統計数理（2005）
第 53 巻 第 1 号 103–132
c 2005 統計数理研究所


特集「日本人の国民性調査 50 年」［原著論文］

コウホート分析における交互作用効果モデル再考
中村 隆†（受付 2004 年 8 月 26 日；改訂 2004 年 12 月 8 日）

要

旨

年齢×時代の交互作用効果をもつベイズ型コウホートモデルについて再考察する．既存のモデルを階差ベクトルと階差行列を導入することにより再記述し，いったんコウホートモデルを離れて順序尺度水準の 2 元分割表のための階差制約付き 2 要因交互作用効果モデルを提示する．ただしこのモデルに単にコウホート効果を追加したのでは，交互作用効果がコウホート効
果を吸収してしまうという問題点のあることを指摘し，交互作用効果による部分ベクトルをコ
ウホート効果によるものについても直交させる新しい交互作用効果をもつコウホートモデルを提案する．パラメータ数の節約のために，年齢×時代の交互作用効果のいくつかの時点を間引く手順も導入した．日本人の国民性調査データへ適用した例を示す．
キーワード： APC モデル，家族が一番大切，ABIC，パラメータの漸進的変化の条件，
ベイズ型モデル．
1.

はじめに

コウホート分析は，継続調査データの分析方法であり，同一調査項目について得られる年齢
×調査時点別の集計データから年齢・時代・世代（コウホート）効果を分離することによって，社会の変化の構造を明らかにしようとする方法である．
コウホート分析を行う場合，分析対象とするデータのカバーする期間（時代の範囲）は長い方が望ましい．データの期間が短いと，同一コウホートがわたる年齢区分が少なく，また同じ年
齢区分を経験するコウホート区分が少ないため対比が十分とならず年齢効果とコウホート効果を区別するのが難しい．一方データの期間が長くなると，たとえば晩婚化の影響について考えてみればわかるように，年齢効果やコウホート効果が長期にわたって変わらないとするモデルの仮定は受け入れがたくなる．年齢・時代・コウホート効果以外の何らかの交互作用効果の導入が求められる．
コウホート分析における交互作用効果モデルについては，中村（1986, 1987, 1989）で提案を始め，中村（1995）において一応のまとめに至った．しかし残念ながら，3.5 節で述べるような問題が残り，必ずしも満足のいくものではなかった．一方，岡本（2003）は，ベイズ型コウホー
トモデルを独自に拡張し，年齢×時代のみならず，年齢×コウホート，時代×コウホートの交互作用効果をもつモデルを比較の対象に含めている．コウホート分析における交互作用効果モ
デルに関する議論は広津（2004, 15 章）にもある．
本稿では，交互作用効果をもつコウホートモデルについて見直し，残された問題点を解消す
る年齢×時代の交互作用効果をもつ新しいコウホートモデルを提案する．以下，まず第 2 節で，†

統計数理研究所：〒106–8569 東京都港区南麻布 4–6–7

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第 1 号 2005

コウホート分析が対象とするコウホート表とコウホートモデル，識別問題などについて簡単に説明し，これまで用いてきたベイズ型コウホートモデルを階差パラメータと階差行列を導入して再記述する．第 3 節では，コウホートモデルをいったん離れ，一般の順序尺度水準で測られた 2 要因についての階差制約付き交互作用効果モデルを提示する．そして，このモデルに単に
コウホート要因を追加しただけでは，交互作用効果がコウホート効果を吸収してしまう問題点のあることを例示する．第 4 節では，この問題を解決する新しい年齢×時代の交互作用効果をもつコウホートモデルを提案する．交互作用効果による部分ベクトルが，年齢効果と時代効果によるものだけでなくコウホート効果による部分ベクトルについても直交するように制約するモデルである．適用例として，日本人の国民性調査の “#2.7 一番大切なものは家族”のデータを分析した結果を示す．
2.

ベイズ型ロジット・コウホートモデル

2.1 コウホート分析
コウホート分析は，年齢・時代・コウホート効果を分離する．
分析の結果，年齢効果が大きいことがわかれば，データの変動は主に年齢要因によって引き起こされたものであり，世代を問わず時代を越えて社会の成員個々の意見や態度は加齢に伴って同じように変化する一方，社会全体としての意見や態度の分布は長期間にわたって安定している．これに対し，コウホート効果が大きいことがわかれば，データの変動は主にコウホートの相違（世代差）によるものであり，個々の成員の意見や態度は変わりにくい一方，世代交代に
よって社会全体での意見や態度の分布はゆるやかに変化している．また，時代効果が大きいことがわかれば，データの変動は主にその時々の時勢によるものであり，年齢や世代を越えて社会全体の意見がある一定の方向に変化するため流動的であり，ある時点を境に逆の方向に転換する可能性もある．このように 3 つの要因による影響を区別して捉えることが社会の変化の機構を解明する上で重要であり，コウホート分析がそのための有力な方法であることが指摘されてきた（Ryder（1965）, Glenn（1977）, Mason and Fienberg（1985））．
ところがコウホートモデルは，数学的に「コウホート＝時代−年齢」という関係が存在する
ために，何らかの制約条件がなければ 3 効果を一意に推定できないという識別問題を抱えている（識別問題の詳細については付録 C を参照）．
この識別問題への対応方法としては大きく 2 つに分かれ，何らかの制約条件を付加して 3 効
果のパラメータを推定しようとするものと，3 効果のパラメータそのものの推定は不可能とし
統計学的に推定可能な（非線形）成分の推定に議論を限るものとがある（関連文献については中村（1995, 2000）を参照）．
コウホート分析の本来の目的が 3 効果の分離であることから，中村（1982）は前者の付加条件を課す立場にたち，隣り合うパラメータの 1 次階差の 2 乗和を小さく抑えるという（節約原理を実現する）パラメータの漸進的変化の条件を取り込んだベイズ型コウホートモデルを定式化，
赤池のベイズ型情報量規準 ABIC により最適なモデルを選択し，事後分布のモードにより 3 効
果のパラメータを推定する方法を提案した．この方法により識別問題が克服でき，3 効果の分離に成功した．つづいて Nakamura（1986）は，パラメータの漸進的変化の条件の柔軟性を利用して，年齢区分幅と調査間隔が一致しない一般のコウホート表データの分析を可能にし，また回答比率以外のデータを分析するための数量型コウホートモデルを開発した．さらに中村は，前節で引用した文献において年齢効果を拡張した年齢×時代の交互作用効果をもつモデルを提案してきた．この他に中村（1995）は，複雑なサンプリング法により得られたデータに対応する
ため一般化線形モデルの枠組みに準拠した過大分散項をもつベイズ型コウホートモデルを提案
し，日本人の国民性調査データに適用した．中村（2000），Nakamura（2002）は，多項分布に従コウホート分析における交互作用効果モデル再考

105

う反応変数についてのコウホートモデルに取り組んだ．
2.2 標準コウホート表
年齢区分×調査時点の形式に何らかの数量を集計・整理した表を，コウホート分析の立場か
らはコウホート表と呼ぶ．コウホート表には，形式上，調査間隔と年齢区分幅が一致する標準
コウホート表と，それ以外の一般コウホート表が区別できる．また，集計された数量の性質上，回答比率の場合を特に比率型のコウホート表として区別する．以下では 5 年ごとに実施されている日本人の国民性調査を念頭に比率型の標準コウホート表に話を限るが，本稿で述べるロジット・コウホートモデルを含むベイズ型コウホートモデルは，一般コウホート表の場合はデザイン行列を工夫することによって（付録 B，G 参照），回答比率以外のデータの場合は現在では一般化線形モデルの枠組み（McCullagh and Nelder（1989））を適用することによって容易に拡張できる（Nakamura（1986））．
標準コウホート表は次のようにして得られる．Y1 年から ∆ 年ごとに YJ 年まで J 回の調査が実施されているとし，各回の調査結果は調査間隔と同じ ∆ 歳幅の A1 から AI までの I 個の年齢区分について集計されているものとする．Y1 年の一番高齢である AI 年齢区分が一番古い
コウホート区分になるからこれを C1 とすると，同 Y1 年の AI−1 年齢区分と次の調査時点 Y2
年の AI 年齢区分がコウホート区分 C2 に対応する．以下，一般に，Yj 年の Ai 年齢区分を (i, j)
セルと呼ぶことにすれば，このセルには k = j − i + I としてコウホート区分 Ck が対応する．
最新の YJ 年では一番若い A1 年齢区分が一番新しいコウホート区分 CK となり，結局，生まれ年が ∆ 年幅の合計 K (= I + J − 1) 個のコウホート区分が現れる．なお，標準コウホート表で第 k コウホート区分 Ck は，斜めに並ぶ
nCk = min(k, K − k + 1, min(I, J))(2.1)

個のセルに現れる．
2.3 コウホートモデル
コウホート表の (i, j) セルにおける何らかの質問のある 1 つの回答選択肢の正反応確率（セル確率）を π ij（> 0）とする．比率型のロジット・コウホートモデルは，このセル確率のロジット
η ij = log[π ij /(1 − π ij )] を次のように各効果の線形和に分解するモデルである．
(2.2)

P
C
η ij = β G + β A
i + β j + β k , i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; k = 1, . . . , K.

