リアルな代数幾何～ メビウスの帯からトロピカル曲線まで ～首都大学東京 小林正典
平成29年3月26日 市民講演会

第一部 メビウスの帯

メビウスの帯ふつうの帯ふつうの帯を切ると２本になる

メビウスの帯を切るとメビウスの帯を切るとメビウスの帯を切るとねじれながら２周する帯になる

２回ねじれているが今回は区別しないつなげた帯を切るとつなげた帯を切るとこうなるもっとつなげた帯を切ると？

簡単に求める３つのステップをご紹介します！

複雑なものをどう数える？
1. 扱いやすいものに置き換える• 一対一対応

2. 単純な場合に帰着する• 爆発

3. わかりやすく表す• グラフ

１．一対一対応• 信長「あの山の木の本数を数えよ」• 秀吉

縄を千本用意し，木に一本ずつ結ばせた• 残った縄の本数から木の本数がわかる！
• 数えやすいものに「一対一対応」で置き換えることで，漏れなく，重複なく，数え上げる（秀吉は補集合も用いた）

１．一対一対応•切った後の帯は，切り口と元の境界で挟まれる•境界が n 個 ⇒ n 個に切り分けられる

１．一対一対応

境界が１個なので，切っても１本の帯

複雑なものをどう数える？
1. 扱いやすいものに置き換える• 一対一対応

2. 単純な場合に帰着する• 爆発

3. わかりやすく表す
• グラフ

２．爆発
• 境界を変えずに，輪の数を増やす操作• 一点を，近づく方向ごとに違う点とみなす• 円板からメビウスの帯ができる

２．爆発

３．爆発

高さ＝傾き

上下をつなぐ３．爆発• 中心の点を円に取り替える• 境界は変わらない• 増えた円に沿って１回ねじれる → メビウスの帯ができる• 逆操作も可能 （メビウスの帯は円板につぶせる）• 実は，中心を通る線に沿っても１回ねじれる （次画面）

２．爆発

傾き減少
下向き

傾き増加
上向き

２．爆発

高さ＝傾き

手前から奥へ１回ねじれる

上下をつなぐ複雑なものをどう数える？
1. 扱いやすいものに置き換える• 一対一対応

2. 単純な場合に帰着する• 爆発

3. わかりやすく表す• グラフ

３．グラフメビウスの帯（ねじれが奇数回）をふつうの帯 （ねじれが偶数回）をで表し，交わるときに辺で結ぶ．

○●

３．グラフ３．グラフ
•連続して爆発してみましょう３．グラフ（辺が２本以下の）○はつぶせる
隣の丸の白黒を入れ替える

史上最 悪高の難問

例題 （東大・1998年度後期）

グラフの操作に対し，爆発を対応させる• ○は３つずつつぶせる△ー○ー○ー○ → △ー○ー● → ▲ー○ー → △• ○の個数を３で割って，余り０，１のとき： つぶせる
• 余り２のとき： → ○ー○ → ● （ふつうの帯）• 境界は２個なので円板にできない．

（２）の略解
答： 白丸の個数 n を 3 で割った余りが 0 または 1 であること．
•必要性 白丸を 1，黒丸を 0 に対応させ，グラフを数列
s = a1a2 … an
で表す．関数（完全不変量） g(s)∈{0,1} を漸化式
g(s) = an g(a1 … an-1) + g(a1 … an-2) を 2で割った余り
g() = 1, g(a) = a (a = 0,1)で定めると，g(s)は各操作で不変である．
•十分性 他の部分を変えずに白丸を 3 個連続で増やせる．

問題の解答

円板につぶせたので境界は１個．1本になる．

複雑なものをどう数える？
1. 扱いやすいものに置き換える• 一対一対応

2. 単純な場合に帰着する• 爆発

3. わかりやすく表す• グラフ

背景にあるのは交点数• ふつうの帯が０，メビウスの帯が１とは？
• 中心線の自分自身との交点数• 中心線を少しずらしたとき，元と交わる点の個数は，偶奇が定まる• 公式 [K-Kuo][K] グラフが木のとき次が成り立つ．
切ったときの個数 ＝ 中心線たちの交点行列の余階数 ＋ １
つぶせる ⇔ 交点行列が正則

