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シリーズ・技術調査報告「統計じかけのオレンジ」
─ A Statistics-work Orange ─
第 1 回 平均、分散、標準偏差一般社団法人 日本下水道施設業協会
技術部長

１．はじめに統計学は記述統計学と推測統計学の２つに大きく分類することができる。
記述統計学は、調査や実験等で集めたデータを、整理、表やグラフ化、数値化することでイメージ

堅田智洋

平均値の意味合い、性質として重要なポイントを以下に挙げる。
・データをヒストグラムで表すと、平均値はヒストグラムをやじろべえとみなした時のつり合いの支点となる。

的、直感的に理解しようとするものである。一方、・データは平均値の周辺に分布している。

推測統計学は、統計学の手法と確率理論を使って、・多く現れるデータの平均値への影響力が大きい。

「全体の把握が難しいくらい大きな対象」や「ま※ヒストグラム：データの分布状況を視覚的に表現するため、測定値の存在する範囲をいくつかの区分に分け、各区分を底辺としてその区間に属する測定値の出現（相対）度数に比例する面積をもつ長方形を並べた図。

だ起きていない、未来に起きること」といった「全体像」を、その時点で得られている「部分的な結果」から推測しようとするものである。
今回、筆者は、推測統計学のほんのさわりの部

実は、平均の求め方はこの「算術平均」のほかに「相乗平均（あるいは幾何平均）」、「二乗平均」、分を理解できた範囲でまとめてみた。ただ、不正「調和平均」等がある。「二乗平均」は各データを確な記述も散見されると思われるため、実務への２乗して合計し個数で割ってその後ルートにした
x2＋y2もので、２つの数ｘとｙの二乗平均はで２ある。この「二乗平均」の手順は後で標準偏差の活用の際は、他の専門書で正確な情報を確認してください。

ところでも出てくるので、算術平均と対比して示
２．さまざまな統計量
２．
１

統計量とはしておく（図２－１）。
二乗平均は、各データを最初に二乗してから算統計量とは、記述統計学において、あるデータ術平均を行い、最後に、最初の二乗操作を戻すたの特徴を１つの数値に要約して表現したものであめにルートを行うのだ、と解釈するとわかりやす

り、よく知られているものに、平均値、分散、標いかもしれない。

準偏差、中央値、最頻値、最大値、最小値がある。

他の平均の説明は割愛するが、いずれも「ｘとここでは、その中でも推測統計学においても重要ｙの間にある１つの数」を代表値として選び出しとなる平均値、分散、標準偏差を概説する。ていることは共通している。「ｘとｙを１つの数で代表するのにどの平均がふさわしいのか」は「そ

２．
２

平均値

平均値は「データを合計したものをデータ数で割った値」である。これは「算術平均」と呼ばれるもので、例えば、２つの数ｘとｙの算術平均はｘ＋ｙで求まる。
２20

明日の下水道80号.indb 20のデータ全体に関して何を知りたいのか」に依存して決まるため、用途に従って使い分けることになる。
本稿では、以降、特に断りがない限り「平均」
は算術平均を指すこととする。
明日の下水道No. 80（2021.７）

2021/07/28 9:56

「統計じかけのオレンジ」─ A Statistics-work Orange ─STEP

算術平均
1 各データx,y2↓

3 各データを合計する。
x＋y4 各データの合計をデータ数で割る。

第１回

二乗平均
各データ
x,y各データを二乗する。
x2 ,y2「各データの二乗」を合計する。
x2 ＋y2「各データの二乗」の合計をデータ数で割る。
2＋ 2＋2「『各データの二乗』の合計をデータ数で割ったもの」をルートする。
－＋2
図２－１

