完全WKB法の粒子生成への応用
田屋 英俊
理研iTHEMS
・ 完全WKBの論文: HT, Fujimori, Misumi, Nitta, Sakai, JHEP 03, 082 (2021) [arXiv:2010.16080]
・ 高次高調波発生への応用: HT, Hongo, Ikeda, Phys. Rev. B 104, L140305 (2021) [arXiv:2105.12446]
・ strong-field QEDのレビュー: Fedotov, Ilderton, Karbstein, King, Seipt, HT, Torgrimsson, arXiv:2203.00019

内容
1. イントロダクション・ 「強い場による真空からの粒子生成」のレビュー
・ 「完全WKB法」のレビュー

2. メインの計算の話
・ 粒子数公式の導出

3. まとめ4. オマケ: 高次高調波発生への応用

内容
1. イントロダクション・ 「強い場による真空からの粒子生成」のレビュー
・ 「完全WKB法」のレビュー

2. メインの計算の話
・ 粒子数公式の導出

3. まとめ4. オマケ: 高次高調波発生への応用

強い場による真空からの粒子生成

真空
実粒子数＝0

強い場による真空からの粒子生成

真空
実粒子数＝0

弱い場 (𝒆𝒆𝒆𝒆⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≪ 𝟏𝟏)

強い場 (𝒆𝒆𝑭𝑭⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≫ 𝟏𝟏)

強い場による真空からの粒子生成

真空
実粒子数＝0

弱い場 (𝒆𝒆𝒆𝒆⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≪ 𝟏𝟏)

真空 + 摂動効果 → 実粒子数≃0

強い場 (𝒆𝒆𝑭𝑭⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≫ 𝟏𝟏)

強い場による真空からの粒子生成
FF

真空 + 摂動効果 → 実粒子数≃0F

実粒子数＝0

弱い場 (𝒆𝒆𝒆𝒆⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≪ 𝟏𝟏)

F

真空

…

F

F

F

F

…

強い場 (𝒆𝒆𝑭𝑭⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≫ 𝟏𝟏)

真空 + 非摂動効果 → 実粒子数≠0強い場による真空からの粒子生成
FF

真空 + 摂動効果 → 実粒子数≃0F

実粒子数＝0

弱い場 (𝒆𝒆𝒆𝒆⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≪ 𝟏𝟏)

F

真空

…

F

F

F

F

…

強い場 (𝒆𝒆𝑭𝑭⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≫ 𝟏𝟏)

真空 + 非摂動効果 → 実粒子数≠0・ さまざまな極限状況で起こると予想: 重イオン衝突、ブラックホール、初期宇宙、超重原子核、…
・ 実験は無理だった。が、レーザーによる検証が現実味を帯びてきた。物性系の類似物の提案も。
[CPA法; ２０１８年ノーベル賞]

・ 場の理論の非摂動的な側面とか真空の構造とか基礎的なことと関係している

粒子生成の理論[Birrel, Davies, “Quantum Fields inCurved Space,” Cambridge (1984)]

生成消滅演算子のBogoliubov変換 = 場の方程式のStokes現象

粒子生成の理論[Birrel, Davies, “Quantum Fields inCurved Space,” Cambridge (1984)]

生成消滅演算子のBogoliubov変換 = 場の方程式のStokes現象
・ 複素スカラー場を外場にさらした状況: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙�𝑄𝑄(𝑡𝑡)[例) Schwinger機構なら、𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑 − 𝑒𝑒𝑨𝑨(𝑡𝑡) 2 ]𝑡𝑡

粒子生成の理論[Birrel, Davies, “Quantum Fields inCurved Space,” Cambridge (1984)]

生成消滅演算子のBogoliubov変換 = 場の方程式のStokes現象
・ 複素スカラー場を外場にさらした状況: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙�
in 𝑡𝑡 = −∞𝑄𝑄(𝑡𝑡)[例) Schwinger機構なら、𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑 − 𝑒𝑒𝑨𝑨(𝑡𝑡) 2 ]out 𝑡𝑡 = +∞𝑡𝑡

・ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 が時間依存だと、正負のエネルギー固有状態(時間並進−i𝜕𝜕𝑡𝑡 の固有状態)は存在しない⇒ 漸近状態𝑄𝑄 𝑡𝑡 → const.でのみ、平面波で粒子をwell-definedに定義可能†,
𝜙𝜙� 𝑡𝑡 → −∞ ≡ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�in + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑏𝑏�in†� → +∞) ≡ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�out + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑏𝑏�out
𝜙𝜙(𝑡𝑡粒子生成の理論[Birrel, Davies, “Quantum Fields inCurved Space,” Cambridge (1984)]

生成消滅演算子のBogoliubov変換 = 場の方程式のStokes現象
・ 複素スカラー場を外場にさらした状況: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙�𝑄𝑄(𝑡𝑡)[例) Schwinger機構なら、𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑 − 𝑒𝑒𝑨𝑨(𝑡𝑡) 2 ]𝑡𝑡

・ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 が時間依存だと、正負のエネルギー固有状態(時間並進−i𝜕𝜕𝑡𝑡 の固有状態)は存在しない⇒ 漸近状態𝑄𝑄 𝑡𝑡 → const.でのみ、平面波で粒子をwell-definedに定義可能†,
𝜙𝜙� 𝑡𝑡 → −∞ ≡ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�in + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑏𝑏�in†� → +∞) ≡ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�out + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑏𝑏�out
𝜙𝜙(𝑡𝑡・ 始/終状態の粒子の生成消滅演算子は一致しない𝑎𝑎�in ≠ 𝑎𝑎�out 。なぜなら、ある漸近状態の正負の平面波は反対の漸近状態で混合う (場の方程式の漸近解のStokes現象)
e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�

+i𝜔𝜔𝜔𝜔 � †𝑏𝑏inin + e𝑡𝑡→+∞†(𝛼𝛼e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 +𝛽𝛽e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 )𝑎𝑎�in + (𝛽𝛽 ∗ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 +𝛼𝛼 ∗ e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 )𝑏𝑏�in††= e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 (𝛼𝛼𝑎𝑎�in +𝛽𝛽 ∗ 𝑏𝑏�in) + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 (𝛽𝛽𝑎𝑎�in +𝛼𝛼 ∗ 𝑏𝑏�in)†= 𝑏𝑏�out= 𝑎𝑎�out

粒子生成の理論[Birrel, Davies, “Quantum Fields inCurved Space,” Cambridge (1984)]

生成消滅演算子のBogoliubov変換 = 場の方程式のStokes現象
・ 複素スカラー場を外場にさらした状況: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙�𝑄𝑄(𝑡𝑡)[例) Schwinger機構なら、𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑 − 𝑒𝑒𝑨𝑨(𝑡𝑡) 2 ]𝑡𝑡

・ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 が時間依存だと、正負のエネルギー固有状態(時間並進−i𝜕𝜕𝑡𝑡 の固有状態)は存在しない⇒ 漸近状態𝑄𝑄 𝑡𝑡 → const.でのみ、平面波で粒子をwell-definedに定義可能†,
𝜙𝜙� 𝑡𝑡 → −∞ ≡ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�in + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑏𝑏�in†� → +∞) ≡ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�out + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑏𝑏�out
𝜙𝜙(𝑡𝑡・ 始/終状態の粒子の生成消滅演算子は一致しない𝑎𝑎�in ≠ 𝑎𝑎�out 。なぜなら、ある漸近状態の正負の平面波は反対の漸近状態で混合う (場の方程式の漸近解のStokes現象)
e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑎𝑎�

+i𝜔𝜔𝜔𝜔 � †𝑏𝑏inin + e𝑡𝑡→+∞†(𝛼𝛼e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 +𝛽𝛽e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 )𝑎𝑎�in + (𝛽𝛽 ∗ e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 +𝛼𝛼 ∗ e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 )𝑏𝑏�in††= e−i𝜔𝜔𝜔𝜔 (𝛼𝛼𝑎𝑎�in +𝛽𝛽 ∗ 𝑏𝑏�in) + e+i𝜔𝜔𝜔𝜔 (𝛽𝛽𝑎𝑎�in +𝛼𝛼 ∗ 𝑏𝑏�in)†= 𝑏𝑏�out= 𝑎𝑎�out†
・ 粒子数演算子の真空期待値は終状態で非ゼロ < vac; in 𝑎𝑎�out
𝑎𝑎�out vac; in >= 𝛽𝛽 2 𝛿𝛿 3 𝟎𝟎

⇒ 粒子生成！ Bogoliubov係数𝜷𝜷が分かれば良い

理論的な現状
Bogoliubov係数𝜷𝜷≅生成粒子数は
簡単なポテンシャルでしかちゃんと求まっていない・ 微分方程式 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙 が可解となる場合にはよく調べられている例) 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∼ 𝑡𝑡 2 ⇒ Weber方程式 ⇒ 一様定常電場に対するSchwingerの公式

Landau-Zenerの非断熱遷移確率 [Schwinger (1951)]…
[Landau (1932)] [Zener (1932)][Stueckelberg (1932)] [Majorana (1932)]

・ 一般の場合に使える公式を求めたい- 現実の物理系で実現されるポテンシャルは一般に複雑- 数値計算などで、ポテンシャルが変わると大きく粒子生成数も変わることは既知

今回: 完全WKB法を使って公式を (半古典近似の範囲で) 求める

完全WKB法[Voros (1983)] [Pham, Aoki, Koike, Takei, …] [日本語のRef.: 河合, 竹井, 『特異摂動の代数幾何学』, 岩波書店]

完全WKB法 = ”普通”のWKB法 + Borel総和法(線形常)微分方程式を断熱展開(ℏ → 0)して摂動的に解く方法

階乗n!程度に発散する形
式的な摂動級数からwell-definedな関数を得る総
和法

・ 普通のWKB法を数学的にwell-definedにする, i.e., ”完全”にする
・ 微分方程式のStokes現象を理解する強力な道具
・ 物理への応用が最近ちらほら

量子化条件: [Kashani-Poor (2016)][Sueishi, Kamata, Misumi, Unsal (2020~)][Imaizumi (2020~)] [Ito et al. (2021~)]粒子生成: [Enomoto, Matsuda (2020~)]

“普通”のWKB法”普通”のWKB法 =微分方程式を断熱展開(ℏ → 0)
して摂動的に解く方法

“普通”のWKB法”普通”のWKB法 =微分方程式を断熱展開(ℏ → 0)
して摂動的に解く方法

・ Schrodinger型の2階微分方程式: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡)“普通”のWKB法”普通”のWKB法 =微分方程式を断熱展開(ℏ → 0)
して摂動的に解く方法

・ Schrodinger型の2階微分方程式: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡)・ ℏ はポテンシャルの”速さ”と関係している
𝑡𝑡 ≡ ℏ𝜏𝜏 ⇒ 0 =𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄 ℏ𝜏𝜏

𝜙𝜙 𝜏𝜏

ℏ≪1

𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄(0) 𝜙𝜙 𝜏𝜏“普通”のWKB法”普通”のWKB法 =微分方程式を断熱展開(ℏ → 0)
して摂動的に解く方法

・ Schrodinger型の2階微分方程式: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡)・ ℏ はポテンシャルの”速さ”と関係している
𝑡𝑡 ≡ ℏ𝜏𝜏 ⇒ 0 =𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄 ℏ𝜏𝜏

𝜙𝜙 𝜏𝜏

ℏ≪1

𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄(0) 𝜙𝜙 𝜏𝜏

・ よって、ℏ ≪ 1 なら平面波が良い解。その周りで摂動展開する
i𝑡𝑡

𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ exp ∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ0

平面波~exp[∓

i

ℏ

𝑄𝑄𝑡𝑡]

∞
× ∑𝑛𝑛=0𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ𝑛𝑛
摂動寄与𝜓𝜓±“普通”のWKB法”普通”のWKB法 =微分方程式を断熱展開(ℏ → 0)
して摂動的に解く方法

・ Schrodinger型の2階微分方程式: 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡)・ ℏ はポテンシャルの”速さ”と関係している
𝑡𝑡 ≡ ℏ𝜏𝜏 ⇒ 0 =𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄 ℏ𝜏𝜏

𝜙𝜙 𝜏𝜏

ℏ≪1

𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄(0) 𝜙𝜙 𝜏𝜏

・ よって、ℏ ≪ 1 なら平面波が良い解。その周りで摂動展開する
i𝑡𝑡

𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ exp ∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ0

平面波~exp[∓

i

ℏ

𝑄𝑄𝑡𝑡]

∞
× ∑𝑛𝑛=0𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ𝑛𝑛
摂動寄与𝜓𝜓±・ 係数𝜓𝜓±,𝑛𝑛 は逐次的に計算できる。が、一般に階乗発散𝜓𝜓±,𝑛𝑛 ~𝑛𝑛!
⇒ 普通のWKB法は収束半径0でill-defined。なんとかする必要

