汚れのあるデータのもとでの統計的検定
M2012MM046 山元一輝
指導教員：木村美善

1

はじめに

2.2

特殊容量Bednaruski [2] は，連続な凹関数 h : [0，1] → [0，1] でデータの汚れを記述するための近傍として Kakiuch andh(1)= 1 を満たすものに対して，集合関数 vh : B → [0Kimura [3] が提唱した (c1 ，c2 ，γ)-近傍について考察し，汚れのあるデータのもとでの検定に対するこの近傍の応用 ，1] を{について研究する．(c1 ，c2 ，γ)-近傍は３つのパラメータをh(F ◦ {A}) ϕ ̸= A ∈ B のとき持ち，これらのパラメータを変えることにより様々な近vh {A} =(1)0A = ϕ のとき
傍が生成されるが，その特徴と有用性について考察する．
特に，正規分布，ｔ-分布などの代表的な分布が (c1 ，c2 ，により定義し，これを特殊容量 (special capacity) と呼γ)-近傍にどのように効果的に取り込め得るのかについてんだ (h(0) = 0 が成り立つとき 2-alternating Choquet研究する．また，１標本問題と２標本問題における正規capacity になる)．この確率測度を一般化した特殊容量 vh
母集団の平均値の検定と平均値の差の検定が，標本に (c1を用いて得られる F ◦ の分布近傍，c2 ，γ)-近傍で表現されるモデル分布からの「ずれ」が生{}∀じるとき，どのような影響を受けるかについて，シミュPh (F o ) = G ∈ M |G {A} ≤ υh {A} ，A∈B
レーションにより調べる．
は２つの近傍間にマクシミン検定が存在するなど優れた2 分布近傍性質を持っている．
2.1 様々な分布近傍
R を実数直線，B を R の部分集合からなるボレル集合族，M を (R，B) 上の確率分布の全体とする．これまでに提案された F o ∈ M の分布近傍は多くあるが，その中で代表的な近傍を挙げる．
・ε-近傍:

3(c1 ，c2 ，γ)-近傍について

次のような 3 つのパラメータを持つ分布近傍が Kakiuchiand Kimura(2012) により提案された．

Pc1 ，c2 ，γ (F o ) = {G ∈ M |G{A} ≤ min{c2 F o {A}∀+ γ ，c1 F o {A} + 1 − c1 }，A ∈ B} (2)Pϵ (F ) = {G ∈ M |G{A} ≤ (1 − ϵ)F {A} + ϵ，oo∀

これはA ∈ B}，0 ≤ ϵ ≤ 1h(x) = min {c2 x + γ ，c1 x + 1 − c1 } ，0 ≤ x ≤ 1・全変動近傍:

P0，δ (F o ) = {G ∈M |G{A} ≤ min{F o {A} + δ ，1}， としたものに対応している．ただし，0 ≤ c1 ≤ 1 − γ ≤c2 < ∞，c1 ̸= c2 ，0 ≤ γ < 1．
∀A ∈ B}，0 ≤ δ ≤ 1
この h に対応する F ◦ の分布近傍は (c1 ，c2 ，γ)-近傍と呼・Rider-近傍:
ばれる．また，P0,1−ϵ,ϵ−δ (F o )= {G ∈ M |G{A} ≤ min{(1 − ϵ)F o {A} + ϵ + δ ，1}，∀A ∈ B}，0 ≤ ϵ，0 ≤ δ ，ϵ + δ < 1・(c，γ)-近傍 [1]:Pc，γ (F ) = {G ∈ M |G{A} ≤ min{cF {A}+γ ，1}，oo

