フレキシブルアームの最適サーボ制御
2010SE234 竹内秀和 2011SE016 趙洋
指導教員：陳幹はじめに

12.3

オイラー・ラグランジュの運動方程式の適応

近年, 産業用のロボットなどに用いられるアームは高速

フレキシブルアームにオイラー・ラグランジュの運動方化やエネルギー節減のためにますます軽量化されている.

程式を適応するため, 制御対象の位置エネルギー, 運動エネ

しかし, それに伴なってアームの剛性が低下し, 振動やたわ

ルギー, 損失エネルギーを求める.
みが生じ正確に位置決めや制御ができなくなってしまうこ ・ 位置エネルギーとがある. それは思わぬ事故や作業効率などの低下につな

1Kstif f α22(5)11Jeq θ̇2 + Jlink (θ̇ + α̇)222(6)U=がるため, それを抑制して, 正確に制御する必要がある. 本
研究では, 制御対象を一自由度のバネとダンパを使った単純モデル [1] に対し, サーボシステムを最適レギュレーター

・ 運動エネルギー

理論 [2] を用いた制御機を使い, 外乱を除去しながら振動T =を抑制し, 正確に目標値に収束されることを目的とする. また, 重みと過度特性の関係を評価する実験を行い, 関係を考察する.

・ 損失エネルギー

Beq はハブの粘性減衰係数,c はダンパの減衰定数である.

モデリング

22.1

D=フレキシブルアームについてアーム部分の厚みが薄い軽量化されたロボットアームの単純モデルである. そのために剛性が低くアームの振る舞

11Beq θ̇2 + cα̇222(7)ラグラジアンを取ると111Jeq θ̇2 + Jlink (θ̇ + α̇)2 − Kstif f α2 (8)222

いも振動的である. フレキシブルアームの操作量はアー

L = T −U =ムに取り付けられたモーターの電圧である. 制御するの式 (8) より θ,α を一般化座標とし, そのうち θ に直接トルはアームの先端の角度で, 検出量はアームの根元の角度とクがかかるため一般化力 τ をトルクとする.

アームのたわみ角度である.

式 (5),(6),(7) より, このモデルのオイラー・ラグランジュ

2.2の運動方程式を得た.

単純化モデルによるモデリング∂U∂Dd ( ∂T ) ∂T−=τ++dt ∂ θ̇∂θ∂θ∂ θ̇d ( ∂T ) ∂T∂U
∂D−++=0dt ∂ α̇
∂α∂α
∂ α̇

フレキシブルアームを制御するためモータとつながっている根元とアームの先端がバネとダンパーによってつながっている単純化モデルを用いる. このモデルは, トルクはモータとつながっているハブの部分のみに働き先端はバネとダンパーの力によって運動する. ハブに力を加え, ハブがθ だけ回転すると先端はそこからさらに α だけ回転する.
よって先端の絶対的な角度は θ + α となる.
ここで Jeq と Jlink はそれぞれハブとリンクのモーメン
ト, Kstif f はバネの剛性（バネ定数）である.
ニュートンの運動方程式から

Jlink α̈ = −Kstif f α(9)(10)式変形により, 式 (9),(10) は次式になる.

Jeq θ̈ + Jlink (θ̈ + α̈) + Beq θ̇ = τ(11)Jlink (θ̈ + α̈) + Kstif f α + cα̇ = 0(12)次にトルク源であるモータについて考える. モータの仕(1)様書等から, 電機子回路入力電圧を V , 電機子抵抗を Rm ,逆起電力定数を Km , ギア比を Kg , モータのトルク定数を減衰固有角周波数 ωd と α の間には式 (2)[1] の関係が成立

Kt , モータ効率を ηm , ギアボックス比を ηg とする. オーする.

ムの法則より (13) 式が求められる.

α̈ = −ωd2 α(2)式 (1), 式 (2) より, 式 (3) が得られる.

Kstif f = ωd2 Jlink

τ=(3)また一様な棒の慣性モーメントの式から, 式 (4) が得ら

式 (11),(12),(13) より,れる.

