Tutorial Sage
Release 10.4

The Sage Group

23 jul. 2024

Sumário

1

Introdução
1.1 Instalação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Formas de usar o Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Objetivos do Sage a longo prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
5
5
5

2

Um passeio guiado
2.1 Atribuição, Igualdade, e Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Obtendo ajuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Funções, Tabulação, e Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Álgebra Elementar e Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Algumas Questões Frequentes sobre Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Anéis Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Famílias, Conversão e Coação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Grupos Finitos, Grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Teoria de Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Um Pouco Mais de Matemática Avançada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
10
13
19
28
33
39
42
48
55
63
66
71

3

A Linha de Comando Interativa
85
3.1 A Sua Sessão no Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 Gravando Entradas e Saídas de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 Colar Texto Ignora Prompts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Comandos de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5 Outras Dicas para o IPython . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6 Erros e Exceções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7 Busca Reversa e Completamento Tab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8 Sistema de Ajuda Integrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.9 Salvando e Carregando Objetos Individuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.10 Salvando e Abrindo Sessões Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4Interfaces
4.1 GP/PARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 GAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105
105
107
108
110
i

5

Sage, LaTeX e Companheiros
5.1 Panorama Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Uso Básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Personalizando a Criação de Código LaTeX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Personalizando o Processamento em LaTeX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Exemplo: Grafos Combinatoriais com tkz-graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Uma Instalação Completa do TeX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Programas Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113
113
115
116
120
121
122
123

6

Programação
6.1 Carregando e Anexando Arquivos do Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Criando Código Compilado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Scripts Independentes em Python/Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Tipo de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Listas, Tuplas e Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Dicionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Iteradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Laços, Funções, Enunciados de Controle e Comparações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Otimização (Profiling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125
125
126
128
128
130
134
135
136
137
141

7

Usando o SageTeX

145

8

Posfacio
8.1 Por quê o Python? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Eu gostaria de contribuir de alguma forma. Como eu posso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Como eu faço referência ao Sage? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147
147
149
149

9

Apêndice
151
9.1 Precedência de operações aritméticas binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10 Bibliografia

153

11 Índices e tabelas

155

Referências Bibliográficas

157Índice159

ii

Tutorial Sage, Release 10.4

Sage é um software de matemática gratuito, de código aberto, para uso em ensino e pesquisa em álgebra, geometria,
teoria de números, criptografia, computação numérica, e áreas relacionadas. Tanto o modelo de desenvolvimento comoa tecnologia empregada no Sage se distinguem pela forte ênfase em transparência, cooperação, e colaboração: estamos
desenvolvendo o carro, não reinventando a roda. O objetivo maior do Sage é criar uma alternativa viável, gratuita, e decódigo aberto aos programas Maple, Mathematica, Magma e MATLAB.
Este tutorial é a melhor forma de se familiarizar com o Sage em apenas algumas horas. Você pode lê-lo em versão HTMLou PDF, ou diretamente no Notebook Sage (clique em Help, e então clique em Tutorial para percorrer o tutorial deforma iterativa diretamente do Sage).
Este documento está sob a licença Creative Commons CompartilhaIgual 3.0.

Sumário1

Tutorial Sage, Release 10.4

2

SumárioCAPÍTULO

1Introdução

Este tutorial leva no máximo de 3 a 4 horas para ser percorrido. Você pode lê-lo em versão HTML ou PDF, ou a partir
do Notebook Sage (clique em Help, então clique em Tutorial para percorrer o tutorial de forma interativa).
Embora grande parte do Sage seja implementado em Python, nenhum conhecimento de Python é necessário para a leitura
deste tutorial. Você vai querer aprender Python (uma linguagem muito divertida!) em algum momento, e existem diversasopções gratuitas disponíveis para isso, Guia do Iniciante em Python [PyB] (em inglês) lista muitas opções. Se você quiser
experimentar o Sage rapidamente, este tutorial é o lugar certo para começar. Por exemplo:
sage: 2 + 2
4
sage: factor(-2007)-1 * 3^2 * 223
sage: A = matrix(4,4, range(16)); A[ 0 1 2 3]
[ 4 5 6 7]
[ 8 9 10 11][12 13 14 15]
sage: factor(A.charpoly())
x^2 * (x^2 - 30*x - 80)
sage: m = matrix(ZZ,2, range(4))
sage: m[0,0] = m[0,0] - 3sage: m[-3 1][ 2 3]
sage: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5]);
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5
over Rational Field
sage: E.anlist(10)[0, 1, 1, 0, -1, -3, 0, -1, -3, -3, -3](continua na próxima página)

3

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: E.rank()
1sage: k = 1/(sqrt(3)*I + 3/4 + sqrt(73)*5/9); k
36/(20*sqrt(73) + 36*I*sqrt(3) + 27)
sage: N(k)0.165495678130644 - 0.0521492082074256*I
sage: N(k,30)# 30 "bits"
0.16549568 - 0.052149208*I
sage: latex(k)\frac{36}{20 \, \sqrt{73} + 36 i \, \sqrt{3} + 27}>>> from sage.all import *>>> Integer(2) + Integer(2)4>>> factor(-Integer(2007))-1 * 3^2 * 223>>> A = matrix(Integer(4),Integer(4), range(Integer(16))); A[ 0 1 2 3]
[ 4 5 6 7]
[ 8 9 10 11][12 13 14 15]>>> factor(A.charpoly())
x^2 * (x^2 - 30*x - 80)>>> m = matrix(ZZ,Integer(2), range(Integer(4)))>>> m[Integer(0),Integer(0)] = m[Integer(0),Integer(0)] - Integer(3)>>> m[-3 1][ 2 3]>>> E = EllipticCurve([Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5)]);>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5
over Rational Field>>> E.anlist(Integer(10))[0, 1, 1, 0, -1, -3, 0, -1, -3, -3, -3]>>> E.rank()
1>>> k = Integer(1)/(sqrt(Integer(3))*I + Integer(3)/Integer(4) +␣˓→sqrt(Integer(73))*Integer(5)/Integer(9)); k
36/(20*sqrt(73) + 36*I*sqrt(3) + 27)>>> N(k)0.165495678130644 - 0.0521492082074256*I>>> N(k,Integer(30))# 30 "bits"
0.16549568 - 0.052149208*I>>> latex(k)\frac{36}{20 \, \sqrt{73} + 36 i \, \sqrt{3} + 27}

4

Capítulo 1. Introdução

Tutorial Sage, Release 10.4

1.1 Instalação
Se você não tem o Sage instalado em um computador e quer apenas experimentar alguns comandos, use o Sage através
do site http://sagecell.sagemath.org.
Veja o guia de instalação do Sage na seção de documentação na página principal do Sage [SA] para instruções de como
instalar o Sage no seu computador. Aqui faremos apenas alguns comentários.
1. O arquivo para instalação do Sage vem com “baterias incluídas”. Em outras palavras, embora o Sage use o Python,
IPython, PARI, GAP, Singular, Maxima, NTL, GMP, e uma série de outros programas, você não precisa instalá-losseparadamente pois eles estão incluídos no Sage. Todavia, para usar alguns recursos, por exemplo, o Macaulay ou
o KASH, você precisa ter os programas necessários já instalados no seu computador.
2. A versão pré-compilada do Sage (disponível na página do Sage na internet) pode ser mais fácil e rápida para instalar
do que a versão obtida compilando o código fonte.
3. Se você quiser usar o pacote SageTeX (que permite inserir cálculos do Sage em um arquivo LaTeX), você deve
tornar o SageTex disponível para a sua distribuição TeX. Para fazer isso, consulte a seção “Make SageTex known
to TeX” no Sage installation guide. O procedimento é bem simples; você precisa apenas definir algumas variáveis
no seu sistema ou copiar um arquivo para um diretório onde o TeX poderá encontrá-lo.
A documentação para usar o SageTex está disponível em $SAGE_ROOT/venv/share/texmf/tex/
latex/sagetex/, onde $SAGE_ROOT refere-se ao diretório onde você instalou o Sage – por exemplo, /opt/sage-9.6.

1.2 Formas de usar o SageVocê pode usar o Sage de diversas formas.
• Interface gráfica Notebook: inicie sage -n jupyter; leia Jupyter documentation on-line,• Linha de comando interativa: veja A Linha de Comando Interativa,• Programas: escrevendo programas interpretados e compilados em Sage (veja Carregando e Anexando Arquivos
do Sage e Criando Código Compilado), e• Scripts: escrevendo scripts em Python que usam a biblioteca do Sage (veja Scripts Independentes em Python/Sage).

1.3 Objetivos do Sage a longo prazo• Útil: O público alvo do Sage são estudantes de matemática (desde o ensino médio até a pós-graduação), professores, e pesquisadores em matemática. O objetivo é fornecer um software que possa ser usado para explorar eexperimentar construções matemáticas em álgebra, geometria, teoria de números, cálculo, computação numérica,
etc. O Sage torna mais fácil a experimentação com objetos matemáticos de forma interativa.
• Eficiente: Ser rápido. O Sage usa software bastante otimizado como o GMP, PARI, GAP, e NTL, e portanto émuito rápido em certas operações.
• Gratuito e de código aberto: O código fonte deve ser amplamente disponível e legível, de modo que os usuários
possam entender o que o software realmente faz e possam facilmente estendê-lo. Da mesma forma que matemáticos
ganham entendimento sobre um teorema lendo cuidadosamente a sua demonstração, as pessoas que fazem cálculos
deveriam poder entender como os cálculos são feitos lendo o código fonte e seus comentários. Se você usar o Sagepara fazer cálculos em um artigo que seja publicado, você pode ter certeza que os leitores sempre terão livre acesso
ao Sage e seu código fonte, e você tem até mesmo permissão para arquivar e redistribuir a versão do Sage que vocêutilizou.
1.1. Instalação

5

Tutorial Sage, Release 10.4

• Fácil de compilar: O Sage deve ser fácil de compilar a partir do código fonte para usuários de Linux, OS X eWindows. Isso fornece mais flexibilidade para os usuários modificarem o sistema.
• Cooperação: Fornecer uma interface robusta para outros sistemas computacionais, incluindo PARI, GAP, Singular, Maxima, KASH, Magma, Maple e Mathematica. O Sage foi concebido para unificar e estender outros softwares
de matemática existentes.
• Bem documentado: Tutorial, guia de programação, manual de referência, e how-to, com inúmeros exemplos e
discussão sobre conceitos matemáticos relacionados.
• Estensível: Ser capaz de definir novos tipos de dados ou derivá-los a partir dos tipos de dados existentes, e usar
programas escritos em diversas outras linguagens.
• Fácil de usar: Deve ser fácil entender quais recursos estão disponíveis para um determinado objeto e consultar adocumentação e o código fonte.

6

Capítulo 1. Introdução

CAPÍTULO

2

Um passeio guiado

Esta seção é um passeio guiado pelo que está disponível no Sage. Para diversos outros exemplos, veja “Construções
em Sage”, que tem como objetivo responder à questão geral “Como eu construo …?”. Veja também o “Sage Reference
Manual”, que possui centenas de outros exemplos. Note que é também possível percorrer este tutorial no Sage Notebook
clicando no link Help.
(Se você está acessando este tutorial no Sage Notebook, pressione shift-enter para processar qualquer célula de entrada. Você pode até editar a célula antes de pressionar shift-enter. Em alguns Macs pode ser necessário pressionar
shift-return em vez de shift-enter.)

2.1 Atribuição, Igualdade, e Aritmética
Com pequenas exceções, o Sage utiliza a linguagem de programação Python, logo a maioria dos livros de introdução ao
Python vão ajudá-lo a aprender Sage.
O Sage usa = para atribuição, e usa ==, <=, >=, < e > para comparação:sage: a = 5
sage: a5
sage: 2 == 2
True
sage: 2 == 3
False
sage: 2 < 3Truesage: a == 5
True>>> from sage.all import *>>> a = Integer(5)>>> a5(continua na próxima página)

7

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> Integer(2) == Integer(2)True>>> Integer(2) == Integer(3)False>>> Integer(2) < Integer(3)True>>> a == Integer(5)True

O Sage fornece todas as operações matemáticas básicas:
sage: 2**3
# ** means exponent
8
sage: 2^3
# ^ is a synonym for ** (unlike in Python)
8
sage: 10 % 3 # for integer arguments, % means mod, i.e., remainder
1
sage: 10/4
5/2
sage: 10//4# for integer arguments, // returns the integer quotient2
sage: 4 * (10 // 4) + 10 % 4 == 10
True
sage: 3^2*4 + 2%538>>> from sage.all import *>>> Integer(2)**Integer(3)# ** means exponent
8>>> Integer(2)**Integer(3)# ^ is a synonym for ** (unlike in Python)
8>>> Integer(10) % Integer(3) # for integer arguments, % means mod, i.e., remainder
1>>> Integer(10)/Integer(4)5/2>>> Integer(10)//Integer(4)# for integer arguments, // returns the integer␣˓→quotient2>>> Integer(4) * (Integer(10) // Integer(4)) + Integer(10) % Integer(4) == Integer(10)True>>> Integer(3)**Integer(2)*Integer(4) + Integer(2)%Integer(5)38O cálculo de uma expressão como 3^2*4 + 2%5 depende da ordem em que as operações são aplicadas; isso é especificado na “tabela de precedência” em Precedência de operações aritméticas binárias.
O Sage também fornece várias funções matemáticas básicas; aqui estão apenas alguns exemplos:
sage: sqrt(3.4)
1.84390889145858
sage: sin(5.135)-0.912021158525540
sage: sin(pi/3)
1/2*sqrt(3)8Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> sqrt(RealNumber( 3.4 ))1.84390889145858>>> sin(RealNumber( 5.135 ))-0.912021158525540>>> sin(pi/Integer(3))
1/2*sqrt(3)Como o último exemplo mostra, algumas expressões matemáticas retornam valores ‘exatos’ em vez de aproximações
numéricas. Para obter uma aproximação numérica, use a função n ou o método n (ambos possuem um nome longo,
numerical_approx, e a função N é o mesma que n). Essas funções aceitam o argumento opcional prec, que é onúmero de bits de precisão requisitado, e digits, que é o número de dígitos decimais de precisão requisitado; o padrão
é 53 bits de precisão.
sage: exp(2)e^2sage: n(exp(2))
7.38905609893065
sage: sqrt(pi).numerical_approx()1.77245385090552
sage: sin(10).n(digits=5)-0.54402
sage: N(sin(10),digits=10)-0.5440211109
sage: numerical_approx(pi, prec=200)
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749>>> from sage.all import *>>> exp(Integer(2))
e^2>>> n(exp(Integer(2)))
7.38905609893065>>> sqrt(pi).numerical_approx()1.77245385090552>>> sin(Integer(10)).n(digits=Integer(5))-0.54402>>> N(sin(Integer(10)),digits=Integer(10))-0.5440211109>>> numerical_approx(pi, prec=Integer(200))
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749

O Python é uma linguagem de tipagem dinâmica, portanto o valor referido por cada variável possui um tipo associado aele, mas uma variável pode possuir valores de qualquer tipo em determinado escopo:
sage: a = 5# a is an integer
sage: type(a)<class sage.rings.integer.Integer >sage: a = 5/3 # now a is a rational number
sage: type(a)<class sage.rings.rational.Rational >sage: a = hello# now a is a string
sage: type(a)<... str >>>> from sage.all import *>>> a = Integer(5)# a is an integer(continua na próxima página)

2.1. Atribuição, Igualdade, e Aritmética

9

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> type(a)<class sage.rings.integer.Integer >>>> a = Integer(5)/Integer(3) # now a is a rational number>>> type(a)<class sage.rings.rational.Rational >>>> a = hello# now a is a string>>> type(a)<... str >A linguagem de programação C, que é de tipagem estática , é muito diferente; uma variável que foi declarada como int
pode apenas armazenar um int em seu escopo.

2.2 Obtendo ajuda
O Sage possui vasta documentação, acessível digitando o nome de uma função ou constante (por exemplo), seguido pelo
ponto de interrogação:sage: tan?
Type:
Definition:
Docstring:<class sage.calculus.calculus.Function_tan >tan( [noargspec] )The tangent function
EXAMPLES:
sage: tan(pi)0sage: tan(3.1415)-0.0000926535900581913
sage: tan(3.1415/4)
0.999953674278156
sage: tan(pi/4)
1
sage: tan(1/2)
tan(1/2)
sage: RR(tan(1/2))
0.546302489843790
sage: log2?
Type:<class sage.functions.constants.Log2 >Definition: log2( [noargspec] )Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
sage: log2
log2
sage: float(log2)
0.69314718055994529
sage: RR(log2)
0.693147180559945
sage: R = RealField(200); R
Real Field with 200 bits of precision
sage: R(log2)(continua na próxima página)

10

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
sage: l = (1-log2)/(1+log2); l(1 - log(2))/(log(2) + 1)
sage: R(l)0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
sage: maxima(log2)log(2)
sage: maxima(log2).float().6931471805599453
sage: gp(log2)
0.6931471805599453094172321215# 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807# 64-bitsage: sudoku?
File:sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.pyType:<... function >Definition: sudoku(A)Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:sage: A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0,
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0,
0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
sage: A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
sage: sudoku(A)[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]>>> from sage.all import *>>> tan?
Type:<class sage.calculus.calculus.Function_tan >Definition: tan( [noargspec] )Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:>>> tan(pi)(continua na próxima página)

2.2. Obtendo ajuda

11Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)0>>> tan(RealNumber( 3.1415 ))-0.0000926535900581913>>> tan(RealNumber( 3.1415 )/Integer(4))
0.999953674278156>>> tan(pi/Integer(4))
1>>> tan(Integer(1)/Integer(2))
tan(1/2)>>> RR(tan(Integer(1)/Integer(2)))
0.546302489843790>>> log2?
Type:<class sage.functions.constants.Log2 >Definition: log2( [noargspec] )Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:>>> log2
log2>>> float(log2)
0.69314718055994529>>> RR(log2)
0.693147180559945>>> R = RealField(Integer(200)); R
Real Field with 200 bits of precision>>> R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068>>> l = (Integer(1)-log2)/(Integer(1)+log2); l(1 - log(2))/(log(2) + 1)>>> R(l)0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056>>> maxima(log2)log(2)>>> maxima(log2).float().6931471805599453>>> gp(log2)
0.6931471805599453094172321215# 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807# 64-bit>>> sudoku?
File:sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.pyType:<... function >Definition: sudoku(A)Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:>>> A = matrix(ZZ,Integer(9),[Integer(5),Integer(0),Integer(0), Integer(0),Integer(8),˓→Integer(0), Integer(0),Integer(4),Integer(9), Integer(0),Integer(0),Integer(0),␣
˓→Integer(5),Integer(0),Integer(0),0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0,
0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])>>> A[5 0 0 0 8 0 0 4 9](continua na próxima página)

12

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]>>> sudoku(A)[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]

O Sage também fornece completamento tab: digite as primeiras letras de uma função e então pressione a tecla tab. Por
exemplo, se você digitar ta seguido de TAB, o Sage vai imprimir tachyon, tan, tanh, taylor. Essa é uma
boa forma de encontrar nomes de funções e outras estruturas no Sage.

2.3 Funções, Tabulação, e Contagem
Para definir uma nova função no Sage, use o comando def e dois pontos após a lista de nomes das variáveis. Por exemplo:
sage: def is_even(n):....:return n % 2 == 0....:
sage: is_even(2)True
sage: is_even(3)False>>> from sage.all import *>>> def is_even(n):...
return n % Integer(2) == Integer(0)....:>>> is_even(Integer(2))
True>>> is_even(Integer(3))
False

Observação: Dependendo da versão do tutorial que você está lendo, você pode ver três pontos ....: na segunda linha
desse exemplo. Não digite esses pontos; eles são apenas para enfatizar que o código está tabulado. Se for esse o caso,pressione [Enter] uma vez após o fim do bloco de código para inserir uma linha em branco e concluir a definição dafunção.
Você não especifica o tipo de dado de nenhum dos argumentos da função. É possível especificar argumentos múltiplos,cada um dos quais pode ter um valor opcional padrão. Por exemplo, a função abaixo usa o valor padrão divisor=2 sedivisor não é especificado.

2.3. Funções, Tabulação, e Contagem

13

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: def is_divisible_by(number, divisor=2):....:
return number%divisor == 0
sage: is_divisible_by(6,2)
True
sage: is_divisible_by(6)Truesage: is_divisible_by(6, 5)
False>>> from sage.all import *>>> def is_divisible_by(number, divisor=Integer(2)):...
return number%divisor == Integer(0)>>> is_divisible_by(Integer(6),Integer(2))
True>>> is_divisible_by(Integer(6))
True>>> is_divisible_by(Integer(6), Integer(5))
FalseVocê também pode especificar explicitamente um ou mais argumentos quando evocar uma função; se você especificar os
argumentos explicitamente, você pode fazê-lo em qualquer ordem:
sage: is_divisible_by(6, divisor=5)
False
sage: is_divisible_by(divisor=2, number=6)
True>>> from sage.all import *>>> is_divisible_by(Integer(6), divisor=Integer(5))
False>>> is_divisible_by(divisor=Integer(2), number=Integer(6))
True

Em Python, blocos de código não são indicados por colchetes ou blocos de início e fim, como em outras linguagens. Em
vez disso, blocos de código são indicados por tabulação, que devem estar alinhadas exatamente. Por exemplo, o seguinte
código possui um erro de sintaxe porque o comando return não possui a mesma tabulação da linha que inicia o seu
bloco de código.
sage: def even(n):....:v = []....:
for i in range(3,n):....:if i % 2 == 0:....:
v.append(i)....:return v
Syntax Error:
return v>>> from sage.all import *>>> def even(n):...
v = []...
for i in range(Integer(3),n):...
if i % Integer(2) == Integer(0):...
v.append(i)...
return v
Syntax Error:
return v

14

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

Se você corrigir a tabulação, a função fica correta:
sage: def even(n):....:v = []....:
for i in range(3,n):....:if i % 2 == 0:....:
v.append(i)....:return v
sage: even(10)[4, 6, 8]>>> from sage.all import *>>> def even(n):...
v = []...
for i in range(Integer(3),n):...
if i % Integer(2) == Integer(0):...
v.append(i)...
return v>>> even(Integer(10))[4, 6, 8]Não é necessário inserir ponto-e-vírgula no final da linha. Todavia, você pode inserir múltiplos comandos em uma mesma
linha separados por ponto-e-vírgula:
sage: a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
64>>> from sage.all import *>>> a = Integer(5); b = a + Integer(3); c = b**Integer(2); c64

Se você quiser que uma única linha de comando seja escrita em mais de uma linha, use \ para quebrar a linha:
sage: 2 + \
....:
3
5
>>> from sage.all import *>>> Integer(2) +Integer(3)5Em Sage, a contagem é feita iterando sobre um intervalo de inteiros. Por exemplo, a primeira linha abaixo é equivalente
a for(i=0; i<3; i++) em C++ ou Java:sage: for i in range(3):....:print(i)01
2>>> from sage.all import *>>> for i in range(Integer(3)):...
print(i)0122.3. Funções, Tabulação, e Contagem

15

Tutorial Sage, Release 10.4

A primeira linha abaixo é equivalente a for(i=2; i<5; i++).
sage: for i in range(2,5):....:
print(i)234>>> from sage.all import *>>> for i in range(Integer(2),Integer(5)):...
print(i)2
34

O Terceiro argumento controla o passo. O comando abaixo é equivalente a for(i=1; i<6; i+=2).
sage: for i in range(1,6,2):....:
print(i)1
3
5>>> from sage.all import *>>> for i in range(Integer(1),Integer(6),Integer(2)):...
print(i)135Frequentemente deseja-se criar uma tabela para visualizar resultados calculados com o Sage. Uma forma fácil de fazer
isso é utilizando formatação de strings. Abaixo, criamos três colunas cada uma com largura exatamente 6, e fazemos uma
tabela com quadrados e cubos de alguns números.
sage: for i in range(5):....:print( %6s %6s %6s
0
0
0
1
1
1
2
4
8
3
9
27
4
16
64

% (i, i^2, i^3))>>> from sage.all import *>>> for i in range(Integer(5)):...
print( %6s %6s %6s % (i, i**Integer(2), i**Integer(3)))
0
0
0
1
1
1
2
4
8
3
9
27
4
16
64

A estrutura de dados mais básica em Sage é a lista, que é – como o nome sugere – simplesmente uma lista de objetos
arbitrários. Por exemplo, o comando range que usamos acima cria uma lista:
sage: list(range(2,10))[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

16

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> list(range(Integer(2),Integer(10)))[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

Abaixo segue uma lista mais complicada:sage: v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)]
sage: v
[1, hello , 2/3, sin(x^3)]>>> from sage.all import *>>> v = [Integer(1), "hello", Integer(2)/Integer(3), sin(x**Integer(3))]>>> v[1, hello , 2/3, sin(x^3)]

Listas são indexadas começando do 0, como em várias linguagens de programação.
sage: v[0]1sage: v[3]sin(x^3)>>> from sage.all import *>>> v[Integer(0)]1>>> v[Integer(3)]sin(x^3)

Use len(v) para obter o comprimento de v, use v.append(obj) para inserir um novo objeto no final de v, e usedel v[i] para remover o 𝑖-ésimo elemento de v:
sage: len(v)4sage: v.append(1.5)
sage: v
[1, hello , 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
sage: del v[1]sage: v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]>>> from sage.all import *>>> len(v)4>>> v.append(RealNumber( 1.5 ))>>> v[1, hello , 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]>>> del v[Integer(1)]>>> v[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]

Outra importante estrutura de dados é o dicionário (ou lista associativa). Ele funciona como uma lista, exceto que podeser indexado por vários tipos de objeto (os índices devem ser imutáveis):sage: d = { hi :-2,
sage: d[ hi ]-2

3/8:pi,e:pi}(continua na próxima página)

2.3. Funções, Tabulação, e Contagem

17

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: d[e]pi>>> from sage.all import *>>> d = { hi :-Integer(2),>>> d[ hi ]-2>>> d[e]piInteger(3)/Integer(8):pi,

e:pi}Você pode também definir novos tipos de dados usando classes. Encapsular objetos matemáticos usando classes é uma
técnica poderosa que pode ajudar a simplificar e organizar os seus programas em Sage. Abaixo, definimos uma nova
classe que representa a lista de inteiros pares positivos até n; essa classe é derivada do tipo list.
sage: class Evens(list):....:
def __init__(self, n):....:self.n = n....:list.__init__(self, range(2, n+1, 2))....:
def __repr__(self):....:
return "Even positive numbers up to n.">>> from sage.all import *>>> class Evens(list):...
def __init__(self, n):...
self.n = n...
list.__init__(self, range(Integer(2), n+Integer(1), Integer(2)))...
def __repr__(self):...
return "Even positive numbers up to n."

O método __init__ é evocado para inicializar o objeto quando ele é criado; o método __repr__ imprime o objeto.
Nós evocamos o construtor __init__ do tipo list na segunda linha do método __init__. Criamos um objeto daclasse Evens da seguinte forma:sage: e = Evens(10)sage: eEven positive numbers up to n.
>>> from sage.all import *>>> e = Evens(Integer(10))>>> eEven positive numbers up to n.

Note que e imprime usando o método __repr__ que nós definimos. Para ver a lista de números, use a função list:
sage: list(e)[2, 4, 6, 8, 10]>>> from sage.all import *>>> list(e)[2, 4, 6, 8, 10]

Podemos também acessar o atributo n ou tratar e como uma lista.
sage: e.n10(continua na próxima página)

18

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: e[2]6>>> from sage.all import *>>> e.n10>>> e[Integer(2)]6

2.4 Álgebra Elementar e Cálculo
O Sage pode realizar diversos cálculos em álgebra elementar e cálculo diferencial e integral: por exemplo, encontrar soluções de equações, diferenciar, integrar, e calcular a transformada de Laplace. Veja a documentação em Sage Constructions
para mais exemplos.

2.4.1 Resolvendo equações
Resolvendo equações exatamente
A função solve resolve equações. Para usá-la, primeiro especifique algumas variáveis; então os argumentos de solvesão uma equação (ou um sistema de equações), juntamente com as variáveis para as quais resolver:
sage: x = var( x )sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)[x == -2, x == -1]>>> from sage.all import *>>> x = var( x )>>> solve(x**Integer(2) + Integer(3)*x + Integer(2), x)[x == -2, x == -1]

Você pode resolver equações para uma variável em termos das outras:
sage: x, b, c = var( x b c )sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]>>> from sage.all import *>>> x, b, c = var( x b c )>>> solve([x**Integer(2) + b*x + c == Integer(0)],x)[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]Você pode resolver para diversas variáveis:
sage: x, y = var( x, y )sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)[[x == 5, y == 1]]>>> from sage.all import *>>> x, y = var( x, y )(continua na próxima página)

2.4. Álgebra Elementar e Cálculo

19

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> solve([x+y==Integer(6), x-y==Integer(4)], x, y)[[x == 5, y == 1]]

O seguinte exemplo, que mostra como usar o Sage para resolver um sistema de equações não-lineares, foi sugerido por
Jason Grout: primeiro, resolvemos o sistemas simbolicamente:sage: var( x y p q )(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8,
˓→ x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]>>> from sage.all import *>>> var( x y p q )(x, y, p, q)>>> eq1 = p+q==Integer(9)>>> eq2 = q*y+p*x==-Integer(6)>>> eq3 = q*y**Integer(2)+p*x**Integer(2)==Integer(24)>>> solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y)[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8,
˓→ x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

Para obter soluções numéricas aproximadas, podemos usar:
sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns][[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],[1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]>>> from sage.all import *>>> solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y, solution_dict=True)>>> [[s[p].n(Integer(30)), s[q].n(Integer(30)), s[x].n(Integer(30)), s[y].
˓→n(Integer(30))] for s in solns][[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],[1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]](A função n imprime uma aproximação numérica, e o argumento é o número de bits de precisão.)Resolvendo Equações Numericamente
Frequentemente, solve não será capaz de encontrar uma solução exata para uma equação ou sistema de equações.
Nesse caso, você pode usar find_root para encontrar uma solução numérica. Por exemplo, solve não encontra uma
solução para a equação abaixo:
sage: theta = var( theta )sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)[sin(theta) == cos(theta)]>>> from sage.all import *>>> theta = var( theta )(continua na próxima página)

20

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> solve(cos(theta)==sin(theta), theta)[sin(theta) == cos(theta)]

Por outro lado, podemos usar find_root para encontrar uma solução para a equação acima no intervalo 0 < 𝜑 < 𝜋/2:
sage: phi = var( phi )sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)
0.785398163397448...
>>> from sage.all import *>>> phi = var( phi )>>> find_root(cos(phi)==sin(phi),Integer(0),pi/Integer(2))
0.785398163397448...

2.4.2 Diferenciação, Integração, etc.
O Sage é capaz de diferenciar e integrar diversas funções. Por exemplo, para diferenciar sin(𝑢) com respeito a 𝑢, faça oseguinte:
sage: u = var( u )sage: diff(sin(u), u)cos(u)>>> from sage.all import *>>> u = var( u )>>> diff(sin(u), u)cos(u)

Para calcular a quarta derivada de sin(𝑥2 ):sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)>>> from sage.all import *>>> diff(sin(x**Integer(2)), x, Integer(4))
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

Para calcular as derivadas parciais de 𝑥2 + 17𝑦 2 com respeito a x e y, respectivamente:sage: x, y = var( x,y )sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)2*xsage: f.diff(y)34*y>>> from sage.all import *>>> x, y = var( x,y )>>> f = x**Integer(2) + Integer(17)*y**Integer(2)>>> f.diff(x)2*x>>> f.diff(y)34*y2.4. Álgebra Elementar e Cálculo

21

Tutorial Sage, Release 10.4

Passamos agora para integrais, tanto indefinidas como definidas. Para calcular∫︀

𝑥 sin(𝑥2 ) 𝑑𝑥 e

∫︀ 1

𝑥
𝑑𝑥:
0 𝑥2 +1

sage: integral(x*sin(x^2), x)-1/2*cos(x^2)
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
1/2*log(2)>>> from sage.all import *>>> integral(x*sin(x**Integer(2)), x)-1/2*cos(x^2)>>> integral(x/(x**Integer(2)+Integer(1)), x, Integer(0), Integer(1))
1/2*log(2)Para calcular a decomposição em frações parciais de 𝑥21−1 :sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)>>> from sage.all import *>>> f = Integer(1)/((Integer(1)+x)*(x-Integer(1)))>>> f.partial_fraction(x)-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

2.4.3 Resolvendo Equações DiferenciaisVocê pode usar o Sage para investigar equações diferenciais ordinárias. Para resolver a equação 𝑥′ + 𝑥 − 1 = 0:
sage: t = var( t )# define a variable t
sage: x = function( x )(t)# define x to be a function of that variable
sage: DE = diff(x, t) + x - 1
sage: desolve(DE, [x,t])(_C + e^t)*e^(-t)>>> from sage.all import *>>> t = var( t )# define a variable t>>> x = function( x )(t)# define x to be a function of that variable>>> DE = diff(x, t) + x - Integer(1)>>> desolve(DE, [x,t])(_C + e^t)*e^(-t)

Esse método usa a interface do Sage para o Maxima [Max]. Logo, o formato dos resultados é um pouco diferente de outros
cálculos realizados no Sage. Nesse caso, o resultado diz que a solução geral da equação diferencial é 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡 (𝑒𝑡 + 𝑐).
Você pode calcular a transformada de Laplace também; a transformada de Laplace de 𝑡2 𝑒𝑡 −sin(𝑡) é calculada da seguinte
forma:
sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)sage: f.laplace(t,s)-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3>>> from sage.all import *>>> s = var("s")(continua na próxima página)

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Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> t = var("t")>>> f = t**Integer(2)*exp(t) - sin(t)>>> f.laplace(t,s)-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3

A seguir, um exemplo mais complicado. O deslocamento, com respeito à posição de equilíbrio, de duas massas presas auma parede através de molas, conforme a figura abaixo,|------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2|
mola1
mola2

é modelado pelo sistema de equações diferenciais de segunda ordem
𝑚1 𝑥′′1 + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 = 0𝑚2 𝑥′′2 + 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) = 0,
onde, para 𝑖 = 1, 2, 𝑚𝑖 é a massa do objeto i, 𝑥𝑖 é o deslocamento com respeito à posição de equilíbrio da massa i, e 𝑘𝑖
é a constante de mola para a mola i.
Exemplo: Use o Sage para resolver o problema acima com 𝑚1 = 2, 𝑚2 = 1, 𝑘1 = 4, 𝑘2 = 2, 𝑥1 (0) = 3, 𝑥′1 (0) = 0,𝑥2 (0) = 3, 𝑥′2 (0) = 0.
Solução: Primeiramente, calcule a transformada de Laplace da primeira equação (usando a notação 𝑥 = 𝑥1 , 𝑦 = 𝑥2 ):sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) ˓→ 2*D[0](x)(0)>>> from sage.all import *>>> de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")>>> lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) ˓→ 2*D[0](x)(0)O resultado é um pouco difícil de ler, mas diz que−2𝑥′ (0) + 2𝑠2 * 𝑋(𝑠) − 2𝑠𝑥(0) − 2𝑌 (𝑠) + 6𝑋(𝑠) = 0(onde a transformada de Laplace de uma função em letra minúscula 𝑥(𝑡) é a função em letra maiúscula 𝑋(𝑠)). Agora,calcule a transformada de Laplace da segunda equação:sage: t,s = SR.var( t,s )sage: x = function( x )sage: y = function( y )sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)sage: f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) ˓→ 2*D[0](x)(0)>>> from sage.all import *>>> t,s = SR.var( t,s )>>> x = function( x )>>> y = function( y )>>> f = Integer(2)*x(t).diff(t,Integer(2)) + Integer(6)*x(t) - Integer(2)*y(t)>>> f.laplace(t,s)(continua na próxima página)

2.4. Álgebra Elementar e Cálculo

23

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) ˓→ 2*D[0](x)(0)O resultado significa que−𝑌 ′ (0) + 𝑠2 𝑌 (𝑠) + 2𝑌 (𝑠) − 2𝑋(𝑠) − 𝑠𝑦(0) = 0.
Em seguida, substitua a condição inicial para 𝑥(0), 𝑥′ (0), 𝑦(0), e 𝑦 ′ (0), e resolva as equações resultantes:
sage: var( s X Y )(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]>>> from sage.all import *>>> var( s X Y )(s, X, Y)>>> eqns = [(Integer(2)*s**Integer(2)+Integer(6))*X-Integer(2)*Y == Integer(6)*s, ˓→Integer(2)*X +(s**Integer(2)+Integer(2))*Y == Integer(3)*s]>>> solve(eqns, X,Y)[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]Agora calcule a transformada de Laplace inversa para obter a resposta:
sage: var( s t )(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)cos(2*t) + 2*cos(t)sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)-cos(2*t) + 4*cos(t)>>> from sage.all import *>>> var( s t )(s, t)>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(9)*s)/(s**Integer(4) +␣˓→Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)cos(2*t) + 2*cos(t)>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(15)*s)/(s**Integer(4) +␣˓→Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)-cos(2*t) + 4*cos(t)Portanto, a solução é
𝑥1 (𝑡) = cos(2𝑡) + 2 cos(𝑡),𝑥2 (𝑡) = 4 cos(𝑡) − cos(2𝑡).

