Thematische AnleitungenRelease 10.4

The Sage Group23.07.2024

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Sage als Taschenrechner im Gymnasium

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Thematische Anleitungen, Release 10.4

Die folgenden Dokumente sind thematische Anleitungen, welche sich mit speziellen Einsatzgebieten von Sage befassen.
Die Anleitungen sind unter einer Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Lizenz lizenziert.

Inhaltsverzeichnis

1Thematische Anleitungen, Release 10.4

2

Inhaltsverzeichnis

KAPITEL

1

Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Autor: Beni Keller

1.1 Einleitung
1.1.1 An wen richtet sich diese Anleitung?
Diese Anleitung richtet sich an Lehrpersonen, welche an Gymnasien im deutschsprachigen Raum unterrichten. Das Zielist, eine Anleitung zur Verfügung zu stellen, welche erklärt, wie das Computer-Algebra-System Sage anstelle der an
Gymnasien häufig eingesetzten CAS Taschenrechner verwendet werden kann.
Als grober Leitfaden dienen Lehrpläne von Schweizer Gymnasien. Diese unterscheiden sich nicht stark von Lehrplänen
in anderen deutschsprachigen Ländern. Daher wird diese Anleitung für alle deutschsprachigen Mathematiklehrpersonen
nützliche Informationen enthalten.
Die bestehende englische Dokumentation von Sage ist sehr ausführlich und auf deutsch existiert ein gutes Tutorial für den
Einstieg in Sage2 . Es hat sich aber als schwer herausgestellt, die für den gymnasialen Unterricht relevanten Funktionen zu
finden, da oft Fälle beschrieben werden, wie sie typischerweise in Hochschulmathematik anzutreffen sind.
Daher soll diese Anleitung als eigenständige Dokumentation der Funktionen von Sage aus Sicht einer Gymnasiallehrperson
dienen. Dieses Dokument soll die Benutzung von Sage für Gymnasiallehrpersonen vereinfachen, ohne Vorkenntnisse vonSage oder der Programmiersprache Python vorauszusetzen.
2 http://doc.sagemath.org/html/de/tutorial/

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1.1.2 Was ist Sage?
Sage ist ein quelloffenes Computer-Algebra-System, welches weltweit von hunderten Studenten und Forschern an verschiedenen Universitäten entwickelt wird, aber auch Privatpersonen und Schüler haben Beiträge geleistet. Es wurde undwird noch immer in vielen mathematischen Arbeiten benutzt und im Zuge dessen auch immer weiterentwickelt. Daher
ist es sehr mächtig und löst komplexe Probleme in vielen, sehr spezialisierten Teilgebieten der Mathematik.
Trotzdem ist Sage auch als Computer-Algebra-System für an Gymnasien unterrichtete Mathematik gut geeignet. Es bietet einen grossen Funktionsumfang und kann kostenlos an Schulen eingesetzt werden und so teure Taschenrechner und
Software ersetzen.
Die Tatsache, dass Sage quelloffen und kostenlos verfügbar ist, macht es speziell geeignet für Schulen. Das System kann
von Schülern und Schulen problemlos auf allen Rechnern installiert werden, ohne dass man sich um Lizenzkosten und
die Anzahl verfügbarer Lizenzen kümmern muss. Es kann auch verändert und angepasst werden und jede Person kannhelfen, es weiter zu entwickeln.
Sage ist zum grossen Teil in der Programmiersprache Python geschrieben und kann auch in Python programmiert werden.
Diese Sprache wird von Schulen weltweit in Einführungskursen ins Programmieren benutzt. Diese Tatsache macht Sage
umso geeigneter, um in Schulen - auch im Zusammenhang mit einer Einführung ins Programmieren - eingesetzt zu
werden.

1.1.3 Wo bekomme ich Sage?
Die Onlineversion dieser Anleitung bietet eine erste Möglichkeit, die Beispiele direkt in Sage auszuprobieren und abzuändern, ohne selbst Sage installiert zu haben.
Sage kann aber auch lokal installiert oder online ausprobiert werden. Auf der Sage-Webseite findet man weitere Informationen dazu:
http://sagemath.org/

1.1.4 Hilfe abfragen
Bevor wir beginnen die für den gymnasialen (Mathematik-) Unterricht relevanten Funktionen von Sage ausführlich zu
betrachten, soll hier erklärt werden, wie man für eine bestimmte Funktion die Dokumentation direkt in Sage abrufen kann.
Dies geschieht durch einfaches Anhängen eines Fragezeichens (?) an den Befehl, über den man mehr wissen möchte.
Wenn wir zum Beispiel wissen möchten, wie die Funktion limit eingesetzt wird, geben wir folgendes ein:sage: limit?
>>> from sage.all import *>>> limit?

# Not tested# Not tested

Sage gibt uns anstelle einer Evaluation der Funktion die komplette Hilfe für die entsprechende Funktion zurück. Falls wir
noch tiefer ins Innere von Sage schauen möchten und sogar den Sourcecode der Funktion anschauen möchten, hängen
wir ein zweites Fragezeichen an:sage: limit??
>>> from sage.all import *>>> limit??

# Not tested# Not tested

gibt uns den Python-Code der Funktion limit zurück. Dies ist natürlich nur möglich, weil Sage ein quelloffenes Systemist.

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Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

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1.2 Allgemeine Funktionen
1.2.1 Grundoperationen
In Sage werden die Grundoperationen wie vielerorts üblich in der Infix-Notation ausgedrückt. Dies bedeutet, dass das
Operationszeichen wie gewohnt zwischen den Operanden steht. Es stehen die folgenden Grundoperationen zur Verfügung:Operation

Bedeutung+*/^

Addition
Subtraktion / negatives Vorzeichen
Multiplikation
Division (auch für Bruchterme)PotenzEs gelten die üblichen Regeln zur Operatorassoziativität: Höchste Priorität haben Potenzen, anschliessend werden Punktoperationen (\ und *) vor Strichoperationen (+ und -) ausgeführt:sage: 12 - 2*3^2-6sage: 12 - (2*(3^2))-6sage: 3^2 -1
8>>> from sage.all import *>>> Integer(12) - Integer(2)*Integer(3)**Integer(2)-6>>> Integer(12) - (Integer(2)*(Integer(3)**Integer(2)))-6>>> Integer(3)**Integer(2) -Integer(1)8Unerwarteterweise führt Sage mehrere Potenzen hintereinander nicht von links nach rechts aus:sage: 3^3^37625597484987
sage: 3^(3^3)
7625597484987>>> from sage.all import *>>> Integer(3)**Integer(3)**Integer(3)7625597484987>>> Integer(3)**(Integer(3)**Integer(3))
7625597484987

Wie üblich können Klammern () verwendet werden, um die Gruppierung der Operationen zu verändern:sage: -3^2
-9sage: (-3)^2
9
sage: (12 - 2)*3^(3-1)
90(Fortsetzung auf der nächsten Seite)

1.2. Allgemeine Funktionen

5Thematische Anleitungen, Release 10.4

(Fortsetzung der vorherigen Seite)

sage: (3^3)^3
19683>>> from sage.all import *>>> -Integer(3)**Integer(2)-9>>> (-Integer(3))**Integer(2)9>>> (Integer(12) - Integer(2))*Integer(3)**(Integer(3)-Integer(1))
90>>> (Integer(3)**Integer(3))**Integer(3)19683

Weiter gibt es auch die Möglichkeit, eine ganzzahlige Division auszuführen:
Operation

Bedeutung//%Ganzzahliger Anteil einer Division
Divisionsrest

So ist zum Beispiel 17
3 = 5 * 3 + 2:
sage: 17//3
5
sage: 17%3
2>>> from sage.all import *>>> Integer(17)//Integer(3)5>>> Integer(17)%Integer(3)2Bei negativen Zahlen verhält sich die Division nicht wunschgemäss, falls man damit den ganzzahligen Anteil und den Rest
bestimmen möchte:sage: -7//2-4
sage: -7%2
1>>> from sage.all import *>>> -Integer(7)//Integer(2)-4>>> -Integer(7)%Integer(2)16Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