Borel総和法
Borel総和法 =階乗n!程度に発散する形式的な摂動級数からwell-definedな関数を得る総和法

Borel総和法
Borel総和法 =階乗n!程度に発散する形式的な摂動級数からwell-definedな関数を得る総和法・ 形式級数から”Borel変換”を作って、それをLaplace変換する∞
𝑛𝑛𝜓𝜓± 𝑡𝑡; ℏ = � 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ
𝑛𝑛=0∞

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛⇒ 𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ � 𝑛𝑛! 𝜂𝜂 (Borel変換)𝑛𝑛∞d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏe𝐵𝐵[𝜓𝜓± ](𝑡𝑡; 𝜂𝜂)⇒ Ψ± 𝑡𝑡; ℏ ≡ �ℏ0(Borel和)＊ Laplace変換はBorel変換の逆変換みたいなもの
∞

∞

∞

∞

𝑛𝑛

𝑛𝑛=0

d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏ𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) ∞ d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏ 𝑛𝑛
Ψ± = �
�𝜂𝜂 = � 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ𝑛𝑛e𝜂𝜂 ∼ �
�
e
𝑛𝑛!
𝑛𝑛!
0 ℏ
0 ℏ
𝑛𝑛

Borel総和法
Borel総和法 =階乗n!程度に発散する形式的な摂動級数からwell-definedな関数を得る総和法・ 形式級数から”Borel変換”を作って、それをLaplace変換する∞
𝑛𝑛𝜓𝜓± 𝑡𝑡; ℏ = � 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ
𝑛𝑛=0∞

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛⇒ 𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ � 𝑛𝑛! 𝜂𝜂 (Borel変換)𝑛𝑛∞d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏe𝐵𝐵[𝜓𝜓± ](𝑡𝑡; 𝜂𝜂)⇒ Ψ± 𝑡𝑡; ℏ ≡ �ℏ0(Borel和)＊ Laplace変換はBorel変換の逆変換みたいなもの
∞

∞

∞

∞

𝑛𝑛

𝑛𝑛=0

d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏ𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) ∞ d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏ 𝑛𝑛
Ψ± = �
�𝜂𝜂 = � 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ𝑛𝑛e𝜂𝜂 ∼ �
�
e
𝑛𝑛!
𝑛𝑛!
0 ℏ
0 ℏ
𝑛𝑛

・ Borel和は普通のWKBを漸近展開として持つwell-definedな関数

Borel総和法
Borel総和法 =階乗n!程度に発散する形式的な摂動級数からwell-definedな関数を得る総和法・ 形式級数から”Borel変換”を作って、それをLaplace変換する∞
𝑛𝑛𝜓𝜓± 𝑡𝑡; ℏ = � 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ
𝑛𝑛=0∞

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛⇒ 𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ � 𝑛𝑛! 𝜂𝜂 (Borel変換)𝑛𝑛∞d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏe𝐵𝐵[𝜓𝜓± ](𝑡𝑡; 𝜂𝜂)⇒ Ψ± 𝑡𝑡; ℏ ≡ �ℏ0(Borel和)＊ Laplace変換はBorel変換の逆変換みたいなもの
∞

∞

∞

∞

𝑛𝑛

𝑛𝑛=0

d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏ𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) ∞ d𝜂𝜂 −𝜂𝜂/ℏ 𝑛𝑛
Ψ± = �
�𝜂𝜂 = � 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ𝑛𝑛e𝜂𝜂 ∼ �
�
e
𝑛𝑛!
𝑛𝑛!
0 ℏ
0 ℏ
𝑛𝑛

・ Borel和は普通のWKBを漸近展開として持つwell-definedな関数

・ ただし、一般にBorel変換は𝜂𝜂平面で特異性を持ち、𝑡𝑡に応じ動く⇒ Stokes現象と関係

もう少し具体的な例: Airy方程式
・ 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡) with 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∝ (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp )もう少し具体的な例: Airy方程式
・ 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡) with 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∝ (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp )・ WKB ansatz を置いて逐次的に解く
𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ e

i

𝑡𝑡
0

∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′
ℏ

𝑛𝑛
𝑛𝑛
× ∑∞
𝑛𝑛=0 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ ⇒ 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 ∼ # 𝑛𝑛! で階乗発散

もう少し具体的な例: Airy方程式
・ 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡) with 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∝ (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp )・ WKB ansatz を置いて逐次的に解く
𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ e

i

𝑡𝑡
0

∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ・ Borel変換を求める∞𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ �𝑡𝑡⇒ Im i ∫𝑡𝑡

tp

𝑛𝑛

𝑛𝑛
𝑛𝑛
× ∑∞
𝑛𝑛=0 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ ⇒ 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 ∼ # 𝑛𝑛! で階乗発散

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜂𝜂 ∝ 2 𝐹𝐹1 #, #; #;
𝑡𝑡
𝑛𝑛!
∓i ∫

𝑡𝑡tp

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0 でLaplace変換が 2 𝐹𝐹1 の特異性に当たる
複素𝑡𝑡平面領域 II

領域 III

𝜂𝜂

𝑡𝑡tp

𝑡𝑡

𝑡𝑡

∓i �

𝑡𝑡tp

領域 I

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

複素𝜂𝜂平面Laplace積分経路
𝑡𝑡

Im i ∫𝑡𝑡

tp

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0

もう少し具体的な例: Airy方程式
・ 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡) with 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∝ (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp )・ WKB ansatz を置いて逐次的に解く
𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ e

i

𝑡𝑡
0

∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ・ Borel変換を求める∞𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ �𝑡𝑡⇒ Im i ∫𝑡𝑡

tp

𝑛𝑛

𝑛𝑛
𝑛𝑛
× ∑∞
𝑛𝑛=0 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ ⇒ 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 ∼ # 𝑛𝑛! で階乗発散

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜂𝜂 ∝ 2 𝐹𝐹1 #, #; #;
𝑡𝑡
𝑛𝑛!
∓i ∫

𝑡𝑡tp

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0 でLaplace変換が 2 𝐹𝐹1 の特異性に当たる
複素𝑡𝑡平面領域 II

領域 III

𝜂𝜂

𝑡𝑡tp

𝑡𝑡

𝑡𝑡

∓i �

𝑡𝑡tp

領域 I

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

複素𝜂𝜂平面Laplace積分経路
𝑡𝑡

Im i ∫𝑡𝑡

tp

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0

もう少し具体的な例: Airy方程式
・ 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡) with 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∝ (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp )・ WKB ansatz を置いて逐次的に解く
𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ e

i

𝑡𝑡
0

∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ・ Borel変換を求める∞𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ �𝑡𝑡⇒ Im i ∫𝑡𝑡tp𝑛𝑛

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜂𝜂 ∝ 2 𝐹𝐹1 #, #; #;
𝑡𝑡
𝑛𝑛!
∓i ∫

