No.172711-1

2017.04.26(2017.06.15 住所変更)

技術資料 1：非対称歯形歯車の設計
1. はじめに
2. 高圧力角の効果
3. 基準ラック4. 外歯車の設計例
4.1 歯車寸法，歯厚4.2 歯形
4.3 すべり率4.4 歯面応力解析
4.5 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
4.6 曲げ応力解析
4.7 伝達誤差解析
4.8 寿命，スカッヒング発生確率
5. 内歯車の設計例
5.1 歯車寸法
5.2 歯形
5.3 すべり率5.4 歯面応力解析
5.5 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
5.6 曲げ応力解析
5.7 伝達誤差解析，寿命5.8 寿命，スカッヒング発生確率6. 対称歯形との応力比較（軸の取り付け誤差の影響を含む），外歯車×外歯車
6.1 歯車寸法
6.2 歯形，すべり率6.3 歯面応力解析
6.4 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
6.5 曲げ応力解析
6.6 伝達誤差解析
6.7 寿命，スカッヒング発生確率7. 対称歯形との応力比較（軸の取り付け誤差の影響を含む），外歯車×内歯車
7.1 歯車寸法
7.2 歯形，すべり率7.3 歯面応力解析
7.4 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
7.5 曲げ応力解析
7.6 伝達誤差解析
7.7 寿命，スカッヒング発生確率
8. まとめアムテック有限会社〒552-0007 大阪市港区弁天 1-2-30 プリオタワー4305
06-6577-1552 fax 06-6577-1554
e-mail:ueda@amtecinc.co.jp www.amtecinc.co.jp
11. はじめに非対称歯形歯車は，歯車の大きさや材料を変更しないで負荷容量を増大させることができることからロシア航空機の TV7-117（図 1.1）
，TV3-117VMA-SBM1，NK-93 ターボプロップエンジンの遊星歯車（図 1.2）などに採用されている 1)．この歯車の採用により旧型の AI-20 のギヤボックスと AI-24 ターボプロップエンジンに比して約50%低い出力トルク比と軽量化に成功している 1)．
現在では非対称歯形歯車の用途は限定されているが，一般産業機械にも徐々に採用される機運がある．非対称歯形歯車は，創成歯切り加工も研削（創成および成形）も可能なことから現在稼働中の歯車装置にも容易に置き換えが可能である．
圧力角が 25°や 27°の歯車は，製鉄所の圧延機のような高負荷歯車装置には曲げ強度の向上から採用されているが，非対称歯形歯車は作用歯面に高圧力角（30°以上）を有する歯形である．両歯面を高圧力角の対称歯形とすると歯先尖りとなるため歯形が成立しない．
そのため歯たけを保つためには必然的に非対称歯形にする必要がある．
本稿では，非対称歯形歯車の寸法，歯形，応力解析，伝達誤差解析などの例を示し対称歯形歯車との比較や設計上の注意点などを示す．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AA%
E3%83%BC%E3%83%A2%E3%83%95_TV7-117

図 1.2 TV7-117S turboprop engine gearbox
planet gear and internal gear

図 1.1 TV-117 ターボプロップエンジン
2. 高圧力角の効果
かみ合い圧力角を大きくすることでヘルツ応力などがどのように変化するかを検討する．検討する歯車諸元 2)（図 2.1）は，m=1, z1=z2=50, β=0°, xn1=xn2=0, b=10mm, T=100N･m, n=1000min-1 とし，作用側圧力角 αnR のみ 20～45°の範囲で変化させて計算した．圧力角を大きくすることで歯形が成立しない場合があるが，反作用側歯面の圧力
角 αnL は無視している．図 2.2 に非対称歯形のかみ合い図 2)を示す．
その結果，図 2.3～2.6 に示すように，かみ合い圧力角 20°のとき σH=1899MPa のヘルツ応力が，圧力角 35°では，
σH=1573MPa（1/1.21 倍）と低下し，すべり率も 1/3.3 倍小さくなっている．しかし，正面かみ合い率は 1/1.34 低下するとともに軸受荷重 Fr は 1.9 倍に増加することに注意しなければならない．

図2.1 歯車諸元（αnR =30°, αnL=17°）の例

図2.2 歯形（αnR =30°かみ合い）2

Contact ratio εaHertzian stress σH [MPa]Pressure angle (deg.)

Pressure angle (deg.)

図2.4 正面かみ合い率

Sliding ratio

Bearing load [N]

図2.3 ヘルツ応力の変化

Fn

Fr

Pressure angle (deg.)