ここで，β G は総平均効果，β Ai ，βPj ，β C
k はそれぞれ年齢，時代，コウホート効果である．このモデルを APC モデル（Age-Period-Cohort model）とも呼ぶ．
コウホート表のセルと 3 つの主効果（年齢，時代，コウホート）を対応づけるデザイン行列を
XA ，XP ，XC とする（付録 B 参照）．これらと以下のベクトル



η 11
η 1J

.
. 
η = vec .. · · · .. 
,
η IJ
η I1
A 
βA = ( β A
1 ,...,βI ) ,



π 11
π 1J

.
. 
π = vec .. · · · .. 
,
π IJ
π I1
β P = ( βP1 , . . . , βPJ ) ,


β C = ( β C1 , . . . , β C
K )を用いれば，モデル（2.2）は，(2.3)

η ≡ log π − log(1 − π) = β G 1 + XA β A + XP β P + XC β Cと表すことができる．以上において，vec は行列を構成する列ベクトルを順に縦に並べる操作，
プライム（ ）は行列やベクトルの転置，log はベクトルや行列の要素ごとに自然対数をとるもの

106

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005とする．1 = 1N はすべての要素が 1 のベクトルであり，必要に応じ要素の数を添えることにする．ここで，N = IJ はセルの数である．
さて，各効果のデザイン行列は付録の（B.1），すなわち，
XA 1I = XP 1J = XC 1K = 1Nを満たしている．これは，たとえば年齢効果のデザイン行列について言うと，XA の列空間
C(XA ) が 1N の張る空間 C(1N ) を含んでいるということであり，年齢効果について議論するためには，年齢効果によるデザイン行列の列ベクトルの線形結合（以下，部分ベクトルと呼ぶ）
XA β A を空間 C(1N ) の直交補空間 C(1N )⊥ に射影しておくのがよい．その射影行列は，ベクトル 1 のムーア・ペンローズ逆ベクトルが 1+ = (1 1)−1 1 であるから，
I − 11+ = IN − 1N (1N 1N )−1 1N

である．これを用いればモデル（2.3）は，（時代・コウホート効果についても同様に考えて）(2.4)

η = β G 1 + (I − 11+ )XA β A + (I − 11+ )XP β P + (I − 11+ )XC β Cとあらためて表現される．
2.4 パラメータのゼロ和制約
上のモデル（2.4）の，たとえば年齢効果による部分ベクトル ηA = (I − 11+ )XA β A について
言うと，rank{(I − 11+ )XA } = I − 1 だから，η A に対応する I 次元ベクトルの βA を一意に定めるためには，線形制約を 1 つ課す必要がある．r  1 = 0 を満たす任意のベクトル r とスカ
ラー r による r  β A = r という線形制約でかまわないが，ここでは以下のような観点によるゼロ和制約（2.5）を採用することにする．
モデル（2.3）のベクトル η の要素の合計は1 η = N β G + 1 XA β A + 1 XP β P + 1 XC β Cである．したがって，各効果のパラメータ・ベクトルに
1 XA β A = 1 XP β P = 1 XC β C = 0(2.5)というゼロ和制約を課せば，
β G = 1 η/Nとなって，β G が総平均効果を名乗るにふさわしい．
標準コウホート表では，
1 XA = J1I ,1 XP = I1J ,C 
1 XC = ( nC
1 , . . . , nK )であるから（nCk については（2.1）参照），ゼロ和制約（2.5）は，
(2.6)

I

A

J

P

K

C C

J
I 

C

i=1

j=1

k=1

i=1 j=1

βi =β j = 0,n kβ k =である．コウホート効果のゼロ和制約としてこれまで
K
C

βk = 0k=1

βk(=j−i+I) = 0

107

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

を考えてきた．上の（2.6）にある
ている．



C C
（2003, 3.4 節）が議論しk n k β k = 0 との違いについては岡本

2.5 パラメータの漸進的変化の条件
コウホート分析における識別問題を克服するために，付録（C.1）により示唆されるパラメータの漸進的変化の条件 各効果で隣り合うパラメータの値の変動を小さくするという条件 をモデルに付加する．具体的には，次の各効果の 1 次階差の 2 乗和を小さくする．すなわち，
1  P
1  C
1  A
2
(β − β A(β − βPj+1 )2 + 2(β − β Ck+1 )2 −→ mini+1 ) + 2
σA2 i=1 i
σP j=1 j
σC k=1 k
I−1

(2.7)

J −1

K−1

2
である．ここで，σA2 ，σP2 ，σC
は 3 効果に対する適当な重み（の逆数）であり，後に超パラメー
タと呼ばれる．
付録 D の階差行列 D() を用いれば，





1

DA = D(I) = 


−1
1

−1
..
.

..





,



.

1

DP = D(J ) ,DC = D(K)−1であり，階差パラメータは
δ A = DA β A ,δ P = DP β P ,δ C = DC β Cとなるから，上の条件（2.7）は，
1
1
1
(2.8)
(β A ) DA DA β A + 2 (β P ) DP DP β P + 2 (β C ) DC DC β C
σA2
σP
σC
1
1
1
= 2 (δ A ) δ A + 2 (δ P ) δ P + 2 (δ C ) δ CσAσPσC= δ∗ Σ−1 δ∗ −→ min,と書き直すことができる．ここで，δ∗ = ( (δ A ) , (δ P ) , (δ C ) ) とおいた．Σ は超パラメータを対角要素に並べた対角行列



2
2
2
Σ = diag σA2 , . . . , σA2 , σP2 , . . . , σP2 , σC
, . . . , σC
= σA2 II ⊕ σP2 IJ ⊕ σC
IKである．⊕ は行列の直和を表す．
そしてさらに，（2.8）を正規分布の密度関数を用いて書き換えれば
(2.9)

M
1
1
π(δ∗ | σ) = (2π)− 2 | Σ |− 2 exp − δ∗ Σ−1 δ∗ −→ max
22 となって，階差パラメータ・ベクトル δ∗ の事前密度として表現できる．ここで，σ = ( σA2 , σP2 , σC)
とおいた．階差パラメータの数 M = I + J + K − 3 である．

2.6 階差パラメータ表現によるコウホートモデル
コウホートモデル（2.4）を階差行列と階差パラメータを使って記述する．付録の（D.2）より，
階差行列 DA のある一般逆行列 DA− と任意の αA について，元のパラメータベクトルは
β A = DA−δ A + αA 1

108

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005のように解ける．(I − 11+ )1 = 0 に注意すれば，(I − 11+ )XA β A = (I − 11+ )XA (DA−δ A + αA 1) = (I − 11+ )XA DA−δ A

であり，αA の任意性に関係なく，モデル（2.4）は（時代・コウホート効果についても同様に考えて）(2.10)

η = β G 1 + (I − 11+ )XA DA−δA + (I − 11+ )XP DP−δ P + (I − 11+ )XC DC−δ Cとなる．さらに，
XA∗ = (I − 11+ )XA DA−,XP∗ = (I − 11+ )XP DP−,

とおいてまとめれば，モデル（2.10）はXC∗ = (I − 11+ )XC DC−



βG
 G

A 
β
∗
∗
∗
∗ δ 
η = 1 XA XP XC  P  = 1 X
= Xδ
δ 
δ∗
δC

(2.11)と表すことができる．ここで，X∗ = XA∗ XP∗ XC∗ ,X = 1 X∗ ,

δ = ( β G , δ∗ )

