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第 34 巻 第 1 号 2019lǏŀeɓdl~Ȉl~e}fIǏŀŌvwj}Hɓhe~|ȸphĐqeHǑƧť¿Î¥ÊÅ}ɓdl~Ȉ~HƢķðǾƝǩ

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形の科学会誌 第 34 巻 第 1 号 (2019)

目

次

【論文】
タイリングパターンのプログラミング教育への利用
山守 一徳 ·······································································

1

二重可逆面積保存写像における二重対称周期軌道
山口 喜博 ·····································································

13【シンポジウム】
第 86 回 形の科学シンポジウム 「形と人間」
討論記録 ·························································································

43【会告など】
会告····································································································

48

原稿募集 ····························································································

54

論文

形の科学会誌 第 34 巻 第 1 号

タイリングパターンのプログラミング教育への利用
山守一徳
三重大学, 三重県津市栗真町屋町 1577
yamamori＠edu.mie-u.ac.jp

Use of Tiling Patterns for Programming Education
Kazunori Yamamori
Mie University, 1577 Kurimamachiya-cho Tsu city,Mie,Japan(2019 年 2 月 26 日受付，2019 年 5 月 20 日受理)
Abstract: Classes drawing stars and pentagons are often performed as programming
education in some elementary schools. This paper presents classes drawing tiling patterns.
In programming, iterative processing is an important process. In the process drawing tiling
patterns, there is next preparation steps in the iterative process. The next preparation stepis an important point of teaching iterative processing. Next, the sequence in which thetiling patterns are drawn is not unique. There are various solutions in the drawing
sequence. Finding the most suitable solution is very important for programming education.
Tiling patterns consists of some simple figures. It makes children to notice figures in theirlives. It also leads to figure understanding in arithmetic. I recommend that drawing a tiling
pattern is a good theme of programming education.
Keywords: Programming Practice, Figure Understanding, Elementary School Education,
Scratch, Floor Pattern

1. はじめに1.1. 背景
平成 29 年 3 月告示の小学校学習指導要領 [1] では、「児童がプログラミングを体験しながら，コンピュータに意図した処理を行わせるために必要な論理的思考力を身に付けるための学習活動」を計画的に実施することという記述が入り、各教科の中において、 プログラ
ミング的思考の育成が求められている。小学校現場では戸惑いが広がっているが、平成 30
年 11 月に文部科学省から発行された「小学校プログラミング教育の手引き（第二版）」 [2]では、プログラミングに関する学習活動の具体例が増えて提示され、（第一版）と同様に「正三角形をかくプログラムの例」「正六角形を正しくかくためのプログラム例」が提示され、図形を描く活動は小学校現場に知られつつある。小学校５年生では多角形を習い、小学校
６年生では対称な図形を算数で習い、図形描画プログラミングは算数と連携 したプログラ–1–

ミング教育となっている。
その中で、三重大学教育学部の近隣学区との連携活動において、図形を描く活動を３年続けており、新たな教材を得ることができたので、本論文で紹介する。

1.2. 目的
小学校現場では、プログラミング的思考の育成のための授業をどのように行うと良いのか戸惑いがある。プログラミングが独立した教科としては行われず、既存の教科の中で、授業内容を改善していかなければならない。実際には、「総合的な学習の時間」の授業の中で、プログラミング教育に取り組ませることが行われ始めている。 その中で本研究は、算数や、算数と図工などが関連付けられた総合的な学習の時間に適用可能な教材 を提供することが目的である。

2. 方法
2.1. プログラミング教育で求められる教育成果
プログラミング教育は、コーディングを教えること ではない。プログラム言語を教える
ことでもなく、計算論的思考を巡らせて物事を発展改善させるための手法である。 この計
算 論 的 思 考 は 、 2006 年 に Jeannette M. Wing 氏 に よ っ て 紹 介 さ れ た Computational
Thinking [3] を 2015 年に中島秀之氏 [4] によって訳された言葉である。プログラミング教育
は、2013 年 6 月 12 日の第 12 回産業競争力会議の資料 [1] の中で、「産業競争力の源泉となるハイレベルな IT 人材の育成・確保」の節の中に「義務教育段階からのプログラミング
教育等の IT 教育を推進する。」と書かれたところから 日本で注力が始まっている。プロ
グラミング的思考の育成のための手法の中に位置付けられるプログラミング教育であるが、計算機を用いることは必須ではない。計算機を使わないアンプラグドプログラミングもプ
ログラミング教育である。しかし、2013 年 4 月 17 日の第 6 回産業競争力会議の資料 [6] の中で、「Scratch 等を用いたプログラミング概念早期教育と興味喚起 」と書かれているように、Scratch 等を活用することが意識されている。プログラミング的思考は、 論理的思考と比較すると、論理的思考の中にプログラミング的思考があり、目的を達成するための方
法や手順を考える中で、達成可能かだけでなく、最も適した解を見つけるところまでがプ
ログラミング的思考には必要である。

2.2. Scratch
MIT メディアラボが開発したビジュアルプログラミングソフトであり、2009 年 7 月にScratch1.4 がリリースされ、2013 年 5 月に Scratch2.0 がリリース、2019 年 1 月に Scratch3.0がリリースされている。Scratch プログラミングによって作られた作品は、ローカルフォ
ル ダ へ フ ァ イ ル 保 存 で き 、 そ の 拡 張 子 は 、 Scratch1.4 で は .sb 、 Scratch2.0 で は .sb2 、Scratch3.0 では.sb3 である。このファイルによって作品を受け渡すことができる。
Scratch1.4 では、インターネットが不要で、Scratch1.4 ソフトをダウンロードしてインストールすることで稼働する。Scratch1.4 ソフトは Smalltalk を使って実装されている。

–2–

Scratch2.0 は、インターネットに繋ぎ、Web ブラウザ上で稼働する。Scratch2.0 では、
Adobe Flash を 利用 し て いる 。 イ ン タ ーネ ッ ト が繋 が ら な い 環境 で も 動作 す る よ う に、Scratch2.0 オフラインエディタも提供されている。オフラインエディタは、Windows、Mac
OS X、Linux 上で動作させるためにその OS に合った Adobe Air というアプリケーション
開発・実行環境をインストールする必要がある。
Scratch3.0 は、HTML5 をサポートしている Chrome, Edge, Firefox, Safari の Web ブラ
ウザで稼働し、Internet Explorer では稼働しない。Scratch3.0 をインターネットが繋がらな い 環 境 で も 動 作 す る よ う に 、 Scratch3.0 オ フ ラ イ ン エ デ ィ タ も 提 供 さ れ て い る 。
Scratch3.0 では JavaScript を利用している。これにより、これまで Flash が動かないために利用できなかった iPad や Android タブレットからも利用できるようになっている。なお、日本の小学校のパソコンには、Internet Explorer しかインストールしていない場合があり、2019 年 1 月に Scratch を使って授業できなくなったことが起きている。

2.3. 図形描画（a）Step1
図1

三角形タイルの(b) Step2(c) Step3

描く順番ごとのプログラム

Scratch を使って図形を描かせる授業は、現在では珍しい授業
でなく、Scratch の「ペンを下ろす」ブロックや「ペンを上げる」
ブロックが、存在していることから、 Scratch 開発者も意識している利用方法であ る 。「 ペンを下ろす」の ブロ ックに続けて、 図
1(a)のブロックを並べると、図 2(a)の三角形の図形を描くことができる。このような移動した跡が線として描かれるタートルグラ
フィックスは、LOGO 言語で登場し、移動する物体は亀の絵が有(d) Step4

名であるが、Scratch では、その物体はスプライトと呼ばれ猫の絵が有名である。図 2 ではスプライトを虫の絵に変えているが、虫を上から見た時の絵を使って、進む方向を虫の目線と称して児童への説明に用いた。タートルグラフィックスで(a)Step1(b)Step2(c)Step3
図2

三角形タイルの描く順番–3–(d)Step4

は、現在地からの進行方向と移動距離を指定し、移動途中に「ペンを上げる」を用いても良いが、ここでは「ペンを下ろす」のまま移動させているため、図 1(a)から図 1(b)にプロ
グラムを変更すると、図 2(b)の絵に変わり、三角形の一辺を重ね書きすることが起きている。図 1(c)から図 1(d)にプログラムを変更すると、図 2(d)の絵に変わり、ここでも三角形の一辺を重ね書きすることが起きている。最後に「180 度回す」のブロックを入れているのは、図 1(d)のプログラム全体をさらに「〇回繰り返す」のブロックで囲むことによって床一面に三角形を張り詰めたタイリングパターンを完成させるためである。
実践で描かせた図形は、基本図形と回転対称図形と併進対称図形である。 ここでは基本
図形は、三角形、四角形、正多角形、星図形など小中学校で教えられる図形を指す。回転対称図形は、１つの軸のまわりに回転させたとき、元の図形と一致するもので、実践では、
基本図形を回転させて描画させる。併進対称図形は、瓦屋根の瓦が並んだパターンや床のタイリングパターン、壁紙パターン等の一方向に周期的パターンを持つ図形である。

3. 実践結果
3.1. 回転対称図形を描く授業実践2016 年に津 市 立西 が 丘小 学校 ５年 生相 手に授業実践 [7][8] した時には、一筆書きの星の図形を描かせてみた。正五角形を描かせるプ(a)Step1

ログラムを先生が作って見せて、児童に同じ

図3(b)Step2
五角形と星図形プログラムを作らせるところからスタートし、そのプログラムを元にして、一筆書きの星図形（図 3 参照）を描かせることにチャレンジさせた。正五角形を描く時に曲がる角度は、描く虫の目線が 1 周していることに気付かせ、360÷5 より 72 度となることを教えるのがポイントである。星図形の場合
は、描く虫の目線が 2 周していることに気(a)Step1

付けば、720÷5 より 144 度という曲がる角(b)Step2

度が理解できる。多角形の内角を使うのでなく、目線の動きから計算させることが重要である。授業において、内角を学習している 5 年生は曲がる角度を内角から求めようとした。正五角形を３個または５個の三角形に分割して考え始めるのは良いが計算に時間が掛かっている中で、虫の目線の動きに気付かせて１回の割り算で計算させた
時には、児童も新たな求め方に感心してい(c) Step3

た。

図4

2017 年に 津 市立 西 が 丘小 学 校５ 年 生相–4–

基本図形を繰り返しさせた図形

手に授業実践した時には、基本図形を回転させた幾何学図形を描かせてみた。繰り返しの
繰り返し処理を理解させるのに、基本図形を描かせるプログラムの外側からさらに繰り返しブロックで囲ませるプログラム（図 4 参照）に取り組ませた。図 4(a)Step1 では先生がプログラムを作って見せて、児童に真似させた。Step2 からは児童に考えさせた。図 4(c)で示すように Step3 では、3 つの中から１つを選択して図形を描かせた。さまざまな幾何学模様が描かれるので、児童の興味が膨らむ。授業の終了時に、図 4(c)の３つとも実現したかったと名残惜しそうに言ってくる児童が多かった。いくつかの美的な幾何学模様を提示し、その作成に取り組ませる。これは、どこから書き始めたら良いかと思考させることができる。

3.2. 併進対称図形を描く授業実践
併進対称図形を描かせたのは、2018 年に津市立西が丘小学校５年生相手に授業実践 [9]した時である。45 分の授業を使って、Scratch を初めて触る児童に対し、Scratch の使い方を教えてから併進対称図形を描かせた。描く図形は図 5 で示すように床の模様などで見られるタイリングパターンである。最初に図 5(a)の三角形を基本図形とするタイリングパターンに取り組ませる。できた児童は、図 5(b)の四角形を基本図形とする模様、次に、図5(c)の菱形を基本図形とする模様、その次に、図 5(d)の六角形を基本図形とする模様に取(a)三角形(b)四角形
図5(c)菱型(d)六角形

授業で取り組ませたタイリングパターン

り組ませる。図 5(a)を描かせる時は、丁寧に説明し、図 5(b)、図 5(c)、図 5(d)を描かせる時には、一部だけ隠したプログラムを紙面で提示し作成させた。
図 5(a)の丁寧に説明する場面では、図 1 の４つの Step を区切りとして、先生機で作り方を見せながら、児童機で同じようにプログラムを作らせた。図 1(d)の後、全体を「3 回繰り返す」のブロックで囲ませたら図 5(a)の図形の完成である。図 1(a)まで児童はすぐに作ることができる。図 1(b)は次の三角形を書かせるために「40 歩動かす」のブロックを追加させるが、図 1(c)で「4 回繰り返す」のブロックで囲むと先ほどの「40 歩動かす」のブロックを加えた理由を児童が理解するようである。図 1 (c)から図１(d)への間に追加する数ブロックは、横 1 行分の次の行を描かせるために、虫の位置を準備させるところであるが、ペンが下りたままであるので、三角形の辺の位置に沿って移動させる必要があり、この繰り返し処理の中の次への準備処理が理解できると、新たな図のプログラムも理解できるようになる。理解できた児童は、図 5(b)、図 5(c)、図 5(d)の一部だけ隠したプログラムを提示した時にも答えを見つけることができていた。
児童に授業中に描かせたのは図 5 の図形であるが、授業の最初に、タイリングパターンに興味を持たせ、描く意欲を高めるために、ポスターに図６の図形を貼って提示した 。ポスターには図形の横に、プログラムも一緒に提示し、数十行のブロックの並びによって、–5–これらの図形が描かれることを知ることができる。図形を見ただけでは、描くのがとても難しく感じられるが、数十行のプログラムで描かれることを知ると、授業課題に取り組む
意欲が沸くと思われる。45 分の授業ではポスターの中の図形に挑戦することはできなかったが、授業終了時にはポスターの前に来て、じっくりと図形を眺め、プログラムを作ってみたいという様子が見られた。

図６

ポスターに貼って提示したタイリングパターン

3.3. アンケート分析
理解度を測るために、授業後のアンケートの中にプログラムを動かした時に出力される図形を６つの中から選び、線で結ばせる問題を４つ出題している。出力図形の中には２つの偽物も含ませてある。図 7 に 2016 年星図形を描かせた時の出題を示す。回答数は 121
人で、正解率を図７の上部に括弧書きで示す。
（出題時には正解の線と正解率は表示していない。）図８に 2017 年 2 重繰り返し図形を描かせた時の出題を示す。回答数は 121 人で、正解率を図 8 の上部に括弧書きで示す。
（ 出題時には正解の線と正解率は表示していない。）
図９に 2018 年タイリングパターンを描かせた時の出題を示す。授業を受けた 5 年生は 137人であったが、線で結ばせる出題に回答した児童は 47 人しかおらず、正解率を図 9 の上部に括弧書きで示す。（出題時には正解の線と正解率は表示していない。）この数値からはタイリングパターンを描かせた方が正解率が高くなっているが、回答して来なかった児童が多かったということは、理解が難しかったと思われる。
図 7 の一番左の円を描くプログラム、その右の円を併進移動して円を描くプログラム（図８の左から２つ目のプログラムも同じ）これらは他より正解率が高く基本図形がシンプルなものは理解されやすいと思える。図９の一番左とその右のプログラムが正解率が高いの–6–

(正解率 74.4%)(正解率 40.5%)(正解率 80.2%)(正解率 62.0%)

〇

〇

●

●

〇

●

図７

●

〇

●

●

星図形を描かせた時の出題と正解率（正解率 44.6%） （正解率 66.9%） （正解率 38.0%） （正解率 51.7%）

〇

〇

●

●

図８

〇

●

●

〇

●

●

２重繰り返しの図形を描かせた時の出題と正解率も基本図形は四角形でシンプルな図形である。図 7 の左から３つ目のプログラムは、基本
図形が正三角形であるが、正解率が低いのは出力される図形から基本図形を見つけ出せなかったからと思われる。図８の一番左と左から３つ目のプログラムも基本図形が見つけにくいため認識率が低くなったと思われる。

4. 評価と考察
タイリングパターンを使うと良い点は、繰り返し図形を描く時に、次への準備処理が入ることにある。図４(b)Step2 の 40 歩進める必要があること、図４(d)Step4 の次の行を描くために一度書いた線の上を戻りつつ、虫の向きを右向きにする必要があることといった、–7–

（正解率 83.0%）（正解率 82.6%）（正解率 66.6%）（正解率 65.9%）

〇

〇

〇

〇

●

●

図９

●

●

●

●

タイリングパターンを描かせた時の出題と正解率

繰り返しの中の次への準備処理をどうするのかは、プログラムの流れの中で重要なポイン
トである。回転対称図形の場合には、回転角度の数値を試すことで描けてしまうことがあり、思考しない児童がいたりするが、併進対称図形を描く場合、次への準備処理はしっかりと考えないと正しく描くことができない。また、タイリングパターンを描く時に、描く順番は１つとは限らず、さまざまな描き方がある中で、最良の描き方を見つけるところは、
プログラミング的思考の育成として、とても有益になっている課 題である。
基本図形が単純な図形でありながら工夫するとタイリングパターンになるところは、日頃の生活の中で気付かなかった点を気付かせるという教育に役に立っており、小学生には重要な教育ポイントである。この日頃の生活の中で気付かせ考えさせる課題は、社会科の授業の中で、校外に出て自分達の通学路を調べさせ、危険な箇所を探させて発表させる活動がよく行われている。図６の左上の図形は、歩道でよく使われているタイリングパター
ンであり、授業中に見せることで、歩道や壁の模様に注意を向けさせることができ、さま
ざまなタイリングパターンを見せることは、身の回りに目を配らせるという点で役に立つ。
対象学年を 5 年生にしたのは、算数の授業の中で内角を学習した頃であるので、図形理解を深めさせるのにも役に立つからであるが、プログラミング教育を行う時に、逐次処理から教える。４年生で逐次処理の簡単なプログラミングを経験させ、６年生で繰り返し処
理と条件分岐処理の両方を含むプログラムを経験させるという年次進行から、５年生で繰り返しブロックを活用させる図形描画の課題は、最適な時期だと思われる。課題解決力の–8–

観点からは、タイリングパターンの描画はプログラムの行数が多く、理解が難しいかと心配したが、授業実践を行った結果、ほとんどの児童が授業に付いて来れていた。 一部だけ隠したプログラムを提示し作成させたことで、付いて来れたと思われる。大学生に試した時の経過時間から判断すると、小学校５年生に真っ白から作成させた場合には図 5 の(b)四角形の図形も作成できないかもしれない。図 5 の(d)六角形まで用意した図形の中で、全員が少なくとも(b)四角形までは作成できていた。45 分授業の中で、(d)六角形まで作成できた児童は居なかったが、時間を与えれば多くの児童が作成できると思われる。
児童の様子からみると、回転方向を間違える場合が多いようである。図形を描いていく
虫の目線を自分の目線に置き換えれば良いのであるが、その行為に慣れている児童と慣れていない児童がいると思われる。
プログラムの行数が多くなると、パソコンの画面の中に全てを表示できなくなるので、表示位置をずらすといった操作が必要になるが、パソコンの操作に慣れている児童と慣れていない児童もいて、慣れていない場合は操作時間に時間を取られてしまうということが起きた。Scratch を触ることも初めてであったため、Scratch のブロックの移動や削除にも時間が掛かっていた。この点は、小学校 4 年生までの学年進行に従ってのパソコン指導に関わってくるので、今後のパソコン教育の増加と共に解決していくと思われる。
タイリングパターンの図形は、図 6 のポス
ターに貼った図形以外にも図 10 の図形など
さまざまな図形が考えられ、小学校５年生対
象でなく、学年進行に従って上級学年に対して、より複雑な図形を課題にすることができる。大学生に対して図 6 や図 10 の図形を課題に与えても 45 分で完成しない場合もあった。大学生は図形を描くことができても、非常に長いプログラムになってしまっているこ