Pressure angle (deg.)

図2.5 すべり率

図2.6 軸受荷重

3. 基準ラック非対称歯形歯車の基準ラックを図 3.1 のように定義すると対称歯形と異なるのは，歯面左右の圧力角のみであるが，歯たけや歯元半径は対称歯形歯車より制約を受けやすい．例えば，αnL=30°，αnR=17° の場合，roL=0.380 と設定すると roL の最大値は 0.329 であるため対称歯形のように左右の歯元半径を ro=0.380 と設定することができな
い．このように非対称歯形歯車の基準ラックを設定する場合は注意が必要である．ただし，ソフトウェアでは入力範囲を表示（入力制限）しているため容易に設定することができる．
P=πm
S

roL

αnR

roR

cko

hfo

hao

αnL

P-S

図 3.1 基準ラック
4. 外歯車の設計例
4.1 歯車寸法の設定
非対称歯形歯車を設計することができるソフトウェアは 2 種類ある．まず，1 つ目は寸法，強度計算（鋼，樹脂），歯形生成（CAD データ出力），軸受荷重，歯当たり解析ができる involute ASM2)（カタログ vol.17, 28 頁）と，
2 つ目は，FEM による応力解析（歯面応力，曲げ応力，変位，フラッシュ温度，油膜厚さ，摩擦係数分布など）
3

用ソフトウェアの CT-FEM ASM3)（カタログ vol.17, 79 頁）である．本書では，応力解析を主として説明するため
CT-FEM ASM での説明を主とする．非対称歯形歯車の設計例として諸元および寸法を図 4.1.1～4.1.4 に示す．また，図 4.1.5 および図 4.1.6 にオーバーボール寸法（ボール位置）を示す．なお，非対称歯形歯車は基礎円が 2 種類のため，またぎ歯厚は成立しないことを承知しておく必要がある．

図 4.1.1 歯車諸元

図 4.1.3 歯車寸法(a) ピニオン

図 4.1.2 面取り設定

図 4.1.4 歯車かみ合い寸法(b) ギヤ図 4.1.5 オーバーボール寸法（ボール配置）
4

dp

dp

dm

dm

(a) 外歯（偶数歯）dp(b) 外歯（奇数歯）

dm

dm
dp

(c) 内歯（偶数歯）(d) 内歯（奇数歯）図 4.1.6 非対称歯形歯車のオーバーピン寸法（ビトイーンピン寸法）4.2 歯形
歯のかみ合いを図 4.2.1～4.2.4 に示す．以後の応力解析などは，図 4.2.1 のかみ合い（αn=30°）で検討する．また，非対称歯形歯車の歯形は，図 4.2.5 および図 4.2.6 のように出力 2)することができる．

図 4.2.1 かみ合い（αn=30°）

5

(a) αn=30°
図 4.2.2 かみ合い（αn=17°）(b) αn=17°
図 4.2.3 歯形に関する数値(a) ピニオンから観察(b) ギヤから観察

図 4.2.4 レンダリング（αn=30°）(a) 外歯車(b) 内歯車
図 4.2.5 CAD 作図例(3D-IGES)(a) 外歯車(b) 内歯車
図 4.2.6 CAD 作図例(2D-DXF)
6

4.3 すべり率
歯のかみ合いとかみ合いグラフを図 4.3.1～4.3.4 に示す．図 4.3.4 は正面かみ合い率が εa=1.21 であることから作用線が 3 本表れているが，図 4.3.2 は正面かみ合い率が εa=0.945 であるため作用線は 1 本である．図 4.3.2 の縦の赤線はピニオンの作用線長さ 22.960mm を示している．また，かみ合い図とかみ合いグラフは連動しているため，図 4.3.1 と図 4.3.2，そして図 4.3.3 と図 4.3.4 のように作用線と歯のかみ合いの関係が良く解る．このことより図 4.3.4 の最悪荷重点に合わせたグラフは，図 4.3.3 のピニオン歯先位置と作用線が一致（図中○印）している．

図 4.3.1 かみ合い（αn=30°）

図 4.3.2 かみ合いグラフ（αn=30°）

図 4.3.3 かみ合い（αn=17°）

図 4.3.4 かみ合いグラフ（αn=17°）

図 4.3.5 すべり率（αn=30°）

図 4.3.6 すべり率（αn=17°）

4.4 歯面応力解析
図 4.1.1 の歯車（図 4.1.2 の面取り含む）に図 4.4.1 のトルクを与えたときの歯面応力解析を行う．ただし，両歯車とも無修整歯形とし，ピニオンにのみピッチ誤差 10μm を与え図 4.4.2 のように，食い違い誤差と平行度誤差を与えるものとする．なお，対称歯形との応力比較は 6 章に示す．
7