Ela pode ser representada em um gráfico parametricamente usando os comandos
sage: t = var( t )sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),....: (t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)24Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> t = var( t )>>> P = parametric_plot((cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), Integer(4)*cos(t) -␣˓→cos(Integer(2)*t) ),... (t, Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber( 0.9 )))>>> show(P)As componentes individuais podem ser representadas em gráfico usando
sage: t = var( t )sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)>>> from sage.all import *>>> t = var( t )>>> p1 = plot(cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi),␣
˓→rgbcolor=hue(RealNumber( 0.3 )))>>> p2 = plot(Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi),␣
˓→rgbcolor=hue(RealNumber( 0.6 )))>>> show(p1 + p2)

Leia mais sobre gráficos em Gráficos. Veja a seção 5.5 de [NagleEtAl2004] (em inglês) para mais informações sobreequações diferenciais.

2.4.4 Método de Euler para Sistemas de Equações Diferenciais
No próximo exemplo, vamos ilustrar o método de Euler para EDOs de primeira e segunda ordem. Primeiro, relembramosa ideia básica para equações de primeira ordem. Dado um problema de valor inicial da forma𝑦 ′ = 𝑓 (𝑥, 𝑦),𝑦(𝑎) = 𝑐,queremos encontrar o valor aproximado da solução em 𝑥 = 𝑏 com 𝑏 > 𝑎.
Da definição de derivada segue que𝑦 ′ (𝑥) ≈𝑦(𝑥 + ℎ) − 𝑦(𝑥),ℎonde ℎ > 0 é um número pequeno. Isso, juntamente com a equação diferencial, implica que 𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥)) ≈ 𝑦(𝑥+ℎ)−𝑦(𝑥).
ℎAgora resolvemos para 𝑦(𝑥 + ℎ):𝑦(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑦(𝑥) + ℎ * 𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥)).
Se chamarmos ℎ𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥)) de “termo de correção”, 𝑦(𝑥) de “valor antigo de y”, e 𝑦(𝑥 + ℎ) de “novo valor de y”, então
essa aproximação pode ser reescrita como
𝑦𝑛𝑜𝑣𝑜 ≈ 𝑦𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜 + ℎ * 𝑓 (𝑥, 𝑦𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑜 ).
Se dividirmos o intervalo de a até b em n partes, de modo que ℎ = 𝑏−𝑎𝑛 , então podemos construir a seguinte tabela.
𝑥𝑦ℎ𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑎𝑎+ℎ𝑎 + 2ℎ…
𝑏 = 𝑎 + 𝑛ℎ𝑐𝑐 + ℎ𝑓 (𝑎, 𝑐)…

ℎ𝑓 (𝑎, 𝑐)
…

???

…

2.4. Álgebra Elementar e Cálculo

25

Tutorial Sage, Release 10.4

O objetivo é completar os espaços em branco na tabela, em uma linha por vez, até atingirmos ???, que é a aproximação
para 𝑦(𝑏) usando o método de Euler.
A ideia para sistemas de EDOs é semelhante.
Exemplo: Aproxime numericamente 𝑧(𝑡) em 𝑡 = 1 usando 4 passos do método de Euler, onde 𝑧 ′′ + 𝑡𝑧 ′ + 𝑧 = 0,𝑧(0) = 1, 𝑧 ′ (0) = 0.
Devemos reduzir a EDO de segunda ordem a um sistema de duas EDOs de primeira ordem (usando 𝑥 = 𝑧, 𝑦 = 𝑧 ′ ) eaplicar o método de Euler:
sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)tx
h*f(t,x,y)
y
0
1
0.00
0
1/4
1.0
-0.062
-0.25
1/2
0.94
-0.12
-0.48
3/4
0.82
-0.16
-0.66
1
0.65
-0.18
-0.74

h*g(t,x,y)
-0.25
-0.23
-0.17
-0.081
0.022>>> from sage.all import *>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()>>> f = y; g = -x - y * t>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4),␣
˓→Integer(1))
txh*f(t,x,y)yh*g(t,x,y)
0
1
0.00
0
-0.25
1/4
1.0
-0.062
-0.25
-0.23
1/2
0.94
-0.12
-0.48
-0.17
3/4
0.82
-0.16
-0.66
-0.081
1
0.65
-0.18
-0.74
0.022

Portanto, 𝑧(1) ≈ 0.65.
Podemos também representar em um gráfico os pontos (𝑥, 𝑦) para obter uma figura da solução aproximada. A função
eulers_method_2x2_plot fará isso; para usá-la, precisamos definir funções f e g que recebam um argumento
com três coordenadas (t, x, y).
sage: f = lambda z: z[2]# f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x)sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)>>> from sage.all import *>>> f = lambda z: z[Integer(2)]# f(t,x,y) = y>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)]) # g(t,x,y) = -sin(x)>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber( 0.0 ), RealNumber( 0.75 ), RealNumber(
˓→ 0.0 ), RealNumber( 0.1 ), RealNumber( 1.0 ))A esta altura, P armazena dois gráficos: P[0], o gráfico de x versus t, e P[1], o gráfico de y versus t. Podemos visualizar
os dois gráficos da seguinte forma:sage: show(P[0] + P[1])>>> from sage.all import *>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])(Para mais sobre gráficos, veja Gráficos.)

26

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

2.4.5 Funções Especiais
Diversos polinômios ortogonais e funções especiais estão implementadas, usando tanto o PARI [GP] como o Maxima[Max]. Isso está documentado nas seções apropriadas (“Orthogonal polynomials” and “Special functions”, respectivamente) do manual de referência do Sage (em inglês).
sage: x = polygen(QQ, x )sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()0.56515910399248...
sage: bessel_I(2,1.1).n() # last few digits are random
0.16708949925104...
>>> from sage.all import *>>> x = polygen(QQ, x )>>> chebyshev_U(Integer(2),x)4*x^2 - 1>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()0.56515910399248...
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber( 1.1 )).n() # last few digits are random
0.16708949925104...

No momento, essas funções estão disponíveis na interface do Sage apenas para uso numérico. Para uso simbólico, use ainterface do Maxima diretamente, como no seguinte exemplo:
sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
bessel_y(v,w)
sage: maxima.eval("diff(f,w)")(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2>>> from sage.all import *>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
bessel_y(v,w)>>> maxima.eval("diff(f,w)")(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2

2.4. Álgebra Elementar e Cálculo

27

Tutorial Sage, Release 10.4

2.5 Gráficos
O Sage pode produzir gráficos bidimensionais e tridimensionais.

2.5.1 Gráficos Bidimensionais
Em duas dimensões, o Sage pode desenhar círculos, linhas, e polígonos; gráficos de funções em coordenadas retangulares,
e também coordenadas polares; gráficos de contorno e gráficos de campos vetoriais. Apresentamos alguns exemplos desses
gráficos aqui. Para mais exemplos de gráficos com o Sage, veja Resolvendo Equações Diferenciais e Maxima, e também
a documentação Sage Constructions.
Este comando produz um círculo amarelo de raio 1, centrado na origem.
sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),˓→Integer(0)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitiveVocê pode também produzir um círculo preenchido:
sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),˓→Integer(0)), fill=True)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Outra possibilidade é criar um círculo atribuindo-o a uma variável; isso não cria um gráfico:sage: c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))>>> from sage.all import *>>> c = circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),˓→Integer(0)))

Para criar o gráfico, use c.show() ou show(c), da seguinte forma:sage: c.show()>>> from sage.all import *>>> c.show()

Alternativamente, o comando c.save( filename.png ) salva o gráfico no arquivo citado.
Agora, esses ‘círculos’ parecem mais elipses porque os eixos estão em escalas diferentes. Você pode alterar isso:
sage: c.show(aspect_ratio=1)>>> from sage.all import *>>> c.show(aspect_ratio=Integer(1))

28Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

O comando show(c, aspect_ratio=1) produz o mesmo resultado, ou você pode salvar a figura usando c.
save( filename.png , aspect_ratio=1).
É fácil criar o gráfico de funções simples:sage: plot(cos, (-5,5))Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> plot(cos, (-Integer(5),Integer(5)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Após especificar uma variável, você também pode criar gráficos paramétricos:
sage: x = var( x )sage: parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> x = var( x )>>> parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(3)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),
˓→rgbcolor=hue(RealNumber( 0.6 )))Graphics object consisting of 1 graphics primitive

É importante notar que os eixos dos gráficos vão se intersectar apenas se a origem estiver no escopo do gráfico, e que
valores grandes podem ser representados usando notação científica.
sage: plot(x^2,(x,300,500))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> plot(x**Integer(2),(x,Integer(300),Integer(500)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitiveVocê pode combinar vários gráficos somando-os:
sage: x = var( x )sage: p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.2))
sage: p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^2),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.4))
sage: p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1+p2+p3, axes=false)>>> from sage.all import *>>> x = var( x )>>> p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),
˓→rgbcolor=hue(RealNumber( 0.2 )))>>> p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(2)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),
˓→rgbcolor=hue(RealNumber( 0.4 )))>>> p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(3)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),
˓→rgbcolor=hue(RealNumber( 0.6 )))>>> show(p1+p2+p3, axes=false)

Uma boa forma de produzir figuras preenchidas é criar uma lista de pontos (L no exemplo abaixo) e então usar o comando
polygon para fazer o gráfico do polígono formado por esses pontos. Por exemplo, aqui está um “deltoid” verde:

2.5. Gráficos29

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),....: 2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
sage: pGraphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> L = [[-Integer(1)+cos(pi*i/Integer(100))*(Integer(1)+cos(pi*i/Integer(100))),... Integer(2)*sin(pi*i/Integer(100))*(Integer(1)-cos(pi*i/Integer(100)))] for i in␣
˓→range(Integer(200))]>>> p = polygon(L, rgbcolor=(Integer(1)/Integer(8),Integer(3)/Integer(4),Integer(1)/˓→Integer(2)))>>> p
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Digite show(p, axes=false) para visualizar isso sem os eixos.
Você pode adicionar texto ao gráfico:sage: L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),....: 6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
sage: t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
sage: show(p+t)>>> from sage.all import *>>> L = [[Integer(6)*cos(pi*i/Integer(100))+Integer(5)*cos((Integer(6)/˓→Integer(2))*pi*i/Integer(100)),... Integer(6)*sin(pi*i/Integer(100))-Integer(5)*sin((Integer(6)/Integer(2))*pi*i/
˓→Integer(100))] for i in range(Integer(200))]>>> p = polygon(L, rgbcolor=(Integer(1)/Integer(8),Integer(1)/Integer(4),Integer(1)/˓→Integer(2)))>>> t = text("hypotrochoid", (Integer(5),Integer(4)), rgbcolor=(Integer(1),Integer(0),˓→Integer(0)))>>> show(p+t)

Professores de cálculo frequentemente desenham o seguinte gráfico na lousa: não apenas um ramo do arco-seno, masvários deles: isto é, o gráfico de 𝑦 = sin(𝑥) para 𝑥 entre −2𝜋 e 2𝜋, refletido com respeito a reta 𝑥 = 𝑦. Os seguintes
comandos fazem isso:
sage: v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)]
sage: line(v)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> v = [(sin(x),x) for x in srange(-Integer(2)*float(pi),Integer(2)*float(pi),˓→RealNumber( 0.1 ))]>>> line(v)Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Como a função tangente possui imagem maior do que o seno, se você usar o mesmo método para fazer o gráfico da função
inversa da função tangente, você deve alterar as coordenadas mínima e máxima para o eixo x:
sage: v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)]
sage: show(line(v), xmin=-20, xmax=20)

30

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> v = [(tan(x),x) for x in srange(-Integer(2)*float(pi),Integer(2)*float(pi),˓→RealNumber( 0.01 ))]>>> show(line(v), xmin=-Integer(20), xmax=Integer(20))

O Sage também cria gráficos usando coordenadas polares, gráficos de contorno e gráficos de campos vetoriais (para tipos
especiais de funções). Aqui está um exemplo de gráfico de contorno:
sage: f = lambda x,y: cos(x*y)
sage: contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> f = lambda x,y: cos(x*y)>>> contour_plot(f, (-Integer(4), Integer(4)), (-Integer(4), Integer(4)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

2.5.2 Gráficos Tridimensionais
O Sage pode ser usado para criar gráficos tridimensionais. Tanto no Sage Notebook, como no console (linha de comando),
esses gráficos serão exibidos usando o software de código aberto [ThreeJS], que permite girar e ampliar a figura usandoo mouse.
Use plot3d para criar o gráfico de uma função da forma 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑧:
sage: x, y = var( x,y )sage: plot3d(x^2 + y^2, (x,-2,2), (y,-2,2))Graphics3d Object>>> from sage.all import *>>> x, y = var( x,y )>>> plot3d(x**Integer(2) + y**Integer(2), (x,-Integer(2),Integer(2)), (y,-Integer(2),˓→Integer(2)))
Graphics3d Object

Alternativamente, você pode usar parametric_plot3d para criar o gráfico de uma superfície onde cada coordenada
𝑥, 𝑦, 𝑧 é determinada por uma função de uma ou duas variáveis (os parâmetros, tipicamente 𝑢 e 𝑣). O gráfico anterior
pode ser representado parametricamente na forma:sage: u, v = var( u, v )sage: f_x(u, v) = u
sage: f_y(u, v) = v
sage: f_z(u, v) = u^2 + v^2
sage: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -2, 2), (v, -2, 2))
Graphics3d Object>>> from sage.all import *>>> u, v = var( u, v )>>> __tmp__=var("u,v"); f_x = symbolic_expression(u).function(u,v)>>> __tmp__=var("u,v"); f_y = symbolic_expression(v).function(u,v)>>> __tmp__=var("u,v"); f_z = symbolic_expression(u**Integer(2) + v**Integer(2)).
˓→function(u,v)>>> parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -Integer(2), Integer(2)), (v, -Integer(2),␣
˓→Integer(2)))
Graphics3d Object

2.5. Gráficos31

Tutorial Sage, Release 10.4

A terceira forma de fazer um gráfico de uma superfície no Sage é usando o comando implicit_plot3d, que cria um
gráfico de uma superfície definida por uma equação 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 (isso define um conjunto de pontos). Vamos fazer ográfico de uma esfera usando a expressão usual:
sage: x, y, z = var( x, y, z )sage: implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 - 4, (x,-2, 2), (y,-2, 2), (z,-2, 2))
Graphics3d Object>>> from sage.all import *>>> x, y, z = var( x, y, z )>>> implicit_plot3d(x**Integer(2) + y**Integer(2) + z**Integer(2) - Integer(4), (x,˓→Integer(2), Integer(2)), (y,-Integer(2), Integer(2)), (z,-Integer(2), Integer(2)))
Graphics3d Object

Aqui estão mais alguns exemplos:
Yellow Whitney’s umbrella:
sage: u, v = var( u,v )sage: fx = u*v
sage: fy = u
sage: fz = v^2
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, -1, 1), (v, -1, 1),....: frame=False, color="yellow")
Graphics3d Object>>> from sage.all import *>>> u, v = var( u,v )>>> fx = u*v>>> fy = u>>> fz = v**Integer(2)>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, -Integer(1), Integer(1)), (v, -Integer(1),␣
˓→Integer(1)),... frame=False, color="yellow")
Graphics3d Object

Cross cap:
sage: u, v = var( u,v )sage: fx = (1+cos(v))*cos(u)sage: fy = (1+cos(v))*sin(u)sage: fz = -tanh((2/3)*(u-pi))*sin(v)sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),....: frame=False, color="red")Graphics3d Object>>> from sage.all import *>>> u, v = var( u,v )>>> fx = (Integer(1)+cos(v))*cos(u)>>> fy = (Integer(1)+cos(v))*sin(u)>>> fz = -tanh((Integer(2)/Integer(3))*(u-pi))*sin(v)>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, Integer(0), Integer(2)*pi), (v, Integer(0),␣
˓→Integer(2)*pi),... frame=False, color="red")Graphics3d Object

Toro retorcido:

32

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: u, v = var( u,v )sage: fx = (3+sin(v)+cos(u))*cos(2*v)
sage: fy = (3+sin(v)+cos(u))*sin(2*v)
sage: fz = sin(u)+2*cos(v)sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),....: frame=False, color="red")Graphics3d Object>>> from sage.all import *>>> u, v = var( u,v )>>> fx = (Integer(3)+sin(v)+cos(u))*cos(Integer(2)*v)>>> fy = (Integer(3)+sin(v)+cos(u))*sin(Integer(2)*v)>>> fz = sin(u)+Integer(2)*cos(v)>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, Integer(0), Integer(2)*pi), (v, Integer(0),␣
˓→Integer(2)*pi),... frame=False, color="red")Graphics3d Object

Lemniscata:sage: x, y, z = var( x,y,z )sage: f(x, y, z) = 4*x^2 * (x^2 + y^2 + z^2 + z) + y^2 * (y^2 + z^2 - 1)sage: implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1))
Graphics3d Object>>> from sage.all import *>>> x, y, z = var( x,y,z )>>> __tmp__=var("x,y,z"); f = symbolic_expression(Integer(4)*x**Integer(2) *␣˓→(x**Integer(2) + y**Integer(2) + z**Integer(2) + z) + y**Integer(2) *␣
˓→(y**Integer(2) + z**Integer(2) - Integer(1))).function(x,y,z)>>> implicit_plot3d(f, (x, -RealNumber( 0.5 ), RealNumber( 0.5 )), (y, -Integer(1),␣
˓→Integer(1)), (z, -Integer(1), Integer(1)))
Graphics3d Object

2.6 Algumas Questões Frequentes sobre Funções
Alguns aspectos sobre definição de funções (por exemplo, para diferenciação, ou para criar gráficos) podem se tornar
confusos. Nesta seção, procuramos tratar algumas questões relevantes.
Aqui estão várias formas de definir objetos que merecem ser chamamos de “funções”:
1. Defina uma função em Python, como descrito em Funções, Tabulação, e Contagem. Essas funções podem ser usadas
para criar gráficos, mas não podem ser diferenciadas ou integradas.
sage: def f(z): return z^2sage: type(f)<... function >sage: f(3)9sage: plot(f, 0, 2)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> def f(z): return z**Integer(2)(continua na próxima página)

2.6. Algumas Questões Frequentes sobre Funções

33

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> type(f)<... function >>>> f(Integer(3))
9>>> plot(f, Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Na última linha, observe a sintaxe. Se fosse usado plot(f(z), 0, 2) ocorreria um erro, porque z é uma variável
muda na definição de f e não está definida fora do contexto da função. De fato, somente f(z) já provoca um erro. Os
seguintes comandos vão funcionar neste caso, embora em geral eles devam ser evitados pois podem ocasionar erros (vejao item 4 abaixo).
sage: var( z )# define z to be a variablezsage: f(z)z^2
sage: plot(f(z), 0, 2)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> var( z )# define z to be a variablez>>> f(z)z^2>>> plot(f(z), Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Acima, f(z) é uma expressão simbólica, o próximo item na nossa lista.
2. Defina um “expressão simbólica que pode ser evocada”. Essas podem ser usadas para criar gráficos, e podem serdiferenciadas ou integradas.
sage: g(x) = x^2
sage: g# g sends x to x^2x |--> x^2
sage: g(3)9sage: Dg = g.derivative(); Dg
x |--> 2*x
sage: Dg(3)6sage: type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >sage: plot(g, 0, 2)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); g = symbolic_expression(x**Integer(2)).function(x)>>> g# g sends x to x^2x |--> x^2>>> g(Integer(3))
9>>> Dg = g.derivative(); Dg
x |--> 2*x>>> Dg(Integer(3))
6(continua na próxima página)

34

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> plot(g, Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Note que enquanto g é uma expressão simbólica que pode ser evocada, g(x) é um objeto diferente, embora relacionado,que pode ser usado para criar gráficos, ou ser diferenciado, integrado, etc., embora com algumas ressalvas: veja o item 5
abaixo.
sage: g(x)x^2
sage: type(g(x))<class sage.symbolic.expression.Expression >sage: g(x).derivative()
2*x
sage: plot(g(x), 0, 2)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> g(x)x^2>>> type(g(x))<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> g(x).derivative()
2*x>>> plot(g(x), Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

3. Use uma função pré-definida. Essas podem ser representadas em gráfico, e com uma pequena ajuda, diferenciadas e
integradas.
sage: type(sin)<class sage.functions.trig.Function_sin >sage: plot(sin, 0, 2)Graphics object consisting of 1 graphics primitive
sage: type(sin(x))<class sage.symbolic.expression.Expression >sage: plot(sin(x), 0, 2)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> type(sin)<class sage.functions.trig.Function_sin >>>> plot(sin, Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> type(sin(x))<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> plot(sin(x), Integer(0), Integer(2))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Por si só, sin não pode ser diferenciado, pelo menos não para produzir cos.
sage: f = sin
sage: f.derivative()
Traceback (most recent call last):(continua na próxima página)

2.6. Algumas Questões Frequentes sobre Funções

35

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)...
AttributeError: ...
>>> from sage.all import *>>> f = sin>>> f.derivative()
Traceback (most recent call last):...
AttributeError: ...

Usando f = sin(x) no lugar de sin funciona, mas é ainda melhor usar f(x) = sin(x) para definir uma expressão
simbólica que pode ser evocada.
sage: S(x) = sin(x)sage: S.derivative()x |--> cos(x)>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); S = symbolic_expression(sin(x)).function(x)>>> S.derivative()x |--> cos(x)Aqui estão alguns problemas comuns, com explicações:4. Cálculo acidental.
sage: def h(x):....:if x<2:....:
return 0
....:
else:
....:
return x-2>>> from sage.all import *>>> def h(x):...
if x<Integer(2):...
return Integer(0)
...
else:
...
return x-Integer(2)O problema: plot(h(x), 0, 4) cria o gráfico da reta 𝑦 = 𝑥 − 2, não da função definida por h. O motivo? No
comando plot(h(x), 0, 4), primeiro h(x) é calculada: isso significa substituir x na função h, o que significa quex<2 é calculado.
sage: type(x<2)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> from sage.all import *>>> type(x<Integer(2))<class sage.symbolic.expression.Expression >Quando uma equação simbólica é calculada, como na definição de h, se ela não é obviamente verdadeira, então ela retorna
False. Logo h(x) é calculada como x-2, e essa é a função que será representada no gráfico.
A solução: não use plot(h(x), 0, 4); em vez disso, use

36

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: plot(h, 0, 4)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> plot(h, Integer(0), Integer(4))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

5. Acidentalmente produzindo uma constante em vez de uma função.
sage: f = x
sage: g = f.derivative()sage: g
1>>> from sage.all import *>>> f = x>>> g = f.derivative()>>> g
1

O problema: g(3), por exemplo, retorna o erro “ValueError: the number of arguments must be less than or equal to 0.”
sage: type(f)<class sage.symbolic.expression.Expression >sage: type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> from sage.all import *>>> type(f)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >g não é uma função, é uma constante, logo não possui variáveis associadas, e você não pode substituir nenhum valor emg.
Solução: existem vária opções.
• Defina f inicialmente como uma expressão simbólica.
sage: f(x) = x# instead of f = x
sage: g = f.derivative()sage: gx |--> 1
sage: g(3)1sage: type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x˓→x>>> g = f.derivative()>>> gx |--> 1>>> g(Integer(3))).function(x)# instead off =␣(continua na próxima página)

2.6. Algumas Questões Frequentes sobre Funções

37

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

1>>> type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >• Ou com f como definida originalmente, defina g como uma expressão simbólica.
sage: f = x
sage: g(x) = f.derivative() # instead of g = f.derivative()sage: gx |--> 1
sage: g(3)1sage: type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> from sage.all import *>>> f = x>>> __tmp__=var("x"); g = symbolic_expression(f.derivative()
˓→ofg = f.derivative()>>> gx |--> 1>>> g(Integer(3))
1>>> type(g)<class sage.symbolic.expression.Expression >).function(x)# instead␣• Ou com f e g como definidas originalmente, especifique a variável para a qual você está substituindo.
sage: f = x
sage: g = f.derivative()sage: g1
sage: g(x=3)# instead of
1g(3)>>> from sage.all import *>>> f = x>>> g = f.derivative()>>> g
1>>> g(x=Integer(3))# instead of
1g(3)Finalmente, aqui vai mais uma forma de saber a diferença entre as derivadas de f = x e f(x) = x.
sage: f(x) = x
sage: g = f.derivative()sage: g.variables() # the variables present in g()sage: g.arguments() # the arguments which can be plugged into g(x,)
sage: f = x
sage: h = f.derivative()sage: h.variables()()(continua na próxima página)

38

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: h.arguments()()>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x).function(x)>>> g = f.derivative()>>> g.variables() # the variables present in g()>>> g.arguments() # the arguments which can be plugged into g(x,)>>> f = x>>> h = f.derivative()>>> h.variables()()>>> h.arguments()()

Como esse exemplo procura ilustrar, h não aceita argumentos, e é por isso que h(3) retorna um erro.

2.7 Anéis Básicos
Quando se define matrizes, vetores, ou polinômios, é as vezes útil, e as vezes necessário, especificar o “anel” sobre oqual o objeto será definido. Um anel é uma estrutura matemática na qual se tem noções de adição e multiplicação bem
definidas; se você nunca ouviu falar sobre anéis, você provavelmente só precisa saber a respeito dos seguintes exemplos:• os inteiros {..., −1, 0, 1, 2, ...}, que são chamados ZZ no Sage.
• os números racionais – i. e., frações, ou razões, de inteiros – que são chamados QQ no Sage.
• os números reais, chamados de RR no Sage.
• os números complexos, chamados de CC no Sage.
Você pode precisar saber sobre essas distinções porque o mesmo polinômio, por exemplo, pode ser tratado√diferentemente
dependendo do anel sobre o qual está definido. A propósito, o polinômio 𝑥2 − 2 possui duas raízes, ± 2. Essas raízes
não são racionais, logo, se você esta lidando com polinômios com coeficientes racionais, os polinômios não serão fatorados. Com coeficientes reais, eles serão. Portanto você pode querer especificar o anel para garantir que você vai obter a
informação que deseja. Os dois comandos a seguir definem os conjuntos de polinômios com coeficientes racionais e coeficientes reais, respectivamente. Os conjuntos são chamados “ratpoly” e “realpoly”, mas esses nomes não são importantes
aqui; todavia, note que as strings “.<t>” e “.<z>” especificam o nome das variáveis usadas em cada caso.
sage: ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)
sage: realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)>>> from sage.all import *>>> ratpoly = PolynomialRing(QQ, names=( t ,)); (t,) = ratpoly._first_ngens(1)>>> realpoly = PolynomialRing(RR, names=( z ,)); (z,) = realpoly._first_ngens(1)Agora ilustramos a nossa discussão sobre fatorar 𝑥2 − 2:sage: factor(t^2-2)t^2 - 2sage: factor(z^2-2)(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)

2.7. Anéis Básicos

39

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> factor(t**Integer(2)-Integer(2))
t^2 - 2>>> factor(z**Integer(2)-Integer(2))(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)

Comentários similares também se aplicam a matrizes: a forma reduzida de uma matriz pode depender do anel sobre oqual ela esta definida, como também pode os seus autovalores e autovetores. Para mais sobre polinômios, veja Polinômios,para mais sobre matrizes, veja Álgebra Linear.
O símbolo I representa a raiz quadrada de −1; i é um sinônimo de I. Obviamente, isso não é um número racional:
sage: i # square root of -1
I
sage: i in QQ
False>>> from sage.all import *>>> i # square root of -1
I>>> i in QQ
False

Nota: O código acima pode não funcionar como esperado se a variável i estiver atribuída a um outro valor, por exemplo,
se ela for usada como a variável de um laço (loop). Nesse caso, digite:
sage: reset( i )>>> from sage.all import *>>> reset( i )para restabelecer o valor original de i.
Há uma sutileza ao definir números complexos: como mencionado acima, o símbolo i representa a raiz quadrada de −1,mas é uma raiz quadrada de −1 como número algébrico. Evocando CC(i) ou CC.0 ou CC.gen(0) obtém-se a raizde −1 complexa. Aritmética envolvendo tipos diferentes de números é possível graças ao que se chama de coação, veja
Famílias, Conversão e Coação.
sage: i = CC(i)# floating point complex number
sage: i == CC.0
True
sage: a, b = 4/3, 2/3
sage: z = a + b*i
sage: z1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
sage: z.imag()# imaginary part0.666666666666667
sage: z.real() == a# automatic coercion before comparison
Truesage: a + b
2
sage: 2*b == aTruesage: parent(2/3)
Rational Field
sage: parent(4/2)
Rational Field(continua na próxima página)

40

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: 2/3 + 0.1
0.766666666666667
sage: 0.1 + 2/3
0.766666666666667# automatic coercion before addition# coercion rules are symmetric in Sage>>> from sage.all import *>>> i = CC(i)# floating point complex number>>> i == CC.gen(0)True>>> a, b = Integer(4)/Integer(3), Integer(2)/Integer(3)>>> z = a + b*i>>> z
1.33333333333333 + 0.666666666666667*I>>> z.imag()# imaginary part0.666666666666667>>> z.real() == a# automatic coercion before comparison
True>>> a + b
2>>> Integer(2)*b == aTrue>>> parent(Integer(2)/Integer(3))
Rational Field>>> parent(Integer(4)/Integer(2))
Rational Field>>> Integer(2)/Integer(3) + RealNumber( 0.1 )# automatic coercion before␣
˓→addition
0.766666666666667>>> RealNumber( 0.1 ) + Integer(2)/Integer(3)# coercion rules are symmetric in␣˓→Sage0.766666666666667

Aqui estão mais exemplos de anéis básicos em Sage. Como observado acima, o anel dos números racionais pode serreferido usando QQ, ou também RationalField() (um corpo, ou field em inglês, é um anel no qual a operação demultiplicação é comutativa, e todo elemento não-nulo possui um elemento inverso com respeito à operação de multiplicação. Logo, os racionais formam um corpo, mas os inteiros não):sage: RationalField()
Rational Field
sage: QQ
Rational Field
sage: 1/2 in QQ
True>>> from sage.all import *>>> RationalField()
Rational Field>>> QQ
Rational Field>>> Integer(1)/Integer(2) in QQ
True

O número decimal 1.2 é considerado como um elemento de QQ: número decimais que são também√racionais podem ser
coagidos ao conjunto de números racionais (veja Famílias, Conversão e Coação). Os números 𝜋 e 2 não são racionais,
todavia:2.7. Anéis Básicos

41

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: 1.2 in QQ
True
sage: pi in QQ
False
sage: pi in RR
True
sage: sqrt(2) in QQ
False
sage: sqrt(2) in CC
True>>> from sage.all import *>>> RealNumber( 1.2 ) in QQ
True>>> pi in QQ
False>>> pi in RR
True>>> sqrt(Integer(2)) in QQ
False>>> sqrt(Integer(2)) in CC
True

Para uso em matemática mais avançada, o Sage também pode especificar outros anéis, como corpos finitos, inteiros
𝑝-ádicos, o anel dos números algébricos, anéis de polinômios, e anéis de matrizes. Aqui está a construção de alguns deles:
sage: GF(3)Finite Field of size 3
sage: GF(27, a ) # need to name the generator if not a prime field
Finite Field in a of size 3^3
sage: Zp(5)5-adic Ring with capped relative precision 20
sage: sqrt(3) in QQbar # algebraic closure of QQ
True>>> from sage.all import *>>> GF(Integer(3))
Finite Field of size 3>>> GF(Integer(27), a ) # need to name the generator if not a prime field
Finite Field in a of size 3^3>>> Zp(Integer(5))
5-adic Ring with capped relative precision 20>>> sqrt(Integer(3)) in QQbar # algebraic closure of QQ
True

2.8 Álgebra Linear
O Sage fornece os objetos usuais em álgebra linear, por exemplo, o polinômio característico, matriz escalonada, traço,
decomposição, etc., de uma matriz.
Criar e multiplicar matrizes é fácil e natural:
sage: A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
sage: w = vector([1,1,-4])(continua na próxima página)

42

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: w*A(0, 0, 0)
sage: A*w(-9, 1, -2)
sage: kernel(A)Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:[ 1 1 -4]>>> from sage.all import *>>> A = Matrix([[Integer(1),Integer(2),Integer(3)],[Integer(3),Integer(2),Integer(1)],
˓→[Integer(1),Integer(1),Integer(1)]])>>> w = vector([Integer(1),Integer(1),-Integer(4)])>>> w*A(0, 0, 0)>>> A*w(-9, 1, -2)>>> kernel(A)Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:[ 1 1 -4]

Note que no Sage, o núcleo de uma matriz 𝐴 é o núcleo à esquerda, i.e., o conjunto de vetores 𝑤 tal que 𝑤𝐴 = 0.
Resolver equações matriciais é fácil usando o método solve_right. Calculando A.solve_right(Y) obtém-se
uma matrix (ou vetor) 𝑋 tal que 𝐴𝑋 = 𝑌 :sage: Y = vector([0, -4, -1])
sage: X = A.solve_right(Y)sage: X(-2, 1, 0)
sage: A * X# checking our answer...
(0, -4, -1)>>> from sage.all import *>>> Y = vector([Integer(0), -Integer(4), -Integer(1)])>>> X = A.solve_right(Y)>>> X(-2, 1, 0)>>> A * X
# checking our answer...
(0, -4, -1)

Se não existir solução, o Sage retorna um erro:
sage: A.solve_right(w)Traceback (most recent call last):...
ValueError: matrix equation has no solutions>>> from sage.all import *>>> A.solve_right(w)Traceback (most recent call last):...
ValueError: matrix equation has no solutions

Similarmente, use A.solve_left(Y) para resolver para 𝑋 em 𝑋𝐴 = 𝑌 .

