星の明るさと等級＜教師用ガイド＞
１．教材のねらい
肉眼による星の明るさを表す等級は、CCD 画像や光電測光、写真測光による星の明るさを対数スケールで表現した物である。ポグソンの「等級の５等差で明るさは１００倍になる」という定義を、実際の CCD 画像（FITS 画像）の測光によって確かめる。
２．内容
・さじアストロパーク天文台の、10.5cm 屈折(F6.7)に冷却 CCD カメラ(apogee 製 Ap-7p)＋V フィルターで撮影された、M45（プレアデス星団「すばる」）の FITS 画像の星像を「マカリ」で測光して、それぞれの星の明るさに相当するカウント値を得る。
・ 測光した星の実視等級（Ｖ等級）を星表(Hoffleit ら,1991、Morel ら,1978)*1 から調べたものを資料として提供。
・測光した星のカウント値とＶ等級の相関関係をグラフにする。
（片対数グラフ用紙または Excel 計算表を用いる）
・カウント値−V 等級相関グラフから、等級差と明るさの関係を確かめる。
３．実習の流れ(1)実習の趣旨、データ、「マカリ」の説明。

(2)測光作業、指定された星を測光してカウント値を記録。

(3)データの整理、カウント値−V 等級の相関グラフ作図。
(4)相関図からカウント値と V 等級の関係の読み取り。

(5)考察

等級がわからない星のカウント値から等級を求める。
相関グラフから、等級と明るさの関係式を導く。

(6)感想
４．基本知識（１）星の明るさと等級①星の明るさ「等級」を決めた（ヒッパルコス）星の明るさは「等級」で表すが、これを最初に考案したのは、紀元前２世紀ころ、ギリシャのヒッパルコス（Hipparchos)である。肉眼で見える最も明るい２０個の恒星を１等星、次に明るい星を２等星、･･････肉眼で見える限界の星を６等星、と６段階にグループ分けをした。そして、星の位置と明るさを星図にまとめた。
②星の明るさを測定した（ハーシェル）
天王星を発見したイギリスの天文学者ウィリアム・ハーシェルの息子、ジョン・ハーシ
ェル（John Frederick William Herschel, 1792 年−1871 年）は、1 等星の明るさは 6 等星の 100倍であることを発見し発表した。大きい望遠鏡と小さい望遠鏡を用いて、大きい望遠鏡で暗い星を小さい望遠鏡で明るい星を見て、同じ明るさに見えたとき、２つの星の明るさは-1-望遠鏡の口径の比の２乗倍だけ違うと考えた。その結果、１等と２等、２等と３等というような各等級ごとの明るさの比（光比）が約２．５倍であることに気づいた。
③等級を式で表す（ポグソン）
観測技術が進歩してくると、星の明るさを数値でしっかり表すことが必要になってきた。
１８５３年、イギリスのポグソン（Norman Robert Pogson, 1829 年−1891 年）が定量的に測定した「１等星は６等星の１００倍明るい」という観測結果を基に、等級を数式で表すことを考え、次のように定義した。
１等星と６等星の等級差は５等で、１００倍明るいということ。１等級差あたりでは１００の５乗根で約２．５倍（正確には２．５１１８８６･････）明るいということ。
すなわち、二つの星の等級をｍ１、ｍ２（ｍ１＜ｍ２）、それぞれの明るさを L１、L２ （L１＞L２）とすると、１／５（ｍ２−ｍ１ ）L１／L２ ＝ １００
常用対数を用いて表すと、
ｌｏｇ（ L１／L２）＝２／５（ｍ２ − ｍ１）
または、
ｍ２ − ｍ１＝５／２ｌｏｇ（ L１／L２）
現代でも、この定義を用いて、等級の決定をしている。
④等級の基準ポグソンの元々の定義では、等級の基準値として北極星を２．０等として定義していたが、北極星が変光星であることがわかり、こと座のベガを０．０等と定めた。現在では決められた色フィルターで複数の基準星を撮影して得られた光度を基準にして等級が決められている。（『ウィキペディア』「等級」項目の「歴史」より）*2（２）星の明るさを測る①星の等級を測る（実視等級、写真等級、光電管、CCD）
肉眼での観測で得られた等級を実視等級（視等級）というが、１９２０年代になって天体写真がとられるようになり、等級の測定に利用されたが、写真乾板と人間の目では明るさの感度に違いがあることが明らかになった。写真では青い光に強く感光するためである。
この写真による等級を写真等級という。
現在では、写真測光に変わり、光電管や電荷結合素子（ＣＣＤ）を使って、星からの光を光子数（光電子数）として検出し、電気的な測定をして星の明るさを測っている。肉眼での観測による実視等級に最も近い、緑の光を通す V フィルターを用いて測光した等級をV 等級と呼ぶ。写真乾板の感度分布に近い青い光を通すＢフィルターを用いて測定した等級をＢ等級、その他、紫色の光で測定したＵ等級、赤い光で測定したＲ等級、赤外線でのＩ等級など、各波長域を通すフィルターを用いて測光している。複数のフィルターを用いて一つの星を測光した等級の差で、その星の色を定量的に表し、Ｂ−Ｖ、Ｕ−Ｖなどの値が用いられ色指数と呼んでいる。Ｕ、Ｂ、Ｖの３色フィルターで行う測光をジョンソンの-2-ＵＢＶシステムといい、天文学の標準測光システムとして広く使われている。（『ウィキペディア』「等級」項目の「等級と波長」より）②マカリのカウント値と星の明るさ
CCD で記録されるカウント数は、ＣＣＤの各画素（ピクセル）で検出された光子数（＝光電子数）そのものではない。1 ピクセル毎に溜まった電子を、ＣＣＤ内の別のコンデンサーに入れ、そこに生じた電圧を AD 変換器でデジタル量に直している。１カウントが光電子何個分に相当するかは CCD の仕様によって異なる。
１ピクセルに収容できる電子数には限界があり、CCD に入射する光量と、その場合の出力であるカウント数の間の比例関係が崩れることがあり、特に光量が多く、カウント数の大きい方で直線性が悪化することがある。しかし、この比例関係が成立している範囲内（ダイナミックレンジと呼ぶ）であれば、ＣＣＤの各ピクセルで検出された光子数（＝光電子数）とカウント値は比例している。（大島修）*3