図 4.4.1 トルク設定

図 4.4.2 解析条件

応力解析の結果，図 4.4.3 のように歯面最大応力は，σHmax=2080MPa であり，図 4.4.4 のように σH=2080～2000の範囲を示す歯面の位置はピニオン歯元とギヤ歯先であることが解る．なお，図 4.4.5 の歯面応力分布でも解るよ
うに歯面中央部の歯面応力は σHmax=1702MPa（強度計算式での評価領域）である．

(a) ピニオン(b) ギヤ図 4.4.3 歯面応力分布（σHmax=2080MPa）(a) ピニオン(b) ギヤ図 4.4.4 歯面応力最大位置（σHmax=2080MPa）8(a) ピニオン(b) ギヤ図 4.4.5 歯面応力分布（σHmax=2080MPa）

4.5 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
フラッシュ温度計算のため，回転速度，歯面粗さ，潤滑条件を図 4.5.1 のように設定した．また，材質によって熱伝導率が異なるため図 4.5.2 で材料を選択する．フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，そして動力損失の計算結果を図 4.5.3～4.5.6 に示す．

図 4.5.1 フラッシュ温度設定

図 4.5.2 材料選択

図 4.5.3 フラッシュ温度（Tflmax=64.6℃）

図 4.5.4 摩擦係数（μmax=0.081）
9図 4.5.5 油膜厚さ（λmin=0.193μm）

図 4.5.6 動力損失（Wmax=36.3W/mm2）

4.6 曲げ応力解析
FEM 解析を行うため図 4.6.1 の条件で自動メッシュ生成すると図 4.6.2 のようにピニオンの要素数は 79870，ギ
ヤの要素数は 66653 である．FEM メッシュを図 4.6.3 に，応力解析結果を図 4.6.4 に示す．

(a) ピニオン
図 4.6.1 FEM メッシュ生成(a) 3D 表示(c) ギヤ図 4.6.2 要素数(b) ピニオン正面(c) ギヤ正面

図 4.6.3 FEM メッシュ(a) 1 対歯車(b) ピニオン（σ1max=753MPa）
図 4.6.4 FEM 解析結果（σ1）10(c) ギヤ（σ1max=947MPa）ピニオン回転角における歯元応力（最大主応力の最大値 σ1max）を図 4.6.5 に示す．ピニオン回転角 θp=-5.347°付近の応力は，図 4.4.1 で与えたピッチ誤差の影響によるものである．また，ピニオン回転角 θp=-26.03°とσ1max(MPa)θp=-5.347°そして θp=3.517°における応力分布を図 4.6.6～4.6.8 に，変位図を図 4.6.9～4.6.11 に示す．

PinionGear
ピニオン回転角(deg)
図 4.6.5 FEM 解析結果（σ1max）(a) ピニオン（σ1max=600MPa）(b) ギヤ（σ1max=723MPa）

図 4.6.6 FEM 解析結果，最大主応力（θp=-26.03°）(a) ピニオン（σ1max=749MPa）(b) ギヤ（σ1max=947MPa）

図 4.6.7 FEM 解析結果（θp=-5.347°），最大主応力，ピッチ誤差 10μm を与えている影響が出ている．

(a) ピニオン（σ1max=587MPa）(b) ギヤ（σ1max=694MPa）

図 4.6.8 FEM 解析結果，最大主応力（θp=3.517°）11

(a) ピニオン（δmax=32.5μm）(b) ギヤ（δmax =46.2μm）

図 4.6.9 FEM 解析結果，変位（θp=-26.03°）(a) ピニオン（δmax =46.5μm）(b) ギヤ（δmax =59.9μm）

図 4.6.10 FEM 解析結果，変位（θp=-5.347°），ピッチ誤差 10μm を与えている影響が出ている．

(a) ピニオン（δmax =44.8μm）(b) ギヤ（δmax =46.9μm）

図 4.6.11 FEM 解析結果，変位（θp=3.517°）
4.7 伝達誤差解析
伝達誤差解析結果を図 4.7.1 に，フーリエ解析結果を図 4.7.2 に示す．対称歯形歯車の歯面誤差の影響を考慮した伝達誤差解析例（実験との対比）をカタログ[付録 J]に示す．

