Introduction to the Glauber theory and its application
理研仁科センター原子核物理学連続講義 (2010-2011)

Yasuyuki Suzuki
Niigata Univ. & RikenOutline
1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction

11. Introduction
グラウバー理論 （Roy J. Glauber, 1925-）
High-energy collision theory
Lectures in Theoretical Physics, Vol I (Interscience, New York, 1959)
R.Hofstadter
1950年代の電子散乱による原子核研究に触発されて展開
素過程の相互作用をベースにして、複合粒子間衝突を記述 (Nobel prize1961)
グラウバー理論はアイコナール近似と断熱近似を仮定（但しこの用語は講義録には現れない）
断面積と波動関数との関係が簡明に表現される不安定核の研究
ハロー構造の発見以後、ドリップ線近傍核の構造の研究がp,sd殻核領域を越えて進展中
中高エネルギー反応（核子当り、数１００MeV以上の入射エネルギー）により有用な実験結果が蓄積

講義の目標
practical, middlebrowStructure and reactions of light exotic nuclei (Y.S., R.G.Lovas, K.Yabana, K.Varga,Taylor&Francis,2003)
中高エネルギー不安定原子核反応におけるグラウバー理論（鈴木宜之,日本物理学会誌63,2008) 2

quantum theory of optical coherence (1963, Nobel prize 2005)

Roy J. Glauber – Autobiography1943 Santa Fe, Manhattan Project
Oppenheimer, Bethe, Feynman,
Bohr, Schwinger

3

11Li Halo

Secondary beam!
H.H.Heckman et al. PRC174

中高エネルギー原子核反応実験で測定されたもの

Interaction cross sections
Reaction cross sections
Neutron removal cross sections
Charge-changing cross sections
Energy and momentum distributions of fragments
Angular distribution in elastic scattering
Inelastic scattering
Coulomb excitations
これらの諸物理量と波動関数、相互作用との関係を明らかにしたい
1992~

Galuber, eikonal模型による研究

Reaction Mechanisms of 11Li at Intermediate Energy
K. Yabana, Y. Ogawa and Y. Suzuki, Nucl. Phys. A539, 295 (1992)
Break-up Effect on the Elastic Scattering and the Optical Potential of 11Li
K. Yabana, Y. Ogawa and Y. Suzuki, Phys. Rev. C45, 2909 (1992)
Glauber Model Analysis of the Fragmentation Reaction Cross Sections of 11Li
Y. Ogawa, K. Yabana and Y. Suzuki, Nucl. Phys. A543, 722 (1992)

1989.2-1990.1 ミシガン大学滞在中に不安定核の反応に興味

5

Abrasion-Ablation model for relativistic heavy-ion reactions
Projectile

AbrasionTarget・・

J.Hufner et al.

Ablation （低エネルギー現象）
PRC23(1981)

Glauber theory

PRC12(1975)

6

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction

7

2. Basics of potential scattering theory
2.1

Key words: 散乱振幅、断面積、フラックスの保存、光学定理、位相差

球対称ポテンシャル散乱、或は２粒子衝突の相対運動の方程式

境界条件

散乱振幅

ポテンシャルの詳細によらない一般論
確率密度
確率流密度

微分断面積

は単位ベクトル8

複素ポテンシャル（非弾性散乱、フラグメンテーション等を記述）の場合
時間依存のシュレーディンガー方程式から定常状態の解では第1項＝０
フラックスの保存(ガウスの定理)を用いてフラックスの計算を行う

右辺第3項、第4項は入射波と散乱波の干渉項
9干渉項はR→∞のとき、 θ= 0でのみ寄与することがわかる

j(r)

