領域「図形」における証明の構想の数理的考察
M2012MM005 原田直樹
指導教員：佐々木克巳

1

はじめに

本研究の目的は，中学校・高等学校の数学の領域「図形」における証明の構成法を数理的視点から分析・整理し，その結果を証明教育に応用することである．
修士論文では，証明における(i) すでに正しいと認められたことがら(1) 2 直線 l,m が平行であるとき，点 P を，l 上のどこをとっても，点 P と直線 m との距離は一定である．
(2) 対頂角の性質
対頂 角 は等しい(3) 平行線の性質

2 つの直線に 1 つの直線が交わるとき，次のこ(ii) 次に行う推論の選び方とが成り立つ．の 2 つを明らかにした．ただし，(i) は，[1],[2],[3] にした(a) 2 つの直線 が平行ならば，同位角は等しい．
がって学習しているという前提で明らかにした．そして，広範囲に適用可能な証明の構成法を考え，それを具体例(b) 2 つの直線 が平行ならば，錯角は等しい．
で確認した．
(4) 平行線になる条件
上の (i),(ii) を明らかにすることは，同時に証明教育に
2 つの直線に 1 つの直線が交わるとき，次のこおいて強調すべき点も明らかにしている．また，ここでとが成り立つ．
与える証明の構成法によって，現行の教科書 [1],[2],[3] に載っていない証明法を見い出せることも，具体例を通し(a) 同位 角 が等しいならば，この 2 つの直線は平て示されることになる．これらは証明教育に役立つ情報行である．
である．
(b) 錯 角 が等しいならば，この 2 つの直線は平行
本稿では，2 節で (i) を明らかにし，3 節で (ii) を明らである．
かにする．そして，4 節の具体例では，本研究の証明の構成法がよく表れている問題を，[2] と [3] から各 1 問抜粋 (5) 三角形の内角・外角の性質
し述べる．
(a) 三角形 の 3 つの内角の和は 180◦ である．

2前提の明確化

この章では，前章の (i) を明らかにする．(i) は次の 2 種類に分類できる．

• 論理結合子，限定子の性質(8) 合同な図形の性質(a) 合同な 図形 では，対応する線分の長さは，それぞれ等しい．

• 既習の性質
前者は，次の推論である．

P1 (⃗a) · · · Pn (⃗a)(b) 三角形 の 1 つの外角は，そのとなりにない 2 つの内角の和に等しい．

∀⃗x(P1 (⃗x)& · · · &Pn (⃗x) ⇒ Q(⃗x))
(∗∗)
Q(⃗a)

(b) 合同な 図形 では，対応する角の大きさは，それぞれ等しい．
(9) 三角形の合同条件
2 つの 三角形 は，次の各場合に合同である．

後者は，どれも次の形をしている．

(a) 3 組の辺が，それぞれ等しいとき∀⃗x(P1 (⃗x)& · · · &Pn (⃗x) ⇒ Q(⃗x))(∗)(b) 2 組の辺とその間の角が，それぞれ等しいとき(c) 1 組の辺とその両端の角が，それぞれ等しいとき
ここで ⃗x は “x1 ,· · · ,xm ” を表し，∀⃗x は “∀x1 · · · ∀xm ”を表す．具体的には，以下の性質リストに挙げる．本稿 (10) 二等辺三角形
では，4 節の具体例で用いる性質，また，用いる可能性が(a) 2 つの辺が等しい 三角形 は，二等辺三角形である性質のみを記載する．そのリストは，習う順にならある．
べる．
(b) 二等辺 三角形 ならば，2 つの辺は等しい．
また，“すべての x1 · · · xm について” という言い換えをしたときに x1 · · · xm となる部分には下線をひくこととす(11) 二等辺三角形の性質
る．ただし，証明すべき各文に応じて，既習の性質は制(a) 二等辺 三角形 の 2 つの底角は等しい．
限される．その詳細は 4 節で具体例を通して示す．
(b) 二等辺 三角形 の頂角の二等分線は，底辺を垂性質リスト ([1], [2], [3])直に 2 等分する．
(0) 重なっている 辺 の長さは等しい．
(12) 2 角が等しい三角形

2 つの角が等しい 三角形 は，二等辺三角形である．

3

推論の選び方の明確化

この章では，1 節の (ii) を明らかにする．(ii) の選び方
(13) 3 つの辺がすべて等しい 三角形 を，正三角形という． は次の 2 つである．

• 導きたい性質が Q(⃗a) のとき，すでに正しいと認められた性質から，(∗) の形の性質を探し，(∗∗)
を推論として選ぶ．複数の可能性があるときは，
P1 (⃗a),· · · ,Pn (⃗a) のうちできるだけ多くが「使える性質」であるような (∗∗) を優先する．この推論の適用
後は，導きたい性質は，P1 (⃗a),· · · ,Pn (⃗a) に変わる．

