多様化時代の数理計画法 第2回

目標ベクトル法，多目的線形計画法，フレキシブル計画法
山口 佐和
l………l………l州l川Il………ll……………l州l……………l……l………‖……lll…lll……………………………l…‖‖‖＝‖‖‖‖‖‖‖‖川…l………………‖州……ll………l………l…州川……l………………l……l川l………llている．詳細は第4回の連載にゆずるが，ここでは

1．はじめにZimmermannのフレキシブル計画法［10］［11］を紹介

第1回でとり上げた目標計画法は，複数の目標に要求水準を設定し，各目標に順位係数あるいは加重係数を与え，リグレット関数を最小化する方法である．ところが，実際の経営計画では，各目標に明確な優先順位をつけるのは困難で，むしろいっせいに各目標を増ていることも示す．

2．目標ベクトル法
目標ベクトル法（goalvectorapproach）は，目標大（または減少）させたいと望む場合も多〈，そのよ空間上で複数目標の望ましい達成方向を示すうな場合には付順方式は不適当である．また，そうしクトルた問題に加重方式を通用することを考えると，加重係

けた L字型リグレット関数

数をそもそもどのように決めるかという問題が生じる

L字型リグレット関数は調整済リグレットのミニマッことが多い．また，もし加重係数が求まっても，各目クス化をはかるもので，複数の目標をバランスよく増標の達成度の割合が加重係数の比に近づくという保証大させるという問題に適しており，通常のシンプレッはなく，しばしば偏りのあるバランスの悪い解が結果クス法でその最適解が求められる．

目標ベという概念を導入し，このベクトルと関連づを基本モデルとする．

目標ベクトル法は，意思決定者が各目標について「少的に得られる．
そこで，目標計画法を発展させる形で 目標ベクト●する．さらに，これが目標ベクトル法と対応づけられなくともこれ以上は是非達成したい」という 必要レ

ル法 と名づけた方法が開発された［3］．これは，各ベル（minimumrequiredlevel）と，「これだけ達成目標に十分レベルと必要レベルという2つの水準を設できれば十分満足できる」という 十分レベル（suffi−定して，複数の目標をバランスよく達成させる解を求cientlevel） とを設定する．意思決定者にとって，こめることをめざしたものである．の設定作業の負担は少ない．これらを利用して，目標ところで，目標計画法や目標ベクトル法のようにあベクトルを定義し，それに関連づけたリグレット関数

らかじめ意思決定者に目標値やリグレット関数のタイを最小化する問題に定式化する．最適解はシンプレップ（これらを選好情報という）を要求するアプローチ

クス法によって得られるが，まずg平面を利用して解のほかに，選好性の仮定をおいて解を求めたり，対話を求めてみよう．

的に選好情報を要求して解を求める多目的線形計画

連載第1回の［例題2］において，売上高目標（Cl）（multi−Objectivelinearprogramming）も数多く開発の必要レベル釣0を1800万円，十分レベル軌ざを4000万円されている．これについては，本稿では紙面の都合でとし，粗利益目標（C2）については必要レベル威0を600簡単に紹介するにとどめる．

万円，十分レベル威5を1600万円としたとしよう．

一方，意思決定者が目標値を設定する際のあいまいさを ファジィ集合 の概念で表現して，数理計画問題に定式化したファジィ数理計画法も数多く開発され必要レ〈こルと十分レベルの値によって目標空間上に2つの点

GO＝（動0，威0）＝（1800，600）
Gぶ＝（劇5，威β）＝（4000，1600）

やまぐち としかず 東京理科大学 工学部経営工学科が定義される．次に，この2つの点を結んだベクトル〒162新宿区神楽坂ト3を定義し，これを目標ベクトル（G）と呼ぶ．このベク1996年8 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（25）443トルは，複数の目標を達成するための望ましい方向を表わしており，その方向は以下では，L字型モデルの最通解の求め方について述べるが，オープンL型モデルについては，文献［3］11＝が一助0＝4000−1800＝2200