θ

十分大きな半径Rの球面Sでフラックスを計算
R第3項は以下のようになる

フラックスの計算

Rが十分大きいときは、
θ=0 (t=1)でのみ積分に寄与

右辺第1項のみ寄与、第2項は1/Rのオーダー
第4項は第3項の1/Rのオーダーの第1項は球面積分で消え、第2項とf(0)の項のみ残る

実数ポテンシャルのとき、はゼロ

10複素ポテンシャルのときこの量を（吸収断面積） と定義する（29頁参照）

一般化された光学定理
部分波展開

Phase shift

これを境界条件の式と比べて散乱振幅の部分波展開式を得る

11

2.2

Key words: Lippmann-Schwinger方程式、グリーン関数

散乱の境界条件＋シュレーディンガー方程式と等価な積分方程式

Lippmann-Schwinger方程式

自由粒子のグリーン関数
See, e.g., L.I. Schiff
Quantum Mechanics (2nd edition)
pp. 162-16412

測定

散乱振幅の積分表示
散乱振幅の計算には、ポテンシャルが消えない領域で波動関数を精度よく求めればよく、境界条件を満たさないものを用いても良い
仮に、ポテンシャルが弱く平面波からの歪みを無視できれば1次ボルン近似（移行運動量）（フーリエ変換）13

Lippmann-Schwinger 論文

グリーン関数
Resolvent

14

2.3

付録：境界条件を満たさない波動関数を用いて散乱を解く例

Spectroscopic amplitude (SA) や位相差の計算に束縛状態の波動関数を用いることを試みる
SA y(r) の定義と満たすべき方程式

シュレーディンガー方程式をチャネルcに射影
I1α1

ｌ

I2α2
チャネル

２原子核間のチャネルcで働く相互作用SAの漸近的振舞いから位相差が決まる

15

SAが満たす方程式をは以下のように与えられる
ここで、原子核間の局所ポテンシャルU の選び方は任意

グリーン関数を用いて境界条件を満足するSAを得る

See, e.g., L.I. Schiffpp. 166-167

が r の大きいところで消えるように U を選べば、は相互作用領域でのみ高精度で記述されていればよい
この近似解からλ, z(r) を決定できる.
結果として正しい漸近系を持つが得られる

16

近似解を得る（CDCCと同様の考えで、連続状態を２乗可積分関数で展開）
αと中性子間の相対運動をガウス基底で展開
連続状態を離散化したエネルギーと波動関数を求める
微視的模型 反対称化演算子

E3E2
E1α+n 閾値Resonating Group Method (RGM)

離散化連続状態

この仮定から、u(r)に対する微積分方程式を境界条件に従って解き、位相差を得る（single channel近似でexact)
17

MN力(中心力＋スピン軌道力）、 U=0

高精度のR-行列計算の位相差と離散化波動関数によるものとの比較
S波、P波いずれも一致

束縛状態近似とグリーン関数で修正した解との比較

18

現実的AV8’力（強い中心斥力、テンソル力を含む）の場合
現実的核力の結果を実験データと比較：S波散乱はほぼ良い
P波散乱は引力効果が足りない

αの歪み
パウリ原理
３体力

「Coupled-channelへ拡張する、任意のエネルギーで散乱解を得る」課題に応えるには？

19

2.4

補足：反対称化演算子とspectroscopic factor

Antisymmetrizer
Pは空間、スピン、アイソスピンすべての座標を交換する（反対称化）射影演算子

例： ３核子系

1粒子波動関数の積ならSlater 行列式
20

2クラスター波動関数

ξ1 :はクラスター間の相対座標各クラスター波動関数

ξ2 :は反対称化されてノルム１に規格化

クラスター間の反対称化演算子（表現は一義的ではない）

A1=2, A2=2 の４核子系の場合

クラスター１，２が同一の場合は、クラスター全体の交換も考慮する
21必要がある

Spectroscopic amplitude (SA)
規格化された反対称波動関数
含まれる目安を与えるに、クラスター１，２の成分がテスト関数

Spectroscopic factor (SF) S はのノルム

例： 十分発達したクラスター状態の規格化とSの値とし、クラスターは十分に離れていて両者の反対称化は無視できるとする

22

が規格化されていればも規格化されている
このとき、Sは１となり、直感と合致する
SFの和則:が従う方程式はpp.15-16に与えた。 (gではなく、ｙ と記した）

