Introduction to the Glauber theory and its application
理研仁科センター原子核物理学連続講義 (2010-2011)
Yasuyuki Suzuki
Niigata Univ. & Riken
Outline1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction

11. Introduction
グラウバー理論 （Roy J. Glauber, 1925-）
High-energy collision theory
Lectures in Theoretical Physics, Vol I (Interscience, New York, 1959)
R.Hofstadter
1950年代の電子散乱による原子核研究に触発されて展開
素過程の相互作用をベースにして、複合粒子間衝突を記述 (Nobel prize1961)
グラウバー理論はアイコナール近似と断熱近似を仮定（但しこの用語は講義録には現れない）
断面積と波動関数との関係が簡明に表現される不安定核の研究
ハロー構造の発見以後、ドリップ線近傍核の構造の研究がp,sd殻核領域を越えて進展中
中高エネルギー反応（核子当り、数１００MeV以上の入射エネルギー）により有用な実験結果が蓄積
講義の目標
practical, middlebrow
Structure and reactions of light exotic nuclei (Y.S., R.G.Lovas, K.Yabana, K.Varga,Taylor&Francis,2003)
中高エネルギー不安定原子核反応におけるグラウバー理論（鈴木宜之,日本物理学会誌63,2008) 2

quantum theory of optical coherence (1963, Nobel prize 2005)

Roy J. Glauber – Autobiography1943 Santa Fe, Manhattan Project
Oppenheimer, Bethe, Feynman,
Bohr, Schwinger

3

11Li Halo

Secondary beam!
H.H.Heckman et al. PRC174中高エネルギー原子核反応実験で測定されたもの
Interaction cross sections
Reaction cross sections
Neutron removal cross sections
Charge-changing cross sections
Energy and momentum distributions of fragments
Angular distribution in elastic scattering
Inelastic scattering
Coulomb excitations
これらの諸物理量と波動関数、相互作用との関係を明らかにしたい
1992~

Galuber, eikonal模型による研究

Reaction Mechanisms of 11Li at Intermediate Energy
K. Yabana, Y. Ogawa and Y. Suzuki, Nucl. Phys. A539, 295 (1992)
Break-up Effect on the Elastic Scattering and the Optical Potential of 11Li
K. Yabana, Y. Ogawa and Y. Suzuki, Phys. Rev. C45, 2909 (1992)
Glauber Model Analysis of the Fragmentation Reaction Cross Sections of 11Li
Y. Ogawa, K. Yabana and Y. Suzuki, Nucl. Phys. A543, 722 (1992)

1989.2-1990.1 ミシガン大学滞在中に不安定核の反応に興味

5

Abrasion-Ablation model for relativistic heavy-ion reactions
Projectile

AbrasionTarget・・

J.Hufner et al.

Ablation （低エネルギー現象）
PRC23(1981)

Glauber theory
PRC12(1975)

6

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction

7

2. Basics of potential scattering theory
2.1

Key words: 散乱振幅、断面積、フラックスの保存、光学定理、位相差

球対称ポテンシャル散乱、或は２粒子衝突の相対運動の方程式

境界条件

散乱振幅

ポテンシャルの詳細によらない一般論
確率密度
確率流密度

微分断面積

は単位ベクトル8

複素ポテンシャル（非弾性散乱、フラグメンテーション等を記述）の場合
時間依存のシュレーディンガー方程式から定常状態の解では第1項＝０
フラックスの保存(ガウスの定理)を用いてフラックスの計算を行う

右辺第3項、第4項は入射波と散乱波の干渉項
9干渉項はR→∞のとき、 θ= 0でのみ寄与することがわかるj(r)θ

十分大きな半径Rの球面Sでフラックスを計算
R
第3項は以下のようになる

フラックスの計算

Rが十分大きいときは、
θ=0 (t=1)でのみ積分に寄与

右辺第1項のみ寄与、第2項は1/Rのオーダー
第4項は第3項の1/Rのオーダーの第1項は球面積分で消え、第2項とf(0)の項のみ残る

実数ポテンシャルのとき、

はゼロ

10

複素ポテンシャルのときこの量を（吸収断面積） と定義する（29頁参照）

一般化された光学定理

部分波展開

Phase shift

これを境界条件の式と比べて散乱振幅の部分波展開式を得る

11

2.2

Key words: Lippmann-Schwinger方程式、グリーン関数

散乱の境界条件＋シュレーディンガー方程式と等価な積分方程式

Lippmann-Schwinger方程式

自由粒子のグリーン関数
See, e.g., L.I. Schiff
Quantum Mechanics (2nd edition)
pp. 162-16412測定

散乱振幅の積分表示
散乱振幅の計算には、ポテンシャルが消えない領域で波動関数を精度よく求めればよく、境界条件を満たさないものを用いても良い
仮に、ポテンシャルが弱く平面波からの歪みを無視できれば1次ボルン近似（移行運動量）（フーリエ変換）13

Lippmann-Schwinger 論文

グリーン関数
Resolvent

14

2.3

付録：境界条件を満たさない波動関数を用いて散乱を解く例

Spectroscopic amplitude (SA) や位相差の計算に束縛状態の波動関数を用いることを試みる
SA y(r) の定義と満たすべき方程式

シュレーディンガー方程式をチャネルcに射影
I1

α1

ｌ

I2

α2
チャネル

２原子核間のチャネルcで働く相互作用
SAの漸近的振舞い

から位相差が決まる

15

SAが満たす方程式をは以下のように与えられる
ここで、原子核間の局所ポテンシャルU の選び方は任意

グリーン関数を用いて境界条件を満足するSAを得る

See, e.g., L.I. Schiffpp. 166-167

が r の大きいところで消えるように U を選べば、は相互作用領域でのみ高精度で記述されていればよい
この近似解からλ, z(r) を決定できる.
結果として正しい漸近系を持つ
が得られる

16

近似解を得る（CDCCと同様の考えで、連続状態を２乗可積分関数で展開）
αと中性子間の相対運動をガウス基底で展開
連続状態を離散化したエネルギーと波動関数を求める
微視的模型 反対称化演算子
E3E2E1α+n 閾値Resonating Group Method (RGM)