𝑡𝑡tp

𝜂𝜂

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0 でLaplace変換が 2 𝐹𝐹1 の特異性に当たる

領域 II

領域 III𝑛𝑛𝑛𝑛
× ∑∞𝑛𝑛=0 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ ⇒ 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 ∼ # 𝑛𝑛! で階乗発散

𝑡𝑡tp

𝑡𝑡

複素𝑡𝑡平面

𝑡𝑡

∓i �

𝑡𝑡tp

領域 I

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

複素𝜂𝜂平面Laplace積分経路
𝑡𝑡

Im i ∫𝑡𝑡

tp

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0

もう少し具体的な例: Airy方程式
・ 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡) with 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∝ (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp )・ WKB ansatz を置いて逐次的に解く
𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ e

i

𝑡𝑡
0

∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ・ Borel変換を求める∞𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ �𝑡𝑡⇒ Im i ∫𝑡𝑡tp𝑛𝑛

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜂𝜂 ∝ 2 𝐹𝐹1 #, #; #;
𝑡𝑡
𝑛𝑛!
∓i ∫

𝑡𝑡tp

𝜂𝜂

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0 でLaplace変換が 2 𝐹𝐹1 の特異性に当たる

領域 II

領域 III𝑛𝑛𝑛𝑛
× ∑∞𝑛𝑛=0 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ ⇒ 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 ∼ # 𝑛𝑛! で階乗発散

𝑡𝑡tp

𝑡𝑡

複素𝑡𝑡平面

𝑡𝑡

∓i �

𝑡𝑡tp

領域 I

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

複素𝜂𝜂平面経路𝛾𝛾𝑡𝑡

Im i ∫𝑡𝑡

tp

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0

Laplace積分経路

もう少し具体的な例: Airy方程式
・ 0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙(𝑡𝑡) with 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∝ (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp )・ WKB ansatz を置いて逐次的に解く
𝜙𝜙± 𝑡𝑡; ℏ ≡ e

i

𝑡𝑡
0

∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ・ Borel変換を求める∞𝐵𝐵 𝜓𝜓± (𝑡𝑡; 𝜂𝜂) ≡ �𝑡𝑡⇒ Im i ∫𝑡𝑡

tp

𝑛𝑛

𝑛𝑛
𝑛𝑛
× ∑∞
𝑛𝑛=0 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡)ℏ ⇒ 𝜓𝜓±,𝑛𝑛 ∼ # 𝑛𝑛! で階乗発散

𝜓𝜓±,𝑛𝑛 (𝑡𝑡) 𝑛𝑛
𝜂𝜂 ∝ 2 𝐹𝐹1 #, #; #;
𝑡𝑡
𝑛𝑛!
∓i ∫

𝑡𝑡tp

𝜂𝜂

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0 でLaplace変換が 2 𝐹𝐹1 の特異性に当たる

領域 II

𝑡𝑡tp

領域 III

複素𝑡𝑡平面𝑡𝑡

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡𝑡

複素𝜂𝜂平面経路𝛾𝛾𝑡𝑡
0Im i ∫𝑡𝑡∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ℏ・ Borel和Φ± ≡ e

𝑡𝑡tp

領域 I

𝑡𝑡

i

𝑡𝑡

∓i �

i

𝑡𝑡

tp

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ d𝑡𝑡 ′ = 0

Laplace積分経路× Ψ± は、領域I, II, IIIの間で非連続(Stokes現象)∓ ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′III
Φ± = Φ ± + e ℏ 0

d𝜂𝜂

I
I
+ # × Φ∓∫𝛾𝛾 ℏ e−𝜂𝜂/ℏ 𝐵𝐵[𝜓𝜓± ](𝑡𝑡; 𝜂𝜂) = Φ±

一般の場合[Voros (1983)] [Aoki, Koike, Takei (1991)]

一般の場合[Voros (1983)] [Aoki, Koike, Takei (1991)][定理1] 任意の2階常微分方程式に対し、WKB解はStokes線𝐶𝐶𝑡𝑡tp でStokes現象を起こす:
𝑡𝑡

𝐶𝐶𝑡𝑡tp ≡ 𝑡𝑡 ∈ ℂ Im i ∫𝑡𝑡tp

ここで、変わり点𝑡𝑡tp は0 = 𝑄𝑄 𝑡𝑡tp となる点のこと。

𝑄𝑄 𝑡𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ = 0 }一般の場合[Voros (1983)] [Aoki, Koike, Takei (1991)][定理1] 任意の2階常微分方程式に対し、WKB解はStokes線𝐶𝐶𝑡𝑡tp でStokes現象を起こす:
𝑡𝑡

𝐶𝐶𝑡𝑡tp ≡ 𝑡𝑡 ∈ ℂ Im i ∫𝑡𝑡tp

ここで、変わり点𝑡𝑡tp は0 = 𝑄𝑄 𝑡𝑡tp となる点のこと。

𝑄𝑄 𝑡𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ = 0 }[定理2] Stokes線を反時計回りに跨ぎ領域I->IIに移るとき、Stokes現象は以下で書ける:
II
I
Φ+
Φ+
II = 𝑇𝑇Airy
I
Φ−
Φ−

with

𝑇𝑇Airy ≡1

Θ 𝑠𝑠 × i e𝑡𝑡
𝜎𝜎𝑡𝑡tp ≡ 2i ∫𝑡𝑡 tp d𝑡𝑡 ′02

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′

𝑠𝑠𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏΘ −𝑠𝑠 × i e
1𝑡𝑡∈𝐶𝐶𝑡𝑡tp, 𝑠𝑠 ≡ sgn[Re[i ∫𝑡𝑡

tp

𝑠𝑠𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ

d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ ]]ただし、(1) 𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 0 + 𝑐𝑐 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp + 𝑂𝑂( 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp ) (w/ 𝑐𝑐 ≠ 0) と振舞い、(2) ”Stokes
segment”がいないこと、を仮定。 Stokes segmentとは、Stokes線が縮退した線のこと。

一般の場合[Voros (1983)] [Aoki, Koike, Takei (1991)][定理1] 任意の2階常微分方程式に対し、WKB解はStokes線𝐶𝐶𝑡𝑡tp でStokes現象を起こす:
𝑡𝑡

