Introduction to the Glauber theory and its application
Yasuyuki Suzuki
Niigata Univ. & RikenOutline
1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Reaction cross sections
8. Elastic scattering and dynamic polarization potential
9. Breakup processes with Coulomb interaction

11. Introduction
グラウバー理論 （Roy J. Glauber, 1925-）
High-energy collision theory
Lectures in Theoretical Physics, Vol I (Interscience, New York, 1959)
R.Hofstadter
1950年代の電子散乱による原子核研究に触発されて展開
素過程の相互作用をベースにして、複合粒子間衝突を記述 (Nobel prize1961)
グラウバー理論はアイコナール近似と断熱近似を仮定（但しこの用語は講義録には現れない）
断面積と波動関数との関係が簡明に表現される不安定核の研究
ハロー構造の発見以後、ドリップ線近傍核の構造の研究がp,sd殻核領域を越えて進展中
中高エネルギー反応（核子当り、数１００MeV以上の入射エネルギー）により有用な実験結果が蓄積
講義の目標
practical, middlebrow
Structure and reactions of light exotic nuclei (Y.S., R.G.Lovas, K.Yabana, K.Varga,Taylor&Francis,2003)
中高エネルギー不安定原子核反応におけるグラウバー理論（鈴木宜之,日本物理学会誌63,2008) 2

quantum theory of optical coherence (1963, Nobel prize 2005)

Roy J. Glauber – Autobiography1943 Santa Fe, Manhattan Project
Oppenheimer, Bethe, Feynman,Bohr, Schwinger

3

11Li Halo

Secondary beam!
H.H.Heckman et al. PRC174

中高エネルギー原子核反応実験で測定されたもの
Interaction cross sections
Reaction cross sections
Neutron removal cross sections
Charge-changing cross sections
Energy and momentum distributions of fragments
Angular distribution in elastic scattering
Inelastic scattering
Coulomb excitations
これらの諸物理量と波動関数、相互作用との関係を明らかにしたい
1992~

Galuber, eikonal模型による研究

Reaction Mechanisms of 11Li at Intermediate Energy
K. Yabana, Y. Ogawa and Y. Suzuki, Nucl. Phys. A539, 295 (1992)
Break-up Effect on the Elastic Scattering and the Optical Potential of 11Li
K. Yabana, Y. Ogawa and Y. Suzuki, Phys. Rev. C45, 2909 (1992)
Glauber Model Analysis of the Fragmentation Reaction Cross Sections of 11Li
Y. Ogawa, K. Yabana and Y. Suzuki, Nucl. Phys. A543, 722 (1992)

1989.2-1990.1 ミシガン大学滞在

5

Abrasion-Ablation model for relativistic heavy-ion reactions
Projectile

AbrasionTarget・・

J.Hufner et al.

Ablation （低エネルギー現象）
PRC23(1981)

Glauber theory
PRC12(1975)

6

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Reaction cross sections
8. Elastic scattering and dynamic polarization potential
9. Breakup processes with Coulomb interaction

7

2. Basics of potential scattering theory
2.1

Key words: 散乱振幅、断面積、フラックスの保存、光学定理、位相差

球対称ポテンシャル散乱、或は２粒子衝突の相対運動の方程式

境界条件

散乱振幅

ポテンシャルの詳細によらない一般論
確率密度
確率流密度

微分断面積

は単位ベクトル8複素ポテンシャル（非弾性散乱、フラグメンテーション等を記述）の場合
時間依存のシュレーディンガー方程式から定常状態の解では第1項＝０
フラックスの保存(ガウスの定理)を用いてフラックスの計算を行う

右辺第3項、第4項は入射波と散乱波の干渉項
9干渉項はR→∞のとき、 θ= 0でのみ寄与することがわかる

j(r)

θ

十分大きな半径Rの球面Sでフラックスを計算
R第3項は以下のようになる

フラックスの計算

Rが十分大きいときは、
θ=0 (t=1)でのみ積分に寄与

右辺第1項のみ寄与、第2項は1/Rのオーダー
第4項は第3項の1/Rのオーダーの第1項は球面積分で消え、第2項とf(0)の項のみ残る

実数ポテンシャルのとき、はゼロ

10複素ポテンシャルのときこの量を（吸収断面積） と定義する（29頁参照）

一般化された光学定理

部分波展開

Phase shift

これを境界条件の式と比べて散乱振幅の部分波展開式を得る

11

2.2

Key words: Lippmann-Schwinger方程式、グリーン関数

散乱の境界条件＋シュレーディンガー方程式と等価な積分方程式

Lippmann-Schwinger方程式

自由粒子のグリーン関数
See, e.g., L.I. Schiff
Quantum Mechanics (2nd edition)
pp. 162-16412測定

