統計数理（2017）
第 65 巻 第 1 号 5–20
c 2017 統計数理研究所


特集「高頻度金融データに基づく統計的推測とモデリング」［研究詳解］

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論
荻原 哲平1,2（受付 2016 年 8 月 8 日；改訂 11 月 9 日；採択 12 月 20 日）

要

旨

本稿では，拡散過程と呼ばれる連続的な path をもつ確率過程を用いた日内株価モデリングとリスク量の統計推測手法の理論研究を紹介する．特に日内株価データのモデリングで問題となる，「マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ」と呼ばれる仮想的な観測誤差の存在や，複数資産の観測時刻が一致しない「非同期観測」の問題を取り上げ，関連する研究を紹介する．まず，株価ボラティリティや複数資産の共変動のノンパラメトリック推定手法の研究の歴史を簡潔に振り返った後，パラメトリック推定法として最尤型推定量の漸近理論を取り扱う．その後，推定量の最適性の概念である「漸近有効性」を扱う．特に推定量の漸近有効性を議論する上で重要な役割を果たす，統計モデルの局所漸近混合正規性の概念について紹介し，最尤型推定量が漸近有効性を満たすことについて論ずる．最後にベイズ型推定量を構築し，その漸近理論を紹介する．
キーワード：高頻度データ，最尤型推定法，漸近有効性，非同期観測，ベイズ型推定法，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ．
1.

高頻度データとその問題点

株式資産のリスク管理を行う際には，株価時系列の分散・共分散構造を特定することが重要であり，従来のリスク管理においては日次以上の株価データを用いてこれらのリスク量の推定が行われていた．一方で，近年各証券取引所における全ての取引の取引時刻・取引価格・売買
高等の情報を記録したような「高頻度データ」の利用可能性が高まり，それらのデータを用いたリスク管理手法の研究も活発になっている．このようなデータは秒・ミリ秒単位のタイムスタ
ンプを持っており，そのデータ量が膨大となるだけではなく，特有の構造からいくつかの問題が生じるため，従来の統計解析手法の適用が困難になっている．
例えば，ある証券の証券価格の観測時刻を {ti }ni=0 , 時刻 ti における証券の対数価格を Xti と書くと，実現ボラティリティは
RVn =

n


(Xti − Xti−1 )2i=1で定義される．証券対数価格 X = {Xt }0≤t≤T がブラウン運動 {Wt }0≤t≤T に対し，
1
2

統計数理研究所：〒 190–8562 東京都立川市緑町 10–3
国立研究開発法人科学技術振興機構（さきがけ）：〒 332–0012 埼玉県川口市本町 4–1–8

6

(1.1)

統計数理

第 65 巻

 t

 t

Xt =

0

μs ds +

0

第 1 号 2017

σs dWs ,t ∈ [0, T ]を満たし，観測時刻 {ti } が ti = T i/n (0 ≤ i ≤ n) であるとすると，X の二次変分 XT に対し，
(1.2)

RVn →p XT

(n → ∞)となることが知られている．
（1.1）
式は，証券対数価格 Xt が，時間とともに積みあがるトレン
t
t
ド成分 0 μs ds と，ランダムな Wt に駆動される拡散項 0 σs dWs で構成されていることを意味する．（1.2）の収束先である，
XT =

T0

σt2 dtは累積ボラティリティと呼ばれ，X の日内変動の大きさを測る重要なリスク量として，高頻度データの解析では分散に代わってよく用いられる．
しかし，高頻度観測データを用いた実証分析において，データの観測頻度を高くすると RVnが急激に増加する現象が確認されている．この現象は，連続セミマルチンゲールで記述される
潜在的な証券対数価格 X に対し，実際の証券価格の観測に仮想的な観測ノイズが混入していると解釈されている．このノイズは高頻度観測データを解析する際に現れる特有のものとして，「マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ」と呼ばれている．
また，複数証券の共変動の推定を考えると，売買取引データを用いる場合には，証券価格は証券の取引が起きた時にその取引価格として観測されるので，異なる証券の観測時刻が一致しないという「非同期観測」の問題が発生する．
本稿では，高頻度データの統計解析上の問題としてこの「マーケット・マイクロストラクチャー・
ノイズ」
の問題と
「非同期観測」の問題を中心に取り上げ，現在までで研究が進んできた，累積
ボラティリティ・共変動のノンパラメトリック推定の研究の概観を紹介した後，筆者が特に関わってきたパラメトリック推定手法，特に最尤型・ベイズ型推定法についての最近の結果を紹介する．
本稿では扱わないが，高頻度データのその他の話題として，time endogeneity と呼ばれる観測時刻の対数株価 X への依存性の問題や X がジャンプを含む確率過程で記述される場合の理論などがある．ジャンプを含む確率過程に関する研究は Aı̈t-Sahalia and Jacod（2014）の四章,に詳しく紹介されている．time endogeneity に関する研究としては，例えば，Li et al.（2014）, Koike（2017）
等を参照されたい．
Fukasawa and Rosenbaum（2012）2.

