Scientific and Educational Reports of the Facultyof Science and Technology, Kochi University
Vol. 1 (2018), No. 6

正５角形リングパズル(Regular pentagon ring puzzle)

江居宏美 Hiromi Ei(弘前大学理工学研究科)
林浩子 Hiroko Hayashi(高知大学大学院・博士(理学))小松和志 Kazushi Komatsu(高知大学理工学部)

概要
正５角形リングとは３次元ユークリッド空間において，有限個の正５角形の辺を，自明でない結び目が生じないように，つなぎ合わせて得られる環状の離散的曲面をいう．正５角形リングの全ての正５角形が同一平面上にあるとき，平面的であるという．
この論文では，論文[1]の副産物として得られた平面的正５角形リングの性質とその構成法について述べる．またそれを用いて創作した正５角形リングパズルを紹介する．
Abstract
A regular pentagon ring is a ringed discrete surface without non-trivial knot
in a three-dimensional Euclidean space which is obtained by attaching finite
congruent regular pentagons along their edges. A regular pentagon ring is said
to be planar if all the regular pentagons are on the same plane. In this paper,
we show the properties and the construction method of a planar regular pentagon
ring obtained as a byproduct of the paper [1]. Also we introduce the regularpentagon ring puzzle created by using its construction method.
1. イントロダクション
正５角形リングとは３次元ユークリッド空間において，有限個の正５角形の辺を，結び目が生じないように，つなぎ合わせて得られる環状の離散的曲面をいう．すなわち， n を 1 以上の整数， P を正５角形とするとき，集合族 R  {Pk   ∣Pk : Pと合同な正５角形, k  1,2,, n} が長さ n の正５角形リングであると3いわれるのは， R が次の条件を満たすときである:(i) 任意の k  1, 2,  , n に対して， Pk 1 と Pk （ただし, P0  Pn とする）がただ１つの辺  k を共有し, k  k のとき，  k   k    である．
(ii) Pk ( k  1, 2,  , n ) に対して, その頂点の次数は 4 以下である. ここで, 頂点の次数とは，その頂点に入る辺の数をいう.
n(iii)

 P は自明でない結び目を含まない．
kk1

正５角形リングの全ての正５角形が同一平面上にあるとき，平面的であるという． このとき，Received: March 5, 2018
Reviewed by anonymous referee, and accepted: March 19, 2018
Published: March 31, 20181n

P は S  I に同相であることに注意しよう．ここ1kk 1
1で, S は単位円周, I  [0,1] は単位閉区間を表す．
n

そのため，

P の境界は２つの円周状の連結成分，kk 1内側の境界と外側の境界をもつ．
平面的正５角形リングのような，多角形が平面に環状に配置されてできる対象は，パズルの世界に見られる．図１(上)のように，12 個の正方形が平面に環状に配置されたものはパタパタパズルまたは折り絵合わせパズルと呼ばれている．どういったパズルかというと，例えば各正方形の表側と裏側に図１(上)のように記号
図１：パタパタパズルを書いておいて，正方形のつなぎ目の辺で折ることにより，図１(下)のように，正方形が 2×2 個並んだ形にし，なおかつ記号(図１ではα)が揃うようにするというものである．記号やマークなどでなく，図柄やイラストが 4 分割されたものが使われることが多い．
折り絵合わせパズルと呼ばれる所以である．マクドナルドで，2014 年にチャレンジパズル，2015 年にポケ
モンパタパタパズル，2017 年にパタパタパズルとして採用されていたので，実物を目にした人もいるだろう．
私たちは，[1]において，正５角形リングが平面的であるとき，つなぎ目の辺で折ることにより，一枚の正５角形に重なるように折りたたむことができることを示した．この結果を見出すためや証明をするために平面的正５角形リングの性質を調べるばかりでなく，それを構成する方法を模索した．その際に得られた平面的正５角形リングの性質とその構成法を§2 で述べる．§3 では§2 の構成法を用いて，私たちが創作した正５角形リングパズルを紹介する．
2. 平面的正５角形リングの性質とその構成[1]において，次の補題のように，正５角形リングが平面的であるための必要条件を得た．
補題([1])
長さ n の平面的正５角形リングの内側の境界に現れる次数 4 の頂点の個数を a , 次数 3 の頂点の個数を b , 次数 2 の頂点の個数を c とすると，次が成り立つ．
1) 4a  b  2c  102) 2a  b  n

この補題の 1)より，平面的正５角形リングの内側の境界に現れる次数３の頂点の個数 b は偶数である．
また、2)より，リングの長さ n は偶数である．
しかしながら，補題の 1)，2)を満たしているが，平面的ではない正５角形リングを容易に作り出すことがnできる．

