北海道の雪氷 No.40（2021）

Annual Report on Snow and Ice Studies in Hokkaido

勾配屋根における積雪量と落雪量の周期的な時間変化に関する理論的考察
Theoretical considerations of snow on sloped roof with snowslide
眞山 博幸 1，東 乙比古 2，室﨑 喬之 1，吉田 光則 3
Hiroyuki Mayama1, Otohiko Azuma2, Takayuki Murosaki1, Mitsunori Yoshida3
Corresponding author: mayama@asahikawa-med.ac.jp (H. Mayama)
Time variations in amounts of snow and snowslide on sloped roofs under a constant rate of snowfall were discussed.
Considering coupled time-differential equations, oscillating behaviors in the amounts of snow and snowslide wereobtained, where the coupled time-differential equations are consisted of a first-order time differential equation of theamount of snow and a second-order time differential equation of the amount of snowslide. Furthermore, the oscillating
behaviors were described as loops by suitable plots and the shapes and sizes of the loops reflect the calculation conditions.
１．はじめに
北海道では概ね 10 月中旬から 11 月上旬の時期に初雪が降り，年末から年始にかけては気温が下がるとともにまとまった量の雪が降り，1 月下旬から 2 月上旬の厳寒期を経た後のさっぽろ雪まつりの時期に一度気温が上がり，2 月中旬から3 月下旬までの時期は周期的な寒暖と降雪があり，特に 3 月中旬以降では日中の気温上昇と直射日光による融雪が著しくなり，4 月になるとほとんど降雪がない状況で融雪が進む 1),2)．このような条件下では勾配屋根のある家屋では様々な原因で落雪が起きる．
本研究では雪が降っている条件で勾配屋根上の積雪量と勾配屋根からの落雪量の周期的な時間変化に注目し，理論的に取り扱うことを試みた．
具体的には，一定の降雪量の下での勾配屋根上の積雪量と勾配屋根からの落雪量について連立微分方程式を考え，積雪量と落雪量の周期的な時間変化を記述することを試みた．
２．モデルと結果
２．１ 定義議論を始める前に定義を説明する．図１に示したように時刻𝑡のときの勾配屋根への降雪量を𝑄 𝑡 ，勾配屋根上の積雪量𝑄𝑡 ，勾配屋根からの落雪量𝑄𝑡 とすると，単位時間当たりの降⁄
雪量𝑑𝑄 𝑡 𝑑𝑡 （降雪率と定義する），積雪量𝑑𝑄𝑡 ⁄𝑑𝑡 （ 積 雪 率 と 定 義 す る ）， 落 雪 量

図１ 降雪条件下における勾配屋根上の積雪と落雪の周期的な時間変化（模式図）．
𝑡 ⁄𝑑𝑡（落雪率と定義する）を考えることが𝑑𝑄できる．積雪率と落雪率の符号が正のときは増加，負のときは減少を意味する．
次に勾配屋根上への降雪量𝑄 𝑡 ，勾配屋根上の積雪量𝑄𝑡 ，勾配屋根からの落雪量𝑄𝑡を式で定義する．まず，𝑄 𝑡 は降雪率を積分した値に等しく，以下のようになる．
𝑄𝑡

𝑑𝑄 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡

1

同様に，積雪量𝑄𝑡 と落雪量𝑄
𝑡 はそれぞれ積雪率と落雪率を積算したものとなり，以下のようになる．
𝑄𝑡

𝑄𝑡𝑡

𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑡

𝑑𝑄
𝑑𝑡

𝑑𝑡

2𝑑𝑡

3

落雪が起きたときに積雪率と落雪率は変化をす

1

Department of Chemistry, Asahikawa Medical University
Hokkaido Industrial Technical Service Association
Hokkaido Small Business Support Center