2.8. Álgebra Linear

43

Tutorial Sage, Release 10.4

O Sage também pode calcular autovalores e autovetores:sage: A = matrix([[0, 4], [-1, 0]])sage: A.eigenvalues ()[-2*I, 2*I]
sage: B = matrix([[1, 3], [3, 1]])
sage: B.eigenvectors_left()[(4, [(1, 1)], 1), (-2, [(1, -1)], 1)]>>> from sage.all import *>>> A = matrix([[Integer(0), Integer(4)], [-Integer(1), Integer(0)]])>>> A.eigenvalues ()[-2*I, 2*I]>>> B = matrix([[Integer(1), Integer(3)], [Integer(3), Integer(1)]])>>> B.eigenvectors_left()[(4, [(1, 1)], 1), (-2, [(1, -1)], 1)](A sintaxe para a resposta de eigenvectors_left é uma lista com três componentes: (autovalor, autovetor, multiplicidade).) Autovalores e autovetores sobre QQ ou RR também podem ser calculados usando o Maxima (veja Maxima).
Como observado em Anéis Básicos, o anel sobre o qual a matriz esta definida afeta alguma de suas propriedades. A seguir,o primeiro argumento do comando matrix diz para o Sage considerar a matriz como uma matriz de inteiros (o caso
ZZ), uma matriz de números racionais (QQ), ou uma matriz de números reais (RR):
sage: AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]])
sage: AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]])
sage: AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]])
sage: AZ.echelon_form()
[2 0]
[0 1]
sage: AQ.echelon_form()
[1 0]
[0 1]
sage: AR.echelon_form()[ 1.00000000000000 0.000000000000000][0.000000000000000 1.00000000000000]>>> from sage.all import *>>> AZ = matrix(ZZ, [[Integer(2),Integer(0)], [Integer(0),Integer(1)]])>>> AQ = matrix(QQ, [[Integer(2),Integer(0)], [Integer(0),Integer(1)]])>>> AR = matrix(RR, [[Integer(2),Integer(0)], [Integer(0),Integer(1)]])>>> AZ.echelon_form()
[2 0]
[0 1]
>>> AQ.echelon_form()
[1 0]
[0 1]
>>> AR.echelon_form()[ 1.00000000000000 0.000000000000000][0.000000000000000 1.00000000000000]

44

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

2.8.1 Espaços de Matrizes
Agora criamos o espaço Mat3×3 ( ) de matrizes 3 × 3 com entradas racionais:sage: M = MatrixSpace(QQ,3)
sage: M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field>>> from sage.all import *>>> M = MatrixSpace(QQ,Integer(3))>>> M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field(Para especificar o espaço de matrizes 3 por 4, você usaria MatrixSpace(QQ,3,4). Se o número de colunas é omitido, ele é considerado como igual ao número de linhas, portanto, MatrixSpace(QQ,3) é sinônimo de
MatrixSpace(QQ,3,3).) O espaço de matrizes é equipado com sua base canônica:
sage: B = M.basis()
sage: len(B)9sage: B[0,1][0 1 0][0 0 0][0 0 0]>>> from sage.all import *>>> B = M.basis()>>> len(B)9>>> B[Integer(0),Integer(1)][0 1 0][0 0 0][0 0 0]Vamos criar uma matriz como um elemento de M.
sage: A = M(range(9)); A[0 1 2][3 4 5][6 7 8]>>> from sage.all import *>>> A = M(range(Integer(9))); A[0 1 2][3 4 5][6 7 8]A seguir calculamos a sua forma escalonada e o núcleo.
sage: A.echelon_form()[ 1 0 -1]
[ 0 1 2][ 0 0 0]sage: A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:[ 1 -2 1]

2.8. Álgebra Linear

45

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> A.echelon_form()[ 1 0 -1]
[ 0 1 2][ 0 0 0]>>> A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:[ 1 -2 1]

Agora ilustramos o cálculo com matrizes definidas sobre um corpo finito:
sage: M = MatrixSpace(GF(2),4,8)
sage: A = M([1,1,0,0, 1,1,1,1, 0,1,0,0, 1,0,1,1,....:
0,0,1,0, 1,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0])
sage: A
[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]
sage: rows = A.rows()
sage: A.columns()[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]
sage: rows[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]>>> from sage.all import *>>> M = MatrixSpace(GF(Integer(2)),Integer(4),Integer(8))>>> A = M([Integer(1),Integer(1),Integer(0),Integer(0), Integer(1),Integer(1),˓→Integer(1),Integer(1), Integer(0),Integer(1),Integer(0),Integer(0), Integer(1),˓→Integer(0),Integer(1),Integer(1),...
Integer(0),Integer(0),Integer(1),Integer(0), Integer(1),Integer(1),˓→Integer(0),Integer(1), Integer(0),Integer(0),Integer(1),Integer(1), Integer(1),˓→Integer(1),Integer(1),Integer(0)])>>> A[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]>>> rows = A.rows()>>> A.columns()[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]>>> rows[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]

Criamos o subespaço sobre F2 gerado pelas linhas acima.
sage: V = VectorSpace(GF(2),8)
sage: S = V.subspace(rows)
sage: S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:[1 0 0 0 0 1 0 0](continua na próxima página)

46

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
sage: A.echelon_form()[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]>>> from sage.all import *>>> V = VectorSpace(GF(Integer(2)),Integer(8))>>> S = V.subspace(rows)>>> S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]>>> A.echelon_form()[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]

A base de 𝑆 usada pelo Sage é obtida a partir das linhas não-nulas da forma escalonada da matriz de geradores de 𝑆.

2.8.2 Álgebra Linear Esparsa
O Sage fornece suporte para álgebra linear esparsa.
sage: M = MatrixSpace(QQ, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()>>> from sage.all import *>>> M = MatrixSpace(QQ, Integer(100), sparse=True)>>> A = M.random_element(density = RealNumber( 0.05 ))>>> E = A.echelon_form()O algoritmo multi-modular no Sage é bom para matrizes quadradas (mas não muito bom para matrizes que não são
quadradas):sage: M = MatrixSpace(QQ, 50, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
sage: M = MatrixSpace(GF(2), 20, 40, sparse=True)
sage: A = M.random_element()
sage: E = A.echelon_form()>>> from sage.all import *>>> M = MatrixSpace(QQ, Integer(50), Integer(100), sparse=True)>>> A = M.random_element(density = RealNumber( 0.05 ))>>> E = A.echelon_form()(continua na próxima página)

2.8. Álgebra Linear

47

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> M = MatrixSpace(GF(Integer(2)), Integer(20), Integer(40), sparse=True)>>> A = M.random_element()>>> E = A.echelon_form()

Note que o Python é sensível a maiúsculas e minúsculas:
sage: M = MatrixSpace(QQ, 10,10, Sparse=True)
Traceback (most recent call last):...
TypeError: ...__init__() got an unexpected keyword argument

Sparse>>> from sage.all import *>>> M = MatrixSpace(QQ, Integer(10),Integer(10), Sparse=True)
Traceback (most recent call last):...
TypeError: ...__init__() got an unexpected keyword argument Sparse

2.9 Polinômios
Nesta seção vamos ilustrar como criar e usar polinômios no Sage.

2.9.1 Polinômios em Uma Variável
Existem três formas de criar anéis de polinômios.
sage: R = PolynomialRing(QQ, t )sage: R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ, t )>>> R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field

Esse comando cria um anel de polinômios e diz para o Sage usar a letra ‘t’ para representar a variável indeterminada
quando imprimir na tela. Todavia, isso não define o símbolo t para uso no Sage, logo você não pode usá-lo para definirum polinômio (como 𝑡2 + 1) pertencente a R.
Uma forma alternativa ésage: S = QQ[ t ]sage: S == R
True>>> from sage.all import *>>> S = QQ[ t ]>>> S == RTrue

As mesmas observações com respeito a t valem também nesse caso.
Uma terceira e conveniente forma de definir polinômios é

48

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ, names=( t ,)); (t,) = R._first_ngens(1)ousage: R.<t> = QQ[ t ]>>> from sage.all import *>>> R = QQ[ t ]; (t,) = R._first_ngens(1)ou ainda
sage: R.<t> = QQ[]>>> from sage.all import *>>> R = QQ[ t ]; (t,) = R._first_ngens(1)Isso tem o efeito colateral de definir a variável t como a variável indeterminada do anel de polinômios, logo você podefacilmente construir elementos de R da seguinte forma. (Note que essa terceira alternativa é muito semelhante à notação
usada em Magma, e da mesma forma que no Magma ela pode ser usada para diversos tipos de objetos.)
sage: poly = (t+1) * (t+2); polyt^2 + 3*t + 2
sage: poly in R
True>>> from sage.all import *>>> poly = (t+Integer(1)) * (t+Integer(2)); polyt^2 + 3*t + 2>>> poly in R
True

Qualquer que seja o método usado para definir um anel de polinômios, você pode recuperar a variável indeterminadacomo o 0-ésimo gerador:
sage: R = PolynomialRing(QQ,
sage: t = R.0
sage: t in R
True>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ,>>> t = R.gen(0)>>> t in R
True

t )

t )

Note que uma construção similar funciona com os números complexos: os números complexos podem ser vistos como
sendo gerados pelo símbolo i sobre os números reais; logo temos o seguinte:
sage: CC
Complex Field with 53 bits of precision
sage: CC.0 # 0th generator of CC
1.00000000000000*I

2.9. Polinômios

49

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> CC
Complex Field with 53 bits of precision>>> CC.gen(0) # 0th generator of CC
1.00000000000000*I

Para anel de polinômios, você pode obter tanto o anel como o seu gerador, ou somente o gerador, no momento em que oanel for criado, da seguinte forma:sage: R, t = QQ[ t ].objgen()sage: t= QQ[ t ].gen()sage: R, t = objgen(QQ[ t ])sage: t= gen(QQ[ t ])>>> from sage.all import *>>> R, t = QQ[ t ].objgen()>>> t= QQ[ t ].gen()>>> R, t = objgen(QQ[ t ])>>> t= gen(QQ[ t ])Finalmente apresentamos um pouco de aritmética em[𝑡].

sage: R, t = QQ[ t ].objgen()sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
sage: f^2
4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclot^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
sage: g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9+ 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5sage: F = factor(g); F(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
sage: F.unit()
7
sage: list(F)[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]>>> from sage.all import *>>> R, t = QQ[ t ].objgen()>>> f = Integer(2)*t**Integer(7) + Integer(3)*t**Integer(2) - Integer(15)/Integer(19)>>> f**Integer(2)4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361>>> cyclo = R.cyclotomic_polynomial(Integer(7)); cyclot^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1>>> g = Integer(7) * cyclo * t**Integer(5) * (t**Integer(5) + Integer(10)*t +␣˓→Integer(2))>>> g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9+ 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5>>> F = factor(g); F(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)>>> F.unit()
7>>> list(F)[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]

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Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

Note que a fatorização corretamente leva em conta e armazena a parte unitária.
Se você fosse usar, por exemplo, a função R.cyclotomic_polynomial intensamente para algum projeto de pesquisa, além de citar o Sage, você deveria tentar descobrir qual componente do Sage é de fato usado para calcular esses
polinômios, e citá-lo também. Nesse caso, se você digitar R.cyclotomic_polynomial?? para ver o código fonte,você irá facilmente ver uma linha f = pari.polcyclo(n) o que significa que o PARI é usado para o cálculo dos
polinômios ciclotrômicos. Cite o PARI também no seu trabalho.
Dividindo dois polinômios cria-se um elemento do corpo de frações (o qual o Sage cria automaticamente).
sage: x = QQ[ x ].0
sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17sage: h = f/g; h(x^3 + 1)/(x^2 - 17)sage: h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field>>> from sage.all import *>>> x = QQ[ x ].gen(0)>>> f = x**Integer(3) + Integer(1); g = x**Integer(2) - Integer(17)>>> h = f/g; h(x^3 + 1)/(x^2 - 17)>>> h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

Usando-se a série de Laurent, pode-se calcular a expansão em série no corpo de frações de QQ[x]:sage: R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R
Laurent Series Ring in x over Rational Field
sage: 1/(1-x) + O(x^10)
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)>>> from sage.all import *>>> R = LaurentSeriesRing(QQ, names=( x ,)); (x,) = R._first_ngens(1); R
Laurent Series Ring in x over Rational Field>>> Integer(1)/(Integer(1)-x) + O(x**Integer(10))
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)

Se nomearmos a variável de outra forma, obtemos um anel de polinômios em uma variável diferente.
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)
sage: x == yFalse
sage: R == S
False
sage: R(y)xsage: R(y^2 - 17)x^2 - 17>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ, names=( x ,)); (x,) = R._first_ngens(1)>>> S = PolynomialRing(QQ, names=( y ,)); (y,) = S._first_ngens(1)>>> x == yFalse>>> R == S
(continua na próxima página)

2.9. Polinômios

51

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

False>>> R(y)x>>> R(y**Integer(2) - Integer(17))
x^2 - 17

O anel é determinado pela variável. Note que criar um outro anel com variável indeterminada x não retorna um aneldiferente.
sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")sage: R == T
True
sage: R is T
True
sage: R.0 == T.0
True>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ, "x")>>> T = PolynomialRing(QQ, "x")>>> R == T
True>>> R is T
True>>> R.gen(0) == T.gen(0)True

O Sage também possui suporte para séries de potências e séries de Laurent sobre um anel arbitrário. No seguinte exemplo,
nós criamos um elemento de F7 [[𝑇 ]] e dividimos para criar um elemento de F7 ((𝑇 )).
sage: R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
sage: f = T + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)
sage: f^3T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)
sage: 1/f
T^-1 + 4 + T + O(T^2)
sage: parent(1/f)
Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7>>> from sage.all import *>>> R = PowerSeriesRing(GF(Integer(7)), names=( T ,)); (T,) = R._first_ngens(1); R
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7>>> f = T + Integer(3)*T**Integer(2) + T**Integer(3) + O(T**Integer(4))>>> f**Integer(3)T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)>>> Integer(1)/fT^-1 + 4 + T + O(T^2)>>> parent(Integer(1)/f)
Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7Você também pode criar anéis de polinômios usando a notação de colchetes duplos:
sage: GF(7)[[ T ]]Power Series Ring in T over Finite Field of size 7

52

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> GF(Integer(7))[[ T ]]Power Series Ring in T over Finite Field of size 7

2.9.2 Polinômios em Mais De Uma Variável
Para trabalhar com polinômios em várias variáveis, nós primeiro declaramos o anel de polinômios e as variáveis.
sage: R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # here, 3 = number of variables
sage: R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(GF(Integer(5)),Integer(3),"z") # here, 3 = number of variables>>> R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Da mesma forma como ocorre com polinômios em uma variável, existem três maneiras de fazer isso:
sage: GF(5)[ z0, z1, z2 ]Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; RMultivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5>>> from sage.all import *>>> GF(Integer(5))[ z0, z1, z2 ]Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5>>> R = GF(Integer(5))[ z0, z1, z2 ]; (z0, z1, z2,) = R._first_ngens(3); R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Se você quiser usar os nomes das variáveis com apenas uma letra, então você pode usar os seguinte comando:
sage: PolynomialRing(GF(5), 3, xyz )Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5>>> from sage.all import *>>> PolynomialRing(GF(Integer(5)), Integer(3), xyz )Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5

A seguir fazemos um pouco de aritmética.
sage: z = GF(5)[ z0, z1, z2 ].gens()
sage: z(z0, z1, z2)
sage: (z[0]+z[1]+z[2])^2
z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2>>> from sage.all import *>>> z = GF(Integer(5))[ z0, z1, z2 ].gens()>>> z(z0, z1, z2)>>> (z[Integer(0)]+z[Integer(1)]+z[Integer(2)])**Integer(2)z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2Você também pode usar uma notação mais matemática para criar um anel de polinômios.
2.9. Polinômios

53

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: R = GF(5)[ x,y,z ]sage: x,y,z = R.gens()
sage: QQ[ x ]Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: QQ[ x,y ].gens()(x, y)
sage: QQ[ x ].objgens()(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))>>> from sage.all import *>>> R = GF(Integer(5))[ x,y,z ]>>> x,y,z = R.gens()>>> QQ[ x ]Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field>>> QQ[ x,y ].gens()(x, y)>>> QQ[ x ].objgens()(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))

Polinômios em mais de uma variável são implementados no Sage usando dicionários em Python e a “representação distribuída” de um polinômio. O Sage usa o Singular [Si], por exemplo, para o cálculo do maior divisor comum e bases de
Gröbner para ideais algébricos.
sage: R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2,
sage: f = (x^3 + 2*y^2*x)^2
sage: g = x^2*y^2
sage: f.gcd(g)x^2xy ).objgens()>>> from sage.all import *>>> R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), Integer(2), xy ).objgens()>>> f = (x**Integer(3) + Integer(2)*y**Integer(2)*x)**Integer(2)>>> g = x**Integer(2)*y**Integer(2)>>> f.gcd(g)x^2

A seguir criamos o ideal (𝑓, 𝑔) gerado por 𝑓 e 𝑔, simplesmente multiplicando (f,g) por R (nós poderíamos também
escrever ideal([f,g]) ou ideal(f,g)).
sage: I = (f, g)*R; I
Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y over Rational Field
sage: B = I.groebner_basis(); B[x^6, x^2*y^2]
sage: x^2 in I
False>>> from sage.all import *>>> I = (f, g)*R; I
Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y over Rational Field>>> B = I.groebner_basis(); B[x^6, x^2*y^2]>>> x**Integer(2) in I
False

A base de Gröbner acima não é uma lista mas sim uma sequência imutável. Isso implica que ela possui universo (universe)
54

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

e parente (parent), e não pode ser modificada (o que é bom pois ocasionaria erros em outras rotinas que usam bases de
Gröbner).
sage: B.universe()
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
sage: B[1] = x
Traceback (most recent call last):...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.
>>> from sage.all import *>>> B.universe()
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field>>> B[Integer(1)] = x
Traceback (most recent call last):...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.

Um pouco (não tanto quanto gostaríamos) de álgebra comutativa está disponível no Sage, implementado via Singular. Por
exemplo, podemos calcular a decomposição primaria e primos associados de 𝐼:
sage: I.primary_decomposition()[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]
sage: I.associated_primes()[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]>>> from sage.all import *>>> I.primary_decomposition()[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]>>> I.associated_primes()[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]

2.10 Famílias, Conversão e Coação
Esta seção pode parecer mais técnica do que as anteriores, mas acreditamos que é importante entender o significado defamílias e coação de modo a usar anéis e outras estruturas algébricas no Sage de forma efetiva e eficiente.
Note que vamos explicar algumas noções, mas não vamos mostrar aqui como implementá-las. Um tutorial voltado àimplementação está disponível (em inglês) como um tutorial temática.

2.10. Famílias, Conversão e Coação

55

Tutorial Sage, Release 10.4

2.10.1 Elementos
Caso se queira implementar um anel em Python, uma primeira aproximação seria criar uma classe para os elementos X doanel e adicionar os requeridos métodos (com underscores duplos) __add__, __sub, __mul__, obviamente garantindo
que os axiomas de anel são verificados.
Como o Python é uma linguagem de tipagem forte (ainda que de tipagem dinâmica), poderia-se, pelo menos a princípio,esperar-se que fosse implementado em Python uma classe para cada anel. No final das contas, o Python contém um tipo
<int> para os inteiros, um tipo <float> para os reais, e assim por diante. Mas essa estratégia logo encontra uma
limitação: Existe um número infinito de anéis, e não se pode implementar um número infinito de classes.
Em vez disso, poderia-se criar uma hierarquia de classes projetada para implementar elementos de estruturas algébricas
ubíquas, tais como grupos, anéis, anéis comutativos, corpos, álgebras, e assim por diante.
Mas isso significa que elementos de anéis bastante diferentes podem ter o mesmo tipo.
sage: P.<x,y> = GF(3)[]sage: Q.<a,b> = GF(4, z )[]sage: type(x)==type(a)True>>> from sage.all import *>>> P = GF(Integer(3))[ x, y ]; (x, y,) = P._first_ngens(2)>>> Q = GF(Integer(4), z )[ a, b ]; (a, b,) = Q._first_ngens(2)>>> type(x)==type(a)True

Por outro lado, poderia-se ter também classes diferentes em Python fornecendo implementações diferentes da mesma
estrutura matemática (por exemplo, matrizes densas versus matrizes esparsas).
sage: P.<a> = PolynomialRing(ZZ)
sage: Q.<b> = PolynomialRing(ZZ, sparse=True)
sage: R.<c> = PolynomialRing(ZZ, implementation= NTL )sage: type(a) == type(b)False
sage: type(a) == type(c)Falsesage: type(b) == type(c)False>>> from sage.all import *>>> P = PolynomialRing(ZZ, names=( a ,)); (a,) = P._first_ngens(1)>>> Q = PolynomialRing(ZZ, sparse=True, names=( b ,)); (b,) = Q._first_ngens(1)>>> R = PolynomialRing(ZZ, implementation= NTL , names=( c ,)); (c,) = R._first_
˓→ngens(1)>>> type(a) == type(b)False>>> type(a) == type(c)False>>> type(b) == type(c)False

Isso apresenta dois problemas: Por um lado, se tivéssemos elementos que são duas instancias da mesma classe, então
poderia-se esperar que o método __add__ dessas classes permitisse somá-los; mas não se deseja isso, se os elementos
pertencem a anéis bastante diferentes. Por outro lado, se possui-se elementos que pertencem a implementações diferentes
do mesmo anel, então gostaria-se de somá-los, mas isso não pode ser feito diretamente se eles pertencem a classes diferentes em Python.

56

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

A solução para esses problemas é chamada coação e será explicada a seguir.
Todavia, é essencial que cada elemento saiba a qual pertence. Isso está disponível através método parent():
sage: a.parent(); b.parent(); c.parent()
Univariate Polynomial Ring in a over Integer Ring
Sparse Univariate Polynomial Ring in b over Integer Ring
Univariate Polynomial Ring in c over Integer Ring (using NTL)>>> from sage.all import *>>> a.parent(); b.parent(); c.parent()
Univariate Polynomial Ring in a over Integer Ring
Sparse Univariate Polynomial Ring in b over Integer Ring
Univariate Polynomial Ring in c over Integer Ring (using NTL)

2.10.2 Famílias e Categorias
De forma similar à hierarquia de classes em Python voltada para elementos de estruturas algébricas, o Sage também
fornece classes para as estruturas algébricas que contém esses elementos. Estruturas contendo elementos são chamadas“estruturas parente” no Sage, e existe uma classe básica para elas. Paralelamente à hierarquia de noções matemáticas,
tem-se uma hierarquia de classes, a saber, para conjuntos, anéis, corpos e assim por diante:sage: isinstance(QQ,Field)
True
sage: isinstance(QQ, Ring)
True
sage: isinstance(ZZ,Field)
False
sage: isinstance(ZZ, Ring)
True>>> from sage.all import *>>> isinstance(QQ,Field)
True>>> isinstance(QQ, Ring)
True>>> isinstance(ZZ,Field)
False>>> isinstance(ZZ, Ring)
True

Em álgebra, objetos que compartilham o mesmo tipo de estruturas algébricas são agrupados nas assim chamadas “categorias”. Logo, existe uma analogia aproximada entre a hierarquia de classes em Sage e a hierarquia de categorias.
Todavia, essa analogia de classes em Python e categorias não deve ser enfatizada demais. No final das contas, categorias
matemáticas também são implementadas no Sage:sage: Rings()
Category of rings
sage: ZZ.category()
Join of Category of Dedekind domains
and Category of euclidean domains
and Category of noetherian rings
and Category of infinite enumerated sets
and Category of metric spaces
sage: ZZ.category().is_subcategory(Rings())(continua na próxima página)

2.10. Famílias, Conversão e Coação

57

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)True
sage: ZZ in Rings()
True
sage: ZZ in Fields()
False
sage: QQ in Fields()
True>>> from sage.all import *>>> Rings()
Category of rings>>> ZZ.category()
Join of Category of Dedekind domains
and Category of euclidean domains
and Category of noetherian rings
and Category of infinite enumerated sets
and Category of metric spaces>>> ZZ.category().is_subcategory(Rings())
True>>> ZZ in Rings()
True>>> ZZ in Fields()
False>>> QQ in Fields()
True

Enquanto a hierarquia de classes no Sage é centrada nos detalhes de implementação, a construção de categorias em Sageé mais centrada na estrutura matemática. É possível implementar métodos e testes gerais independentemente de uma
implementação específica nas categorias.
Estruturas da mesma família em Sage são supostamente objetos únicos em Python. Por exemplo, uma vez que um anelde polinômios sobre um certo anel base e com uma certa lista de geradores é criada, o resultado é arquivado:
sage: RR[ x , y ] is RR[ x , y ]True>>> from sage.all import *>>> RR[ x , y ] is RR[ x , y ]True

2.10.3 Tipos versus Parentes
O tipo RingElement não deve ser confundido com a noção matemática de elemento de anel; por razões práticas, asvezes um objeto é uma instancia de RingElement embora ele não pertence a um anel:sage: cristovao = ZZ(1492)
sage: isinstance(cristovao, RingElement)
True>>> from sage.all import *>>> cristovao = ZZ(Integer(1492))>>> isinstance(cristovao, RingElement)
True

58

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

Enquanto famílias são únicas, elementos iguais de uma família em Sage não são necessariamente idênticos. Isso contrasta
com o comportamento do Python para alguns (embora não todos) inteiros:
sage: int(1) is int(1) # Python int
True
sage: int(-15) is int(-15)
False
sage: 1 is 1
# Sage Integer
False>>> from sage.all import *>>> int(Integer(1)) is int(Integer(1)) # Python int
True>>> int(-Integer(15)) is int(-Integer(15))
False>>> Integer(1) is Integer(1)# Sage Integer
False

É importante observar que elementos de anéis diferentes em geral não podem ser distinguidos pelos seus tipos, mas sim
por sua família:sage: a = GF(2)(1)
sage: b = GF(5)(1)
sage: type(a) is type(b)Truesage: parent(a)Finite Field of size 2
sage: parent(b)Finite Field of size 5>>> from sage.all import *>>> a = GF(Integer(2))(Integer(1))>>> b = GF(Integer(5))(Integer(1))>>> type(a) is type(b)True>>> parent(a)Finite Field of size 2>>> parent(b)Finite Field of size 5

Logo, de um ponto de vista algébrico, o parente de um elemento é mais importante do que seu tipo.

2.10.4 Conversão versus Coação
Em alguns casos é possível converter um elemento de uma estrutura parente em um elemento de uma outra estrutura
parente. Tal conversão pode ser tanto explícita como implícita (essa é chamada coação).
O leitor pode conhecer as noções de conversão de tipo e coação de tipo como na linguagem C, por exemplo. Existemnoções de conversão e coação em Sage também. Mas as noções em Sage são centradas em família, não em tipos. Então,por favor não confunda conversão de tipo em C com conversão em Sage!
Aqui se encontra uma breve apresentação. Para uma descrição detalhada e informações sobre a implementação, referimos
à seção sobre coação no manual de referência e para o tutorial.
Existem duas possibilidades extremas com respeito à possibilidade de fazer aritmética com elementos de anéis diferentes:• Anéis diferentes são mundos diferentes, e não faz nenhum sentido somar ou multiplicar elementos de anéis diferentes; mesmo 1 + 1/2 não faz sentido, pois o primeiro somando é um inteiro e o segundo um racional.
2.10. Famílias, Conversão e Coação

59

Tutorial Sage, Release 10.4

Ou
• Se um elemento r1 de uma aner R1 pode de alguma forma ser interpretado em um outro anel R2, então todas asoperações aritméticas envolvendo r1 e qualquer elemento de R2 são permitidas. O elemento neutro da multiplicação existe em todos os corpos e em vários anéis, e eles devem ser todos iguais.
O Sage faz uma concessão. Se P1 e P2 são estruturas da mesma família e p1 é um elemento de P1, então o usuário
pode explicitamente perguntar por uma interpretação de p1 em P2. Isso pode não fazer sentido em todos os casos ou
não estar definido para todos os elementos de P1, e fica a cargo do usuário assegurar que isso faz sentido. Nos referimos
a isso como conversão:sage: a = GF(2)(1)
sage: b = GF(5)(1)
sage: GF(5)(a) == b
True
sage: GF(2)(b) == a
True>>> from sage.all import *>>> a = GF(Integer(2))(Integer(1))>>> b = GF(Integer(5))(Integer(1))>>> GF(Integer(5))(a) == b
True>>> GF(Integer(2))(b) == aTrue

Todavia, uma conversão implícita (ou automática) ocorrerá apenas se puder ser feita completamente e consistentemente.
Rigor matemático é essencial nesse ponto.
Uma tal conversão implícita é chamada coação. Se coação for definida, então deve coincidir com conversão. Duascondições devem ser satisfeitas para uma coação ser definida:
1. Uma coação de P1 para P2 deve ser dada por uma estrutura que preserva mapeamentos (por exemplo, um homomorfismo de anéis). Não é suficiente que alguns elementos de P1 possam ser mapeados em P2, e o mapa deve
respeitar a estrutura algébrica de P1.
2. A escolha desses mapas de coação deve ser consistente: Se P3 é uma terceira estrutura parente, então a composição
da coação adotada de P1 para P2 com a coação de P2 para P3 deve coincidir com a coação adotada de P1 para
P3. Em particular, se existir uma coação de P1 para P2 e P2 para P1, a composição deve ser o mapa identidadeem P1.
Logo, embora é possível converter cada elemento de GF(2) para GF(5), não há coação, pois não existe homomorfismode anel entre GF(2) e GF(5).
O segundo aspecto - consistência - é um pouco mais difícil de explicar. Vamos ilustrá-lo usando anéis de polinômios em
mais de uma variável. Em aplicações, certamente faz mais sentido ter coações que preservam nomes. Então temos:
sage: R1.<x,y> = ZZ[]
sage: R2 = ZZ[ y , x ]sage: R2.has_coerce_map_from(R1)
True
sage: R2(x)xsage: R2(y)y>>> from sage.all import *>>> R1 = ZZ[ x, y ]; (x, y,) = R1._first_ngens(2)(continua na próxima página)

60

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> R2 = ZZ[ y , x ]>>> R2.has_coerce_map_from(R1)
True>>> R2(x)x>>> R2(y)ySe não existir homomorfismo de anel que preserve nomes, coação não é definida. Todavia, conversão pode ainda serpossível, a saber, mapeando geradores de anel de acordo com sua posição da lista de geradores:sage: R3 = ZZ[ z , x ]sage: R3.has_coerce_map_from(R1)
False
sage: R3(x)zsage: R3(y)x>>> from sage.all import *>>> R3 = ZZ[ z , x ]>>> R3.has_coerce_map_from(R1)
False>>> R3(x)z>>> R3(y)xMas essas conversões que preservam a posição não se qualificam como coação: Compondo um mapa que preserva nomesde ZZ[ x , y ] para ZZ[ y , x ], com um mapa que preserva nomes de ZZ[ y , x ] para ZZ[ a , b ],resultaria em um mapa que não preserva nomes nem posição, violando a consistência.
Se houver coação, ela será usada para comparar elementos de anéis diferentes ou fazer aritmética. Isso é frequentemente
conveniente, mas o usuário deve estar ciente que estender a relação == além das fronteiras de famílias diferentes podefacilmente resultar em problemas. Por exemplo, enquanto == é supostamente uma relação de equivalência sobre oselementos de um anel, isso não é necessariamente o caso se anéis diferentes estão envolvidos. Por exemplo, 1 em ZZ e emum corpo finito são considerados iguais, pois existe uma coação canônica dos inteiros em qualquer corpo finito. Todavia,
em geral não existe coação entre dois corpos finitos diferentes. Portanto temos
sage: GF(5)(1) == 1
True
sage: 1 == GF(2)(1)
True
sage: GF(5)(1) == GF(2)(1)
False
sage: GF(5)(1) != GF(2)(1)
True>>> from sage.all import *>>> GF(Integer(5))(Integer(1)) == Integer(1)True>>> Integer(1) == GF(Integer(2))(Integer(1))
True>>> GF(Integer(5))(Integer(1)) == GF(Integer(2))(Integer(1))
False(continua na próxima página)

2.10. Famílias, Conversão e Coação

61

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> GF(Integer(5))(Integer(1)) != GF(Integer(2))(Integer(1))
True

Similarmente,sage: R3(R1.1) == R3.1
True
sage: R1.1 == R3.1
False
sage: R1.1 != R3.1
True>>> from sage.all import *>>> R3(R1.gen(1)) == R3.gen(1)True>>> R1.gen(1) == R3.gen(1)False>>> R1.gen(1) != R3.gen(1)True

Uma outra consequência da condição de consistência é que coação pode apenas ir de anéis exatos (por exemplo, os
racionais QQ) para anéis não-exatos (por exemplo, os números reais com uma precisão fixa RR), mas não na outra direção.
A razão é que a composição da coação de QQ em RR com a conversão de RR para QQ deveria ser a identidade em QQ.
Mas isso é impossível, pois alguns números racionais distintos podem ser tratados como iguais em RR, como no seguinte
exemplo:sage: RR(1/10^200+1/10^100) == RR(1/10^100)
True
sage: 1/10^200+1/10^100 == 1/10^100
False>>> from sage.all import *>>> RR(Integer(1)/Integer(10)**Integer(200)+Integer(1)/Integer(10)**Integer(100)) ==␣
˓→RR(Integer(1)/Integer(10)**Integer(100))
True>>> Integer(1)/Integer(10)**Integer(200)+Integer(1)/Integer(10)**Integer(100) ==␣
˓→Integer(1)/Integer(10)**Integer(100)False

Quando se compara elementos de duas famílias P1 e P2, é possível que não haja coação entre os dois anéis, mas existe
uma escolha canônica de um parente P3 de modo que tanto P1 como P2 são coagidos em P3. Nesse caso, coação vai
ocorrer também. Um caso de uso típico é na soma de um número racional com um polinômio com coeficientes inteiros,
resultando em um polinômio com coeficientes racionais:sage: P1.<x> = ZZ[]
sage: p = 2*x+3
sage: q = 1/2
sage: parent(p)Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ringsage: parent(p+q)
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field>>> from sage.all import *>>> P1 = ZZ[ x ]; (x,) = P1._first_ngens(1)>>> p = Integer(2)*x+Integer(3)(continua na próxima página)

62

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> q = Integer(1)/Integer(2)>>> parent(p)Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring>>> parent(p+q)
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

Note que a princípio o resultado deveria também fazer sentido no corpo de frações de ZZ[ x ]. Todavia, o Sage tenta
escolher um parente canônico comum que parece ser o mais natural (QQ[ x ] no nosso exemplo). Se várias famílias
potencialmente comuns parecem igualmente naturais, o Sage não vai escolher um deles aleatoriamente. Os mecanismos
sobre os quais essa escolha se baseia é explicado em um tutorial
Nenhuma coação para um parente comum vai ocorrer no seguinte exemplo:
sage: R.<x> = QQ[]
sage: S.<y> = QQ[]
sage: x+y
Traceback (most recent call last):...
TypeError: unsupported operand parent(s) for +: Univariate Polynomial Ring in x over␣˓→Rational Field
and Univariate Polynomial Ring in y over Rational Field>>> from sage.all import *>>> R = QQ[ x ]; (x,) = R._first_ngens(1)>>> S = QQ[ y ]; (y,) = S._first_ngens(1)>>> x+yTraceback (most recent call last):...
TypeError: unsupported operand parent(s) for +: Univariate Polynomial Ring in x over␣˓→Rational Field
and Univariate Polynomial Ring in y over Rational Field

A razão é que o Sage não escolhe um dos potenciais candidatos QQ[ x ][ y ], QQ[ y ][ x ], QQ[ x , y ]ou QQ[ y , x ], porque todas essas estruturas combinadas em pares diferentes parecem ser de famílias comuns
naturais, e não existe escolha canônica aparente.

