なぜ a + b = b + a か
中西 渉 ∗
2022 年 12 月 26・27 日ある」というものであるが，だったらその「整1はじめに数」とは何なのだろう。自然数を定義する前に整数が定義されているというのは不自然な話ではないだろうか1）。そこでこの講座では，自然

我々は小学校以前の幼い頃から現在にかけて数の概念を取得し，高校生になった今ではかな数から順に扱っていくことにする。

り複雑な計算もしている。そのベースとなって2.1

いるのは，幼少期の素朴な体験に基づくものではないだろうか。たとえば 3 + 2 = 5 という計自然数は以下に述べる「ペアノの公理」で定算も，「りんご 3 個とりんご 2 個を合わせると，義するのが一般的である。

りんご 5 個になる」というように実物をイメー

自然数全体の集合 N は次の (1)〜(5) を満たジしたり操作したりして習得してきた。

すものとする。N の要素を自然数という。

しかし「りんご 3 個」はあくまでもりんごが(1) 1 は自然数である。すなわち 1 ∈ N。

3 個あるという，ものの状態を表しているので(2) N の任意の要素 n に対し，「後者」と言わあって，「3」そのものを表しているのではな

れる N の要素が 1 つずつ存在する。これ

い。では実物と切り離された，概念としてのを S(n) と表すことにする。

「3」とはいったい何なのか。それに対して行う(3) N のどの要素 n についても，S(n) = 1 とな「計算」とはどういうことなのか。この講座でることはない。

はそういった考察をしていこうと考えている。

2(4) N の任意の要素 n，m に対し，S(n) = S(m)ならば n = m である。

自然数とは(5) n に関する命題 P (n) が次の a)，b) を満たすならば，N の任意の要素 n についてここではもっとも基本的な「自然数」から話P (n) が成り立つ。

を始めることにする。そのためには，そもそもa) P (1) が成り立つ。

自然数とは何か，自然数の加法とは何かといっb) P (k) が成り立つことを仮定すれば，たことをまず定義することから始めなくてはいP (S(k)) も成り立つ。

けない。
よく言われるのは「自然数とは正の整数で∗ペアノの公理1） 同様に「実数とは有理数と無理数を合わせたものである」というのも，すごく不思議な説明である。無理数が実数より前に定義されているのだろうか。

名古屋高等学校1

(5) がずいぶんややこしいが，これは「数学定義 （自然数の加法）的帰納法」と言われるものであり，高校の数学でも自然数に関する証明で多用される。高校のn + 1 = S(n)(2.1)

n + S(m) = S(n + m)

(2.2)

数学では主に次のようなフォーマットに則って用いられる。

以下の証明では，この (2.1)，(2.2) に立ち(1) n = 1 のときに成り立つ

戻って計算が行われる。

(2) n = k のときに成り立つと仮定すれば，

例1n = k + 1 のときも成り立つ

3 + 2 = 5 であることを証明しなさい。

(1) により n = 1 のときに成り立つことが確定

証明する。すると (2) によって n = 2 のときも成り立つ。するとまた (2) によって n = 3 のときも成り立つ。すると…というように，すべての自3 + 2 = 3 + S(1)然数で成り立つことがわかる，ということだ。
大雑把にいうと 1 という最初の要素があり，1 の次の数 S(1)，そのまた次の数 S(S(1))，そ= S(3 + 1)∵(2.2)= S(S(3))∵(2.1)のまた…といった要素だけで構成されるのが N= S(4)だということである。ただし S(1) だの S(S(1))=5だのといった書き方をするとややこしくなるので，S(1) を 2，S(S(1)) すなわち S(2) を 3，問1

S(3) を 4，…と表すことにする。

2 + 3 = 5 であることを証明しなさい。

ここで重要なのは，たとえば「1」というものが何ものであるのかといったことについては3考えないということである。
注意

日本の高校までの数学では自然数は 1から始まるが，自然数に 0 を含める考え方もあなぜ a + b = b + a かいよいよ本講座の本題である，加法の交換法る。筆者は数学基礎論方面出身なので 0 を含め

則 a + b = b + a の証明に入る。しかしその前にる方が馴染みがあるのだが（集合論との親和性いくつかの補助定理（補題）を証明しなくてはが高いため），混乱するといけないのでこの講いけない。
定理 1 （加法の交換法則）

座では 1 から始まるものとする。なお，その違いは本質的なものではない。

a+b=b+a
補題 1.1

2.2 加法の定義

a+1=1+a

加法の定義は何通りかあるが，ここでは次の補題 1.2 （加法の結合法則）定義を採用するものとする。以下，n などの文

(a + b) + c = a + (b + c)
補題 1.3

字はすべて自然数を表すものとする。

a + S(b) = S(a) + b2

証明 （補題 1.1）

証明 （補題 1.3）

(2.1) に よ り a + 1 = S(a) で あ る か ら，

数学的帰納法を用いる。

1 + a = S(a) が成り立てばいい。数学的帰納法(1) a + S(1) = S(a) + 1 を示す。

を用いる。
(1) (2.1) から 1 + 1 = S(1) なので，a = 1 のと

a + S(1) = a + (1 + 1)∵(2.1)= (a + 1) + 1∵補題 1.2

き成り立つ。
(2) 1 + k = S(k) が成り立つと仮定すると，
1 + S(k) = S(1 + k)∵(2.1)= S(S(k))∵(2) の仮定= S(a) + 1∵(2.1)(2) a + S(k) = S(a) + k が成り立つと仮定す
ると，となり，1 + S(k) = S(S(k)) が成り立つ。

