A Tour Of Sage
Version 10.4

The Sage Development Teamjuil. 23, 2024

Table des matières

1

La calculatrice Sage

3

2

Calcul numérique sous Sage73

Les algorithmes inclus dans Sage

11i

ii

A Tour Of Sage, Version 10.4

Cette courte présentation de Sage reprend le « Tour of Mathematica » proposé au début du « Mathematica Book ».

Table des matières

1

A Tour Of Sage, Version 10.4

2

Table des matières

CHAPITRE1

La calculatrice Sage

La ligne de commande Sage débute par sage:. Il ne vous est pas nécessaire de l’écrire à chaque ligne. Si vous utilisez
le Notebook de Sage, vous n’avez qu’à recopier ce qui suit sage: dans une cellule, et à appuyer simultanément sur Maj+ Entrée pour calculer le résultat.
sage: 3 + 5
8>>> from sage.all import *>>> Integer(3) + Integer(5)8Comme partout, l’accent circonflexe signifie « élever à la puissance ».
sage: 57.1 ^ 100
4.60904368661396e175>>> from sage.all import *>>> RealNumber( 57.1 ) ** Integer(100)4.60904368661396e175

Il permet de calculer des puissances d’objets plus complexes comme des matrices. Voici comment calculer l’inverse d’unematrice 2 × 2 avec Sage.
sage: matrix([[1,2], [3,4]])^(-1)[ -21][ 3/2 -1/2]>>> from sage.all import *>>> matrix([[Integer(1),Integer(2)], [Integer(3),Integer(4)]])**(-Integer(1))[ -21][ 3/2 -1/2]

Voici comment intégrer une fonction simple.

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sage: x = var( x )# Créer une variable symbolique
sage: integrate(sqrt(x)*sqrt(1+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) -␣˓→1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)>>> from sage.all import *>>> x = var( x )# Créer une variable symbolique>>> integrate(sqrt(x)*sqrt(Integer(1)+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) -␣˓→1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

Les commandes suivantes permettent de demander à Sage de résoudre une équation quadratique. Le symbole == représente l’égalité sous Sage.
sage: a = var( a )sage: S = solve(x^2 + x == a, x); S[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]>>> from sage.all import *>>> a = var( a )>>> S = solve(x**Integer(2) + x == a, x); S[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

Le résultat est une liste d’inégalités.
sage: S[0].rhs()-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2
sage: show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))>>> from sage.all import *>>> S[Integer(0)].rhs()-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2>>> show(plot(sin(x) + sin(RealNumber( 1.6 )*x), Integer(0), Integer(40)))4Chapitre 1. La calculatrice Sage

A Tour Of Sage, Version 10.4

5A Tour Of Sage, Version 10.4

6Chapitre 1. La calculatrice Sage

CHAPITRE

2

Calcul numérique sous Sage

Tout d’abord, créons une matrice aléatoire de taille 500 × 500.
sage: m = random_matrix(RDF,500)>>> from sage.all import *>>> m = random_matrix(RDF,Integer(500))

Il ne faut que quelques secondes à Sage pour calculer les valeurs propres de la matrice et en faire un graphique.
sage: e = m.eigenvalues() # environ 2 secondes
sage: w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
sage: show(points(w))>>> from sage.all import *>>> e = m.eigenvalues() # environ 2 secondes>>> w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]>>> show(points(w))

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Grâce à la bibliothèque GMP (GNU Multiprecision Library), Sage peut effectuer des calculs sur de très grands nombres,comportant des millions ou des milliards de chiffres.

sage: factorial(100)93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286
sage: n = factorial(1000000) # environ 2.5 secondes>>> from sage.all import *>>> factorial(Integer(100))
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286>>> n = factorial(Integer(1000000)) # environ 2.5 secondes

Voici comment afficher les 100 premières décimales de 𝜋.

sage: N(pi, digits=100)
3.
˓→141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068>>> from sage.all import *>>> N(pi, digits=Integer(100))
3.
˓→141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

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Chapitre 2. Calcul numérique sous Sage

A Tour Of Sage, Version 10.4

Voici comment Sage factorise un polynôme en deux variables.
sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: F = factor(x^99 + y^99)
sage: F(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
sage: F.expand()x^99 + y^99>>> from sage.all import *>>> R = QQ[ x, y ]; (x, y,) = R._first_ngens(2)>>> F = factor(x**Integer(99) + y**Integer(99))>>> F(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)>>> F.expand()x^99 + y^99

Il ne faut pas plus de 5 secondes à Sage pour calculer le nombre de façons de partitionner mille millions (108 ) comme
une somme d’entiers positifs.
sage: z = Partitions(10^8).cardinality() # environ 4.5 secondes
sage: str(z)[:40]
1760517045946249141360373894679135204009>>> from sage.all import *>>> z = Partitions(Integer(10)**Integer(8)).cardinality()>>> str(z)[:Integer(40)]
1760517045946249141360373894679135204009# environ 4.5 secondes

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A Tour Of Sage, Version 10.4

10Chapitre 2. Calcul numérique sous Sage

CHAPITRE

3

Les algorithmes inclus dans Sage

Quand vous utilisez Sage, vous avez accès à l’une des plus grandes collections Open Source d’algorithmes de calcul.

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