P が S  I に同相であるとき，正５角形リングが平面的であるための必要十分条件は正５角
1kk 1形リングの境界を形作るベクトルが同一平面上にあるとして，それらの和を計算したときに零となることである．補題の 1)，2)はこの必要十分条件よりかなり弱い条件である．平面的正５角形リングを実際に構成しようとするとき，この必要十分条件は作られたものが平面的であるかどうかを判定することに適して2いるが，平面的正５角形リングをどのように構成するかということには使いにくい．構成を直感的で容易なものにするアイデアは全く別のところから生まれた．

[2]によると， Penrose タイリングは図２左の 4 種類のタイルから，図２右のように得られる．それら 4 種類のタイルはその形状により，左から順に，正５角形(pentagon)，星(star)，ボート(boat)，ダイヤ(diamond)と呼ばれている．この Penrose タイリングの中に，平面的正５角形リングが見られる．

図２：Penrose の 4 種類のタイル(左)とPenrose タイリング(右)私たちは Penrose タイリングの中に現れる平面的正５角形リングの中で，図３の正５角形の４種類の平面配置に注目した．
この４種類を平面配置ベースと呼び，それぞれ中央の穴の形から，正１０角形配置，星配置，ボート配置，ダイヤ配置と呼ぶことにする．星配置はつなぎ目の辺で折ることにより，ボート配置やダイヤ配置に折りたたむことができる．
平面配置ベースを用いて，平面的正５角形リングを構成しよう．その方法は非常にシンプルである．図４にその一例を挙げる．図４(左)のように，ふたつの正１０角形配置を一部の正五角形を重なるように置く.
リング状にするために不要な部分を取り除くと図４(右)のような平面的正５角形リングが得られる．このように平面配置ベースを一部の正五角形を重なるようにして，うまく配置すると，不要な部分を取り除くことでより大きな平面的正５角形リングが得られる．

図３：平面配置ベース

図４：平面配置ベースを用いた平面的正５角形リングの構成の例

3

Penrose タイリングの中に現れる平面的正５角形リングは平面配置ベースを用いた構成法で得られるが，平面配置ベースを用いた構成法で得られる平面的正５角形リングの中には Penrose タイリングの中に現れないものもある．実際，３個以上の正１０角形配置を用いて，図４のような構成を繰り返し，図５のように直線的に構成した平面的正５角形リングは，Penrose タイリングの中に現れない．この結果を見るには，まず，Penrose タイリングの貼り合わせ規則(Matching rule)による制約から，図５のような平面的正５角形リングの内側をタイルで敷き詰めようとするとき，内側には星(star)のタイルは配置されないことを示す．さらに，ダイヤ(diamond)と正５角形(pentagon)のタイルだけでは，この平面的正５角形リングの内側を敷き詰めることができないことを示す．貼り合わせ規則に従ってタイルを敷き詰めていくとき，どこかでそれ以上，タイルを敷き詰めができなくなるタイルの配置はタイリングの中に現れないということを用いて，試行錯誤により，可能なタイルの配置を絞り込むことにより，これらを示すことができる．そこで，
この平面的正５角形リングの内側を敷き詰めるためには，ボート(boat)のタイルが必ず使われる．また，同様の試行錯誤により，ボート(boat)のタイルの周辺のタイル配置が，必ず図６のようになることを示すことができる．どのようにボート(boat)のタイルを配置するかを場合分けをし，しらみつぶしに調べ上げることにより，３個以上の正１０角形配置を用いた図５のような平面的正５角形リングではその内側をタイルで敷き詰めることは不可能であることが分かる．そこで，前述の結果を見ることができる．

図５：図４の構成の繰り返しによる平面的正５角形リング

図６：ボート(boat)のタイルの周辺のタイルの配置

3.正５角形リングパズル§2 の平面配置ベースを用いた構成法によって，次のページのような平面的正５角形リングを構成した．
[1]の結果から，勿論，これはつなぎ目の辺で折ることにより，一枚の正５角形に重なるように折りたたむことができる．そればかりでなく，図３の平面配置ベースのどの配置にも折りたたむことができる．それぞれの配置に折りたたむには，どのような手順を踏めばいいのかを問うパズルとして楽しめるかもしれない．

参考文献[1] H. Ei, H. Hayashi and K. Komatsu, On folding of planner regular pentagon ring, Submitted.
[2] R. Penrose, Pentaplexity:A class of non-periodic tilings of the plane, Math. Intelligencer
2 (1979), 32–37.

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