社会基盤iセンシングセンター第13回仕繰セミナー

2021年5月21日

き裂の高精度計測を目指した非線形超音波法に対する数値シミュレーション

丸山泰蔵
理工学研究科

生産環境工学専攻

1自己紹介名前：丸山 泰蔵（まるやま たいぞう）
学位：博士（工学）• 2016年3月：東京工業大学 情報理工学研究科 博士課程修了• 2016年4月～2019年9月：東京理科大学 理工学部 土木工学科 助教• 2019年10月～：愛媛大学 理工学研究科 生産環境学専攻 講師
所属学会：土木学会，日本非破壊検査協会，日本計算数理工学会
専門分野：応用力学，計算力学，非破壊検査• 波動解析のための境界要素法の高精度化・高速化• 複雑現象のための数値解析手法の開発
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従来の超音波を用いた非破壊検査の問題点
通常の線形超音波法( 音響インピーダンスの差異による散乱波を利用)• 母材-き裂開口部（空気）の音響インピーダンス差によって散乱波が発生• き裂閉口部は弾性波がそのまま透過
き裂閉口部からの散乱波の受信は困難• 小さい初期き裂の見落とし• き裂深さの過小評価が懸念される

き裂閉口部を検出・計測できる手法の開発が望まれている3

接触音響非線形性を用いた非線形超音波法

Fourier変換

非線形超音波 • 高調波（𝑓の整数倍）• 分調波（𝑓の整数分の一）
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接触音響非線形性を用いた非線形超音波法

非線形超音波• 高調波（𝑓の整数倍）• 分調波（𝑓の整数分の一）
受信波の周波数成分を解析することによって，き裂の検出・サイズ測定を行う
検査の高度化のためには現象の理解が不可欠である．
数値シミュレーションはその一助となる．
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発表内容

• 研究の背景• 非定常シミュレーション• 解析手法の概要• 解析結果• 定常シミュレーション• 解析手法の概要• 解析結果• まとめ・今後の課題

6数値解析モデル
数値解析モデル

解析を行う内容•無限領域中のき裂に超音波を入射したときの散乱問題–•

き裂が及ぼす影響のみを調べる

き裂から遠方における散乱波を計算––

通常，波長やき裂のサイズに対して遠くで受信することが多い
き裂の近くでは波動場が複雑である

無限領域，き裂面における境界条件の取り扱い易さ等の理由から，時間領域境界要素法を用いる
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き裂による弾性波動散乱問題
無限領域𝐷に存在するき裂による散乱問題• 領域𝐷は均質，等方かつ線形な弾性体と仮定• 物体力は無視

本問題における境界・初期条件（以下の条件に加えて動的接触条件が必要）
き裂面を越える表面力の連続性（𝑆 = 𝑆 + ∪ 𝑆 − ）き裂縁での開口変位はゼロ
𝑡 = 0以前に散乱波は存在しない（静止過去）••

き裂面における境界条件が時刻と共に変化する非線形問題
領域𝐷における波動場は線形（重ね合わせの原理が成り立つ）

𝑐𝐿 , 𝑐𝑇 : 𝐷中におけるP波，S波の波速，𝒕: 表面力，𝑻: 時間領域弾性波動問題に対する二重層核，[𝒖]: き裂開口変位，上付きsc: 散乱波に対応

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き裂面での接触を考慮した数理モデル
３つの状態を考慮したき裂モデル
き裂面の開閉口separation + stick
摩擦を伴う滑り
stick + slip
クーロンの摩擦法則

separation

 向かい合うき裂面が非接触である状態

stick contact

 向かい合うき裂面が接触し，固着している状態

slip contact

 向かい合うき裂面が接触し，接線方向に滑っている状態
9境界条件の遷移について
Separation
境界条件

き裂面が交差する

Stick contact[𝑢𝑛 ] = 𝒖 ⋅ 𝒏,未知量[𝑢𝑠 ] = 𝒖 ⋅ 𝒔,𝑡𝑛 = 𝒕 ⋅ 𝒏,

𝑡𝑠 = 𝒕 ⋅ 𝒔

𝜇𝑠 : 静止摩擦係数
𝜇𝑑 : 動摩擦係数
𝑔: 初期開口変位

開口方向に表面力が作用

接触状態
接線方向表面力が静止摩擦力を超過

境界条件
未知量
滑りが停止

Slip contact

境界条件
未知量

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高調波シミュレーションの解析モデル
材料定数（鋼材を想定）
ポアソン比: 𝜈 = 0.3
静止・動摩擦係数: 𝜇𝑠 = 0.74, 𝜇𝑑 = 0.57計算パラメータ𝑘 𝑇 𝑎 = 2𝜋𝑎𝑓 in Τ𝑐𝑇 = 3.0，𝑔Τ𝑢0 = 0.030周期の正弦バースト波形を有する平面縦波，もしくは横波

