bb& b
第計算の 視点から音楽 の 構造を 眺 めてみると

道しるべ

4）
回

eq }

音楽理論 GTTMの定式化と実装の試み
平田圭二（NTT コミュニケーション科学基礎研究所）
浜中雅俊（筑波大学システム情報工学研究科）

付けてネットワークを構成することを言います．

音楽の構文解析器を作る

英語で書かれた GTTM 本は音楽分析者が読んで理解本連載第 1 回目では，計算論的音楽理論の主要な研するものです．音楽分析者に，グルーピングや階層の作☆1

究テーマの 1 つは音楽理論に基づいた分析手法や作曲り方に関する宣言的

手法を計算機上に実装する試みであると述べました．まば，音楽分析の厳密な手順などを示さずとも，音楽分析

た本連載の第 3 回目では，自然言語理解において文と者は試行錯誤しながらさまざまなルールを上手に適用しいうマクロな構造を理解する構文解析が重要な役割をて，グループ階層構造を作り出してしまいます．宣言的果たし，その自動化が長年研究されてきたことを紹介しで部分的な情報しか与えられていないということは，グました．その自然言語処理との対比から，音楽を理解す

ループ階層構造の具体的な作成手順が書かれていないとるためには，楽曲のマクロな構造に対する構文解析が重いうことであり，計算機プログラムに翻訳しようとする

要な役割を果たすと述べ，その具体例として，音楽理論と何らかの情報が足りないということです．

1）

で部分的な情報さえ与えておけのタイムスパン簡約や HPSG によるカデンツ

ここで，音楽分析には 2 種類の曖昧性が生じています．

（終止感をもたらす和音進行）分析法を紹介しました．

• 音楽分析手法や概念を記述するときに生じる曖昧性．

もしこれら「音楽の構文解析」が自動化できたら，計• 音楽分析を実行する人の主観的な判断や考え方に起因

GTTM

算機は音楽をより深く理解することができるようになする曖昧性．

り，より知的な作曲，編曲，演奏や，質の高いマルチメ

前者の曖昧性は，音楽理論 GTTM の場合ですと，GTTM

ディア作品制作などが実現するでしょう．さらに，工学のルール定義において何らかのパラメータやアルゴリズ的に有用であるばかりでなく，音楽理論を検証可能な形

ムが欠けていたり不完全だったりすることです．たとえに改良し，音楽そのものの理解を深めることにもつながば以下のルールをご覧ください．

るでしょう．

GPR3c (Articulation) : Consider a sequence of

今 回 は，GTTM を 計 算 機 上 に 実 装 す る 筆 者 ら の 試
みについて，その課題と解決法をご紹介します

2），3）

four notes n1, n2, n3, n4. All else being equal,．

the transition n2 - n3 may be heard as a group

GTTM 全体を扱うと紙面が足りなくなってしまうので，

boundary if the transition n2 - n3 involves a change

本稿ではグルーピング構造分析の部分に着目して筆を進

in articulation and n1 - n2 and n3 - n4 do not.

めていきたいと思います．

（筆者訳：音列 n1, n2, n3, n4 について，すべての音が等しい場合を除き，遷移 n2 - n3 でアーティキュ● 音楽分析における 2 種類の曖昧性

レーションが変化し，n1 - n2 と n3 - n4 で変化しない

非常に当たり前ですが，音楽分析をする人は音楽分析のとき，n2 - n3 はグループ境界に聞こえることがある）

本を読んで内容を理解して，音楽分析を実行します．音楽

このルールは，ある条件が満たされると旋律中のある個分析とは，音楽の 3 要素と呼ばれる旋律，リズム（拍節），

所がグループ境界の候補になることを主張しています．

和音のそれぞれに関して，区切りや繰り返しの個所を見い

ルール中の音楽用語「アーティキュレーション」というだしてグルーピングを行い，階層的にグループのグループのは，演奏に感情を込めるため，ある音と後続の音をど（グループ階層構造）を作り，特徴的な個所どうしを関連のように分離したり・つなげたりするかという演奏法を意味します．短く分離する staccato やスムーズにつな☆1

ある対象に関して，その満たすべき性質や条件だけを記述する方法論のこと．対する概念は「手続き的」と呼ばれ，その性質を実現したり条件を満たすための具体的な手順を記述する方法論です．

1208 情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 2008

げる legato 演奏記号が，その一例です．しかし，譜面
上の legato がすべて同じタイミングや音量になっているとは限りませんし，legato の意味は演奏する楽器ご

