半無限積分に対する切断 Gauss 則M2013SS012 上岡 航平
指導教員：杉浦はじめに1洋である．具体的には，小さい数 ε1 > ε2 に対して，∫ ∞max |f (x)| ≦ ε1 ,|f (x)|dx = ε2

切断 Gauss 則とは Gauss 積分則の部分和として定義さx≧aれる積分則であり，具体的には急減少関数の無限積分や半2a無限積分で，0 に近い標本値を計算から省いて得られる． となるように a を定める．誤差は，例えば急減少関数の半無限積分では半無限区間 [0, ∞) に∫ ∞∫ a
おける積分を有限区間 [0, a] に打ち切り，それを Gauss 則
f (x)dxf (x)dx −Ia(n) − I = Ia(n) −a0で近似する方法が行われてきた．この Gauss 積分則において右端点 a 近傍の標本値は非常に小さいので省いても なので∫ ∞∫ a
精度にほとんど影響しない．このような操作を組織的に(n)(n)f (x)dxf (x)dx +行い，計算量を削減することが切断 Gauss 則の基本的な |Ia − I| ≦ Ia −a0∫
アイディアである．
a≦ Ia(n) −f (x)dx + ε

Gauss 積分則

20

∫ 2a

∫ a
≦

［定理 2.1］n 点 Gauss 公式について次のことが成り立つ．
(i)f (z) が複素平面の楕円

Ia(n) −f (x)dx
2aa∫ a≦ Ia(n) −∫ ∞f (x)dx +f (x)dx +0(3)f (x)dx + aε1 + ε20ε(ρ) = {z ∈ C | |z + 1| + |z − 1| = ρ + ρ−1 } (ρ > 1)
およびその内部を含む複素領域で正則のときには，十分大きい n で| 誤差 | ≦π(ρ + ρ−1 )max |f (z)|．
ρ2n−1 z∈ε(ρ)(1)(ii)f (z) が ε(ρ)(ρ > 1) およびその内部を含む複素領域で有理型であり，特異点が ε(ρ) 上にある１位の極のみであるときには，| 誤差 | ≦C．
ρ2n(2)

ここで C は f と ρ に依存する定数．

第１項は有限区間上の積分に対する Gauss 則の誤差で小さいと期待できる．第２項は ε1 , ε2 を小さくとれば，いくらでも小さくなる．f (x) が x → ∞ で急減少すれば aは小さくとれて，効率的な近似となる．

3

切断 Gauss 積分則

3.1

積分公式

半無限区間 [0, ∞) 上の急減少関数 f (x) で |x| <<1 (x ≧ a) を仮定する．整数 m > n をとり，区間 [0, a(m) ]，(m)a(m) = 2a/(xn + 1) > a 上の積分を m 点 Gauss 則で近似すると( (m)) ∫ a(m)ma(m) ∑ (m)a(m)(m)Ia(m) =
wl f
(xl + 1) ∼f (x)dx.
=
220
l=1

2.1

半無限区間の Gauss 則

x > a で |f (x)| は小さいと仮定したので，近似積分則( (m)) ∫ an∑
a(m)
(m)
(m,n)
Ia:=wl f(xl + 1) ∼f (x)dx=20

半無限区間 [0,∞) の積分∫ ∞f (x)dx
I=l=10が得られる．ここでに対する標準的な Gauss 則の適用法を述べる．
∫ a
I = limf (x)dxa→∞a(m) (m)a(m) (m)(xl + 1) >(xn + 1) = a (l > n)22(m,n)0である．Iaう．
誤差はであるから，十分大きな a をとれば
∫ a∼
I=f (x)dx(2n)|Ia(2n,n) − I| ≦ |Ia(2n,n) − I2a | +0

∫ aaf (x)dx ∼=20n∑
l=1wl(n)f(a2)(xl + 1)+=: Ia(n)f (x)dx2a(2n)
I2a −∫ 2af (x)dx0∫ ∞である．右辺に区間 [0, a] の Gauss 則を用いればI∼=を切断比 n/m の n 点切断 Gauss 則とい≦a2n∑l=n+1(2n)+ I2a()(2n)
f a(xl+ 1)

(2n)

wl

(2n)

−(2n)

wl

(2n)

+ I2a

∫ 2a−f (x)dx + ε2 .
0

l=n+1a(2n)

wl2n
∑

= 2,

l=1(2n)

wl

2n()
()
∑(2n)
(2n)
(2n)
wl f a(1 + xl )f a(1 + xl ) − al=1= 1.