各データの二乗操作「各データを二乗したもの」の算術平均

25

２．
３

平均、分散、標準偏差全体をルートし、最初の二乗操作をリセット

算術平均と二乗平均の手順

分散、標準偏差から乗車しようとするバス停に、予定到着時刻にデータのバラツキの重要性

対して等確率で２分遅れたり２分早く来たりする。

私たちは、日常生活においては何かと平均値だ

同じく、バスBは、等確率で10分遅れたり10分早けで物事を判断することも少なくないが、実際にく来たりする。この場合、バス停への到着時刻をは平均だけで事象の様子がわかったというわけに平均値だけで見る分には、どちらのバスも時刻表はいかないことも多い。例えば、「ある歌手のファ通りに運行しているバスと見なすことができ、甲ン層の平均年齢は25歳である。」という話を聞い乙つけられない。しかし、実際の到着時刻が予定たとする。それだけで、この歌手のファンには20時刻からどの程度前後するか（ばらつくか）を考歳代の若者が多いのだろうと早とちりしてはいけ慮すると、実際には、バスAを選択するのではなない。子供から高齢者まで幅広い年齢層から支持いだろうか。上記のバスAにおける「２分」とバされていることが、平均年齢という統計量においスBにおける「10分」がダイヤの乱れ、つまりバては25歳という数値で表されたに過ぎない可能性

ス停到着時刻のバラツキ、散らばり具合を表してもある。ファンの年齢のばらつきの情報は与えらいる統計量だと考えることができる。そして、利れていないのだから、年齢構成を推し測ることは用するバスの選択には、平均値よりこの散らばりできないのである。

具合を知ることの方が重要だということになる。

２．
３．１

上記は極端な例だとしても、データの特徴を把握するためには平均値だけでなく散らばりやバラツキを知ることが非常に重要である。小島は自身の著書

２．３．２

分散、標準偏差の算出方法

前述したデータの散らばり具合を示す統計量が、で、そのことを「バスの運行状態」を分散と標準偏差である。その意味と算出方法を、例にとってわかりやすく説明しているので、以下

A高校１年の５人の女子の体重（kg）を例 ２） にに要約して紹介する。

以下に示す。

１）

ある目的地へ行くために、バスAとバスBのどその前にまず、「偏差」という用語がある。偏

ちらかを利用しようとしている。バスAは、これ差とは各データから平均値を引いて得られる値で、

日本下水道施設業協会誌

明日の下水道80号.indb 21212021/07/28 9:56

シリーズ・技術調査報告

番号 体重(kg)
151
249
350
457543
図２－２平均値の算出

51 + 49 + 50 + 57 + 43＝50(kg)5平均値の算出

番号 体重(kg) 偏差(kg)15151 －
24949 －
35050 －
45757 －
543
43 －
図２－３

50 ＝
50 ＝
50 ＝
50 ＝
50 ＝

1-1
07-7

各データの偏差の算出

各データが平均値からどれだけ離れているかを表

きかったり小さかったりする各データを均（なす（図２－２、図２－３）。

ら）したものなので、プラス、マイナスどちらの偏差＝データの数値－平均値

…（式２－１）

値も存在する偏差を算術平均すると打ち消しあってゼロになるのは当然である。

私たちは、調査から得た複数のデータを分析す

そこで、「『偏差を二乗したもの』の平均値」をる場合、個々のデータの偏差がどのようなものかとってみる。偏差を二乗してから平均を取る（二ということよりも、データ全体の傾向としての散乗したものを合計し、データ数で割る）ことでプらばり具合を知りたいことの方が多いだろう。そラス・マイナスが打ち消しあわないようにできる

こで、図２－３で求めた全データの偏差を平均すので、資料のバラツキの指標となりうる。この値ればいいと考えるのだが、図２－４で示すようにが「分散」である（図２－４）。

各データの偏差を単純に算術平均するとゼロになってしまう。そもそも、平均値は、平均値より大番号 体重(kg) 偏差(kg)15151 －
24949 －
35050 －
45757 －
54343 －