2.11 Grupos Finitos, Grupos Abelianos
O Sage possui suporte para fazer cálculos com grupos de permutação, grupos finitos clássicos (tais como 𝑆𝑈 (𝑛, 𝑞)),grupos matriciais finitos (com os seus próprios geradores), e grupos abelianos (até mesmo infinitos). A maior parte dissoé implementada usando a interface com o GAP.
Por exemplo, para criar um grupo de permutação, forneça uma lista de geradores, como no seguinte exemplo.
sage: G = PermutationGroup([ (1,2,3)(4,5) , (3,4) ])sage: G
Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)]
sage: G.order()120
sage: G.is_abelian()False
sage: G.derived_series()# random-ish output[Permutation Group with generators [(1,2,3)(4,5), (3,4)],
Permutation Group with generators [(1,5)(3,4), (1,5)(2,4), (1,3,5)]]
sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,(continua na próxima página)

2.11. Grupos Finitos, Grupos Abelianos

63

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

5)])sage: G.random_element()# random output(1,5,3)(2,4)
sage: print(latex(G))\langle (3,4), (1,2,3)(4,5) \rangle˓→>>> from sage.all import *>>> G = PermutationGroup([ (1,2,3)(4,5) , (3,4) ])>>> G
Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)]>>> G.order()120>>> G.is_abelian()
False>>> G.derived_series()# random-ish output[Permutation Group with generators [(1,2,3)(4,5), (3,4)],
Permutation Group with generators [(1,5)(3,4), (1,5)(2,4), (1,3,5)]]>>> G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,˓→5)])>>> G.random_element()# random output(1,5,3)(2,4)>>> print(latex(G))\langle (3,4), (1,2,3)(4,5) \rangleVocê pode também obter a tabela de caracteres (em formato LaTeX) no Sage:sage: G = PermutationGroup([[(1,2),(3,4)], [(1,2,3)]])sage: latex(G.character_table())\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 1 \\1 & -\zeta_{3} - 1 & \zeta_{3} & 1 \\1 & \zeta_{3} & -\zeta_{3} - 1 & 1 \\3 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)>>> from sage.all import *>>> G = PermutationGroup([[(Integer(1),Integer(2)),(Integer(3),Integer(4))],␣
˓→[(Integer(1),Integer(2),Integer(3))]])>>> latex(G.character_table())\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 1 \\1 & -\zeta_{3} - 1 & \zeta_{3} & 1 \\1 & \zeta_{3} & -\zeta_{3} - 1 & 1 \\3 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)

O Sage também inclui grupos clássicos matriciais sobre corpos finitos:
sage: MS = MatrixSpace(GF(7), 2)
sage: gens = [MS([[1,0],[-1,1]]),MS([[1,1],[0,1]])]
sage: G = MatrixGroup(gens)sage: G.conjugacy_classes_representatives()([1 0] [0 6] [0 4] [6 0] [0 6] [0 4] [0 6] [0 6] [0 6] [4 0][0 1], [1 5], [5 5], [0 6], [1 2], [5 2], [1 0], [1 4], [1 3], [0 2],(continua na próxima página)

64

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

[5 0]
[0 3]
)
sage: G = Sp(4,GF(7))
sage: G._gap_init_()Symplectic Group of degree 4 over Finite Field of size 7
sage: G
Symplectic Group of degree 4 over Finite Field of size 7
sage: G.random_element()# random output[5 5 5 1][0 2 6 3][5 0 1 0][4 6 3 4]sage: G.order()276595200>>> from sage.all import *>>> MS = MatrixSpace(GF(Integer(7)), Integer(2))>>> gens = [MS([[Integer(1),Integer(0)],[-Integer(1),Integer(1)]]),MS([[Integer(1),˓→Integer(1)],[Integer(0),Integer(1)]])]>>> G = MatrixGroup(gens)>>> G.conjugacy_classes_representatives()([1 0] [0 6] [0 4] [6 0] [0 6] [0 4] [0 6] [0 6] [0 6] [4 0][0 1], [1 5], [5 5], [0 6], [1 2], [5 2], [1 0], [1 4], [1 3], [0 2],<BLANKLINE>
[5 0]
[0 3]
)
>>> G = Sp(Integer(4),GF(Integer(7)))>>> G._gap_init_()Symplectic Group of degree 4 over Finite Field of size 7>>> G
Symplectic Group of degree 4 over Finite Field of size 7>>> G.random_element()# random output[5 5 5 1][0 2 6 3][5 0 1 0][4 6 3 4]>>> G.order()276595200

Você também pode fazer cálculos usando grupos abelianos (finitos ou infinitos):
sage: F = AbelianGroup(5, [5,5,7,8,9], names= abcde )sage: (a, b, c, d, e) = F.gens()
sage: d * b**2 * c**3b^2*c^3*d
sage: F = AbelianGroup(3,[2]*3); F
Multiplicative Abelian group isomorphic to C2 x C2 x C2
sage: H = AbelianGroup([2,3], names="xy"); H
Multiplicative Abelian group isomorphic to C2 x C3
sage: AbelianGroup(5)Multiplicative Abelian group isomorphic to Z x Z x Z x Z x Z
sage: AbelianGroup(5).order()+Infinity

2.11. Grupos Finitos, Grupos Abelianos

65

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> F = AbelianGroup(Integer(5), [Integer(5),Integer(5),Integer(7),Integer(8),˓→Integer(9)], names= abcde )>>> (a, b, c, d, e) = F.gens()>>> d * b**Integer(2) * c**Integer(3)b^2*c^3*d>>> F = AbelianGroup(Integer(3),[Integer(2)]*Integer(3)); F
Multiplicative Abelian group isomorphic to C2 x C2 x C2>>> H = AbelianGroup([Integer(2),Integer(3)], names="xy"); H
Multiplicative Abelian group isomorphic to C2 x C3>>> AbelianGroup(Integer(5))
Multiplicative Abelian group isomorphic to Z x Z x Z x Z x Z>>> AbelianGroup(Integer(5)).order()+Infinity

2.12 Teoria de Números
O Sage possui extensa funcionalidade para teoria de números. Por exemplo, podemos fazer aritmética em /𝑁seguinte forma:dasage: R = IntegerModRing(97)sage: a = R(2) / R(3)sage: a33
sage: a.rational_reconstruction()
2/3
sage: b = R(47)sage: b^20052005
50
sage: b.modulus()
97
sage: b.is_square()True>>> from sage.all import *>>> R = IntegerModRing(Integer(97))>>> a = R(Integer(2)) / R(Integer(3))>>> a
33>>> a.rational_reconstruction()
2/3>>> b = R(Integer(47))>>> b**Integer(20052005)
50>>> b.modulus()
97>>> b.is_square()True

O Sage contém funções comuns em teoria de números. Por exemplo,
sage: gcd(515,2005)
5
sage: factor(2005)(continua na próxima página)

66

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

5 * 401
sage: c = factorial(25); c
15511210043330985984000000
sage: [valuation(c,p) for p in prime_range(2,23)][22, 10, 6, 3, 2, 1, 1, 1]
sage: next_prime(2005)2011
sage: previous_prime(2005)
2003
sage: divisors(28); sum(divisors(28)); 2*28
[1, 2, 4, 7, 14, 28]
56
56>>> from sage.all import *>>> gcd(Integer(515),Integer(2005))
5>>> factor(Integer(2005))
5 * 401>>> c = factorial(Integer(25)); c
15511210043330985984000000>>> [valuation(c,p) for p in prime_range(Integer(2),Integer(23))][22, 10, 6, 3, 2, 1, 1, 1]>>> next_prime(Integer(2005))
2011>>> previous_prime(Integer(2005))
2003>>> divisors(Integer(28)); sum(divisors(Integer(28))); Integer(2)*Integer(28)[1, 2, 4, 7, 14, 28]
56
56

Perfeito!
A função sigma(n,k) do Sage soma as 𝑘-ésimas potências dos divisores de n:sage: sigma(28,0); sigma(28,1); sigma(28,2)
6
56
1050
>>> from sage.all import *>>> sigma(Integer(28),Integer(0)); sigma(Integer(28),Integer(1)); sigma(Integer(28),
˓→Integer(2))
6
56
1050

A seguir ilustramos o algoritmo de Euclides estendido, a função 𝜑 de Euler, e o teorema do resto Chinês:sage: d,u,v = xgcd(12,15)
sage: d == u*12 + v*15
True
sage: n = 2005
sage: inverse_mod(3,n)
1337(continua na próxima página)

2.12. Teoria de Números

67

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: 3 * 1337
4011
sage: prime_divisors(n)[5, 401]
sage: phi = n*prod([1 - 1/p for p in prime_divisors(n)]); phi
1600
sage: euler_phi(n)1600
sage: prime_to_m_part(n, 5)
401>>> from sage.all import *>>> d,u,v = xgcd(Integer(12),Integer(15))>>> d == u*Integer(12) + v*Integer(15)True>>> n = Integer(2005)>>> inverse_mod(Integer(3),n)1337>>> Integer(3) * Integer(1337)
4011>>> prime_divisors(n)[5, 401]>>> phi = n*prod([Integer(1) - Integer(1)/p for p in prime_divisors(n)]); phi
1600>>> euler_phi(n)1600>>> prime_to_m_part(n, Integer(5))
401Agora verificamos algo sobre o problema 3𝑛 + 1.
sage: n = 2005
sage: for i in range(1000):....:n = 3*odd_part(n) + 1....:
if odd_part(n)==1:....:
print(i)
....:
break
38
>>> from sage.all import *>>> n = Integer(2005)>>> for i in range(Integer(1000)):...
n = Integer(3)*odd_part(n) + Integer(1)...
if odd_part(n)==Integer(1):...
print(i)
...
break
38

Por fim, ilustramos o teorema do resto Chinês.
sage: x = crt(2, 1, 3, 5); x
11sage: x % 3 # x mod 3 = 2
2
sage: x % 5 # x mod 5 = 1
1(continua na próxima página)

68

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: [binomial(13,m) for m in range(14)][1, 13, 78, 286, 715, 1287, 1716, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1]
sage: [binomial(13,m)%2 for m in range(14)][1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1]
sage: [kronecker(m,13) for m in range(1,13)][1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1]
sage: n = 10000; sum([moebius(m) for m in range(1,n)])-23
sage: list(Partitions(4))[[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]>>> from sage.all import *>>> x = crt(Integer(2), Integer(1), Integer(3), Integer(5)); x
11>>> x % Integer(3) # x mod 3 = 2
2>>> x % Integer(5) # x mod 5 = 1
1>>> [binomial(Integer(13),m) for m in range(Integer(14))][1, 13, 78, 286, 715, 1287, 1716, 1716, 1287, 715, 286, 78, 13, 1]>>> [binomial(Integer(13),m)%Integer(2) for m in range(Integer(14))][1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1]>>> [kronecker(m,Integer(13)) for m in range(Integer(1),Integer(13))][1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1]>>> n = Integer(10000); sum([moebius(m) for m in range(Integer(1),n)])-23>>> list(Partitions(Integer(4)))[[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

2.12.1 Números 𝑝-ádicos
O corpo dos números 𝑝-ádicos está implementado em Sage. Note que uma vez que um corpo 𝑝-ádico é criado, você não
pode alterar a sua precisão.
sage: K = Qp(11); K
11-adic Field with capped relative precision 20
sage: a = K(211/17); a
4 + 4*11 + 11^2 + 7*11^3 + 9*11^5 + 5*11^6 + 4*11^7 + 8*11^8 + 7*11^9+ 9*11^10 + 3*11^11 + 10*11^12 + 11^13 + 5*11^14 + 6*11^15 + 2*11^16+ 3*11^17 + 11^18 + 7*11^19 + O(11^20)
sage: b = K(3211/11^2); b
10*11^-2 + 5*11^-1 + 4 + 2*11 + O(11^18)>>> from sage.all import *>>> K = Qp(Integer(11)); K
11-adic Field with capped relative precision 20>>> a = K(Integer(211)/Integer(17)); a4 + 4*11 + 11^2 + 7*11^3 + 9*11^5 + 5*11^6 + 4*11^7 + 8*11^8 + 7*11^9+ 9*11^10 + 3*11^11 + 10*11^12 + 11^13 + 5*11^14 + 6*11^15 + 2*11^16+ 3*11^17 + 11^18 + 7*11^19 + O(11^20)>>> b = K(Integer(3211)/Integer(11)**Integer(2)); b
10*11^-2 + 5*11^-1 + 4 + 2*11 + O(11^18)

Muito trabalho foi feito implementando anéis de inteiros em corpos 𝑝-ádicos ou corpos numéricos além de 𝑍. O leitor
interessado é convidado a perguntar mais detalhes aos especialistas na lista sage-support no Google Groups.
2.12. Teoria de Números

69

Tutorial Sage, Release 10.4

Diversos métodos relacionados já estão implementados na classe NumberField.
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: K = NumberField(x^3 + x^2 - 2*x + 8,
sage: K.integral_basis()[1, 1/2*a^2 + 1/2*a, a^2]

a )>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ, names=( x ,)); (x,) = R._first_ngens(1)>>> K = NumberField(x**Integer(3) + x**Integer(2) - Integer(2)*x + Integer(8),>>> K.integral_basis()[1, 1/2*a^2 + 1/2*a, a^2]a )sage: K.galois_group()
Galois group 3T2 (S3) with order 6 of x^3 + x^2 - 2*x + 8>>> from sage.all import *>>> K.galois_group()
Galois group 3T2 (S3) with order 6 of x^3 + x^2 - 2*x + 8
sage: K.polynomial_quotient_ring()
Univariate Quotient Polynomial Ring in a over Rational Field with modulusx^3 + x^2 - 2*x + 8
sage: K.units()(-3*a^2 - 13*a - 13,)sage: K.discriminant()-503
sage: K.class_group()Class group of order 1 of Number Field in a withdefining polynomial x^3 + x^2 - 2*x + 8
sage: K.class_number()1>>> from sage.all import *>>> K.polynomial_quotient_ring()
Univariate Quotient Polynomial Ring in a over Rational Field with modulusx^3 + x^2 - 2*x + 8>>> K.units()(-3*a^2 - 13*a - 13,)>>> K.discriminant()-503>>> K.class_group()Class group of order 1 of Number Field in a withdefining polynomial x^3 + x^2 - 2*x + 8>>> K.class_number()
1

70

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

2.13 Um Pouco Mais de Matemática Avançada
2.13.1 Geometria AlgébricaVocê pode definir variedades algébricas arbitrárias no Sage, mas as vezes alguma funcionalidade não-trivial é limitada aanéis sobre ou corpos finitos. Por exemplo, vamos calcular a união de duas curvas planas afim, e então recuperar as
curvas como as componentes irredutíveis da união.
sage: x, y = AffineSpace(2, QQ, xy ).gens()
sage: C2 = Curve(x^2 + y^2 - 1)sage: C3 = Curve(x^3 + y^3 - 1)sage: D = C2 + C3
sage: D
Affine Plane Curve over Rational Field defined byx^5 + x^3*y^2 + x^2*y^3 + y^5 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 + 1
sage: D.irreducible_components()[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:x^2 + y^2 - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:x^3 + y^3 - 1]>>> from sage.all import *>>> x, y = AffineSpace(Integer(2), QQ, xy ).gens()>>> C2 = Curve(x**Integer(2) + y**Integer(2) - Integer(1))>>> C3 = Curve(x**Integer(3) + y**Integer(3) - Integer(1))>>> D = C2 + C3>>> D
Affine Plane Curve over Rational Field defined byx^5 + x^3*y^2 + x^2*y^3 + y^5 - x^3 - y^3 - x^2 - y^2 + 1>>> D.irreducible_components()[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:x^2 + y^2 - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:x^3 + y^3 - 1]

Você também pode encontrar todos os pontos de interseção das duas curvas, intersectando-as, e então calculando ascomponentes irredutíveis.
sage: V = C2.intersection(C3)sage: V.irreducible_components()[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:y,x - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:y - 1,x,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x + y + 2,
2*y^2 + 4*y + 3]

2.13. Um Pouco Mais de Matemática Avançada

71

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> V = C2.intersection(C3)>>> V.irreducible_components()[
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:y,x - 1,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:y - 1,x,
Closed subscheme of Affine Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
x + y + 2,
2*y^2 + 4*y + 3]

Portanto, por exemplo, (1, 0) e (0, 1) estão em ambas as curvas (o que é claramente visível), como também estão certos
pontos (quadráticos) cuja coordenada 𝑦 satisfaz 2𝑦 2 + 4𝑦 + 3 = 0.
O Sage pode calcular o ideal toroidal da cúbica torcida no espaço-3 projetivo:
sage: R.<a,b,c,d> = PolynomialRing(QQ, 4)
sage: I = ideal(b^2-a*c, c^2-b*d, a*d-b*c)
sage: F = I.groebner_fan(); F
Groebner fan of the ideal:
Ideal (b^2 - a*c, c^2 - b*d, -b*c + a*d) of Multivariate Polynomial Ringin a, b, c, d over Rational Field
sage: F.reduced_groebner_bases ()[[-c^2 + b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],[-b*c + a*d, -c^2 + b*d, b^2 - a*c],[-c^3 + a*d^2, -c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c],[-c^2 + b*d, b^2 - a*c, b*c - a*d, c^3 - a*d^2],[-b*c + a*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d],[-b^3 + a^2*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d],[-b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d, b^3 - a^2*d],[c^2 - b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c]]
sage: F.polyhedralfan()
Polyhedral fan in 4 dimensions of dimension 4>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ, Integer(4), names=( a , b , c , d ,)); (a, b, c, d,) =␣
˓→R._first_ngens(4)>>> I = ideal(b**Integer(2)-a*c, c**Integer(2)-b*d, a*d-b*c)>>> F = I.groebner_fan(); F
Groebner fan of the ideal:
Ideal (b^2 - a*c, c^2 - b*d, -b*c + a*d) of Multivariate Polynomial Ringin a, b, c, d over Rational Field>>> F.reduced_groebner_bases ()[[-c^2 + b*d, -b*c + a*d, -b^2 + a*c],[-b*c + a*d, -c^2 + b*d, b^2 - a*c],[-c^3 + a*d^2, -c^2 + b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c],[-c^2 + b*d, b^2 - a*c, b*c - a*d, c^3 - a*d^2],[-b*c + a*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d],[-b^3 + a^2*d, -b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d],[-b^2 + a*c, c^2 - b*d, b*c - a*d, b^3 - a^2*d],[c^2 - b*d, b*c - a*d, b^2 - a*c]]>>> F.polyhedralfan()
Polyhedral fan in 4 dimensions of dimension 4

72

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

2.13.2 Curvas Elípticas
A funcionalidade para curvas elípticas inclui a maior parte da funcionalidade para curvas elípticas do PARI, acesso aos
dados da base de dados Cremona (isso requer um pacote adicional), os recursos do mwrank, isto é, “2-descends” com
cálculos do grupo de Mordell-Weil completo, o algoritmo SEA (sigla em inglês), cálculo de todas as isogenias, bastantecódigo novo para curvas sobre , e parte do software “algebraic descent” de Denis Simons.
O comando EllipticCurve para criar curvas elípticas possui várias formas:• EllipticCurve([𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎6 ]): Fornece a curva elíptica
𝑦 2 + 𝑎1 𝑥𝑦 + 𝑎3 𝑦 = 𝑥3 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎4 𝑥 + 𝑎6 ,onde os 𝑎𝑖 ’s são coagidos para a família de 𝑎1 . Se todos os 𝑎𝑖 possuem parente , então eles são coagidos para.

• EllipticCurve([𝑎4 , 𝑎6 ]): Conforme acima, mas 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = 0.
• EllipticCurve(label): Fornece a curva elíptica da base de dados Cremona com o “label” (novo) dado. O label é uma
string, tal como "11a" ou "37b2". As letras devem ser minúsculas (para distinguir dos labels antigos).
• EllipticCurve(j): Fornece uma curva elíptica com invariante 𝑗.
• EllipticCurve(R, [𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎6 ]): Cria uma curva elíptica sobre um anel 𝑅 com os 𝑎𝑖 ’s.
Agora ilustramos cada uma dessas construções:sage: EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
sage: EllipticCurve([GF(5)(0),0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5
sage: EllipticCurve([1,2])
Elliptic Curve defined by y^2= x^3 + x + 2 over Rational Field

sage: EllipticCurve( 37a )Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
sage: EllipticCurve_from_j(1)Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + 36*x + 3455 over Rational Field
sage: EllipticCurve(GF(5), [0,0,1,-1,0])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5>>> from sage.all import *>>> EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field>>> EllipticCurve([GF(Integer(5))(Integer(0)),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),˓→Integer(0)])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5>>> EllipticCurve([Integer(1),Integer(2)])
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x + 2 over Rational Field>>> EllipticCurve( 37a )Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field>>> EllipticCurve_from_j(Integer(1))(continua na próxima página)

2.13. Um Pouco Mais de Matemática Avançada

73

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 + 36*x + 3455 over Rational Field>>> EllipticCurve(GF(Integer(5)), [Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),˓→Integer(0)])
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 4*x over Finite Field of size 5

O par (0, 0) é um ponto na curva elíptica 𝐸 definida por 𝑦 2 + 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥. Para criar esse ponto digite E([0,0]).
O Sage pode somar pontos em uma curva elíptica (lembre-se que é possível definir uma estrutura de grupo aditivo em
curvas elípticas onde o ponto no infinito é o elemento nulo, e a some de três pontos colineares sobre a curva é zero):sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field
sage: P = E([0,0])
sage: P + P(1 : 0 : 1)sage: 10*P
(161/16 : -2065/64 : 1)sage: 20*P
(683916417/264517696 : -18784454671297/4302115807744 : 1)sage: E.conductor()
37>>> from sage.all import *>>> E = EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x over Rational Field>>> P = E([Integer(0),Integer(0)])>>> P + P
(1 : 0 : 1)>>> Integer(10)*P(161/16 : -2065/64 : 1)>>> Integer(20)*P(683916417/264517696 : -18784454671297/4302115807744 : 1)>>> E.conductor()
37

As curvas elípticas sobre os números complexos são parametrizadas pelo invariante 𝑗. O Sage calcula o invariante 𝑗 daseguinte forma:sage: E = EllipticCurve([0,0,0,-4,2]); E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: E.conductor()2368
sage: E.j_invariant()
110592/37>>> from sage.all import *>>> E = EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(0),-Integer(4),Integer(2)]); E
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field>>> E.conductor()
2368>>> E.j_invariant()
110592/37

Se criarmos uma curva com o mesmo invariante 𝑗 que a curva 𝐸, ela não precisa ser isomórfica a 𝐸. No seguinte exemplo,
74

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

as curvas não são isomórficas porque os seus condutores são diferentes.
sage: F = EllipticCurve_from_j(110592/37)
sage: F.conductor()
37>>> from sage.all import *>>> F = EllipticCurve_from_j(Integer(110592)/Integer(37))>>> F.conductor()
37

Todavia, uma torção de 𝐹 por um fator 2 resulta em uma curva isomórfica.
sage: G = F.quadratic_twist(2); G
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field
sage: G.conductor()2368
sage: G.j_invariant()
110592/37>>> from sage.all import *>>> G = F.quadratic_twist(Integer(2)); G
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 4*x + 2 over Rational Field>>> G.conductor()
2368>>> G.j_invariant()
110592/37

Nós podemos calcular os coeficientes 𝑎𝑛 de uma série-𝐿 ou forma modular
cálculo usa a biblioteca C do PARI.

∑︀∞

𝑛=0 𝑎𝑛 𝑞𝑛associada à curva elíptica. Esse

sage: E = EllipticCurve([0,0,1,-1,0])
sage: E.anlist(30)[0, 1, -2, -3, 2, -2, 6, -1, 0, 6, 4, -5, -6, -2, 2, 6, -4, 0, -12, 0, -4,
3, 10, 2, 0, -1, 4, -9, -2, 6, -12]
sage: v = E.anlist(10000)>>> from sage.all import *>>> E = EllipticCurve([Integer(0),Integer(0),Integer(1),-Integer(1),Integer(0)])>>> E.anlist(Integer(30))[0, 1, -2, -3, 2, -2, 6, -1, 0, 6, 4, -5, -6, -2, 2, 6, -4, 0, -12, 0, -4,
3, 10, 2, 0, -1, 4, -9, -2, 6, -12]>>> v = E.anlist(Integer(10000))

Leva apenas um segundo para calcular todos os 𝑎𝑛 para 𝑛 ≤ 105 :sage: %time v = E.anlist(100000)
CPU times: user 0.98 s, sys: 0.06 s, total: 1.04 s
Wall time: 1.06>>> from sage.all import *>>> %time v = E.anlist(Integer(100000))
CPU times: user 0.98 s, sys: 0.06 s, total: 1.04 s
Wall time: 1.06

Curvas elípticas podem ser construídas usando o “label” da base de dados Cremona. Isso importa a curva elíptica com
informações prévias sobre o seu posto, números de Tomagawa, regulador, etc.
2.13. Um Pouco Mais de Matemática Avançada

75

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: E = EllipticCurve("37b2")
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 1873*x - 31833 over Rational
Field
sage: E = EllipticCurve("389a")sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2*x over Rational Field
sage: E.rank()
2sage: E = EllipticCurve("5077a")sage: E.rank()
3>>> from sage.all import *>>> E = EllipticCurve("37b2")>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 1873*x - 31833 over Rational
Field>>> E = EllipticCurve("389a")>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + x^2 - 2*x over Rational Field>>> E.rank()
2>>> E = EllipticCurve("5077a")>>> E.rank()
3

Nós também podemos acessar a base de dados Cremona diretamente.
sage: db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()sage: db.curves(37){ a1 : [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1], b1 : [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3]}
sage: db.allcurves(37){ a1 : [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1],b1 : [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3],b2 : [[0, 1, 1, -1873, -31833], 0, 1],b3 : [[0, 1, 1, -3, 1], 0, 3]}>>> from sage.all import *>>> db = sage.databases.cremona.CremonaDatabase()>>> db.curves(Integer(37)){ a1 : [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1], b1 : [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3]}>>> db.allcurves(Integer(37)){ a1 : [[0, 0, 1, -1, 0], 1, 1],b1 : [[0, 1, 1, -23, -50], 0, 3],b2 : [[0, 1, 1, -1873, -31833], 0, 1],b3 : [[0, 1, 1, -3, 1], 0, 3]}

Os objetos obtidos pela base de dados não são do tipo EllipticCurve. Eles são elementos de uma base de dados
e possuem alguns campos, e apenas isso. Existe uma versão básica da base de dados Cremona, que já é distribuída naversão padrão do Sage, e contém informações limitadas sobre curvas elípticas de condutor ≤ 10000. Existe também umaversão estendida opcional, que contém informações extensas sobre curvas elípticas de condutor ≤ 120000 (em outubro
de 2005). Por fim, existe ainda uma versão (2GB) opcional de uma base de dados para o Sage que contém centenas demilhares de curvas elípticas na base de dados Stein-Watkins.

76

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

2.13.3 Caracteres de Dirichlet
Um caractere de Dirichlet é a extensão de um homomorfismo ( /𝑁 )* → 𝑅* , para algum anel 𝑅, para o mapa
obtido mapeando os inteiros 𝑥 tais que gcd(𝑁, 𝑥) > 1 em 0.

→𝑅sage: G = DirichletGroup(12)sage: G.list()[Dirichlet character modulo 12 of conductor 1 mapping 7 |--> 1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 12 mapping 7 |--> -1, 5 |--> -1]
sage: G.gens()(Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1)
sage: len(G)4>>> from sage.all import *>>> G = DirichletGroup(Integer(12))>>> G.list()[Dirichlet character modulo 12 of conductor 1 mapping 7 |--> 1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 12 mapping 7 |--> -1, 5 |--> -1]>>> G.gens()(Dirichlet character modulo 12 of conductor 4 mapping 7 |--> -1, 5 |--> 1,
Dirichlet character modulo 12 of conductor 3 mapping 7 |--> 1, 5 |--> -1)>>> len(G)4Tendo criado o grupo, a seguir calculamos um elemento e fazemos cálculos com ele.
sage: G = DirichletGroup(21)sage: chi = G.1; chi
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6
sage: chi.values()[0, 1, zeta6 - 1, 0, -zeta6, -zeta6 + 1, 0, 0, 1, 0, zeta6, -zeta6, 0, -1,
0, 0, zeta6 - 1, zeta6, 0, -zeta6 + 1, -1]
sage: chi.conductor()7
sage: chi.modulus()21
sage: chi.order()6sage: chi(19)-zeta6 + 1
sage: chi(40)-zeta6 + 1>>> from sage.all import *>>> G = DirichletGroup(Integer(21))>>> chi = G.gen(1); chi
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6>>> chi.values()[0, 1, zeta6 - 1, 0, -zeta6, -zeta6 + 1, 0, 0, 1, 0, zeta6, -zeta6, 0, -1,
0, 0, zeta6 - 1, zeta6, 0, -zeta6 + 1, -1]>>> chi.conductor()(continua na próxima página)

2.13. Um Pouco Mais de Matemática Avançada

77

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)7>>> chi.modulus()21>>> chi.order()6>>> chi(Integer(19))-zeta6 + 1>>> chi(Integer(40))-zeta6 + 1

É também possível calcular a ação do grupo de Galois Gal( (𝜁𝑁 )/ ) sobre esses caracteres, bem como a decomposição
em produto direto correspondente à fatorização do módulo.
sage: chi.galois_orbit()[Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> -zeta6 + 1,
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6]
sage: go = G.galois_orbits()
sage: [len(orbit) for orbit in go][1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1]
sage: G.decomposition()[Group of Dirichlet characters modulo 3 with values in Cyclotomic Field of order 6 and␣
˓→degree 2,Group of Dirichlet characters modulo 7 with values in Cyclotomic Field of order 6 and␣
˓→degree 2]>>> from sage.all import *>>> chi.galois_orbit()[Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> -zeta6 + 1,
Dirichlet character modulo 21 of conductor 7 mapping 8 |--> 1, 10 |--> zeta6]>>> go = G.galois_orbits()>>> [len(orbit) for orbit in go][1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1]>>> G.decomposition()[Group of Dirichlet characters modulo 3 with values in Cyclotomic Field of order 6 and␣
˓→degree 2,Group of Dirichlet characters modulo 7 with values in Cyclotomic Field of order 6 and␣
˓→degree 2]

A seguir, construímos o grupo de caracteres de Dirichlet mod 20, mas com valores em(𝑖):sage: K.<i> = NumberField(x^2+1)
sage: G = DirichletGroup(20,K)
sage: GGroup of Dirichlet characters modulo 20 with values in Number Field in i with␣
˓→defining polynomial x^2 + 1>>> from sage.all import *>>> K = NumberField(x**Integer(2)+Integer(1), names=( i ,)); (i,) = K._first_ngens(1)(continua na próxima página)

78

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> G = DirichletGroup(Integer(20),K)>>> G
Group of Dirichlet characters modulo 20 with values in Number Field in i with␣
˓→defining polynomial x^2 + 1

Agora calculamos diversos invariantes de G:
sage: G.gens()(Dirichlet character modulo 20 of conductor 4 mapping 11 |--> -1, 17 |--> 1,
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> i)sage: G.unit_gens()(11, 17)
sage: G.zeta()isage: G.zeta_order()4>>> from sage.all import *>>> G.gens()(Dirichlet character modulo 20 of conductor 4 mapping 11 |--> -1, 17 |--> 1,
Dirichlet character modulo 20 of conductor 5 mapping 11 |--> 1, 17 |--> i)>>> G.unit_gens()(11, 17)>>> G.zeta()i>>> G.zeta_order()4

No próximo exemplo criamos um caractere de Dirichlet com valores em um corpo numérico. Nós especificamos explicitamente a escolha da raiz da unidade no terceiro argumento do comando DirichletGroup abaixo.
sage: x = polygen(QQ, x )sage: K = NumberField(x^4 + 1, a ); a = K.0
sage: b = K.gen(); a == b
True
sage: K
Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: G = DirichletGroup(5, K, a); GGroup of Dirichlet characters modulo 5 with values in the group of order 8 generated␣
˓→by a in Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1
sage: chi = G.0; chi
Dirichlet character modulo 5 of conductor 5 mapping 2 |--> a^2
sage: [(chi^i)(2) for i in range(4)][1, a^2, -1, -a^2]>>> from sage.all import *>>> x = polygen(QQ, x )>>> K = NumberField(x**Integer(4) + Integer(1), a ); a = K.gen(0)>>> b = K.gen(); a == b
True
>>> K
Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1>>> G = DirichletGroup(Integer(5), K, a); GGroup of Dirichlet characters modulo 5 with values in the group of order 8 generated␣(continua na próxima página)

2.13. Um Pouco Mais de Matemática Avançada

79

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)by a in Number Field in a with defining polynomial x^4 + 1>>> chi = G.gen(0); chi
Dirichlet character modulo 5 of conductor 5 mapping 2 |--> a^2>>> [(chi**i)(Integer(2)) for i in range(Integer(4))][1, a^2, -1, -a^2]˓→Aqui NumberField(x^4 + 1, a ) diz para o Sage usar o símbolo “a” quando imprimir o que é K (um corpo
numérico definido pelo polinômio 𝑥4 + 1). O nome “a” não está declarado até então. Uma vez que a = K.0 (ouequivalentemente a = K.gen()) é calculado, o símbolo “a” representa a raiz do polinômio gerador 𝑥4 + 1.

