欠席率を考慮した第1 段階選抜倍率の決定について

欠席率を考慮した第1段階選抜倍率の決定に
ついて
千葉大学

田栗

正章，橋本

良彦

（以下2 次試験と呼ぶ）の受験者数が示されて

はじめに

1

明浩,今野

いる。この表の詳しい説明は，2 .1節に与えて大学入試センター試験を利用する大学入試ある。これより，学科にもよるが例年かなりにおいて,センター試験の成績により第1段(3 ~ 7 割程度）の欠席者のいることが分か

階選抜を行う場合がある。その理由としては，る。例えば平成5 年度のA学科では，第1段

次のようなものが考えられる。

階選抜を行って102名の志願者を35名にして囚 個別学力試験で実験や実習を行わせる必いる。 ところが実際に個別学力試験を受験し要があるが，実験器具等の数の制約のため第た人数は13名であり，欠席者数は22名（欠席

1 段階選抜を行う。また個別学力試験で面接率は62 .9%）であった。したがって結果的にを行う必要があるが，時間等の制約から第1

いえば，第1段階選抜では35名にまで減らす

段階選抜を行う。

必要はなく， この観点だけからは，少なくと⑧

大学入試センター試験と個別学力試験のももう22名は第1段階選抜で合格としてもよ

合計で最終的な合否を決定する場合，個別学

かったことになる。このような事情は，程度

力試験での逆転が，ほぼ不可能と考えられるの差こそあれ，多くの大学の選抜単位で起こため，第1段階選抜を行う。

りうるものであろう。

ところで，第1 段階選抜は可能な限り行わ

それでは個別学力試験における欠席者数をない方が望ましいと考えられる。実際，個別どの位に見込んで，第1 段階選抜合格者数を学力試験で満点をとっても最終的に逆転合格決定すればよいのであろうか。この問題は,が不可能な場合でさえ，受験料を返却するこ

欠席者を見込んで第1段階選抜の合格者を実とが困難な状況では，第1 段階選抜は行うべ験器具や時間等の制約を越えてとった場合，きでないとの議論もある。また今年度のよう見込んだほど欠席者がいなかったときに生じに，大学入試センター試験の平均点に科目間るリスクがどの程度重大であるかに依存して,格差がある等の理由により，できるだけ第1

解析の方法を考えるべきであろう。しかしこ

段階選抜を行わないようにとの指導が行われこではこの問題を，欠席者数が各種の制約をる場合もある。

越える確率が十分小さくなるように受験予定

そこで本論では，上記囚のような場合に，者数を決定するという問題として捉え，それ第1段階選抜で不合格となる志願者数をできに対する1つの解法を検討する。次の第2 節

るだけ少なくするための1つの試みについて

では，この解析のためのモデルを作成し，そ考察する。上記⑧の問題については,矢野他

れに基づく解析方法を与える。実際データを(1990)に1つの考え方とその解法が提案され用いての解析結果とその検討は，第3 節で議

ている。

論する。

表1には,千葉大学の4 つの学科の過去5

最後の第4 節では，得られた結果をふまえて，いくつかの留意点を述べる。

年間の後期試験における志願者数，受験予定者数（第1 段階選抜後の人数）,個別学力試験-21 -大学入試研究ジャーナル第8 号

表1：志願者と2 次試験受験状況

年
度
にJ

6
7
只
〕

q】

2

A 学科

B 学科

C 学科

D 学科

志願者 受験予定 受験者

志願者 受験予定 受験者

志願者 受験予定 受験者

志願者 受験予定 受験者（倍率）者（倍率）［受験率］（倍率）者（倍率）［受験率］（倍率）者（倍率）［受験率］（倍率）者（倍率）［受験率］
102

35

13

88

51

37

182

120

78

55

42

27

(25.3)(8.8)[37.1]

(5.9)

(3.4)

[72.5](10.7)(7.1)[65.01

(9.2)

