S01A-06

土木学会 第24回応用力学シンポジウム講演概要集（2021年5月）

ARD カーネルによる非線形地震応答解析のガウス過程回帰代替モデル構築
Construction of Gaussian process regression surrogate modelfor nonlinear seismic response analysis using ARD kernel
才田

大聖（筑波大・シス情）
西尾 真由子（筑波大・シス情）
Taisei SAIDA, University of Tsukuba
Mayuko NISHIO, University of Tsukuba
E-mail: saida.taisei.tj@alumni.tsukuba.ac.jp

Monte Carlo calculation is used in the seismic risk analysis of infrastructures that consider various parameter
uncertainties; however, the calculation cost increases as the parameters become higher in the non-linear time
history analysis with seismic load input. In this study, we verified a surrogate modeling by the Gaussian
process regression for the input / output relationships of the seismic analysis of a typical seismic isolated pier.
By using a constructed surrogate model, the number of structural analyzes could be effectively reduced. Then,it was shown that the Automatic Relevance Determination (ARD) kernel can appropriately and automaticallyextract the degree of influence of the structural parameters on the maximum seismic response for theoccurrence of different nonlinearities.

１．序論
地震リスク解析は，構造物の地震による被災度を確率論的に評価する解析であり，特に既存構造物に対しては維持管理計画と合わせた耐震補強対策の策定に有用である．こ
こでは，入力地震動や構造物の物性値などの不確実性を取り扱う構造信頼性解析を行う．多くの場合はモンテカルロ計算で，不確定パラメータ空間を数千～数万点サンプリングし，各点に対して構造解析を行って最大応答値などの確率分布を得て，限界状態に対する破壊確率から性能評価を行う．しかしこの方法では，非線形性を考慮する地震時刻歴応答解析をサンプル数回行うため計算コストが高くなる．
そのため構造解析の回数を減らし，地震リスク解析の計算コストを抑えることのできる代替モデルが有用である．代
替モデルは，実験計画法（Design of Experiment: DoE）によって不確実性を考慮するパラメータ空間からのサンプル点と，その各点での構造解析出力を訓練データとして，回帰モデルを構築するものである．構造解析の代わりにそれを用いてモンテカルロ計算を行うことで，通常のモンテカル
ロ計算で行う構造解析計算の回数を大幅に削減し，計算コストを低減することが期待できる．
構造性能計算に代替モデルを適用する研究は既に数多くある．しかし，その多くは限界状態関数を近似するアプローチである．解析応答値のばらつきや構造パラメータの不確実性が解析応答に与える影響を知るためには，性能照査に用いる解析応答値の分布自体を適切に出力する代替モデルが有効である．解析応答値の分布を目的出力とする既往研究には，例えば，廣畑ら 1)による Chebyshev の直行多項式を応答曲面近似式に用いた応答曲面法を適用したものがある．他の既往研究においても，多項式によって表現された回帰モデルを構築するものが多く，この場合，本質的な入出力関係の複雑さを考慮してモデルやそれに応じた訓練データを決定する必要がある．しかし一般的には，入力パラメータと出力解析応答の関係の複雑さはあらかじめわかるものではない．特に，本研究で対象とする構造物の地震応答解析は，地震動の強度や周波数特性によって非線形挙動の発現とその度合いが多様である．
そこで本研究では，ガウス過程回帰による代替モデル構築に着目した．ガウス過程回帰はカーネル法であり，回帰式はカーネル関数とそのハイパーパラメータが決まれば一意に決まる．
また，理論的には無限次の回帰が可能であり，©公益社団法人土木学会 応用力学委員会