正確なSAの定義には、２クラスターの粒子数に依存する因子、及び同一クラスターの場合には更にの因子が必要になる。
束縛状態の場合には、Rの大きいところで減衰するようにグリーン関数を定義すればよい。内部で高精度の波動関数があれば境界条件を満たすSAを求められる
23

1. Introduction

2. Basics of potential scattering theory
2.1 散乱振幅、断面積、フラックスの保存、光学定理、位相差
2.2 Lippmann-Schwinger方程式、グリーン関数
2.3 付録：境界条件を満たさない波動関数を用いて散乱を解く例
2.4 補足：反対称化演算子とspectroscopic factor
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction25

3. Eikonal approximation
3.1

Key words: 高エネルギー近似、衝突係数表示、位相差関数

ポテンシャル問題で散乱解を求めるのは容易だが、複合粒子系の散乱問題を解くことは容易ではない
相対運動と複合粒子の励起が分離せず結合する相互作用が強い場合はボルン近似は無力弾性散乱でも、特に弱く結合した複合粒子の場合には、その励起効果を無視できない
終状態は一般に多岐にわたり、入射エネルギーの高いときには個々の反応生成断面積を計算することは難しい
平面波面

高エネルギー近似のポテンシャル散乱a
入射波の高い振動は平面波で表現され、ずれの部分はそれに比べて激しく振動しない

ポテンシャル
Z 方向
26

が従う方程式に比べてを無視できる条件

1. 入射運動量からの揺らぎが小さい。 運動量の不確定さ

入射波長はポテンシャルのレンジより十分に小さいこと

2. 運動量移行が小さい。 力積の関係から・入射エネルギーはポテンシャルの深さより十分に大きいことの大きさには条件なし。 (cf. ボルン近似. 27頁参照)
Ｅ（ＭｅＶ）で入射する核子の波長271 階の偏微分方程式。

初期条件

アイコナール近似の波動関数

波数とポテンシャルとの関係

衝突径数 b がポテンシャルのレンジより大きいとき、アイコナール近似解は平面波！ 境界条件を満たさず、として散乱振幅は計算できない
28

物理におけるアイコナールの由来

アイコナールH. Bruns (1895)
電磁場の方程式
波長が屈折率の変化に比べて十分に小さいとき`
シュレーディンガー方程式
高速荷電粒子の散乱理論 Iへの適用
遮蔽クーロン場の単一散乱(1947)29

アイコナール近似の波動関数はポテンシャル領域でよい近似として散乱振幅を計算できる(zに依らない!)高エネルギー散乱ではθは小さい
は xy 面のベクトル

Z積分実行可能30

アイコナール近似の散乱振幅と位相差関数

Phase-shift function
球対称ポテンシャルの場合、位相差関数は角度積分実行可能の方向には依存せず、部分波展開との対応

kbの対応

31

ボルン近似との関係の程度

は2なら1次ボルン近似に帰着

原子核の散乱では一般にこの条件は成り立たない付録： スピンー軌道ポテンシャルがある場合のアイコナール近似
散乱面に垂直なベクトル
散乱振幅演算子32

3.2

Key words: 諸断面積、光学定理、位相差関数の例

立体角の積分を運動量移行の積分に変換

全弾性散乱断面積

ここで33全断面積と光学定理
1. 光学定理からアイコナール振幅を用いればから2.

(cf.

)

吸収断面積

これにを加えれば、1 の結果と同じになる
アイコナール振幅は光学定理を満たす！
34
アイコナール近似の断面積は部分波展開の表式と対応していることに注意簡単な例
1. Sharp cut-off 模型

Heaviside関数
R

強吸収のポテンシャルを示唆するが、アイコナール近似の条件を破るかもしれない。位相差関数の数学的理想化例（Fraunhofer回折振幅）
弾性散乱の角分布はでdip

実際は核表面でのぼやけがある

A. Kohama, K. Iida, K. Oyamatsu, PRC72 (2005)
具体的応用
陽子-原子核反応により、原子核の核半径Rを評価し、弾性散乱と全反応断面積との関係をみる
35

弾性散乱の角分布（クーロン力の効果は無視できる）
角分布の最初のピークは= 5.13...

