符号問題に対する複素化の方法
藤井宏次

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii1

物質の構成要素

2018 YONUPA 夏の学校

www.icepp.s.u-tokyo.ac.jp

H. Fujii

2

QCD
●

強い相互作用の基礎理論– 漸近的自由性

2004 ノーベル賞

2008

ノーベル賞

– カラーの閉じ込め・カイラル対称性の自発的破れ– 核子構造・ハドロン相互作用●

QCD から核力、核力から原子核– 異なる階層をつなぐ●“ 10-15 m”

ALICE-J

bnl.gov

ハドロン多体系– 中性子星、超新星、元素合成– QCD 相転移、重イオン衝突

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

3

QCD

●

結合はクォークの種類に独立（普遍）– u, d, s, c, b, t

短距離での漸近自由性● 強結合：カラー閉込、 cSSB●

ALICE-J

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

bnl.gov

4

講義計画
1.QCD 相図：統計平均と符号問題（１ h ）2.複素ランジュバン方程式の方法（２ h ）3.“Thimble” の方法（２ h ）4.展望（？）

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii5複素ランジュバン方程式の歴史（一部）1981 Parisi-Wu ： stochastic quantization●
1983 Parisi : 1983 Klauder : complex Langevin●1987 Damgaard, Huffel, Phys. Rept. for review
●

●

多数の研究

ーー 国内では、早大グループなど

2008 ~ 研究活動の再興●
2008 Aarts-Stamatescu, U(1), SU(3) one-link model, Heavy-dense QCD●
2009 Aarts, Relativistic Bose gas PRL●2010 Aarts, James, Seiler, Stamatescu, adaptive step size vs instabilities, XY model, HDQCD●
2011 Aarts, James, Seiler, Stamatescu, criterion for correctness, Euro.Phys.J. C71, 1756●
2013 Pawlowski,Zielinski, Thirring model, PRD87●2013 Seiler, Sexty, Stamatescu, gauge cooling, PLB723 (1211.3709),●
2013 Sexty, PLB729, full QCD simulation (1307.7748)●
2014 Aarts, Seiler, Sexty, Stamatescu, 1408.3770, hopping param exp. vs fullQCD●
2013, 2014, Mollgaard, Splittorff, Chiral random matrix model●
2014, Hayata,Yamamoto, Bose gas in rotation●
2015, Makino,Suzuki,Takeda, 2D SU(2) YM theory, 1503.00417●
２０１5+ 、Nagata,Nishimura,Shimasaki+, Condition for correctness, etc.
●Lefschetz thimble 上の経路積分●

E. Wittern, arXiv:1001.2933●

AuroraScience Collaboration,–

formulation, PRD 86, 074506 (2012) [arXiv:1205.3996]–

Langevin algorithm, PRD 88, 051501(R) (2013)–

Metropolis, PRD 88, 051502(R) (2013)–

Hubbard model, PRB 90, 025134 (2014)●

HF, Honda, Kato, Kikukawa, Komatsu, Sano, JHEP 1310.147●

Aarts et al., thimble and CLE, JHEP 1410.159●

Koike, Tanizaki, quantum tunneling●

Tanizaki, 0dim O(n) model, PRD91, 036002●

Kanazawa, Tanizaki, simple fermionic systems JHEP 1503.044●

Alexandru,Basar,Bedaque PRD 2016

●

...

●

Fukuma, Umeda, PTEP 2017●

Mori, Kashiwa, Ohnishi, PLB 2017

QCD
ハドロン多体系（相構造、・・・）●
重イオン衝突（非平衡時間発展）●2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

8

QCD 相図（ GSI の模式図）

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

9

QCD 相図 (JPARC 版の模式図）

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

10クロスオーバー：
格子 QCDQCD 相図 (JPARC 版の模式図）

臨界点！？ モデル計算

一次相転移；非一様カイラル凝
縮、カラー超伝導、競合（モデル）2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

11クロスオーバー：
格子 QCDQCD 相図 (JPARC 版の模式図）

HDQCD の複素ランジュバン
シミュレーション
臨界点！？ モデル計算

一次相転移；非一様カイラル凝
縮、カラー超伝導、競合（モデル）
G. Aarts et al. 1411.2632

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

12

Full QCD シミュレーション＠ μ≠ ０2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

13

QCD 相図；統計平均と符号問題●

多体系の物理– More is different – P.W. Anderson

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii14統計力学とモンテカルロ（ MC ）法
●

●

分配関数
大自由度
例 N 個の２準位系の集団⇒ 2N =eN# 次元配位空間⇒ 大きい N では、直接対角化が困難

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

15統計力学とモンテカルロ法
●

分配関数

●

完全系 { |i> }「経路」にわたる重み平均： 経路積分
● d 次元量子論 ＝ d ＋１次元古典統計力学●

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii16統計力学とモンテカルロ法
●

観測量

p(x)

