GIS －理論と応用
Theory and Applications of GIS, 2010, Vol. 18, No.2, pp.41- 51【展望論文】

地理情報科学における位相的空間関係の研究と今後の課題
倉田 陽平 *An Overview of the Research on Topological Relations and Future Issues in GIScience
Yohei KURATA
Abstract: Topological relations, which concern how two spatial objects intersect with each other,are one of the most well-studied types of spatial relations in GIScience. This paper gives an overview of the research on topological relations, especially reporting recent breakthroughs after the
introduction of the 9+-intersection. First, we introduce three models of topological relations（9-intersection, 9+-intersection, and RCC）and explain how to identify the sets of topological relations
between two objects of various types. Then, we explain basic ideas of two relevant inventions:（i）conceptual neighborhood graphs, which schematize a given set of topological relations, and（ii）
qualitative spatial calculi, with which we can realize the disambiguation of the topological relations
between multiple objects in the same space. Finally, we discuss future research issues and applications of topological relations.
Keywords: 空 間 関 係（spatial relations）， 位 相 的 空 間 関 係（topological relations），9+-intersection，
概念的近隣グラフ（conceptual neighborhood graph），定性的空間演算法（qualitative
spatial calculi）

１．はじめに人にとって馴染みやすいシステムの実現につながる空間関係（spatial relations）とは，同一空間の複数という理念があった．また，組み合わさるオブジェ

オブジェクトの間に成立する関係のうち，空間的性

クトの種類に応じて，多様な位相的空間関係のセッ質をもったものを言う．たとえば，距離や方位関係

トが考えれるということも，数々の研究を生み出しは，二つのオブジェクト（オブジェクト対）の間にてきた要因であろう．

成立する空間関係の例である．本論文では，そのよ

本論文は，このように地理情報科学上で盛んに研うな空間関係のうち，位相的空間関係（topological

究されてきた位相的空間関係について，とりわけ近relations）に焦点をあてる．位相幾何学上では，位年の理論的進展を中心に総説する．そして位相的空相的空間関係とは空間的に連続な変換（たとえば伸間関係の研究成果によって何が可能になるのかを考縮）に対し不変な空間的関係のことを言う．地理情

察し，今後の研究展望へとつなげていく．

報科学で言う位相的空間関係の概念はこの考えを実

本論文の概要は以下の通りである．まず 2 章で空間に応用したものであり，具体的には複数の地物

位相的 空間関係の 代表的 モデリング 手法で あるの交差・接続・内包状態，あるいはネットワークの9-intersection，9+-intersection，および RCC を紹介すつながり方の意味で用いられてきた．

る．つづいて 3 章では前二者のもとで，いかに各オ

位相的空間関係は 90 年代初頭より欧米の地理情

ブジェクト対の位相的空間関係群が同定されるかに

報科学コミュニティにおいて盛んな関心を集めてきついて述べる．4 章では，この同定された位相的空た．その背景にあるのは，位相的空間関係は人間の間関係群を体系化し，それを分析や推論に利用する

空間配置の概念に深く関わっており（Lynch, 1960,

方法を述べる．5 章では，既知の位相的空間関係か

Egenhofer and Mark, 1995b, Mark, et al., 1995, Blaser,

ら未知の位相的空間関係を推定する方法について概2000），そのような位相的空間関係を定義・分類し，説する．以上の議論の補足として，6 章では実デー

それを地理情報システム上で応用していくことは，

タからオブジェクト間の位相的空間関係の種類判定*

正会員 首都大学東京 都市環境科学研究科（Tokyo Metropolitan University）〒 192-0397 東京都八王子市南大沢 1-1 E-mail：ykurata@tmu.ac.jp－ 149（41）－2／11【審査用原稿用紙】【審査用原稿用紙】
判定する手法を紹介する．最後に7 章では今後の研する手法を紹介する．最後に 7 章では今後の研究課究課題や応用可能性について述べる．
判定する手法を紹介する．最後に 7 章では今後の研題や応用可能性について述べる．

2／11
各積集合部分が空か否かという情報だけではなく，合が何個の連結部分に分かれるか，積集合が空間的積集合が何個の連結部分に分かれるか，積集合が空各積集合部分が空か否かという情報だけではなく，に何次元であるか，といった情報を用いて，より詳間的に何次元であるか，といった情報を用いて，よ究課題や応用可能性について述べる．
㧞㧚૏⋧⊛ⓨ㑆㑐ଥߩࡕ࠺࡞ൻ
２．位相的空間関係のモデル化
地理情報科学では，位相的空間関係のモデリング㧞㧚૏⋧⊛ⓨ㑆㑐ଥߩࡕ࠺࡞ൻ
地理情報科学では，位相的空間関係のモデリングには
9-intersection（Egenhofer and Herring, 1991）

積集合が何個の連結部分に分かれるか，積集合が空細に位相的空間関係の判別をすることも可能であるり詳細に位相的空間関係の判別をすることも可能で間的に何次元であるか，といった情報を用いて，よ（Egenhofer
and Franzosa,
1995, Clementini
and Felice, 5ある（Egenhofer
and Franzosa,
1995, Clementini

地理情報科学では，位相的空間関係のモデリングには
9-intersection（Egenhofer and Herring, 1991）といという手法が多く用いられてきた．9-intersectionには
9-intersection（Egenhofer
and Herring, は，オ1991）
�
う手法が多く用いられてきた．9-intersection
Aの内部��・境界∂�・外部�
とは，オブジェクト

という手法が多く用いられてきた．9-intersection�の内部��・境界∂�・外部�
の織り
オブジェクトブジェクト A Bの内部・境界 ∂A・外部 A- とオブジェA°�
Aの内部��・境界∂�・外部�
とは，オブジェクト
なす
種類の積集合（intersection）の性質によ
クト33・境界 ∂B・外部 B の織りなす 3×
B の内部
B°
�
B の内部��・境界∂�・外部� の織り
オブジェクトA・B 間の位相的空間関係を判別するものであり，3 種類の積集合（intersection）の性質により，A・B
なす 3333
種類の積集合（intersection）の性質による．この種類の積集合は，9-intersection 行列 3間の位相的空間関係を判別するものである．このA・B間の位相的空間関係を判別するものであり，と呼ばれる
33 行列によって表記できる（式1）． 3
×3 種類の積集合は，9-intersection
行列と呼ばれるる．この 33 種類の積集合は，9-intersection 行列
×3 行列によって表記できる（式 1）．
�� 行列によって表記できる（式� �� �� � ∂� �� � �� 1）．
と呼ばれる 33