とに異なっています．また，ルール中のmay be も，

入力の楽譜

どのように解釈していいのかがよく分かりません．
音楽分析における 2 つ目の曖昧性に関して，たとえば音楽分析者の嗜好や属する文化，時代，地域が異なる場

外部制御パラメータ…

合，同じルールに従って分析したつもりでも，音楽分析
4）

者によって異なる分析結果が出てくることがあります ．

音楽の構文解析器

音楽分析者も人間ですから，分析結果がその時々の感情にまったく左右されないとも限りません．

分析結果（音楽の構造）

前者と後者の曖昧性の境界にはトレードオフがあります．もし，音楽分析者の主観や考え方に依存する部分をできるだけ排除した厳密な理論を提案しようとすると，人間の生み出した正しい分析結果

その理論の適用範囲を狭めてしまうというジレンマをもたらします．しかし，音楽というものを対象としてい

図 -1

音楽の構文解析器

る以上，どうしても文章化できない部分が残り，音楽分
析者に依存する部分が生じてしまうのではないでしょう
か．数学のように厳密な体系を構築する方法論は，ここ

構文解析器に適切なパラメータ値を与えることはより好ではあまり適切ではないと思います．
たとえそのために，ましい音楽構造を選択する尺度や閾値を変更することに少々の不正確な定義，循環定義，用語使用の不統一など対応します．

が紛れ込んでしまったとしても，それは音楽を音楽たらしめている何ものかの表出かもしれません．

筆者らは，音楽理論 GTTM の分析手法を計算機上に実装するため，上述の方針に従って GTTM を拡張しました● 音楽の構文解析器

2），3）．それを exGTTM と呼びます．では次に，具体的に GTTM ルールのどこにどんな曖昧性があるのか

筆者らは音楽の構文解析器を作るにあたり，これら

2 種類の曖昧性に対し以下のような設計方針で臨みましを見て，それから exGTTM に至る道のりの一端をご紹介します．

た（図 -1）．まず，音楽分析の記述に由来する曖昧性に対しては，不足しているパラメータやアルゴリズムを可
能な限り補充し明示化し，それらの値や動作を音楽分析

GTTM ルールの曖昧性

者から制御可能とすることを目指しました．これは，知GTTM ルール記述に含まれる曖昧性は，さらに大き的な音楽システムを実現するには，最初から楽譜上に明く次の 3 種類に分けられます．

示的に記述されている情報だけでなく，暗黙的な背景知• ルール間競合の解消が曖昧．

識も同様に明示化することが重要であるという主張に通• ルール適用の範囲（時間区間）や適用タイミングが曖昧．

5）

じるものがあります ．パラメータが明示化されれば，• 定式化に必要な概念やルール定義が欠けている．

その次は，音楽分析を音楽の構文解析器のパラメータ値

では，1 つずつ説明していきましょう．

を最適化したり制御する問題として定式化できます．

2 番目の音楽分析者の主観や考え方に由来する曖昧性に対して，人間の生み出した分析結果はそのいずれもが 正しい● ルール間競合の解消が曖昧なケース
まず，グループ境界を決めるためのルールを示します：と認めることとします．よって，音楽の構

GPR4 : Where the effects picked out by GPRs 2

造分析器に適切なパラメータ値を与えさえすれば，構造and 3 are relatively more pronounced, a large-

分析器は各々の正しい分析結果を出力するということをlevel group boundary may be placed.

目指しました（高い再現率）．つまり，そのような動作（GPR2, 3 の示す効果が相対的に顕著な場所は，よが可能となるように不足しているパラメータを補足し，り上位レベルでもグループ境界となる可能性がある）

アルゴリズムを設計するということです．本連載の第こ こ で GPR と い う の は Grouping Preference Rule，

1 回目でも触れましたが，GTTM の分析手順では，ある

つまり，グルーピング構造分析において，well-formed

楽曲が与えられると，まず well-formed な音楽構造をな音楽構造を複数規定したあと，それの中からより好ま規定し，その中からより好ましい音楽構造を選択します．

しい音楽構造を選択するための選好ルールのことです．

複数の正しい分析結果が存在すると考えるのは well-

GTTM には GPR1 から 7 まであって，GPR2, 3 は，連formed な音楽構造が複数通り存在することに対応し，続した 4 音に関して，音高やタイミングの近接性や変情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 2008

1209

&

計算の 視点から音楽 の 構造を 眺 めてみると道しるべ

トップダウン

a.
b.
c.

