Control Moment Gyroscope の非線形追従制御
2010SE131 村井千夏
指導教員：高見勲

1

初期状態において Gimbal3 が静止している場合，式 (3) より次の拘束条件式が得られる．

はじめにControl Moment Gyroscope(以下，CMG) は少ない入(J2 − J1 sin2 q2 )ω3 + JD ω1 cos q2 = 0

力で多くの状態を制御できる劣駆動システムであり，非ホロノミックと呼ばれる拘束を持つ．このようなシステムの多くは平衡点における線形近似系が可制御でないため，線形制御をそのまま適用することができない．本研究で扱う CMG は 2 入力対称 Aﬃne な非ホロノミックシステムである．このシステムに対しては Chained system と呼ばれる正準形が知られており，多くの制御手法が提案されている．その中でも時間軸状態制御形 (Time-State ControlForm 以下，TSCF）を用いた制御手法は，システムを二つのサブシステムに分割して，一方のサブシステムにフィードフォワード制御を施すことにより，他方のシステムの安定性を線形制御理論で保証することができる [1]．本研究では，TSCF を用いてサーボシステムを構築し，制御対象を偏差なく目標値に追従させることを目的とする．

2数学モデル

図 1 は CMG の概略図である．CMG には Rotor1 を回転させる Motor1 のトルク T1 (t) と Gimbal2 を傾ける
Motor2 のトルク T2 (t) が存在する．Rotor1 の角度と角速度を q1 (t)，ω1 (t)，Gimbal2 の角度と角速度を q2 (t)，ω2 (t)，Gimbal3 の角度と角速度を q3 (t)，ω3 (t) と定義す
る．Rotor1, Gimbal2, Gimbal3 の運動方程式はそれぞれ
式 (1), (2), (3) となる [2].

Rotor1
Gimbal3

q1
T1

ω1

式 (5) のような 2 入力対称 Aﬃne システムは座標変換により Chained system に変換可能である．ここで，本研究では CMG の動特性を考慮し，一般的な Chained systemへの変換手順を用いるのではなく次に示す座標変換と入力変換を提案する．
{{x1 = α(q2 )u1 = β(q2 )ω2x2 = q1(6)u2 = ω1x3 = q1 α(q2 ) − q3
d−JD cos q2, β(q2 ) =α(q2 ) =α(q2 )dq2
J2 − J1 sin2 q2

Chained system は次のように表現される．
{

ẋ1 = u1ẋ2 = u2ẋ3 = x2 u1

式 (7) より，TSCF は式 (8), (9) で表現される．
[] [][] []dx30 1x30 u2=+0 0x21 u1dx1 x2dx1 = u1dt(7)(8)(9)形で表現されるため，従来の線形制御理論で安定化可能な
T2

Gimbal2

式 (4) のような拘束条件式の項に状態のみでなく状態の一階微分を持つシステムを一階非ホロノミックシステムと呼ぶ．ここで式 (4) に対して状態変数を q = [q1 q2 q3 ]T ，入力を ω1 ，ω2 と定義すると，CMG の状態方程式は次のように表現することができる．
[][]
100q̇ =
ω1 + 1 ω2(5)α(q2 )0

ここで，式 (8) は x1 を時間軸とみなすことで可制御正準q2
ω2q3ω3(4)状態方程式である．また，x1 は式 (9) を用いて制御し，単Gimbal4調増加また単調減少のどちらかでなければならないため

u1 ̸= 0 かつ，定数とする．
q4ω43

図 1 Schematic model of CMG
JD ω̇1 + JD ω̇3 cos q2 − JD ω2 ω3 sin q2 = T1(1)(IC + ID )ω̇2 + J1 ω32 sin q2 cos q2 + JD ω1 ω3 sin q2 = T2 (2)(J2 − J1 sin2 q2 )ω̇3 + JD ω̇1 cos q2 − JD ω1 ω2 sin q2−J1 ω2 ω3 sin 2q2 = 0
ID , JD : Rotor1 の慣性モーメント [kg ・m2 ]IC , JC , KC : Gimbal2 の慣性モーメント [kg ・m2 ]JB : Gimbal3 の慣性モーメント [kg ・m2 ]J1 = JC + JD − KC − ID , J2 = JB + JC + JD(3)制御系設計