(14) 直角三角形の合同条件
2 つの直角 三角形 は，次の各場合に合同である．
(a) 斜辺と 1 つの鋭角が，それぞれ等しいとき(b) 斜辺と他の 1 辺が，それぞれ等しいとき(15) 平行四辺形 ならば，向かいあう 2 組の辺は，それぞれ平行である．

• 使える性質に P1 (⃗a),· · · ,Pn (⃗a) があるとき，すでに正しいと認められた性質から，(∗) の形の性質を探し，(∗∗) を推論として選ぶ．この推論の適用後は，使える性質に Q(⃗a) が加わる．

(16) 平行四辺形の性質(a) 平行四辺形 の 2 組の向かい合う辺は，それぞれ等しい．
(b) 平行四辺形 の 2 組の向かい合う角は，それぞれ等しい．
(c) 平行四辺形 の対角線は，それぞれの中点で交わる．
(17) 平行四辺形になる条件
四角形 は，次の各場合に平行四辺形である．

(a) 2 組の向かいあう辺が，それぞれ平行であるとき (定義)(b) 2 組の向かいあう辺が，それぞれ等しいとき(c) 2 組の向かいあう角が，それぞれ等しいとき(d) 対角線が，それぞれの中点で交わるとき(e) 1 組の向かいあう辺が，等しくて平行であるとき

ここで提案する証明の構想とは，証明すべき文に対して，仮定，(i)，結論を明らかにし，上の 2 つの推論を，使える性質の中に導きたい性質が現れるまで適用し続けることである．
以後，上の 2 つで選ばれた推論 (∗∗) と性質 (∗) を同一視し，性質 (∗) のことを，推論 (∗∗) の意味でも用いることにする．

4

具体例

この節では，[2],[3] で証明されている性質に対し，その証明を前節の構成法にしたがって構成していく．その構成法に基づいた証明の構想の例を挙げる．その結果，仮定と結論の双方から証明を構成していくことにより，導く推論がより明確になることがわかった．推論の様子は，フローチャートにより示していく．

(18) 4 つの角がすべて等しい 四角形 は，長方形である． 例題 1([2],p. 134 の 7)
図 1 は，リボンを重ねた図である．このリボンの幅が(19) 4 つの辺がすべて等しい 四角形 は，ひし形である．
一定であるならば，2ABCD はひし形である．
(20) 4 つの辺がすべて等しく，4 つの角がすべて等しい
四角形 を，正方形という．
(22) 相似な図形の性質(a) 相似な 図形 では，対応する線分の長さの比は，すべて等しい．
(b) 相似な 図形 では，対応する角の大きさは，それぞれ等しい．
(23) 三角形の相似条件
2 つの 三角形 は，次の各場合に相似である．
(a) 3 組の辺の比が，すべて等しいとき(b) 2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しい
とき(c) 2 組の角が，それぞれ等しいとき(24) 平行線と線分の比△ABC で，辺 AB,AC 上に，それぞれ，点 P,Qがあるとき，(a) PQ∥BC ならば，AP:AB=AQ:AC=PQ:BC(b) PQ∥BC ならば，AP:PB=AQ:QC

図 1 例題 1 の図
まず，仮定，既習の性質，結論を明確にする．
仮定：リボンの幅が一定，図 1 のように重なっている
既習の性質：(0)〜(21)結論：2ABCD はひし形
次に，証明の構想を記述する．この構想の大枠を図 3,
図 5, 図 7 のフローチャートに示しておく．
仮定からわかることは，AB∥CD,AD∥BC である．よって，2ABCD は平行四辺形である．

結論は，ひし形であることなので，ひし形の定義であAB と BC が，等しい 2 辺になる二等辺三角形をつく
る，4 つの辺がすべて等しい，を証明すればよい．(16)- れば，(10)-(b) より，AB=BC を示すことができる．ま(a) より，AB=CD,BC=DA なので，AB=BC もしくは， ず，AC に補助線をひいてみる．次に，△ABC が二等辺
CD=DA を示せばよいことがわかる．ここでは，AB=BC 三角形であることを示したい．二等辺三角形であるためを示していく．AB=BC を示す推論には，(8)-(a),(10)- には，(12) の前提を満たさなければならないが，∠BAC=(a),(16)-(a) があり，どれを用いるかによって，3 通りの ∠BCA であることがわからない．よって，補助線を AC方法がある．にひくことは，不適切である．
方法 1：これは，(1),(5)-(a),(8)-(a),(9)-(c),(16)-(b) を使
そこで，図 2 の △ABH と △BCK を図 4 のように貼りった方法である．
合わせる．
AB と BC が対応する 2 つの三角形の合同を示す．ABと BC が対応する 2 つの三角形をつくるために，補助線BD をひいてみる．すると，(3)-(b) より，∠ABD= ∠CDBとなる．これでは，対応する辺が AB と CD，AD と BCになってしまうので不適切である．
そこで，補助線を点 B から AD 上，CD 上にひくことで，BA と BC が対応する三角形ができるとわかる．
点 B から AD 上，CD 上におろした垂線と AD,CD との交点を，それぞれ，H,K とする．リボンの幅が一定ということから性質 (1) を使うと，BH=BK,∠BHA= ∠BKC=
図 4 △ABH と △BCK を貼り合わせた図90◦ となる．補助線をひいた図を図 2 に示す．
∠H= ∠K= 90◦ より，点 C′ ,H,A は一直線上である．
(16)-(b) より，∠BAH = ∠BCK であるので，△BC′ A は二等辺三角形である．(10)-(a) より，BC′ =BA である．
これは，すなわち，図 1 で，AB=BC ということが示されたことになる．