𝐶𝐶𝑡𝑡tp ≡ 𝑡𝑡 ∈ ℂ Im i ∫𝑡𝑡tp

ここで、変わり点𝑡𝑡tp は0 = 𝑄𝑄 𝑡𝑡tp となる点のこと。

𝑄𝑄 𝑡𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ = 0 }[定理2] Stokes線を反時計回りに跨ぎ領域I->IIに移るとき、Stokes現象は以下で書ける:
II
I
Φ+
Φ+
II = 𝑇𝑇Airy
I
Φ−
Φ−

with

𝑇𝑇Airy ≡1

Θ 𝑠𝑠 × i e𝑡𝑡
𝜎𝜎𝑡𝑡tp ≡ 2i ∫𝑡𝑡 tp d𝑡𝑡 ′02

𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′

𝑠𝑠𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏΘ −𝑠𝑠 × i e
1𝑡𝑡∈𝐶𝐶𝑡𝑡tp, 𝑠𝑠 ≡ sgn[Re[i ∫𝑡𝑡

tp

𝑠𝑠𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ

d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ ]]ただし、(1) 𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 0 + 𝑐𝑐 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp + 𝑂𝑂( 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡tp ) (w/ 𝑐𝑐 ≠ 0) と振舞い、(2) ”Stokes
segment”がいないこと、を仮定。 Stokes segmentとは、Stokes線が縮退した線のこと。

完全WKB法による微分方程式のStokes現象の記述

1. Stokes図を書き下す
2. 関係を求めたい領域を結ぶpathを書く
3. pathに当たるStokes線の接続行列を全て掛ける:

𝐵𝐵
Φ+
Φ+𝐴𝐴
𝐵𝐵 = 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 ⋯ 𝑇𝑇𝑛𝑛
Φ−
Φ−𝐴𝐴

内容
1. イントロダクション・ 「強い場による真空からの粒子生成」のレビュー
・ 「完全WKB法」のレビュー

2. メインの計算の話
・ 粒子数公式の導出

3. まとめ4. オマケ: 高次高調波発生への応用

アイデア
粒子生成の定式化 = 場の方程式のStokes現象を調べること

アイデア
粒子生成の定式化 = 場の方程式のStokes現象を調べること

完全WKB法を使う

アイデア
粒子生成の定式化 = 場の方程式のStokes現象を調べること

完全WKB法を使う
1. Stokes図を同定する[仮定1] 時間依存する外場にさらされたスカラー場
0 = ℏ2 𝜕𝜕𝑡𝑡2 + 𝑄𝑄 𝑡𝑡 𝜙𝜙[例) Schwinger機構なら、𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑 − 𝑒𝑒𝑨𝑨(𝑡𝑡) 2][仮定2] 𝑄𝑄 𝑡𝑡 は、全複素𝑡𝑡平面上で解析的[仮定3] 𝑄𝑄 𝑡𝑡 は、実軸ℝ上で正の実数値ℝ+ を取る[仮定4] 𝑄𝑄′ 𝑡𝑡tp ≠ 0 (変わり点付近でAiryポテンシャル的に振舞う)

2. Stokes segmentに対する接続行列を求める[仮定5] 半古典近似ℏ ≪ 1

3. 完全WKB法の処方に基づき、生成粒子数の公式を求める

Stokes図の同定

𝑡𝑡tp,1∗
𝑡𝑡tp,1

Im 𝑡𝑡

𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,3●●∗
𝑡𝑡tp,3∗
𝑡𝑡tp,2●●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1

𝑛𝑛●∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛

Re 𝑡𝑡∗
𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1[主張] 仮定1-4を満たすとき、Stokes図はこのようになる。
5つポイントがある。

Stokes図の同定: ポイント1

対称！

𝑡𝑡tp,1∗
𝑡𝑡tp,1

Im 𝑡𝑡

𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,3
●

●

●

●

∗
𝑡𝑡tp,3∗
𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1

𝑛𝑛●∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛

Re 𝑡𝑡∗
𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1[ポイント1] Stokes図は上下対称(複素共役に対し対称)∵ 𝑄𝑄 ℝ ∈ ℝ (仮定3) なので、 𝑄𝑄 𝑡𝑡∗ = 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∗(Schwarzの鏡像定理)∗∗ が従う
すると、 0 = 𝑄𝑄 𝑡𝑡tp ⇒ 0 = 𝑄𝑄 𝑡𝑡tp
, 𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶𝑡𝑡tp ⇒ 𝑧𝑧 ∗ ∈ 𝐶𝐶𝑡𝑡tp

Stokes図の同定: ポイント2
3本ずつ！
𝑡𝑡tp,1∗
𝑡𝑡tp,1

Im 𝑡𝑡

𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,3●●∗
𝑡𝑡tp,3∗
𝑡𝑡tp,2●●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1

𝑛𝑛●∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛

Re 𝑡𝑡∗
𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1[ポイント2] 各変わり点からはStokes線が3本ずつ∵ 𝑄𝑄𝑄 𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 ≠ 0 (仮定4) なので、変わり点近傍ではAiry方程式と同じ
Stokes線は途中で分裂したりしないStokes図の同定: ポイント3

𝑡𝑡tp,1

𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,3●

Stokes segment！
(Stokes線が縮退)∗
𝑡𝑡tp,1

Im 𝑡𝑡

●

●

∗
𝑡𝑡tp,3∗
𝑡𝑡tp,2●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1

𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2●

𝑛𝑛●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2

Re 𝑡𝑡∗
𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1∗[ポイント3] 𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 と𝑡𝑡tp,𝑖𝑖
はStokes segmentで結ばれている∵ 直感的には、上下対称(ポイント1)なので縮退
実際、 𝑄𝑄 𝑡𝑡∗ = 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ∗ から 0 = Im∗
𝑡𝑡tp,𝑖𝑖
i ∫𝑡𝑡
tp,𝑖𝑖

𝑄𝑄 𝑡𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ が従うので縮退する

Stokes図の同定: ポイント4

𝑡𝑡tp,1

𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,3

実軸を横切る！

∗𝑡𝑡tp,1

Im 𝑡𝑡

●

●

∗
𝑡𝑡tp,3∗
𝑡𝑡tp,2●●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1

𝑛𝑛●∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1[ポイント4] Stokes segment は実軸を横切る∵ トポロジー的に、実軸を挟む上下の点を連続な線で結ぶと、間にある実軸を通らざるを得ない

Re 𝑡𝑡

Stokes図の同定: ポイント5
Im 𝑡𝑡

実軸を横切らない！
𝑡𝑡tp,1

𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,3●●∗
𝑡𝑡tp,3∗
𝑡𝑡tp,1∗
𝑡𝑡tp,2●●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1

𝑛𝑛●∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛

Re 𝑡𝑡∗
𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1[ポイント5] Stokes segment 以外のStokes線は実軸を横切らない∵ 横切るとすると、極がいない(仮定2)ので、Cauchyの積分定理から
𝑡𝑡

