分割表における多重比較法とその評価
M2004MM040 棚瀬 貴紀
指導教員

松田 眞一
pRi Cj /N√とおくと、この y は漸近的に平均 N (r⊗c)、分散 (RR0 )⊗(CC 0 ) の正規分布に従う。さらにr 、cそれぞれに直交する任意の単位ベクトルをr⊥ 、c⊥ とすると、(r 0 ⊥ ⊗ c0 ⊥ )y
ただし yij = nij /1 はじめに分割表（クロス表）は統計的手法の中でもごく基本的なツールであるといえる。その用途は幅広く、社会経済からマーケティング、医薬にまで及んでいる。
しかし、一般に使われている分割表の検定である Pear-son の χ2 検定や Fisher の正確確率検定は、縦と横に関連があるかどうかを調べるに留まっている。さらにどのカテゴリー間に関連があるかどうかを調べるには、有意水準の多重性を考慮する、多重比較法の概念が必要となってくる。最近では対数線形モデルを用いた方法がとられているが、それは分割表そのものからのアプローチではない。
現在提唱されている多重比較法が得意としているパターンを見出し、望まれる適用を提案したい。

は標準正規分布に従うことが言える。

3.1 適合度 χ2
分割表の検定において最も単純なものは、明示的な対立仮説を与えずに帰無仮説を検定する適合度 χ2 検定である。(R0 ⊗ C 0 )(RR0 ⊗ CC 0 )(R ⊗ C) = I(a−1)×(b−1) より、確率ベクトル (R0 ⊗ C 0 )y の (a − 1)(b − 1) 個の確率変数が互いに独立に標準正規分布に従うことが分かる。さらに、これらの 2 乗和 k (R0 ⊗ C 0 )y k2 は χ2(a−1)(b−1) に従い、Pearson の χ2 検定と同質である。
またこれは分割表全体に関する統計量である。ある 2
行間 (i 6= i0 ) のみに限定して述べれば、仮説は2 本論における分割表の設定
要因 A が a 個の尺度、要因 B が b 個の尺度があるように

H0 (i, i0 ) : pij /pi. − pi0 j /pi0 . = 0 (j = 1, ..., b)(4)

分類した 2 元分割表を仮定する。分割表のセル (i, j) にてとなる。これに対し、行間の 2 乗距離の統計量は以下の観測された度数を nij とし、総数をようにかける (Hirotsu[2] 参照)。

Pa

Pb

i=1

j=1 nij = N 、第 i 行や第 j 列に関しての度数の和を Ri , Cj とする。また、各セルの出現同時確率を pij とする。

PP P

j pij = p.j 、

ii pij = pi. 、

j pij = p.. = 1 である (表 1 参照)。

表 1 a × b 分割表

A1..
.
Ai..
.
Aa計B1n11..
.
ni1..
.
na1C1···············

Bj
n1j..
.
nij..
.
naj
Cj···············

Bb
n1b..
.
nib..
.
nabCb

χ2 (i; i0 ) =k {r 0 (i; i0 ) ⊗ C 0 }y k2P

r 0 (i; i0 )¶³´− 21 µ1111√√0, ..., 0, R , 0, ..., 0, −= Ri + R 0, 0, ..., 0
3.2 累積 χ2 法

R1..
.
Ri..
.
RaN

前節は列カテゴリーに順序がないことを想定していたが、カテゴリーに自然な順序があると統計量の計算は非対称となる。自然な順序とは、例えばガンの重症度を要因とすれば 軽度

中程度

重度 というような順序付き水準を示す。この節では自然な順序があることを想定し、全ての i 6= i0 に対して傾向のある対立仮説

H1 (i, i0 ) : pi1 /pi0 1 ≥ ... ≥ pib /pi0 b
or
pi1 /pi0 1 ≤ ... ≤ pib /pi0 b

3 広津の累積 χ2 法
周辺和で条件付けした分布は、一般に多項一般超幾何分布であり、多項分布の一様性の仮説の下では多項超幾何分布となる。

a × b 分割表の行と列に関する確率変数ベクトルを√√
1 √r 0 = N − 2 ( R1 , ..., Ri , ..., Ra )
(1)
p√
√
1(2)
c0 = N − 2 ( C1 , ..., Cj , ..., Cb )とおく。R0 、C 0 は rr 0 + RR0 = Ia 、cc0 + CC 0 = Ib と(3)(6)を与え、この仮説検定における統計量をこの節で考える。
分割表全体に対して列 j と列 (j + 1) の間に仕切りを入れてまとめた a × 2 分割表に対して χ2 統計量 χ2(j) を考える。この統計量の累積和は