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1.2.2 Wurzeln
Sage kennt nur für die Quadratwurzel eine spezielle Funktion, nämlich sqrt(). Alle anderen Wurzeln müssen als Potenz
mit rationalem Exponenten geschrieben werden. Quadratwurzeln werden wie folgt berechnet:
sage: sqrt(9)3sage: sqrt(2)sqrt(2)>>> from sage.all import *>>> sqrt(Integer(9))
3>>> sqrt(Integer(2))
sqrt(2)Wurzeln werden so weit wie möglich vereinfacht, aber nicht numerisch evaluiert, solange dies nicht explizit gefordert wird
(mehr dazu weiter unten):sage: sqrt(18)3*sqrt(2)>>> from sage.all import *>>> sqrt(Integer(18))
3*sqrt(2)Natürlich kennt Sage auch komplexe Zahlen und evaluiert die Wurzel aus −1 als eine imaginäre Einheit:
sage: sqrt(-1)
I>>> from sage.all import *>>> sqrt(-Integer(1))
I

Für die 𝑛-te Wurzel gibt es in Sage keine spezielle Funktion, da wir die 𝑛-te Wuzel mit√𝑛1

𝑎 = 𝑎𝑛√ausdrücken können. So berechnen wir zum Beispiel 3 64 mit:
sage: 64^(1/3)
4>>> from sage.all import *>>> Integer(64)**(Integer(1)/Integer(3))
4

1.2. Allgemeine Funktionen

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1.2.3 Numerische Evaluation
Als Computer-Algebra-System rechnet Sage grundsätzlich immer symbolisch. Dies bedeutet, dass es zwar Terme vereinfacht, aber immer ein exaktes Ergebnis angibt. Hierfür gibt es zwei Ausnahmen. Zum einen können wir eine Kommazahl
in der Rechnung benutzen. Dann wird der Teil, welcher die Kommazahl enthält, numerisch evaluiert. Zum anderen können
wir eine numerische Evaluation explizit fordern.
Das folgende Beispiel zeigt, dass das Benutzen einer Kommazahl automatisch zu numerischem Rechnen führt. Dies selbst,
wenn die Kommazahl eigentlich eine ganze Zahl repräsentiert:
sage: sqrt(2.0)
1.41421356237310>>> from sage.all import *>>> sqrt(RealNumber( 2.0 ))1.41421356237310

Dies funktioniert aber nur, wenn der Term selbst keine weitere Funktion oder symbolische Konstante enthält. Falls diesder Fall ist, wird nur ein Teil des Terms numerisch ausgewertet:
sage: sqrt(pi/4.0)
0.500000000000000*sqrt(pi)sage: sqrt(2)/1.41
0.709219858156028*sqrt(2)>>> from sage.all import *>>> sqrt(pi/RealNumber( 4.0 ))0.500000000000000*sqrt(pi)>>> sqrt(Integer(2))/RealNumber( 1.41 )0.709219858156028*sqrt(2)Falls wir einen gesamten Term numerisch evaluieren möchten, benutzen wir die Funktion n(). Wird sie ohne Argument
aufgerufen, so führt sie die Evaluation mit einer vordefinierten Genauigkeit durch:
sage: sqrt(2).n()1.41421356237310>>> from sage.all import *>>> sqrt(Integer(2)).n()1.41421356237310

Falls wir mehr oder weniger Stellen benötigen, können wir die Option digits benutzen. Sie gibt aber nicht die Anzahl
Nachkommastellen sondern die Anzahl Stellen insgesamt an:sage: sqrt(2).n(digits=50)
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769
sage: sqrt(10025).n(digits=5)
100.12>>> from sage.all import *>>> sqrt(Integer(2)).n(digits=Integer(50))
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769>>> sqrt(Integer(10025)).n(digits=Integer(5))
100.128

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

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1.2.4 Konstanten
Sage kennt unter anderem die folgenden Konstanten:
pi
e
I

𝜋
𝑒
𝚤

Kreiszahl
Eulersche Zahl
Imaginäre Einheit

Diese können auch numerisch ausgewertet werden:
sage: pi.n()
3.14159265358979
sage: e.n()2.71828182845905>>> from sage.all import *>>> pi.n()
3.14159265358979>>> e.n()2.71828182845905

1.2.5 Variablen
In Sage können sowohl Werte als auch Terme in einer Variable gespeichert werden. Als Variablenname ist alles zulässig,
was auch in Python zulässig ist. Dies heisst insbesondere:• Variablennamen müssen mit einem Buchstaben oder einem Unterstrich (_) beginnen.
• Variablennamen dürfen nur Buchstaben, Zahlen und Unterstriche enthalten.
• Variablennamen unterscheiden Gross- und Kleinschreibung.
• Es dürfen keine in Python reservierten Worte benutzt werden.1
Als Zuordnungsoperator wird das Zeichen = benutzt. Wir können so zum Beispiel das Ergebnis einer Rechnung als
Variable speichern:
sage: ergebnis = sin(pi/4)*2>>> from sage.all import *>>> ergebnis = sin(pi/Integer(4))*Integer(2)Im folgenden werden wir auch lernen, wie man Terme speichern kann. In einem späteren Abschnitt ist auch beschrieben,
wie Funktionen gespeichert werden.
Wie jedes Computer-Algebra-System kann Sage symbolisch rechnen. Es muss aber jeweils festgelegt werden, welche
Buchstaben oder Zeichenketten als Parameter benutzt werden sollen.
Dies geschieht mit dem Befehl var. Ihm wird als Argument eine Zeichenkette übergeben, welche die durch Kommas
getrennten Variablennamen enthält. (Zeichenketten in Sage respektive Python werden mit oder " gekennzeichnet.)
Das folgende Beispiel definiert 𝑥, 𝑦 und 𝑧 als Variablen:sage: var( x,y,z )(x, y, z)
1 http://docs.python.org/2/reference/lexical analysis.html keywords

1.2. Allgemeine Funktionen

9Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> var( x,y,z )(x, y, z)

1.3 Arithmetik und Algebra
1.3.1 Terme
Sage kann mit symbolischen Ausdrücken rechnen. Ein Ausdruck wird als symbolischer Ausdruck betrachtet, sobald eine
Variable darin vorkommt. Wir benutzen in den folgenden Beispielen die Funktion type um herauszufinden, von welchem
Typ ein Ausdruck ist. Ein einfacher Term mit einer Variable ist ein symbolischer Ausdruck:
sage: var( x )xsage: type(x*2)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> from sage.all import *>>> var( x )x>>> type(x*Integer(2))<class sage.symbolic.expression.Expression >Auch eine Funktion (siehe unten) ist ein symbolischer Ausdruck:
sage: f(x) = x + 1
sage: type(f)<class sage.symbolic.expression.Expression >>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x + Integer(1)).function(x)>>> type(f)<class sage.symbolic.expression.Expression >Benutzen wir jedoch eine Variable, um etwas zu speichern und nicht als symbolischen Parameter, so ist ein Ausdruck,welcher sie enthält, nicht mehr ein symbolischer Ausdruck:
sage: x = 3
sage: type(x*2)<class sage.rings.integer.Integer >>>> from sage.all import *>>> x = Integer(3)>>> type(x*Integer(2))<class sage.rings.integer.Integer >Terme können auch in Variablen gespeichert werden. Dazu benutzen wir wie bei Zahlenwerten den Operator = für die
Zuordnung:sage: var( x )xsage: term = 3*(x + 1)^2
(Fortsetzung auf der nächsten Seite)

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Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

(Fortsetzung der vorherigen Seite)

sage: term
3*(x + 1)^2>>> from sage.all import *>>> var( x )x>>> term = Integer(3)*(x + Integer(1))**Integer(2)>>> term
3*(x + 1)^2

Diese Terme können wir an einer bestimmten Stelle auswerten, oder, anders gesagt, für eine Variable einen Wert einsetzen.
Dies geschieht wie folgt:
sage: var( x, a )(x, a)
sage: term = 3*(x + 1)^a
sage: term
3*(x + 1)^a
sage: term(a = 2)
3*(x + 1)^2
sage: term(x = 2, a = 2)27>>> from sage.all import *>>> var( x, a )(x, a)>>> term = Integer(3)*(x + Integer(1))**a>>> term
3*(x + 1)^a>>> term(a = Integer(2))
3*(x + 1)^2>>> term(x = Integer(2), a = Integer(2))
27