2.13.4 Formas Modulares
O Sage pode fazer alguns cálculos relacionados a formas modulares, incluindo dimensões, calcular espaços de símbolos
modulares, operadores de Hecke, e decomposições.
Existem várias funções disponíveis para calcular dimensões de espaços de formas modulares. Por exemplo,
sage: from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
6112>>> from sage.all import *>>> from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(11)),Integer(2))
1>>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(1)),Integer(12))
1>>> dimension_cusp_forms(Gamma1(Integer(389)),Integer(2))
6112

A seguir ilustramos o cálculo dos operadores de Hecke em um espaço de símbolos modulares de nível 1 e peso 12.
sage: M = ModularSymbols(1,12)
sage: M.basis()([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
sage: t2 = M.T(2)sage: t2
Hecke operator T_2 on Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(1)of weight 12 with sign 0 over Rational Field
sage: t2.matrix()
[ -24
0
0]
[
0 -24
0]
[4860
0 2049]sage: f = t2.charpoly( x ); fx^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
sage: factor(f)(x - 2049) * (x + 24)^2
sage: M.T(11).charpoly( x ).factor()(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

80

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> M = ModularSymbols(Integer(1),Integer(12))>>> M.basis()([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])>>> t2 = M.T(Integer(2))>>> t2
Hecke operator T_2 on Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(1)of weight 12 with sign 0 over Rational Field>>> t2.matrix()
[ -24
0
0]
[
0 -24
0]
[4860
0 2049]>>> f = t2.charpoly( x ); fx^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224>>> factor(f)(x - 2049) * (x + 24)^2>>> M.T(Integer(11)).charpoly( x ).factor()(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

Podemos também criar espaços para Γ0 (𝑁 ) e Γ1 (𝑁 ).
sage: ModularSymbols(11,2)
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field
sage: ModularSymbols(Gamma1(11),2)
Modular Symbols space of dimension 11 for Gamma_1(11) of weight 2 withsign 0 over Rational Field>>> from sage.all import *>>> ModularSymbols(Integer(11),Integer(2))
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field>>> ModularSymbols(Gamma1(Integer(11)),Integer(2))
Modular Symbols space of dimension 11 for Gamma_1(11) of weight 2 withsign 0 over Rational Field

Vamos calcular alguns polinômios característicos e expansões 𝑞.
sage: M = ModularSymbols(Gamma1(11),2)
sage: M.T(2).charpoly( x )x^11 - 8*x^10 + 20*x^9 + 10*x^8 - 145*x^7 + 229*x^6 + 58*x^5 - 360*x^4+ 70*x^3 - 515*x^2 + 1804*x - 1452
sage: M.T(2).charpoly( x ).factor()(x - 3) * (x + 2)^2 * (x^4 - 7*x^3 + 19*x^2 - 23*x + 11)* (x^4 - 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 11)
sage: S = M.cuspidal_submodule()
sage: S.T(2).matrix()[-2 0][ 0 -2]sage: S.q_expansion_basis(10)[q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)]>>> from sage.all import *>>> M = ModularSymbols(Gamma1(Integer(11)),Integer(2))>>> M.T(Integer(2)).charpoly( x )(continua na próxima página)

2.13. Um Pouco Mais de Matemática Avançada

81

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)x^11 - 8*x^10 + 20*x^9 + 10*x^8 - 145*x^7 + 229*x^6 + 58*x^5 - 360*x^4+ 70*x^3 - 515*x^2 + 1804*x - 1452>>> M.T(Integer(2)).charpoly( x ).factor()(x - 3) * (x + 2)^2 * (x^4 - 7*x^3 + 19*x^2 - 23*x + 11)* (x^4 - 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 11)>>> S = M.cuspidal_submodule()>>> S.T(Integer(2)).matrix()[-2 0][ 0 -2]>>> S.q_expansion_basis(Integer(10))[
q - 2*q^2 - q^3 + 2*q^4 + q^5 + 2*q^6 - 2*q^7 - 2*q^9 + O(q^10)]

Podemos até mesmo calcular espaços de símbolos modulares com carácter.
sage: G = DirichletGroup(13)sage: e = G.0^2
sage: M = ModularSymbols(e,2); M
Modular Symbols space of dimension 4 and level 13, weight 2, character[zeta6], sign 0, over Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: M.T(2).charpoly( x ).factor()(x - zeta6 - 2) * (x - 2*zeta6 - 1) * (x + zeta6 + 1)^2
sage: S = M.cuspidal_submodule(); S
Modular Symbols subspace of dimension 2 of Modular Symbols space ofdimension 4 and level 13, weight 2, character [zeta6], sign 0, over
Cyclotomic Field of order 6 and degree 2
sage: S.T(2).charpoly( x ).factor()(x + zeta6 + 1)^2
sage: S.q_expansion_basis(10)[q + (-zeta6 - 1)*q^2 + (2*zeta6 - 2)*q^3 + zeta6*q^4 + (-2*zeta6 + 1)*q^5+ (-2*zeta6 + 4)*q^6 + (2*zeta6 - 1)*q^8 - zeta6*q^9 + O(q^10)]>>> from sage.all import *>>> G = DirichletGroup(Integer(13))>>> e = G.gen(0)**Integer(2)>>> M = ModularSymbols(e,Integer(2)); M
Modular Symbols space of dimension 4 and level 13, weight 2, character[zeta6], sign 0, over Cyclotomic Field of order 6 and degree 2>>> M.T(Integer(2)).charpoly( x ).factor()(x - zeta6 - 2) * (x - 2*zeta6 - 1) * (x + zeta6 + 1)^2>>> S = M.cuspidal_submodule(); S
Modular Symbols subspace of dimension 2 of Modular Symbols space ofdimension 4 and level 13, weight 2, character [zeta6], sign 0, over
Cyclotomic Field of order 6 and degree 2>>> S.T(Integer(2)).charpoly( x ).factor()(x + zeta6 + 1)^2>>> S.q_expansion_basis(Integer(10))[
q + (-zeta6 - 1)*q^2 + (2*zeta6 - 2)*q^3 + zeta6*q^4 + (-2*zeta6 + 1)*q^5+ (-2*zeta6 + 4)*q^6 + (2*zeta6 - 1)*q^8 - zeta6*q^9 + O(q^10)]

Aqui está um outro exemplo de como o Sage pode calcular a ação de operadores de Hecke em um espaço de formas
modulares.
82

Capítulo 2. Um passeio guiado

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: T = ModularForms(Gamma0(11),2)
sage: T
Modular Forms space of dimension 2 for Congruence Subgroup Gamma0(11) ofweight 2 over Rational Field
sage: T.degree()2
sage: T.level()11
sage: T.group()
Congruence Subgroup Gamma0(11)sage: T.dimension()2
sage: T.cuspidal_subspace()
Cuspidal subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2 forCongruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: T.eisenstein_subspace()
Eisenstein subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2
for Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field
sage: M = ModularSymbols(11); M
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field
sage: M.weight()
2
sage: M.basis()((1,0), (1,8), (1,9))
sage: M.sign()
0>>> from sage.all import *>>> T = ModularForms(Gamma0(Integer(11)),Integer(2))>>> T
Modular Forms space of dimension 2 for Congruence Subgroup Gamma0(11) ofweight 2 over Rational Field>>> T.degree()2>>> T.level()
11>>> T.group()
Congruence Subgroup Gamma0(11)>>> T.dimension()2>>> T.cuspidal_subspace()
Cuspidal subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2 forCongruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field>>> T.eisenstein_subspace()
Eisenstein subspace of dimension 1 of Modular Forms space of dimension 2
for Congruence Subgroup Gamma0(11) of weight 2 over Rational Field>>> M = ModularSymbols(Integer(11)); M
Modular Symbols space of dimension 3 for Gamma_0(11) of weight 2 with sign
0 over Rational Field>>> M.weight()
2>>> M.basis()((1,0), (1,8), (1,9))>>> M.sign()
0Denote por 𝑇𝑝 os operadores de Hecke usuais (𝑝 primo). Como os operadores de Hecke 𝑇2 , 𝑇3 , e 𝑇5 agem sobre o espaço
2.13. Um Pouco Mais de Matemática Avançada

83

Tutorial Sage, Release 10.4

de símbolos modulares?
sage: M.T(2).matrix()[ 3 0 -1]
[ 0 -2 0][ 0 0 -2]
sage: M.T(3).matrix()[ 4 0 -1]
[ 0 -1 0][ 0 0 -1]
sage: M.T(5).matrix()[ 6 0 -1]
[ 0 1 0][ 0 0 1]>>> from sage.all import *>>> M.T(Integer(2)).matrix()[ 3 0 -1]
[ 0 -2 0][ 0 0 -2]>>> M.T(Integer(3)).matrix()[ 4 0 -1]
[ 0 -1 0][ 0 0 -1]>>> M.T(Integer(5)).matrix()[ 6 0 -1]
[ 0 1 0][ 0 0 1]84

Capítulo 2. Um passeio guiadoCAPÍTULO

3

A Linha de Comando Interativa

Na maior parte deste tutorial, assumimos que você iniciou o interpretador Sage usando o comando sage. Isso inicia umaversão personalizada da linha de comando IPython, e importa diversas funções e classes de modo que elas fiquem prontas
para serem usadas a partir da linha de comando. Configuração adicional é possível editando o arquivo $SAGE_ROOT/
ipythonrc. Assim que você inicia o Sage, você obtém o seguinte:┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐│ SageMath version 9.7, Release Date: 2022-01-10││ Using Python 3.10.4. Type "help()" for help.
│└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage:Para sair do Sage pressione Ctrl-D ou digite quit ou exit.
sage: quit
Exiting Sage (CPU time 0m0.00s, Wall time 0m0.89s)>>> from sage.all import *>>> quit
Exiting Sage (CPU time 0m0.00s, Wall time 0m0.89s)

O wall time é o tempo que passou no relógio “pendurado na sua parede”. Isso é relevante, pois o tempo CPU não contao tempo usado por subprocessos como GAP ou Singular.
(Evite terminar um processo do Sage usando kill -9 a partir de um terminal, pois o Sage pode não terminal seus
subprocessos, por exemplo, subprocessos do Maple, ou limpeza de arquivos temporários em $HOME/.sage/tmp.)

85

Tutorial Sage, Release 10.4

3.1 A Sua Sessão no Sage
A sessão é a sequência de entradas e saídas de dados desde o momento em que você inicia até o momento em que vocêtermina o Sage. O Sage grava todas as entradas de dados, através do IPython. De fato, se você está usando a linha decomando (não o Notebook), então a qualquer momento você pode digitar %history (ou %hist) para obter uma lista
de todas as linhas digitadas até então. Você pode digitar ? no prompt do Sage para aprender mais sobre o IPython, por
exemplo, “IPython offers numbered prompts … with input and output caching. All input is saved and can be retrieved as
variables (besides the usual arrow key recall). The following GLOBAL variables always exist (so don’t overwrite them!)”:_: previous input (interactive shell and notebook)__: next previous input (interactive shell only)_oh : list of all inputs (interactive shell only)

Aqui vai um exemplo:
sage: factor(100)_1 = 2^2 * 5^2sage: kronecker_symbol(3,5)_2 = -1
sage: %hist#This only works from the interactive shell, not the notebook.
1: factor(100)2: kronecker_symbol(3,5)
3: %hist
sage: _oh
_4 = {1: 2^2 * 5^2, 2: -1}
sage: _i1
_5 = factor(ZZ(100))\n
sage: eval(_i1)_6 = 2^2 * 5^2sage: %hist
1: factor(100)2: kronecker_symbol(3,5)
3: %hist
4: _oh5: _i1
6: eval(_i1)
7: %hist>>> from sage.all import *>>> factor(Integer(100))_1 = 2^2 * 5^2>>> kronecker_symbol(Integer(3),Integer(5))_2 = -1>>> %hist#This only works from the interactive shell, not the notebook.
1: factor(100)2: kronecker_symbol(3,5)
3: %hist>>> _oh_4 = {1: 2^2 * 5^2, 2: -1}>>> _i1_5 = factor(ZZ(100))\n>>> eval(_i1)_6 = 2^2 * 5^2>>> %hist
1: factor(100)2: kronecker_symbol(3,5)(continua na próxima página)

86

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

3: %hist
4: _oh5: _i1
6: eval(_i1)
7: %hist

Vamos omitir a numeração das linhas no restante deste tutorial e em outras documentações do Sage.
Você também pode salvar uma lista de comandos em uma macro.
sage: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5])
sage: M = ModularSymbols(37)sage: %hist
1: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5])
2: M = ModularSymbols(37)3: %hist
sage: %macro em 1-2
Macro em created. To execute, type its name (without quotes).
>>> from sage.all import *>>> E = EllipticCurve([Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5)])>>> M = ModularSymbols(Integer(37))>>> %hist
1: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5])
2: M = ModularSymbols(37)3: %hist>>> %macro em Integer(1)-Integer(2)Macro em created. To execute, type its name (without quotes).
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5 over
Rational Field
sage: E = 5
sage: M = Nonesage: em
Executing Macro...
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5 over
Rational Field>>> from sage.all import *>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5 over
Rational Field>>> E = Integer(5)>>> M = None>>> emExecuting Macro...
>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5 over
Rational Field

Quando se usa a linha de comando, qualquer comando UNIX pode ser executado a partir do Sage inserindo um ponto de
exclamação ! como prefixo. Por exemplo,

3.1. A Sua Sessão no Sage

87

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: !ls
auto example.sage glossary.texttmp

tut.log

tut.tex>>> from sage.all import *>>> !ls
auto example.sage glossary.texttmp

tut.log

tut.texfornece a lista de arquivos do atual diretório.
O PATH possui o diretório bin do Sage em primeiro, portanto se você digitar p, gap, singular, maxima, etc., vocêexecuta a versão incluída no Sage.
sage: !gp
Reading GPRC: /etc/gprc ...Done.
GP/PARI CALCULATOR Version 2.2.11 (alpha)i686 running linux (ix86/GMP-4.1.4 kernel) 32-bit version...
sage: !singular
SINGULARA Computer Algebra System for Polynomial Computations//
0<
by: G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schoenemann\
FB Mathematik der Universitaet, D-67653 Kaiserslautern\

Development
version 3-0-1
October 2005>>> from sage.all import *>>> !gp
Reading GPRC: /etc/gprc ...Done.
GP/PARI CALCULATOR Version 2.2.11 (alpha)i686 running linux (ix86/GMP-4.1.4 kernel) 32-bit version...
>>> !singular
SINGULARA Computer Algebra System for Polynomial Computations//
0<
by: G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schoenemann\
FB Mathematik der Universitaet, D-67653 Kaiserslautern\

Development
version 3-0-1
October 2005

3.2 Gravando Entradas e Saídas de dados
Gravar a sua sessão no Sage não é o mesmo que salvá-la (veja Salvando e Abrindo Sessões Completas). Para gravar aentrada de dados (e opcionalmente a saída) use o comando logstart. Digite logstart? para mais detalhes. Vocêpode usar esse comando para gravar tudo o que você digita, toda a saída de dados, e até mesmo usar essa entrada de dados
que você guardou em uma sessão futura (simplesmente importando o arquivo log).
was@form:~$ sage
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐│ SageMath version 9.7, Release Date: 2022-01-10││ Using Python 3.10.4. Type "help()" for help.
│└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage: logstart setup
Activating auto-logging. Current session state plus future input saved.
(continua na próxima página)

88

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

Filename: setupMode: backup
Output logging : False
Timestamping: FalseState: activesage: E = EllipticCurve([1,2,3,4,5]).minimal_model()sage: F = QQ^3sage: x,y = QQ[ x,y ].gens()
sage: G = E.gens()sage:
Exiting Sage (CPU time 0m0.61s, Wall time 0m50.39s).
was@form:~$ sage
┌────────────────────────────────────────────────────────────────────┐│ SageMath version 9.7, Release Date: 2022-01-10││ Using Python 3.10.4. Type "help()" for help.
│└────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
sage: load "setup"
Loading log file <setup> one line at a time...
Finished replaying log file <setup>
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - x^2 + 4*x + 3 over Rational
Field
sage: x*y
x*y
sage: G[(2 : 3 : 1)]

Se você usa o Sage no terminal konsole do Linux KDE, então você pode gravar a sessão da seguinte forma: após
iniciar o Sage no konsole, selecione “settings”, então “history…”, então “set unlimited”. Quando você estiver prontopara guardar a sua sessão, selecione “edit” e então “save history as…” e digite um nome para salvar o texto de sua sessão
em seu computador. Após salvar esse arquivo, você poderia abri-lô em um editor, tal como o xemacs, e imprimi-lo.

3.3 Colar Texto Ignora Prompts
Suponha que você está lendo uma sequência de comandos em Sage ou Python e quer copiá-los no Sage. Mas eles têm
os irritantes prompts >>> ou sage: para te aborrecer. De fato, você pode copiar e colar um exemplo, incluindo os
prompts se você quiser, no Sage. Em outras palavras, automaticamente o Sage remove os caracteres >>> ou sage:
antes de colar o conteúdo no Python. Por exemplo,
sage: 2^101024
sage: sage: sage: 2^101024
sage: >>> 2^101024>>> from sage.all import *>>> Integer(2)**Integer(10)1024>>> sage: sage: Integer(2)**Integer(10)1024>>> >>> Integer(2)**Integer(10)1024

3.3. Colar Texto Ignora Prompts

89Tutorial Sage, Release 10.4

3.4 Comandos de Tempo
Se você colocar o comando %time no começo de uma linha de comando, o tempo que o comando leva para ser executado
vai aparecer após a saída de dados. Por exemplo, nós podemos comparar o tempo de execução para certas operações deexponenciação de várias formas. Os tempos abaixo vão ser provavelmente muito diferentes para o seu computador, ou
até mesmo para versões diferentes do Sage. Primeiro, usando o Python
sage: %time a = int(1938)^int(99484)
CPU times: user 0.66 s, sys: 0.00 s, total: 0.66 s
Wall time: 0.66>>> from sage.all import *>>> %time a = int(Integer(1938))**int(Integer(99484))
CPU times: user 0.66 s, sys: 0.00 s, total: 0.66 s
Wall time: 0.66

Isso significa que levou 0.66 segundos no total, e o wall time, isto é, a quantidade de tempo que passou no seu relógiode parede, é também 0.66 segundos. Se o seu computador está executado outros programas o wall time pode ser muito
maior do que o tempo de CPU.
A seguir verificamos o tempo de exponenciação usando o tipo Integer do Sage, o qual é implementado (em Cython)usando a biblioteca GMP:
sage: %time a = 1938^99484
CPU times: user 0.04 s, sys: 0.00 s, total: 0.04 s
Wall time: 0.04>>> from sage.all import *>>> %time a = Integer(1938)**Integer(99484)
CPU times: user 0.04 s, sys: 0.00 s, total: 0.04 s
Wall time: 0.04

Usando a biblioteca C do PARI:
sage: %time a = pari(1938)^pari(99484)
CPU times: user 0.05 s, sys: 0.00 s, total: 0.05 s
Wall time: 0.05>>> from sage.all import *>>> %time a = pari(Integer(1938))**pari(Integer(99484))
CPU times: user 0.05 s, sys: 0.00 s, total: 0.05 s
Wall time: 0.05

A GMP é melhor, mas por pouco (como esperado, pois a versão do PARI contida no Sage usa a GMP para aritmética deinteiros).
Você pode também contar o tempo de um bloco de comandos usado o comando cputime, como ilustrado abaixo:
sage: t = cputime()
sage: a = int(1938)^int(99484)
sage: b = 1938^99484
sage: c = pari(1938)^pari(99484)
sage: cputime(t)
0.64

90

# somewhat random output

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> t = cputime()>>> a = int(Integer(1938))**int(Integer(99484))>>> b = Integer(1938)**Integer(99484)>>> c = pari(Integer(1938))**pari(Integer(99484))>>> cputime(t)# somewhat random output
0.64
sage: cputime?
...
Return the time in CPU second since Sage started, or with optional
argument t, return the time since time t.
INPUT:
t -- (optional) float, time in CPU seconds
OUTPUT:
float -- time in CPU seconds>>> from sage.all import *>>> cputime?
...
Return the time in CPU second since Sage started, or with optional
argument t, return the time since time t.
INPUT:
t -- (optional) float, time in CPU seconds
OUTPUT:
float -- time in CPU seconds

O comando walltime se comporta como o comando cputime, exceto que ele conta o tempo do relógio.
Nós podemos também calcular a potência acima em alguns softwares de álgebra incluídos no Sage. Em cada caso executamos um comando trivial no sistema de modo a inicializar o servidor para aquele programa. O tempo mais relevante é otempo do relógio. Todavia, se houver uma diferença significativa entre o wall time e o CPU time então isso pode indicar
algum problema de performance que vale a pena investigar.
sage: time 1938^99484;
CPU times: user 0.01 s, sys: 0.00 s, total: 0.01 s
Wall time: 0.01
sage: gp(0)0sage: time g = gp( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.04
sage: maxima(0)0sage: time g = maxima( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.30
sage: kash(0)0sage: time g = kash( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.04
sage: mathematica(0)0sage: time g = mathematica( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.03
(continua na próxima página)

3.4. Comandos de Tempo

91

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: maple(0)0sage: time g = maple( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.11
sage: gap(0)0sage: time g = gap.eval( 1938^99484;; )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 1.02>>> from sage.all import *>>> time Integer(1938)**Integer(99484);
CPU times: user 0.01 s, sys: 0.00 s, total: 0.01 s
Wall time: 0.01>>> gp(Integer(0))
0>>> time g = gp( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.04>>> maxima(Integer(0))
0>>> time g = maxima( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.30>>> kash(Integer(0))
0>>> time g = kash( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.04>>> mathematica(Integer(0))
0>>> time g = mathematica( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.03>>> maple(Integer(0))
0>>> time g = maple( 1938^99484 )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.11>>> gap(Integer(0))
0>>> time g = gap.eval( 1938^99484;; )CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 1.02

Note que o GAP e o Maxima são os mais lentos neste teste (isso foi executado no computador sage.math.
washington.edu). Devido ao processamento extra (overhead) da interface pexpect, talvez não seja apropriado comparar esses resultados com o Sage, que é o mais rápido.

92

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4

3.5 Outras Dicas para o IPython
Como observado acima, o Sage usa o IPython como interface, logo você pode usar quaisquer comandos e recursos do
IPython. Você pode ler a Documentação completa do IPython (em inglês).
• Você pode usar %edit (ou %ed ou ed) para abrir um editor, se você desejar digitar algum código mais complexo.
Antes de iniciar o Sage, certifique-se de que a variável de ambiente EDITOR está definida com o seu editor favorito(colocando export EDITOR=/usr/bin/emacs ou export EDITOR=/usr/bin/vim or algo similar
no lugar apropriado, como um arquivo .profile). A partir do prompt do Sage, o comando %edit irá abrir oeditor escolhido. Então usando o editor você pode definir uma função:def some_function(n):return n**2 + 3*n + 2

Salve e feche o editor. No restante da sua sessão do Sage, você pode usar então a função some_function. Sevocê quiser modificá-la, digite %edit some_function no prompt do Sage.
• Se você for calcular algo e quiser modificar o resultado para outro uso, execute o cálculo e então digite %rep: isso
irá colocar o resultado do comando anterior no prompt do Sage, pronto para ser editado.:
sage: f(x) = cos(x)sage: f(x).derivative(x)-sin(x)>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(cos(x)).function(x)>>> f(x).derivative(x)-sin(x)A esta altura, se você digitar %rep no prompt do Sage, você irá obter um novo prompt, seguido de -sin(x),com o cursor no final da linha.
Para mais informações, digite %quickref para ver um guia rápido de referência do IPython. Quando este tutorial foi
escrito (Fevereiro 2015), o Sage usa a versão 2.3.0 do IPython, e a documentation for its magic commands está disponível
na internet.

3.6 Erros e Exceções
Quando algo errado ocorre, você usualmente verá uma “exceção” do Python. O Python até mesmo tenta sugerir o que
ocasionou a exceção, por exemplo, NameError ou ValueError (veja o Referência da Biblioteca Python [PyLR] parauma lista completa de exceções). Por exemplo,
sage: 3_2-----------------------------------------------------------File "<console>", line 1
ZZ(3)_2^
SyntaxError: invalid ...
sage: EllipticCurve([0,infinity])-----------------------------------------------------------Traceback (most recent call last):...
TypeError: Unable to coerce Infinity (<class sage...Infinity >) to Rational

3.5. Outras Dicas para o IPython

93

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> Integer(3_2)-----------------------------------------------------------File "<console>", line 1
ZZ(3)_2^
SyntaxError: invalid ...
>>> EllipticCurve([Integer(0),infinity])-----------------------------------------------------------Traceback (most recent call last):...
TypeError: Unable to coerce Infinity (<class sage...Infinity >) to Rational

O debugador interativo é as vezes útil para entender o que houve de errado. Você pode ativá-lo e desativá-lo usando %pdb
(o padrão é desativado). O prompt ipdb> aparece se uma exceção é levantada e o debugador está ativado. A partir dodebugador, você pode imprimir o estado de qualquer variável local, e mover a pilha de execução para cima e para baixo.
Por exemplo,
sage: %pdb
Automatic pdb calling has been turned ON
sage: EllipticCurve([1,infinity])--------------------------------------------------------------------------<class exceptions.TypeError >Traceback (most recent call last)
...
ipdb>
>>> from sage.all import *>>> %pdb
Automatic pdb calling has been turned ON>>> EllipticCurve([Integer(1),infinity])--------------------------------------------------------------------------<class exceptions.TypeError >Traceback (most recent call last)
...
ipdb>

Para uma lista de comandos do debugador, digite ? no prompt ipbd>:
ipdb> ?
Documented commands (type help <topic>):========================================
EOF
break commands
debug
h
a
bt
condition disable help
alias ccontdown
ignoreargs
clcontinue
enablejbclear dexit
jump
whatis where

l
list
n
next
p

pdef
pdoc
pinfo
pp
q

quit
r
returns
steptbreakuunaliasupw

Miscellaneous help topics:==========================
exec pdb
Undocumented commands:======================(continua na próxima página)

94

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

retvalrv

Digite Ctrl-D ou quit para retornar ao Sage.

3.7 Busca Reversa e Completamento Tab
Busca reversa: Digite o começo de um comando, e então Ctrl-p (ou tecle a seta para cima) para voltar para cada linha
que você digitou que começa daquela forma. Isso funciona mesmo se você encerrou o Sage e iniciou novamente maistarde. Você também pode fazer uma busca reversa ao longo da história usando Ctrl-r. Todos esses recursos usam opacote readline, que está disponível no Linux.
Para ilustrar a busca reversa, primeiro crie o e espaço vetorial tri-dimensional 𝑉 =3da seguinte forma:sage: V = VectorSpace(QQ,3)
sage: V
Vector space of dimension 3 over Rational Field>>> from sage.all import *>>> V = VectorSpace(QQ,Integer(3))>>> V
Vector space of dimension 3 over Rational FieldVocê pode usar a seguinte notação mais compacta:
sage: V = QQ^3>>> from sage.all import *>>> V = QQ**Integer(3)Então é fácil listar todas as funções para 𝑉 usando completamento. Digite V, e então pressione a tecla [tab] no seu
teclado:sage: V.[tab key]
V._VectorSpace_generic__base_field...
V.ambient_space
V.base_field
V.base_ring
V.basisV.coordinates...
V.zero_vector>>> from sage.all import *>>> V.[tab key]
V._VectorSpace_generic__base_field...
V.ambient_space
V.base_field
V.base_ring
V.basisV.coordinates...
V.zero_vector

3.7. Busca Reversa e Completamento Tab

95

Tutorial Sage, Release 10.4

Se você digitar as primeiras letras de uma função, e então a tecla [tab], você obtém apenas funções que começam
conforme indicado.
sage: V.i[tab key]
V.is_ambient V.is_dense

V.is_full

V.is_sparse>>> from sage.all import *>>> V.i[tab key]
V.is_ambient V.is_dense

V.is_full

V.is_sparse

Se você gostaria de saber o que uma função faz, por exemplo, a função coordinates, digite V.coordinates? para
ajuda ou V.coordinates?? para ver o código fonte, como explicado na próxima sessão.

3.8 Sistema de Ajuda Integrado
O Sage possui um sistema de ajuda integrado. Digite o nome da função seguido de ? para ver informações sobre a função.
sage: V = QQ^3sage: V.coordinates?
Type:instancemethod
Base Class:<class instancemethod >String Form:<bound method FreeModule_ambient_field.coordinates of Vector
space of dimension 3 over Rational Field>
Namespace:InteractiveFile:/home/was/s/local/lib/python2.4/site-packages/sage/modules/f
ree_module.py
Definition:
V.coordinates(self, v)
Docstring:Write v in terms of the basis for self.
Returns a list c such that if B is the basis for self, thensum c_i B_i = v.
If v is not in self, raises an ArithmeticError exception.
EXAMPLES:
sage: M = FreeModule(IntegerRing(), 2); M0,M1=M.gens()
sage: W = M.submodule([M0 + M1, M0 - 2*M1])
sage: W.coordinates(2*M0-M1)[2, -1]>>> from sage.all import *>>> V = QQ**Integer(3)>>> V.coordinates?
Type:instancemethod
Base Class:<class instancemethod >String Form:<bound method FreeModule_ambient_field.coordinates of Vector
space of dimension 3 over Rational Field>
Namespace:InteractiveFile:/home/was/s/local/lib/python2.4/site-packages/sage/modules/f
ree_module.py
Definition:
V.coordinates(self, v)
Docstring:Write v in terms of the basis for self.
(continua na próxima página)

96

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

Returns a list c such that if B is the basis for self, thensum c_i B_i = v.
If v is not in self, raises an ArithmeticError exception.
EXAMPLES:>>> M = FreeModule(IntegerRing(), Integer(2)); M0,M1=M.gens()>>> W = M.submodule([M0 + M1, M0 - Integer(2)*M1])>>> W.coordinates(Integer(2)*M0-M1)[2, -1]

Como mostrado acima, o comando de ajuda mostra o tipo do objeto, o arquivo no qual ele é definido, e uma descrição útilda função com exemplos que você pode colar na sua sessão atual. Quase todos esses exemplos são regularmente testados
automaticamente para certificar que eles se comportam exatamente como esperado.
Outro recurso que vai muito na direção do espírito de código aberto do Sage é que se f é uma função do Python, então
o comando f?? mostra o código fonte que define f. Por exemplo,
sage: V = QQ^3sage: V.coordinates??
Type:instancemethod...
Source:def coordinates(self, v):"""
Write $v$ in terms of the basis for self.
...
"""
return self.coordinate_vector(v).list()>>> from sage.all import *>>> V = QQ**Integer(3)>>> V.coordinates??
Type:instancemethod...
Source:def coordinates(self, v):"""
Write $v$ in terms of the basis for self.
...
"""
return self.coordinate_vector(v).list()

Isso nos diz que tudo que a função coordinates faz é chamar a função coordinate_vector e converter oresultado para uma lista. O que a função coordinate_vector faz?
sage: V = QQ^3sage: V.coordinate_vector??
...
def coordinate_vector(self, v):...
return self.ambient_vector_space()(v)

3.8. Sistema de Ajuda Integrado

97

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> V = QQ**Integer(3)>>> V.coordinate_vector??
...
def coordinate_vector(self, v):...
return self.ambient_vector_space()(v)

A função coordinate_vector coage a sua entrada em um espaço ambiente, o que tem o efeito de calcular o vetor
de coeficientes de 𝑣 em termos de 𝑉 . O espaço 𝑉 já é o espaço ambiente pois é simplesmente 3 . Existe também umafunção coordinate_vector para subespaços, que é diferente. Vamos criar um subespaço e ver:sage: V = QQ^3; W = V.span_of_basis([V.0, V.1])
sage: W.coordinate_vector??
...
def coordinate_vector(self, v):
"""
...
"""
# First find the coordinates of v wrt echelon basis.
w = self.echelon_coordinate_vector(v)# Next use transformation matrix from echelon basis to# user basis.
T = self.echelon_to_user_matrix()
return T.linear_combination_of_rows(w)>>> from sage.all import *>>> V = QQ**Integer(3); W = V.span_of_basis([V.gen(0), V.gen(1)])>>> W.coordinate_vector??
...
def coordinate_vector(self, v):
"""
...
"""
# First find the coordinates of v wrt echelon basis.
w = self.echelon_coordinate_vector(v)# Next use transformation matrix from echelon basis to# user basis.
T = self.echelon_to_user_matrix()
return T.linear_combination_of_rows(w)(Se você acha que a implementação é ineficiente, por favor junte-se a nós para ajudar a optimizar as funções de álgebralinear.)Você também pode digitar help(command_name) ou help(class) para ler um arquivo de ajuda sobre determinada classe.
sage: help(VectorSpace)
Help on function VectorSpace in module sage.modules.free_module:
VectorSpace(K, dimension_or_basis_keys=None, sparse=False, inner_product_matrix=None,␣˓→*,
with_basis= standard , dimension=None, basis_keys=None, **args)
EXAMPLES:
The base can be complicated, as long as it is a field.
(continua na próxima página)

98

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)::sage: V = VectorSpace(FractionField(PolynomialRing(ZZ, x )),3)
sage: V
Vector space of dimension 3 over Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x
over Integer Ringsage: V.basis()[(1, 0, 0),(0, 1, 0),--More->>> from sage.all import *>>> help(VectorSpace)
Help on function VectorSpace in module sage.modules.free_module:
VectorSpace(K, dimension_or_basis_keys=None, sparse=False, inner_product_matrix=None,␣˓→*,
with_basis= standard , dimension=None, basis_keys=None, **args)
EXAMPLES:
The base can be complicated, as long as it is a field.
::>>> V = VectorSpace(FractionField(PolynomialRing(ZZ, x )),Integer(3))>>> V
Vector space of dimension 3 over Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x
over Integer Ring>>> V.basis()[(1, 0, 0),(0, 1, 0),--More--Quando você digita q para sair do sistema de ajuda, a sua sessão aparece na tela da mesma forma que anteriormente.
O texto de ajuda não fica permanentemente em sua tela, ao contrário da saída de function_name? que as vezes
fica. É partircularmente útil digitar help(module_name). Por exemplo, espaços vetoriais são definidos em sage.
modules.free_module, então digite help(sage.modules.free_module) para obter documentação sobre
esse módulo. Quando visualizando documentação usando a ajuda, você pode procurar no texto digitando / e na ordem
reversa digitando ?.

