情報処理学会研究報告
IPSJ SIG Technical Report

Vol.2014-MUS-102 No.2
2014/2/23

クラスタリングと統計的学習に基づく音楽理論σGTTMⅡ:
局所的グルーピング境界の検出金森光平†1

浜中雅俊†2

本稿では，楽曲をクラスタリングし統計的学習を行うことで，音楽理論 GTTM の局所的グルーピング
構造を自動検出する方法について述べる．音楽理論 GTTM に基づく楽曲の構造分析の際，ルールの競合が生じるため計算機上への実装が困難となる問題が生じていた．この問題に対し，従来の研究では，ルールの優先順位を制御するパラメータの導入や，統計的手法によるルールの優先順位の学習により，計算機上への実装を可能にしていたが，楽曲により適切なパラメータの値や適切な優先順位が異なるという問題があった．そこで本研究では学習曲をクラスタリングし，クラスタごとに統計的学習を行うこと
で，各楽曲に適した分析を行うことを試みた．

Music Theory based on Clustering and Statistical Learning
σGTTMⅡ:
Detection of Local Grouping Boundary
KOUHEI KANAMORI†1

MASATOSHI HAMANAKA†2This report describes the method of detecting local grouping boundary based on the generative theory of tonal music(GTTM)
by clustering and statistical learning. It is difficult to implement GTTM on computer because the rules of GTTM often conflicts
and cannot detect grouping boundaries. Previous systems can implement GTTM on computer by introducing adjustableparameter or statistical learning, however, there is a problem which the values of the parameters or orders of priority of rules aredifferent depends on the piece of music. To solve this problem, we attempt to analyze each music appropriately by clusteringmusic and statistical learning by each cluster.

1. はじめにステム[2-8]はいずれも音楽家の手作業によるタイムスパン木の作成が必要であった．

我々は，楽曲の構造が似ているもの同士をクラスタリン

そこで浜中らは，定義が曖昧なルールのパラメータ化をグし，クラスタごとに楽曲の構造を音楽理論 GTTM に基づ行って GTTM を拡張した exGTTM を提案し，パラメータ

き自動的に検出できるシステムσGTTMⅡを構築している．

を操作するだけでタイムスパン木を獲得できるシステム

本稿ではその第一歩として，音楽理論 Generative Theory ofAutomatic Time-span Tree Analyzer (ATTA)[9]を実装した．

Tonal Music (GTTM)[1]の 局所的なグルーピング構造を，最ATTA は，パラメータを操作することが楽曲構造の多様な適なクラスタの検出器を用いることで，従来研究より精度解釈に対応し，システムを使うユーザーに楽曲構造の解釈

良く獲得できることを示す．

を委ねるようにしていた．一方で ATTA はパラメータの数

音楽理論 GTTM とは，旋律の切れ目(グルーピング構造)が多く調節が困難であるという問題があった．

やリズムの強弱(拍節構造)など，音楽が持つ多様な構造をこれに対し三浦らは，音楽家が GTTM を用いて分析した

包括的に分析できる音楽理論である．GTTM の分析の結果

100 曲の楽曲分析データを用いて，統計的学習でルールの得られるタイムスパン木は，旋律の各音符の重要度を木構

優先順位を学習していた．そして局所的グルーピング構造

造で表したもので，音符の重要度を元に旋律を簡約するなを自動的に検出するシステムσGTTM を提案した[10]．しど，楽曲の深層的な構造の操作を可能にする．

かしσGTTM による学習の結果できたグルーピング構造検

これまで GTTM のタイムスパン木を用いて，音楽の深層

出器は，学習した 100 曲全体で一つの検出器を構築したた構造の分析を可能とするシステム[2,3]や，演奏の表情づけ

め，分析する楽曲によっては間違えの多い分析結果となるを可能とするシステム[4-6]や，音楽要約を可能とするシスことがあった．

テム[7,8]があった．しかし GTTM は，楽曲の構造分析のた

そこで本研究では，楽曲の構造を自動的に検出できるこめのルールの中に定義が曖昧なものが存在し，これらのシとと，システムを使うユーザーが楽曲の解釈を選択できることをシステム構築の方針とし，局所的グルーピング構造†1 筑波大学理工学群工学システム学類
University of Tsukuba, College of Engineering Systems†2 筑波大学大学院システム情報系
University of Tsukuba, Faculty of Engineering, Information and Systemsⓒ 2014 Information Processing Society of Japanの検出に取り組んでいる．我々はまず，楽曲を均等の数に分け，統計的学習を用いて，クラスタごとにルールの優先1情報処理学会研究報告
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2014/2/23