このとき、陽子-原子核反応の全反応断面積は2. 箱型ポテンシャル

36

C(x)
1-50x

3. クーロンポテンシャル

Log発散！ 長距離力のため、大きな b に対しても位相差は消えない
37

大きな半径aでクーロン力をcut off （遮蔽 Coulombポテンシャル）（有効クーロン位相差）
アイコナール近似のクーロン散乱振幅
第一項はθ= 0でのみ寄与（26頁の積分公式参照）

Rutherford 振幅との違い：に代えればよいの一定のphaseだけ違う。
微分断面積はcut off 半径によらず、Rutherfordの公式と一致
アイコナール近似で正しい結果が得られる

38

4. クーロン力と短距離力の２ポテンシャル問題

位相差関数は加算的！

a-independent

Coulomb phase

第2項はCoulomb-nuclear干渉(分け方はユニークではない）
微分断面積

はcut off半径に依らない
39

具体例

E=200 MeV

位相差関数に関係した諸量の b 依存性
実部

虚部

虚部

実部

b (fm)

40

Partial-wave expansion vs eikonal approximation
S行列の比較
E=200 MeV

虚部

実部

41

部分波展開表示での断面積 （cf. アイコナール表示)
11, 28, 29頁参照

特に極低エネルギーではＳ波のみ寄与
有効距離理論 ( 散乱長有効距離)

諸断面積は散乱長で表される
現在採用しているWoods-Saxonポテンシャルについて
散乱長 a=5.45-2.47i (fm)42

En=100 MeV

Quantumは部分波展開による計算

1b=100 fm2
43

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory

3. Eikonal approximation
3.1 高エネルギー近似、衝突係数表示、位相差関数
3.2 諸断面積、光学定理、位相差関数の例
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction

44

4. Glauber approximation fornuclear collision
4.1

Key words: エネルギースケール、アイコナール近似、断熱近似、時間依存方程式

相対運動のエネルギー

Projectile
換算質量Target運動学

相対運動の波数45入射核の全エネルギー

これから 入射速度を求められる
0.43=100 MeV

0.86=900 MeV

原子核同士の相互作用距離 Rのアイコナール条件は殆ど満たされる46

原子核衝突におけるエネルギースケール
1. 相対運動のエネルギー
2. 核内核子の運動：フェルミエネルギー
3. 核子-核子衝突でのハドロン(π等)生成
では、核子交換や核子移行などを無視できない
ハドロン生成の起こるエネルギーでは、核子-核子相互作用に吸収項をもたせて、フラックスの減少として表現
アイコナール近似は、大雑把に言ってで安全に適用可能
核子-原子核衝突の定式化
核子-核子相互作用の情報をinput して、断面積（inclusive）を求める
標的のハミルトニアン

核子全系のシュレーディンガー方程式
Target原子核反応論（河合光路、吉田思郎：朝倉物理学体系）
原子核の理論（市村宗武、坂田文彦、松柳研一：岩波講座現代の物理学）III 原子核反応47

境界条件

終状態αへの微分断面積

注意： 反対称化無視
核子座標のみで記述しており、ハドロン生成は顕には扱えない
漸近系から明白なように、粒子移行過程は無視
標的のフラグメンテーションは、連続的励起状態と考えればよい
ポテンシャル散乱と同様、グリーン関数、 Lippmann-Schwinger方程式、散乱振幅の積分表示、アイコナール近似の順に展開する（相互作用の無い場合のハミルトニアン）48

グリーン関数グリーン関数に含まれる相対座標以外の原子核の核子座標は省いた
右辺の１は原子核の波動関数に対して単位演算子であることを表す

但しの時（closed channel α）（証明）（closureの関係）49

境界条件を含んだシュレーディンガー方程式 (Lippmann-Schwinger方程式)

として、グリーン関数の漸近系から(open channelのみ効く)散乱振幅の表示を得る()