図 -2

3a

6

3a

6

ボトムアップ

3a, 6

ルール間競合解消が曖昧な例

図 -3

グループ階層構造の生成順序化に基づいてグループ境界の可能性を指摘する局所的なかは一概に決められません．GTTM 本でも Lerdahl とルール群です（前掲の GPR3c はその 1 つです）．これJackendoff は，各ルールの重みにはあえて触れないとらに対して，GPR4 はメタルール的な役割を担っていま述べています．

す．この GPR4 の記述中の relatively や may be をどのように解釈すべきかは，音楽分析者の主観や考え方に委ねられています．

グ ル ー ピ ン グ に 関 す る ル ー ル は， 局 所 的 な も の

もう 1 つグループ境界を決めるためのルールを示します（図 -2）：図中， 3a と 6● ルールの適用範囲やタイミングが曖昧なケース

は，各々 GPR3a（音（GPR1, 2, 3, 4）と大域的なもの（GPR5, 6）に分けられます☆2．これらルールから得られる各グループ境界

高の跳躍するところはグループ境界になりやすい）との可能性に基づいて，全体として一貫したグループ階

GPR6（並列な旋律断片の始端と終端はグループ境界に層構造を作り出さねばなりません（図 -3）．このとき，

なりやすい．詳細は後述）というルールによってグルー

GPR1, 2, 3, 4 を用いて，局所的に弱いグルーピング境

プ境界の可能性を指摘された場所を表しています．
また，界を発見し，そこに接しているグループどうしをボトム

が 1 つのグループを表しています．これだけです

アップに合体させます．一方，GPR5, 6 を用いて，トッと図中 a のようにグループ境界が 5 カ所生じそうです．

プダウンにグループを分割したり，並行な旋律断片を発ところが GTTM には GPR1 というルールもあります :見してその始端と終端をグループ境界候補とします．音GPR1 : Avoid analyses with very small groups

楽分析者はボトムアップとトップダウンの間を適当に行-the smaller, the less preferable

き来しつつグループ階層構造を作り出していきます．

（非常に小さいグループを含む分析は避ける─小さいグループほど望ましくない）

この大域的なルールの 1 つである GPR5 は次のように与えられています :この GPR1 より，図 -2 の 3a か 6 は排他的に成立する

GPR5 : Prefer grouping analyses that most

ことが強く要請されます．つまりルール間競合を解消しclosely approach the ideal subdivision of groups

図中 b か c のいずれかのグルーピングに決めなくては

into two parts of equal length

なりません．しかし，GPR1 にはルール間競合解消に関（あるグループをできるだけ等しい長さに二分する

する情報は含まれていません．

ようなグルーピングが好ましい）

実際に競合を起こす可能性があるルールはもっと多数

局所的なルール群は，範囲や適用タイミングを考慮せあります．GPR2 は 2 つのサブルールからなり，各々，ずに適用することができますが，GPR5, 6 といった大連続した 4 音に関して，スラーと休符（2a）および発域的なルールは，そうはいきません．GPR5 を楽曲のど音時刻（2b）の近接性からグループ境界の可能性を指の範囲にどのタイミングで適用するかが，生成されるグ摘します．同じく GPR3 は 4 つのサブルールからなり，

ループ階層構造を大きく左右することは容易に想像でき

各々，連続した 4 音に関して，
音高（3a），
音量（3b），アー

ると思います．GTTM では，GPR1 〜 6 全部を同時にティキュレーション（3c），音価（3d）の変化からグルー考慮して最も妥当なグループ階層構造を作るためのループ境界の可能性を指摘します．これら各サブグループすル（アルゴリズム）が与えられていません．

べてがルール間競合を起こす可能性がありますし，後述

前述したように，GPR5 に含まれる「できるだけ等しするように exGTTM では GPR6 も競合を起こす可能性い長さ」や「好ましい」という表現の曖昧さにももちろがあります．