離散化連続状態

この仮定から、u(r)に対する微積分方程式を境界条件に従って解き、位相差を得る（single channel近似でexact)
17

MN力(中心力＋スピン軌道力）、 U=0

高精度のR-行列計算の位相差と離散化波動関数によるものとの比較
S波、P波いずれも一致

束縛状態近似とグリーン関数で修正した解との比較

18

現実的AV8’力（強い中心斥力、テンソル力を含む）の場合
現実的核力の結果を
実験データと比較：
S波散乱はほぼ良い
P波散乱は引力効果
が足りない
αの歪み
パウリ原理
３体力

「Coupled-channelへ拡張する、任意のエネルギーで散乱解を得る」課題に応えるには？

19

2.4

補足：反対称化演算子とspectroscopic factor

Antisymmetrizer
Pは空間、スピン、アイソスピンすべての座標を交換する（反対称化）射影演算子
例： ３核子系

1粒子波動関数の積ならSlater 行列式
20

2クラスター波動関数

ξ1 :はクラスター間の相対座標
各クラスター波動関数

ξ2 :は反対称化されてノルム１に規格化

クラスター間の反対称化演算子（表現は一義的ではない）

A1=2, A2=2 の４核子系の場合

クラスター１，２が同一の場合は、クラスター全体の交換も考慮する
21
必要がある

Spectroscopic amplitude (SA)
規格化された反対称波動関数
含まれる目安を与えるに、クラスター１，２の成分がテスト関数

Spectroscopic factor (SF) S はのノルム

例： 十分発達したクラスター状態の規格化とSの値とし、クラスターは十分に離れていて両者の反対称化は無視できるとする

22

が規格化されていればも規格化されている
このとき、Sは１となり、直感と合致する
SFの和則:

が従う方程式はpp.15-16に与えた。 (gではなく、ｙ と記した）
正確なSAの定義には、２クラスターの粒子数に依存する因子、及び同一クラスターの場合には更にの因子が必要になる。

束縛状態の場合には、Rの大きいところで減衰するようにグリーン関数を定義すればよい。内部で高精度の波動関数があれば境界条件を満たすSAを求められる
23

24

1. Introduction

2. Basics of potential scattering theory
2.1 散乱振幅、断面積、フラックスの保存、光学定理、位相差
2.2 Lippmann-Schwinger方程式、グリーン関数
2.3 付録：境界条件を満たさない波動関数を用いて散乱を解く例
2.4 補足：反対称化演算子とspectroscopic factor
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction25

3. Eikonal approximation
3.1

Key words: 高エネルギー近似、衝突係数表示、位相差関数

ポテンシャル問題で散乱解を求めるのは容易だが、複合粒子系の散乱問題を解くことは容易ではない
相対運動と複合粒子の励起が分離せず結合する相互作用が強い場合はボルン近似は無力弾性散乱でも、特に弱く結合した複合粒子の場合には、その励起効果を無視できない
終状態は一般に多岐にわたり、入射エネルギーの高いときには個々の反応生成断面積を計算することは難しい
平面波面

高エネルギー近似のポテンシャル散乱a
入射波の高い振動は平面波で表現され、ずれの部分はそれに比べて激しく振動しない

ポテンシャル
Z 方向
26

が従う方程式に比べてを無視できる条件

1. 入射運動量からの揺らぎが小さい。 運動量の不確定さ

入射波長はポテンシャルのレンジより十分に小さいこと

2. 運動量移行が小さい。 力積の関係から
・

入射エネルギーはポテンシャルの深さより十分に大きいことの大きさには条件なし。 (cf. ボルン近似. 27頁参照)
Ｅ（ＭｅＶ）で入射する核子の波長271 階の偏微分方程式。

初期条件

アイコナール近似の波動関数

波数とポテンシャルとの関係

衝突径数 b がポテンシャルのレンジより大きいとき、アイコナール近似解は平面波！ 境界条件を満たさず、として散乱振幅は計算できない28

物理におけるアイコナールの由来

アイコナールH. Bruns (1895)
電磁場の方程式
波長が屈折率の変化に比べて十分に小さいとき`
シュレーディンガー方程式
高速荷電粒子の散乱理論 I

遮蔽クーロン場の単一散乱への適用(1947)

29

アイコナール近似の波動関数はポテンシャル領域でよい近似として散乱振幅を計算できる(zに依らない!)高エネルギー散乱ではθは小さい
は xy 面のベクトル
Z積分実行可能30

アイコナール近似の散乱振幅と位相差関数

Phase-shift function
球対称ポテンシャルの場合、位相差関数は
角度積分実行可能の方向には依存せず、

部分波展開との対応

k
b
の対応

31

ボルン近似との関係
の程度

は2

なら

1次ボルン近似に帰着

原子核の散乱では一般にこの条件は成り立たない付録： スピンー軌道ポテンシャルがある場合のアイコナール近似
散乱面に垂直なベクトル
散乱振幅演算子32

3.2

Key words: 諸断面積、光学定理、位相差関数の例
立体角の積分を運動量移行の積分に変換

全弾性散乱断面積

ここで33

全断面積と光学定理
1. 光学定理からアイコナール振幅を用いれば
2.

から

(cf.

)

吸収断面積

これに
を加えれば、1 の結果と同じになる
アイコナール振幅は光学定理を満たす！
アイコナール近似の断面積は部分波展開の表式と対応していることに注意34

簡単な例
1. Sharp cut-off 模型

Heaviside関数

R

強吸収のポテンシャルを示唆するが、アイコナール
近似の条件を破るかもしれない。位相差関数の数学的理想化例（Fraunhofer回折振幅）
弾性散乱の角分布はでdip

実際は核表面でのぼやけがある
A. Kohama, K. Iida, K. Oyamatsu, PRC72 (2005)
具体的応用
陽子-原子核反応により、原子核の核半径Rを評価し、弾性散乱と全反応断面積との関係をみる
35

弾性散乱の角分布（クーロン力の効果は無視できる）
角分布の最初のピークは= 5.13...