示す数値解析例

𝑓 in : 中心周波数𝒅𝜑 , 𝒑: 振動，伝搬方向ベクトル
𝑢0 : 入射波の振幅
𝜎0 : 入射波の振幅に対応する応力

1. 縦波垂直入射（静的な圧縮応力𝜎 st Τ𝜎0 = 0.0）
2. 横波垂直入射（静的な圧縮応力𝜎 st Τ𝜎0 = 1.0）
受信波として，遠方散乱波を評価する
縦波または横波に対する遠方散乱振幅（開口変位の速度に依存する関数）11

縦波垂直入射の結果
点Aにおける垂直方向の開口変位••

接触を考慮した場合，開口変位が負の値を取らない
開口変位波形が半波整流に近い波形となっている
初期開口変位：𝑔Τ𝑢0 = 0.0
静的な圧縮応力：𝜎 st Τ𝜎0 = 0.0

後方散乱振幅の時刻歴波形

正規化されたフーリエスペクトル高調波成分

12横波垂直入射の結果
点Aにおける接線方向の表面力
初期開口変位：𝑔Τ𝑢0 = 0.0
静止・動摩擦係数：𝜇𝑠 = 0.74, 𝜇𝑑 = 0.57
静的な圧縮応力：𝜎 st Τ𝜎0 = 1.0

後方散乱振幅の時刻歴波形

正規化されたフーリエスペクトル奇数次の高調波成分13

分調波シミュレーションの解析モデル
材料定数（鋼材を想定）
ポアソン比: 𝜈 = 0.3
静止・動摩擦係数: 𝜇𝑠 = 0.74, 𝜇𝑑 = 0.47

計算パラメータ𝑘 𝑇 𝑎 = 2𝜋𝑎𝑓 in Τ𝑐𝑇 = 0.5~5.5𝑔Τ𝑢0 = 0.0~5.0
𝜃 in = 0°~75° (15°間隔で変化)𝜃𝑐 = 0°~45 (15°間隔で変化)

15周期の正弦バースト波形を有する平面P波
𝑓 in : 中心周波数𝒑: 伝搬方向単位ベクトル
𝑢0 : 入射波の振幅受信波として，遠方散乱波を評価する

半無限弾性体のGreen関数によって記述される遠方散乱振幅（き裂開口変位の速度を用いて計算）

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様々なパラメータに対する分調波確認可否
分調波の励起が確認されたかどうかの結果
𝑘 𝑇 𝑎 = 2𝜋𝑎𝑓 in Τ𝑐𝑇 = 0.5~5.5𝑔Τ𝑢0 = 0.0~5.0☓: 全く分調波が確認できなかった△: 少し分調波発生現象が確認できた○: 明確な分調波発生現象が確認できた
𝜃𝑐

𝜃 in

0°

15°

30°

45°

0°

☓

☓

☓

△15°

☓

☓

☓

☓

30°

☓

☓

☓

☓

45°

☓

☓

☓

△60°

☓

☓

△○75°

☓

☓

△

○

次のスライドで詳しく説明を行う
15

分調波シミュレーション結果
𝜃 in = 75∘

白線で囲まれた領域が分調波の発生現象を確認できた部分である

遠方散乱波形，フーリエスペクトル𝑘 𝑇 𝑎 = 3.5，𝑔Τ𝑢0 = 0.0，𝜃 in = 75°，𝜃𝑐 = 45°

後方散乱縦波に対する遠方散乱振幅

初期開口変位𝜃 in = 30∘

入射波数𝐴𝜔 で正規化されたフーリエスペクトル16表面き裂周辺の変位場
全変位場をプロット𝑘 𝑇 𝑎 = 3.7，𝑔Τ𝑢0 = 0.0
この部分の自由振動が大きく影響
10～12周期の変位の履歴（座標(−0.35𝑎, −0.175𝑎)）17き裂面の接触なし（線形系）の周波数応答
点Aにおけるノルムの値をプロット
𝜃𝑐 = 30∘