50 ＝
50 ＝
50 ＝
50 ＝
50 ＝

1-1
07-7

偏差の単純な算術平均値は0になってしまう。

1 + ( − 1)+ 0 + 7 + ( − 7)＝0(kg)
5

そこで偏差を二乗してから算術平均を行う。
22
1 2 ＋（−1）2 ＋0 2 ＋7（−7）＝20(kg2)
5
これが「分散」である。

図２－４22

明日の下水道80号.indb 22

分散の算出

明日の下水道No. 80（2021.７）

2021/07/28 9:56

「統計じかけのオレンジ」─ A Statistics-work Orange ─（偏差の２乗）の合計
分散＝
データ数

第１回

４．２．１

平均、分散、標準偏差統計的推定のファーストアプロー
チ…（式２－２）

４．２．２ 正 規母集団における母分散σ2がわかっているときの母平均μの推

しかし、この「分散」には２つの問題がある。

定

ひとつはバラツキを表す数値として大きすぎるこ
４．２．３と、もうひとつは単位が変わってしまっている正規母集団における母平均μがわ（kg→kg ）ことである。この２つの問題はいず

かっているときの母分散σ2の推れも、偏差を二乗してから平均を取るために生ず

定２４．２．４ 正規母集団における母平均μがわる。そこで、それを解消するために、最後にこのからないときの母分散σ2の推定分散のルートをとる。これが「標準偏差」である。
先述した「二乗平均」の定義から、「偏差の二乗」４．２．５の平均値のルートをとると、「偏差の二乗平均」になるから、次式が得られる。

わからないときの母平均μの推定
５．

標準偏差＝ 分散＝偏差の二乗平均…（式２－３）
標準偏差は、「各データの偏差の平均値」であり、

正 規母集団における母分散σ2が検定

５．１

検定とは５．２

検定のパターン別アプローチ

５．２．１

母平均の検定

すなわち、データ全体の「散らばり具合」を示す

５．２．２

t検定

ものである。「各データの偏差（平均値からの離５．２．３

カイ二乗検定れ方）の二乗平均（二乗し、合計し、データ数で割り、ルートにしたもの）」であるから、「各データの偏差（平均値からの離れ方）の平均」を表しているのである。
例題では、標準偏差＝ 20＝4.472≒4.5（kg）と【参考文献】１） 完 全 独 習 統 計 学 入 門 小 島 寛 之 2006年 ９ 月
ダイヤモンド社
２） まずはこの一冊から 意味がわかる統計解析 涌井貞美 2013年２月 ベレ出版

なり、各人の体重の平均体重（50kg）からのバラツキの標準的な幅が4.5kgであるとわかる。
＜次号に続く＞【本稿の全体構成】
１．

はじめに

２．

さまざまな統計量

２．
１

統計量とは

２．
２

平均値

２．
３

分散、標準偏差

２．３．１

データのバラツキの重要性

２．３．２

分散、標準偏差の算出方法

２．３．３

標準偏差の意味

３．

正規分布

３．
１

正規分布の特徴

３．
２

標準正規分布４．

推定４．
１

統計的推定とは

４．
２

統計的推定のパターン別アプローチ

日本下水道施設業協会誌

明日の下水道80号.indb 23

232021/07/28 9:56

「統計じかけのオレンジ」─ A Statistics-work Orange ─

第２回

標準偏差、正規分布

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シリーズ・技術調査報告「統計じかけのオレンジ」
─ A Statistics-work Orange ─
第 2 回 標準偏差、正規分布

一般社団法人 日本下水道施設業協会
技術部長

２.３.３

標準偏差の意味

堅田智

洋個のデータが持つ意味（特殊性）」は、平均値と標準偏差を用いることでデータの中のいったいの比較、つまり平均値からの離れ方（偏差）の数何がわかるのだろう。これについては、２つの見値自体だけでは評価できず、標準偏差を基準に相方が考えられる。まず第一に、「１セットのデー対的に見る必要があるということである。つまり、タの中のある１個のデータが持つ意味（特殊性）「そのデータの偏差が標準偏差いくつ分であるがわかる」ということ、そして第二に、「複数のか」という視点が重要となってくる。