ポテンシャルの作用する領域で高精度の波動関数を求めればよい

アイコナール近似

断熱近似（励起エネルギー<< 入射エネルギー）
50

（但し、クーロン分解反応では断熱近似は破綻. 9章参照）{

初期条件（）

この解は以下のようになる

ポテンシャル散乱の場合と同様の計算から、標的核の状態αへの散乱振幅を得る（核子-核子散乱の位相差関数）
は標的核の座標に関する積分
グラウバー理論は、摂動展開を使用せず、多重散乱効果をすべてのオーダーまで含む
微視的多体反応論

k座標の関係51断熱近似を用いない場合： 外場のある時間依存方程式に書き換えられると置く

初期条件と略記するとのもとに方程式を解きを計算

これを標的核の状態で展開して諸断面積を求める

参考文献
Esbensen et al. NPA581, 107 (1995); NPA600, 37 (1996)
Kido et al. PRC53, 2296 (1996)
Goldstein et al. PRC73, 024602 (2006)

52

4.2

Key words: 全反応断面積、ハドロン生成、相互作用断面積

個々の励起状態への断面積ではなく、inclusiveな断面積を求める
Closureの関係式を利用する

衝突係数の衝突で、状態αが励起される確率

弾性散乱断面積‘‘全断面積’’
Closureの関係式

基底状態の波動関数のみで表現される
53

これは全断面積か？ 全反応断面積

ハドロン生成を伴う高エネルギー反応では、全断面積はどう与えられるか？
は複素数として扱う（光学定理）

全反応断面積

ハドロン生成なし
ハドロン生成あり
54

諸断面積の直感的意味
アイコナール＋断熱近似で核子-原子核の相対運動はすでに解いた
衝突後の標的核の波動関数は、核内核子がそれぞれ位相差をうけ、それらの総和の位相（に依存する）だけ変化する
衝突後の標的核の波動関数
衝突後の標的核初期状態の波動関数との差が衝突による変更部分を表す

係数のノルムの2乗が状態αを励起する確率を与える
ハドロン生成がある場合は55

原子核-原子核衝突の定式化は、核子-原子核の場合と同様ハミルトニアン

原子核間の相対座標
Projectile

境界条件
Target運動エネルギー項と励起エネルギー項を無視する

56

散乱振幅

入射核状態α、標的核βへ遷移する断面積

核子-核子位相差関数は加算的
入射核と標的核の座標に関する多重積分
全反応断面積 （一般に、光学定理を利用して得られる）

57

核子-原子核反応の断面積の計算

基底状態の波動関数のみ必要

原子核-原子核反応の場合には以下の読み替えを行う

58

相互作用断面積
高エネルギー反応では、多くの終状態を区別するのは不可能、衝突後入射核の核子数は増えない
核子数が減った終状態への断面積の総和として相互作用断面積を定義

β

標的核の状態βは観測しないのでclosureを使う

α0 PBE

全反応断面積と相互作用断面積の関係

全反応断面積と相互作用断面積
実験的には相互作用断面積の測定のほうが容易
cf. Takechi et al. PRC79(2009) 全反応断面積を測定
理論的には全反応断面積の計算のほうが容易
上の表式の評価ができればよい（キュムラント展開の適用を後述）
59

として測定された相互作用断面積を全反応断面積で評価することが通常行われる粒子崩壊の閾値以下に励起状態をもたない場合には相互作用断面積と全反応断面積の差はα=0の基底状態のみの寄与で評価される。ハロー核の場合この差は小さい
妥当性の検証は、原子核の励起構造、入射エネルギーの違いに応じて幾つかの場合になされるのが望ましいが、どこまでいっているのか
Ozawa et al. NPA709(2002)
γ線を測定して評価
差は10 mb程度（相対論的エネルギーで）安定核の場合の両断面積の違いについて
くろたま模型による現象論
A. Kohama, K. Iida, K. Oyamatsu, PRC78 (2008)
炭素標的で相対論的エネルギーでもは100mb程度になり得る（=として）NB: 最近charge-changing cross sectionが測定されている。理論的定式化？ 60

