H∞ 制御理論を用いた２入力２出力ヘリコプタの制御設計
M2010MM035 佐竹 徳哉
指導教員：高見 勲

1

はじめに
Fy

世の中のシステムは１入力１出力系と, 多入力多出力系
Yaw axisがあり, 現在存在する多くのシステムは多入力多出力系である．多入力多出力系のシステムは互いが干渉しあい,Fp制御することが１入力１出力系のシステムに比べ難しい．
多入力多出力系をいくつかの１入力１出力系に分散することで, 制御を行っていることが多い．しかし, 分散することで干渉による影響から制御性能を悪化させる可能性
Fgryがある [1]．
lcm
航空機をはじめとする現実の機械システムで用いられrpているアクチュエータには，最大出力や変化率，稼働範
Pitchaxis
囲等に制約が存在しており，これらの制約は，閉ループ系の不安定化や装置の破壊などを引き起こす場合がある
ことが知られている [2]．
図 2 2 自由度ヘリコプタ概略図
ヘリコプタは，非線形性の強いダイナミクスを持ち，多入出力系であることから，一般に制御困難な対象である２自由度ヘリコプタの非線形運動方程式はオイラー・ラと言える．人員や貨物の様々な輸送に利用されているのグランジュの運動方程式を用いることにより導出する．こで重量の変化があり，その影響でモデルが変化すると考れらの方程式を原点のまわりで線形化すると以下の式がえられる．そこで，ロバスト制御の一つである H∞ 制御導出される．
理論を適用する．H∞ 制御理論は，モデルの不確かさを考慮するため正確なモデリングが困難な大規模で複雑な
Kpp Vm,p + Kpy Vm,y − Bp θ̇θ̈ =(1)システムでもロバスト性を保証することができる．以上
2
Jeq,p + mheli lcm
を踏まえて，干渉を含めた２入力２出力系での制御設計
Kyy Vm,y + Kyp Vm,p − By ψ̇
を行う．
ψ̈ =(2)2
Jeq,y + mheli lcm2

制御対象とモデリング

本研究で制御対象として使用する２自由度ヘリコプタを図１に示す．

ここで, θ[rad]:ピッチ角, ψ[rad]:ヨー角, B[N/V]:等価粘性減衰, K[Nm/V]:推定トルク定数, J[kg・m2 ]:慣性モーメ
ント, m[mg]:ヘリコプタの質量, lcm [m]:ピッチ軸から重心までの距離を表す [3]．
また, 状態変数，状態空間表現は次式となる．
[]Tx(t) = x1 x2 x3 x4[]T= θ ψ θ̇ ψ̇(3)ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)図 1 2 自由度ヘリコプタ
また，２自由度ヘリコプタの概略図を図 2 に示す．これは２つのプロペラを持っており, 前のプロペラはピッチ軸まわりの回転を起こし, ヘリコプタ頭部の上下運動を制御する. 後ろのプロペラはヨー軸まわりの回転を起こし,ヘリコプタの左右の運動を制御する.

00
A=
00000010B− Jeq,p +Mpheli l2
cm000
B=
Kpp
 Jeq,p +Mheli lcm
2Kyp2Jeq,y +Mheli lcm

010
B− Jeq,y +Myheli l200



Kpy


2Jeq,p +Mheli lcm
Kyy
2Jeq,y +Mheli lcm

cm

[]

1 0 0
C=0 1 0‘P(s)00m (s)２入力２出力系のブロック線図を図 3 に示す．

bua+ + yP (s)図 4 乗法的不確かさを含んだプラント
しかし，誤差である ∆m を正確にモデル化することは不可能である．よって
図 3 2 入力 2 出力モデルσ̄ | ∆m (jω) |<| Wt (jω) |ここで, 偏差の積分器を含んだ拡大系を構成する．
[ ] [][] [ ][ ]ẋ
A 0 x(t)0B=+w(t) +u(t)ė−C 0 e(t)I0(7)

を満足するような T に対する重み Wt をシステムに取り入れる．以上から乗法的不確かさに対するロバスト安定条件は次式になる [4]．

拡大系の状態変数は下記となる．

[ ][ẋ= θėψθ̇ψ̇∫eθ dt∫]T∥ Wt T ∥∞ < 1eψ dt

4(8)