データのセットを比較した場合に出てくる違いがわかる」ということである。

統計学の世界では、次のようなおおまかな基準が広く了解されているようである。すなわち、１

第一の「１セットのデータの中のある１個のデセットのデータの中の「あるデータ」の偏差が、ータが持つ意味（特殊性）がわかる」事例を以下

標準偏差±１個分であれば、そのデータは「月並に示す 。数学のテストで自分の結果が75点で平みなデータ」、そして±２個分から外側のデータで均点が60点だったとする。そのとき、自分はそのある場合は「特殊なデータ」だということである。

結果をどれくらい喜んでいいものだろう。このと続いて、第二の「複数のデータのセットを比較き知っておく必要があるのは「標準偏差が何点した場合に出てくる違いがわかる」事例を以下にか」ということである。ここでの標準偏差は、テ示す１）。例えば、X君は模擬テストを10回受けてストを受けた人の点数と平均点との差（偏差）を平均点が60点で標準偏差が10点、Y君は同じ模擬全員分、二乗平均したものである。標準偏差が12テストを10回受けて平均点が50点、標準偏差が30点だったとする。そうなると、自分の点数は平均点だったとする。このことから何が言えるだろう。

点より「おおよそ標準偏差1個分程度高い点数」

今度は、二人が持つ複数（10回）のデータ（模だとわかる。標準偏差は「各データの平均値から擬テストの点数）のセットを比較してみる。平均の離れ方を平均化した値」であるから、自分の点点をみれば、X君の点数の方がY君の点数より優数は「平均点から良い方に『普通程度に』離れた秀である。しかし、これだけでこの２人の本番の値」だということができる。そのような人は大勢受験の結果を見通すことはできない。「標準偏差いるだろうから、それほど大喜びすることではな１個分のバラツキは普通に起こりうる」というこいといえるかもしれない。とから考えて、X君はおおよそ60±10＝50〜70点

１）

標準偏差がもっと低く、８点だったとする。この範囲の点数を取る生徒だと見積もることができのとき、自分の点数は「平均的な離れ方である８る。同様に、Y君は50±30＝20〜80点の範囲の点点」の２倍近くも良い方向に離れていることから、数を取る生徒だと推測できる。つまり、X君は「安その価値は標準偏差が12点の場合より大きいと評定した成績」を取る人で、Y君は「ムラのある成価できるだろう。

績」を取るタイプだと言える。平均点だけでは評以上のように、「１セットのデータ中のある１
日本下水道施設業協会誌

明日の下水道82号.indb 21

価しきれない側面である。例えば、X君は50点で2122/07/22 0:27

シリーズ・技術調査報告

入れる学校ならきっと不合格になることはないだ
ろうが、80点取らないと合格しない学校にはなかなか入れないだろう。それに対してY君は、40点で入れる学校にも不合格になる可能性がある反面、80点を要する学校にも合格のチャンスがある、ということもいえるのである。
以上のように、複数のデータセットを比較する
際にも、平均値だけでなく標準偏差を考慮すれば別の見方の評価ができることがわかる。
ここまで、データの特徴を表現する「平均値」、図３−１

平均値μ、分散をσ2の正規分布「分散」、「標準偏差」という代表的な統計量を説明してきた。ところで、少し抽象的な表現になる値でも取りうるものは「連続的な確率変数」といが、データというものは世の中で起こった（あるう。「連続的な確率変数（xとする）に対する確いは将来起こる）さまざまな現象を観測（あるい率分布を関数（（x）
fとする）で表現したもの」がは予測）することで得られるが、その現象を発現確率密度関数である。この確率分布を表す確率密させるシステムの大部分は何かしらの「不確実度関数のグラフでは、横軸とグラフとで囲まれる性」を持っている。そのため、そこから生み出さ部分の面積が確率を表す。例えば図４−１で確率れるデータは判で押したようにぴったり同じ数値変数xが区間a≦x≦bに入る確率は図４−１に示になることはほとんどなく、まちまちな値になる

