圏論による三世界論のミニマムモデル
大０

山智徳序

本稿の目的は社会学を脱構築中のポパー＝犬飼予想のミニマムな圏論モデルを構築することにある。ポパー＝犬飼予想とは犬飼裕一（2019）がK・R・ポパーの三世界論（1972）に社会理論への翻訳可能性のあることを発見したことに由来する。現在、社会学理論として犬飼によって翻訳されつつある三世界論を本稿では、ポパー＝犬飼予想と名付ける。
方法は現代数学である圏論（Category） によってポパー＝犬飼モデルを随伴に翻訳＝ mapping し、社会学にとってより有効で、ミニマムな三世界論モデルを提示することにある。なお、三世界論には世界 1（自然）、世界2（主観）、世界 3（人間の作り出したもの）があるとされているため、三つの世界を含みこんだモデルを構築する。その際、圏論的対象としての身体をモデルに組み込む。
その結果、圏論の随伴により、ミニマムな三世界論モデルとして、世界2 と世界 3 は世界 1 に属する自然と身体が随伴の時に生み出される二つの恒等射であり、それが双対な意味−小文字の意味（世界 2 ）と大文字の意味（世界 3 ）−であることを示す。そして、このモデルはポパー＝犬飼予想が肯定的に解決されることを示している。
なお、このモデルの有効性を例証するため、抽象的なモデルを具象化して、自然科学モデル、意味学派の社会モデル、盛山和夫（2011）によって言及された T. パーソンズの「事実的秩序と規範的秩序」モデルの 4 つを構築し、それぞれ考察する。
その結果、自然科学は自然法則と科学的精神が双対に現れ、意味学派が成立するならば、同時に性質が反対で、なおかつ双対に社会規範理論とでも呼ぶべき理論が成立し、「事実的秩序と規範的秩序」は規範的社会と事実的社会を創出すること等がわかった。
これを再び、三世界論に差し戻せば、自然法則、意味学派の社会規範、21盛山和夫の言及したパーソンズの規範的社会等が世界 3 に属すると言える。
ところで、本稿は多くの社会学者にとってなじみのない圏論という数学を用いるため、本論に入る前に社会学における数学的アプローチ、圏論による論及がもたらす意義について簡略に述べておこう。
まず、社会学における数学的アプローチの意義から。社会学における数学的アプローチの意義とは抽象性、一般性、厳密性に加え、演繹機能を備えた数学という言語による理論社会学の構築を可能にする点にある。ここ
で、社会学における数学的アプローチを原理としている数理社会学における定義と方法からみておこう。1973 年に東京大学出版会から刊行された安田三郎編『社会学講座

17

数理社会学』の「序論」において安田は、「数理社会学とは、“ 数学的モデルを設定することによって社会学的諸現象を説明しようとする研究 ” をいう．一言にしていえば、それは＜数学的理論社会学＞である．
」（4）と述べている。さらに、1986 年に創刊号が刊行された数理社会学会の機関誌『理論と方法』の「創刊の辞」では「数理社
会学は数学という普遍的で論理的な表現手段を用いて、従来の通常言語で表現されてきた社会学理論の継承と発展および革新をめざしている。
」とある。また、同誌において、高坂健次は「数理社会学とはフォーマライゼーションの営みを受けもつ社会学の一分野だと定義 」（1986：1）し、数理社会学の必要性を「数理に頼らなければ絶対にできないことが社会学のなかにあるから」であり、「数理的アプローチが非数理的アプローチに比べて適している科学的営みがあるからである。
」（同）と数学への厚い信頼に基づいた社会学の科学化への強い使命感を表明している。それから約20 年を経て、今田高俊（2005）は「数理社会学とは、数学的論理を用いて社会現象を記述し説明することを目的とする理論社会学のこと．」（3）とシンプルに述べる。現在の数理社会学は概ね、この定義に沿っていると言えよう。では、数理社会学の方法とはどのようなものだろうか。志田基与師（2005）によれば、「数理社会学においては、最初に対象とする現象の「数学的定式化」という作業があり、その次に数学的な演繹作業があり、最後にそれによって得られた結果の「社会科学的含意」をさぐる「社会科学的解釈」を行うというステップによっている。
」（40）とある。これが現在まで続く数理社会学の一般的な方法である。このようにみてくると数理社会学は抽象性、一般性、厳密性に加え、演繹機能を備えた数学という言語による理論社会学の構築を志向する社会学的営みであると言えよう。実際、
22