0 = Im i ∫𝑡𝑡 crossing 2 𝑄𝑄 𝑡𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′ だが、これは𝑄𝑄 ℝ ∈ ℝ+ (仮定3) と矛盾
crossing 1

Stokes図の同定

𝑡𝑡tp,1∗
𝑡𝑡tp,1

Im 𝑡𝑡

𝑡𝑡tp,2𝑡𝑡tp,3●●∗
𝑡𝑡tp,3∗
𝑡𝑡tp,2●●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2●𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1

𝑛𝑛●∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−2𝑡𝑡tp,𝑛𝑛∗𝑡𝑡tp,𝑛𝑛

Re 𝑡𝑡∗
𝑡𝑡tp,𝑛𝑛−1[主張] 仮定1-4を満たすとき、Stokes図はこのようになる。
⇒ オレンジのpathを取ると、n個のStokes segmentに当たる
Stokes segmentでの接続行列を求める必要

Stokes segment の接続行列
・ 一般的な公式は存在しない⇒ 半古典近似ℏ ≪ 1(仮定5) と Airy型の接続公式(定理2) を使って導出Stokes segment の接続行列
・ 一般的な公式は存在しない⇒ 半古典近似ℏ ≪ 1(仮定5) と Airy型の接続公式(定理2) を使って導出

・ 基本的なアイデア: Stokes segment は”対称性”から来ているので、対称性を壊す摂動を加えて縮退を解く

Stokes segment の接続行列
・ 一般的な公式は存在しない⇒ 半古典近似ℏ ≪ 1(仮定5) と Airy型の接続公式(定理2) を使って導出

・ 基本的なアイデア: Stokes segment は”対称性”から来ているので、対称性を壊す摂動を加えて縮退を解く
・ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 → 𝑄𝑄 𝑡𝑡e±i0
Im 𝑡𝑡

+

+

∗
≡ 𝑄𝑄 ± 𝑡𝑡 ⇒ 𝑡𝑡tp → 𝑡𝑡tp e∓i0 ⇒ (𝑡𝑡tp , 𝑡𝑡tp)は逆方向に動き縮退を解く

𝑡𝑡tp

∗
𝑡𝑡tp

Re 𝑡𝑡

∗ 𝑇𝑇Airy,𝑡𝑡
𝑇𝑇Airy, 𝑡𝑡tp
tp(±)
⇒ 𝑇𝑇 = �=∗𝑇𝑇Airy,𝑡𝑡tp 𝑇𝑇Airy, 𝑡𝑡tp

1+e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡

2

tp

/ℏ

∓

e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡2tp/ℏ+i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ+i ee

ここで、”インスタントン作用” 𝑆𝑆𝑡𝑡tp ≡𝜎𝜎𝑡𝑡∗ −𝜎𝜎𝑡𝑡tp
tp

2

∗
𝑡𝑡tp

= +i ∫𝑡𝑡

tp−i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ
e

−i e

1+

e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡

2

tp

/ℏ

±

d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ > 0e−2𝑆𝑆𝑡𝑡2

tp/ℏ

Stokes segment の接続行列
・ 一般的な公式は存在しない⇒ 半古典近似ℏ ≪ 1(仮定5) と Airy型の接続公式(定理2) を使って導出

・ 基本的なアイデア: Stokes segment は”対称性”から来ているので、対称性を壊す摂動を加えて縮退を解く
・ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 → 𝑄𝑄 𝑡𝑡e±i0
Im 𝑡𝑡

+

+

∗
≡ 𝑄𝑄 ± 𝑡𝑡 ⇒ 𝑡𝑡tp → 𝑡𝑡tp e∓i0 ⇒ (𝑡𝑡tp , 𝑡𝑡tp)は逆方向に動き縮退を解く

𝑡𝑡tp

∗
𝑡𝑡tp

Re 𝑡𝑡

∗ 𝑇𝑇Airy,𝑡𝑡
𝑇𝑇Airy, 𝑡𝑡tp
tp(±)
⇒ 𝑇𝑇 = �=∗𝑇𝑇Airy,𝑡𝑡tp 𝑇𝑇Airy, 𝑡𝑡tp

1+e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡

2

tp

/ℏ

∓

e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡2tp/ℏ+i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ+i ee

ここで、”インスタントン作用” 𝑆𝑆𝑡𝑡tp ≡𝜎𝜎𝑡𝑡∗ −𝜎𝜎𝑡𝑡tp
tp

2

∗
𝑡𝑡tp

= +i ∫𝑡𝑡

tp−i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ
e

−i e

1+

e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡

2

tp

/ℏ

±

d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ > 0e−2𝑆𝑆𝑡𝑡2

tp/ℏ

・ 半古典近似ℏ ≪ 1では、対角項を無視でき、摂動→ 0の極限をwell-definedに取れる

Stokes segment の接続行列
・ 一般的な公式は存在しない⇒ 半古典近似ℏ ≪ 1(仮定5) と Airy型の接続公式(定理2) を使って導出

・ 基本的なアイデア: Stokes segment は”対称性”から来ているので、対称性を壊す摂動を加えて縮退を解く
・ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 → 𝑄𝑄 𝑡𝑡e±i0
Im 𝑡𝑡

+

+

∗
≡ 𝑄𝑄 ± 𝑡𝑡 ⇒ 𝑡𝑡tp → 𝑡𝑡tp e∓i0 ⇒ (𝑡𝑡tp , 𝑡𝑡tp)は逆方向に動き縮退を解く

𝑡𝑡tp

∗
𝑡𝑡tp

Re 𝑡𝑡

∗ 𝑇𝑇Airy,𝑡𝑡
𝑇𝑇Airy, 𝑡𝑡tp
tp(±)
⇒ 𝑇𝑇 = �=∗𝑇𝑇Airy,𝑡𝑡tp 𝑇𝑇Airy, 𝑡𝑡tp

1+e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡

2

tp

/ℏ

∓

e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡2tp/ℏ+i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ+i ee

