❺令和２年度科学技術人材育成重点枠実施報告（要約）① 研究開発のテーマ
数学的思考力を基盤に多領域に応答する人材の育成② 研究開発の概要
数学的思考力を基盤に多領域に応答する人材の育成を目的としている。多くの情報を集め、それらの情報から必要とする情報を引き出し処理することを通して、社会とのつながりの中で数学を活用する能力を育成することが目標である。具体的には２つの人材、①Leading型科学技術人材（現象と原因の関係やそのメカニズムについて、幅広く収集した情報を処理し、根拠や理由に基づいて自分の考えで説明し将来、日本社会を牽引することができる人材）②Top型科学技術人材（国内外の多様なス
テークホルダーと連携して、社会的課題を自ら主体に発見し、新しい価値を明確なデータに基づいて創造することができ、世界の中で将来活躍できる人材）の育成である。育成には、４つのステージを設けて必要な資質や能力を磨くための検証を行う。
③ 令和２年度実施規模
全国SSH校と東海地区非SSH校の生徒を対象として実施する。
④ 研究開発内容○具体的な研究事項・活動内容
・0ステージ
研究事項
Leading型、Top型科学技術人材を育成するために必要な資質・能力を判定するために実施した。
選考に通過した生徒には、2nd・3rdステージ参加への意欲と更なる学びへの意識づけを行なうことが期待される。
活動内容
全国の高校生に対してLeading型科学技術人材・Top型科学技術人材への登龍門として、３月上旬に全国のSSH校ならびに東海地区の非SSH校に応募要領と公募問題「三角形の面積を２等分する
線分について、２個の自然数の最大公約数が１になる確率について」を発送した。応募された解答を６人の審査員で評価を行い、1stステージ進出校を決定する。
・1stステージ（令和２年度は1stステージ、2ndステージを同時実施）
研究事項
書類選考を通過した全国の高校生を対象に、事象を数学的に捉え汎用的な見方・考え方がさらにできるようにファシリテートする。また、課題を主体的・協同的に解決する力を育成する。
2ndステージで行うFW（フィールドワーク）を通して、効果的に調査・研究を行う基礎力育成が期待される。
活動内容
書類選考を通過した全国の高校生（12校49名）を対象に、オンライン上で４名の教員が全日程３日間の２日間で約２時間ずつ、レクチャーを行った。内容は社会生活と数学の関わりに焦点を当てた。レクチャーの課題をグループごとや個人で解くことで課題を主体的・協同的に解決する力を育成する。講座の受講ごとに行う課題レポート集計をおこない点数化した。
・2ndステージ（令和２年度は1stステージ、2ndステージを同時実施）
研究事項
FWでは、事象を数学的に捉え汎用的な見方・考え方を実践的に育成する。情報収集や調査で得た多くの情報を分析し、エビデンスに基いた発表力を育成する。集めた情報から自分が必要とする
情報を引き出し処理する能力を育成することが目標である。また商店街を拠点にFWを行うため、
─ 97 ─

商店街の理事のレクチャーをオンライン上で行う。また、数学が実生活との関わり、学校での学問が社会とのつながりや、実社会との影響を考える。
活動内容
地元の商店街などのエリアで数学の視点から商店街や建物を観察する。数学の視点からまとめて
オンライン上で審査員に対して発表を行った。
・自己成長ステージ
研究事項
3rdステージに向けて、英語で数学の授業を受講し英語力を向上させる。英語での数学的専門用語の修得が期待される。また今後の教育で期待されている遠隔教育に対する実践例の提供をおこなう。個人のライフスタイルにあわせた新しい教育の試行を試みた。
活動内容
2ndステージ（夏期休業中）から3rdステージ（年度末休業中）の間で、インターネットを活用した双方型遠隔教育の試行的実施する。名古屋大学G30プログラムで実施しているインターネットを使って配信されている補充教材を利用する。ビデオチャットの機能を使って質疑応答、参加者どうしの議論、補足事項等の発信を行う。
・3rdステージ（平成元年度は中止、平成２年度はオンライン上での実施予定）
自ら主体的に課題を発見し、新しい価値を明確なデータに基づいて創造することができ、将来世界の中で活躍することができる人材を育成する。海外の大学生と協同し、自分の持つ社会的背景とは異なる状況の下でも多くの情報を収集し、必要な情報を的確に処理する能力を育成する。成果を英語で発表し、情報交換を行なうことで国際性を育成することが期待される。
活動内容
3rdステージに進出した４校が名古屋に集まる。米国ノースカロライナ州 North Carolina Schoolof Science and Math（NCSSM）の学生と地元商店街にて、アンケート調査や聞取り調査等により多くのデータを収集し分析。分析した結果についてエビデンスを示しながら英語で発表する。
⑤ 研究開発の成果と課題○実施による成果とその評価
・０ステージでの応募数は緊急事態宣言中にもかかわらず、全国から18校、22団体（一団体は約４名
約80名近く）であった。
・1stステージでは４名の教員により、グループごとでの評価や個人での評価をそれぞれ行った。
オンライン上での解答のファイルのやりとりはあまり問題なく進めることができた。
・2ndステージではそれぞれの地元でフィールドワークをおこなった。オンライン上でのポスターの提出は問題なく進めることができた。
○実施上の課題と今後の取組
・０ステージでの解答は複数の解法の分析と、各解法と他の解法の共通性を中心に評価を行った。
・1stステージは３名の教員による評価方法が個人評価と団体評価の２通りで評価を行った。
・2ndステージはオンライン上での発表となった。
・自己成長ステージはコロナ禍でのオンラインの急速な整備のため、問題なく利用ができた。
・3rdステージ（令和２年度）は、コロナウイルス感染対策のため、米国には渡米しない。４校６団
体で集合し、オンライン上で取り組みを発表する。
⑥ 新型コロナウイルス感染拡大の影響
・０ステージの解答の回収は郵送による回収とメールによる回収と両方行った
・1st 2ndステージはZoomのブレイクアウト機能を用いたオンラインによる取り組みを行った
・3rdステージのアメリカの渡米は前年に続き行わず、今年度はオンラインでの実施となった（文責─ 98 ─渡辺武志）

❻令和２年度科学技術人材育成重点枠の成果と課題① 研究開発の成果○これまでの取り組みを通じた成果
・地域や他の学校への波及効果
０ステージで全国のSSH校ならびに東海地区の非SSH校に応募要領と公募問題「三角形の面積を２等分する線分について、２個の自然数の最大公約数が１になる確率について」という２問の問題を発送した。この問題の探究に、全国から18校、22団体（一団体は約４名 約「90名」）の応募があった。審査では、愛知、三重の県立高校の数学教員、名古屋大学多元数理科学研究科教員、研究員が審査員を行い、活発な意見交換をおこなうことができた。
2ndステージでは平成30年度にフィールドワークで、行ったポスター発表を１つ選び、多元数理研究科、院生からの解説を行った。フィールドワーク前の講義として、生徒にさまざまな事例を与えることができた。
・学校の変容昨年からの学校全体の研究体制にSSH重点枠グループが1st、2ndステージで全面的な支援を受けた。コロナ禍のなか、０ステージは解答の送付でメールによる添付、1st stageではオンライン上での講義はZoom機能を利用した。また、ブレイクアウト機能を用いたグループごとの相談の確立をした。また、解答のメール添付による、即日回収を行った。また、ファイルを利用して教員の採点・評価、2ndステージでもメールを用いた添付ファイルの提出、採点など、オンライン上でも解答、採点、評価についてスムーズにおこなうことができた。
・教員の変容オンラインによる講義ができるように、PCにオンラインソフトを入力したり、60名を超える参加グループに対するソフトの設定など、ネットワーク機能を用いた設定を教員主導により、構築することができた。
・大学の変容講義をいただく教員に対してオンライン上での講義をお願いした。先生によっては、
1st stageでは、使い慣れた先生や初めて取り組む教員もいた。概ねPower Pointによる講義がほとんどであった。
解答も添付ファイルで寄せられた回答について、ほとんどの回答で問題なく採点することができた。
・大学の資源の活用
名古屋大学では情報基盤センターのサービス NUWNETを利用して、ネットワークを使用している。通信環境が整備されており、1st 2ndステージでは一度もネットワークが切れることがなかった。
自己成長ステージでのビデオチャットの題材は、昨年に引き続き名古屋大学G30プログラムの学生に対する補充教材（コンテンツ）を使用した。コンテンツ制作者の石田教授から快諾いただき、使用した。生徒たちのコンテンツの利用の際にも石田教授や多元数理研究科の研究員に参加いただき、英語での発表に対するアドバイスを行った。なお、今年度はコロナ禍のもと、指導する教員もZoomでの参加で進行している。また、G30学生にも協力をいただき、高校生との交流を通じてオンラインで行い、アメリカの現地とのオンラインとの一助とする。
・地域の協力と生徒の活動
2ndステージでは、それぞれの地域において、商店街などでフィールドワークを行うために、地域との協力が必要となる。商店街との協力については、今年度も地元の城山商店街組合の理事長にお願いをし、快諾いただいた。また、商店街の理事からフィールドワーク前に講義として、実施する地域の地理的、歴史的な講義を行った。今年度はオンラインによる発表であった。提出も添付ファ
イルによる提出であったが、４人の教員による評価は、適切に評価することができた。短い時間内にフィールドワークでみつけた数学の内容が記述できた。
─ 99 ─