を参照されたい．なお，L字型と呼ばれるのは，後述

入2＝威8一助0＝1600−600＝1000のように2目標の等リグレット線の形状がL字になる

なるん，12によって示される．

からである．

目標ベクトル上では，点GOから点Gβの方向に近づく

まず目標平面を利用してL字型モデルの最適解を求ほどリグレットは小さくなる．目標空間上の各点のリめてみよう．g平面での実行可能領域および目標ベクグレットをこのベクトルと関係づけることによって，トルは図1のようになっている．点Cぶから目標ベクトリグレット関数を定義する．

ルにそってL字型の等リグレット線をおろしてきて，各目標の十分レベルに対する不達成値をd∫￣＝grβ

最初に実行可能領域と接する点（C）が最適解になるこ

一節（∬）（才＝1，2，…，桝）であらわすと，リグレット関とがわかる．点Cの∬平面での値は，∬．＝15，∬2＝6で，数は以下の3つのタイプが考えられている．

目標Glの達成値は3120万円，目標Gの達成値は1020万円である．

（1）加重型モデル

この解の十分レベルに対する達成の割合はGlがm ∑．琉−／んの最小化をはかるタイプ

78％，Gが＝64％で，目標達成の六ランスが比較的よt■＝1（2）L字型モデル

い解になっている．
なお，この例では最適解は実行可能領域の端点とし（広一／ん〉の最大値を最小化することをめざす

タイプ．て求められたが，釣0，曲0の値はそのままで，がを4800（3）オープンL型モデル

万円，威ぶを1400万円とすると，最適解はJl＝13．35，J2（1）と（2）の中間のタイプ．

＝9．29となり，辺βCと目標ベクトルが交差する点として求められる．
次にこの間題を数学的に解いてみよう．目標ベクト

加重型モデルは目標計画法の加重方式に対応しているので，最適解はシンプレックス法で求めることがでルは，C＝（2200，1000）である．達成水準が十分レベきる．目標ベクトル法の加重型モデルの利点は，目標

ルよりも不足する分を払￣，成￣，超過する分をdl＋，成十ベクトルの方向を利用して加重係数を容易に決定できとすると，るということである．

Gl：160∬1十120∬2＋払￣−d＋＝4000（1）

●

1き00

3120

4000

図1g平面での図解（目標ベクトル法のL字タイプ）
444（26）© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

G：60∬1＋ 20J2＋威￣一成十＝1600（2）である．L字型モデルでは，リグレットは斤＝maX（dl￣／ん，あ￣／12〉

3．多目的線形計画法
次のような複数の線形目的関数と線形制約条件式を持つ問題を多目的線形計画問題と呼ぶ．

で表される．これを最小化するには，実際には以下のようにすればよい．

Jl

最大化：gf（∬）＝∑cゎJノ（才＝1，2，・‥，弼）

達成水準と十分レベルとの差を新しくそれぞれ2つの非負の補助変数の組，ylとzl，〝2と為（yl，〟2，Zl，為J‡ 制如条件：∑毎晶≦ゐ烏（々＝1，2，…，￠）≧0）の差として，（1），（2）式を次のように次のように書（l幼J＝1JJ≧0（ノ＝1，2，…，乃）き直す．
Cl：160Jl＋120∬2十yl一之l＝4000（3）

G：60ご1＋20ェ2＋y2一為＝1600（4）

このとき，偏差変数は析，Zi（オ＝1，2）を用いると（用（1軌（畑式を満足する実行可能解∬＊に対して，gi（J）≧
gf（Jり（才＝1，2，…，∽）で，しかもあるノについて＆（J）＞＆（Jりとなるような実行可能解∬が存在しないとき，広一＝机一之f（〟〜＞zどのとき）x＊をパレート最適解（Paretooptimalsolution）といd王十＝Z′−れ（zr＞机のとき）う．文献によっては，非劣解，非支配解，有効解などで表わされる．この関係を点Cが最適解として得られとも呼ぶ．これは， 他の目標の達成度を減少させるこる図1の場合で示すと，これはyl＞zl，為＝0のケースとなしには，もはやどの目標の達成度も増大させ得なで，PO＝机，PC＝Zl，C（∂＝dl−，戸々＝品￣＝少2である．