χ∗2 =Pb−1

20∗02
j=1 χ(j) =k (R ⊗ C )y kとかける。ただし Cc∗j 0 =なるような (a − 1) × a、(b − 1) × b 行列とする。

y 0 = {y11 , y12 , ..., y1b , y21 , ..., y2b , ..., ya1 , ..., yab }

Ri0ii

計(5)

ただし

³11
Sj + S̄j(Sj =Pj∗0(7)の第 j 行 c∗j 0 (j = 1, ..., b − 1) は´− 12 µ √C1Sj , ...,√√√
Cj − Cj+1, ..., − S̄jCb,SjS̄jl=1 Cl ，S̄j = N − Sj (j = 1, ..., b − 1))¶である。これは χ2 分布の定数倍 dχ2ν でよく近似される。

d, ν については
Pb−2 ³ Pjk=1 λk ´

4 松田の χ2 法

λj+1(8)a × b 分割表 (a ≥ 3) に対して、松田 [4] は閉検定手順(Marcus et al.[5] 参照) を用いた方法を提案している。そν = (a − 1)(b − 1)/d(9)の方法を以下に述べる。

2d = 1 + b−1j=1

まず、次のような仮設の族を考えている。と求まる。

S = {pij /pi. = pi0 j /pi0 . (1 ≤ j ≤ b) | 1 ≤ i ≤ i0 ≤ a}

3.3 Scheffé 法
行を群とみなし、一般性を失うことなくこれらを 2 群

すべての仮説が成り立つ場合は、独立性の帰無仮説に一致

I = (1, ..., u)、I 0 = (u + 1, ..., u + v) に分ける。このとする。さらに仮説を拡張し、いくつかの行の集合でのみ構

き、目的の統計量は以下のようになる。
∗2000∗02

χ (I, I ) =k {r (I; I ) ⊗ C }y k
ただしPPi∈I Ri = TI 、r 0 (I; I 0 ) =×(10)½√³R1TI , ...,√

以下のように閉検定手順が適用される。

´− 12√√− Ru+vRu − Ru+1, ..., T 0 , 0, ..., 0
TI ,TI 0I

S 0 = {pi1 j /pi1 . = · · · = pik j /pik . (1 ≤ j ≤ b)
| i1 , ..., ik ⊆ {1, 2, ..., a}}とする。k は仮説の大きさと呼ばれる。この S 0 に対してi∈I 0 Ri = TI 0 で

1
1
TI + TI 0

成される仮説の族 S 0 を¾

手順１

有意水準 α を定める。

手順２

分割表全体に対して有意水準 α で独立性の検定を行う。棄却されれば k = a − 1 とおいて次へ進む。保留されれば S 0 の全ての仮説を保留して終了する。

そこで Hirotsu[2](他、広津 [3]) は、k {r 0 (I; I 0 )⊗C ∗0 }y k2
∗0手順３

∗

S 0 でまだ保留となっていない大きさ k の全てのの最大値が Wishart 分布 W (C C , a − 1) に従う行列の仮説について、対応する行のみを取り出した部分分最大固有根の分布に、H0 の下で漸近的に従うことを証明

割表に対する有意水準 αk の独立性の検定を行う。

した。

ただし、

しかし、この分布から棄却限界値を定める計算が非常にαa−1 = α, αk = 1 − (1 − α)k/a (k = 2, ..., a − 2)複雑であることから、会田・広津 [1] が求めた数表 (ただし b = 3, 4) を用いるか、γχ2a−1 (γ は C ∗0 C ∗ の最大固有根)にて近似を行うことが出来る。
また、2 群それぞれを行間として当てはめた統計量はχ∗2 (i; i0 ) =k {r 0 (i; i0 ) ⊗ C ∗0 }y k2 となる。これもやはり(7) の成分であるが、群間を考える (10) と比べて相当保守的な統計量であると考えられる。