す「網掛け部分の面積」となる。xの値から算出のが一般的である。
「データがまちまちな数値をされる（x）
fの値自体が確率を示すのではない。しとる」ことを専門的には「分布する」という。分

たがって、xがこのグラフの左端から右端までの布が生じるのは、その数値が決まる背後に何らかすべての範囲の確率（横軸とグラフとで囲まれるの「不確実性」が働いているからであるが、「不部分の面積）は１（100％）となる。

確実性」と一口に言っても、そこには固有の「特正規分布はこのような確率密度関数の中でも最徴」、「癖」がある。その固有の特徴、癖を専門的も有名なものである。その特徴は左右対称な釣りには「分布の特性」と呼ぶ。その「分布の特性」

鐘型の分布となっていることである。まず平均値を、平均値と標準偏差を用いて「おおよそこの辺が一番高く、その近辺にもデータが集中して存在を中心にだいたいこれくらいの散らばり具合で存し（曲線が盛り上がり）、そこから左右に急激に在（分布）する」と表現するわけである。

減少していき平均値μから左右±２σを超えた辺りでは（x）
fの値は非常に小さくなる、すべり台の３．正規分布ような曲線は正規分布の特徴を示す重要なポイン

３．
１

トである。

正規分布の特徴

データの分布について触れたところで、データ正規分布は、自然現象や社会現象として観測さの分布でもっとも代表的なものと言われる「正規れるデータに非常に頻繁に現れるものとされてい分布」を紹介する。平均値μ、分散をσ2の正規る。例えば、人間も含め生物の身長（体長）のデ分布を図３−１に示す。

ータは正規分布となることが知られている。また、

このグラフは横軸を連続的な確率変数、縦軸を確率密度関数として正規分布をとったものである。

株の収益率のデータも正規分布だと考える研究者は多いということである。

確率変数とはいわばそのデータが取りうる数値の正規分布の姿を示す確率密度関数（x）
fは数式ことである。それは、サイコロの目（１,２,３,４,５,で表すことができる。したがって、先述の区間a６）のように飛び飛びの値のこともあるが、人の≦x≦bをどの範囲で指定しても、そこにデータ身長や流入下水のBOD値等、切れ目なくどんなが入る確率（相対度数）ははっきり決まる（算出22

明日の下水道82号.indb 22

明日の下水道No. 82（2022.７）

22/07/22 0:27

「統計じかけのオレンジ」─ A Statistics-work Orange ─される）。例えば、その中でよく使われるものと第２回

３．２

標準偏差、正規分布

標準正規分布

標準正規分布とは、平均＝０、標準偏差＝１のして以下のものがある。
・平 均から標準偏差±１個分の範囲（μ－σ≦x正規分布のことで、正規分布の中で最も基礎にな≦μ＋σ）のデータの相対度数は0.6826（＝70るものである（図３−３）。あるデータxが平均％弱）。

値＝μ、標準偏差＝σの一般正規分布のデータで・平均から標準偏差±２個分の範囲（μ－２σ≦あるとき、x≦μ＋２σ）のデータの相対度数は0.9544（＝z＝（x－μ）÷σ95％強）（図３−２）。
このことは、前項で説明した「１セットのデー…（式３−１）という加工をすると、データzは標準正規分布のタ中のある１個のデータが持つ意味（特殊性）」は、データに変換される。

「そのデータの偏差が標準偏差いくつ分である

か」という観点から評価する必要があり、それが【参考文献】
＜次号へ続く＞だ、ということを裏付けている。

１）完 全 独 習 統 計 学 入 門 小 島 寛 之 2006年 ９ 月
ダイヤモンド社
２）ま ずはこの一冊から 意味がわかる統計解析 涌井貞美 2013年２月 ベレ出版

図３−２

図３−３±１個分であればそのデータは月並みなデータで、±２個分から外側のデータであれば特殊なデータ

平均値μ、分散をσ2の正規分布

日本下水道施設業協会誌

明日の下水道82号.indb 23

標準正規分布2322/07/22 0:27

「統計じかけのオレンジ」─ A Statistics-work Orange ─

第３回

推定（１）

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シリーズ・技術調査報告「統計じかけのオレンジ」
─ A Statistics-work Orange ─
第 3 回 推定（１）