(7.0)

[64.3]

76

40

22

128

61

27

153

119

80

47

52

29

(15.2)(8.0)[55.0]

(8.5)

(4.1)

[44.3]

(9.0)

(7.0)

[67.2]

(7.8)

(7.0)

[69.0]

99

40

13

99

65

37

173

119

79

48

48

27

(19.8)(8.0)[32.5]

(6.6)

(4.3)

[56.9](10.2)(7.0)[66.4]

(8.0)

(8.0)

[56.3]

133

72

36

102

63

34

172

119

77

53

42

26

(16.6)(9.0)[50.0]

(6.8)

(4.2)

[54.0](10.1)(7.0)[64.7]

(8.8)

(7.0)

[61.9]

144

143

89

241

150

77

177

177

121

55

55

29

(10.3)(10.2)[62.2]

(8.0)

(5.0)

[51.3]

(6.8)

(6.8)

[68.4]

(9.2)

(9.2)

[52.7]

ろう。

欠席者を考慮した受験予定者数の決定

いま,機器や時間等の制約から2 次試験を受けさせることのできる最大人数をα，第12.1 与えられるデータと問題の定式化

段階選抜合格者数（受験予定者数）をn, 2

表1には，千葉大学の4 つの学科（A, B ,次試験受験者数をx とし，R =X /n（受験C , D 学科とした）の，平成5 年度から9 年率）とおく。このとき問題は，欠席者数が少度にわたる過去5 年間の後期試験における志なくて各種の制約を越えてしまう確率が十分

願者数，受験予定者数（第1段階選抜後の人小さくなるように受験予定者数を決定するこ数），個別学力試験（2 次試験）の受験者数をとである。言い換えれば，受験者数X が制示している。各マス下段の（ ）内の数字は定約限度人数α以下である確率Pr[R 玉α/ nj

員に対する倍率を，[］内の数字は受験予定

を十分大きく（例えば1 -α以上に）するよう者数に対する受験者数のパーセント（受験率）に受験予定者数n を決定することである。すを表している。ここで，平成9 年度入試におなわち

いては，A, C , D 学科では第1段階選抜を

Pr [R <a /ni と1 ―α

行わなかった。平成9 年度のA学科で，志願者数と受験予定者数が食い違っているのは，が成り立つようにn を決定することが問題指定された選択科目の誤りによる失格者; 1である。

名いたためである。
この表中の［2 .2］内に示された受験率を見受験率が安定している場合の解析

ると， C , D 学科ではその値は年度によらず

第1段階選抜合格者の受験行動について最

比較的安定しているが，A, B 学科の値は年も単純なモデルは，各受験生が一定の確率p度によるバラツキが大きい。したがって解析で2 次試験を受験し，1 一p で欠席するといに際しては， この点を考慮に入れるべきであ

うものであろう。このようなモデルの下では，-22 一

欠席率を考慮した第1段階選抜倍率の決定について

2 次試験受験者数X は2 項分布にしたがうる。

確率変数となり，したがって2.1節で定義した

2 .3

R も確率変数となる。このときR の標本分
布は，中心極限定理により近似的に正規分布
N

受験率が変動する場合の解析

本節では，表1 におけるA, B 学科のように，年度によって受験率がかなり変動する場

ゆ，p(1 一p)/n）となる。したがって，次式が成立しなければならない。

合についての検討を行う。3.1節の図1で示す

Iケ「 ー R~p
＜ 一a/n~p l =1 ―αマP(1一p )/n一√p(1 -P）ノn」

ように，特に受験率p が小さい場合には，(1)によって求めた第1段階選抜合格者数n の

ここで，zαを標準正規分布の上側100 αパー

値が大きく変化する。そこで，年度毎に2 次セント点とすれば，試験出席率がかなり変動する場合にはp を確率変数と考え，十分大きな確率でp が存在

a/n -pすると考えられる（片側）区間の上端の値を

p (1一p）ノn一2α

計算し，その値を用いてn を決定することをでなければならない。これをn について解け考える。
いま，ある学科（選抜単位）における過去

ば，n >0 よりn は次式を満たさなければな

K 年度分の受験率のデータ（nた， rk) (k =

らない。
n=

4

a2

1, 2,

{za 灰1-7了＋√Zるp(1一p )+4 ゆ｝2,K ）が与えられたとする。ここでnk は第k 年度の受験予定者数で，n=(1)~k =1nk' Wk =flk/fl とする。また，XkJ