図 4.7.1 伝達誤差解析結果（TE=24.6μm）
12

図 4.7.2 フーリエ解析結果

4.8 寿命，スカッヒング発生確率
歯面応力（σHmax）から図 4.8.2 に基づいて歯面寿命を計算し，曲げ応力（σ1max）から図 4.8.3 に基いて曲げ寿命を計算した結果を図 4.8.1 に示す．スカッヒング発生確率は，式(4.8.1)から正規分布として計算し，摩耗の発生確率は図 4.8.4 に基づいている．なお，対称歯形歯車の解析例（寿命などを含む）は，カタログ[付録 I]に，動力損
失解析例は[付録 K]に示す．

図 4.8.2 Pitting resistance stress cycle factor, ZN(4)図 4.8.1 寿命

図 4.8.3 Bending strength stress cycle factor, YN(4)図 4.8.4 Probability of wear distress(5) , (%)

図 4.8.5 スカッヒング発生確率，摩耗の発生確率，動力損失K 

T f max  M TC

(4.8.1)SD

T f max ：Flash temperature
M TC ：Mean scuffing temperatureSD：Standard temperature deviation

13

5. 内歯車の設計例
5.1 歯車寸法
非対称歯形歯車の設計例として諸元および寸法を図 5.1.1～4.1.4 に示す．また，図 5.1.5 にオーバーボール寸法
およびビトイーンボール寸法を示す．

図 5.1.1 歯車諸元

図 5.1.3 歯車寸法(a) ピニオン

図 5.1.2 面取り設定

図 5.1.4 歯車かみ合い寸法(b) ギヤ図 5.1.5 オーバーボール寸法（ボール配置）
14

5.2 歯形
歯のかみ合いを図 5.2.1～5.2.4 に示す．以後の応力解析などは図 5.2.1 のかみ合い（αn=30°）で検討する．図 5.2.1
では作用線上に 1 ヶ所，図 5.2.2 では 2 ヶ所（図中○印）が接触している．

図 5.2.1 かみ合い（αn=30°）(a) αn=30°
図 5.2.2 かみ合い（αn=17°）(b) αn=17°

図 5.2.3 歯形に関する数値(a) ピニオンから観察(b) ギヤから観察

図 5.2.4 レンダリング（αn=30°）
5.3 すべり率
歯のかみ合いとかみ合いグラフを図 5.3.1～5.3.4 に示す．図 5.3.4 は正面かみ合い率が εa=1.30 であることから作用線が 3 本表れているが，図 5.3.2 は正面かみ合い率が εa=0.984 であるため作用線は 1 本であり，図 5.3.2 の縦赤線はピニオンの作用線長さ 29.775mm を示している．また，かみ合い図とかみ合いグラフは連動しているため，
図 5.3.1 と図 5.3.2，そして図 5.3.3 と図 5.3.4 のように作用線と歯のかみ合いの関係が良く解る．このことより図5.3.4 の最悪荷重点に合わせたグラフは，図 5.3.3 のピニオン歯先位置と作用線が一致（図中○印）している．な
お，正面かみ合い率は，歯先面取り（C 面）の大きさを含んでいる．
15

図 5.3.1 かみ合い（αn=30°）

図 5.3.2 かみ合いグラフ（αn=30°）

図 5.3.3 かみ合い（αn=17°）

図 5.3.4 かみ合いグラフ（αn=17°）

図 5.3.5 すべり率（αn=30°）

図 5.3.6 すべり率（αn=17°）

5.4 歯面応力解析
図 5.1.1 の歯車（図 5.1.2 の面取り含む）に図 5.4.1 のトルクを与えたときの歯面応力解析を行う．ただし，両歯車とも無修整歯形とし，ピニオンにのみピッチ誤差 10μm を与え図 5.4.2 のように，食い違い誤差と平行度誤差を与えるものとする．なお，対称歯形との応力比較は 7 章に示す．

16

図 5.4.1 トルク設定

図 5.4.2 解析条件

応力解析の結果，図 5.4.3 のように歯面最大応力は，σHmax=1262MPa であり，図 5.4.4 のように σH=1263～1200の範囲を示す場所はピニオン歯元とギヤ歯先であることが解る．なお，図 5.4.5 の歯面応力分布でも解るように歯面中央部の歯面応力は σHmax=820MPa である．