累積ボラティリティ・共変動のノンパラメトリック推定法

2.1 実現ボラティリティとマーケット・マイクロストラクチャー・ノイズ
上で紹介したように，証券対数価格 X が（1.1）を満たし，それがノイズ無しで規則的に観測されている状況では，実現ボラティリティ RVn は XT に確率収束する．このような状況において，推定誤差の漸近分布についても研究されている．X の定義される確率空間を (Ω, F , P ) と書
Tくと，標準的な条件の下で，A = 2 0 σs4 ds と (Ω, F , P ) の拡張上で定義された F と独立な標準
正規乱数 ζ に対し，√√n(RVn − XT ) →s-L Aζ (n → ∞)(2.1)

を満たす．ここで，→s-L は確率変数の stable convergence を表す．(Ω, F , P ) 上の確率変数列 Znと (Ω, F , P ) のある拡張 (Ω , F  , P  ) 上の確率変数 Z に対して，Zn →s-L Z とは，任意の (Ω, F )上の確率変数 V に対して，(Zn , V ) が (Z, V ) に分布収束することを定義とする．その定義から

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

7stable convergence は分布収束より強く，確率収束より弱い概念であるといえる．より詳しい
stable convergence の性質等に関しては，Jacod and Protter（2012）の 2.2.1 節，または Jacod andの VIII 章 5c 節を参照せよ．
Shiryaev（2003）
一方，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの存在下では実現ボラティリティは一致性を持たず（つまり XT に確率収束せず），別の推定量を考える必要がある．マーケット・マ
イクロストラクチャー・ノイズのモデルで最もシンプルなものとしては，（1.1）を満たす確率過
程 {Xt }0≤t≤1 の観測 {Yi }ni=0 が，Yi = Xi/n + Ui

で与えられる設定が考えられている．ただし，ノイズ {Ui }ni=0 は X と独立な平均 0 の独立同分布列である．
マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの存在下での累積ボラティリティ推定に関しては近年活発に研究されており，例えば Bandi and Russell（2008）では，ノイズによる推定誤差と観測の少なさによる推定誤差のトレードオフから最適な観測頻度を選択する方法を研究している．また，ノイズを除去するいくつかの手法が提案されており，代表的なものとしては，Barndorﬀ-Nielsen et al.（2008）のカーネル法や，Podolskij and Vetter（2009）のプレ・アベレー
ジング法が挙げられる．
例えばプレ・アベレージング法は，観測データの部分的な平均をとることでノイズを除去す
では，正の実数 θ, 正整数列 kn と，連続かつ区分的に滑らかる方法であり，Jacod et al.（2009）1
な重み関数 g : [0, 1] → R で，g(0) = g(1) = 0, 0 g(s)2 ds > 0, kn = θn1/2 + o(n1/4 ) となるもの
を用いて，観測 {Yi }ni=0 を
 
k
n −1
p
n
ΔY i =g(Yi+p − Yi+p−1 )
k
n
p=1
1
1
で平均化した．そして s ∈ [0, 1] に対し，φ1 (s) = s g  (u)g  (u − s)du, φ2 (s) = s g(u)g(u − s)du,ψj = φj (0) (j = 1, 2) と定めた時，累積ボラティリティの推定量を
Ĉn =

n−1/2
θψ2

n−k
n +1


(ΔY i )2 −
n

i=0

n
ψ1 
(Yi − Yi−1 )22θψ2 n i=1で定義し，ノイズ Ui の 8 次モーメントの存在や μt , σt の標準的な条件の下で n → ∞ の時，
 1
1/4
s-L
(2.2)
n (Ĉn − X1 ) →γt dBs0となることを示した．ただし，v = E[U02 ], 1 ≤ i, j ≤ 2 に対し，Φij =
γt2 =

4
ψ22



Φ22 θσt + 2Φ12

σt2 v
θ

2

+ Φ11

v
θ3



1
0

φi (s)φj (s)ds,

で {Bt }0≤t≤1 は F と独立な標準ブラウン運動である．
また，
 n−2kn−kn +1
i+2k
n +1
n −1


Φ12
4Φ22 
4
Φ22 ψ1
n 4
n 2
Γn =
(ΔY
)
+
−
(ΔY
)
(Yj − Yj−1 )2ii
3θψ24 i=0nθ3 ψ23
ψ24
i=0
j=i+k
+

1
nθ3



Φ11
Φ12 ψ1
Φ22 ψ12
−2
+
2
3
ψ2
ψ2
ψ24

 n−2

(Yi − Yi−1 )2 (Yi+2 − Yi+1 )2
i=1

n

統計数理

8

第 65 巻と定めた時，
Γn → p 1
0

第 1 号 2017

γt2 dtとなることを示した．よって，
n1/4 Γ−1/2(Ĉn − X1 ) →s-L B1nとなる．B1 は標準正規分布に従うので，α = 0.01, 0.05 等に対して，Zα を正規分布の上側 100αパーセント点を Zα とすると，XT の信頼係数 1 − α の信頼区間は近似的に−1/4 1/2[Ĉn − n−1/4 Γ1/2
Γn Zα/2 ]n Zα/2 , Ĉn + nと計算される．
√（2.1）におけるレート 1/ n よりも（2.2）より，Ĉn の X1 への収束レートは n−1/4 となり，悪くなっている．これはノイズの存在により X1 の推定効率が落ちることを意味している．
Gloter and Jacod（2001a）では，ノイズの存在下で X1 の任意の推定量の収束レートは n−1/4が最適であるということを証明しているので，Ĉn は最適な収束レートを達成していることになる．
2.2 共変動の推定と非同期観測
金融資産のリスク管理を行う際には，単一資産の累積ボラティリティだけではなく，複数資産の共分散・共変動の計測も重要である．証券価格 X 1 = {Xt1 }0≤t≤T , X 2 = {Xt2 }0≤t≤T とその観測時刻 {ti }ni=0 に対して，実現ボラティリティの自然な拡張として実現共分散 RCVn が以下のように定義される：n