散乱振幅の積分表示
散乱振幅の計算には、ポテンシャルが消えない領域で波動関数を精度よく求めればよく、境界条件を満たさないものを用いても良い
仮に、ポテンシャルが弱く平面波からの歪みを無視できれば1次ボルン近似（移行運動量）（フーリエ変換）
13Lippmann-Schwinger 論文

グリーン関数
Resolvent

14

2.3

付録：境界条件を満たさない波動関数を用いて散乱を解く例

Spectroscopic amplitude (SA) や位相差の計算に束縛状態の波動関数を用いることを試みる
SA y(r) の定義と満たすべき方程式

シュレーディンガー方程式をチャネルcに射影
I1α1

ｌ

I2α2
チャネル２原子核間のチャネルcで働く相互作用SAの漸近的振舞いから位相差が決まる

15

SAが満たす方程式をは以下のように与えられる
ここで、原子核間の局所ポテンシャルU の選び方は任意

グリーン関数を用いて境界条件を満足するSAを得る

See, e.g., L.I. Schiffpp. 166-167が r の大きいところで消えるように U を選べば、は相互作用領域でのみ高精度で記述されていればよい
この近似解からλ, z(r) を決定できる.
結果として正しい漸近系を持つが得られる

16

近似解を得る（CDCCと同様の考えで、連続状態を２乗可積分関数で展開）
αと中性子間の相対運動をガウス基底で展開
連続状態を離散化したエネルギーと波動関数を求める
微視的模型 反対称化演算子
E3E2
E1α+n 閾値Resonating Group Method (RGM)

離散化連続状態

この仮定から、u(r)に対する微積分方程式を境界条件に従って解き、位相差を得る（single channel近似でexact)
17

MN力(中心力＋スピン軌道力）、 U=0

高精度のR-行列計算の位相差と離散化波動関数によるものとの比較
S波、P波いずれも一致

束縛状態近似とグリーン関数で修正した解との比較

18

現実的AV8’力（強い中心斥力、テンソル力を含む）の場合
現実的核力の結果を実験データと比較：
S波散乱はほぼ良い
P波散乱は引力効果が足りない
αの歪み
パウリ原理
３体力

「Coupled-channelへ拡張する、任意のエネルギーで散乱解を得る」課題に応えるには？

191. Introduction

2. Basics of potential scattering theory
2.1 散乱振幅、断面積、フラックスの保存、光学定理、位相差
2.2 Lippmann-Schwinger方程式、グリーン関数
2.3 付録：境界条件を満たさない波動関数を用いて散乱を解く例
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Reaction cross sections
8. Elastic scattering and dynamic polarization potential
9. Breakup processes with Coulomb interaction20

3. Eikonal approximation
3.1

Key words: 高エネルギー近似、衝突係数表示、位相差関数

ポテンシャル問題で散乱解を求めるのは容易だが、複合粒子系の散乱問題を解くことは容易ではない
相対運動と複合粒子の励起が分離せず結合する相互作用が強い場合はボルン近似は無力弾性散乱でも、特に弱く結合した複合粒子の場合には、その励起効果を無視できない
終状態は一般に多岐にわたり、入射エネルギーの高いときには個々の反応生成断面積を計算することは難しい
平面波面

高エネルギー近似のポテンシャル散乱a
入射波の高い振動は平面波で表現され、ずれの部分はそれに比べて激しく振動しない

ポテンシャルZ 方向
21

が従う方程式に比べてを無視できる条件

1. 入射運動量からの揺らぎが小さい。 運動量の不確定さ

入射波長はポテンシャルのレンジより十分に小さいこと

2. 運動量移行が小さい。 力積の関係から・入射エネルギーはポテンシャルの深さより十分に大きいことの大きさには条件なし。 (cf. ボルン近似. 27頁参照)
Ｅ（ＭｅＶ）で入射する核子の波長221 階の偏微分方程式。

初期条件

アイコナール近似の波動関数

波数とポテンシャルとの関係

衝突径数 b がポテンシャルのレンジより大きいとき、アイコナール近似解は平面波！ 境界条件を満たさず、として散乱振幅は計算できない
23

物理におけるアイコナールの由来

アイコナールH. Bruns (1895)
電磁場の方程式
波長が屈折率の変化に比べて十分に小さいとき`
シュレーディンガー方程式
高速荷電粒子の散乱理論 I

遮蔽クーロン場の単一散乱への適用(1947)

24

アイコナール近似の波動関数はポテンシャル領域でよい近似として散乱振幅を計算できる(zに依らない!)高エネルギー散乱ではθは小さい
は xy 面のベクトルZ積分実行可能25