(2n)である．n + 1 ≦ l ≦ 2n で xl
(2n)xl ) > a．ゆえに式 (4) より∫ 2a−f (x)dx + aε1 + ε2

|E1 | ≦ a0(2n)wl()(2n)f a(1 + xl )2n∑

> 0 であるから，a (1 +(2n)wl

ε2 = aε2l=n+1となる．第１項は(n)|I2n − I2n | ≤2n∑wl(2n)|f (a(xl(2n)+ 1))|で |f (a(xl (2n) + 1))| は小さいので，小さい．第 1 項はGauss 積分の誤差なので小さい．第３項は [0, a] の外の積分なので小さい．よって切断 Gauss 則もよりよい精度が期待できる．
誤差解析∫∞
無限積分 I = 0 f (x)dx に対する Gauss 則と切断
Gauss 則の適用を考える．
∫ ∞max |f (x)| ≦ ε1 ,|f (x)|dx = ε2(4)x≧a2a次に，∫ ∞E3 =|f (x)|dx = ε12a|E2 | ≦Cρ4nとなる．以上より，切断 Gauss 則の誤差は|Ia(2n,n) − I| ≦ |E1 | + |E2 | + |E3 |C≦ aε2 + 4n + ε1ρ
C= 4n + ε
ρ

0(2n)
I2a −

∫ ∞となる．最後に f (x) が ε(2a, ρ) とその内部を含む複素領域で有理型であり，特異点は ε(2a, ρ) 上にある 1 位の極のみであるときには定理 (3.1) より

a|Ia(2n,n) − I| ∼=f (x)dx ≦2a式 (4) で ε1 , ε2 は小さくて無視できるものとする．このとき∫ a(n)(n)∼|I − I| = I −f (x)dxa∑2n(2n)= 1 を用いた．
l=n+1 wl∑n(n)(∵ Gauss 則は f (x) を正確に積分するので l=1 wl =∫1f (x)dx = 2，よって半分足したら 1)−1となる．ここでl=n3.22n∑l=n+1ゆえに(2n)(2n)wl≦al=n+1|Ia(2n,n) − I| ≦ I2an∑
l=1

ここで，Gauss 則の対称性より
2n∑− I2a | + |I2a − I|となる．ここで，右辺第 1 項を E1 ，第 2 項を E2 ，第 3項を E3 とすると |E1 | は

f (x)dx + ε22n∑(2n)|Ia(2n,n) − I| = |Ia(2n,n) − I2a | + |I2a∫ 2a0= aε1

一方，切断 Gauss 則の誤差は∫ 2af (x)dx0となる．
∫a
次に Ia = 0 f (x)dx に対する n 点 Gauss 則の誤差を考える．ここで区間 [0, a] 上の Gauss 則を)
a ∑ (n) ( a(n)(1 + xl ) ∼wl f= Ia22nIn =l=1とすると，次の定理が成り立つ．
［定理 3.1］f (x) が複素平面上の点 0 と点 a を焦点とする
楕円ε(a, ρ) = {z ∈ C | |z| + |z − a| =a(ρ + ρ−1 )},2

簡単のために f (x) の特異点が z = α の極のみである場合を考える．
Gauss 則の場合，点 α を含む楕円を ε(a, ρ) とするとA = |α| + |α − a| =a(ρ + ρ−1 ),2

ρ>1である．これより，

ρ > 1,および，その内部を含む複素領域で有理型であり，特異点は ε(a, ρ) 上にある 1 位の極のみであるときには

C//|Ia(n) − Ia | ≦ 2n ．
ρ

ここで ε = ε1 + aε2 である．ε が小さくて無視できるな
らば
C|Ia(2n,n) − I| ≦ 4n ．
ρρ + ρ−1 =2A.
aゆえに

A
ρ= ±ρ

∴ ρ2 −2A
ρ + 1 = 0.
a√( )2
A−1aしたがって

ρ > 1 より√( )2
A− 1 = ρGaA
ρ= +a

ρ2T G
ρG()2√|β| + |β − 1| + (|β| + |β − 1|)2 − 1√=>1|2β| + |2β − 1| + (|2β| + |2β − 1|)2 − 1

R(β) =

ゆえに|Ia(n) − Ia | ≦CGρ2nG(5)となる．次に切断 Gauss 則の場合，点 α を含む楕円をε(2a, ρ) とすると

B = |α| + |α − 2a| = a(ρ + ρ−1 ),なら切断 Gauss 則は Gauss 則よりも精度が良い．
ここで β を複素平面上で動かしたときの R(β) の等高線
図を図 1 に示す．

yρ>12.25
1.25

121.75である．上と同様にして ρ を求めると√( )2BB
ρ=+− 1 = ρT G2a2a210.5である．よって ε = ε1 + aε2 が無視できるときには
1CT G|Ia(2n,n) − Ia | ≦ 4n
ρT G(6)