図 10

さらなるタイリングパターン図形とがあった。短いプログラムで描くという最適解を見つける 問題は大学生への出題にも成り得るかもしれない。３章最後で述べたように基本図形が見つけ出しにくい図形は正解率が低くなっていることから、プログラムする時にも繰り返しの元になる図形を導き出すことが重要である。タイリングパターンの図形は、どこからどの順番に書くとプログラムが単純になるのかを考えさせることになり、良い題材であると思う。
プログラミング教育は、授業形式でなくワークショップ形式 [10][11] で行われることがある。児童がやりたいことを伸ばすように進めるにはワークショップ形式が良いが、児童全員を揃って教育するには、授業形式でカリキュラムを練り上げる必要がある。図形描画させるのは 45 分の授業の中でカリキュラム進行させやすい。児童に新しいアイデアを出させるように、2016 年自由に図形を描かせることを試してみたが、偶然に描けた図形に楽し
み、何故その図形になったのか理解しようとしなかった。それよりは、目標を提示して挑ませた方が良いと思われ、タイリングパターンはその点でも良い題材であると思われる。
プ ロ グ ラ ミ ン グ 教 育 に 使 わ れ て い る ツ ー ル に 、 Scratch 以 外 の ツ ー ル と し て 、 CodeMonkey [12] 、Lightbot [13] 、Osmo [14] 、Robot Turtles [15] 、Viscuit [16] 、Ozobot [17] 、ファブボ
ット [18] 、daub だーぶ [19] 、colAR mix [20] などが存在する。その中で Scratch は、知名度があり導入費用も掛からずに使えるため、益々広まっていくと思われる。より多くの教材が–9–

現れていくと思われるが、図形描画の中の教材の一つとして タイリングパターンをターゲットとすることをお勧めする。

5. まとめプログラミング教育の題材として、タイリングパターンの図形を描かせることは有効であると思われる。繰り返し処理の中に、次への準備処理が必要であり、そのことが 線を描
いていく虫の動きを理解させるのに役に立つ。繰り返しが単純な繰り返しで終わらず、準備することによって、2 重繰り返しになったり 3 重繰り返しになったりし、その結果、図柄を完成することができる。準備処理が重要な処理だからである。また、同じ図柄を描く
プログラムの解が一つでなく、最適な解を見つける必要があることも、プログラミング教
育の重要な観点である。タイリングパターンを描かせることはその点にも貢献できる。問題は小学校 5 年生相手には難しいと感じることであるが、授業の進め方次第で、授業実践
できることを示すことができた。算数の図形理解に繋がったり、 歩道の模様だけでなく文様 [21] のような自分の身の回りに存在する図形に気付かせたり、図形の学習意欲の貢献にも役立たせることができる。文様は中学校美術で学習する教材であり、図形描画は美術との連携も考えられる。単純な星図形を描かせる授業から一歩進めた内容を教えることができるので、タイリングパターンの活用をお勧めする。
Scratch は実践的なプログラミングと比べると機能不足であるが、小学生にプログラミ
ング経験を積ませるには扱い易いツールである。今後は、繰り返し処理だけでなく、条件分岐処理も含むプログラムの題材を提供していきたい。

参考文献[1] 文部科学省：小学校学習指導要領（平成 29 年告示）(平成 29 年 3 月)
[2] 文部科学省：小学校プログラミング教育の手引き（第二版） (平成 30 年 11 月)[3] Jeannette M. Wing：Computational Thinking, Communications of the ACM Vol.49,
No.3,pp.33-35 (2006.3)[4] 中島秀之：計算論的思考,情報処理学会誌 Vol.56,No.6,pp.584-587(2015.6)[5] 首相官邸政策会議：成長戦略（案）,第 12 回産業競争力会議配布資料 1-1(平成 25 年 6月 12 日)[6] 首相官邸政策会議：IT を活用したビジネスイノベーション（三木谷主査）. 第 6 回産業競争力会議配布資料 11, (平成 25 年 4 月 17 日)[7] 吉原健人,山守一徳,葛原孝紀：Scratch を用いた図形理解を深める授業実践, 情報処理学会

第 79 回全国大会 1ZC-04(2017.3)[8] K.Yoshihara,K.Yamamori ： Programming Practice for Elementary School Children
Aiming at Figure Understanding by Using Scratch,2017 International Conference on
Education and E-Learning (ICEEL2017) (2017.11)[9] 山守一徳：図形描画させる Scratch プログラミングの位置付け,平成 30 年度電気関係
学会東海支部連合大会,L5-2(2018.9)– 10 –

[10] 阿 部 和 広 ： 子 供 の 創 造 的 活 動 と プ ロ グ ラ ミ ン グ 学 習 , 情 報 処 理 学 会 誌
Vol.57,No.4,pp.349-353(2016.4)[11] 阿部和広：参加者の主体性に基づく、変化を前提とした Scratch ワークショップの実
践, 情報処理学会誌 Vol.58,No.10,pp.894-897(2017.10)[12] Code Monkey：https://codemonkey.jp/[13] Lightbot：http://lightbot.com/(2019.2 現在)(2019.2 現在)[14] Osmo：https://www.playosmo.com/ja/(2019.2 現在)[15] Robot Turtles：http://www.robotturtles.com/[16] Viscuit：http://www.viscuit.com/(2019.2 現在)(2019.2 現在)[17] Ozobot：https://ozobot.jp/ (2019.2 現在)[18] ファブボット：http://fabbot.info/ (2019.2 現在)[19] daub だーぶ：http://daub.knowledge-works.co.jp/ (2019.2 現在)[20] colAR mix：http://www.quivervision.com/ (2019.2 現在)[21] 高木隆司編：「かたちの事典」付録 10 文様,丸善株式会社(平成 15 年 3 月)

– 11 –

– 12 –

論文

形の科学会誌 第 34 巻 第 1 号

二重可逆面積保存写像における二重対称周期軌道– “ダブル・ダブル”, ミステリー –山口喜博
帝京平成大学 〒290-0193 千葉県市原市うるいど南 4-1(連絡先:〒290-0073 千葉県市原市国分寺台中央 2-4-14)
chaosfractal@iCloud.com

Doubly symmetric periodic orbits
in the doubly reversible area-preserving map- “Double, Double”, mystery Yoshihiro Yamaguchi
Teikyo Heisei University(2019 年 3 月 4 日受付，2019 年 5 月 20 日受理)
Abstract: The most well-known map which has the double reversibility is the standard map.
In the standard map, there exist not only the singly symmetric periodic orbits (SPOs) but
also the doubly symmetric periodic orbits (DPOs). First, the properties of SPOs are
summarized and their bifurcations are investigated. Next, the properties of DPOs arereexamined. Let 𝑇 𝑞 be the map of period 𝑞 (≥ 2). For DPOs, the map 𝑇 𝑞 is divided into
three operations, namely, the left-involution, the identity map and the right-involution.
The condition to exist DPO is obtained from the left and the right involutions. The same
condition is derived from the identity map. This fact implies that the point 𝑧 satisfying theidentity map is the orbital point of the doubly symmetric periodic orbit if not 𝑧 is a fixed
point. The division to three operations is effective for only the characterization of DPOs.
The doubly period-doubling bifurcation is introduced. Using the Poincaré index, we prove
the followings. Two elliptic SPDs and two saddle SPDs appear through the doubly
period-doubling bifurcation of the elliptic doubly symmetric periodic orbit (EDPO). Afterthe equiperiod bifurcation of EDPO, two elliptic SPDs appear.
Keywords: Doubly reversible map, Involution, Symmetric periodic

orbit, Doubly

period-doubling bifurcation, Equiperiod bifurcation

1. 本論文の目的
ドボジュラエー (De Vogelare)[1] は, 1958 年に可逆性を有する面積保存方向保存写像の周期軌道に関する論文を発表した. この論文によって, 可逆性を有する面積保存方向保存写像で出現する対称周期軌道の本格的な研究が始まったと言える[2, 3, 4, 5, 6]. 特に一– 13 –

重対称周期軌道の存在は理論的に示せるため, 異なった対称周期軌道間に成り立つ出現順
序関係を導くことができる. 系の乱雑さを与える位相的エントロピーも一重対称周期軌道を利用して計算できる. このように系に内在するカオスを調べるために一重対称周期軌道が利用されてきた[6].
可 逆な 面 積 保存 方 向 保 存 写像 に は , 二重 可 逆 性 を有 す る 面積 保 存 方 向 保存 写 像 もあ る .
代表的な例は標準写像である. 標準写像には一重対称周期軌道と二重対称周期軌道が存在する . 一 重対 称 周 期軌 道と 比 較 して 二 重対 称 周期 軌 道 の性 質 の理 解 は十 分 で ない .二重 対
称周期軌道の性質を新しい観点から調べ直すことが, 本論文の主目的である. 本論文では新しい表現方法を導入して写像を分割し二重対称周期軌道を特徴付ける. この結果として,二重対称周期軌道の性質が理解しやすくなり, 二重対称周期軌道の分岐現象に関する新しい性質が導かれる.非対称周期軌道が対称周期軌道より生じる過程も明らかにする.
本論文で扱う円筒面で定義された可逆面積保存方向保存写像 𝑇を紹介する.
𝑇 ∶ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛+1 (mod 2𝜋).

(1)

こ こで , 関 数 𝑓(𝑥)は奇 関 数 (𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)) と す る. 例 と し て 𝑓(𝑥) = 𝑎sin𝑥 (𝑎 ≥ 0)なら ば,
写像は標準写像である[7,8].
写 像 𝑇 (𝑎 > 0)では, 𝑓(𝑥) = 0と 𝑦 = 0を満 た す 周 期軌 道 点 が不 動 点 で あ る . 標 準 写 像に おいて, 不動点は𝑃 = (0,0)と𝑄 = (𝜋, 0)である. 不動点𝑃はサドル型不動点である. 不動点𝑄は,
0 < 𝑎 < 4において楕円型不動点で, 𝑎 > 4では反転を伴うサドル型不動点である.
対 称 周 期 軌 道 を 定 義 す る た め に 写 像 𝑇の 対 合 表 現 を 導 入 す る . 第 一 の 対 合 表 現 を 示 す .
式(1)の 表 現で は, 第 一 の 対合 表 現 𝑇 = ℎ ∘ 𝑔 は常 に 可 能 であ る . ここ で 記 号 ∘は単 な る分
離記号である. 𝑇 = ℎ𝑔と書いてもよい.
−𝑦𝑦𝑦−𝑦 − 𝑓(𝑥)𝑔( ) = () , ℎ ( ) = (𝑥 − 𝑦).
𝑥
𝑥
𝑥

(2)

写像関数𝑓(𝑥)が奇関数であることにより, 次の第二の対合表現 𝑇 = 𝐻 ∘ 𝐺 も可能である.
𝑦𝑦 + 𝑓(𝑥)𝑦𝑦(3)
𝐺( ) = () , 𝐻 ( ) = (𝑦 − 𝑥 (mod 2𝜋)).
𝑥𝑥−𝑥 (mod 2𝜋)
ここで𝑔 ∘ 𝑔 = ℎ ∘ ℎ = 𝐺 ∘ 𝐺 = 𝐻 ∘ 𝐻 = 𝑖𝑑.. 対合は面積保存であるが方向反転写像である . 対合の不動点の集合が対称線である. 円筒面で定義された標準写像における対称線を示す(図 1).
𝑆𝑔 ∶ 𝑦 = −𝑓(𝑥)/2,(4)

𝑆ℎ : 𝑦 = 0,(5)

𝑆𝐺 : 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋,(6)𝑆𝐻 : 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 2(𝑥 − 𝜋).

(7)対合による周期軌道点の動きは対称線に関する反転である. よって対合による周期軌道点の動きより, 𝑆𝑔 と𝑆ℎ を上下の対称線と呼び, 𝑆𝐺 と𝑆𝐻 を左右の対称線と呼ぶ.
写像が対合の積で表現される場合, 系はバーコフの意味での可逆性をもつという[9]. 上
記のように二種類の異なった対合の積で表現される写像は , 二重可逆写像と呼ばれる. 二– 14 –

重可逆写像には一重対称周期軌道と二重対称周期軌道が存在する. 最初に対称線を利用して対称周期軌道と非対称周期軌道を定義する. 次に一重対称周期軌道と二重対称周期軌道を定義する.

図 1: 円筒面で定義された標準写像における対称線 . 𝑃 = (0,0)と𝑄 = (𝜋, 0)は不動点. 𝑃′ = (2𝜋, 0).
円筒面では 𝑃 = 𝑃′. 𝑆𝑔 と𝑆ℎ は上下の対称線で, 𝑆𝐺 と𝑆𝐻 は左右の対称線. 𝑎 = 5.

定義 1.1（対称周期軌道の定義）. 対称線上に軌道点をもつ軌道を対称軌道という . 対称軌
道が対称線上に偶数個の軌道点をもつならば, この軌道は対称周期軌道と呼ばれる. 本論
文では不動点は対称周期軌道に含めず, 不動点として扱う. 対称線上に軌道点をもたない
周期軌道を非対称周期軌道と定義する.
定義 1.2（一重対称周期軌道の定義）. 上下の対称線のみに軌道点をもつ周期軌道を一重上下対称周期軌道と定義する. また, 左右の対称線のみに軌道点をもつ周期軌道を一重左右対称周期軌道と定義する. これらをまとめて一重対称周期軌道と呼ぶ.
定義 1.3（二重対称周期軌道の定義）. 上下と左右の対称線上に軌道点をもつ周期軌道を二重対称周期軌道と定義する.
ここで本論文の第 2 節以後の構成を示す.
第 2 節では本論文で使用する性質を導入する. 対称周期軌道と非対称周期軌道の性質ならびにポアンカレ指数に関する定理 (定理 2.6) を紹介する.
第 3 節では最初に一重対称周期軌道の性質をまとめる. 次に一重対称周期軌道の周期倍分岐と同周期分岐について成り立つ結果をまとめて定理 3.1 とする. 最後に非対称周期軌
道と対称周期軌道の関係を議論する. ここで得られた結果は二重対称周期軌道の性質を理解するために必要となる.
第 4 節では二重対称周期軌道の性質を見直すために , 二重対称周期軌道を特徴付ける新しい 表現 方 法を 導 入 す る . 導 入 され た 表 現方 法の 意 義 と有 用 性を 議 論す る . これ を もとに二重対称周期軌道の性質を調べる. 次に二重対称周期軌道の分岐現象を理解するために二重周期倍分岐を導入し, この分岐現象に関する議論を行う. 得られた性質をまとめて定理 4.3 と定理 4.9 とする.
第 5 節では標準写像を利用して第 4 節で得られた結果の数値計算による確認を行う.

– 15 –

第 6 節では本論文で得られた結果をまとめ, 今後の課題を述べる.

2. 準備
2.1. 周期軌道の安定性
周 期軌 道 の 安 定 性を 判 断 する 方 法 を 紹 介す る . こ こ で 𝑞 (≥ 1)を 周 期軌 道 の 周 期 とす る .
周 期 𝑞 の 周 期 軌 道 点 を 𝑧𝑘 = (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ) (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑞 − 1)と す る . 軌 道 点 𝑧𝑘 に お け る 線 形 化 行 列𝑀(𝑧𝑘 )は1
𝑓′(𝑥𝑘 )𝑀(𝑧𝑘 ) = ()
1 1 + 𝑓′(𝑥𝑘 )(8)と得られる (参考文献[7]の§1.2.1.4 を参照). ここで, 𝑓 ′ (𝑥𝑘 ) = 𝑎cos𝑥𝑘 . 面積保存写像であるから, 𝑀(𝑧𝑘 )の行列式は 1 である.
写像𝑇 𝑞 の線形化行列を𝑀𝑞 = 𝑀(𝑧𝑞−1 ) ⋯ 𝑀(𝑧1 )𝑀(𝑧0 )とすると, 固有値𝜆を決定する方程式
𝜆2 − 𝑟𝑞 (𝑎)𝜆 + 1 = 0(9)が得られる.係数𝑟𝑞 (𝑎)はTrace 𝑀𝑞 である. 式(9)の解である固有値を𝜆± と書く.
係数 𝑟𝑞 (𝑎)を利 用 して 周期 軌 道の 安定 性 を定 める . 判別 式は 𝐷 = 𝑟𝑞2 (𝑎) − 4で ある. 𝑟𝑞 (𝑎) >2ならば, 固有値は0 < 𝜆− < 1 < 𝜆+ を満たす. 周期𝑞の周期軌道はサドル型で不安定である .
|𝑟𝑞 (𝑎)| < 2ならば, 固有値𝜆± は複素共役であるので周期𝑞の周期軌道は楕円型で安定である.
𝑟 < −2なら ば, 固有 値 は 𝜆− < −1 < 𝜆+ < 0を満 たす. 周 期 𝑞の周 期軌 道 は反 転を 伴う サドル型 で 不 安 定 で あ る . 周 期 倍 周 期 分 岐 の 分 岐 点 で は 𝑟𝑞 (𝑎) = −2 が 成 り 立 ち , 固 有 値 は 𝜆± =−1である. 同周期分岐の分岐点では 𝑟𝑞 (𝑎) = 2 が成り立ち, 固有値は𝜆± = 1である.

2.2. 180 度回転作用
180 度回転作用𝑅を導入する.
−𝑦𝑦
𝑅( ) = (
(mod
−𝑥
2𝜋)).
𝑥

(10)

円筒面では, 𝑅は不動点𝑃または𝑄を中心とした 180 度回転の作用である. 時計回りの回転であるか, 反時計回りの回転であるかは扱う問題によって決める.
下記の関係式が成立する.
𝐺 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝐺 = 𝑅 = 𝐻 ∘ ℎ = ℎ ∘ 𝐻.

(11)

関係式(11)は対合を用いて計算することで確かめられる . 交換関係
𝑅𝑇 = 𝑇𝑅が成り立つ. 例として𝑅 = 𝐺 ∘ 𝑔とすると, 𝑅𝑇 = 𝐺𝑔𝑇 = 𝐺𝑇 −1 𝑔 = 𝑇𝐺𝑔 = 𝑇𝑅.

2.3. 対称周期軌道の性質
対称周期軌道について既に知られている性質を性質 2.1 としてまとめておく.

– 16 –(12)

性質 2.1(1) 対称周期軌道は一重対称周期軌道であれ二重対称周期軌道であれ , 一つの対称線上にもちうる軌道点数は一個または二個である.
(2) 一重対称周期軌道は対称線上に軌道点を二つもつ. 一つの対称線上に二点もつ場合と,異なった対称線上に一点もつ場合がある.
(3) 周期 2 の二重対称周期軌道は対称線上に軌道点を二点もつ. 周期が 4 以上の二重対称周期軌道は, 上下の対称線上に二点もち左右の対称線上に二点もつ .
第 3 節と第 4 節において一重対称周期軌道と二重対称周期軌道の例を紹介する . これら
より 性質 2.1(1)-(3)が理解できるであろう.
命題 2.2 は対合と対称周期軌道の関係を与える.
命題 2.2. 点𝑧0 が周期軌道の軌道点であるとする. 点𝑧0 を初期点とする軌道を𝑂(𝑧0 )と書く.
点 𝑧0 を 対 合 で 写 し た 点 を 𝑤0 と す る . 𝑂(𝑧0 ) = 𝑂(𝑤0 )な ら ば , 𝑂(𝑧0)は 対 称 周 期 軌 道 で あ る .
𝑂(𝑧0 ) ≠ 𝑂(𝑤0 )ならば, 𝑂(𝑧0 ) と 𝑂(𝑤0) は非対称周期軌道であり対で存在する.
証明. 非対称周期軌道に関する主張は自明で ある. よって, 対称 周期 軌道に関する主張 を証明する. ここでは𝑤0 = ℎ𝑧0の場合を考える. 𝑂(𝑧0) = 𝑂(𝑤0 )ならば点𝑤0 は𝑂(𝑧0 )の周期軌道
点 で あ る か ら , 𝑤0 = 𝑧2𝑛 (𝑛 ≥ 1)を 満 た す 𝑛が 存 在 す る 場 合 と , 𝑤0 = 𝑧2𝑛+1 (𝑛 ≥ 1)を 満 た す𝑛が存在する場合がある.
最初に𝑧2𝑛 = ℎ𝑧0の両辺に𝑇 −𝑛 を作用する. 左辺は𝑧𝑛 で, 右辺は𝑇 −𝑛 ℎ𝑧0 = ℎ𝑇 𝑛 𝑧0 = ℎ𝑧𝑛 . つまり, 𝑧𝑛 = ℎ𝑧𝑛 . これは点𝑧𝑛 が対称線𝑆ℎ 上にあることを意味する. よって, 𝑂(𝑧0 )は対称周期軌道である.
次に , 𝑤0 = 𝑧2𝑛+1 (𝑛 ≥ 1)の場 合は , 𝑧2𝑛+1 = ℎ𝑧0 が成 り 立つ . こ の 式の 両辺 に 𝑇 −𝑛 を作 用する. 左辺は𝑧𝑛+1 で, 右辺は𝑇 −𝑛 ℎ𝑧0 = ℎ𝑇 𝑛 𝑧0 = ℎ𝑧𝑛 であるから, 𝑧𝑛+1 = ℎ𝑧𝑛 が成り立つ. これをℎ𝑧𝑛+1 = 𝑧𝑛 と 書 き 直 す . 両 辺 に 𝑔を 作 用 す る と , 左 辺 は 𝑔ℎ𝑧𝑛+1 = 𝑇 −1 𝑧𝑛+1 = 𝑧𝑛 . よ っ て 𝑔𝑧𝑛 =𝑧𝑛 が得られる. これは点𝑧𝑛 が対称線𝑆𝑔 上にあることを意味する. 以上で𝑂(𝑧0)は対称周期軌道であることが導かれた.
𝑤0 = 𝑔𝑧0が成り立つ場合も同様にして証明できるので詳細は省く .
対称線上に存在する周期軌道点から分岐した対称線上にない二つの周期軌道点の性質(命題 2.3) を紹介する.
命題 2.3. 対称線 上 に 存 在 す る 対称 周 期 軌 道 点 を 𝑧0 と す る. 周 期 軌 道 点 𝑧0 よ り 対 称線 上 に
二つの点𝑢0 と点𝑣0 が分岐したと仮定する. この場合, 対称線上の周期軌道点𝑧𝑘 (𝑘 ≠ 0)より
対称線上にない点𝑢𝑘 と点𝑣𝑘 が分岐する.
(1) 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝐺 の場合: 関係式 𝑢𝑘 = 𝐺𝑣𝑘 が成り立つ.
(2) 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝐻 の場合: 関係式 𝑢𝑘 = 𝐻𝑣𝑘 が成り立つ.
(3) 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔 の場合: 関係式 𝑢𝑘 = 𝑔𝑣𝑘 が成り立つ.
(4) 𝑧𝑘 ∈ 𝑆ℎ の場合: 関係式 𝑢𝑘 = ℎ𝑣𝑘 が成り立つ.
ここでは(1)と(3)の証明を行う. (2)と(4)の証明は省く.

