In April 2022, Osaka City University and Osaka Prefecture University marge to Osaka Metropolitan University

Title

デジタル画像相関法による変形計測

Author内田, 真Citation

Fabrica. 32 巻, p.11-19.

Issue Date2020

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Departmental Bulletin Paper

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大阪市立大学工作技術センター

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Placed on: Osaka City University Repository

Osaka Metropolitan University

研究ノート

デジタル画像相関法による変形計測
内田真（うちだ所属：工学研究科まこと）

機械物理系専攻

専門分野：固体力学，連続体力学
趣味：旅行，お酒

1. はじめに
私たちの生活の基盤となる様々な構造物を安全で効果的に使用するためには，その構造物に使用される材料の強さを正しく評価することがとても大切です．材料の強さを評価するた
めには，その材料に変形を与えた時の抵抗力を調べます．変形量として広く用いられる物理量としては，最初の長さに対する長さの変化率である「ひずみ」，抵抗力には変形させるのに必要な力をその力が作用する断面積で除した「応力」をそれぞれ用い，材料の強さを特徴づけるために，それらを関係づけた「構成式」を評価します．材料の変形には，与えた力を取り除くと元に戻る弾性変形と，元に戻らない塑性変形があります．弾性変形では応力とひずみの関係が線形な関係となりますが，塑性変形ではそれが非線形となります．身の回りにある様々な材料に対して，ひずみや応力を正しく計測し，構成式を適切にモデル化できれば，コンピューターシミュレーションなどを用いることで，構造物の強さを正しく予測することができ，設計の精度が格段に良くなります．
上述の計測対象の一つであるひずみは，材料によって，目に見えないほどごくわずかなひずみから，10 倍以上にも長さが変化するひずみまで幅広く変化し，それを正しく計測する様々な手法が確立されています．本稿では，画像のデジタル化の浸透とともに近年広く使用されるようになってきたデジタル画像相関法によるひずみ計測法について紹介します．

2. デジタル画像相関法の概要
材料の力学試験を実施する際のひずみの計測法としては，ひずみゲージや伸び計を用いた計測が従来から主流となっています．ただし，これらを用いて計測するためには，試験片へのゲージの貼り付けや伸び計の取り付けなどが必要で，試験片に接触できることが前提となっている接触計測法です．これらの計測機器は，主に金属材料を対象として確立された計測技術であり，電気信号を用いて高精度かつ連続的にひずみを計測することができます．しかしながら，これらの計測手法を，金属材料と比べてかなり柔らかいプラスチックやゴムに適用するとき，大きな問題が生じます．それは，ひずみゲージのほうが測定対象より硬くなっ11

て材料の変形を拘束したり，伸び計を取り付けた場所に応力集中が生じてそこから破断が生じたりすることです．したがって，このような接触型の計測機器は柔らかい材料には用いることができません．
一方，ひずみを測定したい試験片表面の画像を撮影し，その画像を解析してひずみを計測する非接触なひずみ評価手法も古くから用いられています．ただし，アナログ写真からひずみを高精度かつ連続的に計測するためにはかなりの作業量が必要となります．しかしながら，近年のデジタル技術の進化に伴い，デジタル画像の取得が極めて容易になったことから，デジタル画像を用いた非接触な変形測定が広く普及するようになりました．このような変形測定法は，ひずみゲージや伸び計を用いた計測と比べて非常に多くの利点を有しています．例
えば，非接触計測法であることから，材料の強さにかかわらずどんな材料にも適用できること，建造物などの極めて大きな構造の変形から，顕微鏡視野の微細な構造の変形まで，どんなスケールの変形でも評価できること，ひずみゲージや伸び計が設置できない状況（高温であったり接着剤が使えない表面であったり）でも計測が可能であること，などがあげられます．これに加えて，平面画像を用いた計測であることから，２次元面内の様々な方向のひずみ，色々な場所のひずみの変化を１度に評価できる，という極めて大きな利点もあります．
このような計測により得られたひずみのデータは，従来の１次元計測に基づいた材料の構成式のモデル化のプロセスを大きく変えるものであり，今後，材料の強度予測は大きく進化するものと期待しています．
デジタル画像を用いた代表的な変形計測法として，デジタル画像相関法（ Digital Image
Correlation Method, DIC）(1) ，(2) が普及しています．ここで，デジタル画像相関法の簡単な測定原理について説明します．測定には，変形を測定したい対象物表面の変形前後のデジタル画像が必要になります．デジタル画像では，画像上に設定された画像座標（単位はピクセル）上における輝度情報が与えられます．DIC では，変形前後の測定面における輝度の分布を用いて同一点を特定します．図 1 に DIC 測定の簡単な概念図を示します．左が変形前，右が変形後のデジタル画像です．まず，変位を測定したい点（Point Of Interest, POI）を変形前のデジタル画像上で設定します．次に，同一点を評価する際，この点の周りに，輝度を取得のためのサブセットを設定し，サブセット内のデジタル座標 (ix, iy ) に対する輝度 F (ix, iy ) を保存します．そして，この輝度場を，変形後のデジタル画像において，中心位置を変化させながら，変形後の輝度場 G (ix+ux iy+uy ) と照らし合わせます．このとき，次式で表される相関値()