1- 12

A = |α| + |α − a|
= |2aβ| + |2aβ − a|
= aA0
ここで A0 = |2β| + |2β − 1| である．そして√( )2AA
ρG = +−1aa√= A0 + A20 − 1√= |2β| + |2β − 1| + (|2β| + |2β − 1|)2 − 1
同様に切断 Gauss 則について

B = |α| + |α − 2a|

図 1 R(β) の等高線図
この図に示した領域のほとんどの点で R(β) > 1 である
ことが分かる．R(β) < 1 の領域は β = 0.8 を中心とする
半径 12 の円 (破線) の内部に収まる．この図は区間 [0, a]，a = 12 の場合に相当する．以上より，原点付近に極がある
場合は切断 Gauss 則は Gauss 則より精度が良い．一方，
z = a の近くに極がある場合は Gauss 則の方が精度が良い．しかし，f (x) は急減少関数なので z = a の近くの極の留数は小さいと期待できる．だから精度の差も小さいと思われる．よって，全般的に切断 Gauss 則は Gauss 則より精度が良い．

4数値例

4.1

切断比 1/2 の切断 Gauss 則

図 2 は関数f (x) = xe−x ,= |2aβ| + |2aβ − 2a|
B0 = |β| + |β − 1|

1.5

2.25が成立するような極 α では切断 Gauss 則の方が Gauss 則より精度が良いと期待できる．
αβ = 2aと正規化すると

図 3 は関数でありf (x) =√(x2

ρ2T G > ρGB
ρT G =+2a10.75となる．式 (5),(6) より= 2aB0 ,0.25

12B2a)2√= B0 + B02 − 1= |β| + |β − 1| +−11e−x ,(x − 5)2 + 100

図 4 は関数f (x) =√(|β| + |β − 1|)2 − 1

1−x1 ex + 10をそれぞれ切断 Gauss 則，Gauss 則，DE 公式で近似したときの絶対誤差のグラフである．横軸は標本点数 n，縦軸は絶対誤差の常用対数である．実線は切断 Gauss 則，破線は Gauss 則，点線は DE 公式である．切断 Gauss 則とGauss 則の積分区間 [0, a] は |f (a)| ∼= 10−15 となるように選んだ．

4.2

任意切断比の切断 Gauss 則(m,n)

次に，任意切断比の n 点切断 Gauss 則 Ia
数値実験を行う．被積分関数をf (x) =Log10ÈerrorÈ
0について21e−xx + 12を区間 [0, 7] で積分した．ここで|f (x)| < 7 × 10−23-5-10-15510n2015

図 2 f (x) = xe−x のとき(x > 7)である．絶対誤差を図 5 に示す．横軸は m，4 本のグラ
フはそれぞれ標本点数 n = 10, 20, 30, 40 に対する誤差である．ここで n = m のときは Gauss 則である．この問題ではいずれの標本点数においても切断比 n/m が小さいほど誤差は小さくなる．この問題においては一般的に切断 Gauss 則は有効であると言える．
Log10ÈerrorÈ
0Log10ÈerrorÈ
0-5-101020304050m60n=10n=20n=30-15-5n=40-20-25-10２ -30-15510

図 3 f (x) = (x−5)12 +100 e−x のとき

5

図 2，図 3 の関数に関しては切断 Gauss 則が最も精度が良く，Gauss 則がそれに次ぐ．DE 公式は最も精度が悪い．
Log10ÈerrorÈ
0-5-10-15102030

図 5 任意切断比の n 点 Gauss 則n201540n50

図 4 f (x) = x+1 1 e−x のとき

まとめと今後の課題急減少関数に対する切断 Gauss 則を提案した．切断
比 1/2 の切断 Gauss 則について詳しく誤差解析を行い，Gauss 則との比較を行った．切断 Gauss 則は原点近傍の特異性に対して Gauss 則より強く良い精度が期待できることがわかった．一方，切断点 a 近傍の特異性に関してはGauss 則が強いが，被積分関数の急減少性により差は目立たない．数値実験結果はこのことを支持した．特異点が非常に原点に接近するときには DE 公式が有効であった．
切断比が任意の場合の誤差理論は完成していないが，任意切断比の n 点切断 Gauss 則についても数値実験を行った．実験によれば切断 Gauss 則は Gauss 則より精度が良く，切断比が小さい (m は大きい) ほど誤差が小さかった．
切断 Gauss 則を用いた急減少関数の半無限積分に対する効率的な積分法の設計が今後の課題である．

参考文献

10

図 4 の関数に関しては DE 公式が最も精度が良く，切断 Gauss がそれに次ぐ，Gauss 公式が最も精度が悪い．

[1] 杉原正顯, 室田一雄：数値計算法の数理，岩波書店(1994).