極配置を考慮した３自由度ヘリコプタのロバスト安定化
2010SE154 西村祐樹
指導教員：高見勲

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ここで，Vf (t) + Vb (t) の微小変動を∆Vf + ∆Vb [V ]，実はじめに験機を水平に保つ入力を Vf 0 + Vb0 [V ] とすると，Vf (t) +本研究は双線形性を持つ３自由度ヘリコプタを制御対象

Vb (t) は次のようになる．とし，線形化によるモデル化誤差および重りによる特性変Vf (t) + Vb (t) = Vf 0 + Vb0 + ∆Vf + ∆Vb

動に対しロバスト安定性を保証する制御系の設計を目的と(4)する． その際，極配置を考慮することにより，より良い応式 (3) は双線形性があるため，平衡点の周りで線形化する答性を検討する．と次のようになる．

2

モデリング
{(Mf + Mb )(L2a + L2h ) + Mw L2w }λ̈(t) =√−(Vf 0 + Vb0 )Kf L2a + L2b ρ(t)本研究に用いる３自由度ヘリコプタの実験機の概略
図を図１に示す．実験機は前後に２つのロータを持ち，支(5)持棒によって土台に固定されている．図 1 のように，エレベーション角度を ϵ[rad]，ピッチング角度を ρ[rad]，ト

また機体をホバリングさせる入力 Vf 0 + Vb0 は次式で表さラベリング角度を λ[rad] とし，前後ロータの入力電圧をれる．

Vf [V]，Vb [V]，前後ロータの質量を Mf [kg]，Mb [kg]，カウンターウェイトの質量を Mw [kg]，実験機の中心に載せる重りの質量を Mg [kg]，AC 間の長さを La [m]，OC 間の長さを Lb [m]，BC 間の長さを Lw [m]，点 A と各ロータ間の長さを Lh [m]，ロータの揚力定数を Kf [N/V]，重力加速度を g[m/s2 ] とし，ϵ(t)，λ(t) を目標値に追従させる制御

Vf 0 + Vb0 =式 (6) より式 (5) は次式で表される。

{(Mf + Mb )(L2a + L2h ) + Mw L2w }λ̈(t)= −{(Mf + Mb + Mg )La − Mw Lw }gρ(t)系を設計する．
Travel axis

Fb

Pitch axis

Back Rotor

3AO・・状 態 変 数 x(t) を x(t)Ff・Front Rotor[ϵ，ρ，λ，̇ϵ，ρ̇，λ̇]T ，入力 u(t) を u(t) = [Vf ，Vb ] とする．状態空間表現は次のようになる．

ε(t)

C{・

図 1 3 自由度ヘリコプタの概略図Lagrange の運動方程式を用いて非線形運動方程式を導出し，平衡点で周りで線形化すると次の式が得られる．
{(Mf + Mb + Mg )(L2a + L2b ) + Mw (L2b + L2w )}ϵ̈(t) =(Vf (t) + Vb (t))Kf=TElevation axisB(7)状態空間表現ρ(t)λ(t)

Counter Weight{(Mf + Mb + Mg )La − Mw Lw }g√(6)
L2a + L2b Kf√
L2a + L2b−(Mf + Mb + Mw + Mg )Lb gϵ(t)−{Mf + Mb + Mg )La − Mw Lw }g (1)(Mf + Mb )L2h ρ̈(t) =(Vf (t) − Vb (t))Kf Lh (2){(Mf + Mb )(L2a + L2h ) + Mw L2w }λ̈(t) =√−(Vf (t) + Vb (t))Kf L2a + L2b ρ(t) (3)ẋ(t) =y(t) =Ax(t) + Bu(t)Cx(t)

 0 0 0 1 0 0 
 0
 0 0 0 0 1 0 
 0
 0 0 0 0 0 1 
 0

A=
 a1 0 0 0 0 0  ，B =  b1


0 0 0 0 0 0b20 a2 0 0 0 00[]
1 0 0 0 0 0
C=0 0 1 0 0 0(8)0 0 0 
(9)b1 −b20−(Mf + Mb + Mw + Mg )Lb g(Mf + Mb + Mg )(L2a + L2b ) + Mw (L2b + L2w ){(Mf + Mb + Mg )La − Mw Lw }ga2 = −(Mf + Mb )(L2a + L2h ) + Mw L2w√
L2a + L2b Kf
b1 =(Mf + Mb + Mg )(L2a + L2b ) + Mw (L2b + L2w )
Lh Kf
b2 =
(Mf + Mb )L2ha1 =(10)4ン K = Y X −1 を求める．α = 0 のとき，各端点における制御系設計
出力を目標値に追従させるため, 積分器を追加した拡大