ん対処しなければなりません．

これら多数の要因から局所的なグループ境界の可能性が決まってくるので，多数のルールが競合を起こすのです．しかし，どの要因が強くてどの要因が弱いの

1210 情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 2008

☆2

GPR7 は後段からのフィードバックに関するルールです．

● 必要な概念やルール定義が欠けているケース
同一あるいは類似した断片部分を含む旋律のグルーピ
ングに関するルール GPR6 を挙げます：

いても同様の曖昧性が含まれています．GTTM を計算機上に実装するには，それらにも対処しなければなりま
せん．筆者らは GTTM を規範的に見る立場から，以下

GPR6 : Where two or more segments of theの点について GTTM を拡張し定式化を行いました．

music can be construed as parallel, they

• 不足していたり暗黙的なパラメータの明示化，

preferably form parallel parts of groups• 音楽構造を生成するアルゴリズムの導入．

（2 つ以上の旋律断片がパラレルであれば，その部

そうやって定式化した GTTM を exGTTM と呼びましょ

分ではグルーピング構造もパラレルとなることが好う．GTTM を規範的に見る立場というのは，これまでましい）

見てきたように GTTM ルールには曖昧な個所があるも

しかし GTTM ではパラレル（parallel☆3）の定義，つのの，基本的な概念や規則は取り込まれており，全体とまり旋律間の類似性の定義が与えられていません．実

しては正しく意味のある理論であるという意味です．で際に，類似性に関する提案や実験は多数にのぼります

すから，GTTM ルールが十分かつ的確かという問題は

し

7），8）

，音楽認知科学的にも未解明な部分があります．

棚上げし，足りない部分を補うというアプローチで定式

理論家の立場からは，定義をどれか 1 つに固定してし化しています．また，ここでは計算機上で動作すること

まうのはあまり現実的ではないでしょう．

を優先して，exGTTM が与えるアルゴリズムと人間の

ここで問題のそもそもに立ち戻ってみると，旋律断片

認知過程との対応はあまり考慮していません．

がパラレルであるとは，その音楽的な構造が同一あるいでは以下，引き続きグルーピングのルールを取り上げは類似しているからパラレルと認識されるのではないでて各ルールをどのように定式化し実装したかを具体的にしょうか．本連載第 2 回目でも指摘しましたが，認知科説明していきたいと思います．

学的な視点を取り入れて，このような循環定義に陥らない妥当な理論を構築する研究も必要であると思います．

● ルール間競合の解消

もう 1 つのケースを挙げたいと思います．GTTM 分

先に挙げた例では GPR1, 3a, 6 が競合していました析ではグルーピング構造分析と拍節構造分析の結果を受（図 -2）．このようなとき，各ルールを重み付けするパ

けて，タイムスパン簡約を行いタイムスパン木を得ます．

ラメータを補って，競合を解消することを考えます．

さらに連載第 2 回目で触れた延長的簡約を行い，ある

そこでまず GTTM のルールごとに，そのルールが場

木構造（Normative Prolongational Structure, 規範的所 i においてどの程度成立しているかを示す値域が 0 〜

な延長的構造）を得て分析全体が完結します．ここで，1 の変数 D ルール名 (i) を導入します．たとえば GPR2, 3

GPR7 はタイムスパン木と規範的な延長的構造がより安の場合は，ルールが成立するか否かの 2 通りに分かれる

定☆4するようなグループ階層構造を要請します．同様

ので，D ルール名 (i) の値は離散値 0, 1 を取ります．次にに，拍節構造分析のルール（MPR9）も後段の処理結果

各 D ルール名 (i) に対して重み付けのパラメータ S ルール名

が安定することを要請します．このように，後段の処理（ルール名＝ GRP2a, 2b, 3a, 3b, 3c, 3d）を導入し，各結果からのフィードバックがあると一般に解が収束しな

サブルールの重みを外部から制御できるようにしました

くなる可能性が生じます．
このフィードバックの問題も，（図 -4）．

認知科学的な視点を取り入れて理論の枠組み自体から再構築して解消する道があるかもしれません．

各 D ルール名 (i) を算出する際に，また別のパラメー
タが必要になる場合もあります．たとえば，DGPR2x(i)や DGPR3x(i) は 0 か 1 の離散値を取るので，その値から

GTTM から exGTTM へ

DGPR4(i)（GPR2, 3 の示す効果がどの程度相対的に顕著か）を算出するわけにはいきません．そこで exGTTM

ここまで，グループ構造分析ルールの曖昧性のみに触では，DGPR2x(i) と DGPR3x(i) を算出するために用いられれてきましたが，拍節構造分析やタイムスパン簡約におた発音時刻の間隔，音の跳躍，休符の長さ，アーティキュ
レーション等の値を用いて「効果」の大きさを算出し，☆3

音楽用語としての parallel の意味は，2 声が完全 5 度あるいはオクターブで並進行することで，それらは一般に平行 5 度，平行 8 度
6）と呼ばれています ．しかし GTTM では，同発音時刻に限らず，同一あるいは類似した旋律の進行が出現しているときに parallel と呼びます．
☆4