R ux , u y =F (ix , i y )G(ix + u x , i y + u y )(1)F (ix , i y )2 G(ix + u x , i y + u y )2

が最大となる点を探索していきます．ここで，  はサブセットの大きさを表しています．得
られた点が変形後の同一点であり，ux および uy が画像間に生じた変位として得られます．
これがデジタル画像相関法による変形計測の基本的な原理です．

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POI (Pointof Interest)

Subset輝度の分布の比較

相関値の高い場所を同一点として取得

変形前の輝度画像

変形後の輝度画像
図 1 DIC 測定の概念図

3. デジタル画像相関法の高精度化
3.1 相関値近似法
前節で示した変位 ux および uy は，最小単位が 1 ピクセルに対応する整数のデジタル値として得られます．もし対象画像が鮮明に取得できており，かつ画像の画素数が十分多ければ，ピクセル単位の変位評価で許容できる場合もあるかもしれませんが，大抵の場合，ピクセル以下の精度での変位評価が必要となります．そのためには，輝度値を線形補間によって連続化し，Newton-Raphson 法 (2)を用いて相関値が最大となる位置の実数座標の収束解を得ることもできますが，この手法を用いた場合，同一点の特定に要する時間が大きく増加してしまいます．そこで，相関値の分布を次式に示すような 2 次関数で表現し，それが最大となる実数座標を同一点とみなすことにより，比較的精度良く同一点の実数座標を特定することができます．

R( x, y) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f(2)

ここで，係数 a から f は最小 2 乗法を用いて計算します．式(2)で与えられる相関値が最大となる点は R( x, y) x = 0 および R( x, y) y = 0 となる点であり，この条件より得られる変形後の実数座標は次式で与えられます．
xR =2bd − ce2ae − cd, yR = 2
2c − 4abc − 4ab(3)

本手法で得られる精度は，2 画像間で剛体変位のみが生じた場合では 0.2 ピクセル程度の精度で評価可能ですが，画像間で変形が生じると精度を確保することは難しくなります．
3.2 Newton-Raphson 法 (2)2 画像間で変形が生じる場合，輝度場の比較を実施するためのサブセットの形状も変形し13てしまうため，サブセットの剛体変位に加えて，サブセットの変形も同時に評価する必要があります．たとえば，サブセットにおける変位と変位の 1 次こう配を同時に測定する場合，評価したい変数を並べた以下のベクトル qi  を次のように設定します．
u y u y y x y Tqi  = u x u y u x u x
x(4)

最小 2 乗法を用いて相関値を最小にする qi  を求めるためには，Newton-Raphson 法を用いて以下の収束計算を実施する必要があります．
−1 

qi (k +1) = qi (k ) −    R   R j2(5) qi q j   q j 

ここで，k は収束ステップです．R の 1 階微分および 2 階微分については省略しますが，項内に輝度の微分が含まれるため，鮮明な画像の取得が要求されます．本手法では，qi  ベクト
ル中に高次の変位こう配を追加することによって，サブセットの変形をより詳細に評価することが可能になりますが，収束に要する時間が大きく増加するうえ，画像の状態によっては収束しない場合もありますので，注意が必要です．
3.3 Global DIC 法 (3)
前節までに説明した手法は，POI 周りにサブセットを設定して測定点の変位を評価するものです．この場合，多数の POI に対する変位がそれぞれ独立に与えられるので，画像の一部に不明瞭な点が生じたり，すべり線などの発生によって輝度場が大きく変化したりすると，その点に対する変位測定が不可能になってしまいます．これに対し，Global DIC では，図 2に示すように，複数の POI を頂点とする要素状のサブセット内における輝度場を用います．
そして，有限要素法解析のようにすべての点に対する仮想変位を最小化する POI の変位場を求めることによって，画像全体の変位場を効率的に取得します．有限要素法における 2 次要素のように，一つの要素サブセットに対する POI の数を増やすことで，要素内の変位場関数を高次化することも可能です．本手法は，POI で作られる要素同士の変形の連続性が満足さ(a) 従来の DIC で用いられる ROI(b) Global DIC で用いられる ROI

