RésuméMardi 13 janvier 2015

USTHB, Alger
Les problèmes de théorie des nombres sont souvent faciles àénoncer et très difficiles à résoudre. Nous en donnons quelques
exemples.

Quelques problèmes ouvertsen théorie des nombres

Michel Waldschmidt
Institut de Mathématiques de Jussieu — Paris VI
http://www.math.jussieu.fr/⇠miw/

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Résumé plus détaillé2 / 105

Résumé détaillé (suite)
Les équations diophantiennes recèlent plein de mystères.
Le Dernier Théorème de Fermat a été démontré par A. Wiles,
mais de nombreuses autres questions ne sont pas encorerésolues. Nous parlerons d’une conjecture de S.S. Pillai, ainsi
que de la conjecture abc proposée par Oesterlé et Masser.
Kontsevich et Zagier ont introduit la notion de période et
ont suggéré un énoncé portant sur ces périodes qui fournirait
un cadre adapté à une large classe de problèmes d’irrationalité
et de transcendance.
Pour terminer, nous discuterons de questions provenantde travaux de E. Borel en 1905 puis en 1950 sur lesdéveloppements (binaires ou décimaux par exemples) denombres algébriques. On sait très peu de choses sur cesquestions.

Nous commençons en parlant des nombres premiers.
La conjecture des nombres premiers jumeaux et laconjecture de Goldbach font partie des principaux défis dusujet.
Les 10 plus grands nombres premiers connus explicitement
sont des nombres de Mersenne. Y a-t-il une infinité de nombres
premiers de Mersenne (resp. de Fermat) ? On ne sait pas.
Les nombres premiers de Mersenne sont reliés aux nombres
parfaits, considérés par Euclide, et qui posent un problèmequ’on ne sait toujours pas résoudre.
Un des problèmes ouverts les plus célèbres est l’hypothèsede Riemann, qui résiste depuis 150 ans.
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Le 8ème problème de Hilbert

Les 7 problèmes Clay du Millennium
Clay Mathematics Institute (CMI)
Cambridge, Massachusetts http://www.claymath.org

8 Août 1900

Deuxième CongrèsInternational desMathématiciens (ICM1900) à
Paris.

Prix de 7 million US$ pour la solution de ces problèmes,
1 million US$ pour chacun

Nombres premiers jumeaux.

• Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer• Conjecture de Hodge• Équations de Navier-Stokes• P vs NP• Conjecture de Poincaré (Grigory Perelman)• Hypothèse de Riemann• Théorie de Yang-Mills

24 mai 2000, Paris :Timothy Gowers, John Tate et Michael Atiyah.

Conjecture de Goldbach,David Hilbert (1862 - 1943)

Hypothèse de Riemann

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Nombres

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Nombres premiers
Un nombre premier est un entier positif ayant exactement
deux diviseurs
Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100 :Nombres = réels ou complexes R, C.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Entiers naturels : N = {0, 1, 2, . . .}.

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
http://oeis.org/A000040

Entiers rationnels : Z = {0, ±1, ±2, . . .}.

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Nombres composés

Euclide d’Alexandrie(vers 325 BC – vers 265 BC)

Nombres ayant au moins trois diviseurs :4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, . . .
http://oeis.org/A002808
Les nombres composés sont les nombres n de la forme x · yavec x > 1 et y > 1.
Il y a 73 nombres composés inférieurs à 100.

Étant donnée une collection finie p1 , . . . , pn de nombres
premiers, il existe un nombre premier qui n’est pas dans cettecollection.

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Premiers jumeaux

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Conjecture de Goldbach

Le seul nombre premier p tel que p + 1 soit premier est p = 2.
Conjecture : il y a une infinité de nombres premiers p tels que
p + 2 soit premier.
Exemples : 3, 5, 5, 7, 11, 13, 17, 19,. . .
Plus généralement : est-il vrai que tout entier pair est ladi↵érence de deux nombres premiers ?
Est-vrai une infinité de fois ?
Tout entier pair est-il la di↵érence de deux nombres premiers
consécutifs ? Une infinité de fois ?
L’exemple le plus grand de nombres premiers jumeaux (trouvé
en décembre 2011) a 200 700 chi↵res décimaux :Lettre de Goldbachà Euler, 1742 :tout entier 6 est
somme de 3
nombres premiers.
Christian Goldbach(1690 – 1764)

Leonhard Euler(1707 – 1783)

Euler : c’estéquivalent à :tout entier pair supérieur à 2 est somme de deux nombres
premiers.

3 756 801 695 685 · 2666669 ± 1

Démonstration :2n = p + p0 + 2 ()2n + 1 = p + p0 + 3.

http://oeis.org/A001097
http://primes.utm.edu/
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Somme de deux nombres premiers
4=2+2

6=3+3

8=5+3

10 = 7 + 3

12 = 7 + 5

14 = 11 + 3

Somme de nombres premiersThéorème – I.M. Vinogradov (1937)
Tout entier impair suffisamment grand est somme de trois
nombres premiers.
Théorème – Chen Jing-Run (1966)
Tout entier pair suffisamment grand est somme d’un nombre
premier et d’un entier qui est soit premier, soit produit de deux
nombres premiers.

