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Vol.６５, No.１

（通巻１25 号）
PROCEEDINGS OF THE INSTITUTE OF STATISTICAL MATHEMATICS

目

次

PROCEEDINGS OF THE INSTITUTE OF STATISTICAL MATHEMATICS

特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」
PROCEEDINGS OF THE INSTITUTE OF STATISTICAL MATHEMATICS「特集 高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」について
川崎 能典・荻原 哲平 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
1
拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論 ［研究詳解］
荻原 哲平 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
5
Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について ［研究ノート］
上原 悠槙・増田 弘毅 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 21
高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定 ［研究詳解］
内田 雅之 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 39
高頻度データに対する Whittle 推定 ［原著論文］
深澤 正彰 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 71
東京証券取引所における高速な注文反応の分析 ［研究ノート］
田代 雄介・川口 宗紀 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 87
高頻度注文板データの統計解析 : 異市場・同一株式価格間の先行遅行関係 ［原著論文］
林 高樹 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 113切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔 ─日本株式による実証分析─ ［研究ノート］
吉田 靖 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 141
経験類似度に基づくボラティリティ予測 ［原著論文］
森本 孝之・川崎 能典 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 155

第
巻 第１号

６５

2017 年 6 月〒 190 -8562 東京都立川市緑町 10 -3

2017

大学共同利用機関法人 情報・システム研究機構 統計数理研究所

電話 050 -5533 -8500（代）

本号の内容はすべて http://www . ism . ac . jp/editsec/toukei/ からダウンロードできます

ISSN 0912 6112-

（年 2 回発行）

Vol. 65,
加藤
足立
小山
武田
野間
南
川崎
荻原

編集委員長
編集委員

特集担当編集委員

池田

広樹

編集室
昭子
脇地

長嶋

Contents

昇吾
淳
慎介
朗子
久史
和宏
能典
哲平

Special Topic : Statistical Inference and Modeling in High-frequency Financial Data

直子

渡邉

百合子

「統計数理」は，統計数理研究所における研究成果を掲載する統計数理研究所「彙報」として 1953
年に歴史を始め，1985 年に誌名を変更し今の形となりました．現在は，統計数理研究所の研究活動に限らず，広く統計科学に関する投稿論文を掲載し，統計科学の深化と発展，そして統計科学を通じた社会への貢献を目指しています．
投稿を受け付けるのは，次の 6 種です．
a. 原著論文
b. 総合報告
c. 研究ノートd. 研究詳解
e. 統計ソフトウェア
f. 研究資料投稿された原稿は，編集委員会が選定・依頼した査読者の審査を経て，掲載の可否を決定します．
投稿規程，執筆要項は，本誌最終頁をご参照ください．
また，上記以外にも統計科学に関して編集委員会が重要と認める内容について，編集委員会が原稿作成を依頼することがあります．
その他，「統計数理」に関するお問い合わせは，各編集委員にお願いします．
All communications relating to this publication should be addressed to associate editors of theProceedings.

大学共同利用機関法人

統計数理研究所

No. 1

On the Special Topic “Statistical Inference and Modeling in High-frequency Financial Data”
Yoshinori KAWASAKI and Teppei OGIHARA ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
1Modeling Intraday Stock Price Dynamics Using Diffusion Processes and Estimating Volatility
and Covariation
5
Teppei OGIHARA ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥On Stepwise Estimation of Lévy Driven Stochastic Differential Equation
Yuma UEHARA and Hiroki MASUDA ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 21
Hybrid Estimation for Stochastic Differential Equations Based on High-frequency Data
Masayuki UCHIDA ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 39
Whittle Estimation for High-frequency Data
Masaaki FUKASAWA ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 71
Analysis of High Frequency Reactions on Tokyo Stock Exchange
Yusuke TASHIRO and Muneki KAWAGUCHI ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 87
Statistical Analysis of High-frequency Limit-order Book Data : On Cross-market,
Single-asset Lead-lag Relationships in the Japanese Stock Market
Takaki HAYASHI ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 113
Estimating Truncated Realized Volatility and Time Interval : Evidence from Japanese
Stock Market
Yasushi YOSHIDA ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 141
Volatility Forecasting with Empirical Similarity : Japanese Stock Market Case
Takayuki MORIMOTO and Yoshinori KAWASAKI ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 155

情報・システム研究機構〒 190 8562 東京都立川市緑町 10 3--

電話 050 5533 8500（代）--http://www . ism . ac . jp/© The Institute of Statistical Mathematics 2017
印刷：笹氣出版印刷株式会社

June, 2017
表紙の図は本誌 101 ページを参照

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 1–3
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」「特集 高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」について
川崎 能典† ・荻原 哲平† （オーガナイザー）「統計数理」における金融データの統計解析に関連した過去の特集としては，2002 年 12 月号の「ファイナンス統計学」，2011 年 6 月号（第 59 巻第 1 号）の「金融リスクの統（第 50 巻第 2 号）
計解析」がある．これら間口の広いテーマ設定に比較して，今回の「高頻度金融データに基づく
統計的推測とモデリング」は，かなり絞り込まれた感があるが，にもかかわらず 8 本の論文が集まっているところに，この分野の研究の活発さが反映されていると見ることができよう．
に関する仮説形成は，経済学や金融論においては古く
金融市場のミクロ構造（microstructure）
から行われてきたわけだが，それらの仮説が検証されるには，データの利用可能性を待たなければならなかった．学説史的な観点から厳密に研究の源流を探る，というような作業は筆者の能力と専門性を越えているので，極めて私的な印象論を述べれば，1990 年代の半ばに Olsen &Associates 社が，1992 年 10 月から 1993 年 9 月の 1 年分ではあったが外国為替市場の高頻度デー
タを，少なくとも学術研究機関には極めて安価に提供し，合わせて国際会議をホストすること
で，高頻度金融データの分析を促進したことは特筆に値する．こうした時代の研究がまとめら
や Dacorogna et al.（2001）といった論文集がある．まれたものとして，Dunis and Zhou（1998）
た，金融市場のミクロ構造に関する基本文献である O’Hara（1995）も同時期の出版である．
さて，本特集は，高頻度金融データの利用を前提とした，確率過程の推測や時系列モデリン
グを扱っているが，分析の切り口を幾つかのキーワードを挙げながら取り上げておきたい．
高頻度金融データによってもたらされた最大のインパクトは，分単位，秒単位，あるいはそれ以下の観測間隔で得られるデータを集約することで，日次（に限らないが典型的には日次）のボラティリティが容易に得られるようになったことである．いわゆる実現ボラティリティである．研究テーマとしての RV は，市場のミクロ構造に起因するノイ（realized volatility, RV）
を避けながら RV を得るにはどうすればよいか，という観点から，多ズ（microstructure noise）
数の問題を統計学者に提供してきたと言える．こうした流れの中で，日次データに基づく非線
形・非ガウスフィルタリングといった手法は，かつてほどの重要性を持たなくなったと言えるだろう．
RV 計算に絡むもう一つの現実的問題点は，価格プロセスに含まれるジャンプである．ジャンプの存在は，RV の計算に当然大きな影響を与えるわけだが，成り行き注文に起因する bid-ask
バウンスのようなノイズと，ジャンプの影響を排してボラティリティを推定する，という問題に対しては，ここまでさまざまな研究が行われている．
一方，観測頻度という観点からも，高頻度金融データは新たな切り口を必要としている．それは，データが原則不等間隔（irregularly spaced）にしか観測されないことである．モデリングの方向性としては少なくとも二通り考えられるが，ひとつは取引と取引の生起間隔（duration）に着目した時系列モデルを作成することである．ARCH/GARCH 系のモデルからの類推で導入†

統計数理研究所：〒 190–8562 東京都立川市緑町 10–3

2

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

された，生起間隔に関する条件付き自己回帰モデル（Autoregressive Conditional Duration, ACD
モデル）とその変種は，計量ファイナンス（financial econometrics）の分野で盛んに研究された．
Hautsch（2004）に詳しい．もうひとつは，点過程（point process）として扱い，その条件付き強度のモデリングを行うというやり方である．
ないし生起度関数（intensity function）
ひとつの資産に関する取引レコードが不等間隔データであるということは，複数の資産の相関を考える際にはいわゆる非同期観測の問題が発生する．複数資産のポートフォリオ管理においては，相関の計算は基本的なことであるが，データの補間で便宜的に同期させて RV を求め．この点を克服する推測理
ると，観測期間が小さくなるにつれてバイアスが生じる（Epps 効果）を嚆矢に，以後活発に提案されている．
論は，Hayashi and Yoshida（2005）
以下では，本特集に採録された論文の内容を概観しておこう．最初の 4 編は，高頻度金融デー
タを扱うための基礎となる統計理論に関連する話題を取り扱っている．
荻原論文は，連続的な path をもつ確率過程である拡散過程による日内株価のモデリングと分散・共分散等のリスク量の統計推測手法の理論研究を詳解している．特に高頻度金融データ特有の問題をモデルに組み込み，それを考慮した統計理論を紹介している．上原・増田論文では，変動にジャンプを含む Lévy 過程を用いたモデリングを研究しており，Lévy 過程の係数であるスケール係数とドリフト係数を段階的に推定する手法を研究している．内田論文では，拡散過程モデルのパラメータ推定において，確率過程のドリフト項の係数と拡散係数のパラメー
タを分けて推定し，また，最適化関数を簡易なものから段階的に尤度関数に近づける方法により，安定的で高速な推定手法を研究している．深澤論文では，拡散過程モデルにおいて拡散過程自体が高頻度観測されるのではなく，その時間積分値が高頻度観測される場合の拡散係数項の推定手法を論じている．これはファイナンスにおいては株価ボラティリティの推定に対応するが，物理学における分子運動の Langevin モデルとも関係が深い．
後半の 4 編では日本株式市場における実証分析に関連する話題を取り扱っている．田代・川口論文では，東京証券取引所の個別株式の板情報を多次元 Hawkes 過程と呼ばれる点過程を用いてモデリングし，高速な株式売買システム（arrowhead）の導入前後における注文タイプ別の発生頻度の傾向を分析している．林論文では，東京証券取引所と 2 つの私設証券取引所において取引される個別株式について，取引所間の株価変動の先行遅行関係について調べている．吉
田論文は，実現ボラティリティに価格のジャンプが与える影響を，切断実現ボラティリティとの比較で実証的に分析した結果を報告している．容易に想像される通り，観測時間間隔の取り方と閾値の選択は，分析結果を大きく左右する．森本・川崎論文は，日次実現ボラティリティに対する予測モデルとして，経験類似度に基づくある種のモデル平均法を軸に，heterogeneous
モデルを主たる比較対象に，それらの予測能力を内挿・外挿の両面から
autoregression（HAR）
シミュレーションで検討した結果を報告している．
この巻頭言前半に列挙した論点からすると，この 8 編の論文で取り上げられているテーマは
必ずしも網羅的とは言えないが，2017 年時点でのスナップショットとしての価値は確実に有するものと自負している．寄稿してくださった研究者の多くは，統計数理研究所の客員教授・准教授として，あるいは共同利用研究員としての登録のある方である．共同利用・共同研究の成果を論文として結実できたことに，オーガナイザーとしてこの場を借りて感謝申し上げたい．
本特集が，読者諸兄の興味を少しでも喚起できたなら，編者・著者として望外の幸せである．

参

考

文

献

Dacorogna, M. M., Gençay, R., Muller, U., Olsen, R. B. and Pictet, O. V. (2001). An Introduction to
High-frequency Finance, Academic Press, San Diego.

「特集 高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」について

3

Dunis, C. and Zhou, B. (eds.) (1998). Nonlinear Modeling of High Frequency Financial Time Series,
John Wiley & Sons, Chichester.
Hautsch, N. (2004). Modelling Irregularly Spaced Financial Data, Springer-Verlag, Berlin.
Hayashi, T. and Yoshida, N. (2005). On covariance estimation of nonsynchronously observed diﬀusion
processes, Bernoulli, 11, 359–379.
O’Hara, M. (1995). Market Microstructure Theory, John Wiley & Sons, Cambridge, Massachusetts.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 5–20
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［研究詳解］

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論
荻原 哲平1,2（受付 2016 年 8 月 8 日；改訂 11 月 9 日；採択 12 月 20 日）

要

旨

本稿では，拡散過程と呼ばれる連続的な path をもつ確率過程を用いた日内株価モデリングとリスク量の統計推測手法の理論研究を紹介する．特に日内株価データのモデリングで問題となる，「マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ」と呼ばれる仮想的な観測誤差の存在や，複数資産の観測時刻が一致しない「非同期観測」の問題を取り上げ，関連する研究を紹介する．まず，株価ボラティリティや複数資産の共変動のノンパラメトリック推定手法の研究の歴史を簡潔に振り返った後，パラメトリック推定法として最尤型推定量の漸近理論を取り扱う．その後，推定量の最適性の概念である「漸近有効性」を扱う．特に推定量の漸近有効性を議論する上で重要な役割を果たす，統計モデルの局所漸近混合正規性の概念について紹介し，最尤型推定量が漸近有効性を満たすことについて論ずる．最後にベイズ型推定量を構築し，その漸近理論を紹介する．
キーワード：高頻度データ，最尤型推定法，漸近有効性，非同期観測，ベイズ型推定法，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ．
1.

高頻度データとその問題点

株式資産のリスク管理を行う際には，株価時系列の分散・共分散構造を特定することが重要であり，従来のリスク管理においては日次以上の株価データを用いてこれらのリスク量の推定が行われていた．一方で，近年各証券取引所における全ての取引の取引時刻・取引価格・売買
高等の情報を記録したような「高頻度データ」の利用可能性が高まり，それらのデータを用いたリスク管理手法の研究も活発になっている．このようなデータは秒・ミリ秒単位のタイムスタ
ンプを持っており，そのデータ量が膨大となるだけではなく，特有の構造からいくつかの問題が生じるため，従来の統計解析手法の適用が困難になっている．
例えば，ある証券の証券価格の観測時刻を {ti }ni=0 , 時刻 ti における証券の対数価格を Xti と書くと，実現ボラティリティは
RVn =

n


(Xti − Xti−1 )2i=1で定義される．証券対数価格 X = {Xt }0≤t≤T がブラウン運動 {Wt }0≤t≤T に対し，
1
2

統計数理研究所：〒 190–8562 東京都立川市緑町 10–3
国立研究開発法人科学技術振興機構（さきがけ）：〒 332–0012 埼玉県川口市本町 4–1–8

6

(1.1)

統計数理

第 65 巻

 t

 t

Xt =

0

μs ds +

0

第 1 号 2017

σs dWs ,t ∈ [0, T ]を満たし，観測時刻 {ti } が ti = T i/n (0 ≤ i ≤ n) であるとすると，X の二次変分 XT に対し，
(1.2)

RVn →p XT

(n → ∞)となることが知られている．
（1.1）
式は，証券対数価格 Xt が，時間とともに積みあがるトレン
t
t
ド成分 0 μs ds と，ランダムな Wt に駆動される拡散項 0 σs dWs で構成されていることを意味する．（1.2）の収束先である，
XT =

T0

σt2 dtは累積ボラティリティと呼ばれ，X の日内変動の大きさを測る重要なリスク量として，高頻度データの解析では分散に代わってよく用いられる．
しかし，高頻度観測データを用いた実証分析において，データの観測頻度を高くすると RVnが急激に増加する現象が確認されている．この現象は，連続セミマルチンゲールで記述される
潜在的な証券対数価格 X に対し，実際の証券価格の観測に仮想的な観測ノイズが混入していると解釈されている．このノイズは高頻度観測データを解析する際に現れる特有のものとして，「マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ」と呼ばれている．
また，複数証券の共変動の推定を考えると，売買取引データを用いる場合には，証券価格は証券の取引が起きた時にその取引価格として観測されるので，異なる証券の観測時刻が一致しないという「非同期観測」の問題が発生する．
本稿では，高頻度データの統計解析上の問題としてこの「マーケット・マイクロストラクチャー・
ノイズ」
の問題と
「非同期観測」の問題を中心に取り上げ，現在までで研究が進んできた，累積
ボラティリティ・共変動のノンパラメトリック推定の研究の概観を紹介した後，筆者が特に関わってきたパラメトリック推定手法，特に最尤型・ベイズ型推定法についての最近の結果を紹介する．
本稿では扱わないが，高頻度データのその他の話題として，time endogeneity と呼ばれる観測時刻の対数株価 X への依存性の問題や X がジャンプを含む確率過程で記述される場合の理論などがある．ジャンプを含む確率過程に関する研究は Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）の四章,に詳しく紹介されている．time endogeneity に関する研究としては，例えば，Li et al.（2014）, Koike（2017）
等を参照されたい．
Fukasawa and Rosenbaum（2012）2.

累積ボラティリティ・共変動のノンパラメトリック推定法

2.1 実現ボラティリティとマーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ
上で紹介したように，証券対数価格 X が（1.1）を満たし，それがノイズ無しで規則的に観測されている状況では，実現ボラティリティ RVn は XT に確率収束する．このような状況において，推定誤差の漸近分布についても研究されている．X の定義される確率空間を (Ω, F , P ) と書
Tくと，標準的な条件の下で，A = 2 0 σs4 ds と (Ω, F , P ) の拡張上で定義された F と独立な標準
正規乱数 ζ に対し，√√n(RVn − XT ) →s-L Aζ (n → ∞)(2.1)

を満たす．ここで，→s-L は確率変数の stable convergence を表す．(Ω, F , P ) 上の確率変数列 Znと (Ω, F , P ) のある拡張 (Ω , F  , P  ) 上の確率変数 Z に対して，Zn →s-L Z とは，任意の (Ω, F )上の確率変数 V に対して，(Zn , V ) が (Z, V ) に分布収束することを定義とする．その定義から

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

7stable convergence は分布収束より強く，確率収束より弱い概念であるといえる．より詳しい
stable convergence の性質等に関しては，Jacod and Protter（2012）の 2.2.1 節，または Jacod andの VIII 章 5c 節を参照せよ．
Shiryaev（2003）
一方，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの存在下では実現ボラティリティは一致性を持たず（つまり XT に確率収束せず），別の推定量を考える必要がある．マーケット・マ
イクロストラクチャー・ノイズのモデルで最もシンプルなものとしては，（1.1）を満たす確率過
程 {Xt }0≤t≤1 の観測 {Yi }ni=0 が，Yi = Xi/n + Ui

で与えられる設定が考えられている．ただし，ノイズ {Ui }ni=0 は X と独立な平均 0 の独立同分布列である．
マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの存在下での累積ボラティリティ推定に関しては近年活発に研究されており，例えば Bandi and Russell（2008）では，ノイズによる推定誤差と観測の少なさによる推定誤差のトレードオフから最適な観測頻度を選択する方法を研究している．また，ノイズを除去するいくつかの手法が提案されており，代表的なものとしては，Barndorﬀ-Nielsen et al.（2008）のカーネル法や，Podolskij and Vetter（2009）のプレ・アベレー
ジング法が挙げられる．
例えばプレ・アベレージング法は，観測データの部分的な平均をとることでノイズを除去す
では，正の実数 θ, 正整数列 kn と，連続かつ区分的に滑らかる方法であり，Jacod et al.（2009）1
な重み関数 g : [0, 1] → R で，g(0) = g(1) = 0, 0 g(s)2 ds > 0, kn = θn1/2 + o(n1/4 ) となるもの
を用いて，観測 {Yi }ni=0 を
 
k
n −1
p
n
ΔY i =g(Yi+p − Yi+p−1 )
k
n
p=1
1
1
で平均化した．そして s ∈ [0, 1] に対し，φ1 (s) = s g  (u)g  (u − s)du, φ2 (s) = s g(u)g(u − s)du,ψj = φj (0) (j = 1, 2) と定めた時，累積ボラティリティの推定量を
Ĉn =

n−1/2
θψ2

n−k
n +1


(ΔY i )2 −
n

i=0

n
ψ1 
(Yi − Yi−1 )22θψ2 n i=1で定義し，ノイズ Ui の 8 次モーメントの存在や μt , σt の標準的な条件の下で n → ∞ の時，
 1
1/4
s-L
(2.2)
n (Ĉn − X1 ) →γt dBs0となることを示した．ただし，v = E[U02 ], 1 ≤ i, j ≤ 2 に対し，Φij =
γt2 =

4
ψ22



Φ22 θσt + 2Φ12

σt2 v
θ

2

+ Φ11

v
θ3



1
0

φi (s)φj (s)ds,

で {Bt }0≤t≤1 は F と独立な標準ブラウン運動である．
また，
 n−2kn−kn +1
i+2k
n +1
n −1


Φ12
4Φ22 
4
Φ22 ψ1
n 4
n 2
Γn =
(ΔY
)
+
−
(ΔY
)
(Yj − Yj−1 )2ii
3θψ24 i=0nθ3 ψ23
ψ24
i=0
j=i+k
+

1
nθ3



Φ11
Φ12 ψ1
Φ22 ψ12
−2
+
2
3
ψ2
ψ2
ψ24

 n−2

(Yi − Yi−1 )2 (Yi+2 − Yi+1 )2
i=1

n

統計数理

8

第 65 巻と定めた時，
Γn → p 1
0

第 1 号 2017

γt2 dtとなることを示した．よって，
n1/4 Γ−1/2(Ĉn − X1 ) →s-L B1nとなる．B1 は標準正規分布に従うので，α = 0.01, 0.05 等に対して，Zα を正規分布の上側 100αパーセント点を Zα とすると，XT の信頼係数 1 − α の信頼区間は近似的に−1/4 1/2[Ĉn − n−1/4 Γ1/2
Γn Zα/2 ]n Zα/2 , Ĉn + nと計算される．
√（2.1）におけるレート 1/ n よりも（2.2）より，Ĉn の X1 への収束レートは n−1/4 となり，悪くなっている．これはノイズの存在により X1 の推定効率が落ちることを意味している．
Gloter and Jacod（2001a）では，ノイズの存在下で X1 の任意の推定量の収束レートは n−1/4が最適であるということを証明しているので，Ĉn は最適な収束レートを達成していることになる．
2.2 共変動の推定と非同期観測
金融資産のリスク管理を行う際には，単一資産の累積ボラティリティだけではなく，複数資産の共分散・共変動の計測も重要である．証券価格 X 1 = {Xt1 }0≤t≤T , X 2 = {Xt2 }0≤t≤T とその観測時刻 {ti }ni=0 に対して，実現ボラティリティの自然な拡張として実現共分散 RCVn が以下のように定義される：n

RCVn =(Xt1i − Xt1i−1 )(Xt2i − Xt2i−1 ).
i=1

実現ボラティリティと同様，X 1 , X 2 が（1.1）に対応する式を満たし，ti = T i/n の時，X 1 , X 2 の
12p1
二次変分 X , X T に対し，RCVn → X , X 2 T となることが知られている．X 1 , X 2 T は高頻度データの解析において，X 1 , X 2 の共分散に代わり，X 1 と X 2 の連動性を測る指標として用いられる．
複数証券の共分散推定の際には，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの問題に加え，
X 1 , X 2 の観測時刻が一致しないという「非同期観測」の問題が発生する．非同期観測の問題を解決するために考えられる最もシンプルな方法としては，価格データを線形補完するか，RCVn計算の基準となる時刻を設定し，各基準時刻に対して X 1 , X 2 の直前の観測データを用いる等の方法により，観測を「同期化」
して RCVn を計算することが考えられる．しかし，Hayashi andでは，このようなシンプルな同期化により計算された RCVn には深刻なバイア
Yoshida（2005）
スが存在することが指摘されている．さらに，彼らは非同期観測下における二次変分 X 1 , X 2 T
12の推定量 HYn を提案している．X 1 の観測時刻 {si }i=0と X 2 の観測時刻 {tj }j=0
に対して，
 1
HYn =
(Xsi − Xs1i−1 )(Xt2j − Xt2j−1 )1{[si−1 ,si )∩[tj−1 ,tj )=∅}i,jと定義される．観測時刻 {si }, {tj } と X 1 , X 2 が独立で maxi,j (si − si−1 ) ∨ (tj − tj−1 ) →p 0 の時，
HYn →p X 1 , X 2 Tが示されている．

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

9Hayashi and Yoshida（2008, 2011）
では，推定誤差の漸近分布が研究されている．Hayashi andでは，証券価格過程 X = (X 1 , X 2 ) がブラウン運動 (Wtl )t≥0 に対して確率微分方
Yoshida（2008）
程式：
dXtl = μlt dt + σtl dWtl , t ∈ [0, T ], l = 1, 2,
dW 1 , W 2 t = ρt dt を満たし，{σtl }0≤t≤T と {ρt }0≤t≤T が deterministic で観測時刻が X と独立の時，ある正数列 {pn }n∈N , pn → 0 に対し，以下を示した：

ただし，Ki,j

p−1/2(HYn − X 1 , X 2 T ) →d N (0, c) (n → ∞).
nst= 1{[si−1 ,si )∩[tj−1 ,tj )=∅} , vi1 = s i (σt1 )2 dt, vj2 = t j (σt2 )2 dt, vi,j
i−1

j−1

=

σ 1 σ 2 ρ dt に対し，
[si−1 ,si )∩[tj−1 ,tj ) t t t 1 2  2 2 
 1 2
−1
2
c = P-limn→∞ pn
vi vj Ki,j +(vi ) +(vj ) −
(vi,j ) .
i,j

i

j

i,j

Hayashi and Yoshida（2011）では，σt が random で {si }, {tj } の X の従属性を許したようなより広いモデル設定において，{si }, {tj } に対する strong predictability と呼ばれる条件等を仮定
した下で，
p−1/2
(HYn − X 1 , X 2 T ) →s-L Cζ (n → ∞)nが示されている．ただし，C は X 1 , X 2 の拡散係数に依存する確率変数である．
マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズと非同期観測の問題が同時に存在する場合の共変動推定法の研究も近年活発に研究されている．例えば，Christensen et al.（2010）ではプレ・アベ
レージング法と Hayashi–Yoshida 推定量を組み合わせた pre-averaged Hayashi–Yoshida estimaや multiscale
tor が研究されている．他にもカーネル法を用いた Barndorﬀ-Nielsen et al.（2011）
等がある．
estimator を用いた Bibinger（2011, 2012）
2.3 リード・ラグ推定
共分散推定に関連する研究として，Hoﬀmann et al.（2013）では，非同期観測された二証券間において一方が他方に対する価格変化の先行性があるかどうかを測るリード・ラグが研究されている．簡単のため，二証券対数価格 X 1 , X 2 が実数 θ∗ と二次元標準ブラウン運動 Wt = (Wt1 , Wt2 )に対し，
1
Xt1 = σ1 Wt+θ∗

Xt2 = ρσ2 Wt1 +1 − ρ2 σ2 Wt2を満たすとする．この時，X 2 は X 1 に対して時間 θ∗ だけ遅れていると考えることができる．また，X 1 , X 2 の観測が {Xs1i }i , {Xt2j }j で与えられているとする．彼らはコントラスト関数 U n (θ)
を 1
U n (θ) =(Xsi − Xs1i−1 )(Xt2j − Xt2j−1 )1{[si−1 ,si )∩[tj−1 −θ,tj −θ)=∅}i,jで定め，時間のラグ（リード）
θ∗ の推定量 θ̂n を θ̂n = argmaxθ |U n (θ)| と定めた．この時彼−1
らは，vn → 0 かつ vn maxi,j (si − si−1 ) ∨ (tj − tj−1 ) →p 0 となる正数列 {vn }n に対して，
vn−1 (θ̂n − θ∗ ) →p 0 を示した．
Huth and Abergel（2014）
は U n (θ) を用いて，lead-lag ratio と呼ばれる指標を作り，フランス
株価市場の高頻度個別株データに対する分析から，流動性の高い銘柄が他の銘柄をリードする

統計数理

10

第 65 巻

第 1 号 2017傾向があることを確認した．ただし，リードは数秒単位の非常に短い期間となっている．また，
Koike（2016）
では，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの存在下におけるリード・ラグの推定手法が研究されている．
3.

パラメトリック推定法

上の研究はパラメトリック・モデルを仮定しないノンパラメトリック推定量の研究であるが，パラメトリック・モデルの下での最尤型推定量・ベイズ型推定量に関する研究もなされている．
最尤型推定量を考えるメリットとしては，様々なモデルにおいて，推定誤差の漸近分散を最小にすることが示されることや尤度比検定，one-step 推定量，情報量基準によるモデル選択などへの応用が可能であることである．
フィルター付確率空間 (Ω, F , {Ft }0≤t≤T , P ) 上の二次元確率過程 {Xt }0≤t≤T が確率微分方程式：(3.1)

dXt = μ(t, Xt , σ∗ )dt + b(t, Xt , σ∗ )dWt

を満たすとする．この時，Xt は拡散過程と呼ばれる確率過程のクラスに属する．ここで，Wtは二次元標準ブラウン運動，μ(t, x, σ) は未知 R2 -値関数，b(t, x, σ) は 2 × 2 行列値の既知関数で，未知パラメータ σ∗ は σ∗ ∈ Λ を満たし，Λ ⊂ Rd は Lipschitz boundary をもつ開集合である．σ∗の値が推定できれば，累積ボラティリティ等のリスク量の推定が可能となる．最尤推定量を計算するには尤度関数を計算する必要があるが，拡散過程に対して尤度関数を計算することは一般に困難であるため，疑似尤度関数を構築することを考える．
本章以後，いくつかの仮定は弱めることが可能だが，煩雑さを避けるため比較的簡易な仮定を採用する．clos(Λ) は Λ の閉包を表すとする．まずは X のドリフト項 μ と拡散項 b に対する
以下の条件を仮定する．
[A1] 関数 (t, x) → μ(t, x, σ∗ ) は局所有界で，b は (t, x, σ) に関して十分なめらか，bb は各点で正定値で b は [0, T ] × R2 × clos(Λ) 上の連続関数に拡張される．
[A2] 任意の (t, x) に対し，inf σ1 =σ2 (|bb (t, x, σ1 ) − bb (t, x, σ2 )|/|σ1 − σ2 |) > 0.

（3.1）の dt 項は高頻度極限で dWt 項より速く零に収束するため，漸近理論で無視することができ，仮定があまり必要にならない．[A2] 条件は統計モデルの分離性に関するもので，ラフに（ノイズ付）
観測からパラメータを推定するためには，違うパラメータに言えば，データ {Xt } の対して違うデータが生成される必要があり，bb の水準が異なる必要があるということである．
3.1 同期観測・ノイズ無しの場合
まずは tk = kT /n に対し，{Xtk }nk=0 が観測されている（同期観測でノイズがない）場合を考える．この時，
ΔXk := Xtk − Xtk−1 ≈ bk (σ∗ )(Wtk − Wtk−1 )となる．ただし，bk (σ) = b(tk−1 , Xtk−1 , σ). よって ΔXk は Ftk−1 の条件付の下，近似的に平均0, 分散 bk bk (σ∗ )(tk − tk−1 ) の正規分布に従う．このことから，疑似対数尤度関数 Hn0 (σ) を


−1

n
bk bk (σ)T
1
0
(3.2)
Hn (σ) = −ΔXk + log det(bk bk (σ))
ΔXk
2
n
k=1
で定める
（局所ガウス近似）．ただし，定数項は σ の最適化に影響を与えないため除外している．
最尤型推定量 σ̂n0 を σ̂n0 = argmaxσ Hn0 (σ) で定める．
,
同期観測・ノイズ無しの場合の最尤型推定量の漸近的性質は Genon-Catalot and Jacod（1994）

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

11

Uchida and Yoshida（2013）
で研究されており，Γ0 = P - limn→∞ (−n−1 ∂σ2 Hn0 (σ∗ )) と書くと，以下の定理が成立する．

定理 3.1. [A1], [A2] の下，ある d 次元標準正規乱数 ζ で F と独立なものがあって，Γ0 > 0a.s. かつ n → ∞ の時，√−1/2n(σ̂n0 − σ∗ ) →s-L Γ0ζ.
3.2 非同期・ノイズ無しの場合
1,nOgihara and Yoshida （2014）
では，X 1 , X 2 の（random な）観測時刻をそれぞれ {Sin,1 }i=0,
2,n
⊂ [0, T ] で与え，{Sjn,2 }j=0
0 = S0n,p < S1n,p < · · · < Sn,p
= T,
p,n
n,p
) →p 0max(Sin,p − Si−1i,pas

(p = 1, 2)

n → ∞ （高頻度観測極限）の条件の下，最尤型推定量を構築し，その漸近挙動を調べた．
同期観測の場合と同様，局所ガウス近似から疑似対数尤度関数を構築することを考える．δi,jをクロネッカーのデルタとし，b1i (σ), b2j (σ) は拡散係数 b の行ベクトル b1 , b2 に対して，それぞれn,1n,2, Sj−1における最新の X 1 , X 2 の値を代入して得られるものとし，区間 K = [a, b) に対
時刻 Si−1n,p, Sin,p ) と置く．この時，X 1 , X 2 の規格化された増分 (ΔXi1 |Ii1 |−1/2 )i ,
し |K| = b − a, Iip = [Si−1
2 2 −1/2)j に対し，その条件付共分散は，(ΔXj |Ij |Ep
ΔXip ΔXj
n,p
n,p
p 1/2
p 1/2 FSi−1
∧Sj−1
|Ii |
|Ij |

≈ |bpi |2 δi,j ,E

ΔXi1 ΔXj2
F n,1 n,2
|Ii1 |1/2 |Ij2 |1/2 Si−1 ∧Sj−1≈ b1i · b2j|Ii1 ∩ Ij2 ||Ii1 |1/2 |Ij2 |1/2と近似される．よって Gij = |Ii1 ∩ Ij2 ||Ii1 |−1/2 |Ij2 |−1/2 ,(ΔXi1 |Ii1 |−1/2 )idiag((|b1i |2 (σ))i )
Z=
,
S(σ)
=
(ΔXj2 |Ij2 |−1/2 )j{b1i (σ) · b2j (σ)Gij }ji{b1i (σ) · b2j (σ)Gij }ijdiag((|b2j |2 (σ))j )と置いて, 疑似対数尤度関数 Hn1 (σ) を
(3.3)

1
1
Hn1 (σ) = − Z S −1 (σ)Z − log det S(σ)
22と定める．この時最尤型推定量 σ̂n1 を σ̂n1 = argmaxσ Hn1 (σ) で定める．
非同期観測のケースで最尤型推定量 σ̂n1 の漸近挙動を調べるには，確率過程 X の条件 [A1], [A2]だけではなく，観測時刻列 {Sin,p } の漸近挙動に関する仮定が必要になる．Ogihara and Yoshida（2014）では，{Sin,p } のある汎関数の極限の存在を仮定しているが，ここではより簡易な十分条件として以下の仮定を置く．
[A3] ある exponential α-mixing simple point process (Nt1 , Nt2 )t≥0 で増分が定常となるものがあって，任意の q > 0 に対し，
(3.4)

E[|N1 |q ] < ∞,lim sup max uq P [Nup = 0] < ∞
n→∞

p=1,2

かつ
(3.5)

p
Sin,p = inf{t ≥ 0; Nnt
≥ i}.

統計数理

12

第 65 巻

第 1 号 2017

例えば，(Nt1 , Nt2 )t≥0 が独立なポアソン過程でパラメータを λ1 , λ2 とすると，増分定常な ex（3.4）の最初の条件も明らかに満たす．二番目
ponential α-mixing simple point process となり，の条件に関しては，
lim uq P [Nup = 0] = lim (uq e−λp u ) = 0
u→∞

u→∞

より満たされる．よって，観測時刻列を（3.5）
で定めれば [A3] 条件を満たすことがわかる．
定理 3.2. （Ogihara and Yoshida, 2014）[A1]–[A3] を仮定する．この時，
Γ1 = P - lim (−n−1 ∂σ2 Hn1 (σ∗ ))n→∞が存在し，最尤型推定量 σ̂n1 に対して，F と独立な d 次元標準正規乱数 ζ があって，Γ1 > 0 a.s.
かつ

√

−1/2

n(σ̂n1 − σ∗ ) →s-L Γ1ζ(n → ∞).

Ibragimov and Has’minskiı̆（1972, 1973, 1981）の尤度比確率場の理論を用いると，j = 0, 1 に対し，最尤型推定量 σ̂nj の漸近的性質を調べる上で，疑似対数尤度比 ∂σk (Hnj (σ) − Hnj (σ∗ )) (k =（3.2）式では，Hn0 (σ) は，各 k に対する
0, 1, 2, 3, 4) の極限の性質を調べることが本質的になる．
ΔXk の疑似対数尤度を足し合わせたシンプルな関数であるが，非同期・ノイズ無しの Hn1 (σ) では，S −1 の全ての要素が非零となり得る上に，ΔXk ΔXl の係数が遠い先の時刻まで参照しているため，マルチンゲールに対する極限定理などを使いづらくなるため，定理 3.2 の証明には，Itô
解析と線型代数を組み合わせて係数の時刻ずらしを行ってからマルチンゲールの極限定理を適用するなどのより複雑な解析が必要となる．
3.3 非同期・ノイズ付の場合∞
独
次に非同期観測でノイズがあるモデルを考える．p = 1, 2 に対し，ノイズを { n,pi }i=0 と書き，
n,p
n,p 2
q
)
]
<
∞
立同分布で，未知の vp,∗ > 0 と任意の q > 0 に対し，E[ i ] = 0, E[( i ) ] = vp,∗ , E[( n,p
i
p
p
n,p
n,p
n,p
を満たすとする．観測は Yi = XS n,p + i で与えられるとし，{Si }n,p,i , { i }n,p,i , (Xt , Wt )ti

は独立とする．
−1/2+
→ 0 かつ n1/3+ ln−1 → 0 となるよ
自然数列 {ln }∞n=1 をある > 0 に対し，ln → ∞, ln nnに分けて疑うにとり，sm = T ln−1 m (0 ≤ m ≤ ln ) に対し，観測を ln 個の区間 {[sm−1 , sm )}lm=1
似対数尤度関数を構築することを考える．この疑似対数尤度関数構築の手法は同期観測・ノイズ無しの最尤型推定量を研究している Gloter and Jacod（2001b）のアイディアに基づいており，
疑似対数尤度関数の漸近挙動を制御するための技術的な理由によりこのような操作が必要になるが，n の取り方は最尤型推定量の漸近分布に影響を与えないことが示される．
p1
2+ 1, km+ 1 とし，ΔYip = Yip − Yi−1,
区間 [sm−1 , sm ) の間の Y 1 , Y 2 の観測数をそれぞれ km
p
p
k
k
−1
p
p
p
Y
)
,
σ),
k
×
k
行列
M
を
bm (σ) = b (sm−1 , ((km−1 )
p
p,m
m
m
i;Ii ⊂[sm−2 ,sm−1 ) i⎧⎪(i = j)⎨2(Mp,m )ij =−1 (|i − j| = 1)⎪⎩0otherwiseと定める．
が正規分布に従うとすると，[sm−1 , sm ) 内の観測 ΔYip , ΔYip に対し，p = p
まずノイズ項 n,piの時，E[ΔYip ΔYip |Fsm−1 ] ≈ |bpm (σ∗ )|2 (diag(|Iip |)i )ii + vp,∗ (Mp,m )ii ,p = 1, p = 2 の時，

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

13

E[ΔYi1 ΔYi2 |Fsm−1 ] ≈ b1m · b2m (σ∗ )|Ii1 ∩ Ii2 |.

よって Zm = ((ΔYi1 )i;I 1 ⊂[sm−1 ,sm ) , (ΔYj2 )j;I 2 ⊂[sm−1 ,sm ) ),ijSm (σ, v) =|b1m |2 (σ)diag((|Ii1 |)i )b1m · b2m (σ){|Ii1 ∩ Ij2 |}i,j

b1m · b2m (σ){|Ii1 ∩ Ij2 |}j,i
v1 M1,m 0+0v2 M2,m|b2m |2 (σ)diag((|Ij2 |)j )

(v = (v1 , v2 ))に対し，疑似対数尤度関数 Hn2 (σ, v) を以下で定める:
Hn2 (σ, v) = −1 −1(Zm Sm(σ, v)Zm + log det Sm (σ, v)).
2 m=2
ln

√
∞
v∗ = (v1,∗ , v2,∗ ) は未知だが，v∗ の推定量 {v̂n }∞n=1 で { n(v̂n − v∗ )}n=1 が tight となるものに
2対し，σ∗ の最尤型推定量 σ̂n を
σ̂n2 = argmaxσ Hn2 (σ, v̂n )で与える．上の疑似対数尤度関数の導出ではノイズ項 n,pが正規分布に従うことを仮定したが，i上のように σ∗ と v∗ の推定を分離することにより，ノイズ項が非正規でも，Hn2 を用いて計算される σ̂n2 に対して，ノイズ項が正規の場合と同様の漸近的性質を導くことができる．
観測頻度が高くなれば各 ΔYip におけるノイズ項の寄与が支配的になるので，ノイズ分散 vp,∗の一致推定量を作るのは容易である．例えばv̂p,n = (2p,n )−1



p,n

(ΔYip )2i=1ととれば上の条件を満たす．
また，観測時刻列 {Sin,p } に関する以下の条件を仮定する．
n,pn,p −1[A4] 任意の δ > 0 に対し，maxp,i (Sin,p − Si−1
) = Op (n−1+δ ) かつ (minp,i (Sin,p − Si−1)) =1+δOp (n ).

[A5] ある η ∈ (0, 1/2) と連続正値確率過程 {apt }0≤t≤T,p=1,2 があって，supt=s (|ajt −ajs |/|t−s|) <∞ a.s. かつ n → ∞ の時，
n1/2 −1
max n−1 (sn,l − sn,l )−1 #{i; Iip ⊂ [sn,l , sn,l )} − apsn1≤l≤Lnn,l→p 0.

ただし，{[sn,l , sn,l )}1≤l≤Ln ⊂ [0, T ] は任意の disjoint な区間列で
0 < inf (n1−η (sn,l − sn,l )) ≤ sup(n1−η (sn,l − sn,l )) < ∞.
n,l

n,l

[A5] は観測数に関して，局所的な大数の法則が成り立つことを意味している．

定理 3.3. （Ogihara, 2015b）[A1], [A2], [A4], [A5] を仮定する．この時，
Γ2 = P - lim (−n−1/2 ∂σ2 Hn2 (σ∗ , v∗ ))n→∞が存在し，Γ2 > 0 a.s. また，F と独立な d 次元標準正規分布 ζ に対して，n → ∞ の時，−1/2

n1/4 (σ̂n2 − σ∗ ) →s-L Γ2

ζ,−n−1/2 ∂σ2 Hn2 (σ̂n2 , v̂n ) →p Γ2 .

統計数理

14

第 65 巻

第 1 号 2017

Y(σ) = P - limn→∞ (n−1/2 (Hn2 (σ, v∗ ) − Hn2 (σ∗ , v∗ ))) と置き，bt = b(t, Xt , σ), ãjt = ajt /vj,∗ ,bt,∗ = b(t, Xt , σ∗ ), Bt = det(bt bt ), Bt,∗ = det(bt,∗ bt,∗ ) と置くと，
Y(σ)

 T

=

2
j 2
j 2
3−j 2
|
j=1 (|bt | − |bt,∗ | )(|btã1t ã2t + ãjt Bt ) − 2(b1t · b2t − b1t,∗ · b2t,∗ )b1t · b2t

4Bt (ã1t |b1t |2 + ã2t |b2t |2 + 2

0−(ã1t |b1t |2 + ã2t |b2t |2 + 2

ã1t ã2t

ã1t ã2t Bt )1/2

ã1t ã2t Bt )1/2 − (ã1t |b1t,∗ |2 + ã2t |b2t,∗ |2 + 2
2

ã1t ã2t Bt,∗ )1/2dt.

また，この時 Γ2 = −∂σ2 Y(σ∗ ) となる．
−1の各要素が非零になり得るということに加え，ノイズ項
非同期・ノイズ付のケースでも Sm−1の共分散行列 Mp,m の存在により Sm の漸近挙動が非自明となり，Hn2 の漸近的性質の導出がでは，同期（等間隔）観測・ノイズ付のケースを扱っ
より困難になる．Gloter and Jacod（2001b）ており，この場合，X の共分散行列に対応する部分が単位行列のスカラー倍になるので，ある
スカラー確率変数 c と単位行列 I に対して，Sm に対応する共分散行列は，
cI + vM1,mと書ける．M1,m の固有値は
1
km
 

iπ
2 1 − cos
1 +1
km
i=1

と求まるので，Sm の固有値は


1
km


iπ
c + 2v 1 − cos
1 +1
km
i=1

となる．この性質が疑似対数尤度関数の漸近的性質を導く上で本質的な役割を果たす．非同期・ノイズ付の場合では，X の共分散行列が非同期性から複雑になり，Sm の固有値を簡単な関数で表すことができないので解析はより困難になる．しかし，Mp,m の特殊な漸近的性質を用いる
ことにより，X の共分散行列が単位行列のスカラー倍のケースに帰着して，漸近理論を展開することが可能となる．詳しくは，Ogihara（2015b）の五章を参照されたい．
例として，X が
dXt1 = σ1,∗ dWt1
dXt2 = σ3,∗ dWt1 + σ2,∗ dWt2
を満たすシンプルなケースを考える．この時，パラメータは σ∗ = (σ1,∗ , σ2,∗ , σ3,∗ ) であり，
X は相関付ブラウン運動になる．また，X 1 , X 2 T = T σ1,∗ σ3,∗ となるので，最尤型推定量
2
2
2
2
2
σ̂n2 = (σ̂1,n, σ̂2,n, σ̂3,n) を用いた自然な推定量 T σ̂1,nσ̂3,nを考えることができ，定理 3.3 の仮定の下，デルタ法を用いることで，
22n1/4 (T σ̂1,nσ̂3,n− X 1 , X 2 T ) →s-L V ζ−1が示される．ここで Γ−1
2 の行列要素を (Γ2 )ij と書く時，
2
−1
2
−1
V = T 2 (σ3,∗(Γ−12 )11 + 2σ1,∗ σ3,∗ (Γ2 )13 + σ1,∗ (Γ2 )33 )

である．
（3.1）
を満たす拡散過程のケースで，最尤型推定量 σ̂n2 の漸近的な最良次章では，X が一般の

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

152
2性を議論する．上の相関付ブラウン運動の例では，パラメータ変換を用いることで，T σ̂1,nσ3,n1
2が X , X T の推定量として漸近的に最良であることも示される．また，Ogihara（2015b）の三2
2
σ3,nを X 1 , X 2 T の既存の代表的なノンパラメトリッ
章では，シミュレーションにより，T σ̂1,nク推定量と比較し，高頻度観測において，推定誤差の標本標準偏差が最も小さいことを確認している．そのため，最尤型推定法は漸近理論における最適性が保証されるだけではなく，実際の数値シミュレーションにおいても有用であると言える．

4.

統計モデルの局所漸近混合正規性と推定量の漸近有効性

最尤型推定量の一つのメリットとして，様々なモデルで推定誤差の漸近分散が最小になること（漸近有効性）がある．これは統計モデルの局所漸近混合正規性（local asymptotic mixed normality,と呼ばれる性質から証明される．
LAMN）
定義 4.1. 可測空間 (Xn , An ) 上の確率分布の族 {Pσ,n }σ,n が以下を満たすとき，σ = σ∗ で局所漸近混合正規であるという：ある正数列 {en }n∈N と d × d 対称正定値確率行列 Γn , Γ と d 次
元確率ベクトル Nn , N があって，任意の u ∈ Rd に対し，n → ∞ の時，en → 0,√
dPσ∗ +en u,n
1
log
− u
Γ n Nn − u Γ n u → 0
dPσ∗ ,n2
in Pσ∗ ,n -probability, N は Γ と独立な d 次元標準正規乱数で(Nn , Γn ) →d (N , Γ).

さらに Γ が deterministic の時，{Pσ,n } は局所漸近正規（locally asymptotic normal, LAN）であるという．
定理 4.1.（Jeganathan, 1983）確率分布族 {Pσ,n }σ,n が σ = σ∗ で LAMN を満たすとする．この時任意の推定量列 {Vn } と任意の非減少関数 l : [0, ∞) → [0, ∞) で l(0) = 0 を満たすものに
対し，
(4.1)

−1/2
lim lim inf sup Eσ∗ +en u,n [l(|e−1
N |)].
n (Vn − σ∗ − en u)|)] ≥ E[l(|Γα→∞ n→∞ |u|≤α

ただし，Eσ,n は Pσ,n に関する期待値を表す．
この不等式は minimax 不等式と呼ばれ，パラメータ推定量列 {Vn } の推定誤差のリスク量に対する漸近的下界を与える．特に l(x) = x2 の時，上の式は推定誤差の漸近分散の下界を与える．σ = σ∗ におけるリスク量 Eσ∗ ,n [l(|e−1n (Vn − σ∗ )|)] は自明な推定量 Vn ≡ σ∗ により最小化される．しかし，実際にはパラメータの真値 σ∗ を事前に知ることはできないので，この推定量はたまたま真値を当てただけになる．このような自明な推定量を取り除くために，minimax 不等式ではパラメータの摂動に対する局所的な supremum がとられている．minimax 不等式において等号を満たすような推定量列 {Vn } は漸近有効であると言われる．
同期観測でノイズ無しのケースでは，Gobet（2001）により統計モデルの LAMN が示されている．また，同期観測・ノイズ付のケースでは，Gloter and Jacod（2001a）において，拡散係数b(t, x, σ) が x に依存しないケースでの LAN が示されている．非同期観測の場合の LAMN（LAN）に関する結果としては以下がある．
定理 4.2. （Ogihara, 2015a）[A1]–[A3] を仮定する．さらに μ は (t, x, σ) に関して十分なめらかで，∂x μ, ∂x b は有界かつ，任意の r ∈ [0, 1], t1 , t2 , x1 , x2 , σ に対し，

統計数理

16

第 65 巻

第 1 号 2017(rb(t1 , x1 , σ) + (1 − r)b(t2 , x2 , σ))(rb(t1 , x1 , σ) + (1 − r)b(t2 , x2 , σ))が正定値であるとする．この時，5.2 節の非同期・ノイズ無しの統計モデルに対する LAMN が
成立する．
が正規分布
定理 4.3. （Ogihara, 2015b）[A1], [A2], [A4], [A5] を仮定する．さらに μ ≡ 0, n,pi
に従い，b(t, x, σ) が (t, x) に依存しないとする．この時，5.3 節の非同期・ノイズ付の統計モデ
ルに対する LAN が成立する．
定理 4.3 は X がブラウン運動になるようなやや強い仮定を置いている．X がより広い拡散過程のクラスに属する場合にも同様の結果が成り立つと予想されるが，そのような結果はまだ示されていない．X が一般の拡散過程の時，ΔXk の確率密度関数の解析は困難であるが，Gobet（2001）, Ogihara（2015a）
では，Malliavin Calculus を用いたアプローチにより尤度比の挙動を解析している．非同期・ノイズ付のケースでも同等の技術が必要になると予想される．
（4.1）式の l が有界連続関数で u = 0 の時の結果に対定理 3.3 の stable convergence の結果は，12応する．最尤型推定量 σ̂n , σ̂n の漸近有効性を示すには，l(x) = x2 等の l が多項式増大関数の場
合や u = 0 の摂動に関する sup を扱う必要があり，定理 3.3 よりもやや強い仮定が必要となる．
これらの結果は，次の章の推定量のモーメント収束の結果を用いることで示すことができる．
5.

ベイズ型推定量とモーメント収束

この章における結果は，非同期・ノイズ無しの場合も同様のものが得られるが，ここでは非同期・ノイズ付のケースのみを扱う．
事前確率密度 π(σ) が有界連続関数で inf σ π(σ) > 0 を満たすとする．この時ベイズ型推定量
σ̃n2 を以下で定義する：
−1 
σ̃n2 =
exp(Hn2 (σ, v̂n ))π(σ)dσ
σ exp(Hn2 (σ, v̂n ))π(σ)dσ.
最尤型推定量の数値計算ではパラメータに関する非凸最小化問題を解くことになり，パラメー
タの次元を上げると困難になることがあるため，MCMC を用いた計算アルゴリズムが使えるベイズ型推定量の方が計算が容易なことがある．
一方，ベイズ型推定量はその定義にパラメータに関する積分を含むため，推定誤差が大きくなる事象に対するより精緻な評価が必要となる．Yoshida（2011）において，コントラスト推定量に対して，コントラスト関数のモーメント条件などの条件から推定量の大偏差の評価を得る
手法が開発され，我々の疑似対数尤度関数に対しても適用できる．
以下の仮定を考える．
[B1] 1. ある正定数 C があって，任意の 0 ≤ 2i + j ≤ 4, 0 ≤ k ≤ 4, x ∈ R2 に対して，
sup(|∂ti ∂xj ∂σk μ(t, x, σ)| ∨ |∂ti ∂xj ∂σk b(t, x, σ)|) ≤ C(1 + |x|)C .

t∈[0,T ],σ∈Λ

2. inf t,x,σ det bb (t, x, σ) > 0.
3. 任意の q > 0 に対して，E[|X0 |q ] < ∞.
[B2] ある η ∈ (0, 1/2), δ > 0 と正値確率変数 {ajt }t∈[0,T ],j=1,2 があって，任意の q > 0 に対してE

|ajt − ajs |qqj,t>s |t − s|
sup

< ∞,

E sup |ajt |q ∨ E sup(|ajt |−q ) < ∞,
j,t

j,t

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

かつ
sup E

17


n1/2+δ ln−1 max n−1 (sn,l − sn,l )−1 #{i; Iij ⊂ (sn,l , sn,l )} − ajs1≤l≤Ln

q

n,l

< ∞.