1. h(x) = x のとき，vh = F ◦ . すなわち，確率測度は特殊容量であり，Ph (F ◦ ) = F ◦ .
γ)-近傍は，2. (c1 ，c2 ，Pc1 ，c2 ，γ (F o ) = {G ∈ M |c1 F o {A} ≤ G {A}∀≤ c2 F o {A} + γ ，A ∈ B}とも表せることに注意する．(c1 ，c2 ，γ)-近傍は，3 つのパラメータ c1 ，c2 ，γ を変化させることで多様な近傍を得る
また (c，γ)-近傍は，c とγに特別な値を入れることで ことができる．実際に c1 ，c2 ，γ に値を代入することで次多くの新しい近傍を得ることができる．これらの近傍の の近傍が得られる．
定義では上限しか示されていないが下限で定義すること ・c1 = 1 − ϵ，
γ = ϵ または c2 = 1 − ϵ，
γ = ϵ のとき，ϵ-近もできる．たとえば (c，γ)-近傍の場合は傍に等しい．
γ = δ のとき，全変動近傍に等しい．
Pc，γ (F o ) = {G ∈ M |G{A} ≥ max{cF o {A}+1−γ−c，0}，・c1 = 0，c2 = 1，・c1 = 0，c2 = c，γ = γ のとき，(c，γ)-近傍に等しい．
∀A ∈ B}・c1 = 0，c2 = 1 − ϵ，
γ = ϵ + δ のとき，Rieder 近傍に等∀となる．

A ∈ B}，0 ≤ γ < 1，1 − γ ≤ c < ∞しい．
・γ = 0 のとき，G 近傍となる．この場合は，

h(x) = min {c2 x，c1 x + 1 − c1 }であり，局外値などを含まない中心部のみが汚れた近傍である．
・c1 = 1 − ϵ，c2 = 1，γ = δ(ϵ > δ) のとき ϵ-近傍と全変動近傍を組み合わせることによって T N ϵ-近傍ができ，として表される．ここで，連続な分布 F ◦ の密度関数をf ◦ とし}{c2 oc1 of ≤f ≤f
Fc1 ，c2 ，γ (F o ) = F ∈ Mc |1−γ1−γ(4)とする．ただし，f は F の密度関数とし，Mc は (R，B)
上の連続な確率分布からなる集合とする．

4.2h(x) = min {x + δ ，(1 − ϵ)x + ϵ} ，0 ≤ δ ≤ ϵ ≤ 1となる，これは，上限の確率が ϵ-汚染近傍と全変動近傍の小さい方で抑えられる分布近傍となる．この分布近傍は ϵ-汚染近傍により決められたと全変動近傍である．

(c1 ，c2 ，γ)-近傍の限界近傍

FL ，FR を Fc1 ，c2 ，γ (F o ) に含まれる以下の分布として定義する．
 c2

F ◦ (x)(x ≤ xL )1−γ
FL (x) =cc11
F ◦ (x) + (1 −) (x > xL )1−γ1−γ

c1F ◦ (x)(x ≤ xR )1−γ
FR (x) =cc22
F ◦ (x) + (1 −) (x > xR )1−γ1−γ
ただし，それぞれ xL ，xR は()()
1 − γ − c1
c2 + γ − 1◦ −1◦ −1xL = (F )，xR = (F )c2 − c1c2 − c1である．

図 1 (c1 ，c2 ，γ)-近傍グラフ

5(c1 ，c2 ，γ)-近傍の実用化近傍のまとめ

5.1 (c1 ，c2 ，γ)-近傍の問題
このように，c1 ，c2 ，γ の値の取り方により，(c1 ，c2 ，γ)-近具体的な分布に対して具体的な近傍を適用することに
傍は ϵ-近傍，全変動近傍，Rider 近傍，(c，γ)-近傍などを，よりその有効性を探る．具体的な分布として標準正規分特別な場合としてすべて含む分布近傍となる．
布と t-分布を用いる．モデル分布は標準正規分布とする．
図 1 における関数 h(x) の切片 (h(0) の値) は空集合を除
標準正規分布を何倍かすることによって上限と下限を作いた集合に対するその上限の確率を示している．すなわ
りその中に t-分布の全ての自由度の密度関数が近傍内にち，極端な値 (局外値，大きな値や小さな値) を取る確率含まれるよう挟み込むことを考える．(図 3) そして，そが正であるという分布を示している．したがって，切片のとき c1 ，c2 ，γ の値がどうなるか考察していく．の値が大きいほど，外れ値を取る確率が高くなる．また特殊容量の h(x) が１となる x の値が小さいほど，正となる確率をもつ集合さえ無視されやすくなることを意味する．その意味で Rider 近傍は，ϵ-近傍や全変動近傍を含む大きな近傍を表していると言える．
図 2 をみると，2 つの直線の最小値を通る直線を選んでいるものが (c1 ，c2 ，γ)-近傍であることが解かる．