16 = 13 + 3 18 = 13 + 5
20 = 17 + 3 22 = 19 + 3
24 = 19 + 5 26 = 23 + 3
..
.

..
.
Ivan Matveevich Vinogradov(1891 – 1983)

Chen Jing Run(1933 - 1996)

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Somme de nombres premiers

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Problème de Goldbach ternaireThéorème – Harald Helfgott (2013).
Tout entier impair supérieur à 5 est somme de trois nombres
premiers.
Tout entier impair supérieur à 7 est somme de trois nombres
premiers impairs.

• 27 n’est ni premier, ni somme de deux nombres premiers.
• Conjecture de Goldbach faible (ou ternaire) : tout entier
impair 7 est somme de trois nombres premiers.
• Terence Tao, 4 février 2012,arXiv:1201.6656 : Toutentier impair supérieur à 1 est
somme d’au plus cinq
nombres premiers.

Harald Helfgott(1977- )15 / 105

16 / 105Méthode du cercleMéthode du cercle
Hardy et Littlewood

Srinivasa Ramanujan(1887 – 1920)

G.H. Hardy(1877 – 1947)

Ivan Matveevich Vinogradov(1891 – 1983)

J.E. Littlewood(1885 – 1977)
Tout entier impair
suffisamment grand est la
somme d’au plus trois
nombres premiers.

Hardy, ICM Stockholm, 1916
Hardy et Ramanujan (1918) : partitions
Hardy et Littlewood (1920 – 1928) :Some problems in Partitio Numerorum
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Conjecture ( Hardy et Littlewood, 1915)

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Nombres premiers les plus grands explicitement
connus2 mai 201317 425 170 chi↵res décimaux

Le nombre de premiers p  x tels que p + 2 soit premier est⇠C

257 885 161

x(log x)2

23 août 2008

12 978 189 chi↵res décimaux
243 112 609

où
C=

Y p(p
p 3

(p

2)
⇠ 0.660 16 . . .
1)2

13 juin 20091

12 837 064 chi↵res décimaux242 643 801

6 septembre 20081

11 185 272 chi↵res décimaux
237 156 667

19 / 1051

1
20 / 105

Grands nombres premiers

Marin Mersenne

Les dix plus grands nombres premiers explicitement connus
sont de la forme 2p 1.
Le 13 janvier 2015, on connaı̂t• 121 nombres premiers ayant plus de 1 000 000 chi↵resdécimaux,• 1155 nombres premiers ayant plus de 500 000 chi↵resdécimaux.
Liste des 5 000 nombres premiers les plus grands explicitement
connus :http://primes.utm.edu/largest.html
48 nombres premiers de la forme 2p 1 sont connus
http://www.mersenne.org/

1588 – 1648

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Nombres premiers de Mersenne
Si un nombre de la forme 2k
est premier.

Nombres premiers de Mersenne
En 1536, Hudalricus Regius a remarqué que 211
n’est pas premier : 2 047 = 23 · 89.

1 est premier, alors k lui-même

Un nombre premier de la forme 2p
premier de Mersenne.

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127

7 = 23

1 31 = 25

1,

127 = 27

et 257et qu’ils sont composés pour toutes les autres valeurs den < 257.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont1,

1 = 2 047

Dans la préface de Cogitata Physica-Mathematica (1644),
Mersenne affirme que les nombres de la forme 2n 1 sontpremiers pour1 est appelé nombre

On en connaı̂t 48, incluant les 10 plus grands nombres
premiers explicitement connus.

3 = 2222 / 105

La liste correcte est

1.

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107
Y a-t-il une infinité de nombres premiers de Mersenne ?

et 127.

http://oeis.org/A000043
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Nombres parfaits

Nombres parfaits

Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses
diviseurs sans le compter lui-même.
Par exemple 6 est égal à la somme 1 + 2 + 3, et les diviseursde 6 sont 1, 2, 3 et 6.
De même, les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28. La
somme 1 + 2 + 4 + 7 + 14 est égale à 28, donc 28 is parfait.
Remarquer que 6 = 2 · 3 et que 3 est un nombre de Mersenne
22 1.
De même 28 = 4 · 7 et 7 est encore un nombre premier deMersenne 23 1.
Quelques autres exemples de nombres parfaits :496 = 16 · 31

avec

8128 = 64 · 127et4

16 = 2 ,64 = 26 ,

31 = 2127 = 275Éléments d’Euclide, Livre IX : les nombres de la forme
2p 1 · (2p 1) avec 2p 1 nombre premier de (Mersenne)(donc p lui-même est premier) sont parfaits.
Euler : tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.
Suite des nombres parfaits :6, 28, 496, 8 128, 33 550 336, . . .
http://oeis.org/A000396

Y a-t-il une infinité de nombres parfaits ?