RCVn =(Xt1i − Xt1i−1 )(Xt2i − Xt2i−1 ).
i=1

実現ボラティリティと同様，X 1 , X 2 が（1.1）に対応する式を満たし，ti = T i/n の時，X 1 , X 2 の
12p1
二次変分 X , X T に対し，RCVn → X , X 2 T となることが知られている．X 1 , X 2 T は高頻度データの解析において，X 1 , X 2 の共分散に代わり，X 1 と X 2 の連動性を測る指標として用いられる．
複数証券の共分散推定の際には，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの問題に加え，
X 1 , X 2 の観測時刻が一致しないという「非同期観測」の問題が発生する．非同期観測の問題を解決するために考えられる最もシンプルな方法としては，価格データを線形補完するか，RCVn計算の基準となる時刻を設定し，各基準時刻に対して X 1 , X 2 の直前の観測データを用いる等の方法により，観測を「同期化」
して RCVn を計算することが考えられる．しかし，Hayashi andでは，このようなシンプルな同期化により計算された RCVn には深刻なバイア
Yoshida（2005）
スが存在することが指摘されている．さらに，彼らは非同期観測下における二次変分 X 1 , X 2 T
12の推定量 HYn を提案している．X 1 の観測時刻 {si }i=0と X 2 の観測時刻 {tj }j=0
に対して，
 1
HYn =
(Xsi − Xs1i−1 )(Xt2j − Xt2j−1 )1{[si−1 ,si )∩[tj−1 ,tj )=∅}i,jと定義される．観測時刻 {si }, {tj } と X 1 , X 2 が独立で maxi,j (si − si−1 ) ∨ (tj − tj−1 ) →p 0 の時，
HYn →p X 1 , X 2 Tが示されている．

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

9Hayashi and Yoshida（2008, 2011）
では，推定誤差の漸近分布が研究されている．Hayashi andでは，証券価格過程 X = (X 1 , X 2 ) がブラウン運動 (Wtl )t≥0 に対して確率微分方
Yoshida（2008）
程式：
dXtl = μlt dt + σtl dWtl , t ∈ [0, T ], l = 1, 2,
dW 1 , W 2 t = ρt dt を満たし，{σtl }0≤t≤T と {ρt }0≤t≤T が deterministic で観測時刻が X と独立の時，ある正数列 {pn }n∈N , pn → 0 に対し，以下を示した：

ただし，Ki,j

p−1/2(HYn − X 1 , X 2 T ) →d N (0, c) (n → ∞).
nst= 1{[si−1 ,si )∩[tj−1 ,tj )=∅} , vi1 = s i (σt1 )2 dt, vj2 = t j (σt2 )2 dt, vi,j
i−1

j−1

=

σ 1 σ 2 ρ dt に対し，
[si−1 ,si )∩[tj−1 ,tj ) t t t 1 2  2 2 
 1 2
−1
2
c = P-limn→∞ pn
vi vj Ki,j +(vi ) +(vj ) −
(vi,j ) .
i,j

i

j

i,j

Hayashi and Yoshida（2011）では，σt が random で {si }, {tj } の X の従属性を許したようなより広いモデル設定において，{si }, {tj } に対する strong predictability と呼ばれる条件等を仮定
した下で，
p−1/2
(HYn − X 1 , X 2 T ) →s-L Cζ (n → ∞)nが示されている．ただし，C は X 1 , X 2 の拡散係数に依存する確率変数である．
マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズと非同期観測の問題が同時に存在する場合の共変動推定法の研究も近年活発に研究されている．例えば，Christensen et al.（2010）ではプレ・アベ
レージング法と Hayashi–Yoshida 推定量を組み合わせた pre-averaged Hayashi–Yoshida estimaや multiscale
tor が研究されている．他にもカーネル法を用いた Barndorﬀ-Nielsen et al.（2011）
等がある．
estimator を用いた Bibinger（2011, 2012）
2.3 リード・ラグ推定
共分散推定に関連する研究として，Hoﬀmann et al.（2013）では，非同期観測された二証券間において一方が他方に対する価格変化の先行性があるかどうかを測るリード・ラグが研究されている．簡単のため，二証券対数価格 X 1 , X 2 が実数 θ∗ と二次元標準ブラウン運動 Wt = (Wt1 , Wt2 )に対し，
1
Xt1 = σ1 Wt+θ∗

Xt2 = ρσ2 Wt1 +1 − ρ2 σ2 Wt2を満たすとする．この時，X 2 は X 1 に対して時間 θ∗ だけ遅れていると考えることができる．また，X 1 , X 2 の観測が {Xs1i }i , {Xt2j }j で与えられているとする．彼らはコントラスト関数 U n (θ)
を 1
U n (θ) =(Xsi − Xs1i−1 )(Xt2j − Xt2j−1 )1{[si−1 ,si )∩[tj−1 −θ,tj −θ)=∅}i,jで定め，時間のラグ（リード）
θ∗ の推定量 θ̂n を θ̂n = argmaxθ |U n (θ)| と定めた．この時彼−1
らは，vn → 0 かつ vn maxi,j (si − si−1 ) ∨ (tj − tj−1 ) →p 0 となる正数列 {vn }n に対して，
vn−1 (θ̂n − θ∗ ) →p 0 を示した．
Huth and Abergel（2014）
は U n (θ) を用いて，lead-lag ratio と呼ばれる指標を作り，フランス
株価市場の高頻度個別株データに対する分析から，流動性の高い銘柄が他の銘柄をリードする

統計数理

10

第 65 巻

第 1 号 2017傾向があることを確認した．ただし，リードは数秒単位の非常に短い期間となっている．また，
Koike（2016）
では，マーケット・マイクロストラクチャー・ノイズの存在下におけるリード・ラグの推定手法が研究されている．
3.