② 研究開発の課題
・研究開発の課題
・０ステージ
公募問題づくりが大変むつかしい。今年度は２題の出題であった。１題は協同的探究学習に関する題材で、平易な素材を利用し協同的探究学習に関する題材は複数解の解法に関する分析、それぞれの解答記述の良さ、また、それぞれの解法の共通部分などから採点をおこなった。もう１題は互
いに素な自然数となる確率の問題で、平易な素材ではあるが、解答にはPCによる計算や素因数分解の一意性などを利用した解答が見られた。高校生の知識で深く探究した問題を高く評価した。候補にならなかった学校に対してのフォローは、採点の様子を文章にまとめ、各校に送付した。３年間の作問で探究的な問題作りは、教育課程の中で作る作問、枠にとらわれない作問の２種類を作成した。それぞれの長所、短所の分析が課題である。
・1stステージ
コロナ禍でオンラインによるレクチャーとなった。Zoomを利用し４人の教員によるレクチャーに選抜された16団体が参加した。レクチャー後の課題はグループごとによる解答のため、ブレイク
アウト機能を利用するなど、対面型の講義と遜色ない授業形態にするようつとめた。解答は時間内にPDF形式で送信をお願いするなど、オンライン上での解答方法が課題である。
・2ndステージオンライン上での発表となった。主催校に集合した開催ではなかった。Zoomのブレイクアウト
機能を利用することによって問題なく、発表がおこなわれた。審査についても問題なく終了することができた。最終年度は発表までの期限が２週間と長かったため、深みのあるポスター発表となった。
開催地での作成と学校ごとの現地で作成したポスターをどのように評価するかが課題となった。
・自己成長ステージ
コロナ禍のオンライン環境の整備により、参加校のネットワークの事前整備は不要であった。ビデオチャットの整備をハード面（広角撮影、集音マイク、タブレット PC）ソフト面（英和辞典、
科学英語の書き方のプレゼンテーション）などの配布をおこなった。
各学校のビデオチャットによる数学英語の解説は一人ずつ、大学教員、研究員によるアドバイスをおこなった。米国の生徒とディスカッションをしながら生徒たちと作品をつくることになるため、事前にフィールドワークでおこなった内容を英語化することで準備をおこなった。また、3rdステー
ジに向けた準備として名古屋大学G30プログラムの学生によるアドバイス等も行った。3rdステージに自己成長ステージの準備が活かされるかが課題である。
・3rdステージ
コロナ禍において、米国訪問は最終年度も不可能となった。最終年度は最終ステージに進出した６団体が名古屋に一同に集合し、ノースカロライナ州立大学の学生とフィールドワークでおこなった内容を基に、オンライン上で議論ができるかが課題となる。
（文責

─ 100 ─渡辺武志）

❼ 科学技術人材育成重点枠実施報告書①研究開発テーマ 「数学的思考力を基盤に多領域に応答する人材の育成」について
０ステージでは1stステージで行うLeading型、Top型科学技術人材の発掘するため、公募問題を通じて行った。４月上旬に全国のSSH校と愛知県内の公立高校に封書で送付した。全国から18校、22団体（一団体は約４名 約90名）の応募があった。７人の教員により解答の精読を行った。すべての学校が丁寧に複数解答や、深い思考にもとずく解答であった。
複数の解答内容をさらに吟味し、1stステージ進出団体を決定した。最終年度は２題出題した。深
い思考力が必要な問題にもかかわらず、意欲があり、深い概念の理解を持つ団体の生徒の発掘につながった。
1stステージは、Leading型、Top型科学技術人材を育成するために必要な資質・能力を判定するために実施した。今年度の1stステージは、コロナ禍の影響でオンラインでの実施となった。この間の選抜は行わなかった。全行程は1stステージ２日間、2ndステージ１日であった。16校が選抜された。
４名の教員が２日間にかけて、約２時間ずつレクチャーを行った。レクチャーに関する問題の回
収はメールと郵送の両方でおこなった。採点はレクチャーを行った個々の教員により行われた。
2ndステージは、Leading型科学技術人材の資質の育成のため、数学の課題に取り組んだ。地元の高校近くにある、地域の商店街や建物などを利用して、数学の視点から調査（フィールドワーク）
をおこなった。まとめた内容をオンライン上で発表をおこない、４人の審査員が分析評価をおこなった。1stステージ、2ndステージの別日程の実施であったたが、２つのステージの採点合計により3rd
ステージ校を決定した。
日本数学コンクールは延期となり、団体戦は中止となったため、評価はできなかった。
自己成長ステージは、現地の学生や生徒を英語で数学の発表準備が円滑に行えるように、国内環境を整える。内容が説明できるよう、英語で数学の授業を受講し英語力を向上させる。3rdステー
ジで、オンライン上でアメリカの現地の生徒や学生と現地でフィールドワークを行い、準備として
数学英語に慣れるため2ndステージと3rdステージの間約半年間８回行う。遠隔教育を利用してビデ
オチャットで４校一同に会しておこない、名古屋大学

G30

プログラムの教材を利用して、数学

英語の習得の方法とビデオチャットの実用性を検証する。この教材を利用して本校に集まらないで
ビデオチャットを用いて数学英語に慣れていき、最終的には英語でグループワークができるようになることが目的である。
3rdステージでは自ら主体的に課題を発見し、新しい価値を明確なデータに基づいて創造することができ、将来世界の中で活躍することができるTop型科学技術人材を育成する。
オンライン上で海外の生徒や学生と協同し、自分の持つ社会的背景とは異なる状況の下でも多くの情報を収集し、必要な情報を的確に処理する能力を育成する。また成果を英語で発表し、情報交換を行なうことで国際性を育成できることが目的である。

② 「研究開発の経緯」
３つのステージでは、人材の発掘に向けて選考を行う。それぞれのステージでの研究事項に合わ
せて、問題の設定方法、選抜方法、連絡方法について研究開発をおこなった。
０ステージ
３年間の作問で探究的な問題作りは、教育課程の中で作る作問、枠にとらわれない作問の２種類を作成した経験を活かし、２問作成した。最終年度の問題は「三角形の面積を２等分する線分につ─ 101 ─いて」「２個の自然数の最大公約数が１になる確率について」であった。問題方法の設定の違いか
らどのような解答となるのか採点により評価を与えた。
選抜されなかった団体については、選抜方針と解答を送付した。
1stステージ
Leading型、Top型科学技術人材を育成するために必要な資質・能力を判定する。
選抜された団体をオンライン上で一同に集合することで連帯感や意欲を高めるようオンライン上のソフトを利用して工夫した。複数の教員による講義だけでなく、レクチャー問題を団体もしくは個人で解答し、時間内での解答を期すため、メールによる送付と後日郵送で相合した。講義をした
教員の採点による方法で選抜をおこなった。
2ndステージ
事象を数学的に捉え汎用的な見方・考え方ができるようなLeading型人材を育成する。コロナ禍
のため、地元の商店街や建物でのフィールドワーク（F.W）を通して実践的に育成すること、日本
数学コンクール団体戦に参加をすることで深めることとした（平成２年度は団体戦中止のため実施せず）。なお、選抜については、1. の取り組みはオンライン上での発表を用いて４人の大学教員による評価を行うこととした。全員に 1. で取り組んだポスター発表のコメントを参加校に送付した。
自己成長ステージ
このステージでは選抜は行わないが、４校がネット環境を利用したビデオチャットを利用することで数学英語になれるための練習をおこなった。今年度は、数学英語の練習を行う際にも、大学教員や大学院生からのアドバイスも行った。フィールドワークの内容の英語化の際は大学教員やSSH校出身者の大学院生によるアドバイス（評価）から発表やディスカッションの大切さを伝えることとした。
3rdステージ
このステージでは選抜は行わない。日本の学生の海外の発表では、発表は上手であるが質疑応答が苦手な傾向がある。このステージでは出場団体が名古屋に集結しオンライン上で大きな大会場での発表ではなく、アメリカの生徒、学生との交流や、2ndステージと自己成長ステージでまとめた内容をたたき台として、発表を通じて現地の学生、生徒との活発な交流をすることが目的となる。