M L2Jlink =3

ηg ηm Kt Kg (V − Km Kg θ̇)Rm(4)θ̈ =ηg ηm Kt Kg2 Km + Beq Rm
Kstif fα−θ̇Jeq
Jeq Rm(13)

+c
ηg ηm Kt Kg
α̇ +VJeq
Jeq Rm

表 1 制御対象の物理パラメータ(14)

ηg ηm Kt Kg2 Km + Beq Rm
Kstif f (Jeq + Jlink )α̈ = −α+θ̇
Jeq Jlink
Jeq Rmc(Jlink + Jeq )ηg ηm Kt Kg−α̇ −VJlink JeqJeq Rm(15)ここで式の簡略化のため,θ̇ の係数を次式で置き換える.

ηg ηm Kt Kg2 Km + Beq Rm
S=Jeq Rm
[式 (14),(15) より, 状態変数を x = θ α θ̇
制御入力を u = V としたとき,
状態空間表現]Tα̇,{ẋ = Ax + Bu
y = Cx3

これは次のようになる.

  0θ̇α̇ 0 = θ̈  0α̈
000



00

内容値 [単位]

LMKtKmRm
ηgηmJeqKg
Beqωd

アーム長

0.43[m]0.065[Kg]0.00767[N m/A]
0.00767[V /(rad/s)]
2.6[Ω]
0.9
0.69
0.002[kgm2 ]700.004[N m/(rad/s)]
20.73451

アーム質量
モータトルク定数
モータ逆起電力定数
モータ電気子抵抗
ギアボックス効率
モータ効率
ハブの慣性モーメント
ギヤ比
ハブの粘性摩擦係数
減衰固有角振動数

制御系設計

S   3.1 最適サーボシステム
θ α 本論文ではサーボシステムを最適レギュレーター理論 c θ̇ [2] により設計する最適サーボシステムを考える.
Jeqc(Jlink +Jeq )α̇−
出力を目標値に定常偏差なく追従させるため前章で求め

た状態方程式の拡大系の導出を行う.

10−SKstif f
Jeq
Kstif f (Jeq +Jlink )−Jeq Jlink

記号01

Jlink Jeq

出力 y(t) と目標値 r(t) の偏差を e(t) としてηg ηm Kt Kg  V+(16)

Jeq Rmη η K Ke(t) = r(t) − y(t)m t g− gJeq
Rmy = [1 1 000A=0000
Kstif fJeq
Kstif f (Jeq +Jlink )−Jeq Jlink

また, 偏差 e(t) を [0, t] まで積分したものを ω(t) とする.

0] x
10−SS01c
Jeq

00

,
c(J+Jeq )− Jlink
link Jeq

Jeq Rmη η K K

2.40]

ω(t) =

拡大偏差系は{
˙x̃(t)= Ae x̃e (t) + Be ũ(t)e(t) = Ce x̃e (t)[][ ]A 0B
Ae =Be =−C 00(17)

仕様書等より制御対象のパラメーターはすでに判明してCe = [−Cいる.

(18)

減衰係数は cc
ζ= √2 Jlink Kstif f√
c = 2ζ Jlink Kstif f以上の数値を各式に代入して各種数値を求めた.

(22)0]となる.

また減衰率は [4] より≒ 0.1579850645(21)

拡大系の状態変数を x̃e (t) = [x(t) ω(t)]T としたときのパラメーター決定ζ = 0.951696

e(τ )dτ0x̃(t) = x(t) − x∞ , ω̃(t) = ω(t) − ω∞ ,ũ(t) = u(t) − u∞ として (x∞ ,u∞ はそれぞれ x(t),u(t) の定常値である)

m t g− gJeq
Rm0∫ tηg ηm Kt Kg B=

C = [1 1(20)T
次に重み行列 Q11 = QT
11 > 0, Q22 = Q22 > 0, Re =ReT > 0 に対して定義される評価関数∫ ∞J=(x̃e (t)T Qe x̃e (t) + ũ(t)T Re ũ(t))dt0[C T Q11 C
Qe =O(19)OQ22(23)]を最小化するコントローラũ(t) = Ke x̃e (t),Ke [KG](24)を求める. これは最適レギュレータ理論からリカッチ方程式

Pe Ae + ATe Pe − Pe Be Re−1 Be−1 BeT Pe + Qe = O(25)の正定対称解

Pe = PeT =[P11TP12]
P12>0P22(26)を用いて解くことが出来る.