パラメトリック推定法

上の研究はパラメトリック・モデルを仮定しないノンパラメトリック推定量の研究であるが，パラメトリック・モデルの下での最尤型推定量・ベイズ型推定量に関する研究もなされている．
最尤型推定量を考えるメリットとしては，様々なモデルにおいて，推定誤差の漸近分散を最小にすることが示されることや尤度比検定，one-step 推定量，情報量基準によるモデル選択などへの応用が可能であることである．
フィルター付確率空間 (Ω, F , {Ft }0≤t≤T , P ) 上の二次元確率過程 {Xt }0≤t≤T が確率微分方程式：(3.1)

dXt = μ(t, Xt , σ∗ )dt + b(t, Xt , σ∗ )dWt

を満たすとする．この時，Xt は拡散過程と呼ばれる確率過程のクラスに属する．ここで，Wtは二次元標準ブラウン運動，μ(t, x, σ) は未知 R2 -値関数，b(t, x, σ) は 2 × 2 行列値の既知関数で，未知パラメータ σ∗ は σ∗ ∈ Λ を満たし，Λ ⊂ Rd は Lipschitz boundary をもつ開集合である．σ∗の値が推定できれば，累積ボラティリティ等のリスク量の推定が可能となる．最尤推定量を計算するには尤度関数を計算する必要があるが，拡散過程に対して尤度関数を計算することは一般に困難であるため，疑似尤度関数を構築することを考える．
本章以後，いくつかの仮定は弱めることが可能だが，煩雑さを避けるため比較的簡易な仮定を採用する．clos(Λ) は Λ の閉包を表すとする．まずは X のドリフト項 μ と拡散項 b に対する
以下の条件を仮定する．
[A1] 関数 (t, x) → μ(t, x, σ∗ ) は局所有界で，b は (t, x, σ) に関して十分なめらか，bb は各点で正定値で b は [0, T ] × R2 × clos(Λ) 上の連続関数に拡張される．
[A2] 任意の (t, x) に対し，inf σ1 =σ2 (|bb (t, x, σ1 ) − bb (t, x, σ2 )|/|σ1 − σ2 |) > 0.

（3.1）の dt 項は高頻度極限で dWt 項より速く零に収束するため，漸近理論で無視することができ，仮定があまり必要にならない．[A2] 条件は統計モデルの分離性に関するもので，ラフに（ノイズ付）
観測からパラメータを推定するためには，違うパラメータに言えば，データ {Xt } の対して違うデータが生成される必要があり，bb の水準が異なる必要があるということである．
3.1 同期観測・ノイズ無しの場合
まずは tk = kT /n に対し，{Xtk }nk=0 が観測されている（同期観測でノイズがない）場合を考える．この時，
ΔXk := Xtk − Xtk−1 ≈ bk (σ∗ )(Wtk − Wtk−1 )となる．ただし，bk (σ) = b(tk−1 , Xtk−1 , σ). よって ΔXk は Ftk−1 の条件付の下，近似的に平均0, 分散 bk bk (σ∗ )(tk − tk−1 ) の正規分布に従う．このことから，疑似対数尤度関数 Hn0 (σ) を


−1

n
bk bk (σ)T
1
0
(3.2)
Hn (σ) = −ΔXk + log det(bk bk (σ))
ΔXk
2
n
k=1
で定める
（局所ガウス近似）．ただし，定数項は σ の最適化に影響を与えないため除外している．
最尤型推定量 σ̂n0 を σ̂n0 = argmaxσ Hn0 (σ) で定める．
,
同期観測・ノイズ無しの場合の最尤型推定量の漸近的性質は Genon-Catalot and Jacod（1994）

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

11

Uchida and Yoshida（2013）
で研究されており，Γ0 = P - limn→∞ (−n−1 ∂σ2 Hn0 (σ∗ )) と書くと，以下の定理が成立する．

定理 3.1. [A1], [A2] の下，ある d 次元標準正規乱数 ζ で F と独立なものがあって，Γ0 > 0a.s. かつ n → ∞ の時，√−1/2n(σ̂n0 − σ∗ ) →s-L Γ0ζ.
3.2 非同期・ノイズ無しの場合
1,nOgihara and Yoshida （2014）
では，X 1 , X 2 の（random な）観測時刻をそれぞれ {Sin,1 }i=0,
2,n
⊂ [0, T ] で与え，{Sjn,2 }j=0
0 = S0n,p < S1n,p < · · · < Sn,p
= T,
p,n
n,p
) →p 0max(Sin,p − Si−1i,pas

(p = 1, 2)

n → ∞ （高頻度観測極限）の条件の下，最尤型推定量を構築し，その漸近挙動を調べた．
同期観測の場合と同様，局所ガウス近似から疑似対数尤度関数を構築することを考える．δi,jをクロネッカーのデルタとし，b1i (σ), b2j (σ) は拡散係数 b の行ベクトル b1 , b2 に対して，それぞれn,1n,2, Sj−1における最新の X 1 , X 2 の値を代入して得られるものとし，区間 K = [a, b) に対
時刻 Si−1n,p, Sin,p ) と置く．この時，X 1 , X 2 の規格化された増分 (ΔXi1 |Ii1 |−1/2 )i ,
し |K| = b − a, Iip = [Si−1
2 2 −1/2)j に対し，その条件付共分散は，(ΔXj |Ij |Ep
ΔXip ΔXj
n,p
n,p
p 1/2
p 1/2 FSi−1
∧Sj−1
|Ii |
|Ij |

≈ |bpi |2 δi,j ,E

ΔXi1 ΔXj2
F n,1 n,2
|Ii1 |1/2 |Ij2 |1/2 Si−1 ∧Sj−1≈ b1i · b2j|Ii1 ∩ Ij2 ||Ii1 |1/2 |Ij2 |1/2と近似される．よって Gij = |Ii1 ∩ Ij2 ||Ii1 |−1/2 |Ij2 |−1/2 ,(ΔXi1 |Ii1 |−1/2 )idiag((|b1i |2 (σ))i )
Z=
,
S(σ)
=
(ΔXj2 |Ij2 |−1/2 )j{b1i (σ) · b2j (σ)Gij }ji{b1i (σ) · b2j (σ)Gij }ijdiag((|b2j |2 (σ))j )と置いて, 疑似対数尤度関数 Hn1 (σ) を
(3.3)

1
1
Hn1 (σ) = − Z S −1 (σ)Z − log det S(σ)
22と定める．この時最尤型推定量 σ̂n1 を σ̂n1 = argmaxσ Hn1 (σ) で定める．
非同期観測のケースで最尤型推定量 σ̂n1 の漸近挙動を調べるには，確率過程 X の条件 [A1], [A2]だけではなく，観測時刻列 {Sin,p } の漸近挙動に関する仮定が必要になる．Ogihara and Yoshida（2014）では，{Sin,p } のある汎関数の極限の存在を仮定しているが，ここではより簡易な十分条件として以下の仮定を置く．
[A3] ある exponential α-mixing simple point process (Nt1 , Nt2 )t≥0 で増分が定常となるものがあって，任意の q > 0 に対し，
(3.4)

E[|N1 |q ] < ∞,lim sup max uq P [Nup = 0] < ∞
n→∞

p=1,2

かつ
(3.5)

p
Sin,p = inf{t ≥ 0; Nnt
≥ i}.