M��� �� � �∂� � �� ∂� � ∂� ∂� � � � � (1)
�
�
�
�
M
���
�� ��
�� ��� �� ∂�∂� ��� �� ��� （1）M��� �� � �∂� � �� ∂� � ∂� ∂� � � � � (1)��
空間 S におけるオブジェクト
X の外部�
内部��，�� � �� �� � ∂��� � �，-空間 S におけるオブジェクト X の外部 X ，内境界∂�は，Point-Set Topology（Alexandroff, 1961）
�
部空間
，境界
X°
∂X は，Point-Set Topology（Alexandroff,
S におけるオブジェクト
X の外部�
，内部��，X を含まない全のもとでそれぞれ「空間 S において1961）のもとでそれぞれ「空間S において X を含ま境界∂�は，Point-Set
Topology（Alexandroff,
1961）
X と同次の任意のての開集合の和」「X を内包するない全ての開集合の和」「Xを内包する
X と同次のにおいてX を含まない全のもとでそれぞれ「空間 S
X に含まれる全ての開集合の和」「�� �
空間において任意の空間においてに含まれる全ての開集合のを内包する
X と同次の任意のての開集合の和」「X Xの補集合から��を除いたもの」として定義される．
和」「X の補集合からX °を除いたもの」として定X に含まれる全ての開集合の和」「�� �
空間においてS の次元に関係なく，面のこの定義によれば，空間義される．この定義によれば，空間S の次元に関係の補集合から��を除いたもの」として定義される．
境界とはそのエッジ，線の境界とはその両端点，点なく，面の境界とはそのエッジ，線の境界とはそのこの定義によれば，空間 S の次元に関係なく，面のの境界はその点自身を指す．したがってここで言う
両端点，点の境界はその点自身を指す．したがって境界とはそのエッジ，線の境界とはその両端点，点「境界」とは必ずしもその字義通り「内部と外部をの境界はその点自身を指す．したがってここで言う
ここで言う「境界」とは必ずしもその字義通り「内隔てるもの」を指すわけではない．たとえば3 次元「境界」とは必ずしもその字義通り「内部と外部を
部と外部を隔てるもの」を指すわけではない．たと空間では面の内部と外部は境界によって隔てられず，隔てるもの」を指すわけではない．たとえば
3 次元
えば
3 次元空間では面の内部と外部は境界によって直接接していることに注意されたい．

空間では面の内部と外部は境界によって隔てられず，隔てられず，直接接していることに注意されたい．
位相的空間関係の判別には，通常，各積集合の最直接接していることに注意されたい．
位相的空間関係の判別には，通常，各積集合の最も単純な性質，すなわち各積集合が空か否かという位相的空間関係の判別には，通常，各積集合の最も単純な性質，すなわち各積集合が空か否かという情報が用いられる．したがって位相的空間関係はも単純な性質，すなわち各積集合が空か否かという情報が用いられる．したがって位相的空間関係は
9-intersection
行列に対応する 33 のバイナリパタ
情報が用いられる．したがって位相的空間関係は
9-intersection 行列に対応する 1）．このパターン上
3×3 のバイナリパターーンによって表現できる（図9-intersection
行列に対応する
33のバイナリパタンによって表現できる（図1）．このパターン上のの33 のブロックは，対応する
9-intersection
行列 3ーンによって表現できる（図×3のブロックは，対応する 1）．このパターン上
9-intersection 行列の要の要素が空であれば白く，空でなければ黒く塗りつの 33 のブロックは，対応する
9-intersection 行列
素が空であれば白く，空でなければ黒く塗りつぶさぶされる．この9-intersection パターンによって，の要素が空であれば白く，空でなければ黒く塗りつ�
れる．この9-intersection パターンによって，たとえ）における面たとえば
2 次元ユークリッド空間（�ぶされる．この9-intersection （図パターンによって，
2-面空間関係は
8 種類判別できる
2）．もちろん，ば 2 次元ユークリッド空間（ℝ）における面－面空
たとえば 2 次元ユークリッド空間（�� ）における面間関係は 8 種類判別できる（図 2）．もちろん，各積-面空間関係は 8 種類判別できる（図 2）．もちろん，集合部分が空か否かという情報だけではなく，積集 2

り詳細に位相的空間関係の判別をすることも可能で
1998）
．
and
Felice,1998）．
ある（Egenhofer and Franzosa, 1995, Clementini 5
and Felice, 1998）．
R R

R  R R LL R  R R 
LLR R 
L



L

10

L

 位相的空間関係の
図1.
線Lと面Rがおりなす位相的空間関係の9-intersection
図 1．
線 L と 面 R が おりすL なL
パターンによる表現 L

10

9-intersection パターンによる表現

図1. 線Lと面Rがおりなす位相的空間関係の9-intersection
パターンによる表現

equal (eq)一致disjoint (dj)分離

meet (mt)
外接触

overlap (ov)重複equal (eq)一致disjoint (dj)分離

meet (mt)
外接触

overlap (ov)
重複

15
15

20
covers (cv)
内接触

coveredBy (cB)
内接

contains (ct)内包

inside (in)
内在

20

�
covers(cv) coveredBy (cB) contains (ct)inside (in)図2.
9-intersectionパターンによって判別される�
に

内接触

内接

内包

内在

おける位相的面-面空間関係
25
ℝ2
図2.
図
2．9-intersectionパターンによって判別される�
9-intersection パターンによって判別される� にand Egenhofer, 2007）
9+-intersection（Kurata
おける位相的面-面空間関係における位相的面－面空間関係
25
は 9-intersection を詳細化したもので，各オブジェ
9+-intersection（Kurata and Egenhofer, 2007）
クトの内部・境界・外部について，それぞれの連結
9+-intersection（Kurata and Egenhofer, 2007）は 9-inは 9-intersection を詳細化したもので，各オブジェ
成分ごとに積集合を考える．これらの積集合は行列
tersection を詳細化したもので，各オブジェクトの内30
クトの内部・境界・外部について，それぞれの連結要素を必要に応じて細分化した
9-intersection 行列
部・境界・外部について，それぞれの連結成分ごと
成分ごとに積集合を考える．これらの積集合は行列によって表現される．たとえば，式2 は�� におけるに積集合を考える．これらの積集合は行列要素を必
30
要素を必要に応じて細分化した 9-intersection 行列
線と面の位相的空間関係を表現するための行列であ要に応じて細分化した 9-intersection 行列によって表
によって表現される．たとえば，式2 は�� におけるる．線の境界は2 つの連結成分（両端点）によって現される．たとえば，式2 は ℝ2 における線と面の線と面の位相的空間関係を表現するための行列であ構成されるため，式2 では線の境界に関わる行列要
位相的空間関係を表現するための行列である．線の35
る．線の境界は2
つの連結成分（両端点）によって素行列要素（(2,1)，(2,2)，(2,3)成分）が，それぞれ境界は 2 つの連結成分（両端点）によって構成され構成されるため，式 2 では線の境界に関わる行列要線�の始点∂
� �に関わるため，式�2�に関わる積集合と線の終点∂
では線の境界に関わる行列要素行列要35
素行列要素（(2,1)，(2,2)，(2,3)成分）が，それぞれる積集合とに細分化されている．このように内部・素（（2, 1），（2, 2），（2, 3）成分）が，それぞれ線 L線�の始点∂� �に関わる積集合と線の終点∂� �に関わ境界・外部の連結成分の区別を考慮に入れての始点 ∂s L に関わる積集合と線の終点 ∂e L に関わるる積集合とに細分化されている．このように内部・積集合とに細分化されている．このように内部・境 40
境界・外部の連結成分の区別を考慮に入れて界・外部の連結成分の区別を考慮に入れて 9-intersection 行列の各行列要素を必要に応じ細分化したも 40

2－ 150（42）－3／11【審査用原稿用紙】
9-intersection 行列の各行列要素を必要に応じ細分が知られている．ここで言う region とは地理学的な+-intersectionのを，9-intersection
行列とよぶ．
行列とよぶ．
化したものを，9立体を指す場合もある）．RCC には簡易版の RCC-5
平面領域ではなく，空間内の任意の領域を指す（ゆ