順位を発見する．そしてルールの優先順位が似ている楽曲示している．図 2 に局所的グルーピング構造の分析例を示

ごとに再びクラスタリングを行い，各楽曲に適したクラス

す．

タを構築した．また，システムを使うユーザーが楽曲の構造を複数の選択肢の中から選べるようにした．これは，楽タイムスパン簡約

曲の構造に対するユーザーの解釈をなるべく反映させるためである．システムを実装し性能評価を行った結果，適切…

なクラスタの検出器を用いることにより従来研究の性能を上回ることを確認した．

拍節構造分析
2. 音楽理論 GTTM とその問題点
F.Lerdahl と R.Jackendoff によって提唱された音楽理論
Generative Theory of Tonal Music (GTTM)は，他の音楽理論

・ ・ ・・ ・・・・・・

グルーピング構造分析に比べルールが比較的厳密に定義されているが，計算機へ

図 1・ ・ ・・ ・・・・・・

局所的グルーピング境界

GTTM による楽曲構造分析の全体図

実装する上では，曖昧さが残されている点が問題となっていた．
本節では，2.1 節で GTTM の楽曲分析方法について説明した上で，2.2 節で GTTM の問題点について述べる．

2.2 音楽理論 GTTM の問題点
GTTM を用いて分析を行う際に問題となるのは，より好ましい構造を決定する選好ルールに優先順位が存在しないために，選好ルール間で競合が起こってしまうことである．

2.1 音楽理論 GTTM の楽曲分析方法
GTTM は以下の４つの分析を順に行うことで楽曲の構造を分析する． グルーピング構造分析は，旋律をいくつかのグループに分割する分析である．拍節構造分析は，強迫やこの選好ルール間の競合は，計算機上に実装するに当たりいくつかの問題を生ずる．本稿で扱う局所的なグルーピン
グ構造の分析では，以下の 2 つの問題が考えられる．
第一の問題は，グルーピング境界を検出する際に，ルー

弱拍などの，楽曲のリズム構造を同定する分析である．タルの競合が生じることである．図 2 の分析例では，17 番目

イムスパン簡約は，旋律の各音符に対し重要度をつけ，重の音符と 18 番目の音符の間(以下，17-18 音符間などとする)

要度の関係を木構造で表す分析である．プロロンゲーショに GPR2a(休符やスラーの切れ目に適応されるルール)とン簡約は，旋律の緊張，弛緩構造を木構造で表す分析であGPR2b(比較的音符の音価が大きい音符に適応されるルー

る．図１に GTTM によるタイムスパン簡約までの楽曲構造

ル)が適応され，18-19 音符間に GPR3a(比較的音高の差が大の分析結果の例を示す．

きい音符に適応されるルール)が適応されているが，この両

この 4 つの構造分析はそれぞれ構成ルールと選好ルール

方を境界とすることは，GPR1(単音のみとなるグルーピンから成っている．構成ルールとは構造が成り立つために必グは避けるべきとするルール)により禁止されているため，要な条件を示したルールであり，選好ルールとは複数の構どちらか一方を境界として選択しなくてはならない．分析造が構成ルールを満たした場合，どれがより好ましい構造

例では 17-18 音符間が境界となっているが，どちらの音符かを求めるためのルールである．またそれぞれの構造は階間を境界とするかを選ぶ方法は GTTM では規定されてい層的になっていて，構成ルールと選好ルールに従い，それない．