したがって，年度によって受験率が安定して第k 年度のI 番目の受験生が受験するか否いる場合には，(1）式を用いて第1 段階選抜合＝タnk ,XL/nL-RL
かかキす確窒変数ンLノJ‘でニイ又’1J隹与コユ2文ダx、こーレ・
ハた一~I = i -- 万ノnk

格者数n を決定すればよいが，その具体的なとおく。すなわちRnk は第k 年度の受験率

手順は以下の通りである。

を表す確率変数であり，その実現値をrk と1。 実験器具の数や面接時間等を考慮して,する。ここで,確率変数x層および第k 年

2 次試験を受けさせることのできる最大人度の受験率pk（確率変数）の分布について,

数αを決定する。

次の仮定をおく。
①

2。 実験器具の数の制約や面接時間の制約等

x 匂は，互いに独立にパラメータpk をもつベルヌイ分布にしたがう。

がどの程度重要であるのかに応じて，それ② pk は，互いに独立にパラメータβ，γをに対応するZa の値を標準正規分布表から

もつべータ分布にしたがう。

求める。
3。 過去のデータから， p のおおよその値を

このとき問題は，考察対象とする学科にお求める。例えば過去数年間の受験率の平均

ける第（K +1 ）年度の受験予定者数nK +i

値を計算し，それをp の値とする。

を決定することである。ところでnK +l_αノ4。 (1）式を用いて， n の値を計算する。

pK +1であればよいから，結局第（K +i ）年［註］ (1)において近似的な計算を行うと， 4度の受験率pK +iを決定すればよい。したがαノ2るの値が1 に比べて十分大きい場合にって，実験器具の数や面接時間等の制約から

は， p の値が非常に1 に近くない限りは，n要請される信頼度を1 一αとすれば,次式をはp に関して単調減少となっていることが満たす受験率PK +1 の上限Ca を決定すれば分かる。したがって3。の手順においては，p のよいことになる。

値を少し大きめに与えておいた方が安全であ-23 -大学入試研究ジャーナル第8 号

Pr

計算する。

a]=1 ―αβ＝m可ところで上の②より，Pk + 1 はべータ分布に

j =m(1 -rn) 1

したがうと仮定しているが，そのパラメータS。

5。 数値積分法等を適用して，次式を満たす

β，γの値は推定しなければならない。与えらCa の推定値を求める。

れたデータからこの分布の平均と分散は推定できるので，ここではモーメント法により，戸，?)d =1一α,I rfβ，γの推定を行うことにする。べータ分布の
平均，分散を/2, び2とし，データから計算さここでfp ⑦戸，タ） はべータ分布の確率密れる平均，分散をm, S2とすれば，モーメン

度関数である。
6。 次式により，第（K +i ）年度の受験予定

ト推定のための方程式は次式で与えられる。

者数nK + 1の値を計算する。

「~ /1 =n fl
l 一一＝I'n ,I

P 十γ

nKH-1 =i

α

~ 一21

βγ

一一2

〔。一（β＋γ十1 )(fl+y)2－。

3

受験予定者数の予測結果と実際の結果との比較

これをβ，γについて解けば，次のモーメン
ト推定値β，タを得る。

3.1 受験率が安定L ている場合

β＝m可

本節では，2 .2 節で述べた方法により，考11．二山'.
- L_
1 である。これらの察対象とする学科の受験予定者数（第1段階

値を用いれば，(2）式におけるCa の推定値ごα

選抜合格者数）を決定する計算例を与える。

合 m (1一m)
ただし・ J=“、な2 v/［例1］平成9 年度のC 学科の場合を求めることができ，したがって第（K +1 )年度の受験予定者数nK + 1を決定することが表1のC 学科では， 2 次試験に用いる器具