統計数理

12

第 65 巻

第 1 号 2017

例えば，(Nt1 , Nt2 )t≥0 が独立なポアソン過程でパラメータを λ1 , λ2 とすると，増分定常な ex（3.4）の最初の条件も明らかに満たす．二番目
ponential α-mixing simple point process となり，の条件に関しては，
lim uq P [Nup = 0] = lim (uq e−λp u ) = 0
u→∞

u→∞

より満たされる．よって，観測時刻列を（3.5）
で定めれば [A3] 条件を満たすことがわかる．
定理 3.2. （Ogihara and Yoshida, 2014）[A1]–[A3] を仮定する．この時，
Γ1 = P - lim (−n−1 ∂σ2 Hn1 (σ∗ ))n→∞が存在し，最尤型推定量 σ̂n1 に対して，F と独立な d 次元標準正規乱数 ζ があって，Γ1 > 0 a.s.
かつ

√

−1/2

n(σ̂n1 − σ∗ ) →s-L Γ1ζ(n → ∞).

Ibragimov and Has’minskiı̆（1972, 1973, 1981）の尤度比確率場の理論を用いると，j = 0, 1 に対し，最尤型推定量 σ̂nj の漸近的性質を調べる上で，疑似対数尤度比 ∂σk (Hnj (σ) − Hnj (σ∗ )) (k =（3.2）式では，Hn0 (σ) は，各 k に対する
0, 1, 2, 3, 4) の極限の性質を調べることが本質的になる．
ΔXk の疑似対数尤度を足し合わせたシンプルな関数であるが，非同期・ノイズ無しの Hn1 (σ) では，S −1 の全ての要素が非零となり得る上に，ΔXk ΔXl の係数が遠い先の時刻まで参照しているため，マルチンゲールに対する極限定理などを使いづらくなるため，定理 3.2 の証明には，Itô
解析と線型代数を組み合わせて係数の時刻ずらしを行ってからマルチンゲールの極限定理を適用するなどのより複雑な解析が必要となる．
3.3 非同期・ノイズ付の場合∞
独
次に非同期観測でノイズがあるモデルを考える．p = 1, 2 に対し，ノイズを { n,pi }i=0 と書き，
n,p
n,p 2
q
)
]
<
∞
立同分布で，未知の vp,∗ > 0 と任意の q > 0 に対し，E[ i ] = 0, E[( i ) ] = vp,∗ , E[( n,p
i
p
p
n,p
n,p
n,p
を満たすとする．観測は Yi = XS n,p + i で与えられるとし，{Si }n,p,i , { i }n,p,i , (Xt , Wt )ti

は独立とする．
−1/2+
→ 0 かつ n1/3+ ln−1 → 0 となるよ
自然数列 {ln }∞n=1 をある > 0 に対し，ln → ∞, ln nnに分けて疑うにとり，sm = T ln−1 m (0 ≤ m ≤ ln ) に対し，観測を ln 個の区間 {[sm−1 , sm )}lm=1
似対数尤度関数を構築することを考える．この疑似対数尤度関数構築の手法は同期観測・ノイズ無しの最尤型推定量を研究している Gloter and Jacod（2001b）のアイディアに基づいており，
疑似対数尤度関数の漸近挙動を制御するための技術的な理由によりこのような操作が必要になるが，n の取り方は最尤型推定量の漸近分布に影響を与えないことが示される．
p1
2+ 1, km+ 1 とし，ΔYip = Yip − Yi−1,
区間 [sm−1 , sm ) の間の Y 1 , Y 2 の観測数をそれぞれ km
p
p
k
k
−1
p
p
p
Y
)
,
σ),
k
×
k
行列
M
を
bm (σ) = b (sm−1 , ((km−1 )
p
p,m
m
m
i;Ii ⊂[sm−2 ,sm−1 ) i⎧⎪(i = j)⎨2(Mp,m )ij =−1 (|i − j| = 1)⎪⎩0otherwiseと定める．
が正規分布に従うとすると，[sm−1 , sm ) 内の観測 ΔYip , ΔYip に対し，p = p
まずノイズ項 n,piの時，E[ΔYip ΔYip |Fsm−1 ] ≈ |bpm (σ∗ )|2 (diag(|Iip |)i )ii + vp,∗ (Mp,m )ii ,p = 1, p = 2 の時，

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

13

E[ΔYi1 ΔYi2 |Fsm−1 ] ≈ b1m · b2m (σ∗ )|Ii1 ∩ Ii2 |.

