第３学年
２式の計算

因数分解

１Q

１章

素因数分解

教科書p.25～26

1辺が1cmの正方形の紙を30枚並べて，長方形をつくります。
縦と横の長さが何cmになるかをいろいろ書きましょう

問１

縦1cm，横30cm

縦2cm，横15cm

縦3cm，横10cm

縦5cm，横6cm

縦6cm，横5cm

縦10cm，横3cm

縦15cm，横2cm

縦30cm，横1cm

次のにあてはまることばを書き入れましょう。
自然数がいくつかの自然数の積の形で表されるとき，その一つひとつの自然数を，もとの自然数の 因数 という。
たとえば，30=3*10と表すことができるから，3と10はそれぞれ30の 因数 である。
また，1と素数を除く自然数は，30=2*3*5のように， 素数 の積で表すことができる。
30の因数2，3 ，5のように，素数である因数を，もとの自然数の 素因数 といい，自然数を 素因数 だけの積で表すことを，その数を 素因数分解 するという。

問２150を素因数分解しましょう。
150=2* 3 * 5 * 5=2* 3 * 5 2

問３次の数を素因数分解しましょう。
(1) 24(2) 32=23*3(3) 75(4) 132=3*52

問４=25=22*3*11ある自然数を2乗すると，1764になります。素因数分解を利用して，この自然数を求めなさい。
1764を素因数分解する。

1764=22*32*72=(2*3*7)2=422- 1 -答42

第３学年
２式の計算

因数分解２Q

１章

因数分解(1)

教科書p.27～28

正方形や長方形の紙を並べかえて，1つの長方形をつくります。
(1) 次の正方形や長方形の紙を並べかえて，1つの長方形をかきましょう。

(2) 次の正方形や長方形の紙を並べかえて，1つの長方形をかきましょう。

問１

上の(1)，(2)のそれぞれについて，次の１，２を式で表しましょう。このことから，わかることを書きましょう。
１

並ベかえる前の正方形や長方形の面積の和(1)２x2+3x(2)x2+3x+2(2)(x+1)(x+2)

並ベかえてできた長方形の面積(1)x(x+3)

１と２は，並べかえただけなので，式が表しているものは同じ。
x2+3x=x(x+3)
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
問２

次のにあてはまることばを書き入れましょう。

多項式をいくつかの 単項式 や 多項式 の積の形で表すとき，一つひとつの式をもとの単項式の 因数 という。
多項式をいくつかの 因数 の積の形で表すことを，その多項式を 因数分解 するという。

問３

次の㋐～㋓の式のうち，因数分解をしているものはどれでしょうか。
㋐x2-5x=x(x-5)

㋑x2+7x+12=x(x+7)+12㋒

x2+6x+8=(x+3)2-1㋓x2-9=(x+3)(x-3)(- 2 -㋐，㋓)

第３学年
２

１章

式の計算

因数分解

２

因数分解(2)

教科書p.29共通な因数
多項式の各項に共通な因数があるときは，分配法則を使って共通な因数をかっこの外にくくり出し，その多項式を因数分解することができる。

問１

次の式を因数分解しましょう。
(1) ax+bx

問２(2) ax-a=x(a+b)=a(x-1)(3) px2-5px+3p(4) ax2+2ax+7a=p(x2-5x+3)=a(x2+2x+7)

次の式を因数分解しましょう。
(1) 4ax+8ay=4a(x+2y)(3) x2-x(2) 3x2+7x=x(3x+7)(4) x2y+xy2=x(x-1)=xy(x+y)(5) a2+6ab-8a(6) 9x2-3xy+6x=a(a+6b-8)=3x(3x-y+2)(7) 5ax-8ay+2a(8) 2x2y-3xy2=a(5x-8y+2)=xy(2x-3y)(9) 6a2+9ab=3a(2a+3b)(10) 10x2-25xy+5x=5x(2x-5y+1)

- 3 -

第３学年
２１章

式の計算

因数分解

３

公式による因数分解(1)教科書p.30x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)の公式
問１

x2+6x+8を因数分解するとき，次のにあてはまることばや数を書き入れましょう。

x2+6x+8を因数分解するとき， 積 が8で 和 が6になる数を見つける。
積 が8で 和 が6になる整数の組は， 2 と 4 である。
x2+6x+8=x2+( 2 + 4 )x+ 2 * 4=(x+ 2 )(x+ 4 )問２

次の式を因数分解しましょう。
(1) x2+5x+6(2) x2+9x+8=(x+2)(x+3)=(x+1)(x+8)(3) x2-7x+10(4) x2-5x+4=(x-2)(x-5)

問３=(x-1)(x-4)

x2+3x-4を因数分解するとき，次のにあてはまることばや数を書き入れましょう。

x2+3x-4を因数分解するとき，積が-4 で和が 3 になる数を見つける。
積が -4 で和が 3 になる整数の組は， -1と 4 である。
x2+3x-4=x2+(-1+ 4 )x+(-1)* 4=(x-1)(x+ 4 )問４

