社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

三つの非同期同時振動発振器を結合した系に見られるマルチモード振動
藤岡沙織†

楊暘††

上手 洋子†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 〒 105–0123 徳島県徳島市常三島 2–1†† 西安交通大学 電子与信息工程学院 〒 710–049 陝西省西安市咸寧西路 28 号
E-mail: †{saori,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††yyang@mail.xjtu.edu.cn
あらまし

本研究では, インダクタで結合された 2 つの共振器を含む 3 つの発振器から観測される同期現象を調査した. 初期値を変化させることで同相同期や逆相同期を含む興味深い様々な同期現象が得られた. その中でも我々はダブルモードと同時振動の同時発生を数値シュミレーションにより確認することが出来た.
キーワード

同期現象, ダブルモード振動, 同時振動, 硬い発振器

Multi-Mode Oscillations in Three Coupled
Asynchronous Simultaneous Oscillators
Saori FUJIOKA† , Yang YANG†† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Dept. Electrical and Electronic Eng., Tokushima University
2-1 Minami-Josanjima, Tokushima, 770–8506, Japan†† School of Electronic and Information Eng., Xi’an Jiaotong University
No.28 Xianning West Road, Xi’an 710049, China
E-mail: †{saori,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††yyang@mail.xjtu.edu.cn
Abstract In this study, synchronization phenomena observed from three inductively coupled hard oscillators with
two resonators are investigated. Various interesting synchronization phenomena including in-phase and anti-phasesynchronizations are generated by giving diﬀerent initial conditions. Especially, we can conﬁrm that double-modeand simultaneous oscillations are generated at the same time.
Key words Synchronization phenomena, Double-mode oscillation, Simultaneous oscillation, Hard oscillator

1. 序論

それ以上の自由度を持つ発振器による非同期同時振動を理論的に調査しており, 回路実験で 3 種類の異なる周波数を持つ同時自然界には様々な同期現象があふれている. 例として, ホタ振動の発生を確認している [5]. 非同期同時振動は代表的な非線ルの発光, 振り子の動きやカエルの合唱などが挙げられる. こ形現象のひとつであり, 自然界の様々な高次元システムで発生れらは同期現象の代表的なものである. 非線形抵抗を含む発振していると考えられるが, 著者らの知る限り, [6], [7] の研究を器において, 非線形抵抗が 5 次の電圧電流特性を持つ場合, 硬発除くと, 非同期同時振動に関する調査はあまりなされていない.

振を示すことが知られている [1] [2]. この場合, 発振を促すため

著者らは, 抵抗で結合された 2 つの非同期同時発振器 [8] とイには, 初期値に原点から遠ざけた値, つまり漸近安定である領域ンダクタにより結合された 2 つの非同期同時発振器 [9] におけを超えた電圧を印加する必要がある. Datardina と Linkens はる様々な発振現象の調査を行った.

インダクタで結合された硬い非線形性を持つ同一の発振器を調本研究では, インダクタで結合された 2 つの共振器を含む 3査し, 3 次特性の場合では観測されなかったダブルモード振動つの非同期同時発振器について調査している. 使用した発振器を確認した [3]. 同様に, あるパラメータ範囲内において 4 種類は硬い非線形性を持つ. コンピュータシミュレーションによりの異なる発振（発振停止, 同相モード, 逆相モード, ダブルモー同相同期や逆相同期が結合回路により発生することはもちろんド）が共存することを確認した.

様々な同期現象を確認することが出来た. 特に, ダブルモード

1954 年, Schaﬀner は 2 つの自由度を持つ発振器では 5 次のと同時振動が同時に発生する興味深い現象も観測することが出

非線形特性を持つ場合, 2 種類の異なる周波数を持ちなおかつ来た. また, 隣り合う発振器同士ではダブルモード発振を行い,同時に発振することを発見した [4]. 倉光もまた, 3 つもしくは上下の共振器同士では同時振動していることが分かった.