+

と詳細版の
RCC-8 から成り，いずれもオブジェク
えに線や立体を指す場合もある）．RCC には簡易版

M � ��� ���� � ���� � ∂�∂� � � ��∂� � � ∂�
� �
�
� ��
∂� � � ��∂� � � ∂��� � ���� � ∂�

トの種類によらず
5 種類，8種類の位相的空間関の RCC-5 と詳細版のRCC-8 から成り，いずれもオ�� � � �∂ � � ��(2)
�� （2）� �∂� � � � ��� � ��

て考 え る と，RCC-8 の 規� における面-面空間関係に
定 す る 8 種 類 の 関 係 と，空間関係を区別する．��

99 -intersection
でも基本的に，各積集合が空か否か-intersection
でも基本的に，各積集合が空か否

9-intersection の判別する 8 種類の関係（図 2）とは一致する．

かという情報をもとに位相的空間関係が判別される．
という情報をもとに位相的空間関係が判別される．

一致する．
9-intersection も RCC もほぼ同時期に誕生したが，-intersection
行列に対応するバイナ
したがって，9++-intersection
したがって，9行列に対応するバイナリ

9-intersection も RCC もほぼ同時期に誕生したが，10
地理情報科学では点・線・面の組み合わせごとに多リパターンによって位相的空間関係が表現されるパターンによって位相的空間関係が表現される（図地理情報科学では点・線・面の組み合わせごとに多様な空間関係が判別できる
9-intersection が好まれ，（図3）．このパターンは基本的に33 ブロックか3）．
このパターンは基本的に3×3 ブロックからなり，様な空間関係が判別できる 9-intersection が好まれ，
人工知能分野では推論演算への親和性の高い
RCC
人工知能分野では推論演算への親和性の高いRCCが好まれてきた．しかしながら近年，9-intersection++

らなり，各ブロックは対応する行列要素が入れ子化
各ブロックは対応する行列要素が入れ子化している

L
sL
eL
L

（6 章），この状況は今後変化していくことだろう．

R  R R sLL  e L

限って考えると，
RCC-8 の規定する
8 種類の関係と，
9-intersectionの判別する
8 種類の関係（図2）とはが好まれてきた．しかしながら近年，9-intersection
をベースにした推論手法の開発が進められており（6をベースにした推論手法の開発が進められており
15章），この状況は今後変化していくことだろう．

している場合，再分割される．
場合，再分割される．
R R 

2
係を区別する．ℝにおける面－面空間関係に限っ
ブジェクトの種類によらず5 種類，8 種類の位相的 5

３．位相的空間関係群の導出㧟㧚૏⋧⊛ⓨ㑆㑐ଥ⟲ߩዉ಴ある空間 S に存在する空間オブジェクト A・B が

図 3.
向 線 LLとと面
面RR
ががおりなす位相的空間関係のおりなす位相的空間関係の
図
3．有
有向線
9+-intersectionパターンによる表現+

9 -intersection パターンによる表現

旧来の 9-intersection では不十分となるのは，少旧来の 9-intersection では不十分となるのは，少なくとも片方のオブジェクトの内部・境界・外部がなくとも片方のオブジェクトの内部・境界・外部
複数の性質の異なる要素から構成されている場合である．たとえば有向線はその境界が始点と終点とにが複数の性質の異なる要素から構成されている場区別される．また，穴の開いた面は，その境界・外合である．たとえば有向線はその境界が始点と終部がそれぞれ穴側と外側とに区別される．これらを点とに区別される．また，穴の開いた面は，その考慮して位相的空間関係を区別するには，
境界・外部がそれぞれ穴側と外側とに区別される．
9+-intersection が有効である．さらにこれらを考慮して位相的空間関係を区別するには，-intersectionの枠組みは，9-intersection
で記述の
99++-intersectionが有効である．さらに
9+-intersection
可能なオブジェクトの組み合わせに対しても有効性
枠組みは，9-intersectionで記述可能なオブジェクトが発揮できる．これは 9+-intersection を用いることの組み合わせに対しても有効性が発揮できる．これにより，任意のオブジェクト対に成立する位相的空は9+-intersection を用いることにより，任意のオブ間関係群を半自動的に求めたり，またそれを半自動
ジェクト対に成立する位相的空間関係群を半自動的的に体系化したりすることが可能になるためであるに求めたり，またそれを半自動的に体系化したりす（3，4 章）．
ることが可能になるためである（3，4章）．
ところで，位相的空間関係のモデリングにはと こ ろ で， 位 相 的 空 間 関 係 の モ デ リ ン グ に は

9-intersection 以外にも Region Connection
9-intersection 以 外 に も Region Connection Calculus
Calculus（RCC）という手法（Randell, et al., 1992）（RCC）という手法（Randell, et al., 1992）が知られている．ここで言う region とは地理学的な平面領域

ある空間 S に存在する空間オブジェクト A・B が与えられたとき，9-/9+-intersection のもとで判別さ与えられたとき，9-/9+-intersection のもとで判別される A・B の位相的空間関係群は，通常，次の手順 20
れる A・B の位相的空間関係群は，通常，次の手順で求められる．まず，9-/9+-intersection パターンので求められる．まず，9-/9+-intersection パターンの取りうるすべてのバイナリパターン群が用意される取りうるすべてのバイナリパターン群が用意される（9-intersection なら 29 パターン）．そこから，ある制（9-intersection なら 29 パターン）．そこから，あ約条件群を用いて，幾何学的に成立し得ないバイナ
る制約条件群を用いて，幾何学的に成立し得ないバ 25
リパターンを除去する．その結果残されたバイナリ
イナリパターンを除去する．その結果残されたバイパターンは，おのおのが A・B の取りうる位相的空ナリパターンは，おのおのが A・B の取りうる位相間関係の候補となる．そこで最後に残された各バイ的空間関係の候補となる．そこで最後に残された各
ナリパターンについて，その要件を満たす A・B のバイナリパターンについて，その要件を満たす A・
配置が実際に存在することを人間が絵に描いて確か
B の配置が実際に存在することを人間が絵に描いて 30めることにより，その候補が認証される．
確かめることにより，その候補が認証される．
この過程で使われる制約条件群は，従来，オブジェ
この過程で使われる制約条件群は，従来，オブジ
クト A・B と空間 S の組み合わせごとに用意されてェクト A・B と空間 S の組み合わせごとに用意されき た（Egenhofer and Herring, 1991, Zlatanova, 2000）．
てきた（Egenhofer and Herring, 1991, Zlatanova,
そのため，位相的空間関係群の導出は多大な労力を
2000）．そのため，位相的空間関係群の導出は多大 35必要とし，信頼性も不十分であった．そこで Kurata
な労力を必要とし，信頼性も不十分であった．そこ（2008）は 9+-intersection のもとで，空間S（∈ {ℝ1,で Kurata（2008）は 9+-intersection のもとで，空1ℝ2, ℝ3, 𝕊1,��
𝕊2 } ℝn: 線状� �� � �� �; �� :n 次元ユークリッド
間 S（� � � ;�� � :�n�次元ユークリッド空間，𝕊
2の輪，𝕊球面）における任意のオブジェクト
A・B�:球面）における任意のオブ空間，��: :線状の輪，�の組み合わせに対し，A・Bの内部・境界・外部をA・B の内部・ 40
ジェクト A・B の組み合わせに対し，構成する連結成分の①空間的次元，②境界性，およではなく，空間内の任意の領域を指す（ゆえに線や 3 び③その相互のつながり方，という情報をもとに幾－ 151（43）－4／11【審査用原稿用紙】
境界・外部を構成する連結成分の①空間的次元，②
境界性，および③その相互のつながり方，という情ことや，Թଷ の面-面関係は 43 種類はԹଶ でも成立する
8 種類の関係と，Թଷ に固有な（3 次元空間でしか成報をもとに幾何学的に成立し得ないバイナリパター
何学的に成立し得ないバイナリパターンを除去する