とおいた．
2.7 対数尤度
コウホート表の (i, j) セルの標本の大きさを mij ，セル確率を π ij とする．各セルの観測度数
y ij が互いに独立な 2 項分布に従うと仮定し，同時確率関数を f (y | π(δ)) とするとき，対数尤
度の核 (δ) は，(2.12)

(δ) ≡ log f (y | π(δ)) − (const.) = y  log π + (m − y) log(1 − π)と書ける．ここで，
m = ( m11 , m21 , . . . , mIJ ) ,y = ( y 11 , y 21 , . . . , y IJ )

である．
通常は最尤法により δ を推定すればよいが，コウホートモデルについては識別問題が存在するためこのままでは実行できない．本稿では，パラメータの漸進的変化の条件を事前密度（2.9）
で表現したベイズ型モデルを構成することにより，δ を推定する．
2.8 ベイズ型モデルと ABIC 最小化法
パラメータの推定は，事後密度 f (y | π(δ)) · π(δ∗ | σ) のモードを求めること（最大化），すな
わち，(2.13)f (y | δ) · π(δ∗ | σ) −→ max

により行う．得られる推定値は MAP 推定値（maximum a posteriori estimate）と呼ばれる．
φ(δ) = log f (y | δ) · π(δ∗ | σ) − (const.)とおけば，(2.14)

φ(δ) = (δ) + log π(δ∗ | σ) = (δ) −M1
1
log 2π − log | Σ | − δ∗ Σ−1 δ∗222コウホート分析における交互作用効果モデル再考

109

である．
2 
超パラメータベクトル σ = ( σA2 , σP2 , σC
) を固定すれば，最大化問題（2.13）は，∂φ/∂δ = 0 を
適当な初期値から出発してニュートン・ラフソン法を繰り返し適用して解く問題に帰着する（詳細は付録 E を参照）．
未知である超パラメータ σ は次の ABIC 最小化法により決定する（Akaike（1980））．
ABIC = −2 log(周辺尤度) + 2h = −2 log

f · π dδ∗ + 2h.

ここで，dim σ を超パラメータの数（ベクトル σ の次元，すなわち，要素の数）とすれば，β Gの分も入れて h = dim σ + 1 である．
コウホートモデルについて上の ABIC を超パラメータの関数として近似的に評価すると，(2.15)

X∗ + Σ−1 | +2h
ABIC(σ)  χ2L + δ∗ Σ−1 δ∗ + log | Σ | + log | X∗ Wとなる．ここで， − log y) − 2(m − y) [log(m − µ) − log(m − y)],
χ2L = −2y  (log µ = (diag m)π ,µ = (diag m)(diag π )(I − diag π )Wであり（詳細は付録 F を参照），diag はベクトルの要素を対角に配した対角行列を作る操作である．
 = ( σA2 , σP2 , σC2 ) は準ニュートン法により求める．ただし実際には，ABIC を最小にする σ2κA = log2 σA2 ，κP = log2 σP2 ，κC = log 2 σCと超パラメータを変換し，κ = ( κA , κP , κC ) について最適化を行う．
2.9 コウホートモデル群とモデル選択
前小節までの 3 効果モデル（APC モデル）の他に，各効果の有無によって次のようなコウホー
トモデルの変種を考えることができる．すなわち，無効果モデル（G モデル），単効果モデル（ A，
P，C モデル），2 効果モデル（AP，AC，PC モデル）である．より具体的には，
G モデル

η ij = β G ,A モデル

η ij = β G + β A
i ,

P モデル

η ij = β G + βPj ,C モデル

η ij = β G + β Ck,AP モデルPη ij = β G + β A
i + βj ,AC モデルCη ij = β G + β A
i + βk ,PC モデルη ij = β G + βPj + β Ck,APC モデルPCη ij = β G + β A
i + βj + β kというモデル群である．
個々のモデルに関するパラメータの推定や ABIC の計算は，デザイン行列 X，超パラメー
タ・ベクトル σ を適当に定め，h に注意するだけで，前節で述べた ABIC 最小化法により同様に行うことができる．
3.

階差制約付き 2 要因交互作用効果モデル

3.1 2 要因交互作用効果モデル
コウホート効果 β C
k は変化の要因としては主効果と考えるべきであるが，数学的には年齢×110

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005

時代の交互作用効果 β AP
ij に制約を課したものであると見ることもできる．
AP
本節では，コウホート効果 β C
k の代わりに，交互作用効果 β ij を用いた次の 2 要因交互作用
効果モデルについて考える．
(3.1)

P
AP
η ij = β G + β A
i + β j + β ij ,i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J.

このモデルは，コウホート分析を離れて，任意の順序尺度水準の 2 要因について適用可能である．
交互作用効果のパラメータ・ベクトルを β AP ，デザイン行列を XAP とすると，



β AP
β AP
11
1J

.
. 
AP

.
β
= vec . · · · .. 
,
AP
AP
β IJ
β I1

XAP = IJ ⊗ II = INである．本節で扱うかぎり XAP は単位行列であるが，今後の便宜上 XAP のままとしておく．
以上の記号を用いると，モデル（3.1）は(3.2)

η = β G 1 + XA β A + XP β P + XAP β APと書ける．
さてこのとき，交互作用効果による部分ベクトル ξAP = XAP β AP は，年齢と時代効果による部分ベクトル ξA = XA β A と ξP = XP β P とに直交するようにするのがよい．すなわち，行列 Z = XA XP の列空間 C(Z ) の直交補空間 C(Z )⊥ に含まれるようにする（列空間 C(1)は C(Z ) に含まれている）．これは射影行列 I − Z Z+ を右から ξAP に掛けることによって実現できる（柳井・竹内（1983）, p. 92）．これによりモデル（3.2）は(3.3)

η = β G 1 + (I − 11+ )XA βA + (I − 11+ )XP βP + (I − Z Z+ )XAP β APとなる．
ゼロ和制約は，主効果に関する
1 XA β A = 1 XP β P = 0と，交互作用効果に関する Z XAP β AP = 0，すなわち，(3.4)

XA XAP β AP = 0, XP XAP β AP = 0

である．
3.2 交互作用効果の階差パラメータと階差行列交互作用効果の階差パラメータとして，
AP
AP
AP
AP
δ AP
ij = (β ij − β i,j+1 ) − (β i+1,j − β i+1,j+1 )を考えると，これを与える階差行列 DAP は
DAP = DP ⊗ DA ,−DAP
= DP− ⊗ DA−

であり，階差パラメータ・ベクトル δ AP は

δ AP = vec


δ AP
11
..
.
δ AP
I−1,1

···

δ AP
1,J −1..
.
δ AP
I−1,J −1AP = DAP βコウホート分析における交互作用効果モデル再考

111で与えられる．元のパラメータ β AP は，任意の I × J 行列を A = (αij ) として，− AP−
β AP = DAPδ+ (I − DAP
DAP ) vec Aと解くことができる．
上の右辺第 2 項について考察すると，付録の（D.1）より−
DAP
DAP = (DP−DP ) ⊗ (DA−DA ) = (IJ − 1J iJ ) ⊗ (II − 1I iI )だから，さらに展開して−
DAP
DAP = I − (IJ ⊗ 1I iI ) − (1J iJ ⊗ II ) + (1J iJ ⊗ 1I iI )である．ここで，ia は，最後の要素が 1 でそれ以外の要素が 0 の長さ a のベクトルである．行
 I (= (iI A) ) とおくと，列 A の最終列ベクトルを αJ (= AiJ )，最終行ベクトルを α−(I − DAP
DAP ) vec A(3.5)= {(IJ ⊗ 1I iI ) + (1J iJ ⊗ II ) − (1J iJ ⊗ 1I iI )} vec A= vec(1I iI A) + vec(AiJ 1J ) − vec(1I iI AiJ 1J ) I + (1J ⊗ II )αJ − (1J ⊗ 1I )αIJ
= (IJ ⊗ 1I )αとなる．Z の列空間 C(Z ) ⊃ C(1), C(XA ), C(XP ) であるから，Z Z+ 1 = 1，Z Z+XA = XA ，ZZ+XP = XP であり，結局，XAP = I を使って，(3.6)−(I − ZZ+ )XAP (I − DAP
DAP ) vec A