圏論による三世界論のミニマムモデル

数理社会学における成果は数理社会学会の機関誌『理論と方法』においてかなりの量に上る。
続いて、社会学における圏論による論及のもたらす意義について言及しておこう。社会学における圏論による論及のもたらす意義は圏論という新しい数学を導入することによって、その演繹機能により思いもよらぬ社会学的命題の発見や社会学理論間の視えざる関係の可視化にある。たとえば、現在のところ圏論による（数理）社会学の学問的蓄積はほんのわずかしかないが、落合仁司により、条件付きながらも方法論的個人主義と方法論的集合主義は同値である（2015）とか、マクロ・シフトとミクロ・ドリフトの関係が全単射である（2016）等の圏論ならではの重要な命題の発見や大山智徳（2021）による橋爪大三郎の言語ゲーム論と今田高俊の自己組
織性は圏論的には同じである等視えざる関係の可視化がその実例である。
その圏論について、少し、説明しておく。圏論 は 1945 年ごろに作られた新しい数学である。大雑把に言えば集合論が要素と構造から数学を構成するのに対し、圏論は射（矢印）と可換図式から構成される数学である。圏論は予期せぬ関係性の発見に役立つ。なお、可換図式は圏論の本質の一つである。また、社会学において、射とは何かを常に問うことが極めて重要となる。そして、この営みが新たな関係性や新たな命題を生む｡ さらに、圏論は外的視点に立つ。とりわけ、圏論の随伴は強力な演繹装置として機能することも示される。すでに紹介したように社会学にとっても、圏論が魅力的であることが示された。参考までに数理社会学との関係を付言しておく。圏論は抽象性、一般性、厳密性に加え、演繹機能を備え、さらに動的で、視覚化を本質とする集合論以後の新しい数学である。圏論が動的というのは圏論においては対象そのものより対象と対象の関係性を考えたり、表現したりするのに適しており、視覚化というのは可換図式と呼ばれる矢印からなる図式を本質とする数学だからである。これらの特徴は数理社会学の理念と極めて相性がいいことを示している。
以上が、簡略ながら、社会学における数学的アプローチ、圏論による論及がもたらす意義である。

１

目的

犬飼（2011）の方法論的個人主義への懐疑が社会学へのラディカルな問いだとすれば、現在進行中のポパー＝犬飼予想はその問いへの応答である
23

ように思われる。本稿の目的は犬飼（2019）によって再発見された K・R・ポパーの三世界論をベースに新たな社会学のパラダイムとして構築されつつあるポパー＝犬飼予想とでもいうべき理論のミニマムな圏論モデルを構築することにある。

２

方法

方法はポパー＝犬飼の三世界論を現代数学である圏論（Category）によって随伴に翻訳＝ mapping し、社会学にとってより有効で、ミニマムな三世界論モデルを提示する。

2.1 圏論について 1）
本稿の方法である圏論について簡単に述べておこう。丸山善宏（2012：3）に よ れ ば、universal normativity, understanding conferrabilty, ontologicalpicturalism の三つが特徴として挙げてある。日本語に翻訳すれば、一般的規範性、（啓示的に）与えられる理解､ 存在論的絵画主義とでも訳すことができよう。ここで注意すべきは可換図式は単なる説明図式ではなく、本質であるという点である。
ここで、社会学における圏論がどのように現れたか簡潔に振り返っておく。1978 年に西田春彦は「数理社会学は社会調査法や社会統計学の解析的な部分を含むし、群論、圏論、グラフ理論、ゲーム論なども含み、数学的モデルや解析にかんする方法的な一面と , それを適用して実質的に社会学的現象を扱う一面も持っていると考えている．」（1978：11）（太字：筆者）と、明確に述べた。ここで本稿のアイデアの「圏論」が現れた。その後、
大澤真幸（1988 → 1999）により、圏論の定義がなされた社会学書が執筆され、さらに、近年、落合仁司（2015、2016）によって本格的な圏論による社会学論文が掲載され、大山智徳（2018、2021）により圏論による社会学の翻訳＝ mapping が進行中である。
なお、1980 年に西田春彦・安田三郎が監訳者として Thomas J, Fararo の“Matematical Sociorogy” 1973. John Wiley and Sons.『数理社会学Ⅰ・Ⅱ』