ここで、”インスタントン作用” 𝑆𝑆𝑡𝑡tp ≡𝜎𝜎𝑡𝑡∗ −𝜎𝜎𝑡𝑡tp
tp

2

∗
𝑡𝑡tp

= +i ∫𝑡𝑡

tp−i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ
e

−i e

1+

e

−2𝑆𝑆𝑡𝑡

2

tp

/ℏ

±

d𝑡𝑡 ′ 𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ > 0e−2𝑆𝑆𝑡𝑡2

tp/ℏ

・ 半古典近似ℏ ≪ 1では、対角項を無視でき、摂動→ 0の極限をwell-definedに取れる

メインな結果: 生成粒子数の公式

Stokes図

接続行列

メインな結果: 生成粒子数の公式

Stokes図

接続行列

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

out
in
Φ+
Φ+
−2𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ
=
�
𝑇𝑇
=
𝐼𝐼
+
�
𝛿𝛿𝛿𝛿
+
𝑂𝑂(e
)
segment,𝑡𝑡
2
segment,𝑡𝑡
out
tp,𝑖𝑖
tp,𝑖𝑖
in
Φ−
Φ−
+i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ−2𝑆𝑆 /ℏe+ 𝑂𝑂(e 𝑡𝑡tp )⇒ Bogoliubov係数は、 𝛽𝛽 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ie

in
Φ+
in
Φ−

メインな結果: 生成粒子数の公式

Stokes図

接続行列

𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑖𝑖=1

out
in
Φ+
Φ+
−2𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ
=
�
𝑇𝑇
=
𝐼𝐼
+
�
𝛿𝛿𝛿𝛿
+
𝑂𝑂(e
)
segment,𝑡𝑡
2
segment,𝑡𝑡
out
tp,𝑖𝑖
tp,𝑖𝑖
in
Φ−
Φ−
+i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ−2𝑆𝑆 /ℏe+ 𝑂𝑂(e 𝑡𝑡tp )⇒ Bogoliubov係数は、 𝛽𝛽 = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 ie

in
Φ+
in
Φ−

完全WKB法による生成粒子数公式

𝑛𝑛 =+i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ 2
−3𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ𝑛𝑛2∑|𝛽𝛽 =| 𝑖𝑖=1 ee+ 𝑂𝑂(e)

コメント1: 半古典近似ℏ ≪ 1がOKな領域(=外場が十分に遅い)で正しい

コメント2: 他の半古典的手法 (worldline instanton法やDDP公式) と等価

Stokes現象を含む波動関数が求まることは(完全)WKB法のメリット ⇒ 例: 高次高調波への応用コメント1: 適用領域
・ Sauter電場におけるSchwinger機構: 𝑄𝑄 𝑡𝑡= 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥ +𝑝𝑝∥ − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 tanh Ω𝑡𝑡[Sauter (1931)] [HT, Fujii, Itakura (2014)]

𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑁𝑁 ∝
𝑚𝑚2

#

𝑚𝑚2

𝑁𝑁 ∝ e−# 𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝛾𝛾 = 𝑚𝑚 : Keldysh parameter𝜈𝜈 = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝜏𝜏 2・ 半古典近似がOKな領域 ( ℏが小さい ↔ Ωが小さい ) で確かに良い記述⇒ ℏはポテンシャルの”速さ”を制御: 𝑡𝑡 ≡ ℏ𝜏𝜏 ⇒ 0 = 𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄 ℏ𝜏𝜏 𝜙𝜙 𝜏𝜏2ℏ≪1𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄(0) 𝜙𝜙 𝜏𝜏

内容
1. イントロダクション・ 「強い場による真空からの粒子生成」のレビュー
・ 「完全WKB法」のレビュー

2. メインの計算の話
・ 粒子数公式の導出

3. まとめ4. オマケ: 高次高調波発生への応用

まとめHT, Fujimori, Misumi, Nitta, Sakai, JHEP 03, 082 (2021) [arXiv:2010.16080]

粒子生成は場の方程式のStokes現象と捉えられることに注目し、完全WKB法に基づいて粒子生成を調べた
・ Stokes図の構造を一般的に同定・ Stokes segmentでの接続公式を
半古典近似ℏ ≪ 1で導出・ 生成粒子数の公式を導出+i Im 𝜎𝜎𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ −𝑆𝑆𝑡𝑡tp,𝑖𝑖 /ℏ 2
−3𝑆𝑆 /ℏ| + 𝑂𝑂(e 𝑡𝑡tp )e𝑛𝑛 = 𝛽𝛽 2 =| ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 e

将来的な課題 ・ 高次ℏ寄与を取り込む(接続公式の改善)

・ 非線形微分方程式、偏微分方程式への拡張
・ Thimble積分との交流 (e.g., Tanizaki, Koike の実時間解析を完全WKB法で?)・ 波動関数を使っていろんな量を計算したい内容
1. イントロダクション・ 「強い場による真空からの粒子生成」のレビュー
・ 「完全WKB法」のレビュー

2. メインの計算の話
・ 粒子数公式の導出

3. まとめ4. オマケ: 高次高調波発生への応用

真空からの高次高調波発生
電場による粒子生成(Schwinger機構)の後の光子生成

電場

加速
光子

ディラックの海

粒子生成

真空

光子生成

✔ 生成光子は、電場が強いときに、高次高調波成分を持つだろう[Ghimire et al., (2011)]

電場の典型的な周波数Ω: 𝐸𝐸� 𝜔𝜔 ∝ 𝛿𝛿(Ω − 𝜔𝜔)・𝐸𝐸が弱い/速い (large 𝛾𝛾Keldysh ) ⇒ 𝜔𝜔d𝑁𝑁𝛾𝛾

・𝐸𝐸 が強い/遅い (small 𝛾𝛾Keldysh ) ⇒ 𝜔𝜔

✔ 半導体などでの観測�= (𝐸𝐸について線形)⇒ 𝜔𝜔 = 𝟏𝟏 × Ω にピーク

d𝜔𝜔
d𝑁𝑁𝛾𝛾
d𝜔𝜔

�
= (𝐸𝐸について非線形)⇒ 𝜔𝜔 = 𝒏𝒏 × Ω にピーク

特徴: 奇数次の高次高調波 𝑛𝑛 = 1,3,5, … & プラトー構造✔ QEDでも同じことを期待するのは自然だが、まだ研究が未熟
・ 半導体と同じレベルまで議論が進んでない。プラトーがどうとかいう議論もない[Piazza, Hatsagortsyan, Keitel (2005)]
・ オイラーハイゼンベルグ有効ラグランジアンの方法に依拠[Fedotov, Narozhny (2007)]⇒ 電場の周波数ゼロ極限で正当化 ⇒ 本当に知りたいΩ ≠ 0でも良いのか謎 [Bohl, Ruhl, King (2015)]

何を計算すればいいか✔ カレントを計算したい ⇒ 電子の波動関数がわかっていれば十分d𝑁𝑁𝜔𝜔∼ 𝜔𝜔𝐽𝐽̃ 𝜔𝜔d𝜔𝜔� 𝒙𝒙) = � d3 𝒑𝒑
𝜓𝜓(𝑡𝑡,