●

モンテカルロ積分

無駄

O(x)

無駄

– 一様なランダム標本サンプリングは極めて無駄– 重点サンプリング： p[x] に比例する確率で標本を生成・平均する2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii17動的モンテカルロによる重点サンプリング●●

標本の出現頻度が、知りたい分布に収束する確率過程を作って、その標本でサンプルする条件– エルゴード性：有限ステップで任意の配位間を遷移– 詳細釣合：

p(x)

●

例）熱浴法

●

観測量

●

統計不確かさ = 1/√(# 標本 )2018 YONUPA 夏の学校

H. FujiiO(x)18フェルミオンの問題●

パウリ原理により、 p[x] < 0 の配位がある●

p[x]=+- がほぼ等頻度に生じると、不確さ増大●

MC サンプリングが無効

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

19

物理学７０の不思議（日本物理学会誌）
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

20

QCD 分配関数

y, ybar●

Dirac 演算子●

有限温度・ μ=0 : MC シミュレーション可能

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

U=eigA

21

QCD 分配関数●

系統不確かさ– 熱力学極限： L → ∞– 連続極限：a→0– 物理パラメタ： mq → mphys●

統計不確かさy, ybar

U=eigA∝ 1/ √ 標本数– 計算機性能・アルゴリズムの進化∴

QCD 非摂動計算の基本ツール

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii22

Lattice QCD @ μ≠0●

フェルミオン行列式が複素数！

●うまく逃れられないのか？

●

化学ポテンシャルは粒子・反粒子を区別– 荷電対称性（～複素共役）を破るのは必然
de Forcrand2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii23

Lattice QCD @ μ≠0●

reweighting 法– 別の重み関数 v(x) ≧ ０を用いて– 例）

v=|w| ： 位相クエンチ– 小さい系 OK;

低温・熱力学極限で急速に困難に…
アイソスピン化学ポテンシャルによる π 凝縮の問題もあり

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii24

Lattice QCD @ μ≠0●

Taylor 展開＠ μ ＝０

μ ＝０で計算できる！

– コントロールされた近似

Bazavov, et al. PRD95, 054504
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii25

Lattice QCD @ μ≠0●

Taylor 展開＠ μ ＝０
– コントロールされた近似評価– 収束半径 μ/T<1?
– 現実問題： 8 次以上不可

de Forcrand's slide
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii26

Lattice QCD @ μ≠0●

Taylor 展開＠ μ ＝０
– コントロールされた近似評価– 限られた項で、どこまで分かるか

T.M. Doi, PostQM
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii27

Lattice QCD @ μ≠0
再重み付け●
テイラー展開●虚数化学ポテンシャル●
強結合展開● dual variable●

状態密度の方法●
正準集合（粒子数一定）● ...
●2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii28

Lattice QCD @ μ≠0

期待され
る収束半
径内では、
良い一致

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

29

QCD 相図；符号問題●

相図（相境界・臨界点）の決定・理解へ– 着実に進展しているが、いずれも限界あり●

有限密度領域の直接研究– 重点サンプリングのような確率解釈に頼らない方法●

Langevin 方程式による標本生成– 重点サンプリングを可能にする定式化へ変形●

位相が出ないように積分路を変更

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii30

2. 複素ランジュバン方程式の方法

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii31

2. 複素ランジュバン方程式の方法●

統計平均– 動的モンテカルロ法：与えられた相対的確率分布になるように標本を生成する確率過程
Stochastic 過程の長時間平均が平衡分布に収束することを利用。エルゴード性から長時間平均＝統計平均– ランジュバン方程式：

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii32

2 ブラウン運動
安定点へのドリフト緩和

ミクロな自由度：
確率的揺動

揺動・散逸関係2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii33

2. Langevin と Fokker-Planck 方程式●

η に応じた軌跡の分布●

分布関数 ρ の導入

部分積分を行い、表面項を無視できると仮定した。
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii34