このとき、陽子-原子核反応の全反応断面積は2. 箱型ポテンシャル

36

C(x)
1

-5

0

x

3. クーロンポテンシャル

Log発散！ 長距離力のため、大きな b に対しても位相差は消えない
37

大きな半径aでクーロン力をcut off （遮蔽 Coulombポテンシャル）（有効クーロン位相差）
アイコナール近似のクーロン散乱振幅
第一項はθ= 0でのみ寄与（31頁の積分公式参照）

Rutherford 振幅との違い：に代えればよいの一定のphaseだけ違う。
微分断面積はcut off 半径によらず、Rutherfordの公式と一致
アイコナール近似で正しい結果が得られる

38

4. クーロン力と短距離力の２ポテンシャル問題

位相差関数は加算的！

a-independent

Coulomb phase

第2項はCoulomb-nuclear干渉(分け方はユニークではない）
微分断面積

はcut off半径に依らない
39

具体例

E=200 MeV

位相差関数に関係した諸量の b 依存性
実部

虚部

虚部

実部

b (fm)

40

Partial-wave expansion vs eikonal approximation
S行列の比較
E=200 MeV

虚部

実部

41

部分波展開表示での断面積 （cf. アイコナール表示)
11, 33, 34頁参照

特に極低エネルギーではＳ波のみ寄与
有効距離理論 ( 散乱長
有効距離)

諸断面積は散乱長で表される
現在採用しているWoods-Saxonポテンシャルについて
散乱長 a=5.45-2.47i (fm)42

En=100 MeV

Quantumは部分波展開による計算

1b=100 fm2
43

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory

3. Eikonal approximation
3.1 高エネルギー近似、衝突係数表示、位相差関数
3.2 諸断面積、光学定理、位相差関数の例
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction

44

4. Glauber approximation for
nuclear collision
4.1

Key words: エネルギースケール、アイコナール近似、断熱近似、
時間依存方程式

相対運動のエネルギー

Projectile
換算質量Target運動学

相対運動の波数45入射核の全エネルギー

これから 入射速度を求められる

0.43=100 MeV

0.86=900 MeV

原子核同士の相互作用距離 Rのアイコナール条件は殆ど満たされる46

原子核衝突におけるエネルギースケール
1. 相対運動のエネルギー
2. 核内核子の運動：フェルミエネルギー
3. 核子-核子衝突でのハドロン(π等)生成
では、核子交換や核子移行などを無視できない
ハドロン生成の起こるエネルギーでは、核子-核子相互作用に吸収項をもたせて、フラックスの減少として表現
アイコナール近似は、大雑把に言ってで安全に適用可能
核子-原子核衝突の定式化
核子-核子相互作用の情報をinput して、断面積（inclusive）を求める
標的のハミルトニアン

核子

全系のシュレーディンガー方程式
Target原子核反応論（河合光路、吉田思郎：朝倉物理学体系）
原子核の理論（市村宗武、坂田文彦、松柳研一：岩波講座現代の物理学）III 原子核反応 47

境界条件

終状態αへの微分断面積
注意： 反対称化無視
核子座標のみで記述しており、ハドロン生成は顕には扱えない
漸近系から明白なように、粒子移行過程は無視
標的のフラグメンテーションは、連続的励起状態と考えればよい
ポテンシャル散乱と同様、グリーン関数、 Lippmann-Schwinger方程式、散乱振幅の積分表示、アイコナール近似の順に展開する（相互作用の無い場合のハミルトニアン）48

グリーン関数グリーン関数に含まれる相対座標以外の原子核の核子座標は省いた
右辺の１は原子核の波動関数に対して単位演算子であることを表す

但しの時（closed channel α）（証明）（closureの関係） 49

境界条件を含んだシュレーディンガー方程式 (Lippmann-Schwinger方程式)

として、グリーン関数の漸近系から(open channelのみ効く)
散乱振幅の表示を得る()

ポテンシャルの作用する領域で高精度の波動関数を求めればよい

アイコナール近似

断熱近似（励起エネルギー<< 入射エネルギー）
50

（但し、クーロン分解反応では断熱近似は破綻. 9章参照）

{

初期条件

（

）

この解は以下のようになる

ポテンシャル散乱の場合と同様の計算から、標的核の状態αへの散乱振幅を得る（核子-核子散乱の位相差関数）
は標的核の座標に関する積分
グラウバー理論は、摂動展開を使用せず、
多重散乱効果をすべてのオーダーまで含む
微視的多体反応論

k

座標の関係

51

断熱近似を用いない場合： 外場のある時間依存方程式に書き換えられる

と置く

初期条件

と略記するとのもとに方程式を解きを計算

これを標的核の状態で展開して諸断面積を求める

参考文献
Esbensen et al. NPA581, 107 (1995); NPA600, 37 (1996)
Kido et al. PRC53, 2296 (1996)
Goldstein et al. PRC73, 024602 (2006)

52

4.2

Key words: 全反応断面積、ハドロン生成、相互作用断面積

個々の励起状態への断面積ではなく、inclusiveな断面積を求める
Closureの関係式を利用する

衝突係数の衝突で、状態αが励起される確率

弾性散乱断面積‘‘全断面積’’Closureの関係式

基底状態の波動関数のみで表現される
53

これは全断面積か？ 全反応断面積

ハドロン生成を伴う高エネルギー反応では、全断面積はどう与えられるか？
は複素数として扱う（光学定理）

全反応断面積

ハドロン生成なし

ハドロン生成あり
54

諸断面積の直感的意味
アイコナール＋断熱近似で核子-原子核の相対運動はすでに解いた
衝突後の標的核の波動関数は、核内核子がそれぞれ位相差をうけ、それらの総和の位相（に依存する）だけ変化する
衝突後の標的核の波動関数
衝突後の標的核初期状態の波動関数との差が衝突による変更部分を表す

係数のノルムの2乗が状態αを励起する確率を与える
ハドロン生成がある場合は55

原子核-原子核衝突の定式化は、核子-原子核の場合と同様
ハミルトニアン

原子核間の相対座標
Projectile

境界条件
Target運動エネルギー項と励起エネルギー項を無視する

56

散乱振幅

入射核状態α、標的核βへ遷移する断面積

核子-核子位相差関数は加算的
入射核と標的核の座標に関する多重積分
全反応断面積 （一般に、光学定理を利用して得られる）

57

核子-原子核反応の断面積の計算

基底状態の波動関数のみ必要

原子核-原子核反応の場合には以下の読み替えを行う

58

相互作用断面積
高エネルギー反応では、多くの終状態を区別するのは不可能、衝突後入射核の核子数は増えない
核子数が減った終状態への断面積の総和として相互作用断面積を定義