1,
Existe-t-il des nombres parfaits impairs ?
1, . . .
25 / 105

Nombres de Fermat

26 / 105

Nombres premiers de Fermat
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 sont desnombres premiers.
http://oeis.org/A000215

Les nombres de Fermat sont les nombres de la formenFn = 22 + 1.

Ils sont reliés à la construction de polygones réguliers avec larègle et le compas.
En 1650, Fermat a suggéré que tous les nombres Fn sontpremiers.
Euler : F5 = 232 + 1 est divisible par 641
4294967297 = 641 · 6700417
641 = 54 + 24 = 5 · 27 + 1
Pierre de Fermat(1601 – 1665)

Y a-t-il une infinité de nombres premiers de Fermat ? On n’enconnaı̂t que cinq.
27 / 105

28 / 105

Leonhard Euler (1707 – 1783)

Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)
Gauss introduit

Soit pn le n-ème nombre
premier.

Pour s > 1,⇡(x) =

X1px⇣(s) =

X 1

ns
n 1

=

Y

(1

Il observe numériquementp s) 1.

p⇡(t + dt)

Pour s = 1 :
X1
p

p

= +1.
Problème : majorer le reste
E(x) = ⇡(x)⇡(t) ⇠

On définit la densité d⇡ parZ x⇡(x) =d⇡(t).
Z x
0

0

dt
.
log t

29 / 105Graphesdt
log t

30 / 105

Riemann 1859

Bande critique, droite critique⇣(s) = 0
pour 0 < <e(s) < 1
implique<e(s) = 1/2.

31 / 105

32 / 105

Hypothèse de Riemann

Petits zéros de la fonction zêta

On souhaiterait certainement avoir unedémonstration rigoureuse ici. Après quelques essais
infructueux, j’ai mis de côté cette recherche
provisoirement, car cela ne semble pas indispensable
pour la suite de ce travail.

Une infinité de zéros sur ladroite critique : Hardy 1914
Les 1013 premiers zéros :Gourdon – DemichelÜber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.
(Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859)
Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke undWissenschaftlicher Nachlass’, herausgegeben under Mitwirkung
von Richard Dedekind, von Heinrich Weber. (Leipzig : B. G.
Teubner 1892). 145–153.
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/
33 / 105

Hypothèse de Riemann

Le théorème des nombres premiers :⇡(x) ' x/ log x

L’hypothèse de Riemann est équivalente à la majoration

Jacques Hadamard(1865 – 1963)

E(x)  Cx1/2 log x
pour le reste
E(x) = ⇡(x)Z x
034 / 105Charles de la Vallée Poussin(1866 – 1962)

dt
.
log t

Notons Even(N ) (resp. Odd(N )) le nombre d’entiers positifs
 N ayant un nombre pair (resp. impair) de diviseurs
premiers, comptés avec multiplicités. L’hypothèse de Riemann
est encore équivalente à|Even(N )Odd(N )|  CN 1/2 .

1896 :
35 / 105⇣(1 + it) 6= 0 pour t 2 R \ {0}.
36 / 105

Le théorème des nombres premiers : pn ' n log nDémonstrations élémentaires du théorème des nombres
premiers (1949)

Petits trous dans la suite des nombres premiers
Postulat de Bertrand. Il y a toujours un nombre premier entre
n et 2n.
Chebyshev (1851) :0.8

Paul Erdős(1913 - 1996)xx
 ⇡(x)  1.2
·
log x
log x

Atle Selberg(1917 – 2007)
Joseph Bertrand(1822 - 1900)

Pafnuty Lvovich Chebyshev(1821 – 1894)

37 / 105

Legendre (1808)

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Petits espaces entre nombres premiers
En 2013, Yitang Zhang a montré qu’il y avait une infinité decouples de nombres premiers dont la di↵érence est au plus
70 · 106 .

2

Question : Y a-t-il toujours un nombre premier entre n et
(n + 1)2 ?

Yitang Zhang(1955 - )Adrien-Marie Legendre(1752 - 1833)

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap
Polymath8a, Juillet 2013 : 4680
James Maynard, Novembre 2013 : 576
Polymath8b, Décembre 2014 : 246
EMS Newsletter December 2014 N 94 p. 13–23.
39 / 105

40 / 105

Lejeune Dirichlet (1805 – 1859)

Progressions arithmétiques : van der WaerdenThéorème – B.L. van der Waerden (1927).
Si chaque entier est colorié en utilisant un nombre fini decouleurs, alors une au moins des suites de même couleurcontient une progression arithmétique arbitrairement longue.

Nombres premiers en progression arithmétique.
a, a + q, a + 2q, a + 3q, . . .
1837 :
Pour pgcd(a, q) = 1, on ap⌘aX(mod q)1= +1.
pBartel Leendert van der Waerden(1903 - 1996)

41 / 105

Progressions arithmétiques : Erdős et TuránProgressions arithmétiques : E. SzemerédiConjecture – P. Erdős et P. Turán (1936).
Tout ensemble d’entiers positifs dont la somme des inverses
diverge contient des progressions arithmétiques arbitrairement
longues.