立できない）35 種類の関係から構成されることなどれることなどがわかった．

A・B が取りうる位相的空間
ンを除去することで，ことで，A・B が取りうる位相的空間関係群の全候がわかった．

関係群の全候補を算出する手法を開発した．この手補を算出する手法を開発した．この手法により導出

４．位相的空間関係の体系化

法により導出された，各オブジェクト対が取りうるされた，各オブジェクト対が取りうる位相的空間関㧠㧚૏⋧⊛ⓨ㑆㑐ଥߩ૕♽ൻ
空 間 関 係 群 R の 概 念 的 近 隣 グ ラ フ（conceptual
空間関係群graphs）とは，R
R の概念的近隣グラフ（conceptual
neighborhood
内のすべての概念的

位相的空間関係の種類の数を表1 に示す．また，係の種類の数を表 1 に示す．また，9-intersection パ++-intersection パターンは 9-intersection パターン
9ターンは9-intersection パターンへの変換可能であり，への変換可能であり，この性質を利用して求められこの性質を利用して求められた，9-intersection のもた，9-intersectionのもとで各オブジェクト対が取とで各オブジェクト対が取りうる位相的空間関係のりうる位相的空間関係の種類数を表2 に示す．
種類数を表 2 に示す．
表1. 9+-intersectionによって判別される位相的空間関表 1．9+-intersection によって判別される位相的空間
係の種類（Kurata, 2008）
関係の種類（Kurata, 2008）
ଵ

ଶ

Թ
6
10
–
–
26
–
–
–
–
–

点-点
点-有向線
点-面
点-立体
有向線-有向線
有向線-面
有向線-立体
面-面
面-立体
立体-立体

ଷ

Թ
2
4
3
–
80
26
–
8
–
–

Թ
2
4
3
3
80
45
26
43
19
8

ଵ

ॺ
2
4
–
–
28
–
–
–
–
–

ଶ

ॺ
2
4
3
–
80
26
–
11
–
–

表2. 9-intersectionによって判別される位相的空間関表 2．9-intersection によって判別される位相的空間
係の種類（Kurata, 2008）
関係の種類（Kurata, 2008）
点-点
点-線
点-面
点-立体
線-線
線-面
線-立体
面-面
面-立体
立体-立体

Թଵ
2
4
–
–
8
–
–
–
–
–

Թଶ
2
4
3
–
33
19
–
8
–
–

Թଷ
2
4
3
3
33
31
19
43
19
8

ॺଵ
2
4
–
–
11
–
–
–
–
–

ॺଶ
2
4
3
–
33
19
–
11
–
–

このようにさまざまなオブジェクト対の位相的空
このようにさまざまなオブジェクト対の位相的空間関係群を導出し比較することで，その相互の関連間関係群を導出し比較することで，その相互の関連性がいくつか明らかになった（Kurata,．たと性がいくつか明らかになった（Kurata,2008）
2008）
．たと
ଵ1
ଶ
2
における線-線関係，
Թにおける面-面関係，
えば，
Թ
えば，ℝ における線－線関係，ℝ における面－面

ଷ
3における立体-立体関係は一対一対応関係にある
Թ
関係，ℝにおける立体－立体関係は一対一対応関係にあることや，ℝ3 の面－面関係は 43 種類は ℝ235neighborhood graphs）とは， R 内のすべての概念
近隣関係を示したグラフである（Freksa,
1992）．こ的近隣関係を示したグラフである（Freksa,
1992）．
こで空間関係
ri にとって空間関係
rj が概念的近隣で

ここで空間関係 ri にとって空間関係 rj が概念的近隣 10あるとは，原義的には，あるオブジェクト対があっであるとは，原義的には，あるオブジェクト対があて，その片方ないし両方を連続的に空間移動するこって，その片方ないし両方を連続的に空間移動するとで，その空間関係がri から rj へと変化できること
ことで，その空間関係が ri から rj へと変化できるこを意味する．しかしながら単純化のため，特殊化しとを意味する．しかしながら単純化のため，特殊化
た，あるいは近似的な概念的近隣の定義のもとで作した，あるいは近似的な概念的近隣の定義のもとで 15成された概念的近隣グラフも少なくない．
作成された概念的近隣グラフも少なくない．
概念的近隣グラフは，それを適切に図示すると，概念的近隣グラフは，それを適切に図示すると，
空間関係群 R のもつ対称性が視覚的に明らかにな
空間関係群 R のもつ対称性が視覚的に明らかになる．
る．このため概念的近隣グラフは空間関係群を図式
このため概念的近隣グラフは空間関係群を図式化す化するために広く用いられてきた．たとえば，図 4aるために広く用いられてきた．たとえば，図 4a は 20
は位相的面－面空間関係群の概念的近隣グラフであ
位相的面-面空間関係群の概念的近隣グラフである
るが，面 A・B を入れ替えてできる空間関係（たとが，面 A・B を入れ替えてできる空間関係（たとええば inside と contains）は左右対称に配置され，自ば inside と contains）は左右対称に配置され，自己
己対象的な空間関係は中央軸上に配置されている．
対象的な空間関係は中央軸上に配置されている．ままた図 4b は位相的線－面空間関係群の概念的近隣
た図 4b は位相的線-面空間関係群の概念的近隣グラ 25
グラフであるが，ここでは面の内部と外部を入れ替
フであるが，ここでは面の内部と外部を入れ替えてえてできる空間関係が左右対称に配置され，ユニーできる空間関係が左右対称に配置され，ユニークなクな構造を形成している．
構造を形成している．
30

(a)

(b)

35

図4. 位相的空間関係の概念的近隣グラフの例

図 4．位相的空間関係の概念的近隣グラフの例

この他にも概念的近隣グラフには面白い要素があこの他にも概念的近隣グラフには面白い要素がある．たとえば，A と B の空間関係と B と C の空間
る．たとえば，AとBAの空間関係とB と C の空間関 40と C の取り得る空間関係の関係とが既知のとき，係とが既知のとき，A と C の取り得る空間関係の候でも成立する 8 種類の関係と，ℝ に固有な（3 次元 4

補は概念的近隣グラフ上で連結部分集合を作る．た

空間でしか成立できない）35 種類の関係から構成さとえば，面 A が面 B を内包し，面 B と面 C が外接－ 152（44）－5／11【審査用原稿用紙】
候補は概念的近隣グラフ上で連結部分集合を作る．

で Kurata（2009b）は 9+-intersection のもとで空間 S

B を内包し，面 B と面 C が外
たとえば，面 Aとが面触するとき，A
C のとりうる関係は内包・内接触・接触するとき，A と C のとりうる関係は内包・内接
重複のいずれかであるが，この3 つの関係は概念的A，B がとりうる位相的空間関係9+上のオブジェクト-intersection のもとで空間
S 上のオブジェクト A，
群Rが与えられたとき，原義上の概念的近隣関係を
B がとりうる位相的空間関係群 R が与えられたとき，