(a) ピニオン(b) ギヤ図 5.4.3 歯面応力分布（σHmax=1262MPa）(a) ピニオン(b) ギヤ図 5.4.4 歯面応力最大位置（σHmax=1262MPa）17

(a) ピニオン(b) ギヤ図 5.4.5 歯面応力分布（σHmax=1262MPa）

5.5 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
フラッシュ温度計算のため，回転速度，歯面粗さ，潤滑条件を図 5.5.1 のように設定した．また，材質によって熱伝導率が異なるため図 5.5.2 で選択する．フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失の計算結果を図 5.5.3～5.5.6 に示す．

図 5.5.1 フラッシュ温度設定

図 5.5.2 材料選択

図 5.5.3 フラッシュ温度（Tflmax=15.4℃）

図 5.5.4 摩擦係数（μmax=0.073）
18

図 5.5.5 油膜厚さ（λmin=0.280μm）

図 5.5.6 動力損失（Wmax=15.6W/mm2）

5.6 曲げ応力解析
FEM 解析を行うため図 5.6.1 の条件で自動メッシュ生成すると図 5.6.2 のようにピニオンの要素数は 54244，ギ
ヤの要素数は 54087 である．FEM メッシュを図 5.6.3 に，応力解析結果を図 5.6.4 に示す．

(a) ピニオン
図 5.6.1 FEM メッシュ生成(a) 3D 表示(c) ギヤ図 5.6.2 要素数(b) ピニオン正面(c) ギヤ正面

図 5.6.3 FEM メッシュ(a) 1 対歯車(b) ピニオン（σ1max=558MPa）
図 5.6.4 FEM 解析結果（σ1）19(c) ギヤ（σ1max=541MPa）

回転角度における歯元応力（最大主応力の最大値 σ1max）を図 5.6.5 に示す．ピニオン回転角 θp=-51.763°付近の応力は，図 5.4.1 で与えたピッチ誤差の影響によるものである．また，ピニオン回転角 θp=-15.124°と θp=-1.763°

σ1max(MPa)そして θp=4.198°における応力分布を図 5.6.6～5.6.8 に，変位図を図 5.6.9～5.6.11 に示す．

PinionGear
ピニオン回転角(deg)
図 5.6.5 FEM 解析結果（σ1max）(a) ピニオン（σ1max=380MPa）(b) ギヤ（σ1max=388MPa）

図 5.6.6 FEM 解析結果，最大主応力（θp=-15.124°）(a) ピニオン（σ1max=558MPa）(b) ギヤ（σ1max=506MPa）

図 5.6.7 FEM 解析結果（θp=-1.763°），最大主応力，ピッチ誤差 10μm を与えている影響が出ている．

(a) ピニオン（σ1max=352MPa）(b) ギヤ（σ1max=390MPa）

図 5.6.8 FEM 解析結果，最大主応力（θp=4.198°）20

(a) ピニオン（δmax=27.6μm）(b) ギヤ（δmax =30.7μm）

図 5.6.9 FEM 解析結果，変位（θp=-15.124°）(a) ピニオン（δmax =47.0μm）(b) ギヤ（δmax =27.3μm）

図 5.6.10 FEM 解析結果，変位（θp=-1.763°），ピッチ誤差 10μm を与えている影響が出ている．

(a) ピニオン（δmax =31.4μm）(b) ギヤ（δmax =28.4μm）

図 5.6.11 FEM 解析結果，変位（θp=4.198°）
5.7 伝達誤差解析，寿命
伝達誤差解析結果を図 5.7.1 にフーリエ解析結果を図 5.7.2 に示す．対称歯形歯車（外歯車×外歯車）の伝達誤差解析例をカタログ[付録 J]に示す．

図 5.7.1 伝達誤差解析結果（TE=36.0μm）

図 5.7.2 フーリエ解析結果
21

5.8 寿命，スカッヒング発生確率
歯面応力（σHmax）から図 4.8.2 に基づいて歯面寿命を計算し，曲げ応力（σ1max）から図 4.8.3 に基いて曲げ寿命を計算した結果を図 4.8.1 に示す．スカッヒング発生確率は，式(4.8.1)から正規分布として計算した．また，摩耗の発生確率は図 4.8.4 に基づいている．なお，対称歯形歯車の解析例（寿命などを含む）は，カタログ[付録 I]に，
動力損失解析例は[付録 K]に示す．

