A Tour Of SageRelease 10.4

The Sage Development Team23 jul. 2024

Sumário

1

Sage como uma Calculadora

3

2

Cálculo Numérico com o Sage

73

Algoritmos incluídos no Sage

11i

ii

A Tour Of Sage, Release 10.4

Esta apresentação ao Sage segue de perto o “tour do Mathematica” que se encontra no começo do “manual do Mathematica”.

Sumário1

A Tour Of Sage, Release 10.4

2

SumárioCAPÍTULO

1

Sage como uma Calculadora

A linha de comando do Sage possui o prompt sage:; você não precisa digitar essa palavra. Se você usar o Sage Notebook,então você deve copiar todo o comando após o prompt sage: em uma célula, e pressionar shift-enter para calcular oresultado.
sage: 3 + 5
8>>> from sage.all import *>>> Integer(3) + Integer(5)8O acento circunflexo significa “elevar à potência”.
sage: 57.1 ^ 100
4.60904368661396e175>>> from sage.all import *>>> RealNumber( 57.1 ) ** Integer(100)4.60904368661396e175

Pode-se calcular a inversa de uma matrix 2 × 2 com o Sage.
sage: matrix([[1,2], [3,4]])^(-1)[ -21][ 3/2 -1/2]>>> from sage.all import *>>> matrix([[Integer(1),Integer(2)], [Integer(3),Integer(4)]])**(-Integer(1))[ -21][ 3/2 -1/2]

A seguir, calculamos a integral de uma função simples.

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A Tour Of Sage, Release 10.4

sage: x = var( x )# create a symbolic variable
sage: integrate(sqrt(x)*sqrt(1+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) -␣˓→1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)>>> from sage.all import *>>> x = var( x )# create a symbolic variable>>> integrate(sqrt(x)*sqrt(Integer(1)+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) -␣˓→1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

Agora vamos resolver uma equação quadrática com o Sage. O símbolo == representa igualdade no Sage.
sage: a = var( a )sage: S = solve(x^2 + x == a, x); S[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]>>> from sage.all import *>>> a = var( a )>>> S = solve(x**Integer(2) + x == a, x); S[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

O resultado é uma lista de igualdades.
sage: S[0].rhs()-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2
sage: show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))>>> from sage.all import *>>> S[Integer(0)].rhs()-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2>>> show(plot(sin(x) + sin(RealNumber( 1.6 )*x), Integer(0), Integer(40)))

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Capítulo 1. Sage como uma Calculadora

A Tour Of Sage, Release 10.4

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A Tour Of Sage, Release 10.4

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Capítulo 1. Sage como uma CalculadoraCAPÍTULO2

Cálculo Numérico com o Sage

Primeiro vamos criar uma matriz 500 × 500 de números aleatórios.
sage: m = random_matrix(RDF,500)>>> from sage.all import *>>> m = random_matrix(RDF,Integer(500))

Leva alguns segundos para calcular os autovalores dessa matriz e representá-los em um gráfico.
sage: e = m.eigenvalues() #about 2 seconds
sage: w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
sage: show(points(w))>>> from sage.all import *>>> e = m.eigenvalues() #about 2 seconds>>> w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]>>> show(points(w))

7A Tour Of Sage, Release 10.4

Graças à biblioteca GMP (GNU Multiprecision Library), o Sage pode efetuar cálculos com números muito grandes, atémesmo com números com milhões de dígitos.

sage: factorial(100)93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286
sage: n = factorial(1000000) #about 2.5 seconds>>> from sage.all import *>>> factorial(Integer(100))
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286>>> n = factorial(Integer(1000000)) #about 2.5 seconds

Vamos calcular 𝜋 com 100 algarismos decimais.

sage: N(pi, digits=100)
3.
˓→141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068>>> from sage.all import *>>> N(pi, digits=Integer(100))
3.
˓→141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

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Capítulo 2. Cálculo Numérico com o Sage

A Tour Of Sage, Release 10.4

Agora o Sage vai fatorar um polinômio em duas variáveis.
sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: F = factor(x^99 + y^99)
sage: F(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
sage: F.expand()x^99 + y^99>>> from sage.all import *>>> R = QQ[ x, y ]; (x, y,) = R._first_ngens(2)>>> F = factor(x**Integer(99) + y**Integer(99))>>> F(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)>>> F.expand()x^99 + y^99

O Sage leva menos de 5 segundos para calcular de quantas maneiras pode-se particionar 108 como uma soma de inteiros
positivos.
sage: z = Partitions(10^8).cardinality() #about 4.5 seconds
sage: str(z)[:40]
1760517045946249141360373894679135204009>>> from sage.all import *>>> z = Partitions(Integer(10)**Integer(8)).cardinality() #about 4.5 seconds>>> str(z)[:Integer(40)]
1760517045946249141360373894679135204009

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A Tour Of Sage, Release 10.4

10Capítulo 2. Cálculo Numérico com o SageCAPÍTULO3Algoritmos incluídos no Sage

Ao usar o Sage, você acessa uma das maiores coleções disponíveis de algoritmos computacionais de código aberto.

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