③ 「研究開発の内容」
０ステージ
a 仮説
1stステージで行うLeading型、Top型科学技術人材の発掘を公募問題から行う
b 研究内容全国の高校生に、公募問題を送付する。応募した団体の数の調査と、公募問題の解答を複数の審査員によって分析する。1stステージへの進出校の基準を決定する。
１．方法
２月上旬に全国のSSH校と愛知県内の公立高校に封書で送付した。
st

nd

（資料）

応募資格は、1 ステージから本校などで実施すること、2 ステージは日本数学コンクール・
団体戦に出場すること、3rdステージは３月初旬に行われることを考慮した。
─ 102 ─

次のステージへの進出は選抜となるため、問題を提示しその内容について審査をおこなった。1st
ステージの公募問題は、教育課程の中で作る作問、枠にとらわれない作問の２種類を作成した。
審査は、複数の高校教員、大学教員による解答の分析を行った。分析方法は全ての学校の解答を審査し、全員での協議の結果、1stステージの進出校を決定した。
参加校は次の学校であった。
愛知県立瑞陵高等学校

兵庫県立神戸高等学校

筑波大学附属駒場高等学校

金沢大学附属高等学校

岐阜県立斐太高等学校

三重県立四日市高等学校

清真学園高等学校

長野県諏訪清陵高等学校 三重県立津高等学校

多治見西高等学校

福島県立福島高等学校

山梨県立韮崎高等学校

岡山県立岡山一宮高等学校 横浜市立横浜サイエンスフロンティア高等学校
愛知県立旭丘高等学校

群馬県立高崎高等学校

宮城県立仙台第三高等学校

名古屋大学教育学部附属中・高等学校
２．手段
応募資格は次のようであった。
◎ 高校１年生、２年生で１校３〜４名を１グループとする。
（各ステージの参加には教員１名の引率が必要）◎ 2019年度に3rdステージまで進出した生徒は応募ができない。
◎ 学校から応募できる団体数は３団体までである。
◎ 2ndステージに進出した場合は微積分を利用することがある。
◎

2ndステージは生徒・引率教員ともに全員宿泊（近隣の学校は２泊３日＋１日通学、遠方の学校は３泊４日 必要に応じ前後泊）となる。（その後オンライン上での実施）◎

3rdステージに進出した場合は英語が得意であることが望ましい。また微積分を利用することがある。

◎ 3rdステージ（海外研修）は一部実費負担となる。
本校SSH負担：国内交通費、渡航費、現地交通費、海外旅行保険等
生徒負担：生徒宿泊費（４万〜５万）、
飲食費、
パスポート・査証（ESTA）申請費用

チッ

プ、wiﬁレンタル等※上記の要件を踏まえ、各ステージでは貴校から本校までの交通費と宿泊費は本校SSH（重点枠）
より負担する。（1stステージにおいては、近隣の学校は日帰りとなるため交通費のみ本校負担となります。）
公募問題は、次のようであった。
問題１①三角形の面積について，直線（線分）を利用して二等分する方法はどのような方法が考えられるでしょうか。数式を用いて説明してください。
いくつかの解法が考えられますが，その中でアピールできるものを３つ以内で提示してください。

②

三角形の面積を二等分する線分について，その中点が動いてできる図形はどのような図形になるでしょうか。斜辺の長さが √２ の直角二等辺三角形に注目し，数式を用いて説明して
ください。

問題２
①

２個の自然数 n̲１ と n̲２ の最大公約数が１になる確率はどれくらいでしょうか。必要ならばコンピュータを用いてよいですが，考える過程を必ずかいてください。

②①について，求めた確率の考察や，一般化など，発展させて考えてみましょう。
─ 103 ─注）プログラミングを利用して考えた場合はソースファイルを応募要項にあるメールアドレ
スにお送りください。

（資料）

1stステージa 仮説
Leading型、Top型科学技術人材を育成するために必要な資質・能力を判定するために実施する。選考に通過した生徒には、2nd・3rdステージ参加への意欲と更なる学びへの意識づけを行なうことが期待される。
b 研究内容1stステージに進出した学校が、オンライン上で名古屋大学教育学部附属中・高等学校をホストとしておこなう。２日にかけて４名の教員がそれぞれの観点からレクチャーを行う。レクチャーの課題をグループごとや個人で解くことにより、生徒の取り組みの様子をそれぞれの教員が検討し、数値化する。2ndステージでは、それぞれの学校の地域でフィールドワークを行い、テーマ
に関して４名の大学教員が評価を行う。２つのステージから進出する団体を決定する。２つのステージから、Leading型科学技術人材・Top型科学技術人材の発掘ができたかを検証する。
１．方法
1stステージ（2ndステージ）は14団体が進出した。
愛知県立瑞陵高等学校

兵庫県立神戸高等学校

筑波大学附属駒場高等学校１

金沢大学附属高等学校

岐阜県立斐太高等学校

三重県立四日市高等学校

清真学園高等学校

筑波大学附属駒場高等学校２長野県諏訪清陵高等学校

三重県立津高等学校

多治見西高等学校

福島県立福島高等学校

名古屋大学教育学部附属中高等学校１

名古屋大学教育学部附属中高等学校２

８月１日（土）から８月２日（火）にかけて63名の生徒がオンライン上で集合した。４名の教員が１日間、約２時間ずつ、レクチャーを行った。レクチャーに関する問題の採点はレクチャーの行った個々の教員により行われた。採点により、3rdステージ進出校を決定する。
２．手段
４人の教員による、レクチャーが行われた。
名古屋大学情報学研究科 教授

柳浦 睦憲（講義）

三重県立 津高等学校

教諭

奥田 真吾（講義）名古屋大学工学研究科教授

田地 宏一（講義 選考）

名古屋大学

多元数理研究科

日本学術振興会特別研究員PD

武田

渉（講義

選考）

一同にオンラインで集合する。それぞれ学校（グループ）ごとに集まって、全日程の２日間、４名の先生が、それぞれ約２時間ずつレクチャーを行った。グループごとにグループ名を付けた。
４人の教員は最初の１時間20分で授業内容が展開される。残りの30分前後で、グループごと、または個人でレクチャーに関する問題に取り組んだ。
３．検証
４人の教員が作成したレクチャーに関する問題をもとに検証をおこなった。
採点にあたっては、400点満点として、４人の教員が100点ず
つの持ち点で採点をおこなった。採点にあたっては、４人の教─ 104 ─

員から採点方法に関してグループで問題に取り組んで採点を行う方法をおこなった。
コロナ禍のもと、オンライン上で行ったため、解答と採点に関して、オンライン上でどのように行えばよいかを検討した。Zoomによる講義配信、課題の解答時間はブレイクアウト機能を利用した各団体による相談が行えるようにした。また、解答は速報性を求めたため、レクチャー当日にメールによる回収をおこなった。また、信頼性確保のため、各団体とメールによる解答の送付、解答の主幹校への送付をお願いした。
４つのレクチャーのあと、城山商店街振興組合 理事長の髙木康光さまから、その後、城山商店街振興会代表、高木理事による商店街にかんする説明が行われた。内容は、名古屋市の地形図を基に、商店街ができた歴史的経緯や、千種区、中区付近の発展についてのレクチャーであった。
フィールドワークでは、どのような視点でまとめればよいかわからないため、１年目、２年目に行ったフィールドワークの内容や、塩野直道記念 第７回「算数・数学の自由研究」などのアイデアを、名古屋大学教育学部附属中・高等学校教諭の渡辺が行った。
なお、毎年商店街から数学を見つけるが、コロナ禍と地元での実施を考慮して、商店街だけでなく、建物を観察することも含めて、数学を用いたまとめをお願いした。
課題は「夏休みの間に、各学校を中心としたエリアで数学の視点から商店街や建物を観察する。
（フィー
ルドワーク）。数学の視点からまとめる。新しい発見があった場合はその視点からもまとめる。
８月29日（土）午前にオンラインで審査員の先生の前で発表を行う。」であった。
1st stageの日程表は次のとおり
名古屋大学教育学部附属中・高等学校 SSH重点枠（1stステージ）催事進行表
会場・内容
１日（土）
９：00
９：15
９：30
10：50
11：30
12：30
13：50
14：30
14：40
16：00
16：40
２日（日）
９：00
９：10
10：30
11：10
11：20
12：20
12：30
29日（土）
８：30
９：00
９：10
12：00
13：00