Paul Erdős(1913 - 1996)

42 / 105Théorème – E. Szemerédi (1975).
Tout sous-ensemble de l’ensemble des entiers ayant une
densité positive contient des progressions arithmétiques
arbitrairement longues.

Endre Szemerédi(1940 - )Paul Turán(1910 - 1976)

43 / 105

44 / 105

Nombres premiers en progression arithmétique

Diophantine Problems

Théorème – B. Green et T. Tao (2004).
L’ensemble des nombres premiers contient des progressions
arithmétiques arbitrairement longues.

Diophantus of Alexandria (250 ±50)

45 / 105

Dernier théorème de Fermat xn + y n = z n
Pierre de Fermat
1601 – 1665

46 / 105

S.Sivasankaranarayana Pillai (1901–1950)

Andrew Wiles
1953 –

Collected works of S. S. Pillai,
ed. R. Balasubramanian and
R. Thangadurai, 2010.

http ://www.geocities.com/thangadurai kr/PILLAI.html
Solution en 1994
47 / 105

48 / 105

Carrés, cubes,. . .
• Une puissance parfaite est un entier de la forme ab où a
et b > 1 sont des entiers positifs.

Puissances parfaites
1
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125,
128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343,
361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, . . .

• Carrés :1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, . . .
• Cubes :1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000, 1 331, . . .
• Puissances cinquièmes :1, 32, 243, 1 024, 3 125, 7 776, 16 807, 32 768, . . .

Encyclopédie des suites d’entiers (Neil J. A. Sloane)
http://oeis.org/A001597
49 / 105

Entiers consécutifs dans la suite des puissances
parfaites

50 / 105

Deux conjectures• Di↵erence 1 : (8, 9)
Subbayya Sivasankaranarayana Pillai(1901-1950)
Eugène Charles Catalan (1814 – 1894)• Di↵erence 2 : (25, 27), . . .
• Di↵erence 3 : (1, 4), (125, 128), . . .

• Conjecture de Catalan : Dans la suite des puissances
parfaites, 8, 9 est le seul exemple de deux entiers consécutifs.

• Di↵erence 4 : (4, 8), (32, 36), (121, 125), . . .

• Pillai’s Conjecture : Dans la suite des puissances parfaites, ladi↵érence entre deux termes consécutifs de la suite tend vers
l’infini.

• Di↵erence 5 : (4, 9), (27, 32),. . .
51 / 105

52 / 105

Conjecture de Pillai :Conjecture de Pillai
Pillai, S. S. – On the equation 2x 3y = 2X + 3Y , Bull.
Calcutta Math. Soc. 37, (1945). 15–20.
Je profite de l’occasion pour publier une conjecture que j’ai
proposée durant la conference de l’Indian MathematicalSociety qui s’est tenue à Aligarh.
Énumérons la liste des puissances parfaites : carrés, cubes,
puissances cinquièmes, etc. en ordre croissant :• Pillai’s Conjecture : Dans la suite des puissances parfaites, ladi↵érence entre deux termes consécutifs de la suite tend vers
l’infini.
• Équivalent : Soit k un entier positif. L’équationxp

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, . . .

q

y = k,

Soit an le n-ème élément de cette suite : a1 = 1, a2 = 4,
a3 = 8, a4 = 9, etc. Alors
Conjecture :lim inf(an an 1 ) = 1.

où les inconnues x, y, p et q prennent des valeurs entières,toutes 2, n’a qu’un nombre fini de solutions (x, y, p, q).

53 / 105Résultats

54 / 105

Valeurs supérieures de k
Il n’existe aucune valeur de k > 1 pour laquelle on sachedémontrer que l’équation de Pillai xp y q = k n’a qu’unnombre fini de solutions.

P. Mihăilescu, 2002.
Catalan avait raison :l’équation xp y q = 1 où les
inconnues x, y, p et q
prennent des valeurs entières,toutes 2, n’a que la solution(x, y, p, q) = (3, 2, 2, 3).

La conjecture de Pillai est une conséquence de la conjectureabc :|xp y q | c(✏) max{xp , y q } ✏
avec
=1

Résultats partiels antérieures : J.W.S. Cassels, R. Tijdeman,
M. Mignotte,. . .

55 / 105

1
p

1
·
q

56 / 105

La conjecture abc

La conjecture abc de Œsterlé et Masser• Quand n est un entier positif, on noteY
R(n) =
pp|nle radical ou partie sans facteur carré de n.
• Conjecture abc . Pour tout " > 0 il existe (") tel que, si a,b et c dans Z>0 sont premiers entre eux et vérifient a + b = c,alors
c < (")R(abc)1+" .

La conjecture abc provient d’une discussion entre J. Œsterlé et
D. W. Masser vers 1980.