β

標的核の状態βは観測しないのでclosureを使う

α

0 PBE

全反応断面積と相互作用断面積の関係

全反応断面積と相互作用断面積
実験的には相互作用断面積の測定のほうが容易
cf. Takechi et al. PRC79(2009) 全反応断面積を測定
理論的には全反応断面積の計算のほうが容易
上の表式の評価ができればよい（キュムラント展開の適用を後述）
59

として測定された相互作用断面積を
全反応断面積で評価することが通常行われる粒子崩壊の閾値以下に励起状態をもたない場合には相互作用断面積と全反応断面積の差はα=0の基底状態のみの寄与で評価される。ハロー核の場合この差は小さい
妥当性の検証は、
原子核の励起構造、入射エネルギーの違いに応じて幾つかの場合になされるのが望ましいが、どこまでいっているのか
Ozawa et al. NPA709(2002)
γ線を測定して評価
差は10 mb程度（相対論的エネルギーで）安定核の場合の両断面積の違いについて
くろたま模型による現象論
A. Kohama, K. Iida, K. Oyamatsu, PRC78 (2008)
炭素標的で相対論的エネルギーでもは100mb程度になり得る （=として）

NB: 最近charge-changing cross sectionが測定されている。理論的定式化？ 60

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation

4. Glauber approximation for nuclear collision
4.1 エネルギースケール、アイコナール近似、断熱近似、時間依存方程式
4.2 全反応断面積、ハドロン生成、相互作用断面積
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction61

5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
5.1

Key words: プロファイル関数

核子-核子相互作用に基づいて記述（核子-核子散乱の位相差関数）
核力と核子-核子散乱の位相差関数を関係づける関係であるが、現実の核力から計算するのは殆ど不可能だし意味があるとは限らない
核子-核子散乱データと関係づけて、位相差関数或はプロファイル関数を考える

Profile関数と核子-核子散乱断面積との関係

62

http://pdg.lbl.gov/2010/hadronic-xsections/hadron.html

Total and elastic cross sections for pp collision

PLB667(2008)63

Total and elastic cross sections for np collision6462頁からβは前方の角度分布を決める

α、βを両断面積のデータと矛盾しないように選ぶ
π中間子生成以下のエネル
ギーでは弾性散乱断面積と全断面積が等しい

cf. ゼロレンジ

Abu-Ibrahim et al. PRC77(2008)

65

5.2

Key words: 位相差関数、キュムラント展開、密度分布、optical limit 近似、遷移密度、Foldingポテンシャル、モンテカルロ積分、
光学ポテンシャル

位相差関数の計算

Projectile

I. 解析的計算
Targetの変数

多重散乱級数展開
原子核の波動関数がガウス型関数の場合は計算可能
交代級数的であり、数項で打ち切って評価するのはよくない
66

p+6He散乱の解析例

p-6Heの位相差関数を核子-核子
プロファイル関数から計算
p.39 クーロン
力有を参照

α粒子は(0s)4調和振動子波動関数

∝

Shell

Cluster

Rms半径はどれもミクロ計算値2.51 fmに一致するようにした

Abu-Ibrahim et al. NPA657(1999)

67

II キュムラント(cumulant)展開による近似計算

多重散乱演算子（関数）

全反応断面積では入射核、標的核が基底状態にあるときの位相差関数が必要となる相互作用断面積では入射核が励起される過程の断面積を評価する必要がある68

核子-原子核の位相差関数を例として考える（核子-核子位相差関数を用いた場合）

モーメント展開
キュムラント展開
Xの揺らぎによる展開
69

は１粒子密度で表現される
μ2は１、２粒子密度を用いて表され、核内の核子-核子相関
に依存する

70

（核子-核子プロファイル関数を用いた場合）

2粒子密度で表現される両者の関係？ χが小さいとしてと考えれば両者の対応関係は見やすいが、完全には対応しない
71

キュムラント展開の断面積の計算への適用
全反応断面積の場合 （核子-核子のプロファイル関数を用いて表現）

OLAはμ1のみ考慮

μ1は1粒子密度とΓで簡単に表される

μ2の項は全反応断面積のOLA評価を減らすように働く

72

μ2に現れるΓの２次の項は3タイプの相互作用に分類され、1粒子及び2粒子密度よって表現される
入射核
標的核

73

相互作用断面積への応用
非弾性過程に伴う新しいタイプの行列要素の計算は同様にキュムラント展開で行うの部分もキュムラント展開を行う

入射核の遷移密度μ1は標的核の核子座標の1体演算子。入射核の遷移密度と標的核の2核子密度があれば相互作用断面積の評価が可能

74

III 全反応断面積の計算再考

Projectile

核子-標的核の光学ポテンシャルが与えられたとする
これから核子-標的核の位相差関数が定義できる

入射核-標的核の位相差関数を上記の位相差関数から計算し、それから全反応断面積、弾性散乱断面積を計算できる

Targetこの近似の位相差関数は光学ポテンシャルの重ね合わせによって得られたFoldingポテンシャルの位相差関数になる
Breakupの効果
は入らない

75

NTG近似OLAと同様、1粒子密度のみで計算
Abu-Ibrahim, Y.S. PRC61(2000)

核子-標的核の光学ポテンシャルから核子-標的核のプロファイル関数を定義する

入射核-標的核の位相差関数をこのプロファイル関数から計算するが小さいなら

Folding ポテンシャルの位相差関数と同じ
しかし一般には異なる

光学ポテンシャルが利用できないとき、核子-核子プロファイル関数から
を計算する

76

プロファイル関数や全反応断面積の計算の近似法の比較
炭素核の密度は平均場描像で生成
中性子、陽子の分離エネルギーを再現
重心運動は（良い近似で）分離
電子散乱から得られた密度と良い一致

Horiuchi et al., PRC75(2007)77核半径の見積り

Kanungo et al. PRC83(2011)

Fermi型の密度を仮定
陽子分布は電荷半径を再現
中性子分布は陽子分布より広がっている

NTG近似

×

Rms半径(fm)

H標的のデータは誤差が大きく有効な範囲を与えない78

IV モンテカルロ積分法（MCI)による数値計算
多変数関数の積分p(x) の分布に従って発生(Metropolis法)

位相差関数はこの型の積分に該当

p(x) →
この方法の利点
1. 核子数や入射核、標的核の波動関数に制限なし
2. すべての多重散乱項を考慮できる
3. 計算は非常に簡単
Varga et al., PRC66(2002)

