極限物質の性質を決めるには？�
超新星：状態方程式データテーブル�中性子星と超新星の状態方程式�
• 中性子星�• 超新星�

– 密度のみの関数�
– ほぼ中性子物質�
– ゼロ温度�– 冷えた中性子星�

– 密度だけでなく�– 電子の割合が変わる�
– 有限温度�– 超新星爆発時�

• 多くの状態方程式�

• 少ないデータテーブル�– 原子核実験�– 中性子星質量・半径�

– 数値シミュレーション�
– 中性子星合体にも�極限状態での物質の性質�
ν	

状態方程式(Equation of State; EOS)�
1. 圧力-密度 �–星の構造、ダイナミクス�

2. 温度(エントロピー)�
–ν-エネルギー分布, 平均エネルギー�

3. 組成(陽子, 中性子, ヘリウム, 原子核)�
–

•

ちなみに�

状態方程式データテーブル�
–––•

原子核反応、ニュートリノ反応率�

密度: �
陽子の割合:
温度: ��100 ~ 1015 g/cm3�
�0 ~ 0.6�
�0 ~ 100 MeV�(ρ, T, Ye) : ε, p, S, µn, µp, Xi, m*,…	

��

原子核物質密度:n0=0.17 fm-3�
(ρ0 =3x1014g/cm3)�
温度：�
1 MeV ~ 1010 K�Nuclear physics

Astrophysics• StableStable nuclei�

208Pb– 4He: Yp=0.50�
Unstable– 56Fe: Yp=0.46�
Dripline– 208Pb: Yp=0.39�

Z

82

100Sn

�

neutron rich nuclei

50
126
56Ni
48Ni
40Ca 28
16O
4He

82

2050

828

20 24
811Li	

8He	

核図表と超新星�O	• Unstable nuclei�
– 24O: Yp=0.33�
– 11Li: Yp=0.27�
N – 8He: Y =0.25�
p�

neutron stars
supernovaeYp=0~0.4	

Nuclear Chart 1993
by Chiharu Tanihata

65% for one page理化学研究所	

RIビームファクトリー�

不安定原子核を作り出す加速器施設�
自然界には存在しない原子核�
宇宙/星の進化に登場する原子核�

極限状態での原子核の研究が可能�

131Agの発見(2013)	

Z=47, N=84	

Z/A=0.358		

超新星コアには近い	

http://www.rarf.riken.go.jp

超新星爆発における状態方程式�
• 系統的な研究のための状態方程式�
• Takahara-Sato	• Baron-Cooperstein-Kahana�• 数値シミュレーション用の状態方程式データ�

• 広い範囲の密度・温度・組成	

• 一貫した枠組みで取り扱う	

• 実験データによるチェック	• Wolff-Hillebrandt	

• Lattimer-Swesty EOS (LS)�
– 質量公式の拡張�

• Relativistic EOS (Shen) �– 相対論的核子多体理論(RMF), 不安定核データ�

• 状態方程式データの改良�
• GShen, Hempel, Furusawa	– 3次元計算、多核種混合、相互作用改善など	

• Non-relativistic EOS	– 変分法による核子多体理論, 核子間ポテンシャル�

• ハドロン・クォーク物質への拡張�
• Hyperon EOS	– RMF+Λ, Σ, Ξ粒子の混入	

• Quark-Hadron phase transition	

– RMF+Bag model�

状態方程式の違い�→�ダイナミクス・ν反応�→�爆発メカニズムへの影響�• Baron-Cooperstein-Kahana EOS	– Analytic formula	+$ 'γ .
Kρ 0 - ρP=& ) −109γ -,% ρ 0 (0/– Polytrope at high density:	P ∝ ργ2– Behavior at neutron-rich	 K(Yp ) = K sym [1− α (1− 2Yp ) ]€• Takahara-Sato EOS	ρ 0 (Yp ) = ρ 0sym [1− β (1− 2Yp ) 2 ]Incompressibility K	

Adiabatic index	

Γ=d log Pd log ρ€– Combination of polytrope	

P = Ci ρ γ i	€Takahara Sato, ApJ (1988)	

Glendenning, PRL (1986)	

状態方程式の影響の例（1980年代後半）�
•�解析的な式による状態方程式	

衝撃波の	発生と伝搬	

Baron et al. PRL (1985)	

鉄コア	

K0: 非圧縮率, ρ0: 核物質密度	!
! !