 I + (1J ⊗ II )αJ − (1J ⊗ 1I )αIJ }= (I − Z Z+ ){(IJ ⊗ 1I )α I + XA αJ − αIJ 1) = 0= (I − ZZ+ )(XP αとなることに注意しておく．
3.3 階差パラメータ表現による交互作用効果モデル
前小節の考察結果（3.6）より，（3.3）の右辺最終項は− AP(I − Z Z+ )XAP β AP = (I − Z Z+ )XAP DAPδ

となるから，−XAP= (I − Z Z+ )XAP DAP

とおいて，モデル（3.3）は，η = β G 1 + XA∗ δ A + XP∗ δ P + XAP
δ AP

(3.7)

と書き表すことができる．
パラメータの漸進的変化の条件（2.8）に付加すべき項は
1

−1
I−1 J



2
σAP
i=1 j=1APAPAP
2[(β APij − β i,j+1 ) − (β i+1,j − β i+1,j+1 )]

=

1
1

(β AP ) DAP
DAP βAP = 2 (δ AP ) δ AP
2
σAP
σAP

である．さらに，δ∗ = ( (δA ) , (δ P ) , (δ C ) , (δ AP ) ) ,22
σ = ( σA2 , σP2 , σC
, σAP
)

112

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005とおけば，パラメータの事前密度は形式的には（2.9）と同じものになる．
なお，ゼロ和制約（3.4），すなわち，Z XAP β AP = 0 の下では，（Z+ = (Z Z )+ Z だから）η AP = (I − ZZ+ )XAP β AP = XAP β AP ,

また
− AP

ηAP = (I − ZZ+ )XAP DAP
δ
= XAP
δ AP

であったから，
βAP = (XAP
XAP )−1 XAP
XAP
δAP

により，ゼロ和制約下での β AP を δ AP から計算することができる．
3.4 暫定版交互作用効果コウホートモデル群
モデル（3.1），すなわち，（3.7）を， を付して [AP ]AP モデルと記すことにする．このモデルとその変種[AP ] モデル

η = β G 1 + XAP
δ AP ,[AP ]A モデル

η = β G 1 + XA∗ δ A + XAP
δ AP ,[AP ]P モデル

η = β G 1 + XP∗ δ P + XAP
δ AP ,[AP ]AP モデル

η = β G 1 + XA∗ δ A + XP∗ δ P + XAP
δ AP ,

および，2.9 節の G，A，P，AP の計 8 モデルからなるモデル群は，年齢区分と調査時点に限らない任意の順序尺度水準の 2 要因 A，P について適用可能である．
ところで，A，P がそれぞれ年齢，時代要因であれば，さらにコウホートの視点が生まれ，コ
ウホート要因を加えた以下のモデルの変種を考えることができる．すなわち，[AP ]C モデル

η = β G 1 + XC∗ δ C + XAP
δ AP ,[AP ]AC モデル

η = β G 1 + XA∗ δA + XC∗ δ C + XAP
δ AP ,[AP ]PC モデル

η = β G 1 + XP∗ δ P + XC∗ δ C + XAP
δ AP ,[AP ]APC モデル

η = β G 1 + XA∗ δA + XP∗ δ P + XC∗ δ C + XAP
δ AP ,

である．2.9 節の C，AC，PC，APC モデルもあわせて，以上全 16 モデルがモデル選択の対象となる．ただし，コウホート効果が絡む場合には問題を含んでいるので，「暫定版の交互作用効
果を含むコウホートモデル群」と称しておくことにする．
3.5 暫定版モデル群による分析例と問題点
ここでは，問題点を指摘する目的のために交互作用効果 [AP ] を含む 8 つのモデルを実際のデータに適用した結果を示す．対象としたデータは，日本人の国民性調査（坂元 他（2004））の ‘#2.7 一番大切なもの’ の質問で事後コーディングにより ‘家族’ というカテゴリにまとめられる回答をした人の割合である．
表 1 は，女性のデータについて分析した結果で，交互作用効果を含む暫定版の 8 つのモデルの ABIC の値を比較している．これらの中では，[AP ]AP モデルの ABIC が一番小さく，次が [AP ]APC モデルとなっている（モデルの表記がやや紛らわしいので本小節内では C に強調の下線を引いた）．両者の ABIC の差はあまりないが，その他のモデルとは差がみられる．
図 1 に，8 つのモデル中で ABIC が一番小さい [AP ]AP モデルの各効果の推定値をプロットし，図 2 に，[AP ]APC モデルの結果をプロットした．各図の 3 つのパネルは左から順に，

コウホート分析における交互作用効果モデル再考
表 1.

113

‘#2.7 一番大切なもの（家族）［’ 女性］についての暫定版コウホートモデル選択表．

時代，年齢，コウホート効果に対応し，中央の年齢効果のパネルには年齢×時代の交互作用効
果の推定値 βAPij を，過去から最新の調査時点についてゼロの基準線を上方にずらしながら表示している．
両図を比較すると，時代効果，年齢効果はぼ同じ傾向である．コウホート効果は，図 1の [AP ]AP モデルでは当然ながら存在せず，しかし年齢×時代の交互作用効果は，図 2 の[AP ]APC モデルのものより変動幅が大きくなっている．変動幅の大きい [AP ]AP モデルの交互作用効果は，[AP ]APC モデルのコウホート効果と交互作用効果とを足したものになっているような印象を与える．
この印象を確かめるために，図 3 に両モデルの交互作用効果の推定値を比較した．まず黒丸AP（•）は，横軸方向に [AP ]AP モデルの βAPij を，縦軸方向に対応する [AP ]APC モデルの β ij◦
をとってプロットしたものである．黒丸のプロット全体の傾きは明らかに 45 よりも小さく，[AP ]AP モデルの {βAPij } の絶対値の方が大きい傾向にあることを示している．
次に図 3 の白丸（◦）は，縦軸方向に [AP ]APC モデルの {βCk } を足してみたものである．たC∗

だし実際には，{β k } を時代効果や年齢効果にも分配する必要があるので，以下の {βCij } を足CCしている．すなわち，β ij = β k=j−i+I とおいて，∗
CβCij = β ij −1  C1  Cβ −β
I i=1 ij J j=1 ij
IJである．交互作用効果 β AP
（3.4）を満たすようにしたといってもよい．白ij についてのゼロ和制約
丸のプロット全体を見ると，傾き 45◦ 線のまわりに散らばっており，[AP ]APC モデルのコウ
ホート効果 {βC
を [AP ]AP モデルの {βAPk }（の一部）ij } が取り込んでいる様子がわかる．
以上のように，暫定版 [AP ]AP モデルは主効果であるコウホート効果を交互作用効果に吸収してしまい，また経験的にだが多くの場合，[AP ]APC モデルよりも ABIC の値が小さくな
り [AP ]AP モデルが選ばれやすい，という問題点がある．もし [AP ]AP モデルが選ばれてしまうと，主効果のコウホート効果が存在するのか存在しないのかの判断ができないのである．
この問題点を解決するためには，交互作用効果による部分ベクトルを，年齢効果や時代効果によるものと直交させたのと同様に，コウホート効果による部分ベクトルとも直交させる必要が
ある．

114

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005

図 1.

暫定版 [AP ]AP モデルによる ‘#2.7 一番大切なもの（家族）［女性］’のコウホート分析結果．

図 2.

暫定版 [AP ]APC モデルによる ‘#2.7 一番大切なもの（家族）［’ 女性］のコウホート分
析結果．

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

図 3.

115


[AP ]AP モデル（図 1）の交互作用効果 β AP
ij （横軸）と，[AP ]APC モデル（図 2）の

AP
C∗
交互作用効果 β AP
ij （縦軸）の比較（•），および β ij + β ij （縦軸）との比較（◦）．

4.

年齢×時代の交互作用効果をもつコウホートモデル

4.1 年齢×時代の交互作用効果とコウホート効果
本節では，年齢×時代の交互作用効果 β AP
ij をもつコウホートモデルについて考える．あらためてコウホート効果 β Cを追加してモデル式を書けば以下のようになる．
kPCAPη ij = β G + β A
i + β j + β k + β ij ,i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; k = 1, . . . , K.