各学校 Zoom 受付開始
会場校挨拶（三小田） 全体日程の説明（渡辺）レクチャー① 開始
レクチャー① の課題
レクチャー① 終了
各自昼食
レクチャー② 開始
レクチャー② の課題
レクチャー② 終了
休憩
レクチャー③ 開始
レクチャー③ の課題
レクチャー③ 終了
明日の連絡 終了
各学校 Zoom 受付開始 本日の日程の説明
レクチャー④ 開始
レクチャー④ の課題
レクチャー④ 終了
休憩
FWレクチャー開始 （次回は8月29日（土））レクチャー終了
諸連絡 Zoom 終了
受付開始、発表準備
本日の日程の説明（渡辺）ポスター発表全体会終了
─ 105 ─2ndステージ
a 仮説
1stステージを通過した全国の高校生を対象に、事象を数学的に捉え汎用的な見方・考え方を養うため、FWを通して実践的に育成する。また、情報収集や調査で得た多くの情報を分析し、エビデンスにもとづいた発表力を育成する。（今年度は1ststage参加全団体が行った。）
多くの情報を集め、集めた情報から自分が必要とする情報を引き出し処理する能力を育成できる。また実際に人々が生活する商店街を拠点にFWを行うため、数学が実生活とどのように関わっているのかを体感する。併せて地元商店街の活性化につなげる。学校での学問が社会とどのようにつながるかを理解するだけではなく、実社会にどのような影響を与えることができるかを理解できる。このことで、参加生徒が将来、日本社会を牽引するLeading型科学技術人材へと成長できることが期待される。
B 研究内容1stステージ終了後、３週間後に地域の商店街や建物を利用して、数学の視点から調査（フィールドワーク）を行う。フィールドワークで学んだことを模造紙にまとめ、内容をポスター発表でおこない、４人の審査員が分析評価をおこなう。４人の教員の採点により3rdステージ校を決定する。
１．方法
参加校は以下のとおり
愛知県立瑞陵高等学校

兵庫県立神戸高等学校

筑波大学附属駒場高等学校１

金沢大学附属高等学校

岐阜県立斐太高等学校

三重県立四日市高等学校

清真学園高等学校

筑波大学附属駒場高等学校２長野県諏訪清陵高等学校

三重県立津高等学校

多治見西高等学校

福島県立福島高等学校

名古屋大学教育学部附属中高等学校１

名古屋大学教育学部附属中高等学校２

８月初旬から下旬にかけては商店街や建物について、数学の視点からの調査例をレクチャーする。団体ごとに、現地におもむきフィールドワークを行う。調査した内容を模造紙などにまとめて、PDF化し、主幹校に送付。４人の審査員に対して、オンライン上でポスター発表を行う。
２．手段
令和２年度は2ndステージをオンライン上行った。2ndステージ

８月29日（日）

今年度はコロナ禍のもと、地域によっては３密になる可能性があったため、建物等を観察する
ことで、数学的考察ができるよう、配慮した。実際の発表内容は建物について発表をであったり、建物を利用した発表もいくつかあった。
名古屋大学教育学部附属中・高等学校 SSH重点枠（2ndステージ）催事進行表
会場・内容
29日（土）
８：30
９：00
９：10
12：00
13：00

受付開始、発表準備
本日の日程の説明（渡辺）ポスター発表全体会
終了

３．検証
ポスター発表の評価、検証については４名の大学教員
─ 106 ─

名古屋大学工学研究科教授

田地 宏一（講義 選考）名古屋大学多元数理科学研究科教授 宇澤 達 （選考）
中部大学現代教育学部教授

神保 雅一（選考）名古屋大学 多元数理研究科 日本学術振興会特別研究員PD

武田 渉（講義 選考）により、３週間で作成されたポスター発表で評価をおこなった。
評価方法は４名の教員で持ち点100点として３つの観点で採点をお願いした。
評価については、・着眼点について （数理モデルの題材の深さ）
・数学的にすぐれたものであるか（数理モデルの取り扱いを数学的にどれだけ深められたか）・地域性について （題材がどれだけFWでの観察に基づくか）点数の上位順から3rdステージの進出団体を決定した。
今年度は、オンライン上での発表はそれぞれの地元の商店街や建物、学校を題材にした取り組みが多かった。また、準備期間が３週間と長いため、数学的にも豊かですぐれた発表が多かった。
自己成長ステージ
a 仮説
3rdステージに向けて、英語で数学の授業を受講し英語力を向上させる。
英語での数学的専門用語の修得、今後の教育で期待されている遠隔教育に対する実践例の提供、個人のライフスタイルにあわせた新しい教育の試行が期待される。
b 研究内容このステージでは、3rdステージで、アメリカの高校生と現地でフィールドワークを行う。また、数学の発表を行う。内容が説明できるよう、準備として数学英語に慣れるため2ndステージと3rdステージの間約半年間８回行う。ビデオチャットで４校一同に会しておこない、名古屋大学 G30
プログラムの教材を利用して、数学英語の習得の方法とビデオチャットの実用性を検証する。この教材を利用して本校に集まらないでビデオチャット（Zoom）を用いて数学英語に慣れていき、最終的には英語でグループワークができるようになることが目的である。
１．方法
3rdステージ進出校４校
三重県立四日市高等学校

金沢大学附属高等学校

筑波大学附属駒場高等学校１

筑波大学附属駒場高等学校２

名古屋大学教育学部附属高校１

名古屋大学教育学部附属高校２で遠隔授業を行うため、８回分のビデオチャットができる日程を調整する。
８回のビデオチャットでは、名古屋大学 G30 プログラム（名古屋大学を英語による講義のみで卒業できるプログラム）のLecture Videos Pre-college Mathematics *Optional subject（ビデオ

講義ノート付き）を用いて、数学英語の習得をはかる。また、夏休みに行ったレポートをまとめ、現地で議論をする材料とする準備を行う。
２．手段
3rdステージでは、アメリカで現地の高校生と数学を用いて交流を行う。しかし、現地の高校
生と数学を通じた交流を行うためには、通常の会話だけでなく英語での数学的専門用語を使って会話をする。つまり数式を用いたコミュニケーションの練習が必要となる。日常会話は高校英語の習得が必須となるが、数学英語については慣れる必要がある。その練習と進出した学校との交流をはかるため、自己成長ステージが位置づけられている。
─ 107 ─

翌年の３月に数学を通じた交流をおこなうために、アメリカに向かうまでの半年間は“自己成長ステージ ”として４校で以下の目的で協同活動を今年度も行った。
１．目的 自己成長ステージで英語の数学的専門用語を習得する。
２．方法

英語での数学的専門用語の習得は名古屋大学 G30 プログラム（名古屋大学を英語による講義のみで卒業できるプログラム）のLecture Videos Pre-college Mathematics*Optional subject（ビデオ

講義ノート付き）http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=en&mode=c&id=516&page̲type=indexを用いる。この教材は海外の留学生で数学Ⅲの授業が未履修である学生に対する補充教材である。
（１）９月から10月初旬
日程を調整する。
今年度は、その学校もコロナ禍でICT環境が急速に整備されていたため、学校訪問による設定
は行わなかった。また、昨年度は各学校単位でのレクチャーであったが、学校休業日の実施日が半分近く設定した。このため、自宅からでもオンラインで講義に参加できるよう、タブレット
PCなど、手配を行った。
（２）10月中旬から２月
１ヶ月に２度の割合で４校（担当は２校）がビデオチャットを通じて16時から17時30分まで協同学習を行う。また、参加者全員が数学英語で話す経験をしたあと、2ndステージで発表した題
材をたたき台として、英語化し現地の学生や教員と協同で作品を作る題材とする。
・個々の学校での事前準備①

