第1講多項式の計算

ポイント 1 多項式の展開
分配法則
a（b＋c）＝ab＋ac（a＋b）
c＝ac＋bc

乗法公式⑴ （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2⑵ （a−b）2＝a2−2ab＋b2⑶ （a＋b）（a−b）＝a2−b2⑷ （x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）
x＋ab⑸ （ax＋b）（cx＋d）＝acx2＋（ad＋bc）x＋bd⑹ （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
やや複雑な式の展開では，共通する部分を（するとやす）でまとめるなどすると，計算しやすくなることがある。

（a＋b＋c）2＝｛（a＋b）＋c｝2＝（a＋b）2＋2（a＋b）c＋c2elpmaS

わかりにくければ，a＋b＝X のようなおきかえをしてから計算してもよい。
してかしてもよい

チェック１ 次の式を展開せよ。
23b（4a−7b）⑴

2⑶ （x−2）（x ＋3x−5）
2⑸ （7x−4y）⑺ （a＋6）（a−15）−15）
2⑼ （a＋2b−c）
2b解
ポイント 2 因数分解
共通因数のくくり出し
くくab＋ac＝a（b＋b＋c）⑵ （a＋2b）（a＋＋2b（）3c−4d）
3cc−4d）
2⑷ （（p＋8）
p＋8）

⑹

5
5
9m−m− n（9m＋ n）（9m8 ）
8⑻ （3x−2）（3x−22（（3）4x＋3）
4⑽ （（2a−3b＋4c）2a4c）2因数分解の公式（乗法公式の逆）（乗⑴a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2⑵2a2−2ab＋b2＝（a（a−b）b）⑶

a2−b2＝（a＋b）
（a−b）

⑷

x2＋（a＋b）
x＋ab＝（x＋a）（x＋b）

因数分解では，それ以上進められなくなるまで，共通因数でくくり出したり公式を使ったりする。

チェック２ 次の式を因数分解せよ。

2⑴12x2−32xy⑵30a6bc4−36a3b2c＋6a3b⑶t2−20t＋100⑷1−144k22⑸

r −15r＋56⑹

x2＋13xy−30y2⑺2x5−50x3⑻−18a3bc2＋48a2b2c2−32ab3c2

ポイント 3 たすきがけによる因数分解
因数分解の公式（乗法公式の逆）
acx2＋（ad＋bc）x＋bd＝（ax＋b）（cx＋d）⑸

実際の計算では，次のようにして a，b，c，d の値を判断すると考えやすい。このような因数分解の手法を，たすきがけの方法ということがある。
ab ……

bccd ……

ad↑↑

積 ac が積 bd がx2 の係数

定数項の数

bc＋ad ←xの係数

2x2＋5x−12 の因数分解x2の係数 2 から，公式のaとcにあたる数を求める。x2の項においては，a＞0おいてaの場合だけ考え①ても差し支えない。かけて 2 になる 2 つの整数は 1 と 2 なので，ので（a，c）＝（1，2），（2，1）
ここでは a＝1，c＝2 とする。
②elp

定数項−12 から，公式のbとdにあたる数の候補を洗い出す。かけて12になるたる数の洗い出す。かけてる 2 つの整数は
1 と12， 2 と 6，3 と 4 で，定数項の符号が負なので，それぞれどちらかが正でどちらかが負での符号で，それぞれどちらかがれぞれどちらかがちらある。すなわち，（b，d）＝（1，−12）（−1，12），），（（2，−6），（（−2，6）−2，6）），（3（3，−4）3，−4），（−（−3，4）③m
ax の係数 5 から，公式のbとdにあたる数を求める。具体的には，たすきがけの方法を用いて，②，公式にあたる数を求める。具体的にはる数を求める。具体的に ，たすけの方法

で洗い出した数の候補の中から，bc＋ad＝5た数のから，bc＋＋ad
ad＝＝5 になる数の組を見つける。下のように，b＝4，d＝−3になる数の組になる数の組を見つ下のよとして考えたときに，bc＋ad＝4（−3）＝5て考えたbc＋ad
d＝4・2＋12＋1・（−3）（−＝5 となり，うまくいく。
となりな ，うまうま。

S142……
…

←bc＝48 ←b ＝4・2＝8bc−3（−3）＝−3−33 …… −3 ←ad＝1←ad＝ ・）＝−5 ←bc＋ad＝8−3＝5（xの係数）
d＝8↑x2 の係数
係数