– 17 –

命題 2.3(1)の証明. 関係式 𝑢𝑘 = 𝐺𝑣𝑘 より, 対称線 𝑆𝐻 と対 称線𝑆𝐺 の逆像 𝑇 −𝑘 𝑆𝐺 の交差点に 周
期軌道点𝑧0 がある. この場合, 仮定より対称線𝑆𝐻 上に二つの点𝑢0 と点𝑣0 が生じる (図 7(a)が参考になる). ここで𝑇 −𝑘 𝑆𝐺 を不変とする対合は𝐺𝑇 2𝑘 である. これを確認する.
𝐺𝑇 2𝑘 𝑇 −𝑘 𝑆𝐺 = 𝐺𝑇 𝑘 𝑆𝐺 = 𝑇 −𝑘 𝐺𝑆𝐺 = 𝑇 −𝑘 𝑆𝐺 .

(13)

点𝑢0 と点 𝑣0 に対して, 𝑢0 = 𝐺𝑇 2𝑘 𝑣0 が成 り立つ. この関係 が成 立しないと すると , 点 𝑢0 と点
𝑣0 以 外 に 二 点 𝐺𝑇 2𝑘 𝑣0 と 𝐺𝑇 2𝑘 𝑢0 が 周 期 軌 道 点 𝑧0 よ り 生 じ た こ と に な る . こ れ は 前 提 条 件 に反する.
関係式𝑢0 = 𝐺𝑇 2𝑘 𝑣0を𝑢0 = 𝑇 −𝑘 𝐺𝑇 𝑘 𝑣0 と書き直す. 両辺に𝑇 𝑘 を作用すると, 左辺は𝑢𝑘 で, 右辺は𝐺𝑣𝑘 . よって, (1)が成 り立つ. この証明では 条件𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 を利用していない. そのため,
条件𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 の𝑆𝐻 を別の対称線に変更してもここでの証明が成り立 つ.
命 題 2.3(3) の 証 明 . 周 期 軌 道 点 𝑧0 の 存 在 す る 対 称 線 を 𝑆 ∗ と 書 く . 対 称 線 𝑆 ∗ は ,{𝑆𝐺 , 𝑆𝐻 , 𝑆𝑔 , 𝑆ℎ } のどれでもよい. 対称線𝑆 ∗と対称線𝑆𝐻 の逆像𝑇 −𝑘 𝑆𝐻 の交差点に周期軌道点𝑧0はある. ここで𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 を不変とする対合は𝑔𝑇 2𝑘 である. 点𝑢0 と点𝑣0 に対して, 𝑢0 = 𝑔𝑇 2𝑘 𝑣0 が成 り 立 つ . こ の 関 係 式 を 𝑢0 = 𝑇 −𝑘 𝑔𝑇 𝑘 𝑣0 と 書 き 直 す . 両 辺 に 𝑇 𝑘 を 作 用 す る と , 左 辺 は 𝑢𝑘 で ,右辺は𝑔𝑣𝑘 . よって, (3)が成り立つ.

2.4. 非対称周期軌道の性質
最初に円筒面を回転する非対称周期軌道について説明しよう . 図 2(a)における周期軌道点𝑢0 から出発する周期軌道𝑂(𝑢0 )を非対称周期軌道とする. そうすると周期軌道点𝑣0 = 𝐺𝑢0から出発する周期軌道𝑂(𝑣0 )も非対称周期軌道である. 周期軌道点𝐻𝑢0 は, 𝐻𝐺(𝐺𝑢0 ) = 𝑇𝑣0 =𝑣1 である. よって, 周期軌道点𝐻𝑢0 は𝑂(𝑣0 )に含まれる. 𝑂(𝑢0 ) ≠ 𝑂(𝑣0 )であるから, 二つの非対称周期 軌道 𝑂(𝑢0 )と𝑂(𝑣0 )が存在 する. 二 重可逆 写像で は , 𝑔𝑢0 と𝑔𝑣0 を周期軌 道点と す る
二 つ の 非 対 称 周 期 軌 道 𝑂(𝑔𝑢0 )と 𝑂(𝑔𝑣0 )も 存 在 す る . ℎ𝑢0 = ℎ𝑔(𝑔𝑢0 ) = 𝑇(𝑔𝑢0 )で あ る か ら ,𝑂(𝑔𝑢0 )と𝑂(ℎ𝑢0 )は同じ周期軌道である. 以上まとめると四つの非対称周期軌道が存在する .

図 2: (a) 軌道点𝑢0 と𝑣0 = 𝐺𝑢0 は円筒面を回転する非対称周期軌道の周期軌道点 . (b) 軌道点𝑠0と𝑡0 = 𝑔𝑠0 は不動点 𝑄を回転する非対称周期軌道の周期軌道点 .

– 18 –

図 2(b)における軌道点𝑠0から出発する周期軌道𝑂(𝑠0 )を不動点𝑄を回転する非対称周期軌道とする. そうすると軌道点𝑡0 = 𝑔𝑠0 から出発する周期軌道𝑂(𝑡0 )も非対称周期軌道である.
周 期 軌 道 点 ℎ𝑠0 は , ℎ𝑔(𝑔𝑠0 ) = 𝑇𝑡0 = 𝑡1 で あ る . よ っ て , 周 期 軌 道 点 ℎ𝑠0 は 𝑂(𝑡0 )に 含 ま れ る .
𝑂(𝑠0 ) ≠ 𝑂(𝑡0 )であるから, 二つの非対称周期軌道𝑂(𝑠0)と𝑂(𝑡0 )が存在することがわかる. ま
た , 𝐺𝑢0 と 𝑔𝐺0 を 周 期 軌 道 点 と す る 二 つ の 非 対 称 周 期 軌 道 𝑂(𝐺𝑢0 )と 𝑂(𝐺𝑣0 )も 存 在 す る .
𝐻𝑢0 = 𝐻𝐺(𝐺𝑢0 ) = 𝑇(𝐺𝑢0 )で あ る か ら , 𝑂(𝐺𝑢0 )と 𝑂(𝐻𝑢0 )は 同 じ 周 期 軌 道 で あ る . 以 上 ま と め
ると四つの非対称周期軌道が存在する.
次に対称周期軌道から分岐して生じた非対称周期軌道に関する性質を紹介する. 対称線
𝑆𝐺 上にある周期軌道点𝑧0 から周期軌道点𝑢0 が生じたとする. この 周期軌道𝑂(𝑢0 )は非対称
周期軌道とする. 上記の結果より周期軌道点𝑧0から 𝑣0 = 𝐺𝑢0 も生じる. 周期軌道𝑂(𝑣0 )も非対称周期軌道である. 以上をまとめて命題 2.4 とする.
命題 2.4 対称線𝑆 ∗ は, 対称線の集合{𝑆𝐺 , 𝑆𝐻 , 𝑆𝑔 , 𝑆ℎ }の要素とする. 対称線𝑆 ∗を不変とする対合を𝜌∗ とする. 対称 線 𝑆 ∗ 上にある周期軌道点 𝑧0 から対 称線上にない周期 軌道 点 𝑢0 と𝑣0 が生じた な ら ば , 周 期 軌 道 𝑂(𝑢0 )と 𝑂(𝑣0 )が 対 称 周 期 軌 道 で あ っ て も 非 対 称 周 期 軌 道 で あ っ て も𝑣0 = 𝜌∗ 𝑢0が成り立つ.

2.5. ポアンカレ指数
ポアンカレ指 数を定義 し , ポアンカ レ指数に 関する定理を 紹介する [6,10]. ポアン カレ
指数は括弧で囲んで表現する.
定義 2.5 (ポアンカレ指数の定義).
写像𝑇 𝑞 (𝑞 ≥ 1)における不動点のポアンカレ指数を以下のように定義する.
(1) 写像𝑇 𝑞 の不動点がサドル型周期軌道点なら, そのポアンカレ指数を(−1)とする(2) 写像𝑇 𝑞 の不動点が楕円型周期軌道点なら, そのポアンカレ指数を(+1)とする.
(3) 写像𝑇 𝑞 の不動点が反転型サドル周期軌道点なら, そのポアンカレ指数を(+1)とする.
定理 2.6 (ポアンカレ指数の総和保存則). 分岐の前後でポアンカレ指数の総和は保存される.
以下で四つの分岐現象を定理 2.6 を利用して説明する.
例 1 : 周期倍分岐.
写像𝑇 𝑞 の不動点𝑀が楕円型で周期倍分岐を起こし, 𝑀が反転型サドル周期軌道点となり,
周期2𝑞の楕円型周期軌道𝐷が生じる場合を考えよう. ここでは写像として𝑇 2𝑞 を用いる. 周
期倍分岐前, 𝑀は写像𝑇 𝑞 でも𝑇 2𝑞 でも楕円型である. よって, ポアンカレ指数は(+1)である.
周期倍分岐後, 𝑀は写像𝑇 𝑞 では反転型サドル周期軌道点であるが, 𝑇 2𝑞 ではサドル型周期軌
道点である. よって, ポアンカレ指数は(−1)である.
生 じ た 娘 周 期 軌 道 は 𝑇 2𝑞 の も と で は 二 つ の 周 期 軌 道 点 が 生 じ た こ と に な る . よ っ て , ポ
ア ン カ レ指 数 は 2 × (+1)で あ る. 周期 倍 分 岐 前 の ポ アン カ レ 指 数の 総 和 は (+1)で, 分 岐後のポアンカレ指数の総和は (−1) + 2 × (+1) = (+1)である. よって周期倍分岐前後でポアン
カレ指数の総和は保存される.

– 19 –

例 2 : 反周期倍分岐.
写像𝑇 𝑞 の不動点𝑀が反転型サドル周期軌道点で反周期倍分岐を起こし , 周期が2𝑞のサドル型周期軌道が生じ る 場合を考えよう . ここ でも写像として 𝑇 2𝑞 を用い る. 周期倍分岐前 ,𝑀は 𝑇 2𝑞 で は サ ド ル 型 で あ る . 分 岐 後 は 楕 円 型 で あ る . 分 岐 前 は ポ ア ン カ レ 指 数 の 総 和 は(−1)で, 分岐 後は (+1) + 2 × (−1) = (−1)とな り, 反 周期 倍分 岐の 前後 でポ アン カレ 指数 の総和は保存される.
例 3 : 同周期分岐.
写像𝑇 𝑞 の不動点𝑀が楕円型で同周期分岐を起こすとしよう . 不動点𝑀はサドル型周期軌
道点 と なり , 周期 が 𝑞の 楕円 型 周期 軌 道が 二 つ 生じ る. 同 周 期分 岐 後 のポ ア ンカ レ 指数の総和は(−1) + 2 × (+1) = (+1)である. これは分岐前のポアンカレ指数の総和(+1)に等しい.
例 4 : 反同周期分岐.
写像𝑇 𝑞 の不動点𝑀がサドル型で反同周期分岐を起こすとしよう . 不動点𝑀は楕円型周期
軌道 点 とな り, 周 期 が 𝑞のサ ド ル型 周 期軌 道 が 二つ 生 じる . 反同 周 期 分岐 後 のポ ア ンカレ
指数の総和は(+1) + 2 × (−1) = (−1)である. これは分岐前のポアンカレ指数の総和 (−1)に等しい.

3. 一重対称周期軌道3.1. 一重対称周期軌道の分類
最初に, 一重上下対称周期軌道が満たす対合表現と対称線を表 1 にまとめた.
表 1: 一重上下対称周期軌道の分類

分類

周期:𝑞

左対合

右対合

対称線:左対合

対称線:右対合UD-I

2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1)

ℎ

𝑔𝑇 2𝑘

𝑆ℎ

𝑇 −𝑘 𝑆𝑔

UD-II

2𝑘 (𝑘 ≥ 1)

𝑇 2𝑘−1 ℎ𝑔

𝑇 𝑘 𝑆𝑔𝑆𝑔

UD-III

2𝑘 (𝑘 ≥ 1)ℎ

𝑔𝑇 2𝑘−1𝑆ℎ

𝑇 −𝑘 𝑆ℎ

表 1 をもとに一重上下対称周期軌道の性質を紹介する. 最初に表 1 の UD-I の場合を説明する. 周期が奇数𝑞 = 2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1)の場合, 写像𝑇 2𝑘+1 を次のように分解する.
𝑇 2𝑘+1 = ℎ ∘ 𝑔𝑇 2𝑘 .

(14)

ここでℎを左対合と呼び, 𝑔𝑇 2𝑘 と右対合と呼ぶ. 対合ℎについて不変な集合が𝑆ℎ である. 一方, 対合𝑔𝑇 2𝑘 について不変な集合が𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 である.
𝑔𝑇 2𝑘 (𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 ) = 𝑔𝑇 𝑘 𝑆𝑔 = 𝑇 −𝑘 𝑔𝑆𝑔 = 𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 .

(15)

対称線𝑆ℎ と対称線の逆像𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 の交点が, 一重上下対称周期軌道の周期軌道点である. 一重
上下対称周期軌道が存在するための条件は, 対称線𝑆𝑔 と対称線の像𝑇 𝑘 𝑆ℎ が交差するとしてもよい. これより周期軌道点が存在するための条件式が得られる.

– 20 –

周 期 軌 道 点 𝑧0 が 対 称 線 𝑆ℎ 上 に あ り 周 期 軌 道 点 𝑧𝑘 が 対 称 線 𝑆𝑔 に あ る と す る と , 𝑧0 = ℎ𝑧0 と
𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 が 成 り 立 つ . 最 初 に , 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 の 両 辺 に 𝑇 −1 を 作 用 す る . 左 辺 は 𝑧𝑘−1 で , 右 辺 は𝑇 −1 𝑔𝑧𝑘 = 𝑔(𝑇𝑧𝑘 ) = 𝑔𝑧𝑘+1 . つまり, 𝑧𝑘−1 = 𝑔𝑧𝑘+1 . これを繰り返すと𝑧0 = 𝑔𝑧2𝑘 が得られる. 次に, 両辺にℎを作用する. 左辺はℎ𝑧0 = 𝑧0 で, 右辺はℎ𝑔𝑧2𝑘 = 𝑧2𝑘+1. よって, 𝑧0 = 𝑧2𝑘+1 が得られる. これより周期は𝑞 = 2𝑘 + 1である. 以上で周期が奇数であることが確かめられた.
UD-II の場合の周期を導く. 周期軌道点𝑧0 と𝑧𝑘 がともに対称線𝑆𝑔 にあるとする. 二つの関係式 𝑧0 = 𝑔𝑧0と𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 が成り立つ. ここで, 𝑧0 = 𝑔𝑧0の両辺に𝑇 −𝑘 を作用すると, 左辺は𝑧−𝑘 で, 右辺 は 𝑇 −𝑘 𝑔𝑧0 = 𝑔𝑇 𝑘 𝑧0 = 𝑔𝑧𝑘 とな る. つ まり, 𝑧−𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 が得ら れる . 既に 得ら れて
い る 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 を 利 用 す る と, 𝑧−𝑘 = 𝑧𝑘 が 得 ら れ る. 以 上 よ り 周 期 𝑞 = 2𝑘が 得 ら れ る. 同 様にして UD-III の場合についても周期が求まる.

図 3: 標準写像における UD-I の例. 周期 5. 𝑧0 , 𝑤0 ∈ 𝑆ℎ , 𝑧2 , 𝑤2 ∈ 𝑆𝑔 . 𝑎 = 2.5.

UD-I の例として周期 5 の周期軌道点を図 3 に示す. 周期軌道点𝑧0から出発した 周期軌
道 が あ れ ば , こ れ を 対 称 線 𝑆𝐻 に つ い て 折 り 返 し た 周 期 軌 道 が あ る . つ ま り , 周 期 軌 道 点
𝑤0 = 𝐻𝑧0 から出 発した 周期 軌道 がある . こ れらは 不動 点𝑄が回 転分岐 を起 こし て生ま れた
周期軌道である. 二つの周期軌道は一周期の間に不動点𝑄の周りを一回回転する.

図 4: 標準写像におけるサドルノード分岐で生じた周期 6. (a) UD-II の例. 𝑧0 , 𝑧3 , 𝑤0 , 𝑤3 ∈ 𝑆𝑔 .
𝑎 = 2.5. (b) UD-III の例. 𝑧0 , 𝑧3 , 𝑤0 , 𝑤3 ∈ 𝑆ℎ . 𝑎 = 4.

不動点𝑄が回転分岐を起こして生まれた偶数周期の周期軌道は全て二重対称周期軌道である. これについては命題 4.8(1)を参照して欲しい. UD-II と UD-III の偶数周期の例としてサドルノード分岐で生じた周期軌道を紹介する. 図 4(a)は UD-II の例である. 初期点𝑧0– 21 –

を 出 発 す る 周 期 軌 道 𝑂(𝑧0 ) (小 さ な 黒 丸 ) が あ れ ば , 必 ず 𝑤0 = 𝐺𝑧0 か ら 出 発 す る 周 期 軌 道𝑂(𝑤0 ) (大きな黒丸) がある. 周期軌道𝑂(𝑧0)は上下の対称性をもつが左右の対称性はもたな い . し か し , 写 像 は 上 下 左 右 の 対 称 性 を も つ か ら 周 期 軌 道 𝑂(𝑧0 )と 対 に な る 周 期 軌 道𝑂(𝑤0 ) が存在するはずである. これらの周期軌道を合わせると上下左右の対称性が成り立
つ. 図 4(b)は UD-III の例で, 𝑧0を出発する周期軌道𝑂(𝑧0 )があれば, 必ず𝑤0 = 𝐻𝑧0から 出発する周期軌道𝑂(𝑤0 )がある.
次に, 一重左右対称周期軌道に関する対合表現と対称線について表 2 にまとめた. 表 1
における対合𝑔を𝐺に置き換え, 対合ℎを𝐻に置き換えると表 2 の左対合と右対合が得られる. また周期に関する条件も同じである. よって表 2 の説明は省く.
表 2: 一重左右対称周期軌道の分類

分類

周期:𝑞

左対合

右対合

対称線:左対合

対称線:右対合LR-I

2𝑘 + 1 (𝑘 ≥ 1)

𝐻

𝐺𝑇 2𝑘

𝑆𝐻

𝑇 −𝑘 𝑆𝐺LR-II

2𝑘 (𝑘 ≥ 1)

𝑇 2𝑘−1 𝐻𝐺

𝑇 𝑘 𝑆𝐺𝑆𝐺

LR-III

2𝑘 (𝑘 ≥ 1)

𝐻

𝐺𝑇 2𝑘−1𝑆𝐻

𝑇 −𝑘 𝑆𝐻

図 5: 標準写像における LR-I の例. (a) 円筒面を回転する周期 3. 𝑎 = 4. (b) 不動点 𝑄を回転する周期 3. 𝑎 = 4. (a) と (b) において, 𝑧0 , 𝑤0 ∈ 𝑆𝐻 , 𝑧1 , 𝑤1 ∈ 𝑆𝐺 .