図 4.8.1 寿命

図 4.8.5 スカッヒング発生確率，摩耗の発生確率

6. 対称歯形との応力比較（軸の取り付け誤差の影響を含む），外歯車×外歯車
6.1 歯車寸法の設定
対称歯形歯車の応力解析ソフトウェアとして CT-FEM Operaⅲがあるが，CT-FEM ASM の圧力角を等しく設定することで対称歯形歯車の応力解析が可能である．ここでは 4.外歯車の設計例と同様の解析を行い，非対称歯形
歯車と対称歯形歯車を比較する．

図 6.1.1 歯車諸元

図 6.1.2 面取り設定

22

図 6.1.3 歯車寸法

図 6.1.4 歯車かみ合い寸法(a) ピニオン(b) ギヤ図 6.1.5 オーバーボール寸法（ボール配置）
6.2 歯形
歯のかみ合いを図 6.2.1 に，歯形レンダリングを図 6.2.2 に示す． また，かみ合いグラフおよび すべり率グラフを図 6.2.3，図 6.2.4 に示す．

図 6.2.1 かみ合い（αn=20°）

図 6.2.2 レンダリング（αn=20°）

図 6.2.3 かみ合いグラフ（αn=20°）

図 6.2.4 すべり率（αn=20°）23

6.3 歯面応力解析
図 6.1.1 の歯車（図 6.1.2 の面取り含む）に図 4.4.1 と同じ条件で歯面応力解析を行った結果，図 6.3.1 のように歯面最大応力は σHmax=2417MPa であり，図 4.4.3 に示す非対称歯形歯車の歯面応力（σHmax=2080MPa）に比して 16%増加していることが解る．

(a) ピニオン(b) ギヤ図 6.3.1 歯面応力分布（σHmax=2417MPa）

6.4 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
フラッシュ温度計算のための設定値は図 4.5.1 と同じとした．フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
は図 6.4.1～6.4.4 に示すように，フラッシュ温度は 33.4℃高く，摩擦係数は 0.009 増加し，油膜厚さは 0.068μm 小さく，動力損失は 8.9 W/mm2 大きくなった．

図 6.4.1 フラッシュ温度（Tflmax=98.0℃）

図 6.4.2 摩擦係数（μmax=0.090）

図 6.4.3 油膜厚さ（λmin=0.125μm）

図 6.4.4 動力損失（Wmax=45.2 W/mm2）

6.5 曲げ応力解析
FEM 解析を行うため図 4.6.1 と同じ条件で自動メッシュ生成すると図 6.5.1 のようにピニオンの要素数は 73035，
24

ギヤの要素数は 64809 である．応力解析結果を図 6.5.2 に示すが，非対称歯形歯車では図 4.6.4 のようにピニオンの歯元応力は σ1max=753MPa であるが，対称歯形歯車では σ1max=814MPa と 8%大きく，ギヤの歯元応力の σ1max=
947MPa は，対称歯形歯車では σ1max=956MPa とほぼ等しい．
回転角度における歯元応力を図 6.5.3 に示す．また，ピニオン回転角 θp=-27.415°と θp=3.773°そして θp=10.01°における応力分布を図 6.5.4～6.5.6 に示す．

(a) 3D 表示(b) ピニオン正面(c) ギヤ正面

図 6.5.1 FEM メッシュ(a) 1 対歯車(b) ピニオン（σ1max=814MPa）(c) ギヤ（σ1max=956MPa）

σ1max(MPa)

図 6.5.2 FEM 解析結果（σ1）

PinionGear

ピニオン回転角(deg)

図 6.5.3 FEM 解析結果（σ1max）(a) ピニオン（σ1max=567MPa）(b) ギヤ（σ1max=669MPa）

図 6.5.4 FEM 解析結果，最大主応力（θp=-27.415°）25

(a) ピニオン（σ1max=670MPa）(b) ギヤ（σ1max=902MPa）

図 6.5.5 FEM 解析結果（θp=3.773°），最大主応力，ピッチ誤差 10μm を与えている影響が出ている．

(a) ピニオン（σ1max=776MPa）(b) ギヤ（σ1max=956MPa）

図 6.5.6 FEM 解析結果，最大主応力（θp=10.01°）
6.6 伝達誤差解析，寿命
伝達誤差解析結果を図 5.7.1 に，フーリエ解析結果を図 5.7.2 に示す．対称歯形歯車の歯面誤差の影響を考慮した伝達誤差解析例（実験との対比）をカタログ[付録 J]に示す．

図 6.6.1 伝達誤差解析結果(TE=21.9μm)