Variablen können nicht nur durch Zahlen sondern auch durch symbolische Ausdrücke substituiert werden. Wenn wir im
obigen Beispiel 𝑥 mit 𝑎2 substituieren möchten, geht dies wie erwartet:
sage: var( x, a )(x, a)
sage: term = 3*(x + 1)^a
sage: term(x = a^2)
3*(a^2 + 1)^a>>> from sage.all import *>>> var( x, a )(x, a)>>> term = Integer(3)*(x + Integer(1))**a>>> term(x = a**Integer(2))
3*(a^2 + 1)^a

1.3. Arithmetik und Algebra

11Thematische Anleitungen, Release 10.4

Vereinfachen
Beim symbolischen Rechnen mit Termen vereinfacht Sage diese nach dem Eingeben. So wird zum Beispiel der Term𝑥 · 𝑥 + 𝑥2 vereinfacht:
sage: x*x + x^2
2*x^2>>> from sage.all import *>>> x*x + x**Integer(2)2*x^2Komplexere Vereinfachungen werden nicht automatisch ausgeführt. So weiss Sage zwar, dass sin2 (𝑥) + cos2 (𝑥) = 1.
Wenn wir den Term aber so eingeben, wird er nicht vereinfacht:
sage: sin(x)^2 + cos(x)^2
cos(x)^2 + sin(x)^2>>> from sage.all import *>>> sin(x)**Integer(2) + cos(x)**Integer(2)cos(x)^2 + sin(x)^2

Falls wir alle Terme so weit wie möglich vereinfachen möchten, erreichen wir dies mit der simplify_full() Funktion:
sage: (sin(x)^2 + cos(x)^2).simplify_full()
1>>> from sage.all import *>>> (sin(x)**Integer(2) + cos(x)**Integer(2)).simplify_full()1

Dabei werden auch Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen eingesetzt:
sage: var( x, y, z )(x, y, z)sage: sin(x + y).simplify_full()cos(y)*sin(x) + cos(x)*sin(y)sage: (sin(x)^2 + cos(x)^2).simplify_full()
1>>> from sage.all import *>>> var( x, y, z )(x, y, z)>>> sin(x + y).simplify_full()cos(y)*sin(x) + cos(x)*sin(y)>>> (sin(x)**Integer(2) + cos(x)**Integer(2)).simplify_full()1

Mit der verwandten Funktion simplify_real() werden auch Additionstheoreme bei Logarithmen angewandt, die
nur mit reellen Werten erlaubt sind:
sage: x, y = var( x, y )sage: (log(x) + log(y)).simplify_real()log(x*y)12

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> x, y = var( x, y )>>> (log(x) + log(y)).simplify_real()log(x*y)Faktorisieren und ausmultiplizieren
Mit dem Befehl expand() kann ein Term, der aus mehreren polynomialen Faktoren besteht, ausmultipliziert werden.
Umgekehrt wird factor() verwendet, um einen Term so weit als möglich zu faktorisieren:
sage: ((x + 1)*(2*x - 4)).expand()2*x^2 - 2*x - 4
sage: (2*x^2 - 2*x - 4).factor()
2*(x + 1)*(x - 2)>>> from sage.all import *>>> ((x + Integer(1))*(Integer(2)*x - Integer(4))).expand()2*x^2 - 2*x - 4>>> (Integer(2)*x**Integer(2) - Integer(2)*x - Integer(4)).factor()
2*(x + 1)*(x - 2)

1.3.2 Gleichungen
In Sage können sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen formuliert und ausgewertet werden. Dazu verwendet man
dieselben boolschen Operatoren wie in Python:SymbolBedeutung

==
>=
<=
>
<
!=

Gleichheit
Grösser oder gleich
Kleiner oder gleich
Grösser als
Kleiner als
Unleichheit

Symbolisch Lösen
Falls möglich löst Sage Gleichungen symbolisch. Falls dies nicht gelingen sollte, bleibt einem noch das numerische Lösen
von Gleichungen, welches weiter unten beschrieben wird.
Für symbolisches Lösen von Gleichungen steht der Befehl solve() zur Verfügung. Dieser benötigt zwei Argumente:
Zum einen die Gleichung, welche gelöst werden soll und zum anderen die Variable, nach welcher die Gleichung aufgelöst
werden soll:sage: solve(x^2 == 3, x)[x == -sqrt(3), x == sqrt(3)]sage: solve(x^3 - x^2 + x == 1, x)[x == -I, x == I, x == 1]

1.3. Arithmetik und Algebra

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Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> solve(x**Integer(2) == Integer(3), x)[x == -sqrt(3), x == sqrt(3)]>>> solve(x**Integer(3) - x**Integer(2) + x == Integer(1), x)[x == -I, x == I, x == 1]

Oft wird uns Sage auch komplexe Lösungen angeben. Um dies zu verhindern, können wir Sage mit dem Befehl assume() angeben, dass eine Variable nur mit einer reellen Zahl besetzt werden kann:sage: var( x )xsage: assume(x, real )sage: solve(x^3 - x^2 + x == 1, x)[x == 1]>>> from sage.all import *>>> var( x )x>>> assume(x, real )>>> solve(x**Integer(3) - x**Integer(2) + x == Integer(1), x)[x == 1]

Achtung, solche Annahmen sollten anschliessend mit forget() wieder rückgängig gemacht werden. Ansonsten gelten
sie für folgende Rechnungen noch immer.
Lösungen weiterverwenden
Es stellt sich das Problem, dass wir nun zwei Gleichungen als Ergebnis erhalten und die Lösung nicht direkt verwenden
können, um weiterzurechnen.
Wir erhalten von solve() immer eine Liste von Lösungen. Diese sind intern ab 0 nummeriert. Die erste Lösung ist
also die Lösung 0, die zweite die Lösung 1 usw. Wir können nun einzelne Lösungen aus der Liste mit ihrer Nummer
herausholen:
sage: solve(x^2 == 3, x)[x == -sqrt(3), x == sqrt(3)]sage: solve(x^2 == 3, x)[0]x == -sqrt(3)sage: solve(x^2 == 3, x)[1]x == sqrt(3)>>> from sage.all import *>>> solve(x**Integer(2) == Integer(3), x)[x == -sqrt(3), x == sqrt(3)]>>> solve(x**Integer(2) == Integer(3), x)[Integer(0)]x == -sqrt(3)>>> solve(x**Integer(2) == Integer(3), x)[Integer(1)]x == sqrt(3)Die Lösungen werden uns aber wiederum als Gleichung angegeben und nicht als numerischen Wert. Daher können wir
das so erhaltene Ergebnis nicht in einer Variable abspeichern und weiterverwenden. Um wirklich die Lösung für 𝑥 aus
dem Term zu extrahieren, können wir die Funktion rhs() benutzen, was für „Right Hand Side“ steht und genau das tut,
was der Name sagt: Es gibt uns die rechte Seite der Gleichung zurück. Dies benutzen wir wie folgt, um den Wert für 𝑥
aus dem Ergebnis zu extrahieren:

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Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

sage: (x == -sqrt(3)).rhs()-sqrt(3)sage: solve(x^2 == 3, x)[0].rhs()-sqrt(3)>>> from sage.all import *>>> (x == -sqrt(Integer(3))).rhs()-sqrt(3)>>> solve(x**Integer(2) == Integer(3), x)[Integer(0)].rhs()-sqrt(3)

Nun können wir den Wert in einer Variablen speichern oder numerisch auswerten. (Oder beides, wie uns das folgende
Beispiel vorführt):
sage: erg = solve(x^2 == 3, x)[0].rhs()
sage: erg
-sqrt(3)sage: erg.n()-1.73205080756888>>> from sage.all import *>>> erg = solve(x**Integer(2) == Integer(3), x)[Integer(0)].rhs()>>> erg-sqrt(3)>>> erg.n()-1.73205080756888

Numerisch Lösen
Sage kann gewisse Gleichungen nicht symbolisch lösen und gibt uns daher eine leere Lösungsliste zurück, auch wenn die
Gleichung eigentlich eine Lösung besitzt. So findet Sage zum Beispiel für die Gleichung2
1√ − 2 =0𝑥 𝑥keine sinnvolle, explizite Lösung:sage: solve(2/x^(1/2) - 1/(x^2) == 0, x)[x == -sqrt(1/2)*x^(1/4), x == sqrt(1/2)*x^(1/4)]>>> from sage.all import *>>> solve(Integer(2)/x**(Integer(1)/Integer(2)) - Integer(1)/(x**Integer(2)) ==␣
˓→Integer(0), x)[x == -sqrt(1/2)*x^(1/4), x == sqrt(1/2)*x^(1/4)]

