情報処理学会研究報告   

 はじめに

旋律モーフィングアルゴリズムの形式的検証

我々は計算論的音楽理論の構築を目指して，音楽理論に基づく楽曲の形式的表現法や代数的な楽曲操作体系の構築を行っている  ．曖昧で主観的と考えられている音楽的な知識や

平

田

圭

二

Ý

東

Ý

条

敏

浜

中 雅

俊

Ý

振る舞いを音楽理論の成果に基づいてモデル化，形式化することは，音楽認識だけでなく，音楽システムの設計や構築にも広く有用な知見をもたらすであろう．一般に，楽曲を操作するシステムでは記述力と簡潔さの間にトレード オフがある．このトレード オフに対処する

我々が提案した旋律モーフィングアルゴ リズムの妥当性を形式的に証明する．まず証明の準備としてタイムスパン木の素性構造表現，楽曲構造束中の可聴な旋律，簡約パス，旋律の複雑さを計算する関数を導入し ，それらに基づいて類似度と内挿を定義する．そして，アルゴ リズムが内挿の定義を満たしているという定理を証明する．最後に証明の途中で定義した類似度と  演算に関する問題点を議論する．アルゴ リ
ズムの妥当性を主張するために，これまでは例えば，多数の被験者を用いて評価実験を実施するような手段しかなかったが，計算論的音楽理論は別の手段を提供することを示した．

つの方法として，操作自体とそれらを組み合わせる意図の分離がある．つまり，ユーザにその意味を理解している操作を意図通りに組み合わせられるような自由度を与えるのである．
音楽理論や楽曲をモデル化，形式化することの利点には，操作自体と操作の意図を分離できることと，操作自体の意味   を数学的に厳密に記述できることがある．前者についてのアナロジとして，我々が日常生活の中で様々な目的を達成するために四則演算を使いこなしている様子を思い浮かべて欲しい．意味を十分に理解した加減乗除と目的に沿って               Ý     Ý   Ý

それらを組み合わせる方法論を提供することで，記述力と簡潔さをある程度両立させることができる．後者について，数学的に厳密な記述が計算機上への実装に大きく貢献するというのは明らかであろう．



既存の旋律から新しい旋律を作成する方法の中でも，旋律モーフィングはユーザの意図 
           ""!
 % !

 

" 

 

!


 &           ' "

   " #   
 

 

         " "     (       ! "       





，そのアルゴ リズムが実際に適切に動作

当に動作していると結論付けた．



 

我々が提案したアルゴ リズムは，束上の基本演算とそれらの組み合わせとして構成されて %$いる．もしその基本演算の意味と，それらを組み合わせたアルゴ リズムの意味を形式的に記      !  "

 "#)     

つと考えられる．

モーフィング結果が入力サンプル旋律の内挿になっていることを確認し，アルゴ リズムは妥    !       しているかど うかを検証するため，実際に幾つかのサンプル旋律を被験者に聴取して貰い，      $    という観点から実用的な手法の

我々は旋律モーフィングアルゴ リズムを提案し  " ""

 

"

!   "   #        

"

"       &   &                    ! をシステムに伝達する      

述することができれば，そのアルゴ リズムが旋律モーフィングとしての形式的な仕様を満た

"     していることを数学的に証明することができるだろう．これは，アルゴ リズムに多数のサンプル旋律を与えて被験者を使って曲ずつ確認するような実験に頼らずにアルゴ リズムの妥当性が厳密に主張できることを意味する．
Ý  コミュニケーション科学基礎研究所  Ý 北陸先端科学技術大学院大学 情報科学研究科       Ý 筑波大学大学院 システム情報工学研究科     !

続く第  章で，まず基本となるタイムスパン木の素性構造表現を説明し，アルゴ リズム証

           

明への準備として，楽曲構造束中の可聴な旋律，簡約パス，旋律の複雑さを計算する関数を導入し，それらに基づいて類似度と内挿を定義する．第  章で以前我々が提案した旋律モー **­

  

     情報処理学会研究報告   

フィングアルゴ リズムを紹介し ，第  章ではそのアルゴ リズムが内挿の定義を満たしてい集合が他方のそれを包含していることを指す．例えば，上のるという定理を証明する．第  章では，証明の途中で定義した類似度とされる．それを， 演算に関する問題点を指摘する．

   タイムスパン木に基づく旋律の形式的表現
旋律とは音楽的イベントが時間方向に並んだものであり，音楽的イベントには単音や和音などがある．タイムスパン木とは，旋律に含まれる音楽的イベントど うしの音高と時間の近 及び  と表記する．