可能となる。具体的な手順は次の通りである。

の制約から，制約限度人数はα= 120と考え1。 実験器具の数や面接時間等を考慮して，られた。また， 2 次試験受験率が予想を越え

2 次試験を受けさせることのできる最大人て高かった場合でも，試験に用いる器具の調数a を決定する。

達が何とか可能であるような手はずが整えられるので，信頼度は1-α＝0.975とすること2。 実験器具の数の制約や面接時間の制約等
がどの程度重要であるのかに応じて，要請にした。この信頼度に対応する

する信頼度1 一αを決定する。

z0025 =1.96である。そこでこの場合についs2を計算する。

n の値のグラフを描くと，図1 のようになる。

K

ところで表1 より,C 学科ではp の値は年度

m＝恩wkrk

度までの受験率の平均値は0 .658である。そこ

?］た

～

k
u

1K

n

K

1 ～ 乏1によらず安定しており，平成5 年度から8 年

mk

1

の値は

て, (1）式を用いてp の値を変化させた場合の3。 与えられたデータから，次式により m ,

s2=

Za

で図1 からp =0 .66に対応するn の値を読』みとると，n =160程度となることが分かる。

m2 紅km)上で与えた値を（1）式に代入して計算すると，
n =164.3となる。したがって平成9 年度に第4。 次式により β, γのモーメント推定値を-

24 -

欠席率を考慮した第1段階選抜倍率の決定について

1 段階選抜を実施する場合～こは，n = 164とす

験率がこのままであったと仮定すれば,実受

ればよさそうであった。

験者数は55X0 .527 = 29 .0となり，制約限度人ところで平成9 年度の場合には，なるべく数42を越えなかったこと｝こなる。また少し安第1段階選抜を行わないようにとの指導がな

全なように，p の値を過去の最大値0 .690としされたので，実際には第1段階選抜は実施さた場合を考えてみると，(1）よりn =51.4となれなかった。表1 i:示されているように，平る。上と同様に受験率が0 .527であったとすれ

成9 年度の実際の受験率は0 .684であった。もば，この場合の実受験者数は51X 0 .527= 26.

し第1段階選抜を行った場合でも，受験率が9 となり,制約限度人数42に対し15人程度の余

このままであったと仮定すれば，実受験者数裕があったことになる。

は164 XO .684 = 112 .2となり，制約限度人数

3 .2

120を越えなかったことになる。

受験率が変動する場合

ここで2 .2節の註で述べたように，少し安全

本節では，2 .3節で述べた方法により，考察なようにp の値を決定した場合を考えてみ対象とする学科の受験予定者数（第1段階選る。かりにp =0 .70とした場合には，(1）より抜合格者数）を決定する計算例を与え，そのn =155.4となる。上と同様に考えて受験率が計算結果が現実の結果とどの程度符合してい0 .684であったとすれば，この場合の実受験者

るのかを論ずる。

数は155X0 .684 =106.0となり，制約限度人数［例3 ］ 平成8 年度のA , B 学科の場合

120に対し14人程度の余裕があったことにな

表1 のA, B 学科では， 2 次試験での面接時

る。

間や用いる実験器具の制約から，平成8 年度

この計算から分かるように，現実の多くのにおける制約限度人数は，それぞれaA =72'

場合においては，p の値を少し安全なように

aB _63 と考えられた。また，信頼度｝こついて見積もっておいても，第1 段階選抜人数の変は1 一α＝0 .975でよいと判断された。また表化はあまり大きくはないと考えられる。