↑
定数項

ac＝1・2＝22＝bd＝4（−3）＝−12bd ・（12よって，a＝1，b＝4，c＝2，d＝−3で，a，d2x2＋5x−12＝− （x＋4）＋4）（2x−3）
22は定数）の形をした式の因数分解では，y も定数と見なして解けばよい。上のpx2＋qxy＋ry（p，q，r公式⑸で，b＝b'y，d＝d'yとすると
acx2＋（ad ＋b c）
xy＋b d y2＝（ax＋b y）
（cx＋d y）となる（yを無視して因数分解し，各因数の定数項にyを伴わせてもよい）。
2x2＋5xy−12y2＝（x＋4y）（2x−3y）
この例で，係数の並びは上の と同じである。

チェック３ 次の式を因数分解せよ。
⑴

2x2＋5x＋3

3x2−4x−72

2x2−9x−5

3x −10x＋3⑵2x2＋7xy＋6y22⑶3x2＋2xy−8y22

6x −19xy＋10y12x2−8xy−15y2

3a2＋（4b＋1）
a＋（b＋1）（b−2）

2a2−（b＋1）a−b2−2b−13

例 題 1 複2次式の因数分解
次の式を因数分解せよ。
x4−13x2＋36⑴⑵x4−4x2＋36アプローチ（xの指数がすべて偶数である式）
を，x の複 2 次式という。
ax4＋cx2＋e のように，x2の多項式
複 2 次式は，x2についての式として因数分解する方法
22（x2＋p）−（qx）の形を作る方法のいずれかで因数分解する。
2x4＝（x2）2 とみると，与式は（x2）−13x2＋36 となるから，公式 x2＋（a＋b）
x＋ab＝（x＋a）（x＋b）を⑴使うことができる。その因数がさらに公式 a2−b2＝（a＋b）（a−b）で因数分解できる場合があるので，それを見落とさないように注意する。
公式 x2＋（a＋b）
x＋ab＝（x＋a）（x＋b）
を使うことができない。

⑵

22
この場合，x2の項を適当な差の式に分けて表し，式全体が（x2＋p）
p）−（（qx）の形になるようにする。の形

すると，公式 a2−b2＝（a＋b）（a−b）
を使うことができる。
x2の項をどのような差の式に分ければよいかは，次のように判断する。
ように。

elpm
a22⑵で，定数項は36なので，（x2＋p）2 の部分は（x2＋6＋6）か（x2−6）6）のどちらかである。よって，与のどちる①

式は x4＋12x2＋36−16x2，x4−12x2＋36−（−8x（−8 2）のどちらかに変形することになる。
らかに変形すること
かに変形すること
2② （qx）＝q2x2 であるから，ひいた式の式の x2 の係数は，正でなければならない。
，正でなければならない。
ければならない （平方数であれば，数でq が整数となり好ましい）16x2と−8と−8x2 のうち，係数が正なのは16x係数が正なのはが正なのは166x2である。よっである。よって，与式はである。よはx4＋12x2＋36−16x2 と変形すればよいとわかる。
変形すれわかる。
。

22
なお，公式 x2＋（a＋b）＋b）
x＋ab＝x＋（x＋a）
a）（x＋b）
x＋bb）を使って解けるものの中には，を使って解けるものの中にを使って解けるもの（xx2＋p）−（qx）の形を作り，⑵の方法で解けるものもある。例えば，例題⑴はそのような問題であるが，これらの問題は，で解けある。例えば
えば，例題
例題 1 ⑴はそのよう⑴はその題である

S

公式 x2＋（a＋b）
a＋b）x＋ab＝（x＋a）
x＋＋a（）x＋b）
x＋＋b）
を使った方が，計算が簡単であることが多い。
を使った方が，計算が簡を使った方が，ること

解答⑴

x4−13xx2＋＋36＝（x2）2−13−13x13x2＋＋3636＝（x2−4）4）（）x2−−9）9） ←x2 を 1 つの文字
つの文字のように扱って因数分解＝（x＋2）
（x−2）
（x−3）
（x＋3）
（別解）

x4−13x2＋36＝x4−12x2x2＋＋36−x2＝（x2−6）2−x2＝｛（x2−6）＋x｝｛（x2−6）−x｝ ←公式 a2−b2＝
（a＋b）
（a−b）
を利用
＝
（x2＋x−6）（x2−x−6）＝（x−2）
（x＋3）
（x＋2）
（x−3）
※
⑵