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation

4. Glauber approximation for nuclear collision
4.1 エネルギースケール、アイコナール近似、断熱近似、時間依存方程式
4.2 全反応断面積、ハドロン生成、相互作用断面積
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction61

5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
5.1

Key words: プロファイル関数

核子-核子相互作用に基づいて記述（核子-核子散乱の位相差関数）
核力と核子-核子散乱の位相差関数を関係づける関係であるが、現実の核力から計算するのは殆ど不可能だし意味があるとは限らない
核子-核子散乱データと関係づけて、位相差関数或はプロファイル関数を考える

Profile関数と核子-核子散乱断面積との関係

62

http://pdg.lbl.gov/2010/hadronic-xsections/hadron.html

Total and elastic cross sections for pp collision

PLB667(2008)63

Total and elastic cross sections for np collision64

p.61からβは前方の角度分布を決める

α、βを両断面積のデータと矛盾しないように選ぶ
π中間子生成以下のエネル
ギーでは弾性散乱断面積と全断面積が等しい

cf. ゼロレンジ

Abu-Ibrahim et al. PRC77(2008)

65

5.2

Key words: 位相差関数、キュムラント展開、密度分布、optical limit 近似、遷移密度、Foldingポテンシャル、モンテカルロ積分、光学ポテンシャル

位相差関数の計算

Projectile

I. 解析的計算
Targetの変数

多重散乱級数展開
原子核の波動関数がガウス型関数の場合は計算可能交代級数的であり、数項で打ち切って評価するのはよくない
66

p+6He散乱の解析例

p-6Heの位相差関数を核子-核子プロファイル関数から計算
p.39 クーロン
力有を参照

α粒子は(0s)4調和振動子波動関数∝

ShellCluster

Rms半径はどれもミクロ計算値2.51 fmに一致するようにした

Abu-Ibrahim et al. NPA657(1999)

67

II キュムラント(cumulant)展開による近似計算

多重散乱演算子（関数）

全反応断面積では入射核、標的核が基底状態にあるときの位相差関数が必要となる相互作用断面積では入射核が励起される過程の断面積を評価する必要がある
68

核子-原子核の位相差関数を例として考える（核子-核子位相差関数を用いた場合）

モーメント展開
キュムラント展開
Xの揺らぎによる展開
69

は１粒子密度で表現される
μ2は１、２粒子密度を用いて表され、核内の核子-核子相関に依存する70

（核子-核子プロファイル関数を用いた場合）

2粒子密度で表現される両者の関係？ χが小さいとしてと考えれば両者の対応関係は見やすいが、完全には対応しない
71

キュムラント展開の断面積の計算への適用

全反応断面積の場合 （核子-核子のプロファイル関数を用いて表現）

OLAはμ1のみ考慮

μ1は1粒子密度とΓで簡単に表される

μ2の項は全反応断面積のOLA評価を減らすように働く

72

μ2に現れるΓの２次の項は3タイプの相互作用に分類され、1粒子及び2粒子密度よって表現される

入射核

標的核

73

相互作用断面積への応用
非弾性過程に伴う新しいタイプの行列要素の計算は同様にキュムラント展開で行うの部分もキュムラント展開を行う

入射核の遷移密度μ1は標的核の核子座標の1体演算子。入射核の遷移密度と標的核の2核子密度があれば相互作用断面積の評価が可能

74

III 全反応断面積の計算再考

Projectile

核子-標的核の光学ポテンシャルが与えられたとする
これから核子-標的核の位相差関数が定義できる

入射核-標的核の位相差関数を上記の位相差関数から計算し、それから全反応断面積、弾性散乱断面積を計算できる

Targetこの近似の位相差関数は光学ポテンシャルの重ね合わせによって得られたFoldingポテンシャルの位相差関数になる
Breakupの効果は入らない

75

NTG近似OLAと同様、1粒子密度のみで計算
Abu-Ibrahim, Y.S. PRC61(2000)

