情報の授業における統計の扱いについて
名古屋高等学校 中西渉∗

2006 年 10 月 21 日
1.2 情報概要

では情報はどうか。実は学習指導要領には「統高校の数学に「確率・統計」があった頃も，大学計」という単語は一回しか登場しない。情報 C の入試でほとんど出題されないため，統計的分野を授「（3）情報の収集・発信と個人の責任」に関する「内業で扱うことはほとんどなかった。その後何度かカ容の取扱い」としてリキュラムが変わり，教科「情報」もできたが，統計

イ*2 については，適切な題材を選び，情報の収にまともに向き合っていない状況に変わりはない。

集から分析・発信までを含めた一連の実習を中

しかし，コンピュータを使うのが当り前，大量の心に扱うようにする。情報の分析については，データを扱うことが容易になったのに，統計をろく表計算ソフトウェアなどの簡単な 統計 分析機に知らないというのは非常にもったいない話だ。そ能やグラフ作成機能などを扱うようにする。

こで本校では情報の授業において統計の基本的な部分に触れることにした。本発表ではその実践内容をと触れているだけだ。もちろん「簡単な統計分析」紹介する。というのがどの程度のことなのかは示されていない。いくつかの教科書を見ると，表計算ソフトの1 高校の授業における統計AVERAGE，MAX，MIN，RANK，STDEVP といった関数

1.1 数学を使った例がある。しかし基本的に計算させっぱな高校の数学で統計を扱うのは数学 A「場合の数しで，その値を読み取ることはしても，値自体を評と確率」と数学 B「統計とコンピュータ」，数学 C価することはしていない。ある教科書は演習で標準「確率分布」「統計処理」である。しかし，多くの学偏差を計算させるものの，その意味は「値のばらつ校は数学 B・C のこの分野を履修しない。というのき云々」というように漠然としか書いていない。だは，入試で数学 B や C を出題する大学のほとんどとしたら，紙の上でやっていたことと何が違うといが「数列」「ベクトル」や「行列とその応用」「式とうのだろう。むしろ計算式がわからなくなった分だ曲線」のみを出題範囲としているからだ*1 。

け後退しているとさえ言えるのではないか。

したがって彼らは数学では統計についてほとんど1.3 統計を知らない大人の代表—教員学ばない。期待値だけは習っているが分散や標準偏そんな風だから，高校では統計についてほとんど差を知っているのは稀であり，それもたいていは計学習しない。大学でも統計に関する授業を選択しな算に終始してしまって，その数値の意味するところければそのままだろう。論文を書くときに教官に指はわからないままだ。

摘されるなどして必要性に気づけばいいが，そういったチャンスに恵まれなければそのまま社会人になっていく。

∗ watayan@meigaku.ac.jp*1 「確率分布」を出題する大学（それ自体非常に少ないが）*2 情報通信ネットワークを活用した情報の収集 ・発信でも「確率の計算」までを範囲とすることが多い。

1

私見だが，教員の多くはそんな風に統計を知らないまま現職に至っているのではないだろうか。たしかに職員会議には生徒の成績データから得られた数値がずらっと並ぶ。時には小数点以下の数字まで見つめているが，その値がその桁まで有効かどうかを考えたことがあるかといえばはなはだ疑問だ。しかしそのような意見を耳にしたことは一度もない。そうして，なぜか決まって「小数第 1 位まで」算出したデータがいつまでも作られ続ける。
図 1 ビュッフォンの針

2 本校での実践
以下，本校の情報の授業における統計の扱いについて説明する。

やってみると，4 回や 5 回くらいの誤差が出ること2.1 値のばらつきも珍しくない。しかし 600 回，6000 回，60000 回

2.1.1 ビュッフォンの針

やってみると，その相対的誤差はだんだん小さくなっていく（図 2）。これは期待値だけでは説明でビュッフォンの針というのはきないことだ。そこでその値のばらつきを評価する
等間隔に平行線をひき，その間隔の半分の長さためのシミュレーションを行なう。の針を無作為に落としたとき，針が平行線と共有点を持つ確率はどれだけか。という問題である。もちろん積分によってその確率を求めることはできるが，せっかくパソコンがあるのだからモンテカルロ法によって近似値を求めることにする。
実習では，PEN*3 用のプログラムを生徒に配布(a) 60 回(b) 600 回(c) 6000 回(d) 60000 回し，実行させてその値を記録させる（図 1）。
「この図 2 サイコロを振って各目の出た回数のグラフ

値の逆数は君たちがよく知ってる値なんだが. . . 結
果には誤差があるから数回やってその真ん中くらいの値を見てごらん」と言って予想させると，何人か

2.1.3 円周率を求めるが「ひょっとして π ？」と口にする。これで答えに正方形の的に一辺を半径とする 1/4 円の当たりたどり着いて一件落着なのだが，1000 本も針を落を作っておき，ランダムに点をばらまく。当たりのとして計算した割には誤差が大きいことを強調し確率は π/4 であるから，当たりの点の数を総数で割て，次の話につなげる。

ればおよそ π/4 = 0.785 . . . になるだろう。この方

2.1.2 期待値って？

法によって円周率の近似値が求められることを説明

正常なサイコロなら各目の出る確率は 1/6 だかして，配布した PEN 用のプログラムを実行させてら，60 回振ればそれぞれ 10 回くらいずつ出る. . . はみる（図 3）。すると中にはかなり近い値がでる生ずである。しかし表計算のマクロを使って実際に徒もいるが，けっこう誤差が大きい者もいる。この
誤差の大きさが点の個数に影響することはサイコロ*3 初学者向けのプログラミング学習環境で，Java の実行環のシミュレーションから予想されるので，それを評境があれば利用できる。