一般社団法人 日本下水道施設業協会
技術部長

堅田智

洋

４．推定

均は母平均の推定量である。そして、実際の標本４.１ 統計的推定とはから算出された推定量の値を推定値という。

ある集団に対して何かしらの調査を行うとする。

以上のように、バラツキのある標本調査の結果その調査対象となる集団のことを母集団と呼ぶ。

から、元の母集団に関する真の値（母数）を推定

その調査は、正確を期すなら対象全部に対して調しようというのが「推定（統計的推定）」である。

査を行う「全数調査」が望ましいが、現実には、つまり、部分的に明らかになった結果から全体を母集団の規模や費用等の事情から、母集団全部を推測するのである。では、私たちはどのような母調査し尽くすことは現実的に不可能なことが多い。

集団について、どのような仕組みで統計的推定をそこで、その母集団から一部を選び出し（抽出と行うことになるのだろうか。

いう）調査することになる。このとき、調査対象例えば、１個のデータxが現実に観測されたとしとして選び出された母集団の一部を「標本」と呼て、そのことからxが属する母集団について何が言び、標本に対して行う調査を「標本調査」という。

えるだろう。
まず、「母平均μはこのxの近くだろう」

標本調査では、母集団から標本を抽出し、その程度の推量は可能であろう（あくまで推量だが）。

標本から母数（母集団の分布の特徴を示す、平均なぜなら平均値とは分布の中から選ばれた大小い値や分散、標準偏差といった数値のこと）に関連ずれにも偏っていない代表的な点だからである。

する情報を得る。しかし、その調査結果は抽出す

さらに、ここでもし仮に、母集団の標準偏差σがる標本ごとに異なる。例えば、A市の20歳男子を何らかの理由でわかっているならどうだろう。先母集団として、その平均身長を調べるためにその程、１セットのデータの中のあるデータの偏差が中から10人の男子を抽出したとする。その10の標標準偏差±１個分なら、そのデータは「月並みな本の変量（調査項目のこと。ここでは身長）をx1、データ」で、±２個分から外側のデータである場x2、…x10とすると、それらは母集団に従った確率

合は「特殊なデータ」だと述べた。これは、たい変数（そのデータが取りうる数値）である。このがいのデータは平均値を中心にその前後標準偏差10人の平均身長をxとすると、２個以内の範囲におさまることを意味する。つまx＝x1＋x2＋…＋x10

10…（式４−１）

り、「データxは母平均μからσ×２程度以内の離れ方だろう」と考えることができる。逆に言えばとなる。このように、「標本から算出された平「xからσ×２程度以内の隔たりでμが存在するだ均値」を標本平均と呼ぶ。重要なことは、この標ろう」、つまり、観測されたデータは、ある程度本平均（ここでは抽出した10人の平均身長）自体母平均に近いものだとみてよい。このことは、母も、抽出する標本ごとに値を変える確率変数であ集団が正規分布の場合には強く支持される。

るということである。つまり、この10人の標本の次に、観測されたデータが１個ではなく、複数平均身長は、抽出する10の標本のセットごとにバ個の場合を考える。もちろん、数個のデータでもラツキが出る。それは、無作為に抽出される男子母集団の分布を再現するほどの情報にはならない。