79

Metropolis法:

重み関数p(x)に従って座標点列 x1, x2,…, xN を発生させる。

xi まで生成した
1. xi+1の候補 xt を xi のまわりでランダムに選ぶ
2. r= p(xt ) / p(xi)を計算
r が１以上ならxi+1 = xt
r が1より小さいとき
r がランダム数α以上ならxi+1 = xt
r がαより小さいならステップ1へ行く
3. i → i+1

Random walk のステップ幅Δに依存

Δ
0.01の分布に従う座標 x を百万個発生

0.05
×

0.25

[0,1] の乱数 α に対して
(2α-1)Δで動かしたときの発生点のヒストグラム80

解析計算とMCI計算の比較(0s)4調和振動子波動関数

α+α弾性散乱角分布と反応断面積

計算精度は信頼でき、MCIの結果は予言能力あり81

α+α弾性散乱角分布の実験データとの比較
Variational Monte Carlo (VMC) WF ・ ・ ・ 実線(0s)4 HOWF で同じ半径を与えるもの ・ ・ ・ ダッシュ線

VMCに考慮さている核子相関の効果が最初のdipを越えたところから見えている82

全反応断面積(MCI理論値）と相互作用断面積（実験値）との比較
Varga et al., PRC66(2002)（†印は0.87GeV/nucleonのデータ）

83位相差関数から光学ポテンシャルへ
核子-核子プロファイル関数から核子-原子核、原子核-原子核、あるいは
核子-原子核プロファイル関数から原子核-原子核の位相差関数を求めた。
これらは弾性散乱をアイコナール近似で記述するもの

はFoldingポテンシャルの位相差関数に対応をで近似するのは、原子核の励起を無視することになる

高次項は原子核の励起効果による位相差関数のずれを表すを生成する光学ポテンシャル？

数学的にはχからVへの逆変換で、位相差関数が軸対称、bの長さのみに依存するときには容易に可能
84

左辺が既知のとき、Voptを求める問題

原子核の励起を顕に入れないで、光学ポテンシャルを計算する
顕に連続状態を入れないで、ハロー核のブレークアップ効果を評価できる
85

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision

5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
5.1 プロファイル関数
5.2 位相差関数、キュムラント展開、核子密度、optical limit 近似、遷移密度、Foldingポテンシャル、モンテカルロ積分、光学ポテンシャル
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction866. Case of halo nuclei
6.1

Key words: ハロー核、諸断面積の計算法
ハロー原子核弱いハロー中性子の束縛、空間的に広がった分布
安定核の場合とは異なった特徴
１中性子ハロー原子核
基底状態のみ束縛し、励起状態は連続状態と仮定
マクロスコピック模型（反対称化無視、芯核の歪み無視）

全反応断面積、ハロー中性子removal断面積、弾性散乱角分布、芯核の運動量分布などを具体的に計算することを目的とする

87

88

入射核Pと標的核Tが衝突後、 それぞれ状態 a, c に遷移した
グラウバー理論による散乱振幅

はProjectile

の関数

ハロー核子

Core

核子 i
核子 j

Target89

遷移の断面積
全反応断面積q 積分を実行closureunitarity

衝突により励起されない確率90入射核が1核子ハロー核で近似できると仮定。芯核は基底状態に固定

ハロー核子の状態はn,l,jの量子数で指定されるとする

入射核-標的核の位相差関数の計算

原子核間の相対運動は核内の核子の運動に比べて十分速いとして、
frozen近似を使用する（キュムラント展開が使える）
ハロー核子は空間的運動の揺らぎが大きいのでfrozen近似を用いない

91

キュムラント展開の第一項によるOLA近似
各核内核子について
１体の演算子
ハロー核子

Core

Target92

相互作用断面積

ハロー核が基底状態にとどまり、標的核を励起する断面積は小さい

93

ハロー核子removal断面積
入射核は芯核（基底状態にある）と運動量kのハロー核子の状態に遷移

Ogawa et al. Nucl. Phys. A543(1992)
94

Elastic breakup (c=0) と Inelastic breakup (c≠0) に分離
Ogawa et al. Nucl. Phys. A543(1992)

標的核は励起されない

標的核はハロー核子
により励起されるが芯核によっては励起
されない

N
C

T

芯核と標的核との相互作用は入射核の重心と標的核と間に作用するものに近いが少しずれる（潮汐力）
ハロー核子と標的核との相互作用が無くてもelastic breakupは起こる（e.g. クーロンbreakup）
95

計算の具体化
芯核、標的核の密度をuserがガウス型で用意の計算を解析的にするため
ハロー核子の波動関数はuserの自前のもの
或はcodeで作成したものを使用(スピン座標の積分処理)

bの方向には依存しない
断面積はハロー核子座標に関する積分及び衝突係数（１次元）に関する積分で得られる。
前者はモンテカルロ法により、後者は台形公式で行う。
96

計算できるもの
Codeがハロー核子の波動関数を生成
自前の波動関数を使う

全反応断面積、ハロー核子removal断面積
弾性散乱角分布芯核の運動量分布reac.out
ang.outのとき、 反応機構によらない運動量分布

momdist.out
comp.out
per0.out
モンテカルロ積分のチェック nsdist.out MCtest.out
位相差関数
phaseshift.out

97

csc.inp

wf.inp98

r, ns distribution
0.000000000000000E+000 6.380000000000000E-004
0.500000000000000
1.489400000000000E-002
1.00000000000000
6.995000000000000E-002
1.50000000000000
0.148954000000000
2.00000000000000
0.198670000000000
2.50000000000000
0.186138000000000
3.00000000000000
0.140810000000000
3.50000000000000
9.304999999999999E-002
4.00000000000000
5.872600000000000E-002
4.50000000000000
3.529400000000000E-002
5.00000000000000
2.117200000000000E-002
5.50000000000000
1.265800000000000E-002
6.00000000000000
7.416000000000000E-003
6.50000000000000
4.544000000000000E-003
7.00000000000000
2.668000000000000E-003
7.50000000000000
1.638000000000000E-003
8.00000000000000
9.800000000000000E-004
8.50000000000000
7.280000000000000E-004
r, |u(r)|^2
0.250000000000000
3.771107468492923E-004
0.750000000000000
2.556442336691664E-002
1.25000000000000
0.137294387052811
1.75000000000000
0.304679315110752
2.25000000000000
0.402735931179052
2.75000000000000
0.376084330329547
3.25000000000000
0.280833004319430
3.75000000000000
0.184798626485129
4.25000000000000
0.114374366920157
4.75000000000000
6.904918385451099E-002
5.25000000000000
4.138708898080567E-002
5.75000000000000
2.481748153393734E-002
6.25000000000000
1.493027834267444E-002
6.75000000000000
9.018134602256618E-003
7.25000000000000
5.468414307706130E-003
7.75000000000000
3.327627517641249E-003
8.25000000000000
2.031157457432592E-003