旭川医科大学 一般教育 化学
NPO 法人 北海道産業技術支援協会
3
北海道中小企業総合支援センター
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る．例えば，積雪率が正のときは(2)式に示されているように積雪量（積分値）が増加し，積雪率が負のとき積雪量は減少する．同じことは(3)式の落雪率と落雪量の関係でも成り立つ．(1)~(3)式は時々刻々変化する時間変化と総量の関係を表している．
２．２ 仮定実際の勾配屋根上の積雪と落雪の現象は，気温の変化，単位時間当たりの降雪量の変化，屋根表面温度，勾配角度，勾配屋根の向き，日照条件，屋根表面材料等の様々な要因が関係している複雑な現象である 3)~6)．したがって，個々の要因を考慮した現実の現象を最初から理解することは困難であるので，現象のエッセンスを理解するために最も単純な仮定から出発することを試みた．
本研究では問題を単純化して現象全体を俯瞰するために以下の５つの仮定をした：①降雪率は一定である．②気温と屋根の温度は考慮しない．
③勾配屋根の面積や形状や勾配角度等の因子は考慮しない．④降雪量，積雪量，落雪量の具体的な単位は考慮しない．これは降雪量，積雪量，落雪量をどの物理量（例えば質量，体積，高さ）にするのが妥当かは雪の状態に大きく依存するためである．➄降雪量，積雪量，落雪量，降雪率，積雪率，落雪率，連立微分方程式の中の定数の値に現実的な意味はなく，あくまでも相対的な大きさで議論する．
２．３ 積雪量と落雪量の時間変化
上記の(1)~(3)式では降雪量，積雪量，落雪量を個別に記述したが，一方で積雪量がある一定の量に達すると落雪が起きることからも分かるように，落雪の条件は積雪量に関係している．落雪が起きたときに積雪量がどのように時々刻々と変化するか，これに加えて積雪量が増加したときに落雪量がどのように変化するかを考える必要がある．降雪量は仮定①に基づいて考える．
最初に積雪と落雪の関係を考える．ある時刻𝑡の積雪率を考えると，降雪率から落雪率を差し引いた値に等しいので，(4)式のようになる．

である．降雪率を(5)式のように定義する．
𝑑𝑄 𝑡𝑎5𝑑𝑡
ここで𝑎は正の定数である．
𝑡 ⁄𝑑𝑡）は落一方，(4)式の右辺第２項目（𝑑𝑄雪率なので，落雪がないときはゼロ，落雪が起きるときだけ正の値になる．
２．４ 勾配屋根からの落雪の条件１～３と計算結果(4)式では落雪が起きたときの積雪率について考えたが，積雪量が増加したときに落雪量がどのように変化するかについては何も説明していな
い．この問題を扱うために，積雪量が積雪上限値に達したときに落雪率が最大になると仮定𝑄
して，落雪率の関数を考える．以下に条件１～３のそれぞれにおいて落雪率の関数を考えて，積雪量と落雪量が周期的に時間変化するかどうかを計算で確認した．
条件１：最初に，以下の(6)式のように落雪率が積雪上限値と積雪量の差（𝑄𝑄𝑡 ）に対して正規分布の依存性になると仮定した．

𝑑𝑡𝐴√2𝜋𝜎exp𝑄𝑄𝑡2𝜎6(6)式中の𝐴 と𝜎はそれぞれ定数と標準偏差である．正規分布は平均値で離れたところでも確率がでしか落雪が起きない訳あるので，(6)式は𝑄よりも少ない𝑄ではなく，𝑄𝑡 であっても落雪が起きることを意味している．つまり，少ない積雪量でも少量の落雪が起きることがあるこ

𝑡𝑑𝑄 𝑡𝑑𝑄4𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡(4)式の右辺の第１項と第２項の競合関係を考えると，次のようなことを記述できることが分かる．(4)式の右辺第１項目（𝑑𝑄 𝑡 ⁄𝑑𝑡）は降雪率𝑑𝑄𝑡𝑑𝑄𝑡－ 14 －

図２ 条件１：(4)式と(6)式の連立微分方程式の計算結果．計算条件は𝑎 0.01，𝑄10，𝐴1，𝜎 1である．赤実線は積雪量
𝑄𝑡 ，赤点線は落雪がない場合の𝑄
𝑡の変化，黒実線は落雪量𝑄𝑡 である．