•�パラメータによる系統的な研究	

Takahara (1985), Bruenn (1989)	

中心コア	

•�状態方程式が柔らかい	•�対称エネルギーが大きい	

K0: 220 → 90 MeV	

Asym: 28 → 40 MeV	•�中心コアの質量が大きく、半径が小さい方が良い。	

��→重力エネルギーの解放、鉄の分解での消費を抑える	•実際には、衝撃波は鉄のコアの途中で停滞（stall）してしまう。	
11�

Lattimer-Swesty equation of state	

LS-EOS	

Lattimer & Swesty Nucl. Phys. A535 (1991) 331	• Extension of compressible liquid drop model	

– Energy of uniform matter is given by a function of density	

np
 2τ i21+δx=E bulk (n,Yp ,T) = Σ+ [a + 4bx(1− x)]n + cn − xnΔn2m• Based on Skyrme Hartree-Fock results	

– Inputs: saturation properties	

€• B/A=16 MeV, Asym=29.3 MeV, K=180, 220, 375 MeV	

– Two zone model (liquid+gas)	

– Minimize free energy	

• Under phase equilibrium	– Subroutine	nuclei	

np, nn	gas	np, nn, nα	r	Relativistic equation of state for supernovae	Shen, Toki, Oyamatsu & Sumiyoshi, 1998, NPA, PTP	Shen EOS	• Relativistic Mean Field + Local-Density Approx.	

– Based on relativistic Brueckner Hartree-Fock (RBHF) theory	

– Checked by exp. data of n-rich unstable nuclei	

• Nuclear structure: mass, charge radius, neutron skin,…	

• EOS data table (~60MB) covers	

– Density: 	

– Proton fraction:– Temperature:•				105 ~ 1015.4 g/cm3		

0 ~ 0.56		0 ~ 100 MeV	Extended studies on EOS table 	– With hyperons (Ishizuka-Tsubakihara-Ohnishi, 2006)	

– With quarks (Nakazato)	

– With mixed nuclei (Furusawa)	

Relativistic Mean Field Theory - Effective Lagrangian	Serot, Walecka 1986	

€€€€*µµaµµ 1− τ 3 LRMF = Ψ,iγ µ∂ − M − gσ σ − gω γ µω − gρ γ µ τ a ρ − eγ µ A
Ψ/+2 .
11 2 2 11µ3+ ∂µσ∂ σ − mσ σ − g2σ − g3σ 4223411 21µνµµ 2− H µν H + mωω µω + c 3 (ω µω )424Rel. Brueckner HF	

1 a aµν 1 2 a aµ 1− Gµν G + mρ ρ µ ρ − Fµν F µν
424Parameters determined by nuclear data (masses, radii)		

TM1:	 Sugahara, Toki Nucl. Phys. A 579 (1994) 557	

Nuclear structure calculations		

EOS calculations	Relativistic Brueckner Hartree-Fock Theory�
Brockmann-Machleidt (1990)	

Rel.	

Saturation	

point	

Non-rel	density	RMF lagrangian (σ, ω, ρ) with non-linear σ & ω terms	

Serot-Walecka, Boguda-Bodmer, Sugahara	Non-linear ω term to reproduce behavior of rel. Brueckner HF (RBHF)	

Scalar & vector potentials	

Nuclear matter EOS	[MeV]	

E/A [MeV]	

Non-linear ω	[MeV]	

density	Sugahara, Toki Nucl. Phys. A 579 (1994) 557	Interaction determined by masses and radii: TM1	

Binding energy of isotopes	

Sugahara, Toki NPA 579 (1994)	

Matter radius of isotopes	Temperature	

T [MeV]