アイコナール近似の散乱振幅と位相差関数

Phase-shift function
球対称ポテンシャルの場合、位相差関数は角度積分実行可能の方向には依存せず、部分波展開との対応

kbの対応

26

ボルン近似との関係の程度は2なら1次ボルン近似に帰着

原子核の散乱では一般にこの条件は成り立たない付録： スピンー軌道ポテンシャルがある場合のアイコナール近似
散乱面に垂直なベクトル散乱振幅演算子

27

3.2

Key words: 諸断面積、光学定理、位相差関数の例
立体角の積分を運動量移行の積分に変換

全弾性散乱断面積

ここで28

全断面積と光学定理
1. 光学定理からアイコナール振幅を用いればから

2.

(cf.

)

吸収断面積

これにを加えれば、1 の結果と同じになる
アイコナール振幅は光学定理を満たす！
29
アイコナール近似の断面積は部分波展開の表式と対応していることに注意簡単な例
1. Sharp cut-off 模型

Heaviside関数

R（Fraunhofer回折振幅）
弾性散乱の角分布はでdip

実際は核表面でのぼやけがある
A. Kohama, K. Iida, K. Oyamatsu, PRC72 (2005)
具体的応用
陽子-原子核反応により、原子核の核半径Rを評価し、弾性散乱と全反応断面積との関係をみる
30

弾性散乱の角分布（クーロン力の効果は無視できる）
角分布の最初のピークは= 5.13...

このとき、陽子-原子核反応の全反応断面積は2. 箱型ポテンシャル

31

C(x)
1-50x

3. クーロンポテンシャル

Log発散！ 長距離力のため、大きな b に対しても位相差は消えない
32

大きな半径aでクーロン力をcut off （遮蔽 Coulombポテンシャル）（有効クーロン位相差）
アイコナール近似のクーロン散乱振幅
第一項はθ= 0でのみ寄与（26頁の積分公式参照）

Rutherford 振幅との違い：に代えればよいの一定のphaseだけ違う。
微分断面積はcut off 半径によらず、Rutherfordの公式と一致
アイコナール近似で正しい結果が得られる

33

4. クーロン力と短距離力の２ポテンシャル問題

位相差関数は加算的！

a-independent

Coulomb phase

第2項はCoulomb-nuclear干渉(分け方はユニークではない）
微分断面積

はcut off半径に依らない
34

具体例

E=200 MeV

位相差関数に関係した諸量の b 依存性実部

虚部

虚部

実部

b (fm)

35

Partial-wave expansion vs eikonal approximation
S行列の比較
E=200 MeV

虚部

実部

36

部分波展開表示での断面積 （cf. アイコナール表示)
11, 28, 29頁参照

特に極低エネルギーではＳ波のみ寄与
有効距離理論 ( 散乱長有効距離)

諸断面積は散乱長で表される
現在採用しているWoods-Saxonポテンシャルについて
散乱長 a=5.45-2.47i (fm)37

En=100 MeV

Quantumは部分波展開による計算

1b=100 fm2
38

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory

3. Eikonal approximation
3.1 高エネルギー近似、衝突係数表示、位相差関数
3.2 諸断面積、光学定理、位相差関数の例
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Reaction cross sections
8. Elastic scattering and dynamic polarization potential
9. Breakup processes with Coulomb interaction

39

4. Glauber approximation for
nuclear collision
4.1

Key words: エネルギースケール、アイコナール近似、断熱近似、時間依存方程式

相対運動のエネルギー

Projectile
換算質量Target運動学

相対運動の波数40入射核の全エネルギー

これから 入射速度を求められる

0.43=100 MeV

0.86=900 MeV

原子核同士の相互作用距離 Rのアイコナール条件は殆ど満たされる41

原子核衝突におけるエネルギースケール
1. 相対運動のエネルギー
2. 核内核子の運動：フェルミエネルギー
3. 核子-核子衝突でのハドロン(π等)生成
では、核子交換や核子移行などを無視できないハドロン生成の起こるエネルギーでは、核子-核子相互作用に吸収項をもたせて、フラックスの減少として表現
アイコナール近似は、大雑把に言ってで安全に適用可能
核子-原子核衝突の定式化
核子-核子相互作用の情報をinput して、断面積（inclusive）を求める
標的のハミルトニアン

核子全系のシュレーディンガー方程式
Target原子核反応論（河合光路、吉田思郎：朝倉物理学体系）
原子核の理論（市村宗武、坂田文彦、松柳研一：岩波講座現代の物理学）III 原子核反応 42