あるいは，ベクトルと行列を用いれば，(4.1)

η = β G 1 + XA β A + XP β P + XC β C + XAP β APである．このモデルを [AP]APC モデルと記す．前節の [AP ]AP モデルの変種中の [AP ]APC
モデルと式の上では同じことになるが，交互作用効果による部分ベクトルを，年齢効果や時代効果だけでなく，コウホート効果による部分ベクトルとも直交させるところが異なる．
行列 Z を，Z に XC を追加したものとして，
Z = XA XP XCとおき，交互作用効果による部分ベクトル ξAP = XAP β AP が，3 効果による ξA = XA β A，
ξ P = XP β P ，ξ C = XC β C と直交するようにする．モデル（4.1）は(4.2)

η = β G 1 + (I − 11+ )XA β A + (I − 11+ )XP β P + (I − 11+ )XC β C+(I − ZZ + )XAP β APとなり，ゼロ和制約は，（3.4）にコウホートの主効果とかかわる分が追加され，(4.3)

XA XAP β AP = 0, XP XAP β AP = 0, XC XAP β AP = 0

116

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005

APとなる．標準コウホート表では，必ず β AP
I1 = β 1J = 0 となることに注意する．
さらに，モデル（4.2）を階差パラメータを用いて表現すれば，∗∗ AP
η = β G 1 + XA∗ δ A + XP∗ δ P + XC∗ δ C + XAP
δ

(4.4)

と書き表すことができる．ここで，∗∗
XAP= (I − ZZ + )XAP DAP(4.5)

である．列空間 C(Z) ⊃ C(Z ) だから，Z を Z に置き換えても（3.6）が成り立つので，（4.5）のようにおけばよい．
∗∗
さて，モデル（3.7）の XAP
ではその階数と δ AP の次元が一致していたが，上の XAP
ではそ
AP
∗∗
∗∗
の階数 r = rank XAP が δの次元よりも小さい．そこで XAP を次のように特異値分解する．
1

∗∗
XAP
= U S 2 V .
∗∗ ∗∗
ここで，S は (XAP) XAPの正の固有値を対角要素とする r × r の対角行列，U ，V はそれぞ
APれ大きさ N × r ，(dim δ ) × r で，U  U = I ，V  V = I を満たす適当な行列である．
1∗∗ AP
ηAP = XAPδ= (U S 2 )V  δ APであるから，モデル（4.4）は
1∗
XAP= US 2 ,δ ap = V  δ APとおいて，∗
η = β G 1 + XA∗ δ A + XP∗ δP + XC∗ δ C + XAP
δ ap

(4.6)

のようにすればよい．パラメータの漸進的変化の条件（2.8）に付加すべき項は
1(δ ap ) δ ap2
σAPである．なおこの項は，
1∗∗ V = (XAP) US − 2 ,∗∗ ∗∗V V  = (XAP) US −1 U  XAP
,

∗∗
∗∗ 
XAP
(XAP
) = USU 

より，
∗∗ 
∗∗
∗∗  +∗∗ AP(δ ap ) δ ap = (δ AP ) V V  δ AP = (δ AP ) (XAP
) {XAP(XAP) } XAPδであるから，V の取り方によらない．
また，ゼロ和制約（4.3），すなわち，Z  XAP β AP = 0 の下では，（Z + = (Z  Z)+ Z  だから）η AP = (I − ZZ + )XAP β AP = XAP β AP ,また一方∗
η AP = XAPδ apであるから，
∗β AP = (XAP
XAP )−1 XAP
XAP
δ ap

により，ゼロ和制約下での β AP を δ ap から求めることができる．

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

117

4.2 交互作用効果パラメータの節約
標準コウホート表の場合，年齢×時代の交互作用効果の階差パラメータ数は dim δ ap = (I −1)(J − 1) − (K − 1) + 1 = (I − 2)(J − 2) であり，たとえば I = J = 10 とすると dim δ ap = 642となって，かなりの数になる．この数は ABIC の項 log | Σ | の一部が (dim δ ap ) log σAPであるからペナルティとして効いてくる．そこで，交互作用効果パラメータの節約を考える．
1 つの節約方法は，いくつかの時点の β AP
ij を間引くことである．付録 G で説明した方法によりいくつかの時点を間引いた交互作用効果を作ると（G.1）を満たしており，このデザイン行
列 XAP について，（3.6）の Z を Z に置き換えた式を考えると，ZZ +1 = 1，ZZ +XA = XA ，
ZZ +XP = XP であるから，(4.7)−(I − ZZ + )XAP (I − DAP
DAP ) vec A I∗ + XAP (1J∗ ⊗ II∗ )αJ∗ − XAP (1J∗ ⊗ 1I∗ )αI∗ J∗ }= (I − ZZ + ){XAP (IJ∗ ⊗ 1I∗ )α I + XA B 2 αJ − αI∗ J∗ 1) = 0= (I − ZZ + )(XP B 1 αとなり，形式的にはモデルは（4.4）を経て（4.6）と同じ表現になる．
時点の間引きには，ABIC の値が減少する限りステップワイズ的に間引く時点を増やす方法をとる．ただしこのとき，時点 1 と時点 J の交互作用効果は間引かない．
4.3 交互作用効果コウホートモデル群
2.9 節の G，A，P，C，AP，AC，PC，APC の 8 モデルと以下の 8 モデルを合わせた 16 モ
デルが，コウホート分析におけるモデル選択の対象となる．各モデルの推定の際には，年齢×時代の交互作用効果の時点を間引くステップワイズ手順が含まれる．
[AP] モデル∗
η = β G 1 + XAP
δ ap ,[AP]A モデル∗
η = β G 1 + XA∗ δ A + XAP
δ ap ,[AP]P モデル∗
η = β G 1 + XP∗ δ P + XAP
δ ap ,[AP]C モデル∗
η = β G 1 + XC∗ δ C + XAP
δ ap ,[AP]AP モデル∗
η = β G 1 + XA∗ δ A + XP∗ δ P + XAP
δ ap ,[AP]AC モデル∗
η = β G 1 + XA∗ δ A + XC∗ δ C + XAP
δ ap ,[AP]PC モデル∗
η = β G 1 + XP∗ δ P + XC∗ δ C + XAP
δ ap ,[AP]APC モデル∗
η = β G 1 + XA∗ δ A + XP∗ δ P + XC∗ δ C + XAP
δ ap .

（家族）
4.4 分析例：一番大切なもの
3.5 節において暫定版のモデルで分析した ‘#2.7 一番大切なもの（家族）’ のデータを，本節の新しい年齢×時代の交互作用効果をもつコウホートモデルにより分析した結果を示す．
表 2，表 3 はそれぞれ男性と女性についてのコウホートモデル選択表であり，いずれについても [AP]APC モデルが最小 ABIC モデルとして選ばれる．
参考のため表 4 に，男性のデータの [AP]APC モデルと [AP]AP モデルについて，交互作用
効果の時点の間引きのステップワイズ過程を示した．[AP]APC モデルで見ると，選択された
ABIC 最小モデルは，全時点の交互作用効果を含むモデルよりも ABIC の値が 2.61 ほど減少している．また図 4 に，女性のデータに関して [AP]APC モデルと [AP]AP モデルの交互作用
効果（時点は間引いていない）を比較した．これは図 3 の黒丸に対応するものであり，図 3 とは違って 45 度直線のまわりに黒丸があり，[AP]AP モデルの交互作用効果がコウホート効果を吸収してはいないことがわかる．

118

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005

表 2.

‘#2.7 一番大切なもの（家族）［’ 男性］についてのコウホートモデル選択表．

表 3.

‘#2.7 一番大切なもの（家族）［’ 女性］についてのコウホートモデル選択表．

コウホート分析における交互作用効果モデル再考
表 4.

交互作用効果の時点の間引きのステップワイズ過程（‘#2.7 一番大切なもの（家族）［
’ 男
性］）．

図 4.

[AP]AP モデルの交互作用効果 β APと，[AP]APC モデルの交互作用効果 β AP
ij （横軸）ij（縦軸）の比較（‘#2.7 一番大切なもの（家族）［’ 女性］について）．ただし，交互作用効果の時点の間引きは行っていない．

119

図 5，図 6 はそれぞれ男性と女性の [AP]APC モデルの結果を示したものである．各図には 4つのパネルが現れているが，左から 3 番目のパネルを除いて，図 1 と図 2 にある 3 つのパネル

120

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005

図 5.

[AP]APC モデルによる ‘#2.7 一番大切なもの（家族）［’ 男性］のコウホート分析結果．

図 6.