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とも記述できる．標準偏差がどれくらい少ないところから落雪が起きるのかを決める．
図２は(4)式と(6)式の連立微分方程式から得られ た 計 算 結 果 で あ る ． 計 算 条 件 は 𝑎 0.01 ，10，𝐴1，𝜎 1である．𝑄𝑡 は最初
𝑄は時間に比例して増加しているが，一定値に達す
るとそのまま一定値を保って変化しない．𝑄𝑡は𝑄
𝑡 が一定値に達するまでゼロのままであるが，その後は時間に比例して増加している．このように𝑄
𝑡 と𝑄𝑡 はいずれも周期的な時間変化を示さなかった．(4)式に(6)式を代入すると単なる 1 階微分方程式になるだけなので，妥当な結果といえる．
条件２：次に落雪量の時間変化の割合を(7)式の右辺のように加速度に相当する時間の 2 階微分方程式として記述した．これにより積雪量の変化に対して敏感に落雪が起きることを記述できる．

図３ 条件２：(4)式と(7)式の連立微分方程式の計算結果．計算条件は𝑎 0.01，𝑄10， 𝐴
5 10 ，𝐵5 10 である．
𝑄𝑡 （赤実線，左縦軸）と𝑄𝑡 （黒実線，右縦軸）の時間変化．挿入図は𝑄𝑡 の時間変化の拡大図である．

𝑡 が𝑄に近づく
さらに，正規分布よりも𝑄につれて加速度が急激に増大して無限大に発散する性質をもつ 4 次の反比例の方が大きな時間変化が得られやすいと考え，(7)式を仮定した．
𝑑 𝑄
𝑡𝑑𝑡𝐴𝑄𝑄𝐵7𝑡(7)式中の𝐴 と𝐵 は定数である．右辺第一項目が図４ 条件３：(4)式と(8)式の連立微分方程式の計算結果．計算条件は𝑎 0.01，𝑄10，𝐴5 10 ，𝐵5 10 ，𝐶0.01である．𝑄𝑡 （赤実線，左縦軸）と𝑄𝑡（黒実線，右縦軸）の時間変化．挿入図は𝑄𝑡 の時間変化の拡大図である．と𝑄𝑄𝑡 の差の 4 次の反比例の関係を示し，右辺第二項目は計算結果のバックグラウンドの調整のために導入した便宜的な調整項である．に達す(7)式が意味するところは𝑄𝑡 が𝑄ると屋根上の積雪が一度に落雪するイメージである．なお，4 次の反比例は 1 つの仮定であり，必須条件ではない．
図３は(4)式と(7)式の連立微分方程式から得られた計算結果である．計算の条件は𝑎 0.01，
𝑄10，𝐴
5 10 ，𝐵5 10 である．
上向きのスパイク状の周期的な時間変化を示している𝑄
𝑡 が得られ， 𝑄
𝑡 もバックグラウンドが時間とともにわずかに減少した後に増加しているものの，挿入図で示したように周期的な時間変化を示す振る舞いが得られた． 𝑄𝑡 と𝑄
𝑡 はともに周期的な時間変化を示している
ので，(6)式ではなく(7)式のように落雪率を加速度に相当する量で扱うことが妥当であることが分かった．
条件３：条件２で𝑄
𝑡 は周期的な時間変化を示しているものの，𝑄𝑡 のバックグラウンドも増加している．このバックグラウンドの補正を考慮した(8)式を仮定した．
𝑡𝑑 𝑄
𝑑𝑡𝐴𝑄𝑄𝐵𝑡𝐶𝑡

8

𝐴 ，𝐵 ，𝐶 は定数である．右辺の第三項目が時間とともに増加する𝑄
𝑡 のバックグラウンドを補正するために便宜的に導入した項である．
図４は(4)式と(8)式の連立微分方程式から得られた計算結果である．計算の条件は 𝑎 0.01，10，𝐴
5 10 ，𝐵
5 10 ，𝐶𝑄0.01である．挿入図に示されているように𝑄
𝑡は周期的な時間変化を示しているが， 𝑄
𝑡 は時間とともにバックグラウンドは減少していて，図３のバックグラウンドの時間変化とは異なっている．