Lecture Videos （Pre-college Mathematics *Optional subject）を教材として、ダウンロー
ド可能なテキストを用いて授業内容を動画で学ぶ。
テキストはこちらで選択し、学習期日を伝える。

①−１

動画は名古屋大学映像サーバーシステムを利用する。

①−２

まずは個々の学校で生徒は動画を見て、お互いにⅠ

英語で話された内容を理解する。

Ⅱ

最初は日本語で双方向で解説する。

Ⅲ

英語で解説する。

ことをグループ同士で行う。
・レクチャーの内容②

Zoomを利用して各学校をリアルタイムでつなぐ。講義の内容を英語で話すことで評価し、研究員と教員から以下のアドバイスを受ける。
Ⅰ

英語で話された内容を理解する。

Ⅱ

最初は日本語で双方向で解説する。

Ⅲ

英語で解説する。

Ⅳ

大学院生や教員などからのアドバイスを受ける

Ⅳの大学院生と教員は名古屋大学G30プログラム
名古屋大学

教授

多元数理研究科

石田幸男

日本学術振興会特別研究員PDが担当している。
③

補足事項の発信を行う。

（④ ②の様子を動画でキャプチャーした。）

─ 108 ─

武田

渉

３．検証
・数学英語での発表について
今年度はコロナ禍のため、アメリカでの発表はなくなった。
代わりに、３月にオンラインで、現地の学生と夏休みに発表した題材を用いて議論をすることになった。
今年度は名古屋大学教育学部附属高等学校を拠点校として、司会進行をおこなった。
Lecture Videosのテキストを中心に数学英語を話すことを練習した。はじめは数学英語に話すことに時間がかかっていたが、普段から変数は英語で使用するため、指数や数値などの数学英語の特徴に慣れてゆき、テキストを用いて説明することができるようになってきた。今年度は６団体の進出であった。このため、全員が必ず１回は10分以上の数学英語の発表を行った。
Lecture Videosについては、制作者でもある、名古屋大学G30プログラム

教授

石田

幸男

氏と名古屋大学多元数理科学研究科 研究員、武田 渉氏に１回目から参加し、各校の数学英語での解説からアドバイスをいただいた。アドバイスでは、教材を見ながらのみの解説ではなく、事前にしっかり内容を覚えて話すことが、科学英語の早い習得に繋がることを４校に伝えていた。
今年度はアメリカの学生とオンライン上で作品作りを行う。日程が短いため、夏休みに作成したフィールドワークのレポートを英語に直して現地で交流をするための資料とした。
また、オンラインでアメリカの現地の生徒といきなり発表を行うことは、難しいとの指摘を受けて、今年度は名古屋大学G30プログラムの大学生、院生を２回及びし、現地の学生との交流を前に英語をたくさん話す練習をおこなう。
・ネットワーク環境の整備について
今年度はコロナ禍のもと、参加校のwiﬁ整備が急速に進んだ。しかし、参加地域によっては、学校が分散登校になっていることもあり、生徒全員に一人１台、タブレット PC等を貸与した。
また、生徒ご自宅からの配信も可能となるように、自己成長ステージの半分を土曜日に実施することとした。
コロナ禍において、学校やご家庭が急速にオンライン化に対応するようになってきている。
・コロナ禍における自己成長ステージについて
令和２年度は3rd stageは現地でなく、アメリカの現地の学生とのオンライン交流となった。当初、自己成長ステージは数学英語の学習のみの予定で、アメリカ渡航の際のさまざまな交流を基にしていたため、名古屋大学国際機構の石田教授から、つぎの指摘を受けた。
（1）入国から英語に触れる機会が多く、現地の生徒、学生と会うまでに練習ができるが、オンライン上ではいきなり話し合いを持つため生徒の理解が厳しいこと。
（2）アメリカの現地の英語のスピードはかなり速いため、オンライン上での会話には練習が必要であること
そこで、石田先生から名古屋大学で４年間英語のみの講義で卒業ができるプログラム G30に所属する学生にお願いをすることになった。
８回の自己成長ステージのうち、最後の２回について、次の表にあるように、６名の留学生が２つのグループ、３名ずつに分かれて英語の発表資料だけでなく、気軽に会話ができる環境作り、をZoomのブレイクアウト機能を利用することでおこなった。発表だけでなく、質問や気軽な会話等で3rdステージのハードルが低くなるよう、環境整備に努めた。

─ 109 ─

Zoom meeting プログラム
29日
（金）
15:30

武田先生
Zoom オープンhttps://us02web.zoom.us/j/86740284122?pwd=bjVuUFcvcW 石田先生
TA６名
5YV2c zZXE4UmNiUmUxdz09
ミーティングID: 867 4028 4122
パスコード: MQ40eq

15:45

Zoom meeting 開始【石田（英語）】TAに本日行う以下の内容を説明する。
・本日はSSH（スーパーサイエンスハイスクール重点枠）の企画で参加をしている高校生6グループと英語によるグループセッションです。
・3月にアメリカの学生と数学の内容の作品で対談するための準備です。
・16時にみなさんは高校生に自己紹介をしていただきます。
（お名前、所属、趣味を準備してください）

15:50

高校生Zoomに参加
武田先生
石田先生
16:00 【石田】
TA６名
・高校生の皆さん，こんにちは．本日はSSH（スーパーサイエンスハイス
高校生全員
クール重点枠）の企画で参加をしている高校生6グループが3月 にア
メリカの学生と数学の内容の作品で対談するための準備です。今日は，名古屋大学の国際プログラムで学んでいる留学生に皆さんの発表を聞いていただくために参加していただいています．留学生の皆さんから，発表にたいするコメントをしていただく予定です．難しい質問はでません
ので，気楽に会話を楽しんでください．
・最初にTAの学生さんに自己紹介をしていただきます。２月５日にも参加していただきます．では，TAの皆さん，お願いします。

16:08 【石田】発表は２つのグループに分けて行います．いまから，高校生とTAを分けますので分かれてください．
〈ルームA〉は武田先生，TAのHa Tu Buiさん（F）、shehab faddaさん，Quang Nguyenさん，名大附属高校MDF，名大附属高校原点O，
金沢大学附属高校の皆さん〈ルームB〉は石田，TAのSparsh Mishraさん，Diep Minh Nguyenさん，Nguyen Hoang Hiepさん，四日市高等学校，筑波大附属駒場=うどんげ，筑波大学附属駒場＝いるかもよ の皆さんです．
それでは分かれて発表会を始めてください．
ルームA

ルームB

武田
16:15 〈名大附属高校MDF〉発表
TA（1）
Ha Tu Bui
【武田】・名大附属高校MDFの発表をお願いします．
TA（2）shehab fadda
・それでは，生徒自己紹介（名前・学年・趣味）お願いします。
TA（3）
Quang Nguyen【生徒】生徒が自己紹介
名大附属=MDF【武田】・では、いまから英語の発表を行います。
・まずはどんな内容か，私から簡単に説明いたします．
（概要の説明1分）名大附属=原点O
金沢大学附属・それでは名大付属MDFさん，発表をお願いします．
【生徒】発表（約10分）【武田】
・それでは，TAさんから質問をお願いします。発表内容，発表の仕方，趣味に関する質問，自己紹介も絡めた質問，なんでも結構です．
（TA→生徒）英語で質問
【TA】
【武田】
・生徒のみなさんから質問をお願いします．なんでも結構です．
16:45 〈名大附属高校
以下同様〈四日市高校〉
発表 石田
【石田】
TA
（1）
Sparsh MishraTA（2）
Diep Minh Nguyen
TA（3）
Nguyen Hoang
Hiep
四日市高=
筑波大附属駒場=うどんげ
筑波大学附属駒場＝いるかもよ

17:15 〈金沢大附属高校
以下同様原点O〉発表原点O〉発表〈筑波大付属高校
いるかもよ〉
発表

17:45 【石田】発表はこれで終わりますが，せっかくですから１０分ほど自由対談を行いたいと思います．なんでも結構ですから，生徒さんは英語の勉強だと思って留学生に自由に話しかけてください．
17:55 【石田】
・それでは以上で終了します．ありがとうございました．