紀伊國屋書店 . が翻訳、出版された。ここで「19.5 カテゴリー（圏）論」（243-50.）に言及した「第 19 章 準同型写像と社会構造」の訳者は高坂健次であることを確認しておく。

24

圏論による三世界論のミニマムモデル

2.2 随伴図式
なお、随伴定理と証明はすでに大山（2021）において行れているので、本稿では省略し、代わりに視覚的にも直観的にも理解しやすくするため、コールマン・ボートのような四角形をベースとし、随伴の証明で現れた三角形恒等式の二つの恒等射 1 GD と 1 FC を「↺」で表し，以下の可換図式をベースとする。この二つの恒等射の意味の解釈にモデルの成否がかかっていることを申し添えておく。
＜三角形恒等式＞GεD◦ηGD ＝ 1GDεFC◦FηC ＝ 1FC

射gGD

圏C：C1GD↺

関手F
↺1FC

D

圏Ｄ：FC

射f
図１３

関手G

随伴図式

結果

随伴への翻訳＝ mapping という方法により、随伴による三世界論モデルを構築しよう。
圏 C は世界 1 の圏、すなわち自然の圏とする。圏 D を身体の圏とする。
圏 C の対象は物質、射 g を編成とする。圏 D は物質的な身体を対象とし、射 f を行為とする。圏 C から圏 D への関手 F は身体編成権力とし、圏 D から圏 C への関手 G を自然編成権力とする。ここで、1FC は世界 2（主観）、1GD は世界 3 と解釈する。
ここで、三世界論モデルを随伴定理（Mac Lane: 1998 : 106-8.）をベース
2）に厳密に翻訳＝ mapping をしておく。

随伴〈F, G, φ, θ〉：身体の圏⊣自然の圏 は以下のものを決定する。
1）各対象自然 1 について射 η 自然 1 が身体 1 から G への普遍射であり、
25

各行為：身体 1 →身体 2 の右随伴射がφ 行為＝ G 行為 ◦η 自然 1：自然 1 →自然 2であるような自然変換 η：1 自然の圏→ GF.
φ 行為＝ G 行為 ◦η 自然 1：自然 1 →自然 2 ＝編成
2）各射 ε 身体 2 が F から身体 2 への普遍射であり，各編成：自然 1 →自然2 が θ 編成＝ ε 身体 2◦F 編成：身体 1 →身体 2を持つような自然変換 ε:FG → 1 身体の圏．
θ 編成＝ ε 身体 2◦F 編成：身体 1 →身体 2 ＝行為
さらに、次の合成は（それぞれ G および F の）恒等変換である。
ηGGεFη

ηFG → GFG → G，F → FGF → F.
η を単位元（unit）と呼び、ε を余単位元（counit）と呼ぶ。
3）随伴 F ⊣ G の単元 η で余単元が θ であるとき、三角形の図式は可換である。
εF◦Fη ＝ 1Gε◦ηG ＝ 14）φθg ＝ GεD◦GFg◦ηc ＝ GεD◦ηGD◦g ＝ 1GD◦g ＝ g
三角形恒等式より Gε 身体 2◦ηG 身体 2 ＝ 1 自然 2 ＝世界 3
ここで , 1 概念 2 を概念 2 の恒等射として、大文字の意味として考える。
この恒等射を世界 3 と解釈する。
5） θφf ＝ εD◦FGf◦Fη c ＝ f◦εFC◦Fη c ＝ f◦1FC ＝ f
三角形恒等式より εF 自然 1◦Fη 自然 1 ＝ 1 身体 1 ＝世界 2（主観）
ここで、1 身体 1 を身体 1 の恒等射として、小文字の意味として考える。
この恒等射を世界 2（主観）と解釈する。
それゆえ，φ は θ を逆写像とする全単射である。
これは明らかに自然であり，よって随伴である。
□＜三角形恒等式＞
Gε 身体 2◦ηG 身体 2 ＝ 1 自然 2 ＝世界 3εF 自然 1◦Fη 自然 1 ＝ 1 身体 1 ＝世界 2（主観）26圏論による三世界論のミニマムモデル