マカリの開口測光モードで、ある星を測光したときのカウント値（「Ｃｏｕｎｔ」の値）
は、その星からの光を蓄積したいくつかのピクセルの範囲内（自動モードの赤の円内）のカウント値をすべて加算した値（STAR の総計）から、周囲の二重円の部分（SKY）のカウント値から計算した背景のカウント値を差し引いた値を、「Ｃｏｕｎｔ」 （テキスト出力では「測光結果」）の値として出力している。
これらのことから、マカリの測光機能で得られたＣｏｕｎｔ値は、その星の明るさに比例していると考えてよい。
５．データ画像
この教材で使用しているデータ画像（FITS 画像）は、さじアストロパーク天文台の、10.5cm 屈折(F6.7)に冷却 CCD カメラ(apogee 製 Ap-7p)＋V フィルターで撮影された、M45（プレアデス星団、日本名「すばる」）の一部の画像である。０．１秒露出の４枚の画像
を FITS 画像処理ソフトのマカリで、加算平均の処理を加えたものをデータ画像とした。
同一露出のダークフレームを使って、ダーク補正をした画像も測光したが、カウント値と等級の相関関係は、有効数字の範囲内で一致していた。
６．実習の準備と授業案（１）実習の準備①マカリのダウンロードとインストール②「星の明るさと等級」教材セットのダウンロード-3-③授業までに、予備実習を行い、実習指導のポイントを整理する。
④生徒実習用ワークシート、M45 の CCD 画像測光用チャートの準備。
（２）授業案「恒星の性質」の単元で、星の物理的性質の基本として星の明るさと等級について、教科書では数行で説明していることを、具体的な観測結果をもとに確かめていく。
授業案は１例として、１時間目：（講義）「星の明るさと等級」について、発見の歴史を含めて説明。
実習に用いる観測データ（M45「すばる」の FITS 画像）について説明。
基本的なマカリの使用法と測光方法について説明。
２時間目：（実習）M45 画像の測光。カウント値の記録。V 等級−カウント値のグラフ作成。グラフの読み取り。考察。感想。
（３）教材
この実習は「恒星の性質」を考える上で、最も基本的な「星の明るさと等級」の関係を、実習を通して直感的に理解することをねらいとしている。その他の FITS 画像実習教材を扱う基礎となるもので、高校地学Ⅰの普通授業（文系選択の生徒においても）の中で十分使用可能な教材である。
生徒用ワークシートは生徒の実力や学習のレベルに応じて、設問・考察の内容など適宜改良して利用していただきたい。また、V 等級−カウント値の相関グラフも生徒のレベルや授業時間に合わせて、片対数グラフに手書きをすることにより、対数への理解がいっそう深まると考えられる。グラフの手書きが無理な場合は、Excel 計算表にグラフ機能を添付してあるので、カウント値を入力すれば、即、グラフができるようにした。対数目盛りのグラフを書く手間と時間を省いて、結果をゆっくりと検討することも考えられる。
さらに、生徒の実習までいかなくとも、教師の演示実習としても使うことができ、「PowerPoint」のスライドなどと併用しての利用も十分可能と思われる。
７．指導要領との関連
この教材に関連する高等学校学習指導要領の項目を抜粋すると、以下のとおりである。
地学Ⅰ(2)大気・海洋と宇宙の構成
イ

宇宙の構成

(ｲ)恒星の性質と進化

内容の取り扱いイの(ｲ)については恒星のＨＲ図を中心に扱い、恒星の性質や進化については定性的な扱いにとどめること。
地学Ⅱ(3)宇宙の探求
天体の放射や宇宙に関する現象を観察、実験などを通して探求し、宇宙の広がりや観測方法を理解させ、宇宙の構造と進化についての見方や考え方を身に付けさせる。
ア