高温高密度物質の相図�• Mixture of n, p, α, nuclei	

• Uniform & non-uniform matter	

15n+p Boltzmann gas	10n+p+α gas	5n+p uniform matter	

068hyperons	quarks	n+p+α+A gas	 n0	Density	

101214 Log (ρ ) g/cm3	10 B

Local density approximation in cell�Wigner-Seitz Cell		Charge neutral	

BCC lattice					Minimize	

Free energy density	

In cell	

http://ecee.colorado.edu/~bart/book/bravais.htm#bcc	

•Non-uniform	&	Uniform	
•Mix of:	

Neutron	Proton	Alpha	

Nucleus	

Shen et al. PTP (1998)	

Local density approximation in cell�Free energy density: f	

Free energy per cell: F	

Bulk energy:	

Surface energy:	

Coulomb energy:	

Local density approximation in cell	•非一様分布	&	一様分布�
•混合物質	

(陽子, 中性子,	ヘリウム,	原子核)	

Shen et al. PTP (1998)	

temperature	

温度が高くなると	原子核が溶けていく	ρc ~1010 g/cm3	 ν-trapping�
Tc ~1 MeV	

Ye~0.42		ρ	Collapse�ρ	n	p	

Core-Bounce�ρc ~1012 g/cm3	

Tc ~2 MeV	

Ye~0.40	n	

Nuclei,p, e-	ρc ~3x1014 g/cm3	

Tc ~10 MeV	

Ye~0.30	

ρ	Nuclei, 	

p, n, e-, νe	pExplosion,	

Neutron stars	ρ	�n	

ρc ~5x1014 g/cm3	

Tc ~15 MeV	Ye<0.20	n	p	p, n, 	e-, νe	p	p, n, (Λ, q)	

e-, νi, νi	Shen EOS table for supernovae	

H. Shen, Toki, Oyamatsu & Sumiyoshi NPA, PTP(1998), ApJS (2012)	

• Covers wide range of	– Density:		

– Proton fraction:	

– Temperature: 		

105.1 ~ 1016 g/cm3		

0 ~ 0.65		

0 ~ 400 MeV	

• Data table ~140 MB (110 x 66 x 92 points)	

– Quantities: ε, p, S, µi, Xi, m* 	Shen-EOS			• One of the standard EOS table	

– over 660 citations (408+221+33)	

• Implementation to simulations	– Interpolation from EOS table	

http://user.numazu-ct.ac.jp/~sumi/eos	Comparison of EOSs (1)�LS-EOS	

Shen-EOS	Model	

Compressible
Rel. Mean Field +liquid drop model	 Local-Density Approx.	

Bulk EOS	 “Skyrme”-like	

RMF (RBHF)	

Interaction	 Saturation	Mass, Rc, Rn	

Nucl. Data	 partly	

Yes (incl. unstable)	

n-skin	---	Yes	M*�---	Yes	

Info	Subroutine	

Data table	Comparison of EOSs (2)�LS-EOS�

Shen-EOS�K [MeV]	

180, 220, 375	 281	

Asym [MeV]	

29.3	

Max. NS mass [Msol]	 1.8, 2.0, 2.7	

36.9	

2.2	

n0	150

Shen-EOS vs LS-EOS	Asym=36.9 MeV	 • 堅い状態方程式 cf. non-rel	• コアバウンスへ影響	• 中性子星の性質	

100• 対称エネルギー効果が大きい	

500100Yp=0.0	

Shen-EOS	

LS-EOS	2.0

Yp=0.5	

K=281 MeV	0K=180 MeV	

0.10.2cold NS	

2.5500.0• 不安定核で検証済み	

• 組成の違いへ影響	- e-capture, ν-reaction rates	

Asym=29.3 MeV	

0.3

0.4

0.5-3

baryon density [fm ]Sumiyoshi et al. NPA730 (2004)	

0.6

Mg [Msolar]energy per baryon [MeV]symmetry energy [MeV]•Density dependence of Asym 	

Mmax=2.2Msol	

1.5
1.0
0.5
0.01014

Mmax=1.8Msol	

1015ρc [g/cm3]