ぞれの構造を順番に分析することで階層的な楽曲の構造を第二の問題は，ある音符間に GPR の局所的なルールが適分析する．これら 4 つの分析のうち，我々が本稿で扱うの応された際に，その音符間が必ずしもグルーピング境界とは(1)のグルーピング構造分析である．

なるわけではないことである．図２を例にとると，5-6 音グルーピング構造の構成ルールと選好ルールはそれぞれ

符間と 23-24 音符間はともに GPR3a が適応されて局所的グ

GWFR(Grouping Well-Formedness Rules) ， GPR(Grouping

ルーピング境界となっているが，11-12 音符間，18-19 音符

Preference Rules, GPR)と呼ばれる．GPR はさらに階層的な間，29-30 音符間，32-33 音符間はいずれも GPR3a が適応構造のうち最も低次な(局所的な)グルーピングに対応するされているのにも関わらず局所的グルーピング境界となっルール(GPR 1,2,3)と，高次な(大局的な)グルーピングに対ていない．この問題を解決する方法も GTTM では規定され応するルールの２種類に分けられる．局所的な GPR が適応ていない．

された音符間は，旋律の切れ目となる可能性があることをⓒ 2014 Information Processing Society of Japan2

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局所的グルーピング境界↓

音符番号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2a
2b
3a

<

3a

18 19 20

<

<

図 2

<

<

<

2a
2b
3a

3a

14 15 16 17

3a

2a
2b

局所的グルーピング構造の分析例せることを可能にした．

3. σGTTMⅡの構築

3.2 学習データ

我々は，局所的な GPR の優先度は楽曲によっていくつか

学習データには，exGTTM を評価する際に用いた正解デの傾向があるという前提のもと，楽曲を傾向ごとにクラスータを採用する．この正解データは，GTTM をよく理解しタリングし，楽曲の傾向に沿った分析を行うことを方針とている 1 人の音楽家が，クラシックの曲から８小節の長さ

してσGTTMⅡを構築している．

(８小節で区切りの悪い場合は８小節以上で区切りの良い

本節では，3.1 節で音楽理論σGTTMⅡの概要，3.2 節でところまでとした)で切り出した１００個のメロディの楽学習データ，3.3 節で三浦らによるσGTTM による局所的

譜データを，GTTM に基づき手作業でグルーピング構造分

GPR の優先度決定方法についてそれぞれ述べる．

析したものである．さらに，この正解データが明らかに間違った解釈でないことを３人の GTTM の専門家がクロス

3.1 音楽理論σGTTMⅡチェックしている．

本稿で構築したシステムσGGTTMⅡは，学習フェーズと構造決定フェーズからなる(図 3)．学習フェーズでは，局

3.3 σGTTM による局所的 GPR の優先度決定方法

所的な GPR の競合の問題を解決するために，σGTTM で本研究では，局所的な GPR の優先度決定の方法に三浦ら用いられた決定木学習の手法により，GPR に優先度を付けによるσGTTM で用いられた決定木を用いた手法を採用する．次に，決定木によって得られた局所的な GPR の優先度

る．決定木とは，データのある注目する属性(目的属性)にに基づき，楽曲を複数のクラスタに分割する．この決定木

関する重要な知識を，木構造によるルール(条件属性)の組による学習とクラスタ分割を繰り返すことで，より楽曲にみ合わせで表現したものである．決定木では，条件属性の適した検出器を構築する． 構造決定フェーズでは，学習フ中から適切なルールを一つ選び，そのルールが１か 0 かにェーズの出力である複数の検出器のうちどの検出器を使っよって，データを２つに分割する．この分割を分割テストて構造決定するのかを，ユーザーが選択できるようにする．