触・重複のいずれかであるが，この３つの関係は概近隣グラフ上で連結している（図 5a）．また，空間念的近隣グラフ上で連結している（図 5a）．また，配置に関するある自然言語表現が与えられたとき，空間配置に関するある自然言語表現が与えられたとそれに対応する空間関係群は概念的近隣グラフ上でき，それに対応する空間関係群は概念的近隣グラフ
連結部分集合を作ることが多い（図 5b）．
上で連結部分集合を作ることが多い（図 5b）．
また，原義に従った概念的近隣グラフでは空間関
また，原義に従った概念的近隣グラフでは空間関係の遷移可能性が図示されているため，これを時空係の遷移可能性が図示されているため，これを時空間推論に応用することができる（Egenhofer and Al間推論に応用することができる（Egenhofer andTaha, 1992, Dylla and Moratz, 2004, Van de Weghe and
Al-Taha, 1992, Dylla and Moratz, 2004, Van de
De Maeyer, 2005）．すなわち，ある 2 時点のオブジェ
Weghe and De Maeyer, 2005）．すなわち，ある 2
クト対の配置情報が与えられたとき，このオブジェ
時点のオブジェクト対の配置情報が与えられたとき，
クト対がどのような空間関係を経てきたかを推測す
このオブジェクト対がどのような空間関係を経てきることができる．とくに，グラフのリンクに遷移確たかを推測することができる．とくに，グラフのリ率を与えることで，どの遷移経路がよりもっともら
ンクに遷移確率を与えることで，どの遷移経路がよしいか推定することができる．
りもっともらしいか推定することができる．

もつ空間関係対の全候補を算出する方法を開発した．
原義上の概念的近隣関係をもつ空間関係対の全候補
これを用いることで，任意のオブジェクト対に対し 5を算出する方法を開発した．これを用いることで，原義に基づく概念的近隣グラフをすばやく作成する
任意のオブジェクト対に対し原義に基づく概念的近ことが可能になった．
隣グラフをすばやく作成することが可能になった．

A
B



B C



A

C

A



C



����������������������
５．不 十分な知識をもとにした位相的空間関係
���
10
の推測
本章では同一空間に複数のオブジェクトがあって，本章では同一空間に複数のオブジェクトがあっ
それらの間に成立する空間関係が部分的に分かってて，それらの間に成立する空間関係が部分的に分いるとき，残りの不明な空間関係を推測する方法にかっているとき，残りの不明な空間関係を推測す
ついて紹介する．ここで述べる方法を用いれば， たる方法について紹介する．ここで述べる方法を用い
とえば GIS に対しオブジェクト A・B の位相的空間 15
れば，たとえば GIS に対しオブジェクト A・B の位関係について問い合わせがあったが，それがデータ
相的空間関係について問い合わせがあったが，そとして記録されていない場合，いちいち A・B の幾れがデータとして記録されていない場合，いちい
何形状から空間関係を判定する代わりに，他の既知
ち A・B の幾何形状から空間関係を判定する代わりの関係から A・B の関係を決定することが（あるいに，他の既知の関係から A・B の関係を決定するこは少数候補に絞り込むことが）できる（Egenhofer, 20とが（あるいは少数候補に絞り込むことが）できる
1994）．
1994）．
（Egenhofer,
５．１．合成（composition）

A
C

(a)

５．
１．合成（composition）
A・B・C について A・B の関係 r1
オブジェクトオブジェクト・と B・AC について A・B の関係と B・C の関係 r2B・が与えられたとき，
A・Cr1の取り

Pass-byの関係 r2 が与えられたとき，A・C の取りうる関
Cうる関係を求める演算を関係の合成と言い，
r1;r2 と 25係を求める演算を関係の合成と言い，r1 ;r2 と表記す表記する．たとえば，面 A と面 B とが内包関係(b)
図5. 概念的近隣グラフを基にしたアイコンによる，位相図
5．概念的近隣グラフを基にしたアイコンによる，的空間関係群の部分集合の表現

る．たとえば，，（contains），面
面A
B と面
と面 B
C とが内包関係（contains）と が外接触関係（meet）
面
B と面ACととが外接触関係（meet）のとき，Aと C=
C の取りうる関係は contains ; meetのとき，位相的空間関係群の部分集合の表現
位相的空間関係を対象とした概念的近隣グラフは，の取りうる関係は
contains ;}という演算により導出
meet = {overlap, covers,{overlap, covers, contains

における面-面関係（Egenhofer and Al-Taha, 1992），
Թଶ位相的空間関係を対象とした概念的近隣グラフという演算により導出できる（図
5a）
．
（な 30
contains}
できる（図5a）．（なお厳密にはこの合成は弱合成

面-線関係（Egenhofer and Mark, 1995a），有向線-有向は，ℝ2 における面－面関係（Egenhofer and Al-Taha,
線関係（Kurata and Egenhofer, 2006），有向線-面関係
1992），面－線関係（Egenhofer and Mark, 1995a），有（Kurata and Egenhofer, 2007），無向線-無向線関係
向線－有向線関係（Kurata and Egenhofer, 2006），有（Reis, et al., 2008），そして球面ॺଶ 上における面-面
向 線 － 面 関 係（Kurata and Egenhofer, 2007），無向関係（Egenhofer, 2005）を対象としたものが作成さ2線－無向線関係（Reis, et al., 2008），そして球面 𝕊
れ，各々興味深い性質が報告されている．ところが
上 に お け る 面 － 面 関 係（Egenhofer, 2005） を 対 象
これらのグラフの多くは原義と異なる概念的近隣のとしたものが作成され，各々興味深い性質が報告
定義を土台にしているため，そのままでは時空間推されている．ところがこれらのグラフの多くは原論に応用することができないうえに，概念的近隣グ
義と異なる概念的近隣の定義を土台にしているた
ラフ同士を比較分析することも不可能である．そこめ，そのままでは時空間推論に応用することができないうえに，概念的近隣グラフ同士を比較分析することも不可能である．そこで Kurata（2009b）は

お厳密にはこの合成は弱合成と呼ばれるものであと呼ばれるものであり，さらに制約の強い強合成にり，さらに制約の強い強合成においては，もしr1 とおいては，もし r1 と r2 の合成結果が r3 を含むならの合成結果がr2ば，r3 を含むならば，関係
r3 を持つ任A・C について必ずA との関係 r3 を持つ任意の意のとA・C rについて必ずA との間に関係
r1 を，C B
r2 を持つような間に関係
1 を，C との間に関係の存在が保証される．）
の間に関係
） 35
r2 を持つような B の存在が保証される．
合成表（composition
table）とは，2合成 表（composition table）と は，2 つつの関係群の関係群
内の各関係と RR22内の内の1・R
2 が与えられたとき，R
RR
1・R
2 が与えられたとき，R
1 1内の各関係と各関係の合成結果を表にまとめたものである．たと各関係の合成結果を表にまとめたものである．たとଶ
における位相的面-面空間関係群（図えば表33ははԹℝ2 における位相的面－面空間関係群
えば表
（図2）