ただし，最後の式における sup は，任意の自然数 n と [A5] と同じ区間列 {[sn,l , sn,l )}1≤l≤Ln ,n∈Nの範囲に対してとる．さらに，ある正定数 γ があって，b3/7+γ
ln−1 → 0 かつ任意の > 0 と q > 0nに対して n → ∞ の時，


q 
−q 
n,p
n,p
→ 0, E n1+ min(Sin,p − Si−1
→ 0.
E n1− max(Sin,p − Si−1
)
)
p,i

p,i

[B3] inf t,x inf σ1 =σ2 (|bb (t, x, σ1 ) − bb (t, x, σ2 )|/|σ1 − σ2 |) > 0.
[B4] ノイズ分散 v∗ の推定量 v̂n に対して，v̂n > 0 a.s. かつ任意の q > 0 に対して√
lim sup E[v̂n−q ] < ∞, and sup E[| n(v̂n − v∗ )|q ] < ∞.
nn定理 5.1. （多項式型大偏差不等式，Ogihara, 2015b）[B1]–[B4] を仮定する．この時，任意のL > 0 に対して，ある正定数 CL があって，任意の r > 0 と n ∈ N に対し，
P

sup exp(Hn2 (σ∗ + n−1/4 u, v̂n ) − Hn2 (σ∗ , v̂n )) ≥ e−r/2 ≤ CL r−L .

u∈Vn (r)ただし，Vn (r) = {u ∈ Rd ; |u| ≥ r, σ∗ + n−1/4 u ∈ Λ}.
定理 5.1 から任意の p > 0 に対し，L > p として，
 ∞
 ∞E[|n1/4 (σ̂n2 − σ∗ )|p ] =ptp−1 P [|n1/4 (σ̂n2 − σ∗ )| ≥ t]dt ≤ptp−1 (1 ∧ (CL t−L ))dt < ∞.
00

つまり最尤型推定量の誤差のモーメントが収束する．
さらに最尤型・ベイズ型推定量に対して以下が成立．
定理 5.2.（Ogihara, 2015b）[B1]–[B4] を仮定する．この時，任意の有界確率変数 Y と任意の高々多項式増大の連続関数 f に対して n → ∞ の時，−1/2

E[Y f (n1/4 (σ̂n2 − σ∗ ))] → E[Y f (Γ2E[Y f (n

1/4

ζ)],

−1/2
(σ̃n2 − σ∗ ))] → E[Y f (Γ2
ζ)].

参

考

文

献

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統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

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20

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 5–20 (2017)

Modeling Intraday Stock Price Dynamics Using Diﬀusion Processes
and Estimating Volatility and Covariation
Teppei Ogihara1,2
1 The Institute of Statistical Mathematics

2 PRESTO, Japan Science and Technology Agency

This paper introduces modeling of intraday stock price dynamics using diﬀusion processes, and statistical inference of volatility and covariation. In particular, we study the
problems of ‘market microstructure noise’ and ‘nonsynchronous observations’. First, welook back at the history of nonparametric estimation of volatility and covariation. Then
we construct maximum-likelihood-type estimators and show their asymptotic mixed normality. We also study local asymptotic mixed normality of statistical models, which issigniﬁcant when we discuss asymptotic optimality of estimators. Finally, we construct a
Bayes-type estimator and study its asymptotics.

Key words: Asymptotic eﬃciency, high-frequency data, local asymptotic mixed normality, market
microstructure noise, maximum-likelihood-type estimation, nonsynchronous observations.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 21–38
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［研究ノート］Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について
上原 悠槙† ・増田 弘毅†（受付 2016 年 6 月 28 日；改訂 10 月 13 日；採択 10 月 17 日）

要

旨

非正規型 Lévy 過程で駆動される確率微分方程式モデルの推定を考える．指数的エルゴード
性とデータの高頻度性の下，正規型疑似スコア関数に基づいてスケール係数およびドリフト係
数をこの順に段階的に推定する方法を提案し，推定量の漸近正規性および裾確率評価を導出す
る．推定対象を分割することで最適化の計算負荷が削減され，より安定した推定精度が得られる．拡散過程の場合と異なり，特に両係数のパラメータが共通因子を持つ場合には，ドリフト係数の漸近共分散行列は同時推定の場合と異なる形をとる．
キーワード：エルゴード性，正規型疑似スコア関数，高頻度観測，段階的推定，Lévy
駆動型確率微分方程式．
1.

はじめに

連続時間確率過程で記述される統計モデルによって観測頻度に伴う推定精度の差異がモデリング可能となり，モデルの具体系のみならず推定方式によって漸近分布論も様々な形式を取り得る．本稿では，常微分方程式 dxt = a(xt , α)dt の時間発展に確率的なノイズを加えた，フィル
ター付き確率空間（Ω, F , (Ft )t∈R+ , P ）上に定義された次の d 次元確率微分方程式（SDE）モデル(1.1)

dXt = a(Xt , α, γ)dt + c(Xt− , γ)dJt .

を考える．ここで J は (Ft ) - 適合な r 次元非正規型 Lévy 過程であり，ドリフト係数 a: Rd × Θα ×Θγ → Rd とスケール係数 c: Rd × Θγ → Rd ⊗ Rr は有限次元未知パラメータθ := (α, γ) ∈ Θ := Θα × Θγ ⊂ Rpα × Rpγ

を除いて既知であるとし，初期変数 X0 は J と独立とする．簡単のためパラメータ空間 Θ は有（1.1）
の解過程から高頻度観測（Xt0 , Xt1 , . . . , Xtn ）が得られている
界凸領域とする．SDE モデルnと仮定する．ここで，tj = tj = jhn であり，正数列 (hn )n∈N は(1.2)

Tn := nhn → ∞,nh2n → 0

を満たしているとする．目的は θ の真値 θ0 ∈ Θ を推定することである．
Lévy 過程とは独立定常増分性を有する確率過程であり，離散時間ランダムウォークの自然なLévy
連続時間版と解釈される．これは互いに独立な Wiener 過程と非正規型（純粋ジャンプ型）
過程の畳み込みとして，また同時に複合 Poisson 過程のある種の極限として定義される．そのジャンプ構造・挙動の多様性により，Lévy 過程は非正規性が色濃い金融データや工学・生体信†

九州大学大学院 数理学研究院：〒 819–0395 福岡県福岡市西区元岡 744

統計数理

22

第 65 巻

第 1 号 2017号の表現として広く用いられている．Lévy 過程の理論を包括的に扱った標準的な教科書として
Sato（1999）
を挙げておく．
現在膨大な高頻度データの入手が可能となり，上述の現象記述精度の高さから Lévy 駆動型
SDE モデルの実現象への応用の機運が高まっている．しかしながらその高頻度統計理論は J に対応する無限分解可能分布族を（相当）限定した場合でさえ未だ十分に整備されていない．これは一つには，ジャンプ構造が過度に多様なため統一的な推定手法の構築が不可能であるという事実が災いしている．実際，最尤推定量の最適収束率も観測頻度とジャンプ構造の双方が本質的に関与して決まる．この問題への一つの対処法として，Masuda（2013）は（1.1）でドリフト係
数 a(x, α, γ) が γ によらない場合に，漸近効率を犠牲にした正規型疑似最尤推定量の漸近挙動を調べた．この手法により，漸近有効性を放棄することで陽な疑似尤度関数を用いつつ駆動ノイ
ズ J の具体的な分布構造を仮定せずに θ の推定を行える．
ところで単一の疑似尤度に基づいた θ の推定は α と γ の同時最適化を伴い，Masuda（2013）の推定方式も例外ではない．このため，係数が複雑な場合には計算負荷の高さおよび同時最適の場合にこの問題に対す化の不安定さが懸念されよう．近年，拡散過程（J が標準 Wiener 過程）
る種々のアプローチ（Uchida and Yoshida, 2012 や Kamatani and Uchida, 2015 とその参考文献を参照）が提案され，拡散係数とドリフト係数を個別に，しかも漸近有効性を保持しつつ推定する形で，数値統計の観点からも発展がなされた．これらの方法論においては α と γ の最適収束率の差異が有効活用されている．翻って Lévy 駆動型 SDE の場合についてはその限りではない．
√
実際，正規型疑似尤度は α, γ 共に Tn の収束率しか持たず，さらに一般に漸近共分散行列は拡
散過程の場合のようにブロック対角型にはならないため，段階的な推定手法の定式化は自明な話ではない．この点を踏まえ，本稿の主眼は θ の推定を α, γ 個々の推定へ分割する段階的推定法を定式化し，当該推定量の漸近分布と多項式型裾確率評価を導出することにある．提案手法
によって γ, α をこの順に別個に推定可能となり，計算負荷の大きな軽減の可能性が期待できる．
本稿の構成は以下の通りである．まず 2 節で段階的推定量 θ̂n 構成の概略を述べ，その漸近的性質を導出するための仮定を導入する．3 節において主結果である θ̂n の漸近正規性および裾確率評価を与える．特に，漸近分布の形を通じて拡散過程の場合との差異を浮き彫りにする．4 節
では段階的推定量のパフォーマンスを確認するために幾つかの数値実験結果を紹介し，最後に5 節において主結果の証明を与える．
2.

段階的係数推定法の段階的係数推定法について述べていく．
本稿の主眼である（1.1）
J が有限共分散をもつとき，標準化した J˜t := cov(J1 )−1/2 {Jt − E(J1 )t} を用いて
（1.1）を書き
換えると
(2.1)

dXt = (a(Xt , α, γ) + c(Xt , γ)E(J1 ))dt + c(Xt− , γ)cov(J1 )1/2 dJ˜tとなる．新たに E(J1 ), cov(J1 ) をパラメータとみなせば（2.1）は（1.1）での特別な場合となるため，（1.1）において一般性を失うことなく J は標準化されているとしてよい．ここではより強く，以．
下を仮定する（Ir は r 次元単位行列を表す）
仮定 2.1. E(J1 ) = 0, E(J1⊗2 ) = Ir , また任意の q > 0 に対し E[|J1 |q ] < ∞.
任意の確率過程 Y と Rd × Θ̄ 上の可測関数 f に対して
Yj = Yt j ,Δj Y = Yj − Yj−1 ,fj (θ) = f (Yj , θ)Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について

23と適宜略記する．
（1.1）の形式的な Euler - 丸山近似は
Xj ≈ Xtj−1 + hn aj−1 (α, γ) + cj−1 (γ)Δj J(2.2)

で与えられる．以下では
S := c⊗2と表す．ただし任意の行列に対し x⊗2 := xxT（T は転置を表す）である．形式的に局所正規近似
Δj J ≈ N (0, hn Ir ) を適用した場合の条件付き尤度の近似
L(Xj |Xtj−1 = x) ≈ N (x + hn a(x, α, γ), hn S(x, γ))(2.3)に基づき，Masuda（2013）
では，ドリフト係数とスケール係数内のパラメータの重複がない場
において，同時正規型疑似尤度合（ドリフト係数が a(x, α) の形）


n
1
1 −1
(2.4)
Mn (θ) := −Sj−1 (γ)[(Δj X − haj−1 (θ))⊗2 ]log |Sj−1 (γ)| +2 j=1hnから得られる疑似最尤推定量の漸近正規性，モーメント収束を導出した．局所正規近似（2.3）そのものは理論上正しくないが，条件付き平均・共分散構造に関するモーメント法の一種として推定に利用可能であることが分かる．このような正規型疑似尤度の有用性は時系列モデルにおいてもよく知られているが，Lévy 駆動型 SDE モデルの場合には収束率が真に下がる．
以下では ∂x で変数 x に関する偏微分を，また |A| で正方行列 A の行列式を表す．また，多重線形形式 M := {M (i1 ···iK ) : ik = 1, . . . , dk ; k = 1, . . . , K} ∈ Rd1 ⊗ · · · RdK と dk 次元ベクトル(j)uk = {uk } について
M [u1 , . . . , uK ] :=

d1

i1 =1

···

dK


(i )

(i

M (i1 ,...,iK ) u1 1 · · · uKK

)

iK =1

と表す．
正規型疑似スコア関数 θ → (G1,n (γ), G2,n (α, γ))，ただし

n 
1
1
−1
G1,n (γ) :=∂γ (Sj−1)(γ)[(Δj X)⊗2 ]∂γ log |Sj−1 (γ)| +
n j=1
hn


n
1
1
pγ
−1
−1
−1
=
∂γi Sj−1 )(γ)]i=1−(Sj−1(∂γ Sj−1 )Sj−1)(γ)[(Δj X)⊗2 ] ,[trace(Sj−1n j=1hn
1  −1
S (γ)[∂α aj−1 (θ), Δj X − hn aj−1 (θ)],
Tn j=1 j−1n

G2,n (α, γ) :=に対して以下で定義される段階的推定量 θ̂n := (α̂n , γ̂n ) を提案する．
（1）γ̂n を G1,n (γ) = 0 のランダムな解とする．
（2）上記 γ̂n を用いて，α̂n を G2,n (α, γ̂n ) = 0 のランダムな解とする．
このように定義された θ̂n は，元々の疑似尤度 Mn による (pα + pγ ) - 次元同時最適化を γ と α 個別の最適化へ分断可能とするため，推定値計算負荷の削減による時間短縮へつながる．
G1,n (γ) は，Mn の定義でドリフト項を無いものと勝手にみなした場合の γ に関する疑似スコ
ア関数をスケーリングしたものに相当する．このドリフト非依存正規型疑似尤度は拡散過程の拡散項の推定において今日標準的となったが，そこに至るまでは当該分野において数多の試行
錯誤があったと思われる．近年においては，計算負荷的観点から疑似尤度関数の同時最適化変

統計数理

24

第 65 巻

第 1 号 2017

数の削減や初期推定量の構築などの目的にも利用されている．関連する先行研究については，
Uchida and Yoshida（2012）
や Kamatani and Uchida（2015）とその参考文献を参照されたい．
ドリフト項，拡散項に共通パラメータを持つ拡散過程に上記の段階的推定法を適用すると，収√√束レートの違い（ドリフトパラメータは Tn ，拡散パラメータは n）から，その漸近分散は共通
パラメータを持たない場合と同様のものが得られる．しかしながら，Lévy 駆動型 SDE において正規型疑似尤度最尤推定量はドリフトパラメータ，スケールパラメータともに収束レートが√Tn であるため（Masuda, 2013），状況は本質的に異なる．実際，後述の定理 3.4 によって，疑似スコア関数 (G1,n (γ), G2,n (α, γ)) に基づく段階的推定量 θ̂n = (α̂n , γ̂n ) は，ドリフト・スケー
ル係数が共通パラメータを持つ場合には α̂n の漸近分散が変わることが明示的に示される．
3.

主結果

本節の定理 3.4 において，推定量の漸近正規性に加え，推定量依存型統計量の確率・モーメ
ント評価を保証する裾確率評価を与える．
仮定 3.1. ドリフト係数 a(·, θ0 ) とスケール係数 c(·, γ0 ) は Lipschitz 連続で，各 i ∈ {0, 1, 2},j ∈ {0, . . . , 5}, k ∈ {0, . . . , 5} に対して連続な導関数 ∂xi ∂αj ∂γk a および ∂xi ∂γk c が存在し，ある非負定数 C(i,j,k) に対して
(3.1)

sup
(x,α,γ)∈Rd ×Θ̄α ×Θ̄γ

1{|∂xi ∂αj ∂γk a(x, α, γ)| + |∂xi ∂γk c(x, γ)| + |S −1 (x, γ)|} < ∞1 + |x|C(i,j,k)が成り立つ．
仮定 3.2. ある確率測度 π0 と正定数 a, C に対して





(3.2)
sup  f (y){P (Xt ∈ dy|X0 = x) − π0 (dy)} ≤ Ce−at gq (x),f :|f |≤gq

x ∈ R, q > 0,が成立する（gq (x) := 1 + |x|q ）．さらに任意の q > 0 に対して
(3.3)

sup E[|Xt |q ] < ∞.
t∈R+

仮定 3.2 の下，エルゴード定理より任意の多項式増大関数 f についてn1Pf (Xtj−1 ) −→ f (x)π0 (dx)n j=1が成立する．さらに大数の法則の収束率を加味したモーメント評価を得ることができる（Masuda,．
2013, Lemma 4.3）∞
p
関数 G∞ (θ) := (G∞α (α), Gγ (γ)) ∈ R および定数行列 Iα ∈ Rpα ⊗ Rpα , Iγ ∈ Rpγ ⊗ Rpγ を以

pα

pγ
下で定義する: u, u ∈ R と v, v ∈ R に対して

G∞
(α)
:=
∂α a(x, θ0 )T S −1 (x, γ0 )[a(x, α0 , γ0 ) − a(x, α, γ0 )]π0 (dx),
α

(γ)
:=
∂γ S −1 (x, γ)[S(x, γ0 ) − S(x, γ)]π0 (dx),G∞γIα [u, u ] := − (S −1 (x, γ0 )[∂α a(x, θ0 )[u], ∂α a(x, θ0 )[u ]])π0 (dx),Iγ [v, v  ] := trace{(S −1 ∂γ S ⊗ S −1 ∂γ S)(x, γ0 )[v, v  ]}π0 (dx).

Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について

モデルの識別可能性・非負定値性のため，以下の仮定を導入する．
仮定 3.3. Iα , Iγ はそれぞれ逆行列を持ち，さらにある正定数 χα , χγ が存在して|G∞
α (α)| ≥ χα |α0 − α|,

(3.4)

|G∞
γ (γ)| ≥ χγ |γ − γ0 |,が任意の (α, γ) に対して成り立つ．
ν0 で J の Lévy 測度を表すとき，i1 , . . . , im ∈ {1, . . . , r} に対して

νi1 ,...,im (m) = z (i1 ) · · · z (im ) ν0 (dz)と書く（仮定 2.1 の下，これらは有限値として定まる）
．記号




Σα
Σ̂α,n Σ̂α,γ,n
Σα,γΣ=, Σ̂n =
,
Sym.
Σγ
Sym.
Σ̂γ,n




−Σ̂α,n B̂n
Iα B, În :=
I :=
0
Îγ,n
0 Iγ
を導入する．ここで u, u ∈ Rpα と v, v  ∈ Rpγ に対して，Σα [u, u ] := S −1 (x, γ0 )[∂α a(x, θ0 )[u], ∂α a(x, θ0 )[u ]]π0 (dx),Σγ [v, v  ] :=r

νs,t,s ,t (4){∂γ S −1 (x, γ0 )[v, c(·s) (x, γ0 ), c(·t) (x, γ0 )]}s,t,s ,t =1· {∂γ S −1 (x, γ0 )[v  , c(·s ) (x, γ0 ), c(·t ) (x, γ0 )]}π0 (dx),rΣα,γ [u, v] :=νk1 ,k2 ,k3 (3)S −1 (x, γ0 )[∂α a(x, θ0 )[u], c(·k1 ) (x, γ0 )]k1 ,k2 ,k3 =1· ∂γ S −1 (x, γ0 )[v, c(·k2 ) (x, γ0 ), c(·k3 ) (x, γ0 )]π0 (dx),B[u, v] := − S −1 (x, γ0 )[∂α a(x, θ0 )[u], ∂γ a(x, θ0 )[v]]π0 (dx),Σ̂α,n [u, u ] :=1  −1S (γ̂n )[∂α aj−1 (θ̂n )[u], ∂α aj−1 (θ̂n )[u ]],n j=1 j−1Σ̂γ,n [v, v  ] :=1 (∂γ S −1 ⊗ ∂γ S −1 )(γ̂n )[(v, (Δj X)⊗2 ), (v  , (Δj X)⊗2 )],Tn j=1Σ̂α,γ,n [u, v] :=1  −1−1(S⊗ ∂γ Sj−1)(γ̂n )
Tn j=1 j−1

n

n

n

· [(∂α aj−1 (θ̂n )[u], Δj X − hn aj−1 (θ̂n )), (v, (Δj X)⊗2 )],1  −1S (γ̂n )[∂α aj−1 (θ̂n )[u], ∂γ aj−1 (θ̂n )[v]],n j=1 j−1nB̂n [u, v] := −Îγ,n [v, v  ] :=

1
−1
−1
trace{(Sj−1∂γ Sj−1 ⊗ Sj−1
∂γ Sj−1 )(γ̂n )[v, v  ]}n j=1nである．最後に φ(·; 0, V ) で N (0, V ) の密度関数を表す．

25

統計数理

26

第 65 巻

第 1 号 2017

定理 3.4. 仮定 2.1, 3.1, 3.2, 3.3, さらに行列 Σ の正定値性の下で以下が成り立つ．
（1） 裾確率評価: 任意の K > 0 に対してある定数 CK > 0 が存在して
(3.5)

√
√
CK
sup P (| Tn (α̂n − α0 )| > r) + sup P (| Tn (γ̂n − γ0 )| > r) ≤ K ,rnnr > 0.

（2） 漸近標準正規性:
√

(3.6)

L

În (θ̂n − θ0 ) −→ N (0, Ip ).
Tn Σ̂−1/2n（3） モーメント収束: 高々多項式増大度を持つ任意の連続関数 f に対して

√
(3.7)
E[f ( Tn (θ̂n − θ0 ))] → f (y)φ(y; 0, I −1 Σ(I −1 ) )dy.
注意 3.5. 定理 3.4 より特に，正規型疑似尤度を適用する場合の Δj X の微小時間変動においてはスケール係数部分が支配的であることがわかる．すなわち，元々の α, γ の同時推定量の収√（独立である）とは限らない状束率は共に同じ Tn でしかもその同時推定量は漸近的に直交する況であるにも関わらず，ドリフト係数を完全に無視しても，γ の同時推定と段階的推定は漸近同等となる．
注意 3.6. 行列 B は共通パラメータの存在により生じる有限バイアスの補正的役割を果たしている．実際，係数間のパラメータの重複がない場合には B = 0 であり，α̂n と γ̂n の漸近分散のそれと等しく，推定分離による推定量の分散の変化は生じない．さらにこは Masuda（2013）（独立になる）．
の時，ν(3) = 0 であれば α̂n と γ̂n は漸近的に直交する
注意 3.7. d = r (dim(Xt ) = dim(Jt )) の場合には，駆動ノイズの増分の代替として Euler 残差と同様，駆δ̂j := cj−1 (γ̂n )−1 (Δj X − hn aj−1 (θ̂n )) を用いることで，Masuda and Uehara（2017）
動ノイズ J に関するモーメント法を定式化できる．証明の概略，推定関数の満たすべき条件等は同論文を参照されたい．
例 3.8. （2.1）の部分族である一次元 SDE モデル


 pγ

pα

1
(3.8)
dXt = a0 (Xt , γ) +αl a1l (Xt , γ) dt + exp
γk ck (Xt− ) dJt
2
l=1
k=1
は，係数の状態変数 Xt について多様な非線形性を表現可能であると同時に，γ および α の推定の各段階が凸最適化になるという点において特殊である．ここでa0 (x, γ),a1 (x, γ) = (a11 (x, γ), . . . , a1pα (x, γ)),c(x) = (c1 (x), . . . , cpγ (x)),

はその関数形が既知であるとしている．このとき，γ̂n は推定方程式
n


1−

j=1

の解であり，α̂n は
1
α̂n =
hn
·

 n


n

j=1

(Δj X)2exp(−γ · c(Xj−1 )) c(Xj−1 ) = 0hn−1

exp(−γ̂n · c(Xj−1 ))a⊗2
1 (Xj−1 , γ̂n )j=1

exp(−γ̂n · c(Xj−1 )){Δj X − hn a0 (Xj−1 , γ̂n )}a1 (Xj−1 , γ̂n )Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について

27と陽に与えられる．また，他の第一段階が凸最適化となる scale 係数の関数形の例として，
pγc(x, γ) = ( k=1
γk ck (x))−1/2 などが挙げられる．
4.

数値実験

先に述べた通り，駆動ノイズは基準化されたものを考えればよい．まず次の SDE モデルを取
り扱う．


γXt
α2
(4.1)
dXt =
−
α
X
+
X0 = 0.
dt + c(Xt− , γ)dJt ,1t
1 + Xt2(1 + Xt2 )γ
ここで，スケール係数および各パラメータの真値は以下の 2 種類を想定する．
γ(i) c(x, γ) = exp(− 1+x2 ) および θ0 = (α1,0 , α2,0 , γ0 ) = (1, 2, 3)
γ(ii) c(x, γ) = − 1+x
2 および θ0 = (α1,0 , α2,0 , γ0 ) = (1, 2, 1)

また，J1 の分布は，N IG(1, 0, t, 0), N IG(10, 0, 10t, 0), N IG(25/3, 20/3, 9/5t, −12/5t) の 3 通り
（Barndorﬀを対象とする．N IG 分布は IG 分布の正規平均尺度混合により定義される確率分布
であり，N IG(α, β, δ, μ) の特性関数は，Nielsen, 1998）
φX1 (u) = exp(−δ(α2 − (β + iu)2 ) −α2 − β 2 ) exp(iμu),で与えられる．この表現と Lévy-Kchintchin の公式から，
βE[Xt ] = t μ + δ, V ar[Xt ] = tδα2 − β 2(α2
α 2 − β 2 )3が得られる．これらを用いて，E[Jt ] = 0, E[Jt2 ] = t であることが確認できる．また，Masuda（2013, Proposition 5.4）と係数の形を考慮すれば，（4.1）は仮定 3.2 を満たしていることがわかる．
本 数 値 実 験 で は ，各 駆 動 ノ イ ズ に つ い て (Tn , hn , n) を (10, 0.05, 200), (10, 0.01, 1000),(50, 0.05, 1000), (50, 0.01, 5000), (100, 0.05, 2000), (100, 0.01, 10000) の 6 通りに分け，それぞれ
500 回ずつ独立に Euler - 丸山法に基づきパスを生成し段階的推定量 θ̂n := (α̂1,n , α̂2,n , γ̂n ) を計算した．(i) の γ についてはパラメータ空間は Θγ = [0, 10] とし，初期値は 2 として最適化を行った（他の推定量は陽に書ける）．また，パスの生成と γ̂n の最適化には R の YUIMA パッケージを用いた．表 1–3 にそれらの推定結果を示した．
（Brouste et al., 2014）• ドリフトパラメータの推定結果を見ると，表 1–3 全ての場合においてターミナル Tn の増加に応じて推定精度が向上している．また，ターミナル固定の下で観測幅が小さくなっても推定√精度の向上はほとんど見られない．これは α̂n の収束レートが Tn であること，また注意 3.5
で触れた通り X の微小時間変動においてはスケール項が支配的であることからも妥当な結果だと考えられる．
• スケールパラメータの推定精度は表 1–3 を見るとターミナル Tn の増加に応じて良くなっ√ており，これは拡散過程とは異なる傾向であるが，ここでは γ̂n の収束レートが Tn であることから自然である．観測幅 hn の観点からは，表 1, 表 3 ではターミナル固定の下で観測幅が小さくなる時，標準偏差の改善が見られない．しかし表 2 では，ターミナル固定の下では観測幅の小さい場合の推定精度が大きい場合の推定精度を優越している．この点は，N IG(δ, 0, δ, 0) は
δ → ∞ で N (0, 1) に全変動収束するため，ノイズの微小時間増分系列について正規近似が機能していると捉えれば整合的である．
• スケール係数の違いに関して見ると，表 1–3 いずれにおいても（i）より（ii）の推定精度が良

統計数理

28

第 65 巻

第 1 号 2017

表 1．L(Jt ) = N IG(1, 0, t, 0) の場合の段階的推定量 θ̂n := (α̂1,n , α̂2,n , γ̂n ) の標準平均・標本標準偏差（括弧内）．

表 2．L(Jt ) = N IG(10, 0, 10t, 0) の場合の段階的推定量 θ̂n := (α̂1,n , α̂2,n , γ̂n ) の標準平均・標本標準偏差（括弧内）．

いことが確かめられるが，これは当然パラメータの真値に依存して結果は異なる．γ̂n の漸近分散に着目すると，（ii）の設定（パラメータが線形に含まれている場合）だと漸近分散が不変測度
π0 の変化に加えて，真値の 2 乗に比例することが容易に確認できる（ケース（i）では γ̂n の漸近分（ii）の場合に真散は π0 (dy) を通じてのみ θ0 に依存する）．ここには記載していないが，実際に値を大きくすると標準偏差が悪化することを確認している．
また，図 1, 2 において L(J1 ) = N IG(25/3, 20/3, 9/5t, −12/5t), (Tn , n, hn ) = (100, 10000, 0.01)の場合（表 3）のヒストグラムおよび標準正規密度関数（実線）を示した．標準正規分布近似は概ねうまくいっている．
次に scale 項に複数のパラメータを持つ例として下記の SDE モデルを想定する:
(4.2)

dXt =

−α1 Xt +α2
1 + Xt2

dt + exp −γ0 + γ1 Xt
2(1 + Xt2 )dJt ,X0 = 0.

ここで，L(Jt ) = N IG(10, 0, 10t, 0), Θγ = [0, 50] × [0, 50], θ0 = (α1,0 , α2,0 , γ1,0 , γ2,0 ) = (1, 2, 3, 4)，

Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について

29

表 3．L(Jt ) = N IG(25/3, 20/3, 9/5t, −12/5t) の場合の段階的推定量 θ̂n := (α̂1,n , α̂2,n , γ̂n )の標準平均・標本標準偏差（括弧内）．

図 1．標準化（スチューデント化）された段階的推定量 θ̂n のヒストグラム（（i）の場合）．

図 2．標準化（スチューデント化）された段階的推定量 θ̂n のヒストグラム（（ii）の場合）．

初期値をパラメータ空間上の一様乱数とし，その他の設定は先程のものと同様とする．数値実験の実験結果も併結果を表 4 に示す．ここでは比較のため拡散過程（L(Jt ) = N (0, t) とした場合）記した．表 4 から，両モデルともにドリフトの推定精度は比較的良い一方で，scale パラメータの推定値の平均が真値とかけ離れており，今のモデルでは平均構造を無視したことで生じるバ
イアスの影響が顕著であると考えられる．この問題に対し，三段階目の推定として通常の正規

30

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 4．L(Jt ) = N IG(10, 0, 10t, 0) および L(Jt ) = N (0, t) の場合の段階的推定量
θ̂n := (α̂1,n , α̂2,n , γ̂1,n , γ̂2,n ) の標準平均・標本標準偏差（括弧内）．

表 5．L(Jt ) = N IG(10, 0, 10t, 0) および L(Jt ) = N (0, t) の場合の適応型推定法に基づく推（括弧内）．
定量 γ̃n := (γ̃1,n , γ̃2,n ) の標準平均・標本標準偏差型疑似尤度（2.4）に第二段階で得られた α̂n をプラグインし，scale パラメータの推定値をアップ
デートすることを考える．すなわち，γ の推定値を以下の関数の最大点として新たに定義する:

n 
1 −1
1
⊗2 
S (γ) (Δj X − haj−1 (α̂n , γ))γ → −
log |Sj−1 (γ)| +.
2 j=1
hn j−1
ここで最適化の初期値には第一段階で得た推定量を用いることとする．このアイデアは拡散過（1.2）の下，程の適応型推定法（cf. Uchida and Yoshida, 2012）に基づくものである．観測頻度条件
本稿で扱っている Lévy 型 SDE の scale 推定に関しても，三段階目の推定量の漸近挙動は一段階目の推定量のそれと等しいことが示される．表 5 にアップデートした推定量 γ̃n を示した．拡
散過程と同様に，推定量の平均値に関する改善が見て取れる．標準偏差は悪化しているが，これは上述の通り漸近分散の改善が理論上見込めないことや，α̂n の推定値の揺らぎに起因するものであると考えられる．

Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について

5.

31

定理 3.4 の証明

まず本節で用いる記号を述べておく．E j−1 [·] で Ftj−1 に関する条件付き期待値を表す．任意（記号 fj−1 (θ) = f (Xtj−1 , θ) との重複の R × Θ 上の関数 f について fs (θ) = f (Xs , θ) と定義するはあるが，混乱は生じないであろう）．特に θ = θ0 の時は fs = f (Xs , θ0 ) と略記する．またM  (x, θ) := ∂α a(x, θ)T S −1 (x, γ) ∈ Rpα ⊗ Rd ,M  (x, γ) := −∂γ S −1 (x, γ) ∈ Rpγ ⊗ Rd ⊗ Rdとする．ある正定数 C が存在して十分大きな任意の n について xn ≤ Cyn となる時 xn  yn と．
書く（C は n に依存せず，現れるごとに異り得る）
5.1 裾確率評価（3.5）の証明(γ̂n , α̂n ) は，コントラスト関数 M1,n (γ) := −nhn |G1,n (γ)|2 , M2,n (α) := −nhn |G2,n (α, γ̂n )|2 に対応した M 推定量とみなすことができる．これらに対して以下の確率場を定義する:

1
J1,n (u1 ) := exp M1,n γ0 + √ u1 − M1,n (γ0 ) ,Tn1J2,n (u2 ) := exp M2,n α0 + √ u2 , γ̂n − M2,n (α0 , γ̂n ) ,Tn

ここで u1 , u2 はそれぞれ，集合 U1,n := {u1 ∈ Rpγ : γ0 + √1Tn u1 ∈ Θγ }, U2,n := {u2 ∈ Rpα :α0 + √1T u2 ∈ Θα } の元とする．J1,n (u1 ), J2,n (u2 ) の定義から，n√√Tn (γ̂n − γ0 ) ∈ argmax J1,n (u1 ),Tn (α̂n − α0 ) ∈ argmax J2,n (u2 )u1 ∈U1,nである．ゆえに，任意の r > 0 について√
P (| Tn (γ̂n − γ0 )| > r) ≤ P

u2 ∈U2,nsupu1 :|u1 |>r,u1 ∈U1,n

J1,n (u1 ) ≥ J1,n (0) ≡ 1√が成り立つ（ Tn (α̂n − α0 ) についても同様）．すなわち，本定理の主張は J1,n (·), J2,n (·) の確率評価に帰着する．その評価のため，統計的確率場の多項式型大偏差不等式（Yoshida, 2011）の理論を援用する．証明は複数のモーメント評価の検証を伴うが，今モーメントの存在は必要なだけ，したがって一般性を失うことなく d = pγ = pα = 1
仮定している状況であり（仮定 2.1, 3.1, 3.2）としてよいので，以下その場合で見ていく．ここでは疑似尤度 Mn が混合収束率を持つことにより対応する統計的確率場の直接評価はできないため，疑似スコア関数から構成される確率場を対象とした多項式型大偏差不等式を適用する．

仮定の下，G1,n (·) に関しては，および正定数 M, が存在して



√
K
k
K
max sup E[| Tn G1,n (γ0 )| ] + E sup |∂γ G1,n (γ)|
<∞
(5.1)

k∈{1,2,3} n∈N

 

sup
n∈N

E

sup |

(K > 0),

γ∈Θγ

√

γ∈Θγ



M +
Tn (G1,n (γ) − G∞
γ (γ))|√+ E[| Tn (∂γ G1,n (γ0 ) − Iγ )| ]が成り立つことを示せば十分である．任意の k ∈ {1, . . . , 4} に対して1 
−1∂γ Sj−1{(Δj X)2 − hn Sj−1 }Tn j=1n

G1,n (γ0 ) =


M

<∞

統計数理

32

2 k
∂γ
n j=1
n

∂γk G1,n (γ) =第 65 巻

∂γ cj−1 (γ)
cj−1 (γ)

第 1 号 20171  k+1 −1∂γ Sj−1 (γ)(Δj X)2
Tn j=1n+であることに注意すれば，（5.1）
は Sobolev の不等式と Masuda and Uehara（2017, Lemma 5.3）の証明内の評価からしたがう．また，G1,n (γ) =nn2  ∂γ cj−1 (γ) 22  ∂γ cj−1 (γ)
2
(γ)
−
c
)
−
(c
{(Δj X)2 − hn c2j−1 }j−1
j−1
n j=1 c3j−1 (γ)
Tn j=1 c3j−1 (γ)

であり，Sobolev の不等式と Masuda（2013, Lemma 4.3），Masuda and Uehara（2017, Lemmaの証明内の評価より，任意の K > 0 について
5.3）


√
∞
K
sup E sup | Tn (G1,n (γ) − Gγ (γ))|
<∞
γ∈Θγ

n∈N

を得る．同様にして，nn 
4  (∂γ cj−1 )22  (∂γ2 cj−1 )cj−1 − 3(∂γ cj−1 )2
2
2
−
{(Δ
X)
−
h
c
}
j
n j−1
n j=1
c2j−1
Tn j=1
c4j−1∂γ G1,n (γ0 ) =なので√
sup E[| Tn (∂γ G1,n (γ0 ) − Iγ )|K ] < ∞n∈Nを得る．以上より，Masuda（2013, Theorem 3.5）を適用して√sup P (| Tn (γ̂n − γ0 )| > r) ≤n√Tn (γ̂n − γ0 ) の裾確率評価

CK
rK

を得る．
Taylor の公式から k ∈ {0, 1, 2, 3} について√√Tn ∂αk G2,n (α, γ̂n ) = Tn ∂αk G2,n (α, γ0 ) 1√+∂γ ∂αk G2,n (α, γ0 + u(γ̂n − γ0 ))du [ Tn (γ̂n − γ0 )]0√となる．すでに任意の K > 0 に対して Tn (γ̂n − γ0 ) の LK - 有界性を確保しているため，右辺
第 2 項は LK - 有界である．ゆえに G2,n (α, γ0 ) については，任意の K > 0 とある正定数 M, に
対して



√
max sup E[| Tn G2,n (α, γ0 )|K ] + E sup |∂αk G2,n (α, γ0 )|K< ∞,k∈{1,2,3} n∈N
α∈Θα

 

√
√
∞
M +
M
+ E[| Tn (∂α G2,n (α, γ0 ) − Iα )| ] < ∞sup E sup | Tn (G2,n (α, γ0 ) − Gα (α))|
n∈N

α∈Θα

を示せば十分である．今の場合
1  −1S ∂α aj−1 (α, γ0 )(Δj X − hn aj−1 )Tn j=1 j−1n

G2,n (α, γ0 ) =1  −1S ∂α aj−1 (α, γ0 )(aj−1 − aj−1 (α, γ0 )),n j=1 j−1n+Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について33

1  −1 k+1
S ∂α aj−1 (α, γ0 )(Δj X − hn aj−1 (α, γ0 ))Tn j=1 j−1n∂αk G2,n (α, γ0 ) =1  −1 k−1
S ∂α (∂α aj−1 (α, γ0 ))2
n j=1 j−1n−√であることに注意すれば， Tn (γ̂n − γ0 ) のときと同様にして裾確率評価√
CK
sup P (| Tn (α̂n − α0 )| > r) ≤ K
rnを得る．以上で（3.5）
が示された．
5.2 漸近標準正規性
（3.6）
の証明
√
P
から Tn (θ̂n − θ0 ) = Op (1)，特に一致性 θ̂n −→ θ0 がしたがうことに注意す
裾確率評価（3.5）
る．まず




n
1 
(5.2)
Gn (θ0 ) := G2,n (α0 , γ̂n ) +Mj−1 [∂γ aj−1 ] [γ̂n − γ0 ], G1,n (γ0 )
n j=1

について
√

(5.3)

L

Tn Gn (θ0 ) −→ N (0, Σ)√を示す． Tn Gn (θ0 ) の第一成分について，Taylor 展開から√√√
Tn G2,n (α0 , γ̂n ) = Tn G2,n (θ0 ) + ∂γ G2,n (θ0 )[ Tn (γ̂n − γ0 )]
 1
√
1
+√
∂γ⊗2 G2,n (α0 , γ0 + u(γ̂n − γ0 ))du [( Tn (γ̂n − γ0 ))⊗2 ]Tn0 1 ⊗2を得る．Sobolev の不等式より 0 ∂γ G2,n (α0 , γ0 + u(γ̂n − γ0 ))du = Op (1) が示され，右辺第三項は op (1) となる．また，モーメント条件の下，a の Lipschitz 連続性および Masuda (2013,
Lemma 4.5) から E j−1 [| j (as − aj−1 )ds|2 ]  h3n ，さらに j cs− dJs のマルチンゲール性により，
E j−1 [ j cs− dJs ] = 0, E j−1 [| j cs− dJs |2 ]  hn が従うため，Genon-Catalot and Jacod（1993,より
Lemma 9）∂γ G2,n (θ0 ) =

n
n
1 
1 

∂γ Mj−1[Δj X − hn aj−1 ] −Mj−1 [∂γ aj−1 ]Tn j=1n j=1

1 
Mj−1 [∂γ aj−1 ]n j=1n= op (1) −が成り立つ．これを踏まえて√√√
Tn Gn (θ0 ) = ( Tn G2,n (θ0 ), Tn G1,n (γ0 )) + op (1)

n
1  
= √
Mj−1 [cj−1 Δj J],
Tn j=1
n
1 
−1

√
{hn trace(Sj−1∂γ Sj−1 ) − Mj−1[(cj−1 Δj J)⊗2 ]}Tn j=1+ op (1)を得る．最右辺第一項は各 n について (Ftj ) - マルチンゲール差分になっていることに注意する．

統計数理

34

第 65 巻

第 1 号 2017

モーメント評価 E[|Jhn |q ]  hn により，最右辺第一項について Lyapunov 条件が容易に示される．以下 u ∈ Rpα , v ∈ Rpγ を任意に固定し，二次特性量を計算する．
• E[(Δj J)⊗2 ] = hn Ir よりn
1  j−1E[(Mj−1⊗ Mj−1)[cj−1 Δj J, cj−1 Δj J]] [u, u ]Tn j=11 Mj−1 [u, cj−1 ] × Mj−1[u , cj−1 ]
n j=1
n

=

−→ Σα [u, u ].
P• 第二要素について，まずn1  j−1⊗2 ⊗2E[{Mj−1 [hn Sj−1 − (cj−1 Δj J) ]} ] [v, v  ]Tn j=1


n
hn 


=−
(Mj−1 ⊗ Mj−1 )[Sj−1 , Sj−1 ] [v, v  ]
n j=1


n
1  j−1


⊗2
⊗2
+
E
[(Mj−1 ⊗ Mj−1 )[(cj−1 Δj J) , (cj−1 Δj J) ]] [v, v  ]Tn j=1n
1  j−1


⊗2
⊗2
=
E
[(Mj−1 ⊗ Mj−1 )[(cj−1 Δj J) , (cj−1 Δj J) ]] [v, v  ] + op (1)Tn j=1に注意する．Lévy-Khintchin 表現



T

T

log E[eiu Jt ] = t
Rr(eiu z − 1 − iuT z)ν0 (dz)を偏微分して
(i )

(i )

(i )

(i )

(i )

(i )

E[Jt 1 Jt 2 Jt 3 ] = νi1 ,i2 ,i3 (3)t(i )E[Jt 1 Jt 2 Jt 3 Jt 4 ] = νi1 ,i2 ,i3 ,i4 (4)t + O(t2 )を得る．これを適用することで，n1  j−1


⊗2
⊗2
E
[(Mj−1 ⊗ Mj−1 )[(cj−1 Δj J) , (cj−1 Δj J) ]] [v, v  ]Tn j=1
1  j−1 E[Mj−1 [v, (cj−1 Δj J)⊗2 ] × Mj−1
[v  , (cj−1 Δj J)⊗2 ]]Tn j=1
 d
 r
 r

n
 (i s) (i t)1  j−1 
(i1 i2 )
(s)
(t)
1
2
E
(Mj−1 [v])cj−1 (Δj J)
cj−1 (Δj J)=
Tn j=1s=1
t=1
i1 ,i2 =1
 r
 r
⎤
d



 
 
 


(i1 s )
(i2 t )
×
(Mj−1
[v  ])(i1 i2 )cj−1
(Δj J)(s )cj−1(Δj J)(t ) ⎦n=i1 ,i2 =1

=

⎧
n ⎨


1
Tn j=1 ⎩

s =1

r

s,t,s ,t =1

t =1




(E j−1 [(Δj J)(s) (Δj J)(t) (Δj J)(s ) (Δj J)(t ) ])Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について

⎛

d


×⎝

(i s) (i t)

i1 ,i2 ,i1 ,i2 =1

1 ⎝
n j=1
n

=

⎛



1
2
(Mj−1
[v])(i1 i2 ) cj−1
cj−1
× (Mj−1[v  ])r⎞⎫⎬(i1 s ) (i2 t )cj−1
cj−1 ⎠(·s )⎭⎞(·t )νs,t,s ,t (4) × Mj−1
[v, cj−1 , cj−1 ] × Mj−1
[v  , cj−1 , cj−1 ]⎠(·s)

s,t,s ,t =1(i1 i2 )

35

(·t)

−→ Σγ [v, v  ].
P

• E[|Jhn |2 ] = Op (hn ) より
1

−1
(Mj−1
[cj−1 Δj J] ⊗ trace(Sj−1∂γ Sj−1 ))[u, v] = op (1)n j=1nであり，さらに−n#
1  j−1 " Mj−1 [cj−1 Δj J] ⊗ Mj−1
E[(cj−1 Δj J)⊗2 ] [u, v]
Tn j=1 dn
1  j−1E(Mj−1)(·s) (cj−1 Δj J)(s)=−Tn j=1
s=1


 d


(·tu) "
⊗2 #(tu)(cj−1 Δj J)(Mj−1 )[u, v]
⊗

⎡

=−

t,u=1

r
d
n

1  j−1 ⎣ 
E
Δj J (k1 ) Δj J (k2 ) Δj J (k3 )Tn j=1s,t,u=1
k1 ,k2 ,k3⎤


×cj−11 cj−12 cj−13 ((Mj−1)(·s) ⊗ (Mj−1)(·tu) )[u, v]⎦(sk ) (tk ) (uk )

=−

r
n
d

1 
(sk ) (tk ) (uk )νk1 ,k2 ,k3 (3)cj−11 cj−12 cj−13 ((Mj−1)(·s) ⊗ (Mj−1)(·tu) )[u, v]
n j=1
s,t,u=1
k1 ,k2 ,k3P−→ Σα,γ [u, v].

以上の下，マルチンゲール中心極限定理（e.g. Dvoretzky, 1972）から（5.3）がしたがう．
これまでの評価を踏まえて，行列"#Iα (θ) :=∂α M  (x, θ)[a(x, θ0 ) − a(x, θ)] − S −1 (x, γ)[(∂α a(x, θ))⊗2 ] π0 (dx),"Iγ (γ) := trace 2(S −1 ∂γ SS −1 ∂γ SS −1 )(x, γ)S(x, γ0 ) − (S −1 ∂γ SS −1 ∂γ S)(x, γ)#+(S −1 ∂γ⊗2 S)(x, γ) − (S −1 ∂γ⊗2 SS −1 )(x, γ)S(x, γ0 ) π0 (dx),'&
B(θ) := −∂γ M  (x, θ)[a(x, θ0 ) − a(x, θ)] + S −1 (x, γ0 )[∂α a(x, θ), ∂γ a(x, θ)] π0 (dx)に対して一様収束P

sup |∂γ G1,n (γ) − Iγ (γ)| −→ 0,

γ∈Θγ

P

sup |∂α G2,n (θ) − Iα (θ)| −→ 0,
θ∈Θ

統計数理

36

第 65 巻

第 1 号 2017P

sup |∂γ G2,n (θ) − B(θ)| −→ 0θ∈Θが成り立つことがわかる．これと Gn の定義（5.2）,（5.3）より√∂α G2,n (θ̂n ) ∂γ G2,n (θ̂n )
α̂n − α0
L
−1/2
(5.4)
Tn Σ
−→ N (0, Ip )γ̂n − γ00
∂γ G1,n (γ̂n )を得る．例えば Σ̂α,n について Taylor 展開を適用すると
Σ̂α,n [u, u ] =1  −1S [∂α aj−1 [u], ∂α aj−1 [u ]] + op
n j=1 j−1
n

1
√
Tn

が得られる．これにエルゴード定理と Genon-Catalot and Jacod（1993, Lemma 9）を適用すれば
PPP
Σ̂α,n −→ Σα が従う．同様にして Σ̂γ,n −→ Σγ および Σ̂α,γ,n −→ Σα,γ も示され，（3.5）,（5.4）とSlutsky の補題より
（3.6）
を得る．
5.3 モーメント収束
（3.7）
の証明
P
P
（3.6）により，すでに示した Σ̂n −→ Σ および În −→ I と√L
Tn (θ̂n − θ0 ) −→ N (0, I −1 Σ(I −1 ) )√が成り立つ．（3.5）
から任意の q > 0 に対する {| Tn (θ̂n − θ0 )|q }n∈N の一様可積分性が成り立つ
ので（3.7）が得られる．

謝辞

丁寧に査読していただき，多くの改善点の指摘および有益なコメントを下さった査読者に御礼申し上げます．本研究は JST CREST，JSPS 科研費 JP26400204（増田）の助成を受けたもの
です．

参

考

文

献

Barndorﬀ-Nielsen, O. E. (1998). Processes of normal inverse Gaussian type, Finance and Stochastics,
2(1), 41–68.
Brouste, A., Fukasawa, M., Hino, H., Iacus, S., Kamatani, K., Koike, Y., Masuda, H., Nomura, R.,
Ogihara, T., Shimizu, Y., Uchida, M. and Yoshida, N. (2014). The YUIMA project: A computational framework for simulation and inference of stochastic diﬀerential equations, Journal of
Statistical Software, 57(4), 1–51.
Dvoretzky, A. (1972). Asymptotic normality for sums of dependent random variables, Proceedings of
the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (University of California, Berkeley, California, 1970/1971 ), Vol. II : Probability Theory, 513–535, University ofCalifornia Press, Berkeley, California.
Genon-Catalot, V. and Jacod, J. (1993). On the estimation of the diﬀusion coeﬃcient for multidimensional diﬀusion processes, Annales de l’Institut Henri Poincaré (B ) Probabilités et Statistiques, 29, 119–151.
Kamatani, K. and Uchida, M. (2015). Hybrid multi-step estimators for stochastic diﬀerential equations
based on sampled data, Statistical Inference for Stochastic Processes, 18(2), 177–204.
Masuda, H. (2013). Convergence of Gaussian quasi-likelihood random ﬁelds for ergodic Lévy driven

Lévy 駆動型確率微分方程式の段階的推定について

37

SDE observed at high frequency, Annals of Statistics, 41, 1593–1641.
Masuda, H. and Uehara, Y. (2017). Two-step estimation of ergodic Lévy driven SDE, Statistical Inference for Stochastic Processes, 20(1), 105–137.
Sato, K. (1999). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press,
Cambridge, U.K.
Uchida, M. and Yoshida, N. (2012). Adaptive estimation of an ergodic diﬀusion process based on sampled data, Stochastic Processes and Their Applications, 122(8), 2885–2924.
Yoshida, N. (2011). Polynomial type large deviation inequalities and quasi-likelihood analysis forstochastic diﬀerential equations, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 63(3), 431–
479.

38

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 21–38 (2017)

On Stepwise Estimation of Lévy Driven Stochastic Diﬀerential Equation
Yuma Uehara and Hiroki Masuda
Graduate School of Mathematics, Kyushu University

We consider estimation of a non-Gaussian Lévy driven stochastic diﬀerential equation. Under high-frequency data and exponential ergodicity, we propose the stepwise estimation procedure based on a Gaussian quasi-score function: ﬁrst we estimate the scaleparameter while ignoring the drift coeﬃcient, and then focus on the drift parameter byplugging in the estimated scale parameters, and derive the asymptotic normality andthe tail probability estimate of the proposed estimators. This stepwise strategy not only
reduces computational cost but may also stabilize estimate accuracy. Unlike the diﬀusion case, the asymptotic covariance matrix associated with the drift parameter takes adiﬀerent form when there is a common parameter in the coeﬃcients.

Key words: Ergodicity, Gaussian quasi-score function, high-frequency sampling, Lévy driven stochastic
diﬀerential equation, stepwise estimation.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 39–69
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［研究詳解］

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定
内田 雅之1,2,3（受付 2016 年 6 月 28 日；改訂 10 月 14 日；採択 10 月 17 日）

要旨

本論文では，高頻度データを用いた確率微分方程式モデルの未知パラメータにおけるハイブ
リッド推定について解説する．最適な収束率より遅いベイズ型推定量を初期推定量とした，マルチステップ推定法や適応的最尤型推定法を説明し，それらの推定量の漸近的性質について述
べる．エルゴード的拡散過程，非エルゴード的拡散過程，微小拡散過程の 3 種類の拡散モデル
を取り扱い，数値実験により提案した推定量の漸近的挙動を考察する．
キーワード：拡散過程，確率微分方程式，最尤型推定量，ハイブリッド推定量，ベイズ型推定量，マルチステップ推定量．
1.

