2010年12月06日(月) 13:00-14：30 S2Y
平成22年度 工V系(社会環境工学科) 第9回 電磁気学Ⅰ
天野 浩
項目
コンデンサ
＊本日は、電気回路の重要な素子の一つ、電荷を溜めることのできるコンデンサの原理を学習します。
＊コンデンサとキャパシタ → 英語圏：キャパシタ コンデンサ：非英語圏
英語圏で ンデンサとは 冷凍機の凝縮器
英語圏でコンデンサとは、冷凍機の凝縮器＊関数電卓を持参すること。
＊関数電卓を持参すること

実際のコンデンサの例

電解 セラミックセ
ク マイライ
http://www.sagaed.jp/kenkyu/kenkyu_chousa/h16/16kougyojyouho/seisaku_tisiki/capacitor.html

ス パ キ パシタスーパーキャパシタ
http://www.nanocarbon.jp/various_uses/001.html

http://jisaku.sakura.ne.jp/mother/faq/image/image2-1.jpg

ウィキペディア

コンデンサの重要性

http://www.mitsubishimotors.co.jp/special/eco/about_imiev1.html
motorsco jp/special/eco/about imiev1 html

Li

http://toyota.vo.llnwd.net/e1/toyota/prius/

NiH

http://www.honda.co.jp/INSIGHT/3dview/index.html
pjp

NiH

コンデンサの重要性

水素吸蔵
素 蔵
合金

水酸化
水酸化Ni

NiH電池の原理

Li層状化合物

層状炭素材料Liイオン電池の原理

http://www.jpo.go.jp/shiryou/s_sonota/hyoujun_gijutsu/electronicclock/1-1-2.pdf#search='ニッケル水素 原理 電池 リチウム 二次'

コンデンサの重要性
電池の種類
電池種類
リチウムイオン
ニッカド
鉛蓄電池
ニッカド
ニッケル水素アルカリ乾電池

体積エネルギー密度
体積ネ ギ 密度
520Wh/L
110Wh/L
82Wh/L
172Wh/L
390Wh/L
109Wh/L

重量エネルギー密度
重量ネ ギ 密度201Wh/kg
39Wh/kg
40Wh/kg
55Wh/kg
100Wh/kg
36Wh/kg

http://www.baysun.net/lithium/lithium03.html
pyNiH， Li いずれも危険性あり

コンデンサの重要性

電気二重層キャパシタ
http://www.ohki-techno.com/environment.html

http://www.ulvac-uc.co.jp/prm/prm_arc/050pdf/ulvac050-04.pdf#search='電気二重層キャパシタ'静電容量の定義
１．空間に孤立した導体に電荷Q[C]が帯電しており、その時の導体の１空間に孤立した導体に電荷Q[C]が帯電しており その時の導体の電位がV[V]であるとき、その導体の静電容量CはC

Q[C / V  F ]V

単位はファラッド

２．空間の二つの導体に電荷＋Q[C]、２空間の二つの導体に電荷＋Q[C] -Q[C]が帯電しておりQ[C]が帯電しており、導体間導体間の電位差がV[V]であれば、その導体間の静電容量はCQ[F]V•電荷を蓄えられるように配置した1対の導体をキャパシタ、またはコンデンサと呼ぶ。

Q9-1 真空中に二つの無限平行平板導体があり、それぞれ＋Q2]]の電荷を 与えて距離d[m]だけ放すと、導体間の［C/m2］、－Q[C/m[[ ]静電容量はどれくらいか？

 
1E
ndS
q



S＋Qd

平板間内の電界は ガウスの法則より
平板間内の電界は、ガウスの法則より

E

－QQ0V  dC Q

0Q0dr Q

0d1Q  0 [ F / m2 ]VdQ9-2 下の図のように球の半径がa[m]およびb[m]の二つの導体球
A,Bが間隔ｄ[m]だけ離れて置かれている。それぞれに＋Q[C]、[ ][ ]－Q[C]の電荷を与えたとき、静電容量を求めなさい。
Pr‘

ra＋Qdb－QbB－Qd

A a＋Q
AがPに及ぼす電位 およびBがAがPに及ぼす電位、およびBがPに及ぼす電位を考える。
rVP   

QQ
4 0 rrQ
dr 2r4
0

dr  21 1(  )4 0r r

Q9-2 下の図のように球の半径がa[m]およびb[m]の二つの導体球
A,Bが間隔ｄ[m]だけ離れて置かれている。それぞれに＋Q[C]、[ ][ ]－Q[C]の電荷を与えたとき、静電容量を求めなさい。
PA表面の電位VAはr‘‘rdA a＋Q

VA bB－Q

11( )a d a4 0

B表面の電位VBはVB 

VAB  VはA  VB 従従って、AとBの電位差Vと電位差AB

C Q

Q
4 0(11 )d b bQ

1 111(  )4 0a b d a d b4 0Q
[F]
VAB (  1  1  1  1 )a b d a d b

Q9-3 下の図のように内球の半径がa[m]、外球の半径がb[m]の同心球導体がある。それぞれに＋Q[C]、－Q[C]の電荷を与えたとき、静[ ][ ]電容量を求めなさい。

a＋QbaーQ

Q 1 11dr(  )[ V ]2rb4400 abV  CQ4 0Q
[F]
11V (  )a b

Q9-4 下の図のように半径a[m]の無限に長い導線2本が間隔d[m]で平行に配置されている。2本の導線それぞれに単位長さ当たり電荷+q[C/m]およびーq[C/m]を与えたときの単位長さ当たりの静電容量を求めなさい。
＋ｑの方が作る電位
rq 1dr2r0V  daa－ｑの方が作る電位
r