自然 1
圏C：世界1(自然)の圏

射g:編成

C

GD

関手F：身体編成権力
圏D：身体の圏

FC

自然2↺ 世界2(主観)

身体 1

図２

射f:行為

↺ 世界3

関手G：自然編成権力D

身体2随伴による三世界論モデル

以上の結果より、ポパー＝犬飼予想の三世界論で言及された世界 1（自然）、世界 2（主観）、世界 3（人間の作り出したもの）に身体という要件を加えることにより、いわば、方法論的随伴主義とでもいうべき第三の方法論としての三世界論のミニマムモデルが構築できたと言えよう。
このモデルの帰結はポパー＝犬飼予想が犬飼（2011）の提出した問いへの極めて本質的な応答のように思われる。

４考察

このモデルの有効性を例証するため、抽象的なミニマムモデルを具象化して、自然科学モデル、意味学派の社会モデル、盛山（2011）によって言及された T. パーソンズの「事実的秩序と規範的秩序」モデルの 4 つを構築し、それぞれ考察する。

4.1 随伴による自然科学モデル
まず、世界 1 に属する自然と世界 1 に属しつつ、社会学に欠かせない身体の随伴モデルを考える。
圏 C を「自然の圏」とし、圏 D を「身体の圏」とする。自然の圏 C は対象を物質、射 g を編成とする。
圏 D は物質的な身体を対象とし、射 f を行為とする。圏 C から圏 D への関手 F は身体編成権力とし、圏 D から圏 C への関手 G を自然編成権力とす
3）る。1GD は自然法則、1FC は科学的精神と解釈する。

ここでは、自然法則が世界 3 に属する。

27

＜三角形恒等式＞
Gε 身体 2◦ηG 身体 2 ＝ 1 物質 2 ＝自然法則
εF 物質 1◦Fη 物質 1 ＝ 1 身体 1 ＝科学的精神

物質 1
圏C：自然の圏

射g:編成

物質2

CGD

関手F：身体編成権力
圏D：身体の圏 FC↺ 科学的精神身体 1

図３↺ 自然法則関手G：自然編成権力
D

射f:行為

身体2

随伴による自然科学モデル

4.2.1 随伴による意味学派モデル
次に社会と主観を包摂した随伴モデルを考えてみよう。圏 C を「社会の圏」とし、圏 D を「身体の圏」とする。社会の圏 C は対象を社会構造、射4）g を機能とする。
圏 D は物質的な身体を対象とし、射 f を行為とする。圏C から圏 D への関手 F は身体編成権力とし、圏 D から圏 C への関手 G を社会編成権力とする。ここでは、1GD は大文字の意味である社会規範、1FC は小文字の意味である主観と解釈する。
＜三角形恒等式＞
Gε 身体 2◦ηG 身体 2 ＝ 1 社会構造 2 ＝社会規範
εF 社会構造 1◦Fη 社会構造 1 ＝ 1 身体 1 ＝主観