はじめに

情報技術の発展により，金融などの時系列データが高頻度に観測可能となり，連続時間確率過程モデルの統計解析の需要が増してきている．特に，確率微分方程式で定義された拡散型確率過程モデルの統計解析は今までに盛んに研究されている（Kutoyants, 1984, 1994, 2004; Prakasa
Rao, 1988; Yoshida, 1992a, 1992c; Genon-Catalot and Jacod, 1993; Bibby and Sørensen, 1995;．非線形で非定常な連続時間確率
Kessler, 1997; Prakasa Rao, 1999; Iacus, 2008; Sørensen, 2012）過程である拡散過程モデルは表現力豊かな統計モデルである反面，尤度関数を明示的に求めることができない難点があるが，マリアバン解析や疑似尤度解析を援用することにより，統計的漸近理論を展開することが可能である．高頻度データにおける統計的モデリングやモデル選択のための情報量規準についても精力的に研究されていて，実際にデータ解析を行う上での問題点が指摘されている．例えば，エルゴード的拡散過程モデルでは，ドリフトパラメータとボラ
ティリティパラメータという 2 種類の未知パラメータを推測する必要があるが，疑似尤度関数が複雑で，パラメータ空間が高次元である場合，疑似尤度関数の最大化によって疑似最尤推定量（または最尤型推定量）を計算することが困難となることが多々ある．最尤型推定量の導出に失敗して，誤った値を算出した場合，情報量規準に基づくモデル選択に影響が出ることも知られている．このことから，理論的に保障された推定量であっても，実際にデータ解析において正しい推定量を算出できるかは別の問題となる．本論文では，確率微分方程式モデルのパラメー
タを効率よく推定するための統計的手法の一つであるハイブリッド推定法について解説する．
1

大阪大学大学院 基礎工学研究科：〒 560–8531 大阪府豊中市待兼山町 1–3
大阪大学 数理・データ科学教育研究センター（MMDS）：〒 560–8531 大阪府豊中市待兼山町 1–3
3
CREST
2

統計数理

40

第 65 巻

第 1 号 2017

最初に，I.I.D. モデルにおけるハイブリッドマルチステップ（HMS）推定量について考察する．
ln (θ) は θ ∈ R に関して滑らかな対数尤度関数とする．q ∈ (0, 1/2], J = [− log2 q] とすると，
2J−1 q ≤ 1/2 < 2J q となる．初期推定量 θ̂(0) は，M > 0 に対し，
sup Eθ∗ [|nq (θ̂(0) − θ∗ )|M ] < ∞

(1.1)

n

∗

を満たすとする．ここで，θ はパラメータ θ の真値で，Eθ∗ は真のモデル（分布）Pθ∗ の下での期待値を表す．k = 1, . . . , J に対し，k - ステップ推定量 θ̂(k) をθ̂(k) = θ̂(k−1) − [∂θ2 ln (θ̂(k−1) )]−1 [∂θ ln (θ̂(k−1) )]∂と定義する．ただし，∂θ = ∂θ, ∂θ2 = ∂θ∂ 2 で，∂θ2 ln (θ̂(k−1) ) = 0 とする．θ は 1 次元パラメータであることに注意する．テイラーの定理より，∂θ ln (θ∗ ) = ∂θ ln (θ̂(k−1) ) + ∂θ2 ln (θ̂(k−1) )[θ∗ − θ̂(k−1) ] + Rn [(θ∗ − θ̂(k−1) )2 ], 1(1 − t)∂θ3 ln (θ̂(k−1) + t(θ∗ − θ̂(k−1) ))dt
Rn =
0

だから，
θ̂(k) = θ̂(k−1) − [∂θ2 ln (θ̂(k−1) )]−1 [∂θ ln (θ∗ ) − ∂θ2 ln (θ̂(k−1) )[θ∗ − θ̂(k−1) ] − Rn [(θ∗ − θ̂(k−1) )2 ]]= θ̂(k−1) − [∂θ2 ln (θ̂(k−1) )]−1 [∂θ ln (θ∗ )] + (θ∗ − θ̂(k−1) ) + [∂θ2 ln (θ̂(k−1) )]−1 Rn [(θ∗ − θ̂(k−1) )2 ]となる．ゆえに，θ̂(k) − θ∗ = −[∂θ2 ln (θ̂(k−1) )]−1 [∂θ ln (θ∗ )] + [∂θ2 ln (θ̂(k−1) )]−1 Rn [(θ̂(k−1) − θ∗ )2 ].
√特に，2q ≤ 1/2 のとき（初期推定量 θ̂(0) が n - 一致性が保証されていない場合），
−1  2q
 
−1
1 2
1 2
n
1
n2q (θ̂(1) − θ∗ ) = −∂θ ln (θ̂(0) )∂θ ln (θ∗ ) +∂θ ln (θ̂(0) )Rn [(nq (θ̂(0) − θ∗ ))2 ].
nnnn

したがって， √1n ∂θ ln (θ∗ ) や n1 Rn の可積分性などの正則条件の下で，sup Eθ∗ [|nq (θ̂(0) − θ∗ )|M ] < ∞=⇒nsup Eθ∗ [|n2q (θ̂(1) − θ∗ )|M ] < ∞nが言える．これを繰り返すことによって，マルチステップ推定量は，ある正則条件の下でsup Eθ∗ [|n2q (θ̂(1) − θ∗ )|M ] < ∞

=⇒

n

2

sup Eθ∗ [|n2 q (θ̂(2) − θ∗ )|M ] < ∞,n..
.
sup Eθ∗ [|n2J−2

sup Eθ∗ [|n2

J−1

q

n

n

q

(θ̂(J−2) − θ∗ )|M ] < ∞=⇒(θ̂(J−1) − θ∗ )|M ] < ∞

=⇒

(J)

sup Eθ∗ [|n2
n

J−1

q

(θ̂(J−1) − θ∗ )|M ] < ∞,√sup Eθ∗ [| n(θ̂(J) − θ∗ )|M ] < ∞nとなり，J - ステップ推定量 θ̂ は漸近有効になる．注目すべきことは，（1.1）からわかるように，この初期推定量は最適な収束率をもつことを仮定していないが，マルチステップ推定量は√最適な収束率をもつことである．よく知られているワンステップ推定量は初期推定量が n - 一
致性をもつことを仮定している．このことからも，初期推定量の条件が緩いマルチステップ推定量がより有用であることがわかる．
（1.1）を満足する初期推定量として，最尤型推定量とベイズ型推定量を考えることができるが，

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

41

最尤型推定量の導出には最適化が伴い，初期値の設定が重要な鍵となる．一方で，ベイズ型推定量は，マルコフチェーンモンテカルロ（MCMC）法を用いた数値計算により導出される．最尤型推定量の数値計算に比べて，ベイズ型推定量の数値計算は初期値の影響が少ない．本論文では，ベイズ型推定量を初期推定量として用いて，最尤型推定（マルチステップ推定）
により，漸近有効推定量を導出する方法をハイブリッド推定法と呼ぶことにする．特に，初期ベイズ推定量を用いたマルチステップ推定法をハイブリッドマルチステップ推定法と表現することにする．
本論文の構成は次の通りである．第 2 節では，エルゴード的拡散過程について 3 種類のハイ
ブリッドマルチステップ推定量を提案し，モーメント収束性などの漸近的性質について論じる．
また，具体例とシミュレーション結果を示す．第 3 節では，非エルゴード的拡散過程について
ハイブリッドマルチステップ推定量を提案し，モーメント収束性を含めた漸近的性質について説明する．ハイブリッドマルチステップ推定量の具体例とシミュレーション結果を述べる．第4 節では，微小拡散過程について，適応的最尤型推定量と適応的ベイズ型推定量について考察
し，それらを混合したハイブリッド推定量を提案し，その漸近的性質について概説する．ハイブリッド推定量の具体例と数値実験結果について言及する．
言うまでもなく，推定量の極限分布は統計的漸近理論には必須であり，モデル選択問題における情報量規準を正当化するために，推定量のモーメントの収束性を示すことは不可欠である．幾，Kutoyants（1984,
多の統計的漸近理論の研究があるが，特に Ibragimov and Has’minskii（1981），Yoshida（2011）の精読を薦める．拡散過程のモデル選択に関しては，Uchida and Yoshida2004）（2001, 2004a, 2006, 2016），Uchida（2010）を参照．
2.

エルゴード的拡散過程の結果に従って，エルゴード的拡散過程のドリフトパ
本節は，Kamatani and Uchida（2015）
ラメータおよびボラティリティパラメータのハイブリッドマルチステップ推定量を導出し，その漸近的性質を考察する．
2.1 モデルと仮定
次の確率微分方程式で定義される d - 次元拡散過程を考える．すなわち，(2.1)

dXt = b(Xt , β)dt + a(Xt , α)dwt ,t ≥ 0,

X 0 = x0 .

ここで，w は r - 次元標準ウィーナー過程，x0 は初期値，θ = (α, β) ∈ Θ1 × Θ2 = Θ で，Θ1 ，Θ2はそれぞれ，Rm1 ，Rm2 のコンパクトで凸な部分集合とする．
さらに，b : Rd × Θ1 → Rd , a : Rd × Θ2 → Rd ⊗ Rr とする．θ∗ = (α∗ , β ∗ ) は θ の真値とする．θ∗ ∈ Int(Θ) であり，パラメータ空間は局所的にリプシッツ境界をもつと仮定する．Adams
を参照．データ Xn = (Xtni )0≤i≤n は離散観測され，tni = ihn とする．p はand Fournier（2003）
整数で p ≥ 2 とする．n → ∞ のとき，hn → 0，nhpn → 0 であるとし，十分大きな n に対し
n0 ≤ nhn を満たす 0 ∈ (0, (p − 1)/p) が存在するとする．hn = 1/n1/4 の例を考える．n → ∞のとき nhn → ∞，nh5n → 0 となるが，nh4n は 0 に収束しない．この場合 p ≥ 5 となる p を選択する必要がある．
Kutoyants（1984, 2004）に代表されるように連続観測データに基づくエルゴード的拡散過程モデルによる統計推測はこれまで精力的に研究されてきており，離散観測データからのエルゴー
ド的拡散過程モデルによる統計解析についても，今なお多くの研究者によって研究され続けて，Yoshida（1992c, 2011），Bibby and Sørensen（1995），Kessler
いる．Prakasa Rao（1983, 1988）（1995, 1997），Gobet（2002），Uchida（2010），Uchida and Yoshida（2001, 2011, 2012, 2014），

統計数理

42

第 65 巻

第 1 号 2017

Masuda（2013a, 2013b）
を参照．また，ジャンプ付拡散過程とレヴィ過程については Shimizu and，Shimizu（2006），Ogihara and Yoshida（2011），Masuda（2013a, 2013b）を参照．
Yoshida（2006）
特に Kessler（1995, 1997）
は，nhpn → 0 の仮定の下での 1 次元拡散過程の疑似対数尤度関数
Up,n (α, β) を提案している．k0 = [ p2 ]，A(x, α) = aa (x, α) とおく．ここで  は転置とする．Lθ


は拡散過程
（2.1）
の生成作用素，すなわち，Lθ = di=1 bi (x, β)∂i + 12 di,j=1 Aij (x, α)∂i ∂j とする．
pd

ΔXi = Xtni − Xtni−1 , Ai−1 (α) = A(Xtni−1 , α), bi−1 (β) = b(Xtni−1 , β) とする．→ と → はそれぞれ，確率収束と分布収束を表す．同じサイズの行列 A，B に対し，A⊗2 = AA ，B[A] = tr(BA )を定義する．| · | はユークリッド距離を表し，行列 A に対し，||A||2 = tr(AA ) とする．
疑似対数尤度関数 Up,n (θ) は次のように定義される．



k
k0
n
0


1
(j)
(k0 )
(j)
−1
j
⊗2
j
Up,n (θ) = −hn Di−1 (θ) [(Xtni − ri−1 (hn , θ)) ] +hn Ei−1 (θ) .
hn
2 i=1
j=0
j=0
k 0

hjn j
n
j=0 j! Lθ fm (Xti−1 ), fm (x) = xm である．さらに j = 0, 1, . . . に対
(j)
(j)
(j)
し，Di−1 (θ) := D (Xtni−1 , θ)，Ei−1 (θ) := E (j) (Xtni−1 , θ) を次のように定義する．q, r = 1, . . . , d(k0 )ここで (ri−1(hn , θ))m =に対し，(Ξ(l) (hn , x, θ∗ ))qr =

l


hvn

v=0

l−v

hw
n
w=0

w!

(v)

Lw
θ ḡqr,x,θ (x),(0)

ḡqr,x,θ (y) = (yq − xq )(yr − xr ),(j)

Ljθ fr (x)Lj fq (x)− (yr − xr ) θj!
j!
Lrθ fq (x) Lsθ fr (x), (1 ≤ j ≤ l).
r!
s!

ḡqr,x,θ (y) = −(yq − xq )+
r≥1,s≥1

r+s=j

(l)

(Ξ (hn , x, θ))qr =

l

j (j)
j=0 hn γqr (x, θ) とおけば，(0)
γqr(x, θ) = 0,(1)
γqr(x, θ) = Aqr (x, α),


d

1
(2)
γqr (x, θ) ={(∂xj bq (x, β))Ajr (x, α) + (∂xj br (x, β))Ajq (x, α)}Lθ Aqr (x, α) +
2
j=1
(l)
−1
となる．オーダー l までの (h−1のテイラー展開はn Ξ (hn , x, θ))

l

j
(j)
(x, θ) であり，
j=0 hn D

D(0) (x, θ) = A−1 (x, α),D(1) (x, θ) = −A−1 (x, α)γ (2) (x, θ)A−1 (x, α),D(2) (x, θ) = {(A−1 (x, α)γ (2) (x, θ))2 − A−1 (x, α)γ (3) (x, θ)}A−1 (x, α)
l
(l)
j
(j)
となる．同様に，オーダー l までの log det(h−1(x, θ)n Ξ (hn , x, θ)) のテイラー展開は
j=0 hn Eであり，E (0) (x, θ) = log det(A(x, α)),E (1) (x, θ) = tr(A−1 (x, α)γ (2) (x, θ)),1
E (2) (x, θ) = tr(2A−1 (x, α)γ (3) (x, θ) − {(A−1 (x, α)γ (2) (x, θ))2 })2

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

43となる．疑似対数尤度関数 Up,n (α, β) の詳細については Kessler（1997）や Uchida and Yoshida（2012）を参照．Kessler（1997）
は同時最尤型推定量 θ̂p,n = (α̂p,n , β̂p,n ) を Up,n (α̂p,n , β̂p,n ) =supα,β Up,n (α, β) と定義し，n → ∞，nhpn → 0 のとき，次のような漸近正規性を持つこと
を示した．
√
√
d
( n(α̂p,n − α∗ ), nhn (β̂p,n − β ∗ )) → (ζ1 , ζ2 ) ∼ Nm1 +m2 (0, Γ(θ∗ )−1 ).
ここで，Γ(θ∗ ) =
1
2


∗
Γij
1 (θ ) =∗Γij
2 (θ ) =∗(Γij
1 (θ ))1≤i,j≤m1

0

0

∗
(Γij
2 (θ ))1≤i,j≤m2


Rd

Rd

,

tr{A−1 (∂αi A)A−1 (∂αj A)(x, α∗ )}μθ∗ (dx),(∂βi b(x, β ∗ )) A(x, α∗ )−1 ∂βj b(x, β ∗ )μθ∗ (dx).

しかし，先述した通り，Θ の次元が大きいとき，同時最尤型推定量の導出は困難となる．Yoshida（1992c）は nh3n → 0 という仮定での適応的最尤型推定を考察した．適応的最尤型推定とはドリ
フトパラメータと拡散係数パラメータを別々に推定する有効な方法である．nhpn → 0 についてを参照．Uchida and Yoshida（2012, 2014）は Ibragimov-Has’minskii-Kutoyants
は Kessler（1995）の手法（Ibragimov and Has’minskii, 1981; Kutoyants, 1984, 2004）と Yoshida（2011）の結果を応用して，モーメント収束性を有する 3 種類の適応的最尤型推定量と適応的ベイズ型推定量を提] とする．ここで l0 ≤ k0 ≤ l0 + 1 であることに注案した．k0 ，l0 は整数で，k0 = [ p2 ]，l0 = [ p−1
2
(l0 )
(k )
, β̂p,n0 は k = 1, 2, . . . , k0 に対し，意する．タイプ I の適応的最尤型推定量 α̂p,n
(k−1)
(k)
(k−1)
Up,n (α̂p,n, β̂p,n) = sup Up,n (α̂p,n
, β),
β∈Θ2

(k)
(k)
, β̂p,n) =Up,n (α̂p,n(k)
sup Up,n (α, β̂p,n
)

α∈Θ1

(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
で定義される．ここで，α̂p,n= α̂n は Un (α̂n ) = supα∈Θ1 Un (α) を満たし，

Un(0) (α) = −1  −1 −1{hn Ai−1 (α)[(ΔXi )⊗2 ] + log det(Ai−1 (α))}
2 i=1
n

である．
次に適応的ベイズ型推定について考える．事前分布 π1 (α)，π2 (β) は連続でinf π1 (α) > 0,α∈Θ1inf π2 (β) > 0

β∈Θ2

(l0 )
(k0 )
を満たすとする．タイプ I の適応的ベイズ型推定量 α̃p,n，β̃p,nは次のように定義される．
k = 1, 2, . . . , l0 に対し，
(k−1)

(k−1)
α̃p,n
=

Θ1

α exp{Hp,n(k−1)(α, β̃p,n)}π1 (α)dα

(k−1)
(k−1)
exp{Hp,n (α, β̃p,n )}π1 (α)dα
Θ1

(k)

,

(l )

(l0 )
=
α̃p,n

Θ1

0
α exp{Up,n (α, β̃p,n)}π1 (α)dα

Θ1

(l )

0
exp{Up,n (α, β̃p,n)}π1 (α)dα(l +1)

0k0 = l0 のとき，β̃p,n

Θ2

(k)
β̃p,n
=

(k−1)

β exp{H̃p,n (α̃p,n, β)}π2 (β)dβ

(k)
(k−1)
exp{H̃p,n (α̃p,n , β)}π2 (β)dβ
Θ2
(l )

,

(l0 +1)
β̃p,n
=

Θ2

0
β exp{Up,n (α̃p,n, β)}π2 (β)dβ

Θ2

(l )

0
exp{Up,n (α̃p,n, β)}π2 (β)dβは不要であることに注意する．さらに k = 1, 2, . . . , l0 に対し

.

,

統計数理

44

第 65 巻H(0)p,n (α, β) =1nUn(0) (α),

2
1− p

1

H(k)
p,n (α, β) =nH̃(k)p,n (α, β) =第 1 号 2017

1−

2(k+1)
p

Up,n (α, β),1(nhn )

2k1− p−1

Up,n (α, β).

は n → ∞，nhpn → 0 のとき，すべての M > 0 に対し，
p ≥ 3 の場合，Uchida and Yoshida（2014）
1(0)
sup Eθ∗ [|n p (α̃p,n− α∗ )|M ] < ∞,
n

1

(1)
sup Eθ∗ [|(nhn ) p−1 (β̃p,n− β ∗ )|M ] < ∞nが成り立つことを示した．α̃n(0) ，β̃n(1) の収束率は疑似対数尤度関数 Un(0) ，Up,n の正規化に依存することに注意する．Uchida and Yoshida（2012, 2014）は適応的最尤型推定量と適応的ベイズ型推定量が漸近正規性およびモーメント収束性を有することを示した．最尤型推定量を求める
ためには最適化が必要であり，ベイズ型推定量の計算には多大な時間を要することはよく知られている．
次にワンステップ推定量を考えてみる．すべての M > 0 に対し n → ∞，nhpn → 0 のとき
√
√
(0)
(0)
(2.2)
sup Eθ∗ [|( n(α̌p,n− α∗ ), nhn (β̌p,n− β ∗ ))|M ] < ∞
n∈N

(0)
(0)
(0)
(1)
(1)
(1)
を満たす初期推定量 θ̌p,n= (α̌p,n , β̌p,n ) を用いて，ワンステップ推定量 θ̌p,n = (α̌p,n , β̌p,n ) は(1)(0)(0) −1(0)= θ̌p,n− [∂θ2 Up,n (θ̌p,n)] ∂θ Up,n (θ̌p,n)θ̌p,nで定義される．ある正則条件の下で，n → ∞，nhpn → 0 のとき
√
√
(1)
(1)
Eθ∗ [f ( n(α̌p,n− α∗ ), nhn (β̌p,n− β ∗ ))] → E[f (ζ1 , ζ2 )]がすべての多項式増大な連続関数 f に対して成り立つ．ワンステップ推定量についての詳細はLehmann（1999）などを参照．しかし確率微分方程式モデルの場合，モーメント条件（2.2）を満(0)
たす初期推定量 θ̌p,n の導出は容易ではない．
以上の理由から，本節では，nhpn → 0 という一般的な仮定の下で，初期推定量の条件を緩めたハイブリッドマルチステップ推定量を提案し，その推定量が漸近正規性とモーメント収束性をもつことを示す．
これ以降に用いる記号を定義しておく．C↑k,l (Rd × Θ; Rd ) は次の条件を満たす関数 f の空間とする：(i) f (x, θ) は Rd × Θ 上の Rd - 値関数である．(ii) f (x, θ) は x に関して k 回連続微分可能
で，それらの導関数は θ について一様に，x に関する多項式増大である．(iii) |n| = 0, 1, . . . , k に対し，∂ n f (x, θ) は θ に関して l 回連続微分可能である．さらに，|ν| = 1, . . . , l，|n| = 0, 1, . . . , k に対し δ ν ∂ n f (x, θ) は θ について一様に，x に関する多項式増大である．ここで，n = (n1 , . . . , nd )，ν = (ν1 , . . . , νm ) はマルチインデックスであり，m = dim(Θ), |n| = n1 +. . .+nd , |ν| = ν1 +. . .+νm ,nm, δθi = ∂/∂θi である．F↑ (Rd ) は，f (x) が x に関
∂ n = ∂1n1 · · · ∂d d , ∂i = ∂/∂xi , δ ν = δθν11 · · · δθνmd
して多項式増大な R 上の R - 値関数となるような可測関数の空間とする．
次を仮定する．
[A1] (i) ある定数 K > 0 が存在して，すべての x, y ∈ Rd に対し，sup ||a(x, α) − a(y, α)|| + sup |b(x, β) − b(y, β)| ≤ K|x − y|.

α∈Θ1(ii) inf x,α det(A(x, α)) > 0.

β∈Θ2

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

45(iii) Xt の不変測度 μθ∗ がただ一つ存在し， Rd |f (x)|μθ∗ (dx) < ∞ を満たす任意の f ∈ F↑ (Rd )に対し，T → ∞ のとき，


1 T
p
f (Xt )dt →f (x)μθ∗ (dx)T 0Rdが成り立つ．
(iv) すべての M > 0 に対して，supt E[|Xt |M ] < ∞.
(v) Rd g(x)μθ∗ (dx) = 0 を満たす任意の g ∈ F↑ (Rd ) に対し，ある関数 G(x)，∂xi G(x) ∈ F↑ (Rd )(i = 1, . . . , d) が存在し，すべての x に対し，
Lθ∗ G(x) = −g(x).
∗(vi) Γ(θ ) は正則．
[A2] (k, l)a ∈ C↑k,4 (Rd × Θ1 ; Rd ). b ∈ C↑l,4 (Rd × Θ2 ; Rd ⊗ Rr ).

注 1. [A1] の十分条件については，Uchida and Yoshida（2012）を参照．
2.2 ハイブリッドマルチステップ推定量
初期推定量に対して次を仮定する．
[B] p ≥ 2，q = max{p, 4} とする．
(0)(i) α の初期推定量 α̂n は n → ∞, nhpn → 0 のとき，すべての M1 > 0 に対し
1(0)
n q (α̂n− α∗ ) →p 0,

1(0)
sup Eθ∗ [|n q (α̂n− α∗ )|M1 ] < ∞
n

を満たす．
(0)
(ii) β の初期推定量 β̂n は n → ∞，nhpn → 0 のとき，すべての M2 > 0 に対し
1(nhn ) q−1 (β̂n(0) − β ∗ ) →p 0,

1

sup Eθ∗ [|(nhn ) q−1 (β̂n(0) − β ∗ )|M2 ] < ∞nを満たす．
[B] を満たす初期推定量は次のように得ることができる．

det(A(x, α))1Y(α) = −tr[A(x, α)−1 A(x, α∗ ) − Id ] + log
2 Rd
det(A(x, α∗ ))μθ∗ (dx)とおき，以下を仮定する．
[A3] すべての α ∈ Θ1 に対し，Y(α) ≤ −χ|α − α∗ |2 となる正定数 χ が存在する．

初期最尤型推定量 α̌n(0) は Un(0) (α̌n(0) ) = supα∈Θ1 Un(0) (α) で定義される．ここでUn(0) (α) = −1  −1 −1{hn Ai−1 (α)[(ΔXi )⊗2 ] + log det(Ai−1 (α))}.
2 i=1n

初期ベイズ型推定量 α̃n(0) は
(0)
α̃n

=

Θ1

Θ1

で定義される．

1

α exp
n

1− 2
q

1

exp
n

1− 2
q

(0)

Un (α) π1 (α)dα(0)

Un (α) π1 (α)dα

統計数理

46

第 65 巻

第 1 号 2017

命題 1.（Uchida and Yoshida, 2012, 2014）p ≥ 2, q = max{p, 4} とする．[A1], [A2] (2, 2), [A3]を仮定する．n → ∞, nhpn → 0 のとき，すべての M > 0 に対して，次が成り立つ．
1(0)n q (α̌n− α∗ ) →p 0,

n

1
q

(0)
(α̃n
− α∗ ) →p 0,

さらに，Ỹ(β) = −

1
2


Rd

1

(0)
sup Eθ∗ [|n q (α̌n− α∗ )|M ] < ∞,
n

1

(0)
sup Eθ∗ [|n q (α̃n− α∗ )|M ] < ∞.
nA(x, α∗ )−1 [(b(x, β) − b(x, β ∗ ))⊗2 ]μθ∗ (dx)とし，もう一つの仮定をおく．
[A4] すべての β ∈ Θ2 に対し，Ỹ(β) ≤ −χ̃|β − β ∗ |2 となる正定数 χ̃ が存在する．

注 2. [A3] と [A4] の十分条件については，Fujii and Uchida（2014）の Remark 2 を参照．
初期最尤型推定量 β̌n(0) は Un(1) (α̌n(0) , β̌n(0) ) = supβ∈Θ2 Un(1) (α̌n(0) , β) で定義される．ここでUn(1) (α, β) = −1  −1 −1{hn Ai−1 (α)[(ΔXi − hn bi−1 (β))⊗2 ]}.
2 i=1n

初期ベイズ型推定量 β̃n(0) はβ̃n(0)

Θ2

1

β exp
(nhn )

=
Θ2

1−

1

exp
(nhn )

1−

2
q−1

2
q−1

(1)

(0)

(1)

(0)

Un (α̃n , β) π2 (β)dβUn (α̃n , β) π2 (β)dβで定義される．
命題 2.（Uchida and Yoshida, 2012, 2014）p ≥ 2, q = max{p, 4} とする．[A1], [A2] (2, 3), [A3],[A4] を仮定する．n → ∞, nhpn → 0 のとき，すべての M > 0 に対して，
1(nhn ) q−1 (β̌n(0) − β ∗ ) →p 0,
1(nhn ) q−1 (β̃n(0) − β ∗ ) →p 0,

1

sup Eθ∗ [|(nhn ) q−1 (β̌n(0) − β ∗ )|M ] < ∞,n1

sup Eθ∗ [|(nhn ) q−1 (β̃n(0) − β ∗ )|M ] < ∞nが成り立つ．
次に，マルチステップ推定量について考える．p ≥ 2, q = max{p, 4}, k0 = [ p2 ], l0 = [ q−1],2]とする．疑似対数尤度関数
U
(θ)
は，
p
=
2
のとき，
m0 = [ q−2p,n21  −1 −1{hn Ai−1 (α)[(ΔXi − hn bi−1 (β))⊗2 ] + log det(Ai−1 (α))}
2 i=1n

U2,n (θ) = −で定義される．p ≥ 3 に対しては，



k
k0
n
0


1
(j)
(k0 )
(j)
−1
j
⊗2
j
Up,n (θ) = −hn Di−1 (θ) [(Xtni − ri−1 (hn , θ)) ] +hn Ei−1 (θ)
hn
2 i=1
j=0
j=0
となる．
Jp,n (α, β) :=1 2∂α Up,n (α, β) は正則 ,n高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

Kp,n (α, β) :=47

1 2∂β Up,n (α, β) は正則 ,nhn

1 2
c (α,β) ,∂α Up,n (α, β)1Jp,n (α,β) + Em1 1Jp,nn
1 2c (α,β) ,Ξp,n (α, β) :=∂β Up,n (α, β)1Kp,n (α,β) + Em2 1Kp,nnhn
Γp,n (α, β) :=とおく．ここで，Em は m 次単位行列，1K (ω) は ω ∈ K のとき 1K (ω) = 1，ω ∈ K c のとき
(0)
(0)
(0)
(0)
1K (ω) = 0 であるとする．[B] において (α̂I,n , β̂I,n ) = (α̂n , β̂n ) とする．タイプ I のマルチス
(l0 )
(m )
, β̂I,n0 は，k = 1, . . . , l0 に対し，テップ推定量 α̂I,n
1
(k−1)
(k−1)
) ∂α Up,n (α̂I,n , β̂I,n ),
n
1
(k)
(k−1)
(k)
(k−1)
(k)
(k−1)
β̂I,n = β̂I,n − Ξ−1)∂β Up,n (α̂I,n , β̂I,n )p,n (α̂I,n , β̂I,n
nhn
(k)

(k−1)

α̂I,n = α̂I,n

(k−1)

− Γ−1
p,n (α̂I,n(k−1), β̂I,nで定義される．
(0)
(0)
(0)
(0)
, β̂II,n ) = (α̂n , β̂n )次に，タイプ II のマルチステップ推定量を考える．[B] において (α̂II,n(0)(1)とする．U0,n (θ) = Un (α), U1,n (θ) = Un (θ) とする．p = 2 (l0 = m0 = 1) のとき，
1
(1)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
α̂II,n = α̂II,n − Γ−10,n (α̂II,n , β̂II,n ) ∂α U0,n (α̂II,n , β̂II,n ),
n
1
(1)
(0)
(1)
(0)
(1)
(0)
∂β U1,n (α̂II,n , β̂II,n )β̂II,n = β̂II,n − Ξ−1
1,n (α̂II,n , β̂II,n )nhnと定義する．p = 3 (l0 = m0 = 1) のとき，
(1)

(0)

(0)

(0)

β̂II,n = β̂II,n − Ξ−1
1,n (α̂II,n , β̂II,n )

1
(0)
(0)
∂β U1,n (α̂II,n , β̂II,n ),
nhn

1
(1)
(0)
(0)
(1)
(0)
(1)
α̂II,n = α̂II,n − Γ−13,n (α̂II,n , β̂II,n ) ∂α U3,n (α̂II,n , β̂II,n )nと定義する．
(l0 )(m )p ≥ 4 のとき，タイプ II のマルチステップ推定量 α̂II,n, β̂II,n0 は，k = 1, . . . , l0 に対し，
(k)
(k−1)
(k−1)
(k−1) 1(k−1)(k−1)α̂II,n = α̂II,n − Γ−1
2k+1,n (α̂II,n , β̂II,n ) ∂α U2k+1,n (α̂II,n , β̂II,n ),
n
1
(k)
(k−1)
(k)
(k−1)
(k)
(k−1)
β̂II,n = β̂II,n − Ξ−1∂β U2k+2,n (α̂II,n , β̂II,n )2k+2,n (α̂II,n , β̂II,n )nhnで定義される．ここで，U2k+2,n は p = 2k + 2 のときの Up,n と等しいことに注意する．例えば，
p = 4 (l0 = m0 = 1) のとき，
1
(1)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
α̂II,n = α̂II,n − Γ−13,n (α̂II,n , β̂II,n ) ∂α U3,n (α̂II,n , β̂II,n ),
n
1
(1)
(0)
(1)
(0)
(1)
(0)
β̂II,n = β̂II,n − Ξ−1∂β U4,n (α̂II,n , β̂II,n ).
4,n (α̂II,n , β̂II,n )nhn

さらにタイプ III のマルチステップ推定量について考察する．疑似対数尤度関数は，k = 1, . . . , l0
に対し，




k+1
n
 j (j)1
−1 −1⊗2
V2k+1,n (α | θ̄) = −hn D̄i−1 (θ̄) + log det Ai−1 (α) ,hn Ai−1 (α) (Xtni − Xtni−1 ) −
2 i=1
j=2
⎡
⎤
⊗2
k+1
n
 j (j)1  −1 −1⎦
hn Ai−1 (ᾱ) ⎣ Xtni − Xtni−1 − hn bi−1 (β) −hn r̄i−1 (θ̄)
V2k+2,n (β | θ̄) = −
2 i=1
j=2

統計数理

48

第 65 巻

第 1 号 2017

で定義される．ここで，θ̄ = (ᾱ, β̄) である．さらに，l, m = 1, . . . , d に対し，fl (x) = xl ,
(j)
(j)
1 j
1 j
hlm (x) = (x − Xtni−1 )l (x − Xtni−1 )m , D̄i−1 (θ̄)lm = j!
Lθ̄ hlm (Xtni−1 ), r̄i−1 (θ̄)l = j!
Lθ̄ fl (Xtni−1 )である．V2k+1,n (α | θ̄) は V2k+1,n (α | α, β) でないことに注意する．例えば，∂α V2k+1,n (α | θ̄) =∂α V2k+1,n (α | α, β) である．
k = 1, 2, . . . , l0 に対し，θ = (α, β) とし，
1 2J2k+1,n,III (α, β) :=は正則 ,∂α V2k+1,n (α | θ̄)
n
θ̄=θ

1 2

∂β V2k+2,n (β | θ̄)は正則 ,K2k+2,n,III (α, β) :=
nhn
θ̄=θ

1

c
1J2k+1,n,III (α,β) + Em1 1J2k+1,n,III
Γ2k+1,n,III (α, β) := ∂α2 V2k+1,n (α | θ̄)(α,β) ,
n
θ̄=θ

1 2

c
Ξ2k+2,n,III (α, β) :=∂β V2k+2,n (β | θ̄)1K2k+2,n,III (α,β) + Em2 1K2k+2,n,III
(α,β)
nhn
θ̄=θ
(0)
(0)
(0)
(0)
(l0 )
(m0 )
とする．[B] において (α̂III,n, β̂III,n ) = (α̂n , β̂n ) とおく．p = 2, 3 のとき，(α̂III,n, β̂III,n
)=
(l0 )
(m0 )
(l0 )
(m0 )
(α̂II,n , β̂II,n ) とおく．p ≥ 4 のとき，タイプ III のマルチステップ推定量 α̂III,n , β̂III,n は，
k = 1, . . . , l0 に対して
(k)
(k−1)
(k−1)
(k−1) 1
(k−1)
(k−1)
(k−1)
α̂III,n = α̂III,n − Γ−1
2k+1,n,III (α̂III,n , β̂III,n ) ∂α V2k+1,n (α̂III,n | α̂III,n , β̂III,n ),
n
1
(k)
(k−1)
(k)
(k−1)
(k−1)
(k)
(k−1)
β̂III,n = β̂III,n − Ξ−1∂β V2k+2,n (β̂III,n | α̂III,n , β̂III,n )2k+2,n,III (α̂III,n , β̂III,n )nhnで定義される．
補題 1. （Kamatani and Uchida, 2015）k ∈ N , p ≥ 2k + 2, j = I, II, III とする．[A1],[A2] (2k0 , 2k0 + 1), [B] を仮定する．n → ∞, nhp → 0 のとき，すべての M > 0 に対して，
k

(k−1)

− α∗ )|M ] < ∞,

k

(k−1)

− β ∗ )|M ] < ∞.

sup Eθ∗ [|n p (α̂j,nn

sup Eθ∗ [|(nhn ) p−1 (β̂j,nn

定理 1.（Kamatani and Uchida, 2015）p ≥ 2, q = max{p, 4}, k0 = [ p2 ], l0 = [ q−1], m0 = [ q−2],22j = I, II, III とする．[A1], [A2] (2k0 , 2k0 + 1), [B] を仮定する．このとき，n → ∞, nhp → 0
の下，
√
√
d
(l0 )
(m )
( n(α̂j,n− α∗ ), nhn (β̂j,n0 − β ∗ )) → (ζ1 , ζ2 ) ∼ Nm1 +m2 (0, diag[Γ1 (θ∗ )−1 , Γ2 (θ∗ )−1 ])が成り立つ．さらに，すべての多項式増大な連続関数 f に対して
√
√
(l0 )
(m )
Eθ∗ [f ( n(α̂j,n− α∗ ), nhn (β̂j,n0 − β ∗ ))] → E[f (ζ1 , ζ2 )]が成り立つ．
3 種類のマルチステップ推定量は，Uchida and Yoshida（2012）における 3 種類の適応的最尤型推定量にそれぞれ対応している．以下，p ≥ 4 の場合について説明する．タイプ I のマルチステップ推定量は，最適な疑似尤度関数 Up,n に対して，必要回数だけニュートン・ラフソン
法を繰り返して導出される．タイプ II のマルチステップ推定量は，疑似尤度関数の精度を徐々に上げながら (U3,n , U4,n , . . ., U2k+1,n , U2k+2,n ), ニュートン・ラフソン法によって求める．タ
イプ III のマルチステップ推定量は，タイプ II のマルチステップ推定量で用いた疑似尤度関

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

49

数よりもシンプルな疑似尤度関数 (V3,n , V4,n , . . ., V2k+1,n , V2k+2,n ) を用いて導出される．理論的観点から言えば 3 種類のマルチステップ推定量は同じ漸近的性質を有するが，計算時間はタイプ I > タイプ II > タイプ III となっており，タイプ III のマルチステップ推定量の計算時間が一番短い．一方，タイプ I やタイプ II のマルチステップ推定量はタイプ III のマルチステッ
プ推定量よりも精密な疑似尤度関数を使用しているので，離散観測（サンプルサイズが有限）におけるタイプ I やタイプ II のマルチステップ推定量のパフォーマンスはタイプ III のマルチステップ推定量と同等もしくはそれよりも良いことが期待される．
2.3 例とシミュレーション結果
1 次元拡散過程(2.3)

β3
β1 − β 2 X t − 
1 + β2 Xt2

dXt =

dt +

α2 + Xt2
dwt ,1 + α1 Xt2

X0 = 2,を考える．ここで，θ = (α1 , α2 , β1 , β2 , β3 ) は未知パラメータ，パラメータの真値は θ∗ =(α1∗ , α2∗ , β1∗ , β2∗ , β3∗ ) = (0.3, 0.5, 3.0, 0.5, 2.0)，パラメータ空間は [0.1, 50]5 である．
p = 4 すなわち l0 = 1, m0 = 1 とする．バランス条件は nh4n → 0 となることに注意する．
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
θ̂B,III = (α̂III , β̂III ) := (α̂III,1 , α̂III,2 , β̂III,1 , β̂III,2 , β̂III,3 ) は，ベイズ型推定量を初期推定量としたタイプ III のマルチステップ推定量で，次のように表される．
(0)
α̂III

=

Θ1

n

=

Θ2

n

(0)

Un (α) π1 (α)dα

p

1
n

1−

2
p−1

1

exp
n

（初期ベイズ型推定量）,(0)

Un (α) π1 (α)dα
1− 2

β exp

Θ2

1− 2
p

1

exp
Θ1
(0)
β̂III

1

α exp

1−

2
p−1

(1)

(0)

(1)

(0)

Un (α̂III , β) π2 (β)dβ（初期ベイズ型推定量）,

Un (α̂III , β) π2 (β)dβ

(1)
α̂III

(0)
(0)
(0) 1
(0)
(0)
(0)
= α̂III − Γ−1
3,n,III (α̂III , β̂III ) ∂α V3,n (α̂III | α̂III , β̂III ),

(1)
β̂III

(0)
(1)
(0)
= β̂III − Ξ−1
4,n,III (α̂III , β̂III )

(1)

(1)

(1)

(1)

n
1
(0)
(1)
(0)
∂β V4,n (β̂III | α̂III , β̂III ).
nhn

(1)

(1)

(1)

θ̂M,III = (α̃III , β̃III ) := (α̃III,1 , α̃III,2 , β̃III,1 , β̃III,2 , β̃III,3 ) は，最尤型推定量を初期推定量としたタイプ III のマルチステップ推定量で，次のように表される．
(0)

Un(0) (α̃III ) = sup Un(0) (α) （初期最尤型推定量）
,
α∈Θ1

(0)
(0)
Un(1) (α̃III , β̃III ) =(0)

sup Un(1) (α̃III , β) （初期最尤型推定量）
,

β∈Θ2

(1)
(0)
(0)
(0) 1
(0)
(0)
(0)
α̃III = α̃III − Γ−1
3,n,III (α̃III , β̃III ) ∂α V3,n (α̃III | α̃III , β̃III ),
n
1
(1)
(0)
(1)
(0)
(0)
(1)
(0)
β̃III = β̃III − Ξ−1∂β V4,n (β̃III | α̃III , β̃III ).
4,n,III (α̃III , β̃III )
nhn
(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

θ̂A,III = (α̌III , β̌III ) := (α̌III,1 , α̌III,2 , β̌III,1 , β̌III,2 , β̌III,3 ) は，タイプ III の適応的最尤型推定量で，次のように表される．
(0)

Un(0) (α̌III ) = sup Un(0) (α) （初期最尤型推定量）
,
α∈Θ1

統計数理

50

第 65 巻

第 1 号 2017

表 1．推定量の平均（上段）と標準偏差（下段）T = 250, h = 1/390, p = 4．

(0)

(0)

(0)

Un(1) (α̌III , β̌III ) = sup Un(1) (α̌III , β) （初期最尤型推定量）
,
β∈Θ2

(1)

(0)

(0)

(0)

(0)

(1)

(0)

V3,n (α̌III | α̌III , β̌III ) = sup V3,n (α | α̌III , β̌III ),
α∈Θ1

(1)

(1)

(0)

V4,n (β̌III | α̌III , β̌III ) = sup V4,n (β | α̌III , β̌III ).
β∈Θ2

(1)
初期推定量をベイズ型推定量としたタイプ III のマルチステップ推定量 θ̂B,III，初期推定量(1)を最尤型推定量としたタイプ III のマルチステップ推定量 θ̂M,III , そして，タイプ III の適応的
(1)の漸近挙動を検証する．シミュレーションでは，T = 250，hn = 1/390
最尤型推定量 θ̂A,III（1 年の取引日数が 250 日で 1 日の取引時間が 390 分）と設定し，真のモデルから 1000 本の独立なサンプルパスを発生させた．実行には R（R Development Core Team 2013）のパッケージ
Yuima（Brouste et al., 2014）と組込み関数 optim() を用い，初期ベイズ型推定量の計算のために
Kamatani（2014）
が提案したマルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）法のアルゴリズムを用いた．
3
MCMC 法におけるバーンイン回数 Bi は 10 とし，マルコフチェーンの生成数 M を 104 とした．推定値の平均と標準偏差を表 1 に示す．
初期最尤型推定量とタイプ III の適応的最尤型推定量は optim() を用いて計算した．その際に必要となる初期値は，真値に近いものを選び，θ̄ = (ᾱ1 , ᾱ2 , β̄1 , β̄2 , β̄3 ) = (0.5, 1.0, 4.0, 1.0, 2.0) とした．
3 つの推定量はすべて，理論上は定理 1 と同等の漸近的性質をもつが，数値計算上では違いが生じる．まず，θ̂B,III および θ̂M,III の計算は，関数 V3,n および V4,n の最適化を必要としない．これは数値計算する上では魅力的である．ただし，初期ベイズ推定量は MCMC 法により計算されるために θ̂B,III の導出には時間を要する．一方，θ̂M,III と θ̂A,III の計算に要した平均
CPU 時間は 9.772 秒と 14.802 秒にすぎない（PC Intel 2.8 GHz を使用）
．これはニュートン・ラ
フソン法および最適化 optim() が高速であることを意味する．初期ベイズ型推定量は正規化項
1− 2
1− 2
n p , (nhn ) p−1 により頑健である．正規化項はモンテカルロの用語では温度と言われており，計算速度を上げるために使われる．（Robert and Casella, 2004 を参照）
．これは，純粋な理論的結果とモンテカルロシミュレーション技法の興味深い関係を表していると言える．
表 1 の結果が示すように，3 種類の推定量には著しい違いは見られないが，これは、最適化のための初期値を真値に近いものにしたためである．θ̂M,III と θ̂A,III に使われる初期最尤型推定量の導出には，最適化が必要になるのでそれに伴い初期値の選択が要求される．一方，ベイズ型推定量の計算は初期値の影響を受けづらいので，最適化が困難な場合には θ̂B,III の方が好ましいと言える．初期値の効果を示すため，次の拡散過程を考える．

(2.4)

dXt = (β1 − β2 Xt − 2 sin(β3 Xt ))dt +α2 + Xt2
dwt ,1 + α1 Xt2

X0 = 2,高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

51

図 1．β1 , β2 の初期ベイズ型推定量（左）と初期最尤型推定量（右）．異なる初期値を用い，最適化には optim() を使用した．右図には 5 つのクラスターがあり，下から上に向かってそれぞれ 36, 1, 32, 11, 20 の点が集まっている．真値は (β1 , β2 ) = (3.0, 7.0) で，下の方にあるクラスターは真値に近いところに出来ている．描画の重なりを避けるために，
ggplot2 の関数 position jitter(w=0.02,h=0.02) を用いて実際の値の周囲に点を分散させている．

ここで，θ = (α1 , α2 , β1 , β2 , β3 ) の真値は，θ∗ = (α1∗ , α2∗ , β1∗ , β2∗ , β3∗ ) = (0.3, 0.5, 3.0, 7.0, 5.0) である．T, h, p およびパラメータ空間は前述のモデルと同じとする．図 1 は一回の実験で得られた
β（，β（の推定値の散布図である．左図は初期ベイズ型推定量，右図は初期最尤型
1 横軸）
2 縦軸）
推定量である．いずれもパラメータ空間から一様に選択された 100 個の異なる初期値から計算されている．MCMC 法においてはバーンイン 104 回，反復 105 回とした．右図の左上隅の 4 つのクラスターには 64% の点が存在しており局所最大になっている．左図では真値の近傍でただ一つのクラスターが存在するのみである．
（図 2）．
この初期ベイズ型推定量と初期最尤型推定量を用いて，θ̂B,III , θ̂M,III , θ̂A,III を計算するは約 50% の点が真値の近くに集まっている．θ̂A,III は θ̂M,III（右上）よりも安定しθ̂A,III（左下）は最も安定していることが分かる．
ており，θ̂B,III（左上）3.

非エルゴード的拡散過程

本節は，非エルゴード的拡散過程を含む一般の確率回帰モデルのボラティリティパラメータのハイブリッドマルチステップ推定量の構成およびその漸近的性質について解説する．詳細は，Kamatani et al.（2016）
を参照．
3.1 モデルと仮定
次の確率積分方程式で表される確率回帰モデルのボラティリティのパラメータ推定を考える．
 t
 t
(3.1)
Yt = Y0 +bs ds +σ(Xs , θ)dws , t ∈ [0, T ].
00

ここで w は確率空間（Ω, F , (Ft )t∈[0,T ] , P ）上の r 次元標準ウィーナー過程，b, X はそれぞれ Rm ,Rd 上の値をとる発展的可測過程，Y0 は Rm - 値の初期状態，σ は Rd × Θ 上で定義される Rm ⊗ Rr
値関数，θ∗ を θ の真値とする．Θ は局所リプシッツ境界をもつ Rp での有界領域とする．F - 安
定分布収束は →ds (F ) と表記する．F - 安定分布収束については，Jacod and Shiryaev（2003）の

52

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

図 2．β1 , β2 の 3 つの推定量，θ̂B,III (左上), θ̂M,III (右上), θ̂A,III (下) の散布図．図 1 に示した初期ベイズ型推定量と初期最尤型推定量を用いている．右上図には下から上に向かってそれぞれ 36, 32, 32 の点が集まった 3 つのクラスターがあり，下図には 12, 36, 32, 20
個の点が集まった 4 つのクラスターがある．実際の値の周囲に点を描画させている．

VIII 章を参照．S(x, θ) = σ(x, θ)⊗2 , Δk Y = Ytk − Ytk−1 とおく．σ は Rd × Θ̄ 上の連続関数に拡張可能とし，それを σ と表記する．f ∈ Lp (P ) と p > 1 に対し，||f ||p = (E[|f |p ])1/p とする．
データ Zn = (Xtk , Ytk )0≤k≤n , tk = kh, h = hn = T /n は離散観測される．b は未知であることに注意する．極限は n → ∞ を考える．すなわち Zn は高頻度データである．
離散観測に基づく非エルゴード的拡散型確率過程モデルによる統計推測は多くの研究者に，Florens-Zmirou（1989），Genon-Catalot andよって発展してきている．例えば，Dohnal（1987），Gobet（2001）
を参照．Uchida and Yoshida（2013）は確率回帰モデルの最Jacod（1993, 1994）
尤型推定量もベイズ型推定量も漸近混合正規性とモーメント収束をもつことを示した．しかし，最尤型推定量の導出は数値最適化を必要とし，適切な初期値の選択が重要であり，ベイズ型推定量の計算には多大な時間を要する．先述した通り，ワンステップ推定量は非常に有効である√
が， n - 一致性をもつ初期推定量を見つけることは容易ではないため，非エルゴード的拡散過程のワンステップ推定量の導出は困難になる．
本節では，先述した Kamatani and Uchida（2015）の手法に基づいて，初期ベイズ型推定量を用いた確率回帰モデルのハイブリッドマルチステップ推定量を提案し，マルチステップ推定量
が漸近混合正規性とモーメント収束性をもつことを示す．
次を仮定する．

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

53[C1] (i) すべての p > 1 に対して，sup0≤t≤T bt p < ∞．
(ii) inf x,θ det S(x, θ) > 0, σ ∈ C↑2,4 (Rd × Θ; Rm ⊗ Rr ).
[C2] X は次のように表される:

 t

Xt = X0 +0 tb̃s ds +0

 t
as dws +0ãs dw̃s .

