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セメント原料計画における図式解法と混合整数計画法の適用
相沢健実，河野高洋，沼田孝，香月 毅
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珪酸率 SM＝SiO2／（A1203＋Fe203）

1．緒 言

鉄 率IM＝A120。／Fe203

セメントは日本でも100年以上の歴史を持つ息の長セメント鉱物組成をベースにした別の管理方式

い商品であり，当業界はこの間，いくつかの製造技術（Borgue式）［5］が，特に第二次世界大戦以降世界的面での革新や，社会／経済的な困難を乗り越えて今日にに広まった．しかし，日本のメーカーを中心に今日で至っている．そして現在，さらに2つの新たな課題にも行われている前述の成分率（HM／SM／IM）による管直面している．その1つは市場と経営の国際化であり，理は，（1）今の時代でも最終的に依拠している人間の手

今1つは，資源リサイクルや環境保護面でのセメントによる湿式化学分析の手順，（2）粘土類を混合した後に産業の貢献への期待である．本報文では，セメント工石灰石と混合粉砕するという原料工程（図1）のフロ場の原価管理上最重要課題の1つである原燃料の最適ーとその調合制御方式，の双方に合改しているという購入／使用計画に，図式解法，および，混合整数計画法

利便性の故に未だその妥当性は崩れていない．

（MIP：MixedInteger Programming）を適用した例

を軸にしながら，これら加速する企業環境変化に対し，最新の情報リテラシーも駆使しつつ俊敏に対応してい3．図式解法さて，日本のセメント業界はプラントメーカーとともに，世界中で発展途上国のセメントプラント建設にる事例を紹介する．

貢献してきている．また，セメント市場の国際化は，

2．原料化学成分管理指標

東南アジアに生産拠点を移す国内メーカーの動きを加セメントに必要な主要化学成分はCa，Si，Al，Feで速している．セメント工場の新設を検討する場合，工あり，品質の優れた（水和活性が高く強度発現性の良場近傍で手配可能な原料を調査し，セメント製造に必い）セメント鉱物を生成するためには，原料の化学成要な成分率を，この入手可能な原料で実現しうるかを分比が所定の値になっていることが必要である．日本検討する．つまり，「手持ちの銘柄だけでは無理だ」とでは明治時代に導入された当時の欧州流管理方式に従か，「この銘柄は欠かせない」とか，「この銘柄とこのい，以下のような成分率でコントロールされている銘柄はどちらか一方があれば良い」とかを簡単迅速に［2−4］．式中，例えば，水硬率の式の石灰石ヤード

右辺のCaOとは単位セメント中の乾燥機

CaOの重量を示す．この3つの成分率の3自由度で上述の4つの化学成分比を管：哩できることになる．

水硬率 HM＝CaO／（SiO2＋A1203＋Fe203）
あいざわ たけみ，かわの たかひろ，
ぬまた たかし，かつき たけし
秩父小野田珠式会社 技術部他
〒105港区西新橋2−14−1
1997年5 月号

粘土ヤード

図1 原料工程図【2】© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（39）29丁検討した際の実例を図3，4に示す．図中，BC，IR，HA結論づける道具が欲しい．

石灰石純度がよほど低くない限り，Caを除いた他のは原料銘柄名であり，銘柄間を結ぶ線は10％刻みの折3成分（Si，Al，Fe）を2つの成分率（SM，IM）で管理れ線で示してある．目標値の打点は省略させて頂いた．

すれば良いので，SM，IMを縦横軸にし，各原料銘柄工場新設の場合に限らず稼働中のプラントでも，特の成分率をその上に布置した成分マップを作ることを定粘土銘柄の枯渇を予想して，「どの銘柄で代替可能考えよう．ところが，銘柄Aと銘柄Bとの混合比率をか，また，その場合に他の現在使用中の銘柄の使用量連続に変えて得られる原料成分率の軌跡は直線にはなが増えるのか減るのか」といった粗い布陣をこのチャらない（図2左）ので図上で簡単に予測できない．別ートで一望しておくことも重要である．
混合軌跡が直線となることの証明は紙面の都合上省

途成分計算しなおすようでは図式解法のメリットは失われる．そこで，何らかの座標変換で軌跡の直線化が略するが，これと同様な関係がHMとSMと間にもありできないかと考え，IM側の座標軸のスケールをHM vs．1／（SM十1）のチャート上で混合原料成分率の1／（IM＋1）として配置し直すことで実現できることを軌跡を直線化することができる．しかし前述のように，見いだした（図2右）．こうすると，与えられた3銘柄

HMは粘土類内部の調整とは独立で制御されること

で目標SM／IM成分率が実現できるかは，このチャーが多く，NAチャートに比べ実用性は乏しいと言えよう．

ト上で3銘柄を結んだ三角形の内側に目標成分率点が4．LPによる原料計画の定式化入るかどうかで容易に判断できる．4銘柄以上の場合は凸包（convex hull）の内部に目標値があればよい．