社会構造1
圏C：社会の圏

射g:機能GD

関手F：身体編成権力
圏D：身体の圏

FC

↺ 主観

身体 1

図４28

社会構造2

C
↺ 社会規範関手G：社会編成権力
D

射f:行為

身体2随伴による意味学派モデル

圏論による三世界論のミニマムモデル

4.2.2 随伴から視えた意味学派と双対な命題
随伴から視ると意味学派は社会構造を作りだす行為と社会編成権力の方法論であり、G◦f への志向に対し、F◦g である身体編成権力と機能の方法論についての志向が弱いように思われる。社会学モデルを抽象して、関手F を方法論的微分主義、関手 G を方法論的積分主義として、さらに行為と合成させ、社会学用語に翻訳＝ mapping すれば、F◦g ＝ G − 1◦g ＝ f◦F なので、これは方法論的集合主義、G◦f は方法論的個人主義とみなすことができる。随伴モデルからの帰結の一つとして、「主観に基づく行為（＝社会的行為）によって新しい社会編成が可能である」が真なる命題であるとしたら、「社会規範に基づく機能によって新しい身体編成が可能である」という命題も真となる。これは小文字の恒等射としての主観に基づく行為を始点とする意味学派に対して、大文字の意味学派としての社会規範学派とでも名付けることができよう。社会学史の伝統では、方法論的集合主義の系譜である。また、社会の圏を社会的言語の圏に置き換え、対象を概念、射を論理とすることもモデル上、可能である。すると、身体編成権力の由来は言語となる。ここでの 1GD は言語化された社会規範、言語による規範と解釈される。すると、この随伴モデルの 1FC、すなわち、主観は社会的言語から成っていることとなる。このモデルに基づく限り、意味学派は社会的言語規範との循環の上に行為がなされていることとなる。社会的言語規範を概念と文法から成立すると解するならば、意味学派は自由に社会的言語規範を変えられることとなるが、新たな概念の誕生の頻度に対して、新たな文法の出現は日常言語では稀であろう。この事実を意味学派の本稿のモデルでは説明しにくい。モデル上の帰結は社会的言語規範と主観は双対な意味−大文字の意味と小文字の意味−なので、同時に創発し、論理上、循環しているということである。なお、随伴による三世界論モデルでは、世界 3 の揺るぎ難さを示すことはできず、これは個々、具象的な事象や歴史と言った事実に基づく注意深い検証が必要であろう。
ここで、自然法則は世界 3 に属する。

4.3 随伴による規範社会学モデル
次に T. パーソンズの「事実的秩序と規範的秩序」（1937 ＝ 1976：151-2.）を盛山（2011：74）を参考に、規範社会学として、随伴によって翻訳＝mapping してみよう。圏 C は社会学的言語の圏、圏 D を社会事象の圏とす29

る。圏 C の対象は社会学的概念（以後、モデルでは「概念」と表記する。
）、射 g を論理とする。圏 D は社会事象を対象とし、射 f を生起とする。圏 Cから圏 D への関手 F は社会事象生成権力とし、圏 D から圏 C への関手 G を社会学的言語編成権力とする。なお、随伴の仮定により、論理と生起は全単射である。少し詳しく見ておこう。まずは秩序について。随伴では二つの圏の射は全単射であることを確認しておく。つまり、社会学的言語の圏の射である論理と社会事象の圏である生起の全単射こそが二つの秩序を語る要件となっていることに注意が必要である。まず、事実的秩序について。論理の始点にある対象を概念 1 とし、終点にある概念を概念 2 とする。そして、その恒等射について考えてみよう。概念 2 は論理の始点にある概念 1 から論理によって、演繹的に構成されている。この概念 2 の恒等射は社会学的言語によって構築された大文字の意味であり、社会学的言語規範、あるいは社会理論を創発すると解釈される。これを規範的社会として解釈しておこう。次に、社会事象の圏を見てみよう。生起の始点にある社会事象を社会事象 1 とし、終点を社会事象 2 とする。これは現実に生起した社会事象によって構成されている。社会学的言語編成権力 ◦ 生起は社会事象 1 から社会事象 2 を経た概念 2 への合成射である。この合成射の終点は概念 2 である。現実に生起した社会事象の圏からの社会学的言語の圏への関手である社会学的言語編成権力によって社会事象が概念 2 へと至っている。つまり、現実に生起した社会事象が概念 2 に至っている。ここでの恒等射が社会学的言語規範、あるいは社会理論なので、合成射は社会理論を志向していることとなり、パーソンズのイメージする事実的秩序を表している。つまり、事実的秩序とは社会学的言語編成権力 ◦ 生起の合成射のことである。一方、生起 ◦ 社会事象生成権力は合成射として、新しい社会事象を生成する。これは社会学的言語の圏から社会事象の圏へと社会事象生成権力という関手によりもたらされる。すでに述べたように社会学的言語の圏は言語的社会規範、あるいは社会理論を概念 2 の恒等射として大文字の意味として創発している。そして、これを本稿では規範的社会と呼んだ。この規範的社会から社会事象生成権力によって事実として生起する社会事象をもたらす規範に基づく社会秩序を規範的秩序と呼んでおこう。
つまり、生起 ◦ 社会事象生成権力という合成射はパーソンズのイメージする規範的秩序となる。
随伴に本稿のような翻訳＝ mapping をすれば、規範社会学が可能であれ
30