と呼び，これを繰り返すことで決定木を構築していく．

これにより，楽曲の構造に対するユーザーの解釈を反映さ

学習フェーズ

構造決定フェーズ
学習曲

入力曲

・・・
・・・
クラスタB
・・・

クラスタA

クラスタX
・・・

・・・

・・・

検出器A

統計的学習

1

・・・

1 0

1

…

局所的
グルーピング境界

0

…
…

1

…

1

1 0

…

図 3

局所的
グルーピング境界

0

…
…

1 0

1

…
…

0

ⓒ 2014 Information Processing Society of Japan

1

0

局所的
グルーピング境界

ユーザーが
選択

…

…
…

1

…
…

…
…

1 0

…

…

0

…

1

…
…

1 0

1

0

1 0

…
…

1

0

0

検出器X

…

1

0

・・・

検出器B

1

0

統計的学習

・・・

0

検出器A

検出器X

・・・
0

統計的学習

・・・
検出器B ・・・

システムの全体像

3

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𝐻(𝑋|𝑌1) = 0.136 × 𝐻(𝑋|𝑌1 = 1) + 0.864 × 𝐻(𝑋|𝑌1 = 0)

3.3.1 データの抽象化方法= 0.659

学習データから目的の決定木を得るためにはデータの抽象化が必要である．局所的 GPR の優先度を求めるという目

このエントロピー関数値の減少量，
𝐻(𝑋) − 𝐻(𝑋|𝑌1) = 0.135

的の下では，ある音符間に注目したとき，その音符間に局所的な GPR(1,2,3)が適応されているかが重要であり，またが𝑌1の𝑋に関する相互情報量である．また，𝑏を𝑋，

GPR１を考慮すると，注目音符間の 1 つ前の音符間と１つとし，𝑏と後ろの音符間のルールの適応状況も重要となる．

𝑋に関する相互情報量を求めると，の出現率の関係 (図 5) を用いて，同様に𝑌2の𝐻(𝑋) − 𝐻(𝑋|𝑌2) = 0.125

そこでデータの種類を 𝐺𝑃𝑅 という形で定義する．上付き文字によって一つ前の音符間を n-1，一つ後ろの音符間をn+1,真ん中の音符間を n と表し，下付き文字によって GPRの種類を表すとする．すべての種類のデータを書きだすと，
，

，

，

，

，

，

，

，

，

を𝑌2

となる．
このようにして全ての条件属性に対して相互情報量を求め，相互情報量が最も大きい条件属性のルールを見つけ，る．，となる．この計 18 種類のルールの有無(ルールが適応され，，Proportion

，
n
2a

B

1

，

，
n
2a

B

0

，
Total

ていれば 1，そうでなければ 0 の値を持つとする)を目的属

b 1

0.101

0.138

0.239

性とするデータを用意し，学習を行った．

b0

0.035

0.726

0.761

Total

0.136

0.864

1.000

Proportion

B2nb  1

B2nb  0

Total

決定木の分割テストの際の評価関数には判別問題に良く

b 1

0.109

0.131

0.240

利用される相互情報量を利用する．相互情報量は目的属性

b0

0.051

0.709

0.760

(𝑏とする)に関する条件属性の重要度を比較するのに有用

Total

0.160

0.840

1.000

3.3.2 決定木の分割テスト

図 4であり，相互情報量が最も大きい条件属性のルールを用い

bとの出現率の関係て分割テストをすることで，より性能の高い決定木を構築
3.3.3 統計的学習による選好ルールの優先度判定

することが出来る．
相互情報量を求める手法を具体的に説明する．まず，あ決定木の構築には，J.R.Quinlan が開発した C4.5 という決るデータ集合 S の事象 X に関する「あいまいさ」を，エン

定木生成アルゴリズムを用いた[11]．C4.5 はエントロピー

トロピー関数を用いて次式のように定義する．

の概念を用いて，正解データから決定木を生成することが𝐻(𝑆) = 𝐻(𝑋) = − ∑𝑘𝑗= 𝑝𝑗 log 𝑘 𝑝𝑗

できる．

ここで，𝑝𝑗 は𝑋の𝑘種類ある事象𝑎 , … , 𝑎𝑘 のうち，事象

図 5 は完成した決定木の一例を示している．この決定木

𝑎𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘)の出現率とする．ただし，𝑎 ∩ 𝑎𝑘 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗)での各終端ノードは，そのノードに分類されるデータの局所あるとする．今回の学習データを例として考えると，目的的グルーピング境界の有無 b の頻度が大きい値でラベル付とする)を Y1 として，𝑏とされる．これから各条件属性の組み合わせに対する境界の属性bを𝑋，条件属性(ここでは有無の確率を求めることができる．この条件付き確率が 0.5の出現率の関係 (図４) を用いると，𝐻(𝑋) = −0.239 log 0.239 − 0.761 log 0.761 = 0.794以上の場合には，局所的グルーピング境界が存在する(b=1)となる．同様にして H(X|Y1=1)と H(X|Y1=0)が求まる．