Mit der Option explicit_solutions können wir Sage zwingen, nur explizite Lösungen anzugeben. Im oben aufgezeigten Fall erhalten wir dann eine leere Liste von Lösungen:sage: solve(2/x^(1/2) - 1/(x^2) == 0, x, explicit_solutions=True)[]

1.3. Arithmetik und Algebra

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Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> solve(Integer(2)/x**(Integer(1)/Integer(2)) - Integer(1)/(x**Integer(2)) ==␣
˓→Integer(0), x, explicit_solutions=True)[]

Mit Hilfe von find_root() können wir Nullstellen numerisch berechnen. Dafür müssen wir schon eine Ahnung haben,
in welchem Bereich wir nach der Nullstelle suchen. Wissen wir zum Beispiel, dass eine Funktion 𝑓 (𝑥) eine Nullstelle auf
dem Intervall [𝑎, 𝑏] hat, finden wir eine numerische Approximation dieser Nullstelle mit find_root(f == 0, a,b). Nun wollen wir also die Lösung der obigen Gleichung finden:
sage: f(x) = 2/x^(1/2) - 1/(x^2)
sage: find_root(f, 0.5, 5) # abs tol 1e-12
0.6299605249475858>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(Integer(2)/x**(Integer(1)/Integer(2)) -␣˓→Integer(1)/(x**Integer(2))).function(x)>>> find_root(f, RealNumber( 0.5 ), Integer(5)) # abs tol 1e-12
0.6299605249475858

1.3.3 Funktionen
Wie oben gesehen, sind Funktionen in Sage auch symbolische Ausdrücke. Sie unterscheiden sich daher auch von Funktionen in Python oder einer anderen Programmiersprache. Es wird die Schreibweise𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑥
für Funktionen benutzt. Dies ist ein Speichervorgang, welcher in Sage keinen Rückgabewert hat:sage: f(x) = x^3 + x>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x**Integer(3) + x).function(x)Nun sind sowohl 𝑓 als auch 𝑓 (𝑥) symbolische Ausdrücke mit zwei verschiedenen Bedeutungen, wie das folgende Beispiel
deutlich macht:
sage: f(x) = x^3 + x
sage: fx |--> x^3 + x
sage: f(x)x^3 + x>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x**Integer(3) + x).function(x)>>> fx |--> x^3 + x>>> f(x)x^3 + x16

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

Stückweise definierte Funktionen
Mit der Funktion Piecewise() können wir in Sage auch mit stückweise definierten Funktionen arbeiten. Die Syntax
für den Befehl ist jedoch etwas umständlich. Wollen wir zum Beispiel die Funktion{︃−𝑥2 für 𝑥 ≤ 0
𝑓 (𝑥) =𝑥2
für 𝑥 > 0
definieren, so müssen wir der Funktion eine Liste von Listen übergeben, wo jede einzelne Liste aus einem Tupel besteht,
welches das Interval des Definitionsbereichs angibt, also z.B. (-oo, 0) für das Interval [−∞, 0] und einer für das
Interval geltende Funktionsgleichung. Als letztes Argument muss angegeben werden, welche Variable durch die Funktion
gebunden werden soll:sage: f = piecewise([[(-oo,0), -x^2],[(0,oo), x^2]], var=x)
sage: f(3)9sage: f(-3)-9>>> from sage.all import *>>> f = piecewise([[(-oo,Integer(0)), -x**Integer(2)],[(Integer(0),oo),␣
˓→x**Integer(2)]], var=x)>>> f(Integer(3))
9>>> f(-Integer(3))-9Die Zeichen -oo und oo werden in Sage für −∞, respektive ∞ benutzt. Mehr dazu wird im Abschnitt über das Berechnen
von Grenzwerten erklärt.

1.3.4 Partialbruchzerlegung
Vor allem in der Analysis wird im Gymnasium teilweise die Partialbruchzerlegung benutzt, um die Stammfunktion einer
rationalen Funktion zu finden. Diese Zerlegung kann auch mit Sage gemacht werden. Wenn wir die Funktion
𝑓 (𝑥) =

1𝑥2 − 1

betrachten, kann diese als Summe von zwei Brüchen geschrieben werden:
𝑓 (𝑥) =

1𝑥2 − 1

=

1
2

𝑥−1

−

1
2

𝑥+1

Diese Zerlegung findet partial_fraction() in Sage für uns:sage: f(x) = 1/(x^2 -1)
sage: f.partial_fraction()x |--> -1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(Integer(1)/(x**Integer(2) -Integer(1))).
˓→function(x)>>> f.partial_fraction()x |--> -1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

1.3. Arithmetik und Algebra

17Thematische Anleitungen, Release 10.4

1.3.5 Funktions-Graphen darstellen
Im Folgenden werden die Grundlagen für das Darstellen von Funktionsgraphen aufgezeigt. Der plot() Befehl kannauch für das Darstellen von Vektoren oder Daten aus dem Fachbereich Stochastik benutzt werden. Dies wird aber im
entsprechenden Abschnitt beschrieben.
Wir können den Graphen der Funktion 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 mit dem folgenden Befehl darstellen:
sage: f(x) = x^2
sage: plot(f)Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x**Integer(2)).function(x)>>> plot(f)Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Sage versucht einen vernünftigen Bereich von x-Werten zu finden, um den Funktionsgraphen darzustellen. Falls dies nicht
dem gewünschten Bereich entspricht, können wir diesen mit den Optionen xmin und xmax für die x-Achse, respektive
ymin und ymax für die y-Achse den zu darstellenden Bereich festlegen:sage: f(x) = x^2
sage: plot(f, xmin=-12, xmax=12, ymin=-10, ymax=150)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x**Integer(2)).function(x)>>> plot(f, xmin=-Integer(12), xmax=Integer(12), ymin=-Integer(10), ymax=Integer(150))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Wollen wir mehrere Funktionsgraphen im selben Koordinatensystem darstellen, können wir die beiden Plots einzeln
erstellen und in Variabeln abspeichern. Dies verhindert, dass sie einzeln angezeigt werden. Anschliessend verwenden wir
den Plot-Befehl erneut um beide zusammen anzuzeigen. Die Plots werden mit einem +-Zeichen zusammengefügt. Mit
der Option color können wir die Farbe der einzelnen Graphen festlegen:sage: graph1 = plot(x^2 + 1, color="green", xmin = 0, xmax = 3)
sage: graph2 = plot(e^x, color="red", xmin = 0, xmax = 3)
sage: plot(graph1 + graph2, )Graphics object consisting of 2 graphics primitives>>> from sage.all import *>>> graph1 = plot(x**Integer(2) + Integer(1), color="green", xmin = Integer(0), xmax␣
˓→= Integer(3))>>> graph2 = plot(e**x, color="red", xmin = Integer(0), xmax = Integer(3))>>> plot(graph1 + graph2, )Graphics object consisting of 2 graphics primitives

Optionen, welche für beide Plots gültig sind (z.B. xmin oder xmax) müssen auch bei beiden Plots angegeben werden, dasonst Sage sonst beim Graph, wo es nicht angegeben wird wie üblich versucht, vernünftige Standartwerte auszuwählen.

