強い電場中におけるフェルミオン対生成の有限時間効果

田屋 英俊(東大駒場D1)
共同研究者：藤井 宏次(東大駒場)、板倉 数記(KEK)
HT, H.Fujii and K.Itakura, “Finite pulse effects on 𝒆𝒆+ 𝒆𝒆− pair creation from strong electric fields,” Phys. Rev. D 90, 014039 (2014).

2014/8/8 三者若手夏の学校@長野

1

①

強い電場中におけるフェルミオン対生成の有限時間効果

田屋 英俊(東大駒場D1)
共同研究者：藤井 宏次(東大駒場)、板倉 数記(KEK)
HT, H.Fujii and K.Itakura, “Finite pulse effects on 𝒆𝒆+ 𝒆𝒆− pair creation from strong electric fields,” Phys. Rev. D 90, 014039 (2014).

2014/8/9 三者若手夏の学校@長野

2

①

強い電場中におけるフェルミオン対生成の有限時間効果②

田屋 英俊(東大駒場D1)
共同研究者：藤井 宏次(東大駒場)、板倉 数記(KEK)
HT, H.Fujii and K.Itakura, “Finite pulse effects on 𝒆𝒆+ 𝒆𝒆− pair creation from strong electric fields,” Phys. Rev. D 90, 014039 (2014).

2014/8/9 三者若手夏の学校@長野3

なぜ 「強い電場中のフェルミオン対生成」を考えているのか？
理論的な動機▶ QFTの非自明な非摂動的側面を研究する良いチャンスになり得る。

実験的な動機▶ 実験技術の進歩により、強い電場を実験室において実現することが可能になりつつあり、実験による検証が現実味を増してきた、旬な話題である。

4

なぜ 「強い電場中のフェルミオン対生成」を考えているのか？
理論的な動機▶ QFTの非自明な非摂動的側面を研究する良いチャンスになり得る。
素朴な例: 一様定常な電場𝑬𝑬中でのQED

�// − 𝑚𝑚 𝜓𝜓 − 𝑔𝑔 𝜓𝜓𝐴𝐴𝐴𝐴ℒ = 𝜓𝜓� 𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑚𝑚[eV]=
普通の状況( 𝒈𝒈𝒈𝒈⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≲ 𝟏𝟏 )強い電場中(𝒈𝒈𝒈𝒈⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≳ 𝟏𝟏)

𝑂𝑂[1]

𝑔𝑔𝑔𝑔[eV]

次元量2つのみ → 外場による補正は𝑂𝑂+𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑂𝑂 2𝑚𝑚+

𝑬𝑬

𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑂𝑂
𝑚𝑚2𝑬𝑬

2𝑬𝑬

𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑚𝑚2で効く。

+ (higher order terms)

cf. precise measurement of QED, pQCD, ...

→高次補正は効かない→摂動論が正当化され、実験でもよくわかってる。

→高次補正が効く→摂動論は破綻し、非自明な物理を発現。

5

なぜ 「強い電場中のフェルミオン対生成」を考えているのか？
理論的な動機▶ QFTの非自明な非摂動的側面を研究する良いチャンスになり得る。

[F.Sauter 1931, W.Heisenberg & H.Euler 1936, J.Schwinger 1951]＞ 強い電場中で起こる真空からのフェルミオンの対生成
普通の状況: 𝒈𝒈𝒈𝒈⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≲ 𝟏𝟏

QFT真空 ＝ 仮想粒子対が常に生まれ/消滅している状態
実粒子はない ⇔<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> = 0

強い電場中: 𝒈𝒈𝒈𝒈⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≳ 𝟏𝟏

真空中の仮想粒子対は電場から多重散乱を受け、エネルギーを得、実粒子になる。

� out |vac;in> ≠ 0
実粒子がある ⇔ <vac;in|𝑛𝑛
𝑬𝑬

time

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

…………

𝑬𝑬

… … … … 𝑬𝑬time

特に、一様定常電場の場合には、生成粒子数は陽に非摂動的な公式で表現される。
time scale ～ 1/m

𝑚𝑚2 + 𝑝𝑝𝑇𝑇2�
<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> = exp −𝜋𝜋𝑔𝑔𝑔𝑔[Schwinger’s formula, J.Schwinger 1951]

6

なぜ 「強い電場中のフェルミオン対生成」を考えているのか？
理論的な動機▶ QFTの非自明な非摂動的側面を研究する良いチャンスになり得る。
＞ 強い電場中では、真空からのフェルミオンの対生成、という非自明な現象が予言され、一様定常電場の場合には、陽に非摂動的な物理現象として記述される。