同士の合成表を示したものである．
合成結果は通常， 402）同士の合成表を示したものである．合成結果は

5

通常，ある合成ルール群によって計算機的に求められる．たとえば Egenhofer（1994）は次のルール群－ 153（45）－を用いて，表 3 の合成表を算出した．
・もし B が，A の位相パーツ（内部・境界・外部）
ai を含むが C の位相パーツ cj と交差しない，あるいは cj を含むが ai と交差しないような位相パーツを持つとき，ai と cj とは交差しない．

とよぶ．例として表 4 に ℝ2 における位相的面－面空間関係（図 2）の転換リストを示す．

表 4．ℝ2 における位相的面－面空間関係群（図 2）の転換リスト・逆にもし B が，ai に含まれかつ cj と交差する，あるいは cj に含まれかつ ai と交差するような位相パーツを持つとき，ai と cj は交差する．
同様の合成ルールにより，9-/9+-intersection にお５．
３．単種オブジェクト群の位相的空間関係の推定

ける様々な位相的空間関係群対の合成表をシステ

オブジェクト群の織りなす空間関係が部分的にわマティックに作成することができる．ただし Kurata

かっているとき，上述した合成および転換を用いれ（2009a）は若干の追加合成ルールが必要な場合を指ば，既知の空間関係から推定可能な未知の空間関係摘している．

を推定し，さらにその推定結果を用いて他の未知の空間関係を順次推定していく，というプロセスが実2

表 3． ℝ における位相的面－面空間関係の合成表（略号の意味は図 2 を参照 ; 網掛け部分は図 5a に対応）

現可能になる．しかしながらオブジェクトが多数になるにつれ，このプロセスを人力で行なうには限界が生じてくる．そこでこのプロセスを計算機的に実現させる仕組みが，定性的空間演算法（qualitative
spatial calculi）と呼ばれるものである（Ligozat andRenz, 2004）．
定性的空間演算法では，所与の空間関係群 BR（base
relations）のもとで，各オブジェクト対に成立する可能性のある空間関係の集合をそのオブジェクト対の「関係」として改めて定義する．たとえば A と Bの「空間関係」が一意に絞り込めるときは A・B の「関係」は単集合になり，逆に A と B の「空間関係」が全く未知の時は A・B の関係は BR と一致する．そして定性的空間演算法では，R における合成・転換を，前二章で述べた BR における合成・転換の集合

５．
２．転換（conversion）

和として定義する．

オブジェクト A・B の関係 r が与えられたとき，B・

さて，オブジェクト群の織りなす関係についてのA のとる関係を求める演算を転換と言い，rjと表記

知識は，オブジェクトをノードに，関係をリンクにする．たとえば，位相的面－面空間関係（図 2）に対応させたネットワークとして表現できる（図 6）．

おいて contains = inside である．9-/9 -intersection の

ここでネットワーク上の任意の 3 オブジェクト Oi,

もとでは，位相的空間関係 r の転換結果は，ただ単

Oj ，Ok に 注 目 す る と，Oi と Ok の 関 係 rik は，Oi と純に r の 9-/9 -intersection パターンを対角線軸についOj の関係 rij と Oj と Ok の関係 rjk の合成結果の部分て転置した 9-/9 -intersection パターンで表現される集合でなければならない．そこで，rik の値を rik ∩位相的空間関係として一意に求まる．

rij ;rik に更新する．この作業をネットワーク上で繰り

j

+

+

+

合成表同様，ある関係群 R 内の各関係の転換結果返していく．このプロセスにより，成立し得ない空をまとめたものを R の転換リスト（conversion list）

間関係が次々と取り除かれ，オブジェクト群の織り－ 154（46）－集合でなければならない．そこで，rik の値をである．しかしながら地理情報科学では，行政界はrik ∩ rij;rik に更新する．この作業をネットワーク上面，道路は線，イベント発生箇所は点，といったよで繰り返していく．このプロセスにより，成立し得

うに異種オブジェクトが混在した状況を取り扱うこない空間関係が次々と取り除かれ，オブジェクト群とがしばしばある． Kurata（2009a）の提案した 5の織りなす空間関係が徐々に解明されていく．もしなす空間関係が徐々に解明されていく．もし与えら与えられた情報に最初から矛盾があったときは，プれた情報に最初から矛盾があったときは，プロセス
ロセス中にいずれかのリンクの値が空集合になるた
中にいずれかのリンクの値が空集合になるため，矛め，矛盾の存在を検出できる．これにより，R を対盾の存在を検出できる．これにより，Rを対象とし象とした記号処理のみによって，空間配置の不明な

混成 9-intersection 演算法（Heterogeneous
成 9-intersection 演 算 法（Heterogeneous 9-intersection
9-intersection calculi）は，このような異種オブジ
calculi）は，このような異種オブジェクト群が混在
ェクト群が混在する状況でそれらの位相的空間関係する状況でそれらの位相的空間関係について推論すについて推論することを可能にするものである．
ることを可能にするものである．
混成 9-intersection 演算法の枠組みは従来の定性 10
混成
9-intersection 演算法の枠組みは従来の定性空空間演算法を拡張したものである．まず，対象とすた記号処理のみによって，空間配置の不明な箇所が箇所が計算機的にある程度解明していくことができ計算機的にある程度解明していくことができる．こる．この手法は一般に algebraic closure algorithm

間演算法を拡張したものである．まず，対象とする
るオブジェクトの種類，たとえば線・面を選び，そオブジェクトの種類，たとえば線・面を選び，それれを統合した抽象オブジェクトドメイン D*を考えの手法は一般に
algebraicalgorithm と呼ばれと呼ばれる（Ligozat
and closure
Renz, 2004）．さらにこる（Ligozat
and Renz, 2004）．さらにこの手法を用いの手法を用いて，オブジェクト間の空間関係についを統合した抽象オブジェクトドメイン
D* を考える．
る．そして線-線空間関係群 BRLL，面-面空間関係群て，オブジェクト間の空間関係についての有限個のての有限個のシナリオを得ることができるが，そのシナリオを得ることができるが，その実現可能性（配実現可能性（配置事例の存在性）は，強合成を用い

そして線－線空間関係群，面－面空間関係群 15
BRLRLL，および面-線空間関
BRRR，線-面空間関係群 BR
BR
BRLR，および面－線空間
RR，線－面空間関係群
BRRL を統合した，抽象的な空間関係群
BR*=
係群

置事例の存在性）は，強合成を用いた場合には直ちた場合には直ちに保証される（Renz and Ligozat,

関係群を統合した，抽象的な空間関係群
BR{LL
BR*=
equal*}を考える（equal*は単位元）．そD*D*

に保証される（Renzand Ligozat, 2005）．
2005）．

を考える（equal* は単位元）．そD*×D*
して BR,LL{equal*}，BRRR，BRLR，BRRL に関する合成表と転このような定性的空間演算法は人工知能分野で，このような定性的空間演算法は人工知能分野で，してBRLL，BRRR，BRBR*についての合成表と転換リ換リストを統合し，LR，BR
RL に関する合成表と転様々な空間関係を対象に議論されてきた．とくに位様々な空間関係を対象に議論されてきた．とくに位換リストを統合し，BR*についての合成表と転換リ 20
ストを作成する．あとは従来の定性的空間演算法と相的空間関係については
RCCを土台とした定性的を土台とした定性的相的空間関係については RCC