５日（金） ２９日と同様（ただし，高等学校とTAなどとの組み合わせを入れ替える．
）
15:50

Zoom オープン
ルームA

ルームB

16:00 Zoom meeting開始
武田
【武田
（英語）
】
開始時間【石田（英語）】では，Zoom Meetingを始めますが，高校生はJan.29 TA（1）
Ha Tu Bui
注意 の場合と部屋を入れ替えて，発表してもらいます．
TA（2）shehab fadda
TA（3）
Quang Nguyen〈途中省略〉〈途中省略〉
四日市高=17:55 【石田】
・それでは以上で終了します．ありがとうございました．
（英語）】
筑波大附属駒場=うどんげ【武田・高校生の皆さんは，３月にアメリカの大学生とZoom Meetingを行いま 筑波大学附属駒場＝いるす．
かもよ・１月２９日と本日の経験を生かして，アメリカでも頑張ってください．

─ 110 ─石田TA
（1）Sparsh MishraTA（2）
Diep Minh Nguyen
TA（3）
Nguyen Hoang
Hiep
名大附属=MDF
名大附属=原点O
金沢大学附属3rdステージ（令和元年度は中止、令和２年度はオンラインによる実施予定）
a 仮説
自ら主体的に課題を発見し、新しい価値を明確なデータに基づいて創造することができ、将来世界の中で活躍することができるTop型科学技術人材を育成する。海外の高校生と協同し、自分の持つ社会的背景とは異なる状況の下でも多くの情報を収集し、必要な情報を的確に処理する能力を育成することができる。また成果を英語で発表し、情報交換を行なうことで国際性を育成できることが期待される。
b 研究内容このステージでは選抜は行わない。日本の学生の海外の発表では、発表は上手であるが質疑応答が苦手な傾向がある。このステージでは大きな大会場での発表ではなく、アメリカの高校生との交流や、現地でのフィールドワーク、教室などでの発表を通じて現地の学生、生徒との活発な交流をすることで、質疑応答等を通じて英会話能力を向上するための調査することが目的である。
１．方法（3rd stage）
3rdステージに進出した学校が自己成長ステージでまとめた内容を英語化したことを基礎として、３月中旬にアメリカ、ノースカロライナの学生と（現地で３日間）かけて オンライン上で数学の課題に取り組む。参加校一同が名古屋に集結する。３日間、現地の高校生と交流をはかりながら数学の視点から調査（フィールドワーク）をおこなう。現地の大学生とともにデータ分析、発表準備を行う。フィールドワークで学んだことを現地の高校生とまとめる。３日目はまとめた内容をNorth Carolina State Universityの教員に見ていただき、現地の生徒や学生とのディスカッ
ションを通じてTop型科学人材を育成するための能力向上をはかる。
２．手段
令和２年度もアメリカへの渡航は中止となった。令和２年度は日本の高校生と米国の大学生によるオンラインによる進行を予定でしている。
実施日は日本時間で３月22日（月）から24日（水）を予定している。出場団体は名古屋に集合する。2nd stageと自己成長ステージで作成したポスターをたたき台にアメリカの学生と議論を行う。ただし、時差の関係でNorth Carolina State Universityの学生との交流可能な時間は
３/22

８:00−12:00，20:00−23:00

３/23

８:00−12:00，20:00−23:00

３/24

８:00−12:00である。時間等を考慮し、実施する予定である。また、グループ同士で交流を深めることで、生徒同士の交流も深める予定である。
以下の内容は当初の計画である。North Carolina State Universityとの交流内容である。今年度も実施する。フィールドワーク等の実施方法が課題である。以下の内容は現地で行った場合の当初の内容である。
Durham Downtown
Duke大学がある米国ノースカロライナ州ダーラムを拠点に、建物や道路、街路樹等を観察し、事象を数量や図形およびそれらの関係などに着目してとらえ、そこから数学の問題を見出し、統計、数式等を活用して数学的に事象を分析してまとめる。加えて、現地の米国人へのインタビューを行いながら、日本で行った2ndステージでの調査結果と比較し、米国と日本の街づくりの構造等と比較するための材料を収集する。

─ 111 ─

North Carolina School of Science and Mathematics
Durham DowntownのFWを通して収集した調査内容を、North Carolina School of Scienceand Mathematics（NCSSM）の生徒と一緒に分析し、レポートにまとめる。その分析結果を
NCSSMの生徒や教員等に発表し、意見交換を英語でインタラクティブに実施する。その後、NCSSMの教員から発表内容や発表方法に関してのフィードバックをもらう。
North Carolina State University
名古屋大学の北米事務所であるNU-TECHと協力し、名古屋大学と学術交流を行っている数学
教育（研究）で有名なNorth Carolina State Universityで、数学科、統計学科等の大学生を対象として、現地でNCSSMの生徒と分析しまとめた内容に関してプレゼンテーションを行う。また、その内容に関して、米国の大学教員から発表内容や発表方法に関してのフィードバックをもらう。
２．検証
令和元年度は緊急事態宣言が発令されたため、直前で中止となった。そのため、検証することはできなかった。令和２年度は３月にオンラインで実施予定である。

④実施の効果とその評価について
０ステージ
最終年度は「三角形の面積を２等分する線分について」「２個の自然数の最大公約数が１になる
確率について」の２問を出題した。３年間の作問で探究的な問題作りは、教育課程の中で作る作問、枠にとらわれない作問の２種類を作成した。１年目の枠にとらわれない問題は、日頃から数学に興味があって、大学数学への取り組みに興味を持つ生徒の応募が多かった。２年目の教育課程の中で作問した問題では地域の伝統校からの応募が目立った。
３年目はその両方を出題した。今年度の応募者は１年目、２年目の特徴をもった学校がそれぞれ応募した。
評価に問題方法の設定の違いからどのような解答となるのか採点により評価を与えた。
重点枠で出された公募問題の採点をおこなった。
審査員は、名古屋大学多元数理科学研究科

教授

宇澤 達

名古屋大学 多元数理研究科 日本学術振興会特別研究員PD

武田 渉

愛知県立瑞陵高等学校

教諭

山崎

辰雄

愛知県立津島高等学校

教諭

山田

潤

三重県立津高等学校

教諭

田邉

篤

名古屋大学教育学部附属中・高等学校

教諭

渡辺

武志

審査方法：公募問題について
最初に７人の審査員で、チームを組んで学校の解答を確認する。
問題１
問題の複数解答の内容で選抜

１つ１つの解答の長所の内容で選抜

複数回答の共通性の内容で選抜

─ 112 ─

問題２
解答した答えの精度は重要視せず、解答までの課程を採点した。
無限積と無限和の等式は素因数分解の一意性や収束の確認などの確認を吟味した。
無限積で止めて考察をした解答は一定の評価をした。
多くの具体例を計算し、ある値に収束するであろうことを確認した答案も一定の評価をした。
上記の方法で16団体を選抜した。
審査後、審査で選出された学校はすみやかに連絡し、交通機関の手配を行った。（その後1stステー
ジ，2ndステージはオンラインでおこなわれた）審査で選出されなかった学校へは、解答と選出方法、基準等を知らせた。
1stステージ
今年度の1st stageはオンラインで行われた。ブレイクアウト機
能やメールを利用した方法によって、昨年と同じ方法でレク
チャーの課題に取り組み、提出、および、大学教員による採点ができた。講座を４つおこなわれた。生徒にとってこの講義は、教員がレクチャーを行って、初めて学ぶ知識を共有してから団体、
もしくは個人で１つの問題に取り組むことは、概念的理解を深めるための、協同探究の方法を学ぶ
ことがオンライン上でも確認された。
また、教員による採点が3rdステージの進出を決定するため、生徒たちの探究する力のモチベーションを維持することにつながった。
2ndステージ・フィールドワークの効果
地域の商店街や建物を調べ、８月末に発表をオンライン上でおこなった。
今年度は、オンライン上で審査員が評価を行った。
参加チームの学校と発表内容は以下の通りである。
チーム１ 福島県立福島高等学校

ハンプ オブ チキン

チーム２ 岐阜県立斐太高等学校

防犯カメラの最適な配置

チーム３ 三重県立津高等学校

点字ブロックと障害物〜格子点から考える〜

チーム４

三重県立四日市高等学校〜ピクトくんのヒミツ〜

チーム５

長野県諏訪清陵高等学校

No try No dry

チーム６

金沢大学附属高等学校

より良い雨除けの設計

チーム７

多治見西高等学校

人間の「眼」で考える商店街

チーム８

兵庫県立神戸高等学校

はっと目を引く宣伝効果

チーム９

清真学園高等学校

スタジアムグルメ計画

チーム10

筑波大学附属駒場高等学校

クラス分けに関する一考察

チーム11

筑波大学附属駒場高等学校

硬貨の種類の効率化

チーム12

愛知県立瑞陵高等学校

Mistで冷やすとBest !!