図 2 2ABCD に補助線をひいた図∠BHA= ∠BKC= 90◦ より，直角三角形の合同条件が使えそうだが，導きたい性質が，直角三角形の斜辺であるため使えない．(16)-(b) より，∠BAH= ∠BCK である．
三角形の内角の和は 180◦ なので，∠ABH= ∠CBK である．1 辺とその両端の角が，それぞれ等しいので，(9)-(c)より，△ABH≡ △CBK である．したがって，(8)-(a) より，AB=BC が示された．

図 3 例題 1 の方法 1 のフローチャート
方法 2：これは，(1),(10)-(b),(12),(16)-(b) を使った方法である．

図 5 例題 1 の方法 2 のフローチャート
方法 3：これは，(1),(5),(16)-(b),(17)-(c) を使った方法である．
図 2 の △ABH と △BCK を図 6 のように貼り合わせる．

図 6 △ABH と △BCK を貼り合わせた図方法 1 と同様に角を求めると，∠BC′ K= ∠KAB,∠ABC′= ∠C′ KA である．2 組の向かい合う角が，それぞれ等しいので，2ABC′ K は平行四辺形である．したがって，平行四辺形の性質より，AK=BC′ である．
これは，すなわち，図 1 で，AB=BC ということが示されたことになる．

図 9 例題 2 のフローチャート 1

図 7 例題 1 の方法 3 のフローチャート
例題 2([3],p. 125 の 2)
図 8 で，点 X,Y は，対角線 AC を 3 等分することを証明しなさい．

三角形の合同を示すと，うまく証明できる．(8)-(a) より，辺の長さが等しいことを明確にする．
まず，△AYD だけに注目し，さきほどの証明と同じ手順で AX:XY=1:1 を示す．
次に，△AXP と △CYQ で，(9)-(c) より，合同を示す．AP=CQ，(3)-(b) より，∠XAP= ∠YCQ，平行四辺形 PBQD の外角なので，∠XPA= ∠YQC である．よって，(9)-(c) より，△AXP≡ △CYQ である．よって，合同な三角形の性質より，AX=CY である．したがって，AX=XY=YC は明らかである．

図 8 例題 2 の図
まず，仮定，既習の性質，結論を明確にする．
仮定：2ABCD は長方形，AP=PD=BQ=QC，
点 P,Q,X,Y は図 8 の通り
図 10 例題 2 のフローチャート 2
既習の性質：(0)〜(26)
結論：点 X,Y は，対角線 AC を 3 等分する
5 おわりに
次に，証明の構想を記述する．この構想の大枠を図 9,証明の構成を既習の性質から組み立てることによって，図 10 のフローチャートに示しておく．
さまざまな証明を作ることができた．教科書([1],[2],[3])ま ず，3 等 分 を ど の よ う に 示 せ ば よ い か 考 え る ．
AX=XY=YC となれば 3 等分であるが，既習の性質では に載っていない方法でも証明ができるということは，学直接それを示すことはできない．また，AX:XY:YC=1:1:1 校教育の場であっても生徒が自由な発想で，自分なりのとなる性質もない．そこで，どの性質が使えそうか考える． 手順で，証明を組み立てることができるということであ図 8 をみると，△AYD,△CXB で (24) が使えると予想で る．これによって，生徒の想像力を高めることができる
きる．(24) が使えるための条件は XP∥YD,YQ∥XB なの と感じた．
で，つまり，PB∥DQ であればよい．すると，2PBQD
参考文献
で ，(17)-(e) よ り，PB∥DQ で あ る ．よって ，仮 定 の[1] 岡本和夫, 小関熙純, 森杉馨, 佐々木武, ほか 39 名,『未AP=PD=BQ=QC と (24) より，AX:XY=CY:YX=1:1
来へひろがる数学 1』, 啓林館, 大阪,2012.
で あ る ．し た がって ，AX:XY=1:1,CY:XY=1:1 よ り，
[2] 岡本和夫, 小関熙純, 森杉馨, 佐々木武, ほか 39 名,『未AX:CY=1:1 である．以上より，AX:XY:YC=1:1:1 とな
来へひろがる数学 2』, 啓林館, 大阪,2012.
り，AX=XY=YC が示された．
しかし，AX:XY=1:1,CY:XY=1:1 より，AX:CY=1:1であることをいうには少し不明確さがある．その場合は，[3] 岡本和夫, 小関熙純, 森杉馨, 佐々木武, ほか 39 名,『未来へひろがる数学 3』, 啓林館, 大阪,2012.