[AP]APC モデルによる ‘#2.7 一番大切なもの（家族）［’ 女性］のコウホート分析結果．

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

121に順に対応し，時代効果，年齢効果と交互作用効果，コウホート効果のパラメータの推定値をプロットしている．左から 3 番目のパネルは，年齢効果に交互作用効果を足してプロットしたものである．当該年当時における年齢効果として解釈しよう，という意図による表示である．
図 5 の男性の結果で，左から 2 番目と 3 番目のパネルを見ると，{1978,’83,’88,’93,’98} 年の交互作用効果が一点鎖線で表示されている．これは，これらの年の交互作用効果が間引かれたことを示したものであり，この間は交互作用効果のパラメータを線形補間しても間に合う程度の緩やかな変化であったか，あるいはほとんど変化がなかったことを示唆している．
左から 2 番目のパネルで年齢×時代の交互作用効果の推移を見てみると，1960 年代前半までは若齢ほど（家族が大切と答える割合が）高い傾向があったが，1970 年代に入ると逆に高齢ほど高くなる傾向に転じている．これは，時代効果が，高度成長期を終え 1973 年のオイルショッ
クにより反転した時期と対応しており，時勢要因が全年齢層に及ぼした以上の影響がより強く
中高齢者に及んだと考えることができる．その後（1970 年代後半以降）現在までは緩やかに推移しており，晩婚化の影響とみられる 30 歳台後半がピークの形状になっている．
図 6 の女性の結果では，{1963,’68} 年と {1988,’93,’98} 年の交互作用効果が間引かれたモデルが最終的に選択されている．前者の間引き期間は，1960 年代から’70 年代にかけての時代効
果の変化が，男性とは若干違って緩やかだったことに呼応しているのであろう．1978 年の交互作用効果は，遅れてはいるが 1973 年の男性の交互作用効果と同様の傾向を示している．この1970 年代当時の時勢要因の影響は，女性に対してよりも男性に対しての方が急激だったと解釈できるであろう．これ以降の変化は，晩婚化の影響とみられ 30 歳台前半がピークの形状になっている．
左から 3 番目のパネルで年齢効果に交互作用効果を足したものを見てみると，図 6 の女性の場合にははっきりと 20 歳台後半から 30 歳台前半へのピークの移動が観察でき，その境目は1970 年代後半にあるとみられる．図 5 の男性の場合にはピークの移動としては観察できていな
いが同様の晩婚化の影響をうかがわせる．
以上のように，交互作用効果モデルにより，年齢・時代・コウホートの 3 効果では捉えきれなかった変化の様相を観察することができた．
5.

おわりに

コウホート分析における年齢×時代の交互作用効果モデルについて再検討し，新しい交互作
用効果モデルを提案した．提案したモデルの特徴を記せば以下の 3 点となる．
各効果パラメータの 1 次階差をパラメータとしてモデルを再記述した．
年齢×時代の交互作用効果による部分ベクトルを，年齢効果，時代効果だけでなく，コ
ウホート効果によるものについても直交させるようにした．
3. 年齢×時代の交互作用効果のいくつかの時点のパラメータを間引くことにより，交互作
用効果のパラメータ数を節約した．
1.
2.

第 1 の点についてはその利点として，ABIC の算出が若干簡単になった（log | Σ |= (I −1) log σA2 + (J − 1) log σP2 等の計算ですむ）こと，交互作用効果について直交制約などを付加するときの見通しがよくなったこと，効果パラメータへのゼロ和制約の課し方により ABIC の値が変化するという岡本（2003）が指摘した問題を回避できたことがあげられる．第 2 の点についてはこのようにすることによって，数学的には交互作用効果の一部と考えられるコウホート効
果を，交互作用効果からきちんと分離することができるようになった，といえる．第 3 の点については，このような間引く手順をさらに取り入れることにより，交互作用効果のいわば濃淡

122

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005

といったものを探ることができるようになった，といえる．
年齢×時代以外の交互作用効果をもつモデルについては，中村（1987）が時代×コウホート効果のモデルとの比較をしており，また岡本（2003）はより包括的に交互作用効果モデル群を構築
しモデル間の比較を行っている．しかし，ABIC の狭い範囲に交互作用効果モデル群が位置し，そのため ABIC の値の少しの差で結果の解釈が大きく変わってしまうこと，通常のコウホート
表データについては年齢×時代以外の交互作用効果はパラメータ数のバランスがよくないこと，などの問題点が指摘できる．現在は年齢×時代以外の交互作用効果モデルについては消極的な立場であるが，今後の検討課題としたい．
謝辞

国民性調査委員会の先達および同僚諸氏，また調査に協力して下さった関係者の方々は，50年以上にもわたる貴重な調査データの蓄積を通してコウホート分析のための豊かな研究土壌を与えて下さいました．2 名のレフェリーの方々には重要かつ適切なコメントをいただきました．
ここに記して心より感謝いたします．なお，本研究の一部は，文部科学省科学研究費補助金（平成 14，15 年度基盤研究（C）（2）課題番号 14580354）の援助を受けています．
付録 A. 特別なベクトルと行列の準備
すべての要素が 0 の長さ a のゼロベクトルを 0a = ( 0, . . . , 0 ) ，すべての要素が 0 の大きさ
a × b の行列を Oa,b ，すべての要素が 1 の長さ a のベクトルを 1a = ( 1, . . . , 1 ) ，最後の要素が1 でそれ以外の要素が 0 の長さ a のベクトルを
ia = ( 0, . . . , 0, 1 )(A.1)

で表す．また，na = ( 1, 2, . . . , a )

(A.2)

とすれば，
(A.3)

1a+ na = (1a 1a )−1 1 na =a+1
1 a(a + 1)
=
a
2
2

である．
さらに，a × a の単位行列を Ia で表し，単位行列を反転した a × a の行列 I˘a とそれを使った
I × K の行列 Jj をそれぞれ
1





I˘a = 

·

·

·

1




,



Jj =
I×K

OI,j−1 I˘I OI,K−I−j+11とする（0 の要素は空白とした）．
I˘I nI = ( a, a − 1, . . . , 1 ) = (I + 1)1I − nI ,I˘I 1I = 1I

より
(A.4)

である．

Jj nK = I˘I {nI + (j − 1)1I } = (I + j)1I − nI

123

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

付録 B. 3 つの主効果のデザイン行列
年齢・時代・コウホート効果のデザイン行列を要素表示によりそれぞれ
XA =

 A





XP = xP
nj ,

xni ,

XC = xC
nkとする（n はセルを渉るものとする）．
標準コウホート表の場合，年齢区分数を I ，調査時点数を J とすると，



II

. 

XA = 1J ⊗ II =  .. 
,
IJ ×I
II
XP = IJ ⊗ 1I =
IJ ×J




1I

·


J1
 . 
XC = 
 .. 

IJ ×K

·

·



,
1I

JJ

で与えられる（⊗ はクロネッカ積）．このときコウホート区分数 K = I + J − 1，セル数 N = IJである．
一般コウホート表の場合，コウホートモデルはデザイン行列の要素を用いて
ηn = β G +

I

A A

J

P

K

C

i=1

j=1

k=1

xni β i +xnj βPj +xnk β Ck,n = 1, . . . , N ,と表される．xA
ni 等としては，セルにおける区分とパラメータにおける区分の範囲の重なりの程度に比例する重みを考えればよい．たとえば，大部分のセルの年齢区分は 5 歳幅であるが古い調査時点では 10 歳幅あるいは 20 歳幅でしかデータが得られないような場合，年齢効果のパ
ラメータの区分は 5 歳幅として，XA の一部を
A
A
A
A
A
A
A
A
β20-24β25-29β30-34β35-39β40-44β45-49β50-54β55-59




1
2

1
2

1
2

1
2

1
4

1
4

1
4

1
4





セル 20-29
セル 30-39
セル 40-59

といったようにする．より精密には，区分の範囲の重なりではなく，母集団人口に比例するような重みをとってもよいだろう．調査が毎年あるいは不定期に行われている場合のコウホート
効果のデザイン行列についても同様に考えればよい．標準コウホート表の場合は，xA
ni 等は 0か 1 の値しかとらないので，結局（2.2）のような表現となることに注意する．なお，Nakamura（1986）では，一般コウホート表のデザイン行列を作成する際に，オーバーラップを許すコウ
ホート効果のパラメータの区分を想定したが，パラメータ数が増えるという副作用があるので，
現在ではここで述べた按分による方法によっている．
標準・一般コウホート表の場合を問わず，各効果のデザイン行列としては，フル列階数（fullcolumn rank）であり，その各要素は 0 以上 1 以下の値をとり，(B.1)

