b) shows the disordere
Jointwith ANU of a partially crystallised packing
Helical XCT is utilised
Fig. 1 left)
3D visualisationthe packings with a spatia(M.Saadatfar
containing200,000 beads.etc)
right) MegaTwo
analyses have been carrie

無秩序系の記述言語を提案パーシステントホモロジー
データ

入力

出力

PH

次元の穴のサイズや形状の情報
パーシステント図(PD)ヘモグロビン20

パーシステントホモロジー_ (death)

1510=15005101520_ (birth)

PD構成法- PDの各点はデータ内の穴消滅

球を膨らませる- 発生軸は穴の発生パラメータ

db発生

PD

d

- 消滅軸は穴の消滅パラメータ- 対角線付近の点はノイズ消滅

b発生- 対角線から離れた点はロバスト- 数学者Edelsbrunner, Carlsson等によって開発 (2003, 2005年)- 穴のサイズ, 形状, 階層構造などを扱える- 数学的進化と同時に，現在急速に諸科学への応用が進められている

(ref. Edelsbrunner, Mucke)シリカの原子配置
ガラス

supercooledliquid

30liquid
volume252015glass 110glass 25crystal

025202515temperature

201510105500

識別可能？ or 両者ともにランダム？

液体結晶

301025520015−510−105−1510025202515155102015

10500105500−5−5−10

Y.H., T. Nakamura et al. PNAS (2016)

シリカのパーシステント図- PD1を表示（リング構造に着目）- 結晶の規則性は 0次元的分布- 液体のランダム性は 2次元的分布

曲線 !!

- ガラスは 1次元的分布（曲線）!!

ガラス
321.8

2.51.6[ Å 2 ]1.21.510.81液体

0.60.40.50−0.5

結晶
00.5

11.5

[ Å 2 ]

22.5

30.2

Multiplicity

1.42

Y.H., T. Nakamura et al. PNAS (2016)

ガラスの階層的幾何構造
ガラスの幾何構造

PD内の曲線の幾何学的な起源

逆問題

階層的リング構造
CP: primary rings generating the others

CO: three oxygen rings

CT: triangles on tetrahedra

BO: oxygen rings (four)Kusano, Fukumizu, Y.H. ICML (2016)

パーシステント図と機械学習
カーネル法（PWGK）
Glass: KPCA, PWGK
ガラス転移点の検出
0.6

red: > 3100K
blue: < 3100K

0.40.20-0.23100K

液体からガラス

102020-0.4

4040Index

60
6080
80

カーネル変化点検出法-0.6-0.5

00.5

カーネルPCA✦ PWGKを用いてガラス転移点の検出に成功✦ 逆問題法を適用しガラス転移を誘発する幾何構造を解明✦ マテリアルズインフォマティックスへの応用も進める

1

From materials science to mathwith 浅芝

representation theory
glass

with 大林

inverse problem

compressed

how persistent?

how deformed?
study inverse problems (materials design,rigidity, etc)study multi-persistence (spatiotemporal,compression, etc)with 白井random topology
3

topological statistics
liquid to glass

2

1.6

1.5

10.8

1

liquid

glass

0.5

0−0.5

0.6

00.51

1.5

2

2.5

0.4
0.2

liquidvolume[ Å 2 ]how different?

1.2

Multiplicity

1.4

2

水

supercooledliquid

1.8
2.5

with 福how detect?
dglass3[ Å 2 ]glasstransition

temperature

random topological features and phasetransition

detect glass transition and capture
principal behaviors

パーシステントホモロジーを用いた物質構造の記述(平岡CREST:中村壮伸)• 乱れた構造の再現– 工作(Bernal, Finney, Polk:1957)– 分子シミュレーション(1980)• 乱れた構造の表現– cf:結晶:空間群– 乱れた構造の表現方法は？
0パーシステントホモロジーを用いた物質構造の記述(平岡CREST:中村壮伸)
乱れた物質構造の汎用的記述方法• ネットワーク型(a-SiO2) • パッキング型(a-CuZr)

1

パーシステントホモロジーを用いた物質構造の記述(平岡CREST:中村壮伸)
乱れた物質構造の汎用的記述方法• ネットワーク型(a-SiO2) • パッキング型(a-CuZr)

PD１(b,d)PD2(b,d)2

Topological Data Analysis: Shape of Data
Emerson G. Escolar
Hiraoka Laboratory
Tohoku University Advanced Institute for Materials Research1Some Applications of Persistent Homology• Amorphous structures• Grain packing• Coverage in sensor network• Continuation of point clouds by an inverse problem2位相的データ解析のためのカーネル法草野元紀(東北大), 福水健次(統数研), 平岡裕章(東北大)

位相的データ解析：データの幾何構造を有効活用する研究
(液体)

(ガラス)

？

3025(固体)

3010252052015015−510

10−1055025025

2015−1510202525

201515105100500501055015

520151010−50−5−10

パーシステントホモロジー：データの幾何構造を表現する特徴量
32
1.8

2.5

1.6

1.6

0.8
1

1.4

1.5

10.8

1.5

[ Å ]

2

2.5

3

0.6
0.4
0.5

0.2

2

0.8

0.4
0.5

1

1

0.6

0.4

0.5

1.5

10.6

0

1.2

[ Å 2 ]

1.2

10.5

1.4
2

Multiplicity

1Multiplicity

1.5！

1.6

2

[ Å 2 ]1.4
2[ Å 2 ]1.82.5

1.2

21.8

2.5

0−0.5

3

20.2
0−0.5

00.5

11.5
2[ Å ]

22.5

30.2
0−0.5

00.5

11.5

[ Å 2 ]22.5

3Multiplicity3位相的データ解析のためのカーネル法草野元紀(東北大), 福水健次(統数研), 平岡裕章(東北大)データX

パーシステント図

Dq (X)

ベクトル

予測, 推定,分類, etc.

本研究事実(1) パーシステント図はベクトルでない.
(2) 多くの統計解析はベクトルに対するもの(多変量解析).
研究の概要：カーネル法による統計的枠組みの整備、さらなる特徴付け
Genki Kusano, Kenji Fukumizu, and Yasuaki Hiraoka. Persistence weighted
Gaussian kernel for topological data analysis, ICML, 2016.