図 2 Global DIC におけるサブセットの設定方法

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れるので，一部で輝度比較がやや困難な領域が生じたとしても，周囲の変位場との連続性によって同一点取得が実施可能になる反面，一部で全く輝度比較ができなくなると，全体の変位場が取得できなくなってしまします．
3.4 netDIC(4)我々の研究グループでは，ある POI に設定されたサブセットの変形を，その POI の周囲に存在する別の POI の変位を用いてフィッティングさせる，netDIC を提案し，様々な材料の不均一変形や大ひずみ域の変形評価を実施しています．本手法では，次式に示すような評価点周りの局所変位関数を用いてサブセットを変形させます．

ux = a0 + a1x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y2 + a6 x3 + a7 x2 y + a8 xy2 + a9 y3 ,(6)uy = b0 + b1x + b2 y + b3 x2 + b4 xy + b5 y 2 + b6 x3 + b7 x 2 y + b8 xy 2 + b9 y 3(7)

ここで，a0～a 9，および b 0～b9 は，周囲に存在する評価点の変位から近似的に求めます．(6)，(7)式では，変位関数を x，y の 3 次関数として表現していますが，本手法ではより高次の項を追加しても 2.3 節のように未知数の数が増加するわけではないので，試験片の一部に変形が集中するような強い不均一変形が生じた場合でも，より高次の項を導入することで，比較的安定して輝度比較を行うことが可能となります．

3.5 ひずみ場の評価
DIC により得られるのは変位場ですが，変形を評価する場合はひずみが必要な状況が多いです．そのような場合は，DIC で設定した変位評価点を用いて，global DIC のように要素を設定し，有限要素法で用いられる変位－ひずみ変換則を用いてひずみを求めます．たとえば，三 角 形 要 素 を 用 い る 場 合 ， ま ず ， 三 角 形 要 素 の 変 形 前 に お け る 3 つ の 頂 点 P1( x(1) , y(1) ) ～P3 ( x(3) , y(3) ) と変形後の同一点の座標値の差から，各頂点の変位ベクトル u(1) ～ u(3) を求め，それらの値を次式に代入することによって要素のひずみが得られます．

図 3 三角形要素の形状変化

15 y (2) − y (3) xx   1 0 yy  =2A
 
 x(3) − x(2) xy 
0(3)x − x(2)y (2) − y (3)y (3) − y (1)0x(1) − x(3)u( )  = u( ) u( ) u( ) u( ) u( ) u( ) i1x1y2x2y3x0(1)x − x(3)y (3) − y (1)y (1) − y (2)0x(2) − x(1)

0(1) x − x  u( i ) ,(8)y (1) − y (2) (2)

 

3y

ここで，A は三角形 P 1P2 P3 の面積です．
4. デジタル画像相関法を用いた計測例
4.1 熱可塑性樹脂のくびれ伝ぱ評価
高密度ポリエチレン（High Density Polyethylene, HDPE）やポリプロピレン（Polypropylene,PP）などの樹脂材料は熱可塑性樹脂と呼ばれ，室温下で単軸引張試験を行うと，一部に著しい変形が集中することで，くびれと呼ばれる部分的な断面積の減少が生じます．そして，さらに引張りを加えると，そのくびれが周囲に広がっていきます．その結果，試験片中のひずみや応力が不均一に分布してしまい，材料の応力とひずみの１：１関係を評価することが非常に困難になります．これに対し，DIC を用いて不均一変形が生じている場所のひずみを定量的に評価できれば，部分的に断面積が減少しても，場所ごとに応力とひずみの関係を評価することが可能になります．

(a) HDPE(b) PP

図 4 HDPE および PP の引張試験におけるくびれ伝ぱの DIC 解析
図 4 は，板状の HDPE および PP 試験片に引張変形を与えたときの異なる変形段階における相当ひずみ速度の分布を示しています．HDPE と PP で局所ひずみ速度の進展を比較すると，変形の局所化が生じる変形段階や，その後の局所変形領域の伝ぱする速度に違いが見られます．PP は HDPE に比べ，早い段階で変形が集中し，それが周囲へと伝ぱする速度も早く16なっています．また，HDPE は引張負荷方向に対して斜めの方向に変形が集中しているのに対し，PP の場合は垂直な方向に局所変形が生じています．DIC を用いれば，以上のような不均一変形状態を定量的に評価できますので，材料の力学特性の正確な把握が可能となります．