実験的な動機▶ 実験技術の進歩により、強い電場を実験室において実現することが可能になりつつあり、実験による検証が現実味を増してきた、旬な話題である。

7

なぜ 「強い電場中のフェルミオン対生成」を考えているのか？
人類が作れる電場の強さ
方法1 レーザー

実験的な動機8

なぜ 「強い電場中のフェルミオン対生成」を考えているのか？
人類が作れる電場の強さ
方法1 レーザー
方法2 高エネルギー重イオン衝突

実験的な動機・強いEM場・強いカラー場

超高速で走る原子核のCoulomb場はLorentz収縮している。

原子核上にカラー荷を持つグルーオン場が密に詰まっている。

boost@静止系

𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑔𝑔𝑔𝑔 ∼ 2𝑟𝑟@超高速𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑔𝑔𝑔𝑔 ∼ 𝛾𝛾𝐿𝐿 2
𝑟𝑟

𝛾𝛾𝐿𝐿 ∼ 100 RHIC , 3000(LHC)

𝑔𝑔𝑔𝑔 ∼ 𝑄𝑄𝑠𝑠2

𝑄𝑄𝑠𝑠 ∼ 1GeV RHIC , 3GeV(LHC)9なぜ 「強い電場中のフェルミオン対生成」を考えているのか？
理論的な動機▶ QFTの非自明な非摂動的側面を研究する良いチャンスになり得る。
＞ 強い電場中では、真空からのフェルミオンの対生成、という非自明な現象が予言され、一様定常電場の場合には、陽に非摂動的な物理現象として記述される。

実験的な動機▶ 実験技術の進歩により、強い電場を実験室において実現することが可能になりつつあり、実験による検証が現実味を増してきた、旬な話題である。

10

なぜ 「電場の有限時間効果」を考えているのか？
理論的な動機▶ QFTの非自明な非摂動的側面を研究する良いチャンスになり得る。
＞ 強い電場中では、真空からのフェルミオンの対生成、という非自明な現象が予言され、一様定常電場の場合には、陽に非摂動的な物理現象として記述される。

実験的な動機▶ 実験技術の進歩により、強い電場を実験室において実現することが可能になりつつあり、実験による検証が現実味を増してきた、旬な話題である。
問題: 実験的に作れる強い電場は、有限時間である。
・レーザー: time duration ∼ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 sec

・高エネルギー重イオン衝突: time duration ∼ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 sec▶ 素朴な「一様定常」電場の理論を越えて、電場の「有限時間効果」を取り込む必要。

11

なぜ 「電場の有限時間効果」を考えているのか？
予想: 「有限時間効果」は「強い電場中でのフェルミオン対生成」の素朴な描像を大きく変えるだろう。

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

𝑬𝑬

…………

𝑬𝑬

… … … … 𝑬𝑬…………

一様定常電場time

𝑬𝑬… … … … 𝑬𝑬

多重散乱が効く→非摂動現象𝑚𝑚2 + 𝑝𝑝𝑇𝑇2�
<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> = exp −𝜋𝜋𝑔𝑔𝑔𝑔[Schwinger’s formula, J.Schwinger 1951]

有限時間の電場time→→多重散乱が効く時間はない

𝑔𝑔𝑔𝑔<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in > = # × 2
𝑚𝑚→摂動現象?

212

研究の話

13

研究の目的
強い電場中におけるフェルミオン対生成現象を考え、電場の有限時間効果が与える影響について、時間幅𝝉𝝉の変化と、粒子生成の摂動的(𝝉𝝉が短い)↔非摂動的(𝝉𝝉が長い)描像はどう結びつくのか？に注目し、これを解析的な計算で議論する。

14

戦略
STEP 1: 有限時間でも使える、強い電場中でのフェルミオン対生成𝒏𝒏のFullな公式を求める。
求め方の詳細 → 次のスライド

STEP 2: 「摂動の最低次の計算」と「非摂動的なSchwingerの公式」と比較する。
2<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> =𝑬𝑬

𝑚𝑚2 + 𝑝𝑝𝑇𝑇2�
<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> = exp −𝜋𝜋𝑔𝑔𝑔𝑔

𝑬𝑬𝑝𝑝𝑧𝑧2= 1− 2𝑝𝑝0[Schwinger’s formula, J.Schwinger 1951]�𝑔𝑔𝐸𝐸(2𝑝𝑝0)
4𝑝𝑝02

2

Note: LOで対生成を起こすには、電場のFourier成分が𝜔𝜔 > 2𝑝𝑝0 で非ゼロあることが必要。

15

戦略
STEP 1: 有限時間でも使える、強い電場中でのフェルミオン対生成𝒏𝒏のFullな公式を求める。
理論の詳細: 外場との相互作用をFullに含む、正準量子化
QED Lagrangian:/ − 𝑚𝑚 − 𝑔𝑔𝑔𝑔
/ 𝜓𝜓ℒ = 𝜓𝜓� 𝑖𝑖𝑖𝑖