前節では，図解により，原料の要不要を簡単迅速に気がついてしまえば単純なことではあったが，縦軸判断する工夫を述べた．しかし，原料の購入計画におにSM値を，横軸の1／（IM＋1）のポイントにIM値をいては，コストミニマムも追求しなければならない．

記入したグラフ用紙（NAチャート［6］と呼ぶ）を用

また，上述の主要成分以外に，環境，運転，品質等の意しておき，小脇にかかえて海外出張に出かけること観点から使用量が制限されるS，Cl等の化学成分もあも行われている．参考までに北米西岸にプラント建設をる．そこで，線形計画法により「混合問題」として定式化し最適化を図る試みが古くから行われてきた．
ところで，成分率は分数型であるから，

SMトナSレ

線形となり，線形計画モデルにはそのままでは乗らない．しかし，目的成分率を，4成分の合計値一定の仮定（一般にそう仮定して不都合はない）のもとで％値に変換し，これに総購入量を掛け，各成分の実含有量

図2 2銘柄混合原料成分率の軌跡がこれと等しくなるとおくことにより線形化可能である．このモデルを数式で表現すると次のようになる．
〈添字〉

z：製品種

ノ：主要成分、々：原料銘柄∽：特定成分〈変数，定数〉
00．5

1

1．52

ヱ，533．54ズ沌：原料使用量〈kton〉 4日：主要成分目標〈％〉別r㌔：購入量上限 r㌔：購入量下限くkton〉

図3 3銘柄混合の軌跡 SM vs．IMf‡：原料単価くkyen／ton〉
C々：原料銘柄別主要成分量〈％〉〟た：水分〈％〉〟々 ＝（100−〃た）／100：水分補正係数

佑m：特定成分量〈％〉VU才m：特定成分量上限 V上∫m：同下限〈％〉
00．1

0．ユ

0．3

0．4

0．50，るm】ノ（1十即）図4 3銘柄混合の軌跡 SM vs．IM／（1＋IM）
2g8（40）0．7

0．8〈目的関数〉z＝∑々（鳥∑∫ズ∠々） 一−〉 min

オペレーションズ・リサーチ© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

〈制約式〉

1）原料各銘柄の供給量上下限制約
T㌔ ≦ ∑∫ズi烏 ≦ T㌔2）主要成分目標値制約∑々∑オ（CたfX〟烏 ×ズ摘）＝Aノ×∑烏∑f（〟烏 ×ズ沌）UI3）特定成分上下限制約

U2

購入主

図5 区分線形費用関数

Ⅴ⊥f椚∑烏（〟烏，×ズf烏）≦ ∑々（lんmx〃た ×ズ抜）
≦ Ⅴ〃fm∑烏（〟烏 ×ズ沌）

5．MIPによる定式化の補強
教科書的な比較的小規模で簡単な問題に対しては，も，最小生産ロットサイズが指定されていたりする場合も珍しくない．以上を数式で表現すると，γを0／1整数，椚を購入下限，〟を購入上限として次式となる．
椚γ ≦ ズ ≦〃γ

5．2 非線形費用関数の取り扱い

この定式化は有効ではあるが，製造業における現実のいくつかの銘柄の粘土では単価が図5のように購入生産，購買環境には，多数かつ複雑な制約条件があり，量により変化し，購入量が多いほど単価が安くなる，しかもこれが企業内合理化や，製造業をとりま〈環境いわゆる，「規模の経済性」が存在する．これは商取引の変化，国際化により，より複雑化する傾向にある．

では一般的に見かける事項でもあるが，費用関数が非その一例を挙げれば以下のものがある．

線形になることを意味するから，一般的にはLPでは（1）原料の調合に当たっては粘土ヤード，混合ホッ解けない．確かに最小化問題で費用関数が凸型（単価パー数などの設備的制約により，混合使用可能な粘漸増）であれば変数域を個別の変数に分離してLPの土銘柄数の上限がある．

ままで最適解を求めることがきる．ところが，このケ（2）工程の安定化や切り替え工数を少なくする目的ースのように費用関数が凹型の場合や不規則に変化すで使用銘柄の頻繁な変更は避けたい等の要望がある．

る場合は一般に定式化が困難であり，整数変数を導入（3）商取引の一般として，購入する以上はある数量して区分線形問題とし，次のように定式化する必要が以上を引き取らなければならない．

ある．ここで，抗は区分点，凡は切片，勤は0／1変数で（4）原料の購入単価に非線形性がありうる．いわゆある．

る「規模の経済性」が存在する．

〈目的関数〉

明らかに，これらの複雑な制約条件はをLPで定式化不可能であり，整数変数を加えた混合整数計画法

Z ＝ ∑′月ズ1＋ ∑J〟Jγ′ −一〉 min〈制約式〉（MIP：MixedInteger Programming）による定式化〟hl＝ 〟′ ＋ 且U′ 一 戸′．1U′が必要となる．このうち（3），（4）について定式化の例を示

