京都大学防災研究所年報 第 64 号 B
DPRI Annuals, No. 64 B, 2021

局所細密化を適用したRBF移流モデルの安定性と保存性
Stability and Preservability of RBF Transport Model with Local Node Refinement

小笠原宏司 (1)・榎本剛
Koji OGASAWARA (1) and Takeshi ENOMOTO(1) 京都大学大学院理学研究科(1) Graduate School of Science, Kyoto University, Japan
Synopsis
Radial Basis Functions (RBF) have attracted attention as a tool for solving PDEs on asphere in recent years because of the ability to achieve spectral accuracy and applicability
to unstructured node layouts. Because RBF provides opportunities for local no derefinement, several studies about adaptive node refinement were conducted using
electrostatic repulsion. In this study, the Schmidt transform is used as a tool of local noderefinement. This study shows that the Schmidt transform improves stability andconservation. The stability and conservation are examined in a test case with vortex rollup. The eigenvalue stability shows that local node refinement improves stability of thetransport scheme. The verification of conservation shows that the transport sc heme with
the Schmidt transformation conserves the spherical integration of scalar value in absoluteerror at O (10−7 ).

キーワード: RBF移流モデル，動径基底関数
Keywords: RBF-transport scheme, Radial Basis Functions

1.

はじめに動径基底関数(RBF)は距離のみに依存する関数である(Fig. 1).RBFは無限回微分可能なRBFと有限回微分可能なRBFに分類される.無限回微分可能なRBFは形状パラメーター𝜀を持っている.Gaussian RBF (Fig. 1)
では𝜀を大きくとると尖った形になり，小さくとるとなだらかな形になる.RBFは多次元における格子状でない節点配置において未知の曲面を表現することを目的に研究が行われた関数である.近年RBFは内挿以外にも楕円型，双曲線型偏微分方程式の解法 (Flyer

Fig. 1 Gaussian RBF as a function of distance
between nodes.

and Wright 2007) にも用いられている.
RBFを用いた双曲線型偏微分方程式の解法は非格子状の局所細密化節点を扱うことが可能である.
この特徴をいかした適合節点（時事刻々と節点配置が流体の状態に合わせて変化する）を適用する研究が行われている.しかし，近年は高解像度モデルにRBFを適用する動きが盛んに行われてきている.そこで巨大な― 305 ―節点数に対応するために反復解法を用いない局所細本研究では逓減格子 (Hortal and Simmons 1991) を密化が必要になることが考えられる.そこでSchmidt

節点配置として用いている(Fig. 2).逓減格子は赤道変換 (Schmidt 1977) の適用を考える.

から極域にかけて緯度円上の節点が減少していく格

Schmidt変換を適用したRBF法の研究は誤差の収束子点である.緯度円上の節点は次の手順で作成した.

性のみ報告されており，安定性や保存性は示されてい

１）子午線上の節点数から水平解像度を計算し，そない.よって 本研究 では渦 の 巻き上げ 実験に おい ての解像度に対応する赤道上の節点数𝑁を計算する.２）

Schmidt変換を適用したRBF手法の安定性と保存性をFFTと相性の良い2，3，５の公倍数nを𝑛 ≤ 𝑁まで計算検証する.本稿の構成は次のようになっている.まず２

する.３）緯度円の縮小（北にいくほど小さくなる）章において本研究で用いた節点配置について述べる.に合わせて水平解像度ができるだけ保つように緯度次に３章で局所細密化，細密化に合わせた形状パラメ

円上の節点を𝑛𝑘 → 𝑛𝑘+1 に変更していく.

ーター𝜀について述べる.4章ではテストケースについて述べる.5,6章では解析の結果をそれぞれ述べ，７章

3.

局所細密化でまとめる.
Schmid変換は緯度のみを変換する手法であり，次2.

節点配置式で変換される．
(1 − 𝑐 2 ) + (1 + 𝑐 2 ) sin(𝜃)𝜃 ′ = arcsin ()(1 + 𝑐 2 ) + (1 − 𝑐 2 ) sin(𝜃)(1)

𝜃:緯度，c：拡大率．
本研究ではテストケースに合わせ，両極に細密化するために拡大率cを以下の式で変更した(Fig. 2 (b)).
sin(𝑐 = 𝑐0𝜋𝜇)2(2)𝜇 = sin(𝜃).

3.1

変動するε

局所細密化節点を用いた移流モデルでは Runge現象を抑制するために解像度に合わせた形状パラメー
ターの設定が必要である(Fornberg and Zuev 2007,Flyer and Lehto 2010).本研究ではSchmidt変換のmap
factor を用いて形状パラメーターを計算した.計算式は以下である.