nsdist.out
Monte Carlo 積分に用いられる生成点の分布のテスト

99

On Monitor

20.0000000000000
45.0000000000000
57.5000000000000
51.2500000000000
48.1250000000000
46.5625000000000
47.3437500000000
47.7343750000000
47.5390625000000
47.6367187500000
47.6855468750000
47.6611328125000
47.6733398437500
47.6672363281250
47.6702880859375
47.6687622070312
47.6679992675781
47.6683807373047
47.6685714721680
47.6684761047363
47.6685237884521
47.6685476303101
47.6685595512390
47.6685655117035
47.6685625314713
47.6685640215874
47.6685647666454
47.6685647666454-9.094947017729282E-012-3.64866854145475-9.99999999999091-6.80229630489521-5.17572094128809-4.39846862595914-4.78384267987167-4.97898936276215-4.88121541166947-4.93005255149001-4.95450853738475-4.94227743461124-4.94839220914400-4.94533462760046-4.94686336981431-4.94609898657473-4.94571680404079-4.94590789455287-4.94600344037281-4.94595566739918-4.94597955387690-4.94599149712485-4.94599746873973-4.94600045455627-4.94599896163891-4.94599970809759-4.94600008131783-4.94600008131783

ハロー核子のエネルギーを与える
ポテンシャルの深さの決定

potential depth= 47.6685647666454
energy= -4.94600008131783
no. of points of w.f.=
3000
mesh of w.f.= 1.000000000000000E-002
norm= 0.999999999999816
radius-rms (fm)= 3.09134982549623
100
The results printed in the file reac.out.

13C+12C 全反応断面積

reac.out

Projectile:mass= 13.0000000000000 charge= 6.00000000000000
Target:mass= 12.0000000000000 charge= 6.00000000000000
Energy (MeV/nucleon) 800.000000000000
Proj. reaction cross section (mb) 924.591208908092
Core reaction cross section (mb) 894.721068317768
N-removal cross section (mb) 29.7797261259063
N-removal (elastic) (mb) 3.53765343360972
N-removal (inelastic) (mb) 26.2420726922966

プロファイル関数のパラメータ修正
Horiuchi et al. PRC75(2007)101

19C+12C ハロー中性子removal断面積12.d0 19.d0 18.d0
6.d0 6.d0 6.d0
800.d04.26d0 -0.07d0 0.21008d00500000 2.5d0 -87651
0
1 0
20.0 102-1.23342874d0 0.462770142d0
1.38536085d0 0.373622826d0
23.641632 0.277710327-3.536232 0.298798802

プロファイル関数のパラメータ修正

70.0
0.60
1.20
-0.24
0.5
1
potential depth= 42.9282505810261 energy= -0.239999959949273
no. of points of w.f.=
3000
mesh of w.f.= 1.000000000000000E-002
norm= 1.00000000000076
radius-rms (fm)= 8.46859444361747
The results printed in the file reac.out.

102弾性散乱角分布（39頁参照）

103

11Be+12C 弾性散乱角分布12.d0 11.d0 10.d0
6.d0 4.d0 4.d0
49.3d010.4d0 0.94d0 0.389719526
0500000 2.5d0 -87651
02020.0 202-1.23342874d0 0.462770142d0
1.38536085d0 0.373622826d0
50.431424 0.348220487-0.2703851 0.741007304
7.5928909d-3 0.169025886
2.9563738d-4 0.089822028
4.0531981d-7 0.031585001
70.0
0.60
1.20
-0.5030.5
1potential depth= 62.9715968668461 energy= -0.503000022172273
no. of points of w.f.=
3000
mesh of w.f.= 1.000000000000000E-002
norm= 1.00000000000031
radius-rms (fm)= 6.89928071200524
max. angle= 20.0000000000000
angle mesh= 1.00000000000000
The results printed in the file ang.out.
theta[deg.] (ds/dR)_P (ds/dR)_C
1.00000000000000 0.569380473828731
2.00000000000000
1.08478427844810
3.00000000000000
1.24200034575921
4.00000000000000 0.152687140746571
5.00000000000000 0.425991643726920
6.00000000000000
1.47952145615889
7.00000000000000 0.902025083300844
8.00000000000000 0.120275564298211
9.00000000000000 0.677044030971754
10.0000000000000
1.05489382859207
11.0000000000000 0.512782093756856
12.0000000000000 0.248154302982949
13.0000000000000 0.507935565764858
14.0000000000000 0.550048581482413
15.0000000000000 0.302980690356101
16.0000000000000 0.206559706991014
17.0000000000000 0.250287864255740
18.0000000000000 0.232001959843641
19.0000000000000 0.145290623538747
20.0000000000000 0.111350032636181

ang.out

0.590802719239604
0.952817842195523
1.52278183508574
0.554542664591669
8.521274186138170E-002
1.40714735417807
1.84634550595928
0.614393721181272
0.312777586154410
1.32795805993269
1.52853608206312
0.724569287742850
0.471635933186167
0.919980343620035
1.03995063570501
0.672702271982074
0.445852216207505
0.526061090404805
0.572267417639367104
0.444236509663115

Folding模型の近似

点線はfolding模型の角分布105ハロー核子removal反応での芯核の運動量分布

Abu-Ibrahim,Suzuki. PTP112 (2004)

Suzuki et al., Structure and reactions of light exotic nuclei(2003, Taylor & Francis, London & New York)

106

107

ハロー核子の波動関数の運動量分布（反応のダイナミクスによらないもの）

108

11Be+9Be反応での10Be の運動量分布n=1, l=0,
E=-0.503MeV

実線

正しく計算

ダッシュ線
点線

109

8B+12C反応での7Be の運動量分布12.0 8.0 7.0
6.0 5.0 4.0
1470.04.32 -0.275 0.210084033
1500000 2.5 -87651
0
3 2
100 202-1.23342874 0.462770142
1.38536085 0.373622826
30.1571397 0.200311441
0.2755311 0.269658254-0.2419691 0.212919207

n=0, l=1,
E=-0.137MeV
potential depth= 46.9179053604603 energy= -0.137000081986116
no. of points of w.f.=
3000
mesh of w.f.= 1.000000000000000E-002
norm= 0.999999999999893
radius-rms (fm)= 4.30705251202434
max. momentum= 100.000000000000
step of the momentum= 5.00000000000000
The results printed in the file comp.out.