XA 1I = XP 1J = XC 1K = 1N ,

124

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005


1N
XA 1I = 1N XP 1J = 1N
XC 1K = Nを満たすことが要請される．ここで，I ，J ，K はそれぞれ年齢・時代・コウホート効果のパラメータの数，N はセルの数である．
付録 C. コウホート分析における識別問題
標準コウホート表の場合，モデル（2.3）の段階でのデザイン行列 1 XA XP XC の列ベクト
ルは，（B.1）によるものの他に，年齢・時代・コウホート間にある k = j − i + I という関係に起因して 1 次従属であり，パラメータのゼロ和制約の他に何らかの付加条件を課さなければ 3 効
果のパラメータを一意に決定できないという問題 コウホート分析における識別問題 が存在する．以下で，この問題について検討する．
（A.2）の na を用いると，（A.3）と K = I + J − 1 より，
1I+ nI =I +1,2

1J+ nJ =

J +1
,
2

+
1K
nK =

I +J
K +1
=
2
2

であるから，+
1I+ nI − 1J+ nJ + 1K
nK =(I + 1) − (J + 1) + (I + J)=I
2である．また，
XA nI = (1J ⊗ II )(1 ⊗ nI ) = 1J ⊗ nI = ( nI , nI , . . . , nI ) ,XP nJ = (IJ ⊗ 1I )(nJ ⊗ 1) = nJ ⊗ 1I = ( 1I , 21I , . . . , J1I )

であり，（A.4）より
XC nK = ( {(I + 1)1I − nI } , {(I + 2)1I − nI } , . . . , {(I + J)1I − nI } )

であることから，
XA nI − XP nJ + XC nK = I1Nという関係を満たしていることがわかる．セルの数 N = IJ より，
N (I + 1)
I(I + 1)=,
2
2
N (J + 1)
J(J + 1)I=,
1N XP nJ = (1J ⊗ 1I )(nJ ⊗ 1I ) =2
2
1N
XA nI = (1J ⊗ 1I )(1J ⊗ nI ) = J

1N XC nK = IJ(I + j) − J

j=1

N (K + 1)
I(I + 1)=22にも注意しておく．
さて，
I +1
1,
 2

J +1
θP = −(IJ − 1J 1J+ )nJ = − nJ −
1 ,
2
K+1
+
1
)nK = nK −
θ C = (IK − 1K 1K
2
θA = (II − 1I 1I+ )nI = nI −

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

125

とおくと，
（B.1）の性質に注意すれば，
XA θA + XC θP + XC θ C+= (XA nI − XP nJ + XC nK ) − 1N (1I+ nI − 1J+ nJ + 1K
nK )= I1N − I1N = 0となっている．この関係が 3 効果を一義に決定できないというコウホート分析における識別問
題の源泉である．すなわち，α を任意の実数として，
η = β G 1 + XA βA + XP β P + XC β C + α0
= β G 1 + XA βA + XP β P + XC β C + α(XA θ A + XP θ P + XC θ C )= β G 1 + XA (βA + αθ A ) + XP (β P + αθP ) + XC (β C + αθ C )であるから，β A† (= β A + αθ A )，β P† (= β P + αθ P )，β C† (= β C + αθ C ) の組も同じ η を与える．
もちろん，
N (I + 1)
I +1
−N
= 0,
2
2
J +1
N (J + 1)
−N= 0,
XP 1J 1J+ nJ =−1 XP θP = 1N XP nJ − 1N
2
2
K+1N (K + 1)+−N=01 XC θ C = 1N XC nK − 1N XC 1K 1K
nK =2
2
1 XA θA = 1N XA nI − 1N XA 1I 1I+ nI =だから，ゼロ和制約
1 XA βA† = 1 XP βP† = 1 XC β C† = 0

を満たしていることも容易に確かめられる．
β A† 等の要素は，より具体的には




I +1
A
A

β†i = β i + i −
α,



2






 P
J +1
α,
β†j = βPj − j −
2






K +1

C
C

α,


 β†k = β k + k − 2

i = 1, . . . , I;
j = 1, . . . , J;
k = 1, . . . , K;である．そしてここで，たとえば年齢効果の 1 次階差を考えると
A
A
A
β†i
− β†i+1= βA
i − β i+1 + α,i = 1, . . . , I − 1

であり，これらの 2 乗和は
(C.1)

I−1 

A

A
β†i − β†i+1

i=1

2

 A
I−1

=

β i − βA
i+1

2

A
2
+ 2(β A
1 − β I )α + (I − 1)αi=1となる．この右辺の第 3 項から，（節約的であるような）真の β Ai があるとしたとき，このパラメータの 1 次階差の 2 乗和を小さくすることは，α2 を小さくすることになり，真の β Ai に近いAβ†iが得られると期待できる．コウホートモデルへの付加条件として 2.5 節で述べるパラメー
タの漸進的変化の条件を用いる理由である．

126

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005

付録 D. 階差行列と階差パラメータ
パラメータの 1 次階差を与える ( − 1) ×  の行列を D() とすれば，
1 −1
1 −1
.. ..
.
.





D() = I−1 0−1 − 0−1 I−1 = 









1 −1
−
となる．この 1 つの一般逆行列 D()
は，





−
D() = 

1 1 ··· 1

1 ··· 1...
. .. 


1
0

であり，
−
D() D()D() = D() ,−= I−1 ,D() D()−
D() =D()I−1 −1−1
,
0
0

−
D() = O ,−1 1 = 1 iI − D()(D.1)

を満たしている（i については（A.1）参照）．
たとえば年齢効果のパラメータの場合，DA = D(I) として
δ A = DA β Aのように階差パラメータを得ると，解の存在条件 DA DA−δ A = δ A を満たしており，元のパラメー
タ βA は任意のベクトル α A（最後の要素を αA とする）により一般解（Magnus and Neudecker（1999）, p. 38）
β A = DA−δ A + (I − DA−DA )α A = DA−δ A + 1I iI α A(D.2)= DA−δ A + αA 1

として得られる．ところで，ゼロ和制約
0 = 1 XA β A = 1 XA (DA−δA + αA 1) = 1 XA DA−δ A + N αAを課したことから，
αA = −1 
1 XA DA−δA
Nとして，（D.2）により δ A から β A を求めればよい．時代効果，コウホート効果のパラメータについても同様である．

127

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

付録 E. パラメータの推定法（2.11）より
∂η 
= X,
∂δ

（2.12）より∂(δ)= (diag π)−1 y − (I − diag π)−1 (m − y),∂π∂π = (diag π)(I − diag π)∂ηである．これらより∂η  ∂π  ∂(δ)∂δ ∂η ∂π
= X  (diag π)(I − diag π){(diag π)−1 y − (I − diag π)−1 (m − y)}= X  {y − (diag π)y − (diag π)(m − y)}= X  {y − (diag π)m} = X  (y − µ)が得られる．ここで，µ = (diag m)π ．
したがって，（2.14）より

0∂η ∂π  ∂(δ)∂ log π(δ∗ | σ)∂φ=+
= X  (y − µ) −= A c,−1∂δ∂δ ∂η ∂π
∂δ
Σ δ∗





0 0
∂2φ

= −A B −1A
 = − X WX −
∂δ∂δ
0 Σ−1

となる．ここで，





1 X∗
A=
,
0 I





y−µ
c=
,
−Σ−1 δ∗

W −1 0B=,
0 Σ

W = (diag m)(diag π)(I − diag π)である．
超パラメータ σ（すなわち，Σ）を所与として，事後対数尤度関数 φ(δ | y, σ) の最大化によりパラメータ δ の推定値 δ を得る．そのために ∂φ/∂δ = 0 を解く．左辺を δ の近似値 δ 0 の周りにテイラー展開すると，0=∂φ(δ0 )
∂ 2 φ(δ0 ) ∂φ(δ)
+(δ − δ 0 )∂δ∂δ∂δ∂δ 

であるから，(E.1)