Note: SU(3)のQCDもcolor空間の基底を取り直す(Cartan-Weyl基底)ことで、QED同様に定式化可。

粒子の消滅演算子

モード展開:[J.Ambjorn & R.Hughes 1983]

反粒子の生成演算子

as 𝑎𝑎� as + 𝜓𝜓 as 𝑏𝑏� as†𝜓𝜓� = � � 𝑑𝑑3 𝑝𝑝 +𝜓𝜓𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑝𝑝,𝑠𝑠− 𝑝𝑝,𝑠𝑠 −𝑝𝑝,𝑠𝑠

as = in-state / out-state𝑠𝑠/ − 𝒎𝒎 − 𝒈𝒈𝒈𝒈]𝝍𝝍を満たす正/負振動解/
外場をFullに含むDirac方程式𝟎𝟎 = [𝐢𝐢𝝏𝝏

ANALOGY: 1次元のポテンシャル散乱

as=in/outの違い: in-stateのモード関数 or 演算子は、out-stateのそれのmixになる。

𝜓𝜓 in𝛼𝛼𝑝𝑝=in𝛽𝛽𝑝𝑝−𝜓𝜓𝑝𝑝,𝑠𝑠+ 𝑝𝑝,𝑠𝑠𝒏𝒏 の公式:

−𝛽𝛽𝑝𝑝∗
𝛼𝛼𝑝𝑝∗

𝜓𝜓 out+ 𝑝𝑝,𝑠𝑠out−𝜓𝜓𝑝𝑝,𝑠𝑠�𝑎𝑎� as = ( +𝜓𝜓as , 𝜓𝜓)�𝑏𝑏� as = ( −𝜓𝜓as , 𝜓𝜓)22in𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑏𝑏� in†−𝑝𝑝,𝑠𝑠

規格化: 𝛼𝛼𝑝𝑝 + 𝛽𝛽𝑝𝑝 =1=𝛼𝛼𝑝𝑝∗
𝛽𝛽𝑝𝑝∗

out† 𝑎𝑎� out |vac;in > 2𝜋𝜋<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in > ≡ <vac;in|𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑉𝑉

in: 正/負のmix

−𝛽𝛽𝑝𝑝
𝛼𝛼𝑝𝑝

3= 𝛽𝛽𝑝𝑝

out
𝑎𝑎�𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑏𝑏� out†

out: 正だけ負
正正time−𝑝𝑝,𝑠𝑠2/▶ 𝜷𝜷はDirac方程式𝟎𝟎 = [𝐢𝐢𝝏𝝏/ − 𝒎𝒎 − 𝒈𝒈𝒈𝒈]𝝍𝝍の解で決まるので、𝒏𝒏を求めることはDirac方程式を解くことに帰着！
16

戦略
STEP 1: 有限時間でも使える、強い電場中でのフェルミオン対生成𝒏𝒏のFullな公式を求める。
Dirac方程式が解析的に解ける かつ有限時間の電場を体現▶ 幅𝝉𝝉、ピーク値𝐄𝐄𝟎𝟎 のSauter型の電場𝐄𝐄 = 𝐄𝐄𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐡𝐡−𝟐𝟐 [𝐭𝐭⁄𝝉𝝉][F.Sauter 1932]

𝐄𝐄𝟎𝟎

𝝉𝝉time17

結果: 生成粒子数𝒏𝒏の𝝉𝝉依存性の比較
𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 < 𝟏𝟏𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 > 𝟏𝟏

電場の持続時間

電場の持続時間18

結果: 生成粒子数𝒏𝒏の𝝉𝝉依存性の比較
𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 < 𝟏𝟏LO

𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 > 𝟏𝟏Schwinger

電場の持続時間LO

Schwinger

電場の持続時間

発見1: 電場の時間幅 𝝉𝝉 に応じ、フェルミオン対生成の描像が、摂動的( 𝝉𝝉 が短い)↔非摂動的( 𝝉𝝉 が長い)と移り変わる。
発見2:

19

結果: 発見1をもう少し詳しく
発見1: 電場の時間幅 𝝉𝝉 に応じ、フェルミオン対生成の描像が、摂動的( 𝝉𝝉 が短い)↔非摂動的( 𝝉𝝉 が長い)と移り変わる。
▶ Sauter型の電場𝐄𝐄 = 𝐄𝐄𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐡𝐡−𝟐𝟐 [𝐭𝐭⁄𝝉𝝉]での、解析的な、粒子生成数𝒏𝒏のFullな公式:<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in > = 𝛽𝛽𝑝𝑝