ここで，b̃, a, ã は，それぞれ Rd , Rd ⊗ Rr , Rd ⊗ Rr1 - 値の発展的可測過程で，すべての p > 1 に対して
X0 p + sup ( b̃t p + at p + ãt p ) < ∞t∈[0,T ]を満たす．w̃ は w と独立な r1 次元ウィーナー過程である．
疑似対数尤度関数 Hn (θ) は1
{log det S(Xtk−1 , θ) + h−1 S −1 (Xtk−1 , θ)[(Δk Y )⊗2 ]}2nHn (θ) = −k=1で与えられる．Yn (θ) = n1 {Hn (θ) − Hn (θ∗ )} とおくと，仮定 [C1] [C2] の下で，θ ∈ Θ について一様に，Y(θ) = −

1
2T



 T
log
0

det S(Xt , θ)
det S(Xt , θ∗ )へ確率収束する．
χ0 = inf∗θ=θ+ tr(S −1 (Xt , θ)S(Xt , θ∗ ) − Id ) dt

−Y(θ)|θ − θ∗ |2

とおく．次はインデックス χ0 の非退化性に関する条件である．
[C3] すべての L > 0 に対して，cL > 0 が存在して，すべての r > 0 に対し，P [χ0 ≤ r−1 ] ≤ rL
Lが成り立つ．
c[C3] は 1/χ0 がすべてのオーダーで有限なモーメントをもつことと同等であることに注意する．
[C3] の十分条件については Uchida and Yoshida（2013）
を参照．
3.2 ハイブリッドマルチステップ推定量
初期推定量についての仮定をおく．
(0)[D] q ∈ (0, 1/2] とする．θ の初期推定量 θ̂n は n → ∞ のとき，すべての M1 > 0 に対し，
sup Eθ∗ [|nq (θ̂n(0) − θ∗ )|M1 ] < ∞nを満たす．
[D] を満たす初期推定量は次のように求められる．q ∈ (0, 1/2] とする．事前分布 π : Θ → R+
(0)
に対する初期ベイズ型推定量 θ̃q,nは
 1
θ exp n1−2q
Hn (θ) π(θ)dθ
(0)
Θ
 1

θ̃q,n =
exp n1−2q
Hn (θ) π(θ)dθΘで定義される．π は連続で 0 < inf θ∈Θ π(θ) ≤ supθ∈Θ π(θ) < ∞ であるとする．

統計数理

54

第 65 巻

第 1 号 2017

q = 0.5 の場合が通常のベイズ型推定量である．q < 0.5 のときのベイズ型推定量を初期推定量としたマルチステップ推定量の方が通常のベイズ型推定量や通常のベイズ型推定量を初期推定量としたマルチステップ推定量よりもパフォーマンスが良くなる数値シミュレーションの結果を 3.3 節で述べる．
Uq,n = {u ∈ Rp ; θ∗ + n1q u ∈ Θ}, Vq,n (r) = {u ∈ Uq,n ; r ≤ |u|} とおく．Uq,n 上の統計的確
率場 Zq,n を


1
1
1
∗
(3.2)
Zq,n (u) = exp
H+u− 1−2q Hn (θ∗ )
θ
n
n1−2q
nq
n

と定義する．
命題 3.（Uchida and Yoshida, 2013）q ∈ (0, 1/2] とする．[C1], [C2], [C3] を仮定する．このとき，すべての L > 0 に対して，正定数 CL が存在して，すべての r > 0, n ∈ N について
CLP
sup Zq,n (u) ≥ e−r ≤ L
ru∈Vq,n (r)が成り立つ．
命題 4. （Kamatani et al., 2016）q ∈ (0, 1/2] とおく．[C1], [C2], [C3] を仮定する．このとき，
n → ∞ の下で，すべての M > 0 に対して，(0)
sup Eθ∗ [|nq (θ̃q,n− θ∗ )|M ] < ∞.
n

マルチステップ推定量について考察する．
1
Γn (θ) := ∂θ2 Hn (θ),
n
Kn (θ) := {Γn (θ) は正則},Γ̄n (θ) := Γn (θ)1Kn (θ) + Ep 1Knc (θ) ,とおく．ここで Ep は p 次単位行列である．
(J)q ∈ (0, 1/2] に対し，J = [− log2 q] とおく．マルチステップ推定量 θ̂n は，k = 1, . . . , J に対し(k−1) 1) ∂θ Hn (θ̂n(k−1) )θ̂n(k) = θ̂n(k−1) − Γ̄−1n (θ̂nnで定義される．
補題 2. （Kamatani et al., 2016）q ∈ (0, 1/2], J = [− log2 q] とおく．[C1], [C2], [C3], [D] を仮定する．このとき，k = 0, 1, . . . , J − 1 に対し，すべての M > 0 についてk

sup Eθ∗ [|n2 q (θ̂n(k) − θ∗ )|M ] < ∞nが成り立つ．
Γ(θ∗ ) = (Γij (θ∗ ))i,j=1,...,p , ただし
Γij (θ∗ ) =

1
2T

 T
0

tr((∂θi S)S −1 (∂θj S)S −1 (Xt , θ∗ ))dtとし，ζ は Γ(θ∗ ) とは独立な p 次元標準正規確率変数とする．
定理 2. （Kamatani et al., 2016）q ∈ (0, 1/2], J = [− log2 q] とおく．[C1], [C2], [C3], [D] を仮高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

55

定する．このとき，n → ∞ の下，√n(θ̂n(J) − θ∗ ) →ds (F ) Γ(θ∗ )−1/2 ζが成り立つ．さらに，高々多項式増大のすべての連続関数 f に対して，√
E[f ( n(θ̂n(J) − θ∗ ))] → E[f (Γ(θ∗ )−1/2 ζ)]が成り立つ．
3.3 例とシミュレーション結果
次式で定義される 1 次元拡散過程を考える．
dXt = −(Xt − 1)dt + [θ1 + θ2 {1 + sin(θ3 Xt )}]dwt ,X0 = 1.

t ∈ [0, 1],

ここで，真値は θ∗ = (1, 4, 8) とし，パラメータ空間は Θ = [0.01, 20] × [0, 20] × [0, 20] であるとする．データ (Xti )i=0,1,...,n は ti = ih, h = 1/104 , tn = nh = T = 1, サンプル数 n は 104 とする．ここでは，最尤型推定量 θ̂M,n（Genon-Catalot and Jacod, 1993），ベイズ型推定量 θ̂B,n（Uchida and Yoshida, 2013）
そして本節で提案されたハイブリッドマルチステップ（HMS）推定
量のシミュレーションを行う．最尤型推定量 θ̂M,n はHn (θ̂M,n ) = sup Hn (θ)θ∈Θ

で定義され，一様分布を事前分布とするベイズ型推定量 θ̂B,n はθ̂B,n :=

θ exp(Hn (θ))dθexp(Hn (θ))dθ
Θ

Θ

(0)
で定義される．q ∈ (0, 1/2] とすると，一様事前分布に対する初期ベイズ型推定量 θ̃q,nは
 1
θ exp n1−2q Hn (θ) dθ
(0)
 1

= Θ
θ̃q,n
exp n1−2q
Hn (θ) dθΘで定義される．Hn (θ) の最大化には，R 言語の組込み関数 optim() の L-BFGS-B 法を用いた．ベ
イズ型推定量は Kamatani（2014）
が提案した MCMC 法のアルゴリズムを使用して計算した．
真のモデルから 1000 本の独立なサンプルパスを発生させ，推定値の平均および標準偏差を計算し，結果を表 2–4 に示す．表 2 は 2 つの異なる初期値から得られた最尤型推定量 θ̂M,n である．最尤型推定量は組込み関数 optim() を用いて導出した．真値を初期値としたものは良いパ
フォーマンスをするが，Θ 上の一様分布から得られた初期値は真値から遠く離れた値をとり得るため，最適化に失敗している．
表 3 は一様事前分布を持つベイズ型推定量 θ̂B,n の結果である．マルコフチェーン生成数 M
を 5 × 104 , 5 × 105 , 107 とし，これに対するバーンイン回数 Bi をそれぞれ 5 × 103 , 5 × 104 ,
106 とした．(M, Bi) = (107 , 106 ) のとき，ベイズ型推定量は良いふるまいをしているが，(M, Bi) = (5 × 104 , 5 × 103 )，(5 × 105 , 5 × 104 ) のときは，MCMC 法によって生成されるマ
ルコフチェーンが定常分布に収束しきれていないため，ベイズ型推定量の計算に失敗している．
(0)と
表 4 は M = 5 × 104 , Bi = 5 × 103 の場合の，一様事前分布をもつベイズ型推定量 θ̃q,n(J)
q = 0.5, 0.45, 0.4, . . . , 0.1, 0.05, J = [− log2 q] の場合の HMS 推定量 θ̂q,n のシミュレーション結果(0)− θ∗ )|M ] < ∞ となることに注意されたい．
である．すべての M > 0 に対し supn Eθ∗ [|nq (θ̃q,n
この例では，HMS 推定量の中で q = 0.2 とした場合が一番良いことがわかる．理論的に最適な

56

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 2．最尤型推定量 n = 1 × 104 ．

表 3．ベイズ型推定量 n = 1 × 104 ．

表 4．HMS 推定量 n = 1 × 104 , M = 5 × 104 , Bi = 5 × 103 ．

q を選び出すことは困難であるが，実際には q を様々な値に変えて，競合する HMS 推定量の中(J))
から最も良い推定量を得ることができる．最も良い推定量 θ̂n∗ とは Hn (θ̂n∗ ) = maxq∈K Hn (θ̂q,nを満たすものであり，K は q の値の組
（例えば K = {0.05, 0.1, 0.15, . . . , 0.5}）である．
次に，推定量を得るために要した計算時間に焦点をあてる．シミュレーションに使用したパ（3.4 GHz base clock/3.9 GHz Turbo, 12 MB cache）である．
ソコンのスペックは，Intel i7 4930K(J)
最尤型推定量 θ̂M,n , ベイズ型推定量 θ̂B,n , HMS 推定量 θ̂0.2,nの計算時間はそれぞれ 0.9 秒，1733
秒，1667 秒であった．θ̂M,n は Θ 上の一様分布からの乱数を初期値とした．θ̂B,n は一様分布を(J)
は，q = 0.2，一様事前分布，M = 5 × 104 とした初期ベ事前分布，M = 5 × 104 とした．θ̂0.2,n高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

57(0)
イズ型推定量 θ̃q,nを用いて計算した．事前分布を一様分布とし，M = 5 × 105 とした場合のベイズ型推定量 θ̂B,n の平均計算時間は 281 分である．事前分布を一様分布とし，M = 5 × 104 とした場合の初期ベイズ型推定量に基づいた HMS 推定量は，計算時間に関してはほとんど違いがみられない．q を変えた結果を表 4 に示す．数値計算上の見地から，短時間で推定値を得ることは極めて重要であるが，正確な推定値を得ることの方がより重要である．この意味で，optim()を使って求める最尤型推定量と比較して，初期ベイズ型推定量を用いて HMS 推定量を得るには多くの時間を要するが，このモデルでは最尤型推定量より HMS 推定量の方が優れていると
言える．

4.

微小拡散過程本節は，Nomura and Uchida（2016a, 2016b）の結果に従って，微小拡散過程のドリフトパラ
メータおよびボラティリティパラメータの適応的最尤型推定，適応的ベイズ型推定そしてハイブリッド推定について概説する．
4.1 モデルと仮定
次の確率微分方程式で定義される d 次元拡散過程を考える．
dXt = a(Xt , α)dt + b(Xt , β)dwt , t ∈ [0, T ],(4.1)
X 0 = x0 .

 ∈ (0, 1],

ここで，a : Rd × Θα → Rd , b : Rd × Θβ → Rd ⊗ Rr , w は r 次元標準ウィーナー過程， と T は既
知な定数，x0 は確定的初期条件，θ = (α, β) ∈ Θ = Θα × Θβ ，θ∗ = (α∗ , β ∗ ) ∈ Θ は θ の真値，Θα ,Θβ はそれぞれ Rp , Rq 上の有界で凸な開部分集合である．パラメータ空間は局所的リプシッツ
境界をもつとする．本節の微小拡散過程のドリフト係数 a とボラティリティ係数 b は 2 節のエ
ルゴード的拡散過程のドリフト係数 b とボラティリティ係数 a とは記号が異なっていることに注意する．データは離散観測され，Xn = (Xti )0≤i≤n , ti = ihn , hn = T /n であるとする． → 0,√n → ∞, √1 n = O(1) の場合を考える．また，ある γ ∈ (0, 1] が存在して，( n)γ = O(1) を満たすとする．（4.1）で定義される拡散過程は，小さな摂動をもつダイナミカルシステムあるいは微小拡．微散過程と呼ばれている（Azencott, 1982; Freidlin and Wentzell, 1998; Yoshida, 1992a を参照）
，Kunitomo and小拡散過程の数理ファイナンスや生命科学への応用については Yoshida（1992b），Takahashi and Yoshida（2004），Uchida and Yoshida（2004b），Fuchs（2013）
Takahashi（2001）とそれらの参考文献を参照．B(x, β) = bb (x, β), ΔXi = Xti − Xti−1 , ai−1 (α) = a(Xti−1 , α),Bi−1 (β) = B(Xti−1 , β) とする．Xt0 を  = 0 としたときの常微分方程式の解とする．すなわち
dXt0 = a(Xt0 , α∗ )dt, X00 = x0 である．
連続観測される微小拡散過程の統計推測は著しく発展している．例えば，Kutoyants（1984,，Yoshida（1992a, 1993, 2003），Prakasa Rao（1999），Iacus（2000），Iacus and Kutoyants
1994）（2001），Uchida and Yoshida（2004a）とそれらの参考文献を参照．離散観測された微小拡散過程
については，最尤型推定量や M 推定量に関する研究は数多く挙げられる（Genon-Catalot, 1990;
Laredo, 1990; Sørensen, 2000, 2012; Sørensen and Uchida, 2003; Uchida, 2003, 2004, 2006, 2008;．しかし，適応的推測やハイブリッド型推測
Gloter and Sørensen, 2009; Guy et al., 2014 など）の研究はほとんどない．
本節では，Nomura and Uchida（2016a, 2016b）で提案された適応的最尤型推定量，適応的ベイズ型推定量そしてハイブリッド推定量の漸近的性質（漸近正規性とモーメント収束性）について説明する．

統計数理

58

第 65 巻

第 1 号 2017

以下の仮定をおく．
[E1] (i) すべての x, y ∈ Rd に対して
sup |a(x, α) − a(y, α)| + sup b(x, β) − b(y, β) ≤ K|x − y|

α∈Θα

β∈Θβ

となる K > 0 が存在する．
(ii) inf det B(x, β) > 0.
x,β[E2] a(x, α) ∈ C↑6,4 (Rd × Θα ; Rd ), b(x, β) ∈ C↑6,4 (Rd × Θβ ; Rd ⊗ Rr ).

次に，Y(1) (α) = −

1
2


Rd

|a(Xt0 , α) − a(Xt0 , α∗ )|2 dt,

det B(Xt0 , β)1tr[B(Xt0 , β)−1 B(Xt0 , β ∗ ) − Id ] + log
2 Rd
det B(Xt0 , β ∗ )
1
B(Xt0 , β ∗ )−1 [(a(Xt0 , α) − a(Xt0 , α∗ ))⊗2 ]dt
Y(3) (α) = −2 Rd
Y(2) (β) = −

dt,

とおく．
[E3] すべての α ∈ Θα , β ∈ Θβ に対しY(1) (α) ≤ −χ(1) |α − α∗ |2 ,Y(2) (β) ≤ −χ(2) |β − β ∗ |2 ,Y(3) (α) ≤ −χ(3) |α − α∗ |2となる正定数 χ(1) , χ(2) , χ(3) が存在する．
フィッシャー情報行列 I(θ∗ ) をI(θ∗ ) =Iaij (θ∗ ) =(Iaij (θ∗ ))1≤i,j≤p

0

0(Ibij (β ∗ ))1≤i,j≤q,(∂αi a(Xt0 , α∗ )) B(Xt0 , β ∗ )∂αj a(Xt0 , α∗ )dt,
1tr{B −1 (∂βi B)B −1 (∂βj B)(Xt0 , β ∗ )}dt
Ibij (β ∗ ) =
2 Rd
Rd

とおく．
4.2 適応的推定量
(1)
(2)
(3)
(α), U,n (α, β), U,n (α, β) は次のように表される．
疑似対数尤度関数 U,n(1)U,n(α) = −

1
|ΔXi − hn ai−1 (α)|2 (2 hn )−1 ,
2 i=1
n

(2)
(α, β) = −
U,n

1
−1
{log det Bi−1 (β) + (2 hn )−1 Bi−1(β)[(ΔXi − hn ai−1 (α))⊗2 ]},
2 i=1

(3)
(α, β) = −
U,n

1 2
−1
( hn )−1 Bi−1(β)[(ΔXi − hn ai−1 (α))⊗2 ].
2 i=1

n

n

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定59(1)
初期推定量 α̂,nと適応的最尤型推定量 α̂,n と β̂,n は次で定義される．
(1)
(1)
(1)
U,n
(α̂,n) = sup U,n
(α),
α∈Θα

(2)
(1)
U,n
(α̂,n, β̂,n ) =(2)(1)
sup U,n(α̂,n
, β),

β∈Θβ

(3)
(3)
(α̂,n , β̂,n ) = sup U,n(α, β̂,n ).
U,n
α∈Θα

定理 3. （Nomura and Uchida, 2016a）[E1], [E2], [E3] を仮定する．このとき， √1 n = O(1)の下，√d(−1 (α̂,n − α∗ ), n(β̂,n − β ∗ )) → (ζ1 , ζ2 ) ∼ Np+q (0, I(θ∗ )−1 )が成り立つ．さらに，高々多項式増大のすべての連続関数 f に対して，√Eθ∗ [f (−1 (α̂,n − α∗ ), n(β̂,n − β ∗ ))] → E[f (ζ1 , ζ2 )]が成り立つ．
事前分布 π1 (α), π2 (β) は連続で，0 < inf α∈Θα π1 (α) ≤ supα∈Θα π1 (α) < ∞, 0 < inf β∈Θβ π2 (β) ≤(1)supβ∈Θβ π2 (β) < ∞ を満たすと仮定する．初期ベイズ型推定量 α̃,n および適応的ベイズ型推定量 α̃,n , β̃,n は次で定義される:
(1)

(1)
α̃,n
=

α exp{U,n (α)}π1 (α)dα

Θα

(1)

Θα

β̃,n =

Θβ

exp{U,n (α)}π1 (α)dα
(2)

(1)

(2)

(1)

,

β exp{U,n (α̃,n , β)}π2 (β)dβ
exp{U,n (α̃,n , β)}π2 (β)dβ

Θβ

,

(3)

α̃,n =

Θαα exp{U,n (α, β̃,n )}π1 (α)dα

Θα

(3)

exp{U,n (α, β̃,n )}π1 (α)dα.

定理 4. （Nomura and Uchida, 2016b）[E1], [E2], [E3] を仮定する．このとき， √1 n = O(1)の下，√d(−1 (α̃,n − α∗ ), n(β̃,n − β ∗ )) → (ζ1 , ζ2 ) ∼ Np+q (0, I(θ∗ )−1 )が成り立つ．さらに，高々多項式増大のすべての連続関数 f に対して，√Eθ∗ [f (−1 (α̃,n − α∗ ), n(β̃,n − β ∗ ))] → E[f (ζ1 , ζ2 )]が成り立つ．
次にハイブリッド推定量を定義する．r1 , r2 ∈ (0, 1], r2 ≤ 2r1 γ とする．n → ∞,  → 0 のと√き， √1 n = O(1), ( n)γ = O(1) であることに注意する．
2−2r1 (1)H(1)
U,n (α),
,n,r1 (α) = 
1
(2)
(2)
H,n,r2 (α, β) = √ 2−2r U,n(α, β)
2
( n)
(1)
(2)
とする．初期ベイズ型推定量 α̃,n,r
1 , β̃,n,r2 は

統計数理

60

第 65 巻

第 1 号 2017

(1)

(1)
α̃,n,r=1

α exp{H,n,r1 (α)}π1 (α)dα

Θα

(1)

Θα
(2)
β̃,n,r=2

Θβexp{H,n,r1 (α)}π1 (α)dα
(2)

(1)

(2)

(1)

,

β exp{H,n,r2 (α̃,n,r1 , β)}π2 (β)dβΘβexp{H,n,r2 (α̃,n,r1 , β)}π2 (β)dβにより定義され，ハイブリッド推定量 α̌,n , β̌,n は
(3)
(2)
(3)
(2)
U,n
(α̌,n , β̃,n,r) = sup U,n(α, β̃,n,r
),
2
2
α∈Θα

(2)
U,n
(α̌,n , β̌,n ) =(2)
sup U,n(α̌,n , β)β∈Θβにより定義される．
注 3. r2 ≤ 2r1 γ の条件は，α に関する a(x, α) の滑らかさによって緩和することが可能である．
命題 5. （Nomura and Uchida, 2016b）r1 , r2 ∈ (0, 1] とする．[E1], [E2], [E3] を仮定する．このとき，すべての M > 0 に対し，次が成り立つ．
(1)(i) sup Eθ∗ [|−r1 (α̃,n,r1 − α∗ )|M ] < ∞.
,n√(ii) sup Eθ∗ [|( n)r2 (β̃,n,r2 − β ∗ )|M ] < ∞.
,n(iii) sup Eθ∗ [|−1 (α̌,n − α∗ )|M ] < ∞.
,n√(iv) sup Eθ∗ [| n(β̌,n − β ∗ )|M ] < ∞.
,n定理 5. （Nomura and Uchida, 2016b）[E1], [E2], [E3] を仮定する．このとき， √1 n = O(1)の下，√d(−1 (α̌,n − α∗ ), n(β̌,n − β ∗ )) → (ζ1 , ζ2 )が成り立つ．さらに，高々多項式増大のすべての連続関数 f に対して，√Eθ∗ [f (−1 (α̌,n − α∗ ), n(β̌,n − β ∗ ))] → E[f (ζ1 , ζ2 )]が成り立つ．
注 4. r1 < 1, r2 = 1 のとき，高々多項式増大なすべての連続関数 f に対し，√
(2)
Eθ∗ [f (−1 (α̌,n − α∗ ), n(β̃,n,r− β ∗ ))] → E[f (ζ1 , ζ2 )]2となる．
4.3 例とシミュレーション結果
次式で与えられる 1 次元拡散過程を考える．
⎧
 2⎨ dX  = (α − α X  − 2 sin (α X  ))dt +  β2 + (Xt ) dw
1
2 t
3 t
t
t
1 + β1 (Xt )2⎩
X0 = 2.

t ∈ [0, 1],

 ∈ (0, 1],

ここで，θ = (α1 , α2 , α3 , β1 , β2 ) は未知パラメータ，真値は θ∗ = (α1∗ , α2∗ , α3∗ , β1∗ , β2∗ ) =(3, 7, 5, 0.5, 5)，パラメータ空間は Θ = [0.01, 20]5 であるとする．データ (Xti ) は  = 0.01, 0.05, 0.1,
n = 100, 1000 に対して発生させる．定理 5 のハイブリッド推定量 θ̌ = (α̌,n , β̌,n ) と定理 3 の適
応的最尤型推定量 θ̂ = (α̂,n , β̂,n ) をシミュレーションにより検証する．適応的最尤型推定量は，

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

61

表 5．適応的最尤型推定量 θ̂（初期値は真値）．

表 6．初期ベイズ型推定量 α̃(1) , β̃ (2)（初期値は真値）．

(1)
(1)
(1)
U,n
(α̂,n) = sup U,n
(α),
α∈Θα

(2)
(1)
(α̂,n, β̂,n ) =
U,n

(2)
(1)
sup U,n(α̂,n
, β),

β∈Θβ

(3)
(3)
(α̂,n , β̂,n ) = sup U,n(α, β̂,n )
U,n
α∈Θα

を満たすものである．
真のモデルから 1000 本の独立なサンプルパスを発生させ，各々の推定量の平均と標準偏差を計算する．適応的最尤型推定量 θ̂ とハイブリッド推定量 θ̌ は R 言語の組込み関数 optim() を使って計算し，初期ベイズ型推定量 α̃, β̃ は Kamatani（2014）が提案した MCMC 法のアルゴリ
ズムを用いて計算される．マルコフチェーンの生成数は 5 × 104 回，バーンイン回数は 5 × 103とする．初期値 (α10 , α20 , α30 , β10 , β20 ) には，真値あるいは Θ 上の一様乱数を用いる．
表 5–6 では真値，表 8–9 では一様乱数を初期値としている．表 7 と表 10 は，初期ベイズ型推

62

統計数理

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第 1 号 2017

表 7．ハイブリッド推定量 θ̌（初期値は初期ベイズ型推定量 α̃(1) , β̃ (2) ）．

表 8．適応的最尤型推定量 θ̂（初期値は乱数）．

定量 α̃, β̃ に対し r1 = r2 = 1 としている．表 11–12 では， = 0.05, n = 1000，初期ベイズ型推定量に対し r1 = 0.1, 0.2, . . . , 1, r2 = 1 としている．
とハイブリッド推定量（表 7）はほぼ同じ結果を示しており，いずれ
適応的最尤型推定量（表 5）も  = 0.1 のときに不安定となる．しかし表 8 に見られるように，初期値に Θ 上の一様乱数を用いた場合，適応的最尤型推定量は真値を用いた場合のようにうまく推定できていない．一方，とハイブリッド推定量（表 10）は初期値に Θ 上の一様乱数を用いたと
初期ベイズ型推定量（表 9）
しても良い結果を出している．
 = 0.05, n = 1000 としたときの推定量 α̃3 , α̌3 の標準偏差に着目すると，表 6 と表 9 の α̃3 の標準偏差に明らかな違いが生じており，表 7 と表 10 の α̌3 の標準偏差についても同様である．
これは表 9 の初期ベイズ型推定量がパラメータ α3 の推定に数回失敗していることに起因している．表 10 からハイブリッド推定量は初期ベイズ型推定量の影響を受けていることがわかる．
一方，表 11 の初期ベイズ型推定量 α̃3 の標準偏差は r1 = 0.2 または 0.3 のとき，表 6 の値に近

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

63

表 9．初期ベイズ型推定量 α̃(1) , β̃ (2)（初期値は乱数）．

表 10．ハイブリッド推定量 θ̌（初期値は初期ベイズ型推定量 α̃(1) , β̃ (2) ）．

づいており，表 12 のハイブリッド推定量 α̌3 の標準偏差は，r1 = 0.2 または 0.3 のとき，表 7 の値と非常に近い値を取っている．これは表 11 において r1 を調整することによって得られる初期ベイズ型推定量が良いふるまいをすること，表 12 では r1 = 0.2 または 0.3, r2 = 1 の場合にハイブリッド推定量が，真値を初期値として求められた適応的最尤型推定量（表 5）と同程度によいことが分かる．
5.

おわりに

本論文では，確率微分方程式モデルの未知パラメータに対して，高頻度データを用いたハイブ
リッド推定法について解説した．確率微分方程式（SDE）モデルの統計解析および数値シミュレー
ションの統計パッケージ Yuima を開発するための Yuima プロジェクト（Brouste et al., 2014）が立ち上がって 10 年以上の歳月が経っている．著者はほとんど貢献できていないが，実際に計算機で SDE の統計解析を実行しようとすると，SDE モデル特有の問題点も多々あるが，高次元パ

64

統計数理

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第 1 号 2017

表 11．初期ベイズ型推定量 α̃(1) , β̃ (2)（r2 = 1）．

表 12．ハイブリッド推定量 θ̌（r2 = 1, 初期値は初期ベイズ型推定量 α̃(1) , β̃ (2) ）．

高頻度データに基づく確率微分方程式モデルのハイブリッド推定

65

ラメータ空間における疑似尤度関数の最適化やベイズ型推定量の MCMC 法による統計計算など普遍的な問題が浮かび上がる．エルゴード的拡散過程モデルのパラメータ推定における顕著な性質は，ドリフトパラメータとボラティリティパラメータの推定量の収束率が異なる点である．この性質を用いて効率よく推定量の計算を実行したいというのが，ハイブリッド推定の最初の動機付けである．これは Yuima への実装という具体的な問題から生まれたものである．確，Prakasa Rao
率微分方程式モデルの統計解析については，Kutoyants（1984, 1994, 2004, 2015）（1999），Iacus（2008），Sørensen（2012），吉田（2003, 2010, 2011），林・吉田（2008），内田（2008a,，増田（2015）などを参照．SDE モデルの最尤型推定量やベイズ推定量の理論
2008b, 2009, 2013）
的性質に基づいて，これら推定量を効率よく計算する方法の開発が今後益々重要視されると考
えられる．
謝

辞

査読者から有益なコメントを頂いた．ここに記して感謝の意を表したい．本研究は JSPS 科
研費 24300107 および CREST, JST の助成を受けたものである．

参

考

文

献

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Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 39–69 (2017)69

Hybrid Estimation for Stochastic Diﬀerential Equations
Based on High-frequency Data
Masayuki Uchida1,2,3
1 Graduate School of Engineering Science, Osaka University
2 MMDS, Osaka University
3 CRESTIn this paper, we survey previous researches on hybrid estimation for unknown parameters of stochastic diﬀerential equations based on high-frequency data. Using a Bayes
type estimator with a non-optimal rate of convergence as the initial estimator, we obtain amulti-step estimator and an adaptive maximum likelihood type estimator, and show their
asymptotic properties. For three kinds of diﬀusion models, ergodic diﬀusions, non-ergodic
diﬀusions and small diﬀusions, we give some examples and simulation results.

Key words: Bayes type estimator, diﬀusion process, hybrid estimator, maximum likelihood type estimator, multi-step estimator, stochastic diﬀerential equation.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 71–85
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［原著論文］

高頻度データに対する Whittle 推定
深澤 正彰1,2（受付 2016 年 6 月 24 日；改訂 9 月 28 日；採択 10 月 17 日）

要旨連続伊藤過程の拡散項に対する，高頻度データに基づく統計的推定問題を考察する．対象の伊藤過程そのものの値が高頻度データとして与えられている場合には，既にかなりの理論が整備されている．とくに Euler - 丸山近似に基づく尤度の近似が漸近有効な推定を与えることはよく知られている．ここでは対象とする伊藤過程そのものの値は直接観測されず，その積分値のみが高頻度に観測される状況を扱う．データの数値微分による近似を安直に用いると，推定の一致性さえ崩れてしまう．本稿ではとくに伊藤過程の二次変分をデータで近似する際の中心極限定理を与える．定常 Gauss 過程に対する Whittle 尤度のアイデアを用いて，漸近分散が小さ
い推定量を構成する．
キーワード：高頻度データ，Whittle 推定，中心極限定理，安定収束，Langevin モデル．
1.

研究の背景

溶媒中の微粒子運動に対する Langevin モデルは以下のように記述される：
mŸt = −∇q(Yt ) − γ Ẏt + σ Ẇtまたは同値な表現として(1.1)

dYt = Xt dt,
mdXt = −∇q(Yt )dt − γXt dt + σdWt .

ここで X, Y はそれぞれ粒子の速度と座標を表し，m は質量，q はポテンシャル，γ > 0 は抵抗係数，W は標準 Brown 運動である．以下，物理学者が言う Brown 運動（Brown が発見した微粒子の不規則な運動）と数学的に定義された Brown 運動を区別する必要があるため，後者を指すときには常に，標準 Brown 運動と呼ぶことにする．上の式で標準 Brown 運動は W だが，物理学者にとっては Y が Brown 運動である．拡散係数 σ が 0 のとき，上式は Newton の運動方
程式である．そうでないときは q に対する適当な条件の下で (X, Y ) はエルゴード的拡散過程となり，その不変分布は
222G(dxdy) = Ce−mγx /σ e−2γq(y)/σ dxdy,

で与えられる．ここで C は規格化定数である（例えば Mattingly et al., 2002 参照）．この X, Y の不変分布がそれぞれ Maxwell 分布，Boltzmann-Gibbs 分布に等しいことを要請すると，Einstein
12

大阪大学大学院 基礎工学研究科：〒 560–8531 大阪府豊中市待兼山町 1–3
大阪大学 数理・データ科学教育研究センター：〒 560–8531 大阪府豊中市待兼山町 1–3

統計数理

72

第 65 巻

第 1 号 2017

関係 σ 2 = 2γκB T が従う．ただし κB は Boltzmann 定数，T は温度である．
Einstein は 1905 年前後の論文において，微粒子の Brown 運動を，目に見えない溶媒分子との衝突の結果だと仮定し，そこから理論的に予言される Brown 運動の性質を実験的に検証することで，目に見えない溶媒分子の仮定そのものを検証しようと提唱した．当時，溶媒分子の存在を直接確認する方法はなく，全ての物質が原子からなるという原子論は単なる仮説であったことに注意する．Langevin モデルは，この Einstein のアイデアを表現するものとして Langevinが 1908 年に導入したもの（の現代的な記述）である．同時期に Perrin が，Brown 運動する微粒子の軌跡を顕微鏡を使って 30 秒ごとに記録し，その実験データが Einstein の予言通りだった
ことで，初めて原子論が決定的となった．
この歴史的研究のもう少し詳細を見てみよう．Perrin は 2 次元データをとったが，ここでは（q = 0）とすると，（1.1）は線形なシステム
簡単のため 1 次元で考える．今ポテンシャルはないだから Y は Gauss 過程である．定常性の仮定の下，


2κB T
2κB T
m
E[(Yt+h − Yt )2 ] =h + (e−γh/m − 1) ≈hγγγと計算できる．ここで実験対象となる微粒子の抵抗と質量の比は例えば γ/m ≈ 105 程度である．したがって微粒子の変位の二乗 (Yt+h − Yt )2 の平均は h に比例するはずだと言ったのがEinstein であり，これを実験で検証したのが Perrin であった．

上の近似は，Brown 運動 Y を標準 Brown 運動の 2κB T /γ 倍とみなすことに相当するが，この近似を考えた Einstein 本人も述べたように（Nerburgh et al., 2006 参照），時間幅 h が小さい
ときには明らかな問題が生じる．実際計算してみれば(1.2)

E[(Yt+h − Yt )2 ]
= 0,
h→0
h
lim

E[(Yt+h − Yt )2 ]
κB T
=
h→0
h2
m
lim

である．しかし Perrin の h = 30 秒では全く問題なかった．以来，本来なら微分可能なはずのBrown 運動 Y を，標準 Brown 運動の定数倍と同一視することが物理その他の分野の標準となっている．ちなみに上の近似は γ が小さいときにもよくない．実際，気体中では抵抗が小さいので，粒子の軌跡は標準 Brown 運動とはかけ離れている．実際に観察した物理学者の言葉を（図 1 参照）．
借りれば，気体中の Brown 運動は日本舞踊，液体中の Brown 運動は盆踊りであると呼ばれる技術で，1 分子をトラップしてその動き
近年では，光ピンセット（optical tweezer）
を直接観察できるようになった（例えば Gittes and Schmidt, 1998 参照）．これはレーザーで人為的にポテンシャル q を与え，分子を一定期間顕微鏡の視野に止めておく技術である．時間解像度も進歩し，現在の観測間隔はサブミリ秒である．このような 1 分子計測の技術発展により，
特に分子生物学分野で新たな知見が期待されるが，この新しい高頻度データの解析法に関する研究は未発展である．特に上述の議論から，高頻度データに対しては Einstein 近似ではなく，Langevin モデル（1.1）
そのものによる解析が必要と思われる．実際 Li et al.（2010）では，気体中のガラスビーズの Brown 運動をマイクロ秒単位で観測し，（1.2）の成立を確かめている．本稿では，非平衡状態を含むよう一般化したモデル(1.3)

dYt = Xt dt
dXt = Ut dt +√Vt dWtにおいて，Y の高頻度データ {Yjh ; j = 0, 1, 2, . . . , [1/h]} に基づく，X の二次変分
 1
(1.4)
V̄ :=
Vt dt
0

高頻度データに対する Whittle 推定73

図 1．γ/m = 10（上），γ/m = 105（下）の場合の（1）のサンプルパス（ただし q = 0）．

の推定を考察する．ここで U , V は適合過程であり，Y は 1 次元とする．尚，このモデルは計
量ファイナンス分野におけるボラティリティ推定の問題にも現れる．
2.

関連する先行研究

上述の Langevin モデルで，調和振動，つまりポテンシャル q が二次関数の場合には，観測系
列 {Yjh } は Gauss 過程となる． 隠れ Markov 過程 Y は連続時間自己回帰過程と呼ばれる，統において既にこの連続過程の離散観測が議論され計でも歴史あるモデルとなり，Bartlett（1946）ている．離散観測系列は ARMA の構造を持つことが示され，観測時間間隔 h を固定，観測期間が無限に長くなる設定で，標準的な定常 Gauss 過程に対する時系列解析が適用できる．パラ

統計数理

74

第 65 巻

第 1 号 2017

メータの同定可能性が失われないかに関する議論が Pandit and Wu（1975）にある．ノイズをフラクショナルに拡張したモデルが Tsai and Chan（2005）で扱われている．ポテンシャルが 0 の場合に，Gloter（2001）
は差分をとることで，やはり定常 Gauss 過程に帰着させた．定常 Gauss
過程である限り，モデルは共分散構造で決定されるから，これら時系列解析（スペクトル解析）の方法は最尤法と同等な有効推定量を与える．
ポテンシャルが一般の非線形関数の場合にはもはや正規性は失われるが，もし Y が連続的に観測できるなら，Girsanov - 丸山の定理によって尤度が陽に記述できる．観測期間が長くなると同時に，間隔 h も 0 に収束する設定で，この連続観測の尤度の近似を利用する方法が Brockwell
et al.（2007）
で扱われている．また Pokern et al.（2009）で Gibbs サンプリングによる数値的な推定法が提案されている．またモデルの特異摂動極限の拡散過程でフィッティングする方法
が Papavasiliou et al.（2009），Pavliotis and Stuart（2007）で議論されている．観測されない過程 X が一次元拡散過程のとき，間隔 h を固定，観測期間を無限にする設定で，Ditlevsen and，間隔 h も 0 に近づける設定で Gloter（2006）の研究がある．
Sørensen（2004）
以上の研究はすべて観測期間を無限にする漸近論であり，このときエルゴード性の仮定の下，
X のドリフトに現れるパラメータの推定が可能である．一方，我々の問題のように観測期間を固定，間隔 h のみに関する漸近論ではドリフトの一致推定は不可能である．それは Girsanov 丸山の定理を思い出せば，たとえ連続観測しても有限のパスから，そのドリフトを同定できないことから明らかである．それでも拡散係数に現れるパラメータの一致推定は可能である．拡散過程
dXt = b(Xt )dt + σ(Xt , θ)dWt
に対し，その積分値 Y が時刻 0, 1/n, 2/n, . . . , (n − 1)/n, 1 で観測されるとき，Gloter（2000）は漸近混合正規性

 
−1
2
1
√
∂θ σ(Xt , θ)9n(θ̂n − θ) → MN 0,
dt
16
σ(Xt , θ)
0を持つ推定量 θ̂n を与えている．ここで MN は混合正規分布を表す．その推定量は実は漸近有の LAMN の結果からわかる．そこで彼らは，推定
効でないことが，Gloter and Gobet（2008）√
量の誤差 n(θ̂n − θ) の漸近分散の下界は
 
−1
2
1
∂θ σ(Xt , θ)
1
(2.1)
dt
2
σ(Xt , θ)0であることを示した．これは積分値 Y ではなく X の値そのものが観測された場合と同じ漸近下．LAMN は示されたが，下界を達成する推定量は知られていない．
界である（Gobet, 2001 参照）を扱う．仮に Yjh の代わりに粒子の速度 Xjh ,我々はノンパラメトリックなモデル（1.3）
j = 0, 1, 2, . . . , [1/h] が観測できたとすると，これは高頻度データ解析の最も単純な例題となり，まず離散二次変分の一致性（確率収束）
V̂h0 :=

(2.2)

[1/h]

(Xjh − X(j−1)h) )2 → V̄ (h → 0)

j=1

さらに漸近混合正規性（分布収束）
(2.3)

h

−1/2

(V̂h0 − V̄ ) → MN



 1
0, 2
0

Vt2 dt(h → 0)が成立する（Rootzén, 1980; Jacod and Protter, 1998）．ここで V̄ は（1.4）で定義したものである．

高頻度データに対する Whittle 推定75

この離散二次変分は V̄ の漸近有効推定量であると予想されているが，その証明は高頻度データ解析の重要な未解決問題である．例えば V が W と独立な場合などを含む，限定的な状況においては Clement et al.（2013）
による肯定的な結果がある．
我々の問題では粒子の速度 X を直接観測することはできない．自然な発想で，Xjh の代わりに，計算可能な数値微分 Xjh = (Yjh − Y(j−1)h )/h を用いたくなる．初期値 Y0 を固定すれば{Yjh } → {Xjh } の変換で情報は失われていないことに注意．しかし Gloter（2000）
が発見したことは[1/h]h(Xjh − Xj−1
)2 →

j=2

2
V̄ (h → 0),3

つまり，数値微分による安直な近似では推定の一致性すら崩れてしまうという事実である．一
致推定量として彼は
[1/h]

(2.4)

3
h
(Xjh − Xj−1
)2
2 j=2

を提案し，安定収束
⎫
⎧



⎬
⎨ [1/h]
9 1 2
3
h
h−1/2
(Xjh − Xj−1
)2 − V̄ → MN 0,
Vt dt , (h → 0)
⎭
⎩2
4 0
j=2
を示した．先行研究においてこの推定量（2.4）
より漸近分散が小さいものは得られていない．
において，
（2.4）
より漸近分散が小さい V̄ の推定量，とくにその値が本稿ではこのモデル
（1.3）
 1
(2.5)
2
Vt2 dt0であるものを構成する．高頻度データ解析に初めて Whittle 推定のアイデアを導入することが2
における考察（3 節参照），また上述の本研究の特色である．特殊ケース U = 0, V = σ（定数）Gloter and Gobet（2008）のパラメトリックモデルに対する結果から，この値（2.5）が V̄ の推定√量の漸近分散の下限であることを予想している．たとえば（2.1）において σ = θ（定数）とする（2.5）に対応する．
と，下界は 2θ2 と計算でき，この値が3.

Gauss 過程に対する最尤法について

平均 0 の Gauss 過程 (x1 , . . . , xn ) の尤度は，Σ を自己共分散行列とすれば
1x Σ−1 xexp −, x = (x1 , x2 , . . . , xn )
2(2π)n |Σ|となる．未知パラメータ θ と既知の行列 R に対して Σ = θR なる構造があるとき，このパラ
メータ θ に対する最尤推定量は
n

(3.1)

θ̂n =

1
aij xi xj .
n i,j=1

ここで A = [aij ] は R = [rij ] の逆行列である．この推定量の誤差分散は

統計数理

76

第 65 巻1
E[(θ̂n − θ) ] = 2 E
n
1
n2

=

θ
n2

aij (xi xj − θrij )i,j=1
naij akl (E[xi xj xk xl ] − θ2 rij rkl )i,j,k,l=1
n

2

=

2

n

2

=

第 1 号 2017aij akl (rik rjl + ril rjk )i,j,k,l=12θ2.
n

ここで Wick の公式
E[xi xj xk xl ] = E[xi xj ]E[xk xl ] + E[xi xk ]E[xj xl ] + E[xi xl ]E[xj xk ]を用いた．
で X0 = 0, U = 0, V = （θ 定数），h = 1/n のとき，{h−1/2 (Xjh − X(j−1)h )},我々のモデル
（1.3）
−1/2
h
h
(Xj − X(j−1) )}, いずれをデータとしても，上の設定に当てはまり，θ の有効推定量の分{h
散は 2θ2 /n となる．前者の場合，最尤推定量は離散二次変分 V̂h0 に一致する．後者の場合，まず自己共分散を計算する必要がある：
 t


√
√
1 ih
1 ih
h
h
Xih − Xi−1=
(Xt − Xt−h )dt =Vs dWs dt = h(Ui−1+ Uih ),h (i−1)hh (i−1)h t−h
ここで
h
Ui−1
= h−3/2

Uih = h−3/2 (i−1)h(i−2)h ih(i−1)h√(s − (i − 2)h) Vs dWs ,√(ih − s) Vs dWs .

今，V = θ だから，
E[|Uih |2 ] = E[|Uih |2 ] =となり，i, j ≥ 2 に対して

⎧
2
⎪
⎪
⎨3

if i = jrij = 16⎪⎪⎩

θθ
, E[Uih Uih ] =3
6

if |i − j| = 10otherwise.

一般に未知パラメータに依存する共分散行列 C(θ) に対して，その逆行列を陽に求めるのはは定常過程の共分散関数の逆行列そのものではなく，その近似難しい．そこで Whittle（1953）
を用いた擬似尤度を提案した．共分散関数 c(h, θ) = Eθ [x0 xh ] に対してスペクトル密度はf (λ, θ) =

1
2π

∞

√

c(h, θ)e− −1hλh=−∞で定義される．共分散行列 C(θ) = [cij (θ)], cij (θ) = c(i − j, θ) の逆行列に対する Whittle 近似は行列 W (θ) = [wij (θ)], wij (θ) = w(i − j, θ), π √−1hλe1w(h, θ) =dλ(2π)2 −π f (λ, θ)高頻度データに対する Whittle 推定77で定義される．適当な条件の下で Whittle 推定量は漸近有効となる（例えば Dzhaparidze, 1986
参照）．
我々の行列 R の逆行列に対する Whittle 近似は∞

f (λ) =√
1
1 2 + cos λr0j e− −1jλ =2π j=−∞
2π
3w(k) =

1
2π

より
(3.2)

 π

√

√ √
3e −1kλdλ = 3( 3 − 2)|k|−π 2 + cos λと計算できる．よって Whittle 推定量は
（3.1）
の aij を w(i − j) で置き換えた[1/h]

V̂hw :=

(3.3)

√ √
h
h
3( 3 − 2)|i−j| (Xih − Xi−1)(Xjh − Xj−1
)

i,j=2

となる．
データ {h−1/2 (Xjh −X(j−1)h )} に対する最尤推定量 V̂h0 は，V が定数とは限らない一般の場合に
h
，
（2.3）
を持つのであった．ならばデータ {h−1/2 (Xjh −Xj−1)}
も，V̄ の推定量として良い性質（2.2）
wに対する Whittle 推定量 V̂h も，一般の場合に同様の良い性質を持つのではないだろうか．これが本研究のアイデアである．
4.

高頻度データ解析のツール

フィルター付き確率空間 (Ω, F , P, {Ft }t≥0 ) は通常の仮定を満たすとする．離散フィルトレー
ション {Fjh } を Fjh = Fjh によって定義する．高頻度データ解析において，大数の法則の役割を果たすのが次の補題である．
補題 1. （Genon-Catalot and Jacod, 1993）{Fjh } - 適合過程 Mjh , t ∈ [0, 1] に対し，確率収束[1/h]h
E[|Mjh |2 |Fj−1] → 0 (h → 0)

j=1が成立するとき，確率収束
[t/h]
[t/h]


h
h
h
sup Mj −E[Mj |Fj−1 ] → 0 (h → 0)t∈[0,1]  j=1

j=1が成立する．
これは離散マルチンゲールに Lenglart 不等式を適用すればただちに得られる．中心極限定理に相当するものを記述するために，まず安定収束の概念を導入する．
定義 1. （安定収束）部分 σ 代数 G ⊂ F に対して，完備可分距離空間 E に値をとる確率変数
列 {Zn } が，確率変数 Z に G - 安定収束するとは，任意の有界な G 可測確率変数 A に対して結合分布 (Zn , A) が (Z, A) に分布収束することである．
安定収束は分布収束より強く確率収束より弱い．分布収束するが安定収束しない例：X, Y を非退化独立同分布な確率変数としたとき，G = σ(X, Y ), Z2k+1 = X, Z2k = Y .

統計数理

78

第 65 巻

第 1 号 2017

定理 1. （Genon-Catalot and Jacod, 1993）M を {Ft } - 局所マルチンゲール，M⊥ を M と直交する有界マルチンゲール全体とする．{Fjh } - 適合過程 Mjh と連続過程 Q に対し，確率収束
[t/h]hh
1. sup E[Mj |Fj−1 ] → 0, (h → 0)t∈[0,1]  j=1

[t/h]

2.

h
E[|Mjh |2 |Fj−1] → Qt , (h → 0), ∀t ∈ [0, 1]

j=1
[t/h]

3.

h
E[|Mjh |4 |Fj−1] → 0, (h → 0), ∀t ∈ [0, 1]

j=1
[t/h]
h
E[Mjh (Mjh − M(j−1)h )|Fj−1] → 0, (h → 0), ∀t ∈ [0, 1]

4.
j=1
[t/h]

5.

⊥
⊥
h
E[Mjh (Mjh
− M(j−1)h)|Fj−1] → 0, (h → 0), ∀t ∈ [0, 1], ∀M ⊥ ∈ M⊥

j=1が成立するとき，D[0, 1] 値確率変数列としての F - 安定収束[·/h]

Mjh → ŴQ , (h → 0)
j=1が成立する．ここで Ŵ は確率空間 (Ω, F , P, {Ft }t≥0 ) の適当な拡張の上で定義された，F と独立な標準 Brown 運動．
ちなみにデータのサンプリングが等間隔でない場合には，より一般的な収束定理が必要であ
参照．
る．これについては Fukasawa（2010, 2011）
5.

差分二次形式に対する中心極限定理

フィルター付き確率空間 (Ω, F , P, {Ft }t≥0 ) は通常の仮定を満たすとし，W は {Ft } - Brown
運動，さらに {Ft } - 適合過程 U , V に対して X は（1.3）を満たすとする．ドリフト U に対して
（連続とは限らない）
伊藤過程であるこ
は U/V が局所有界であること，拡散項 V に対しては，とを要請する．つまり V = A + M と分解され，局所マルチンゲール M は可予測二次変分 Mを持ち，さらに適当な局所有界過程 a, q によって t
 t
At = A0 +as ds, M t =
qs ds
0

0

と表現できる．ドリフト U に対する仮定は V が 0 を取りうるモデルでは制約的だが，例えば
U も伊藤過程である，といった仮定で代用できる．データは

1 jh
Xjh =
Xt dt, j = 1, 2, . . . , [1/h]h (j−1)hと記述できる．
（1.4）で定義される V̄ に対す
さて，任意に与えた α = (α0 , . . . , αm−1 ) ∈ Rm , m ∈ N に対し，
る，以下の形の推定量 V̂h (α) を考える：

高頻度データに対する Whittle 推定
[1/h]

(5.1)

m−1
h
(Xih − Xi−1)V̂h (α) =

79

i=m+1

h
h
αj (Xi−j− Xi−j−1).
j=0

m = 1, α0 = 1 の場合が，数値微分 Xjh による離散二次変分の安直な近似である．m = 1,による推定量（2.4）である．第 3 節で見たように，数値微分を
α0 = 3/2 の場合が Gloter（2000）h, i = 1, 2, . . . の隣接項間に相関が生じている．その相関かとることで，その差分列 Xih − Xi−1
らも情報を取り出すことが，m ≥ 2 を考える動機である．次の定理は Gloter（2000）の中心極限を拡張するものである．
定理（m = 1 の場合）

定理 2. V̂h (α) が V̄ の一致推定量であるための必要十分条件は
2
1
α0 + α1 = 1,
3
6

(5.2)

であり，このとき F - 安定収束
h−1/2 (V̂h (α) − V̄ ) → MN

 10, g(α)0Vt2 dt(h → 0)が成立する．ここでg(α) = α02 +

m−1

m−2

m−3

8
1
1 2 1
4
1
αj2 +
αj αj+1 +αj αj+2 .
α0 α1 + α0 α2 +
α1 +
9
9
36
2 j=1
9 j=1
18 j=1

証明. Girsanov - 丸山変換によって U = 0 と仮定してよい．また局所化によって q は有界と仮定してよい．n = [1/h],
 ih
Vih =
Vt dt
(i−1)hとおく．条件
（5.2）
の下で
n

Vih +

V̄ =
i=m+1
n



=
i=m+1
n

=
i=m+1



 mh
0

 1
Vt dt +

Vt dt
nh

2
1
α0 + α1 Vih + Op (h)
3
6
n

1
1
1
h
+
α0 + α1 Vi−1
α0 Vih + Op (h)
3
6
3
i=m+1

と書ける．そこで


1
1
h
h
h
h
h
Zi,j
= h−1/2 (Xih − Xi−1)(Xi−j− Xi−j−1) − δ0,j (Vih + Vi−1
) − δ1,j Vih
3
6

と置けば
h−1/2 (V̂n (α) − V̄ ) =

n

m−1

h
αj Zi,j+ Op (h1/2 )i=m+1 j=0となる．これが離散マルチンゲールの形をしていないのが技術的な問題で，これを定理 1 が使える状況に書き直すことがポイントである．


1 ih
1 h
h
h
−1/2
h
h
h
E[Zi,0 |Fi−1 ] = h] + h|Ui−1|2 −E[Vs |Fi−1]ds − Vi−1
hE[|Uih |2 |Fi−1
3 (i−1)h
3

統計数理

80

=h

−5/2



 ih
(i−1)h

=h

−1/2



第 65 巻

(ih − s)2 −h2
3

第 1 号 2017h]dt
E[Vt |Fi−11 hh+ h−1/2 h|Ui−1|2 − Vi−13h|2 −h|Ui−11 h
Vi−1
3+ O(h3/2 ),


1 h
h
h
h
h
h
E[Zi,1|Fi−1] = h−1/2 hUi−1(Ui−2+ Ui−1) − Vi−1
,
6
h
h
h
h
h
|Fi−1
] = h1/2 Ui−1
(Ui−j−1+ Ui−j), j ≥ 2
E[Zi,jという計算をして，
n

m−1

n

m−1

h
αj Zi,j=i=m+1 j=0

n

m−1

h
h
h
αj (Zi,j− E[Zi,j|Fi−1]) +i=m+1 j=0n−1hh
αj E[Zi,j|Fi−1]
i=m+1 j=0
n−1

m−1

m−1

h
h
h
αj (Zi,j− E[Zi,j
|Fi−1
]) +

=
i=m+1 j=0
n−1





h
αj E[Zi+1,j|Fih ] + Op (h1/2 )i=m+1 j=0

1 h
1 h
h
=
α0
Vi + |Uih |2 −
Vi
3h
3h
i=m+1


1 h
h
h
h
+ α1 Uih (Ui−2+ Ui−1) + Uih (Ui−1+ Uih ) −
Vi
6h
1/2

h
Uih + |Uih |2 −
2Ui−1

m−1
h
h
h
h
αj (Uih (Ui−j−1+ Ui−j) + Uih (Ui−j+ Ui−j+1))+

+ Op (h1/2 )

j=2
n−1

=:
i=m+1

h1/2

m−1

h
αj Fi,j+ Op (h1/2 )j=0を得る．これは近似的に離散マルチンゲールの形をしている：
hhE[Fi,j|Fi−1] = O(h),hhE[Fi,j(Xih − X(i−1)h )|Fi−1] = O(h),

4
5
h
h
h
|2 E[Vih |Fi−1] + 2 E[|Vih |2 |Fi−1] + O(h1/2 )
|Ui−1
3h
9h
1
h 2
h
h
h 2
h
h
h
h
h
E[|Fi,1| |Fi−1]=+ Ui−1) + Ui−1(Ui−2+ Ui−1) + |Ui−1|2 )E[Vih |Fi−1]((Ui−23h
5h+
E[|Vih |2 |Fi−1] + O(h1/2 )
36h2
1
h
h
h
h
h
h
h
h
E[Fi,0
Fi,1
|Fi−1
]=
(Ui−2
+ Ui−1) + |Ui−1|2 )E[Vih |Fi−1](2Ui−13h
2h+ 2 E[|Vih |2 |Fi−1] + O(h1/2 )
9h
1 h
h
h
h
h
h
h
h
h
E[Fi,0
Fi,j
|Fi−1
]=
+ Ui−j) + Ui−j+ Ui−j+1}E[Vih |Fi−1] + O(h1/2 )Ui−1 {2(Ui−j−1
3h
1
h
h
h
h
h
h
h
h
h
E[Fi,1
Fi,j
|Fi−1
]=
+ Ui−1){2(Ui−j−1+ Ui−j) + Ui−j+ Ui−j+1}{(Ui−2
6h
h
h
h
h
h
h
{Ui−j−1+ Ui−j+ 2(Ui−j+ Ui−j+1)}}E[Vih |Fi−1] + O(h1/2 )+ Ui−1h 2
h| |Fi−1]=
E[|Fi,0hhhE[Fi,j
Fi,k
|Fi−1
]=

1
h
h
h
h
h
h
+ Ui−j){2(Ui−k−1+ Ui−k) + Ui−k+ Ui−k+1}{(Ui−j−16h高頻度データに対する Whittle 推定

81

h
h
h
h
h
h
h
+ (Ui−j+ Ui−j+1){Ui−k−1+ Ui−k+ 2(Ui−k+ Ui−k+1)}}E[Vih |Fi−1]+ O(h1/2 ),ここで j, k ≥ 2. すると確率収束
n−1

h 2
h
E[|Fi,0| |Fi−1
]→

h

 1
0

i=m+1
n−1

h 2
h
E[|Fi,1| |Fi−1
]→

h
i=m+1

Vs2 ds,

19
36

n−1

 1

h
h
h
E[Fi,0
Fi,1
|Fi−1
]→

4
9

h
h
h
E[Fi,0
Fi,2
|Fi−1
]→

1
18

h
i=m+1

0

 1
0

Vs2 ds,Vs2 ds,さらに j ≥ 3 に対して
n−1

h
i=m+1

 1
0

Vs2 ds,n−1hhhE[Fi,0
Fi,j
|Fi−1
]→0

h
i=m+1

が従う． 一方 j, k ≥ 2 に対しては，
n−1
h
h
h
E[Fi,j
Fi,k
|Fi−1
]

h
i=m+1


→

1
2
2
1
1
δj,k + δj+1,k + δj,k+1 +δj+1,k−1 +δj−1,k+1
2
9
9
36
36

 1
0

Vs2 dsで，この確率収束は j = k = 1 の場合を除けば j, k ≥ 1 において正しい．かくして
⎡
⎤
2
n−1
m−1



h
h
h
E ⎣
αj Fi,j  |Fi−1 ⎦


i=m+1
j=1

 1
m−1
m−2
m−2
19 2 14
1→
αj2 +αj αj+1 +αj αj+2
Vs2 ds
α1 +
36
2 j=2
9 j=1
18 j=1
0

 1
m−1
m−2
m−3
4
1
1 2 1
αj2 +
αj αj+1 +αj αj+2
Vs2 ds.
=
α1 +
36
2 j=1
9 j=1
18 j=10
あとは定理 1 を
Mih = h1/2

m−1hαj Fi,j, M =X
j=0

に対して適用すればよい．
定理 2 より，m = 1 のときは一致性のために α0 = 3/2 が必要で，そのとき g(α) = 9/4 = 2.25,
これは Gloter（2000）の結果である．m = 2 の場合，（5.2）の下

統計数理

82

第 65 巻

第 1 号 201719 2 8
α1 + α0 α1
36
9
19
8
2
= α0 +(6 − 4α0 )2 + α0 (6 − 4α0 )
36
9
53 2
= α0 − 20α0 + 19
9

2
90
107
53
+
=
α0 −
.
9
53
53

g(α) = α02 +最適化すると α0 = 90/53, α1 = −42/53 で，そのとき最小値 g(α) = 107/53 ≈ 2.018868 となり，より良いものが構成できたことになる．さらに m = 3 の
この時点で既に先行研究の推定量（2.4）
場合，（5.2）の下
19 2 81
1
4
α1 + α0 α1 + α0 α2 + α22 + α1 α2
36
9
9
2
9
53 2
1
1 2 4
= α0 − 20α0 + 19 + α0 α2 + α2 + (6 − 4α0 )α2
9
9
2
9


2
53
9
81 2
26
107
5
=
+
α0 −
10 + α2
α2 −
α2 +
9
53
6
212
159
53



2
2
9
81
52
77327
5
53
+
+
α0 −
10 + α2
α2 −
=
9
53
6
212
243
38637

g(α) = α02 +で，最適化すると α2 = 52/243, α0 = 7420/4293, α1 = −3922/4293 によって最小値 g(α) =77327/38637 ≈ 2.001372 をとる．m を上げると計算量は上がるが，それでも二次形式の計算なので，通常のデータ量なら計算コストを考慮する必要はない．ではどこまで漸近分散を下げられるだろうか．
補題 2.


inf



2
1
g(α)  α = (α0 , α1 , . . . , αm−1 ) ∈ Rm , α0 + α1 = 1, m ∈ N
3
6

= 2.

