核子系のアイソスカラー対相関
鈴木 紀史● 目的Hartree-Fock-Bogoliubov(HFB) 法をアイソスピン形式で記述し、計算プログラムを作成する。完成したプログラムによる計算例として、N = Z = 64 核をアイソ空間で回転させた場合に T = 1 対相関状態と T = 0 対相関状態がどのように移りかわるかを示す。
： アイソスカラー
性質がよく似ている陽子と中性子を、核子という粒子のアイソスピンという量子数の異なる状態とみる。陽子と中性子の対において、アイソスピンが 0 の場合をアイソスカラー対と呼ぶ、

● BCS 状態























固体中の電子の超伝導状態
液体ヘリウム原子の超流動状態
原子核中の核子|BCS >=Y+(uk + vk a+k a−k )|− >k>0条件|u2k | + |vk2| = 1◯純粋な対相関の場合のハミルトニアン

H=Xk>0+k (a+a+akkk̄ ak̄ ) − GXkk 0 >0< BCS|N̂ |BCS >= 2

拘束条件+a+ak k̄ ak̄ ak 0

Xk>0vk2 = N◯ H 0の期待値∆21 42E =< BCS|H |BCS >= 2 (˜k vk + Gvk ) −2Gk>00X◯ギャップ方程式G X∆r∆=
2 k>0 (k − λ)2 + ∆2u


2 
k 

k − λ1r(1 ±) =2 + ∆22 2(−λ)kvk 図 0.1: 一粒子スペクトルの設定◯ギャップ方程式

1G  NXir∆=− 2 i=1 (i − λ)2 + ∆2
(対相関相互作用強度:G=-0.3)

図 0.2: フェルミ準位と対相関ギャップエネルギーの関係

図 0.3: フェルミ準位と粒子数の関係●アイソスカラー対相関
核子の波動関数|i >= |n, l, m, s, t >2 核子系の状態の核力ポテンシャル V1234
V1234 =< n1l1m1s1t1, n2l2m2s2t2|V̂ |n3m3l3s3t3, n4l4m4s4t4 >相互作用を 2 核子の全スピン S 、全アイソスピン T 、全軌道角運動量 L の値で分類

2 核子系の状態を表す相互作用行列要素 V1234は、V̂ =YYTYS

L VT SL

全角運動量 L = l1 + l2 = 0 のとき可能な組合せは、T =図 0.4: 粒子数と対相関ギャップエネルギーの関係

1, S = 0 または T = 0, S = 1 の 2 チャンネル
V1234 = < t1t2|

Y

T =0 |t3 t4 >< s1 s2 |Y

S=1 |s3 s4 >< n1l1m1, n2l2m2|V̂010|n3l3m3, n4l4m4 >+ < t1t2|

Y

T =1 |t3 t4 >< s1 s2 |Y

S=0 |s3 s4 >< n1l1m1, n2l2m2|V̂100|n3l3m3, n4l4m4 > (0.1)

図 0.5: 粒子数とフェルミ準位の関係< n1l1m1, n2l2m2|V̂T S0|n3l3m3, n4l4m4 >Clebsch-Gordan 係数を用いる
σl0m0 |n1n2l0m0 >< l1m1l2m2|l0m0 >σlm|n3n4lm >< l3m3l4m4|lm >(0.2)

軌道角運動量:L=0 のとき
軌道角運動量 l=l’=0、z 成分 m=m’=0< l1m1l2m2|00 >< l3m3l4m4|00 >< n1n200|V̂T S0|n3n400 >(−1)l1−m1< l1m1l2 − m2|00 >= δl1l2 δm1−m2 √2l1 + 1表 0.1: < t1 t2 |Q

T =0 |t3 t4 > の値(−1)l1−m1+l3−m3δl1l2 δm1−m2 δl3l4 δm4−m4 r
V̂T S0(l1n1n2l3n3n4)(2l1 + 1)(2l3 + 1)
最終的に式 (0.1) の相互作用行列要素 V1234は、(−1)l1−m1+l3−m3

