18/02/2019

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Université de Louvain la Neuve
Institut de recherche en mathématique et physiqueSéminaire Fondements et notions fondamentales.

Les débuts de la théorie desnombres transcendants.
Michel Waldschmidt

Leibniz
1646 – 1716

Professeur Émérite, Sorbonne Université,Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris
http://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Leibniz.html

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Leonhard Euler

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Quadrature du cercle

Euler
1707–1783

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Euler.html

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Irrationalité de ⇡Johann Heinrich LambertĀryabhat.a, né vers 476 AD : ⇡ ⇠ 3.1416.
Nı̄lakan.t.ha Somayājı̄, né vers 1444 AD : Why then has an
approximate value been mentioned here leaving behind theactual value ? Because it (exact value) cannot be expressed.
Lambert1728 – 1777

K. Ramasubramanian, The Notion of Proof in Indian Science,
13th World Sanskrit Conference, 2006.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lambert.html

5 / 44Lambert et le roi Frederick II de Prusse

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Irrationalité de ⇡Johann Heinrich LambertMémoire sur quelques propriétés
remarquables des quantités transcendantes
circulaires et logarithmiques,Mémoires de l’Académie des Sciencesde Berlin, 17 (1761), p. 265-322 ;lu en 1767 ; Math. Werke, t. II.

— Que savez vous,Lambert ?
— Tout, Sire.
— Et de qui letenez–vous ?
— De moi-même !

tan(v) est irrationnel quand v 6= 0 est rationnel
Par conséquent ⇡ est irrationnel, car tan(⇡/4) = 1.

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Lambert §89

Lambert (extrait début)

9 / 44Lambert §90

10 / 44

Lambert §91

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12 / 44Joseph Liouville

Les premiers exemples de nombres transcendants

Liouville
1809 – 1882

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Liouville.html

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Generiques vs mesure pleine, Baire vs Lebesgue
René Baire(1874 – 1932)

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Mathematical genealogy

Henri Léon Lebesgue(1875 – 1941)

René Baire (1899)|
Arnaud Denjoy (1909)|
Charles Pisot (1938)|
Yvette Amice (1965)|
Jean Fresnel (1967)|
Michel Waldschmidt (1972)

Baire : G = intersection dénombrable d’ouverts denses.
Ensemble maigre : complement d’un G .
Les nombres qui ne satisfont pas une condition diophantienne
forment un ensemble générique en systèmes dynamiques. Pourla mesure de Lebesgue, l’ensemble des nombres de Liouville(i.e. ceux qui ne satisfont pas une condition diophantienne) est
de mesure nulle.

http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu
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Pierre Dugac (1926 – 2000)

Mathematical genealogy

Notes et documents sur la vie
et l’œuvre de René Baire.
Arch. History Exact Sci. 15(1975/76), no. 4, 297–383.

Leonhard Euler (1726)
René Baire (1899)||
Joseph Louis Lagrange (BA 1754) Arnaud Denjoy (1909)||
Simeon Denis Poisson (1800)
Charles Pisot (1938)||
Michel Chasles (1814)
Yvette Amice (1965)||
Gaston Darboux (1866)
Jean Fresnel (1967)||
Michel Waldschmidt (1972)Émile Picard (1877)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_Dugac
http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu
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Wetzlarer Bier Waldschmidt Euler

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Charles Hermite

Hermite1822 – 1901

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hermite.html

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20 / 44Texte de Ch. Hermite : début

Texte de Ch. Hermite : p. 77– 78

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Texte de Ch. Hermite : p. 77
Hermite, Ch.
On the exponential function. (Sur la fonction exponentielle.) (French) JFM 05.0248.01
C. R. LXXVII, 18-24 (1873); C. R. LXXVII, 74-79, 226-233, 285-293 (1873).
Eine Aufgabe, welche als eine Verallgemeinerung des Problems der Annäherung durch algebraische Kettenbrüche angesehen werden kann, ist folgende: „Die n rationalen Brüche
1 (x)

(x)

,

2 (x)

(x)

,···n (x)(x)als Näherungswerthe der n Functionen 1 (x), 2 (x), · · · n (x) so zu bestimmen, dass die Reihenentwickelungen nach steigenden Potenzen von x bis zur Potenz xM übereinstimmen“. Es werde vorausgesetzt,
dass sich die Functionen (x) in Reihen von der Form + x + x2 + · · · entwickeln lassen, und manmache(x) = Axm + Bxm 1 + · · · + Kx + L.