図 6: (a) 標準写像における LR-II の例. 周期 4. 𝑧0 , 𝑧2 , 𝑤0 , 𝑤2 ∈ 𝑆𝐺 . 𝑎 = 1.5. (b) 標準写像における LR-III の例. 周期 4. 𝑧0 , 𝑧2 , 𝑤0 , 𝑤2 ∈ 𝑆𝐻 . 𝑎 = 1.5.

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LR-I の例として周期 3 の周期軌道点を図 5 に示した. 図 5(a)の周期軌道は円筒面を一回転 す る . 周 期 軌 道 𝑂(𝑧0 )の 回 転 方 向 を 右 と す る . 周 期 軌 道 𝑂(𝑧0 )に 𝑔を 作 用 す る と 周 期 軌 道𝑂(𝑤0 )が得られる. 周期軌道𝑂(𝑤0 )の回転方向は左である. 図 5(b)の周期軌道は不動点𝑄を回転する対称周期軌道 である. 周期軌道 𝑂(𝑧0)にℎを作用すると周期軌道 𝑂(𝑤0 )が得られる.
ここで𝑆𝐻 上にある𝑧0にℎを作用する. ℎ𝑧0 = ℎ𝐻𝑧0 = 𝑅𝑧0である. 初期点𝑧0を 180 度回転した位
置に𝑤0 がある. 二つの図において, 周期軌道𝑂(𝑧0)と周期軌道𝑂(𝑤0 )を合わせた集合が上下左右の対称性をもつことが確認できる. 最後に LR-II と LR-III の周期軌道の例を図 6 に示した.

3.2. 一重対称周期軌道の分岐現象
LR-I の場合の例をもとに一重対称周期軌道の周期倍分岐と同周期分岐について議論する. LR-I の場合, 周期 は𝑞 = 2𝑘 + 1である. 二つの周期軌道点は𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 と𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝐺 を満たす.
周期軌道点𝑧0より, 対称線上に𝑢0 と𝑣0 が生じたとする. また周期軌道点𝑧𝑘 より, 𝑢𝑘 と𝑣𝑘 が生じたとする . これら は 対称線 𝑆𝐺 上にない. も し これらが対 称線 𝑆𝐺 上にあ ると, 生じ た周期
軌道は対称線上に周期軌道点を四点もつ. これは性質 2.1(1)に反する. この軌道の模式図を図 7(a)に描いた. 二点𝑢𝑘 と𝑣𝑘 の位置関係で, 𝑢𝑘 を𝑆𝐺 の右に, 𝑣𝑘 を𝑆𝐺 の左にあるように描いた. これらを逆に配置してもよい.
二点𝑢𝑘 と𝑣𝑘 は, 𝑣𝑘 = 𝐺𝑢𝑘 を満たす (命題 2.3(1)). これより, 𝑣0 = 𝐺𝑢2𝑘 が得られる. 両辺に 𝐻を 作 用 す る . 左 辺 は 𝐻𝑣0 = 𝑣0 . 右 辺 は 𝐻𝐺𝑢2𝑘 = 𝑢2𝑘+1 = 𝑇 𝑞 𝑢0 . よ っ て 𝑣0 = 𝑇 𝑞 𝑢0 . 同 様 にして𝑢0 = 𝑇 𝑞 𝑣0が得られる. まとめて, 𝑢0 = 𝑇 2𝑞 𝑢0, 𝑣0 = 𝑇 2𝑞 𝑣0. 周期軌道点𝑢0 と𝑣0 は, 周期軌
道点𝑧0が周期倍分岐を起こして生じた周期軌道点である.

図 7: 周期倍分岐の二つの可能性 . (a) 周期軌道点𝑧0 より, 対称線上に二点 𝑢0 と𝑣0 が生じた場合.
(b) 周期軌道点 𝑧𝑘 より, 対称線上に二点 𝑢𝑘 と𝑣𝑘 が生じた場合.

次に 周期 軌 道点 𝑧𝑘 より 対 称線 𝑆𝐺 上に 周 期軌 道点 𝑢𝑘 と 𝑣𝑘 が生 じた と する (図 7(b)). また ,周 期 軌 道 点 𝑧0 より 周 期 軌 道 点 𝑢0 と 𝑣0 が 生 じる . こ れ ら は 対 称 線 𝑆𝐻 上に は な い が, 𝑣0 = 𝐻𝑢0
が成り立つ (命題 2.3(2)). 両辺に𝑇 −𝑘 を作用すると, 𝑣−𝑘 = 𝐻𝑢𝑘 が得られる. 両辺に𝑇 2𝑘 を作用すると, 左辺は 𝑣𝑘 で, 右辺は𝑇 2𝑘 𝐻𝑢𝑘 = 𝑇 2𝑘 𝐻𝐺𝑢𝑘 = 𝑇 2𝑘+1 𝑢𝑘 = 𝑇 𝑞 𝑢𝑘 . よって, 𝑣𝑘 = 𝑇 𝑞 𝑢𝑘 が得られる. 同様にして 𝑢𝑘 = 𝑇 𝑞 𝑣𝑘 が得られる. この場合も, 周期軌道点𝑢𝑘 と𝑣𝑘 は周期軌道– 23 –

点𝑧𝑘 が周期倍分岐を起こして生じた周期軌道点である .
周期倍分岐で生じた周期軌道点が, 非対称周期軌道点である可能性を検討しよう . 周期軌 道 点 𝑧0 よ り , 対 称 線 𝑆𝐻 上 に な い 周 期 軌 道 点 𝑢0 と 𝑣0 が 生 じ た と す る . 周 期 軌 道 𝑂(𝑢0 )と𝑂(𝑣0 )は非対称周期軌道であるとする. つまり, 周期軌道点𝑢𝑘 と𝑣𝑘 も対称線𝑆𝐺 上にない. 命
題 2.4 よ り , 𝑣0 = 𝐻𝑢0 と 𝑣𝑘 = 𝐺𝑢𝑘 が 成 り 立 つ . 関 係 式 𝑣𝑘 = 𝐺𝑢𝑘 の 両 辺 に 𝑇 −𝑘 を 作 用 す る と ,𝑣0 = 𝑇 −𝑘 𝐺𝑢𝑘 = 𝐺𝑇 𝑘 𝑢𝑘 = 𝐺𝑇 2𝑘 𝑢0 が 得 ら れ る . 両 辺 に 𝐻を 作 用 す る と , 左 辺 は 𝐻𝑣0 = 𝑢0 で , 右
辺は (𝐻𝐺)(𝑇 2𝑘 )𝑢0 = 𝑇 2𝑘+1 𝑢0 = 𝑇 𝑞 𝑢0. よって, 𝑢0 = 𝑇 𝑞 𝑢0 . 同様にして, 𝑣0 = 𝑇 𝑞 𝑣0 も得られる.
周 期 軌道 𝑂(𝑢0 )と 𝑂(𝑣0)の 周 期 と 𝑂(𝑧0)の周 期 が等 し い こ と から , 周 期 軌 道 点 𝑣0 と 𝑢0 は 周期
軌道点𝑧0 が周期倍分岐を起こして生じた周期軌道点ではない . 言い換えると, 周期軌道点𝑣0 と 𝑢0 は 周 期軌 道 点 𝑧0 が 同 周 期 分 岐 を起 こ し て 生 じ た 非 対 称周 期 軌 道 点 で あ る . こ こで得られた結果をまとめて定理 3.1 とする. 安定性についてはポアンカレ指数の例 1 と例 3
で述べた結果を利用した.
定理 3.1.
(1) 楕円型一重対称周期軌道が周期倍分岐で生じた周期軌道は，楕円型一重対称周期軌道
である.
(2) 楕円型一重対称周期軌道が同周期分岐を起こして生じた周期軌道は, 楕円型非対称周期軌道である.

4. 二重対称周期軌道
4.1. 二重対称周期軌道の例と性質
不動点𝑄が回転分岐を起こして生じた二重対称周期軌道を紹介しよう. 図 8(a)は対称線
𝑆𝐺 と𝑆𝑔 に周期軌道点をもつ二重対称周期軌道である. 図(b)は対称線𝑆𝐻 と𝑆ℎ に周期軌道点をもつ二重対称周期軌道 で, 図(c)は対称線 𝑆𝐻 と𝑆𝑔 に周期軌道点をもつ二重 対称周期軌道で,図(d)は対称線𝑆𝐺 と𝑆ℎ に周期軌道点をもつ二重対称周期軌道である. 不動点𝑄の回転分岐で
図 (a)の サ ド ル 型 周 期 軌 道 と 図 (b)の 楕 円 型 周 期 軌 道 が 生 じ る . こ れ ら が 生 じ る 臨 界 値 は
4sin2 (𝜋/8) = 0.58578である[6]. また, 図(c)の楕円型周期軌道と図(d)のサドル型周期軌道が生じる臨界値は4sin2 (𝜋/6) = 1である. これらの図から性質 2.1(3)の意味が理解できるであろう.

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図 8: 標 準 写 像 に お け る 二 重 対 称 周 期 軌 道 の 例 . (a) D-I. 周 期 8. 𝑧0 , 𝑧4 ∈ 𝑆𝐺 , 𝑧2 , 𝑧6 ∈ 𝑆𝑔 . 𝑎 =1.08578. (b) D-II. 周 期 8. 𝑧0 , 𝑧4 ∈ 𝑆𝐻 , 𝑧2 , 𝑧6 ∈ 𝑆ℎ . 𝑎 = 1.08578. (c) D-III. 周 期 6. 𝑧0 , 𝑧3 ∈ 𝑆𝐻 ,𝑧1 , 𝑧4 ∈ 𝑆𝑔 . 𝑎 = 1.5 (d) D-IV. 周期 6. 𝑧0 , 𝑧3 ∈ 𝑆𝐺 , 𝑧2 , 𝑧5 ∈ 𝑆ℎ . 𝑎 = 1.5

二重対称周期軌道は上下と左右の対称線上に周期軌道点をもつことより命題 4.1 が得られる.
命題 4.1. 二重対称周期軌道において下記の(i)-(iii)が成り立つ.
(i) 周期𝑞は偶数である.
(ii) 二重対称周期軌道の周期軌道点の集合は 180 度回転作用𝑅に関して不変である.
(iii) 𝑅 = 𝑇 ±𝑞/2 が成り立つ.
証明. 最初に二重対称周期軌道を下記のように四種類に分類しよう .
(1) 対称線𝑆𝐺 と𝑆𝑔 に周期軌道点をもつ場合 (𝑧0 ∈ 𝑆𝐺 , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔 , 𝑞 = 4𝑘, 図 9 (a)).
(2) 対称線𝑆𝐻 と𝑆ℎ に周期軌道点をもつ場合 (𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆ℎ , 𝑞 = 4𝑘, 図 9 (b)).
(3) 対称線𝑆𝐻 と𝑆𝑔 に周期軌道点をもつ場合 (𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔 , 𝑞 = 4𝑘 + 2, 図 9 (c)).
(4) 対称線𝑆𝐺 と𝑆ℎ に周期軌道点をもつ場合 (𝑧0 ∈ 𝑆𝐺 , 𝑧𝑘+1 ∈ 𝑆ℎ , 𝑞 = 4𝑘 + 2, 図 9 (d)).

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図 9: (a) 𝑧0 ∈ 𝑆𝐺 , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔 , 𝑞 = 4𝑘. (b) 𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆ℎ , 𝑞 = 4𝑘. (c) 𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 , 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔 , 𝑞 = 4𝑘 + 2.
(d) 𝑧0 ∈ 𝑆𝐺 , 𝑧𝑘+1 ∈ 𝑆ℎ , 𝑞 = 4𝑘 + 2.

次に(1)から(4)までのそれぞれに場合について証明を行う.
命題 4.1(1)の証明. 周期軌道点 𝑧0が対称線𝑆𝐺 上にあるから, 𝑧0 = 𝐺𝑧0 が成り立つ. また 𝑧𝑘
が対称 線 𝑆𝑔 上にあ るか ら, 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 も成 り立 つ. この 両 辺に 𝑇 𝑘 を作用 する と, 𝑧2𝑘 = 𝑔𝑧0 が得られる. 両辺に𝐺を作用すると 𝐺𝑧2𝑘 = 𝐺𝑔𝑧0 = 𝑔𝐺𝑧0 = 𝑔𝑧0 = 𝑧2𝑘 が得られる. よって, 周期
軌 道 点 𝑧2𝑘 は 対 称 線 𝑆𝐺 上 に あ る . 𝐺𝑧2𝑘 = 𝑧2𝑘 を 𝐺𝑧0 = 𝑧4𝑘 と 書 き 直 し , 𝑧0 = 𝐺𝑧0 を 利 用 す る と
𝑧0 = 𝑧4𝑘 が得られる. これより周期が𝑞 = 4𝑘と決まる. 周期が偶数であることが示された.
関 係 式 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 の 両 辺 に 𝑇 2𝑘 を 作 用 す る . 左 辺 は 𝑧3𝑘 で , 右 辺 は 𝑇 2𝑘 𝑔𝑧𝑘 = 𝑔𝑇 −2𝑘 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧−𝑘 .
周期が𝑞 = 4𝑘であるから, 𝑧−𝑘 = 𝑧3𝑘 . よって, 𝑧3𝑘 = 𝑔𝑧3𝑘 . まとめると, 対称線𝑆𝐺 上に𝑧0 と𝑧2𝑘があり, 対称線𝑆𝑔 上に𝑧𝑘 と𝑧3𝑘 がある (図 9 (a)).
次に 180 度回転作用𝑅に関する性質を調べる. 𝑧2𝑘 = 𝑔𝑧0 = 𝑔𝐺𝑧0 = 𝑅𝑧0が得られる. この式の両辺に𝑇を作用する. 左辺は𝑧2𝑘+1 . 右辺は 𝑇𝑅𝑧0 = 𝑅𝑇𝑧0 = 𝑅𝑧1 . 𝑧2𝑘+1 = 𝑅𝑧1 が成り 立つ. このように𝑇を順次作用することで 180 度回転作用𝑅で写される周期軌道点の対が決まる. 二重対称周期軌道の周期軌道点の集合は, 180 度回転作用𝑅に関して不変であることが導かれる. 関係 式 𝑧2𝑘 = 𝑅𝑧0 の左 辺は 𝑇 𝑞/2 𝑧0 で ある から , 𝑅 = 𝑇 𝑞/2 が得 られ る. また , 𝑅 = 𝑇 −𝑞/2 も成り立つ.
命題 4.1(2)の証明.周期軌道点 𝑧0が対称線𝑆𝐻 上にあるから, 𝑧0 = 𝐻𝑧0 が成り立つ. また, 周期軌 道 点 𝑧𝑘 が対 称 線 𝑆ℎ 上に ある か ら, 𝑧𝑘 = ℎ𝑧𝑘 も 成り 立 つ. 両 辺に 𝑔を 作用 す ると , 𝑔𝑧𝑘 =𝑧𝑘−1 が 得 ら れ る . 両 辺 に 𝑇 𝑘 を 作 用 す る と , 𝑔𝑧0 = 𝑧2𝑘−1 . こ れ を 利 用 す る と , 𝑧2𝑘 = 𝑇𝑧2𝑘−1 =ℎ𝑔𝑧2𝑘−1 = ℎ𝑔𝑔𝑧0 = ℎ𝑧0 が得られる. 両辺に𝐻を作用すると, 右辺は𝐻ℎ𝑧0 = 𝑅𝑧0 . 左辺は𝐻𝑧2𝑘 .
周期軌道点𝑧0を 180 度回転した点は𝑆𝐻 上にあるから, 𝐻𝑧2𝑘 = 𝑧2𝑘 . これを𝐻𝑧0 = 𝑧4𝑘 と書き直し, 𝐻𝑧0 = 𝑧0 を利用する と 𝑧0 = 𝑧4𝑘 が得られる. これよ り周期 が𝑞 = 4𝑘と決ま る. こ の場合 ,対称線𝑆𝐻 上に周期軌道点𝑧0と𝑧2𝑘 があり, 対称線𝑆ℎ 上に周期軌道点𝑧𝑘 と𝑧3𝑘 がある (図 9 (b)).

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二重対称周期軌道の周 期軌道点の集合が 𝑅に関して不変であること を 示す手順は, (1)の証明と同じであるから証明は省く.
命題 4.1(3)の証明. 周期軌道点𝑧0が対称線𝑆𝐻 上にあるから, 𝑧0 = 𝐻𝑧0が成り立つ. 周期軌道点 𝑧𝑘 が対称線𝑆𝑔 上にあるから, 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 も成り立つ. よって, 𝑧2𝑘 = 𝑔𝑧0 が得られる. この関係式を 利用 する と, 𝑧2𝑘+1 = 𝑇𝑧2𝑘 = ℎ𝑔𝑧2𝑘 = ℎ𝑧0 が 得られ る. 両辺 に 𝐻を作 用する と, 左辺 は
𝐻𝑧2𝑘+1で, 右辺は𝐻ℎ𝑧0 = 𝑅𝑧0. 周期軌道点𝑧0を 180 度回転した点は𝑆𝐻 上にあるから, 𝐻𝑧2𝑘+1
は 対 称 線 𝑆𝐻 上 に あ る . よ っ て 𝐻𝑧2𝑘+1 = 𝑧2𝑘+1 が 成 り 立 つ . こ れ を 𝐻𝑧0 = 𝑧4𝑘+2 と 書 き 直 し ,𝐻𝑧0 = 𝑧0 を 利 用 す る と , 周 期 𝑞 = 4𝑘 + 2が 得 ら れ る . 対 称 線 𝑆𝐻 上 に 周 期 軌 道 点 𝑧0 と 𝑧2𝑘+1 があり, 対称線𝑆𝑔 上に周期軌道点𝑧𝑘 と𝑧3𝑘+1がある (図 9 (c)).
命題 4.1(4)の証明. 周期軌道点𝑧0が対称線𝑆𝐺 上にあるから, 𝑧0 = 𝐺𝑧0 が成り立つ. 周期軌道点 𝑧𝑘+1 が 対 称 線 𝑆ℎ 上 に あ る か ら , 𝑧𝑘+1 = ℎ𝑧𝑘+1 も 成 り 立 つ . 両 辺 に 𝑇 −1 = 𝑔ℎを 作 用 す る と ,左 辺 は 𝑧𝑘 で , 右 辺 は 𝑔ℎℎ𝑧𝑘+1 = 𝑔𝑧𝑘+1 で あ る . よ っ て , 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘+1 で あ る . こ れ よ り , 𝑧2𝑘+1 =𝑔𝑧0 が 得 ら れ る . こ こ で 𝐺𝑧0 = 𝑧0 を 利 用 す る と , 𝑧2𝑘+1 = 𝑔𝐺𝑧0 = 𝑅𝑧0 が 求 ま る . 周 期 軌 道 点𝑧0
を 180 度回転した位置に𝑧2𝑘+1がある. この点は対称線𝑆𝐺 上にあるから, 𝐺𝑧2𝑘+1 = 𝑧2𝑘+1が成り 立 つ . こ れ を , 𝐺𝑧0 = 𝑧4𝑘+2 と 書 き 直 し , 𝐺𝑧0 = 𝑧0 を 利 用 す る と 𝑧0 = 𝑧4𝑘+2 が 得 ら れ る . こ
れより周期が𝑞 = 4𝑘 + 2と決まる. 対称線𝑆𝐺 上に周期軌道点𝑧0 と𝑧2𝑘+1があり, 対称線𝑆ℎ 上に
周期軌道点𝑧𝑘+1と𝑧3𝑘+2がある (図 9 (d)).
未来への写像を考えている場合, 作用𝑅は𝑇 𝑞/2 とし, 過去への写像を考えている場合, 作
用𝑅は𝑇 −𝑞/2とする. 最後に命題 4.2 が成り立つことを示す.
命題 4.2. 180 度回転対称性をもつ対称周期軌道は二重対称周期軌道である .
証明. こ こ で は 𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 で か つ 𝑅𝑧0 ∈ 𝑆𝐻 を 満 た す 対 称 周 期 軌 道 に つ い て 証 明 を 行 う . 仮 定 より𝑅𝑧0 ∈ 𝑂(𝑧0)であるから, 𝑅𝑧0 = 𝑧2𝑘 の場合と𝑅𝑧0 = 𝑧2𝑘+1の場合を調べる.
最 初 に 𝑅𝑧0 = 𝑧2𝑘 の 場 合 を 考 え る . 𝑧2𝑘 ∈ 𝑆𝐻 よ り , 𝐻𝑧2𝑘 = 𝑧2𝑘 . こ れ を 𝑅𝑧0 = 𝑧2𝑘 に 代 入 す ると, 𝑅𝑧0 = 𝐻𝑧2𝑘 が得られる. 𝑅 = ℎ𝐻を利用すると ℎ𝑧0 = 𝑧2𝑘 が成り立つ. 両辺に𝑇 −𝑘 を作用す
ると , ℎ𝑧𝑘 = 𝑧𝑘 が求 まる . これ は 𝑧𝑘 が 対称 線 𝑆ℎ 上に ある こと を意 味し て いる . この 対称 周期軌道は, 対称線𝑆𝐻 と 𝑆ℎ に軌道点をもつから二重対称周期軌道である. 周期は𝑞 = 4𝑘 (𝑘 ≥1) (命題 4.1 の証明における分類(2)) である.
次に𝑅𝑧0 = 𝑧2𝑘+1 の場合, 𝐻𝑧2𝑘+1 = 𝑧2𝑘+1 を利用す ると 𝑅𝑧0 = 𝐻𝑧2𝑘+1 が得られる . 𝑅 = ℎ𝐻より, ℎ𝑧0 = 𝑧2𝑘+1 . 𝑧2𝑘+1 = 𝑇𝑧2𝑘 = ℎ𝑔𝑧2𝑘 であるから, 𝑧0 = 𝑔𝑧2𝑘 が導かれる. 両辺に 𝑇 𝑘 を作用す
る と , 左 辺 は 𝑧𝑘 で , 右 辺 は 𝑇 𝑘 𝑔𝑧2𝑘 = 𝑔𝑇 −𝑘 𝑧2𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 . よ っ て , 𝑧𝑘 = 𝑔𝑧𝑘 が 得 ら れ る . こ れ は ,𝑧𝑘 が対称線 𝑆𝑔 上にある こと を意味して いる . この 対称周期軌 道は , 対称 線𝑆𝐻 と 𝑆𝑔 に軌道点をもつから二重対称周期軌道で, 周期は𝑞 = 4𝑘 + 2 (𝑘 ≥ 0) (命題 4.1 の証明における分類(3)) である. 以上で証明を終える.