閉ループの固有値の実部の最大値は，− 0.2210 であるため，極配置を考慮する場合はα = 0.3 として求めた．極配置系を導出する．状態変数の拡大系 xe (t) = [ϵ(t)，ρ(t)，λ(t)， を考慮した場合の各端点における閉ループの固有値の実部∫∫
ϵ̇(t)，ρ̇(t)，λ̇(t)， (ϵref − ϵ)dt， (λref − λ)dt]T とすると． の最大値は − 0.4870 であり，条件を満たしている．
拡大系は次の式になる．

シミュレーション

7ẋe (t) = Ae xe (t) + Be u(t)[]A O6×2
Ae =−C O2×2[]
B
Be =O2×2

5(11)(12)(13)

行列ポリトープ表現

α = 0.3 において Mg = 0，Mg = 0.10 の場合で，エレベーションを目標値ϵ(t) = 15[deg]に追従させるシミュレーションの結果を図 2 に示す．Mg = 0, M g = 0.10 の場合，ともに安定している。また，Mg = 0.10 においてα = 0，α = 0.3 の場合のシミュレーション結果を図３に示す．極配置を考慮した場合，応答性の向上が見られる．

実験機の中心に重りを載せた場合の特性変動に対して，ロバスト安定性を保証する．Mg の変動範囲は

20

Mg ∈ [Mg,min ，Mg,max ] = [0，0.10]

elevation[deg](14)

システム行列 Ae ，Be における変動パラメータ Mg を含む

a1 ，a2 ，b1 の変動範囲は次のようになる．
a1 ∈ [a1,min ，a1,max ]a2 ∈ [a2,min ，a2,max ]b1 ∈ [b1,min ，b1,max ]

(15)
(16)
(17)

10input
Mg = 0.00[kg]Mg = 0.10[kg]500510time[s]1520

図 2 Mg = 0，Mg = 0.10 のϵ(t) のシミュレーション

上記の行列ポリトープ集合を用いてシステム行列Ａe の端点をＡe0 ，Ae1 ，Ae2 ，Ae3 ，Be の端点を Be0 ，Be1 とする．

80

ロバストＬＱ制御

60

travel[deg]615

最適レギュレータ問題の可解条件を LMI 条件で表現し，行列ポリトープ表現を用いてロバスト安定化制御器を設計する．状態フィードバック形式のコントローラを u(t) =40input
α=0
α=0.320

Kx(t) として，評価関数∫ ∞J=(x(t)T Qx(t) + u(t)T Ru(t))dt

001020time[s]3040

図 3 α = 0，
α = 0.3 のλ(t) のシミュレーション0の最小化を行う．LMI 条件は極配置を考慮するための条件を追加し，次のようになる．

He[Aei X + Bej Y ] −X

−X−Q−1−YO−Y TO ≺0−R−18

双線形モデルに対して線形化を行い，重りを載せることによる特性変動に対して，極配置を考慮した制御系設計

(18)
(19)

He[Aei X + Bej Y ] + 2αX ≺ 0(i = 0, 1, 2, 3)(j = 0, 1)[]Z I≻ 0，γ − trace(Z) > 0 (20)I X
ただし，P = X −1 < Z ，X > 0，J < γ10110によりロバスト安定性を保証した．また，極配置の考慮による応答性の向上が確認できた．実験機に実装し，シミュレーションと実験との比較，検証が今後の課題である．

9参考文献[1] Quanser 3-DOF Helicopter Laboratory Manual2011.
[2] 川田昌克 著，MATLAB/Simulink による現代制御入門，森北出版，東京，2011

また，重み行列 Q，R は次の通りにした．

Q = diag [ 100 1 10
R = diag [ 0.1 0.1 ]

おわりに1000.5 ](21)(22)

極配置を考慮しない場合と，αを設定し極配置を考慮した場合のそれぞれにおいて，状態フィードバックゲイ[3] 蛯原義雄 著，LMI によるシステム制御 ロバスト制御
系設計のための体系的アプローチ，森北出版