2. Langevin と Fokker-Planck 方程式●

FP 方程式●

平衡解の保証2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii35

2. Langevin と Fokker-Planck 方程式●

Langevin 方程式●

FP 方程式●

これら発展方程式を解くのに、確率解釈は不要2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii36

2. 確率過程量子化●

Langevin 方程式●

S を作用とし、 η を量子揺らぎと解釈●

kT → ℏ”Langevin” 時間 q について、系を発展させて採った標本平均が、量子論的期待値に一致

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii37

2. 複素作用 - No problem, just solve it●

Langevin 方程式●

FK 方程式2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii38

2. 複素作用
●

●

目標
等しい？

CL

●

注）拡張版 FK 方程式の平衡解は保証されない●

実分布 P(x,y)≧ ０で、複素重み ρ の期待値を再現できるのか？

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii39

2. 唯一の？例）

複素 Gaussian 模型(x,y)2 次元空間の正の分布

x 空間の複素分布

a=1, b=10
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii40

2. 荷電自由場

よく知られたボースガスの自由エネルギー

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii41

2. 荷電自由場

よく知られたボースガスの自由エネルギー

化学ポテンシャルは、荷電対称性を破る→ S が複素数になる
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii42

2. 荷電 Φ4 理論

ランジュバンシミュレーション
Aarts, PRL102; JHEP0905

位相に寄与
位相クエンチ＝これを無視2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii43

2. 荷電 Φ4 理論

ランジュバンシミュレーション
Aarts, PRL102; JHEP0905

密度ー μm=1, λ=1

Full

Phase
quench実シミュレーション！

●

T=0 では、 μ<M で励起は無いはず（ Silver Blaze [ 馬が啼かなかった ])●平均場近似が本質を捉えている：

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii44

2. 荷電 Φ4 理論

ランジュバンシミュレーション
Aarts, PRL102; JHEP0905

符号問題の厳しさ

m=1, λ=1Δf平均場近似での評価●

位相因子の平均は、系のサイズとともに急激に小さくなる2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii45

2. 荷電自由場 (II) 複素位相の大切さ

対角化

実振動積分
複素積分している！

正しいスペクトル：
位相揺らぎの考慮が本質
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii46

2. 0+1 次元 Thirring モデル

補助場 A

2018 YONUPA 夏の学校

ベクトル j.j 結合

H. Fujii47

2. 0+1 次元 Thirring モデル

補助場 A

●

ベクトル j.j 結合

可解な格子模型

行列式が複素になる2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii48

2. 0+1 次元 Thirring モデル●

T=0, μ ＝ μc で、一次相転移
粒子密度 <n>2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

g2/m=1/249

2. 0+1 次元 Thirring -- シミュレーション結果●

クロスオーバー領域で、厳密解を再現しない

粒子密度 <n>スカラ密度g2/m=1/2 、 L=8

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii50

2. 複素 Langevin 方程式の問題●

間違った結果を返すことがある。

●

そもそも、正しい結果に収束する強い保証がない。
– HFP は実でない

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

51

Aarts et al. Eur.Phys.J.C(2011)

2. いつ正しいのか●

準備

一つの停留解部分積分

複素空間でのFK 演算子解析的な観測量への作用

観測量 op の時間発展2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

52

Aarts et al. Eur.Phys.J.C(2011)

2. いつ正しいのかtLT∫ dx dyO ( x+ iy) P ( x , y ; t) = ∫ dx dy O ( x +iy) e P ( x , y ; 0)tL
= ∫ dx dy ( e O ( x+ iy) ) P ( x , y ; 0)tL
部分積分
= ∫ dx ( e O ( x) ) ρ( x ; 0)tL
= ∫ dx O ( x) e ρ( x ; 0)
= ∫ dx O ( x)ρ( x ; t)
0

T
0

●

部分積分・ L の指数関数が正当化できる必要
Nagata-Nishimura-Shimasaki– 虚数方向に広がらない– 特異点に触れない⇒ ドリフト項の大きさ分布が指数関数で落ちること2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii53

2. Thirring モデルのチェック●●

標本分布 : ドリフト項に特異点標本分布が特異
点に触れる

μ=2.5

– 部分積分？

●– L 演算子の指数？

2部分積分の正当化のため P(x,y)

1.5
1– 特異点を避ける

μ=0.5– 無限遠を避ける
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii54

2. Thirring モデルのチェック●●

標本分布 : ドリフト項に特異点標本分布が特異点に触れる

特異ドリフトの大きさ頻度– 部分積分？
– L 演算子の指数？
●部分積分の正当化のため P(x,y)– 特異点を避ける– 無限遠を避ける

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii55

2. 対応策０●gauge cooling理論の対称性の下で、分布を「実配位」近くに留まるように変換しつつ、ランジュバン発展させる– SU(N)→ CL → SL(N,C) となって、ユニタリ多様体
から容易に離れてしまうため2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii56