圏論による三世界論のミニマムモデル

ば、事実社会学も双対に可能となる。規範社会学と事実社会学の機制は随伴上では演繹的社会学と帰納的社会学に対応し、さらに、社会学の方法論で言えば、方法論的集合主義と方法論的個人主義に対応している。
以上、述べてきたように事実的秩序は社会学的言語編成権力 ◦ 社会事象の生起、規範的秩序は社会事象の生起 ◦ 社会事象生成権力と解釈される。
ここで、可換図式を示しておく。
規範的社会

規範的社会
規範的秩序

事実的秩序

社会事象編成権力

社会学的言語編成権力
事実的社会

社会事象 1

社会事象 2

生起

図５

社会事象 1 生起社会事象 2

規範的秩序と事実的秩序

ところで、1GD と 1FC は何を意味するのであろうか。1GD は規範的社会であろう。一方、同時に創発する 1FC は事実的社会と解釈できよう。この帰結は奇妙である。主観が社会的事実となっているからである。このモデルの帰結が正しいのか、モデルの解釈が誤っているのかは今後の課題としたい。
ここで、規範的社会は世界 3 に属する。
＜三角形恒等式＞
Gε 社会事象 2◦ηG 社会事象 2 ＝ 1 概念２＝規範的社会
εF 概念 1◦Fη 概念 1 ＝ 1 社会事象 1 ＝事実的社会概念1

射g:論理概念2

圏C：社会学的言語の圏 C

GD

関手F：社会事象生成権力
圏D：社会事象の圏

FC↺ 事実的社会社会事象1

図６↺ 規範的社会射f:生起

関手G：社会学的言語編成権力
D

社会事象2

規範社会学モデル

31

５

総括と展望

本稿では、ポパー＝犬飼予想の圏論の随伴による三世界論モデルを構築し、いくつかの具象例を挙げて考察してきた。その結果、圏論の中心的な随伴により、ミニマムな三世界論モデルとして、世界 2 と世界 3 は世界 1に属する自然と身体が随伴の時に生み出される恒等射であり、それが双対な意味−小文字の意味（世界 2 ）と大文字の意味（世界 3 ）−であることを示すことができた。さらに、その結果として、自然法則、意味学派の社会規範、盛山和夫の言及したパーソンズの規範的社会等が世界 3 に属することがわかった。このことは、このモデルがポパー＝犬飼予想が肯定的に解決されることを示している。このように、圏論によって、自然言語では視えにくかった関係性がより明確になった。なお、圏論の随伴を用いると奇を衒ったような帰結が多々現れるが、これはユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の帰結の相違を想起すればいい。本稿の三世界論モデルは三世界論の圏論による展開の一つであり、ポパー＝犬飼予想のもつ壮大な社会理論としての可能性をミニマムな三世界論モデルで示したに過ぎない。とりわけ、世界 3 の揺るぎなさの解明はなされておらず、今後、本格的な展開が期待される。
最後に、筆者は社会学におけるモデルの有効性は多くの人が手軽に使えてこそ価値を持つと考える。一人でも多くの方に圏論になじんでいただ
き、社会、あるいは社会学を圏論というレンズで眺め、楽しみながら遂行していただくことを切に願って本稿を終える。
註1）圏論が人文系の読者に知られるきっかけは、2020 年 7 月号の『現代思想特集＝圏論の世界−現代数学の最前線』（48 号 9 巻）によってであろう。また、数学セミナーで連載（2011, 7-2012.11）されていたものをまとめた、圏論の歩き方委員会編 ,2015,『圏論の歩き方』日本評論社．があり、複数の専門家が異なる分野での圏論の使用例を例示してあり、読み物としては面白い。また、2022 年 3 月号の『数学セミナー』の特集は「圏論とその先」である。入門書「 第 5 章 圏 論 」116-152.『 理 工 系 の た め の ト ポ ロと し て 谷 村 省 吾，2006，
ジー・圏論・微分幾何』サイエンス社 . がある。また、圏論ユーザーとなるためには、Awodey,S., 2010, “Category Theory (2nd edition)”, Oxford: Oxford Uni32