3.9 Salvando e Carregando Objetos IndividuaisSuponha que você calcule uma matriz, ou pior ainda, um espaço complicado de símbolos, e gostaria de salvá-los para uso
posterior. O que você pode fazer? Existem várias estratégias que os sistemas computacionais de álgebra adotam parasalvar objetos individuais.
1. Salve seus cálculos: Suportam apenas salvar e carregar uma sessão completa (por exemplo, GAP, Magma).
2. Entrada e Saída Unificadas: Faz com que cada objeto seja impresso de uma forma que possa ser lido novamente(GP/PARI).
3. Eval: Torna fácil processar um código arbitrário no interpretador (por exemplo, Singular, PARI).

3.9. Salvando e Carregando Objetos Individuais

99

Tutorial Sage, Release 10.4

Como o Sage usa o Python, ele adota uma estratégia diferente, que se baseia no fato de que qualquer objeto pode ser“serializado”, isto é, transformado em uma string a partir da qual o objeto pode ser recuperado. Isso segue o espírito
da estratégia unificada de entrada e saída do PARI, exceto que não possue a desvantagem que os objetos são impressos
na tela em uma forma muito complicada. Além disso, o suporte para salvar e recuperar é (na maior parte dos casos)
completamente automática, não requerendo nenhuma programação extra; é simplesmente um recurso do Python que foi
implementado na linguagem desde o início de seu desenvolvimento.
Quase todos os objetos x podem ser armazenados em disco de forma comprimida usando save(x, filename) (ouem muitos casos x.save(filename)). Para carregar o objeto de volta no Sage use load(filename).
sage: A = MatrixSpace(QQ,3)(range(9))^2
sage: A
[ 15 18 21][ 42 54 66][ 69 90 111]
sage: save(A, A )>>> from sage.all import *>>> A = MatrixSpace(QQ,Integer(3))(range(Integer(9)))**Integer(2)>>> A[ 15 18 21][ 42 54 66][ 69 90 111]>>> save(A, A )Você deve agora sair do Sage e reiniciá-lo. Então você pode obter A de volta:
sage: A = load( A )sage: A
[ 15 18 21][ 42 54 66][ 69 90 111]>>> from sage.all import *>>> A = load( A )>>> A[ 15 18 21][ 42 54 66][ 69 90 111]

Você pode fazer o mesmo com objetos mais complicados, por exemplo, curvas elípticas. Todos os dados sobre o objeto
são guardados e restaurados com o objeto. Por exemplo,
sage: E = EllipticCurve( 11a )sage: v = E.anlist(100000)
sage: save(E, E )sage: quit>>> from sage.all import *>>> E = EllipticCurve( 11a )>>> v = E.anlist(Integer(100000))>>> save(E, E )>>> quit# takes a while# takes a while

A versão em disco de E ocupa 153 kilobytes, pois ela guarda os primeiros 1000000 𝑎𝑛 com ela.

100

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4~/tmp$ ls -l E.sobj-rw-r--r-- 1 was was 153500 2006-01-28 19:23 E.sobj~/tmp$ sage [...]
sage: E = load( E )sage: v = E.anlist(100000)# instant!

(Em Python, salvar e restaurar é feito usando o módulo cPickle. Em particular, um objeto x do Sage pode ser salvo
usando cPickle.dumps(x, 2). Note o 2!)
O sage não pode salvar e carregar objetos criados em algum outro sistema computacional de álgebra, por exemplo, GAP,
Singular, Maxima, etc. Eles são carregados em um estado “inválido”. Em GAP, embora muitos objetos podem ser
impressos de uma forma que eles podem ser reconstruídos, muitos não, logo reconstrução a partir de suas representações
impressas não é permitido.
sage: a = gap(2)sage: a.save( a )sage: load( a )Traceback (most recent call last):...
ValueError: The session in which this object was defined is no longer
running.
>>> from sage.all import *>>> a = gap(Integer(2))>>> a.save( a )>>> load( a )Traceback (most recent call last):...
ValueError: The session in which this object was defined is no longer
running.

Objetos do GP/PARI também podem ser salvos e carregados pois suas representações em forma impressa são suficientes
para reconstruí-los.
sage: a = gp(2)sage: a.save( a )sage: load( a )2>>> from sage.all import *>>> a = gp(Integer(2))>>> a.save( a )>>> load( a )2Objetos que foram salvos podem ser abertos posteriormente em computadores com arquiteturas e sistemas operacionais
diferentes, por exemplo, você poderia salvar uma matriz muito grande em um OS X de 32-bits e abri-lo em um Linuxde 64-bits, encontrar a forma reduzida, e movê-lo de volta. Além disso, em muitos casos você pode até mesmo abrir
objetos em versões do Sage diferentes daquela no qual o objeto foi salvo, desde que o código para aquele objeto não seja
muito diferente. Todos os atributos do objetos são armazendos, assim como a classe (mas não o código fonte) que defineo objeto. Se aquela classe não existir mais em uma nova versão do Sage, então o objeto não pode ser reaberto nessaversão. Mas você poderia abri-lo em uma versão mais antiga, obter o dicionário do objeto (com x.__dict__), salvaro dicionário, e abri-lo em uma versão mais nova.

3.9. Salvando e Carregando Objetos Individuais

101

Tutorial Sage, Release 10.4

3.9.1 Salvando como TextoVocê também pode salvar a representação em texto (ASCII) de objetos em um arquivo, simplesmente abrindo um arquivo
em modo de escrita, e escrevendo a string que representa o objeto no arquivo (você pode salvar mais de um objeto dessa
forma). Quando você terminar de escrever os objetos, feche o arquivo.
sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ,2)
sage: f = (x+y)^7
sage: o = open( file.txt , w )sage: o.write(str(f))
sage: o.close()>>> from sage.all import *>>> R = PolynomialRing(QQ,Integer(2), names=( x ,>>> f = (x+y)**Integer(7)>>> o = open( file.txt , w )>>> o.write(str(f))>>> o.close()y ,)); (x, y,) = R._first_ngens(2)3.10 Salvando e Abrindo Sessões Completas
O Sage é flexível para salvar e abrir sessões completas.
O comando save_session(sessionname) salva todas as variáveis que você definiu na sessão atual como um
dicionário com o nome sessionname. (No caso raro de uma variável não poder ser salva, ela simplesmente não
aparece no dicionário.) O resultado é um arquivo .sobj que pode ser aberto como qualquer outro objeto que foi salvo.
Quando você abre os objetos que foram salvos em uma sessão, você obtém um dicionário cujas chaves (keys) são os nomesdas variáveis e os valores são os objetos.
Você pode usar o comando load_session(sessionname) para carregar na presente sessão as variáveis definidas
em sessioname. Note que isso não remove as variáveis já definidas na presente sessão; em vez disso, as duas sessões
são combinadas.
Primeiro iniciamos o Sage e definimos algumas variáveis.
sage: E = EllipticCurve( 11a )sage: M = ModularSymbols(37)sage: a = 389
sage: t = M.T(2003).matrix(); t.charpoly().factor()_4 = (x - 2004) * (x - 12)^2 * (x + 54)^2>>> from sage.all import *>>> E = EllipticCurve( 11a )>>> M = ModularSymbols(Integer(37))>>> a = Integer(389)>>> t = M.T(Integer(2003)).matrix(); t.charpoly().factor()_4 = (x - 2004) * (x - 12)^2 * (x + 54)^2

A seguir nós salvamos a nossa sessão, o que armazena cada uma das variáveis acima em um arquivo. Então visualizamos
o arquivo, que tem por volta de 3K bytes.
sage: save_session( misc )Saving a
Saving M(continua na próxima página)

102

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

Saving t
Saving E
sage: quit
was@form:~/tmp$ ls -l misc.sobj-rw-r--r-- 1 was was 2979 2006-01-28 19:47 misc.sobj>>> from sage.all import *>>> save_session( misc )Saving a
Saving M
Saving t
Saving E>>> quit
was@form:~/tmp$ ls -l misc.sobj-rw-r--r-- 1 was was 2979 2006-01-28 19:47 misc.sobj

Por fim reiniciamos o Sage, definimos algumas variáveis extra, e carregamos a sessão que foi salva anteriormente.
sage: b = 19
sage: load_session( misc )Loading a
Loading M
Loading E
Loading t>>> from sage.all import *>>> b = Integer(19)>>> load_session( misc )Loading a
Loading M
Loading E
Loading t

Cada variável que foi salva está de novo disponível. Além disso, a variável b não foi redefinida.
sage: M
Full Modular Symbols space for Gamma_0(37) of weight 2 with sign 0
and dimension 5 over Rational Field
sage: E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational
Field
sage: b19
sage: a389>>> from sage.all import *>>> M
Full Modular Symbols space for Gamma_0(37) of weight 2 with sign 0
and dimension 5 over Rational Field>>> E
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 - x^2 - 10*x - 20 over Rational
Field
>>> b
19
(continua na próxima página)

3.10. Salvando e Abrindo Sessões Completas

103

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

>>> a
389

104

Capítulo 3. A Linha de Comando Interativa

CAPÍTULO

4

Interfaces

Uma característica central do Sage é que ele permite fazer cálculos com objetos em vários sistemas de álgebra computacional usando uma interface comum e uma linguagem de programação clara.
Os métodos console e interact de uma interface executam tarefas bem diferentes. Por exemplo, usando GAP:
1. gap.console(): Isso abre um console do GAP - o controle é transferido para o GAP. Aqui o Sage não é nadamais do que uma forma conveniente de executar um programa, similar à shell Bash do Linux.
2. gap.interact(): Essa é uma forma de interagir com uma instância do GAP que pode estar cheia de objetos
do Sage. Você pode importar objetos nessa seção do GAP (até mesmo a partir da interface interativa), etc.

4.1 GP/PARIO PARI é um programa em C muito compacto, maduro, e extremamente otimizado cujo foco primário é teoria denúmeros. Existem duas interfaces distintas que podem ser usadas no Sage:• gp – o “G do P ARI” interpretador, e• pari – a biblioteca C do PARI.
Por exemplo, os seguintes comandos são duas formas de realizar a mesma coisa. Eles parecem idênticos, mas o resultado
é na verdade diferente, e o que acontece por trás da cena é bastante diferente.
sage: gp( znprimroot(10007) )Mod(5, 10007)
sage: pari( znprimroot(10007) )Mod(5, 10007)>>> from sage.all import *>>> gp( znprimroot(10007) )Mod(5, 10007)>>> pari( znprimroot(10007) )Mod(5, 10007)

105

Tutorial Sage, Release 10.4

No primeiro caso, uma cópia separada do interpretador GP é iniciada como um servidor, e a string znprimroot(10007) é enviada, calculada pelo GP, e o resultado é armazenado em uma variável no GP (que ocupa espaço
na memória dos processos do GP que não serão liberados). Então o valor dessa variável é exibido. No segundo caso, nenhum programa separado é iniciado, e a string znprimroot(10007) é calculada por uma certa função da biblioteca
C do PARI. O resultado é armazenado na memória em uso pelo Python, que é liberada quando a variável não for mais
referenciada. Os objetos possuem tipos diferentes:
sage: type(gp( znprimroot(10007) ))<class sage.interfaces.gp.GpElement >sage: type(pari( znprimroot(10007) ))<class cypari2.gen.Gen >>>> from sage.all import *>>> type(gp( znprimroot(10007) ))<class sage.interfaces.gp.GpElement >>>> type(pari( znprimroot(10007) ))<class cypari2.gen.Gen >Então qual eu devo usar? Depende do que você está fazendo. A interface GP pode fazer absolutamente tudo o que vocêpoderia fazer na linha de comando do GP/PARI, pois está simplesmente executando esse programa. Em particular, vocêpode carregar programas complicados em PARI e executá-los. Por outro lado, a interface do PARI (via a biblioteca C)é muito mais restritiva. Primeiro, nem todas as funções foram implementadas. Segundo, bastante código, por exemplo, envolvendo integração numérica, não irá funcionar através da interface PARI. Todavia, a interface PARI pode sersignificamente mais rápida e mais robusta do que a interface GP.
(Se a interface GP ficar sem memória para calcular algum comando, ela irá silenciosamente e automaticamente duplicar amemória alocada e repetir o comando solicitado. Então os seus cálculos não irão ser interrompidos se você não antecipou
corretamente a quantidade de memória que seria necessária. Esse é um truque útil que a interface usual do GP não parece
fornecer. Com respeito à interface da biblioteca C do PARI, ela imediatamente copia cada objeto criado para fora dapilha de memória, logo essa pilha nunca irá crescer. Contudo, cada objeto não deve exceder 100MB de tamanho, ou apilha irá estourar quando o objeto for criado. Essa procedimento de cópia impõe uma leve pena sobre a performace.)
Em resumo, o Sage usa a biblioteca C do pari para fornecer funcionalidade similar à fornecida pelo interpretador
GP/PARI, exceto que com um gerenciamento sofisticado de memória e a linguagem de programação Python.
Primeiro criamos uma lista do PARI a partir de uma lista do Python.
sage: v = pari([1,2,3,4,5])
sage: v
[1, 2, 3, 4, 5]
sage: type(v)<class cypari2.gen.Gen >>>> from sage.all import *>>> v = pari([Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5)])>>> v[1, 2, 3, 4, 5]>>> type(v)<class cypari2.gen.Gen >Cada objeto do PARI é do tipo Gen. O tipo PARI do objeto subjacente pode ser obtido usando a função type.
sage: v.type()
t_VEC

106

Capítulo 4. Interfaces

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> v.type()
t_VEC

Em PARI, para criar uma curva elíptica digitamos ellinit([1,2,3,4,5]). Em Sage é similar, exceto que ellinit é um método que pode ser chamado em qualquer objeto do PARI, por exemplo, t_VEC 𝑣.
sage: e = v.ellinit()
sage: e.type()t_VEC
sage: pari(e)[:13][1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 29, 35, -183, -3429, -10351, 6128487/10351]>>> from sage.all import *>>> e = v.ellinit()>>> e.type()t_VEC>>> pari(e)[:Integer(13)][1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 29, 35, -183, -3429, -10351, 6128487/10351]

Agora que temos um objeto de curva elíptica, podemos calcular algumas coisas a respeito dele.
sage: e.elltors()[1, [], []]sage: e.ellglobalred()[10351, [1, -1, 0, -1], 1, [11, 1; 941, 1], [[1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1]]]
sage: f = e.ellchangecurve([1,-1,0,-1])
sage: f[:5][1, -1, 0, 4, 3]>>> from sage.all import *>>> e.elltors()[1, [], []]>>> e.ellglobalred()[10351, [1, -1, 0, -1], 1, [11, 1; 941, 1], [[1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1]]]>>> f = e.ellchangecurve([Integer(1),-Integer(1),Integer(0),-Integer(1)])>>> f[:Integer(5)][1, -1, 0, 4, 3]

4.2 GAPO Sage vem com o GAP para matemática discreta computacional, especialmente teoria de grupos.
Aqui está um exemplo com a função IdGroup do GAP, a qual usa a base de dados opcional sobre grupos que precisa
ser instalada separadamente, como explicado abaixo.
sage: G = gap( Group((1,2,3)(4,5), (3,4)) )sage: GGroup( [ (1,2,3)(4,5), (3,4) ] )sage: G.Center()Group( () )sage: G.IdGroup()[ 120, 34 ]sage: G.Order()120

4.2. GAP

107

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> G = gap( Group((1,2,3)(4,5), (3,4)) )>>> G
Group( [ (1,2,3)(4,5), (3,4) ] )>>> G.Center()Group( () )>>> G.IdGroup()[ 120, 34 ]>>> G.Order()120

Podemos realizar os mesmos cálculos no Sage sem explicitamente evocar a interface do GAP da seguinte forma:sage: G = PermutationGroup([[(1,2,3),(4,5)],[(3,4)]])sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,˓→5)])
sage: G.group_id()[120, 34]
sage: n = G.order(); n120>>> from sage.all import *>>> G = PermutationGroup([[(Integer(1),Integer(2),Integer(3)),(Integer(4),˓→Integer(5))],[(Integer(3),Integer(4))]])>>> G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,˓→5)])>>> G.group_id()[120, 34]>>> n = G.order(); n120Para algumas funcionalidades do GAP, deve-se instalar um pacote Sage opcional. Isso pode ser feito com o comando:
sage -i gap_packages

4.3 Singular
O Singular fornece uma biblioteca massiva e madura para bases de Gröbner, máximo divisor comum para polinômios
em várias variáveis, bases de espaços de Riemann-Roch de uma curva plana, e fatorização, entre outras coisas. Vamos
ilustrar a fatorização de polinômios em várias variáveis usando a interface do Sage para o Singular (não digite ...):
sage: R1 = singular.ring(0, (x,y) , dp )sage: R1
polynomial ring, over a field, global ordering//
coefficients: QQ//
number of vars : 2//
block
1 : ordering dp//: names
x y
//
block
2 : ordering C
sage: f = singular( 9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 +....:9*x^6*y^4 + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 ....:
9*x^12*y^3 - 18*x^13*y^2 + 9*x^16 )108

Capítulo 4. Interfaces

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> R1 = singular.ring(Integer(0), (x,y) , dp )>>> R1polynomial ring, over a field, global ordering//
coefficients: QQ//
number of vars : 2//
block
1 : ordering dp//: names
x y
//
block
2 : ordering C>>> f = singular( 9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 +...
9*x^6*y^4 + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 ...
9*x^12*y^3 - 18*x^13*y^2 + 9*x^16 )Agora que definimos 𝑓 , vamos imprimi-lo e fatorá-lo.
sage: f9*x^16-18*x^13*y^2-9*x^12*y^3+9*x^10*y^4-18*x^11*y^2+36*x^8*y^4+18*x^7*y^5-18*x^5*y^
˓→6+9*x^6*y^4-18*x^3*y^6-9*x^2*y^7+9*y^8
sage: f.parent()
Singularsage: F = f.factorize(); F[1]:_[1]=9_[2]=x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4_[3]=-x^5+y^2
[2]:
1,1,2
sage: F[1][2]x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4>>> from sage.all import *>>> f
9*x^16-18*x^13*y^2-9*x^12*y^3+9*x^10*y^4-18*x^11*y^2+36*x^8*y^4+18*x^7*y^5-18*x^5*y^
˓→6+9*x^6*y^4-18*x^3*y^6-9*x^2*y^7+9*y^8>>> f.parent()
Singular>>> F = f.factorize(); F[1]:_[1]=9_[2]=x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4_[3]=-x^5+y^2
[2]:
1,1,2
>>> F[Integer(1)][Integer(2)]x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4

Como com o exemplo para o GAP em GAP, podemos calcular a fatorização acima sem explicitamente usar a inteface doSingular (todavia, implicitamente o Sage usa a interface do Singular para os cálculos). Não digite ...:
sage: x, y = QQ[ x, y ].gens()
sage: f = 9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 + 9*x^6*y^4 \....:+ 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 - 9*x^12*y^3 \....:- 18*x^13*y^2 + 9*x^16
sage: factor(f)(9) * (-x^5 + y^2)^2 * (x^6 - 2*x^3*y^2 - x^2*y^3 + y^4)

4.3. Singular109

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> x, y = QQ[ x, y ].gens()>>> f = Integer(9)*y**Integer(8) - Integer(9)*x**Integer(2)*y**Integer(7) -␣˓→Integer(18)*x**Integer(3)*y**Integer(6) - Integer(18)*x**Integer(5)*y**Integer(6) +␣˓→Integer(9)*x**Integer(6)*y**Integer(4)+␣˓→Integer(18)*x**Integer(7)*y**Integer(5) + Integer(36)*x**Integer(8)*y**Integer(4) +␣˓→Integer(9)*x**Integer(10)*y**Integer(4) - Integer(18)*x**Integer(11)*y**Integer(2) ˓→ Integer(9)*x**Integer(12)*y**Integer(3)-␣˓→Integer(18)*x**Integer(13)*y**Integer(2) + Integer(9)*x**Integer(16)>>> factor(f)(9) * (-x^5 + y^2)^2 * (x^6 - 2*x^3*y^2 - x^2*y^3 + y^4)

4.4 Maxima
O Maxima está incluido no Sage, assim como uma implementação do Lisp. O pacote gnuplot (que o Maxima usa para
criar gráficos) é distribuído como um pacote adicional do Sage. Entre outras coisas, o Maxima executa manipulações
simbólicas. Ele pode integrar e diferenciar funções simbolicamente, resolver EDOs de primeira ordem, grande partedas EDOs lineares de segunda ordem, e tem implementado o método da transformada de Laplace para EDOs linearesde qualquer ordem. O Maxima também suporta uma série de funções especiais, é capaz de criar gráficos via gnuplot, epossui métodos para resolver equações polinômiais e manipular matrizes (por exemplo, escalonar e calcular autovalores
e autovetores).
Nós ilustramos a interface Sage/Maxima construíndo uma matriz cuja entrada 𝑖, 𝑗 é 𝑖/𝑗, para 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 4.
sage: f = maxima.eval( ij_entry[i,j] := i/j )sage: A = maxima( genmatrix(ij_entry,4,4) ); A
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[2,1,2/3,1/2],[3,3/2,1,3/4],[4,2,4/3,1])
sage: A.determinant()
0sage: A.echelon()
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])
sage: A.eigenvalues()[[0,4],[3,1]]
sage: A.eigenvectors().sage()[[[0, 4], [3, 1]], [[[1, 0, 0, -4], [0, 1, 0, -2], [0, 0, 1, -4/3]], [[1, 2, 3, 4]]]]>>> from sage.all import *>>> f = maxima.eval( ij_entry[i,j] := i/j )>>> A = maxima( genmatrix(ij_entry,4,4) ); A
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[2,1,2/3,1/2],[3,3/2,1,3/4],[4,2,4/3,1])>>> A.determinant()
0>>> A.echelon()
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])>>> A.eigenvalues()[[0,4],[3,1]]>>> A.eigenvectors().sage()[[[0, 4], [3, 1]], [[[1, 0, 0, -4], [0, 1, 0, -2], [0, 0, 1, -4/3]], [[1, 2, 3, 4]]]]Aqui vai outro exemplo:
sage: A = maxima("matrix ([1, 0, 0], [1, -1, 0], [1, 3, -2])")sage: eigA = A.eigenvectors()
sage: V = VectorSpace(QQ,3)(continua na próxima página)

110

Capítulo 4. Interfaces

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: eigA[[[-2,-1,1],[1,1,1]],[[[0,0,1]],[[0,1,3]],[[1,1/2,5/6]]]]sage: v1 = V(sage_eval(repr(eigA[1][0][0]))); lambda1 = eigA[0][0][0]sage: v2 = V(sage_eval(repr(eigA[1][1][0]))); lambda2 = eigA[0][0][1]sage: v3 = V(sage_eval(repr(eigA[1][2][0]))); lambda3 = eigA[0][0][2]sage: M = MatrixSpace(QQ,3,3)
sage: AA = M([[1,0,0],[1, - 1,0],[1,3, - 2]])sage: b1 = v1.base_ring()sage: AA*v1 == b1(lambda1)*v1
True
sage: b2 = v2.base_ring()sage: AA*v2 == b2(lambda2)*v2
True
sage: b3 = v3.base_ring()sage: AA*v3 == b3(lambda3)*v3
True>>> from sage.all import *>>> A = maxima("matrix ([1, 0, 0], [1, -1, 0], [1, 3, -2])")>>> eigA = A.eigenvectors()>>> V = VectorSpace(QQ,Integer(3))>>> eigA[[[-2,-1,1],[1,1,1]],[[[0,0,1]],[[0,1,3]],[[1,1/2,5/6]]]]>>> v1 = V(sage_eval(repr(eigA[Integer(1)][Integer(0)][Integer(0)]))); lambda1 =␣
˓→eigA[Integer(0)][Integer(0)][Integer(0)]>>> v2 = V(sage_eval(repr(eigA[Integer(1)][Integer(1)][Integer(0)]))); lambda2 =␣˓→eigA[Integer(0)][Integer(0)][Integer(1)]>>> v3 = V(sage_eval(repr(eigA[Integer(1)][Integer(2)][Integer(0)]))); lambda3 =␣
˓→eigA[Integer(0)][Integer(0)][Integer(2)]>>> M = MatrixSpace(QQ,Integer(3),Integer(3))>>> AA = M([[Integer(1),Integer(0),Integer(0)],[Integer(1), - Integer(1),Integer(0)],˓→[Integer(1),Integer(3), - Integer(2)]])>>> b1 = v1.base_ring()>>> AA*v1 == b1(lambda1)*v1
True>>> b2 = v2.base_ring()>>> AA*v2 == b2(lambda2)*v2
True>>> b3 = v3.base_ring()>>> AA*v3 == b3(lambda3)*v3
True

Por fim, apresentamos um exemplo de como usar o Sage para criar gráficos usando openmath. Alguns desses exemplos
são modificações de exemplos do manual de referência do Maxima.
Um gráfico em duas dimensões de diversas funções (não digite ...):
sage: maxima.plot2d( [cos(7*x),cos(23*x)^4,sin(13*x)^3] ,....:[plot_format,openmath] )>>> from sage.all import *>>> maxima.plot2d( [cos(7*x),cos(23*x)^4,sin(13*x)^3] ,...
[plot_format,openmath] )[x,0,1] ,[x,0,1] ,# not tested# not tested

Um gráfico em 3D que você pode mover com o seu mouse:
4.4. Maxima

111

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: maxima.plot3d("2^(-u^2 + v^2)", "[u, -3, 3]", "[v, -2, 2]",....:[plot_format, openmath] )# not tested

sage: maxima.plot3d("atan(-x^2 + y^3/4)", "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]",....:"[grid, 50, 50]", [plot_format, openmath] )>>> from sage.all import *>>> maxima.plot3d("2^(-u^2 + v^2)", "[u, -3, 3]", "[v, -2, 2]",...
[plot_format, openmath] )# not tested# not tested>>> maxima.plot3d("atan(-x^2 + y^3/4)", "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]",...
"[grid, 50, 50]", [plot_format, openmath] )# not tested

O próximo gráfico é a famosa faixa de Möbious:
sage: maxima.plot3d("[cos(x)*(3 + y*cos(x/2)), sin(x)*(3 + y*cos(x/2)),"....:"y*sin(x/2)]", "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]",....:[plot_format, openmath] )>>> from sage.all import *>>> maxima.plot3d("[cos(x)*(3 + y*cos(x/2)), sin(x)*(3 + y*cos(x/2)),"...
"y*sin(x/2)]", "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]",...
[plot_format, openmath] )# not tested# not tested

E agora a famosa garrafa de Klein:sage: _ = maxima("expr_1: 5*cos(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0)"....:"- 10.0")
sage: _ = maxima("expr_2: -5*sin(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0)")
sage: _ = maxima("expr_3: 5*(-sin(x/2)*cos(y) + cos(x/2)*sin(2*y))")sage: maxima.plot3d("[expr_1, expr_2, expr_3]", "[x, -%pi, %pi]", # not tested....:"[y, -%pi, %pi]", "[ grid, 40, 40]",....:[plot_format, openmath] )>>> from sage.all import *>>> _ = maxima("expr_1: 5*cos(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0)"...
"- 10.0")>>> _ = maxima("expr_2: -5*sin(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0)")>>> _ = maxima("expr_3: 5*(-sin(x/2)*cos(y) + cos(x/2)*sin(2*y))")>>> maxima.plot3d("[expr_1, expr_2, expr_3]", "[x, -%pi, %pi]", # not tested...
"[y, -%pi, %pi]", "[ grid, 40, 40]",...
[plot_format, openmath] )112

Capítulo 4. InterfacesCAPÍTULO

5

Sage, LaTeX e Companheiros

AUTOR: Rob Beezer (2010-05-23)
O Sage e o dialeto LaTeX do TeX tem um relacionamento sinergético intenso. Esta seção tem como objetivo introduzir
as diversas formas de interação entre eles, começado pelas mais básicas e indo até as menos usuais. (Logo você pode nãoquerer ler esta seção inteira na sua primeira passagem por este tutorial.)

5.1 Panorama Geral
Pode ser mais fácil entender os vários usos do LaTeX com um panorama geral sobre os três principais métodos usados
pelo Sage.
1. Todo objeto no Sage possui uma representação em LaTeX. Você pode acessar essa representação executando, noNotebook ou na linha de comando do Sage, latex(foo) where foo é algum objeto no Sage. O resultado é
uma string que deve fornecer uma representação razoável de foo no modo matemático em LaTeX (por exemplo,
quando cercado por um par de símbolos $). Alguns exemplos disso seguem abaixo.
Dessa forma, o Sage pode ser usado efetivamente para construir partes de um documento LaTeX: crie ou calculeum objeto no Sage, imprima latex() do objeto e copie-e-cole o resultado no seu documento.
2. A interface Notebook é configurada para usar o MathJax para representar fórmulas matemáticas de forma clara
em um web navegador. O MathJax é uma coleção de rotinas em JavaScript e fontes associadas. Tipicamente esses
fontes ficam armazenadas em um servidor e são enviadas para o navegador juntamente com a página onde elas estão
sendo usadas. No caso do Sage, o Notebook está sempre conectado a um servidor usado para executar os comando
do Sage, e esse servidor também fornece as fontes do MathJax necessárias. Logo não é necessário configurar nadamais para ter formulas matemáticas representadas no seu navegador quando você usa o Notebook do Sage.
O MathJax é implementado para representar um subconjunto grande, mas não completo, do TeX. Ele não suporta
objetos como, por exemplo, tabelas complicadas e seções, e é focado para representar acuradamente pequenas
fórmulas em TeX. A representação automática de fórmulas matemáticas no Notebook é obtida convertendo a
representação latex() de um objeto (como descrito acima) em uma forma de HTML mais adequada ao MathJax.
Como o MathJax usa as suas próprias fontes de tamanho variável, ele é superior a outros métodos que convertem
equações, ou outros pequenos trechos de TeX, em imagens estáticas.

113

Tutorial Sage, Release 10.4

3. Na linha de comando do Sage, ou no Notebook quando o código em LaTeX é complicado demais para o MathJax
processar, uma instalação local do LaTeX pode ser usada. O Sage inclui quase tudo que você precisa para compilare usar o Sage, mas uma exceção significativa é o TeX. Então nessas situações você precisa ter o TeX instalado,
juntamente com algumas ferramentas de conversão, para usar os recursos completos.
Aqui nós demonstramos alguns usos básicos da função latex().
sage: var( z )zsage: latex(z^12)z^{12}
sage: latex(integrate(z^4, z))\frac{1}{5} \, z^{5}
sage: latex( a string )\text{\texttt{a{ }string}}sage: latex(QQ)\Bold{Q}sage: latex(matrix(QQ, 2, 3, [[2,4,6],[-1,-1,-1]]))\left(\begin{array}{rrr}
2 & 4 & 6 \\-1 & -1 & -1\end{array}\right)>>> from sage.all import *>>> var( z )z>>> latex(z**Integer(12))
z^{12}>>> latex(integrate(z**Integer(4), z))\frac{1}{5} \, z^{5}>>> latex( a string )\text{\texttt{a{ }string}}>>> latex(QQ)\Bold{Q}>>> latex(matrix(QQ, Integer(2), Integer(3), [[Integer(2),Integer(4),Integer(6)],[˓→Integer(1),-Integer(1),-Integer(1)]]))\left(\begin{array}{rrr}
2 & 4 & 6 \\-1 & -1 & -1\end{array}\right)

A funcionalidade básica do MathJax é em sua maior parte automática no Notebook, mas nós podemos demonstrar esse
suporte parcialmente com a classe MathJax. A função eval dessa classe converte um objeto do Sage em sua representação LaTeX e adiciona HTML que por sua vez evoca a classe “matemática” do CSS, a qual então emprega oMathJax.
sage: from sage.misc.html import MathJax
sage: js = MathJax()
sage: var( z )zsage: js(z^12)<html>\[z^{12}\]</html>
sage: js(QQ)<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{Q}\]</html>
sage: js(ZZ[x])<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{Z}[x]\]</html>
sage: js(integrate(z^4, z))<html>\[\frac{1}{5} \, z^{5}\]</html>

114

Capítulo 5. Sage, LaTeX e Companheiros

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> from sage.misc.html import MathJax>>> js = MathJax()>>> var( z )z>>> js(z**Integer(12))<html>\[z^{12}\]</html>>>> js(QQ)<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{Q}\]</html>>>> js(ZZ[x])<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{Z}[x]\]</html>>>> js(integrate(z**Integer(4), z))<html>\[\frac{1}{5} \, z^{5}\]</html>

5.2 Uso Básico
Como indicado acima, a forma mais simples de explorar o suporte do Sage para o LaTeX é usando a função latex()para criar código LaTeX para representar objetos matemáticos. Essas strings podem então ser incorporadas em documentos LaTeX. Isso funciona igualmente no Notebook ou na linha de comando do Sage.
No outro extremo está o comando view(). Na linha de comando do Sage o comando view(foo) irá criar a representação em LaTeX de foo, incorporar isso em um documento simples em LaTeX, e então processar o documento usandoo LaTeX em seu sistema. Por fim, o visualizador apropriado será aberto para apresentar o documento gerado. Qualversão do TeX é usada, e portanto as opções para a saída e visualizador, podem ser personalizados (veja Personalizando
o Processamento em LaTeX).
No Notebook, o comando view(foo) cria uma combinação apropriada de HTML e CSS para que o MathJax mostre a
representação em LaTeX na folha de trabalho. Para o usuário, ele simplesmente cria uma versão cuidadosamente formatada do resultado, distinta da saída padrão em modo texto do Sage. Nem todo objeto no Sage possui uma representação
em LaTeX adequada às capacidades limitadas do MathJax. Nesses casos, a interpretação pelo MathJax pode ser deixada
de lado, e com isso o LaTeX do sistema é chamado, e o resultado dessa chamada é convertido em uma imagem queé inserida na folha de trabalho. Como alterar e controlar esse processo é discutido abaixo na seção Personalizando a
Criação de Código LaTeX.
O comando interno pretty_print() ilustra a conversão de objetos do Sage para HTML que emprega o MathJax no
Notebook.
sage: pretty_print(x^12)
x^12
sage: pretty_print(integrate(sin(x), x))-cos(x)>>> from sage.all import *>>> pretty_print(x**Integer(12))
x^12>>> pretty_print(integrate(sin(x), x))-cos(x)O Notebook tem outros dois recursos para empregar o TeX. O primeiro é o botão “Typeset” bem acima da primeira
célula da folha de trabalho, à direita dos quatro menus de opções. Quando selecionado, o resultado de qualquer cálculo
vai ser interpretado pelo MathJax. Note que esse efeito não é retroativo – células calculadas anteriormente precisam serrecalculadas para ter o resultado representado pelo MathJax. Essencialmente, selecionar o botão “Typeset” é equivalente
a aplicar o comando view() ao resultado de cada célula.