2

Sauter型

𝜸𝜸, 𝝂𝝂 ≪ 𝟏𝟏より正確には、理論には、 𝝉𝝉 以
外に、 𝒎𝒎, 𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 の2つの次元量が2𝑬𝑬あるので、𝑬𝑬𝑝𝑝𝑧𝑧2= 1− 2𝑝𝑝0𝜋𝜋𝝉𝝉𝜋𝜋𝝉𝝉−+−+2𝑔𝑔𝐸𝐸0 𝝉𝝉 + 𝑝𝑝0 (𝝉𝝉) − 𝑝𝑝0 (𝝉𝝉) Sinh
2𝑔𝑔𝐸𝐸0 𝝉𝝉 − 𝑝𝑝0 𝝉𝝉 + 𝑝𝑝0 (𝝉𝝉)22−−Sinh 𝜋𝜋𝝉𝝉𝑝𝑝0 (𝝉𝝉) Sinh 𝜋𝜋𝝉𝝉𝑝𝑝0 (𝝉𝝉)

時間幅𝝉𝝉について展開

LO perturbation<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> =Sinh�𝑔𝑔𝐸𝐸(2𝑝𝑝0)
4𝑝𝑝02

2

𝑝𝑝0± 𝜏𝜏 =𝜸𝜸 =𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 𝝉𝝉𝒎𝒎

𝝂𝝂 = 𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 𝝉𝝉𝟐𝟐𝑚𝑚2 + 𝑝𝑝𝑇𝑇2 + (𝑝𝑝𝐿𝐿 ± 𝑔𝑔𝐸𝐸0 𝜏𝜏)𝜸𝜸, 𝝂𝝂 ≫ 𝟏𝟏Schwinger
𝑚𝑚2 + 𝑝𝑝𝑇𝑇2�
<vac;in|𝑛𝑛� out |vac;in> = exp −𝜋𝜋𝑔𝑔𝑔𝑔の大小で展開する。

20

結果: 発見1をもう少し詳しく
発見1: 電場の時間幅 𝝉𝝉 に応じ、フェルミオン対生成の描像が、摂動的( 𝝉𝝉 が短い)↔非摂動的( 𝝉𝝉 が長い)と移り変わる。
粒子対生成の描像の”相図”

電場の持続時間

定常的

瞬間的

電場の強さ
弱い

強い21

結果: 生成粒子数𝒏𝒏の𝝉𝝉依存性の比較
𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 < 𝟏𝟏𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 > 𝟏𝟏

電場の持続時間電場の持続時間

発見1: 電場の時間幅 𝝉𝝉 に応じ、フェルミオン対生成の描像が、摂動的( 𝝉𝝉 が短い)↔非摂動的( 𝝉𝝉 が長い)と移り変わる。
発見2:22

結果: 生成粒子数𝒏𝒏の𝝉𝝉依存性の比較
𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 < 𝟏𝟏𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 > 𝟏𝟏

電場の持続時間

電場の持続時間

発見1: 電場の時間幅 𝝉𝝉 に応じ、フェルミオン対生成の描像が、摂動的( 𝝉𝝉 が短い)↔非摂動的( 𝝉𝝉 が長い)と移り変わる。
発見2: 電場がそこまで強くなく(𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≲ 𝟏𝟏 )、時間幅も比較的短い(𝒎𝒎𝒎𝒎 ≲ 𝟏𝟏 )ところにおいて、Schwingerの公式で素朴に予想するよりもはるかに大きい摂動論的な粒子生成が生じている。 摂動的(power supp.)↔非摂動的(exp supp.)23

まとめ▶ 強い電場中におけるフェルミオン対生成現象を考え、電場の有限時間効果が与える影響を調べた。
▶ ピーク値𝑬𝑬𝟎𝟎 、時間幅𝝉𝝉のSauter型の電場を設定し、強い電場中において生成されたフェルミオン対の解析的な粒子生成数𝒏𝒏の表式をFullに求め、 𝒏𝒏の 𝝉𝝉 依存性を見た。さらに、この結果を最低次の摂動の公式とSchwingerの公式の結果と比較した。

▶ 強い電場中でのフェルミオン対生成の描像は、時間幅𝝉𝝉を無次元化した
𝜸𝜸=𝒈𝒈𝑬𝑬0 𝝉𝝉/𝒎𝒎、𝝂𝝂 = 𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 𝝉𝝉𝟐𝟐 の2つのパラメータによって摂動/非摂動描像がコントロールされることを示した。

▶ 電場がそこまで強くなく(𝒈𝒈𝑬𝑬𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟐𝟐 ≲ 𝟏𝟏 )、時間幅も比較的短い(𝒎𝒎𝒎𝒎 ≲ 𝟏𝟏 )ところにおいて、Schwingerの公式で素朴に予想するよりもはるかに大きい摂動論的な粒子生成が生じていることを示した。

24