70.0
0.60
1.20
-0.137
1.5
0
110

実線
点線

正しく計算

111

comp.out

P||[MeV/c] (ds/dpz)[mb/(MeV/c)]m=
00.000000000000000E+000 3.715372942721051E-003
5.00000000000000 8.308433004457069E-003
10.0000000000000 2.067766276834806E-002
15.0000000000000 3.720235769200932E-002
..
..
..

85.0000000000000 4.108598449724087E-002
90.0000000000000 3.762016084519255E-002
95.0000000000000 3.432401201944979E-002m=
10.000000000000000E+000 0.247918199800764
5.00000000000000 0.244076536138137
10.0000000000000 0.233126388140145
15.0000000000000 . . 0.216621228395605..
..

85.0000000000000
90.0000000000000
95.0000000000000

3.320408397604061E-002
2.867659805353214E-002
2.468343005457487E-002

112

の異なる軌道の運動量分布への寄与

m=±1の軌道がbreakupにより大きな寄与をするz113

CPCコードの諸課題
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

OLA近似を改良する
陽子-陽子、陽子-中性子のプロファイル関数を区別する
スピン軌道ポテンシャルの強さを変える、特に芯核が中性子過剰核の場合
Folding模型の弾性散乱角分布や光学ポテンシャルの計算を含める
クーロン相互作用によるbreakupを含める
Elastic breakupによる運動量分布の計算を含める
全反応断面積と相互作用断面積の差の分析

その他重要な拡張として
芯核が励起する場合
２中性子ハロー核の場合
上記1– 5の課題は解決しており、問題はない。6は`time-dependent’
アイコナール方程式(52頁参照)を解けばよいことが分かっている。
或は、運動量kのハロー波動関数を基底状態に直交化した平面波で近似すればほぼよく、計算も簡単。
質量数がより大きい原子核でのテストはしていない。
標的核や芯核の密度を与える妥当で簡便な処方箋も試した。
2中性子ハロー核の断面積も、芯核+２核子の３体問題で波動関数をつくり、計算した。
114

6.2

Key words: 平均場の密度、分析の具体例

簡単なポテンシャル模型による密度の計算
占有軌道を指定してSlater determinat 波動関数を仮定
Sn, Spを再現するV0を決める
中性子、陽子密度を計算する
重心運動の影響を除いたintrinsic密度を求める
奇核は芯核+n、2中性子ハロー核は芯核+2nの２体、３体問題を解いてより精密な波動関数を求める

1粒子軌道を決める１体ポテンシャル

Horiuchi et al. PRC75 (2007)

Abu-Ibrahim et al. PRC77 (2008)115

Tanaka et al. PRL104 (2010)
1800
1600

sR(p +C) at 40 MeV

1400

s [mb]

1200
1000
800
600

Calc.
Exp

400
200
0

10

Horiuchi,Suzuki, PRC74(2006)

12

14

16

18

20

22

24

A
116

Abu-Ibrahim et al., JPSJ78(2009)
23O puzzle:

22O:

closed shell (Z=8, N=14)
23O=22O+n (S =2.73MeV)ntheory predicts smaller σ than exp.
core deformation?
Remeasurement by Kanungo et al.
significant reduction in σ
the increase of σ from 22O to 23O
is well reproduced by the theory
Kanungo et al., PRC84(2011)117

Ne isotopes at 240AMeV
Horiuchi,Inakura,Nakatsukasa,Suzuki

Skyrme HF密度

Inelastic crosssection?

Takechi et al., Phys. Lett. B707 (2012)
118

Reaction cross sections of 31Ne on C
Horiuchi,Suzuki, Capel, Baye, PRC81(2010)

30Ne: Slater det.

31Ne: 30Ne+n(Sn=0.33 MeV)

f or p?

Reaction cross sections strongly
depend on the valence neutron orbit

119One-neutron removal cross section
Horiuchi,Suzuki, Capel, Baye, PRC81(2010)

Carbon target

σ-n(1p3/2) >> σ-n(0f7/2)

Nakamura et al.,PRL103(2009)

Lead target at 240 MeV/u
Nuclear and Coulomb contributions
σ-n(1p3/2)=1.14b、σ-n(0f7/2)=91 mb
σexp=712(65) mb → 1p3/2 dominance120

12Cによる31Neのelastic breakupの運動量分布

Capel, Horiuchi, Suzuki, Baye, Mod. Phys. Lett. A25 (2010)121Mg isotope on C at 900 MeV/A
Fermi分布の密度を仮定し、
a, r0によるσの変化をみた
Kanungo et al., PRC83(2011)

Yordanov et al. PRL108(2012)
Charge radii

相互作用断面積のデータからは33Mgのほうが32Mgより小さいように想像される。本当か？
32Mg: N=20, S =5.79MeV
n
33Mg: S =2.21MeVn
新たなパズル？

122

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function

6. Case of halo nuclei
6.1 ハロー核、諸断面積の計算法
6.2 平均場の密度、分析の具体例
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential
8. Breakup processes with Coulomb interaction123

7. Elastic scattering and dynamic
polarization potential
7.1

Key words: アイコナール位相、光学ポテンシャル

1中性子ハロー核の弾性散乱におけるbreakup効果
光学ポテンシャルへの影響をアイコナール近似で求める

C

n

T

VCT VnTは光学ポテンシャル
芯核と標的核のクーロン相互作用は無視できるとする

アイコナール近似及び断熱近似

124

アイコナール近似：の垂直成分がパラメータとして扱える

断熱近似： ハロー核子のbreakupの周期より十分長いことが条件
核子当り50MeVの衝突でが標的核と入射核の衝突時間のとき（クーロン力に対しては衝突時間が極めて長くなることに注意）