2. 対応策１●

reweighting

複素ランジュバンのうまく摘要する領域で⟨O ⟩μ ≡

(0+1)d model (b,L) = (1,8), (2,16)⟩⟩

det D (μ)
det D (ν)ν ,CLE

O(106) samples
ν=3

ν=0

2018 YONUPA 夏の学校⟨⟨

det D (μ)
O
det D ( ν)ν , CLE

H. Fujii57

2. 対応策 2●●

外挿

パラメタを持ち込んで、複素ランジュバンのうまく摘要する領域から
Bloch et al. 1712.07514; JHEP

カイラルランダム行列
模型– 温度 α を導入– α ＝０の値を”相転移”を越えて外挿で予言するのは不可能2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii58

2. 複素 Langevin 方程式の現状●摘要するときには、非常に良い！

●

一般に、等価性の条件の成否に注意しつつ使う●

進展：– KEK グループによる QCD 計算

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii59

2. 複素 Langevin 方程式の現状
Slide by S.Tsutsui@NFQCD2018

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii60

2. 複素 Langevin 方程式の現状
Slide by S.Tsutsui@NFQCD2018

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii61

３ . Thimble の方法

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

62

Airy 関数：

●

最急降下法

積分表示

– 確かに形式解になっているが、被積分関数が振動する。
– x が少し虚部を持ったら、収束しない！？
– 一方 ODE の解は、 x の解析関数のはず。。。
– 解析関数の積分だから、積分路を上手に歪めて積分を評価しよう2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

63

Airy 関数：

Im

最急降下法
Re

●

積分表示

振動積分

⇒ 停留点 ( 鞍点 ) で評価

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

64

Airy 関数：最急降下法 (II)∞－∞x が複素数になると、収束しない？

C

∞

∞
●

Cauchy の定理から積分値は同じ－∞－∞収束性を保証●むしろ、積分表示の定義として採用●

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

65

Airy 関数：●最急降下法 (II)∞－∞

最急降下経路：

C

－∞

∞

∞
－∞

流れ（＃）に沿い Reh は単調減少； Imh は保存（ハミルトニアン）
臨界点（ h'=0) から伸びる流れを「最急降下経路」という2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii66

x=1

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

67

Airy 関数：●最急降下法 (III)

∞

－∞

独立な解

C

∞
●

ODE を満たす形式解に、二つの独立な積分路が考えられる

－∞

∞
－∞
x=1+0.2i– 二つの独立な解を与える– 実軸積分に一致するのは、共役な流れが実軸を横切るもの （これを変えるためには、積分路の変更中に一度∞を越える必要がある）

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

68

Lefschetz thimble●●

多次元空間への拡張

臨界点 σ から流出る点の集合「 Lefschetz thimble 」 Jσ(c) kutani thimble– RN 次元： 解析関数の鞍点構造より– 被積分関数の急減少– 虚部（位相）は一定

2018 YONUPA 夏の学校

wikipedia

H. Fujii69

Lefschetz thimble●●

多次元空間への拡張

臨界点 σ から流出る点の集合「 Lefschetz thimble 」 Jσ(c) kutani thimble– RN 次元： 解析関数の鞍点構造より– 被積分関数の急減少– 虚部（位相）は一定

wikipedia

Thimble 上で、被積分関数を用い
AuroraScience coll. 2012
た重点サンプリングが可能では！？ Komaba group 20132018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii70

３ . 荷電 Φ4 理論への適用●

Thimble 構造はどうなっているのか？
– 臨界点の数、●どの thimble の上で MC を行うか？

●すべてを尽くすことは、困難か

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii71

３ . 荷電 Φ4 理論への適用●

1 変数モデル （参考）2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii72

３ . 荷電 Φ 理論への適用
4

Komaba group 2013●

主要な thimble を一つだけ採って、 MC●

曲がった空間の上での積分– どのようにパラメトライズするか– Jacobian が複素数になる（残る符号問題）。

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii73

３ . 荷電 Φ 理論への適用
4●

Komaba group 2013

thimble の座標– 接空間 Tzs から J への写像

– 接ベクトルの用意

MC で z 近傍に遷移のため● Jacobian の評価●●

空間内に留まるため、 thimble 上の点を数値的に解きつつ、 MC を行う（とても重たい）2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii74

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii75

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii76

３ . 荷電 Φ4 理論への適用●

残る符号問題は再荷重で考慮できる（正しい補正）2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii77