– 27 –

4.2. 二重対称周期軌道の新しい表現方法
二重対称周期軌道を特徴付けるために写像𝑇 𝑞 の新しい分割方法を表 3 で導入した.
表 3:二重対称周期軌道の分類と新しい表現方法

分類
D-I

D-II

D-III

D-IV

周期: 𝑞
4𝑘 (𝑘 ≥ 1)

左対合

恒等写像

右対合

対称線:左対合

対称線:右対合

𝑇 2𝑘−1 𝐻

𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎ𝑔

𝑇 𝑘 𝑆𝐺𝑆𝑔

𝑇 2𝑘−1 ℎ

𝑔𝑇 2𝑘−1 𝐻𝐺

𝑇 𝑘 𝑆𝑔𝑆𝐺ℎ

𝑔𝑇 2𝑘−1 𝐻

𝐺𝑇 2𝑘−1𝑆ℎ

𝑇 −𝑘 𝑆𝐻𝐻

𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎ

𝑔𝑇 2𝑘−1𝑆𝐻

𝑇 −𝑘 𝑆ℎ

𝑇 2𝑘 𝐻𝐺𝑇 2𝑘 ℎ𝑔

𝑇 𝑘 𝑆𝐻𝑆𝑔

𝐻

𝐺𝑇 2𝑘 ℎ𝑔𝑇 2𝑘

𝑆𝐻𝑇 −𝑘 𝑆𝑔

𝑇 2𝑘 ℎ𝑔𝑇 2𝑘 𝐻𝐺

𝑇 𝑘 𝑆ℎ𝑆𝐺ℎ𝑔𝑇 2𝑘 𝐻𝐺𝑇 2𝑘

𝑆ℎ𝑇 −𝑘 𝑆𝐺4𝑘 (𝑘 ≥ 1)

4𝑘 + 2 (𝑘 ≥ 0)

4𝑘 + 2 (𝑘 ≥ 1)

分類 D-I の第一の分解について説明する. 最初に𝑇 𝑞 = 𝑇 4𝑘 を𝑇 4𝑘−1 ℎ ∘ 𝑔と分け, 次に残りの 𝑇 4𝑘−1 ℎを , 𝑇 2𝑘−1 𝐻 ∘ 𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎと 分 け た . こ の 分 解 で は , 左 対 合 に お け る 𝑇の 冪 と 恒 等 写 像
における𝑇の冪が等しくなるように分解した. このように分解することで第二の作用が恒等写像になる. これを次に示す.
𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎ = 𝐺𝐻𝐻𝑇 2𝑘−1 ℎ = 𝑇 −1 𝑇 −2𝑘+1 𝐻ℎ = 𝑇 −2𝑘 𝑅 = 𝑇 −𝑞/2 𝑅 = 𝑅𝑅 = 𝑖𝑑..

(16)二重対称周期軌道を考えているから, 命題 4.1 を利用して𝑇 −𝑞/2を𝑅で置き換えた.
次に第二の分解について説明する. 𝑇 𝑞 を𝑇 4𝑘−1 𝐻 ∘ 𝐺と分解し, 𝑇 4𝑘−1 𝐻を 𝑇 2𝑘−1 ℎ ∘ 𝑔𝑇 2𝑘−1 𝐻と分解した . 左対 合に ついて不変 な集合 は 𝑇 𝑘 𝑆𝑔 で, 左対合に不 変な集 合は 𝑆𝐺 である. 第二の作用𝑔𝑇 2𝑘−1 𝐻が恒等写像であることも簡単に示せる.
第一の分解から得られた条件𝑇 𝑘 𝑆𝐺 ∩ 𝑆𝑔 ≠ ∅と 第二の分解から得られた条件𝑇 𝑘 𝑆𝑔 ∩ 𝑆𝐺 ≠ ∅は, 同じ二重対称周期軌道を特徴付けていることを説明する. 分類 D-I の周期軌道の一周
期分は𝑧0 ∈ 𝑆𝐺 → 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔 → 𝑧2𝑘 ∈ 𝑆𝐺 → 𝑧3𝑘 ∈ 𝑆𝑔 → 𝑧4𝑘 ∈ 𝑆𝐺

(17)と書ける. 軌道点の時間発展を → で示した. ここで, 𝑧0 ∈ 𝑆𝐺 は𝑧0が対称線𝑆𝐺 上にあることを意味する. 𝑇 𝑘 𝑆𝐺 ∩ 𝑆𝑔 = 𝑧𝑘 より, 𝑧0 ∈ 𝑆𝐺 → 𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝑔 が得られる. 関係𝑔𝑧𝑘 = 𝑧𝑘 より, 𝑔𝑧0 = 𝑧2𝑘が得られる. この両辺に𝐺を作用する. 左辺は𝐺𝑔𝑧0 = 𝑅𝑧0である. 対称線𝑆𝐺 は 180 度回転対称 性 をも つ か ら, 𝑅𝑧0 は 対 称 線 𝑆𝐺 上に あ る. 一 方 で, 右 辺 は 𝑧2𝑘 で あ るか ら , 𝑧2𝑘 が 対 称線𝑆𝐺上にあることがわかる. 軌道点𝑧𝑘 から𝑧2𝑘 への関係は, 𝑇 𝑘 𝑆𝑔 ∩ 𝑆𝐺 と書ける. これが第二の分解から得られた集合関係である. つまり, 𝑇 𝑘 𝑆𝐺 ∩ 𝑆𝑔 ≠ ∅を利用しても, 𝑇 𝑘 𝑆𝑔 ∩ 𝑆𝐺 ≠ ∅を利用しても同じ二重対称周期軌道を決定できることがわかる .
分解として二つ紹介し たが, 問題に適した分 解を利用すればよい . 以下の議論では, それぞれの場合の第一の分解を用いる.

– 28 –

図 10: 標準写像における 分類 D-I (𝑞 = 4)の例. 矢印は恒等写像 𝐺𝑇ℎによる周期軌道点の動き .
𝑎 = 3.

周期𝑞 = 4 (𝑘 = 1)の場合における恒等写像𝐺𝑇ℎによる周期軌道点の動きを図 10 に示した.
周期 軌 道点 𝑧0 は 対 称線 𝑆𝑔 上 にあ る から , 𝑧0 = 𝑔𝑧0 が 成り 立 つ. 両 辺 に ℎを作 用す る と ℎ𝑧0 =ℎ𝑔𝑧0 = 𝑧1. 周期軌道点𝑧1は対称線𝑆𝐺 上にあるから, 𝐺𝑧1 = 𝑧1 . 両辺に𝑇を作用すると, 左辺は𝑇𝐺𝑧1 = 𝐺𝑇 −1 𝑧1 = 𝐺𝑧0 , 右辺 は 𝑇𝑧1 = 𝑧2 . よっ て, 𝐺𝑧2 = 𝑧0 であ る. 以 上で 𝐺𝑇ℎ𝑧0 = 𝑧0 が成り 立
つことが示された.
第 二 の 作 用 𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎが 恒 等 写 像 で あ る か ら , 対 合 𝑇 2𝑘−1 𝐻の 不 動 点 の 集 合 と し て 対 称 線
𝑇 𝑘 𝑆𝐺 が得られ, 対合𝑔の不動点の集合として対称線𝑆𝑔 が得られる. これらの対称線を表 3 の第 6 欄と第 7 欄に載せた. 対称線𝑇 𝑘 𝑆𝐺 が対合𝑇 2𝑘−1 𝐻について不変であることを示しておく.
𝑇 2𝑘−1 𝐻(𝑇 𝑘 𝑆𝐺 ) = 𝑇 2𝑘−1 𝑇 −𝑘 𝐻𝑆𝐺 = 𝑇 𝑘−1 (𝐻𝐺)𝐺𝑆𝐺 = 𝑇 𝑘 𝑆𝐺 .

(18)

表 3 の第 2 欄の𝑘に関する条件について説明する.
分類 D-I の場合: 周期についての条件として𝑘の最小値は𝑘 = 1である. これはパラメータを大きくすると𝑇𝑆𝐺 と𝑆𝑔 が接触し交差できるからである (図 10). 像𝑇𝑆𝐺 の傾きは 1 で, 対称線𝑆𝑔 の不動点𝑄における傾きは𝑎/2である. これより臨界値は𝑎 = 2である.
分類 D-II の場合: パラメータを大きくしても対称線𝑆𝐻 と𝑆ℎ が不動点以外で交差することがな い. そ の た め, 𝑘 = 0が 許 さ れ な い. パ ラ メ ー タ を 大 き く す る と 逆 像 𝑇 −1 𝑆𝐻 と 𝑆ℎ が 接 触し交差できることを示す. そのため像𝑇𝑆ℎ と𝑆𝐻 が接触する状況を考える. 像𝑇𝑆ℎ は𝑦 = 0の像であ る か ら , 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑦)と 書 け る . 𝑄に お け る 曲 線 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑦)の 傾 き を 𝜉 = 𝑑𝑦/𝑑𝑥 と す る .
𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑦)の両辺を 𝑥で微分 して, 𝑥 = 𝜋ならびに 𝑦 = 0を代入す ると, 𝜉 = 𝑎/(𝑎 − 1)が得られる. 対称線𝑆𝐻 の傾きは 2 であるから, 𝜉 = 2より𝑎に関する臨界値が 2 と決まる. これより𝑘の最小値が𝑘 = 1と得られる.
分類 D-III の場合: 周期軌道点𝑧0が対称線𝑆𝐻 上にあり, 周期軌道点𝑧𝑘 が対称線𝑆𝑔 上にある.
周期𝑞 = 4𝑘 + 2において, 𝑘 = 0 が許される (図 1). 対称線𝑆𝑔 の𝑄における傾きは𝑎/2である.
これが𝑆𝐻 の傾き 2 と等しいとして, 臨界値が𝑎 = 4と決まる.
分類 D-IV の場合: パラメータを大きくしても対称線𝑆𝐺 と𝑆ℎ が不動点以外で交差しないから, 周期について𝑘 = 0は許されない. 分類 D-II で得られた像𝑇𝑆ℎ の傾き𝜉 = 𝑎/(𝑎 − 1)を再

– 29 –

度利用する. 𝑎を増加すると𝑎 = 1を境に傾き𝜉の符号が負から正に変わる. これは, 𝑎 > 1で𝑇𝑆ℎ と𝑆𝐺 が交差することを意味する. 臨界値は𝑎 = 1で, 𝑘の最小値が𝑘 = 1と決まる.
分類 D-I における𝑘 = 1の場合の恒等写像を𝐺𝑇ℎ𝑧 = 𝑧 (𝑧 = (𝑥, 𝑦))と書く. これを𝑇ℎ𝑧 = 𝐺𝑧と書き直す. この式より下記の連立方程式が得られる.
−𝑦 + 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑦 + 𝑓(𝑥),(19)𝑥 − 2𝑦 + 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 2𝜋 − 𝑥.

(20)

これらの式より, 𝑓(𝑥 − 𝑦)を消去すると−𝑓(𝑥)/2 = 𝑥 − 𝜋.

(21)

左辺は対称線𝑆𝑔 の表式そのもので, 右辺は対称線𝑆𝐺 (𝑥 = 𝜋) を一回写像した像である. これは, 対称 線 𝑆𝑔 (𝑦 = −𝑓(𝑥)/2)と対称 線 の像 𝑇𝑆𝐺 (𝑦 = 𝑥 − 𝜋)との交 点に 二重対 称周期 軌道 の周 期 軌道 点 𝑧が あ る こ と を 意 味し て い る. 不 動 点 𝑄 = (𝜋, 0)以 外に , 二 重 対 称 周 期 軌 道点が存在する条件は−𝑑𝑓(𝜋)/𝑑𝑥 > 1である. 標準写像の場合には, 𝑎 > 2が得られる.
恒等写像から決まる連立方程式を解くことで, 二重対称周期軌道が存在する条件が得ら
れ, 周期軌道点の位置 が決まることがわかる. 以上で得られた結果を定理 4.3 としてまとめる.
定理 4.3. 写像𝑇 𝑞 (𝑞 ≥ 2)を, 左対合, 恒等写像, 右対合 の三つに分解する. 左対合と右対合を利用することで二重対称周期軌道が存在するための条件が得られる. 恒等写像より二重対称周期軌道が存在するための条件が得られる. これら二つの条件は一致する.
恒等写像と周期軌道の対称性に関する命題 4.4 を示す.
命題 4.4. 恒等写像を𝛾と書く. ここで点𝑧は不動点でないとする. 点𝑧が関係式𝛾𝑧 = 𝑧を満たすならば, 軌道𝑂(𝑧)は二重対称周期軌道である.
証 明 . 分 類 D-I の 場 合 の 恒 等 写 像 𝛾 = 𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎを 利 用 し て 証 明 を 行 う . 式 𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎ𝑧 = 𝑧を𝑇 2𝑘−1 ℎ𝑧 = 𝐺𝑧と書き直す. 左辺の𝑇 2𝑘−1 ℎについて不変集合は𝑇 𝑘 𝑆𝑔 である. 右辺の𝐺について
不変集合は対称線𝑆𝐺 である. 関係式𝑇 2𝑘−1 ℎ𝑧 = 𝐺𝑧は, 集合 𝑇 𝑘 𝑆𝑔 ∩ 𝑆𝐺 に点𝑧が含まれていることを意味している. 点𝑧は不動点でないから, 二重対称周期軌道の周期軌道点である. ここで得られた集合𝑇 𝑘 𝑆𝑔 ∩ 𝑆𝐺 は, 分類 D-I の第二の分解で得られた集合である.
一 重 対 称周 期 軌 道 の 軌 道 に つ いて も 𝑇 𝑞 を 三 つ の 作 用 に 分解 で き る の で は な い かと い う
疑問が湧く. 一重対称周期軌道の軌道に関して例え三つの作用に分解しても分解に意味がないことを示す . 左対 合または右対合 におけ る写像の回数と 恒等写 像に含まれる写 像 の回数が同じであるという条件を満たすのは偶数周期に限られる. よって偶数周期の例として 周期 8 の写像を𝑇 8 = 𝑇 3 ℎ ∘ 𝑔𝑇 3 ℎ ∘ 𝑔と分解する. この分割は上記の条件を満たしている.
左対合𝑇 3 ℎについて不変な集合は𝑇 2 𝑆𝑔 である. ところが𝑇 2 𝑆𝑔 と対称線𝑆𝑔 の交差点は周期 4 の周期軌道点である. 周期 8 の周期軌道点を決定する ためには, 𝑇 8 = 𝑇 7 ℎ ∘ 𝑔と分割する必要がある. 左対合𝑇 7 ℎについて不変な集合は𝑇 4 𝑆𝑔 である. これと対称線𝑆𝑔 の交差点が周期 8の周期軌道点である. この結果より命題 4.5 が得られる.

– 30 –

命題 4.5. 写像𝑇 𝑞 (𝑞 ≥ 2)の左対合, 恒等写像, 右対合への分解は, 二重対称周期軌道の特徴付けにおいてのみ有効である.
命題 4.6 は, 一重対称周期軌道と二重対称周期軌道の周期倍分岐を検討する場合に利用できる.
命 題 4.6. 周 期 𝑞 (≥ 2)の 対 称 周 期 軌 道 𝑂(𝑧0 )を 考 え る . 対 称 線 𝑆 + と 𝑆 ∗ は , 対 称 線 の 集 合{𝑆𝐺 , 𝑆𝐻 , 𝑆𝑔 , 𝑆ℎ }の要素とする. 周期軌道点𝑧0は対称線𝑆 ∗ 上にあり, 点𝑧𝑘 (𝑘 ≥ 1)は対称線𝑆 + 上にあるとしよう. 対称線𝑆 + を不変とする対合を𝜌+ と書き, 対称線𝑆 ∗ を不変とする対合を𝜌∗と書く. 下記の関係式が成り立つ.
𝜌+ (𝑇 𝑘 𝑆 ∗ ) = 𝑇 −𝑞 (𝑇 𝑘 𝑆 ∗ ),(22)

𝜌∗ (𝑇 −𝑘 𝑆 + ) = 𝑇 𝑞 (𝑇 −𝑘 𝑆 + ).

(23)

証明. 最初 に, 一 重対 称 周期 軌 道の 場 合の 証 明 を行 う . 周期 軌 道点 𝑧0 は 対称 線 𝑆ℎ 上に あ ると し , 周 期 軌 道 点 𝑧𝑘 は 対 称 線 の 像 𝑇 𝑘 𝑆ℎ と 対 称 線 𝑆𝑔 の 交 点 に あ る と す る . こ の 場 合 ,𝑞=

2𝑘 + 1, 対合は𝜌+ = 𝑔.
𝑔𝑇 𝑘 𝑆ℎ = 𝑇 −𝑘 𝑔𝑆ℎ = 𝑇 −𝑘 𝑔ℎ𝑆ℎ = 𝑇 −𝑘−1 𝑆ℎ = 𝑇 −2𝑘−1 (𝑇 𝑘 𝑆ℎ ) = 𝑇 −𝑞 (𝑇 𝑘 𝑆ℎ ).