3.4

Tukey 法

基本統計量は χ∗2 (i; i0 ) である。特に a があまり大きくである。
手順４

大きさ k のすべての仮説が保留されている場合、または k = 2 場合は終了する。

手順５

S 0 内で保留された仮説を含む (行の添え字の集合としては含まれる) 大きさ k − 1 の仮説を全て保留する。大きさ k の仮説のうち、一つでも棄却されれば k − 1 を新しく k とおき、手順３に戻ってこの手順を繰り返す。

ないときに以下の不等式の下限が十分によい近似を与え

手順２、手順３で用いられる独立性の検定は、Pearson のるとしている (広津 [3])。

χ2 検定と Fisher の正確確率検定のどちらでも良いが、松田 [4] はどちらか一方のみの使用を推奨している。

¡a¢PPr{χ∗2 (i1 ; i2 ) > c, χ∗2 (i3 ; i4 ) > c}
¡ ¢≤ Pr{maxi6=i0 χ∗2 (i; i0 ) > c} ≤ a2 Pr(dχ2ν > c) (11)22 Pr(dχν > c)−

ただし、

P5 提案する方法
基本は閉検定手順を用いている点では、松田の方法とは (i1 , i2 ) 6= (i3 , i4 ) に関してすべての和をと同質である。松田の方法は独立性の検定にて Pearson の

しかしこの有意確率をシミュレーションにて試した結χ2 検定と Fisher の正確確率検定のどちらか としていたが、提案する方法は、この独立性の検定にて累積 χ2 検

果、a = 3 のときに上限の値が 1 を超えてしまうパターン

定を用いる点のみで異なる。順序を仮定した対立仮説のが、a ≥ 4 のとき下限の値が負になるかつ上限の値が 1 を下で、累積 χ2 法が高い検出力を持つことが知られている超えるパターンが発見された。ここで説明される Tukey(会田・広津 [1] など)。このことから、この方法も同様の法において実用可能なのは a = 3 のみであり、それ以上性質を持つことが期待される。

ることを意味する。の行数では近似が悪く用いることは出来ない。任意の対

本論文では、この方法を広津・松田の方法とよぶことに比較を行いたいときは、以降で述べる松田の方法や広津・する。なお、この方法が所与の有意水準を守ることは松田松田の方法を用いるべきである。の方法と同様に示される。

表 4 傾向のある対立仮説の下での検出力 (5 × 3 分割表)

6 検出力シミュレーション

N = 250(上段)、N = 500(下段)
本研究の最大の目的である任意の行間の対比較に対すパターン

る、検出力シミュレーションを行った。
行数 a = 3, 4, 5, 6、列数 b = 3 に固定する。繰り返し数は 10000 回とした。検証する方法は以下の 5 つとする。

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)

松田の方法
統計量 χ∗2 (i, i0 ) の W (C ∗0 C ∗ , a − 1) による検定

多重比較法

(i)
0.2866
0.58240.62770.9351

ABA
B(ii)
0.26870.57780.61600.9297

独立性の検定(iii)
0.40480.72910.76550.9701(iv)
0.4536
0.76600.78720.9806(v)
0.35330.65900.68080.9547

広津・松田の方法
累積 χ2 法表 5 傾向のある対立仮説の下での検出力 (6 × 3 分割表)

Pearson の χ2 検定(i)〜(iii) は多重比較法で、(iv)〜(v) は独立性の検定である。

6.1 傾向のある対立仮説の場合
列に順序のある対立仮説を仮定する。すなわち、対立仮説として (6) を仮定する。この仮説が真であるとき、度数は左寄りか右寄りに出現する。
シミュレーションを行う方法として、各セルの発生