また
(5.3)

α0 =

√

√ √
3, αj = 2 3( 3 − 2)j , j = 1, 2, . . . , m − 1とすると g(α) → 2 (m → ∞).
証明. ある m ∈ N, α ∈ Rm が存在して g(α) < 2 であるとする．定理 2 の中心極限定理は
U = 0, V = θ (定数), h = 1/n の場合にも勿論成立するから，
h−1/2 (V̂ (α) − θ) → N (0, g(α)θ2 )となる．これは定常 Gauss 過程の未知パラメータ θ の推定量で，誤差分散が Cramér-Rao の下
界 2θ2 /n を下回るものが得られたことになり矛盾である．直接 g(α) の定義に代入すれば（5.3）
に対して g(α) → 2 が分かり，下限が 2 であることが従う．
下限を達成する α の列
（5.3）
は Whittle 推定量（3.3）の形をもとに発見したものである．我々のモデル（1.3）は一般に非定常で非 Gauss 過程であるが，それでも高頻度データに対しては定常
Gauss 過程に対する Whittle 推定のアイデアが応用できることを初めて示した次の定理が本研
究の主な貢献である．
（3.3）
によって定義する．このとき h → 0 で F - 安定収束定理 3. 推定量 V̂hw を高頻度データに対する Whittle 推定

h

−1/2


(V̂hw − V̄ ) → MN

 1
0, 2
0

Vt2 dt83



が成立する．
証明. Girsanov - 丸山変換によって U = 0 と仮定してよい．また局所化によって q, V は有界と仮定してよい．
[1/h]V̂hm =i=2√

h3(Xih − Xi−1
)2 + 2[1/h] (m−1)∧(i−2)

i=2

√ √
h
h
h
3( 3 − 2)k (Xih − Xi−1)(Xi−k− Xi−k−1
)

k=1

とおけば
lim sup h−1 E[|V̂hw − V̂hm |2 ] = 0(5.4)

m→∞ h>0である．また，（5.3）
で与えた α に対して (5.1) によって V̂h (α) を定義すると，任意の m に対して確率収束h−1/2 (V̂hm − V̂h (α)) → 0
が成立する．これと定理 2 を合わせると
h−1/2 (V̂hm − V̄ ) → MN

(5.5)



 1
0, g(α)0Vt2 dtとなる．補題 2 より m → ∞ の時 g(α) → 2 だから（5.4）と（5.5）を合わせて主張を得る．
謝辞24684006 及び基盤研究（B）
24300107 の助成を受けた．
本研究は科学研究費補助金若手研究
（A ）

参

考

文

献

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84

統計数理

第 65 巻

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Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 71–85 (2017)85

Whittle Estimation for High-frequency Data
Masaaki Fukasawa1,2
1 Graduate School of Engineering Science, Osaka University

2 Center for Mathematical Modeling and Data Science, Osaka University

In this paper, we consider a statistical estimation problem of the diﬀusion term of acontinuous Itô process based on high-frequency data. This problem has been extensively
studied in the literature, where it has been typically assumed that the Itô process itself is observed discretely. In particular, it is well-known that a quasi-likelihood based on
the Euler-Maruyama approximation yields an asymptotically eﬃcient estimator. Here, we
study the case where the Itô process is hidden but its integrated process is observed at
high-frequency. It is known that a naive method that simply uses numerical derivativesof observed integrated processes results in an inconsistent estimation. We prove a central
limit theorem for quadratic forms of ﬁrst-order diﬀerences of the numerical derivatives.
Using Whittle’s approximation of the inverse of a covariance matrix, we construct a consistent estimator of the quadratic variation of the Itô process of which the asymptotic
variance is smaller than those of previously proposed estimators.

Key words: High-frequency data, Whittle estimation, central limit theorem, stable convergence,
Langevin model.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 87–111
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［研究ノート］

東京証券取引所における高速な注文反応の分析
田代 雄介† ・川口 宗紀†（受付 2016 年 7 月 15 日；改訂 12 月 27 日；採択 2017 年 1 月 23 日）

要

旨

近年の株式市場では，高頻度取引の存在感が世界的に増している．東京証券取引所でも，高頻度取引のシェアは年々増加してきている．また，2015 年 9 月には売買システムがリニューア
ルされ，より高速な取引が可能になった．本稿では，東京証券取引所における高頻度な注文行動を分析するために，直前の注文との時間間隔が短い注文に注目し，その特徴について議論する．また，時間間隔が短い注文の原因となる高速な注文反応がリニューアル前後で変化したのかについても合わせて言及する．分析の結果，短間隔で発注される注文は成行注文のようなインパクトの大きな注文後に連続しやすいこと，特にリニューアル後においてこの傾向が高まっていることなどが分かった．また，異なる注文タイプ間の注文反応を多次元 Hawkes 過程でモデル化し，その推定を行ったところ，注文に瞬時に反応する参加者と 10 ミリ秒程度遅れて反応する参加者がいることが観察された．特に後者の参加者について，リニューアル後における一部の注文タイプの発注頻度の向上，銘柄の板の特徴量に応じた注文行動の変化，といった注文行動の特徴を発見した．
キーワード：マーケット・マイクロストラクチャー，高頻度取引，注文行動，多次元
Hawkes 過程．
1.

はじめに

と呼ばれる高速な取引が世界的に存在感を増してい近年の株式市場では，高頻度取引（HFT）る．日本では，2010 年 1 月に arrowhead と呼ばれる高速な株式売買システムが東京証券取引所に導入されたのを機に，高頻度取引のシェアが伸びている．現在では売買代金の 40%程度が高頻度取引を実現するためのコロケーションサービスを通して発注されていると言われている．
こうした高頻度取引の台頭，コンピュータの発展による機械的な取引の増加などに伴い，市場での注文行動もまた変化してきている．
高頻度取引が市場に与える影響については，新井（2012），宇野・柴田（2012），中山・藤井（2013）など日本でも多くの研究が行われている．一方で，東京証券取引所における高頻度取引の注文行動に関する実証分析は多くない．これは，どの注文が高頻度取引で出されたものかを入手可能なデータから特定するのが難しいためである．注文行動を分析した先行研究としては，
保坂（2014）が売買参加者別に割り当てられた仮想サーバのデータを用いて高頻度取引による注文を推定し，高頻度取引の注文の特徴を示している．また，川口・田代（2015）は隣り合う注文の時間間隔に注目し，時間間隔が短い注文を高頻度取引によるものと推定することで，高頻度取引の特徴を分析している．
†

株式会社三菱 UFJ トラスト投資工学研究所：〒 107–0052 東京都港区赤坂 4–2–6

88

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

図 1．売買システムのリニューアル前後における，トヨタ自動車株で生じた注文の時間間隔のヒストグラム．横軸は注文の時間間隔（対数スケール），縦軸はその時間間隔で観測された注文の割合を表す．また，集計期間は 2015 年 7 月 1 日〜2015 年 12 月 29 日である．

本稿は川口・田代（2015）と同様に注文の時間間隔（注文間隔）に注目し，注文速度を意識した
高速な注文を行う売買参加者の注文行動を捉えるための実証分析を行う．川口・田代（2015）と異なる点の 1 つは，売買システムの変更に注目した分析を行っている点である．東京証券取引所では，2015 年 9 月に売買システムのリニューアルが行われ，注文処理速度が高速化した．その影響の一例として，図 1 にトヨタ自動車株における注文の時間間隔のヒストグラムを示した．
図 1 からは，数ミリ秒以下の短い間隔で出される注文が，システムのリニューアル後により短い間隔で発注されるようになっていること，それ以外の頻度分布に大きな違いはないことが見てとれる．これは，短い時間間隔で出される注文の多くが，偶然短い間隔になったのではなく，直前の注文に素早く反応した発注である，すなわち高速性を意図した発注であることを示している．本稿では，短い間隔の注文の特徴を示すとともに，リニューアルの前後で注文行動に差異が表れたのかを分析する．
と異なるもう 1 点は，成行，指値といった注文タイプ別に注文間隔を分析
川口・田代（2015）
している点である．直前の注文に素早く反応する参加者は，全ての注文に反応するのではなく，特定の注文に反応し，売買アルゴリズムにしたがった行動をとっていると考えられる．そこで，注文タイプ別に注文間隔を分析することで，注文に反応する参加者の注文行動の特徴を捉える．
以下に，本稿の構成について記す．まず 2 章では，注文行動を理解する上で必要となる，東京証券取引所の売買制度や，マーケットの参加者について整理を行う．3 章では，高頻度取引
や注文行動についての先行研究について述べる．続く 4 章で，分析に用いるデータならびに注文の分類について述べる．5 章で分析結果を示す．分析結果は大きく 2 つに分かれる．まず前半で，直前の注文との時間間隔が短い短間隔注文に注目し，短間隔注文の特性や，リニューア
ル前後での差異について述べる．後半では，注文タイプ別に注文間隔を分析し，タイプ毎の特徴的な注文行動を示す．6 章でまとめと今後の課題について述べる．

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

2.

89

売買システムと売買参加者

本節では，東京証券取引所の注文行動を理解する上で重要となる，売買システムならびに売買参加者について整理を行う．
2.1 東京証券取引所の売買システム
本節では，東京証券取引所（以下，東証）の売買システムについて，注文速度の観点からまとめる．内容は東証が公開している情報に基づいている．
東証では，2010 年 1 月に arrowhead と呼ばれる株式売買システムが導入され，東証内部での注文応答時間，外部への板や注文の情報配信時間が高速化された．また，2015 年 9 月 24 日のarrowhead リニューアルにより処理能力が向上し，注文応答時間，情報配信時間はさらに高速化した．リニューアル前後の処理速度を比較したのが表 1 であり，リニューアルにより処理時間が半分以下に短縮されたのが見てとれる．
現在の東証の売買において重要な役割を果たしているのが，コロケーションサービスである．
コロケーションサービスは，東証のプライマリサイト内にあるコロケーションエリアに，売買参加者や情報ベンダーの機器を設置できるサービスである．コロケーションエリアを利用する売買参加者は，設置した機器にあらかじめ売買アルゴリズムを設定しておくことで，外部への情報
配信時間を待たずに売買を行うことが可能になる．また，コロケーションエリアと arrowheadとの間では片道 4.7 マイクロ秒で通信を行うことができる．そのため，高頻度取引を行う参加
者はコロケーションを利用することで高速な売買を実現できる．
コロケーションサービスとは別に，東証は，プロキシミティサービスと呼ばれるサービスも提供している．これは，東証内部にあるアクセスポイントに機器を設置することで，売買システ
ムとの通信時間を 260 マイクロ秒程度に短縮可能とするサービスである．プロキシミティサー
ビスはコロケーションよりは遅いが，利用することでそれ以外の一般の売買参加者よりは高速な注文が実現できる．
コロケーションサービス利用者と一般の売買参加者の注文フロー，ならびにコロケーション
が注文速度に与える影響を図示したのが図 2 である．コロケーションを利用した売買参加者は，市場の変化に対し数マイクロ秒で反応し，アルゴリズムに従い注文を出すことができる．一方，サービスを何も利用しない一般の売買参加者は，情報を受け取るまでに 1 ミリ秒以上の所要時間を必要とするため，市場変化に対し反応して発注するのに時間がかかる．東証による情報伝達時間以外の物理的な通信距離なども考慮すると，市場変化に反応して発注された注文がシス
テムに到着するまでには少なくとも数ミリ秒は要すると考えられる．なお，リニューアル前後で比較すると，注文応答時間，情報伝達時間が短縮されたことにより，コロケーション利用者，
それ以外の売買参加者ともに市場変化から注文到着にかかる時間は短縮されているといえる．
2.2 売買参加者と注文行動
市場にどのような売買参加者がいるのか，またそれぞれがどのような注文行動をとっている
表 1．リニューアル前後での注文処理時間の差異．数値は東京証券取引所ホームページ（URL:
http://www.jpx.co.jp/corporate/news-releases/0060/20150924-01.html）を参照し
た．

90

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

図 2．コロケーションサービス利用者とそれ以外の売買参加者の注文フロー，ならびにコロケー
ションサービスが注文速度に与える影響．図中の所要時間はリニューアル後の数値を用いている．東京証券取引所ホームページ（URL: http://www.jpx.co.jp/systems/network/）を元に作成．

図 3．東京証券取引所の売買主体別の売買代金比率．図中の「自己」は自己売買を行う参加者を表す．データは東京証券取引所ホームページ（URL: http://www.jpx.co.jp/markets/
statistics-derivatives/sector/）を参照した．

かを知るのは，注文行動を分析し理解する上で重要である．本節では，売買参加者と注文行動について整理を行う．
市場における売買主体は，証券会社自身による売買（自己売買）
を行う参加者と，証券会社が仲介する売買（委託売買）
を行う参加者に分けられる．委託売買を行う参加者の中でさらに，個人で売買を行う個人投資家，顧客から預かった資金を運用するような金融機関や企業で構成される法人投資家，海外から注文を行う外国人投資家などに分類される．図 3 は，東証の売買主
体別の売買代金シェアを表したものである．図 3 からは，外国人投資家の売買シェアが非常に高いことが見てとれる．コロケーションを通した売買シェアが 40%程度あることから，ある程
度の外国人投資家はコロケーションを利用していると考えられる．外国人投資家は投資地域による分類であり，その中身はヘッジファンド，年金基金など複数の主体から構成されるため，どの主体がコロケーションを利用しているかは分からない．ただし外国人投資家のうち，個人の割合は 1%以下であり，ほとんどが法人であることは東証のデータで示されている．

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

91

以下では国内投資家の属性に基づいて，各投資家の特徴を見ていく．特に高速売買に関係する注文に焦点を当てて見ていく．
個人投資家は，各個人が売買を望む銘柄に対する注文を証券会社に発注する．選択できる注文方法は証券会社毎に異なるが，多くの証券会社では，即時に市場に指値または成行注文を発注する通常注文以外に，引け注文のような時間を指定した注文，株価をトリガーとする逆指値注文などを選択できる．このうち，高速売買との関係が強いのは逆指値注文である．逆指値注文は，株価をトリガーとして予め発注してあるため，株価が指定した価格に達したら即座に自動的に執行される．そのため，注文の応答速度が高速化することの影響を受けると考えられる．
実際，個人向け証券会社の一部はコロケーションサービスを導入するなどの動きをとっている．
だが，そのような一部注文を除けば，個人投資家の注文のコロケーション利用率は低い．
法人投資家は，年金基金，投資信託，ヘッジファンド，プロップファーム（自己資金による運用会社）など数種類の投資家にさらに分けられる．このうち年金基金，投資信託などは長期的な運用を行う投資家である．彼らの売買の特徴の 1 つに，一回の注文金額が大きいことが挙げられる．市場流動性に比べて大きい金額の注文を一度に市場で執行しようとすると，マーケット
インパクトにより不利な価格で約定することになる．そのため，機関投資家が注文執行する際には，注文を分割して少しずつ市場に発注する方法，市場には発注せず証券会社を介して相対で売買する方法，などがよく取られる．このうち高速な取引と直接関係するのは，前者の分割発注である．分割発注は，現在では証券会社が提供するアルゴリズム取引で行われることが多い．アルゴリズム取引については杉原（2011）などに詳しい．
アルゴリズム取引での 1 件 1 件の売買は，売買目的に応じて予め設定されたアルゴリズムに基づいて自動的に行われる．そのため，逆指値のような発注ロジックがアルゴリズムに含まれていれば，やはり注文の応答速度が高速化することの影響を受けると考えられる．特に，最良気配の変化に応じて機動的に注文を変化させる peg 取引などは，ある注文に反応して注文を出すことが多いと考えられるため，高速化の影響を受ける．アルゴリズム取引がコロケーション
を通して行われているかどうかは，アルゴリズムを提供する証券会社次第であり，不明である．
だが，高速売買ではなく分割発注を目的とすることを考慮すると，アルゴリズム取引を利用して長期的な運用を行う投資家のコロケーション利用率は高くはないと考えられる．
一方，ヘッジファンドやプロップファーム（自己資金による運用会社）
は，年金基金などよりも機動的な売買を行う．例えば，上昇トレンドにある株式を短期で売買し，株価上昇の利益を得るような取引が挙げられる．彼らの中には，高頻度取引を中心とした運用会社もある．高頻度取引の戦略については Gomber et al.（2011）などで述べられているが，詳しい実態は分かっていないものも多い．その中で有名な戦略としては，マーケットメイク戦略，統計的裁定取引戦略などがある．このうち，マーケットメイク戦略は売り買い両側の指値注文を発注して市場に流動性を供給し，スプレッド分の利益を得る手法である．マーケットメイク戦略においては，同戦略をとる他の投資家に対していかに先んじて注文を出すか，という注文速度の優劣は非常に重要であり，したがって応答速度高速化の影響は非常に大きいといえる．また，高頻度取引を行う運用会社のコロケーション利用率は当然非常に高いと予想される．
自己の投資家は，自己資金で売買を行う証券会社のディーラーである．売買の目的としては，証券会社が顧客と売買するための株式の在庫管理，短期的な取引によるキャピタルゲイン獲得などが挙げられる．個々の売買については，マーケットメイクなど複数の戦略をとっていると考えられる．
以上をまとめると，高頻度取引以外の売買参加者もアルゴリズム取引を行っており，注文に対して高速に反応する注文は高頻度取引だけではないことが分かる．ただし，コロケーション
サービスの利用有無によって，その反応速度は異なると考えられる．なお，世の中ではコロケー

統計数理

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第 65 巻

第 1 号 2017

ションサービス＝高頻度取引，といった文脈でコロケーションが語られることも多いが，上で述べたようにそれ以外の参加者もコロケーションを用いている可能性があることに注意されたい．
3.

先行研究

本稿は，高頻度取引に関する注文行動について分析を行う．そこで本節では，高頻度取引ならびに注文行動について，先行研究との関係を述べる．本稿で分析対象とする短い時間間隔で出される注文は，高頻度取引と関係がある可能性が高い．そこで本節では，高頻度取引ならびに注
文行動について，先行研究との関係を述べる．なお，本稿における高頻度取引は，保坂（2014）
でまとめられているような特徴を有する注文を指している．
まず，高頻度取引に関する先行研究について整理する．1 章で述べたように，高頻度取引の研究における難しい点の 1 つは，分析対象となる高頻度取引による注文がどの注文であるかを判断する方法である．1 つのアプローチとして，各注文が高頻度取引かどうかの ID がついたデータを用いる方法が挙げられる．例えば，NASDAQ のティックデータには注文主体を示す ID がついており，高頻度取引業者による注文を特定した分析が可能となっている．また，保坂（2014）
では発注者が用いたサーバーの ID が付与されたデータを用い，サーバーや Bellia et al.（2016）
を通した注文の特性から高頻度取引を定義している．しかし，こうしたデータは必ずしも入手可能ではない．
別のアプローチとしては，高頻度取引として出されている注文を何らかの方法で推定することが挙げられる．こちらは，高頻度取引の特徴に基づいて代替指標を作成したり，各注文を分類したりすることによって，挙動を分析するアプローチである．例えば Hasbrouck and Saar（2013）は，高頻度取引によるアルゴリズムが生じさせていると思われる売買注文の列（strategic runs）に注目した．彼らは，指値とキャンセルとが短期間のうちに繰り返される現象があることを発見し，これを strategic runs と呼んだ．そして，strategic runs の多さを高頻度取引の多さの代替指標として分析を行った．
Latza et al.（2014）
では直前の売買との取引間隔に注目し，その売買行動について分析している．彼らは 50 ミリ秒以下の取引を fast，その中でも約定したものを fast aggressive trade と定義した．分析の結果，fast trade はそれ以外の取引よりも売買コストが小さく，恒久的な価格イン
パクトをもたらさないという結果を得ている．また，fast trade の一部が価格操作をしている可では，直前の注文との間隔によって注文を分類し，能性があると述べている．川口・田代（2015）
直前の注文との間隔が短い注文が価格変化時の価格インパクトを増幅させるトレンドフォロー的な傾向があることなど，高速な注文の特性を分析している．本稿もこのアプローチに従っている．
次に，注文行動に関する先行研究について述べる．投資家の注文行動に関する先行研究は古くから行われており，例えば Hasbrouck（1991）は過去の注文の売買方向が価格リターンにどのような影響を与えるかを，VAR モデルを用いて分析している．こうした注文行動に関する分析
は，データが充実してきた近年になって特に研究が進んできている．
近年の研究の流れの 1 つに，注文タイプの拡張，過去のフローのモデルへの導入などにより，より現実の事象を捉えるアプローチがある．Eisler et al.（2012）は成行注文以外に指値注文，キャンセル注文も市場イベントとして定義し，そのフローが価格に与える影響を分析している．Cont
et al.（2013）
も成行注文，指値注文，キャンセル注文のデータを用いて，オーダーフローの偏りと価格変化との関係を分析している．Taranto et al.（2016a, 2016b）では，成行注文を価格変化を起こす注文とそれ以外に分け，価格インパクトに与える差異を分析している．
また，オーダーフローの影響を Hawkes 過程を用いて表現するアプローチも近年盛んである．

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

93

実証研究も活発に行われており，Bacry and Muzy（2014），Bacry et al.（2016）は多次元 Hawkes
過程のノンパラメトリックな推定方法を提案し，成行注文，指値注文など複数の注文タイプの相互作用を分析している．Toke and Pomponio（2012）は trades-through と呼ばれる大きなサイズの成行注文の影響を Hawkes 過程でモデル化している．Rambaldi et al.（2016）は，注文のボ
リュームに応じた注文影響力の違いを多次元 Hawkes 過程を用いて分析している．Martins andは，多次元 Hawkes 過程のパラメトリックなモデル化を行い，価格変化指値注
Hendricks（2016）
文，成行注文など複数の注文タイプの相互作用について推定や検定を行っている．本稿では，Hawkes 過程を用いた注文タイプ間の時間間隔についての実証分析を行い，東証における注文行動の特徴を明らかにする．
4.

データ

本節では，分析に用いるデータならびに注文分類について説明する．
4.1 データ
本稿では，東証が提供している FLEX Full ヒストリカルデータを用いる．データには，各日における各銘柄の板の変化情報が，変化が起こる毎に記録されており，市場の開始時点から順にデータを追っていくことで各時点の全ての価格の板を再現可能である．対象とするデータ期
間は 2015 年 7 月 1 日〜12 月 29 日の 121 日間であり，arrowhead がリニューアルされた 9 月 24日の前後でデータを分ける．以下では，2015 年 7 月 1 日〜9 月 18 日（56 日間）
を Pre 期間，9 月
24 日〜12 月 29 日
（65 日間）を Post 期間と呼ぶことにする．
データに記録されている主な情報としては• 時刻• 板が変化した価格• 板の変化後の注文数量• 約定量• 約定価格（0.1 ミリ秒）がある．時刻については，Pre 期間ではミリ秒単位，Post 期間では 100 マイクロ秒
単位で記録されている．
同一時刻に複数の注文が同時に処理されることは，寄り引けなどの例外的なケースを除いては存在しない．したがって，隣り合う注文の最短の時間間隔は，Pre 期間では 1 ミリ秒，Post
期間では 0.1 ミリ秒となる．また，データには寄り前や寄り付きを含む全注文が記録されているが，本稿ではザラ場中のデータのみを分析対象とする．
データの特徴の 1 つとして，最良気配だけでなく，全ての板情報が含まれていることが挙げられる．そのため，指値注文が出されたとき，その注文が新規に出されたものなのか，すでに発注していた注文を修正したものなのかを区別することが可能である．
一方で，ID 情報など注文を誰が出したかを特定できる情報はデータに含まれない．また，板の変化情報しか含まれないため，注文が約定したとき，その注文が価格を指定して出された指値注文として発注されたのか，価格を指定しない成行注文として発注されたのかも，原則として区別できない．そのため本稿では，上記のように発注されて即座に約定した注文は全て成行注文と見なし，それ以外で板数量を増加させた注文を指値注文と便宜上呼ぶことにする．
最後に分析対象銘柄について述べる．分析対象銘柄は，TOPIX500 に含まれる銘柄のうち，期間中に上場廃止がなく，かつ分析期間中に呼値単位の変更が起こらなかった銘柄のみとする．

94

統計数理

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表 2．分析対象銘柄の特徴量の銘柄間分布．分析対象 377 銘柄について，平均値やパーセンタ
イル点を計算している．

ここで呼値についての制約を課すのは，注文行動がスプレッドや板の厚さに影響を受けるためである．呼値単位が変わると，その銘柄のスプレッドや板の厚さも大きく変化するため，比較が難しくなる．
呼値単位は株価の価格帯に応じて定められているため，株価が大きく変化すると呼値単位も変わる．また，TOPIX100 に属する銘柄については，リニューアルと同時に一部の価格帯で呼値単位変更が行われている．これらに注意して呼値単位の変更銘柄を除外した結果，377 銘柄が分析対象銘柄となった．
表 2 に，分析対象銘柄の特徴量分布を示した．特徴量の定義を以下に述べる．
• スプレッド：「ビッドアスクスプレッド（単位：円）÷ 呼値単位」の平均値（時間加重）．ビッ

ドアスクスプレッドが呼値単位の何倍かを表す指標である．
• デプス：「最良気配数量 ÷ 平均約定サイズ」．ここで，最良気配数量は売り買いそれぞれの最良気配数量の平均を時間加重したものであり，平均約定サイズは約定数量の 1 回あたり平均値である．この指標は，板の厚さが約定何回分に相当するかを表す．
• ティック数：ティック数の 1 日あたり平均値．ここで，ティック数はザラ場中に板が更新された回数を表す．
表 2 からは，Post 期間において平均的にスプレッドが低下し板が厚くなっていることが見てとれる．これは，Post 期間において流動性供給行動がより強まった可能性を示している．ただし，スプレッドが低下した要因として，Pre 期間と Post 期間での相場環境の違いの影響なども考えられるため，この結果だけからリニューアルによる高速化が流動性供給行動に変化を与えたかどうかを判断することは難しい．
4.2 注文分類
本稿では，成行注文，指値注文といった注文の種類に注目した分析を行う．ここでは，その準備として，注文タイプを定義し注文を分類する．
まず注文を，最良気配の価格または数量に変化を及ぼす注文かどうかで分類する．最良気配に影響しない注文は，先行研究では分析対象外として扱われないことが多い．だが，この注文を除外すると，注文間隔に影響が出てしまう．そこで，本稿では最良気配に影響しない注文を「その他注文」と定義し，1 つの注文タイプとして扱う．
次に，残った注文を売りと買いの 2 種類に分ける．その上で，売り買いそれぞれを成行変化，「成行変化」
は成行注文のうち，事前と成行，指値，キャンセルの 4 種類に分類する．ここで，事後で最良気配価格が変化する注文と定義する．売り成行注文の場合はビッド価格を変化させる注文，買い成行注文の場合はアスク価格を変化させる注文が「成行変化」
注文となる．「成行」

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

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は「成行変化」でない成行注文と定義する．このように成行注文を 2 種類に分けるのは，「成行変化」
注文が板に特に大きな影響を与える注文であるためである．この分類は先行研究でもよく見られる．
「成行変化」
注文後は，短間隔注文を出す売買参加者の反応も他注文が出た後より強まることが予想される．以上，2 × 4 + 1 = 9 種類の分類で分析を進める．
5.

分析結果

5.1 短間隔注文の特性
本節では，直前の注文との時間間隔が短い「短間隔注文」の分析を通して，高速な注文行動の特性，リニューアルの影響などを示していく．まず，分析準備として，短間隔注文を定義する．
冒頭に示した図 1 のトヨタ自動車株の注文間隔ヒストグラムを見ると，Pre 期間，Post 期間ともに注文間隔が 0.01 秒程度を超える付近まで，それ以降の注文間隔より極端に高い頻度の山が見てとれる．この傾向は，他の銘柄で確認しても同様である．そこで，本稿では直前との注文が 0.02 秒（＝ 20 ミリ秒）以内の注文を「短間隔注文」と定義し，両期間とも短間隔を意図した注文が「短間隔注文」に含まれるようにする．ここで，0.02 秒という閾値は，短間隔を意図した注文が漏れないようやや大きめに，かつキリがいい値を選んだ結果である．また上記の短間隔注
文の定義は，注文参加者別の反応速度も考慮している．2.1 節で見たように，コロケーションを利用しない通常の売買参加者がある注文に反応して注文を出すためには，少なくとも数ミリ秒必要である．短間隔注文の注文間隔の閾値を 0.02 秒に設定することで，コロケーションを利用しない売買参加者の反応もある程度捉えることができると考えられる．
このように定義した短間隔注文は，主に 3 種類の注文を含むと考えられる．1 つは，本稿での研究対象である，直前の注文に高速に反応した注文である．次に，同一主体による連続注文
も短間隔注文に含まれうる．例えば，Hasbrouck and Saar（2013）で言及されているような短期間に連続する指値とキャンセルは，同一主体による注文である可能性が高い．最後に，偶然短間隔になった注文もまた短間隔注文に含まれうる．本分析で用いるデータでは，これら 3 種類の注文を区別することは難しい．だが，図 1 の分布形状や東証の売買システムの速度をふまえると，高速な反応を意図した注文の大半は短間隔注文に含まれているであろう．そこで本稿では，短間隔注文の分析を通して，高速な注文反応の特性を捉える．
はじめに，短間隔注文の比率について見ていく．表 3 は，注文全体に占める短間隔注文の比率を分析対象銘柄について計算し，銘柄間の分布を示したものである．どちらの期間でも，多くの銘柄で短間隔注文の比率は 50%以上と高い．どのような銘柄で短間隔注文がより起こりや
すいかを確認するため，Pre 期間，Post 期間それぞれについて，短間隔注文の比率を被説明変数，銘柄の特徴量を説明変数として回帰分析を行う．この際，ティック数は極端な値をとる銘柄があるため，対数をとって回帰する．結果が表 4 である．Pre 期間，Post 期間ともにデプス
表 3．注文全体に占める短間隔注文比率の銘柄間分布．分析対象 377 銘柄について，平均値やパーセンタイル点を計算している．

96

統計数理

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表 4．短間隔注文比率と銘柄特徴量の関係．カッコ内は t 値である．また，*の数は有意水準を表しており，*の数に応じてそれぞれ 10%有意，5%有意，1%有意を示す．

図 4．トヨタ自動車株における，直前までの短間隔注文連続回数別の，短間隔注文の発生確率．
横軸は直前までの短間隔注文連続回数，縦軸は次の注文が短間隔注文である確率を表している．

が負に有意，スプレッドが正に有意であり，板が薄くスプレッドが広い銘柄で短間隔注文比率
は高い．これは，板が薄くスプレッドが広い銘柄では，板の変化頻度が多く，注文速度がより重要視されるためだと考えられる．また，表 4 からは，ティック数が大きな銘柄で短間隔注文
比率は高いことも見てとれる．全体の注文件数が多ければ，短間隔注文比率が上がるのは自然な結果だといえる．これらの結果は川口・田代（2015）と整合的である．
続いて，短間隔注文の発注タイミングに注目する．図 1 の注文間隔ヒストグラムを見ると，
Pre 期間での 0.005 秒付近，Post 期間の 0.001 秒付近といった観測できる注文間隔の最小値近辺に短間隔注文が集中している．こうした集中が生じる理由の 1 つは，コロケーションの売買ア
ルゴリズムが直前の注文に反応して注文を頻繁に出しているためだと考えられる．別の理由として，短期間の注文集中が頻繁に起こり，注文が連続処理された結果，1 つ 1 つの注文間隔が短くなっている可能性が挙げられる．
後者の注文集中の有無を確認するため，トヨタ自動車株における短間隔注文の連続性を見たのが図 4 である．図 4 の横軸は直前までの短間隔注文連続回数，縦軸は次の注文が短間隔注文である確率，すなわち短間隔注文の連続しやすさを表している．例えば，直前の 1 回だけが短間隔注文であり，2 回前は短間隔注文でないとき，次が短間隔注文である確率は約 60%である．
図 4 から，短間隔注文が数回連続したとき，次も短間隔注文が続く確率が非連続時に比べて大きく高まっており，注文集中が起こっていることが確認できる．また，この短間隔注文の連続東京証券取引所における高速な注文反応の分析

97

表 5．直前までの短間隔注文連続回数別の，短間隔注文の発生確率の銘柄間分布．上の行の数
字が直前までの短間隔注文連続回数を表しており，その条件下における短間隔注文の発生比率を銘柄毎に計算している．その上で，分析対象 377 銘柄について分布を計算している．

表 6．短間隔注文の連続性と銘柄特徴量の関係．カッコ内は t 値である．また，*の数は有意水準を表しており，*の数に応じてそれぞれ 10%有意，5%有意，1%有意を示す．

性は連続回数が増しても弱まることはない．
数回連続してから短間隔注文の発生確率が上昇する原因としては，多くの参加者が反応するような大きなインパクトのある注文とそうでない注文に，注文が二極化している可能性が考えられる．前者の注文に数十回程度の多くの短間隔注文が集まり，後者に 2〜3 回程度しか集まらなければ，数回連続してからの発生確率上昇が説明できる．また別の要因として，注文に対する参加者の反応速度の違いが挙げられる．短間隔注文が数回連続したとき，少なくとも数ミリ秒が経過しており，コロケーションを用いない売買参加者の注文についても，起点となった注文に反応した注文がシステムに到着しうる．そのため，数期間後から短間隔注文がより連続しやすくなると考えられる．
分析対象全銘柄についても，同様の短間隔注文の連続性が確認されるかを確認したのが表 5である．短間隔注文が 1 回出ただけでは平均で 54.1%の継続性しかない一方，ほとんどの銘柄
で 10 回以上続いた後の短間隔注文比率は 90%を超えており，Pre 期間，Post 期間ともに短間隔
注文の連続性が観察される．
では，どのような銘柄でこのような連続性はより高いのだろうか．これを見るため，表 5 で示した 11〜50 回連続時の短間隔注文比率を被説明変数，表 4 の回帰でも用いた銘柄特徴量を説
明変数として回帰を行ったのが表 6 である．まず，デプスの係数を見ると，Pre 期間，Post 期
間ともにが正に有意であり，板が厚い銘柄ほど短間隔注文は連続しやすいといえる．この連続性の一因として，板の厚い銘柄では指値注文を発注する参加者がよりタイミングを計って発注する傾向があることが考えられる．板が厚い銘柄では価格変化が起こりづらく，板が薄くなる
時間，あるいはスプレッドが拡大する時間は他銘柄に比べて少ない．指値注文を発注する参加者にとって，板が厚い平時は急いで発注しても後ろにしか並べないが，板が薄くなるような状
況では急ぐことで板の先頭近くに発注することができるため，その数少ない瞬間を狙って発注

98

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 7．短間隔注文と全注文の注文タイプ別構成比．

表 8．短間隔注文連続の起点となった注文タイプ別の，短間隔注文の平均連続回数．

するインセンティブが強まる．このように注文が集中しやすいときとそうでないときがより区別されることで，短間隔注文が連続しやすくなっていると考えられる．次に，表 6 でティック数が正に有意なのは，全体の注文件数が多ければ短間隔注文の連続性も増すと考えられるので，自然な結果である．スプレッドについては，Post 期間で有意でなく，他の 2 変数よりも短間隔
注文連続性への影響は小さい．スプレッドが有意でなくなった原因は定かではないが，表 2 で見たように Post 期間においてスプレッドは全体的に縮小しており，銘柄の差異を表現しづらくなっている可能性がある．
ここまで，短間隔注文の比率や連続性について見てきた．以下では，短間隔注文を注文タイ
プで分類して比率や連続性を見ていくことで，短間隔注文の注文行動をより詳細に分析する．
短間隔注文の注文タイプ比率を各期間について集計したのが表 7 である．なお，売り買いの対称性が成り立っているため，注文タイプの売り買いはまとめて集計している．短間隔（1 行目）
を注文タイプ別に比較すると，短間隔注文における成行注文の比率が，Pre 期と全注文（2 行目）
間，Post 期間でそれぞれ 3.1%，3.2%であり，全注文での 2.6%，2.7%と比べて高いことが見てとれる．また指値注文についても同様に，短間隔注文の方が比率が高い．逆に，短間隔注文における成行変化注文の比率は，Pre 期間，Post 期間でそれぞれ 2.2%，2.1%であり，全注文での2.7%，2.5%と比べて低い．これは，成行変化注文が，他の注文に反応して短間隔で発注されるよりも，他の注文と関係なく単独で発注されやすいことを意味している．また Pre 期間と Post
期間での各注文タイプの比率を比較すると，どの注文タイプの差も 0.5%以下であり，数字上は（ティック数）が多いため，カイ 2 乗検定を用い
大きくはない．だが表 2 で見たようにデータ数て銘柄毎に Pre 期間と Post 期間の構成比の差を検定すると，全ての銘柄で有意水準 5%で差があるという仮説が採択される．Pre 期間と Post 期間でのデプスの差などが注文行動にも影響して構成比に差が生じていると考えられる．
次に，短間隔注文が連続する際の注文タイプを分析する．具体的には，連続の起点となる注文タイプ，その後に続く短間隔注文の注文タイプのそれぞれについて特徴を見ていく．表 8 は，
短間隔注文の平均連続回数を，連続する際の起点となった注文タイプ別に計算したものである．
ここでも売り買いはまとめて集計している．まず注文タイプを比較すると，成行注文，成行変化注文が出た時の平均連続回数が他タイプの時よりも大きいことが見てとれる．成行注文，成行
変化注文といった約定を起こす注文は，最良気配の板を薄くし市場にインパクトを与える注文
であり，その後に短間隔注文が続きやすいのは自然な結果だといえる．また，Pre 期間と Post
期間を比較すると，Post 期間では成行注文，成行変化注文後の平均連続回数がそれぞれ 9.6 回，

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

99

表 9．売り成行注文を起点とする短間隔注文連続時の注文タイプの構成比．起点から何回目の短間隔注文かで場合分けし，その条件下での構成比を示している．

16.3 回であり，Pre 期間での 8.4 回，15.8 回よりも大きい．逆に，それ以外の注文タイプでは，Post 期間の方が平均連続回数が小さい．高速化した Post 期間では，市場への影響が強い注文への短間隔での反応がより高まったといえる．
では，表 8 で観察された連続する短間隔注文は，どのようなタイプの注文で構成されているのだろうか．ここでは，成行注文を起点として連続する短間隔注文の注文タイプを分析する．
起点を成行注文に限定するのは，表 8 での Pre 期間と Post 期間で平均連続回数の差が特に大きく，また分析したところ特徴的な連続パターンが観察されたためである．なお，連続する注文の注文タイプは起点の注文方向によって差異が大きく出ると考えられるため，起点の成行注文
は売りに限定し，その後に続く注文の注文タイプを売り買いを分けて確認する．
「その他注
表 9 は，売り成行注文後に連続して出される短間隔注文の各注文タイプの比率を，文」
以外の注文タイプについて示したものである．ここで，何回目に出された短間隔注文かで条件付けて，回数別に比率を計算している．まず注文タイプについて比較すると，両期間ともに短間隔注文が 1〜10 回続く間の売り成行注文，売り成行変化注文，売り指値注文，買いキャン
セル注文の比率が無条件時に比べて高いこと，その反対方向の注文タイプの比率が低下していることが分かる．起点となる注文直後の短間隔注文はコロケーションを利用している可能性が高く，コロケーションを利用した売買アルゴリズムが，起点となる注文に反応して，比率が高いタイプの注文を出していることを示唆している．一方，短間隔注文が 11 回以上連続する際の注文タイプに注目すると，売り指値注文，買いキャンセル注文の比率の高さ，反対方向の注文タイプの比率の低さが継続して観察される．すなわち，注文直後以外でも継続性が見られている．起点となる売り成行注文，それに続く売り指値，買いキャンセル注文はともに価格を押し下げる方向性の注文であり，短間隔注文が 50 回連続して出る間は，注文タイプについて価格に

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統計数理

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対するモメンタム性が継続しているといえる．川口・田代（2015）では成行変化注文後に短間隔注文が続くとき，価格変化がモメンタム性をもつことが示されているが，本結果は注文行動の観点から同様のモメンタム性を捉えている．なお，起点を買いの成行注文とした場合，売り買
いを反転させた対称的な結果が観察される．
次に Pre 期間と Post 期間を比較する．買いキャンセル注文に注目すると，起点となる注文直後の数回の間，Post 期間の買いキャンセル注文比率がより高い．この Post 期間での買いキャン
セル注文比率の高さは，起点から 21〜50 回目の注文でも若干ではあるが観察される．キャンセ
ル注文比率の高まりの理由は明確ではないが，注文反応速度が高速化したことで，あらかじめ指値を出しておき，市場変化時にキャンセルするような戦略を取りやすくなった可能性が考えられる．
5.2 注文タイプ別の注文間隔と注文行動の関係
前節の表 9 で見た短間隔注文の連続性分析で，短間隔注文連続時の注文タイプのモメンタム
性の継続，Post 期間における売り成行注文後の買いキャンセルの高まり，といった現象が観察された．これらの現象は，連続して出された注文のうち，どの注文に起因するものだろうか．まず，最初の数注文は，起点の売り成行注文に反応して注文が出されたと考えられる．それ以後
は，起点の注文ではなく，途中で出た短間隔注文に反応した可能性もある．
本節ではこのような参加者の反応を注文タイプ別に分離するため，2 つの注文タイプの注文間隔に注目し，あるタイプの注文が出たときに別のタイプの注文が受ける影響を分析する．特に，表 9 で注文タイプのモメンタム性の継続が見られた，売り成行注文後の売り指値注文，買い
キャンセル注文への影響を中心に分析する．本稿では，このような注文タイプの関係をフローと呼ぶこととし，売り成行 → 売り指値，売り成行 → 買いキャンセル，といったように矢印を用いて表現する．フローの分析では，連続した注文だけではなく，離れた注文の間隔も含めて注文間隔を計測する．これは，連続注文が起こるような時において別の注文を間に挟んだときの影響も見るためであり，Bacry and Muzy（2014）などの先行研究でも同様の計測方法が用いられている．
はじめに，フローについての注文間隔の分布を確認する．売り成行 → 売り指値，売り成行 →買いキャンセルのフローについて，タイプを満たす任意の 2 注文間の注文間隔を集計し，売り
成行注文 1 件あたりの注文間隔毎の平均発生件数を計算して図示したのが図 5 である．ここで，発生件数をそのまま図示すると，横軸の時間スケールの影響を受けるため，1 秒あたりの発生件数に直した上で全銘柄平均をとっている．発生件数の水準が同じであれば，同程度の注文の出やすさであることを意味する．
図 5 を見ると，Pre 期間，Post 期間ともに売り成行注文が出た直後に売り指値注文，買いキャ
ンセル注文の発生件数が急激に高まり，その後 0.01 秒程度の間は発生件数はあまり減衰していないことが確認できる．例えば売り成行 → 買いキャンセルの Post 期間では，0.02 秒程度経過するまで発生件数が減衰しない．これは前節の表 9 で見た，短間隔注文連続時における注文行
動のモメンタム性の継続と整合的である．次に売り指値注文と買いキャンセル注文を比較すると，買いキャンセル注文の方が発生件数の減衰しはじめるタイミングが遅い．これは表 9 における，6〜20 回短間隔注文が連続する時の買いキャンセル注文の比率の高さに対応している．また，売り指値注文，買いキャンセル注文ともに Pre 期間の方が継続時間が長いのは，1 件 1 件の注文処理にかかる最低時間の違いによるものだと考えられる．
以下では，多次元 Hawkes 過程によるモデルを用いて注文間隔を分析することで，上記のような注文タイプの持続性の背景にどのような注文行動があるのかを詳しく見ていく．

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

101

図 5．売り成行注文が 1 件出た後の売り指値注文，買いキャンセル注文の平均発生件数．横軸は注文間隔（対数スケール），縦軸は 1 秒あたりの平均注文発生件数である．また，Pre
期間と Post 期間の分布形状を比較しやすくするために，Post 期間の平均発生件数は右軸に表示している．

5.2.1 モデル
多次元 Hawkes 過程は，注文タイプ別の注文発生確率が他のタイプの注文発生に受ける影響を表現可能な確率過程であり，高頻度注文データに対する応用が近年活発に研究されている．
またモデル推定の実証研究では，3 章で述べたように，パラメトリックな推定手法，ノンパラ
メトリックな推定手法など複数の方法が提案されている．本稿では，注文が出た後に注文発生
確率が一時的に低下するなど，パラメトリックな関数では表現することが難しい注文反応の挙動を捉えることも狙っている．そこで本稿の分析では，Bacry and Muzy（2014），Bacry et al.
（2016）が提案しているノンパラメトリックな推定方法を用いる．
モデルならびに推定方法の概要を以下に述べる．まず，多次元 Hawkes 過程を定義する．D
次元点過程 Nt = (Nti )1≤i≤D の強度関数 λt が，任意の i(1 ≤ i ≤ D) について以下の表現で表されるとき，Nt を D 次元 Hawkes 過程と呼ぶ．
D 

i
i
(5.1)
λt = μ +φij (t − s)dNsj .
j=1(−∞,t)i

ここで，μ = (μ )1≤i≤D は外生強度，φ = (φij )1≤i,j≤D は Hawkes カーネル行列であり，それぞれ μi ≥ 0, φij (t) > 0 を満たす．本稿において D は注文タイプの数であり，λit は時刻 t における注文タイプ i の発生強度をモデル化したものである．また，φij は注文タイプ j が起きた後の注文タイプ i の発生確率の高まりやすさを意味しており，注文タイプ i の発生強度 λit がタイプ i
以外の注文発生から受ける影響も表現できるモデルとなっている．例えば，成行注文が出た後のキャンセル注文の発生確率の高まりなどが本モデルで表現可能である．
次に，Hawkes 過程の conditional law g = (g ij )1≤i,j≤D を以下のように定義する．
(5.2)

g ij (t)dt = E[dNti |dN0j = 1] − 1{i=j} δ(t) − Λi dt.

ここで，Λi = E[λit ] であり，δ(t) はディラックのデルタ関数である．g は図 5 で見た平均注文発
生件数に対応している．
このとき，conditional law g をもつ Hawkes 過程のカーネル φ は，任意の t > 0 について以下の Wiener-Hopf 方程式(5.3)

g(t) = φ(t) + (g ∗ φ)(t)の唯一解となることが Bacry and Muzy（2014）
で示されている．また，カーネルの各要素 φij の

統計数理

102

L1 ノルムを ||φij ||1 =

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φij (t)dt と定義するとき，その行列||φ|| = (||φij ||1 )1≤i,j≤D(5.4)のスペクトル半径が 1 未満であるならば，その Hawkes 過程 Nt は漸近的に定常な増分をもち，φ, μ について
Λ = (ID − ||φ||)−1 μ(5.5)

が成り立つ．ここで，Λ = (Λi )1≤i≤D であり，ID は D 次元単位行列である．
，Bacry et al.（2016）で提案されているノ
以上のモデルの推定には，Bacry and Muzy（2014）
ンパラメトリックな推定手法を用いる．これは t に関する線形補間を用いた手法である．推定
アルゴリズムを以下に記す．
（1）線形補間のための時間刻みを以下のように定める．
(5.6){tk }1≤k≤K = {0, δT1 , 2δT1 , . . . , T1 , T1 eδ , T1 e2δ , . . . , T2 }.