10人の顔触れがその都度変わるからである。ちな

しかし、母平均μの推量なら、１個の観測データみに、この標本平均のように、母数の推定に利用のときよりもずっと精度を上げることができる。

される統計量をその母数の推定量と呼ぶ。標本平

さきほど、複数個の観測データの平均値を母平均

日本下水道施設業協会誌

17

シリーズ・技術調査報告と区別するために標本平均と呼んだが、標本平均４.２

統計的推定のパターン別アプローチについては、次の定理が成立する。「１つの母集

４.２.１

統計的推定のファーストアプローチ

団から、n個のデータを観測しその標本平均 x をまず、「区間推定」の重要なポイントは、100%作る。このとき、n が大きければ大きいほど、標を望まずにピンポイントでなく、例えば「95%の本平均 x は母平均μに近い数値をとる可能性が高確率で」と幅をもって母集団の平均値や分散値をくなる。」これを「大数の法則」という。
「同じ標言い当てようとすることである。本題の「正規母本平均をとるにしても、より多くのデータでとっ集団とわかっていて、母分散もわかっているときた方が正確である」という意味のイメージしやすの母平均の推定」に入る前に、その区間推定の考い定理だといえる。

え方を、標本数（観測データ）が１個の場合で確つまり、私たちがこのように標本平均をとるの認する。たった１個の標本数で区間推定を行うこは、偶然に起きるデータの散らばりをできるだけとは実際には現実的ではないが、区間推定のアプ打ち消して、実際の値に近い値を得たいからであローチを学ぶことができる最もシンプルな事例とる。この標本平均の発想が統計的推定でも大きななりうるのでここでみておくことにする。

効力をもつ。
さて、統計的推定として最も理想的なものは、【例題１】2）

もちろん、「母集団の分布がまるでわからないとお金が入っている箱がたくさん並んでいる。各きの推定」だろう。しかし、これは、母集団に関々の箱の額は不明で、その平均金額を知るために、する情報が何もないのだから、さすがに「原理的標本として１箱だけ無作為に抽出して調べたとこには無理だ」と直感的に感じさせる。実際には、ろ、箱の中には500円が入っていた。すべての箱いくつかのアプローチの方法があるようだが、本の中の平均金額を区間推定せよ。ただし、箱の中稿では取り扱わない。また、正規分布をとらないの金額Xは分散302（標準偏差30）の正規分布に母集団は、たとえ母集団自体の分布がわかってい従うとする。ても、標本平均の分布はそれとは変わってしまうため、推定の対象とするには不都合である。

推定するといっても確率現象の話である。
「100%他方、正規母集団（正規分布している母集団のこうなる」と断言することは不可能である。そここと）は、「標本平均を作っても、その分布は正で、区間推定では、「ここからここまでの幅（区間）規分布のまま」という都合のいい性質をもっていに母平均μが含まれる確率は95%」というように、る。そして、私たちが、ある特定の不確実現象に推定した値に「当たる確率は何%」と精度を与え関して何か知りたい場合の多くは、その母集団のる。この95%のことを「信頼度」と呼ぶ。得られ母平均や母分散（あるいは標準偏差）を知ればよる推定区間がどれくらい信頼できるかを確率的にいことが多い。それは、前述したように、自然現表現したものである。区間推定においてよく用い象や社会現象において正規分布が非常に頻繁に現られる信頼度は95%と99%である。以降、本稿では、れるからである。

実際に最もよく使われる信頼度95%でみていくこ

したがって、本稿では、統計的推定の対象を正規母集団とする。そして、正規母集団の母平均、ととする。
推定したい平均金額すなわち母平均をμとおく。

母分散をばらつきのある標本調査の結果から推定推定量となる金額Xは平均値μ（未知）、分散302のする方法を下記の４パターンに分類してみていく。

正規分布に従うので、抽出した標本ごとに異なる・正規母集団における母分散σ がわかっていると金額で散らばりながら図４−１のように分布する。

2

きの母平均μの推定・正規母集団における母平均μがわかっているときの母分散σ の推定
2・正規母集団における母平均μがわからないときの母分散σ の推定2・正規母集団における母分散σ2がわからないときの母平均μの推定前述したとおり、確率分布を表す確率密度関数のグラフでは、横軸とグラフとで囲まれる部分の面積が確率を表す。この図の正規分布でも同じであるので、図４−１で平均値μを対称にして左右同じ幅だけ面積（すなわち確率）が信頼度0.95（95%）となるように網掛けをする（図４−２）。
箱 の中の金額Xは95%の確率でこの網掛けした区間に現れるはず、と考えるのである。むろん、この網掛けした範囲の右側と左側に、左右合わせて５18