よって Zm = ((ΔYi1 )i;I 1 ⊂[sm−1 ,sm ) , (ΔYj2 )j;I 2 ⊂[sm−1 ,sm ) ),ijSm (σ, v) =|b1m |2 (σ)diag((|Ii1 |)i )b1m · b2m (σ){|Ii1 ∩ Ij2 |}i,j

b1m · b2m (σ){|Ii1 ∩ Ij2 |}j,i
v1 M1,m 0+0v2 M2,m|b2m |2 (σ)diag((|Ij2 |)j )

(v = (v1 , v2 ))に対し，疑似対数尤度関数 Hn2 (σ, v) を以下で定める:
Hn2 (σ, v) = −1 −1(Zm Sm(σ, v)Zm + log det Sm (σ, v)).
2 m=2
ln

√
∞
v∗ = (v1,∗ , v2,∗ ) は未知だが，v∗ の推定量 {v̂n }∞n=1 で { n(v̂n − v∗ )}n=1 が tight となるものに
2対し，σ∗ の最尤型推定量 σ̂n を
σ̂n2 = argmaxσ Hn2 (σ, v̂n )で与える．上の疑似対数尤度関数の導出ではノイズ項 n,pが正規分布に従うことを仮定したが，i上のように σ∗ と v∗ の推定を分離することにより，ノイズ項が非正規でも，Hn2 を用いて計算される σ̂n2 に対して，ノイズ項が正規の場合と同様の漸近的性質を導くことができる．
観測頻度が高くなれば各 ΔYip におけるノイズ項の寄与が支配的になるので，ノイズ分散 vp,∗の一致推定量を作るのは容易である．例えばv̂p,n = (2p,n )−1



p,n

(ΔYip )2i=1ととれば上の条件を満たす．
また，観測時刻列 {Sin,p } に関する以下の条件を仮定する．
n,pn,p −1[A4] 任意の δ > 0 に対し，maxp,i (Sin,p − Si−1
) = Op (n−1+δ ) かつ (minp,i (Sin,p − Si−1)) =1+δOp (n ).

[A5] ある η ∈ (0, 1/2) と連続正値確率過程 {apt }0≤t≤T,p=1,2 があって，supt=s (|ajt −ajs |/|t−s|) <∞ a.s. かつ n → ∞ の時，
n1/2 −1
max n−1 (sn,l − sn,l )−1 #{i; Iip ⊂ [sn,l , sn,l )} − apsn1≤l≤Lnn,l→p 0.

ただし，{[sn,l , sn,l )}1≤l≤Ln ⊂ [0, T ] は任意の disjoint な区間列で
0 < inf (n1−η (sn,l − sn,l )) ≤ sup(n1−η (sn,l − sn,l )) < ∞.
n,l

n,l

[A5] は観測数に関して，局所的な大数の法則が成り立つことを意味している．

定理 3.3. （Ogihara, 2015b）[A1], [A2], [A4], [A5] を仮定する．この時，
Γ2 = P - lim (−n−1/2 ∂σ2 Hn2 (σ∗ , v∗ ))n→∞が存在し，Γ2 > 0 a.s. また，F と独立な d 次元標準正規分布 ζ に対して，n → ∞ の時，−1/2

n1/4 (σ̂n2 − σ∗ ) →s-L Γ2

ζ,−n−1/2 ∂σ2 Hn2 (σ̂n2 , v̂n ) →p Γ2 .

統計数理

14

第 65 巻

第 1 号 2017

Y(σ) = P - limn→∞ (n−1/2 (Hn2 (σ, v∗ ) − Hn2 (σ∗ , v∗ ))) と置き，bt = b(t, Xt , σ), ãjt = ajt /vj,∗ ,bt,∗ = b(t, Xt , σ∗ ), Bt = det(bt bt ), Bt,∗ = det(bt,∗ bt,∗ ) と置くと，
Y(σ)

 T

=

2
j 2
j 2
3−j 2
|
j=1 (|bt | − |bt,∗ | )(|btã1t ã2t + ãjt Bt ) − 2(b1t · b2t − b1t,∗ · b2t,∗ )b1t · b2t

4Bt (ã1t |b1t |2 + ã2t |b2t |2 + 2

0−(ã1t |b1t |2 + ã2t |b2t |2 + 2

ã1t ã2t

ã1t ã2t Bt )1/2

ã1t ã2t Bt )1/2 − (ã1t |b1t,∗ |2 + ã2t |b2t,∗ |2 + 2
2

ã1t ã2t Bt,∗ )1/2dt.

また，この時 Γ2 = −∂σ2 Y(σ∗ ) となる．
−1の各要素が非零になり得るということに加え，ノイズ項
非同期・ノイズ付のケースでも Sm−1の共分散行列 Mp,m の存在により Sm の漸近挙動が非自明となり，Hn2 の漸近的性質の導出がでは，同期（等間隔）観測・ノイズ付のケースを扱っ
より困難になる．Gloter and Jacod（2001b）ており，この場合，X の共分散行列に対応する部分が単位行列のスカラー倍になるので，ある
スカラー確率変数 c と単位行列 I に対して，Sm に対応する共分散行列は，
cI + vM1,mと書ける．M1,m の固有値は
1
km
 

iπ
2 1 − cos
1 +1
km
i=1

と求まるので，Sm の固有値は


1
km


iπ
c + 2v 1 − cos
1 +1
km
i=1

となる．この性質が疑似対数尤度関数の漸近的性質を導く上で本質的な役割を果たす．非同期・ノイズ付の場合では，X の共分散行列が非同期性から複雑になり，Sm の固有値を簡単な関数で表すことができないので解析はより困難になる．しかし，Mp,m の特殊な漸近的性質を用いる
ことにより，X の共分散行列が単位行列のスカラー倍のケースに帰着して，漸近理論を展開することが可能となる．詳しくは，Ogihara（2015b）の五章を参照されたい．
例として，X が
dXt1 = σ1,∗ dWt1
dXt2 = σ3,∗ dWt1 + σ2,∗ dWt2
を満たすシンプルなケースを考える．この時，パラメータは σ∗ = (σ1,∗ , σ2,∗ , σ3,∗ ) であり，
X は相関付ブラウン運動になる．また，X 1 , X 2 T = T σ1,∗ σ3,∗ となるので，最尤型推定量
2
2
2
2
2
σ̂n2 = (σ̂1,n, σ̂2,n, σ̂3,n) を用いた自然な推定量 T σ̂1,nσ̂3,nを考えることができ，定理 3.3 の仮定の下，デルタ法を用いることで，
22n1/4 (T σ̂1,nσ̂3,n− X 1 , X 2 T ) →s-L V ζ−1が示される．ここで Γ−1
2 の行列要素を (Γ2 )ij と書く時，
2
−1
2
−1
V = T 2 (σ3,∗(Γ−12 )11 + 2σ1,∗ σ3,∗ (Γ2 )13 + σ1,∗ (Γ2 )33 )

