日本神経回路学会 2005 年 9 月

スパイク時系列のヒストグラム作成における最適区間幅決定のレシピ

A Recipe for Making a Time Histogram with an Optimal Bin
Width from Spike Sequences
島崎秀昭 (PY), 篠本滋

Hideaki Shimazaki(PY) and Shigeru Shinomoto
京都大学理学研究科 物理学・宇宙物理学専攻
hideaki@ton.scphys.kyoto-u.ac.jp
Abstract— Time histograms are widely used toquantify the rate of discharges of neuronal spike trains.
Nevertheless ad hoc bin width of the histogram is often used in literatures. We give a recipe to determine
an optimal bin width of a time histogram of spike sequences. The optimal bin width diverges for a small
number of trials, and scales differently for a large number of trials, depending on the smoothness of the underlying rate. We thus provide the method to estimate
the minimum number of spike sequences to construct
a meaningful time histogram as well as the exponentof the scaling relation.

な最小試行数を求める手法, および背後のレート過程がなめらかな過程か否かを推定する手法を提案する.

2

方法

2.1

スパイク時系列からのヒストグラムの作成

長さ T の時間依存 Poisson 過程のレート（強度過程）をλt (t ∈ [0, T ]) とする. 区間 [0, ∆] の棒ヒストグラムの真の高さはZ1 ∆λt dt.
(1)
Λ=
∆ 0で与えられる. この区間内の n 回の試行数の総スパイ
ク数 k は次の Poisson 分布で与えられる.
kp(k|nΛ∆) =Keywords— Peristimulus Time Histogram, Poisson Process, Mean Integrated Squared Error(nΛ∆) −nΛ∆ek!

(2)

従って Λ の不偏推定量である Λ̂ = k/(n∆) がデータか1

序論
電気神経生理学の動物実験では感覚刺激・行動・注意ら求められるヒストグラムの高さである.

2.2

平均積分二乗誤差及びコスト関数の導入等と神経細胞の発火頻度（レート）の相関関係がよく調

スパイク時系列のレート λt とヒストグラムの当てはまりべられる. 広く使われているレート推定の手法に, 同一の良さは平均積分二乗誤差 (Mean Integrated Squared

刺激下で行われた複数回の試行のスパイク時系列を適当Error, MISE) で評価する. 十分長い定常なスパイク時な時間幅をもつ区間に分割し, その中でのイベント生成系列が与えられた場合 MISE は次式で与えられる.
*" Z
#+1 ∆
2
E = EΛ
( λt − Λ̂ ) dt(3)∆ 0率（発火率）を棒グラフとして表す Peristimulus TimeHistogram (PSTH) がある. PSTH の形状は分割する区間の時間幅に依存するにもかかわらず, 区間幅は多くの場合研究者により恣意的に与えられている. 小山・篠本

ここで h · i はレート過程 λt の経路によるアンサンブルはヒストグラムによる時間依存 Poisson 過程のレート平均を意味し, EΛ [ · ] はレート λt の区間幅 ∆ 内での時推定において最適な区間幅の理論値を導出し, 最適区間間平均が Λ である場合のスパイク数の条件付き確率分幅が発散する場合があることを示した [2]. 従って実験

布 (式 2) による平均操作を表す.

データから最適区間幅を導出する手順や有限区間幅を得るのに必要な最小試行数の推定方法などが求められる.

MISE を区間幅 ∆ 内でのレートのゆらぎとスパイク生成のゆらぎに分割し, さらに区間幅 ∆ の選択に依らイク統計から最適区間幅を決定する簡便な公式を導出ない項を除いたコスト関数を導入することができる.
DE2C(∆) ≡ E − (λt − hΛi)iE DEDh2(4)=EΛ (Λ̂ − Λ)2 − (Λ − hΛi)する. またレートが一般の定常確率過程の場合の最適区

式 4 は Λ の分散を第２項に含んでいるので, 観測量のみ間幅の理論値のスケーリング則を導出し, 転移点近傍でからなる式に書き直し次式を得る.
iEiE DhDh(5)C (∆) = 2 EΛ (Λ̂ − Λ)2 − EΛ (Λ̂ − hΛi)2あまり知られていないが Rudemo は確率分布推定の枠組みで最適な区間幅を求める式を示している [1]. こ
こではこの先行研究と異なるコスト関数を導入し, スパの振る舞いを調べた. この理論の応用としてコスト関数を外挿することで, データからヒストグラム作成に必要300(b)250