A B0−1A δ  A B0−1A δ 0 + A c 0となり，この線形方程式を繰り返し解いて δ を求めればよいことがわかる．ここで，各記号の下付の 0 は近似値 δ 0 を用いて評価したことを意味する．
1
E = B0− 2 A,

1
e = B0− 2η 0 + W0−1 (y − µ0 )
0



128

統計数理 第 53 巻

第 1 号 2005とおくと，
（E.1）の右辺は(右辺) = A B0−1 (Aδ 0 + B0 c 0 ) = A B0−1

= A B0−1



 

Xδ 0
W0−1 (y − µ0 )
+
δ ∗0
−δ∗0



η0 + W0−1 (y − µ0 )= Ee0となるから，（E.1）はE E δ  E eとなる．さらに，E = QR と QR 分解（Q  Q = I で R は正則な上三角行列）を行うとR Q  QRδ  R Q  eより，δ  R −1 Q eと求めることができる．
付録 F. ABIC の導出
対数事後尤度（2.14）の φ(δ) を δ のまわりでテイラー展開して近似すると，
φ(δ)  φ(δ) + (δ − δ)1
∂φ(δ)∂ 2 φ(δ)+ (δ − δ)(δ − δ)∂δ
2∂δ∂δ 

である．∂ δ/∂δ = 0 であるから右辺第 2 項は消え，付録 E の A，B を用いて，
exp{φ(δ) + (const.)} = f (y | δ) · π(δ∗ | σ)1 (δ − δ) .
 exp φ(δ) + (const.) × exp − (δ − δ) A BA
2

したがって，(F.1)

f (y | δ) · π(δ∗ | σ) dδ∗ exp φ(δ) + (const.)1
 (δ − δ) dδ∗
exp − (δ − δ) A BA
2である．ここで，各記号の  は推定値 δ を用いて評価したことを意味する．

 (δ − δ)(δ − δ) A BA


 
∗

W
 1 X

= (δ − δ )
 G

0

I

0

0
Σ−1





1 X∗
(δ − δ)
0 I

  
 G G 1 X∗
β − βG1W
1 W
β − β
=∗∗
∗−1
1 X WX + Σ
δ∗ − δ∗X W
δ∗ − δ∗より，ある値 v 2 により

1
 (δ − δ) dδ∗
exp − (δ − δ) A BA
2

129

コウホート分析における交互作用効果モデル再考

 X∗ + Σ−1 | 2 exp −= (2π) 2 | X∗ W
M

1

1(β G − βG )2
2v 2

を得る．
（F.1）の両辺の −2 log をとり 2h を足して，ABIC が小さくなるように δ = δ ととれば，

 X∗ + Σ−1 | +2h
ABIC  −2φ(δ) − M log 2π + log | X∗ W

 X∗ + Σ−1 | +2h.
= −2(δ) + M log 2π + log | Σ | +δ∗ Σ−1 δ∗ − M log 2π + log | X∗ W

ABIC の比較には定数 2y  log y + 2(m − y) log(m − y) を足してもかまわないから，結局

 − 2(m − y) log(m − µ)
ABIC  2y  log y + 2(m − y) log(m − y) − 2 y  log µ X∗ + Σ−1 | +2h+ log | Σ | + δ∗ Σ−1 δ∗ + log | X∗ Wとなり，（2.15）を得る．
付録 G. 年齢×時代の交互作用効果のデザイン行列
等間隔調査時点で調査時点数 J = 4 の一般コウホート表について考えてみる．このとき，調査時点ごとにセルの年齢区分は異なってもよいが，年齢効果と年齢×時代効果のパラメータの年齢区分は同じとする（この制約や等間隔調査時点の制約を外すことも可能である）．年齢，時代，年齢×時代効果のデザイン行列はそれぞれ次のようになる．



XA(1)



XA(2) 
,
XA =  XA(3) 

XA(4)









XP = 


1(1)
1(2)
1(3)
1(4)

XA(1)

XAP = 


XA(2)
XA(3)
XA(4)





,







.



標準コウホート表なら XA(j) = II また 1(j) = 1I（j = 1, . . . , J ）であるが，それに限らなくてよい．各調査時点のセルの数，すなわち，XA(j) の行の数は一般に異なっている．対応して，交AP
APAP
互作用効果パラメータを β AP = vec β AP(1) β (2) β (3) β (4)とする．

さて，j = 2 の交互作用効果パラメータ β AP
(2)

1 AP
1 AP
を間引く場合には，β AP(2) = 2 β (1) + 2 β (3) のように補間することにして，デザイン行列とパラメータベクトルは

XA(1)


1

 2 XA(2)XAP = 
1X
2 A(2)

XA(3)
XA(4)





,




AP
AP
βAP = vec β AP(1) β (3) β (4)とすればよい．交互作用効果パラメータの（残っている）時点数を J∗ とすればこの場合は J∗ = 3APである．βAP(2) と β (3) の 2 時点のパラメータを間引く場合には，デザイン行列とパラメータベ

130

統計数理 第 53 巻

クトルは
XA(1)


2

 3 XA(2)XAP =  1
 3 XA(3)



1

X
3 A(2) 2
,X
3 A(3) 

第 1 号 2005

AP
β AP = vec β AP(1) β (4)XA(4)

とすることになる（J∗ = 2）．
ここで，（3.5）は J を J∗ に置き換えても成り立っている．すなわち，−
 I + (1J∗ ⊗ II )αJ∗ − (1J∗ ⊗ 1I )αIJ∗ .
(I − DAP
DAP ) vec A = (IJ∗ ⊗ 1I )αまず，上の J∗ = 2 の場合には，
1(1)


2

 3 1(2)XAP (IJ∗ ⊗ 1I ) =  1
 3 1(3)
11 
3 (2) 
21 
3 (3) 1(4)となっており，より一般に，ある適当な行列 B 1 によって
XAP (IJ∗ ⊗ 1I ) = XP B 1となることが容易にわかる．つぎに，
XAP (1J∗ ⊗ II ) = XA ,XAP (1J∗ ⊗ 1I ) = 1

も確かめられる．
年齢×時代の交互作用効果のデザイン行列としては，さらに一般の場合も含めて，I も I∗ に置き換え，ある適当な行列 B 1 ，B 2 によって(G.1)

XAP (IJ∗ ⊗ 1I∗ ) = XP B 1 ,XAP (1J∗ ⊗ II∗ ) = XA B 2 ,XAP 1 = 1Nが満たされるように作ることが要請される．

参 考 文 献Akaike, H.（1980）. Likelihood and the Bayes procedure, Bayesian Statistics (eds. J. M. Bernardo,
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広津千尋（2004）．『医学・薬学データの統計解析』，東京大学出版会，東京．
Magnus, J. R. and Neudecker, H.（1999）. Matrix Diﬀerential Calculus with Applications in Statistics
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McCullagh, P. and Nelder, J. A.（1989）. Generalized Linear Models, 2nd ed., Chapman and Hall,
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コウホート分析における交互作用効果モデル再考

131

中村 隆
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中村 隆（1989）． 継続調査によって社会の変化を捉えるコウホート分析の方法，理論と方法，4，5–23．
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132

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 53, No. 1, 103–132 (2005)

Reconsideration of a Bayesian Age-period-cohort Model with
Age-by-period Interaction Eﬀects
Takashi Nakamura
The Institute of Statistical Mathematics

This paper reconsiders a Bayesian age-period-cohort (BAPC) model with age-byperiod interaction eﬀects. The existing BAPC model is rewritten in terms of diﬀerence
vectors and matrices. A two-factor interaction eﬀect model based on assumptions on thediﬀerences of the eﬀect parameters for a general purpose of analyzing two-way contingency table data is proposed. However, simply adding to it cohort eﬀects is shown to failto separate the age-by-period interaction and the cohort eﬀects. To resolve this diﬃculty,
a new BAPC model with age-by-period interaction eﬀects is proposed. This model orthogonalizes the linear combination of the column vectors by the interaction eﬀects to thatby the cohort eﬀects as well as those by the age and the period eﬀects. It also involves aprocedure for excluding a subset of age-by-period interaction eﬀects to save the numberof parameters to be estimated. An application to a dataset obtained from the surveys of
the Japanese national character study is presented.

Key words: Cohort analysis, family is the most important thing, ABIC, gradually-changing-parameterassumption, Bayesian model.