Dann kann man im Allgemeinen über die Coefficienten A, B, · · · L so verfügen, dass in den Producteni (x) (x) die Glieder mitxM , xM 1 , · · · xM µi +1 ,wo µi irgend eine ganze Zahl ist, verschwinden. So bildet man µi homogene Gleichungen ersten Gradesund hat
M +1+ 2 xM +2 + · · · ,i (x) (x) = i (x) + 1 x
wo

1, 2, · · ·Constanten,i (x) ein ganzes Polynom vom Grade M
i (x) =i (x)(x)+µi . Da aber hieraus folgt, dassM +1+ 2 xM +2 + · · ·1x(x),so sieht man, dass die Reihenentwickelungen des rationalen Bruches und der Function in der That dieselben sein werden bis zu xM , und da die Gesammtzahl der gemachten Bedingungen gleich µ1 +µ2 +· · · +µnist, so genügt es, die einzige Bedingungµ1 + µ2 + · · · + µn = mhinzuzufügen, wo die ganzzahligen µi bis dahin ganz willkürlich geblieben sind. Diese Betrachtung ist derAusgangspunkt, den der Herr Verfasser für die in seiner Arbeit entwickelte Theorie der Exponentialfunction genommen hat, indem er nämlich das Obige anwendet auf die Grössenax
1 (x) = e ,bx
2 (x) = e , · · ·hx
n (x) = e .

Reviewer: Müller, Felix, Dr. (Berlin)
MSC:
33B10
41A29

Exponential and trigonometric functions
Approximation with constraints

Cited in 7 Reviews
Cited in 33 Documents

Keywords:
The exponential function. Rational approximation with constraints
Full Text: Gallica

Edited by FIZ Karlsruhe, the European Mathematical Society and the Heidelberg Academy of Sciences and Humanities
c 2019 FIZ Karlsruhe GmbH
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24 / 44Henri PadéPaul Painlevé
Mais la découverte d’Hermite qui surpasse toutes les autres,c’est la démonstration de la transcendance du nombre e,démonstration qui, à peine modifiée, entraı̂ne la transcendance
du nombre ⇡, c’est-à-dire l’impossibilité de la quadrature ducercle. Les nombres algébriques (nombres définis par une
relation algébrique à coefficients rationnels) forment une classe
si dense qu’il paraissait presque impossible de trouver uncriterium assez subtil pour permettre de discerner si un nombre
tel que e ou ⇡ est transcendant. Ce criterium, c’est dans lathéorie généralisée des fractions continues qu’Hermite a su ledécouvrir, et sa méthode sera admirée tant que des hommes
existeront capables de comprendre la notion de nombre...
Parmi les mathématiciens de tous les temps, il en est peu quiaient exercé une influence directe comparable à celled’Hermite ; il n’en est pas dont l’œuvre soit plus sûrement
impérissable.

Padé
1863 – 1953
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pade.html

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Lettre de Hermite à Borchardt

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Carl Louis Ferdinand von Lindemann

Lindemann
1852 – 1939

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lindemann.html

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Émile Picard

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

On savait depuis longtemps former des séries représentant desnombres transcendants ; Liouville parait avoir donné le premierde tels exemples, mais ces nombres ne jouaient aucun rôle enanalyse. L’intérêt, qui s’attache à un nombre aussi
fondamental que e, donnait, au contraire, un prix immense àune démonstration de sa transcendance. Quelques annéesaprès, M. Lindemann, en s’inspirant des études d’Hermite,démontrait la transcendance du rapport ⇡ de la circonférence
au diamètre ; en même temps se trouvait, par suite, établil’impossibilité de la quadrature du cercle. L’étude de ces belles
questions a été, dans ces dernières années, notablement
simplifiée, mais les principes au fond sont restés les mêmes, etles démonstrations très simples que nous possédonsaujourd’hui on été suggérées par les démonstrations d’Hermite.