57 / 105

Shinichi Mochizuki

58 / 105

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/⇠motizuki/
Shinichi Mochizuki@RIMS

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/top-english.html

INTER-UNIVERSALTEICHMÜLLER THEORYIV :LOG-VOLUMECOMPUTATIONS AND
SET-THEORETIC
FOUNDATIONS
byShinichi Mochizuki

59 / 105

60 / 105

Textes de Shinichi Mochizuki

Shinichi Mochizuki[1] Inter-universal Teichmuller Theory I : Construction of
Hodge Theaters. PDF• General Arithmetic Geometry• Intrinsic Hodge Theory[2] Inter-universal Teichmuller Theory II :Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation. PDF• p–adic Teichmuller Theory[3] Inter-universal Teichmuller Theory III : Canonical Splittingsof the Log-theta-lattice. PDF• Anabelian Geometry, the Geometry of Categories• The Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV : Log-volume
Computations and Set-theoretic Foundations. PDF• Inter-universal Teichmuller Theory
61 / 105Équation de Beal xp + y q = z r

62 / 105

Beal Conjecture and prize problem

Supposons

1 1 1+ + <1p q r
et x, y, z premiers entre eux.

“Conjecture de Fermat-Catalan” (H. Darmon et
A. Granville) : l’ensemble des solutions (x, y, z, p, q, r) del’équation xp + y q = z r avec (1/p) + (1/q) + (1/r) < 1 est
fini.

On connaı̂t exactement 10 solutions (à symétrie évidenteprès) :C’est une conséquence de la conjecture abc.
Indication:

1 + 2 3 = 32 ,2 5 + 7 2 = 34 ,35 + 114 = 1222 ,73 + 132 = 29 ,27 + 173 = 712 ,

1 1 1+ + < 1 implique
p q r

1 1 1
41
+ +  ·
p q r
42

177 + 762713 = 210639282 ,

14143 + 22134592 = 657 ,

92623 + 153122832 = 1137 ,

438 + 962223 = 300429072 ,338 + 15490342 = 156133 .

Conjecture de R. Tijdeman, D. Zagier et A. Beal : il n’y aaucune solution à l’équation xp + y q = z r avec p, q et r tous
3.
63 / 105

64 / 105

Beal conjecture and prize problem

Problème de Waring

Pour une démonstration ou
un contre exemple publié dans
un journal avec rapporteur,A. Beal a o↵ert un prix de
5 000 US $ en 1997,
l’augmentant jusqu’à 50 000
US $ sur 10 ans ; depuis il l’amonté à 1 000 000 US $.

En 1770, quelques mois avant que
J.L. Lagrange résolve une conjecture deBachet et Fermat en montrant que
tout entier positif est somme d’au plus
quatre carrés, E. Waring a écrit :Edward Waring(1736 - 1798)”Tout entier est un cube, ou la somme de deux, trois, . . . neuf
cubes ; tout entier est aussi le carré d’un carré, ou la sommed’au plus 19 tels nombres ; et ainsi de suite. Des lois
semblables peuvent être énoncées pour les nombres définis demanière similaire quelque soit le degré.”R. D. Mauldin, A generalization of Fermat’s last theorem :the Beal conjecture and prize problem, Notices Amer. Math.
Soc., 44 (1997), pp. 1436–1437.
http://www.ams.org/profession/prizes-awards/ams-supported/beal-prize
65 / 105Théorème (D. Hilbert, 1909)

66 / 105

La fonction g(k) de Waring• La fonction g(k) de Waring est définie de la manièresuivante : Pour tout entier k 2, g(k) est le plus petit entiers tel que tout entier positif N peut être écrit xk1 + · · · + xks .

Pour tout entier positif k, il existe un entier s(k) tel que tout
entier positif est somme d’au plus s(k) puissances k-èmes.

• Conjecture (Le théorème de Waring idéal) : Pour chaqueentier k 2,
g(k) = 2k + [(3/2)k ] 2.

• Cette formule est vraie pour 3  k  471 600 000, et aussi,
d’après K. Mahler, pour tout entier k suffisamment grand.

67 / 105

68 / 105n = x41 + · · · + x4g : g(4) = 19

Le problème de Waring et la conjecture abc

Tout entier positif est somme
eau plus 19 bicarrés
R. Balasubramanian,
J-M. Deshouillers,F. Dress(1986).

S. David : la majoration
✓ ◆k
3
2

✓ ◆k
3
,
4

(pour k suffisamment grand) résulte
non seulement des travaux de Mahler, mais aussi de laconjecture abc.
Par conséquent le théorème de Waring idéalg(k) = 2k + [(3/2)k ] 2 résulterait d’une version explicite dela conjecture abc.
69 / 105

La fonction de Waring G(k)70 / 105

G(2) = 4
Joseph-Louis Lagrange(1736–1813)• La fonction de Waring G est définie de la manière suivante :Pour chaque entier k 2, G(k) est le plus petit entier positif
s tel que tout entier N suffisamment grand puisse être écritsous la forme xk1 + · · · + xks .

