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HΦ講習会: HΦの概要
山地洋平
東京大学大学院工学系研究科附属量子相エレクトロニクス研究センター

1. HΦとは?
2. HΦでできること
3. HΦをどう使うか
4. HΦの使用例

HΦとは実験と理論の直接比較・数値計算手法開発促進を目指して量子格子模型の数値厳密対角化法は、量子多体問題、とくに強相関電子系の数値的研究を行う際の最も基本的な手法です。
西森秀稔教授( 東京工業大学) が開発された量子スピン模型に対する先駆的な数値対角化パッケージTITPACK[1]は、その公開以来20年以上にわたって幅広いユーザーに利用されてきました。
HΦはTITPACK に代わる並列計算機対応数値対角化パッケージを目指して開発されました。遍歴電子系を含む幅広い量子格子模型に柔軟に適用でき、さらに高並列に対応するソフトウェアです。
2015/2016年度東大物性研ソフトウェア開発・高度化支援[2]を受け開発を進めています。
[1] http://www.stat.phys.titech.ac.jp/~nishimori/titpack2̲new/index-e.html[2] http://www.issp.u-tokyo.ac.jp/supercom/rsayh2/softwea-dev

HΦとは実験と理論の直接比較・数値計算手法開発促進を目指して
数値厳密対角化法による量子格子模型ソルバー-広汎な多体量子系に対応-ランチョス法[1]: 基底状態及び低励起状態の波動関数-熱的純粋量子(TPQ)[2]: 有限温度物理量計算-ハイブリッド並列化[1] E. Dagotto, Rev. Mod. Phys. 66, 763 (1994) .
[2] S. Sugiura, A. Shimizu, Phys. Rev. Lett. 108, 240401 (2012).

オープンソース・ソフトウェア
ライセンス: GNU GPL version3**自由に使ったり、変更したり、頒布してください。
ただし、HΦの開発者の著作権をみとめ、変更を明示し、再配布もGPLv3で行ってください。

HΦでできること: 量子格子模型・計算できる系
遍歴電子系: Hubbard-type modelFermion Hubbard: 粒子数・トータルSz保存
HubbardNConserved: 粒子数保存・トータルSz非保存
Fermion HubbardGC: 粒子数・トータルSz非保存

HΦでできること: 量子格子模型
・計算できる系
局在スピン系: Heisenberg-type model

禁制

Spin: トータルSz保存
SpinGC: トータルSz非保存

S > 1/2にも対応

HΦでできること: 量子格子模型
・計算できる系
複合系: Kondo-Lattice-type model

禁制
Kondo Lattice: 粒子数・トータルSz保存
Kondo LatticeGC: 粒子数・トータルSz非保存

HΦでできること: 計算手法
・計算手法
完全対角化法-ハミルトニアン行列の生成-Lapackによる対角化: ZHEEV等→小さな系の計算とLanczos＆TPQの精度確認

ハミルトニアン行列生成: SpinGC

基底の例:3スピン基底

HΦでできること: 計算手法
・計算手法
Lanczos法:
ハミルトニアン行列を生成しない大規模粗行列解法
Krylov部分空間の一種(正規直交基底)
上手に正規直交化する場合、最小で波動関数２本を記憶すれば基底状態あるいは低励起状態を計算できる→Lanczos法

HΦでできること: 計算手法
Lanczos法

do k=1,Nstep

enddo→三重対角行列の固有値がハミルトニアンの固有値-最大・最小固有値が高精度-小さなHへの適用は要注意

有限温度計算手法: TPQ

HΦでできること: 計算手法
・計算手法

Imada & Takahashi (1986)
Jaklic & Prelovsek (1994)
Hams & De Raedt (2000)

有限温度計算:カノニカル平均を典型的な波動関数による期待値で置き換える
Imada & Takahashi (1986)

有限温度計算手法: TPQ

HΦでできること: 計算手法
・計算手法
有限温度計算:カノニカル平均を典型的な波動関数による期待値で置き換える
Replacing canonical ensemble with typical wave functionsThermal Pure Quantum (TPQ) States
Sugiura & Shimizu, PRL 108, 240401 (2012)