最初の式変形を x4＋12x2＋36−25x2 として同様に計算してもよい。

x4−4x2＋36＝x4＋12x2＋36−16x222＝（x2＋6）−（4x）＝｛（x2＋6）＋4x｝｛（x2＋6）−4x｝ ←公式 a2−b2＝（a＋b）
（a−b）
を利用
＝（x2＋4x＋6）（x2−4x＋6）

類題１ 次の式を因数分解せよ。
⑴

x4−10x2＋9⑵ x4−20x2y2＋64y4⑶

9x4−40x2＋16⑷x4＋2x2＋9⑹9x4−x2＋16⑸44

4x ＋64y例 題 2 複数の文字の因数分解
x2y＋xy2＋xz＋x＋yz＋y を因数分解せよ。

アプローチ
複数の文字が含まれる式で，公式やたすきがけが使えないような因数分解では，まず，①特定の文字について整理する方法②

次数ごとに分けて因数分解する方法のいずれかで対処する。すると，（）の中がさらに因数分解できる式になったり（）自体が共通因数になったりして，その後の解き進め方が予測しやすい。
①

特定の文字について整理する方法
1 つの文字に注目して，その文字を共通因数として，部分的に次数ごとにくくり出す。なるべく次数の最も低い文字で整理すると，その後どう対処していけばよいかが見つかりやすい。
x2y＋xy2＋xz＋x＋yz＋yx については 2 次 yx2＋（y2＋z＋1）
x＋（yz＋y）
y については 2 次

xy2＋（x2＋z＋1）
y＋（xz＋x）

z については 1 次 （x＋y）
z＋（x2y＋xy2＋x＋y）②elpma次数ごとに分けて因数分解する方法
項の次数が同じものを 1 つの（22）にまとめる。別の次数の項は別のにまとめる。
。別の次数の項は別のは別の（ ）にまとめる（x y＋xy ）＋（xz＋yz）＋（x＋y）
3次

2次1次解答①

特定の文字について整理する方法
いて整理法xは 2 次，y は 2 次
次，z は 1 次で，次数の最も低い文字はzだから，zに着目して整理する。
で，次数の最も低い文字は数の最も低い文字 zだからだ
着目しx2y＋xy2＋xz＋x＋yz＋yyz＋yS＝（x＋y）
z＋（x2yy＋xy（x＋xy2＋＋x＋y）
x＋＋y） ←z←z についてについ 1 次の項と次の項 0 次の項を分ける
次の項＝（x＋y）
z＋｛xy（＋（x＋y）｝（xy x＋y）
x＋yy）
（x＋y）

＝（x＋y）（＋ z＋（x＋y）
y））xy＋1）
xy＋11） ←各次数の項をそれぞれ因数分解←各次数の各それぞれ＋y）＋11）←共通因 x＋yy でくくる
でく＝
（x＋y）
｛z＋（xy＋1）｝ ←共通因数＝（x＋y）（）xy＋z＋1）x②

次数ごとに分けて因数分解する方法に分けて因数分解する方法
3 次の項， 2 次の項，1 次の項に分ける。
次の次の項
x2y＋xy2＋xz＋x＋yz＋yz＋x＋＝（x2y＋xy2）＋（xz＋yz）＋（x＋y）＝xy（x＋y）＋z（x＋y）＋（x＋y） ←各次数の項をそれぞれ因数分解＝（x＋y）（xy＋z＋1）

類題２ 次の式を因数分解せよ。
⑴

x2y＋x2z−xy2−y2z2222⑵x2＋y2−2yz＋2zx−2xy2ab2−4b2c−2bc2＋abc＋8b＋4c⑶x y＋x −xy −xyz−xz＋y z⑷⑸

a2−ab−2b2−a−4b−2⑹ x2−32y2−8z2＋4xy＋32yz−2zx5

演

習

問

題

パ ー ト 1 （p.2，3）

1 次の式を展開せよ。
2⇒ポイント１3⑴ （9m −5n）×4n⑵ （2a−3）（4b＋5）⑶ （x2−4xy−6y2）（2x−3y）⑷ （x3−2x2−3）（2x2＋4x−3）⑸ （2a−3b）2⑹ （4x−y−3）2⑺ （3x−2）（3x＋7）⑻⑼ （r−2）（r＋2）（r2＋4）