Weierstrass1815 – 1897

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Weierstrass.html

29 / 44Lettre de Hermite à Mittag-Le✏er, 22 août 1882.
Mr Weierstrass n’a point dédaigné de reprendre la question dela transcendance du rapport de la circonférence au diamètre etde refaire le travail de Mr Lindemann. C’est à mon avis ledernier mot sur la matière ; mon ancienne analyse concernant
le nombre e a été reprise de fond en comble transformée avec
une profondeur qui montre tout son génie, et qui laisse à
grande distance le travail excellent d’ailleurs de MrLindemann, malgré quelques lacunes. Mais Mr Weierstrass, qui
est la bonté même, attendra avant de publier sa méthode que
Mr Lindemann ait fourni toute la lumière et donné un mémoire
complet, qu’il paraı̂t avoir annoncé. Peut-être que Mr
Kronecker n’aurait pas, en pareil cas, agit avec la mêmegénérosité.

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Variantes des démonstrations de Hermite, Lindemann, Weierstrass

Kurt Mahler
1903 – 1988

C. Jordan (1882), A.A. Marko↵ (1883), E. Rouché (1883),
Th. Stieljes (1890), J.J. Sylvester (1890), O. Venske (1890),
V. Jamet (1891), C. Cailler (1891), D. Hilbert (1893),
A. Hurwitz (1893), P. Gordan (1893), K.A. Possé (1894),
F. Merten (1894), H. Weber (1899).
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32 / 44Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

Lettre d’Hermite à Mittag-Le✏er
L’impression que nous produisent les mémoires de Mr Cantor est
désolante ; leur lecture nous semble à tous un véritable supplice, eten rendant hommage à son mérite, en reconnaissant qu’il a ouvert
un nouveau champ de recherches, personne de nous n’est tenté dele suivre. Il nous est impossible, parmi les résultats qui sontsusceptibles de compréhension, d’en voir un seul ayant un intérêt
actuel ; la correspondance entre les points d’une ligne et d’une
surface nous laisse absolument indi↵érents, et nous pensons quecette remarque, tant qu’on n’en aura point déduit quelque chose,résulte de considérations tellement arbitraires, que l’auteur aurait
mieux fait de la garder et d’attendre. Mr Schwarz nous a appriscependant que Mr Cantor avait été récompensé de cette découverte
par le titre de correspondant de la Société Royale de Göttingen ; ilse trouvera par conséquent des lecteurs qui trouveront à le lire etl’étudier un intérêt et un plaisir que nous n’avons point.

Cantor1845 – 1918

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cantor.html

33 / 44David Hilbert

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Constance Reid : Hilbert

Hilbert1862 – 1943

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hilbert.html

35 / 44• Constance Reid. Hilbert. Springer Verlag 1970.
• Jay Goldman. The Queen of Mathematics : A HistoricallyMotivated Guide to Number Theory. Taylor & Francis, 1998.
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Question de Weierstrass

George Pólya

Contributions de Weierstrass (lettre à Strauss en 1886),
Strauss, Stäckel, Faber, van der Poorten, Gramain. . .
Pólya1887 – 1985

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Polya.html

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Aleksandr Osipovich Gelfond

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Carl Ludwig Siegel

GelfondSiegel1906 – 1968

1896 – 1981

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gelfond.html

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Siegel.html

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40 / 44Theodor Schneider

Alan Baker

Schneider

Baker

1911 – 1988

1939 - 2018

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Schneider.html

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html

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Références

Université de Louvain la Neuve
Institut de recherche en mathématique et physiqueSéminaire Fondements et notions fondamentales.

La méthode de Charles Hermite en théorie des nombres
transcendants
http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/HERMITE_ANALYSE.pdf

Les débuts de la théorie desnombres transcendants.

Les débuts de la théorie des nombres transcendants (àl’occasion du centenaire de la transcendance de ⇡).
Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, 4 (1983),
p. 93-115

Michel Waldschmidt
Professeur Émérite, Sorbonne Université,Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris

http://archive.numdam.org/article/CSHM_1983__4__93_0.pdf

http://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/

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