ここで，T1 , T2 , δ は時間刻みのためのパラメータ，K は {tk } の要素数である．直前の注文から 0〜T1 までの短い値域を線形間隔で刻み，T1 〜T2 までの長い値域を指数間隔で刻むことで，注文に対する短時間での挙動をより細かく捉える．
（ni はイベント i の発生総件数）．
（2）各イベントの発生時刻列 {Tli }l≤ni (1 ≤ i ≤ D) を集計する(i, j) の各ペアに対し，定めた時間刻み毎に以下の式で g を推計する．

 tk+1
tk + tk+1
1
(5.7)
g ij
g ij (t)dt2
tk+1 − tk tk
1 1
1T i −T j ∈[t ,t ) − Λi .
m
k k+1
l
tk+1 − tk nj
m=1
ni

nj

l=1

(k = 1, 2, . . . , K − 1)

ここで，Λi はイベント i の 1 秒あたりの発生件数であり，ni を総時間で割ることで得られる．また，上記式の時刻以外の g ij (t) を線形補間で与える．
（5.3）を離散化して得られる以下の φ に関する連立一次方程式を解き，tn における φ の（3）式
推定値を得る．
 tn −tk
D n−1

 mj
(5.8)
g ij (tn ) = φij (tn ) +φ (tk )
g im (s)ds
m=1 k=1

+

D n−1


m=1 k=1−

tn −tk+1(φmj (tk+1 ) − φmj (tk ))(tn − tk )tk+1 − tk

D n−1 φmj (tk+1 ) − φmj (tk )  tn −tk

m=1 k=1

tk+1 − tk

 tn −tk

g im (s)dstn −tk+1

sg im (s)ds.

tn −tk+1(n = 1, . . . , K)

また，tn 以外における φij (t) を線形補間によって得る．
（5.5）に φ, Λ を代入し，μ の推定値を得る．
（4）式
ここまで Hawkes 過程でのモデル化，推定手法について述べてきた．Hawkes 過程では φ が正値をとる．だが，市場で見られる注文行動の中には，あるタイプの注文が出たことで，別のタ東京証券取引所における高速な注文反応の分析

103

イプの注文が出にくくなるケースも存在しうる．このような場合，カーネル φ はある t において負値をとる．Hawkes 過程に対して提案されている推定手法の中には，負値のカーネルをとる点過程に適用しても正のカーネルしか返さないような推定手法も存在する．だが，本稿で用の右辺が負になる確率が無視できるくらいに小さければ信頼できる推いる推定手法は，式（5.1）
定結果を与えることが，Bacry and Muzy（2014）で数値例とともに述べられている．なお，上記のようにカーネルが負値をとる場合は，強度関数が負値になるのを回避するため，Bacry andなどの先行研究と同様に式（5.1）
をMuzy（2014）


D 

i
i
ij
j
(5.9)
λt = μ +φ (t − s)dNs .
j=1(−∞,t)+と拡張して考える．ここで，(c)+ は c が非負のとき c，負のとき 0 をとる．
5.2.2 推定結果：注文タイプと注文間隔
本節では前節で述べたモデルの推定結果について述べる．まず，分析パラメータについて述（5.6）のパべる．注文タイプ数 D は，4.2 節で定義した 9 種類である．時間刻み {tk } を決める式
ラメータについては，データにおける最小の注文間隔である 0.1 ミリ秒から数ミリ秒までの挙動を細かく捉えるために，T1 = 5.0 × 10−3 とし，最大で 1 秒程度までの短間隔の挙動を捉えられるようにするため T2 = T1 × e6  2 とした．また，刻み幅のパラメータ δ については小さくすることで計算精度が上がる一方，計算負荷も上がるため，両者を考慮して δ = 0.04 と定めた．
以上をまとめると，時間刻み {tk } は(5.10){tk } = {0, 0.2 × 10−3 , 0.4 × 10−3 , . . . , 4.8 × 10−3 , 5.0 × 10−3 ,5.0 × 10−3 × e0.04 , . . . , 5.0 × 10−3 × e6 }となる．
続いて，主要な推定結果について述べる前に，推定したモデルの定常性を見るため，分析対
象の各銘柄の推定結果が 5.2.1 節で述べた定常な増分をもつ条件を満たすかどうかを確認しておTく．各銘柄についてカーネルの L1 ノルムを ||φij ||1 = 0 K φij (t)dt で計算し，その行列のスペクトル半径を計算したところ，最大の銘柄でも 0.998 と 1 未満であり，全銘柄で条件を満たしていた．
以下では注文反応の挙動に注目するため，推定結果のうち，カーネル φij (t) について議論する．多数の銘柄について分析を行っているため，個々の銘柄についてではなく，推定したカーネ
ル φij (t) の銘柄平均を示していく．また，カーネル φij (t) は 9 × 9 = 81 種類もあるため，売り成行注文を起点とするフローを中心に分析結果を見ていく．その準備として，モデルの推定結果の解釈方法を説明する．モデルの推定結果において，カーネル φij (t) は注文タイプ j 発生からt 秒後の注文タイプ i の瞬間的な発生強度を表す．これが正の値をとると，注文タイプ j が出た
ことで，出ないときよりもタイプ i の注文が起きやすくなっていることを意味する．本稿では
t
注文の出やすさの変化するタイミングを明示するため，カーネルの累積値 Φij (t) = 0 φij (t)dtを図示して見ていく．Φij (t) が正の傾きである間は，タイプ i の注文が起きやすいことを意味する．ただし，横軸が対数時間のため，傾きの大きさが同じでも瞬間の発生強度は時点により異なることに注意されたい．また Φij (t) の大きさは，注文タイプ j が出てから t 秒後までに，注文タイプ i が平均で何件発生しやすくなるかを表す．
以上を踏まえて分析結果を見ていく．図 6 は，売り成行注文を起点とする 8 種類のフローについて，それぞれの累積カーネル Φij (t) を図示したものである．ここで，Pre 期間の方がグラフの微小変動が激しいのは，時刻の計測単位が Pre 期間では 0.001 秒単位，Post 期間では 0.0001

104

統計数理

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図 6．売り成行注文 → 各タイプ注文の累積カーネル．横軸は対数時間，縦軸は累積カーネルである．

秒単位と 10 倍異なるためである．また，カーネルの形状に注目するため，各グラフのスケールは一致させていない．
まず，前節で注文タイプのモメンタム性が見られた売り成行注文 → 売り指値注文，売り成行→ 買いキャンセルのカーネルである図 6(a)，図 6(b) に注目すると，図 6(b) で示されている売り成行 → 買いキャンセルのカーネルが，上昇してから一度マイナス方向に動いた後に，0.01 秒

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

105（10 ミリ秒）
程度経過してから再度上昇する動きを示している．すなわち，買いキャンセル注文
が一度出にくくなった後，0.01 秒程度経過してから再度出やすくなったことを意味している．
また，Pre 期間と Post 期間を比較すると，Post 期間の方が再上昇のタイミングが速い．一方で，
図 6(a) で示されている売り成行 → 売り指値のカーネルでは，2 段階の挙動は見られない．このような 2 段階の挙動は，図 5 で見たタイプ別の注文間隔分布でははっきりと観察されなかったものであり，注文タイプ別に注文反応を分解することで，このような挙動を検出することができるようになった．
このようにカーネルの挙動が 2 段階になる原因として，2.1 節で述べた売買参加者による注文
反応速度の違いの影響が考えられる．売買参加者のうち，コロケーションを利用している参加者は，ある注文に数マイクロ秒で反応することができ，このような参加者が図 6(b) の 1 段階目の上昇の原因の 1 つとなっている．また，注文が集中する際には注文処理が順に行われるため，
数マイクロ秒の反応でなくとも注文間隔は最小時間に近くなりうる．これも 1 段階目の上昇の原因だと考えられる．一方，コロケーションを用いない一般参加者は，ある注文に反応して注文を出すまでに最低でも数ミリ秒かかる．カーネルが再上昇しているタイミングは，Pre 期間
で約 0.02 秒，Post 期間で約 0.01 秒の時点であり，コロケーションを用いない参加者の注文所
要時間と概ね整合的である．このことから，コロケーションを用いない参加者が図 6(b) の 2 段
階目の再上昇の原因となっているという仮説が立てられる．Post 期間で再上昇のタイミングが速い原因も，情報伝達時間の高速化，1 件 1 件が高速に処理されることによる注文集中時の待ち時間の短縮などで説明でき，仮説と整合的である．この仮説が成り立っているならば，注文
反応速度の違いから各売買参加者の注文行動をより詳細に分析することが可能となる．以下では，注文反応速度が異なる売買参加者の存在を仮定して議論を進める．また，注文反応が 10 ミ
リ秒程度遅れる参加者をラグ参加者と呼んで区別する．
図 6 の残りのグラフを見ると，売り成行 → 買い成行のカーネルを表す図 6(f) では同様にラグ参加者の存在が見られる．それ以外のグラフでは，はっきりとしたラグ参加者の反応は見られない．これは，ラグ参加者が発注する注文のタイプに偏りがある可能性を意味している．また，コロケーションを利用する参加者の注文が多く 1 段階目の反応が長く持続する注文タイプ
では，1 段目の挙動に隠れてラグ参加者の影響が見えなくなっている可能性も考えられる．
次に，売り買いの対称性を確認する．注文行動に関する先行研究の多くでは，注文行動について売り買いの対称性が観察される．では，ラグ参加者の注文行動についても対称性は成り立っているのだろうか．これを確認するために，図 6 の各注文タイプの売り買いを反転させたケースについて累積カーネル Φij (t) を図示したのが図 7 である．図 6 と図 7 のグラフを比較すると，売り買いでグラフの形状が同じであり，図 6(b) の売り成行 → 買いキャンセルで見られた 2 段
階の注文反応が，図 7(b) の買い成行 → 売りキャンセルでも観察される．すなわち，ラグ参加者の注文行動でも売り買いの対称性は成り立っており，ラグ参加者は，平均的には売り買い同一の基準で発注しているといえる．
ここまで，全銘柄を平均した結果について述べてきた．一方で，5.1 節で，短間隔注文の頻度や連続しやすさは板の厚さ・サイズといった銘柄の特徴量により異なることを見た．上で見たようなラグ参加者の注文行動も，銘柄の特徴量により異なる可能性が考えられる．そこで，デプス（板の厚さ），ティック数の 2 つの特徴量について，それぞれ銘柄を分割して分析を行う．
各特徴量の分析では，銘柄を特徴量についてソートした後に 10 分割し，一番特徴量が大きな銘
柄群と小さな銘柄群についてそれぞれカーネルの平均値を計算する．またカーネルの注文タイ
プは，売り成行 → 売り指値，売り成行 → 買いキャンセルに絞って結果を確認する．
ティック数についての分析結果を示したのが図 8 である．比較のために，左右のグラフで縦軸のスケールを揃えている．まず図 8(c) と図 8(d) を比較すると，1 段階目の反応が同程度の大

106

統計数理

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第 1 号 2017

図 7．買い成行注文 → 各タイプ注文の累積カーネル．横軸は対数時間，縦軸は累積カーネルである．

きさなのに対し，ティック数が少ない銘柄において，2 段階目の反応がより強いことが見てとれる．また，図 8(a) と図 8(b) を比較すると，図 8(a) では 2 段階目の反応がわずかに見えるのに対し，図 8(b) ではそのような反応は見られない．これらの結果から，ラグ参加者の注文は，
ティック数が少ない銘柄で相対的に多いといえる．ラグ参加者は，ティック数が多く参加者が多い銘柄を避けて売買している可能性がある．

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

107

図 8．ティック数が特徴的な銘柄群における，売り成行注文後の売り指値注文，買いキャンセ
ル注文の累積カーネル．横軸は対数時間，縦軸は累積カーネルである．
「ティック数：「ティック数：小」はティック数の下位 10%銘柄につ大」はティック数の上位 10%銘柄，
いて，それぞれカーネルの平均を計算している．

続いて，デプスについての分析結果を示したのが図 9 である．まず図 9(c) と図 9(d) を比較す
ると，デプスが小さい銘柄において，2 段階目の反応がより強いことが見てとれる．デプスが大きな銘柄では，2 段階目の反応は弱く，特に Pre 期間においてはほぼ横ばいである．また，図9(b) を見ると，デプスが大きな銘柄では，売り成行 → 売り指値の注文行動にも，2 段階の反応が弱いながらも見られる．一方，デプスが小さな銘柄では図 9(a) のように 2 段階の反応はほぼ見られない．このように，デプスの大小に応じても，ラグ参加者の注文行動は異なっているといえる．以上から，ラグ参加者はティック数やデプスなど銘柄特性を踏まえた注文行動をとっているといえる．
なお，図 9(c) と図 9(d) のカーネル再上昇のタイミングを比較すると，図 9(c) では 0.01 秒付
近なのに対し，図 9(d) では 0.01 秒よりも後ろであり，デプスが小さい図 9(c) の方が再上昇が若干速いことが見てとれる．これは，デプスが厚い銘柄で短間隔注文が連続しやすいことが原因だと考えられる．短間隔注文が連続しやすい銘柄では，注文の集中による注文処理の順番待
ちもまた発生しやすいと考えられる．そのためデプスが大きい銘柄では，ラグ参加者の注文の処理がデプスが小さい銘柄よりも遅れやすく，図 9(c) と図 9(d) のようなタイミングの違いが生まれるのであろう．
最後に，本節での分析結果を通して Pre 期間と Post 期間を比較すると，Post 期間において売り成行 → 買いキャンセルにおけるラグ参加者の反応が Pre 期間より大きくなっていることが，
図 6(b)，図 8(c)，図 8(d)，図 9(c)，図 9(d) 全てから確認できる．前節での短間隔注文の連続性分析において，表 9 のように売り成行注文後の短間隔での買いキャンセル注文の比率の上昇が見られたが，その原因の 1 つにラグ参加者の注文行動があったことが分かる．この行動の理由

統計数理

108

第 65 巻

第 1 号 2017

図 9．デプスが特徴的な銘柄群における，売り成行注文後の売り指値注文，買いキャンセル注
文の累積カーネル．横軸は対数時間，縦軸は累積カーネルである．「デプス：大」はデプ
スの上位 10%銘柄，「デプス：小」はデプスの下位 10%銘柄について，それぞれカーネ
ルの平均を計算している．

は明確ではないが，1 つの可能性として，リニューアルでの注文応答時間短縮により数ミリ秒の間により多くの注文が処理可能になったことで，短時間での意図せぬ約定可能性を回避するためにラグ参加者がキャンセル注文の発注頻度を高めたことが考えられる．
6.

おわりに

本稿では，注文間の時間間隔に注目して東京証券取引所の注文行動を分析した．
まず，直前の注文との時間間隔が短い短間隔注文について分析した．短間隔注文は一度発注されると連続して起こりやすい特徴がある．短間隔注文の連続性は板が厚くティック数が多い銘
柄で生じやすく，また成行注文，成行変化注文が出た後に生じやすい．売買システムのリニュー
アル前後を比較すると，リニューアル後は，成行注文，成行変化注文時に対する短間隔注文の連続性が高まり，また売り成行注文の後の買いキャンセル注文の発注頻度が高まるなど，特定の注文タイプに対する参加者の反応がリニューアル前より強まる傾向が観察された．
次に，注文タイプに対する反応をより詳しく調べるために，多次元 Hawkes モデルを用いて注文タイプ別の注文間隔に関する分析を行った．その結果，市場に発注された注文に対して，瞬時に反応する参加者と 10 ミリ秒程度遅れて反応する参加者がいることが示唆された．このう
ち，遅れて反応する参加者について，売りと買いで対称的な行動をとっていること，銘柄のデプスやティック数に応じて注文タイプに対する反応が異なっていること，リニューアル後に売り成行注文後の買いキャンセル注文の発注頻度を高めていることなどが分かった．これらの結果は，注文タイプ間の時間間隔に注目することで，高頻度な注文行動を参加者別に精緻に捉えられる可能性を示唆している．

東京証券取引所における高速な注文反応の分析

109

今後の課題としては，遅れて反応する参加者の注文行動が，どのような戦略によるものなのか，また価格形成にどのような影響を及ぼすのかを明らかにすることが挙げられる．注文行動と価格形成の反応が明らかになれば，売買システムの高速化が価格形成に与える影響について
新たな知見を得ることができる．
また，注文タイプを細分化し，注文行動をより詳細に明らかにするのも課題といえる．本稿では全ての成行注文を同一に扱っており，成行注文のサイズや板の状態を考慮していない．成行注文のサイズについては，Rambaldi et al.（2016）でカーネルの大きさへの影響が述べられている．また，成行注文後の板の偏り（オーダーインバランス）
もカーネルに影響すると考えられる．これらの影響も考慮したモデル化・分析を行うことで，より精緻に注文行動を捉えることができるだろう．
謝辞

本稿を作成するにあたり，2 名の査読者から多くの有益なコメントをいただいた．ここに感謝いたします．

参

考

文

献

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110

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

Hawkes process analysis, Preprint, http://arxiv.org/abs/1602.07663.
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Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 87–111 (2017)

111

Analysis of High Frequency Reactions on Tokyo Stock Exchange
Yusuke Tashiro and Muneki Kawaguchi
Mitsubishi UFJ Trust Investment Technology Institute Co., Ltd.

In recent stock markets, the presence of high-frequency trading (HFT) has globally
increased. In the Tokyo Stock Exchange (TSE), the market share of high-frequency trading increases year after year and market players can trade stocks faster than before dueto the renewal of the trading system in September 2015.
In this paper, we analyze the high-frequency order book dynamics on TSE. For thispurpose, we focus on the “short interval order”, which is submitted immediately after
an order submission, and discuss its characteristics. We also analyze whether the highfrequency reaction to the order changes or not with the renewal. We ﬁnd that “shortinterval order” is likely to be submitted continuously after the submission of an orderthat has a large impact, such as market order, and continuity is more remarkable after the
renewal on TSE. Moreover, we estimate multivariate Hawkes models that represent orderinterval among the diﬀerent order types, and we observe two kinds of players: one that
immediately reacts to an order and the other that reacts about 10 milliseconds behind.
We then ﬁnd that the latter players increase the aggressiveness of the order submissionof the speciﬁc order type after the renewal and change their order activity depending on
the characteristics of limit order books.

Key words: Market microstructure, high-frequency trading, order book dynamics, multivariate Hawkes
process.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 113–139©2017 統計数理研究所

特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［原著論文］

高頻度注文板データの統計解析：
異市場・同一株式価格間の先行遅行関係
林 高樹1,2,3（受付 2016 年 10 月 9 日；改訂 2017 年 3 月 15 日；採択 3 月 16 日）

要

旨

本研究は，東京証券取引所（主市場）と 2 つの私設証券取引所 — チャイエックス，ジャパンネ
クスト PTS — の国内 3 市場にて同時に取引されている現物株式について，注文板形成の先行
遅行関係の大きさやその特徴を実証的に調査することを目的とする．
先行遅行時間の推定方法として，本稿は Dobrev and Schaumburg（2015）が最近提案した方法を採用する．分析対象銘柄は，東京証券取引所において時価総額および流動性の高い 100 銘柄から成る TOPIX100 構成銘柄，分析期間は 2013 年 1 月 4 日から 2014 年 12 月 30 日（489 営
業日）であり，東証における 2 回のティックサイズ変更のタイミングも含んでいる．まず，個別銘柄ごとに異取引市場間での市場価格の先行遅行時間を推定し，次に，これらの推定値を多変量時系列データ（銘柄×データ期間）に配置し，パネル回帰分析を行い，銘柄に共通な特徴や相違点を抽出し先行遅行要因を探る．
キーワード：高頻度データ，高頻度トレード，先行遅行分析，Hoﬀman-RosenbaumYoshida 推定量，Dobrev-Schaumburg 推定量，マーケット・マイクロストラクチャ．

1.

導入

世界の株式市場において近年取引所間の提携や合併が進み，また電子市場が相次いで設立されるなど市場間競争が激化する中，我が国では，現在，東京証券取引所（東証），2 大私設取引（運営会社チャイエックス・ジャパン），ジャパンネクスト PTS（運所（PTS）— チャイエックスの 3 市場において，高速・高頻度の取引が行われている．
営会社 SBI ジャパンネクスト証券）
本研究は，国内株式市場間の短時間での連動性について焦点を当て，高頻度の注文板データから観察される現象について報告する．分析に用いるデータは，東証，チャイエックス，ジャパンネクスト PTS の 3 市場より提供を受けた気配更新や約定を全て記録した高頻度注文板デー
タで，タイムスタンプの時間解像度はミリ秒，データ期間は 2013 年 1 月 4 日〜12 月 28 日（245営業日），および 2014 年 1 月 6 日〜同 12 月 30 日（244 営業日），計 489 営業日である．当該期間は東証における 2 回のティックサイズ変更のタイミング（1 月 14 日，7 月 22 日）を含んでいる．分析対象銘柄は，東証において時価総額および流動性の高い「TOPIX100」構成銘柄である．
1

慶應義塾大学大学院 経営管理研究科：〒 223–8526 神奈川県横浜市港北区日吉 4–1–1 協生館；
takaki@kbs.keio.ac.jp
2

首都大学東京大学院 社会科学研究科経営学専攻

3

独立行政法人科学技術振興機構 戦略的創造事業（JST-CREST）

114

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

本研究では，特に 3 市場間の先行遅行関係（異市場・同一銘柄間分析）に興味がある．ベース
による先行遅行関係推定法である．実となる統計的方法論は，Dobrev and Schaumburg（2015）
証分析の流れは林（2016）
で行ったものを概ね踏襲する．すなわち，まずデータ期間内一日毎・時間帯内毎，銘柄毎に，先行遅行時間を推定し，推定値の日次推移や時間推移を図示し，要約統計量等を計算することで，市場ペア間の先行遅行時間の全体的傾向を把握する．さらに，個々に計測された先行遅行時間を多変量時系列データ（銘柄×データ期間）に配置し，パネル回帰分析を行い，銘柄に共通な特徴や相違点を抽出し先行遅行要因を探る．その際に採用する説明変と数には，例えば，“売り方向”，“買い方向” の違いによる先行遅行時間の相違など，林（2016）
は異なる視点も導入する．
本研究は，林（2016）と同様，データの解像度やデータの発生頻度（データ間隔）の制約により，ミリ秒以下の先行遅行関係を定量化することはできない．また，各注文データには市場参加者を特定する情報が付与されていないため，近年市場での存在感を増している高頻度トレーの行動を直接分析することはできない．このようなデータ仕ド（High-frequency Trading, HFT）
様に起因する制約はあるものの，分析を通じて HFT の注文行動を理解する一助となることが期待される．
筆者による 2 つの実証研究（林, 2015, 2016）からの分析の方法論上の主要な改良点としては，（i）Hoﬀmann et al.（2013）の代替的方法論として Dobrev and Schaumburg（2015）によるアプ
ローチを採用して同一銘柄異市場間の先行遅行時間を推定したこと，（ii）説明変数の見直しを行うことで先行遅行時間の生成要因に関する回帰分析の精度の向上を図ったことが挙げられ
る．価格変動幅の情報を使わない後者のアプローチは価格変動に含まれるジャンプやマイクロ
ストラクチャ・ノイズの直接の影響を受けないことから，よりロバストな推定となることが期待される．特に，林（2015, 2016）で行った前者による推定結果はバラツキが非常に大きく，精度の向上が課題であった．
Dobrev らのアプローチは本稿で示すようにはるかに安定的な結果をもたらす．それでもな
お，統計理論が未整備な状況の中，本稿の分析結果はあくまで暫定的なものであることに注意
1)が必要である．
高頻度・高速市場での先行遅行分析自体が近年始まった新しい研究領域であり，実証分析自と同様，HFT を中心とする高頻度・高速
体が殆ど行われていない．本分析では林（2015, 2016）
で取引を行う市場参加者の行動やその帰結としての市場クオリティ等に関する特定の仮説を事前に持たず，探索的データ解析を行い，実証的知見を得ることが目的である．
2.

国内高速 3 市場の概要およびデータセット

2.1 3 市場と東証ティックサイズ変更
3 市場の概要については，宇野（2012, 2014），林（2015）を参照せよ．2008 年 10 月のジャパ
ンネクスト PTS（以下，“JNX”），2010 年 7 月のチャイエックス（以下，“ChiX”）の開設以降，
PTS 二市場の売買高シェアは次第に上昇し，本分析のデータ期間開始の 2013 年前半において
2)
5–7% 程度を占めていた（大崎, 2014, 図表 2）．
東証は，2014 年 1 月 14 日と 7 月 22 日の 2 回にわたり，投資家の “利便性の向上” を目的として，“流動性が高い銘柄について細かい呼値の単位を導入することで，約定価格の改善や，指値注文における値段の選択肢の広がりによる板での順番待ちの緩和” を図った．3) 第 1 回目の変（TOPIX100 構成銘柄）の内の呼値が 3000 円超に対して導入さ更（フェーズ 1）では対象銘柄群（フェーズ 2）では対象銘柄群の残りの全て（呼値 3000 円以下）の銘柄にまで拡大され，第 2 回目
れた．その結果該当銘柄のティックサイズは PTS 二市場と競合する水準にまで引き下げられ高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

115

表 1．国内 3 市場のティックサイズ．

た．表 1 に変更前後のティックサイズの具体例を，PTS 二市場の値と共に示す．
による 3 市場間比較の他，近藤（2015）
東証ティックサイズ変更の影響については，林（2015）
が東証にフォーカスした詳細な分析を行っている．
，太田
高速化が進む我が国の株式市場に関する実証分析として，その他，Bellia et al.（2016）（2013, 2016），保坂（2014）などがあるが，市場内外の急激な変化に実証研究が追いついていな
いのが現状である．高頻度注文板データの分析を行う意義は大きい．
2.2 分析データセット
3 市場から入手した高頻度注文板データを使用する．分析データセットの時間解像度はいずれの市場ともミリ秒単位である．各市場とも，データに記録されているタイムスタンプは，個
別注文が各々のマッチング・エンジンに到着した時刻とされる．
分析対象銘柄は，東証の公表する「規模別株価指数・TOPIX ニューインデックスシリーズ」の一つ，“TOPIX 算出対象のうち，時価総額および流動性の特に高い 30 銘柄” である「TOPIXと “TOPIX Core30 についで時価総額，流動性の高い 70 銘柄” である「TOPIX Large70」
Core30」4)の構成銘柄である（2013 年 10 月末選定分）． これらは，2014 年の東を合わせた「TOPIX100」，および 2014
証ティックサイズ変更の対象銘柄群である．データ期間は，2013 年（245 営業日）
年（244 営業日）の 2 年間計 489 営業日である．なお，分析対象銘柄はデータ期間の 2 年間固定
5)
「TOPIX100」の銘柄入替は反映させない．
し，期間内に 2 回実施された
PTS 二市場には昼休みによる中断時間がないが，PTS と東証間の同一銘柄価格の先行遅行関係をみるため，東証の立会時間中のデータのみを分析に使用する．
3.

分析の方法論3.1 タイムスタンプの生成によるオリジナルのアプローチは，2 つ価
本分析で採用する Dobrev and Schaumburg（2015）
格系列のタイムスタンプ情報のみを使用する．彼らは約定価格系列のタイムスタンプを使用したが，本分析では注文板上の価格形成に興味があることから，マイクロ・プライス系列のタイ
ムスタンプを使用する．
にならい，注文板上の売買両サイドの最良気配値およ
まず，筆者の行った実証分析（林, 2016）
び注文枚数より各気配レコードにおける “マイクロ・プライス” を計算する（例，Gatheral andOomen, 2010）
．
(3.1)

X :=

B · QA + A · Q B,
QA + Q B

但し，B（A）は最良買（売）
気配値，QB（QA ）は最良買（売）
注文に関する注文枚数合計（“デプス”）である．

統計数理

116

第 65 巻 第 1 号 2017

ここでは，林（2016）と同様に，市場参加者の注文・キャンセルおよび売買行動の結果としての高速での注文板の変化に興味がある．マイクロ・プライスは，約定はもちろん，キャンセルを含めた市場参加者の動きを直接に反映することから，本分析においても使用が妥当と考える．本稿全体を通して，マイクロ・プライス X の動きを “値動き” と呼ぶことにする．
各市場，各銘柄毎に，マイクロ・プライスが更新される時刻を集めてタイムスタンプ・デーのオリジナルの提案では売買方向の区別のないタイ
タを作る．Dobrev and Schaumburg（2015）
ムスタンプ系列が使われるが，本研究では，それに少し手を加え，売買の方向性によって二分割したタイムスタンプ系列を使用する（詳細は後述）．
タイムスタンプ・データ生成に使われる代替的な価格系列としては，最良買気配/最良売気
配や，それらの平均値である仲値があるが，気配値水準の更新遅れ・鮮度劣化（staleness）は良く知られた現象であることから，これらの更新時点をそのまま使用するのは適切でない可能性がある．6) 一方，約定値も代替的系列として考えられるが，気配更新データに比べデータ量が大幅に減少することや，約定価格の変化しないゼロ・リターンの割合も高いことから，今回はの実証分析においては，流動性の極めて高採用しない．なお，Dobrev and Schaumburg（2015）（S&P500 先物）や米国 10 年債（T-Note）の現物や先物に関する約定系列のタイムスタ
い E-Mini
ンプを使用している．
3.2 時系列データ間の先行遅行時間
2 変量の時系列データの先行・遅行関係を分析するのに標準的な道具は，両者の相互共分/相互相関係数（cross-correlation）を計測することである．Hoﬀmann et al.
散（cross-covariance）（2013）
は，Hayashi and Yoshida（2005）
によって提案された非同期共分散推定法（以下，“HY 推定法”）を応用して，離散観測される連続セミマルチンゲール過程間の先行遅行関係を推定する
7)
すなわち，2 つの対数価格系列 X 1 , X 2 が，それぞれ不規則，不等間隔に並方法を提案した．
1
2
ぶ時点 {τi }, {τj } において観測された時，予め定めた有限個の探索範囲 G に関して，対数収益率間の相互共分散の絶対値を最大化するようなラグ h の値
θ̂ := arg max |CV (h)|h∈Gを先行遅行推定量とした（以下，“HRY 推定量”）．ここで，CV (h) :=

Xτ11 − Xτ11
i

i−1



Xτ22 − Xτ22
j

j−1



1{(τ 1i−12,τi1 ]∩(τj−1−h,τj2 −h]=∅}i,jは HRY 推定法による相互共分散関数である．彼らは，正則条件の下で，サンプル観測区間幅
および探索グリッド間隔がゼロに縮小する時に，θ̂ が X 1 , X 2 間の真の先行遅行時間パラメー
タ θ に対する一致推定量であることを示した．
相互共分散・相互相関係数の大きさを評価しそれを先行遅行分析に用いる方法論自体は時系
列解析の古典的なアプローチでありマクロ経済分析やファイナンス分野などにおいて古くからはそれを近年の高頻度データに対する統計学の進展を行われているが，Hoﬀmann et al.（2013）
踏まえて，連続時間セミマルチンゲールの離散高頻度観測の枠組の中での先行遅行時間の統計的推測問題として定式化し，それに対する一致推定量を初めて提案したという点で，統計学における新たな研究テーマを開拓したと言えるだろう．
において，HRY の枠組みを利用して，本稿と同様国内 3 市場のデー
筆者は，林（2015, 2016）
タセットを用いて，マイクロ・プライス系列間のクロス相関を介した 3 市場間の先行遅行時間の計測を試みてきた．しかしながら，得られた個別の HRY 推定値は，ばらつきが大きく，必ずしも信頼できる分析結果が得られたとは言い難かった．特に，前論文では価格系列を直接使

高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

117

用した目的関数（相互相関の絶対値）
を最大化するアプローチであったため，価格系列に含まれる種々の要因，とりわけ，ジャンプやマイクロストラクチャ効果が影響を及ぼしていた可能性が高い．
そこで，HRY 推定量の代替的方法として，以下で示すように，より安定的な推定をもたらす
ことが期待される Dobrev and Schaumburg（2015）の方法を採用することにする．
3.3 Dobrev and Schaumburg（2015）の方法とその改良
本稿では，マイクロ・プライスに変化をもたらすようなイベントを “注文” や “取引” 等と呼ぶことにする．したがって，最良気配に関する新規注文やキャンセル，約定は全て含まれる．
においては，約定イベントのみを分析の対象としている．
なお，Dobrev and Schaumburg（2015）
以下に，必要な記号を導入する．対数価格（マイクロ・プライスの対数値）系列 X 1 , X 2 のサ
（点過程）
N 1 , N 2 を考える．一方，最小時間解像度
ンプル時点 {τi1 }, {τj2 } に対応する計数過程
Δ > 0 を単位とする等間隔離散グリッドを T := {ti = iΔ, i = 0, . . . , N } とする．ここで，N は市場閉場時間に対応する最大グリッド点（定数）である（開場時間 [0, T ] として，N = T /Δ）．
（注文が直前の Δ 間に到来した）のみを取り出し次に T の中から，各計数過程が変化した時点kkたサンプル時点を T := {ti ∈ T ; i N > 0}（k = 1, 2）と書く．ここで，連続時間確率過程 Zに対して，Δi Z = Zti − Zti−1 と書く．また，T k の全要素を一律に θ ∈ R だけ負方向へシフトしk:= {ti − θ; ti ∈ T k }（k = 1, 2）と書く．さらに，集合 A の要素数を #{A} と書く．
た集合を T−θ
この時，先行遅行時間を探すための目的関数として，2 つの点過程間の，ラグ h（Δ の整数倍）だけずらした後の同時発生の相対頻度(3.2)

A(h) :=

1
2#{T 1 ∩ T−h}
Aを考える．ここで，A := #{T 1 } ∧ #{T 2 } である．定義より，離散観測グリッド間隔 Δ 内に複数の注文が発生しても，1 件と（Dobrev and Schaumburg, 2015 の実証分析例では 1 ミリ秒）
カウントされる．すなわち，本稿で用いるタイムスタンプのデータセットは，元々の {τi1 }, {τj2 }ではなく，それを区間幅 Δ で離散時間化し注文件数の情報も落とした T k である．本稿では，
便宜上，A(h) を “相互共起強度関数” と呼ぶことにする．
Dobrev and Schaumburg（2015）は，偶然に発生した共起の割合をベースラインとして（3.2）
より差引いた(3.3)

Ã(h) := A(h) − Ā



1の使用を提案している．ここで，Ā := #{G}A(h)，予め定めた探索範囲 G における A(h)h∈Gの平均値である．さらに，（3.2）
を目的関数として G 上で最大化する値

θ̂ := arg max Ã(h)h∈G

が Dobrev and Schaumburg（2015）の提案した先行遅行推定量である．
本稿では，相互共起強度関数の絶対値の大きさ自体には関心を持たず，先行遅行関係の計測
ではなく（3.2）の最大化を図る．以下では，データより計算にフォーカスすることから，（3.3）
された先行遅行時間推定値 θ̂ を “DS 指標” と呼ぶことにする．定義から明らかなように，DS指標においては，タイムスタンプのみを使用して目的関数 A(h) を計算することから，価格情報に含まれるマイクロストラクチャ効果などの要因には直接は影響されず，HRY 指標に比してロバストな先行遅行推定結果を与えることが期待される．
次に，本研究における工夫について述べる．先述のように Dobrev and Schaumburg（2015）

118

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

では全約定データのタイムスタンプを使用していたが，本研究は注文板データから計算されるマイクロ・プライスを使用することで，注文板の動き（マイクロ・プライスの変化時点）
に関する先行遅行時間を調べる．さらに，彼らの提案方法は相場の方向性に関する情報が欠落していることから，全タイムスタンプ T k を使うのでなく，価格変化が正であったもの
TBk := {ti ∈ T k ; Δi X k > 0}，負であったもの TSk := {ti ∈ T k ; Δi X k < 0} の 2 つのサブデータ
セットを抽出し，各々に対して DS 指標を計算することにする．ここで，マイクロ・プライス
とは，定義
（3.1）
より，最良買気配値または最良売気配値の少なくが上昇するケース（ti ∈ TBk ）とも一方が上昇するか（例えば，ある時点の最良売気配がキャンセルまたは成行買約定により消滅することで，最良売気配値が上昇），最良売気配の数量が減少するか，最良買気配の数量が増加するかのいずれかである．すなわち，相場における買い意欲が勝った “強気” の時点と解釈される．後者はその逆の場合である．このように相場の上下別に DS 指標を算出すること
で，先行遅行関係の（相場の方向性に関する）非対称性についても調べることが可能になる．
による推定量に関しては統計理論が整
なお，現在のところ，Dobrev and Schaumburg（2015）
備されていない．本研究では，X 1 , X 2 , τ 1 , τ 2 に特定の確率過程モデルを仮定せず，記述統計的立場を取りながら分析を進める．
3.4 データ加工（東証，JNX，ChiX）の中から 3 組のペア X 1 -X 2 を作り，各ペア毎に先行遅行分析は，3 市場行った．使用するデータの時間解像度が Δ = 0.001 秒であることから，N の大きさは，東証の立（9:00–11:30，12:30–15:00）に相当する，N = 5 × 60 × 60 × 1000 = 18,000,000
会時間長 T = 5 時間
である．一方，A(h) の最大値の探索範囲は，G = {−0.250, −0.249, . . . , 0, . . . , 0.249, 0.250}（0.001秒刻み）と設定した．
1 日内の先行遅行時間が時間の推移と共に変化する現象は，林（2015, 2016）において指摘された．よって，そのような一日内変化を反映させるために，東証の立会時間計 5 時間 =300 分
を 30 分毎に 10 個の時間帯に分割し，第 1 時間帯（9:00–9:30），第 2 時間帯（9:30–10:00），. . . ，第 10 時間帯（14:30–15:00），のように設定する．PTS は昼休み等東証の立会時間外に取引可能な時間帯はあるが，先行遅行時間を見るという目的に照らし，以上の 10 個の時間帯以外のレ
コードは全て分析対象から除去した．
分析の前のデータ前処理として，元データのタイムスタンプはミリ秒刻みであるが，同一タ
イムスタンプに複数の気配レコードある場合には，最後尾のレコードのみを採用してマイク．さらに，今回はロ・プライスを計算した（最小時間解像度内につき最大 1 件のデータを使用）
マイクロ・プライスの更新時点をイベントの発生時点と捉えることから，マイクロ・プライスの計算不能な最良気配が売買両サイドにないレコードは排除した．
つぎに，上記のような改良型の DS 指標を計算するために，マイクロ・プライス系列の変化の方向によって，タイムスタンプのデータセットを，変化が正であったもの，負であったもの（ゼロ・リターン）のタイムスタンプの 2 つのデータセットに分割した．なお，変化を伴わないは除去した．DS 指標は定義上タイムスタンプのみを使用して計算されるため，今回の分析では大きな変化（ジャンプ）の除去，マイクロ・ストラクチャの除去等は行わなかった．
また，回帰分析の際に共変量として用いる観測量の算出の際には，2013 年時点の東証ティッ
以上のビッド・アスク・スプレッドを持つレコードは，市場
クサイズの定数倍（今回は 20 倍）
8)実勢から乖離した注文であると見なし計算時のデータセットから除去した．
実証分析は 2 つのステップから成る．ステップ 1 として，まず，各銘柄別，各日毎各時間帯
毎に，両市場のマイクロ・プライス系列を使って，売り買い 2 種類のタイムスタンプのデータ
セット TS , TB を生成し，各々より売り方向，買い方向の DS 指標 θ̂ を計算する．得られた，DS高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

119

指標についてプロットや要約統計量を計算して全体的傾向を観察する．ステップ 2 として，ス（銘柄×データ期間）
として構成し，パネル回帰分
テップ 1 で得られた θ̂ を多変量時系列データ
析により，先行遅行時間の日次変動や銘柄固有の変動をコントロールしながら，銘柄に共通な特徴や相違点を抽出し先行遅行要因を探る．
4.

実証分析結果4.1 先行遅行時間推定値の時系列プロットおよび要約統計量
前節の手順に従って，TOPIX100 構成銘柄について，売買方向別に，データ期間内の日
別，時間帯別に DS 指標 θ̂ を計算した．参考までに，図 1 は，2014 年 1 月 14 日におけるみ-JNX（X 2 ）間の相互共起強度関数 A(h) を，h
ずほ FG（8411）について計算された，東証（X 1 ）（= −0.050, . . . , 0.050; 0.001 秒刻み）に対してプロットしたものである．タイムスタンプ・デー（t2）と第 6 時間帯（t6）のケー
タは買い方向 TB のみ使用し，見やすさを確保するため第 2 時間帯
スのみを — 前者は実線で後者は破線で — 表示する．2 本の折れ線グラフとも周辺領域の凹凸の（1 番目とは
他，原点付近に鋭く尖った頂点（群）が見られる．時間帯 2 は最高点が負の領域に，
2 番目の頂点が正の領域に存在する一方，第 6 時間帯はほぼ単鋒が負領域に存高さに差のある）
在していると言ってよい．幾つかのデータセットについて目視した限りにおいては，ここで紹介するものと同様に，原点付近に急峻な鋒が 1 個または若干個集中しているような形状となった．この中で最高点をもたらす h の値が DS 指標である．
TOPIX100 の中でも特に流動性の高い Core30 銘柄について，DS 指標の日次での時系列推（各時間帯毎に得移を調べた．全データ期間 485 営業日毎に，売買方向別，銘柄別に一日内にられた）10 個ある推定値のメジアンを計算して得られた日次時系列プロットを作成した．以下–三井不動産（8306）
では東証を “TSE” と表記する．図 2–4 は，その中の 6 銘柄（三菱 UFJFG）についての，順に，TSE-JNX，TSE-ChiX，JNX-ChiX の市場ペアのものである．実線（8801）
は買い方向，破線は売り方向を示す．さらに，2 本の水平鎖線は下から 0 秒，0.004 秒，2 本の（251 日目），フェーズ 2 導入日（380 日目）
を示す．売買両
垂直点線は左からフェーズ 1 導入日
方向のプロットは重なりが大きく識別が難しい．
（単位は秒），横軸はデータ期間内の日付の通し番号
各図の縦軸は DS による先行遅行推定値（1 月である．各図内には，縦軸 0 秒には水平の実線，東証ティックサイズ変更の実施された日図 1．相互共起強度関数 A(h) の計算例．第 2 時間帯（実線）と第 6 時間帯
（破線）．

120

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

図 2．DS 指標の日次推移（実線は買い方向，破線は売り方向）：三菱 UFJ フィナンシャル（8801）：TSE-JNX. 2 本の水平鎖線は下から 0 秒，0.004
グループ（8306）–三井不動産
秒，2 本の垂直点線は左からフェーズ 1 導入日（251 日目），フェーズ 2 導入日（380 日目）を示す．

14 日，7 月 22 日）に垂直の点線を付している．さらに，図 2 と図 3 においては，0.004 秒の位
置には水平の点線を付している．
両図より，いずれの銘柄とも，4 ミリ秒付近を中心に変動していることが観察される．これは，TSE-JNX，TSE-ChiX のペアにおいて，東証が PTS に対しておおよそ 4 ミリ秒先行していたことを示している．また，林（2015, 2016）で報告したのと同様に，フェーズ 1 以前（–2014
年 1 月 10 日），フェーズ 1 適用期間（2014 年 1 月 14 日–7 月 18 日），フェーズ 2 適用期間
（7 月22 日–12 月 30 日）と，変動の様子に変化の見られることが確認される．
の変動の大きさは他銘柄と比べて圧倒的に大きい．特に，フェー
さらに，みずほ FG（8411）
ズ 2 導入以前においては，推定値が負の値を取る日が頻繁に観測される．これは，データ期間
中 100 円台で推移していたみずほ FG 株のティックサイズが，フェーズ 2 が実施される前まで

高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

121

図 3．DS 指標の日次推移（実線は買い方向，破線は売り方向）：三菱 UFJ フィナンシャルグ（8801）：TSE-ChiX. 2 本の水平鎖線は下から 0 秒，0.004
ループ（8306）–三井不動産
秒，2 本の垂直点線は左からフェーズ 1 導入日（251 日目），フェーズ 2 導入日（380 日目）を示す．

1 円に設定されていたことに呼応している．
一方，図 4 の JNX-ChiX の組み合せにおいては，より小さな変動幅で，おおよそ 0.000 秒（水平実線）の周りを変動している．さらに，よく見ると，フェーズ 1 ないしはフェーズ 2 開始後に変動の中心が 0.000 秒から，−0.001 秒へ変化していることも分かる．すなわち，東証のティッ
クサイズ縮小により，ChiX は JNX よりも値動きが速くなったことを表している．
表 2–4 に，スペース節約のため Core30 構成銘柄に限定して，時間帯や売買方向性の区別をせずに，各銘柄について先行遅行推定値のデータ期間内平均と標準偏差を計算した結果を示す．
フェーズ 1 期間は過渡期のためか結果は必ずしも安定していない．銘柄間の相違はあるが，TSE ティックサイズ変更前後（フェーズ 1 導入前とフェーズ 2 導入以降）を比較すると，上の結果は大雑把に次のように要約できる．

統計数理

122

第 65 巻 第 1 号 2017

図 4．DS 指標の日次推移（実線は買い方向，破線は売り方向）：三菱 UFJ フィナンシャルグ（8801）：JNX-ChiX. 2 本の水平鎖線は下から 0 秒，0.004
ループ（8306）–三井不動産
秒，2 本の垂直点線は左からフェーズ 1 導入日（251 日目），フェーズ 2 導入日（380 日目）を示す．

• TSE-JNX，TSE-ChiX においては，TSE が PTS 二市場に対して，おおよそ 4 ミリ秒先行している．
• TSE のティックサイズ変更により，特に TSE-JNX において，TSE の先行度合いが増した．
• JNX-ChiX においては，先行遅行時間の差は 1 ミリ秒未満（計測限界以下）である．
• TSE のティックサイズ変更により，JNX-ChiX は JNX の先行から ChiX の先行へと変化した．
で示した HRY 指標の計測結果とおおむね整合的である．東証
これらは，筆者が先に林（2016）
が国内市場シェアの 9 割超を占める中，おそらく全ての市場参加者が東証の値動きを見ながら行動しているであろうことから，東証が PTS 二市場に先行するという今回の結果は自然であ高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

123

表 2．DS 指標の要約統計量（Core30 構成銘柄別，単位：秒）：TSE-JNX.

る．一方，今回計測された市場間の全般的な時間差（東証対 PTS は 4 ミリ秒差，PTS 間は 0 ミ
リ秒差）は何か物理的な大きさを表しているのだろうか．
Dobrev and Schaumburg（2015）において，実証分析の事例として米国 10 年国債現物とS&P500 指数先物
（E-Mini）
は，約 5 ミリ秒後者が前者に対して先行していると報告している．
の，後者は CME（Illinois 州 Aurora）のデータであ前者は BrokerTech（New Jersey 州 Secaucus）
る．光速で 4.7 ミリ秒かかる距離（理論的な下限値）であり，彼らの計測値がそれに近いことを示している．一方，国内 3 市場のマッチング・エンジンは，所在地はセキュリティ上公開されてないが，地理的に互いに近い場所に設置されており，広大な国土を有する米国市場とは状況は異なる．よって恐らく，ブローカーが TSE のマッチング・エンジンより出入するのに経由せねばならない東証のネットワーク（arrownet）に起因する遅延が主要因ではないかと筆者は考える．一方，PTS 二市場間にはそのようなネットワーク上の制約がない．また，東証に届く多

124

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

表 3．DS 指標の要約統計量（Core30 構成銘柄別，単位：秒）：TSE-ChiX.

種・大量の注文を処理する際に発生する待ち行列の処理時間も遅延要因になっているかもしれない．
次に，表 5 は，TOPIX100 の個別銘柄毎に（時間帯区別なく）計算されたデータ期間内平均値（単位ミリ秒）．
を使って，さらに 100 銘柄全体の平均値と標準偏差を計算したものである
さらに，売買方向の相違による先行遅行推定時間の差異を，1 日内での時間帯別に調べる．
図 5 は，売買方向別に，各時間帯毎に，DS 指標推定値の全平均（各銘柄の期間内平均の，全銘柄
平均）をプロットしたものである．同図内は，上から順に，TSE-JNX，TSE-ChiX，JNX-ChiX，買い方向は左列，売り方向は右列に配置されている．各プロット内で，3 つのデータ期間の平（“prd1”），破線がフェーズ 1 導入期間中均値を重ねて表示している．点線がフェーズ 1 導入前（“prd3”）である．
（“prd2”），実線がフェーズ 2 導入後同図から読み取ることのできる全体的な傾向は次の通りである．

高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

表 4．DS 指標の要約統計量（Core30 構成銘柄別，単位：秒）：JNX-ChiX.