入力不確定パラメータと出力応答の関係が非線形で複雑であっても回帰面を推定することが可能であり，入出力関係の複雑さを事前に留意する必要がないといえる．また，既存構造物の地震リスク解析では特に，不確実性を考慮するパラメータ数が多くなるが，その全てが入出力関係に寄与するとは考えにくい．しかし，非線形性の発現に応じて寄与するパラメータは変化することが考えられる．そこで本研 究 で は ， 関 連 度 自 動 決 定 (Automatic RelevanceDetermination: ARD)カーネルを用いるガウス過程回帰で，出力応答に対する構造パラメータの寄与度を自動的に考慮する回帰モデル構築を検証する．入力パラメータの出力に対する寄与度を構造工学的検知から考察することで，確率モデルである代替モデルの妥当性を示すことが可能になると考える．
２．免震 RC 橋脚の地震応答解析
本研究では基礎検証のために，道路橋の耐震設計に関する資料で諸元値や計算結果が示されている，免震 RC 橋脚の地震時刻歴応答解析を対象とした 2)．Fig.1 に示す橋脚と上部構造の 2 質点 2 自由度系モデルで，免震支承及び RC橋脚の履歴特性をバイリニアモデル，武田モデルとして水平バネでモデル化した．
時刻歴応答解析の時間増分は 0.001秒とし，数値積分法には Newmark-β法を用いた．構造減衰は，免震支承は 0%，RC 橋脚は 2%の減衰比として Rayleigh減衰を仮定した．入力地震動にはⅠ種地盤に対する Level 2設計地震動を基本とした．その上で，Fig.1 中の 8 つのモデルパラメータで，諸元値に対して±10％上下限値の一様分布として不確実性を表し，代替モデルの入力とした．
また，多様な非線形挙動発現に対して汎用な代替モデル構築を検証するため，基本入力地震動を 0.05，0.4，1.0 倍にスケーリングして，各ケースで橋脚天端と免震支承の最大変位を代替モデルの目的出力とした．Fig.2 に示すように，このスケーリングによって RC 橋脚と免震支承の荷重変位履歴で非線形挙動の発現関係が異なるケースとなっている．
３． 代替モデル構築結果と考察
本研究では訓練データ数，入力地震動，カーネル関数，サンプリング手法などを比較検証し，代替モデル性能は二乗平均誤差 RMSE と平均値絶対誤差 MAPE，ARD カーネルのハイパーパラメータである特性長スケールで評価した．

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土木学会 第24回応用力学シンポジウム講演概要集（2021年5月）

Fig. 1 2DOF lumped-mass model of a RC pier with a seismic
rubber bearing(a) Pier(b) Bearing
Fig. 3 Relationship between the number of training data andMAPE (Case N - N).

Fig.4 Regression surface of GP surrogate model in Mu and Kb1space (Case “L-N”, Bearing).

(a) Case “L-L” (Linear - Linear)(b) Case “L-N” (Linear - Nonlinear)(a) Case L-L(c) Case “N-N” (Nonlinear - Nonlinear)Fig.2 Load-displacement hysteresis of RC pier (blue) andseismic rubber bearing (red)(b) Case N-N
Fig.5 Estimated ARD kernel hyper parameters

訓練データ数については，非線形発現のいずれのケースにおいても 200 の訓練データがあれば，適切な最大応答分布が得られる代替モデルが構築可能であった．Fig.3 に，ケース”N-N”について，訓練データ数と代替モデルの推定誤差の関係を示す．訓練データをランダムに 5 ケース作成し，代替モデル構築の安定性を箱ひげ図にて示している．200の訓練データ数で MAPE は 2.0％以内に収まっている．このときの回帰曲面を上部構造質量 Mu と免震支承の 1 次剛性 Kb1 の空間について示したものが Fig. 4 である．赤点が訓練データ，緑点がテストデータ，青面が回帰曲面である．
この図より，定性的に代替モデルによって回帰面がうまく張れていることがわかる．そして，非線形性の発現が大きく異なる”L-L”と”N-N”のケースで推定された ARD カーネ
ルの特性長スケールを示した図が Fig. 5 である．ここでは，Sabol’s 法 3)による感度解析を比較に行い，Total effect とMain effect を赤点および青点で示した．この図より，非線形性の発現に応じてパラメータの寄与度が異なるが，特にTotal effect と ARD カーネル特性長スケールの低いパラメ©公益社団法人土木学会 応用力学委員会ータが一致しており，代替モデル出力に寄与していないパラメータを適切に抽出していることを示した．
４． 結論
本研究では，免震 RC 橋脚の地震時刻歴応答解析を対象として，構造物の地震応答解析に対するガウス過程回帰による代替モデル構築の有効性を検証した．その結果，非線形性挙動の発現特性に関わらず代替モデルは構築可能であり，訓練データ数 200 程度で，誤差 3%程度以内での目的出力の導出が可能であった．また，ARD カーネルで目的出力への感度を適切に考慮する代替モデル構築を確認できた．
参考文献
1) 廣畑ら: 応答曲面法およびベイズ理論に基づく構造信頼性設計手法の提案, 日本機械学会論文集 A 編, 67,660, pp. 1297-1304, 2001.
2) 日本道路協会: 道路橋の耐震設計に関する資料, 1997.
3) A. Saltelli et al.: Global Sensitivity Analysis, The Primer.
2008.

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