18

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

Polstellen darstellen
Wollen wir eine Funktion mit Polstellen darstellen, zum Beispiel die Funktion
𝑓 (𝑥) =

𝑥2 + 1𝑥2 − 1wird Sage uns keinen vernünfigen y-Wertebereich auswählen. Da die Funktionswerte an der Polstelle gegen Unendlich
streben, nimmt Sage an, dass wir an sehr grossen oder sehr kleinen y-Werten interessiert sind und wählt die Auflösung dery-Achse entsprechend. Falls es sich um eine ungerade Polstelle handelt, bei der die y-Werte vom Negativen ins Positive
wechseln oder umgekehrt, verbindet Sage den positiven und den negativen Teil des Graphen mit einer unerwünschten,
senkrechten Linie an der Polstelle.
Wie wir oben gelernt haben, können wir den Wertebereich einfach einschränken:
sage: f(x)=(x^2 +1)/(x^2-1)
sage: plot(f, xmin=-2, xmax=2, ymin=-10, ymax = 10)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression((x**Integer(2) +Integer(1))/˓→(x**Integer(2)-Integer(1))).function(x)>>> plot(f, xmin=-Integer(2), xmax=Integer(2), ymin=-Integer(10), ymax = Integer(10))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

Nun haben wir nur noch das Problem, dass der Graph zwei unerwünschte senkrechte Linien an den Polstellen hat. Dies
kann mit der Option detect_poles verhindert werden. Falls wir die Option auf True stellen, werden die Linien nicht
mehr dargestellt:
sage: f(x)=(x^2 +1)/(x^2-1)
sage: plot(f, xmin=-2, xmax=2, ymin=-10, ymax = 10, detect_poles=True)
Graphics object consisting of 3 graphics primitives>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression((x**Integer(2) +Integer(1))/˓→(x**Integer(2)-Integer(1))).function(x)>>> plot(f, xmin=-Integer(2), xmax=Integer(2), ymin=-Integer(10), ymax = Integer(10),␣
˓→detect_poles=True)
Graphics object consisting of 3 graphics primitives

Möchten wir hingegen die vertikalen Asymptoten trotzdem darstellen, aber nicht in derselben Farbe wie den Funktionsgraphen, können wir die Option detect_poles auf "show" stellen:
sage: f(x)=(x^2 +1)/(x^2-1)
sage: plot(f, xmin=-2, xmax=2, ymin=-10, ymax = 10, detect_poles="show")
Graphics object consisting of 5 graphics primitives>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression((x**Integer(2) +Integer(1))/˓→(x**Integer(2)-Integer(1))).function(x)>>> plot(f, xmin=-Integer(2), xmax=Integer(2), ymin=-Integer(10), ymax = Integer(10),␣
˓→detect_poles="show")
Graphics object consisting of 5 graphics primitives

1.3. Arithmetik und Algebra

19

Thematische Anleitungen, Release 10.4

1.4 Logarithmen
Im Folgenden wird beschrieben, wie in Sage Logarithmen benutzt werden können. Grundsätzlich ist es so, dass in Sageder 10er Logarithmus keine spezielle Bedeutung hat. Fall bei einer Logarithmusfunktion die Basis nicht angegeben wird,
geht Sage immer vom natürlichen Logarithmus aus.
Wenn wir also zum Beispiel log(10) berechnen, wird Sage nichts tun, da sich dieser Term nicht auf eine offensichtliche
Art vereinfachen lässt. Berechnen wir jedoch log(𝑒5 ), wird uns Sage die für den natürlichen Logarithmus zu erwartende
Antwort geben, nämlich 5:
sage: log(10)log(10)sage: log(e^5)
5>>> from sage.all import *>>> log(Integer(10))
log(10)>>> log(e**Integer(5))
5Möchten wir die Logarithmusfunktion zu einer anderen Basis berechnen, müssen wir der log() Funktion als zweites
Argument die Basis übergeben. Wollen wir zum Beispiel log10 (105 ) berechnen, geben wir dies wie folgt ein:sage: log(10^5, 10)5sage: log(8,2)
3>>> from sage.all import *>>> log(Integer(10)**Integer(5), Integer(10))
5>>> log(Integer(8),Integer(2))
3

Man kann auch die Logarithmengesetze benutzen, um Terme zu zerlegen. So können wir zum Beispiel Sage die Zerlegunglog(105 ) = 5 log(2) + 5 log(5)machen lassen. In diesem Fall benutzen wir nicht simplify_full(), sondern die ähnliche Funktion canonicalize_radical:
sage: log(10^5).canonicalize_radical()
5*log(5) + 5*log(2)>>> from sage.all import *>>> log(Integer(10)**Integer(5)).canonicalize_radical()
5*log(5) + 5*log(2)Diese Gesetze können auch umgekehrt verwendet werden, wie in diesem Beispiel:

20

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

sage: (5*log(2) + 5*log(5)).simplify_log()
5*log(10)>>> from sage.all import *>>> (Integer(5)*log(Integer(2)) + Integer(5)*log(Integer(5))).simplify_log()
5*log(10)Es geben weitere mögliche Vereinfachungen, die wir hier nicht weiter erwähnen.

1.5 Trigonometrie
1.5.1 Winkelmass
Im folgenden Abschnitt möchten wir uns einen Überblick über die Trigonometrischen Funktionen in Sage verschaffen.
Es macht Sinn, zuerst zu betrachten, wie Sage mit Winkelmassen umgeht.
Grundsätzlich rechnet Sage immer im Bogenmass. Falls man ein Ergebnis im Gradmass erhalten oder ein Argument im
Gradmass in eine Funktion eingeben möchte, muss man dies immer von Hand konvertieren. Es gibt im Moment keine
Möglichkeit, Sage so einzustellen, dass es allgemein im Gradmass rechnet.
Im Moment bietet Sage hierzu nur das sehr rudimentäre units Paket, mit welchem man Werte mit einer Einheit versehen
und anschliessend auch umrechnen kann. Dies ist sehr umständlich und vermutlich ist es einfacher, die Umrechnung von𝜋
180∘
Hand vorzunehmen, in dem man mit 180∘ respektive
𝜋 multipliziert um vom Gradmass ins Bogenmass respektive vom
Bogenmass ins Gradmass zu konvertieren:
sage: 45*(pi/180)
1/4*pisage: pi/3*(180/pi)
60>>> from sage.all import *>>> Integer(45)*(pi/Integer(180))
1/4*pi>>> pi/Integer(3)*(Integer(180)/pi)
60

Falls man dies viel benutzt, lohnt es sich natürlich, diese beiden Konvertierungen als Funktion abzuspeichern. Dies kannwie erwartet mit den in früheren Kapiteln beschriebenen Funktionen geschehen:sage: deg2rad(x) = x*(pi/180)
sage: rad2deg(x) = x*(180/pi)
sage: deg2rad(45)1/4*pisage: rad2deg(pi/3)
60>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); deg2rad = symbolic_expression(x*(pi/Integer(180))).function(x)>>> __tmp__=var("x"); rad2deg = symbolic_expression(x*(Integer(180)/pi)).function(x)>>> deg2rad(Integer(45))
1/4*pi(Fortsetzung auf der nächsten Seite)

1.5. Trigonometrie

21

Thematische Anleitungen, Release 10.4

(Fortsetzung der vorherigen Seite)>>> rad2deg(pi/Integer(3))
60

In Zukunft wird diese Funktion vermutlich vom units Paket übernommen. Im Moment wird hier auf eine Dokumentation dieses Pakets verzichtet, da es sich sehr schlecht mit den unten beschriebenen trigonometrischen Funktionen verträgt.
Weitere Informationen finden sich in der Sage Dokumentation.3

1.5.2 Trigonometrische Funktionen
Wie oben beschrieben rechnen die trigonometrischen Funktionen in Sage nur im Bogenmass. Die Namen der in derSchule gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen sind wie erwartet sin(), cos(), tan() und cot(). Diesekönnen direkt benutzt werden, falls wir im Bogenmass rechnen möchten. Ansonsten müssen wir wie oben beschrieben
vom Gradmass in Bogenmass konvertieren:
sage: cos(pi/6)
1/2*sqrt(3)sage: deg2rad(x)= x*(pi/180)
sage: sin(deg2rad(45))
1/2*sqrt(2)sage: tan(deg2rad(-60))-sqrt(3)>>> from sage.all import *>>> cos(pi/Integer(6))
1/2*sqrt(3)>>> __tmp__=var("x"); deg2rad = symbolic_expression(x*(pi/Integer(180))).function(x)>>> sin(deg2rad(Integer(45)))
1/2*sqrt(2)>>> tan(deg2rad(-Integer(60)))-sqrt(3)Ihre Umkehrfunktionen sind auch mit den nicht sehr überraschenden Namen asin(), acos(), atan() und acot()versehen. Sie geben uns aber wie oben erklärt nur Winkel im Bogenmass zurück. Möchten wir im Gradmass rechnen,
müssen wir wieder konvertieren. Die exakte Berechnung der Werte funktioniert in die Gegenrichtung nur, falls im ursprünglichen Wert keine Wurzeln vorkommen:
sage: atan(1)1/4*pisage: acos(1/2)
1/3*pisage: rad2deg(x) = x*(180/pi)
sage: rad2deg(acos(-1/2))
120>>> from sage.all import *>>> atan(Integer(1))
1/4*pi>>> acos(Integer(1)/Integer(2))
1/3*pi>>> __tmp__=var("x"); rad2deg = symbolic_expression(x*(Integer(180)/pi)).function(x)(Fortsetzung auf der nächsten Seite)
3 http://doc.sagemath.org/html/en/reference/calculus/sage/symbolic/units.html