い状態の解 である．

肌，y2とん＝2200，A2＝1000には次のような関係があ

前節の目標ベクトル法で扱った例題を多目的線形計画問題としてみれば，図1において，辺Aβ，辺βC上る．の実行可能解がパレート最適解である．

yl／2200＝的／1000

一般的に、多目的計画法はパレート最適解の中からしたがって，〝2＝（5／11）y．

（5）満足できる妥協的な解を得ようとするもので、目標計画法などは，あらかじめ意思決定者から要求水準やリである．

リグレットの大きさを目標ベクトルの長さに対応さグレット関数などの選好情報を要求して解を求める方法に属する．

せて表わすと，次のようになる．

意思決定者の選好情報を明示的に要求せずに，選好斤＝ノ（肌）2＋（わ2＝（146／11）・yl●（1乃J＝1（6）性に関する一定の仮定をおいて最適解を求める解法ととなる．このことから，L字型モデルの最通解を求めしては，意思決定者の理想とする目標空間上の点からるには，次のような最小化問題を解けばよい．の♪次距離の最小解を求めるものがある．

最小化：斤＝肌（7）また，解を探索する過程で，逐次的に選好情報を要求し，それを利用して最適解を求める対話型の解法も制約条件：

Gl：160∬1＋120」r2＋肌−Zl＝4000（8） 数多く開発されている．これは意思決定者がコン

Cl：160上れ十120tr2≧1800（9）G：60．れ＋20こr2十〝2一哉＝1600（10）

G：60Jl＋20∬z≧600（11） いったものを逐次修正しながら，最も満足できる解をピュータとの対話の過程で，解の集合についての情報を得るに従い，各目標の要求水準や重み，優先順位とylとy2の関係：択一（11／5）y2＝0（12） 探し出そうとする方法である．

工程1の制約：16」rl＋10．r2≦320（13）

工程2の制約：20∬1＋10．r2≦360（14） が意思決定者が答える代替率や加重の信頼性がそのま

外注部品制約：10こrl≦150

非負条件：れ，J2，釣，y2，Zl， z2≧0

Geoffrionら［4］の方法がその典型的な方法である（15） ま解の信頼性に関連するので，意思決定者が選好判断（畑 に自信がある場合でなければ有効ではない．このほか，

この問題はシンプレックス法で解〈ことができ，最BenayounらのSTEM［1］，SteuerらのFocus−in法

通解は，図1からも得られたように，Xl＝15，X2＝6，［7］，Wierzbickiの参考点法［9］などがよく知られてyl＝1276，y2＝580，Zl＝396，為＝0となる．

いる．

1996年8 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（27）445

また，制約条件は次のようであった．

4．フレキシフル計画法
経営目標の設定は，たとえば「利益をだいたい1億71：16．れ＋10∬2≦320￠カ7ち：20∬1＋10こr2≦360㈱円以上にしたい」というように，しばしばあいまいな7も：10∬1表現によって行なわれることが多い．目標設定にあい

れ：れ，エ2≧0

まいさを含むような計画問題に，Zadehが定義した

≦150

伽
㈲

Zimmermannは￠2）−e5）式のもとでeO）式とel）式をそ

ファジィ集合の概念をとりいれたフレキシブル計画法

れぞれ個別に最大化する解を求めておき，それをもと（flexibleprogramming）がZimmermann［6］［10］に前述の節びとgr上を決める方法を提案している．いま，［11］によって示されている．なお，フレキシブル計伽）式を最大にする解はれ＝0，∬2＝32であり，目標の達画法では，上述のようなファジィ目標と，「工程1の上成値は，Clが3840万円，Gが640万円である．また，（細限はだいたい320時間以下である」というようなファ式を最大にする解はJl＝15，J2＝6で，目標の達成値はジィ制約も同様に扱えるという特徴があるが，本稿でClが3120万円，Gが1020万円である．一般に別個の目は，後述のように数値例をg平面に表現して最適解の標がある場合には，∽個の解と対応する目標の値が得様子を調べてみるので，問題の制約条件はファジィ制られる．目標Gについて得られた∽個の目標値の最大約ではなく，通常の制約のまま扱うことにする．した値を節〃とし，最小値を蔀エとする．この例では，がって，以下の説明もファジィ目標を中心に行う．