チーム13

名古屋大学教育学部附属中・高等学校

大須、道多すぎないか

チーム14

名古屋大学教育学部附属中・高等学校

広告と数式

名古屋で実施している、フィールドワークは、２日間でポスターを作成する必要があったが、st

1 stageと2nd stageの期間を３週間としたため、しっかりとまとめられたポスター発表となった。
─ 113 ─・日本数学コンクールについて
日本数学コンクールは毎年、８月に行われている名古屋大学主催の大会である。
今年度はコロナ禍のため、実施が秋以降となり、かつ団体戦が中止になったため、実施しなかった。日本数学コンクールは結果的に10月25日（日）の開催となった。個人戦のみの実施であった。
自己成長ステージ
今年度はコロナ禍のため、アメリカでの現地でのフィールドワークや発表はおこなわない。しかし、現地の学生と高校生たちが作成したポスターをもとに、議論することになった。
自己成長ステージでは、数学英語を学習するだけで、現地に向かわないため、現地の学生といきなり会話が難しい。そこで、名古屋大学石田教授の助言のもと、名古屋大学G30プログラム（英語のみの講義で４年間おこない、学士を取得するプログラム）の留学生の方々にご協力をいただき、同じ内容のポスターを利用して、２回英語によるディスカッションの時間を設けることにした。
3rdステージ
令和元年度は渡航が中止となったため実施できなかった。そのため、実施の効果と評価が検証できなかった。

⑤研究開発実施上の課題および今後の研究開発の方向・成果の普及
０ステージ
０ステージは緊急事態下であったため、メールによる応募も受け付けた。もとの原稿も送付をお願いした。概ねメールによる送付も順調であった。
また、今年度の問題は２つの問題の出題であったが、どの学校もおちついて取り組んでいる解答
している様子がうかがえた。
今年度も、意欲ある生徒たちに対して、結果への連絡方法が重要であり、1stステージに進出できなかった学校には、（資料）のような選抜の経緯をお送りして対応した。
数学に興味が強い生徒たちによる解答であるため、送られた解答を分析し、評価をまとめ発表することで、成果を普及したいと考えている。
1stステージ
オンラインでの講義後メールを利用して、当日に解答の送付をお願いし、各校から集めた。その後、郵送による解答送付も行った。すべての課題はグループで取り組んだ。団体での採点であった。
採点方法は、昨年度からひきつづき講義をお願いした講師の先生のアドバイスをもとに採点を行った。オンライン上で、Zoomによるブレイクアウト機能を利用することで、それぞれのグループでの解答を行うことができた。また、メールによる解答送付も問題なく、行うことができる。このため、オンライン上での試験も十分に可能であることがわかった。メールでの即応性と郵送での確認の２重チェックを行うことで、信頼性も確保できるため、この成果を発表できるとよいと考えている。
2ndステージ
今年度のフィールドワークはそれぞれの地元の商店街や建物を利用した制作をお願いした。コロナ禍のため、実施時期が夏休み中となったが、各学校が授業数の確保のため、フィールワークの発表（ポスター発表）は８月の下旬となった。発表原稿の送付はすべてPDF形式でお願いをした。
期限までにどの学校も問題なく、原稿が送付された。
─ 114 ─

発表はZoomによるブレイクアウト機能を利用し行われた。事前にPDFを送付したこともあり、審査員もスムーズに審査することができた。PDFの送付がその機種からも汎用性が高く、便利であることがわかった。
今年度はコロナ禍のため、日本数学コンクールは延期され、８月に実施はできなかった。
また、団体戦は今年度行わず、個人戦だけとなった。日本数学コンクールは10月25日（日）に個人戦のみの開催となった。数学好きな生徒がたくさんいたため、団体戦を切り替えて、個人戦に挑戦できるよう、機会を設けなかったことが、反省点である。他方、SSH重点枠の1stステージによるリアルタイムによる採点方法が十分に可能なことがわかり、日本数学コンクールの解答方法もメールによるリアルタイムな発送と本文の郵送と同様な方法をとることになった。さまざまなオンライ
ン上のコンテストではこの方法による採点が普及すると思われる。
自己成長ステージ
数式を英語で話すことに慣れるため、レクチャービデオの教材を利用している。このビデオ教材
は名古屋大学国際機構の石田教授が最初に作成したもので、ネイティブが話す数学英語のスピードを８割に落とすなど、工夫がされている。よい教材であり、ネット上でだれでも閲覧ができるため、たくさんの方の利用が望まれる。生徒は累乗や分数式などの数式を英語で話すことを練習する。生徒たちは事前に練習し、発表する。数式は型が決まっているため、１回で上手に数式を説明していた。今回も初回からアドバイスをいただける大学教員や大学院生をお願いして、数学英語の練習に関するアドバイスを行うことで、事前準備が充実したものとなった。
また、今年度はアメリカへ渡航しない。オンラインでの交流となる。そのため、事前準備として名古屋大学G30の留学生にお願いをし、留学生と事前に英語の練習をおこなうことで、現地の学生との会話がスムーズに行うための準備とする。この時間はすべて英語での講義となるため、綿密な準備が必要となることが普及への伴となる。
ネットワーク環境の整備はコロナ禍のため、各学校で教室のネットワーク整備が整っていたこともあり、それぞれの学校で問題なく利用することができた。
3rdステージ
令和２年度はアメリカへの渡航はなくなった。今年度は３月末に出場する６団体が名古屋に集結し、オンライン上でアメリカの現地の学生と交流を行う。コロナ禍のため、アメリカの渡航は１度のみであった。渡航時に、日本で作成したポスターをたたき台とした議論の中でわかったことは、おこなった環境と米国での環境が国土の大きさもあり、日本で設定したテーマが現地では理解されない場合があること。現地でのフィールドワークでは、現地校の生徒たちとの議論を通じて同じ内容でもテーマを再構築する場合が多かった。
日本の生徒が大学での数学英語の発表について、発表は得意であるが、質疑応答が苦手である傾向がある。今回の大学のモールでの発表は壇上での発表ではないため、敷居が低い。このため、発表は要点の部分だけの内容なった。道行く学生や教員にはわかりやすくなった。発表生徒はさまざ
まな人に繰り返し説明することで生徒たちは発表に慣れていった。特に、発表後の質問はたくさんの人が疑問に思った点が似通っていることから、解答を繰り返し英語でおこなうことになった。だんだん受け答えにも慣れてゆき、終了間際には、英語でのディスカッションの楽しさや大切さを理解していた。終了後の生徒の作文にも同様のことが書かれていた。
オンライン上で現地の状況をどこまで再現できるかが課題となる。また、日本とアメリカとの時
差が12時間あるため、共同作業のできる時間が限定される。Zoon等オンラインによるやりとり等、
実施において自己成長ステージでの経験から、綿密な計画が必要となる。
文責─ 115 ─

渡辺武志

資料１

─ 116 ─ƜǕǛᛠǜưƍǔဃࢻƷǈƳƞǜŴέဃ૾ŴࣖѪƠƯǈǇƤǜƔᲛᲢ ࠰ࡇƸƸ  ఄ  ȁȸȠ ኖ Ჳ ӸƷࣖѪƕƋǓǇƠƨŵ
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資料２

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─ 118 ─問題 2
1. 2 個の自然数 n1 と n2 の最大公約数が 1 になる確率はどれくらいでしょうか. 必要
ならばコンピュータを用いてよいですが, 考える過程を必ずかいてください.

2. 前問 1 について, 求めた確率の考察や一般化など発展させて考えてみましょう.
注）プログラミングを利用して考えた場合はソースファイルを応募要項にあるメー
ルアドレスにお送りください.

問題 2-1. の解答例
まず, n1 と n2 の最大公約数を gcd(n1 , n2 ) とおく.