駆動源のない Gimbal3 の角度 q3 を偏差なく目標値に追従させるために，最適サーボシステムを用いた制御系設計を行う．式 (8)，(9) に x3 の偏差の積分を加えた次の拡大偏差システム (10) を考える．
[][]
01 00 d00 0 x̃e + 1 µ̃x̃ =dx1 e(10)−1 0 00
e = [ −1 0 0 ] x̃e[]x3 − x3∞u2∞u2−x̃e == x2 − x2∞ , µ̃ =u1u1∞
s − s∞∫ te = xref−x,s=s+e dt
303x̃3x̃2s̃][0制御器は次式で与えられる．
(const)]∫ tx3
u2 = K+Ge dt + Fa xref+ Fb x(0)3x20(11)[るが Gimbal3 の角度は目標値に収束しており，Gimbal2(12)u1 ，u2 を用いて制御入力 T1 ，T2 を導出する．u1 ，u2 を安定化するために偏差を次のようにとる．
ū1 = β(q2 )ω2 − C[]∫ tx3ū2 = ω1 − {K+Ge dt + Fa xref+ Fb x(0)}3x20では切替えが行われていることがわかる．また，Motor1，Motor2 のトルクは図 5，6 のようになった．トルクの出力範囲はそれぞれ −0.6 < T1 < 0.6, −2.4 < T2 < 2.4 であり，範囲内にトルクを抑えられていることがわかる．
2.5q1q1ref2(13)1.4

angle [rad]1.2ū1 ，ū2 ダイナミクスは次のようになる．

angle [rad]u1 = C

シミュレーション結果を図 2，3，4，5 に示す．点線が指令軌道，実線が応答である．グラフより，時間はかか

1.5
10.5

10.80.6dū˙ 1 =β(q2 )ω22 + β(q2 )ω̇2dq2[]ẋ3ū˙ 2 = ω̇1 − (K+ Ge + Fa ẋref3 )
ẋ2

0.4

0102030(14)-0.4

0.5-0.5

angle [rad]angle [rad]

0.4
0.3
0.2

-0.8

00102010203030
time [sec]time [sec]図 5 Simulation of x3

図 4 Simulation of Gimbal32.5T20.052(17)torque [N*m]torque [N*m]0-0.05-0.1-0.15

1.5
10.5
0-0.2
T1-0.501020

300time [sec]−JD ω̇1 cos q2 + JD ω1 ω2 sin q2 + J1 ω2 ω3 sin 2q2
J2 − J1 sin2 q25

により, 制御入力 T1 ， T2 を導出することができる．

1020

おわりに
本研究の成果は次の 2 点である．

1. 提案した Chained system を TSCF で表現した．

シミュレーション

2. 駆動源のない Gimbal3 の角度追従制御を行い，理論設計した制御系を用いてシミュレーションを行う．指
令軌道をつぎのように用意する．また，− π2 < q2 < π2 である．
{
0.5 sin π8 t (t < 4) [rad]refq3 =(19)0.5(t ≥ 4) [rad]シミュレーションの初期値は q0 = [2.3389 π8 0 0 0 0]T とし, ゲインチューニングと C はつぎのように設定した．
H1 = 50, H2 = 0.2, C = ±0.08(20)状態フィードバックゲインはつぎのよう得られた．
・forward mode

0.3 ]・backward mode

0.3 ]

30

time [sec]図 6 Simulation of Motor1 図 7 Simulation of Motor2(18)以上，式 (16)，(17)，(18) を式 (1)，(2) に代入すること−3 ] , G = −10, Fa = −43, Fb = [ −13x3x3ref-0.9-0.1

角加速度 ω̇3 は式 (3) より以下のようになる．

K = [ 57-0.7q3q3ref-0.25−3 ] , G = 10, Fa = 43, Fb = [ 13-0.6

0.1(16)1dω̇2 ={−H1 (β(q2 )ω2 − C) −β(q2 )ω22 }β(q2 )dq230

図 2 Simulation of Rotor1 図 3 Simulation of Gimbal2(15)式 (14) より，Rotor1，Gimbal2 の角加速度 ω˙1 ，ω˙2 は次のようになる．
[]ẋ3ω̇1 = K+ Ge + Fa ẋref3ẋ2[]∫ tx3+ Fb x(0))−H2 (ω1 − K
e dt − Fa xref
−G3x2
020time [sec]0K = [ −5710time [sec]ū˙ 1 = −H1 ū1ū˙ 2 = −H2 ū240.20-0.5

式 (14) を重み H1 , H2 を以下のように用いて安定化することを考える．ただし, Lyapunov 関数は, V (ū1 ) = ū21 /2，V (ū2 ) = ū22 /2 とし，H1 > 0, H2 > 0 である．

ω̇3 =q2
q2ref

0の信頼性をシミュレーションにより検証した．

参考文献[1] M. Sampei: A control strategy for a class for nonholonomic systems - time-state control form and its
application -, In Proc of 33rd CDC, pp. 1120-1121,
1994[2] Mahmut Reyhanoglu and Jasper van de Loo: StateFeedback Tracking of a Nonholonomic Control Moment Gyroscope, In Proc of 45th CDC, pp. 61566161, 2006