  



  
  さによるグルーピングと拍節の強さによるグルーピングに基づいて，隣接する音の構造的重

要度を決めながらボトムアップに構成された木のことである ．直感的には，動機や楽節に

この時，タイムスパン木 は以下の  や  に包摂 









  





 











 を簡約して  を得る，及び  を簡約して  を得ると言相当する数小節から数十小節の長さの旋律の静的な構造 楽曲構造の分析 を表現したもの

う．タイムスパン木を素性構造で表現することで，包摂関係が成立しているか否かの機械的である．

判定が可能になる  ．包摂関係を    関係と見なすこともでき，例えば，

旋律

 に対するタイムスパン木を  ， のように表記する．一般に， つの旋律みが対応すると仮定し，旋律
タイムスパン木に対しても

 楽曲構造束とタイムスパン木

つの旋律に

合， 
定義

と



，

には複数のタイムスパン木が対応するが，本稿では   と解釈できる ．



 の場

 の交わり  とは   かつ   を満たす最大の元であり，   あるいは    と書く 図 ． と  の結び  とは  かつ   を満たす最小の元であり，     あるいは    と書く．

つのタイムスパン木の を同一視する．曖昧にならない限り

 のように表記する場合がある．

，

旋律A

本稿では知識表現法として素性構造を採用する ．素性構造では，対象 タイムスパン木が属性と値のペアの集合として表現され，値としてスカラー値だけでなく素性構造も許さ

旋律B

TA

TB

れる 再帰的 ．素性構造は二分木の構造をしており，ラベル付き非循環グラフ      に等しい．下に素性構造の例を示す

 


 
ここで



，





 


， が素性ラベル 属性名 を，  がその値を表す．，共通部分として残る音旋律C

TA ⊓TB図

旋律  と  の共通部分，

 はそれぞれ，タイムスパン木の各ノード における主枝，副枝，ヘッド を表している．

属性の値は素性構造である ．

 つの素性構造が包摂関係にあるとは，構造を根から辿る時に，一方の属性と値のペアの "# のタイムスパン木の簡約と本稿で述べた素性構造の包摂関係の対応付けには，理論的な不備が指摘され応用システム中で実現された素性構造には，本文で述べたタイムスパン木の情報に加えて，時間や順序に関する情報も含まれている．

ている  ．



 **­

  

     情報処理学会研究報告   

＼ と  に共通する部分木あるいは  と  の積集合に相当する．
， のタイムスパン木を同時にトップダウンに辿ることで最大の共通部分 下線を付した音 が抽出される．これは    を計算することに等しい．同様に，  は  と  を矛盾なく重ね合わせた木に相当し ， と  の和集合に相当
する．任意の   に対して  と  が存在することを仮定する 仮定の妥当性につN = #(TA TB)

一般に  は，例えば，図簡約レベルn 0 （ ≦n ≦N） A： ＼ に含まれる拍節的重要度が最小の音を つ選び簡約してTn+1を得る
xをN回繰り返すz
右例ではN = なので簡約パスにはA → x → z → B と A → y → z → Bがある
B ⊑ z ⊑ x ⊑ A と B ⊑ z ⊑ y ⊑ A が成り立つ
B

中の旋律

Tn = TA
Step 2Tn TB
Step 1:

1

旋律とそれらの間の包摂関係から構成される束を楽曲構造束と呼ぶ．楽曲構造束は，全て


定義

·

 と  に対応する元が存在している．

·

·

·

可聴な旋律と簡約パス
楽曲構造束の元であるタイムスパン木が過不足なく楽譜に変換できる時，可聴  !

  の値として であると言う．可聴な旋律だけから構成される楽曲構造束を可聴楽曲構造束と呼び可聴な項間の包摂関係を

本稿では，

 と書く．

 な元と可聴でない元が含まれる．可聴な ， に関し  である．本稿では以降，旋律は可聴なものに限定し ，や

も同様にを用いて定義されているものとする．
定義
  は，旋律 に含まれているが   に含まれていない音の集合である タイは  音から成る旋律であり，から  定義    という条件を満たすならばどのような関数でも良い．例えば  に対       %        が成立することを仮定する 仮  間の類似度  を次のように定義する  ．

                である．もし   の時は      とな
   の時は      & となる．
  が与えられた時，              を満たすような旋定義
律  を   の内挿であると言う 図  ．
定義より明らかに