2

ここで

3

d 𝒑𝒑
� 𝜇𝜇 𝜓𝜓� 0; in = �
𝐽𝐽 𝑡𝑡 ≔ 0; in 𝜓𝜓𝛾𝛾
𝜓𝜓�−,𝒑𝒑 𝛾𝛾 𝜇𝜇 𝜓𝜓−,𝒑𝒑32𝜋𝜋ei𝒑𝒑⋅𝒙𝒙(in)(in)†
𝜓𝜓+,𝒑𝒑 (𝑡𝑡)𝑎𝑎�𝒑𝒑 + 𝜓𝜓−,𝒑𝒑 (𝑡𝑡)𝑏𝑏�−𝒑𝒑3/22𝜋𝜋with B.C.

lim 𝜓𝜓±,𝒑𝒑 ∝ e∓i𝜔𝜔𝒑𝒑 𝑡𝑡 = plane waves

𝑡𝑡→−∞✔ 電場中の波動関数は完全WKB法で構成できる
フェルミオンの場合も基本的にスカラーと同じように完全WKBができる
𝜓𝜓−,𝒑𝒑 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣𝒑𝒑−𝑒𝑒𝑨𝑨 e𝑡𝑡+i ∫ 𝜔𝜔𝒑𝒑−𝑒𝑒𝑨𝑨− � Θ 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡𝑛𝑛cr
𝑛𝑛

𝜎𝜎𝑛𝑛
𝑡𝑡
−i ∫ 𝜔𝜔𝒑𝒑−𝑒𝑒𝑨𝑨
𝑛𝑛 − ℏ−1 e𝑢𝑢𝒑𝒑−𝑒𝑒𝑨𝑨 e

1 + 𝑂𝑂 ℏ

0th WKB
0th WKB Stokes segment
Stokes係数(負振動解)(=Bogoliubov係数) (正振動解)を跨いだ和⇒ 𝜓𝜓−,𝒑𝒑 を代入すれば、カレントは直ちに計算可能

2− Re 𝜎𝜎+ 𝑂𝑂(e ℏ)結果1: ハーモニクス依存性✔ コサイン電場 𝑬𝑬 𝒕𝒕 = 𝑬𝑬𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝛀𝛀𝒕𝒕 を当てた時のカレントの周波数スペクトル
数値計算(近似なしの厳密な結果)

弱くて速い電場 𝛾𝛾Keldysh ≔WKBの結果 (半古典近似)

𝑚𝑚Ω
= 100
𝑒𝑒𝐸𝐸0

遅くて強い電場 𝛾𝛾Keldysh = 1/4

2𝜋𝜋𝛾𝛾Keldysh

2𝜋𝜋𝛾𝛾Keldysh

・ 電場が遅くて強い=非摂動的になるとたしかに高次高調波が出てくる⇒ 半導体などと同じように、 QEDでも奇数次の高次高調波 𝑛𝑛 = 1,3,5, … & プラトー構造

・ WKBは非摂動的な領域で良い記述を与える⇒ プラトーは再現できるが、摂動的な物理が効きだすプラトーの端とかの記述は微妙結果2: 電場の強さや周波数依存性✔ ハーモニクスは𝝎𝝎⁄𝛀𝛀 = 𝟗𝟗に固定
強さ𝐸𝐸0 依存性

WKBの結果 (半古典近似)

2𝜋𝜋𝛾𝛾Keldysh

周波数Ω依存性

2𝜋𝜋

数値計算(近似なしの厳密な結果)

𝛾𝛾Keldysh

・ 非摂動的な領域 (𝐸𝐸0 大でΩ小) では、フーリエ成分は、- サチる ⇒ 非摂動的な領域ではSchwinger機構がカレントを駆動するので、 𝐽𝐽 ∝ e

𝑚𝑚2
𝑒𝑒𝑒𝑒

−#

- 振動する ⇒ 物理的には、Stuckelberg位相による粒子生成の量子干渉効果の顕れ⇒ 最近の半導体での実験ともコンシステント [Xia et al., (2020)](ただし、𝐸𝐸0 依存性しか測ってなく、Ω依存性は我々の予言)⇒ WKBで、非摂動領域の高次高調波発生を解析的にある程度理解できてうれしいコメント1: 適用領域
・ Sauter電場におけるSchwinger機構: 𝑄𝑄 𝑡𝑡= 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥ +𝑝𝑝∥ − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 tanh Ω𝑡𝑡[Sauter (1931)] [HT, Fujii, Itakura (2014)]

・ 半古典近似がOKな領域 ( ℏが小さい ↔ Ωが小さい ) で確かに良い記述⇒ ℏはポテンシャルの”速さ”を制御: 𝑡𝑡 ≡ ℏ𝜏𝜏 ⇒ 0 = 𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄 ℏ𝜏𝜏 𝜙𝜙 𝜏𝜏ℏ≪1𝜕𝜕𝜏𝜏2 + 𝑄𝑄(0) 𝜙𝜙 𝜏𝜏

・ 大雑把に言えば、変わり点のペア間の距離が 遠い/近い と 非摂動的/摂動的(光電効果的)2

コメント2: 摂動/非摂動の移り変わり
・ Schwinger機構を例に: 𝑄𝑄 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚2 + 𝒑𝒑2⊥ + 𝑝𝑝∥ − 𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑡𝑡) 2・ 仮定: 電場がある周波数Ωに集中している: 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = ∫ d𝜔𝜔 𝐴𝐴̃ 𝜔𝜔 ei𝜔𝜔𝜔𝜔 ∼ 𝐴𝐴̃ Ω eiΩ𝑡𝑡 + (c. c)・ 変わり点は解析的に求まる: 𝑡𝑡tp ∼ �

i

𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑒𝑒

2i Ω−1 ln 𝑚𝑚∗
𝑡𝑡tp
・ “インスタントン作用”は、 𝑆𝑆𝑡𝑡tp = +i ∫𝑡𝑡 d𝑡𝑡 ′tp( ℏが小さい ↔ Ωが小さい )( ℏが大きい ↔ Ωが大きい )𝑄𝑄 𝑡𝑡 ′ ∼ 𝑚𝑚 Im 𝑡𝑡tp なので、

𝑡𝑡tp のログ依存性の有無が摂動/非摂動の移り変わりで大事𝑛𝑛 ∼ exp[−2𝑆𝑆𝑡𝑡tp /ℏ] ∼ #−2𝑚𝑚/Ω

𝑛𝑛 ∼ exp[−2𝑆𝑆𝑡𝑡tp

𝑚𝑚2−# e𝐸𝐸/ℏ] ∼ eIntra- & Inter- バンドの寄与

高次高調波発生の描像とStokes図