—1—dx11= −y11 − f (x11 + x12 ) − yC1
dτ

dx12


= αC {−y12 − f (x11 + x12 ) − yC1 }
dτ

dx21


= −y21 − f (x21 + x22 ) + yC1 − yC2
dτ

 dx

22


= αC {−y21 − f (x21 + x22 ) + yC1 − yC2 }dτdx31= −y31 − f (x31 + x32 ) + yC2

dτ


dx32


= αC {−y31 − f (x31 + x32 ) + yC2 }dτdym1
= xm1(m = 1, 2, 3)
dτ



 dym2

図 1 2 つの共振器を含む 3 つの硬い発振器

2. 回路モデルdτ= αL xm2(m = 1, 2, 3)

本研究で使用される回路モデルを図１に示す. 回路はインダ

iC に対応する yC は以下のように導かれる.

クタで結合された 2 つの共振器を含み, 硬い非線形性を持つ 3

y12 − y22
αL )(y22 − y32,yC2 = γ y21 − y31 +αLつの発振器で構成されている. 本研究に用いられる非線形抵抗の 5 次特性の式を以下に示す.

iR (v) = g1 v − g3 v 3 + g5 v 5(g1 , g3 , g5 > 0).

(1)(れた発振器の式を以下に示す.


L1 didt11 = v11
C1 dvdt11 = −i11 − iR1 − iC1 ,






L2 didt12 = v12
 C2 dvdt12 = −i12 − iR1 − iC1 , C1 dvdt21 = −i21 − iR2 − iC2 + iC1 , L1 didt21 = v21

C2 dvdt22 = −i22 − iR2 − iC2 + iC1 , L2 didt22 = v22







C1 dvdt31 = −i31 − iR3 + iC2 ,L1 didt31 = v31





dv32
di32C2 dt = −i32 − iR3 + iC2 ,)yC1 = γ y11 − y21 +(7)また, 正規化した式中で使用される 5 次の非線形特性を含んだf (·) を以下に示す.
上下に結合された 2 つの共振器は異なる周波数を持つ. 結合さ(6)(f (x) = ε x −β 3 1 5x + x35).

(8)

3. 実 験 結 果
本研究では, ダブルモードや発振停止を含む様々な同期現象を確認出来る回路モデルを提案した. この章では, コンピュー(2)タシュミレーションにより得られたいくつかの結果を示す. パ
ラメータの値は固定し, 初期値のみを変化させる. パラメータの値は αC = 0.64, αL = 0.6, γ = 0.01, ε = 0.005, β = 3.2 と固定する.

L2 dt = v32 ,図 2, 3, 4, 5 は回路モデルから観測される 4 種類の異なる同結合インダクタに流れる電流 iC1 , iC2 の式は以下のように導期現象を示している. 各図における図 (a) では, 6 つの共振器のかれる.

アトラクタを示している. 6 つのアトラクタの配置は図 1 における共振器の位置に対応している. 横軸は xmn , 縦軸は ymn を

L1 (i11 − i21 ) + L2 (i12 − i22 )
LC
L1 (i21 − i31 ) + L2 (i22 − i32 )
iC2 =.
LC
iC1 =(3)表している. 図 (b) は共振器の位相差を示している. 左側の 4つのアトラクタは横同士の関係を示し, 右側の 3 つは縦同士の関係を示している. 縦横ともに軸は xmn である. 図 (c) はそれ

非線形抵抗に流れる電流 iR1 , iR2 , iR3 は以下のように表される.

ぞれのレゾネータの時間波形を示す. これらの結果から, 図 2,3, 5 では同時振動が発生していることが分かる. また図 3, 5 のiR1 = iR (v11 + v12 )(4)iR2 = iR (v21 + v22 )上段の共振器, 図 4, 5 の下段の共振器ではダブルモードが確認出来る. 一方, 図 4 では上段の共振器が発振停止しているのに

iR3 = iR (v31 + v32 ).