制御系設計

実際のヘリコプタには人や貨物を載せたりするので，重量が変わる．そこで，錘を用いてパラメータ変動を模擬す
3 H∞ 制御る．また，変動するパラメータの変数は，制御対象の質量：
3.1 ロバスト安定化問題
mheli [kg]，慣性モーメント：Jeq,p ，Jeq,y [kg・m2 ] である．パP (s) をノミナルプラント，P̃ (s) を摂動プラントとする． ラメータの変動範囲を以下に示す．ヘリコプタンの質量は，1.38≤ mheli ≤ 1.48[kg]，慣性モーメントは 0.0384≤Jeq,p≤ 0.0423[kg・m2 ]，0.0432≤Jeq,p ≤ 0.0471[kg・m2 ] となる．
−1∆m (s) = P̃ (s)P (s) − I(4) 通常時の状態をノミナルプラント P とし，錘 0.05[kg]，00.1[kg] を付加した状態を摂動プラント P05 ，P1 とする．と関係づけられるとき，∆m (s) を乗法的不確かさとい
P0 と P05 ，P0 と P1 の乗法的不確かさ ∆m (s) を求め，小う．図 4 は，乗法的不確かさを含んだプラントの入出力
ゲイン定理を適用し，σ̄｜∆m (jω)｜＜｜Wt (jω)｜となる
関係 y = P̃ u を表している．
Wt を導出する．ここで σ̄ は最大特異値を意味する．制御
ロバスト安定とは，モデルの不確かさを有する制御系
入力を制限するための重みを Wu ，状態変数に対する重においてノミナルプラントに基づいて設計された不確かみを Wx とする．
さの変動範囲内で摂動プラントも安定化する性質を言う．
P ，Wt ，Wx の状態空間表現の係数を次のようにする．
ロバスト安定性の判別は，小ゲイン定理に基づいている.
[]
[]
[]
Ap Bp
At Bt
Ax Bx
3.2 乗法的不確かさに対するロバスト安定条件
P =，Wt ＝, Wx =
Cp Dp
Ct Dt
Cx Dx
図 4 において，a から b への伝達関数 T は次式になる.
なお K はコントローラとする．
これらを用いて一般化制御対象Ｇ (s) を定義する.

T = P K(Ip + P K)−1(5)これに小ゲイン定理を適応したものが次式である.

∥ ∆m T ∥∞ < 1(6){ẋ(t) = Ax(t) + B1 w(t) + B2 u(t)z(t) = C1 x(t) + D11 w(t) + D12 u(t)と与える.

(9)なお，LTI システム G(s) が∥G(s)∥∞ < γ, γ > 0(10)となる．

Ap
 Bt Cp 0G(s) =  Dt Cp Wx I00At0Ct001

0Bp0 Bt Dp 0
Wu 
0 Dt Dp 00 00 00

また，試行錯誤の結果，Wu ，Wx は以下の値とする．
[]40 0Wu =0 2

1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
Wx = (13)0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 1(11)以上の３つの重みを適用すると，フィードバックゲイン Kh が次のように与えられる．
»−577.52−188.98

21.58
1.55

−61.42−20.10

5.97
0.42

80.91
26.72

−2.71
0.65

−0.01
−0.01

−0.01
0.11–

フィードバックゲイン Kh を基に，ノミナルプラントと摂動プラントでシミュレーションを行った．今回は，θ 方
向・ψ 方向に別々に 0.3[rad] のステップ入力を加える．ノ
ミナルプラント・摂動プラントにおいて，オーバーシュー
トや振動もなく目標値に追従した．しかし，H∞ のフィードバックゲイン Kh と最適レギュレータで求めるフィードバックゲインを比べると，Kh の方がハイゲインになっている．
»17.6
KLQR = −1.94

7.45−0.414

1.511.4

4.97−0.514–0.103
0.995 (14)

実験を行うと，制御入力が大きいため発散してしまう．
そこで極配置法を用い改善する．Kh を用いた極は次のようになる．-143.5 が他の極と比べ原点から遠いためハイゲインの原因と考える．

図 5 一般化制御対象
このシステムは可安定，可検出である．LMI(線形行列不等式) を用いてフィードバックゲインを求める．

02−143.50 3−9.26
6767−3.57
67−0.1467pole = 6−0.56 + 0.16i7
676−0.56 − 0.16i7
45−9.9526−0.0550(15)極配置領域の規定方法は、極の実部範囲を規定する．システムの極を次式とする．

Gain (dB)-50

λ = x + jy-100
Wt
H1H05-150 -4101.36
13.4

10-210010

試行錯誤の結果，システムの極が −10 < x < 0 の範囲内に存在する時に応答が収束する．この極配置領域を図7 に示す．

2Frequency (rad/sec)