5.2. Uso Básico

115

Tutorial Sage, Release 10.4

Um segundo recurso disponível no Notebook é possibilidade de inserir código TeX para fazer anotações na folha detrabalho. Quando o cursos esta posicionado entre células de modo que uma barra azul fica visível, então shift+clique irá
abrir um mini processador de texto, TinyMCE. Isso permite digitar texto, usando um editor WSISYG para criar HTMLe CSS. Logo é possível inserir texto formatado para complementar a folha de trabalho. Todavia, texto entre símbolos $,ou $$, é interpretado pelo MathJax como “inline” ou “display math” espectivamente.

5.3 Personalizando a Criação de Código LaTeX
Exitem várias formas de personalizar o código LaTeX gerado pelo comando latex(). No Notebook e na linha decomando existe um objeto pré-definido chamado latex que possui diversos métodos, os quais você pode listar digitando
latex., seguido da tecla tab (note a presença do ponto).
Um bom exemplo é o método latex.matrix_delimiters. Ele pode ser usado para alterar a notação de matrizes– parênteses grandes, colchetes, barras verticais. Nenhuma noção de estilo é enfatizada, você pode configurar comodesejado. Observe como as barras invertidas usadas em LaTeX requerem uma barra adicional para que elas não sejam
interpretadas pelo Python como um comando (ou seja, sejam implementadas simplesmente como parte de uma string.
sage: A = matrix(ZZ, 2, 2, range(4))
sage: latex(A)\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\
2 & 3\end{array}\right)
sage: latex.matrix_delimiters(left= [ , right= ] )sage: latex(A)\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\
2 & 3\end{array}\right]
sage: latex.matrix_delimiters(left= \\{ , right= \\} )sage: latex(A)\left\{\begin{array}{rr}0 & 1 \\
2 & 3\end{array}\right\}>>> from sage.all import *>>> A = matrix(ZZ, Integer(2), Integer(2), range(Integer(4)))>>> latex(A)\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\
2 & 3\end{array}\right)>>> latex.matrix_delimiters(left= [ , right= ] )>>> latex(A)\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\
2 & 3\end{array}\right]>>> latex.matrix_delimiters(left= \\{ , right= \\} )>>> latex(A)\left\{\begin{array}{rr}0 & 1 \\
2 & 3\end{array}\right\}

116

Capítulo 5. Sage, LaTeX e Companheiros

Tutorial Sage, Release 10.4

O método latex.vector_delimiters funciona de forma similar.
A forma como anéis e corpos comuns podem ser representados pode ser controlada pelo método latex.
blackboard_bold. Esses conjuntos são representados por padrão em negrito, mas podem opcionalmente ser escritos
em letras duplas como é comum em trabalhos escritos. Isso é obtido redefinindo a macro \Bold{} que faz parte doSage.
sage: latex(QQ)\Bold{Q}sage: from sage.misc.html import MathJax
sage: js = MathJax()
sage: js(QQ)<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{Q}\]</html>
sage: latex.blackboard_bold(True)
sage: js(QQ)<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbb{#1}}\Bold{Q}\]</html>
sage: latex.blackboard_bold(False)>>> from sage.all import *>>> latex(QQ)\Bold{Q}>>> from sage.misc.html import MathJax>>> js = MathJax()>>> js(QQ)<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\Bold{Q}\]</html>>>> latex.blackboard_bold(True)>>> js(QQ)<html>\[\newcommand{\Bold}[1]{\mathbb{#1}}\Bold{Q}\]</html>>>> latex.blackboard_bold(False)

É possível aproveitar os recursos do TeX adicionando novas funções (macros em inglês) e novos pacotes. Primeiro,funções individuais podem ser adicionadas para serem usadas quando o MathJax interpreta pequenos trechos de códigos
TeX no Notebook.
sage: latex.extra_macros()sage: latex.add_macro("\\newcommand{\\foo}{bar}")sage: latex.extra_macros()\\newcommand{\\foo}{bar}sage: var( x y )(x, y)
sage: latex(x+y)
x + ysage: from sage.misc.html import MathJax
sage: js = MathJax()
sage: js(x+y)<html>\[\newcommand{\foo}{bar}x + y\]</html>>>> from sage.all import *>>> latex.extra_macros()>>> latex.add_macro("\\newcommand{\\foo}{bar}")>>> latex.extra_macros()\\newcommand{\\foo}{bar}>>> var( x y )(continua na próxima página)

5.3. Personalizando a Criação de Código LaTeX

117

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)(x, y)>>> latex(x+y)
x + y>>> from sage.misc.html import MathJax>>> js = MathJax()>>> js(x+y)<html>\[\newcommand{\foo}{bar}x + y\]</html>

Macros adicionais usadas dessa forma serão também usadas eventualmente se a versão do TeX no seu sistema for usadapara lidar com algo muito complicado para o MathJax. O comando latex_extra_preamble é usado para construiro preambulo de um documento completo em LaTeX. Ilustramos a seguir como fazer isso. Novamente note a necessidadede barras invertidas duplas nas strings do Python.
sage: latex.extra_macros( )sage: latex.extra_preamble( )sage: from sage.misc.latex import latex_extra_preamble
sage: print(latex_extra_preamble())\newcommand{\ZZ}{\Bold{Z}}...
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}sage: latex.add_macro("\\newcommand{\\foo}{bar}")sage: print(latex_extra_preamble())\newcommand{\ZZ}{\Bold{Z}}...
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\foo}{bar}>>> from sage.all import *>>> latex.extra_macros( )>>> latex.extra_preamble( )>>> from sage.misc.latex import latex_extra_preamble>>> print(latex_extra_preamble())\newcommand{\ZZ}{\Bold{Z}}...
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}>>> latex.add_macro("\\newcommand{\\foo}{bar}")>>> print(latex_extra_preamble())\newcommand{\ZZ}{\Bold{Z}}...
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\foo}{bar}Novamente, para expressões grandes ou mais complicadas do LaTeX, é possível adicionar pacotes (ouqualquer outra coisa) ao preambulo do arquivo LaTeX. Qualquer coisa pode ser incorporada no preambulo com o comando latex.add_to_preamble, e o comando mais especializado latex.
add_package_to_preamble_if_available irá primeiro verificar se certo pacote está realmente disponível
antes de adicioná-lo ao preambulo
Agora adicionamos o pacote geometry ao preambulo e usamos ele para definir o tamanho da região na página que o TeX
vai usar (efetivamente definido as margens). Novamente, observe a necessidade de barras duplas nas strings do Python.
sage: from sage.misc.latex import latex_extra_preamble
sage: latex.extra_macros( )sage: latex.extra_preamble( )sage: latex.add_to_preamble( \\usepackage{geometry} )sage: latex.add_to_preamble( \\geometry{letterpaper,total={8in,10in}} )(continua na próxima página)

118

Capítulo 5. Sage, LaTeX e Companheiros

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: latex.extra_preamble()\\usepackage{geometry}\\geometry{letterpaper,total={8in,10in}}sage: print(latex_extra_preamble())\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,total={8in,10in}}\newcommand{\ZZ}{\Bold{Z}}...
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}>>> from sage.all import *>>> from sage.misc.latex import latex_extra_preamble>>> latex.extra_macros( )>>> latex.extra_preamble( )>>> latex.add_to_preamble( \\usepackage{geometry} )>>> latex.add_to_preamble( \\geometry{letterpaper,total={8in,10in}} )>>> latex.extra_preamble()\\usepackage{geometry}\\geometry{letterpaper,total={8in,10in}}>>> print(latex_extra_preamble())\usepackage{geometry}\geometry{letterpaper,total={8in,10in}}\newcommand{\ZZ}{\Bold{Z}}...
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}Um pacote pode ser adicionado juntamente com a verificação de sua existência, da seguinte forma. Como um exemplo,
nós ilustramos uma tentativa de adicionar ao preambulo um pacote que supostamente não existe.
sage: latex.extra_preamble( )sage: latex.extra_preamble()sage: latex.add_to_preamble( \\usepackage{foo-bar-unchecked} )sage: latex.extra_preamble()\\usepackage{foo-bar-unchecked}
sage: latex.add_package_to_preamble_if_available( foo-bar-checked )sage: latex.extra_preamble()\\usepackage{foo-bar-unchecked}>>> from sage.all import *>>> latex.extra_preamble( )>>> latex.extra_preamble()>>> latex.add_to_preamble( \\usepackage{foo-bar-unchecked} )>>> latex.extra_preamble()\\usepackage{foo-bar-unchecked}>>> latex.add_package_to_preamble_if_available( foo-bar-checked )>>> latex.extra_preamble()\\usepackage{foo-bar-unchecked}

5.3. Personalizando a Criação de Código LaTeX

119

Tutorial Sage, Release 10.4

5.4 Personalizando o Processamento em LaTeX
É também possível controlar qual variação do TeX é usada quando a versão do sistema for evocada, logo influenciando
também o resultado. De forma similar, é também possível controlar quando o Notebook irá usar o MathJax (trechos
simples em TeX) ou a versão do TeX do sistema (expressões mais complicadas).
O comando latex.engine() pode ser usado para controlar de os executáveis latex, pdflatex ou xelatex dosistema são usados para processar expressões mais complicadas. Quando view() é chamado na linha de comando do
Sage e o processador é definido como latex, um arquivo dvi é produzido e o Sage vai usar um visualizador de dvi (comoo xdvi) para apresentar o resultado. Por outro lado, usando view() na linha de comando do Sage, quando o processador
é definido como pdflatex, irá produzir um PDF e o Sage vai executar o programa disponível no seu sistema paravisualizar arquivos PDF (acrobat, okular, evince, etc.).
No Notebook, é necessário interver na decisão de se o MathJax vai interpretar trechos em TeX, ou se o LaTeX dosistema deve fazer o trabalho se o código em LaTeX for complicado demais. O dispositivo é uma lista de strings,
que se forem encontradas em um trecho de código LaTeX sinalizam para o Notebook usar o LaTeX (ou qualquer
executável que for definido pelo comando latex.engine()). Essa lista é gerenciada pelos comandos latex.
add_to_mathjax_avoid_list e latex.mathjax_avoid_list.
sage: # not tested
sage: latex.mathjax_avoid_list([])
sage: latex.mathjax_avoid_list()[]
sage: latex.mathjax_avoid_list([ foo , bar ])sage: latex.mathjax_avoid_list()[ foo , bar ]sage: latex.add_to_mathjax_avoid_list( tikzpicture )sage: latex.mathjax_avoid_list()[ foo , bar , tikzpicture ]sage: latex.mathjax_avoid_list([])
sage: latex.mathjax_avoid_list()[]>>> from sage.all import *>>> # not tested>>> latex.mathjax_avoid_list([])>>> latex.mathjax_avoid_list()[]>>> latex.mathjax_avoid_list([ foo , bar ])>>> latex.mathjax_avoid_list()[ foo , bar ]>>> latex.add_to_mathjax_avoid_list( tikzpicture )>>> latex.mathjax_avoid_list()[ foo , bar , tikzpicture ]>>> latex.mathjax_avoid_list([])>>> latex.mathjax_avoid_list()[]

Suponha que uma expressão em LaTeX é produzida no Notebook com o comando view() ou enquanto o botão “Typeset” está selecionado, e então reconhecida, através da “lista de comandos a serem evitados no MathJax”, como necessitando
a versão do LaTeX no sistema. Então o executável selecionado (como especificado por latex.engine()) irá processar o código em LaTeX. Todavia, em vez de então abrir um visualizador externo (o que é o comportamento na linha
de comando), o Sage irá tentar converter o resultado em uma imagem, que então é inserida na folha de trabalho como oresultado da célula.
Exatamente como essa conversão é feita depende de vários fatores – qual executável você especificou como processador
e quais utilitários de conversão estão disponíveis no seu sistema. Quatro conversores usuais que irão cobrir todas as120

Capítulo 5. Sage, LaTeX e Companheiros

Tutorial Sage, Release 10.4

ocorrências são o dvips, ps2pdf, e dvipng, e do pacote ImageMagick, o convert. O objetivo é produzir um
arquivo PNG para ser inserido de volta na folha de trabalho. Quando uma expressão em LaTeX pode ser convertida com
sucesso em um arquivo dvi pelo processador LaTeX, então o dvipng deve dar conta da conversão. Se a expressão em
LaTeX e o processador especificado criarem um arquivo dvi com conteúdo especial que o dvipng não pode converter, então
o dvips vai criar um arquivo PostScript. Esse arquivo PostScript, ou um PDF criado por pelo processador pdflatex, éentão convertido em um arquivo dvi pelo programa convert. A presença de dois desses conversores pode ser testado
com as rotinas have_dvipng() e have_convert().
Essas conversões são feitas automaticamente se você tiver os conversores necessários instalados; se não, então uma mensagem de erro é impressa dizendo o que está faltando e onde obter.
Para um exemplo concreto de como expressões complicadas em LaTeX podem ser processadas, veja o exemplo na próxima seção (Exemplo: Grafos Combinatoriais com tkz-graph) para usar o pacote tkz-graph para produzir ilustrações de grafos combinatoriais de alta qualidade. Para outros exemplos, existem alguns casos teste incluídos no Sage.
Para usá-los, é necessário importar o objeto sage.misc.latex.latex_examples, que é uma instância da classe
sage.misc.latex.LatexExamples, como mostrado abaixo. Essa classe possui exemplos de diagramas comutativos, grafos combinatoriais, teoria de nós e pstricks, os quais respectivamente testam os seguintes pacotes: xy, tkz-graph,xypic, pstricks. Após importar o objeto, use completamento tab em latex_examples para ver os exemplos disponíveis. Ao carregar um exemplo você irá obter explicações sobre o que é necessário para fazer o conteúdo do exemplo ser
exibido corretamente. Para de fato ver os exemplos, é necessário usar view() (uma vez que o preambulo, processador,
etc. estão configurados corretamente).
sage: from sage.misc.latex import latex_examples
sage: latex_examples.diagram()
LaTeX example for testing display of a commutative diagram producedby xypic.
To use, try to view this object -- it will not work. Now try
latex.add_to_preamble("\\usepackage[matrix,arrow,curve,cmtip]{xy}") ,and try viewing again. You should get a picture (a part of the diagram arisingfrom a filtered chain complex).
>>> from sage.all import *>>> from sage.misc.latex import latex_examples>>> latex_examples.diagram()
LaTeX example for testing display of a commutative diagram producedby xypic.
<BLANKLINE>
To use, try to view this object -- it will not work. Now try
latex.add_to_preamble("\\usepackage[matrix,arrow,curve,cmtip]{xy}") ,and try viewing again. You should get a picture (a part of the diagram arisingfrom a filtered chain complex).

5.5 Exemplo: Grafos Combinatoriais com tkz-graph
Ilustrações de alta qualidade de grafos combinatoriais (daqui por diante, simplesmente grafos) são possíveis com o pacotetkz-graph. Esse pacote baseia-se no tikz front-end da biblioteca pgf. Logo todos esses componentes precisam
ser parte de uma instalação completa do LaTeX em seu sistema, e pode acontecer que alguns desses componentes não
estejam em sua versão mais recente em algumas distribuições do TeX. Logo, para melhores resultados, seria necessário
ou recomendável instalar esses pacotes como parte do seu diretório texmf pessoal. Criar, manter e personalizar uma
instalação do TeX no sistema ou em um diretório pessoal vai além do escopo deste documento, mas deve ser fácil encontrar
instruções para isso. Os arquivos necessários estão listados em Uma Instalação Completa do TeX.
Portanto, para começar precisamos nos certificar que os pacotes relevantes estão incluídos adicionando-os ao preambulo
do eventual documento LaTeX. As imagens dos grafos não são formadas corretamente quando um arquivo dvi é usando
5.5. Exemplo: Grafos Combinatoriais com tkz-graph121

Tutorial Sage, Release 10.4

como formato intermediário, logo é melhor definir o processador do LaTeX como pdflatex. A esta altura um comando
como view(graphs.CompleteGraph(4)) deve funcionar na linha de comando do Sage e produzir um PDF com
a imagem completa do grafo 𝐾4 .
Para uma experiência semelhante no Notebook, é necessário desabilitar o processador MathJax para o código LaTeX do
grafo usando a “lista de comandos a serem evitados pelo MathJax”. Grafos são criados usando o ambiente tikzpicture, logo essa uma boa escolha para uma string a ser incluída na lista que acabamos de mencionar. Agora,view(graphs.CompleteGraph(4)) em uma folha de trabalho deve executar o pdflatex para criar um PDF eentão o programa convert para obter um gráfico PNG que vai ser inserido na folha de trabalho. Os seguintes comandos ilustram os passos para obter grafos processados pelo LaTeX no Notebook.
sage: from sage.graphs.graph_latex import setup_latex_preamble
sage: setup_latex_preamble()sage: latex.extra_preamble() # random - depends on system s TeX installation\\usepackage{tikz}\n\\usepackage{tkz-graph}\n\\usepackage{tkz-berge}\nsage: latex.engine( pdflatex )sage: latex.add_to_mathjax_avoid_list( tikzpicture ) # not tested
sage: latex.mathjax_avoid_list()# not tested[ tikz , tikzpicture ]>>> from sage.all import *>>> from sage.graphs.graph_latex import setup_latex_preamble>>> setup_latex_preamble()>>> latex.extra_preamble() # random - depends on system s TeX installation\\usepackage{tikz}\n\\usepackage{tkz-graph}\n\\usepackage{tkz-berge}\n>>> latex.engine( pdflatex )>>> latex.add_to_mathjax_avoid_list( tikzpicture ) # not tested>>> latex.mathjax_avoid_list()# not tested[ tikz , tikzpicture ]Agora, um comando como view(graphs.CompleteGraph(4)) deve produzir um gráfico do grafo no Notebook,tendo usado pdflatex para processar os comandos do tkz-graph para construir o grafo. Note que há diversasopções que afetam o resultado do gráfico obtido usando o LaTeX via tkz-graph, o que mais uma vez está além doescopo desta seção (veja a seção do Manual de Referência com título “Opções do LaTeX para Grafos” para instruções edetalhes).

5.6 Uma Instalação Completa do TeX
Vários dos recursos avançados de integração do TeX com o Sage requerem uma instalação do TeX em seu sistema. Várias
versões do Linux possuem pacotes do TeX baseados no TeX-live, para o OSX existe o TeXshop e para o windows existeo MikTex. O utilitário convert é parte do ImageMagick (que deve ser um pacote na sua versão do Linux ou ser fácil
de instalar), e os três programas dvipng, ps2pdf, e dvips podem estar incluídos na sua distribuição do TeX. Os
dois primeiros podem também ser obtidos em, respectivamente, http://sourceforge.net/projects/dvipng/ e como parte do
Ghostscript.
A criação de grafos combinatoriais requer uma versão recente da biblioteca PGF, e o arquivo tkz-graph.sty, queestá disponível em https://www.ctan.org/pkg/tkz-graph, os arquivos tkz-arith.sty e talvez tkz-berge.sty,
que estão disponíveis em https://www.ctan.org/pkg/tkz-berge.

122

Capítulo 5. Sage, LaTeX e Companheiros

Tutorial Sage, Release 10.4

5.7 Programas Externos
Existem três programas disponíveis para integrar ainda mais o TeX e o Sage. O primeiro é o sagetex. Uma descrição
concisa do sagetex é que ele é uma coleção de funções do TeX que permitem incluir em um documento LaTeX instruções
para usar o Sage para calcular vários objetos, e/ou formatar objetos usando o comando latex() existente no Sage.
Logo, como um passo intermediário para compilar um documento LaTeX, todos os recursos computacionais e de formatação do Sage podem ser executados automaticamente. Como um exemplo, um exame matemático pode manter uma
correspondência entre questões e respostas usando o sagetex para fazer cálculos com o Sage. Veja Usando o SageTeX
para mais informações.

5.7. Programas Externos

123Tutorial Sage, Release 10.4

124

Capítulo 5. Sage, LaTeX e CompanheirosCAPÍTULO

6

Programação

6.1 Carregando e Anexando Arquivos do Sage
A seguir ilustramos como carregar no Sage programas escritos em um arquivo separado. Crie um arquivo chamado
example.sage com o seguinte conteúdo:
print("Hello World")
print(2^3)

Você pode ler e executar o arquivo example.sage usando o comando load.
sage: load "example.sage"
Hello World8>>> from sage.all import *>>> load "example.sage"
Hello World
8Você também pode anexar um arquivo em Sage à sessão em execução usando o comando attach.
sage: attach "example.sage"
Hello World8>>> from sage.all import *>>> attach "example.sage"
Hello World
8

Agora se você alterar example.sage e adicionar uma linha em branco (por exemplo), então o conteúdo de example.
sage será automaticamente recarregado no Sage.

125

Tutorial Sage, Release 10.4

Em particular, attach automaticamente recarrega um arquivo toda vez que ele for modificado, o que é útil para desenvolver e testar um programa, enquanto load carrega o arquivo apenas uma vez.
Quando o Sage carrega example.sage ele converte esse arquivo para o Python, o qual é então executado pelo interpretador do Python. Essa conversão é mínima; ela essencialmente consiste em encapsular inteiros em Integer(), números
float em RealNumber(), substituir ^ por **, e substituir, por exemplo, R.2 por R.gen(2). A versão convertidade example.sage é armazenada no mesmo diretório de example.sage e é chamada example.sage.py. Esse
arquivo contém o seguinte código:print("Hello World")
print(Integer(2)**Integer(3))

Inteiros literais são encapsulados e ^ é substituído por **. (Em Python, ^ significa “ou exclusivo” e ** significa “exponenciação”.)
Esse “” está implementado em sage/misc/interpreter.py.)Você pode colar código tabulado com muitas linhas no Sage desde que existam linhas em branco separando blocos decódigo (isso não é necessário em arquivos). Todavia, a melhor forma de adicionar tal código a uma sessão do Sage ésalvá-lo em um arquivo e usar attach, como descrito anteriormente.

6.2 Criando Código Compilado
Velocidade é crucial em cálculos matemáticos. Embora o Python seja uma linguagem conveniente de alto nível, certos
cálculos podem ser várias vezes mais rápidos do que em Python se eles forem implementados usando tipos estáticos em
uma linguagem compilada. Alguns aspectos do Sage seriam muito lentos se eles fossem escritos inteiramente em Python.
Para lidar com isso, o Sage suporta uma “versão” compilada do Python chamada Cython ([Cyt] and [Pyr]). O Cython ésimultaneamente similar ao Python e ao C. A maior parte das construções em Python, incluindo “list comprehensions”,
expressões condicionais, código como += são permitidos; você também pode importar código que você escreveu emoutros módulos em Python. Além disso, você pode declarar variáveis em C arbitrárias, e qualquer chamada de bibliotecas
em C pode ser feita diretamente. O código resultante é convertido para C e compilado usando um compilador para C.
Para criar o seu próprio código compilado em Sage, nomeie o arquivo com uma extensão .spyx (em vez de .sage).
Se você está trabalhando na linha de comando, você pode anexar e carregar código compilado exatamente como se
faz com código interpretado (no momento, anexar e carregar código em Cython não é suportado no Notebook). A
compilação é realizada implicitamente sem que você tenha que fazer qualquer coisa explicitamente. Veja $SAGE_ROOT/
examples/programming/sagex/factorial.spyx para um exemplo de uma implementação compilada paraa função fatorial que usa diretamente a biblioteca GMP em C. Experimente o seguinte, usando cd, vá para o diretório$SAGE_ROOT/examples/programming/sagex/, e então faça o seguinte:
sage: load "factorial.spyx"***************************************************
Recompiling factorial.spyx***************************************************
sage: factorial(50)30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
sage: time n = factorial(10000)
CPU times: user 0.03 s, sys: 0.00 s, total: 0.03 s
Wall time: 0.03>>> from sage.all import *>>> load "factorial.spyx"***************************************************
Recompiling factorial.spyx***************************************************(continua na próxima página)

126

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)>>> factorial(Integer(50))
30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000>>> time n = factorial(Integer(10000))
CPU times: user 0.03 s, sys: 0.00 s, total: 0.03 s
Wall time: 0.03

Note que o Sage vai recompilar factorial.spyx se você encerrar e reiniciar o Sage. A biblioteca compilada e compartilhada é armazenada em $HOME/.sage/temp/hostname/pid/spyx. Esses arquivos são excluídos quandovocê encerra o Sage.
Nenhum pré-processamento é aplicado em arquivos spyx, por exemplo, 1/3 vai resultar em 0 em um arquivo spyx em vez
do número racional 1/3. Se foo é uma função da biblioteca Sage, para usá-la em um arquivo spyx importe sage.all
e use sage.all.foo.
import sage.alldef foo(n):return sage.all.factorial(n)6.2.1 Acessando Funções em C em Arquivos Separados
É fácil também acessar funções em C definidas em arquivos *.c separados. Aqui vai um exemplo. Crie os arquivos
test.c e test.spyx no mesmo diretório contendo:
Código C puro: test.c
int add_one(int n) {return n + 1;}

Código Cython: test.spyx:
cdef extern from "test.c":
int add_one(int n)
def test(n):return add_one(n)Então o seguinte funciona:sage: attach "test.spyx"
Compiling (...)/test.spyx...
sage: test(10)11>>> from sage.all import *>>> attach "test.spyx"
Compiling (...)/test.spyx...
>>> test(Integer(10))
11

Se uma biblioteca foo adicional é necessária para compilar código em C gerado a partir de um arquivo em Cython,adicione a linha clib foo no arquivo fonte em Cython. De forma similar, um arquivo em C adicional bar pode ser
incluído na compilação declarando cfile bar.

6.2. Criando Código Compilado

127

Tutorial Sage, Release 10.4

6.3 Scripts Independentes em Python/SageO seguinte script em Sage fatora inteiros, polinômios, etc:#!/usr/bin/env sage
import sys
if len(sys.argv) != 2:
print("Usage: %s <n>" % sys.argv[0])print("Outputs the prime factorization of n.")sys.exit(1)print(factor(sage_eval(sys.argv[1])))

Para usar esse script, sua SAGE_ROOT precisa estar na sua variável PATH. Se o script acima for chamado factor, aquiestá um exemplo de como usá-lo:
bash $ ./factor 2006
2 * 17 * 59

6.4 Tipo de Dados
Cada objeto em Sage possui um tipo bem definido. O Python possui diversos tipos de dados, e a biblioteca do Sage
adiciona ainda mais. Os tipos de dados de Python incluem strings, listas, tuplas, inteiros e floats, como ilustrado:sage: s = "sage"; type(s)<... str >sage: s = sage ; type(s)# you can use either single or double quotes<... str >sage: s = [1,2,3,4]; type(s)<... list >sage: s = (1,2,3,4); type(s)<... tuple >sage: s = int(2006); type(s)<... int >sage: s = float(2006); type(s)<... float >>>> from sage.all import *>>> s = "sage"; type(s)<... str >>>> s = sage ; type(s)# you can use either single or double quotes<... str >>>> s = [Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)]; type(s)<... list >>>> s = (Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)); type(s)<... tuple >>>> s = int(Integer(2006)); type(s)<... int >>>> s = float(Integer(2006)); type(s)<... float >Além disso, o Sage acrescenta vários outros tipos. Por exemplo, espaços vetoriais:

128

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: V = VectorSpace(QQ, 1000000); V
Vector space of dimension 1000000 over Rational Field
sage: type(V)<class sage.modules.free_module.FreeModule_ambient_field_with_category >>>> from sage.all import *>>> V = VectorSpace(QQ, Integer(1000000)); V
Vector space of dimension 1000000 over Rational Field>>> type(V)<class sage.modules.free_module.FreeModule_ambient_field_with_category >Apenas certas funções podem ser aplicadas sobre V. Em outros softwares de matemática, essas seriam chamadas usandoa notação “funcional” foo(V,...). Em Sage, algumas funções estão anexadas ao tipo (ou classe) de V, e são chamadas
usando uma sintaxe orientada a objetos como em Java ou C++, por exemplo, V.foo(). Isso ajuda a manter o espaço devariáveis global sem milhares de funções, e permite que várias funções diferentes com comportamento diferente possam
ser chamadas foo, sem a necessidade de usar um mecanismo de identificação de tipos (ou casos) para decidir qual chamar.
Além disso, se você reutilizar o nome de uma função, essa função continua ainda disponível (por exemplo, se você chamaralgo zeta, e então quiser calcular o valor da função zeta de Riemann em 0.5, você continua podendo digitar s=.5;
s.zeta()).
sage: zeta = -1
sage: s=.5; s.zeta()-1.46035450880959>>> from sage.all import *>>> zeta = -Integer(1)>>> s=RealNumber( .5 ); s.zeta()-1.46035450880959

Em alguns casos muito comuns, a notação funcional usual é também suportada por conveniência e porque expressões
matemáticas podem parecer confusas usando a notação orientada a objetos. Aqui vão alguns exemplos.
sage: n = 2; n.sqrt()
sqrt(2)sage: sqrt(2)sqrt(2)sage: V = VectorSpace(QQ,2)
sage: V.basis()[(1, 0),(0, 1)]
sage: basis(V)[(1, 0),(0, 1)]
sage: M = MatrixSpace(GF(7), 2); M
Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Finite Field of size 7
sage: A = M([1,2,3,4]); A
[1 2]
[3 4]
sage: A.charpoly( x )x^2 + 2*x + 5
sage: charpoly(A, x )x^2 + 2*x + 5

6.4. Tipo de Dados

129

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> n = Integer(2); n.sqrt()
sqrt(2)>>> sqrt(Integer(2))
sqrt(2)>>> V = VectorSpace(QQ,Integer(2))>>> V.basis()[(1, 0),(0, 1)]>>> basis(V)[(1, 0),(0, 1)]>>> M = MatrixSpace(GF(Integer(7)), Integer(2)); M
Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Finite Field of size 7>>> A = M([Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)]); A
[1 2]
[3 4]
>>> A.charpoly( x )x^2 + 2*x + 5>>> charpoly(A, x )x^2 + 2*x + 5

Para listar todas as funções para 𝐴, use completamento tab. Simplesmente digite A., então tecle [tab] no seu teclado,como descrito em Busca Reversa e Completamento Tab.

6.5 Listas, Tuplas e Sequências
O tipo de dados lista armazena elementos de um tipo arbitrário. Como em C, C++, etc. (mas diferentemente da maioria
dos sistemas de álgebra computacional), os elementos da lista são indexados a partir do 0:
sage: v = [2, 3, 5, x , SymmetricGroup(3)]; v[2, 3, 5, x , Symmetric group of order 3! as a permutation group]sage: type(v)<... list >sage: v[0]2sage: v[2]5>>> from sage.all import *>>> v = [Integer(2), Integer(3), Integer(5), x , SymmetricGroup(Integer(3))]; v[2, 3, 5, x , Symmetric group of order 3! as a permutation group]>>> type(v)<... list >>>> v[Integer(0)]2>>> v[Integer(2)]5(Quando se indexa uma lista, é permitido que o índice não seja um int do Python!) Um Inteiro do Sage (ou Racional, ou
qualquer objeto que possua um método __index__) também ira funcionar.
130

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: v = [1,2,3]
sage: v[2]3sage: n = 2# Sage Integer
sage: v[n]# Perfectly OK!
3
sage: v[int(n)] # Also OK.
3>>> from sage.all import *>>> v = [Integer(1),Integer(2),Integer(3)]>>> v[Integer(2)]3>>> n = Integer(2)# Sage Integer>>> v[n]# Perfectly OK!
3>>> v[int(n)] # Also OK.
3

A função range cria uma lista de int’s do Python (não Inteiros do Sage):sage: list(range(1, 15))
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]>>> from sage.all import *>>> list(range(Integer(1), Integer(15)))[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]Isso é útil quando se usa “list comprehensions” para construir listas:
sage: L = [factor(n) for n in range(1, 15)]
sage: L[1, 2, 3, 2^2, 5, 2 * 3, 7, 2^3, 3^2, 2 * 5, 11, 2^2 * 3, 13, 2 * 7]sage: L[12]13sage: type(L[12])<class sage.structure.factorization_integer.IntegerFactorization >sage: [factor(n) for n in range(1, 15) if is_odd(n)][1, 3, 5, 7, 3^2, 11, 13]>>> from sage.all import *>>> L = [factor(n) for n in range(Integer(1), Integer(15))]>>> L[1, 2, 3, 2^2, 5, 2 * 3, 7, 2^3, 3^2, 2 * 5, 11, 2^2 * 3, 13, 2 * 7]>>> L[Integer(12)]13>>> type(L[Integer(12)])<class sage.structure.factorization_integer.IntegerFactorization >>>> [factor(n) for n in range(Integer(1), Integer(15)) if is_odd(n)][1, 3, 5, 7, 3^2, 11, 13]

Para mais sobre como criar listas usando “list comprehensions”, veja [PyT].
Fatiamento de lista (list slicing) é um recurso fantástico. Se L é uma lista, então L[m:n] retorna uma sub-lista de L
obtida começando do 𝑚-ésimo elemento e terminando no (𝑛 − 1)-ésimo elemento, como ilustrado abaixo.