Uト1γ1≦ ズ1≦ UJγ1

すが，同様な試みを燃料の購入計画に関してすでに報∑′γ′ ≦1，γ′＝ 〈0，1〉

告した［1］．

MIPによる定式化の補強により，いくつかのケース毎にLPモデルを立てて計算し最適解の中の最良値を見つけるといった煩雑な手順が不要となり，一気に最6．感度分析
線形計画法を中心とする数理計画法の利点は感度分析情報が最適化計算の過程で得られることである．

適解を求めることが可能となる．畢寛，What−If分析

6．1交渉価格PN（negotiation price）の算出にかける手間と時間も大幅に軽減できる．近年MIP応

原料購買担当者としては，原料計画の解を得るだけ用事例が多数報告されるようになっている所以である．

ではなく，原料購入先との価格交渉時に有用な情報が5．1最小購入ロットサイズの定式化最適化システムから得られれば非常に好都合である．

購入ロットサイズに制約が課せられる場合がある．

この種の値づけの感度分析は，LPの単純な制約式のつまり，「もし購入するとすれば用トン以上購入しなけもとでは一般的であり，そう難しい問題ではない．本ればならない．ただし，買わないこともできる．」とい間題で特徴的なのは，購入総量の下限が整数で表現さう制約である．輸送船の積載量が最低購入単位となるれており，通常のLPとは違った工夫が必要である点場合もある．購入問題に限らず，生産計画等においてにある．より詳細に関しては，燃料購買計画に関する

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（41）299

別報［1］を参照願いたい．
6．2 設備投資採算性評価
劇毒デニーf人外毒こと…一班

設備や運転上の制約で安価な原料が使用できない場合がある．このボトルネックを解消できる設備改造が提案された場合に，投資採算性の評価に該当制約式のShadow Priceおよびパラメトリック解析の結果を使うことができる．

7．ORリテラシーおよび結言
セメント生産における原料計画への線形計画法の適用の歴史が長いことはすでに述べた．計算機とLPソフトの市場での進化と重ねて概括すれば下記となる．

図6 リサイクル資源LPシステム稼働例（1）民間で初めて事務用計算機が導入され，手作りシステムでは，入出力に無関係な演算式を隠したり，のLPソフトで原料計画を解く試みが開始された．

機能別に色分けしたり，入力値のチェックを充実させ（2）メインフレーム用LPパッケージが登場る等で，工場担当者がきめ細かい原料受け入れの可否（3）ミニコン／EWS用のLPソフトが登場．PC上判断を適宜気楽に行えるように工夫した．また，条件のBasicの手作ソフトや市販ソフトも現われるが複雑な場合には本社のEWS上のシステムでMIPが不安定計算をバックアップする体制も整えた．つまり，現在（4）EWS用のソフトが進化しMatrix Generatorは（4）と（5）の併用システムということになる．

機能を持つものも現われる．一方，PC用ソフトも以上，セメント生産における原料計画のMIPによ高性能化し，当時急速に普及しつつあった表計算る定式化を例に，最新の情報リテラシーの応用に至るソフトをユーザーインターフェイスにするものもまでのLP適用の歴史を跡づけてみた．また，成分配置現われた．

図の工夫により原料銘柄の要不要を簡単迅速に評価可（5）そしてつい最近，表計算ソフトの「おまけ」に能とする図式解法の事例も報告した．計算機技術がこLP（一部MIPも可能）ソフトが付くようになっれだけ進歩した今日でも，否，それ故に，図解の役割た．

が改めて見直されているのも興味深い［7］．

セメント産業は重厚長大型の成熟産業であるが，現参考文献

在再び脚光を浴びつつある．セメント回転窯という装置と，商品が大地に固定されるという産業の特長の故に，ゼロエミッションという観点から，資源リサイクルや環境保護面での貢献を期待されている．つまり，おびただしい種類の産業廃棄物や地方公共団体の一般廃棄物を積極的に代替原料として引き受けることが求められている．セメント品質への影響，環境基準の遵守，製造原価や設備保全費の低減等を考慮しながら，［1］相沢健実，『燃料購入計画への混合整数計画の適用』

日本経営工学会誌，Vol．46，No．5，pp．460−466，1995［2］セメント協会編，『セメントの常識』1992［3］永井彰一郎，『セメント概論』，丸善出版，1930［4］森茂二郎編，『新しいセメントとコンクリート』，建設綜合資料社，1975［5］R．H．Bogue，『The Chemistry of Portland
Cement』，Reinhold Publishing Corp．，1955

これら多品種少量の原燃料の使用の検討は工場担当者［6］特許出願中の大きな負荷になりつつあった．この機を捕え，LP／［7］特集『ORの図解』，オペレーションズ・リサーチ，MIP・のこれまでの蓄積をもとに，上記（5）を用いた「リVol．32，No．6，1987

サイクル資源LPシステム」（図6）を稼働させた．本オペレーションズ・リサーチ

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