交点行列
0 1 0
1 1 1
0 1 1

正則行列なので，境界は1個・つぶれる第二部 トロピカル曲線

平面曲線の交点数
直線と２次曲線重解，虚数解平面曲線の交点数
直線と２次曲線

無限遠

平面曲線の交点数２次曲線と２次曲線

平面曲線の交点数
３次曲線と２次曲線

平面曲線の交点数
共通成分のない実平面曲線に対し

m次
曲線

n次
曲線

高々
mn点

平面曲線の交点数
複素化• 虚数解を追加

代数との相性アップ
重複度

射影化• 重解を考慮• 無限遠を追加

平面曲線の交点数
共通成分のない複素射影平面曲線に対し

m次
曲線

n次
曲線

丁度
mn点

ベズー(Bézout)の定理

代数の可視化
幾何

実

交点数

点が不足

可視性

曲がる

複素
射影
ベズーの
定理

高次元

トロピカル化 次元が再び半分に！

実曲線

複素曲線

トロピカル
曲線

＋，×

＋，×

max，+

𝐹 𝑋, 𝑌 = lim log 𝑡 𝑓 𝑥, 𝑦𝑡→∞

トロピカル化（超離散化，脱量子化）

𝐹 𝑋, 𝑌 = lim log 𝑡 𝑓 𝑥, 𝑦𝑡→∞

•実部を考える代わりに，絶対値をとる•＋ → Max× → ＋•トロピカル代数（MaxPlus代数）𝑎1𝑎𝑛• 𝑐𝑥1 ⋯ 𝑥𝑛
→ 𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋𝑛 + 𝑏•多項式 → それらの最大トロピカル化• フランスの情報科学者たち
この代数の研究者Imre Simon （ブラジル在住）に因んでトロピカル代数と呼ぶ• Mikhalkin, Sturmfels （2003頃）
対応する幾何をトロピカル幾何と呼ぶ

平面トロピカル曲線
平面曲線 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 のトロピカル化（Bergman扇）= 𝑓 𝑥, 𝑦 のトロピカル化 𝐹(𝑋, 𝑌) の複数項
が同時に最大となる点 [Kapranov]トロピカル直線

Y

X
0
F = max(X,Y,0) = “X+Y+0”

トロピカル直線

F = max(X,Y,0) = “X+Y+0”

（トロピカル）２次曲線の例
2
Y

1XY
1Y
2
X

0

1X

2
2
F = “X +1XY+Y +1X+1Y+0”（トロピカル）２次曲線の例

2Y
1+X+Y
1+Y
2X

0

1+X

F = max{2X, 1+X+Y, 2Y, 1+X, 1+Y, 0}（トロピカル）平面２次曲線の例

F = max{2X, 1+X+Y, 2Y, 1+X, 1+Y, 0}平面トロピカル曲線• 平面の折れ線グラフ （傾きは有理数 or ∞）＋ 各辺の重複度（張力）• 釣合条件• トロピカル曲線 ⇔ 各点で張力が釣り合う（トロピカル）平面３次曲線の例

（トロピカル）平面３次曲線の例

曲線の交点数
共通成分のないトロピカル平面曲線に対し

m次
曲線

n次
曲線

丁度
mn点

Sturmfels; Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald; 梶原（トロピカル）２直線

（トロピカル）２次曲線と直線

（遠くからの）２次曲線と直線

局所交点数＝面積

3

代数の可視化
幾何

交点数

可視性

実

点が不足

曲がる

複素

射影
ベズーの
定理

高次元

トロピカル
ベズーの
定理

区分的に
線形

トロピカル曲線• 上のような折れ線（Bergman扇）をつなげてできる距離付きグラフ• 複素射影曲線の個数をトロピカル曲線から求める（Mikhalkin）• コンパクトリーマン面（代数曲線）と類似の主張が示され始めている．
• 例：Riemann – Rochの定理 [Baker-Norine]他• テキスト[Maclagan – Sturmfels], [Mikhalkin – Rau]

第三部 離散事象との関わり

相図 (phase diagram)• 安定状態 ＝ ポテンシャル関数の最小値を与えるもの• 最大値（最小値）関数の可視化• 相の境界を調べたい• まずは線形近似 → トロピカル幾何プロジェクトネットワーク
依存関係のある作業からなる工程

有向グラフ（サイクル・近道なし）＋ 各作業の所要時間＝ 非負実数の重みが付いた順序集合（重み付きHasse図）

最短完了時間
プロジェクト開始から完了までに必要な最小時間
作業 i の最短完了時間= max { 直前の作業たちの最短完了時間 } ＋ 作業 i の所要時間⇒
所要時間のトロピカル多項式項
最大値を与える項＝ 開始から完了までの極大経路＝ クリティカルパス

最短完了時間の性質
命題

最短完了時間は所要時間のＰ多項式である．

「Ｐ多項式」 ＝

非可除（各項に整序関係なし），
各変数に関して１次， 係数は０

∴ Newton多面体は0/1多面体である．
どの項もNewton多面体の頂点になる．

「Ｒ多項式」 ＝ 最短完了時間となる• Ｒ多項式の特徴付け [伊藤2015]

クリティカルパスの遷移 [K-Odagiri]
定理 Ｐ多項式 F に対し次が成り立つ．
{ (positive orthant – V(F) ) の連結成分 }← 1-1 → { F の項 }特に，F がＲ多項式のとき，• すべての経路はある所要時間で単独でクリティカルパスになる．
• クリティカルパスの遷移は，トロピカル超曲面 V(F) 上で起こる．（相転移面）

ご清聴に感謝いたします．