図 6 Wt ，∆m
図 6 のように Wt が ∆m を覆うように Wt を以下の値と設定する．

]−51
Wt ＝−1.75 0.35(16)[(12)
図 7 極配置領域

図 7 に極配置領域を限定するには，LMI の条件式と次の２式を満足する P > 0 が存在すればよい．

0.40.40.350.35

P A + AT P + 20P > 00.30.3(17)0.250.25

P A + AT P < 0(18)yaw experiment
yaw simulation
pitch experimentpitch simulation

0.20.15

この極配置領域内に極配置すると，極は次のようになる．
23−9.5743−9.275667
6
7−3.5625
67
6−0.5211 + 0.1937i7
pole = 6−0.5211 − 0.1937i767
6
7−0.1433
45−9.9447−0.0565(19)−39.14−13.39

−4.12
−1.42

1.48
−4.59

0.41
−1.28

5.45
2.08

−0.19
1.32

0.1

0.05

0.05

00-0.0550-0.05
50708090

図 14 P05 : ψ = 0.3

−0.01
0.11

0.3

0.20.2
nominal
0.05[kg]
0.1[kg]

0.4

0.3
0.25

0.2

0.2

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

00-0.05
50

-0.05
50

60

70

80

90

100

yaw
pitch

0.35

0.3

070

time[s]

0.4

0.35

0.35

0.3

0.3

0.25

0.25
pitch experimentpitch simulation
yaw experiment
yaw simulation

0.2
0.15

0.1
0.05

00-0.05
50

-0.05
50

80

90

100

60

70

time[s]

図 10 P0 : θ = 0.3
0.35

0.35

0.3

0.3

0.25

0.25
pitch experimentpitch simulation
yaw experiment
yaw simulation

0.2
0.15

900.150.10.050.05

00-0.0550-0.05508090time[s]図 12 P1 : θ = 0.31008090time[s]図 16 比較:θ = 0.31005060708090100time[s]図 17 比較 ψ = 0.3

図 8，図 9 はシミュレーション結果，図 10〜図 15 は実験結果である．図 16，図 17 は，ノミナルプラントと摂動プラントの実験の比較である．
ピッチ角はノミナルプラント・摂動プラントともに，目標値に追従している．ヨー角は少しオーバーシュートがあるが，目標値に追従していることが分かる．よってロバスト性を保証していると言える．

おわりに多入力多出力系に対しロバスト安定性とロバスト制御性能を維持し，極領域指定によりハイゲインフィードバックを防止して操作量が過度に変動することを防止した制御系設計法を採用し，シミュレーション・実験によりその性能を確認した．

60708090time[s]図 13 P0 : ψ = 0.3[1] 佐伯正美：制御構造制約のある H∞ 制御問題に対するPID 制御器設計，計測自動制御学会論文集号，Vol.41，
No.2，149/156 (2005)．

[3] 早瀬雄太：H∞ 制御理論を用いた２自由度ヘリコプ
タの姿勢制御，南山大学 数理情報学部 数理情報学科(2009)．

yaw experiment
yaw simulation
pitch experimentpitch simulation

0.2

0.1

70

[2] 和田信敬，南昌行，松尾祥也，佐伯正美：ツインロー
ターヘリコプターモデルの目標信号追従制御．日本ロ100
ボット学会誌第 27 巻第 2 号，(2009)．

図 11 P05 : θ = 0.3
0.4

7080time[s]

0.460

参考文献

0.150.160

100

pitch experimentpitch simulation
yaw experiment
yaw simulation

0.20.057090

図 9 P0 : ψ = 0.3

図 8 P0 : θ = 0.36080time[s]

0.4

-0.05
50

660

nominal
0.05[kg]
0.1[kg]0.1

0.05

極配置により求めたフィードバックゲイン Kλ を基に，
θ 方向・ψ 方向に別々に 0.3[rad] のステップ入力を加える．ノミナルプラント・摂動プラントでシミュレーション・実験を行った．

0.25

100

0.25

0pitchyaw90

図 15 P1 : ψ = 0.3

0.3–

シミュレーション・実験結果

0.4

80

0.35

0.1

0.35

70

0.4

0.4

−0.01
−0.01

60

time[s]0.15

5100time[s]フィードバックゲイン Kλ は次のようになる．
»0.15

0.160

yaw experiment
yaw simulation
pitch experimentpitch simulation

0.2

100

[4] 藤森篤：ロバスト制御，コロナ社，2001.