圏論による三世界論のミニマムモデル

versity Press.（＝ 2015，前原和寿訳『圏論―原著第 2 版共立出版．
）Leinster,Tom, 2014, “Basic Category Theory”, Cambridge, Cambridge University Press.（＝斎藤恭司監修、土岡俊介訳『ベーシック圏論普遍性からの速習コース』丸善出版．
）が向いている。なお、Youtube の『圏論勉強会＠ワークスアプリ
ケーションズ』（No.1-13.）と併用するとより効果的であろう。また、要点のみ「「131（Ⅱ -24）圏と関手」（362-67.）」岩波
であれば『数学辞典第 4 版』，2007，「第 4 章書店．河田敬義，1977，
波講座

基礎数学代数学ⅲ

圏」137-168.「第 6 章関手」195-224.『岩ホモロジー代数Ⅱ』岩波書店．がある。他に大『圏論による論理学』
学生向けの論理学のテキストとして、清水義夫，2007，の「 第 2 章

ト ポ ス 」 が あ る。 な お、S, Mac Lane, 1998, “Categries for the『圏論の基礎』シュプ
Working Mathematician”（＝ 2005，三好博之・高木理訳，ランガー・フェアラーク東京 . は日本語訳では「基礎」とあるが英文の原題どおり「プロの数学者向け」の内容の本である。
2）数学的な証明は大山（2018、2021）参照のこと。
3）随伴による自然哲学モデルで自然哲学について考えてみよう。
ここでは、4.1 同様、自然と身体の随伴モデルを考える。
圏 C を「自然の圏」とし、圏 D を「身体の圏」とする。自然の圏 C は対象を物質、射 g を編成とする。
圏 D は物質的な身体を対象とし、射 f を行為とする。圏 C から圏 D への関手
F は身体編成権力とし、圏 D から圏 C への関手 G を自然編成権力とする。1FCは形而上学的精神、1GD は自然の摂理と解釈する。
なお、関手 G は編成力が極めて弱く、観照や観察であり、物質 2 の恒等射である自然の摂理は形而上学的精神と呼応しあう。その結果、驚くべきことに自然科学と自然哲学とは圏論的は自然編成力の強弱はあるが同じ種類の自然と身体の構成に分類される。アブストラクト・ナンセンスにも思われるが、逆に世界 3 の一般性と普遍性が示される実例である。
自然哲学の世界 3 は自然の摂理である。
＜三角形恒等式＞
Gε 身体 2◦ηG 身体 2 ＝ 1 物質 2 ＝自然の摂理
εF 物質 1◦Fη 物質 1 ＝ 1 身体 1 ＝形而上学的精神

33

物質1
圏C：自然の圏射g:編成

物質2CGD↺ 自然の摂理

関手 F：身体編成権力
圏D：身体の圏 FC↺ 形而上学的精神

身体1

図７

射f:行為

関手G：自然編成権力D

身体2随伴による自然哲学モデル

4）今田高俊（1988）は群論を使いながら圏論的思考を展開しているが、これを大山（2021）において圏論の随伴に翻訳＝ mapping したものを適用した。
文献

Fararo, J, T., 1973, Matematical Sociorogy, John Wiley and Sons.（＝1980，西田春彦・安田三郎監訳．『数理社会学Ⅰ・Ⅱ』紀伊國屋書店.）

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数理社会学』

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