表 5．DS 指標の要約統計量（TOPIX100 構成銘柄全体の要約，単位：ミリ秒）．

125

126

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

図 5．個別銘柄 DS 指標の，各時間帯（横軸）におけるデータ期間内の銘柄全体平均値（縦軸）（TOPIX100 銘柄）：TSE-JNX（上段），TSE-ChiX（中段），JNX-ChiX（下段）．買い
方向（左列），売り方向（右列）．

高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

127• フェーズ 1 導入前は，売買方向間の非対称性が大きい．特に，売り方向は買い方向に比べて先行度合いがマイナス方向に位置していた．
• フェーズ 2 導入後は，先行度合いの売買方向差は縮小し，ほぼ類似の 1 日内推移パターンを示すようになった．
また，• TSE-JNX では，TSE のティックサイズ変更後，TSE の先行度合いが，特に売り方向側で大幅に増加した．
• TSE-ChiX では，TSE のティックサイズ変更後，TSE の先行度合いが，特に買い方向側で．
減少した（または，ChiX の遅行度合いが，買い方向側で減少した）• JNX-ChiX では，TSE のティックサイズ変更後，買い方向では ChiX が遅行から先行に変化し，売り方向では ChiX の先行度合いが増加した．
さらに，一日内推移を見ると，• 売り方向では “U 字型” が見られる（寄付後と大引け前において，TSE-PTS 間は TSE の先行度大，JNX-ChiX 間は両者の差小）．フェーズ 1 導入以前は時間帯による差異がより顕著だった．
• 買い方向は，売り方向ほど顕著ではない．フェーズ 1 導入以前は，上下しながら右肩下が（または逆 J 字）型” を示していた（3 つのペアとも，大引けにかけて先行市場
りの “逆 U 字
側の先行度縮小）．一方，フェーズ 2 以降は，TSE-PTS 間において右肩上がり，すなわち，大引けに向かいむしろ TSE の先行度が増加する様子が見られる．
確認のため，売買方向の違いによる先行度合いの相違に関して，市場ペア別/データ期間別/時（ペア検定）を行ったところ（全部で間帯別に，平均値の差に関する Wilcoxon 符号順位和検定
3 × 3 × 10 = 90 通り），有意に差が見られるケースが随所に見られた（ここでは省略）．
なお，図 2–4 でも現れたような，稀に発生する極端な値（外れ値）が平均値に大きな影響を与えている可能性がある．実際，平均値の代わりにメジアンを使ったプロットではここで観察されたような時間帯推移は殆ど見られなかった．一方，ロットサイズの大きな注文の執行には時間がかかるはずで，そのような先行遅行時間が適切に反映された数値の評価も意義がある．このような極端な値を考慮したきめ細かい分析は今後の課題であるが，東証のフェーズ 2 導入によって，先行遅行時間に関する売買の方向性間の非対称性は大きく減少したとは言えそうだ．
4.2 回帰分析
変数とモデル
前節では DS 指標による市場ペア間の先行遅行時間の推定結果について報告した．DS 指標
はジャンプやマイクロストラクチャ・ノイズを除去しないプレーンな HRY 指標に比べて安定した計測結果を与えることが確認された．
本節では，DS 指標を被説明変数，各銘柄の取引に関する市場観測量を説明変数とする回帰分析を行うことで，市場ペア間での価格形成の先行遅行関係の要因を調べることにする．その際，銘柄固有の要因や日次の要因による影響は除去して考える．
銘柄のカバレッジとして，上記 Core30 銘柄を包含する TOPIX100 構成銘柄（2013 年末）を用いる．これらは，全て 2014 年の東証ティックサイズ変更の対象である．
先に，データ期間内中央値に集約した先行遅行関係において 1 日内変化が見られたことか
ら，ここでも，東証の立会時間全 5 時間を 30 分毎に 10 個の時間帯に分割したデータセットを

128

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017用いる．と買い方向（“B”）での先行遅行推定時間の差が見られる
また，上述のように，売り方向（“S”）
ことから，2 つの DS 指標データセットを縦方向に並べ，相場の方向性を識別する 2 水準の固定因子を導入する．
パネルデータ分析のためのアプローチとして，銘柄固有の要因や日次要因に起因する DS
指標間の相関の影響可能性を考慮するために，林（2015, 2016）と同様に線形混合効果モデルを用いることにする．
（linear mixed eﬀects model）（i = 1, . . . , 100）
，第 j 日（j = 1, . . . , 489）
，第 t 時間帯（t = 1, . . . , 10）
被説明変数として，第 i 銘柄
における DS 指標を使用し，yijt と書く．yijt > 0 は，市場 X 1 が市場 X 2 に先行することを，yijt < 0 は逆を示す．今回の報告では，東証の開場閉場前後の “非定常” な変動を除くため，全10 個のうち，前場後場の寄付後 30 分および引け前 30 分の時間帯を除去し，それ以外の 6 個の時間帯のデータのみを使用する（t = 2, 3, 4, 7, 8, 9）．従って，B または S の一方向のデータを
パネルデータとして，全期間分を行方向に時間，列方向に銘柄を（仮想的に）
配置すると，行数2934（= 1 日 6 時間帯 × 489 営業日）
×列数 100 の大きさを持つ行列データとなる．
説明変数については，ボラティリティや約定件数など個別銘柄の市場特徴量を，データ
期間内の各日において，ペアを組む 2 つの市場について計算し固定効果として与える．林（2015, 2016）で報告したように，2014 年の東証ティックサイズ変更は対象群である TOPIX100
銘柄を中心に個別銘柄の挙動に大きな変化をもたらしたことから，図 5 と同様に，データセッ（II）期間 2：フェーズ 1
トを（I）期間 1：フェーズ 1 適用前（20130104–20140110，250 営業日），
適用後フェーズ 2 適用前（20140114–20140722，129 営業日），（III）期間 3：フェーズ 2 適用後の 3 つの期間に分割して分析を行う．
（20140722–20141230，110 営業日）
質的説明変数（固定因子）としては，1 日内時間変化を捉えるための 6 水準因子，売買の方向性を示す 2 水準因子を加える．さらに，日次効果を表す変数と，銘柄間の違いを表現するため
銘柄固有要因を表す変数の 2 変数を変量効果（random eﬀect）として導入することにする．
量的説明変数としては，各個別銘柄の最良気配値，最良気配枚数，最良気配更新時刻のタイ
ムスタンプ，約定価格，約定枚数，約定時刻のタイムスタンプから計算される，市場のクオリ
ティや流動性を表すと考えられる代表的な指標を選ぶ．次に説明するように，2 種類の量的変数のグループを導入する．
グループ 1 として，林（2015, 2016）と同様に，今回の分析では，市場間の先行遅行時間は二つの市場間の相対的な特徴の差異によって生成されると見る立場から，両市場の特徴量の対数比を取ることで新たな変数を定義する．例えば，第 i 銘柄，第 j 日の第 t 時間帯における二つの12
1
2, RVijt
であれば，RV rijt = ln（RVijt/RVijt）
市場 X 1 , X 2 における実現ボラティリティが RVijt
1と言った具合である．すなわち，RV rijt > 0（< 0）であれば，市場 X で計測された実現ボラ
ことを示す．なお，グループ 1 の変数
ティリティが，市場 X 2 よりも大きかった（小さかった）
群は対数比を取っていることから，かりに市場ペア X 1 と X 2 の役割を入れ替えて変数を作り回帰を行っても，結果は変わらない．
一方，このような市場ペア間の相対的な特徴量以外の，その時点におけるマクロ的な，市場全体の要因が先行遅行時間に影響を与えていることも想定される．そこで，それらをコントロールするために，グループ 2 として各銘柄の 3 市場横断的な相場状況を表す指標を導入する．
本稿では，これら全ての量的変数に対し，期間毎，銘柄毎に標準化を行ったものを報告する．
これは，期間毎，銘柄毎に各変数の中心の値やバラツキの大きさに差異が見られたことに対する措置であるが，異なる標準化処理を施したものは，ここでの報告とは異なる回帰分析結果となっており，異なる結果の解釈が必要となる．ここでの中心化の処理により，y-切片の値の解
釈は，全ての共変量の値が同時にゼロとなるような仮想の銘柄に対するベースライン効果（第高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

129

2 時間帯，買い方向）を秒単位で示したものである（共変量の値がゼロとなるとは，グループ 1の量的変数群においては，市場 1 と市場 2 の観測量の比が，グループ 2 の量的変数群においては，3 市場全体あるいは東証の観測量が，各々の平均値に等しい）．この時，各固定因子の効果
9)はベースラインからの変化量として捉えることができる．
分析の実行には，統計パッケージ R のパッケージ ‘lme4’ 内にある関数 lmer() を使用した．
複数の候補変数群の中から，変数間の相関係数の大きさ，回帰係数の有意性や AIC の値を確認しつつ，さらに解釈容易性も勘案しながら，モデル選択，変数選択を行った．その結果，次の10)モデルを選択し，パラメータの推定を行った．
(4.1)

y ∼ (1|Code) + (1|Y md) +random ef f ectsT6−level f actor

+

Dir


2−level f actor∗ (RV r + N Qr + LT Sr + SP Rr + QBr + QAr + RV ag + RET ts + T V ag )covariates

ここで，RV r, . . . , T V ag は固定効果（ﬁxed eﬀects），Code は個別銘柄効果，Y md は日次効果である．但し，RV r は，各市場の仲値より計算される実であり共に変量効果（random eﬀects）
現ボラティリティの（市場ペア間の）対数比，N Qr は最良気配更新数（ミリ秒単位に集約後）の（約定枚数÷約定回数）の対数比，SP Rr はスプレッド率（ビッ
対数比，LT Sr は平均約定枚数（売気配）の数量（“デプド・アスク・スプレッド÷仲値）の対数比，QBr（QAr）は，最良買気配ス”）の対数比である．これらはグループ 1 の量的変数群である．
として，また，市場ペア間の相対比を取らない各個別銘柄の量的変数（グループ 2 の変数群）
RV ag は 3 市場を一つの市場と見た場合の最良売買気配値（買いサイドは 3 市場の最良買気配
値の最大値，売りサイドは最良売気配値の最小値）
間の仲値より計算された実現ボラティリ
ティ，RET ts は東証仲値の各時間帯始値と終値を使って計算される対数収益率，T V ag は 3 市
場全体の約定枚数合計の対数値である．11) なお，スプレッド率比（SP Rr）および 2 つのデプスについては，対数比を取るのに使用した各市場でのスプレッドやデプスの値は，
比（QBr, QAr）
12)
当該時間帯内における時間加重平均値（次の気配更新までの経過時間がウェイト）である．
T は時間帯を表す 6 水準固定因子（T = 2, 3, 4, 7, 8, 9. 例えば，水準 2 は，第 2 時間帯（9 時（Dir = B, S）である．さらに，相場
半–10 時））である．Dir は売買の方向性を示す 2 水準因子の方向性による回帰係数の違いの有無を捉えるため，Dir と各共変量の交互作用項（interaction
13)もモデルに加えた．その他の交互作用項はモデル構築の段階で除去した．
terms）
分析結果，表 7 は，回帰分析の結果は，表 6–8 に記載する．表 6 は，データ期間 1（20130104–20140110）（20140114–20140720），表 8 はデータ期間 3（20140722–20141230）の推定結果であ
データ期間 2
る．得られた幾つかの特徴的な観察結果について言及したい．全般に，3 市場ペア，TSE-JNX（左列），TSE-ChiX（中央列），JNX-ChiX（右列）に共通する幾つかのパターンが見られる．但し，林（2015, 2016）でも指摘したように，PTS 同士である JNX-ChiX ペアにおける推定結果
は，他の市場ペアとはやや乖離している．また，例えば，データ期間 3 における TSE-JNX の共変量の回帰係数の値は，前 2 期間に比べ桁が一つ小さくなっているなど，同じ市場ペアであってもデータ期間の相違による変化も認められる．
先述のように，y-切片の値は，全ての共変量の値が同時にゼロとなるような仮想銘柄に関（T = 2）」
かつ「買い方向（Dir = B）」）のデータ群に対する先する，ベースライン（「第 2 時間帯
は，「売り方向（Dir = S）」の固定因子効果（y-切片の行遅行時間を示している．表内の「DirS 」
「t9」–は第 3 時間帯（T = 3）から第 9 時間帯（T = 9）」までの各固定因子効果の大変化値），「t3」

130

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

表 6．回帰分析結果：期間 1（20130104–20140110）．

きさ（ベースラインとの差）を示している．時間効果については，期間 1，期間 2 においては，
TSE-JNX，TSE-ChiX ともに，後場の時間経過（T = 7, 8, 9）と共に，推定値（ベースラインとの差）が正に拡大し，かつ有意性も高まる．TSE の PTS に対する先行度合いが第 2 時間帯と比べて高まることを示している．一方，データ期間 3 においては，TSE-JNX はデータ期間 1，2 に見られるパターンを維持したが，TSE-ChiX では消滅した．期間 3 において，ChiX の市場参加者の行動，すなわち注文板形成が大きく変化した可能性がある．売買方向性に関しては，有（Dir = S）の場合が，買いの場合に比べて意なケースは期間 3 の TSE-JNX のみであった（売り高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

131

表 7．回帰分析結果：期間 2（20140114–20140720）．

TSE の対 JNX 先行度が微かながら（0.05 ミリ秒）
大きい）
．但し，他のデータ期間や他の組み合
せでは有意な結果が得られている訳ではなく，解釈やモデルの改良も含め追加の調査検証が必要である．
共変量に対する推定結果は，ベースライン（特に，買いサイド）のデータ群についてのものである．細部に差異はあるものの，データ期間の違いによらず，概ね回帰係数の符号や大きさ，t値の大きさに類似性が見られる．特にデータ期間 1 とデータ期間 2 の類似性は高く，データ期
間 3 はこれらとは若干の乖離が認められる．

132

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

表 8．回帰分析結果：期間 3（20140722–20141230）．

回帰係数の絶対値が大きい（すなわち被説明変数への影響度の大きい），あるいは，有意性の高い変数としてまず主効果の中から幾つか挙げてみよう．まず，実現ボラティリティ比（RV r）
は，いずれの期間，いずれの市場ペアの組み合せ（全 9 通り）においても，有意に正である．すなわち，一方の市場でのボラティリティが相対的に高まる状況では，その市場の板形成の速さ（価格変化スピード）がもう一つの市場に対して相対的に高まることを示唆している．例えば，-ChiX（市場 X 2 ）のペアのケースにおいて，RV r の値が +1σ だけ平均
期間 1，TSE（市場 X 1 ）（1 ミリ秒），X 1 の X 2 に対する先行時間が増す（または，遅行
値より大きくなると，+0.001 秒

高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

133

表 9．売買の方向（Dir = B, S）別，東証リターン（RET ts）と被説明変数 y の変化の関係．

時間が減る）．上述のように，市場ペア X 1 と X 2 の役割を入れ替えても解釈は変わらない．
ところで，今回は，実現ボラティリティに関する変数として，RV r と RV ag の 2 つの変数を採用した．もし実現ボラティリティが潜在的な企業価値変化の大きさを表す量（の推定値）であるとの立場にたてば，市場に依らない共通の値（後者）のみの採用が適切であろう．14) しかしながら，今回の分析では，注文板形成の背後にある注文フローの先行遅行関係に興味があり，マイクロストラクチャ・プロセス自体が重要である．よって，筆者による先の分析（林, 2015, 2016）と同様に，市場間の実現ボラティリティの比 RV r を変数に加えるのは適切であると考える．
実際，今回の分析でも RV r は先行遅行時間に対して有意に影響していることが示された．
も，全てのケースにおいて，正に有意であり，かつ，影響度の大き
アスク側デプス比（QAr）
さは RV r と同程度である．一方，ビッド側デプス比（QBr）の符号や有意性は組み合せによって安定していない．相対的にアスク側，すなわち売り希望の指値注文量（デプス）が多い方が先
行度合いが高い（遅行度合いが低い）と言える．
1 取引当り約定枚数（ロットサイズ）比（LT Sr）は，1 つの組み合せ（期間 3，TSE-JNX）を除き，いずれも負に有意である．即時執行取引の注文サイズが相対的に大きい方が先行度合いが低い（遅行度合いが高い）ことを示す．影響度の大きさは RV r の 1/3–1/7 程度である．
は，1 ケースを除き，負に有意である．スプレッドが相対的に広い方
スプレッド率比（SP Rr）
が先行度合いが低い（遅行度合いが高い）ことを示す．インパクトの大きさは RV r と同程度である．
グループ 2 の変数は，X 1 と X 2 の指定順序に係数が依存する変数であり解釈に留意が必要
であるが，9 ケースを通じて，係数の符号や大きさが安定しているとは言い難い．データ期（T V r）の係数が有意に負で間 1，2，TSE-JNX，TSE-ChiX において，3 市場全体の約定枚数ある．実質的に，東証の約定枚数が大きい状況では，TSE の先行度合いが減少すること（すなわち，PTS の価格形成が通常に比べて早まる）を示していると思われる．時間帯内の東証リは，有意なのは TSE-ChiX の 3 ケースのみであるが，全てのケースにおいてターン（RET ts）
負の係数を持つ．すなわち，買い方向（ベースライン）に関しては，TSE の上昇率が高いほど，
TSE-JNX，TSE-ChiX 間では PTS 側の，他方 JNX-ChiX 間では ChiX 側の先行度合いが増す（または，遅行度合いが減る）
傾向を示していると考えられる．
と共変量間の交互作用項であるが，主効果に比べ，安定的なパター
次に，相場方向性（Dir）（“B”）と売り方向（“S”）の値の差が小さいた
ンは見い出せない．そもそも DS 指標の，買い方向の違いが回帰係数の変化に現れにくかったのかもしれない．全般に，めに，売買方向性（Dir）
主効果に（売買方向性との）交互作用効果を加えて得られる売りサイドの係数の解釈は，買いサ
イドのものと同様と言える．
唯一特筆すべき共通パターンとして，東証リターン（RET ts）との交互作用項は 9 ケースともである．交互作用の絶対値の大きさを考慮すると，売り方向の RET ts
正（内 6 ケースで有意）の回帰係数（主効果）は，1 ケース（JNX-ChiX，期間 3）を除き全て正に反転することが確認される．先の買い方向の結果と合わせると，表 9 のようにまとめられる．
（相場上昇時間帯の買い方向，相場下落時間帯の売り方向）
では，X 1
すなわち，“順張り” 方向の先行度合い減（または遅行度合い増）の，“逆張り” 方向（相場上昇時間帯の売り方向，相場下

134

統計数理

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落時間帯の買い方向）では，X 1 の先行度合い増（または遅行度合い減）の，ある意味対称な現象が観察される．相対的に注文板の薄い PTS 市場においては，よりマーケット・メーキングを行う HFT の注文の割合が高く，よって，相場の方向性に対するマイクロ・プライスの感応度が高いことを表しているのかもしれない．
その他の有意な交互作用効果も含め，解釈は今後の課題である．
と係数の符号が異なるものも含まれる．例えば，林（2016）
で以上の結果は，林（2015, 2016）はスプレッド率比の回帰係数が正であった．同論文では留意点として，“一般に流動性の高い市場はスプレッド率が低いことが期待される．本分析で扱っている市場間の先行遅行度と相対的流動性の関係は明白でないものの，Spr の符号は負であるべきとの見方も可能であろう” と述べた．
もとよりモデルが違うのであり回帰係数の符号が異なること自体は不自然ではない．そもそも，被説明変数は先の報告では異なる方法が採用されていた．先の報告で採用した Hoﬀmann（ジャンプ）に影響されet al.（2013）の方法論によって計算される HRY 指標は大きな価格変動においては，HRY 指標を計測するやすいことが分かっている．しかしながら，林（2015, 2016）
ために計算したマイクロ・プライス系列に対して，ジャンプを除去する処理は行っていなかった．DS 指標においても，データ前処理方法に対する依存性は依然として課題ではあるが，その影響は HRY 指標よりも小さいと思われる．
いずれにせよ，今回の分析における変数選択は最終的なものではない．例えば，他変数との相関性等を考慮して採用しなかったが，市場間の “ティックサイズ対仲値比” や “出来高比” は，
15)
結果の解釈に有用な変数とも考えられる．
本論文の結果に関する検証作業や，分析方法の見直し・改善作業は，今後とも継続的に行う必要がある．
今後の課題
現実には，一方の市場での価格形成が他方よりも常に先行していると言った単純な図式ではなく，2 つの市場のそれぞれにおいて他方に先行するような変動要因を持っていると想定される．このような “マルチラグ・モデル” は加藤 他（2011）において HRY の枠組みの拡張として検討された．筆者は，目下，ウェーブレット分析を応用した，異なる時間解像度に同時に存在．
する複数の先行遅行時間を同時推定する新たな手法を開発中である（Hayashi and Koike, 2016）
今回の分析結果を実際の市場参加者の行動と関連付ける作業は残されている．今後既存のファイナンス/マイクロストラクチャ分野の先行研究との関連性についても調査せねばならない．特に，今回，売買注文の方向性による先行遅行時間の非対称性が観察された．売買注文の，市場の効率性
偏りは，市場の価格発見機能，情報トレーダーとノイズトレーダーの割合（PIN）
やクオリティ等に関わる重要な概念であり，注文板上の注文枚数の不均衡（quote imbalance），
等の数量を用いた理論研究や実証研究が盛んに行われている
約定の不均衡（trade imbalance）（例，Chung and Hrazdil, 2010; Chen et al., 2013; Lipton et al., 2013; Bechler and Ludkovski,2014）．今回の観察は，これらの分野における本研究で採用した手法の適用可能性を示していると考えられる．
今回の分析では，マイクロ・プライスの更新時間から作られるタイムスタンプ・データを使って先行遅行時間を推定した．一方，筆者の行った予備分析では，約定時点のみから成るタイムスタンプ・データを使って計算された先行遅行時間は，今回のものとは大きく異なるものとなった．これについては目下分析作業中であり，別の機会に報告することとしたい．
実務への応用も研究上の課題である．

高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

5.

135

結言

本研究は，東京証券取引所（主市場）と 2 つの私設証券取引所–チャイエックス（ChiX），ジャ–の 3 市場にて同時に取引されている国内株式について，
パンネクスト PTS（Japannext PTS）
注文板形成の先行遅行関係の存在やその大きさを実証分析した．
まず，各市場の注文板データを使ってマイクロ・プライス系列を生成し，Dobrev and Schaumによる先行遅行関係推定法の改良版を用いて，銘柄別時間帯別に先行遅行時間を推
burg（2015）
定し，時系列プロットを作成すると共に，要約統計量を計算した．次に，個々に計測された先行遅行時間を多変量時系列データ（銘柄×データ期間）
として構成し，パネル回帰分析を行い，個別銘柄要因や日次要因を除去しながら，銘柄に共通な特徴や相違点を抽出し先行遅行要因を探った．分析対象銘柄は，東京証券取引所において時価総額および流動性の高い 100 銘柄から成る TOPIX100 構成銘柄，分析期間は 2013 年 1 月 4 日〜2014 年 12 月 30 日の 489 日間，使用データの時間解像度はミリ秒単位である．
主な実証的発見として，平均的には，銘柄や時間帯による違いはあるものの，3 市場間の先行遅行関係として，全般に東証は PTS 二市場に 4 ミリ秒程度前後の大きさで先行する傾向が見られた．2014 年の東証における二度のティックサイズ変更は，特に東証–JNX において東証の先行度合いを若干高めた．また JNX-ChiX 間では JNX の先行から ChiX の先行へと平均で1 ミリ秒未満だが先行遅行関係が変化した．
パネル回帰分析により，先行遅行関係を説明する要因として，ボラティリティ比やアスク側のデプス比が有意に正の係数，スプレッド率比が有意に負な係数を持つ等の結果が得られた．
これらは，今回の回帰分析の結果は先に林（2015, 2016）で報告したものとは必ずしも整合的ではなかった．JNX-ChiX ペアは他の市場ペアから，東証ティックサイズ変更フェーズ II 以降
は，それまでの期間から乖離した特徴を示した．
（データ期間 3）
課題点として，データ前処理方法に対する分析結果の頑強性の問題が挙げられる．適切なデータ前処理方法や分析方法について検証・検討を重ねる必要がある．採用した先行遅行推定に関する統計的方法論は提唱されて日が浅く理論的に未整備な状況にある．今回の分析結果は報告としてはあくまで暫定的なものに過ぎず，今後検証が必要である．本報告の知見を深化・発展させるためには，分析手法の改良や代替的手法の開発が必要である．
今回得られた結果は特定の期間，特定の銘柄群を分析して得られた暫定的なものに過ぎないことから，他の期間や銘柄データを用いた実証分析が行われねばならない．得られた結果をマイクロストラクチャ研究と関連付ける作業も推し進めねばならない．
先述の通り，図 2–3 において，みずほ FG（8411）がフェーズ 2 導入以前に PTS が TSE に先行する状況が観察されたように，取引ルールその他のマイクロストラクチャ要因が，異市場・同一銘柄間の先行遅行時間の決定に重要な役割を果たしているのは明らかである．Renò
（2003）は，高頻度データの実証的特徴（stylized facts）の一つである “Epps 効果”16) を説明する
要因として，証券価格間の非同期性に加えて先行遅行関係を挙げている．今後さらに売買の高速化，市場データの高頻度化，データ量の増大化が進む中，推定方法に改良を重ねることで証券間の先行遅行時間がより正確に推定できるようになれば，高頻度データより計算される先行
遅行時間推定値の大きさやその時間変動が，高速化の進む今日の注文板市場のマイクロストラ
クチャ効果の評価に活用できるようになることも期待される．
注．
1)

現時点において本研究における計測・分析対象である（“マイクロ・プライス” をベースにした）注文板形成の先行度合いと市場 “クオリティ” の関連性は明確ではない．計測値の

136

統計数理

第 65 巻 第 1 号 2017

精度の検証も残されている中，今回の先行遅行度合いに関する分析結果が市場間の優劣を直接示唆するものではないことに注意されたい．
2)
本稿執筆時点（2017 年 1 月）の市場規模として 2017 年 1 月 10–13 日（4 営業日）の実績を見ると，週間売買代金は東証 11 兆 433 億円，JNX2570 億円，ChiX1353 億円，一方，取引件数は東証 816 万件，JNX150 万件，ChiX は 40 万件である．地方三市場（名証，札証，
福証）
も含めた国内売買代金シェアでは，東証 96.5%，JNX2.3%，ChiX1.2% である．（出所：http://fragmentation.ﬁdessa.com/jp/）．
3)
東証作成リーフレット（2013 年 12 月 1 日付）より．
4)
http://www.jpx.co.jp/markets/indices/line-up/index.html.
5)2013 年 10 月末の入れ替えでは，富士重工（7270）が入り，ヤマダ電機（9831）が外れ，2014
年 10 月末には，楽天（4755），マツダ（7261）が入り，旭硝子（5201），ニコン（7731）が外れた．
6)
鮮度劣化した気配値（stale quote）とは，最新の情報を反映していない，更新されずに注文板に残っている（発注されてから時間の経過した）
古い気配値を指す．参考文献としては，を参照．
例えば，Budish et al.（2015）7)
なお，セミマルチンゲールの枠組ではないが，非同期観測された 2 つの高頻度時系列
データ間の相互相関係数を計測し，先行遅行関係を調べた先駆的研究として de Jong andNijman（1997）がある．
8)
フィルターを厳しく設定すると，分析に使用可能な気配レコードが減少することになるが，逆に緩過ぎると市場実勢から乖離したレコードが分析対象に含まれることになる．
データ前処理の方法が分析結果に影響を与えることから，より適正な方法については今後検討の余地がある．
9)
分母や分子の値にゼロが入ることで対数比が発散したり不定となった説明変数を持つレ（8411）は 2014 年のティックサ
コードは，パネル回帰から除去した．例えば，みずほ FG
イズ変更以前は，東証において取引は活発だったものの，最良気配数量が極めて多く（板が厚く）
仲値の変化が乏しい日が多く，仲値ベースの実現ボラティリティの値がゼロとなるケースが多発した．
10)
ここでは，R にならい，例えば被説明変数 y の説明変数 x と z に対する回帰モデルをy ∼ x + z と表現する．また，x と y の主効果に加えて，x と z との交互作用項を変数に加えたモデルを y ∼ x ∗ z または y ∼ x + z + x : z と表現する．ここで，x : z が交互作用項である．表記上は質的変数と量的変数は区別しない．さらに，今回使用した lmer() にな
らい，変量効果項 r が加わった混合モデルは，y ∼ x ∗ z + (1|r) 等と表現する．詳しくは，
R やパッケージ ‘lme4’ のマニュアルを参照されたい．
11)
もとより，東証の出来高シェアは日経平均採用銘柄を中心に概ね全体の 9 割を超えているともされていることから，T V ag の値は東証の約定枚数に置き換えても以下の結果は本質的に変わらないと思われる．
12)
各変数の入力となる市場観測量として，3.4 で述べたデータ加工処理後の計測量を使用した．
13)
例えば，Dir と T との交互作用項はモデルに加えた方が図 5 とは整合的であろう．今後の課題としたい．
14)
匿名レフリーからコメントを頂戴した．林（2016）, p.148 も参照せよ．
15)
匿名レフリーから指摘を頂戴した．
16)
Epps（1979）
により報告された，高頻度の証券リターン間の相関係数の絶対値の大きさが，リターン計測間隔を小さくするにつれ，低減していく現象．

高頻度注文板データの統計解析：異市場・同一株式価格間の先行遅行関係

謝

137

辞

本研究遂行にあたり，Dobrislav Dobrev 氏および Ernst Schaumburg 氏より，未刊行のワー
キングペーパーを送付して頂いた．吉田朋広教授（東京大学），小池祐太氏（首都大学東京），
Frédéric Abergel 教授（CentraleSupelec），Marc Hoﬀmann 教授（Université Paris IV），Jean Jacod
教授（同），Mathieu Rosenbaum 教授（同）より貴重なコメントを頂いた．匿名の二名のレフェリーには原稿を丁寧に読んで頂き，有益なコメントを多数頂いた．株式会社日本取引所グルー
プ，チャイエックス・ジャパン株式会社，SBI ジャパンネクスト証券株式会社よりデータをご，課題番号：16K03601，研究提供頂いた．本研究は，日本学術振興会科学研究費（基盤研究（c）
CREST プロジェクト『先端的確率統計学
代表者：林 高樹），ならびに科学技術振興機構（JST）
が開く大規模従属性モデリング』（研究代表者：吉田朋広）
による研究成果の一部である．ここに謝意を表します．当然ながら，論文中に含まれる誤りは全て筆者に帰属します．

参

考

文

献

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統計数理

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Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 113–139 (2017)

139

Statistical Analysis of High-frequency Limit-order Book Data:
On Cross-market, Single-asset Lead-lag Relationships
in the Japanese Stock Market
Takaki Hayashi1,2,3
1 Graduate School of Business Administration, Keio University

2 Graduate School of Social Sciences, Tokyo Metropolitan University
3 JST-CREST

We are concerned with very short-term, lead-lag relationships between market prices
of identical stocks traded concurrently on multiple trading venues in Japan, speciﬁcallythe Tokyo Stock Exchange and two Proprietary Trading Systems, namely Japannext PTS
and Chi-X Japan. In this paper, we conduct an empirical analysis with a modiﬁed versionof the methodology recently proposed by Dobrev and Schaumburg (2015). This methodology focuses on the arrival times of the “events” for the paired point processes. Thatis, it utilizes (irregularly-spaced) timestamp records of the trading activities alone, andhence is not (directly) inﬂuenced by “microstructure noise” pertaining to the behavior of
the observed, “ineﬃcient” prices. As in our previous work (Hayashi, 2015, 2016) based on
the methodology by Hoﬀmann et al. (2013), we empirically measure the magnitudes ofthe lead-lag times using high-frequency, limit-order book data for major Japanese stocks
with milli-second time resolution obtained from the three venues.

Key words: Dobrev and Schaumburg estimator, high-frequency data, high-frequency trading, Hoﬀmann,
Rosenbaum and Yoshida estimator, lead-lag analysis, market microstructure.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 141–154
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［研究ノート］

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔——日本株式による実証分析——吉田 靖†（受付 2016 年 7 月 26 日；改訂 11 月 8 日；採択 11 月 29 日）

要

旨

株式市場の高頻度データの分析において，ジャンプの存在は多くの研究が指摘しており，ジャンプを考慮したボラティリティの推計が課題となっている．解決策の一つとして，切断実現
ボラティリティがあり，本稿では，2014 年 7 月 22 日から 10 月 27 日までの東京証券取引所のTOPIX100 構成銘柄の高頻度データを使用して，切断実現ボラティリティの計測を行った．観
測時間間隔は 5 秒から 1800 秒としている．その結果，大半の株式において，実現ボラティリ
ティに占める切断実現ボラティリティの比率は半分未満であり，株価の変動にはジャンプの影響が大きいことを示す結果となった．しかし，観測時間間隔を短くするに従って切断実現ボラ
ティリティが小さくなる現象も同時に観測され，この要因の一つとしてゼロリターンによる影響を示唆する結果も得られた．さらに，その他の構造的な要因が残されている可能性も大きく，切断実現ボラティリティを正確に計測するための観測時間間隔と閾値の最適な選択には課題があることを指摘した．
キーワード：切断実現ボラティリティ，高頻度データ，ジャンプ拡散過程，観測時間
間隔，マイクロ・プライス，TOPIX100．
1.

はじめに

分析対象の統計モデルにどのような前提をおくかは極めて基本的かつ重要な問題であり，結論にも大きな影響を与える．古くは Bachelier（1900）により証券価格がランダムウォークするとしてオプション価格が導かれたが，ファイナンス分野では暫く顧みられなかった．その後，Osborne（1959）
は金融・証券・為替市場におけるデータを用いて，価格の対数がランダムウォー
クに従っていることを実証し，理論的にも Black and Scholes（1973）および Merton（1973）による Black-Scholes-Merton モデルが拡がった．その後，Merton（1976）により，ジャンプを含んだ確率過程を前提とするオプション価格理論が展開され，ボラティリティ・スマイルと呼ばれる現象の説明に寄与した．このボラティリティ・スマイルは，実際の市場で恒常的に観測される現象であり，市場のオプション価格からインプライド・ボラティリティを算出すると，オプショ
ンの権利行使価格によりボラティリティが異なるという Black-Scholes-Merton モデルでは説明ができない現象である．この現象を観測するには，高頻度データは必ずしも必要ではなく，オ
プション価格決定モデルのボラティリティ以外の変数が同時点で観測できればよく，ジャンプの存在を仮定したオプション価格決定モデルの適用により，現実のオプション価格に対する説†

東京経済大学 経営学部：〒 185–8502 東京都国分寺市南町 1–7–34

142

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

明力が向上することをもって，ジャンプの存在を間接的に示すものである．久田（2003）は，これらのサーベイと日経平均オプション市場に関する実証分析を行っている．
一方で近年は，市場の取引時間中の高頻度データを分析することが可能になり，高頻度デーを算出して，それまでは直接的には計測できなタから実現ボラティリティ（realized volatility）
かった 1 日毎のボラティリティを計測することが可能になった．証券価格のボラティリティはオプション価格との関係のみならず，資産配分やリスク管理において重要な指標であるため，高頻度データの利用を含め，より正確な計測方法の提案と実証研究が多数報告されている．ま「最適執た，高頻度データそのものも研究の対象となり，林（2010）が，「市場リスクの計測」，
行戦略」，「最適トレーディング戦略」，「市場リスクのモニタリング・ポジション管理」，「市場
秩序・機能の維持」，「市場制度，構造，ルールなどの改革の提言」，「市場取引メカニズムの理解・知識発見」などの研究目的を列挙しているように，高頻度データを分析する際の正確なモデリングが重要となってきている．
高頻度データによるボラティリティの推計に関しては，ジャンプの他に，観測値にマーケッ
ト・マイクロストラクチャー・ノイズと呼ばれるノイズを含む場合のボラティリティの推定量の性質も議論されている（Andersen et al., 2003; Zhang et al., 2005; Bandi and Russell, 2006;
Hansen and Lunde, 2006; Bandi and Russell, 2008）．マーケット・マイクロストラクチャー・
ノイズの具体的な発生要因としては，売り気配値と買い気配値の間で約定価格が変動するために起きるビット・アスク・バウンスがあるが，これらの先行研究により，実現ボラティリティに関する推定上の問題点が明らかとなり，それらの検証や解決方法が提案されている．その中で，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズに関しては約定価格よりも仲値を使用することや，観測頻度の調節などにより改善することが示されているが，これらの方法によっても市場の価格変動にジャンプが含まれる結果が報告されている．例えば，Barndorﬀ-Nielsen andは，為替レート市場における 5 分間隔のデータから実現バイパワー・バリエー
Shephard（2006）
ション（realized bipower variation, RBPV）
を算出し，マクロ経済指標の発表などによるジャンプをノンパラメトリック手法により検出している．Andersen et al.（2007）は同様にジャンプの存在を示し，さらにジャンプの成分を分解することがボラティリティの予測を向上することを示している．また日本市場において，増田・森本（2009）は東証株価指数，日本の株式個別銘柄
および円ドルレートなどの 5 分間隔のデータおよび日次の原油価格により RBPV を算出し，Leeによるノンパラメトリック手法を用いて，ジャンプを検出している．以上
and Mykland（2008）
はジャンプの存在あるいは発生時期を検証するものであるが，ジャンプの検出に関しては観測頻度が影響する可能性があり，前述の増田・森本（2009）は先行研究を引用する形で 5 分間隔をは実現ボラティリティ計測に関するモデルおよび実証分析のサーベ採用している．柴田（2008）
イを行う中で，先行研究の観測頻度の選択についても比較し，マイクロストラクチャー・ノイ
ズや日中リターンの自己相関の存在などを指摘しているものの，日経平均株価指数，日経平均先物，東証株価指数の実現ボラティリティの実証分析を行うにあたっては，先行研究を引用する形で 5 分間隔のみを採用している．
は価格変動過程にはブラウン運動とジャンプが含まれるものとして，そ
一方，Mancini（2001）の上でブラウン運動成分のボラティリティを正確に推計するために，ジャンプを取り除いたデー
タに対して実現ボラティリティを計測することを提案している．そこでは，得られたサンプルの 1 件毎に，ブラウン運動によるものとジャンプによるものに分離することはできないため，
閾値を設けて，その閾値より絶対値が大きい変動はジャンプによるものとして除外し，絶対値が閾値内の変動であれば，ブラウン運動によるものとしてブラウン運動部分のボラティリティを計測しようとしている．また Shimizu（2003）も同時期に Mancini（2001）とは独立に閾値を用いる方法を提案している．このような推計方法によるボラティリティを Aı̈t-Sahalia and Jacod

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔

143（2012）は切断実現ボラティリティ（truncated realized volatility）とし，ニューヨークダウ構成銘
柄について検証している．さらに Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）では，計測における観測時間間
隔と閾値の関係を明示的に取り扱い，次章で述べるボラティリティの計測方法を提案している．
は，方法を示しているのみで実証はしていないため，実
しかし，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）
際にこの方法による切断実現ボラティリティの計測を行うことは，今後の価格変動を研究する上の基礎として大きな意義があると考えられる．したがって，本稿では，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）に沿った切断実現ボラティリティの推計に関して日本株式を対象として実証分析を行い，その問題点を検討する．
本稿の構成として，続く第 2 章では，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）に基づいて計測方法を紹介し，第 3 章ではデータについて述べる．第 4 章は計測結果であり，第 5 章においてまとめを述べる．
2.

切断実現ボラティリティの計測方法

本章では切断実現ボラティリティの計測手順を Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）を簡略化して述べる．一部の記述では Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）による表記方法なども用いることとする．
まず Xt を時刻 t(0≤ t ≤ T ) における証券価格の対数値とし，次の（2.1）式のジャンプ拡散過程に従っているとする．
(2.1)

dXt = bt dt + σt dWt + dJt

ここで，第 1 項は単位時間あたり bt で成長するドリフト項，第 2 項は連続的な確率変動であり，σt は t 時点における瞬間的なボラティリティの平方根で，Wt は標準ブラウン運動である．
第 3 項は不連続なジャンプを表している．
（2.1）式の σt について，σt2 = ct とするとこれは t 時点における瞬間的なボラティリティであり，これを（2.2) 式のように積分したものを積分ボラティリティと呼ぶ．
 t
(2.2)
Ct =
cs ds
0

次に，証券価格に関して，観測時間間隔 Δn による第 i 番目の対数差分を（2.3）式で定義する．
(2.3)

Δn
i X = XiΔn − X(i−1)Δnこのとき，全ての Δni X を用いた実現ボラティリティは（2.4）式により定義される．
[t/Δn ]

(2.4)

Ĉ(Δn )t =



2
(Δn
i X)

i=1

ここで [ ] は，この括弧内の実数の整数部分を意味する．
（2.1）式の第 3 項がない場合，すなわち
確率的な変動は連続的なブラウン運動のみによる場合，（2.4）式による推定量は（2.2）式の積分ボ
式の第 3 項のように不連続なジャンプ部分があるとラティリティの一致推定量になるが，（2.1）
きは一致推定量にならないことが示されている．
（2.5）式で定義される切断実現ボラ
この解決方法としては，前述の RBPV もあるが，本稿ではティリティを分析の対象とする．
[t/Δn ]

(2.5)

Ĉ(Δn , un )t =



2
(Δn
i X) 1{|Δni X|≤un }i=1

ここで，un は閾値で正の定数であり，1{} は括弧内の条件が成り立つときは 1，そうでないと

144

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

きは 0 の値を取る関数である．つまり，Δni X のうち，その絶対値が un 以下のもののみを加算の対象とし，それを超えるものは除外して実現ボラティリティを算出するものである．この基本的な考え方は，Δni X のうちジャンプによるものをできるだけ捨ててブラウン運動によるもののみを算出対象にして，正確な積分ボラティリティを算出しようとするものである．そのため，
un の決定方法としては，ブラウン運動による増分部分を多く捨て過ぎないようにするための大きさを考慮しつつ，ジャンプを除外するためにできるだけ小さくすることも必要であり，この二つのバランスが現実的には重要である．本稿は un の決定にあたって Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）が提案している方法に従うこととする．具体的には以下のとおりである．
まず，X が全くジャンプのない確率過程に従っているとし，un を決定して切断実現ボラティ
リティを算出するとき，実現ボラティリティと切断実現ボラティリティの推計量の差 AT は（2.6）
式のようになる．


 T
un
(2.6)
AT =
cs g √ds
c s Δn0
ここで，g(u) = {|x|>u} x2 φ(x)dx であり，φ(x) は標準正規変数の確率密度関数である．
T
また，実現ボラティリティと切断実現ボラティリティの推計量の分散は共に 2Δn 0 c2s ds であるので，AT の大きさはこれを標準偏差にしたものの一定割合 θ 以内に抑えることとすると，（2.7）式のようになる．

12


 T
 T
un
(2.7)
cs g √
c2s dsds ≤ θ 2Δnc s Δn00
Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）では θ を 0.1 としており，本稿も同様に 0.1 とする．
次にcmax = sup(cs : s ∈ [0, T ])cmin = inf(cs : s ∈ [0, T ])
1 T
caver =
cs ds
T 0
cmax
ζ≥
cmin

とすると，g は減少関数であるので
（2.7）
式は
 
ζ
(2.8)
g un
caver Δn

θ
≤
ζ



2Δn
T

とすることができる．ζ の値は，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）ではその中の第 6 章で示している IBM 株式の 2008 年の第 2 四半期の推定結果などから 2 または 3 とされているが本稿では 3とする．
さらに，標準正規分布の両側確率が η となる値を zη とする．Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）では η の例として 0.25 としているので本稿でも 0.25 とする．そして，（2.2）式で算出される増分（2.9）式の ĉaver を用いる．
のうち η を捨てることになる閾値を uη とし，caver の推定値として(2.9)

ĉaver =1
Ĉ(Δn , uη )TT (1 − g(zη ))以上に加えて，T はサンプルの期間であり，観測時間間隔 Δn は次章で述べるような複数の式の un を除く全てのパラメータの値が定まるので，（2.8）式を満たす最大設定をすると，（2.8）

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔

145の un を求める．このように，各観測時間間隔に対応した un を決定し，最終的に（2.5）式を用いて切断実現ボラティリティを算出する．
3.

本稿で使用するデータ

本稿では，東京証券取引所第 1 部に上場されている株式の中から，時価総額が大きく流動性が高い 100 銘柄で構成される指数である TOPIX100 構成銘柄のすべてを対象とする．分析期
間は TOPIX100 構成銘柄の呼び値の単位がそれ以前よりも小さい値に変更された 2014 年 7 月
22 日を開始日とし，約 3 か月後の同年 10 月 27 日を終了日とする．この期間は市場の取引日ベースで 67 日間である．また，この期間の現物株式の取引時間は 9 時から 11 時 30 分までの前場と，休憩後の 12 時 30 分から 15 時までの後場があり，合計 5 時間である．日中のリター
ンは Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）に従い 5 秒を最短間隔とする．前場と後場および，後場と翌取引日の前場に跨がるリターンは算出しない．すなわち，取引所の立会時間外は分析の対象とせず，立会時間中のみを対象とする．したがって，ToSTNeT システム（Tokyo Stock Exchange
Trading Network System）
による，立会外取引は対象としない．データは，日本経済新聞社による NEEDS TICK データから取得している．価格は最良気配値から算出するが，単純な仲値ではなく，（3.1）式で定義される注文量で加重する Gatheral and Oomen（2010）のマイクロ・プラ
を使用する．
イス（micro-price）
va pb + vb pa
(3.1)
pv =
va + vb
ここで，pv はマイクロ・プライス，va は最良売り気配の数量，vb は最良買い気配の数量，pa は
最良売り気配値，pb は最良買い気配値である．Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）は約定データおよび最良気配値による仲値を用いており，本稿でマイクロ・プライスを用いている点とは異なっている．
前述のように本稿の最短の観測時間間隔は 5 秒であり，Aı̈t-Sahalia and Jacod（2012）も 5 秒
間を最小観測時間間隔としてその間の平均価格を算出している．しかし，本稿では 5 秒間の平均価格ではなく，対象の 5 秒間の中で最後に更新されたデータのみを使用する．これは，不連
続な変動をより検出しやすくするためである．5 秒間にデータの更新がなかった場合は前値と同じ価格とする．したがって，このときのリターンはゼロとなる．その他の観測時間間隔での価格はこの 5 秒間隔のデータを間引くことにより算出する．本稿では，5 秒，10 秒，15 秒，20
秒，30 秒，45 秒，60 秒，90 秒，120 秒，180 秒，240 秒，300 秒，420 秒，600 秒，900 秒，1200
秒，1800 秒の 17 パターンとする．
なお，本稿で表示する実現ボラティリティおよび切断実現ボラティリティは 1 日あたりの値
とする．
4.

分析結果

まず，比較のために実現ボラティリティの計測結果を表 1 に示す．表 1 は紙幅の節約のため
17 パターンの観測時間間隔のうち 5 パターンを抜粋している．以降の表 4 までも同様である．
図 1 は，縦軸が実現ボラティリティであり，横軸は観測時間間隔の対数表示としていて，実現
ボラティリティの推移として典型的な特徴のある 6 銘柄について，全ての観測時間間隔における実現ボラティリティの値を折れ線グラフとして表示したものである．これら表 1 および図 1を見ると，ソフトバンクグループのように例外はあるものの，総じて 1 分以下の観測時間間隔
では，間隔が短いほど実現ボラティリティは上昇する傾向にある．その一方で 5 分間隔以上の領域では横這いになっている銘柄が多いが，住友商事のようにほぼ右上がりになっている銘柄

146

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 1．実現ボラティリティの主な計測結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．（単位：×10−4 ）や，富士フイルムのように右下がりになっている銘柄もあるなど様々であることがわかる．
次にこれに対して，第 2 章で述べた方法により計測した切断実現ボラティリティを表 2 および図 2 に示す．実現ボラティリティとの大きな違いとして，第 1 に概ね 2 から 3 分以下の観測
時間間隔では，全ての銘柄で観測時間間隔が短くなるほど切断実現ボラティリティの値が小さくなっていることがわかる．しかし，それよりも観測時間間隔が長い領域では，住友商事のようにほぼ横這いとなる銘柄，ニコンのようにピークを迎えて下降する株式，日揮のようにほぼそのまま上昇する銘柄，三菱 UFJ フィナンシャル・グループやソフトバンクグループのように切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔

147

図 1．実現ボラティリティの計測結果．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．

ピークアウトした後に再び上昇する銘柄等様々である．
第 2 の違いとして，切断実現ボラティリティは，実現ボラティリティよりも小さいことは当然ではあるが，その差は比較的大きく，高頻度データで見る限り，全ての銘柄で価格変動にはジャンプが含まれていると考えられる．
これらの 2 点について，さらに検討を加える．まず，後者に関しては，株式毎に実現ボラティ
リティに占める切断実現ボラティリティの比率を算出すると，表 3 のようになる．観測時間間
隔が 5 秒での比率を見ると，最大のソフトバンクグループが 14.8%であり，それに三井住友フィナンシャルグループの 12.4%，野村ホールディングスの 10.4%などが続いているが，その他は10%未満である．観測時間間隔を拡大するとその比率は急速に上昇し始めるが，5 分間隔以上のところでは横這いとなり，最大でも関西電力の 30 分間隔の 55.4%である．さらに，富士フイル
ムホールディングスや住友商事のように全ての観測時間間隔で 20%未満となっている株式もある．このように日中のボラティリティの要因としては，ブラウン運動によるものよりも，ジャンプによる部分の方が大半を占めていると考えることができる．
次に，観測時間間隔の短い領域で切断実現ボラティリティが減少する原因を探る．このような現象の原因の一つとして，観測時間間隔を短くすると現実に観測される価格が変動せず，リターンが 0 となる標本が増加し，閾値が小さくなり過ぎて結果的に除外される比率が高まることが考えられる．このため，各株式の各観測時間間隔における標本のゼロリターン比率を算出
すると表 4 のようになった．これをみると，株式によってその水準は大きく異なり，三菱 UFJ
フィナンシャル・グループのように 5 秒間隔でも 1.8%と僅かな株式がある一方で，同じ 5 秒間
隔でも，日揮のように 65.3%と半数以上がゼロリターンになっているものもある．しかし，120秒であれば同じく日揮の 2.4%を最大値として大半が 1%未満となり，120 秒以上の観測時間間隔であれば計測上の問題は小さいことが考えられる．
この要因を検証するために，被説明変数を切断実現ボラティリティとし，説明変数を観測時間間隔とゼロリターン比率とする回帰分析を各株式に対して行った．すなわち，推計式は（4.1）
式のとおりである．

148

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 2．切断実現ボラティリティの主な計測結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べ（単位：×10−4 ）ている．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．

(4.1)

T RVn = β0 + β1 Δn + β2 Rn + en

ここで，TRV n は観測時間間隔 Δn における切断実現ボラティリティ，Rn は観測時間間隔
Δn における標本のうちリターンがゼロである標本数の比率（%），en は誤差項である．
この結果を表 5 に示す．表中の P 値は回帰係数=0 を帰無仮説，回帰係数 = 0 を対立仮説としたときの t 検定に対応する値である．回帰分析の結果，決定係数は最低でも JX ホールディン
グスの 0.631，平均では 0.851 であった．有意水準を 5%として回帰係数の推定値を見ると，観測時間間隔はプラス，ゼロリターン比率はマイナスの値で有意になっている株式が大半となっ切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔

149

図 2．切断実現ボラティリティの計測結果．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．

ている．本稿では理論的な考察を行っていないが，このことは，要因としてはゼロリターン比率だけではなく，観測時間間隔が何らかの構造的な影響を与えていることを示している．特に一貫してゼロリターン比率が小さい三菱 UFJ フィナンシャル・グループやソフトバンクグルー
プにおいても，これら二つの回帰係数は有意であることは，ゼロリターン比率以外に観測時間間隔による構造的な影響があることを示唆している．
5.

おわりに

本稿では，2014 年 7 月 22 日から 10 月 27 日までの東京証券取引所の TOPIX100 構成銘柄の高頻度データを使用して，切断実現ボラティリティの計測を行い，日中の株価変動に含まれる
ブラウン運動のボラティリティを推計した．切断実現ボラティリティの計測の際に必要となる閾値の設定に関しては Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）の方法を用いた．その結果，大半の株式で実現ボラティリティに占める切断実現ボラティリティの比率は半分未満であり，ジャンプの影響が大きいことを示す結果となった．しかし，切断実現ボラティリティが観測時間間隔を短くするに従って小さくなる現象も同時に観測され，ゼロリターンによる影響を示唆する結果も得られたものの，その構造的な原因の解明と最適な観測時間間隔の決定には至っていない．切断
実現ボラティリティの計測をする上で，これらは今後の課題である．
謝

辞

，科研費
（15H03402）および東
本稿は統計数理研究所公募型共同利用（課題番号 28-共研-1004）
京経済大学共同研究助成 D16-01 の助成を受けたものである．また，匿名レフリーからは多くの有益な指摘を頂いた．記して感謝の意を表します．

150

統計数理

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表 3．切断実現ボラティリティ比率の主な計測結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．計測期間：2014 年 7 月 22 日〜10 月 27 日．

切断実現ボラティリティの推定と観測時間間隔
表 4．ゼロリターン比率．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．計測期間：2014
年 7 月 22 日〜10 月 27 日．（単位：%）

151

152

統計数理

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表 5．切断実現ボラティリティに対する回帰分析の結果．TOPIX100 構成銘柄を株式コード順に並べている．各回帰係数は 1 万倍して表示している．

参

考

文

献

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154

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 141–154 (2017)

Estimating Truncated Realized Volatility and Time Interval:
Evidence from Japanese Stock Market
Yasushi Yoshida
Faculty of Business Administration, Tokyo Keizai University

Many studies document jumps that are signiﬁcant in asset returns by analyzing highfrequency data. The estimator of realized volatility is biased by the jumps. Truncatedrealized volatility is proposed to solve this problem. In this paper, the realized volatilities
and the truncated realized volatilities of 100 Japanese stocks are estimated using highfrequency data from July 22nd to October 27th , 2014 at a sampling interval of from 5
to 1800 seconds. The conclusion is that Brownian motion does not dominate each stock
price process. However, the truncated realized volatility become progressively smaller withdecreasing sampling interval. Zero return is only one factor aﬀecting the decreasing truncated realized volatility. Choosing the optimal sampling interval and threshold level toestimate accurate truncated realized volatility is a remaining issue.

Key words: Truncated realized volatility, high-frequency data, jump diﬀusion process, sampling interval, micro-price, TOPIX100.

統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 155–180
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［原著論文］

経験類似度に基づくボラティリティ予測
森本 孝之1 ・川崎 能典2,3（受付 2016 年 7 月 25 日；改訂 10 月 20 日；採択 10 月 28 日）

要

旨事例ベース意思決定理論に基礎を置いた経験類似度（ES, Empirical Similarity）という概念を適用することにより，異なるモデルから生じるボラティリティ予測値を結合する．経験類似度の枠組みでは，意思決定者が予測モデルや予測値の尤もらしさに関する確率評価を行わずに，専ら類似性のみに依拠して将来を予測することができる．具体的には，過去のモデル予測値と対応す
るボラティリティの実現値との距離を定量化することによって，予測の組合せの重みを決定する．そして，決定された重みを用い将来のボラティリティを予測する．本稿では，この経験類似度モデルから得られたボラティリティの予測値とその他時系列モデルの予測値とを実証的に比較する．モデルの予測力比較については，誤差関数に基づくモデル信頼集合（Model Conﬁdenceを用いることにより，複数の銘柄と推定予測期間におけるモデルの予測力を順位付
Set, MCS）
けし，最良モデルの累積頻度を分析し評価する．
キーワード：経験類似度，実現測度，HARQ，ESQ，モデル信頼集合．
1.

はじめに

類推による推論は，過去の経験に基づき，未来の出来事を予測する基本的な方法の 1 つであ．帰納的推論の論理的妥当性に疑問を持ち，また類推的推論を議論したる（Gilboa et al., 2011）
は，将来について過去から学ぶ基本思想である．一般的に，不確実ことで有名な Hume（1748）
あるいは無知な状況において，意思決定者は将来の確率を評価できない，あるいは評価したがらないが，将来について過去から学びその類似性に基づき思考することは可能である．より現代的に表現すれば，不確実性下の意思決定におけるフォンノイマン・モルゲンシュテルンの期待効用理論では，意思決定者は起こりうる状態をすべて列挙しつくした状態空間と，その上の確率．しかし，分布から計算される期待効用を最大化すべく行動すると想定されている（尾山, 2012）
意思決定者が状態空間を完全に把握していると想定するにはあまりにも無理がある状況も多々あり，そのような状況での意思決定についての 1 つの考え方は，人々は過去の経験からの類推に基づいて現時点での行動を決めるであろう，というものである．これが Gilboa and Schmeidler（1995, 2001）の提唱する事例ベース意思決定理論である（尾山, 2012）．この類似性に基づく推論
は，医学，法律，ビジネス，政治，あるいは人工知能における意思決定に幅広く応用されている．この事例ベース意思決定理論は，以前経験した過去の状況との（Gilboa and Schmeidler, 2001）
類似性を考慮することによって，現状を評価するという類推的思考を意思決定者に仮定している
1

関西学院大学 理工学部：〒 669–1337 兵庫県三田市学園 2–1
統計数理研究所：〒 190–8562 東京都立川市緑町 10–3
3
総合研究大学院大学 複合科学研究科統計科学専攻：〒 190–8562 東京都立川市緑町 10–3
2

156

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

（Gilboa and Schmeidler, 2001）．現在の状況に類似した事例は，あまり類似していない事例と比較して，より大きい重みが与えられる．この考え方が事例ベース意思決定理論に基づく経験類の概念（Gilboa et al., 2006, 2011）であり，Gilboa and Schmeidler
似度（ES, Empirical Similarity）（2012）によりデータから類似度関数を推定する計量経済学的枠組みが提供された．これにより，意思決定者によって認識される事例（問題，状況）間の距離を計測することが可能となった．本
稿では，非確率的な手法で異なるモデルから得られる予測値を組み合わせるために，Golosnoyの提案した経験類似度の概念を利用する方法を用いる．ここでの設定では，競合すet al.（2014）
るモデルから得られた異なる予測値は，現在観測された状態あるいは実現値にある程度類似している事例として評価される．直近でより正確な点予測値を与えるモデルには，その他のモデルと比較して，より大きい現在の重みを与える．Golosnoy et al.（2014）の核となるアイデアは，
現在の観測値と，異なるモデルから得られる直近の 1 期先予測値との間の経験類似度距離を計測することである．この類似度距離により，次の期のモデルの重みが決定される．したがって，
この経験類似度によるモデル組合せ手法は，予測モデルの組合せの重みを決定するために，異なるモデルの直近の予測力に関する情報を利用する．Golosnoy et al.（2014）によれば，その他の確率的手法と比較して，この経験類似度によるモデル組合せ手法を用いる利点として，以下の 3 点が考えられる．
（1）モデルの事後確率や予測値の平均二乗誤差 (Mean Squared Error, MSE）などを算出する必
要がない．
（2）経済主体の選好に予測モデルの重みを関連づけられる．
（3）意思決定者が予測値と実現値間の類似度をどのように評価するかをデータから明らかにできる．
本稿の実証研究では，前述の Golosnoy et al.（2014）により提案された経験類似度によるモデル組合せ手法を，日次実現ボラティリティ過程をモデル化することにより分析する．この目的によって提案された，過去の異なる投資期間におけるのために，先行研究同様，Corsi（2009）
推定結果をボラティリティの予測に反映できる HAR（Heterogeneous AutoRegressive）モデルの組合せに対する経験類似度を評価する．この実証研究において予測力評価に利用されるデータ
は，1999 年 1 月から 2013 年 12 月まで 15 年分の株価指数 6 銘柄と東京証券取引所 1 部上場の個別 24 銘柄の 1 分間隔高頻度データから得られた日次実現ボラティリティである．データの標本
期間については，1999 年から 2013 年までの，インサンプル，アウトオブサンプルを含む計 225
通りの推定予測期間を分析対象とする．この 225 通りの組合せの内訳は，インサンプル 120 通
り，アウトオブサンプル 105 通りである．これらインサンプルとアウトオブサンプルにおける予測を行うことにより，複数の一般的なボラティリティモデルに対して，この経験類似度によるモデル組合せ手法の予測力を比較する．予測力の比較に関しては，インサンプルとアウトオ
ブサンプルにおいて得られた各モデルの誤差関数値を統計的仮説検定の枠組みで適切に予測力（Model Conﬁdenceの評価を行うため，ここでは Hansen et al.（2011）が提案するモデル信頼集合を用いる．MCS により，特定の真のモデルを仮定すること無しに，所与の有Set，以下 MCS）
意水準での最良なモデル選択が可能となる．最後に，Mincer and Zarnowitz（1969）により提案された予測力を評価する一般的な手法の 1 つである Mincer-Zarnowitz（MZ）回帰を，各モデルの予測値に対して実行し，得られた自由度調整済み決定係数の値を比較する．
本稿は，次のように構成される．第 2 節では，本稿の理論的背景となる経験類似度の統計モ
デルを詳細に解説する．第 3 節では，実証分析に用いるデータを説明した後，モデルの予測力
比較を MCS および MZ 回帰により行う．第 4 節では，本稿における実証分析の結果を纏め，将来の研究に対する方向付けを示唆し結論とする．

経験類似度に基づくボラティリティ予測

2.