劇U＝3840，釣⊥＝3120

全体集合Xにおけるファジィ集合Aは蛮U＝1020，威エ＝640

担：方→［0，1］である．

目標Clのメンバシップ関数として線形関数型を通なるメンバシップ関数によって特性づけられた集合である．〟A（∬）の値が1に近いほどJのAに属する度合が用すると，次のようになる．

大きく，0に近ければ∬のAに属する度合が小さい．
たとえば，目標Gfの達成水準を だいたいg∫〝以上に（（160れ＋12仇r2）−3120）／720〟1（∬）＝

したい という場合，達成水準＆（エ）がgビU以上ならばメンバシップ関数の値は1をとり，それ以下ならば1よ特性づけるものとする．

；3120≦釣（J）≦3840；蛮（J）≧3840

1

りも小さい（ただし，0よりは大きい）値をとり，gど⊥以下ならば0をとるようなメンバシップ関数によ， 威（∬）≦31200

この関数形を示すと，図2のようになる．って同様に，目標Gにも線形関数型メンバシップ関数を適用すると，次のようになる．

ファジィ目標をC∫（f＝1，2，・‥，雛），Gどのメンバシップ

仰（∬）＝m阜n（〃1（∬），〃2（わ，・・・，〟椚（∬）） 之（（60∬1＋20∬2）−640）／380〃2（∬）＝という1つの総合的なメンバシップ関数に統合する方式がよく知られており，これを最小オペレータ（mini−， 蛮（∬）≦6400

関数を〟f（∬）とすると，∽個のメンバシップ関数を：640≦威（J）≦1020：威（∬）≧1020

1

ファジィ最大化決定に基づいた定式化によると，こmumoperator）と呼ぶ．
〃1（Ⅹ）

BellmanとZadehによる最大化決定は，JJD（．r）の値を最大化するような∬を選ぶことであり，仰（∬り＝聖賢抑（J）となるJ＊を求めることである．ここで，方は実行可能領域を示すものとする．
Zimmermann［11］は上述のような複数のファジィ目標を持つ問題を定式化している．第1回連載の［例題2］をもとにしてその考え方を説明してみよう．
［例題2］の目標関数は次のようであった．
Gl：a（J）＝160tれ＋120∬2
G：威（J）＝60こrl＋20∬2
446（28）

鍋

3120

3840

図2 線形関数型メンバシップ関数© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ

帥●の問題は次のような最大化問題に変換することができ

ブル計画法はメンバシップ関数の最大化問題であるのる．

で，点G⊥からの等満足度線を考えることになる．
最大化：Z＝入㈹制約条件：

2回の連載において，主として多目標計画問題の取入≦（160tれ＋120こr2−3120）／720￠9入≦（60」れ＋20こr2−640）／380伽）

16tれ＋10∬2≦32081）

20∬1＋10J2≦360￠カ ケースから非線形のケースに移っている．また，0−110tれ㈲ 変数を扱った研究もみられる．対話型の解法やその比≦150Jl，∬2，入≧0●6．最近の動向り扱い方について紹介した．

複数の目的関数を持つ数理計画法の研究は線形の伽） 較研究は数多く行われているが，万能な解法はないの

この間題の最通解をシンプレックス法で求めると，で，利用者の状況や対象とする問題の性質をうまく生∬1＝8．465，∬2＝18．456であり，そのときの目標Glの達かした解法の開発が望まれるだけでなく，既存の解法成値は3569．1万円，目標G2の達成値は877．0万円であの中ではどれが有効なものかを判定できるようなガイる．この解はパレート最適解である．また，目的関数ドマップが必要になってきている．解法や事例に興味の値は入＝0．624となる．