天体の観測

(ｱ)天体の放射(ｲ)天体の様々な観測

内容の取り扱い(3)のアの(ｱ)については、恒星の放射を中心に扱うこと。(ｲ)については、各波-4-長における観測法を扱い、それにより得られる情報の活用も図ること。
数学 II（3）いろいろな関数三角関数，指数関数及び対数関数について理解し，関数についての理解を深め，それらを具体的な事象の考察に活用できるようにする。
イ、指数関数と対数関数(ｱ)指数の拡張、(ｲ)指数関数、(ｳ)対数関数、内容の取り扱い
イの(ｳ)については，対数計算は扱わないものとする。
８．ワークシート答例
表１．測光結果

番号XY

V 等級

カウント値

12884445.767617

2272

430

6.434095

3370

401

4.3029213

4300

349

3.8743958

5323

333

7.22

1964

6419

312

5.4610606

7108305

6.83

2837

8228

290

7.40

1664

9413

222

3.7050829

10125

217

6.32

4613

11

110

211

2.87

109599

12246

134

4.18

33441

13348

181

8.05

910

14206

212

9.29

301

15159

156

8.36

686

Ａ

299181？

1136

Ｂ
328
398506？
＜注＞「測光結果」の X、Y とカウント値は若干の差がでる場合がある。
４．結果(1)できあがった、「V 等級−カウント値の相関」のグラフはどのような形になったか右のグラフ欄に記入せよ。
（Excel 計算表のグラフを右に示す）(2)作図したグラフ、または Excel 計算表のグラフから、M45 の星のＶ等級と星の明るさを示すカウント値はどのような関係（相関関係）になっているか？

-5-すべての星の対数目盛で表したカウント値とＶ等級は、ほぼ１本の直線上に乗っていて、カウント値の対数はＶ等級に比例している。
(3)グラフ（相関図）で、Ｖ等級（横軸）が３等級と８等級の５等級差で、カウント値はおよそ何倍になっているか？
１００倍＜指導上の留意点＞
このグラフでは３等星と８等星のカウント値がほぼ 100000 と 1000 になっていて、５等級差の光度比が１００倍であることを容易に求めることができる。本来カウント値は CCDでの撮像の条件などにより変化する。このグラフでは、相関を示す右下がりの直線が上下に平行移動することになる。使用した画像では偶然に３等星と８等星のカウント値が100000 と 1000 になっている。この点を指導の中でしっかりおさえておきたい。
(4)グラフ（相関図）にできた直線の傾きはいくらになっているか？

分数で示せ。

ただし、カウント値（縦軸）は常用対数の値で測ること。（「V 等級−カウント値(対数)」シートのグラフから読み取ること。）
約−２／５になっている。
５．考察(1)CCD 画像の測光用チャートの等級が不明な A、B の星のカウント値から 、上の「V 等級−カウント値の相関」グラフでＶ等級を求めると何等級になるか。
グラフから

Ａ星

７．８３

等

Ｂ星

８．７０等

星表の V 等級Ａ星

７．８８等 Ｂ星

８．５９等

＜指導の留意点＞
グラフを使って、カウント値から V 等級を見積もるか、Excel 計算表の「Ｖ等級−カウント値（対数）」のグラフの相関式から逆算しても良い（上表は相関式から求めた値）。
実際の観測ではこの過程で星の等級を決めていることをおさえておきたい。
(2)次の［］内に適切な数式、に語句をいれて、説明を完成せよ。

-6-

グラフで二つの星の等級をｍ1 、ｍ２（ ｍ1 ＜ｍ２ ）明るさ（ここでは、カウント値）をL1 、 L2（L1 ＞ L2 ）とすると、
ａ＝［（ ｍ2− ｍ1）］････････①ｂ＝［（log L1− logL2）］･･････②
上の「４．結果(４)」の直線の傾きは、−ｂ／ａ＝［−２／５］

式を変形して、ｂ＝［２／５ａ］

上式に①、②を代入すると（log L1− logL2）＝［２／５（ ｍ2− ｍ1ｌｏｇ（ L１／L２）＝［２／５（ ｍ2− ｍ1）］）］･････････････････････③の式ができる。
ここで、ｍ2− ｍ1＝［ ５／２ ｌｏｇ（ L１／L２）］･･･････････････････････④

また、③からL１／L２＝１００［１／５（ｍ2−ｍ1）］･････････････⑤の式ができる。
この④⑤の式はポグソンが、星の明るさと等級の関係を定義した式である。

＜参考資料＞＊１1) Bright Star Catalog, 5th Ed. (Hoffleit D. and Warren Jr W.H., 1991)
2) UBVRIJKLMNH Photoelectric Photometric Catalogue (Morel M. and Magnenat P.,
1978, A&AS 34, 477)＊２3)フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』「等級 (天文)」項目（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E7%B4%9A_%28%E5%A4%A9%E6%96%87%29）＊３4)大島修： ＣＣＤ測光の精度を向上させるために ――小型望遠鏡と小型冷却

CCD カメラを使って――（http://scox.kamokou.jp/~ohshima/photometry/）-7-