である．
（3.1）
を満たす拡散過程のケースで，最尤型推定量 σ̂n2 の漸近的な最良次章では，X が一般の

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

152
2性を議論する．上の相関付ブラウン運動の例では，パラメータ変換を用いることで，T σ̂1,nσ3,n1
2が X , X T の推定量として漸近的に最良であることも示される．また，Ogihara（2015b）の三2
2
σ3,nを X 1 , X 2 T の既存の代表的なノンパラメトリッ
章では，シミュレーションにより，T σ̂1,nク推定量と比較し，高頻度観測において，推定誤差の標本標準偏差が最も小さいことを確認している．そのため，最尤型推定法は漸近理論における最適性が保証されるだけではなく，実際の数値シミュレーションにおいても有用であると言える．

4.

統計モデルの局所漸近混合正規性と推定量の漸近有効性

最尤型推定量の一つのメリットとして，様々なモデルで推定誤差の漸近分散が最小になること（漸近有効性）がある．これは統計モデルの局所漸近混合正規性（local asymptotic mixed normality,と呼ばれる性質から証明される．
LAMN）
定義 4.1. 可測空間 (Xn , An ) 上の確率分布の族 {Pσ,n }σ,n が以下を満たすとき，σ = σ∗ で局所漸近混合正規であるという：ある正数列 {en }n∈N と d × d 対称正定値確率行列 Γn , Γ と d 次
元確率ベクトル Nn , N があって，任意の u ∈ Rd に対し，n → ∞ の時，en → 0,√
dPσ∗ +en u,n
1
log
− u
Γ n Nn − u Γ n u → 0
dPσ∗ ,n2
in Pσ∗ ,n -probability, N は Γ と独立な d 次元標準正規乱数で(Nn , Γn ) →d (N , Γ).

さらに Γ が deterministic の時，{Pσ,n } は局所漸近正規（locally asymptotic normal, LAN）であるという．
定理 4.1.（Jeganathan, 1983）確率分布族 {Pσ,n }σ,n が σ = σ∗ で LAMN を満たすとする．この時任意の推定量列 {Vn } と任意の非減少関数 l : [0, ∞) → [0, ∞) で l(0) = 0 を満たすものに
対し，
(4.1)

−1/2
lim lim inf sup Eσ∗ +en u,n [l(|e−1
N |)].
n (Vn − σ∗ − en u)|)] ≥ E[l(|Γα→∞ n→∞ |u|≤α

ただし，Eσ,n は Pσ,n に関する期待値を表す．
この不等式は minimax 不等式と呼ばれ，パラメータ推定量列 {Vn } の推定誤差のリスク量に対する漸近的下界を与える．特に l(x) = x2 の時，上の式は推定誤差の漸近分散の下界を与える．σ = σ∗ におけるリスク量 Eσ∗ ,n [l(|e−1n (Vn − σ∗ )|)] は自明な推定量 Vn ≡ σ∗ により最小化される．しかし，実際にはパラメータの真値 σ∗ を事前に知ることはできないので，この推定量はたまたま真値を当てただけになる．このような自明な推定量を取り除くために，minimax 不等式ではパラメータの摂動に対する局所的な supremum がとられている．minimax 不等式において等号を満たすような推定量列 {Vn } は漸近有効であると言われる．
同期観測でノイズ無しのケースでは，Gobet（2001）により統計モデルの LAMN が示されている．また，同期観測・ノイズ付のケースでは，Gloter and Jacod（2001a）において，拡散係数b(t, x, σ) が x に依存しないケースでの LAN が示されている．非同期観測の場合の LAMN（LAN）に関する結果としては以下がある．
定理 4.2. （Ogihara, 2015a）[A1]–[A3] を仮定する．さらに μ は (t, x, σ) に関して十分なめらかで，∂x μ, ∂x b は有界かつ，任意の r ∈ [0, 1], t1 , t2 , x1 , x2 , σ に対し，

統計数理

16

第 65 巻

第 1 号 2017(rb(t1 , x1 , σ) + (1 − r)b(t2 , x2 , σ))(rb(t1 , x1 , σ) + (1 − r)b(t2 , x2 , σ))が正定値であるとする．この時，5.2 節の非同期・ノイズ無しの統計モデルに対する LAMN が
成立する．
が正規分布
定理 4.3. （Ogihara, 2015b）[A1], [A2], [A4], [A5] を仮定する．さらに μ ≡ 0, n,pi
に従い，b(t, x, σ) が (t, x) に依存しないとする．この時，5.3 節の非同期・ノイズ付の統計モデ
ルに対する LAN が成立する．
定理 4.3 は X がブラウン運動になるようなやや強い仮定を置いている．X がより広い拡散過程のクラスに属する場合にも同様の結果が成り立つと予想されるが，そのような結果はまだ示されていない．X が一般の拡散過程の時，ΔXk の確率密度関数の解析は困難であるが，Gobet（2001）, Ogihara（2015a）
では，Malliavin Calculus を用いたアプローチにより尤度比の挙動を解析している．非同期・ノイズ付のケースでも同等の技術が必要になると予想される．
（4.1）式の l が有界連続関数で u = 0 の時の結果に対定理 3.3 の stable convergence の結果は，12応する．最尤型推定量 σ̂n , σ̂n の漸近有効性を示すには，l(x) = x2 等の l が多項式増大関数の場
合や u = 0 の摂動に関する sup を扱う必要があり，定理 3.3 よりもやや強い仮定が必要となる．
これらの結果は，次の章の推定量のモーメント収束の結果を用いることで示すことができる．
5.