Démonstration d’une
conjecture de Bachet etFermat en 1770 :Tout entier positif est la
somme d’au plus quatre
carrés.

• Les deux seules valeurs connues de G(k) sont G(2) = 4 etG(4) = 16

Un entier congru àcarrés.

71 / 105

1 modulo 8 n’est pas la somme de trois

72 / 105

Version explicite de la conjecture abc par Baker

G(k)Kempner (1912) G(4) 16
16m · 31 nécessite au moins 16 bicarrés

Alan Baker

Shanta Laishram

Hardy Littlewood (1920) G(4)  21méthode du cercle
Davenport, Heilbronn, Esterman (1936) G(4)  17
Davenport (1939) G(4) = 16
Yu. V. Linnik (1943) g(3) = 9, G(3)  7
Autres estimations pour G(k), k 5 : Davenport, K.
Sambasiva Rao, V. Narasimhamurti, K. Thanigasalam, R.C.
Vaughan,. . .
73 / 105

Nombres réels : rationnels, irrationnels

74 / 105

Nombres complexes : algébriques, transcendants
Nombre algébrique : nombre complexe racine d’un polynôme àcoefficients rationnels.

Nombres rationnels :a/b avec a et b entiers rationnels, b > 0.

Exemples :nombresrationnels : a/b, racine de bXp2,racine de X 2 2.
i, racine de X 2 + 1.
e2i⇡/n , racine de X n 1.

Représentation irréductible :p/q avec p et q dans Z, q > 0 et pgcd(p, q) = 1.

a.

La somme et le produit de nombres algébriques sont desnombres algébriques. L’ensemble Q des nombres complexesalgébriques forme un corps, la clôture algébrique de Q dans C.

Nombre irrationnel : nombre (réel) qui n’est pas rationnel.

Un nombre transcendant est un nombre complexe qui n’est
pas algébrique.
75 / 105

76 / 105

Problème inverse de GaloisPériodes : Maxime Kontsevich et Don Zagier
Periods,
Mathematics
unlimited—2001
and beyond,Springer 2001,
771–808.

Un corps de nombres est une
extension finie de Q.
Evariste Galois
Est-il vrai que tout groupe fini G est le(1811 – 1832)
groupe de Galois sur Q d’un corps de nombres ?
Le groupe de Galois absolu du corps Q est le groupe
Gal(Q/Q) des automorphisms du corps Q des nombresalgébriques. Il s’agit de savoir si tout groupe fini G est un
quotient de Gal(Q/Q).

Une période est un nombre complexe dont les parties réelles etimaginaires sont les valeurs d’intégrales absolument
convergentes de fractions rationnelles à coefficients rationnels
sur des domaines de Rn définis par des (in)égalitéspolynomiales à coefficients rationnels.
77 / 105

Le nombre ⇡Autres exemples de périodesp

Exemple fondamental d’une période :ez+2i⇡ = ez

2i⇡ =
⇡ =

78 / 105

Z Z

Z

dz
|z|=1 zZdx
2x2 1et tous les nombres algébriques.
Z
log 2 =

dx
1<x<2 x

Z 1p

et tous les logarithmes de nombres algébriques.
Z
⇡=
dxdy,

x2 dx

dxdy = 2
1
1
Z 1
Z 1
dx
dx
p
=
=
·
2
x2
1 x
1
1 1
x2 +y 2 1

2=x2 +y 2 1

Un produit de périodes est une période (sous-algèbre de C sur
Q), mais on s’attend à ce que 1/⇡ ne soit pas une période.
79 / 105

80 / 105

Relations entre périodes
1

Relations entre périodes (suite)

Additivité(quantité à intégrer et domaine d’intégration)
Z bf (x) + g(x) dx =af (x)dx +aZ bf (x)dx =

a

2

Z b

Z c

f (x)dx +aZ bg(x)dx,a

Z b

f (x)dx.

c3

Changement de variables :Si y = f (x) est un changement de variables inversible, alors
Z f (b)f (a)F (y)dy =Z bFormule de Newton–Leibniz–Stokes
Z b
f 0 (x)dx = f (b) f (a).
aF f (x) f 0 (x)dx.

a81 / 105

Conjecture de Kontsevich et Zagier

82 / 105

Conjecture de Kontsevich et Zagier (suite)

Une croyance répandue,
fondée surune combinaison judicieuse
d’expérience, d’analogie
et de prise de ses désirs
pour des réalités,
est la suivante

En d’autres termes, on ne s’attend pas à ce qu’il
existe des coı̈ncidences miraculeuses entre deuxintégrales de fonctions algébriques qu’il ne serait pas
possible de démontrer à l’aide seulement de ces trois
règles simples.
Cette conjecture, dont l’esprit est semblable à laconjecture de Hodge, est une des conjectures
centrales sur l’indépendance algébrique et latranscendance de nombres, elle est liée à denombreux résultats et de nombreuses idées de lagéométrie algébrique arithmétique moderne et à lathéorie des motifs.