a + S(S(k)) = S(a + S(k))∵(2.2)= S(S(a) + k)∵(2) の仮定= S(a) + S(k)∵(2.2)(1)(2) により，補題 1.1 は成り立つ。
証明 （補題 1.2）となり，a + S(S(k)) = S(a) + S(k) が成り数学的帰納法を用いる。

立つ。

(1) (a + b) + 1 = a + (b + 1) を示す。

(1)(2) により補題 1.3 が成り立つ。
(a + b) + 1 = S(a + b)∵(2.1)= a + S(b)∵(2.2)= a + (b + 1)∵(2.1)

証明 （定理 1）
数学的帰納法を用いる。
(1) 補題 1.1 により a + 1 = 1 + a である。

(2) (a + b) + k = a + (b + k) が成り立つと仮定(2) a + k = k + a が成り立つと仮定すると，すると，(a + b) + S(k) = S((a + b) + k)∵(2.2)= S(a + (b + k))∵(2) の仮定= a + S(b + k)∵(2.2)= a + (b + S(k))∵(2.2)

a + S(k) = S(a + k)∵(2.2)= S(k + a)∵(2) の仮定= k + S(a)∵(2.2)= S(k) + a∵補題 1.3(1)(2) により定理 1 が成り立つ。となり，(a + b) + S(k) = a + (b + S(k)) が成り立つ。
(1)(2) より補題 1.2 は成り立つ。

3

(a, b) と (c, d) は a + d = b + c を満たすとき

4

拡張に限り同じグループとする
そのようなグループ全体の集合を Z と考える。

ここで得られた結果はあくまでも自然数の加このような集合を商集合といい，数学ではよく法に関する法則である。これの拡張として，次使われる手法である。のようなものが考えられるであろう。

素朴な考えによればこれは，(a, b) の属するグループと整数 a − b を同一視するというこ

4.1 減法・大小関係の定義とである。自然数 a は (a + 1, 1) の属するグ

自然数では引き算が必ずしもできるとは限らループとして，整数の一部と考えることができない。大きい数から小さい数を引くことしかでる2）。ここに加法などの演算を更に定義して，きない。それどころか「大きい」「小さい」といろいろな法則を導くことになる。

いう関係についてもまだ定義ができていない。

4.3

たとえば次のような定義を考えてみる。
定義 （自然数の大小関係・減法の定義?）

有理数への拡張

有理数の加法の交換法則を証明するためにa + c = b となる自然数 c が存在するとき，は，まず有理数全体の集合 Q を定義し，さらa < b と定める。また，c を b − a とする。
この定義がうまくいくためにはいくつかのことにその上での加法を定義する必要がある。
よくある方法は，整数の対 (a, b) 全体（ただを証明しなくてはいけない。たとえばし b 6= 0）を次の方法でグループ分けして，その各グループを 1 つの有理数と考えるというも• a < b と a = b が同時に成り立つことはなのである。

いか。
• a < b と b < a が同時に成り立つことはな(a, b) と (c, d) は ad = bc を満たすときに限り同じグループとするいか。
• a = b も a < b も成り立たないとき，必ずそのようなグループ全体の集合を Q と考える。
これも素朴な考えによれば，(a, b) の属するaグループと有理数を同一視するということbである。整数 a は (a, 1) の属するグループとしb < a が成り立つか。
• a + c = b となる c が存在するとき，それはただ 1 つに定まるか。て，有理数の一部と考えることができる。ここあるいは次に述べるように整数まで数を拡張しに加法などの演算を更に定義して，いろいろなてから引き算を考えてもいいのかもしれない。

法則を導くことになる。

4.2 整数への拡張

4.4

整数の加法の交換法則を証明するためには，実数への拡張

自然数から整数，整数から有理数というようまず整数全体の集合 Z を定義し，さらにその上に数の範囲を拡張してきた。それもよく似た手での加法を定義する必要がある。

法によってであった。ところが実数はそう簡単

よくある方法は，自然数の対 (a, b) 全体を次にはいかない。ここまで 2 つの自然数で 1 つのの方法でグループ分けして，その各グループを2） 自然数に 0 を含めていれば，ここは (a, 0) の属するグループというふうに簡単に表せる。