1 から読みとれるように， これらの学科にお［例2 ］ 平成9 年度のD 学科の場合

ける過去の受験率の値は，かなり大きく変動

表1のD 学科では， 2 次試験に用いる器具している。そこでここでは2 .3節で与えた手順の制約から，制約限度人数はα=42と考えらにしたがって,それぞれの学科に対するn のれた。またC 学科の場合と同様，信頼度は1 ー値を計算してみた。

a = 0 .975でよいと判断された。表1 より，D

具体的には，平成5 年度から7 年度までの学科でもp の値は年度によらず比較的安定

過去3 年分のデータを用いて，平成8 年度にしており，平成5 年度から8 年度までの受験

おけるn の値を計算した。この結果は表2 に率の平均値は0 .629である。そこでこれらの値まとめられている。

を（1）式に代入して計算すると，n = 55 .6とな

この表において，推定人数n はn =a/ea

る。したがって平成9 年度に第1段階選抜をによって計算した。また受験者推定値は，も実施する場合には，n = 55とすればよさそう

し第1段階選抜者数をn としたとき，実際にであった。

受験したであろうと考えられる人数を意味しところで平成9 年度の場合には， C 学科とている。この値は，n に平成8 年度における同様D 学科においても，実際には第1段階選それぞれの学科の受験率の実績値を掛けて得抜は実施されなかった。表1 に示されているられたものである。例えばA学科の場合には，

ように，平成9 年度の実際の受験率は0 .527で平成8 年度の実際の受験率は0 .500であった

あったが，第1段階選抜を行った場合でも受ので，受験者推定値は119 ><0 .500 = 59 .5とな
- 25 -

大学入試研究ジャーナル第8 号

1100
1000
900
800

~

700
600
500
400
300
200
100
01

a2

a3

0.4

p

a5

a6

0.7

08

図1
：受験率p に対する第1段階選抜合格者数n の変化例

る。これらの計算結果を見ると，2 .3節で与え

表2‘平成5 -7 年度のデータからた方法によって第1段階選抜合格者数を決定

平成8 年度を推定した場合しても，大きな問題はなさそうである。
［例4 ］ 平成9 年度のA , B 学科の場合

A 学科

B 学科

72

63

0.601

0.797

推定人数n

119

79

受験者推定値

59.5

42.7

差（余裕数）

十12.5

+20.3

制約限度数a［例3 ］と同様な考え方によって，次に表売の値

1 のA, B 学科の平成9 年度における第1段
階選抜者数n を決定し，実際のデータとの比較を行ってみよう。
上でも述べたように，平成9 年度においては，大学入試センター試験の平均点に科目間格差があるとの理由により，可能な限り第1段階選抜を行わないようにとの指導があった。
そこでA学科においてはこれを行わないことったので，受験予定者数，Cαの値，それらのにしたが， B 学科では2 次試験で実験を行わ値の積として得られる予想受験上限，実際のせる必要があるため，多少の第1段階選抜を

受験者数およびそれと予想受験上限の差を，行わざるを得なかった。したがって下の表3

表3 としてまとめた。ここでCαの値は,平に示すように,A, B 学科の制約限度人数は，

成5 年度から8 年度までの過去4 年分のデー

それぞれaA ='43' aB -lSOと考えられた。

タを用いて，2 .3節で与えた方法により計算しこの場合A 学科では第1段階選抜を行わなか

た。
-26 -

欠席率を考慮した第1段階選抜倍率の決定について

表3

方法（例えばブートストラップ検定等）によ

平成5 -8 年度のデータからって科目間の得点に統計的有意差が認められ

平成9 年度を推定した場合
A 学科

た場合には，第1 段階選抜を極力避けた方がB 学科よいと考える。
制 約 限 度 数 a

143

150

値

0 .5900 .739

予想受験上

限

84 .4

110 .9段階選抜人数を決定する方法について，過去

実 受

験

数

89

77

の受験率が比較的安定している場合と，かな

差（余

裕

数）

-4 .6

+ 33.9

4
C

の

おわりに
前節までにおいて，欠席者を考慮して第1者

り変動している場合に分けて考察を進めた。
そこでは，受験予定者が受験する確率p は年度によらずすべての受験者に対して一定とこの表より，A学科においては僅かではあ仮定した。しかし試験の得点が高い場合は受るが，かなり安全に見積もった予想受験上限