22

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

(Fortsetzung der vorherigen Seite)>>> rad2deg(acos(-Integer(1)/Integer(2)))
120

Falls wir Wurzelterme verwenden, müssen wir mit der Funktion simplify_full() vereinfachen:
sage: acos(sqrt(3)/2)
arccos(1/2*sqrt(3))
sage: (acos(sqrt(3)/2)).simplify_full()
1/6*pi>>> from sage.all import *>>> acos(sqrt(Integer(3))/Integer(2))
arccos(1/2*sqrt(3))>>> (acos(sqrt(Integer(3))/Integer(2))).simplify_full()
1/6*piSage kann auch weitere Regeln für trigonometrische Funktionen anwenden, um Terme zu vereinfachen. Es kennt zum
Beispiel auch die Additionstheoreme:
sage: var( x, y )(x, y)
sage: (sin(x+y)).simplify_full()cos(y)*sin(x) + cos(x)*sin(y)sage: (sin(x)^2 + cos(x)^2).simplify_full()
1>>> from sage.all import *>>> var( x, y )(x, y)>>> (sin(x+y)).simplify_full()cos(y)*sin(x) + cos(x)*sin(y)>>> (sin(x)**Integer(2) + cos(x)**Integer(2)).simplify_full()1

1.6 Vektorgeometrie
Ein Vektor in Sage kann mit dem Befehl vector() erstellt werden. Ihm wird eine Liste der Komponenten als Argumentübergeben:
sage: vector([3,2,-1])(3, 2, -1)>>> from sage.all import *>>> vector([Integer(3),Integer(2),-Integer(1)])(3, 2, -1)

1.6. Vektorgeometrie

23

Thematische Anleitungen, Release 10.4

1.6.1 Grundoperationen
Sage kennt die üblichen Vektoroperationen. Es werden die üblichen Zeichen + für die Addition sowie * für die Multiplikation mit einem Skalar verwendet:sage: a = vector([3,2,-1])
sage: b = vector([1,-2,2])
sage: a + b(4, 0, 1)
sage: 4 * b(4, -8, 8)
sage: -b + 2*(a + b)
(7, 2, 0)>>> from sage.all import *>>> a = vector([Integer(3),Integer(2),-Integer(1)])>>> b = vector([Integer(1),-Integer(2),Integer(2)])>>> a + b(4, 0, 1)>>> Integer(4) * b(4, -8, 8)>>> -b + Integer(2)*(a + b)
(7, 2, 0)

Innerhalb eines Vektors können auch Parameter verwendet werden. Natürlich müssen auch diese zuerst mit var() als
solche deklariert werden:
sage: var( vx, vy, vz )(vx, vy, vz)
sage: v = vector([vx, vy, vz])
sage: 2*v
(2*vx, 2*vy, 2*vz)>>> from sage.all import *>>> var( vx, vy, vz )(vx, vy, vz)>>> v = vector([vx, vy, vz])>>> Integer(2)*v(2*vx, 2*vy, 2*vz)

1.6.2 Länge eines Vektors
Die (euklidische) Länge eines Vektors wird mit dem Befehl norm() berechnet:
sage: norm(vector([9,6,2]))11>>> from sage.all import *>>> norm(vector([Integer(9),Integer(6),Integer(2)]))
11

Falls die Länge nicht ganzzahlig ist, wird natürlich auch ein vereinfachter Term und kein numerischer Wert zurückgegeben:
sage: norm(vector([2,6,2]))
2*sqrt(11)24Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> norm(vector([Integer(2),Integer(6),Integer(2)]))
2*sqrt(11)1.6.3 Skalar- und Vektorprodukt
Das Skalarprodukt wird mit der Funktion dot_product() berechnet. Diese ist eine Methode der Vektor-Klasse. Siewird also als Methode eines Vektors ausgeführt, welcher der zweite Vektor übergeben wird:
sage: v = vector([2,3,3])
sage: w = vector([2,2,1])
sage: v.dot_product(w)13>>> from sage.all import *>>> v = vector([Integer(2),Integer(3),Integer(3)])>>> w = vector([Integer(2),Integer(2),Integer(1)])>>> v.dot_product(w)13

Da das Skalarprodukt kommutativ ist, spielt es natürlich keine Rolle, von welchem Vektor aus wir die Methode aufrufen:
sage: v = vector([2,3,3])
sage: w = vector([2,2,1])
sage: w.dot_product(v)13>>> from sage.all import *>>> v = vector([Integer(2),Integer(3),Integer(3)])>>> w = vector([Integer(2),Integer(2),Integer(1)])>>> w.dot_product(v)13

Das Skalarprodukt kann auch als Multiplikation zweier Vektoren mit * geschrieben werden:
sage: v = vector([2,3,3])
sage: w = vector([2,2,1])
sage: v*w
13>>> from sage.all import *>>> v = vector([Integer(2),Integer(3),Integer(3)])>>> w = vector([Integer(2),Integer(2),Integer(1)])>>> v*w
13

Es besteht hier aber Verwechslungsgefahr mit der Skalarmultiplikation. Es ist Vorsicht geboten.
Das Vektorprodukt kann auf die gleiche Weise mit cross_product() berechnet werden. Hier ist es natürlich relevant,von welchem Vektor aus die Methode ausgeführt wird, da das Vektorprodukt antikommutativ ist.
Wollen wir für zwei Vektoren ⃗𝑣 und 𝑤⃗ das Produkt ⃗𝑣 × 𝑤⃗ berechnen, wird die Methode von ⃗𝑣 aus ausgeführt und viceversa:

1.6. Vektorgeometrie

25

Thematische Anleitungen, Release 10.4

sage: v = vector([2,3,3])
sage: w = vector([2,2,1])
sage: v.cross_product(w)(-3, 4, -2)
sage: w.cross_product(v)(3, -4, 2)>>> from sage.all import *>>> v = vector([Integer(2),Integer(3),Integer(3)])>>> w = vector([Integer(2),Integer(2),Integer(1)])>>> v.cross_product(w)(-3, 4, -2)>>> w.cross_product(v)(3, -4, 2)

1.6.4 Vektoren grafisch darstellen
Sage kann Vektoren nicht direkt graphisch darstellen. Das 2D Graphikmodul4 kann jedoch Pfeile darstellen, welche sehrgut geeignet sind, um zweidimensionale Vektorrechnungen zu veranschaulichen.
Die Funktion arrow() erstellt einen Pfeil. Da wir keine Vektoren sondern Pfeile darstellen, müssen wir immer einen
Anfangspunkt und einen Endpunkt angeben. Mit der Option color können wir die Farbe des Pfeils festlegen. Die
erstellten Pfeile können anschliessend mit dem uns schon bekannten Befehl plot() dargestellt werden.
Die Addition von Vektoren könnte also zum Beispiel wie folgt veranschaulicht werden:
sage: v1 = arrow((0,0), (3,4))
sage: v2 = arrow((3,4), (6,1))
sage: sum_v1_v2 = arrow((0,0), (6,1), color= red )sage: v1 + v2 + sum_v1_v2
Graphics object consisting of 3 graphics primitives>>> from sage.all import *>>> v1 = arrow((Integer(0),Integer(0)), (Integer(3),Integer(4)))>>> v2 = arrow((Integer(3),Integer(4)), (Integer(6),Integer(1)))>>> sum_v1_v2 = arrow((Integer(0),Integer(0)), (Integer(6),Integer(1)), color= red )>>> v1 + v2 + sum_v1_v2
Graphics object consisting of 3 graphics primitives

