信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

リング構造を含んだラダー結合系でみられるカオス回路の同期現象
半井勝也†

中島克己†

上手 洋子†

西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{nakabai,nakashima,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、リング構造を含んだラダー結合系でみられるカオス回路の同期現象の調査を行う。提案モデルでは、全てのカオス回路は抵抗で結合されており、それぞれのカオス回路において、周期解あるいはカオス解が発生するようにパラメータを規則的に設定する。さらに、ネットワーク構造に変化を加えることによる同期現象への影
響を調査する。
キーワード

カオス回路、ネットワークトポロジー、同期現象

Synchronization Phenomena in Ladder-Coupled Chaotic CircuitsIncluding Ring Structure
Katsuya NAKABAI† , Katsuki NAKASHIMA† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{nakabai,nakashima,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract
In this study, we investigate synchronization phenomena in ladder-coupled chaotic circuits including ring structure.
In the proposed model, we couple all chaotic circuits by resistors. We set the parameters that generate periodic
solutions or chaotic solutions at these chaotic circuits. Moreover, we change the network structure, and we research
the influence of synchronization phenomena.
Key words Chaotic Circuit, Network Topology, Synchronization.

1. ま え が き

2. 回路モデル

同期現象は、自然界において数多く存在している非線形現象

本研究で使用する回路モデルを図 1 に示す。この回路は西のうちの一つである。例えば、ホタルの発光や鳥やカエルの合尾・稲葉回路と呼ばれるカオス回路であり、負性抵抗、2 つの唱、また人の神経細胞の動きなどが確認されている。近年、こインダクタ、キャパシタ、ダイオードにより構成されている。の同期現象等の非線形現象の解析として、結合カオス回路を用

この回路方程式を式 (1) に示す。

いた調査が盛んに行われている。また、結合カオス回路において、ネットワークトポロジーの違いによる非線形現象が確認されている [1]〜[5]。
本研究では、カオス回路で結合されたリング構造を含んだラダー結合系でみられる同期現象の調査を行う。それぞれの結合
カオス回路はカオス解、あるいは周期解が発生するパラメータを設定する。リング結合の箇所を 5 パターンの場合に分けて、同期現象の調査を行う。また、カオス解の発生する回路を変更

図1回路モデル.

することによって同期現象を観測する。

—1—di1
= v + ri1L1
dt

di2= v − vdL2(1)dtdv
C= −i1 − i2 .
 dt
非線形抵抗の I − V 特性を式 (2) に示す。

vd =rd2(i2 +VV− i2 −rdrd).

(c) CC3 リング結合(2)また、式 (1) 中の各変数を以下のように置き換えると、√√C
L1 C
Vx,i=V yn , v = V z ni=n21LL12√√LCL C

11, β=, δ = rd,α=r
L1L2L2 γ = 1 , t = √L C τ.
1R(3)

2

この回路の正規化された式 (4) が得られる。

dxi

= αx + zdτ dy(d) CC4 リング結合

i= z − f (y)dτ dzi = −x − βy.
dτ(4)

また、 f (yn ) を以下に示す。

f (yn ) =12(yn +1
1− yn −δδ).

(5)

3. システムモデル(e) CC5 リング結合

本研究では、ラダー結合されたカオス回路とリング結合され
図 2 リング箇所を変更したネットワークモデル.

たカオス回路を組み合わせたネットワークモデルを 5 種類提案する。それぞれのカオス回路は抵抗で結合する。図 2 に提案するネットワークモデルを示す。

次に、リング結合の箇所を CC1 に固定し、ラダー結合されているカオス回路のうち１個をカオス解が発生するネットワー
クモデルを 5 種類提案する。図 3 にそのネットワークモデルを示す。

(a) CC1 リング結合(a) CC1 にカオス解(b) CC2 リング結合—2—


dxi

= αxi + zi
dτ


 dyi


= zi − f (y)dτ

N
∑
dzi


=−x−
βy−
γij (zi − zj )
ii
dτ

i,j=1
(6)(i, j = 1, 2, · · ·, N ).