+q－q
断面図

q1dr 2 0 r 
従って 合計の電位は従って、合計の電位はV Vqlog(2 0r)[ V ]rQ9-4 下の図のように半径a[m]の無限に長い導線2本が間隔d[m]で平行に配置されている。2本の導線それぞれに単位長さ当たり電荷+q[C/m]およびーq[C/m]を与えたときの単位長さ当たりの静電容量を求めなさい。
Vaq2 0log(g(d+qr)[ V ]ra－q

断面図+qの方の表面電位V1 q2 0log(d a)[ V ]a－qの方の表面電位V2 q2 0log(a)[ V ]d a従って二つの導線間の電位差はV  V1  V2 C q

 0log( 0d a)[ V ]ad alog()a[ F / m]

Q9-5 (1)真空中に点電荷q［C］があるとき、距離r[m]離れた点の電2]]を求めなさい。
束密度ベクトルD[C/m[(2)点電荷の周りを比誘電率rの物質で満たした場合の電束密度ベク
トルD [C/m2]を求めなさい。
 D  dS   q

ガウ
ガウスの法則法則

S(1),(2)とも答えは同じq2D[C / m ]24r

Q9-6 図のように、誘電率1の材料を面積S1[m2]，誘電率2の材料を面積S2[[m2]]，平行平板コンデンサを二種類の誘電体で満たして、極板に電荷+Q[C]、-Q[C]を与えたとき、このコンデンサの誘電率を求めな
さい。
面積S1[m2]
1

面積S2[[m2]
＋Q[C]― Q[C]

この場合は，電界Eは材料１と２で等しい。
Q=D×(SQ
D (S1+SS2)=E×(S1+S2)=1ES1＋
＋ 2ES2


S1S2
1 
2
S1  S 2
S1  S 2

Q9-7 図のように、面積S[m2]の平行平板コンデンサを誘電率1,2の二種類の誘電体で満たして、極板に電荷+Q[C]、－Q[C]を与えたとき、[ ][ ]各誘電体内の電界を求めなさい。
面積S[m2]＋Q[C]

電束密度ベクトルDで考える
電束密度ベクトルDで考える。
D=1E1=2E2＝Q/S
Q/S

1

― Q[C]E1 

Q[V / m ]1  SE2 

Q[V / m]2  S

Q9-8 前問において、合成の静電容量をC、それぞれの誘電体の厚さをd1,d2とする。CをSとd1,d2,1,2を用いて表しなさい。
 E  dr

対象となる位置

d1 [m]

1V 

面積S[m2]
＋Q[C]

基準位置

D=1E1=2E2＝Q/S

d2 [m]E1 Q[V / m ]1  SE2 Q[V / m]2  S― Q[C]

0d1
QQdx
V  dx  
S S
d1 1
d1  d 2 2

Q d1 Q d 2
S 1 S  2

Q d1 2  d 2 1S
 1 2CQS 1 2
[F ]V d1 2  d 2 1

Q9-9 (1) 比誘電率rが1200、厚さ1.00[mm]の物質を、面積10.0[cm[ 2]]の銅板2枚に挟んだ。静電容量を計算しなさい。真空の誘電率は0=8.85×10-12[F/m]とする。
(2) 銅板にこの物質を挟む時、0.10[mm]の隙間ができた。静電容量はどうなるか?

S10 10 4
12C    8.85 10 1200  10.6[nF ]d10 3(1)S 1 210 10 4  8.85  10 12 1200  8.85  10 12(2) C d1 2  d 2 1 10 3  8.85  10 12  0.1 10 3  8.85  10 12 1200
 87.8[ ppF ]Q9-10 内径10[mm]、肉厚2[mm]の無限塩ビパイプの内面と外面をアルミニウムでコーティングした。1[m]あたり、内面及び外面に電荷をそれぞれ+q[C/m]、－q[C/m]を与えた時、単位長さ当たりの静電容量C[F/m]を求めなさい 塩ビの比誘電率を3 真空の誘電率を位長さ当たりの静電容量C[F/m]を求めなさい。塩ビの比誘電率を3、真空の誘電率を8.85×10-12 [F/m]として計算しなさい。

ガウスの法則10[mm]

 D  dS   q2[mm]ｒSV  E  dr

対象となる位置基準位置D

r=35V  
6q 1q2r 1 2rq2rdr q

6ln[ ]
252
2  3.14  8.85 10 12  3qC 
 0.915[nF / m]
6V ln[ 6 ]
ln[ ]
55

本日のまとめ•10問中何問正解したか?
•静電容量の求め方を自分なりにまとめなさい。
•様々な導体対における静電容量の式をまとめなさい。
•比誘電率の大きな材料を使ったコンデンサに空気が混じると、静電容量はどうなるか？