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10（赤）と𝑄
図５ 条件３：𝑄5（黒）のときの計算結果を縦軸𝑄𝑡 ，横軸𝑑 𝑄𝑡 ⁄𝑑𝑡 をとってプロットしたときに得られた閉じた軌道．黒の軌道は赤の軌道と重なっていて見えない部分がある．
３．周期的な積雪と落雪の可視化の試み
本研究の目的である積雪量と落雪量の周期的な時間変化を記述する試みについて，積雪量の 1階微分方程式と落雪量の 2 階微分方程式を組み合わせた連立微分方程式を考えればよいことが見出された．さらに一歩進めて現象全体を分かりやすく俯瞰する方法を探索した．
周期的な時間変化が観察される現象として，カオスが知られている．カオスの周期的な現象では適当な物理量を縦軸と横軸に取って実験結果や計算結果をプロットすることで閉じた軌道（アトラクター）を描き，軌道の大きさや形状から現象全体を俯瞰する手法を採用している 7)．この手法に倣って条件３の計算結果を縦軸𝑄𝑡 ，横軸𝑡 ⁄𝑑𝑡 でプロットすると，図５のような𝑑 𝑄10のときの結果閉じた軌道が得られた．𝑄（赤の軌道）と𝑄5のときの結果（黒の軌道）を比較すると，𝑄の値に依存して軌道の大きさが異なることが示されている．図５のように実際の観測結果をプロットして軌道にすると，降雪，積雪，落雪の条件だけではなく，気温の変化，単位時間当たりの降雪量の変化，屋根表面温度，勾配角度，勾配屋根の向き，日照条件等といった様々な情報が軌道の大きさや形状に反映されると予想される．
４．まとめ
単純な仮定を設定し，一定の降雪率の条件下での勾配屋根上の積雪・落雪に関する周期的な時間変化を理論的に記述することを試みた．積雪量の速度に相当する 1 階微分方程式と落雪量の加速度に相当する 2 階微分方程式からなる連立微分方程式を考えることで，積雪量と落雪量の周期的な時間変化を記述できることを見出した．今後の研究では観測結果に合わせて落雪量の 2 階微分方程式を決定することが重要である．また，積雪と落雪の時間変化を閉じた軌道として描くことで現象全体を俯瞰できる可能性も提案した．このような観点で降雪・積雪・落雪の現象を考えると，現象の詳細のみに注目した部品論ではなく，システム論を俯瞰できる．現象全体の見通しがよくなることで部品論に還元できる可能性があり，実用の立場からみても有益な知見が得られると期待される．また，降雪がある下で積雪量と落雪量が周期的に変化する現象は物質とエネルギーの出入りのある条件下で起きる心臓の拍動のような非線形現象とも考えることができ 8)，物理学的にも大変興味深いテーマである．
【謝辞】
着雪氷勉強会において本研究の内容に関する議論の場を提供していただきました．
【参考文献】
1) 亀田貴雄，高橋修平，2017：雪氷学，古今書院，99-108.
2) 伊東俊幸，他 4 名，2012：2011 年度冬季における岩見沢および三笠の屋根上積雪状態，北海道の雪氷，31, 147-150.
3) 伊東俊幸，深瀬孝之，2020：微小凹凸を設けた塗装金属板の滑雪性状，北海道の雪氷，39,17-18.
4)

5)

6)

7)
8)

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伊東俊幸，苫米地司，2011：屋根材の滑雪性能に対応した勾配屋根における暴露試験の滑落雪状況，北海道の雪氷，30, 5-8.
吉田光則，他 4 名，2003：着雪氷防止技術に関する研究（第 4 報）―滑雪塗料の開発とその評価について―，北海道立工業試験場報告，302, 87-91.
吉田光則，吉田昌充，金野克実，2000：着雪氷防止技術に関する研究（第 3 報）―滑雪と材料表面の特性について―，北海道立工業試験場報告，299, 13-17.
例えば，合原一幸，2002：カオス学入門，放送大学教育振興会，44-56.
吉川研一（監修），森義人，中田聡，1994：
非線形現象，産業図書．

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