式 (6) において、N は結合回路数を表し、γ は回路間の結合強度、α はカオス度を示すパラメータとする。本研究ではパラ(b) CC2 にカオス解

メータ β = 3.0、 δ = 470.0、結合強度 γ = 0.008 として設定する。パラメータ α はそれぞれ周期解が発生するように 0.409から 0.415 までの範囲で、0.001 刻みの幅で設定する。
周期解とカオス解の判定はアトラクタによって行う。今回は三周期解とカオス解が発生するようにパラメータを設定し、それぞれのアトラクタを図 4 に示す。

(c) CC3 にカオス解(a) 3 周期アトラクタ.

(b) カオスアトラクタ.

図 4 回路モデルにおけるアトラクタ

4. シミュレーション結果
私達はコンピュータシミュレーションにより、各回路のアトラクタ、回路間のリサジュー図から同期現象の調査を行う。

4. 1 リング箇所を変更したネットワークの同期現象
図 5、6 に、CC1 にリング箇所を設けた場合のシミュレーショ(d) CC4 にカオス解ン結果を示す。
この場合それぞれの回路のアトラクタを確認するとラダー結合されているカオス回路にカオス解が発生していることが分かる。またリサジュー図を確認すると CC1 − CC2 、CC2 − CC3 、CC3 − CC4 、CC4 − CC5 、CC1 − CC6 、CC1 − CC7 間でカオス同期が起きていることを確認した。またリング結合部のCC6 − CC7 間では完全同期を確認した。

CC1CC2CC3CC4CC5CC6CC7

図 5 アトラクタ (CC1 にリング箇所).

(e) CC5 にカオス解
図 3 カオス解の発生する回路を変更したネットワークモデル.
これらのネットワークモデルの正規化方程式は式 (6) のように表すことができる。

1−22−33−44−51−61−76−7

図 6 リサジュー図 (CC1 にリング箇所).
続いて、CC2 にリング箇所を設けた場合の結果を図 7、8 に示す。この回路のアトラクタを確認すると、全ての回路で三周期解が発生することを確認した。また、リサジュー図より全回路間において完全同期を示している結果を得た。

—3—さらに、CC3 にカオス解が発生するように設定した場合の結果を図 13、14 に示す。この場合は CC1 に カオス解を設定しCC1CC2CC3CC4CC5CC6CC7た場合と同様に全ての回路でカオス解が発生することを確認した。また、リサジュー図より、各回路間でカオス同期すること

図 7 アトラクタ (CC2 にリング箇所).

も確認した。

1−22−33−44−52−62−76−7

図 8 リサジュー図 (CC2 にリング箇所).

CC1CC2CC3CC4CC5CC6CC7図13 アトラクタ (CC3 がカオス解発生).

また、CC3 、CC4 、CC5 にリング箇所を設けた場合は CC2にリング箇所を設けた場合と同様の結果を確認した。
よって、CC1 にリング箇所を設けた場合が最もネットワークに影響が大きいことが分かる。これは、CC1 がラダー結合部の1−22−33−44−51−61−76−7回路で最もカオス度が弱く、周りの影響を受けやすいのでカオ

図 14 リサジュー図 (CC3 がカオス解発生).

ス解を発生し、それがラダー結合部で広がったことに原因があ

次に、CC4 、CC5 にそれぞれカオス解が発生するように設定ると考える。CC6 、CC7 に関しては、リング結合の繋がりを受した場合は CC3 にカオス解が発生するように設定した場合とけて、他の回路からの影響を受けにくかったと考える。

同様の結果が得られた。

4. 2 カオス解の発生する回路を変更したネットワークの同期現象
図 9、10 に、CC1 にカオス解が発生するよう設定した場合のCC1CC2CC3CC4CC5CC6CC7

図 15 アトラクタ (CC4 がカオス解発生).