(24)

逆に, 周期軌道点𝑧0は𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 と𝑆ℎ の交点にある. この場合, 𝜌∗ = ℎ.
ℎ𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 = 𝑇 𝑘 ℎ𝑆𝑔 = 𝑇 𝑘 ℎ𝑔𝑆𝑔 = 𝑇 𝑘+1 𝑆𝑔 = 𝑇 2𝑘+1 (𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 ) = 𝑇 𝑞 (𝑇 −𝑘 𝑆𝑔 ).

(25)

以上で式(22)と式(23)が示された.
次 に , 二 重 対 称 周 期 軌 道 の 場 合 の 証 明 を 行 う . 周 期 軌 道 点 𝑧0 は 対 称 線 𝑆ℎ 上 に あ る と し ,周 期 軌 道 点 𝑧𝑘 は 対 称 線 の 像 𝑇 𝑘 𝑆ℎ と 対 称 線 𝑆𝐻 の 交 点 に あ る と す る . こ の 場 合 , 𝑞 = 4𝑘, 対 合
は𝜌+ = 𝐻.
𝐻𝑇 𝑘 𝑆ℎ = 𝑇 −𝑘 𝐻𝑆ℎ = 𝑇 −𝑘 𝐻ℎ𝑆ℎ = 𝑇 −𝑘 𝑅𝑆ℎ = 𝑇 −𝑘 𝑇 −2𝑘 𝑇 −𝑘 (𝑇 𝑘 𝑆ℎ ) = 𝑇 −𝑞 (𝑇 𝑘 𝑆ℎ ).

(26)

ここでは逆写像を利用しているので, 180 度回転作用𝑅を𝑇 −2𝑘 で置き換えた.
逆に, 周期軌道点𝑧0は𝑇 −𝑘 𝑆𝐻 と𝑆ℎ の交点にある. この場合, 𝜌∗ = ℎ.
ℎ𝑇 −𝑘 𝑆𝐻 = 𝑇 𝑘 ℎ𝑆𝐻 = 𝑇 𝑘 ℎ𝐻𝑆𝐻 = 𝑇 𝑘 𝑅𝑆𝐻 = 𝑇 𝑘 𝑇 2𝑘 𝑇 𝑘 (𝑇 −𝑘 𝑆𝐻 ) = 𝑇 𝑞 (𝑇 −𝑘 𝑆𝐻 ).

(27)

ここでは未来への写像を利用しているので, 180 度回転作用𝑅を𝑇 2𝑘 で置き換えた. 以上で式(22)と式(23)が示された.

4.3. 楕円型二重対称周期軌道の分岐現象
最初に二重周期倍分岐を定義する.
定義 4.7 (二重周期倍分岐の定義). 周期倍分岐と反周期倍分岐が同時に生じる場合, この分
岐を二重周期倍分岐と定義する.
参考文献[7]の P.67 において, 変則的な分岐 (Anomalous bifurcation) が導入されている. 変則的な分岐はここで定義した二重周期倍分岐と同周期分岐を含んでいる .

– 31 –

回転分岐で生じた周期軌道の性質を命題 4.8 としてまとめ証明を与える. 命題 4.8 は数値計算で確認できる. 数値計算ではソフトウェア StdMap が役に立つ[11].
命題 4.8. 楕円型不動点𝑄から回転分岐で生じた周期軌道について (1)と(2)が成り立つ.
(1) 周期が偶数の場合. 回転分岐で生じた周期軌道は二重対称周期軌道で二つ生じる .
(2) 周期が奇数の場合. 回転分岐で生じた周期軌道は一重対称周期軌道で四つ生じる .
命題 4.8(1)の証明. 例として対称線𝑆𝐺 軸 (𝑥 = 𝜋) の𝑦 > 0を満たす領域に周期軌道点𝑧0が生じ た と す る . こ れ よ り 周 期 軌 道 𝑂(𝑧0)が 対 称 周 期 軌 道 で あ る こ と は 保 証 さ れ て い る . 関 数
𝑓(𝑥)は, 不動点𝑄を中心として 180 度回転に関して不変であるから, 𝑆𝐺 軸の𝑦 < 0を満たす
軸上に周期軌道点𝑤0 が生じる. 𝑤0 = 𝑅𝑧0 が成り立つ. 偶数周期であるから𝑤0 は𝑂(𝑧0 )に含まれ る. も し 含 まれ な い と する と 𝑂(𝑧0)に 含ま れ る 軌 道 点 𝑧𝑘 (≠ 𝑤0 )が𝑆𝐺 軸 の 𝑦 < 0を満 た す軸上に存在することになる. つまり, 不動点𝑄より回転分岐で𝑆𝐺 軸の𝑦 < 0を満たす軸上に二点 𝑧𝑘 と𝑤0 が同時に生じたことを意味する. これは矛盾である. よって, 𝑂(𝑧0 )は𝑄を中心として 180 度回転対称性をもつ. 命題 4.2 より, 𝑂(𝑧0)は二重対称周期軌道である. ポアンカ
レ指数の保存性より, 楕円型二重対称周期軌道とサドル型二重対称周期軌道が生じる . つ
まり, 二重対称周期軌道が二つ生じることが示された .
命 題 4.8(2)の 証 明 . 命 題 4.8 (1)の 証 明 で 利 用 し た 例 を 使 う . 奇 数 周 期 の 場 合 , 𝑂(𝑧0 ) ≠𝑂(𝑤0 )であ る. も し 𝑂(𝑧0 ) = 𝑂(𝑤0 )なら ば周 期が 偶数 に なる か らで ある . これ よ り 𝑂(𝑧0 )が二重対称周期軌道でないことが示された. よって, 𝑂(𝑧0)は一重対称周期軌道である. この周期軌道が楕円型一重対称周期軌道ならば, 楕円型一重対称周期軌道が二つ生じることがわ
かる. ポアンカレ指数の保存性より, サドル型一重対称周期軌道も二つ生じる. つまり,一重対称周期軌道が四つ生じることが示された.
楕円型二重対称周期軌道は楕円型一重対称周期軌道に比べて複雑な分岐をする. これに関して述べた定理 4.9 を紹介する.
定理 4.9.
(1) 楕円型二重対称周期軌道が二重周期倍分岐を起こすと , 二つの楕円型一重対称周期軌
道と二つのサド ル型一 重対称周期軌道 が生じ る . この分岐 の前後で 楕円型二重対称 周期軌道の安定性は変化しない.
(2) 楕円型二重対称周期軌道が同周期分岐を起こすと, 二つの楕円型一重対称周期軌道が生じる. 同周期分岐の後, 楕円型二重対称周期軌道はサドル型二重対称周期軌道へと変化する.

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図 11 対称線𝑆ℎ 上と𝑆𝐻 上に周期軌道点をもつ二重対称 周期軌道の場合 . (a) 対称線𝑆ℎ 上の周期
軌道点 𝑧0 が周期倍 分岐 を起 こして二 重対称 周期 軌道 点 𝑢0 と 𝑣0 が生じる場 合 . (b) 対称線 𝑆𝐻 上の周期軌道点 𝑧𝑘 が周期倍分岐を起こして二重対称周期軌道点 𝑢𝑘 と𝑣𝑘 が生じる場合.

定理 4.9(1)の証明. 証明を三つに分けて行う.
[1] 楕円型二重対称周期軌道が二重周期倍分岐を起こした結果生じた周期軌道が , もし二重対称周期軌道であるとすると矛盾であること.
楕円型二重対称周期軌道は対称線𝑆ℎ と𝑆𝐻 上に周期軌道点をもつとしよう (図 11(a)を見よ). つまり, 𝑧0 ∈ 𝑆ℎ で𝑧𝑘 ∈ 𝑆𝐻 . 周期𝑞は𝑞 = 4𝑘である. 楕円型二重対称周期軌道の周期軌道点𝑧0より周期倍分岐または反周期倍分岐で生じた二つの周期軌道点が対称線𝑆ℎ 上にあるとする. これらを𝑢0 と𝑣0 と書く. 𝐻𝑧0 = 𝐻ℎ𝑧0 = 𝑅𝑧0であるから, 𝐻𝑧0は𝑄を中心として 180 度回転した位置にある. 周期軌道点𝐻𝑢0 と𝐻𝑣0 も対称線𝑆ℎ 上にある. 周期倍分岐で周期軌道点𝑢0と𝑣0 が生じたという仮定より, 𝑣0 = 𝑇 4𝑘 𝑢0 = 𝑢4𝑘 が成り立つ.
ここで𝑢𝑘 = 𝐻𝑣𝑘 であることに注意する (命題 2.3(2)). これに𝑇 𝑘 を作用すると左辺は𝑢2𝑘で, 右辺は𝑇 𝑘 𝐻𝑣𝑘 = 𝐻𝑇 −𝑘 𝑣𝑘 = 𝐻𝑣0 が得られる. つまり𝐻𝑣0 = 𝑢2𝑘 である. 同様にして 𝐻𝑢0 =𝑣2𝑘 = 𝑢6𝑘 が 得 ら れ る . つ ま り , 四 点 𝑢0 , 𝑣0 (= 𝑢4𝑘 ), 𝐻𝑢0 (= 𝑢6𝑘 ), 𝐻𝑣0 (= 𝑢2𝑘 )は 周 期 倍 分 岐で生じた周期軌道点で 一つの対称線𝑆ℎ の上にある. これは性質 2.1(1)に反する.
次に周期倍分岐で対称線𝑆𝐻 上の周期軌道点𝑧𝑘 から二つ周期軌道点 𝑢𝑘 と𝑣𝑘 が生じたとする (図 11 (b)). 仮定より, 𝑣𝑘 = 𝑇 4𝑘 𝑢𝑘 = 𝑢5𝑘 である. この場合, 𝑣2𝑘 = ℎ𝑢2𝑘 が成り立つ (命題2.3(4)). これに𝑇 𝑘 を作用すると, 左辺は𝑣3𝑘 = 𝑢7𝑘 で, 右辺はℎ𝑢𝑘 となる. つまり, ℎ𝑢𝑘 = 𝑢7𝑘が得られる. 𝑣2𝑘 = ℎ𝑢2𝑘 を𝑢2𝑘 = ℎ𝑣2𝑘 と書き直して, 𝑇 𝑘 を作用すると, 左辺は𝑢3𝑘 で, 右辺はℎ𝑣𝑘 となる. つまり, ℎ𝑣𝑘 = 𝑢3𝑘 が得られる. 対称線𝑆𝐻 上に, 四点𝑢𝑘 , 𝑣𝑘 (= 𝑢5𝑘 ), ℎ𝑢𝑘 (= 𝑢7𝑘 ),ℎ𝑣𝑘 (= 𝑢3𝑘 )が存在する. これは性質 2.1(1)に反する. 上記で調べた以外の場合にも同様の方法で矛盾が導ける. 証明は省く.
[2] 周期倍分岐と反周期倍分岐は同時に生じること (二重周期倍分岐が生じること).
周期倍分岐だけが生じたと仮定する. 図 11 (a)の場合, 𝑣0 = 𝑇 𝑞 𝑢0 (𝑞 = 4𝑘) を満たすな
らば, 周期 軌道 点 𝑢0 から出発し た軌 道は対 称線 𝑆ℎ にある 周期 軌道点 𝐻𝑢0 と 𝐻𝑣0 を通らな い.
なぜなら, 周期軌道𝑂(𝑢0 )は, 既に対称線𝑆ℎ 上に𝑢0 と𝑣0 の二点を周期軌道点としてもってい– 33 –

るからであ る. こ のこ とは周期軌 道点 𝐻𝑢0 出発し, 𝐻𝑣0 を通過し , 再度 𝐻𝑢0 に戻る 別の周期軌道が存在する事を意味している. 以上で二つの一重対称周期軌道が生じたことが示された.
周期軌道点𝑧0の近傍には, 𝑧0から生じた𝑢0 と𝑢𝑞 (上記の𝑣0 ) が存在する. ここで𝑤0 = 𝐻𝑢0
ならびに𝑤𝑞 = 𝐻𝑣0 = 𝑇 𝑞 𝑤0 と書くことにする. つまり, 周期軌道点𝑧2𝑘 から𝑤0 と𝑤𝑞 が生じる.
周 期 軌道 𝑂(𝑢0 )と 𝑂(𝑤0)は 異 な っ た 一 重 対称 周 期 軌 道 で あ る. 周 期軌 道 𝑂(𝑤0 )の 周 期 軌 道点
𝑤2𝑘 と𝑤6𝑘 は周期軌道点𝑧0 の近傍にあり, 𝑤2𝑘 = ℎ𝑤6𝑘 を満たす. 周期軌道点𝑢2𝑘 と𝑢6𝑘 は周期軌
道 点 𝑧2𝑘 の 近 傍 に あ り , 𝑢2𝑘 = ℎ𝑢6𝑘 を 満 た す . 周 期 軌 道 点 𝑧0 の 近 傍 に は 対 称 線 𝑆ℎ 上 に 𝑢0 と 𝑢𝑞が存在し, 対称線𝑆ℎ の上下に𝑤2𝑘 と𝑤6𝑘 がある. これらは全て楕円型周期軌道点である.
こ こ で 周 期 軌 道 点 𝑧0 が 周 期 倍 分 岐 の 結 果 , 反 転 型 サ ド ル 周 期 軌 道 点 に な っ た と し よ う .
周期倍分岐前のポアンカレ指数の総和は (+1)で, 分岐後のポアンカレ指数の総和は (−1) +4 × (+1) = (+3)である. ポアンカレ指数の総和が保存されない.
ポアンカレ指数の総和が保存されるためには, 周期軌道点𝑧0 の周期倍分岐と同時に反周期倍分岐が生じると考え直す必要がある. 反周期倍分岐に結果として周期軌道点 𝑧0 から対称 線 𝑆ℎ 上 に 𝑠0 と 𝑠𝑞 が 生 じ る . こ れ ら は サ ド ル 型 周 期 軌 道 で あ る . ま た , 同 様 に 周 期 軌 道 点
𝑧2𝑘 の周期 倍分岐 と同時 に 反周期 倍分岐 が生じ る . 結果と して周 期軌 道点 𝑧2𝑘 から対 称線𝑆ℎ
上に𝑡0と𝑡𝑞 が生じる. これらはサドル型周期軌道である. つまり, 周期軌道点𝑧0 の近傍には
サ ド ル 型 周 期 軌 道 点 𝑠0 , 𝑠𝑞 , 𝑡2𝑘 , 𝑡6𝑘 が 存 在 す る . こ れ ら の ポ ア ン カ レ 指 数 の 総 和 は 4 ×(−1) = (−4)である.
この結果 , 周 期倍分 岐 で生じた 周期 軌道点 の ポアンカ レ指 数の総 和 (+4)と 反周 期倍分岐で生じた周期軌道点のポアンカレ指数の総和(−4)が互いに打ち消しあう必要がある. このことから周期軌道点𝑧0 は, ここで考えている分岐が生じても安定性が変わらないことが導かれる. これはポアンカレ指数の総和の保存性からの要請である.
[3] （反）周期倍分岐の結果として非対称周期軌道が生じると矛盾であること .
[2]では , 周期 倍分 岐と 反周 期倍 分岐 で生 じた 娘軌 道点 は対 称線 上あ ると して 議論 を行った. これが正しいことを示す.
例として D-II の場合で, 周期軌道点𝑧0 ∈ 𝑆ℎ より, 𝑢0 と𝑣0 が生じたとする. ただし, 𝑂(𝑢0 )と𝑂(𝑣0 )は非対称周期軌道であると仮定する. 周期軌道点𝑧𝑘 から𝑢𝑘 と𝑣𝑘 が生じ, 周期軌道点𝑧2𝑘 か ら 𝑢2𝑘 と 𝑣2𝑘 が 生 じ る こ と も 意 味 し て い る . 二 点 𝑢0 と 𝑣0 は 対 称 線 𝑆ℎ 上 に な い が , 𝑢0 =ℎ𝑣0 (𝑢0 ≠ 𝑣0 )は 満 た す . 右 対 合 𝛽 = 𝐺𝑇 2𝑘−1 𝐻に つ い て も 𝑣0 = 𝛽𝑢0 が 成 り 立 つ . も し 成 り 立
たないとすると 𝑧0から四点生じたことになり矛盾である.
関 係 式 𝑢0 = ℎ𝑣0 の 両 辺 に 𝛽 を 作 用 す る . 左 辺 は 𝛽𝑢0 = 𝑣0 で , 右 辺 は 𝛽ℎ𝑣0 = 𝐺𝑇 2𝑘−1 ℎ𝑣0 =𝐺ℎ𝑇 −2𝑘+1 𝑣0 = (𝐺𝑔)(𝑔ℎ)𝑇 −2𝑘+1 𝑣0 = 𝑅𝑇 −2𝑘 𝑣0 = 𝑅𝑣−2𝑘 . つまり, 𝑣0 = 𝑅𝑣−2𝑘 が得られる. ここで
𝑢𝑘 = 𝐻𝑣𝑘 を 利 用 す る と , 𝑢2𝑘 = 𝐻𝑣0 が 得 ら れ る . ま た 𝑣2𝑘 = 𝐻𝑢0 も 得 ら れ る . 𝑅𝑣0 = 𝐻ℎ𝑣0 =
𝐻𝑢0 = 𝑣2𝑘 より , 𝑣2𝑘 = 𝑣−2𝑘 が成 り立 つ. つま り, 𝑣0 = 𝑅𝑣−2𝑘 = 𝑅𝑣2𝑘 であ るか ら, 結 果と して
𝑣0 = 𝑣4𝑘 が 得 ら れ る . 周 期 軌 道 𝑂(𝑣0 )の 周 期 が 4𝑘で , 周 期 軌 道 点 𝑧𝑘 の 周 期 と 一 致 す る . 以 上で, 𝑢0 と𝑣0 が周期倍 分岐で 生じた周 期軌道 点でな いことが 示され , 矛盾 が導かれ た. 同 様にして反周期倍分岐の場合も証明できる. 以上で証明を終える.

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定理 4.9(2)の証明. 三つに分けて証明する[1] 二つの一重対称周期軌道が生じること.
周期軌道点𝑧0 から対称線𝑆ℎ 上に周期軌道点𝑢0 と𝑣0 が生じたとする. 周期軌道 点𝑢0 から出発した周 期軌道 𝑂(𝑢0 )は 𝑣0 を通らない. もし 通れば 周 期軌道 𝑂(𝑢0 )は周期軌 道点 𝑧0 が周期倍
分 岐 を 起 こ し て 生 じ た 周 期 軌 道 に な る か ら で あ る . 𝐻𝑣0 = 𝑢2𝑘 が 成 り 立 つ か ら , 周 期 軌 道𝑂(𝑢0 )は𝐻𝑣0 を通る. これより周期が4𝑘であることが導かれる. また周期軌道点𝑣0 から出発
した周期軌道𝑂(𝑣0 )は, 𝐻𝑢0 = 𝑣2𝑘 を通る. よって周期は4𝑘である. まとめると, 二つの周期
軌道点𝑢0 と𝑣0 は周期軌道点𝑧0 が同周期分岐を起こして生じた周期軌道点である . 以上で二つの一重対称周期軌道が生じることが導かれた.
[2] 二つの一重対称周期軌道は楕円型であること.
写像𝑇 𝑞 における同周期分岐の前後でのポアンカレ指数の総和を調べる . 分岐前, 周期軌
道点𝑧0 は楕円型であるから, このポアンカレ指数は(+1)である. 分岐後はサドル型であるからポア ンカレ 指数は (−1)である. 生じた 二つの 一重対称 周期軌 道は楕 円型であ るならば, ポアンカレ指数は2 × (+1)である. 分岐後のポアンカレ指数の総和は(+1)となる. 以上
で二つの一重対称周期軌道は楕円型であることが示された.
[3] 同周期分岐の結果として非対称周期軌道が生じないこと .
定理 4.9 (1)の証明の[3]で, 𝑂(𝑢0 )と𝑂(𝑣0 )が周期4𝑘の非対称周期軌道であることが得られている. つまり𝑂(𝑧𝑘 )が同周期分岐を起こした結果, 二つの非対称周期軌道が生じたとも考えられる. 以下で, これが誤りであることを示す.
作用𝛼 = 𝛾 ∘ 𝛽 = 𝑔𝑇 4𝑘−1 を𝑢0 に作用すると, 𝛼𝑢0 = 𝑣0 が成り立つことを示す.
𝛼𝑢0 = 𝑔𝑇 4𝑘−1 𝑢0 = 𝑔 ∘ 𝑔ℎ ∘ 𝑇 4𝑘 𝑢0 = ℎ𝑢4𝑘 .