と判定し，0.5 未満の場合とその条件属性の組み合わせの𝐻(𝑋|𝑌1 = 1) =0.101
0.101 0.035
0.035
log
−
log
= 0.8170.136
0.136 0.136
0.136

𝐻(𝑋|𝑌1 = 0) =0.138
0.138 0.726
0.726
log
−
log
= 0.6340.864
0.864 0.864
0.864

データが無い場合には，局所的グルーピング境界が存在しない(b=0)と判定した．例えば図 5 では

=1 かつ

=1 の

時，b=1 となるので，GPR2a と GPR2b が同時に成り立つ音
符間には，全て局所的グルーピング境界があると判定する．

よって，H(X|Y1)が以下のようにして求まる．

図5ⓒ 2014 Information Processing Society of Japan

生成された決定木

4クラスタA
クラスタA
クラスタA

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クラスタ数
１～１０１で行う

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初めは均等にクラスタリング

全学習曲
クラスタA

クラスタB

クラスタX

曲：00,20,40…

曲：01,21,41…

曲：02,22,42…

決定木学習

決定木学習

決定木学習

検出器A

検出器B

検出器X

各クラスタの楽曲と決定木を出力yes
クラスタ間で差異が一曲以下
or
ループ150回

no

1

0

1

0

1

0

クラスタを
置き換え

･･･
1 0

1

…
…

…

…

0

…

…
…

1

…

…

0

1 0

…
…

1

…

0

1 0

クラスタA’

検出器A

全
学
習
曲

曲００
曲０１

曲：03,18,43,…

性
能
評
価

検出器B

・
・
・

楽曲比較

・
・
・

曲100

再
分
類

クラスタB’

クラスタA’

曲：
00,20,40,…

クラスタB’

クラスタB

曲：
12,54,87,…

曲：
01,21,41,…

・
・
・

・
・
・

曲：12,54,87,…

・・・

クラスタX’

検出器X

曲：09,22,37,…

曲００～１０１

図 6

クラスタA

曲：
03,18,43,…

クラスタX’

クラスタX

曲：
09,22,37,…

曲：
02,22,42,…

システムの詳細

4. 楽曲のクラスタリング方法

𝐹値 = 2 ×

𝑃×𝑅
𝑃+𝑅

本システムでは，楽曲をクラスタリングし統計的学習をで表され，適合率 P と再現率 R の値が高いほど F 値の値も行うことで，楽曲の局所的 GPR の優先度が似ている楽曲ご高くなる．F 値が高いほどシステムの性能は高いと言える．

とに検出器を作り分ける．その際，より GPR の優先度が似ている楽曲ごとにクラスタリングするために，クラスタリ

4.2 システムの詳細

ングと統計的学習を再帰的に繰り返すことで，クラスタ内

まず，学習曲を均等に各クラスタに割り振る．これは，初の楽曲の傾向を徐々に近づけるシステムを考えた．図６に期の段階でクラスタごとに…．次にクラスタごとに決定木

本システムの詳細を示す．

学習を行う．(以後，学習フェーズと呼ぶ)この学習の結果，本節では，4.1 節でシステムの性能評価方法について，
4.2 節でシステムの詳細について述べる．

クラスタごとに GPR の優先度が木構造で表される．しかしこの方法ではクラスタ内の楽曲の全体の傾向を表してしまうので，このままではクラスタ内に的外れな学習結果とな