ストを作成する．あとは従来の定性的空間演算法と同様に，オブジェクト群の織りなす空間関係の知識

and
Cohn,
空間演算法が研究されてきた（Randell,
空間演算法が研究されてきた（Randell,CuiCuiand

同様に，オブジェクト群の織りなす空間関係の知識をネットワーク表現し，algebraic closure

et al., 2001）．この演算法でCohn,Düntsch,
1992, Düntsch,
1992,．この演算法では表3・表et al., 2001）

algorithm によって処理していくことで，オブジェ
をネットワーク表現し，algebraic
closure algorithm に

3・表 4 に示されるものと同等の合成表・転換
4は表に示されるものと同等の合成表・転換リストが用

クト間の不明な空間関係を解明していくことができ
よって処理していくことで，オブジェクト間の不明

リストが用いられている．
いられている．

る．この手法の応用例として，たとえば Kurata
25
な空間関係を解明していくことができる．この手法（2009b）は，高速道路走行中に観察できる高速道の応用例として，たとえばKurata（2009b）は，高

A

B

B

overlap (A, B)

C

A

B

C

路間や高速道路・市街地間の接続・交差関係から，
速道路走行中に観察できる高速道路間や高速道路・走行していない高速道路が各市街地とどのように接市街地間の接続・交差関係から，走行していない高続・交差しているか推測する例を示している（ここ速道路が各市街地とどのように接続・交差している

disjoint(B, C)
meet(B, C)
overlap(B, C)
inside(A, C)
coveredBy(A, C)
overlap(A, C)A{inside, coveredBy, overlap}

で高速道路・市街地はそれぞれ線・面オブジェクト 30か推測する例を示している（ここで高速道路・市街として扱われている）．同様の手法は，たとえばロ地はそれぞれ線・面オブジェクトとして扱われていC

ボットが地図を持たずにネットワークを探索し，そる）．同様の手法は，たとえばロボットが地図を持の構造を効率的に学習していく際に応用できよう．
たずにネットワークを探索し，その構造を効率的に

図6.6．
オブジェクト間の位相的空間関係についての知識の図
オブジェクト間の位相的空間関係についてのネットワーク表現（実際には多数のオブジェクトを対象に知識のネットワーク表現（実際には多数のオネットワークを考えることができる）

同様の手法は，位相的空間関係以外にも適応でき
学習していく際に応用できよう．
る．たとえば方位関係に適用すれば，A
地点が B 公 35
同様の手法は，位相的空間関係以外にも適応でき

ブジェクトを対象にネットワークを考えるこ
５．４．多種オブジェクト群の位相的空間関係の推とができる）
定

園の東にあり，B 公園は C 川の北にあり，C 川は Aる．たとえば方位関係に適用すれば，A 地点が B 公地点から西に見える D 湖にそそぎ…といった断片
園の東にあり，B 公園は C 川の北にあり，C 川は A的な情報からオブジェクトの大まかな位置関係を推地点から西に見える D 湖にそそぎ…といった断片的測することができるはずであり，今後そのような混な情報からオブジェクトの大まかな位置関係を推測
在方位演算法の開発も期待できる．
40
することができるはずであり，今後そのような混在

上述のように人工知能分野で盛んに研究されてき５．
４．多種オブジェクト群の位相的空間関係の推定
た定性的空間演算法だが，その対象はもっぱら同種
上述のように人工知能分野で盛んに研究されてきオブジェクト間の空間関係に限られていた．たとえた定性的空間演算法だが，その対象はもっぱら同種
オブジェクト間の空間関係に限られていた．たとえば，RCC では region 同士の位相的空間関係が対象である．しかしながら地理情報科学では，行政界は

7

方位演算法の開発も期待できる．

６．実データからの位相的空間関係の種類判定

面，道路は線，イベント発生箇所は点，といったよ

さて，以上の理論を GIS 上で応用していくにあうに異種オブジェクトが混在した状況を取り扱うこ

たっては，いかにオブジェクト間の位相的空間関係とがしばしばある．Kurata（2009a）の提案した混を取得するかが問題になる．もちろん問題の規模が－ 155（47）－小さければそれらを手動入力していくことも可能だ

ば，表 3 の合成表をもとに，「任意の住宅床は任意が，一般には既存のデータを利用して計算機上でオの道路区画と分離関係にある」という位相的空間関ブジェクト間の位相的空間関係を種類判定する方法

係が導出できる．もちろん，このような手法は例外が望まれる．

的事例を無視する恐れがあるので，運用上は注意がもし対象となるオブジェクト対が同一のベクトル必要である．

データを基盤に表現されるならば，それらの位相的空間関係は容易に種類判定できる．たとえば市町村

７．今後の研究展望と選挙区は両者とも町丁目の集合として表現できる

以上のように，位相的空間関係のモデリングと推ので，両者の町丁目の共有関係や，それぞれの外周論については，かなりの研究成果が蓄積されてきた．

部分を構成する町丁目界の隣接の有無をもとに，位また本論文では省略したが，不確定状況下での位相相的空間関係を求めることができる．同様に，もし的空間関係についても数多くの研究が行なわれてい対象となるオブジェクト対が同一解像度のラスターる（たとえば境界の曖昧なオブジェクト対の取り扱

データとして表現されているならば，両オブジェクい（Cohn and Gotts, 1996, Liu and Shi, 2009），観測誤トのピクセル共有関係や，それぞれの外周を形成差の取り扱い（Winter, 2000），不完全な観察結果かするピクセルの共有・隣接関係をもとに，近似的．このらの位相的関係の推定（Kurata, 2009c）など）に位相的空間関係を種類判定できる（Egenhofer andように位相的空間関係が関心を集める背景には，1Sharma, 1993）．

章で述べたように，位相的空間関係は人間の空間配もしオブジェクト対が独立したベクターデータで置の概念に密接に関わっているはずであり，そのよ

表現されている場合は，オブジェクトの形状を規定

うな空間関係を空間配置の基礎単位として利用する

するエッジ・ノードについて，エッジ同士の接触・ことにより，認知的に妥当な空間配置情報の定性的

エッジとノードの交差・ノード同士の一致が計算精処理を行うことができる，とする理念があった．

度の問題により検出しにくくなるため，位相的空間

もし実際に位相的空間関係が人間の空間配置概念

関係の種類判定は困難になる（杉原，1993）．たとに深く関わるのであれば，位相的空間関係はまた人

えば，面と面とが外接触しているように見えても，間の空間配置に関する言語表現についても関連して計算上は微細な隙間ないし重複が生じていると判定いるはずである．たとえば図 2 の面－面空間関係のされる可能性が高い．この対策としてはバッファが八分類は，それぞれ英語・日本語の自然言語的な表用いられる．たとえばエッジ同士の接触判定の場合

現に対応づけされている．また Shariff ら（1998）はは，片方のエッジの周囲に微幅なバッファを設け，線－面空間関係と人間の空間配置表現について検証

もしもう片方のエッジがそのバッファと交わり，かした．彼らは線－面配置を描写する多数の英語表現

つバッファの両側に飛び出さない場合，両エッジは（たとえば go into，go across など）を用意し，被験接触するとみなすものとする．同様に微幅なバッ

者にそれぞれの表現にかなう絵を描かせ，それらをファを用いてノードとエッジの交差判定，ノード同分析した．この結果，各表現は固有の位相的空間関士の一致判定ができる．この結果を利用して，オブ係と少数の計量的指標によって説明づけられること