V1234 = δl1l2 δm1−m2 δl3l4 δm4−m4 δn1n2δn3n4 r(2l1 + 1)(2l3 + 1)
YY
(V 010 < t1t2| T =0|t3t4 >< s1s2| S=1|s3s4 >+V 100 < t1t2|

Y

T =1 |t3 t4 >< s1 s2 |Y

S=0 |s3 s4 >)本研究では、V010 = −1.0 MeV、V100 = −0.66 MeV(0.3)

表 0.2: < t1 t2 |Q

T =1 |t3 t4 > の値

● Hartree-Fock-Bogoliubov 法
準粒子 a+i , ai+a+=(Ucijij + Vij cj )Xjai = (Uij∗ cj + Vij∗c+j)
X

j

UU+ + V V + = 1(0.4)

UV + + V U+ = 0(0.5)

粒子 − 空孔密度行列ρij と対テンソル tij

ρij = (V +V )ij(0.6)

tij = (V +U )ij(0.7)

Hartree-Fock ポテンシャル, 対ポテンシャル
Γij =Xkl< ik|V̂ |jl >a ρlk∆ij =

1X< ij|V̂ |kl >a tkl
2 kl

● Hartree-Fock-Bogoliubov 方程式
ハミルトニアン

Ĥ =X

ij6=0

Tij c+i cj +1 X+Vijkl c+ci j ck al
4 ijkl6=0近似

Hij = (Tij + Γij )ij = δij i
陽子数、中性子数N̂p =XN̂n =Xiic+i ci(0.8)

c+i ci(0.9)

陽子の、中性子のフェルミエネルギーをλp、λnĈ = λpN̂p + λnN̂nωτωτ
λ p = λs − ,λn = λs + ,22λs = 40 MeV に固定。
アイソ空間のクランキング (角) 周波数 ωτ 、0 MeV 〜

10 MeV


Ĥ 0 = Ĥ − Ĉˆ U ∆i U Ĥ − Ĉi = E i∗∗ˆVj Vj−∆ −(Ĥ − Ĉ)●エネルギースペクトルの作製
固有状態は、主量子数 n、軌道角運動量 l、その z 成分m、スピンの z 成分 s、アイソスピンの z 成分 t で分類する。

s = 2szt = 2tz(0.10)

各核子の 1 粒子エネルギー






vuuuutn(n + 3) 5ei＝h̄ω (n + 1.5) − κµ l(l + 1) −β(n + 1.5)
 −
2.04πh̄ω = 7.0(調和振動子主殻間のエネルギー間隔(0.11))

κµ = 0.025(ポテンシャル強度パラメータ)(0.12)

β = 0.22(変形度)

図 0.6: 1 粒子エネルギースペクトル(0.13)

対相関エネルギー1X
Epair =
∆ij t∗ij
2 ij

図 0.7: 基底状態での対相関エネルギー図 0.8: 核子の固有状態におけるエネルギー

EPS File routhian.ps.epsf notfound

図 0.9:

●考察
陽子と中性子それぞれに対して別個に対相関を考えるのでなく、他のアイソスピンの組み方の対相関をも完全に含めて扱うことのできるアイソスピン形式の HFB法の計算プログラムを作成した。
プログラムの使用例として、N = Z = 64 核をアイソ空間で回転させた場合に T = 0 対相関状態から T = 1対相関状態へ不連続な転移が起きることを見た。
今後の課題

1. 主殻の異なる軌道にある核子が対を組むことができるようにする。

2. このために、相互作用行列要素を実際に積分を実行して計算し、主量子数の違いがどの程度行列要素を小さくするかを調べる。

3. スピン軌道結合ポテンシャルを導入することで、スピン軌道混合がどれくらい T = 0 対相関を変化させるかを調べる。

4. 変形や l2 ポテンシャルを抜くことで、縮退が対相関のモードにどのような効果があるかを調べる。