３ . Thirring 模型への適用●

Fermion 系の新しい側面 detD=0

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii78

３ . Thirring 模型への適用●

Fermion 系の新しい側面 detD=0
sections at uniform A (b=3, L=4)

det=0 (S=∞) で Thimble が分断。複数 thimble が原理的に寄与2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii79

３ . Thirring 模型への適用●

1 thimble での HMC シミュレーション– 1 次相転移に近づかない！

⇒ 不十分

b=3, ma=1 μ=1.2

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii80

３ . Thirring 模型： 0 次元版の解析
複数 thimble の干渉効果の適切評価が必須
μ=1.7

0Uniform field model

1.35
1
0.8

p

L=16
L=32
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii81

３ . 複数 thimbles の必要と課題●●●

det D =0 （ S=∞ ）の点で、 thimbles が分断される
フェルミオン系の 1 次相転移では複数 thimbles の干渉が、 Silver Blaze 現象の創出に本質的に大切
Thimble 上の MC では、 S=∞ の障壁を越えられない– 如何にして、複数 thimbles の効果を MC に載せるか？

●

複数 thimbles の干渉は、符号問題の再来ではないか(global sign problem) ？

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii82

３ . Flowing with flow●

Alexandru-Basar-Bedaque, JHEP05(2016)053

極を横切らない限り、複素積分路変形の下、積分
値は不変⇒ Thimble 直上に拘泥する必然はない
主要臨界点の接平面と、
thimbles の間を flow によって、自動的に ! １パラメータで繋ごう！
接平面

関係する臨界点を予め知っておく必要がない
2018 YONUPA 夏の学校

N=8, m=1, g2=1, μ=1.6
H. Fujii83

３ . Flowing with flow

Alexandru-Basar-Bedaque, JHEP05(2016)053

Thimble から距離を保つこと
で、作用の障壁が下がる●
接平面で、位相は既にある程度揃っている
●

Re S

Im S

場の振幅 Re A
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii84

３ . Flowing with flow●●

Alexandru-Basar-Bedaque, JHEP05(2016)053

接平面でのシミュレーションのほうが物理結果を再現する
T=2 では厳密解を再現しない。
⇒ thimble 間を遷移しないから

T=0
T=2

N=8, m=1, g2=1/2
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii85

３ . Flowing with flow●

Alexandru-Basar-Bedaque, JHEP05(2016)053

複数 Thimbles を考慮⇒
連続極限

物理結果を再現
低温極限

g2N, mN, μN fixed

T=0
T=2

T=0.5
2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

N=8, m=1, g2=1/2
86

３ . Flowing with flow●

Alexandru-Basar-Bedaque, JHEP05(2016)053

複数 Thimbles を考慮

T=0

配位の度数分布

位相の度数分布T=0.52018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii87３ . Flowing with flow その後の進展●

複数 Thimbles を系統的に取り込む– Paralell tempering (Umeda-Fukuma)●

複素空間内で、積分路の最適化条件を課して、積分路を設定する (Mori-Kashiwa-Ohnishi)– 平均位相因子が大きくなるように選ぶ– Deep learning の手法

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

88

Alexandru-Basar-Bedaque, JHEP05(2016)053

３ . （一般化） Thimble の方法●

理論的基礎づけがある方法– ただしく評価すると、正しい結果を与える●

Jacobian の計算を含むことから、重たい– 軽減策の工夫●

フェルミオン一次相転移には、複数 thimbles間の相殺が必要（そう）– MC で評価できるか？
– 系のサイズ依存性はどうか？

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii89

４ . 展望：●

実時間量子シミュレーション

非平衡量子現象の記述にむけてBerges-Stamatescu, PRL95 ('05)
Koike-Tanizaki, Ann.Phys.351 ('14)
Alexandru et al. PRL117('16)●

指数関数の肩が“純虚数”

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii90

４ . 展望：●

実時間量子シミュレーション

非平衡量子現象の記述にむけてBerges-Stamatescu, PRL95 ('05)（３＋１）＋１シミュレーション

自由場の場合83x20, θ=0 – 9
振動解を再現！

Φ ４もやっている
問題；長時間シミュレーシ
ョンが不安定解に向かう

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

91

まとめ
●

複素ランジュバン方程式– シンプルで強力なツール– （ 1 次）相転移領域で注意が必要：特異ドリフト問題●

Thimble 積分および一般化– 基礎づけはあるが、数値計算が重い– (1 次）相転移と複数 thimbles の符号問題（再来？否？）– QCD へ ?

●将来性
– 複素ランジュバンの方法と Thimble の方法：関係？
– 相図の解明– 実時間シミュレーション

2018 YONUPA 夏の学校

H. Fujii

92