157

理論的背景

ここでは，Gilboa et al.（2011）
および Golosnoy et al.（2014）に基づき，本稿で用いられる経験類似度の理論的背景について解説する．
2.1 経験類似度
ある変数 yt の値を，関連する変数の値 xt = (x1t , . . . , xdt ) によって構成されるデータベースに基づき評価する．例えば，yt は，家具の骨董品の価格であるとしよう．ここで xt はそのスタイ
ル，製造年，大きさなどといった特性値を表すとする．yt を評価するために，過去の観測値 xiと 現在の値 xt とをいかにして結合すべきであろうか？もし Hume（1748）のアイデアに従うな
らば，過去の条件 xi = (x1i , . . . , xdi ) が xt と似ているか，あるいは似ていないかを表す類似度の考えが必要となる．ここでは yt の予測において，より似ていない条件の下で得られた観測値よりも，より似ている条件の下で得られた観測値により高い重みを与えたい．上の例では，最近売られた同様の骨董品の価格によって，この骨董品の価格を評価することは，道理にかなっている．さらに，「スタイル，製造年，大きさ，および売りだされた時期」
に関して過去の観測値が現在の観測値により似ているほど，現在の評価において，この観測値により大きい重みを置きたいと考える．
形式的に，類似度関数 s : Rd × Rd → R++ = (0, ∞) を仮定し，データベース (xi , yi )i≤n と新しいデータ点 xt = (x1t , . . . , xdt ) ∈ Rd が与えられたならば，yt の類似度予測子はs(xi , xt )yi(2.1)
yts = i<t
i<t s(xi , xt )と定式化できる．あるいは，もし (xt , yt )t≤n におけるデータ点の順序が任意ならば
i=t s(xi , xt )yi(2.2)
yts = i=t s(xi , xt )と定義することもできる．類似度関数 s については，いくつかの弱い仮定を満たすならば（Lieber，任意の関数形で表すことが可能である．例えば Billot et al.（2008）は，次の形をと
man, 2010）
る類似度関数と同値な類似度加重平均についての条件を与えている．
s(x, x ) = exp(−x − x )

ここで  ·  は Rd におけるノルムである．具体的には，ここでは加重ユークリッド距離によって定義されたノルムの族に焦点を当てると
sw (x, x ) = exp(−dw (x, x ))となる．ここで w ∈ Rd+ は，次式で与えられる 2 つのベクトル x, x ∈ Rd 間の距離の加重ベクトルである．
(2.3)

dw (x, x ) =dwj (xj − xj )2

j=1

従ってこの定式化では，類似度関数は各予測子を含めたパラメータの d - 次元ベクトルとなる．
統計的推論を実行し，仮説検定により定性的結果を得るために，（2.1）式と（2.2）式は統計モデ
ルに組み込むことができる．すなわち，それぞれ
sw (xi , xt )yi(2.4)
yt = i<t+ εt
i<t sw (xi , xt )

158

統計数理

および
(2.5)

第 65 巻i=tyt = 

第 1 号 2017

sw (xi , xt )yii=t sw (xi , xt )+ εtというモデルを考える．ここで {εt } は iid(0, σ 2 ) である．（2.4）式は，ある種の因果モデルとして解釈できる．例えば，経済主体による価格形成過程を考えてみると，この経済主体は，過去において既に価格が決定されている他の商品との類似度に応じて，不動産や美術品のような商品の価格を決定するだろう．したがって，（2.4）式は，価格を決定する際の経済主体が関与する思考過程のモデルとして考えることができる．モデル（2.5）式は，同様の方法で直接的に解釈することができない．各 yt の分布が他のすべての yt に依存するので，（2.5）式は，その過程の時間的進展を説明することができない．しかしながら，そのような相互依存性は，空間統計学の応用分野として一般的な地理学，社会学，あるいは政治学データでは自然に解釈できる．
2.2 経験類似度とカーネル推定量の関係
ここでは，説明を簡明にするため 1 次元，すなわち d = 1 の変数として X が存在する場合を考える．ノンパラメトリック回帰モデルでは，通常次のようなデータ生成過程を仮定する．
yi = m(xi ) + εi ,(i = 1, . . . , n),εi ∼ iid(0, σ 2 )ここで m : R → R は x と y を関係づける未知の関数である．広く用いられている m(·) のノン
パラメトリック推定量は，ナダラヤ・ワトソン推定量であり
nt
K( xi −x)yihm̂(xt ) = i=1nxi −xtK()
i=1hのように定義される．ここで K(x) は，カーネル関数，すなわち，他の正則条件と同様に
K(z)dz = 1 を満たす非負の関数であり，h は，バンド幅パラメータである．たとえば，もしガウシアンカーネルを選択すれば

(xi − xt )2
1  xi − x t = (2πh2 )−1/2 exp −
(2.6)
K
h
h
2h2
が得られる．分散とバイアス間のトレード・オフ関係があるので，h の選択はノンパラメトリッ
ク統計学における重要な論点である．最適バンド幅の選択に対して最も一般的な基準の一つは，
平均積分二乗誤差を最小化することである．すなわち，最適な h はh∗ = arg min Ef0(m̂(x) − m(x))2 dxhを満たす．ここで期待値 Ef0 は，y の真の分布 f0 の下での期待値を意味する．もし x が可算であり，m(x) を y に置き換えるならば，誤差の二乗和の期待値を最小化するという基準で h∗ を決めることになる．
いま，カーネルを基にした推定と経験類似度間の関係を議論することにしよう．上で説明されたように，経験類似度法は
nsw (xi , xt )yi
yt = i=1n
i=1 sw (xi , xt )によって yt を予測することを提案している．ここでsw (xi , xt ) = exp(−dw ) = (π/w)1/2

1√(1/ 2w)Kxi − x t
√
1/ 2w



経験類似度に基づくボラティリティ予測

159であり，dw は（2.3）
式において定義され，K は（2.6）式において与えられる．そしてnnxi −xt√sw (xi , xt )yi
i=1 K( 1/ 2w )yi
i=1
n
= n
xi −xt√i=1 sw (xi , xt )i=1 K( 1/ 2w )√であり，この設定では h = 1/ 2w という結果となる．
2.3 モデル結合のための経験類似度
関心のある変数 yt を予測するために組み合わされた d 個のモデル xt = (x1t , . . . , xdt ) があるとによれば予測の線型結合とは仮定する．Bates and Granger（1969）
(2.7)

ŷt =

d


ajt−1 xjt−1

j=1

によって与えられる．ここで非負の ajt は， dj=1 ajt ≡ 1 となる j 番目のモデルの比率を表す．
（2.7）式における重み ajt は，モデルや予測値の尤もらしさに関する（確率等の）定量的評価に関連づけた解釈が可能だが，何らかの目的関数を考えることによって，より適切な重み ajt を選択できるかもしれない．Elliott and Timmermann（2004）ではモデルから導かれる MSE の小ささ
が重み係数に対応している．この重み ajt を適切に選択するために，いくつかの接近法が提案されているが，どれも一般的な方法とまではなっていない．そこで Golosnoy et al.（2014）は，
Gilboa et al.（2006）
による ES 概念に基づいた予測の線形結合を，次のように定式化した．
yt =

p


φ[yt−1 , xjt−2 ]xjt−1 + εt ,εt ∼ (0, σ 2 )j=1

この定式化の特徴は，重み φ[yt−1 , xjt−2 ] を得るために必要な一期前の予測値 xjt−2 と対応する実現値 yt 間の距離を計測できることにある．そして，予測値 xt = (x1t , . . . , xdt ) の加重和である予測の線形結合はdŷt =φ[yt−1 , xjt−2 ]xjt−1
j=1

によって与えられる．
また，重み φ[·, ·] は，観測されたデータの過去の値に依存し，現在の実現値の代理変数と j 番目のモデルの予測値間の距離は
θ[yt , xjt−1 ]φ[yt , xjt−1 ] = dk
k=1 θ[yt , xt−1 ]
のように算出される．重み φ[yt , xjt−1 ] ∈ [0, 1] は， dk=1 φ[yt , xkt−1 ] ≡ 1 という性質を持つ正規化された相対経験類似度として解釈できる．右辺の θ[yt , xjt−1 ] は類似度関数であり，もし yt と
xjt−1 間の距離が短ければ，θ[yt , xjt−1 ] は高い類似度を示唆する．本稿では前節で導入した次のによる指数型関数を類似度関数として用いる．
ような Billot et al.（2008）
θ[yt , xjt−1 ] = exp(−ωj (yt − xjt−1 )2 ),3.

ωj ∈ R

実証分析

実証分析の目的は，東京証券取引所上場の株価指数および個別銘柄の日次ボラティリティの予測を通じて，前節で導入した経験類似度モデルの予測力を評価することにある．この目的の

160

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 1．実証研究における分析対象銘柄（30 銘柄）．

ために，ここでは日経メディアマーケティング株式会社より提供された各株価指数と個別銘柄のティックデータを 1 分間隔の高頻度データに加工し用いている．標本期間は，1999 年 1 月 4日から 2013 年 12 月 30 日までの 15 年分であり，使用した株価指数および個別銘柄は下記の通りである．まず株価指数に関しては，TOPIX，日経株価指数 300，日経平均，東証電気機器株
価指数，東証輸送用機器株価指数，東証銀行業株価指数，の計 6 銘柄である．また個別銘柄に関しては，2009 年 4 月 1 日時点での TOPIX Core30 に含まれる銘柄から，1999 年から 2013年まで継続的に市場で取引された計 24 銘柄を用いる．除外された 6 銘柄については，セブン&アイ HD（1999–2005 年），JFE-HD（1999–2002 年），三菱 UFJ-FG（1999–2001 年），三井住友 FG
（1999–2002 年），みずほ FG（1999–2003 年），東京海上 HD（1999–2002 年），である（括弧内は欠損期間）．ここでの実証研究の分析対象に採用された株価指数 6 銘柄と個別 24 銘柄については，
表 1 にまとめてある．
本研究における実証分析において用いられる日次時系列データは，株価原系列，その対数収益，および Realized Quarticity（RQ）である．な率，実現ボラティリティ（Realized Volatility,RV ）お，RV および RQ の対数および平方根を後述する HAR モデルで定式化し分析を行なったが，特に予測力に大きな変化は見られなかったため，これらの結果については割愛した．次に，これらのうち RV および RQ という 2 つの実現測度について解説する．
3.1 実現測度金融市場における最も一般的なリスク指標の一つであるボラティリティは，対数収益率の分散あるいは標準偏差として定義される．これまで，ボラティリティを推定するために多くのモデルが提唱されたが，これらのモデルは，基本的にパラメトリックであり，日次，週次，月次といったボラティリティを同じ頻度で取られたデータを用いて推定するよう設計されている．
しかし，近年，金融資産価格の日内データが広範に利用可能となり，その日の日次ボラティリ
ティを事後的に算出するために，秒あるいは分刻みに取られた非常に高頻度なデータを利用することが可能となった．
そこで，ここでは日内高頻度データを利用した日次ボラティリティの推定手法の概略を以下
に従い，ここでは確率微分方程式に解説する．まず Bollerslev et al.（2016）d log(Pt ) = μt dt + σt dWt ,によって決定される金融資産価格過程 Pt を考える．ここで μt と σt は，それぞれドリフトと瞬経験類似度に基づくボラティリティ予測

161

時的ボラティリティ過程を表し，Wt は標準ブラウン運動である．なお，ここでのモデルは，理解を容易にするために，ジャンプを含んでいないものとする．本論文の主要な目的は，潜在する日次ボラティリティ，つまり Integrated Variance（IV ）を推定し予測することにある．具体的に，日次の IV は形式的に
t

IVt =

σs2 dst−1によって定義される．この IV は金融市場において直接的に観測できないが，次式で与えられる RV は日内高頻度収益率の二乗和として算出できる．時点 t = 1, 2, . . . , T における株価を St ，
その対数収益率を rt = log St − log St−1 ，そして実現ボラティティは RVt と表している．RVについては，1 分間隔で標本抽出された日内収益率の 2 乗和として下記のように定義される．
（Andersen et al., 2001）
nt

2
RVt =
rt,i
i=1

ここで rt,i は t 日における i 番目の観測された対数収益率であり，nt は t 日における標本数を表
す．対数価格過程をセミマルチンゲールにおける連続マルチンゲール部分と考えることにより，
この RV は IV の代理変数とみなすことができる．また RV は，IV の一致かつ不偏推定量であることが知られている（McAleer and Medeiros, 2008）．従って，日次 RV の推定には，24 時
間の完全な高頻度データが必要となるが，東京証券取引所の取引時間は，前場 9:00–11:00（2011年 11 月 21 日以降は 11:30 まで）と後場 12:30–15:00 であり，昼休みと夜間の情報を無視した RV
は「1 日分」のボラティリティ測度としては適切ではない．そこで，本稿では Hansen and Lunde（2005）の改良版である Masuda and Morimoto（2012）の手法を推定された RV に適用する．この手法は，前場，昼休み，後場，夜間それぞれに適した重み λ1 ,λ2 ,λ3 および λ4 を用い
2
2
RVtweighted = λ1 Yt,1
+ λ2 RVt,2 + λ3 Yt,3
+ λ4 RVt,4 ,22を定義する．ここで Yt,1と Yt,3
は，それぞれ t 日の夜間と昼休みにおける収益率の 2 乗を表し，RVt,2 と RVt,4 は，それぞれ t 日の前場と後場における RV を表す．以上の修正は，モデルや予測法の構成にかかわらず必ず行う処置であるので，今後，表記の簡略化のため RV weighted
は RV と表す．
さらに，RV は 1 分間隔という比較的短い時点でサンプリングされた日内収益率を用いた場
合，マイクロストラクチャーノイズと呼ばれる市場のミクロ構造に起因する観測誤差の影響を受けてしまうことが知られている．このバイアスを緩和するための方法としては，低頻度時間間隔，サブサンプの RV （例えば Andersen and Bollerslev（1997）や Bandi and Russell（2004）など），あるいはカーネル法を用いることなどが考えられているが，本稿では
ル法（Zhang et al., 2005）
Hansen and Lunde（2005）
に従い Bartlett カーネルを用いた Newey-West（NW）推定量を用いる．
この NW 推定量は前述のサブサンプル法とほぼ同一の推定量であることが Barndorﬀ-Nielsen etによって示されている．
al.（2008）
Bollerslev et al.（2016）によれば，上述の RV における推定誤差は，Barndorﬀ-Nielsen andの Δ → 0 における漸近分布理論により下記のように特徴づけられる．
Shephard（2002）(3.1)

RVt = IVt + ηt ,tηt ∼ M N (0, 2ΔIQt )ここで IQt ≡ t−1 σs4 ds は，Integrated Quarticity（IQ）を表し，M N は混合正規すなわち IQt の実現値に条件付けられた正規分布である．また，IV に対する RV と同様に考えることにより，Realized Quarticity（RQ）
は

162

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

図 1．株価，収益率，実現ボラティリティ，および RQ（TOPIX）．

M  4
rt,i
3 i=1
M

RQt ≡

によって与えられ，この RQ は，IQ の一致推定量となることが知られている．しかし，IQ の推定には，測定誤差等多くのノイズを含む日内収益率の 4 次モーメントの推定を含んでいるため，ジャンプの大きさが小さくても RQ 推定量は不安定にならざるを得ない．そこで，例えばAndersen et al.（2012）
は，ジャンプの影響を少しでも低減させるため，隣接する各収益率の最小値あるいは中央値を使った 2 つの頑健な IQ の推定量として M inRQ および M edRQ を提案しているが，本稿では RV と同様に Bartlett カーネルを用いた Newey-West（NW）推定量を RQの推定に用いている．
ここでは紙幅の関係上，上述の 30 銘柄のうち株価指数と個別銘柄から各 1 銘柄に関する時系
列データの特徴を概観する．まず，図 1 および図 2 は，それぞれ TOPIX，日立製作所の 1999
年 1 月から 2013 年 12 月までの 15 年間分の株価，対数収益率，実現ボラティリティ，および
RQ を図示したものである．これらの図の特徴を見ると，期間後半に 3 回の大きな変動が見られる．特に実現ボラティリティの図を見ると，その山を捉えやすい．これらの大きな変動は，古い方から順に 2008 年 9 月のリーマン・ショック，2011 年 3 月に発生した東北地方太平洋沖地
震，そして 2013 年 5 月 23 日の日経平均大暴落がそれぞれ対応している．
さらに，表 2 および表 3 は，それぞれ TOPIX，日立製作所の 1999 年 1 月から 2013 年 12 月までの 15 年間分の株価，対数収益率，および実現ボラティリティから計算された基本統計量である．これらの表から分かることは，両者とも対数収益率 rt の尖度が 3 以上となっており一般的な金融時系列の持つ特徴が表れている．歪度は両者とも負の値を示しており，これは収益率
分布の山が右側つまり正の方向に偏っていることになり，興味深い結果である．また，両者とも最大値と最小値は絶対値で 10%を超えており，平均値はほぼ 0 に等しくなっている．
3.2 モデル
ここでは，実証分析に用いる 15 個の時系列モデルを紹介する．まず，Corsi（2009）によって

経験類似度に基づくボラティリティ予測

163

図 2．株価，収益率，実現ボラティリティ，および RQ（日立製作所）．
表 2．基本統計量（TOPIX）1999–2013．

表 3．基本統計量（日立製作所）1999–2013．

提案された HAR（Heterogeneous AutoRegressive）モデルは，単純な線形回帰の枠組みにおいて，異なる周期において標本されたボラティリティ測度を組み合わせる．日次ボラティリティ過程
vt に対する標準的 HAR モデル は
(d)

(w)

(m)

vt = α0 + ω1 vt−1 + ω2 vt−1 + ω3 vt−1 + εt ,εt ∼ (0, σ 2 )
iid

統計数理

164

第 65 巻

第 1 号 2017

(d)
(w)
(m)
によって与えられる．ここで vt−1
= vt−1 は日次，vt−1 および vt−1 は，それぞれ週次平均と月次平(w)
均ボラティリティ測度である．これらは，vt = 5−1 5i=1 vt−i+1 and vt(m) = 22−1 22
i=1 vt−i+1として定義される．HAR モデルは，観測できない真の vt を実現ボラティリティ rvt で代用する
ことにより，OLS 回帰の枠組みで推定できる．ボラティリティ成分に経済学的解釈を与えるとすれば，v (m) はファンダメンタルなマクロ経済に起因する長期的な不確実性因子，v (w) は新し
くもたらされた情報が市場に浸透するまでの中期的な不確実性因子，v (d) は投機的活動を反映す
る短期的な不確実性因子とそれぞれみなすことができるかもしれない（Golosnoy et al., 2014）．
において 1/3 モデルと呼ばれた HAR モデルの定数項を 0 とし，次に，Golosnoy et al.（2014）
その他 3 つのパラメータを全て 1/3 の値に固定したモデル

vt =

1 (d)
1 (w)
1 (m)
+ v
+ v
+ εt ,
v
3 t−1 3 t−1 3 t−1

εt ∼ (0, σ 2 )iidを，本稿内では ES0 モデルと言及する．この ES0 モデルは直接的に経験類似度を用いてはいな(w)(m)] = θ[vt−1 , vt−2 ] = 1/3
いが，経験類似度 ES1 モデルのパラメータを θ[vt−1 , vt−2 ] = θ[vt−1 , vt−2とした場合と考え ES の名前を冠している．ES0 モデルは，上述のようにパラメータが 1/3 と定数であるのでデータから値を推定する必要が無く，予測力評価の段階においてのみ登場する．
3 つ目のモデルは，本稿において中心的役割を果たす経験類似度モデル ES1 である．ES1 モ
デルは，経験類似度の概念により，直接的に観測された過去のデータに基づき，ボラティリティ
モデル成分の予測値に対する重みを推定する．モデル集合 H に属するモデル h から得られるボ
ラティリティの予測値を vt(h) によって表すならば，ボラティリティ予測のための経験類似度モ
デルは

(h)
(h)

iid
(h)
(h)
h∈H θ[vt−1 , vt−2 ] · vt−1
+ εt , εt ∼ (0, σ 2 )vt =φ[vt−1 , vt−2 ] · vt−1 + εt =

(h)
h∈H
h∈H θ[vt−1 , vt−2 ]
(h) 2

(h)
(h)
と与えられる．ここで h∈H φ[vt−1 , vt−2
] ≡ 1 であり，θ[vt , vt−1 ] = e−wh (vt −vt−1 ) によって定義される類似度関数は，現在のボラティリティの状態 vt と h 番目のモデルの予測値 vt(h) 間の(h)(h)] ∈ [0, 1] とモデルの予測値 vt を用いることにより距離を計測する．こうして，重み φ[vt , vt−1
vt+1 が予測できる．
と同様，ベンチマークとして HAR モデルを用いるので，そ
本稿では Golosnoy et al.（2014）の 3 つの成分と経験類似度モデルを組み合わせることに焦点を合わせる．ここでの目的は，現在のボラティリティと，異なる期間で標本されたボラティリティの加重和との相対距離が，どのように観測された過去のデータから決定されるかを評価することにある．つまり，異なる投資期間を持つ経済主体がこれらのボラティリティ過程の重みについて，どのように評価しているのか経験類似度を用いて分析したい．今後 ES1 モデルとして表される HAR 成分を持つ経験類似度モデルは

(w)

(3.2)

vt =

(w)

(m)

(m)

θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1
(w)

(m)

θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , vt−2 ]と与えられる．ここでθ[vt−1 , vt−2 ] = exp(−ω1 (vt−1 − vt−2 )2 )
(w)

(w)

(m)

(m)

θ[vt−1 , vt−2 ] = exp(−ω2 (vt−1 − vt−2 )2 )
θ[vt−1 , vt−2 ] = exp(−ω3 (vt−1 − vt−2 )2 )

である．

+ t,

t ∼ (0, σ2)

経験類似度に基づくボラティリティ予測

165

ES1 モデルは，異なるボラティリティの単純な重み付き平均を仮定している予測モデルの組合せとして解釈できる．成分 vt−1 は 1 日前のボラティリティから得られる予測値である一方，(w)(m)
vt−1 と vt−1 直近 1 週間および 1 ヶ月における移動平均の予測値に他ならない．結局のところ，（3.2）式における日次ボラティリティ vt は，過去の日次実現ボラティリティの加重平均として
式より明らかなように，ES1 モデルは HAR モデルよりパラメータが 1 つ少な
表される．
（3.2）
い，すなわち定数項が無いことに特徴がある．
次に，前節で導入した RQ を組み入れた 3 つのモデルを紹介する．まず，Bollerslev et al.
（2016）は IV における動的依存関係を，次のようなラグ次数 1 の自己回帰モデルによって記述できると仮定した．
IVt = φ0 + φ1 IVt−1 + ut

ここでは，ut ∼ iid(0, σu2 ) であり，IVt の観測誤差 ηt ∼ iid(0, ση2 ) とする．この観測誤差 ηt を考
モデルは慮した IVt の AR（1）(3.3)

IVt + ηt = β0 + β1 (IVt−1 + ηt−1 ) + utとなる．RV に対して自己回帰モデルを適用することの形式的な理論的正当化は Andersen et al.
（2003）によって与えられた．また Andersen et al.（2004）は，RV に対して連続時間に基づくモデルではなく単純な離散時間自己回帰モデルを用いる方が IV の予測力が顕著に向上することを示している．もし ut と ηt が両方共 i.i.d. であると仮定するならば，Cov(RVt , RVt−1 ) = φ1 Var(IVt )および Var(RVt ) = Var(IVt ) + 2ΔIQ が成り立つので，β1 は
−1

2ΔIQ
β1 = φ 1 1 +Var(IVt )と表すことができる．したがって，いわゆる希釈バイアス（attenuation bias）により，RV の係数
β1 は IV の係数 φ1 よりも小さい値となる．希釈バイアスの詳細については，例えば Wooldridge（2015）が詳しい．（3.2）
式より，β1 は観測誤差の分散 2ΔIQ に依存して変化する．つまり，もし 2ΔIQ = 0 ならば β1 = φ1 となるが，もし 2ΔIQ が大きければ β1 は 0 に近づく．一般的には，（3.2）式の β1 は観測誤差の分散が定数であるという仮定に基づいているが，実際には RVの推定誤差に関する分散は時間と共に変化する．IQ が小さい日には，RV は（3.1）式より IV に対して高い予測力を持ち，逆に IQ が大きい日では，RV は IV に対して相対的に弱い予測力しか持たない．よって，AR の係数が一定であると仮定するよりも，β1,t といった時間と共に変化する自己回帰係数を仮定する方がより現実的である．
（3.3）式は，RV についての AR（1）モ
ここで（3.1）式の RVt = IVt + ηt という関係から，上のデル RVt = β0 + β1 RVt−1 + ut と考えることができる．この定式化において，β1 を IQ1/2 の推
定値 RQ1/2
t−1 に線形依存させることにより，RV の AR パラメータを時間と共に変化させること
ができる．
1/2
RVt = β0 + (β1 + β1Q RQt−1 ) RVt−1 + ut


β1,t

この定式化は，AutoRegressive Quarticity（ARQ）モデルと呼ばれる．このモデルは，標準的な最小二乗法を用いることにより容易に推定でき，自己回帰パラメータ β1,t の値が，IVt の観測
誤差 η の分散の推定値である RQ と共に変化する．もし RQ が定数であるならば，ARQ モデ
モデルに帰着することは自明である．
ルは標準的な AR（1）モデルでは単純過ぎて，大部分の RV 系列に存在する長期
しかし，（3.3）式のような AR（1）依存構造を満足に記述することができない可能性がある．そこで，Bollerslev et al.（2016）は，

統計数理

166

第 65 巻

第 1 号 2017

上で解説した Corsi（2009）の HAR モデルを用いて，ARQ モデルを次のように拡張した．
1/2

RVt = β0 + (β1 + β1Q RQt−1 ) RVt−1 + β2 RVt−1|t−5 + β3 RVt−1|t−22 + ut


β1,t

このモデルは，Heterogeneous AutoRegression Quarticity（HARQ）モデルと呼ばれる．ここでは，
日次の RV の係数のみ RQ1/2 の関数として時間と共に変化させている．週次，月次の RV の時
変係数を含むモデルについては，Bollerslev et al.（2016）を参照していただきたい．さらに，自1/2
然な拡張として上述の HARQ モデルの説明変数に RQ1/2
t−1|t−5 , RQt−1|t−22 を加えることも考えられる．しかし，先行研究 Bollerslev et al.（2016）において，HARQ-Full モデルと参照されているこのモデルは，週次，月次の観測誤差の分散を正確に推定することは実際上困難であるため，上述の HARQ モデルと比較して一概に予測力が向上するわけではないという結果を報告している．その結果を踏まえ，本論文では HARQ-Full モデルの分析は割愛した．
によれば，ES モデルは，どんなボラティリティ予測子の組
ところで，Golosnoy et al.（2014）
合せに対しても用いることができる．そこで，過去の日次ボラティリティ vt−1 ，HAR 予測子(har)(harq)
vt−1 ，および上述の HARQ 予測値 vt−1 を組み合わせた新しいモデルを考えることも可能となる．このモデルをここでは ESQ モデルと呼ぶ．その表現は
(har)

vt =

(har)

(harq)

θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , vt−2
(har)(harq)

θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , vt−2

(harq)

]vt−1

]

+ t,

t ∼ (0, σ2).

として与えられる．先に定義したように，ここでは
θ[vt−1 , vt−2 ] = exp(−ω1 (vt−1 − vt−2 )2 )
(har)

(har)

θ[vt−1 , vt−2 ] = exp(−ω2 (vt−1 − vt−2 )2 )(harq)

θ[vt−1 , vt−2

(harq) 2] = exp(−ω3 (vt−1 − vt−2

) )

である．
また，モデル比較の分析の一貫性の観点から，日次ボラティリティ vt と HAR 予測子 vt(har)のみを組み合わせたモデル
(har)

vt =

(har)

θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1(har)θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , vt−2 ]+ tおよび vt , vt(w) , vt(m) , qt = RQ1/2
t RVt をモデルを介さずそのまま組み合わせたモデル
(w)

vt =

(w)

(m)

(w)

(m)

(m)

θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , vt−2 ]vt−1 + θ[vt−1 , qt−2 ]qt−1
θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , vt−2 ] + θ[vt−1 , qt−2 ]

+ t

ここで
θ[vt−1 , qt−2 ] = exp(−ω4 (vt−1 − qt−2 )2 )についても分析を行う．これらのモデルをここでは ES1a および ES1b モデルと呼ぶ．
また，分析の中心となる上述の 5 つのモデルに加え，予測力のベンチマークとして AR（1）モデル
iid
vt = α0 + ω1 vt−1 + εt , εt ∼ (0, σ 2 )を 導 入 し ，さ ら に GARCH 型 8 モ デ ル ，GARCH(1, 1)，GJR(1, 1, 1)，EGARCH(1, 1, 1)，
IGARCH(1, 1)，AGARCH(1, 1)，NAGARCH(1, 1)，APARCH(1, 1, 1)，ZARCH(1, 1, 1) を分析対象に加える．ただし，GARCH 型 8 モデル に関しては，直接 RVt 系列を用い推定予測を行うの

経験類似度に基づくボラティリティ予測

167

ではなく，株価の対数収益率 rt を用いての推定予測であるため，他の AR1，HAR，ES0，ES1，
ES1a，ES1b，ARQ，HARQ，ESQ の各モデルに比べて圧倒的に不利な状況設定にある．そのため，ここでの GARCH 型 8 モデルと他の 9 モデルとの比較分析についての結果は，あくまで参考としていただきたいが，GARCH 型 8 モデル内での予測力比較は有益な情報となるであろう．
3.3 推定
本節では，前節で導入した標本期間 1999 年 1 月 4 日から 2013 年 12 月 30 日までの株価指数 6 銘柄，個別 24 銘柄の株価データを用い推定と予測を行う．まず，推定と予測に用いられた期間であるが，表 4 において示されているように，1999 年から 2013 年までのインサンプル，
アウトオブサンプルを含む計 225 の推定予測期間を分析対象とする．ここでは紙幅の関係上，
西暦の上 2 桁は省略して表記している．この 225 通りの組合せの内訳は，インサンプル 120 通
り，アウトオブサンプル 105 通りである．さらに，インサンプル はそれぞれ 1 年間のインサン
プル 15 通り，2 年以上 5 年未満のインサンプル 50 通り，5 年以上 15 年以下のインサンプル 55
通りに推定期間を分割している．アウトオブサンプルも同様に，推定期間 1 年のアウトオブサ
ンプル 14 通り，推定期間 2 年以上 5 年未満のアウトオブサンプル 46 通り，推定期間 5 年以上
14 年以下のアウトオブサンプル 45 通りに推定期間を分割している．なお，アウトオブサンプ
ルの予測期間に関しては，すべて推定期間の直近 1 年間のみとしている．
また，推定期間において外れ値が存在する場合，非線形モデルである ES1，ES1a，ES1b，ESQ
モデルはその影響を受けやすい．そこで，ここでは RV 系列に Cook の距離を用いてその外れ値を検出し，モデルを推定する際にはその外れ値を除外したデータを用いている．外れ値が検出される頻度については，各銘柄ごとに差はあるものの概ね 5%程度（最小値: 3.2%，最大値: 6.6%）であった．Cook の距離の定義については例えば 竹内 他（2000）が詳しい．
なお，今回のパラメータ推定に関して，ES1，ES1a，ES1b，HAR，AR1，ARQ，HARQ，
ESQ の 各 モ デ ル に つ い て は MATLAB の Statistics and Machine Learning Toolbox（http://jp.mathworks.com/help/stats/）
を用い，GARCH 型 8 モデルについては Kevin Shepを用い
pard 氏が公開している MFE Toolbox（https://www.kevinsheppard.com/MFE Toolbox）ている．
3.4 予測本節では，本稿の中心的貢献となる経験類似度モデルとその他時系列モデルとのボラティリ
ティ予測力の比較分析を行う．手順としては，まず表 4 で示された推定期間すべてにおいて分析対象の 30 銘柄の時系列データを用い，ES0 モデルを除く 16 モデルのパラメータを推定する．そして，それらのパラメータを用い，表 4 で対応する予測期間において，以下で述べる誤差関数を用いモデル間の予測力の比較を行う．なお，ES1a および ES1b モデルについては，紙幅の関係上，後述する MCS によるモデル順位と MZ 回帰の自由度調整済み決定係数の結果のみ掲載している．
アウトオブサンプルの予測値については，例えば推定期間 99–99 で 00–00 の場合，1999 年 1
年間のデータを用いてモデルのパラメータ推定し，その推定値を用い 2000 年の RV に対して 1
日ずつ 1 期先予測を 1 年分繰り返している．ただし，ここではパラメータ推定を逐次的に 1 日ごと行うローリングウィンドウ予測を行っていない．その理由としては，次の 2 点が挙げられる．
（1）まず一点目としては，単純に計算量が大きすぎることである．本研究での目標は，複数（15種類）のモデルに対する多様な（30 種類の）株式指数と個別銘柄の長短期（225 通りの推定予測期間）に対するボラティリティの予測力比較にある．そのため，単純計算で 15 × 30 × 225 = 101250
もの組合せに対して，1 日ごとにパラメータ推定を行い 1 日先予測を行うことは計算時間を考

168

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 4．実証研究における全推定予測期間．

えると現実的ではない．
（2）
また一点目と関連するが，ここでの目標は 2，3 のモデル間における厳密な予測力の比較ではなく，多種多様なデータと推定予測期間に対するモデルの順位付けである．よって，膨大な計算時間を費やしローリングウィンドウ予測を実行し結果を出すより

経験類似度に基づくボラティリティ予測

169

図 3．RV と各モデルの予測値（日経平均）．

図 4．RV と各モデルの予測値（KDDI）．

も，パラメータ推定値は固定し 1 期先予測を行なった方が費用対効果で考えるならば効率的な分析といえる．
図 3 および図 4 は，日経平均と KDDI の 1999 年 2 月から 2013 年 12 月までのインサンプル
における RV と ES0，ES1，HAR，HARQ，ESQ の各モデルから計算されたボラティリティの予測値である．期間の開始が 1999 年 2 月からとなっているのは，HAR モデルが直近 22 日間のボラティリティの平均値を予測に必要としているため，最初の 22 日間の予測値は除外しているからである．まず，図 3 を見ると，2008 年後半におけるリーマン・ショックによる大きな変動が目立つ．この変動における RV と各モデルによる予測値を比較すると，ES0，ES1，HAR，
HARQ，ESQ 共にボラティリティを過小評価していることが分かる．全体的に見ても，リーマ
ン・ショック以外の期間においても RV より各モデルによる予測値が低い値となっていること

170

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017が分かる．次に，図 4 を見ると，ボラティリティの動きが日経平均と KDDI では大きく異なっていることが分かる．特に 1999 年から 2000 年にかけての長期間のボラティリティクラスタリ
ングが目立つ．これは，1999 年 12 月の KDD と DDI と IDO が合併を正式発表してから，2000
年 10 月の実際の合併までの期間がほぼ該当する．個別銘柄の動きは，各銘柄固有の事象がその動きに影響を及ぼすので，株価指数とは異なる動きになることは興味深い．RV と各モデルによる予測値を比較すると，日経平均のグラフと同様，ES0，ES1，HAR，HARQ，ESQ 共に，
全体的にボラティリティを過小評価していることが分かる．日経平均のグラフにおける RV のy 軸の目盛が 0.2 までだったことを考えると，株価指数に比べて個別銘柄のボラティリティは非常に高い値となる場合があることが分かる．
3.4.1 誤差関数による基本統計量の分析
では，上で見た各モデルによる予測値の中で，どの予測値が最も高い予測力を持っているだ
ろうか．この疑問に答えるため，ここでは Patton（2011）によって提案された誤差関数のクラスを利用し，予測力比較を行う．この誤差関数は，実現ボラティリティの代理変数におけるノイズの存在に頑健であり，他の予測モデルの順位付けに利用することができる．ある実数 b に
よってパラメータ化することにより，この誤差関数のクラスは
⎧
b+2
1
1
⎪
− v̂ b+2 ) − b+1v̂ b+1 (rv − v̂) for b ∈/ {−1, −2}⎪⎨ (b+1)(b+2) (rvL(rv, v̂, b) = v̂ − rv + rv · log(rv/v̂)for b = −1
⎪
⎪
⎩ rv
rv
− log v̂ − 1for b = −2v̂のように定義される．ここで rv は，ボラティリティ測度であり，v̂ は対応する予測値である．こ（Quasi-LIKElihood, QLIKE）に対応する一方，b = 0の誤差関数は b = −2 のとき 擬似尤度誤差のときは平均自乗誤差（Mean Squared Error, MSE）測度に対応している．Patton and Sheppard（2009）によれば，尤度に基づく誤差関数である QLIKE は，ノイズに対して頑健であるため，
MSE と比較してボラティリティの予測力を比較する上でより好ましい誤差関数である．また，大きい正値の b に対しては，この誤差関数は真値の過大推定により重く罰則を与える一方，負（Patton, 2011）．
値の b に対しては，真値を過小評価するほど誤差関数の値が大きくなる
本研究では，b ∈ {1, 0, −1, −2} という 4 種類の値を用いる．実際の計算された誤差関数の値は，表 4 における 225 通りの推定予測期間に銘柄数 30 と上述の 4 種類の b を組合せた数
225 × 30 × 4 = 27000 に及ぶ．表 5 は，これらの誤差関数のうち b = −2 つまり QLIKE を用いて算出された平均誤差の値の一部である．この表を見ると異なる推定予測期間では，結果が変わっていることが分かる．また，27000 通りにも及ぶ誤差関数の結果に対して，これらの値を一つ一つ比較しモデルを評価することは困難である．
そこで，ここでは推定予測期間をインサンプルとアウトオブサンプルに大別し，それらの各基本
統計量を見ることにより全体的な誤差関数値の特徴を捉えることにする．表 6 はインサンプル，
表 7 はアウトオブサンプルにおける各誤差関数の基本統計量である．まず平均値に注目すると，イ
ンサンプルの表 6 から，b = 1 では ES1，それ以外の b では HARQ が最も低い値となっており，逆に最も高い値は b = 0 では ARQ，それ以外では AR1 となっている．この表から，インサンプルにおける誤差の平均値は，全体的な傾向として HARQ < ES1 < HAR ≈ ESQ < ES0 < ARQ < AR1となっていることが分かる．また，アウトオブサンプルの表 6 を見ると，b = 0 では ES1，それ以外の b では ES0 が最も低い値となっており，逆に最も高い値は b = 1 では ARQ，それ以外では AR1 となっている．この表から，アウトオブサンプルにおける誤差の平均値は，全体的な傾向として ES0 < ES1 < HAR ≈ HARQ ≈ ESQ < ARQ < AR1 となっていることが分かる．
次に最大値に着目すると，表 6 および表 7 共に，b の値によって結果がまちまちであるが，一経験類似度に基づくボラティリティ予測

171

表 5．誤差関数（b = −2）の結果（抜粋）．

つ言えることとしては AR1 でも他のモデルに比べて違いがそれ程極端に大きくはないことが分かる．
最後に標準偏差に関して見ると，インサンプルの表 6 では，すべての b において ARQ または AR1 が最も高い値となっているが，他の ES0，ES1，HAR，HARQ，ESQ については各 b においてそれ程大きな違いは見られない．そして，アウトオブサンプルの表 6 では驚くべきことに，ES0 がすべての b において最も低い標準偏差の値となっている．前述した通り，ES0 はパ
ラメータを推定せず，HAR の定数項以外のパラメータを 1/3 に固定したモデルであるが，最も分散が少なく安定的にアウトオブサンプルにおいて予測できているということである．このES0 が，アウトオブサンプル予測において威力を発揮することは，先行研究において示唆された結果と整合的である．この ES0，すなわち 1/3 重み付けモデルがアウトオブサンプルにおいて良好な結果を示すことは，最適ポートフォリオの構成を選択する際に，無情報重み付け 1/N
手法を凌駕することが難しい（DeMiguel et al., 2009）という結果を想起させる．つまり，この結果は，無情報の意思決定者が，直近の日次，週次，月次ボラティリティの総体に均等な重み付けをすることにより，次の日のボラティリティを予測する傾向にあるという直観的洞察に対応
している．

172

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 6．誤差関数（b = 1, 0, −1, −2）の基本統計量（インサンプル）．

3.4.2 モデル信頼集合に基づく比較
上で見たインサンプルとアウトオブサンプルにおける誤差関数値の基本統計量を目視することにより，その結果を判断することはあくまで便宜的であり場当たり的なやり方である．得られた誤差関数の結果を統計的仮説検定の枠組みの上で適切に判断することにより，各モデルの予測力の比較を行うため，ここでは Hansen et al.（2011）が提案するモデル信頼集合（Model Conﬁdenceの考え方を導入する．MCS により，特定のモデルを前提とせず，所与の有意水準でのSet, MCS）
最良なモデルを選択することが可能となる．MCS の一般的な手順は，Hamid and Heiden (2015）に従い下記の通り解説する．まず，候補となるモデルの組 M0 = {1, . . . , m0 } を用意する．本
研究では m0 = 15 となる．すべてのモデルの組に対して，各モデルから得られた誤差関数 L の
j i, j = 1, . . . , m0 ）および，差分に基づきモデルの優劣を評価する．つまり，モデル i と モデル （すべての時点 t = 1, . . . , T に対して
dij,t = L(rvit , rv
 it ) − L(rvjt , rv
 jt )

を評価する．そして，各 dij,t において，帰無仮説

経験類似度に基づくボラティリティ予測

173

表 7．誤差関数（b = 1, 0, −1, −2）の基本統計量（アウトオブサンプル）．

H0 : E[dij,t ] = 0,∀i, j ∈ M,i>jを，モデル集合 M ⊂ M0 に対して検定する．初期値は M = M0 である．もし帰無仮説 H0 がで棄却されるならば，予測力が最も低いモデルがこのモデル集
所与の有意水準（たとえば 10%）合から除外される．この方法を，H0 が棄却できなくなるまで継続する．ここでは Hansen et al.
（2011）に従い，H0 を評価するために以下のような範囲統計量を用いる．
TR,k = max |tij | = max 
i,j∈M

i,j∈M

T
1

|d¯ij |var(d¯ij )ここで d¯ij = T t=1 dij および v
ar(d¯ij ) は，ブロック・ブートストラップ法を用いることにより求められる．モデル集合 M から除外される最も良くない予測力を持つモデル i∗ は
i∗ = arg max i∈M

1
によって選ばれる．ここで d¯i = m−1



¯

d¯i
v
ar(d¯i )j∈M dij であり，m はモデル集合 M に含まれるモデル

174

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

表 8．MCS によるモデル順位（日経平均，抜粋）．

の数である．本研究では，ブロックの長さは 15 とした 10000 回の繰り返しのブロック・ブート
スラップ法を実行している．有意水準については 90%に設定し，実際の分析には前述の MFE
Toolbox を用いている．
では，実際のデータを用いた MCS の結果を見ていくことにしよう．MCS は，誤差関数同様，
225 通りの推定予測期間に銘柄数 30 と 4 種類の b を組合せた数 225 × 30 × 4 = 27000 通り実行できる．そこで，ここでも実際に得られた結果の一部を抜粋して 表 8 に紹介する．公平を期するために，ES0，ES1，HAR，HARQ，ESQ それぞれが最良であった期間を選んで掲載している．まず，この表 8 の最も左の列から順に，MCS によるモデルの予測力順位を 5 位まで掲載している．各モデル名の下にある括弧は P 値を表している．つまり，ここでは P 値が 1.00 であるモデルが最良であり，その後 P 値の高さによってモデルの予測力を順位付けしている．
次に，上述の MCS によって得られたモデルの予測力順位で P 値が 1.00 だったモデル，つまり MCS 基準で予測力が最良だったモデルの累積頻度を図 5 から図 7 に示す．まず，図 5 は，

経験類似度に基づくボラティリティ予測

175

図 5．MCS 最良モデルの累積頻度（推定期間別，インサンプル）．

図 6．MCS 最良モデルの累積頻度（推定期間別，アウトオブサンプル）．

列方向に左側が株式指数，右側が個別銘柄，行方向に上から推定期間が 1 年，5 年未満，5 年以上のデータセットから得られたインサンプルでの MCS 最良モデルの累積頻度である．一見して分かることとして，左側の株式指数では推定期間が 1 年では ESQ，その他では HARQ が最良モデルとしての頻度が最も高くなっており，いずれにせよ HARQ と ESQ が他のモデルを圧倒していることが分かる．ただし，右側の個別銘柄では，株式指数と同様の傾向ではあるが，5年以上の推定期間では ES1 が比較的健闘していることが分かる．
図 6 は，図 5 と同様の設定で アウトオブサンプルでの MCS 最良モデルの累積頻度である．
ここで特徴的なこととして，表 7 における誤差関数の結果により示唆されたように，アウトオ
ブサンプルにおける個別銘柄のすべての推定期間において ES0 の頻度が最も高くなっている．
株式指数では，推定期間が 5 年以上のデータセットでは HAR，それ以外では ESQ がそれぞれ最良モデルとしての頻度が最も高くなっている．
図 7 は，図 5 および 図 6 をインサンプル，アウトオブサンプル別と株式指数，個別銘柄別にまとめたものである．列方向に左側が株式指数，右側が個別銘柄，行方向に上側がインサンプ
ル，下側がアウトオブサンプルの各データセットから得られた MCS 最良モデルの累積頻度である．この図から分かることは，左側の株式指数においてインサンプルでは HARQ，アウトオ

176

統計数理

第 65 巻

第 1 号 2017

図 7．MCS 最良モデルの累積頻度（全推定期間）．

ブサンプルでは ESQ が最良モデルとしての頻度が最も高くなっている．右側の個別銘柄については，インサンプルでは HARQ，アウトオブサンプルでは ES0 がそれぞれ最良モデルとしての頻度が最も高くなっている．なお，前述した通り，GARCH 型 8 モデル に関しては，直接 RVt
系列を用い推定予測を行うのではなく，株価の対数収益率 rt を用いての推定予測であるため，
他の ES0，ES1，HAR，HARQ，ESQ の各モデルと予測力を直接比較することは適当でないことに留意すべきであろう．
3.4.3 Mincer-Zarnowitz 回帰に基づく比較
最後に，各モデルの予測値に対して Mincer-Zarnowitz（MZ）回帰を行なった結果を報告する．
Patton and Sheppard（2009）によれば，MZ 回帰は Mincer and Zarnowitz（1969）により提案された，予測力を評価する一般的な手法の 1 つである．この MZ 回帰は
σ̂t2 = α + βht + etにより定式化される．ここで，σ̂t2 はボラティリティの代理変数，α および β はパラメータ，ht
は各モデルから得られたボラティリティの予測値，そして et は誤差項である．σ̂t2 に関して，本研究では一貫して RV をボラティリティの代理変数として用いている．表 9 は，この MZ 回帰
を株式指数および個別銘柄の各インサンプル，アウトオブサンプルにおける推定期間別のデー
タセットに対して実行した際の自由度調整済み決定係数 R2 の結果である．この表中の下線を引いている値が，各行における最大の R2 の値である．この表から分かることは，株式指数におけるインサンプルではすべての推定期間において ESQ の R2 が最大であり，アウトオブサンプ
ルでは推定期間 5 年以上を除けば，すべての推定期間において ES0 の R2 が最大となっている．
また，個別銘柄については，インサンプルでは推定期間 1 年を除いては ES1 の R2 が最大であり，アウトオブサンプルではすべての推定期間において ES0 の R2 が最大となっている．つまり，アウトオブサンプルにおいて，株式指数の推定期間 5 年以上を除けば，すべて ES0 の R2が最大となっている．このことは，先の誤差関数，MCS の結果とも整合的である．
MZ 回帰の結果に基づいて全体的傾向を縮約すれば，インサンプルでは 4 次モーメントの情報を使った方が予測が良いものの，アウトオブサンプルではそのような効果は認められない．
収益率データにはしばしばボラティリティクラスタリングが観察される通り，荒れている時期もあれば凪いでいる時期もある．インサンプル期間におけるそのような違いを説明するのに，
RQ は重要な説明要素たりうるが，大きな変動性が将来的にいつ訪れるかに関しては，今回分

経験類似度に基づくボラティリティ予測

177

表 9．MZ 回帰による各モデルの自由度調整済み決定係数 R2 ．

析したモデル群は殆ど構造を持っていない．
外挿型の点予測を行う状況では，4 次モーメントを取り込んで広めに構えていても，ナイーブな方式で予測を形成しても大きな違いはなく，fat tail を想定しておいたメリットが活きるケー
スは低頻度と考えられる．予測ストレッチが短ければ，たまたまそういう想定が奏功して予測評価の尺度は上がるかもしれないが，ストレッチが長くなるほどそういうケースは率として低下してゆく．それが，アウトオブサンプルで ES0 が平均的に優越しているということの，ひとつの解釈たり得るのではないだろうか．
4.

結論

本稿では，事例ベース意思決定理論（Gilboa and Schmeidler, 1995, 2001）に基礎を置いた Gilboaを端緒とする経験類似度の枠組みに着目し，Golosnoy et al.（2014）の提案した経験
et al.（2006）
類似度に基づく時系列モデルを用いボラティリティ予測の実証分析を行なった．
ここでの実証研究の中心的貢献は，経験類似度モデル ES0，ES1，ESQ とその他の時系列モデ
ルとの予測力比較にある．モデルの予測力比較については，最初に 4 つの誤差関数による MCSを用いることにより，複数の銘柄と推定予測期間におけるモデルの予測力を順位付けし，最良モデルの累積頻度を分析した．分析結果としては，インサンプルでは株式指数，個別銘柄共に
HARQ，アウトオブサンプルでは株式指数は ESQ，個別銘柄 ES0 がそれぞれ最良モデルとしての頻度が最も高いという結果となった．次に，複数の銘柄と推定予測期間におけるモデルの予測力を比較するために，MZ 回帰を実行した．この MZ 回帰の自由度調整済み決定係数 R2 に基づく分析結果によれば，インサンプルでは株式指数は ESQ，個別銘柄は ES1，アウトオブサン
プルでは株式指数，個別銘柄共に ES0 が最良という結果となった．MCS および MZ 回帰の結果において，アウトオブサンプルにおける ES0 の予測力が他のモデルと比較して高くなる傾向
は，先行研究 Golosnoy et al.（2014）の結果と整合的である．また，HARQ，ESQ といった高頻度データから算出された実現測度 RQ を含むモデルが誤差関数，MCS，MZ 回帰において全般的に好評価であったことは，高頻度金融データの集約がもたらす情報量の多さを改めて確認さ

統計数理

178

第 65 巻

第 1 号 2017

せられる結果となった．
また，本稿ではボラティリティの非対称性について特に考慮に入れていないが，非対称性はボラティリティを予測する上で非常に重要な因子であるため，この点については今後の研究課
題としたい．
最後に，経験類似度モデルを日本の株式市場におけるボラティリティ分析に適用し，さらに，
HARQ，ESQ といった実現測度 RQ を含むボラティリティモデルを体系的に扱った文献は，我々の知る限り，本研究が本邦初である．従って，経験類似度モデルの金融分野への適用および実現測度 RQ を含むボラティリティモデルの応用は始まったばかりであり，今後の研究の発展に期待したい．
謝辞

本研究は，統計数理研究所公募型共同利用（課題番号 28-共研-2012）に基づくと同時に，科学研
究費基盤研究（A）
25245033，（A）
15H01943，（B）
15H03337，（C）
16K00067，（C ）26380279，（C）
15K03406 による援助を受けています．また，改稿にあたって有益なコメントをくださった 2 人の査読者および Union Investment の Moritz Heiden 博士に感謝いたします．

参

考

文

献

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180

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 155–180 (2017)

Volatility Forecasting with Empirical Similarity:
Japanese Stock Market Case
Takayuki Morimoto1 and Yoshinori Kawasaki2,3
1 School of Science and Technology, Kwansei Gakuin University
2 The Institute of Statistical Mathematics

3 Department of Statistical Science, School of Multidisciplinary Sciences,

The Graduate University for Advanced Studies

In this research, we compare the forecasting ability of various volatility models
through within-sample and out-of-sample forecasting simulations. Models considered here
are heterogeneous auto regression models (HAR), a 1/3 model where the weight coeﬃcients are all set to 1/3 in the HAR model (ES0), and an HAR model in which weight
coeﬃcients are determined by empirical similarity. We also try AR(1), ARCH/GARCH
and their variants, and models incorporating the Realized Quarticity (RQ), which arereferred to as ARQ, HARQ and ESQ. As stock data, we pick 6 index series from theTokyo Stock Exchange, and 24 individual stock series all of which had enough liquidityfrom April 1st 1999 to December 30th 2013. Minute-by-minute data were created based onhigh-frequency data. Forecasting evaluation depends on what kind of evaluation function
we employ. We make use of Patton’s error function. Changing the length of the estimation
period and the forecasting period, and also the parameter of Patton’s error function, we
try 27,000 patterns of forecasting simulations. We ﬁnd that ESQ and HARQ are almost
comparative in within-sample forecasting, whereas ES0 is outstanding in out-of-sample
forecasting experiments. We also tried model comparison based on the pair-wise testingprocedure proposed by Hansen et al. We see similar results but the details are a little bit
diﬀerent in index series and in individual stock series.

Key words: Empirical similarity, realized measures, HARQ, ESQ, model confidence set.