周波数域BEMによる線形な問題の周波数応答解析結果(き裂は常に開口している状態)

ノルムの定義𝜃𝑐 = 45∘

強い応答18

発表内容• 研究の背景• 非定常シミュレーション• 解析手法の概要• 解析結果• 定常シミュレーション• 解析手法の概要• 解析結果• まとめ・今後の課題

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既往研究による分調波の再現例
既往の時間領域解析による分調波発生現象の再現例：••

Sarens, B., Verstraeten, B., Glorieux, C., Kalogiannakis, G., Hemelrijck, D.V.: Investigation of contact acoustic nonlinearity
in delaminations by shearographic imaging, laser doppler vibrometric scanning and finite difference modeling. IEEETrans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control 57, 1383– 1395, 2010.
Delrue, S., Abeele, K.V.D.: Three-dimensional finite element simulation of closed delaminations in composite materials.
Ultrasonics 52, 315–324, 2012.

薄い剥離部の接触を伴う振動による分調波共振

Maruyama, T., Saitoh T., Hirose, S.: Numerical study on sub-harmonic generation due to interior and surface breaking cracks
with contact boundary conditions using time-domain boundary element method, Int. J. Solids Struct. 126–127, 74–89, 2017.

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定常解析の目的• 非線形共振解は定常解として確かに存在するのか？
→ 入射波を送信し続けたときの定常解を求める• 共振現象が起こるパラメータ周辺ではどんな現象が起こるのか？
→ 定常解の安定性を判定し，安定・不安定を含めた解構造を調べる

調和バランス-境界要素法の開発
波動の放射を適切に扱える境界要素法＋（強）非線形定常解析のための調和バランス法

安定・不安定の例：（座屈の場合）本研究とは別の内容

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調和バランス-境界要素法の概要

領域𝐷は等方，均質な線形弾性体

法線方向表面力
接線方向表面力• き裂面の開閉と摩擦をモ
デル化• 数値解析のために滑らかな関数で正則化（近似）

法線方向開口変位

接線方向相対速度解析の概要• 連続波を入射波として設定• 時間が十分に経過した後の定常状態を解析
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調和バランス-境界要素法の定式化
時間域境界積分方程式（放射条件を厳密に満足）

1. 未知量（開口変位[𝒖]，表面力𝒕）を有限のFourier級数で仮定（時間方向）

2. 十分な時間経過後の意味で𝑡 → ∞なる極限を考える

𝑲：半無限Green関数に対する超特異積分核，𝜓：Galerkin法の重み関数23連立非線形方程式とその解法帰着される連立非線形方程式：

静弾性問題に対応
未知量ベクトル（開口変位のFourier係数）

周波数域動弾性問題に対応（複数の周波数）
何らかの物理パラメータ𝛼を変化させたときの解𝝓を追跡する．
（Numerical Continuation Method）
解曲線の• ターンバック• 分岐も追跡によって調べる

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数値解析モデル

ポアソン比：𝜈 = 0.3，動摩擦係数：𝜇𝑑 = 0.57，
正則化パラメータ：𝛾1 = 50，𝛾2 = 2500，静的な場： 𝒖st = 𝒕st = 𝟎，考慮する分調波の次数：𝜅 = 2（1/2次の分調波を考慮），
Fourier級数の打ち切り次数：𝑁ℎ = 14（7次の高調波まで考慮），入射波𝒖in ：振幅𝑢0 ，角周波数𝜔in の平面P波
入射角周波数𝜔in を変化させたときの定常解を追跡する

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き裂付け根における開口変位のFourier振幅

𝑎𝜔in /𝑐𝑇 =3.2の安定解を詳しく見る

実線：安定解破線：不安定解

分岐を伴う分調波共振が確認された：非定常解析結果から求めたFourier振幅○26後方散乱波形（𝑎𝜔in /𝑐𝑇 =3.2）

倍周期の振動遠方における散乱P波の振幅

27まとめ・今後の課題• まとめ• 閉口したき裂による散乱問題の非定常解析，定常解析を行った．
• 数値シミュレーションによって高調波・分調波の発生を再現できた．
• 分調波は非線形共振の一種である分調波共振によって起こりうることが示唆された．
• 今後の課題• 大規模問題のための計算手法の効率化• 計測実験との比較

ご清聴ありがとうございました
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