1 つの整数と考えるというものである。
4

整数，2 つの整数で 1 つの有理数を定義してき5

たが，実数を 1 つ定義するには無限の有理数を必要とするので本質的に難しい。
√2 や π などの無理数は簡単に導入されたよ

余談
せっかくなので，自然数に関わる有名な問題うに思われるかもしれないが，実はそういったについて触れておく。

「有名」な無理数はほんの一部でしかない。ほ5.1

とんどの無理数は特別な性質を持たないため，それを有理数で表そうとすると無限が必要にな

Bertrand–Chebyshev の定理

素数に関する有名な定理がある。
定理 2 （Bertrand–Chebyshev の定理）

るのである。高校数学で導入される虚数について，よく「実際には存在しない数」という言い任意の自然数 n に対し，n < p 5 2n を満た方がされるが，実は実数の方が相当の無理をしす素数 p が存在する。
これはベルトランの仮説にチェビシェフが証明て導入されているのだ。クロネッカーが「円周を与えたものである。チェビシェフの証明はガ率（あるいは超越数）は存在しない」と言った

ンマ関数を用いた高度なものであったが，のちのも，このような面からの彼の信念だったのだにポール・エルデシュが高校数学の範囲での証ろう。

明を与えた（当時彼自身高校生であった）。筆

4.5 なぜ a × b = b × a か者は『教室に電卓を!』（一松信著）に掲載されていたその証明に感銘を受けた。

まず自然数について証明することになるが，5.2その前にまず乗法を定義する必要がある。
問2

Collatz の予想

コラッツの予想（コラッツ・角谷予想）は非自然数の積を定義しなさい（既に定義されて常に有名なものである。実は期末テストの問題いる和は用いて良い）。

II(5) のフローチャートはこれがネタである。
予想 3 （Collatz の予想）

n×1=(4.1)

n × S(m) =(4.2)

任意の自然数から始めて，次の操作を繰り返すと有限回で必ず 1 になる。
• それが偶数なら 2 でわる

問3• それが奇数なら 3 倍して 1 を足す
たとえば 7 で始めると 7 → 22 → 11 → 34 →任意の自然数に対して次の法則が成り立つことを証明しなさい（既に証明されている和の性

17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 →質は用いて良いし，いくつかの補題も必要にな

16 → 8 → 4 → 2 → 1 という具合だ。かなり大るだろう）。

きい数までの範囲まで例外がないことが確認されているが，証明はされていない。とはいえ取

a×b=b×a(4.3)(a × b) × c = a × (b × c)

(4.4)

れているようではある。筆者自身は小学生の頃

a × (b + c) = a × b + a × c(4.5)

これを知ったものの，当時は「証明されていなり組んでいる人は多く，いろいろな結果が得らい」ということの真意がわからなかった。
55.3ない。1 になるまでの回数は 10 億桁くらいにGoodstein の定理なるのだから。

グッドスタインの定理はそれ自体かなりややこしいものであり，成立することのイメージを4 = 22

作ることも難しいのだが，非常におもしろい内2 を超基底として表す→ 33 − 1 = 26

容を含んでいる。

2 を 3 に置き換えて 1 を引く定理を述べる前の準備として「n を超基底と26 = 2 · 32 + 2 · 31 + 2 · 30

して整数を表現する」という操作を定義しておくことにする。例として，2 を超基底として 233 を超基底として表す

を表すと次のようになる：→ 2 · 42 + 2 · 41 + 2 · 40 − 1 = 41

2 進法で 23 を表現すると 2 + 2 + 2 + 142

1

3 を 4 に置き換えて 1 を引くとなる。この指数（あるいは指数の指数，

41 = 2 · 42 + 2 · 41 + 40 4 を超基底として表す

そのまた指数…）に 2 より大きい数が現れ→ 2 · 52 + 2 · 51 + 50 − 1 = 60

ないように，それらをすべて 2 進法で表現

4 を 5 に置き換えて 1 を引くする。つまり 23 は 22 + 22 + 21 + 1 と表さ2...

れる。
同様にたとえば 514 を 2 を超基底として表す
3と，514 = 29 +21 = 22 +1 +21 = 2{2(2+1)+1}

この定理がおもしろいのは，どう見ても整数+21に関する定理でありながら，整数論では証明もとなる。
定理 4 （Goodstein の定理）

反証もできないことが証明されているという点である3）。1981 年にカービーとパリスによっ

次 の 操 作 を 続 け る と，有 限 回 で 必 ず 1 にて，グッドスタインの定理が正しければペアノなる。の公理からなる整数論の無矛盾性が示せること(1) 任意の自然数をとるが証明された。したがって Gödel の第二不完(2) その数を，2 を超基底として表現する

全性定理により，ペアノの公理からなる整数論(2’)そこに現れる 2 をすべて 3 に置き換えてかではグッドスタインの定理は証明できないこと

ら 1 を引くがわかる。

(3) その数を，3 を超基底として表現する

6(3’)そこに現れる 3 をすべて 4 に置き換えてから 1 を引く(4) その数を，4 を超基底として表現する

おわりに
筆者自身は高校生の頃『解析概論』（高木貞(4’)そこに現れる 4 をすべて…

治著）を読む中で実数の定義に出会い，数や計…
具体的には次のようになる。たとえば 4 から算がどのように定義されていくのかということについて興味を持った。この講座で考えたこと始めると次のようになり，これをずっと繰り返が，数学を楽しむ上で何かの意味を持てば幸いすといつかは 1 になるというのである。断ってだと考えている。

おくが，この続きを実行しようと考えてはいけ
3） 定理の証明は集合論などを用いれば可能。

6