Initial state ( at T = + ):do k=1,Nstep

enddo

If possible, taking random average有限温度計算手法: TPQ

HΦでできること: 並列計算
・ハイブリッド並列-共有メモリ並列(OpenMP) スレッド
-分散メモリ並列(MPI)
プロセス
並列計算機

波動関数の分割例: 2プロセス

ノード

ノード

T1
T0
core1
core2

core1 core2

T3
core3
T2
core4

core3 core4

core5

core5

core6

T0
T1
T2
T3

core6

有限温度計算手法: TPQ

HΦでできること: 並列計算
・Hubbard/Kondo Lattice/HubabrdGC→4nプロセス・Spin/SpinGC→(2S+1)nプロセス

・ハイブリッド並列-共有メモリ並列(OpenMP) スレッド-分散メモリ並列(MPI)
プロセス

並列計算機

波動関数の分割例: 2プロセス

rank 0rank 1

ノード

ノード

P1
P0
core1
core2

P3
P2
core1
core2

core3 core4

core3 core4

core5

core5

core6

P0

P2

P1

P3

core6

有限温度計算手法: TPQ

HΦをどう使うか・計算モード-スタンダード・モード
StdFace.def for 1D S=1/2 Heisenberg model
System size
L = 16Model
model = “Spin”
Methodmethod = “Lanczos”
lattice = “Chain Lattice” Lattice
Exchange couplingJ = 1.0
2Sz = 0Total Sz
2S = 1Size of spin

計算実行
PATH/HPhi -s StdFace.def
mpirun -np xx PATH/HPhi -s StdFace.def (xx: # of process)HΦをどう使うか(b)(a)・StdFace.def内パラメータmodel:
Fermion Hubbard
Fermion HubbardGC
Spin
SpinGC
Kondo Lattice2103108L

94method:
Lanczos
TPQ
Full Diag

540

1

30

8

9

101184

56

7

40

1230

7W

08

11403W
1511lattice:
Chain Lattice
Square Lattice
Triangular Lattice
Honeycomb Lattice
Kagome Lattice
Ladder& more2431027626514L(c)07180141518175114615
1716

7520919417087181315144312876161511103161465211391941708211312541716

有限温度計算手法: TPQ

HΦをどう使うか・計算モード-スタンダード・モード
OutputLanczos
TPQ
Full Diag有限温度計算手法: TPQ

HΦをどう使うか・計算モード-エキスパート・モード

Keyword & input ﬁle name list
Parameter ﬁles for deﬁnition of modelParameter ﬁles for calculation
List of Green functions to be output

namelist.def
zInterAll.def
zTrans.def(To specify local spins)
zlocspn.def
modpara.def
calcmod.def
greenone.def
greentwo.def

計算実行
PATH/HPhi -e namelist.def
mpirun -np xx PATH/HPhi -e namelist.def

TPQの使用例: Na2IrO3の比熱-32サイト 64GB
-1000 Lanczos step

Y. Singh and P. Gegenwart,
PRB 82, 064412 (2010)

TPQの使用例: Na2IrO3の構造因子
計算例 (hybrid 64 process)@ISSP system C-32サイト(Sz非保存)
-TPQ
2.52Y
X
0.1

(a)

0.08
0.06

1.5
1
0.5

(d)

0.08

(c)

0.04

(b)

0.02
000.1

(b)

10(c)

100

1000
0.1
0.08

0.06

0.06

0.04

0.04

0.02

0.02

00(d)

*M

付録: Na2IrO3のハミルトニアン

TPQの使用例: 実験データと理論模型の比較
α-RuCl3の有効模型の検証-24サイト 0.25GB-2000 Lanczos step
-計算時間 < 1時間

Y. Kubota, H. Tanaka, T. Ono, Y. Narumi, and K. Kindo,Phys. Rev. B 91, 094422 (2015)

HΦを使ってみましょう!
実験と理論の直接比較・数値計算手法開発促進へ-広汎な量子格子模型に対応した高並列数値ソルバー-Lanczos法による基底状態計算-TPQ法による有限温度計算

演習問題
1. S=1/2 dimer (完全対角化)
2. S=1/2 dimer (Lanczos)
3. J1-J2 Heisenberg model (Lanczos, TPQ)
4. Kitaev model (Lanczos, TPQ)
5. Hubbard chain (Lanczos, TPQ)

チームHΦ (敬称略、順不同)
三澤貴宏藤堂眞治

東京大学物性研究所

東京大学大学院
理学系研究科河村光晶
東京大学物性研究所

川島直輝
東京大学物性研究所

吉見一慶
東京大学物性研究所

謝辞: 本山裕一、
星健夫、曽我部知広