対し下段ではダブルモードが確認出来る. これらの結果により以下に示すパラメータと変数の変換を行い,√
vmn = 4g1xmn ,
5g5αC =√
ε = g1

L1,
C1C1,C2√
imn = 4αL =3g3
β=g1

L1,
L2√g1,
5g5

g15g5√

γ=t=

4 種類の発振を以下にまとめる.
C1ymn ,
L1L1,LC√(5)•

図 2: 同相 (上段) と同相 (下段) の同時振動•

図 3: ダブルモード (上段) と同相 (下段) の同時振動•

図 4: 発振停止 (上段) とダブルモード (下段) の独立の発振•
L1 C1 τ .

図 5: ダブルモード (上段) とダブルモード (下段) の同時振動
特に, 最後の同期現象 (ダブルモードとダブルモード) は非常に式 (2) は以下のように正規化される.

興味深い現象である. この場合左右に隣接する発振器同士の関—2—

(a)

(a)

(b)

(b)

(c)

(c)
図 2 同相と同相の同時振動 (a) 6 つの共振器のアトラクタ (b) 6 つの共振器間の位相差 (c) 6 つの共振器の時間波形

図 3

ダブルモードと逆相の同時振動 (a) 6 つの共振器のアトラクタ(b) 6 つの共振器間の位相差 (c) 6 つの共振器の時間波形係はダブルモードであるのに対し, 上下の関係は非同期である.

of multimode oscillators with hard operating conditions,”

我々はこのような非線形現象は自然界に存在し, 将来の工学シIEICE Technical Report on NLP, Vol.81, No.13, pp.1-10,

ステムに貢献出来ることを確信している.

Sep. 1981.
[6] M. Matsuki and S. Mori, “Asynchronous simultaneous oscil-

4. 結論

lations in negative resistance oscillatory circuit containing
periodically operating analog switch,” IEICE Technical Re-

本研究では, 我々はインダクタで結合された 2 つの共振器を

port on CAS, Vol.101, pp.81-87, Jun. 1993.

含む 3 つの発振器から観測される同期現象を調査した. 結果と[7] M. Matsuki and S. Mori, “Asynchronous excitation phe-

してダブルモードと同時振動が同時に発生していることが確認

nomena in negative resistance oscillatory circuit containing

出来た. つまり, 横同士の共振器の関係はダブルモード, 縦同士

periodically operating analog switch,” IEICE Technical Re-の共振器の関係は同時振動であると言える.
文

献[1] C. Hayashi, Nonlinear oscillations in physical systems,
Princeton Univ. Press, p.367, 1984.
[2] V.I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary
diﬀerential equations, Springer-Verlag, pp.270-272, 1988.

port on NLP, Vol.94, pp.51-58, May 1994.
[8] C. Higashi and Y. Nishio, “Investigation of synchronization
phenomena in coupled simultaneous oscillators,” Proceedings of NCSP’10, pp.113-116, Mar. 2010.
[9] Y. Nishio, Y. Yang and Y. Uwate, “Synchronization phenomena in simultaneous oscillators coupled by an inductor,”
Proceedings of NCSP’11, pp.147-150, Mar. 2011.

[3] S.P. Datardina and D.A. Linkens, “Multimode oscillations
in mutually coupled van der Pol type oscillators withﬁfth-power nonlinear characteristics,” IEEE Trans. Circuits
Syst., Vol.25, No.5, pp.308-315, May 1978.
[4] J. Schaﬀner, “Simultaneous oscillations in oscillators,” IRE
Trans. Circuit Theory, Vol.1, pp.2-81, Jun. 1954.
[5] M. Kuramitsu and F. Takase, “Averaged potential analysis—3—図4(a)

(a)

(b)

(b)

(c)

(c)

発振停止とダブルモードの同時振動 (a) 6 つの共振器のアトラク
タ (b) 6 つの共振器間の位相差 (c) 6 つの共振器の時間波形

図5

ダブルモードとダブルモードの同時振動 (a) 6 つの共振器のアトラクタ (b) 6 つの共振器間の位相差 (c) 6 つの共振器の時間波形—4—