4.2 多結晶金属の結晶粒の変形評価
金属材料は微視的には異なる方位の結晶が集合した多結晶構造を有しています．金属材料に変形を与えると，この結晶方位によって変形や応力状態が変化します．したがって，巨視的には均一な変形を与えた場合でも，結晶構造には強い不均一変形が生じます．このような微視領域の不均一変形は，材料の力学特性に大きく影響するため，それを正しく評価し，予測できるようにすることが重要となってきます．微視領域の不均一変形をするためには，顕微鏡下で引張試験を実施し，その過程で得たデジタル画像を用いて DIC による変形計測が有効となります．
図 5 は，顕微鏡下で多結晶純銅に引張変形を与えたときの多結晶構造の連続画像を用いて，DIC で計測したひずみ分布の進展を示しています．図からもわかるように，多結晶構造には，強い不均一変形が生じており，特に引張りひずみが大きくなるほど変形の不均一性が顕著になっています．また，変形の初期では結晶粒内ではひずみの差が大きくありませんが，変形815 17 1819
2120
16 229713 142324111062537
5 4 123 263534
2 27 31 32 332830129

図 5 純銅の結晶構造に生じるひずみ分布
後期では同じ結晶方位を持つ結晶粒内にも強い不均一変形が生じており，この結果から，結晶粒の変形が，自身の結晶方位だけでなく，周囲の結晶粒との位置関係や方位差によっても大きく変化することがわかります．顕微鏡の分解能が上がれば，より小さいスケールでのひずみ分布の評価も可能となります．

4.3 ゲルの大ひずみ域の変形評価

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2000

True stress, kPa

True strain is calculated
by crosshead displacement

1500BIS2.0
BIS5.0
BIS15.01000

True strain is calculated by DIC5000BIS2BIS5BIS15BIS2.0
BIS5.0
BIS15.0123

True strain

図 6 架橋密度が異なるゲルの引張試験

図7におけるひずみ分布

DIC による真ひずみを用いた
真応力真ひずみ関係

ゲルは極めて柔軟であることから，材料の力学特性を評価するための引張試験や圧縮試験
では，材料の変形を把握するために通常使用されるような接触式の計測機器は使用で きません．また，架橋剤の量によってかなり大きなひずみ域まで変形することが知られており，大ひずみ域では試験片のつかみ部におけるすべりも顕著に発生するため，材料に生じる真ひずみを正確に把握することが困難です．そこで，DIC を用いてゲルの真応力と真ひずみの関係の評価が進められています．
図 6 は架橋剤の量が異なる 3 種類の試験片の引張試験を実施したときのひずみ場を示しています．架橋剤が少ない BIS2 の試験片では 2.0 を超える真ひずみが発生しており，つかみ部におけるすべりも顕著に生じています．図 7 は，クロスヘッドの移動量から求めた真ひずみと，DIC により得られた真ひずみを用いてプロットした真応力真ひずみ関係です．DIC で真ひずみを評価した場合はつかみ部のすべりが除去されるため，クロスヘッド変位から求めたものよりもかなり真ひずみが小さくなっていることがわかります．変形後期の伸びきりが発生するひずみの評価はゲルの力学特性の予測には大変重要な項目であり， DIC による変位評価が有効であることがわかります．

5. おわりに
本稿では，DIC の概要と高精度化の手法，ならびに大変形や不均一変形に適用する場合の応用例を示すとともに，様々な材料に対して DIC を用いて変位計測を実施した例を紹介しました．はじめにも述べましたが，DIC は非接触な変形測定手法であり，数多くの利点を有しています．近年では，DIC ソフトウェアも充実しており，様々な場で適用される例も増えてきています．ただし，ソフトウェアを使用する際も DIC の基本原理を深く理解したうえで，効果的に変位測定をすることが重要です．本稿が少しでもその助けになれば幸いです．

５．参考文献(1) Sutton, M.A., Walters, W.J., Peters, W.H., Ranson, W.F. and McNeill, S.R., Image Vis. Comput.,18

1 (1983), pp. 133-139.
(2) Sutton, M.A., Cheng, M., Peters, W.H., Chao, Y.J., and McNeill, S.R., Image Vis. Comput., 4(1986), pp. 143-150.
(3) Gao, Z., Wang, Y., Gioia, G. and Cuitiño, A.M., Proc. 2002 SEM, Society for Experimental
Mechanics, (2002), pp. 250-254.
(4) Uchida, M. and Tada, N., Int. J. Plast., 27 (2011), 2085-2102.

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