明日の下水道No. 83（2023.１）

「統計じかけのオレンジ」─ A Statistics-work Orange ─

図４−１ 平均値μ、分散302の正規分布

図４−３

第３回

推定（１）

平均値μ、分散σ2の正規分布における両側５%点であると述べた。そこから95%ぴったりにするために標準偏差±２個分からほんの少しだけ範囲を狭めて±1.96個分とした、と考えてよい。
この例題では標準偏差σ＝30であるから、
μ－1.96×30≦X≦μ＋1.96×30…（式４−５）とし、金額X（500円だった）が95%の確率でこの区間に現れるものとして、μを逆算するのである。
図４−２

平均値μ、分散30 の正規分布（μを対称に信頼度95%となる部分に網掛け）
2

すなわち、現実に観測したX（500円）がこの範囲に入らないようなμは現実の母集団の母平均%の確率でXが現れる可能性が残っているが、そことしてありえないとして棄却する（採用しない）、も含めた100%の確率で現れるXの区間は－∞以上というふうに考える。

＋∞以下になってしまうので、それでは推定する

μ－1.96×30≦500≦μ＋1.96×30…（式４−６）

意味がない。そこで、信頼度95%を設定して残りから５%の確率で起こり得る事象をカバーすることは441.2≦μ≦558.8

諦めることで「有限の区間を推定する」のである。

この範囲に入る母平均μは棄却せずに残ること

図４−２の正規分布のように、確率密度変数がになるので、これが母平均μの区間推定の結果、左右対称の場合、信頼度95%で網を掛けたときのすなわち「母平均μの95%信頼区間」となる。

…（式４−７）。グラ右端の方の点を「両側５%点」と呼ぶ（xR）

ここで、相対度数が95%になる区間は、（式４−

フが左右対称なので、「両側」と言いながら右の４）の「μ－1.96×σ≦X≦μ＋1.96×σ」 以 外 に方の点のみを指定すれば情報としては足りるのでもいろいろあるのではないかという疑問が浮かぶある。ただ、平均値μを中心として右側の「両側方もいると思われる。その通りである。例えば、（式５%点」xRと対称となるxLを説明したいときには、４−４）の区間を少しずらして「μ－2.1×σ≦X、xLを「左側の両側５%xRを「右側の両側５%点」≦μ＋1.86×σ」としても、相対度数は同じ95%点」と別々の呼称で呼ぶこともある。になる。しかし、相対度数95%となる区間は、前

平均値μ、分散σ の正規分布の「右側の両側者の3.92に対して後者は3.96と長くなってしまう。

５%点」、「左側の両側５%点」は次のように与え同じ相対度数で推定する区間は短いほど精度が高られる（図４−３）。

いだけ望ましいので、正規分布においては、ヒス2

右側の両側５%点：μ＋1.96×σ…（式４−２）

トグラムが左右対称で、対称軸に近いほど頻度が左側の両側５%点：μ－1.96×σ…（式４−３）高いことを考慮すれば、同じ確率で推定される区

よって、網を掛けたXの範囲は次のように表さ間を選び出すには、「左右対称の区間」を選択すれる。
μ－1.96×σ≦X≦μ＋1.96×σ…（式４−４）
これは、「正規分布では、Xが95%の確率で平均値±1.96×標準偏差の区間に出現する」ことを意味する。前節で、正規分布で平均から標準偏差±２個分の範囲にデータが入る確率は0.9544（95.44%）
日本下水道施設業協会誌

べきということがわかるだろう。
〈次号に続く〉【参考文献】

１）完 全 独 習 統 計 学 入 門 小 島 寛 之 2006年 ９ 月
ダイヤモンド社
２）ま ずはこの一冊から 意味がわかる統計解析 涌井貞美 2013年２月 ベレ出版
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