り，

を満たす．

 旋律の複雑さに含まれる音の個数を採用する．さらに，任意の 類似度と内挿  への簡約パス上の旋律  は，      

旋律とその旋律の複雑さあるいは旋律の持つ情報量を対応付ける関数

簡約パス   に関する補題を与える．
 に関して，補題 から   への簡約パス                %     及び        %  である．
証明 まず，補題の前提より，   "     %       %     を得る．次に，本稿の仮定より，       %        である．また       なので，        ．よって，      %     %          %  ．

一般に，図  の $  おいて拍節的重要度が最小の音は複数個存在するので，簡約パスも複数通り存在する．

図

ここで関数

 は  音から成る旋律である．
の  音は全て に含まれている 図中，共通部分に下線を付した ．本稿では集合  の要
素数を " と表記する．"        # である．
定義    を満たす旋律 ， に対し， から  への簡約パスとは，図  の手順に従って，   に含まれる音をから 音ずつ簡約して得られる旋律の列である．
の場合，·

定の妥当性については  節で議論する ．

ムスパン木ではなく集合であることに注意 ．
例えば図·して  が存在し  節 ，

楽曲構造束には，可聴 

て，

y

3

つの旋律とそれを簡約して得られる旋律だけを含むものではない ．つまりどんな旋律でも必ず楽曲構造束に埋め込むことができ，任意の  つの旋律に対して

1

Step 3: Step 2

いては  節で議論する ．
の旋律とそれらを簡約して得られる全ての旋律を含む ある=   は，   次元平面に図示したので，あたかも平面上の任意の  点間に距離が定義できるかのよに含まれる音のうな印象を与えてしまうが， 

個数，タイムスパン木のノード 数，木の深さで重み付けをしたノード 数などが考えられる．

 は束上の元であり，   間に連続的に旋律が存在して **­

  

     情報処理学会研究報告   

S(A,α) = S(A,B)

なる円弧

A

TA

旋律A

α

TC TD

B

μ

TB

旋律B

合成された旋律μS(A,B) ≤ S(A,μ) ∧ S(A,B) ≤ S(B,μ) の領域

旋律C

図  内挿の定義

TC

旋律の部分的な簡約TD

旋律D

共通部分の対応づけいるわけではない．

TA TB

 旋律モーフィングのアルゴリズム
旋律モーフィングの直感的な説明は， つの旋律が与えられた時の中間的な旋律である．
文献  において，そのような中間的な旋律を計算するアルゴ リズムを示した．以下の手順

図  旋律モーフィングのアルゴ リズム  の内挿  を計算する 図  ．

で  をとる    を計算する ．
  への簡約パス上の旋律  と， から     への簡約パス上の旋律  を選ぶ．
    をとり    を計算し ，これを  とする．
 を  寄りにとると，出力に旋律 の特徴を強く反映させることができる． を   寄りにとると，出力にあまり旋律 の特徴は反映されない． のとり方に関して

x B  から  

A

図

式

 

      である．

   

なる

 に対し

証明


                       

y

x
A B

図  全モーフィングの計算

半モーフィングの計算の値と式  の値の大小を比較するために場合分けを行う．

(

本章では，まず半モーフィング 図  に関する補題を示してから全モーフィングの妥当性

  がある時，B   ．式      ，式       となる．式  の  に関して   なる  をとることができる．補題  を用いて，式             %    % 
ただし &  と変形できる．よって，式 式 ．
(   ． が   から に増加すると，   は  から   に増加    なので，    の値はど こかで   と等し くなる筈．つまり，
するが，      かつ        を満たすような  が存在する．式  の分母に関前章で示した旋律モーフィングアルゴ リズムは，全モーフィングの計算 図 ' に等しい．

補題  簡約パス側の類似度 旋律

AA B

 旋律モーフィングアルゴリズムの証明

て， 

B
x

も同様である．

を証明する．

x y

して場合分けを行う．



(!

+

      ．式   ，式    ．      **­

  なので     情報処理学会研究報告   

式 ．

式

テップ数

    ．  なる  に関して，式        である．補題  より，式       %    %  ．次に式  と式 の差を計算する．式   式 の分子           %          ，分母       %  ．分子，分母ともに正なので，式   式& を得る．よって，( (! すべての場合において式式 ．

補題  簡約パスの反対側の類似度 旋律   がある時，    なる に対して，       である．
(! となることによって表現できる．そこで，簡義が考えることができよう．




 演

算

節では ，任意の  に 対し て   は  つの旋律 ， にと  が 存在することと ，  %        が成立することを仮定した．つまり，  の存在が計算論的に仮定できる時にのみ有効な演算である．また，に関しても同様に， ， に対して両者の共通部分にあたる
旋律   の存在が計算論的に仮定できる時にのみ有効な演算である．