(28)

既に得られている関係𝑢0 = 𝑢4𝑘 を利用すると, 𝛼𝑢0 = ℎ𝑢0 = 𝑣0 が得られる.
次に, 𝛽𝑢0 = 𝑣0 を示す.
𝛽𝑢0 = 𝐺𝑇 2𝑘−1 𝑢0 = 𝐺𝑇 −1 𝑢2𝑘 = 𝐻𝑢2𝑘 = 𝑣0 .

(29)

関 係 式 𝛼𝑢0 = 𝛾 ∘ 𝛽𝑢0 = 𝑣0 が 成 り 立 つ . こ の 式 に 𝛽𝑢0 = 𝑣0 を 代 入 す る と 𝛾𝑣0 = 𝑣0 が 導 か れる. 命題 4.4 より, 𝑂(𝑣0 )は二重対称周期軌道である. 𝑂(𝑢0 )も二重対称周期軌道である. こ
れ ら の 結 果 は, 𝑂(𝑢0 )と𝑂(𝑣0 )を 非 対 称 周 期 軌 道で あ る と し た 仮 定 に 反す る . 以 上 よ り, 二重対称周期軌道が同周期分岐を起こして生じた二つの周期軌道は非対称周期軌道でないことが導かれた. 上記以外の場合も同様の方法で証明できるので証明は省く. 以上で証明を終える.
定理 4.9 の証明の過程で得られた非対称周期軌道に関する結果を命題 4.10 とする.
命題 4.10. 対称周期軌道が分岐を起こして非対称周期軌道が生じる過程は , 一重対称周期
軌道が同周期分岐を起こした場合に限られる.

– 35 –

5. 標準写像を利用した数値計算結果
5.1. 臨界値の決定方法
標準写像における周期 2 の対称周期軌道をもとに定理 4.9 の意味を説明しよう. 最初に利用する周期 2 の対称周期軌道の性質を調べる. この周期軌道を 1/2-BE と書く. 1/2 は回転 数 で あ る . パ ラ メ ー タ 𝑎を 増 大 す る と 𝑎 = 4で 楕 円 型 不 動 点 𝑄が 周 期 倍 分 岐 を 起 こ し て
1/2-BE が生じる. 1/2-BE の係数𝑟2 (𝑎)を図 12 に示す. これより, 係数𝑟2 (𝑎)のパラメータ𝑎依
存性は U 字形を示すことがわかる. この周期軌道は最初に二重周期倍分岐を起こし, 次に
dp

同周期分岐を起こす. 二重周期倍分岐の臨界値は 𝑎𝑐 = 5.073117 で, 同周期分岐の臨界値
epは𝑎 = 𝑎𝑐 = 2𝜋である.

図 12: 係数𝑟2 (𝑎)の𝑎依存性.
dp

ep

二つの臨界値𝑎𝑐 と𝑎𝑐 を導く. 周期 2 の周期軌道点の位置を𝑥0 = 𝜋 + 𝛿と𝑥1 = 𝜋 − 𝛿と書く
(0 < 𝛿 < 𝜋). 周期 2 の周期軌道点の不動点𝑄に関する 180 度回転対称性を利用した. 係数
𝑟2 (𝑎)を求める.
(30)

𝑟2 (𝑎) = (2 − 𝑎cos𝛿)2 − 2 ≥ −2.

ここで𝑎 = 4で, 𝛿 = 0であることに注意する. つまり, 𝑟2 (4) = 2である. パラメータ𝑎を 4 より増加すると, 係数𝑟2 (𝑎)は+2 より-2 まで減少し次に増加する.
二 重 周 期 倍 分 岐 が 生 じ る 場 合 は , 𝑟2 (𝑎) = −2が 成 り 立 つ か ら 𝑎cos𝛿 = 2 が 得 ら れ る . 対
称線𝑦 = −(𝑎/2)sin𝑥と𝑦 = 2(𝑥 − 𝜋)の交点に周期 2 の周期軌道点があることより(31)

4𝛿 = 𝑎sin𝛿dpが得られる. 以上で得られた二つの関係式から 𝛿 を消去すると臨界値𝑎𝑐 を決める式が求まる.
𝑎cos(√𝑎2 − 4/4) = 2.
dp

(32)

数値計算で式(32)の解を求めて臨界値𝑎𝑐 が決まる. 同周期分岐が生じる条件は𝑟2 (𝑎) = 2でepあるから 𝛿 = 𝜋/2が得られる. 式(31)より, 臨界値𝑎𝑐 = 2𝜋が求まる.

– 36 –

5.2. 二重周期倍分岐で生じた一重対称周期軌道dp

図 13: 二重周期倍分岐の後. 生じた軌道は楕円型周期軌道 . 𝑎 = 𝑎𝑐 + 0.5.

二重周期倍分岐後における, 生じた周期軌道点を紹介する. 対称線𝑆𝑔 の上にある点 𝑧0 =(𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑦0 = −(𝑎/2)sin𝑥0 )を 二 回 写 像 し た 点 𝑧2 = (𝑥2 , 𝑦2 )が , 対 称 線 𝑦 = −(𝑎/2)sin𝑥上 に あ るという条件によって, 方程式 𝐹𝑔 (𝑥0 ) が下記のように導かれる.
𝐹𝑔 (𝑥0 ) = sin𝑥0 + 2sin(𝑥 + (𝑎/2)sin𝑥0 ) + sin(𝑥0 + 𝑎sin𝑥0 + 𝑎sin(𝑥0 + (𝑎/2)sin𝑥0 )).

(33)

図 13(a)に, 𝐹𝑔 (𝑥0 ) = 0 を満たす解を示した. 解には不動点𝑄, 1/2-BE の周期軌道点 (𝑧0,𝑧1) と, 周期 4 の周期軌道点 (𝑢0 , 𝑢2 , 𝑣0 , 𝑣2 ) がある. 1/2-BE の周期軌道点𝑧0より𝑢0 と𝑢2 が生じる. これらは対称線𝑆𝑔 上にある. 周期軌道点𝑧1 より生じた𝑢1 と𝑢3 は𝑆𝑔 上にないが, 𝑢3 =𝑔𝑢1 を満たす. 同様に 1/2-BE の周期軌道点𝑧1より𝑣0 と𝑣2 が生じる. これらは対称線𝑆𝑔 上にある. 周期軌道点 𝑧0 より生じた𝑣1 と𝑣3 は𝑆𝑔 上にないが, 𝑣3 = 𝑔𝑣1 を満たす. 周期軌道点 𝑧0 に視点を置くと, 周りに四点𝑢0 , 𝑢2 , 𝑣1 , 𝑣3 が見える (図 13 (b)). 周期軌道点𝑧1の周りにも四点が生じる. 周期軌道点𝑧0 または𝑧1 の周りに生じた四点のポアンカレ指数の和は (+4)である.

– 37 –

dp

図 14: 二重周期倍分岐の後. 生じた軌道はサドル型周期軌道 . 𝑎 = 𝑎𝑐 + 0.5.

次に, 点𝑧0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑦0 = 2(𝑥0 − 𝜋))を二回写像した点𝑧2 = (𝑥2 , 𝑦2 )が対称線𝑦 = 2(𝑥 − 𝜋)上にあるという条件によって, 方程式 𝐹𝐻 (𝑥0 ) が下記のように導かれる.
𝐹𝐻 (𝑥0 ) ≡ 8𝜋 − 𝑎sin(3𝑥0 + 𝑎sin𝑥0 ) − 3𝑎sin𝑥0 − 8𝑥0 .

(34)

図 14(a)に, 𝐹𝐻 (𝑥0 ) = 0 を満たす解を示した. 解には不動点𝑄, 1/2-BE の周期軌道点 (𝑧0,𝑧1) と周期 4 の周期軌道点 (𝑠0, 𝑠2, 𝑡0, 𝑡2) がある.
図 14(b)を説明する. 1/2-BE の周期軌道点𝑧0より𝑠0 と𝑠2が生じる. これらは対称線𝑆𝐻 上にある. 周期軌道点 𝑧1 より生じた𝑠1 と𝑠3 は𝑆𝐻 上にないが, 𝑠3 = 𝐻𝑠1 を満たす. 同様に周期 軌道点𝑧1 より𝑡0 と𝑡2 が生じる. こ れらは対称線𝑆𝐻 上にある. 周期軌道点𝑧0 より生じた 𝑡1 と𝑡3 は𝑆𝐻上にないが, 𝑡3 = 𝐻𝑡1 を満たす. これらは全てサドル型周期軌道点である. 周期軌道点𝑧0 ま
たは𝑧1の周りに生じた四点のポアンカレ指数の和は(−4)である.
まとめると, 周期軌道点𝑧0の周りには楕円型周期軌道点が 4 個生じ, かつサドル型周期
軌道点が 4 個生じる. これらのポアンカレ指数の和は(+4) + (−4) = (0)となる. 周期軌道点𝑧0と𝑧1は二重周期倍分岐の前後で安定性は変化しないこ とが確認された.

– 38 –

5.3. 同周期分岐で生じた一重対称周期軌道

図 15: (a) 関数𝐹(𝑥0 )のグラフ. (b) 二重対称周期軌道点 𝑧0 が同周期分岐を起こし, 周期軌道点 𝑧0
より𝑢0 と𝑣0 が生じる. 同時に, 周期軌道点 𝑧1 より𝑢1 と𝑣1 が生じる. 𝑎 = 2𝜋 + 0.5.

同周期分岐で生じた周期軌道点ついて調べる. 点𝑧0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑦0 = −(𝑎/2)sin𝑥0 )を一回写像した 点𝑧1 = (𝑥1 , 𝑦1 )が対称線𝑦 = −(𝑎/2)sin𝑥上にあるという条件によって, 周期 2 の周期軌道点を決定する方程式 𝐹(𝑥0 ) = 0 が下記のように導かれる.
𝐹(𝑥0 ) ≡ sin𝑥0 + sin(𝑥0 + (𝑎/2)sin𝑥0 ).

(35)関数𝐹(𝑥0 )のグラフ (図 15(a)) をもとに生じた分岐の説明をしよう. 関数𝐹(𝑥0 )も不動点
𝑄を中心として 180 度回転対称である. 点𝑧0と点𝑧1が 1/2-BE の周期軌道点である. 1/2-BE
は𝑎 = 2𝜋で同周期分岐を起こし, 周期軌道点𝑧0 より点𝑢0 と𝑣0 が生じ, 𝑧1より点𝑢1 と𝑣1 が生じる. ここで𝑢1 = 𝑇𝑢0 で, 𝑢0 = 𝑇𝑢1 = 𝑇 2 𝑢0 である (図 15(b)). 同様に𝑣0 = 𝑇 2 𝑣0 . これらが生じた直後は楕円型周期軌道である. 周期軌道点が対称線𝑆𝑔 上にあることから一重対称周期軌道である. 分岐を起こした周期軌道点𝑧0と𝑧1はサドル型周期軌道点となる.

– 39 –

5.4. サドルノード分岐で生じた二重対称周期軌道

図 16: (a) サドルノード分岐で生じた周期 2 の対称周期軌道点. 周期軌道点𝑧0 と𝑧1 は生じた直後は楕円型. 周期軌道点𝑤0 と𝑤1 はサドル型. 𝑎 = 19. (b) 楕円型二重対称周期軌道 (𝑧0 ,𝑧1 ) の係数
𝑟2 (𝑎)の𝑎依存性.

サドルノード分岐で生じた楕円型二重対称周期軌道の二重周期倍分岐を紹介する. パラ
メータ𝑎を大きくすると, 対称線𝑆𝐻 の一つである𝑦 = 2𝑥と対称線𝑆𝑔 が接触し交差する. サド
dp

ルノード分岐の臨界値は𝑎𝑐sn = 18.413355. 二重周期倍分岐が生じる値は 𝑎𝑐 = 18.525144で,ep

dp

同周期分岐が生じる値 は𝑎𝑐 = 6𝜋である. 臨界値 𝑎𝑐 の求め方について説明する . 式(31)の
代わりに
(36)

4(𝜋 + 𝛿) = 𝑎sin𝛿dpが成り立つ. これと𝑎cos𝛿 = 2より, 𝑎𝑐 を決める式が得られる.
(37)√𝑎2 − 4 = −𝑎sin(√𝑎2 − 4/4).
dp

これを数値計算で解いて臨界値𝑎𝑐 が決まる. 第 5.1 節で述べたように同周期分岐が生じる
ep

条件は𝑟2 (𝑎) = 2である. これより, 𝛿 = 𝜋/2が得られ, 式(36)より 𝑎𝑐 = 6𝜋 が求まる.
図 16(a)に, サドルノード分岐で生じた楕円型二重対称周期軌道点 𝑧0と𝑧1, ならびにサド
ル型二重対称周期軌道点𝑤0 と𝑤1 を描いた. 図 16(b)に楕円型二重対称周期軌道の係数𝑟2 (𝑎)を示した. これが U 字形をしていることから, 楕円型二重対称周期軌道は最初に二重周期倍分岐を 起こし, 次に同周期分岐を起こすことが理解できるであろう.

– 40 –

6. 結語本論文で得られた結果をまとめ, 今後の課題を述べる.
(1) 一重対称周期軌道の周期倍分岐と同周期分岐に関する性質を定理 3.1 として与えた.
(2) 二重対称周期軌道の性質を理解するために, 偶数周期𝑞の写像を左対合, 恒等写像, 右対合に分解し二重対称周期軌道の特徴付けを行った . これらの内容を定理 4.3 としてまとめた. 恒等写像を満たす点が不動点でなければ, この点は二重対称周期軌道の周期軌道点であることを証明した . 周期𝑞の写像を三つの作 用に分解できることが 二重対称周期軌道の特 徴 であ る こと を 示 した . 周期 𝑞の 写像 を 三 つの 作 用へ の 分解 は , バー コ フの 対 合表現の拡張であることも強調しておきたい.
(3) 本論文ではポアンカレ指数を利用して, 楕円型二重対称周期軌道の二重周期倍分岐の性質を明らかにし定理 4.9 を得た. 定理 4.9 の数値計算による確認も行った. 従来「変則的な分岐」と呼ばれていた分岐現象を明らかにした. 二重周期倍分岐は回転数 1/2 の回転分
岐と名付けることも可能である.
(4) 二重対称周期軌道から非対称周期軌道が生じないこと (定理 4.9)と, 一重対称周期軌
道から非対称周期軌道が生じる可能性があること (命題 4.10) を示した.
筆者らは, 2004 年にハーパー (Harper)写像の周期軌道を分類した論文を発表した[12].
この 写 像 には 二つ の パ ラメ ー タ 𝑎と 𝑏が含 ま れる . 特 に 𝑎 = ±𝑏を満 た す 場合 , ハ ーパ ー 写
像は四重可逆写像となる.この写像には, 一重対称周期軌道, 二重対称周期軌道ならびに四重対称周期軌道が存在する. 一重対称周期軌道と二重対称周期軌道の理解のために本論文で得られた結果が利用できる. 四重対称周期軌道に関する対合表現の代数構造と分岐構造については今後の検討課題としたい.
謝辞. 査読者から貴重なコメントをいただいたことに感謝いたします.

参考文献[1] De Vogelaere, R., On the structure of symmetric periodic solutions of conservative
systems, with applications, Contributions to the theory of nonlinear oscillations, Vol. IV,
Ann. Math. Studies, 41, 53-84. (Princeton University Press, 1958).
[2] Devaney, R. L., Reversible diffeomorphisms and flows, Trans. Amer. Math. Soc. 218(1976), 89-113.
https://www.jstor.org/stable/1997429?seq=1#page_scan_tab_contents[3] Roberts, J. A. G., and Quispel, G. R. W., Chaos and time-reversal symmetry. Order andchaos in reversible dynamical systems, Phys. Rep. 216 (1992), 63 -177. 可逆性に関する総説.
https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/037015739290163T[4] Lamb, J. S. W., and Quispel, G. R. W., Reversing 𝑘-symmetries in dynamical systems,
Physica D. 73 (1994), 277-304.
https://pure.uva.nl/ws/files/2993837/603_5385y.pdf– 41 –

[5] Lamb, J. S. W, and Roberts, J. A. G., Time-reversal symmetry in dynamical systems: asurvey, Physica D. 112 (1998), 1-39.
http://web.maths.unsw.edu.au/~jagr/LR98.pdf[6] 山口喜博, 谷川清隆, 馬蹄への道 (共立出版, 2016).
[7] MacKay, R. S., Renormalisation in area-preserving maps, (World Scientific, 1993). 対称
周期軌道の説明は第 1.1.4 節にある.
[8] 山 口 喜 博 , 谷 川 清 隆 , 標 準 写 像 に お け る フ ァ ー レ イ 型 非 バ ー コ フ 周 期 軌 道 と 不 安 定 ゾ ーン. 国立天文台報, 第 13 巻 (2010), 45-84.
https://www.nao.ac.jp/contents/about-naoj/reports/report-naoj/13-34-2.pdf[9] Birkhoff, G. D., Dynamical systems. American Mathematical Society, Colloquium
Publications, Vol.9. (AMS, 1966). Revised edition.
https://archive.org/details/dynamicalsystems00birk/page/n7[10] Lefschetz, S., Differential equations:Geometric theory, (Dover,1977). IX. §4. Appendix
II.
[11] ソフトウェア StdMap 4.5 は, 下記のホームページよりダウンロード可能 . Mac OS 専用.
http://amath.colorado.edu/faculty/jdm/stdmap.html[12] Yamaguchi, Y., and Tanikawa, T., Periodic orbits in the quadruply reversible non-twist
Harper map, Prog. Theor. Phys. 111 (2004), 757-762.
https://doi.org/10.1143/PTP.111.757– 42 –

シンポジウム

形の科学会誌 第 34 巻 第 1 号
第 86 回 形の科学シンポジウム 「形と人間」
討論記録（討論記録のあるもののみ掲載）【主催】形の科学会【共催】千葉大学統合情報センター（科研費研究集会・対象依存型データ解析による高次多次元画像の理解と認識）；
文部科学省科学研究費補助金 新学術領域研究「医用画像に基づく計算解剖学の多元化と高度知能化診断・治療への展開」（代表 九州大学 橋爪誠）
【会期】2018 年 11 月 28 日(水)，29 日(木)，30 日(金)【会場】千葉大学アカデミック・リンク・センター1 階：「ひかりえ」，「プレゼンテーションスペース」，「展示スペース」【代表世話人】 井宮 淳 〒263-8522 千葉県千葉市弥生町 1-33
c/o : 千葉大学 統合情報センター ；E-mail : imiya@faculty.chiba-u.jp【参加費】 会員・非会員ともに一般 5,000 円、学生 1,000 円【懇親会】 2018 年 11 月 29 日(木) 18:00 より（欅会館 1 階 レストランコルサ）【懇親会費】一般 4,000 円、学生 1,000 円
討論記録は質問者の討論記録シートの記載にもとづいており、講演者の校正がないものもあります。
Q: 質問、A: 回答、C: コメント
討論記録