N = 300(上段)、N = 600(下段)
パターン

ABAB

多重比較法

(i)
0.24250.54210.57670.9324(ii)
0.20880.5106
0.54820.9145

独立性の検定(iii)
0.38000.71240.74150.9724(iv)
0.47270.78850.81550.9841(v)
0.35330.67040.70790.9658確率 pij を適当に定め、乱数により度数を決定する。まず標準正規分布の分布関数の値が 1/3、2/3 になる点を

U1 、U2 とする。ここで µ = (µ1 , ..., µi , ..., µa ) を適当に定め、N (µi , 12 ) の密度関数の区間 (−∞, U1 )、(U1 , U2 )、(U2 , ∞) での累積確率をそれぞれ qi1 、qi2 、qi3 とする。さらに p.. = 1 に固定するため、pij = qij /a とする。µ の設定は、区間 [0, 0.5] と区間 [0, 0.7] を行数だけ等分するパターン A、B の二つを用意した。シミュレーション結果を表 2〜5 に載せる (下線は各区分の最大値)。
表 2 傾向のある対立仮説の下での検出力 (3 × 3 分割表)

N = 150(上段)、N = 300(下段)パターンABAB

多重比較法

(i)
0.3786
0.66370.69930.9508(ii)
0.42750.72670.75450.9704

独立性の検定(iii)
0.45280.7566
0.78730.9754(iv)
0.47000.76550.79100.9755(v)
0.37900.66560.70030.9501

出力を得る結果となった。(i) と (ii) の比較では、a = 3, 4のとき (ii) が勝っているが a ≥ 5 で (i) が逆転する結果となった。なお、閉検定手順を用いている (i)(iii) は最初に全体の独立性の検定を行う性質から、それらの検出力は独立性の検定 (v)(iv) の検出力を上回ることはできない (一部で関係が逆になっているものがあるが、シミュレーション誤差であろう)。
以上をまとめると、単調な傾向のある対立仮説ではPearson の χ2 よりも累積 χ2 を考える統計量の方が検出力は高いことが言える。累積 χ2 は複数方向への射影成分を用いるため、単調に増加するベクトルに逐一射影することから今回のような検出力を得ることができた。対してPearson の χ2 は全体同一方向から射影をとるために、累積 χ2 と比較して検出力は落ちる。
6.2 傾向のない対立仮説の場合
累積 χ2 法関連は列方向に自然な順序を仮定しているため、単調な傾向を仮定しない状況では検出力が落ちることが想像される。例えば、以下の対立仮説は非単調な傾向を

表 3 傾向のある対立仮説の下での検出力 (4 × 3 分割表)

N = 200(上段)、N = 400(下段)
パターン

ABAB

多重比較法

(i)
0.32910.62340.65380.9415(ii)
0.34820.64650.68130.9474

独立性の検定(iii)
0.43120.73180.7704
0.9724(iv)
0.45080.75070.78070.9751(v)
0.34830.64870.67850.9467仮定する対立仮説の一つである。

H1 (i, i0 ) : pi1 /pi0 1 ≥ ... ≤ pib /pi0 bor0pi1 /pi 1 ≤ ... ≥ pib /pi0 b(12)もしこの仮説が成り立っているのであれば、度数は中央寄りか左右寄りに出現する。
前節のシミュレーションの設定は正規分布の平均をずらすことで対立仮説を設定したが、今回は平均を固定し分散をずらすことで対立仮説 (12) を設定する。前節と異多重比較法に関しては (iii) 広津・松田の方法が、独立性なる点は σ = (σ1 , ..., σi , ..., σa ) を適当に定め、N (0, σi2 )2の密度関数の区間を考えることのみである。σ の設定は、の検定に関しては (iv) 累積 χ 法が全面的に最も高い検区間 [1, 2] と区間 [0.5, 1] を行数だけ等分するパターン

力は高いことが言える。累積 χ2 は複数方向への射影成分A、B の二つを用意した。

を用いることから、ズレのない部分 (今回は第 1,3 列) のシミュレーション結果を表 6〜9 に載せる。

分だけかえって統計量に損な部分が出てしまう。対して

表 6 傾向のない対立仮説の下での検出力 (3 × 3 分割表)

