Περιήγηση στο SageΔημοσίευση 10.4

The Sage Development Team23 Ιουλίου 2024Περιεχόμεναiii

Περιήγηση στο Sage, Δημοσίευση 10.4

Αυτή είναι μία σύντομη περιήγηση στο Sage και στην χρήση του ως αριθμομηχανή.
Η γραμμή εντολών στο Sage εκκινεί με το μήνυμα προτροπής «sage:». Για πειραματισμό με τα ακόλουθα παραδείγματα, αρκεί να εισαγάγετε το μέρος μετά το μήνυμα προτροπής.
sage: 3 + 58>>> from sage.all import *>>> Integer(3) + Integer(5)8Εάν χρησιμοποιείτε το Sage σε σημειωματάριο Jupyter, τότε – παρομοίως – τοποθετείστε τα πάντα έπειτα τουμηνύματος προτροπής εντός ενός κελιού εισαγωγής, και πατήστε Shift-Enter για να λάβετε την αντίστοιχηέξοδο.
Το σύμβολο εκθέτη σημαίνει «ύψωση σε δύναμη».
sage: 57.1^100
4.60904368661396e175>>> from sage.all import *>>> RealNumber( 57.1 )**Integer(100)4.60904368661396e175

Υπολογίζουμε τον αντίστροφο ενός 2 × 2 πίνακα στο Sage.
sage: matrix([[1, 2], [3, 4]])^(-1)[ -21][ 3/2 -1/2]>>> from sage.all import *>>> matrix([[Integer(1), Integer(2)], [Integer(3), Integer(4)]])**(-Integer(1))[ -21][ 3/2 -1/2]

Εδώ υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα μίας απλής συνάρτησης.
sage: x = var( x )# δημιουργίας συμβολικής μεταβλητής
sage: integrate(sqrt(x) * sqrt(1 + x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1)
- 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)>>> from sage.all import *>>> x = var( x )# δημιουργίας συμβολικής μεταβλητής>>> integrate(sqrt(x) * sqrt(Integer(1) + x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1)
- 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)Εδώ το Sage καλείται να λύσει μία δευτεροβάθμια εξίσωση. Το σύμβολο == αντιπροσωπεύει την ισότητα στοSage.
sage: a = var( a )sage: S = solve(x^2 + x == a, x); S[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]Περιεχόμενα1Περιήγηση στο Sage, Δημοσίευση 10.4>>> from sage.all import *>>> a = var( a )>>> S = solve(x**Integer(2) + x == a, x); S[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]Το αποτέλεσμα είναι μία λίστα από ισότητες.
sage: S[0].rhs() # δεξί μέρος της εξίσωσης (rhs = right hand side)-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2>>> from sage.all import *>>> S[Integer(0)].rhs() # δεξί μέρος της εξίσωσης (rhs = right hand side)-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2Το Sage μπορεί να παραγάγει γραφήματα για διάφορες συναρτήσεις.
sage: show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))>>> from sage.all import *>>> show(plot(sin(x) + sin(RealNumber( 1.6 )*x), Integer(0), Integer(40)))

Το Sage είναι μία πολύ ισχυρή αριθμομηχανή. Για να το δείτε αυτό, δημιουργείστε έναν 500 × 500 πίνακα με2ΠεριεχόμεναΠεριήγηση στο Sage, Δημοσίευση 10.4

τυχαίους αριθμούς.
sage: m = random_matrix(RDF, 500)>>> from sage.all import *>>> m = random_matrix(RDF, Integer(500))

Το Sage χρειάζεται ένα δευτερόλεπτο για τον υπολογισμό και την γραφική παρουσίαση των ιδιοτιμών του πίνακα.
sage: e = m.eigenvalues() # περίπου 1 δευτερόλεπτοsage: w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
sage: show(points(w))>>> from sage.all import *>>> e = m.eigenvalues() # περίπου 1 δευτερόλεπτο>>> w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]>>> show(points(w))Το Sage μπορεί να διαχειριστεί τεράστιους αριθμούς, ακόμα και με εκατομμύρια ή δισεκατομμύρια ψηφία.

sage: factorial(100)93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286Περιεχόμενα

3Περιήγηση στο Sage, Δημοσίευση 10.4>>> from sage.all import *>>> factorial(Integer(100))
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286
sage: n = factorial(1000000)
sage: len(n.digits())
5565709# περίπου 1 δευτερόλεπτο>>> from sage.all import *>>> n = factorial(Integer(1000000))>>> len(n.digits())
5565709# περίπου 1 δευτερόλεπτοΕδώ υπολογίζουμε τουλάχιστον 100 ψηφία του αριθμού 𝜋.

sage: N(pi, digits=100)
3.
˓→141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068>>> from sage.all import *>>> N(pi, digits=Integer(100))
3.
˓→141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Εδώ το Sage παραγοντοποιεί ένα πολυώνυμο δύο μεταβλητών.
sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: F = factor(x^99 + y^99)
sage: F(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
sage: F.expand()x^99 + y^99>>> from sage.all import *>>> R = QQ[ x, y ]; (x, y,) = R._first_ngens(2)>>> F = factor(x**Integer(99) + y**Integer(99))>>> F(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)>>> F.expand()x^99 + y^994

ΠεριεχόμεναΠεριήγηση στο Sage, Δημοσίευση 10.4

Το Sage χρειάζεται λιγότερο από 1 δευτερόλεπτο για να υπολογίσει τους τρόπους με τους οποίους ο αριθμός 100εκατομμύρια μπορεί να γραφεί ως άθροισμα θετικών ακεραίων.
sage: z = Partitions(10^8).cardinality() # περίπου .1 δευτερόλεπταsage: z1760517045946249141360373894679135204009...
>>> from sage.all import *>>> z = Partitions(Integer(10)**Integer(8)).cardinality()>>> z
1760517045946249141360373894679135204009...

# περίπου .1 δευτερόλεπταΤο Sage είναι το πιο προηγμένο λογισμικό ανοιχτού κώδικα για μαθηματικά στον κόσμο.

Περιεχόμενα5