Conjecture (Kontsevich–Zagier). Si une période a deux
représentations, on peut passer d’une des deux formules àl’autre en utilisant seulement les trois règles 1 , 2 , 3 danslesquelles toutes les fonctions et les domaines d’intégration
sont algébriques avec des coefficients algébriques.

83 / 105

84 / 105

Conjectures de S. Schanuel, A. Grothendiecket Y. André

S. Ramanujan, C.L. Siegel, S. Lang,
K. Ramachandra
Ramanujan : Nombres hautement composés.
Alaoglu et Erdős (1944), Siegel,
Schneider, Lang, Ramachandra• Schanuel : si x1 , . . . , xn sont des nombres complexeslinéairement indépendants sur Q, alors n au moins parmi les
2n nombres x1 , . . . , xn , ex1 , . . . , exn sont algébriquementindépendent.
• Conjecture des périodes de Grothendieck sur la dimension dugroupe de Mumford–Tate d’une variété projective lisse.
• Y. André : généralisations aux motifs.
85 / 105

Conjecture des quatre exponentielles

86 / 105

Premières décimales dep

2 http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973
799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483
605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115
278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860
955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633
180882964062061525835239505474575028775996172983557522033753185
701135437460340849884716038689997069900481503054402779031645424
782306849293691862158057846311159666871301301561856898723723528
850926486124949771542183342042856860601468247207714358548741556
570696776537202264854470158588016207584749226572260020855844665
214583988939443709265918003113882464681570826301005948587040031
864803421948972782906410450726368813137398552561173220402450912
277002269411275736272804957381089675040183698683684507257993647
290607629969413804756548237289971803268024744206292691248590521
810044598421505911202494413417285314781058036033710773091828693
1471017111168391658172688941975871658215212822951848847 . . .

Soit t un nombre réel positif. Supposons que les deux nombres
2t et 3t sont entiers. Montrer que t est entier.
De façon équivalente :Si n est un entier positif tel quen(log 3)/ log 2
est un entier, alors n est une puissance de 2 :2k(log 3)/ log 2 = 3k .

Benoit Rittaud
http://www.math.univ-paris13.fr/~rittaud/RacineDeDeux
87 / 105

88 / 105

Premiers chi↵res binaires depCalcul des décimales de

2

p

2

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi
1.011010100000100111100110011001111111001110111100110010010000
10001011001011111011000100110110011011101010100101010111110100
11111000111010110111101100000101110101000100100111011101010000
10011001110110100010111101011001000010110000011001100111001100
10001010101001010111111001000001100000100001110101011100010100
01011000011101010001011000111111110011011111101110010000011110
11011001110010000111101110100101010000101111001000011100111000
11110110100101001111000000001001000011100110110001111011111101
00010011101101000110100100010000000101110100001110100001010101
11100011111010011100101001100000101100111000110000000010001101
11100001100110111101111001010101100011011110010010001000101101
00010000100010110001010010001100000101010111100011100100010111
10111110001001110001100111100011011010101101010001010001110001
01110110111111010011101110011001011001010100110001101000011001
10001111100111100100001001101111101010010111100010010000011111
00000110110111001011000001011101110101010100100101000001000100
110010000010000001100101001001010100000010011100101001010 . . .

1 542 décimales calculées à la main par Horace Uhler en 1951
14 000 décimales calculées en 1967
1 000 000 décimales calculées en 1971
137 · 109 décimales calculées par Yasumasa Kanada et Daisuke
Takahashi en 1997 avec Hitachi SR2201 en 7 heures et 31
minutes.

• Motivation : calcul de ⇡.

89 / 105Émile Borel (1871–1956)

90 / 105Émile Borel : 1950

• Les probabilités dénombrables et leurs applications
arithmétiques,
Palermo Rend. 27, 247-271 (1909).
Jahrbuch Database
JFM 40.0283.01

Soient g 2 un entier et x un
nombre réel algébrique
irrationnel. Le développement
en base g de x devrait
satisfaire certaines des lois
valables pour presque tous lesnombres (pour la mesure deLebesgue).

http://www.emis.de/MATH/JFM/JFM.htmlp• Sur les chi↵res décimaux de 2 et divers problèmes deprobabilités en chaı̂nes,
C. R. Acad. Sci., Paris 230, 591-593 (1950).
Zbl 0035.08302

91 / 105

92 / 105

Conjecture d’Émile Borel

État de la question

Conjecture (É. Borel). Soient x un nombre réel algébrique
irrationnel, g 3 un entier positif et a un entier dansl’intervalle 0  a  g 1. Alors le chi↵re a apparaı̂t au moins
une fois dans le développement en base g de x.
Corollaire. Toute suite finie de chi↵res devrait apparaı̂tre
une infinité de fois dans le développement en base g de tout
nombre réel algébrique irrationnel.
(remplacer g par une puissance de g).