図 6.6.2 フーリエ解析結果

6.7 寿命，スカッヒング発生確率
歯面応力（σHmax）から図 4.8.2 に基づいて歯面寿命を計算し，曲げ応力（σ1max）から図 4.8.3 に基いて曲げ寿命を計算した．その結果を図 6.7.1 に示す．図 6.7.2 のスカッヒング発生確率は，式(4.8.1)から正規分布として計算した．また，摩耗の発生確率は図 4.8.4 に基づいている．なお，対称歯形歯車の解析例（寿命などを含む）は，カ
タログ[付録 I]に，動力損失解析例は[付録 K]に示す．

26

図 6.7.1 寿命

図 6.7.2 スカッヒング発生確率，摩耗の発生確率

7. 対称歯形との応力比較（軸の取り付け誤差の影響を含む），外歯車×内歯車
7.1 歯車寸法の設定
圧力角を 20°として 5.内歯車の設計例 と同様の解析を行い，非対称歯形歯車と対称歯形歯車を比較する．対称歯形歯車の設計例として諸元および寸法を図 7.1.1～7.1.4 に示す．

図 7.1.1 歯車諸元

図 7.1.2 面取り設定

図 7.1.3 歯車寸法

図 7.1.4 歯車かみ合い寸法27

7.2 歯形
歯のかみ合いを図 6.2.1 に，歯形レンダリングを図 6.2.2 に示す． また，かみ合いグラフおよび すべり率グラフを図 6.2.3，図 6.2.4 に示す．

図 7.2.1 かみ合い（αn=20°）

図 7.2.2 レンダリング（αn=20°）

図 7.2.3 かみ合いグラフ（αn=20°）

図 7.2.4 すべり率（αn=20°）

7.3 歯面応力解析
図 7.1.1 の歯車（図 7.1.2 の面取り含む）に図 7.3.1 のトルクを与えたときの歯面応力解析を行う．ただし，両歯車とも無修整歯形とし，ピニオンにのみピッチ誤差 10μm を与え図 7.3.2 のように，食い違い誤差と平行度誤差を与えるものとする．

図 7.3.1 トルク設定

図 7.3.2 解析条件

28

応力解析の結果，図 7.3.3 のように歯面最大応力は，σHmax=1498MPa であり，図 5.4.3 に示す非対称歯形歯車の歯面応力（σHmax=1262MPa）に比して 19%増加していることが解る．更に，応力は図 7.3.3 のほうがピニオン歯元（ギヤ歯先）で大きく分布していることが解る．

(a) ピニオン(b) ギヤ図 7.3.3 歯面応力分布（σHmax=1498MPa）

7.4 フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
フラッシュ温度計算のための設定値は図 4.5.1 と同じとした．フラッシュ温度，摩擦係数，油膜厚さ，動力損失
は図 7.4.1～7.4.4 に示すように，フラッシュ温度は 3.5℃高く，摩擦係数は 0.011 増加し，油膜厚さは 0.112μm 小さく，動力損失は 1.3 W/mm2 大きくなった．

図 7.4.1 フラッシュ温度（Tflmax=18.9℃）

図 7.4.2 摩擦係数（μmax=0.084）

図 7.4.3 油膜厚さ（λmin=0.168μm）

図 7.4.4 動力損失（Wmax=16.9 W/mm2）

7.5 曲げ応力解析
FEM 解析を行うため図 5.6.1 と同じ条件で自動メッシュ生成すると図 7.5.1 のようにピニオンの要素数は 51305，
ギヤの要素数は 50281 である．応力解析結果を図 7.5.2 に示すが，非対称歯形歯車では図 5.6.4 のようにピニオン
29

の歯元応力は σ1max=558MPa であるが，対称歯形歯車では σ1max=645MPa と 16%大きい．また，非対称歯形歯車ギヤの歯元応力は σ1max=541MPa であるが，対称歯形歯車では σ1max=632MPa と 17%大きい．
回転角度における歯元応力を図 7.5.3 に示す．また，ピニオン回転角 θp=-16.202°と θp=-1.688°そして θp=9.197°
における応力分布を図 7.5.4～7.5.6 に示す．

(a) 3D 表示(b) ピニオン正面(c) ギヤ正面

図 7.5.1 FEM メッシュ(a) 1 対歯車(b) ピニオン（σ1max=645MPa）(c) ギヤ（σ1max=632MPa）

σ1max(MPa)

図 7.5.2 FEM 解析結果（σ1）

PinionGear

ピニオン回転角(deg)