𝜀=𝜀0√𝐹(𝑐, 𝜇′ )′𝜇 = sin 𝜃′, 𝜀0 ：𝑐 = 0における𝜀.
4.

(3)渦の巻き上げ渦の巻き上げ(Nair et al. 1999) は両極で渦が巻き上がっていく，スカラー値の移流を題材にしたテストである(Fig. 3).テストケースは極を座標変換で移動させて計算を行う.東西方向の移流のみであり，東西風は角速度𝜔で定義される. 変換後の緯度を𝜃′とすると東西風は次式で表される．

𝑢′ = 𝜔(𝜃 ′ ) cos 𝜃 ′𝜔は次式で与えられる.

Fig. 2 Fully Reduced Grid. The figure (a) isquasi-uniform node. The figure (b) is refinednode.

𝜔(𝜃 ′ ) =3√3sech2(𝜌(𝜃 ′ )) , 𝜌(𝜃 ′ ) ≠ 02𝜌(𝜃 ′)𝜔(𝜃 ′ ) = 0― 306 ―, 𝜌(𝜃 ′ ) = 0(4)(5)

Fig. 3 The Exact solution at 3second.

5.

固有値解析

固有値解析の結果をFig. 4に示す.局所細密化により安定領域外の固有値が減少している.次に安定領域外の固有値による４段4位のRunge-Kutta法の増幅率の最大値をtable１に示す.局所細密化により増幅率が0.0176減少しており，安定化していることがわかる.
次にℓ∞ 誤差と増幅率により推定できる誤差をFig.5に示す.推定された誤差はよく準一様な節点配置のℓ∞ 誤差の成長を捉えており，固有値解析が安定性のFig. 4 The Eigenvalues of the different matrix
with a stability domain of 4th order Runge-Kutta.

特徴をよく捉えていることを示している.局所細密化節点における誤差の成長は時間とともに解の構造が細かくなっていき解像できなくなることから生じている．
Table1 Amplification factor.
node
Quasi-uniform
Refined node

6.

Amplification factor
1.01771.0001

保存性の検証検証の結果をFig. 6に示す.t=120における結果を比較すると局所細密化により３桁以上誤差が改善している.これは局所細密化により安定化したBRF移流モデルが高い保存性を有していることを示している.
誤差の振動は手法の特徴ではなく，スカラー値を離散化していることが関係している.

Fig. 5 The ℓ∞ error and estimated error of (a)refined node and (b) quasi-uniform node as afunction of time(s).

― 307 ―

かった.これにより高い保存性があることが示された.以上のことからSchmidt変換を適用したRBF移流
モデルは高い精度，安定性，保存性を有するモデルであると言える.

参考文献
Flyer, N., and G. B. Wright. (2007): Transport schemes ona sphere using radial basis functions. Journal ofComputational Physics, 226, pp. 1059–1084.
Flyer, N., and E. Lehto (2010): Rotational transport on asphere: Local node refinement with radial basis
functions. Journal of Computational Physics, 229,pp. 1954–1969.
Fornberg, B., and J. Zuev (2007): The Runge phenomenon
and spatially variable shape parameters in RBF
interpolation.

Computers&Mathematics

withApplications, 54, pp. 379–398.
Hortal, M., and A. J. Simmons (1991): Use of Reduced
Gaussian Grids in Spectral Models. Monthly WeatherReview, 119, pp. 1057–1074.

Fig. 6 The error of H as a function of time(s).
𝐸𝐻 = 𝑎𝑏𝑠(𝐻𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡 − 𝐻).
7.

Nair, R., J. Côté, and A. Staniforth (1999): Cascadeinterpolation for semi-Lagrangian advection over theまとめsphere. Quarterly Journal of the Royal Meteorological本研究ではSchmidt変換を適用したRBF移流モデルの安定性と保存性を検証した.安定性は固有値解析，保存性はスカラー値の球面積分の時間変化を調べる

Society, 125, pp. 1445–1468.
Schmidt, F., B. (1977): Variable fine mesh in spectral
global models. Phys. Atmos. 50, pp. 211–217

ことにより検証した.固有値解析の結果，細密化モデ
ルは増幅率を0.176減少させ，安定性の向上を示した.
保存性の検証では局所細密化モデルは誤差がO(10−7 )で振動するのみであり，大きな成長は示さな― 308 ―

（論文受理日：2021年8月31日）