4.1 システムの性能評価方法

る楽曲が存在する可能性がある．

本研究では，σGTTMⅡの局所的なグルーピング境界検

そこで，学習フェーズでできた木構造で全学習データを

出器の性能評価を，適合率 P(precision)と再現率(recall)を組

一曲ずつ性能評価して，最も GPR の優先度が近い木構造をみ合わせた F 値で評価する．適合率 P とは，正解データと作ったクラスタに再分類する．そして再分類前と再分類後同じグルーピング境界がシステムの出力に含まれている割でクラスタ内の楽曲がどの程度一致しているかを比較する．

合のことで，再現率 R はシステムの出力と同じグルーピン

クラスタ内の楽曲の種類に変化が無ければ無いほど，学習

グ境界が正解データに含まれている割合のことである．Fフ ェ ー ズ で で き た 検出 器 がク ラ ス タ 内 の 個 々 の楽 曲 の値の式は，

GPR の優先度の傾向を全て網羅した検出器であると言えⓒ 2014 Information Processing Society of Japan5

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により，σGTTMⅡの性能は従来手法の性能を上回ることる．
このクラスタ内の楽曲比較の結果，クラスタ間の楽曲のを確認した．図９にこの評価実験の結果を示す．なお，※差異の合計が二曲以上の場合は，再分類後のクラスタで再の個所は文献 9)で記述されていなかったため，記載できな

び学習フェーズへと戻り，クラスタ間の楽曲の差異の合計

かった．

が一曲以下または，ループが 150 回に達した時点で各クラ

適合率P

再現率R

F値

※

※

0.77

σGTTM

0.764

0.630

0.690

σGTTMⅡ

0.905

0.734

0.811

スタ内の楽曲と検出器を出力して終了させた．このシステ

ATTAムにより，局所的 GPR の優先度がクラスタ内の楽曲全てに(パラメータ調節後)より良く当てはまる検出器を作ることを試みた．

5. 実験結果(クラスタ数10)

提案システムを評価するため，システムの最終的な出力

図 9評価実験の結果(closed)であるクラスタ内の楽曲を，そのクラスタでできた検出器
にかけて性能を評価した．本システムを計算機上に実装し，学習していないデータに対する本システムの性能を評価

クラスタ数を 1 から 100 まで変化させ評価した結果を図７するために，3.2 節の学習データと同様に，音楽家が GTTMに示す．

を用いて分析し，3 人の GTTM の専門家がクロスチェック
した 130 曲の楽曲を用いて，性能を評価した．また参考ま

1

0.95

でに先行研究であるσGTTM も同条件で評価した．

0.9

実験の結果，最適な検出器を選ぶことにより，学習してい

精度

0.85

ないデータに対しても高い性能であることを確認した．図

0.8

F値
0.75

P値

10 にこの評価実験の結果を示す．

R値

0.7

適合率P

再現率R

F値

σGTTM

0.467

0.736

0.571

σGTTMⅡ

0.684

0.916

0.783

0.65

0.6
0.55

0

20

40

図 7

60
クラスタ数

80

100

120

(クラスタ数10)

クラスタ数による精度の推移

図 10

学習していないデータに対する性能評価(open)

このとき，初期のクラスタ数が大きくなるにつれて，シ
ステムの出力にクラスタ内の楽曲の数が０となるものが現

今回の実験のうち，クラスタ数 10 の時に生成されたクラれ，初期のクラスタ数とシステムの出力で楽曲の数が一曲スタと検出器の中から，2 つ分の検出器と，そのクラスタ以上となるクラスタ数が異なることがあった．図８に初期に属する楽曲のうち 2 曲分の局所的グルーピング境界を検のクラスタ数とシステムの出力で楽曲の数が一曲以上ある出した例を付録に示す．

実質のクラスタ数

クラスタの数との関係を示す．
30
25
20
15
10
5
0

6. おわりに
本稿では，統計的学習を用いて適切にクラスタを選択することで，GTTM の局所的なグルーピング境界を自動で検出する方法について述べた．本手法では，決定木を用いて
0

図 8

20

40

60
80
初期のクラスタ数

100120

初期のクラスタ数に対する実質のクラスタ数の推移

局所的な GPR の優先度を求めることで，選好ルールの競合が起こらないようにした．さらに，学習曲を局所的な GPRの優先度が似ている楽曲ごとにクラスタリングを行い，クラスタごとに最適な検出器を生成した．本手法を実装した