境界条件

終状態αへの微分断面積
注意： 反対称化無視
核子座標のみで記述しており、ハドロン生成は顕には扱えない
漸近系から明白なように、粒子移行過程は無視
標的のフラグメンテーションは、連続的励起状態と考えればよい
ポテンシャル散乱と同様、グリーン関数、 Lippmann-Schwinger方程式、散乱振幅の積分表示、アイコナール近似の順に展開する（相互作用の無い場合のハミルトニアン）
43グリーン関数グリーン関数に含まれる相対座標以外の原子核の核子座標は省いた
右辺の１は原子核の波動関数に対して単位演算子であることを表す

但しの時（closed channel α）（証明）（closureの関係） 44

境界条件を含んだシュレーディンガー方程式 (Lippmann-Schwinger方程式)

として、グリーン関数の漸近系から(open channelのみ効く)散乱振幅の表示を得る()

ポテンシャルの作用する領域で高精度の波動関数を求めればよい

アイコナール近似

断熱近似（励起エネルギー<< 入射エネルギー）
45

（但し、クーロン分解反応では断熱近似は破綻. 9章参照）{

初期条件（）

この解は以下のようになる

ポテンシャル散乱の場合と同様の計算から、標的核の状態αへの散乱振幅を得る（核子-核子散乱の位相差関数）
は標的核の座標に関する積分
グラウバー理論は、摂動展開を使用せず、多重散乱効果をすべてのオーダーまで含む
微視的多体反応論

k

座標の関係

46

断熱近似を用いない場合： 外場のある時間依存方程式に書き換えられると置く

初期条件と略記するとのもとに方程式を解きを計算

これを標的核の状態で展開して諸断面積を求める

参考文献
Esbensen et al. NPA581, 107 (1995); NPA600, 37 (1996)
Kido et al. PRC53, 2296 (1996)
Goldstein et al. PRC73, 024602 (2006)

47

4.2

Key words: 全反応断面積、ハドロン生成、相互作用断面積

個々の励起状態への断面積ではなく、inclusiveな断面積を求める
Closureの関係式を利用する

衝突係数の衝突で、状態αが励起される確率

弾性散乱断面積‘‘全断面積’’Closureの関係式

基底状態の波動関数のみで表現される
48

これは全断面積か？ 全反応断面積

ハドロン生成を伴う高エネルギー反応では、全断面積はどう与えられるか？
は複素数として扱う（光学定理）

全反応断面積

ハドロン生成なし

ハドロン生成あり
49

諸断面積の直感的意味
アイコナール＋断熱近似で核子-原子核の相対運動はすでに解いた
衝突後の標的核の波動関数は、核内核子がそれぞれ位相差をうけ、それらの総和の位相（に依存する）だけ変化する
衝突後の標的核の波動関数
衝突後の標的核初期状態の波動関数との差が衝突による変更部分を表す

係数のノルムの2乗が状態αを励起する確率を与える
ハドロン生成がある場合は50

原子核-原子核衝突の定式化は、核子-原子核の場合と同様ハミルトニアン

原子核間の相対座標
Projectile

境界条件
Target運動エネルギー項と励起エネルギー項を無視する

51

散乱振幅

入射核状態α、標的核βへ遷移する断面積

核子-核子位相差関数は加算的
入射核と標的核の座標に関する多重積分
全反応断面積 （一般に、光学定理を利用して得られる）

52

核子-原子核反応の断面積の計算

基底状態の波動関数のみ必要

原子核-原子核反応の場合には以下の読み替えを行う

53

相互作用断面積
高エネルギー反応では、多くの終状態を区別するのは不可能、衝突後入射核の核子数は増えない
核子数が減った終状態への断面積の総和として相互作用断面積を定義

標的核の状態βは観測しないのでclosureを使う

全反応断面積と相互作用断面積
実験的には相互作用断面積の測定のほうが容易
理論的には全反応断面積の計算のほうが容易上の表式の評価ができればよい54

として測定された相互作用断面積を全反応断面積で評価することが通常行われる
この妥当性の検証は原子核の励起構造入射エネルギーなどの違いに応じて幾つかの場合になされるのが望ましいが、どこまでいっているのか粒子崩壊の閾値以下に励起状態をもたない場合には相互作用断面積と全反応断面積は等しい。ハロー核はこの場合に相当する安定核の場合の両断面積の違いについて
くろたま模型による現象論的議論
A. Kohama, K. Iida, K. Oyamatsu, PRC78 (2008)55

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation

4. Glauber approximation for nuclear collision
4.1 エネルギースケール、アイコナール近似、断熱近似、時間依存方程式
4.2 全反応断面積、ハドロン生成、相互作用断面積
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Reaction cross sections
8. Elastic scattering and dynamic polarization potential
9. Breakup processes with Coulomb interaction

56