GTTM 本では，安定したタイムスパン木の定義，安定した規範的な延長的構造の定義も曖昧です．

ある閾値を超えたかどうかで DGPR4(i) が成立するかどうかを判定しました．このときに導入された閾値もまた外部から制御できるパラメータの 1 つです．
このようにしてルールごとに導入した変数 D ルール名 (i)とそのルールの重みを外部から制御するパラメータS ルール名から，i 番目の音符間遷移がグループ境界となる
情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 2008

1211

&

計算の 視点から音楽 の 構造を 眺 めてみると道しるべ

Blow(i)10i

DGPR2a(i)DGPR2b(i)iiDGPR3a(i)i

DGPR3b(i)SGPRj

DGPR3d(i)DGPR6(i)

図 -4

1

i

DGPR3c(i)外部から制御可能なパラメータDGPR6(i)

i
i
i

図 -5

パラレルな旋律断片の始端，終端を指摘する変数 DGPR6(i)1

GPR2, 3 の各サブルールの重みを制御するパラメータ S ルール名(i) が得られます :Blow ] i g = ! SGPRj # DGPRj ] i g

j=2a, 2b, 3a, 3b, 3c, 3d, 6

m

n
楽曲断片

low

可能性を表現する変数 B

拍節位置 m

楽曲全体長 L

楽曲断片

［m, m+r）［n, n+r）r

r
G(m, n, r)：類似度算出アルゴリズム

図 -6

楽曲中のパラレルな旋律断片を発見するアルゴリズム

ここで変数 D ルール名 (i) の値域が 0 〜 1 と正規化されていたことに留意してください．exGTTM では，上記
Blow(i) の算出法に限らず，今後さまざまなルールをさまえる要因として少なくとも以下の 3 点が考えられます：

ざまに組み合わせてグループ境界の算出方法を検討しよ

1) パラレルな旋律断片の長さ，2) 旋律断片がパラレルうと考えています．そのとき，あらゆる組合せを試行錯であることを判定する際に音高の一致に重みを置くか発誤するためには正規化が必要です．

音時刻の一致に重みを置くか，3) 旋律断片の始端に重みを置くか終端に重みを置くか．GTTM ではこれらの● GPR6 の定式化と実装
先にも述べたように，GPR6 は，楽曲中のパラレルな
旋律断片の始端，終端がグループ境界になる可能性があ点については何も議論されていませんが，少なくともこ
れらの要因をパラメータとして明示してアルゴリズムに取り込む必要があります．

ると主張しているルールで，楽曲中にパラレルな旋律

exGTTM では，この変数 DGPR6(i) の値を基本的に全断片が現れているかどうかをくまなく探す操作を含む解探索で求めます（図 -6）．まず，四分音符単位の拍

大域的なルールです．ところが，図 -4 の最下段に書い

位置 m から始まる長さ r 拍の旋律断片 [m,m+r) ともうてあるように，exGTTM では GPR6 に関してある前処

1 つの旋律断片 [n,n+r) の間の類似度を算出するアルゴ

理を施すことで，局所ルールと同列に扱っています．そリズムがあるとします（図中 G (m, n, r) で表現）
．楽曲のポイントとなるのは，パラレルな旋律断片を探索する

全体にわたって，m，n，r の全組合せについて類似度を範囲です．大域的なルールから算出される値というもの

算出して，各音符間遷移 i ごとに集計するのです．旋律は，グループを分割して大域的な状況が変化するたびに断片の始端と終端を四分音符単位の拍位置に限定するのその値を計算し直さなければなりません．これに対しは，exGTTM では，四分音符より短い旋律断片はパラ

exGTTM では，パラレルな旋律断片の探索範囲を常にレルかどうか探索する必要がないと考えるからです．こ

楽曲全体とし，異なるグループに出現する旋律断片どうの類似度算出手法は，類似マトリクス法

しでもパラレルな場合があるという前提を置きました．

です．

9）

と同じ原理

これより，楽曲全体に対して最初に 1 度だけパラレル

では次に，上の要因 1)，2）を考慮した旋律断片どな旋律断片を全探索しておけば，トップダウンにグルーうしの類似度 G (m, n, r) を算出するアルゴリズムを考プを分割していくたびにパラレルな旋律断片を探索し直えましょう（図 -7）．図では，4 つの発音時刻のうちす必要がなくなります．