ジェクト間の位相的空間関係の種類判定が（近似的を示した．このような空間関係と人間の空間配置表に）可能になる．

現とのマッピングは，組み合わさるオブジェクトのまた，近似によらない方法として，スキーマ知識

種類ごとに異なり，また言語によっても状況が異なを用いるというものがある．たとえば，「任意の住る可能性があるため，研究の余地は十二分にある．

宅床はある一つの宅地区画と内在関係にある」「任

また，空間言語関連の研究対象となるのは静的な意の宅地区画は任意の道路区画と外接触ないし分離

配置表現のみに限らない．たとえば 9+-intersection で関係にある」というスキーマ知識が与えられていれは有向線と面の位相的空間関係を記述できるので，－ 156（48）－

の種類ごとに異なり，また言語によっても状況が異する n 台のセンサーの配置案）を作成したり（Bhatt

なる可能性があるため，研究の余地は十二分にある．

et al. 2009），人がロボットに与えた経路指示に矛

また，空間言語関連の研究対象となるのは静的な盾がないかを検知したり（Shi and Krieg-Brückner,

配置表現のみに限らない．たとえば 9+-intersection2008）することができる．

では有向線と面の位相的空間関係を記述できるので，それらを移動体の経路とランドマークの空間関係とそれらを移動体の経路とランドマークの空間関係とみなし，人間の移動経路表現と位相的空間関係とのみなし，人間の移動経路表現と位相的空間関係との定性的空間演算法はまた，空間配置の機械的学習
定性的空間演算法はまた，空間配置の機械的学習にも応用できる．たとえば地震で寸断された地下配にも応用できる．たとえば地震で寸断された地下配管のネットワークなど，空間探査ロボットや空間に対応づけを考えることもできる（図7）（Kurataand
and
対応づけを考えることもできる（図 7）（Kurata
Egenhofer,2007）．同様に有向線対の位相的空間関係
Egenhofer,2007）．同様に有向線対の位相的空間

管のネットワークなど，空間探査ロボットや空間に散布されたセンサーには直接観察できない，あるい
散布されたセンサーには直接観察できない，あるいは観察コストの大きな位置関係がある場合，それを 10についても，それらを2 つの移動体の織り成す経路関係についても，それらを2 つの移動体の織り成すは観察コストの大きな位置関係がある場合，それを入手可能な情報から定性的空間演算法を用いて推測，とみなし，出会う，合流する，すれ違うといった解経路とみなし，出会う，合流する，すれ違うといっ入手可能な情報から定性的空間演算法を用いて推補完することができる．また，多数のエージェント

釈を与えることができる．このような移動経路表現
た解釈を与えることができる．このような移動経路

測，補完することができる．また，多数のエージェが集めた情報の統合にも定性的空間演算法は有効でと位相的空間関係との対応づけは，たとえば「公園表現と位相的空間関係との対応づけは，
たとえば「公

ントが集めた情報の統合にも定性的空間演算法は有ある．

を通り抜けるルートを検索せよ」といった上で園を通り抜けるルートを検索せよ」といったGIS
GIS
上

効である．
以上述べてきた応用は，対象を位相的空間関係に 15

条件を満たす移動経路を検索する際のクエリに応用
で条件を満たす移動経路を検索する際のクエリに応以上述べてきた応用は，対象を位相的空間関係
限ったものではない．実際には応用場面に応じて，したり，機械的に観察された事象から「地区XXの外用したり，機械的に観察された事象から「地区のに限ったものではない．実際には応用場面に応じ複数種類の空間関係を適切に組み合わせることで，外へ出て，地区YYへと侵入した個体を検出しました」
へと侵入した個体を検出しました」
へ出て，地区よりきめ細やかな空間配置情報の表現が可能になる．
て，複数種類の空間関係を適切に組み合わせることといったような言語的描写を自動生成する際に用いといったような言語的描写を自動生成する際に用いたとえば，距離関係（近い・遠いなど）は通常，オで，よりきめ細やかな空間配置情報の表現が可能にることができる（Kurata
Egenhofer,2007）．
ることができる（Kurata
andandEgenhofer,
2007）．

ブジェクト対が離れている場合にのみ有効なので， 20なる．たとえば，距離関係（近い・遠いなど）は通

なお位相的空間関係に限らず，一般に空間関係と
なお位相的空間関係に限らず，一般に空間関係と距離関係を位相的空間関係に対する補完として用い
常，オブジェクト対が離れている場合にのみ有効な言語表現とのマッピングは，様々な場面での応用が言語表現とのマッピングは，様々な場面での応用がることができる．また，相互に連関する別種の空間
ので，距離関係を位相的空間関係に対する補完とし考えられる．たとえば，道案内システムにおける経考えられる．たとえば，道案内システムにおける経al.,2005）
2005），人間のロボットに路描写（Klippel,etetal.,
路描写（Klippel,，人間のロボットに対関係を組み合わせることにより，推論の精度がよりて用いることができる．また，相互に連関する別種高まる可能性もある（Gerevini and Renz, 1998, Isli,の空間関係を組み合わせることにより，推論の精度

et al., 2008）といった場面での応用が可能（Mani,
etal., 2008）といった場面での応用が可能である．
である．

統合においては，位相的空間関係は最も基礎となる今後の研究課題のひとつである．そしてそのような空間関係としての役割を果たすことが予想される．
統合においては，位相的空間関係は最も基礎となる

対する経路指示の理解（ShiKrieg-Brückner,
する経路指示の理解（ShiandandKrieg-Brückner,
2008），2008），あるいは旅行記からの空間配置情報の抽出
あるいは旅行記からの空間配置情報の抽出（Mani,

入る

出る

通り抜ける

5

2004）．このような複数種類の空間関係の統合は，がより高まる可能性もある（Gerevini
and Renz, 1998, 25
今後の研究課題のひとつである．そしてそのような
Isli,
2004）
．このような複数種類の空間関係の統合は，以上述べてきたように，位相的空間関係にはさまざ
空間関係としての役割を果たすことが予想される．
まな応用が考えられる．そしてその多くは，地理情 30以上述べてきたように，位相的空間関係にはさま報システムを幅広い場面へ応用する際に貢献するもざまな応用が考えられる．そしてその多くは，地理のである．それゆえに，今後，位相的空間関係につ
情報システムを幅広い場面へ応用する際に貢献する
いてより一層の研究が進むことを期待したい．
ものである．それゆえに，今後，位相的空間関係に沿う

図7.
位相的有向線-面空間関係と移動経路表現の対応
図7．
位相的有向線－面空間関係と移動経路表現のついてより一層の研究が進むことを期待したい．

�����

対応
また，5 章で述べた定性的空間演算法を用いれば，

Alexandroff, P. (1961) Elementary Concepts of Topology,
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人間が条件を提示した空間配置が実現可能か否かをまた，5 章で述べた定性的空間演算法を用いれば，判断したり，実現可能であれば配置候補パターンを人間が条件を提示した空間配置が実現可能か否かを導出したりすることができる．これを応用すれば，判断したり，実現可能であれば配置候補パターンを
たとえばデザイン支援システム上で配置要件を満た導出したりすることができる．これを応用すれば，
たとえばデザイン支援システム上で配置要件を満たすデザイン案（たとえばある領域をくまなくカバー

35

9

Stewart Hornsby, K., Claramunt, C., Denis, M., Ligozat,
G. eds. COSIT '09, Lecture Notes in Computer Science,する n 台のセンサーの配置案）を作成したり（Bhatt

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