験率が低くなる（または高くなる）といった，を越えて，実際の受験者があったことが分か

より現実的と考えられる仮定をおいた場合にる。 これは第1段階選抜を行わないと，それを行うことを想定して構築したモデルが当ては，例えばロジスティ ック・モデルのような，はまらなくなる可能性のあることを示唆してさらに複雑なモデルを考える必要がある。しかし，表1 のような限られたデータから多くいるとも考えられ，解析に際して十分注意すの未知母数を含む複雑なモデルを推定するこべきであろう。

とは，モデルの適合性や安定性などを検討す

次にB 学科では平成9 年度においても第1る上で問題が多いと思われる。この点につい段階選抜を行ったので，［例3 ］と同様な考察ては，今後の検討課題としたい。

を行ってみよう。この場合aB =150, Ea =0.

次に，過去の受験率がかなり変動している

739であるから，推定人数はn = aB/c ,_ 150ノと考えられる場合については，受験率p をべ

0 .739 =203.0となる。 ところで平成9 年度のB 学科における受験率は0 .513であったから，ータ分布にしたがう確率変数と考え,分布のパラメータをモーメント法によりデータから

予想受験者数は203X0 .513 =104 .1と計算で推定する方法を提案した。この方法を表1 のき，余裕数は150 - 104 .1 =45 .9となる。したC 学科やD 学科のように，過去の受験率が上ヒがってこの場合においても,2 .3節で与えた方較的安定している場合に適用するとどのよう法は有効であると考えられる。なおB 学科でな結果が得られるであろうか。3 .2節の［例3 ]は，科目間格差のあった平成9 年度においておよび［例4 ］と同様な検討を行ったところ，も第1段階選抜を実施したが，これは実験器
具数の制約からやむをえず行ったものである。

C 学科についてはCa の値がうまく求められなかった。またD 学科についても，平成8 年［註］ 科目の平均点にどの程度までの得点差度の予測はうまくいかなかった。現在その原があった場合には，第1段階選抜を行うべき

因を検討中であるが，分散推定値s2を工夫しでないという検討は，極めて難しい問題であなければならない可能性がある。しかし平成ろう。その1つの原因は科目間の得点差が本当に問題の難易度によるものなのか，その科

9 年度のD 学科の解析においては, ごα＝0 .

目の受験層の質の違いによるものなのかが分

870，予想受験上限＝47.9，実受験者数＝29,

離できない点にある。したがって,何らかの余裕数＝+ 18 .9となり，妥当と思われる値が得られている。したがってこの点についても，-27 -大学入試研究ジャーナル第B 号

今後検討を進めなければならないと考えている。
最後に，2 .3節で考察した問題は，定式化の仕方によってはベイズ統計におけるK群の確率の推定問題とも考えられる。今後
Shigemasu & Mayekawa (1996）等の文献を参考にして，この問題についても検討していく予定である。
謝

辞本研究に関して，大学入試センター研究開
発部の前川眞一先生には大変有益な助言を頂きました。特に第4 節の最後の点は,前川先生のご指摘によるものであります。ここに厚く御礼申し上げます。
参考文献[1 ］ 矢野一幸，大内俊二，田栗正章：大学入試における予備選抜倍率についての検討，行動計量学，17-2, 25-33 (1990).
[2 ] K .Shigemasu and S.Mayekawa: A
Bayesian hierarchical linear modelwith educational applications, J.Jap.
Statist.Soc, 26-1,1-23 (1996).