200

Cost Function Estimated from Event Sequences(c)1005006040200

Event Sequences

1510(d)-100-150

00.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Rate of Discharge [Hz]-50-200

Intensity Process λt

80

Cost Function Computed from an Intesity Process
Trial Number, n

Cost Function C(∆)

150

Rate of Discharge [Hz]

(a)

80

Time Histogram

604020000.05

Bin Width ∆ [s]0.10.15

0.20.250.30.350.4

Time [s]図 1: スパイク時系列からの最適ヒストグラムの作成. (a) 黒丸: 式 6 を用いてスパイク時系列から推定したコスト関数 (各時間幅 ∆ 内での移動平均をとった). 実線: 背後のレートを用いて式 7 の右辺 から計算したコスト関数. (b) 時間依存 Poisson 過程に使用したレート (強度過程). (c) スパイク時系列 (時間依存 Poisson 過程, 試行数

n = 10, 総スパイク数 51 個). (d) スパイク時系列から推定された最適幅からなる時間ヒストグラム.

n が 小 さ い 転 移 点 付 近 で は h(Λ − hΛi)2 i '¡¢図 1-a に (i)-(iv) の手順から得られたコスト関数を示す. µ/nc (1/∆) − u(1/∆)2 + O (1/∆)3 と展開する (nc ,¶³u は定数). このとき臨界点は nc でありランダウの２次最適区間幅決定のレシピ
相転移の理論が適用できる. n > nc では最適幅の振る(i) 観測時間 T , 試行回数 n のスパイク時系列を区
舞いは ∆∗ ∼ nnc /(n − nc ) で表される.
間幅 ∆ で N = bT /∆c 個に分割する. i 番目の区間に入るスパイクの数を数え ki とする.
3.2 データからのスケーリング指数の同定とヒストグ
PN
1(ii) スパイク数の標本平均 k̄ = N i=1 ki , 及び不ラム作成に必要な最小試行回数の推定¢2PN ¡
偏分散 s2 = N 1−1 i=1 ki − k̄ を計算する.
n 回の試行数のスパイク統計 k̄, s2 を用いて, 試行数が2(iii) スパイク統計量 k̄, s からコスト関数 (式 5),m 回の場合の最適幅を, 外挿したコスト関数¶µ1k̄s212k̄ − s2+−(8)Cm (∆) =C (∆) =(6)m n n∆2(n∆)2(n∆)2ヒストグラムの最適区間幅決定の手順を以下にまとめ,から推定することができる. これによりデータから次のを計算する.

２つの数値を推定できる. (i) スケーリング指数: 最適(iv) 異なる ∆ に対して (i) から (iii) を繰り返しコ幅の試行数に関するスケーリング指数を調べることがスト関数の最小値を与える ∆ を探す.
できる. 指数が −1/2 のときは背後のレートは微分不可µ´能であり, −1/3 のときには微分の存在するなめらかな3 議論と発展確率過程であると推定される. (ii) ヒストグラム作成に
3.1 最適区間幅の理論値のスケーリング則と発散
必要な最小試行回数: 転移点で発散やとびを示す指標を
式 4 の第一項に Cramér-Rao の不等式を適用すること 用いることで, 転移点を与える n を推定することがで
cで, コスト関数の下限が Λ の統計量で与えられる.

C (∆) ≥EhΛi D
2− (Λ − hΛi)n∆

きる. これにより実験者は少ない試行数からヒストグラ(7)右辺の極値を考えることで, レートが平均 µ, 相関関数φ(t) なる定常確率過程について最適幅の解析解が求まる.
n が十分大きい場合, φ(t) の原点付近での展開式を用いて式 7 右辺の極値を与える ∆ を求める. φ(t) が原点で Cusp 型となるときは漸近値 φ0 (0+) を用いて最適幅pは ∆∗ ∼ −3µ/φ0 (0+) n で与えられる. φ(t) が原点で0なめらかなときは対称性から φ (0) = 0 であり, 最適幅は ∆∗ ∼ (−6µ/φ00 (0+) n)1/3となる.

ム作成に最低限必要な試行数を予測することができる.
参考文献[1] Rudemo, M. (1982) “Empirical Choice of Histograms and Kernel Density Estimators” Scandinavian Journal of Statistics, 9: 65-78[2] Koyama, S. and Shinomoto, S. (2004) “Histogrambin width selection for time-dependent Poissonprocesses.” Journal of Physics A-Mathematicaland General, 37: 7255-7265.