11 月 28 日（水）公開講座
昆虫の色とシャボン玉吉岡伸也（東京理科大学）
Q. 松岡篤カワセミの発色の原因となっているスポンジ状の構造のところでアモルファスという表現があったが、どういう意味なのか。
A.
実体部と空間部の配列に規則性がないということをアモルフ
ァスと表現している。
招待講演・公開講座（形と人間）
超音波によるマルチスケールでの生体組織性状評価
山口匡（千葉大学）
Q1. 金澤洋隆
超音波において出力される画像の鮮明さは術者の特技能に依存することが臨床では問題である。今日のお話では超音波のプローブのあて方によって波の干渉が起こることがこの問題の原因の 1 つであると考えられるが、この干渉を数理的に補正することで出力される画像を術者に依存しない形で鮮明にすることは可能か。
A1.
数理的に補正する技術は導入されている。これを用いる事で評価値の補正を行っている。ただし、目視での評価なら補正が有効であったり許容されるが、定量診断を行う上では、補正することで「作られた画像」を提示することは好ましくないと考えている。その点から画像を補正するより「きちんと映っていない」ことを評価して提示する方が良いし、そのよ
うなスタンスを私は取っている。
Q2.
肝細胞は正常では静脈優位の癌化が進むと動脈優位の血液供給を受ける。超音波で動静脈を区別することで癌化を評価することは可能か。
A2.
動静脈を区別することは可能である。また、マイクロバブル
を用いて、それを細胞が取り込む率を考慮することで癌化などを評価することができる。加えて血液の力場を考えることで評価することも可能であり、その主題は最近の私の研究テーマでもある。
Q. 井宮淳
超音波による生体計測の限界は何か？
A.
1GHz まで超音波の周波数を上げることが可能であるが、薄いものしか映像化できなくなる。薄くなると対象の表面付近しか振動しないため、内部の情報を計測することが不可能である。実際に、1GHz で単体の細胞を計測している例はある。
形の科学一般くしゃくしゃの紙の数理
三浦公亮（宇宙科学研究所、東京大学・名誉教授）
Q. 松本崧生
Fig.5. Miura-ori について。正確に p2mg ではないように見えます。完全な miuraori でなく、pseudo-miuraori のようですが、御教示ください。
A.
立体なので、斜めから見た写真では、p2mg ではありませんね。しかし、真上（無限遠）からだと、折り目の角度によらず、常に p2mg です。
Q. 高木隆司
くしゃくしゃの折り目を見ると、1 頂点から奇数個の折り目が出ているように見えるところがある。そこで、折った時の小領域が曲面になっている場合、奇数個の折り目が 1 点に集まることが起き得るか。
A.
平坦折り紙(折った状態で平面状に押し付けることができる)
でなければ起き得る。Maekawa の定理は成立せず、Gaussの曲率はゼロを保ちます。
Q. 手嶋吉法
等高線の図が変化して行く様子が示されていたが、実験ある
いは計算機実験に基づくものか。
A.
薄板の微分方程式を用い、宙に浮いたあるいは弾性的にサポートされた限りなく薄い板の計算機実験です。因みに、今世紀になって、ゼラチンの層のうえに薄い皮膜を生成し、実験的に証明された(Mhadevan and Rica)。
学習段階に対応した科学折り紙の利用法
石原正三（埼玉県立大）Q. 松本崧生
御苦労な教育論関心拝聴しました。次元問題如何に教えておられるか御教示下さい。
A.
保健医療福祉学部の教養科目として授業を担当しています。
ここで取り上げた「数理科学」の授業では、物理量の次元に関する説明は行っていません。
Q. 手嶋吉法
年代を 5 段階にわけて、それぞれに科学折り紙の題材を与えていたが、それらはどのように割り当てていたのか。題材の難易によってか、折り方の難易によってか、それ以外か。
A.
これまでに実施してきた授業や公開講座での経験に基づいています。小学生では折り紙の色に関心があり、30 色程度の折り紙を自由に選択させると、いつまでも色を選んでいます。

– 43 –

中学生は色よりも立体の形状に関心が向くようで、色々な多面体を組み合わせて作品を作ってもらうと、色々と工夫してくれます。このため、中学生と高校 1 年生はグループでアイ
デアを出し合いながら作品制作するようにしています。
高校 2 年生以上では、三角関数の計算ができるようになっているので、ユニット折り紙を設計して個性的な立体を制作してもらっています。
カブトムシの角と折りたたみ可能な三角柱
佐藤郁郎（宮城県立がんセンター）、中川宏（積み木イン
テリアギャラリー）、山口康之（東京理科大学）、秋山仁（東京理科大学）
Q1. 手嶋吉法
液晶ディスプレイの制御に Boerdijik-Coxeter helix (BCH)が用いられるとのことだったが、この構造を用いる利点は何か。
(フィボナッチ的に液晶分子の角度を変えるなど、他の構造でもできそうだが、BCH が適する理由)
A1.
液晶ディスプレイに用いられる液晶分子は 1 種類で、分子間の角度は電極を用いて自由にかつ迅速に調整することができます。もし、液晶分子が 180°くらい回転することにより光の透過性を調節するという仕組みならば迅速な on/off は失
われてしまいますが、わずかなねじれによって迅速に透過性をコントロールできるというのが液晶ディスプレイの原理であり、この構造が適している所以です。
Q2.
Hurley の方程式を解けばねじれ角が簡単に求まるとのことだが、BCH の構造をどのようにして Hurley の方程式として書き下すのかについては、本日の講演では省略されたという理解で良いか。
A2.
ねじれ角の計算は最も簡単な BCH の場合であっても Hurleyの方程式なしでは結構骨の折れる作業です。
Hurley は多分化学者だと思うのですが、実に数学に堪能な方です。彼のアイデアはどどちらかというと代数的なものであって、幾何学的に簡単に説明できるような代物ではありません。ここでは割愛せざるを得ないのですが、興味をお持ちの方は参考文献にある論文にあたっていただくのがよいと思います。
ホモメトリック構造－３
松本崧生（金沢大学・名誉教授）
Q. 手嶋吉法
今回は n=16 かつ r=8 のホモメトリック構造について新しい性質を乱されたと理解した。他の n, r においても、それぞれ面白い性質があるのか、あるいは、特別の n, r の場合に限られるのか。
A.
ホモメトリック構造は、Pauling & M. D. Shappell (Th-7-Ia3,24d; x,-x two non-congruent structures) (1930)、L. Pauling(Oh-10-Ia3d) (1939) 等によって 1930 年代から採り上げられた古典的かつ基礎的問題であり、再検討を行う。
フリーデルの法則を仮定すれば、X 線回折強度|F|2 の分布は結晶内原子間ベクトル集合のフーリエ変換で与えられる。従って、回折対称は原子配列の対称そのものでなく、原子間ベクトル集合の対称と対応する。
一次元の周期構造を円周上の点配列で表現しよう。原子間ベクトルの大きさは、円弧の長さであるが、その弦でおきかえてもよい。円に内接する正ｎ角形の頂点のどこかに r 個の同種原子を配置するおき方を考察する。ただし、合同又は対掌体になる組はすべて計１通りと数える。 A. L. Patterson(1944) は、n≦16, 4≦r≦n/２ についてのおき方を全部調べた。1 次元の周期構造として、円に内接する正 n 角形の頂点のどこかに r 個の同種原子を配列し、（n-r）に異種原子をおき、ホモメトリク構造を検討する。r と(n-r)とが異なれば多くの点検となり、同数であれば、最小の点検ですむ。例えば、
n=16, r= (n-r) = 8 は、最小の点検で済む。

Voronoi ランダム充填と Delaunay ランダム充填
種村正美（統計数理研究所・名誉教授）
Q. 平田隆幸
充填密度への境界の影響はどうなっているか。
A.
除いている。
Q. 本多久夫
実際の生活での考えられるどんな分割をイメージすると良いか。
Voronoi ランダム充填:領域の面積をどれもが均等に?
Delaunay ランダム充填：隣人からの影響が少なくなるように?
A.
Voronoi ランダム充填については森林中の樹木の分布において、樹木個体が生存のために最小の面積を確保する例として以前に述べたことがある。
Delaunay ランダム充填については、一次元の場合はランダ
ム駐車問題と同じである。
Q. 手嶋吉法
今回は、正方形という境界を有する条件下での計算。正方形を引き延ばしてトーラス状の周期境界条件にすると、計算結果は変わるのか。
A.
正方形の境界がある条件下で行った計算では、境界の影響を受けるものは除去してあるのは最初の質問に対する回答の通り。
周期境界条件では除去しないことになるが、計算結果はあまり変わらないと思われる。正方形の１辺を大きくするとほとんど変わらない。
不変曲線の崩壊山口喜博（元帝京平成大学）

11 月 29 日（木）形と人間
人体における管構造の最適形態について
金澤洋隆（京都府立医科大学）、茂田昌樹（京都府立医科大学）
Q. 本多久夫
多発性嚢胞腎の中心で丸くみえるのは、袋(丸い)なのか筒なのか。
A.
筒の異常で膨らんだものが胞になっている。
C. 高木隆司
重要な問題を扱っているという印象を受けた。ただし、形態を表現する用語、数式の提示の仕方などですぐには理解できないところがあると感じた。今後、理学系の研究所と議論するのが良いと思う。
Q. 前畑謙次
三次元的(構造)判定を受ける。とは？
多次元的 Torsion の意味をもう少し詳しく説明してください。
A.
管は人体内(3 次元)に存在する。
Q. 高田宗樹
管表面積は一定とみなせるのか。
管が閉じているので ∫ 𝑘 𝑑𝑠 = 0 と見てよい？
異形と判別するとすると ∫ |𝑘| 𝑑𝑠 でいいのではないか。
A.
3 種類の管があり、そのうち 1 つは確認できている。
形の科学一般セント・ヘレナ島黎明期
杉本剛（神奈川大学）
Q. 高田宗樹構成された地図の形から、文化的な交流は考察できないのか。

– 44 –

A.
交流というよりは、情報を盗む時代であった。鳥瞰図の挿入などの特殊要素から考察はできる。
ジュラ・白亜系境界の GSSP と放散虫の系統進化：イタリア
中部の Bosso Valley section における検討松岡篤（新潟大学）、LI Xin（Nanjing Institute of Geology
and Palaeontology, CAS）、CHIARI Marco（Institute of
Geosciences and Earth Resources, CNR）、BERTINELLIAngela（University of Perugia）
Q. 荏原小百合
ジュラ、白亜系というのはあくまで人間が決めた境界ですが、地質の化学分析によって、境界確定は行なっていないのか。
地質から出てくる化石のみによって境界確定は進められているのか。両方（地質の化学分析とあわせて）で行うことはな
いのでしょうか。
A.
人間が決めたものだが、150 年以上の研究の歴史があり、化石に基づく検討が継続されている。これまで、ヨーロッパを中心に化石に基づいて境界確定の作業が行われている。
形と人間史上最年少プロ棋士藤井聡太のレーティング評価と問題点
高津和紀（福井大学）、高田宗樹（福井大学大学院）、平田隆幸（福井大学大学院）
Q1. 金澤洋隆
月別平均悪手(技巧)グラフの解釈の妥当性について。
A1.
藤井聡太の夏の平均悪手が大きくなることについては、暑さからくる集中力の低下や、試験や課題に追われ将棋の勉強時間が減少したことが原因であると考える。ただし、他のプロ棋士の月別平均悪手を検討していないため、藤井のみの特徴
であるとは言えない。
Q2.
平均悪手と平均一致率に相関関係はあるのか。
A2.
将棋 AI が悪手と評価したプレーヤーの指し手は、将棋 AI の示す候補手と一致しない。そのため、平均悪手と平均一致率に相関があると考える。しかし、平均悪手のピークと平均一致率のピークは月がずれているという事実もあり、強い相関はないと考える。
精細度が異なる映像が体平衡系に及ぼす影響に関する研究
山本将太（福井大学大学院）、高田宗樹（同）、條野雄介（同）、高田真澄（中部学院大学）
Q1. 太田渓介
被験者が男女になった時の性差
A1.
先行研究からみられないと考える。
Q2.
実験中、セット間での疲労の効果
・映像を見せない時の時間経過による疲労による値のバックグラウンドを除去する
・底→高の順のセットを行うとどうなることが期待されるのか
A2.
結果から見る限り、疲労の効果はないと考えられる。
Q. 高木隆司
最初に見た高精細と低精細の画像はほとんど差がないように見えた。そのために、結果に大きな差がない可能性がある。
高精細画像は私個人では見ていると疲れる。
それが実験結果に影響する可能性があるか。
A.
スライドの映像では差がないが、実際には大きな差がある。
確かに、高精細にはそのような傾向がある。この点は今後検討する。

仮想現実感を利用した MCI 予防手法とその生体評価
平山洪介（福井大学大学院）、田原博史（株式会社視空間
工房）、伊藤菊男（株式会社ニューロスカイ）、谷村亨（福井大学大学院）、平田隆幸（福井大学大学院）、高田宗樹（福井大学大学院）
複数の立体を折れる展開図について
上原隆平(北陸先端大)Q. 井宮淳
３次元を折って、４次元物体を構成する展開図はどうなるのか。
A.
それは可能であるが、発表者は対象としていないが、難しい問題である。
C. 宮崎興二
２次元の展開図計算は計算機による数え上げに負けるかもしれない。しかし、高次元は今の所そうでもない。
Q. 手嶋吉法
デモで見せていただいた立体はどちらも二面角が 90 度となっていたが、その条件下で展開図を探索するという問題設定
か。
A.
探索アルゴリズムでは、2 面角は情報として利用していない。
つまりそれは特に探索の条件ではない。同じアルゴリズムで他の立体を探索する場合は 2 面角が 90 度以外の角度にもなりうる。
形と知ダヴィンチと寺田寅彦―形の科学のキーパーソン
高木隆司（東京農工大学・名誉教授）
C. 宮崎興二
形の科学会の英名は Society for Science of Form が適当という意見を異国人から聞いた覚えがあり、本日のお話でもそのようになっていたのが印象に残りました。
A.
学会設立当時に「on」という言葉を使ったのは、形そのものを研究するだけでなく、形の研究にもとづいて（based on) 必
ずしも形に限らない新しい概念を構築するという気持ちがあったように思います。しかし、そのような方向の発展があったかどうか、よくわかりません。
私自身は、「Science of ｆｏｒｍ」で良いと思います。将来、研究体制や研究対象に大きな変化が出たときに、学会名の変更を考えてもよいでしょう。
可変双曲型メタマテリアルによる符号変化問題のモデル化
楠見蛍（東京学芸大学）、太田渓介（同）、小林晋平（同）Q. 宮崎興二
結論として 4 次元球面が 4 次元つづみ形に変わると考えてよろしいか。
今後、𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑧 2 − 𝑢2 = 1（つづみ形がつづみ形に沿って動く）についても考えられてはいかがですか。
A.
＜回答の記載なし＞
水面波に対して負の屈折率を示すメタマテリアルの作製
渡邊慧（東京学芸大学）、太田渓介（同）、楠見蛍（同）、小林晋平（同）
形の科学一般
高空隙率ダスト凝集体の衝突によるクレーター形成と破壊
桂 木 洋 光 （ 名 古 屋 大 学 大 学 院 ）、 Jürgen Blum （ TU
Braunschweig）
Q. 手嶋吉法
充填率 0.35 はかなり低いが、どのような充填構造となっているか。
A.
凝集体の構成粒子のサイズが小さいため付着力によるネット
ワークが構成されており、大きなボイドが（ただし一様に）– 45 –

内部に存在している。

（理化学研究所）、藤森俊彦（基礎生物学研究所、理化学研究所）
Q. 手嶋吉法
管の表面の細胞シートは何層か。その立体的な構造を厚さの無いシートで近似しているという理解で良いか。
A.
そうです。
初期心臓の表面は心筋細胞が 2 層になって心臓をおおっています。いずれの層の細胞もほぼ多角形で敷詰まっているような記述がされています(Isao Shiraishi et al., Anat Embryol
185, 401-408, 1992)。今回はねじれの巻き方向を説明する目的ですので、この報告を考慮しながら一層の厚さのない細胞シートとみなして解析を進めました。

アニメ・特撮等のキャラクターのサイズ分布について
山本健（琉球大学）
Q. 桂木洋光
体重を身長で割った線密度などの密度データは(ガウス分布になるなどの)特性を示さないか？
A.
密度については一定とならずキャラクターによって大きく変化する。(風船のようなキャラクターもある)。BMI 値の分布
はべき的テイルを示すようでもある。
Q. 松岡篤キャラクターには、特撮に登場する実体のあるものと、ポケモンに代表されるアニメにのみ表現されているものがある。
検討結果について、両者で違いはあるか。
A.
アニメはポケモンだけであり、現段階では比較するにはデー
タが少ない。
漢字における線長と画数のベキ乗則
太田守洋（琉球大学）、山本健（同）C. 高木隆司
漢字の楷書体フラクタル次元が 2 に近い値になったのは、字体を決めるとき、平面を均一に埋めようとする傾向があるからだと思う。一方、隷書体では、もっと小さな値になるだろうと思う。
Q. 桂木洋光
フラクタル次元が 2 であれば、面積と周長の関係でもチェックできるのではないか。
A.
アウトラインの解析がそれに相当するので、今後調べ続ける。
アウトラインは線長をほぼ 2 倍したものであり、線長は面積を線幅で割ったものであるので、アウトラインと面積はほぼ比例関係であると思われるが、現在解析中である。
特別講演（功労賞受賞記念講演）
カタチとチカラ、その適合を追及する― 建築構造の世界における例 ―川口衞 （法政大学・名誉教授）

11 月 30 日（金）形と人間
組織切片の伸展性応答による病態に依存したひび割れパターン形成
大社奈摘（同志社大学）、池川雅哉（同）、剣持貴弘（同）、吉川研一（同）
Q. 平田隆幸
検査に必要な時間は？
A.
組織切片を薄切して接着させ染色をするという操作は従来の病理診断方法と同様の操作手順で行っております。また、張力印加は装置にセットするだけで簡単にできますので時間は数分ほどで可能です。そういった点から、手術中の迅速診断にも用いることができると考えております。
Q. 手嶋吉法
細胞の接着力が強いと直線的にひび割れるという考察がよく理解できないので、補足説明をお願いしたい。
A.
細胞間の接着力がある Control 組織では張力が印加されることで、組織切片が無理矢理引っ張られ、微小循環に沿った直線的なひび割れが発生します。一方、HCC では癌化に伴い細胞間の接着力が低下するため、微小循環に沿ったひび割れに加え、細胞間のあらゆるところからひび割れが生じ、細胞間で細かなひび割れが発生すると考えております。

招待講演・公開講演（形と人間）臓器の統計形状モデルの構築
本谷堅秀（名古屋工業大学）
Q. 羽石秀昭
染色病理標本画像の位置合わせについて、異なる染色像間の再構成像間でずれてないか。
C.
４種の染色画像 2500 枚を、全て同時に位置合わせしているので大丈夫です。
形と人間
刑事事件における AI による個人識別小川進（空間技術研究所）
Q. 井宮淳
写真は 2 次元、顔は 3 次元である。2 次元の画像から、3 次元である顔を正しく認識できるのか。
A.
現在、千葉県警ほか、3 次元画像によって顔の情報を鑑定している。
Q. 手嶋吉法
同様のソフトがいろいろあると思うが、このソフトの特徴（長所など）は何か。
A.
AmazonREKOGNITION と IBM の Watson が有力であり、犯罪捜査に米国で実際に使用されているのは、前者である。
ほぼ無償で、インターネット登録で使用できる。
サハ共和国の口琴ホムスとヒトの関係性
荏原小百合（北海道科学大学）
Q. 小川進サハから日本に流れてきた文化としては、何かあるか。
A.
わかりません。
補足ですが、1986 年に北海道札幌市で「ヤクーチャ展」が開催され（当時北海道新聞で報道）、それ以降サハ文化を知る人
は少しずつ増えてきました。1991 年にサハ共和国で開催された第 2 回国際口琴大会への日本からの参加者の中には、アイ
ヌ民族の 3 名のムックリ（竹製口琴）演奏家がおり、それ以
来北海道とサハを行き来する形で音楽交流が続いています。
現在日本で、口琴の愛好家やサハとの交流の関係者の中には、サハのホムス（鉄製口琴）を演奏する人が増えています。
Q. 高木隆司
竹の口琴はどのように鳴らしているのか。ひもで引っ張ると音が止まるはずだが。
A.
瞬間的にひもを引き、すぐゆるめて音を持続させる。
（実演で
の回答）
「百聞は一見に如かず」ではない：錯視からわかる人間の知覚情報処理特性
一川 誠（千葉大学大学院）

初期心臓におけるキラリティーの出現
本多久夫（神戸大学大学院、理化学研究所）、阿部高也– 46 –

形と知高次元正多胞体のかたちの原則
宮崎興二（京都大学・名誉教授）
４次元正多胞体のリンゴの皮むき展開図について III
海野啓明（元仙台高専）
回転対称型接合部を持つ改良耐震シェルターについて
阿竹克人（株式会社阿竹研究所）、冨岡万輝（株式会社カラフルコンテナ）、四方田彩花（名城大学）、武藤厚（名城大学）
Q. 宮崎興二
メロシステムを超えるジョイントを考えておられるのでしょうか。
A.
その通りです。(メロシステムで出来ることは回転対称型接合部でほぼカバーできます。)– 47 –