次に，本システムと従来手法の性能を比較するために，同じ楽曲で従来手法の ATTA とσGTTM でそれぞれ局所的検出器を用いて実験した結果，適切なクラスタを選ぶこと
により，先行研究の性能を上回ることを確認した．

なグルーピング構造を検出した．また，本システムである

今後，σGTTMⅡを高次のグルーピング境界の検出や，

σGTTMⅡの性能はクラスタ数 10 のときのものとした．実

拍節構造，タイムスパン簡約に拡張することで，システム

験の結果，複数ある検出器のうち最適な検出器を選ぶことが自動的に出力した複数の楽曲の構造の中から，ユーザーⓒ 2014 Information Processing Society of Japan6

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が自身の解釈に合った構造を選択できるシステムを構築しシステムの出力→

ていく．

参考文献
3a

2b

<

<

3a

3a

<

局所的GPR→ 3a

<

<

<

2) 平田圭二, 青柳龍也, 音楽理論 GTTM に基づく多声音楽の表現手法と基本演算, 情報処理学会論文誌 Vol.43, No.2, 2002.

<

1) F. Lerdahl and R. Jackendoff, A Generative Theory of Tonal Music.
Cambridge: The MIT Press, 1983.

2b
3a

3a

↑
局所的グルーピング境界システムの出力→

<
2a

2b

2b
3a

2a
3a
3c
3d

2b
3a

<

<

3c

<

<

10)

局所的GPR→<3) K. Hirata, and T. Aoyagi. “Computational Music Representation on
the Generative Theory of Tonal Music and the Deductive
Object-Oriented Database.” Computer Music Journal 27(3), 73–89,
2003.
4) N. Todd. A Model of Expressive Timing in Tonal Music. Musical
Perception, 3:1, 33-58, 1985.
5) Widmer, G. ''Understanding and Learning Musical Expression'',Proceedings of International Computer Music Conference, pp. 268-275,
1993.
6) Hirata, K., and Hiraga, R. ''Ha-Hi-Hun plays Chopin’s Etude'',Working Notes of IJCAI-03 Workshop on Methods for Automatic Music
Performance and their Applications in a Public Rendering Contest, pp.
72-73, 2003.
7) 平田圭二, 松田周, パピプーーン: GTTM に基づく音楽要約
システム，情報処理学会研究報告 2002-MUS-46, pp.29-36, 2002.
8) K.Hirata, and S. Matsuda. “Interactive Music Summarization basedon Generative Theory of Tonal Music.” Journal of New Music Research,
32:2, 165-177, 2003.
9) 浜中雅俊, 平田圭二, 東条敏: "ATTA: exGTTM に基づく自動タ
イムスパン木獲得システム", 情報処理学会 音楽情報科学研究会
研究報告 2005-MUS-61-4, Vol.2005, No.82, pp.19-26, August 2005.

↑
局所的グルーピング境界

付録 A.2

クラスタ２の決定木と，クラスタ内の楽曲の局所的グルーピング構造分析例

三浦右士, 浜中雅俊, 平田圭二, 東条敏: "統計的学習に基づく音楽理論 σGTTM：局所的グルーピング境界の検出", 情報処理学会 音楽情報科学研究会 研究報告 2008-MUS-76-14, Vol.2008,
No.78, pp.75-82, August 2008.
11)

J.R.Quinlan, C4.5:Programs for Machine Learning. Morgan

Kaufman Publishers,1993.

3a

2b

<

2a
2b

<

3a

<

<

2a
2b
3a

<

3a

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3a 2a 3a
2b

3a

<

<

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付録 A.1

局所的GPR→<

σGTTMⅡによる分析結果(クラスタ数 10)<

付録

システムの出力→2a3a3d

クラスタ１の決定木と，クラスタ内の楽曲の局所的グルーピング構造分析例↑
局所的グルーピング境界システムの出力→

2a
3a

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2b
3a

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2b

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2a
3a

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局所的GPR→2b↑
局所的グルーピング境界ⓒ 2014 Information Processing Society of Japan

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