4(c1 ，c2 ，γ)-近傍の特徴

4.1

密度関数による特徴

Kakiuchi and Kimura(2012) の Theorem 3．2 は式 (2)により定義された (c1 ，c2 ，γ)-近傍の密度関数による特徴づけを以下のように与えている．
(c1 ，c2 ，γ)-近傍は

図 2 (c1 ，c2 ，γ)-近傍の密度関数

5.2
Pc1 ，c2 ，γ (F o ) = {G = (1 − γ)F + γK|F ∈Fc1 ，c2 ，γ (F o )，K ∈ M }

(3)

計算方法

標準正規分布と t-分布の分散は異なっている．そこで，分散を合わせるために t-分布の分散を標準正規分布の分散に標準正規分布の分散を t-分布の分散に変換し計算を行う．
標準正規分布と t-分布の裾の部分を比べると t-分布の方が確率が大きくなる．そのため，ある範囲からは t-分布の密度関数を用いる．この時，標準正規分布の密度関数f ◦ と自由度 n の t-分布の密度関数 tn を ±xa でつなぎ連続にする為の k を以下で定める．[4]{tn (x)， (x > |xa |)f (x) =kf ◦ (x)， (−xa ≤ x ≤ xa )図 3 範囲 xa =1.965.4

図 4 範囲 xa =3.0

分散を t-分布の分散に合わせた場合◦自由度が大きくなるにつれて上限と下限の幅が小さくなっていることがわかる．この方法に関しても ±xa が t次に，密度関数 f ∗ (x) = cf (x) と定義する．ただし， 分布と上限との接点になっている．よって，範囲 xa が大∫∞c = 1/ −∞ f (x)dx．この f ∗ (x) を用いて c1 ，c2 ，γ 値を求 きくなる事で上限の値も大きくなる．
これらの結果より，標準正規分布の (c1 ，c2 ，γ)-近傍によめる．
り t-分布を覆うことができる上限，下限の値は，範囲が5.3 分散を標準正規分布の分散に合わせた場合大きくなることで幅が広くなる．

ただし k は，kf (xa ) = tn (xa ) である．

表 1 挟み込む最小の自由度による違い (xa = 1.96)
nn ≥ 3 n ≥ 5 n ≥ 100.949
1.046
1.097
0.853
0.844
1.086
0.810
1.042xak
cc2∗
1−γ f (上限)c1∗
1−γ f (下限)

c1 (γ = 0.01)
c2 (γ = 0.01)
c1 (γ = 0.05)
c2 (γ = 0.05)

表 1 は，挟み込む t-分布の最小の自由度を変化させた時の表である．自由度の最小の値が大きくなるほど上限，下限の幅は狭くなる．
66.1

kcc2
∗
1−γ f (上限)c1∗
1−γ f (下限)

c1 (γ=0.01)
c2 (γ=0.01)
c1 (γ=0.05)
c2 (γ=0.05)

0.464
2.065
1.662
0.465
0.461
1.645
0.442
1.579

0.568
1.711
1.641
0.460
0.455
1.624
0.437
1.559

0.619
1.576
1.6330.457
0.453
1.617
0.435
1.551

1.436
0.691
1.739
0.450
0.445
1.722
0.427
1.652

表 2 より範囲 xa を 2．58 まで広げていくと上限と下限は小さくなっていることがわかる．また γ の値に観点を置くと，γ を増やしていくと c1 ，c2 の値は汚染がない値より小さい値になる．xa の範囲が 3．0 になると上限が大きくなっている．
この理由は，図より明らかとなる．図 4，5 を比べると，t-分布と上限の接点が異なっていることがわかる．このことから確率の範囲が広がることで接点も外に広がり上限が大きくなることがわかる．