6.5. Listas, Tuplas e Sequências

131

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: L = [factor(n) for n in range(1, 20)]
sage: L[4:9][5, 2 * 3, 7, 2^3, 3^2]
sage: L[:4][1, 2, 3, 2^2]
sage: L[14:4][]
sage: L[14:][3 * 5, 2^4, 17, 2 * 3^2, 19]>>> from sage.all import *>>> L = [factor(n) for n in range(Integer(1), Integer(20))]>>> L[Integer(4):Integer(9)][5, 2 * 3, 7, 2^3, 3^2]>>> L[:Integer(4)][1, 2, 3, 2^2]>>> L[Integer(14):Integer(4)][]>>> L[Integer(14):][3 * 5, 2^4, 17, 2 * 3^2, 19]

Tuplas são semelhantes à listas, exceto que elas são imutáveis: uma vez criadas elas não podem ser alteradas.
sage: v = (1,2,3,4); v(1, 2, 3, 4)
sage: type(v)<... tuple >sage: v[1] = 5
Traceback (most recent call last):...
TypeError: tuple object does not support item assignment>>> from sage.all import *>>> v = (Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)); v(1, 2, 3, 4)>>> type(v)<... tuple >>>> v[Integer(1)] = Integer(5)Traceback (most recent call last):...
TypeError: tuple object does not support item assignmentSequências são um terceiro tipo de dados do Sage semelhante a listas. Diferentemente de listas e tuplas, Sequence não é
um tipo de dados nativo do Python. Por definição, uma sequência é mutável, mas usando o método set_immutableda classe Sequence elas podem ser feitas imutáveis, como mostra o exemplo a seguir. Todos os elementos da sequência
possuem um parente comum, chamado o universo da sequência.
sage: v = Sequence([1,2,3,4/5])
sage: v
[1, 2, 3, 4/5]
sage: type(v)<class sage.structure.sequence.Sequence_generic >sage: type(v[1])<class sage.rings.rational.Rational >sage: v.universe()
Rational Field(continua na próxima página)

132

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: v.is_immutable()False
sage: v.set_immutable()sage: v[0] = 3
Traceback (most recent call last):...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.
>>> from sage.all import *>>> v = Sequence([Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)/Integer(5)])>>> v[1, 2, 3, 4/5]>>> type(v)<class sage.structure.sequence.Sequence_generic >>>> type(v[Integer(1)])<class sage.rings.rational.Rational >>>> v.universe()
Rational Field>>> v.is_immutable()
False>>> v.set_immutable()>>> v[Integer(0)] = Integer(3)Traceback (most recent call last):...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.

Sequências são derivadas de listas e podem ser usadas em qualquer lugar que listas são usadas.
sage: v = Sequence([1,2,3,4/5])
sage: isinstance(v, list)
True
sage: list(v)[1, 2, 3, 4/5]
sage: type(list(v))<... list >>>> from sage.all import *>>> v = Sequence([Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)/Integer(5)])>>> isinstance(v, list)
True>>> list(v)[1, 2, 3, 4/5]>>> type(list(v))<... list >Como um outro exemplo, bases para espaços vetoriais são sequências imutáveis, pois é importante que elas não sejam
modificadas.
sage: V = QQ^3; B = V.basis(); B[(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)]
sage: type(B)<class sage.structure.sequence.Sequence_generic >(continua na próxima página)

6.5. Listas, Tuplas e Sequências

133

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)sage: B[0] = B[1]Traceback (most recent call last):...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.
sage: B.universe()
Vector space of dimension 3 over Rational Field>>> from sage.all import *>>> V = QQ**Integer(3); B = V.basis(); B[(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)]>>> type(B)<class sage.structure.sequence.Sequence_generic >>>> B[Integer(0)] = B[Integer(1)]Traceback (most recent call last):...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.
>>> B.universe()
Vector space of dimension 3 over Rational Field

6.6 Dicionários
Um dicionário (também chamado as vezes de lista associativa ou “hash table”) é um mapeamento de objetos em objetos
arbitrários. (Exemplos de objetos que admitem uma lista associativa são strings e números; veja a documentação Python
em https://docs.python.org/3/tutorial/index.html para detalhes).
sage: d = {1:5, sage :17, ZZ:GF(7)}sage: type(d)<... dict >sage: list(d.keys())[1, sage , Integer Ring]sage: d[ sage ]17
sage: d[ZZ]
Finite Field of size 7
sage: d[1]5>>> from sage.all import *>>> d = {Integer(1):Integer(5),>>> type(d)<... dict >>>> list(d.keys())[1, sage , Integer Ring]>>> d[ sage ]17>>> d[ZZ]
Finite Field of size 7>>> d[Integer(1)]5134sage :Integer(17), ZZ:GF(Integer(7))}

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

A terceira chave (key) ilustra como os índices de um dicionário podem ser complicados, por exemplo, um anel de inteiros.
Você pode transformar o dicionário acima em uma lista com os mesmos dados:
sage: list(d.items())[(1, 5), ( sage , 17), (Integer Ring, Finite Field of size 7)]>>> from sage.all import *>>> list(d.items())[(1, 5), ( sage , 17), (Integer Ring, Finite Field of size 7)]

É comum iterar sobre os pares em um dicionário:sage: d = {2:4, 3:9, 4:16}
sage: [a*b for a, b in d.items()][8, 27, 64]>>> from sage.all import *>>> d = {Integer(2):Integer(4), Integer(3):Integer(9), Integer(4):Integer(16)}>>> [a*b for a, b in d.items()][8, 27, 64]

Um dicionário não possui ordem, como o exemplo acima mostra.

6.7 Conjuntos
O Python possui um tipo de conjuntos (set) nativo. O principal recurso que ele oferece é a rápida verificação se um objeto
está ou não em um conjunto, juntamente com as operações comuns em conjuntos.
sage: X = set([1,19, a ]);sage: X# random{1, 19, a }sage: Y# random{2/3, 1}
sage: a in X
True
sage: a in Y
False
sage: X.intersection(Y){1}

Y = set([1,1,1, 2/3])>>> from sage.all import *>>> X = set([Integer(1),Integer(19), a ]);˓→Integer(1), Integer(2)/Integer(3)])>>> X# random{1, 19, a }>>> Y# random{2/3, 1}>>> a in X
True>>> a in Y
False>>> X.intersection(Y){1}

6.7. Conjuntos

Y = set([Integer(1),Integer(1),135Tutorial Sage, Release 10.4

O Sage também possui o seu próprio tipo de dados para conjuntos que é (em alguns casos) implementado usando o tipo
nativo do Python, mas possuir algumas funcionalidades adicionais. Crie um conjunto em Sage usando Set(...). Por
exemplo,sage: X = Set([1,19, a ]);Y = Set([1,1,1, 2/3])
sage: X# random{ a , 1, 19}
sage: Y# random{1, 2/3}
sage: X.intersection(Y){1}
sage: print(latex(Y))\left\{1, \frac{2}{3}\right\}
sage: Set(ZZ)
Set of elements of Integer Ring>>> from sage.all import *>>> X = Set([Integer(1),Integer(19), a ]);˓→Integer(1), Integer(2)/Integer(3)])>>> X# random{ a , 1, 19}>>> Y# random{1, 2/3}>>> X.intersection(Y){1}>>> print(latex(Y))\left\{1, \frac{2}{3}\right\}>>> Set(ZZ)
Set of elements of Integer Ring

Y = Set([Integer(1),Integer(1),6.8 Iteradores
Iteradores foram adicionados recentemente ao Python e são particularmente úteis em aplicações matemáticas. Aqui estão
vários exemplos; veja [PyT] para mais detalhes. Vamos criar um iterador sobre o quadrados dos números inteiros até
10000000.
sage: v = (n^2 for n in range(10000000))
sage: next(v)0sage: next(v)1sage: next(v)4>>> from sage.all import *>>> v = (n**Integer(2) for n in range(Integer(10000000)))>>> next(v)0>>> next(v)1>>> next(v)4Criamos agora um iterador sobre os primos da forma 4𝑝 + 1 com 𝑝 também primo, e observamos os primeiros valores.

136

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: w = (4*p + 1 for p in Primes() if is_prime(4*p+1))
sage: w
# in the next line, 0xb0853d6c is a random 0x number<generator object at 0xb0853d6c>
sage: next(w)13
sage: next(w)29
sage: next(w)53>>> from sage.all import *>>> w = (Integer(4)*p + Integer(1) for p in Primes() if is_
˓→prime(Integer(4)*p+Integer(1)))>>> w# in the next line, 0xb0853d6c is a random 0x number<generator object at 0xb0853d6c>>>> next(w)13>>> next(w)29>>> next(w)53

Certos anéis, por exemplo, corpos finitos e os inteiros possuem iteradores associados a eles:
sage: [x for x in GF(7)][0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
sage: W = ((x,y) for x in ZZ for y in ZZ)
sage: next(W)(0, 0)
sage: next(W)(0, 1)
sage: next(W)(0, -1)>>> from sage.all import *>>> [x for x in GF(Integer(7))][0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]>>> W = ((x,y) for x in ZZ for y in ZZ)>>> next(W)(0, 0)>>> next(W)(0, 1)>>> next(W)(0, -1)

6.9 Laços, Funções, Enunciados de Controle e Comparações
Nós já vimos alguns exemplos de alguns usos comuns de laços (loops) for. Em Python, um laço for possui uma
estrutura tabulada, tal como>>> for i in range(5):...
print(i)...
0(continua na próxima página)

6.9. Laços, Funções, Enunciados de Controle e Comparações

137

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

1
2
3
4

Note que os dois pontos no final do enunciado (não existe “do” ou “od” como no GAP ou Maple), e a identação antes
dos comandos dentro do laço, isto é, print(i). A tabulação é importante. No Sage, a tabulação é automaticamente
adicionada quando você digita enter após “:”, como ilustrado abaixo.
sage: for i in range(5):....:print(i) # now hit enter twice
0
1
2
3
4
>>> from sage.all import *>>> for i in range(Integer(5)):...
print(i) # now hit enter twice
0
1
2
3
4

O símbolo = é usado para atribuição. O símbolo == é usado para verificar igualdade:sage: for i in range(15):....:
if gcd(i,15) == 1:....:
print(i)
1
2
4
7
8
11
13
14
>>> from sage.all import *>>> for i in range(Integer(15)):...
if gcd(i,Integer(15)) == Integer(1):...
print(i)
1
2
4
7
8
11
13
14

Tenha em mente como a tabulação determina a estrutura de blocos para enunciados if, for, e while:138

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

sage: def legendre(a,p):....:is_sqr_modp=-1....:
for i in range(p):....:if a % p == i^2 % p:....:
is_sqr_modp=1....:
return is_sqr_modp
sage: legendre(2,7)
1sage: legendre(3,7)-1>>> from sage.all import *>>> def legendre(a,p):...
is_sqr_modp=-Integer(1)...
for i in range(p):...
if a % p == i**Integer(2) % p:...
is_sqr_modp=Integer(1)...
return is_sqr_modp>>> legendre(Integer(2),Integer(7))
1>>> legendre(Integer(3),Integer(7))-1Obviamente essa não é uma implementação eficiente do símbolo de Legendre! O objetivo é ilustrar vários aspectos da programação em Python/Sage. A função {kronecker}, que já vem com o Sage, calcula o símbolo de Legendre eficientemente
usando uma biblioteca em C do PARI.
Finalmente, observamos que comparações, tais como ==, !=, <=, >=, >, <, entre números irão automaticamente converter ambos os números para o mesmo tipo, se possível:sage: 2 < 3.1; 3.1 <= 1
True
False
sage: 2/3 < 3/2;
3/2 < 3/1
True
True>>> from sage.all import *>>> Integer(2) < RealNumber( 3.1 ); RealNumber( 3.1 ) <= Integer(1)
True
False
>>> Integer(2)/Integer(3) < Integer(3)/Integer(2);Integer(3)/Integer(2) <␣
˓→Integer(3)/Integer(1)
True
True

Use bool para desigualdades simbólicas:
sage: x < x + 1
x < x + 1
sage: bool(x < x + 1)
True

6.9. Laços, Funções, Enunciados de Controle e Comparações

139

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> x < x + Integer(1)x < x + 1>>> bool(x < x + Integer(1))
True

Quando se compara objetos de tipos diferentes no Sage, na maior parte dos casos o Sage tenta encontrar uma coação
canônica para ambos os objetos em um parente comum (veja Famílias, Conversão e Coação para mais detalhes). Se issofor bem sucedido, a comparação é realizada entre os objetos que foram coagidos; se não for bem sucedido, os objetos são
considerados diferentes. Para testar se duas variáveis fazem referência ao mesmo objeto use is. Como se vê no próximo
exemplo, o int 1 do Python é único, mas o Inteiro 1 do Sage não é.
sage: 1 is 2/2
False
sage: 1 is 1
False
sage: 1 == 2/2
True>>> from sage.all import *>>> Integer(1) is Integer(2)/Integer(2)False>>> Integer(1) is Integer(1)False>>> Integer(1) == Integer(2)/Integer(2)True

Nas duas linhas seguintes, a primeira igualdade é falsa (False) porque não existe um morfismo canônico 𝑄𝑄 → F5 ,logo não há uma forma de comparar o 1 em F5 com o 1 ∈ . Em contraste, existe um mapa canônico entre → F5 ,logo a segunda comparação é verdadeira (True)
sage: GF(5)(1) == QQ(1); QQ(1) == GF(5)(1)
False
False
sage: GF(5)(1) == ZZ(1); ZZ(1) == GF(5)(1)
True
True
sage: ZZ(1) == QQ(1)True>>> from sage.all import *>>> GF(Integer(5))(Integer(1)) == QQ(Integer(1)); QQ(Integer(1)) ==␣
˓→GF(Integer(5))(Integer(1))
False
False
>>> GF(Integer(5))(Integer(1)) == ZZ(Integer(1)); ZZ(Integer(1)) ==␣
˓→GF(Integer(5))(Integer(1))
True
True
>>> ZZ(Integer(1)) == QQ(Integer(1))
TrueATENÇÃO: Comparação no Sage é mais restritiva do que no Magma, o qual declara 1 ∈ F5 igual a 1 ∈sage: magma( GF(5)!1 eq Rationals()!1 )
true

140

.

# optional magma required

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> magma( GF(5)!1 eq Rationals()!1 )true# optional magma required

6.10 Otimização (Profiling)
Autor desta seção: Martin Albrecht (https://martinralbrecht.wordpress.com/)“Premature optimization is the root of all evil.” - Donald Knuth
As vezes é útil procurar por gargalos em programas para entender quais partes gastam maior tempo computacional; issopode dar uma boa ideia sobre quais partes otimizar. Python e portanto Sage fornecem várias opções de “profiling” (esseé o nome que se dá ao processo de otimização).
O mais simples de usar é o comando prun na linha de comando interativa. Ele retorna um sumário sobre o tempo
computacional utilizado por cada função. Para analisar (a atualmente lenta! – na versão 1.0) multiplicação de matrizes
sobre corpos finitos, por exemplo, faça o seguinte:
sage: k,a = GF(2**8, a ).objgen()sage: A = Matrix(k,10,10,[k.random_element() for _ in range(10*10)])>>> from sage.all import *>>> k,a = GF(Integer(2)**Integer(8), a ).objgen()>>> A = Matrix(k,Integer(10),Integer(10),[k.random_element() for _ in␣˓→range(Integer(10)*Integer(10))])sage: %prun B = A*A
32893 function calls in 1.100 CPU seconds
Ordered by: internal time
ncalls tottime percall cumtime percall filename:lineno(function)
12127 0.160
0.000
0.160 0.000 :0(isinstance)
2000 0.150
0.000
0.280 0.000 matrix.py:2235(__getitem__)
1000 0.120
0.000
0.370 0.000 finite_field_element.py:392(__mul__)1903 0.120
0.000
0.200 0.000 finite_field_element.py:47(__init__)
1900 0.090
0.000
0.220 0.000 finite_field_element.py:376(__compat)
900 0.080
0.000
0.260 0.000 finite_field_element.py:380(__add__)
1 0.0700.070
1.100 1.100 matrix.py:864(__mul__)2105 0.070
0.000
0.070 0.000 matrix.py:282(ncols)...
>>> from sage.all import *>>> %prun B = A*A
32893 function calls in 1.100 CPU seconds
Ordered by: internal time
ncalls tottime percall cumtime percall filename:lineno(function)
12127 0.160
0.000
0.160 0.000 :0(isinstance)
2000 0.150
0.000
0.280 0.000 matrix.py:2235(__getitem__)
1000 0.120
0.000
0.370 0.000 finite_field_element.py:392(__mul__)1903 0.120
0.000
0.200 0.000 finite_field_element.py:47(__init__)
1900 0.090
0.000
0.220 0.000 finite_field_element.py:376(__compat)(continua na próxima página)

6.10. Otimização (Profiling)141

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

900
1
2105
...

0.080
0.070
0.070

0.000
0.070
0.000

0.260
1.100
0.070

0.000 finite_field_element.py:380(__add__)1.100 matrix.py:864(__mul__)
0.000 matrix.py:282(ncols)

Aqui ncalls é o números de chamadas, tottime é o tempo total gasto por uma determinada função (excluíndo otempo gasto em chamadas de subfunções), percall é o quociente de tottime dividido por ncalls. cumtime é otempo total gasto nessa e em todas as subfunções (isto é, desde o início até o término da execução da função), percall éo quociente de cumtime dividido pelas chamadas primitivas, e filename:lineno(function) fornece os dados
respectivos para cada função. A regra prática aqui é: Quanto mais no topo uma função aparece nessa lista, mais custo
computacional ela acarreta. Logo é mais interessante para ser optimizada.
Como usual, prun? fornece detalhes sobre como usar o “profiler” e como entender a saída de dados.
A saída de dados pode ser escrita em um objeto para permitir uma análise mais detalhada:
sage: %prun -r A*A
sage: stats = _sage: stats?
>>> from sage.all import *>>> %prun -r A*A>>> stats = _>>> stats?

Note: digitando stats = prun -r A\*A obtém-se um erro de sintaxe porque prun é um comando do IPython, nãouma função comum.
Para uma representação gráfica dos dados do “profiling”, você pode usar o “hotspot profiler”, um pequeno script chamado
hotshot2cachetree e o programa kcachegrind (apenas no Unix). O mesmo exemplo agora com o “hotspot
profiler”:
sage: k,a = GF(2**8, a ).objgen()sage: A = Matrix(k,10,10,[k.random_element() for _ in range(10*10)])sage: import hotshot
sage: filename = "pythongrind.prof"
sage: prof = hotshot.Profile(filename, lineevents=1)>>> from sage.all import *>>> k,a = GF(Integer(2)**Integer(8), a ).objgen()>>> A = Matrix(k,Integer(10),Integer(10),[k.random_element() for _ in␣˓→range(Integer(10)*Integer(10))])>>> import hotshot>>> filename = "pythongrind.prof">>> prof = hotshot.Profile(filename, lineevents=Integer(1))
sage: prof.run("A*A")<hotshot.Profile instance at 0x414c11ec>
sage: prof.close()>>> from sage.all import *>>> prof.run("A*A")<hotshot.Profile instance at 0x414c11ec>>>> prof.close()

142

Capítulo 6. Programação

Tutorial Sage, Release 10.4

Isso resulta em um arquivo pythongrind.prof no diretório de trabalho atual. Ele pode ser convertido para o formato
cachegrind para visualização.
Em uma linha de comando do sistema, digite
hotshot2calltree -o cachegrind.out.42 pythongrind.prof

O arquivo de saída cachegrind.out.42 pode ser examinado com kcachegrind. Note que a convenção de nomes
cachegrind.out.XX precisa ser obedecida.

6.10. Otimização (Profiling)143

Tutorial Sage, Release 10.4

144

Capítulo 6. Programação

CAPÍTULO

7

Usando o SageTeX

O pacote SageTeX permite que você insira resultados de cálculos feitos com o Sage em um documento LaTeX. Esse
pacote já vem com o Sage. Para usá-lo, você precisa “instalá-lo” em seu sistema LaTeX local; aqui instalar significa
copiar um simples arquivo. Veja Instalação neste tutorial e a seção “Make SageTeX known to TeX” do Guia de instalação
do Sage (em inglês).
Aqui vai um breve exemplo de como usar o SageTeX. A documentação completa pode ser encontrada em SAGE_ROOT/
venv/share/texmf/tex/latex/sagetex, onde SAGE_ROOT é o diretório onde se encontra a sua instalação.
Esse diretório contém a documentação, um arquivo de exemplo, e alguns scripts em Python possivelmente úteis.
Para ver como o SageTeX funciona, siga as instruções para instalar o SageTeX (em Instalação) e copie o seguinte texto
em um arquivo chamado st_example.tex, por exemplo.
Aviso: O texto abaixo vai apresentar diversos erros sobre “unknown control sequences” se você está visualizando
isto na ajuda “live”. Use a versão estática para ver o texto corretamente.

\documentclass{article}\usepackage{sagetex}\begin{document}
Using Sage\TeX, one can use Sage to compute things and put them into
your \LaTeX{} document. For example, there are$\sage{number_of_partitions(1269)}$ integer partitions of $1269$.
You don t need to compute the number yourself, or even cut and paste
it from somewhere.
Here s some Sage code:\begin{sageblock}f(x) = exp(x) * sin(2*x)\end{sageblock}(continua na próxima página)

145

Tutorial Sage, Release 10.4

(continuação da página anterior)

The second derivative of $f$ is\[\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}} \sage{f(x)} =\sage{diff(f, x, 2)(x)}.
\]Here s a plot of $f$ from $-1$ to $1$:
\sageplot{plot(f, -1, 1)}\end{document}

Execute o LaTeX em st_example.tex da forma usual. Note que o LaTeX vai reclamar sobre algumas coisas, entre
elas:
Package sagetex Warning: Graphics filesage-plots-for-st_example.tex/plot-0.eps on page 1 does not exist. Plotcommand is on input line 25.
Package sagetex Warning: There were undefined Sage formulas and/or
plots. Run Sage on st_example.sage, and then run LaTeX on
st_example.tex again.

Observe que, além dos arquivos usuais produzidos pelo LaTeX, existe um arquivo chamado st_example.sage. Esse
é um script em Sage produzido quando você executa o LaTeX em st_example.tex. A mensagem de alerta pede paravocê executar o LaTeX em st_example.sage, então siga essa sugestão e faça isso. Você vai receber uma mensagem
para executar o LaTeX em st_example.tex novamente, mas antes que você faça isso, observe que um novo arquivo
foi criado: st_example.sout. Esse arquivo contém os resultados dos cálculos feitos pelo Sage, em um formato que
o LaTeX pode usar para inserir em seu texto. Um novo diretório contendo um arquivo EPS do seu gráfico também foi
criado. Execute o LaTeX novamente e você vai ver que tudo que foi calculado, incluindo os gráficos, foi incluído em seu
documento.
As funções (macros em inglês) utilizadas acima devem ser fáceis de entender. Um ambiente sageblock insere código
“verbatim” (exatamente como é digitado) e também executa o código quando você executa o Sage. Quando você insere \sage{foo}, é incluído em seu documento o resultado que você obteria executando latex(foo) no Sage. Comandospara fazer gráficos são um pouco mais complicados, mas em sua forma mais simples, \sageplot{foo} insere aimagem que você obtêm usando foo.save( filename.eps ).
Em geral, a rotina é a seguinte:• execute o LaTeX no seu arquivo .tex;• execute o Sage no arquivo .sage que foi gerado;• execute o LaTeX novamente.
Você pode omitir a execução do Sage desde que você não tenha alterado os comandos em Sage em seu documento.
Há muito mais sobre o SageTeX, e como tanto o Sage como o LaTeX são ferramentas complexas e poderosas, é uma boa
idéia ler a documentação para o SageTeX que se encontra em SAGE_ROOT/venv/share/texmf/tex/latex/
sagetex.

146

Capítulo 7. Usando o SageTeX

CAPÍTULO

8

Posfacio

8.1 Por quê o Python?
8.1.1 Vantagens do Python
A primeira linguagem de implementação do Sage é o Python (veja [Py]), embora rotinas que precisam ser muito rápidas
são implementadas em uma linguagem compilada. O Python possui várias vantagens:• Salvar objetos é bem suportado em Python. Existe suporte extenso em Python para salvar (na grande maioria dos
casos) objetos arbitrários em arquivos em disco ou em uma base de dados.
• Suporte excelente para documentação de funções e pacotes no código fonte, incluindo extração automática dedocumentação e teste automático de todos os exemplos. Os exemplos são automaticamente testados regularmentepara garantir que funcionam como indicado.
• Gerenciamento de memória: O Python agora possui um sistema de gerenciamento de memória e “garbage collector” muito bem pensados e robustos que lidam corretamente com referências circulares, e permitem variáveis
locais em arquivos.
• O Python possui diversos pacotes disponíveis que podem ser de grande interesse para os usuários do Sage: análise
numérica e álgebra linear, visualização 2D e 3D, comunicação via rede (para computação distribuída e servidores,
por exemplo, via twisted), suporte a base de dados, etc.
• Portabilidade: O Python é fácil de compilar a partir do código fonte em poucos minutos na maioria das arquiteturas.
• Manuseamento de exceções: O Python possui um sofisticado e bem pensado sistema de manuseamento de exceções, através do qual programas podem facilmente se recuperar mesmo se ocorrerem erros no código que estásendo executado.
• Debugador: O Python inclui um debugador, de modo que quando alguma rotina falha por algum motivo, o usuário
pode acessar extensiva informação sobre a pilha de cálculos e inspecionar o estado de todas as variáveis relevantes.
• Profiler: Existe um profiler para o Python, o qual executa programas e cria um relatório detalhando quantas vezes
e por quando tempo cada função foi executada.

147

Tutorial Sage, Release 10.4

• Uma Linguagem: Em vez de escrever uma nova linguagem para matemática como foi feito para o Magma,
Maple, Mathematica, Matlab, GP/PARI, GAP, Macaulay 2, Simath, etc., nós usamos a linguagem Python, queé uma linguagem de programação popular que está sendo desenvolvida e otimizada ativamente por centenas deengenheiros de software qualificados. O Python é uma grande história de sucesso em desenvolvimento com código
aberto com um processo de desenvolvimento maduro (veja [PyDev]).

8.1.2 O Pré-Processador: Diferenças entre o Sage e o Python
Alguns aspectos matemáticos do Python podem ser confusos, logo o Sage se comporta diferentemente do Python em
diversas situações.
• Notação para exponenciação: ** versus ^. Em Python, ^ significa “xor”, não exponenciação, logo em Python
temos>>> 2^8
10>>> 3^2
1>>> 3**29Esse uso de ^ pode parecer estranho, e é ineficiente para pesquisa em matemática pura, pois a função “ou exclusivo”
é raramente usada. Por conveniência, o Sage pre-processa todos as linhas de comandos antes de passá-las para o
Python, substituindo ocorrências de ^ que não estão em strings por **:sage: 2^8256
sage: 3^2
9sage: "3^2"
3^2>>> from sage.all import *>>> Integer(2)**Integer(8)256>>> Integer(3)**Integer(2)9>>> "3^2"
3^2• Divisão por inteiros: A expressão em Python 2/3 não se comporta da forma que um matemático esperaria. Em
Python 2, se m e n são inteiros (int), então m/n também é um inteiro (int), a saber, o quociente de m dividido porn. Portanto 2/3=0. Tem havido discussões na comunidade do Python para modificar o Python de modo que 2/3
retorne um número de precisão flutuante (float) 0.6666..., e 2//3 retorne 0.
Nós lidamos com isso no interpretador Sage, encapsulando inteiros literais em Integer() e fazendo a divisão
um construtor para números racionais. Por exemplo:
sage: 2/3
2/3
sage: (2/3).parent()
Rational Field
sage: 2//30148

Capítulo 8. Posfacio

Tutorial Sage, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> Integer(2)/Integer(3)2/3>>> (Integer(2)/Integer(3)).parent()
Rational Field>>> Integer(2)//Integer(3)0• Inteiros longos: O Python possui suporte nativo para inteiros com precisão arbitrária, além de int’s do C. Essessão significantemente mais lentos do que os fornecidos pela biblioteca GMP, e têm a propriedade que eles são
impressos com o sufixo L para distingui-los de int’s (e isso não será modificado no futuro próximo). O Sage
implementa inteiros com precisão arbitrária usando a biblioteca C do GMP, e esses são impressos sem o sufixo L.
Em vez de modificar o interpretador Python (como algumas pessoas fizeram para projetos internos), nós usamos a linguagem Python exatamente com ela é, e escrevemos um pré-processador para o IPython de modo que o comportamento
da linha de comando seja o que um matemático espera. Isso significa que qualquer programa existente em Python podeser usado no Sage. Todavia, deve-se obedecer as regras padrão do Python para escrever programas que serão importados
no Sage.
(Para instalar uma biblioteca do Python, por exemplo uma que você tenha encontrado na internet, siga as instruções, mas
execute sage -python em vez de python. Frequentemente isso significa digitar sage -python setup.py
install.)

8.2 Eu gostaria de contribuir de alguma forma. Como eu posso?
Se você quiser contribuir para o Sage, a sua ajuda será muito bem vinda! Ela pode variar desde substancial quantidadede código, até contribuições com respeito à documentação ou notificação de defeitos (bugs).
Explore a página na web do Sage para informações para desenvolvedores; entre outras coisas, você pode encontrar uma
lista longa de projetos relacionados ao Sage ordenados por prioridade e categoria. O Guia para desenvolvedores do Sage(em inglês) também possui informações úteis, e você pode também visitar o grupo de discussões sage-devel no
Google Groups.

8.3 Como eu faço referência ao Sage?
Se você escrever um artigo usando o Sage, por favor faça referência aos cálculos feitos com o Sage incluindo[Sage] SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 8.7),
The Sage Developers, 2019, https://www.sagemath.org.

na sua bibliografia (substituindo 8.7 pela versão do Sage que você está usando). Além disso, procure observar quais
componentes do Sage você está usando em seus cálculos, por exemplo, PARI, Singular, GAP, Maxima, e também site
esses sistemas. Se você está em dúvida sobre qual software está sendo usado em seus cálculos, fique à vontade para
perguntar no grupo sage-devel do Google Groups. Veja Polinômios em Uma Variável para mais discussões sobre
esse aspecto.

Se por acaso você leu este tutorial do começo ao fim em uma só vez, e faz idéia de quanto tempo você levou, por favor
nos informe no grupo sage-devel do Google Groups.
Divirta-se com o Sage!

8.2. Eu gostaria de contribuir de alguma forma. Como eu posso?

149

Tutorial Sage, Release 10.4

150

Capítulo 8. PosfacioCAPÍTULO

9Apêndice

9.1 Precedência de operações aritméticas binárias
Quanto é 3^2*4 + 2%5? A resposta (38) é determinada pela “tabela de precedência” abaixo. A tabela abaixo é baseada
na tabela em § 5.14 do Python Language Reference Manual by G. Rossum and F. Drake. As operações estão listadas aquiem ordem crescente de precedência.
Operadores

Descrição

or
and
not
in, not in
is, is not>, <=, >, >=, ==, !=, <>+, *, /, %**, ^“ou” booleano“e” booleano“não” booleano
pertence
teste de identidade
comparação
adição, subtração
multiplicação, divisão, resto
exponenciação

Portanto, para calcular 3^2*4 + 2%5, O Sage inclui parenteses de precedência da seguinte forma: ((3^2)*4) +(2%5). Logo, primeiro calcula 3^2, que é 9, então calcula (3^2)*4 e 2%5, e finalmente soma os dois.

151

Tutorial Sage, Release 10.4

152

Capítulo 9. ApêndiceCAPÍTULO

10

Bibliografia

153

Tutorial Sage, Release 10.4

154

Capítulo 10. BibliografiaCAPÍTULO

11Índices e tabelas• genindex• modindex• search

155

Tutorial Sage, Release 10.4

156

Capítulo 11. Índices e tabelasReferências Bibliográficas[Cyt]

Cython, http://www.cython.org[GAP]

The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4; 2005, https://www.
gap-system.org[GAPkg]GAP Packages, https://www.gap-system.org/Packages/packages.html[GP]

PARI/GP, https://pari.math.u-bordeaux.fr/[Mag]

Magma, http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/[Max]

Maxima, http://maxima.sf.net/[NagleEtAl2004] Nagle, Saff, and Snider. Fundamentals of Differential Equations. 6th edition, Addison-Wesley, 2004.
[Py]

The Python language, http://www.python.org/[PyB]

The Python Beginner’s Guide, https://wiki.python.org/moin/BeginnersGuide[PyDev]

Python Developer’s Guide, https://docs.python.org/devguide/[PyLR]

Python Library Reference, https://docs.python.org/3/library/index.html[Pyr]

Pyrex, http://www.cosc.canterbury.ac.nz/ greg/python/Pyrex/[PyT]

The Python Tutorial, https://docs.python.org/3/tutorial/[SA]

Sage web site, https://www.sagemath.org/[Si]

G.-M. Greuel, G. Pfister, and H. Schönemann. Singular 3.0. A Computer Algebra System for Polynomial
Computations. Center for Computer Algebra, University of Kaiserslautern (2005). https://www.singular.
uni-kl.de[SJ]

William Stein, David Joyner, Sage: System for Algebra and Geometry Experimentation, Comm. Computer
Algebra {39} (2005) 61-64.

[ThreeJS]

three.js, http://threejs.org

157

Tutorial Sage, Release 10.4

158

Referências BibliográficasÍndiceE
EDITOR, 93

Vváriavel de ambiente
EDITOR, 93

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