結果を示す。この場合、それぞれ回路のアトラクタより、全ての回路でカオス解が発生していることを確認した。また、同時に各回路間においてカオス同期が起きていることが分かった。

1−22−33−44−51−61−76−7図 16 リサジュー図 (CC4 がカオス解発生).

CC1CC2CC3CC4CC5CC6CC7

図 9 アトラクタ (CC1 がカオス解発生).

CC11−22−33−44−51−61−7CC2CC3CC4CC5CC6CC7

図 17 アトラクタ (CC5 がカオス解発生).

6−7

図 10 リサジュー図 (CC1 がカオス解発生).
続いて、CC2 にカオス解が発生するよう設定した場合の結果を図 11、12 に示す。この場合それぞれの回路のアトラクタより、全て三周期解が発生していることを確認した。また、リサジュー
図を確認すると各回路間が同期しており、特に CC3 − CC4 、

CC6 − CC7 間では完全同期を示していることが分かった。

1−22−33−44−51−61−76−7

図 18 リサジュー図 (CC5 がカオス解発生).
よってカオス解が発生する回路の位置を変化することにより、ネットワークに影響を与えることが分かった。また、図 7、8 の場合と図 11、12 の場合のように、回路が発生する解の種類が同様でも異なった同期が起きていることも確認した。

CC1CC2CC3CC4CC5CC6CC7図 11 アトラクタ (CC2 がカオス解発生).

1−22−33−44−51−61−76−7

図 12 リサジュー図 (CC2 がカオス解発生).

—4—5. ま と め
本研究では、リング構造を含んだラダー結合系でみられるカオス回路の同期現象の調査を行った。コンピュータシミュレー
ションの結果より、ラダー結合におけるリング箇所を変更することにより、カオス同期や完全同期といった同期現象が起きることを確認した。また、提案したネットワークモデルにおいて、カオス解が発生する回路を変更することによっても完全同期、あるいはリング結合部においてカオス同期が起きることを確認した。
今後の課題として、アトラクタの変化や同期現象の変化を理論的に明確化すること、またネットワークを大規模化した場合の同期現象の挙動を調査することが挙げられる。
文

献[1] R. L. V. Taylor,“Attractors: Nonstrange to Chaotic“ Society for Industrial and Applied Mathematics, Undergraduate
Research Online, pp. 72-80, 21 6 2011.
[2] Y. Uwate and Y. Nishio,“Chaos Propagation in a Ring ofCoupled Circuits Generating Chaotic and Three-Periodic
Attractor“ Proceedings of IEEE Asia Pacific Conferenceon Circuits and Systems (APCCAS’12), pp. 643-646, Dec.
2012.
[3] T.Nishiumi, Y.Uwate, Y.Nishio, “Synchronization Phenomena of Chaotic Circuits with Stochastically-Changed Network Topology”, Proceedings of International Symposiumon Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA’14), pp.
811-814, Sep. 2014.
[4] K. Ago, Y. Uwate and Y. Nishio,“Influence of Local Bridge
on a Complex Network of Coupled Chaotic Circuit“ Proceedings of International Symposium on Nonlinear Theory
and its Applications (NOLTA’14), pp. 731-734, Sep. 2014.
[5] T. Chakazawa, Y. Uwate and Y. Nishio,“Investigation ofSpreading Chaotic Behavior in Coupled Chaotic Circuit
Networks with Various Feature“ Proceedings of RISP International Workshop on Nonlinear Circuits, Communicationsand Signal Processing (NCSP’17), pp. 337-340, Feb. 2017.
[6] H. Sekiya, S. Moro, S. Mori, and I. Sasase, “Synchronization Phenomena on Four Simple Chaotic Oscillators FullCoupled by Capacitors,“IEICE Trans. Fundamentals, vol.
J82-A, No. 3, pp.375âĂŞ385, 1999.

—5—