4.032
2.098
0.475
2.104
0.690
0.683
2.083
0.655
1.999

3.499
1.585
0.628
1.589
0.783
0.775
1.573
0.744
1.509

3.1691.322
0.753
1.326
0.850
0.842
1.313
0.807
1.260

標準正規分布と t 分布の交点
ランベルトの W 関数

標準正規分布の密度関数 f ◦ と t-分布の密度関数 tn を±xa でつなぎ連続にする時の ±xa は次の方程式の解である．

Γ[ n+1 ]1 −(x2 )x2 −(n+1)√ e 2 = √ 2 n (1 + ) 2nnπΓ[ 2 ]2π
この解はランベルトの W 関数 [5] を使用して求める事が可能であると考えられるが，本研究では求めることは叶わなかった．

0.04xa

表 2 範囲による違い（n ≥3 以上）
1.96
2.3
2.58
3.0

5.840
3.072
0.324
3.076
0.488
0.483
3.045
0.463
2.922

0.00

c1 (γ=0.01)
c2 (γ=0.01)
c1 (γ=0.05)
c2 (γ=0.05)

0.779
1.260
1.249
0.700
0.693
1.237
0.665
1.187

−0.08 −0.04

c2∗
1−γ f (上限)c1∗
1−γ f (下限)

0.464
2.065
1.662
0.465
0.461
1.645
0.442
1.579

b[, 2]kc

表 3 t-分布の分散に変換した場合
n ≥3 n ≥5 n ≥7 n ≥10−4−2024b[, 1]

図 5 標準正規分布と t 分布の交点のグラフ

シュミレーションによると x 軸は xa の値を y 軸は両分布の差を表す図 7 の様になり交点 xa の値は ±1.9 付近を取るのではないかと考えられる．

7検定

7.1

一標本問題

X1 ，X2 ，· · · ，Xn を N (µ，1) からの無作為標本とするとき，平均 µ に関する右側検定問題 H0 : µ = 0，H1 : µ > 0に対する有意水準 100α% 一様最強力検定は
Z=√nX > zα(5)Fc1 ，c2 ，0 (Fµ◦2 ) とする．ただし，Fµ◦1 = N (µ1 ，1)，Fµ◦2 =N (µ2 ，1)．第 1 種の誤りの確率が最大になるのは X が最大分布で Y が最小分布のときであり，検出力が最小になるのは X が最小分布で Y が最大分布のときであるから(a) F = FR，0 ，G = FL，0 ，(b) F = FL，µ ，G = FR，0 と√して確率 P ( n2 (X −Y ) > zα ) をシュミレーションにより評価する．F = FL，2 ，G = FR，0 で c1 = 1−η ，c2 = 1+η ，
γ = 0 の場合にシュミレーションを行った．
表 5 P (Z > zα )，F = FL，µ ，G = FR，0α = 0.05
n=1n=5
η = 0.05 0.4066 0.934
η = 0.10.4056 0.9325
η = 0.15 0.4049 0.932
η = 0.20.4019 0.9281
η = 0.25 0.3948 0.9276のとき H0 を棄却するものである．ここで X は標本平均であり，zα は N (0，1) の上側 100α% 点である．X1 ，X2，· · · ，Xn の分布 F が N (µ，1) からずれたとき，この Zに基づく検定がどのような影響を受けるのかを調べるた
めに次のことを行う．X1 ，X2 ，· · · ，Xn の真の分布 F はFµ◦ = N (µ，1) の (c1 ，c2 ，0)-近傍 Fc1 ，c2 ，0 (Fµ◦ ) に属すとする．このとき第 1 種の誤りの確率 (有意水準) が最大とη を大きくすると 1.645 をこえる確率が減少しているこなるのは F が Fc1 ，c2 ，0 (F0◦ ) の最大分布 FR，0 のときであ とが見てわかる．また標本数 n を増やしていくと同じ ηり，検出力が最小となるのは Fc1 ，c2 ，0 (Fµ◦ ) 最小分布 FL，µ の値の場合でも確率が上昇していることも見てわかる．のときであるので (a) F = FR，0 ，(b) F = FL，µ としてシュミレーションにより，確率 P (Z > zα ) を評価する． 8 おわりに
今回は，c1 = 1 − η ，c2 = 1 + η ，
γ = 0 の場合にシュミ本研究では，(c1 ，c2 ，γ)-近傍の実用化の一歩として正規レーションを行った．
分布によって t-分布を格納することを研究した．また，1
表 4 P (Z > zα )，F = FRα = 0.05
n=1n=2n=5
η = 0.05 0.0502 0.0547 0.0576
η = 0.10.0537 0.0574 0.0714
η = 0.15 0.0558 0.0675 0.0791
η = 0.20.0616 0.0708 0.0942
η = 0.25 0.0625 0.0721 0.1058