Falls die Vektorpfeile zu dick oder zu dünn sind, kann mit der width Option die Strichbreite angepasst werden. Der
Plot-Befehl besitzt eine gridlines option, welche wir auf true setzen können, falls Gitternetzlinien in der Grafik
erwünscht sind:
sage: v1 = arrow((0,0), (3,4), width=5)
sage: v2 = arrow((3,4), (6,1), width=5)
sage: sum_v1_v2 = arrow((0,0), (6,1), color= red , width=6)
sage: G = v1 + v2 + sum_v1_v2
sage: G.show(gridlines=true)>>> from sage.all import *>>> v1 = arrow((Integer(0),Integer(0)), (Integer(3),Integer(4)), width=Integer(5))>>> v2 = arrow((Integer(3),Integer(4)), (Integer(6),Integer(1)), width=Integer(5))>>> sum_v1_v2 = arrow((Integer(0),Integer(0)), (Integer(6),Integer(1)), color= red ,␣(Fortsetzung auf der nächsten Seite)
4 http://doc.sagemath.org/html/en/reference/plotting/index.html

26

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

(Fortsetzung der vorherigen Seite)

width=Integer(6))>>> G = v1 + v2 + sum_v1_v2>>> G.show(gridlines=true)˓→

1.7 Analysis
1.7.1 Folgen und Reihen
In der gymnasialen Mathematik werden oft Folgen betrachtet. Diese sind grundsätzlich Funktionen von der Menge dernatürlichen auf die reellen Zahlen. Sage hat einige Funktionen, um mit Zahlenmengen zu arbeiten. Diese sind aber fürunsere Zwecke ungeeignet.
Es ist einfacher, Folgen als Funktion zu definieren und um zu verdeutlichen, dass wir diese als Folge benutzen möchten,
die Variable mit 𝑛 zu benennen. So speichern wir die Folge
𝑎𝑛 =

1
𝑛2

in Sage als:sage: a(n) = 1/n^2>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("n"); a = symbolic_expression(Integer(1)/n**Integer(2)).function(n)Um nun Elemente der dazugehörigen Reihe (d.h. die Folge der Teilsummen) zu berechnen, können wir den Befehl sum()
benutzen. Die Summe
𝑠6 =

6
∑︁
𝑘=1

𝑎𝑘 =

6
∑︁
1
𝑘=1

𝑘2

wird in Sage mit:
sage: var( k )ksage: a(n) = 1/n^2
sage: sum(a(k), k, 1, 6)
5369/3600>>> from sage.all import *>>> var( k )k>>> __tmp__=var("n"); a = symbolic_expression(Integer(1)/n**Integer(2)).function(n)>>> sum(a(k), k, Integer(1), Integer(6))
5369/3600

berechnet. Allgemein wird die Summe𝑏∑︁

Ausdruck𝑘=𝑎

mit sum(Ausdruck, k, a, b) berechnet. Wir können also die Reihe als Folge von Teilsummen in Sage wieder
als Funktion speichern:
1.7. Analysis

27

Thematische Anleitungen, Release 10.4

sage: var( k )ksage: a(n) = n^2
sage: s(n) = sum(a(k), k, 1, n)
sage: sn |--> 1/3*n^3 + 1/2*n^2 + 1/6*n
sage: s(6)91>>> from sage.all import *>>> var( k )k>>> __tmp__=var("n"); a = symbolic_expression(n**Integer(2)).function(n)>>> __tmp__=var("n"); s = symbolic_expression(sum(a(k), k, Integer(1), n)).function(n)>>> sn |--> 1/3*n^3 + 1/2*n^2 + 1/6*n>>> s(Integer(6))
91

Folgen und Reihen graphisch darstellen
Sage kennt die Funktion scatter_plot() welcher eine Liste von Tupeln der Form (x, y) übergeben wird.5 Diesewerden anschliessen als Punkte dargestellt. Leider können wir dem Befehl aber keine Funktion der Form 𝑎𝑛 = 𝑛12übergeben.
Wir müssen also eine Liste von Punkten generieren, welche wir gerne darstellen möchten. Dazu können wir sogenannte
Python List Comprehensions6 benutzen, um die Liste zu generieren:
sage: a(n) = 1/n^2
sage: punkte = [(n, a(n)) for n in range(1,10)]
sage: scatter_plot(punkte)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("n"); a = symbolic_expression(Integer(1)/n**Integer(2)).function(n)>>> punkte = [(n, a(n)) for n in range(Integer(1),Integer(10))]>>> scatter_plot(punkte)
Graphics object consisting of 1 graphics primitiveMit den Funktion range() geben wir an, welchen Bereich wir gerne darstellen möchten. Dabei wird immer die letzte
Zahl ausgeschlossen. Im obigen Beispiel werden also Punkte für 𝑛 ∈ {1, . . . , 9} dargestellt.
Wie im Abschnitt über das Darstellen von Funktionsgraphen können wir auch diese Plots kombinieren und so zum Beispiel
auch den Plot der Funktion a(n) hinter die Punkte legen, um die Tendenz der Folge darzustellen:
sage: a(n) = 1/n^2
sage: points = [(n, a(n)) for n in range(1,6)]
sage: plot1 = scatter_plot(points)
sage: plot2 = plot(a(x), xmin=1, xmax=5.4)
sage: plot(plot1 + plot2)
Graphics object consisting of 2 graphics primitives
5 http://doc.sagemath.org/html/en/reference/plotting/sage/plot/scatter plot.html
6 http://docs.python.org/2/tutorial/datastructures.html list-comprehensions

28

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("n"); a = symbolic_expression(Integer(1)/n**Integer(2)).function(n)>>> points = [(n, a(n)) for n in range(Integer(1),Integer(6))]>>> plot1 = scatter_plot(points)>>> plot2 = plot(a(x), xmin=Integer(1), xmax=RealNumber( 5.4 ))>>> plot(plot1 + plot2)
Graphics object consisting of 2 graphics primitives

1.7.2 Grenzwerte
Sage kann sowohl Grenzwerte berechnen, bei welchen eine Variable gegen ∞ oder −∞ strebt, sowie Grenzwerte an einer
bestimmten Stelle.
So können wir zum Beispiel den Grenzwert
lim

1

𝑥→∞ 𝑥

wie folgt berechnen:
sage: var( x )xsage: ((2*x+1)/x).limit(x=oo)2
sage: (1/x).limit(x=-oo)
0>>> from sage.all import *>>> var( x )x>>> ((Integer(2)*x+Integer(1))/x).limit(x=oo)2>>> (Integer(1)/x).limit(x=-oo)
0

Wie schon bei Stückweise definierten Funktion erklärt wird für ∞ zweimal der Kleinbuchstaben „o“ also oo und für −∞entsprechend -oo benutzt.
Grenzwerte an einer bestimmten Stelle werden genauso berechnet. Der Grenzwert
lim

𝑥→−2

(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 2)kann wie folgt berechnet werden:
sage: var( x )xsage: term = (x + 2)*(x-3)/(x + 2)
sage: term.limit(x=-2)-5>>> from sage.all import *>>> var( x )x>>> term = (x + Integer(2))*(x-Integer(3))/(x + Integer(2))>>> term.limit(x=-Integer(2))-5

1.7. Analysis

29

Thematische Anleitungen, Release 10.4

In beiden Beispielen darf nicht vergessen werden, die Variable zuerst als solche zu definieren. Falls wir den links- undden rechtsseitigen Grenzwert einzeln berechnen wollen, können wir die Option dir verwenden:
sage: var( x )xsage: term = (x^2 + 1)/(x-1)
sage: term.limit(x=1)
Infinity
sage: term.limit(x=1, dir= + )+Infinity
sage: term.limit(x=1, dir= - )-Infinity>>> from sage.all import *>>> var( x )x>>> term = (x**Integer(2) + Integer(1))/(x-Integer(1))>>> term.limit(x=Integer(1))
Infinity>>> term.limit(x=Integer(1), dir= + )+Infinity>>> term.limit(x=Integer(1), dir= - )-Infinity

Wir sehen, dass das Ergebnis Infinity unbestimmt ist. Es ist nicht klar, ob +∞ oder −∞ gemeint ist. Erst wenn
wir die links- und rechtsseitigen Grenzwerte analysieren wird klar, in welchem Fall der Wert gegen +∞ respektive −∞strebt.
Möchte man den Grenzwert einer Summe berechnen, kann man dies direkt mit der Summenfunktion berechnen. Möchten
wir zum Beispiel den Grenzwert
∞
∑︁
1
𝑘=1