ベイズ型推定量とモーメント収束

この章における結果は，非同期・ノイズ無しの場合も同様のものが得られるが，ここでは非同期・ノイズ付のケースのみを扱う．
事前確率密度 π(σ) が有界連続関数で inf σ π(σ) > 0 を満たすとする．この時ベイズ型推定量
σ̃n2 を以下で定義する：
−1 
σ̃n2 =
exp(Hn2 (σ, v̂n ))π(σ)dσ
σ exp(Hn2 (σ, v̂n ))π(σ)dσ.
最尤型推定量の数値計算ではパラメータに関する非凸最小化問題を解くことになり，パラメー
タの次元を上げると困難になることがあるため，MCMC を用いた計算アルゴリズムが使えるベイズ型推定量の方が計算が容易なことがある．
一方，ベイズ型推定量はその定義にパラメータに関する積分を含むため，推定誤差が大きくなる事象に対するより精緻な評価が必要となる．Yoshida（2011）において，コントラスト推定量に対して，コントラスト関数のモーメント条件などの条件から推定量の大偏差の評価を得る
手法が開発され，我々の疑似対数尤度関数に対しても適用できる．
以下の仮定を考える．
[B1] 1. ある正定数 C があって，任意の 0 ≤ 2i + j ≤ 4, 0 ≤ k ≤ 4, x ∈ R2 に対して，
sup(|∂ti ∂xj ∂σk μ(t, x, σ)| ∨ |∂ti ∂xj ∂σk b(t, x, σ)|) ≤ C(1 + |x|)C .

t∈[0,T ],σ∈Λ

2. inf t,x,σ det bb (t, x, σ) > 0.
3. 任意の q > 0 に対して，E[|X0 |q ] < ∞.
[B2] ある η ∈ (0, 1/2), δ > 0 と正値確率変数 {ajt }t∈[0,T ],j=1,2 があって，任意の q > 0 に対してE

|ajt − ajs |qqj,t>s |t − s|
sup

< ∞,

E sup |ajt |q ∨ E sup(|ajt |−q ) < ∞,
j,t

j,t

拡散過程による日内株価データのモデリングと統計推測理論

かつ
sup E

17


n1/2+δ ln−1 max n−1 (sn,l − sn,l )−1 #{i; Iij ⊂ (sn,l , sn,l )} − ajs1≤l≤Ln

q

n,l

< ∞.

ただし，最後の式における sup は，任意の自然数 n と [A5] と同じ区間列 {[sn,l , sn,l )}1≤l≤Ln ,n∈Nの範囲に対してとる．さらに，ある正定数 γ があって，b3/7+γ
ln−1 → 0 かつ任意の > 0 と q > 0nに対して n → ∞ の時，


q 
−q 
n,p
n,p
→ 0, E n1+ min(Sin,p − Si−1
→ 0.
E n1− max(Sin,p − Si−1
)
)
p,i

p,i

[B3] inf t,x inf σ1 =σ2 (|bb (t, x, σ1 ) − bb (t, x, σ2 )|/|σ1 − σ2 |) > 0.
[B4] ノイズ分散 v∗ の推定量 v̂n に対して，v̂n > 0 a.s. かつ任意の q > 0 に対して√
lim sup E[v̂n−q ] < ∞, and sup E[| n(v̂n − v∗ )|q ] < ∞.
nn定理 5.1. （多項式型大偏差不等式，Ogihara, 2015b）[B1]–[B4] を仮定する．この時，任意のL > 0 に対して，ある正定数 CL があって，任意の r > 0 と n ∈ N に対し，
P

sup exp(Hn2 (σ∗ + n−1/4 u, v̂n ) − Hn2 (σ∗ , v̂n )) ≥ e−r/2 ≤ CL r−L .

u∈Vn (r)ただし，Vn (r) = {u ∈ Rd ; |u| ≥ r, σ∗ + n−1/4 u ∈ Λ}.
定理 5.1 から任意の p > 0 に対し，L > p として，
 ∞
 ∞E[|n1/4 (σ̂n2 − σ∗ )|p ] =ptp−1 P [|n1/4 (σ̂n2 − σ∗ )| ≥ t]dt ≤ptp−1 (1 ∧ (CL t−L ))dt < ∞.
00

つまり最尤型推定量の誤差のモーメントが収束する．
さらに最尤型・ベイズ型推定量に対して以下が成立．
定理 5.2.（Ogihara, 2015b）[B1]–[B4] を仮定する．この時，任意の有界確率変数 Y と任意の高々多項式増大の連続関数 f に対して n → ∞ の時，−1/2

E[Y f (n1/4 (σ̂n2 − σ∗ ))] → E[Y f (Γ2E[Y f (n

1/4

ζ)],

−1/2
(σ̃n2 − σ∗ ))] → E[Y f (Γ2
ζ)].

参

考

文

献

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20

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 65, No. 1, 5–20 (2017)

Modeling Intraday Stock Price Dynamics Using Diﬀusion Processes
and Estimating Volatility and Covariation
Teppei Ogihara1,2
1 The Institute of Statistical Mathematics

2 PRESTO, Japan Science and Technology Agency

This paper introduces modeling of intraday stock price dynamics using diﬀusion processes, and statistical inference of volatility and covariation. In particular, we study the
problems of ‘market microstructure noise’ and ‘nonsynchronous observations’. First, welook back at the history of nonparametric estimation of volatility and covariation. Then
we construct maximum-likelihood-type estimators and show their asymptotic mixed normality. We also study local asymptotic mixed normality of statistical models, which issigniﬁcant when we discuss asymptotic optimality of estimators. Finally, we construct a
Bayes-type estimator and study its asymptotics.

Key words: Asymptotic eﬃciency, high-frequency data, local asymptotic mixed normality, market
microstructure noise, maximum-likelihood-type estimation, nonsynchronous observations.