On ne connaı̂t aucun exemple explicite de triplet (g, a, x), où
g 3 est un entier, a un chi↵re dans l’intervalle{0, . . . , g 1} et x un nombre réel algébrique irrationnel, pourlequel on puisse affirmer que le chi↵re a apparaı̂t une infinité
de fois dans le développement en base g de x.

Une conjecture plus forte, également due à Borel, est qu’unnombre réel algébrique irrationnel est normal : toute suite finiede n chi↵res en base g devrait apparaı̂tre avec la fréquence
1/g n , ceci pour tout g et tout n.

• Un nombre réel irrationnel dont le développement dans unebase g possède une certaine régularité devrait êtretranscendant.

93 / 105

Complexité du développement en base g d’unnombre réel algébrique irrationnel

94 / 105

Problèmes ouverts (irrationalité)• Le nombree + ⇡ = 5.859 874 482 048 838 473 822 930 854 632 . . .
est-il irrationnel ?
• Le nombree⇡ = 8.539 734 222 673 567 065 463 550 869 546 . . .
est-il irrationnel ?
• Le nombreThéorème (B. Adamczewski, Y. Bugeaud 2005 ; conjecturede A. Cobham 1968).
si la suite des chi↵res d’un nombre réel x peut être obtenue par
un automate fini, alors x est soit rationnel, soit transcendant.

log ⇡ = 1.144 729 885 849 400 174 143 427 351 353 . . .
est-il irrationnel ?
95 / 105

96 / 105

La constante de Catalan

Fonction zêta de Riemann
La fonction
X 1⇣(s) =ns
n 1

a été étudiée par Euler (1707– 1783)
pour s entieret par Riemann (1859) pour s complexe.

La constante de Catalan
X ( 1)n(2n + 1)2
= 0.915 965 594 177 219 015 0 . . .
est-elle irrationnelle ?
n 1

Euler : pour toute valeur paire de l’entier s⇣(s) est un multiple rationnel de ⇡ s .

2, le nombre

Exemples : ⇣(2) = ⇡ 2 /6, ⇣(4) = ⇡ 4 /90, ⇣(6) = ⇡ 6 /945,⇣(8) = ⇡ 8 /9450 · · ·Coefficients : Nombres de Bernoulli.
97 / 105Introductio in analysin infinitorum

98 / 105

Fonction zêta de RiemannLe nombre
X 1⇣(3) == 1, 202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 . . .
3nn 1

Leonhard Euler(1707 – 1783)

est irrationnel (Apéry 1978).

Introductio in analysin infinitorum(1748)

Rappelons que ⇣(s)/⇡ s est rationnel pour toute valeur paire des 2.
Question ouverte : Le nombre ⇣(3)/⇡ 3 est-il irrationnel ?
99 / 105

100 / 105

Fonction zêta de RiemannConstante d’Euler–Mascheroni

Le nombre
X 1⇣(5) == 1.036 927 755 143 369 926 331 365 486 457 . . .
n5
n 1
est-il irrationnel ?
T. Rivoal (2000) : irrationalité d’une infinité de nombres de laforme ⇣(2n + 1).

Lorenzo Mascheroni
La constante d’Euler est✓◆(1750 – 1800)
1 1
1= lim 1 + + + · · · +
log n
n!1
2 3
n
= 0.577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 . . .
Est-ce un nombre irrationnel ?
✓◆◆ Z 1 ✓
1 ✓
X
1
1
1
=
log 1 +
=
k
k
[x]
1
k=1
Z 1Z 1(1 x)dxdy=·(1xy) log(xy)00F. Brown (2014) : Irrationality proofs for zeta values, moduli
spaces and dinner parties
arXiv:1412.6508

1
x

◆

dx

101 / 105

Autres problèmes ouverts

102 / 105Équation de Collatz (Problème de Syracuse)• Conjecture d’Artin (1927) : étant donné un entier a di↵érent
de 1 qui n’est pas un carré, il y a une infinité de p tels que a
est une racine primitive modulo p.
(+ estimation conjecturale asymptotique pour la densité).
• Problème de Lehmer : Soit
Q ✓ 6= 0 un nombre algébrique dedegré d. On pose M (✓) = di=1 max(1, |✓i |), où ✓ = ✓1 et✓2 , · · · , ✓d sont les conjugués de ✓. Existe-t-il une constantec > 1 telle que la majoration M (✓) < c implique que ✓ est une
racine de l’unité ?
c < 1.176280 . . . (Lehmer 1933).

On itère
n7 !

(

n/2
3n + 1si n est pair,si n est impair.

Est-il vrai que (4, 2, 1)est le seul cycle ?

• Hypothèse H de Schinzel. Cas particulier : existe-t-il une
infinité de nombres premiers de la forme x2 + 1 ?
• La conjecture de Birch et Swinnerton–Dyer• Le programme de Langlands

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Mardi 13 janvier 2015

USTHB, Alger
Quelques problèmes ouvertsen théorie des nombres

Michel Waldschmidt
Institut de Mathématiques de Jussieu — Paris VI
http://www.math.jussieu.fr/⇠miw/

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