次の式を因数分解しましょう。
(1) x2+x-12=(x+4)(x-3)(3) x2-2x-15=(x+3)(x-5)(2) x2+2x-3=(x+3)(x-1)(4) x2-4x-5=(x+1)(x-5)- 4 -第３学年
２

１章

式の計算

因数分解

３

公式による因数分解(2)教科書p.31x2+2ax+a2=(x+a)2，x2-2ax+a2=(x-a)2の公式
問１

次のにあてはまる数を書き入れましょう。
x2+6x+9=x2+2* 3 *x+ 3 2=(x+ 3 )2

問２

次の式を因数分解しましょう。
(1) x2+2x+1(2) x2-2x+1=(x+1)2=(x-1)2(3) x2+4x+4(4) x2-8x+16=(x+2)2=(x-4)2(5) a2+12a+36(6) y2-14y+49=(a+6)2=(y-7)2x2-a2=(x+a)(x-a)の公式
問３

次のにあてはまる数を書き入れましょう。
x2-16=x2- 42=(x+ 4 )(x- 4 )問４次の式を因数分解しましょう。
(1) x2-9=(x+3)(x-3)(3) 1-x2=(1+x)(1-x)

問５(2) x2-36=(x+6)(x-6)(4) a2-b2=(a+b)(a-b)

次の式を因数分解しましょう。
(1) x2+8x+12=(x+2)(x+6)(3) x2-x-20=(x+4)(x-5)(5) x +18x+812=(x+9)2(2) x2-4x+4=(x-2)2(4) x2-100=(x+10)(x-10)(6) x2+3x-28=(x+7)(x-4)

- 5 -

第３学年
２

１章

式の計算因数分解３公式による因数分解(3)教科書p.32

いろいろな因数分解
問１

次のにあてはまる数や文字を書き入れましょう。

(1) 4x2-12x+9

問２(2) 9x2-4y2=( 2x )2-2* 2x *3+32=( 3x )2-( 2y )2=( 2x -3)2=( 3x + 2y )( 3x - 2y )次の式を因数分解しましょう。
(1) 4x2+4x+1(2) 9x2-12x+4=(2x+1)2=(3x-2)2(3) x2+2xy+y2(4) x2-6xy+9y2=(x+y)2=(x-3y)2y2(6) x2-4(5) 25b2-9a2=(5b+3a)(5b-3a)問３

次のyy=(x+-)(x--)
22にあてはまる数や文字を書き入れましょう。
ax2-2ax-8a= a (x2-2x-8)= a (x+ 2 )(x- 4 )問４次の式を因数分解しましょう。
(1) ax2-ax-2a(2) xy2-x=a(x2-x-2)=x(y2-1)=a(x+1)(x-2)=x(y+1)(y-1)(3) 2x2+16x+32(4) -3x2+12xy-12y2=2(x2+8x+16)=-3(x2-4xy+4y2)=2(x+4)2=-3(x-2y)2- 6 -第３学年
２

式の計算

因数分解

３
問１

１章

公式による因数分解(4)

次の教科書p.33にあてはまる数を書き入れましょう。
(x+5)2-(x+5)=(x+5)(x+ 5 - 1 )=(x+ 5 )(x+ 4 )問２

次の式を因数分解しましょう。
(1) (x-1)2-(x-1)(2) (a+b)x+(a+b)y=(x-1)(x-1-1)=(a+b)(x+y)=(x-1)(x-2)(3) (x+7)2+6(x+7)-16(4) (x+y)2-81=(x+7+8)(x+7-2)=(x+y+9)(x+y-9)=(x+15)(x+5)

問３

次のにあてはまる数や文字を書き入れましょう。
xy+x+y+1=(xy+x)+( y + 1 )=x( y + 1 )+( y + 1 )=( y + 1 )(x+1)

問２

次の式を因数分解しましょう。
(1) xy-x+y-1(2) ax+3x-a-3=(xy-x)+(y-1)=(ax+3x)-(a+3)=x(y-1)+(y-1)=x(a+3)-(a+3)=(y-1)(x+1)=(a+3)(x-1)

「因数分解」について，まとめましょう。
(例)どんな自然数も，素数の積の形で表すことができる。
共通な因数があるときは，その因数をくくり出してから因数分解をする。
公式を利用すると，簡単に因数分解できるものがある。

- 7 -第３学年
２１章

式の計算

因数分解

確かめよう
90を素因数分解しましょう。

１

問２=a(7x+2y-9)(2) 12x2-8xy=4x(3x-2y)

次の式を因数分解しましょう。
(1) x2+7x+6=(x+1)(x+6)(2) x2-x-12=(x+3)(x-4)(3) x2+10x+25(4) x2-16x+64=(x+5)2=(x-8)2(5) x2-81=(x+9)(x-9)

問４

90=2*32*5

次の式を因数分解しましょう。
(1) 7ax+2ay-9a

問３教科書p.34(6) 9-a2=(3+a)(3-a)

次の式を因数分解しましょう。
(1) x2-4xy+4y2=(x-2y)2(2) 36-9a2=9(4-a2)=9(2+a)(2-a)(3) ax2+4ax-12a=a(x +4x-12)2(4) (a+b)x-(a+b)y=(a+b)(x-y)=a(x+6)(x-2)- 8 -