標本問題と 2 標本問題の分散が既知の場合の平均値と平均値の差の検定がどのように影響受けるのかについてシュミレーションにより調べた．今後の課題として標準正規分布の密度関数 f ◦ と t-分布の密度関数 tm を ±xa でつなぎ連続にするための ±xa を求める問題と分散が未知の場
合の平均値と平均値の差の検定が (c1 ，c2 ，γ) によるずれによってどのよううな影響を受けるかをシュミレーショ
ンにより詳しく調べる必要がある．

参考文献
η を大きくすると za = 1.645 をこえる確率が上昇して [1] Ando，M.Kakiuchi，I.and Kimura，M.（2009）. Roいることが見てわかる．また標本数 n を増やしていくと同bust nonparametric conﬁdence intervals and tests
じ η の値に対して確率が上昇していることも見てわかる．
in the presents of (c，γ)-contamination，J.Statist
7.2

二標本問題

Plann.inference.139，1836-1846.

[2] Bednarski，T.(1981). On solutions of minmax tests
X1 ，X2 ，· · · ，Xn1 を N (µ，1) からの無作為標本，Y1
problems for special capacities. Z. Wahreck. verw
，Y2 ，· · · ，Yn2 を N (µ，1) からの無作為標本とするとき，Gebiete. 10，269-278.
平均の差 µ = µ1 − µ2 に関する検定問題 H0 : µ = 0，
[3] Kakiuchi，I.and Kimura， M.（2012）. Robust nonH1 : µ > 0 に対する有意水準 100α% 検定はparametric inference for the median under a new√n1 n2neighborhood of distributions，Technical Report of(X − Y ) > zα(6)Z=n1 + n2
the Nanzan Academic Society Information Sciencesand Engineering.のとき H0 を棄却するものとして与えられる．ここで X ，Y はそれぞれ X1 ，X2 ，· · · ，Xn1 と Y1 ，Y2 ，· · · ，Yn2 の [4] 沖 翔太 (2013). 『汚れのあるデータとロバスト推測』，南山大学数理情報研究科修士論文.
標本平均である，X1 ，X2 ，· · · ，Xn1 の真の分布 F と Y1，Y2 ，...，Yn2 の真の分布 G がそれぞれ N (µ1 ，1) と N (µ2，1) からずれたとき，この Z に基づく検定がどのような影響を受けるかを調べる．簡単のために標本数が等しい
n1 = n2 = n の場合を考え，F ∈ Fc1 ，c2 ，0 (Fµ◦1 )，G ∈[5] R.M.Corless，G.H.Gonnet，D.E.G.Hare，
D.J.Jeﬀrey and D.E.Knuth.(1996). On the Lambert
W Function，Computational Mathematics Vol. 5.