アイコナール近似の解

これから、弾性散乱やbreakupの断面積、運動量分布が計算できる。
125

重陽子散乱： d+58Ni

Ed=80MeV

Yabana,Ogawa,Suzuki,PRC45(1992)

3体問題：重陽子の連続状態を含むチャネルと弾性チャネルを結合して高精度の計算可能(CDCC)

アイコナール近似の角分布
更に、d-58Niの光学ポテンシャルを求めることが可能

アイコナール近似では
χelが求まっているので、Voptを次式から計算できる(84,85頁参照)

この光学ポテンシャルを用いてアイコナール近似によらず、アイコナール近似を超えた計算 126
部分波展開で散乱振幅の計算可能

３通りの方法によるd+58Ni弾性散乱の角分布

127

Dynamic polarization potential
d-58Niのfoldingポテンシャル

foldingポテンシャルに対応するアイコナール近似の位相差関数

光学ポテンシャルに対応する位相差関数

キュムラント展開

第１項から構成した光学ポテンシャルはfoldingポテンシャル、
それからのずれのポテンシャルの主要項は
からくる。

128

簡単のために、陽子、中性子の光学ポテンシャルは同じとする。

これに対応するポテンシャルがDPPの主要項と考えられる。
ポテンシャルの符号は位相差関数の符号と逆なので、DPPの実部の符号は、虚部の符号は129

表面付近で、光学ポテンシャルの実部は浅くなり虚部は吸収が強くなる。

130

6He+12C 散乱

40 MeV/A

Abu-Ibrahim, Suzuki, NPA728 (2003)

6Heのbreakupの効果を調べる。

6Heは３体模型ではなく、ＶＭＣによる6核子系の波動関数を用い、

核子-12Cの光学ポテンシャルを採用。
foldingポテンシャル

6He

VNT
12C

アイコナール位相

モンテカルロ積分

folding模型

eikonal近似

131

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei

7. Elastic scattering anddynamic polarization potential
7.1 アイコナール位相、光学ポテンシャル
8. Breakup processes with Coulomb interaction132

8. Breakup processes with Coulombinteraction
8.1

Key words: equivalent photon method、電気双極子遷移、和則
入射核が標的核のクーロン場によって励起される（クーロン励起）
1. これまでの反応理論をクーロン相互作用を含めて拡張する
2. equivalent photon method (Bertulani, Baur, Phys. Rep. 163 (1988))
E
B

P
b

T
v

電荷ZTeの標的核が高速で衝突係数bで入射核（座標原点にあるとする）の近傍を通過すると、入射核にパルス上の電磁場を及ぼす
Lienard-Wiechert ポテンシャル

133

エネルギー密度
パルス状の電磁場（平面波に類似）のフーリエ展開

横成分 >> 縦成分

単位領域当りのエネルギーはεをzで積分すればよい

Equivalent photon numberの定義

134

クーロン励起の反応確率は光吸収断面積から

光吸収断面積は主に、原子核の電気双極子遷移強度に関係して決まる
ハロー核で基底状態のみ束縛しているときには、反応確率を衝突係数について積分すれば、クーロンbreakup (photodisintegration) 断面積が得られる
Soft dipole mode或はpygmy dipole resonanceと関連して、特に低エネルギーの断面積が興味深い
Photodisintegrationの逆反応はradiative captureで、低エネルギーのA+B →C+γ反応は元素合成の重要な反応
電気双極子 (E1) 遷移と和則

1+Kのうち1は運動エネルギーの寄与でTRKの和則

135

4Heの光吸収

Horiuchi,Suzuki,Arai

136

8.2

Key words: クーロン励起の摂動論、Coulomb-corrected eikonal
弾性散乱の場合と同じ条件、記号を使う（124頁参照）
芯核と重い標的核の間にクーロン力が働く点が異なる
長距離力のため断熱近似が適用できない

C

n

T

運動量移行が入射運動量に比べて十分小さいとしてアイコナール近似を使う

時間依存のシュレーディンガー方程式と同型に変形可能（52頁参照）
とすれば、

初期条件

137

断熱近似を用いたとすればどうなるか

クーロン力の位相差関数は38頁参照
第1項
はクーロン力が芯核ではなく入射核の重心に働いたときの位相差を表す

ハロー核子の波動関数を長距離にわたって歪める

弾性散乱振幅、反応確率は前と同様に求められるbが芯核と標的核の半径の和を超えると消える
bの寄与する範囲はハローの大きさと標的核の半径の和で限られる
両者の寄与するbをこえるとが主要項になり、遠方まで寄与する

138

bの大きいところでの反応確率の見積もりb >> s とし、φ0は球対称とした
bに関する積分は対数発散を起こす
実際には大きなbに対しては、クーロン励起の確率は指数関数的に減衰するであろう。
対数発散を起こすのは、断熱近似で扱ったクーロン励起の一次の項であることは明らか
発散項をクーロン励起の摂動論で求められる一次の項で置き換えれば、発散がなくアイコナール近似の利点を生かした簡便な計算が可能となろう

Margueron, Bonaccorso, Brink, NPA720(2003)
Abu-Ibrahim, Suzuki, PTP112(2004); ibid.114(901)139クーロン励起の摂動論

クーロン励起の演算子

140クーロン補正したアイコナール近似(CCE)のテスト
11Be+208Pb

69 MeV/A

Capel, Baye, Suzuki, PRC78 (2008)

141

142

143

より複雑な反応への応用
6He+208Pb反応への応用例

Baye,Capel,Descouvemont,Suzuki, PRC79 (2009)
6Heをα+n+nの3体系で記述すれば4体問題になる。

3体系の入射核と標的核との運動をCCEで解く事は十分に可能

主要な問題としては、
1. 3体系のbreakupした連続状態の記述
複素回転法の適用などが試みられている
2. （中性子過剰な）芯核と標的核との信頼できる光学ポテンシャル
実験データの定量的分析には必要

144

1. Introduction
2. Basics of potential scattering theory
3. Eikonal approximation
4. Glauber approximation for nuclear collision
5. Nucleon-nucleon profile function andcalculation of phase shift function
6. Case of halo nuclei
7. Elastic scattering and dynamic polarization potential

8. Breakup processes with Coulomb interaction
8.1 equivalent photon method、電気双極子遷移、和則
8.2 クーロン励起の摂動論、Coulomb-corrected eikonal

145