がある方は，European Journalof Operational

5．目標ベクトル法とフレキシプル計画法の関連
ファジィ目標に線形関数型メンバシップ関数を適用

Research，Journalof the OperationalResearch

Spciety，MathematicalProgramming，Managemen
Scienceなどの雑誌に注意されているとよい．

し，最小オペレータを用いたフレキシブル計画法におところで，フレキシブル計画法の部分でも述べたよいて，gfUを目標ベクトル法での十分レベルgf5に，またうに，実際の経営計画では，目標水準を設定する場合gr上を必要レベル創0に対応させると，目標ベクトル法のなどで，意思決定者の主観的判断に関するあいまいさL字型モデルと同じ解が得られることがわかる［8］．

が生じることが多い．また各種経営資源（資金，設備，図3にg平面上での状況を示すと，・点Gエと点GUを人月，原材料，スペースなど）の利用についても，さ結んだ目標ベクトルに対して，点Cエから⊥字型の等満まざまな不確実性がともなう．フレキシブル計画法は，足度線を右上方向に伸ばしていき，それが最大になる可能性計画法における最もシンプルな手法であるが，点すなわち，点Eがフレキシブル計画法の最適解に

ここ数年の多目的数理計画法の分野では，ファジィ概なっている．

念などの不確実性の導入が精力的に行われている．研

目標ベクトル法はリグレットの最小化問題であるので，点CUからの等リグレット線を考えたが，フレキン●

究の対象となる問題領域も分数計画を含む非線形計画問題，0→1整数計画問題に拡張され，対話型モデルも開g2

C3120

GUGU

3840

図3 g面での図解（フレキシブル計画法）
1996年8 月号© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

（29）44丁

［6］坂和正敏，石井博昭，西崎一郎：「ソフト最適化」，発されている．

次回以降の連載では不確実性に対するさまざまなア

朝倉書店（1995）［7］Steuer，R．E．andSchuler，A．T，：

プローチを紹介する．

AnInteractive

MultipleObjectiveLinearProgrammlngApproach
参考文献

to a Problemin Forest Management，Operations

Research，Vol．26，No．2，pp．254−269（1978）［1］Benayoun，R．，deMontgolfier，J．，Tergny，J．and
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ObjectiveFunctions：StepMethod（STEM），Math−［8］山口俊和： ファジィ目標計画問題に対する一考察 ，オペレーションズ・リサーチ誌，Vol．34，No．6，pp．

ematicalProgrammlng，Vol．1，No．3，pp．366−375 257−268（1989）［9］Wierzbicki，A．P．：（1971）［2］福川忠昭，山口俊和： 多目的数理計画法とその周TheUseofReferenceObjec−

tivein MultiobjectiveOptimization，inFandel，G．

辺分野の現状と課題 ，日本経営工学会誌，Vol‥41，andGal，T（eds．）Mult4）leCriteriaDeciiionMaking：

No．4B，pp．B208−B216（1990）

771eOry and Amlication，Springer−Verlag，New［3］伏見多美雄，福川忠昭，山口俊和：「経営の多目標York，pp．468−486（1980）［10］Zimmermann，H．）．：

DescriptionandOptimiza−tion of Fuzzy Systems［4］Geoffrion，A．M．，Dyer，J．S．and Feinberg，A．：，InternationalJournalof計画」，森北出版（1987）

AnInteractive Approach for Multi−Criterion

OptimizationwithanApplicationtotheOperation
Of an Academic Department，Management Sci−ence，Vol．19，No．4，pp．357−368（1972）［5］坂和正敏

GeneralSystems，Vol．2，pp．209−215（1976）［11］Zimmermann，H，）．：

Fuzzy Programming andLinear ProgrammingwithSeveralObjectiveFunc−
tions，Fuzzy Sets and Systems，Vol．1，pp．45−55（1978）

目的へ＞」，森北出版（1984）●⑳ 珍 ⑳448（30）珍＋珍© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

オペレーションズ・リサーチ