3 つが一致しています (Am, n, r)．さらにその 3 つの発音

このような前提を置いて GPR6 を定式化するという時刻において，2 つの音高が一致しています (Bm, n, r)．

ことは，楽曲全体にわたってパラレルな旋律断片を探索

この発音時刻と音高が一致する音符が多ければ多いほ

し，その断片の始端，終端において値が高くなるような

ど 2 つの旋律は類似していると考えられます．ここま

変数 DGPR6(i) のアルゴリズムを具体的に与えるというで算出された Am, n, r と Bm, n, r を組み合わせて旋律断片ことです（図 -5）．このとき，DGPR6(i) の値に影響を与[m,m+r) と [n,n+r) の間の類似度 G (m, n, r) を定義しま

1212 情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 2008

Am, n, 2：拍節の一致度 ＝

m

m+1

m+2

6
7

…

L=楽曲全体長b(i) 成立

L

L-n

3 3 G(beat(i), n, r)

n=m+1 r=1
n

n+1

n+2

拍節位置

e(i) 成立 Lm

L-n

3 3 G(beat(i) -r, n-r, r)

n=m+1 r=1

Bm, n, 2：音高の一致度 ＝

図 -7

4
6

m
DGPR6(i) 成立

旋律断片どうしの類似度の算出

mす．このとき，類似している旋律断片のうち，より長いものに重みを与えるパラメータ

図 -8 パラレルな旋律断片の始端あるいは終端がグループ境界になる可能性とその足し合わせ

Wl と，音高列の概形（contour）が似ていることに重みを与えるか発音時刻が似ていることに重みを与えるかを調整するパラメータ Wm を導入しルゴリズムに置き換わることになるでしょう．そのときます．

は本稿で紹介したパラメータとはまったく異なるものを最終的にこの G (m, n, r) を使って図 -5 のように値が使うことになるかもしれません．

変化する変数を構成します（図 -8）．exGTTM では，パラレルな旋律断片は四分音符で数えた拍位置から始まる● グループ階層構造生成アルゴリズム／終わるとしているので，音符 i が旋律断片の始端や終何度か述べてきましたように，GTTM 本にはグルー端になり得るかを判定する必要があります．音符 i が旋

プ階層構造を作るための部品となるルールは与えられて律断片の始端になり得るとき b(i) が成立し，i が終端にいるものの，それらを組み合わせるルールやアルゴリズ

なり得るとき e(i) が成立するとします．beat(i) は音符 i

ムは記述されていません．しかし，音楽分析者はボトムの出現する拍位置を表します．m が与えられたときのすアップとトップダウンの間を適当に行き来しつつ妥当なべての n，r を調べるのが !

グループ階層構造を作り出していきます．拍節構造，タ

楽曲全体長）☆5

Ln = m+1!

L-nr = 1 です（L は．最後に，要因 3) を考慮して，旋律断

イムスパン木，
規範的な延長的構造についても同様です．

片の始端と終端のいずれがより強くグループ境界の可能では exGTTM でのグループ階層構造を作り出すアルゴ性に影響するかを調整するパラメータ Ws を与えます．

リズムについて見ていきましょう．

そして図 -8 最下段に示したグラフのような DGPR6(i) を得ます．

アルゴリズムの概略は，トップダウンにグループを分割するたびに，局所的なグループ境界の情報と大域

ここまで長々と GPR6 の定式化とその実装法を説明し的なグループ境界の情報を再計算するというものですてきました．その過程で，新しく 3 つのパラメータ Wm，（図 -9）．ここで，大域的なルール GPR6 は，前の章でWl，Ws を導入しました．それは，本章の冒頭で述べたグ導入した前提「パラレルな旋律断片の探索範囲を常に楽ループ境界の可能性に影響を与える 3 つの要因にそれぞ曲全体とし」により局所的なルールとして扱えば十分とれ対応しています．GTTM 本の中ではさまざまな関連事なりました．よって大域的なルールとして考慮すべきは項が議論されていますが，いずれも GTTM 本ではまった

GPR5 だけです．exGTTM では以下のステップでグルーく着目されていなかった要因ばかりです．前述のパラレ

プ階層構造を生成します：

ルの探索範囲の問題も，GTTM の自動化という試みを通［ステップ 1］楽曲全体の音符間遷移 i ごとに局所的なじて初めて提出された論点の一つだと思います．

グループ境界の強さを算出します．

将来もし他の優れた類似度アルゴリズムが提案された

ここでは GPR2, GPR3, GPR6 の効果を計算します．

場合，exGTTM の類似度算出の部分は，その新しいア［ステップ 2］ある対象区間 [s,e] に関して，大域的な情報も加味してグループ境界の強さを算出します☆5

音ただし m と n から始まる旋律断片どうしが重複した場合を除外する処理は説明が煩雑になるので省略してあります．

（図 -9 c）．
high

図中 c の D(i) は，ステップ 1 で算出したグルー
情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 2008

1213

&

計算の 視点から音楽 の 構造を 眺 めてみると

道しるべ

exGTTM の実装
筆者らは exGTTM を計算機上に実装しました．そa.