核子-標的核の光学ポテンシャルから核子-標的核のプロファイル関数を定義する

入射核-標的核の位相差関数をこのプロファイル関数から計算するが小さいなら

Folding ポテンシャルの位相差関数と同じ
しかし一般には異なる光学ポテンシャルが利用できないとき、核子-核子プロファイル関数からを計算する

76プロファイル関数や全反応断面積の計算の近似法の比較
炭素核の密度は平均場描像で生成
中性子、陽子の分離エネルギーを再現
重心運動は（良い近似で）分離電子散乱から得られた密度と良い一致

Horiuchi et al., PRC75(2007)77核半径の見積り

Kanungo et al. PRC83(2011)

Fermi型の密度を仮定
陽子分布は電荷半径を再現
中性子分布は陽子分布より広がっている

NTG近似

×

Rms半径(fm)

H標的のデータは誤差が大きく有効な範囲を与えない78

IV モンテカルロ積分法（MCI)による数値計算
多変数関数の積分p(x) の分布に従って発生(Metropolis法)

位相差関数はこの型の積分に該当

p(x) →
この方法の利点1. 核子数や入射核、標的核の波動関数に制限なし
2. すべての多重散乱項を考慮できる
3. 計算は非常に簡単
Varga et al., PRC66(2002)

79

Metropolis法:

重み関数p(x)に従って座標点列 x1, x2,…, xN を発生させる。

xi まで生成した
1. xi+1の候補 xt を xi のまわりでランダムに選ぶ
2. r= p(xt) / p(xi)を計算
r が１以上ならxi+1 = xt
r が1より小さいとき
r がランダム数α以上ならxi+1 = xt
r がαより小さいならステップ1へ行く
3. i → i+1

Random walk のステップ幅Δに依存

Δ
0.01の分布に従う座標 x を百万個発生

0.05
×0.25

[0,1] の乱数 α に対して(2α-1)Δで動かしたときの発生点のヒストグラム80解析計算とMCI計算の比較(0s)4調和振動子波動関数

α+α弾性散乱角分布と反応断面積

計算精度は信頼でき、MCIの結果は予言能力あり81

α+α弾性散乱角分布の実験データとの比較
Variational Monte Carlo (VMC) WF ・ ・ ・ 実線(0s)4 HOWF で同じ半径を与えるもの ・ ・ ・ ダッシュ線

VMCに考慮さている核子相関の効果が最初のdipを越えたところから見えている82

全反応断面積(MCI理論値）と相互作用断面積（実験値）との比較
Varga et al., PRC66(2002)（†印は0.87GeV/nucleonのデータ）

83位相差関数から光学ポテンシャルへ
核子-核子プロファイル関数から核子-原子核、原子核-原子核、あるいは核子-原子核プロファイル関数から原子核-原子核の位相差関数を求めた。
これらは弾性散乱をアイコナール近似で記述するもの

はFoldingポテンシャルの位相差関数に対応をで近似するのは、原子核の励起を無視することになる

高次項は原子核の励起効果による位相差関数のずれを表すを生成する光学ポテンシャル？

数学的にはχからVへの逆変換で、位相差関数が軸対称、bの長さのみに依存するときには容易に可能
84

左辺が既知のとき、Voptを求める問題

原子核の励起を顕に入れないで、光学ポテンシャルを計算する
顕に連続状態を入れないで、ハロー核のブレークアップ効果を評価できる
85

1.
2.
3.
4.

Introduction
Basics of potential scattering theory
Eikonal approximation
Glauber approximation for nuclear collision

5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
5.1 プロファイル関数
5.2 位相差関数、キュムラント展開、核子密度、optical limit 近似、遷移密度、Foldingポテンシャル、モンテカルロ積分、光学ポテンシャル
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction866. Case of halo nuclei
6.1

Key words: ハロー核

ハロー原子核弱いハロー中性子の束縛、空間的な広がった分布
安定核の場合とは異なった特徴
１中性子ハロー原子核
基底状態のみ束縛し、励起状態は連続状態と仮定
マクロスコピック模型（反対称化無視、芯核の歪み無視）

ハロー核が基底状態にとどまり、標的核を励起することは小さいので、相互作用断面積は全反応断面積とほぼ等しい
87