解答例 1
方針は n1 ≤ m かつ n2 ≤ m という制限のもとで 2 個の自然数 n1 と n2 の最大公約数
が 1 になる確率 P (m) を求め, m を大きくすると P (m) がどのような値に近づくかを考える.
ここで, V (m) を {(n1 , n2 ) | n1 ≤ m, n2 ≤ m, gcd(n1 , n2 ) = 1} の要素の個数とする.
すると, n1 ≤ m かつ n2 ≤ m という制限のもとで (n1 , n2 ) の選び方は m2 であるため求める確率はP (m) =V (m)m2となる. 以下では, この V (m) について考える.

(n1 , n2 ) の対称性より n1 ≥ n2 として良い. ϕ(n) を n 以下の自然数で n と互いに素なものの個数とするとV (m) = 1 + 2(ϕ(2) + ϕ(3) + · · · + ϕ(m)).
より多くの ϕ(i) を計算することで確率 P (m) の挙動が確認できる. 実際に計算すると

V (100) = 6087, V (1000) = 608383, V (10000) = 60794971 ということが分かるため,
P (100) = 0.6087, P (1000) = 0.608383, P (10000) = 0.60794971 ということが分かる.
つまり, 求める確率は 0, 608 くらいとわかる.
注意 1. ϕ(i) を求めるとき以下の性質に気づくと計算が楽になる.(証明も容易)

ϕ(i) の性質. p を素数, k を自然数とする.
1. ϕ(pk ) = pk − pk−1 ,2. n, m の最大公約数が 1 ならば, ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
1─ 119 ─

解答例 2
方針は整数を小さい順に並べたとき素数 p の倍数が p 個に 1 回現れるため, 整数 n が素
数 p の倍数である確率は p1 とみなせるということを使う.

gcd(n1 , n2 ) = 1 ということはすべての素数 p に対して n1 , n2 の少なくとも一方が p の倍数でないということである. 先ほどの注意から各々の p に対してそのような確率は



1
1− 2
p

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と見なすことができる.
すべて独立であるため, すべてかけ合わせれば求めたい確率 P になる. よって確率 P は






1
1
1
1
1− 2
1− 2
1 − 2 ···
P = 1− 22357と な る.

全 て か け 算 す る こ と は 難 し い が, p が 大 き く な る と 1 − p12 は 急 激 に

1 に 近 づ く た め か け 算 で は 無 視 で き る と 予 想 で き る.

p = 97 ま で 計 算 す る と

0.6090337253995166, p = 997 まで計算すると 0.6080043073061253, p = 9973 まで計算
すると 0.6079330691140551 ということが分かり, 0, 608 より少し小さいくらいとわかる.

2

─ 120 ─

解答例 3gcd(n, m) = g であることと gcd( ng , mg ) = 1 が同値であることから, 2 つの自然数の最大公約数が g である確率を P (g) とおくとP (g) : P (1) = 1 : g 2ということが推測できる. ここで確率論の基本事実から全事象の確率の総和が 1 になる
ため,

P (1) + P (2) + · · · + P (g) + · · · = 1.
P (g) : P (1) = 1 : g 2 より
1
1
P (1) 1 + 2 + · · · + 2 + · · · = 1
2
g

−1
1
1
P (1) = 1 + 2 + · · · + 2 + · · ·.
2g
全て足し算することは難しいが, n が大きくなると n12 は急激に 0 に近づくため足し算では無視できると予想できる. 100 まで計算すると 0.611626817785126, 1000 まで計算すると 0.608296717075909, 10000 まで計算すると 0.6079640597889889 ということが分かり, 0, 608 より少し小さいくらいとわかる.

3

─ 121 ─問題 2-1. の採点について• 出した答えの精度は重要視せず, 解答までの過程を採点した.
• 以下の等式

−1 
−1 
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1− 2
1− 2
1− 2
··· = 1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +···
2
3
5
2
3
4
5
6
は非自明のため, 素因数分解の一意性と無限積収束の確認をして初めて正当化できる. (多くの高校が素因数分解の一意性の確認のみであった)• バーゼル問題はよく知られている結果であるが
1+

1
1
1
1
1
1
π2
+
+
+
+
+
+
·
·
·
=
22
32
42
52
62
72
6

は非自明であるため, sin x の無限積展開や適当な無限級数による値の評価など考察がされている答案は加点した.

• 無限積



1
1− 2
2



1
1− 2
3



1
1− 2
5



1
1− 2
7


···

で止めて考察をした解答は先 2 つの減点はなく, 一定の評価をした.

• 多くの具体例を計算しある値に収束するであろうことを確認した答案も一定の評価をした.

• 多くの議論が数学の証明としては不適切な部分があるため, 解答例も曖昧な表現をしている. 正当化するための議論は解析的整数論の教科書を読むと学ぶことができる.

4─ 122 ─問題 2-2. の解答例
いくつか考察例を紹介する.
まず, 次の自然数の二乗の逆数和 Sk を考える.

Sk = 1 +

1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
·
·
·
+
.
22
32
42
52
62
72
k2

簡単な不等式計算により

1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ··· + 2
2
2
3
4
5
6
7
k
1
1
1
1
<1+
+
+
+ ··· +
1×2 2×3 3×4(k − 1) × k
 
 




1 1
1 1
1
1
1
+
+
+ ··· +
=1+ 1−
−
−
−
2
2 3
3 4
k−1 k
1
= 2 − < 2.
k

Sk = 1 +よって, 自然数の二乗の逆数和をどんなに繰り返しても 2 を超えないことが分かる. つ
まり,

1+

1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ··· < 2
2
2
3
4
5
6
7

となり, 加えるものは常に正であるためは自然数の二乗の逆数和は何らかの値に収束する
ことが分かる.
つぎに確率に現れた無限積 P が 0 にならないことを示す場合は以下の方法が便利.

(exp(x) = ex )





1
1
1
1
1− 2
1− 2
1 − 2 ···
P = 1− 2
2
3
5
7
 








1
1
1
1
= exp log 1 − 2 + log 1 − 2 + log 1 − 2 + log 1 − 2 + · · · .
2357
0 < x < 14 において log(1 − x) > −2x であるので



1
1
1
1
P > exp −2 ×
+ 2 + 2 + 2 + ···
22
3
5
7



1
1
1
1
1
1
.
> exp −2 × 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + · · ·
2
3
4
5
6
7
先の逆数和に関する結果より以下を得て示される.

P > exp(−4) = e−4 > 0.
5

─ 123 ─

一般化として考えられるものについて. (ζ(k) = 1 + 21k + · · · + n1k + · · · とする.)(k 個の自然数 n1 , . . . , nk の最大公約数が g になる確率) =(自然数 n が 2 乗の因子をもたない確率) =1
g k ζ(k)

.

1
.
ζ(2)

近似値までなら証明は同じ方法でできる. 正確に収束値まで示すには問題 2-1. の解答基準で指摘したことの確認が必要. (後に書くようにこの問題ではそれらに関する考察なしでも減点はしない.)6

─ 124 ─問題 2-2. の採点について• 一般化の場合は一般化の度合いや発想の柔軟性を評価した. また, 問題 2-1. とは違い非自明な結果を使うことに減点は全くしていない.

• 以下では上に挙げた以外に印象に残った考察を紹介する.
– 2 元 1 次方程式 a1 x1 + a2 x2 = 1 (ai = 0) が整数解 (m1 , m2 ) を持つ確率と2 個の自然数 n1 , n2 の最大公約数が 1 になる確率と同じであることを指摘した考察. さらには k 元 1 次方程式 a1 x1 + · · · + ak xk = n (ai = 0) が整数解

(m1 , . . . , mk ) を持つ確率と k 個の自然数 n1 , . . . , nk の最大公約数が n の約数になる確率と同じであることを指摘した考察.

– 自然数の部分集合 S を適当に固定し, n1 , n2 が S の要素であるという条件の下 gcd(n1 , n2 ) = 1 となる確率を求めたもの.

– 素数定理から gcd(n1 , n2 ) = 1 となる (n1 , n2 ) を考えたとき, 片方が素数であるものや両方素数であるものの個数について考察し, 大半が両方合成数であるという考察.

– k 個の自然数の組 (n1 , . . . , nk ) から適当に m 個選んだときに最大公約数が gになる確率や gcd(n1 , n2 ) = g のときに n3 も加えて gcd(n1 , n2 , n3 ) = 1 となる確率を求めたもの.

– 3 個の自然数 (n1 , n2 , n3 ) に対して gcd(n1 n2 , n3 ) = g となる確率を考察したもの.

7

─ 125 ─

資料３
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─ 126 ─