22⑽ （a＋b）（a−b）⑾ （s−5）（s−7）−3s（s−4）⑿ （2x−3y）（6x−y）−3（2x−y）22 次の式を展開せよ。

⇒ポイント１⑵ （2y−z）（4x−2y＋z）
y−z）
z⑴ （a＋b）（a＋b−8）elp⑶ （x−2y＋3）（x−2y−3）⑷ （2a＋3b−5c）（（2）2a−3b＋5c）
2a−3b⑸ （x＋3y＋4）（x＋3y−6）⑹ （x−y＋3）＋33（）2x−2y−7）
2x−22y−77）よ。
3 次の式を因数分解せよ。
⑴

4 2

36a b c−60a b cS

9y2−8−81x2y2⑺ （x＋3）
（x−5）
−93）

分解
4 次の式を因数分解せよ。
⑴

ma⑵⑶ 4p −225
25⑸ト２⇒ポイント２

3 3225x25x2＋＋30x＋930x＋930⑷ m2＋25＋25mn−54n4n2⑹ 33k2−36k＋96k＋96⑻ （b−4）（b−16）＋4b−4）イント⇒ポイント２−3a（b−3）−2（b−3）⑵

2⑶ （n −6）（n−2）−nn（2−n）（2−2x（x−y）＋4y（y−x）⑷ （a＋b）2−2（a＋b）⑸ （x−2y）−4（x−2y）＋4⑹ （a＋5）2＋3（a＋5）−40⑺ （x＋3y）2−25⑻ （a−c）2−（b−c）25 次の式を因数分解せよ。
⑴⇒ポイント３2⑵

12a2＋7ab−12b22⑷−8x2−8xy＋6y2⑹

2
6（x−1）−7（x−1）−5⑻2a2−（b−2c）a−6b2＋24bc−24c2

2x −5x＋2⑶6x y−23xy＋20y⑸2（x＋y）
3−11（x＋y）＋622⑺ 4x −3（y＋1）x−y −2y−1

6（ 12 x−1（）12 x−5）

パ ー ト 2 （p.4，5）

6 次の式を因数分解せよ。

⇒例題１42⑵x4＋10x2＋164

2⑶ x ＋10x ＋25⑷x4−18x2＋81⑸ x4−4x2−45⑹x4−5x2＋44⑻4x4−13x2＋9⑵x4−14x2＋25⑶ x −13x ＋4⑷x4＋x2＋1

2x4＋8⑹4x4−16x2＋9⑵x2y−xz−xyxz−−xyx 2＋yzyz⑷

6a2−5c2−3−3ab＋bc＋13ac
3aba ＋bcbc＋＋13acac⑴⑺x ＋12x ＋3522x −7x −47 次の式を因数分解せよ。
4⇒例題１2⑴ x ＋9x ＋254⑸28 次の式を因数分解せよ。
322⇒例題２2⑴ a ＋a c−ab −b c22⑶x −2xy＋4xz＋4z −4yz⑸

ab3−b2−ac3＋c2＋ab2c−abc2⑺

222maa b＋a ＋abc＋ab ＋ab＋ac＋b＋ac＋ c＋bcSをせよ。
よ。
9 次の式を因数分解せよ。

⑻ x2zz−x−x2＋＋xzxz2−−xyz＋xy−xz−yz
xy ＋xyxyz
z2＋y＋yz⇒例題２題２⇒例題２＋z ＋zx＋xx）＋xyx＋y）＋2xyz
xy⑴ yz
（y＋z）
（z＋x）
＋xy
（x＋y）
＋2xyz
⑶

elp⑹ 44xx3zz＋4x＋4x2yy−4x−4x2yz
yz−4xyz−4xy2＋x＋xy2z＋y3

222−a（b−c）−c）2＋b（c−a））−c（a−b）
a−b）⑵

222a（b−（b−c）＋b（c＋a）−c（a＋b）⑷ （（y＋z）（z＋x）（x＋y）＋xyz

パ ート 310 次の式を展開せよ。
⑴ （x−4）
（x−1）
（x＋2）
（x＋5）

⑵ （a＋b＋c）（a−b−c）（b−c−a）（c−a−b）

11 次の式を因数分解せよ。
⑴

x4−x2＋12x−36⑶ （x＋1）
（x−1）
（x−2）
（x−4）
−72

⑵

4x4−5x2＋8x−15⑷ （x＋1）（x＋2）（x−6）（x−12）−30x27