対して両者を包含するような複雑な旋律

証明



       

式

     を比較して，

約パス上の順簡約ステップ数 とさらに逆簡約ステップ数 に基づくより精密な類似度の定

本稿では詳しく述べなかったが，この仮定を成立させるため，現在のの値と式  の値の大小を比較するために場合分けを行う．

  の定義

では重ね合わされる音ど うし，共有される音ど うしが同じ音価，音高，時刻であるように制    ．式      ．式      ．       なので   ．ゆえに式  式 ．
(!      ．式      ．式      ．     かつ   なので，式 式 ．
(!      ．式      ．式      ．     かつ
    なので，式 式 ．
(限している．ところがこの制限は実用的ではなく，相容れない構造や値を持ったタイムスパ

ン木ど うしの  や  の計算が必要となる場面は多い．ここで相容れないとは，例えば，同時刻に生起した異なる音楽的イベント 例えば長さの異なる音符ど うしや，音符と休符等 ， )   枝の時間方向が異なるタイムスパン木のノード 等である．
実用的な場面でも有効な演算ができるよう制限を緩め，  や  を体系全体で一貫性をもって矛盾なく定義することは難しい 例えば，  の結果が常に可聴であることや，       %    が常に成立すること等 ．文献 & ではこの問題に対し，

定理  全モーフィングは内挿の条件を満たす

 を  に置き換えると           となる．これ     を得る．この式は   を入れ換えても成立する

 の結果と証明 補題  の結果に対しして例えば「  であると同時に  」， の結果として「  あるいは  」のような特殊な値と補題  よりを導入する手法に関し若干の議論を行った．さらに，  や  をタイムスパン木を表現  

ので内挿の条件を満たす．

 議する項としてではなく，そのような項から成る集合と考える手法も考えられる．今後，これら手法により深い検討を加える必要がある．

論 お わ り に 類 似 度

， ， があるとする． と ， との間に直接の がなく，       かつ       である．この時，現在の類似度の定義 式
では          となる．この類似度の考え方では， と とのを計算することで と  の情報がどの程度失われるかを計量している．直感的には  の方が失われる情報が多いが，正規化のための     の演算で常に   の方が選択され  が考慮されないため，         となってしまう．
上で述べた  の方が失われる情報が多いという直感は， を   に順簡約するス
例えば次の条件を満たす

本稿で述べた旋律モーフィングアルゴ リズムの形式的検証は，アルゴ リズムが計算した全包摂関係 

ての結果は内挿の条件を満たしているという意味において，アルゴ リズムの健全性を証明したことに相当する．すると次はアルゴ リズムの完全性に興味が湧くが，おそらく完全性は成 から     への簡約パスは立しないであろう．なぜなら， 節で述べたように，



複数通りあるので，別の簡約パス上には現れているが今選んだ簡約パス上には現れていないような旋律が反例として存在するからである その逆の場合もあり得る ．健全かつ完全な旋律モーフィングアルゴ リズムの設計は今度の課題である．

,

 **­

  

     情報処理学会研究報告   

旋律モーフィングアルゴ リズムには，本稿で取り上げた内挿の考え方に基づくものだけでなく，外挿の考え方に基づくものも提案されている  ．後者のアルゴ リズムがどのような性質を持っているかを形式的に明らかにすること，またそれに先立ち適切な外挿の定義を与えることは，計算論的音楽理論において重要な課題であると考える．

参 考

文

献

平田圭二 東条敏 相対擬補元を用いたメディアデザイン操作の形式化について 第 #回 人工知能学会 全国大会 *!&+ &&  片寄晴弘 橋田光代 生成系音楽支援システムの      視点からの考察 情報処理学会研究報告   ##, & &&-  .) /0 1 2 /   $) 3)2) .)  .)  4 .)* ) 33. 5        , + 浜中雅俊 平田圭二 東条敏 計算論的音楽理論の応用 情報処理学会誌 道しるべ：計算の視点から音楽の構造を眺めてみると   6)# 7)   ,  &&+  8  9   : ; 0 )<     ! 3 .53=   #+ ' 1 2 /   $) 3)2) 9  >) .   $    5   "# $%$ $ =  > ) ;$5 &&' 3 ? )   @   $ 4 !
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 $(  ,- && # 1 2 /   $ .  5   A .  $  C )  ) !
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! &&' .) /0 1 2 /   $) 3)2) .)  @D ) ) 
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