の シ ス テ ム を ATTA（Automatic Time-span Tree

Analyzer）と呼んでいます．exGTTM で定式化し実装したのはグルーピング構造，拍節構造，タイムスパン簡b.

約の 3 つのサブ理論であり，それは GTTM 全 26 ルー
ル中，17 ルールでした．その際，全部で 46 個のパラメーc.

タを導入しました．

ATTA を起動すると，グルーピング構造分析，拍節構 造分 析，タイ ム スパン 簡約 ごと に，パ ラ メ ー タ 値
図 -9

調節パネルと分析結果の簡易表示パネルが開かれます

トップダウン処理とボトムアップ処理の統合（図 -10）．音楽分析者がパネル左半分のスライダを動かして，ATTA が正しい結果を表示するようにパラメータ
プ境界の強さに，GPR1, GPR4, GPR5 の効果を加値を調節します．

味したものです．4 カ所のグループ境界の候補があります．

それでも，どうしても ATTA が正しい結果を表示できない場合は，図 -11 のようなエディタを起動して手動［ステップ 3］Dhigh(i) が最大となる場所 ˆi を選びグルーで正しい分析結果を入力し表示することができます（譜プを二分割します（図 -9 b）．

例はモーツァルトのトルコ行進曲です）．GUI ウィンド

対象区間 [s,e] 中，最もグループ境界の可能性が高い

ウの上半分がタイムスパン木の表示であり，下半分がグ

i をグループ境界とします（図中の上向き矢印の位ループ構造および拍節構造の表示です．

置，iˆ と記します）．

ATTA の評価実験について簡単に触れたいと思いま［ステップ 4］分割した対象区間ごとにステップ 2, 3 をす．クラシック 100 曲から切り出した 8 小節の旋律断繰り返します（図 -9 a）．

片を 100 個準備し，4 人の GTTM の専門家が相互チェッ[s,e] を [s,î ] と [iˆ,e] に分割しステップ 2 に戻ります．

クをしながらそれらの正解の分析結果を作成しました．

そして，対象区間内に局所的グルーピング境界がなくな

次に，100 個の旋律断片の各々に対して ATTA が正解のるまでステップ 2 〜 4 を再帰的に繰り返します．

分析結果を出力するように手動でパラメータ調整を行いアルゴリズムの詳細については文献 2）をご覧ください．
このようなグループ階層構造を生成す

Time-span tree analyzer

るアルゴリズムが GTTM で与えられていないのは，旋律断片の類似度を算出す

Metrical-structure analyzer

るアルゴリズムと同様に，音楽認知科学
的に未解明な部分があるということと，Grouping-structure analyzer

実際のアルゴリズムが何通りも考えられるためと思われます．筆者らが提案した

exGTTM のグループ階層構造生成アル
ゴリズムもその 1 つの実現方法にすぎないと考えています．
本 稿 で は 紹 介 し ま せ ん で し た が，

GPR5 についても同程度の拡張が必要です．さらに，拍節構造分析やタイムスパン簡約に関するルールについてもさまざ
まな拡張が必要です．それら GTTM ルー
ルの定式化とその実装法の詳細について
も文献 2）をご覧ください．
図 -101214 情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 2008

ATTA のパラメータ値調節パネルと分析結果表示パネル

ら exGTTM 全体を構成することができました．今後はそれら部品ごとに，より性能の良いものを設計し交換していけば，exGTTM の効率の良い改良ができるのではないかと期待しています．

GTTM 本は，音楽分析者が読んで理解し音楽分析を実践するための本です．厳密な手順などを示さずとも，
グループ階層構造に関する宣言的で部分的な情報さえ与えておけば，音楽分析者は試行錯誤しながら，局所的なルールや大域的なルールグループ階層構造を作り出してしまいます．exGTTM の設計を通じて一番痛感したのが，音楽に関する人間知性の奥深さでした．先にGTTM の定式化においては人間の認知プロセスをあまり考慮しないと述べましたが，実際に暗黙的な処理を明
図 -11