𝑘2

berechnen, tun wir dies in Sage wie folgt:
sage: var( k )ksage: sum(1/k^2, k, 1, oo)
1/6*pi^2>>> from sage.all import *>>> var( k )k>>> sum(Integer(1)/k**Integer(2), k, Integer(1), oo)
1/6*pi^230

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

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1.7.3 Differenzial- und Integralrechnung
Die Ableitung und das unbestimmte Integral (d.h. die Stammfunktion) einer Funktion 𝑓 (𝑥) wird in Sage mit den Funktionen diff() und integral() berechnet. Wir können sowohl Funktionen sowie symbolische Ausdrücke integrieren
und differenzieren. Funktionen können ohne Angabe einer Variable differenziert werden, es wird nach der durch die
Funktionsdefinition gebundenen Variable differenziert. Da Sage Funktionen in mehreren Unbekannten zulässt, müssen
wir bei der Integration die Integrationsvariable immer angeben.
Bei einem symbolischen Ausdruck muss die Variable, nach welcher differenziert oder integriert wird, auf jeden Fall
angegeben werden, da mehrere freie Variablen vorkommen können und keine davon durch die Funktionsschreibweise
gebunden ist.
Ableiten und integrieren einer Funktion in Sage:sage: f(x) = x^2
sage: f.diff()
x |--> 2*x
sage: f.integral(x)x |--> 1/3*x^3>>> from sage.all import *>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(x**Integer(2)).function(x)>>> f.diff()
x |--> 2*x>>> f.integral(x)x |--> 1/3*x^3

Wie wir sehen, erhalten wir beim Ableiten und Integrieren einer Funktion die Ableitungs- bzw. eine Stammfunktion
wiederum als Sage-Funktionen zurück. Wie in Computer-Algebra-Systemen üblich wird die Stammfunktion ohne eineaddierte Konstante zurückgegeben.
Im Folgenden leiten wir keine Funktionen, sondern symbolische Ausdrücke ab. Das heisst, dass wir den Funktionen
integrate() und diff() als erstes Argument die Variable übergeben, nach der wir integrieren respektive ableiten
wollen:sage: var( x, t )(x, t)
sage: sin(x).diff(x)cos(x)
sage: sin(x).diff(t)0sage: sin(x).integral(x)-cos(x)sage: (e^(2*t^2+1)).diff(t)4*t*e^(2*t^2 + 1)>>> from sage.all import *>>> var( x, t )(x, t)>>> sin(x).diff(x)cos(x)>>> sin(x).diff(t)0>>> sin(x).integral(x)-cos(x)>>> (e**(Integer(2)*t**Integer(2)+Integer(1))).diff(t)4*t*e^(2*t^2 + 1)

1.7. Analysis

31

Thematische Anleitungen, Release 10.4

Bestimmtes Integral
Die Funktion integral() berechnet in Sage auch bestimmte Integrale. Dazu werden die Integrationsgrenzen als weitere Argumente übergeben. Ein Integral der Form:∫︁ 𝑏𝑓 (𝑥)d𝑥𝑎wird in Sage mit f.integral(x, a, b) berechnet. Auch hier gilt die Regel, dass die Integrationsvariable nur
angegeben werden muss, falls es sich bei f um einen symbolischen Ausdruck handelt:
sage: var( t )tsage: f(x) = sqrt(4 - x^2)
sage: f.integral(x, -2, 2)
2*pi
sage: sin(t).integral(t, 0, pi)
2>>> from sage.all import *>>> var( t )t>>> __tmp__=var("x"); f = symbolic_expression(sqrt(Integer(4) - x**Integer(2))).
˓→function(x)>>> f.integral(x, -Integer(2), Integer(2))
2*pi>>> sin(t).integral(t, Integer(0), pi)
2

1.8 Stochastik
Neben den Grundoperationen ist die in der Stochastik am häufigsten benutzte Funktion die Fakultät. Für eine Zahl 𝑛 ∈ N
ist dies definiert als
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) · · · 2 · 1
Sage berechnet dies mit der Funktion factorial(). Im Folgenden wird die Fakultät von 5 berechnet:
sage: factorial(5)120>>> from sage.all import *>>> factorial(Integer(5))
120Sage kann mit Fakultäten auch symbolisch rechnen. Die Terme müssen aber mit der simplify_full() Funktion
vereinfacht werden:
sage: var( n )nsage: (factorial(n)/factorial(n-2)).simplify_full()n^2 - n32

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> var( n )n>>> (factorial(n)/factorial(n-Integer(2))).simplify_full()n^2 - n1.8.1 Binomialkoeffizienten
Um die Anzahl Möglichkeiten zu berechnen, mit denen wir eine Teilmenge mit 𝑟 Elementen aus einer 𝑛 elementigen
Menge wählen können, benötigen wir den Binomialkoeffizienten. Dieser ist definiert als
(︂ )︂
𝑛
𝑛!
=
𝑟
(𝑛 − 𝑟)!𝑛!
Diese Berechnung wird mit der Funktion binomial() ausgewertet, wobei diese die beiden Argumente 𝑛 und 𝑟 übernimmt:
sage: binomial(10, 7)
120>>> from sage.all import *>>> binomial(Integer(10), Integer(7))
120

Auch Terme, welche die binomial() Funktion benutzen können mit simplify_full() vereinfacht werden:
sage: var( n, r )(n, r)
sage: (binomial(n,r)*factorial(r)).simplify_full()factorial(n)/factorial(n - r)>>> from sage.all import *>>> var( n, r )(n, r)>>> (binomial(n,r)*factorial(r)).simplify_full()factorial(n)/factorial(n - r)

1.9 Verschiedene nützliche Funktionen
Im folgenden Abschnitt sind einige nützliche Funktionen aufgeführt, welche bisher in keinem Kapitel dieser Anleitung
sinnvoll untergebracht werden konnten.
Die Funktionen gcd() und lcm() können benutzt werden, um den grössten gemeinsamen Teiler respektive das
kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden:
sage: gcd(124, 56)
4sage: lcm(21, 15)105

1.9. Verschiedene nützliche Funktionen

33

Thematische Anleitungen, Release 10.4>>> from sage.all import *>>> gcd(Integer(124), Integer(56))
4>>> lcm(Integer(21), Integer(15))
105

Für das Aufstellen von Aufgaben ist es oft nützlich, Primzahlen zu finden. Wir können uns mit dem Befehl
prime_range() einen ganzen Bereich von Primzahlen zwischen zwei Grenzen zurückgeben lassen:
sage: prime_range(1050, 1100)[1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097]>>> from sage.all import *>>> prime_range(Integer(1050), Integer(1100))[1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097]

Wissen wir genau, oberhalb oder unterhalb welcher Zahl wir eine Primzahl benötigen, können wir mit next_prime()
die nächst grössere Primzahl sowie mit previous_prime() die nächst kleinere Primzahl bestimmen:
sage: next_prime(1050)
1051
sage: previous_prime(1100)
1097>>> from sage.all import *>>> next_prime(Integer(1050))
1051>>> previous_prime(Integer(1100))
1097

Mit factor() können wir eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen. Sind wir an allen Teilern einer Zahl interessiert,
benutzen wir divisors():
sage: factor(156)2^2 * 3 * 13
sage: divisors(156)[1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156]>>> from sage.all import *>>> factor(Integer(156))
2^2 * 3 * 13>>> divisors(Integer(156))[1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 52, 78, 156]

1.10 Weiterführende Links und Literatur
Das folgende Tutorial erklärt (auf englisch) wie Sage als einfacher Rechner benutzt werden kann. Hier finden sich auchviele Funktionen und Beispiele, welche für unsere Zwecke interessant sind.
• http://www-rohan.sdsu.edu/ mosulliv/sagetutorial/sagecalc.html
Die offizielle deutsche Dokumentation von Sage ist noch im Aufbau und weit entfernt von einer vollständigen Dokumentation. Das Einführungstutorial ist jedoch auch auf deutsch verfügbar. Die offizielle Seite der deutschen Version von Sagefindet sich hier:34

Kapitel 1. Sage als Taschenrechner im Gymnasium

Thematische Anleitungen, Release 10.4

• http://www.sagemath.org/de/

1.10. Weiterführende Links und Literatur

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