価してみる。

http://www.media.osaka-cu.ac.jp/PEN/2

2.2 正規分布
2.2.1 平均，標準偏差
統計的にデータを扱う上で重要な値として，平均と標準偏差があることを紹介する。どのような計算式で得られるかを一応見せてはおくが，それはさほど重要だとは考えていない。数学の授業なら話は別だが，我々はパソコンで即座に計算できるのだ
し，ここで重視したいのはその値が持つ意味なのだ
図3から。

円周率の近似値を求める

生徒にとって，平均は容易にイメージできるが，標準偏差はそうはいかない。
「平均との差の二乗のいちいち記録をとるのは面倒なので，表計算のマ平均のルート」といってもピンとこないし，大雑把クロで計算するプログラムを配布して実行させる。に「平均との差の平均」といってしまうと標準偏差点の数を 10，100，1000，10000 と増やしていき，そでなく平均偏差になってしまう。標準偏差だとこうれぞれ 15 回ずつ上記のシミュレーションを行なっいうことができる，というメリットについて説明して結果を表示させる。その 15 回の最大値と最小値たい。の差—これが値のバラツキとみなせるだろう—を2.2.2 正規分布
そこでいくつかの度数分布図を見せて，数が多いとって，回数との関係を考察しようということだと度数分布は「正規分布」といわれる決まった形に（図 4）。

近付くことが多いということを説明する（根拠は述べない）。そして標準偏差はそのグラフの平べったさを表すことを説明する。
しかしそれだけでは標準偏差の定量的な意味がわからない。そこで• m ± σ に 68.3% が含まれる。
• m ± 2σ に 95.4% が含まれる。
• m ± 3σ に 99.7% が含まれる。
• m ± 1.64σ に 90% が含まれる。
• m ± 1.96σ に 95% が含まれる。
• m ± 2.58σ に 99% が含まれる。

図 4 回数とバラツキの関係というように具体的な値がわかっていることを説明し，これを実際のデータ（ある年の身体測定の結果たしかに回数が増えればバラツキは減るが，反比を用いた）で検証する実習を行なう（図 5）。

例しているわけではない。よく見ると，回数が 100倍になるとバラツキがおよそ 1/10 倍になる，つまこれによって，正規分布では σ を単位にして割合りバラツキは回数のルートに反比例していることをが決まるという事実が示される。ついでに偏差値のこの表から読み取らせることができる（といっても計算式を教えて「偏差値 60 というのは m + σ ，偏差かなり強引に誘導する必要があるが）。

値 40 は m− σ だから，偏差値 40〜60 の間に全体の約 68% が含まれる。ということは残り 32% を上下

これでとりあえず一つの重要な結論が得られた。に振り分けると，偏差値 60 というのは上位 16% く次のテーマに移ろう。

3

2.3.3 検定
もう一つ踏み込めば検定の話に持ち込むこともできるのだが，実際に授業をしてみると帰無仮説といった考えや，「. . . H0 は棄却できないので，学力が等しくないとは断言できない（しかし等しいと断言するわけではない）」のような多段の否定が難し
いらしく*4 ，かえって生徒が混乱してしまったようなので 2 年目以降は推定だけを教えることにして

図 5 m ± kσ に含まれる割合いる。
正直なことをいえば，検定で結論を断じるおもしろさを味わってほしいという思いもあるのだが，丸らいの位置にいるということになる」といった説明

め誤差以外にも値がばらつく要因があるということもできる（分布が正規分布になっていることが前提を生徒が実感できれば，ある程度目標は果たしたこではあるが）。とになるのだから無理はしないでおこう。

2.3 推定3 雑感

2.3.1 母平均の推定
本当なら中心極限定理を根拠に公式を作るのだ

正直いってこの一連の話は強引なこじつけが多が，これまでに得た結果を用いて次のようにコジツく，数学屋としては抵抗がないわけではない。しかケることができる：

し生徒たちがいずれ統計的手法を使うときになればその場で改めて勉強せざるをえないのだから，正確

1 つのデータが m ± 1.96σ の範囲に含まれるさは現時点ではさほど重要ではない。それよりも推確率は 95%，つまり 95% の確率で m からの定などといった考え方のイメージや必要性をアピー値のバラツキは 1.96σ 以下になる。n 個の標本ルすることこそが必要だと考える。だからこの時点の平均をとれば m からのバラツキは（回数のでは公式や値を暗記することは要求せず，実際に計√以下になルートに反比例するのだから） 1.96σ
n算せよ，その結果を見よ，イメージせよということ√る。つまり標本平均と m の差が 1.96σ以下にnを強調している。

なる確率は 95% なのだから，m の 95% 信頼区

これが「情報」の授業でやるべき内容なのかと言√間は 標本平均 ± 1.96σである。
n

われれば疑問はなくもないが，しかし他に彼らに統公式ができたところで，いくつか計算練習をさせて計を教えるチャンスはないのが現実だ。我々の判断みる。

が正しいかどうかを云々するのはまだ先のことだと考えている。

2.3.2 母比率の推定
母比率の 95% 信頼区間 p ± 1.96qp(1−p)
まで導nくのは無理なので，これについては公式を与えて計算練習をさせることにする。
出来合いの公式を与えてしまうのはつまらないが，母比率の方が計算結果を楽しめるのだ。たとえば「1 の目が 100 回中 20 回出たサイコロの，1 の目の出る確率の 95% 信頼区間」と「. . . 10000 回中2000 回. . . 」を比較すると，2.1.2 で期待値だけでは*4 しばらくコンピュータの前を離れて計算ばかりやっていわからなかったことがわかってくる。

るので飽きてきたというところもあったような気はする。

4