Ke = [KG] = −Re−1 BeT[= −Re−1 B T P11[P11TP12P12P22]]−Re−1 B T P12(27)

この時, 評価関数 (23) の最小値 Jmin は, 次式を計算する

図 1 実験とシミュレーション結果の比較ことによって求められる.

Jmin = x̃e (0)T Pe x̃e (0)(28)

また, 最適サーボシステムを構成する積分型コントロー
ラは [2] より∫ tu(t) = Kx(t) + Ge(t)dt + Fa r(t) + Fb x0(29)0−1 T
Fa = [−K + 2GP22P12 I][ACB0]−1 [ ]0I−1 T
Fb = −2GP22P12(30)(31)[1] 重み Q11 との関係となっている.

[2] 重み Q22 との関係

図 2 重みとオーバーシュート量との関係

シミュレーション4

求めたフィードバックゲインをもとシミュレーションを行う [K = −8.9771
G = [16.3299]

15.2797−0.8788 0.8793]

アームは開始位置から 45 度 (π/4) の場所で制止するように設定した.

5

実験と検証

5.1

実験

シミュレーションと同様の条件にて実験を行った。図 1
はシミュレーションと実験の結果を比較したグラフである. 実験ではシミュレーションほど速くは収束しなかった[1] 重み Q11 との関係

[2] 重み Q22 との関係

図 3 重みと整定時間との関係がほぼ定常偏差なく収束していることがわかる.

5.2

検証

検証した.R を 1 に固定し重み Q11 と Q22 をそれぞれ増加

Q11 は θ 及び α にかかる重みである. 最初増加するとの量を減少させるが, 今回は 50 あたりから振動をひどく増加させる結果となったために図は 50 までの結果となる. これさせた場合どのような結果になるか実験し比較した.

は抑制をする力が大きすぎたために逆に振動を起こしてしまた、今回の研究では重みと過度特性の関係を実験にて

図 2 は Q11 または Q22 とオーバーシュート量の, 図 3 はQ11 または Q22 と整定時間との関係を表した図である.
各図から,Q11 はオーバーシュート量,Q22 は整定時間と関係性が高いことがわかる.

まったものではないかと思われる.

Q22 は積分ゲインにかかる重みである. 増加するにつれて応答速度を速める傾向となった.200 以降はそれほどはっきりした差は出ていない.

5.3

パレート最適解

図 6 は Q11 を 1 から 50,Q22 を 1 から 1000 へ増加させた際の各パターンのシステムの極をまとめたグラフであ本研究ではオーバーシュート量と整定時間を最小化するる. どの極においても常に実部の絶対値が虚部のものよりため, 多目的最適解問題としてパレート最適解の概念に基大きい. そのため極は比較的安定であり, 極が振動の原因でづいて重みを選定する. 図 4 は実験にて得られたオーバーはないことが分かった.

シュート量と整定時間の散布図となる.

今回の振動はモデルの高次的な部分に原因がある可能性が考えられる。

[1] 全体

図 4 パレート[2] 拡大図 6 極値

6

おわりに
本研究では

・ アームの振動を考えたバネとダンパの減衰を考慮したモデルを用いて制御を行った.
・ 最適サーボシステムを用いり、目標値まで外乱を抑制しながら追従させた.
・ オーバーシュートと整定時間についてパレート最適の概念に基づいて重みの選定を行った.
図 5 実験結果
整定時間, オーバーシュートを最小化するパレート解である A の点と, そうでない劣解の B の点を比較する.
図 5 はそのときの実験結果である. A はパレート解であるため B と比べオーバーシュート量, 整定時間共に小さいことがわかる. しかしながら制御の途中でアームの振動が起きてしまっている.B にはそのようなことは見受けられなかった.
今回はオーバーシュート量と整定時間についての検証を行ったが, 途中で発生する振動がする事態が起こってしまった. そこで振動の原因について, システムの極について調査した．

参考文献[1] 鈴木宏和:『非線形ＰＩＤ制御によるフレキシブルアームの制振制御』, 南山大学数理情報学部 2005 年度修士論文.
[2] 川田昌克『: MATLAB/Simulink による現代制御入門』.
森北出版,2011.
[3] 川田昌克, 西岡勝博, 井上和夫:『MATLAB/Simulinkによるわかりやすい制御工学』. 森北出版,2001.
[4] 小島涼平:『フレキシブルアームの制御』, 南山大学情報理工学部 2014 年度卒業論文.