図 7.5.3 FEM 解析結果（σ1max）(a) ピニオン（σ1max=423MPa）(b) ギヤ（σ1max=418MPa）

図 7.5.4 FEM 解析結果，最大主応力（θp=-16.202°）30

(a) ピニオン（σ1max=645MPa）(b) ギヤ（σ1max=581MPa）

図 7.5.5 FEM 解析結果（θp=-1.688°），最大主応力，ピッチ誤差 10μm を与えている影響が出ている．

(a) ピニオン（σ1max=399MPa）(b) ギヤ（σ1max=452MPa）

図 7.5.6 FEM 解析結果，最大主応力（θp=9.197°）
7.6 伝達誤差解析，寿命
伝達誤差解析結果を図 7.7.1 にフーリエ解析結果を図 7.6.2 に示す．対称歯形歯車（外歯車×外歯車）の歯面誤差の影響を考慮した伝達誤差解析例（実験との対比）をカタログ[付録 J]に示す．

図 7.6.1 伝達誤差解析結果(TE=31.9μm)

図 7.6.2 フーリエ解析結果

7.7 寿命，スカッヒング発生確率
歯面応力（σHmax）から図 4.8.2 に基づいて歯面寿命を計算し，曲げ応力（σ1max）から図 4.8.3 に基いて曲げ寿命を計算した．その結果を図 6.7.1 に示す．図 6.7.2 のスカッヒング発生確率は，式(4.8.1)から正規分布として計算した．また，摩耗の発生確率は図 4.8.4 に基づいている．なお，対称歯形歯車の解析例（寿命などを含む）は，カ
タログ[付録 I]に，動力損失解析例は[付録 K]に示す．

31

図 7.7.1 寿命

図 7.7.2 スカッヒング発生確率，摩耗の発生確率

8. まとめ非対称歯形歯車と対称歯形歯車の σHmax(MPa)，σ1max(MPa)，フラッシュ温度(℃)，摩擦係数(---)，油膜厚さ(μm)，
動力損失(W/mm2)，寿命(回)，伝達誤差(μm)について比較した結果を以下に示す．
8.1 外歯車×外歯車
図 8.1.1 のように(a)～(k)までは非対称歯形歯車が優位であるが(l)の伝達鵜誤差のみ対称歯形歯車のほうが優位である．
■：非対称歯形歯車（α30°） ■：対称歯形歯車（α20°）(a) σHmax(b) σ１max(Pinion)(c) σ１max(Gear)(d)フラッシュ温度(e)摩擦係数(f)油膜厚さ(g) 動力損失(h) 寿命(面 Pinion)(i) 寿命(曲 Pinion)(j) 寿命(面 Gear)(k) 寿命(曲 Gear)(l) TE

図 8.1.1 非対称歯形歯車と対称歯形歯車の比較（外歯車×外歯車）
32

8.2 外歯車×内歯車
図 8.1.2 のように(a)～(k)までは非対称歯形歯車が優位であるが(l)の伝達鵜誤差のみ対称歯形歯車のほうが優位である．
■：非対称歯形歯車（α30°） ■：対称歯形歯車（α20°）(a) σHmax(b) σ１max(Pinion)(c) σ１max(Gear)(d)フラッシュ温度(e)摩擦係数(f)油膜厚さ(g) 動力損失(h) 寿命(面 Pinion)(i) 寿命(曲 Pinion)(j) 寿命(面 Gear)(k) 寿命(曲 Gear)(l) TE

図 8.1.2 非対称歯形歯車と対称歯形歯車の比較（外歯車×内歯車）
以上のように非対称歯形歯車は，対称歯形歯車に比して全てではないが優位な特性を持つ．今後，非対称歯形
歯車の特性を生かした歯車装置などが増えると予想している．
歯面修整および加工についての技術資料は，順次発行する予定である．

参考文献(1) A. S. Novikov, V. L. Dorofeyev, Design of optimal geometry, stress, stiffness, vibration and terminology of asymmetrical and
HCR gears for aircraft, International Symposium “Theory and practice of gearing”, January 21-23, 2014, Izhevsk, Russia,

pp.139, (2014)(2) ソフトウェア, Gear design software, involute ASM, AMTEC INC. (2013)(3) ソフトウェア, CT-FEM ASM, AMTEC INC. (2014)(4) AGMA2001-C95, Fundamental Rating Factors Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth,（1995）， p.37(5) AGMA2001-C95, Fundamental Rating Factors Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth,（1995）， p.5333