Pearson の χ2 は全体同一方向から射影をとるために、累積 χ2 と比較して検出力は上がる。

N = 150(上段)、N = 300(下段)
パターン

ABAB

多重比較法

(i)
0.28540.60480.55320.9088(ii)
0.05390.2732
0.09410.6733(iii)
0.08250.33140.14740.7337

また、任意の対比較においては対立仮説の設定に限定さ独立性の検定れず、(ii) 統計量 χ∗2 (i, i0 ) の W (C ∗0 C ∗ , a − 1) による検(iv)0.09320.3566
0.15320.7467定を用いることはやはり避けるべきであろう。

(v)
0.29810.5976
0.56780.91797 おわりに
本研究では分割表の多重比較法を扱い、対立仮説に順序を仮定する場合は広津・松田の方法、仮定しない場合は松田の方法が推奨される結果となった。

表 7 傾向のない対立仮説の下での検出力 (4 × 3 分割表)

N = 200(上段)、N = 400(下段)含めた統計手法一連の確立がある。今回の検出力シミュ

多重比較法

独立性の検定レーションにて方法各々の得意・不得意が明らかにされ(iv)
0.09150.32390.14330.7041

たが、実際の解析にはどの方法を用いるべきかを判断しパターンABAB(i)
0.2446
0.55220.50990.8940(ii)
0.03300.14980.04830.5114(iii)
0.06920.26230.11610.6643(v)
0.27590.57980.53150.9093

表 8 傾向のない対立仮説の下での検出力 (5 × 3 分割表)

N = 250(上段)、N = 500(下段)
パターン

AB
A
B

多重比較法

(i)
0.20300.5042
0.46410.8894(ii)
0.02010.08770.02590.3625

独立性の検定(iii)
0.07020.2202
0.09510.6178(iv)
0.09300.31870.15090.7054(v)
0.27140.57010.53990.9078表 9 傾向のない対立仮説の下での検出力 (6 × 3 分割表)

N = 300(上段)、N = 600(下段)パターンABAB

今後の課題としては、3 点が挙げられる。1 つ目に、3 節で述べた Tukey 法の整理がある。2 つ目に、予備検定を

多重比較法

(i)
0.16700.46080.42670.8654(ii)
0.0107
0.05380.01760.2538

独立性の検定(iii)
0.05200.17560.07470.5552(iv)
0.08670.31770.14540.7068(v)
0.25950.58580.53980.9241シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 を ま と め る 。多 重 比 較 法 に関しては (i) 松田の方法が、独立性の検定に関しては(v)Pearson の χ2 検定が全面的に最も高い検出力を得る結果となった。また、(iii) 広津・松田の方法は、(ii) 統計量 χ∗2 (i, i0 ) の W (C ∗0 C ∗ , a − 1) による検定を全面的に上回っている。以上からまとめると、対立仮説 (12) では
累積 χ2 よりも Pearson の χ2 を考える統計量の方が検出なければならない。3 つ目に、対照群を設定する Dunnet法と順序水準付きの Williams 法の分割表における提案がある。

謝辞
本研究に熱心にご指導をして頂いた松田眞一助教授に深く感謝申し上げます．累積 χ2 関連の創始である明星大学の広津千尋先生は、私の拙い質問にも丁寧にお答え下さいました．この場を借りて心より感謝申し上げます．学内の田中豊先生、木村美善先生、富田誠先生からは日頃から統計学の研鑽の場を頂きました．ここに深く感謝いたします．

参考文献[1] 会田雅人, 広津千尋: 順序制約下での多項分布比較の一方法と数表, 応用統計学, 12, 3, 101-110 (1983).
[2] Hirotsu, C.: Defining the pattern of association in
two-way contingency tables, Biometrika, 70, 3, 579589 (1983).
[3] 広津千尋: 実験データの解析―分散分析を超えて―,
共立出版 (1992).
[4] 松田眞一: 名義尺度の分割表に対する多重比較法, 南山大学紀要「アカデミア」数理情報編 , 4, 29-37(2004).
[5] Marcus, R., Peritz, E., Gabriel, K. R.: On closed
testing procedures with special reference to orderedanalysis of variance, Biometrika, 63, 3, 655-660(1976).