示化するには内省によるところが大でした．

ATTA の GUI

今回は触れなかった GPR7（フィードバックのルール）の定式化は，次回（本連載最終回）で紹介したいと思いました．どんなにパラメータ値を調整しても正解が出力できないケースがいくつか残りましたが，それでも，部
分的には正しい分析結果を含んでいました．グループ構造分析，拍節構造分析，タイムスパン簡約の各正解率のF 値 ☆ 6 は全 100 曲の平均で 0.77, 0.90, 0.60 となりま
した．

ます．どうぞお楽しみにしてください．
参考文献
1）Lerdahl, F. and Jackendoff, R. : A Generative Theory of Tonal Music,
The MIT Press (1983).
2）Hamanaka, M., Hirata, K. and Tojo, S. : Implementing‟ A
Generative Theory of Tonal Music , Journal of New Music Research,
35:4, pp.249-277 (2007).
3 ） Hirata, K., Tojo, S. and Hamanaka, M. : Techniques for

Implementing the Generative Theory of Tonal Music, ISMIR 2007
Tutorial. チ ュ ー ト リ ア ル ス ラ イ ド は http://ismir2007.ismir.net/

むすびに代えて最初に，音楽の構造解析器の設計目標として，不足しているパラメータやアルゴリズムを可能な限り補充し明
示化し，それらの値や動作を音楽分析者から制御可能とすること，そして音楽の構造分析器に適切なパラメータ値を与えれば，構造分析器は各々の正しい分析結果を出力できることを掲げました．GTTM を規範的に見る立場からは，GTTM をよく理解する音楽学の専門家の協力を仰いで，exGTTM の分析結果が設計目標に近づくよう改良していくことになると思います．一方，現実にproceedings/ISMIR2007_tutorial_hirata.pdf からダウンロード可．

4）片寄，橋田，野池：演奏上での頂点とグループ境界の聴取モデルについて，情報処理学会 音楽情報科学研究会 , 2003-MUS-52, pp.95-102.
5）Widmer, G. : The Importance of Basic Musical Knowledge
for Effective Learning, In (Eds.) Mira Balaban, Kemal Ebcioğlu,
and Otto Laske, Understanding Music with AI : Perspectives on Music
Cognition, pp.491-507, The AAAI Press/The MIT Press (1992).
6）新音楽辞典 楽語，音楽之友社 (1977).
7）Hewlett, W. B. and Selfridge-Field, E. (Eds.), Melodic Similarity :Concepts, Procedures, and Application. Computing in Musicology,
Vol.11, The MIT press, Cambridge (1998).
8）MIREX Symbolic Melodic Similarity Contest, http://www.music-ir.
org/mirex/2007/index.php/Symbolic_Melodic_Similarity

9）Cooper, M. and Foote, J. : Automatic Music Summarization via
Similarity Analysis, In Proc. of ISMIR 2002, pp.81-85.
（平成 20 年 8 月 13 日受付）

は，従来では考えられなかったような新しい解釈を発見して，それに基づく素晴らしい演奏を次々と披露する演
奏家がいます．これは，従来の規範を越えて新たな規範を提案する作業です．そのような演奏に触れるにつけ，固定された規範を持たない音楽理論とはどのような理論なのか興味が湧くところです．

exGTTM は，GTTM のルールごとに定式化を行いました．その結果，グループ境界の可能性を算出するモ
ジュール，旋律断片の類似度アルゴリズム，階層構造を生成するアルゴリズム等のモジュラリティの高い部品か

平田圭二（正会員） hirata@brl.ntt.co.jp
1987 年東京大学大学院工学系研究科情報工学専門課程博士課程修了．工学博士．同年 NTT 基礎研究所入所．1990 〜 93 年（財）新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）．1999 年より NTT コミュニケーション科学基礎研究所．2001 年本会論文賞，2003 年山下記念研究賞．音楽情報処理に興味を持つ．ビデオコミュニケーションシス
テム t-Room のプロジェクトに取り組む．
浜中雅俊（正会員） hamanaka@iit.tsukuba.ac.jp
2003 年筑波大学大学院工学研究科博士課程修了．同年日本学術振興会特別研究員 PD，さきがけ研究員（専任）などを経て 2007 年より筑波大学大学院システム情報工学研究科講師．音楽情報処理の研究に従事．博士（工学）．2001 年山下記念研究賞，2001 年 SCI in☆6

F 値とは，適合率 R，再現率 P としたとき F = 2RP/(R+P) で計算される値．

Art 優秀論文賞，2003 年筑波大学大学院優秀論文賞（博士課程長賞），
ICMC2005 Best Paper Award 受賞．

情報処理 Vol.49 No.10 Oct. 20081215